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ejde-816	221	2	dx ≥ κ αp+	ORG
ejde-816	221	3	∫ ∂ω g(x	ORG
ejde-816	221	4	u)dσx	ORG
ejde-816	224	1	dx ≥ κ αp+ ∥u∥p + β(x	ORG
ejde-816	224	2	∫ ω	ORG
ejde-816	226	1	λ ∫ ω h(x)u	ORG
ejde-816	226	2	dx ≥ κ αp+ ∥u∥p + β(x	ORG
ejde-816	227	1	q− 4	DATE
ejde-816	227	2	− β(x	GPE
ejde-816	227	3	αp+ αp+−1 ∥u∥β(x	ORG
ejde-816	227	4	q− 4	DATE
ejde-816	227	5	αp+ αp+−1 ) ∥u∥β(x	ORG
ejde-816	228	1	2αp+ ∥u∥p +−1 β(x	DATE
ejde-816	229	1	q− 4	DATE
ejde-816	229	2	αp+ αp+−1 ) ∥u∥β(x	ORG
ejde-816	229	3	c3	PERSON
ejde-816	229	4	3.3	CARDINAL
ejde-816	231	1	2αp+	CARDINAL
ejde-816	231	2	q−	DATE
ejde-816	231	3	q−	PERSON
ejde-816	231	4	0	CARDINAL
ejde-816	233	1	0	CARDINAL
ejde-816	233	2	2c3∥h∥	DATE
ejde-816	233	3	0	CARDINAL
ejde-816	233	4	0	CARDINAL
ejde-816	233	5	0	CARDINAL
ejde-816	233	6	∥u∥β(x	ORG
ejde-816	234	1	3.5	CARDINAL
ejde-816	236	1	∥e∥β(x	DATE
ejde-816	237	1	3.4	CARDINAL
ejde-816	239	1	0	CARDINAL
ejde-816	241	1	∈ ω	ORG
ejde-816	241	2	∈	ORG
ejde-816	242	1	1	CARDINAL
ejde-816	243	1	γ′2(τ	ORG
ejde-816	244	1	0, ∀τ ≥	DATE
ejde-816	244	2	1	CARDINAL
ejde-816	246	1	∀x ∈ ω	ORG
ejde-816	246	2	∈	ORG
ejde-816	246	3	1	CARDINAL
ejde-816	247	1	3.5	CARDINAL
ejde-816	247	2	φ ∈	PERSON
ejde-816	248	1	φ	ORG
ejde-816	248	2	∫ ω	ORG
ejde-816	248	3	φ	PERSON
ejde-816	248	4	0	CARDINAL
ejde-816	248	5	3.2	CARDINAL
ejde-816	248	6	3.7	CARDINAL
ejde-816	248	7	3.5	CARDINAL
ejde-816	249	1	m̂	PERSON
ejde-816	249	2	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	250	1	10	CARDINAL
ejde-816	250	2	h. baladi	PERSON
ejde-816	250	3	a. aglzim	PERSON
ejde-816	250	4	m. filali	PERSON
ejde-816	250	5	n. tsouli	PERSON
ejde-816	250	6	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	250	7	− ∫ ω	ORG
ejde-816	251	1	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	251	2	∫	ORG
ejde-816	251	3	β(x)|φ|p(x	GPE
ejde-816	251	4	∫ ω	ORG
ejde-816	251	5	φ	PERSON
ejde-816	251	6	∫ ω	ORG
ejde-816	251	7	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	251	8	∫ ∂ω β(x)|φ|p(x	ORG
ejde-816	253	1	φ	PERSON
ejde-816	253	2	∫ ω	ORG
ejde-816	253	3	αp+	ORDINAL
ejde-816	254	1	0	CARDINAL
ejde-816	257	1	3.6	CARDINAL
ejde-816	260	1	1	CARDINAL
ejde-816	260	2	∈	ORG
ejde-816	260	3	∈	ORG
ejde-816	260	4	′λ(un	ORG
ejde-816	260	5	3.6	CARDINAL
ejde-816	260	6	un	ORG
ejde-816	260	7	x.	GPE
ejde-816	260	8	0	CARDINAL
ejde-816	261	1	3.7	CARDINAL
ejde-816	262	1	3.8	CARDINAL
ejde-816	262	2	2.5	CARDINAL
ejde-816	262	3	3.6	CARDINAL
ejde-816	262	4	1	CARDINAL
ejde-816	262	5	1 +	DATE
ejde-816	263	1	1	CARDINAL
ejde-816	263	2	m̂ (∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	263	3	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	263	4	∫	ORG
ejde-816	263	5	un	ORG
ejde-816	266	1	un	ORG
ejde-816	266	2	1	CARDINAL
ejde-816	266	3	∫ ω 1 p(x	LAW
ejde-816	266	4	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	268	1	un	ORG
ejde-816	268	2	∫ ω |∇un|p(x	ORG
ejde-816	268	3	dx	ORG
ejde-816	268	4	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	268	5	p(x)-kirchhoff	ORG
ejde-816	268	6	11 +	CARDINAL
ejde-816	268	7	β(x)|un|p(x	PERSON
ejde-816	270	1	µ ∫ ω f(x	ORG
ejde-816	270	2	λ µ ∫ ω h(x)un dx ≥ 1 α m (∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	270	3	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	270	4	∫	ORG
ejde-816	270	5	un	ORG
ejde-816	270	6	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	270	7	∫	ORG
ejde-816	271	1	un	ORG
ejde-816	273	1	un	ORG
ejde-816	274	1	λ ∫ ω h(x)un	ORG
ejde-816	274	2	1	CARDINAL
ejde-816	274	3	∫ ω 1 p(x	LAW
ejde-816	274	4	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	276	1	un	ORG
ejde-816	276	2	∫ ω |∇un|p(x	ORG
ejde-816	277	1	∫	ORG
ejde-816	279	1	β(x)|un|p(x	PERSON
ejde-816	281	1	µ ∫ ω f(x	ORG
ejde-816	281	2	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	281	3	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	282	1	∫	ORG
ejde-816	283	1	un	ORG
ejde-816	283	2	1 α	CARDINAL
ejde-816	283	3	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	283	4	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	283	5	∫	ORG
ejde-816	284	1	un	ORG
ejde-816	285	1	1	CARDINAL
ejde-816	285	2	∫ ω |∇un|p(x	ORG
ejde-816	285	3	∫	ORG
ejde-816	286	1	β(x)|un|p(x	PERSON
ejde-816	289	1	un	ORG
ejde-816	290	1	λ ∫ ω h(x)un dx+ 1 µ ∫ ω f(x	ORG
ejde-816	290	2	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	290	3	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	290	4	∫	ORG
ejde-816	290	5	un	ORG
ejde-816	290	6	1 α	CARDINAL
ejde-816	290	7	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	290	8	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	290	9	∫	ORG
ejde-816	290	10	un	ORG
ejde-816	291	1	1	CARDINAL
ejde-816	291	2	∫ ω |∇un|p(x	ORG
ejde-816	291	3	∫	ORG
ejde-816	292	1	β(x)|un|p(x	PERSON
ejde-816	294	1	∫ ω	ORG
ejde-816	294	2	1	CARDINAL
ejde-816	294	3	un	ORG
ejde-816	295	1	1− 1	DATE
ejde-816	297	1	+ 1	DATE
ejde-816	297	2	un	ORG
ejde-816	297	3	1	CARDINAL
ejde-816	297	4	1	CARDINAL
ejde-816	298	1	1	CARDINAL
ejde-816	298	2	un	ORG
ejde-816	299	1	1− 1	DATE
ejde-816	301	1	1	CARDINAL
ejde-816	301	2	1	CARDINAL
ejde-816	301	3	1	CARDINAL
ejde-816	301	4	∫	ORG
ejde-816	302	1	1	CARDINAL
ejde-816	302	2	1	CARDINAL
ejde-816	303	1	1	CARDINAL
ejde-816	303	2	un	ORG
ejde-816	305	1	1− 1	DATE
ejde-816	306	1	1	CARDINAL
ejde-816	307	1	r−1 r1	PERSON
ejde-816	307	2	r−1 β(x	GPE
ejde-816	309	1	r−2	NORP
ejde-816	309	2	r2 ∥un∥	PERSON
ejde-816	309	3	r−1 β(x	GPE
ejde-816	309	4	12	CARDINAL
ejde-816	309	5	h. baladi	PERSON
ejde-816	309	6	a. aglzim	PERSON
ejde-816	309	7	m. filali	PERSON
ejde-816	309	8	n. tsouli	PERSON
ejde-816	309	9	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	309	10	r−1 β(x	GPE
ejde-816	309	11	r−2 β(x	PERSON
ejde-816	310	1	αp+	ORDINAL
ejde-816	310	2	0	CARDINAL
ejde-816	312	1	un	ORG
ejde-816	312	2	x.	GPE
ejde-816	312	3	un	ORG
ejde-816	312	4	u inx	ORG
ejde-816	313	1	∫ ω f(x	ORG
ejde-816	313	2	≤ ∫ ω |f(x	ORG
ejde-816	313	3	c1 ∫ ω	ORG
ejde-816	313	4	1 + |un|q(x)−1	DATE
ejde-816	315	1	u∥q(x	ORG
ejde-816	315	2	0	CARDINAL
ejde-816	315	3	lim	PERSON
ejde-816	315	4	∫ ω f(x	ORG
ejde-816	316	1	0	CARDINAL
ejde-816	317	1	3.9	CARDINAL
ejde-816	317	2	∫ ω h(x)(un	ORG
ejde-816	318	1	2∥h∥ αp+	DATE
ejde-816	318	2	0	CARDINAL
ejde-816	318	3	3.10	CARDINAL
ejde-816	318	4	3.6	CARDINAL
ejde-816	319	1	0	CARDINAL
ejde-816	319	2	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	319	3	∫	ORG
ejde-816	319	4	un	ORG
ejde-816	319	5	∫ ω	ORG
ejde-816	319	6	∫	ORG
ejde-816	320	1	β(x)|un|p(x)−2un(un	CARDINAL
ejde-816	324	1	0	CARDINAL
ejde-816	324	2	3.9	CARDINAL
ejde-816	324	3	3.10	CARDINAL
ejde-816	324	4	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	324	5	un	ORG
ejde-816	324	6	∫ ω	ORG
ejde-816	324	7	∫	ORG
ejde-816	325	1	β(x)|un|p(x)−2un(un	CARDINAL
ejde-816	326	1	0	CARDINAL
ejde-816	327	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	327	2	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	327	3	un	ORG
ejde-816	327	4	0	CARDINAL
ejde-816	327	5	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	327	6	13	CARDINAL
ejde-816	327	7	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	327	8	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	327	9	0	CARDINAL
ejde-816	328	1	∫ ω |∇un|p(x	ORG
ejde-816	328	2	∫	ORG
ejde-816	328	3	0	CARDINAL
ejde-816	328	4	un	ORG
ejde-816	328	5	0	CARDINAL
ejde-816	328	6	n→ ∞.	ORG
ejde-816	328	7	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	328	8	un	ORG
ejde-816	328	9	0	CARDINAL
ejde-816	328	10	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	328	11	dσx+	DATE
ejde-816	328	12	un	ORG
ejde-816	329	1	→m	ORG
ejde-816	329	2	0	CARDINAL
ejde-816	329	3	|∇un|p(x	ORG
ejde-816	329	4	dσx+	DATE
ejde-816	329	5	un	ORG
ejde-816	329	6	1 2 m	QUANTITY
ejde-816	329	7	0	CARDINAL
ejde-816	331	1	ω	GPE
ejde-816	331	2	∫	ORG
ejde-816	332	1	β(x)|un|p(x)−2un(un	CARDINAL
ejde-816	334	1	0	CARDINAL
ejde-816	334	2	3.8	CARDINAL
ejde-816	334	3	hölder inequaly	PERSON
ejde-816	336	1	ϵ3|t|r1(x)−1 + c(ϵ3)|t|r2(x)−1	DATE
ejde-816	336	2	r1(x)−1	ORG
ejde-816	337	1	r2(x)−1 ∥un − u∥r2(x	PERSON
ejde-816	337	2	0	CARDINAL
ejde-816	338	1	lim n→∞	ORG
ejde-816	339	1	∫ ω	ORG
ejde-816	340	1	lim	ORG
ejde-816	340	2	l′ β(x	GPE
ejde-816	340	3	2.6	CARDINAL
ejde-816	340	4	2.7	CARDINAL
ejde-816	341	1	2.4	CARDINAL
ejde-816	342	1	3.7	CARDINAL
ejde-816	343	1	0	CARDINAL
ejde-816	344	1	14	CARDINAL
ejde-816	344	2	h. baladi	PERSON
ejde-816	344	3	a. aglzim	PERSON
ejde-816	344	4	m. filali	PERSON
ejde-816	344	5	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	345	1	ω×	ORG
ejde-816	346	1	1	CARDINAL
ejde-816	348	1	τ−1	DATE
ejde-816	349	1	τ−1	DATE
ejde-816	349	2	τ−1	DATE
ejde-816	350	1	τ−1	DATE
ejde-816	353	1	1	CARDINAL
ejde-816	354	1	|t|−1	ORG
ejde-816	354	2	3.11	CARDINAL
ejde-816	355	1	0	CARDINAL
ejde-816	357	1	0	CARDINAL
ejde-816	358	1	∣∣f(x	ORG
ejde-816	358	2	|t|αp+	WORK_OF_ART
ejde-816	358	3	f(x	LOC
ejde-816	358	4	≤ 1	CARDINAL
ejde-816	358	5	3.12	CARDINAL
ejde-816	358	6	∈ ω	ORG
ejde-816	358	7	∈ ω	ORG
ejde-816	358	8	c7	PERSON
ejde-816	358	9	0	CARDINAL
ejde-816	359	1	|t|αp+	WORK_OF_ART
ejde-816	360	1	1 + |t|q(x)−1	DATE
ejde-816	360	2	|t|αp+ ≤ c7	LAW
ejde-816	360	3	3.13	CARDINAL
ejde-816	360	4	3.12	CARDINAL
ejde-816	360	5	3.13	CARDINAL
ejde-816	360	6	f(x	ORG
ejde-816	360	7	∈ ω	ORG
ejde-816	360	8	∈	ORG
ejde-816	361	1	0	CARDINAL
ejde-816	361	2	1	CARDINAL
ejde-816	363	1	1	CARDINAL
ejde-816	363	2	1 αp+	DATE
ejde-816	363	3	3.14	CARDINAL
ejde-816	363	4	∈ ω	ORG
ejde-816	363	5	∈	ORG
ejde-816	364	1	0	CARDINAL
ejde-816	364	2	1	CARDINAL
ejde-816	365	1	1 αp+	DATE
ejde-816	366	1	3.11	CARDINAL
ejde-816	366	2	3.14	CARDINAL
ejde-816	366	3	3.15	CARDINAL
ejde-816	366	4	∈ ω	ORG
ejde-816	366	5	r.	NORP
ejde-816	366	6	0	CARDINAL
ejde-816	367	1	∫ ω	ORG
ejde-816	367	2	0	CARDINAL
ejde-816	368	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	368	2	∫	ORG
ejde-816	369	1	3.1	CARDINAL
ejde-816	369	2	3.2	CARDINAL
ejde-816	369	3	3.15	CARDINAL
ejde-816	370	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	370	2	∫	ORG
ejde-816	375	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	375	2	∫	ORG
ejde-816	377	1	− c8τ µ ∫ ω	ORG
ejde-816	377	2	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx−	ORG
ejde-816	377	3	∫ ω h(x)ψ dx	ORG
ejde-816	377	4	ejde-2024/83	CARDINAL
ejde-816	377	5	p(x)-kirchhoff	ORG
ejde-816	377	6	15 ≤	QUANTITY
ejde-816	377	7	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	377	8	∫	ORG
ejde-816	378	1	β(x)|φ|p(x	GPE
ejde-816	379	1	− c8τ µ ∫ ω	ORG
ejde-816	379	2	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx−	ORG
ejde-816	379	3	∫ ω h(x)ψ dx ≤ mταp	ORG
ejde-816	379	4	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	379	5	∫ ∂ω β(x)|φ|p(x	ORG
ejde-816	381	1	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx−	ORG
ejde-816	381	2	∫ ω h(x)ψ dx	ORG
ejde-816	382	1	if∫	ORG
ejde-816	382	2	∫	ORG
ejde-816	383	1	m(t	PERSON
ejde-816	384	1	0	CARDINAL
ejde-816	386	1	3.16	CARDINAL
ejde-816	386	2	3.15	CARDINAL
ejde-816	386	3	3.16	CARDINAL
ejde-816	387	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	387	2	∫	ORG
ejde-816	392	1	∫ ω 1 p(x	ORG
ejde-816	392	2	∫	ORG
ejde-816	394	1	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx−	ORG
ejde-816	394	2	∫ ω h(x)ψ dx ≤ m0τ	ORG
ejde-816	394	3	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	394	4	∫	ORG
ejde-816	395	1	β(x)|φ|p(x	GPE
ejde-816	396	1	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx−	ORG
ejde-816	396	2	∫ ω h(x)ψ dx ≤ m0τ	ORG
ejde-816	396	3	∫ ω |∇φ|p(x	ORG
ejde-816	396	4	∫ ∂ω β(x)|φ|p(x	ORG
ejde-816	398	1	c6τ αp+ ∫ ω |ψ|αp + dx −	ORG
ejde-816	398	2	∫ ω h(x)ψ dx	ORG
ejde-816	399	1	3.1	CARDINAL
ejde-816	399	2	lemmas 3.4–3.7	ORG
ejde-816	399	3	λ∗	ORG
ejde-816	399	4	0	CARDINAL
ejde-816	399	5	0	CARDINAL
ejde-816	399	6	5	CARDINAL
ejde-816	401	1	1.1	CARDINAL
ejde-816	403	1	16	CARDINAL
ejde-816	403	2	h. baladi	PERSON
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