id sid tid token lemma pos ejde-145 1 1 electronic electronic ADJ ejde-145 1 2 journal journal NOUN ejde-145 1 3 of of ADP ejde-145 1 4 differential differential ADJ ejde-145 1 5 equations equation NOUN ejde-145 1 6 , , PUNCT ejde-145 1 7 vol vol NOUN ejde-145 1 8 . . PUNCT ejde-145 1 9 2022 2022 NUM ejde-145 1 10 ( ( PUNCT ejde-145 1 11 2022 2022 NUM ejde-145 1 12 ) ) PUNCT ejde-145 1 13 , , PUNCT ejde-145 1 14 no no INTJ ejde-145 1 15 . . NOUN ejde-145 1 16 55 55 NUM ejde-145 1 17 , , PUNCT ejde-145 1 18 pp pp ADJ ejde-145 1 19 . . PUNCT ejde-145 2 1 1–10 1–10 PROPN ejde-145 2 2 . . PUNCT ejde-145 3 1 issn issn PROPN ejde-145 3 2 : : PUNCT ejde-145 3 3 1072 1072 NUM ejde-145 3 4 - - SYM ejde-145 3 5 6691 6691 NUM ejde-145 3 6 . . PUNCT ejde-145 4 1 url url PROPN ejde-145 4 2 : : PUNCT ejde-145 4 3 http://ejde.math.txstate.edu http://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-145 4 4 or or CCONJ ejde-145 4 5 http://ejde.math.unt.edu http://ejde.math.unt.edu VERB ejde-145 4 6 double double ADJ ejde-145 4 7 phase phase NOUN ejde-145 4 8 equations equation NOUN ejde-145 4 9 with with ADP ejde-145 4 10 an an DET ejde-145 4 11 indefinite indefinite ADJ ejde-145 4 12 concave concave ADJ ejde-145 4 13 term term NOUN ejde-145 4 14 zhenhai zhenhai PROPN ejde-145 4 15 liu liu PROPN ejde-145 4 16 , , PUNCT ejde-145 4 17 nikolaos nikolaos PROPN ejde-145 4 18 s. s. PROPN ejde-145 4 19 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 4 20 abstract abstract PROPN ejde-145 4 21 . . PUNCT ejde-145 5 1 we we PRON ejde-145 5 2 consider consider VERB ejde-145 5 3 a a DET ejde-145 5 4 dirichlet dirichlet NOUN ejde-145 5 5 problem problem NOUN ejde-145 5 6 having have VERB ejde-145 5 7 a a DET ejde-145 5 8 double double ADJ ejde-145 5 9 phase phase NOUN ejde-145 5 10 differential differential NOUN ejde-145 5 11 operator operator NOUN ejde-145 5 12 with with ADP ejde-145 5 13 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 5 14 growth growth NOUN ejde-145 5 15 and and CCONJ ejde-145 5 16 reaction reaction NOUN ejde-145 5 17 involving involve VERB ejde-145 5 18 the the DET ejde-145 5 19 combined combine VERB ejde-145 5 20 effects effect NOUN ejde-145 5 21 of of ADP ejde-145 5 22 a a DET ejde-145 5 23 concave concave NOUN ejde-145 5 24 ( ( PUNCT ejde-145 5 25 sublinear sublinear NOUN ejde-145 5 26 ) ) PUNCT ejde-145 5 27 and and CCONJ ejde-145 5 28 of of ADP ejde-145 5 29 a a DET ejde-145 5 30 convex convex NOUN ejde-145 5 31 ( ( PUNCT ejde-145 5 32 superlinear superlinear NOUN ejde-145 5 33 ) ) PUNCT ejde-145 5 34 terms term NOUN ejde-145 5 35 . . PUNCT ejde-145 6 1 we we PRON ejde-145 6 2 allow allow VERB ejde-145 6 3 the the DET ejde-145 6 4 coefficient coefficient NOUN ejde-145 6 5 e e PROPN ejde-145 6 6 ∈ ∈ PROPN ejde-145 6 7 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 6 8 ) ) PUNCT ejde-145 6 9 of of ADP ejde-145 6 10 the the DET ejde-145 6 11 concave concave ADJ ejde-145 6 12 term term NOUN ejde-145 6 13 to to PART ejde-145 6 14 be be AUX ejde-145 6 15 sign sign VERB ejde-145 6 16 changing change VERB ejde-145 6 17 . . PUNCT ejde-145 7 1 we we PRON ejde-145 7 2 show show VERB ejde-145 7 3 that that SCONJ ejde-145 7 4 when when SCONJ ejde-145 7 5 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 7 6 is be AUX ejde-145 7 7 small small ADJ ejde-145 7 8 the the DET ejde-145 7 9 problem problem NOUN ejde-145 7 10 has have VERB ejde-145 7 11 at at ADV ejde-145 7 12 least least ADV ejde-145 7 13 two two NUM ejde-145 7 14 bounded bounded ADJ ejde-145 7 15 positive positive ADJ ejde-145 7 16 solutions solution NOUN ejde-145 7 17 . . PUNCT ejde-145 8 1 1 1 X ejde-145 8 2 . . X ejde-145 8 3 introduction introduction NOUN ejde-145 8 4 let let VERB ejde-145 8 5 ω ω PROPN ejde-145 8 6 ⊆ ⊆ NUM ejde-145 8 7 rn rn AUX ejde-145 8 8 be be AUX ejde-145 8 9 a a DET ejde-145 8 10 bounded bounded ADJ ejde-145 8 11 domain domain NOUN ejde-145 8 12 with with ADP ejde-145 8 13 a a DET ejde-145 8 14 lipschitz lipschitz ADJ ejde-145 8 15 boundary boundary ADJ ejde-145 8 16 ∂ω ∂ω PROPN ejde-145 8 17 . . PUNCT ejde-145 9 1 in in ADP ejde-145 9 2 this this DET ejde-145 9 3 paper paper NOUN ejde-145 9 4 we we PRON ejde-145 9 5 study study VERB ejde-145 9 6 the the DET ejde-145 9 7 double double ADJ ejde-145 9 8 phase phase NOUN ejde-145 9 9 problem problem NOUN ejde-145 9 10 −∆a −∆a X ejde-145 9 11 pu(z)−∆qu(z pu(z)−∆qu(z NOUN ejde-145 9 12 ) ) PUNCT ejde-145 9 13 = = SYM ejde-145 9 14 e(z)u(z)τ−1 e(z)u(z)τ−1 PROPN ejde-145 9 15 + + NUM ejde-145 9 16 f(z f(z PROPN ejde-145 9 17 , , PUNCT ejde-145 9 18 u(z u(z NOUN ejde-145 9 19 ) ) PUNCT ejde-145 9 20 ) ) PUNCT ejde-145 9 21 in in ADP ejde-145 9 22 ω ω NUM ejde-145 9 23 , , PUNCT ejde-145 9 24 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-145 9 25 = = SYM ejde-145 9 26 0 0 NUM ejde-145 9 27 , , PUNCT ejde-145 9 28 1 1 NUM ejde-145 9 29 < < X ejde-145 9 30 τ τ X ejde-145 9 31 < < X ejde-145 9 32 q q X ejde-145 9 33 < < X ejde-145 9 34 p p X ejde-145 9 35 < < X ejde-145 9 36 n n CCONJ ejde-145 9 37 , , PUNCT ejde-145 9 38 ] ] X ejde-145 9 39 ; ; PUNCT ejde-145 9 40 u u NOUN ejde-145 9 41 ≥ ≥ NOUN ejde-145 9 42 0 0 NUM ejde-145 9 43 . . PUNCT ejde-145 10 1 ( ( PUNCT ejde-145 10 2 1.1 1.1 NUM ejde-145 10 3 ) ) PUNCT ejde-145 10 4 by by ADP ejde-145 10 5 ∆a ∆a PROPN ejde-145 10 6 p p X ejde-145 10 7 we we PRON ejde-145 10 8 denote denote VERB ejde-145 10 9 the the DET ejde-145 10 10 weighted weighted ADJ ejde-145 10 11 p p ADJ ejde-145 10 12 - - PUNCT ejde-145 10 13 laplace laplace NOUN ejde-145 10 14 differential differential NOUN ejde-145 10 15 operator operator NOUN ejde-145 10 16 with with ADP ejde-145 10 17 weight weight NOUN ejde-145 10 18 a a PRON ejde-145 10 19 ( ( PUNCT ejde-145 10 20 · · PUNCT ejde-145 10 21 ) ) PUNCT ejde-145 10 22 , , PUNCT ejde-145 10 23 defined define VERB ejde-145 10 24 by by ADP ejde-145 10 25 ∆a ∆a PROPN ejde-145 10 26 pu pu PROPN ejde-145 10 27 = = PROPN ejde-145 10 28 div(a(z)|du|p−2du div(a(z)|du|p−2du PROPN ejde-145 10 29 ) ) PUNCT ejde-145 10 30 . . PUNCT ejde-145 11 1 by by ADP ejde-145 11 2 ∆q ∆q PROPN ejde-145 11 3 we we PRON ejde-145 11 4 denote denote VERB ejde-145 11 5 the the DET ejde-145 11 6 standard standard ADJ ejde-145 11 7 q q ADJ ejde-145 11 8 - - PUNCT ejde-145 11 9 laplace laplace NOUN ejde-145 11 10 differential differential NOUN ejde-145 11 11 operator operator NOUN ejde-145 11 12 ∆qu ∆qu X ejde-145 11 13 = = PUNCT ejde-145 11 14 div(|du|q−2du div(|du|q−2du PROPN ejde-145 11 15 ) ) PUNCT ejde-145 11 16 . . PUNCT ejde-145 12 1 problem problem NOUN ejde-145 12 2 ( ( PUNCT ejde-145 12 3 1.1 1.1 NUM ejde-145 12 4 ) ) PUNCT ejde-145 12 5 has have VERB ejde-145 12 6 the the DET ejde-145 12 7 sum sum NOUN ejde-145 12 8 of of ADP ejde-145 12 9 these these DET ejde-145 12 10 two two NUM ejde-145 12 11 operators operator NOUN ejde-145 12 12 . . PUNCT ejde-145 13 1 so so ADV ejde-145 13 2 , , PUNCT ejde-145 13 3 the the DET ejde-145 13 4 differential differential ADJ ejde-145 13 5 operator operator NOUN ejde-145 13 6 in in ADP ejde-145 13 7 ( ( PUNCT ejde-145 13 8 1.1 1.1 NUM ejde-145 13 9 ) ) PUNCT ejde-145 13 10 , , PUNCT ejde-145 13 11 is be AUX ejde-145 13 12 not not PART ejde-145 13 13 homogeneous homogeneous ADJ ejde-145 13 14 . . PUNCT ejde-145 14 1 in in ADP ejde-145 14 2 the the DET ejde-145 14 3 reaction reaction NOUN ejde-145 14 4 tern tern NOUN ejde-145 14 5 ( ( PUNCT ejde-145 14 6 right right ADJ ejde-145 14 7 hand hand NOUN ejde-145 14 8 side side NOUN ejde-145 14 9 ) ) PUNCT ejde-145 14 10 of of ADP ejde-145 14 11 ( ( PUNCT ejde-145 14 12 1.1 1.1 NUM ejde-145 14 13 ) ) PUNCT ejde-145 14 14 , , PUNCT ejde-145 14 15 we we PRON ejde-145 14 16 have have VERB ejde-145 14 17 the the DET ejde-145 14 18 combined combine VERB ejde-145 14 19 effects effect NOUN ejde-145 14 20 of of ADP ejde-145 14 21 two two NUM ejde-145 14 22 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-145 14 23 of of ADP ejde-145 14 24 different different ADJ ejde-145 14 25 nature nature NOUN ejde-145 14 26 . . PUNCT ejde-145 15 1 one one NUM ejde-145 15 2 is be AUX ejde-145 15 3 the the DET ejde-145 15 4 function function NOUN ejde-145 15 5 x x INTJ ejde-145 15 6 → → PUNCT ejde-145 15 7 e(z)xτ−1 e(z)xτ−1 VERB ejde-145 15 8 , , PUNCT ejde-145 15 9 x x X ejde-145 15 10 ≥ ≥ NOUN ejde-145 15 11 0 0 NUM ejde-145 15 12 with with ADP ejde-145 15 13 e e PROPN ejde-145 15 14 ∈ ∈ PROPN ejde-145 15 15 l∞(ω l∞(ω ADJ ejde-145 15 16 ) ) PUNCT ejde-145 15 17 . . PUNCT ejde-145 16 1 since since SCONJ ejde-145 16 2 τ τ X ejde-145 16 3 < < X ejde-145 16 4 q q X ejde-145 16 5 < < X ejde-145 16 6 p p X ejde-145 16 7 , , PUNCT ejde-145 16 8 this this PRON ejde-145 16 9 is be AUX ejde-145 16 10 a a DET ejde-145 16 11 “ " PUNCT ejde-145 16 12 concave concave PROPN ejde-145 16 13 ” " PUNCT ejde-145 16 14 ( ( PUNCT ejde-145 16 15 ( ( PUNCT ejde-145 16 16 q− q− PROPN ejde-145 16 17 1)-sublinear 1)-sublinear NUM ejde-145 16 18 ) ) PUNCT ejde-145 16 19 term term NOUN ejde-145 16 20 , , PUNCT ejde-145 16 21 while while SCONJ ejde-145 16 22 the the DET ejde-145 16 23 perturbation perturbation NOUN ejde-145 16 24 f(z f(z VERB ejde-145 16 25 , , PUNCT ejde-145 16 26 x x X ejde-145 16 27 ) ) PUNCT ejde-145 16 28 is be AUX ejde-145 16 29 a a DET ejde-145 16 30 caratheodory caratheodory ADJ ejde-145 16 31 function function NOUN ejde-145 16 32 ( ( PUNCT ejde-145 16 33 that that PRON ejde-145 16 34 is is ADV ejde-145 16 35 , , PUNCT ejde-145 16 36 for for SCONJ ejde-145 16 37 all all PRON ejde-145 16 38 x x SYM ejde-145 16 39 ∈ ∈ PROPN ejde-145 16 40 r r NOUN ejde-145 16 41 , , PUNCT ejde-145 16 42 z z NOUN ejde-145 16 43 → → SYM ejde-145 16 44 f(z f(z PROPN ejde-145 16 45 , , PUNCT ejde-145 16 46 x x X ejde-145 16 47 ) ) PUNCT ejde-145 16 48 is be AUX ejde-145 16 49 measurable measurable ADJ ejde-145 16 50 and and CCONJ ejde-145 16 51 for for ADP ejde-145 16 52 a.a a.a PROPN ejde-145 16 53 . . PROPN ejde-145 16 54 z z PROPN ejde-145 16 55 ∈ ∈ PROPN ejde-145 16 56 ω ω PROPN ejde-145 16 57 , , PUNCT ejde-145 16 58 x x X ejde-145 16 59 → → SYM ejde-145 16 60 f(z f(z PROPN ejde-145 16 61 , , PUNCT ejde-145 16 62 x x X ejde-145 16 63 ) ) PUNCT ejde-145 16 64 is be AUX ejde-145 16 65 continuous continuous ADJ ejde-145 16 66 ) ) PUNCT ejde-145 16 67 which which PRON ejde-145 16 68 is be AUX ejde-145 16 69 assumed assume VERB ejde-145 16 70 to to PART ejde-145 16 71 be be AUX ejde-145 16 72 ( ( PUNCT ejde-145 16 73 p p NOUN ejde-145 16 74 − − PROPN ejde-145 16 75 1)-superlinear 1)-superlinear NUM ejde-145 16 76 as as ADP ejde-145 16 77 x x X ejde-145 16 78 → → SYM ejde-145 16 79 ∞ ∞ NUM ejde-145 16 80 but but CCONJ ejde-145 16 81 without without ADP ejde-145 16 82 satisfying satisfy VERB ejde-145 16 83 the the DET ejde-145 16 84 ambrosetti ambrosetti NOUN ejde-145 16 85 - - PUNCT ejde-145 16 86 rabinowitz rabinowitz NOUN ejde-145 16 87 condition condition NOUN ejde-145 16 88 ( ( PUNCT ejde-145 16 89 the the DET ejde-145 16 90 ar ar NOUN ejde-145 16 91 - - NOUN ejde-145 16 92 condition condition NOUN ejde-145 16 93 for for ADP ejde-145 16 94 short short ADJ ejde-145 16 95 ) ) PUNCT ejde-145 16 96 . . PUNCT ejde-145 17 1 so so ADV ejde-145 17 2 , , PUNCT ejde-145 17 3 we we PRON ejde-145 17 4 have have VERB ejde-145 17 5 a a DET ejde-145 17 6 “ " PUNCT ejde-145 17 7 concave concave VERB ejde-145 17 8 - - PUNCT ejde-145 17 9 convex convex NOUN ejde-145 17 10 ” " PUNCT ejde-145 17 11 reaction reaction NOUN ejde-145 17 12 , , PUNCT ejde-145 17 13 with with ADP ejde-145 17 14 the the DET ejde-145 17 15 distinguishing distinguish VERB ejde-145 17 16 feature feature NOUN ejde-145 17 17 that that SCONJ ejde-145 17 18 the the DET ejde-145 17 19 coefficient coefficient NOUN ejde-145 17 20 e e PROPN ejde-145 17 21 ∈ ∈ PROPN ejde-145 17 22 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 17 23 ) ) PUNCT ejde-145 17 24 of of ADP ejde-145 17 25 the the DET ejde-145 17 26 concave concave ADJ ejde-145 17 27 term term NOUN ejde-145 17 28 , , PUNCT ejde-145 17 29 is be AUX ejde-145 17 30 in in ADP ejde-145 17 31 general general ADJ ejde-145 17 32 sign sign NOUN ejde-145 17 33 changing change VERB ejde-145 17 34 . . PUNCT ejde-145 18 1 in in ADP ejde-145 18 2 the the DET ejde-145 18 3 standard standard ADJ ejde-145 18 4 concave concave ADJ ejde-145 18 5 - - PUNCT ejde-145 18 6 convex convex NOUN ejde-145 18 7 problem problem NOUN ejde-145 18 8 e e NOUN ejde-145 18 9 ( ( PUNCT ejde-145 18 10 · · PUNCT ejde-145 18 11 ) ) PUNCT ejde-145 18 12 ≡ ≡ PROPN ejde-145 18 13 λ λ PROPN ejde-145 18 14 > > X ejde-145 18 15 0 0 PUNCT ejde-145 19 1 and and CCONJ ejde-145 19 2 we we PRON ejde-145 19 3 can can AUX ejde-145 19 4 prove prove VERB ejde-145 19 5 existence existence NOUN ejde-145 19 6 and and CCONJ ejde-145 19 7 multiplicity multiplicity NOUN ejde-145 19 8 of of ADP ejde-145 19 9 positive positive ADJ ejde-145 19 10 solutions solution NOUN ejde-145 19 11 and and CCONJ ejde-145 19 12 the the DET ejde-145 19 13 result result NOUN ejde-145 19 14 is be AUX ejde-145 19 15 global global ADJ ejde-145 19 16 with with ADP ejde-145 19 17 respect respect NOUN ejde-145 19 18 to to ADP ejde-145 19 19 the the DET ejde-145 19 20 parameter parameter NOUN ejde-145 20 1 λ λ PROPN ejde-145 20 2 > > X ejde-145 20 3 0 0 PUNCT ejde-145 21 1 ( ( PUNCT ejde-145 21 2 a a DET ejde-145 21 3 bifurcation bifurcation NOUN ejde-145 21 4 - - PUNCT ejde-145 21 5 type type NOUN ejde-145 21 6 result result NOUN ejde-145 21 7 ) ) PUNCT ejde-145 21 8 . . PUNCT ejde-145 22 1 we we PRON ejde-145 22 2 refer refer VERB ejde-145 22 3 to to ADP ejde-145 22 4 the the DET ejde-145 22 5 works work NOUN ejde-145 22 6 of of ADP ejde-145 22 7 ambrosetti ambrosetti NOUN ejde-145 22 8 - - PUNCT ejde-145 22 9 brezis brezis NOUN ejde-145 22 10 - - PUNCT ejde-145 22 11 cerami cerami NOUN ejde-145 22 12 2020 2020 NUM ejde-145 22 13 mathematics mathematic NOUN ejde-145 22 14 subject subject ADJ ejde-145 22 15 classification classification NOUN ejde-145 22 16 . . PUNCT ejde-145 23 1 35j75 35j75 NUM ejde-145 23 2 , , PUNCT ejde-145 23 3 35j20 35j20 NUM ejde-145 23 4 , , PUNCT ejde-145 23 5 35j60 35j60 NUM ejde-145 23 6 . . PUNCT ejde-145 24 1 key key ADJ ejde-145 24 2 words word NOUN ejde-145 24 3 and and CCONJ ejde-145 24 4 phrases phrase NOUN ejde-145 24 5 . . PUNCT ejde-145 25 1 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 25 2 growth growth NOUN ejde-145 25 3 ; ; PUNCT ejde-145 25 4 generalized generalize VERB ejde-145 25 5 orlicz orlicz NOUN ejde-145 25 6 spaces space NOUN ejde-145 25 7 ; ; PUNCT ejde-145 25 8 positive positive ADJ ejde-145 25 9 solution solution NOUN ejde-145 25 10 ; ; PUNCT ejde-145 25 11 concave concave VERB ejde-145 25 12 - - PUNCT ejde-145 25 13 convex convex NOUN ejde-145 25 14 problem problem NOUN ejde-145 25 15 ; ; PUNCT ejde-145 25 16 mountain mountain NOUN ejde-145 25 17 pass pass NOUN ejde-145 25 18 theorem theorem VERB ejde-145 25 19 . . PUNCT ejde-145 26 1 © © NOUN ejde-145 26 2 2022 2022 NUM ejde-145 26 3 . . PUNCT ejde-145 27 1 this this DET ejde-145 27 2 work work NOUN ejde-145 27 3 is be AUX ejde-145 27 4 licensed license VERB ejde-145 27 5 under under ADP ejde-145 27 6 a a DET ejde-145 27 7 cc cc NOUN ejde-145 27 8 by by ADP ejde-145 27 9 4.0 4.0 NUM ejde-145 27 10 license license NOUN ejde-145 27 11 . . PUNCT ejde-145 28 1 submitted submit VERB ejde-145 28 2 january january PROPN ejde-145 28 3 12 12 NUM ejde-145 28 4 , , PUNCT ejde-145 28 5 2022 2022 NUM ejde-145 28 6 . . PUNCT ejde-145 29 1 published publish VERB ejde-145 29 2 july july PROPN ejde-145 29 3 28 28 NUM ejde-145 29 4 , , PUNCT ejde-145 29 5 2022 2022 NUM ejde-145 29 6 . . PUNCT ejde-145 30 1 1 1 NUM ejde-145 30 2 2 2 NUM ejde-145 30 3 z. z. PROPN ejde-145 30 4 liu liu PROPN ejde-145 30 5 , , PUNCT ejde-145 30 6 n. n. PROPN ejde-145 30 7 s. s. PROPN ejde-145 30 8 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 30 9 ejde-2022/55 ejde-2022/55 PROPN ejde-145 30 10 [ [ X ejde-145 30 11 1 1 NUM ejde-145 30 12 ] ] PUNCT ejde-145 30 13 and and CCONJ ejde-145 30 14 anello anello X ejde-145 30 15 [ [ X ejde-145 30 16 2 2 X ejde-145 30 17 ] ] PUNCT ejde-145 30 18 ( ( PUNCT ejde-145 30 19 equations equation NOUN ejde-145 30 20 driven drive VERB ejde-145 30 21 by by ADP ejde-145 30 22 the the DET ejde-145 30 23 laplacian laplacian NOUN ejde-145 30 24 ) ) PUNCT ejde-145 30 25 , , PUNCT ejde-145 30 26 garcia garcia PROPN ejde-145 30 27 azoreio azoreio PROPN ejde-145 30 28 - - PUNCT ejde-145 30 29 manfrediperal manfrediperal ADJ ejde-145 30 30 alonso alonso NOUN ejde-145 30 31 [ [ X ejde-145 30 32 4 4 NUM ejde-145 30 33 ] ] PUNCT ejde-145 30 34 ( ( PUNCT ejde-145 30 35 equations equation NOUN ejde-145 30 36 driven drive VERB ejde-145 30 37 by by ADP ejde-145 30 38 the the DET ejde-145 30 39 p p NOUN ejde-145 30 40 - - PUNCT ejde-145 30 41 laplacian laplacian NOUN ejde-145 30 42 ) ) PUNCT ejde-145 30 43 and and CCONJ ejde-145 30 44 liu liu PROPN ejde-145 30 45 - - PUNCT ejde-145 30 46 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 30 47 [ [ X ejde-145 30 48 9 9 NUM ejde-145 30 49 ] ] PUNCT ejde-145 30 50 ( ( PUNCT ejde-145 30 51 anisotropic anisotropic NOUN ejde-145 30 52 ( ( PUNCT ejde-145 30 53 p p NOUN ejde-145 30 54 , , PUNCT ejde-145 30 55 q)-equations q)-equation NOUN ejde-145 30 56 ) ) PUNCT ejde-145 30 57 . . PUNCT ejde-145 31 1 we we PRON ejde-145 31 2 do do AUX ejde-145 31 3 not not PART ejde-145 31 4 assume assume VERB ejde-145 31 5 that that SCONJ ejde-145 31 6 the the DET ejde-145 31 7 weight weight NOUN ejde-145 31 8 function function VERB ejde-145 31 9 a a DET ejde-145 31 10 ∈ ∈ NOUN ejde-145 31 11 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 31 12 ) ) PUNCT ejde-145 31 13 is be AUX ejde-145 31 14 bounded bound VERB ejde-145 31 15 away away ADV ejde-145 31 16 from from ADP ejde-145 31 17 zero zero NUM ejde-145 31 18 , , PUNCT ejde-145 31 19 that that ADV ejde-145 31 20 is is ADV ejde-145 31 21 , , PUNCT ejde-145 31 22 we we PRON ejde-145 31 23 do do AUX ejde-145 31 24 not not PART ejde-145 31 25 require require VERB ejde-145 31 26 that that SCONJ ejde-145 31 27 0 0 PUNCT ejde-145 31 28 < < X ejde-145 31 29 ess ess X ejde-145 31 30 infω infω ADJ ejde-145 31 31 a a PRON ejde-145 31 32 ( ( PUNCT ejde-145 31 33 · · PUNCT ejde-145 31 34 ) ) PUNCT ejde-145 31 35 . . PUNCT ejde-145 32 1 therefore therefore ADV ejde-145 32 2 the the DET ejde-145 32 3 integrand integrand NOUN ejde-145 32 4 in in ADP ejde-145 32 5 the the DET ejde-145 32 6 energy energy NOUN ejde-145 32 7 functional functional ADJ ejde-145 32 8 corresponding corresponding NOUN ejde-145 32 9 to to ADP ejde-145 32 10 the the DET ejde-145 32 11 differential differential ADJ ejde-145 32 12 operator operator NOUN ejde-145 32 13 η(z η(z PROPN ejde-145 32 14 , , PUNCT ejde-145 32 15 t t PROPN ejde-145 32 16 ) ) PUNCT ejde-145 32 17 = = SYM ejde-145 32 18 a(z)tp a(z)tp PROPN ejde-145 32 19 + + X ejde-145 32 20 tq tq ADV ejde-145 32 21 for for ADP ejde-145 32 22 all all DET ejde-145 32 23 z z NOUN ejde-145 32 24 ∈ ∈ PROPN ejde-145 32 25 ω ω PROPN ejde-145 32 26 , , PUNCT ejde-145 32 27 all all PRON ejde-145 32 28 t t PROPN ejde-145 32 29 ≥ ≥ NOUN ejde-145 32 30 0 0 NUM ejde-145 32 31 is be AUX ejde-145 32 32 a a DET ejde-145 32 33 caratheodory caratheodory ADJ ejde-145 32 34 function function NOUN ejde-145 32 35 which which PRON ejde-145 32 36 exhibits exhibit VERB ejde-145 32 37 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 32 38 growth growth NOUN ejde-145 32 39 with with ADP ejde-145 32 40 respect respect NOUN ejde-145 32 41 to to ADP ejde-145 32 42 t t PROPN ejde-145 32 43 ≥ ≥ NOUN ejde-145 32 44 0 0 NUM ejde-145 32 45 , , PUNCT ejde-145 32 46 namely namely ADV ejde-145 32 47 we we PRON ejde-145 32 48 have have VERB ejde-145 32 49 tq tq ADV ejde-145 32 50 ≤ ≤ NUM ejde-145 32 51 η(z η(z PROPN ejde-145 32 52 , , PUNCT ejde-145 32 53 t t PROPN ejde-145 32 54 ) ) PUNCT ejde-145 32 55 ≤ ≤ PUNCT ejde-145 32 56 c0[1 c0[1 ADV ejde-145 33 1 + + CCONJ ejde-145 33 2 tp tp X ejde-145 33 3 ] ] PUNCT ejde-145 33 4 for for ADP ejde-145 33 5 a.a a.a PROPN ejde-145 33 6 . . PROPN ejde-145 33 7 z z PROPN ejde-145 33 8 ∈ ∈ PROPN ejde-145 33 9 ω ω PROPN ejde-145 33 10 , , PUNCT ejde-145 33 11 all all DET ejde-145 33 12 t t PROPN ejde-145 33 13 ≥ ≥ NOUN ejde-145 33 14 0 0 NUM ejde-145 33 15 , , PUNCT ejde-145 33 16 some some DET ejde-145 33 17 c0 c0 NOUN ejde-145 33 18 > > X ejde-145 33 19 0 0 X ejde-145 33 20 . . PUNCT ejde-145 34 1 such such ADJ ejde-145 34 2 functionals functional NOUN ejde-145 34 3 were be AUX ejde-145 34 4 first first ADV ejde-145 34 5 investigated investigate VERB ejde-145 34 6 in in ADP ejde-145 34 7 the the DET ejde-145 34 8 context context NOUN ejde-145 34 9 of of ADP ejde-145 34 10 problems problem NOUN ejde-145 34 11 of of ADP ejde-145 34 12 the the DET ejde-145 34 13 calculus calculus NOUN ejde-145 34 14 of of ADP ejde-145 34 15 variations variation NOUN ejde-145 34 16 and and CCONJ ejde-145 34 17 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 34 18 elasticity elasticity NOUN ejde-145 34 19 theory theory NOUN ejde-145 34 20 by by ADP ejde-145 34 21 marcellini marcellini PROPN ejde-145 34 22 [ [ X ejde-145 34 23 10 10 NUM ejde-145 34 24 ] ] PUNCT ejde-145 34 25 and and CCONJ ejde-145 34 26 zhikov zhikov X ejde-145 35 1 [ [ X ejde-145 35 2 16 16 NUM ejde-145 35 3 ] ] PUNCT ejde-145 35 4 . . PUNCT ejde-145 36 1 for for ADP ejde-145 36 2 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 36 3 elliptic elliptic ADJ ejde-145 36 4 problems problem NOUN ejde-145 36 5 there there PRON ejde-145 36 6 is be VERB ejde-145 36 7 no no DET ejde-145 36 8 global global ADJ ejde-145 36 9 regularity regularity NOUN ejde-145 36 10 theory theory NOUN ejde-145 36 11 ( ( PUNCT ejde-145 36 12 up up ADP ejde-145 36 13 to to ADP ejde-145 36 14 the the DET ejde-145 36 15 boundary boundary NOUN ejde-145 36 16 ) ) PUNCT ejde-145 36 17 , , PUNCT ejde-145 36 18 analogous analogous ADJ ejde-145 36 19 to to ADP ejde-145 36 20 the the DET ejde-145 36 21 one one NOUN ejde-145 36 22 existing exist VERB ejde-145 36 23 for for ADP ejde-145 36 24 balanced balanced ADJ ejde-145 36 25 problems problem NOUN ejde-145 36 26 ( ( PUNCT ejde-145 36 27 see see VERB ejde-145 36 28 , , PUNCT ejde-145 36 29 for for ADP ejde-145 36 30 example example NOUN ejde-145 36 31 , , PUNCT ejde-145 36 32 [ [ X ejde-145 36 33 5 5 NUM ejde-145 36 34 ] ] PUNCT ejde-145 36 35 ) ) PUNCT ejde-145 36 36 . . PUNCT ejde-145 37 1 there there PRON ejde-145 37 2 are be VERB ejde-145 37 3 only only ADV ejde-145 37 4 local local ADJ ejde-145 37 5 regularity regularity NOUN ejde-145 37 6 results result NOUN ejde-145 37 7 , , PUNCT ejde-145 37 8 see see VERB ejde-145 37 9 baroni baroni PROPN ejde-145 37 10 - - PUNCT ejde-145 37 11 colombo colombo NOUN ejde-145 37 12 - - PUNCT ejde-145 37 13 mingione mingione NOUN ejde-145 38 1 [ [ X ejde-145 38 2 3 3 NUM ejde-145 38 3 ] ] PUNCT ejde-145 38 4 , , PUNCT ejde-145 38 5 marcellini marcellini ADJ ejde-145 38 6 [ [ X ejde-145 38 7 11 11 NUM ejde-145 38 8 ] ] PUNCT ejde-145 38 9 and and CCONJ ejde-145 38 10 the the DET ejde-145 38 11 nice nice ADJ ejde-145 38 12 survey survey NOUN ejde-145 38 13 paper paper NOUN ejde-145 38 14 of of ADP ejde-145 38 15 mingione mingione NOUN ejde-145 38 16 - - PUNCT ejde-145 38 17 rădulescu rădulescu PROPN ejde-145 39 1 [ [ X ejde-145 39 2 12 12 NUM ejde-145 39 3 ] ] PUNCT ejde-145 39 4 . . PUNCT ejde-145 40 1 the the DET ejde-145 40 2 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 40 3 growth growth NOUN ejde-145 40 4 of of ADP ejde-145 40 5 η(z η(z PROPN ejde-145 40 6 , , PUNCT ejde-145 40 7 · · PUNCT ejde-145 40 8 ) ) PUNCT ejde-145 40 9 leads lead VERB ejde-145 40 10 to to ADP ejde-145 40 11 a a DET ejde-145 40 12 functional functional ADJ ejde-145 40 13 framework framework NOUN ejde-145 40 14 for for ADP ejde-145 40 15 double double ADJ ejde-145 40 16 phase phase NOUN ejde-145 40 17 problems problem NOUN ejde-145 40 18 which which PRON ejde-145 40 19 is be AUX ejde-145 40 20 based base VERB ejde-145 40 21 on on ADP ejde-145 40 22 generalized generalized ADJ ejde-145 40 23 orlicz orlicz ADJ ejde-145 40 24 spaces space NOUN ejde-145 40 25 . . PUNCT ejde-145 41 1 in in ADP ejde-145 41 2 the the DET ejde-145 41 3 next next ADJ ejde-145 41 4 section section NOUN ejde-145 41 5 we we PRON ejde-145 41 6 discuss discuss VERB ejde-145 41 7 this this DET ejde-145 41 8 family family NOUN ejde-145 41 9 of of ADP ejde-145 41 10 spaces space NOUN ejde-145 41 11 . . PUNCT ejde-145 42 1 details detail NOUN ejde-145 42 2 can can AUX ejde-145 42 3 be be AUX ejde-145 42 4 found find VERB ejde-145 42 5 in in ADP ejde-145 42 6 the the DET ejde-145 42 7 book book NOUN ejde-145 42 8 of of ADP ejde-145 42 9 harjulehto harjulehto NOUN ejde-145 42 10 - - NOUN ejde-145 42 11 hästo hästo NOUN ejde-145 43 1 [ [ X ejde-145 43 2 7 7 NUM ejde-145 43 3 ] ] PUNCT ejde-145 43 4 . . PUNCT ejde-145 44 1 using use VERB ejde-145 44 2 variational variational ADJ ejde-145 44 3 tools tool NOUN ejde-145 44 4 in in ADP ejde-145 44 5 the the DET ejde-145 44 6 framework framework NOUN ejde-145 44 7 of of ADP ejde-145 44 8 such such ADJ ejde-145 44 9 spaces space NOUN ejde-145 44 10 , , PUNCT ejde-145 44 11 we we PRON ejde-145 44 12 show show VERB ejde-145 44 13 that that SCONJ ejde-145 44 14 when when SCONJ ejde-145 44 15 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 44 16 is be AUX ejde-145 44 17 small small ADJ ejde-145 44 18 problem problem NOUN ejde-145 44 19 ( ( PUNCT ejde-145 44 20 1.1 1.1 NUM ejde-145 44 21 ) ) PUNCT ejde-145 44 22 has have VERB ejde-145 44 23 at at ADV ejde-145 44 24 least least ADV ejde-145 44 25 two two NUM ejde-145 44 26 bounded bounded ADJ ejde-145 44 27 positive positive ADJ ejde-145 44 28 solutions solution NOUN ejde-145 44 29 . . PUNCT ejde-145 45 1 the the DET ejde-145 45 2 lack lack NOUN ejde-145 45 3 of of ADP ejde-145 45 4 a a DET ejde-145 45 5 global global ADJ ejde-145 45 6 regularity regularity NOUN ejde-145 45 7 theory theory NOUN ejde-145 45 8 for for ADP ejde-145 45 9 double double ADJ ejde-145 45 10 phase phase NOUN ejde-145 45 11 unbalanced unbalanced ADJ ejde-145 45 12 growth growth NOUN ejde-145 45 13 problems problem NOUN ejde-145 45 14 and and CCONJ ejde-145 45 15 the the DET ejde-145 45 16 fact fact NOUN ejde-145 45 17 that that SCONJ ejde-145 45 18 the the DET ejde-145 45 19 coefficient coefficient NOUN ejde-145 45 20 function function NOUN ejde-145 45 21 of of ADP ejde-145 45 22 the the DET ejde-145 45 23 concave concave ADJ ejde-145 45 24 term term NOUN ejde-145 45 25 is be AUX ejde-145 45 26 nodal nodal NOUN ejde-145 45 27 ( ( PUNCT ejde-145 45 28 sign sign NOUN ejde-145 45 29 - - PUNCT ejde-145 45 30 changing change VERB ejde-145 45 31 ) ) PUNCT ejde-145 45 32 , , PUNCT ejde-145 45 33 are be AUX ejde-145 45 34 features feature NOUN ejde-145 45 35 that that PRON ejde-145 45 36 make make VERB ejde-145 45 37 problem problem NOUN ejde-145 45 38 1.1 1.1 NUM ejde-145 45 39 more more ADV ejde-145 45 40 difficult difficult ADJ ejde-145 45 41 to to PART ejde-145 45 42 handle handle VERB ejde-145 45 43 and and CCONJ ejde-145 45 44 also also ADV ejde-145 45 45 more more ADV ejde-145 45 46 interesting interesting ADJ ejde-145 45 47 . . PUNCT ejde-145 46 1 2 2 X ejde-145 46 2 . . X ejde-145 46 3 mathematical mathematical ADJ ejde-145 46 4 background background NOUN ejde-145 46 5 as as SCONJ ejde-145 46 6 we we PRON ejde-145 46 7 already already ADV ejde-145 46 8 mentioned mention VERB ejde-145 46 9 in in ADP ejde-145 46 10 the the DET ejde-145 46 11 introduction introduction NOUN ejde-145 46 12 , , PUNCT ejde-145 46 13 the the DET ejde-145 46 14 functional functional ADJ ejde-145 46 15 framework framework NOUN ejde-145 46 16 for for ADP ejde-145 46 17 the the DET ejde-145 46 18 analysis analysis NOUN ejde-145 46 19 of of ADP ejde-145 46 20 problem problem NOUN ejde-145 46 21 ( ( PUNCT ejde-145 46 22 1.1 1.1 NUM ejde-145 46 23 ) ) PUNCT ejde-145 46 24 is be AUX ejde-145 46 25 provided provide VERB ejde-145 46 26 by by ADP ejde-145 46 27 generalized generalized ADJ ejde-145 46 28 orlicz orlicz ADJ ejde-145 46 29 spaces space NOUN ejde-145 46 30 . . PUNCT ejde-145 47 1 recall recall VERB ejde-145 47 2 that that PRON ejde-145 47 3 by by ADP ejde-145 47 4 c0,1(ω c0,1(ω PROPN ejde-145 47 5 ) ) PUNCT ejde-145 47 6 we we PRON ejde-145 47 7 denote denote VERB ejde-145 47 8 the the DET ejde-145 47 9 space space NOUN ejde-145 47 10 of of ADP ejde-145 47 11 lipschitz lipschitz ADJ ejde-145 47 12 continuous continuous ADJ ejde-145 47 13 functions function NOUN ejde-145 47 14 . . PUNCT ejde-145 48 1 our our PRON ejde-145 48 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 48 3 on on ADP ejde-145 48 4 the the DET ejde-145 48 5 weight weight NOUN ejde-145 48 6 a a PRON ejde-145 48 7 ( ( PUNCT ejde-145 48 8 · · PUNCT ejde-145 48 9 ) ) PUNCT ejde-145 48 10 and and CCONJ ejde-145 48 11 the the DET ejde-145 48 12 exponents exponent NOUN ejde-145 48 13 τ τ PROPN ejde-145 48 14 , , PUNCT ejde-145 48 15 q q INTJ ejde-145 48 16 , , PUNCT ejde-145 48 17 p p NOUN ejde-145 48 18 are be AUX ejde-145 48 19 the the DET ejde-145 48 20 following follow VERB ejde-145 48 21 : : PUNCT ejde-145 48 22 ( ( PUNCT ejde-145 48 23 h0 h0 PROPN ejde-145 48 24 ) ) PUNCT ejde-145 48 25 a a DET ejde-145 48 26 ∈ ∈ PROPN ejde-145 48 27 c0,1(ω c0,1(ω NOUN ejde-145 48 28 ) ) PUNCT ejde-145 48 29 , , PUNCT ejde-145 48 30 a a DET ejde-145 48 31 6≡ 6≡ NUM ejde-145 48 32 0 0 NUM ejde-145 48 33 , , PUNCT ejde-145 48 34 a(z a(z PROPN ejde-145 48 35 ) ) PUNCT ejde-145 48 36 ≥ ≥ NOUN ejde-145 48 37 0 0 NUM ejde-145 48 38 for for ADP ejde-145 48 39 all all DET ejde-145 48 40 z z NOUN ejde-145 48 41 ∈ ∈ PROPN ejde-145 48 42 ω ω PROPN ejde-145 48 43 , , PUNCT ejde-145 48 44 1 1 NUM ejde-145 48 45 < < X ejde-145 48 46 τ τ X ejde-145 48 47 < < X ejde-145 48 48 q q X ejde-145 48 49 < < X ejde-145 48 50 p p X ejde-145 48 51 < < X ejde-145 48 52 n n X ejde-145 48 53 , , PUNCT ejde-145 48 54 pq pq INTJ ejde-145 48 55 < < X ejde-145 48 56 1 1 NUM ejde-145 48 57 + + SYM ejde-145 48 58 1 1 NUM ejde-145 48 59 n n NOUN ejde-145 48 60 . . PUNCT ejde-145 49 1 remark remark PROPN ejde-145 49 2 2.1 2.1 NUM ejde-145 49 3 . . PUNCT ejde-145 50 1 the the DET ejde-145 50 2 above above ADJ ejde-145 50 3 inequality inequality NOUN ejde-145 50 4 restricting restrict VERB ejde-145 50 5 the the DET ejde-145 50 6 exponents exponent NOUN ejde-145 50 7 q q PROPN ejde-145 50 8 p p NOUN ejde-145 50 9 is be AUX ejde-145 50 10 common common ADJ ejde-145 50 11 in in ADP ejde-145 50 12 dirichlet dirichlet PROPN ejde-145 50 13 double double ADJ ejde-145 50 14 phase phase NOUN ejde-145 50 15 problems problem NOUN ejde-145 50 16 and and CCONJ ejde-145 50 17 it it PRON ejde-145 50 18 implies imply VERB ejde-145 50 19 that that SCONJ ejde-145 50 20 p p X ejde-145 50 21 < < X ejde-145 50 22 q∗ q∗ NOUN ejde-145 50 23 = = SYM ejde-145 50 24 nq nq PROPN ejde-145 50 25 n−q n−q NOUN ejde-145 50 26 . . PUNCT ejde-145 51 1 this this PRON ejde-145 51 2 leads lead VERB ejde-145 51 3 to to ADP ejde-145 51 4 some some DET ejde-145 51 5 useful useful ADJ ejde-145 51 6 compact compact ADJ ejde-145 51 7 embeddings embedding NOUN ejde-145 51 8 of of ADP ejde-145 51 9 spaces space NOUN ejde-145 51 10 . . PUNCT ejde-145 52 1 moreover moreover ADV ejde-145 52 2 , , PUNCT ejde-145 52 3 since since SCONJ ejde-145 52 4 a a DET ejde-145 52 5 ∈ ∈ PROPN ejde-145 52 6 c0,1(ω c0,1(ω NOUN ejde-145 52 7 ) ) PUNCT ejde-145 52 8 , , PUNCT ejde-145 52 9 we we PRON ejde-145 52 10 know know VERB ejde-145 52 11 that that SCONJ ejde-145 52 12 the the DET ejde-145 52 13 poincare poincare PROPN ejde-145 52 14 inequality inequality NOUN ejde-145 52 15 is be AUX ejde-145 52 16 valid valid ADJ ejde-145 52 17 on on ADP ejde-145 52 18 the the DET ejde-145 52 19 relevant relevant ADJ ejde-145 52 20 orlicz orlicz ADJ ejde-145 52 21 - - PUNCT ejde-145 52 22 sobolev sobolev NOUN ejde-145 52 23 space space NOUN ejde-145 52 24 ( ( PUNCT ejde-145 52 25 see see VERB ejde-145 52 26 [ [ X ejde-145 52 27 7 7 NUM ejde-145 52 28 , , PUNCT ejde-145 52 29 p.138 p.138 ADJ ejde-145 52 30 ] ] PUNCT ejde-145 52 31 ) ) PUNCT ejde-145 52 32 . . PUNCT ejde-145 53 1 let let VERB ejde-145 53 2 m(ω m(ω NOUN ejde-145 53 3 ) ) PUNCT ejde-145 53 4 be be AUX ejde-145 53 5 the the DET ejde-145 53 6 linear linear ADJ ejde-145 53 7 space space NOUN ejde-145 53 8 of of ADP ejde-145 53 9 all all DET ejde-145 53 10 measurable measurable ADJ ejde-145 53 11 functions function NOUN ejde-145 53 12 u u NOUN ejde-145 53 13 : : PUNCT ejde-145 53 14 ω ω PROPN ejde-145 53 15 → → SYM ejde-145 53 16 r. r. PROPN ejde-145 53 17 as as ADP ejde-145 53 18 usual usual ADJ ejde-145 53 19 we we PRON ejde-145 53 20 identify identify VERB ejde-145 53 21 two two NUM ejde-145 53 22 such such ADJ ejde-145 53 23 functions function NOUN ejde-145 53 24 which which PRON ejde-145 53 25 differ differ VERB ejde-145 53 26 only only ADV ejde-145 53 27 on on ADP ejde-145 53 28 a a DET ejde-145 53 29 lebesgue lebesgue NOUN ejde-145 53 30 - - PUNCT ejde-145 53 31 null null NOUN ejde-145 53 32 set set NOUN ejde-145 53 33 . . PUNCT ejde-145 54 1 recall recall VERB ejde-145 54 2 that that SCONJ ejde-145 54 3 η(z η(z PROPN ejde-145 54 4 , , PUNCT ejde-145 54 5 t t PROPN ejde-145 54 6 ) ) PUNCT ejde-145 54 7 = = SYM ejde-145 54 8 a(z)tp a(z)tp PROPN ejde-145 55 1 + + X ejde-145 55 2 tq tq ADV ejde-145 55 3 . . PUNCT ejde-145 56 1 then then ADV ejde-145 56 2 the the DET ejde-145 56 3 orlicz orlicz ADJ ejde-145 56 4 - - PUNCT ejde-145 56 5 lebesghe lebesghe NOUN ejde-145 56 6 space space NOUN ejde-145 56 7 is be AUX ejde-145 56 8 lη(ω lη(ω PUNCT ejde-145 56 9 ) ) PUNCT ejde-145 57 1 = = PRON ejde-145 57 2 { { PUNCT ejde-145 57 3 u u NOUN ejde-145 57 4 ∈m(ω ∈m(ω PROPN ejde-145 57 5 ) ) PUNCT ejde-145 57 6 : : PUNCT ejde-145 57 7 ρη(u ρη(u NOUN ejde-145 57 8 ) ) PUNCT ejde-145 58 1 < < X ejde-145 58 2 ∞ ∞ NUM ejde-145 58 3 } } PUNCT ejde-145 58 4 , , PUNCT ejde-145 58 5 where where SCONJ ejde-145 58 6 ρη ρη X ejde-145 58 7 ( ( PUNCT ejde-145 58 8 · · PUNCT ejde-145 58 9 ) ) PUNCT ejde-145 58 10 is be AUX ejde-145 58 11 the the DET ejde-145 58 12 modular modular ADJ ejde-145 58 13 function function NOUN ejde-145 58 14 ρη(u ρη(u PUNCT ejde-145 58 15 ) ) PUNCT ejde-145 59 1 = = SYM ejde-145 59 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 59 3 ω ω PROPN ejde-145 59 4 η(z η(z PROPN ejde-145 59 5 , , PUNCT ejde-145 59 6 |u|)dz |u|)dz PROPN ejde-145 59 7 . . PUNCT ejde-145 59 8 ejde-2022/55 ejde-2022/55 ADJ ejde-145 59 9 double double ADJ ejde-145 59 10 phase phase NOUN ejde-145 59 11 equations equation NOUN ejde-145 59 12 3 3 NUM ejde-145 59 13 we we PRON ejde-145 59 14 equip equip VERB ejde-145 59 15 lη(ω lη(ω PUNCT ejde-145 59 16 ) ) PUNCT ejde-145 59 17 with with ADP ejde-145 59 18 the the DET ejde-145 59 19 so so ADV ejde-145 59 20 called call VERB ejde-145 59 21 “ " PUNCT ejde-145 59 22 luxemburg luxemburg PROPN ejde-145 59 23 norm norm NOUN ejde-145 59 24 ” " PUNCT ejde-145 59 25 ‖u‖η ‖u‖η PROPN ejde-145 59 26 = = PROPN ejde-145 59 27 inf inf PROPN ejde-145 59 28 [ [ PUNCT ejde-145 59 29 λ λ X ejde-145 59 30 > > X ejde-145 59 31 0 0 NUM ejde-145 59 32 : : PUNCT ejde-145 59 33 ρη ρη PROPN ejde-145 59 34 ( ( PUNCT ejde-145 59 35 u u NOUN ejde-145 59 36 λ λ PROPN ejde-145 59 37 ) ) PUNCT ejde-145 59 38 ≤ ≤ NUM ejde-145 59 39 1 1 NUM ejde-145 59 40 ] ] PUNCT ejde-145 59 41 . . PUNCT ejde-145 60 1 then then ADV ejde-145 60 2 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 60 3 ) ) PUNCT ejde-145 60 4 becomes become VERB ejde-145 60 5 a a DET ejde-145 60 6 banach banach NOUN ejde-145 60 7 space space NOUN ejde-145 60 8 which which PRON ejde-145 60 9 is be AUX ejde-145 60 10 separable separable ADJ ejde-145 60 11 and and CCONJ ejde-145 60 12 reflexive reflexive ADJ ejde-145 60 13 . . PUNCT ejde-145 61 1 in in ADP ejde-145 61 2 fact fact NOUN ejde-145 61 3 the the DET ejde-145 61 4 uniform uniform ADJ ejde-145 61 5 convexity convexity NOUN ejde-145 61 6 of of ADP ejde-145 61 7 η(z η(z PROPN ejde-145 61 8 , , PUNCT ejde-145 61 9 · · PUNCT ejde-145 61 10 ) ) PUNCT ejde-145 61 11 implies imply VERB ejde-145 61 12 the the DET ejde-145 61 13 uniform uniform ADJ ejde-145 61 14 convexity convexity NOUN ejde-145 61 15 of of ADP ejde-145 61 16 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 61 17 ) ) PUNCT ejde-145 61 18 . . PUNCT ejde-145 62 1 moreover moreover ADV ejde-145 62 2 , , PUNCT ejde-145 62 3 lη(ω)∗ lη(ω)∗ PROPN ejde-145 62 4 = = SYM ejde-145 62 5 lη lη PROPN ejde-145 62 6 ∗ ∗ NOUN ejde-145 62 7 ( ( PUNCT ejde-145 62 8 ω ω NOUN ejde-145 62 9 ) ) PUNCT ejde-145 62 10 with with ADP ejde-145 62 11 η∗(z η∗(z PROPN ejde-145 62 12 , , PUNCT ejde-145 62 13 y y NOUN ejde-145 62 14 ) ) PUNCT ejde-145 62 15 being be AUX ejde-145 62 16 the the DET ejde-145 62 17 convex convex NOUN ejde-145 62 18 conjugate conjugate NOUN ejde-145 62 19 of of ADP ejde-145 62 20 η(z η(z PROPN ejde-145 62 21 , , PUNCT ejde-145 62 22 · · PUNCT ejde-145 62 23 ) ) PUNCT ejde-145 62 24 and and CCONJ ejde-145 62 25 we we PRON ejde-145 62 26 have have VERB ejde-145 62 27 the the DET ejde-145 62 28 following follow VERB ejde-145 62 29 version version NOUN ejde-145 62 30 of of ADP ejde-145 62 31 the the DET ejde-145 62 32 hölder hölder NOUN ejde-145 62 33 ’s ’s PART ejde-145 62 34 inequality∫ inequality∫ NUM ejde-145 62 35 ω ω NOUN ejde-145 62 36 |hg|dz |hg|dz NOUN ejde-145 62 37 ≤ ≤ NUM ejde-145 62 38 2‖h‖η‖g‖η∗ 2‖h‖η‖g‖η∗ NUM ejde-145 62 39 for for ADP ejde-145 62 40 all all DET ejde-145 62 41 h h NOUN ejde-145 62 42 ∈ ∈ PROPN ejde-145 62 43 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 62 44 ) ) PUNCT ejde-145 62 45 , , PUNCT ejde-145 62 46 all all PRON ejde-145 62 47 g g PROPN ejde-145 62 48 ∈ ∈ PROPN ejde-145 62 49 lη lη ADP ejde-145 62 50 ∗ ∗ PROPN ejde-145 62 51 ( ( PUNCT ejde-145 62 52 ω ω NOUN ejde-145 62 53 ) ) PUNCT ejde-145 62 54 . . PUNCT ejde-145 63 1 using use VERB ejde-145 63 2 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 63 3 ) ) PUNCT ejde-145 63 4 we we PRON ejde-145 63 5 can can AUX ejde-145 63 6 define define VERB ejde-145 63 7 the the DET ejde-145 63 8 corresponding corresponding ADJ ejde-145 63 9 orlicz orlicz ADJ ejde-145 63 10 - - PUNCT ejde-145 63 11 sobolev sobolev NOUN ejde-145 63 12 space space NOUN ejde-145 63 13 w w PROPN ejde-145 63 14 1,η(ω 1,η(ω NUM ejde-145 63 15 ) ) PUNCT ejde-145 63 16 = = PRON ejde-145 63 17 { { PUNCT ejde-145 63 18 u u NOUN ejde-145 63 19 ∈ ∈ PROPN ejde-145 63 20 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 63 21 ) ) PUNCT ejde-145 63 22 : : PUNCT ejde-145 63 23 |du| |du| PROPN ejde-145 63 24 ∈ ∈ PROPN ejde-145 63 25 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 63 26 ) ) PUNCT ejde-145 63 27 } } PUNCT ejde-145 63 28 with with ADP ejde-145 63 29 du du NOUN ejde-145 63 30 denoting denote VERB ejde-145 63 31 the the DET ejde-145 63 32 weak weak ADJ ejde-145 63 33 gradient gradient NOUN ejde-145 63 34 of of ADP ejde-145 63 35 u. u. NOUN ejde-145 63 36 we we PRON ejde-145 63 37 equip equip VERB ejde-145 63 38 this this DET ejde-145 63 39 space space NOUN ejde-145 63 40 with with ADP ejde-145 63 41 the the DET ejde-145 63 42 norm norm NOUN ejde-145 63 43 ‖u‖1,η ‖u‖1,η PROPN ejde-145 64 1 = = PUNCT ejde-145 64 2 ‖u‖η ‖u‖η PROPN ejde-145 65 1 + + CCONJ ejde-145 66 1 ‖du‖η ‖du‖η ADP ejde-145 66 2 where where SCONJ ejde-145 66 3 ‖du‖η ‖du‖η PROPN ejde-145 66 4 = = SYM ejde-145 66 5 ‖|du|‖η ‖|du|‖η X ejde-145 66 6 . . PUNCT ejde-145 67 1 let let VERB ejde-145 67 2 w w NOUN ejde-145 67 3 1,η 1,η NUM ejde-145 67 4 0 0 SYM ejde-145 67 5 ( ( PUNCT ejde-145 67 6 ω ω NOUN ejde-145 67 7 ) ) PUNCT ejde-145 67 8 = = SYM ejde-145 67 9 c∞0 c∞0 PROPN ejde-145 67 10 ( ( PUNCT ejde-145 67 11 ω ω NUM ejde-145 67 12 ) ) PUNCT ejde-145 67 13 ‖·‖1,η ‖·‖1,η NOUN ejde-145 67 14 . . PUNCT ejde-145 68 1 for for ADP ejde-145 68 2 this this DET ejde-145 68 3 space space NOUN ejde-145 68 4 the the DET ejde-145 68 5 poincaré poincaré ADJ ejde-145 68 6 inequality inequality NOUN ejde-145 68 7 is be AUX ejde-145 68 8 true true ADJ ejde-145 68 9 and and CCONJ ejde-145 68 10 so so ADV ejde-145 68 11 on on ADP ejde-145 68 12 w w PROPN ejde-145 68 13 1,η 1,η NUM ejde-145 68 14 0 0 SYM ejde-145 68 15 ( ( PUNCT ejde-145 68 16 ω ω NOUN ejde-145 68 17 ) ) PUNCT ejde-145 68 18 we we PRON ejde-145 68 19 can can AUX ejde-145 68 20 consider consider VERB ejde-145 68 21 the the DET ejde-145 68 22 equivalent equivalent ADJ ejde-145 68 23 norm norm NOUN ejde-145 69 1 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 69 2 = = PUNCT ejde-145 70 1 ‖du‖η ‖du‖η PROPN ejde-145 70 2 for for ADP ejde-145 70 3 all all DET ejde-145 70 4 u u NOUN ejde-145 70 5 ∈w ∈w NOUN ejde-145 70 6 1,η 1,η NOUN ejde-145 70 7 0 0 NUM ejde-145 70 8 ( ( PUNCT ejde-145 70 9 ω ω NOUN ejde-145 70 10 ) ) PUNCT ejde-145 70 11 . . PUNCT ejde-145 71 1 we we PRON ejde-145 71 2 have have VERB ejde-145 71 3 the the DET ejde-145 71 4 following follow VERB ejde-145 71 5 useful useful ADJ ejde-145 71 6 embeddings embedding NOUN ejde-145 71 7 . . PUNCT ejde-145 72 1 proposition proposition NOUN ejde-145 72 2 2.2 2.2 NUM ejde-145 72 3 . . PUNCT ejde-145 73 1 if if SCONJ ejde-145 73 2 ( ( PUNCT ejde-145 73 3 h0 h0 NOUN ejde-145 73 4 ) ) PUNCT ejde-145 73 5 holds hold VERB ejde-145 73 6 , , PUNCT ejde-145 73 7 then then ADV ejde-145 73 8 ( ( PUNCT ejde-145 73 9 a a NOUN ejde-145 73 10 ) ) PUNCT ejde-145 73 11 lη(ω lη(ω ADJ ejde-145 73 12 ) ) PUNCT ejde-145 73 13 ↪ ↪ PROPN ejde-145 73 14 → → SYM ejde-145 73 15 lr(ω lr(ω NUM ejde-145 73 16 ) ) PUNCT ejde-145 73 17 and and CCONJ ejde-145 73 18 w w NOUN ejde-145 73 19 1,η 1,η NUM ejde-145 73 20 0 0 SYM ejde-145 73 21 ( ( PUNCT ejde-145 73 22 ω ω NOUN ejde-145 73 23 ) ) PUNCT ejde-145 73 24 ↪ ↪ PROPN ejde-145 73 25 →w →w SYM ejde-145 73 26 1,r 1,r NUM ejde-145 73 27 0 0 NUM ejde-145 73 28 ( ( PUNCT ejde-145 73 29 ω ω NOUN ejde-145 73 30 ) ) PUNCT ejde-145 73 31 continuously continuously ADV ejde-145 73 32 for for ADP ejde-145 73 33 all all DET ejde-145 73 34 r r NOUN ejde-145 73 35 ∈ ∈ NOUN ejde-145 74 1 [ [ X ejde-145 74 2 1 1 NUM ejde-145 74 3 , , PUNCT ejde-145 74 4 q q NOUN ejde-145 74 5 ] ] X ejde-145 74 6 ; ; PUNCT ejde-145 74 7 ( ( PUNCT ejde-145 74 8 b b X ejde-145 74 9 ) ) PUNCT ejde-145 74 10 w w NOUN ejde-145 74 11 1,η 1,η NUM ejde-145 74 12 0 0 SYM ejde-145 74 13 ( ( PUNCT ejde-145 74 14 ω ω NOUN ejde-145 74 15 ) ) PUNCT ejde-145 74 16 ↪ ↪ PROPN ejde-145 74 17 → → SYM ejde-145 74 18 lr(ω lr(ω X ejde-145 74 19 ) ) PUNCT ejde-145 74 20 continuously continuously ADV ejde-145 74 21 ( ( PUNCT ejde-145 74 22 resp resp NOUN ejde-145 74 23 . . PUNCT ejde-145 75 1 compactly compactly ADV ejde-145 75 2 ) ) PUNCT ejde-145 76 1 for for ADP ejde-145 76 2 all all DET ejde-145 76 3 r r NOUN ejde-145 76 4 ∈ ∈ PROPN ejde-145 76 5 [ [ X ejde-145 76 6 1 1 NUM ejde-145 76 7 , , PUNCT ejde-145 76 8 q∗ q∗ PROPN ejde-145 76 9 ] ] PUNCT ejde-145 76 10 ( ( PUNCT ejde-145 76 11 resp resp NOUN ejde-145 76 12 . . PUNCT ejde-145 77 1 r r NOUN ejde-145 77 2 ∈ ∈ PROPN ejde-145 78 1 [ [ X ejde-145 78 2 1 1 NUM ejde-145 78 3 , , PUNCT ejde-145 78 4 q∗ q∗ NOUN ejde-145 78 5 ) ) PUNCT ejde-145 78 6 ; ; PUNCT ejde-145 78 7 ( ( PUNCT ejde-145 78 8 c c X ejde-145 78 9 ) ) PUNCT ejde-145 78 10 lp(ω lp(ω X ejde-145 78 11 ) ) PUNCT ejde-145 78 12 ↪ ↪ PROPN ejde-145 78 13 → → SYM ejde-145 78 14 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 78 15 ) ) PUNCT ejde-145 78 16 continuously continuously ADV ejde-145 78 17 . . PUNCT ejde-145 79 1 the the DET ejde-145 79 2 norm norm NOUN ejde-145 79 3 ‖ ‖ PROPN ejde-145 79 4 · · PUNCT ejde-145 79 5 ‖ ‖ PROPN ejde-145 79 6 and and CCONJ ejde-145 79 7 the the DET ejde-145 79 8 modular modular ADJ ejde-145 79 9 function function NOUN ejde-145 79 10 ρη ρη PROPN ejde-145 79 11 ( ( PUNCT ejde-145 79 12 · · PUNCT ejde-145 79 13 ) ) PUNCT ejde-145 79 14 are be AUX ejde-145 79 15 closely closely ADV ejde-145 79 16 related relate VERB ejde-145 79 17 . . PUNCT ejde-145 80 1 proposition proposition NOUN ejde-145 80 2 2.3 2.3 NUM ejde-145 80 3 . . PUNCT ejde-145 81 1 if if SCONJ ejde-145 81 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 81 3 ( ( PUNCT ejde-145 81 4 h0 h0 NOUN ejde-145 81 5 ) ) PUNCT ejde-145 81 6 holds hold VERB ejde-145 81 7 , , PUNCT ejde-145 81 8 then then ADV ejde-145 81 9 ( ( PUNCT ejde-145 81 10 a a X ejde-145 81 11 ) ) PUNCT ejde-145 81 12 for for ADP ejde-145 81 13 u u PROPN ejde-145 81 14 ∈ ∈ PROPN ejde-145 81 15 lη(ω lη(ω NOUN ejde-145 81 16 ) ) PUNCT ejde-145 81 17 \ \ NOUN ejde-145 81 18 { { PUNCT ejde-145 81 19 0 0 NUM ejde-145 81 20 } } PUNCT ejde-145 81 21 we we PRON ejde-145 81 22 have have AUX ejde-145 81 23 ‖u‖η ‖u‖η NOUN ejde-145 82 1 = = PRON ejde-145 82 2 λ⇔ λ⇔ PROPN ejde-145 82 3 ρη(uλ ρη(uλ PROPN ejde-145 82 4 ) ) PUNCT ejde-145 83 1 = = PUNCT ejde-145 83 2 1 1 NUM ejde-145 83 3 ; ; PUNCT ejde-145 83 4 ( ( PUNCT ejde-145 83 5 b b X ejde-145 83 6 ) ) PUNCT ejde-145 83 7 ‖u‖η ‖u‖η NOUN ejde-145 83 8 < < X ejde-145 83 9 1(resp 1(resp NUM ejde-145 83 10 . . PUNCT ejde-145 84 1 = = SYM ejde-145 84 2 1 1 NUM ejde-145 84 3 , , PUNCT ejde-145 84 4 > > X ejde-145 84 5 1)⇔ 1)⇔ NUM ejde-145 84 6 ρη(u ρη(u NOUN ejde-145 84 7 ) ) PUNCT ejde-145 85 1 < < X ejde-145 85 2 1(resp 1(resp X ejde-145 85 3 . . PUNCT ejde-145 86 1 = = SYM ejde-145 86 2 1 1 NUM ejde-145 86 3 , , PUNCT ejde-145 86 4 > > X ejde-145 86 5 1 1 NUM ejde-145 86 6 ) ) PUNCT ejde-145 86 7 ; ; PUNCT ejde-145 86 8 ( ( PUNCT ejde-145 86 9 c c X ejde-145 86 10 ) ) PUNCT ejde-145 86 11 ‖u‖η ‖u‖η NOUN ejde-145 86 12 < < X ejde-145 86 13 1⇒ 1⇒ PROPN ejde-145 86 14 ‖u‖pη ‖u‖pη NOUN ejde-145 86 15 ≤ ≤ NOUN ejde-145 86 16 ρη(u ρη(u PRON ejde-145 86 17 ) ) PUNCT ejde-145 86 18 ≤ ≤ NOUN ejde-145 86 19 ‖u‖qη ‖u‖qη NOUN ejde-145 86 20 ; ; PUNCT ejde-145 86 21 ( ( PUNCT ejde-145 86 22 d d X ejde-145 86 23 ) ) PUNCT ejde-145 86 24 ‖u‖η ‖u‖η PROPN ejde-145 86 25 > > X ejde-145 86 26 1⇒ 1⇒ PROPN ejde-145 86 27 ‖u‖qη ‖u‖qη NOUN ejde-145 86 28 ≤ ≤ NOUN ejde-145 86 29 ρη(u ρη(u NOUN ejde-145 86 30 ) ) PUNCT ejde-145 86 31 ≤ ≤ NUM ejde-145 86 32 ‖u‖pη ‖u‖pη NOUN ejde-145 86 33 ; ; PUNCT ejde-145 86 34 ( ( PUNCT ejde-145 86 35 e e NOUN ejde-145 86 36 ) ) PUNCT ejde-145 86 37 ‖u‖η ‖u‖η PROPN ejde-145 86 38 → → SYM ejde-145 86 39 0(resp 0(resp NUM ejde-145 86 40 . . PUNCT ejde-145 87 1 → → PUNCT ejde-145 87 2 + + ADJ ejde-145 87 3 ∞)⇔ ∞)⇔ PROPN ejde-145 87 4 ρη(u)→ ρη(u)→ PROPN ejde-145 87 5 0(resp 0(resp NOUN ejde-145 87 6 . . PUNCT ejde-145 88 1 → → PUNCT ejde-145 88 2 + + NOUN ejde-145 88 3 ∞ ∞ NUM ejde-145 88 4 ) ) PUNCT ejde-145 88 5 . . PUNCT ejde-145 89 1 we we PRON ejde-145 89 2 consider consider VERB ejde-145 89 3 the the DET ejde-145 89 4 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 89 5 operator operator NOUN ejde-145 89 6 v v X ejde-145 89 7 : : PUNCT ejde-145 89 8 w w PROPN ejde-145 89 9 1,η 1,η NUM ejde-145 89 10 0 0 NUM ejde-145 90 1 ( ( PUNCT ejde-145 90 2 ω)→w ω)→w PROPN ejde-145 90 3 1,η 1,η NUM ejde-145 90 4 0 0 NUM ejde-145 90 5 ( ( PUNCT ejde-145 90 6 ω)∗ ω)∗ ADJ ejde-145 90 7 defined define VERB ejde-145 90 8 by by ADP ejde-145 90 9 〈 〈 PROPN ejde-145 90 10 v v PROPN ejde-145 90 11 ( ( PUNCT ejde-145 90 12 u u NOUN ejde-145 90 13 ) ) PUNCT ejde-145 90 14 , , PUNCT ejde-145 90 15 h h NOUN ejde-145 90 16 〉 〉 NUM ejde-145 90 17 = = SYM ejde-145 91 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 91 2 ω ω PROPN ejde-145 92 1 [ [ X ejde-145 92 2 a(z)|du|p−2 a(z)|du|p−2 ADJ ejde-145 92 3 + + CCONJ ejde-145 92 4 |du|q−2](du |du|q−2](du PROPN ejde-145 92 5 , , PUNCT ejde-145 92 6 dh)rndz dh)rndz NOUN ejde-145 92 7 , , PUNCT ejde-145 92 8 for for ADP ejde-145 92 9 all all DET ejde-145 92 10 u u NOUN ejde-145 92 11 , , PUNCT ejde-145 92 12 h h PROPN ejde-145 92 13 ∈w ∈w VERB ejde-145 92 14 1,η 1,η NOUN ejde-145 92 15 0 0 NUM ejde-145 92 16 ( ( PUNCT ejde-145 92 17 ω ω NOUN ejde-145 92 18 ) ) PUNCT ejde-145 92 19 . . PUNCT ejde-145 93 1 this this DET ejde-145 93 2 operator operator NOUN ejde-145 93 3 has have VERB ejde-145 93 4 the the DET ejde-145 93 5 following follow VERB ejde-145 93 6 properties property NOUN ejde-145 93 7 ( ( PUNCT ejde-145 93 8 see see VERB ejde-145 93 9 liu liu PROPN ejde-145 93 10 - - PUNCT ejde-145 93 11 dai dai PROPN ejde-145 94 1 [ [ X ejde-145 94 2 8 8 NUM ejde-145 94 3 ] ] NUM ejde-145 94 4 ) ) PUNCT ejde-145 94 5 . . PUNCT ejde-145 95 1 proposition proposition NOUN ejde-145 95 2 2.4 2.4 NUM ejde-145 95 3 . . PUNCT ejde-145 96 1 if if SCONJ ejde-145 96 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 96 3 ( ( PUNCT ejde-145 96 4 h0 h0 NOUN ejde-145 96 5 ) ) PUNCT ejde-145 96 6 holds hold VERB ejde-145 96 7 , , PUNCT ejde-145 96 8 then then ADV ejde-145 96 9 v v X ejde-145 96 10 ( ( PUNCT ejde-145 96 11 · · PUNCT ejde-145 96 12 ) ) PUNCT ejde-145 96 13 is be AUX ejde-145 96 14 bounded bound VERB ejde-145 96 15 ( ( PUNCT ejde-145 96 16 that that PRON ejde-145 96 17 is is ADV ejde-145 96 18 , , PUNCT ejde-145 96 19 maps map NOUN ejde-145 96 20 bounded bound VERB ejde-145 96 21 sets set NOUN ejde-145 96 22 to to PART ejde-145 96 23 bounded bound VERB ejde-145 96 24 sets set NOUN ejde-145 96 25 ) ) PUNCT ejde-145 96 26 , , PUNCT ejde-145 96 27 continuous continuous ADJ ejde-145 96 28 , , PUNCT ejde-145 96 29 strictly strictly ADV ejde-145 96 30 monotone monotone ADJ ejde-145 96 31 ( ( PUNCT ejde-145 96 32 thus thus ADV ejde-145 96 33 maximal maximal ADJ ejde-145 96 34 monotone monotone NOUN ejde-145 96 35 too too ADV ejde-145 96 36 ) ) PUNCT ejde-145 96 37 and and CCONJ ejde-145 96 38 of of ADP ejde-145 96 39 type type NOUN ejde-145 96 40 ( ( PUNCT ejde-145 96 41 s)+ s)+ PROPN ejde-145 96 42 , , PUNCT ejde-145 96 43 that that ADV ejde-145 96 44 is is ADV ejde-145 96 45 , , PUNCT ejde-145 96 46 “ " PUNCT ejde-145 96 47 un un PROPN ejde-145 96 48 w−→ w−→ PROPN ejde-145 96 49 u u PROPN ejde-145 96 50 in in ADP ejde-145 96 51 w w PROPN ejde-145 96 52 1,η 1,η NUM ejde-145 96 53 0 0 SYM ejde-145 96 54 ( ( PUNCT ejde-145 96 55 ω ω NOUN ejde-145 96 56 ) ) PUNCT ejde-145 96 57 and and CCONJ ejde-145 96 58 lim lim PROPN ejde-145 96 59 supn→∞〈v supn→∞〈v PROPN ejde-145 96 60 ( ( PUNCT ejde-145 96 61 un un PROPN ejde-145 96 62 ) ) PUNCT ejde-145 96 63 , , PUNCT ejde-145 96 64 un− un− PUNCT ejde-145 96 65 u u NOUN ejde-145 96 66 〉 〉 NOUN ejde-145 96 67 ≤ ≤ NOUN ejde-145 96 68 0 0 NUM ejde-145 96 69 imply imply VERB ejde-145 96 70 that that SCONJ ejde-145 96 71 un un PROPN ejde-145 96 72 → → SYM ejde-145 96 73 u u PROPN ejde-145 96 74 in in ADP ejde-145 96 75 w w PROPN ejde-145 96 76 1,η 1,η NUM ejde-145 96 77 0 0 NUM ejde-145 96 78 ( ( PUNCT ejde-145 96 79 ω).′′ ω).′′ X ejde-145 96 80 4 4 NUM ejde-145 96 81 z. z. PROPN ejde-145 96 82 liu liu PROPN ejde-145 96 83 , , PUNCT ejde-145 96 84 n. n. PROPN ejde-145 96 85 s. s. PROPN ejde-145 96 86 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 96 87 ejde-2022/55 ejde-2022/55 PROPN ejde-145 96 88 if if SCONJ ejde-145 96 89 u u NOUN ejde-145 96 90 ∈m(ω ∈m(ω PROPN ejde-145 96 91 ) ) PUNCT ejde-145 96 92 , , PUNCT ejde-145 96 93 then then ADV ejde-145 96 94 u± u± PROPN ejde-145 96 95 = = SYM ejde-145 96 96 max{±u(z max{±u(z PROPN ejde-145 96 97 ) ) PUNCT ejde-145 96 98 , , PUNCT ejde-145 96 99 0 0 NUM ejde-145 96 100 } } PUNCT ejde-145 96 101 , , PUNCT ejde-145 96 102 for for ADP ejde-145 96 103 all all DET ejde-145 96 104 z z NOUN ejde-145 96 105 ∈ ∈ NOUN ejde-145 96 106 ω ω NOUN ejde-145 96 107 and and CCONJ ejde-145 96 108 we we PRON ejde-145 96 109 have have VERB ejde-145 96 110 u u NOUN ejde-145 96 111 = = NOUN ejde-145 96 112 u+−u− u+−u− NOUN ejde-145 96 113 , , PUNCT ejde-145 96 114 |u| |u| PROPN ejde-145 96 115 = = PUNCT ejde-145 96 116 u+ u+ NOUN ejde-145 96 117 + + NUM ejde-145 96 118 u− u− NOUN ejde-145 96 119 and and CCONJ ejde-145 96 120 if if SCONJ ejde-145 96 121 u u PRON ejde-145 96 122 ∈w ∈w VERB ejde-145 96 123 1,η 1,η NOUN ejde-145 96 124 0 0 NUM ejde-145 96 125 ( ( PUNCT ejde-145 96 126 ω ω NOUN ejde-145 96 127 ) ) PUNCT ejde-145 96 128 , , PUNCT ejde-145 96 129 then then ADV ejde-145 96 130 u± u± PROPN ejde-145 96 131 ∈w ∈w VERB ejde-145 96 132 1,η 1,η NUM ejde-145 96 133 0 0 NUM ejde-145 96 134 ( ( PUNCT ejde-145 96 135 ω ω NOUN ejde-145 96 136 ) ) PUNCT ejde-145 96 137 . . PUNCT ejde-145 97 1 if if SCONJ ejde-145 97 2 x x PRON ejde-145 97 3 is be AUX ejde-145 97 4 a a DET ejde-145 97 5 banach banach NOUN ejde-145 97 6 space space NOUN ejde-145 97 7 and and CCONJ ejde-145 97 8 ϕ ϕ NOUN ejde-145 97 9 ∈ ∈ PROPN ejde-145 97 10 c1(x c1(x NOUN ejde-145 97 11 ) ) PUNCT ejde-145 97 12 , , PUNCT ejde-145 97 13 then then ADV ejde-145 97 14 kϕ kϕ INTJ ejde-145 97 15 = = SYM ejde-145 97 16 { { PUNCT ejde-145 97 17 u u NOUN ejde-145 97 18 ∈ ∈ PROPN ejde-145 97 19 x x X ejde-145 97 20 : : PUNCT ejde-145 97 21 ϕ′(u ϕ′(u PRON ejde-145 97 22 ) ) PUNCT ejde-145 97 23 = = SYM ejde-145 97 24 0 0 X ejde-145 97 25 } } PUNCT ejde-145 97 26 ( ( PUNCT ejde-145 97 27 the the DET ejde-145 97 28 critical critical ADJ ejde-145 97 29 set set NOUN ejde-145 97 30 of of ADP ejde-145 97 31 ϕ ϕ NOUN ejde-145 97 32 ) ) PUNCT ejde-145 97 33 . . PUNCT ejde-145 98 1 also also ADV ejde-145 98 2 , , PUNCT ejde-145 98 3 we we PRON ejde-145 98 4 say say VERB ejde-145 98 5 that that SCONJ ejde-145 98 6 ϕ ϕ NOUN ejde-145 98 7 ( ( PUNCT ejde-145 98 8 · · PUNCT ejde-145 98 9 ) ) PUNCT ejde-145 98 10 satisfies satisfy VERB ejde-145 98 11 the the DET ejde-145 98 12 c c NOUN ejde-145 98 13 - - PUNCT ejde-145 98 14 condition condition NOUN ejde-145 98 15 , , PUNCT ejde-145 98 16 if if SCONJ ejde-145 98 17 the the DET ejde-145 98 18 following follow VERB ejde-145 98 19 property property NOUN ejde-145 98 20 hold hold NOUN ejde-145 98 21 : : PUNCT ejde-145 98 22 every every DET ejde-145 98 23 sequence sequence NOUN ejde-145 98 24 { { PUNCT ejde-145 98 25 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-145 98 26 ⊆ ⊆ NUM ejde-145 98 27 x x SYM ejde-145 98 28 such such ADJ ejde-145 98 29 that that SCONJ ejde-145 98 30 { { PUNCT ejde-145 98 31 ϕ(un)}n∈n ϕ(un)}n∈n NOUN ejde-145 98 32 ⊆ ⊆ NUM ejde-145 98 33 r r NOUN ejde-145 98 34 is be AUX ejde-145 98 35 bounded bound VERB ejde-145 98 36 and and CCONJ ejde-145 98 37 ( ( PUNCT ejde-145 98 38 1 1 NUM ejde-145 98 39 + + SYM ejde-145 98 40 ‖un‖x)ϕ′(un ‖un‖x)ϕ′(un PROPN ejde-145 98 41 ) ) PUNCT ejde-145 98 42 → → SYM ejde-145 98 43 0 0 NUM ejde-145 98 44 in in ADP ejde-145 98 45 x∗ x∗ PROPN ejde-145 98 46 as as ADP ejde-145 98 47 n n PROPN ejde-145 98 48 → → SYM ejde-145 98 49 + + NOUN ejde-145 98 50 ∞ ∞ PROPN ejde-145 98 51 admits admit VERB ejde-145 98 52 a a DET ejde-145 98 53 strongly strongly ADV ejde-145 98 54 convergent convergent ADJ ejde-145 98 55 subsequence subsequence NOUN ejde-145 98 56 . . PUNCT ejde-145 99 1 this this PRON ejde-145 99 2 is be AUX ejde-145 99 3 a a DET ejde-145 99 4 compactness compactness NOUN ejde-145 99 5 - - PUNCT ejde-145 99 6 type type NOUN ejde-145 99 7 condition condition NOUN ejde-145 99 8 on on ADP ejde-145 99 9 the the DET ejde-145 99 10 functional functional ADJ ejde-145 99 11 ϕ ϕ NOUN ejde-145 99 12 ( ( PUNCT ejde-145 99 13 · · PUNCT ejde-145 99 14 ) ) PUNCT ejde-145 99 15 which which PRON ejde-145 99 16 compensates compensate VERB ejde-145 99 17 for for ADP ejde-145 99 18 the the DET ejde-145 99 19 fact fact NOUN ejde-145 99 20 the the DET ejde-145 99 21 ambient ambient ADJ ejde-145 99 22 space space NOUN ejde-145 99 23 need need AUX ejde-145 99 24 not not PART ejde-145 99 25 be be AUX ejde-145 99 26 locally locally ADV ejde-145 99 27 compact compact ADJ ejde-145 99 28 ( ( PUNCT ejde-145 99 29 being be AUX ejde-145 99 30 in in ADP ejde-145 99 31 general general ADJ ejde-145 99 32 infinite infinite ADJ ejde-145 99 33 dimensional dimensional ADJ ejde-145 99 34 ) ) PUNCT ejde-145 99 35 . . PUNCT ejde-145 100 1 it it PRON ejde-145 100 2 leads lead VERB ejde-145 100 3 to to ADP ejde-145 100 4 a a DET ejde-145 100 5 deformation deformation NOUN ejde-145 100 6 lemma lemma PROPN ejde-145 100 7 from from ADP ejde-145 100 8 which which PRON ejde-145 100 9 follow follow VERB ejde-145 100 10 the the DET ejde-145 100 11 minimax minimax NOUN ejde-145 100 12 theorems theorem NOUN ejde-145 100 13 for for ADP ejde-145 100 14 the the DET ejde-145 100 15 critical critical ADJ ejde-145 100 16 values value NOUN ejde-145 100 17 of of ADP ejde-145 100 18 ϕ ϕ PROPN ejde-145 100 19 ( ( PUNCT ejde-145 100 20 · · PUNCT ejde-145 100 21 ) ) PUNCT ejde-145 100 22 ( ( PUNCT ejde-145 100 23 see see VERB ejde-145 100 24 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 100 25 - - PUNCT ejde-145 100 26 rădulescu rădulescu NOUN ejde-145 100 27 - - PUNCT ejde-145 100 28 repovš repovš NOUN ejde-145 100 29 [ [ X ejde-145 100 30 4 4 NUM ejde-145 100 31 , , PUNCT ejde-145 100 32 chaper chaper NOUN ejde-145 100 33 5 5 NUM ejde-145 100 34 ] ] PUNCT ejde-145 100 35 ) ) PUNCT ejde-145 100 36 . . PUNCT ejde-145 101 1 by by ADP ejde-145 101 2 λ̂1(q λ̂1(q PROPN ejde-145 101 3 ) ) PUNCT ejde-145 101 4 we we PRON ejde-145 101 5 denote denote VERB ejde-145 101 6 the the DET ejde-145 101 7 principal principal ADJ ejde-145 101 8 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-145 101 9 of of ADP ejde-145 101 10 ( ( PUNCT ejde-145 101 11 −∆q −∆q NOUN ejde-145 101 12 , , PUNCT ejde-145 101 13 w w PROPN ejde-145 101 14 1,q 1,q NUM ejde-145 101 15 0 0 NUM ejde-145 101 16 ( ( PUNCT ejde-145 101 17 ω ω NOUN ejde-145 101 18 ) ) PUNCT ejde-145 101 19 ) ) PUNCT ejde-145 101 20 . . PUNCT ejde-145 102 1 so so ADV ejde-145 102 2 , , PUNCT ejde-145 102 3 we we PRON ejde-145 102 4 consider consider VERB ejde-145 102 5 the the DET ejde-145 102 6 following follow VERB ejde-145 102 7 nonlinear nonlinear PROPN ejde-145 102 8 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-145 102 9 problem problem NOUN ejde-145 102 10 −∆qu(z −∆qu(z NOUN ejde-145 102 11 ) ) PUNCT ejde-145 102 12 = = SYM ejde-145 102 13 λ̂|u(z)|q−2u(z λ̂|u(z)|q−2u(z NOUN ejde-145 102 14 ) ) PUNCT ejde-145 102 15 in in ADP ejde-145 102 16 ω ω NUM ejde-145 102 17 , , PUNCT ejde-145 102 18 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-145 102 19 = = SYM ejde-145 102 20 0 0 X ejde-145 102 21 . . PUNCT ejde-145 103 1 ( ( PUNCT ejde-145 103 2 2.1 2.1 NUM ejde-145 103 3 ) ) PUNCT ejde-145 103 4 we we PRON ejde-145 103 5 say say VERB ejde-145 103 6 λ̂ λ̂ X ejde-145 103 7 is be AUX ejde-145 103 8 an an DET ejde-145 103 9 “ " PUNCT ejde-145 103 10 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-145 103 11 ” " PUNCT ejde-145 103 12 of of ADP ejde-145 103 13 ( ( PUNCT ejde-145 103 14 −∆q −∆q NOUN ejde-145 103 15 , , PUNCT ejde-145 103 16 w w PROPN ejde-145 103 17 1,q 1,q NUM ejde-145 103 18 0 0 NUM ejde-145 103 19 ( ( PUNCT ejde-145 103 20 ω ω NOUN ejde-145 103 21 ) ) PUNCT ejde-145 103 22 ) ) PUNCT ejde-145 104 1 if if SCONJ ejde-145 104 2 problem problem NOUN ejde-145 104 3 ( ( PUNCT ejde-145 104 4 2.1 2.1 NUM ejde-145 104 5 ) ) PUNCT ejde-145 104 6 has have VERB ejde-145 104 7 a a DET ejde-145 104 8 nontrivial nontrivial ADJ ejde-145 104 9 solution solution NOUN ejde-145 104 10 known know VERB ejde-145 104 11 as as ADP ejde-145 104 12 an an DET ejde-145 104 13 “ " PUNCT ejde-145 104 14 eigenfunction eigenfunction NOUN ejde-145 104 15 ” " PUNCT ejde-145 104 16 corresponding correspond VERB ejde-145 104 17 to to ADP ejde-145 104 18 the the DET ejde-145 104 19 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-145 104 20 λ̂. λ̂. ADV ejde-145 104 21 we we PRON ejde-145 104 22 know know VERB ejde-145 104 23 that that SCONJ ejde-145 104 24 there there PRON ejde-145 104 25 is be VERB ejde-145 104 26 a a DET ejde-145 104 27 smallest small ADJ ejde-145 104 28 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-145 104 29 λ̂1(q λ̂1(q NOUN ejde-145 104 30 ) ) PUNCT ejde-145 104 31 > > X ejde-145 104 32 0 0 PUNCT ejde-145 105 1 given give VERB ejde-145 105 2 by by ADP ejde-145 105 3 λ̂1(q λ̂1(q PROPN ejde-145 105 4 ) ) PUNCT ejde-145 106 1 = = SYM ejde-145 106 2 inf inf PROPN ejde-145 107 1 [ [ X ejde-145 107 2 ‖du‖qq ‖du‖qq PROPN ejde-145 107 3 ‖u‖qq ‖u‖qq NOUN ejde-145 107 4 : : PUNCT ejde-145 107 5 u u NOUN ejde-145 107 6 ∈w ∈w VERB ejde-145 107 7 1,q 1,q PROPN ejde-145 107 8 0 0 NUM ejde-145 107 9 ( ( PUNCT ejde-145 107 10 ω ω NOUN ejde-145 107 11 ) ) PUNCT ejde-145 107 12 , , PUNCT ejde-145 107 13 u u NOUN ejde-145 107 14 6= 6= ADP ejde-145 107 15 0 0 NUM ejde-145 107 16 ] ] PUNCT ejde-145 107 17 . . PUNCT ejde-145 108 1 ( ( PUNCT ejde-145 108 2 2.2 2.2 NUM ejde-145 108 3 ) ) PUNCT ejde-145 108 4 the the DET ejde-145 108 5 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-145 108 6 is be AUX ejde-145 108 7 isolated isolate VERB ejde-145 108 8 and and CCONJ ejde-145 108 9 simple simple ADJ ejde-145 108 10 ( ( PUNCT ejde-145 108 11 that that PRON ejde-145 108 12 is is ADV ejde-145 108 13 , , PUNCT ejde-145 108 14 if if SCONJ ejde-145 108 15 u u NOUN ejde-145 108 16 , , PUNCT ejde-145 108 17 v v NUM ejde-145 108 18 are be AUX ejde-145 108 19 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-145 108 20 corresponding correspond VERB ejde-145 108 21 to to ADP ejde-145 108 22 λ̂1(q λ̂1(q PROPN ejde-145 108 23 ) ) PUNCT ejde-145 108 24 > > X ejde-145 108 25 0 0 NUM ejde-145 108 26 , , PUNCT ejde-145 108 27 then then ADV ejde-145 108 28 u u X ejde-145 108 29 = = NOUN ejde-145 108 30 θv θv PROPN ejde-145 108 31 for for ADP ejde-145 108 32 some some DET ejde-145 108 33 θ θ NOUN ejde-145 108 34 ∈ ∈ PROPN ejde-145 108 35 r r NOUN ejde-145 108 36 \ \ PUNCT ejde-145 108 37 { { PUNCT ejde-145 108 38 0 0 NUM ejde-145 108 39 } } PUNCT ejde-145 108 40 ) ) PUNCT ejde-145 108 41 . . PUNCT ejde-145 109 1 the the DET ejde-145 109 2 infimum infimum ADJ ejde-145 109 3 in in ADP ejde-145 109 4 ( ( PUNCT ejde-145 109 5 2.2 2.2 NUM ejde-145 109 6 ) ) PUNCT ejde-145 109 7 is be AUX ejde-145 109 8 realized realize VERB ejde-145 109 9 on on ADP ejde-145 109 10 the the DET ejde-145 109 11 corresponding correspond VERB ejde-145 109 12 one one NUM ejde-145 109 13 - - PUNCT ejde-145 109 14 dimensional dimensional ADJ ejde-145 109 15 eigenspace eigenspace NOUN ejde-145 109 16 the the DET ejde-145 109 17 elements element NOUN ejde-145 109 18 of of ADP ejde-145 109 19 which which PRON ejde-145 109 20 have have VERB ejde-145 109 21 constant constant ADJ ejde-145 109 22 sign sign NOUN ejde-145 109 23 and and CCONJ ejde-145 109 24 belong belong VERB ejde-145 109 25 in in ADP ejde-145 109 26 c1(ω c1(ω NOUN ejde-145 109 27 ) ) PUNCT ejde-145 109 28 . . PUNCT ejde-145 110 1 so so ADV ejde-145 110 2 , , PUNCT ejde-145 110 3 if if SCONJ ejde-145 110 4 û û NUM ejde-145 110 5 is be AUX ejde-145 110 6 an an DET ejde-145 110 7 eigenfunction eigenfunction NOUN ejde-145 110 8 corresponding correspond VERB ejde-145 110 9 to to ADP ejde-145 110 10 λ̂1(q λ̂1(q PROPN ejde-145 110 11 ) ) PUNCT ejde-145 110 12 > > X ejde-145 110 13 0 0 NUM ejde-145 110 14 , , PUNCT ejde-145 110 15 then then ADV ejde-145 110 16 û(z û(z VERB ejde-145 110 17 ) ) PUNCT ejde-145 110 18 > > X ejde-145 110 19 0 0 PUNCT ejde-145 110 20 or or CCONJ ejde-145 110 21 û(z û(z NOUN ejde-145 110 22 ) ) PUNCT ejde-145 110 23 < < X ejde-145 110 24 0 0 NUM ejde-145 110 25 for for ADP ejde-145 110 26 all all DET ejde-145 110 27 z z NOUN ejde-145 110 28 ∈ ∈ PROPN ejde-145 110 29 ω ω X ejde-145 110 30 ( ( PUNCT ejde-145 110 31 by by ADP ejde-145 110 32 the the DET ejde-145 110 33 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 110 34 maximum maximum PROPN ejde-145 110 35 principle principle NOUN ejde-145 110 36 ) ) PUNCT ejde-145 110 37 . . PUNCT ejde-145 111 1 for for ADP ejde-145 111 2 details detail NOUN ejde-145 111 3 we we PRON ejde-145 111 4 refer refer VERB ejde-145 111 5 to to ADP ejde-145 111 6 gasiński gasiński ADJ ejde-145 111 7 - - PUNCT ejde-145 111 8 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 111 9 [ [ X ejde-145 111 10 5 5 NUM ejde-145 111 11 , , PUNCT ejde-145 111 12 chapter chapter NOUN ejde-145 111 13 6 6 NUM ejde-145 111 14 ] ] PUNCT ejde-145 111 15 . . PUNCT ejde-145 112 1 using use VERB ejde-145 112 2 the the DET ejde-145 112 3 aforementioned aforementioned ADJ ejde-145 112 4 properties property NOUN ejde-145 112 5 of of ADP ejde-145 112 6 λ̂1(q λ̂1(q PROPN ejde-145 112 7 ) ) PUNCT ejde-145 112 8 > > X ejde-145 112 9 0 0 PUNCT ejde-145 112 10 and and CCONJ ejde-145 112 11 of of ADP ejde-145 112 12 its its PRON ejde-145 112 13 corresponding corresponding ADJ ejde-145 112 14 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-145 112 15 , , PUNCT ejde-145 112 16 we we PRON ejde-145 112 17 show show VERB ejde-145 112 18 the the DET ejde-145 112 19 following follow VERB ejde-145 112 20 proposition proposition NOUN ejde-145 112 21 ( ( PUNCT ejde-145 112 22 see see VERB ejde-145 112 23 mugnai mugnai ADJ ejde-145 112 24 - - PUNCT ejde-145 112 25 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 112 26 [ [ X ejde-145 112 27 13 13 NUM ejde-145 112 28 , , PUNCT ejde-145 112 29 lemma lemma PROPN ejde-145 112 30 4.11 4.11 NUM ejde-145 112 31 ] ] NOUN ejde-145 112 32 ) ) PUNCT ejde-145 112 33 . . PUNCT ejde-145 113 1 proposition proposition NOUN ejde-145 113 2 2.5 2.5 NUM ejde-145 113 3 . . PUNCT ejde-145 114 1 if if SCONJ ejde-145 114 2 θ θ PROPN ejde-145 114 3 ∈ ∈ PROPN ejde-145 114 4 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 114 5 ) ) PUNCT ejde-145 114 6 , , PUNCT ejde-145 114 7 θ(z θ(z NOUN ejde-145 114 8 ) ) PUNCT ejde-145 114 9 ≤ ≤ PROPN ejde-145 114 10 λ̂1(q λ̂1(q NOUN ejde-145 114 11 ) ) PUNCT ejde-145 114 12 for for ADP ejde-145 114 13 a.a a.a PROPN ejde-145 114 14 . . PROPN ejde-145 114 15 z z PROPN ejde-145 114 16 ∈ ∈ PROPN ejde-145 114 17 ω ω PROPN ejde-145 114 18 and and CCONJ ejde-145 114 19 θ θ PROPN ejde-145 114 20 6≡ 6≡ NUM ejde-145 114 21 λ̂1(q λ̂1(q NOUN ejde-145 114 22 ) ) PUNCT ejde-145 114 23 , , PUNCT ejde-145 114 24 then then ADV ejde-145 114 25 there there PRON ejde-145 114 26 exists exist VERB ejde-145 114 27 c0 c0 PROPN ejde-145 114 28 > > X ejde-145 114 29 0 0 NUM ejde-145 115 1 such such ADJ ejde-145 115 2 that that SCONJ ejde-145 115 3 c0‖du‖qq c0‖du‖qq PROPN ejde-145 115 4 ≤ ≤ PROPN ejde-145 115 5 ‖du‖qq ‖du‖qq PROPN ejde-145 115 6 − − PROPN ejde-145 116 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 116 2 ω ω X ejde-145 116 3 θ(z)|u|qdz θ(z)|u|qdz PROPN ejde-145 116 4 for for ADP ejde-145 116 5 all all DET ejde-145 116 6 u u NOUN ejde-145 116 7 ∈w ∈w VERB ejde-145 116 8 1,q 1,q PROPN ejde-145 116 9 0 0 NUM ejde-145 116 10 ( ( PUNCT ejde-145 116 11 ω ω NOUN ejde-145 116 12 ) ) PUNCT ejde-145 116 13 . . PUNCT ejde-145 117 1 next next ADV ejde-145 117 2 we we PRON ejde-145 117 3 introduce introduce VERB ejde-145 117 4 our our PRON ejde-145 117 5 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 117 6 on on ADP ejde-145 117 7 the the DET ejde-145 117 8 rest rest NOUN ejde-145 117 9 of of ADP ejde-145 117 10 the the DET ejde-145 117 11 data datum NOUN ejde-145 117 12 of of ADP ejde-145 117 13 ( ( PUNCT ejde-145 117 14 1.1 1.1 NUM ejde-145 117 15 ) ) PUNCT ejde-145 117 16 . . PUNCT ejde-145 118 1 ( ( PUNCT ejde-145 118 2 h1 h1 PROPN ejde-145 118 3 ) ) PUNCT ejde-145 118 4 e e NOUN ejde-145 118 5 ∈ ∈ PROPN ejde-145 118 6 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 118 7 ) ) PUNCT ejde-145 118 8 , , PUNCT ejde-145 118 9 e+ e+ VERB ejde-145 118 10 6≡ 6≡ NUM ejde-145 118 11 0 0 NUM ejde-145 118 12 and and CCONJ ejde-145 118 13 there there PRON ejde-145 118 14 exists exist VERB ejde-145 118 15 ũ ũ PROPN ejde-145 118 16 ∈ ∈ PROPN ejde-145 118 17 w w NOUN ejde-145 118 18 1,η 1,η NUM ejde-145 118 19 0 0 SYM ejde-145 118 20 ( ( PUNCT ejde-145 118 21 ω ω NOUN ejde-145 118 22 ) ) PUNCT ejde-145 118 23 with with ADP ejde-145 118 24 ũ(z ũ(z PROPN ejde-145 118 25 ) ) PUNCT ejde-145 118 26 > > X ejde-145 118 27 0 0 NUM ejde-145 118 28 , , PUNCT ejde-145 118 29 for for ADP ejde-145 118 30 a.a a.a PROPN ejde-145 118 31 . . PROPN ejde-145 118 32 z z PROPN ejde-145 118 33 ∈ ∈ PROPN ejde-145 118 34 ω ω PROPN ejde-145 118 35 and and CCONJ ejde-145 118 36 ∫ ∫ PROPN ejde-145 118 37 ω ω PROPN ejde-145 118 38 e(z)ũτdz e(z)ũτdz PROPN ejde-145 118 39 > > X ejde-145 118 40 0 0 X ejde-145 118 41 . . PUNCT ejde-145 118 42 remark remark PROPN ejde-145 118 43 2.6 2.6 NUM ejde-145 118 44 . . PUNCT ejde-145 119 1 if if SCONJ ejde-145 119 2 e e X ejde-145 119 3 ( ( PUNCT ejde-145 119 4 · · PUNCT ejde-145 119 5 ) ) PUNCT ejde-145 119 6 ≡ ≡ PROPN ejde-145 119 7 λ λ PROPN ejde-145 119 8 > > X ejde-145 119 9 0 0 PUNCT ejde-145 120 1 ( ( PUNCT ejde-145 120 2 that that ADV ejde-145 120 3 is is ADV ejde-145 120 4 , , PUNCT ejde-145 120 5 we we PRON ejde-145 120 6 have have VERB ejde-145 120 7 the the DET ejde-145 120 8 standard standard ADJ ejde-145 120 9 concave concave ADJ ejde-145 120 10 - - PUNCT ejde-145 120 11 convex convex NOUN ejde-145 120 12 problem problem NOUN ejde-145 120 13 ) ) PUNCT ejde-145 120 14 , , PUNCT ejde-145 120 15 then then ADV ejde-145 120 16 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 120 17 ( ( PUNCT ejde-145 120 18 h1 h1 NOUN ejde-145 120 19 ) ) PUNCT ejde-145 120 20 is be AUX ejde-145 120 21 satisfied satisfied ADJ ejde-145 120 22 with with ADP ejde-145 120 23 any any DET ejde-145 120 24 u u NOUN ejde-145 120 25 ∈w ∈w NOUN ejde-145 120 26 1,η 1,η NUM ejde-145 120 27 0 0 NUM ejde-145 120 28 ( ( PUNCT ejde-145 120 29 ω ω NOUN ejde-145 120 30 ) ) PUNCT ejde-145 120 31 , , PUNCT ejde-145 120 32 u u NOUN ejde-145 120 33 6≡ 6≡ NUM ejde-145 120 34 0 0 NUM ejde-145 120 35 , , PUNCT ejde-145 120 36 u u NOUN ejde-145 120 37 ≥ ≥ NOUN ejde-145 120 38 0 0 NUM ejde-145 120 39 . . PUNCT ejde-145 121 1 ( ( PUNCT ejde-145 121 2 h2 h2 NOUN ejde-145 121 3 ) ) PUNCT ejde-145 121 4 f f NOUN ejde-145 121 5 : : PUNCT ejde-145 122 1 ω ω NUM ejde-145 122 2 × × NOUN ejde-145 122 3 r r NOUN ejde-145 122 4 → → SYM ejde-145 122 5 r r NOUN ejde-145 122 6 is be AUX ejde-145 122 7 a a DET ejde-145 122 8 carathéodory carathéodory NOUN ejde-145 122 9 function function NOUN ejde-145 122 10 such such ADJ ejde-145 122 11 that that DET ejde-145 122 12 f(z f(z PROPN ejde-145 122 13 , , PUNCT ejde-145 122 14 0 0 NUM ejde-145 122 15 ) ) PUNCT ejde-145 122 16 = = SYM ejde-145 122 17 0 0 NUM ejde-145 122 18 for for ADP ejde-145 122 19 a.a a.a PROPN ejde-145 122 20 . . PROPN ejde-145 122 21 z z PROPN ejde-145 122 22 ∈ ∈ PROPN ejde-145 122 23 ω ω PROPN ejde-145 122 24 and and CCONJ ejde-145 122 25 ( ( PUNCT ejde-145 122 26 i i NOUN ejde-145 122 27 ) ) PUNCT ejde-145 122 28 |f(z |f(z PROPN ejde-145 122 29 , , PUNCT ejde-145 122 30 x)| x)| PROPN ejde-145 122 31 ≤ ≤ PUNCT ejde-145 122 32 â(z)[1 â(z)[1 NOUN ejde-145 123 1 + + CCONJ ejde-145 123 2 xr−1 xr−1 PROPN ejde-145 123 3 ] ] PUNCT ejde-145 123 4 for for ADP ejde-145 123 5 a.a a.a PROPN ejde-145 123 6 . . PROPN ejde-145 123 7 z z PROPN ejde-145 123 8 ∈ ∈ PROPN ejde-145 123 9 ω ω PROPN ejde-145 123 10 , , PUNCT ejde-145 123 11 all all PRON ejde-145 123 12 x x PRON ejde-145 123 13 ≥ ≥ NOUN ejde-145 123 14 0 0 NUM ejde-145 123 15 , , PUNCT ejde-145 123 16 with with ADP ejde-145 123 17 â â PROPN ejde-145 123 18 ∈ ∈ PROPN ejde-145 123 19 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 123 20 ) ) PUNCT ejde-145 123 21 , , PUNCT ejde-145 123 22 p p X ejde-145 123 23 < < X ejde-145 123 24 r r NOUN ejde-145 123 25 < < X ejde-145 123 26 q∗ q∗ NOUN ejde-145 123 27 ; ; PUNCT ejde-145 123 28 ejde-2022/55 ejde-2022/55 NUM ejde-145 123 29 double double ADJ ejde-145 123 30 phase phase NOUN ejde-145 123 31 equations equation NOUN ejde-145 123 32 5 5 NUM ejde-145 123 33 ( ( PUNCT ejde-145 123 34 ii ii NOUN ejde-145 123 35 ) ) PUNCT ejde-145 123 36 if if SCONJ ejde-145 123 37 f f PROPN ejde-145 123 38 ( ( PUNCT ejde-145 123 39 z z NOUN ejde-145 123 40 , , PUNCT ejde-145 123 41 x x NOUN ejde-145 123 42 ) ) PUNCT ejde-145 123 43 = = SYM ejde-145 124 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 124 2 x x SYM ejde-145 124 3 0 0 NUM ejde-145 124 4 f(z f(z PROPN ejde-145 124 5 , , PUNCT ejde-145 124 6 s)ds s)ds PROPN ejde-145 124 7 , , PUNCT ejde-145 124 8 then then ADV ejde-145 124 9 limx→+∞ limx→+∞ ADP ejde-145 125 1 f f X ejde-145 125 2 ( ( PUNCT ejde-145 125 3 z z NOUN ejde-145 125 4 , , PUNCT ejde-145 125 5 x x NOUN ejde-145 125 6 ) ) PUNCT ejde-145 125 7 xp xp NOUN ejde-145 126 1 = = PUNCT ejde-145 127 1 + + NOUN ejde-145 127 2 ∞ ∞ NOUN ejde-145 127 3 uniformly uniformly ADJ ejde-145 127 4 for for ADP ejde-145 127 5 a.a a.a PROPN ejde-145 127 6 . . PROPN ejde-145 127 7 z z PROPN ejde-145 127 8 ∈ ∈ PROPN ejde-145 127 9 ω ω NOUN ejde-145 127 10 and and CCONJ ejde-145 127 11 there there PRON ejde-145 127 12 exists exist VERB ejde-145 127 13 µ µ PRON ejde-145 127 14 ∈ ∈ NOUN ejde-145 127 15 ( ( PUNCT ejde-145 127 16 ( ( PUNCT ejde-145 127 17 r r NOUN ejde-145 127 18 − − PROPN ejde-145 127 19 q)nq q)nq PROPN ejde-145 127 20 , , PUNCT ejde-145 127 21 q q NOUN ejde-145 127 22 ∗ ∗ NOUN ejde-145 127 23 ) ) PUNCT ejde-145 127 24 such such ADJ ejde-145 127 25 that that SCONJ ejde-145 127 26 τ τ PROPN ejde-145 127 27 < < X ejde-145 127 28 µ µ PROPN ejde-145 127 29 and and CCONJ ejde-145 127 30 0 0 NUM ejde-145 127 31 < < X ejde-145 127 32 β0 β0 PROPN ejde-145 127 33 ≤ ≤ PROPN ejde-145 127 34 lim lim PROPN ejde-145 127 35 inf inf PROPN ejde-145 127 36 x→+∞ x→+∞ PROPN ejde-145 127 37 f(z f(z PROPN ejde-145 127 38 , , PUNCT ejde-145 127 39 x)x− x)x− NOUN ejde-145 127 40 pf pf PROPN ejde-145 127 41 ( ( PUNCT ejde-145 127 42 z z PROPN ejde-145 127 43 , , PUNCT ejde-145 127 44 x x X ejde-145 127 45 ) ) PUNCT ejde-145 127 46 xµ xµ X ejde-145 127 47 uniformly uniformly ADV ejde-145 127 48 for for ADP ejde-145 127 49 a.a a.a PROPN ejde-145 127 50 . . PROPN ejde-145 127 51 z z PROPN ejde-145 127 52 ∈ ∈ PROPN ejde-145 127 53 ω ω PROPN ejde-145 127 54 ; ; PUNCT ejde-145 127 55 ( ( PUNCT ejde-145 127 56 iii iii X ejde-145 127 57 ) ) PUNCT ejde-145 127 58 there there PRON ejde-145 127 59 exist exist VERB ejde-145 127 60 δ δ PROPN ejde-145 127 61 > > X ejde-145 127 62 0 0 PUNCT ejde-145 128 1 and and CCONJ ejde-145 128 2 θ θ PROPN ejde-145 128 3 ∈ ∈ PROPN ejde-145 128 4 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 128 5 ) ) PUNCT ejde-145 128 6 such such ADJ ejde-145 128 7 that that SCONJ ejde-145 128 8 θ(z θ(z NOUN ejde-145 128 9 ) ) PUNCT ejde-145 128 10 ≤ ≤ NUM ejde-145 128 11 λ̂1(q λ̂1(q NOUN ejde-145 128 12 ) ) PUNCT ejde-145 128 13 for for ADP ejde-145 128 14 a.a a.a PROPN ejde-145 128 15 . . PROPN ejde-145 128 16 z z PROPN ejde-145 128 17 ∈ ∈ PROPN ejde-145 128 18 ω ω PROPN ejde-145 128 19 , , PUNCT ejde-145 128 20 θ θ PROPN ejde-145 128 21 6≡ 6≡ NUM ejde-145 128 22 λ̂1(q λ̂1(q NOUN ejde-145 128 23 ) ) PUNCT ejde-145 128 24 , , PUNCT ejde-145 128 25 f(z.x f(z.x ADJ ejde-145 128 26 ) ) PUNCT ejde-145 128 27 ≥ ≥ NOUN ejde-145 128 28 0 0 NUM ejde-145 128 29 for for ADP ejde-145 128 30 a.a a.a PROPN ejde-145 128 31 . . PROPN ejde-145 128 32 z z PROPN ejde-145 128 33 ∈ ∈ PROPN ejde-145 128 34 ω ω PROPN ejde-145 128 35 , , PUNCT ejde-145 128 36 all all PRON ejde-145 128 37 0 0 NUM ejde-145 128 38 ≤ ≤ NUM ejde-145 128 39 x x X ejde-145 128 40 ≤ ≤ NUM ejde-145 128 41 δ δ PROPN ejde-145 128 42 , , PUNCT ejde-145 128 43 lim lim PROPN ejde-145 128 44 sup sup PROPN ejde-145 128 45 x→0 x→0 PROPN ejde-145 128 46 + + NUM ejde-145 128 47 qf qf PROPN ejde-145 128 48 ( ( PUNCT ejde-145 128 49 z z PROPN ejde-145 128 50 , , PUNCT ejde-145 128 51 x x NOUN ejde-145 128 52 ) ) PUNCT ejde-145 128 53 xq xq PROPN ejde-145 128 54 ≤ ≤ PROPN ejde-145 128 55 θ(z θ(z NOUN ejde-145 128 56 ) ) PUNCT ejde-145 128 57 uniformly uniformly ADV ejde-145 128 58 for for ADP ejde-145 128 59 a.a a.a PROPN ejde-145 128 60 . . PROPN ejde-145 128 61 z z PROPN ejde-145 128 62 ∈ ∈ PROPN ejde-145 128 63 ω ω PROPN ejde-145 128 64 . . PUNCT ejde-145 129 1 since since SCONJ ejde-145 129 2 we we PRON ejde-145 129 3 look look VERB ejde-145 129 4 for for ADP ejde-145 129 5 positive positive ADJ ejde-145 129 6 solutions solution NOUN ejde-145 129 7 and and CCONJ ejde-145 129 8 the the DET ejde-145 129 9 above above ADJ ejde-145 129 10 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 129 11 concern concern NOUN ejde-145 129 12 the the DET ejde-145 129 13 positive positive ADJ ejde-145 129 14 semiaxis semiaxis NOUN ejde-145 129 15 r+ r+ PUNCT ejde-145 129 16 = = PUNCT ejde-145 130 1 [ [ X ejde-145 130 2 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-145 130 3 ) ) PUNCT ejde-145 130 4 , , PUNCT ejde-145 130 5 without without ADP ejde-145 130 6 any any DET ejde-145 130 7 loss loss NOUN ejde-145 130 8 of of ADP ejde-145 130 9 generality generality NOUN ejde-145 130 10 , , PUNCT ejde-145 130 11 we we PRON ejde-145 130 12 may may AUX ejde-145 130 13 assume assume VERB ejde-145 130 14 that that SCONJ ejde-145 130 15 f(z f(z NOUN ejde-145 130 16 , , PUNCT ejde-145 130 17 x x NOUN ejde-145 130 18 ) ) PUNCT ejde-145 130 19 = = SYM ejde-145 130 20 0 0 NUM ejde-145 130 21 for for ADP ejde-145 130 22 a.a a.a PROPN ejde-145 130 23 . . PROPN ejde-145 130 24 z z PROPN ejde-145 130 25 ∈ ∈ PROPN ejde-145 130 26 ω ω NOUN ejde-145 130 27 and and CCONJ ejde-145 131 1 all all DET ejde-145 131 2 x x SYM ejde-145 131 3 ≤ ≤ ADV ejde-145 131 4 0 0 NUM ejde-145 131 5 . . PUNCT ejde-145 132 1 3 3 X ejde-145 132 2 . . X ejde-145 132 3 positive positive ADJ ejde-145 132 4 solutions solution NOUN ejde-145 132 5 in in ADP ejde-145 132 6 the the DET ejde-145 132 7 section section NOUN ejde-145 132 8 we we PRON ejde-145 132 9 show show VERB ejde-145 132 10 that that SCONJ ejde-145 132 11 when when SCONJ ejde-145 132 12 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 132 13 is be AUX ejde-145 132 14 small small ADJ ejde-145 132 15 , , PUNCT ejde-145 132 16 then then ADV ejde-145 132 17 problem problem NOUN ejde-145 132 18 ( ( PUNCT ejde-145 132 19 1.1 1.1 NUM ejde-145 132 20 ) ) PUNCT ejde-145 132 21 has have VERB ejde-145 132 22 at at ADV ejde-145 132 23 least least ADV ejde-145 132 24 two two NUM ejde-145 132 25 bounded bounded ADJ ejde-145 132 26 positive positive ADJ ejde-145 132 27 solutions solution NOUN ejde-145 132 28 . . PUNCT ejde-145 133 1 let let VERB ejde-145 133 2 ϕ ϕ NOUN ejde-145 133 3 : : PUNCT ejde-145 133 4 w w PROPN ejde-145 133 5 1,η 1,η NUM ejde-145 133 6 0 0 NUM ejde-145 134 1 ( ( PUNCT ejde-145 134 2 ω)→ ω)→ NOUN ejde-145 134 3 r r NOUN ejde-145 134 4 be be AUX ejde-145 134 5 the the DET ejde-145 134 6 energy energy NOUN ejde-145 134 7 functional functional ADJ ejde-145 134 8 for for ADP ejde-145 134 9 problem problem NOUN ejde-145 134 10 ( ( PUNCT ejde-145 134 11 1.1 1.1 NUM ejde-145 134 12 ) ) PUNCT ejde-145 134 13 defined define VERB ejde-145 134 14 by by ADP ejde-145 134 15 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-145 134 16 ) ) PUNCT ejde-145 135 1 = = PUNCT ejde-145 135 2 1 1 NUM ejde-145 135 3 p p NOUN ejde-145 135 4 ρa(du ρa(du PROPN ejde-145 135 5 ) ) PUNCT ejde-145 136 1 + + CCONJ ejde-145 136 2 1 1 NUM ejde-145 136 3 q q NOUN ejde-145 136 4 ‖du‖qq ‖du‖qq NOUN ejde-145 136 5 − − NOUN ejde-145 136 6 1 1 NUM ejde-145 136 7 τ τ PROPN ejde-145 136 8 ∫ ∫ PROPN ejde-145 136 9 ω ω PROPN ejde-145 136 10 e(z)(u+)τdz e(z)(u+)τdz PROPN ejde-145 137 1 − − PROPN ejde-145 137 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 137 3 ω ω PROPN ejde-145 137 4 f(z f(z PROPN ejde-145 137 5 , , PUNCT ejde-145 137 6 u+)dz u+)dz NOUN ejde-145 137 7 , , PUNCT ejde-145 137 8 for for ADP ejde-145 137 9 all all DET ejde-145 137 10 u u NOUN ejde-145 137 11 ∈w ∈w NOUN ejde-145 137 12 1,η 1,η NOUN ejde-145 137 13 0 0 NUM ejde-145 137 14 ( ( PUNCT ejde-145 137 15 ω ω NOUN ejde-145 137 16 ) ) PUNCT ejde-145 137 17 , , PUNCT ejde-145 137 18 with with ADP ejde-145 137 19 ρa(du ρa(du NOUN ejde-145 137 20 ) ) PUNCT ejde-145 137 21 = = SYM ejde-145 137 22 ∫ ∫ PROPN ejde-145 137 23 ω ω PROPN ejde-145 137 24 a(z)|du|pdz a(z)|du|pdz NOUN ejde-145 137 25 . . PUNCT ejde-145 138 1 we we PRON ejde-145 138 2 know know VERB ejde-145 138 3 that that SCONJ ejde-145 138 4 ϕ ϕ PROPN ejde-145 138 5 ∈ ∈ PROPN ejde-145 138 6 c1(w c1(w NUM ejde-145 138 7 1,η 1,η NUM ejde-145 138 8 0 0 SYM ejde-145 138 9 ( ( PUNCT ejde-145 138 10 ω ω NOUN ejde-145 138 11 ) ) PUNCT ejde-145 138 12 ) ) PUNCT ejde-145 138 13 . . PUNCT ejde-145 139 1 proposition proposition NOUN ejde-145 139 2 3.1 3.1 NUM ejde-145 139 3 . . PUNCT ejde-145 140 1 if if SCONJ ejde-145 140 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 140 3 ( ( PUNCT ejde-145 140 4 h0)–(h2 h0)–(h2 NOUN ejde-145 140 5 ) ) PUNCT ejde-145 140 6 hold hold NOUN ejde-145 140 7 , , PUNCT ejde-145 140 8 then then ADV ejde-145 140 9 ϕ ϕ X ejde-145 140 10 ( ( PUNCT ejde-145 140 11 · · PUNCT ejde-145 140 12 ) ) PUNCT ejde-145 140 13 satisfies satisfy VERB ejde-145 140 14 the the DET ejde-145 140 15 c c NOUN ejde-145 140 16 - - NOUN ejde-145 140 17 condition condition NOUN ejde-145 140 18 . . PUNCT ejde-145 141 1 proof proof NOUN ejde-145 141 2 . . PUNCT ejde-145 142 1 we we PRON ejde-145 142 2 consider consider VERB ejde-145 142 3 a a DET ejde-145 142 4 sequence sequence NOUN ejde-145 142 5 { { PUNCT ejde-145 142 6 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-145 142 7 ⊆w ⊆w NOUN ejde-145 142 8 1,η 1,η NUM ejde-145 142 9 0 0 SYM ejde-145 142 10 ( ( PUNCT ejde-145 142 11 ω ω NOUN ejde-145 142 12 ) ) PUNCT ejde-145 142 13 such such ADJ ejde-145 142 14 that that DET ejde-145 142 15 |ϕ(un)| |ϕ(un)| VERB ejde-145 142 16 ≤ ≤ ADJ ejde-145 142 17 c1 c1 NOUN ejde-145 142 18 for for ADP ejde-145 142 19 some some DET ejde-145 142 20 c1 c1 PROPN ejde-145 142 21 > > X ejde-145 142 22 0 0 PROPN ejde-145 142 23 , , PUNCT ejde-145 142 24 and and CCONJ ejde-145 142 25 all all PRON ejde-145 142 26 n n PRON ejde-145 142 27 ∈ ∈ PROPN ejde-145 142 28 n n CCONJ ejde-145 142 29 , , PUNCT ejde-145 142 30 ( ( PUNCT ejde-145 142 31 3.1 3.1 NUM ejde-145 142 32 ) ) PUNCT ejde-145 142 33 ( ( PUNCT ejde-145 142 34 1 1 NUM ejde-145 142 35 + + CCONJ ejde-145 142 36 ‖un‖)ϕ′(un)→ ‖un‖)ϕ′(un)→ NOUN ejde-145 142 37 0 0 PUNCT ejde-145 143 1 in in ADP ejde-145 143 2 w w PROPN ejde-145 143 3 1,η 1,η NUM ejde-145 143 4 0 0 NUM ejde-145 143 5 ( ( PUNCT ejde-145 143 6 ω)∗ ω)∗ ADJ ejde-145 143 7 as as ADP ejde-145 143 8 n→ n→ ADV ejde-145 143 9 + + PROPN ejde-145 143 10 ∞. ∞. PROPN ejde-145 143 11 ( ( PUNCT ejde-145 143 12 3.2 3.2 NUM ejde-145 143 13 ) ) PUNCT ejde-145 143 14 from from ADP ejde-145 143 15 ( ( PUNCT ejde-145 143 16 3.1 3.1 NUM ejde-145 143 17 ) ) PUNCT ejde-145 143 18 we we PRON ejde-145 143 19 have have AUX ejde-145 143 20 ρa(dun ρa(dun NOUN ejde-145 143 21 ) ) PUNCT ejde-145 143 22 + + CCONJ ejde-145 144 1 p p X ejde-145 144 2 q q PROPN ejde-145 144 3 ‖dun‖qq ‖dun‖qq PROPN ejde-145 144 4 − − PROPN ejde-145 145 1 p p NOUN ejde-145 146 1 τ τ PROPN ejde-145 146 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 146 3 ω ω PROPN ejde-145 146 4 e(z)(u+ e(z)(u+ PROPN ejde-145 146 5 n n PROPN ejde-145 146 6 ) ) PUNCT ejde-145 146 7 τdz τdz PROPN ejde-145 147 1 − − PROPN ejde-145 147 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 147 3 ω ω NUM ejde-145 147 4 pf pf X ejde-145 147 5 ( ( PUNCT ejde-145 147 6 z z NOUN ejde-145 147 7 , , PUNCT ejde-145 147 8 u+ u+ NUM ejde-145 147 9 n n CCONJ ejde-145 147 10 ) ) PUNCT ejde-145 147 11 dz dz PROPN ejde-145 147 12 ≤ ≤ PROPN ejde-145 147 13 pc1 pc1 PROPN ejde-145 147 14 ( ( PUNCT ejde-145 147 15 3.3 3.3 NUM ejde-145 147 16 ) ) PUNCT ejde-145 147 17 for for ADP ejde-145 147 18 all all DET ejde-145 147 19 n n PRON ejde-145 147 20 ∈ ∈ PROPN ejde-145 147 21 n. n. NOUN ejde-145 147 22 also also ADV ejde-145 147 23 from from ADP ejde-145 147 24 ( ( PUNCT ejde-145 147 25 3.2 3.2 NUM ejde-145 147 26 ) ) PUNCT ejde-145 147 27 we we PRON ejde-145 147 28 have have VERB ejde-145 147 29 |〈v |〈v ADJ ejde-145 147 30 ( ( PUNCT ejde-145 147 31 un un PROPN ejde-145 147 32 ) ) PUNCT ejde-145 147 33 , , PUNCT ejde-145 147 34 h h NOUN ejde-145 147 35 〉 〉 NOUN ejde-145 147 36 − − PROPN ejde-145 147 37 ∫ ∫ PROPN ejde-145 147 38 ω ω PROPN ejde-145 147 39 e(z)(u+ e(z)(u+ PROPN ejde-145 147 40 n n PART ejde-145 147 41 ) ) PUNCT ejde-145 147 42 τ−1hdz τ−1hdz ADP ejde-145 147 43 − − PROPN ejde-145 147 44 ∫ ∫ PROPN ejde-145 147 45 ω ω PROPN ejde-145 147 46 f(z f(z PROPN ejde-145 147 47 , , PUNCT ejde-145 147 48 u+ u+ NOUN ejde-145 147 49 n n CCONJ ejde-145 147 50 ) ) PUNCT ejde-145 147 51 hdz| hdz| PROPN ejde-145 147 52 ≤ ≤ NUM ejde-145 148 1 εn‖h‖ εn‖h‖ NOUN ejde-145 148 2 1 1 NUM ejde-145 148 3 + + NUM ejde-145 148 4 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-145 148 5 ( ( PUNCT ejde-145 148 6 3.4 3.4 NUM ejde-145 148 7 ) ) PUNCT ejde-145 148 8 for for ADP ejde-145 148 9 all all DET ejde-145 148 10 h h NOUN ejde-145 148 11 ∈w ∈w NOUN ejde-145 148 12 1,η 1,η NOUN ejde-145 148 13 0 0 NUM ejde-145 148 14 ( ( PUNCT ejde-145 148 15 ω ω NOUN ejde-145 148 16 ) ) PUNCT ejde-145 148 17 and and CCONJ ejde-145 148 18 all all PRON ejde-145 148 19 εn εn ADJ ejde-145 148 20 → → SYM ejde-145 148 21 0 0 NUM ejde-145 148 22 + + NOUN ejde-145 148 23 . . PUNCT ejde-145 149 1 in in ADP ejde-145 149 2 ( ( PUNCT ejde-145 149 3 3.4 3.4 NUM ejde-145 149 4 ) ) PUNCT ejde-145 149 5 we we PRON ejde-145 149 6 choose choose VERB ejde-145 149 7 h h PROPN ejde-145 149 8 = = SYM ejde-145 149 9 un un PROPN ejde-145 149 10 ∈w ∈w PROPN ejde-145 149 11 1,η 1,η NUM ejde-145 149 12 0 0 NUM ejde-145 149 13 ( ( PUNCT ejde-145 149 14 ω ω NOUN ejde-145 149 15 ) ) PUNCT ejde-145 149 16 and and CCONJ ejde-145 149 17 obtain obtain VERB ejde-145 149 18 − − PROPN ejde-145 149 19 ρa(dun)− ρa(dun)− PROPN ejde-145 149 20 ‖dun‖qq ‖dun‖qq PROPN ejde-145 149 21 + + CCONJ ejde-145 149 22 ∫ ∫ PROPN ejde-145 149 23 ω ω NOUN ejde-145 149 24 e(z)(u+ e(z)(u+ PROPN ejde-145 149 25 n n PROPN ejde-145 149 26 ) ) PUNCT ejde-145 149 27 τdz τdz PROPN ejde-145 150 1 + + NUM ejde-145 150 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 150 3 ω ω NUM ejde-145 150 4 f(z f(z PROPN ejde-145 150 5 , , PUNCT ejde-145 150 6 u+ u+ NOUN ejde-145 150 7 n n CCONJ ejde-145 150 8 ) ) PUNCT ejde-145 150 9 u+ u+ NOUN ejde-145 150 10 n n PRON ejde-145 150 11 dz dz PROPN ejde-145 150 12 ≤ ≤ NOUN ejde-145 150 13 εn εn VERB ejde-145 150 14 ( ( PUNCT ejde-145 150 15 3.5 3.5 NUM ejde-145 150 16 ) ) PUNCT ejde-145 150 17 for for ADP ejde-145 150 18 all all DET ejde-145 150 19 n n PRON ejde-145 150 20 ∈ ∈ PROPN ejde-145 150 21 n. n. NOUN ejde-145 150 22 when when SCONJ ejde-145 150 23 we we PRON ejde-145 150 24 add add VERB ejde-145 150 25 ( ( PUNCT ejde-145 150 26 3.3 3.3 NUM ejde-145 150 27 ) ) PUNCT ejde-145 150 28 and and CCONJ ejde-145 150 29 ( ( PUNCT ejde-145 150 30 3.5 3.5 NUM ejde-145 150 31 ) ) PUNCT ejde-145 150 32 , , PUNCT ejde-145 150 33 and and CCONJ ejde-145 150 34 recall recall VERB ejde-145 150 35 that that SCONJ ejde-145 150 36 τ τ PROPN ejde-145 150 37 < < X ejde-145 150 38 q q X ejde-145 150 39 < < X ejde-145 150 40 p p X ejde-145 150 41 , , PUNCT ejde-145 150 42 we we PRON ejde-145 150 43 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-145 150 44 ω ω PROPN ejde-145 151 1 [ [ X ejde-145 151 2 f(z f(z NOUN ejde-145 151 3 , , PUNCT ejde-145 151 4 u+ u+ NOUN ejde-145 151 5 n n CCONJ ejde-145 151 6 ) ) PUNCT ejde-145 151 7 u+ u+ NOUN ejde-145 151 8 n n CCONJ ejde-145 151 9 − − PROPN ejde-145 151 10 pf pf PROPN ejde-145 151 11 ( ( PUNCT ejde-145 151 12 z z NOUN ejde-145 151 13 , , PUNCT ejde-145 151 14 u+ u+ NUM ejde-145 151 15 n n NOUN ejde-145 151 16 ) ) PUNCT ejde-145 151 17 ] ] PUNCT ejde-145 151 18 dz dz PROPN ejde-145 151 19 ≤ ≤ X ejde-145 152 1 [ [ PUNCT ejde-145 152 2 p p X ejde-145 152 3 τ τ X ejde-145 152 4 − − PROPN ejde-145 152 5 1]‖e‖∞‖u+ 1]‖e‖∞‖u+ NUM ejde-145 152 6 n n PROPN ejde-145 152 7 ‖ττ ‖ττ PROPN ejde-145 152 8 + + CCONJ ejde-145 152 9 c2 c2 PROPN ejde-145 152 10 ( ( PUNCT ejde-145 152 11 3.6 3.6 NUM ejde-145 152 12 ) ) PUNCT ejde-145 152 13 for for ADP ejde-145 152 14 some some DET ejde-145 152 15 c2 c2 PROPN ejde-145 152 16 > > X ejde-145 152 17 0 0 PUNCT ejde-145 152 18 and and CCONJ ejde-145 152 19 all all DET ejde-145 152 20 n n PRON ejde-145 152 21 ∈ ∈ PROPN ejde-145 152 22 n. n. NOUN ejde-145 152 23 6 6 NUM ejde-145 152 24 z. z. PROPN ejde-145 152 25 liu liu PROPN ejde-145 152 26 , , PUNCT ejde-145 152 27 n. n. PROPN ejde-145 152 28 s. s. PROPN ejde-145 152 29 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 152 30 ejde-2022/55 ejde-2022/55 PROPN ejde-145 152 31 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 152 32 ( ( PUNCT ejde-145 152 33 h2)(i),(ii h2)(i),(ii NOUN ejde-145 152 34 ) ) PUNCT ejde-145 152 35 imply imply VERB ejde-145 152 36 that that SCONJ ejde-145 152 37 we we PRON ejde-145 152 38 can can AUX ejde-145 152 39 find find VERB ejde-145 152 40 β̂0 β̂0 X ejde-145 152 41 ∈ ∈ PROPN ejde-145 152 42 ( ( PUNCT ejde-145 152 43 0 0 NUM ejde-145 152 44 , , PUNCT ejde-145 152 45 β0 β0 NOUN ejde-145 152 46 ) ) PUNCT ejde-145 152 47 and and CCONJ ejde-145 152 48 c3 c3 X ejde-145 152 49 > > X ejde-145 152 50 0 0 NUM ejde-145 152 51 such such ADJ ejde-145 152 52 that that SCONJ ejde-145 152 53 β̂0x β̂0x NOUN ejde-145 152 54 µ µ PRON ejde-145 152 55 − − PROPN ejde-145 152 56 c3 c3 PROPN ejde-145 152 57 ≤ ≤ PROPN ejde-145 152 58 f(z f(z PROPN ejde-145 152 59 , , PUNCT ejde-145 152 60 x)x− x)x− NOUN ejde-145 152 61 pf pf PROPN ejde-145 152 62 ( ( PUNCT ejde-145 152 63 z z PROPN ejde-145 152 64 , , PUNCT ejde-145 152 65 x x NOUN ejde-145 152 66 ) ) PUNCT ejde-145 152 67 for for ADP ejde-145 152 68 a.a a.a PROPN ejde-145 152 69 . . PROPN ejde-145 152 70 z z PROPN ejde-145 152 71 ∈ ∈ PROPN ejde-145 152 72 ω ω PROPN ejde-145 152 73 , , PUNCT ejde-145 152 74 all all PRON ejde-145 152 75 x x PRON ejde-145 152 76 ≥ ≥ NOUN ejde-145 152 77 0 0 NUM ejde-145 152 78 . . PUNCT ejde-145 153 1 ( ( PUNCT ejde-145 153 2 3.7 3.7 NUM ejde-145 153 3 ) ) PUNCT ejde-145 153 4 we we PRON ejde-145 153 5 return return VERB ejde-145 153 6 to to ADP ejde-145 153 7 ( ( PUNCT ejde-145 153 8 3.6 3.6 NUM ejde-145 153 9 ) ) PUNCT ejde-145 153 10 and and CCONJ ejde-145 153 11 use use NOUN ejde-145 153 12 ( ( PUNCT ejde-145 153 13 3.7 3.7 NUM ejde-145 153 14 ) ) PUNCT ejde-145 153 15 to to PART ejde-145 153 16 obtain obtain VERB ejde-145 153 17 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 153 18 n n DET ejde-145 153 19 ‖µµ ‖µµ PROPN ejde-145 153 20 ≤ ≤ NOUN ejde-145 153 21 c4 c4 NOUN ejde-145 153 22 [ [ PUNCT ejde-145 153 23 1 1 NUM ejde-145 153 24 + + NOUN ejde-145 153 25 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 153 26 n n PRON ejde-145 153 27 ‖τµ ‖τµ PROPN ejde-145 153 28 ] ] PUNCT ejde-145 153 29 for for ADP ejde-145 153 30 some some DET ejde-145 153 31 c4 c4 NOUN ejde-145 153 32 > > X ejde-145 153 33 0 0 PUNCT ejde-145 154 1 all all DET ejde-145 154 2 n n PRON ejde-145 154 3 ∈ ∈ PROPN ejde-145 154 4 n n CCONJ ejde-145 154 5 ( ( PUNCT ejde-145 154 6 recall recall VERB ejde-145 154 7 that that SCONJ ejde-145 154 8 τ τ PROPN ejde-145 154 9 < < X ejde-145 154 10 µ µ NUM ejde-145 154 11 ) ) PUNCT ejde-145 154 12 , , PUNCT ejde-145 154 13 ⇒ ⇒ NOUN ejde-145 154 14 { { PUNCT ejde-145 154 15 u+ u+ NOUN ejde-145 154 16 n n CCONJ ejde-145 154 17 } } PUNCT ejde-145 154 18 n∈n n∈n NOUN ejde-145 154 19 ⊆ ⊆ NUM ejde-145 154 20 lµ(ω lµ(ω NOUN ejde-145 154 21 ) ) PUNCT ejde-145 154 22 is be AUX ejde-145 154 23 bounded bound VERB ejde-145 154 24 . . PUNCT ejde-145 155 1 ( ( PUNCT ejde-145 155 2 3.8 3.8 NUM ejde-145 155 3 ) ) PUNCT ejde-145 155 4 from from ADP ejde-145 155 5 hypothesis hypothesis NOUN ejde-145 155 6 ( ( PUNCT ejde-145 155 7 h2)(ii h2)(ii PROPN ejde-145 155 8 ) ) PUNCT ejde-145 155 9 we we PRON ejde-145 155 10 see see VERB ejde-145 155 11 that that SCONJ ejde-145 155 12 we we PRON ejde-145 155 13 can can AUX ejde-145 155 14 always always ADV ejde-145 155 15 assume assume VERB ejde-145 155 16 that that SCONJ ejde-145 155 17 µ µ X ejde-145 155 18 < < X ejde-145 155 19 r r NOUN ejde-145 155 20 < < X ejde-145 155 21 q∗. q∗. NOUN ejde-145 155 22 hence hence ADV ejde-145 155 23 we we PRON ejde-145 155 24 can can AUX ejde-145 155 25 find find VERB ejde-145 155 26 t t X ejde-145 155 27 ∈ ∈ PROPN ejde-145 155 28 ( ( PUNCT ejde-145 155 29 0 0 NUM ejde-145 155 30 , , PUNCT ejde-145 155 31 1 1 NUM ejde-145 155 32 ) ) PUNCT ejde-145 155 33 such such ADJ ejde-145 155 34 that that SCONJ ejde-145 155 35 1 1 NUM ejde-145 155 36 r r NOUN ejde-145 155 37 = = SYM ejde-145 155 38 1− 1− NUM ejde-145 155 39 t t PROPN ejde-145 155 40 µ µ X ejde-145 155 41 + + CCONJ ejde-145 155 42 t t PROPN ejde-145 155 43 q∗ q∗ NOUN ejde-145 155 44 ( ( PUNCT ejde-145 155 45 3.9 3.9 NUM ejde-145 155 46 ) ) PUNCT ejde-145 155 47 invoking invoke VERB ejde-145 155 48 the the DET ejde-145 155 49 interpolation interpolation NOUN ejde-145 155 50 inequality inequality NOUN ejde-145 155 51 ( ( PUNCT ejde-145 155 52 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 155 53 - - PUNCT ejde-145 155 54 winkert winkert NOUN ejde-145 155 55 [ [ X ejde-145 155 56 15 15 NUM ejde-145 155 57 , , PUNCT ejde-145 155 58 p. p. NOUN ejde-145 155 59 116 116 NUM ejde-145 155 60 ] ] PUNCT ejde-145 155 61 ) ) PUNCT ejde-145 155 62 , , PUNCT ejde-145 155 63 we we PRON ejde-145 155 64 have have VERB ejde-145 155 65 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 155 66 n n PRON ejde-145 155 67 ‖r ‖r PROPN ejde-145 155 68 ≤ ≤ NUM ejde-145 155 69 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 155 70 n n PRON ejde-145 155 71 ‖1−tµ ‖1−tµ NOUN ejde-145 155 72 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 155 73 n n CCONJ ejde-145 155 74 ‖tq∗ ‖tq∗ PROPN ejde-145 155 75 for for ADP ejde-145 155 76 all all PRON ejde-145 155 77 n n PRON ejde-145 155 78 ∈ ∈ PROPN ejde-145 155 79 n n CCONJ ejde-145 155 80 , , PUNCT ejde-145 155 81 ⇒ ⇒ VERB ejde-145 155 82 ‖u+ ‖u+ PROPN ejde-145 155 83 n n CCONJ ejde-145 155 84 ‖rr ‖rr PROPN ejde-145 155 85 ≤ ≤ NOUN ejde-145 155 86 c5‖u+ c5‖u+ NOUN ejde-145 155 87 n n PRON ejde-145 155 88 ‖tr ‖tr PROPN ejde-145 155 89 for for ADP ejde-145 155 90 some some DET ejde-145 155 91 c5 c5 PROPN ejde-145 155 92 > > X ejde-145 155 93 0 0 PROPN ejde-145 155 94 , , PUNCT ejde-145 155 95 all all PRON ejde-145 155 96 n n PRON ejde-145 155 97 ∈ ∈ PROPN ejde-145 155 98 n n CCONJ ejde-145 155 99 ( ( PUNCT ejde-145 155 100 3.10 3.10 NUM ejde-145 155 101 ) ) PUNCT ejde-145 155 102 ( ( PUNCT ejde-145 155 103 recall recall VERB ejde-145 155 104 that that PRON ejde-145 155 105 w w PROPN ejde-145 155 106 1,η 1,η NUM ejde-145 155 107 0 0 SYM ejde-145 155 108 ( ( PUNCT ejde-145 155 109 ω ω NOUN ejde-145 155 110 ) ) PUNCT ejde-145 155 111 ↪ ↪ PROPN ejde-145 155 112 → → SYM ejde-145 155 113 lq lq ADJ ejde-145 155 114 ∗ ∗ NOUN ejde-145 155 115 ( ( PUNCT ejde-145 155 116 ω ω NOUN ejde-145 155 117 ) ) PUNCT ejde-145 155 118 continuously continuously ADV ejde-145 155 119 , , PUNCT ejde-145 155 120 see see VERB ejde-145 155 121 proposition proposition NOUN ejde-145 155 122 2.2 2.2 NUM ejde-145 155 123 ) ) PUNCT ejde-145 155 124 . . PUNCT ejde-145 156 1 in in ADP ejde-145 156 2 ( ( PUNCT ejde-145 156 3 3.4 3.4 NUM ejde-145 156 4 ) ) PUNCT ejde-145 156 5 we we PRON ejde-145 156 6 use use VERB ejde-145 156 7 the the DET ejde-145 156 8 test test NOUN ejde-145 156 9 function function NOUN ejde-145 156 10 h h NOUN ejde-145 156 11 = = NOUN ejde-145 156 12 u+ u+ NOUN ejde-145 156 13 n n CCONJ ejde-145 156 14 ∈w ∈w VERB ejde-145 156 15 1,η 1,η NUM ejde-145 156 16 0 0 NUM ejde-145 156 17 ( ( PUNCT ejde-145 156 18 ω ω NOUN ejde-145 156 19 ) ) PUNCT ejde-145 156 20 . . PUNCT ejde-145 157 1 then then ADV ejde-145 157 2 ρa(du+ ρa(du+ PROPN ejde-145 157 3 n n CCONJ ejde-145 157 4 ) ) PUNCT ejde-145 157 5 ≤ ≤ NOUN ejde-145 157 6 εn εn VERB ejde-145 157 7 + + CCONJ ejde-145 157 8 ∫ ∫ PROPN ejde-145 157 9 ω ω NUM ejde-145 157 10 f(z f(z PROPN ejde-145 157 11 , , PUNCT ejde-145 157 12 u+ u+ NOUN ejde-145 157 13 n n CCONJ ejde-145 157 14 ) ) PUNCT ejde-145 157 15 u+ u+ NOUN ejde-145 157 16 n n PRON ejde-145 157 17 dz dz X ejde-145 157 18 + + CCONJ ejde-145 157 19 ‖e‖∞‖u+ ‖e‖∞‖u+ NOUN ejde-145 157 20 n n PROPN ejde-145 157 21 ‖ττ ‖ττ NUM ejde-145 157 22 ( ( PUNCT ejde-145 157 23 3.11 3.11 NUM ejde-145 157 24 ) ) PUNCT ejde-145 157 25 for for ADP ejde-145 157 26 all all DET ejde-145 157 27 n n PRON ejde-145 157 28 ∈ ∈ PROPN ejde-145 157 29 n n CCONJ ejde-145 157 30 , , PUNCT ejde-145 157 31 see see VERB ejde-145 157 32 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 157 33 ( ( PUNCT ejde-145 157 34 h1 h1 PROPN ejde-145 157 35 ) ) PUNCT ejde-145 157 36 . . PUNCT ejde-145 158 1 since since SCONJ ejde-145 158 2 our our PRON ejde-145 158 3 aim aim NOUN ejde-145 158 4 is be AUX ejde-145 158 5 to to PART ejde-145 158 6 show show VERB ejde-145 158 7 that that SCONJ ejde-145 158 8 { { PUNCT ejde-145 158 9 u+ u+ NOUN ejde-145 158 10 n n CCONJ ejde-145 158 11 } } PUNCT ejde-145 158 12 n∈n n∈n NOUN ejde-145 159 1 ⊆ ⊆ NUM ejde-145 159 2 w w NOUN ejde-145 159 3 1,η 1,η NUM ejde-145 159 4 0 0 SYM ejde-145 159 5 ( ( PUNCT ejde-145 159 6 ω ω NOUN ejde-145 159 7 ) ) PUNCT ejde-145 159 8 is be AUX ejde-145 159 9 bounded bound VERB ejde-145 159 10 , , PUNCT ejde-145 159 11 we we PRON ejde-145 159 12 may may AUX ejde-145 159 13 assume assume VERB ejde-145 159 14 without without ADP ejde-145 159 15 any any DET ejde-145 159 16 loss loss NOUN ejde-145 159 17 of of ADP ejde-145 159 18 generality generality NOUN ejde-145 159 19 that that PRON ejde-145 159 20 ‖u+ ‖u+ VERB ejde-145 159 21 n n CCONJ ejde-145 159 22 ‖ ‖ PROPN ejde-145 159 23 ≥ ≥ NOUN ejde-145 159 24 1 1 NUM ejde-145 159 25 for for ADP ejde-145 159 26 all all DET ejde-145 159 27 n n PRON ejde-145 159 28 ∈ ∈ PROPN ejde-145 159 29 n. n. NOUN ejde-145 159 30 then then ADV ejde-145 159 31 from from ADP ejde-145 159 32 ( ( PUNCT ejde-145 159 33 3.11 3.11 NUM ejde-145 159 34 ) ) PUNCT ejde-145 159 35 and and CCONJ ejde-145 159 36 using use VERB ejde-145 159 37 proposition proposition NOUN ejde-145 159 38 2.3 2.3 NUM ejde-145 159 39 , , PUNCT ejde-145 159 40 we we PRON ejde-145 159 41 have have VERB ejde-145 159 42 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-145 159 43 n n PRON ejde-145 159 44 ‖q ‖q NOUN ejde-145 159 45 ≤ ≤ NUM ejde-145 159 46 c6[1 c6[1 PROPN ejde-145 159 47 + + CCONJ ejde-145 159 48 ‖un‖tr ‖un‖tr X ejde-145 159 49 ] ] X ejde-145 159 50 for for ADP ejde-145 159 51 some some DET ejde-145 159 52 c6 c6 PROPN ejde-145 159 53 > > X ejde-145 159 54 0 0 PROPN ejde-145 159 55 , , PUNCT ejde-145 159 56 all all PRON ejde-145 159 57 n n PRON ejde-145 159 58 ∈ ∈ PROPN ejde-145 159 59 n n CCONJ ejde-145 159 60 ( ( PUNCT ejde-145 159 61 3.12 3.12 NUM ejde-145 159 62 ) ) PUNCT ejde-145 159 63 ( ( PUNCT ejde-145 159 64 see see VERB ejde-145 159 65 hypothesis hypothesis NOUN ejde-145 159 66 ( ( PUNCT ejde-145 159 67 h2)(i),(ii h2)(i),(ii NOUN ejde-145 159 68 ) ) PUNCT ejde-145 159 69 , , PUNCT ejde-145 159 70 ( ( PUNCT ejde-145 159 71 3.10 3.10 NUM ejde-145 159 72 ) ) PUNCT ejde-145 159 73 and and CCONJ ejde-145 159 74 recall recall VERB ejde-145 159 75 that that SCONJ ejde-145 159 76 τ τ PROPN ejde-145 159 77 < < X ejde-145 159 78 µ µ NUM ejde-145 159 79 ) ) PUNCT ejde-145 159 80 . . PUNCT ejde-145 159 81 ) ) PUNCT ejde-145 160 1 since since SCONJ ejde-145 160 2 q∗ q∗ NOUN ejde-145 160 3 = = SYM ejde-145 160 4 nq nq PROPN ejde-145 160 5 n−q n−q NOUN ejde-145 160 6 , , PUNCT ejde-145 160 7 from from ADP ejde-145 160 8 ( ( PUNCT ejde-145 160 9 3.9 3.9 NUM ejde-145 160 10 ) ) PUNCT ejde-145 160 11 we we PRON ejde-145 160 12 have have VERB ejde-145 160 13 tr tr VERB ejde-145 160 14 = = SYM ejde-145 160 15 q∗(r q∗(r NOUN ejde-145 160 16 − − NOUN ejde-145 160 17 µ µ X ejde-145 160 18 ) ) PUNCT ejde-145 160 19 q∗ q∗ NOUN ejde-145 160 20 − − PROPN ejde-145 160 21 µ µ X ejde-145 160 22 = = PUNCT ejde-145 160 23 nq(r nq(r NUM ejde-145 160 24 − − PROPN ejde-145 160 25 µ µ X ejde-145 160 26 ) ) PUNCT ejde-145 160 27 nq nq PROPN ejde-145 160 28 −nµ+ −nµ+ PROPN ejde-145 160 29 qµ qµ ADP ejde-145 160 30 < < X ejde-145 160 31 q q X ejde-145 160 32 ( ( PUNCT ejde-145 160 33 see see VERB ejde-145 160 34 hypothesis hypothesis NOUN ejde-145 160 35 ( ( PUNCT ejde-145 160 36 h2)(ii h2)(ii PROPN ejde-145 160 37 ) ) PUNCT ejde-145 160 38 ) ) PUNCT ejde-145 160 39 . . PUNCT ejde-145 161 1 ( ( PUNCT ejde-145 161 2 3.13 3.13 NUM ejde-145 161 3 ) ) PUNCT ejde-145 161 4 from from ADP ejde-145 161 5 ( ( PUNCT ejde-145 161 6 3.13 3.13 NUM ejde-145 161 7 ) ) PUNCT ejde-145 161 8 and and CCONJ ejde-145 161 9 ( ( PUNCT ejde-145 161 10 3.12 3.12 NUM ejde-145 161 11 ) ) PUNCT ejde-145 161 12 it it PRON ejde-145 161 13 follows follow VERB ejde-145 161 14 that that SCONJ ejde-145 161 15 { { PUNCT ejde-145 161 16 u+ u+ NOUN ejde-145 161 17 n n CCONJ ejde-145 161 18 } } PUNCT ejde-145 161 19 n∈n n∈n NUM ejde-145 161 20 ⊆w ⊆w NOUN ejde-145 161 21 1,η 1,η NUM ejde-145 161 22 0 0 SYM ejde-145 161 23 ( ( PUNCT ejde-145 161 24 ω ω NOUN ejde-145 161 25 ) ) PUNCT ejde-145 161 26 is be AUX ejde-145 161 27 bounded bound VERB ejde-145 161 28 . . PUNCT ejde-145 162 1 ( ( PUNCT ejde-145 162 2 3.14 3.14 NUM ejde-145 162 3 ) ) PUNCT ejde-145 162 4 next next ADV ejde-145 162 5 in in ADP ejde-145 162 6 ( ( PUNCT ejde-145 162 7 3.4 3.4 NUM ejde-145 162 8 ) ) PUNCT ejde-145 162 9 we we PRON ejde-145 162 10 choose choose VERB ejde-145 162 11 h h NOUN ejde-145 162 12 = = SYM ejde-145 162 13 u−n u−n NOUN ejde-145 162 14 ∈w ∈w VERB ejde-145 162 15 1,η 1,η NOUN ejde-145 162 16 0 0 NUM ejde-145 162 17 ( ( PUNCT ejde-145 162 18 ω ω NOUN ejde-145 162 19 ) ) PUNCT ejde-145 162 20 . . PUNCT ejde-145 163 1 then then ADV ejde-145 163 2 ρa(du−n ρa(du−n NUM ejde-145 163 3 ) ) PUNCT ejde-145 164 1 + + CCONJ ejde-145 164 2 ‖du−n ‖du−n NOUN ejde-145 164 3 ‖qq ‖qq NOUN ejde-145 164 4 ≤ ≤ ADV ejde-145 164 5 εn εn ADJ ejde-145 164 6 for for ADP ejde-145 164 7 all all PRON ejde-145 164 8 n n PRON ejde-145 164 9 ∈ ∈ NOUN ejde-145 164 10 n n PART ejde-145 164 11 ⇒ ⇒ VERB ejde-145 164 12 u−n u−n ADV ejde-145 164 13 → → SYM ejde-145 164 14 0 0 NUM ejde-145 164 15 in in ADP ejde-145 164 16 w w PROPN ejde-145 164 17 1,η 1,η NUM ejde-145 164 18 0 0 SYM ejde-145 164 19 ( ( PUNCT ejde-145 164 20 ω ω NOUN ejde-145 164 21 ) ) PUNCT ejde-145 164 22 as as ADP ejde-145 164 23 n→ n→ ADV ejde-145 164 24 + + PROPN ejde-145 164 25 ∞. ∞. PROPN ejde-145 164 26 ( ( PUNCT ejde-145 164 27 3.15 3.15 NUM ejde-145 164 28 ) ) PUNCT ejde-145 164 29 ( ( PUNCT ejde-145 164 30 see see VERB ejde-145 164 31 proposition proposition NOUN ejde-145 164 32 2.3 2.3 NUM ejde-145 164 33 and and CCONJ ejde-145 164 34 use use VERB ejde-145 164 35 poincaré poincaré ADJ ejde-145 164 36 inequality inequality NOUN ejde-145 164 37 ) ) PUNCT ejde-145 164 38 . . PUNCT ejde-145 165 1 from from ADP ejde-145 165 2 ( ( PUNCT ejde-145 165 3 3.14 3.14 NUM ejde-145 165 4 ) ) PUNCT ejde-145 165 5 and and CCONJ ejde-145 165 6 ( ( PUNCT ejde-145 165 7 3.15 3.15 NUM ejde-145 165 8 ) ) PUNCT ejde-145 165 9 , , PUNCT ejde-145 165 10 we we PRON ejde-145 165 11 infer infer VERB ejde-145 165 12 that that SCONJ ejde-145 165 13 { { PUNCT ejde-145 165 14 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-145 165 15 ⊆w ⊆w NOUN ejde-145 165 16 1,η 1,η NUM ejde-145 165 17 0 0 SYM ejde-145 165 18 ( ( PUNCT ejde-145 165 19 ω ω NOUN ejde-145 165 20 ) ) PUNCT ejde-145 165 21 is be AUX ejde-145 165 22 bounded bound VERB ejde-145 165 23 . . PUNCT ejde-145 166 1 so so ADV ejde-145 166 2 , , PUNCT ejde-145 166 3 by by ADP ejde-145 166 4 passing pass VERB ejde-145 166 5 to to ADP ejde-145 166 6 a a DET ejde-145 166 7 suitable suitable ADJ ejde-145 166 8 subsequence subsequence NOUN ejde-145 166 9 if if SCONJ ejde-145 166 10 necessary necessary ADJ ejde-145 166 11 , , PUNCT ejde-145 166 12 we we PRON ejde-145 166 13 assume assume VERB ejde-145 166 14 that that SCONJ ejde-145 166 15 un un PROPN ejde-145 166 16 w−→ w−→ PROPN ejde-145 166 17 u u PROPN ejde-145 166 18 in in ADP ejde-145 166 19 w w PROPN ejde-145 166 20 1,η 1,η NUM ejde-145 166 21 0 0 SYM ejde-145 166 22 ( ( PUNCT ejde-145 166 23 ω ω NOUN ejde-145 166 24 ) ) PUNCT ejde-145 166 25 and and CCONJ ejde-145 166 26 un un PROPN ejde-145 166 27 → → SYM ejde-145 166 28 u u PROPN ejde-145 166 29 in in ADP ejde-145 166 30 lr(ω lr(ω NOUN ejde-145 166 31 ) ) PUNCT ejde-145 166 32 . . PUNCT ejde-145 167 1 ( ( PUNCT ejde-145 167 2 3.16 3.16 NUM ejde-145 167 3 ) ) PUNCT ejde-145 167 4 in in ADP ejde-145 167 5 ( ( PUNCT ejde-145 167 6 3.4 3.4 NUM ejde-145 167 7 ) ) PUNCT ejde-145 167 8 we we PRON ejde-145 167 9 choose choose VERB ejde-145 167 10 h h PROPN ejde-145 167 11 = = SYM ejde-145 167 12 un un PROPN ejde-145 167 13 − − PROPN ejde-145 167 14 u u PROPN ejde-145 167 15 ∈ ∈ PROPN ejde-145 167 16 w w PROPN ejde-145 167 17 1,η 1,η NUM ejde-145 167 18 0 0 SYM ejde-145 167 19 ( ( PUNCT ejde-145 167 20 ω ω NOUN ejde-145 167 21 ) ) PUNCT ejde-145 167 22 , , PUNCT ejde-145 167 23 pass pass VERB ejde-145 167 24 to to ADP ejde-145 167 25 the the DET ejde-145 167 26 limit limit NOUN ejde-145 167 27 as as ADP ejde-145 167 28 n n PROPN ejde-145 167 29 → → SYM ejde-145 167 30 + + NOUN ejde-145 167 31 ∞ ∞ NUM ejde-145 167 32 and and CCONJ ejde-145 167 33 use use NOUN ejde-145 167 34 ( ( PUNCT ejde-145 167 35 3.16 3.16 NUM ejde-145 167 36 ) ) PUNCT ejde-145 167 37 . . PUNCT ejde-145 168 1 we we PRON ejde-145 168 2 obtain obtain VERB ejde-145 168 3 lim lim PROPN ejde-145 168 4 n→+∞ n→+∞ PROPN ejde-145 168 5 〈 〈 PROPN ejde-145 168 6 v v NOUN ejde-145 168 7 ( ( PUNCT ejde-145 168 8 un un PROPN ejde-145 168 9 ) ) PUNCT ejde-145 168 10 , , PUNCT ejde-145 168 11 un un PROPN ejde-145 168 12 − − PROPN ejde-145 168 13 u u PROPN ejde-145 168 14 〉 〉 PROPN ejde-145 168 15 = = SYM ejde-145 168 16 0 0 NUM ejde-145 168 17 ; ; PUNCT ejde-145 168 18 ejde-2022/55 ejde-2022/55 NUM ejde-145 168 19 double double ADJ ejde-145 168 20 phase phase NOUN ejde-145 168 21 equations equation NOUN ejde-145 168 22 7 7 NUM ejde-145 168 23 ⇒ ⇒ X ejde-145 168 24 un un PROPN ejde-145 168 25 → → SYM ejde-145 168 26 u u PROPN ejde-145 168 27 in in ADP ejde-145 168 28 w w PROPN ejde-145 168 29 1,η 1,η NUM ejde-145 168 30 0 0 SYM ejde-145 168 31 ( ( PUNCT ejde-145 168 32 ω ω NOUN ejde-145 168 33 ) ) PUNCT ejde-145 168 34 ( ( PUNCT ejde-145 168 35 see see VERB ejde-145 168 36 proposition proposition NOUN ejde-145 168 37 2.4 2.4 NUM ejde-145 168 38 ) ) PUNCT ejde-145 168 39 . . PUNCT ejde-145 169 1 this this PRON ejde-145 169 2 proves prove VERB ejde-145 169 3 that that SCONJ ejde-145 169 4 ϕ ϕ NOUN ejde-145 169 5 ( ( PUNCT ejde-145 169 6 · · PUNCT ejde-145 169 7 ) ) PUNCT ejde-145 169 8 satisfies satisfy VERB ejde-145 169 9 the the DET ejde-145 169 10 c c NOUN ejde-145 169 11 - - NOUN ejde-145 169 12 condition condition NOUN ejde-145 169 13 . . PUNCT ejde-145 170 1 � � PROPN ejde-145 170 2 next next ADV ejde-145 170 3 we we PRON ejde-145 170 4 show show VERB ejde-145 170 5 that that SCONJ ejde-145 170 6 when when SCONJ ejde-145 170 7 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 170 8 is be AUX ejde-145 170 9 small small ADJ ejde-145 170 10 , , PUNCT ejde-145 170 11 then then ADV ejde-145 170 12 the the DET ejde-145 170 13 function function NOUN ejde-145 170 14 ϕ ϕ PROPN ejde-145 170 15 ( ( PUNCT ejde-145 170 16 · · PUNCT ejde-145 170 17 ) ) PUNCT ejde-145 170 18 satisfied satisfy VERB ejde-145 170 19 the the DET ejde-145 170 20 mountain mountain NOUN ejde-145 170 21 pass pass NOUN ejde-145 170 22 geometry geometry NOUN ejde-145 170 23 . . PUNCT ejde-145 171 1 proposition proposition NOUN ejde-145 171 2 3.2 3.2 NUM ejde-145 171 3 . . PUNCT ejde-145 172 1 if if SCONJ ejde-145 172 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 172 3 ( ( PUNCT ejde-145 172 4 h0)—(h2 h0)—(h2 NOUN ejde-145 172 5 ) ) PUNCT ejde-145 172 6 hold hold VERB ejde-145 172 7 , , PUNCT ejde-145 172 8 then then ADV ejde-145 172 9 there there PRON ejde-145 172 10 exists exist VERB ejde-145 172 11 λ∗ λ∗ PROPN ejde-145 172 12 > > X ejde-145 172 13 0 0 NUM ejde-145 173 1 such such ADJ ejde-145 173 2 that that SCONJ ejde-145 173 3 if if SCONJ ejde-145 173 4 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PROPN ejde-145 173 5 < < X ejde-145 173 6 λ∗ λ∗ PROPN ejde-145 173 7 , , PUNCT ejde-145 173 8 we we PRON ejde-145 173 9 can can AUX ejde-145 173 10 find find VERB ejde-145 173 11 ρ̂ ρ̂ NUM ejde-145 173 12 > > X ejde-145 173 13 0 0 NUM ejde-145 174 1 such such ADJ ejde-145 174 2 that that DET ejde-145 174 3 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-145 174 4 ) ) PUNCT ejde-145 174 5 ≥ ≥ PROPN ejde-145 174 6 m̂ m̂ X ejde-145 174 7 > > X ejde-145 174 8 0 0 PUNCT ejde-145 175 1 for for ADP ejde-145 175 2 all all PRON ejde-145 175 3 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 175 4 = = PUNCT ejde-145 175 5 ρ̂. ρ̂. ADJ ejde-145 175 6 proof proof NOUN ejde-145 175 7 . . PUNCT ejde-145 176 1 on on ADP ejde-145 176 2 account account NOUN ejde-145 176 3 of of ADP ejde-145 176 4 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 176 5 ( ( PUNCT ejde-145 176 6 h2)(i),(iii h2)(i),(iii NOUN ejde-145 176 7 ) ) PUNCT ejde-145 176 8 , , PUNCT ejde-145 176 9 given give VERB ejde-145 176 10 ε ε PROPN ejde-145 176 11 > > X ejde-145 176 12 0 0 PROPN ejde-145 176 13 , , PUNCT ejde-145 176 14 we we PRON ejde-145 176 15 can can AUX ejde-145 176 16 find find VERB ejde-145 176 17 c7 c7 PROPN ejde-145 176 18 = = SYM ejde-145 176 19 c7(ε c7(ε PROPN ejde-145 176 20 ) ) PUNCT ejde-145 176 21 such such ADJ ejde-145 176 22 that that SCONJ ejde-145 176 23 f f PROPN ejde-145 176 24 ( ( PUNCT ejde-145 176 25 z z NOUN ejde-145 176 26 , , PUNCT ejde-145 176 27 x x NOUN ejde-145 176 28 ) ) PUNCT ejde-145 176 29 ≤ ≤ NUM ejde-145 176 30 1 1 NUM ejde-145 176 31 q q NOUN ejde-145 177 1 [ [ X ejde-145 177 2 θ(z θ(z NOUN ejde-145 177 3 ) ) PUNCT ejde-145 177 4 + + NUM ejde-145 177 5 ε]xp ε]xp NOUN ejde-145 177 6 + + CCONJ ejde-145 177 7 c7x c7x PROPN ejde-145 177 8 r r NOUN ejde-145 177 9 for for ADP ejde-145 177 10 a.a a.a PROPN ejde-145 177 11 . . PROPN ejde-145 177 12 z z PROPN ejde-145 177 13 ∈ ∈ PROPN ejde-145 177 14 ω ω PROPN ejde-145 177 15 , , PUNCT ejde-145 177 16 all all PRON ejde-145 177 17 x x PRON ejde-145 177 18 ≥ ≥ NOUN ejde-145 177 19 0 0 NUM ejde-145 177 20 . . PUNCT ejde-145 178 1 ( ( PUNCT ejde-145 178 2 3.17 3.17 NUM ejde-145 178 3 ) ) PUNCT ejde-145 178 4 then then ADV ejde-145 178 5 for for ADP ejde-145 178 6 u u NOUN ejde-145 178 7 ∈w ∈w NOUN ejde-145 178 8 1,η 1,η NUM ejde-145 178 9 0 0 SYM ejde-145 178 10 ( ( PUNCT ejde-145 178 11 ω ω NOUN ejde-145 178 12 ) ) PUNCT ejde-145 178 13 we we PRON ejde-145 178 14 have have VERB ejde-145 178 15 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-145 178 16 ) ) PUNCT ejde-145 178 17 ≥ ≥ NOUN ejde-145 178 18 1 1 NUM ejde-145 178 19 p p NOUN ejde-145 178 20 ρa(du ρa(du PROPN ejde-145 178 21 ) ) PUNCT ejde-145 179 1 + + CCONJ ejde-145 179 2 1 1 NUM ejde-145 179 3 q q NOUN ejde-145 179 4 [ [ PUNCT ejde-145 179 5 ‖du‖qq ‖du‖qq PROPN ejde-145 179 6 − − PROPN ejde-145 180 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 180 2 ω ω PROPN ejde-145 180 3 θ(z)|u|qdz θ(z)|u|qdz PROPN ejde-145 180 4 − − PROPN ejde-145 180 5 εc8‖du‖qq εc8‖du‖qq PROPN ejde-145 180 6 ] ] PUNCT ejde-145 180 7 − − PROPN ejde-145 180 8 c9[‖e‖∞‖u‖τ c9[‖e‖∞‖u‖τ NOUN ejde-145 180 9 + + CCONJ ejde-145 180 10 ‖u‖r ‖u‖r NOUN ejde-145 180 11 ] ] X ejde-145 180 12 ( ( PUNCT ejde-145 180 13 3.18 3.18 NUM ejde-145 180 14 ) ) PUNCT ejde-145 180 15 for for ADP ejde-145 180 16 some some DET ejde-145 180 17 c8 c8 NOUN ejde-145 180 18 , , PUNCT ejde-145 180 19 c9 c9 NOUN ejde-145 180 20 > > X ejde-145 180 21 0 0 PUNCT ejde-145 181 1 ( ( PUNCT ejde-145 181 2 see see VERB ejde-145 181 3 ( ( PUNCT ejde-145 181 4 3.17 3.17 NUM ejde-145 181 5 ) ) PUNCT ejde-145 181 6 , , PUNCT ejde-145 181 7 ( ( PUNCT ejde-145 181 8 2.2 2.2 NUM ejde-145 181 9 ) ) PUNCT ejde-145 181 10 ) ) PUNCT ejde-145 181 11 . . PUNCT ejde-145 182 1 from from ADP ejde-145 182 2 proposition proposition NOUN ejde-145 182 3 2.5 2.5 NUM ejde-145 182 4 , , PUNCT ejde-145 182 5 we we PRON ejde-145 182 6 know know VERB ejde-145 182 7 that that DET ejde-145 182 8 ‖du‖qq ‖du‖qq PROPN ejde-145 182 9 − − PROPN ejde-145 183 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 183 2 ω ω PROPN ejde-145 183 3 θ(z)|u|qdz θ(z)|u|qdz PROPN ejde-145 183 4 ≥ ≥ PROPN ejde-145 183 5 c0‖du‖qq c0‖du‖qq PROPN ejde-145 183 6 for for ADP ejde-145 183 7 all all DET ejde-145 183 8 u u NOUN ejde-145 183 9 ∈w ∈w NOUN ejde-145 183 10 1,η 1,η NOUN ejde-145 183 11 0 0 NUM ejde-145 183 12 ( ( PUNCT ejde-145 183 13 ω ω NOUN ejde-145 183 14 ) ) PUNCT ejde-145 183 15 . . PUNCT ejde-145 184 1 so so ADV ejde-145 184 2 , , PUNCT ejde-145 184 3 choosing choose VERB ejde-145 184 4 ε ε PROPN ejde-145 184 5 ∈ ∈ PROPN ejde-145 184 6 ( ( PUNCT ejde-145 184 7 0 0 NUM ejde-145 184 8 , , PUNCT ejde-145 184 9 c0 c0 PROPN ejde-145 184 10 / / SYM ejde-145 184 11 c8 c8 PROPN ejde-145 184 12 ) ) PUNCT ejde-145 184 13 we we PRON ejde-145 184 14 see see VERB ejde-145 184 15 that that DET ejde-145 184 16 ‖du‖qq ‖du‖qq PROPN ejde-145 184 17 − − PROPN ejde-145 185 1 ∫ ∫ PROPN ejde-145 185 2 ω ω PROPN ejde-145 185 3 θ(z)|u|qdz θ(z)|u|qdz PROPN ejde-145 185 4 − − PROPN ejde-145 185 5 εc8‖du‖qq εc8‖du‖qq PROPN ejde-145 185 6 ≥ ≥ NUM ejde-145 185 7 0 0 NUM ejde-145 185 8 . . PUNCT ejde-145 186 1 ( ( PUNCT ejde-145 186 2 3.19 3.19 NUM ejde-145 186 3 ) ) PUNCT ejde-145 186 4 assume assume VERB ejde-145 186 5 that that SCONJ ejde-145 186 6 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 186 7 ≤ ≤ ADV ejde-145 186 8 1 1 NUM ejde-145 186 9 . . PUNCT ejde-145 186 10 then then ADV ejde-145 186 11 using use VERB ejde-145 186 12 proposition proposition NOUN ejde-145 186 13 2.3 2.3 NUM ejde-145 186 14 and and CCONJ ejde-145 186 15 ( ( PUNCT ejde-145 186 16 3.19 3.19 NUM ejde-145 186 17 ) ) PUNCT ejde-145 186 18 , , PUNCT ejde-145 186 19 from from ADP ejde-145 186 20 ( ( PUNCT ejde-145 186 21 3.18 3.18 NUM ejde-145 186 22 ) ) PUNCT ejde-145 186 23 we we PRON ejde-145 186 24 have have AUX ejde-145 186 25 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-145 186 26 ) ) PUNCT ejde-145 186 27 ≥ ≥ NOUN ejde-145 186 28 1 1 NUM ejde-145 186 29 p p NOUN ejde-145 186 30 ‖u‖p ‖u‖p NOUN ejde-145 186 31 − − PROPN ejde-145 186 32 c9‖e‖∞‖u‖τ c9‖e‖∞‖u‖τ PROPN ejde-145 186 33 − − PROPN ejde-145 186 34 c9‖u‖r c9‖u‖r PROPN ejde-145 186 35 ≥ ≥ PROPN ejde-145 186 36 [ [ PUNCT ejde-145 186 37 1 1 NUM ejde-145 186 38 p p PRON ejde-145 186 39 − − NOUN ejde-145 186 40 c9(‖e‖∞‖u‖τ−p c9(‖e‖∞‖u‖τ−p NOUN ejde-145 186 41 + + CCONJ ejde-145 186 42 ‖u‖r−p)]‖u‖p ‖u‖r−p)]‖u‖p PROPN ejde-145 186 43 . . PUNCT ejde-145 187 1 ( ( PUNCT ejde-145 187 2 3.20 3.20 NUM ejde-145 187 3 ) ) PUNCT ejde-145 187 4 let let VERB ejde-145 187 5 γ(t γ(t NOUN ejde-145 187 6 ) ) PUNCT ejde-145 188 1 = = PUNCT ejde-145 188 2 ‖e‖∞tτ−p ‖e‖∞tτ−p X ejde-145 188 3 + + CCONJ ejde-145 188 4 tr−p tr−p NOUN ejde-145 188 5 for for ADP ejde-145 188 6 all all DET ejde-145 188 7 t t PROPN ejde-145 188 8 > > X ejde-145 188 9 0 0 X ejde-145 188 10 . . PUNCT ejde-145 189 1 evidently evidently ADV ejde-145 189 2 γ γ PROPN ejde-145 189 3 ∈ ∈ PROPN ejde-145 189 4 c1(0,∞ c1(0,∞ NOUN ejde-145 189 5 ) ) PUNCT ejde-145 189 6 and and CCONJ ejde-145 189 7 since since SCONJ ejde-145 189 8 τ τ X ejde-145 189 9 < < X ejde-145 189 10 p p X ejde-145 189 11 < < X ejde-145 189 12 r r NOUN ejde-145 189 13 , , PUNCT ejde-145 189 14 we we PRON ejde-145 189 15 have have VERB ejde-145 190 1 γ(t)→ γ(t)→ NOUN ejde-145 191 1 + + ADP ejde-145 191 2 ∞ ∞ NUM ejde-145 191 3 as as ADP ejde-145 191 4 t→ t→ X ejde-145 191 5 0 0 NUM ejde-145 191 6 + + NUM ejde-145 191 7 and and CCONJ ejde-145 191 8 as as ADP ejde-145 191 9 t→ t→ PRON ejde-145 191 10 + + PROPN ejde-145 191 11 ∞. ∞. PROPN ejde-145 191 12 therefore therefore ADV ejde-145 191 13 we we PRON ejde-145 191 14 can can AUX ejde-145 191 15 find find VERB ejde-145 191 16 t0 t0 PROPN ejde-145 191 17 > > X ejde-145 191 18 0 0 NUM ejde-145 192 1 such such ADJ ejde-145 192 2 that that DET ejde-145 192 3 γ(t0 γ(t0 NOUN ejde-145 192 4 ) ) PUNCT ejde-145 193 1 = = SYM ejde-145 193 2 min min NOUN ejde-145 193 3 t>0 t>0 NOUN ejde-145 193 4 γ(t γ(t NOUN ejde-145 193 5 ) ) PUNCT ejde-145 193 6 , , PUNCT ejde-145 193 7 ⇒ ⇒ PROPN ejde-145 193 8 γ′(t0 γ′(t0 PROPN ejde-145 193 9 ) ) PUNCT ejde-145 193 10 = = SYM ejde-145 193 11 0 0 NUM ejde-145 193 12 , , PUNCT ejde-145 193 13 ⇒ ⇒ NOUN ejde-145 193 14 ( ( PUNCT ejde-145 193 15 p− p− NOUN ejde-145 193 16 τ)‖e‖∞ τ)‖e‖∞ NOUN ejde-145 193 17 = = PUNCT ejde-145 193 18 ( ( PUNCT ejde-145 193 19 r r NOUN ejde-145 193 20 − − PROPN ejde-145 193 21 p)tr−τ0 p)tr−τ0 NOUN ejde-145 193 22 , , PUNCT ejde-145 193 23 ⇒ ⇒ VERB ejde-145 193 24 t0 t0 PROPN ejde-145 194 1 = = PUNCT ejde-145 194 2 [ [ PUNCT ejde-145 194 3 ( ( PUNCT ejde-145 194 4 p− p− NOUN ejde-145 194 5 τ)‖e‖∞ τ)‖e‖∞ NOUN ejde-145 195 1 r r NOUN ejde-145 195 2 − − PROPN ejde-145 195 3 p p X ejde-145 195 4 ] ] PUNCT ejde-145 195 5 1 1 NUM ejde-145 195 6 r−τ r−τ NOUN ejde-145 195 7 . . PUNCT ejde-145 196 1 so so ADV ejde-145 196 2 , , PUNCT ejde-145 196 3 we we PRON ejde-145 196 4 have have VERB ejde-145 196 5 γ(t0 γ(t0 NOUN ejde-145 196 6 ) ) PUNCT ejde-145 197 1 = = PUNCT ejde-145 198 1 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PROPN ejde-145 198 2 [ [ PUNCT ejde-145 198 3 r r NOUN ejde-145 198 4 − − PROPN ejde-145 198 5 p p NOUN ejde-145 198 6 ( ( PUNCT ejde-145 198 7 p− p− NOUN ejde-145 198 8 τ)‖e‖∞ τ)‖e‖∞ NOUN ejde-145 198 9 ] ] PUNCT ejde-145 198 10 p−τ p−τ PROPN ejde-145 198 11 r−τ r−τ NOUN ejde-145 198 12 + + CCONJ ejde-145 198 13 [ [ PUNCT ejde-145 198 14 ( ( PUNCT ejde-145 198 15 p− p− NOUN ejde-145 198 16 τ)‖e‖∞ τ)‖e‖∞ NOUN ejde-145 199 1 r r NOUN ejde-145 199 2 − − PROPN ejde-145 199 3 p p X ejde-145 199 4 ] ] PUNCT ejde-145 199 5 r−p r−p NOUN ejde-145 199 6 r−τ r−τ NOUN ejde-145 199 7 . . PUNCT ejde-145 200 1 since since SCONJ ejde-145 200 2 p−τ p−τ PROPN ejde-145 200 3 r−τ r−τ NOUN ejde-145 200 4 < < X ejde-145 200 5 1 1 NUM ejde-145 200 6 , , PUNCT ejde-145 200 7 we we PRON ejde-145 200 8 see see VERB ejde-145 200 9 that that PRON ejde-145 200 10 ‖e‖∞ ‖e‖∞ INTJ ejde-145 200 11 → → SYM ejde-145 200 12 0 0 NUM ejde-145 200 13 + + NUM ejde-145 200 14 ⇒ ⇒ NOUN ejde-145 200 15 γ(t0 γ(t0 PROPN ejde-145 200 16 ) ) PUNCT ejde-145 201 1 → → PUNCT ejde-145 201 2 0 0 NUM ejde-145 202 1 + + NOUN ejde-145 202 2 . . PUNCT ejde-145 203 1 therefore therefore ADV ejde-145 203 2 we we PRON ejde-145 203 3 can can AUX ejde-145 203 4 find find VERB ejde-145 203 5 λ∗ λ∗ PROPN ejde-145 203 6 > > X ejde-145 203 7 0 0 NUM ejde-145 203 8 such such ADJ ejde-145 203 9 that that SCONJ ejde-145 203 10 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PROPN ejde-145 203 11 < < X ejde-145 203 12 λ∗ λ∗ PROPN ejde-145 203 13 ⇒ ⇒ PROPN ejde-145 203 14 γ(t0 γ(t0 PROPN ejde-145 203 15 ) ) PUNCT ejde-145 203 16 < < X ejde-145 203 17 1 1 NUM ejde-145 203 18 c9p c9p NOUN ejde-145 203 19 . . PUNCT ejde-145 204 1 8 8 NUM ejde-145 204 2 z. z. PROPN ejde-145 204 3 liu liu PROPN ejde-145 204 4 , , PUNCT ejde-145 204 5 n. n. PROPN ejde-145 204 6 s. s. PROPN ejde-145 204 7 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 204 8 ejde-2022/55 ejde-2022/55 NOUN ejde-145 204 9 using use VERB ejde-145 204 10 this this PRON ejde-145 204 11 in in ADP ejde-145 204 12 ( ( PUNCT ejde-145 204 13 3.20 3.20 NUM ejde-145 204 14 ) ) PUNCT ejde-145 204 15 we we PRON ejde-145 204 16 see see VERB ejde-145 204 17 that that DET ejde-145 204 18 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-145 204 19 ) ) PUNCT ejde-145 204 20 ≥ ≥ PROPN ejde-145 204 21 m̂ m̂ X ejde-145 204 22 > > X ejde-145 204 23 0 0 PUNCT ejde-145 204 24 for for ADP ejde-145 204 25 all all PRON ejde-145 204 26 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 204 27 = = PUNCT ejde-145 204 28 ρ̂ ρ̂ NUM ejde-145 204 29 = = SYM ejde-145 204 30 t0(‖e‖∞ t0(‖e‖∞ NOUN ejde-145 204 31 ) ) PUNCT ejde-145 204 32 . . PUNCT ejde-145 205 1 if if SCONJ ejde-145 205 2 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 205 3 > > X ejde-145 205 4 1 1 NUM ejde-145 205 5 , , PUNCT ejde-145 205 6 then then ADV ejde-145 205 7 the the DET ejde-145 205 8 same same ADJ ejde-145 205 9 argument argument NOUN ejde-145 205 10 works work VERB ejde-145 205 11 with with ADP ejde-145 205 12 p p NOUN ejde-145 205 13 replaced replace VERB ejde-145 205 14 by by ADP ejde-145 205 15 q q PROPN ejde-145 205 16 ( ( PUNCT ejde-145 205 17 since since SCONJ ejde-145 205 18 now now ADV ejde-145 205 19 ρa(du ρa(du PROPN ejde-145 205 20 ) ) PUNCT ejde-145 205 21 ≥ ≥ NOUN ejde-145 205 22 ‖u‖q ‖u‖q NOUN ejde-145 205 23 , , PUNCT ejde-145 205 24 see see VERB ejde-145 205 25 proposition proposition NOUN ejde-145 205 26 2.3 2.3 NUM ejde-145 205 27 ) ) PUNCT ejde-145 205 28 . . PUNCT ejde-145 206 1 � � PROPN ejde-145 206 2 proposition proposition NOUN ejde-145 206 3 3.3 3.3 NUM ejde-145 206 4 . . PUNCT ejde-145 207 1 if if SCONJ ejde-145 207 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 207 3 ( ( PUNCT ejde-145 207 4 h0)–(h2 h0)–(h2 NOUN ejde-145 207 5 ) ) PUNCT ejde-145 207 6 hold hold NOUN ejde-145 207 7 , , PUNCT ejde-145 207 8 then then ADV ejde-145 207 9 for for ADP ejde-145 207 10 t t PROPN ejde-145 207 11 > > X ejde-145 207 12 0 0 PUNCT ejde-145 208 1 small small ADJ ejde-145 209 1 we we PRON ejde-145 209 2 have have VERB ejde-145 209 3 ϕ(tũ ϕ(tũ NOUN ejde-145 209 4 ) ) PUNCT ejde-145 209 5 < < X ejde-145 209 6 0 0 PUNCT ejde-145 209 7 with with ADP ejde-145 209 8 ũ ũ PROPN ejde-145 209 9 ∈w ∈w NOUN ejde-145 209 10 1,η 1,η NUM ejde-145 209 11 0 0 NUM ejde-145 209 12 ( ( PUNCT ejde-145 209 13 ω ω NOUN ejde-145 209 14 ) ) PUNCT ejde-145 209 15 as as SCONJ ejde-145 209 16 postulated postulate VERB ejde-145 209 17 by by ADP ejde-145 209 18 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 209 19 ( ( PUNCT ejde-145 209 20 h1 h1 PROPN ejde-145 209 21 ) ) PUNCT ejde-145 209 22 . . PUNCT ejde-145 210 1 proof proof NOUN ejde-145 210 2 . . PUNCT ejde-145 211 1 on on ADP ejde-145 211 2 account account NOUN ejde-145 211 3 of of ADP ejde-145 211 4 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 211 5 ( ( PUNCT ejde-145 211 6 h2)(i h2)(i NOUN ejde-145 211 7 ) ) PUNCT ejde-145 211 8 , , PUNCT ejde-145 211 9 ( ( PUNCT ejde-145 211 10 iii iii NOUN ejde-145 211 11 ) ) PUNCT ejde-145 211 12 , , PUNCT ejde-145 211 13 we we PRON ejde-145 211 14 can can AUX ejde-145 211 15 find find VERB ejde-145 211 16 c10 c10 VERB ejde-145 211 17 > > X ejde-145 211 18 0 0 NUM ejde-145 212 1 such such ADJ ejde-145 212 2 that that SCONJ ejde-145 212 3 f f PROPN ejde-145 212 4 ( ( PUNCT ejde-145 212 5 z z PROPN ejde-145 212 6 , , PUNCT ejde-145 212 7 x x X ejde-145 212 8 ) ) PUNCT ejde-145 212 9 ≥ ≥ NOUN ejde-145 212 10 −c10x −c10x VERB ejde-145 212 11 r r NOUN ejde-145 212 12 for for ADP ejde-145 212 13 a.a a.a PROPN ejde-145 212 14 . . PROPN ejde-145 212 15 z z PROPN ejde-145 212 16 ∈ ∈ PROPN ejde-145 212 17 ω ω PROPN ejde-145 212 18 , , PUNCT ejde-145 212 19 all all PRON ejde-145 212 20 x x PRON ejde-145 212 21 ≥ ≥ NOUN ejde-145 212 22 0 0 NUM ejde-145 212 23 . . PUNCT ejde-145 213 1 ( ( PUNCT ejde-145 213 2 3.21 3.21 NUM ejde-145 213 3 ) ) PUNCT ejde-145 213 4 then then ADV ejde-145 213 5 for for ADP ejde-145 213 6 t t PROPN ejde-145 213 7 > > X ejde-145 213 8 0 0 PROPN ejde-145 213 9 , , PUNCT ejde-145 213 10 we we PRON ejde-145 213 11 have have VERB ejde-145 213 12 ϕ(tũ ϕ(tũ NOUN ejde-145 213 13 ) ) PUNCT ejde-145 213 14 ≤ ≤ NOUN ejde-145 213 15 tp tp ADP ejde-145 213 16 p p NOUN ejde-145 213 17 ρa(dũ ρa(dũ NOUN ejde-145 213 18 ) ) PUNCT ejde-145 214 1 + + CCONJ ejde-145 215 1 tq tq ADV ejde-145 215 2 q q NOUN ejde-145 215 3 ‖dũ‖qq ‖dũ‖qq PROPN ejde-145 215 4 + + NUM ejde-145 215 5 c11 c11 NOUN ejde-145 215 6 t t PROPN ejde-145 215 7 r‖ũ‖r r‖ũ‖r NOUN ejde-145 216 1 − − PROPN ejde-145 216 2 tτ tτ NOUN ejde-145 216 3 τ τ PROPN ejde-145 216 4 ∫ ∫ PROPN ejde-145 216 5 ω ω NUM ejde-145 216 6 e(z)ũτdz e(z)ũτdz PROPN ejde-145 216 7 for for ADP ejde-145 216 8 some some DET ejde-145 216 9 c11 c11 NOUN ejde-145 216 10 > > X ejde-145 216 11 0 0 PROPN ejde-145 216 12 , , PUNCT ejde-145 216 13 see see VERB ejde-145 216 14 ( ( PUNCT ejde-145 216 15 3.1 3.1 NUM ejde-145 216 16 ) ) PUNCT ejde-145 216 17 . . PUNCT ejde-145 217 1 for for ADP ejde-145 217 2 t t PROPN ejde-145 217 3 ∈ ∈ PROPN ejde-145 217 4 ( ( PUNCT ejde-145 217 5 0 0 NUM ejde-145 217 6 , , PUNCT ejde-145 217 7 1 1 X ejde-145 217 8 ) ) PUNCT ejde-145 217 9 we we PRON ejde-145 217 10 have have VERB ejde-145 217 11 ϕ(tũ ϕ(tũ NOUN ejde-145 217 12 ) ) PUNCT ejde-145 217 13 ≤ ≤ NUM ejde-145 217 14 c12 c12 PROPN ejde-145 217 15 t t PROPN ejde-145 217 16 q q PROPN ejde-145 217 17 − − PROPN ejde-145 217 18 tτ tτ NOUN ejde-145 217 19 τ τ PROPN ejde-145 217 20 ∫ ∫ PROPN ejde-145 217 21 ω ω NUM ejde-145 217 22 e(z)ũτdz e(z)ũτdz PROPN ejde-145 217 23 for for ADP ejde-145 217 24 some some DET ejde-145 217 25 c12 c12 PROPN ejde-145 217 26 > > X ejde-145 217 27 0 0 X ejde-145 217 28 . . PUNCT ejde-145 218 1 using use VERB ejde-145 218 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 218 3 ( ( PUNCT ejde-145 218 4 h1 h1 NOUN ejde-145 218 5 ) ) PUNCT ejde-145 218 6 and and CCONJ ejde-145 218 7 since since SCONJ ejde-145 218 8 τ τ PROPN ejde-145 218 9 < < X ejde-145 218 10 q q X ejde-145 218 11 , , PUNCT ejde-145 218 12 for for ADP ejde-145 218 13 t t PROPN ejde-145 218 14 ∈ ∈ PROPN ejde-145 218 15 ( ( PUNCT ejde-145 218 16 0 0 NUM ejde-145 218 17 , , PUNCT ejde-145 218 18 1 1 X ejde-145 218 19 ) ) PUNCT ejde-145 218 20 small small ADJ ejde-145 218 21 , , PUNCT ejde-145 218 22 we we PRON ejde-145 218 23 have have VERB ejde-145 218 24 ϕ(tũ ϕ(tũ NOUN ejde-145 218 25 ) ) PUNCT ejde-145 218 26 < < X ejde-145 219 1 0 0 X ejde-145 219 2 . . X ejde-145 219 3 � � PROPN ejde-145 219 4 now now ADV ejde-145 219 5 we we PRON ejde-145 219 6 are be AUX ejde-145 219 7 ready ready ADJ ejde-145 219 8 to to PART ejde-145 219 9 prove prove VERB ejde-145 219 10 the the DET ejde-145 219 11 multiplicity multiplicity NOUN ejde-145 219 12 theorem theorem VERB ejde-145 219 13 when when SCONJ ejde-145 219 14 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 219 15 is be AUX ejde-145 219 16 small small ADJ ejde-145 219 17 . . PUNCT ejde-145 220 1 one one NUM ejde-145 220 2 solution solution NOUN ejde-145 220 3 will will AUX ejde-145 220 4 be be AUX ejde-145 220 5 produced produce VERB ejde-145 220 6 using use VERB ejde-145 220 7 the the DET ejde-145 220 8 mountain mountain NOUN ejde-145 220 9 pass pass NOUN ejde-145 220 10 theorem theorem NOUN ejde-145 220 11 and and CCONJ ejde-145 220 12 the the DET ejde-145 220 13 other other ADJ ejde-145 220 14 will will AUX ejde-145 220 15 be be AUX ejde-145 220 16 a a DET ejde-145 220 17 local local ADJ ejde-145 220 18 minimizer minimizer NOUN ejde-145 220 19 of of ADP ejde-145 220 20 ϕ ϕ NOUN ejde-145 220 21 ( ( PUNCT ejde-145 220 22 · · PUNCT ejde-145 220 23 ) ) PUNCT ejde-145 220 24 . . PUNCT ejde-145 221 1 theorem theorem VERB ejde-145 221 2 3.4 3.4 NUM ejde-145 221 3 . . PUNCT ejde-145 222 1 if if SCONJ ejde-145 222 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-145 222 3 ( ( PUNCT ejde-145 222 4 h0)–(h2 h0)–(h2 NOUN ejde-145 222 5 ) ) PUNCT ejde-145 222 6 hold hold NOUN ejde-145 222 7 , , PUNCT ejde-145 222 8 then then ADV ejde-145 222 9 for for ADP ejde-145 222 10 ‖e‖∞ ‖e‖∞ ADP ejde-145 222 11 small small ADJ ejde-145 222 12 problem problem NOUN ejde-145 222 13 ( ( PUNCT ejde-145 222 14 1.1 1.1 NUM ejde-145 222 15 ) ) PUNCT ejde-145 222 16 has have VERB ejde-145 222 17 at at ADV ejde-145 222 18 least least ADJ ejde-145 222 19 two two NUM ejde-145 222 20 nontrivial nontrivial ADJ ejde-145 222 21 solutions solution NOUN ejde-145 222 22 u0 u0 ADJ ejde-145 222 23 , , PUNCT ejde-145 222 24 û û PRON ejde-145 222 25 ∈w ∈w VERB ejde-145 222 26 1,η 1,η NOUN ejde-145 222 27 0 0 NUM ejde-145 222 28 ( ( PUNCT ejde-145 222 29 ω ω NOUN ejde-145 222 30 ) ) PUNCT ejde-145 222 31 ∩ ∩ NOUN ejde-145 222 32 l∞(ω l∞(ω X ejde-145 222 33 ) ) PUNCT ejde-145 222 34 such such ADJ ejde-145 222 35 that that SCONJ ejde-145 222 36 u0(z u0(z NOUN ejde-145 222 37 ) ) PUNCT ejde-145 222 38 , , PUNCT ejde-145 222 39 û(z û(z NOUN ejde-145 222 40 ) ) PUNCT ejde-145 222 41 ≥ ≥ NOUN ejde-145 222 42 0 0 NUM ejde-145 222 43 for for ADP ejde-145 222 44 a.a a.a PROPN ejde-145 222 45 . . PROPN ejde-145 222 46 z z PROPN ejde-145 222 47 ∈ ∈ PROPN ejde-145 222 48 ω ω X ejde-145 222 49 . . PUNCT ejde-145 223 1 proof proof NOUN ejde-145 223 2 . . PUNCT ejde-145 224 1 from from ADP ejde-145 224 2 proposition proposition NOUN ejde-145 224 3 3.2 3.2 NUM ejde-145 224 4 we we PRON ejde-145 224 5 know know VERB ejde-145 224 6 that that SCONJ ejde-145 224 7 if if SCONJ ejde-145 224 8 ‖e‖∞ ‖e‖∞ PRON ejde-145 224 9 is be AUX ejde-145 224 10 small small ADJ ejde-145 224 11 , , PUNCT ejde-145 224 12 then then ADV ejde-145 224 13 we we PRON ejde-145 224 14 can can AUX ejde-145 224 15 find find VERB ejde-145 224 16 ρ̂ ρ̂ NUM ejde-145 224 17 > > X ejde-145 224 18 0 0 NUM ejde-145 224 19 such such ADJ ejde-145 224 20 that that SCONJ ejde-145 224 21 0 0 NUM ejde-145 224 22 < < X ejde-145 224 23 m̂ m̂ X ejde-145 224 24 ≤ ≤ NUM ejde-145 224 25 ϕ(u ϕ(u NOUN ejde-145 224 26 ) ) PUNCT ejde-145 224 27 for for ADP ejde-145 224 28 all all DET ejde-145 224 29 u u NOUN ejde-145 224 30 ∈w ∈w NOUN ejde-145 224 31 1,η 1,η NOUN ejde-145 224 32 0 0 NUM ejde-145 224 33 ( ( PUNCT ejde-145 224 34 ω ω NOUN ejde-145 224 35 ) ) PUNCT ejde-145 224 36 , , PUNCT ejde-145 224 37 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 224 38 = = PUNCT ejde-145 224 39 ρ̂. ρ̂. NOUN ejde-145 224 40 consider consider VERB ejde-145 224 41 the the DET ejde-145 224 42 closed closed ADJ ejde-145 224 43 ball ball NOUN ejde-145 224 44 bρ̂ bρ̂ NOUN ejde-145 225 1 = = PUNCT ejde-145 225 2 { { PUNCT ejde-145 225 3 u u NOUN ejde-145 225 4 ∈w ∈w VERB ejde-145 225 5 1,η 1,η NUM ejde-145 225 6 0 0 SYM ejde-145 225 7 ( ( PUNCT ejde-145 225 8 ω ω NOUN ejde-145 225 9 ) ) PUNCT ejde-145 225 10 : : PUNCT ejde-145 226 1 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-145 226 2 ≤ ≤ NOUN ejde-145 226 3 ρ̂ ρ̂ NUM ejde-145 226 4 } } PUNCT ejde-145 226 5 . . PUNCT ejde-145 227 1 the the DET ejde-145 227 2 reflexivity reflexivity NOUN ejde-145 227 3 of of ADP ejde-145 227 4 w w PROPN ejde-145 227 5 1,η 1,η NUM ejde-145 227 6 0 0 SYM ejde-145 227 7 ( ( PUNCT ejde-145 227 8 ω ω NOUN ejde-145 227 9 ) ) PUNCT ejde-145 227 10 implies imply VERB ejde-145 227 11 that that SCONJ ejde-145 227 12 bρ̂ bρ̂ PROPN ejde-145 227 13 is be AUX ejde-145 227 14 weakly weakly ADV ejde-145 227 15 compact compact ADJ ejde-145 227 16 and and CCONJ ejde-145 227 17 then then ADV ejde-145 227 18 by by ADP ejde-145 227 19 the the DET ejde-145 227 20 eberlein eberlein ADJ ejde-145 227 21 - - PUNCT ejde-145 227 22 smulian smulian NOUN ejde-145 227 23 theorem theorem NOUN ejde-145 227 24 , , PUNCT ejde-145 227 25 we we PRON ejde-145 227 26 have have VERB ejde-145 227 27 that that DET ejde-145 227 28 bρ̂ bρ̂ PROPN ejde-145 227 29 is be AUX ejde-145 227 30 sequentially sequentially ADV ejde-145 227 31 weakly weakly ADJ ejde-145 227 32 compact compact ADJ ejde-145 227 33 . . PUNCT ejde-145 228 1 using use VERB ejde-145 228 2 proposition proposition NOUN ejde-145 228 3 2.2 2.2 NUM ejde-145 228 4 , , PUNCT ejde-145 228 5 we we PRON ejde-145 228 6 see see VERB ejde-145 228 7 that that DET ejde-145 228 8 ϕ ϕ NOUN ejde-145 228 9 ( ( PUNCT ejde-145 228 10 · · PUNCT ejde-145 228 11 ) ) PUNCT ejde-145 228 12 is be AUX ejde-145 228 13 sequentially sequentially ADV ejde-145 228 14 weakly weakly ADV ejde-145 228 15 lower low ADJ ejde-145 228 16 semicontinuous semicontinuous ADJ ejde-145 228 17 . . PUNCT ejde-145 229 1 so so ADV ejde-145 229 2 , , PUNCT ejde-145 229 3 by by ADP ejde-145 229 4 the the DET ejde-145 229 5 weierstrass weierstrass NOUN ejde-145 229 6 - - PUNCT ejde-145 229 7 tonelli tonelli NOUN ejde-145 229 8 theorem theorem NOUN ejde-145 229 9 we we PRON ejde-145 229 10 know know VERB ejde-145 229 11 that that SCONJ ejde-145 229 12 there there PRON ejde-145 229 13 exists exist VERB ejde-145 229 14 u0 u0 ADJ ejde-145 229 15 ∈w ∈w PROPN ejde-145 229 16 1,η 1,η NOUN ejde-145 229 17 0 0 NUM ejde-145 229 18 ( ( PUNCT ejde-145 229 19 ω ω NOUN ejde-145 229 20 ) ) PUNCT ejde-145 229 21 such such ADJ ejde-145 229 22 that that DET ejde-145 229 23 ϕ(u0 ϕ(u0 NOUN ejde-145 229 24 ) ) PUNCT ejde-145 230 1 = = PUNCT ejde-145 230 2 inf[ϕ(u inf[ϕ(u NOUN ejde-145 230 3 ) ) PUNCT ejde-145 230 4 : : PUNCT ejde-145 230 5 u u NOUN ejde-145 230 6 ∈ ∈ PROPN ejde-145 230 7 bρ̂ bρ̂ PROPN ejde-145 230 8 ] ] PUNCT ejde-145 230 9 . . PUNCT ejde-145 231 1 ( ( PUNCT ejde-145 231 2 3.22 3.22 NUM ejde-145 231 3 ) ) PUNCT ejde-145 231 4 from from ADP ejde-145 231 5 propositions proposition NOUN ejde-145 231 6 3.2 3.2 NUM ejde-145 231 7 and and CCONJ ejde-145 231 8 3.3 3.3 NUM ejde-145 231 9 , , PUNCT ejde-145 231 10 we we PRON ejde-145 231 11 have have VERB ejde-145 231 12 that that PRON ejde-145 231 13 0 0 NUM ejde-145 231 14 < < X ejde-145 231 15 ‖u0‖ ‖u0‖ X ejde-145 231 16 < < X ejde-145 231 17 ρ̂ ρ̂ NUM ejde-145 231 18 , , PUNCT ejde-145 231 19 ⇒ ⇒ NOUN ejde-145 231 20 ϕ′(u0 ϕ′(u0 PROPN ejde-145 231 21 ) ) PUNCT ejde-145 232 1 = = SYM ejde-145 232 2 0 0 NUM ejde-145 232 3 ( ( PUNCT ejde-145 232 4 see(25 see(25 NOUN ejde-145 232 5 ) ) PUNCT ejde-145 232 6 ) ) PUNCT ejde-145 232 7 ⇒ ⇒ VERB ejde-145 232 8 |〈v |〈v NOUN ejde-145 232 9 ( ( PUNCT ejde-145 232 10 u0 u0 PROPN ejde-145 232 11 ) ) PUNCT ejde-145 232 12 , , PUNCT ejde-145 232 13 h h NOUN ejde-145 232 14 〉 〉 NUM ejde-145 232 15 = = SYM ejde-145 232 16 ∫ ∫ PROPN ejde-145 232 17 ω ω PROPN ejde-145 232 18 e(z)(u+ e(z)(u+ PROPN ejde-145 232 19 0 0 NUM ejde-145 232 20 ) ) PUNCT ejde-145 232 21 τ−1hdz τ−1hdz PROPN ejde-145 233 1 + + NUM ejde-145 233 2 ∫ ∫ PROPN ejde-145 233 3 ω ω NUM ejde-145 233 4 f(z f(z PROPN ejde-145 233 5 , , PUNCT ejde-145 233 6 u+ u+ NUM ejde-145 233 7 0 0 NUM ejde-145 233 8 ) ) PUNCT ejde-145 233 9 hdz hdz NOUN ejde-145 233 10 ( ( PUNCT ejde-145 233 11 3.23 3.23 NUM ejde-145 233 12 ) ) PUNCT ejde-145 233 13 for for ADP ejde-145 233 14 all all DET ejde-145 233 15 h h NOUN ejde-145 233 16 ∈w ∈w NOUN ejde-145 233 17 1,η 1,η NOUN ejde-145 233 18 0 0 NUM ejde-145 233 19 ( ( PUNCT ejde-145 233 20 ω ω NOUN ejde-145 233 21 ) ) PUNCT ejde-145 233 22 . . PUNCT ejde-145 234 1 in in ADP ejde-145 234 2 ( ( PUNCT ejde-145 234 3 3.18 3.18 NUM ejde-145 234 4 ) ) PUNCT ejde-145 234 5 we we PRON ejde-145 234 6 use use VERB ejde-145 234 7 the the DET ejde-145 234 8 test test NOUN ejde-145 234 9 function function NOUN ejde-145 234 10 h h NOUN ejde-145 234 11 = = PUNCT ejde-145 234 12 −u−0 −u−0 NUM ejde-145 234 13 ∈ ∈ PROPN ejde-145 234 14 w w PROPN ejde-145 234 15 1,η 1,η NUM ejde-145 234 16 0 0 SYM ejde-145 234 17 ( ( PUNCT ejde-145 234 18 ω ω NOUN ejde-145 234 19 ) ) PUNCT ejde-145 234 20 and and CCONJ ejde-145 234 21 obtain obtain VERB ejde-145 234 22 that that DET ejde-145 234 23 u0 u0 ADJ ejde-145 234 24 ≥ ≥ NOUN ejde-145 234 25 0 0 NUM ejde-145 234 26 , , PUNCT ejde-145 234 27 u0 u0 ADJ ejde-145 234 28 6= 6= PRON ejde-145 234 29 0 0 NUM ejde-145 234 30 . . PUNCT ejde-145 235 1 hence hence ADV ejde-145 235 2 u0 u0 PROPN ejde-145 235 3 is be AUX ejde-145 235 4 a a DET ejde-145 235 5 nontrivial nontrivial ADJ ejde-145 235 6 positive positive ADJ ejde-145 235 7 solution solution NOUN ejde-145 235 8 of of ADP ejde-145 235 9 problem problem NOUN ejde-145 235 10 ( ( PUNCT ejde-145 235 11 1.1 1.1 NUM ejde-145 235 12 ) ) PUNCT ejde-145 235 13 . . PUNCT ejde-145 236 1 invoking invoke VERB ejde-145 236 2 [ [ X ejde-145 236 3 6 6 NUM ejde-145 236 4 , , PUNCT ejde-145 236 5 theorem theorem VERB ejde-145 236 6 3.1 3.1 NUM ejde-145 236 7 ] ] PUNCT ejde-145 236 8 we we PRON ejde-145 236 9 have have VERB ejde-145 236 10 that that DET ejde-145 236 11 u0 u0 ADJ ejde-145 236 12 ∈w ∈w NOUN ejde-145 236 13 1,η 1,η NOUN ejde-145 236 14 0 0 NUM ejde-145 236 15 ( ( PUNCT ejde-145 236 16 ω ω NOUN ejde-145 236 17 ) ) PUNCT ejde-145 236 18 ∩ ∩ NOUN ejde-145 236 19 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 236 20 ) ) PUNCT ejde-145 236 21 . . PUNCT ejde-145 237 1 ejde-2022/55 ejde-2022/55 ADJ ejde-145 237 2 double double ADJ ejde-145 237 3 phase phase NOUN ejde-145 237 4 equations equation NOUN ejde-145 237 5 9 9 NUM ejde-145 237 6 consider consider VERB ejde-145 237 7 u u PRON ejde-145 237 8 ∈w ∈w NOUN ejde-145 237 9 1,η 1,η NOUN ejde-145 237 10 0 0 NUM ejde-145 237 11 ( ( PUNCT ejde-145 237 12 ω ω NOUN ejde-145 237 13 ) ) PUNCT ejde-145 237 14 with with ADP ejde-145 237 15 u(z u(z NOUN ejde-145 237 16 ) ) PUNCT ejde-145 237 17 > > X ejde-145 237 18 0 0 PUNCT ejde-145 238 1 for for ADP ejde-145 238 2 a.a a.a PROPN ejde-145 238 3 . . PROPN ejde-145 238 4 z z PROPN ejde-145 238 5 ∈ ∈ PROPN ejde-145 238 6 ω ω X ejde-145 238 7 . . PUNCT ejde-145 238 8 hypothesis hypothesis NOUN ejde-145 238 9 ( ( PUNCT ejde-145 238 10 h2)(ii h2)(ii PROPN ejde-145 238 11 ) ) PUNCT ejde-145 238 12 implies imply VERB ejde-145 238 13 that that SCONJ ejde-145 238 14 ϕ(tu)→ ϕ(tu)→ X ejde-145 238 15 −∞ −∞ PUNCT ejde-145 238 16 as as ADP ejde-145 238 17 t→ t→ PRON ejde-145 238 18 + + ADJ ejde-145 238 19 ∞. ∞. PROPN ejde-145 238 20 this this DET ejde-145 238 21 fact fact NOUN ejde-145 238 22 and and CCONJ ejde-145 238 23 propositions proposition NOUN ejde-145 238 24 3.1 3.1 NUM ejde-145 238 25 and and CCONJ ejde-145 238 26 3.2 3.2 NUM ejde-145 238 27 , , PUNCT ejde-145 238 28 permit permit VERB ejde-145 238 29 the the DET ejde-145 238 30 use use NOUN ejde-145 238 31 the the DET ejde-145 238 32 mountain mountain NOUN ejde-145 238 33 pass pass NOUN ejde-145 238 34 theorem theorem NOUN ejde-145 238 35 . . PUNCT ejde-145 239 1 so so ADV ejde-145 239 2 , , PUNCT ejde-145 239 3 we we PRON ejde-145 239 4 can can AUX ejde-145 239 5 find find VERB ejde-145 239 6 û û NUM ejde-145 239 7 ∈w ∈w NOUN ejde-145 239 8 1,η 1,η NOUN ejde-145 239 9 0 0 NUM ejde-145 239 10 ( ( PUNCT ejde-145 239 11 ω ω NOUN ejde-145 239 12 ) ) PUNCT ejde-145 239 13 such such ADJ ejde-145 239 14 that that SCONJ ejde-145 239 15 û û NUM ejde-145 239 16 ∈ ∈ PROPN ejde-145 239 17 kϕ kϕ NOUN ejde-145 239 18 and and CCONJ ejde-145 239 19 ϕ(u0 ϕ(u0 NOUN ejde-145 239 20 ) ) PUNCT ejde-145 239 21 < < X ejde-145 239 22 0 0 PUNCT ejde-145 240 1 = = SYM ejde-145 240 2 ϕ(0 ϕ(0 PROPN ejde-145 240 3 ) ) PUNCT ejde-145 240 4 < < X ejde-145 240 5 m̂ m̂ X ejde-145 240 6 ≤ ≤ NUM ejde-145 240 7 ϕ(û ϕ(û PROPN ejde-145 240 8 ) ) PUNCT ejde-145 240 9 . . PUNCT ejde-145 241 1 then then ADV ejde-145 241 2 û û PRON ejde-145 241 3 ≥ ≥ NOUN ejde-145 241 4 0 0 NUM ejde-145 241 5 , , PUNCT ejde-145 241 6 û û NUM ejde-145 241 7 6= 6= ADP ejde-145 241 8 0 0 NUM ejde-145 241 9 , , PUNCT ejde-145 241 10 is be AUX ejde-145 241 11 a a DET ejde-145 241 12 solution solution NOUN ejde-145 241 13 of of ADP ejde-145 241 14 ( ( PUNCT ejde-145 241 15 1.1 1.1 NUM ejde-145 241 16 ) ) PUNCT ejde-145 241 17 and and CCONJ ejde-145 241 18 as as ADP ejde-145 241 19 before before ADP ejde-145 241 20 û û NUM ejde-145 241 21 ∈ ∈ PROPN ejde-145 241 22 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-145 241 23 ) ) PUNCT ejde-145 241 24 . . PUNCT ejde-145 242 1 � � PROPN ejde-145 242 2 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-145 242 3 . . PUNCT ejde-145 243 1 the the DET ejde-145 243 2 authors author NOUN ejde-145 243 3 wish wish VERB ejde-145 243 4 to to PART ejde-145 243 5 thank thank VERB ejde-145 243 6 the the DET ejde-145 243 7 referees referee NOUN ejde-145 243 8 for for ADP ejde-145 243 9 their their PRON ejde-145 243 10 helpful helpful ADJ ejde-145 243 11 remarks remark NOUN ejde-145 243 12 . . PUNCT ejde-145 244 1 this this DET ejde-145 244 2 research research NOUN ejde-145 244 3 was be AUX ejde-145 244 4 partially partially ADV ejde-145 244 5 supported support VERB ejde-145 244 6 by by ADP ejde-145 244 7 the the DET ejde-145 244 8 nnsf nnsf PROPN ejde-145 244 9 of of ADP ejde-145 244 10 china china PROPN ejde-145 244 11 grant grant VERB ejde-145 244 12 no no DET ejde-145 244 13 . . PROPN ejde-145 244 14 12071413 12071413 NUM ejde-145 244 15 . . PUNCT ejde-145 245 1 references reference NOUN ejde-145 245 2 [ [ X ejde-145 245 3 1 1 X ejde-145 245 4 ] ] PUNCT ejde-145 245 5 ambrosetti ambrosetti PROPN ejde-145 245 6 , , PUNCT ejde-145 245 7 a. a. NOUN ejde-145 245 8 ; ; PUNCT ejde-145 245 9 brezis brezis PROPN ejde-145 245 10 , , PUNCT ejde-145 245 11 h. h. PROPN ejde-145 245 12 ; ; PUNCT ejde-145 245 13 cerami cerami PROPN ejde-145 245 14 , , PUNCT ejde-145 245 15 g. g. PROPN ejde-145 245 16 ; ; PUNCT ejde-145 245 17 combined combine VERB ejde-145 245 18 effects effect NOUN ejde-145 245 19 of of ADP ejde-145 245 20 concave concave NOUN ejde-145 245 21 and and CCONJ ejde-145 245 22 convex convex NOUN ejde-145 245 23 nonlinearrities nonlinearritie NOUN ejde-145 245 24 in in ADP ejde-145 245 25 some some DET ejde-145 245 26 elliptic elliptic ADJ ejde-145 245 27 problems problem NOUN ejde-145 245 28 , , PUNCT ejde-145 245 29 j. j. PROPN ejde-145 245 30 funct.anal funct.anal PROPN ejde-145 245 31 . . PROPN ejde-145 245 32 122 122 NUM ejde-145 245 33 ( ( PUNCT ejde-145 245 34 1994 1994 NUM ejde-145 245 35 ) ) PUNCT ejde-145 245 36 , , PUNCT ejde-145 245 37 519–543 519–543 NUM ejde-145 245 38 . . PUNCT ejde-145 246 1 [ [ X ejde-145 246 2 2 2 NUM ejde-145 246 3 ] ] X ejde-145 246 4 anello anello PROPN ejde-145 246 5 , , PUNCT ejde-145 246 6 g. g. PROPN ejde-145 246 7 ; ; PUNCT ejde-145 246 8 positive positive ADJ ejde-145 246 9 solutions solution NOUN ejde-145 246 10 to to ADP ejde-145 246 11 a a DET ejde-145 246 12 dirichlet dirichlet PROPN ejde-145 246 13 problem problem NOUN ejde-145 246 14 with with ADP ejde-145 246 15 non non ADJ ejde-145 246 16 - - ADJ ejde-145 246 17 lipschitz lipschitz ADJ ejde-145 246 18 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-145 246 19 , , PUNCT ejde-145 246 20 electron electron NOUN ejde-145 246 21 . . PUNCT ejde-145 247 1 j. j. PROPN ejde-145 247 2 differential differential PROPN ejde-145 247 3 equations equations PROPN ejde-145 247 4 , , PUNCT ejde-145 247 5 2021(2021 2021(2021 NUM ejde-145 247 6 ) ) PUNCT ejde-145 247 7 , , PUNCT ejde-145 247 8 no.30 no.30 NOUN ejde-145 247 9 , , PUNCT ejde-145 247 10 9 9 NUM ejde-145 247 11 pp pp NOUN ejde-145 247 12 . . PUNCT ejde-145 248 1 [ [ X ejde-145 248 2 3 3 NUM ejde-145 248 3 ] ] X ejde-145 248 4 baroni baroni NOUN ejde-145 248 5 , , PUNCT ejde-145 248 6 p. p. NOUN ejde-145 248 7 ; ; PUNCT ejde-145 248 8 colombo colombo NOUN ejde-145 248 9 , , PUNCT ejde-145 248 10 m. m. NOUN ejde-145 248 11 ; ; PUNCT ejde-145 248 12 mingione mingione NOUN ejde-145 248 13 , , PUNCT ejde-145 248 14 g. g. NOUN ejde-145 248 15 ; ; PUNCT ejde-145 248 16 regularity regularity NOUN ejde-145 248 17 for for ADP ejde-145 248 18 general general ADJ ejde-145 248 19 functionals functional NOUN ejde-145 248 20 with with ADP ejde-145 248 21 double double ADJ ejde-145 248 22 phase phase NOUN ejde-145 248 23 . . PUNCT ejde-145 249 1 calc calc PROPN ejde-145 249 2 . . PUNCT ejde-145 250 1 var var PROPN ejde-145 250 2 . . PUNCT ejde-145 251 1 57 57 NUM ejde-145 251 2 ( ( PUNCT ejde-145 251 3 2018 2018 NUM ejde-145 251 4 ) ) PUNCT ejde-145 251 5 , , PUNCT ejde-145 251 6 art art NOUN ejde-145 251 7 . . PUNCT ejde-145 252 1 62 62 NUM ejde-145 252 2 , , PUNCT ejde-145 252 3 48 48 NUM ejde-145 252 4 pp pp NOUN ejde-145 252 5 [ [ X ejde-145 252 6 4 4 X ejde-145 252 7 ] ] X ejde-145 252 8 garcia garcia PROPN ejde-145 252 9 azorero azorero PROPN ejde-145 252 10 , , PUNCT ejde-145 252 11 j. j. PROPN ejde-145 252 12 p. p. PROPN ejde-145 252 13 ; ; PUNCT ejde-145 252 14 manfredi manfredi PROPN ejde-145 252 15 , , PUNCT ejde-145 252 16 j. j. PROPN ejde-145 252 17 j. j. PROPN ejde-145 252 18 ; ; PUNCT ejde-145 252 19 peral peral PROPN ejde-145 252 20 alonso alonso PROPN ejde-145 252 21 , , PUNCT ejde-145 252 22 i. i. NOUN ejde-145 252 23 ; ; PUNCT ejde-145 252 24 sobolev sobolev NOUN ejde-145 252 25 versus versus ADP ejde-145 252 26 hölder hölder VERB ejde-145 252 27 local local ADJ ejde-145 252 28 minimizers minimizer NOUN ejde-145 252 29 and and CCONJ ejde-145 252 30 global global ADJ ejde-145 252 31 multiplicity multiplicity NOUN ejde-145 252 32 for for ADP ejde-145 252 33 some some DET ejde-145 252 34 quasilinear quasilinear ADJ ejde-145 252 35 elliptic elliptic ADJ ejde-145 252 36 equations equation NOUN ejde-145 252 37 , , PUNCT ejde-145 252 38 comm comm NOUN ejde-145 252 39 . . PUNCT ejde-145 253 1 contemp contemp NOUN ejde-145 253 2 . . PUNCT ejde-145 254 1 math math NOUN ejde-145 254 2 . . PUNCT ejde-145 254 3 , , PUNCT ejde-145 254 4 2 2 NUM ejde-145 254 5 ( ( PUNCT ejde-145 254 6 2000 2000 NUM ejde-145 254 7 ) ) PUNCT ejde-145 254 8 , , PUNCT ejde-145 254 9 385–404 385–404 NUM ejde-145 254 10 . . PUNCT ejde-145 255 1 [ [ X ejde-145 255 2 5 5 NUM ejde-145 255 3 ] ] X ejde-145 255 4 gasiński gasiński PROPN ejde-145 255 5 , , PUNCT ejde-145 255 6 l. l. PROPN ejde-145 255 7 ; ; PUNCT ejde-145 255 8 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 255 9 , , PUNCT ejde-145 255 10 n. n. PROPN ejde-145 255 11 s. s. PROPN ejde-145 255 12 ; ; PUNCT ejde-145 255 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 255 14 analysis analysis NOUN ejde-145 255 15 , , PUNCT ejde-145 255 16 chapman chapman PROPN ejde-145 255 17 & & CCONJ ejde-145 255 18 hall hall PROPN ejde-145 255 19 / / SYM ejde-145 255 20 crc crc PROPN ejde-145 255 21 , , PUNCT ejde-145 255 22 boca boca PROPN ejde-145 255 23 raton raton PROPN ejde-145 255 24 , , PUNCT ejde-145 255 25 fl fl PROPN ejde-145 255 26 , , PUNCT ejde-145 255 27 2006 2006 NUM ejde-145 255 28 . . PUNCT ejde-145 256 1 [ [ X ejde-145 256 2 6 6 NUM ejde-145 256 3 ] ] X ejde-145 256 4 gasiński gasiński PROPN ejde-145 256 5 , , PUNCT ejde-145 256 6 l. l. PROPN ejde-145 256 7 ; ; PUNCT ejde-145 256 8 winkert winkert NOUN ejde-145 256 9 , , PUNCT ejde-145 256 10 p. p. NOUN ejde-145 256 11 ; ; PUNCT ejde-145 256 12 constant constant ADJ ejde-145 256 13 sign sign NOUN ejde-145 256 14 solutions solution NOUN ejde-145 256 15 for for ADP ejde-145 256 16 double double ADJ ejde-145 256 17 phase phase NOUN ejde-145 256 18 problems problem NOUN ejde-145 256 19 with with ADP ejde-145 256 20 superlinear superlinear NOUN ejde-145 256 21 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-145 256 22 . . PUNCT ejde-145 257 1 nonlin nonlin PROPN ejde-145 257 2 . . PUNCT ejde-145 258 1 anal anal PROPN ejde-145 258 2 . . PUNCT ejde-145 259 1 195 195 NUM ejde-145 259 2 ( ( PUNCT ejde-145 259 3 2020 2020 NUM ejde-145 259 4 ) ) PUNCT ejde-145 259 5 111739 111739 NUM ejde-145 259 6 . . PUNCT ejde-145 260 1 [ [ X ejde-145 260 2 7 7 X ejde-145 260 3 ] ] PUNCT ejde-145 260 4 harjulehto harjulehto NOUN ejde-145 260 5 , , PUNCT ejde-145 260 6 p. p. NOUN ejde-145 260 7 , , PUNCT ejde-145 260 8 hästo hästo NOUN ejde-145 260 9 , , PUNCT ejde-145 260 10 p. p. NOUN ejde-145 260 11 ; ; PUNCT ejde-145 260 12 orlicz orlicz NOUN ejde-145 260 13 spaces space NOUN ejde-145 260 14 and and CCONJ ejde-145 260 15 generalized generalized ADJ ejde-145 260 16 orlicz orlicz ADJ ejde-145 260 17 spaces space NOUN ejde-145 260 18 , , PUNCT ejde-145 260 19 springer springer NOUN ejde-145 260 20 , , PUNCT ejde-145 260 21 cham cham NOUN ejde-145 260 22 , , PUNCT ejde-145 260 23 2019 2019 NUM ejde-145 260 24 . . PUNCT ejde-145 261 1 [ [ X ejde-145 261 2 8 8 NUM ejde-145 261 3 ] ] X ejde-145 261 4 liu liu PROPN ejde-145 261 5 , , PUNCT ejde-145 261 6 w. w. PROPN ejde-145 261 7 ; ; PUNCT ejde-145 261 8 dai dai PROPN ejde-145 261 9 , , PUNCT ejde-145 261 10 g. g. PROPN ejde-145 261 11 ; ; PUNCT ejde-145 261 12 existence existence NOUN ejde-145 261 13 and and CCONJ ejde-145 261 14 multiplicity multiplicity NOUN ejde-145 261 15 results result NOUN ejde-145 261 16 for for ADP ejde-145 261 17 double double ADJ ejde-145 261 18 phase phase NOUN ejde-145 261 19 problems problem NOUN ejde-145 261 20 . . PUNCT ejde-145 262 1 j. j. PROPN ejde-145 262 2 differential differential PROPN ejde-145 262 3 equ equ PROPN ejde-145 262 4 . . PROPN ejde-145 262 5 , , PUNCT ejde-145 262 6 265 265 NUM ejde-145 262 7 ( ( PUNCT ejde-145 262 8 2018 2018 NUM ejde-145 262 9 ) ) PUNCT ejde-145 262 10 , , PUNCT ejde-145 262 11 4311–4334 4311–4334 NUM ejde-145 262 12 . . PUNCT ejde-145 263 1 [ [ X ejde-145 263 2 9 9 NUM ejde-145 263 3 ] ] X ejde-145 263 4 liu liu PROPN ejde-145 263 5 , , PUNCT ejde-145 263 6 z. z. PROPN ejde-145 263 7 ; ; PUNCT ejde-145 263 8 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 263 9 , , PUNCT ejde-145 263 10 n. n. PROPN ejde-145 263 11 s. s. PROPN ejde-145 263 12 ; ; PUNCT ejde-145 263 13 anisotropic anisotropic NOUN ejde-145 263 14 ( ( PUNCT ejde-145 263 15 p p X ejde-145 263 16 , , PUNCT ejde-145 263 17 q)-equations q)-equation NOUN ejde-145 263 18 with with ADP ejde-145 263 19 cometition cometition NOUN ejde-145 263 20 phenomena phenomenon NOUN ejde-145 263 21 , , PUNCT ejde-145 263 22 acta acta PROPN ejde-145 263 23 math math PROPN ejde-145 263 24 . . PUNCT ejde-145 264 1 sci sci PROPN ejde-145 264 2 . . PROPN ejde-145 264 3 , , PUNCT ejde-145 264 4 42b 42b NUM ejde-145 264 5 ( ( PUNCT ejde-145 264 6 2022 2022 NUM ejde-145 264 7 ) ) PUNCT ejde-145 264 8 , , PUNCT ejde-145 264 9 1–24 1–24 PROPN ejde-145 264 10 . . PUNCT ejde-145 265 1 [ [ X ejde-145 265 2 10 10 NUM ejde-145 265 3 ] ] X ejde-145 265 4 marcellini marcellini NOUN ejde-145 265 5 , , PUNCT ejde-145 265 6 p. p. NOUN ejde-145 265 7 ; ; PUNCT ejde-145 265 8 regularity regularity NOUN ejde-145 265 9 and and CCONJ ejde-145 265 10 existence existence NOUN ejde-145 265 11 of of ADP ejde-145 265 12 solutions solution NOUN ejde-145 265 13 of of ADP ejde-145 265 14 elliptic elliptic ADJ ejde-145 265 15 equations equation NOUN ejde-145 265 16 with with ADP ejde-145 265 17 p p X ejde-145 265 18 , , PUNCT ejde-145 265 19 q q ADJ ejde-145 265 20 - - PUNCT ejde-145 265 21 growth growth NOUN ejde-145 265 22 coditions codition NOUN ejde-145 265 23 . . PUNCT ejde-145 266 1 j. j. PROPN ejde-145 266 2 differential differential PROPN ejde-145 266 3 equ equ PROPN ejde-145 266 4 . . PROPN ejde-145 267 1 90 90 NUM ejde-145 267 2 ( ( PUNCT ejde-145 267 3 1991 1991 NUM ejde-145 267 4 ) ) PUNCT ejde-145 267 5 , , PUNCT ejde-145 267 6 1 1 NUM ejde-145 267 7 - - SYM ejde-145 267 8 30 30 NUM ejde-145 267 9 . . PUNCT ejde-145 268 1 [ [ X ejde-145 268 2 11 11 NUM ejde-145 268 3 ] ] SYM ejde-145 268 4 marcellini marcellini NOUN ejde-145 268 5 , , PUNCT ejde-145 268 6 p. p. NOUN ejde-145 268 7 ; ; PUNCT ejde-145 268 8 growth growth NOUN ejde-145 268 9 conditions condition NOUN ejde-145 268 10 and and CCONJ ejde-145 268 11 regalarity regalarity NOUN ejde-145 268 12 for for ADP ejde-145 268 13 weak weak ADJ ejde-145 268 14 solutions solution NOUN ejde-145 268 15 to to ADP ejde-145 268 16 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 268 17 elliptic elliptic ADJ ejde-145 268 18 pdes pde NOUN ejde-145 268 19 . . PUNCT ejde-145 269 1 j. j. PROPN ejde-145 269 2 math math PROPN ejde-145 269 3 . . PUNCT ejde-145 270 1 anal anal PROPN ejde-145 270 2 . . PUNCT ejde-145 271 1 appl appl PROPN ejde-145 271 2 . . PROPN ejde-145 272 1 501 501 NUM ejde-145 272 2 ( ( PUNCT ejde-145 272 3 2021 2021 NUM ejde-145 272 4 ) ) PUNCT ejde-145 272 5 , , PUNCT ejde-145 272 6 124408 124408 NUM ejde-145 272 7 . . PUNCT ejde-145 273 1 [ [ X ejde-145 273 2 12 12 NUM ejde-145 273 3 ] ] PUNCT ejde-145 273 4 mingione mingione NOUN ejde-145 273 5 , , PUNCT ejde-145 273 6 g. g. PROPN ejde-145 273 7 ; ; PUNCT ejde-145 273 8 rădulescu rădulescu PROPN ejde-145 273 9 , , PUNCT ejde-145 273 10 v. v. PROPN ejde-145 273 11 d. d. PROPN ejde-145 273 12 ; ; PUNCT ejde-145 273 13 recent recent ADJ ejde-145 273 14 developments development NOUN ejde-145 273 15 in in ADP ejde-145 273 16 problems problem NOUN ejde-145 273 17 with with ADP ejde-145 273 18 nonstandard nonstandard ADJ ejde-145 273 19 growth growth NOUN ejde-145 273 20 and and CCONJ ejde-145 273 21 nonuniform nonuniform NOUN ejde-145 273 22 ellipticity ellipticity NOUN ejde-145 273 23 . . PUNCT ejde-145 274 1 j. j. PROPN ejde-145 274 2 math math PROPN ejde-145 274 3 . . PUNCT ejde-145 275 1 anal anal PROPN ejde-145 275 2 . . PUNCT ejde-145 276 1 appl appl PROPN ejde-145 276 2 . . PROPN ejde-145 276 3 , , PUNCT ejde-145 276 4 501 501 NUM ejde-145 276 5 ( ( PUNCT ejde-145 276 6 2021 2021 NUM ejde-145 276 7 ) ) PUNCT ejde-145 276 8 , , PUNCT ejde-145 276 9 125197 125197 NUM ejde-145 276 10 . . PUNCT ejde-145 277 1 [ [ X ejde-145 277 2 13 13 NUM ejde-145 277 3 ] ] SYM ejde-145 277 4 mugnai mugnai NOUN ejde-145 277 5 , , PUNCT ejde-145 277 6 d. d. PROPN ejde-145 277 7 ; ; PUNCT ejde-145 277 8 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 277 9 , , PUNCT ejde-145 277 10 n. n. PROPN ejde-145 277 11 s. s. PROPN ejde-145 277 12 ; ; PUNCT ejde-145 277 13 resonant resonant VERB ejde-145 277 14 nonlinear nonlinear PROPN ejde-145 277 15 neumann neumann PROPN ejde-145 277 16 problems problem NOUN ejde-145 277 17 with with ADP ejde-145 277 18 indefinite indefinite ADJ ejde-145 277 19 weight weight NOUN ejde-145 277 20 , , PUNCT ejde-145 277 21 annali annali PROPN ejde-145 277 22 scu scu PROPN ejde-145 277 23 . . PUNCT ejde-145 278 1 norm norm PROPN ejde-145 278 2 . . PUNCT ejde-145 279 1 sup sup NOUN ejde-145 279 2 . . PUNCT ejde-145 280 1 pisa pisa PROPN ejde-145 280 2 , , PUNCT ejde-145 280 3 11 11 NUM ejde-145 280 4 ( ( PUNCT ejde-145 280 5 2012 2012 NUM ejde-145 280 6 ) ) PUNCT ejde-145 280 7 , , PUNCT ejde-145 280 8 729–788 729–788 NUM ejde-145 280 9 . . PUNCT ejde-145 281 1 [ [ X ejde-145 281 2 14 14 NUM ejde-145 281 3 ] ] X ejde-145 281 4 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 281 5 , , PUNCT ejde-145 281 6 n. n. PROPN ejde-145 281 7 s. s. PROPN ejde-145 281 8 ; ; PUNCT ejde-145 281 9 rădulescu rădulescu PROPN ejde-145 281 10 , , PUNCT ejde-145 281 11 v. v. PROPN ejde-145 281 12 d. d. PROPN ejde-145 281 13 ; ; PUNCT ejde-145 281 14 repovš repovš NOUN ejde-145 281 15 , , PUNCT ejde-145 281 16 d. d. PROPN ejde-145 281 17 ; ; PUNCT ejde-145 281 18 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 281 19 analysis analysis NOUN ejde-145 281 20 - - PUNCT ejde-145 281 21 theory theory NOUN ejde-145 281 22 and and CCONJ ejde-145 281 23 methods method NOUN ejde-145 281 24 . . PUNCT ejde-145 282 1 springer springer NOUN ejde-145 282 2 , , PUNCT ejde-145 282 3 cham cham PROPN ejde-145 282 4 , , PUNCT ejde-145 282 5 2019 2019 NUM ejde-145 282 6 . . PUNCT ejde-145 283 1 [ [ X ejde-145 283 2 15 15 NUM ejde-145 283 3 ] ] X ejde-145 283 4 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-145 283 5 , , PUNCT ejde-145 283 6 n. n. PROPN ejde-145 283 7 s. s. PROPN ejde-145 283 8 , , PUNCT ejde-145 283 9 winkert winkert NOUN ejde-145 283 10 , , PUNCT ejde-145 283 11 p. p. PROPN ejde-145 283 12 ; ; PUNCT ejde-145 283 13 applied apply VERB ejde-145 283 14 nonlinear nonlinear ADJ ejde-145 283 15 functional functional ADJ ejde-145 283 16 analysis analysis NOUN ejde-145 283 17 , , PUNCT ejde-145 283 18 de de NOUN ejde-145 283 19 gruyter gruyter NOUN ejde-145 283 20 , , PUNCT ejde-145 283 21 berlin berlin PROPN ejde-145 283 22 , , PUNCT ejde-145 283 23 2018 2018 NUM ejde-145 283 24 . . PUNCT ejde-145 284 1 [ [ X ejde-145 284 2 16 16 NUM ejde-145 284 3 ] ] X ejde-145 284 4 zhikov zhikov NOUN ejde-145 284 5 , , PUNCT ejde-145 284 6 v. v. PROPN ejde-145 285 1 v. v. ADV ejde-145 286 1 ; ; PUNCT ejde-145 286 2 averaging average VERB ejde-145 286 3 of of ADP ejde-145 286 4 functionals functional NOUN ejde-145 286 5 of of ADP ejde-145 286 6 the the DET ejde-145 286 7 calculus calculus NOUN ejde-145 286 8 of of ADP ejde-145 286 9 variations variation NOUN ejde-145 286 10 and and CCONJ ejde-145 286 11 elasticity elasticity NOUN ejde-145 286 12 . . PUNCT ejde-145 287 1 math math NOUN ejde-145 287 2 . . PUNCT ejde-145 288 1 ussr ussr PROPN ejde-145 288 2 - - PUNCT ejde-145 288 3 izv izv PROPN ejde-145 288 4 . . PROPN ejde-145 288 5 29 29 NUM ejde-145 288 6 ( ( PUNCT ejde-145 288 7 1987 1987 NUM ejde-145 288 8 ) ) PUNCT ejde-145 288 9 , , PUNCT ejde-145 288 10 33 33 NUM ejde-145 288 11 - - SYM ejde-145 288 12 66 66 NUM ejde-145 288 13 . . PUNCT ejde-145 289 1 zhenhai zhenhai PROPN ejde-145 289 2 liu liu PROPN ejde-145 289 3 guangxi guangxi PROPN ejde-145 289 4 colleges college NOUN ejde-145 289 5 and and CCONJ ejde-145 289 6 universities university NOUN ejde-145 289 7 , , PUNCT ejde-145 289 8 key key ADJ ejde-145 289 9 laboratory laboratory NOUN ejde-145 289 10 of of ADP ejde-145 289 11 complex complex ADJ ejde-145 289 12 system system NOUN ejde-145 289 13 optimization optimization NOUN ejde-145 289 14 and and CCONJ ejde-145 289 15 big big ADJ ejde-145 289 16 data datum NOUN ejde-145 289 17 processing processing NOUN ejde-145 289 18 , , PUNCT ejde-145 289 19 yulin yulin NOUN ejde-145 289 20 normal normal ADJ ejde-145 289 21 university university NOUN ejde-145 289 22 , , PUNCT ejde-145 289 23 yulin yulin NOUN ejde-145 289 24 537000 537000 NUM ejde-145 289 25 , , PUNCT ejde-145 289 26 china china PROPN ejde-145 289 27 . . PUNCT ejde-145 290 1 guangxi guangxi PROPN ejde-145 290 2 colleges college NOUN ejde-145 290 3 and and CCONJ ejde-145 290 4 universities university NOUN ejde-145 290 5 , , PUNCT ejde-145 290 6 key key ADJ ejde-145 290 7 laboratory laboratory NOUN ejde-145 290 8 of of ADP ejde-145 290 9 optimization optimization NOUN ejde-145 290 10 control control NOUN ejde-145 290 11 and and CCONJ ejde-145 290 12 engineering engineering NOUN ejde-145 290 13 calculation calculation NOUN ejde-145 290 14 , , PUNCT ejde-145 290 15 guangxi guangxi PROPN ejde-145 290 16 minzu minzu PROPN ejde-145 290 17 university university PROPN ejde-145 290 18 , , PUNCT ejde-145 290 19 nanning nanning PROPN ejde-145 290 20 , , PUNCT ejde-145 290 21 guangxi guangxi PROPN ejde-145 290 22 , , PUNCT ejde-145 290 23 530006 530006 NUM ejde-145 290 24 , , PUNCT ejde-145 290 25 china china PROPN ejde-145 290 26 email email NOUN ejde-145 290 27 address address NOUN ejde-145 290 28 : : PUNCT ejde-145 291 1 zhhliu@hotmail.com zhhliu@hotmail.com X ejde-145 291 2 10 10 NUM ejde-145 291 3 z. z. PROPN ejde-145 291 4 liu liu PROPN ejde-145 291 5 , , PUNCT ejde-145 291 6 n. n. PROPN ejde-145 291 7 s. s. PROPN ejde-145 291 8 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 291 9 ejde-2022/55 ejde-2022/55 PROPN ejde-145 291 10 nikolaos nikolaos PROPN ejde-145 291 11 s. s. PROPN ejde-145 291 12 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-145 291 13 department department PROPN ejde-145 291 14 of of ADP ejde-145 291 15 mathematics mathematics PROPN ejde-145 291 16 , , PUNCT ejde-145 291 17 national national PROPN ejde-145 291 18 technical technical PROPN ejde-145 291 19 university university PROPN ejde-145 291 20 , , PUNCT ejde-145 291 21 zografou zografou PROPN ejde-145 291 22 campus campus PROPN ejde-145 291 23 , , PUNCT ejde-145 291 24 15780 15780 NUM ejde-145 291 25 athens athens PROPN ejde-145 291 26 , , PUNCT ejde-145 291 27 greece greece PROPN ejde-145 291 28 email email NOUN ejde-145 291 29 address address NOUN ejde-145 291 30 : : PUNCT ejde-145 291 31 npapg@math.ntua.gr npapg@math.ntua.gr ADV ejde-145 291 32 1 1 NUM ejde-145 291 33 . . PUNCT ejde-145 291 34 introduction introduction NOUN ejde-145 291 35 2 2 NUM ejde-145 291 36 . . PUNCT ejde-145 291 37 mathematical mathematical ADJ ejde-145 291 38 background background NOUN ejde-145 291 39 3 3 NUM ejde-145 291 40 . . PUNCT ejde-145 291 41 positive positive ADJ ejde-145 291 42 solutions solution NOUN ejde-145 291 43 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-145 291 44 references reference NOUN