id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1285	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1285	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1285	1	3	of	of	ADP
ejde-1285	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1285	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1285	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1285	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1285	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1285	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	1	14	no	no	INTJ
ejde-1285	1	15	.	.	PROPN
ejde-1285	2	1	47	47	NUM
ejde-1285	2	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	2	3	pp	pp	ADJ
ejde-1285	2	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	3	1	1–13	1–13	NOUN
ejde-1285	3	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	4	1	issn	issn	PROPN
ejde-1285	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	4	3	1072	1072	NUM
ejde-1285	4	4	-	-	SYM
ejde-1285	4	5	6691	6691	NUM
ejde-1285	4	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	5	1	url	url	PROPN
ejde-1285	5	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	5	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1285	5	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	5	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-1285	5	6	doi	doi	PROPN
ejde-1285	5	7	:	:	PUNCT
ejde-1285	5	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1285	5	9	/	/	SYM
ejde-1285	5	10	ejde.2025.47	ejde.2025.47	NOUN
ejde-1285	5	11	existence	existence	NOUN
ejde-1285	5	12	of	of	ADP
ejde-1285	5	13	three	three	NUM
ejde-1285	5	14	positive	positive	ADJ
ejde-1285	5	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	5	16	for	for	ADP
ejde-1285	5	17	a	a	DET
ejde-1285	5	18	p	p	NOUN
ejde-1285	5	19	-	-	PUNCT
ejde-1285	5	20	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-1285	5	21	problem	problem	NOUN
ejde-1285	5	22	involving	involve	VERB
ejde-1285	5	23	a	a	DET
ejde-1285	5	24	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	5	25	p	p	ADJ
ejde-1285	5	26	-	-	PUNCT
ejde-1285	5	27	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	5	28	type	type	NOUN
ejde-1285	5	29	operator	operator	NOUN
ejde-1285	5	30	sigifredo	sigifredo	NOUN
ejde-1285	5	31	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	5	32	,	,	PUNCT
ejde-1285	5	33	emer	emer	PROPN
ejde-1285	5	34	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	5	35	,	,	PUNCT
ejde-1285	5	36	diana	diana	PROPN
ejde-1285	5	37	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	5	38	abstract	abstract	ADV
ejde-1285	5	39	.	.	PUNCT
ejde-1285	6	1	we	we	PRON
ejde-1285	6	2	prove	prove	VERB
ejde-1285	6	3	the	the	DET
ejde-1285	6	4	existence	existence	NOUN
ejde-1285	6	5	of	of	ADP
ejde-1285	6	6	three	three	NUM
ejde-1285	6	7	positive	positive	ADJ
ejde-1285	6	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	6	9	for	for	ADP
ejde-1285	6	10	the	the	DET
ejde-1285	6	11	problem	problem	NOUN
ejde-1285	6	12	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-1285	6	13	v	v	X
ejde-1285	6	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	6	15	x)φp(u	x)φp(u	PROPN
ejde-1285	6	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	6	17	=	=	SYM
ejde-1285	6	18	λf(u	λf(u	NUM
ejde-1285	6	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	6	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	21	x	x	PUNCT
ejde-1285	6	22	∈	∈	PROPN
ejde-1285	6	23	ω	ω	PROPN
ejde-1285	6	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	25	u(x	u(x	X
ejde-1285	6	26	)	)	PUNCT
ejde-1285	6	27	=	=	SYM
ejde-1285	6	28	0	0	NUM
ejde-1285	6	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	30	x	x	X
ejde-1285	6	31	∈	∈	PROPN
ejde-1285	6	32	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	6	33	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	34	where	where	SCONJ
ejde-1285	6	35	λ	λ	X
ejde-1285	6	36	>	>	X
ejde-1285	6	37	0	0	PROPN
ejde-1285	6	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	39	∆p	∆p	PROPN
ejde-1285	6	40	is	be	AUX
ejde-1285	6	41	the	the	DET
ejde-1285	6	42	p	p	PROPN
ejde-1285	6	43	-	-	PUNCT
ejde-1285	6	44	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	6	45	operator	operator	NOUN
ejde-1285	6	46	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	47	n	n	CCONJ
ejde-1285	6	48	>	>	X
ejde-1285	6	49	p	p	X
ejde-1285	6	50	>	>	X
ejde-1285	6	51	1	1	NUM
ejde-1285	6	52	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	53	φp(s	φp(s	NOUN
ejde-1285	6	54	)	)	PUNCT
ejde-1285	6	55	:	:	PUNCT
ejde-1285	6	56	=	=	PUNCT
ejde-1285	6	57	|s|p−2s	|s|p−2s	PROPN
ejde-1285	6	58	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	59	s	s	PART
ejde-1285	6	60	∈	∈	PROPN
ejde-1285	6	61	r	r	PROPN
ejde-1285	6	62	,	,	PUNCT
ejde-1285	6	63	ω	ω	PROPN
ejde-1285	6	64	is	be	AUX
ejde-1285	6	65	a	a	DET
ejde-1285	6	66	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	6	67	domain	domain	NOUN
ejde-1285	6	68	in	in	ADP
ejde-1285	6	69	rn	rn	PROPN
ejde-1285	6	70	with	with	ADP
ejde-1285	6	71	connected	connected	ADJ
ejde-1285	6	72	and	and	CCONJ
ejde-1285	6	73	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	6	74	boundary	boundary	NOUN
ejde-1285	6	75	.	.	PUNCT
ejde-1285	7	1	in	in	ADP
ejde-1285	7	2	our	our	PRON
ejde-1285	7	3	study	study	NOUN
ejde-1285	7	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	7	5	v	v	NOUN
ejde-1285	7	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	7	7	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	7	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	7	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	7	10	f	f	NOUN
ejde-1285	7	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	7	12	[	[	X
ejde-1285	7	13	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1285	7	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	7	15	→	→	PUNCT
ejde-1285	7	16	r	r	NOUN
ejde-1285	7	17	is	be	AUX
ejde-1285	7	18	a	a	DET
ejde-1285	7	19	c1	c1	PROPN
ejde-1285	7	20	function	function	NOUN
ejde-1285	7	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	8	1	the	the	DET
ejde-1285	8	2	reaction	reaction	NOUN
ejde-1285	8	3	term	term	NOUN
ejde-1285	8	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	8	5	f	f	PROPN
ejde-1285	8	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	8	7	is	be	AUX
ejde-1285	8	8	increasing	increase	VERB
ejde-1285	8	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	8	10	p	p	NOUN
ejde-1285	8	11	-	-	PUNCT
ejde-1285	8	12	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-1285	8	13	at	at	ADP
ejde-1285	8	14	infinity	infinity	NOUN
ejde-1285	8	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	9	1	our	our	PRON
ejde-1285	9	2	method	method	NOUN
ejde-1285	9	3	relies	rely	VERB
ejde-1285	9	4	on	on	ADP
ejde-1285	9	5	sub	sub	ADJ
ejde-1285	9	6	-	-	ADJ
ejde-1285	9	7	super	super	ADJ
ejde-1285	9	8	solution	solution	NOUN
ejde-1285	9	9	techniques	technique	NOUN
ejde-1285	9	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	9	11	the	the	DET
ejde-1285	9	12	use	use	NOUN
ejde-1285	9	13	of	of	ADP
ejde-1285	9	14	a	a	DET
ejde-1285	9	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	9	16	on	on	ADP
ejde-1285	9	17	the	the	DET
ejde-1285	9	18	existence	existence	NOUN
ejde-1285	9	19	of	of	ADP
ejde-1285	9	20	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	9	21	fixed	fix	VERB
ejde-1285	9	22	points	point	NOUN
ejde-1285	9	23	.	.	PUNCT
ejde-1285	10	1	we	we	PRON
ejde-1285	10	2	extend	extend	VERB
ejde-1285	10	3	some	some	DET
ejde-1285	10	4	results	result	NOUN
ejde-1285	10	5	known	know	VERB
ejde-1285	10	6	in	in	ADP
ejde-1285	10	7	the	the	DET
ejde-1285	10	8	literature	literature	NOUN
ejde-1285	10	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	11	1	1	1	X
ejde-1285	11	2	.	.	X
ejde-1285	11	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1285	11	4	the	the	DET
ejde-1285	11	5	purpose	purpose	NOUN
ejde-1285	11	6	of	of	ADP
ejde-1285	11	7	this	this	DET
ejde-1285	11	8	article	article	NOUN
ejde-1285	11	9	is	be	AUX
ejde-1285	11	10	to	to	PART
ejde-1285	11	11	prove	prove	VERB
ejde-1285	11	12	the	the	DET
ejde-1285	11	13	existence	existence	NOUN
ejde-1285	11	14	of	of	ADP
ejde-1285	11	15	three	three	NUM
ejde-1285	11	16	positive	positive	ADJ
ejde-1285	11	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	11	18	for	for	ADP
ejde-1285	11	19	the	the	DET
ejde-1285	11	20	problem	problem	NOUN
ejde-1285	11	21	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-1285	11	22	v	v	X
ejde-1285	11	23	(	(	PUNCT
ejde-1285	11	24	x)φp(u	x)φp(u	PROPN
ejde-1285	11	25	)	)	PUNCT
ejde-1285	12	1	=	=	SYM
ejde-1285	12	2	λf	λf	X
ejde-1285	12	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	12	4	u	u	NOUN
ejde-1285	12	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	12	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	7	x	x	PUNCT
ejde-1285	12	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	12	9	ω	ω	PROPN
ejde-1285	12	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	11	u(x	u(x	X
ejde-1285	12	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	12	13	=	=	SYM
ejde-1285	12	14	0	0	NUM
ejde-1285	12	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	16	x	x	X
ejde-1285	12	17	∈	∈	PROPN
ejde-1285	12	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	12	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	20	(	(	PUNCT
ejde-1285	12	21	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	12	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	12	23	where	where	SCONJ
ejde-1285	12	24	∆p	∆p	PROPN
ejde-1285	12	25	stands	stand	VERB
ejde-1285	12	26	for	for	ADP
ejde-1285	12	27	the	the	DET
ejde-1285	12	28	p	p	ADJ
ejde-1285	12	29	-	-	PUNCT
ejde-1285	12	30	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	12	31	operator	operator	NOUN
ejde-1285	12	32	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	33	n	n	CCONJ
ejde-1285	12	34	>	>	X
ejde-1285	12	35	p	p	X
ejde-1285	12	36	>	>	X
ejde-1285	12	37	1	1	NUM
ejde-1285	12	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	39	φp(s	φp(s	NOUN
ejde-1285	12	40	)	)	PUNCT
ejde-1285	12	41	:	:	PUNCT
ejde-1285	12	42	=	=	PUNCT
ejde-1285	12	43	|s|p−2s	|s|p−2s	PROPN
ejde-1285	12	44	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	45	s	s	PART
ejde-1285	12	46	∈	∈	PROPN
ejde-1285	12	47	r	r	PROPN
ejde-1285	12	48	,	,	PUNCT
ejde-1285	12	49	ω	ω	PROPN
ejde-1285	12	50	is	be	AUX
ejde-1285	12	51	a	a	DET
ejde-1285	12	52	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	12	53	domain	domain	NOUN
ejde-1285	12	54	in	in	ADP
ejde-1285	12	55	rn	rn	PROPN
ejde-1285	12	56	with	with	ADP
ejde-1285	12	57	connected	connected	ADJ
ejde-1285	12	58	and	and	CCONJ
ejde-1285	12	59	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	12	60	boundary	boundary	NOUN
ejde-1285	12	61	.	.	PUNCT
ejde-1285	13	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	13	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	13	3	we	we	PRON
ejde-1285	13	4	assume	assume	VERB
ejde-1285	13	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	13	6	v	v	X
ejde-1285	13	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	13	8	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	13	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	13	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	13	11	λ	λ	X
ejde-1285	13	12	>	>	X
ejde-1285	13	13	0	0	PUNCT
ejde-1285	14	1	and	and	CCONJ
ejde-1285	14	2	f	f	NOUN
ejde-1285	14	3	:	:	PUNCT
ejde-1285	15	1	[	[	X
ejde-1285	15	2	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1285	15	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	15	4	→	→	PUNCT
ejde-1285	15	5	r	r	NOUN
ejde-1285	15	6	is	be	AUX
ejde-1285	15	7	a	a	DET
ejde-1285	15	8	c1	c1	NOUN
ejde-1285	15	9	function	function	NOUN
ejde-1285	15	10	.	.	PUNCT
ejde-1285	16	1	throughout	throughout	ADP
ejde-1285	16	2	this	this	DET
ejde-1285	16	3	article	article	NOUN
ejde-1285	16	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	16	5	w	w	PROPN
ejde-1285	16	6	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	16	7	0	0	SYM
ejde-1285	16	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	16	9	ω	ω	NOUN
ejde-1285	16	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	16	11	denotes	denote	VERB
ejde-1285	16	12	the	the	DET
ejde-1285	16	13	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1285	16	14	space	space	NOUN
ejde-1285	16	15	with	with	ADP
ejde-1285	16	16	the	the	DET
ejde-1285	16	17	norm	norm	NOUN
ejde-1285	16	18	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1285	16	19	:	:	PUNCT
ejde-1285	17	1	=	=	SYM
ejde-1285	17	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	17	3	∫	∫	PROPN
ejde-1285	17	4	ω	ω	PROPN
ejde-1285	17	5	|∇u|p	|∇u|p	PROPN
ejde-1285	17	6	dx	dx	PROPN
ejde-1285	17	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	17	8	1	1	X
ejde-1285	17	9	/	/	SYM
ejde-1285	17	10	p	p	NOUN
ejde-1285	17	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	18	1	also	also	ADV
ejde-1285	18	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	18	3	∥u∥q	∥u∥q	PRON
ejde-1285	18	4	will	will	AUX
ejde-1285	18	5	denote	denote	VERB
ejde-1285	18	6	the	the	DET
ejde-1285	18	7	usual	usual	ADJ
ejde-1285	18	8	norm	norm	NOUN
ejde-1285	18	9	in	in	ADP
ejde-1285	18	10	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1285	18	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	18	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	18	13	for	for	SCONJ
ejde-1285	18	14	1	1	NUM
ejde-1285	18	15	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	18	16	q	q	PROPN
ejde-1285	18	17	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	18	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-1285	18	19	let	let	VERB
ejde-1285	18	20	r	r	PRON
ejde-1285	18	21	>	>	X
ejde-1285	18	22	0	0	NUM
ejde-1285	18	23	be	be	AUX
ejde-1285	18	24	the	the	DET
ejde-1285	18	25	largest	large	ADJ
ejde-1285	18	26	number	number	NOUN
ejde-1285	18	27	such	such	ADJ
ejde-1285	19	1	that	that	SCONJ
ejde-1285	19	2	br	br	PROPN
ejde-1285	19	3	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	19	4	ω	ω	NOUN
ejde-1285	19	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	19	6	where	where	SCONJ
ejde-1285	19	7	br	br	PROPN
ejde-1285	19	8	is	be	AUX
ejde-1285	19	9	the	the	DET
ejde-1285	19	10	ball	ball	NOUN
ejde-1285	19	11	with	with	ADP
ejde-1285	19	12	radius	radius	NOUN
ejde-1285	19	13	r	r	NOUN
ejde-1285	19	14	centered	center	VERB
ejde-1285	19	15	at	at	ADP
ejde-1285	19	16	the	the	DET
ejde-1285	19	17	origin	origin	NOUN
ejde-1285	19	18	in	in	ADP
ejde-1285	19	19	rn	rn	PROPN
ejde-1285	19	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	20	1	consider	consider	VERB
ejde-1285	20	2	the	the	DET
ejde-1285	20	3	positive	positive	ADJ
ejde-1285	20	4	number	number	NOUN
ejde-1285	20	5	m1	m1	NOUN
ejde-1285	20	6	:	:	PUNCT
ejde-1285	20	7	=	=	SYM
ejde-1285	20	8	inf	inf	NOUN
ejde-1285	20	9	0	0	NUM
ejde-1285	20	10	<	<	X
ejde-1285	20	11	ε	ε	X
ejde-1285	20	12	<	<	X
ejde-1285	20	13	r	r	X
ejde-1285	20	14	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	20	15	εn	εn	ADJ
ejde-1285	20	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	20	17	r−	r−	PROPN
ejde-1285	20	18	ε)p−1	ε)p−1	PROPN
ejde-1285	20	19	and	and	CCONJ
ejde-1285	20	20	b	b	X
ejde-1285	20	21	>	>	X
ejde-1285	20	22	0	0	NUM
ejde-1285	20	23	such	such	ADJ
ejde-1285	20	24	that	that	SCONJ
ejde-1285	20	25	0	0	NUM
ejde-1285	20	26	<	<	X
ejde-1285	20	27	1−b∥v	1−b∥v	PROPN
ejde-1285	20	28	∥∞	∥∞	PROPN
ejde-1285	20	29	b	b	X
ejde-1285	20	30	<	<	X
ejde-1285	20	31	m1	m1	PROPN
ejde-1285	20	32	.	.	PUNCT
ejde-1285	21	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	21	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	21	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	21	4	we	we	PRON
ejde-1285	21	5	shall	shall	AUX
ejde-1285	21	6	use	use	VERB
ejde-1285	21	7	the	the	DET
ejde-1285	21	8	following	following	ADJ
ejde-1285	21	9	assumptions	assumption	NOUN
ejde-1285	21	10	:	:	PUNCT
ejde-1285	21	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	21	12	a1	a1	NOUN
ejde-1285	21	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	21	14	f	f	PROPN
ejde-1285	21	15	∈	∈	PROPN
ejde-1285	21	16	c1([0,∞	c1([0,∞	NOUN
ejde-1285	21	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	21	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	21	19	is	be	AUX
ejde-1285	21	20	increasing	increase	VERB
ejde-1285	21	21	and	and	CCONJ
ejde-1285	21	22	f(0	f(0	NOUN
ejde-1285	21	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	21	24	>	>	X
ejde-1285	22	1	0	0	X
ejde-1285	22	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	22	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	22	4	a2	a2	NOUN
ejde-1285	22	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	22	6	limu→∞	limu→∞	NOUN
ejde-1285	22	7	f(u)/up−1	f(u)/up−1	NOUN
ejde-1285	23	1	=	=	NOUN
ejde-1285	23	2	0	0	NUM
ejde-1285	23	3	.	.	NOUN
ejde-1285	23	4	2020	2020	NUM
ejde-1285	23	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1285	23	6	subject	subject	ADJ
ejde-1285	23	7	classification	classification	NOUN
ejde-1285	23	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	24	1	35b09	35b09	NUM
ejde-1285	24	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	3	35b50	35b50	NUM
ejde-1285	24	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	5	35b51	35b51	NUM
ejde-1285	24	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	7	35d30	35d30	NUM
ejde-1285	24	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	9	35g30	35g30	NUM
ejde-1285	24	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	11	35j10	35j10	NUM
ejde-1285	24	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	13	35j92	35j92	NUM
ejde-1285	24	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	24	15	47h10	47h10	NUM
ejde-1285	24	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	25	1	key	key	ADJ
ejde-1285	25	2	words	word	NOUN
ejde-1285	25	3	and	and	CCONJ
ejde-1285	25	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1285	25	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	26	1	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	26	2	;	;	PUNCT
ejde-1285	26	3	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	26	4	;	;	PUNCT
ejde-1285	26	5	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	26	6	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	26	7	;	;	PUNCT
ejde-1285	26	8	p	p	X
ejde-1285	26	9	-	-	PUNCT
ejde-1285	26	10	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1285	26	11	;	;	PUNCT
ejde-1285	26	12	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	26	13	type	type	NOUN
ejde-1285	26	14	operator	operator	NOUN
ejde-1285	26	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	27	1	©	©	PROPN
ejde-1285	27	2	2025	2025	NUM
ejde-1285	27	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	28	1	this	this	DET
ejde-1285	28	2	work	work	NOUN
ejde-1285	28	3	is	be	AUX
ejde-1285	28	4	licensed	license	VERB
ejde-1285	28	5	under	under	ADP
ejde-1285	28	6	a	a	DET
ejde-1285	28	7	cc	cc	NOUN
ejde-1285	28	8	by	by	ADP
ejde-1285	28	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1285	28	10	license	license	NOUN
ejde-1285	28	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	29	1	submitted	submit	VERB
ejde-1285	29	2	march	march	PROPN
ejde-1285	29	3	2	2	NUM
ejde-1285	29	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	29	5	2025	2025	NUM
ejde-1285	29	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	30	1	published	publish	VERB
ejde-1285	30	2	may	may	AUX
ejde-1285	30	3	8	8	NUM
ejde-1285	30	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	30	5	2025	2025	NUM
ejde-1285	30	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	31	1	1	1	NUM
ejde-1285	31	2	2	2	NUM
ejde-1285	31	3	s.	s.	PROPN
ejde-1285	31	4	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	31	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	31	6	e.	e.	PROPN
ejde-1285	31	7	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	31	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	31	9	d.	d.	PROPN
ejde-1285	31	10	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	31	11	ejde-2025/47	ejde-2025/47	PROPN
ejde-1285	31	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	31	13	a3	a3	PROPN
ejde-1285	31	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	31	15	there	there	PRON
ejde-1285	31	16	exists	exist	VERB
ejde-1285	31	17	0	0	PUNCT
ejde-1285	31	18	<	<	X
ejde-1285	31	19	cv	cv	X
ejde-1285	31	20	<	<	X
ejde-1285	31	21	λ1	λ1	PROPN
ejde-1285	31	22	such	such	ADJ
ejde-1285	31	23	that	that	SCONJ
ejde-1285	31	24	−cv	−cv	PROPN
ejde-1285	31	25	<	<	X
ejde-1285	31	26	v	v	NOUN
ejde-1285	31	27	(	(	PUNCT
ejde-1285	31	28	x	x	NOUN
ejde-1285	31	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	31	30	a.e	a.e	PROPN
ejde-1285	31	31	.	.	PUNCT
ejde-1285	31	32	x	x	SYM
ejde-1285	31	33	∈	∈	PROPN
ejde-1285	31	34	ω	ω	PROPN
ejde-1285	31	35	,	,	PUNCT
ejde-1285	31	36	where	where	SCONJ
ejde-1285	31	37	λ1	λ1	ADJ
ejde-1285	31	38	:	:	PUNCT
ejde-1285	31	39	=	=	SYM
ejde-1285	31	40	inf	inf	PROPN
ejde-1285	31	41	{	{	PUNCT
ejde-1285	31	42	∫	∫	PROPN
ejde-1285	31	43	ω	ω	PROPN
ejde-1285	31	44	|∇u|p	|∇u|p	PROPN
ejde-1285	31	45	dx	dx	PROPN
ejde-1285	31	46	:	:	PUNCT
ejde-1285	32	1	u	u	PROPN
ejde-1285	32	2	∈	∈	PROPN
ejde-1285	32	3	w	w	PROPN
ejde-1285	32	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	32	5	0	0	NUM
ejde-1285	32	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	32	7	ω	ω	NOUN
ejde-1285	32	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	32	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	32	10	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1285	32	11	=	=	NOUN
ejde-1285	32	12	1	1	NUM
ejde-1285	32	13	}	}	PUNCT
ejde-1285	32	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	32	15	i.e.	i.e.	X
ejde-1285	32	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	32	17	λ1	λ1	PROPN
ejde-1285	32	18	is	be	AUX
ejde-1285	32	19	the	the	DET
ejde-1285	32	20	principal	principal	ADJ
ejde-1285	32	21	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1285	32	22	of	of	ADP
ejde-1285	32	23	(	(	PUNCT
ejde-1285	32	24	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1285	32	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	32	26	w	w	PROPN
ejde-1285	32	27	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	32	28	0	0	SYM
ejde-1285	32	29	(	(	PUNCT
ejde-1285	32	30	ω	ω	NOUN
ejde-1285	32	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	32	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	32	33	.	.	PUNCT
ejde-1285	33	1	remark	remark	VERB
ejde-1285	33	2	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	33	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	34	1	let	let	VERB
ejde-1285	34	2	us	we	PRON
ejde-1285	34	3	observe	observe	VERB
ejde-1285	34	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	34	5	under	under	ADP
ejde-1285	34	6	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1285	34	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	34	8	a3	a3	NOUN
ejde-1285	34	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	34	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	34	11	µ1	µ1	PROPN
ejde-1285	34	12	:	:	PUNCT
ejde-1285	35	1	=	=	SYM
ejde-1285	35	2	inf	inf	PROPN
ejde-1285	35	3	{	{	PUNCT
ejde-1285	35	4	∫	∫	PROPN
ejde-1285	35	5	ω	ω	PROPN
ejde-1285	35	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	35	7	|∇u|p	|∇u|p	NOUN
ejde-1285	35	8	+	+	CCONJ
ejde-1285	35	9	v	v	PROPN
ejde-1285	35	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	35	11	x)|u|p	x)|u|p	NUM
ejde-1285	35	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	35	13	dx	dx	VERB
ejde-1285	35	14	:	:	PUNCT
ejde-1285	36	1	u	u	PROPN
ejde-1285	36	2	∈	∈	PROPN
ejde-1285	36	3	w	w	PROPN
ejde-1285	36	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	36	5	0	0	NUM
ejde-1285	36	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	36	7	ω	ω	NOUN
ejde-1285	36	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	36	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	36	10	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1285	36	11	=	=	NOUN
ejde-1285	36	12	1	1	NUM
ejde-1285	36	13	}	}	PUNCT
ejde-1285	36	14	>	>	X
ejde-1285	36	15	0	0	NUM
ejde-1285	36	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	36	17	which	which	PRON
ejde-1285	36	18	is	be	AUX
ejde-1285	36	19	the	the	DET
ejde-1285	36	20	first	first	ADJ
ejde-1285	36	21	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1285	36	22	of	of	ADP
ejde-1285	36	23	the	the	DET
ejde-1285	36	24	problem	problem	NOUN
ejde-1285	36	25	−∆pu	−∆pu	VERB
ejde-1285	37	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	37	2	v	v	NOUN
ejde-1285	37	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	37	4	x)φp(u	x)φp(u	PROPN
ejde-1285	37	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	37	6	=	=	SYM
ejde-1285	37	7	µφp(u	µφp(u	X
ejde-1285	37	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	37	9	with	with	ADP
ejde-1285	37	10	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1285	37	11	boundary	boundary	ADJ
ejde-1285	37	12	condition	condition	NOUN
ejde-1285	37	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	38	1	this	this	DET
ejde-1285	38	2	fact	fact	NOUN
ejde-1285	38	3	is	be	AUX
ejde-1285	38	4	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-1285	38	5	to	to	ADP
ejde-1285	38	6	our	our	PRON
ejde-1285	38	7	approach	approach	NOUN
ejde-1285	38	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	39	1	for	for	ADP
ejde-1285	39	2	our	our	PRON
ejde-1285	39	3	analysis	analysis	NOUN
ejde-1285	39	4	we	we	PRON
ejde-1285	39	5	shall	shall	AUX
ejde-1285	39	6	use	use	VERB
ejde-1285	39	7	the	the	DET
ejde-1285	39	8	properties	property	NOUN
ejde-1285	39	9	of	of	ADP
ejde-1285	39	10	the	the	DET
ejde-1285	39	11	solution	solution	NOUN
ejde-1285	39	12	of	of	ADP
ejde-1285	39	13	the	the	DET
ejde-1285	39	14	e	e	NOUN
ejde-1285	39	15	-	-	NOUN
ejde-1285	39	16	problem	problem	NOUN
ejde-1285	39	17	−∆pe+	−∆pe+	PROPN
ejde-1285	39	18	v	v	X
ejde-1285	39	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	39	20	x)φp(e	x)φp(e	PROPN
ejde-1285	39	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	39	22	=	=	SYM
ejde-1285	39	23	1	1	NUM
ejde-1285	39	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	39	25	in	in	ADP
ejde-1285	39	26	ω	ω	NUM
ejde-1285	39	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	39	28	e	e	X
ejde-1285	39	29	=	=	SYM
ejde-1285	39	30	0	0	NUM
ejde-1285	39	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	39	32	on	on	ADP
ejde-1285	39	33	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	39	34	.	.	PUNCT
ejde-1285	40	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	40	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	40	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	40	4	indeed	indeed	ADV
ejde-1285	40	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	40	6	since	since	SCONJ
ejde-1285	40	7	µ1	µ1	PROPN
ejde-1285	40	8	>	>	X
ejde-1285	40	9	0	0	NUM
ejde-1285	40	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	40	11	there	there	PRON
ejde-1285	40	12	exists	exist	VERB
ejde-1285	40	13	e	e	PROPN
ejde-1285	40	14	∈	∈	PROPN
ejde-1285	40	15	w	w	PROPN
ejde-1285	40	16	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	40	17	0	0	NUM
ejde-1285	40	18	(	(	PUNCT
ejde-1285	40	19	ω	ω	NOUN
ejde-1285	40	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	40	21	such	such	ADJ
ejde-1285	40	22	that	that	SCONJ
ejde-1285	40	23	e(x	e(x	NUM
ejde-1285	40	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	40	25	>	>	X
ejde-1285	40	26	0	0	PUNCT
ejde-1285	41	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-1285	41	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	41	3	x	x	SYM
ejde-1285	41	4	∈	∈	PROPN
ejde-1285	41	5	ω	ω	NOUN
ejde-1285	41	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	41	7	it	it	PRON
ejde-1285	41	8	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1285	41	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	41	10	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	41	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	41	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	42	1	[	[	X
ejde-1285	42	2	12	12	NUM
ejde-1285	42	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	42	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	42	5	6.4.6	6.4.6	NOUN
ejde-1285	42	6	]	]	PUNCT
ejde-1285	42	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	43	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	43	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	43	3	e	e	PROPN
ejde-1285	43	4	∈	∈	PROPN
ejde-1285	43	5	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	43	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	44	1	[	[	X
ejde-1285	44	2	12	12	NUM
ejde-1285	44	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	44	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	44	5	6.2.6	6.2.6	NUM
ejde-1285	44	6	]	]	PUNCT
ejde-1285	44	7	and	and	CCONJ
ejde-1285	44	8	by	by	ADP
ejde-1285	44	9	[	[	X
ejde-1285	44	10	12	12	NUM
ejde-1285	44	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	44	12	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	44	13	6.2.7	6.2.7	NUM
ejde-1285	44	14	]	]	PUNCT
ejde-1285	44	15	there	there	PRON
ejde-1285	44	16	exists	exist	VERB
ejde-1285	44	17	0	0	PUNCT
ejde-1285	44	18	<	<	X
ejde-1285	44	19	β	β	X
ejde-1285	44	20	<	<	X
ejde-1285	44	21	1	1	NUM
ejde-1285	44	22	such	such	ADJ
ejde-1285	44	23	that	that	SCONJ
ejde-1285	44	24	e	e	PROPN
ejde-1285	44	25	∈	∈	PROPN
ejde-1285	44	26	c1,β	c1,β	PROPN
ejde-1285	44	27	0	0	NUM
ejde-1285	44	28	(	(	PUNCT
ejde-1285	44	29	ω	ω	NOUN
ejde-1285	44	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	44	31	.	.	PUNCT
ejde-1285	45	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	45	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	45	3	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	45	4	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	45	5	<	<	X
ejde-1285	45	6	0	0	PUNCT
ejde-1285	45	7	on	on	ADP
ejde-1285	45	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	45	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	45	10	where	where	SCONJ
ejde-1285	45	11	for	for	ADP
ejde-1285	45	12	x0	x0	PROPN
ejde-1285	45	13	∈	∈	PROPN
ejde-1285	45	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	45	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	45	16	η	η	PROPN
ejde-1285	45	17	:	:	PUNCT
ejde-1285	45	18	=	=	SYM
ejde-1285	45	19	η(x0	η(x0	NOUN
ejde-1285	45	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	45	21	denotes	denote	VERB
ejde-1285	45	22	the	the	DET
ejde-1285	45	23	outward	outward	ADJ
ejde-1285	45	24	unit	unit	NOUN
ejde-1285	45	25	normal	normal	ADJ
ejde-1285	45	26	to	to	ADP
ejde-1285	45	27	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	45	28	at	at	ADP
ejde-1285	45	29	x0	x0	PROPN
ejde-1285	46	1	[	[	X
ejde-1285	46	2	12	12	NUM
ejde-1285	46	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	46	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	46	5	6.2.8	6.2.8	NUM
ejde-1285	46	6	]	]	PUNCT
ejde-1285	46	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	47	1	also	also	ADV
ejde-1285	47	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	47	3	we	we	PRON
ejde-1285	47	4	assume	assume	VERB
ejde-1285	47	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	47	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	47	7	a4	a4	NOUN
ejde-1285	47	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	47	9	there	there	PRON
ejde-1285	47	10	exist	exist	VERB
ejde-1285	47	11	positive	positive	ADJ
ejde-1285	47	12	numbers	number	NOUN
ejde-1285	47	13	a	a	DET
ejde-1285	47	14	<	<	X
ejde-1285	47	15	b	b	X
ejde-1285	47	16	<	<	X
ejde-1285	47	17	d	d	X
ejde-1285	47	18	such	such	ADJ
ejde-1285	47	19	that	that	SCONJ
ejde-1285	47	20	q(a	q(a	PROPN
ejde-1285	47	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	47	22	b	b	NOUN
ejde-1285	47	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	47	24	:	:	PUNCT
ejde-1285	47	25	=	=	SYM
ejde-1285	47	26	φp(a)f(b	φp(a)f(b	ADJ
ejde-1285	47	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	47	28	f(a)φp(b	f(a)φp(b	NOUN
ejde-1285	47	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	47	30	>	>	PUNCT
ejde-1285	48	1	m1∥e∥p−1	m1∥e∥p−1	X
ejde-1285	49	1	∞	∞	NUM
ejde-1285	49	2	1−b∥v	1−b∥v	PROPN
ejde-1285	49	3	∥∞	∥∞	NOUN
ejde-1285	49	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	49	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	49	6	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	49	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	49	8	dp−1	dp−1	PROPN
ejde-1285	49	9	>	>	X
ejde-1285	49	10	rp(1−b∥v	rp(1−b∥v	NOUN
ejde-1285	49	11	∥∞)f(b	∥∞)f(b	PUNCT
ejde-1285	49	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	49	13	(	(	PUNCT
ejde-1285	49	14	p′)p−1∥e∥p−1	p′)p−1∥e∥p−1	PROPN
ejde-1285	49	15	∞	∞	NUM
ejde-1285	49	16	f(a	f(a	PROPN
ejde-1285	49	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	50	1	ap−1	ap−1	NOUN
ejde-1285	50	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	50	3	1.5	1.5	NUM
ejde-1285	50	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	50	5	and	and	CCONJ
ejde-1285	50	6	the	the	DET
ejde-1285	50	7	function	function	NOUN
ejde-1285	50	8	f̃(s	f̃(s	PROPN
ejde-1285	50	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	50	10	:	:	PUNCT
ejde-1285	50	11	=	=	PUNCT
ejde-1285	50	12	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-1285	50	13	f(b	f(b	PROPN
ejde-1285	50	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	50	15	bp−1b∥v	bp−1b∥v	NOUN
ejde-1285	50	16	∥∞sp−1	∥∞sp−1	NUM
ejde-1285	50	17	is	be	AUX
ejde-1285	50	18	positive	positive	ADJ
ejde-1285	50	19	for	for	ADP
ejde-1285	50	20	all	all	DET
ejde-1285	50	21	s	s	PART
ejde-1285	50	22	∈	∈	NOUN
ejde-1285	51	1	[	[	X
ejde-1285	51	2	0	0	NUM
ejde-1285	51	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	51	4	d	d	X
ejde-1285	51	5	]	]	PUNCT
ejde-1285	51	6	and	and	CCONJ
ejde-1285	51	7	is	be	AUX
ejde-1285	51	8	increasing	increase	VERB
ejde-1285	51	9	over	over	ADP
ejde-1285	51	10	[	[	X
ejde-1285	51	11	a	a	X
ejde-1285	51	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	51	13	d	d	X
ejde-1285	51	14	]	]	X
ejde-1285	51	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	51	16	see	see	VERB
ejde-1285	51	17	figure	figure	NOUN
ejde-1285	51	18	2	2	NUM
ejde-1285	51	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	51	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	52	1	our	our	PRON
ejde-1285	52	2	main	main	ADJ
ejde-1285	52	3	theorems	theorem	NOUN
ejde-1285	52	4	read	read	VERB
ejde-1285	52	5	as	as	SCONJ
ejde-1285	52	6	follows	follow	VERB
ejde-1285	52	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	53	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	53	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	53	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	54	1	let	let	VERB
ejde-1285	54	2	f	f	PRON
ejde-1285	54	3	be	be	AUX
ejde-1285	54	4	a	a	DET
ejde-1285	54	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	54	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	54	7	non	non	ADJ
ejde-1285	54	8	-	-	ADJ
ejde-1285	54	9	negative	negative	ADJ
ejde-1285	54	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	54	11	non	non	ADJ
ejde-1285	54	12	-	-	ADJ
ejde-1285	54	13	decreasing	decrease	VERB
ejde-1285	54	14	function	function	NOUN
ejde-1285	54	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	54	16	λ	λ	X
ejde-1285	54	17	>	>	X
ejde-1285	54	18	0	0	X
ejde-1285	54	19	.	.	PUNCT
ejde-1285	55	1	assume	assume	VERB
ejde-1285	55	2	also	also	ADV
ejde-1285	55	3	that	that	DET
ejde-1285	55	4	problem	problem	NOUN
ejde-1285	55	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	55	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	55	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	55	8	admits	admit	VERB
ejde-1285	55	9	a	a	DET
ejde-1285	55	10	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	55	11	w1	w1	NOUN
ejde-1285	55	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	55	13	a	a	DET
ejde-1285	55	14	strict	strict	ADJ
ejde-1285	55	15	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	55	16	w1	w1	NOUN
ejde-1285	55	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	55	18	a	a	DET
ejde-1285	55	19	strict	strict	ADJ
ejde-1285	55	20	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	55	21	w2	w2	NOUN
ejde-1285	55	22	and	and	CCONJ
ejde-1285	55	23	a	a	DET
ejde-1285	55	24	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	55	25	w2	w2	NOUN
ejde-1285	55	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	55	27	such	such	ADJ
ejde-1285	55	28	that	that	SCONJ
ejde-1285	55	29	w1	w1	NOUN
ejde-1285	55	30	<	<	X
ejde-1285	55	31	w1	w1	PROPN
ejde-1285	55	32	<	<	X
ejde-1285	55	33	w2	w2	NOUN
ejde-1285	55	34	,	,	PUNCT
ejde-1285	55	35	w1	w1	NOUN
ejde-1285	55	36	<	<	X
ejde-1285	55	37	w2	w2	PROPN
ejde-1285	55	38	<	<	X
ejde-1285	55	39	w2	w2	PROPN
ejde-1285	55	40	and	and	CCONJ
ejde-1285	55	41	w2	w2	PROPN
ejde-1285	55	42	⩽̸	⩽̸	PROPN
ejde-1285	55	43	w1	w1	PROPN
ejde-1285	55	44	.	.	PUNCT
ejde-1285	56	1	then	then	ADV
ejde-1285	56	2	problem	problem	NOUN
ejde-1285	56	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	56	4	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	56	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	56	6	has	have	VERB
ejde-1285	56	7	at	at	ADV
ejde-1285	56	8	least	least	ADV
ejde-1285	56	9	three	three	NUM
ejde-1285	56	10	distinct	distinct	ADJ
ejde-1285	56	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	56	12	ui	ui	NOUN
ejde-1285	56	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	56	14	i	i	PRON
ejde-1285	56	15	=	=	NOUN
ejde-1285	56	16	1	1	NUM
ejde-1285	56	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	56	18	2	2	NUM
ejde-1285	56	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	56	20	3	3	NUM
ejde-1285	56	21	such	such	ADJ
ejde-1285	56	22	that	that	DET
ejde-1285	56	23	w1	w1	NOUN
ejde-1285	56	24	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	56	25	u1	u1	PROPN
ejde-1285	56	26	<	<	X
ejde-1285	56	27	u2	u2	PROPN
ejde-1285	56	28	<	<	X
ejde-1285	56	29	u3	u3	PROPN
ejde-1285	56	30	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	56	31	w2	w2	PROPN
ejde-1285	56	32	.	.	PUNCT
ejde-1285	57	1	as	as	SCONJ
ejde-1285	57	2	applications	application	NOUN
ejde-1285	57	3	of	of	ADP
ejde-1285	57	4	this	this	DET
ejde-1285	57	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	57	6	we	we	PRON
ejde-1285	57	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	57	8	the	the	DET
ejde-1285	57	9	following	follow	VERB
ejde-1285	57	10	results	result	NOUN
ejde-1285	57	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	58	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	58	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	58	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	59	1	let	let	VERB
ejde-1285	59	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	59	3	:	:	PUNCT
ejde-1285	59	4	=	=	SYM
ejde-1285	59	5	br	br	X
ejde-1285	59	6	the	the	DET
ejde-1285	59	7	ball	ball	NOUN
ejde-1285	59	8	of	of	ADP
ejde-1285	59	9	radius	radius	NOUN
ejde-1285	59	10	r	r	NOUN
ejde-1285	59	11	centered	center	VERB
ejde-1285	59	12	at	at	ADP
ejde-1285	59	13	the	the	DET
ejde-1285	59	14	origin	origin	NOUN
ejde-1285	59	15	in	in	ADP
ejde-1285	59	16	rn	rn	PROPN
ejde-1285	59	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	60	1	assume	assume	VERB
ejde-1285	60	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	60	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1285	60	4	(	(	PUNCT
ejde-1285	60	5	a1)–(a4	a1)–(a4	NOUN
ejde-1285	60	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	60	7	hold	hold	NOUN
ejde-1285	60	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	61	1	then	then	ADV
ejde-1285	61	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	61	3	for	for	ADP
ejde-1285	61	4	each	each	DET
ejde-1285	61	5	λ	λ	PROPN
ejde-1285	61	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	61	7	[	[	X
ejde-1285	61	8	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	61	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	61	10	λ	λ	X
ejde-1285	61	11	∗	∗	NOUN
ejde-1285	61	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	61	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	61	14	problem	problem	NOUN
ejde-1285	61	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	61	16	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	61	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	61	18	admits	admit	VERB
ejde-1285	61	19	at	at	ADP
ejde-1285	61	20	least	least	ADV
ejde-1285	61	21	three	three	NUM
ejde-1285	61	22	positive	positive	ADJ
ejde-1285	61	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	61	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	61	25	where	where	SCONJ
ejde-1285	61	26	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1285	61	27	:	:	PUNCT
ejde-1285	61	28	=	=	SYM
ejde-1285	61	29	m1	m1	PROPN
ejde-1285	61	30	φp(b	φp(b	NUM
ejde-1285	61	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	61	32	f̃(b	f̃(b	NOUN
ejde-1285	61	33	)	)	PUNCT
ejde-1285	61	34	and	and	CCONJ
ejde-1285	61	35	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1285	61	36	:	:	PUNCT
ejde-1285	61	37	=	=	PUNCT
ejde-1285	61	38	φp(a	φp(a	ADJ
ejde-1285	61	39	)	)	PUNCT
ejde-1285	61	40	f(a)∥e∥p−1	f(a)∥e∥p−1	PROPN
ejde-1285	61	41	∞	∞	PROPN
ejde-1285	61	42	.	.	PUNCT
ejde-1285	62	1	observe	observe	VERB
ejde-1285	62	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	62	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	62	4	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	62	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	62	6	implies	imply	VERB
ejde-1285	62	7	that	that	SCONJ
ejde-1285	62	8	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	62	9	<	<	X
ejde-1285	62	10	λ∗.	λ∗.	PART
ejde-1285	62	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	62	12	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	62	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	63	1	let	let	VERB
ejde-1285	63	2	ω	ω	PRON
ejde-1285	63	3	be	be	AUX
ejde-1285	63	4	a	a	DET
ejde-1285	63	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	63	6	domain	domain	NOUN
ejde-1285	63	7	in	in	ADP
ejde-1285	63	8	rn	rn	NOUN
ejde-1285	63	9	containing	contain	VERB
ejde-1285	63	10	the	the	DET
ejde-1285	63	11	origin	origin	NOUN
ejde-1285	63	12	with	with	ADP
ejde-1285	63	13	connected	connected	ADJ
ejde-1285	63	14	boundary	boundary	NOUN
ejde-1285	63	15	of	of	ADP
ejde-1285	63	16	class	class	PROPN
ejde-1285	63	17	c2	c2	PROPN
ejde-1285	63	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	64	1	assume	assume	VERB
ejde-1285	64	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	64	3	the	the	DET
ejde-1285	64	4	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1285	64	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	64	6	a1)–(a4	a1)–(a4	NOUN
ejde-1285	64	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	64	8	hold	hold	NOUN
ejde-1285	64	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	65	1	then	then	ADV
ejde-1285	65	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	65	3	for	for	ADP
ejde-1285	65	4	each	each	DET
ejde-1285	65	5	λ	λ	PROPN
ejde-1285	65	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	65	7	[	[	X
ejde-1285	65	8	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	65	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	65	10	λ	λ	X
ejde-1285	65	11	∗	∗	NOUN
ejde-1285	65	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	65	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	65	14	problem	problem	NOUN
ejde-1285	65	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	65	16	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	65	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	65	18	admits	admit	VERB
ejde-1285	65	19	at	at	ADP
ejde-1285	65	20	least	least	ADV
ejde-1285	65	21	three	three	NUM
ejde-1285	65	22	positive	positive	ADJ
ejde-1285	65	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	65	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	66	1	the	the	DET
ejde-1285	66	2	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	66	3	of	of	ADP
ejde-1285	66	4	problem	problem	NOUN
ejde-1285	66	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	66	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	66	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	66	8	will	will	AUX
ejde-1285	66	9	be	be	AUX
ejde-1285	66	10	understood	understand	VERB
ejde-1285	66	11	in	in	ADP
ejde-1285	66	12	the	the	DET
ejde-1285	66	13	weak	weak	ADJ
ejde-1285	66	14	sense	sense	NOUN
ejde-1285	66	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	67	1	similar	similar	ADJ
ejde-1285	67	2	results	result	NOUN
ejde-1285	67	3	to	to	PART
ejde-1285	67	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	67	5	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	67	6	have	have	AUX
ejde-1285	67	7	been	be	AUX
ejde-1285	67	8	established	establish	VERB
ejde-1285	67	9	in	in	ADP
ejde-1285	67	10	several	several	ADJ
ejde-1285	67	11	contexts	context	NOUN
ejde-1285	67	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	67	13	some	some	PRON
ejde-1285	67	14	of	of	ADP
ejde-1285	67	15	them	they	PRON
ejde-1285	67	16	based	base	VERB
ejde-1285	67	17	on	on	ADP
ejde-1285	67	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	67	19	2.5	2.5	NUM
ejde-1285	67	20	below	below	ADV
ejde-1285	67	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	67	22	see	see	VERB
ejde-1285	67	23	[	[	X
ejde-1285	67	24	7	7	NUM
ejde-1285	67	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	67	26	9	9	NUM
ejde-1285	67	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	67	28	10	10	NUM
ejde-1285	67	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	67	30	17	17	NUM
ejde-1285	67	31	]	]	PUNCT
ejde-1285	67	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	67	33	.	.	PUNCT
ejde-1285	68	1	nevertheless	nevertheless	ADV
ejde-1285	68	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	68	3	to	to	ADP
ejde-1285	68	4	the	the	DET
ejde-1285	68	5	best	good	ADJ
ejde-1285	68	6	of	of	ADP
ejde-1285	68	7	our	our	PRON
ejde-1285	68	8	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-1285	68	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	68	10	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	68	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	68	12	has	have	AUX
ejde-1285	68	13	not	not	PART
ejde-1285	68	14	been	be	AUX
ejde-1285	68	15	proven	prove	VERB
ejde-1285	68	16	yet	yet	ADV
ejde-1285	68	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	68	18	which	which	PRON
ejde-1285	68	19	is	be	AUX
ejde-1285	68	20	one	one	NUM
ejde-1285	68	21	of	of	ADP
ejde-1285	68	22	the	the	DET
ejde-1285	68	23	contributions	contribution	NOUN
ejde-1285	68	24	of	of	ADP
ejde-1285	68	25	this	this	DET
ejde-1285	68	26	work	work	NOUN
ejde-1285	68	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	69	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	69	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	69	3	our	our	PRON
ejde-1285	69	4	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1285	69	5	on	on	ADP
ejde-1285	69	6	v	v	NUM
ejde-1285	69	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	69	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	69	9	a3	a3	NOUN
ejde-1285	69	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	69	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	69	12	permits	permit	VERB
ejde-1285	69	13	considering	consider	VERB
ejde-1285	69	14	a	a	DET
ejde-1285	69	15	diverse	diverse	ADJ
ejde-1285	69	16	range	range	NOUN
ejde-1285	69	17	of	of	ADP
ejde-1285	69	18	potential	potential	ADJ
ejde-1285	69	19	forms	form	NOUN
ejde-1285	69	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	69	21	encompassing	encompass	VERB
ejde-1285	69	22	positive	positive	ADJ
ejde-1285	69	23	,	,	PUNCT
ejde-1285	69	24	negative	negative	ADJ
ejde-1285	69	25	and	and	CCONJ
ejde-1285	69	26	sign	sign	NOUN
ejde-1285	69	27	-	-	PUNCT
ejde-1285	69	28	changing	change	VERB
ejde-1285	69	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	70	1	the	the	DET
ejde-1285	70	2	proof	proof	NOUN
ejde-1285	70	3	of	of	ADP
ejde-1285	70	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	70	5	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	70	6	essentially	essentially	ADV
ejde-1285	70	7	depends	depend	VERB
ejde-1285	70	8	on	on	ADP
ejde-1285	70	9	the	the	DET
ejde-1285	70	10	properties	property	NOUN
ejde-1285	70	11	of	of	ADP
ejde-1285	70	12	the	the	DET
ejde-1285	70	13	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1285	70	14	solution	solution	NOUN
ejde-1285	70	15	operator	operator	NOUN
ejde-1285	70	16	a	a	PRON
ejde-1285	70	17	for	for	ADP
ejde-1285	70	18	problem	problem	NOUN
ejde-1285	70	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	70	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	70	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	70	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	71	1	as	as	ADP
ejde-1285	71	2	in	in	ADP
ejde-1285	71	3	our	our	PRON
ejde-1285	71	4	case	case	NOUN
ejde-1285	71	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	71	6	this	this	DET
ejde-1285	71	7	kind	kind	NOUN
ejde-1285	71	8	of	of	ADP
ejde-1285	71	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	71	10	has	have	AUX
ejde-1285	71	11	been	be	AUX
ejde-1285	71	12	used	use	VERB
ejde-1285	71	13	as	as	ADP
ejde-1285	71	14	the	the	DET
ejde-1285	71	15	main	main	ADJ
ejde-1285	71	16	tool	tool	NOUN
ejde-1285	71	17	in	in	ADP
ejde-1285	71	18	establishing	establish	VERB
ejde-1285	71	19	a	a	DET
ejde-1285	71	20	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	71	21	of	of	ADP
ejde-1285	71	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	71	23	for	for	ADP
ejde-1285	71	24	problems	problem	NOUN
ejde-1285	71	25	like	like	ADP
ejde-1285	71	26	(	(	PUNCT
ejde-1285	71	27	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	71	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	71	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	72	1	one	one	NUM
ejde-1285	72	2	of	of	ADP
ejde-1285	72	3	the	the	DET
ejde-1285	72	4	main	main	ADJ
ejde-1285	72	5	difficulties	difficulty	NOUN
ejde-1285	72	6	in	in	ADP
ejde-1285	72	7	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	72	8	positive	positive	ADJ
ejde-1285	72	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	72	10	for	for	ADP
ejde-1285	72	11	a	a	DET
ejde-1285	72	12	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	72	13	p	p	NOUN
ejde-1285	72	14	-	-	PUNCT
ejde-1285	72	15	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	72	16	3	3	NUM
ejde-1285	72	17	applying	apply	VERB
ejde-1285	72	18	this	this	DET
ejde-1285	72	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	72	20	is	be	AUX
ejde-1285	72	21	the	the	DET
ejde-1285	72	22	construction	construction	NOUN
ejde-1285	72	23	of	of	ADP
ejde-1285	72	24	a	a	DET
ejde-1285	72	25	suitable	suitable	ADJ
ejde-1285	72	26	strict	strict	ADJ
ejde-1285	72	27	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	72	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	72	29	w2	w2	NOUN
ejde-1285	72	30	.	.	PUNCT
ejde-1285	73	1	to	to	ADP
ejde-1285	73	2	our	our	PRON
ejde-1285	73	3	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-1285	73	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	73	5	the	the	DET
ejde-1285	73	6	existence	existence	NOUN
ejde-1285	73	7	of	of	ADP
ejde-1285	73	8	three	three	NUM
ejde-1285	73	9	positive	positive	ADJ
ejde-1285	73	10	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	73	11	has	have	AUX
ejde-1285	73	12	never	never	ADV
ejde-1285	73	13	been	be	AUX
ejde-1285	73	14	established	establish	VERB
ejde-1285	73	15	for	for	ADP
ejde-1285	73	16	problem	problem	NOUN
ejde-1285	73	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	73	18	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	73	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	73	20	;	;	PUNCT
ejde-1285	73	21	so	so	CCONJ
ejde-1285	73	22	theorems	theorem	NOUN
ejde-1285	73	23	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	73	24	and	and	CCONJ
ejde-1285	73	25	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	73	26	extend	extend	VERB
ejde-1285	73	27	the	the	DET
ejde-1285	73	28	results	result	NOUN
ejde-1285	73	29	in	in	ADP
ejde-1285	73	30	[	[	X
ejde-1285	73	31	18	18	NUM
ejde-1285	73	32	]	]	PUNCT
ejde-1285	73	33	where	where	SCONJ
ejde-1285	73	34	the	the	DET
ejde-1285	73	35	authors	author	NOUN
ejde-1285	73	36	studied	study	VERB
ejde-1285	73	37	the	the	DET
ejde-1285	73	38	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	73	39	of	of	ADP
ejde-1285	73	40	positive	positive	ADJ
ejde-1285	73	41	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	73	42	for	for	ADP
ejde-1285	73	43	problem	problem	NOUN
ejde-1285	73	44	(	(	PUNCT
ejde-1285	73	45	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	73	46	)	)	PUNCT
ejde-1285	73	47	in	in	ADP
ejde-1285	73	48	the	the	DET
ejde-1285	73	49	case	case	NOUN
ejde-1285	73	50	v	v	ADP
ejde-1285	73	51	≡	≡	PROPN
ejde-1285	73	52	0	0	NUM
ejde-1285	73	53	.	.	PUNCT
ejde-1285	74	1	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	74	2	results	result	NOUN
ejde-1285	74	3	applying	apply	VERB
ejde-1285	74	4	fixed	fix	VERB
ejde-1285	74	5	point	point	NOUN
ejde-1285	74	6	techniques	technique	NOUN
ejde-1285	74	7	have	have	AUX
ejde-1285	74	8	blossomed	blossom	VERB
ejde-1285	74	9	in	in	ADP
ejde-1285	74	10	recent	recent	ADJ
ejde-1285	74	11	years	year	NOUN
ejde-1285	74	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	74	13	see	see	VERB
ejde-1285	74	14	[	[	X
ejde-1285	74	15	13	13	NUM
ejde-1285	74	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	74	17	17	17	NUM
ejde-1285	74	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	74	19	18	18	NUM
ejde-1285	74	20	]	]	PUNCT
ejde-1285	74	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	74	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	75	1	for	for	ADP
ejde-1285	75	2	instance	instance	NOUN
ejde-1285	75	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	75	4	in	in	ADP
ejde-1285	75	5	[	[	PUNCT
ejde-1285	75	6	18	18	NUM
ejde-1285	75	7	]	]	X
ejde-1285	75	8	ramaswamy	ramaswamy	ADJ
ejde-1285	75	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	75	10	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	75	11	established	establish	VERB
ejde-1285	75	12	the	the	DET
ejde-1285	75	13	existence	existence	NOUN
ejde-1285	75	14	of	of	ADP
ejde-1285	75	15	three	three	NUM
ejde-1285	75	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	75	17	for	for	ADP
ejde-1285	75	18	problem	problem	NOUN
ejde-1285	75	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	75	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	75	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	75	22	in	in	ADP
ejde-1285	75	23	the	the	DET
ejde-1285	75	24	case	case	NOUN
ejde-1285	75	25	v	v	ADP
ejde-1285	75	26	≡	≡	PROPN
ejde-1285	75	27	0	0	NUM
ejde-1285	75	28	.	.	PUNCT
ejde-1285	76	1	in	in	ADP
ejde-1285	76	2	[	[	X
ejde-1285	76	3	9	9	NUM
ejde-1285	76	4	]	]	PUNCT
ejde-1285	76	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	76	6	the	the	DET
ejde-1285	76	7	authors	author	NOUN
ejde-1285	76	8	established	establish	VERB
ejde-1285	76	9	a	a	DET
ejde-1285	76	10	three	three	NUM
ejde-1285	76	11	-	-	PUNCT
ejde-1285	76	12	solution	solution	NOUN
ejde-1285	76	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	76	14	for	for	ADP
ejde-1285	76	15	a	a	DET
ejde-1285	76	16	singular	singular	ADJ
ejde-1285	76	17	problem	problem	NOUN
ejde-1285	76	18	with	with	ADP
ejde-1285	76	19	p	p	NOUN
ejde-1285	76	20	=	=	NOUN
ejde-1285	76	21	2	2	X
ejde-1285	76	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	76	23	recently	recently	ADV
ejde-1285	76	24	in	in	ADP
ejde-1285	76	25	[	[	X
ejde-1285	76	26	13	13	NUM
ejde-1285	76	27	]	]	PUNCT
ejde-1285	76	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	76	29	ko	ko	PROPN
ejde-1285	76	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	76	31	lee	lee	PROPN
ejde-1285	76	32	and	and	CCONJ
ejde-1285	76	33	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	76	34	proved	prove	VERB
ejde-1285	76	35	the	the	DET
ejde-1285	76	36	existence	existence	NOUN
ejde-1285	76	37	of	of	ADP
ejde-1285	76	38	three	three	NUM
ejde-1285	76	39	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	76	40	for	for	ADP
ejde-1285	76	41	a	a	DET
ejde-1285	76	42	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	76	43	type	type	NOUN
ejde-1285	76	44	operator	operator	NOUN
ejde-1285	76	45	with	with	ADP
ejde-1285	76	46	p	p	NOUN
ejde-1285	76	47	=	=	PROPN
ejde-1285	76	48	2	2	NUM
ejde-1285	76	49	and	and	CCONJ
ejde-1285	76	50	with	with	ADP
ejde-1285	76	51	a	a	DET
ejde-1285	76	52	singular	singular	ADJ
ejde-1285	76	53	reaction	reaction	NOUN
ejde-1285	76	54	term	term	NOUN
ejde-1285	76	55	at	at	ADP
ejde-1285	76	56	the	the	DET
ejde-1285	76	57	origin	origin	NOUN
ejde-1285	76	58	.	.	PUNCT
ejde-1285	77	1	in	in	ADP
ejde-1285	77	2	contrast	contrast	NOUN
ejde-1285	77	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	77	4	we	we	PRON
ejde-1285	77	5	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	77	6	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	77	7	positive	positive	ADJ
ejde-1285	77	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	77	9	for	for	ADP
ejde-1285	77	10	problem	problem	NOUN
ejde-1285	77	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	77	12	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	77	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	77	14	when	when	SCONJ
ejde-1285	77	15	v	v	ADP
ejde-1285	77	16	̸=	̸=	PROPN
ejde-1285	77	17	0	0	NUM
ejde-1285	77	18	and	and	CCONJ
ejde-1285	77	19	p	p	PROPN
ejde-1285	77	20	̸=	̸=	PROPN
ejde-1285	77	21	2	2	NUM
ejde-1285	77	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	78	1	other	other	ADJ
ejde-1285	78	2	works	work	NOUN
ejde-1285	78	3	on	on	ADP
ejde-1285	78	4	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	78	5	of	of	ADP
ejde-1285	78	6	positive	positive	ADJ
ejde-1285	78	7	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	78	8	in	in	ADP
ejde-1285	78	9	the	the	DET
ejde-1285	78	10	singular	singular	ADJ
ejde-1285	78	11	case	case	NOUN
ejde-1285	78	12	with	with	ADP
ejde-1285	78	13	v	v	NUM
ejde-1285	78	14	≡	≡	PROPN
ejde-1285	78	15	0	0	NUM
ejde-1285	78	16	are	be	AUX
ejde-1285	78	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	78	18	for	for	ADP
ejde-1285	78	19	instance	instance	NOUN
ejde-1285	78	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	78	21	[	[	X
ejde-1285	78	22	4	4	NUM
ejde-1285	78	23	,	,	PUNCT
ejde-1285	78	24	14	14	NUM
ejde-1285	78	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	78	26	15	15	NUM
ejde-1285	78	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	78	28	20	20	NUM
ejde-1285	78	29	]	]	PUNCT
ejde-1285	78	30	.	.	PUNCT
ejde-1285	79	1	in	in	ADP
ejde-1285	79	2	the	the	DET
ejde-1285	79	3	case	case	NOUN
ejde-1285	79	4	of	of	ADP
ejde-1285	79	5	λ	λ	PROPN
ejde-1285	79	6	=	=	SYM
ejde-1285	79	7	0	0	NUM
ejde-1285	79	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	79	9	considering	consider	VERB
ejde-1285	79	10	a	a	DET
ejde-1285	79	11	suitable	suitable	ADJ
ejde-1285	79	12	function	function	NOUN
ejde-1285	79	13	g	g	NOUN
ejde-1285	79	14	which	which	PRON
ejde-1285	79	15	is	be	AUX
ejde-1285	79	16	perturbed	perturb	VERB
ejde-1285	79	17	for	for	ADP
ejde-1285	79	18	an	an	DET
ejde-1285	79	19	exactly	exactly	ADV
ejde-1285	79	20	once	once	ADV
ejde-1285	79	21	sign	sign	NOUN
ejde-1285	79	22	-	-	PUNCT
ejde-1285	79	23	changing	change	VERB
ejde-1285	79	24	potential	potential	ADJ
ejde-1285	79	25	v	v	NOUN
ejde-1285	79	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	79	27	authors	author	NOUN
ejde-1285	79	28	in	in	ADP
ejde-1285	79	29	[	[	X
ejde-1285	79	30	5	5	NUM
ejde-1285	79	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	79	32	6	6	NUM
ejde-1285	79	33	]	]	PUNCT
ejde-1285	79	34	obtained	obtain	VERB
ejde-1285	79	35	infinitely	infinitely	ADV
ejde-1285	79	36	many	many	ADJ
ejde-1285	79	37	sign	sign	NOUN
ejde-1285	79	38	-	-	PUNCT
ejde-1285	79	39	changing	change	VERB
ejde-1285	79	40	radial	radial	ADJ
ejde-1285	79	41	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	79	42	.	.	PUNCT
ejde-1285	80	1	there	there	PRON
ejde-1285	80	2	are	be	VERB
ejde-1285	80	3	many	many	ADJ
ejde-1285	80	4	papers	paper	NOUN
ejde-1285	80	5	that	that	PRON
ejde-1285	80	6	investigated	investigate	VERB
ejde-1285	80	7	problems	problem	NOUN
ejde-1285	80	8	similar	similar	ADJ
ejde-1285	80	9	to	to	ADP
ejde-1285	80	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	80	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	80	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	80	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	81	1	these	these	DET
ejde-1285	81	2	researches	research	NOUN
ejde-1285	81	3	involve	involve	VERB
ejde-1285	81	4	n	n	NOUN
ejde-1285	81	5	=	=	SYM
ejde-1285	81	6	1	1	NUM
ejde-1285	81	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	81	8	v	v	ADP
ejde-1285	81	9	≡	≡	PROPN
ejde-1285	81	10	0	0	NUM
ejde-1285	81	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	81	12	λ	λ	X
ejde-1285	81	13	=	=	SYM
ejde-1285	81	14	0	0	NUM
ejde-1285	81	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	81	16	non	non	ADJ
ejde-1285	81	17	-	-	ADJ
ejde-1285	81	18	linearities	linearity	NOUN
ejde-1285	81	19	having	have	VERB
ejde-1285	81	20	a	a	DET
ejde-1285	81	21	singularity	singularity	NOUN
ejde-1285	81	22	and/or	and/or	CCONJ
ejde-1285	81	23	n	n	NOUN
ejde-1285	81	24	<	<	X
ejde-1285	81	25	p.	p.	NOUN
ejde-1285	81	26	only	only	ADV
ejde-1285	81	27	a	a	DET
ejde-1285	81	28	few	few	ADJ
ejde-1285	81	29	works	work	NOUN
ejde-1285	81	30	are	be	AUX
ejde-1285	81	31	known	know	VERB
ejde-1285	81	32	in	in	ADP
ejde-1285	81	33	the	the	DET
ejde-1285	81	34	literature	literature	NOUN
ejde-1285	81	35	considering	consider	VERB
ejde-1285	81	36	exactly	exactly	ADV
ejde-1285	81	37	the	the	DET
ejde-1285	81	38	problem	problem	NOUN
ejde-1285	81	39	(	(	PUNCT
ejde-1285	81	40	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	81	41	)	)	PUNCT
ejde-1285	81	42	.	.	PUNCT
ejde-1285	82	1	to	to	PART
ejde-1285	82	2	illustrate	illustrate	VERB
ejde-1285	82	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	82	4	in	in	ADP
ejde-1285	82	5	[	[	PUNCT
ejde-1285	82	6	2	2	NUM
ejde-1285	82	7	]	]	PUNCT
ejde-1285	82	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	82	9	the	the	DET
ejde-1285	82	10	authors	author	NOUN
ejde-1285	82	11	investigated	investigate	VERB
ejde-1285	82	12	problem	problem	NOUN
ejde-1285	82	13	(	(	PUNCT
ejde-1285	82	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	82	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	82	16	for	for	ADP
ejde-1285	82	17	p	p	PROPN
ejde-1285	82	18	>	>	X
ejde-1285	82	19	n	n	PROPN
ejde-1285	82	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	82	21	where	where	SCONJ
ejde-1285	82	22	v	v	NOUN
ejde-1285	82	23	represents	represent	VERB
ejde-1285	82	24	a	a	DET
ejde-1285	82	25	positive	positive	ADJ
ejde-1285	82	26	potential	potential	NOUN
ejde-1285	82	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	83	1	they	they	PRON
ejde-1285	83	2	demonstrated	demonstrate	VERB
ejde-1285	83	3	the	the	DET
ejde-1285	83	4	existence	existence	NOUN
ejde-1285	83	5	of	of	ADP
ejde-1285	83	6	at	at	ADV
ejde-1285	83	7	least	least	ADV
ejde-1285	83	8	three	three	NUM
ejde-1285	83	9	weak	weak	ADJ
ejde-1285	83	10	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	83	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	83	12	each	each	PRON
ejde-1285	83	13	with	with	ADP
ejde-1285	83	14	a	a	DET
ejde-1285	83	15	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	83	16	norm	norm	NOUN
ejde-1285	83	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	84	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1285	84	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	84	3	we	we	PRON
ejde-1285	84	4	have	have	AUX
ejde-1285	84	5	extended	extend	VERB
ejde-1285	84	6	the	the	DET
ejde-1285	84	7	result	result	NOUN
ejde-1285	84	8	obtained	obtain	VERB
ejde-1285	84	9	in	in	ADP
ejde-1285	84	10	[	[	X
ejde-1285	84	11	2	2	NUM
ejde-1285	84	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	84	13	because	because	SCONJ
ejde-1285	84	14	our	our	PRON
ejde-1285	84	15	potential	potential	NOUN
ejde-1285	84	16	can	can	AUX
ejde-1285	84	17	assume	assume	VERB
ejde-1285	84	18	negative	negative	ADJ
ejde-1285	84	19	values	value	NOUN
ejde-1285	84	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	85	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	85	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	85	3	we	we	PRON
ejde-1285	85	4	have	have	AUX
ejde-1285	85	5	augmented	augment	VERB
ejde-1285	85	6	the	the	DET
ejde-1285	85	7	range	range	NOUN
ejde-1285	85	8	of	of	ADP
ejde-1285	85	9	values	value	NOUN
ejde-1285	85	10	for	for	ADP
ejde-1285	85	11	p.	p.	NOUN
ejde-1285	85	12	see	see	VERB
ejde-1285	85	13	also	also	ADV
ejde-1285	85	14	[	[	X
ejde-1285	85	15	16	16	NUM
ejde-1285	85	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	85	17	19	19	NUM
ejde-1285	85	18	]	]	PUNCT
ejde-1285	85	19	.	.	PUNCT
ejde-1285	86	1	this	this	DET
ejde-1285	86	2	paper	paper	NOUN
ejde-1285	86	3	is	be	AUX
ejde-1285	86	4	organized	organize	VERB
ejde-1285	86	5	in	in	ADP
ejde-1285	86	6	the	the	DET
ejde-1285	86	7	following	following	ADJ
ejde-1285	86	8	manner	manner	NOUN
ejde-1285	86	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	87	1	in	in	ADP
ejde-1285	87	2	section	section	NOUN
ejde-1285	87	3	2	2	NUM
ejde-1285	87	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	87	5	we	we	PRON
ejde-1285	87	6	will	will	AUX
ejde-1285	87	7	present	present	VERB
ejde-1285	87	8	some	some	DET
ejde-1285	87	9	relevant	relevant	ADJ
ejde-1285	87	10	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1285	87	11	results	result	NOUN
ejde-1285	87	12	on	on	ADP
ejde-1285	87	13	sub	sub	NOUN
ejde-1285	87	14	and	and	CCONJ
ejde-1285	87	15	super	super	ADJ
ejde-1285	87	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	87	17	in	in	ADP
ejde-1285	87	18	the	the	DET
ejde-1285	87	19	context	context	NOUN
ejde-1285	87	20	of	of	ADP
ejde-1285	87	21	problem	problem	NOUN
ejde-1285	87	22	(	(	PUNCT
ejde-1285	87	23	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	87	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	87	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	87	26	which	which	PRON
ejde-1285	87	27	are	be	AUX
ejde-1285	87	28	necessary	necessary	ADJ
ejde-1285	87	29	for	for	ADP
ejde-1285	87	30	the	the	DET
ejde-1285	87	31	proofs	proof	NOUN
ejde-1285	87	32	of	of	ADP
ejde-1285	87	33	theorems	theorem	NOUN
ejde-1285	87	34	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	87	35	and	and	CCONJ
ejde-1285	87	36	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	87	37	.	.	PUNCT
ejde-1285	87	38	to	to	PART
ejde-1285	87	39	prove	prove	VERB
ejde-1285	87	40	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	87	41	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	87	42	we	we	PRON
ejde-1285	87	43	use	use	VERB
ejde-1285	87	44	some	some	DET
ejde-1285	87	45	results	result	NOUN
ejde-1285	87	46	related	relate	VERB
ejde-1285	87	47	to	to	ADP
ejde-1285	87	48	completely	completely	ADV
ejde-1285	87	49	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	87	50	maps	map	NOUN
ejde-1285	87	51	defined	define	VERB
ejde-1285	87	52	on	on	ADP
ejde-1285	87	53	retracting	retract	VERB
ejde-1285	87	54	banach	banach	NOUN
ejde-1285	87	55	spaces	space	NOUN
ejde-1285	87	56	,	,	PUNCT
ejde-1285	87	57	as	as	ADV
ejde-1285	87	58	well	well	ADV
ejde-1285	87	59	as	as	ADP
ejde-1285	87	60	strong	strong	ADJ
ejde-1285	87	61	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	87	62	principles	principle	NOUN
ejde-1285	87	63	and	and	CCONJ
ejde-1285	87	64	maximum	maximum	ADJ
ejde-1285	87	65	principles	principle	NOUN
ejde-1285	87	66	.	.	PUNCT
ejde-1285	88	1	section	section	NOUN
ejde-1285	88	2	3	3	NUM
ejde-1285	88	3	is	be	AUX
ejde-1285	88	4	devoted	devote	VERB
ejde-1285	88	5	to	to	ADP
ejde-1285	88	6	the	the	DET
ejde-1285	88	7	proof	proof	NOUN
ejde-1285	88	8	of	of	ADP
ejde-1285	88	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	88	10	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	88	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	89	1	in	in	ADP
ejde-1285	89	2	section	section	NOUN
ejde-1285	89	3	4	4	NUM
ejde-1285	89	4	we	we	PRON
ejde-1285	89	5	construct	construct	VERB
ejde-1285	89	6	a	a	DET
ejde-1285	89	7	strict	strict	ADJ
ejde-1285	89	8	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	89	9	to	to	PART
ejde-1285	89	10	problem	problem	NOUN
ejde-1285	89	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	89	12	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	89	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	89	14	and	and	CCONJ
ejde-1285	89	15	then	then	ADV
ejde-1285	89	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	89	17	applying	apply	VERB
ejde-1285	89	18	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	89	19	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	89	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	89	21	we	we	PRON
ejde-1285	89	22	prove	prove	VERB
ejde-1285	89	23	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	89	24	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	89	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	90	1	finally	finally	ADV
ejde-1285	90	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	90	3	in	in	ADP
ejde-1285	90	4	section	section	NOUN
ejde-1285	90	5	5	5	NUM
ejde-1285	90	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	90	7	we	we	PRON
ejde-1285	90	8	prove	prove	VERB
ejde-1285	90	9	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	90	10	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	90	11	.	.	NOUN
ejde-1285	91	1	2	2	NUM
ejde-1285	91	2	.	.	X
ejde-1285	91	3	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1285	91	4	results	result	NOUN
ejde-1285	91	5	definition	definition	NOUN
ejde-1285	91	6	2.1	2.1	NUM
ejde-1285	91	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	92	1	by	by	ADP
ejde-1285	92	2	a	a	DET
ejde-1285	92	3	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	92	4	of	of	ADP
ejde-1285	92	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	92	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	92	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	92	8	we	we	PRON
ejde-1285	92	9	mean	mean	VERB
ejde-1285	92	10	a	a	DET
ejde-1285	92	11	function	function	NOUN
ejde-1285	92	12	u	u	PROPN
ejde-1285	92	13	∈	∈	PROPN
ejde-1285	92	14	w	w	PROPN
ejde-1285	92	15	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	92	16	0	0	NUM
ejde-1285	92	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	92	18	ω	ω	NOUN
ejde-1285	92	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	92	20	∩	∩	NOUN
ejde-1285	92	21	c(ω̄	c(ω̄	NOUN
ejde-1285	92	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	92	23	such	such	ADJ
ejde-1285	92	24	that∫	that∫	NOUN
ejde-1285	92	25	ω	ω	NUM
ejde-1285	92	26	|∇u|p−2∇u∇v	|∇u|p−2∇u∇v	PRON
ejde-1285	93	1	dx+	dx+	ADJ
ejde-1285	93	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	93	3	ω	ω	NUM
ejde-1285	93	4	v	v	PROPN
ejde-1285	93	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	93	6	x)|u|p−1uv	x)|u|p−1uv	PROPN
ejde-1285	93	7	dx	dx	PROPN
ejde-1285	93	8	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	93	9	λ	λ	PROPN
ejde-1285	93	10	∫	∫	PROPN
ejde-1285	93	11	ω	ω	PROPN
ejde-1285	93	12	f(u)v	f(u)v	PROPN
ejde-1285	93	13	dx	dx	PROPN
ejde-1285	93	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	93	15	for	for	ADP
ejde-1285	93	16	all	all	DET
ejde-1285	93	17	v	v	ADP
ejde-1285	93	18	∈	∈	PROPN
ejde-1285	93	19	w	w	PROPN
ejde-1285	93	20	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	93	21	0	0	NUM
ejde-1285	93	22	(	(	PUNCT
ejde-1285	93	23	ω	ω	NOUN
ejde-1285	93	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	93	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	93	26	v	v	ADP
ejde-1285	93	27	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	93	28	0	0	NUM
ejde-1285	93	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	94	1	if	if	SCONJ
ejde-1285	94	2	u	u	NOUN
ejde-1285	94	3	is	be	AUX
ejde-1285	94	4	not	not	PART
ejde-1285	94	5	a	a	DET
ejde-1285	94	6	solution	solution	NOUN
ejde-1285	94	7	of	of	ADP
ejde-1285	94	8	this	this	DET
ejde-1285	94	9	problem	problem	NOUN
ejde-1285	94	10	then	then	ADV
ejde-1285	94	11	we	we	PRON
ejde-1285	94	12	call	call	VERB
ejde-1285	94	13	it	it	PRON
ejde-1285	94	14	a	a	DET
ejde-1285	94	15	strict	strict	ADJ
ejde-1285	94	16	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	94	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	95	1	similarly	similarly	ADV
ejde-1285	95	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	95	3	we	we	PRON
ejde-1285	95	4	say	say	VERB
ejde-1285	95	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	95	6	u	u	PROPN
ejde-1285	95	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	95	8	w	w	PROPN
ejde-1285	95	9	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	95	10	0	0	NUM
ejde-1285	95	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	95	12	ω	ω	NOUN
ejde-1285	95	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	95	14	∩	∩	NOUN
ejde-1285	95	15	c(ω̄	c(ω̄	NOUN
ejde-1285	95	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	95	17	is	be	AUX
ejde-1285	95	18	a	a	DET
ejde-1285	95	19	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	95	20	of	of	ADP
ejde-1285	95	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	95	22	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	95	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	95	24	if∫	if∫	PROPN
ejde-1285	95	25	ω	ω	PROPN
ejde-1285	96	1	|∇u|p−2∇u∇v	|∇u|p−2∇u∇v	PRON
ejde-1285	96	2	dx+	dx+	ADJ
ejde-1285	96	3	∫	∫	PROPN
ejde-1285	96	4	ω	ω	NUM
ejde-1285	96	5	v	v	PROPN
ejde-1285	96	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	96	7	x)|u|p−1uv	x)|u|p−1uv	PROPN
ejde-1285	96	8	dx	dx	PROPN
ejde-1285	96	9	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	97	1	λ	λ	PROPN
ejde-1285	97	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	97	3	ω	ω	PROPN
ejde-1285	97	4	f(u)v	f(u)v	PROPN
ejde-1285	97	5	dx	dx	PROPN
ejde-1285	97	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	97	7	for	for	ADP
ejde-1285	97	8	all	all	PRON
ejde-1285	97	9	v	v	ADP
ejde-1285	97	10	∈	∈	PROPN
ejde-1285	97	11	w	w	PROPN
ejde-1285	97	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	97	13	0	0	NUM
ejde-1285	97	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	97	15	ω	ω	NOUN
ejde-1285	97	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	97	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	97	18	v	v	ADP
ejde-1285	97	19	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	97	20	0	0	NUM
ejde-1285	97	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	98	1	similarly	similarly	ADV
ejde-1285	98	2	we	we	PRON
ejde-1285	98	3	define	define	VERB
ejde-1285	98	4	the	the	DET
ejde-1285	98	5	concept	concept	NOUN
ejde-1285	98	6	of	of	ADP
ejde-1285	98	7	strict	strict	ADJ
ejde-1285	98	8	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	98	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	99	1	remark	remark	PROPN
ejde-1285	99	2	2.2	2.2	NUM
ejde-1285	99	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	100	1	if	if	SCONJ
ejde-1285	100	2	g	g	PROPN
ejde-1285	100	3	is	be	AUX
ejde-1285	100	4	an	an	DET
ejde-1285	100	5	appropriate	appropriate	ADJ
ejde-1285	100	6	function	function	NOUN
ejde-1285	100	7	defined	define	VERB
ejde-1285	100	8	on	on	ADP
ejde-1285	100	9	[	[	X
ejde-1285	100	10	0	0	NUM
ejde-1285	100	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	12	r	r	NOUN
ejde-1285	100	13	]	]	X
ejde-1285	100	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	15	the	the	DET
ejde-1285	100	16	radial	radial	ADJ
ejde-1285	100	17	version	version	NOUN
ejde-1285	100	18	of	of	ADP
ejde-1285	100	19	the	the	DET
ejde-1285	100	20	problem	problem	NOUN
ejde-1285	100	21	−∆pu	−∆pu	INTJ
ejde-1285	100	22	=	=	SYM
ejde-1285	100	23	g(|x|	g(|x|	PROPN
ejde-1285	100	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	100	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	26	x	x	PUNCT
ejde-1285	100	27	∈	∈	PROPN
ejde-1285	100	28	br	br	PROPN
ejde-1285	100	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	30	u(x	u(x	PROPN
ejde-1285	100	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	100	32	=	=	SYM
ejde-1285	100	33	0	0	NUM
ejde-1285	100	34	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	35	|x|	|x|	PROPN
ejde-1285	100	36	=	=	SYM
ejde-1285	100	37	r	r	NOUN
ejde-1285	100	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	100	39	is	be	AUX
ejde-1285	100	40	−	−	PROPN
ejde-1285	100	41	(	(	PUNCT
ejde-1285	100	42	rn−1φp(v	rn−1φp(v	NOUN
ejde-1285	100	43	′	′	NUM
ejde-1285	100	44	)	)	PUNCT
ejde-1285	100	45	)	)	PUNCT
ejde-1285	101	1	′	′	NUM
ejde-1285	101	2	=	=	SYM
ejde-1285	101	3	rn−1g(r	rn−1g(r	NOUN
ejde-1285	101	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	101	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	101	6	0	0	PUNCT
ejde-1285	101	7	<	<	X
ejde-1285	101	8	r	r	X
ejde-1285	101	9	<	<	X
ejde-1285	101	10	r	r	NOUN
ejde-1285	101	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	101	12	v(r	v(r	NOUN
ejde-1285	101	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	101	14	=	=	SYM
ejde-1285	102	1	0	0	NUM
ejde-1285	102	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	102	3	v′(0	v′(0	ADJ
ejde-1285	102	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	102	5	=	=	SYM
ejde-1285	102	6	0	0	NUM
ejde-1285	102	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	102	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	102	9	2.1	2.1	NUM
ejde-1285	102	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	102	11	where	where	SCONJ
ejde-1285	102	12	v(r	v(r	NOUN
ejde-1285	102	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	102	14	:	:	PUNCT
ejde-1285	102	15	=	=	SYM
ejde-1285	102	16	u(x	u(x	PROPN
ejde-1285	102	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	102	18	and	and	CCONJ
ejde-1285	102	19	r	r	NOUN
ejde-1285	102	20	=	=	SYM
ejde-1285	102	21	|x|	|x|	PROPN
ejde-1285	102	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	103	1	in	in	ADP
ejde-1285	103	2	addition	addition	NOUN
ejde-1285	103	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	103	4	every	every	DET
ejde-1285	103	5	solution	solution	NOUN
ejde-1285	103	6	of	of	ADP
ejde-1285	103	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	103	8	2.1	2.1	NUM
ejde-1285	103	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	103	10	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1285	103	11	−v′(r	−v′(r	NOUN
ejde-1285	103	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	104	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	105	1	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	105	2	p	p	X
ejde-1285	105	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	105	4	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1285	105	5	∫	∫	PROPN
ejde-1285	105	6	r	r	NOUN
ejde-1285	105	7	0	0	NUM
ejde-1285	105	8	tn−1g(v	tn−1g(v	NUM
ejde-1285	105	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	10	dt	dt	PROPN
ejde-1285	105	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	105	13	0	0	NUM
ejde-1285	105	14	<	<	X
ejde-1285	105	15	r	r	NOUN
ejde-1285	105	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	105	17	r.	r.	PROPN
ejde-1285	105	18	4	4	NUM
ejde-1285	105	19	s.	s.	PROPN
ejde-1285	105	20	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	105	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	105	22	e.	e.	PROPN
ejde-1285	105	23	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	105	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	105	25	d.	d.	PROPN
ejde-1285	105	26	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	105	27	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADV
ejde-1285	105	28	given	give	VERB
ejde-1285	105	29	z	z	PROPN
ejde-1285	105	30	∈	∈	PROPN
ejde-1285	105	31	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	105	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	33	and	and	CCONJ
ejde-1285	105	34	by	by	ADP
ejde-1285	105	35	extending	extend	VERB
ejde-1285	105	36	f(t	f(t	NOUN
ejde-1285	105	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	38	=	=	SYM
ejde-1285	105	39	f(0	f(0	NOUN
ejde-1285	105	40	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	41	for	for	ADP
ejde-1285	105	42	all	all	DET
ejde-1285	105	43	t	t	PROPN
ejde-1285	105	44	<	<	X
ejde-1285	105	45	0	0	NUM
ejde-1285	105	46	,	,	PUNCT
ejde-1285	105	47	we	we	PRON
ejde-1285	105	48	see	see	VERB
ejde-1285	105	49	that	that	SCONJ
ejde-1285	105	50	λf	λf	ADP
ejde-1285	105	51	◦	◦	NOUN
ejde-1285	105	52	z	z	NOUN
ejde-1285	105	53	∈	∈	NOUN
ejde-1285	105	54	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	105	55	)	)	PUNCT
ejde-1285	105	56	and	and	CCONJ
ejde-1285	105	57	λf	λf	ADP
ejde-1285	105	58	◦	◦	NOUN
ejde-1285	105	59	z	z	NOUN
ejde-1285	105	60	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	106	1	0	0	NUM
ejde-1285	106	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	107	1	from	from	ADP
ejde-1285	107	2	[	[	X
ejde-1285	107	3	12	12	NUM
ejde-1285	107	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	107	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	107	6	6.4.6	6.4.6	NUM
ejde-1285	107	7	]	]	PUNCT
ejde-1285	107	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	107	9	we	we	PRON
ejde-1285	107	10	know	know	VERB
ejde-1285	107	11	that	that	SCONJ
ejde-1285	107	12	there	there	PRON
ejde-1285	107	13	exists	exist	VERB
ejde-1285	107	14	a	a	DET
ejde-1285	107	15	unique	unique	ADJ
ejde-1285	107	16	w	w	PROPN
ejde-1285	107	17	∈	∈	PROPN
ejde-1285	107	18	w	w	PROPN
ejde-1285	107	19	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	107	20	0	0	NUM
ejde-1285	107	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	107	22	ω	ω	NOUN
ejde-1285	107	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	107	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	107	25	w	w	ADP
ejde-1285	107	26	>	>	X
ejde-1285	107	27	0	0	PUNCT
ejde-1285	108	1	in	in	ADP
ejde-1285	108	2	ω	ω	NUM
ejde-1285	108	3	such	such	ADJ
ejde-1285	108	4	that	that	DET
ejde-1285	108	5	−∆p(w	−∆p(w	PROPN
ejde-1285	108	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	108	7	+	+	CCONJ
ejde-1285	108	8	v	v	NOUN
ejde-1285	108	9	φp(w	φp(w	PUNCT
ejde-1285	108	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	108	11	=	=	PUNCT
ejde-1285	108	12	λf(z	λf(z	NOUN
ejde-1285	108	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	108	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	109	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	109	2	2.2	2.2	NUM
ejde-1285	109	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	109	4	also	also	ADV
ejde-1285	109	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	109	6	from	from	ADP
ejde-1285	109	7	the	the	DET
ejde-1285	109	8	regularity	regularity	NOUN
ejde-1285	109	9	theory	theory	NOUN
ejde-1285	109	10	[	[	X
ejde-1285	109	11	12	12	NUM
ejde-1285	109	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	109	13	theorems	theorem	NOUN
ejde-1285	109	14	6.2.6	6.2.6	NUM
ejde-1285	109	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	109	16	6.2.7	6.2.7	NUM
ejde-1285	109	17	]	]	X
ejde-1285	109	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	109	19	w	w	PROPN
ejde-1285	109	20	∈	∈	PROPN
ejde-1285	109	21	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1285	109	22	0	0	PUNCT
ejde-1285	109	23	(	(	PUNCT
ejde-1285	109	24	ω	ω	NOUN
ejde-1285	109	25	)	)	PUNCT
ejde-1285	109	26	for	for	ADP
ejde-1285	109	27	some	some	PRON
ejde-1285	109	28	0	0	NUM
ejde-1285	109	29	<	<	X
ejde-1285	109	30	α	α	X
ejde-1285	109	31	<	<	X
ejde-1285	109	32	1	1	NUM
ejde-1285	109	33	.	.	PUNCT
ejde-1285	110	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	110	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	110	3	we	we	PRON
ejde-1285	110	4	can	can	AUX
ejde-1285	110	5	define	define	VERB
ejde-1285	110	6	the	the	DET
ejde-1285	110	7	operator	operator	NOUN
ejde-1285	110	8	a	a	DET
ejde-1285	110	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	110	10	c0(ω	c0(ω	NUM
ejde-1285	110	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	110	12	→	→	SYM
ejde-1285	110	13	c1	c1	PROPN
ejde-1285	110	14	0	0	NUM
ejde-1285	110	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	110	16	ω	ω	NOUN
ejde-1285	110	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	110	18	as	as	SCONJ
ejde-1285	110	19	follows	follow	VERB
ejde-1285	110	20	:	:	PUNCT
ejde-1285	110	21	a(z	a(z	PROPN
ejde-1285	110	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	110	23	=	=	PUNCT
ejde-1285	111	1	w	w	NOUN
ejde-1285	111	2	if	if	SCONJ
ejde-1285	111	3	and	and	CCONJ
ejde-1285	111	4	only	only	ADV
ejde-1285	111	5	if	if	SCONJ
ejde-1285	111	6	w	w	NOUN
ejde-1285	111	7	is	be	AUX
ejde-1285	111	8	a	a	DET
ejde-1285	111	9	weak	weak	ADJ
ejde-1285	111	10	solution	solution	NOUN
ejde-1285	111	11	of	of	ADP
ejde-1285	111	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	111	13	2.2	2.2	NUM
ejde-1285	111	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	111	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	112	1	now	now	ADV
ejde-1285	112	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	112	3	for	for	ADP
ejde-1285	112	4	δ	δ	PROPN
ejde-1285	112	5	>	>	X
ejde-1285	112	6	0	0	PROPN
ejde-1285	112	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	112	8	let	let	VERB
ejde-1285	112	9	ωδ	ωδ	VERB
ejde-1285	112	10	=	=	VERB
ejde-1285	112	11	{	{	PUNCT
ejde-1285	112	12	x	x	PUNCT
ejde-1285	112	13	∈	∈	PROPN
ejde-1285	112	14	ω	ω	NOUN
ejde-1285	112	15	:	:	PUNCT
ejde-1285	113	1	dist(x	dist(x	PROPN
ejde-1285	113	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	113	3	ω	ω	NOUN
ejde-1285	113	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	113	5	<	<	X
ejde-1285	113	6	δ	δ	X
ejde-1285	113	7	}	}	PUNCT
ejde-1285	113	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	114	1	the	the	DET
ejde-1285	114	2	following	follow	VERB
ejde-1285	114	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	114	4	is	be	AUX
ejde-1285	114	5	a	a	DET
ejde-1285	114	6	standard	standard	ADJ
ejde-1285	114	7	result	result	NOUN
ejde-1285	114	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	114	9	see	see	VERB
ejde-1285	114	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	114	11	for	for	ADP
ejde-1285	114	12	example	example	NOUN
ejde-1285	114	13	[	[	X
ejde-1285	114	14	11	11	NUM
ejde-1285	114	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	114	16	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	114	17	6.1	6.1	NUM
ejde-1285	114	18	]	]	PUNCT
ejde-1285	114	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	114	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	115	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	115	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1285	115	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	115	4	strong	strong	ADJ
ejde-1285	115	5	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	115	6	principle	principle	NOUN
ejde-1285	115	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	115	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	116	1	for	for	ADP
ejde-1285	116	2	i	i	PRON
ejde-1285	116	3	=	=	NOUN
ejde-1285	116	4	1	1	NUM
ejde-1285	116	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	116	6	2	2	NUM
ejde-1285	116	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	116	8	suppose	suppose	VERB
ejde-1285	116	9	that	that	SCONJ
ejde-1285	116	10	fi	fi	NOUN
ejde-1285	116	11	∈	∈	PROPN
ejde-1285	116	12	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	116	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	116	14	and	and	CCONJ
ejde-1285	116	15	that	that	SCONJ
ejde-1285	116	16	ui	ui	PROPN
ejde-1285	116	17	∈	∈	PROPN
ejde-1285	116	18	w	w	PROPN
ejde-1285	116	19	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	116	20	0	0	NUM
ejde-1285	116	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	116	22	ω	ω	NOUN
ejde-1285	116	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	116	24	is	be	AUX
ejde-1285	116	25	a	a	DET
ejde-1285	116	26	weak	weak	ADJ
ejde-1285	116	27	solution	solution	NOUN
ejde-1285	116	28	to	to	ADP
ejde-1285	116	29	−∆pui	−∆pui	NOUN
ejde-1285	116	30	+	+	CCONJ
ejde-1285	116	31	v	v	NOUN
ejde-1285	116	32	(	(	PUNCT
ejde-1285	116	33	x)φp(ui	x)φp(ui	NUM
ejde-1285	116	34	)	)	PUNCT
ejde-1285	116	35	=	=	SYM
ejde-1285	116	36	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-1285	116	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	116	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	116	39	where	where	SCONJ
ejde-1285	116	40	0	0	NUM
ejde-1285	116	41	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	116	42	f1	f1	PROPN
ejde-1285	116	43	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	116	44	f2	f2	PROPN
ejde-1285	116	45	but	but	CCONJ
ejde-1285	116	46	f1	f1	PROPN
ejde-1285	116	47	̸=	̸=	PROPN
ejde-1285	116	48	f2	f2	PROPN
ejde-1285	116	49	.	.	PUNCT
ejde-1285	117	1	then	then	ADV
ejde-1285	117	2	0	0	NUM
ejde-1285	117	3	≤	≤	NUM
ejde-1285	117	4	u1	u1	NOUN
ejde-1285	117	5	<	<	X
ejde-1285	117	6	u2	u2	PROPN
ejde-1285	117	7	in	in	ADP
ejde-1285	117	8	ω	ω	PROPN
ejde-1285	117	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	117	10	∂u2	∂u2	NOUN
ejde-1285	117	11	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	117	12	<	<	X
ejde-1285	117	13	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-1285	117	14	∂η	∂η	X
ejde-1285	117	15	on	on	ADP
ejde-1285	117	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	117	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	118	1	the	the	DET
ejde-1285	118	2	following	follow	VERB
ejde-1285	118	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	118	4	was	be	AUX
ejde-1285	118	5	proven	prove	VERB
ejde-1285	118	6	in	in	ADP
ejde-1285	118	7	[	[	X
ejde-1285	118	8	12	12	NUM
ejde-1285	118	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	118	10	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	118	11	6.4.6	6.4.6	NUM
ejde-1285	118	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	118	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	119	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	119	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1285	119	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	119	4	maximum	maximum	ADJ
ejde-1285	119	5	principle	principle	NOUN
ejde-1285	119	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	119	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	120	1	let	let	VERB
ejde-1285	120	2	us	we	PRON
ejde-1285	120	3	assume	assume	VERB
ejde-1285	120	4	(	(	PUNCT
ejde-1285	120	5	a3	a3	NOUN
ejde-1285	120	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	120	7	and	and	CCONJ
ejde-1285	120	8	let	let	VERB
ejde-1285	120	9	u	u	PRON
ejde-1285	120	10	∈	∈	PROPN
ejde-1285	120	11	w	w	PROPN
ejde-1285	120	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	120	13	0	0	NUM
ejde-1285	120	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	120	15	ω	ω	NOUN
ejde-1285	120	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	120	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	120	18	u	u	NOUN
ejde-1285	120	19	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	120	20	0	0	NUM
ejde-1285	120	21	be	be	AUX
ejde-1285	120	22	a	a	DET
ejde-1285	120	23	super	super	ADJ
ejde-1285	120	24	solution	solution	NOUN
ejde-1285	120	25	of	of	ADP
ejde-1285	120	26	−∆p(u	−∆p(u	PROPN
ejde-1285	120	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	121	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	121	2	v	v	X
ejde-1285	121	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	121	4	x)φp(u	x)φp(u	PROPN
ejde-1285	121	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	121	6	=	=	SYM
ejde-1285	122	1	0	0	X
ejde-1285	122	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	123	1	then	then	ADV
ejde-1285	123	2	either	either	CCONJ
ejde-1285	123	3	u	u	PROPN
ejde-1285	123	4	≡	≡	PROPN
ejde-1285	123	5	0	0	NUM
ejde-1285	123	6	or	or	CCONJ
ejde-1285	123	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-1285	123	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	123	9	>	>	X
ejde-1285	123	10	0	0	PUNCT
ejde-1285	124	1	for	for	ADP
ejde-1285	124	2	all	all	DET
ejde-1285	124	3	x	x	SYM
ejde-1285	124	4	∈	∈	PROPN
ejde-1285	124	5	ω	ω	X
ejde-1285	124	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	125	1	now	now	ADV
ejde-1285	125	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	125	3	we	we	PRON
ejde-1285	125	4	consider	consider	VERB
ejde-1285	125	5	the	the	DET
ejde-1285	125	6	space	space	NOUN
ejde-1285	125	7	ce(ω	ce(ω	PUNCT
ejde-1285	125	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	125	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	126	1	=	=	SYM
ejde-1285	126	2	{	{	PUNCT
ejde-1285	126	3	u	u	NOUN
ejde-1285	126	4	∈	∈	PROPN
ejde-1285	126	5	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	126	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	126	7	:	:	PUNCT
ejde-1285	127	1	−te	−te	X
ejde-1285	127	2	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	127	3	u	u	NOUN
ejde-1285	127	4	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	127	5	te	te	ADP
ejde-1285	127	6	for	for	ADP
ejde-1285	127	7	some	some	DET
ejde-1285	127	8	t	t	NOUN
ejde-1285	127	9	>	>	X
ejde-1285	127	10	0	0	NUM
ejde-1285	127	11	}	}	PUNCT
ejde-1285	127	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	127	13	where	where	SCONJ
ejde-1285	127	14	e	e	NOUN
ejde-1285	127	15	is	be	AUX
ejde-1285	127	16	the	the	DET
ejde-1285	127	17	solution	solution	NOUN
ejde-1285	127	18	of	of	ADP
ejde-1285	127	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	127	20	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	127	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	127	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	127	23	equipped	equip	VERB
ejde-1285	127	24	with	with	ADP
ejde-1285	127	25	the	the	DET
ejde-1285	127	26	norm	norm	NOUN
ejde-1285	127	27	∥u∥e	∥u∥e	ADJ
ejde-1285	127	28	:	:	PUNCT
ejde-1285	127	29	=	=	SYM
ejde-1285	127	30	inf{t	inf{t	VERB
ejde-1285	127	31	>	>	X
ejde-1285	127	32	0	0	NUM
ejde-1285	128	1	:	:	PUNCT
ejde-1285	128	2	−te	−te	X
ejde-1285	128	3	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	128	4	u	u	NOUN
ejde-1285	128	5	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	128	6	te	te	ADP
ejde-1285	128	7	}	}	PUNCT
ejde-1285	128	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	129	1	a	a	DET
ejde-1285	129	2	standard	standard	ADJ
ejde-1285	129	3	procedure	procedure	NOUN
ejde-1285	129	4	shows	show	VERB
ejde-1285	129	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	129	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	129	7	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	129	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	129	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	129	10	∥	∥	X
ejde-1285	129	11	·	·	PUNCT
ejde-1285	129	12	∥e	∥e	PROPN
ejde-1285	129	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	129	14	is	be	AUX
ejde-1285	129	15	a	a	DET
ejde-1285	129	16	banach	banach	NOUN
ejde-1285	129	17	space	space	NOUN
ejde-1285	129	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	130	1	we	we	PRON
ejde-1285	130	2	define	define	VERB
ejde-1285	130	3	the	the	DET
ejde-1285	130	4	positive	positive	ADJ
ejde-1285	130	5	cone	cone	NOUN
ejde-1285	130	6	in	in	ADP
ejde-1285	130	7	ce(ω	ce(ω	NOUN
ejde-1285	130	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	130	9	as	as	ADP
ejde-1285	130	10	pe	pe	X
ejde-1285	130	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	130	12	=	=	SYM
ejde-1285	130	13	{	{	PUNCT
ejde-1285	130	14	u	u	NOUN
ejde-1285	130	15	∈	∈	PROPN
ejde-1285	130	16	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	130	17	):	):	PUNCT
ejde-1285	130	18	u(x	u(x	NOUN
ejde-1285	130	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	130	20	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	130	21	0	0	NUM
ejde-1285	130	22	}	}	PUNCT
ejde-1285	130	23	whose	whose	DET
ejde-1285	130	24	interior	interior	NOUN
ejde-1285	130	25	is	be	AUX
ejde-1285	130	26	p̊e	p̊e	NOUN
ejde-1285	130	27	=	=	SYM
ejde-1285	130	28	{	{	PUNCT
ejde-1285	130	29	u	u	NOUN
ejde-1285	130	30	∈	∈	PROPN
ejde-1285	130	31	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	130	32	):	):	PUNCT
ejde-1285	130	33	t1e	t1e	X
ejde-1285	130	34	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	130	35	u(x	u(x	PROPN
ejde-1285	130	36	)	)	PUNCT
ejde-1285	130	37	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	131	1	t2e	t2e	PROPN
ejde-1285	131	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	131	3	for	for	ADP
ejde-1285	131	4	some	some	DET
ejde-1285	131	5	t1	t1	NOUN
ejde-1285	131	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	131	7	t2	t2	NOUN
ejde-1285	131	8	>	>	X
ejde-1285	131	9	0	0	NUM
ejde-1285	131	10	}	}	PUNCT
ejde-1285	131	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	132	1	an	an	DET
ejde-1285	132	2	operator	operator	NOUN
ejde-1285	132	3	â	â	X
ejde-1285	132	4	:	:	PUNCT
ejde-1285	132	5	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	132	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	132	7	→	→	SYM
ejde-1285	132	8	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	132	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	132	10	is	be	AUX
ejde-1285	132	11	said	say	VERB
ejde-1285	132	12	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	132	13	increasing	increase	VERB
ejde-1285	132	14	if	if	SCONJ
ejde-1285	132	15	u1	u1	NOUN
ejde-1285	132	16	<	<	X
ejde-1285	132	17	u2	u2	PROPN
ejde-1285	132	18	implies	imply	VERB
ejde-1285	132	19	â(u2)−	â(u2)−	ADJ
ejde-1285	132	20	â(u1	â(u1	NOUN
ejde-1285	132	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	132	22	∈	∈	PROPN
ejde-1285	132	23	p̊e	p̊e	NOUN
ejde-1285	132	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	133	1	the	the	DET
ejde-1285	133	2	following	follow	VERB
ejde-1285	133	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	133	4	is	be	AUX
ejde-1285	133	5	proved	prove	VERB
ejde-1285	133	6	in	in	ADP
ejde-1285	133	7	[	[	X
ejde-1285	133	8	3	3	NUM
ejde-1285	133	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	133	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	133	11	14.1	14.1	NUM
ejde-1285	133	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	133	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	134	1	we	we	PRON
ejde-1285	134	2	recall	recall	VERB
ejde-1285	134	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	134	4	a	a	DET
ejde-1285	134	5	nonempty	nonempty	NOUN
ejde-1285	134	6	subset	subset	VERB
ejde-1285	134	7	y	y	PROPN
ejde-1285	134	8	of	of	ADP
ejde-1285	134	9	a	a	DET
ejde-1285	134	10	topological	topological	ADJ
ejde-1285	134	11	space	space	NOUN
ejde-1285	134	12	x	x	PRON
ejde-1285	134	13	is	be	AUX
ejde-1285	134	14	called	call	VERB
ejde-1285	134	15	a	a	DET
ejde-1285	134	16	retract	retract	NOUN
ejde-1285	134	17	if	if	SCONJ
ejde-1285	134	18	there	there	PRON
ejde-1285	134	19	exists	exist	VERB
ejde-1285	134	20	a	a	DET
ejde-1285	134	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	134	22	map	map	NOUN
ejde-1285	135	1	r	r	NOUN
ejde-1285	135	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	135	3	x	x	X
ejde-1285	135	4	→	→	SYM
ejde-1285	135	5	y	y	PROPN
ejde-1285	135	6	such	such	ADJ
ejde-1285	135	7	that	that	DET
ejde-1285	135	8	r|y	r|y	NOUN
ejde-1285	136	1	=	=	SYM
ejde-1285	136	2	idy	idy	PROPN
ejde-1285	136	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	137	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	137	2	2.5	2.5	NUM
ejde-1285	137	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	138	1	let	let	VERB
ejde-1285	138	2	x	x	PRON
ejde-1285	138	3	be	be	AUX
ejde-1285	138	4	a	a	DET
ejde-1285	138	5	retract	retract	NOUN
ejde-1285	138	6	of	of	ADP
ejde-1285	138	7	some	some	DET
ejde-1285	138	8	banach	banach	NOUN
ejde-1285	138	9	space	space	NOUN
ejde-1285	138	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	138	11	f	f	NOUN
ejde-1285	138	12	:	:	PUNCT
ejde-1285	138	13	x	x	X
ejde-1285	138	14	→	→	PUNCT
ejde-1285	138	15	x	x	PUNCT
ejde-1285	138	16	be	be	AUX
ejde-1285	138	17	a	a	DET
ejde-1285	138	18	completely	completely	ADV
ejde-1285	138	19	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	138	20	map	map	NOUN
ejde-1285	138	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	139	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1285	139	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	139	3	x1	x1	PROPN
ejde-1285	139	4	and	and	CCONJ
ejde-1285	139	5	x2	x2	PROPN
ejde-1285	139	6	are	be	AUX
ejde-1285	139	7	disjoint	disjoint	NOUN
ejde-1285	139	8	retracts	retract	NOUN
ejde-1285	139	9	of	of	ADP
ejde-1285	139	10	x	x	PUNCT
ejde-1285	139	11	and	and	CCONJ
ejde-1285	139	12	let	let	VERB
ejde-1285	139	13	uk	uk	PROPN
ejde-1285	139	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	139	15	k	k	PROPN
ejde-1285	139	16	=	=	SYM
ejde-1285	139	17	1	1	NUM
ejde-1285	139	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	139	19	2	2	NUM
ejde-1285	139	20	be	be	AUX
ejde-1285	139	21	open	open	ADJ
ejde-1285	139	22	subsets	subset	NOUN
ejde-1285	139	23	of	of	ADP
ejde-1285	139	24	x	x	SYM
ejde-1285	139	25	such	such	ADJ
ejde-1285	139	26	that	that	SCONJ
ejde-1285	139	27	uk	uk	PROPN
ejde-1285	139	28	⊂	⊂	PROPN
ejde-1285	139	29	xk	xk	PROPN
ejde-1285	139	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	139	31	k	k	PROPN
ejde-1285	139	32	=	=	SYM
ejde-1285	139	33	1	1	NUM
ejde-1285	139	34	,	,	PUNCT
ejde-1285	139	35	2	2	NUM
ejde-1285	139	36	.	.	PUNCT
ejde-1285	140	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	140	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	3	suppose	suppose	VERB
ejde-1285	140	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	140	5	f	f	PROPN
ejde-1285	140	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	140	7	xk	xk	PROPN
ejde-1285	140	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	140	9	⊂	⊂	PROPN
ejde-1285	140	10	xk	xk	PROPN
ejde-1285	140	11	and	and	CCONJ
ejde-1285	140	12	that	that	SCONJ
ejde-1285	140	13	f	f	PROPN
ejde-1285	140	14	has	have	VERB
ejde-1285	140	15	no	no	DET
ejde-1285	140	16	fixed	fix	VERB
ejde-1285	140	17	points	point	NOUN
ejde-1285	140	18	on	on	ADP
ejde-1285	140	19	xk	xk	PROPN
ejde-1285	140	20	∖uk	∖uk	PROPN
ejde-1285	140	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	22	k	k	PROPN
ejde-1285	140	23	=	=	SYM
ejde-1285	140	24	1	1	NUM
ejde-1285	140	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	26	2	2	NUM
ejde-1285	140	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	140	28	then	then	ADV
ejde-1285	140	29	f	f	PROPN
ejde-1285	140	30	has	have	VERB
ejde-1285	140	31	at	at	ADV
ejde-1285	140	32	least	least	ADV
ejde-1285	140	33	three	three	NUM
ejde-1285	140	34	distinct	distinct	ADJ
ejde-1285	140	35	fixed	fix	VERB
ejde-1285	140	36	points	point	NOUN
ejde-1285	140	37	x	x	X
ejde-1285	140	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	39	x1	x1	PROPN
ejde-1285	140	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	41	x2	x2	PROPN
ejde-1285	140	42	with	with	ADP
ejde-1285	140	43	xk	xk	PROPN
ejde-1285	140	44	∈	∈	PROPN
ejde-1285	140	45	xk	xk	PROPN
ejde-1285	140	46	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	47	k	k	PROPN
ejde-1285	140	48	=	=	SYM
ejde-1285	140	49	1	1	NUM
ejde-1285	140	50	,	,	PUNCT
ejde-1285	140	51	2	2	NUM
ejde-1285	140	52	and	and	CCONJ
ejde-1285	140	53	x	x	SYM
ejde-1285	140	54	∈	∈	NOUN
ejde-1285	140	55	x	x	X
ejde-1285	140	56	∖	∖	X
ejde-1285	140	57	(	(	PUNCT
ejde-1285	140	58	x1	x1	PROPN
ejde-1285	140	59	∪x2	∪x2	ADJ
ejde-1285	140	60	)	)	PUNCT
ejde-1285	140	61	.	.	PUNCT
ejde-1285	141	1	we	we	PRON
ejde-1285	141	2	want	want	VERB
ejde-1285	141	3	to	to	PART
ejde-1285	141	4	recall	recall	VERB
ejde-1285	141	5	a	a	DET
ejde-1285	141	6	compactness	compactness	NOUN
ejde-1285	141	7	result	result	NOUN
ejde-1285	141	8	for	for	ADP
ejde-1285	141	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-1285	141	10	spaces	space	NOUN
ejde-1285	141	11	which	which	PRON
ejde-1285	141	12	is	be	AUX
ejde-1285	141	13	based	base	VERB
ejde-1285	141	14	on	on	ADP
ejde-1285	141	15	the	the	DET
ejde-1285	141	16	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	141	17	of	of	ADP
ejde-1285	141	18	arzéla	arzéla	NOUN
ejde-1285	141	19	-	-	PUNCT
ejde-1285	141	20	ascoli	ascoli	NOUN
ejde-1285	141	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	141	22	see	see	VERB
ejde-1285	141	23	[	[	X
ejde-1285	141	24	1	1	NUM
ejde-1285	141	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	141	26	theorems	theorem	NOUN
ejde-1285	141	27	1.30	1.30	NUM
ejde-1285	141	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	141	29	1.31	1.31	NUM
ejde-1285	141	30	]	]	PUNCT
ejde-1285	141	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	141	32	.	.	PUNCT
ejde-1285	142	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	142	2	2.6	2.6	NUM
ejde-1285	142	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	143	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1285	143	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	143	3	is	be	AUX
ejde-1285	143	4	a	a	DET
ejde-1285	143	5	relatively	relatively	ADV
ejde-1285	143	6	compact	compact	ADJ
ejde-1285	143	7	domain	domain	NOUN
ejde-1285	143	8	in	in	ADP
ejde-1285	143	9	rn	rn	PROPN
ejde-1285	143	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	143	11	let	let	VERB
ejde-1285	143	12	m	m	PRON
ejde-1285	143	13	∈	∈	VERB
ejde-1285	143	14	n	n	NOUN
ejde-1285	143	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	143	16	0	0	NUM
ejde-1285	143	17	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	144	1	α	α	X
ejde-1285	144	2	<	<	X
ejde-1285	144	3	β	β	X
ejde-1285	144	4	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	144	5	1	1	X
ejde-1285	144	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	145	1	then	then	ADV
ejde-1285	145	2	cm	cm	NUM
ejde-1285	145	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	145	4	β(ω	β(ω	PROPN
ejde-1285	145	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	145	6	↪	↪	PROPN
ejde-1285	145	7	→	→	SYM
ejde-1285	145	8	cm	cm	NOUN
ejde-1285	145	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	145	10	α(ω	α(ω	NOUN
ejde-1285	145	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	145	12	compactly	compactly	ADV
ejde-1285	145	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	146	1	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	146	2	positive	positive	ADJ
ejde-1285	146	3	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	146	4	for	for	ADP
ejde-1285	146	5	a	a	DET
ejde-1285	146	6	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	146	7	p	p	NOUN
ejde-1285	146	8	-	-	PUNCT
ejde-1285	146	9	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	146	10	5	5	NUM
ejde-1285	146	11	3	3	NUM
ejde-1285	146	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	147	1	a	a	DET
ejde-1285	147	2	sub	sub	ADJ
ejde-1285	147	3	-	-	ADJ
ejde-1285	147	4	super	super	ADJ
ejde-1285	147	5	solution	solution	NOUN
ejde-1285	147	6	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	147	7	the	the	DET
ejde-1285	147	8	purpose	purpose	NOUN
ejde-1285	147	9	of	of	ADP
ejde-1285	147	10	this	this	DET
ejde-1285	147	11	section	section	NOUN
ejde-1285	147	12	is	be	AUX
ejde-1285	147	13	to	to	PART
ejde-1285	147	14	prove	prove	VERB
ejde-1285	147	15	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	147	16	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	147	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	147	18	to	to	PART
ejde-1285	147	19	achieve	achieve	VERB
ejde-1285	147	20	this	this	PRON
ejde-1285	147	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	147	22	we	we	PRON
ejde-1285	147	23	need	need	VERB
ejde-1285	147	24	to	to	PART
ejde-1285	147	25	explore	explore	VERB
ejde-1285	147	26	some	some	DET
ejde-1285	147	27	important	important	ADJ
ejde-1285	147	28	properties	property	NOUN
ejde-1285	147	29	of	of	ADP
ejde-1285	147	30	the	the	DET
ejde-1285	147	31	solution	solution	NOUN
ejde-1285	147	32	operator	operator	NOUN
ejde-1285	147	33	a	a	PRON
ejde-1285	147	34	and	and	CCONJ
ejde-1285	147	35	related	related	ADJ
ejde-1285	147	36	spaces	space	NOUN
ejde-1285	147	37	.	.	PUNCT
ejde-1285	148	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	148	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	148	3	we	we	PRON
ejde-1285	148	4	start	start	VERB
ejde-1285	148	5	this	this	DET
ejde-1285	148	6	section	section	NOUN
ejde-1285	148	7	with	with	ADP
ejde-1285	148	8	statements	statement	NOUN
ejde-1285	148	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	148	10	proofs	proof	NOUN
ejde-1285	148	11	of	of	ADP
ejde-1285	148	12	some	some	DET
ejde-1285	148	13	lemmas	lemma	NOUN
ejde-1285	148	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	149	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	149	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1285	149	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	150	1	the	the	DET
ejde-1285	150	2	following	follow	VERB
ejde-1285	150	3	chain	chain	NOUN
ejde-1285	150	4	of	of	ADP
ejde-1285	150	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	150	6	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1285	150	7	holds	hold	VERB
ejde-1285	150	8	c1	c1	PROPN
ejde-1285	150	9	0	0	NUM
ejde-1285	151	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	151	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	151	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	151	4	↪	↪	PROPN
ejde-1285	151	5	→	→	SYM
ejde-1285	151	6	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	151	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	151	8	↪	↪	PROPN
ejde-1285	151	9	→	→	SYM
ejde-1285	151	10	c0(ω	c0(ω	NUM
ejde-1285	151	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	151	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	152	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	152	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1285	152	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	152	4	proof	proof	NOUN
ejde-1285	152	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	153	1	first	first	ADV
ejde-1285	153	2	we	we	PRON
ejde-1285	153	3	prove	prove	VERB
ejde-1285	153	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	153	5	c1	c1	PROPN
ejde-1285	153	6	0	0	PROPN
ejde-1285	153	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	153	8	ω	ω	NOUN
ejde-1285	153	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	153	10	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	153	11	ce(ω	ce(ω	NOUN
ejde-1285	153	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	153	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	154	1	let	let	VERB
ejde-1285	154	2	u	u	PRON
ejde-1285	154	3	∈	∈	PROPN
ejde-1285	154	4	c1	c1	PROPN
ejde-1285	154	5	0	0	NUM
ejde-1285	155	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	155	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	155	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	155	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	156	1	for	for	ADP
ejde-1285	156	2	x0	x0	PROPN
ejde-1285	156	3	∈	∈	PROPN
ejde-1285	156	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	156	5	denote	denote	NOUN
ejde-1285	156	6	by	by	ADP
ejde-1285	156	7	l(x0	l(x0	PROPN
ejde-1285	156	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	156	9	the	the	DET
ejde-1285	156	10	straight	straight	ADJ
ejde-1285	156	11	line	line	NOUN
ejde-1285	156	12	parallel	parallel	ADJ
ejde-1285	156	13	to	to	ADP
ejde-1285	156	14	η	η	PROPN
ejde-1285	156	15	crossing	cross	VERB
ejde-1285	156	16	x0	x0	PROPN
ejde-1285	156	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	157	1	since	since	SCONJ
ejde-1285	157	2	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	157	3	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	157	4	<	<	X
ejde-1285	157	5	0	0	PROPN
ejde-1285	157	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	157	7	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	157	8	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	157	9	is	be	AUX
ejde-1285	157	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	157	11	and	and	CCONJ
ejde-1285	157	12	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-1285	157	13	is	be	AUX
ejde-1285	157	14	compact	compact	ADJ
ejde-1285	157	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	157	16	we	we	PRON
ejde-1285	157	17	can	can	AUX
ejde-1285	157	18	choose	choose	VERB
ejde-1285	157	19	and	and	CCONJ
ejde-1285	157	20	ε	ε	VERB
ejde-1285	157	21	>	>	X
ejde-1285	157	22	0	0	NUM
ejde-1285	157	23	such	such	ADJ
ejde-1285	157	24	that	that	PRON
ejde-1285	157	25	for	for	ADP
ejde-1285	157	26	all	all	DET
ejde-1285	157	27	x	x	SYM
ejde-1285	157	28	∈	∈	PROPN
ejde-1285	157	29	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	157	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	157	31	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	157	32	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	157	33	(	(	PUNCT
ejde-1285	157	34	x	x	NOUN
ejde-1285	157	35	)	)	PUNCT
ejde-1285	157	36	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	157	37	−ε	−ε	PROPN
ejde-1285	157	38	.	.	PUNCT
ejde-1285	158	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	158	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	158	3	due	due	ADP
ejde-1285	158	4	to	to	ADP
ejde-1285	158	5	the	the	DET
ejde-1285	158	6	continuity	continuity	NOUN
ejde-1285	158	7	of	of	ADP
ejde-1285	158	8	∇e	∇e	PROPN
ejde-1285	158	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	158	10	η	η	PROPN
ejde-1285	158	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	158	12	there	there	PRON
ejde-1285	158	13	exist	exist	VERB
ejde-1285	158	14	ε0	ε0	PROPN
ejde-1285	158	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	158	16	δ	δ	PROPN
ejde-1285	158	17	>	>	X
ejde-1285	158	18	0	0	NUM
ejde-1285	159	1	such	such	ADJ
ejde-1285	159	2	that	that	PRON
ejde-1285	159	3	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	159	4	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	159	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	159	6	z	z	NOUN
ejde-1285	159	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	159	8	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	159	9	−ε0	−ε0	PROPN
ejde-1285	159	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	159	11	for	for	ADP
ejde-1285	159	12	all	all	DET
ejde-1285	159	13	x0	x0	PROPN
ejde-1285	159	14	∈	∈	PROPN
ejde-1285	159	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	159	16	and	and	CCONJ
ejde-1285	159	17	all	all	DET
ejde-1285	159	18	z	z	NOUN
ejde-1285	159	19	∈	∈	NOUN
ejde-1285	159	20	ωδ	ωδ	ADP
ejde-1285	159	21	∩	∩	ADJ
ejde-1285	159	22	l(x0	l(x0	NOUN
ejde-1285	159	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	159	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	160	1	now	now	ADV
ejde-1285	160	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	160	3	for	for	ADP
ejde-1285	160	4	all	all	DET
ejde-1285	160	5	x	x	SYM
ejde-1285	160	6	∈	∈	NOUN
ejde-1285	160	7	ωδ	ωδ	NOUN
ejde-1285	160	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	160	9	take	take	VERB
ejde-1285	160	10	x0	x0	PROPN
ejde-1285	160	11	∈	∈	PROPN
ejde-1285	160	12	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	160	13	the	the	DET
ejde-1285	160	14	closest	close	ADJ
ejde-1285	160	15	point	point	NOUN
ejde-1285	160	16	to	to	ADP
ejde-1285	160	17	x.	x.	NOUN
ejde-1285	160	18	then	then	ADV
ejde-1285	160	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	160	20	η	η	PROPN
ejde-1285	160	21	=	=	PROPN
ejde-1285	160	22	x0−x	x0−x	PROPN
ejde-1285	160	23	|x0−x|	|x0−x|	NOUN
ejde-1285	160	24	(	(	PUNCT
ejde-1285	160	25	see	see	VERB
ejde-1285	160	26	figure	figure	NOUN
ejde-1285	160	27	1	1	NUM
ejde-1285	160	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	160	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	161	1	observe	observe	VERB
ejde-1285	161	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	161	3	there	there	PRON
ejde-1285	161	4	exists	exist	VERB
ejde-1285	161	5	ξ(x	ξ(x	NOUN
ejde-1285	161	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	161	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	161	8	ωδ	ωδ	ADP
ejde-1285	161	9	∩	∩	ADJ
ejde-1285	161	10	l(x0	l(x0	NOUN
ejde-1285	161	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	161	12	such	such	ADJ
ejde-1285	161	13	that	that	SCONJ
ejde-1285	161	14	e(x)−	e(x)−	PROPN
ejde-1285	161	15	e(x0	e(x0	NOUN
ejde-1285	161	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	162	1	=	=	SYM
ejde-1285	162	2	∇e(ξ(x	∇e(ξ(x	NOUN
ejde-1285	162	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	162	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	162	5	·	·	PUNCT
ejde-1285	163	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	163	2	x−	x−	PROPN
ejde-1285	163	3	x0	x0	PROPN
ejde-1285	163	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	163	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	164	1	taking	take	VERB
ejde-1285	164	2	into	into	ADP
ejde-1285	164	3	account	account	NOUN
ejde-1285	164	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	164	5	e	e	NOUN
ejde-1285	164	6	vanishes	vanish	VERB
ejde-1285	164	7	on	on	ADP
ejde-1285	164	8	the	the	DET
ejde-1285	164	9	boundary	boundary	NOUN
ejde-1285	164	10	of	of	ADP
ejde-1285	164	11	ω	ω	PRON
ejde-1285	164	12	we	we	PRON
ejde-1285	164	13	see	see	VERB
ejde-1285	164	14	that	that	SCONJ
ejde-1285	164	15	e(x	e(x	NUM
ejde-1285	164	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	164	17	|x−	|x−	PROPN
ejde-1285	164	18	x0|	x0|	PROPN
ejde-1285	165	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	165	2	∣∣∇e(ξ(x	∣∣∇e(ξ(x	PROPN
ejde-1285	165	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	165	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	165	5	·	·	PUNCT
ejde-1285	166	1	x−	x−	PROPN
ejde-1285	166	2	x0	x0	PROPN
ejde-1285	166	3	|x−	|x−	PROPN
ejde-1285	166	4	x0|	x0|	PROPN
ejde-1285	166	5	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-1285	166	6	=	=	SYM
ejde-1285	166	7	∣∣∇e(ξ(x	∣∣∇e(ξ(x	NOUN
ejde-1285	166	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	166	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	166	10	·	·	PUNCT
ejde-1285	167	1	η	η	X
ejde-1285	167	2	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	167	3	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	167	4	ε0	ε0	PROPN
ejde-1285	167	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	168	1	also	also	ADV
ejde-1285	168	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	168	3	we	we	PRON
ejde-1285	168	4	have	have	VERB
ejde-1285	168	5	that	that	PRON
ejde-1285	168	6	for	for	ADP
ejde-1285	168	7	all	all	DET
ejde-1285	168	8	x	x	SYM
ejde-1285	168	9	∈	∈	PROPN
ejde-1285	168	10	ωδ,∣∣u(x	ωδ,∣∣u(x	NOUN
ejde-1285	168	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	168	12	e(x	e(x	NUM
ejde-1285	168	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	168	14	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	169	1	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	169	2	|u(x)−	|u(x)−	PROPN
ejde-1285	169	3	u(x0)|	u(x0)|	PROPN
ejde-1285	169	4	ε0|x−	ε0|x−	PROPN
ejde-1285	169	5	x0|	x0|	PROPN
ejde-1285	169	6	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	169	7	1	1	NUM
ejde-1285	169	8	ε0	ε0	PROPN
ejde-1285	169	9	|∇u(h(x))|	|∇u(h(x))|	PROPN
ejde-1285	169	10	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	169	11	t1	t1	PROPN
ejde-1285	169	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	169	13	(	(	PUNCT
ejde-1285	169	14	3.2	3.2	NUM
ejde-1285	169	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	169	16	where	where	SCONJ
ejde-1285	169	17	h(x	h(x	PROPN
ejde-1285	169	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	169	19	is	be	AUX
ejde-1285	169	20	a	a	DET
ejde-1285	169	21	point	point	NOUN
ejde-1285	169	22	in	in	ADP
ejde-1285	169	23	the	the	DET
ejde-1285	169	24	segment	segment	NOUN
ejde-1285	169	25	[	[	X
ejde-1285	169	26	x	x	X
ejde-1285	169	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	169	28	x0	x0	PROPN
ejde-1285	169	29	]	]	PUNCT
ejde-1285	169	30	and	and	CCONJ
ejde-1285	169	31	t1	t1	NOUN
ejde-1285	169	32	is	be	AUX
ejde-1285	169	33	a	a	DET
ejde-1285	169	34	constant	constant	ADJ
ejde-1285	169	35	that	that	PRON
ejde-1285	169	36	depends	depend	VERB
ejde-1285	169	37	on	on	ADP
ejde-1285	169	38	δ	δ	PROPN
ejde-1285	169	39	.	.	PUNCT
ejde-1285	170	1	this	this	PRON
ejde-1285	170	2	proves	prove	VERB
ejde-1285	170	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	170	4	c1	c1	PROPN
ejde-1285	170	5	0	0	PROPN
ejde-1285	170	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	170	7	ω	ω	NOUN
ejde-1285	170	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	170	9	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	170	10	ce(ω	ce(ω	NOUN
ejde-1285	170	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	170	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	171	1	we	we	PRON
ejde-1285	171	2	shall	shall	AUX
ejde-1285	171	3	now	now	ADV
ejde-1285	171	4	proceed	proceed	VERB
ejde-1285	171	5	to	to	PART
ejde-1285	171	6	prove	prove	VERB
ejde-1285	171	7	the	the	DET
ejde-1285	171	8	continuity	continuity	NOUN
ejde-1285	171	9	of	of	ADP
ejde-1285	171	10	the	the	DET
ejde-1285	171	11	inclusion	inclusion	NOUN
ejde-1285	171	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	172	1	let	let	VERB
ejde-1285	172	2	zn	zn	PRON
ejde-1285	172	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	172	4	z	z	PROPN
ejde-1285	172	5	∈	∈	PROPN
ejde-1285	172	6	c1	c1	PROPN
ejde-1285	172	7	0	0	NUM
ejde-1285	173	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	173	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	173	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	173	4	such	such	ADJ
ejde-1285	173	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	173	6	zn	zn	PROPN
ejde-1285	173	7	→	→	SYM
ejde-1285	173	8	z	z	PROPN
ejde-1285	173	9	in	in	ADP
ejde-1285	173	10	c1	c1	PROPN
ejde-1285	173	11	0	0	NUM
ejde-1285	173	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	173	13	ω	ω	NOUN
ejde-1285	173	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	173	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	174	1	we	we	PRON
ejde-1285	174	2	need	need	VERB
ejde-1285	174	3	to	to	PART
ejde-1285	174	4	see	see	VERB
ejde-1285	174	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	174	6	zn	zn	PROPN
ejde-1285	174	7	→	→	SYM
ejde-1285	174	8	z	z	PROPN
ejde-1285	174	9	in	in	ADP
ejde-1285	174	10	ce(ω	ce(ω	NOUN
ejde-1285	174	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	174	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	175	1	in	in	ADP
ejde-1285	175	2	fact	fact	NOUN
ejde-1285	175	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	175	4	applying	apply	VERB
ejde-1285	175	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	175	6	3.2	3.2	NUM
ejde-1285	175	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	175	8	to	to	ADP
ejde-1285	175	9	u	u	PRON
ejde-1285	175	10	:	:	PUNCT
ejde-1285	175	11	=	=	SYM
ejde-1285	175	12	zn	zn	X
ejde-1285	175	13	−	−	PROPN
ejde-1285	175	14	z	z	NOUN
ejde-1285	175	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	175	16	we	we	PRON
ejde-1285	175	17	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	175	18	for	for	ADP
ejde-1285	175	19	all	all	DET
ejde-1285	175	20	x	x	SYM
ejde-1285	175	21	∈	∈	PROPN
ejde-1285	175	22	ωδ,∣∣zn(x)−	ωδ,∣∣zn(x)−	PROPN
ejde-1285	175	23	z(x	z(x	NUM
ejde-1285	175	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	175	25	e(x	e(x	NUM
ejde-1285	175	26	)	)	PUNCT
ejde-1285	175	27	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	175	28	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	175	29	1	1	NUM
ejde-1285	175	30	ε0	ε0	PROPN
ejde-1285	175	31	|∇(zn	|∇(zn	PRON
ejde-1285	175	32	−	−	PROPN
ejde-1285	175	33	z)(h(x))|	z)(h(x))|	PROPN
ejde-1285	175	34	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	175	35	∥zn	∥zn	PART
ejde-1285	175	36	−	−	PROPN
ejde-1285	175	37	z∥c1	z∥c1	NUM
ejde-1285	175	38	0	0	NUM
ejde-1285	175	39	(	(	PUNCT
ejde-1285	175	40	ω	ω	NOUN
ejde-1285	175	41	)	)	PUNCT
ejde-1285	175	42	ε0	ε0	NOUN
ejde-1285	175	43	.	.	PUNCT
ejde-1285	176	1	the	the	DET
ejde-1285	176	2	same	same	ADJ
ejde-1285	176	3	result	result	NOUN
ejde-1285	176	4	applies	apply	VERB
ejde-1285	176	5	to	to	ADP
ejde-1285	176	6	all	all	DET
ejde-1285	176	7	x	x	SYM
ejde-1285	176	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	176	9	ω	ω	NUM
ejde-1285	176	10	∖	∖	NOUN
ejde-1285	176	11	ωδ	ωδ	VERB
ejde-1285	176	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	177	1	in	in	ADP
ejde-1285	177	2	this	this	DET
ejde-1285	177	3	way	way	NOUN
ejde-1285	177	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	177	5	we	we	PRON
ejde-1285	177	6	have	have	VERB
ejde-1285	177	7	the	the	DET
ejde-1285	177	8	first	first	ADJ
ejde-1285	177	9	embedding	embed	VERB
ejde-1285	177	10	in	in	ADP
ejde-1285	177	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	177	12	3.1).to	3.1).to	NUM
ejde-1285	177	13	establish	establish	VERB
ejde-1285	177	14	the	the	DET
ejde-1285	177	15	second	second	ADJ
ejde-1285	177	16	one	one	NOUN
ejde-1285	177	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	177	18	let	let	VERB
ejde-1285	177	19	zn	zn	PRON
ejde-1285	177	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	177	21	z	z	PROPN
ejde-1285	177	22	∈	∈	PROPN
ejde-1285	177	23	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	177	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	177	25	such	such	ADJ
ejde-1285	177	26	that	that	SCONJ
ejde-1285	177	27	zn	zn	PROPN
ejde-1285	177	28	→	→	SYM
ejde-1285	177	29	z	z	PROPN
ejde-1285	177	30	in	in	ADP
ejde-1285	177	31	ce(ω	ce(ω	NOUN
ejde-1285	177	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	177	33	.	.	PUNCT
ejde-1285	178	1	let	let	VERB
ejde-1285	178	2	ε	ε	PROPN
ejde-1285	178	3	>	>	X
ejde-1285	178	4	0	0	PROPN
ejde-1285	178	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	179	1	then	then	ADV
ejde-1285	179	2	there	there	PRON
ejde-1285	179	3	exists	exist	VERB
ejde-1285	179	4	n0	n0	NUM
ejde-1285	179	5	such	such	ADJ
ejde-1285	179	6	that	that	PRON
ejde-1285	179	7	for	for	ADP
ejde-1285	179	8	all	all	DET
ejde-1285	179	9	n	n	PRON
ejde-1285	179	10	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	179	11	n0	n0	PROPN
ejde-1285	179	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	179	13	∥zn	∥zn	NUM
ejde-1285	179	14	−	−	PROPN
ejde-1285	179	15	z∥e	z∥e	NOUN
ejde-1285	179	16	<	<	X
ejde-1285	179	17	ε/∥e∥∞.	ε/∥e∥∞.	NOUN
ejde-1285	179	18	for	for	ADP
ejde-1285	179	19	all	all	PRON
ejde-1285	179	20	n	n	PRON
ejde-1285	179	21	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	179	22	n0	n0	NOUN
ejde-1285	179	23	there	there	PRON
ejde-1285	179	24	is	be	VERB
ejde-1285	179	25	tn	tn	NOUN
ejde-1285	179	26	such	such	ADJ
ejde-1285	179	27	that	that	PRON
ejde-1285	179	28	∥zn	∥zn	PROPN
ejde-1285	180	1	−	−	PROPN
ejde-1285	180	2	z∥e	z∥e	PROPN
ejde-1285	180	3	<	<	X
ejde-1285	180	4	tn	tn	PROPN
ejde-1285	180	5	<	<	X
ejde-1285	180	6	ε/∥e∥∞.	ε/∥e∥∞.	NOUN
ejde-1285	180	7	thus	thus	ADV
ejde-1285	180	8	for	for	ADP
ejde-1285	180	9	all	all	DET
ejde-1285	180	10	x	x	SYM
ejde-1285	180	11	∈	∈	PROPN
ejde-1285	180	12	ω	ω	PROPN
ejde-1285	180	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	180	14	|zn(x)−	|zn(x)−	PROPN
ejde-1285	180	15	z(x)|	z(x)|	PROPN
ejde-1285	180	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	180	17	tne(x	tne(x	PROPN
ejde-1285	180	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	180	19	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	180	20	tn∥e∥∞	tn∥e∥∞	PROPN
ejde-1285	180	21	<	<	X
ejde-1285	180	22	ε	ε	PROPN
ejde-1285	180	23	.	.	PROPN
ejde-1285	181	1	as	as	ADP
ejde-1285	181	2	a	a	DET
ejde-1285	181	3	consequence	consequence	NOUN
ejde-1285	181	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	181	5	∥zn	∥zn	PROPN
ejde-1285	181	6	−	−	PROPN
ejde-1285	181	7	z∥∞	z∥∞	PROPN
ejde-1285	181	8	<	<	X
ejde-1285	181	9	ε	ε	PROPN
ejde-1285	181	10	.	.	PROPN
ejde-1285	181	11	which	which	PRON
ejde-1285	181	12	proves	prove	VERB
ejde-1285	181	13	the	the	DET
ejde-1285	181	14	second	second	ADJ
ejde-1285	181	15	embedding	embed	VERB
ejde-1285	181	16	in	in	ADP
ejde-1285	181	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	181	18	3.1	3.1	NUM
ejde-1285	181	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	181	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	182	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	182	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	182	3	3.2	3.2	NUM
ejde-1285	182	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	183	1	for	for	ADP
ejde-1285	183	2	any	any	DET
ejde-1285	183	3	λ	λ	PROPN
ejde-1285	183	4	>	>	X
ejde-1285	183	5	0	0	PROPN
ejde-1285	183	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	183	7	a	a	DET
ejde-1285	183	8	:	:	PUNCT
ejde-1285	183	9	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	183	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	183	11	→	→	SYM
ejde-1285	183	12	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	183	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	183	14	is	be	AUX
ejde-1285	183	15	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	183	16	increasing	increase	VERB
ejde-1285	183	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	184	1	proof	proof	NOUN
ejde-1285	184	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	185	1	let	let	VERB
ejde-1285	185	2	u1	u1	VERB
ejde-1285	185	3	<	<	X
ejde-1285	185	4	u2	u2	PROPN
ejde-1285	185	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	185	6	wi	wi	PROPN
ejde-1285	185	7	:	:	PUNCT
ejde-1285	185	8	=	=	SYM
ejde-1285	185	9	a(ui	a(ui	PROPN
ejde-1285	185	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	185	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	185	12	i	i	NOUN
ejde-1285	185	13	=	=	NOUN
ejde-1285	185	14	1	1	NUM
ejde-1285	185	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	185	16	2	2	NUM
ejde-1285	185	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	185	18	and	and	CCONJ
ejde-1285	185	19	w̃	w̃	PROPN
ejde-1285	185	20	:	:	PUNCT
ejde-1285	185	21	=	=	PROPN
ejde-1285	185	22	w2	w2	PROPN
ejde-1285	185	23	−w1	−w1	PROPN
ejde-1285	185	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	186	1	by	by	ADP
ejde-1285	186	2	the	the	DET
ejde-1285	186	3	strong	strong	ADJ
ejde-1285	186	4	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	186	5	principle	principle	NOUN
ejde-1285	186	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	186	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	186	8	2.3	2.3	NUM
ejde-1285	186	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	186	10	we	we	PRON
ejde-1285	186	11	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	186	12	that	that	SCONJ
ejde-1285	186	13	w̃	w̃	PROPN
ejde-1285	186	14	>	>	X
ejde-1285	186	15	0	0	PUNCT
ejde-1285	187	1	in	in	ADP
ejde-1285	187	2	ω	ω	NUM
ejde-1285	187	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	188	1	we	we	PRON
ejde-1285	188	2	claim	claim	VERB
ejde-1285	188	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	188	4	there	there	PRON
ejde-1285	188	5	exists	exist	VERB
ejde-1285	188	6	t1	t1	NOUN
ejde-1285	188	7	>	>	X
ejde-1285	188	8	0	0	NUM
ejde-1285	188	9	such	such	ADJ
ejde-1285	188	10	that	that	DET
ejde-1285	188	11	t1e	t1e	NOUN
ejde-1285	188	12	<	<	X
ejde-1285	188	13	w2	w2	PROPN
ejde-1285	188	14	−	−	PROPN
ejde-1285	188	15	w1	w1	PROPN
ejde-1285	188	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	189	1	for	for	ADP
ejde-1285	189	2	any	any	DET
ejde-1285	189	3	t	t	NOUN
ejde-1285	189	4	>	>	X
ejde-1285	189	5	0	0	PUNCT
ejde-1285	189	6	consider	consider	VERB
ejde-1285	189	7	the	the	DET
ejde-1285	189	8	function	function	NOUN
ejde-1285	189	9	gt(x	gt(x	PUNCT
ejde-1285	189	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	189	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	190	1	=	=	SYM
ejde-1285	190	2	w̃(x)−	w̃(x)−	PROPN
ejde-1285	190	3	te(x	te(x	NOUN
ejde-1285	190	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	190	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	190	6	x	x	PUNCT
ejde-1285	190	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	190	8	ω	ω	NOUN
ejde-1285	190	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	191	1	we	we	PRON
ejde-1285	191	2	claim	claim	VERB
ejde-1285	191	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	191	4	there	there	PRON
ejde-1285	191	5	exits	exit	VERB
ejde-1285	191	6	t1	t1	PROPN
ejde-1285	191	7	>	>	X
ejde-1285	191	8	0	0	NUM
ejde-1285	191	9	such	such	ADJ
ejde-1285	191	10	that	that	DET
ejde-1285	191	11	gt1(x	gt1(x	NOUN
ejde-1285	191	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	191	13	>	>	X
ejde-1285	191	14	0	0	PUNCT
ejde-1285	191	15	for	for	ADP
ejde-1285	191	16	all	all	DET
ejde-1285	191	17	x	x	SYM
ejde-1285	191	18	∈	∈	PROPN
ejde-1285	191	19	ω	ω	NOUN
ejde-1285	191	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	192	1	in	in	ADP
ejde-1285	192	2	fact	fact	NOUN
ejde-1285	192	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	192	4	by	by	ADP
ejde-1285	192	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	192	6	2.3	2.3	NUM
ejde-1285	192	7	we	we	PRON
ejde-1285	192	8	have	have	VERB
ejde-1285	192	9	that	that	PRON
ejde-1285	192	10	∂w̃	∂w̃	PROPN
ejde-1285	192	11	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	192	12	<	<	X
ejde-1285	192	13	0	0	PROPN
ejde-1285	192	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	192	15	on	on	ADP
ejde-1285	192	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	192	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	193	1	let	let	VERB
ejde-1285	193	2	2t0	2t0	NUM
ejde-1285	193	3	:	:	PUNCT
ejde-1285	193	4	=	=	SYM
ejde-1285	193	5	min	min	NOUN
ejde-1285	193	6	{	{	PUNCT
ejde-1285	193	7	∂w̃	∂w̃	PROPN
ejde-1285	193	8	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	193	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	193	10	x)/	x)/	NOUN
ejde-1285	193	11	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	193	12	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	193	13	(	(	PUNCT
ejde-1285	193	14	x	x	NOUN
ejde-1285	193	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	193	16	:	:	PUNCT
ejde-1285	193	17	x	x	PUNCT
ejde-1285	193	18	∈	∈	NOUN
ejde-1285	193	19	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-1285	193	20	}	}	PUNCT
ejde-1285	193	21	>	>	X
ejde-1285	193	22	0	0	NUM
ejde-1285	193	23	which	which	PRON
ejde-1285	193	24	is	be	AUX
ejde-1285	193	25	well	well	ADV
ejde-1285	193	26	defined	define	VERB
ejde-1285	193	27	since	since	SCONJ
ejde-1285	193	28	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	193	29	is	be	AUX
ejde-1285	193	30	compact	compact	ADJ
ejde-1285	193	31	.	.	PUNCT
ejde-1285	194	1	thence	thence	NOUN
ejde-1285	194	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	194	3	∂gt0	∂gt0	NOUN
ejde-1285	194	4	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	194	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	194	6	x	x	X
ejde-1285	194	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	194	8	<	<	X
ejde-1285	194	9	0	0	NUM
ejde-1285	194	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	194	11	x	x	SYM
ejde-1285	194	12	∈	∈	PROPN
ejde-1285	194	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	194	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	195	1	by	by	ADP
ejde-1285	195	2	the	the	DET
ejde-1285	195	3	continuity	continuity	NOUN
ejde-1285	195	4	of	of	ADP
ejde-1285	195	5	∇gt0	∇gt0	NOUN
ejde-1285	195	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	195	7	there	there	PRON
ejde-1285	195	8	exists	exist	VERB
ejde-1285	195	9	r	r	NOUN
ejde-1285	195	10	>	>	X
ejde-1285	195	11	0	0	NUM
ejde-1285	195	12	such	such	ADJ
ejde-1285	195	13	that	that	DET
ejde-1285	195	14	∇gt0(x	∇gt0(x	NOUN
ejde-1285	195	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	195	16	̸=	̸=	PROPN
ejde-1285	195	17	0	0	NUM
ejde-1285	195	18	for	for	ADP
ejde-1285	195	19	all	all	PRON
ejde-1285	195	20	x	x	SYM
ejde-1285	195	21	∈	∈	NOUN
ejde-1285	195	22	ωr	ωr	NOUN
ejde-1285	195	23	.	.	PUNCT
ejde-1285	196	1	we	we	PRON
ejde-1285	196	2	claim	claim	VERB
ejde-1285	196	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	196	4	for	for	ADP
ejde-1285	196	5	all	all	DET
ejde-1285	196	6	x	x	SYM
ejde-1285	196	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	196	8	ωr	ωr	NOUN
ejde-1285	196	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	196	10	gt0(x	gt0(x	NOUN
ejde-1285	196	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	196	12	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	196	13	0	0	NUM
ejde-1285	196	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	197	1	if	if	SCONJ
ejde-1285	197	2	there	there	PRON
ejde-1285	197	3	exists	exist	VERB
ejde-1285	197	4	x	x	X
ejde-1285	197	5	∈	∈	NOUN
ejde-1285	197	6	ωr	ωr	VERB
ejde-1285	197	7	with	with	ADP
ejde-1285	197	8	gt0(x	gt0(x	NOUN
ejde-1285	197	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	197	10	<	<	X
ejde-1285	197	11	0	0	NUM
ejde-1285	197	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	197	13	then	then	ADV
ejde-1285	197	14	gt0	gt0	NOUN
ejde-1285	197	15	would	would	AUX
ejde-1285	197	16	attain	attain	VERB
ejde-1285	197	17	a	a	DET
ejde-1285	197	18	minimum	minimum	NOUN
ejde-1285	197	19	at	at	ADP
ejde-1285	197	20	a	a	DET
ejde-1285	197	21	point	point	NOUN
ejde-1285	197	22	x0	x0	PROPN
ejde-1285	197	23	∈	∈	PROPN
ejde-1285	197	24	ωr	ωr	PROPN
ejde-1285	197	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	198	1	thus	thus	ADV
ejde-1285	198	2	∇gt0(x0	∇gt0(x0	NUM
ejde-1285	198	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	198	4	=	=	SYM
ejde-1285	198	5	0	0	NUM
ejde-1285	198	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	198	7	which	which	PRON
ejde-1285	198	8	is	be	AUX
ejde-1285	198	9	a	a	DET
ejde-1285	198	10	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1285	198	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	199	1	from	from	ADP
ejde-1285	199	2	this	this	PRON
ejde-1285	199	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	199	4	for	for	ADP
ejde-1285	199	5	all	all	DET
ejde-1285	199	6	x	x	SYM
ejde-1285	199	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	199	8	ωr	ωr	NOUN
ejde-1285	199	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	199	10	t0e(x	t0e(x	PROPN
ejde-1285	199	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	199	12	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	199	13	w̃(x	w̃(x	PROPN
ejde-1285	199	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	199	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	200	1	on	on	ADP
ejde-1285	200	2	the	the	DET
ejde-1285	200	3	other	other	ADJ
ejde-1285	200	4	hand	hand	NOUN
ejde-1285	200	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	200	6	for	for	ADP
ejde-1285	200	7	all	all	DET
ejde-1285	200	8	x	x	SYM
ejde-1285	200	9	∈	∈	PROPN
ejde-1285	200	10	ω	ω	NUM
ejde-1285	200	11	∖	∖	PROPN
ejde-1285	200	12	ωr	ωr	NOUN
ejde-1285	200	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	200	14	w̃(x)/e(x	w̃(x)/e(x	PROPN
ejde-1285	200	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	200	16	>	>	X
ejde-1285	200	17	0	0	X
ejde-1285	200	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	201	1	since	since	SCONJ
ejde-1285	201	2	ω	ω	PROPN
ejde-1285	201	3	∖	∖	PROPN
ejde-1285	201	4	ωr	ωr	NUM
ejde-1285	201	5	is	be	AUX
ejde-1285	201	6	compact	compact	ADJ
ejde-1285	201	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	201	8	then	then	ADV
ejde-1285	201	9	there	there	PRON
ejde-1285	201	10	exist	exist	VERB
ejde-1285	201	11	t	t	PROPN
ejde-1285	201	12	>	>	X
ejde-1285	201	13	0	0	NUM
ejde-1285	202	1	such	such	ADJ
ejde-1285	202	2	that	that	DET
ejde-1285	202	3	w̃(x)/e(x	w̃(x)/e(x	PROPN
ejde-1285	202	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	202	5	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	202	6	t	t	PROPN
ejde-1285	202	7	and	and	CCONJ
ejde-1285	202	8	thus	thus	ADV
ejde-1285	202	9	w̃(x	w̃(x	PROPN
ejde-1285	202	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	202	11	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	202	12	te(x	te(x	NOUN
ejde-1285	202	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	202	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	203	1	setting	set	VERB
ejde-1285	203	2	t1	t1	NOUN
ejde-1285	203	3	=	=	PUNCT
ejde-1285	203	4	2−1	2−1	NUM
ejde-1285	203	5	min{t0	min{t0	NOUN
ejde-1285	203	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	203	7	t	t	PROPN
ejde-1285	203	8	}	}	PUNCT
ejde-1285	203	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	203	10	we	we	PRON
ejde-1285	203	11	see	see	VERB
ejde-1285	203	12	that	that	PRON
ejde-1285	203	13	for	for	ADP
ejde-1285	203	14	all	all	DET
ejde-1285	203	15	x	x	SYM
ejde-1285	203	16	∈	∈	PROPN
ejde-1285	203	17	ω	ω	PROPN
ejde-1285	203	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	203	19	t1e(x	t1e(x	PROPN
ejde-1285	203	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	203	21	<	<	X
ejde-1285	203	22	w̃(x	w̃(x	PROPN
ejde-1285	203	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	203	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	204	1	on	on	ADP
ejde-1285	204	2	the	the	DET
ejde-1285	204	3	other	other	ADJ
ejde-1285	204	4	hand	hand	NOUN
ejde-1285	204	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	204	6	since	since	SCONJ
ejde-1285	204	7	w̃	w̃	PROPN
ejde-1285	204	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	204	9	c1	c1	PROPN
ejde-1285	204	10	0	0	PUNCT
ejde-1285	204	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	204	12	ω	ω	NOUN
ejde-1285	204	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	204	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	204	15	then	then	ADV
ejde-1285	204	16	by	by	ADP
ejde-1285	204	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	204	18	3.1	3.1	NUM
ejde-1285	204	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	204	20	w̃	w̃	PROPN
ejde-1285	204	21	∈	∈	PROPN
ejde-1285	204	22	ce(ω	ce(ω	NUM
ejde-1285	204	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	204	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	205	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	205	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	205	3	there	there	PRON
ejde-1285	205	4	exists	exist	VERB
ejde-1285	205	5	t2	t2	NOUN
ejde-1285	205	6	>	>	X
ejde-1285	205	7	0	0	NUM
ejde-1285	206	1	such	such	ADJ
ejde-1285	206	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	206	3	w̃	w̃	PROPN
ejde-1285	206	4	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	206	5	t2e	t2e	NUM
ejde-1285	206	6	;	;	PUNCT
ejde-1285	206	7	which	which	PRON
ejde-1285	206	8	implies	imply	VERB
ejde-1285	206	9	that	that	SCONJ
ejde-1285	206	10	au2	au2	NOUN
ejde-1285	206	11	−au1	−au1	PROPN
ejde-1285	206	12	∈	∈	PROPN
ejde-1285	206	13	p̊	p̊	PROPN
ejde-1285	206	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	206	15	as	as	SCONJ
ejde-1285	206	16	desired	desire	VERB
ejde-1285	206	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	207	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	207	2	6	6	NUM
ejde-1285	207	3	s.	s.	PROPN
ejde-1285	207	4	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	207	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	207	6	e.	e.	PROPN
ejde-1285	207	7	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	207	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	207	9	d.	d.	PROPN
ejde-1285	207	10	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	207	11	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	207	12	figure	figure	NOUN
ejde-1285	207	13	1	1	NUM
ejde-1285	207	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	208	1	outward	outward	PROPN
ejde-1285	208	2	unit	unit	NOUN
ejde-1285	208	3	normal	normal	ADJ
ejde-1285	208	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	208	5	3.3	3.3	NUM
ejde-1285	208	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	209	1	for	for	ADP
ejde-1285	209	2	any	any	DET
ejde-1285	209	3	λ	λ	PROPN
ejde-1285	209	4	>	>	X
ejde-1285	209	5	0	0	PROPN
ejde-1285	209	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	209	7	a	a	DET
ejde-1285	209	8	:	:	PUNCT
ejde-1285	209	9	c0(ω	c0(ω	NUM
ejde-1285	209	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	209	11	→	→	SYM
ejde-1285	209	12	c1	c1	PROPN
ejde-1285	209	13	0	0	NUM
ejde-1285	209	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	209	15	ω	ω	NOUN
ejde-1285	209	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	209	17	is	be	AUX
ejde-1285	209	18	completely	completely	ADV
ejde-1285	209	19	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	209	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	210	1	proof	proof	NOUN
ejde-1285	210	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	211	1	to	to	PART
ejde-1285	211	2	show	show	VERB
ejde-1285	211	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	211	4	a	a	PRON
ejde-1285	211	5	is	be	AUX
ejde-1285	211	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	211	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	211	8	let	let	AUX
ejde-1285	211	9	{	{	PUNCT
ejde-1285	211	10	un	un	VERB
ejde-1285	211	11	}	}	PUNCT
ejde-1285	211	12	be	be	AUX
ejde-1285	211	13	a	a	DET
ejde-1285	211	14	sequence	sequence	NOUN
ejde-1285	211	15	in	in	ADP
ejde-1285	211	16	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	211	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	211	18	and	and	CCONJ
ejde-1285	211	19	u	u	PROPN
ejde-1285	211	20	∈	∈	PROPN
ejde-1285	211	21	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	211	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	211	23	such	such	ADJ
ejde-1285	211	24	that	that	DET
ejde-1285	211	25	un	un	PROPN
ejde-1285	211	26	→	→	SYM
ejde-1285	211	27	u.	u.	PROPN
ejde-1285	211	28	in	in	ADP
ejde-1285	211	29	particular	particular	ADJ
ejde-1285	211	30	{	{	PUNCT
ejde-1285	211	31	un	un	PROPN
ejde-1285	211	32	}	}	PUNCT
ejde-1285	211	33	is	be	AUX
ejde-1285	211	34	bounded	bound	VERB
ejde-1285	211	35	in	in	ADP
ejde-1285	211	36	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	211	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	211	38	,	,	PUNCT
ejde-1285	211	39	i.e.	i.e.	X
ejde-1285	211	40	there	there	PRON
ejde-1285	211	41	exists	exist	VERB
ejde-1285	211	42	c	c	NOUN
ejde-1285	211	43	>	>	X
ejde-1285	211	44	0	0	NUM
ejde-1285	212	1	such	such	ADJ
ejde-1285	212	2	that	that	DET
ejde-1285	212	3	∥un∥∞	∥un∥∞	ADJ
ejde-1285	212	4	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	212	5	c	c	NOUN
ejde-1285	212	6	for	for	ADP
ejde-1285	212	7	all	all	DET
ejde-1285	212	8	n.	n.	NOUN
ejde-1285	212	9	set	set	VERB
ejde-1285	212	10	wn	wn	NOUN
ejde-1285	212	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	212	12	=	=	SYM
ejde-1285	212	13	a(un	a(un	PROPN
ejde-1285	212	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	212	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	212	16	w	w	ADP
ejde-1285	212	17	:	:	PUNCT
ejde-1285	212	18	=	=	SYM
ejde-1285	212	19	a(u	a(u	NOUN
ejde-1285	212	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	212	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	213	1	let	let	VERB
ejde-1285	213	2	us	we	PRON
ejde-1285	213	3	see	see	VERB
ejde-1285	213	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	213	5	{	{	PUNCT
ejde-1285	213	6	wn	wn	PROPN
ejde-1285	213	7	}	}	PUNCT
ejde-1285	213	8	is	be	AUX
ejde-1285	213	9	bounded	bound	VERB
ejde-1285	213	10	in	in	ADP
ejde-1285	213	11	w	w	PROPN
ejde-1285	213	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	213	13	0	0	NUM
ejde-1285	213	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	213	15	ω	ω	NOUN
ejde-1285	213	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	213	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	214	1	from	from	ADP
ejde-1285	214	2	the	the	DET
ejde-1285	214	3	growth	growth	NOUN
ejde-1285	214	4	behavior	behavior	NOUN
ejde-1285	214	5	of	of	ADP
ejde-1285	214	6	f	f	PROPN
ejde-1285	214	7	we	we	PRON
ejde-1285	214	8	see	see	VERB
ejde-1285	214	9	that	that	DET
ejde-1285	214	10	∥f(un)∥∞	∥f(un)∥∞	PROPN
ejde-1285	214	11	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	214	12	c1	c1	PROPN
ejde-1285	214	13	:	:	PUNCT
ejde-1285	214	14	=	=	SYM
ejde-1285	214	15	f(c	f(c	PROPN
ejde-1285	214	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	214	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	214	18	for	for	ADP
ejde-1285	214	19	all	all	DET
ejde-1285	214	20	n.	n.	NOUN
ejde-1285	214	21	on	on	ADP
ejde-1285	214	22	the	the	DET
ejde-1285	214	23	other	other	ADJ
ejde-1285	214	24	hand	hand	NOUN
ejde-1285	214	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	214	26	since	since	SCONJ
ejde-1285	214	27	wn	wn	PROPN
ejde-1285	214	28	is	be	AUX
ejde-1285	214	29	a	a	DET
ejde-1285	214	30	weak	weak	ADJ
ejde-1285	214	31	solution	solution	NOUN
ejde-1285	214	32	of	of	ADP
ejde-1285	214	33	−∆p(wn	−∆p(wn	NOUN
ejde-1285	214	34	)	)	PUNCT
ejde-1285	215	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	215	2	v	v	NUM
ejde-1285	215	3	φp(wn	φp(wn	NOUN
ejde-1285	215	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	215	5	=	=	SYM
ejde-1285	215	6	λf(un	λf(un	PROPN
ejde-1285	215	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	215	8	in	in	ADP
ejde-1285	215	9	ω	ω	PROPN
ejde-1285	215	10	;	;	PUNCT
ejde-1285	215	11	wn	wn	PROPN
ejde-1285	215	12	=	=	PROPN
ejde-1285	215	13	0	0	NUM
ejde-1285	215	14	on	on	ADP
ejde-1285	215	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	215	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	215	17	we	we	PRON
ejde-1285	215	18	have	have	VERB
ejde-1285	215	19	that	that	PRON
ejde-1285	215	20	for	for	ADP
ejde-1285	215	21	all	all	DET
ejde-1285	215	22	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1285	215	23	∈	∈	PROPN
ejde-1285	215	24	w	w	PROPN
ejde-1285	215	25	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	215	26	0	0	NUM
ejde-1285	215	27	(	(	PUNCT
ejde-1285	215	28	ω),∫	ω),∫	NUM
ejde-1285	215	29	ω	ω	NUM
ejde-1285	215	30	|∇wn|p−2∇wn	|∇wn|p−2∇wn	PROPN
ejde-1285	215	31	·	·	PUNCT
ejde-1285	216	1	∇ϕdx+	∇ϕdx+	ADJ
ejde-1285	216	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	216	3	ω	ω	NUM
ejde-1285	216	4	v	v	NOUN
ejde-1285	216	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	216	6	x)|wn|p−2wnϕdx	x)|wn|p−2wnϕdx	PROPN
ejde-1285	216	7	=	=	SYM
ejde-1285	216	8	λ	λ	PROPN
ejde-1285	216	9	∫	∫	PROPN
ejde-1285	216	10	ω	ω	NUM
ejde-1285	216	11	f(un)ϕdx	f(un)ϕdx	PROPN
ejde-1285	216	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	217	1	then	then	ADV
ejde-1285	217	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	217	3	using	use	VERB
ejde-1285	217	4	wn	wn	PROPN
ejde-1285	217	5	as	as	ADP
ejde-1285	217	6	a	a	DET
ejde-1285	217	7	test	test	NOUN
ejde-1285	217	8	function	function	NOUN
ejde-1285	217	9	∥wn∥p	∥wn∥p	PROPN
ejde-1285	218	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	218	2	λ	λ	PROPN
ejde-1285	218	3	∫	∫	PROPN
ejde-1285	218	4	ω	ω	NUM
ejde-1285	218	5	f(un)wn	f(un)wn	NOUN
ejde-1285	218	6	dx−	dx−	NUM
ejde-1285	218	7	∫	∫	PROPN
ejde-1285	218	8	ω	ω	NUM
ejde-1285	218	9	v	v	PROPN
ejde-1285	218	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	218	11	x)|wn|p	x)|wn|p	PROPN
ejde-1285	218	12	dx	dx	PROPN
ejde-1285	218	13	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	218	14	λc1∥wn∥1	λc1∥wn∥1	NOUN
ejde-1285	218	15	+	+	CCONJ
ejde-1285	218	16	cv	cv	PROPN
ejde-1285	218	17	∥wn∥pp	∥wn∥pp	PROPN
ejde-1285	218	18	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	218	19	cλ∥wn∥+	cλ∥wn∥+	PROPN
ejde-1285	218	20	cv	cv	PROPN
ejde-1285	218	21	λ1	λ1	PROPN
ejde-1285	218	22	∥wn∥p	∥wn∥p	PROPN
ejde-1285	218	23	.	.	PUNCT
ejde-1285	219	1	thus	thus	ADV
ejde-1285	219	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	219	3	1−	1−	NUM
ejde-1285	219	4	cv	cv	PROPN
ejde-1285	219	5	λ1	λ1	PROPN
ejde-1285	219	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	219	7	∥wn∥p	∥wn∥p	PROPN
ejde-1285	220	1	−	−	PROPN
ejde-1285	220	2	cλ∥wn∥	cλ∥wn∥	NOUN
ejde-1285	220	3	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	220	4	0	0	NUM
ejde-1285	220	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	221	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	221	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1285	221	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	221	4	since	since	SCONJ
ejde-1285	221	5	1	1	NUM
ejde-1285	221	6	−	−	PROPN
ejde-1285	221	7	cv	cv	PROPN
ejde-1285	221	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1285	221	9	>	>	X
ejde-1285	221	10	0	0	PROPN
ejde-1285	221	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	221	12	we	we	PRON
ejde-1285	221	13	have	have	VERB
ejde-1285	221	14	that	that	SCONJ
ejde-1285	221	15	{	{	PUNCT
ejde-1285	221	16	wn	wn	PROPN
ejde-1285	221	17	}	}	PUNCT
ejde-1285	221	18	is	be	AUX
ejde-1285	221	19	bounded	bound	VERB
ejde-1285	221	20	in	in	ADP
ejde-1285	221	21	w	w	PROPN
ejde-1285	221	22	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	221	23	0	0	NUM
ejde-1285	221	24	(	(	PUNCT
ejde-1285	221	25	ω	ω	NOUN
ejde-1285	221	26	)	)	PUNCT
ejde-1285	221	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	222	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	222	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	222	3	up	up	ADP
ejde-1285	222	4	to	to	ADP
ejde-1285	222	5	a	a	DET
ejde-1285	222	6	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1285	222	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	222	8	wn	wn	PROPN
ejde-1285	222	9	⇀	⇀	X
ejde-1285	222	10	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	222	11	in	in	ADP
ejde-1285	222	12	w	w	PROPN
ejde-1285	222	13	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	222	14	0	0	NUM
ejde-1285	222	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	222	16	ω	ω	NOUN
ejde-1285	222	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	222	18	and	and	CCONJ
ejde-1285	222	19	wn	wn	PROPN
ejde-1285	222	20	→	→	SYM
ejde-1285	222	21	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	222	22	in	in	ADP
ejde-1285	222	23	lp(ω	lp(ω	NUM
ejde-1285	222	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	222	25	and	and	CCONJ
ejde-1285	222	26	in	in	ADP
ejde-1285	222	27	l1(ω	l1(ω	PROPN
ejde-1285	222	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	222	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	222	30	for	for	ADP
ejde-1285	222	31	some	some	DET
ejde-1285	222	32	ŵ.	ŵ.	NOUN
ejde-1285	222	33	from	from	ADP
ejde-1285	222	34	the	the	DET
ejde-1285	222	35	definition	definition	NOUN
ejde-1285	222	36	of	of	ADP
ejde-1285	222	37	a	a	DET
ejde-1285	222	38	weak	weak	ADJ
ejde-1285	222	39	solution	solution	NOUN
ejde-1285	222	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	222	41	we	we	PRON
ejde-1285	222	42	have	have	VERB
ejde-1285	222	43	that∫	that∫	PROPN
ejde-1285	222	44	ω	ω	PROPN
ejde-1285	222	45	|∇wn|p−2∇wn(∇wn	|∇wn|p−2∇wn(∇wn	PROPN
ejde-1285	222	46	−∇ŵ	−∇ŵ	PROPN
ejde-1285	222	47	)	)	PUNCT
ejde-1285	222	48	dx	dx	PROPN
ejde-1285	223	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	224	1	−	−	PROPN
ejde-1285	224	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	224	3	ω	ω	NUM
ejde-1285	224	4	v	v	PROPN
ejde-1285	224	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	224	6	x)|wn|p−2wn(wn	x)|wn|p−2wn(wn	PROPN
ejde-1285	224	7	−	−	PROPN
ejde-1285	224	8	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	224	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	224	10	dx+	dx+	NOUN
ejde-1285	225	1	λ	λ	X
ejde-1285	225	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	225	3	ω	ω	NUM
ejde-1285	225	4	f(un)(wn	f(un)(wn	NOUN
ejde-1285	225	5	−	−	PROPN
ejde-1285	225	6	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	225	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	225	8	dx	dx	PROPN
ejde-1285	225	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	226	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	226	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1285	226	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	226	4	now	now	ADV
ejde-1285	226	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	226	6	from	from	ADP
ejde-1285	226	7	hölder	hölder	NOUN
ejde-1285	226	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-1285	226	9	we	we	PRON
ejde-1285	226	10	see	see	VERB
ejde-1285	226	11	that∣∣	that∣∣	PROPN
ejde-1285	226	12	∫	∫	PROPN
ejde-1285	226	13	ω	ω	NUM
ejde-1285	226	14	f(un)(wn	f(un)(wn	NOUN
ejde-1285	226	15	−	−	PROPN
ejde-1285	226	16	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	226	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	226	18	dx	dx	PROPN
ejde-1285	227	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	227	2	⩽	⩽	ADV
ejde-1285	227	3	c1∥wn	c1∥wn	PROPN
ejde-1285	227	4	−	−	PROPN
ejde-1285	227	5	ŵ∥1	ŵ∥1	PROPN
ejde-1285	227	6	and	and	CCONJ
ejde-1285	227	7	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	227	8	∫	∫	PROPN
ejde-1285	227	9	ω	ω	NUM
ejde-1285	227	10	v	v	PROPN
ejde-1285	227	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	227	12	x)|wn|p−2wn(wn	x)|wn|p−2wn(wn	PROPN
ejde-1285	227	13	−	−	PROPN
ejde-1285	227	14	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	227	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	227	16	dx	dx	PROPN
ejde-1285	227	17	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1285	228	1	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	228	2	∥v	∥v	PROPN
ejde-1285	228	3	∥∞	∥∞	PROPN
ejde-1285	228	4	(	(	PUNCT
ejde-1285	228	5	∫	∫	PROPN
ejde-1285	228	6	ω	ω	NUM
ejde-1285	228	7	|wn|(p−1)p′	|wn|(p−1)p′	PROPN
ejde-1285	228	8	dx	dx	PROPN
ejde-1285	228	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	228	10	1	1	X
ejde-1285	228	11	/	/	SYM
ejde-1285	228	12	p′(∫	p′(∫	NOUN
ejde-1285	228	13	ω	ω	NOUN
ejde-1285	228	14	|wn	|wn	NUM
ejde-1285	228	15	−	−	PROPN
ejde-1285	228	16	ŵ|p	ŵ|p	PROPN
ejde-1285	228	17	dx	dx	PROPN
ejde-1285	228	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	228	19	1	1	X
ejde-1285	228	20	/	/	SYM
ejde-1285	228	21	p	p	X
ejde-1285	228	22	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	228	23	positive	positive	ADJ
ejde-1285	228	24	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	228	25	for	for	ADP
ejde-1285	228	26	a	a	DET
ejde-1285	228	27	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	228	28	p	p	NOUN
ejde-1285	228	29	-	-	PUNCT
ejde-1285	228	30	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	228	31	7	7	NUM
ejde-1285	228	32	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	228	33	∥v	∥v	PROPN
ejde-1285	228	34	∥∞∥wn∥p−1	∥∞∥wn∥p−1	VERB
ejde-1285	228	35	p	p	NOUN
ejde-1285	228	36	∥wn	∥wn	ADP
ejde-1285	229	1	−	−	PROPN
ejde-1285	229	2	ŵ∥p	ŵ∥p	NOUN
ejde-1285	229	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	230	1	then	then	ADV
ejde-1285	230	2	from	from	ADP
ejde-1285	230	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	230	4	3.4	3.4	NUM
ejde-1285	230	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	230	6	we	we	PRON
ejde-1285	230	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	230	8	lim	lim	PROPN
ejde-1285	230	9	n→∞	n→∞	NUM
ejde-1285	230	10	∫	∫	PROPN
ejde-1285	230	11	ω	ω	PROPN
ejde-1285	230	12	|∇wn|p−2∇wn(∇wn	|∇wn|p−2∇wn(∇wn	PROPN
ejde-1285	230	13	−∇ŵ	−∇ŵ	PROPN
ejde-1285	230	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	230	15	dx	dx	PROPN
ejde-1285	231	1	=	=	SYM
ejde-1285	231	2	0	0	PROPN
ejde-1285	231	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	232	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	232	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1285	232	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	232	4	on	on	ADP
ejde-1285	232	5	the	the	DET
ejde-1285	232	6	other	other	ADJ
ejde-1285	232	7	hand	hand	NOUN
ejde-1285	232	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	232	9	since	since	SCONJ
ejde-1285	232	10	wn	wn	PROPN
ejde-1285	232	11	⇀	⇀	PROPN
ejde-1285	232	12	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	232	13	in	in	ADP
ejde-1285	232	14	w	w	PROPN
ejde-1285	232	15	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	232	16	0	0	NUM
ejde-1285	232	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	232	18	ω	ω	NOUN
ejde-1285	232	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	232	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	232	21	it	it	PRON
ejde-1285	232	22	follows	follow	VERB
ejde-1285	232	23	that	that	SCONJ
ejde-1285	232	24	lim	lim	PROPN
ejde-1285	232	25	n→∞	n→∞	PRON
ejde-1285	232	26	∫	∫	PROPN
ejde-1285	232	27	ω	ω	PROPN
ejde-1285	232	28	|∇ŵ|p−2∇ŵ(∇wn	|∇ŵ|p−2∇ŵ(∇wn	NOUN
ejde-1285	232	29	−∇ŵ	−∇ŵ	ADJ
ejde-1285	232	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	232	31	dx	dx	PROPN
ejde-1285	233	1	=	=	SYM
ejde-1285	233	2	0	0	PROPN
ejde-1285	233	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	234	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	234	2	3.6	3.6	NUM
ejde-1285	234	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	234	4	observe	observe	VERB
ejde-1285	234	5	also	also	ADV
ejde-1285	234	6	that	that	SCONJ
ejde-1285	234	7	using	use	VERB
ejde-1285	234	8	the	the	DET
ejde-1285	234	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-1285	234	10	inequality	inequality	NOUN
ejde-1285	234	11	we	we	PRON
ejde-1285	234	12	reach∫	reach∫	VERB
ejde-1285	234	13	ω	ω	X
ejde-1285	234	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	234	15	|∇wn|p−2∇wn−|∇ŵ|p−2∇ŵ)(∇wn−∇ŵ	|∇wn|p−2∇wn−|∇ŵ|p−2∇ŵ)(∇wn−∇ŵ	PROPN
ejde-1285	234	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	234	17	dx	dx	PROPN
ejde-1285	235	1	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	235	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	235	3	∥wn∥p−1−∥ŵ∥p−1)(∥wn∥−∥ŵ∥	∥wn∥p−1−∥ŵ∥p−1)(∥wn∥−∥ŵ∥	X
ejde-1285	235	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	235	5	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	235	6	0	0	NUM
ejde-1285	235	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	236	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	236	2	3.7	3.7	NUM
ejde-1285	236	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	236	4	from	from	ADP
ejde-1285	236	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	236	6	3.5	3.5	NUM
ejde-1285	236	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	236	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	236	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	236	10	3.6	3.6	NUM
ejde-1285	236	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	236	12	and	and	CCONJ
ejde-1285	236	13	(	(	PUNCT
ejde-1285	236	14	3.7	3.7	NUM
ejde-1285	236	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	236	16	we	we	PRON
ejde-1285	236	17	see	see	VERB
ejde-1285	236	18	that	that	SCONJ
ejde-1285	236	19	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-1285	236	20	∥wn∥	∥wn∥	PUNCT
ejde-1285	237	1	=	=	SYM
ejde-1285	237	2	∥ŵ∥.	∥ŵ∥.	PROPN
ejde-1285	237	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	237	4	w	w	PROPN
ejde-1285	237	5	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	237	6	0	0	NUM
ejde-1285	237	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	237	8	ω	ω	NOUN
ejde-1285	237	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	237	10	is	be	AUX
ejde-1285	237	11	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-1285	237	12	and	and	CCONJ
ejde-1285	237	13	wn	wn	PROPN
ejde-1285	237	14	⇀	⇀	PROPN
ejde-1285	237	15	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	237	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	237	17	it	it	PRON
ejde-1285	237	18	follows	follow	VERB
ejde-1285	237	19	that	that	SCONJ
ejde-1285	237	20	wn	wn	PROPN
ejde-1285	237	21	→	→	SYM
ejde-1285	237	22	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	237	23	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	237	24	in	in	ADP
ejde-1285	237	25	w	w	PROPN
ejde-1285	237	26	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	237	27	0	0	NUM
ejde-1285	237	28	(	(	PUNCT
ejde-1285	237	29	ω	ω	NOUN
ejde-1285	237	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	237	31	.	.	PUNCT
ejde-1285	238	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1285	238	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	238	3	from	from	ADP
ejde-1285	238	4	the	the	DET
ejde-1285	238	5	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-1285	238	6	dominated	dominate	VERB
ejde-1285	238	7	convergence	convergence	NOUN
ejde-1285	238	8	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	238	9	we	we	PRON
ejde-1285	238	10	have	have	VERB
ejde-1285	238	11	that	that	PRON
ejde-1285	238	12	for	for	ADP
ejde-1285	238	13	any	any	DET
ejde-1285	238	14	test	test	NOUN
ejde-1285	238	15	function	function	NOUN
ejde-1285	238	16	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1285	238	17	∈	∈	PROPN
ejde-1285	238	18	w	w	PROPN
ejde-1285	238	19	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	238	20	0	0	NUM
ejde-1285	238	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	238	22	ω	ω	NOUN
ejde-1285	238	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	238	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	238	25	lim	lim	PROPN
ejde-1285	238	26	n→∞	n→∞	NUM
ejde-1285	238	27	∫	∫	PROPN
ejde-1285	238	28	ω	ω	NUM
ejde-1285	238	29	|∇wn|p−2∇wn	|∇wn|p−2∇wn	PROPN
ejde-1285	238	30	·	·	PUNCT
ejde-1285	238	31	∇ϕdx+	∇ϕdx+	ADJ
ejde-1285	238	32	∫	∫	PROPN
ejde-1285	238	33	ω	ω	NUM
ejde-1285	238	34	v	v	NOUN
ejde-1285	238	35	(	(	PUNCT
ejde-1285	238	36	x)|wn|p−2wnϕdx	x)|wn|p−2wnϕdx	PROPN
ejde-1285	238	37	=	=	SYM
ejde-1285	238	38	∫	∫	PROPN
ejde-1285	239	1	ω	ω	PROPN
ejde-1285	239	2	|∇ŵ|p−2∇ŵ	|∇ŵ|p−2∇ŵ	PROPN
ejde-1285	239	3	·	·	PUNCT
ejde-1285	239	4	∇ϕdx+	∇ϕdx+	ADJ
ejde-1285	239	5	∫	∫	PROPN
ejde-1285	239	6	ω	ω	NUM
ejde-1285	239	7	v	v	NOUN
ejde-1285	239	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	239	9	x)|ŵ|p−2ŵϕ	x)|ŵ|p−2ŵϕ	PROPN
ejde-1285	239	10	dx	dx	PROPN
ejde-1285	239	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	239	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	239	13	3.8	3.8	NUM
ejde-1285	239	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	239	15	on	on	ADP
ejde-1285	239	16	the	the	DET
ejde-1285	239	17	other	other	ADJ
ejde-1285	239	18	hand	hand	NOUN
ejde-1285	239	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	239	20	since	since	SCONJ
ejde-1285	239	21	f	f	PROPN
ejde-1285	239	22	is	be	AUX
ejde-1285	239	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	239	24	and	and	CCONJ
ejde-1285	239	25	un	un	PROPN
ejde-1285	239	26	→	→	SYM
ejde-1285	239	27	u	u	NOUN
ejde-1285	239	28	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1285	239	29	in	in	ADP
ejde-1285	239	30	ω	ω	PROPN
ejde-1285	239	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	239	32	then	then	ADV
ejde-1285	239	33	f(un	f(un	NUM
ejde-1285	239	34	)	)	PUNCT
ejde-1285	239	35	→	→	SYM
ejde-1285	239	36	f(u	f(u	NOUN
ejde-1285	239	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	239	38	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1285	239	39	in	in	ADP
ejde-1285	239	40	ω	ω	PROPN
ejde-1285	239	41	.	.	PUNCT
ejde-1285	240	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	240	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	240	3	for	for	ADP
ejde-1285	240	4	any	any	DET
ejde-1285	240	5	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1285	240	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	240	7	w	w	PROPN
ejde-1285	240	8	1,p	1,p	PROPN
ejde-1285	240	9	0	0	NUM
ejde-1285	240	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	240	11	ω	ω	NOUN
ejde-1285	240	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	240	14	we	we	PRON
ejde-1285	240	15	have∫	have∫	VERB
ejde-1285	240	16	ω	ω	NUM
ejde-1285	240	17	f(un)ϕdx	f(un)ϕdx	PROPN
ejde-1285	240	18	→	→	SYM
ejde-1285	240	19	∫	∫	PROPN
ejde-1285	240	20	ω	ω	X
ejde-1285	240	21	f(u)ϕdx	f(u)ϕdx	PROPN
ejde-1285	240	22	as	as	ADP
ejde-1285	240	23	n	n	PROPN
ejde-1285	240	24	→	→	SYM
ejde-1285	240	25	∞.	∞.	PROPN
ejde-1285	240	26	(	(	PUNCT
ejde-1285	240	27	3.9	3.9	NUM
ejde-1285	240	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	29	from	from	ADP
ejde-1285	240	30	(	(	PUNCT
ejde-1285	240	31	3.8	3.8	NUM
ejde-1285	240	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	33	and	and	CCONJ
ejde-1285	240	34	(	(	PUNCT
ejde-1285	240	35	3.9	3.9	NUM
ejde-1285	240	36	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	37	we	we	PRON
ejde-1285	240	38	have	have	VERB
ejde-1285	240	39	that	that	PRON
ejde-1285	240	40	ŵ	ŵ	PROPN
ejde-1285	240	41	is	be	AUX
ejde-1285	240	42	weak	weak	ADJ
ejde-1285	240	43	solution	solution	NOUN
ejde-1285	240	44	of	of	ADP
ejde-1285	240	45	−∆pŵ	−∆pŵ	NOUN
ejde-1285	240	46	+	+	CCONJ
ejde-1285	240	47	v	v	NUM
ejde-1285	240	48	φp(ŵ	φp(ŵ	NOUN
ejde-1285	240	49	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	50	=	=	SYM
ejde-1285	240	51	λf(u	λf(u	NUM
ejde-1285	240	52	)	)	PUNCT
ejde-1285	240	53	in	in	ADP
ejde-1285	240	54	ω	ω	PROPN
ejde-1285	240	55	,	,	PUNCT
ejde-1285	240	56	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	241	1	=	=	SYM
ejde-1285	241	2	0	0	NUM
ejde-1285	241	3	on	on	ADP
ejde-1285	241	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	241	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	242	1	that	that	PRON
ejde-1285	242	2	is	be	AUX
ejde-1285	242	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	242	4	ŵ	ŵ	X
ejde-1285	242	5	=	=	SYM
ejde-1285	242	6	a(u	a(u	X
ejde-1285	242	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	243	1	=	=	SYM
ejde-1285	243	2	w.	w.	PROPN
ejde-1285	243	3	now	now	ADV
ejde-1285	243	4	let	let	VERB
ejde-1285	243	5	us	we	PRON
ejde-1285	243	6	see	see	VERB
ejde-1285	243	7	that	that	SCONJ
ejde-1285	243	8	since	since	SCONJ
ejde-1285	243	9	∥un∥∞	∥un∥∞	ADJ
ejde-1285	243	10	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	243	11	c	c	NOUN
ejde-1285	243	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	243	13	then	then	ADV
ejde-1285	243	14	there	there	PRON
ejde-1285	243	15	exists	exist	VERB
ejde-1285	243	16	0	0	PUNCT
ejde-1285	243	17	<	<	X
ejde-1285	243	18	β	β	X
ejde-1285	243	19	<	<	X
ejde-1285	243	20	1	1	NUM
ejde-1285	243	21	such	such	ADJ
ejde-1285	243	22	that	that	SCONJ
ejde-1285	243	23	∥wn∥c1,β	∥wn∥c1,β	NUM
ejde-1285	243	24	0	0	NUM
ejde-1285	243	25	(	(	PUNCT
ejde-1285	243	26	ω	ω	NOUN
ejde-1285	243	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	243	28	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	243	29	c2	c2	PROPN
ejde-1285	243	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	243	31	for	for	ADP
ejde-1285	243	32	some	some	DET
ejde-1285	243	33	c2	c2	PROPN
ejde-1285	243	34	>	>	X
ejde-1285	243	35	0	0	PROPN
ejde-1285	243	36	independent	independent	ADJ
ejde-1285	243	37	of	of	ADP
ejde-1285	243	38	n.	n.	PROPN
ejde-1285	243	39	first	first	ADV
ejde-1285	243	40	we	we	PRON
ejde-1285	243	41	claim	claim	VERB
ejde-1285	243	42	that∫	that∫	NOUN
ejde-1285	243	43	e	e	PROPN
ejde-1285	243	44	|wn|p	|wn|p	PROPN
ejde-1285	243	45	∗	∗	X
ejde-1285	243	46	dx	dx	PROPN
ejde-1285	243	47	→	→	SYM
ejde-1285	243	48	0	0	NUM
ejde-1285	243	49	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1285	243	50	in	in	ADP
ejde-1285	243	51	n	n	CCONJ
ejde-1285	243	52	,	,	PUNCT
ejde-1285	243	53	as	as	ADP
ejde-1285	243	54	|e|	|e|	PRON
ejde-1285	243	55	→	→	SYM
ejde-1285	243	56	0	0	NUM
ejde-1285	243	57	.	.	PUNCT
ejde-1285	244	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1285	244	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	3	from	from	ADP
ejde-1285	244	4	[	[	X
ejde-1285	244	5	12	12	NUM
ejde-1285	244	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	7	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	244	8	6.2.6	6.2.6	NUM
ejde-1285	244	9	]	]	PUNCT
ejde-1285	244	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	11	we	we	PRON
ejde-1285	244	12	have	have	VERB
ejde-1285	244	13	that	that	PRON
ejde-1285	244	14	∥wn∥∞	∥wn∥∞	ADP
ejde-1285	244	15	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	244	16	c∥wn∥p∗	c∥wn∥p∗	PROPN
ejde-1285	244	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	18	for	for	ADP
ejde-1285	244	19	some	some	DET
ejde-1285	244	20	constant	constant	ADJ
ejde-1285	244	21	c	c	NOUN
ejde-1285	244	22	independent	independent	NOUN
ejde-1285	244	23	of	of	ADP
ejde-1285	244	24	n.	n.	PROPN
ejde-1285	244	25	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	244	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	27	from	from	ADP
ejde-1285	244	28	(	(	PUNCT
ejde-1285	244	29	3.3	3.3	NUM
ejde-1285	244	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	244	31	and	and	CCONJ
ejde-1285	244	32	the	the	DET
ejde-1285	244	33	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1285	244	34	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1285	244	35	we	we	PRON
ejde-1285	244	36	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	244	37	that	that	SCONJ
ejde-1285	244	38	∥wn∥∞	∥wn∥∞	ADV
ejde-1285	244	39	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	244	40	ĉ	ĉ	VERB
ejde-1285	244	41	for	for	ADP
ejde-1285	244	42	some	some	DET
ejde-1285	244	43	ĉ.	ĉ.	NOUN
ejde-1285	244	44	thus	thus	ADV
ejde-1285	244	45	,	,	PUNCT
ejde-1285	244	46	there	there	PRON
ejde-1285	244	47	exists	exist	VERB
ejde-1285	244	48	c	c	NOUN
ejde-1285	244	49	>	>	X
ejde-1285	244	50	0	0	NUM
ejde-1285	245	1	such	such	ADJ
ejde-1285	245	2	that	that	PRON
ejde-1285	245	3	for	for	ADP
ejde-1285	245	4	all	all	PRON
ejde-1285	245	5	n	n	DET
ejde-1285	245	6	∫	∫	PROPN
ejde-1285	245	7	e	e	PROPN
ejde-1285	245	8	|wn|p	|wn|p	PROPN
ejde-1285	245	9	∗	∗	PROPN
ejde-1285	245	10	dx	dx	PROPN
ejde-1285	245	11	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	245	12	∥wn∥p	∥wn∥p	PROPN
ejde-1285	245	13	∗	∗	VERB
ejde-1285	245	14	∞|e|	∞|e|	PROPN
ejde-1285	245	15	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	245	16	c|e|	c|e|	PROPN
ejde-1285	245	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	246	1	this	this	PRON
ejde-1285	246	2	proves	prove	VERB
ejde-1285	246	3	the	the	DET
ejde-1285	246	4	claim	claim	NOUN
ejde-1285	246	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	247	1	on	on	ADP
ejde-1285	247	2	the	the	DET
ejde-1285	247	3	other	other	ADJ
ejde-1285	247	4	hand	hand	NOUN
ejde-1285	247	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	247	6	taking	take	VERB
ejde-1285	247	7	hn(x	hn(x	ADP
ejde-1285	247	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	247	9	t	t	PROPN
ejde-1285	247	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	247	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	248	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	248	2	λf(un(x))−	λf(un(x))−	NOUN
ejde-1285	248	3	v	v	NOUN
ejde-1285	248	4	(	(	PUNCT
ejde-1285	248	5	x)φp(t	x)φp(t	PROPN
ejde-1285	248	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	248	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	248	8	then	then	ADV
ejde-1285	248	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	248	10	taking	take	VERB
ejde-1285	248	11	into	into	ADP
ejde-1285	248	12	account	account	NOUN
ejde-1285	248	13	that	that	SCONJ
ejde-1285	248	14	f	f	PROPN
ejde-1285	248	15	is	be	AUX
ejde-1285	248	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	248	17	and	and	CCONJ
ejde-1285	248	18	v	v	ADP
ejde-1285	248	19	∈	∈	NOUN
ejde-1285	248	20	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1285	248	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	248	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	248	23	we	we	PRON
ejde-1285	248	24	have	have	VERB
ejde-1285	248	25	|hn(x	|hn(x	X
ejde-1285	248	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	248	27	t)|	t)|	ADV
ejde-1285	248	28	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	248	29	c1	c1	PROPN
ejde-1285	248	30	+	+	CCONJ
ejde-1285	248	31	c2|t|p	c2|t|p	PROPN
ejde-1285	248	32	∗−1	∗−1	NOUN
ejde-1285	248	33	.	.	PUNCT
ejde-1285	249	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	249	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	249	3	from	from	ADP
ejde-1285	249	4	[	[	X
ejde-1285	249	5	8	8	NUM
ejde-1285	249	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	249	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	249	8	3.7	3.7	NUM
ejde-1285	249	9	]	]	PUNCT
ejde-1285	249	10	it	it	PRON
ejde-1285	249	11	follows	follow	VERB
ejde-1285	249	12	that	that	SCONJ
ejde-1285	249	13	{	{	PUNCT
ejde-1285	249	14	wn	wn	NOUN
ejde-1285	249	15	}	}	PUNCT
ejde-1285	249	16	remains	remain	VERB
ejde-1285	249	17	bounded	bound	VERB
ejde-1285	249	18	in	in	ADP
ejde-1285	249	19	c1,β	c1,β	PROPN
ejde-1285	249	20	0	0	NUM
ejde-1285	249	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	249	22	ω	ω	NOUN
ejde-1285	249	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	249	24	for	for	ADP
ejde-1285	249	25	some	some	PRON
ejde-1285	249	26	0	0	NUM
ejde-1285	249	27	<	<	X
ejde-1285	249	28	β	β	X
ejde-1285	249	29	<	<	X
ejde-1285	249	30	1	1	NUM
ejde-1285	249	31	.	.	PUNCT
ejde-1285	249	32	because	because	SCONJ
ejde-1285	249	33	of	of	ADP
ejde-1285	249	34	the	the	DET
ejde-1285	249	35	compact	compact	ADJ
ejde-1285	249	36	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1285	249	37	c1,β	c1,β	NOUN
ejde-1285	249	38	0	0	NUM
ejde-1285	249	39	(	(	PUNCT
ejde-1285	249	40	ω	ω	NOUN
ejde-1285	249	41	)	)	PUNCT
ejde-1285	249	42	⊂⊂	⊂⊂	PROPN
ejde-1285	249	43	c1	c1	PROPN
ejde-1285	249	44	0	0	NUM
ejde-1285	249	45	(	(	PUNCT
ejde-1285	249	46	ω	ω	NOUN
ejde-1285	249	47	)	)	PUNCT
ejde-1285	249	48	,	,	PUNCT
ejde-1285	249	49	up	up	ADP
ejde-1285	249	50	to	to	ADP
ejde-1285	249	51	a	a	DET
ejde-1285	249	52	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1285	249	53	,	,	PUNCT
ejde-1285	249	54	wn	wn	PROPN
ejde-1285	249	55	→	→	SYM
ejde-1285	249	56	w0	w0	PROPN
ejde-1285	249	57	in	in	ADP
ejde-1285	249	58	c1	c1	PROPN
ejde-1285	249	59	0	0	NUM
ejde-1285	249	60	(	(	PUNCT
ejde-1285	249	61	ω	ω	NOUN
ejde-1285	249	62	)	)	PUNCT
ejde-1285	249	63	for	for	ADP
ejde-1285	249	64	some	some	DET
ejde-1285	249	65	w0	w0	NOUN
ejde-1285	249	66	.	.	PUNCT
ejde-1285	250	1	hence	hence	ADV
ejde-1285	250	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	250	3	wn	wn	PROPN
ejde-1285	250	4	→	→	SYM
ejde-1285	250	5	w0	w0	PROPN
ejde-1285	250	6	in	in	ADP
ejde-1285	250	7	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-1285	250	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	250	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	251	1	by	by	ADP
ejde-1285	251	2	the	the	DET
ejde-1285	251	3	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1285	251	4	of	of	ADP
ejde-1285	251	5	the	the	DET
ejde-1285	251	6	limit	limit	NOUN
ejde-1285	251	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	251	8	w0	w0	PROPN
ejde-1285	251	9	=	=	SYM
ejde-1285	251	10	w.	w.	PROPN
ejde-1285	251	11	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	251	12	wn	wn	PROPN
ejde-1285	251	13	→	→	PROPN
ejde-1285	251	14	w	w	PROPN
ejde-1285	251	15	in	in	ADP
ejde-1285	251	16	c1	c1	PROPN
ejde-1285	251	17	0	0	NUM
ejde-1285	251	18	(	(	PUNCT
ejde-1285	251	19	ω	ω	NOUN
ejde-1285	251	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	251	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	251	22	which	which	PRON
ejde-1285	251	23	proves	prove	VERB
ejde-1285	251	24	the	the	DET
ejde-1285	251	25	continuity	continuity	NOUN
ejde-1285	251	26	of	of	ADP
ejde-1285	251	27	a.	a.	NOUN
ejde-1285	251	28	now	now	ADV
ejde-1285	251	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	251	30	let	let	VERB
ejde-1285	251	31	us	we	PRON
ejde-1285	251	32	prove	prove	VERB
ejde-1285	251	33	that	that	SCONJ
ejde-1285	251	34	a	a	PRON
ejde-1285	251	35	is	be	AUX
ejde-1285	251	36	compact	compact	ADJ
ejde-1285	251	37	.	.	PUNCT
ejde-1285	252	1	let	let	VERB
ejde-1285	252	2	us	we	PRON
ejde-1285	252	3	assume	assume	VERB
ejde-1285	252	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	252	5	{	{	PUNCT
ejde-1285	252	6	un	un	PROPN
ejde-1285	252	7	}	}	PUNCT
ejde-1285	252	8	is	be	AUX
ejde-1285	252	9	a	a	DET
ejde-1285	252	10	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	252	11	sequence	sequence	NOUN
ejde-1285	252	12	in	in	ADP
ejde-1285	252	13	c0(ω	c0(ω	PROPN
ejde-1285	252	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	252	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	253	1	arguing	argue	VERB
ejde-1285	253	2	as	as	ADP
ejde-1285	253	3	above	above	ADV
ejde-1285	253	4	we	we	PRON
ejde-1285	253	5	see	see	VERB
ejde-1285	253	6	that	that	SCONJ
ejde-1285	253	7	{	{	PUNCT
ejde-1285	253	8	wn	wn	NOUN
ejde-1285	253	9	}	}	PUNCT
ejde-1285	253	10	remains	remain	VERB
ejde-1285	253	11	bounded	bound	VERB
ejde-1285	253	12	in	in	ADP
ejde-1285	253	13	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1285	253	14	0	0	PUNCT
ejde-1285	253	15	(	(	PUNCT
ejde-1285	253	16	ω	ω	NOUN
ejde-1285	253	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	253	18	for	for	ADP
ejde-1285	253	19	some	some	PRON
ejde-1285	253	20	0	0	NUM
ejde-1285	253	21	<	<	X
ejde-1285	253	22	α	α	X
ejde-1285	253	23	<	<	X
ejde-1285	253	24	1	1	NUM
ejde-1285	253	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	254	1	now	now	ADV
ejde-1285	254	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	254	3	due	due	ADP
ejde-1285	254	4	to	to	ADP
ejde-1285	254	5	the	the	DET
ejde-1285	254	6	compact	compact	NOUN
ejde-1285	254	7	embedding	embed	VERB
ejde-1285	254	8	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1285	254	9	0	0	PUNCT
ejde-1285	255	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	255	2	ω	ω	NOUN
ejde-1285	255	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	255	4	↪	↪	PROPN
ejde-1285	255	5	→	→	SYM
ejde-1285	255	6	c1	c1	NOUN
ejde-1285	255	7	0	0	NUM
ejde-1285	255	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	255	9	ω	ω	NOUN
ejde-1285	255	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	255	11	(	(	PUNCT
ejde-1285	255	12	see	see	VERB
ejde-1285	255	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	255	14	2.6	2.6	NUM
ejde-1285	255	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	255	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	255	17	up	up	ADP
ejde-1285	255	18	to	to	ADP
ejde-1285	255	19	subsequences	subsequence	NOUN
ejde-1285	255	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	255	21	wn	wn	PROPN
ejde-1285	255	22	→	→	SYM
ejde-1285	255	23	w′	w′	PROPN
ejde-1285	255	24	in	in	ADP
ejde-1285	255	25	c1	c1	PROPN
ejde-1285	255	26	0	0	NUM
ejde-1285	255	27	(	(	PUNCT
ejde-1285	255	28	ω	ω	NOUN
ejde-1285	255	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	255	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	255	31	for	for	ADP
ejde-1285	255	32	some	some	PRON
ejde-1285	255	33	w′.	w′.	NOUN
ejde-1285	255	34	this	this	PRON
ejde-1285	255	35	proves	prove	VERB
ejde-1285	255	36	that	that	SCONJ
ejde-1285	255	37	a	a	PRON
ejde-1285	255	38	is	be	AUX
ejde-1285	255	39	compact	compact	ADJ
ejde-1285	255	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	255	41	which	which	PRON
ejde-1285	255	42	completes	complete	VERB
ejde-1285	255	43	the	the	DET
ejde-1285	255	44	proof	proof	NOUN
ejde-1285	255	45	of	of	ADP
ejde-1285	255	46	the	the	DET
ejde-1285	255	47	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	255	48	.	.	PUNCT
ejde-1285	256	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	256	2	from	from	ADP
ejde-1285	256	3	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-1285	256	4	3.1	3.1	NUM
ejde-1285	256	5	and	and	CCONJ
ejde-1285	256	6	3.3	3.3	NUM
ejde-1285	256	7	we	we	PRON
ejde-1285	256	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	256	9	the	the	DET
ejde-1285	256	10	following	follow	VERB
ejde-1285	256	11	result	result	NOUN
ejde-1285	256	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	257	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-1285	257	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1285	257	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	258	1	for	for	ADP
ejde-1285	258	2	any	any	DET
ejde-1285	258	3	λ	λ	PROPN
ejde-1285	258	4	>	>	X
ejde-1285	258	5	0	0	PROPN
ejde-1285	258	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	258	7	a	a	DET
ejde-1285	258	8	:	:	PUNCT
ejde-1285	258	9	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	258	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	258	11	→	→	SYM
ejde-1285	258	12	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	258	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	258	14	is	be	AUX
ejde-1285	258	15	completely	completely	ADV
ejde-1285	258	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	258	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	259	1	the	the	DET
ejde-1285	259	2	proof	proof	NOUN
ejde-1285	259	3	of	of	ADP
ejde-1285	259	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	259	5	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	259	6	is	be	AUX
ejde-1285	259	7	inspired	inspire	VERB
ejde-1285	259	8	by	by	ADP
ejde-1285	259	9	[	[	X
ejde-1285	259	10	9	9	NUM
ejde-1285	259	11	]	]	PUNCT
ejde-1285	259	12	and	and	CCONJ
ejde-1285	259	13	relies	rely	VERB
ejde-1285	259	14	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	259	15	in	in	ADP
ejde-1285	259	16	[	[	X
ejde-1285	259	17	3	3	NUM
ejde-1285	259	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	259	19	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	259	20	14.1	14.1	NUM
ejde-1285	259	21	]	]	PUNCT
ejde-1285	259	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	260	1	8	8	NUM
ejde-1285	260	2	s.	s.	PROPN
ejde-1285	260	3	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	260	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	260	5	e.	e.	PROPN
ejde-1285	260	6	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	260	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	260	8	d.	d.	PROPN
ejde-1285	260	9	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	260	10	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	260	11	proof	proof	NOUN
ejde-1285	260	12	of	of	ADP
ejde-1285	260	13	the	the	DET
ejde-1285	260	14	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	260	15	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	260	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	261	1	let	let	VERB
ejde-1285	261	2	us	we	PRON
ejde-1285	261	3	consider	consider	VERB
ejde-1285	261	4	the	the	DET
ejde-1285	261	5	subsets	subset	NOUN
ejde-1285	261	6	x	x	PUNCT
ejde-1285	261	7	:	:	PUNCT
ejde-1285	261	8	=	=	SYM
ejde-1285	262	1	[	[	X
ejde-1285	262	2	w1	w1	NOUN
ejde-1285	262	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	262	4	w2	w2	NOUN
ejde-1285	262	5	]	]	PUNCT
ejde-1285	262	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	262	7	x1	x1	NUM
ejde-1285	262	8	:	:	PUNCT
ejde-1285	262	9	=	=	PUNCT
ejde-1285	263	1	[	[	X
ejde-1285	263	2	w1	w1	NOUN
ejde-1285	263	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	263	4	w1	w1	NOUN
ejde-1285	263	5	]	]	PUNCT
ejde-1285	263	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	263	7	and	and	CCONJ
ejde-1285	263	8	x2	x2	INTJ
ejde-1285	263	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	263	10	=	=	PUNCT
ejde-1285	264	1	[	[	X
ejde-1285	264	2	w2	w2	NOUN
ejde-1285	264	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	264	4	w2	w2	NOUN
ejde-1285	264	5	]	]	PUNCT
ejde-1285	264	6	of	of	ADP
ejde-1285	264	7	the	the	DET
ejde-1285	264	8	banach	banach	NOUN
ejde-1285	264	9	space	space	NOUN
ejde-1285	264	10	ce(ω	ce(ω	NUM
ejde-1285	264	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	264	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	265	1	each	each	DET
ejde-1285	265	2	xi	xi	PROPN
ejde-1285	265	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	4	i	i	PRON
ejde-1285	265	5	=	=	NOUN
ejde-1285	265	6	1	1	NUM
ejde-1285	265	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	8	2	2	NUM
ejde-1285	265	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	10	is	be	AUX
ejde-1285	265	11	a	a	DET
ejde-1285	265	12	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-1285	265	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	14	closed	closed	ADJ
ejde-1285	265	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	265	16	convex	convex	NOUN
ejde-1285	265	17	subset	subset	NOUN
ejde-1285	265	18	of	of	ADP
ejde-1285	265	19	x	x	X
ejde-1285	265	20	and	and	CCONJ
ejde-1285	265	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	22	in	in	ADP
ejde-1285	265	23	consequence	consequence	NOUN
ejde-1285	265	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	265	25	is	be	AUX
ejde-1285	265	26	a	a	DET
ejde-1285	265	27	retract	retract	NOUN
ejde-1285	265	28	of	of	ADP
ejde-1285	265	29	x.	x.	NOUN
ejde-1285	265	30	clearly	clearly	ADV
ejde-1285	266	1	x1	x1	PROPN
ejde-1285	266	2	∩x2	∩x2	PROPN
ejde-1285	267	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	267	2	∅.	∅.	NOUN
ejde-1285	267	3	from	from	ADP
ejde-1285	267	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	267	5	3.2	3.2	NUM
ejde-1285	267	6	and	and	CCONJ
ejde-1285	267	7	corollary	corollary	ADJ
ejde-1285	267	8	3.4	3.4	NUM
ejde-1285	267	9	we	we	PRON
ejde-1285	267	10	have	have	VERB
ejde-1285	267	11	that	that	DET
ejde-1285	267	12	a	a	DET
ejde-1285	267	13	:	:	PUNCT
ejde-1285	267	14	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	267	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	267	16	→	→	SYM
ejde-1285	267	17	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	267	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	267	19	is	be	AUX
ejde-1285	267	20	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	267	21	increasing	increase	VERB
ejde-1285	267	22	and	and	CCONJ
ejde-1285	267	23	completely	completely	ADV
ejde-1285	267	24	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	267	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	268	1	also	also	ADV
ejde-1285	268	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	268	3	a|x	a|x	NOUN
ejde-1285	268	4	:	:	PUNCT
ejde-1285	268	5	x	x	X
ejde-1285	268	6	→	→	PUNCT
ejde-1285	268	7	x	x	X
ejde-1285	268	8	is	be	AUX
ejde-1285	268	9	well	well	ADV
ejde-1285	268	10	defined	define	VERB
ejde-1285	268	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	269	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1285	269	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	269	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	269	4	−∆pw1	−∆pw1	PROPN
ejde-1285	269	5	+	+	CCONJ
ejde-1285	269	6	v	v	NUM
ejde-1285	269	7	φp(w1	φp(w1	NOUN
ejde-1285	269	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	269	9	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	269	10	λf(w1	λf(w1	VERB
ejde-1285	269	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	269	12	=	=	SYM
ejde-1285	269	13	−∆p(a(w1	−∆p(a(w1	NOUN
ejde-1285	269	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	269	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	270	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	270	2	v	v	ADP
ejde-1285	270	3	φp(a(w1	φp(a(w1	NOUN
ejde-1285	270	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	270	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	270	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	270	7	then	then	ADV
ejde-1285	270	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	270	9	by	by	ADP
ejde-1285	270	10	the	the	DET
ejde-1285	270	11	strong	strong	ADJ
ejde-1285	270	12	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	270	13	principle	principle	NOUN
ejde-1285	270	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	270	15	proposition	proposition	NOUN
ejde-1285	270	16	2.3	2.3	NUM
ejde-1285	270	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	270	18	we	we	PRON
ejde-1285	270	19	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	270	20	w1	w1	PROPN
ejde-1285	270	21	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	270	22	a(w1	a(w1	PROPN
ejde-1285	270	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	270	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	271	1	also	also	ADV
ejde-1285	271	2	we	we	PRON
ejde-1285	271	3	have	have	VERB
ejde-1285	271	4	a(w2	a(w2	NOUN
ejde-1285	271	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	271	6	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	271	7	w2	w2	NOUN
ejde-1285	271	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	272	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	272	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	272	3	if	if	SCONJ
ejde-1285	272	4	w	w	PROPN
ejde-1285	272	5	∈	∈	PROPN
ejde-1285	272	6	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	272	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	272	8	is	be	AUX
ejde-1285	272	9	such	such	ADJ
ejde-1285	272	10	that	that	SCONJ
ejde-1285	272	11	w1	w1	NOUN
ejde-1285	272	12	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	272	13	w	w	PROPN
ejde-1285	272	14	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	272	15	w2	w2	NOUN
ejde-1285	272	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	272	17	then	then	ADV
ejde-1285	272	18	w1	w1	PROPN
ejde-1285	272	19	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	272	20	a(w1	a(w1	PROPN
ejde-1285	272	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	272	22	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	272	23	a(w	a(w	PROPN
ejde-1285	272	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	272	25	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	272	26	a(w2	a(w2	NOUN
ejde-1285	272	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	272	28	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	272	29	w2	w2	NOUN
ejde-1285	272	30	.	.	PUNCT
ejde-1285	273	1	hence	hence	ADV
ejde-1285	273	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	3	a(x	a(x	PROPN
ejde-1285	273	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	273	5	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	273	6	x.	x.	NOUN
ejde-1285	273	7	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	273	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	9	a|x	a|x	NOUN
ejde-1285	273	10	is	be	AUX
ejde-1285	273	11	completely	completely	ADV
ejde-1285	273	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	273	13	and	and	CCONJ
ejde-1285	273	14	strongly	strongly	ADV
ejde-1285	273	15	increasing	increase	VERB
ejde-1285	273	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	17	which	which	PRON
ejde-1285	273	18	is	be	AUX
ejde-1285	273	19	inherited	inherit	VERB
ejde-1285	273	20	from	from	ADP
ejde-1285	273	21	a.	a.	NOUN
ejde-1285	273	22	observe	observe	NOUN
ejde-1285	273	23	that	that	SCONJ
ejde-1285	273	24	we	we	PRON
ejde-1285	273	25	also	also	ADV
ejde-1285	273	26	have	have	VERB
ejde-1285	273	27	a(xi	a(xi	NOUN
ejde-1285	273	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	273	29	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	273	30	xi	xi	NUM
ejde-1285	273	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	32	i	i	NOUN
ejde-1285	273	33	=	=	NOUN
ejde-1285	273	34	1	1	NUM
ejde-1285	273	35	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	36	2	2	NUM
ejde-1285	273	37	.	.	PUNCT
ejde-1285	273	38	on	on	ADP
ejde-1285	273	39	the	the	DET
ejde-1285	273	40	other	other	ADJ
ejde-1285	273	41	hand	hand	NOUN
ejde-1285	273	42	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	43	since	since	SCONJ
ejde-1285	273	44	w1	w1	NOUN
ejde-1285	273	45	is	be	AUX
ejde-1285	273	46	a	a	DET
ejde-1285	273	47	strict	strict	ADJ
ejde-1285	273	48	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	273	49	of	of	ADP
ejde-1285	273	50	problem	problem	NOUN
ejde-1285	273	51	(	(	PUNCT
ejde-1285	273	52	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	273	53	)	)	PUNCT
ejde-1285	273	54	,	,	PUNCT
ejde-1285	273	55	then	then	ADV
ejde-1285	273	56	by	by	ADP
ejde-1285	273	57	the	the	DET
ejde-1285	273	58	strong	strong	ADJ
ejde-1285	273	59	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	273	60	principle	principle	PROPN
ejde-1285	273	61	a(w1	a(w1	NOUN
ejde-1285	273	62	)	)	PUNCT
ejde-1285	273	63	<	<	X
ejde-1285	273	64	w1	w1	PROPN
ejde-1285	273	65	.	.	PUNCT
ejde-1285	274	1	from	from	ADP
ejde-1285	274	2	[	[	X
ejde-1285	274	3	3	3	NUM
ejde-1285	274	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	274	5	corollary	corollary	ADJ
ejde-1285	274	6	6.2	6.2	NUM
ejde-1285	274	7	]	]	PUNCT
ejde-1285	274	8	a	a	PRON
ejde-1285	274	9	has	have	VERB
ejde-1285	274	10	a	a	DET
ejde-1285	274	11	maximal	maximal	ADJ
ejde-1285	274	12	fixed	fix	VERB
ejde-1285	274	13	point	point	NOUN
ejde-1285	274	14	u1	u1	NOUN
ejde-1285	274	15	∈	∈	PROPN
ejde-1285	274	16	x1	x1	PROPN
ejde-1285	274	17	and	and	CCONJ
ejde-1285	274	18	w1	w1	PROPN
ejde-1285	274	19	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	274	20	u1	u1	PROPN
ejde-1285	274	21	<	<	X
ejde-1285	274	22	w1	w1	PROPN
ejde-1285	274	23	.	.	PUNCT
ejde-1285	275	1	likewise	likewise	ADV
ejde-1285	275	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	275	3	a	a	PRON
ejde-1285	275	4	has	have	VERB
ejde-1285	275	5	a	a	DET
ejde-1285	275	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-1285	275	7	fixed	fix	VERB
ejde-1285	275	8	point	point	NOUN
ejde-1285	275	9	u2	u2	PROPN
ejde-1285	275	10	∈	∈	PROPN
ejde-1285	275	11	x2	x2	PROPN
ejde-1285	275	12	with	with	ADP
ejde-1285	275	13	w2	w2	PROPN
ejde-1285	275	14	<	<	X
ejde-1285	275	15	u2	u2	PROPN
ejde-1285	275	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	275	17	w1	w1	PROPN
ejde-1285	275	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	276	1	now	now	ADV
ejde-1285	276	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	276	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	276	4	0	0	NUM
ejde-1285	276	5	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	276	6	u1	u1	PROPN
ejde-1285	276	7	<	<	X
ejde-1285	276	8	w1	w1	PROPN
ejde-1285	276	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	276	10	f	f	PROPN
ejde-1285	276	11	is	be	AUX
ejde-1285	276	12	increasing	increase	VERB
ejde-1285	276	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	276	14	it	it	PRON
ejde-1285	276	15	follows	follow	VERB
ejde-1285	276	16	that	that	SCONJ
ejde-1285	276	17	λf(u1	λf(u1	X
ejde-1285	276	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	276	19	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	276	20	λf(w1	λf(w1	NOUN
ejde-1285	276	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	276	22	and	and	CCONJ
ejde-1285	276	23	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	276	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	276	25	by	by	ADP
ejde-1285	276	26	the	the	DET
ejde-1285	276	27	strong	strong	ADJ
ejde-1285	276	28	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	276	29	principle	principle	NOUN
ejde-1285	276	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	276	31	∂(w1−u1	∂(w1−u1	NOUN
ejde-1285	276	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	277	1	∂η	∂η	X
ejde-1285	277	2	<	<	X
ejde-1285	277	3	0	0	PUNCT
ejde-1285	277	4	on	on	ADP
ejde-1285	277	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	277	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	278	1	thus	thus	ADV
ejde-1285	278	2	there	there	PRON
ejde-1285	278	3	exists	exist	VERB
ejde-1285	278	4	t1	t1	NOUN
ejde-1285	278	5	>	>	X
ejde-1285	278	6	0	0	NUM
ejde-1285	278	7	such	such	ADJ
ejde-1285	278	8	that	that	DET
ejde-1285	278	9	w1	w1	NOUN
ejde-1285	278	10	−	−	PROPN
ejde-1285	278	11	u1	u1	PROPN
ejde-1285	278	12	>	>	SYM
ejde-1285	278	13	t1e	t1e	NOUN
ejde-1285	278	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	279	1	similarly	similarly	ADV
ejde-1285	279	2	there	there	PRON
ejde-1285	279	3	exists	exist	VERB
ejde-1285	279	4	t2	t2	NOUN
ejde-1285	279	5	>	>	X
ejde-1285	279	6	0	0	NUM
ejde-1285	280	1	such	such	ADJ
ejde-1285	280	2	that	that	DET
ejde-1285	280	3	u2	u2	PROPN
ejde-1285	280	4	−	−	PROPN
ejde-1285	280	5	w2	w2	PROPN
ejde-1285	280	6	>	>	X
ejde-1285	280	7	t2e	t2e	PROPN
ejde-1285	280	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	281	1	in	in	ADP
ejde-1285	281	2	this	this	DET
ejde-1285	281	3	way	way	NOUN
ejde-1285	281	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	281	5	the	the	DET
ejde-1285	281	6	open	open	ADJ
ejde-1285	281	7	sets	set	VERB
ejde-1285	281	8	bi	bi	NOUN
ejde-1285	281	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	281	10	=	=	SYM
ejde-1285	281	11	x	x	SYM
ejde-1285	281	12	∩	∩	X
ejde-1285	281	13	{	{	PUNCT
ejde-1285	281	14	z	z	PROPN
ejde-1285	281	15	∈	∈	PROPN
ejde-1285	281	16	ce(ω	ce(ω	X
ejde-1285	281	17	):	):	PUNCT
ejde-1285	281	18	∥z	∥z	PROPN
ejde-1285	281	19	−	−	PROPN
ejde-1285	281	20	ui∥e	ui∥e	NOUN
ejde-1285	281	21	<	<	X
ejde-1285	281	22	ti	ti	NOUN
ejde-1285	281	23	}	}	PUNCT
ejde-1285	281	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	281	25	i	i	PRON
ejde-1285	281	26	=	=	NOUN
ejde-1285	281	27	1	1	NUM
ejde-1285	281	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	281	29	2	2	NUM
ejde-1285	281	30	,	,	PUNCT
ejde-1285	281	31	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1285	281	32	that	that	SCONJ
ejde-1285	281	33	bi	bi	NOUN
ejde-1285	281	34	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	281	35	xi	xi	PROPN
ejde-1285	281	36	.	.	PUNCT
ejde-1285	282	1	in	in	ADP
ejde-1285	282	2	fact	fact	NOUN
ejde-1285	282	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	282	4	if	if	SCONJ
ejde-1285	282	5	z	z	PROPN
ejde-1285	282	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	282	7	bi	bi	NOUN
ejde-1285	282	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	282	9	then	then	ADV
ejde-1285	282	10	z	z	NOUN
ejde-1285	282	11	∈	∈	PROPN
ejde-1285	282	12	x	x	X
ejde-1285	282	13	which	which	PRON
ejde-1285	282	14	implies	imply	VERB
ejde-1285	282	15	that	that	SCONJ
ejde-1285	282	16	w1	w1	NOUN
ejde-1285	282	17	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	282	18	z	z	PROPN
ejde-1285	282	19	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	282	20	w2	w2	NOUN
ejde-1285	282	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	283	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	283	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	283	3	from	from	ADP
ejde-1285	283	4	the	the	DET
ejde-1285	283	5	definition	definition	NOUN
ejde-1285	283	6	of	of	ADP
ejde-1285	283	7	the	the	DET
ejde-1285	283	8	norm	norm	NOUN
ejde-1285	283	9	∥	∥	X
ejde-1285	283	10	·	·	SYM
ejde-1285	283	11	∥e	∥e	PROPN
ejde-1285	283	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	283	13	there	there	PRON
ejde-1285	283	14	exists	exist	VERB
ejde-1285	283	15	t̂i	t̂i	X
ejde-1285	283	16	<	<	X
ejde-1285	283	17	ti	ti	NOUN
ejde-1285	283	18	such	such	ADJ
ejde-1285	283	19	that	that	SCONJ
ejde-1285	283	20	|z−ui|	|z−ui|	VERB
ejde-1285	283	21	<	<	X
ejde-1285	283	22	t̂ie	t̂ie	PROPN
ejde-1285	283	23	.	.	PUNCT
ejde-1285	284	1	hence	hence	ADV
ejde-1285	284	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	284	3	z	z	NOUN
ejde-1285	284	4	<	<	X
ejde-1285	284	5	t̂1e+	t̂1e+	NUM
ejde-1285	284	6	u1	u1	NOUN
ejde-1285	284	7	<	<	X
ejde-1285	284	8	t1e+	t1e+	X
ejde-1285	284	9	u1w1	u1w1	PUNCT
ejde-1285	284	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	284	11	−z	−z	NOUN
ejde-1285	284	12	<	<	X
ejde-1285	284	13	t̂2e−	t̂2e−	PROPN
ejde-1285	284	14	u2	u2	NOUN
ejde-1285	284	15	<	<	X
ejde-1285	284	16	t2e−	t2e−	PROPN
ejde-1285	284	17	u2	u2	PROPN
ejde-1285	284	18	<	<	X
ejde-1285	284	19	−w2	−w2	PROPN
ejde-1285	284	20	and	and	CCONJ
ejde-1285	284	21	then	then	ADV
ejde-1285	284	22	w2	w2	PROPN
ejde-1285	284	23	<	<	X
ejde-1285	284	24	z.	z.	PROPN
ejde-1285	285	1	so	so	SCONJ
ejde-1285	285	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	285	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	285	4	in	in	ADP
ejde-1285	285	5	any	any	DET
ejde-1285	285	6	case	case	NOUN
ejde-1285	285	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	285	8	z	z	PROPN
ejde-1285	285	9	∈	∈	PROPN
ejde-1285	285	10	xi	xi	PROPN
ejde-1285	285	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	286	1	we	we	PRON
ejde-1285	286	2	claim	claim	VERB
ejde-1285	286	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	286	4	there	there	PRON
ejde-1285	286	5	exists	exist	VERB
ejde-1285	286	6	a	a	DET
ejde-1285	286	7	set	set	NOUN
ejde-1285	286	8	u1	u1	NOUN
ejde-1285	286	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	286	10	open	open	ADJ
ejde-1285	286	11	in	in	ADP
ejde-1285	286	12	x1	x1	PROPN
ejde-1285	286	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	286	14	such	such	ADJ
ejde-1285	286	15	that	that	SCONJ
ejde-1285	286	16	a	a	PRON
ejde-1285	286	17	has	have	VERB
ejde-1285	286	18	no	no	DET
ejde-1285	286	19	fixed	fix	VERB
ejde-1285	286	20	points	point	NOUN
ejde-1285	286	21	in	in	ADP
ejde-1285	286	22	x1	x1	PROPN
ejde-1285	286	23	∖	∖	PROPN
ejde-1285	286	24	u1	u1	NOUN
ejde-1285	286	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	287	1	arguing	argue	VERB
ejde-1285	287	2	by	by	ADP
ejde-1285	287	3	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1285	287	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	287	5	let	let	VERB
ejde-1285	287	6	us	we	PRON
ejde-1285	287	7	assume	assume	VERB
ejde-1285	287	8	that	that	SCONJ
ejde-1285	287	9	for	for	ADP
ejde-1285	287	10	any	any	DET
ejde-1285	287	11	open	open	ADJ
ejde-1285	287	12	u	u	NOUN
ejde-1285	287	13	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	287	14	x1	x1	PROPN
ejde-1285	287	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	287	16	a	a	PRON
ejde-1285	287	17	has	have	VERB
ejde-1285	287	18	a	a	DET
ejde-1285	287	19	fixed	fix	VERB
ejde-1285	287	20	point	point	NOUN
ejde-1285	287	21	in	in	ADP
ejde-1285	287	22	x1	x1	PROPN
ejde-1285	287	23	∖	∖	X
ejde-1285	287	24	u	u	NOUN
ejde-1285	287	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	288	1	in	in	ADP
ejde-1285	288	2	particular	particular	ADJ
ejde-1285	288	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	288	4	there	there	PRON
ejde-1285	288	5	exists	exist	VERB
ejde-1285	288	6	u3	u3	PROPN
ejde-1285	288	7	∈	∈	PROPN
ejde-1285	288	8	x1	x1	PROPN
ejde-1285	288	9	∖	∖	PROPN
ejde-1285	288	10	int(x1	int(x1	PROPN
ejde-1285	288	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	288	12	such	such	ADJ
ejde-1285	288	13	that	that	DET
ejde-1285	288	14	au3	au3	NOUN
ejde-1285	288	15	=	=	SYM
ejde-1285	288	16	u3	u3	PROPN
ejde-1285	288	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	289	1	since	since	SCONJ
ejde-1285	289	2	u1	u1	PROPN
ejde-1285	289	3	is	be	AUX
ejde-1285	289	4	a	a	DET
ejde-1285	289	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-1285	289	6	fixed	fix	VERB
ejde-1285	289	7	point	point	NOUN
ejde-1285	289	8	of	of	ADP
ejde-1285	289	9	a	a	PRON
ejde-1285	289	10	in	in	ADP
ejde-1285	289	11	x1	x1	PROPN
ejde-1285	289	12	then	then	ADV
ejde-1285	289	13	we	we	PRON
ejde-1285	289	14	have	have	VERB
ejde-1285	289	15	w1	w1	NOUN
ejde-1285	289	16	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	289	17	u3	u3	PROPN
ejde-1285	289	18	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	289	19	u1	u1	PROPN
ejde-1285	289	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	290	1	due	due	ADP
ejde-1285	290	2	to	to	ADP
ejde-1285	290	3	the	the	DET
ejde-1285	290	4	fact	fact	NOUN
ejde-1285	290	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	290	6	u3	u3	NOUN
ejde-1285	290	7	̸=	̸=	PROPN
ejde-1285	290	8	u1	u1	VERB
ejde-1285	290	9	the	the	DET
ejde-1285	290	10	strong	strong	ADJ
ejde-1285	290	11	comparison	comparison	NOUN
ejde-1285	290	12	principle	principle	NOUN
ejde-1285	290	13	implies	imply	VERB
ejde-1285	290	14	that	that	SCONJ
ejde-1285	290	15	u3	u3	NOUN
ejde-1285	290	16	<	<	X
ejde-1285	290	17	u1	u1	PROPN
ejde-1285	290	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	291	1	notice	notice	VERB
ejde-1285	291	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	291	3	x1	x1	PRON
ejde-1285	291	4	∩	∩	NOUN
ejde-1285	291	5	[	[	X
ejde-1285	291	6	w1	w1	NOUN
ejde-1285	291	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	291	8	u1	u1	NOUN
ejde-1285	291	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	291	10	is	be	AUX
ejde-1285	291	11	open	open	ADJ
ejde-1285	291	12	in	in	ADP
ejde-1285	291	13	x1	x1	PROPN
ejde-1285	291	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	291	15	since	since	SCONJ
ejde-1285	291	16	[	[	X
ejde-1285	291	17	w1	w1	NOUN
ejde-1285	291	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	291	19	u1	u1	NOUN
ejde-1285	291	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	291	21	is	be	AUX
ejde-1285	291	22	open	open	ADJ
ejde-1285	291	23	in	in	ADP
ejde-1285	291	24	x	x	NOUN
ejde-1285	291	25	)	)	PUNCT
ejde-1285	291	26	and	and	CCONJ
ejde-1285	291	27	u3	u3	PROPN
ejde-1285	291	28	∈	∈	PROPN
ejde-1285	291	29	x1	x1	PROPN
ejde-1285	291	30	∩	∩	NOUN
ejde-1285	291	31	[	[	X
ejde-1285	291	32	w1	w1	NOUN
ejde-1285	291	33	,	,	PUNCT
ejde-1285	291	34	u1	u1	NOUN
ejde-1285	291	35	)	)	PUNCT
ejde-1285	291	36	.	.	PUNCT
ejde-1285	292	1	this	this	PRON
ejde-1285	292	2	contradicts	contradict	VERB
ejde-1285	292	3	the	the	DET
ejde-1285	292	4	assumption	assumption	NOUN
ejde-1285	292	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	292	6	u3	u3	PROPN
ejde-1285	292	7	/∈	/∈	PUNCT
ejde-1285	292	8	int(x1	int(x1	PROPN
ejde-1285	292	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	292	10	.	.	PUNCT
ejde-1285	293	1	a	a	DET
ejde-1285	293	2	similar	similar	ADJ
ejde-1285	293	3	argument	argument	NOUN
ejde-1285	293	4	shows	show	VERB
ejde-1285	293	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	293	6	there	there	PRON
ejde-1285	293	7	exists	exist	VERB
ejde-1285	293	8	a	a	DET
ejde-1285	293	9	set	set	NOUN
ejde-1285	293	10	u2	u2	NOUN
ejde-1285	293	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	293	12	open	open	ADJ
ejde-1285	293	13	in	in	ADP
ejde-1285	293	14	x2	x2	INTJ
ejde-1285	293	15	such	such	ADJ
ejde-1285	293	16	that	that	SCONJ
ejde-1285	293	17	a	a	PRON
ejde-1285	293	18	has	have	VERB
ejde-1285	293	19	no	no	DET
ejde-1285	293	20	fixed	fix	VERB
ejde-1285	293	21	points	point	NOUN
ejde-1285	293	22	in	in	ADP
ejde-1285	293	23	x2∖u2	x2∖u2	PROPN
ejde-1285	293	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	294	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	294	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	294	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	294	4	2.5	2.5	NUM
ejde-1285	294	5	leads	lead	VERB
ejde-1285	294	6	us	we	PRON
ejde-1285	294	7	to	to	ADP
ejde-1285	294	8	the	the	DET
ejde-1285	294	9	existence	existence	NOUN
ejde-1285	294	10	of	of	ADP
ejde-1285	294	11	at	at	ADV
ejde-1285	294	12	least	least	ADV
ejde-1285	294	13	three	three	NUM
ejde-1285	294	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	294	15	to	to	ADP
ejde-1285	294	16	the	the	DET
ejde-1285	294	17	problem	problem	NOUN
ejde-1285	294	18	(	(	PUNCT
ejde-1285	294	19	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	294	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	294	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	294	22	u1	u1	PROPN
ejde-1285	294	23	∈	∈	PROPN
ejde-1285	294	24	x1	x1	PROPN
ejde-1285	294	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	294	26	u2	u2	PROPN
ejde-1285	294	27	∈	∈	PROPN
ejde-1285	294	28	x2	x2	NOUN
ejde-1285	294	29	and	and	CCONJ
ejde-1285	294	30	u3	u3	NOUN
ejde-1285	294	31	∈	∈	PROPN
ejde-1285	294	32	x	x	PUNCT
ejde-1285	294	33	∖	∖	PROPN
ejde-1285	294	34	(	(	PUNCT
ejde-1285	294	35	x1	x1	PROPN
ejde-1285	294	36	∩x2	∩x2	PROPN
ejde-1285	294	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	294	38	.	.	PUNCT
ejde-1285	295	1	this	this	PRON
ejde-1285	295	2	concludes	conclude	VERB
ejde-1285	295	3	the	the	DET
ejde-1285	295	4	proof	proof	NOUN
ejde-1285	295	5	of	of	ADP
ejde-1285	295	6	the	the	DET
ejde-1285	295	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	295	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	296	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	296	2	4	4	NUM
ejde-1285	296	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	297	1	the	the	DET
ejde-1285	297	2	case	case	NOUN
ejde-1285	297	3	ω	ω	X
ejde-1285	297	4	=	=	PUNCT
ejde-1285	297	5	br	br	NOUN
ejde-1285	297	6	in	in	ADP
ejde-1285	297	7	this	this	DET
ejde-1285	297	8	section	section	NOUN
ejde-1285	297	9	we	we	PRON
ejde-1285	297	10	prove	prove	VERB
ejde-1285	297	11	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	297	12	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	297	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	298	1	we	we	PRON
ejde-1285	298	2	assume	assume	VERB
ejde-1285	298	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	298	4	ω	ω	PROPN
ejde-1285	298	5	is	be	AUX
ejde-1285	298	6	the	the	DET
ejde-1285	298	7	ball	ball	NOUN
ejde-1285	298	8	in	in	ADP
ejde-1285	298	9	rn	rn	PROPN
ejde-1285	298	10	centered	center	VERB
ejde-1285	298	11	at	at	ADP
ejde-1285	298	12	the	the	DET
ejde-1285	298	13	origin	origin	NOUN
ejde-1285	298	14	with	with	ADP
ejde-1285	298	15	radius	radius	PROPN
ejde-1285	298	16	r.	r.	PROPN
ejde-1285	298	17	let	let	VERB
ejde-1285	298	18	a∗	a∗	PROPN
ejde-1285	298	19	∈	∈	PROPN
ejde-1285	299	1	[	[	X
ejde-1285	299	2	0	0	NUM
ejde-1285	299	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	299	4	a	a	PRON
ejde-1285	299	5	]	]	X
ejde-1285	299	6	such	such	ADJ
ejde-1285	299	7	that	that	DET
ejde-1285	299	8	f̃(a∗	f̃(a∗	NOUN
ejde-1285	299	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	299	10	=	=	SYM
ejde-1285	299	11	min0⩽s⩽a	min0⩽s⩽a	PROPN
ejde-1285	299	12	f̃(s	f̃(s	PROPN
ejde-1285	299	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	299	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	299	15	see	see	VERB
ejde-1285	299	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	299	17	a4	a4	NOUN
ejde-1285	299	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	299	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	299	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	300	1	there	there	PRON
ejde-1285	300	2	exists	exist	VERB
ejde-1285	300	3	a	a	DET
ejde-1285	300	4	function	function	NOUN
ejde-1285	300	5	h	h	NOUN
ejde-1285	300	6	∈	∈	PROPN
ejde-1285	300	7	c([0,∞	c([0,∞	PROPN
ejde-1285	300	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	300	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	301	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1285	301	2	h(u	h(u	PROPN
ejde-1285	301	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	1	=	=	PRON
ejde-1285	302	2	{	{	PUNCT
ejde-1285	302	3	f̃(a∗	f̃(a∗	NOUN
ejde-1285	302	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	302	6	u	u	PROPN
ejde-1285	302	7	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	302	8	a∗	a∗	PROPN
ejde-1285	302	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	302	10	f̃(u	f̃(u	PROPN
ejde-1285	302	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	302	13	a	a	DET
ejde-1285	302	14	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	302	15	u	u	NOUN
ejde-1285	302	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	302	17	which	which	PRON
ejde-1285	302	18	is	be	AUX
ejde-1285	302	19	non	non	ADJ
ejde-1285	302	20	-	-	ADJ
ejde-1285	302	21	decreasing	decrease	VERB
ejde-1285	302	22	in	in	ADP
ejde-1285	302	23	[	[	X
ejde-1285	302	24	0	0	NUM
ejde-1285	302	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	302	26	d	d	X
ejde-1285	302	27	]	]	X
ejde-1285	302	28	and	and	CCONJ
ejde-1285	302	29	h(u	h(u	PROPN
ejde-1285	302	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	31	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	302	32	f̃(u	f̃(u	PROPN
ejde-1285	302	33	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	34	for	for	ADP
ejde-1285	302	35	all	all	DET
ejde-1285	302	36	u	u	NOUN
ejde-1285	302	37	>	>	X
ejde-1285	302	38	0	0	PUNCT
ejde-1285	302	39	(	(	PUNCT
ejde-1285	302	40	see	see	VERB
ejde-1285	302	41	figure	figure	NOUN
ejde-1285	302	42	2	2	NUM
ejde-1285	302	43	)	)	PUNCT
ejde-1285	302	44	.	.	PUNCT
ejde-1285	303	1	observe	observe	VERB
ejde-1285	303	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	303	3	0	0	NUM
ejde-1285	303	4	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	303	5	h(u	h(u	PROPN
ejde-1285	303	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	303	7	for	for	ADP
ejde-1285	303	8	all	all	DET
ejde-1285	303	9	0	0	NUM
ejde-1285	303	10	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	303	11	u	u	PROPN
ejde-1285	303	12	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	303	13	d.	d.	PROPN
ejde-1285	303	14	we	we	PRON
ejde-1285	303	15	consider	consider	VERB
ejde-1285	303	16	the	the	DET
ejde-1285	303	17	problem	problem	NOUN
ejde-1285	303	18	−∆pu	−∆pu	NOUN
ejde-1285	303	19	=	=	SYM
ejde-1285	303	20	λh(u	λh(u	X
ejde-1285	303	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	303	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	303	23	in	in	ADP
ejde-1285	303	24	ω	ω	NUM
ejde-1285	303	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	303	26	u	u	NOUN
ejde-1285	303	27	=	=	PROPN
ejde-1285	303	28	0	0	NUM
ejde-1285	303	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	303	30	on	on	ADP
ejde-1285	303	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	303	32	.	.	PUNCT
ejde-1285	304	1	let	let	VERB
ejde-1285	304	2	us	we	PRON
ejde-1285	304	3	define	define	VERB
ejde-1285	304	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	304	5	for	for	ADP
ejde-1285	304	6	some	some	DET
ejde-1285	304	7	α	α	NOUN
ejde-1285	304	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	304	9	β	β	X
ejde-1285	304	10	>	>	X
ejde-1285	304	11	1	1	NUM
ejde-1285	304	12	and	and	CCONJ
ejde-1285	304	13	ε	ε	PROPN
ejde-1285	304	14	>	>	X
ejde-1285	304	15	0	0	PROPN
ejde-1285	304	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	304	17	v(r	v(r	NUM
ejde-1285	304	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	1	=	=	PRON
ejde-1285	305	2	{	{	PUNCT
ejde-1285	305	3	1	1	NUM
ejde-1285	305	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	305	5	0	0	NUM
ejde-1285	305	6	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	305	7	r	r	NOUN
ejde-1285	305	8	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	305	9	ε	ε	PROPN
ejde-1285	305	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	305	11	1−	1−	NUM
ejde-1285	305	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	305	13	1−	1−	NUM
ejde-1285	305	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	305	15	r−r	r−r	VERB
ejde-1285	305	16	r−ε	r−ε	NOUN
ejde-1285	305	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	18	β	β	X
ejde-1285	305	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	20	α	α	PROPN
ejde-1285	305	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	305	22	ε	ε	PROPN
ejde-1285	305	23	<	<	X
ejde-1285	305	24	r	r	NOUN
ejde-1285	305	25	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	305	26	r	r	NOUN
ejde-1285	305	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	305	28	and	and	CCONJ
ejde-1285	305	29	v̂(r	v̂(r	NOUN
ejde-1285	305	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	31	=	=	SYM
ejde-1285	305	32	bv(r	bv(r	X
ejde-1285	305	33	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	34	(	(	PUNCT
ejde-1285	305	35	see	see	VERB
ejde-1285	305	36	figure	figure	NOUN
ejde-1285	305	37	3	3	NUM
ejde-1285	305	38	)	)	PUNCT
ejde-1285	305	39	.	.	PUNCT
ejde-1285	306	1	note	note	VERB
ejde-1285	306	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	306	3	for	for	ADP
ejde-1285	306	4	ε	ε	PROPN
ejde-1285	306	5	<	<	X
ejde-1285	306	6	r	r	X
ejde-1285	306	7	<	<	X
ejde-1285	306	8	r	r	NOUN
ejde-1285	306	9	we	we	PRON
ejde-1285	306	10	have	have	AUX
ejde-1285	306	11	−v̂′(r	−v̂′(r	VERB
ejde-1285	306	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	307	1	=	=	SYM
ejde-1285	307	2	|v̂′(r)|	|v̂′(r)|	X
ejde-1285	307	3	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	307	4	b	b	PROPN
ejde-1285	308	1	αβ	αβ	DET
ejde-1285	308	2	r−	r−	PROPN
ejde-1285	308	3	ε	ε	PROPN
ejde-1285	308	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	309	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	309	2	4.1	4.1	NUM
ejde-1285	309	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	309	4	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	309	5	positive	positive	ADJ
ejde-1285	309	6	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	309	7	for	for	ADP
ejde-1285	309	8	a	a	DET
ejde-1285	309	9	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	309	10	p	p	NOUN
ejde-1285	309	11	-	-	PUNCT
ejde-1285	309	12	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	309	13	9	9	NUM
ejde-1285	309	14	figure	figure	NOUN
ejde-1285	309	15	2	2	NUM
ejde-1285	309	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	309	17	graphs	graph	NOUN
ejde-1285	309	18	of	of	ADP
ejde-1285	309	19	f̃	f̃	PROPN
ejde-1285	309	20	and	and	CCONJ
ejde-1285	309	21	h	h	NOUN
ejde-1285	309	22	figure	figure	NOUN
ejde-1285	309	23	3	3	NUM
ejde-1285	309	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	309	25	graphs	graph	NOUN
ejde-1285	309	26	of	of	ADP
ejde-1285	309	27	v̂	v̂	NUM
ejde-1285	309	28	and	and	CCONJ
ejde-1285	309	29	w	w	ADP
ejde-1285	309	30	the	the	DET
ejde-1285	309	31	proof	proof	NOUN
ejde-1285	309	32	of	of	ADP
ejde-1285	309	33	the	the	DET
ejde-1285	309	34	following	follow	VERB
ejde-1285	309	35	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	309	36	is	be	AUX
ejde-1285	309	37	inspired	inspire	VERB
ejde-1285	309	38	by	by	ADP
ejde-1285	309	39	ideas	idea	NOUN
ejde-1285	309	40	from	from	ADP
ejde-1285	309	41	[	[	X
ejde-1285	309	42	13	13	NUM
ejde-1285	309	43	]	]	PUNCT
ejde-1285	309	44	,	,	PUNCT
ejde-1285	309	45	where	where	SCONJ
ejde-1285	309	46	the	the	DET
ejde-1285	309	47	authors	author	NOUN
ejde-1285	309	48	choose	choose	VERB
ejde-1285	309	49	appropriate	appropriate	ADJ
ejde-1285	309	50	values	value	NOUN
ejde-1285	309	51	of	of	ADP
ejde-1285	309	52	α	α	NOUN
ejde-1285	309	53	,	,	PUNCT
ejde-1285	309	54	β	β	X
ejde-1285	309	55	and	and	CCONJ
ejde-1285	309	56	ε	ε	PROPN
ejde-1285	309	57	,	,	PUNCT
ejde-1285	309	58	such	such	ADJ
ejde-1285	309	59	that	that	SCONJ
ejde-1285	309	60	,	,	PUNCT
ejde-1285	309	61	after	after	ADP
ejde-1285	309	62	the	the	DET
ejde-1285	309	63	natural	natural	ADJ
ejde-1285	309	64	extension	extension	NOUN
ejde-1285	309	65	to	to	ADP
ejde-1285	309	66	the	the	DET
ejde-1285	309	67	ball	ball	NOUN
ejde-1285	309	68	br	br	PROPN
ejde-1285	309	69	,	,	PUNCT
ejde-1285	309	70	the	the	DET
ejde-1285	309	71	solution	solution	NOUN
ejde-1285	309	72	of	of	ADP
ejde-1285	309	73	(	(	PUNCT
ejde-1285	309	74	4.2	4.2	NUM
ejde-1285	309	75	)	)	PUNCT
ejde-1285	309	76	leads	lead	VERB
ejde-1285	309	77	us	we	PRON
ejde-1285	309	78	to	to	ADP
ejde-1285	309	79	a	a	DET
ejde-1285	309	80	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	309	81	of	of	ADP
ejde-1285	309	82	problem	problem	NOUN
ejde-1285	309	83	(	(	PUNCT
ejde-1285	309	84	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	309	85	)	)	PUNCT
ejde-1285	309	86	.	.	PUNCT
ejde-1285	310	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	310	2	4.1	4.1	NUM
ejde-1285	310	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	311	1	let	let	VERB
ejde-1285	312	1	m1	m1	PROPN
ejde-1285	312	2	>	>	X
ejde-1285	312	3	0	0	PUNCT
ejde-1285	312	4	be	be	AUX
ejde-1285	312	5	the	the	DET
ejde-1285	312	6	number	number	NOUN
ejde-1285	312	7	defined	define	VERB
ejde-1285	312	8	in	in	ADP
ejde-1285	312	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	312	10	a4	a4	NOUN
ejde-1285	312	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	312	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	313	1	then	then	ADV
ejde-1285	313	2	for	for	ADP
ejde-1285	313	3	any	any	DET
ejde-1285	313	4	λ	λ	NOUN
ejde-1285	313	5	such	such	ADJ
ejde-1285	313	6	that	that	DET
ejde-1285	313	7	m1b	m1b	PROPN
ejde-1285	313	8	p−1	p−1	PROPN
ejde-1285	313	9	f̃(b	f̃(b	PROPN
ejde-1285	313	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	313	11	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	313	12	λ	λ	X
ejde-1285	313	13	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	313	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	313	15	p′)p−1dp−1	p′)p−1dp−1	PROPN
ejde-1285	313	16	rpf̃(b	rpf̃(b	PROPN
ejde-1285	313	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	313	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	313	19	problem	problem	NOUN
ejde-1285	313	20	(	(	PUNCT
ejde-1285	313	21	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	313	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	313	23	has	have	VERB
ejde-1285	313	24	a	a	DET
ejde-1285	313	25	positive	positive	ADJ
ejde-1285	313	26	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	313	27	w2	w2	NOUN
ejde-1285	313	28	with	with	ADP
ejde-1285	313	29	b	b	PROPN
ejde-1285	313	30	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	313	31	∥w2∥∞	∥w2∥∞	PROPN
ejde-1285	313	32	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	313	33	d.	d.	PROPN
ejde-1285	313	34	10	10	NUM
ejde-1285	313	35	s.	s.	PROPN
ejde-1285	313	36	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	313	37	,	,	PUNCT
ejde-1285	313	38	e.	e.	PROPN
ejde-1285	313	39	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	313	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	313	41	d.	d.	PROPN
ejde-1285	313	42	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	313	43	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	313	44	proof	proof	NOUN
ejde-1285	313	45	.	.	PUNCT
ejde-1285	314	1	let	let	VERB
ejde-1285	314	2	w	w	NOUN
ejde-1285	314	3	be	be	AUX
ejde-1285	314	4	a	a	DET
ejde-1285	314	5	positive	positive	ADJ
ejde-1285	314	6	solution	solution	NOUN
ejde-1285	314	7	of	of	ADP
ejde-1285	314	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	314	9	rn−1φp(w	rn−1φp(w	PROPN
ejde-1285	314	10	′	′	NOUN
ejde-1285	314	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	314	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	315	1	′	′	NUM
ejde-1285	315	2	=	=	PUNCT
ejde-1285	315	3	−λrn−1h(v̂(r	−λrn−1h(v̂(r	NOUN
ejde-1285	315	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	315	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	315	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	315	7	0	0	PUNCT
ejde-1285	315	8	<	<	X
ejde-1285	315	9	r	r	X
ejde-1285	315	10	<	<	X
ejde-1285	315	11	r	r	NOUN
ejde-1285	315	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	315	13	w′(0	w′(0	NOUN
ejde-1285	315	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	315	15	=	=	SYM
ejde-1285	315	16	0	0	NUM
ejde-1285	315	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	315	18	w(r	w(r	NUM
ejde-1285	315	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	315	20	=	=	SYM
ejde-1285	316	1	0	0	X
ejde-1285	316	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	317	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	317	2	4.2	4.2	NUM
ejde-1285	317	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	317	4	which	which	PRON
ejde-1285	317	5	exists	exist	VERB
ejde-1285	317	6	by	by	ADP
ejde-1285	317	7	[	[	X
ejde-1285	317	8	12	12	NUM
ejde-1285	317	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	317	10	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	317	11	6.4.6	6.4.6	NOUN
ejde-1285	317	12	]	]	PUNCT
ejde-1285	317	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	318	1	we	we	PRON
ejde-1285	318	2	claim	claim	VERB
ejde-1285	318	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	318	4	w	w	NOUN
ejde-1285	318	5	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1285	318	6	−	−	PROPN
ejde-1285	318	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	318	8	rn−1φp(w	rn−1φp(w	NOUN
ejde-1285	318	9	′	′	NOUN
ejde-1285	318	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	12	′	′	NUM
ejde-1285	318	13	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	318	14	rn−1λh(w(r	rn−1λh(w(r	PROPN
ejde-1285	318	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	318	18	for	for	ADP
ejde-1285	318	19	all	all	PRON
ejde-1285	318	20	0	0	NUM
ejde-1285	318	21	<	<	X
ejde-1285	318	22	r	r	X
ejde-1285	318	23	<	<	X
ejde-1285	318	24	r.	r.	PROPN
ejde-1285	318	25	first	first	ADV
ejde-1285	318	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	318	27	we	we	PRON
ejde-1285	318	28	prove	prove	VERB
ejde-1285	318	29	that	that	SCONJ
ejde-1285	318	30	w′(r	w′(r	NOUN
ejde-1285	318	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	32	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	318	33	v̂′(r	v̂′(r	NOUN
ejde-1285	318	34	)	)	PUNCT
ejde-1285	318	35	,	,	PUNCT
ejde-1285	318	36	for	for	ADP
ejde-1285	318	37	all	all	DET
ejde-1285	318	38	r	r	NOUN
ejde-1285	318	39	∈	∈	NOUN
ejde-1285	319	1	[	[	X
ejde-1285	319	2	0	0	NUM
ejde-1285	319	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	319	4	r	r	NOUN
ejde-1285	319	5	]	]	PUNCT
ejde-1285	319	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	320	1	integrating	integrate	VERB
ejde-1285	320	2	over	over	ADP
ejde-1285	320	3	[	[	X
ejde-1285	320	4	0	0	NUM
ejde-1285	320	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	320	6	r	r	NOUN
ejde-1285	320	7	]	]	X
ejde-1285	320	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	320	9	r	r	NOUN
ejde-1285	320	10	>	>	X
ejde-1285	320	11	0	0	NUM
ejde-1285	320	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	320	13	the	the	DET
ejde-1285	320	14	differential	differential	ADJ
ejde-1285	320	15	equation	equation	NOUN
ejde-1285	320	16	in	in	ADP
ejde-1285	320	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	320	18	4.2	4.2	NUM
ejde-1285	320	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	320	20	and	and	CCONJ
ejde-1285	320	21	taking	take	VERB
ejde-1285	320	22	into	into	ADP
ejde-1285	320	23	account	account	NOUN
ejde-1285	320	24	the	the	DET
ejde-1285	320	25	initial	initial	ADJ
ejde-1285	320	26	condition	condition	NOUN
ejde-1285	320	27	w′(0	w′(0	NOUN
ejde-1285	320	28	)	)	PUNCT
ejde-1285	321	1	=	=	SYM
ejde-1285	321	2	0	0	NUM
ejde-1285	321	3	we	we	PRON
ejde-1285	321	4	see	see	VERB
ejde-1285	321	5	that	that	SCONJ
ejde-1285	321	6	−w′(r	−w′(r	NOUN
ejde-1285	321	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	321	8	=	=	PUNCT
ejde-1285	322	1	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	322	2	p	p	X
ejde-1285	322	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	322	4	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1285	322	5	∫	∫	PROPN
ejde-1285	322	6	r	r	NOUN
ejde-1285	322	7	0	0	NUM
ejde-1285	322	8	λtn−1h(v̂(t	λtn−1h(v̂(t	NOUN
ejde-1285	322	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	322	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	322	11	dt	dt	NOUN
ejde-1285	322	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	322	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	322	14	0	0	NUM
ejde-1285	322	15	<	<	X
ejde-1285	322	16	r	r	PROPN
ejde-1285	322	17	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	322	18	r.	r.	PROPN
ejde-1285	322	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	322	20	4.3	4.3	NUM
ejde-1285	322	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	322	22	from	from	ADP
ejde-1285	322	23	this	this	PRON
ejde-1285	322	24	and	and	CCONJ
ejde-1285	322	25	the	the	DET
ejde-1285	322	26	fact	fact	NOUN
ejde-1285	322	27	that	that	SCONJ
ejde-1285	322	28	h(r	h(r	NOUN
ejde-1285	322	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	322	30	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	322	31	0	0	NUM
ejde-1285	323	1	for	for	ADP
ejde-1285	323	2	all	all	DET
ejde-1285	323	3	r	r	NOUN
ejde-1285	323	4	∈	∈	PROPN
ejde-1285	323	5	[	[	X
ejde-1285	323	6	0	0	NUM
ejde-1285	323	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	323	8	b	b	NOUN
ejde-1285	323	9	]	]	X
ejde-1285	323	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	323	11	we	we	PRON
ejde-1285	323	12	have	have	VERB
ejde-1285	323	13	that	that	DET
ejde-1285	323	14	w′(r	w′(r	NOUN
ejde-1285	323	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	323	16	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	323	17	0	0	X
ejde-1285	323	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	324	1	in	in	ADP
ejde-1285	324	2	particular	particular	ADJ
ejde-1285	324	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	324	4	w′(r	w′(r	PROPN
ejde-1285	324	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	324	6	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	324	7	0	0	PUNCT
ejde-1285	325	1	=	=	SYM
ejde-1285	325	2	v̂′(r	v̂′(r	NOUN
ejde-1285	325	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	325	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	325	5	for	for	ADP
ejde-1285	325	6	all	all	DET
ejde-1285	325	7	r	r	NOUN
ejde-1285	325	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	326	1	[	[	X
ejde-1285	326	2	0	0	NUM
ejde-1285	326	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	326	4	ε	ε	PROPN
ejde-1285	326	5	]	]	X
ejde-1285	326	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	326	7	4.4	4.4	NUM
ejde-1285	326	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	326	9	on	on	ADP
ejde-1285	326	10	the	the	DET
ejde-1285	326	11	other	other	ADJ
ejde-1285	326	12	hand	hand	NOUN
ejde-1285	326	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	326	14	for	for	ADP
ejde-1285	326	15	all	all	DET
ejde-1285	326	16	r	r	NOUN
ejde-1285	326	17	∈	∈	PROPN
ejde-1285	326	18	(	(	PUNCT
ejde-1285	326	19	ε	ε	PROPN
ejde-1285	326	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	326	21	r	r	NOUN
ejde-1285	326	22	]	]	X
ejde-1285	326	23	,	,	PUNCT
ejde-1285	326	24	from	from	ADP
ejde-1285	326	25	(	(	PUNCT
ejde-1285	326	26	4.3	4.3	NUM
ejde-1285	326	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	326	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	326	29	−φp(w	−φp(w	ADP
ejde-1285	326	30	′(r	′(r	NOUN
ejde-1285	326	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	326	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	327	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	328	1	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1285	328	2	∫	∫	NOUN
ejde-1285	328	3	r	r	NOUN
ejde-1285	328	4	0	0	NUM
ejde-1285	328	5	λtn−1h(v̂(t	λtn−1h(v̂(t	NOUN
ejde-1285	328	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	328	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	328	8	dt	dt	PUNCT
ejde-1285	329	1	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	329	2	λ	λ	INTJ
ejde-1285	329	3	rn−1	rn−1	PROPN
ejde-1285	329	4	∫	∫	PROPN
ejde-1285	329	5	ε	ε	PROPN
ejde-1285	329	6	0	0	NUM
ejde-1285	329	7	tn−1h(v̂(t	tn−1h(v̂(t	NUM
ejde-1285	329	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	329	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	330	1	dt	dt	PUNCT
ejde-1285	331	1	⩾	⩾	VERB
ejde-1285	332	1	λh(b)εn	λh(b)εn	X
ejde-1285	332	2	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	332	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	333	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	333	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	333	3	−w′(r	−w′(r	PROPN
ejde-1285	333	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	333	5	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	334	1	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	334	2	p	p	NOUN
ejde-1285	334	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	334	4	λh(b)εn	λh(b)εn	PROPN
ejde-1285	334	5	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	334	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	334	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	335	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	335	2	4.5	4.5	X
ejde-1285	335	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	335	4	taking	take	VERB
ejde-1285	335	5	into	into	ADP
ejde-1285	335	6	account	account	NOUN
ejde-1285	335	7	that	that	SCONJ
ejde-1285	335	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	335	9	see	see	VERB
ejde-1285	335	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	335	11	a4	a4	NOUN
ejde-1285	335	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	335	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	336	1	m1	m1	NOUN
ejde-1285	336	2	=	=	PUNCT
ejde-1285	336	3	inf0	inf0	PROPN
ejde-1285	336	4	<	<	X
ejde-1285	336	5	ε	ε	X
ejde-1285	336	6	<	<	X
ejde-1285	336	7	r	r	X
ejde-1285	336	8	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	336	9	εn	εn	ADJ
ejde-1285	336	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	336	11	r−ε)p−1	r−ε)p−1	NOUN
ejde-1285	336	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	336	13	then	then	ADV
ejde-1285	336	14	for	for	ADP
ejde-1285	336	15	any	any	DET
ejde-1285	336	16	λ	λ	PROPN
ejde-1285	336	17	>	>	X
ejde-1285	336	18	m1	m1	PROPN
ejde-1285	336	19	bp−1	bp−1	ADP
ejde-1285	336	20	h(b	h(b	PROPN
ejde-1285	336	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	336	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	336	23	there	there	PRON
ejde-1285	336	24	exists	exist	VERB
ejde-1285	336	25	ε1	ε1	VERB
ejde-1285	336	26	>	>	X
ejde-1285	336	27	0	0	NUM
ejde-1285	336	28	such	such	ADJ
ejde-1285	336	29	that	that	DET
ejde-1285	336	30	h(b	h(b	PROPN
ejde-1285	336	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	337	1	bp−1	bp−1	PROPN
ejde-1285	337	2	λ	λ	PROPN
ejde-1285	337	3	>	>	X
ejde-1285	337	4	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	337	5	εn1	εn1	NOUN
ejde-1285	337	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	337	7	r−	r−	NOUN
ejde-1285	337	8	ε1)p−1	ε1)p−1	NOUN
ejde-1285	337	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	338	1	then	then	ADV
ejde-1285	338	2	there	there	PRON
ejde-1285	338	3	exist	exist	VERB
ejde-1285	338	4	α	α	PRON
ejde-1285	338	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	338	6	β	β	X
ejde-1285	338	7	>	>	X
ejde-1285	338	8	1	1	NUM
ejde-1285	338	9	such	such	ADJ
ejde-1285	338	10	that	that	DET
ejde-1285	338	11	h(b	h(b	PROPN
ejde-1285	338	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	339	1	bp−1	bp−1	PROPN
ejde-1285	339	2	λ	λ	PROPN
ejde-1285	339	3	>	>	X
ejde-1285	339	4	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	339	5	εn1	εn1	NOUN
ejde-1285	339	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	339	7	r−	r−	NOUN
ejde-1285	339	8	ε1)p−1	ε1)p−1	NOUN
ejde-1285	339	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	339	10	αβ)p−1	αβ)p−1	NOUN
ejde-1285	339	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	340	1	thus	thus	ADV
ejde-1285	340	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	340	3	h(b)εn1	h(b)εn1	ADJ
ejde-1285	340	4	nrn−1	nrn−1	PROPN
ejde-1285	340	5	λ	λ	PROPN
ejde-1285	340	6	>	>	X
ejde-1285	340	7	φp	φp	ADP
ejde-1285	340	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	340	9	bαβ	bαβ	CCONJ
ejde-1285	340	10	r−	r−	PROPN
ejde-1285	340	11	ε1	ε1	PROPN
ejde-1285	340	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	340	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	341	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	341	2	4.6	4.6	NUM
ejde-1285	341	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	341	4	from	from	ADP
ejde-1285	341	5	this	this	DET
ejde-1285	341	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-1285	341	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	341	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	341	9	4.1	4.1	NUM
ejde-1285	341	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	341	11	and	and	CCONJ
ejde-1285	341	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	341	13	4.5	4.5	NUM
ejde-1285	341	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	341	15	we	we	PRON
ejde-1285	341	16	see	see	VERB
ejde-1285	341	17	that	that	SCONJ
ejde-1285	341	18	−w′(r	−w′(r	NOUN
ejde-1285	341	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	341	20	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	342	1	bαβ	bαβ	VERB
ejde-1285	342	2	r−	r−	PROPN
ejde-1285	342	3	ε1	ε1	VERB
ejde-1285	342	4	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	342	5	−v̂′(r	−v̂′(r	NOUN
ejde-1285	342	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	342	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	343	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	343	2	4.7	4.7	NUM
ejde-1285	343	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	4	then	then	ADV
ejde-1285	343	5	from	from	ADP
ejde-1285	343	6	(	(	PUNCT
ejde-1285	343	7	4.4	4.4	NUM
ejde-1285	343	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	343	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	343	11	4.7	4.7	NUM
ejde-1285	343	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	13	we	we	PRON
ejde-1285	343	14	have	have	VERB
ejde-1285	343	15	w′(r	w′(r	NOUN
ejde-1285	343	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	17	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	343	18	v̂′(r	v̂′(r	NOUN
ejde-1285	343	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	343	21	for	for	ADP
ejde-1285	343	22	all	all	PRON
ejde-1285	343	23	0	0	NUM
ejde-1285	343	24	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	343	25	r	r	PROPN
ejde-1285	343	26	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	343	27	r.	r.	PROPN
ejde-1285	343	28	(	(	PUNCT
ejde-1285	343	29	4.8	4.8	NUM
ejde-1285	343	30	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	31	now	now	ADV
ejde-1285	343	32	,	,	PUNCT
ejde-1285	343	33	integrating	integrate	VERB
ejde-1285	343	34	both	both	DET
ejde-1285	343	35	sides	side	NOUN
ejde-1285	343	36	of	of	ADP
ejde-1285	343	37	(	(	PUNCT
ejde-1285	343	38	4.8	4.8	NUM
ejde-1285	343	39	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	40	over	over	ADP
ejde-1285	343	41	the	the	DET
ejde-1285	343	42	interval	interval	NOUN
ejde-1285	343	43	[	[	X
ejde-1285	343	44	r	r	X
ejde-1285	343	45	,	,	PUNCT
ejde-1285	343	46	r	r	NOUN
ejde-1285	343	47	]	]	PUNCT
ejde-1285	343	48	and	and	CCONJ
ejde-1285	343	49	using	use	VERB
ejde-1285	343	50	the	the	DET
ejde-1285	343	51	conditions	condition	NOUN
ejde-1285	343	52	w(r	w(r	PROPN
ejde-1285	343	53	)	)	PUNCT
ejde-1285	343	54	=	=	SYM
ejde-1285	344	1	v̂(r	v̂(r	NOUN
ejde-1285	344	2	)	)	PUNCT
ejde-1285	344	3	=	=	SYM
ejde-1285	345	1	0	0	NUM
ejde-1285	345	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	3	we	we	PRON
ejde-1285	345	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	345	5	v̂(r	v̂(r	NOUN
ejde-1285	345	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	7	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	345	8	w(r	w(r	PROPN
ejde-1285	345	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	11	for	for	ADP
ejde-1285	345	12	all	all	PRON
ejde-1285	345	13	0	0	NUM
ejde-1285	345	14	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	345	15	r	r	PROPN
ejde-1285	345	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	345	17	r.	r.	PROPN
ejde-1285	345	18	(	(	PUNCT
ejde-1285	345	19	4.9	4.9	NUM
ejde-1285	345	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	21	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	345	22	positive	positive	ADJ
ejde-1285	345	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	345	24	for	for	ADP
ejde-1285	345	25	a	a	DET
ejde-1285	345	26	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	345	27	p	p	NOUN
ejde-1285	345	28	-	-	PUNCT
ejde-1285	345	29	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	345	30	11	11	NUM
ejde-1285	345	31	moreover	moreover	ADV
ejde-1285	345	32	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	33	integrating	integrate	VERB
ejde-1285	345	34	(	(	PUNCT
ejde-1285	345	35	4.3	4.3	NUM
ejde-1285	345	36	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	37	in	in	ADP
ejde-1285	345	38	[	[	X
ejde-1285	345	39	t	t	PROPN
ejde-1285	345	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	41	r	r	NOUN
ejde-1285	345	42	]	]	X
ejde-1285	345	43	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	44	0	0	NUM
ejde-1285	345	45	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	345	46	t	t	PROPN
ejde-1285	345	47	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	345	48	r	r	PROPN
ejde-1285	345	49	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	50	from	from	ADP
ejde-1285	345	51	(	(	PUNCT
ejde-1285	345	52	4.9	4.9	NUM
ejde-1285	345	53	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	54	and	and	CCONJ
ejde-1285	345	55	taking	take	VERB
ejde-1285	345	56	into	into	ADP
ejde-1285	345	57	account	account	NOUN
ejde-1285	345	58	that	that	SCONJ
ejde-1285	345	59	w(r	w(r	PROPN
ejde-1285	345	60	)	)	PUNCT
ejde-1285	345	61	=	=	SYM
ejde-1285	345	62	0	0	PUNCT
ejde-1285	345	63	and	and	CCONJ
ejde-1285	345	64	that	that	SCONJ
ejde-1285	345	65	h	h	NOUN
ejde-1285	345	66	is	be	AUX
ejde-1285	345	67	increasing	increase	VERB
ejde-1285	345	68	on	on	ADP
ejde-1285	345	69	[	[	X
ejde-1285	345	70	0	0	NUM
ejde-1285	345	71	,	,	PUNCT
ejde-1285	345	72	d	d	X
ejde-1285	345	73	]	]	X
ejde-1285	345	74	we	we	PRON
ejde-1285	345	75	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	345	76	w(t	w(t	X
ejde-1285	345	77	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	1	=	=	SYM
ejde-1285	346	2	∫	∫	PROPN
ejde-1285	346	3	r	r	NOUN
ejde-1285	346	4	t	t	X
ejde-1285	346	5	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	346	6	p	p	X
ejde-1285	346	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	346	8	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1285	346	9	∫	∫	PROPN
ejde-1285	346	10	r	r	NOUN
ejde-1285	346	11	0	0	NUM
ejde-1285	346	12	λsn−1h(v̂(s	λsn−1h(v̂(	NOUN
ejde-1285	346	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	15	ds	ds	ADJ
ejde-1285	346	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	17	dr	dr	PROPN
ejde-1285	346	18	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	346	19	∫	∫	PROPN
ejde-1285	346	20	r	r	NOUN
ejde-1285	346	21	t	t	X
ejde-1285	346	22	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	346	23	p	p	PROPN
ejde-1285	346	24	(	(	PUNCT
ejde-1285	346	25	r1−nλh(b	r1−nλh(b	PROPN
ejde-1285	346	26	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	27	∫	∫	PROPN
ejde-1285	346	28	r	r	NOUN
ejde-1285	346	29	0	0	NUM
ejde-1285	346	30	sn−1	sn−1	ADJ
ejde-1285	346	31	ds	ds	NOUN
ejde-1285	346	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	33	dr	dr	PROPN
ejde-1285	346	34	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	346	35	∫	∫	PROPN
ejde-1285	346	36	r	r	NOUN
ejde-1285	346	37	t	t	X
ejde-1285	346	38	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	346	39	p	p	PROPN
ejde-1285	346	40	(	(	PUNCT
ejde-1285	346	41	rλh(b	rλh(b	PROPN
ejde-1285	346	42	)	)	PUNCT
ejde-1285	346	43	)	)	PUNCT
ejde-1285	347	1	dr	dr	PROPN
ejde-1285	347	2	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	347	3	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	347	4	p	p	PROPN
ejde-1285	347	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	347	6	λh(b	λh(b	PROPN
ejde-1285	347	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	347	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	348	1	∫	∫	PROPN
ejde-1285	349	1	r	r	NOUN
ejde-1285	349	2	0	0	NUM
ejde-1285	349	3	rp	rp	PROPN
ejde-1285	349	4	′−1	′−1	PUNCT
ejde-1285	349	5	dr	dr	PROPN
ejde-1285	349	6	=	=	PROPN
ejde-1285	349	7	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	349	8	p	p	NOUN
ejde-1285	349	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	349	10	λ	λ	NOUN
ejde-1285	349	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	349	12	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	349	13	p	p	PROPN
ejde-1285	349	14	(	(	PUNCT
ejde-1285	349	15	h(b	h(b	PROPN
ejde-1285	349	16	)	)	PUNCT
ejde-1285	349	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	349	18	rp′	rp′	X
ejde-1285	349	19	p′	p′	NOUN
ejde-1285	349	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	350	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	350	2	4.10	4.10	NUM
ejde-1285	350	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	350	4	now	now	ADV
ejde-1285	350	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	350	6	the	the	DET
ejde-1285	350	7	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1285	350	8	implies	imply	VERB
ejde-1285	350	9	that	that	SCONJ
ejde-1285	350	10	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	350	11	p	p	X
ejde-1285	350	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	350	13	λ	λ	X
ejde-1285	350	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	350	15	<	<	X
ejde-1285	350	16	p′d/[rp′	p′d/[rp′	VERB
ejde-1285	350	17	φ−1	φ−1	PROPN
ejde-1285	350	18	p	p	PROPN
ejde-1285	350	19	(	(	PUNCT
ejde-1285	350	20	h(b	h(b	PROPN
ejde-1285	350	21	)	)	PUNCT
ejde-1285	350	22	)	)	PUNCT
ejde-1285	350	23	]	]	PUNCT
ejde-1285	350	24	.	.	PUNCT
ejde-1285	351	1	then	then	ADV
ejde-1285	351	2	from	from	ADP
ejde-1285	351	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	351	4	4.10	4.10	NUM
ejde-1285	351	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	351	6	we	we	PRON
ejde-1285	351	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	351	8	w(t	w(t	PROPN
ejde-1285	351	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	351	10	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	351	11	d.	d.	PROPN
ejde-1285	351	12	set	set	VERB
ejde-1285	351	13	w2(x	w2(x	PROPN
ejde-1285	351	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	351	15	:	:	PUNCT
ejde-1285	352	1	=	=	SYM
ejde-1285	352	2	w(|x|	w(|x|	X
ejde-1285	352	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	352	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	352	5	x	x	PUNCT
ejde-1285	352	6	∈	∈	NOUN
ejde-1285	352	7	br	br	NOUN
ejde-1285	352	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	353	1	taking	take	VERB
ejde-1285	353	2	into	into	ADP
ejde-1285	353	3	account	account	NOUN
ejde-1285	353	4	that	that	PRON
ejde-1285	353	5	w	w	ADP
ejde-1285	353	6	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	353	7	d	d	PROPN
ejde-1285	353	8	and	and	CCONJ
ejde-1285	353	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	353	10	4.9	4.9	NUM
ejde-1285	353	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	353	12	we	we	PRON
ejde-1285	353	13	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	353	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	353	15	b	b	X
ejde-1285	353	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	353	17	∥w2∥∞	∥w2∥∞	PROPN
ejde-1285	353	18	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	353	19	d.	d.	PROPN
ejde-1285	353	20	on	on	ADP
ejde-1285	353	21	the	the	DET
ejde-1285	353	22	other	other	ADJ
ejde-1285	353	23	hand	hand	NOUN
ejde-1285	353	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	353	25	since	since	SCONJ
ejde-1285	353	26	w	w	NOUN
ejde-1285	353	27	is	be	AUX
ejde-1285	353	28	solution	solution	NOUN
ejde-1285	353	29	of	of	ADP
ejde-1285	353	30	(	(	PUNCT
ejde-1285	353	31	4.2	4.2	NUM
ejde-1285	353	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	353	33	then	then	ADV
ejde-1285	353	34	from	from	ADP
ejde-1285	353	35	remark	remark	NOUN
ejde-1285	353	36	2.2	2.2	NUM
ejde-1285	353	37	,	,	PUNCT
ejde-1285	353	38	−∆pw2(x	−∆pw2(x	PROPN
ejde-1285	353	39	)	)	PUNCT
ejde-1285	353	40	=	=	SYM
ejde-1285	353	41	λh(v̂(|x|	λh(v̂(|x|	NOUN
ejde-1285	353	42	)	)	PUNCT
ejde-1285	353	43	)	)	PUNCT
ejde-1285	353	44	.	.	PUNCT
ejde-1285	354	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	354	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	354	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	354	4	h	h	NOUN
ejde-1285	354	5	is	be	AUX
ejde-1285	354	6	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-1285	354	7	over	over	ADP
ejde-1285	354	8	[	[	X
ejde-1285	354	9	0	0	NUM
ejde-1285	354	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	354	11	d	d	X
ejde-1285	354	12	]	]	X
ejde-1285	354	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	354	14	h(u	h(u	PROPN
ejde-1285	354	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	354	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	354	17	f̃(u	f̃(u	PROPN
ejde-1285	354	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	354	19	for	for	ADP
ejde-1285	354	20	all	all	DET
ejde-1285	354	21	u	u	NOUN
ejde-1285	354	22	>	>	X
ejde-1285	354	23	0	0	PUNCT
ejde-1285	355	1	and	and	CCONJ
ejde-1285	355	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	355	3	4.9	4.9	NUM
ejde-1285	355	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	355	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	355	6	then	then	ADV
ejde-1285	355	7	−∆pw2(x	−∆pw2(x	PROPN
ejde-1285	355	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	355	9	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	355	10	λh(w(|x|	λh(w(|x|	PROPN
ejde-1285	355	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	355	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	356	1	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	356	2	λf̃(w(|x|	λf̃(w(|x|	PROPN
ejde-1285	356	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	356	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	357	1	=	=	SYM
ejde-1285	357	2	λf̃(w2(x	λf̃(w2(x	NOUN
ejde-1285	357	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	357	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	357	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	358	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	358	2	4.11	4.11	NUM
ejde-1285	358	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	358	4	since	since	SCONJ
ejde-1285	358	5	m1b	m1b	PROPN
ejde-1285	358	6	p−1	p−1	PROPN
ejde-1285	358	7	/	/	SYM
ejde-1285	358	8	f̃(b	f̃(b	PROPN
ejde-1285	358	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	358	10	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	358	11	λ	λ	PROPN
ejde-1285	358	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	358	13	then	then	ADV
ejde-1285	358	14	because	because	SCONJ
ejde-1285	358	15	of	of	ADP
ejde-1285	358	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	358	17	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	358	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	358	19	we	we	PRON
ejde-1285	358	20	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	358	21	bp−1	bp−1	PROPN
ejde-1285	358	22	bf(b	bf(b	PUNCT
ejde-1285	358	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	358	24	<	<	X
ejde-1285	359	1	λ	λ	X
ejde-1285	359	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	359	3	thus	thus	ADV
ejde-1285	359	4	v	v	ADJ
ejde-1285	359	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	359	6	x	x	NOUN
ejde-1285	359	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	359	8	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	359	9	∥v	∥v	PROPN
ejde-1285	359	10	∥∞	∥∞	ADJ
ejde-1285	359	11	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	359	12	λ	λ	X
ejde-1285	359	13	f(b	f(b	PROPN
ejde-1285	359	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	359	15	bp−1	bp−1	VERB
ejde-1285	359	16	b∥v	b∥v	NOUN
ejde-1285	359	17	∥∞	∥∞	NOUN
ejde-1285	359	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	360	1	from	from	ADP
ejde-1285	360	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	360	3	4.11	4.11	NUM
ejde-1285	360	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	360	5	and	and	CCONJ
ejde-1285	360	6	the	the	DET
ejde-1285	360	7	definition	definition	NOUN
ejde-1285	360	8	of	of	ADP
ejde-1285	360	9	f̃	f̃	PROPN
ejde-1285	360	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	360	11	see	see	INTJ
ejde-1285	360	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	360	13	a4	a4	NOUN
ejde-1285	360	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	360	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	360	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	360	17	we	we	PRON
ejde-1285	360	18	see	see	VERB
ejde-1285	360	19	that	that	SCONJ
ejde-1285	360	20	−∆pw2	−∆pw2	NOUN
ejde-1285	360	21	+	+	CCONJ
ejde-1285	360	22	v	v	NOUN
ejde-1285	360	23	(	(	PUNCT
ejde-1285	360	24	x)φp(w2	x)φp(w2	PROPN
ejde-1285	360	25	)	)	PUNCT
ejde-1285	361	1	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	361	2	−∆pw2	−∆pw2	VERB
ejde-1285	361	3	+	+	CCONJ
ejde-1285	361	4	λ	λ	X
ejde-1285	361	5	f(b	f(b	X
ejde-1285	361	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	361	7	bp−1	bp−1	ADJ
ejde-1285	361	8	b∥v	b∥v	NOUN
ejde-1285	361	9	∥∞φp(w2	∥∞φp(w2	NOUN
ejde-1285	361	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	361	11	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	361	12	λf(w2	λf(w2	NOUN
ejde-1285	361	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	361	14	.	.	PUNCT
ejde-1285	362	1	that	that	PRON
ejde-1285	362	2	is	is	ADV
ejde-1285	362	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	362	4	w2	w2	NOUN
ejde-1285	362	5	is	be	AUX
ejde-1285	362	6	a	a	DET
ejde-1285	362	7	positive	positive	ADJ
ejde-1285	362	8	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	362	9	of	of	ADP
ejde-1285	362	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	362	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	362	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	362	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	362	14	which	which	PRON
ejde-1285	362	15	completes	complete	VERB
ejde-1285	362	16	the	the	DET
ejde-1285	362	17	proof	proof	NOUN
ejde-1285	362	18	of	of	ADP
ejde-1285	362	19	the	the	DET
ejde-1285	362	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	362	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	363	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	363	2	proof	proof	NOUN
ejde-1285	363	3	of	of	ADP
ejde-1285	363	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	363	5	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	363	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	364	1	we	we	PRON
ejde-1285	364	2	will	will	AUX
ejde-1285	364	3	construct	construct	VERB
ejde-1285	364	4	appropriate	appropriate	ADJ
ejde-1285	364	5	sub	sub	NOUN
ejde-1285	364	6	and	and	CCONJ
ejde-1285	364	7	super	super	ADJ
ejde-1285	364	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	364	9	of	of	ADP
ejde-1285	364	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	364	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	364	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	364	13	so	so	SCONJ
ejde-1285	364	14	that	that	SCONJ
ejde-1285	364	15	we	we	PRON
ejde-1285	364	16	can	can	AUX
ejde-1285	364	17	apply	apply	VERB
ejde-1285	364	18	the	the	DET
ejde-1285	364	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	364	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	364	21	.	.	PUNCT
ejde-1285	364	22	since	since	SCONJ
ejde-1285	364	23	f(0	f(0	NOUN
ejde-1285	364	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	364	25	>	>	X
ejde-1285	364	26	0	0	NUM
ejde-1285	364	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	364	28	then	then	ADV
ejde-1285	364	29	we	we	PRON
ejde-1285	364	30	see	see	VERB
ejde-1285	364	31	immediately	immediately	ADV
ejde-1285	364	32	that	that	DET
ejde-1285	364	33	w1	w1	NOUN
ejde-1285	364	34	:	:	PUNCT
ejde-1285	364	35	=	=	SYM
ejde-1285	364	36	0	0	NUM
ejde-1285	364	37	is	be	AUX
ejde-1285	364	38	a	a	DET
ejde-1285	364	39	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	364	40	of	of	ADP
ejde-1285	364	41	(	(	PUNCT
ejde-1285	364	42	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	364	43	)	)	PUNCT
ejde-1285	364	44	for	for	ADP
ejde-1285	364	45	every	every	DET
ejde-1285	364	46	λ	λ	PROPN
ejde-1285	364	47	>	>	X
ejde-1285	364	48	0	0	NUM
ejde-1285	364	49	.	.	PUNCT
ejde-1285	365	1	now	now	ADV
ejde-1285	365	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	365	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	365	4	f	f	PROPN
ejde-1285	365	5	is	be	AUX
ejde-1285	365	6	increasing	increase	VERB
ejde-1285	365	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	365	8	the	the	DET
ejde-1285	365	9	function	function	NOUN
ejde-1285	365	10	w1	w1	NOUN
ejde-1285	365	11	:	:	PUNCT
ejde-1285	365	12	=	=	SYM
ejde-1285	365	13	ae/∥e∥∞	ae/∥e∥∞	PROPN
ejde-1285	365	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	365	15	where	where	SCONJ
ejde-1285	365	16	e	e	NOUN
ejde-1285	365	17	is	be	AUX
ejde-1285	365	18	the	the	DET
ejde-1285	365	19	solution	solution	NOUN
ejde-1285	365	20	of	of	ADP
ejde-1285	365	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	365	22	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	365	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	365	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	365	25	is	be	AUX
ejde-1285	365	26	a	a	DET
ejde-1285	365	27	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	365	28	of	of	ADP
ejde-1285	365	29	(	(	PUNCT
ejde-1285	365	30	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	365	31	)	)	PUNCT
ejde-1285	365	32	whenever	whenever	SCONJ
ejde-1285	365	33	λ	λ	X
ejde-1285	365	34	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	365	35	φp(a)/	φp(a)/	PROPN
ejde-1285	365	36	(	(	PUNCT
ejde-1285	365	37	f(a)∥e∥p−1	f(a)∥e∥p−1	PROPN
ejde-1285	365	38	∞	∞	NUM
ejde-1285	365	39	)	)	PUNCT
ejde-1285	366	1	=	=	NOUN
ejde-1285	366	2	λ∗.	λ∗.	PART
ejde-1285	366	3	notice	notice	VERB
ejde-1285	366	4	that	that	SCONJ
ejde-1285	366	5	∥w1∥∞	∥w1∥∞	VERB
ejde-1285	366	6	=	=	PUNCT
ejde-1285	366	7	a	a	PRON
ejde-1285	366	8	and	and	CCONJ
ejde-1285	366	9	from	from	ADP
ejde-1285	366	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	366	11	1.5	1.5	NUM
ejde-1285	366	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	366	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	366	14	λ	λ	X
ejde-1285	366	15	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	366	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	366	17	p′)p−1dp−1/(rpf̃(b	p′)p−1dp−1/(rpf̃(b	NOUN
ejde-1285	366	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	366	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	366	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	367	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	367	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	367	3	according	accord	VERB
ejde-1285	367	4	to	to	ADP
ejde-1285	367	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	367	6	4.1	4.1	NUM
ejde-1285	367	7	there	there	ADV
ejde-1285	367	8	exists	exist	VERB
ejde-1285	367	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	367	10	w2	w2	NOUN
ejde-1285	367	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	367	12	a	a	DET
ejde-1285	367	13	positive	positive	ADJ
ejde-1285	367	14	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	367	15	of	of	ADP
ejde-1285	367	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	367	17	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	367	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	367	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	367	20	if	if	SCONJ
ejde-1285	367	21	λ	λ	PROPN
ejde-1285	367	22	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	367	23	m1φp(b)/h(b	m1φp(b)/h(b	PROPN
ejde-1285	367	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	367	25	=	=	PUNCT
ejde-1285	368	1	λ∗.	λ∗.	X
ejde-1285	368	2	we	we	PRON
ejde-1285	368	3	have	have	VERB
ejde-1285	368	4	∥w2∥∞	∥w2∥∞	PROPN
ejde-1285	368	5	⩾	⩾	PROPN
ejde-1285	368	6	b.	b.	PROPN
ejde-1285	368	7	remember	remember	VERB
ejde-1285	368	8	that	that	SCONJ
ejde-1285	368	9	from	from	ADP
ejde-1285	368	10	(	(	PUNCT
ejde-1285	368	11	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	368	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	368	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	368	14	we	we	PRON
ejde-1285	368	15	have	have	VERB
ejde-1285	368	16	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1285	368	17	<	<	X
ejde-1285	368	18	λ∗.	λ∗.	X
ejde-1285	368	19	from	from	ADP
ejde-1285	368	20	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1285	368	21	(	(	PUNCT
ejde-1285	368	22	a2	a2	PROPN
ejde-1285	368	23	)	)	PUNCT
ejde-1285	368	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	368	25	for	for	ADP
ejde-1285	368	26	every	every	DET
ejde-1285	368	27	λ	λ	PROPN
ejde-1285	368	28	∈	∈	PROPN
ejde-1285	369	1	[	[	X
ejde-1285	369	2	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	369	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	369	4	λ	λ	X
ejde-1285	369	5	∗	∗	NOUN
ejde-1285	369	6	]	]	PUNCT
ejde-1285	369	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	369	8	there	there	PRON
ejde-1285	369	9	exists	exist	VERB
ejde-1285	369	10	m	m	PROPN
ejde-1285	369	11	=	=	SYM
ejde-1285	369	12	m(λ	m(λ	PROPN
ejde-1285	369	13	)	)	PUNCT
ejde-1285	369	14	>	>	X
ejde-1285	369	15	0	0	PUNCT
ejde-1285	370	1	such	such	ADJ
ejde-1285	370	2	that	that	SCONJ
ejde-1285	370	3	mp−1	mp−1	PRON
ejde-1285	370	4	f(m	f(m	PROPN
ejde-1285	370	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	370	6	⩾	⩾	NOUN
ejde-1285	371	1	λ∥e∥p−1	λ∥e∥p−1	INTJ
ejde-1285	371	2	∞	∞	NUM
ejde-1285	371	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	372	1	(	(	PUNCT
ejde-1285	372	2	4.12	4.12	NUM
ejde-1285	372	3	)	)	PUNCT
ejde-1285	372	4	therefore	therefore	ADV
ejde-1285	372	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	372	6	from	from	ADP
ejde-1285	372	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	372	8	4.12	4.12	NUM
ejde-1285	372	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	372	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	372	11	the	the	DET
ejde-1285	372	12	fact	fact	NOUN
ejde-1285	372	13	that	that	SCONJ
ejde-1285	372	14	f	f	PROPN
ejde-1285	372	15	is	be	AUX
ejde-1285	372	16	increasing	increase	VERB
ejde-1285	372	17	we	we	PRON
ejde-1285	372	18	have	have	VERB
ejde-1285	372	19	that	that	PRON
ejde-1285	372	20	for	for	ADP
ejde-1285	372	21	any	any	DET
ejde-1285	372	22	λ	λ	PROPN
ejde-1285	372	23	∈	∈	PROPN
ejde-1285	373	1	[	[	X
ejde-1285	373	2	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	373	3	,	,	PUNCT
ejde-1285	373	4	λ	λ	PROPN
ejde-1285	373	5	∗	∗	NOUN
ejde-1285	373	6	]	]	PUNCT
ejde-1285	373	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	373	8	w2	w2	NOUN
ejde-1285	373	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	373	10	=	=	SYM
ejde-1285	373	11	me/∥e∥∞	me/∥e∥∞	PROPN
ejde-1285	373	12	is	be	AUX
ejde-1285	373	13	a	a	DET
ejde-1285	373	14	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1285	373	15	of	of	ADP
ejde-1285	373	16	(	(	PUNCT
ejde-1285	373	17	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	373	18	)	)	PUNCT
ejde-1285	373	19	.	.	PUNCT
ejde-1285	374	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1285	374	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	374	3	since	since	SCONJ
ejde-1285	374	4	∂e	∂e	PROPN
ejde-1285	374	5	∂η	∂η	PROPN
ejde-1285	374	6	<	<	X
ejde-1285	374	7	0	0	PUNCT
ejde-1285	374	8	on	on	ADP
ejde-1285	374	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1285	374	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	374	11	we	we	PRON
ejde-1285	374	12	can	can	AUX
ejde-1285	374	13	choose	choose	VERB
ejde-1285	374	14	m	m	PROPN
ejde-1285	374	15	large	large	ADJ
ejde-1285	374	16	enough	enough	ADV
ejde-1285	374	17	such	such	ADJ
ejde-1285	374	18	that	that	DET
ejde-1285	374	19	w2	w2	PROPN
ejde-1285	374	20	>	>	PROPN
ejde-1285	374	21	w2	w2	PROPN
ejde-1285	374	22	and	and	CCONJ
ejde-1285	374	23	w2	w2	PROPN
ejde-1285	374	24	>	>	PROPN
ejde-1285	374	25	w1	w1	PROPN
ejde-1285	374	26	.	.	PUNCT
ejde-1285	375	1	from	from	ADP
ejde-1285	375	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	375	3	1.2	1.2	NUM
ejde-1285	375	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	5	for	for	ADP
ejde-1285	375	6	every	every	DET
ejde-1285	375	7	λ	λ	PROPN
ejde-1285	375	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	375	9	[	[	X
ejde-1285	375	10	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	375	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	12	λ	λ	X
ejde-1285	375	13	∗	∗	NOUN
ejde-1285	375	14	]	]	PUNCT
ejde-1285	375	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	16	problem	problem	NOUN
ejde-1285	375	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	375	18	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	375	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	375	20	has	have	VERB
ejde-1285	375	21	at	at	ADV
ejde-1285	375	22	least	least	ADV
ejde-1285	375	23	three	three	NUM
ejde-1285	375	24	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	375	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	26	ui	ui	NOUN
ejde-1285	375	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	28	i	i	NOUN
ejde-1285	375	29	=	=	NOUN
ejde-1285	375	30	1	1	NUM
ejde-1285	375	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	32	2	2	NUM
ejde-1285	375	33	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	34	3	3	NUM
ejde-1285	375	35	,	,	PUNCT
ejde-1285	375	36	such	such	ADJ
ejde-1285	375	37	that	that	DET
ejde-1285	375	38	w1	w1	NOUN
ejde-1285	375	39	=	=	SYM
ejde-1285	375	40	0	0	NUM
ejde-1285	375	41	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	375	42	u1	u1	NOUN
ejde-1285	375	43	<	<	X
ejde-1285	375	44	u2	u2	PROPN
ejde-1285	375	45	<	<	X
ejde-1285	375	46	u3	u3	PROPN
ejde-1285	375	47	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	375	48	w2	w2	PROPN
ejde-1285	375	49	.	.	PUNCT
ejde-1285	376	1	finally	finally	ADV
ejde-1285	376	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	376	3	by	by	ADP
ejde-1285	376	4	the	the	DET
ejde-1285	376	5	maximum	maximum	ADJ
ejde-1285	376	6	principle	principle	NOUN
ejde-1285	376	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	376	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	376	9	2.4	2.4	NUM
ejde-1285	376	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	376	11	we	we	PRON
ejde-1285	376	12	have	have	VERB
ejde-1285	376	13	0	0	NUM
ejde-1285	376	14	<	<	X
ejde-1285	376	15	u1	u1	NOUN
ejde-1285	376	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	377	1	this	this	PRON
ejde-1285	377	2	completes	complete	VERB
ejde-1285	377	3	the	the	DET
ejde-1285	377	4	proof	proof	NOUN
ejde-1285	377	5	of	of	ADP
ejde-1285	377	6	the	the	DET
ejde-1285	377	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	377	8	.	.	PUNCT
ejde-1285	378	1	□	□	SYM
ejde-1285	378	2	5	5	X
ejde-1285	378	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	378	4	general	general	ADJ
ejde-1285	378	5	case	case	NOUN
ejde-1285	378	6	:	:	PUNCT
ejde-1285	378	7	ω	ω	NUM
ejde-1285	378	8	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	378	9	and	and	CCONJ
ejde-1285	378	10	bounded	bound	VERB
ejde-1285	378	11	it	it	PRON
ejde-1285	378	12	is	be	AUX
ejde-1285	378	13	worth	worth	ADJ
ejde-1285	378	14	mentioning	mention	VERB
ejde-1285	378	15	that	that	SCONJ
ejde-1285	378	16	the	the	DET
ejde-1285	378	17	functions	function	NOUN
ejde-1285	378	18	w1	w1	NOUN
ejde-1285	378	19	=	=	SYM
ejde-1285	378	20	0	0	NUM
ejde-1285	378	21	,	,	PUNCT
ejde-1285	378	22	w1	w1	NOUN
ejde-1285	378	23	and	and	CCONJ
ejde-1285	378	24	w2	w2	NOUN
ejde-1285	378	25	can	can	AUX
ejde-1285	378	26	be	be	AUX
ejde-1285	378	27	constructed	construct	VERB
ejde-1285	378	28	in	in	ADP
ejde-1285	378	29	any	any	DET
ejde-1285	378	30	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	378	31	domain	domain	NOUN
ejde-1285	378	32	ω	ω	PROPN
ejde-1285	378	33	with	with	ADP
ejde-1285	378	34	connected	connected	ADJ
ejde-1285	378	35	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	378	36	boundary	boundary	NOUN
ejde-1285	378	37	.	.	PUNCT
ejde-1285	379	1	next	next	ADV
ejde-1285	379	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	379	3	we	we	PRON
ejde-1285	379	4	can	can	AUX
ejde-1285	379	5	prove	prove	VERB
ejde-1285	379	6	our	our	PRON
ejde-1285	379	7	main	main	ADJ
ejde-1285	379	8	result	result	NOUN
ejde-1285	379	9	of	of	ADP
ejde-1285	379	10	this	this	DET
ejde-1285	379	11	section	section	NOUN
ejde-1285	379	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	380	1	namely	namely	ADV
ejde-1285	380	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	380	3	we	we	PRON
ejde-1285	380	4	extend	extend	VERB
ejde-1285	380	5	the	the	DET
ejde-1285	380	6	previous	previous	ADJ
ejde-1285	380	7	result	result	NOUN
ejde-1285	380	8	when	when	SCONJ
ejde-1285	380	9	ω	ω	PROPN
ejde-1285	380	10	is	be	AUX
ejde-1285	380	11	a	a	DET
ejde-1285	380	12	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	380	13	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	380	14	domain	domain	NOUN
ejde-1285	380	15	containing	contain	VERB
ejde-1285	380	16	the	the	DET
ejde-1285	380	17	origin	origin	NOUN
ejde-1285	380	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	381	1	12	12	NUM
ejde-1285	381	2	s.	s.	PROPN
ejde-1285	381	3	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	381	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	381	5	e.	e.	PROPN
ejde-1285	381	6	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	381	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	381	8	d.	d.	PROPN
ejde-1285	381	9	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	381	10	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	381	11	proof	proof	NOUN
ejde-1285	381	12	of	of	ADP
ejde-1285	381	13	the	the	DET
ejde-1285	381	14	theorem	theorem	NOUN
ejde-1285	381	15	1.4	1.4	NUM
ejde-1285	381	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	382	1	let	let	VERB
ejde-1285	382	2	r	r	PRON
ejde-1285	382	3	>	>	X
ejde-1285	382	4	0	0	NUM
ejde-1285	382	5	be	be	AUX
ejde-1285	382	6	the	the	DET
ejde-1285	382	7	largest	large	ADJ
ejde-1285	382	8	number	number	NOUN
ejde-1285	382	9	such	such	ADJ
ejde-1285	382	10	that	that	SCONJ
ejde-1285	382	11	br	br	PROPN
ejde-1285	382	12	⊆	⊆	NUM
ejde-1285	382	13	ω	ω	NOUN
ejde-1285	382	14	and	and	CCONJ
ejde-1285	382	15	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1285	382	16	⩽	⩽	PROPN
ejde-1285	382	17	λ	λ	PROPN
ejde-1285	382	18	⩽	⩽	NOUN
ejde-1285	382	19	λ∗.	λ∗.	SCONJ
ejde-1285	382	20	it	it	PRON
ejde-1285	382	21	is	be	AUX
ejde-1285	382	22	clear	clear	ADJ
ejde-1285	382	23	that	that	SCONJ
ejde-1285	382	24	w1	w1	NOUN
ejde-1285	382	25	=	=	SYM
ejde-1285	382	26	0	0	PUNCT
ejde-1285	382	27	is	be	AUX
ejde-1285	382	28	a	a	DET
ejde-1285	382	29	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	382	30	of	of	ADP
ejde-1285	382	31	(	(	PUNCT
ejde-1285	382	32	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	382	33	)	)	PUNCT
ejde-1285	382	34	.	.	PUNCT
ejde-1285	383	1	arguing	argue	VERB
ejde-1285	383	2	as	as	ADP
ejde-1285	383	3	in	in	ADP
ejde-1285	383	4	the	the	DET
ejde-1285	383	5	proof	proof	NOUN
ejde-1285	383	6	of	of	ADP
ejde-1285	383	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	383	8	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	383	9	we	we	PRON
ejde-1285	383	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	383	11	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-1285	383	12	w1	w1	NOUN
ejde-1285	383	13	and	and	CCONJ
ejde-1285	383	14	w2	w2	NOUN
ejde-1285	383	15	of	of	ADP
ejde-1285	383	16	problem	problem	NOUN
ejde-1285	383	17	(	(	PUNCT
ejde-1285	383	18	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	383	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	383	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	384	1	take	take	VERB
ejde-1285	384	2	w2	w2	NOUN
ejde-1285	384	3	defined	define	VERB
ejde-1285	384	4	in	in	ADP
ejde-1285	384	5	br	br	NOUN
ejde-1285	384	6	as	as	ADP
ejde-1285	384	7	in	in	ADP
ejde-1285	384	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1285	384	9	4.1	4.1	NUM
ejde-1285	384	10	.	.	PUNCT
ejde-1285	385	1	then	then	ADV
ejde-1285	385	2	we	we	PRON
ejde-1285	385	3	define	define	VERB
ejde-1285	385	4	w∗(x	w∗(x	NOUN
ejde-1285	385	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	385	6	=	=	PUNCT
ejde-1285	385	7	w2(x	w2(x	NOUN
ejde-1285	385	8	)	)	PUNCT
ejde-1285	385	9	for	for	ADP
ejde-1285	385	10	x	x	PROPN
ejde-1285	385	11	∈	∈	PROPN
ejde-1285	385	12	br	br	NOUN
ejde-1285	385	13	and	and	CCONJ
ejde-1285	385	14	w∗(x	w∗(x	PROPN
ejde-1285	385	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	385	16	=	=	SYM
ejde-1285	385	17	0	0	PUNCT
ejde-1285	386	1	if	if	SCONJ
ejde-1285	386	2	x	x	SYM
ejde-1285	386	3	∈	∈	PROPN
ejde-1285	386	4	ω∖br	ω∖br	NUM
ejde-1285	386	5	.	.	PUNCT
ejde-1285	386	6	observe	observe	VERB
ejde-1285	386	7	that	that	SCONJ
ejde-1285	386	8	for	for	ADP
ejde-1285	386	9	x	x	SYM
ejde-1285	386	10	∈	∈	PROPN
ejde-1285	386	11	ω∖br	ω∖br	NUM
ejde-1285	386	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	386	13	−∆p(w∗(x	−∆p(w∗(x	NOUN
ejde-1285	386	14	)	)	PUNCT
ejde-1285	386	15	)	)	PUNCT
ejde-1285	387	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	387	2	v	v	X
ejde-1285	387	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	387	4	x)φp(w∗(x	x)φp(w∗(x	PROPN
ejde-1285	387	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	387	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	388	1	=	=	PUNCT
ejde-1285	388	2	0	0	PUNCT
ejde-1285	389	1	<	<	X
ejde-1285	389	2	λf	λf	X
ejde-1285	389	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	389	4	0	0	NUM
ejde-1285	389	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	390	1	=	=	SYM
ejde-1285	390	2	λf	λf	X
ejde-1285	390	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	390	4	w∗(x	w∗(x	PROPN
ejde-1285	390	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	390	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	390	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	391	1	on	on	ADP
ejde-1285	391	2	the	the	DET
ejde-1285	391	3	other	other	ADJ
ejde-1285	391	4	hand	hand	NOUN
ejde-1285	391	5	,	,	PUNCT
ejde-1285	391	6	for	for	ADP
ejde-1285	391	7	x	x	PROPN
ejde-1285	391	8	∈	∈	PROPN
ejde-1285	391	9	br	br	PROPN
ejde-1285	391	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	391	11	it	it	PRON
ejde-1285	391	12	follows	follow	VERB
ejde-1285	391	13	from	from	ADP
ejde-1285	391	14	definition	definition	NOUN
ejde-1285	391	15	of	of	ADP
ejde-1285	391	16	w∗	w∗	NOUN
ejde-1285	391	17	that	that	SCONJ
ejde-1285	391	18	−∆p(w∗(x	−∆p(w∗(x	NOUN
ejde-1285	391	19	)	)	PUNCT
ejde-1285	391	20	)	)	PUNCT
ejde-1285	392	1	+	+	CCONJ
ejde-1285	392	2	v	v	X
ejde-1285	392	3	(	(	PUNCT
ejde-1285	392	4	x)φp(w∗(x	x)φp(w∗(x	PROPN
ejde-1285	392	5	)	)	PUNCT
ejde-1285	392	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	392	7	⩽	⩽	ADJ
ejde-1285	392	8	λf	λf	X
ejde-1285	392	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	392	10	w∗(x	w∗(x	PROPN
ejde-1285	392	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	392	12	)	)	PUNCT
ejde-1285	392	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	393	1	this	this	PRON
ejde-1285	393	2	proves	prove	VERB
ejde-1285	393	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	393	4	w∗	w∗	NOUN
ejde-1285	393	5	is	be	AUX
ejde-1285	393	6	a	a	DET
ejde-1285	393	7	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1285	393	8	of	of	ADP
ejde-1285	393	9	(	(	PUNCT
ejde-1285	393	10	1.1	1.1	NUM
ejde-1285	393	11	)	)	PUNCT
ejde-1285	393	12	.	.	PUNCT
ejde-1285	394	1	arguing	argue	VERB
ejde-1285	394	2	as	as	ADP
ejde-1285	394	3	in	in	ADP
ejde-1285	394	4	the	the	DET
ejde-1285	394	5	proof	proof	NOUN
ejde-1285	394	6	of	of	ADP
ejde-1285	394	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-1285	394	8	1.3	1.3	NUM
ejde-1285	394	9	we	we	PRON
ejde-1285	394	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1285	394	11	the	the	DET
ejde-1285	394	12	result	result	NOUN
ejde-1285	394	13	.	.	PUNCT
ejde-1285	395	1	□	□	PUNCT
ejde-1285	395	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1285	395	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	396	1	we	we	PRON
ejde-1285	396	2	would	would	AUX
ejde-1285	396	3	like	like	VERB
ejde-1285	396	4	to	to	PART
ejde-1285	396	5	express	express	VERB
ejde-1285	396	6	our	our	PRON
ejde-1285	396	7	gratitude	gratitude	NOUN
ejde-1285	396	8	to	to	PART
ejde-1285	396	9	ratnasingham	ratnasingham	VERB
ejde-1285	396	10	shivaji	shivaji	NOUN
ejde-1285	396	11	for	for	ADP
ejde-1285	396	12	encouraging	encourage	VERB
ejde-1285	396	13	us	we	PRON
ejde-1285	396	14	to	to	PART
ejde-1285	396	15	address	address	VERB
ejde-1285	396	16	these	these	DET
ejde-1285	396	17	kind	kind	NOUN
ejde-1285	396	18	of	of	ADP
ejde-1285	396	19	problems	problem	NOUN
ejde-1285	396	20	and	and	CCONJ
ejde-1285	396	21	for	for	ADP
ejde-1285	396	22	providing	provide	VERB
ejde-1285	396	23	us	we	PRON
ejde-1285	396	24	with	with	ADP
ejde-1285	396	25	some	some	DET
ejde-1285	396	26	references	reference	NOUN
ejde-1285	396	27	that	that	PRON
ejde-1285	396	28	were	be	AUX
ejde-1285	396	29	essential	essential	ADJ
ejde-1285	396	30	in	in	ADP
ejde-1285	396	31	the	the	DET
ejde-1285	396	32	development	development	NOUN
ejde-1285	396	33	of	of	ADP
ejde-1285	396	34	this	this	DET
ejde-1285	396	35	work	work	NOUN
ejde-1285	396	36	.	.	PUNCT
ejde-1285	397	1	diana	diana	PROPN
ejde-1285	397	2	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	397	3	would	would	AUX
ejde-1285	397	4	like	like	VERB
ejde-1285	397	5	to	to	PART
ejde-1285	397	6	express	express	VERB
ejde-1285	397	7	her	her	PRON
ejde-1285	397	8	gratitude	gratitude	NOUN
ejde-1285	397	9	to	to	AUX
ejde-1285	397	10	maya	maya	PROPN
ejde-1285	397	11	chhetri	chhetri	VERB
ejde-1285	397	12	for	for	ADP
ejde-1285	397	13	her	her	PRON
ejde-1285	397	14	guidance	guidance	NOUN
ejde-1285	397	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	397	16	support	support	NOUN
ejde-1285	397	17	.	.	PUNCT
ejde-1285	398	1	we	we	PRON
ejde-1285	398	2	really	really	ADV
ejde-1285	398	3	want	want	VERB
ejde-1285	398	4	to	to	PART
ejde-1285	398	5	thank	thank	VERB
ejde-1285	398	6	the	the	DET
ejde-1285	398	7	referee	referee	NOUN
ejde-1285	398	8	for	for	ADP
ejde-1285	398	9	their	their	PRON
ejde-1285	398	10	thoughtful	thoughtful	ADJ
ejde-1285	398	11	comments	comment	NOUN
ejde-1285	398	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	398	13	suggestions	suggestion	NOUN
ejde-1285	398	14	and	and	CCONJ
ejde-1285	398	15	indications	indication	NOUN
ejde-1285	398	16	.	.	PUNCT
ejde-1285	399	1	we	we	PRON
ejde-1285	399	2	believe	believe	VERB
ejde-1285	399	3	that	that	SCONJ
ejde-1285	399	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	399	5	thanks	thank	NOUN
ejde-1285	399	6	to	to	ADP
ejde-1285	399	7	their	their	PRON
ejde-1285	399	8	remarks	remark	NOUN
ejde-1285	399	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	399	10	the	the	DET
ejde-1285	399	11	paper	paper	NOUN
ejde-1285	399	12	has	have	AUX
ejde-1285	399	13	been	be	AUX
ejde-1285	399	14	improved	improve	VERB
ejde-1285	399	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	400	1	this	this	DET
ejde-1285	400	2	research	research	NOUN
ejde-1285	400	3	was	be	AUX
ejde-1285	400	4	partially	partially	ADV
ejde-1285	400	5	supported	support	VERB
ejde-1285	400	6	by	by	ADP
ejde-1285	400	7	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	400	8	de	de	PROPN
ejde-1285	400	9	ciencias	ciencias	PROPN
ejde-1285	400	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	400	11	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	400	12	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	400	13	de	de	X
ejde-1285	400	14	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	400	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	400	16	sede	sede	NOUN
ejde-1285	400	17	medelĺın	medelĺın	NOUN
ejde-1285	400	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	400	19	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	400	20	de	de	PROPN
ejde-1285	400	21	ciencias	ciencias	PROPN
ejde-1285	400	22	–	–	PUNCT
ejde-1285	400	23	departamento	departamento	NOUN
ejde-1285	400	24	de	de	X
ejde-1285	400	25	matemáticas	matemáticas	PROPN
ejde-1285	400	26	–	–	PUNCT
ejde-1285	400	27	grupo	grupo	X
ejde-1285	400	28	de	de	X
ejde-1285	400	29	investigación	investigación	PROPN
ejde-1285	400	30	en	en	X
ejde-1285	400	31	matemáticas	matemáticas	X
ejde-1285	400	32	de	de	X
ejde-1285	400	33	la	la	X
ejde-1285	400	34	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	400	35	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	400	36	de	de	X
ejde-1285	400	37	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	400	38	sede	sede	NOUN
ejde-1285	400	39	medelĺın	medelĺın	NOUN
ejde-1285	400	40	.	.	PUNCT
ejde-1285	401	1	proyecto	proyecto	PROPN
ejde-1285	401	2	de	de	X
ejde-1285	401	3	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	401	4	:	:	PUNCT
ejde-1285	401	5	análisis	análisis	NOUN
ejde-1285	401	6	no	no	DET
ejde-1285	401	7	lineal	lineal	NOUN
ejde-1285	401	8	aplicado	aplicado	VERB
ejde-1285	401	9	a	a	DET
ejde-1285	401	10	problemas	problemas	NOUN
ejde-1285	401	11	mixtos	mixto	NOUN
ejde-1285	401	12	en	en	ADP
ejde-1285	401	13	ecuaciones	ecuacione	NOUN
ejde-1285	401	14	diferenciales	diferenciale	VERB
ejde-1285	401	15	parciales	parciale	NOUN
ejde-1285	401	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	401	17	hermes	hermes	PROPN
ejde-1285	401	18	code	code	NOUN
ejde-1285	401	19	60827	60827	NUM
ejde-1285	401	20	.	.	PUNCT
ejde-1285	402	1	this	this	DET
ejde-1285	402	2	research	research	NOUN
ejde-1285	402	3	was	be	AUX
ejde-1285	402	4	also	also	ADV
ejde-1285	402	5	supported	support	VERB
ejde-1285	402	6	by	by	ADP
ejde-1285	402	7	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	402	8	de	de	PROPN
ejde-1285	402	9	ciencias	ciencias	PROPN
ejde-1285	402	10	exactas	exactas	PROPN
ejde-1285	402	11	y	y	PROPN
ejde-1285	402	12	naturales	naturales	PROPN
ejde-1285	402	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	402	14	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	402	15	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	402	16	de	de	X
ejde-1285	402	17	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	402	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	402	19	sede	sede	VERB
ejde-1285	402	20	manizales	manizale	NOUN
ejde-1285	402	21	–	–	PUNCT
ejde-1285	402	22	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	402	23	de	de	PROPN
ejde-1285	402	24	ciencias	ciencias	PROPN
ejde-1285	402	25	–	–	PUNCT
ejde-1285	402	26	departamento	departamento	NOUN
ejde-1285	402	27	de	de	X
ejde-1285	402	28	matemáticas	matemáticas	PROPN
ejde-1285	402	29	–	–	PUNCT
ejde-1285	402	30	grupo	grupo	X
ejde-1285	402	31	de	de	X
ejde-1285	402	32	investigación	investigación	NOUN
ejde-1285	402	33	:	:	PUNCT
ejde-1285	402	34	análisis	análisis	PROPN
ejde-1285	402	35	matemático	matemático	PROPN
ejde-1285	402	36	am	be	AUX
ejde-1285	402	37	de	de	X
ejde-1285	402	38	la	la	X
ejde-1285	402	39	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	402	40	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	402	41	de	de	X
ejde-1285	402	42	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	402	43	-	-	PUNCT
ejde-1285	402	44	sede	sede	NOUN
ejde-1285	402	45	manizales	manizale	NOUN
ejde-1285	402	46	.	.	PUNCT
ejde-1285	403	1	projects	project	NOUN
ejde-1285	403	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	404	1	problemas	problema	NOUN
ejde-1285	404	2	en	en	X
ejde-1285	404	3	ecuaciones	ecuacione	NOUN
ejde-1285	404	4	eĺıpticas	eĺıpticas	PROPN
ejde-1285	404	5	no	no	DET
ejde-1285	404	6	lineales	lineale	NOUN
ejde-1285	404	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	404	8	hermes	herme	NOUN
ejde-1285	404	9	code	code	NOUN
ejde-1285	404	10	63271	63271	NUM
ejde-1285	404	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	404	12	ciencia	ciencia	PROPN
ejde-1285	404	13	y	y	PROPN
ejde-1285	404	14	tecnoloǵıa	tecnoloǵıa	PROPN
ejde-1285	404	15	para	para	VERB
ejde-1285	404	16	la	la	X
ejde-1285	404	17	calidad	calidad	X
ejde-1285	404	18	en	en	X
ejde-1285	404	19	la	la	PROPN
ejde-1285	404	20	industria	industria	PROPN
ejde-1285	404	21	licorera	licorera	PROPN
ejde-1285	404	22	de	de	PROPN
ejde-1285	404	23	caldas	caldas	PROPN
ejde-1285	404	24	(	(	PUNCT
ejde-1285	404	25	calcil	calcil	PROPN
ejde-1285	404	26	):	):	PUNCT
ejde-1285	404	27	un	un	PROPN
ejde-1285	404	28	enfoque	enfoque	PROPN
ejde-1285	404	29	desde	desde	PROPN
ejde-1285	404	30	la	la	PROPN
ejde-1285	404	31	facultad	facultad	PROPN
ejde-1285	404	32	de	de	PROPN
ejde-1285	404	33	ciencias	ciencias	PROPN
ejde-1285	404	34	exactas	exactas	PROPN
ejde-1285	404	35	y	y	PROPN
ejde-1285	404	36	naturales	naturales	PROPN
ejde-1285	404	37	hermes	hermes	PROPN
ejde-1285	404	38	code	code	PROPN
ejde-1285	404	39	63945	63945	NUM
ejde-1285	404	40	and	and	CCONJ
ejde-1285	404	41	,	,	PUNCT
ejde-1285	404	42	acerca	acerca	X
ejde-1285	404	43	de	de	X
ejde-1285	404	44	la	la	X
ejde-1285	404	45	topoloǵıa	topoloǵıa	X
ejde-1285	404	46	algebraica	algebraica	PROPN
ejde-1285	404	47	y	y	PROPN
ejde-1285	404	48	sus	sus	PROPN
ejde-1285	404	49	aplicaciones	aplicaciones	PROPN
ejde-1285	404	50	a	a	DET
ejde-1285	404	51	las	las	PROPN
ejde-1285	404	52	ecuaciones	ecuacione	NOUN
ejde-1285	404	53	diferenciales	diferenciale	VERB
ejde-1285	404	54	hermes	hermes	PROPN
ejde-1285	404	55	code	code	PROPN
ejde-1285	404	56	63636	63636	NUM
ejde-1285	404	57	.	.	PUNCT
ejde-1285	405	1	references	reference	NOUN
ejde-1285	405	2	[	[	X
ejde-1285	405	3	1	1	NUM
ejde-1285	405	4	]	]	PUNCT
ejde-1285	405	5	r.	r.	PROPN
ejde-1285	405	6	adams	adams	PROPN
ejde-1285	405	7	;	;	PUNCT
ejde-1285	405	8	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1285	405	9	spaces	space	NOUN
ejde-1285	405	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	405	11	academic	academic	ADJ
ejde-1285	405	12	press	press	NOUN
ejde-1285	405	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	405	14	new	new	PROPN
ejde-1285	405	15	york	york	PROPN
ejde-1285	405	16	-	-	PROPN
ejde-1285	405	17	san	san	PROPN
ejde-1285	405	18	francisco	francisco	PROPN
ejde-1285	405	19	-	-	PUNCT
ejde-1285	405	20	london	london	PROPN
ejde-1285	405	21	1	1	NUM
ejde-1285	405	22	(	(	PUNCT
ejde-1285	405	23	1975	1975	NUM
ejde-1285	405	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	405	25	975	975	NUM
ejde-1285	405	26	.	.	PUNCT
ejde-1285	406	1	[	[	X
ejde-1285	406	2	2	2	X
ejde-1285	406	3	]	]	X
ejde-1285	406	4	g.	g.	PROPN
ejde-1285	406	5	afrouzi	afrouzi	PROPN
ejde-1285	406	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	406	7	s.	s.	PROPN
ejde-1285	406	8	heidarkhani	heidarkhani	PROPN
ejde-1285	406	9	;	;	PUNCT
ejde-1285	406	10	three	three	NUM
ejde-1285	406	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	406	12	for	for	ADP
ejde-1285	406	13	a	a	DET
ejde-1285	406	14	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1285	406	15	boundary	boundary	ADJ
ejde-1285	406	16	value	value	NOUN
ejde-1285	406	17	problem	problem	NOUN
ejde-1285	406	18	involving	involve	VERB
ejde-1285	406	19	the	the	DET
ejde-1285	406	20	p	p	NOUN
ejde-1285	406	21	-	-	PUNCT
ejde-1285	406	22	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	406	23	,	,	PUNCT
ejde-1285	406	24	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	406	25	analysis	analysis	NOUN
ejde-1285	406	26	:	:	PUNCT
ejde-1285	406	27	theory	theory	NOUN
ejde-1285	406	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	406	29	methods	method	NOUN
ejde-1285	406	30	&	&	CCONJ
ejde-1285	406	31	applications	application	NOUN
ejde-1285	406	32	66	66	NUM
ejde-1285	406	33	(	(	PUNCT
ejde-1285	406	34	10	10	NUM
ejde-1285	406	35	)	)	PUNCT
ejde-1285	406	36	(	(	PUNCT
ejde-1285	406	37	2007	2007	NUM
ejde-1285	406	38	)	)	PUNCT
ejde-1285	406	39	2281–2288	2281–2288	NUM
ejde-1285	406	40	.	.	PUNCT
ejde-1285	407	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	407	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	407	3	10.1016	10.1016	NUM
ejde-1285	407	4	/	/	SYM
ejde-1285	407	5	j.na.2006.03.019	j.na.2006.03.019	PROPN
ejde-1285	408	1	[	[	X
ejde-1285	408	2	3	3	X
ejde-1285	408	3	]	]	X
ejde-1285	408	4	h.	h.	PROPN
ejde-1285	408	5	amann	amann	PROPN
ejde-1285	408	6	;	;	PUNCT
ejde-1285	408	7	fixed	fix	VERB
ejde-1285	408	8	point	point	NOUN
ejde-1285	408	9	equations	equation	NOUN
ejde-1285	408	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	408	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	408	12	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-1285	408	13	problems	problem	NOUN
ejde-1285	408	14	in	in	ADP
ejde-1285	408	15	ordered	order	VERB
ejde-1285	408	16	banach	banach	NOUN
ejde-1285	408	17	spaces	space	NOUN
ejde-1285	408	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	408	19	siam	siam	PROPN
ejde-1285	408	20	review	review	NOUN
ejde-1285	408	21	18	18	NUM
ejde-1285	408	22	(	(	PUNCT
ejde-1285	408	23	4	4	NUM
ejde-1285	408	24	)	)	PUNCT
ejde-1285	408	25	(	(	PUNCT
ejde-1285	408	26	1976	1976	NUM
ejde-1285	408	27	)	)	PUNCT
ejde-1285	408	28	620–709	620–709	NUM
ejde-1285	408	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	409	1	[	[	X
ejde-1285	409	2	4	4	NUM
ejde-1285	409	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	409	4	r.	r.	PROPN
ejde-1285	409	5	arora	arora	PROPN
ejde-1285	409	6	;	;	PUNCT
ejde-1285	409	7	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	409	8	results	result	NOUN
ejde-1285	409	9	for	for	ADP
ejde-1285	409	10	nonhomogeneous	nonhomogeneous	ADJ
ejde-1285	409	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1285	409	12	equations	equation	NOUN
ejde-1285	409	13	with	with	ADP
ejde-1285	409	14	singular	singular	ADJ
ejde-1285	409	15	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1285	409	16	,	,	PUNCT
ejde-1285	409	17	commun	commun	PROPN
ejde-1285	409	18	.	.	PUNCT
ejde-1285	410	1	pure	pure	ADJ
ejde-1285	410	2	appl	appl	PROPN
ejde-1285	410	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	411	1	anal	anal	PROPN
ejde-1285	411	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	412	1	21	21	NUM
ejde-1285	412	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	412	3	6	6	NUM
ejde-1285	412	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	412	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	412	6	2022	2022	NUM
ejde-1285	412	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	412	8	2253–2269	2253–2269	NUM
ejde-1285	412	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	413	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	413	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	413	3	10.3934	10.3934	NUM
ejde-1285	413	4	/	/	SYM
ejde-1285	413	5	cpaa.2022056	cpaa.2022056	PROPN
ejde-1285	414	1	[	[	X
ejde-1285	414	2	5	5	NUM
ejde-1285	414	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	414	4	a.	a.	NOUN
ejde-1285	414	5	castro	castro	PROPN
ejde-1285	414	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	414	7	j.	j.	PROPN
ejde-1285	414	8	cossio	cossio	PROPN
ejde-1285	414	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	414	10	s.	s.	PROPN
ejde-1285	414	11	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	414	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	414	13	c.	c.	PROPN
ejde-1285	414	14	vélez	vélez	PROPN
ejde-1285	414	15	,	,	PUNCT
ejde-1285	414	16	infinitely	infinitely	ADV
ejde-1285	414	17	many	many	ADJ
ejde-1285	414	18	radial	radial	ADJ
ejde-1285	414	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	414	20	for	for	ADP
ejde-1285	414	21	a	a	DET
ejde-1285	414	22	p	p	ADJ
ejde-1285	414	23	-	-	PUNCT
ejde-1285	414	24	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	414	25	problem	problem	NOUN
ejde-1285	414	26	with	with	ADP
ejde-1285	414	27	indefinite	indefinite	ADJ
ejde-1285	414	28	weight	weight	NOUN
ejde-1285	414	29	,	,	PUNCT
ejde-1285	414	30	discrete	discrete	ADJ
ejde-1285	414	31	contin	contin	NOUN
ejde-1285	414	32	.	.	PUNCT
ejde-1285	415	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-1285	415	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	416	1	syst	syst	PROPN
ejde-1285	416	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	417	1	41	41	NUM
ejde-1285	417	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	417	3	10	10	NUM
ejde-1285	417	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	417	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	417	6	2021	2021	NUM
ejde-1285	417	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	417	8	4805–4821	4805–4821	PROPN
ejde-1285	417	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	418	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	418	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	418	3	10.3934	10.3934	NUM
ejde-1285	418	4	/	/	SYM
ejde-1285	418	5	dcds.2021058	dcds.2021058	ADJ
ejde-1285	418	6	[	[	PUNCT
ejde-1285	418	7	6	6	NUM
ejde-1285	418	8	]	]	PUNCT
ejde-1285	418	9	a.	a.	NOUN
ejde-1285	418	10	castro	castro	PROPN
ejde-1285	418	11	,	,	PUNCT
ejde-1285	418	12	j.	j.	PROPN
ejde-1285	418	13	cossio	cossio	PROPN
ejde-1285	418	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	418	15	s.	s.	PROPN
ejde-1285	418	16	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	418	17	,	,	PUNCT
ejde-1285	418	18	c.	c.	PROPN
ejde-1285	418	19	vélez	vélez	PROPN
ejde-1285	418	20	;	;	PUNCT
ejde-1285	418	21	infinitely	infinitely	ADV
ejde-1285	418	22	many	many	ADJ
ejde-1285	418	23	radial	radial	ADJ
ejde-1285	418	24	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	418	25	for	for	ADP
ejde-1285	418	26	a	a	DET
ejde-1285	418	27	p	p	ADJ
ejde-1285	418	28	-	-	PUNCT
ejde-1285	418	29	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	418	30	problem	problem	NOUN
ejde-1285	418	31	with	with	ADP
ejde-1285	418	32	negative	negative	ADJ
ejde-1285	418	33	weight	weight	NOUN
ejde-1285	418	34	at	at	ADP
ejde-1285	418	35	the	the	DET
ejde-1285	418	36	origin	origin	NOUN
ejde-1285	418	37	,	,	PUNCT
ejde-1285	418	38	electron	electron	NOUN
ejde-1285	418	39	.	.	PUNCT
ejde-1285	419	1	j.	j.	PROPN
ejde-1285	419	2	differential	differential	PROPN
ejde-1285	419	3	equations	equation	NOUN
ejde-1285	419	4	,	,	PUNCT
ejde-1285	419	5	special	special	ADJ
ejde-1285	419	6	issue	issue	NOUN
ejde-1285	419	7	01	01	NUM
ejde-1285	419	8	(	(	PUNCT
ejde-1285	419	9	2021	2021	NUM
ejde-1285	419	10	)	)	PUNCT
ejde-1285	420	1	101–114	101–114	NUM
ejde-1285	420	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	421	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	421	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	421	3	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1285	421	4	/	/	SYM
ejde-1285	421	5	ejde.sp.01.c2	ejde.sp.01.c2	NOUN
ejde-1285	422	1	[	[	X
ejde-1285	422	2	7	7	X
ejde-1285	422	3	]	]	X
ejde-1285	422	4	m.	m.	NOUN
ejde-1285	422	5	chhetri	chhetri	PROPN
ejde-1285	422	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	422	7	s.	s.	PROPN
ejde-1285	422	8	oruganti	oruganti	PROPN
ejde-1285	422	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	422	10	r.	r.	PROPN
ejde-1285	422	11	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	422	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	422	13	positive	positive	ADJ
ejde-1285	422	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	422	15	for	for	ADP
ejde-1285	422	16	classes	class	NOUN
ejde-1285	422	17	of	of	ADP
ejde-1285	422	18	p	p	NOUN
ejde-1285	422	19	-	-	PUNCT
ejde-1285	422	20	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	422	21	equations	equation	NOUN
ejde-1285	422	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	422	23	differential	differential	ADJ
ejde-1285	422	24	integral	integral	ADJ
ejde-1285	422	25	equations	equation	NOUN
ejde-1285	422	26	16	16	NUM
ejde-1285	422	27	(	(	PUNCT
ejde-1285	422	28	6	6	NUM
ejde-1285	422	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	422	30	(	(	PUNCT
ejde-1285	422	31	2003	2003	NUM
ejde-1285	422	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	422	33	,	,	PUNCT
ejde-1285	422	34	757–768	757–768	NUM
ejde-1285	422	35	.	.	PUNCT
ejde-1285	423	1	[	[	X
ejde-1285	423	2	8	8	NUM
ejde-1285	423	3	]	]	X
ejde-1285	423	4	d.	d.	PROPN
ejde-1285	423	5	g.	g.	PROPN
ejde-1285	423	6	de	de	PROPN
ejde-1285	423	7	figueiredo	figueiredo	PROPN
ejde-1285	423	8	,	,	PUNCT
ejde-1285	423	9	j.-p	j.-p	PROPN
ejde-1285	423	10	.	.	PUNCT
ejde-1285	424	1	gossez	gossez	NOUN
ejde-1285	424	2	,	,	PUNCT
ejde-1285	424	3	p.	p.	NOUN
ejde-1285	424	4	ubilla	ubilla	NOUN
ejde-1285	424	5	;	;	PUNCT
ejde-1285	424	6	local	local	ADJ
ejde-1285	424	7	“	"	PUNCT
ejde-1285	424	8	superlinearity	superlinearity	NOUN
ejde-1285	424	9	”	"	PUNCT
ejde-1285	424	10	and	and	CCONJ
ejde-1285	424	11	“	"	PUNCT
ejde-1285	424	12	sublinearity	sublinearity	NOUN
ejde-1285	424	13	”	"	PUNCT
ejde-1285	424	14	for	for	ADP
ejde-1285	424	15	the	the	DET
ejde-1285	424	16	p	p	NOUN
ejde-1285	424	17	-	-	PUNCT
ejde-1285	424	18	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1285	424	19	,	,	PUNCT
ejde-1285	424	20	j.	j.	PROPN
ejde-1285	424	21	funct	funct	PROPN
ejde-1285	424	22	.	.	PUNCT
ejde-1285	425	1	anal	anal	PROPN
ejde-1285	425	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	426	1	257	257	NUM
ejde-1285	426	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	426	3	3	3	NUM
ejde-1285	426	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	426	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	426	6	2009	2009	NUM
ejde-1285	426	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	427	1	721–752	721–752	NUM
ejde-1285	427	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	428	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	428	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	428	3	10.1016	10.1016	NUM
ejde-1285	428	4	/	/	SYM
ejde-1285	428	5	j.jfa.2009.04.001	j.jfa.2009.04.001	PROPN
ejde-1285	429	1	[	[	X
ejde-1285	429	2	9	9	NUM
ejde-1285	429	3	]	]	X
ejde-1285	429	4	r.	r.	PROPN
ejde-1285	429	5	dhanya	dhanya	PROPN
ejde-1285	429	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	429	7	e.	e.	PROPN
ejde-1285	429	8	ko	ko	PROPN
ejde-1285	429	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	429	10	r.	r.	PROPN
ejde-1285	429	11	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	429	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	429	13	a	a	DET
ejde-1285	429	14	three	three	NUM
ejde-1285	429	15	solution	solution	NOUN
ejde-1285	429	16	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	429	17	for	for	ADP
ejde-1285	429	18	singular	singular	PROPN
ejde-1285	429	19	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-1285	429	20	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1285	429	21	boundary	boundary	ADJ
ejde-1285	429	22	value	value	NOUN
ejde-1285	429	23	problems	problem	NOUN
ejde-1285	429	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	429	25	journal	journal	NOUN
ejde-1285	429	26	of	of	ADP
ejde-1285	429	27	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1285	429	28	analysis	analysis	NOUN
ejde-1285	429	29	and	and	CCONJ
ejde-1285	429	30	applications	application	NOUN
ejde-1285	429	31	424	424	NUM
ejde-1285	429	32	(	(	PUNCT
ejde-1285	429	33	1	1	NUM
ejde-1285	429	34	)	)	PUNCT
ejde-1285	429	35	(	(	PUNCT
ejde-1285	429	36	2015	2015	NUM
ejde-1285	429	37	)	)	PUNCT
ejde-1285	429	38	598–612	598–612	NUM
ejde-1285	429	39	.	.	PUNCT
ejde-1285	430	1	[	[	X
ejde-1285	430	2	10	10	NUM
ejde-1285	430	3	]	]	X
ejde-1285	430	4	r.	r.	PROPN
ejde-1285	430	5	dhanya	dhanya	PROPN
ejde-1285	430	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	430	7	r.	r.	PROPN
ejde-1285	430	8	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	430	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	430	10	b.	b.	PROPN
ejde-1285	430	11	son	son	PROPN
ejde-1285	430	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	430	13	a	a	DET
ejde-1285	430	14	three	three	NUM
ejde-1285	430	15	solution	solution	NOUN
ejde-1285	430	16	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	430	17	for	for	ADP
ejde-1285	430	18	a	a	DET
ejde-1285	430	19	singular	singular	ADJ
ejde-1285	430	20	differential	differential	NOUN
ejde-1285	430	21	equation	equation	NOUN
ejde-1285	430	22	with	with	ADP
ejde-1285	430	23	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	430	24	boundary	boundary	ADJ
ejde-1285	430	25	conditions	condition	NOUN
ejde-1285	430	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	430	27	topol	topol	NOUN
ejde-1285	430	28	.	.	PUNCT
ejde-1285	431	1	methods	method	NOUN
ejde-1285	431	2	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-1285	431	3	anal	anal	PROPN
ejde-1285	431	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	432	1	54	54	NUM
ejde-1285	432	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	432	3	2	2	NUM
ejde-1285	432	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	432	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	432	6	2019	2019	NUM
ejde-1285	432	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	433	1	445–457	445–457	NUM
ejde-1285	433	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	434	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	434	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	434	3	10.12775	10.12775	NUM
ejde-1285	434	4	/	/	SYM
ejde-1285	434	5	tmna.2019.044	tmna.2019.044	X
ejde-1285	435	1	[	[	X
ejde-1285	435	2	11	11	NUM
ejde-1285	435	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	435	4	p.	p.	NOUN
ejde-1285	435	5	drábek	drábek	PROPN
ejde-1285	435	6	;	;	PUNCT
ejde-1285	435	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	435	8	differential	differential	ADJ
ejde-1285	435	9	equations	equation	NOUN
ejde-1285	435	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	435	11	crc	crc	NOUN
ejde-1285	435	12	press	press	NOUN
ejde-1285	435	13	,	,	PUNCT
ejde-1285	435	14	2024	2024	NUM
ejde-1285	435	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	436	1	[	[	X
ejde-1285	436	2	12	12	NUM
ejde-1285	436	3	]	]	X
ejde-1285	436	4	l.	l.	PROPN
ejde-1285	436	5	gasinski	gasinski	PROPN
ejde-1285	436	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	436	7	n.	n.	NOUN
ejde-1285	436	8	papageorgiou	papageorgiou	NOUN
ejde-1285	436	9	;	;	PUNCT
ejde-1285	436	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	436	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-1285	436	12	(	(	PUNCT
ejde-1285	436	13	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1285	436	14	analysis	analysis	NOUN
ejde-1285	436	15	and	and	CCONJ
ejde-1285	436	16	applications	application	NOUN
ejde-1285	436	17	)	)	PUNCT
ejde-1285	436	18	,	,	PUNCT
ejde-1285	436	19	vol	vol	NOUN
ejde-1285	436	20	.	.	PROPN
ejde-1285	436	21	9	9	NUM
ejde-1285	436	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	436	23	crc	crc	NOUN
ejde-1285	436	24	press	press	NOUN
ejde-1285	436	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	436	26	2005	2005	NUM
ejde-1285	436	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	437	1	[	[	X
ejde-1285	437	2	13	13	NUM
ejde-1285	437	3	]	]	X
ejde-1285	437	4	e.	e.	PROPN
ejde-1285	437	5	ko	ko	PROPN
ejde-1285	437	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	437	7	e.	e.	PROPN
ejde-1285	437	8	k.	k.	PROPN
ejde-1285	437	9	lee	lee	PROPN
ejde-1285	437	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	437	11	r.	r.	PROPN
ejde-1285	437	12	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	437	13	;	;	PUNCT
ejde-1285	437	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	437	15	of	of	ADP
ejde-1285	437	16	positive	positive	ADJ
ejde-1285	437	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	437	18	to	to	ADP
ejde-1285	437	19	a	a	DET
ejde-1285	437	20	class	class	NOUN
ejde-1285	437	21	of	of	ADP
ejde-1285	437	22	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	437	23	-	-	PUNCT
ejde-1285	437	24	type	type	NOUN
ejde-1285	437	25	singular	singular	ADJ
ejde-1285	437	26	problems	problem	NOUN
ejde-1285	437	27	,	,	PUNCT
ejde-1285	437	28	discrete	discrete	ADJ
ejde-1285	437	29	and	and	CCONJ
ejde-1285	437	30	continuous	continuous	ADJ
ejde-1285	437	31	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-1285	437	32	systems	system	NOUN
ejde-1285	437	33	-	-	PUNCT
ejde-1285	437	34	s	s	PART
ejde-1285	437	35	17	17	NUM
ejde-1285	437	36	(	(	PUNCT
ejde-1285	437	37	5&6	5&6	NUM
ejde-1285	437	38	)	)	PUNCT
ejde-1285	437	39	(	(	PUNCT
ejde-1285	437	40	2024	2024	NUM
ejde-1285	437	41	)	)	PUNCT
ejde-1285	437	42	2224–2233	2224–2233	NUM
ejde-1285	437	43	.	.	PUNCT
ejde-1285	438	1	[	[	X
ejde-1285	438	2	14	14	NUM
ejde-1285	438	3	]	]	X
ejde-1285	438	4	e.	e.	PROPN
ejde-1285	438	5	ko	ko	PROPN
ejde-1285	438	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	438	7	e.	e.	PROPN
ejde-1285	438	8	k.	k.	PROPN
ejde-1285	438	9	lee	lee	PROPN
ejde-1285	438	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	438	11	r.	r.	PROPN
ejde-1285	438	12	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-1285	438	13	;	;	PUNCT
ejde-1285	438	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	438	15	results	result	NOUN
ejde-1285	438	16	for	for	ADP
ejde-1285	438	17	classes	class	NOUN
ejde-1285	438	18	of	of	ADP
ejde-1285	438	19	singular	singular	ADJ
ejde-1285	438	20	problems	problem	NOUN
ejde-1285	438	21	on	on	ADP
ejde-1285	438	22	an	an	DET
ejde-1285	438	23	exterior	exterior	ADJ
ejde-1285	438	24	domain	domain	NOUN
ejde-1285	438	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	438	26	discrete	discrete	ADJ
ejde-1285	438	27	contin	contin	NOUN
ejde-1285	438	28	.	.	PUNCT
ejde-1285	439	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-1285	439	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	440	1	syst	syst	PROPN
ejde-1285	440	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	441	1	33	33	NUM
ejde-1285	441	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	441	3	11	11	NUM
ejde-1285	441	4	-	-	SYM
ejde-1285	441	5	12	12	NUM
ejde-1285	441	6	)	)	PUNCT
ejde-1285	441	7	(	(	PUNCT
ejde-1285	441	8	2013	2013	NUM
ejde-1285	441	9	)	)	PUNCT
ejde-1285	441	10	5153–5166	5153–5166	NUM
ejde-1285	441	11	.	.	PUNCT
ejde-1285	442	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	442	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	442	3	10.3934	10.3934	NUM
ejde-1285	442	4	/	/	SYM
ejde-1285	442	5	dcds.2013.33.5153	dcds.2013.33.5153	NOUN
ejde-1285	442	6	ejde-2025/47	ejde-2025/47	ADJ
ejde-1285	442	7	positive	positive	ADJ
ejde-1285	442	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	442	9	for	for	ADP
ejde-1285	442	10	a	a	DET
ejde-1285	442	11	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-1285	442	12	p	p	NOUN
ejde-1285	442	13	-	-	PUNCT
ejde-1285	442	14	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	442	15	13	13	NUM
ejde-1285	443	1	[	[	SYM
ejde-1285	443	2	15	15	NUM
ejde-1285	443	3	]	]	X
ejde-1285	443	4	e.	e.	PROPN
ejde-1285	443	5	ko	ko	PROPN
ejde-1285	443	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	443	7	e.	e.	PROPN
ejde-1285	443	8	k.	k.	PROPN
ejde-1285	443	9	lee	lee	PROPN
ejde-1285	443	10	,	,	PUNCT
ejde-1285	443	11	r.	r.	PROPN
ejde-1285	443	12	shivajii	shivajii	PROPN
ejde-1285	443	13	;	;	PUNCT
ejde-1285	443	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1285	443	15	results	result	NOUN
ejde-1285	443	16	for	for	ADP
ejde-1285	443	17	classes	class	NOUN
ejde-1285	443	18	of	of	ADP
ejde-1285	443	19	infinite	infinite	ADJ
ejde-1285	443	20	positone	positone	NOUN
ejde-1285	443	21	problems	problem	NOUN
ejde-1285	443	22	,	,	PUNCT
ejde-1285	443	23	z.	z.	PROPN
ejde-1285	443	24	anal	anal	PROPN
ejde-1285	443	25	.	.	PUNCT
ejde-1285	444	1	anwend	anwend	PROPN
ejde-1285	444	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	445	1	30	30	NUM
ejde-1285	445	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	445	3	3	3	NUM
ejde-1285	445	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	445	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	445	6	2011	2011	NUM
ejde-1285	445	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	446	1	305–318	305–318	NUM
ejde-1285	446	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	447	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	447	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	447	3	10.4171	10.4171	NUM
ejde-1285	447	4	/	/	SYM
ejde-1285	447	5	zaa/1436	zaa/1436	NOUN
ejde-1285	448	1	[	[	X
ejde-1285	448	2	16	16	NUM
ejde-1285	448	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	448	4	s.	s.	PROPN
ejde-1285	448	5	t.	t.	PROPN
ejde-1285	448	6	kyritsi	kyritsi	PROPN
ejde-1285	448	7	,	,	PUNCT
ejde-1285	448	8	n.	n.	PROPN
ejde-1285	448	9	s.	s.	PROPN
ejde-1285	448	10	papageorgioui	papageorgioui	PROPN
ejde-1285	448	11	;	;	PUNCT
ejde-1285	448	12	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	448	13	positive	positive	ADJ
ejde-1285	448	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	448	15	for	for	ADP
ejde-1285	448	16	a	a	DET
ejde-1285	448	17	class	class	NOUN
ejde-1285	448	18	of	of	ADP
ejde-1285	448	19	p	p	NOUN
ejde-1285	448	20	-	-	PUNCT
ejde-1285	448	21	superlinear	superlinear	NOUN
ejde-1285	448	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1285	448	23	problems	problem	NOUN
ejde-1285	448	24	,	,	PUNCT
ejde-1285	448	25	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	448	26	anal	anal	NOUN
ejde-1285	448	27	.	.	PUNCT
ejde-1285	449	1	72	72	NUM
ejde-1285	449	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	449	3	6	6	NUM
ejde-1285	449	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	449	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	449	6	2010	2010	NUM
ejde-1285	449	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	449	8	3069–3079	3069–3079	NOUN
ejde-1285	449	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	450	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	450	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	450	3	10.1016	10.1016	NUM
ejde-1285	450	4	/	/	SYM
ejde-1285	450	5	j.na.2009.11.046	j.na.2009.11.046	PROPN
ejde-1285	451	1	[	[	X
ejde-1285	451	2	17	17	NUM
ejde-1285	451	3	]	]	X
ejde-1285	451	4	d.	d.	PROPN
ejde-1285	451	5	rajendran	rajendran	PROPN
ejde-1285	451	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	451	7	e.	e.	PROPN
ejde-1285	451	8	ko	ko	PROPN
ejde-1285	451	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	451	10	r.	r.	PROPN
ejde-1285	451	11	shivajii	shivajii	PROPN
ejde-1285	451	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	451	13	existence	existence	NOUN
ejde-1285	451	14	of	of	ADP
ejde-1285	451	15	three	three	NUM
ejde-1285	451	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	451	17	for	for	ADP
ejde-1285	451	18	a	a	DET
ejde-1285	451	19	two	two	NUM
ejde-1285	451	20	-	-	PUNCT
ejde-1285	451	21	point	point	NOUN
ejde-1285	451	22	singular	singular	ADJ
ejde-1285	451	23	boundary	boundary	ADJ
ejde-1285	451	24	-	-	PUNCT
ejde-1285	451	25	value	value	NOUN
ejde-1285	451	26	problem	problem	NOUN
ejde-1285	451	27	with	with	ADP
ejde-1285	451	28	an	an	DET
ejde-1285	451	29	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1285	451	30	weight	weight	NOUN
ejde-1285	451	31	,	,	PUNCT
ejde-1285	451	32	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-1285	451	33	of	of	ADP
ejde-1285	451	34	the	the	DET
ejde-1285	451	35	tenth	tenth	ADJ
ejde-1285	451	36	msu	msu	NOUN
ejde-1285	451	37	conference	conference	NOUN
ejde-1285	451	38	on	on	ADP
ejde-1285	451	39	differential	differential	ADJ
ejde-1285	451	40	equations	equation	NOUN
ejde-1285	451	41	and	and	CCONJ
ejde-1285	451	42	computational	computational	ADJ
ejde-1285	451	43	simulations	simulation	NOUN
ejde-1285	451	44	,	,	PUNCT
ejde-1285	451	45	conf	conf	NOUN
ejde-1285	451	46	.	.	PUNCT
ejde-1285	451	47	23	23	NUM
ejde-1285	451	48	,	,	PUNCT
ejde-1285	451	49	electron	electron	NOUN
ejde-1285	451	50	.	.	PUNCT
ejde-1285	452	1	j.	j.	PROPN
ejde-1285	452	2	differ	differ	VERB
ejde-1285	452	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	453	1	equ	equ	PROPN
ejde-1285	453	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	454	1	pp	pp	X
ejde-1285	454	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	455	1	131–138	131–138	NUM
ejde-1285	455	2	.	.	PUNCT
ejde-1285	456	1	[	[	X
ejde-1285	456	2	18	18	NUM
ejde-1285	456	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	456	4	m.	m.	NOUN
ejde-1285	456	5	ramaswamy	ramaswamy	PROPN
ejde-1285	456	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	456	7	r.	r.	PROPN
ejde-1285	456	8	shivajii	shivajii	PROPN
ejde-1285	456	9	;	;	PUNCT
ejde-1285	456	10	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	456	11	positive	positive	ADJ
ejde-1285	456	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	456	13	for	for	ADP
ejde-1285	456	14	classes	class	NOUN
ejde-1285	456	15	of	of	ADP
ejde-1285	456	16	p	p	NOUN
ejde-1285	456	17	-	-	PUNCT
ejde-1285	456	18	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	456	19	equations	equation	NOUN
ejde-1285	456	20	,	,	PUNCT
ejde-1285	456	21	differential	differential	ADJ
ejde-1285	456	22	integral	integral	ADJ
ejde-1285	456	23	equations	equation	NOUN
ejde-1285	456	24	17	17	NUM
ejde-1285	456	25	(	(	PUNCT
ejde-1285	456	26	11	11	NUM
ejde-1285	456	27	-	-	SYM
ejde-1285	456	28	12	12	NUM
ejde-1285	456	29	)	)	PUNCT
ejde-1285	456	30	(	(	PUNCT
ejde-1285	456	31	2004	2004	NUM
ejde-1285	456	32	)	)	PUNCT
ejde-1285	456	33	1255–1261	1255–1261	NUM
ejde-1285	456	34	.	.	PUNCT
ejde-1285	457	1	[	[	X
ejde-1285	457	2	19	19	NUM
ejde-1285	457	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	457	4	j.	j.	PROPN
ejde-1285	457	5	zhang	zhang	PROPN
ejde-1285	457	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	457	7	j.	j.	PROPN
ejde-1285	457	8	wang	wang	PROPN
ejde-1285	457	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	457	10	f.	f.	PROPN
ejde-1285	457	11	zhangi	zhangi	PROPN
ejde-1285	457	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	457	13	multiple	multiple	ADJ
ejde-1285	457	14	positive	positive	ADJ
ejde-1285	457	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	457	16	for	for	ADP
ejde-1285	457	17	a	a	DET
ejde-1285	457	18	class	class	NOUN
ejde-1285	457	19	of	of	ADP
ejde-1285	457	20	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-1285	457	21	problems	problem	NOUN
ejde-1285	457	22	with	with	ADP
ejde-1285	457	23	distinct	distinct	ADJ
ejde-1285	457	24	potentials	potential	NOUN
ejde-1285	457	25	,	,	PUNCT
ejde-1285	457	26	appl	appl	PROPN
ejde-1285	457	27	.	.	PROPN
ejde-1285	457	28	anal	anal	PROPN
ejde-1285	457	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	458	1	94	94	NUM
ejde-1285	458	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	458	3	11	11	NUM
ejde-1285	458	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	458	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	458	6	2015	2015	NUM
ejde-1285	458	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	458	8	2211–2232	2211–2232	PROPN
ejde-1285	458	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	459	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	459	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	459	3	10.1080/00036811.2014.971019	10.1080/00036811.2014.971019	NUM
ejde-1285	459	4	.	.	PUNCT
ejde-1285	460	1	[	[	X
ejde-1285	460	2	20	20	NUM
ejde-1285	460	3	]	]	PUNCT
ejde-1285	460	4	l.	l.	PROPN
ejde-1285	460	5	zhao	zhao	PROPN
ejde-1285	460	6	,	,	PUNCT
ejde-1285	460	7	y.	y.	PROPN
ejde-1285	460	8	he	he	PRON
ejde-1285	460	9	,	,	PUNCT
ejde-1285	460	10	p.	p.	NOUN
ejde-1285	460	11	zhaoi	zhaoi	NOUN
ejde-1285	460	12	;	;	PUNCT
ejde-1285	460	13	the	the	DET
ejde-1285	460	14	existence	existence	NOUN
ejde-1285	460	15	of	of	ADP
ejde-1285	460	16	three	three	NUM
ejde-1285	460	17	positive	positive	ADJ
ejde-1285	460	18	solutions	solution	NOUN
ejde-1285	460	19	of	of	ADP
ejde-1285	460	20	a	a	DET
ejde-1285	460	21	singular	singular	ADJ
ejde-1285	460	22	p	p	PROPN
ejde-1285	460	23	-	-	PUNCT
ejde-1285	460	24	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1285	460	25	problem	problem	NOUN
ejde-1285	460	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	460	27	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1285	460	28	anal	anal	NOUN
ejde-1285	460	29	.	.	PUNCT
ejde-1285	461	1	74	74	NUM
ejde-1285	461	2	(	(	PUNCT
ejde-1285	461	3	16	16	NUM
ejde-1285	461	4	)	)	PUNCT
ejde-1285	461	5	(	(	PUNCT
ejde-1285	461	6	2011	2011	NUM
ejde-1285	461	7	)	)	PUNCT
ejde-1285	461	8	5745–5753	5745–5753	NUM
ejde-1285	461	9	.	.	PUNCT
ejde-1285	462	1	doi	doi	NOUN
ejde-1285	462	2	:	:	PUNCT
ejde-1285	462	3	10.1016	10.1016	NUM
ejde-1285	462	4	/	/	SYM
ejde-1285	462	5	j.na.2011.05.065	j.na.2011.05.065	PROPN
ejde-1285	462	6	sigifredo	sigifredo	PROPN
ejde-1285	462	7	herrón	herrón	PROPN
ejde-1285	462	8	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	462	9	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	462	10	de	de	X
ejde-1285	462	11	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	12	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	13	medelĺın	medelĺın	NOUN
ejde-1285	462	14	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	15	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	16	email	email	NOUN
ejde-1285	462	17	address	address	NOUN
ejde-1285	462	18	:	:	PUNCT
ejde-1285	462	19	sherron@unal.edu.co	sherron@unal.edu.co	PROPN
ejde-1285	462	20	emer	emer	PROPN
ejde-1285	462	21	lopera	lopera	PROPN
ejde-1285	462	22	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	462	23	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	462	24	de	de	PROPN
ejde-1285	462	25	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	26	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	27	manizales	manizales	PROPN
ejde-1285	462	28	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	29	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	30	email	email	NOUN
ejde-1285	462	31	address	address	NOUN
ejde-1285	462	32	:	:	PUNCT
ejde-1285	462	33	edloperar@unal.edu.co	edloperar@unal.edu.co	ADJ
ejde-1285	462	34	diana	diana	PROPN
ejde-1285	462	35	sánchez	sánchez	PROPN
ejde-1285	462	36	universidad	universidad	PROPN
ejde-1285	462	37	nacional	nacional	PROPN
ejde-1285	462	38	de	de	X
ejde-1285	462	39	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	40	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	41	manizales	manizales	PROPN
ejde-1285	462	42	,	,	PUNCT
ejde-1285	462	43	colombia	colombia	PROPN
ejde-1285	462	44	email	email	NOUN
ejde-1285	462	45	address	address	NOUN
ejde-1285	462	46	:	:	PUNCT
ejde-1285	462	47	dmsanchezm@unal.edu.co	dmsanchezm@unal.edu.co	ADJ
ejde-1285	462	48	1	1	NUM
ejde-1285	462	49	.	.	PUNCT
ejde-1285	463	1	introduction	introduction	NOUN
ejde-1285	463	2	2	2	NUM
ejde-1285	463	3	.	.	PUNCT
ejde-1285	463	4	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1285	463	5	results	result	NOUN
ejde-1285	463	6	3	3	NUM
ejde-1285	463	7	.	.	PUNCT
ejde-1285	463	8	a	a	DET
ejde-1285	463	9	sub	sub	ADJ
ejde-1285	463	10	-	-	ADJ
ejde-1285	463	11	super	super	ADJ
ejde-1285	463	12	solution	solution	NOUN
ejde-1285	463	13	theorem	theorem	VERB
ejde-1285	463	14	4	4	NUM
ejde-1285	463	15	.	.	PUNCT
ejde-1285	464	1	the	the	DET
ejde-1285	464	2	case	case	NOUN
ejde-1285	464	3	=	=	NOUN
ejde-1285	464	4	br	br	X
ejde-1285	464	5	5	5	NUM
ejde-1285	464	6	.	.	PUNCT
ejde-1285	464	7	general	general	ADJ
ejde-1285	464	8	case	case	NOUN
ejde-1285	464	9	:	:	PUNCT
ejde-1285	464	10	smooth	smooth	ADJ
ejde-1285	464	11	and	and	CCONJ
ejde-1285	464	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-1285	464	13	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1285	464	14	references	reference	NOUN