id	author	title	date	pages	extension	mime	words	sentence	flesch	summary	cache	txt
ejde-778	Liu, Mengqian; Niu, Lei; Wu, Zhigang	Existence and uniqueness of global strong solutions for 3D fractional compressible systems	2025	33	.pdf	application/pdf	10341	429	76	Specifically, |I22| = | − 3∑ i=1 ⟨[∆j , µ′ (κ+ 1 aρ) a − µ]DiΛ 2αu, Diuj⟩ | ≲ 3∑ i=1 cj2 −js∥ρ∥Hs+1∥Di∇Λ2α−2u∥Hs∥Diuj∥, |I23| = | − ⟨[∆j ,u · ∇]∇ρ,∇Λ2ρj⟩| ≲ cj2 −js∥∇u∥Hs∥∇ρ∥Hs∥∇Λ2ρj∥, |I24| = | − ⟨[∆j ,u · ∇]∇u,∇Λ2uj⟩| ≲ cj2 −js∥∇u∥Hs∥∇u∥Hs∥∇Λ2uj∥, |I25| = | − 1 a ⟨[∆j , ρ]∇divu,∇Λ2ρj⟩| ≲ cj2 −js∥∇ρ∥Hs∥ divu∥Hs∥∇Λ2ρj∥, |I26| = | − 1 a ⟨[∆j , ρ]∇2ρ,∇Λ2uj⟩| ≲ cj2 −js∥∇ρ∥Hs∥∇ρ∥Hs∥∇Λ2uj∥, |I27| = |⟨[∆j , ( µ′ (κ+ 1 aρ) a − µ)]∇Λ2αu,∇Λ2uj⟩| ≲ cj2 −js∥ρ∥Hs+1∥Λ2αu∥Hs∥∇Λ2uj∥. Inserting the above inequalities about I1 − I27 into (3.16), we have 1 2 d dt (∥ρj∥2 + ∥uj∥2 + 3∑ i=1 ∥Diρj∥2 + 3∑ i=1 ∥Diuj∥2 + ∥Λ2ρj∥2 + ∥Λ2uj∥2 + 2β1⟨∇ρj ,uj⟩+ 2β2 3∑ i=1 ⟨Di∇ρj , Diuj⟩) + ⟨ µ′ (κ+ 1 aρ) a Λαuj ,Λ αuj⟩ + 3∑ i=1 ⟨ µ′ (κ+ 1 aρ) a DiΛ αuj , DiΛ αuj⟩ + ⟨( µ′ (κ+ 1 aρ) a − µ)∇Λ1+αuj ,∇Λ1+αuj⟩ + µ∥Λ2+αuj∥2 + β1κ∥∇ρj∥2 + β2κ 3∑ i=1 ∥Di∇ρj∥2 ≲ β1κ∥divu∥2 + β2κ 3∑ i=1 ∥Di divu∥2 + 8ϵ1∥∇ρj∥2 + 5ϵ1∥Λ2ρj∥2 + 4ϵ1 3∑ i=1 ∥Di∇ρj∥2 + 5ϵ1∥Λαuj∥2 (3.17) + 4ϵ1 3∑ i=1 ∥ΛαDiuj∥2 + 7ϵ1∥ΛαΛ2uj∥2 + 2ϵ1 3∑ i=1 ∥Λα divDiuj∥2 + ϵ1∥∇Λ1+αuj∥2 + Cϵ1β 2 1∥Λ2αuj∥2 + Cϵ1β 2 2 3∑ i=1 ∥DiΛ 2αuj∥2 + 2−2jCϵ1(∥∆j(u · ∇ρ)∥2 + ∥∆j(ρdivu)∥2) + 2−2jαCϵ1(∥∆j(u · ∇u)∥2 + ∥∆j(ρ∇ρ)∥2) EJDE-2025/35 FRACTIONAL COMPRESSIBLE SYSTEMS 17 + Cϵ1 3∑ i=1 ( ∥Di∆j(u · ∇ρ)∥2 + ∥Di∆j(ρdivu)∥2 ) + 2−2jαCϵ1 3∑ i=1 ( ∥Di∆j(u · ∇u)∥2 + ∥Di∆j ( ρ∇ρ)∥2 + ∥∥∆j(Di( µ′ (κ+ 1 aρ) a − µ)Λ2αu) ∥∥2) + Cϵ1 ( ∥ div∆j(∇u · ∇ρ)∥2 + ∥ div∆j(∇ρdivu)∥2 ) + 2−2jαCϵ1∥∇u∥2L∞∥∇2uj∥2 + 2−2jαCϵ1∥ div u∥2L∞∥Λ2uj∥2 + 2−2jαCϵ1∥div∆j(∇u · ∇u)∥2 + 2−2jαCϵ1∥div∆j(∇ρ∇ρ)∥2 + Cϵ1∥∇u∥2L∞∥∇2ρj∥2 + Cϵ1∥ divu∥2L∞∥Λ2ρj∥2 + Cϵ1∥∇ρ∥2L∞∥∇ divuj∥2 + 2−2jαCϵ1∥∇ρ∥2L∞(∥∇2ρj∥2 + ∥Λ2ρj∥2) + 2−2jαCϵ1∥div∆j(∇( µ′ (κ+ 1 aρ) a − µ)Λ2αu)∥2 + 2−2jαCϵ1β 2 1(∥∇∆j(u · ∇ρ)∥2 + ∥∇∆j(ρdivu)∥2) + Cϵ1β 2 1 ( ∥∆j(ρ∇ρ)∥2 + ∥∆j(u · Similarly, |I3| = | − 3∑ i=1 ⟨Di∆j(u · ∇ρ), Diρj⟩ − 3∑ i=1 1 a ⟨Di∆j(ρdivu), Diρj⟩| ≲ Cϵ1 3∑ i=1 ∥Di∆j(u · ∇ρ)∥2 + Cϵ1 3∑ i=1 ∥Di∆j(ρ divu)∥2 + 2ϵ1∥∇ρj∥2, 14 M. LIU, L. NIU, Z. WU EJDE-2025/35 |I4|	cache/ejde-778.pdf	txt/ejde-778.txt