Geofisica Colombian a pp 57-59 diclembre de 2001 Bogota 0 C ISSN - 0121 - 2974N° 5

Migracion mediante apilado
medios con

por dlfr accton en
gradiente constante de velocidad

LUIS ANTONIO CASTilLO LOPEZ

Profesor a sis t e n t e
Departamento de Geociencias - Facultad de Ciencias - Universidad Nacional de Colombia

RESUMEN
Para investigar la reflectividad en el subsuelo de la Tierra por rnetodos sfsmicos, se necesita introducir algunas suposiciones acerca del

macromodelo de velocidades para la capa suprayacente al reflector. Esto se logra al aplicar a los datos de entrada un peso al operador de

apilado por difracci6n, cuyo desarrollo te6rico es bas ado en la integral tipo Kirchhoff. AI escoger el propio peso para apilado de datos, el

resultado del proceso de la migraci6n es una secci6n sismica, donde la amplitud es proporcional al coeficiente de reflexi6n, conocido como

migraci6n con amplitudes verdaderas. En el presente articulo se pretende mostrar la cuantificaci6n de un pararnetro s.smico, es decir la

amplitud, mediante el uso de un algoritmo de migraci6n, cuyo desarrollo e implementaci6n del mismo permite la evaluaci6n de datos

sinteticos, considerando modelos sencillos. Este algoritmo se desarro1l6 para trabajar con modelos sinreticos en un medio con gradiente

constante de velocidad. Para en tender rnejor el comportamiento nurnerico del algoritmo propuesto, se tienen presentes algunas

consideraciones, como los aspectos cinernaticos del proceso de migraci6n, por ejemplo, cuando la funci6n peso es la unidad.

PALABRAS CLAVE: PROCESAMIENTQ DE DATOS SISMICOS, MIGRACION EN TIEMPO, MODELAMIENTO, PROBLEMA DIRECTO

ABSTRACT
In order to investigate the reflectivity in the earth subsurface by seismic method, we need to introduce some assumption about the

macrovelocity model above the reflector. This is achieved by applying to the input seismic data a weighted diffraction stack operator, which

theoretical development is based on a Kirchhoff type migration integral. By choosing the proper weight for stacking the data, the result of

the migration process is a seismic section where the amplitude is proportional to the reflection coefficient, the so-called true-arnpli tude

migration. For considering a more realistic situation, we develope a migration algorithm that works very well with constant gradient veloc-

ity media and the parameter quantificated for results. In order to better understanding the numerical behavior of the proposed algorithm, we

consider in this paper only the kinematic aspects of migration process, i.e. when the weight function is the unit.

KEY WORDS: SEISMIC DATA PROCESSING, TIME MIGRATION, MODELLING, DIRECT PROBLEM

INTRODUCCION
EI operador de apilado por pesos de difracci6n usado para migrar los datos
sfsmicos, se basa en la sumatoria de datos de entrada, a traves de una trayec-
toria definida por superficie de tiempos de transite por difracci6n (superfi-
cie de Huygens), para un punto dado en el modelo, y diferentes fuentes y
receptores sobre la superficie de la Tierra. Uno de los puntos criticos en esta
migraci6n es el incremento de tiempo computacional como consecuencia
de la complejidad geometrica del modelo sfsmico. En afios recientes algu-
nos metodos alternatives han sido propuestos, para suplir este problema
(Vidale, 1988; Schneider et al., 1992). En este ensayo se presenta un algo-
ritmo rapido capaz de trabajar en forma cinematica 0 efectuar la migraci6n
con amplitudes verdaderas en profundidad, a! considerar una situaci6n mas
genera! cuando el modelo de velocidad sfsmica es presentado por una fun-
ci6n de las variables espaciales. Esta clase de modelo es importante para
simular muchas situaciones en la exploraci6n sfsm.ica (lapsen, 1993).

OPERADOR BIDIMENSIONAL DE APllADO
POR DIFRACCION
Siguiendo el formalisrno usado pOl' Urban (1999), y bas ado en
Schleicher et al. (1993), se puede escribir el operador bidimensional
de apilado por difracci6n como

GEOFislCA COlOMBIANA, 5, DICIEMBRE DE 2001

V(M,t) = ~Jd9v @,M)dt'!2U(S,t+TD) (I)
-V 2n A

En la ecuaci6n (I), los pares fuente y el receptor (S,C) estan
parametrizados porla variable S ' de tal manera que la difracci6n de la
curva de tiempo de transite T D en el plano es definida por todos los
puntos de pararnetro S sobre la superficie de la Tierra, y un pun to M
dentro de un volumen especificado del modelo sfsmico. EI sfmbolo
d /! 2 es el operador de la derivada anti-causal de medio tiempo, que
corresponde en el dominio de la frecuencia al filtro ,- iOJ . La fun-
ci6n peso w puede ser escogida hasia que el resultado del proceso de
migraci6n sea proporcional al coeficiente de reflexi6n. La funci6n
U (S , t + T D) representa la componente principal del campo de onda
sfsmico prirnario reflejado. EI resultado de la integral (1) es colocado
en el punto M dentro del modelo, dando como resultado 10 que aquf se
denomina migraci6n en profundidad por apilado de difracci6n. En el
caso en que la funci6n peso es la unidad, considerada en este artfculo,
se tiene s610 una imagen cinernatica de un reflector sfsmico.

CURVA DE T1EMPOS DE TRANSITO
En el procesamiento de apilado por difracci6n, el modelo de
macrovelocidad es considerado a priori como conocido. y una curva

57



LUIS ANTONIO CASTILLO LOPEZ

de tiempo de transite de apilado por difracci6n debe ser construida para
cada punto dentro de una grill a del modelo. Para este caso se considera
una situaci6n donde la velocidad en la capa suprayacente esta representa-
da por una funci6n de tipo lineal

v(z)=vo +gz
donde V0 es la velocidad cerca de la superficie de la Tierra, g es el
gradiente de la funci6n velocidad en la direcci6n del eje vertical z, en
profundidad. Esta clase de funci6n de velocidad es la primera aproxima-
ci6n por ser considerada cuando estan siendo estudiadas variaciones re-
gionales de velocidad para muchas rocas sedimentarias (lapsen, 1993).
En tales model os con variacione lineares de velocidad, la trayectoria del
rayo es circular y los tiempos de transite son dados como soluci6n de la
integral (Bleistein, 1986)

En Ja integral (3) ZM es la profundidad del punto M en el subsuelo,
el f3 es el angulo entre el eje vertical z, y la direcci6n de la trayectoria del
rayo en el punto M. La funci6n n( Z) = Vo / v( Z) es el indice de re-
fracci6n. La integral referida tiene una soluci6n analitica, la cual provee
una manera de desarrollar un algoritmo rapido y estable para migrar los
datos sismicos (figura I).

"
t,,~······ ,...... t ; ,········:''-·····1

"
1.,

t,,"······ c c , , : ~

,
:>,~

I: ~~'1~"'{VTlI

Figura I. Curva de tiempos de transite de reflexi6n (linea interrumpida) y la curva de

tiempos de transire par difracci6n (lrnea continua). EI puntoen profundidad coincide con

el punta de reflexi6n real

EJEMPLOS

Para medir la inestabilidad del algoritmo de apilado por difracci6n, ha sido
aplicado a una serie de datos con una configuraci6n disparo cornun. El
modelo sismico (figuras 2 y 4) esta constituido por un reflector curvo deba-
jo de un medio con capas heterogeneas con un medio de gradiente constan-
te de veJocidad, donde la velocidad cerca de la superficie es 2.0 km/s y un
gradiente de 0.9375/s. La posici6n del punto de disparo es 1.0 Ian a la iz-
quierda, mientras el primer receptor esta a 1500 m, y el mas lejano a 4000
rn. La fuente tiene una frecuencia dominante de 75 Hz, y el intervalo de
muestreo es de 4.0 ms. En la figura 2 los datos sfsmicos estan sin ruido, en
tanto que en la figura 41a raz6n sin es I:0.1. En las figura 3 y 5 se tienen los

58

(2)

1.5

3 43.52 2.51.5

1.8
s
0c.
E 1.7"i=

1.6

Configuraci6n y trazado de rayos

2

3L-__ ~ ~ __ ~ __ ~ ~ __ --.J

1 3.5 42 2.5 3
(3)

Figura 2. Parte inferior: modelo y trayectorias de rayos. Parte superior: sismograma

sinterico en un media con gradiente ccnstante de velocidad. (Lineas punteadas indi-

can la zona par migrar)

Imagen de la secci6n sismica migrada en profundldad

25

2 6 .... __ -4+.__ .;.......:. ....... __.. ..........--.:#.;4 ........,
21 2.4 25 26

Offset (Km)
2.7

Figura 3. Imagen de la secci6n migrada en profundidad. Zona migrada xO= 2.0, x t = 2.8

Y zO = 2.0, z 1 = 2.6

datos sismicos migrados en profundidad, despues de aplicar el operador de
apilado por difracci6n para una serie respectiva de datos. Es importante
notar que el algoritmo propuesto provee una buena imagen del reflector, aI
igual que en un ambiente con ruido, y puede ser usado para migrar datos
con un medio de gradiente constante de velocidad.

DESCRIPCION DEL ALGORITMO

EI algoritmo por seguir fue desarrollado e implementado con el fin de
efectuar migraciones para medios con un gradiente constante de veloci-
dad, adem as de recuperar los valores de amplitudes verdaderas. Este
utiliza como para metros de entrada datos referentes a las diferentes
caracteristicas del rayo, por ejemplo, angulo de emergencia, de inci-

GEOF[SICA COLOMBIANA, 5, DICIEMBRE DE 2001



MIGRACI6N MEDIANTE APILADO POR DIFRACCI6N EN MEDIOS CON GRADIENTE CONSTANTE DE VELOCIDAD

Figura 4. Parte inferior: modelo y trayectoria de rayos. Parte superior: sismograma

sinretico (can ruido. SIN; 1:0.1) en un media con gradiente constante de velocidad.

(Lfneas punteadas indican zona por migrar)

dencia, modelo de velocidades, etc. EI algoritmo es presentado en fortran
y utiliza para el modelamiento de trazado de rayos y el sismograma
sintetico el algoritmo seis88, desarrollado por Cerveny y Psensik (1988),
iitil en el modelamiento de sismogramas sinteticos para prospecci6n
sismica.

CONCLUSIONES
En este ensayo se desarroll6 y prob6 el algoritmo de migraci6n por
apilado de difracci6n, siendo aplicado a una serie de datos con confi-
guraci6n disparo cornun, sinteticarnente generado por la teoria de rayo
para un medio con gradiente constante de velocidad. EI algoritmo fue
probado sin ruido y con ruido sobre los datos, proveyendo una buena
imagen de la zona alvo de interes (reflector). Este resultado es muy
importante en el sentido de que el algoritmo es rapido, estable y se
ajusta para ser usado para migraci6n con amplitudes verdaderas.

AGRADECIMIENTOS
Me gustaria agradecer al grupo de sismica del Geophysical Institute,
Charles University, Prague, Czechoslovakia, por permitirme dispo-
ner del software para trazado de rayos "the ray tracing software
SEIS88", y al grupo de geoffsica de Ja Universidad Nacional de Co-
lombia en la cual encuentro gran soporte para la realizaci6n del tra-
bajo como geofisico.

GEOFf SICA COLOMBIANA, 5, DICIEMBRE DE 2001

Imlgen de a secci6n sfsrn ca migrada con ruldo ad clonal en profundidad

2.8 272.2 23 24 25
Offset (Km)

Figura 5. Imagen de la migraci6n preapilado en profundidad (con ruido). Zona alvo xO =

2, x I = 2.8 y zO = 2, z I = 2.6

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
BLEISTEIN, N. 1986: Two-and -one-half dimensional in-plane wave propagation.

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CERVENY,Y, and Psensik, I. 1988: Program for computing ray synthetic seismo-

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ties in Denmark: Implications for Depth Conversion of Maps. The AAPG,
77, n. 2,194-211.

SCHLEICHER,1., TYGEL, M., & HUBRAL, P. 1993: 3-D True-Amplitude Finite-Offset

Migration. Geophysics, 58(8): 1820-1830.
SCHNEIDER,Jr. W. A, RANZlNGER, K. A, BALCH, H. & KUSE, C. 1992: A dynamic

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VIDALE, J. 1988: Finite-difference calculation of the travel times. BSSA, 78(6):

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