ALGUNOS,ALGORITMOS PARA FILTROS DIGITALES EN EL PROCESAMIENTO DE
INFORMACION ELECTROMAGNETICA

RAMIRO DIAZ C.
Profesor Asociado, Departamento de Geociencias, Facultad de Ciencias - Universidad Nacional de Colombia

Diaz, R. (2000): Algunos algoritmos para filtros digitales en el procesamiento de informacion electrornaqnetica. Geofis. Colomb.
4:37-42. ISSN 0121-2974. Santa Fe de Bogota, D.C. - Colombia

RESUMEN

EI proceso de anal isis de senates en prospeccion electrornaqnetica, ha side trabajado desde diferentes
puntos de vista y varios autores han planteado diferentes metodologias. EI objeto de este articulo es plantear
algunos algoritmos para filtros digitales basad os en el anal isis de Fourier. En el trabajo se muestran las
facilidades del uso del dominio de la frecuencia en el anal isis de senates en prospeccion electrornaqnetica.

ABSTRACT

The signal processing in electromagnetic prospecting have been worked from several points of view and
several authors there is expounding several methodologies. The object of this paper is to expound some
algorithms for digital filters based on the Analysis of Fourier. In the work the facilities of the use of the
frequency domain in the signal processing are shown.

1. INTRODUCCION

EI problema de la lnduccion electrornaqnetica ha sido
tratado por varios autores, Maxwell en 1892; Price en
1949 planteo por primera vez las ecuaciones basicas en
prospeccion electromagnetica; Bullard & Parker en
1970; Bailey en 1977; Green & Weaver en 1978;
Dawson & Weaver en 1983; Park en 1985; Robertson
en 1987; Smith & West en 1987: Zhan & Oldenburg en
1999 entre otros, han planteado modelos y metodologias
para el analisis de la informacion concerniente al rnetodo
de induccion electrornaqnetica.

La implernentacion de fiitros en el dominio de la
frecuencia que algunos autores, de los antes citados,
han planteado desde diversos puntos de vista, es el
objetivo de este documento, el cual se aborda en torno a
la metodologia del Analisis de Fourier.

EI uso de filtros en el dominio de la frecuencia, permite
manejar facilmente la informacion y plantear soluciones
al problema de inversion. Con este objetivo se retoman
algunos algoritmos y se plantean otros, que pueden ser

utilizados sequn las necesidades en el proceso de
anal isis de senates en prospeccion electrornaqnetica.

2. FUNDAMENTOS FISICOS

En un estrato delgado asimilable a una placa de espesor
d(x,y), conductividad a(x, y) y resistencia superficial

R(x,y) (ver Figura), en presencia de un campo maqnetico
variable en el tiempo, se induce una corriente electrica

~
superficial con densidad K (X, y) y un campo

rnaqnetico secundario.

Smith & West (1987) definen conductancia (8) como:

8 = ad y resistencia superficial, como:

1R(x, y) = a(x, y)d(x, y) [1]



La densidad de corriente superficial con la componente
--->

vertical del campo electrico E r . sequn la Ley de Ohm,
se pueden relacionar de la siguiente manera:

~
~ ~ Et
K(x, y)= J d = R(x,y) [2]

La intensidad del campo rnaqnetico total fuera del cuerpo
considerado, se pede expresar en funcion del campo
primario y el campo secunda rio asociado al campo
inducido en el medio.

[3]

\
"
I ;

! HP!~------~\---- ....------ .....-~--- ....J.-- ...-.
,'/ HS " L----L

" t~.! (1 "I
\ 'r---~...---'

+

(.:.

Condiciones de frontera:

a) Existe continuidad en el campo rnaqnetico primario:

[4]

b) La componente normal del campo secundario es
continua:

~
n. (H~ [5]

c) La componente tangencial es igual en magnitud,
perc de signa contra rio en las caras del estrato:

~ ~
n X (H~+ H:) = 0 [6]

n es un vector unitario normal a la superficie de la
placa.

~
Hs+ Campo rnaqnetico secundario sobre la placa.

~
Hs_: Campo rnaqnetico secundario bajo la placa.

Asumiendo que no hay efectos rnaqneticos producidos
por corrientes de desplazamiento y que la permeabilidad
maqnetica es constante, se plantean las leyes de
Ampere, Faraday y Gauss de la siguiente forma:

---> --->'

VxH=J [7]

--->
---> aH

V xE = -fl-at [8]

--->

V.H =0 [9]

EI campo rnaqnetico variable en el tiempo y sus
componentes, satisfacen la ecuaci6n de Laplace y la Ley
de Gauss fuera de la placa considerada, 10 cual hace
posible que el campo rnaqnetico y su transformada de
Fourier se expresen mediante las ecuaciones [10] (Bath,
1974).

[10]

EI analisis de seriales en Geofisica se realiza en forma
discreta, por 10tanto la transfarmada directa e inversa del
campo maqnetico se presenta en terrninos de las
siguientes series arm6nicas,

~ -t
e-i(kmner + cot)

[11]
En dande:

Hjkt: representa la funci6n espacia-temporal campo

rnaqnetico.



hmnw: representa los coeficientes de Fourier del campo

rnaqnetico,
~ ,.. ,..r = x ex + yey : vector de posici6n.

~
kmn = km ex + ~ €.y : vector de onda .

~ ~
kmn • r = km X + ~ y

kmn : magnitud del vector de onda.

z : determina el plano de observaci6n.

o :s; m,j s M - 1
o :s; m, k s N - 1

M: numero de observaciones en la direcci6n "x''.
N: numero de observaciones en la direcci6n "y".
T: Periodo en el tiempo.
co : Frecuencia angular de serial.
t: Variable en el dominio tiempo.

La expresi6n [12] representa la comunicaci6n entre el
dominic espacio-temporal y dominic de la frecuencia
usando la transformada directa y la transformada inversa
de Fourier.

[12]

Con base en estos planteamientos flsico-maternaticos.
se desarrollan algunos algoritmos, que permiten operar
facilrnente en los dos dominios, simplificando procesos
de calculo e implementando criterios de interpretaci6n.

3. DERIVADAS DEL CAMPO MAGNETICO

A partir de la definici6n del campo rnaqnetico Hjkt

presentada en la ecuaci6n [11], se calculan sus
derivadas horizontales, su derivada vertical y su derivada
con respecto al tiempo. AI realizar cualquiera de estes
procesos, la serie arm6nica conserva su estructura;
solamente se presentan cambios en el terrnino que
corresponde a los coeficientes de Fourier. EI algoritmo
empleado para realizar el calculo en cada uno de los dos
dominios se muestra en los siguientes esquemas. Los
subindices m, n, j, k ... , que controlan el proceso de
calculo, corresponden a los planteados inicialmente en la
ecuaci6n [11].

Derivada horizontal en la direcci6n del eje "X" (Bath,
1974):

.....('-----> ikm hmnw [13]

Derivada horizontal en la direcci6n del eje "Y":

[14]

Derivada vertical en la direcci6n del eje "Z" :

-..(--;------>. kmn hmnw [15]

Derivada con respecto a la variable ''t'' :

-<'--------->. ico hmnw [16]

Estos algoritmos, son utiles tanto en procesos
particulares como en conjunto para obtener otros
resultados, ajustandose siempre a las propiedades de la
transformada de Fourier.

4. COMPONENTES DEL CAMPO MAGNETICO

Las derivadas verticales de las componentes
horizontales del campo rnaqnetico se pueden expresar
en funci6n de las derivadas horizontales de su
componente vertical.

En este desarrollo se emplean las componentes del
campo rnaqnetico secundario, pero igualmente es valido
para el campo rnaqnetico primario y para el campo
rnaqnetico total.

La derivada vertical de la componente horizontal H~ del

campo rnaqnetico, es igual a la derivada en la direcci6n
"x" de la componente vertical (ver Apendice A).

a HS a HS__ x z
az ax [17]

En el dominio de la frecuencia la ecuaci6n [17] se
expresa:



kmn h~ mnw = i km hi rnnro [18]

hS . km hS
x mnw = I kmn ''Z mnw [19]

10 cual permite esquematizar el proceso de la siguiente
forma:

H~ i km hi mnw
kmn

[20].....(:--------=->

La derivada vertical de la componente horizontal ~ del

campo maqnetico, es igual a fa derivada en la direcci6n

"y" de la componente vertical Hi ,(ver Apendice A).

a~ _ aHi
aZ &y

[21]

yen el dominic de la frecuencia,

kmn ~ mnw = i ~ Hi mnw [22]

hS . ~ hS
•Y mnw = I kmn ' 'Z mnw [23]

.....('-----_---.:...-> i ~ ·himnw
kmn

[24]

Smith & West (1987), plantean un filtro semejante al
anterior a partir de la Transformada de Hilbert.

5.PROBLEMAINVERSO
La metodologia que permite deierminar los parametres
resistividad y espesor, considera la componente normal
del campo rnaqnetico en el espacio libre fuera de la placa
y la componente normal de la Ley de Faraday.

[25]

~
'" (n ~E) a(n .H)n· y X = -Il -'-------'--at [26]

aEy aEx aHz--- =-Il-- [27]ax &y at
Usando la ecuaci6n [2] y aplicando la condici6n de

frontera [5] a la ecuaci6n [7], se encuentran los
siguientes valores para las componentes horizontales del
campo electrico y de la densidad de corriente superficial.
(Smith & West, 1987):

Ey = RKy
[28]

Ky = 2H~

AI reemplazar estos valores en la componente normal
obtenida a partir de la ley de Faraday [27], se obtiene
una ecuaci6n diferencial que representa el proceso de
inducci6n en la lamina, en terrninos de la densidad
superficial y sus derivadas horizontales, las componentes
y derivadas del campo secundario, la derivada vertical y
la derivada con respecto al tiempo de la componente
vertical del campo rnaqnetico. (Price, 1949). (Smith &
West, 1987).

[29]

Si se considera un medio hornoqeneo e isotr6pico, la
ecuaci6n anterior se reduce considerablemente:

R aHi+ _ Il aHz
---- ---az 2 at

[30]

Esta ecuaci6n se puede lIevar al dominio de la
frecuencia, aplicando la transformada de Fourier a cada
uno de sus terrninos.

R kmn hi mnw = ~ i W [ hf mnw - hi mnw] [31]

hi mnw icrdllW
I-.P = (2kmn + icrdllW)''Z mnw

[32]

Considerando la ecuaci6n [31] y la ecuaci6n [25] en el
dominio de la frecuencia:

hz mnw = hf mnw + hi mnw' se encuentran los

coeficientes de Fourier de la componente vertical del
campo rnaqnetico total en terrnino de los parametres

od y los coeficientes de Fourier de la componente
vertical del campo primario:

hz mnw = hf mnw + hi mnw [33]



hz mnw

hf mnw

2(kmn + iadwo)
2kmn + icduo

[34)

En terrninos generales. es posible solucionar el problema
inverso utilizando el rnetodo de minimos cuadrados;
tomando como modelo el planteado en la ecuaci6n [32) 0

en la [34), dependiendo de los datos considerados,

hz mnw hi mnwo

hf mnro hf mnw

EI ajuste se realiza en el domino de la frecuencia, con el

fin de encontrar los mejores valores de ad . de tal
manera que la suma de las desviaciones cuadraticas
entre los datos observados y los calculados por el
modele sean minima.

Con base en el muestreo de campo electrornaqnetico y
el modele elegido, se obtiene un sistema de ecuaciones
simultaneas cuya soluci6n se obtiene utilizando el
siguiente proceso iterativo:

[35)

en donde:

J-g: Matriz inversa generalizada del Jacobiano del
sistema.

D: Matriz de valores observados, en este caso los
coeficientes de Fourier.
M : Matriz que contiene las primeras aproximaciones de

los parametres.

m(M) : Modelo evaluado con los para metros M·
M+l: Matriz que contiene nuevos parametres

evaluados a partir de los parametres M, de los datos D

y el Jacobiano del sistema evaluado tam bien con los

para metros M .
EI sistema computacional entrega los parametres,
encontradolos a partir de los efectos rnaqneticos
producidos en el proceso de inducci6n.

Si se expresa la ecuaci6n [34] en el dominio espacio-
temporal, el problema es ahora solucionar la ecuaci6n
diferencial:

[36]

41

La soluci6n de esta ecuacion, no es tan inmediata como
el planteado anteriormente.

6. PROGRAMAS Y PROCESO DE CALCULO

EI proceso de calculo se ha implementado en Matlab 5.2.
perc es posible usar otras formas de proceso y
lenguajes, que tam bien presentan muy buenas
herramientas y facilidades como Fortran 99. C Y C++.
Entre las herramientas utiles se encuentra la subrutina
HARM. que permite realizar Analisis de Fourier en tres
dimensiones. esta disponible y de uso publico en
Internet.

CONCLUSIONES

EI analisis de Fourier es una herramienta muy eficiente
en el proceso de senates discretas en prospecci6n
electrornaqnetica, ya que permite plantear en forma
sencilla filtros y procesos.

Usando como informaci6n los coeficientes de Fourier
(Dominio de la frecuencia) de las funciones observadas
en el dominio espacio-temporal, se puede plantear y dar
soluci6n al problema inverso en electromagnetismo.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Bailey, R. C. (1977): Electromagnetic Induction Over the
Edge of Aperfectly Conducting Ocean: The H-
polarization case: Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 48:385-
392.

Bath, M. (1974): Spectral Analysis in Geophysics.
Elsevier Scientific Publishing Company. Amsterdam -
Oxford- New York.

Bullard, E. C., & R.L. Parker. (1970): Electromagnetic
Induction in the Oceans, in Maxwell. A. E., Ed The Sea.
4, pt 1: Wiley - Intercience, 695-730.

Dawson, T. W., & J.T. Weaver. (1979): Three
Dimensional Induction in a Nonuniform Thin Sheet at the
Surface of a Uniformly Conducting Earth: Geophys. J.
Roy. Astr. Sos. 73:83-107.

Green, V. R., & J.T. Weaver. (1978): Two- Dimensional
Induction in a Thin Sheetof Variable Integrated
Conductivity at the Surface of a Uniformly Conducting
Earth: Geophys J. Roy. Atr. Soc. 55:721-736.

Maxwell, J.C. (1892): A Treatice on Electricity and
Magnetism (3rd ed): Clarendon Press.

Park, S. K. (1985): Distortion of Magnetotelluric Sounding
Curves by Three Dimensional Estructure.s: Geopysics.
50: 785-797.



Price, A. 1. (1949): The Induction of Electric Currents in
non-Uniform Thin Sheets and Shells: Quart. J. Mech.
and Appl. Math, III pt 3,283-310.

Robertson, R. C., (1987): The electromagnetic response
of thin sheets buried in a uniformly conducting half-
space: Geophysics 52: 108-117.

Smith, R. S. & G.F. West. (1987): Electromagnetic
induction in an inhomogeneus conductive thin sheet:
Geophysics. 52 (12):1677-1688.

Zhang, Z. & W. Oldenburg. (1999): Simultaneous
reconstruction of 1-0 susceptibility and conductivity from
electromagnetic data. Geophysics 64 (1):33-47.

APENDICE A

RELACION ENTRE COMPONENTES DEL CAMPO
MAGNETICO

EI campo maqnetico esta asociado a una funci6n escalar
de potencial A, tal que:

~
H = -VA [1a]

~
La magnitud del vector H , se expresa como la derivada
en la direcci6n del campo rnaqnetico total de la funci6n
de potencia.

aH = --(A)al [2a]

~

V(H) = a H
al

[3a]

Analizando las componentes de la ecuaci6n anterior en
forma individual se tiene:

~
aH aHz
- --

aZ al [4a]

~
aH aHx
aX al [Sa]

aH
fly

~aHy
al [6a]

rAn." "en donde = a ex + fJ ey + y ez es un vector

unitario en la direcci6n y sentido del campo maqnetico
total.

a r a a a-0= eVO=[a-O+p-O+y-Oal ax fly az

a
EI operador - ( ) en el dominio de la frecuencia seal
expresa como:

a
al 0

En el dominio de la frecuencia las ecuaciones [4a], [Sa],
[6a] se expresan, como:

kmn H mnw = qmn Hz mnw
ik - qm H mnw - mn Hxmnw
ik - q Hn H mnw - mn y mnw

[7a]

[8a]

[9a]

De las ecuaciones [4a] a [9a] se establecen las
siguientes relaciones:

kmn hx mnw = i km hz mnw

equivalente a:

aHS
z en el dominio espacio-tiempo.

aX
Y la ecuaci6n:

kmn hy mnw = i ~ hz mnw

equivalente a:

a~ aHS_____ z_
aZ fly