Geofisica Colornbiana pp 70-75 Bogota, D.C.N° 6 diciernbre de 2002 ISSN - 0121 - 2974 Modelamiento sismica utilizando teoria de rayos en medios transversalmente lsotroplcos: teoria y ejem p_lo-=-s-=---- _ CARLOS PIEORAHiTA, TA,NO SALINAS Y SAUL GUEVARA' RESUMEN En el presente trabajo hacernos un resumen de las propiedades basicas de un medio rransversalrnente isotropico (TI). Mostra- mos las propiedades basicas delmedio utilizando conceptos de la rnecanica del continuo y las propiedades del trazado de ra- yos en dichos medics. Posteriormente presentamos diferentes rnodelos elementales con un medio TI y el respectivo modelarnienro sismico utilizando el paquete comercial NORSAR2D. Finalmenre considerarnos un modele de un area de inte- res en la exploracion sismica, localizado en la g ografla nacional, que esra siendo evaluada par Ecopetrol, la empresa estatal colornbiana. PALABRAS CLAVE: MEDIOS ANISOTROPICOS, MEDIDS TRANSVERSALMENTE ISDTROPICOS, PARAMETROS DE THOMSEN, TRAZAMIENTD DE RAYDS, METODO DEL FRENTE DE ONDA, ANGULO DE SIMETRiA ABSTRACT In this paper, we show the basic properties of transvcrsal isotropic medium (TI), using the continuous mechanic concepts and .hc way tracing technique. Later, the NORSAR2 software models several responses in Tl models. Finally, we considered the model of an area, that is being evaluated by Ecopctrol. KEYWDRDS: ANISOTROPIC MEDIA, TRANSVERSALY ISOTROPIC MEDIA, THOMSEN'S PARAMETERS, RAY TRACING, WAVE FRONT METHOD, ANGLE OF SYMMETRY INTRODUCCION En el presente articulo presentamos las conceptos basicos de un me- dio anisotr6pico, en particular para un rnedio transversalrnente iso- tr6pico (MTl). Este ultimo tipo de medics tienen aplicaci6n en el modelamiento de regiones que poseen fracturas y en la construe- cion de imagenes en zonas complejas. Este caso se presenta poten- cialrnente en muchas areas de Colombia. TEORIA DE ANISOTROPIA Se presenta una descripci6n de la anisotropia, con base en los ar- ticulos de Thomsen (1986), Y Daley and Hron (1977). Un rnedio elastico anisotr6pico es un medio general donde la propagaci6n depende de la direcci6n. El efecto anisotr6pico se ma- nifiesta en diferentes situaciones; par ejemplo, medias fracturados, minerales anisotr6picos localizados en forma aleataria en las rocas a una serie de capas delgadas (muy finas respecto a la longitud de onda utilizadas) isotr6picas. Ernall: cpiedrah@ecopetrol.com,co, tsalinas@ecupetrol.com,co, sguevar@ecopetrol.com.co, Grupo de Geofisica, Modelarniento del subsuelo, Instituto Colornbiano del Pelroleo, ECOPETROL, 70 Si consideramos un medio elastico lineal general, la ley de Hoo- ke generalizada puede ser escrita como: (1) donde (J ij "" tensor de esfuerzo C ijkl "" tensor de constantes elasticas Eij "" tensor de deformacion Por las condiciones de simetria del esfuerzo y la deformacion, se puede demostrar que el tensor de constantes elasticas po see sirne- trias de forma que C ijkl = Cklij = C ijlk' para todo i, j,k,l (2) Esto genera un total de, a 10 sumo, 36 elasticas diferentes. Par tanto, se puede representar el tensor de constantes ehisticas utilizan- do la lIamada notaci6n de Voigt, la cual consiste en representar pa- res de indices de la siguiente manera 1 I ~ 1,22 ~ 2,33 ~ 3,23 = 32 ~ 4, (3) 13=31~5,12=21~6. GEDFislCA COLOMBIANA, 6, DICIEMBRE DE 2002 MODELAMIENTO SiSMICO UTlLlZANDO TEORiA DE RAYOS EN MEDlOS TRANSVERSALMENTE ISOTROPICOS, TEORiA Y EJEMPLOS De esta forma podemos representar el tensor de constantes elasti- cas como una matriz cuadrada CMN' donde AI, N = 1,2, 3,4, 5, 6. De esta forma la ley de Hooke puede ser escrita como Si ademas suponemos que el solido en consideracion po see una funcion de energia, es decir, C33 (C33 - 2c44) (cJ3 - 2C44) 0 0 0 (C33 - 2C44) C33 (CJ3 - 2C44) 0 0 0 (C33 - 2C44) (C33 -2C44) C33 0 0 0 C =MN 0 0 0 C33 0 0 (6) 0 0 0 0 CD 0 0 0 0 0 0 C33 I I u = 2C ijklEijEkl = 2CMNEMEN' (5) entonces la matriz de constantes elasticas sera simetrica y tendra, a 10 sumo, 6 + 36-6 = 21 constantes diferentes. Este seria el tipo mas 2 general de solido. Este tipo de modelos son demasiado complejos para ser utilizados en la practica, En el modelamiento y el procesa- miento sismico solo se utilizan casos particulares y simplificados del casu generico. MEDIOSISOTROPICOS Los model os elasticos mas simples son los Ilamados isotropicos. Para esta situacion el medio esta caracterizado par una matriz carac- terizada completamente por dos constantes elasticas, Una posible descripcion de un medio isotropico es donde CJJ = A + ~ Y C44 = ~ son las constantes independientes que aparecen en 1a matriz en funcion de los Ilamados pararnetros de Lame. Como es bien conocido en la literatura sismologica, se puede probar que existen dos tipos de soluciones para estas ecuaciones: las Ilamadas ondas Pylas Ilamadas ondas S. En este casu la velocidad de propagacion de los dos tipos de soluciones son iguales en todas las direcciones y son iguales a (7) respectivamente. A estas soluciones se puede Ilegar utilizando la aproxirnacion de la optica geornetrica de orden cera para la solu- cion, 0 sea suponer que (8) GEOFiSIGA COLOMBIANA, 6, OIGIEMBRE DE 2002 (4) donde cil (CII - 2Coo) clJ 0 0 0 (cil - 2C,,) cil CIJ 0 0 0 Cn CIJ CD 0 0 0 C MN = 0 0 0 C44 0 0 (9) 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 Coo A,(x) '" Funcion amplitud L(X) '" Funcion de tiernpo de transite Se debe recordar que estas soluciones son obtenidas suponiendo que se esta trabajando en las altas frecuencias, 0 sea que la longitud de onda es bastante rnenor que los detalles caracteristicos del mo- delo a considerar. MEDIOS TRANSVERSALMENTE ISOTROPICOS (MTI) Un nivel de complejidad mayor en un medio se obtiene cuando consideramos la Ilamada simetria hexagonal 0 medios transversal- mente isotropicos (MTI). En este casu tenemos un eje de sirnetria azimutal respecto a un eje escogido. Esta generalizacion introduce tres (3) constantes adicionales. Para este casu la matriz de coefi- cientes elasticos es igual a donde se considera el eje z el eje de sirnetria, Comparando las ecuaciones 6 y 9, se observa que el casu isotro- pico es un casu degenerado del casu transversal mente isotropico si hacemos los siguientes reemplazos (10) Utilizando esta matriz de coeficientes Ilegamos a la ecuacion de onda para medios transversal mente isotropicos, la cual posee tres tipos de soluciones (Daley and Hron, 1977; Geoltrain, 1988) Ilama- das cuasi-longitudinales qP, cuasi-transversa qSH y cua- si-transversa qSv. Seguirernos denominando estas soluciones sirnplemente como ondas P, SH y SV, respectivamente. Para estos frentes de onda las velocidades de fase cumplen las siguientes for- mulas, analogas ala ecuacion 7: pv;,(e)=H CD +C44 +(CII-C33)sen2 e+ D(e)); pv~v(e)=~[ C33 +C44 +(CII-ClJ)sen2 e-D(e)); PV~fI (e) =C66 sen' e+c44 COS 2 e, (I I) donde p es la densidad, 71 PIEDRAHiTA ET AL. 8 es el angulo entre el frente de onda y el eje vertical (eje de simetria), (12) D(8) = {(C33 - C44)2 + 2 [(C13 + C44)2 - (C33 - C44) (CII + C33 - 2C44) sen' 8] + I + [(CII + C33 - 2C44)2 - 4 (C13 - C44)2] sen" 8}"2 Estas ecuaciones son bastante complejas algebraicamente, como puede observarse en particular en la ecuacion 12. A partir del trabajo de Thomsen (1986) se define la llamada anisotropia debil como un caso especial de anisotropia, de modo que unos pararne- tros dados poseen un valor muy pequefio en este tipo de situaciones. Este autor muestra que este modelo se ajusta a muchos casos que se presentan en las rocas terrestres. Con este fin Thomsen define cinco constantes, tres de ellas adimensionales. Cuando estos pararnetros adimensionales tienden acero, el modelo anisotropico tiende a comportarse como un modelo isotropico: CII -C'J . di . I R I .£=---'-, parametro a ImenSlOna. epresenta e porcentaje 2C33 de diferencia entre la velocidad P horizontal y vertical. y C66 -C44, parametro adimensional. Representa el porcentaje 2C44 de diferencia entre la velocidad de la onda S horizontal y vertical. (Cl' +C44)' -(C, -C44Y8' ", parametro adimensional. Este pa- 2C33 (C33 +C44) rametro no tiene un sentido fisico obvio. ao =~C33/P, velocidad de propagacion de las ondas Pverticales. Po =~C44/P, velocidad de propagacion de las ondas P verticales. Con estos nuevos parametros y haciendo aproximaciones de Taylor de primer orden, las velocidades de fase se simplifican a las siguientes expresiones: ! VP(8)=ao (I+ ': 8cos' 8+ esen' 8), Vsv(8)=~o[l+ ~i(E-8)sen28cos28J VSH(8)=~o (1 + Ysen' 8) (13) TRAZAMIENTO DE RAYOS E.NMEDIOS ANISOTROPICOS Utilizando los pararnetros de Thomsen como entrada a un modelo sismico, podemos trazar rayos en un modelo para medios transver- salmente anisotropicos integrando las ecuaciones del trazado de ra- yos. En este tipo de modelos el trazado de rayos no esta determinado unicamente por los parametres de Thomsen (en caso de anisotropia debil), sino tambien par la orientacion de los ejes de simetria de los materiales. Estos a su vez estan determinados por la orientacion de trenes de fractura, por ejemplo. 72 En este trabajo se utiliza el metodo de construccion del frente de onda a traves del software NORSAR2D2 • EI metodo de construe- cion del frente de onda propaga el campo de onda en forma total, en vez de construir cada rayo en forma individual. EI frente de onda es representado como una malla triangular con un rayo localizado en cada nodo y se utiliza trazamiento dinarnico de rayos para propagar los rayos entre pasos de tiempo sucesivos. EI muestreo espacial del frente de onda se mantiene utilizando interpolacion de nuevos rayos entre los nodos a medida que la distancia entre los rayos y la dife- rencia angular entre sus tangentes excede un criterio (Vinje et al., 1999 y Halladay, 2001). EJEMPLOS SIMPLES DE MODELAMIENTO SISMICO A continuacion se presentan varios ejemplos basicos de modela- miento donde se compara la diferencia que produce la variacion de los parametres de Thomsen en el trazado de rayos, con un modelo isotropico geometricamente equivalente. Este modelo consta de dos reflectores, uno horizontal y otro bu- zante. El objetivo de este experimento es observar las diferencias entre ese mismo modelo cuando los materiales son isotropicos y anisotropicos, En particular, se analiza la anisotropia en dos casos: cuando el angulo de simetria de todos los bloques es 0 grados y cuando el angulo de simetria es +40 grados, respectivamente. Ambos modelos anisotropicos son iguales en los parametres que los definen, excepto en los angulos de simetria de los materiales. En la figura 1se observa las velocidades de la onda P para todos los model os. En las figuras 2 y 3 aparecen las salidas graficas del NORSAR2D, que representan los parametros £ y 8, de los modelos anisotropicos. En las figuras 4, 5 y 6 se observan los disparos para los tres modelos: isotropicos, anisotropico con angulo de simetria de 0 grados y anisotropico con angulo de simetria de +40 grados, !'ilti Gao"",,1ry Proporty PID"" Oflliunl< :2,0... 1:::1 Figura 1. Modelo de velocidades del modelo (ondas P). 2 NORSAR2D es una marca reuisfrada de la empresa NORSAR de Naruega. correo eleciromco: www.norsar.cam. GEOfislCA COLOMB lANA. 6, OICIEMBRE DE 2002 MOOELAMIENTO SiSMICO UTlLlZANDO TEORiA OE RAYOS EN MEOIOS TRANSVERSALMENTE ISOTROPICOS, TEORiA Y EJEMPLOS Figura 2. Parametro epsilon del modelo. Buncl'"/Model Model Plots OptIons O,l,sl:. .. nce <1< .... ) 6.0 8.0 10.0 Th",,","cn P':"'",,'nct",.. Oell'" """"'l""" 0.02~ H.V:~~'Splinc .... 1 Horizont3l -,I~ Figura 3. Pararnetro della del modelo. = II Figura 4. Disparo en el modelo isotropico. Samples Options X (k:m) Figura 5. Disparo del modelo anisotropico, angulo de simetria igual a 0 grados. GEOFiSICA COLOMBIANA. 6, DICIEMBRE DE 2002 respectivamente. En los modelos anisotropicos, el tiempo de tran- sito es menor para un evento dado; adem as la variacion del angulo de simetria produce sismogramas diferentes, como se corrobora en la interseccion de la segunda hiperbola con la linea de tiempo de 4.0 s. Es decir, se intersecan en puntos diferentes. 3amp1es Optlons I'·x (Ion). I 12.0413 I) Tl~):~ Figura 6. Disparo del modelo anisotropico, angulo de simetria igual a +40 grados. Distance {km) 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 0.0 1.0 3.0 ___ 5.0 7.0 P'-ve l ocLt.g (km/s) 3.5 3.6 3.7 3.83.2 3.3 3.4 Figura 7. Modelo de velocidades (ondas Pl. MEJORAMIENTO DE LA IMAGEN SiSMICA: APLICACION EN LA BUSQUEDA DE HIDROCARBUROS A continuacion se presenta un modelo de cierta complejidad geo- 16gica debido a una falla inversa de gran desplazamiento. Esta si- tuaci6n es atractiva desde el punto de vista de petr6leos porque es de gran prospectividad exploratoria. Este rnodelo muestra unida- des de shale con comportamiento anisotropico que por efecto de la falla rotan hasta un angulo de 30 grados sobre capas de menor ve- locidad. Se observa que al considerar erroneamente que el medio anisotr6pico es isotropico, las interfaces tienen un corrimiento la- teral y vertical con respecto a su verdadera posicion. Este tipo de aproximaciones tiene un gran impacto en la cali dad de las image- nes que se obtienen. 73 PIEDRAHiTA ET AL. En seguida se presentan dos modelos anisotropicos con parame- tros de Thomsen iguales a E = 0 = O.l y s = 0 = 0.2, Aniso 1 y Anisoz, respectivamente. En la figura 8 aparecen los angulos de simetria de los bloques, en ambos modelos en la figura 8. Posicion (km) 8 10 12 144 0.5 1.0 ~'.5 o ~20 '"i= 2.5 Distance (kr'l) 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.'')"eg::fT::[?':' -::: 7.{1 3.0 3.5 4.0-'-------------------------.J S!:dmmetr8 AZlS Angle (degrees).- Figura /0. Modelo anisotropico, parametres iguales a epsilon = delta = 0.1. 10,0 15,0 20.0 25.0 Figura 8. Angulos de simetria del modelo para los materiales Tl. Posicion (km) 8 104 12 14 16 En la figura 9 se observa una seccion 20 isotropica. En las figu- ras lOy II se observan las secciones 20 de cad a modelo anisotro- pico, respectivamente. En la figura 12 se compara el modelo isotropico con elmodelo Anisoz. Se confirman menores tiempos de transite 0 velocidades aparentes mayores para el modelo Anisoz. Esto genera las diferencias entre los horizontes en ambos modelos, como se observa en la figura 12. Para elmodelo Aniso I las diferen- cias con el modelo isotropico son menores, 10 cual confirma el sen- tido fisico de los parametres de Thomsen, que al ser mas pequefios produce, una similitud mayor con el modelo isotropico, 0.5 1.0 E15 o ~20 '"i= 2.5 30 3.5 4.0-"--------------------------.J Figura /1. Modelo anisotropico, pararnetros iguales a epsilon = delta ~ 0.2. Posicion (km) 8 10 Posicion (km) 8 10 4 12 14 16 4 12 14 16 4.01-'----------------------_----.J Figura /2. Superposicion de datos sinteticos del modelo isotropico y del modelo ani- sotropico Aniso 2. Se obsrva que estos ultirnos tienen un corrimiento horizontal y vertical.Figura 9. Secci6n ZO de! modelo isotropico. como las presentadas en el piedemonte lIanero colombiano, las cua- les han marcado la pauta en la exploracion en los ultirnos 15 afios, seria de impacto realizar modelamiento y procesamiento teniendo en cuenta efectos anisotropicos en los materiales que componen los modelos sismicos, CONCLUSIONES A partir de los diferentes experimentos computacionales, se con- cluye que la que la no consideracion del fenomeno de anisotropia produce un efecto importante en la localizacion de las estructuras en las imagenes sismicas. Para el caso de estructuras complejas 74 GEOFislCA COLOM8IANA, 6, OICIEMBRE DE 2002 MODELAMIENTO SiSMICO UTILlZANDO TEORiA DE RAYOS EN MEDlOS TRANSVERSALMENTE ISOTHOPICOS, TEORiA Y EJEMPLOS AGRADECIMIENTOS Agradecemos el apoyo del lnstiruto Colombiano del Petr6leo para el apoyo en el estudio de los temas considerados, como tam bien a la empresa NORSAR par Sll apoyo en las dudas encontradas en el rna- nejo del software NORSAR2D. BIBLIOGRAFIA ALKHALIFAH, T. 1996. Seismic Processing in Transversely Isotropic Me- dia. CWP-236. Center for Wave Phenomena, CSM. DALEY, P.F .. and HRON, F. 1977. "Reflection and Transmission Coeffi- cients for Transversely Isotropic Media", Bulletin of the Seismological Society a/America. 67(3): 661-675. DELLINGER, l.A. 1991. Anisotropic Seismic Wave Propagation. SEP-69. Stanford Exploration Project. GEOFislCA COLOMBIANA. 6, DICIEMBRE DE 2002 GEOL TRAIN, S. 1988. Propagation of Elastic Waves in Transversely Iso- tropic Media. CWP-074R. Center for Wave Phenomena. CSM. HALLADA Y, I. ANNE-LOUISE. 200 I. Seismic Modelling of Lateral ramp Structures. Tesis de Maestria. Universidad de Calgary. NEWRtCK, R.T.; LA WTON, D.C., and SPRA rr, D.A. 2000. Velocity Issues in the Colombian Foothills. Research Report. Vol. 6. Fold-Fault Re- search Project. Universidad de Calgary. Alberta y Queen's, Calgary. THOMSEN, L. 1986. "Weak elastic anisotropy. Geophysics, 51: 1954-1966. VINJE, V.; ASTEBOL, K.; IVERSEN, E., and G.lOYSTDAL, H. 1999. "3-D ray modeling by wavefront construction in open models", Geophysics, 64: 1912-1919. WINTERSTEtN, D.F. 1990. Velocity anisotropy terminology for geophysi- cists. Geophysics 55: 1070-1088. 75