Microsoft Word - 2007 3 4.doc


 

Volume 40 • Autumn 2007 • 87 

 

  

ABSTRACT: The trustees of funded defined benefit pension schemes must make two vital and inter‐
related decisions ‐ setting the asset allocation and the contribution rate. While these decisions are usually 
taken separately, it is argued that they are intimately related and should be taken jointly. The objective of 
funded pension schemes is taken to be the minimization of both the mean and the variance of the contribution 
rate, where the asset allocation decision is designed to achieve this objective. This is done by splitting the 
problem into two main steps. First, the Markowitz mean‐variance model is generalised to include three types 
of pension scheme liabilities (actives, deferreds and pensioners), and this model is used to generate the effi‐
cient set of asset allocations. Second, for each point on the risk‐return efficient set of the asset‐liability portfo‐
lio model, the mathematical model of Haberman (1992) is used to compute the corresponding mean and vari‐
ance of the contribution rate and funding ratio. Since the Haberman model assumes that the discount rate for 
computing the present value of liabilities equals the investment return, it is generalised to avoid this restric‐
tion. This generalisation removes the trade‐off between contribution rate risk and funding ratio risk for a 
fixed spread period. Pension schemes need to choose a spread period, and it is shown how this can be set to 
minimise the variance of the contribution rate. Finally, using the result that the funding ratio follows an 
inverted gamma distribution, shortfall risk and expected tail loss are computed for funding below the mini‐
mum funding requirement, and funding above the taxation limit. This model is then applied to one of the 
largest UK pension schemes ‐ the Universities Superannuation Scheme.  
 

In a funded defined benefit scheme the employer and employees both make contributions to 
a fund which is invested to provide the pension, and any other benefits due under the scheme. The 
benefits received under such schemes are defined in advance, usually as a proportion of the em‐
ployee’s final salary. Many UK companies have recently chosen to close their defined benefit pen‐
sion schemes. In the 5½ years up to February 2003, 63% of UK final salary schemes were closed to 
new entrants, while an additional 9% of schemes were also closed to future accruals (Association 
of Consulting Actuaries, 2003). The reasons given for closure include the introduction of Financial 
Reporting Standard 17, the substantial deficits on final salary schemes (caused by the fall in inter‐
est rates, the major stock market decline after the peak in December 1999, the extended contribu‐
tion holidays and contribution reductions for employers, increases in benefits, the conversion of 
discretionary benefits into non‐discretionary benefits, the use of pension schemes to finance early 
retirement on very favourable terms, and the tax limit on scheme surpluses); the effective move 
from limited price indexation to fully indexed pensions, with the fall in annual increases in RPI to 
below 5% since July 1991; the regulatory burden of administering these schemes; the increased cost 
due to rising life expectancy; the increased size of pension liabilities, relative to the size of the em‐
ployer; the increase in stock market volatility; the risks that such schemes impose on employers 
(e.g. the risk that the fund will be insufficient to pay the pensions, the credit rating of the employer 
may be reduced because of the possibility of pension shortfalls); the abolition of tax relief on divi‐
dends from UK companies  in 1997;  the changes  in actuarial  technique  leading to more volatile 
surpluses; the risk that new legislation or decisions by the law courts will increase the liabilities; 

Joined‐Up Pensions Policy in the UK:  
An Asset‐Liability Model for Simultaneously Determining 

the Asset Allocation and Contribution Rate*
John Board, Charles Sutcliffe, The ICMA Centre, University of Reading 

KEY WORDS: Pension scheme, portfolio theory, asset‐liability 
modelling, contribution rate risk, solvency risk 

JEL: G11, G23 
* previousy published In Handbook of Asset and Liability Management, edited by Stavros A. Zenios and William T. Ziemba, 

(North Holland Handbooks in Finance, Elsevier Science B.V., Volume 2, 2007, pp. 1029‐1067, ISBN‐10: 0‐444‐52802‐4) 

ANALYSIS 



 

2007 ‐ 88  •  Economic Analysis® 

the  lower  priority  given  to  retaining  staff;  the  opportunity  to  establish  defined  contribution 
schemes with a lower cost to the employer, and the much greater portability of defined contribu‐
tion schemes. 

This  paper  develops  an  approach  to  the  simultaneous  analysis  of  two  critical  and  inter‐
related decisions which must be made by any fund’s trustees: the fund’s asset allocation and its 
contribution rate. The model developed  in  this paper  is applicable  to a wide range of pension 
schemes, and is illustrated with reference to a particular very large pension scheme ‐ the Universi‐
ties Superannuation Scheme. 

Some previous authors have used multi‐period stochastic programming (MPSP) to analyse 
the  investment  and  contribution  rate  decisions  of  defined  benefit  pension  schemes,  Bogentoft, 
Romeijn and Uryasev (2001), Dert (1998), Drijver, Klein Haneveld and Van Der Vlerk (2002, 2003), 
Gondzio and Kouwenberg (2001), Hilli, Koivu, Pennanen and Ranne (forthcoming), Kouwenberg 
(1997, 2001) and Mulvey, Simsek and Pauling (2003)1. While MPSP permits the relaxation of many 
of the assumptions required by other methods,  it requires extensive model   building, has  large 
data requirements and, until recently, has been difficult to solve. Dynamic stochastic control the‐
ory was applied to a small Swiss pension scheme by Dondi, Herzog, Schuman & Geering (2006), 
while Rudolf and Ziemba (2004) applied stochastic control theory to a hypothetical US example. 
However, stochastic control theory requires the solution of nonlinear problems, assumes that the 
portfolio is constantly revised, can generate very large short and long positions, and may require 
big changes in asset proportions from period to period, see Ziemba (2003). A third approach that 
has been applied to analyse the investment and contribution rate decisions of defined benefit pen‐
sion schemes is stochastic simulation, Boender (1997), Boender, Van Aalst and Heemskerk (1998), 
Boender and Vos (2000), Boender, Dert and Hoek (2006), Haberman et. al. (2003), Kingsland (1982), 
Mulvey et al. (2005), Mulvey, Gould and Morgan (2000), Mulvey and Thorlacius (1998) and Wright 
(1998). Although simulation models are flexible, they do not generate optimal decisions and re‐
quire considerable effort  to  formulate. However,  they are useful  to check  the validity of more 
complex models. Fourth, Frankfurter and Hill  (1981) developed a multi‐period  linear program‐
ming asset‐liability model which minimizes the present value of the contributions. However,  it 
approximates  the non‐linearity  introduced by risk, does not generate a risk‐return  frontier and 
treats  the  liabilities as certain. Finally, Tepper  (1974) used stochastic dynamic programming  to 
minimize the present value of the contributions, but did not include either asset or liability risk. 

This  paper  proposes  a  different  methodology  based  on  mean‐variance  portfolio  theory, 
which is well understood, has modest data requirements and is both general and simple to apply. 
This makes the methods used  in this paper straightforward to operationalise, while still  jointly 
optimising  the  asset  allocation  and  contribution  rate  decisions.  An  enhanced  portfolio  model, 
which includes the scheme’s liabilities (sub‐divided into active members, deferred pensioners and 
pensioners) as well as its chosen assets, is solved to generate efficient asset allocations. 
For efficient portfolios, a generalisation of the mathematical model of Haberman (1992) is used to 
compute the implied mean and variance of the contribution rate and funding ratio (i.e. the ratio of 
the fund value to its actuarial liabilities). The extension of the Haberman model is critical as we are 
able to relax a major inflexibility of the original model to allow the discount rate used in the actuar‐

                                                 
1 See Ziemba (2003) for an introduction to the application of multi‐period stochastic programming to asset‐liability man‐
agement. Geyer, Herold, Kontriner and Ziemba (2005) developed a multi‐period stochastic programming model for both 
defined benefit and defined contribution schemes, which was applied to the Siemens AG Österreich defined contribution 
scheme. Other papers in related areas include Cariño, et al. (1994), Cariño and Ziemba (1998), Cariño et al. and Ziemba 
(1998). Fabozzi, Focardi and Jonas (2005) survey ed 28 pension schemes in the UK, USA, Netherlands and Switzerland 
with average assets of $16 billion. One third of these schemes used MPSP. 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 89 

 

ial calculations to differ from the expected investment return, and thus to model contribution rates 
in a way which conforms to finance theory. This generalization also removes any trade‐off be‐
tween contribution rate risk and funding ratio risk (for a fixed spread period), as one is simply a 
linear function of the other. It also removes the need to recompute the actuarial valuation of the 
liabilities as the asset allocation changes. We then further enhance the model to allow an investiga‐
tion of the choice of the spread period used to adjust the contribution rate. This mathematical 
model is also used to estimate the distribution of the funding ratio, and to investigate the regula‐
tory and solvency risk implied by the asset allocation and contribution rate decisions.  

Section 1 discusses why the asset allocation and contribution rate decisions must be taken 
jointly. Section 2 presents the portfolio model of the asset‐liability problem, while section 3 shows 
how  the  means  and  variances  of  efficient  asset‐liability  portfolios  can  be  transformed  into  the 
means and variances of the contribution rate and funding ratio. Section 4 sets out the assumptions 
of the Haberman model. Section 5 investigates the issue of choosing the spread period, and section 
6 considers regulatory and solvency risk. Section 7 briefly describes the pension scheme studied ‐ 
the Universities Superannuation Scheme; while section 8 contains the data. Sections 9 and 10 con‐
tain the results for the portfolio model and the transformation of these results into contribution 
rates and funding ratios. Section 11 has the results for the optimal spread period, section 12 con‐
siders the effect of triennial valuations, and section 13 deals with regulatory and solvency risk. 
Section 14 concludes.  

Linkage between the Asset Allocation and the Contribution Rate 

The initial point for the analysis is the calculation of the actuarial liability of the fund. This 
calculation is divided into three parts, the value of the liability in respect of active members (those 
currently  contributing  to  the  fund  before  retirement)  and  those  in  respect  of  non‐contributing 
members (deferred pensioners and pensioners). Equation (1) sets out a very simple calculation of 
the actuarial liability for active members using the projected unit method. 

The projected unit method “is now the natural method to use. ..... We see no strong reason to 
use any other method than the projected unit method for funding large schemes expected to have 
a continuing flow of new entrants”. A survey found “that the majority of actuaries are now using 
the projected unit method”, Thornton and Wilson (1992). FRS 17 requires the use of the projected 
unit method, while it is prescribed by Financial Accounting Statement 87 (Employersʹ Accounting 
for  Pensions)  issued  in  1985  by  the  US  Financial  Accounting  Standards  Board.  (However,  the 
valuation method used for company accounts under FRS 17 could differ from that used in setting 
the contribution rate.) For the projected unit method, “the actuarial liability for active members 
either as at the valuation date or as at the end of the control period is calculated taking into ac‐
count all types of decrement. In such calculations pensionable pay is projected from the relevant 
date up to the assumed date of retirement, date of leaving service or date of death as appropriate.” 
Faculty and Institute of Actuaries (2003).  

This paper uses a simple actuarial model. However, a very wide range of alternative actuar‐
ial models could be used without changing the main conclusions. In a fully specified model, addi‐
tional terms would be included to allow for withdrawals, transfers in and out, deferment, death in 
service, early retirement, ill‐health retirement, the option for a lump sum payment on retirement, 
etc. The formulae are based on Actuarial Education Company (2002).  



 

2007 ‐ 90  •  Economic Analysis® 

 
   (1) 
where  ALA is the actuarial liability for the active members of the scheme, 

P is the average member’s past years of service as at the valuation date,  

S is the average member’s annual salary at the valuation date,  

A is the accrual rate, 

e is the forecast nominal rate of salary growth per annum between the valuation date and retirement, 

h is the nominal discount rate between now and retirement, and is assumed equal to the expected investment return on 
the assets for this period, 

R is the average member’s forecast retirement age, 

G is the average age of the member at the valuation date, 

W is the life expectancy of members at retirement, 

p is the rate of growth of the price level, and 

NA is the current number of active members of the scheme. 

The final term in equation (1) is the capital sum required at time R to purchase an index‐
linked annuity of £1 per year. 

A simple model for the computation of the actuarial liability for pensioners is 

 

 (2) 
where    ALP is the actuarial liability for pensioners, 

  NP is the current number of pensioners, 

  PEN is the average current pension; 

 

and the final term is the capital sum required now to purchase an index‐linked annuity of £1 
per year for the life expectancy, q, of pensioners. Adjustments to this simple model are required for 
dependents’ pensions, death lump sum, etc.  

A similar expression for the liability of deferred pensioners is 

 (3) 
ALD is the actuarial liability for the deferred pensioners of the scheme, 

ND is the current number of deferred pensioners of the scheme, 

SD is the average deferred pensioners’ leaving salary, compounded forwards to the valuation date at the inflation rate 
(p), and 

PD is the average deferred pensioner’s past years of service as at the valuation date. 

 
The total actuarial liability (ALT) is 

ALT = ALA + ALP + ALD  (4) 

which is the sum of the actuarial liabilities for every active member, pensioner and deferred 
pensioner. The precise  form of  the actuarial computations  in equations 1‐3  is  irrelevant  for  the 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 91 

 

model developed below for setting the asset allocation and the contribution rate. 

The trustees must invest the funds to ensure that the scheme is able to meet its liabilities. To 
do this they make the asset allocation decision, which involves setting the proportions of the fund 
invested in different classes of asset. Classes of asset might include domestic equities, foreign equi‐
ties,  domestic  gilts,  domestic  index  linked  gilts,  foreign  bonds,  property,  cash,  private  equity, 
commodities, etc. Because it is generally accepted that asset classes with higher expected returns 
also have higher risks (Dimson, Marsh and Staunton, 2002; Cornell, 1999; Constantinides (2002); 
and Siegel, 2002), the asset allocation has an important effect on both the risk and return of the 
fund. While the selection of specific stocks, bonds or properties may also be important in determin‐
ing the investment performance of the fund, it is not usually possible for the trustees to become 
involved  in  this  level of detail, and so  the asset selection decision  is usually delegated  to fund 
managers. This delegation can be further  justified by the evidence that the main determinant of 
investment performance for UK and US pension funds is asset allocation, rather than asset selec‐
tion (Blake, Lehmann and Timmermann, 1999; Brinson, Hood and Beebower, 1986; Brinson, Singer 
and Beebower, 1991; and Ibbotson and Kaplan, 2000).  

The trustees must also determine the employer’s and employees’ contribution rates. The em‐
ployees’ contribution rate (the percentage of their salary that each employee must pay to the pen‐
sion scheme),  is usually constant. In contrast, the employer’s contribution rate  is set (or recom‐
mended) by the pension scheme’s trustees, and is periodically reappraised. The modified (or rec‐
ommended) contribution rate is equal to the standard (or normal) contribution rate plus or minus 
a contribution rate adjustment to correct for any difference between the actual and target funding 
level of the scheme. The contribution rate adjustment can be computed in a variety of ways. In the 
UK  the commonly used methods are  the spread  (or percentage of pay) method,  the mortgage 
method and the straight line method. The US and Canada use the amortization of losses method. 
Because the employees’ rate is usually constant, any change to the overall contribution rate made 
by the trustees will result in a change to the employer’s rate. Obviously, increasing the contribu‐
tion rate has a direct effect on  the fund’s value, while  increasing employment costs  to  the em‐
ployer.  

Using the projected unit method, the standard contribution rate is defined by the Actuarial 
Education Company (2002) as ʺthe present value of all benefits that will accrue in the year follow‐
ing the valuation date (by reference to service in that year and projected final earnings) divided by 
the present value of all membersʹ earnings in that yearʺ. The standard contribution rate (SCR) is 

 (5) 
where  a1┐ is an annuity to give the present value of earnings by the member over the next year, and 

AE is the administrative expenses of the scheme, expressed as a proportion of the current salaries of the active members. 

 
The asset allocation and contribution rate decisions are interrelated as both affect the level 

and volatility of the contribution rate and the value of the fund. Throughout this paper assets are 
valued using current market prices. Actuaries can use other methods of valuation (e.g. the divi‐
dend discount model) which tend to smooth out variations in the value of the fund and contribu‐
tion rate. But the actuarial profession is adopting market values, and smoothing the value of the 
fund and the contribution rate by ignoring changes in market value is diminishing in importance. 
If the scheme chooses an equity tilt in its asset allocation, in the expectation that this will increase 
returns on the fund, the average contribution rate may be reduced. However, an equity tilt will 
increase the volatility of the fund’s returns. The degree of over or under funding of the scheme will 



 

2007 ‐ 92  •  Economic Analysis® 

also tend to be volatile, and this will increase the volatility of the contribution rate. The extent to 
which the volatility of an equity tilt feeds through to the contribution rate depends on the way in 
which the contribution rate is adjusted. For these reasons, the asset allocation and contribution rate 
strategies need to be considered jointly. Haberman et. al (2003) have also argued that the funding 
and investment strategies of a pension scheme should be considered jointly. In essence, the trus‐
tees choose the level and variance of the contribution rate which they prefer; and this then deter‐
mines the asset allocation. 

A Multi‐Period Portfolio Model of the Asset‐Liability Problem 

When portfolio models are applied to assets, the conventional objective is to maximize the 
return for a given level of risk; or minimize the risk for a given level of return. Previous models of 
pension schemes have used a range of objectives reflecting risk and return. The risk measures used 
include the minimization of the variance of the contribution rate, the variance of fund value, the 
variance of the funding ratio, and solvency risk (defined in a variety of ways). While the aim for an 
asset portfolio is to maximize its returns, the objective of a pension scheme is to minimize its cost. 
Therefore  the “return” measures used by previous studies  include  the minimization of  the ex‐
pected contribution rate, the minimization of the present value of total future contributions, and 
the maximization of expected utility. This study minimizes the contribution rate and its variance. 

Pension schemes have liabilities that may fall due up to sixty years (the life expectancy of a 
young academic) in the future, and so face a multi‐period portfolio problem. Although no general 
solution to the multi‐period portfolio problem exists, it can be solved if some additional assump‐
tions are made. A number of authors including Hakansson (1970, 1971), Mossin (1968) and Camp‐
bell and Viceira (2002, pp. 33‐35) have noted that, if portfolio returns are expected to be stationary 
over time (that is, returns are independently and identically distributed, or i.i.d.) and have a nor‐
mal distribution, the investor’s attitude to risk is wealth independent, and all dividends are imme‐
diately reinvested; then the problem is stationary, and the one‐period solution is also the multi‐
period solution. If some aspect of the problem changes, the model can easily be re‐solved. Since the 
contribution rate is usually fixed for three years, the asset allocation decisions in the second and 
third years are constrained to generate portfolios with risks and returns that are similar to those of 
the initial portfolio chosen in the first year of each triplet. 

The strong assumption of normal i.i.d. returns is widely accepted and generally works rea‐
sonably well (it is, for example, made in the derivation of the Black‐Scholes option pricing model). 
While asset returns can be approximated by a normal distribution, this is less clear for liabilities. If 
the maturity of the scheme is changing over time, the correlation between the scheme’s liabilities 
and the various asset classes will also change. However, since the liabilities will be disaggregated 
into active members, pensioners and deferred pensioners; a change in scheme maturity need not 
change the correlations used in the model. The assumption of wealth independence fits with the 
evidence that the risk premium has not trended up or down over the last century as society has 
become much richer, and with the fact that pension schemes are organisations with an infinite life 
that do not  themselves consume goods and services. Black  (1995) refers  to pension schemes as 
“conduits”. Finally, the immediate re‐investment of all dividends is common practice. Therefore, 
while the assumptions underlying myopia and the use of a one‐period model are simplifications, 
they appear to offer a reasonable approximation to reality.  

Pension schemes have  liabilities to present and future pensioners, and the purpose of the 
pension fund is to meet these liabilities. To allow for liability risks, the portfolio model used to 
determine the asset allocation is modified by the inclusion of scheme liabilities (Sharpe and Tint, 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 93 

 

1990; Sharpe, 1990; Ezra, 1991)2. Instead of viewing the pension scheme as a separate entity, it can 
be treated as an integral part of the employer. In which case the portfolio problem includes not 
only the assets and liabilities of the pension scheme, but also the assets and liabilities of the em‐
ployer (Bagehot, 1972). Chun, Chiochetti and Shilling (2000) and Craft (2001, 2005) have applied 
the Sharpe‐Tint model to US corporate pension funds. The returns on shares in some employers 
may be highly correlated with those of a particular industrial sector. In which case the portfolio 
allocation decision of the fund should make allowance for this situation. However the very large 
public sector pension scheme studied below (USS) has no such problems, and so this feature is not 
incorporated into the model. 

Since the value of the liabilities  is assumed to be unaffected by the asset allocation of the 
fund, the portfolio problem can be stated in terms of the mean and variance of returns on the fund; 
but with the addition of a term for the covariances of returns on each asset class with the liabilities. 
There is no explicit consideration of matching the duration of the assets and liabilities. However, if 
assets with a range of durations are included, the portfolio model implicitly takes duration match‐
ing into account. 

The model of Sharpe and Tint (1990) is extended by disaggregating pension fund liabilities 
into three components (active members, deferred pensioners and pensioners), where each of these 
components has different correlations with the various asset classes. Pensions in payment can take 
the form of a fully index‐linked annuity when pension increases are linked to the retail price index 
(RPI), while deferred pensions are usually based on final salary, indexed to the retirement date for 
subsequent increases in the RPI. Index‐linked gilts are likely to represent a good match for such 
liabilities. Full price indexation and an absence of deflation is assumed so that there are no limited 
price indexation complications.  

The size of the pension that will be received by active members depends on their final sala‐
ries; and other asset classes are likely to provide a better match for this salary risk than UK gov‐
ernment bonds (gilts). The model assumes, as does Haberman’s (1992) model, which is discussed 
below,  that  the  growth  rates  of  total  benefits  and  total  contributions  are  non‐stochastic.  If  the 
growth rates of total benefits and contributions are stochastic, the variances of the portfolios pro‐
duced by the Sharpe and Tint model must be expanded to include the correlations between wages 
and the assets, and between benefits and the assets, see Yang (2003). 

The expanded portfolio model, including different types of liability, is 

 

   (6a‐6e) 
 
                                                 
2 Waring (2004) deflated by the liabilities, rather than the assets; and expressed the risk and return of the asset‐liability 
portfolio in terms of the alphas and betas of the capital asset pricing model. Nijman & Swinkels (2003) applied the 
Sharpe‐Tint model, but with the simplification that the importance of the liabilities (k) equals the initial funding ratio. 



 

2007 ‐ 94  •  Economic Analysis® 

where: 

Val is the variance of the asset‐liability portfolio, 

i and j represent asset or liability classes, 

N is the number of assets and B the number of liabilities, 

Vij are covariances of returns between asset or liability classes i and j, 

Ei and Ea are the expected arithmetic returns on asset or liability class i and the chosen asset portfolio respectively,  

wi are the initial portfolio proportions of the B types of scheme liability, which are assumed fixed. Thus, for three types of 
liability, w1 = −L01/A0, w2 = −L02/A0 and w3 = −L03/A0, where L01 represents the current liability to active members, L02 is the 
current liability to deferred pensioners, L03 represents the current liability of pensions in payment, and A0 is the current 
value of the fund’s assets, and 

xi are the investment proportions in each of the N+B asset or liability classes.  
 

An efficient frontier can be constructed by repeatedly solving this quadratic programming 
problem for a range of required expected returns on the portfolio of assets held, Ea. Short selling is 
excluded by (6d) because pension schemes choose not to engage in this activity. The exclusion of 
short selling (and of borrowing money) has important implications for the optimal asset allocation 
(Sutcliffe, 2005). Because the liability proportions are fixed, the returns on the liabilities and the 
covariances between returns on different liabilities play no part in determining the asset propor‐
tions of the efficient frontier. The returns on the liabilities are the proportionate changes in value of 
the  liabilities during  the period. Liability returns may be due  to changes  in accrued years,  the 
number of members and pensioners, the level of salaries and the RPI, variations from the actuary’s 
demographic assumptions, and, most importantly, changes in the discount rate. 

A  continuous  time  model  for  the  asset  allocation  decision  of  defined  benefit  pension 
schemes, based on the Sharpe & Tint (1990) model and Merton (1992), was derived by Rudolf & 
Ziemba (2004). Their model has four‐fund separation, with  investors determining  their optimal 
weights across these four funds. The objective is to maximize the intertemporal scheme surplus, 
and Rudolf & Ziemba show that the proportion of the scheme’s assets invested in securities pro‐
viding a hedge for its liabilities should be equal to a constant (which is a linear function of the asset 
and liability covariances), divided by the funding ratio. Therefore, the proportion of the fund in‐
vested in assets hedging the liabilities is independent of preferences; and becomes lower as the 
funding ratio rises. 

Transformation of the Portfolio Returns to Contribution Rates and Funding Ratios 

MacBeth,  Emanuel  and  Heatter  (1994)  report  than  trustees  find  it  much  easier  to  make 
judgements about contribution rates and funding ratios than about return distributions. Since the 
asset allocation decision should be taken simultaneously with the contribution rate decision, it is 
helpful to respecify the objective from a mean‐variance analysis of returns to using the mean and 
variance of the contribution rate and funding ratio as the criteria. Haberman (1997a) observes that 
there is a difference between the variance of the present value of all future contributions, and the 
long‐run variance of contribution rates. The usual choice, which is followed in this paper, is the 
long‐run variance of contribution rates. 

Beginning with the work of Dufresne (1986, 1988, 1989, 1990a, 1990b), mathematical expres‐
sions have been derived for the first two moments of the contribution rate and the funding ratio. 
These models provide formulae for the mean and variance of the total value of contributions and 
the total value of the fund. However, if ALT and Q (the total value of annual salaries currently paid 
to active members) are fixed, it is more convenient to work with the mean and variance of the con‐
tribution rate and the funding ratio. A series of papers have developed and elaborated this ap‐



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 95 

 

proach: Bédard (1999), Booth, Chadburn, Cooper, Haberman & James (1999), Cairns (1995, 1996a, 
2000), Cairns and Parker (1997), Chang and Chen (2002), Gerrard and Haberman (1996), Haberman 
(1990b, 1992, 1993a, 1993b, 1994a, 1994b, 1995, 1997a, 1997b, 1998), Haberman, Butt and Megaloudi 
(2000), Haberman and Dufresne  (1991), Haberman and Owadally  (2001), Haberman and Wong 
(1997),  Mandl  and  Mazurová  (1996),  Owadally  and  Haberman  (1999,  2000)  and  Zimbidis  and 
Haberman (1993).  

Some studies have used stochastic control theory to investigate the effects of allowing the as‐
set proportions in the risky and riskless assets to be altered over time according to some assumed 
rule (Boulier, Trussant and Florens, 1995, Boulier, Michel and Wisnia, 1996, Cairns, 1996b, 1997, 
Bédard and Dufresne, 2001, Josa‐Fombellida and Rincón‐Zapatero, 2001, and Rudolf and Ziemba, 
2004). This usually involves modelling a hypothetical pension scheme with two classes of asset, 
one risky and one risk‐free, and a riskless liability; to derive expressions for the mean and variance 
of both the value of contributions and the value of the fund for combinations of the following as‐
pects of the problem: 

o Spread period –  the use of  the spread method or  the amortization of  losses method 
when setting the number of years over which the over or under‐funding of the scheme 
is to be eliminated. 

o Returns distribution – the assumption of i.i.d. returns, first or second order autoregres‐
sive returns, or first order or second order moving average returns on the investments 
of the scheme.  

o Funding method – the use of individual or aggregate funding methods by the actuary 
when valuing the liabilities of the scheme and setting the standard contribution rate. 

o Lagged adjustments – the presence of a lag of zero, one or more years in revising the 
contribution rate. 

o Valuation timing – annual or triennial actuarial valuations of the scheme. 
 

Many different funding methods have been developed to compute the contribution rate and 
funding ratio, among them are the attained age, entry age, projected unit and current unit meth‐
ods. The choice of funding method affects the level and stability of the contribution rate. For ex‐
ample, the entry age method produces a stable contribution rate over the life of each member, and 
if the distribution of entry ages and sexes remains equal to those assumed, the contribution rate for 
the scheme is constant over time. Similarly, if the forecast return on investments exceeds the fore‐
cast rate of salary growth, then the contribution rate generated by the projected unit method is a 
positive linear function of the member’s age. If the age, sex and salary distribution of members 
remains constant, this method also produces a stable contribution rate for the scheme. 

The model which is closest to the circumstances of many large UK pension schemes is that of 
Haberman (1992). Among this model’s assumptions are that the scheme uses the spread method 
for adjusting the contribution rate. The spread and the amortization of losses methods have been 
compared by Cairns (1995, 1996a), Haberman (1998), Haberman and Owadally (2001) and Owa‐
dally  and  Haberman  (1999,  2000).  The  minimum  variance  of  the  contribution  rate  that  can  be 
achieved  using  the  spread  method  is  below  that  achievable  using  the  amortization  of  losses 
method. In addition, for a given variance of the funding ratio, the corresponding variance of the 
contribution rate is lower for the spread method. Therefore, the spread method is preferable on the 
grounds of giving lower variances for both the contribution rate and the funding ratio.  

It is also assumed that the valuation, or discount, rate is certain and equal to the expected 
rate of return on investments. The use of the return on the assets as the discount rate is permitted 



 

2007 ‐ 96  •  Economic Analysis® 

by SSAP 24 (ASB, 1988), and has been in widespread use by actuaries for many years. Recently 
other discount rates have been suggested  ‐  long term bond yields, bond yields plus a risk pre‐
mium, and returns on a portfolio that replicates the liabilities, Faculty and Institute of Actuaries 
(2003) and Exley, Mehta and Smith  (1997). FRS 17  (ASB, 2000) proposes  that  the return on  the 
matching portfolio be proxied by the return on AA grade corporate bonds. If the return on the as‐
sets is higher than these alternatives, its use as the discount rate reduces the actuarial liability and 
the  expected  contribution  rate.  Therefore  the  contribution  rates  given  by  the  Haberman  (1992) 
model are usually lower than those produced by a model using the return on a liability matching 
portfolio as the discount rate. 

Additional assumptions are  that returns are  i.i.d., an  individual funding method (e.g.  the 
projected unit method) is in use, actuarial valuations are annual, there is a lag of one year in ad‐
justing  the  contribution  rate  after  each  actuarial  valuation,  there  are  no  benefit  improvements 
(other than full price indexation), the target funding ratio is 100%, the demographic assumptions 
of the actuary are realized, scheme membership is stationary in size and structure and the rate of 
salary growth is constant and certain. The model shows that, in these circumstances, the actuarial 
liability and the standard contribution rate are constant over time, and the average funding ratio is 
100%. 

Although  the  Haberman  (1992)  model  assumes  that  the  size  of  the  scheme  is  constant, 
scheme growth need not affect the standard contribution rate computed using the projected unit 
method  if  the  age,  sex  and  salary  distribution  of  members  remains  unchanged.  To  allow  for 
growth in salaries and benefits, the Haberman (1992) model uses the deflated investment return 
(va) 

 (7) 
where the rate of salary growth between now and retirement is assumed to increase at the same rate as benefits. To en‐
sure stationarity, Haberman also assumes that e = p, and that there is no promotional scale. These restrictions are not 
imposed on the actuarial models in equations 1 to 5.  

 

If expected returns are to be deflated by earnings growth, it follows that the variance of the 
asset‐liability portfolio should also be deflated, and so σ2al is 

 (8) 

Relaxing the Assumptions of the Haberman (1992) Model 

The  most  restrictive  assumption  of  the  Haberman  (1992)  model  is  that  the  discount  rate 
equals the rate of return on investments. This assumption, which is also widely used in other actu‐
arial models of pension schemes, has  the strange consequence  that, by  investing  in a high‐risk 
high‐return portfolio of assets, the liabilities of the scheme get smaller. To avoid making this unde‐
sirable assumption, we generalise the Haberman model to allow the discount rate to differ from 
the investment return. Full details of the generalisation are available from the authors, but it fol‐
lows the similar generalisation of the Dufresne (1988) model presented by Cairns (1995, 1996a). As 
well as improving the economic realism of the model, this generalisation greatly simplifies its em‐
pirical application. This is because the actuarial liability is unaffected by the asset allocation deci‐
sion, obviating the need to re‐compute the actuarial liability for every asset allocation with a dif‐
ferent rate of return. When the investment rate of return is used to estimate h (as in Haberman, 
1992) the actuarial liabilities change as the asset allocation changes, and the actuarial formulae for 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 97 

 

the computation of the liabilities are necessary to operationalise this model. However, if the rate of 
return on a portfolio that matches the liabilities is used to estimate h (as in the generalised Haber‐
man model), the return on the matching portfolio is invariant with respect to changes in the asset 
allocation, and the values of the actuarial liabilities are constant. In which case, the actuarial valua‐
tion of  the  liabilities  is simply a  fixed  input number  to  the model. The generalized Haberman 
model also drops the requirement that the funding ratio be 100%. 

The models of Haberman et al assume that the liabilities are riskless. This implies there is no 
discount rate risk; and that the actuarial demographic assumptions such as longevity, withdrawals 
and early retirement are satisfied. The discount rate for liabilities in this paper is the riskless rate. 
However, when computing investment risk, the asset variance is replaced by the variance of the 
asset‐liability portfolio. Since the portfolio model allows the liabilities to be risky, both discount 
rate risk and actuarial demographic risks are indirectly incorporated into the model.  

The  Haberman  (1992)  model  assumes  that  actuarial  valuations  are  annual,  while  most 
schemes have triennial valuations. As a result, the model tends to understate the true variance of 
the contribution rate and funding ratio. Triennial valuation could have been allowed for using the 
model of Haberman (1993b), but at the expense of assuming that the contribution rate was ad‐
justed instantly on the date of the actuarial valuation. Cairns (1996a) concludes that a one year lag 
in adjusting the contribution rate has a much bigger effect on the variance of the contribution rate 
than does allowance for triennial valuations. We investigate the size of this effect by comparing the 
mean and variance of the contribution rate and funding ratio using the model of Dufresne (1988), 
which assumes annual valuations and instant revision of the contribution rate, with those obtained 
using the model of Haberman (1993b), which assumes instant revision of the contribution rate, but 
triennial valuations. Details of these models appear in the appendix.  

The Haberman model does not  incorporate benefit  improvements which may be granted 
when the funding ratio becomes strongly favourable, nor does it include any defaults which may 
occur when the funding ratio becomes very unfavourable. This is because the inclusion of such 
effects would considerably complicate the model. 

While the Haberman model could be applied to determine the asset allocation of the pension 
schemes of companies, there are tax arbitrage arguments for such schemes simply selecting the 
asset allocation which minimises the risk of the asset‐liability portfolio (Ralfe, 2001; Ralfe, Speed 
and Palin, 2003; Sutcliffe, 2005). If these arguments are accepted, the Haberman model only applies 
to pension schemes whose employer does not pay tax. Among examples of such schemes in the 
UK are those run by local authorities, the British Broadcasting Corporation, the Universities Su‐
perannuation  Scheme,  the  Church  Commissioners,  the  Financial  Services  Authority,  the  Civil 
Aviation Authority, London Transport, British Coal, the Post Office and the Merchant Navy. 

The following equations give the first two moments of contributions and the value of the 
fund for a given investment return and variance of asset‐liability returns under the projected unit 
method using both the Haberman (1992) model and its generalised version, denoted respectively 
by the subscripts H and G. The expected value of the fund (F) is 
 
E[F]H = ALT  (9H) 
E[F]G = gALT  (9G) 

  (10) 
   



 

2007 ‐ 98  •  Economic Analysis® 

  (11) 
  where d’ is the discount rate for liabilities   

  (12) 
i.e. k is the reciprocal of a compound interest rate annuity with a life of M years calculated at the rate d. 

 
The expected modified level of contributions (C) is equal to the standard level of contribu‐

tions (SC, where SC = SCR×Q, where Q is the total value of annual salaries currently paid to active 
members) plus an additional term in the case of the generalised model 
 

E[C]H = SC  (13H) 

E[C]G = SC + kALA(1−g).  (13G) 
 

When g > 1, the term kALA(1−g) becomes negative, and if |kALA(1−g)| > SC, E[C] becomes 
negative, and expected contributions are negative. A negative contribution rate is only possible if 
permitted by the scheme rules and sanctioned by the trustees; and a contribution holiday, i.e. E[C] 
= 0,  is much more  likely. The use of a contribution holiday, rather than negative contributions, 
means that the funding level of the scheme will tend to grow over time, and this conflicts with the 
assumption of  the Haberman model  that  the scheme  is  in  long run equilibrium. Therefore,  the 
generalised Haberman model excludes situations where E[C]G < 0. 

The corresponding variances of F and C are 
 
Var[F]H = ALT2b  (14H) 
Var[F]G = ALT2bg2  (14G) 
Var[C]H = ALA2k2b  (15H) 
Var[C]G = ALA2k2bg2  (15G) 

where     (16) 
u = (1+va), and σ2 is the variance of va.  

 
These equations give the first two moments of the total levels of the value of the fund and 

annual contributions to the scheme. The equivalent numbers for the funding ratio (FR) and the 
contribution rate (CR) for the Haberman (1992) and the generalised Haberman models are 

E[FR]H = 1  (17H) 

E[FR]G = E[F]G/ALT = g  (17G) 

E[CR]H = SC/Q  (18H) 

E[CR]G = E[C]G/Q  (18G) 

 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 99 

 

Var[FR]H = b  (19H) 

Var[FR]G = bg2   (19G) 

Var[CR]H = Var[C]H/Q2  (20H)3 

Var[CR]G = Var[C]G/Q2.  (20G) 
 

It can be seen from equations (15), (19) and (20) that, for both the Haberman (1992) and the 
generalised Haberman models, the variance of the contribution rate is equal to the variance of the 
funding ratio multiplied by ALA2k2/Q2. For the Haberman (1992) model, ALA varies as the invest‐
ment return varies, and so the relationship between Var[CR] and Var[FR] is non‐linear. However, 
for the generalised Haberman model, ALA is computed using a fixed discount rate, resulting in a 
constant proportional relationship between Var[CR] and Var[FR], i.e. ALA2k2/Q2. Therefore, for the 
generalised Haberman model with a  fixed spread period  (but not  the Haberman, 1992, model) 
there is no trade‐off between contribution rate risk and funding ratio risk. 

In these equations, the values of va and σ2 relate to a particular efficient portfolio generated 
by the quadratic programming model, ALT, ALA, Q and SC are the result of actuarial calculations, d 
is the deflated discount rate, and M is a policy variable. 

The Choice of the Spread Period 

Although UK accounting rules require M, the number of years used in the spread method to 
be equal to the average future working life of the membership, actuaries are free to choose M. A 
number of researchers have examined the choice of M for computing the contribution rate adjust‐
ment: Bédard (1999), Booth, Chadburn, Cooper, Haberman & James (1999), Cairns (1995, 1996a), 
Cairns and Parker (1997), Chang and Chen (2002), Dufresne (1986, 1988, 1989, 1990b), Haberman 
(1990a,  1993b,  1994a,  1994b,  1995,  1997a,  1997b,  1998),  Haberman,  Butt  and  Megaloudi  (2000), 
Haberman and Dufresne (1991), Haberman and Wong (1997) and Owadally and Haberman (1999, 
2000). Their models reveal that, as the spread period is lengthened, the variance of the contribution 
rate first decreases, but then, after a critical value of M, denoted M*, begins to increase. In contrast, 
because they use the return on investments as the discount rate, the variance of the funding ratio 
increases monotonically with M. 

For Haberman (1992) the optimal spread period M*H is 

 

M*H = −log(1−va/[(1+va)kH]) / log(1+va) for va > 0  (21H) 

where kH = [−(2−y)+(y(5y−4))0.5] / 2u(1+y).   (22H) 

 

Similarly, the optimal spread period for the generalised Haberman model, M*G, is 

 
  (21G) 
where kG is one of the solutions to the quintic equation 

 
                                                 
3When making this adjustment for the Haberman (1993b) model Q is increased to 3Q because this model deals with three year 
periods. 



 

2007 ‐ 100  •  Economic Analysis® 

kG5(vay−dy)u2  + kG4(2y{va−d}/u+y+va+d+vay+dy+dva+dvay+1)u2 +  

kG3(2+y{va−d}/u−2uva+2va+2d−y−2udva−vay +2dva−dvay+2udvay−dy−2uvay)u + 

kG2(1−4udva+uvay+dyu−vay+dva−dy−4uva−y+va+d−dvay+u2dva+2dvayu+u2dvay)   +  

2kG(y−d+ud+dy−dyu/2−1)va +dva(1−y)  =  0  (22G) 
where  y = (1+va)2+σ2.  

 
For regulatory and solvency reasons, the scheme may also be concerned about the variance 

of the funding ratio, which is a positive function of M, so that the more slowly any over or under‐
funding is eliminated, the higher will be the variance of the funding ratio.  

Equations (21) and (22) reveal that M* decreases as higher risk and higher return asset port‐
folios are chosen, and so a one‐size‐fits‐all policy of determining the spread period separately from 
the fund’s investment decision is inappropriate. The spread period used in adjusting the contribu‐
tion rate is endogenous and should be selected in the light of the risk and return on the chosen 
portfolio. In the Haberman (1992) model, M is the only available contribution rate policy variable. 
However,  in reality contribution rate policy can be more complex  than always eliminating any 
over or under  funding. While  there  is a  linear relationship between contribution rate risk and 
funding ratio risk for the generalized Haberman model with a fixed spread period, this ceases to 
be the case when the spread period is endogenous.  

Regulatory and Solvency Risk  

Although the discussion in this section is couched in terms of UK legislation, the arguments 
are  general  and  will  apply  in  most  regulatory  environments.  UK  legislation  places  upper  and 
lower  limits on  the funding ratio of pension schemes. Under  the Pensions Act 19954, a scheme 
which  is  less than 90% funded on the minimum funding requirement, MFR, basis, must be re‐
turned to 90% funding within three years, and to 100% funding within ten years. Under the Fi‐
nance Act 1986, Schedule 13, Part 2, schemes which are more that 105% funded, on the prescribed 
valuation  basis5,  must  be  reduced  to  below  105%  over  the  next  five  years6.  The  likelihood  of 
breaching these requirements must, therefore, be considered when making the asset allocation and 
contribution rate decisions. 

Value at risk (VaR) is a popular risk measure for financial institutions. It gives the estimated 
maximum loss that can occur over a stated time horizon for a chosen probability, λ; and so the 
probability  that  the actual  loss exceeds  the specified VaR  is  (1−λ), which  is called  the shortfall 
probability  (SP). However, although VaR  is useful,  it suffers from some serious  theoretical and 
applied difficulties. For example,  it does not satisfy  the coherency axioms of Artzner, Delbaen, 
Eber, and Heath (1999). Some of these difficulties are overcome by using the expected tail loss, 
ETL, to quantify the effects of breaching the solvency and regulatory constraints. The ETL is also 
known as the conditional value at risk (CVaR), the mean shortfall, the mean excess loss or tail VaR. 
The ETL has been applied to pension schemes by Bogentoft, Romeijn and Uryasev (2001); while 
there  is also a  literature on the use of shortfall risk  in the context of pension schemes (see Lei‐

                                                 
4 The rules are specified in the Occupational Pension Schemes (Minimum Funding Requirement and Actuarial Valua‐
tions) Regulations 1996; as amended by the Occupational Pension Schemes (Minimum Funding Requirement and Mis‐
cellaneous Amendments) Regulations 2002. 
5 The valuation basis is specified in the Pension Scheme Surpluses (Valuation) Regulations 1987, Statutory Instrument no. 
412. 
6 This upper limit will shortly be abolished, as will the MFR. 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 101 

 

bowitz, Bader and Kogelman, 1996 and Haberman et. al., 2003)7. 

The ETL computes the expected size of any breach of the funding requirements which ex‐
ceeds the specified VaR. In the present context, two VaR values, representing the regulatory restric‐
tions on the maximum and minimum funding ratio, are of interest. Breaches of the upper regula‐
tory constraint can be analysed in the same way as breaches of the lower constraint, except that 
breaches are greater, rather than smaller than the specified VaR. While the VaR is defined as a loss, 
it is convenient in the present circumstances to treat the VaR as a specified funding ratio, rather 
than a deviation from the specified upper or lower bound. Such ETLs have been termed condi‐
tional tail expectations. As well as the ETLs, the probability of a particular funding ratio breaching 
each of the regulatory limits (i.e.(1−λ), the shortfall probability, SP) is also computed. 

The computation of the ETLs and SPs requires a knowledge of the probability distribution of 
the funding ratio, and this probability distribution has been studied by Dufresne (1990b), Cairns 
(1995, 1996b, 1997, 2000) and Cairns and Parker (1997). Cairns (1995) concludes that, in discrete 
time, the inverted gamma distribution (also known as the reciprocal or inverse gamma distribu‐
tion, and the Pearson Type V distribution), provides a very good approximation to the distribution 
of the fund value in a wide variety of cases, and so this distribution is used to compute cumulative 
probabilities for the funding ratio. Using the results in Evans, Hastings & Peacock (1993) and John‐
son, Kotz & Balakrishnan (1994), it can be shown that the reciprocal of the funding ratio has a two 
parameter gamma distribution with parameters α (shape) and β (scale), where 

E[FR] = 1/β(α−1)   (23) 

Var(FR) = 1/[β2(α−1)2(α−2).  (24) 

From this, the two parameters of the gamma (and inverted gamma) distribution can be ob‐
tained from the mean and variance of the funding ratio of the generalised Haberman model 

α = {(E[FR])2 / Var(FR)}   +  2  (25) 

β = Var(FR) / {E[FR][(E[FR])2+Var(FR)]}   (26) 

The probability density function (PDF) of the inverted gamma distribution of t is equal to 1/t2 
times the PDF of the gamma distribution of 1/t. The probability density function for the inverted 
two parameter gamma distribution for the variable t is:  

p(t) = t−(α+1)e−1/tβ / βαΓ(α),   where α > 0 and β > 0   (27) 

where the term Γ(α) is the gamma function which acts as an adjustment factor to ensure that 
the probabilities sum to one. The SP and the ETL for over‐funding are computed by integrating the 
probability density function from zero to the chosen value of 1/t; while the corresponding figure 
for an under‐funding involves integration from the chosen value of 1/t to infinity. The cumulative 
density function (CDF) of the inverted gamma distribution of t (i.e. Inverted CDF(t, α, β)) is equal 
to one minus the CDF for the gamma distribution of 1/t (i.e. 1−CDF(1/t, α, β)). 

The ETLs can be approximated to any degree of accuracy by computing the average of the 
VaR values throughout the tail (i.e. for all losses greater than the specified VaR). Let λ represent the 
chosen probability for the specified VaR, and divide the tail beyond this VaR into φ parts. Let λi = λ 
+ i(1−λ)/φ where i = 0 ... (φ−1), and then, for each value of λi, the cumulative inverted gamma dis‐
tribution is used to find the corresponding value of the funding ratio. The ETL is then the equally 

                                                 
7 For stochastic programming models, Kusy & Ziemba (1986), Cariño et. al. (1994), Cariño & Ziemba (1998) and Cariño, 
Myers & Ziemba (1998) proposed the use of a convex tail risk measure which leads to a concave utility function that can 
be modelled using a piecewise linear approximation. This convexity means that shortfalls from target levels are penal‐
ized more and more as the shortfall increases. 
 



 

2007 ‐ 102  •  Economic Analysis® 

weighted arithmetic average of these funding ratios. Thus 

  (28) 

where VaR(λi) is the VaR corresponding to a probability of λi. The accuracy of this method is 
reported to be reasonably good for values of φ > 50 (Dowd, 2002). 

Description of the Universities Superannuation Scheme  

The asset‐liability model described above was applied to  the Universities Superannuation 
Scheme (USS). USS was created in 1974 as the main pension scheme for academic and senior ad‐
ministrative staff in UK universities and other higher education and research institutions (Logan, 
1985).  From  10  December  1999,  the  rules  of  USS  were  changed  to  allow  any  employee,  non‐
academic or academic, at any higher education institution (or associated establishment) in the UK 
to become a member. By 2002 there were over 300 institutional members (i.e. employers) partici‐
pating in USS, which was the third largest pension fund in the UK, with assets of £20 billion, and 
180,000 members, pensioners and deferred pensioners. USS is a defined benefit scheme with an 
80ths accrual rate and is managed by the trustee company, USS Ltd. The employers’ contribution 
rate  in 2002 was 14% of salary, while  the employee contribution rate was 6.35%. The principal 
benefits are an index‐linked pension and a tax‐free lump sum on retirement, ill‐health retirement 
with an index‐linked pension and tax‐free lump sum, and index‐linked pensions for spouses and 
dependents on the death of the member or pensioner. USS is an immature scheme with a net cash 
inflow of £550 million in 2002. While the maturity of the scheme will probably increase in the fu‐
ture, it is expected to have a positive cash flow for many years. The USS actuary uses the projected 
unit method, which is an individual funding method, and triennial valuations. 

Data 

The numerical results presented below relate to the application of the asset‐liability model 
described in this paper to USS, using data for its 2002 actuarial valuation (USS, 2003). This actuar‐
ial  valuation  allows  the  calculation  of  the  values  of  the  initial  liability  proportions  as  w1  = 
−0.5523121, w2 = −0.0642698 and w3 = −0.3788936. The valuation of the liabilities was approximately 
equivalent to a buyout valuation. The trustees of the fund allocate its assets between five principal 
asset classes: UK equities, overseas equities, property, fixed interest and UK index‐linked gilts. In 
addition, three types of  liability are recognised  ‐ active members, deferred pensioners and pen‐
sioners. Table 1 shows the modest data requirements of this model; with only 25 correlation fore‐
casts (of which 15 involve pension liabilities), 8 forecasts of the expected returns, and 8 forecasts of 
the standard deviations of returns. The  forecasts used  in generating  the subsequent  illustrative 
results are based on annual data for the period 1981‐2002 ‐ the IPD index of total returns on all UK 
property, the MSCI World ex UK total returns index in £, the FTSE All Share index including divi‐
dends, yields on long term UK Government bonds supplied by Datastream, and UK index linked 
gilt yields for a constant maturity. Since the assets are proxied by indices, to the extent that the 
fund engages in active management, as opposed to tracking the index, the risk is understated and 
returns and correlations altered.  

The liability data was constructed using the top point on the lecturer scale together with the 
simple actuarial models in equations 1‐3. For each liability estimate, the discount rate used was the 
current long term UK Government bond yield. Since salaries are subject to public sector pay pol‐



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 103 

 

icy, it is possible that salary increases are related to the macroeconomic situation in a way that dif‐
fers from the private sector. The numerical results from this empirical analysis were then adjusted 
using estimates supplied by Schroders and Watson Wyatt. Craft (2005) used annual data on the 
projected pension benefit obligation of 647 US firms for 1988‐2002 to construct a series of aggregate 
liability returns. These returns included changes in liabilities due to additional benefits, etc, ad‐
justed for changes in the number of employees. The correlations of these liabilities with domestic 
equity, bonds and property; as well as the returns and standard deviation of liabilities, were used 
in adjusting the forecasts in Table 1.  

Portfolio  theory  treats  the  means,  variances  and  co‐variances  as  free  of  estimation  error. 
However, in reality, these parameters are subject to estimation risk. Therefore, the computed risks 
and returns of the portfolios are imprecise. Since portfolio theory seeks out those portfolios with 
low risk and high return, the presence of estimation risk tends to result in the choice of portfolios 
where the return is overstated and the risk is understated, see Michaud (1989). The size of this es‐
timation risk depends on the accuracy of the forecasting procedures adopted. Board and Sutcliffe 
(1994) provide an example of the performance of different forecasting procedures in constructing 
efficient portfolios. It is generally accepted that for large pension schemes, actuarial forecasts of the 
demographic factors are reasonably accurate, and the key forecasts concern the  investment and 
discount rates. Chopra and Ziemba (1993) demonstrate that for investors with high risk aversion 
the accuracy of mean asset returns is about three times more important than the forecasts of the 
variances; while the variance forecasts are about twice as important as the covariance forecasts. For 
investors with low risk aversion they can be in the ratios 60:3:1. Kallberg and Ziemba (1984) found 
that forecasts of mean returns are about ten times as important as forecasts of the covariance ma‐
trix. Therefore the greatest effort should be focussed on obtaining accurate expected mean returns. 
In the present paper, estimation risk is not explicitly considered, and allowance for this should be 
made in interpreting the results presented below. Decision makers can get some idea of the ro‐
bustness of the results of this model to estimation risk by conducting a sensitivity analysis and re‐
solving the problem using alternative estimates of asset and liability returns. 

 
Table 1: Correlation Matrix, Expected Returns and Standard Deviations  
  UK 

Equi‐
ties 

Over‐
seas 

Equities

Prop‐
erty 

Fixed
Inter‐
est 

UK Index‐
Linked 
Gilts 

Active
Mem‐
bers 

De‐
ferreds 

Pension‐
ers 

UK Equities  ‐  a12  a13  a14  a15  a16  a17  a18 
Overseas Equities  ‐  ‐  a23  a24  a25  a26  a27  a28 

Property  ‐  ‐  ‐  a34  a35  a36  a37  a38 
Fixed Interest  ‐  ‐  ‐  ‐  a45  a46  a47  a48 

UK Index‐Linked 
Gilts 

‐  ‐  ‐  ‐  ‐  a56  a57  a58 

Active Members  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  a67*  a68* 
Deferreds  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  a78* 

Expected return  e1  e2  e3  e4  e5  e6  e7  e8 
Standard deviation  s1  s2  s3  s4  s5  s6  s7  s8 
* The covariances between returns on different liabilities play no part in determining the asset propor‐
tions of the efficient frontier. 

 

USS does not hedge the currency risk of foreign securities, and so the returns and correla‐
tions are expressed in terms of the sterling‐equivalent returns. The returns are gross, since pension 
schemes are exempt from paying taxation. Prior to July 1997, UK pension schemes received a tax 
refund equal to the value of the advance corporation tax (ACT) paid by the company on the divi‐



 

2007 ‐ 104  •  Economic Analysis® 

dends declared. Therefore, before this date, the net dividend income of pension schemes exceeded 
their gross dividend income by the amount of this tax refund. This is no longer the case and pen‐
sion schemes simply receive gross dividends. USS pensions are fully index linked, so that in the 
absence of deflation, no adjustment is required to allow for limited price indexation. 

Solving the Asset‐Liability Portfolio Model 

The data in Table 1, together with the liability proportions (w1, w2 and w3) for the pension 
scheme were used to solve the extended portfolio model set out in section 2. The results of this 
asset‐liability pension model are sets of five asset proportions and three fixed, liability proportions. 
This allows the calculation of two sets of portfolio risks and returns: for the asset component of the 
portfolio only  (representing  the gross portfolio performance), or  for  the asset‐liability portfolio 
(representing the net portfolio performance). Results were also obtained for the portfolio model 
using only assets, but these are not reported.  

Table 2: Efficient Portfolios ‐ Returns, Standard Deviations and Asset Proportions 
Assets (%)  Asset‐Liability 

(%) 
Efficient Asset Proportions (%)  

Exp  
Ret 

Std 
Dev. 

Exp Ret 
Std 
Dev 

Effec‐
tiveness

%  UK 
Equi‐
ties 

Overseas
Equities

Prop‐
erty 

Fixed 
Inter‐
est 

Index‐ 
Linked 
Gilts 

1  2.20  2.500  −1.03  2.454  15  0.0  0.0  0.0  0.0  100.0 

2  2.88  2.335  −0.35  2.112  37  0.0  0.0  2.1  20.7  77.2 
3  3.56  2.452    0.33  1.916  48  0.0  0.2  9.4  31.9  58.5 

4  4.24  2.676    1.01  1.823  53  0.0  3.2  15.3  39.0  42.6 

5  4.92  2.940    1.69  1.828  53  4.4  3.2  20.2  43.8  28.3 

6  5.60  3.234    2.37  1.921  48  9.1  3.2  25.1  48.6  14.0 

7  6.28  3.550    3.05  2.090  38  13.8  3.2  30.0  53.0  0.0 

8  6.96  4.057    3.73  2.452  15  27.8  5.3  31.8  35.1  0.0 

9  7.64  4.679    4.41  3.036  −30  41.7  7.5  33.6  17.2  0.0 

10  8.32  5.367    5.09  3.742  −97  56.4  9.6  34.0  0.0  0.0 

11  9.00  6.599    5.77  5.360  −305  88.9  11.1  0.0  0.0  0.0 

USS  8.12  5.462   4.89  4.070  −133  53.1  21.0  11.4  11.8  2.7 

 
Table 2 shows the risk and return of both the asset and the asset‐liability portfolios, as well as 

the investment proportions themselves, for a range of points on the efficient frontier. The asset‐
liability portfolios use the USS funding ratio of 101%. For low risk portfolios, the size of the opti‐
mal holding by USS of index linked gilts represents a substantial proportion of the market. This 
can be overcome by using the index linked swaps market, or by placing constraints on the maxi‐
mum holding of index linked gilts. The last line of Table 2 shows the actual USS asset allocation on 
31 January 2002. This portfolio is plotted in Figure 1 as USSa (USS assets only) and USSal (USS as‐
sets and liabilities). The efficient frontiers for these two alternative sets of portfolios are plotted in 
Figure 1. While the asset‐liability quadratic programming model must generate convex efficient 
sets, the assets‐only frontier may not necessarily be convex. Table 2 and Figure 1 show that the 
asset‐liability numbers have lower risk and lower return than the corresponding asset‐only num‐
bers, highlighting the fact that the model allows the pension scheme to hedge the liability risk.  

The  USS  Statement  of  Investment Principles  (SIP)  supports  the  objective  of  “funding  the 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 105 

 

scheme’s benefits at the lowest cost over the long term, having regard to the minimum funding 
requirement of the Pensions Act 1995 and having regard to the attitude of the Committee of Vice‐
Chancellors and Principals and of the Management Committee towards the risk of higher contri‐
butions at some time in the future”, USS (2002). Given these objectives, the relevant values for de‐
cision taking by the pension scheme are those reflecting its net position, rather than the unhedged, 
or gross, asset returns and risks. The scheme is taking positions on the spread between investment 
returns and the rate of increase in retail prices and salaries. Thus, while small changes in the dif‐
ference between these two returns may be important for the pension scheme, big changes in both 
may not. The asset‐liability efficient frontier can be viewed as the outcome of a risk‐minimising 
generalised hedge, subject to the constraints of a given rate of return and a hedge ratio of (w1+w2) 
or −0.9918747. 

Figure 1: Expected Returns Frontiers 

 
Table 2 also shows the Ederington (1979) measure of hedging effectiveness, which gives the 

reduction in the variance of the asset‐liability portfolio, relative to the variance of the fund’s liabili‐
ties. This shows that the best hedge occurs for portfolios 4 and 5, which offer a 50% reduction in 
risk. It also shows that for portfolios 9 to 11 (and USS), the risk of the hedged portfolio exceeds that 
of the liabilities alone, so that the fund faces additional asset risk in addition to the basic risk of its 
liabilities.  

The expected return for portfolios 1 and 2 for the assets and liabilities together is negative; a 
fact obscured if only the asset returns are considered. The results also demonstrate the interaction 
between assets and liabilities in the model, as the asset‐liability frontier is not simply a linear trans‐
formation of the assets‐only frontier (e.g. each point on the asset frontier shifted the same distance 
to the south west). For example, the risk‐minimising portfolio for the asset‐liability model is port‐
folio 4, while for the assets‐only portfolio it is portfolio 2. The expected return on the assets in the 
risk‐minimizing portfolio 4 is 4.24%, which compares with a discount rate of 5.5% used in comput‐
ing  the actuarial  liabilities. Thus,  the asset‐liability results  reveal  that portfolios 1, 2 and 3 are 



 

2007 ‐ 106  •  Economic Analysis® 

dominated, while the assets‐only numbers incorrectly suggest that only portfolio 1 is dominated. 
Similarly, the slopes of the efficient frontiers differ, and the correct risk‐return trade‐off facing the 
pension scheme for any specified rate of return (or risk) is that provided by the asset‐liability re‐
sults, not the assets‐only results. This confirms the view that any pension scheme should adopt an 
asset‐liability based analysis of the asset allocation, rather than attempting to consider the asset 
allocation separately from the liabilities.  

Transformation of the Portfolio Returns to Contribution Rates and Funding Ratios   

As noted in section 3, pension scheme trustees usually prefer to judge the results from port‐
folio models in terms of the implied level and dispersion of the contribution rate and funding ratio, 
rather than the risk and return of the asset or asset‐liability allocation. For example, the declared 
objectives of USS can be summarised as simultaneously minimising the average contribution rate 
and the variance of the contribution rate. The academic literature has considered three main objec‐
tives ‐ (a) minimise the expected contribution rate, (b) minimise the variance of the contribution 
rate, and (c) minimise the variance of the funding ratio. USS takes the view that the first two objec‐
tives are the most important criteria for a well‐funded scheme where insolvency is very unlikely. 
For the generalised Haberman model with a fixed spread period, the variance of the contribution 
rate is a linear function of the variance of the funding ratio, and so the choice between these two 
measures of risk is of little consequence. However, for regulatory reasons, the distribution of the 
funding ratio will also be considered, to ensure that the asset allocation decision is unlikely to lead 
to any regulatory problems. 

In 2002 USS had a funding ratio of 101% and set the employers’ contribution rate for the next 
three years at 14%, the same rate as in the preceding six years. This suggests that USS was in a 
fairly stable position, which is consistent with the Haberman (1992) model’s requirement that the 
pension scheme is in long run equilibrium.  

Equations (17–20) were used to calculate the mean and variance of the contribution rate and 
funding ratio of each efficient portfolio for both the Haberman (1992) and generalised Haberman 
models. For the generalised Haberman model the only additional parameters are M and d, while 
for the Haberman (1992) model many more parameters are required to re‐compute the three actu‐
arial liabilities. These parameters were based on USS (2003). The USS actuary used one rate for 
computing the standard contribution rate (i.e. a nominal yield of 6%) and a different rate for com‐
puting the funding ratio of the scheme, and hence the contribution rate adjustment (i.e. a current 
yield of 5%). The values of M = 12 and d = 5.5% were used. 

The results for the Haberman (1992) model and the actual USS portfolio on 31 January 2002 
are in Table 3. The fund’s objective is assumed to be to minimise both the contribution rate and the 
standard deviation of the contribution rate, so that for the Haberman (1992) model portfolios to the 
north east of the minimum contribution rate risk portfolio (i.e. portfolios 1 to 6  in Table 2) are 
mean‐variance dominated and need not be considered further. Thus, the transformation from the 
mean and variance of portfolio returns to the mean and variance of the contribution rate results in 
the exclusion of portfolios 4 to 6 from further consideration. This is in addition to portfolios 1 to 3, 
which were found to be dominated using asset‐liability returns, see Table 5. The funding ratio for 
the Haberman (1992) model (FR) is constrained to be 100%, and the USS portfolios have been con‐
verted to the same basis. If the funding ratio is computed using a fixed discount rate of 5.5% (as in 
the generalized Haberman model), it ceases to be 100%.  

 

 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 107 

 

Table 3: The First Two Moments of the Contribution Rate and Funding Ratio ‐ Haberman (1992) model 
with M = 12 

  E(ra) 
(%) 

σAL 
(%) 

E(CR) 
(%) 

SD(CR) 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR) 
(%) 

1  2.20  2.45  39.88  2.75  100.00  6.02 
2  2.88  2.11  33.80  2.11  100.00  5.24 
3  3.56  1.92  28.75  1.71  100.00  4.81 
4  4.24  1.82  24.54  1.45  100.00  4.64 
5  4.92  1.83  21.01  1.31  100.00  4.71 
6  5.60  1.92  18.05  1.23  100.00  5.02 
7  6.28  2.09  15.56  1.21  100.00  5.53 
8  6.96  2.45  13.46  1.29  100.00  6.59 
9  7.64  3.04  11.68  1.45  100.00  8.28 
10  8.32  3.74  10.17  1.62  100  10.37 
11  9.00  5.36  8.87  2.13  100.00  15.15 
USS  8.12  4.07  10.59  1.82  100.00  11.24 

 
Table 5: Mean‐Variance Dominance 
Model  Dominated Portfolios 

Assets only portfolios  1 
Asset‐liability portfolios  1, 2, 3 

Contribution rates for Haberman (1992) with M = 12  1, 2, 3, 4, 5, 6 
Contribution rates for Generalised Haberman with M = 12  1 

 
Table 4 and Figure 2 show that, for the generalised Haberman model, the lowest contribution 

rate risk occurs for portfolios 2 and 3, while portfolio 3 has the lowest funding ratio risk. So, in this 
case, only portfolio 1 is dominated. Table 5 indicates that, while portfolios 2 and 3 are dominated 
when using asset‐liability returns, they are not dominated when the generalised Haberman model 
is used. The generalised Haberman model allows FR to depart from 100%, as shown in Table 4. 
(The USS plots in Figures 2 and 3 use the funding ratio of 101%.) For portfolios 1‐5, the funding 
ratio is below 100% because, although the contribution rate is high, the expected return on assets is 
low.   
 

Table 4: The First Two Moments of the Contribution Rate and Funding Ratio  
‐ Generalised Haberman model with M = 12 

  E(ra) 
(%) 

σAL 
(%) 

E(CR) 
(%) 

SD(CR) 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR) 
(%) 

1  2.20  2.45  25.95  0.99  70.09  3.96 
2  2.88  2.11  24.76  0.93  74.82  3.72 
3  3.56  1.92  23.43  0.93  80.16  3.70 
4  4.24  1.82  21.91  0.97  86.23  3.88 
5  4.92  1.83  20.16  1.08  93.19  4.33 
6  5.60  1.92  18.14  1.28  101.27  5.09 
7  6.28  2.09  15.77  1.57  110.74  6.27 
8  6.96  2.45  12.95  2.11  122.01  8.43 
9  7.64  3.04  9.53  3.04  135.63  12.12 
10  8.32  3.74  5.32  4.42  152.45  17.66 
11  9.00  5.36  0.00  7.69  173.71  30.69 
USS  8.12  4.07  6.68  4.57  147.01  18.26 

 
 



 

2007 ‐ 108  •  Economic Analysis® 

Figure 2: Efficiency Frontiers for CR and FR Risk ‐ Generalized Haberman, M = 12 

  
 

Figure 3 shows the trade‐off between the contribution rate and the standard deviation of the 
funding ratio. Figure 3 reveals that, for the generalised Haberman model with a fixed spread pe‐
riod, there is a positive linear relationship between the standard deviations of the contribution rate 
and the funding ratio. This is in sharp contrast to the convex relationship for the Haberman (1992) 
model, which is also shown in Figure 3. The efficient set for the Haberman (1992) model in Figure 
3 is the curve AB (portfolios 7 to 11). 

 
Figure 3: SD(CR) and SD(FR) ‐ Haberman (1992) and Generalised Haberman, M = 12 

  
 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 109 

 

Choice of the Spread Period 

In section 10, the spread period, M, was set to the value used by USS (12 years). However, it 
is possible that a different choice of M would improve the risk‐return performance of the scheme. 
Section 5 described the estimation of M*, the spread period which minimises the contribution rate. 
M* cannot be computed when the rate of salary growth exceeds the expected rate of return on the 
assets (because va is then negative), which is the case for the low return portfolios 1, 2 and 3. As 
Table 6 shows, for the Haberman (1992) model these are dominated portfolios, and so this is not a 
significant issue. However, for the generalised Haberman model Table 7 shows that this condition 
rules out portfolios 1 to 6, of which only the first is dominated. 

 
Table 6: The First Two Moments of the Contribution Rate and Funding Ratio 

 ‐ Haberman (1992) model with M = M*H 
  E(ra) 

(%) 
σAL 
(%) 

M*H 
(years) 

E(CR) 
(%) 

SD(CR) 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR) 
(%) 

4  4.24  1.82  129  24.54  0.66  100.00  17.1 
5  4.92  1.83  60  21.01  0.84  100.00  11.7 
6  5.60  1.92  39  18.05  0.94  100.00  9.91 
7  6.28  2.09  29  15.56  1.02  100.00  9.31 
8  6.96  2.45  24  13.46  1.16  100.00  10.01 
9  7.64  3.04  20  11.68  1.36  100.00  11.34 
10  8.32  3.74  17  10.17  1.57  100.00  12.9 
11  9.00  5.36  15  8.87  2.10  100.00  17.49 
USS  8.12  4.07  18  10.59  1.75  100.00  14.5 

    Note: M*H cannot be computed for portfolios 1–3 

 
Table 7: The First Two Moments of the Contribution Rate and Funding Ratio ‐ Generalised Haberman 

Model with M = M*G 
  E(ra) 

(%) 
σAL 
(%) 

M*G 
(years) 

E(CR) 
(%) 

SD(CR) 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR) 
(%) 

7  6.28  2.09  19  15.18  1.50  119.55  8.93 
8  6.96  2.45  14  12.51  2.11  127.26  9.70 
9  7.64  3.04  11  9.96  3.00  131.35  11.07 
10  8.32  3.74  9  7.53  4.11  133.56  12.63 
11  9.00  5.36  8  4.81  6.47  137.56  17.82 
USS  8.12  4.07  10  7.98  4.37  135.47  14.79 

    Note: M*G cannot be computed for portfolios 1–6 

 
Tables 6 and 7 show the optimal spread period for each portfolio (including the USS portfo‐

lio  on  31  January  2002)  for  the  Haberman  (1992)  and  generalised  Haberman  models.  For  the 
Haberman (1992) model the fund’s chosen spread period of 12 years is always less than the opti‐
mal spread period. As discussed in section 5, for the Haberman (1992) model using a spread pe‐
riod shorter than M*H reduces SD(FR), but increases SD(CR). Therefore, although SD(FR) can be 
reduced by lowering the spread period, this comes at the expense of an increase in SD(CR). Since 
the two principal objectives used in this paper are to minimise both the mean and variance of the 
contribution rate, the possibility of minimising SD(FR) is not pursued. For the generalised Haber‐
man model, both SD(CR) and SD(FR) rose as M*G fell. 

The transformation of the portfolio results into the mean and variance of the contribution 
rate  and  funding  ratio  in  the  previous  section  was  repeated  using  the  relevant  value  of  M* 



 

2007 ‐ 110  •  Economic Analysis® 

(rounded to the nearest integer) from Tables 6 and 7. As can be seen by comparing Tables 3 and 6 
for the Haberman (1992) model, the use of M*H in place of the fund’s standard spread period of 12 
years, increases SD(FR) in every case, sometimes by substantial amounts. However, as expected, 
there were reductions in SD(CR). A comparison of Tables 4 and 7 reveals that, for the generalised 
Haberman model, moving to M*G leads to a reduction in SD(CR), with the size of the reduction 
depending on the size of the change in M. There is no reduction in SD(CR) for portfolio 8 due to 
the rounding of the spread period and the insensitivity of SD(CR) to M. For portfolios 7 and 8 M*G 
> 12, and the values of SD(FR) rise; while for portfolios 9 to 11 and USS, M*G < 12 and the values of 
SD(FR) fall. This shows that, when the spread period is not fixed, the tradeoff between SD(CR) and 
SD(FR) reappears. 

The relationship between SD(CR) and M is illustrated in Figure 4 for portfolios 7 and 11 us‐
ing the generalised Haberman model. This shows that for portfolio 7, increasing M from 12 to 19 
years reduces SD(CR) from 1.57% to 1.50%; while for portfolio 11, reducing M from 12 to 8 years 
reduces this risk from 7.69% to 6.47%. Figure 4 also reveals that, over the relevant range, SD(CR) is 
not very sensitive to M. 

 
Figure 4: Optimal Spread Periods ‐ Generalised Haberman 

  

Allowance for Triennial Valuations   

Both the Haberman (1992) and the generalised Haberman models assume annual actuarial 
valuations.  However,  most  schemes  have  triennial  actuarial  valuations.  The  effects  of  triennial 
valuations on the variances of the contribution rate and the funding ratio were  investigated by 
comparing the Dufresne (1988) and Haberman (1993b) models, which are summarised in the ap‐
pendix. Triennial valuations may  increase or decrease the variance of the contribution rate, see  
Haberman  (1993b)  and  Cairns  (1996a).  The  Dufresne  (1988)  model  is  similar  to  the  Haberman 
(1992) model, except that there is no lag in adjusting the contribution rate, and differs from the 
Haberman (1993b) only in that the latter assumes triennial actuarial valuations. Therefore a com‐
parison of the results from these two models will reveal the increase in the variances caused by the 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 111 

 

introduction of triennial valuations. Using the USS data described above, but with M set equal to 
the value of M* for the model concerned, it was found that the understatement of the variances of 
CR and FR due to the absence of a one year lag was only about 2.6% (or 2.7% when M = 12 years). 
This suggests that a move to triennial valuations would make little difference to the variances of 
CR and FR, or to the other results in this chapter.  

Even if there had been a material effect on the variances by switching to triennial valuations, 
a model which assumes annual valuations may still be preferable. This is because many pension 
schemes, including USS, make an annual actuarial check on the funding ratio, after which the con‐
tribution rate could be adjusted. This is effectively an annual review of the contribution rate, even 
though a full actuarial valuation is performed only every three years. 

Regulatory and Solvency Risk 

In order to investigate solvency risk, a knowledge of the probability distribution of the fund‐
ing ratio is required. The parameters of the distribution of the funding ratio were computed using 
the equations in section 6 for the generalised Haberman model with M = 12 and M = M*G. The in‐
verted gamma distribution was then used to compute the values of the shortfall probability (SP) 
and the ETL for the upper and lower regulatory restrictions. The values of SP and ETL were for 
one year. To obtain results for say a 3 year period, assuming that proportionate changes in the 
funding ratio are independent over time, the mean and variance of the FR used in equations 23 
and 24 must be multiplied by 3. If proportionate changes in the FR are correlated, a more compli‐
cated adjustment is required (Jorion, 2000).  

As a simple approximation to the lower solvency bound that will apply after the abolition of 
the MFR, the specified VaR for the lower tail was set at 70%, which roughly approximates to 100% 
MFR funding. While the MFR funding ratio is due to be replaced by scheme‐specific funding re‐
quirements (Secretary of State for Work and Pensions, 2002), it was decided to use the current MFR 
as the lower bound. Because each of the regulatory restrictions requires the use of a valuation basis 
that differs from that used to determine the contribution rate, the funding ratios of 90% and 105% 
were adjusted to be comparable with those used elsewhere  in this paper. At the 2002 actuarial 
valuation the MFR funding ratio for USS was 144%, as against a funding ratio of 101% using the 
assumptions of the USS actuary. This implies a lower solvency bound of 101/144 = 70%. The upper 
bound, imposed to prevent over‐funding, was set at 100/70 = 142.86%. 

The results are in Tables 8 and 9. The ETLs in Tables 8 and 9 were computed by setting m, the 
number of samples, to 100. When M = 12, SP1 drops to zero for portfolios 4 ‐ 11, while for portfolio 
1 it is over 50%. This reflects the negative expected asset returns for portfolios 1 and 2, and the lar‐
ger expected returns for higher numbered portfolios. Conversely, for portfolios 1 ‐ 7, SP2 = 0, but as 
the expected asset return and risk rise, SP2 rises to over 85% for M = 12. Even though portfolio 1 
has a 50% chance of breaching the MFR when M = 12, the expected value of the funding ratio (ETL) 
is still 67%, i.e. a 3% breach. Portfolio 11 has an 85% probability of breaching the upper bound 
when M = 12, and  the expected  funding ratio  is 180%,  i.e. a breach of 37%. Thus,  the average 
breach of the upper bound tends to be much bigger than the average breach of the lower bound, 
reflecting the strong positive skewness of the distribution of the funding ratio. 

 
 



 

2007 ‐ 112  •  Economic Analysis® 

Table 8: Solvency and Regulatory Risk: Shortfall Probabilities and ETLs:  
Generalised Haberman Model with M = 12 

              70%  142.8% 
  E(ra) 

(%) 
σAL 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR)
(%) 

alpha  beta  SP1 
(%) 

ETL1 
(%) 

SP2 
(%) 

ETL2 
(%) 

1  2.20  2.45  70.09  3.96  315  4.54  50.57  67.03  0.00  ‐ 
2  2.88  2.11  74.82  3.72  407  3.29  9.26  68.49  0.00  ‐ 
3  3.56  1.92  80.16  3.70  472  2.65  0.14  69.16  0.00  ‐ 
4  4.24  1.82  86.23  3.88  496  2.34  0.00  69.45  0.00  ‐ 
5  4.92  1.83  93.19  4.33  466  2.31  0.00  69.58  0.00  ‐ 
6  5.60  1.92  101.27  5.09  397  2.49  0.00  ‐  0.00  144.01 
7  6.28  2.09  110.74  6.27  314  2.89  0.00  ‐  0.00  144.67 
8  6.96  2.45  122.01  8.43  212  3.89  0.00  ‐  1.14  146.42 
9  7.64  3.04  135.63  12.12  127  5.84  0.00  ‐  26.18  150.99 
10  8.32  3.74  152.45  17.66  77  8.68  0.00  69.26  68.98  160.67 
11  9.00  5.36  173.71  30.69  34  17.43  0.00  68.70  85.33  180.10 
USS  8.12  4.07  147.01  18.26  67  10.34  0.00  69.11  56.05  159.17 

 
When M = M*G, Table 9 shows that the values of SP1 and ETL1 are little changed, while for 

SP2 and ETL2 the values become more even across the range, with falls for high risk and high re‐
turn portfolios, and rises for lower risk and lower return portfolios. Note that for M*G, the values 
of SP2 and ETL2 for portfolios 7 and 8 are larger than when M = 12; while for portfolios 9‐11, the 
reverse is the case. This is because M*G > 12 for portfolios 7 and 8, and any surplus is removed 
more slowly, permitting high funding ratios to be attained; while for portfolios 9‐11, M*G < 12, and 
any surplus is eliminated more quickly.  

Table 9: Solvency and Regulatory Risk: Shortfall Probabilities and ETLs:  
Generalised Haberman Model with M = M*G 

              70%  142.8% 
  E(ra) 

(%) 
σAL 
(%) 

E(FR) 
(%) 

SD(FR)
(%) 

alpha  beta  SP1 
(%) 

ETL1 
(%) 

SP2 
(%) 

ETL2 
(%) 

7  6.28  2.09  119.55  8.93  181  4.64  0.00  ‐  0.88  146.64 
8  6.96  2.45  127.26  9.70  174  4.54  0.00  ‐  6.13  147.79 
9  7.64  3.04  131.35  11.07  143  5.37  0.00  ‐  14.86  149.40 
10  8.32  3.74  133.56  12.63  114  6.63  0.00  69.36  22.03  151.05 
11  9.00  5.36  137.56  17.82  62  12.00  0.00  68.91  35.25  156.35 
USS  8.12  4.07  135.47  14.79  86  8.69  0.00  69.19  28.83  153.26 

  Note: M*G cannot be computed for portfolios 1–6 

Conclusions 

This paper had modelled a number of aspects of pension trustees’ decisions concerning the 
asset allocation and contribution rate. A simple extension of the portfolio model permits the inclu‐
sion of different types of liability in the computation of the efficient asset proportions for various 
levels of risk and return. Pension schemes generally state that their asset allocation decision has 
taken account of their liabilities. However, they have usually not explicitly incorporated the liabili‐
ties into the asset allocation decision. The asset allocations derived from this extended model are 
different from those derived from an assets‐only formulation, and offer significant hedging of the 
schemes’ liabilities. Because of this, it is important that the results of the portfolio analysis are pre‐
sented to decision makers in terms of the risks and returns on the combination of the assets and 
liabilities of the scheme, rather than just the assets alone. 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 113 

 

An analysis of the asset allocation decision in terms of its effects on the risks and returns of 
the assets and liabilities of the scheme does not explicitly consider the effects on the contribution 
rate  and  the  funding  ratio.  This  paper  shows  how  the  results  of  a  portfolio  model  can  be  re‐
expressed in terms of the first two moments of the contribution rate and funding ratio. By present‐
ing decision makers with the implications of alternative asset allocations for the mean and variance 
of the contribution rate and funding ratio, the problem is translated into the variables which ulti‐
mately  concern  the  trustees.  This  transformation  can  also  reveal  additional  or  reduced  mean‐
variance dominance between alternative asset allocations. 

Computing the effects of the asset allocation decision on the contribution rate, enables the ac‐
tuary to calculate the spread period which minimises contribution rate risk for the chosen asset 
allocation. This paper generalises the Haberman (1992) model by dropping the requirement that 
the discount rate equals the rate of return on the investments. As well as improving the economic 
realism of the model, this greatly simplifies its empirical application because the actuarial valua‐
tion need not be repeated for a range of different discount rates. In addition, it removes the trade‐
off between contribution rate risk and funding ratio risk (for a fixed spread period). The Haberman 
(1992) model and the generalised Haberman model were applied to data for the Universities Su‐
perannuation Scheme, and the efficient frontiers plotted for both fixed and optimized spread peri‐
ods. The trustees then choose a particular combination of the contribution rate and contribution 
rate risk, which determines the asset allocation. 

Finally, the distribution of the funding ratio was considered, in conjunction with the upper 
and  lower statutory  limits. This allows trustees to  investigate the regulatory and solvency risks 
associated with a particular asset allocation/contribution rate choice. 

The application of the model proposed in this paper requires a change in the way pensions 
schemes operate. Currently, the contribution rate is usually recommended by the scheme actuary 
on the basis of an assumed asset allocation; while the actual asset allocation is set separately on the 
basis of  investment advice. The proposed model requires a  joint decision by a single person or 
group, probably at the time the contribution rate is set. The results for USS suggest that this can 
lead to superior decisions. 

 



 

2007 ‐ 114  •  Economic Analysis® 

References 

1. Accounting Standards Board (1988) Statement of Standard Accounting Practice 24  ‐ Accounting for Pension 
Costs, May, ASB Publications, London. 

2. Accounting Standards Board  (2000) Financial Reporting Standard 17  ‐ Retirement Benefits, November, ASB 
Publications, London. 

3. Actuarial Education Company (2002) ActEd Study Materials: 2002 Examinations, Subject 304, Course Notes, Ac‐
tuarial Education Company, Oxford.  

4. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M. and Heath, D. (1999) Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, vol. 
9, no. 3, July, pp. 203‐228. 

5. Association  of  Consulting  Actuaries  (2003)  Occupational  Pensions  2003  ‐  Pensions  Reform:  Too  Little,  Too 
Late?, ACA, March. 

6. Bagehot, W. (1972) Risk and Reward in Corporate Pension Funds, Financial Analysts Journal, vol. 28, no. 1, 
January‐February, pp. 80‐84. 

7. Bédard, D. (1999) Stochastic Pension Funding: Proportional Control and Bilinear Processes, ASTIN Bulletin, vol. 
29, no. 2, November, pp. 271‐293. 

8. Bédard, D. and Dufresne, D. (2001) Pension Funding with Moving Average Rates of Return, Scandinavian Ac‐
tuarial Journal, vol. 2001, no. 1, March, pp. 1‐17. 

9. Black, F. (1995) The Plan Sponsor’s Goal, Financial Analysts Journal, vol. 51, no. 4, July‐August, pp. 6‐7. 

10. Blake, D., Lehmann, B.N. and Timmermann, A. (1999) Asset Allocation Dynamics and Pension Fund Perform‐
ance, Journal of Business, vol. 72, no. 4, October, pp. 429‐461.  

11. Board,  J.L.G. and Sutcliffe, C.M.S.  (1994) Estimation Methods  in Portfolio Selection and  the Effectiveness of 
Short Sales Restrictions: UK Evidence, Management Science, vol. 40, no. 4, April, pp. 516‐534. 

12. Boender,  C.G.E.  (1997)  A Hybrid  Simulation‐Optimization  Scenario  Model  for Asset‐Liability  Management, 
European Journal of Operations Research, vol. 99, no. 1, May, pp. 126‐135. 

13. Boender, C.G.E., Dert, C.L. and Hoek, H. (2006) ALM for Pension Funds. In Handbook of Asset and Liability 
Management, edited by S.A. Zenios and W.T. Ziemba, volume B, Elsevier Science. 

14. Boender, C.G.E., Van Aalst, P.C. and Heemskerk, F. (1998) Modelling and Management of Assets and Liabilities 
of Pension Plans in the Netherlands. In Worldwide Asset and Liability Modelling, edited by W.T. Ziemba and 
J.M. Mulvey, Cambridge University Press, pp. 561‐580.  

15. Boender, C.G.E. and Vos, M. (2000) Risk Return Budgeting at Pension Plans, The Institutional Investor, May, 
pp. 80‐88. 

16. Bogentoft, E., Romeijn, H.E. and Uryasev, S. (2001) Asset‐Liability Management for Pension Funds Using CVaR 
Constraints, Journal of Risk Finance, vol. 3, no. 1, Fall, pp. 57‐71. 

17. Booth, P., Chadburn, R., Cooper, D., Haberman, S. and James, D. (1999) Modern Actuarial Theory and Practice, 
Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, Florida, chapter 25. 

18. Bogentoft, E., Romeijn, H.E. and Uryasev, S. (2001) Asset‐Liability Management for Pension Funds Using CVaR 
Constraints, Journal of Risk Finance, vol. 3, no. 1, Fall, pp. 57‐71. 

19. Boulier, J.F., Trussant, E, and Florens, D. (1995) A Dynamic Model for Pension Funds Management. In Proceed‐
ings of the 5th AFIR International Colloquium, Brussels 1995, edited by J. Janssen, pp. 361‐384. 

20. Boulier, J.F., Michel, S. and Wisnia, V. (1996) Optimizing Investment and Contribution Policies of a Defined 
Benefit Pension Fund. In Proceedings of the 6th AFIR International Colloquium, Nuremberg, 1996, edited by P. 
Albrecht, pp. 593‐607. 

21. Brinson, G.P., Hood, L.R. and Beebower, G.L. (1986) Determinants of Portfolio Performance, Financial Analysts 
Journal, vol. 42, no. 4, July‐August, pp. 39‐44. 

22. Brinson, G.P., Singer, B.D. and Beebower, G.L. (1991) Determinants of Portfolio Performance II: An Update, Fi‐
nancial Analysts Journal, vol. 47, no. 3, May‐June, pp. 40‐48. 

23. Cairns, A.J.G. (1995) Pension Funding in a Stochastic Environment: The Role of Objectives in Selecting an Asset 
Allocation Strategy. In Proceedings of the 5th AFIR International Colloquium, Brussels 1995, edited by J. Janssen, 
pp. 429‐453.  

24. Cairns, A.J.G. (1996a) An Introduction to Stochastic Pension Fund Management, Working Paper 9607, Pensions 
Institute. 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 115 

 
25. Cairns, A.J.G. (1996b) Continuous Time Pension Fund Modelling. In Proceedings of the 6th AFIR International 

Colloquium, Nuremberg, 1996, edited by P. Albrecht, pp. 609‐624. 

26. Cairns, A.J.G. (1997) A Comparison of Optimal and Dynamic Control Strategies for Continuous Time Pension 
Plan Models. In Proceedings of the 7th AFIR International Colloquium, Cairns, 1997, pp. 309‐326. 

27. Cairns, A.J.G. (2000) Some Notes on the Dynamics and Optimal Control of Stochastic Pension Fund Models in 
Continuous Time, ASTIN Bulletin, vol. 30, no. 1, May, pp. 19‐55. 

28. Cairns, A.J.G., and Parker, G. (1997) Stochastic Pension Fund Modelling, Insurance: Mathematics and Econom‐
ics, vol. 21, no. 1, October, pp. 43‐79.  

29. Campbell, J.Y. and Viceira, L.M. (2002) Strategic Asset Allocation: Portfolio Choice for Long Term Investors, 
Oxford University Press. 

30. Cariño, D.R., Kent, T,, Myers, D.H., Stacy, C,, Sylvanus, M,, Turner, A.L., Watanabe, K, and Ziemba, W.T. (1994) 
The Russell‐Yasuda Kasai Model: An Asset‐Liability Model for a Japanese Insurance Company Using Multi‐
stage Stochastic Programming, Interfaces, vol. 24, no.1, January‐February, pp. 29‐49. 

31. Cariño, D.R., and Ziemba, W.T., (1998) Formulation of the Russell‐Yasuda Kasai Financial Planning Model, Op‐
erations Research, 46:4, July‐August, 433‐449. 

32. Cariño, D.R., Myers, D.H., and Ziemba, W.T. (1998) Concepts, Technical Issues and Uses of the Russell‐ Yasuda 
Kasai Financial Planning Model, Operations Research, vol. 46, no. 4, July‐August, 450‐462. 

33. Chang, S.C. and Chen, C.C. (2002) Allocating Unfunded Liability in Pension Valuation Under Uncertainty, In‐
surance: Mathematics and Economics, vol. 30, no. 3, June, pp. 371‐387. 

34. Chopra, V.K. and Ziemba, W.T. (1993) The Effect of Errors in Means, Variances and Covariances on Optimal 
Portfolio Choice, Journal of Portfolio Management, vol. 19, no. 2, Winter, pp. 6‐11. 

35. Constantinides, G.M. (2002) Rational Asset Prices, Journal of Finance, vol. 57, no. 4, August, pp. 1567‐1591. 

36. Cornell, B. (1999) The Equity Risk Premium: The Long‐Run Future of the Stock Market, John Wiley And Sons.  

37. Craft, T.M. (2001) The Role of Private and Public Real Estate in Pension Plan Portfolio Allocation Choices, Jour‐
nal of Real Estate Portfolio Management, vol. 7, no. 1, January‐March, pp. 17‐23.  

38. Craft, T.M. (2005) How Funding Ratios Affect Pension Plan Allocations, Journal of Real Estate Portfolio Man‐
agement, vol. 11, no. 1, January‐April, pp. 29‐35. 

39. Chun, G.H., Chiochetti, B.A. and Shilling, J.D. (2000) Pension Plan Real Estate Investment in an Asset‐Liability 
Framework, Real Estate Economics, vol. 28, no. 3, Fall, pp. 467‐491. 

40. Dert, C.L.  (1998) A Dynamic Model  for Asset Liability Management  for Defined Benefit Pension Funds.  In 
Worldwide Asset and Liability Modelling, edited by W.T. Ziemba and  J.M. Mulvey, Cambridge University 
Press, pp. 501‐536. 

41. Dimson, E., Marsh, P. and Staunton, M. (2002) The Triumph of the Optimists: 101 Years of Global Investment 
Returns, Princeton University Press.  

42. Dondi, G., Herzog, F., Schuman, L. & Geering, H.P. (2006) Dynamic Asset and Liability Management for Swiss 
Pension Funds. In Handbook of Asset and Liability Management, edited by S.A. Zenios and W.T. Ziemba, vol‐
ume B, Elsevier Science. 

43. Dowd, K. (2002) An Introduction to Market Risk Measurement, John Wiley. 

44. Drijver, S.J., Klein Haneveld, W.K. and Van Der Vlerk, M.H. (2002) ALM Model for Pension Funds: Numerical 
Results for a Prototype Model, Research Report, University of Grongingen. 

45. Drijver, S.J., Klein Haneveld, W.K. and Van Der Vlerk, M.H. (2003) Asset Liability Management Modelling Us‐
ing Multi‐Stage Mixed Integer Stochastic Programming. In Asset and Liability Management Tools: A Handbook 
for Best Practice, edited by B. Scherer, Risk Books, pp. 309‐324.  

46. Dufresne, D. (1986) Pension Funding and Random Rates of Return. In Insurance and Risk Theory edited by M. 
Goovaerts, F. De Vylder and J. Haezendonck, D. Reidel Publishing, pp. 277‐291. 

47. Dufresne, D. (1988) Moments of Pension Contributions and Fund Levels When Rates of Return are Random, 
Journal of the Institute of Actuaries, vol. 115, no. 3, September, pp. 535‐544. 

48. Dufresne, D. (1989) Stability of Pension Systems When Rates of Return are Random, Insurance: Mathematics 
and Economics, vol. 8, no. 1, March, pp. 71‐76. 

49. Dufresne,  D.  (1990a)  Fluctuations  of  Pension  Contributions  and  Fund  Level,  Actuarial  Research  Clearing 
House, pp. 111‐120. 



 

2007 ‐ 116  •  Economic Analysis® 

50. Dufresne, D. (1990b) The Distribution of a Perpetuity with Applications to Risk Theory and Pension Funding, 
Scandinavian Actuarial Journal, no. 1‐2, pp. 39‐79. 

51. Ederington, L.H. (1979) The Hedging Performance of the New Futures Markets, Journal of Finance, vol. 34, no. 
1, March, pp. 157‐170.  

52. Evans, M., Hastings, N. and Peacock, B. (1993) Statistical Distributions, second edition, John Wiley and Sons, 
chapter 18 ‐ gamma distributions. 

53. Exley, C.J., Mehta, S.J.B. and Smith, A.D. (1997) The Financial Theory of Defined Benefit Pension Schemes, Brit‐
ish Actuarial Journal, vol. 3, part 4, pp. 835‐966. 

54. Ezra, D.D. (1991) Asset Allocation by Surplus Optimization, Financial Analysts Journal, vol. 47, no. 1, January‐
February, pp. 51‐57. 

55. Fabozzi, F.J., Focardi, S.M. and Jonas, C.L. (2005) Market Experience with Modelling for Defined Benefit Pen‐
sion Funds: Evidence from Four Countries, Journal of Pension Economics and Finance, vol. 4, no. 3, November, 
pp. 313‐327. 

56. Faculty and Institute of Actuaries (2003) Pensions and Other Benefits, Subject 304 Core Reading, GN26: Pension 
Fund Terminology, Faculty and Institute of Actuaries, Oxford.  

57. Frankfurter, G.M. and Hill, J.M. (1981) A Normative Approach to Pension Fund Management,  Journal of Fi‐
nancial and Quantitative Analysis, vol. 16, no. 4, November, pp. 533‐558. 

58. Gerrard, R. and Haberman, S. (1996) Stability of Pension Systems When Gains‐Losses are Amortized and Rates 
of Return are Autoregressive, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 18, no. 1, May, pp. 59‐71. 

59. Geyer, A., Herold, W., Kontriner, K. and Ziemba, W.T. (2005) The Innovest Austrian Pension Fund Financial 
Planning Model InnoALM, Working paper, University of British Columbia, February. 

60. Gondzio, J. and Kouwenberg, R. (2001) High Performance Computing for Asset‐Liability Management, Opera‐
tions Research, vol. 49, no. 6, November‐December, pp. 879‐891. 

61. Haberman, S. (1990a) Stochastic Approach to Pension Funding Methods. In Proceedings of the 1st AFIR Interna‐
tional Colloquium, Paris, 1990, pp. 93‐112.  

62. Haberman, S. (1990b) Variability of Pension Contributions and Fund Levels With Random and Autoregressive 
Rates of Return, Actuarial Research Clearing House, pp. 141‐171. 

63. Haberman, S. (1992) Pension Funding with Time Delays: A Stochastic Approach, Insurance: Mathematics and 
Economics, vol. 11, no. 3, October, pp. 179‐189. 

64. Haberman, S. (1993a) Pension Funding with Time Delays and Autoregressive Rates of Investment Return, In‐
surance: Mathematics and Economics, vol. 13, no. 1, September, pp. 45‐56. 

65. Haberman,  S.  (1993b)  Pension  Funding:  The  Effect  of  Changing  the  Frequency  of  Valuations,  Insurance: 
Mathematics and Economics, vol. 13, no. 3, December, pp. 263‐270.  

66. Haberman, S. (1994a) Autoregressive Rates of Return and the Variability of Pension Contributions and Fund 
Levels for a Defined Benefit Pension Scheme, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 14, no. 3, July, pp. 
219‐240.  

67. Haberman, S, (1994b) Defined Benefit Pension Funding Models and Stochastic Investment Returns. Paper pre‐
sented to a joint meeting of the Staple Inn Actuarial Society and the Royal Statistical Society, March, 50 pages. 

68. Haberman, S. (1995) Pension Funding with Time Delays and the Optimal Spread Period, ASTIN Bulletin, vol. 
25, no. 2, November, pp. 177‐187. 

69. Haberman, S. (1997a) Stochastic Investment Returns and Contribution Rate Risk in a Defined Benefit Pension 
Scheme, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 19, no. 2, April, pp. 127‐139. 

70. Haberman, S. (1997b) Risk in a Defined Benefit Pension Scheme, Singapore International Insurance and Actuar‐
ial Journal, vol. 1, pp. 93‐103. 

71. Haberman, S. (1998) Stochastic Modelling of Pension Scheme Dynamics, Actuarial Research Report, No. 106, 
February, 35 pages. 

72. Haberman, S., Butt, Z. and Megaloudi, C. (2000) Contribution and Solvency Risk in a Defined Benefit Pension 
Scheme, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 27, no. 2, October, pp. 237‐259. 

73. Haberman, S., Day, C., Fogarty, D., Khorasanee, Z., McWhirter, M., Nash. N., Ngwira, B., Wright,  I.D. and 
Yakoubov, Y. (2003) A Stochastic Approach to Risk Management and Decision Making in Defined Benefit Pen‐
sion Schemes, Paper presented to the Institute of Actuaries, 27th January, 95 pages. 

74. Haberman, S. and Dufresne, D.  (1991) Variability of Pension Contributions and Fund Levels with Random 



 

Volume 40 • Autumn 2007 • 117 

 
Rates of Return. In Managing the Insolvency Risk of Insurance Companies, edited by J.D. Cummins and R.A. 
Derrig, Kluwer Academic Press, pp. 133‐145. 

75. Haberman, S. and Owadally, I. (2001) Modelling Defined Benefit Pension Schemes: Funding and Asset Valua‐
tion. Paper presented to the International Actuarial Association International Pensions Seminar, Brighton, 36 
pages.  

76. Haberman, S. and Wong, L.Y.P. (1997) Moving Average Rates of Return and the Variability of Pension Contri‐
butions and Fund Levels for a Defined Benefit Pension Scheme, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 20, 
no. 2, September, pp. 115‐135.  

77. Hakansson, N. (1970) Optimal Investment and Consumption Strategies Under Risk for a Class of Utility Func‐
tions, Econometrica, vol. 38, no. 5, September, pp. 587‐607. 

78. Hakansson, N.  (1971) On Optimal Myopic Portfolio Policies with and Without Serial Correlation of Yields, 
Journal of Business, vol. 44, no. 3, July, pp. 324‐334. 

79. Hilli, P, Koivu, M., Pennanen, T. and Ranne, A. (Forthcoming) A Stochastic Programming Model for Asset Li‐
ability Management of a Finnish Pension Company. Annals of Operations Research.  

80. Ibbotson, R.G. and Kaplan, P.D. (2000) Does Asset Allocation Policy Explain 40, 90 or 100 Percent of Perform‐
ance?, Financial Analysts Journal, vol. 56, no. 1, January‐February, pp. 26‐33. 

81. Johnson, N.L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1994) Continuous Univariate Distributions, volume 1, second edi‐
tion, John Wiley and Sons, New York, chapter 17 ‐ gamma distributions. 

82. Josa‐Fombellida, R. and Rincón‐Zapatero, J.P. (2001) Minimization of Risks in Pension Funding by Means of 
Contributions and Portfolio Selection, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 29, no. 1, August, pp. 35‐45. 

83. Jorion, P. (2000) Value at Risk : The New Benchmark for Managing Financial Risk, Second edition, McGraw‐
Hill. 

84. Kallberg, J.G. and Ziemba, W.T. (1984) Mis‐specification in Portfolio Selection Problems. In Risk and Capital ed‐
ited by G. Bämberg and K. Spremann, Springer‐Verlag, pp. 74‐87. 

85. Kingsland, L. (1982) Projecting the Financial Condition of a Pension Plan Using Simulation Analysis, Journal of 
Finance, vol. 37, no. 2, May, pp. 577‐584. 

86. Kouwenberg, R. (1997) Asset Liability Management for Pension Funds: Elements of Dert’s Model. In New Op‐
erational Approaches for Financial Modelling, edited by C. Zopounidis, Physica‐Verlag, pp. 37‐48. 

87. Kouwenberg, R. (2001) Scenario Generation and Stochastic Programming Models for Asset Liability Manage‐
ment, European Journal of Operations Research, vol. 134, no. 2, October, pp. 279‐292. 

88. Kusy, M.L. and Ziemba, W.T. (1986) A Bank Asset and Liability Management Model, Operations Research, vol 
34, no. 3, May‐June, 356‐376. 

89. Leibowitz, M.L., Bader, L.N. and Kogelman, S. (1996) Return Targets and Shortfall Risks: Studies in Strategic 
Asset Allocation, Irwin Professional Publishing. 

90. Logan, D. (1985) The Birth of a Pension Scheme: A History of the Universities Superannuation Scheme, Liver‐
pool University Press. 

91. MacBeth, J.D., Emanuel, D.C. and Heatter, C.E. (1994) An Investment Strategy for Defined Benefit Plans, Finan‐
cial Analysts Journal, vol. 50, no. 3, May‐June, pp. 34‐41. 

92. Mandl, P. and Mazurová, L. (1996) Harmonic Analysis of Pension Funding Methods, Insurance: Mathematics 
and Economics, vol. 17, no. 3, pp. 203‐214.  

93. Merton, R.C. (1992) Continuous‐Time Finance, Revised edition, Blackwell Publishing. 

94. Michaud, R.O. (1989) The Markowitz Optimization Enigma: Is ‘Optimized’ Optimal?, Financial Analysts Jour‐
nal, vol. 45, no. 1, January‐February, pp. 31‐42.  

95. Mossin, J. (1968) Optimal Multiperiod Portfolio Policies, Journal of Business, vol. 41, no. 2, April, pp. 215‐229. 

96. Mulvey, J.M., Fabozzi, F.J., Pauling, W.R., Simsek, K.D. and Zhang, Z. (2005) Modernizing the Defined Benefit 
Pension System, Journal of Portfolio Management, vol. 31, no. 2, Winter, pp. 73‐82. 

97. Mulvey, J.M., Gould, G. and Morgan, C. (2000) An Asset and Liability Management System for Towers Perrin‐
Tillinghast, Interfaces, vol. 30, no. 1, January‐February, pp. 96‐114. 

98. Mulvey, J.M., Simsek, K.D. and Pauling, B. (2003) A Stochastic Network Approach for Integrating Pension and 
Corporate Financial Planning. In Innovations  in Financial and Economic Networks, edited by A. Nagurney, 
Edward Elgar, pp. 67‐83. 



 

2007 ‐ 118  •  Economic Analysis® 

99. Mulvey, J.M. and Thorlacius, A.E. (1998) The Towers Perrin Global Capital Market Scenario Generation System. 
In Worldwide Asset and Liability Modelling, edited by W.T. Ziemba and J.M. Mulvey, Cambridge University 
Press, pp. 286‐312.  

100. Nijman, T. and Swinkels, L. (2003) Strategies and Tactical Allocation to Commodities for Retirement Savings 
Schemes, Discussion paper no. 20, February, Tilburg University. 

101. Owadally, M.I. and Haberman, S. (1999) Pension Fund Dynamics and Gains/Losses Due to Random Rates of 
Investment Return, North American Actuarial Journal, vol. 3, no. 3, pp. 105‐117. 

102. Owadally, M.I. and Haberman, S. (2000) Efficient Amortization of Actuarial Gains and Losses in Pension Plans, 
Actuarial Research Clearing House, pp. 275‐317. 

103. Ralfe, J. (2001) Why Bonds Are Right for Pension Funds, Risk, vol. 14, no. 11, November, pp. 54‐55. 

104. Ralfe, J., Speed, C. and Palin, J. (2003) Pensions and Capital Structure: Why Hold Equities in the Pension Fund? 
Society of Actuaries Symposium on the Great Controversy: Current Pension Actuarial Practice in Light of Fi‐
nancial Economics, Vancouver, June. 

105. Rudolf, M. & Ziemba, W.T.  (2004)  Intertemporal Surplus Management,  Journal of Economic Dynamics and 
Control, vol. 28, no, 5, February, pp. 975‐990. 

106. Secretary of State for Work and Pensions (2002) Simplicity, Security and Choice: Working and Saving for Re‐
tirement, Green Paper, Cm 5677, December.  

107. Sharpe, W.F. (1990) Asset Allocation. In Managing Investment Portfolios: A Dynamic Process, Second edition, 
edited by J.L. Maginn and D.L. Tuttle, Warren, Gorham and Lamont, chapter 7, pp. 7.1‐7.71. 

108. Sharpe, W.F. and Tint, L.G. (1990) Liabilities ‐ A New Approach, Journal of Portfolio Management, vol. 16, no. 
2, Winter, pp. 5‐10. 

109. Siegel, J.J. (2002) Stocks for the Long Run, Third edition, McGraw Hill. 

110. Sutcliffe, C.M.S. (2005) The Cult of the Equity for Pension Funds: Should it Get the Boot?, Journal of Pension 
Economics and Finance, vol. 4, no. 1. March, pp. 57‐85. 

111. Tepper, I. (1974) Optimal Financial Strategies for Trusteed Pension Plans, Journal of Financial and Quantitative 
Analysis, vol. 9, no. 3, June, pp. 357‐376. 

112. Thornton, P.N. and Wilson, A.F. (1992) A Realistic Approach to Pension Funding, Journal of the Institute of Ac‐
tuaries, vol. 119, pp. 229‐277. 

113. Universities Superannuation Scheme (2002) Report and Accounts for the Year Ended 31 March 2002. 

114. Universities Superannuation Scheme (2003) Actuarial Valuation Report as at 31 March 2002, March 2003.  

115. Waring, M.B. (2004) Liability‐Relative Investing II, Journal of Portfolio Management, vol. 31, no. 1, Fall, pp. 40‐
53. 

116. Wright, I.D. (1998) Traditional Pension Fund Valuation in a Stochastic Asset and Liability Environment, British 
Actuarial Journal, vol. 4, part 4, pp. 865‐901. 

117. Yang, T. (2003) Defined Benefit Pension Plan Liabilities and International Asset Allocation, Pension Research 
Council Working Paper no. 2003‐5, University of Pennsylvania. 

118. Ziemba, W.T. (2003) The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management, The 
Research Foundation of AIMR, Charlottesville, Virginia. 

119. Ziemba, W.T. (2006) The Russell Yasuda, InnoALM and Related Models for Pensions, Insurance Companies 
and High Net Worth Individuals. In Handbook of Asset and Liability Management, edited by S.A. Zenios and 
W.T. Ziemba, volume B, Elsevier Science. 

120. Zimbidis, A. and Haberman, S. (1993) Delay, Feedback and Variability of Pension Contributions and Fund Lev‐
els, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 13, no. 3, December, pp. 271‐285.