Geofisica Colombiana pp 53-56N° 5 d i c i e m b r e de 2001 Bogota D.C ISSN - 0121 - 2974 La teoria del rayo paraxial en la sismica de pozo: Aproxlmaclon de segundo orden en los tiempos de transite LUIS ALFREDO MONTES V,OES Profesor asociado Departamento de Geociencias; Universidad Nacional de Colombia - Facultad de Ciencias RESUMEN Utilizando la aproximacion del rayo paraxial de la llamada 6ptica geornetrica se encontr6 un conjunto de expresiones que caracterizan los eventos de reflexi6n que han sido registrados en detectores situados dentro de un pozo. Una de ell as es la funci6n caracterfstica que estima los tiempos de transite de eventos VSP de fuentes situadas en la cercanfa de la boca del pozo, la cual puede ser conocida nurnericarnente a partir de la medici6n de al men os seis tiempos de transite apropiadamente seleccionados. Se deducen expresiones que permiten transformar la funci6n caracterfstica de tiempos de transite de los eventos de reflexi6n de la sfsmica de pozo en la equivalente funci6n caracterfstica de tiempos de transite obtenida en configuraci6n pun to medio cormin, correspondiente a eventos registrados en superficie. Este resultado hara posible la soluci6n del problema inverso en profundidad en la vecindad del pozo, mediante la aplicaci6n de tecnicas de continuaci6n hacia abajo de la funci6n de tiempos de transite, Los resultados son validos en la aproximaci6n de segundo orden de los tiempos de transite en model os constituidos par capas homogeneas e isotr6picas con cualesquiera velocidades y densidades, separadas por interfases suaves arbitrariamente curvadas. ABSTRACT PALABRAS CLAVE: SiSMICA DE POZO, SiSMICA GEOMETRICA, TEORIA DEL RAVO, CONTlNUACION HACIA ABAJO, PROBLEMA INVERSO, TIEMPQS DE TRANSITO. Using the paraxial ray approximation of the named geometric optics a set of numerical expressions were found, these expressions charac- terize reflecting events recorded in detectors placed in a borehole. One of them is the characteristic travel time function which estimates the travel times of reflecting events in a vertical seismic profile configuration with sources placed in surface in the vicinity of the boreholes's top. This characteristic VSP function can be numerically estimated using at least six measurements of appropriated selected travel times. Others expressions were deduced to allow the transformation of the VSP travel time function in the equivalent COP travel time function corresponding to reflecting events recorded in surface in a common midpoint array. The use of this result will make possible to solve the inverse problem in the neighborhood of the borehole by the application of downward continuation techniques of the travel time function. The results are valid only in the approximation of the second order of the travel times in models which consist of a pile of homogeneous and isotropic layers of any velocities and densities, separated by smooth interfaces arbitrarily curved. KEY WORDS: VERTICAL SEISMIC PROFILE, GEOMETRIC SEISMIC, RAY THEORY, DOWNWARD CONTINUATION, INVERSE PROBLEM, TRAVEL TIMES. INTRODUCCION Uno de los pasos import antes en el procesamiento de datos para la obtenci6n de imageries del subsuelo es la transformaci6n de datos des- de el dominio de datos obtenidos en la configuraci6n de sismica de pozo - VSP (Vertical Seismic Profile) ala configuraci6n de adquisici6n de datos en superficie CMP (common midpoint). Asf se obtienen tiem- pos de transito de rayos recibidos en superficie a partir de datos obteni- dos en un pOlO para su proceso e interpretaci6n. Usando la teorfa del rayo paraxial en la aproximaci6n de segundo orden de los tiempos de transite, se presenta un desarrollo te6rico que permite llevar a cabo la transformacion entre los dominios menciona- dos. Como resultado se obtiene un conjunto de ecuaciones que permite transformar los tiempos de trans ito VSP a tiempos de transite de even- tos de reflexi6n registrados en superficie. La soluci6n del problema inverso se obtiene a partir de la soluci6n de este conjunto de ecuaciones, conociendo as! las velocidades de in- tervalo y la geometria de las interfaces en la vecindad del rayo central (Montes, 1988 y Montes, 1999). GEOF(SICA COLOMBIANA, 5, DICIEMBAE DE 2001 boca de pOLo (ova PO(OXICtlroyo po=.~ Figura 1. Sistema sismico con el pOZO, interceptando las superficies anterior y reflectora. Por sirnplicidad no se muestran otras interfaces. El rayo central queda definido entre estes dos punros de inrersec- cion. El rayc paraxial parte de la fuente en la superficie anterior y alcanza al ge6fono situado en el pozo luego de reflejarse en la super- fide posterior 53 LUIS ALFREDO MONTES VIDES En consistencia con los planteamientos de la teona del rayo paraxial (Bortfeld, 1989), la Tierra se model a como una superposici6n de capas homogeneas, sin restricciones sobre sus valores de velocidad y densi- dad. Estas capas estan separadas por interfaces suaves arbitrariamente curvadas y aproximadas por superficies de segundo orden. El modelo sismico, como se muestra en la figura I, esta limitado en su parte superior por la superficie de la Tierra Hamada superficie anterior, y en su parte inferior por la superficie donde tienen lugar las reflexiones denominadas superficie posterior. Un pozo arbitrariamente curvado atraviesa el sistema SISmiCO.El rayo que inicia en la boca del pozo sobre la superficie anterior e incide sobre la superficie posterior se se- lecciona como rayo central, aclarando que el rayo central no es en ge- neral un rayo normal, y se define iinicamente por dos puntos en los extremos superior e inferior del sistema sismico. EI punto inicial del rayo central define el sistema de coordenadas (i, i. k) y el punto final, a su vez, el sistema cartesiano (i I, i', k ') .Los pIanos (i I, j ') y (i, j) son tangentes a las superficies anterior y posterior en los pun- tos de intersecci6n con el rayo central. TIEMPOS DE TRANSITO ASOCIADOS A RAYOS PARAXIALES Cualquier rayo en la vecindad del rayo central se describe por cua- tro vectores bidimensionales, sobre la superficie anterior por los vectores posici6n X (i, j) y P (i, j) lentitud, y en la superficie posterior por los correspondientes vectores x' (i I, j ') y p'(i, j). Estos vectores bidimensionales se obtienen proyectando los respectivos vectores tridimensionales sobre los pIanos tangentes en los puntos de intersecci6n del rayo central con las superficies anterior y posterior, eliminando aSI un componente en ellos, En la aproximacion de segundo orden de los tiempos de transite, los vectores posici6n y lentitud sobre la superficie posterior y anterior estan relacionados a traves del operador matriz de transferencia, dados por la relaci6n: -I X -I Po donde A 0 ' B 0 ' Co' Do son matrices jacobianas 2x2. Se observa que aparece un terrnino p' adicional en la ecuaci6n (1), que es igual a cero por ser rayo normal en la equivalente expresion de Bortfeld (1989). La ecuaci6n (1) pennite expresar P y j/ como funciones de X y X I exclusivamente - I - I C - D B I A - + Do Bo-I X IP = Po + oX - 0 ; oX Todo evento de reflexi6n se compone de dos rayos transmitidos, uno que inicia en la posicion X con lentitud inicial p , y el otm que parte de X" con lentitud inicial p", arribando ambos al mismo punto final (X") I = X I situado sobre la superficie posterior, donde se cumple la ley de Snell (p") I = - p'. 54 Aplicando la ecuaci6n (I) al segundo rayo y usando las pareja de condiciones (X")' = X' Y (p")' = _p' seobtieneunaex- presi6n para el vector lentitud inicial del rayo reflejado V = i\ - tr'c; 1(x8 + x) - B,~'Ao 1(x8 - x) - D,~'p;' (4) aSIcomo para el vector lentitud inicial del rayo transmitido p = i\ - D;'Co 1(x8 + x) + B;'Ao + (X" - x) - D,~' p;' (5) Se observa que la diferencia entre estos vectores, lentitud inicial del rayo transmitido y del reflejado, es independiente del vector punto me- dio comun ~ (x" + x), mientras la suma de tales vectores es inde- 1 (-" -)pendiente del vector offset medi0"2 X - X . En la situaci6n zero-offset, cuando x" = X, sobre la superficie anterior los dos rayos poseen iguallentitud p" = p, siendo esta en general diferente de Po' TIEMPO DE TRANSITO DEL RAYO TRANSMITIDO Para determinar el tiempo t (x, X ') que toma al rayo ir desde la su- perficie anterior a la posterior, se usa la ecuaci6n principal de Hamilton (Bortfeld, 1989): dt ( X, X ') = p' . dx I - P . dx , (6) la cual representa el diferencial de tiempo de trans ito desde cualquier pun to en la superficie anterior a cualquier punto en la superficie poste- rior. De (6) se obtiene p a partir de la derivada parcial de t (X, X ') respecto a X, mientras p' se obtiene mediante la derivaci6n parcial respecto a X I. Usando las cuatro ecuaciones diferenciales correspon- dientes, el tiempo de viaje de un rayo paraxial desde la superficie ante- rior hasta I posterior sera: ( - -I) - + -I -I I -I D B-1 -I +t X, X = to - Po X Po' X + '2 x· 0 0 X -2 1 X . B~' A X - X . B-1 x' 000 (I) (7) to: tiempo que tom a el rayo central para atravesar el sistema sisrnico, En el caso de la sismica de pozo 0 YSP, un rayo paraxial viajara desde cualquier punto en la superficie de la Tierra, en la cercania del rayo central, hasta un detector situado dentro del pozo que coincida -I 0-con una superficie reflectora en particular, en cuyo caso X = yel tiempo de viaje sera segun la ecuaci6n (7). (2) ( - -I -0) - - I - B-1 A -txx = =t -P ·x+-x· X, 0 0 2 0 0 (8) (3) expresi6n que puede estimarse numericamente a partir de por 10 menos seis tiempos para seis fuentes distintas, ya que contiene seis inc6gnitas. TIEMPO DE TRANSITO DEL RAYO REFLEJADO Sea la ecuaci6n principal de Hamilton para el rayo reflejado dada por: dt (X, X") = - p" . dx" - P . dx. (9) GEOFISICA COLOMBIANA, 5, DICIEMBRE DE 2001 LA TEO RiA DEL RAYO PARAXIAL EN LA SiSMICA DE POZO, APROXIMACI6N DE SEGUNDO ORDEN EN LOS TIEMPOS DE TRANSITO La expresi6n (9) representa el diferencial del tiempo de trans ito de un rayo que parte desde cualquier fuente, en X hasta cualquier detec- tor en X" . La derivada parcial de t t; X, X") respecto a X provee el vector lentitud 13 en la posici6n de la fuente, mientras que la deriva- ci6n respecto a X" da el vector lentitud 13" en la posici6n del recep- tor. Al expresar el par ( 13, 13") por el correspondiente par de ecuaciones (4) y (5), usando adem as las cuatro ecuaciones diferencia- les correspondientes, se obtiene la expresi6n para el tiempo de transite del rayo reflejado: t(x, x") = to - 2po . + (x" + x) + 2D,~1P: + + (x" + x) . D,~ICo + (x" + x) + (i" - x) . S;l Ao + (x" - x) Al considerar el caso del detector situado en el pozo en el pun to X" = 6, los tiempos para un iinico receptor cormin vendran da- dos por: ((x, x" + B-'A ) l - o 0 2 X (II) expresi6n estimable numericamente a traves de al menos seis medidas en tiempos de transite en configuraci6n receptor corruin VSP. TRANSFORMACION DEL ESPACIO VSP A ESPACIO CDP Se busca transformar los tiempos de trans ito T vsr (X:, X), corres- pondientes a rayos reflejados en las interfaces y registrados en los de- tectores situados dentro del pozo, a sus correspondientes a tiempos ( ( X, X") de reflexi6n registrados en superficie en levantamientos Figura 2. El sistema sfsmico muestra let superficie virtual plana perpendicular -"ala Trayectoria del rayo central, coincidiendo con la posici6n X* del ge6fono en el pOZO GEOFlslCA COLOMBIANA, 5, DICIEMBRE DE 2001 (10) convencionales en configuraci6n punto medio cornun. Esta operaci6n corresponde a una transformaci6n de los datos desde un espacio VSP a un espacio CDP. En la figura 2 se ilustra un levantamiento VSP con un sistema sismico donde no se muestran las interfaces intermedias para claridad del rnis- mo. Entre las superficies limitadoras superior e inferior del modele se incluye un plano virtual, virtual en el sentido de no separar medios con propiedades litol6gicas distintas, la cual es perpendicular al rayo cen- tral y contiene el detector del pozo situado en la posici6n X: en el nuevo sistema de coordenadas definidas para dicho plano. El vector posici6n X: es un vector bidimensional definido en el sistema cartesiano 1. , } * que tiene su origen en el punto de intersec- ci6n del rayocentral con el plano. Cuando el rayo reflejado pasa por el pOZOen la posici6n, el tiempo de trans ito medido en el receptor del pozo puede expresarse como la diferencia: (- -If) (- -If) (-" _If)(vsp x, X * = l X, X - t X ,x * ( 12) donde (( X, X") representa el tiempo de reflexi6n de un rayo que par- te de X en la superficie y es detectado en un receptor situ ado en X" sobre la superficie, mientras (( X ", X:) corresponde al tiempo de tran- sito desde el detector del pozo posicionado en X: hasta X" en la super- ficie. La transformaci6n VSP-CDP puede formularse ahora de Ja siguien- te manera: primero, hallar para una deterrninada fuente situada en super- ficie la posici6n correspondiente del receptor rayo, un rayo entre estas posiciones que pase por la posici6n en el pozo donde se halle un detector; segundo, estimar el tiempo de transite tt; X", X:) del rayo transmiti- do, y tercero, adicionar el tiempo de transite (( X ", X:) al tiempo de transite medido en el pozo (vsp (X, X:) . La relaci6n entre las posiciones X y X: esta establecida a traves de la relaci6n: X: = Aokx" + s ; (p" - Po) (13) Esta ultima relaci6n determina la transformaci6n de la pareja de vectores posici6n y lentitud desde la superficie de la tierra hasta la posici6n X: en el pozo. Las matrices Aok y B ok estan conforma- das por parametres que dependen exclusivamente de las caracteristicas del medio situado por encima del receptor. AI expresar el vector lenti- tud 13" de la relaci6n (13) por el vector lentitud de la ecuaci6n (4) del rayo reflejado, se obtiene: -. A -. B l D -I C 1 (_. -) B -I A 1 (-. -) D -I 'Jx * = ok X + ok - 0 0 2" x + x - 0 0 2" x - x - (1 P 11 (14) don de se obtiene el rayo transmitido como parte del rayo reflejado que pasa por el punto X: situado en el pozo. El tiempo de trans ito (( i",X:) necesario para la transforrna- ci6n VSP-CDP se obtiene a partir de la ecuaci6n (7); basado en el conocimiento previa de las matrices que transmiten el rayo a traves de la capas situadas encima del detector en el pozo, es: 55 LUIS ALFREDO MONTES VIDES donde representa el tiempo de transite del rayo central para llegar hasta el detector. La expresi6n (15) representa el tiempo necesario para completar el tiempo VSP en tiempo de transite CDP de acuerdo con la ecuaci6n ( 12). CONCLUSIONES Se dedujeron funciones estimables numericamente con tiempos de transite registrados en detectores colocados en un pozo, asi como aquellas que permiten su transformaci6n en funciones equivalentes de eventos registrados en superficie. Las matrices Ao k y B 0 k ' como parametres de la funci6n carac- teristica, estan constituidas por elementos que dependen exclusivamente de las propiedades elastodinamicas del medio que esta situado encima del reflector. Segun Kahn (1988) las velocidades pueden determinarse utilizan- do la matriz de curvatura de los tiempos de transite B ~~ A 0 N de una configuraci6n punto medio cormin situada sobre la ultima superficie antes de la interfaz reflectora. La continuaci6n hacia debajo de la funci6n tiempo de transite (Mon- tes, 1988) permite conocer la funci6n tiempos de transite sobre la interfaz anterior de la ultima capa del sistema sismico y, en consecuen- cia, la soluci6n del problema inverso, que se manifiesta en el conoci- miento de las velocidades de intervalo y la geometria de las interfaces en profundidad. Las expresiones (13), (14) Y (15) permiten relacionar la informa- ci6n sismica en la vecindad del pozo con la informaci6n sismica obte- nida en configuraciones convencionales, estableciendo correlaciones numericas entre la informaci6n de pozo y su entorno. Los resultados logrados son validos en la aproximaci6n de segun- do orden de los tiempos de transite en model os constituidos por capas hornogeneas e isotr6picas con cualesquiera velocidades y densidades, separadas por interfaces suaves arbitrariarnente curvadas. 56 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS (15) BORTFELD, R. 1989: Geometric ray theory: Rays and travel times in seismic sys- tems. Geophysics, Y54, 342-349. KAHN, S. U. 1988: Die Aufdeckung der Mehrdeutigkeiten in der Reflexionsseismik: Dissertation. Tech. Univ. Clausthal. Germany. MONTES, L. A. 1988: Determinacao das velocidades interval ares usando a teoria do raio paraxial: Aproximacao de segunda ordem dos tempos de transite. Ph. D. thesis. Universidade Federal do Para. UFPa, Brazil. MONTES, L. A. 1999: Estimaci6n de las velocidades de intervalo a traves de la funci6n de tiempos de difracci6n de la sismica geometrica, Geologia Colombiana, 24, 177-183. GEOFISICA COLOMBIANA, 5, DICIEMBFlE DE 2001