id sid eid entity type ejde-43 1 1 2023 CARDINAL ejde-43 1 2 2023 CARDINAL ejde-43 1 3 26 CARDINAL ejde-43 2 1 1–11 CARDINAL ejde-43 3 1 issn PERSON ejde-43 3 2 1072-6691 DATE ejde-43 4 1 amin fereidooni PERSON ejde-43 4 2 abbas moameni PERSON ejde-43 4 3 anant grewal PERSON ejde-43 4 4 claudianor o. alves ORG ejde-43 8 1 1 CARDINAL ejde-43 9 1 ∀x ∈ ω ORG ejde-43 9 2 ∇ GPE ejde-43 9 3 1.1 CARDINAL ejde-43 9 4 ω ORG ejde-43 9 5 2 CARDINAL ejde-43 9 6 3 DATE ejde-43 9 7 4 DATE ejde-43 9 8 ∈ ORG ejde-43 10 1 ω ORG ejde-43 12 1 ω ⊂ ORG ejde-43 12 2 2 CARDINAL ejde-43 12 3 3 DATE ejde-43 12 4 4 DATE ejde-43 12 5 ∈ ORG ejde-43 13 1 k=1 uk ∂vj ∂xk PERSON ejde-43 14 1 jth PRODUCT ejde-43 18 1 2020 DATE ejde-43 19 1 35q30 CARDINAL ejde-43 19 2 37k58 CARDINAL ejde-43 22 1 2023 CARDINAL ejde-43 23 1 4.0 CARDINAL ejde-43 24 1 august 14 DATE ejde-43 24 2 2022 CARDINAL ejde-43 25 1 march 7 DATE ejde-43 25 2 2023 CARDINAL ejde-43 26 1 1 2 CARDINAL ejde-43 26 2 a. fereidooni PERSON ejde-43 26 3 a. moameni PERSON ejde-43 26 4 a. grewal PERSON ejde-43 26 5 1.1 CARDINAL ejde-43 27 1 one CARDINAL ejde-43 27 2 two CARDINAL ejde-43 27 3 λu+ f(x ORG ejde-43 28 1 −∇pv ∀x PERSON ejde-43 28 2 η dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 28 3 η dx PERSON ejde-43 29 1 − ∫ ω ∇v · ORG ejde-43 30 1 dx PERSON ejde-43 30 2 ∈ ORG ejde-43 32 1 −∇pv ∀x PERSON ejde-43 32 2 ∈ ORG ejde-43 33 1 λū+ f(x ORG ejde-43 34 1 ∆ū−∇pū DATE ejde-43 34 2 ∀x ∈ ω ORG ejde-43 35 1 ∈ ORG ejde-43 36 1 3d CARDINAL ejde-43 36 2 1.1 CARDINAL ejde-43 36 3 u1(x1 CARDINAL ejde-43 37 1 x3 GPE ejde-43 38 1 x3 GPE ejde-43 39 1 x3 GPE ejde-43 40 1 π1(x1 PERSON ejde-43 41 1 x3 GPE ejde-43 41 2 π2(x1 GPE ejde-43 41 3 x1,−x2 ORG ejde-43 41 4 x3 PERSON ejde-43 42 1 x2,−x3 NORP ejde-43 43 1 k. PERSON ejde-43 45 1 ∀x ∈ ω ORG ejde-43 45 2 ∇ GPE ejde-43 45 3 ∈ ORG ejde-43 46 1 1.2 CARDINAL ejde-43 46 2 ω CARDINAL ejde-43 46 3 3 CARDINAL ejde-43 46 4 1 CARDINAL ejde-43 48 1 n + 1 PRODUCT ejde-43 49 1 ∪ni=0∂ωi ORG ejde-43 50 1 1.1 CARDINAL ejde-43 51 1 n(x GPE ejde-43 51 2 ∂ωi a(x PERSON ejde-43 52 1 n(x GPE ejde-43 52 2 n(x GPE ejde-43 54 1 2d DATE ejde-43 54 2 10 CARDINAL ejde-43 54 3 3d CARDINAL ejde-43 55 1 first ORDINAL ejde-43 55 2 1933 DATE ejde-43 55 3 13 CARDINAL ejde-43 56 1 ∂ωi a(x PERSON ejde-43 57 1 n(x GPE ejde-43 57 2 0 CARDINAL ejde-43 59 1 several decades DATE ejde-43 59 2 2d DATE ejde-43 59 3 3d CARDINAL ejde-43 60 1 n∑ i=0 ORG ejde-43 60 2 ∂ωi a(x PERSON ejde-43 60 3 n(x GPE ejde-43 60 4 11 CARDINAL ejde-43 60 5 4 DATE ejde-43 60 6 6 DATE ejde-43 60 7 19 DATE ejde-43 60 8 12 DATE ejde-43 60 9 9 DATE ejde-43 60 10 8 DATE ejde-43 60 11 2 DATE ejde-43 60 12 17 CARDINAL ejde-43 63 1 1 CARDINAL ejde-43 63 2 first ORDINAL ejde-43 63 3 ω ⊂ r2 ORG ejde-43 63 4 π1(x1 PERSON ejde-43 65 1 amick ORG ejde-43 65 2 1984 DATE ejde-43 65 3 1.2 CARDINAL ejde-43 68 1 18 CARDINAL ejde-43 69 1 fujita ORG ejde-43 70 1 5 CARDINAL ejde-43 71 1 14 CARDINAL ejde-43 73 1 16 CARDINAL ejde-43 73 2 15 CARDINAL ejde-43 73 3 korobkov et al PERSON ejde-43 74 1 10 CARDINAL ejde-43 75 1 4 CARDINAL ejde-43 75 2 a. fereidooni PERSON ejde-43 75 3 a. moameni PERSON ejde-43 75 4 a. grewal PERSON ejde-43 75 5 2 DATE ejde-43 76 1 1.1 CARDINAL ejde-43 76 2 1.1 CARDINAL ejde-43 77 1 ∈ ORG ejde-43 77 2 k PERSON ejde-43 78 1 2 CARDINAL ejde-43 78 2 3 DATE ejde-43 78 3 4 DATE ejde-43 79 1 k=1 uk ∂vj ∂xk ej PERSON ejde-43 79 2 2.1 CARDINAL ejde-43 79 3 jth PRODUCT ejde-43 82 1 2.1 CARDINAL ejde-43 84 1 k × k → r ORG ejde-43 85 1 〉 CARDINAL ejde-43 86 1 ∩ k PERSON ejde-43 86 2 un ORG ejde-43 87 1 rellich-konrachov ORG ejde-43 87 2 un ORG ejde-43 87 3 1 ≤ MONEY ejde-43 87 4 2m/(m− 2 CARDINAL ejde-43 88 1 4.3 CARDINAL ejde-43 88 2 appendix NORP ejde-43 89 1 ∫ ω ORG ejde-43 89 2 un ORG ejde-43 90 1 − ∫ ω ORG ejde-43 90 2 un ORG ejde-43 91 1 2.2 CARDINAL ejde-43 91 2 |m1(un ORG ejde-43 91 3 v)| DATE ejde-43 91 4 k=1 ∫ ω ORG ejde-43 91 5 ∂vj ∂xk unj FAC ejde-43 92 1 ∣∣∣ ≤ ‖v‖c1(ω MONEY ejde-43 96 1 ∫ ω |ukunj ORG ejde-43 100 1 ∈ ORG ejde-43 101 1 4.2 CARDINAL ejde-43 101 2 m(u PERSON ejde-43 101 3 1 2 CARDINAL ejde-43 101 4 ∫ ω ORG ejde-43 101 5 1 2 CARDINAL ejde-43 101 6 ∫ ω |∇v|2dx+ ∫ ω ORG ejde-43 101 7 u− v)dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 102 1 ∈ ORG ejde-43 103 1 2.2 CARDINAL ejde-43 104 1 m(u PERSON ejde-43 104 2 k ×k ORG ejde-43 106 1 un ORG ejde-43 106 2 • CARDINAL ejde-43 106 3 n→∞ CARDINAL ejde-43 106 4 ∫ ω |∇un|2dx ORG ejde-43 106 5 5 • CARDINAL ejde-43 106 6 0 CARDINAL ejde-43 106 7 4.3 CARDINAL ejde-43 106 8 appendix NORP ejde-43 106 9 〉 CARDINAL ejde-43 106 10 2.1 CARDINAL ejde-43 106 11 • CARDINAL ejde-43 106 12 ∈ ORG ejde-43 106 13 un → u ORG ejde-43 106 14 ∫ ω ORG ejde-43 107 1 lim n→∞ ∫ ω f(x)undx ORG ejde-43 108 1 m(u PERSON ejde-43 109 1 1.1 CARDINAL ejde-43 110 1 1 CARDINAL ejde-43 111 1 m(u PERSON ejde-43 111 2 1 2 CARDINAL ejde-43 111 3 ∫ ω ORG ejde-43 111 4 1 2 CARDINAL ejde-43 111 5 ∫ ω |∇v|2dx+ ∫ ORG ejde-43 112 1 u− v)dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 113 1 ∈ ORG ejde-43 114 1 4.1 CARDINAL ejde-43 114 2 1 CARDINAL ejde-43 114 3 2.2 CARDINAL ejde-43 115 1 2 CARDINAL ejde-43 115 2 7→m(u CARDINAL ejde-43 115 3 m(u PERSON ejde-43 115 4 1 2 CARDINAL ejde-43 115 5 ∫ ω |∇v|2dx ORG ejde-43 116 1 3 CARDINAL ejde-43 116 2 m(u PERSON ejde-43 116 3 4 CARDINAL ejde-43 116 4 4.1 CARDINAL ejde-43 117 1 m(u PERSON ejde-43 118 1 k0 ORG ejde-43 118 2 m(u PERSON ejde-43 119 1 1 2 CARDINAL ejde-43 119 2 1 2 CARDINAL ejde-43 119 3 ∫ ω |∇u|2dx ORG ejde-43 119 4 − ∫ ω f(x ORG ejde-43 122 1 k0 ORG ejde-43 123 1 ∈ ORG ejde-43 125 1 1 2 CARDINAL ejde-43 125 2 ∫ ω ORG ejde-43 126 1 1 2 CARDINAL ejde-43 126 2 ∫ ω |∇v|2dx+ ∫ ω ORG ejde-43 126 3 ū− v)dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 128 1 2.3 CARDINAL ejde-43 129 1 ω CARDINAL ejde-43 129 2 η dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 130 1 η dx PERSON ejde-43 131 1 − ∫ ω ∇v̄ ORG ejde-43 131 2 dx PERSON ejde-43 131 3 ∀η ∈ PRODUCT ejde-43 131 4 2.4 CARDINAL ejde-43 131 5 η = ū− v̄ ORG ejde-43 131 6 ω CARDINAL ejde-43 132 1 ∫ ω f(x ORG ejde-43 135 1 − ∫ ω ∇v̄ ORG ejde-43 135 2 ∇ GPE ejde-43 135 3 ū− v̄ ORG ejde-43 136 1 2.5 CARDINAL ejde-43 136 2 2.3 CARDINAL ejde-43 136 3 1 2 CARDINAL ejde-43 136 4 ∫ ω ORG ejde-43 137 1 1 2 CARDINAL ejde-43 137 2 ∫ ω |∇v̄|2dx+ ∫ ω ORG ejde-43 137 3 6 CARDINAL ejde-43 137 4 a. fereidooni PERSON ejde-43 137 5 a. moameni PERSON ejde-43 137 6 a. grewal PERSON ejde-43 137 7 two CARDINAL ejde-43 137 8 2.5 CARDINAL ejde-43 137 9 1 2 CARDINAL ejde-43 137 10 ∫ ω ORG ejde-43 138 1 1 2 CARDINAL ejde-43 138 2 ∫ ω ORG ejde-43 139 1 ∇ GPE ejde-43 139 2 ū− v̄ ORG ejde-43 140 1 1 2 CARDINAL ejde-43 140 2 ∫ ω ORG ejde-43 141 1 0 CARDINAL ejde-43 141 2 ω ORDINAL ejde-43 142 1 2.4 CARDINAL ejde-43 142 2 ω CARDINAL ejde-43 142 3 η dx+ ∫ ω f(x ORG ejde-43 143 1 η dx PERSON ejde-43 144 1 ∫ ω ORG ejde-43 144 2 dx PERSON ejde-43 144 3 ∈ ORG ejde-43 144 4 λū+ f(x PERSON ejde-43 144 5 ∆ū−∇pū DATE ejde-43 144 6 ∀x ∈ ω ORG ejde-43 144 7 ∈ ORG ejde-43 145 1 2 CARDINAL ejde-43 146 1 4.3 CARDINAL ejde-43 148 1 2.6 CARDINAL ejde-43 148 2 1 CARDINAL ejde-43 148 3 3 CARDINAL ejde-43 148 4 1.1 CARDINAL ejde-43 148 5 three CARDINAL ejde-43 149 1 two CARDINAL ejde-43 150 1 π1(x1 PERSON ejde-43 151 1 x3 GPE ejde-43 151 2 π2(x1 GPE ejde-43 151 3 x1,−x2 ORG ejde-43 151 4 x3 PERSON ejde-43 152 1 x2,−x3 NORP ejde-43 153 1 3.1 CARDINAL ejde-43 154 1 3d CARDINAL ejde-43 154 2 1.1 CARDINAL ejde-43 155 1 ω ORG ejde-43 156 1 u1(x1 CARDINAL ejde-43 157 1 x3 GPE ejde-43 158 1 x3 GPE ejde-43 159 1 x3 GPE ejde-43 160 1 3.1 CARDINAL ejde-43 160 2 f(x ORG ejde-43 161 1 x3 GPE ejde-43 161 2 x3 GPE ejde-43 161 3 x3 GPE ejde-43 162 1 7 CARDINAL ejde-43 163 1 1 CARDINAL ejde-43 164 1 k ⊂ PERSON ejde-43 164 2 3.1 CARDINAL ejde-43 164 3 ω LOC ejde-43 165 1 un ORG ejde-43 165 2 un ORG ejde-43 165 3 un ORG ejde-43 166 1 ∈ ω ORG ejde-43 167 1 3.1 CARDINAL ejde-43 167 2 ω LOC ejde-43 169 1 2 CARDINAL ejde-43 170 1 f(x PRODUCT ejde-43 172 1 −∇pv ∀x PERSON ejde-43 172 2 3.2 CARDINAL ejde-43 174 1 1 2 CARDINAL ejde-43 174 2 ∫ ω |∇w|2dx+ ORG ejde-43 175 1 w dx+ PERCENT ejde-43 175 2 ∫ ω f(x ORG ejde-43 176 1 w dx PERSON ejde-43 177 1 3.2 CARDINAL ejde-43 178 1 3 CARDINAL ejde-43 179 1 v̄1(x1 WORK_OF_ART ejde-43 179 2 x3 GPE ejde-43 179 3 x3 GPE ejde-43 179 4 v̄3(x1 PRODUCT ejde-43 180 1 x3 GPE ejde-43 181 1 3.3 CARDINAL ejde-43 181 2 1 2 CARDINAL ejde-43 181 3 ∫ ω |∇v̄(x)|2dx+ ∫ ω ORG ejde-43 181 4 ∫ ω f(x ORG ejde-43 184 1 x3 GPE ejde-43 185 1 first ORDINAL ejde-43 186 1 v(x̄ ORG ejde-43 187 1 3.4 CARDINAL ejde-43 187 2 u(x ORG ejde-43 188 1 d1u3(x PERSON ejde-43 188 2 d2u3(x GPE ejde-43 188 3 −d2u1(x̄ GPE ejde-43 189 1 d3u2(x̄ GPE ejde-43 192 1 3.5 CARDINAL ejde-43 192 2 3.4 CARDINAL ejde-43 198 1 3.1 CARDINAL ejde-43 198 2 3.3 CARDINAL ejde-43 198 3 3.5 CARDINAL ejde-43 200 1 −u1(x̄))(+d1u1(x̄ GPE ejde-43 203 1 −v1(x̄ ORG ejde-43 204 1 8 CARDINAL ejde-43 204 2 a. fereidooni PERSON ejde-43 204 3 a. moameni PERSON ejde-43 204 4 a. grewal PERSON ejde-43 211 1 v(x̄ ORG ejde-43 212 1 f(x ORG ejde-43 214 1 v(x̄ ORG ejde-43 215 1 1 CARDINAL ejde-43 215 2 1 2 CARDINAL ejde-43 215 3 ∫ ω |∇v(x̄)|2dx̄+ ∫ ω λu(x̄ ORG ejde-43 216 1 v(x̄ ORG ejde-43 216 2 dx̄+ ∫ ω f(x̄ ORG ejde-43 216 3 v(x̄ ORG ejde-43 217 1 4 CARDINAL ejde-43 221 1 3.2 CARDINAL ejde-43 221 2 ∈ ORG ejde-43 221 3 5 CARDINAL ejde-43 221 4 1.1 CARDINAL ejde-43 221 5 ∈ ORG ejde-43 223 1 ∆ū−∇pū DATE ejde-43 223 2 ∀x ∈ ω ORG ejde-43 224 1 ∈ ORG ejde-43 227 1 −u1(x PERSON ejde-43 227 2 γ2(u1(x PERSON ejde-43 231 1 two CARDINAL ejde-43 232 1 1 CARDINAL ejde-43 232 2 2 DATE ejde-43 232 3 3 CARDINAL ejde-43 232 4 3.2 CARDINAL ejde-43 233 1 3d CARDINAL ejde-43 233 2 1.1 CARDINAL ejde-43 235 1 ω ORG ejde-43 240 1 9 CARDINAL ejde-43 240 2 f(x ORG ejde-43 242 1 f(x ORG ejde-43 244 1 k. proof PERSON ejde-43 245 1 3 CARDINAL ejde-43 245 2 π̄1 GPE ejde-43 247 1 two CARDINAL ejde-43 247 2 2d DATE ejde-43 248 1 3.3 CARDINAL ejde-43 249 1 3d CARDINAL ejde-43 249 2 1.1 CARDINAL ejde-43 250 1 ω ORG ejde-43 251 1 ω → ω ORG ejde-43 252 1 π(x1 ORG ejde-43 253 1 3.6 CARDINAL ejde-43 254 1 f(x ORG ejde-43 255 1 3.7 CARDINAL ejde-43 255 2 k. proof PERSON ejde-43 256 1 3.2 CARDINAL ejde-43 256 2 1 CARDINAL ejde-43 257 1 3.4 CARDINAL ejde-43 258 1 3d CARDINAL ejde-43 258 2 1.1 CARDINAL ejde-43 259 1 ω ORG ejde-43 259 2 ω → ω ORG ejde-43 264 1 f(x ORG ejde-43 266 1 f(x ORG ejde-43 266 2 f3(x PERSON ejde-43 267 1 k. proof PERSON ejde-43 268 1 3.2 CARDINAL ejde-43 268 2 3 CARDINAL ejde-43 268 3 1 CARDINAL ejde-43 268 4 2 DATE ejde-43 268 5 3 CARDINAL ejde-43 268 6 ky ORG ejde-43 268 7 3 CARDINAL ejde-43 269 1 4.1 CARDINAL ejde-43 270 1 1 CARDINAL ejde-43 270 2 2 CARDINAL ejde-43 270 3 10 CARDINAL ejde-43 270 4 a. fereidooni PERSON ejde-43 270 5 a. moameni PERSON ejde-43 270 6 a. grewal PERSON ejde-43 270 7 3 CARDINAL ejde-43 270 8 γ ∈ ORG ejde-43 271 1 m(x NORP ejde-43 271 2 4 CARDINAL ejde-43 271 3 m(x GPE ejde-43 272 1 m(x̄ PRODUCT ejde-43 275 1 4.2 CARDINAL ejde-43 276 1 w GPE ejde-43 276 2 2 CARDINAL ejde-43 276 3 3 DATE ejde-43 276 4 4 CARDINAL ejde-43 276 5 f(u PRODUCT ejde-43 278 1 k=1 uk ∂vj ∂xk wj PERSON ejde-43 279 1 4.1 CARDINAL ejde-43 279 2 f(u GPE ejde-43 279 3 w GPE ejde-43 282 1 4.2 CARDINAL ejde-43 283 1 2m m−2 TIME ejde-43 283 2 ω ORDINAL ejde-43 283 3 c‖u‖h1‖v‖h1‖w‖h1 WORK_OF_ART ejde-43 283 4 4.3 CARDINAL ejde-43 283 5 f(u GPE ejde-43 283 6 w GPE ejde-43 284 1 4.3 CARDINAL ejde-43 286 1 f(u GPE ejde-43 287 1 ∇ GPE ejde-43 288 1 〉 CARDINAL ejde-43 288 2 −f(u ORG ejde-43 288 3 w GPE ejde-43 288 4 4.4 CARDINAL ejde-43 288 5 f(u PERSON ejde-43 288 6 〉 CARDINAL ejde-43 288 7 0 CARDINAL ejde-43 288 8 4.5 CARDINAL ejde-43 290 1 〉 CARDINAL ejde-43 290 2 ∫ ω m∑ j ORG ejde-43 290 3 k=1 uk ∂vj ∂xk PERSON ejde-43 291 1 k=1 ∂uk ∂xk PERSON ejde-43 294 1 ∂wj ∂xk PERSON ejde-43 294 2 ∇ GPE ejde-43 295 1 〉 CARDINAL ejde-43 296 1 f(u GPE ejde-43 296 2 w GPE ejde-43 296 3 4.2 CARDINAL ejde-43 297 1 〉 CARDINAL ejde-43 297 2 〉 CARDINAL ejde-43 297 3 〉 CARDINAL ejde-43 297 4 0 CARDINAL ejde-43 297 5 4.6 CARDINAL ejde-43 298 1 the national research council of canada ORG ejde-43 300 1 11 CARDINAL ejde-43 300 2 1 CARDINAL ejde-43 300 3 charles j. amick PERSON ejde-43 300 4 indiana university mathematics journal ORG ejde-43 300 5 33 CARDINAL ejde-43 300 6 1984 DATE ejde-43 300 7 6 CARDINAL ejde-43 300 8 817–830 CARDINAL ejde-43 301 1 2 CARDINAL ejde-43 301 2 w. borchers PERSON ejde-43 301 3 k. pileckas PERSON ejde-43 301 4 mathematica PERSON ejde-43 301 5 37 CARDINAL ejde-43 301 6 1994 DATE ejde-43 301 7 1 CARDINAL ejde-43 302 1 3 CARDINAL ejde-43 302 2 haim brézis PERSON ejde-43 302 3 lous nirenberg PERSON ejde-43 302 4 un ORG ejde-43 302 5 6 CARDINAL ejde-43 302 6 1972 DATE ejde-43 302 7 4 CARDINAL ejde-43 302 8 293–300 CARDINAL ejde-43 303 1 4 CARDINAL ejde-43 303 2 robert finn PERSON ejde-43 303 3 acta mathematica PERSON ejde-43 303 4 105 (1961 DATE ejde-43 303 5 3 CARDINAL ejde-43 303 6 197–244 CARDINAL ejde-43 304 1 5 CARDINAL ejde-43 304 2 h. fujita PERSON ejde-43 304 3 1998 DATE ejde-43 304 4 16–30 CARDINAL ejde-43 305 1 6 CARDINAL ejde-43 305 2 hiroshi fujita PERSON ejde-43 305 3 j. fac ORG ejde-43 306 1 sci. 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