Geoflsica Colombiana pp. 35·41 BogotA, D.C.N°.7 diciembre de 2003 ISSN - 0121 - 2974 Estudio y slmulaclon de las deformaciones corticales asociadas a la varlaclon del campo gravitacional, usando redes neuronales artificiales YAaUElINE FIGUEREOO BAEZ RAMIRO DiAl Grupo de Investigaci6n en Geof1sica, Universidad Nacional de Colombia, e-mail: ramdiaz@unal.edu,co RESUMEN Para este trabajo se utilizaron dos estrategias de procesamiento: la computaci6n neuronal y la computaci6n convencional. En la computaci6n convencional, la base rnatematica para la simulaci6n es la teoria mecanica del medio continuo, mediante la cual se obtiene un algoritmo evolutivo en funci6n de la estimaci6n de un tiempo evolutivo, que permite la simulaci6n de mode- los que muestran las deformaciones de la corteza en terminos de variaciones geornetricas, de tal manera que estas deformacio- nes se pueden utilizar para el calculo de las anomalias gravitacional y magnetica a traves del rnetodo de Talwani. La computaci6n neuronal asimila las neuronas biol6gicas como elementos de proceso, que en el problema de inversi6n se asumen como informaci6n gravimetrica e informaci6n magnetica, siendo procesadas en una red neuronal artificial con arquitectura Hopfield y en una red neuronal artificial con estructura cluster. PALABRAS CLAVE: CAMPO GRAVITACIONAL, RED NEURONAL, DEFDRMACI6N, CDRTEZA ABSTRACT This work is development with two strategies of processing: the neural computation and the conventional computation. In the conventional computation the mathematical base for the simulation is the theory mechanic of the continuum medium, by means of which an evolutionary algorithm is obtained in function of the evolutionary time estimated; that allows the simula- tion of models that showing the deformations ofthe crust in terms of geometric variations. These deformations can be used for the calculation of the gravity anomaly and magnetic anomaly through the method ofTalwani. The neural computation assimi- lates the biological neurons as process elements that are assumed as the gravity information and the magnetic information in the inverse problem, being processed in a Neural Network Artificial with architecture Hopfield and in a Neural Network Arti- ficial with structure cluster. KEYWORDS: GRAVITY FIELD, NEURAL NETWORK, STRESS, CRUSTAL INTRODUCCION EI desarrollo matematico en la computacion convencional esta basado en la teoria del medio continuo aplicada a un medio es- pacial homogeneo e isotropico estratificado, con comportamiento viscoso newtoniano, que genera un algoritmo de evolucion (para un sistema no comprimido y para un sistema comprimido horizon- talmente), permitiendo la simulacion de las deformaciones de la corteza, asociadas tanto a la variacion del campo gravitacional como a la variacion del campo magnetico, utilizando para ella el metodo de Talwani. Manuscritorecibidaparaevaluactonel 30 demayode 2003. Articulo aceptado parapubncaclon por el Comttl!Editorialel 30 de oclubrede 2003. GEDFlslCA CDLDMBIANA, 7, DICIEMBRE DE 2003 No obstante, el desarrollo directo del algoritmo evolutivo no se puede asimilar enel problema de inversion, limitandose la evo- lucien a instantes de tiempo, en los que se mide la anomalia gravi- tacional 0 magnetica; por tanto, para acelerar la convergencia y evitar la inestabilidad en el problema de inversion de los datos de gravedad y magnetismo se utiliza el problema inverso probabi- Iistico en la teoria de redes neuronales artificiales (RNA) con ar- quitectura Hopfield y con estructura cluster. 35 FIGUEREDO ET AL. Figura 1. Fucrzas tcctonicas y de flotabilidad en una region de tipo dinamico, DEFORMACIONES CORTICALES CONSIDERANDO LA GRAVEDAD La rnecanica de la deforrnacion en una region de tipo dinamico esta controlada por fuerzas tectonicas y de flotabilidad (Porth, 1998); vease figura I: I. Los esfuerzos compresivos ob: actuan en la frontera de la region y se transmiten al interior, controlados par propiedades reologicas, propiedades rnecanicas de la roca y por el empuje del fluido sobre el que flota (principio de Arquimedes). 2. La fuerza de gravedad Fg: actua sobre las masas (rocosas 0 mag- rnaticas) con el fin de controlar la estabilidad del sistema (0 region), debido a que la suma de los esfuerzos de frontera estaticos y dina- micos igualan la fuerza de graved ad (Hans, 1981). 3. Esfuerzos intemos normales CJy y de cizalla 'xy, debidos al arrastre viscoso y la deformaci6n elastica dentro del sistema. 4. Fuerza de flotabilidad FB: resulta de las diferencias de densidad. Para el estudio de un modelo estratificado (figura 2), las ecua- ciones de velocidad en el caso del movimiento de perturba- ciones sinusoidales en el plano x, y. se plantean a partir del potencial de flujo \f. considerando que cada capa tiene un espesar hi y la longitud de onda de la perturbacion A se mide en la di- reccion x (Hans, 1981). Las velocidades que dan solucion al bilaplaciano del potencial de flujo IjI son: [ A exp(wy)+ Bexp(-wy)] u(x,y) +Cyexp(wy) +Dyexp(-wy) [ A exp(wy)- BeXp(-WY)] v(x,y)= ( IJ+C y+~ exp(-wy) Los coeficientes A, B, C YD se expresan en terminos de las ve- locidades de amplitud en las fronteras superior e inferior de la 36 h,=lD Superficie Iibre Capai .-- ..... < ............ - ..._--------_ ...--_ ...- Interfase i+ 2 Capai+3 l..----------------FronteraRigida -y Figura 2. Sistema de tipo dinamico estratificado donde se observa la relacion de velo- cidades para un flujo bidimensional. capa (Hans, 1981) Y la frecuencia angular w, en donde w=2/'A. y 'A. es la longitud de onda. Las ecuaciones de movimiento de un fluido viscoso que re- flejan el efecto de las fuerzas de presion y de gravedad son (Hans, 1981): (3) en donde EyeS la rata de cambio de la deforrnacion longitu- dinal, I-l es el coeficiente de viscosidad y pes la presion litostatica. 'xy=I-lYxy (4) y es la rata de cambio de la deformacion de cizalla. Bv E =- y By (5) Las ecuaciones de difusion relacionan la presion con las com- ponentes de la velocidad (u, v), I-l, densidad (p) y la gravedad (g). (6) (1) (7) (2) En el caso de un sistema comprimido horizontalmente, las ecuaciones de esfuerzo normal y de cizalla se complementan con el esfuerzo compresivo paralelo a la capa CJb (figura I). Para que el esfuerzo CJb supere la rigidez del medio, se requiere que este alcance un cierto limite que depende de las condiciones elastomecanicas del medio (Hans, 1981). GEOFiSICA COLOMBIANA. 7. DICIEMBRE DE 2003 ESTUDIO Y SIMULACI6N DE LAS DEFORMACIONES CORTICALES ASOCIADAS A LA VARIACI6N DEL CAMPO GRA VITACIONAL, USANDO REDES... E es el modulo de Young y i la relaci6n de Poisson. Las condiciones de continuidad para un modelo estratificado con "n" interfases flexibles y "(n+ I)" capas, son: '11='21 Interfase I crt I= (J21 (9) '22 ='32 Interfase 2 cr22=(J32 'tnn =1(,,+1)n Interfase n an" =o(n+l)n Al solucionar el sistema de ecuaciones (9) en funci6n de la am- plitud de deformaci6n Y se obtiene: Para un sistema no comprimido horizontalmente: <1" exp(k,q/) ~" exp(k2q/ (10) y" Para un sistema comprimido horizontalmente: (II) en" P,-P(i+I) donde q,=---h(i+'jg 2~(i+') (12) k representa los valores propios, cij son los vectores propios y R indica el valor de referencia. Se debe destacar que el sistema de ecuaciones (l0) y (11) permite relacionar la deformaci6n con el tiempo de evoluci6n de la misma; por tanto la variable t se considera como un estimador de evoluci6n, que permitira reconstruir paso a paso el proceso de de- formaci6n. EI acortamiento de la longitud de onda para un sistema com- primido horizontalmente es funci6n de k, c, fl, t, Yo, y se expresa mediante la siguiente relaci6n (Hans, 1981): GEOFlslCA COLOMBIANA, 7, OICIEMBRE DE 2003 (8) (13) (J InlO Donde-t=-- ~ k-~ (14) Simulecion numerics del movimiento de las interfases Una deformaci6n se considera como el cambio de la forma del cuerpo producido por el desplazamiento en sus interfases. La funci6n de potencial de flujo '¥, para un sistema no com- primido horizontalmente, esta en funci6n del potencial de flujo inicial , el valor propio k (relacionado a la longitud de onda domi- nante), la relaci6n de densidades qi y el tiempo de evoluci6n de la deformaci6n t. \jJ= !(a, cos w,x+ bsenwxve?" I~O (15) Mientras que la funci6n potencial de flujo \jJ, para un sistema comprimido horizontalmente, esta en funci6n del potencial de flujo inicial 'F, la relaci6n esfuerzo compresivo-viscosidad (cr,l~r) de la cap a que se selecciona como capa de referencia a partir de la cual se calculan las maximas amplitudes de deformaci6n (relaci6n vectores propios) en las otras capas et) -k~1 \jJ=L(a,cosw,x+b,senw,x)e f', j=O (16) donde a", b", son los coeficientes de la serie discreta de Fourier. ENTRENAMIENTO DE UNA RED HOPFIELD, Y DE UNA RED NEURONAL CLUSTER BASADAS EN LA SOLUCION DEL PROBLEMA INVERSO PROBABILISTICO En el primer caso, se implementa una red neuronal artificial con ar- quitectura Hopfield, estructurada sobre un sistema de entrena- miento supervisado (Figueredo y Diaz, 2002) basado en la formulaci6n probabilistica para la soluci6n del problema inverso no lineal; esto implica un procesamiento iterativo y altemado (red con arquitectura Hopfield) de los dos problemas (para el campo gravitacional y para el campo magnetico), En el segundo caso, se utiliza una arquitectura tipo cluster, basada tambien en el sistema de entrenamiento supervisado con un procesamiento iterativo pero sirnultaneo (procesamiento en paralelo) de los dos problemas. 37 FIGUEREDO ET AL. Formulecion probabilfstica del problema inverso no lineal Solucionar el problema de inversi6n en geofisica, significa deter- minar los parametres m de un modelo que describe un sistema fisico S, a partir de relaciones te6ricas de los valores de los para- metros del modelo con los valores reales observables d (datos) sobre S. Una buena soluci6n depende de la combinaci6n del estado de la informaci6n de los datos, los para metros y las leyes fi- sicas. Por tanto, en este desarrollo estocastico se deben involucrar las incertidumbres de estos tres estados de la informaci6n, asu- miendo una distribuci6n de probabilidad gaussiana (Tarantola, 1987). Los procesos itera ivos siguen una distribuci6n gaussiana, donde cada iteraci6n es un cambio de densidad de probabilidad (Cortijo, 2000). De acuerdo con las consideraciones anteriores, la ecuacion de actualizaci6n es (Mosegaard y Tarantola, 2000): (17) G es la matriz jacobiana CD=E 2 1 CDes la matriz covarianza de los datos. (18) La matriz covarianza de los parametres CM esta definida como: (19) (Menke, 1989). Optimizecion basada en la arquitectura de la red Hopfield La arquitectura Hopfield corresponde a una red neuronal artificial monocapa (figura 3) en la que cada neutona de la red se encuentra conectada a todas las demas (conexiones laterales) pero no consigo misma. Utiliza el entrenamiento no supervisado para desarrollar tare as de optimizaci6n, que representen la evoluci6n de un sistema fisico (Kari, 2002). Optimizecion basada en la estructura de cluster EI uso de la estructura cluster (figura 4), que se caracteriza por su procesamiento paralelo, permite acelerar la convergencia mediante la ponderaci6n de los coeficientes de correlaci6n (en- trenamiento supervisado) entre los datos observados y los calcu- lados para cad a una de las anomalias. 38 Figura 3. Arquitectura de la red Hopfield, w representa los pesos (parametres) en el entrenamiento. x AES :AigQri1lllode entrenarnjeato Supetvis"do Figura 4. Estructura cluster para dos fuentes de informacion (informacion gravi- metrica e informacion rnagnetica). MODELOS NUMERICOS Ejemplo de un sistema no comprimido horizontalmente Con este ejemplo se muestran los resultados obtenidos para un modelo no comprimido horizontalmente, estratificado de tres capas con dos interfases (figura 5). Los resultados obtenidos fueron: • Longitud de onda dominante: A, = 15840 m • Valor propio: k = 2.1048x 10-2 • Amplitud maxima, interfase I: YI = 1512 m • Amplitud maxima, interfase 2: Y2 = 1584 m • Tiempo estimado para alcanzar la estabilidad: t = 47 millones de afios. • Velocidad normal promedio: v = 0.003 em/afro. GEOFislCA COlOMBIANA, 7. DICIEMBRE DE 2003 ESTUDIO Y SIMULACI6N DE LAS DEFORMACIONES CORTICALES ASOCIADAS A LA VARIACI6N DEL CAMPO GRA VIT ACIONAL. USANDO REDEs... Capa 1 Superfeje Libre hi =00 PI=O PI =0___------------~l~ h,=3Km Capa 2 p, =2.6 grjcm' Corteza ,Il, = Ixl O" poises ~--- Capa3 Corteza h, :8Km p$=2.4~jcrnl J.1, '" lxlO2l poises Figura 5. Modelo 1, muestra la distribucion de los parametres fisicos en cada una de las capas. 1*9",";'",·11,',. AD£1AN1£ I AE .... A .... I I...... Figura 6. Simulacion para el modele 1, desarrollada en Visual Basic. En este modelo las variaciones promedio en la anomalia gravi- tacional y magnetica son de 0.00 12 ugals/afio y 0.608 Teslas/afio. Modelo comprimido horizontalmente En este modelo se involueran esfuerzos eompresivos que superan la rigidez del medio, y se ealculan teniendo en cuenta el modulo de Young y la relacion de Poisson (figura 7), que generan un cambio geometrico en las interfases. Los resultados obtenidos fueron: • Longitud de onda dominante: A. = 17360 m • Acortamiento longitud de onda 7,99% • Valor propio: k = 3.803xl 0-2 • Amplitud maxima, interfase I: Yl = 1516 m • Amplitud maxima, interfase 2: Y2 = 1736 m GEOFlslCA COLOMB lANA. 7. OICIEMBRE DE 2003 Capa 1 Superficie Libre hi =a;t Pl=O ].11 =0____...----------------~l_____ h,- 3Km Capa 2 p,.2.6Vlc»J' Corteza P, -I xI0" poi8e8 YOUlJ&. • 5xl011 diDteJ cm~~_---~_m.0.2 Capa3 Corteza h,-IKm ~ ",.'Aer/""" Jl;, -I xl cf' pOise:" y..,o« -SxIO"~Q»' ~SIQQ.·O.'} Figura 7. Modelo 2; muestra la distribucion de los parametres fisicos en cada una las capas. -- .. ·..:.:::iii-........ ft__ -- Arlo.Olalia m~iti~ ·M:itL.'Hlt I ~ ~ Variacjom~:J :'::;;:'M _V~liKio()t':i HN'''.,zo,ntoloer: Figura 8. Simulacion para el modelo 2, desarrollada en Visual Basic. • Tiempo estimado para alcanzar la estabilidad: t = 556000 afios. • Veloeidad normal promedio: v = 0.3 em/ana En este modelo se observa una mayor deformacion, y por tanto una mayor variacion en las anomalias gravitacional y magneticas del orden de 0.4706 igals/afio y 0.0019354 gauss/afio, Desarrollo de un modelo para el problema de inversion En este caso se utilize un modelo de dificil eonvergeneia, de tal manera que el problema inverso probabilistieo ayudado por la red de arquitectura Hopfield y la estruetura cluster ayuda a la conver- genera. 39 FIGUEREDO lIT AL• • I '_ g observede "'.\ 9 calculada "'" T observada ~.91832~ ~.o]31191~ ~~:9~"W;;\',\. ~~ calculada ~iIli'-l Ij""'! 40 .. TAl\ilANIINVERSO ~!!,'31 mg'.! ~~ ~~ / ,/ Figura 9, Resultados obtenidos por la inversi6n con la red de arquitectura Hopfield en la iteraci6n I y 10, GEOFlslCA COLOMBIANA, 7, DICIEMBRE DE 2003 ESTUDIO Y SIMULACI6N DE LAS DEFORMACIONES CORTICALES ASOCIADAS A LA VARIACI6N DEL CAMPO GRA VIT ACIONAL, USANDO REDES... CONCLUSIONES Las conc1usiones que se presentan a continuacion se hacen con res- pecto a tres itemes: el primero se relaciona con la determinacion del algoritmo de evolucion y con respecto al problema de inversion; el -segundo ite~e refiere a la comparacion de estos dos ternas desarro- llados, para por ultimo conc1uir con los modelos numericos. Determinacion del algoritmo de evotucion y problema de inversion • La utilizacion de un modelo mecanico en el medio continuo per- mite el desarrollo de un algoritmo evolutivo que esta en funcion de los valores y los vectores propios. No obstante, este algoritmo evolutivo al ser asimilado en el modele de Talwani permite evi- denciar las variaciones en los campos gravitacional y magnetico, de tal manera que el campo gravitacional y el campo rnagnetico sirven para estudiar la estructura deformada, dado que toda de- formacion involucra un cambio en estos campos. Pero tambien a partir de estos campos se puede determinar la frontera deforma- da; de ahi que se desarrollara el problema inverso probabilistico. • EI problema inverso probabilistico es un programa rnatematica- mente accesible a la informacion a priori en geofisica, de tal ma- nera que el contar con datos, como por ejemplo de pozo, ayuda a garantizar una buena convergencia. Algoritmo de evolucion y problema de inversion en redes neuronales artificiales • Infortunadamente, la metodologia algoritmo evolutivo (proble- ma directo) y el problema de inversion (usando redes neuronales artificiales) no se pudieron trabajar como una metodologia unica en la simulacion, ya que no hay un acoplamiento en la forma de procesamiento y los objetivos por cumplir. EI algoritmo evoluti- vo es un proceso secuencial, mientras que las redes neuronales GEOFislCA COLOMBIANA, 7, DICIEMBRE DE 2003 no asimilan este tipo de procesamiento, siendo mas versatiles en procesos aleatorios que buscan optimizar, c1asificar y reconocer patrones. Modelos numeticos • En el modele I, la variacion del campo de gravedad y el campo magnetico es menor con respecto at modele 2. • Por presentarse las capas de densidad similar, la deformacion en cada una de las interfases es aproximadamente igual. • La optimizacion utilizando la estructura cluster y de arquitectu- ra Hopfield son dos metodologias que permiten una buena con- vergencia, inc1uso para estructuras complicadas. BIBLIOGRAFfA CORTIJO, F. (2000), Lafuncion de densidad de probabilidad normal, Uni- versidad de Granada; Departamento de Ciencias de la Computaci6n e Inteligencia artificial. http://www-etsi2.ugr.es/depar/ccia/rf. FIGUEREDO, Y. Y DiAZ, R. (2002). "Optimizacion en la soluci6n del pro- blema inverso en geofisica usando el algoritmo de entrenamiento Su- pervisado de Levenberg-Marquardt", Geojisica Colombiana, No.6, pp.66-69. HANS, R. (1981). Gravity, deformation and the Earth's Crust, Academic Press Inc. (London) Ltda. KARl, T. (2002). 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