id sid tid token lemma pos ejde-102 1 1 electronic electronic ADJ ejde-102 1 2 journal journal NOUN ejde-102 1 3 of of ADP ejde-102 1 4 differential differential ADJ ejde-102 1 5 equations equation NOUN ejde-102 1 6 , , PUNCT ejde-102 1 7 vol vol NOUN ejde-102 1 8 . . PUNCT ejde-102 1 9 2022 2022 NUM ejde-102 1 10 ( ( PUNCT ejde-102 1 11 2022 2022 NUM ejde-102 1 12 ) ) PUNCT ejde-102 1 13 , , PUNCT ejde-102 1 14 no no INTJ ejde-102 1 15 . . NOUN ejde-102 1 16 18 18 NUM ejde-102 1 17 , , PUNCT ejde-102 1 18 pp pp PROPN ejde-102 1 19 . . PUNCT ejde-102 2 1 1–14 1–14 PROPN ejde-102 2 2 . . PUNCT ejde-102 3 1 issn issn PROPN ejde-102 3 2 : : PUNCT ejde-102 3 3 1072 1072 NUM ejde-102 3 4 - - SYM ejde-102 3 5 6691 6691 NUM ejde-102 3 6 . . PUNCT ejde-102 4 1 url url PROPN ejde-102 4 2 : : PUNCT ejde-102 4 3 http://ejde.math.txstate.edu http://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-102 4 4 or or CCONJ ejde-102 4 5 http://ejde.math.unt.edu http://ejde.math.unt.edu VERB ejde-102 4 6 k k ADJ ejde-102 4 7 - - ADJ ejde-102 4 8 hessian hessian ADJ ejde-102 4 9 curvature curvature NOUN ejde-102 4 10 type type NOUN ejde-102 4 11 equations equation NOUN ejde-102 4 12 in in ADP ejde-102 4 13 space space NOUN ejde-102 4 14 forms form NOUN ejde-102 4 15 jundong jundong PROPN ejde-102 4 16 zhou zhou PROPN ejde-102 4 17 abstract abstract PROPN ejde-102 4 18 . . PUNCT ejde-102 5 1 in in ADP ejde-102 5 2 this this DET ejde-102 5 3 article article NOUN ejde-102 5 4 , , PUNCT ejde-102 5 5 we we PRON ejde-102 5 6 study study VERB ejde-102 5 7 closed close VERB ejde-102 5 8 star star NOUN ejde-102 5 9 - - PUNCT ejde-102 5 10 shaped shape VERB ejde-102 5 11 ( ( PUNCT ejde-102 5 12 η η PROPN ejde-102 5 13 , , PUNCT ejde-102 5 14 k)-convex k)-convex NOUN ejde-102 5 15 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 5 16 in in ADP ejde-102 5 17 space space NOUN ejde-102 5 18 forms form NOUN ejde-102 5 19 satisfying satisfy VERB ejde-102 5 20 a a DET ejde-102 5 21 class class NOUN ejde-102 5 22 of of ADP ejde-102 5 23 k k ADJ ejde-102 5 24 - - ADJ ejde-102 5 25 hessian hessian ADJ ejde-102 5 26 curvature curvature NOUN ejde-102 5 27 type type NOUN ejde-102 5 28 equations equation NOUN ejde-102 5 29 . . PUNCT ejde-102 6 1 firstly firstly ADV ejde-102 6 2 , , PUNCT ejde-102 6 3 using use VERB ejde-102 6 4 the the DET ejde-102 6 5 maximum maximum ADJ ejde-102 6 6 principle principle NOUN ejde-102 6 7 , , PUNCT ejde-102 6 8 we we PRON ejde-102 6 9 obtain obtain VERB ejde-102 6 10 a a DET ejde-102 6 11 priori priori ADJ ejde-102 6 12 estimates estimate NOUN ejde-102 6 13 for for ADP ejde-102 6 14 the the DET ejde-102 6 15 class class NOUN ejde-102 6 16 of of ADP ejde-102 6 17 hessian hessian ADJ ejde-102 6 18 curvature curvature NOUN ejde-102 6 19 type type NOUN ejde-102 6 20 equations equation NOUN ejde-102 6 21 . . PUNCT ejde-102 7 1 secondly secondly ADV ejde-102 7 2 , , PUNCT ejde-102 7 3 we we PRON ejde-102 7 4 obtain obtain VERB ejde-102 7 5 an an DET ejde-102 7 6 existence existence NOUN ejde-102 7 7 result result NOUN ejde-102 7 8 by by ADP ejde-102 7 9 using use VERB ejde-102 7 10 standard standard ADJ ejde-102 7 11 degree degree NOUN ejde-102 7 12 theory theory NOUN ejde-102 7 13 based base VERB ejde-102 7 14 on on ADP ejde-102 7 15 a a DET ejde-102 7 16 priori priori ADJ ejde-102 7 17 estimates estimate NOUN ejde-102 7 18 . . PUNCT ejde-102 8 1 1 1 X ejde-102 8 2 . . X ejde-102 8 3 introduction introduction NOUN ejde-102 8 4 suppose suppose VERB ejde-102 8 5 that that SCONJ ejde-102 8 6 m m PROPN ejde-102 8 7 is be AUX ejde-102 8 8 an an DET ejde-102 8 9 immersed immersed ADJ ejde-102 8 10 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 8 11 in in ADP ejde-102 8 12 euclidean euclidean ADJ ejde-102 8 13 space space NOUN ejde-102 8 14 rn+1 rn+1 PROPN ejde-102 8 15 . . PUNCT ejde-102 8 16 define define VERB ejde-102 8 17 a a DET ejde-102 8 18 ( ( PUNCT ejde-102 8 19 0 0 NUM ejde-102 8 20 , , PUNCT ejde-102 8 21 2)-tensor 2)-tensor NUM ejde-102 8 22 η η PROPN ejde-102 8 23 on on ADP ejde-102 8 24 m m PRON ejde-102 8 25 by by ADP ejde-102 8 26 ηij ηij NOUN ejde-102 8 27 = = SYM ejde-102 8 28 hgij hgij NOUN ejde-102 8 29 − − PROPN ejde-102 8 30 hij hij NOUN ejde-102 8 31 , , PUNCT ejde-102 8 32 where where SCONJ ejde-102 8 33 gij gij NOUN ejde-102 8 34 , , PUNCT ejde-102 8 35 hij hij PROPN ejde-102 8 36 and and CCONJ ejde-102 8 37 h h NOUN ejde-102 8 38 are be AUX ejde-102 8 39 the the DET ejde-102 8 40 first first ADJ ejde-102 8 41 , , PUNCT ejde-102 8 42 second second ADJ ejde-102 8 43 fundamental fundamental ADJ ejde-102 8 44 forms form NOUN ejde-102 8 45 and and CCONJ ejde-102 8 46 mean mean ADJ ejde-102 8 47 curvature curvature NOUN ejde-102 8 48 of of ADP ejde-102 8 49 m m PRON ejde-102 8 50 respectively respectively ADV ejde-102 8 51 . . PUNCT ejde-102 9 1 in in ADP ejde-102 9 2 fact fact NOUN ejde-102 9 3 , , PUNCT ejde-102 9 4 η η PROPN ejde-102 9 5 is be AUX ejde-102 9 6 the the DET ejde-102 9 7 first first ADJ ejde-102 9 8 newton newton PROPN ejde-102 9 9 transformation transformation NOUN ejde-102 9 10 of of ADP ejde-102 9 11 h h NOUN ejde-102 9 12 with with ADP ejde-102 9 13 respect respect NOUN ejde-102 9 14 to to ADP ejde-102 9 15 g g NOUN ejde-102 9 16 , , PUNCT ejde-102 9 17 see see VERB ejde-102 9 18 [ [ X ejde-102 9 19 18 18 NUM ejde-102 9 20 ] ] PUNCT ejde-102 9 21 . . PUNCT ejde-102 10 1 let let VERB ejde-102 10 2 κ κ NOUN ejde-102 10 3 = = PUNCT ejde-102 10 4 ( ( PUNCT ejde-102 10 5 κ1 κ1 NOUN ejde-102 10 6 , , PUNCT ejde-102 10 7 . . PUNCT ejde-102 10 8 . . PUNCT ejde-102 11 1 . . PUNCT ejde-102 12 1 , , PUNCT ejde-102 12 2 κn κn NOUN ejde-102 12 3 ) ) PUNCT ejde-102 12 4 be be VERB ejde-102 12 5 the the DET ejde-102 12 6 vector vector NOUN ejde-102 12 7 whose whose DET ejde-102 12 8 components component NOUN ejde-102 12 9 κi κi NOUN ejde-102 12 10 are be AUX ejde-102 12 11 the the DET ejde-102 12 12 principal principal ADJ ejde-102 12 13 curvatures curvature NOUN ejde-102 12 14 of of ADP ejde-102 12 15 m m PRON ejde-102 12 16 . . PUNCT ejde-102 13 1 using use VERB ejde-102 13 2 λ(η λ(η NOUN ejde-102 13 3 ) ) PUNCT ejde-102 13 4 to to PART ejde-102 13 5 denote denote VERB ejde-102 13 6 the the DET ejde-102 13 7 vector vector NOUN ejde-102 13 8 whose whose DET ejde-102 13 9 components component NOUN ejde-102 13 10 are be AUX ejde-102 13 11 the the DET ejde-102 13 12 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-102 13 13 of of ADP ejde-102 13 14 η η PROPN ejde-102 13 15 , , PUNCT ejde-102 13 16 we we PRON ejde-102 13 17 have have VERB ejde-102 13 18 that that DET ejde-102 13 19 λ(η λ(η NOUN ejde-102 13 20 ) ) PUNCT ejde-102 14 1 = = SYM ejde-102 14 2 ( ( PUNCT ejde-102 14 3 h h NOUN ejde-102 14 4 − − PROPN ejde-102 14 5 κ1 κ1 NOUN ejde-102 14 6 , , PUNCT ejde-102 14 7 . . PUNCT ejde-102 14 8 . . PUNCT ejde-102 14 9 . . PUNCT ejde-102 15 1 , , PUNCT ejde-102 15 2 h h NOUN ejde-102 15 3 − − PROPN ejde-102 15 4 κn κn NOUN ejde-102 15 5 ) ) PUNCT ejde-102 15 6 . . PUNCT ejde-102 16 1 then then ADV ejde-102 16 2 k k ADJ ejde-102 16 3 - - ADJ ejde-102 16 4 hessian hessian ADJ ejde-102 16 5 equation equation NOUN ejde-102 16 6 of of ADP ejde-102 16 7 λ(η λ(η NOUN ejde-102 16 8 ) ) PUNCT ejde-102 16 9 can can AUX ejde-102 16 10 be be AUX ejde-102 16 11 written write VERB ejde-102 16 12 as as ADP ejde-102 16 13 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 16 14 ) ) PUNCT ejde-102 16 15 ) ) PUNCT ejde-102 17 1 = = SYM ejde-102 17 2 f(x f(x PROPN ejde-102 17 3 , , PUNCT ejde-102 17 4 ν(x ν(x PROPN ejde-102 17 5 ) ) PUNCT ejde-102 17 6 ) ) PUNCT ejde-102 17 7 , , PUNCT ejde-102 17 8 1 1 NUM ejde-102 17 9 ≤ ≤ NUM ejde-102 17 10 k k X ejde-102 17 11 ≤ ≤ PROPN ejde-102 17 12 n n CCONJ ejde-102 17 13 , , PUNCT ejde-102 17 14 x x SYM ejde-102 17 15 ∈m ∈m NOUN ejde-102 17 16 , , PUNCT ejde-102 17 17 ( ( PUNCT ejde-102 17 18 1.1 1.1 NUM ejde-102 17 19 ) ) PUNCT ejde-102 17 20 where where SCONJ ejde-102 17 21 ν ν NOUN ejde-102 17 22 is be AUX ejde-102 17 23 the the DET ejde-102 17 24 normal normal ADJ ejde-102 17 25 vector vector NOUN ejde-102 17 26 field field NOUN ejde-102 17 27 along along ADP ejde-102 17 28 m m PROPN ejde-102 17 29 and and CCONJ ejde-102 17 30 σk σk PROPN ejde-102 17 31 is be AUX ejde-102 17 32 the the DET ejde-102 17 33 k k PROPN ejde-102 17 34 - - PUNCT ejde-102 17 35 th th VERB ejde-102 17 36 elementary elementary ADJ ejde-102 17 37 symmetric symmetric ADJ ejde-102 17 38 function function NOUN ejde-102 17 39 σk(λ σk(λ NOUN ejde-102 17 40 ) ) PUNCT ejde-102 17 41 = = PUNCT ejde-102 17 42 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 17 43 i1<··· > X ejde-102 39 15 0,∀1 0,∀1 PUNCT ejde-102 40 1 ≤ ≤ ADJ ejde-102 40 2 i i PRON ejde-102 40 3 ≤ ≤ PUNCT ejde-102 41 1 k k X ejde-102 41 2 } } PUNCT ejde-102 41 3 . . PUNCT ejde-102 42 1 for for ADP ejde-102 42 2 example example NOUN ejde-102 42 3 , , PUNCT ejde-102 42 4 when when SCONJ ejde-102 42 5 k k PROPN ejde-102 42 6 = = PUNCT ejde-102 42 7 n n CCONJ ejde-102 42 8 , , PUNCT ejde-102 42 9 it it PRON ejde-102 42 10 becomes become VERB ejde-102 42 11 det(η(x det(η(x NOUN ejde-102 42 12 ) ) PUNCT ejde-102 42 13 ) ) PUNCT ejde-102 43 1 = = SYM ejde-102 43 2 f(x f(x PROPN ejde-102 43 3 , , PUNCT ejde-102 43 4 ν ν NOUN ejde-102 43 5 ) ) PUNCT ejde-102 43 6 , , PUNCT ejde-102 43 7 for for ADP ejde-102 43 8 x x SYM ejde-102 43 9 ∈m ∈m NOUN ejde-102 43 10 . . PUNCT ejde-102 44 1 ( ( PUNCT ejde-102 44 2 1.3 1.3 NUM ejde-102 44 3 ) ) PUNCT ejde-102 44 4 the the DET ejde-102 44 5 ( ( PUNCT ejde-102 44 6 η η PROPN ejde-102 44 7 , , PUNCT ejde-102 44 8 n)-convex n)-convex AUX ejde-102 44 9 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 44 10 has have AUX ejde-102 44 11 been be AUX ejde-102 44 12 studied study VERB ejde-102 44 13 intensively intensively ADV ejde-102 44 14 by by ADP ejde-102 44 15 sha sha PROPN ejde-102 45 1 [ [ X ejde-102 45 2 21 21 NUM ejde-102 45 3 , , PUNCT ejde-102 45 4 22 22 NUM ejde-102 45 5 ] ] PUNCT ejde-102 45 6 , , PUNCT ejde-102 45 7 wu wu PROPN ejde-102 46 1 [ [ X ejde-102 46 2 24 24 NUM ejde-102 46 3 ] ] PUNCT ejde-102 46 4 , , PUNCT ejde-102 46 5 harvey harvey NOUN ejde-102 46 6 and and CCONJ ejde-102 46 7 lawson lawson PROPN ejde-102 47 1 [ [ X ejde-102 47 2 14 14 NUM ejde-102 47 3 ] ] PUNCT ejde-102 47 4 . . PUNCT ejde-102 48 1 ( ( PUNCT ejde-102 48 2 η η PROPN ejde-102 48 3 , , PUNCT ejde-102 48 4 n)-convexity n)-convexity PROPN ejde-102 48 5 is be AUX ejde-102 48 6 called call VERB ejde-102 48 7 ( ( PUNCT ejde-102 48 8 n− n− NOUN ejde-102 48 9 1)-convexity 1)-convexity NUM ejde-102 48 10 in in ADP ejde-102 48 11 [ [ X ejde-102 48 12 14 14 NUM ejde-102 48 13 , , PUNCT ejde-102 48 14 21 21 NUM ejde-102 48 15 , , PUNCT ejde-102 48 16 22 22 NUM ejde-102 48 17 ] ] PUNCT ejde-102 48 18 . . PUNCT ejde-102 49 1 in in ADP ejde-102 49 2 complex complex ADJ ejde-102 49 3 geometry geometry NOUN ejde-102 49 4 , , PUNCT ejde-102 49 5 when when SCONJ ejde-102 49 6 k k PROPN ejde-102 49 7 = = SYM ejde-102 49 8 n n CCONJ ejde-102 49 9 , , PUNCT ejde-102 49 10 equation equation NOUN ejde-102 49 11 ( ( PUNCT ejde-102 49 12 1.1 1.1 NUM ejde-102 49 13 ) ) PUNCT ejde-102 49 14 is be AUX ejde-102 49 15 called call VERB ejde-102 49 16 the the DET ejde-102 49 17 ( ( PUNCT ejde-102 49 18 n n CCONJ ejde-102 49 19 − − PROPN ejde-102 49 20 1 1 NUM ejde-102 49 21 ) ) PUNCT ejde-102 49 22 mongeampère mongeampère NOUN ejde-102 49 23 equation equation NOUN ejde-102 49 24 , , PUNCT ejde-102 49 25 which which PRON ejde-102 49 26 is be AUX ejde-102 49 27 related relate VERB ejde-102 49 28 to to ADP ejde-102 49 29 the the DET ejde-102 49 30 gauduchon gauduchon PROPN ejde-102 49 31 conjecture conjecture NOUN ejde-102 49 32 ( ( PUNCT ejde-102 49 33 see see VERB ejde-102 49 34 [ [ X ejde-102 49 35 8 8 NUM ejde-102 49 36 ] ] NUM ejde-102 49 37 ) ) PUNCT ejde-102 49 38 . . PUNCT ejde-102 50 1 compared compare VERB ejde-102 50 2 to to ADP ejde-102 50 3 ( ( PUNCT ejde-102 50 4 1.2 1.2 NUM ejde-102 50 5 ) ) PUNCT ejde-102 50 6 , , PUNCT ejde-102 50 7 it it PRON ejde-102 50 8 is be AUX ejde-102 50 9 interesting interesting ADJ ejde-102 50 10 that that SCONJ ejde-102 50 11 the the DET ejde-102 50 12 curvature curvature NOUN ejde-102 50 13 estimate estimate NOUN ejde-102 50 14 of of ADP ejde-102 50 15 ( ( PUNCT ejde-102 50 16 1.1 1.1 NUM ejde-102 50 17 ) ) PUNCT ejde-102 50 18 can can AUX ejde-102 50 19 be be AUX ejde-102 50 20 established establish VERB ejde-102 50 21 for for ADP ejde-102 50 22 1 1 NUM ejde-102 50 23 ≤ ≤ NUM ejde-102 50 24 k k PROPN ejde-102 50 25 ≤ ≤ PROPN ejde-102 50 26 n. n. PROPN ejde-102 50 27 chu chu PROPN ejde-102 50 28 and and CCONJ ejde-102 50 29 jiao jiao PROPN ejde-102 51 1 [ [ X ejde-102 51 2 5 5 NUM ejde-102 51 3 ] ] PUNCT ejde-102 51 4 established establish VERB ejde-102 51 5 curvature curvature NOUN ejde-102 51 6 estimates estimate NOUN ejde-102 51 7 for for ADP ejde-102 51 8 ( ( PUNCT ejde-102 51 9 η η PROPN ejde-102 51 10 , , PUNCT ejde-102 51 11 k)-convex k)-convex NOUN ejde-102 51 12 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 51 13 and and CCONJ ejde-102 51 14 proved prove VERB ejde-102 51 15 the the DET ejde-102 51 16 existence existence NOUN ejde-102 51 17 for for ADP ejde-102 51 18 ( ( PUNCT ejde-102 51 19 1.1 1.1 NUM ejde-102 51 20 ) ) PUNCT ejde-102 51 21 . . PUNCT ejde-102 52 1 chen chen PROPN ejde-102 52 2 , , PUNCT ejde-102 52 3 tu tu PROPN ejde-102 52 4 and and CCONJ ejde-102 52 5 xiang xiang PROPN ejde-102 53 1 [ [ X ejde-102 53 2 4 4 NUM ejde-102 53 3 ] ] PUNCT ejde-102 53 4 extended extend VERB ejde-102 53 5 it it PRON ejde-102 53 6 to to ADP ejde-102 53 7 a a DET ejde-102 53 8 class class NOUN ejde-102 53 9 of of ADP ejde-102 53 10 hessian hessian ADJ ejde-102 53 11 quotient quotient NOUN ejde-102 53 12 equations equation NOUN ejde-102 53 13 . . PUNCT ejde-102 54 1 in in ADP ejde-102 54 2 this this DET ejde-102 54 3 article article NOUN ejde-102 54 4 , , PUNCT ejde-102 54 5 we we PRON ejde-102 54 6 give give VERB ejde-102 54 7 a a DET ejde-102 54 8 simpler simple ADJ ejde-102 54 9 proof proof NOUN ejde-102 54 10 of of ADP ejde-102 54 11 the the DET ejde-102 54 12 result result NOUN ejde-102 54 13 of of ADP ejde-102 54 14 chu chu PROPN ejde-102 54 15 and and CCONJ ejde-102 54 16 jiao jiao NOUN ejde-102 55 1 [ [ X ejde-102 55 2 5 5 NUM ejde-102 55 3 ] ] PUNCT ejde-102 55 4 , , PUNCT ejde-102 55 5 and and CCONJ ejde-102 55 6 extend extend VERB ejde-102 55 7 it it PRON ejde-102 55 8 to to ADP ejde-102 55 9 space space NOUN ejde-102 55 10 forms form NOUN ejde-102 55 11 . . PUNCT ejde-102 56 1 let let VERB ejde-102 56 2 nn+1(k nn+1(k NOUN ejde-102 56 3 ) ) PUNCT ejde-102 56 4 be be AUX ejde-102 56 5 a a DET ejde-102 56 6 space space NOUN ejde-102 56 7 form form NOUN ejde-102 56 8 of of ADP ejde-102 56 9 sectional sectional ADJ ejde-102 56 10 curvature curvature NOUN ejde-102 56 11 k k PROPN ejde-102 56 12 = = SYM ejde-102 56 13 −1 −1 NOUN ejde-102 56 14 , , PUNCT ejde-102 56 15 0 0 NUM ejde-102 56 16 , , PUNCT ejde-102 56 17 or or CCONJ ejde-102 56 18 1 1 NUM ejde-102 56 19 . . PUNCT ejde-102 57 1 it it PRON ejde-102 57 2 is be AUX ejde-102 57 3 known know VERB ejde-102 57 4 that that SCONJ ejde-102 57 5 the the DET ejde-102 57 6 space space NOUN ejde-102 57 7 forms form NOUN ejde-102 57 8 can can AUX ejde-102 57 9 be be AUX ejde-102 57 10 viewed view VERB ejde-102 57 11 as as ADP ejde-102 57 12 euclidean euclidean ADJ ejde-102 57 13 space space NOUN ejde-102 57 14 rn+1 rn+1 AUX ejde-102 57 15 equipped equip VERB ejde-102 57 16 with with ADP ejde-102 57 17 a a DET ejde-102 57 18 metric metric ADJ ejde-102 57 19 tensor tensor NOUN ejde-102 57 20 gn gn PROPN ejde-102 57 21 , , PUNCT ejde-102 57 22 that that ADV ejde-102 57 23 is is ADV ejde-102 57 24 , , PUNCT ejde-102 57 25 nn+1(k nn+1(k NOUN ejde-102 57 26 ) ) PUNCT ejde-102 57 27 = = SYM ejde-102 57 28 ( ( PUNCT ejde-102 57 29 rn+1 rn+1 PROPN ejde-102 57 30 , , PUNCT ejde-102 57 31 gn gn PROPN ejde-102 57 32 ) ) PUNCT ejde-102 57 33 , , PUNCT ejde-102 57 34 gn gn PROPN ejde-102 57 35 = = PUNCT ejde-102 57 36 dρ2 dρ2 PROPN ejde-102 57 37 + + CCONJ ejde-102 57 38 φ2(ρ)dz2 φ2(ρ)dz2 NOUN ejde-102 57 39 , , PUNCT ejde-102 57 40 where where SCONJ ejde-102 57 41 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 57 42 ) ) PUNCT ejde-102 57 43 = = SYM ejde-102 57 44   PROPN ejde-102 57 45 sin(ρ sin(ρ VERB ejde-102 57 46 ) ) PUNCT ejde-102 57 47 , , PUNCT ejde-102 57 48 ρ ρ PROPN ejde-102 57 49 ∈ ∈ PROPN ejde-102 58 1 [ [ X ejde-102 58 2 0 0 NUM ejde-102 58 3 , , PUNCT ejde-102 58 4 π2 π2 NOUN ejde-102 58 5 ) ) PUNCT ejde-102 58 6 , , PUNCT ejde-102 58 7 if if SCONJ ejde-102 58 8 k k PROPN ejde-102 58 9 = = SYM ejde-102 58 10 1 1 NUM ejde-102 58 11 , , PUNCT ejde-102 58 12 ρ ρ PROPN ejde-102 58 13 , , PUNCT ejde-102 58 14 ρ ρ PROPN ejde-102 58 15 ∈ ∈ PROPN ejde-102 59 1 [ [ X ejde-102 59 2 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-102 59 3 ) ) PUNCT ejde-102 59 4 , , PUNCT ejde-102 59 5 if if SCONJ ejde-102 59 6 k k PROPN ejde-102 59 7 = = SYM ejde-102 59 8 0 0 NUM ejde-102 59 9 , , PUNCT ejde-102 59 10 sinh(ρ sinh(ρ NOUN ejde-102 59 11 ) ) PUNCT ejde-102 59 12 , , PUNCT ejde-102 59 13 ρ ρ PROPN ejde-102 59 14 ∈ ∈ PROPN ejde-102 60 1 [ [ X ejde-102 60 2 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-102 60 3 ) ) PUNCT ejde-102 60 4 , , PUNCT ejde-102 60 5 if if SCONJ ejde-102 60 6 k k PROPN ejde-102 60 7 = = SYM ejde-102 60 8 −1 −1 NOUN ejde-102 60 9 , , PUNCT ejde-102 60 10 where where SCONJ ejde-102 60 11 dz2 dz2 NOUN ejde-102 60 12 denotes denote VERB ejde-102 60 13 the the DET ejde-102 60 14 standard standard PROPN ejde-102 60 15 metric metric NOUN ejde-102 60 16 on on ADP ejde-102 60 17 sn sn PROPN ejde-102 60 18 induced induce VERB ejde-102 60 19 from from ADP ejde-102 60 20 rn+1 rn+1 X ejde-102 60 21 . . PUNCT ejde-102 61 1 we we PRON ejde-102 61 2 define define VERB ejde-102 61 3 the the DET ejde-102 61 4 vector vector NOUN ejde-102 61 5 field field NOUN ejde-102 61 6 v v ADP ejde-102 61 7 = = SYM ejde-102 61 8 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 61 9 ) ) PUNCT ejde-102 61 10 ∂∂ρ ∂∂ρ ADV ejde-102 61 11 . . PUNCT ejde-102 62 1 in in ADP ejde-102 62 2 fact fact NOUN ejde-102 62 3 , , PUNCT ejde-102 62 4 v v NOUN ejde-102 62 5 is be AUX ejde-102 62 6 a a DET ejde-102 62 7 conformal conformal ADJ ejde-102 62 8 killing killing NOUN ejde-102 62 9 field field NOUN ejde-102 62 10 in in ADP ejde-102 62 11 nn+1(k nn+1(k NOUN ejde-102 62 12 ) ) PUNCT ejde-102 62 13 and and CCONJ ejde-102 62 14 v v NOUN ejde-102 62 15 is be AUX ejde-102 62 16 just just ADV ejde-102 62 17 the the DET ejde-102 62 18 position position NOUN ejde-102 62 19 vector vector NOUN ejde-102 62 20 field field NOUN ejde-102 62 21 in in ADP ejde-102 62 22 rn+1 rn+1 PROPN ejde-102 62 23 . . PUNCT ejde-102 63 1 we we PRON ejde-102 63 2 consider consider VERB ejde-102 63 3 the the DET ejde-102 63 4 k k ADJ ejde-102 63 5 - - ADJ ejde-102 63 6 hessian hessian ADJ ejde-102 63 7 equation equation NOUN ejde-102 63 8 of of ADP ejde-102 63 9 λ(η λ(η NOUN ejde-102 63 10 ) ) PUNCT ejde-102 63 11 in in ADP ejde-102 63 12 nn+1(k nn+1(k NOUN ejde-102 63 13 ) ) PUNCT ejde-102 63 14 , , PUNCT ejde-102 63 15 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 63 16 ) ) PUNCT ejde-102 63 17 ) ) PUNCT ejde-102 64 1 = = SYM ejde-102 64 2 f(v f(v NOUN ejde-102 64 3 , , PUNCT ejde-102 64 4 ν ν NOUN ejde-102 64 5 ) ) PUNCT ejde-102 64 6 , , PUNCT ejde-102 64 7 2 2 NUM ejde-102 64 8 ≤ ≤ NUM ejde-102 64 9 k k NOUN ejde-102 64 10 ≤ ≤ PROPN ejde-102 64 11 n n CCONJ ejde-102 64 12 , , PUNCT ejde-102 64 13 ( ( PUNCT ejde-102 64 14 1.4 1.4 NUM ejde-102 64 15 ) ) PUNCT ejde-102 64 16 and and CCONJ ejde-102 64 17 obtain obtain VERB ejde-102 64 18 the the DET ejde-102 64 19 main main ADJ ejde-102 64 20 result result NOUN ejde-102 64 21 as as SCONJ ejde-102 64 22 follows follow VERB ejde-102 64 23 . . PUNCT ejde-102 65 1 theorem theorem VERB ejde-102 65 2 1.1 1.1 NUM ejde-102 65 3 . . PUNCT ejde-102 66 1 let let VERB ejde-102 66 2 f(v f(v NOUN ejde-102 66 3 , , PUNCT ejde-102 66 4 ν ν NOUN ejde-102 66 5 ) ) PUNCT ejde-102 66 6 ∈ ∈ PROPN ejde-102 66 7 c2(γ c2(γ PROPN ejde-102 66 8 ) ) PUNCT ejde-102 66 9 be be AUX ejde-102 66 10 a a DET ejde-102 66 11 positive positive ADJ ejde-102 66 12 function function NOUN ejde-102 66 13 and and CCONJ ejde-102 66 14 γ γ NOUN ejde-102 66 15 be be AUX ejde-102 66 16 an an DET ejde-102 66 17 open open ADJ ejde-102 66 18 neighborhood neighborhood NOUN ejde-102 66 19 of of ADP ejde-102 66 20 the the DET ejde-102 66 21 unit unit NOUN ejde-102 66 22 normal normal ADJ ejde-102 66 23 bundle bundle NOUN ejde-102 66 24 of of ADP ejde-102 66 25 m m PROPN ejde-102 66 26 in in ADP ejde-102 66 27 nn+1×sn nn+1×sn PROPN ejde-102 66 28 . . PUNCT ejde-102 67 1 assume assume VERB ejde-102 67 2 that that SCONJ ejde-102 67 3 there there PRON ejde-102 67 4 exist exist VERB ejde-102 67 5 two two NUM ejde-102 67 6 positive positive ADJ ejde-102 67 7 constants constant NOUN ejde-102 67 8 r1 r1 PROPN ejde-102 67 9 , , PUNCT ejde-102 67 10 r2 r2 PROPN ejde-102 67 11 and and CCONJ ejde-102 67 12 r1 r1 NOUN ejde-102 67 13 < < X ejde-102 67 14 1 1 NUM ejde-102 67 15 < < X ejde-102 67 16 r2 r2 PROPN ejde-102 67 17 , , PUNCT ejde-102 67 18 such such ADJ ejde-102 67 19 that that SCONJ ejde-102 67 20 f(v f(v NOUN ejde-102 67 21 , , PUNCT ejde-102 67 22 v v ADP ejde-102 67 23 |v |v PROPN ejde-102 67 24 | | ADV ejde-102 67 25 ) ) PUNCT ejde-102 67 26 ≤ ≤ NOUN ejde-102 68 1 ckn(n− ckn(n− NUM ejde-102 68 2 1)k 1)k NUM ejde-102 68 3 ( ( PUNCT ejde-102 68 4 φ′(r2 φ′(r2 NOUN ejde-102 68 5 ) ) PUNCT ejde-102 68 6 φ(r2 φ(r2 NOUN ejde-102 68 7 ) ) PUNCT ejde-102 68 8 ) ) PUNCT ejde-102 69 1 k k X ejde-102 69 2 , , PUNCT ejde-102 69 3 for for ADP ejde-102 69 4 ρ ρ NOUN ejde-102 69 5 = = SYM ejde-102 69 6 r2 r2 PROPN ejde-102 69 7 , , PUNCT ejde-102 69 8 ( ( PUNCT ejde-102 69 9 1.5 1.5 NUM ejde-102 69 10 ) ) PUNCT ejde-102 69 11 f(v f(v NOUN ejde-102 69 12 , , PUNCT ejde-102 69 13 v v ADP ejde-102 69 14 |v |v PROPN ejde-102 69 15 | | ADV ejde-102 69 16 ) ) PUNCT ejde-102 69 17 ≥ ≥ NOUN ejde-102 69 18 ckn(n− ckn(n− X ejde-102 69 19 1)k 1)k NUM ejde-102 69 20 ( ( PUNCT ejde-102 69 21 φ′(r1 φ′(r1 PROPN ejde-102 69 22 ) ) PUNCT ejde-102 69 23 φ(r1 φ(r1 ADV ejde-102 69 24 ) ) PUNCT ejde-102 69 25 ) ) PUNCT ejde-102 70 1 k k X ejde-102 70 2 , , PUNCT ejde-102 70 3 for for ADP ejde-102 70 4 ρ ρ PROPN ejde-102 70 5 = = SYM ejde-102 70 6 r1 r1 PROPN ejde-102 70 7 , , PUNCT ejde-102 70 8 ( ( PUNCT ejde-102 70 9 1.6 1.6 NUM ejde-102 70 10 ) ) PUNCT ejde-102 70 11 ∂ ∂ NOUN ejde-102 70 12 ∂ρ ∂ρ NOUN ejde-102 70 13 [ [ PUNCT ejde-102 70 14 φkf(v φkf(v PROPN ejde-102 70 15 , , PUNCT ejde-102 70 16 ν ν NOUN ejde-102 70 17 ) ) PUNCT ejde-102 70 18 ] ] PUNCT ejde-102 70 19 ≤ ≤ NUM ejde-102 70 20 0 0 NUM ejde-102 70 21 , , PUNCT ejde-102 70 22 for for ADP ejde-102 70 23 r1 r1 PROPN ejde-102 70 24 ≤ ≤ NUM ejde-102 70 25 ρ ρ PROPN ejde-102 70 26 ≤ ≤ ADJ ejde-102 70 27 r2 r2 NOUN ejde-102 70 28 . . PUNCT ejde-102 71 1 ( ( PUNCT ejde-102 71 2 1.7 1.7 NUM ejde-102 71 3 ) ) PUNCT ejde-102 71 4 then then ADV ejde-102 71 5 there there PRON ejde-102 71 6 exists exist VERB ejde-102 71 7 a a DET ejde-102 71 8 c4,δ c4,δ PROPN ejde-102 71 9 closed close VERB ejde-102 71 10 star star NOUN ejde-102 71 11 - - PUNCT ejde-102 71 12 shaped shape VERB ejde-102 71 13 ( ( PUNCT ejde-102 71 14 η η PROPN ejde-102 71 15 , , PUNCT ejde-102 71 16 k)-convex k)-convex PROPN ejde-102 71 17 hypersurface hypersurface PROPN ejde-102 71 18 satisfying satisfy VERB ejde-102 71 19 ( ( PUNCT ejde-102 71 20 1.4 1.4 NUM ejde-102 71 21 ) ) PUNCT ejde-102 71 22 for for ADP ejde-102 71 23 any any DET ejde-102 71 24 δ δ PROPN ejde-102 71 25 ∈ ∈ PROPN ejde-102 71 26 ( ( PUNCT ejde-102 71 27 0 0 NUM ejde-102 71 28 , , PUNCT ejde-102 71 29 1 1 NUM ejde-102 71 30 ) ) PUNCT ejde-102 71 31 . . PUNCT ejde-102 72 1 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PUNCT ejde-102 73 1 k k X ejde-102 73 2 - - ADJ ejde-102 73 3 hessian hessian ADJ ejde-102 73 4 curvature curvature NOUN ejde-102 73 5 type type NOUN ejde-102 73 6 equations equation NOUN ejde-102 73 7 3 3 NUM ejde-102 73 8 the the DET ejde-102 73 9 rest rest NOUN ejde-102 73 10 of of ADP ejde-102 73 11 this this DET ejde-102 73 12 article article NOUN ejde-102 73 13 is be AUX ejde-102 73 14 organized organize VERB ejde-102 73 15 as as SCONJ ejde-102 73 16 follows follow VERB ejde-102 73 17 . . PUNCT ejde-102 74 1 in in ADP ejde-102 74 2 section section NOUN ejde-102 74 3 2 2 NUM ejde-102 74 4 , , PUNCT ejde-102 74 5 we we PRON ejde-102 74 6 give give VERB ejde-102 74 7 some some DET ejde-102 74 8 definitions definition NOUN ejde-102 74 9 and and CCONJ ejde-102 74 10 important important ADJ ejde-102 74 11 formulas formula NOUN ejde-102 74 12 . . PUNCT ejde-102 75 1 in in ADP ejde-102 75 2 section section NOUN ejde-102 75 3 3 3 NUM ejde-102 75 4 , , PUNCT ejde-102 75 5 we we PRON ejde-102 75 6 prove prove VERB ejde-102 75 7 c0 c0 PROPN ejde-102 75 8 , , PUNCT ejde-102 75 9 c1 c1 PROPN ejde-102 75 10 and and CCONJ ejde-102 75 11 c2 c2 PROPN ejde-102 75 12 estimates estimate NOUN ejde-102 75 13 of of ADP ejde-102 75 14 ( ( PUNCT ejde-102 75 15 1.4 1.4 NUM ejde-102 75 16 ) ) PUNCT ejde-102 75 17 . . PUNCT ejde-102 76 1 in in ADP ejde-102 76 2 section section NOUN ejde-102 76 3 4 4 NUM ejde-102 76 4 , , PUNCT ejde-102 76 5 we we PRON ejde-102 76 6 give give VERB ejde-102 76 7 the the DET ejde-102 76 8 proof proof NOUN ejde-102 76 9 for for ADP ejde-102 76 10 the the DET ejde-102 76 11 existence existence NOUN ejde-102 76 12 , , PUNCT ejde-102 76 13 that that PRON ejde-102 76 14 is be AUX ejde-102 76 15 theorem theorem VERB ejde-102 76 16 1.1 1.1 NUM ejde-102 76 17 . . PUNCT ejde-102 77 1 2 2 NUM ejde-102 77 2 . . NUM ejde-102 77 3 preliminaries preliminary NOUN ejde-102 77 4 in in ADP ejde-102 77 5 this this DET ejde-102 77 6 section section NOUN ejde-102 77 7 , , PUNCT ejde-102 77 8 we we PRON ejde-102 77 9 recall recall VERB ejde-102 77 10 some some DET ejde-102 77 11 geometric geometric ADJ ejde-102 77 12 objects object NOUN ejde-102 77 13 and and CCONJ ejde-102 77 14 related relate VERB ejde-102 77 15 formulas formula NOUN ejde-102 77 16 on on ADP ejde-102 77 17 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 77 18 in in ADP ejde-102 77 19 space space NOUN ejde-102 77 20 forms form NOUN ejde-102 77 21 . . PUNCT ejde-102 78 1 let let VERB ejde-102 78 2 m m PRON ejde-102 78 3 be be AUX ejde-102 78 4 an an DET ejde-102 78 5 immersed immersed ADJ ejde-102 78 6 star star NOUN ejde-102 78 7 - - PUNCT ejde-102 78 8 shaped shape VERB ejde-102 78 9 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 78 10 in in ADP ejde-102 78 11 nn+1(k nn+1(k NOUN ejde-102 78 12 ) ) PUNCT ejde-102 78 13 , , PUNCT ejde-102 78 14 which which PRON ejde-102 78 15 is be AUX ejde-102 78 16 expressed express VERB ejde-102 78 17 as as ADP ejde-102 78 18 m m PROPN ejde-102 78 19 = = PRON ejde-102 78 20 { { PUNCT ejde-102 78 21 ( ( PUNCT ejde-102 78 22 z z NOUN ejde-102 78 23 , , PUNCT ejde-102 78 24 ρ(z ρ(z NOUN ejde-102 78 25 ) ) PUNCT ejde-102 78 26 ) ) PUNCT ejde-102 78 27 : : PUNCT ejde-102 79 1 z z PROPN ejde-102 79 2 ∈ ∈ PROPN ejde-102 79 3 sn sn PROPN ejde-102 79 4 } } PUNCT ejde-102 79 5 . . PUNCT ejde-102 80 1 let∇′ let∇′ PROPN ejde-102 80 2 and∇ and∇ PROPN ejde-102 80 3 denote denote VERB ejde-102 80 4 the the DET ejde-102 80 5 covariant covariant ADJ ejde-102 80 6 derivatives derivative NOUN ejde-102 80 7 with with ADP ejde-102 80 8 respect respect NOUN ejde-102 80 9 to to ADP ejde-102 80 10 the the DET ejde-102 80 11 standard standard ADJ ejde-102 80 12 spherical spherical ADJ ejde-102 80 13 metric metric NOUN ejde-102 80 14 and and CCONJ ejde-102 80 15 the the DET ejde-102 80 16 covariant covariant ADJ ejde-102 80 17 derivatives derivative NOUN ejde-102 80 18 with with ADP ejde-102 80 19 respect respect NOUN ejde-102 80 20 to to ADP ejde-102 80 21 the the DET ejde-102 80 22 induced induce VERB ejde-102 80 23 metric metric NOUN ejde-102 80 24 on on ADP ejde-102 80 25 m m PROPN ejde-102 80 26 , , PUNCT ejde-102 80 27 respectively respectively ADV ejde-102 80 28 . . PUNCT ejde-102 81 1 following follow VERB ejde-102 81 2 the the DET ejde-102 81 3 notations notation NOUN ejde-102 81 4 in in ADP ejde-102 81 5 [ [ X ejde-102 81 6 1 1 NUM ejde-102 81 7 ] ] PUNCT ejde-102 81 8 , , PUNCT ejde-102 81 9 the the DET ejde-102 81 10 induced induce VERB ejde-102 81 11 metric metric NOUN ejde-102 81 12 , , PUNCT ejde-102 81 13 its its PRON ejde-102 81 14 inverse inverse NOUN ejde-102 81 15 , , PUNCT ejde-102 81 16 unit unit NOUN ejde-102 81 17 normal normal ADJ ejde-102 81 18 vector vector NOUN ejde-102 81 19 and and CCONJ ejde-102 81 20 second second ADJ ejde-102 81 21 fundamental fundamental ADJ ejde-102 81 22 form form NOUN ejde-102 81 23 on on ADP ejde-102 81 24 m m NOUN ejde-102 81 25 are be AUX ejde-102 81 26 respectively respectively ADV ejde-102 81 27 by by ADP ejde-102 81 28 gij gij ADJ ejde-102 81 29 = = SYM ejde-102 81 30 φ2eij φ2eij PROPN ejde-102 82 1 + + NOUN ejde-102 82 2 ∇′iρ∇′jρ ∇′iρ∇′jρ NUM ejde-102 82 3 , , PUNCT ejde-102 82 4 gij gij ADJ ejde-102 82 5 = = SYM ejde-102 82 6 1 1 NUM ejde-102 82 7 φ2 φ2 NOUN ejde-102 82 8 ( ( PUNCT ejde-102 82 9 eij eij PROPN ejde-102 82 10 − − PROPN ejde-102 82 11 ρiρj ρiρj NOUN ejde-102 82 12 φ2 φ2 NOUN ejde-102 82 13 + + CCONJ ejde-102 82 14 |∇′ρ|2 |∇′ρ|2 PROPN ejde-102 82 15 ) ) PUNCT ejde-102 82 16 , , PUNCT ejde-102 82 17 ( ( PUNCT ejde-102 82 18 2.1 2.1 NUM ejde-102 82 19 ) ) PUNCT ejde-102 83 1 ν ν NOUN ejde-102 83 2 = = SYM ejde-102 83 3 −∇′ρ+ −∇′ρ+ PROPN ejde-102 83 4 φ2 φ2 PROPN ejde-102 83 5 ∂ ∂ NOUN ejde-102 83 6 ∂ρ√ ∂ρ√ PROPN ejde-102 83 7 φ4 φ4 PROPN ejde-102 83 8 + + CCONJ ejde-102 83 9 φ2|∇′ρ|2 φ2|∇′ρ|2 ADJ ejde-102 83 10 , , PUNCT ejde-102 83 11 ( ( PUNCT ejde-102 83 12 2.2 2.2 NUM ejde-102 83 13 ) ) PUNCT ejde-102 83 14 hij hij NOUN ejde-102 83 15 = = SYM ejde-102 83 16 φ√ φ√ PROPN ejde-102 83 17 φ2 φ2 NOUN ejde-102 83 18 + + CCONJ ejde-102 83 19 |∇′ρ|2 |∇′ρ|2 PROPN ejde-102 83 20 ( ( PUNCT ejde-102 83 21 −∇′ijρ+ −∇′ijρ+ PROPN ejde-102 83 22 2φ′ 2φ′ NUM ejde-102 83 23 φ φ PROPN ejde-102 83 24 ∇′iρ∇′jρ+ ∇′iρ∇′jρ+ ADJ ejde-102 83 25 φφ′eij φφ′eij PROPN ejde-102 83 26 ) ) PUNCT ejde-102 83 27 . . PUNCT ejde-102 84 1 ( ( PUNCT ejde-102 84 2 2.3 2.3 NUM ejde-102 84 3 ) ) PUNCT ejde-102 84 4 where where SCONJ ejde-102 84 5 eij eij PROPN ejde-102 84 6 is be AUX ejde-102 84 7 the the DET ejde-102 84 8 standard standard ADJ ejde-102 84 9 spherical spherical ADJ ejde-102 84 10 metric metric NOUN ejde-102 84 11 and and CCONJ ejde-102 84 12 eij eij PROPN ejde-102 84 13 is be AUX ejde-102 84 14 inverse inverse NOUN ejde-102 84 15 of of ADP ejde-102 84 16 it it PRON ejde-102 84 17 . . PUNCT ejde-102 85 1 we we PRON ejde-102 85 2 define define VERB ejde-102 85 3 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 85 4 ) ) PUNCT ejde-102 85 5 = = NUM ejde-102 85 6 ∫ ∫ PROPN ejde-102 85 7 ρ ρ PROPN ejde-102 85 8 0 0 PROPN ejde-102 85 9 φ(r)dr φ(r)dr PROPN ejde-102 85 10 and and CCONJ ejde-102 85 11 u u NOUN ejde-102 85 12 = = PROPN ejde-102 85 13 〈 〈 PROPN ejde-102 85 14 v v NOUN ejde-102 85 15 , , PUNCT ejde-102 85 16 ν ν NOUN ejde-102 85 17 〉 〉 NOUN ejde-102 85 18 . . PUNCT ejde-102 86 1 let let VERB ejde-102 86 2 { { PUNCT ejde-102 86 3 e1 e1 VERB ejde-102 86 4 , , PUNCT ejde-102 86 5 . . PUNCT ejde-102 86 6 . . PUNCT ejde-102 86 7 . . PUNCT ejde-102 87 1 , , PUNCT ejde-102 87 2 en en AUX ejde-102 87 3 } } PUNCT ejde-102 87 4 be be AUX ejde-102 87 5 a a DET ejde-102 87 6 local local ADJ ejde-102 87 7 orthonormal orthonormal ADJ ejde-102 87 8 frame frame NOUN ejde-102 87 9 on on ADP ejde-102 87 10 m m PROPN ejde-102 87 11 . . PUNCT ejde-102 88 1 by by ADP ejde-102 88 2 direct direct ADJ ejde-102 88 3 calculations calculation NOUN ejde-102 88 4 , , PUNCT ejde-102 88 5 we we PRON ejde-102 88 6 have have VERB ejde-102 88 7 the the DET ejde-102 88 8 following follow VERB ejde-102 88 9 formulas formula NOUN ejde-102 88 10 ( ( PUNCT ejde-102 88 11 see see VERB ejde-102 88 12 [ [ X ejde-102 88 13 13 13 NUM ejde-102 88 14 , , PUNCT ejde-102 88 15 23 23 NUM ejde-102 88 16 ] ] PUNCT ejde-102 88 17 ): ): PUNCT ejde-102 88 18 ∇iφ ∇iφ PROPN ejde-102 88 19 = = SYM ejde-102 88 20 〈 〈 PROPN ejde-102 88 21 v v NOUN ejde-102 88 22 , , PUNCT ejde-102 88 23 ei ei PROPN ejde-102 88 24 〉 〉 NOUN ejde-102 88 25 , , PUNCT ejde-102 88 26 ∇ijφ ∇ijφ PROPN ejde-102 89 1 = = PUNCT ejde-102 89 2 φ′gij φ′gij PROPN ejde-102 89 3 − − NOUN ejde-102 89 4 uhij uhij NOUN ejde-102 89 5 , , PUNCT ejde-102 89 6 ( ( PUNCT ejde-102 89 7 2.4 2.4 NUM ejde-102 89 8 ) ) PUNCT ejde-102 89 9 ∇iu ∇iu NOUN ejde-102 89 10 = = NOUN ejde-102 89 11 gklhik∇lφ gklhik∇lφ NOUN ejde-102 89 12 , , PUNCT ejde-102 89 13 ( ( PUNCT ejde-102 89 14 2.5 2.5 NUM ejde-102 89 15 ) ) PUNCT ejde-102 89 16 ∇iju ∇iju NOUN ejde-102 89 17 = = SYM ejde-102 89 18 gkl∇khij∇lφ gkl∇khij∇lφ NOUN ejde-102 89 19 + + CCONJ ejde-102 89 20 φ′hij φ′hij PRON ejde-102 89 21 − − NOUN ejde-102 89 22 ugklhikhjl ugklhikhjl NOUN ejde-102 89 23 , , PUNCT ejde-102 89 24 ( ( PUNCT ejde-102 89 25 2.6 2.6 NUM ejde-102 89 26 ) ) PUNCT ejde-102 89 27 ∇iν ∇iν NOUN ejde-102 89 28 = = SYM ejde-102 89 29 gklhikel gklhikel NOUN ejde-102 89 30 , , PUNCT ejde-102 89 31 ( ( PUNCT ejde-102 89 32 2.7 2.7 NUM ejde-102 89 33 ) ) PUNCT ejde-102 89 34 ∇ijhkl ∇ijhkl NOUN ejde-102 89 35 = = SYM ejde-102 89 36 ∇klhij ∇klhij NOUN ejde-102 89 37 − − NOUN ejde-102 89 38 hml(himhkj hml(himhkj NOUN ejde-102 89 39 − − PROPN ejde-102 89 40 hijhmk)− hijhmk)− PROPN ejde-102 89 41 hmj(hmihkl hmj(hmihkl NOUN ejde-102 89 42 − − PROPN ejde-102 89 43 hilhmk hilhmk NOUN ejde-102 89 44 ) ) PUNCT ejde-102 90 1 + + PROPN ejde-102 90 2 khml(δijδkm khml(δijδkm PROPN ejde-102 90 3 − − PROPN ejde-102 90 4 δimδkj δimδkj PROPN ejde-102 90 5 ) ) PUNCT ejde-102 90 6 + + PROPN ejde-102 90 7 khmj(δilδkm khmj(δilδkm PROPN ejde-102 90 8 − − PROPN ejde-102 90 9 δimδkl δimδkl NOUN ejde-102 90 10 ) ) PUNCT ejde-102 90 11 . . PUNCT ejde-102 91 1 ( ( PUNCT ejde-102 91 2 2.8 2.8 NUM ejde-102 91 3 ) ) PUNCT ejde-102 91 4 for for ADP ejde-102 91 5 simplicity simplicity NOUN ejde-102 91 6 , , PUNCT ejde-102 91 7 we we PRON ejde-102 91 8 denote denote VERB ejde-102 91 9 g(η g(η VERB ejde-102 91 10 ) ) PUNCT ejde-102 91 11 : : PUNCT ejde-102 92 1 = = SYM ejde-102 92 2 σ σ PROPN ejde-102 92 3 1 1 NUM ejde-102 92 4 / / SYM ejde-102 92 5 k k PROPN ejde-102 92 6 k k X ejde-102 92 7 ( ( PUNCT ejde-102 92 8 λ(η λ(η PROPN ejde-102 92 9 ) ) PUNCT ejde-102 92 10 ) ) PUNCT ejde-102 92 11 , , PUNCT ejde-102 92 12 gij(η gij(η NOUN ejde-102 92 13 ) ) PUNCT ejde-102 92 14 : : PUNCT ejde-102 93 1 = = SYM ejde-102 93 2 ∂g ∂g PROPN ejde-102 93 3 ∂ηij ∂ηij NUM ejde-102 93 4 , , PUNCT ejde-102 93 5 gij gij INTJ ejde-102 93 6 , , PUNCT ejde-102 93 7 rs(η rs(η ADP ejde-102 93 8 ) ) PUNCT ejde-102 93 9 : : PUNCT ejde-102 93 10 = = PUNCT ejde-102 93 11 ∂2 ∂2 PROPN ejde-102 93 12 g g PROPN ejde-102 93 13 ∂ηijηrs ∂ηijηrs PROPN ejde-102 93 14 , , PUNCT ejde-102 93 15 f f PROPN ejde-102 93 16 ii ii PROPN ejde-102 94 1 = = SYM ejde-102 94 2 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 94 3 k k PROPN ejde-102 94 4 6 6 NUM ejde-102 94 5 = = VERB ejde-102 94 6 i i PRON ejde-102 94 7 gkk gkk VERB ejde-102 94 8 . . PUNCT ejde-102 95 1 if if SCONJ ejde-102 95 2 ( ( PUNCT ejde-102 95 3 hij hij NOUN ejde-102 95 4 ) ) PUNCT ejde-102 95 5 is be AUX ejde-102 95 6 diagonal diagonal ADJ ejde-102 95 7 and and CCONJ ejde-102 95 8 h11 h11 PROPN ejde-102 95 9 ≥ ≥ PROPN ejde-102 95 10 · · PUNCT ejde-102 95 11 · · PUNCT ejde-102 95 12 · · PUNCT ejde-102 95 13 ≥ ≥ PROPN ejde-102 95 14 hnn hnn PROPN ejde-102 95 15 , , PUNCT ejde-102 95 16 then then ADV ejde-102 95 17 η11 η11 VERB ejde-102 95 18 ≤ ≤ NOUN ejde-102 95 19 · · PUNCT ejde-102 95 20 · · PUNCT ejde-102 95 21 · · PUNCT ejde-102 95 22 ≤ ≤ NUM ejde-102 95 23 ηnn ηnn NOUN ejde-102 95 24 , , PUNCT ejde-102 95 25 g11 g11 X ejde-102 95 26 ≥ ≥ X ejde-102 95 27 · · PUNCT ejde-102 95 28 · · PUNCT ejde-102 95 29 · · PUNCT ejde-102 95 30 ≥ ≥ NUM ejde-102 95 31 gnn gnn PROPN ejde-102 95 32 , , PUNCT ejde-102 95 33 f f PROPN ejde-102 95 34 11 11 NUM ejde-102 95 35 ≤ ≤ NOUN ejde-102 95 36 · · PUNCT ejde-102 95 37 · · PUNCT ejde-102 95 38 · · PUNCT ejde-102 96 1 ≤ ≤ NUM ejde-102 96 2 fnn fnn NOUN ejde-102 96 3 . . PUNCT ejde-102 97 1 3 3 X ejde-102 97 2 . . X ejde-102 97 3 a a DET ejde-102 97 4 priori priori ADJ ejde-102 97 5 estimates estimate NOUN ejde-102 97 6 in in ADP ejde-102 97 7 this this DET ejde-102 97 8 section section NOUN ejde-102 97 9 , , PUNCT ejde-102 97 10 we we PRON ejde-102 97 11 obtain obtain VERB ejde-102 97 12 c0 c0 NOUN ejde-102 97 13 , , PUNCT ejde-102 97 14 c1 c1 PROPN ejde-102 97 15 and and CCONJ ejde-102 97 16 c2 c2 PROPN ejde-102 97 17 estimates estimate VERB ejde-102 97 18 for for ADP ejde-102 97 19 ( ( PUNCT ejde-102 97 20 1.4 1.4 NUM ejde-102 97 21 ) ) PUNCT ejde-102 97 22 . . PUNCT ejde-102 98 1 let let VERB ejde-102 98 2 us we PRON ejde-102 98 3 consider consider VERB ejde-102 98 4 a a DET ejde-102 98 5 family family NOUN ejde-102 98 6 of of ADP ejde-102 98 7 functions function NOUN ejde-102 98 8 , , PUNCT ejde-102 98 9 for for ADP ejde-102 98 10 t t PROPN ejde-102 98 11 ∈ ∈ PROPN ejde-102 99 1 [ [ X ejde-102 99 2 0 0 NUM ejde-102 99 3 , , PUNCT ejde-102 99 4 1 1 NUM ejde-102 99 5 ] ] PUNCT ejde-102 99 6 , , PUNCT ejde-102 99 7 f f PROPN ejde-102 99 8 t(v t(v PROPN ejde-102 99 9 , , PUNCT ejde-102 99 10 ν ν NOUN ejde-102 99 11 ) ) PUNCT ejde-102 99 12 = = SYM ejde-102 99 13 tf(v tf(v NOUN ejde-102 99 14 , , PUNCT ejde-102 99 15 ν)+(1− ν)+(1− ADP ejde-102 99 16 t)ckn(n−1)k t)ckn(n−1)k PRON ejde-102 99 17 [ [ X ejde-102 99 18 ( ( PUNCT ejde-102 99 19 φ′(ρ φ′(ρ NUM ejde-102 99 20 ) ) PUNCT ejde-102 99 21 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 99 22 ) ) PUNCT ejde-102 99 23 ) ) PUNCT ejde-102 100 1 k k PROPN ejde-102 101 1 + + PROPN ejde-102 101 2 ε ε PROPN ejde-102 101 3 ( ( PUNCT ejde-102 101 4 ( ( PUNCT ejde-102 101 5 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 101 6 ) ) PUNCT ejde-102 101 7 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 101 8 ) ) PUNCT ejde-102 101 9 ) ) PUNCT ejde-102 101 10 k−(φ′(1 k−(φ′(1 PROPN ejde-102 101 11 ) ) PUNCT ejde-102 101 12 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 101 13 ) ) PUNCT ejde-102 101 14 ) ) PUNCT ejde-102 102 1 k k X ejde-102 102 2 ) ) PUNCT ejde-102 102 3 ] ] PUNCT ejde-102 102 4 , , PUNCT ejde-102 102 5 ( ( PUNCT ejde-102 102 6 3.1 3.1 NUM ejde-102 102 7 ) ) PUNCT ejde-102 102 8 4 4 NUM ejde-102 102 9 j. j. PROPN ejde-102 102 10 zhou zhou PROPN ejde-102 102 11 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PROPN ejde-102 102 12 where where SCONJ ejde-102 102 13 the the DET ejde-102 102 14 constant constant ADJ ejde-102 102 15 ε ε PROPN ejde-102 102 16 is be AUX ejde-102 102 17 small small ADJ ejde-102 102 18 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 102 19 such such ADJ ejde-102 102 20 that that DET ejde-102 102 21 min min NOUN ejde-102 103 1 r1≤ρ≤r2 r1≤ρ≤r2 X ejde-102 103 2 [ [ X ejde-102 103 3 ( ( PUNCT ejde-102 103 4 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 103 5 ) ) PUNCT ejde-102 103 6 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 103 7 ) ) PUNCT ejde-102 103 8 ) ) PUNCT ejde-102 104 1 k k PROPN ejde-102 104 2 + + CCONJ ejde-102 104 3 ε ε PROPN ejde-102 104 4 ( ( PUNCT ejde-102 104 5 ( ( PUNCT ejde-102 104 6 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 104 7 ) ) PUNCT ejde-102 104 8 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 104 9 ) ) PUNCT ejde-102 104 10 ) ) PUNCT ejde-102 105 1 k k X ejde-102 105 2 − − PROPN ejde-102 105 3 ( ( PUNCT ejde-102 105 4 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 105 5 ) ) PUNCT ejde-102 105 6 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 105 7 ) ) PUNCT ejde-102 105 8 ) ) PUNCT ejde-102 106 1 k k X ejde-102 106 2 ) ) PUNCT ejde-102 106 3 ] ] PUNCT ejde-102 106 4 ≥ ≥ PROPN ejde-102 106 5 c0 c0 X ejde-102 106 6 > > X ejde-102 106 7 0 0 X ejde-102 106 8 . . PUNCT ejde-102 107 1 it it PRON ejde-102 107 2 is be AUX ejde-102 107 3 easy easy ADJ ejde-102 107 4 to to PART ejde-102 107 5 see see VERB ejde-102 107 6 that that SCONJ ejde-102 107 7 f f PROPN ejde-102 107 8 t(v t(v PROPN ejde-102 107 9 , , PUNCT ejde-102 107 10 ν ν NOUN ejde-102 107 11 ) ) PUNCT ejde-102 107 12 satisfies satisfie NOUN ejde-102 107 13 ( ( PUNCT ejde-102 107 14 1.5 1.5 NUM ejde-102 107 15 ) ) PUNCT ejde-102 107 16 , , PUNCT ejde-102 107 17 ( ( PUNCT ejde-102 107 18 1.6 1.6 NUM ejde-102 107 19 ) ) PUNCT ejde-102 107 20 and and CCONJ ejde-102 107 21 ( ( PUNCT ejde-102 107 22 1.7 1.7 NUM ejde-102 107 23 ) ) PUNCT ejde-102 107 24 with with ADP ejde-102 107 25 strict strict ADJ ejde-102 107 26 inequalities inequality NOUN ejde-102 107 27 for for ADP ejde-102 107 28 0 0 NUM ejde-102 107 29 < < X ejde-102 107 30 t t X ejde-102 107 31 < < X ejde-102 107 32 1 1 NUM ejde-102 107 33 . . PUNCT ejde-102 107 34 to to PART ejde-102 107 35 prove prove VERB ejde-102 107 36 theorem theorem VERB ejde-102 107 37 1.1 1.1 NUM ejde-102 107 38 , , PUNCT ejde-102 107 39 we we PRON ejde-102 107 40 consider consider VERB ejde-102 107 41 the the DET ejde-102 107 42 family family NOUN ejde-102 107 43 of of ADP ejde-102 107 44 equations equation NOUN ejde-102 107 45 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 107 46 ) ) PUNCT ejde-102 107 47 ) ) PUNCT ejde-102 108 1 = = SYM ejde-102 108 2 f f PROPN ejde-102 108 3 t(v t(v PROPN ejde-102 108 4 , , PUNCT ejde-102 108 5 ν ν NOUN ejde-102 108 6 ) ) PUNCT ejde-102 108 7 , , PUNCT ejde-102 108 8 0 0 NUM ejde-102 108 9 ≤ ≤ NUM ejde-102 108 10 t t X ejde-102 108 11 ≤ ≤ NUM ejde-102 108 12 1 1 NUM ejde-102 108 13 . . PUNCT ejde-102 108 14 ( ( PUNCT ejde-102 108 15 3.2 3.2 NUM ejde-102 108 16 ) ) PUNCT ejde-102 108 17 3.1 3.1 NUM ejde-102 108 18 . . PUNCT ejde-102 109 1 c0 c0 NOUN ejde-102 109 2 estimates estimate VERB ejde-102 109 3 . . PUNCT ejde-102 110 1 now now ADV ejde-102 110 2 , , PUNCT ejde-102 110 3 we we PRON ejde-102 110 4 prove prove VERB ejde-102 110 5 the the DET ejde-102 110 6 following follow VERB ejde-102 110 7 proposition proposition NOUN ejde-102 110 8 which which PRON ejde-102 110 9 asserts assert VERB ejde-102 110 10 that that SCONJ ejde-102 110 11 the the DET ejde-102 110 12 solutions solution NOUN ejde-102 110 13 of of ADP ejde-102 110 14 ( ( PUNCT ejde-102 110 15 3.2 3.2 NUM ejde-102 110 16 ) ) PUNCT ejde-102 110 17 have have VERB ejde-102 110 18 uniform uniform ADJ ejde-102 110 19 c0 c0 PROPN ejde-102 110 20 bounds bound NOUN ejde-102 110 21 . . PUNCT ejde-102 111 1 proposition proposition NOUN ejde-102 111 2 3.1 3.1 NUM ejde-102 111 3 . . PUNCT ejde-102 112 1 let let VERB ejde-102 112 2 f f PROPN ejde-102 112 3 t(v t(v PROPN ejde-102 112 4 , , PUNCT ejde-102 112 5 ν ν NOUN ejde-102 112 6 ) ) PUNCT ejde-102 112 7 ∈ ∈ PROPN ejde-102 112 8 c2(nn+1 c2(nn+1 VERB ejde-102 112 9 × × PROPN ejde-102 112 10 sn sn PROPN ejde-102 112 11 ) ) PUNCT ejde-102 112 12 is be AUX ejde-102 112 13 a a DET ejde-102 112 14 positive positive ADJ ejde-102 112 15 function function NOUN ejde-102 112 16 . . PUNCT ejde-102 113 1 under under ADP ejde-102 113 2 assumptions assumption NOUN ejde-102 113 3 ( ( PUNCT ejde-102 113 4 1.5 1.5 NUM ejde-102 113 5 ) ) PUNCT ejde-102 113 6 and and CCONJ ejde-102 113 7 ( ( PUNCT ejde-102 113 8 1.6 1.6 NUM ejde-102 113 9 ) ) PUNCT ejde-102 113 10 , , PUNCT ejde-102 113 11 if if SCONJ ejde-102 113 12 mt mt PROPN ejde-102 113 13 = = PRON ejde-102 113 14 { { PUNCT ejde-102 113 15 ( ( PUNCT ejde-102 113 16 z z NOUN ejde-102 113 17 , , PUNCT ejde-102 113 18 ρ(z ρ(z NOUN ejde-102 113 19 ) ) PUNCT ejde-102 113 20 ) ) PUNCT ejde-102 113 21 : : PUNCT ejde-102 113 22 z z PROPN ejde-102 113 23 ∈ ∈ PROPN ejde-102 113 24 sn sn PROPN ejde-102 113 25 } } PUNCT ejde-102 113 26 ⊂ ⊂ NOUN ejde-102 113 27 nn+1(k nn+1(k PROPN ejde-102 113 28 ) ) PUNCT ejde-102 113 29 is be AUX ejde-102 113 30 a a DET ejde-102 113 31 starshaped starshape VERB ejde-102 113 32 ( ( PUNCT ejde-102 113 33 η η X ejde-102 113 34 , , PUNCT ejde-102 113 35 k)-convex k)-convex PROPN ejde-102 113 36 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 113 37 satisfying satisfy VERB ejde-102 113 38 equation equation NOUN ejde-102 113 39 ( ( PUNCT ejde-102 113 40 3.2 3.2 NUM ejde-102 113 41 ) ) PUNCT ejde-102 113 42 for for ADP ejde-102 113 43 0 0 NUM ejde-102 113 44 < < X ejde-102 113 45 t t X ejde-102 113 46 < < X ejde-102 113 47 1 1 NUM ejde-102 113 48 , , PUNCT ejde-102 113 49 then then ADV ejde-102 113 50 r1 r1 VERB ejde-102 113 51 < < X ejde-102 113 52 ρt ρt ADV ejde-102 113 53 < < X ejde-102 113 54 r2 r2 NOUN ejde-102 113 55 . . PUNCT ejde-102 114 1 proof proof NOUN ejde-102 114 2 . . PUNCT ejde-102 115 1 suppose suppose VERB ejde-102 115 2 that that SCONJ ejde-102 115 3 ρt(z ρt(z NUM ejde-102 115 4 ) ) PUNCT ejde-102 115 5 attains attain VERB ejde-102 115 6 its its PRON ejde-102 115 7 maximum maximum NOUN ejde-102 115 8 at at ADP ejde-102 115 9 z0 z0 PROPN ejde-102 115 10 ∈ ∈ PROPN ejde-102 115 11 sn sn PROPN ejde-102 115 12 and and CCONJ ejde-102 115 13 ρt(z0 ρt(z0 ADV ejde-102 115 14 ) ) PUNCT ejde-102 115 15 ≥ ≥ NOUN ejde-102 115 16 r2 r2 NOUN ejde-102 115 17 . . PUNCT ejde-102 116 1 then then ADV ejde-102 116 2 ∇′ρ ∇′ρ PROPN ejde-102 116 3 = = SYM ejde-102 116 4 0 0 PROPN ejde-102 116 5 , , PUNCT ejde-102 116 6 at at ADP ejde-102 116 7 z0 z0 PROPN ejde-102 116 8 . . PUNCT ejde-102 117 1 therefore therefore ADV ejde-102 117 2 , , PUNCT ejde-102 117 3 from from ADP ejde-102 117 4 ( ( PUNCT ejde-102 117 5 2.1 2.1 NUM ejde-102 117 6 ) ) PUNCT ejde-102 117 7 and and CCONJ ejde-102 117 8 ( ( PUNCT ejde-102 117 9 2.3 2.3 NUM ejde-102 117 10 ) ) PUNCT ejde-102 117 11 we we PRON ejde-102 117 12 obtain obtain VERB ejde-102 117 13 gij gij NOUN ejde-102 118 1 = = SYM ejde-102 118 2 φ−2eij φ−2eij PROPN ejde-102 118 3 , , PUNCT ejde-102 118 4 hij hij PROPN ejde-102 118 5 = = SYM ejde-102 118 6 −∇′ijρ+ −∇′ijρ+ NOUN ejde-102 118 7 φφ′eij φφ′eij PROPN ejde-102 118 8 , , PUNCT ejde-102 118 9 which which PRON ejde-102 118 10 implies imply VERB ejde-102 118 11 that that SCONJ ejde-102 118 12 hij hij NOUN ejde-102 118 13 = = NOUN ejde-102 118 14 gikhkj gikhkj X ejde-102 118 15 = = SYM ejde-102 118 16 − − PROPN ejde-102 118 17 eik∇′kjρ eik∇′kjρ NOUN ejde-102 119 1 φ2 φ2 NOUN ejde-102 119 2 + + CCONJ ejde-102 119 3 φ′ φ′ NUM ejde-102 119 4 φ φ PROPN ejde-102 119 5 δij δij PROPN ejde-102 119 6 ≥ ≥ PROPN ejde-102 119 7 φ′ φ′ PROPN ejde-102 119 8 φ φ PROPN ejde-102 119 9 δij δij NOUN ejde-102 119 10 . . PUNCT ejde-102 120 1 it it PRON ejde-102 120 2 follows follow VERB ejde-102 120 3 that that DET ejde-102 120 4 ηij ηij NOUN ejde-102 120 5 = = SYM ejde-102 120 6 hδij hδij NOUN ejde-102 120 7 − − PROPN ejde-102 120 8 hij hij PROPN ejde-102 120 9 ≥ ≥ NUM ejde-102 120 10 ( ( PUNCT ejde-102 120 11 n− n− NOUN ejde-102 120 12 1 1 NUM ejde-102 120 13 ) ) PUNCT ejde-102 120 14 φ′ φ′ NUM ejde-102 120 15 φ φ PROPN ejde-102 120 16 δij δij NOUN ejde-102 120 17 . . PUNCT ejde-102 121 1 noticing notice VERB ejde-102 121 2 that that PRON ejde-102 121 3 σk σk NOUN ejde-102 121 4 is be AUX ejde-102 121 5 elliptic elliptic ADJ ejde-102 121 6 in in ADP ejde-102 121 7 γk γk PROPN ejde-102 121 8 , , PUNCT ejde-102 121 9 we we PRON ejde-102 121 10 have have VERB ejde-102 121 11 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 121 12 ) ) PUNCT ejde-102 121 13 ) ) PUNCT ejde-102 122 1 ≥ ≥ NOUN ejde-102 122 2 ckn(n− ckn(n− X ejde-102 122 3 1)k 1)k NUM ejde-102 122 4 ( ( PUNCT ejde-102 122 5 φ′ φ′ NUM ejde-102 122 6 φ φ PROPN ejde-102 122 7 ) ) PUNCT ejde-102 123 1 k k PROPN ejde-102 123 2 . . PUNCT ejde-102 124 1 ( ( PUNCT ejde-102 124 2 3.3 3.3 NUM ejde-102 124 3 ) ) PUNCT ejde-102 124 4 on on ADP ejde-102 124 5 the the DET ejde-102 124 6 other other ADJ ejde-102 124 7 hand hand NOUN ejde-102 124 8 , , PUNCT ejde-102 124 9 the the DET ejde-102 124 10 unit unit NOUN ejde-102 124 11 outer outer VERB ejde-102 124 12 normal normal ADJ ejde-102 124 13 vector vector NOUN ejde-102 124 14 ν ν NOUN ejde-102 124 15 = = SYM ejde-102 124 16 v v PROPN ejde-102 124 17 |v |v NOUN ejde-102 124 18 | | ADV ejde-102 124 19 at at ADP ejde-102 124 20 z0 z0 PROPN ejde-102 124 21 and and CCONJ ejde-102 124 22 f f PROPN ejde-102 124 23 t(v t(v PROPN ejde-102 124 24 , , PUNCT ejde-102 124 25 ν ν NOUN ejde-102 124 26 ) ) PUNCT ejde-102 124 27 satisfies satisfie NOUN ejde-102 124 28 ( ( PUNCT ejde-102 124 29 1.5 1.5 NUM ejde-102 124 30 ) ) PUNCT ejde-102 124 31 with with ADP ejde-102 124 32 strict strict ADJ ejde-102 124 33 inequality inequality NOUN ejde-102 124 34 for for ADP ejde-102 124 35 0 0 NUM ejde-102 124 36 < < X ejde-102 124 37 t t X ejde-102 124 38 < < X ejde-102 124 39 1 1 NUM ejde-102 124 40 . . PUNCT ejde-102 125 1 if if SCONJ ejde-102 125 2 ρt(z0 ρt(z0 ADV ejde-102 126 1 ) ) PUNCT ejde-102 126 2 = = SYM ejde-102 126 3 r2 r2 NOUN ejde-102 126 4 , , PUNCT ejde-102 126 5 then then ADV ejde-102 126 6 ckn(n− ckn(n− PROPN ejde-102 126 7 1)k 1)k NUM ejde-102 126 8 ( ( PUNCT ejde-102 126 9 φ′(r2 φ′(r2 NOUN ejde-102 126 10 ) ) PUNCT ejde-102 126 11 φ(r2 φ(r2 NOUN ejde-102 126 12 ) ) PUNCT ejde-102 126 13 ) ) PUNCT ejde-102 127 1 k k X ejde-102 127 2 > > X ejde-102 127 3 f f PROPN ejde-102 127 4 t(v t(v PROPN ejde-102 127 5 , , PUNCT ejde-102 127 6 v v ADP ejde-102 127 7 |v |v PROPN ejde-102 127 8 | | ADV ejde-102 127 9 ) ) PUNCT ejde-102 128 1 = = SYM ejde-102 128 2 f f X ejde-102 128 3 t(v t(v PROPN ejde-102 128 4 , , PUNCT ejde-102 128 5 ν ν X ejde-102 128 6 ) ) PUNCT ejde-102 128 7 = = SYM ejde-102 128 8 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 128 9 ) ) PUNCT ejde-102 128 10 ) ) PUNCT ejde-102 128 11 . . PUNCT ejde-102 129 1 ( ( PUNCT ejde-102 129 2 3.4 3.4 NUM ejde-102 129 3 ) ) PUNCT ejde-102 129 4 this this PRON ejde-102 129 5 contradicts contradict VERB ejde-102 129 6 ( ( PUNCT ejde-102 129 7 3.3 3.3 NUM ejde-102 129 8 ) ) PUNCT ejde-102 129 9 , , PUNCT ejde-102 129 10 and and CCONJ ejde-102 129 11 shows show VERB ejde-102 129 12 that that PRON ejde-102 129 13 . . PUNCT ejde-102 130 1 supmt supmt NOUN ejde-102 131 1 ρt ρt ADP ejde-102 131 2 < < X ejde-102 131 3 r2 r2 PROPN ejde-102 131 4 . . PUNCT ejde-102 132 1 similarly similarly ADV ejde-102 132 2 , , PUNCT ejde-102 132 3 we we PRON ejde-102 132 4 prove prove VERB ejde-102 132 5 infmt infmt NOUN ejde-102 132 6 ρt ρt ADP ejde-102 132 7 > > X ejde-102 132 8 r1 r1 PROPN ejde-102 132 9 . . PUNCT ejde-102 133 1 � � PROPN ejde-102 133 2 now now ADV ejde-102 133 3 , , PUNCT ejde-102 133 4 we we PRON ejde-102 133 5 prove prove VERB ejde-102 133 6 the the DET ejde-102 133 7 following follow VERB ejde-102 133 8 uniqueness uniqueness NOUN ejde-102 133 9 result result NOUN ejde-102 133 10 . . PUNCT ejde-102 134 1 proposition proposition NOUN ejde-102 134 2 3.2 3.2 NUM ejde-102 134 3 . . PUNCT ejde-102 135 1 for for ADP ejde-102 135 2 t t NOUN ejde-102 135 3 = = SYM ejde-102 135 4 0 0 NUM ejde-102 135 5 , , PUNCT ejde-102 135 6 there there PRON ejde-102 135 7 exists exist VERB ejde-102 135 8 unique unique ADJ ejde-102 135 9 ( ( PUNCT ejde-102 135 10 η η NOUN ejde-102 135 11 , , PUNCT ejde-102 135 12 k)-convex k)-convex NOUN ejde-102 135 13 solution solution NOUN ejde-102 135 14 of of ADP ejde-102 135 15 equation equation NOUN ejde-102 135 16 ( ( PUNCT ejde-102 135 17 3.2 3.2 NUM ejde-102 135 18 ) ) PUNCT ejde-102 135 19 , , PUNCT ejde-102 135 20 namely namely ADV ejde-102 135 21 , , PUNCT ejde-102 135 22 m0 m0 PROPN ejde-102 135 23 is be AUX ejde-102 135 24 an an DET ejde-102 135 25 unit unit NOUN ejde-102 135 26 sphere sphere ADV ejde-102 135 27 in in ADP ejde-102 135 28 nk(k nk(k ADJ ejde-102 135 29 ) ) PUNCT ejde-102 135 30 . . PUNCT ejde-102 136 1 proof proof NOUN ejde-102 136 2 . . PUNCT ejde-102 137 1 let let VERB ejde-102 137 2 m0 m0 NOUN ejde-102 137 3 be be AUX ejde-102 137 4 a a DET ejde-102 137 5 solution solution NOUN ejde-102 137 6 of of ADP ejde-102 137 7 ( ( PUNCT ejde-102 137 8 3.2 3.2 NUM ejde-102 137 9 ) ) PUNCT ejde-102 137 10 for for ADP ejde-102 137 11 t t NOUN ejde-102 137 12 = = SYM ejde-102 137 13 0 0 X ejde-102 137 14 . . PUNCT ejde-102 138 1 assume assume VERB ejde-102 138 2 the the DET ejde-102 138 3 height height NOUN ejde-102 138 4 function function PROPN ejde-102 138 5 ρ(z ρ(z PROPN ejde-102 138 6 ) ) PUNCT ejde-102 138 7 of of ADP ejde-102 138 8 m0 m0 PROPN ejde-102 138 9 achieves achieve VERB ejde-102 138 10 its its PRON ejde-102 138 11 maximum maximum ADJ ejde-102 138 12 ρmax ρmax NOUN ejde-102 138 13 at at ADP ejde-102 138 14 z0 z0 PROPN ejde-102 138 15 ∈ ∈ PROPN ejde-102 138 16 sn sn PROPN ejde-102 138 17 , , PUNCT ejde-102 138 18 then then ADV ejde-102 138 19 ckn(n− ckn(n− PROPN ejde-102 139 1 1)k 1)k NUM ejde-102 140 1 [ [ X ejde-102 140 2 ( ( PUNCT ejde-102 140 3 φ′(ρmax φ′(ρmax X ejde-102 140 4 ) ) PUNCT ejde-102 140 5 φ(ρmax φ(ρmax NOUN ejde-102 140 6 ) ) PUNCT ejde-102 140 7 ) ) PUNCT ejde-102 141 1 k k PROPN ejde-102 141 2 + + CCONJ ejde-102 141 3 ε ε PROPN ejde-102 141 4 ( ( PUNCT ejde-102 141 5 ( ( PUNCT ejde-102 141 6 φ′(ρmax φ′(ρmax X ejde-102 141 7 ) ) PUNCT ejde-102 141 8 φ(ρmax φ(ρmax NOUN ejde-102 141 9 ) ) PUNCT ejde-102 141 10 ) ) PUNCT ejde-102 142 1 k k X ejde-102 142 2 − − PROPN ejde-102 142 3 ( ( PUNCT ejde-102 142 4 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 142 5 ) ) PUNCT ejde-102 142 6 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 142 7 ) ) PUNCT ejde-102 142 8 ) ) PUNCT ejde-102 143 1 k k X ejde-102 143 2 ) ) PUNCT ejde-102 143 3 ] ] PUNCT ejde-102 144 1 = = PUNCT ejde-102 144 2 σk(λ(η σk(λ(η NOUN ejde-102 144 3 ) ) PUNCT ejde-102 144 4 ) ) PUNCT ejde-102 144 5 ≥ ≥ NOUN ejde-102 144 6 ckn(n− ckn(n− X ejde-102 144 7 1)k 1)k NUM ejde-102 144 8 ( ( PUNCT ejde-102 144 9 φ′(ρmax φ′(ρmax X ejde-102 144 10 ) ) PUNCT ejde-102 144 11 φ(ρmax φ(ρmax NOUN ejde-102 144 12 ) ) PUNCT ejde-102 144 13 ) ) PUNCT ejde-102 145 1 k k PROPN ejde-102 145 2 , , PUNCT ejde-102 145 3 ejde-2022/18 ejde-2022/18 X ejde-102 145 4 k k X ejde-102 145 5 - - ADJ ejde-102 145 6 hessian hessian ADJ ejde-102 145 7 curvature curvature NOUN ejde-102 145 8 type type NOUN ejde-102 145 9 equations equation NOUN ejde-102 145 10 5 5 NUM ejde-102 145 11 which which PRON ejde-102 145 12 implies imply VERB ejde-102 145 13 φ′(ρmax φ′(ρmax NOUN ejde-102 145 14 ) ) PUNCT ejde-102 145 15 φ(ρmax φ(ρmax NOUN ejde-102 145 16 ) ) PUNCT ejde-102 145 17 ≥ ≥ NOUN ejde-102 145 18 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 145 19 ) ) PUNCT ejde-102 145 20 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 145 21 ) ) PUNCT ejde-102 145 22 . . PUNCT ejde-102 146 1 ( ( PUNCT ejde-102 146 2 3.5 3.5 NUM ejde-102 146 3 ) ) PUNCT ejde-102 146 4 noting note VERB ejde-102 146 5 that that SCONJ ejde-102 146 6 φ′(ρ φ′(ρ VERB ejde-102 146 7 ) ) PUNCT ejde-102 146 8 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 146 9 ) ) PUNCT ejde-102 146 10 = = PUNCT ejde-102 147 1   PROPN ejde-102 147 2 cot(ρ cot(ρ PROPN ejde-102 147 3 ) ) PUNCT ejde-102 147 4 , , PUNCT ejde-102 147 5 if if SCONJ ejde-102 147 6 k k PROPN ejde-102 147 7 = = SYM ejde-102 147 8 1 1 NUM ejde-102 147 9 , , PUNCT ejde-102 147 10 1 1 NUM ejde-102 147 11 ρ ρ NOUN ejde-102 147 12 , , PUNCT ejde-102 147 13 if if SCONJ ejde-102 147 14 k k PROPN ejde-102 147 15 = = SYM ejde-102 147 16 0 0 NUM ejde-102 147 17 , , PUNCT ejde-102 147 18 coth(ρ coth(ρ NOUN ejde-102 147 19 ) ) PUNCT ejde-102 147 20 , , PUNCT ejde-102 147 21 if if SCONJ ejde-102 147 22 k k PROPN ejde-102 147 23 = = SYM ejde-102 147 24 −1 −1 NOUN ejde-102 147 25 , , PUNCT ejde-102 147 26 we we PRON ejde-102 147 27 obtain obtain VERB ejde-102 147 28 ρmax ρmax NOUN ejde-102 147 29 ≤ ≤ ADJ ejde-102 147 30 1 1 NUM ejde-102 147 31 . . PUNCT ejde-102 148 1 similarly similarly ADV ejde-102 148 2 , , PUNCT ejde-102 148 3 ρmin ρmin PROPN ejde-102 148 4 ≥ ≥ NOUN ejde-102 148 5 1 1 NUM ejde-102 148 6 . . PUNCT ejde-102 149 1 thus thus ADV ejde-102 149 2 , , PUNCT ejde-102 149 3 ρ ρ PROPN ejde-102 149 4 = = SYM ejde-102 149 5 1 1 NUM ejde-102 149 6 is be AUX ejde-102 149 7 the the DET ejde-102 149 8 unique unique ADJ ejde-102 149 9 solution solution NOUN ejde-102 149 10 of of ADP ejde-102 149 11 ( ( PUNCT ejde-102 149 12 3.2 3.2 NUM ejde-102 149 13 ) ) PUNCT ejde-102 149 14 for for ADP ejde-102 149 15 t t NOUN ejde-102 149 16 = = SYM ejde-102 149 17 0 0 X ejde-102 149 18 . . PUNCT ejde-102 149 19 � � PROPN ejde-102 149 20 3.2 3.2 NUM ejde-102 149 21 . . PUNCT ejde-102 150 1 c1 c1 PROPN ejde-102 150 2 estimates estimate VERB ejde-102 150 3 . . PUNCT ejde-102 151 1 in in ADP ejde-102 151 2 this this DET ejde-102 151 3 section section NOUN ejde-102 151 4 , , PUNCT ejde-102 151 5 we we PRON ejde-102 151 6 follow follow VERB ejde-102 151 7 the the DET ejde-102 151 8 ideas idea NOUN ejde-102 151 9 in in ADP ejde-102 151 10 [ [ X ejde-102 151 11 3 3 NUM ejde-102 151 12 ] ] PUNCT ejde-102 151 13 and and CCONJ ejde-102 151 14 [ [ X ejde-102 151 15 10 10 NUM ejde-102 151 16 ] ] PUNCT ejde-102 151 17 to to PART ejde-102 151 18 obtain obtain VERB ejde-102 151 19 c1 c1 PROPN ejde-102 151 20 estimates estimate NOUN ejde-102 151 21 for for ADP ejde-102 151 22 the the DET ejde-102 151 23 height height NOUN ejde-102 151 24 function function PROPN ejde-102 151 25 ρ ρ PROPN ejde-102 151 26 . . PUNCT ejde-102 152 1 proposition proposition NOUN ejde-102 152 2 3.3 3.3 NUM ejde-102 152 3 . . PUNCT ejde-102 153 1 let let VERB ejde-102 153 2 m m PRON ejde-102 153 3 be be AUX ejde-102 153 4 a a DET ejde-102 153 5 closed closed ADJ ejde-102 153 6 star star NOUN ejde-102 153 7 - - PUNCT ejde-102 153 8 shaped shape VERB ejde-102 153 9 ( ( PUNCT ejde-102 153 10 η η PROPN ejde-102 153 11 , , PUNCT ejde-102 153 12 k)-convex k)-convex PROPN ejde-102 153 13 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 153 14 in in ADP ejde-102 153 15 nk(k nk(k ADJ ejde-102 153 16 ) ) PUNCT ejde-102 154 1 satisfying satisfy VERB ejde-102 154 2 ( ( PUNCT ejde-102 154 3 3.2 3.2 NUM ejde-102 154 4 ) ) PUNCT ejde-102 154 5 . . PUNCT ejde-102 155 1 under under ADP ejde-102 155 2 assumption assumption NOUN ejde-102 155 3 ( ( PUNCT ejde-102 155 4 1.7 1.7 NUM ejde-102 155 5 ) ) PUNCT ejde-102 155 6 , , PUNCT ejde-102 155 7 if if SCONJ ejde-102 155 8 ρ ρ PROPN ejde-102 155 9 has have VERB ejde-102 155 10 positive positive ADJ ejde-102 155 11 upper upper ADJ ejde-102 155 12 and and CCONJ ejde-102 155 13 lower low ADJ ejde-102 155 14 bounds bound NOUN ejde-102 155 15 , , PUNCT ejde-102 155 16 there there PRON ejde-102 155 17 exists exist VERB ejde-102 155 18 a a DET ejde-102 155 19 constant constant ADJ ejde-102 155 20 c c NOUN ejde-102 155 21 depending depend VERB ejde-102 155 22 on on ADP ejde-102 155 23 infmρ infmρ NOUN ejde-102 155 24 , , PUNCT ejde-102 155 25 supm supm NOUN ejde-102 155 26 ρ ρ NUM ejde-102 155 27 , , PUNCT ejde-102 155 28 and and CCONJ ejde-102 155 29 ‖f‖c1(m ‖f‖c1(m NUM ejde-102 155 30 ) ) PUNCT ejde-102 155 31 such such ADJ ejde-102 155 32 that that SCONJ ejde-102 155 33 |∇ρ| |∇ρ| ADJ ejde-102 155 34 ≤ ≤ ADJ ejde-102 155 35 c. c. NOUN ejde-102 155 36 proof proof NOUN ejde-102 155 37 . . PUNCT ejde-102 156 1 since since SCONJ ejde-102 156 2 u u NOUN ejde-102 156 3 = = PROPN ejde-102 156 4 〈 〈 PROPN ejde-102 156 5 v v NOUN ejde-102 156 6 , , PUNCT ejde-102 156 7 ν ν NOUN ejde-102 156 8 〉 〉 NOUN ejde-102 156 9 = = SYM ejde-102 156 10 φ2 φ2 PROPN ejde-102 156 11 φ2 φ2 NOUN ejde-102 156 12 + + CCONJ ejde-102 156 13 |∇′ρ|2 |∇′ρ|2 ADP ejde-102 156 14 , , PUNCT ejde-102 156 15 it it PRON ejde-102 156 16 is be AUX ejde-102 156 17 sufficient sufficient ADJ ejde-102 156 18 to to PART ejde-102 156 19 obtain obtain VERB ejde-102 156 20 a a DET ejde-102 156 21 positive positive ADJ ejde-102 156 22 lower low ADJ ejde-102 156 23 bound bind VERB ejde-102 156 24 of of ADP ejde-102 156 25 u. u. NOUN ejde-102 156 26 we we PRON ejde-102 156 27 consider consider VERB ejde-102 156 28 a a DET ejde-102 156 29 test test NOUN ejde-102 156 30 function function NOUN ejde-102 156 31 ϕ ϕ NOUN ejde-102 156 32 = = SYM ejde-102 156 33 − − PROPN ejde-102 156 34 log log NOUN ejde-102 156 35 u+ u+ NOUN ejde-102 156 36 γ(φ(ρ γ(φ(ρ PROPN ejde-102 156 37 ) ) PUNCT ejde-102 156 38 ) ) PUNCT ejde-102 156 39 , , PUNCT ejde-102 156 40 where where SCONJ ejde-102 156 41 γ(t γ(t NOUN ejde-102 156 42 ) ) PUNCT ejde-102 156 43 is be AUX ejde-102 156 44 a a DET ejde-102 156 45 function function NOUN ejde-102 156 46 which which PRON ejde-102 156 47 will will AUX ejde-102 156 48 be be AUX ejde-102 156 49 chosen choose VERB ejde-102 156 50 later later ADV ejde-102 156 51 . . PUNCT ejde-102 157 1 assume assume VERB ejde-102 157 2 that that SCONJ ejde-102 157 3 ϕ ϕ PROPN ejde-102 157 4 achieves achieve VERB ejde-102 157 5 its its PRON ejde-102 157 6 maximum maximum ADJ ejde-102 157 7 value value NOUN ejde-102 157 8 at at ADP ejde-102 157 9 z0 z0 PROPN ejde-102 157 10 ∈ ∈ PROPN ejde-102 157 11 sn sn PROPN ejde-102 157 12 , , PUNCT ejde-102 157 13 we we PRON ejde-102 157 14 will will AUX ejde-102 157 15 show show VERB ejde-102 157 16 that that SCONJ ejde-102 157 17 u(z0 u(z0 NOUN ejde-102 157 18 ) ) PUNCT ejde-102 157 19 = = SYM ejde-102 157 20 |v |v X ejde-102 157 21 ( ( PUNCT ejde-102 157 22 z0)| z0)| NOUN ejde-102 157 23 , , PUNCT ejde-102 157 24 that that ADV ejde-102 157 25 is is ADV ejde-102 157 26 , , PUNCT ejde-102 157 27 v v INTJ ejde-102 157 28 ( ( PUNCT ejde-102 157 29 z0 z0 PROPN ejde-102 157 30 ) ) PUNCT ejde-102 157 31 = = PUNCT ejde-102 157 32 φ(ρ(z0))ν(z0 φ(ρ(z0))ν(z0 PROPN ejde-102 157 33 ) ) PUNCT ejde-102 157 34 , , PUNCT ejde-102 157 35 which which PRON ejde-102 157 36 implies imply VERB ejde-102 157 37 a a DET ejde-102 157 38 uniform uniform NOUN ejde-102 157 39 lower lower ADV ejde-102 157 40 bound bind VERB ejde-102 157 41 for for ADP ejde-102 157 42 u u NOUN ejde-102 157 43 on on ADP ejde-102 157 44 m m PROPN ejde-102 157 45 . . PUNCT ejde-102 158 1 if if SCONJ ejde-102 158 2 not not PART ejde-102 158 3 , , PUNCT ejde-102 158 4 we we PRON ejde-102 158 5 may may AUX ejde-102 158 6 choose choose VERB ejde-102 158 7 a a DET ejde-102 158 8 local local ADJ ejde-102 158 9 orthonormal orthonormal ADJ ejde-102 158 10 frame frame NOUN ejde-102 158 11 { { PUNCT ejde-102 158 12 e1 e1 NOUN ejde-102 158 13 , , PUNCT ejde-102 158 14 . . PUNCT ejde-102 158 15 . . PUNCT ejde-102 158 16 . . PUNCT ejde-102 159 1 , , PUNCT ejde-102 159 2 en en ADP ejde-102 159 3 } } PUNCT ejde-102 159 4 around around ADV ejde-102 159 5 ( ( PUNCT ejde-102 159 6 z0 z0 NOUN ejde-102 159 7 , , PUNCT ejde-102 159 8 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 159 9 ) ) PUNCT ejde-102 159 10 ) ) PUNCT ejde-102 160 1 ∈ ∈ PROPN ejde-102 160 2 m m VERB ejde-102 160 3 such such ADJ ejde-102 160 4 that that SCONJ ejde-102 160 5 〈 〈 PROPN ejde-102 160 6 v v NOUN ejde-102 160 7 , , PUNCT ejde-102 160 8 e1 e1 VERB ejde-102 160 9 〉 〉 PROPN ejde-102 160 10 6= 6= ADP ejde-102 160 11 0 0 NUM ejde-102 160 12 and and CCONJ ejde-102 160 13 〈 〈 PROPN ejde-102 160 14 v v NOUN ejde-102 160 15 , , PUNCT ejde-102 160 16 ei ei PROPN ejde-102 160 17 〉 〉 NOUN ejde-102 160 18 = = SYM ejde-102 160 19 0 0 NUM ejde-102 160 20 , , PUNCT ejde-102 160 21 i i PRON ejde-102 160 22 ≥ ≥ VERB ejde-102 160 23 2 2 NUM ejde-102 160 24 . . PUNCT ejde-102 161 1 using use VERB ejde-102 161 2 ( ( PUNCT ejde-102 161 3 2.5 2.5 NUM ejde-102 161 4 ) ) PUNCT ejde-102 161 5 , , PUNCT ejde-102 161 6 we we PRON ejde-102 161 7 have have VERB ejde-102 161 8 at at ADP ejde-102 161 9 ( ( PUNCT ejde-102 161 10 z0 z0 NOUN ejde-102 161 11 , , PUNCT ejde-102 161 12 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 161 13 ) ) PUNCT ejde-102 161 14 ) ) PUNCT ejde-102 161 15 ∈m ∈m NOUN ejde-102 161 16 , , PUNCT ejde-102 161 17 0 0 NUM ejde-102 161 18 = = SYM ejde-102 161 19 ∇iϕ ∇iϕ NOUN ejde-102 161 20 = = NOUN ejde-102 161 21 −∇iu −∇iu NOUN ejde-102 161 22 u u NOUN ejde-102 161 23 + + CCONJ ejde-102 161 24 γ′∇iφ γ′∇iφ NOUN ejde-102 161 25 = = SYM ejde-102 161 26 −hi1〈v −hi1〈v NOUN ejde-102 161 27 , , PUNCT ejde-102 161 28 e1 e1 VERB ejde-102 161 29 〉 〉 NOUN ejde-102 161 30 u u NOUN ejde-102 161 31 + + X ejde-102 161 32 γ′〈v γ′〈v NOUN ejde-102 161 33 , , PUNCT ejde-102 161 34 ei ei PROPN ejde-102 161 35 〉 〉 PROPN ejde-102 161 36 . . PUNCT ejde-102 162 1 ( ( PUNCT ejde-102 162 2 3.6 3.6 NUM ejde-102 162 3 ) ) PUNCT ejde-102 162 4 it it PRON ejde-102 162 5 follows follow VERB ejde-102 162 6 from from ADP ejde-102 162 7 ( ( PUNCT ejde-102 162 8 3.6 3.6 NUM ejde-102 162 9 ) ) PUNCT ejde-102 162 10 that that PRON ejde-102 162 11 h11 h11 NOUN ejde-102 162 12 = = SYM ejde-102 162 13 uγ′ uγ′ PROPN ejde-102 162 14 , , PUNCT ejde-102 162 15 hi1 hi1 ADP ejde-102 162 16 = = NOUN ejde-102 162 17 0 0 PROPN ejde-102 162 18 , , PUNCT ejde-102 162 19 i i PRON ejde-102 162 20 ≥ ≥ VERB ejde-102 162 21 2 2 NUM ejde-102 162 22 . . PUNCT ejde-102 162 23 ( ( PUNCT ejde-102 162 24 3.7 3.7 NUM ejde-102 162 25 ) ) PUNCT ejde-102 162 26 rotate rotate VERB ejde-102 162 27 { { PUNCT ejde-102 162 28 e2 e2 PROPN ejde-102 162 29 , , PUNCT ejde-102 162 30 . . PUNCT ejde-102 162 31 . . PUNCT ejde-102 163 1 . . PUNCT ejde-102 164 1 , , PUNCT ejde-102 164 2 en en ADP ejde-102 164 3 } } PUNCT ejde-102 164 4 around around ADV ejde-102 164 5 ( ( PUNCT ejde-102 164 6 z0 z0 NOUN ejde-102 164 7 , , PUNCT ejde-102 164 8 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 164 9 ) ) PUNCT ejde-102 164 10 ) ) PUNCT ejde-102 165 1 ∈ ∈ PROPN ejde-102 165 2 m m VERB ejde-102 165 3 such such ADJ ejde-102 165 4 that that SCONJ ejde-102 165 5 hij hij NOUN ejde-102 165 6 is be AUX ejde-102 165 7 diagonal diagonal ADJ ejde-102 165 8 . . PUNCT ejde-102 166 1 covariantly covariantly ADV ejde-102 166 2 differentiating differentiate VERB ejde-102 166 3 ϕ ϕ PROPN ejde-102 166 4 twice twice ADJ ejde-102 166 5 yields yield NOUN ejde-102 166 6 0 0 NUM ejde-102 166 7 ≥ ≥ NOUN ejde-102 166 8 f f NOUN ejde-102 166 9 ii∇iiϕ ii∇iiϕ PROPN ejde-102 166 10 = = PUNCT ejde-102 167 1 −f −f ADJ ejde-102 167 2 ii∇iiu ii∇iiu NOUN ejde-102 167 3 u u PROPN ejde-102 167 4 + + CCONJ ejde-102 167 5 f f PROPN ejde-102 167 6 ii ii PROPN ejde-102 167 7 |∇iu|2 |∇iu|2 PROPN ejde-102 167 8 u2 u2 PROPN ejde-102 167 9 + + PROPN ejde-102 167 10 γ′′f γ′′f PROPN ejde-102 167 11 ii|∇iφ|2 ii|∇iφ|2 NOUN ejde-102 167 12 + + CCONJ ejde-102 167 13 γ′f γ′f ADJ ejde-102 167 14 ii∇iiφ ii∇iiφ NOUN ejde-102 167 15 = = SYM ejde-102 167 16 − − PROPN ejde-102 167 17 1 1 NUM ejde-102 167 18 u u PROPN ejde-102 167 19 f f PROPN ejde-102 167 20 ii ii PROPN ejde-102 167 21 ( ( PUNCT ejde-102 167 22 hii1∇1φ hii1∇1φ PUNCT ejde-102 167 23 + + CCONJ ejde-102 167 24 φ′hii φ′hii PROPN ejde-102 167 25 − − PROPN ejde-102 167 26 uh2 uh2 PROPN ejde-102 167 27 ii ii PROPN ejde-102 167 28 ) ) PUNCT ejde-102 168 1 + + CCONJ ejde-102 168 2 ( ( PUNCT ejde-102 168 3 ( ( PUNCT ejde-102 168 4 γ′)2 γ′)2 NOUN ejde-102 168 5 + + NUM ejde-102 168 6 γ′′ γ′′ ADJ ejde-102 168 7 ) ) PUNCT ejde-102 168 8 f f PROPN ejde-102 168 9 ii|∇iφ|2 ii|∇iφ|2 X ejde-102 168 10 + + CCONJ ejde-102 168 11 γ′f γ′f PROPN ejde-102 168 12 ii ii PROPN ejde-102 168 13 ( ( PUNCT ejde-102 168 14 φ′δii φ′δii PROPN ejde-102 168 15 − − PROPN ejde-102 168 16 uhii uhii PROPN ejde-102 168 17 ) ) PUNCT ejde-102 168 18 , , PUNCT ejde-102 168 19 ( ( PUNCT ejde-102 168 20 3.8 3.8 NUM ejde-102 168 21 ) ) PUNCT ejde-102 168 22 where where SCONJ ejde-102 168 23 the the DET ejde-102 168 24 second second ADJ ejde-102 168 25 equality equality NOUN ejde-102 168 26 is be AUX ejde-102 168 27 given give VERB ejde-102 168 28 by by ADP ejde-102 168 29 using use VERB ejde-102 168 30 ( ( PUNCT ejde-102 168 31 2.4 2.4 NUM ejde-102 168 32 ) ) PUNCT ejde-102 168 33 , , PUNCT ejde-102 168 34 ( ( PUNCT ejde-102 168 35 2.5 2.5 NUM ejde-102 168 36 ) ) PUNCT ejde-102 168 37 and and CCONJ ejde-102 168 38 ( ( PUNCT ejde-102 168 39 2.6 2.6 NUM ejde-102 168 40 ) ) PUNCT ejde-102 168 41 . . PUNCT ejde-102 169 1 then then ADV ejde-102 169 2 ηii ηii NOUN ejde-102 169 3 = = PUNCT ejde-102 169 4 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 169 5 j j PROPN ejde-102 169 6 6 6 NUM ejde-102 169 7 = = NOUN ejde-102 169 8 i i PRON ejde-102 169 9 hjj hjj VERB ejde-102 169 10 6 6 NUM ejde-102 169 11 j. j. PROPN ejde-102 169 12 zhou zhou PROPN ejde-102 169 13 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PROPN ejde-102 169 14 implies imply VERB ejde-102 169 15 ∑ ∑ PROPN ejde-102 169 16 i i PRON ejde-102 169 17 ηii ηii VERB ejde-102 169 18 = = PUNCT ejde-102 169 19 ( ( PUNCT ejde-102 169 20 n− n− NOUN ejde-102 169 21 1 1 NUM ejde-102 169 22 ) ) PUNCT ejde-102 169 23 ∑ ∑ ADP ejde-102 169 24 i i PRON ejde-102 169 25 hii hii PROPN ejde-102 169 26 , , PUNCT ejde-102 169 27 hii hii X ejde-102 169 28 = = SYM ejde-102 169 29 1 1 NUM ejde-102 169 30 n− n− NOUN ejde-102 169 31 1 1 NUM ejde-102 169 32 ∑ ∑ SYM ejde-102 169 33 k k PROPN ejde-102 169 34 ηkk ηkk PROPN ejde-102 170 1 − − PROPN ejde-102 170 2 ηii ηii NOUN ejde-102 170 3 , , PUNCT ejde-102 170 4 which which PRON ejde-102 170 5 results result VERB ejde-102 170 6 in∑ in∑ NOUN ejde-102 170 7 i i PRON ejde-102 170 8 f f VERB ejde-102 170 9 iihii iihii PROPN ejde-102 170 10 = = PUNCT ejde-102 170 11 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 170 12 i i PRON ejde-102 170 13 ( ( PUNCT ejde-102 170 14 ∑ ∑ PROPN ejde-102 170 15 k k PROPN ejde-102 170 16 gkk gkk PROPN ejde-102 170 17 −gii −gii NOUN ejde-102 170 18 ) ) PUNCT ejde-102 171 1 ( ( PUNCT ejde-102 171 2 1 1 NUM ejde-102 171 3 n− n− NOUN ejde-102 171 4 1 1 NUM ejde-102 171 5 ∑ ∑ SYM ejde-102 171 6 k k PROPN ejde-102 171 7 ηkk ηkk PROPN ejde-102 172 1 − − PROPN ejde-102 172 2 ηii ηii NOUN ejde-102 172 3 ) ) PUNCT ejde-102 173 1 = = PUNCT ejde-102 173 2 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 173 3 i i PRON ejde-102 173 4 giiηii giiηii NOUN ejde-102 173 5 = = SYM ejde-102 173 6 f1 f1 PROPN ejde-102 173 7 / / SYM ejde-102 173 8 k(v k(v PROPN ejde-102 173 9 , , PUNCT ejde-102 173 10 ν ν NOUN ejde-102 173 11 ) ) PUNCT ejde-102 173 12 , , PUNCT ejde-102 173 13 ( ( PUNCT ejde-102 173 14 3.9 3.9 NUM ejde-102 173 15 ) ) PUNCT ejde-102 173 16 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 174 1 i i PRON ejde-102 174 2 f f PROPN ejde-102 174 3 iihiij iihiij PROPN ejde-102 175 1 = = PUNCT ejde-102 175 2 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 175 3 i i PRON ejde-102 175 4 giiηiij giiηiij NOUN ejde-102 175 5 . . PUNCT ejde-102 176 1 ( ( PUNCT ejde-102 176 2 3.10 3.10 NUM ejde-102 176 3 ) ) PUNCT ejde-102 176 4 notice notice VERB ejde-102 176 5 that that SCONJ ejde-102 176 6 ( ( PUNCT ejde-102 176 7 1.4 1.4 NUM ejde-102 176 8 ) ) PUNCT ejde-102 176 9 can can AUX ejde-102 176 10 be be AUX ejde-102 176 11 written write VERB ejde-102 176 12 as as ADP ejde-102 176 13 g(η g(η VERB ejde-102 176 14 ) ) PUNCT ejde-102 176 15 = = SYM ejde-102 176 16 f1 f1 NOUN ejde-102 176 17 / / SYM ejde-102 176 18 k(v k(v PROPN ejde-102 176 19 , , PUNCT ejde-102 176 20 ν ν NOUN ejde-102 176 21 ) ) PUNCT ejde-102 176 22 = = SYM ejde-102 176 23 f̃(v f̃(v NOUN ejde-102 176 24 , , PUNCT ejde-102 176 25 ν ν NOUN ejde-102 176 26 ) ) PUNCT ejde-102 176 27 . . PUNCT ejde-102 177 1 ( ( PUNCT ejde-102 177 2 3.11 3.11 NUM ejde-102 177 3 ) ) PUNCT ejde-102 177 4 by by ADP ejde-102 177 5 ( ( PUNCT ejde-102 177 6 2.7 2.7 NUM ejde-102 177 7 ) ) PUNCT ejde-102 177 8 and and CCONJ ejde-102 177 9 covariantly covariantly ADV ejde-102 177 10 differentiating differentiate VERB ejde-102 177 11 ( ( PUNCT ejde-102 177 12 3.11 3.11 NUM ejde-102 177 13 ) ) PUNCT ejde-102 177 14 with with ADP ejde-102 177 15 respect respect NOUN ejde-102 177 16 to to ADP ejde-102 177 17 e1 e1 NOUN ejde-102 177 18 , , PUNCT ejde-102 177 19 we we PRON ejde-102 177 20 have have VERB ejde-102 177 21 giiηii1 giiηii1 NOUN ejde-102 178 1 = = SYM ejde-102 178 2 dv dv PROPN ejde-102 178 3 f̃(∇e1v f̃(∇e1v PRON ejde-102 178 4 ) ) PUNCT ejde-102 179 1 + + CCONJ ejde-102 179 2 h11dν h11dν X ejde-102 179 3 f̃(e1 f̃(e1 NOUN ejde-102 179 4 ) ) PUNCT ejde-102 179 5 . . PUNCT ejde-102 180 1 ( ( PUNCT ejde-102 180 2 3.12 3.12 NUM ejde-102 180 3 ) ) PUNCT ejde-102 180 4 taking take VERB ejde-102 180 5 ( ( PUNCT ejde-102 180 6 2.4 2.4 NUM ejde-102 180 7 ) ) PUNCT ejde-102 180 8 , , PUNCT ejde-102 180 9 ( ( PUNCT ejde-102 180 10 3.9 3.9 NUM ejde-102 180 11 ) ) PUNCT ejde-102 180 12 , , PUNCT ejde-102 180 13 ( ( PUNCT ejde-102 180 14 3.10 3.10 NUM ejde-102 180 15 ) ) PUNCT ejde-102 180 16 and and CCONJ ejde-102 180 17 ( ( PUNCT ejde-102 180 18 3.12 3.12 NUM ejde-102 180 19 ) ) PUNCT ejde-102 180 20 in in ADP ejde-102 180 21 ( ( PUNCT ejde-102 180 22 3.8 3.8 NUM ejde-102 180 23 ) ) PUNCT ejde-102 180 24 yields yield NOUN ejde-102 180 25 0 0 NUM ejde-102 180 26 ≥ ≥ NOUN ejde-102 180 27 − − PROPN ejde-102 180 28 1 1 NUM ejde-102 180 29 u u NOUN ejde-102 180 30 ( ( PUNCT ejde-102 180 31 dv dv PROPN ejde-102 180 32 f̃(∇e1v f̃(∇e1v NOUN ejde-102 180 33 ) ) PUNCT ejde-102 181 1 〈 〈 PROPN ejde-102 181 2 v v NOUN ejde-102 181 3 , , PUNCT ejde-102 181 4 e1〉+ e1〉+ PUNCT ejde-102 182 1 φ′f̃ φ′f̃ X ejde-102 183 1 + + CCONJ ejde-102 183 2 h11dν h11dν PUNCT ejde-102 183 3 f̃(e1)〈v f̃(e1)〈v ADJ ejde-102 183 4 , , PUNCT ejde-102 183 5 e1 e1 NOUN ejde-102 183 6 〉 〉 NOUN ejde-102 183 7 ) ) PUNCT ejde-102 184 1 + + CCONJ ejde-102 184 2 ( ( PUNCT ejde-102 184 3 ( ( PUNCT ejde-102 184 4 γ′)2 γ′)2 NOUN ejde-102 184 5 + + NUM ejde-102 184 6 γ′′ γ′′ ADJ ejde-102 184 7 ) ) PUNCT ejde-102 184 8 f f PROPN ejde-102 184 9 11〈v 11〈v NUM ejde-102 184 10 , , PUNCT ejde-102 184 11 e1〉2 e1〉2 X ejde-102 184 12 + + CCONJ ejde-102 184 13 γ′φ′ γ′φ′ ADJ ejde-102 184 14 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 184 15 i i PROPN ejde-102 184 16 f f PROPN ejde-102 184 17 ii ii PROPN ejde-102 185 1 − − PROPN ejde-102 185 2 γ′uf̃ γ′uf̃ NOUN ejde-102 186 1 ≥ ≥ NOUN ejde-102 186 2 − − NUM ejde-102 186 3 1 1 NUM ejde-102 186 4 u u NOUN ejde-102 186 5 ( ( PUNCT ejde-102 186 6 dv dv PROPN ejde-102 186 7 f̃(∇e1v f̃(∇e1v NOUN ejde-102 186 8 ) ) PUNCT ejde-102 186 9 〈 〈 PROPN ejde-102 186 10 v v NOUN ejde-102 186 11 , , PUNCT ejde-102 186 12 e1〉+ e1〉+ PUNCT ejde-102 186 13 φ′f̃ φ′f̃ X ejde-102 186 14 ) ) PUNCT ejde-102 187 1 − − PROPN ejde-102 187 2 γ′dν γ′dν NOUN ejde-102 187 3 f̃(e1)〈v f̃(e1)〈v NUM ejde-102 187 4 , , PUNCT ejde-102 187 5 e1 e1 VERB ejde-102 187 6 〉 〉 NOUN ejde-102 187 7 + + CCONJ ejde-102 187 8 ( ( PUNCT ejde-102 187 9 ( ( PUNCT ejde-102 187 10 γ′)2 γ′)2 NOUN ejde-102 187 11 + + NUM ejde-102 187 12 γ′′ γ′′ ADJ ejde-102 187 13 ) ) PUNCT ejde-102 188 1 f f PROPN ejde-102 188 2 11〈v 11〈v NUM ejde-102 188 3 , , PUNCT ejde-102 188 4 e1〉2 e1〉2 X ejde-102 188 5 + + CCONJ ejde-102 188 6 γ′φ′ γ′φ′ ADJ ejde-102 188 7 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 188 8 i i PROPN ejde-102 188 9 f f PROPN ejde-102 188 10 ii ii PROPN ejde-102 189 1 − − PROPN ejde-102 189 2 γ′uf̃ γ′uf̃ ADV ejde-102 189 3 , , PUNCT ejde-102 189 4 ( ( PUNCT ejde-102 189 5 3.13 3.13 NUM ejde-102 189 6 ) ) PUNCT ejde-102 189 7 where where SCONJ ejde-102 189 8 the the DET ejde-102 189 9 second second ADJ ejde-102 189 10 inequality inequality NOUN ejde-102 189 11 is be AUX ejde-102 189 12 obtained obtain VERB ejde-102 189 13 by by ADP ejde-102 189 14 ( ( PUNCT ejde-102 189 15 3.7 3.7 NUM ejde-102 189 16 ) ) PUNCT ejde-102 189 17 . . PUNCT ejde-102 190 1 since since SCONJ ejde-102 190 2 v v NUM ejde-102 190 3 = = SYM ejde-102 190 4 〈 〈 PROPN ejde-102 190 5 v v NOUN ejde-102 190 6 , , PUNCT ejde-102 190 7 e1〉e1 e1〉e1 NOUN ejde-102 190 8 + + CCONJ ejde-102 190 9 〈 〈 PROPN ejde-102 190 10 v v NOUN ejde-102 190 11 , , PUNCT ejde-102 190 12 ν〉ν ν〉ν NOUN ejde-102 190 13 at at ADP ejde-102 190 14 z0 z0 PROPN ejde-102 190 15 , , PUNCT ejde-102 190 16 dv dv PROPN ejde-102 190 17 f̃(v f̃(v PROPN ejde-102 190 18 ) ) PUNCT ejde-102 190 19 = = PUNCT ejde-102 190 20 〈 〈 PROPN ejde-102 190 21 v v NOUN ejde-102 190 22 , , PUNCT ejde-102 190 23 e1 e1 PROPN ejde-102 190 24 〉 〉 PROPN ejde-102 190 25 ( ( PUNCT ejde-102 190 26 dv dv PROPN ejde-102 190 27 f̃ f̃ PROPN ejde-102 190 28 ) ) PUNCT ejde-102 190 29 ( ( PUNCT ejde-102 190 30 ∇e1v ∇e1v NOUN ejde-102 190 31 ) ) PUNCT ejde-102 191 1 + + PUNCT ejde-102 191 2 u u SYM ejde-102 191 3 ( ( PUNCT ejde-102 191 4 dv dv PROPN ejde-102 191 5 f̃ f̃ PROPN ejde-102 191 6 ) ) PUNCT ejde-102 191 7 ( ( PUNCT ejde-102 191 8 ∇νv ∇νv PROPN ejde-102 191 9 ) ) PUNCT ejde-102 191 10 . . PUNCT ejde-102 192 1 ( ( PUNCT ejde-102 192 2 3.14 3.14 NUM ejde-102 192 3 ) ) PUNCT ejde-102 192 4 from from ADP ejde-102 192 5 this this PRON ejde-102 192 6 and and CCONJ ejde-102 192 7 the the DET ejde-102 192 8 assumption assumption NOUN ejde-102 192 9 ( ( PUNCT ejde-102 192 10 1.7 1.7 NUM ejde-102 192 11 ) ) PUNCT ejde-102 192 12 , , PUNCT ejde-102 192 13 we we PRON ejde-102 192 14 see see VERB ejde-102 192 15 that that SCONJ ejde-102 192 16 0 0 NUM ejde-102 192 17 ≥ ≥ NOUN ejde-102 192 18 ∂ ∂ NOUN ejde-102 192 19 ∂ρ ∂ρ PROPN ejde-102 192 20 ( ( PUNCT ejde-102 192 21 φkf(v φkf(v PROPN ejde-102 192 22 , , PUNCT ejde-102 192 23 ν ν NOUN ejde-102 192 24 ) ) PUNCT ejde-102 192 25 ) ) PUNCT ejde-102 193 1 = = SYM ejde-102 193 2 k k X ejde-102 193 3 ( ( PUNCT ejde-102 193 4 φf̃ φf̃ NUM ejde-102 193 5 ) ) PUNCT ejde-102 193 6 k−1 k−1 PROPN ejde-102 193 7 ( ( PUNCT ejde-102 193 8 φ′f̃ φ′f̃ NOUN ejde-102 193 9 + + CCONJ ejde-102 193 10 dv dv PROPN ejde-102 193 11 f̃(v f̃(v PROPN ejde-102 193 12 ) ) PUNCT ejde-102 193 13 ) ) PUNCT ejde-102 194 1 = = PUNCT ejde-102 194 2 k k X ejde-102 194 3 ( ( PUNCT ejde-102 194 4 φf̃ φf̃ NUM ejde-102 194 5 ) ) PUNCT ejde-102 194 6 k−1 k−1 PROPN ejde-102 194 7 ( ( PUNCT ejde-102 194 8 φ′f̃ φ′f̃ NOUN ejde-102 195 1 + + CCONJ ejde-102 195 2 〈 〈 PROPN ejde-102 195 3 v v NOUN ejde-102 195 4 , , PUNCT ejde-102 195 5 e1 e1 PROPN ejde-102 195 6 〉 〉 PROPN ejde-102 195 7 ( ( PUNCT ejde-102 195 8 dv dv PROPN ejde-102 195 9 f̃ f̃ PROPN ejde-102 195 10 ) ) PUNCT ejde-102 195 11 ( ( PUNCT ejde-102 195 12 ∇e1v ∇e1v NOUN ejde-102 195 13 ) ) PUNCT ejde-102 196 1 + + PUNCT ejde-102 196 2 u u SYM ejde-102 196 3 ( ( PUNCT ejde-102 196 4 dv dv PROPN ejde-102 196 5 f̃ f̃ PROPN ejde-102 196 6 ) ) PUNCT ejde-102 196 7 ( ( PUNCT ejde-102 196 8 ∇νv ∇νv PROPN ejde-102 196 9 ) ) PUNCT ejde-102 196 10 ) ) PUNCT ejde-102 196 11 . . PUNCT ejde-102 197 1 ( ( PUNCT ejde-102 197 2 3.15 3.15 NUM ejde-102 197 3 ) ) PUNCT ejde-102 197 4 combining combine VERB ejde-102 197 5 this this PRON ejde-102 197 6 with with ADP ejde-102 197 7 ( ( PUNCT ejde-102 197 8 3.13 3.13 NUM ejde-102 197 9 ) ) PUNCT ejde-102 197 10 gives give VERB ejde-102 197 11 0 0 NUM ejde-102 197 12 ≥ ≥ NOUN ejde-102 197 13 dv dv PROPN ejde-102 197 14 f̃(∇νv f̃(∇νv PROPN ejde-102 197 15 ) ) PUNCT ejde-102 198 1 + + CCONJ ejde-102 198 2 ( ( PUNCT ejde-102 198 3 ( ( PUNCT ejde-102 198 4 γ′)2 γ′)2 NOUN ejde-102 198 5 + + NUM ejde-102 198 6 γ′′ γ′′ ADJ ejde-102 198 7 ) ) PUNCT ejde-102 198 8 f f PROPN ejde-102 198 9 11〈v 11〈v NUM ejde-102 198 10 , , PUNCT ejde-102 198 11 e1〉2 e1〉2 X ejde-102 198 12 + + CCONJ ejde-102 198 13 γ′φ′ γ′φ′ ADJ ejde-102 198 14 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 198 15 i i PROPN ejde-102 198 16 f f PROPN ejde-102 198 17 ii ii PROPN ejde-102 199 1 − − PROPN ejde-102 199 2 γ′uf̃ γ′uf̃ NOUN ejde-102 200 1 − − PROPN ejde-102 200 2 γ′dν γ′dν NOUN ejde-102 200 3 f̃(e1)〈v f̃(e1)〈v NUM ejde-102 200 4 , , PUNCT ejde-102 200 5 e1 e1 PROPN ejde-102 200 6 〉 〉 NOUN ejde-102 200 7 . . PUNCT ejde-102 201 1 ( ( PUNCT ejde-102 201 2 3.16 3.16 NUM ejde-102 201 3 ) ) PUNCT ejde-102 201 4 now now ADV ejde-102 201 5 we we PRON ejde-102 201 6 choose choose VERB ejde-102 201 7 γ(t γ(t NOUN ejde-102 201 8 ) ) PUNCT ejde-102 202 1 = = PUNCT ejde-102 202 2 α α PRON ejde-102 202 3 t t NOUN ejde-102 202 4 , , PUNCT ejde-102 202 5 ( ( PUNCT ejde-102 202 6 3.17 3.17 NUM ejde-102 202 7 ) ) PUNCT ejde-102 202 8 where where SCONJ ejde-102 202 9 α α NOUN ejde-102 202 10 is be AUX ejde-102 202 11 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 202 12 large large ADJ ejde-102 202 13 . . PUNCT ejde-102 203 1 recalling recall VERB ejde-102 203 2 that that DET ejde-102 203 3 h11 h11 NOUN ejde-102 203 4 = = PUNCT ejde-102 203 5 γ′u γ′u PROPN ejde-102 203 6 at at ADP ejde-102 203 7 ( ( PUNCT ejde-102 203 8 z0 z0 NOUN ejde-102 203 9 , , PUNCT ejde-102 203 10 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 203 11 ) ) PUNCT ejde-102 203 12 ) ) PUNCT ejde-102 203 13 , , PUNCT ejde-102 203 14 we we PRON ejde-102 203 15 have have VERB ejde-102 203 16 h11 h11 PROPN ejde-102 203 17 < < X ejde-102 203 18 0 0 NUM ejde-102 203 19 . . PUNCT ejde-102 204 1 since since SCONJ ejde-102 204 2 h h PROPN ejde-102 204 3 > > X ejde-102 204 4 0 0 PROPN ejde-102 204 5 , , PUNCT ejde-102 204 6 there there PRON ejde-102 204 7 exists exist VERB ejde-102 204 8 k0 k0 PROPN ejde-102 204 9 with with ADP ejde-102 204 10 2 2 NUM ejde-102 204 11 ≤ ≤ NOUN ejde-102 204 12 k0 k0 PROPN ejde-102 204 13 ≤ ≤ PROPN ejde-102 204 14 n n PRON ejde-102 204 15 such such ADJ ejde-102 204 16 that that SCONJ ejde-102 204 17 hk0k0 hk0k0 PROPN ejde-102 204 18 > > X ejde-102 204 19 h11 h11 PROPN ejde-102 204 20 . . PUNCT ejde-102 205 1 combining combine VERB ejde-102 205 2 this this PRON ejde-102 205 3 with with ADP ejde-102 205 4 the the DET ejde-102 205 5 definitions definition NOUN ejde-102 205 6 of of ADP ejde-102 205 7 ηii ηii NOUN ejde-102 205 8 and and CCONJ ejde-102 205 9 gii gii NOUN ejde-102 205 10 yields yield VERB ejde-102 205 11 ηk0k0 ηk0k0 PROPN ejde-102 205 12 < < X ejde-102 205 13 η11 η11 NOUN ejde-102 205 14 , , PUNCT ejde-102 205 15 gk0k0 gk0k0 PROPN ejde-102 205 16 ≥ ≥ NUM ejde-102 205 17 g11 g11 PROPN ejde-102 205 18 . . PUNCT ejde-102 205 19 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PUNCT ejde-102 206 1 k k X ejde-102 206 2 - - ADJ ejde-102 206 3 hessian hessian ADJ ejde-102 206 4 curvature curvature NOUN ejde-102 206 5 type type NOUN ejde-102 206 6 equations equation NOUN ejde-102 206 7 7 7 NUM ejde-102 206 8 thus thus ADV ejde-102 206 9 , , PUNCT ejde-102 206 10 f f PROPN ejde-102 206 11 11 11 NUM ejde-102 206 12 = = SYM ejde-102 206 13 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 206 14 j j PROPN ejde-102 206 15 6=1 6=1 NUM ejde-102 206 16 gjj gjj NOUN ejde-102 206 17 ≥ ≥ NUM ejde-102 206 18 1 1 NUM ejde-102 206 19 2 2 NUM ejde-102 206 20 ∑ ∑ PROPN ejde-102 206 21 i i PRON ejde-102 206 22 gii gii NOUN ejde-102 206 23 = = NOUN ejde-102 206 24 1 1 NUM ejde-102 206 25 2(n− 2(n− NUM ejde-102 206 26 1 1 NUM ejde-102 206 27 ) ) PUNCT ejde-102 206 28 ∑ ∑ ADV ejde-102 206 29 i i PRON ejde-102 206 30 f f PROPN ejde-102 206 31 ii ii PROPN ejde-102 206 32 ≥ ≥ NUM ejde-102 206 33 1 1 NUM ejde-102 206 34 2 2 NUM ejde-102 206 35 ( ( PUNCT ejde-102 206 36 ckn ckn NOUN ejde-102 206 37 ) ) PUNCT ejde-102 206 38 1 1 PROPN ejde-102 206 39 / / SYM ejde-102 206 40 k k NOUN ejde-102 206 41 . . PUNCT ejde-102 207 1 ( ( PUNCT ejde-102 207 2 3.18 3.18 NUM ejde-102 207 3 ) ) PUNCT ejde-102 207 4 putting put VERB ejde-102 207 5 ( ( PUNCT ejde-102 207 6 3.17 3.17 NUM ejde-102 207 7 ) ) PUNCT ejde-102 207 8 and and CCONJ ejde-102 207 9 ( ( PUNCT ejde-102 207 10 3.18 3.18 NUM ejde-102 207 11 ) ) PUNCT ejde-102 207 12 in in ADP ejde-102 207 13 ( ( PUNCT ejde-102 207 14 3.16 3.16 NUM ejde-102 207 15 ) ) PUNCT ejde-102 207 16 , , PUNCT ejde-102 207 17 we we PRON ejde-102 207 18 obtain obtain VERB ejde-102 207 19 0 0 NUM ejde-102 207 20 ≥ ≥ NOUN ejde-102 207 21 〈 〈 PROPN ejde-102 207 22 v v NOUN ejde-102 207 23 , , PUNCT ejde-102 207 24 e1〉2 e1〉2 VERB ejde-102 207 25 2(n− 2(n− NUM ejde-102 207 26 1 1 NUM ejde-102 207 27 ) ) PUNCT ejde-102 207 28 ( ( PUNCT ejde-102 207 29 α2φ−4 α2φ−4 PROPN ejde-102 207 30 + + NOUN ejde-102 207 31 4α2φ−6 4α2φ−6 NUM ejde-102 207 32 ) ) PUNCT ejde-102 207 33 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 208 1 i i PRON ejde-102 208 2 f f PROPN ejde-102 208 3 ii ii PROPN ejde-102 208 4 − − PROPN ejde-102 208 5 αφ−2φ′ αφ−2φ′ PROPN ejde-102 208 6 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 208 7 i i PRON ejde-102 208 8 f f PROPN ejde-102 208 9 ii ii PROPN ejde-102 208 10 − − PROPN ejde-102 208 11 αφ−2 αφ−2 PROPN ejde-102 208 12 ∣∣v ∣∣v NOUN ejde-102 208 13 ∣∣∣∣dν ∣∣∣∣dν PROPN ejde-102 208 14 f̃(e1 f̃(e1 NOUN ejde-102 208 15 ) ) PUNCT ejde-102 208 16 ∣∣− ∣∣− PROPN ejde-102 208 17 ∣∣dv ∣∣dv PROPN ejde-102 208 18 f̃(∇νv f̃(∇νv PROPN ejde-102 208 19 ) ) PUNCT ejde-102 208 20 ∣∣ ∣∣ X ejde-102 208 21 , , PUNCT ejde-102 208 22 ( ( PUNCT ejde-102 208 23 3.19 3.19 NUM ejde-102 208 24 ) ) PUNCT ejde-102 208 25 which which PRON ejde-102 208 26 leads lead VERB ejde-102 208 27 to to ADP ejde-102 208 28 a a DET ejde-102 208 29 contradiction contradiction NOUN ejde-102 208 30 when when SCONJ ejde-102 208 31 α α NOUN ejde-102 208 32 is be AUX ejde-102 208 33 large large ADJ ejde-102 208 34 . . PUNCT ejde-102 209 1 therefore therefore ADV ejde-102 209 2 u(z0 u(z0 NOUN ejde-102 209 3 ) ) PUNCT ejde-102 209 4 = = SYM ejde-102 209 5 |v |v X ejde-102 209 6 ( ( PUNCT ejde-102 209 7 z0)| z0)| NOUN ejde-102 209 8 . . PUNCT ejde-102 209 9 � � PROPN ejde-102 209 10 3.3 3.3 NUM ejde-102 209 11 . . PUNCT ejde-102 210 1 c2 c2 PROPN ejde-102 210 2 estimates estimate VERB ejde-102 210 3 . . PUNCT ejde-102 211 1 to to PART ejde-102 211 2 obtain obtain VERB ejde-102 211 3 c2 c2 PROPN ejde-102 211 4 estimates estimate NOUN ejde-102 211 5 for for ADP ejde-102 211 6 ( ( PUNCT ejde-102 211 7 3.2 3.2 NUM ejde-102 211 8 ) ) PUNCT ejde-102 211 9 , , PUNCT ejde-102 211 10 we we PRON ejde-102 211 11 prove prove VERB ejde-102 211 12 that that SCONJ ejde-102 211 13 the the DET ejde-102 211 14 principal principal ADJ ejde-102 211 15 curvatures curvature NOUN ejde-102 211 16 have have VERB ejde-102 211 17 uniform uniform ADJ ejde-102 211 18 bounds bound NOUN ejde-102 211 19 . . PUNCT ejde-102 212 1 proposition proposition NOUN ejde-102 212 2 3.4 3.4 NUM ejde-102 212 3 . . PUNCT ejde-102 213 1 let let VERB ejde-102 213 2 m m VERB ejde-102 213 3 = = PRON ejde-102 213 4 { { PUNCT ejde-102 213 5 ( ( PUNCT ejde-102 213 6 z z NOUN ejde-102 213 7 , , PUNCT ejde-102 213 8 ρ(z ρ(z NOUN ejde-102 213 9 ) ) PUNCT ejde-102 213 10 ) ) PUNCT ejde-102 213 11 : : PUNCT ejde-102 214 1 z z X ejde-102 214 2 ∈ ∈ PROPN ejde-102 214 3 sn sn PROPN ejde-102 214 4 } } PUNCT ejde-102 214 5 be be AUX ejde-102 214 6 a a DET ejde-102 214 7 closed closed ADJ ejde-102 214 8 star star NOUN ejde-102 214 9 - - PUNCT ejde-102 214 10 shaped shape VERB ejde-102 214 11 ( ( PUNCT ejde-102 214 12 η η PROPN ejde-102 214 13 , , PUNCT ejde-102 214 14 k)convex k)convex PROPN ejde-102 214 15 hypersurface hypersurface NOUN ejde-102 214 16 in in ADP ejde-102 214 17 nk(k nk(k ADJ ejde-102 214 18 ) ) PUNCT ejde-102 214 19 satisfying satisfy VERB ejde-102 214 20 ( ( PUNCT ejde-102 214 21 3.2 3.2 NUM ejde-102 214 22 ) ) PUNCT ejde-102 214 23 , , PUNCT ejde-102 214 24 where where SCONJ ejde-102 214 25 f(v f(v NOUN ejde-102 214 26 , , PUNCT ejde-102 214 27 ν ν NOUN ejde-102 214 28 ) ) PUNCT ejde-102 214 29 ∈ ∈ PROPN ejde-102 214 30 c2(γ c2(γ PROPN ejde-102 214 31 ) ) PUNCT ejde-102 214 32 is be AUX ejde-102 214 33 a a DET ejde-102 214 34 positive positive ADJ ejde-102 214 35 function function NOUN ejde-102 214 36 and and CCONJ ejde-102 214 37 γ γ NOUN ejde-102 214 38 is be AUX ejde-102 214 39 an an DET ejde-102 214 40 open open ADJ ejde-102 214 41 neighborhood neighborhood NOUN ejde-102 214 42 of of ADP ejde-102 214 43 the the DET ejde-102 214 44 unit unit NOUN ejde-102 214 45 normal normal ADJ ejde-102 214 46 bundle bundle NOUN ejde-102 214 47 of of ADP ejde-102 214 48 m m PROPN ejde-102 214 49 in in ADP ejde-102 214 50 nn+1× nn+1× NUM ejde-102 214 51 sn sn NOUN ejde-102 214 52 . . PUNCT ejde-102 215 1 if if SCONJ ejde-102 215 2 0 0 NUM ejde-102 215 3 < < X ejde-102 215 4 r1 r1 PROPN ejde-102 215 5 ≤ ≤ NUM ejde-102 215 6 ρ(z ρ(z PROPN ejde-102 215 7 ) ) PUNCT ejde-102 215 8 ≤ ≤ NUM ejde-102 215 9 r2 r2 NOUN ejde-102 215 10 , , PUNCT ejde-102 215 11 ‖ρ‖c1 ‖ρ‖c1 ADJ ejde-102 215 12 ≤ ≤ NUM ejde-102 215 13 r3 r3 NOUN ejde-102 215 14 , , PUNCT ejde-102 215 15 then then ADV ejde-102 215 16 there there PRON ejde-102 215 17 exists exist VERB ejde-102 215 18 a a DET ejde-102 215 19 constant constant ADJ ejde-102 215 20 c c NOUN ejde-102 215 21 depending depend VERB ejde-102 215 22 on on ADP ejde-102 215 23 n n CCONJ ejde-102 215 24 , , PUNCT ejde-102 215 25 k k PROPN ejde-102 215 26 , , PUNCT ejde-102 215 27 r1 r1 NOUN ejde-102 215 28 , , PUNCT ejde-102 215 29 r2 r2 PROPN ejde-102 215 30 , , PUNCT ejde-102 215 31 r3 r3 PROPN ejde-102 215 32 , , PUNCT ejde-102 215 33 ‖f‖c2(m ‖f‖c2(m NOUN ejde-102 215 34 ) ) PUNCT ejde-102 215 35 and and CCONJ ejde-102 215 36 infm infm VERB ejde-102 215 37 f f PROPN ejde-102 215 38 such such ADJ ejde-102 215 39 that that SCONJ ejde-102 215 40 max max PROPN ejde-102 215 41 sn sn PROPN ejde-102 215 42 |κi| |κi| VERB ejde-102 215 43 ≤ ≤ PUNCT ejde-102 215 44 c c X ejde-102 215 45 , , PUNCT ejde-102 215 46 for for ADP ejde-102 215 47 1 1 NUM ejde-102 215 48 ≤ ≤ NUM ejde-102 215 49 i i PRON ejde-102 215 50 ≤ ≤ NOUN ejde-102 215 51 n n CCONJ ejde-102 215 52 , , PUNCT ejde-102 215 53 where where SCONJ ejde-102 215 54 ( ( PUNCT ejde-102 215 55 κ1 κ1 NOUN ejde-102 215 56 , , PUNCT ejde-102 215 57 . . PUNCT ejde-102 215 58 . . PUNCT ejde-102 216 1 . . PUNCT ejde-102 217 1 , , PUNCT ejde-102 217 2 κn κn NOUN ejde-102 217 3 ) ) PUNCT ejde-102 217 4 is be AUX ejde-102 217 5 the the DET ejde-102 217 6 principal principal ADJ ejde-102 217 7 curvatures curvature NOUN ejde-102 217 8 vector vector NOUN ejde-102 217 9 of of ADP ejde-102 217 10 m m PROPN ejde-102 217 11 . . PUNCT ejde-102 218 1 proof proof NOUN ejde-102 218 2 . . PUNCT ejde-102 219 1 since since SCONJ ejde-102 219 2 h h PROPN ejde-102 219 3 > > X ejde-102 219 4 0 0 NUM ejde-102 219 5 , , PUNCT ejde-102 219 6 it it PRON ejde-102 219 7 suffices suffice VERB ejde-102 219 8 to to PART ejde-102 219 9 prove prove VERB ejde-102 219 10 that that SCONJ ejde-102 219 11 the the DET ejde-102 219 12 largest large ADJ ejde-102 219 13 curvature curvature NOUN ejde-102 219 14 κmax κmax ADJ ejde-102 219 15 is be AUX ejde-102 219 16 uniformly uniformly ADV ejde-102 219 17 bounded bound VERB ejde-102 219 18 from from ADP ejde-102 219 19 above above ADV ejde-102 219 20 . . PUNCT ejde-102 220 1 from from ADP ejde-102 220 2 propositions proposition NOUN ejde-102 220 3 3.1 3.1 NUM ejde-102 220 4 and and CCONJ ejde-102 220 5 3.3 3.3 NUM ejde-102 220 6 , , PUNCT ejde-102 220 7 we we PRON ejde-102 220 8 know know VERB ejde-102 220 9 that that SCONJ ejde-102 220 10 1 1 NUM ejde-102 220 11 c c PROPN ejde-102 220 12 ≤ ≤ X ejde-102 220 13 inf inf PROPN ejde-102 220 14 m m PROPN ejde-102 220 15 u u NOUN ejde-102 220 16 ≤ ≤ NUM ejde-102 220 17 u u NOUN ejde-102 220 18 ≤ ≤ NUM ejde-102 220 19 sup sup NOUN ejde-102 220 20 m m NOUN ejde-102 220 21 u u NOUN ejde-102 220 22 ≤ ≤ NOUN ejde-102 220 23 c c NOUN ejde-102 220 24 , , PUNCT ejde-102 220 25 where where SCONJ ejde-102 220 26 the the DET ejde-102 220 27 positive positive ADJ ejde-102 220 28 constant constant ADJ ejde-102 220 29 c c NOUN ejde-102 220 30 depends depend VERB ejde-102 220 31 on on ADP ejde-102 220 32 infm infm ADJ ejde-102 220 33 ρ ρ NOUN ejde-102 220 34 and and CCONJ ejde-102 220 35 ‖ρ‖c1 ‖ρ‖c1 INTJ ejde-102 220 36 . . PUNCT ejde-102 221 1 taking take VERB ejde-102 221 2 the the DET ejde-102 221 3 auxiliary auxiliary ADJ ejde-102 221 4 function function NOUN ejde-102 221 5 q q NOUN ejde-102 221 6 = = SYM ejde-102 221 7 eβφκmax eβφκmax PROPN ejde-102 221 8 u− u− PROPN ejde-102 221 9 a a DET ejde-102 221 10 , , PUNCT ejde-102 221 11 ( ( PUNCT ejde-102 221 12 3.20 3.20 NUM ejde-102 221 13 ) ) PUNCT ejde-102 221 14 where where SCONJ ejde-102 221 15 a a DET ejde-102 221 16 = = SYM ejde-102 221 17 1 1 NUM ejde-102 221 18 2 2 NUM ejde-102 221 19 infm infm NOUN ejde-102 221 20 u u NOUN ejde-102 221 21 and and CCONJ ejde-102 221 22 β β PROPN ejde-102 221 23 is be AUX ejde-102 221 24 a a DET ejde-102 221 25 large large ADJ ejde-102 221 26 constant constant ADJ ejde-102 221 27 to to PART ejde-102 221 28 be be AUX ejde-102 221 29 determined determine VERB ejde-102 221 30 later later ADV ejde-102 221 31 . . PUNCT ejde-102 222 1 assume assume VERB ejde-102 222 2 that that SCONJ ejde-102 222 3 ( ( PUNCT ejde-102 222 4 z0 z0 PROPN ejde-102 222 5 , , PUNCT ejde-102 222 6 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 222 7 ) ) PUNCT ejde-102 222 8 ) ) PUNCT ejde-102 222 9 is be AUX ejde-102 222 10 the the DET ejde-102 222 11 maximum maximum ADJ ejde-102 222 12 point point NOUN ejde-102 222 13 of of ADP ejde-102 222 14 the the DET ejde-102 222 15 function function NOUN ejde-102 222 16 q q NOUN ejde-102 222 17 , , PUNCT ejde-102 222 18 we we PRON ejde-102 222 19 can can AUX ejde-102 222 20 choose choose VERB ejde-102 222 21 a a DET ejde-102 222 22 local local ADJ ejde-102 222 23 orthonormal orthonormal ADJ ejde-102 222 24 frame frame NOUN ejde-102 222 25 { { PUNCT ejde-102 222 26 e1 e1 NOUN ejde-102 222 27 , , PUNCT ejde-102 222 28 . . PUNCT ejde-102 222 29 . . PUNCT ejde-102 223 1 . . PUNCT ejde-102 224 1 , , PUNCT ejde-102 224 2 en en ADP ejde-102 224 3 } } PUNCT ejde-102 224 4 around around ADV ejde-102 224 5 ( ( PUNCT ejde-102 224 6 z0 z0 NOUN ejde-102 224 7 , , PUNCT ejde-102 224 8 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 224 9 ) ) PUNCT ejde-102 224 10 ) ) PUNCT ejde-102 224 11 such such ADJ ejde-102 224 12 that that SCONJ ejde-102 224 13 hij hij NOUN ejde-102 224 14 is be AUX ejde-102 224 15 diagonal diagonal ADJ ejde-102 224 16 and and CCONJ ejde-102 224 17 h11 h11 PROPN ejde-102 224 18 ≥ ≥ PROPN ejde-102 224 19 · · PUNCT ejde-102 224 20 · · PUNCT ejde-102 224 21 · · PUNCT ejde-102 225 1 ≥ ≥ PROPN ejde-102 225 2 hnn hnn PROPN ejde-102 225 3 at at ADP ejde-102 225 4 ( ( PUNCT ejde-102 225 5 z0 z0 PROPN ejde-102 225 6 , , PUNCT ejde-102 225 7 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 225 8 ) ) PUNCT ejde-102 225 9 ) ) PUNCT ejde-102 225 10 . . PUNCT ejde-102 226 1 in in ADP ejde-102 226 2 the the DET ejde-102 226 3 rest rest NOUN ejde-102 226 4 of of ADP ejde-102 226 5 proof proof NOUN ejde-102 226 6 , , PUNCT ejde-102 226 7 all all DET ejde-102 226 8 computations computation NOUN ejde-102 226 9 will will AUX ejde-102 226 10 be be AUX ejde-102 226 11 carried carry VERB ejde-102 226 12 out out ADP ejde-102 226 13 at at ADP ejde-102 226 14 ( ( PUNCT ejde-102 226 15 z0 z0 NOUN ejde-102 226 16 , , PUNCT ejde-102 226 17 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 226 18 ) ) PUNCT ejde-102 226 19 ) ) PUNCT ejde-102 226 20 . . PUNCT ejde-102 227 1 since since SCONJ ejde-102 227 2 h11 h11 PROPN ejde-102 227 3 = = PUNCT ejde-102 227 4 κmax κmax PROPN ejde-102 227 5 , , PUNCT ejde-102 227 6 the the DET ejde-102 227 7 function function NOUN ejde-102 227 8 logq logq NOUN ejde-102 227 9 = = SYM ejde-102 227 10 log log PROPN ejde-102 227 11 h11 h11 NOUN ejde-102 227 12 − − PROPN ejde-102 228 1 log(u− log(u− INTJ ejde-102 228 2 a a X ejde-102 228 3 ) ) PUNCT ejde-102 229 1 + + CCONJ ejde-102 229 2 βφ βφ PRON ejde-102 229 3 has have VERB ejde-102 229 4 a a DET ejde-102 229 5 local local ADJ ejde-102 229 6 maximum maximum NOUN ejde-102 229 7 at at ADP ejde-102 229 8 ( ( PUNCT ejde-102 229 9 z0 z0 NOUN ejde-102 229 10 , , PUNCT ejde-102 229 11 ρ(z0 ρ(z0 NOUN ejde-102 229 12 ) ) PUNCT ejde-102 229 13 ) ) PUNCT ejde-102 229 14 . . PUNCT ejde-102 230 1 therefore therefore ADV ejde-102 230 2 , , PUNCT ejde-102 230 3 0 0 X ejde-102 230 4 = = SYM ejde-102 230 5 ∇ih11 ∇ih11 PROPN ejde-102 230 6 h11 h11 NOUN ejde-102 230 7 − − PROPN ejde-102 230 8 ∇iu ∇iu PROPN ejde-102 230 9 u− u− PROPN ejde-102 231 1 a a DET ejde-102 231 2 + + X ejde-102 231 3 β∇iφ β∇iφ NOUN ejde-102 231 4 , , PUNCT ejde-102 231 5 ( ( PUNCT ejde-102 231 6 3.21 3.21 NUM ejde-102 231 7 ) ) PUNCT ejde-102 231 8 0 0 NUM ejde-102 232 1 ≥ ≥ NOUN ejde-102 232 2 f f PROPN ejde-102 232 3 ii∇iih11 ii∇iih11 PROPN ejde-102 232 4 h11 h11 PROPN ejde-102 232 5 − − PROPN ejde-102 232 6 f f PROPN ejde-102 232 7 ii ii PROPN ejde-102 232 8 ( ( PUNCT ejde-102 232 9 ∇ih11 ∇ih11 PROPN ejde-102 232 10 ) ) PUNCT ejde-102 232 11 2 2 NUM ejde-102 232 12 h2 h2 NOUN ejde-102 232 13 11 11 NUM ejde-102 232 14 − − PROPN ejde-102 232 15 f f X ejde-102 232 16 ii∇iiu ii∇iiu PROPN ejde-102 232 17 u− u− PROPN ejde-102 233 1 a a PRON ejde-102 233 2 + + NOUN ejde-102 233 3 f f PROPN ejde-102 233 4 ii ii PROPN ejde-102 233 5 ( ( PUNCT ejde-102 233 6 ∇iu ∇iu PROPN ejde-102 233 7 ) ) PUNCT ejde-102 233 8 2 2 NUM ejde-102 233 9 ( ( PUNCT ejde-102 233 10 u− u− NOUN ejde-102 233 11 a)2 a)2 NOUN ejde-102 233 12 + + CCONJ ejde-102 233 13 βf βf PRON ejde-102 233 14 ii∇iiφ ii∇iiφ NOUN ejde-102 233 15 . . PUNCT ejde-102 234 1 ( ( PUNCT ejde-102 234 2 3.22 3.22 NUM ejde-102 234 3 ) ) PUNCT ejde-102 234 4 by by ADP ejde-102 234 5 ( ( PUNCT ejde-102 234 6 2.4 2.4 NUM ejde-102 234 7 ) ) PUNCT ejde-102 234 8 and and CCONJ ejde-102 234 9 ( ( PUNCT ejde-102 234 10 3.9 3.9 NUM ejde-102 234 11 ) ) PUNCT ejde-102 234 12 , , PUNCT ejde-102 234 13 we we PRON ejde-102 234 14 have have VERB ejde-102 234 15 βf βf ADV ejde-102 234 16 ii∇iiφ ii∇iiφ NOUN ejde-102 234 17 = = SYM ejde-102 234 18 βφ′ βφ′ X ejde-102 234 19 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 234 20 i i PRON ejde-102 234 21 f f PROPN ejde-102 234 22 ii ii PROPN ejde-102 234 23 − − NOUN ejde-102 234 24 βuf̃ βuf̃ PRON ejde-102 234 25 . . PUNCT ejde-102 235 1 ( ( PUNCT ejde-102 235 2 3.23 3.23 NUM ejde-102 235 3 ) ) PUNCT ejde-102 235 4 8 8 NUM ejde-102 235 5 j. j. PROPN ejde-102 235 6 zhou zhou PROPN ejde-102 235 7 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PROPN ejde-102 235 8 it it PRON ejde-102 235 9 follows follow VERB ejde-102 235 10 from from ADP ejde-102 235 11 ( ( PUNCT ejde-102 235 12 2.6 2.6 NUM ejde-102 235 13 ) ) PUNCT ejde-102 235 14 and and CCONJ ejde-102 235 15 ( ( PUNCT ejde-102 235 16 3.12 3.12 NUM ejde-102 235 17 ) ) PUNCT ejde-102 235 18 that that SCONJ ejde-102 235 19 −f −f PROPN ejde-102 235 20 ii∇iiu ii∇iiu PROPN ejde-102 235 21 u− u− PROPN ejde-102 235 22 a a DET ejde-102 235 23 = = SYM ejde-102 235 24 −f −f PROPN ejde-102 235 25 iihiij∇jφ iihiij∇jφ NOUN ejde-102 235 26 u− u− PROPN ejde-102 235 27 a a DET ejde-102 235 28 − − PROPN ejde-102 235 29 φ′f̃ φ′f̃ NOUN ejde-102 235 30 u− u− PROPN ejde-102 235 31 a a DET ejde-102 235 32 + + PROPN ejde-102 235 33 uf uf PROPN ejde-102 235 34 iih2 iih2 PROPN ejde-102 235 35 ii ii PROPN ejde-102 235 36 u− u− PROPN ejde-102 235 37 a a DET ejde-102 235 38 ≥ ≥ NUM ejde-102 235 39 −dv −dv PROPN ejde-102 235 40 f̃(∇eiv f̃(∇eiv NOUN ejde-102 235 41 ) ) PUNCT ejde-102 235 42 ∇iφ ∇iφ PROPN ejde-102 235 43 u− u− PROPN ejde-102 235 44 a a DET ejde-102 235 45 − − PROPN ejde-102 235 46 hiidν hiidν NOUN ejde-102 235 47 f̃(ei)∇iφ f̃(ei)∇iφ PROPN ejde-102 235 48 u− u− PROPN ejde-102 235 49 a a DET ejde-102 235 50 − − PROPN ejde-102 235 51 φ′f̃ φ′f̃ NOUN ejde-102 235 52 u− u− PROPN ejde-102 235 53 a a DET ejde-102 235 54 + + PROPN ejde-102 235 55 uf uf PROPN ejde-102 235 56 iih2 iih2 PROPN ejde-102 235 57 ii ii PROPN ejde-102 235 58 u− u− PROPN ejde-102 235 59 a a X ejde-102 235 60 . . PUNCT ejde-102 236 1 ( ( PUNCT ejde-102 236 2 3.24 3.24 NUM ejde-102 236 3 ) ) PUNCT ejde-102 236 4 applying apply VERB ejde-102 236 5 ( ( PUNCT ejde-102 236 6 2.8 2.8 NUM ejde-102 236 7 ) ) PUNCT ejde-102 236 8 and and CCONJ ejde-102 236 9 ( ( PUNCT ejde-102 236 10 3.9 3.9 NUM ejde-102 236 11 ) ) PUNCT ejde-102 236 12 , , PUNCT ejde-102 236 13 we we PRON ejde-102 236 14 obtain obtain VERB ejde-102 236 15 f f X ejde-102 236 16 ii∇iih11 ii∇iih11 PROPN ejde-102 236 17 = = PROPN ejde-102 236 18 f f PROPN ejde-102 236 19 ii∇11hii ii∇11hii NOUN ejde-102 237 1 − − PROPN ejde-102 237 2 h11f h11f VERB ejde-102 237 3 iih2 iih2 PROPN ejde-102 237 4 ii ii PROPN ejde-102 238 1 + + CCONJ ejde-102 238 2 f f PROPN ejde-102 238 3 iihiih iihiih NOUN ejde-102 238 4 2 2 NUM ejde-102 238 5 11 11 NUM ejde-102 238 6 −kf −kf NUM ejde-102 238 7 ii(h11δ ii(h11δ PROPN ejde-102 238 8 2 2 NUM ejde-102 238 9 1i 1i NOUN ejde-102 238 10 − − NOUN ejde-102 238 11 h11δii h11δii NOUN ejde-102 238 12 + + CCONJ ejde-102 238 13 hii hii VERB ejde-102 238 14 − − PROPN ejde-102 238 15 hi1δi1 hi1δi1 NOUN ejde-102 238 16 ) ) PUNCT ejde-102 238 17 = = SYM ejde-102 238 18 f f PROPN ejde-102 238 19 ii∇11hii ii∇11hii NOUN ejde-102 238 20 − − PROPN ejde-102 238 21 h11f h11f VERB ejde-102 238 22 iih2 iih2 PROPN ejde-102 238 23 ii ii PROPN ejde-102 238 24 + + PROPN ejde-102 238 25 f̃h2 f̃h2 PROPN ejde-102 238 26 11 11 NUM ejde-102 238 27 + + ADP ejde-102 239 1 kh11 kh11 PROPN ejde-102 239 2 ∑ ∑ PROPN ejde-102 239 3 i i PRON ejde-102 239 4 f f PROPN ejde-102 239 5 ii ii PROPN ejde-102 239 6 − − PROPN ejde-102 239 7 f̃k f̃k PROPN ejde-102 239 8 . . PUNCT ejde-102 240 1 ( ( PUNCT ejde-102 240 2 3.25 3.25 NUM ejde-102 240 3 ) ) PUNCT ejde-102 240 4 covariantly covariantly ADV ejde-102 240 5 differentiating differentiate VERB ejde-102 240 6 ( ( PUNCT ejde-102 240 7 3.11 3.11 NUM ejde-102 240 8 ) ) PUNCT ejde-102 240 9 twice twice ADJ ejde-102 240 10 yields yield NOUN ejde-102 240 11 f f PROPN ejde-102 240 12 ii∇11hii ii∇11hii PROPN ejde-102 240 13 = = PUNCT ejde-102 240 14 gii∇11ηii gii∇11ηii NOUN ejde-102 240 15 ≥ ≥ NOUN ejde-102 240 16 −gij −gij ADV ejde-102 240 17 , , PUNCT ejde-102 240 18 rs∇1ηij∇1ηrs+ rs∇1ηij∇1ηrs+ VERB ejde-102 240 19 ∑ ∑ PROPN ejde-102 240 20 i i PRON ejde-102 240 21 h11idν h11idν PROPN ejde-102 240 22 f̃(ei)−c1(1+h2 f̃(ei)−c1(1+h2 NOUN ejde-102 240 23 11 11 NUM ejde-102 240 24 ) ) PUNCT ejde-102 240 25 , , PUNCT ejde-102 240 26 ( ( PUNCT ejde-102 240 27 3.26 3.26 NUM ejde-102 240 28 ) ) PUNCT ejde-102 240 29 where where SCONJ ejde-102 240 30 the the DET ejde-102 240 31 positive positive ADJ ejde-102 240 32 constant constant ADJ ejde-102 240 33 c1 c1 NOUN ejde-102 240 34 depends depend VERB ejde-102 240 35 on on ADP ejde-102 240 36 ‖f‖c2 ‖f‖c2 PROPN ejde-102 240 37 . . PUNCT ejde-102 241 1 the the DET ejde-102 241 2 concavity concavity NOUN ejde-102 241 3 of of ADP ejde-102 241 4 g g NOUN ejde-102 241 5 and and CCONJ ejde-102 241 6 codazzi codazzi NOUN ejde-102 241 7 formula formula NOUN ejde-102 241 8 give give VERB ejde-102 241 9 gij gij NOUN ejde-102 241 10 , , PUNCT ejde-102 241 11 rs∇1ηij∇1ηrs rs∇1ηij∇1ηrs X ejde-102 241 12 ≥ ≥ PROPN ejde-102 241 13 −2 −2 PROPN ejde-102 241 14 ∑ ∑ PROPN ejde-102 241 15 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 241 16 g1i g1i PROPN ejde-102 241 17 , , PUNCT ejde-102 241 18 i1|∇1η1i|2 i1|∇1η1i|2 PROPN ejde-102 241 19 = = SYM ejde-102 241 20 −2 −2 PROPN ejde-102 241 21 ∑ ∑ PROPN ejde-102 241 22 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 241 23 g1i g1i PROPN ejde-102 241 24 , , PUNCT ejde-102 241 25 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 241 26 . . PUNCT ejde-102 242 1 ( ( PUNCT ejde-102 242 2 3.27 3.27 NUM ejde-102 242 3 ) ) PUNCT ejde-102 242 4 combining combine VERB ejde-102 242 5 ( ( PUNCT ejde-102 242 6 3.25 3.25 NUM ejde-102 242 7 ) ) PUNCT ejde-102 242 8 and and CCONJ ejde-102 242 9 ( ( PUNCT ejde-102 242 10 3.26 3.26 NUM ejde-102 242 11 ) ) PUNCT ejde-102 242 12 with with ADP ejde-102 242 13 ( ( PUNCT ejde-102 242 14 3.27 3.27 NUM ejde-102 242 15 ) ) PUNCT ejde-102 242 16 , , PUNCT ejde-102 242 17 we we PRON ejde-102 242 18 obtain obtain VERB ejde-102 242 19 f f PROPN ejde-102 242 20 ii∇iih11 ii∇iih11 PROPN ejde-102 242 21 h11 h11 PROPN ejde-102 242 22 ≥ ≥ NOUN ejde-102 242 23 − − PROPN ejde-102 242 24 2 2 NUM ejde-102 242 25 h11 h11 PROPN ejde-102 242 26 ∑ ∑ PROPN ejde-102 242 27 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 242 28 g1i g1i PROPN ejde-102 242 29 , , PUNCT ejde-102 242 30 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 243 1 − − PROPN ejde-102 243 2 f f PROPN ejde-102 243 3 iih2 iih2 PROPN ejde-102 243 4 ii ii PROPN ejde-102 243 5 + + CCONJ ejde-102 243 6 h11idν h11idν PROPN ejde-102 243 7 f̃(ei f̃(ei NOUN ejde-102 243 8 ) ) PUNCT ejde-102 243 9 h11 h11 NOUN ejde-102 244 1 + + PROPN ejde-102 244 2 k k PROPN ejde-102 244 3 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 244 4 i i PROPN ejde-102 244 5 f f PROPN ejde-102 244 6 ii ii PROPN ejde-102 245 1 + + CCONJ ejde-102 245 2 h11f̃ h11f̃ PROPN ejde-102 245 3 − − PROPN ejde-102 245 4 kf̃ kf̃ NOUN ejde-102 245 5 h11 h11 PROPN ejde-102 245 6 − − PROPN ejde-102 245 7 c1 c1 PROPN ejde-102 245 8 ( ( PUNCT ejde-102 245 9 1 1 NUM ejde-102 245 10 h11 h11 PROPN ejde-102 245 11 + + CCONJ ejde-102 245 12 h11 h11 PROPN ejde-102 245 13 ) ) PUNCT ejde-102 245 14 . . PUNCT ejde-102 246 1 ( ( PUNCT ejde-102 246 2 3.28 3.28 NUM ejde-102 246 3 ) ) PUNCT ejde-102 246 4 putting put VERB ejde-102 246 5 ( ( PUNCT ejde-102 246 6 3.23 3.23 NUM ejde-102 246 7 ) ) PUNCT ejde-102 246 8 , , PUNCT ejde-102 246 9 ( ( PUNCT ejde-102 246 10 3.24 3.24 NUM ejde-102 246 11 ) ) PUNCT ejde-102 246 12 and and CCONJ ejde-102 246 13 ( ( PUNCT ejde-102 246 14 3.28 3.28 NUM ejde-102 246 15 ) ) PUNCT ejde-102 246 16 in in ADP ejde-102 246 17 ( ( PUNCT ejde-102 246 18 3.22 3.22 NUM ejde-102 246 19 ) ) PUNCT ejde-102 246 20 , , PUNCT ejde-102 246 21 0 0 NUM ejde-102 246 22 ≥ ≥ NOUN ejde-102 246 23 − − PROPN ejde-102 246 24 2 2 NUM ejde-102 246 25 h11 h11 PROPN ejde-102 246 26 ∑ ∑ PROPN ejde-102 246 27 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 246 28 g1i g1i PROPN ejde-102 246 29 , , PUNCT ejde-102 246 30 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 247 1 − − PROPN ejde-102 247 2 f f PROPN ejde-102 247 3 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 247 4 h2 h2 PROPN ejde-102 247 5 11 11 NUM ejde-102 247 6 + + CCONJ ejde-102 247 7 a a DET ejde-102 247 8 u− u− PROPN ejde-102 247 9 a a DET ejde-102 247 10 f f PROPN ejde-102 247 11 iih2 iih2 PROPN ejde-102 247 12 ii ii PROPN ejde-102 248 1 + + CCONJ ejde-102 248 2 f f PROPN ejde-102 248 3 ii|∇iu|2 ii|∇iu|2 X ejde-102 248 4 ( ( PUNCT ejde-102 248 5 u− u− NUM ejde-102 248 6 a)2 a)2 PROPN ejde-102 248 7 + + CCONJ ejde-102 248 8 ∑ ∑ PROPN ejde-102 248 9 i i PRON ejde-102 248 10 ( ( PUNCT ejde-102 248 11 ∇ih11 ∇ih11 PROPN ejde-102 248 12 h11 h11 PROPN ejde-102 248 13 − − PROPN ejde-102 248 14 hii∇iφ hii∇iφ PROPN ejde-102 248 15 u− u− PROPN ejde-102 248 16 a a PRON ejde-102 248 17 ) ) PUNCT ejde-102 248 18 dν dν ADJ ejde-102 248 19 f̃(ei f̃(ei NOUN ejde-102 248 20 ) ) PUNCT ejde-102 249 1 + + CCONJ ejde-102 249 2 ( ( PUNCT ejde-102 249 3 k k X ejde-102 249 4 + + CCONJ ejde-102 249 5 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 249 6 ) ) PUNCT ejde-102 249 7 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 249 8 i i PRON ejde-102 249 9 f f PROPN ejde-102 249 10 ii ii PROPN ejde-102 249 11 − − PRON ejde-102 249 12 c2(1 c2(1 PROPN ejde-102 249 13 + + CCONJ ejde-102 249 14 h11 h11 PROPN ejde-102 249 15 ) ) PUNCT ejde-102 249 16 ≥ ≥ NOUN ejde-102 249 17 − − PROPN ejde-102 249 18 2 2 NUM ejde-102 249 19 h11 h11 PROPN ejde-102 249 20 ∑ ∑ PROPN ejde-102 249 21 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 249 22 g1i g1i PROPN ejde-102 249 23 , , PUNCT ejde-102 249 24 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 250 1 − − PROPN ejde-102 250 2 f f PROPN ejde-102 250 3 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 250 4 h2 h2 PROPN ejde-102 250 5 11 11 NUM ejde-102 250 6 + + CCONJ ejde-102 250 7 a a DET ejde-102 250 8 u− u− PROPN ejde-102 250 9 a a DET ejde-102 250 10 f f PROPN ejde-102 250 11 iih2 iih2 PROPN ejde-102 250 12 ii ii PROPN ejde-102 251 1 + + CCONJ ejde-102 251 2 f f PROPN ejde-102 251 3 ii|∇iu|2 ii|∇iu|2 X ejde-102 251 4 ( ( PUNCT ejde-102 251 5 u− u− NUM ejde-102 251 6 a)2 a)2 NOUN ejde-102 251 7 + + CCONJ ejde-102 251 8 ( ( PUNCT ejde-102 251 9 k k X ejde-102 251 10 + + CCONJ ejde-102 251 11 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 251 12 ) ) PUNCT ejde-102 251 13 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 252 1 i i PRON ejde-102 252 2 f f PROPN ejde-102 252 3 ii ii PROPN ejde-102 253 1 − − PROPN ejde-102 253 2 c2(β c2(β PROPN ejde-102 253 3 + + CCONJ ejde-102 253 4 h11 h11 PROPN ejde-102 253 5 ) ) PUNCT ejde-102 253 6 , , PUNCT ejde-102 253 7 ( ( PUNCT ejde-102 253 8 3.29 3.29 NUM ejde-102 253 9 ) ) PUNCT ejde-102 253 10 where where SCONJ ejde-102 253 11 c2 c2 PROPN ejde-102 253 12 depends depend VERB ejde-102 253 13 r1 r1 PROPN ejde-102 253 14 , , PUNCT ejde-102 253 15 r2 r2 PROPN ejde-102 253 16 , , PUNCT ejde-102 253 17 r3 r3 PROPN ejde-102 253 18 , , PUNCT ejde-102 253 19 and and CCONJ ejde-102 253 20 ‖f‖c2 ‖f‖c2 PRON ejde-102 253 21 . . PUNCT ejde-102 254 1 the the DET ejde-102 254 2 second second ADJ ejde-102 254 3 inequality inequality NOUN ejde-102 254 4 is be AUX ejde-102 254 5 obtained obtain VERB ejde-102 254 6 by by ADP ejde-102 254 7 ( ( PUNCT ejde-102 254 8 3.21 3.21 NUM ejde-102 254 9 ) ) PUNCT ejde-102 254 10 . . PUNCT ejde-102 255 1 we we PRON ejde-102 255 2 divide divide VERB ejde-102 255 3 the the DET ejde-102 255 4 rest rest NOUN ejde-102 255 5 of of ADP ejde-102 255 6 proof proof NOUN ejde-102 255 7 into into ADP ejde-102 255 8 three three NUM ejde-102 255 9 steps step NOUN ejde-102 255 10 . . PUNCT ejde-102 256 1 step step NOUN ejde-102 256 2 1 1 NUM ejde-102 256 3 . . PUNCT ejde-102 257 1 we we PRON ejde-102 257 2 prove prove VERB ejde-102 257 3 that that SCONJ ejde-102 258 1 a a DET ejde-102 258 2 2(u− 2(u− NUM ejde-102 258 3 a a NOUN ejde-102 258 4 ) ) PUNCT ejde-102 258 5 f f PROPN ejde-102 258 6 iih2 iih2 PROPN ejde-102 258 7 ii ii PROPN ejde-102 258 8 + + CCONJ ejde-102 258 9 1 1 NUM ejde-102 258 10 2 2 NUM ejde-102 258 11 ( ( PUNCT ejde-102 258 12 k k X ejde-102 258 13 + + CCONJ ejde-102 258 14 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 258 15 ) ) PUNCT ejde-102 258 16 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 259 1 i i PRON ejde-102 259 2 f f PROPN ejde-102 259 3 ii ii PROPN ejde-102 259 4 ≥ ≥ PROPN ejde-102 259 5 c2h11 c2h11 X ejde-102 259 6 . . PUNCT ejde-102 260 1 ( ( PUNCT ejde-102 260 2 3.30 3.30 NUM ejde-102 260 3 ) ) PUNCT ejde-102 260 4 the the DET ejde-102 260 5 proof proof NOUN ejde-102 260 6 of of ADP ejde-102 260 7 step step NOUN ejde-102 260 8 1 1 NUM ejde-102 260 9 is be AUX ejde-102 260 10 split split VERB ejde-102 260 11 into into ADP ejde-102 260 12 two two NUM ejde-102 260 13 cases case NOUN ejde-102 260 14 . . PUNCT ejde-102 260 15 ejde-2022/18 ejde-2022/18 X ejde-102 261 1 k k X ejde-102 261 2 - - ADJ ejde-102 261 3 hessian hessian ADJ ejde-102 261 4 curvature curvature NOUN ejde-102 261 5 type type NOUN ejde-102 261 6 equations equation NOUN ejde-102 261 7 9 9 NUM ejde-102 261 8 case case NOUN ejde-102 261 9 1 1 NUM ejde-102 261 10 . . X ejde-102 262 1 |hii| |hii| ADV ejde-102 262 2 ≤ ≤ ADJ ejde-102 262 3 δh11 δh11 PROPN ejde-102 262 4 for for ADP ejde-102 262 5 all all DET ejde-102 262 6 2 2 NUM ejde-102 262 7 ≤ ≤ NUM ejde-102 262 8 i i PRON ejde-102 262 9 ≤ ≤ PROPN ejde-102 262 10 n n CCONJ ejde-102 262 11 , , PUNCT ejde-102 262 12 δ δ PROPN ejde-102 262 13 is be AUX ejde-102 262 14 a a DET ejde-102 262 15 small small ADJ ejde-102 262 16 constant constant NOUN ejde-102 262 17 to to PART ejde-102 262 18 be be AUX ejde-102 262 19 chosen choose VERB ejde-102 262 20 . . PUNCT ejde-102 263 1 we we PRON ejde-102 263 2 obtain obtain VERB ejde-102 263 3 |η11| |η11| PROPN ejde-102 263 4 ≤ ≤ PROPN ejde-102 263 5 ( ( PUNCT ejde-102 263 6 n−1)δh11 n−1)δh11 PROPN ejde-102 263 7 , , PUNCT ejde-102 263 8 ( ( PUNCT ejde-102 263 9 1−(n−2)δ 1−(n−2)δ X ejde-102 263 10 ) ) PUNCT ejde-102 263 11 h11 h11 PROPN ejde-102 263 12 ≤ ≤ PUNCT ejde-102 263 13 η22 η22 PROPN ejde-102 263 14 ≤ ≤ NOUN ejde-102 263 15 · · PUNCT ejde-102 263 16 · · PUNCT ejde-102 263 17 · · PUNCT ejde-102 263 18 ≤ ≤ NUM ejde-102 263 19 ηnn ηnn X ejde-102 263 20 ≤ ≤ X ejde-102 263 21 ( ( PUNCT ejde-102 263 22 1+(n−2)δ 1+(n−2)δ NUM ejde-102 263 23 ) ) PUNCT ejde-102 263 24 h11 h11 NOUN ejde-102 263 25 . . PUNCT ejde-102 264 1 ( ( PUNCT ejde-102 264 2 3.31 3.31 NUM ejde-102 264 3 ) ) PUNCT ejde-102 264 4 this this PRON ejde-102 264 5 shows show VERB ejde-102 264 6 that that SCONJ ejde-102 264 7 σk−1(η σk−1(η NOUN ejde-102 264 8 ) ) PUNCT ejde-102 264 9 = = SYM ejde-102 264 10 σk−1(η|1 σk−1(η|1 NOUN ejde-102 264 11 ) ) PUNCT ejde-102 265 1 + + NUM ejde-102 265 2 η11σk−2(η|1 η11σk−2(η|1 NOUN ejde-102 265 3 ) ) PUNCT ejde-102 265 4 ≥ ≥ NOUN ejde-102 265 5 ck−1 ck−1 PROPN ejde-102 265 6 n−1 n−1 PROPN ejde-102 265 7 ( ( PUNCT ejde-102 265 8 1− 1− NUM ejde-102 265 9 ( ( PUNCT ejde-102 265 10 n− n− NOUN ejde-102 265 11 2)δ 2)δ NOUN ejde-102 265 12 ) ) PUNCT ejde-102 266 1 k−1 k−1 PROPN ejde-102 266 2 hk−1 hk−1 PROPN ejde-102 266 3 11 11 NUM ejde-102 266 4 − − NOUN ejde-102 266 5 ck−2 ck−2 PROPN ejde-102 266 6 n−1 n−1 PROPN ejde-102 266 7 ( ( PUNCT ejde-102 266 8 1 1 NUM ejde-102 266 9 + + CCONJ ejde-102 266 10 ( ( PUNCT ejde-102 266 11 n− n− NOUN ejde-102 266 12 2)δ 2)δ NUM ejde-102 266 13 ) ) PUNCT ejde-102 266 14 ( ( PUNCT ejde-102 266 15 1− 1− NUM ejde-102 266 16 ( ( PUNCT ejde-102 266 17 n− n− NOUN ejde-102 266 18 2)δ 2)δ NUM ejde-102 266 19 ) ) PUNCT ejde-102 267 1 k−2 k−2 PROPN ejde-102 267 2 hk−1 hk−1 PROPN ejde-102 267 3 11 11 NUM ejde-102 267 4 . . PUNCT ejde-102 268 1 ( ( PUNCT ejde-102 268 2 3.32 3.32 NUM ejde-102 268 3 ) ) PUNCT ejde-102 268 4 choosing choose VERB ejde-102 268 5 δ δ PRON ejde-102 268 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 268 7 small small ADJ ejde-102 268 8 and and CCONJ ejde-102 268 9 using use VERB ejde-102 268 10 k k PROPN ejde-102 268 11 ≥ ≥ NUM ejde-102 268 12 2 2 NUM ejde-102 268 13 , , PUNCT ejde-102 268 14 we we PRON ejde-102 268 15 have have VERB ejde-102 268 16 σk−1(η σk−1(η NOUN ejde-102 268 17 ) ) PUNCT ejde-102 268 18 ≥ ≥ NOUN ejde-102 268 19 1 1 NUM ejde-102 268 20 2 2 NUM ejde-102 268 21 hk−1 hk−1 PROPN ejde-102 268 22 11 11 NUM ejde-102 268 23 ≥ ≥ NOUN ejde-102 268 24 1 1 NUM ejde-102 268 25 2 2 NUM ejde-102 268 26 h11 h11 NOUN ejde-102 268 27 . . PUNCT ejde-102 269 1 ( ( PUNCT ejde-102 269 2 3.33 3.33 NUM ejde-102 269 3 ) ) PUNCT ejde-102 269 4 it it PRON ejde-102 269 5 follows follow VERB ejde-102 269 6 from from ADP ejde-102 269 7 ( ( PUNCT ejde-102 269 8 3.33 3.33 NUM ejde-102 269 9 ) ) PUNCT ejde-102 269 10 and and CCONJ ejde-102 269 11 the the DET ejde-102 269 12 definitions definition NOUN ejde-102 269 13 of of ADP ejde-102 269 14 gii gii PROPN ejde-102 269 15 and and CCONJ ejde-102 269 16 f f PROPN ejde-102 269 17 ii ii PROPN ejde-102 269 18 that∑ that∑ VERB ejde-102 270 1 i i PRON ejde-102 270 2 f f NOUN ejde-102 270 3 ii ii PROPN ejde-102 270 4 = = SYM ejde-102 270 5 ( ( PUNCT ejde-102 270 6 n− n− NOUN ejde-102 270 7 1 1 NUM ejde-102 270 8 ) ) PUNCT ejde-102 270 9 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 271 1 i i PRON ejde-102 271 2 gii gii NOUN ejde-102 271 3 = = PUNCT ejde-102 271 4 ( ( PUNCT ejde-102 271 5 n− n− NOUN ejde-102 271 6 1)(n− 1)(n− NUM ejde-102 271 7 k k PROPN ejde-102 272 1 + + CCONJ ejde-102 272 2 1 1 X ejde-102 272 3 ) ) PUNCT ejde-102 272 4 k k PROPN ejde-102 272 5 σ σ PROPN ejde-102 272 6 1 1 NUM ejde-102 272 7 k−1 k−1 PROPN ejde-102 272 8 k k PROPN ejde-102 272 9 ( ( PUNCT ejde-102 272 10 η)σk−1(η η)σk−1(η PROPN ejde-102 272 11 ) ) PUNCT ejde-102 272 12 ≥ ≥ NOUN ejde-102 272 13 ( ( PUNCT ejde-102 272 14 n− n− NOUN ejde-102 272 15 1)(n− 1)(n− NUM ejde-102 272 16 k k PROPN ejde-102 273 1 + + CCONJ ejde-102 273 2 1 1 X ejde-102 273 3 ) ) PUNCT ejde-102 273 4 2k 2k NOUN ejde-102 273 5 infm infm VERB ejde-102 273 6 f1− f1− PROPN ejde-102 273 7 1 1 NUM ejde-102 273 8 k k PROPN ejde-102 273 9 h11 h11 PROPN ejde-102 273 10 . . PUNCT ejde-102 274 1 ( ( PUNCT ejde-102 274 2 3.34 3.34 NUM ejde-102 274 3 ) ) PUNCT ejde-102 274 4 choosing choose VERB ejde-102 274 5 β β X ejde-102 274 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 274 7 large large ADJ ejde-102 274 8 gives give VERB ejde-102 274 9 1 1 NUM ejde-102 274 10 2 2 NUM ejde-102 274 11 ( ( PUNCT ejde-102 274 12 k k X ejde-102 274 13 + + CCONJ ejde-102 274 14 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 274 15 ) ) PUNCT ejde-102 275 1 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 275 2 i i PRON ejde-102 275 3 f f PROPN ejde-102 275 4 ii ii PROPN ejde-102 275 5 ≥ ≥ PROPN ejde-102 275 6 c2h11 c2h11 X ejde-102 275 7 . . PUNCT ejde-102 276 1 ( ( PUNCT ejde-102 276 2 3.35 3.35 NUM ejde-102 276 3 ) ) PUNCT ejde-102 276 4 case case NOUN ejde-102 276 5 2 2 NUM ejde-102 276 6 . . X ejde-102 276 7 h22 h22 PROPN ejde-102 276 8 > > X ejde-102 277 1 δh11 δh11 PROPN ejde-102 277 2 or or CCONJ ejde-102 277 3 hnn hnn PROPN ejde-102 277 4 < < X ejde-102 277 5 −δh11 −δh11 PROPN ejde-102 277 6 . . PUNCT ejde-102 278 1 we we PRON ejde-102 278 2 obtain obtain VERB ejde-102 278 3 a a DET ejde-102 278 4 2(u− 2(u− NUM ejde-102 278 5 a a PRON ejde-102 278 6 ) ) PUNCT ejde-102 278 7 f f PROPN ejde-102 278 8 iih2 iih2 PROPN ejde-102 278 9 ii ii PROPN ejde-102 278 10 ≥ ≥ PRON ejde-102 278 11 a a DET ejde-102 278 12 2(supm 2(supm PROPN ejde-102 278 13 u− u− PROPN ejde-102 278 14 a a NOUN ejde-102 278 15 ) ) PUNCT ejde-102 278 16 ( ( PUNCT ejde-102 278 17 f f PROPN ejde-102 278 18 22h2 22h2 NUM ejde-102 278 19 22 22 NUM ejde-102 278 20 + + CCONJ ejde-102 278 21 fnnh2 fnnh2 PROPN ejde-102 278 22 nn nn X ejde-102 278 23 ) ) PUNCT ejde-102 278 24 ≥ ≥ NOUN ejde-102 278 25 aδ2 aδ2 PROPN ejde-102 279 1 2(supm 2(supm PROPN ejde-102 279 2 u− u− PROPN ejde-102 279 3 a a NOUN ejde-102 279 4 ) ) PUNCT ejde-102 279 5 f f PROPN ejde-102 280 1 22h2 22h2 NUM ejde-102 280 2 11 11 NUM ejde-102 280 3 . . PUNCT ejde-102 281 1 ( ( PUNCT ejde-102 281 2 3.36 3.36 NUM ejde-102 281 3 ) ) PUNCT ejde-102 281 4 applying apply VERB ejde-102 281 5 maclaurin maclaurin NOUN ejde-102 281 6 ’s ’s PART ejde-102 281 7 inequality inequality NOUN ejde-102 281 8 , , PUNCT ejde-102 281 9 we we PRON ejde-102 281 10 have have VERB ejde-102 281 11 f f PROPN ejde-102 281 12 22 22 NUM ejde-102 282 1 = = PUNCT ejde-102 282 2 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 282 3 i i PRON ejde-102 282 4 6=2 6=2 NUM ejde-102 282 5 gii gii NOUN ejde-102 282 6 ≥ ≥ NUM ejde-102 282 7 1 1 NUM ejde-102 282 8 2 2 NUM ejde-102 282 9 ∑ ∑ PROPN ejde-102 282 10 i i PRON ejde-102 282 11 gii gii NOUN ejde-102 282 12 ≥ ≥ NUM ejde-102 282 13 1 1 NUM ejde-102 282 14 2 2 NUM ejde-102 282 15 ( ( PUNCT ejde-102 282 16 ckn)1 ckn)1 PROPN ejde-102 282 17 / / SYM ejde-102 282 18 k. k. PROPN ejde-102 282 19 ( ( PUNCT ejde-102 282 20 3.37 3.37 NUM ejde-102 282 21 ) ) PUNCT ejde-102 282 22 inserting insert VERB ejde-102 282 23 into into ADP ejde-102 282 24 ( ( PUNCT ejde-102 282 25 3.36 3.36 NUM ejde-102 282 26 ) ) PUNCT ejde-102 282 27 yields yield VERB ejde-102 282 28 a a DET ejde-102 282 29 2(u− 2(u− NUM ejde-102 282 30 a a PRON ejde-102 282 31 ) ) PUNCT ejde-102 282 32 f f PROPN ejde-102 282 33 iih2 iih2 PROPN ejde-102 282 34 ii ii PROPN ejde-102 282 35 ≥ ≥ PRON ejde-102 282 36 aδ2 aδ2 PROPN ejde-102 282 37 4(supm 4(supm NUM ejde-102 282 38 u− u− PROPN ejde-102 282 39 a a NOUN ejde-102 282 40 ) ) PUNCT ejde-102 282 41 ( ( PUNCT ejde-102 282 42 ckn)1 ckn)1 PROPN ejde-102 282 43 / / SYM ejde-102 282 44 kh2 kh2 PROPN ejde-102 282 45 11 11 NUM ejde-102 282 46 ≥ ≥ NOUN ejde-102 282 47 c2h11 c2h11 NOUN ejde-102 282 48 , , PUNCT ejde-102 282 49 ( ( PUNCT ejde-102 282 50 3.38 3.38 NUM ejde-102 282 51 ) ) PUNCT ejde-102 282 52 where where SCONJ ejde-102 282 53 the the DET ejde-102 282 54 second second ADJ ejde-102 282 55 inequality inequality NOUN ejde-102 282 56 is be AUX ejde-102 282 57 obtained obtain VERB ejde-102 282 58 from from ADP ejde-102 282 59 h11 h11 PROPN ejde-102 282 60 ≥ ≥ PROPN ejde-102 282 61 4(supm 4(supm NUM ejde-102 282 62 u− u− PROPN ejde-102 282 63 a a NOUN ejde-102 282 64 ) ) PUNCT ejde-102 282 65 aδ2 aδ2 PROPN ejde-102 282 66 ( ( PUNCT ejde-102 282 67 ckn)− ckn)− PROPN ejde-102 282 68 1 1 NUM ejde-102 282 69 kc2 kc2 NOUN ejde-102 282 70 , , PUNCT ejde-102 282 71 otherwise otherwise ADV ejde-102 282 72 , , PUNCT ejde-102 282 73 the the DET ejde-102 282 74 proof proof NOUN ejde-102 282 75 is be AUX ejde-102 282 76 complete complete ADJ ejde-102 282 77 . . PUNCT ejde-102 283 1 step step NOUN ejde-102 283 2 2 2 NUM ejde-102 283 3 . . PUNCT ejde-102 284 1 we we PRON ejde-102 284 2 prove prove VERB ejde-102 284 3 that that SCONJ ejde-102 284 4 |hii| |hii| ADJ ejde-102 284 5 ≤ ≤ NUM ejde-102 284 6 βc3 βc3 PROPN ejde-102 284 7 , , PUNCT ejde-102 284 8 for for ADP ejde-102 284 9 2 2 NUM ejde-102 284 10 ≤ ≤ NOUN ejde-102 284 11 i i PRON ejde-102 284 12 ≤ ≤ PROPN ejde-102 284 13 n n CCONJ ejde-102 284 14 , , PUNCT ejde-102 284 15 10 10 NUM ejde-102 284 16 j. j. PROPN ejde-102 284 17 zhou zhou PROPN ejde-102 284 18 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PROPN ejde-102 284 19 where where SCONJ ejde-102 284 20 c3 c3 PROPN ejde-102 284 21 depends depend VERB ejde-102 284 22 r1 r1 PROPN ejde-102 284 23 , , PUNCT ejde-102 284 24 r2 r2 PROPN ejde-102 284 25 , , PUNCT ejde-102 284 26 r3 r3 PROPN ejde-102 284 27 , , PUNCT ejde-102 284 28 and and CCONJ ejde-102 284 29 ‖f‖c2 ‖f‖c2 PRON ejde-102 284 30 . . PUNCT ejde-102 285 1 combining combine VERB ejde-102 285 2 step step NOUN ejde-102 285 3 1 1 NUM ejde-102 285 4 and and CCONJ ejde-102 285 5 ( ( PUNCT ejde-102 285 6 3.29 3.29 NUM ejde-102 285 7 ) ) PUNCT ejde-102 285 8 gives give VERB ejde-102 285 9 0 0 NUM ejde-102 285 10 ≥ ≥ NOUN ejde-102 285 11 − − PROPN ejde-102 285 12 2 2 NUM ejde-102 285 13 h11 h11 PROPN ejde-102 285 14 ∑ ∑ PROPN ejde-102 285 15 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 285 16 g1i g1i PROPN ejde-102 285 17 , , PUNCT ejde-102 285 18 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 286 1 − − PROPN ejde-102 286 2 f f PROPN ejde-102 286 3 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 286 4 h2 h2 PROPN ejde-102 286 5 11 11 NUM ejde-102 286 6 + + CCONJ ejde-102 286 7 a a DET ejde-102 286 8 2(u− 2(u− NUM ejde-102 286 9 a a PRON ejde-102 286 10 ) ) PUNCT ejde-102 286 11 f f PROPN ejde-102 286 12 iih2 iih2 PROPN ejde-102 286 13 ii ii PROPN ejde-102 287 1 + + CCONJ ejde-102 287 2 f f PROPN ejde-102 287 3 ii|∇iu|2 ii|∇iu|2 X ejde-102 287 4 ( ( PUNCT ejde-102 287 5 u− u− NUM ejde-102 287 6 a)2 a)2 NOUN ejde-102 287 7 + + CCONJ ejde-102 287 8 1 1 NUM ejde-102 287 9 2 2 NUM ejde-102 287 10 ( ( PUNCT ejde-102 287 11 k k X ejde-102 287 12 + + CCONJ ejde-102 287 13 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 287 14 ) ) PUNCT ejde-102 287 15 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 288 1 i i PRON ejde-102 288 2 f f PROPN ejde-102 288 3 ii ii PROPN ejde-102 289 1 − − PRON ejde-102 289 2 c2β c2β SYM ejde-102 289 3 . . PUNCT ejde-102 290 1 ( ( PUNCT ejde-102 290 2 3.39 3.39 NUM ejde-102 290 3 ) ) PUNCT ejde-102 290 4 from from ADP ejde-102 290 5 ( ( PUNCT ejde-102 290 6 3.21 3.21 NUM ejde-102 290 7 ) ) PUNCT ejde-102 290 8 and and CCONJ ejde-102 290 9 cauchy cauchy PROPN ejde-102 290 10 - - PUNCT ejde-102 290 11 schwarz schwarz PROPN ejde-102 290 12 inequality inequality NOUN ejde-102 290 13 , , PUNCT ejde-102 290 14 we we PRON ejde-102 290 15 have have VERB ejde-102 290 16 − − PROPN ejde-102 290 17 f f PROPN ejde-102 290 18 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 290 19 h2 h2 PROPN ejde-102 290 20 11 11 NUM ejde-102 290 21 ≥ ≥ NOUN ejde-102 290 22 − − PROPN ejde-102 290 23 1 1 NUM ejde-102 291 1 + + NUM ejde-102 291 2 ε ε PROPN ejde-102 291 3 ( ( PUNCT ejde-102 291 4 u− u− PROPN ejde-102 291 5 a)2 a)2 PROPN ejde-102 291 6 f f PROPN ejde-102 291 7 ii|∇iu|2 ii|∇iu|2 PROPN ejde-102 291 8 − − PROPN ejde-102 292 1 ( ( PUNCT ejde-102 292 2 1 1 NUM ejde-102 292 3 + + SYM ejde-102 292 4 1 1 NUM ejde-102 292 5 ε ε PROPN ejde-102 292 6 ) ) PUNCT ejde-102 292 7 β2f β2f NOUN ejde-102 292 8 ii|∇iφ|2 ii|∇iφ|2 X ejde-102 292 9 . . PUNCT ejde-102 293 1 ( ( PUNCT ejde-102 293 2 3.40 3.40 NUM ejde-102 293 3 ) ) PUNCT ejde-102 293 4 note note NOUN ejde-102 293 5 that that SCONJ ejde-102 293 6 − − PROPN ejde-102 293 7 2 2 NUM ejde-102 293 8 h11 h11 PROPN ejde-102 293 9 ∑ ∑ PROPN ejde-102 293 10 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 293 11 g1i g1i PROPN ejde-102 293 12 , , PUNCT ejde-102 293 13 i1|∇ih11|2 i1|∇ih11|2 PROPN ejde-102 293 14 ≥ ≥ PROPN ejde-102 293 15 0 0 NUM ejde-102 293 16 . . PUNCT ejde-102 294 1 ( ( PUNCT ejde-102 294 2 3.41 3.41 NUM ejde-102 294 3 ) ) PUNCT ejde-102 294 4 using use VERB ejde-102 294 5 ( ( PUNCT ejde-102 294 6 3.40 3.40 NUM ejde-102 294 7 ) ) PUNCT ejde-102 294 8 and and CCONJ ejde-102 294 9 ( ( PUNCT ejde-102 294 10 3.41 3.41 NUM ejde-102 294 11 ) ) PUNCT ejde-102 294 12 in in ADP ejde-102 294 13 ( ( PUNCT ejde-102 294 14 3.39 3.39 NUM ejde-102 294 15 ) ) PUNCT ejde-102 294 16 yields yield NOUN ejde-102 294 17 0 0 NUM ejde-102 294 18 ≥ ≥ NOUN ejde-102 294 19 ( ( PUNCT ejde-102 294 20 a a DET ejde-102 294 21 2(u− 2(u− NUM ejde-102 294 22 a a NOUN ejde-102 294 23 ) ) PUNCT ejde-102 294 24 − − PROPN ejde-102 294 25 ε|∇φ|2 ε|∇φ|2 NUM ejde-102 294 26 ( ( PUNCT ejde-102 294 27 u− u− PROPN ejde-102 294 28 a)2 a)2 PROPN ejde-102 294 29 ) ) PUNCT ejde-102 295 1 f f PROPN ejde-102 295 2 iih2 iih2 PROPN ejde-102 295 3 ii ii PROPN ejde-102 296 1 − − NOUN ejde-102 296 2 c2β c2β VERB ejde-102 296 3 + + CCONJ ejde-102 296 4 ( ( PUNCT ejde-102 296 5 1 1 NUM ejde-102 296 6 2 2 NUM ejde-102 296 7 ( ( PUNCT ejde-102 296 8 k k X ejde-102 296 9 + + CCONJ ejde-102 296 10 βφ′)− βφ′)− INTJ ejde-102 296 11 ( ( PUNCT ejde-102 296 12 1 1 NUM ejde-102 296 13 + + SYM ejde-102 296 14 1 1 NUM ejde-102 296 15 ε ε NOUN ejde-102 296 16 ) ) PUNCT ejde-102 296 17 β2|∇φ|2 β2|∇φ|2 PUNCT ejde-102 296 18 ) ) PUNCT ejde-102 296 19 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 296 20 i i PROPN ejde-102 296 21 f f PROPN ejde-102 296 22 ii ii PROPN ejde-102 296 23 , , PUNCT ejde-102 296 24 ( ( PUNCT ejde-102 296 25 3.42 3.42 NUM ejde-102 296 26 ) ) PUNCT ejde-102 297 1 where where SCONJ ejde-102 297 2 ∇iu ∇iu NOUN ejde-102 297 3 = = NOUN ejde-102 297 4 hii∇iφ hii∇iφ X ejde-102 297 5 . . PUNCT ejde-102 298 1 recalling recall VERB ejde-102 298 2 that that SCONJ ejde-102 298 3 f f PROPN ejde-102 298 4 ii ii PROPN ejde-102 298 5 ≥ ≥ PROPN ejde-102 298 6 f f PROPN ejde-102 298 7 22 22 NUM ejde-102 298 8 ≥ ≥ NOUN ejde-102 298 9 1 1 NUM ejde-102 298 10 2(n− 2(n− NUM ejde-102 298 11 1 1 NUM ejde-102 298 12 ) ) PUNCT ejde-102 298 13 ∑ ∑ ADV ejde-102 298 14 i i PRON ejde-102 298 15 f f PROPN ejde-102 298 16 ii ii PROPN ejde-102 298 17 ≥ ≥ PROPN ejde-102 298 18 1 1 NUM ejde-102 298 19 2 2 NUM ejde-102 298 20 ( ( PUNCT ejde-102 298 21 ckn)1 ckn)1 PROPN ejde-102 298 22 / / SYM ejde-102 298 23 k k PROPN ejde-102 298 24 and and CCONJ ejde-102 298 25 choosing choose VERB ejde-102 298 26 ε ε PROPN ejde-102 298 27 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 298 28 small small ADJ ejde-102 298 29 such such ADJ ejde-102 298 30 that that SCONJ ejde-102 298 31 a a DET ejde-102 298 32 2(u− 2(u− NUM ejde-102 298 33 a a NOUN ejde-102 298 34 ) ) PUNCT ejde-102 298 35 − − PROPN ejde-102 299 1 ε|∇φ|2 ε|∇φ|2 NUM ejde-102 299 2 ( ( PUNCT ejde-102 299 3 u− u− PROPN ejde-102 299 4 a)2 a)2 PROPN ejde-102 299 5 ≥ ≥ NUM ejde-102 299 6 c0 c0 PROPN ejde-102 299 7 > > X ejde-102 299 8 0 0 PROPN ejde-102 299 9 , , PUNCT ejde-102 299 10 we we PRON ejde-102 299 11 deduce deduce VERB ejde-102 299 12 that that SCONJ ejde-102 299 13 0 0 NUM ejde-102 299 14 ≥ ≥ NOUN ejde-102 299 15 c0 c0 NOUN ejde-102 299 16 2(n− 2(n− NUM ejde-102 299 17 1 1 NUM ejde-102 299 18 ) ) PUNCT ejde-102 299 19 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 299 20 j≥2 j≥2 PROPN ejde-102 299 21 h2 h2 PROPN ejde-102 299 22 jj jj PROPN ejde-102 300 1 + + CCONJ ejde-102 300 2 ( ( PUNCT ejde-102 300 3 1 1 NUM ejde-102 300 4 2 2 NUM ejde-102 300 5 ( ( PUNCT ejde-102 300 6 k k X ejde-102 300 7 + + CCONJ ejde-102 300 8 βφ′)− βφ′)− INTJ ejde-102 300 9 ( ( PUNCT ejde-102 300 10 1 1 NUM ejde-102 300 11 + + SYM ejde-102 300 12 1 1 NUM ejde-102 300 13 ε ε NOUN ejde-102 300 14 ) ) PUNCT ejde-102 300 15 β2|∇φ|2 β2|∇φ|2 SYM ejde-102 300 16 ) ) PUNCT ejde-102 300 17 − − PROPN ejde-102 300 18 c2β∑ c2β∑ NOUN ejde-102 301 1 i i PRON ejde-102 301 2 f f PROPN ejde-102 301 3 ii ii PROPN ejde-102 301 4 . . PUNCT ejde-102 302 1 ( ( PUNCT ejde-102 302 2 3.43 3.43 NUM ejde-102 302 3 ) ) PUNCT ejde-102 302 4 therefore therefore ADV ejde-102 302 5 , , PUNCT ejde-102 302 6 ∑ ∑ PROPN ejde-102 302 7 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 302 8 h h NOUN ejde-102 302 9 2 2 NUM ejde-102 302 10 ii ii NOUN ejde-102 302 11 ≤ ≤ NUM ejde-102 302 12 β2c2 β2c2 PUNCT ejde-102 302 13 3 3 NUM ejde-102 302 14 . . PUNCT ejde-102 303 1 step step NOUN ejde-102 303 2 3 3 NUM ejde-102 303 3 . . PUNCT ejde-102 304 1 we we PRON ejde-102 304 2 show show VERB ejde-102 304 3 that that SCONJ ejde-102 304 4 there there PRON ejde-102 304 5 exists exist VERB ejde-102 304 6 a a DET ejde-102 304 7 constant constant ADJ ejde-102 304 8 c c NOUN ejde-102 304 9 depending depend VERB ejde-102 304 10 r1 r1 PROPN ejde-102 304 11 , , PUNCT ejde-102 304 12 r2 r2 PROPN ejde-102 304 13 , , PUNCT ejde-102 304 14 r3 r3 PROPN ejde-102 304 15 , , PUNCT ejde-102 304 16 ‖f‖c2 ‖f‖c2 NUM ejde-102 304 17 , , PUNCT ejde-102 304 18 and and CCONJ ejde-102 304 19 infm infm PROPN ejde-102 304 20 f f PROPN ejde-102 304 21 , , PUNCT ejde-102 304 22 such such ADJ ejde-102 304 23 that that SCONJ ejde-102 304 24 h11 h11 PROPN ejde-102 304 25 ≤ ≤ PROPN ejde-102 304 26 c. c. NOUN ejde-102 304 27 from from ADP ejde-102 304 28 ( ( PUNCT ejde-102 304 29 3.21 3.21 NUM ejde-102 304 30 ) ) PUNCT ejde-102 304 31 and and CCONJ ejde-102 304 32 cauchy cauchy PROPN ejde-102 304 33 - - PUNCT ejde-102 304 34 schwarz schwarz PROPN ejde-102 304 35 inequality inequality NOUN ejde-102 304 36 , , PUNCT ejde-102 304 37 we we PRON ejde-102 304 38 obtain obtain VERB ejde-102 304 39 − − PROPN ejde-102 304 40 f f PROPN ejde-102 304 41 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 304 42 h2 h2 PROPN ejde-102 304 43 11 11 NUM ejde-102 304 44 ≥ ≥ NOUN ejde-102 304 45 − − PROPN ejde-102 304 46 1 1 NUM ejde-102 304 47 + + NUM ejde-102 304 48 ε ε PROPN ejde-102 304 49 ( ( PUNCT ejde-102 304 50 u− u− PROPN ejde-102 304 51 a)2 a)2 PROPN ejde-102 304 52 f f PROPN ejde-102 304 53 11|∇1u|2 11|∇1u|2 NUM ejde-102 304 54 − − PROPN ejde-102 304 55 ( ( PUNCT ejde-102 304 56 1 1 NUM ejde-102 304 57 + + SYM ejde-102 304 58 1 1 NUM ejde-102 304 59 ε ε PROPN ejde-102 304 60 ) ) PUNCT ejde-102 304 61 β2f β2f PROPN ejde-102 304 62 11|∇1φ|2 11|∇1φ|2 NUM ejde-102 304 63 − − NOUN ejde-102 304 64 ∑ ∑ PROPN ejde-102 304 65 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 304 66 f f PROPN ejde-102 304 67 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 304 68 h2 h2 PROPN ejde-102 304 69 11 11 NUM ejde-102 304 70 . . PUNCT ejde-102 305 1 ( ( PUNCT ejde-102 305 2 3.44 3.44 NUM ejde-102 305 3 ) ) PUNCT ejde-102 305 4 choosing choose VERB ejde-102 305 5 ε ε PROPN ejde-102 305 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 305 7 small small ADJ ejde-102 305 8 , , PUNCT ejde-102 305 9 we we PRON ejde-102 305 10 obtain obtain VERB ejde-102 305 11 − − PROPN ejde-102 305 12 ε ε PROPN ejde-102 305 13 ( ( PUNCT ejde-102 305 14 u− u− PROPN ejde-102 305 15 a)2 a)2 PROPN ejde-102 305 16 f f PROPN ejde-102 305 17 11|∇1u|2 11|∇1u|2 NUM ejde-102 305 18 = = SYM ejde-102 305 19 − − PROPN ejde-102 305 20 ε|∇1φ|2 ε|∇1φ|2 NOUN ejde-102 305 21 ( ( PUNCT ejde-102 305 22 u− u− PROPN ejde-102 305 23 a)2 a)2 PROPN ejde-102 305 24 f f PROPN ejde-102 305 25 11h2 11h2 NUM ejde-102 305 26 11 11 NUM ejde-102 305 27 ≥ ≥ NOUN ejde-102 305 28 − − PROPN ejde-102 305 29 a a DET ejde-102 305 30 16(u− 16(u− PROPN ejde-102 305 31 a a NOUN ejde-102 305 32 ) ) PUNCT ejde-102 305 33 f f PROPN ejde-102 305 34 iih2 iih2 PROPN ejde-102 305 35 ii ii PROPN ejde-102 305 36 . . PUNCT ejde-102 306 1 ( ( PUNCT ejde-102 306 2 3.45 3.45 NUM ejde-102 306 3 ) ) PUNCT ejde-102 306 4 without without ADP ejde-102 306 5 loss loss NOUN ejde-102 306 6 of of ADP ejde-102 306 7 generality generality NOUN ejde-102 306 8 , , PUNCT ejde-102 306 9 we we PRON ejde-102 306 10 assume assume VERB ejde-102 306 11 that that SCONJ ejde-102 306 12 h2 h2 PROPN ejde-102 306 13 11 11 NUM ejde-102 306 14 ≥ ≥ NOUN ejde-102 306 15 max max PROPN ejde-102 306 16 { { PUNCT ejde-102 306 17 32(supm 32(supm NUM ejde-102 306 18 u− u− PROPN ejde-102 306 19 a)β2 a)β2 PROPN ejde-102 306 20 aε aε ADP ejde-102 306 21 |∇φ|2 |∇φ|2 NUM ejde-102 306 22 , , PUNCT ejde-102 306 23 β β X ejde-102 306 24 2c2 2c2 NUM ejde-102 306 25 3 3 NUM ejde-102 306 26 α2 α2 ADJ ejde-102 306 27 } } PUNCT ejde-102 306 28 , , PUNCT ejde-102 306 29 ejde-2022/18 ejde-2022/18 X ejde-102 306 30 k k X ejde-102 306 31 - - ADJ ejde-102 306 32 hessian hessian ADJ ejde-102 306 33 curvature curvature NOUN ejde-102 306 34 type type NOUN ejde-102 306 35 equations equation NOUN ejde-102 306 36 11 11 NUM ejde-102 306 37 where where SCONJ ejde-102 306 38 α α NOUN ejde-102 306 39 will will AUX ejde-102 306 40 be be AUX ejde-102 306 41 determined determine VERB ejde-102 306 42 later later ADV ejde-102 306 43 ( ( PUNCT ejde-102 306 44 α α X ejde-102 306 45 < < X ejde-102 306 46 1 1 NUM ejde-102 306 47 ) ) PUNCT ejde-102 306 48 . . PUNCT ejde-102 307 1 this this PRON ejde-102 307 2 gives give VERB ejde-102 307 3 − − PROPN ejde-102 307 4 ( ( PUNCT ejde-102 307 5 1 1 NUM ejde-102 307 6 + + SYM ejde-102 307 7 1 1 NUM ejde-102 307 8 ε ε PROPN ejde-102 307 9 ) ) PUNCT ejde-102 307 10 β2f β2f PROPN ejde-102 307 11 11|∇1φ|2 11|∇1φ|2 NUM ejde-102 307 12 ≥ ≥ NOUN ejde-102 307 13 −2 −2 NOUN ejde-102 307 14 ε ε PROPN ejde-102 307 15 β2f β2f PROPN ejde-102 307 16 11|∇φ|2 11|∇φ|2 NUM ejde-102 307 17 ≥ ≥ NOUN ejde-102 307 18 − − NOUN ejde-102 307 19 a a DET ejde-102 307 20 16(u− 16(u− PROPN ejde-102 307 21 a a NOUN ejde-102 307 22 ) ) PUNCT ejde-102 307 23 f f PROPN ejde-102 307 24 iih2 iih2 PROPN ejde-102 307 25 ii ii PROPN ejde-102 307 26 . . PUNCT ejde-102 308 1 ( ( PUNCT ejde-102 308 2 3.46 3.46 NUM ejde-102 308 3 ) ) PUNCT ejde-102 308 4 by by ADP ejde-102 308 5 step step NOUN ejde-102 308 6 2 2 NUM ejde-102 308 7 , , PUNCT ejde-102 308 8 |hii| |hii| PROPN ejde-102 308 9 ≤ ≤ ADJ ejde-102 308 10 αh11 αh11 PROPN ejde-102 308 11 , , PUNCT ejde-102 308 12 for for ADP ejde-102 308 13 i i PRON ejde-102 308 14 ≥ ≥ NOUN ejde-102 308 15 2 2 NUM ejde-102 308 16 , , PUNCT ejde-102 308 17 ( ( PUNCT ejde-102 308 18 3.47 3.47 NUM ejde-102 308 19 ) ) PUNCT ejde-102 308 20 which which PRON ejde-102 308 21 implies imply VERB ejde-102 308 22 that that SCONJ ejde-102 308 23 1 1 NUM ejde-102 308 24 h11 h11 NOUN ejde-102 308 25 ≤ ≤ NUM ejde-102 308 26 1 1 NUM ejde-102 308 27 + + NUM ejde-102 308 28 α α PROPN ejde-102 308 29 h11 h11 NOUN ejde-102 308 30 − − PROPN ejde-102 308 31 hii hii PROPN ejde-102 308 32 . . PUNCT ejde-102 309 1 ( ( PUNCT ejde-102 309 2 3.48 3.48 NUM ejde-102 309 3 ) ) PUNCT ejde-102 309 4 noting note VERB ejde-102 309 5 that that SCONJ ejde-102 309 6 −g1i −g1i PROPN ejde-102 309 7 , , PUNCT ejde-102 309 8 i1 i1 PROPN ejde-102 309 9 = = SYM ejde-102 309 10 g11 g11 PROPN ejde-102 309 11 −gii −gii NOUN ejde-102 309 12 ηii ηii NOUN ejde-102 310 1 − − NOUN ejde-102 310 2 η11 η11 NOUN ejde-102 310 3 = = SYM ejde-102 310 4 f f PROPN ejde-102 310 5 ii ii NOUN ejde-102 311 1 − − PROPN ejde-102 311 2 f f PROPN ejde-102 311 3 11 11 NUM ejde-102 311 4 h11 h11 NOUN ejde-102 311 5 − − PROPN ejde-102 311 6 hii hii PROPN ejde-102 311 7 , , PUNCT ejde-102 311 8 we we PRON ejde-102 311 9 have have VERB ejde-102 311 10 − − PROPN ejde-102 311 11 ∑ ∑ PROPN ejde-102 311 12 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 311 13 f f PROPN ejde-102 311 14 ii|∇ih11|2 ii|∇ih11|2 PROPN ejde-102 311 15 h2 h2 PROPN ejde-102 311 16 11 11 NUM ejde-102 311 17 ≥ ≥ NOUN ejde-102 311 18 − − NOUN ejde-102 311 19 ∑ ∑ PROPN ejde-102 311 20 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 311 21 f f PROPN ejde-102 311 22 ii ii PROPN ejde-102 312 1 − − PROPN ejde-102 312 2 f f PROPN ejde-102 312 3 11 11 NUM ejde-102 312 4 h2 h2 NOUN ejde-102 312 5 11 11 NUM ejde-102 312 6 |∇ih11|2 |∇ih11|2 ADP ejde-102 312 7 − − PROPN ejde-102 312 8 ∑ ∑ PROPN ejde-102 312 9 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 312 10 f f PROPN ejde-102 312 11 11|∇ih11|2 11|∇ih11|2 NUM ejde-102 312 12 h2 h2 NOUN ejde-102 312 13 11 11 NUM ejde-102 312 14 ≥ ≥ NOUN ejde-102 312 15 −1 −1 NOUN ejde-102 312 16 + + CCONJ ejde-102 312 17 α α PROPN ejde-102 312 18 h11 h11 PROPN ejde-102 312 19 ∑ ∑ PROPN ejde-102 312 20 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 312 21 f f PROPN ejde-102 312 22 ii ii PROPN ejde-102 313 1 − − PROPN ejde-102 313 2 f f PROPN ejde-102 313 3 11 11 NUM ejde-102 313 4 h11 h11 NOUN ejde-102 313 5 − − PROPN ejde-102 314 1 hii hii PROPN ejde-102 314 2 |∇ih11|2 |∇ih11|2 PUNCT ejde-102 314 3 − − PROPN ejde-102 314 4 ∑ ∑ PROPN ejde-102 314 5 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 314 6 f f PROPN ejde-102 314 7 11|∇ih11|2 11|∇ih11|2 NUM ejde-102 314 8 h2 h2 NOUN ejde-102 314 9 11 11 NUM ejde-102 314 10 = = SYM ejde-102 314 11 1 1 NUM ejde-102 314 12 + + NUM ejde-102 314 13 α α PROPN ejde-102 314 14 h11 h11 PROPN ejde-102 314 15 ∑ ∑ PROPN ejde-102 314 16 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 314 17 gi1,1i|∇ih11|2 gi1,1i|∇ih11|2 PROPN ejde-102 314 18 − − PROPN ejde-102 314 19 ∑ ∑ PROPN ejde-102 314 20 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 314 21 f f PROPN ejde-102 314 22 11|∇ih11|2 11|∇ih11|2 NUM ejde-102 314 23 h2 h2 NOUN ejde-102 314 24 11 11 NUM ejde-102 314 25 . . PUNCT ejde-102 315 1 ( ( PUNCT ejde-102 315 2 3.49 3.49 NUM ejde-102 315 3 ) ) PUNCT ejde-102 315 4 using use VERB ejde-102 315 5 ( ( PUNCT ejde-102 315 6 3.21 3.21 NUM ejde-102 315 7 ) ) PUNCT ejde-102 315 8 , , PUNCT ejde-102 315 9 ( ( PUNCT ejde-102 315 10 3.47 3.47 NUM ejde-102 315 11 ) ) PUNCT ejde-102 315 12 , , PUNCT ejde-102 315 13 and and CCONJ ejde-102 315 14 cauchy cauchy PROPN ejde-102 315 15 - - PUNCT ejde-102 315 16 schwarz schwarz PROPN ejde-102 315 17 inequality inequality NOUN ejde-102 315 18 we we PRON ejde-102 315 19 have have VERB ejde-102 315 20 − − PROPN ejde-102 315 21 ∑ ∑ PROPN ejde-102 315 22 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 315 23 f f PROPN ejde-102 315 24 11|∇ih11|2 11|∇ih11|2 NUM ejde-102 315 25 h2 h2 NOUN ejde-102 315 26 11 11 NUM ejde-102 315 27 ≥ ≥ NOUN ejde-102 315 28 −2 −2 PROPN ejde-102 315 29 ∑ ∑ PROPN ejde-102 315 30 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 315 31 f f PROPN ejde-102 315 32 11|∇iu|2 11|∇iu|2 PROPN ejde-102 316 1 ( ( PUNCT ejde-102 316 2 u− u− PROPN ejde-102 316 3 a)2 a)2 NOUN ejde-102 316 4 − − PROPN ejde-102 316 5 2β2 2β2 NUM ejde-102 316 6 ∑ ∑ PROPN ejde-102 316 7 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 316 8 f f PROPN ejde-102 316 9 11|∇iφ|2 11|∇iφ|2 NUM ejde-102 316 10 ≥ ≥ NOUN ejde-102 316 11 −2(n− −2(n− PROPN ejde-102 316 12 1)α2|∇φ|2 1)α2|∇φ|2 NUM ejde-102 316 13 a2 a2 PROPN ejde-102 316 14 af af PROPN ejde-102 316 15 11h2 11h2 NUM ejde-102 316 16 11 11 NUM ejde-102 316 17 u− u− PROPN ejde-102 316 18 a a DET ejde-102 316 19 − − X ejde-102 316 20 ε(u− ε(u− PROPN ejde-102 316 21 a a X ejde-102 316 22 ) ) PUNCT ejde-102 316 23 16(supm 16(supm NUM ejde-102 316 24 u− u− PROPN ejde-102 316 25 a a NOUN ejde-102 316 26 ) ) PUNCT ejde-102 316 27 af af PROPN ejde-102 316 28 11h2 11h2 NUM ejde-102 316 29 11 11 NUM ejde-102 316 30 u− u− PROPN ejde-102 316 31 a a X ejde-102 316 32 . . PUNCT ejde-102 317 1 ( ( PUNCT ejde-102 317 2 3.50 3.50 NUM ejde-102 317 3 ) ) PUNCT ejde-102 317 4 choosing choose VERB ejde-102 317 5 α α PRON ejde-102 317 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 317 7 small small ADJ ejde-102 317 8 gives give VERB ejde-102 317 9 − − PROPN ejde-102 317 10 ∑ ∑ PROPN ejde-102 317 11 i≥2 i≥2 PROPN ejde-102 317 12 f f PROPN ejde-102 317 13 11|∇ih11|2 11|∇ih11|2 NUM ejde-102 317 14 h2 h2 NOUN ejde-102 317 15 11 11 NUM ejde-102 317 16 ≥ ≥ NOUN ejde-102 317 17 −af −af ADP ejde-102 317 18 11h2 11h2 NUM ejde-102 317 19 11 11 NUM ejde-102 317 20 8(u− 8(u− NUM ejde-102 317 21 a a DET ejde-102 317 22 ) ) PUNCT ejde-102 317 23 ≥ ≥ NOUN ejde-102 317 24 − − PROPN ejde-102 317 25 af af PROPN ejde-102 317 26 iih2 iih2 PROPN ejde-102 317 27 ii ii PROPN ejde-102 317 28 8(u− 8(u− NUM ejde-102 317 29 a a PRON ejde-102 317 30 ) ) PUNCT ejde-102 317 31 . . PUNCT ejde-102 318 1 ( ( PUNCT ejde-102 318 2 3.51 3.51 NUM ejde-102 318 3 ) ) PUNCT ejde-102 318 4 putting put VERB ejde-102 318 5 ( ( PUNCT ejde-102 318 6 3.44 3.44 NUM ejde-102 318 7 ) ) PUNCT ejde-102 318 8 , , PUNCT ejde-102 318 9 ( ( PUNCT ejde-102 318 10 3.45 3.45 NUM ejde-102 318 11 ) ) PUNCT ejde-102 318 12 , , PUNCT ejde-102 318 13 ( ( PUNCT ejde-102 318 14 3.46 3.46 NUM ejde-102 318 15 ) ) PUNCT ejde-102 318 16 , , PUNCT ejde-102 318 17 ( ( PUNCT ejde-102 318 18 3.49 3.49 NUM ejde-102 318 19 ) ) PUNCT ejde-102 318 20 , , PUNCT ejde-102 318 21 and and CCONJ ejde-102 318 22 ( ( PUNCT ejde-102 318 23 3.51 3.51 NUM ejde-102 318 24 ) ) PUNCT ejde-102 318 25 in in ADP ejde-102 318 26 ( ( PUNCT ejde-102 318 27 3.39 3.39 NUM ejde-102 318 28 ) ) PUNCT ejde-102 318 29 yields yield NOUN ejde-102 318 30 0 0 NUM ejde-102 318 31 ≥ ≥ NOUN ejde-102 318 32 f f PROPN ejde-102 318 33 ii|∇iu|2 ii|∇iu|2 PROPN ejde-102 318 34 4(u− 4(u− NUM ejde-102 318 35 a)2 a)2 NOUN ejde-102 318 36 + + CCONJ ejde-102 319 1 1 1 NUM ejde-102 319 2 2 2 NUM ejde-102 319 3 ( ( PUNCT ejde-102 319 4 k k X ejde-102 319 5 + + CCONJ ejde-102 319 6 βφ′ βφ′ NOUN ejde-102 319 7 ) ) PUNCT ejde-102 319 8 ∑ ∑ PUNCT ejde-102 320 1 i i PRON ejde-102 320 2 f f PROPN ejde-102 320 3 ii ii PROPN ejde-102 320 4 − − PROPN ejde-102 320 5 c2β c2β VERB ejde-102 320 6 ≥ ≥ NUM ejde-102 320 7 c2 c2 PROPN ejde-102 320 8 2 2 NUM ejde-102 320 9 h11 h11 NOUN ejde-102 320 10 − − PROPN ejde-102 320 11 c2β c2β SYM ejde-102 320 12 . . PUNCT ejde-102 321 1 ( ( PUNCT ejde-102 321 2 3.52 3.52 NUM ejde-102 321 3 ) ) PUNCT ejde-102 321 4 thus thus ADV ejde-102 321 5 h11 h11 NOUN ejde-102 321 6 ≤ ≤ NOUN ejde-102 321 7 2β 2β NOUN ejde-102 321 8 . . PUNCT ejde-102 322 1 � � PROPN ejde-102 322 2 4 4 NUM ejde-102 322 3 . . PUNCT ejde-102 322 4 existence existence NOUN ejde-102 322 5 in in ADP ejde-102 322 6 this this DET ejde-102 322 7 section section NOUN ejde-102 322 8 , , PUNCT ejde-102 322 9 we we PRON ejde-102 322 10 use use VERB ejde-102 322 11 the the DET ejde-102 322 12 degree degree NOUN ejde-102 322 13 theory theory NOUN ejde-102 322 14 for for ADP ejde-102 322 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 322 16 elliptic elliptic ADJ ejde-102 322 17 equation equation NOUN ejde-102 322 18 developed develop VERB ejde-102 322 19 in in ADP ejde-102 322 20 [ [ X ejde-102 322 21 16 16 NUM ejde-102 322 22 ] ] PUNCT ejde-102 322 23 to to PART ejde-102 322 24 prove prove VERB ejde-102 322 25 theorem theorem VERB ejde-102 322 26 1.1 1.1 NUM ejde-102 322 27 . . PUNCT ejde-102 323 1 after after ADP ejde-102 323 2 establishing establish VERB ejde-102 323 3 the the DET ejde-102 323 4 a a DET ejde-102 323 5 priori priori ADJ ejde-102 323 6 estimates estimate NOUN ejde-102 323 7 in in ADP ejde-102 323 8 propositions proposition NOUN ejde-102 323 9 3.1 3.1 NUM ejde-102 323 10 , , PUNCT ejde-102 323 11 3.3 3.3 NUM ejde-102 323 12 and and CCONJ ejde-102 323 13 3.4 3.4 NUM ejde-102 323 14 , , PUNCT ejde-102 323 15 we we PRON ejde-102 323 16 know know VERB ejde-102 323 17 that that SCONJ ejde-102 323 18 ( ( PUNCT ejde-102 323 19 3.2 3.2 NUM ejde-102 323 20 ) ) PUNCT ejde-102 323 21 is be AUX ejde-102 323 22 uniformly uniformly ADV ejde-102 323 23 elliptic elliptic ADJ ejde-102 323 24 . . PUNCT ejde-102 324 1 from from ADP ejde-102 324 2 evans evans PROPN ejde-102 324 3 - - PUNCT ejde-102 324 4 krylov krylov PROPN ejde-102 324 5 estimates estimate NOUN ejde-102 324 6 [ [ X ejde-102 324 7 7 7 NUM ejde-102 324 8 , , PUNCT ejde-102 324 9 15 15 NUM ejde-102 324 10 ] ] PUNCT ejde-102 324 11 , , PUNCT ejde-102 324 12 and and CCONJ ejde-102 324 13 schauder schauder NOUN ejde-102 324 14 estimates estimate NOUN ejde-102 324 15 , , PUNCT ejde-102 324 16 we we PRON ejde-102 324 17 obtain obtain VERB ejde-102 324 18 ‖ρ‖c4,δ ‖ρ‖c4,δ ADP ejde-102 324 19 ≤ ≤ ADJ ejde-102 324 20 c c NOUN ejde-102 324 21 ( ( PUNCT ejde-102 324 22 4.1 4.1 NUM ejde-102 324 23 ) ) PUNCT ejde-102 324 24 12 12 NUM ejde-102 324 25 j. j. PROPN ejde-102 324 26 zhou zhou PROPN ejde-102 324 27 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PROPN ejde-102 324 28 for for ADP ejde-102 324 29 any any DET ejde-102 324 30 ( ( PUNCT ejde-102 324 31 η η PROPN ejde-102 324 32 , , PUNCT ejde-102 324 33 k)-convex k)-convex NOUN ejde-102 324 34 solution solution NOUN ejde-102 324 35 m m NOUN ejde-102 324 36 = = SYM ejde-102 324 37 { { PUNCT ejde-102 324 38 ( ( PUNCT ejde-102 324 39 z z NOUN ejde-102 324 40 , , PUNCT ejde-102 324 41 ρ(z ρ(z NOUN ejde-102 324 42 ) ) PUNCT ejde-102 324 43 ) ) PUNCT ejde-102 324 44 : : PUNCT ejde-102 325 1 z z PROPN ejde-102 325 2 ∈ ∈ PROPN ejde-102 325 3 sn sn PROPN ejde-102 325 4 } } PUNCT ejde-102 325 5 to to ADP ejde-102 325 6 ( ( PUNCT ejde-102 325 7 1.4 1.4 NUM ejde-102 325 8 ) ) PUNCT ejde-102 325 9 . . PUNCT ejde-102 326 1 we we PRON ejde-102 326 2 consider consider VERB ejde-102 326 3 a a DET ejde-102 326 4 family family NOUN ejde-102 326 5 of of ADP ejde-102 326 6 the the DET ejde-102 326 7 mappings mapping NOUN ejde-102 326 8 for for ADP ejde-102 326 9 t t PROPN ejde-102 326 10 ∈ ∈ PROPN ejde-102 327 1 [ [ X ejde-102 327 2 0 0 NUM ejde-102 327 3 , , PUNCT ejde-102 327 4 1 1 NUM ejde-102 327 5 ] ] PUNCT ejde-102 327 6 , , PUNCT ejde-102 327 7 f f PROPN ejde-102 327 8 ( ( PUNCT ejde-102 327 9 · · PUNCT ejde-102 327 10 ; ; PUNCT ejde-102 327 11 t t PROPN ejde-102 327 12 ) ) PUNCT ejde-102 327 13 : : PUNCT ejde-102 328 1 c4,δ c4,δ NOUN ejde-102 328 2 0 0 PUNCT ejde-102 328 3 ( ( PUNCT ejde-102 328 4 sn)→ sn)→ PROPN ejde-102 328 5 c2,δ(sn c2,δ(sn PROPN ejde-102 328 6 ) ) PUNCT ejde-102 328 7 , , PUNCT ejde-102 328 8 defined define VERB ejde-102 328 9 by by ADP ejde-102 328 10 f f PROPN ejde-102 328 11 ( ( PUNCT ejde-102 328 12 z z PROPN ejde-102 328 13 , , PUNCT ejde-102 328 14 ρ(z ρ(z PROPN ejde-102 328 15 ) ) PUNCT ejde-102 328 16 ; ; PUNCT ejde-102 328 17 t t X ejde-102 328 18 ) ) PUNCT ejde-102 328 19 = = PUNCT ejde-102 329 1 σk(λ(η))− σk(λ(η))− PROPN ejde-102 329 2 f f PROPN ejde-102 329 3 t(v t(v PROPN ejde-102 329 4 , , PUNCT ejde-102 329 5 ν ν NOUN ejde-102 329 6 ) ) PUNCT ejde-102 329 7 , , PUNCT ejde-102 329 8 where where SCONJ ejde-102 329 9 f f PROPN ejde-102 329 10 t(v t(v PROPN ejde-102 329 11 , , PUNCT ejde-102 329 12 ν ν NOUN ejde-102 329 13 ) ) PUNCT ejde-102 329 14 = = SYM ejde-102 329 15 tf(v tf(v NOUN ejde-102 329 16 , , PUNCT ejde-102 329 17 ν ν NOUN ejde-102 329 18 ) ) PUNCT ejde-102 329 19 + + CCONJ ejde-102 329 20 ( ( PUNCT ejde-102 329 21 1− 1− NUM ejde-102 329 22 t)ckn(n− t)ckn(n− PROPN ejde-102 329 23 1)k 1)k NUM ejde-102 330 1 [ [ X ejde-102 330 2 ( ( PUNCT ejde-102 330 3 φ′(ρ φ′(ρ NUM ejde-102 330 4 ) ) PUNCT ejde-102 330 5 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 330 6 ) ) PUNCT ejde-102 330 7 ) ) PUNCT ejde-102 331 1 k k PROPN ejde-102 331 2 + + CCONJ ejde-102 331 3 ε ε PROPN ejde-102 331 4 ( ( PUNCT ejde-102 331 5 ( ( PUNCT ejde-102 331 6 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 331 7 ) ) PUNCT ejde-102 331 8 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 331 9 ) ) PUNCT ejde-102 331 10 ) ) PUNCT ejde-102 332 1 k k X ejde-102 332 2 − − PROPN ejde-102 332 3 ( ( PUNCT ejde-102 332 4 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 332 5 ) ) PUNCT ejde-102 332 6 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 332 7 ) ) PUNCT ejde-102 332 8 ) ) PUNCT ejde-102 333 1 k k X ejde-102 333 2 ) ) PUNCT ejde-102 333 3 ] ] PUNCT ejde-102 333 4 , , PUNCT ejde-102 333 5 where where SCONJ ejde-102 333 6 the the DET ejde-102 333 7 constant constant ADJ ejde-102 333 8 ε ε PROPN ejde-102 333 9 is be AUX ejde-102 333 10 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 333 11 small small ADJ ejde-102 333 12 such such ADJ ejde-102 333 13 that that DET ejde-102 333 14 min min NOUN ejde-102 334 1 r1≤ρ≤r2 r1≤ρ≤r2 X ejde-102 334 2 [ [ X ejde-102 334 3 ( ( PUNCT ejde-102 334 4 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 334 5 ) ) PUNCT ejde-102 334 6 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 334 7 ) ) PUNCT ejde-102 334 8 ) ) PUNCT ejde-102 335 1 k k PROPN ejde-102 335 2 + + CCONJ ejde-102 335 3 ε ε PROPN ejde-102 335 4 ( ( PUNCT ejde-102 335 5 ( ( PUNCT ejde-102 335 6 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 335 7 ) ) PUNCT ejde-102 335 8 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 335 9 ) ) PUNCT ejde-102 335 10 ) ) PUNCT ejde-102 336 1 k k X ejde-102 336 2 − − PROPN ejde-102 336 3 ( ( PUNCT ejde-102 336 4 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 336 5 ) ) PUNCT ejde-102 336 6 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 336 7 ) ) PUNCT ejde-102 336 8 ) ) PUNCT ejde-102 337 1 k k X ejde-102 337 2 ) ) PUNCT ejde-102 337 3 ] ] PUNCT ejde-102 337 4 ≥ ≥ PROPN ejde-102 337 5 c0 c0 X ejde-102 337 6 > > X ejde-102 337 7 0 0 NUM ejde-102 337 8 , , PUNCT ejde-102 337 9 for for ADP ejde-102 337 10 some some DET ejde-102 337 11 positive positive ADJ ejde-102 337 12 constant constant ADJ ejde-102 337 13 c0 c0 NOUN ejde-102 337 14 . . PUNCT ejde-102 338 1 we we PRON ejde-102 338 2 set set VERB ejde-102 338 3 or or CCONJ ejde-102 338 4 = = SYM ejde-102 338 5 { { PUNCT ejde-102 338 6 ρ ρ PROPN ejde-102 338 7 ∈ ∈ PROPN ejde-102 338 8 c4,δ c4,δ PROPN ejde-102 338 9 0 0 NUM ejde-102 338 10 ( ( PUNCT ejde-102 338 11 sn sn PROPN ejde-102 338 12 ) ) PUNCT ejde-102 338 13 : : PUNCT ejde-102 339 1 ‖ρ‖c4,δ(sn ‖ρ‖c4,δ(sn X ejde-102 339 2 ) ) PUNCT ejde-102 339 3 < < X ejde-102 339 4 r r X ejde-102 339 5 } } PUNCT ejde-102 339 6 , , PUNCT ejde-102 339 7 which which PRON ejde-102 339 8 is be AUX ejde-102 339 9 an an DET ejde-102 339 10 open open ADJ ejde-102 339 11 set set NOUN ejde-102 339 12 of of ADP ejde-102 339 13 c4,δ c4,δ PROPN ejde-102 339 14 0 0 PUNCT ejde-102 339 15 ( ( PUNCT ejde-102 339 16 sn sn PROPN ejde-102 339 17 ) ) PUNCT ejde-102 339 18 . . PUNCT ejde-102 340 1 if if SCONJ ejde-102 340 2 r r NOUN ejde-102 340 3 is be AUX ejde-102 340 4 sufficiently sufficiently ADV ejde-102 340 5 large large ADJ ejde-102 340 6 , , PUNCT ejde-102 340 7 f f PROPN ejde-102 340 8 ( ( PUNCT ejde-102 340 9 z z PROPN ejde-102 340 10 , , PUNCT ejde-102 340 11 ρ(z ρ(z PROPN ejde-102 340 12 ) ) PUNCT ejde-102 340 13 ; ; PUNCT ejde-102 340 14 t t X ejde-102 340 15 ) ) PUNCT ejde-102 340 16 = = SYM ejde-102 340 17 0 0 PUNCT ejde-102 340 18 has have VERB ejde-102 340 19 no no DET ejde-102 340 20 solution solution NOUN ejde-102 340 21 on on ADP ejde-102 340 22 ∂or ∂or PROPN ejde-102 340 23 by by ADP ejde-102 340 24 the the DET ejde-102 340 25 a a DET ejde-102 340 26 priori priori ADJ ejde-102 340 27 estimates estimate NOUN ejde-102 340 28 in in ADP ejde-102 340 29 ( ( PUNCT ejde-102 340 30 4.1 4.1 NUM ejde-102 340 31 ) ) PUNCT ejde-102 340 32 . . PUNCT ejde-102 341 1 therefore therefore ADV ejde-102 341 2 , , PUNCT ejde-102 341 3 the the DET ejde-102 341 4 degree degree NOUN ejde-102 341 5 of of ADP ejde-102 341 6 deg(f deg(f PROPN ejde-102 341 7 ( ( PUNCT ejde-102 341 8 · · PUNCT ejde-102 341 9 ; ; PUNCT ejde-102 341 10 t),or t),or X ejde-102 341 11 , , PUNCT ejde-102 341 12 0 0 NUM ejde-102 341 13 ) ) PUNCT ejde-102 341 14 is be AUX ejde-102 341 15 well well ADV ejde-102 341 16 - - PUNCT ejde-102 341 17 defined define VERB ejde-102 341 18 . . PUNCT ejde-102 342 1 using use VERB ejde-102 342 2 the the DET ejde-102 342 3 homotopic homotopic ADJ ejde-102 342 4 invariance invariance NOUN ejde-102 342 5 of of ADP ejde-102 342 6 the the DET ejde-102 342 7 degree degree NOUN ejde-102 342 8 , , PUNCT ejde-102 342 9 we we PRON ejde-102 342 10 have have VERB ejde-102 342 11 deg(f deg(f PROPN ejde-102 342 12 ( ( PUNCT ejde-102 342 13 · · PUNCT ejde-102 342 14 ; ; PUNCT ejde-102 342 15 1),or 1),or NUM ejde-102 342 16 , , PUNCT ejde-102 342 17 0 0 NUM ejde-102 342 18 ) ) PUNCT ejde-102 342 19 = = SYM ejde-102 343 1 deg(f deg(f PROPN ejde-102 343 2 ( ( PUNCT ejde-102 343 3 . . PUNCT ejde-102 343 4 ; ; PUNCT ejde-102 343 5 0),or 0),or PROPN ejde-102 343 6 , , PUNCT ejde-102 343 7 0 0 NUM ejde-102 343 8 ) ) PUNCT ejde-102 343 9 . . PUNCT ejde-102 344 1 at at ADP ejde-102 344 2 t t PROPN ejde-102 344 3 = = SYM ejde-102 344 4 0 0 NUM ejde-102 344 5 , , PUNCT ejde-102 344 6 by by ADP ejde-102 344 7 proposition proposition NOUN ejde-102 344 8 3.2 3.2 NUM ejde-102 344 9 , , PUNCT ejde-102 344 10 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 344 11 = = SYM ejde-102 344 12 1 1 NUM ejde-102 344 13 is be AUX ejde-102 344 14 the the DET ejde-102 344 15 unique unique ADJ ejde-102 344 16 solution solution NOUN ejde-102 344 17 of of ADP ejde-102 344 18 ( ( PUNCT ejde-102 344 19 3.2 3.2 NUM ejde-102 344 20 ) ) PUNCT ejde-102 344 21 in in ADP ejde-102 344 22 or or CCONJ ejde-102 344 23 . . PUNCT ejde-102 345 1 direct direct ADJ ejde-102 345 2 calculations calculation NOUN ejde-102 345 3 yields yield NOUN ejde-102 345 4 f f X ejde-102 345 5 ( ( PUNCT ejde-102 345 6 z z PROPN ejde-102 345 7 , , PUNCT ejde-102 345 8 ρ ρ PROPN ejde-102 345 9 ; ; PUNCT ejde-102 345 10 0 0 NUM ejde-102 345 11 ) ) PUNCT ejde-102 345 12 = = VERB ejde-102 346 1 −εckn(n− −εckn(n− PROPN ejde-102 346 2 1)k 1)k NUM ejde-102 346 3 ( ( PUNCT ejde-102 346 4 ( ( PUNCT ejde-102 346 5 φ′(ρ φ′(ρ NOUN ejde-102 346 6 ) ) PUNCT ejde-102 346 7 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 346 8 ) ) PUNCT ejde-102 346 9 ) ) PUNCT ejde-102 347 1 k k X ejde-102 347 2 − − PROPN ejde-102 347 3 ( ( PUNCT ejde-102 347 4 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 347 5 ) ) PUNCT ejde-102 347 6 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 347 7 ) ) PUNCT ejde-102 347 8 ) ) PUNCT ejde-102 348 1 k k X ejde-102 348 2 ) ) PUNCT ejde-102 348 3 . . PUNCT ejde-102 349 1 by by ADP ejde-102 349 2 the the DET ejde-102 349 3 definition definition NOUN ejde-102 349 4 of of ADP ejde-102 349 5 φ(ρ φ(ρ NUM ejde-102 349 6 ) ) PUNCT ejde-102 349 7 , , PUNCT ejde-102 349 8 we we PRON ejde-102 349 9 obtain obtain VERB ejde-102 349 10 δρ0f δρ0f PROPN ejde-102 349 11 ( ( PUNCT ejde-102 349 12 z z PROPN ejde-102 349 13 , , PUNCT ejde-102 349 14 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 349 15 ; ; PUNCT ejde-102 349 16 0 0 NUM ejde-102 349 17 ) ) PUNCT ejde-102 349 18 = = SYM ejde-102 350 1 d d X ejde-102 350 2 ds ds ADJ ejde-102 350 3 |s=1f |s=1f NOUN ejde-102 350 4 ( ( PUNCT ejde-102 350 5 z z NOUN ejde-102 350 6 , , PUNCT ejde-102 350 7 sρ0 sρ0 ADJ ejde-102 350 8 ; ; PUNCT ejde-102 350 9 0 0 X ejde-102 350 10 ) ) PUNCT ejde-102 350 11 = = VERB ejde-102 350 12 −εkckn(n− −εkckn(n− VERB ejde-102 350 13 1)k 1)k NUM ejde-102 350 14 ( ( PUNCT ejde-102 350 15 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 350 16 ) ) PUNCT ejde-102 350 17 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 350 18 ) ) PUNCT ejde-102 350 19 ) ) PUNCT ejde-102 351 1 k−1φ′′(1)φ(1)− k−1φ′′(1)φ(1)− PROPN ejde-102 351 2 φ′(1)φ′(1 φ′(1)φ′(1 PROPN ejde-102 351 3 ) ) PUNCT ejde-102 351 4 ( ( PUNCT ejde-102 351 5 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 351 6 ) ) PUNCT ejde-102 351 7 ) ) PUNCT ejde-102 352 1 2 2 NUM ejde-102 352 2 > > X ejde-102 352 3 0 0 NUM ejde-102 352 4 , , PUNCT ejde-102 352 5 where where SCONJ ejde-102 352 6 δf δf INTJ ejde-102 352 7 ( ( PUNCT ejde-102 352 8 z z PROPN ejde-102 352 9 , , PUNCT ejde-102 352 10 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 352 11 ; ; PUNCT ejde-102 352 12 0 0 NUM ejde-102 352 13 ) ) PUNCT ejde-102 352 14 is be AUX ejde-102 352 15 the the DET ejde-102 352 16 linearized linearize VERB ejde-102 352 17 operator operator NOUN ejde-102 352 18 of of ADP ejde-102 352 19 f f PROPN ejde-102 352 20 at at ADP ejde-102 352 21 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 352 22 . . PUNCT ejde-102 353 1 then then ADV ejde-102 353 2 δf δf INTJ ejde-102 353 3 ( ( PUNCT ejde-102 353 4 z z PROPN ejde-102 353 5 , , PUNCT ejde-102 353 6 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 353 7 ; ; PUNCT ejde-102 353 8 0 0 NUM ejde-102 353 9 ) ) PUNCT ejde-102 353 10 takes take VERB ejde-102 353 11 the the DET ejde-102 353 12 form form NOUN ejde-102 353 13 δϕf δϕf NOUN ejde-102 353 14 ( ( PUNCT ejde-102 353 15 z z NOUN ejde-102 353 16 , , PUNCT ejde-102 353 17 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 353 18 ; ; PUNCT ejde-102 353 19 0 0 NUM ejde-102 353 20 ) ) PUNCT ejde-102 353 21 = = SYM ejde-102 353 22 −aij∇′ijϕ+bi∇′iϕ−εkckn(n−1)k −aij∇′ijϕ+bi∇′iϕ−εkckn(n−1)k PROPN ejde-102 353 23 ( ( PUNCT ejde-102 353 24 φ′(1 φ′(1 PROPN ejde-102 353 25 ) ) PUNCT ejde-102 353 26 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 353 27 ) ) PUNCT ejde-102 353 28 ) ) PUNCT ejde-102 354 1 k−1φ′′(1)φ(1)− k−1φ′′(1)φ(1)− PROPN ejde-102 354 2 φ′(1)φ′(1 φ′(1)φ′(1 PROPN ejde-102 354 3 ) ) PUNCT ejde-102 354 4 ( ( PUNCT ejde-102 354 5 φ(1 φ(1 PROPN ejde-102 354 6 ) ) PUNCT ejde-102 354 7 ) ) PUNCT ejde-102 354 8 2 2 NUM ejde-102 354 9 , , PUNCT ejde-102 354 10 where where SCONJ ejde-102 354 11 ( ( PUNCT ejde-102 355 1 aij aij NOUN ejde-102 355 2 ) ) PUNCT ejde-102 355 3 is be AUX ejde-102 355 4 a a DET ejde-102 355 5 positive positive ADJ ejde-102 355 6 definite definite ADJ ejde-102 355 7 matrix matrix NOUN ejde-102 355 8 . . PUNCT ejde-102 356 1 clearly clearly ADV ejde-102 356 2 , , PUNCT ejde-102 356 3 δρ0f δρ0f PROPN ejde-102 356 4 ( ( PUNCT ejde-102 356 5 z z PROPN ejde-102 356 6 , , PUNCT ejde-102 356 7 ρ0 ρ0 PROPN ejde-102 356 8 ; ; PUNCT ejde-102 356 9 0 0 NUM ejde-102 356 10 ) ) PUNCT ejde-102 356 11 is be AUX ejde-102 356 12 an an DET ejde-102 356 13 invertible invertible ADJ ejde-102 356 14 operator operator NOUN ejde-102 356 15 . . PUNCT ejde-102 357 1 therefore therefore ADV ejde-102 357 2 , , PUNCT ejde-102 357 3 deg(f deg(f PROPN ejde-102 357 4 ( ( PUNCT ejde-102 357 5 . . PUNCT ejde-102 357 6 ; ; PUNCT ejde-102 357 7 1),or 1),or NUM ejde-102 357 8 , , PUNCT ejde-102 357 9 0 0 NUM ejde-102 357 10 ) ) PUNCT ejde-102 357 11 = = SYM ejde-102 358 1 deg(f deg(f PROPN ejde-102 358 2 ( ( PUNCT ejde-102 358 3 . . PUNCT ejde-102 358 4 ; ; PUNCT ejde-102 358 5 0),or 0),or PROPN ejde-102 358 6 , , PUNCT ejde-102 358 7 0 0 NUM ejde-102 358 8 ) ) PUNCT ejde-102 358 9 6= 6= ADP ejde-102 358 10 0 0 X ejde-102 358 11 . . PUNCT ejde-102 359 1 it it PRON ejde-102 359 2 implies imply VERB ejde-102 359 3 that that SCONJ ejde-102 359 4 there there PRON ejde-102 359 5 is be VERB ejde-102 359 6 a a DET ejde-102 359 7 solution solution NOUN ejde-102 359 8 of of ADP ejde-102 359 9 equation equation NOUN ejde-102 359 10 ( ( PUNCT ejde-102 359 11 3.2 3.2 NUM ejde-102 359 12 ) ) PUNCT ejde-102 359 13 at at ADP ejde-102 359 14 t t NOUN ejde-102 360 1 = = SYM ejde-102 360 2 1 1 X ejde-102 360 3 . . PUNCT ejde-102 361 1 this this PRON ejde-102 361 2 completes complete VERB ejde-102 361 3 the the DET ejde-102 361 4 proof proof NOUN ejde-102 361 5 of of ADP ejde-102 361 6 theorem theorem ADJ ejde-102 361 7 1.1 1.1 NUM ejde-102 361 8 . . PUNCT ejde-102 361 9 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PUNCT ejde-102 362 1 k k X ejde-102 362 2 - - ADJ ejde-102 362 3 hessian hessian ADJ ejde-102 362 4 curvature curvature NOUN ejde-102 362 5 type type NOUN ejde-102 362 6 equations equation NOUN ejde-102 362 7 13 13 NUM ejde-102 362 8 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-102 362 9 . . PUNCT ejde-102 363 1 this this DET ejde-102 363 2 research research NOUN ejde-102 363 3 was be AUX ejde-102 363 4 supported support VERB ejde-102 363 5 by by ADP ejde-102 363 6 quality quality NOUN ejde-102 363 7 enginering enginere VERB ejde-102 363 8 projects project NOUN ejde-102 363 9 of of ADP ejde-102 363 10 anhui anhui PROPN ejde-102 363 11 province province PROPN ejde-102 363 12 education education PROPN ejde-102 363 13 department department PROPN ejde-102 363 14 ( ( PUNCT ejde-102 363 15 nos nos PROPN ejde-102 363 16 . . NOUN ejde-102 364 1 2018jyxm0491 2018jyxm0491 NUM ejde-102 364 2 , , PUNCT ejde-102 364 3 2019mooc205 2019mooc205 NUM ejde-102 364 4 , , PUNCT ejde-102 364 5 2020szsfkc0686 2020szsfkc0686 NUM ejde-102 364 6 ) ) PUNCT ejde-102 364 7 , , PUNCT ejde-102 364 8 by by ADP ejde-102 364 9 the the DET ejde-102 364 10 natural natural ADJ ejde-102 364 11 science science PROPN ejde-102 364 12 foundation foundation PROPN ejde-102 364 13 of of ADP ejde-102 364 14 anhui anhui PROPN ejde-102 364 15 province province PROPN ejde-102 364 16 education education PROPN ejde-102 364 17 department department PROPN ejde-102 364 18 ( ( PUNCT ejde-102 364 19 no no INTJ ejde-102 364 20 . . PUNCT ejde-102 364 21 kj2021a0659 kj2021a0659 VERB ejde-102 364 22 ) ) PUNCT ejde-102 364 23 , , PUNCT ejde-102 364 24 and and CCONJ ejde-102 364 25 by by ADP ejde-102 364 26 the the DET ejde-102 364 27 science science NOUN ejde-102 364 28 research research NOUN ejde-102 364 29 project project NOUN ejde-102 364 30 of of ADP ejde-102 364 31 fuyang fuyang PROPN ejde-102 364 32 normal normal PROPN ejde-102 364 33 university university PROPN ejde-102 364 34 ( ( PUNCT ejde-102 364 35 no no INTJ ejde-102 364 36 . . PUNCT ejde-102 365 1 2021kyqd0011 2021kyqd0011 NUM ejde-102 365 2 ) ) PUNCT ejde-102 365 3 the the DET ejde-102 365 4 author author NOUN ejde-102 365 5 would would AUX ejde-102 365 6 like like VERB ejde-102 365 7 to to PART ejde-102 365 8 thank thank VERB ejde-102 365 9 prof prof PROPN ejde-102 365 10 . . PUNCT ejde-102 366 1 xi xi PROPN ejde-102 366 2 - - PUNCT ejde-102 366 3 nan nan PROPN ejde-102 366 4 ma ma PROPN ejde-102 366 5 for for ADP ejde-102 366 6 the the DET ejde-102 366 7 constant constant ADJ ejde-102 366 8 encouragement encouragement NOUN ejde-102 366 9 in in ADP ejde-102 366 10 this this DET ejde-102 366 11 subject subject NOUN ejde-102 366 12 , , PUNCT ejde-102 366 13 dr dr PROPN ejde-102 366 14 . . PROPN ejde-102 366 15 xin xin PROPN ejde-102 366 16 - - PROPN ejde-102 366 17 qun qun PROPN ejde-102 366 18 mei mei PROPN ejde-102 366 19 and and CCONJ ejde-102 366 20 prof prof PROPN ejde-102 366 21 . . PUNCT ejde-102 367 1 song song PROPN ejde-102 367 2 - - PUNCT ejde-102 367 3 ting ting PROPN ejde-102 367 4 yin yin PROPN ejde-102 367 5 for for ADP ejde-102 367 6 their their PRON ejde-102 367 7 helpful helpful ADJ ejde-102 367 8 discussions discussion NOUN ejde-102 367 9 , , PUNCT ejde-102 367 10 and and CCONJ ejde-102 367 11 the the DET ejde-102 367 12 referees referee NOUN ejde-102 367 13 for for ADP ejde-102 367 14 the the DET ejde-102 367 15 helpful helpful ADJ ejde-102 367 16 comments comment NOUN ejde-102 367 17 that that PRON ejde-102 367 18 made make VERB ejde-102 367 19 this this DET ejde-102 367 20 paper paper NOUN ejde-102 367 21 more more ADV ejde-102 367 22 readable readable ADJ ejde-102 367 23 . . PUNCT ejde-102 368 1 references reference NOUN ejde-102 368 2 [ [ X ejde-102 368 3 1 1 X ejde-102 368 4 ] ] PUNCT ejde-102 368 5 j. j. PROPN ejde-102 368 6 barbosa barbosa PROPN ejde-102 368 7 , , PUNCT ejde-102 368 8 j. j. PROPN ejde-102 368 9 lira lira PROPN ejde-102 368 10 , , PUNCT ejde-102 368 11 v. v. ADP ejde-102 368 12 oliker oliker NOUN ejde-102 368 13 ; ; PUNCT ejde-102 368 14 a a DET ejde-102 368 15 priori priori ADJ ejde-102 368 16 estimates estimate NOUN ejde-102 368 17 for for ADP ejde-102 368 18 starshaped starshape VERB ejde-102 368 19 compact compact ADJ ejde-102 368 20 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 368 21 with with ADP ejde-102 368 22 prescribed prescribed ADJ ejde-102 368 23 mth mth NOUN ejde-102 368 24 curvature curvature NOUN ejde-102 368 25 function function NOUN ejde-102 368 26 in in ADP ejde-102 368 27 space space NOUN ejde-102 368 28 forms form NOUN ejde-102 368 29 , , PUNCT ejde-102 368 30 in in ADP ejde-102 368 31 : : PUNCT ejde-102 368 32 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 368 33 problems problem NOUN ejde-102 368 34 of of ADP ejde-102 368 35 mathematical mathematical ADJ ejde-102 368 36 physics physics NOUN ejde-102 368 37 and and CCONJ ejde-102 368 38 related related ADJ ejde-102 368 39 topics topic NOUN ejde-102 368 40 i i PRON ejde-102 368 41 , , PUNCT ejde-102 368 42 int.math int.math NOUN ejde-102 368 43 . . PUNCT ejde-102 369 1 ser.(n.y ser.(n.y PROPN ejde-102 369 2 . . PUNCT ejde-102 369 3 ) ) PUNCT ejde-102 370 1 , , PUNCT ejde-102 370 2 1 1 NUM ejde-102 370 3 ( ( PUNCT ejde-102 370 4 2002 2002 NUM ejde-102 370 5 ) ) PUNCT ejde-102 370 6 , , PUNCT ejde-102 370 7 35–52 35–52 NUM ejde-102 370 8 . . PUNCT ejde-102 371 1 [ [ X ejde-102 371 2 2 2 NUM ejde-102 371 3 ] ] X ejde-102 371 4 l. l. PROPN ejde-102 371 5 caffarelli caffarelli PROPN ejde-102 371 6 , , PUNCT ejde-102 371 7 l. l. PROPN ejde-102 371 8 nirenberg nirenberg PROPN ejde-102 371 9 , , PUNCT ejde-102 371 10 j. j. PROPN ejde-102 371 11 spruck spruck PROPN ejde-102 371 12 ; ; PUNCT ejde-102 371 13 dirichlet dirichlet PROPN ejde-102 371 14 problem problem NOUN ejde-102 371 15 for for ADP ejde-102 371 16 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 371 17 second second ADJ ejde-102 371 18 order order NOUN ejde-102 371 19 elliptic elliptic ADJ ejde-102 371 20 equations equation NOUN ejde-102 371 21 i. i. PROPN ejde-102 371 22 monge monge PROPN ejde-102 371 23 - - PUNCT ejde-102 371 24 ampère ampère PROPN ejde-102 371 25 equation equation NOUN ejde-102 371 26 , , PUNCT ejde-102 371 27 commun commun PROPN ejde-102 371 28 . . PUNCT ejde-102 372 1 pure pure ADJ ejde-102 372 2 appl appl PROPN ejde-102 372 3 . . PUNCT ejde-102 372 4 math math PROPN ejde-102 372 5 . . PUNCT ejde-102 373 1 , , PUNCT ejde-102 373 2 37 37 NUM ejde-102 373 3 ( ( PUNCT ejde-102 373 4 1984 1984 NUM ejde-102 373 5 ) ) PUNCT ejde-102 373 6 , , PUNCT ejde-102 373 7 369–402 369–402 NUM ejde-102 373 8 . . PUNCT ejde-102 374 1 [ [ X ejde-102 374 2 3 3 X ejde-102 374 3 ] ] X ejde-102 374 4 l. l. PROPN ejde-102 374 5 caffarelli caffarelli PROPN ejde-102 374 6 , , PUNCT ejde-102 374 7 l. l. PROPN ejde-102 374 8 nirenberg nirenberg PROPN ejde-102 374 9 , , PUNCT ejde-102 374 10 j. j. PROPN ejde-102 374 11 spruck spruck PROPN ejde-102 374 12 ; ; PUNCT ejde-102 374 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 374 14 second second ADJ ejde-102 374 15 order order NOUN ejde-102 374 16 elliptic elliptic ADJ ejde-102 374 17 equations equation NOUN ejde-102 374 18 iv iv ADP ejde-102 374 19 , , PUNCT ejde-102 374 20 star star NOUN ejde-102 374 21 shaped shape VERB ejde-102 374 22 compact compact ADJ ejde-102 374 23 weigarten weigarten NOUN ejde-102 374 24 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 374 25 , , PUNCT ejde-102 374 26 curr curr PROPN ejde-102 374 27 . . PUNCT ejde-102 374 28 top top PROPN ejde-102 374 29 . . PUNCT ejde-102 375 1 pdes pde NOUN ejde-102 375 2 , , PUNCT ejde-102 375 3 ( ( PUNCT ejde-102 375 4 1986 1986 NUM ejde-102 375 5 ) ) PUNCT ejde-102 375 6 , , PUNCT ejde-102 375 7 1–26 1–26 NOUN ejde-102 375 8 . . PUNCT ejde-102 376 1 [ [ X ejde-102 376 2 4 4 X ejde-102 376 3 ] ] PUNCT ejde-102 376 4 x. x. PROPN ejde-102 376 5 chen chen PROPN ejde-102 376 6 , , PUNCT ejde-102 376 7 q. q. PROPN ejde-102 376 8 tu tu PROPN ejde-102 376 9 , , PUNCT ejde-102 376 10 n. n. PROPN ejde-102 376 11 xiang xiang PROPN ejde-102 376 12 ; ; PUNCT ejde-102 376 13 a a DET ejde-102 376 14 class class NOUN ejde-102 376 15 of of ADP ejde-102 376 16 hessian hessian ADJ ejde-102 376 17 quotient quotient NOUN ejde-102 376 18 equations equation NOUN ejde-102 376 19 in in ADP ejde-102 376 20 euclidean euclidean ADJ ejde-102 376 21 space space NOUN ejde-102 376 22 , , PUNCT ejde-102 376 23 j. j. PROPN ejde-102 376 24 differential differential PROPN ejde-102 376 25 equations equations PROPN ejde-102 376 26 , , PUNCT ejde-102 376 27 269 269 NUM ejde-102 376 28 ( ( PUNCT ejde-102 376 29 2020 2020 NUM ejde-102 376 30 ) ) PUNCT ejde-102 376 31 , , PUNCT ejde-102 376 32 11172–11194 11172–11194 NUM ejde-102 376 33 . . PUNCT ejde-102 377 1 [ [ X ejde-102 377 2 5 5 X ejde-102 377 3 ] ] PUNCT ejde-102 377 4 j. j. PROPN ejde-102 377 5 chu chu PROPN ejde-102 377 6 , , PUNCT ejde-102 377 7 h. h. PROPN ejde-102 377 8 jiao jiao PROPN ejde-102 377 9 ; ; PUNCT ejde-102 377 10 curvature curvature NOUN ejde-102 377 11 estimates estimate NOUN ejde-102 377 12 for for ADP ejde-102 377 13 a a DET ejde-102 377 14 class class NOUN ejde-102 377 15 of of ADP ejde-102 377 16 hessian hessian ADJ ejde-102 377 17 type type NOUN ejde-102 377 18 equations equation NOUN ejde-102 377 19 , , PUNCT ejde-102 377 20 calc calc NOUN ejde-102 377 21 . . PUNCT ejde-102 378 1 var var PROPN ejde-102 378 2 . . PUNCT ejde-102 379 1 partial partial ADJ ejde-102 379 2 differential differential ADJ ejde-102 379 3 equations equation NOUN ejde-102 379 4 , , PUNCT ejde-102 379 5 60:90 60:90 NUM ejde-102 379 6 ( ( PUNCT ejde-102 379 7 2021 2021 NUM ejde-102 379 8 ) ) PUNCT ejde-102 379 9 , , PUNCT ejde-102 379 10 1–18 1–18 NOUN ejde-102 379 11 . . PUNCT ejde-102 380 1 [ [ X ejde-102 380 2 6 6 NUM ejde-102 380 3 ] ] PUNCT ejde-102 380 4 f. f. PROPN ejde-102 380 5 de de PROPN ejde-102 380 6 lima lima PROPN ejde-102 380 7 , , PUNCT ejde-102 380 8 a. a. NOUN ejde-102 380 9 ramalho ramalho PROPN ejde-102 380 10 , , PUNCT ejde-102 380 11 m. m. NOUN ejde-102 380 12 velasquez velasquez PROPN ejde-102 380 13 ; ; PUNCT ejde-102 380 14 solutions solution NOUN ejde-102 380 15 to to PART ejde-102 380 16 mean mean VERB ejde-102 380 17 curvature curvature NOUN ejde-102 380 18 equations equation NOUN ejde-102 380 19 in in ADP ejde-102 380 20 weighted weight VERB ejde-102 380 21 standard standard ADJ ejde-102 380 22 static static ADJ ejde-102 380 23 spacetimes spacetime NOUN ejde-102 380 24 , , PUNCT ejde-102 380 25 electron electron NOUN ejde-102 380 26 . . PUNCT ejde-102 381 1 j. j. PROPN ejde-102 381 2 differential differential PROPN ejde-102 381 3 equations equation NOUN ejde-102 381 4 , , PUNCT ejde-102 381 5 2020 2020 NUM ejde-102 381 6 ( ( PUNCT ejde-102 381 7 2020 2020 NUM ejde-102 381 8 ) ) PUNCT ejde-102 381 9 , , PUNCT ejde-102 381 10 no no INTJ ejde-102 381 11 . . NOUN ejde-102 381 12 83 83 NUM ejde-102 381 13 , , PUNCT ejde-102 381 14 1–19 1–19 NOUN ejde-102 381 15 . . PUNCT ejde-102 382 1 [ [ X ejde-102 382 2 7 7 X ejde-102 382 3 ] ] X ejde-102 382 4 l. l. PROPN ejde-102 382 5 evans evans PROPN ejde-102 382 6 ; ; PUNCT ejde-102 382 7 classical classical ADJ ejde-102 382 8 solutions solution NOUN ejde-102 382 9 of of ADP ejde-102 382 10 fully fully ADV ejde-102 382 11 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 382 12 , , PUNCT ejde-102 382 13 convex convex ADJ ejde-102 382 14 , , PUNCT ejde-102 382 15 second second ADJ ejde-102 382 16 - - PUNCT ejde-102 382 17 order order NOUN ejde-102 382 18 elliptic elliptic ADJ ejde-102 382 19 equations equation NOUN ejde-102 382 20 , , PUNCT ejde-102 382 21 comm comm NOUN ejde-102 382 22 . . PUNCT ejde-102 383 1 pure pure ADJ ejde-102 383 2 appl appl PROPN ejde-102 383 3 . . PUNCT ejde-102 383 4 math math PROPN ejde-102 383 5 . . PUNCT ejde-102 384 1 , , PUNCT ejde-102 384 2 35 35 NUM ejde-102 384 3 ( ( PUNCT ejde-102 384 4 1982 1982 NUM ejde-102 384 5 ) ) PUNCT ejde-102 384 6 , , PUNCT ejde-102 384 7 333–363 333–363 NUM ejde-102 384 8 . . PUNCT ejde-102 385 1 [ [ X ejde-102 385 2 8 8 NUM ejde-102 385 3 ] ] X ejde-102 385 4 p. p. NOUN ejde-102 385 5 gauduchon gauduchon PROPN ejde-102 385 6 ; ; PUNCT ejde-102 385 7 la la PROPN ejde-102 385 8 1 1 NUM ejde-102 385 9 - - PUNCT ejde-102 385 10 forme forme X ejde-102 385 11 de de X ejde-102 385 12 torsion torsion PROPN ejde-102 385 13 d’une d’une ADJ ejde-102 385 14 variété variété PROPN ejde-102 385 15 hermitienne hermitienne PROPN ejde-102 385 16 compacte compacte NOUN ejde-102 385 17 , , PUNCT ejde-102 385 18 math math NOUN ejde-102 385 19 . . PUNCT ejde-102 386 1 ann ann PROPN ejde-102 386 2 . . PROPN ejde-102 386 3 , , PUNCT ejde-102 386 4 267 267 NUM ejde-102 386 5 ( ( PUNCT ejde-102 386 6 1984 1984 NUM ejde-102 386 7 ) ) PUNCT ejde-102 386 8 , , PUNCT ejde-102 386 9 495–518 495–518 NUM ejde-102 386 10 . . PUNCT ejde-102 387 1 [ [ X ejde-102 387 2 9 9 NUM ejde-102 387 3 ] ] X ejde-102 387 4 b. b. PROPN ejde-102 387 5 guan guan PROPN ejde-102 387 6 , , PUNCT ejde-102 387 7 p. p. PROPN ejde-102 387 8 guan guan PROPN ejde-102 387 9 ; ; PUNCT ejde-102 387 10 convex convex NOUN ejde-102 387 11 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 387 12 of of ADP ejde-102 387 13 prescribed prescribed ADJ ejde-102 387 14 curvatures curvature NOUN ejde-102 387 15 , , PUNCT ejde-102 387 16 ann ann PROPN ejde-102 387 17 . . PROPN ejde-102 387 18 math math PROPN ejde-102 387 19 . . PUNCT ejde-102 388 1 , , PUNCT ejde-102 388 2 156 156 NUM ejde-102 388 3 ( ( PUNCT ejde-102 388 4 2002 2002 NUM ejde-102 388 5 ) ) PUNCT ejde-102 388 6 , , PUNCT ejde-102 388 7 655–673 655–673 NUM ejde-102 388 8 . . PUNCT ejde-102 389 1 [ [ X ejde-102 389 2 10 10 NUM ejde-102 389 3 ] ] PUNCT ejde-102 389 4 p. p. PROPN ejde-102 389 5 guan guan PROPN ejde-102 389 6 , , PUNCT ejde-102 389 7 c. c. PROPN ejde-102 389 8 lin lin PROPN ejde-102 389 9 , , PUNCT ejde-102 389 10 x. x. PROPN ejde-102 389 11 ma ma PROPN ejde-102 389 12 ; ; PUNCT ejde-102 389 13 the the DET ejde-102 389 14 existence existence NOUN ejde-102 389 15 of of ADP ejde-102 389 16 convex convex ADJ ejde-102 389 17 body body NOUN ejde-102 389 18 with with ADP ejde-102 389 19 prescribed prescribe VERB ejde-102 389 20 curvature curvature NOUN ejde-102 389 21 measures measure NOUN ejde-102 389 22 , , PUNCT ejde-102 389 23 int int NOUN ejde-102 389 24 . . PUNCT ejde-102 389 25 math math NOUN ejde-102 389 26 . . PUNCT ejde-102 390 1 res re NOUN ejde-102 390 2 . . PUNCT ejde-102 391 1 not not PART ejde-102 391 2 . . PUNCT ejde-102 392 1 , , PUNCT ejde-102 392 2 ( ( PUNCT ejde-102 392 3 2009 2009 NUM ejde-102 392 4 ) ) PUNCT ejde-102 392 5 , , PUNCT ejde-102 392 6 1947–1975 1947–1975 NUM ejde-102 392 7 . . PUNCT ejde-102 393 1 [ [ X ejde-102 393 2 11 11 NUM ejde-102 393 3 ] ] PUNCT ejde-102 393 4 p. p. PROPN ejde-102 393 5 guan guan PROPN ejde-102 393 6 , , PUNCT ejde-102 393 7 j. j. PROPN ejde-102 393 8 li li PROPN ejde-102 393 9 , , PUNCT ejde-102 393 10 y. y. PROPN ejde-102 393 11 li li PROPN ejde-102 393 12 ; ; PUNCT ejde-102 393 13 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 393 14 of of ADP ejde-102 393 15 prescribed prescribe VERB ejde-102 393 16 curvature curvature NOUN ejde-102 393 17 measure measure NOUN ejde-102 393 18 , , PUNCT ejde-102 393 19 duke duke PROPN ejde-102 393 20 math math PROPN ejde-102 393 21 . . PUNCT ejde-102 394 1 j. j. PROPN ejde-102 394 2 , , PUNCT ejde-102 394 3 161(2012 161(2012 NUM ejde-102 394 4 ) ) PUNCT ejde-102 394 5 , , PUNCT ejde-102 394 6 1927–1942 1927–1942 NUM ejde-102 394 7 . . PUNCT ejde-102 395 1 [ [ X ejde-102 395 2 12 12 NUM ejde-102 395 3 ] ] PUNCT ejde-102 395 4 p. p. PROPN ejde-102 395 5 guan guan PROPN ejde-102 395 6 , , PUNCT ejde-102 395 7 c. c. PROPN ejde-102 395 8 ren ren PROPN ejde-102 395 9 , , PUNCT ejde-102 395 10 z. z. PROPN ejde-102 395 11 wang wang PROPN ejde-102 395 12 ; ; PUNCT ejde-102 395 13 global global PROPN ejde-102 395 14 c2 c2 PROPN ejde-102 395 15 - - PUNCT ejde-102 395 16 estimates estimate NOUN ejde-102 395 17 for for ADP ejde-102 395 18 convex convex ADJ ejde-102 395 19 solutions solution NOUN ejde-102 395 20 of of ADP ejde-102 395 21 curvature curvature NOUN ejde-102 395 22 equations equation NOUN ejde-102 395 23 , , PUNCT ejde-102 395 24 comm comm NOUN ejde-102 395 25 . . PUNCT ejde-102 396 1 pure pure ADJ ejde-102 396 2 appl appl PROPN ejde-102 396 3 . . PUNCT ejde-102 396 4 math math PROPN ejde-102 396 5 . . PUNCT ejde-102 396 6 , , PUNCT ejde-102 396 7 68(2015 68(2015 NUM ejde-102 396 8 ) ) PUNCT ejde-102 396 9 , , PUNCT ejde-102 396 10 1287–1325 1287–1325 NUM ejde-102 396 11 . . PUNCT ejde-102 397 1 [ [ X ejde-102 397 2 13 13 NUM ejde-102 397 3 ] ] PUNCT ejde-102 397 4 p. p. PROPN ejde-102 397 5 guan guan PROPN ejde-102 397 6 , , PUNCT ejde-102 397 7 j. j. PROPN ejde-102 397 8 li li PROPN ejde-102 397 9 ; ; PUNCT ejde-102 397 10 a a DET ejde-102 397 11 mean mean ADJ ejde-102 397 12 curvature curvature NOUN ejde-102 397 13 type type NOUN ejde-102 397 14 flow flow NOUN ejde-102 397 15 in in ADP ejde-102 397 16 space space NOUN ejde-102 397 17 forms form NOUN ejde-102 397 18 . . PUNCT ejde-102 398 1 int int NOUN ejde-102 398 2 . . PUNCT ejde-102 399 1 math math NOUN ejde-102 399 2 . . PUNCT ejde-102 400 1 res re NOUN ejde-102 400 2 . . PUNCT ejde-102 401 1 not not PART ejde-102 401 2 . . PUNCT ejde-102 401 3 , , PUNCT ejde-102 401 4 13(2015 13(2015 NUM ejde-102 401 5 ) ) PUNCT ejde-102 401 6 , , PUNCT ejde-102 402 1 4716–4740 4716–4740 NOUN ejde-102 402 2 . . PUNCT ejde-102 403 1 [ [ X ejde-102 403 2 14 14 NUM ejde-102 403 3 ] ] X ejde-102 403 4 f. f. PROPN ejde-102 403 5 harvey harvey PROPN ejde-102 403 6 and and CCONJ ejde-102 403 7 h. h. PROPN ejde-102 403 8 lawson lawson PROPN ejde-102 403 9 , , PUNCT ejde-102 403 10 p p NOUN ejde-102 403 11 - - PUNCT ejde-102 403 12 convexity convexity NOUN ejde-102 403 13 , , PUNCT ejde-102 403 14 p p NOUN ejde-102 403 15 - - PUNCT ejde-102 403 16 plurisubharmonicity plurisubharmonicity NOUN ejde-102 403 17 and and CCONJ ejde-102 403 18 the the DET ejde-102 403 19 levi levi PROPN ejde-102 403 20 problem problem NOUN ejde-102 403 21 , , PUNCT ejde-102 403 22 indiana indiana PROPN ejde-102 403 23 univ univ PROPN ejde-102 403 24 . . PUNCT ejde-102 403 25 math math PROPN ejde-102 403 26 . . PUNCT ejde-102 404 1 j. j. PROPN ejde-102 404 2 , , PUNCT ejde-102 404 3 62(2013 62(2013 NUM ejde-102 404 4 ) ) PUNCT ejde-102 404 5 , , PUNCT ejde-102 404 6 149 149 NUM ejde-102 404 7 - - SYM ejde-102 404 8 169 169 NUM ejde-102 404 9 . . PUNCT ejde-102 405 1 [ [ X ejde-102 405 2 15 15 NUM ejde-102 405 3 ] ] X ejde-102 405 4 n. n. NOUN ejde-102 405 5 krylov krylov PROPN ejde-102 405 6 ; ; PUNCT ejde-102 405 7 boundedly boundedly ADV ejde-102 405 8 inhomogeneous inhomogeneous ADJ ejde-102 405 9 elliptic elliptic ADJ ejde-102 405 10 and and CCONJ ejde-102 405 11 parabolic parabolic ADJ ejde-102 405 12 equations equation NOUN ejde-102 405 13 in in ADP ejde-102 405 14 a a DET ejde-102 405 15 domain domain NOUN ejde-102 405 16 , , PUNCT ejde-102 405 17 izv izv PROPN ejde-102 405 18 . . PROPN ejde-102 405 19 akad akad PROPN ejde-102 405 20 . . PUNCT ejde-102 406 1 nauk nauk PROPN ejde-102 406 2 sssr sssr PROPN ejde-102 406 3 ser ser PROPN ejde-102 406 4 . . PROPN ejde-102 407 1 mat mat PROPN ejde-102 407 2 . . PROPN ejde-102 407 3 , , PUNCT ejde-102 407 4 47(1983),75–108 47(1983),75–108 NUM ejde-102 407 5 . . PUNCT ejde-102 408 1 [ [ X ejde-102 408 2 16 16 NUM ejde-102 408 3 ] ] X ejde-102 408 4 y. y. PROPN ejde-102 408 5 li li PROPN ejde-102 408 6 ; ; PUNCT ejde-102 408 7 degree degree NOUN ejde-102 408 8 theory theory NOUN ejde-102 408 9 for for ADP ejde-102 408 10 second second ADJ ejde-102 408 11 order order NOUN ejde-102 408 12 nonlinear nonlinear ADJ ejde-102 408 13 elliptic elliptic ADJ ejde-102 408 14 operators operator NOUN ejde-102 408 15 and and CCONJ ejde-102 408 16 its its PRON ejde-102 408 17 applications application NOUN ejde-102 408 18 , , PUNCT ejde-102 408 19 comm comm NOUN ejde-102 408 20 . . PUNCT ejde-102 409 1 partial partial ADJ ejde-102 409 2 differential differential NOUN ejde-102 409 3 equations equation NOUN ejde-102 409 4 , , PUNCT ejde-102 409 5 14(1989 14(1989 NUM ejde-102 409 6 ) ) PUNCT ejde-102 409 7 , , PUNCT ejde-102 409 8 1541–1578 1541–1578 NUM ejde-102 409 9 . . PUNCT ejde-102 410 1 [ [ X ejde-102 410 2 17 17 NUM ejde-102 410 3 ] ] PUNCT ejde-102 410 4 m. m. NOUN ejde-102 410 5 li li PROPN ejde-102 410 6 , , PUNCT ejde-102 410 7 c. c. PROPN ejde-102 410 8 ren ren PROPN ejde-102 410 9 , , PUNCT ejde-102 410 10 z. z. PROPN ejde-102 410 11 wang wang PROPN ejde-102 410 12 ; ; PUNCT ejde-102 410 13 an an DET ejde-102 410 14 interior interior ADJ ejde-102 410 15 estimate estimate NOUN ejde-102 410 16 for for ADP ejde-102 410 17 convex convex ADJ ejde-102 410 18 solutions solution NOUN ejde-102 410 19 and and CCONJ ejde-102 410 20 a a DET ejde-102 410 21 rigidity rigidity NOUN ejde-102 410 22 theorem theorem NOUN ejde-102 410 23 , , PUNCT ejde-102 410 24 j. j. PROPN ejde-102 410 25 funct funct PROPN ejde-102 410 26 . . PUNCT ejde-102 411 1 anal anal PROPN ejde-102 411 2 . . PROPN ejde-102 411 3 , , PUNCT ejde-102 411 4 270(2016 270(2016 NUM ejde-102 411 5 ) ) PUNCT ejde-102 411 6 , , PUNCT ejde-102 411 7 2691–2714 2691–2714 NUM ejde-102 411 8 . . PUNCT ejde-102 412 1 [ [ X ejde-102 412 2 18 18 NUM ejde-102 412 3 ] ] X ejde-102 412 4 r. r. PROPN ejde-102 412 5 reilly reilly PROPN ejde-102 412 6 ; ; PUNCT ejde-102 412 7 variational variational ADJ ejde-102 412 8 properties property NOUN ejde-102 412 9 of of ADP ejde-102 412 10 functions function NOUN ejde-102 412 11 of of ADP ejde-102 412 12 the the DET ejde-102 412 13 mean mean ADJ ejde-102 412 14 curvatures curvature NOUN ejde-102 412 15 for for ADP ejde-102 412 16 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 412 17 in in ADP ejde-102 412 18 space space NOUN ejde-102 412 19 forms form NOUN ejde-102 412 20 , , PUNCT ejde-102 412 21 j. j. PROPN ejde-102 412 22 differ.geom differ.geom PROPN ejde-102 412 23 . . PROPN ejde-102 412 24 , , PUNCT ejde-102 412 25 8(1973 8(1973 NUM ejde-102 412 26 ) ) PUNCT ejde-102 412 27 , , PUNCT ejde-102 412 28 465–477 465–477 NUM ejde-102 412 29 . . PUNCT ejde-102 413 1 [ [ X ejde-102 413 2 19 19 NUM ejde-102 413 3 ] ] X ejde-102 413 4 c. c. PROPN ejde-102 413 5 ren ren PROPN ejde-102 413 6 , , PUNCT ejde-102 413 7 z. z. PROPN ejde-102 413 8 wang wang PROPN ejde-102 413 9 ; ; PUNCT ejde-102 413 10 on on ADP ejde-102 413 11 the the DET ejde-102 413 12 curvature curvature NOUN ejde-102 413 13 estimates estimate NOUN ejde-102 413 14 for for ADP ejde-102 413 15 hessian hessian ADJ ejde-102 413 16 equations equation NOUN ejde-102 413 17 , , PUNCT ejde-102 413 18 amer amer PROPN ejde-102 413 19 . . PUNCT ejde-102 414 1 j. j. PROPN ejde-102 414 2 math math PROPN ejde-102 414 3 . . PUNCT ejde-102 414 4 , , PUNCT ejde-102 414 5 141 141 NUM ejde-102 414 6 ( ( PUNCT ejde-102 414 7 2019 2019 NUM ejde-102 414 8 ) ) PUNCT ejde-102 414 9 , , PUNCT ejde-102 414 10 1281–1315 1281–1315 NUM ejde-102 414 11 . . PUNCT ejde-102 415 1 [ [ X ejde-102 415 2 20 20 NUM ejde-102 415 3 ] ] X ejde-102 415 4 c. c. PROPN ejde-102 415 5 ren ren PROPN ejde-102 415 6 , , PUNCT ejde-102 415 7 z. z. PROPN ejde-102 415 8 wang wang PROPN ejde-102 415 9 ; ; PUNCT ejde-102 415 10 the the DET ejde-102 415 11 global global ADJ ejde-102 415 12 curvature curvature NOUN ejde-102 415 13 estimate estimate NOUN ejde-102 415 14 for for ADP ejde-102 415 15 the the DET ejde-102 415 16 n-2 n-2 NOUN ejde-102 415 17 hessian hessian NOUN ejde-102 415 18 equation equation NOUN ejde-102 415 19 , , PUNCT ejde-102 415 20 preprint preprint NOUN ejde-102 415 21 , , PUNCT ejde-102 415 22 arxiv:2002.08702 arxiv:2002.08702 PROPN ejde-102 415 23 . . PUNCT ejde-102 416 1 [ [ X ejde-102 416 2 21 21 NUM ejde-102 416 3 ] ] PUNCT ejde-102 416 4 j. j. PROPN ejde-102 416 5 sha sha PROPN ejde-102 416 6 ; ; PUNCT ejde-102 416 7 p p X ejde-102 416 8 - - PUNCT ejde-102 416 9 convex convex NOUN ejde-102 416 10 riemannian riemannian ADJ ejde-102 416 11 manifolds manifold NOUN ejde-102 416 12 , , PUNCT ejde-102 416 13 invent invent NOUN ejde-102 416 14 . . PUNCT ejde-102 417 1 math math NOUN ejde-102 417 2 . . PUNCT ejde-102 418 1 , , PUNCT ejde-102 418 2 83 83 NUM ejde-102 418 3 ( ( PUNCT ejde-102 418 4 1986 1986 NUM ejde-102 418 5 ) ) PUNCT ejde-102 418 6 , , PUNCT ejde-102 418 7 437–447 437–447 NUM ejde-102 418 8 . . PUNCT ejde-102 419 1 [ [ X ejde-102 419 2 22 22 NUM ejde-102 419 3 ] ] PUNCT ejde-102 419 4 j. j. PROPN ejde-102 419 5 sha sha PROPN ejde-102 419 6 ; ; PUNCT ejde-102 419 7 handlebodies handlebodie NOUN ejde-102 419 8 and and CCONJ ejde-102 419 9 p p NOUN ejde-102 419 10 - - PUNCT ejde-102 419 11 convexity convexity NOUN ejde-102 419 12 , , PUNCT ejde-102 419 13 j. j. PROPN ejde-102 419 14 differential differential PROPN ejde-102 419 15 geom geom PROPN ejde-102 419 16 . . PROPN ejde-102 419 17 , , PUNCT ejde-102 419 18 25 25 NUM ejde-102 419 19 ( ( PUNCT ejde-102 419 20 1987 1987 NUM ejde-102 419 21 ) ) PUNCT ejde-102 419 22 , , PUNCT ejde-102 419 23 353–361 353–361 NUM ejde-102 419 24 . . PUNCT ejde-102 420 1 [ [ X ejde-102 420 2 23 23 NUM ejde-102 420 3 ] ] PUNCT ejde-102 420 4 j. j. PROPN ejde-102 420 5 spruck spruck PROPN ejde-102 420 6 , , PUNCT ejde-102 420 7 l. l. PROPN ejde-102 420 8 xiao xiao PROPN ejde-102 420 9 ; ; PUNCT ejde-102 420 10 a a DET ejde-102 420 11 note note NOUN ejde-102 420 12 on on ADP ejde-102 420 13 starshaped starshape VERB ejde-102 420 14 compact compact ADJ ejde-102 420 15 hypersurfaces hypersurface NOUN ejde-102 420 16 with with ADP ejde-102 420 17 a a DET ejde-102 420 18 prescribed prescribe VERB ejde-102 420 19 scalar scalar ADJ ejde-102 420 20 curvature curvature NOUN ejde-102 420 21 in in ADP ejde-102 420 22 space space NOUN ejde-102 420 23 forms form NOUN ejde-102 420 24 , , PUNCT ejde-102 420 25 rev rev PROPN ejde-102 420 26 . . PROPN ejde-102 420 27 mat mat PROPN ejde-102 420 28 . . PUNCT ejde-102 420 29 iberoam iberoam PROPN ejde-102 420 30 . . PROPN ejde-102 420 31 , , PUNCT ejde-102 420 32 33(2017 33(2017 NUM ejde-102 420 33 ) ) PUNCT ejde-102 420 34 , , PUNCT ejde-102 420 35 547–554 547–554 NUM ejde-102 420 36 . . PUNCT ejde-102 421 1 14 14 NUM ejde-102 421 2 j. j. PROPN ejde-102 421 3 zhou zhou PROPN ejde-102 421 4 ejde-2022/18 ejde-2022/18 PUNCT ejde-102 422 1 [ [ X ejde-102 422 2 24 24 NUM ejde-102 422 3 ] ] PUNCT ejde-102 422 4 h. h. PROPN ejde-102 422 5 wu wu PROPN ejde-102 422 6 ; ; PUNCT ejde-102 422 7 manifolds manifold NOUN ejde-102 422 8 of of ADP ejde-102 422 9 partially partially ADV ejde-102 422 10 positive positive ADJ ejde-102 422 11 curvature curvature NOUN ejde-102 422 12 , , PUNCT ejde-102 422 13 indiana indiana PROPN ejde-102 422 14 univ univ PROPN ejde-102 422 15 . . PUNCT ejde-102 422 16 math math PROPN ejde-102 422 17 . . PUNCT ejde-102 423 1 j. j. PROPN ejde-102 423 2 , , PUNCT ejde-102 423 3 36 36 NUM ejde-102 423 4 ( ( PUNCT ejde-102 423 5 1987 1987 NUM ejde-102 423 6 ) ) PUNCT ejde-102 423 7 , , PUNCT ejde-102 423 8 525–548 525–548 NUM ejde-102 423 9 . . PUNCT ejde-102 424 1 jundong jundong PROPN ejde-102 424 2 zhou zhou PROPN ejde-102 424 3 school school PROPN ejde-102 424 4 of of ADP ejde-102 424 5 mathematics mathematic NOUN ejde-102 424 6 and and CCONJ ejde-102 424 7 statistics statistic NOUN ejde-102 424 8 , , PUNCT ejde-102 424 9 fuyang fuyang PROPN ejde-102 424 10 normal normal ADJ ejde-102 424 11 university university PROPN ejde-102 424 12 , , PUNCT ejde-102 424 13 fuyang fuyang PROPN ejde-102 424 14 236037 236037 NUM ejde-102 424 15 , , PUNCT ejde-102 424 16 anhui anhui PROPN ejde-102 424 17 , , PUNCT ejde-102 424 18 china china PROPN ejde-102 424 19 . . PUNCT ejde-102 425 1 school school NOUN ejde-102 425 2 of of ADP ejde-102 425 3 mathematical mathematical ADJ ejde-102 425 4 sciences sciences PROPN ejde-102 425 5 , , PUNCT ejde-102 425 6 university university NOUN ejde-102 425 7 of of ADP ejde-102 425 8 science science NOUN ejde-102 425 9 and and CCONJ ejde-102 425 10 technology technology NOUN ejde-102 425 11 of of ADP ejde-102 425 12 china china PROPN ejde-102 425 13 , , PUNCT ejde-102 425 14 hefei hefei PROPN ejde-102 425 15 230026 230026 NUM ejde-102 425 16 , , PUNCT ejde-102 425 17 anhui anhui PROPN ejde-102 425 18 , , PUNCT ejde-102 425 19 china china PROPN ejde-102 425 20 email email NOUN ejde-102 425 21 address address NOUN ejde-102 425 22 : : PUNCT ejde-102 426 1 zhou109@mail.ustc.edu.cn zhou109@mail.ustc.edu.cn PROPN ejde-102 426 2 1 1 NUM ejde-102 426 3 . . PUNCT ejde-102 426 4 introduction introduction NOUN ejde-102 426 5 2 2 NUM ejde-102 426 6 . . PUNCT ejde-102 426 7 preliminaries preliminary NOUN ejde-102 426 8 3 3 NUM ejde-102 426 9 . . PUNCT ejde-102 427 1 a a DET ejde-102 427 2 priori priori ADJ ejde-102 427 3 estimates estimate NOUN ejde-102 427 4 3.1 3.1 NUM ejde-102 427 5 . . PUNCT ejde-102 428 1 c0 c0 PROPN ejde-102 428 2 estimates estimate VERB ejde-102 428 3 3.2 3.2 NUM ejde-102 428 4 . . PUNCT ejde-102 429 1 c1 c1 PROPN ejde-102 429 2 estimates estimate VERB ejde-102 429 3 3.3 3.3 NUM ejde-102 429 4 . . PUNCT ejde-102 430 1 c2 c2 PROPN ejde-102 430 2 estimates estimate VERB ejde-102 430 3 4 4 NUM ejde-102 430 4 . . NOUN ejde-102 430 5 existence existence NOUN ejde-102 430 6 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-102 430 7 references reference NOUN