ISSN-0121-2974 LA FUNCION CARACTERISTICA DE PUNTO DE HAMILTON Y LA FUNCION DE TIEMPOS DE DIFRACCION DE LA SISMICA GEOMETRICA EN LA MIGRACION CON AMPLITUDES VERDADERAS LUIS ALFREDO MONTES VIDES Profesor Asociado, Departamento de Geociencias-Universidad Nacional de Colombia Montes L. (2000): La funci6n caracteristica de punto de Hamilton y la funci6n de tiempos de difracci6n de la sismica qeometnca en la migraci6n con amplitudes verdaderas. Geofis. Colomb. 4:67-71. ISSN 0121-2974. Santa Fe de Bogota, D.C. - Colombia RESUMEN Usando la teoria del rayo paraxial en la aproximaci6n de segundo de los tiempos de transite, podemos estimar la funci6n de tiempos de transito asociada a un frente de onda proveniente de un reflector, y en consecuencia calcular la funci6n de tiempos de difracci6n de un frente de onda generado por un punto difractor situado en el reflector. EI conocimiento numerico de estas funciones hace posible un proceso de migraci6n en tiempo de secciones apiladas que generan irnaqenes de secciones sismicas con amplitudes verdaderas. La restituci6n de la amplitud de la onda se realiza mediante un operador que es funci6n de los parametres de la funci6n tiempo de transito. A las secciones migradas se les aplica un filtro de diferenciaci6n para obtener las fases iniciales del campo de onda. Se usan modelos de capas separadas por interfaces suaves. ABSTRACT Using the paraxial ray theory in the second order approximation of the traveltimes, we can estimate the traveltime function of a wavefront coming from a reflector, and in consequence calculate the diffraction traveltime function associated with a diffractor point located on the reflector. The numerical knowledge of those two functions makes possible a process to migrate stacked sections in time, process which generate images of seismic sections with true amplitudes. The restitution of the wave amplitude is made using an operator which depends of the parameters of the traveltime function A differentiation filter is applied to the migrated sections in order to obtain the original wave phase. Layered models with smooth interfaces are used. 1. INTRODUCCION del tiempo, en la cual no se requiere conocer el campo de velocidades, y en su lugar se precisa calcular la funci6n caracteristica de punto de Hamilton para la sismica. Esta funci6n puede ser estimada registrando al menos nueve (9) tiempos de transito en la cercania de un rayo normal (Montes, 2000). A la secci6n migrada se Ie aplica un operador que permite remover del campo de onda los efectos por dispersi6n qeornetrica, la cual representa el factor mas importante en la modificaci6n de la amplitud y fase. En el proceso de secciones sismicas, la estimaci6n de las velocidades para las diferentes etapas es una labor dispendiosa; sin embargo, es de vital importancia para lIevar a cabo la migraci6n tanto en tiempo como en profundidad. Usando la aproximaci6n de segundo orden en los tiempos de transite, desarrollada por Bortfeld (1989) y usando las ideas planteadas por Bortfeld & Kiehn (1992) se presenta una' metodologia para migrar secciones sismicas apiladas (post-stack) en el dominic GEOFISICAl:OI.lOMBIANA\N°4/MARZ~;E) 2. FUNCIONES DE TIEMPOS DE TRANSITO EI sistema sismico se define como un apilado de capas hornoqeneas e isotropicas separadas por interfaces suaves. Se llama superficie anterior a la interface limitrofe superior del modele donde se situan fuentes y geofonos, coincidiendo con la superficie terrestre que se considera plana. La interface mas profunda donde tiene lugar la reflexion se llama superficie posterior, y establece un limite inferior del modelo. Se identifica un rayo que al atravesar el sistema sismico incida normalmente sobre la superficie reflectora (rayo normal), el cual se denomina rayo central (axial). Este rayo central establece el sistema de referencia de los otros rayos en su vecindad (rayos paraxiales). EI sistema de coordenadas cartesiano xyz tiene origen en el punta F;" el plano xy de este sistema es tangente a la superficie anterior en el punta de origen F;,. La interseccion del rayo central con la superficie posterior define en el reflector el nuevo sistema de coordenadas cartesiano x'v z', con el plano x'y' tangente a la superficie reflectora en el punta p,; . Un rayo paraxial en la proximidad del rayo central, parte del punta P indicado por el vector posicion X en la superficie anterior, y viaja hasta el punta P' indicado por el vector posicion X' sobre el reflector. EI rayo paraxial sobre la superficie anterior en X se describe por el vector de lentitud P (slowness vector) y en X'sobre la superficie posterior por el vector de lentitud P'. Cualquier rayo paraxial queda definido en la superficie anterior por la pareja de vectores (X, P ), y sobre la superficie posterior por la pareja ( X' ,Pi ) Para la slmplificacion de los calculos, se usan las proyecciones de los vectores posicion y lentitud sobre los pianos xy en la superficie anterior y x'y' en la posterior. Por c1aridad los vectores 20 se denotaran en minuscula y los vectores 3D en rnayuscula. En la superficie limitadora superior el vector X corresponde a la proyecci6n de X sobre el plano xy. Para obtener P se proyecta primero P sobre el plano tangente a la superficie anterior en el punta P, Y el vector resultante se proyecta luego sobre el plano xy En la superficie posterior se obtienen x' y p' al proyectar del mismo modo X' y P sobre el plano xy. EI rayo transmitido se refleja sobre la interface posterior en la posicion final x' con vector lentitud p' y de acuerdo a la aproximaci6n de segundo orden de los tiempos de transite (Bortfeld, 1989), estos vectores estan relacionados con los vectores posicion inicial X, lentitud inicial del rayo paraxial P y lentitud inicial del rayo central Po ' en la superficie anterior a traves de la ecuacion: x' .L'L.x 0 + 1L (P - Po) Lx 0 + D (p - Po) (1) p' 11 = 3(.~,y') =,.R = 3(x',y') , 3(x,y) 3(p,q) con: C = 3(p',q') y D = ~(P',q') - 3(x,y) - 3(p,q)' matrices jacobianas estimadas en el origen del sistema de coordenadas sobre la superficie anterior. La aproximaci6n es valida unicarnente dentro del range de distancias para correcci6n de tiempo en la aproximaci6n hiperb61ica (Normal Move Out) usado en el apilamiento (stacking) de secciones sisrnicas. Las ecuaciones (1) describen cualquier rayo que viaje desde la superficie anterior hasta la posterior, en la vecindad del rayo central. EI tiempo de transite para un rayo transmitido desde x en la superficie anterior hasta x' en el reflector viene dad~ por: t(X,x') = to - Po . x + t-\"· DB.-Ix' + tx . .B.-I & -»«'r (2) EI tiempo de transite para un evento de reflexi6n sera la suma del tiempo de viaje del rayo transmitido desde .x hasta ;' y del tiempo del rayo reflejado desde x' hasta el punta x" , siendo esta suma: " I" -1 I "l(x,X)=!Q-2po·xo+2(x +x)·D C2(x +x) 1" -I I "+2(X -x)·Jl. A"2(x -x), (3) donde To = 2to es el tiempo de transite de reflexi6n del rayo central (Bortfeld, 1989). La expresi6n (3) corresponde a la funci6n caracteristica de punta de Hamilton en Optica, lIamada asi porque suministra el tiempo de trans ito desde un punta en la superficie anterior hasta otro cualquiera sobre la interface reflectora. Las matrices producto Ji-I iL y D-IC son sirnetricas (una demostraci6n de esta propiedad puede verse en Bortfeld, 1989); la primera representa la matriz de curvatura de la onda NIP (Normal Incidence Point) y la segunda la matriz de curvatura de la onda Normal (Hubral, 1983). Por tal simetria la ecuaci6n (3) tiene solo nueve incognitas: una en To, dos en Po' tres e B-IA y tres D-Ie; las cuales pueden estimarse registrando al menos nueve tiempos de transite especialmente seleccionados (Montes, 1998). EI tiempo de transito desde un punta difractor en x' = 0 hasta un detector situado en x sobre la superficie anterior viene dada por el doble del tiempo calculado por la ecuaci6n (2): y se denomina funci6n tiempo para una difracci6n zero- offset. Esta ecuaci6n es importante para la surnatoria en el proceso de migraci6n. Sequn los tiempos dados por la curva de tiempos de migraci6n (4) (hiperbola en Fig.1), se seleccionan las amplitudes de la secci6n que seran sumadas. T / ...... x FIGURA 1. LA CURVA DE TIEMPOS ZERO-OFFSET TIENE LA FORMA DEL REFLECTOR Y LA HIPERBOLA REPRESENTA LA FUNCION DE TIEMPOS DE DIFRACCION. EN LA POSICION DONDE EMERGE EL RAYO NORMAL AL REFLECTOR (CENTRAL) LAS CURVAS SON TANGENTES. EL RAYO IMAGEN (NORMAL A SUPERFICIE) EMERGE EN LA POSICION DEL APICE DE LA HIPERBOLA. De acuerdo al modelo de reflector explosivo (Loewenthal et aI., 1976), cada punta del horizonte reflector se comporta como un punta difractor en concordancia con el modele de transmisi6n de ondas de Huygens. La envolvente de los eventos difractores constituye el frente de onda definido por la funci6n tiempo zero-offset. en la Fig.1, se representa por la curva de punta y trazo. EI resultado de la suma se coloca finalmente en el apice de la curva de migraci6n (minimo de la hiperbola). cuya posici6n coincide con el rayo imagen que emerge perpendicular a la superficie limitrofe superior. A traves de este procedimiento se lIeva a cabo la transformaci6n del tiempo de transite del rayo normal (central) a tiempo de transite del rayo imagen. La superficie definida por la funci6n tiempo de difracci6n (4) es tangente a la superficie definida por la funci6n tiempo zero-offset en la posici6n del rayo central. en la Fig.2, la hiperbola es tangente a la curva zero-offset. Si se migrase hacia una posici6n arbitraria x, sequn (4) el tiempo de migraci6n sera: u s , = To - Po 'x (5) donde x = (B 0 A t I (p 0 - p x) (6) y p debe satisfacer V'TJ)(x,O) = -2px' La migraci6n en el apice de la superficie de tiempo de difracci6n corresponde al rayo imagen definido por Hubral & Krey (1980), el cual satisface la donde Px debe satisfacer condici6n Px = 0 (el rayo emerge perpendicular a la superficie limitrofe superior). En el apice el tiempo de migraci6n queda definido sequn la ecuaci6n (5) par: t(XA)=T()-pu'X (7) donde x .1 3. MIGRACION EN TIEMPO Para comprender la migraci6n en tiempo se usara la Fig.2, que muestra la funci6n Tf) (x m) de tiempos de transito para una secci6n zero-offset no migrada, asi como la funci6n de tiempos de difracci6n THO (xm), sus curvas son tangentes en el punta 0 que corresponde a la posici6n donde emerge el rayo normal (central). Las amplitudes de las trazas de la secci6n zero-offset coincidentes con la curva Tf) (xm) se seleccionan y adicionan, y la suma se coloca en el apice de la curva 0', EI campo de onda de una secci6n zero-offset sequn Bortfeld & Kiehn (1992) se expresa por: Rc: coeficiente de reflexi6n, d, tI,: coeficientes de transmisi6n de las ondas descendentes y ascendentes respectivarnente. Muestrear las trazas de fa secci6n zero-offset con la funci6n de difracci6n, implica que t = TJ) (xm) en (8), asi Sine (Tf) (X III) - T I/O (X III)) tornara un valor significativo cuando el argumento de la funci6n sea cero, v.g. donde ambas funciones coinciden, indicando que la muestra de la traza pertenece a un punta de reflexi6n, Fig.2. J{) distancia FIGURA 2, MUESTRA LA CURVA DE TIEMPOS DE TRANSITO DE REFLEXION TRo, TANGENTE A LA CURVA DE TIEMPO DE DIFRACCION To EN EL PUNTO D DONDE EMERGE EL RAYO CENTRAl. LA TRAZA SERA MIGRADA DE DAD', SE OBSERVA LA CURVA DE TIEMPO DE DIFRACCION DESFASADA TOr' En configuraci6n zero-offset el tiempo de reflexi6n vendra dado por: (9) Sustituyendo (3) y (9) en el argumento de la funci6n Sine incluyendo un desfase t se obtiene: EI resultado de la expresi6n matricial en (10) es una matriz sirnetrica de la forma: (11) AI sustituir(11) y Xm = (x,y) en (10): n--: {n 2 2)U(xm,r)= diUiiSin /)"T(r+x mll+2xym12+y mn) (12) Para migrar un evento de x m hasta s A se suma el campo de onda de todas muestras de las trazas contenidas en una ventana definida en plano xy: R N M U(xA,-r)= I1d;u;_c I I Sinc(~(r+x2mll L ,=-N)=-M !'!..T + 2XY~2 + y2m22)i!'!..xj!'!..y (13) L1x, /)"y : intervalos de muestreo en direcci6n x,y. Aplicando la transformada de Fourier en (13) para lIevar al dominic de la frecuencia y tomando la expresi6n integral de la misma se tiene: eo co -co-co (14) Para simplificar (14) se aplica transformaci6n de los ejes hacia los ejes principales (x',y) U(XA,f) = ndiu, Rc /)"T IleXP(i2nf(ax' + fJy'))dx'dy' L -00-00 (15) Por la notaci6n de Euler (15) es: U(XA,!) = TI diu; ~2fj"T * L j {j[COS( 2nfax' ) + i sen( 2"jax" )]dX')}' [cas( 2;rr!fJy'2) + i sene 2;rr!fJy'2 )]dy' (16) r 2 r 2 1 r;Las integrales cosy dy = seny dy = 2" ~"2 son conocidas como integrales de Fresnel, por 10 cual la expresi6n (16) se transforma en: (17) La ecuaci6n (17) representa el campo de onda migrado, al cual no se Ie ha hecho correcci6n por dispersi6n qeometrica, ni por cambios en la fase. De acuerdo a los resultados obtenidos por Bo rtfe I & Kiehn (1992), la dispersi6n geometrica viene dado por el factor: L = 2cosfJo vo~det(B-1 A - D-1C) (18) con v0 velocidad de la capa superior del sistema sismico, Po anqulo entre la normal a la superficie superior y el rayo central. Reemplazando (18) en (17) y usando el hecho que ap = det!B-1 A - D-1CI = mIl ml2 - mf2 resulta en: V(x I) = Od.u.R ( vo!1~ - sgn(f)] A' I I C 8cosfJo il/l (19) En la expresi6n (19), el termino entre parentesis representa un operador que representa el factor de dispersi6n geometrica. EI inverse del operador, el cual permitira recuperar la amplitud de la serial por efecto exclusivo de la mencionada dispersi6n, es sequn ('19): FDG1 8cosfJo ( J 4i (j))= -II; isgn v/:::r (20) En la ecuaci6n (20), la expresi6n entre parentesis corresponde al inverso del operador: - sgn( I)¢ = illI (21) que introduce un desfase en el campo de onda y por tanto modifica el espectro de fase. Su aparici6n es consecuencia de la integraci6n en el proceso de migraci6n.!(t) = JF(w)e-iW1dw por 10que para remover su efecto se requiere aplicar su operador inverso, es decir, el operador de diferenciaci6n - i!f1 ' dado a traves de: !f(t)=f-iwF(w)e-iWldw. -i=eos~-isen3'-, dt 2 2 entonces - il/l sgn(f) corrige la fase del campo de onda migrado en ~. Como la parte real del espectro de fase 2 es nula: A(f) = ~ R2(f) + 12(f) = )12(f) = :/(f} y su espectro de fase es entonces: fJ(f) = Arctan( l(f») = _ 1r sgn(f) R(f) 2 (22) donde I R son las partes imaginaria y real del campo de onda. EI operador de restituci6n del campo de onda migrado consta del filtro de diferenciaci6n multiplicado por un factor de peso, que sequn la ecuaci6n (20) es 8eos Po l(vo8.T), el efecto debido a la dispersi6n qeornetrica se remueve de la secci6n sismica multiplicando el operador en el dominic de la frecuencia antes 0 despues de la migraci6n. CONCLUSIONES Usando ta teoria del rayo paraxial sobre modelos con capas hornoqeneas e isotr6picas separas por interfaces suaves, las secciones sismicas apiladas pueden ser migradas en el tiempo utilizando un novedoso enfoque que no necesita saber el valor del campo de velocidad. Como es sabido del proceso de secciones sismicas, la estimaci6n del campo de velocidad conlleva una gran incertidumbre sobre los valores obtenidos, por 10 cual las irnaqenes de secciones migradas tienen un nivel de confiabilidad acorde con los niveles de incertidumbre valores estimados de la velocidad. La estimaci6n de la funci6n de tiempos de transite asociadas a eventos de reflexi6n permite estimar la funci6n de difracci6n y aplicar un proceso de migraci6n al que adicionalmente se Ie incluye la restauraci6n del campo de onda por el efecto de dispersi6n qeometrica, el cual es el factor que mas influye en la modificaci6n de la amplitud y fase de las senai registrada. La migraci6n a traves de este proceso seria de utilidad para verificar y refinar las irnaqenes de secciones previa mente apiladas y migradas en tiempo, obtenidas a partir de un campo de velocidad de migraci6n estimado con incertidumbre. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Bortfeld, R., (1989): Geometrical ray theory: Rays and traveltimes in seismic systems: Geophysics. 54:342-349. Bortfeld, R., & M. Kiehn (1992): Reflection amplitudes and migration amplitudes (zero-offset situation): Geophysical Prospecting. 40:873-884. Hubral, P. & Krey, Th., (1980): Interval velocities from seismic reflection time measurements. SEG.Tulsa. Ok. Hubral, P., (1983):Computing true amplitude reflections in a laterally inhomogeneous earth. Geophysics. 48: 1051- 1062. Loewewthal, D., L. Lu, R. Robertson, & J. Sherwood, W., C. 1976: The wave equation applied to migration: Geophysical Prospecting. 24:380-399. Montes, L. A. 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