id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1469	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1469	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1469	1	3	of	of	ADP
ejde-1469	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1469	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1469	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1469	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1469	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1469	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1469	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	1	14	no	no	INTJ
ejde-1469	1	15	.	.	NOUN
ejde-1469	1	16	99	99	NUM
ejde-1469	1	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-1469	1	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	2	1	1–13	1–13	NOUN
ejde-1469	2	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-1469	3	2	:	:	PUNCT
ejde-1469	3	3	1072	1072	NUM
ejde-1469	3	4	-	-	SYM
ejde-1469	3	5	6691	6691	NUM
ejde-1469	3	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	4	1	url	url	PROPN
ejde-1469	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1469	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1469	4	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	4	5	doi	doi	NOUN
ejde-1469	4	6	:	:	PUNCT
ejde-1469	4	7	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1469	4	8	/	/	SYM
ejde-1469	4	9	ejde.2025.99	ejde.2025.99	NOUN
ejde-1469	4	10	combined	combine	VERB
ejde-1469	4	11	effects	effect	NOUN
ejde-1469	4	12	of	of	ADP
ejde-1469	4	13	critical	critical	ADJ
ejde-1469	4	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	4	15	-	-	PUNCT
ejde-1469	4	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	4	17	exponent	exponent	NOUN
ejde-1469	4	18	and	and	CCONJ
ejde-1469	4	19	singular	singular	ADJ
ejde-1469	4	20	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	4	21	in	in	ADP
ejde-1469	4	22	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	4	23	problems	problem	NOUN
ejde-1469	4	24	with	with	ADP
ejde-1469	4	25	variable	variable	ADJ
ejde-1469	4	26	weights	weight	NOUN
ejde-1469	4	27	sarah	sarah	PROPN
ejde-1469	4	28	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	4	29	,	,	PUNCT
ejde-1469	4	30	kamel	kamel	PROPN
ejde-1469	4	31	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	4	32	abstract	abstract	NOUN
ejde-1469	4	33	.	.	PUNCT
ejde-1469	5	1	this	this	DET
ejde-1469	5	2	article	article	NOUN
ejde-1469	5	3	studies	study	VERB
ejde-1469	5	4	a	a	DET
ejde-1469	5	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	5	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	5	7	equation	equation	NOUN
ejde-1469	5	8	that	that	PRON
ejde-1469	5	9	involves	involve	VERB
ejde-1469	5	10	a	a	DET
ejde-1469	5	11	critical	critical	ADJ
ejde-1469	5	12	hardysobolev	hardysobolev	ADJ
ejde-1469	5	13	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1469	5	14	along	along	ADP
ejde-1469	5	15	with	with	ADP
ejde-1469	5	16	a	a	DET
ejde-1469	5	17	singular	singular	ADJ
ejde-1469	5	18	term	term	NOUN
ejde-1469	5	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	5	20	(	(	PUNCT
ejde-1469	5	21	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	5	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	5	23	su	su	NOUN
ejde-1469	6	1	=	=	SYM
ejde-1469	6	2	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NOUN
ejde-1469	6	3	±	±	NOUN
ejde-1469	6	4	g(x)|u|p∗s(t)−2u	g(x)|u|p∗s(t)−2u	NOUN
ejde-1469	6	5	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	6	6	in	in	ADP
ejde-1469	6	7	ω	ω	NUM
ejde-1469	6	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	6	9	u	u	NOUN
ejde-1469	6	10	>	>	X
ejde-1469	6	11	0	0	PUNCT
ejde-1469	7	1	in	in	ADP
ejde-1469	7	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	7	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	7	4	u	u	NOUN
ejde-1469	7	5	=	=	NOUN
ejde-1469	7	6	0	0	NUM
ejde-1469	7	7	in	in	ADP
ejde-1469	7	8	rn	rn	PROPN
ejde-1469	7	9	\	\	PROPN
ejde-1469	7	10	ω	ω	PROPN
ejde-1469	7	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	7	12	where	where	SCONJ
ejde-1469	7	13	ω	ω	PROPN
ejde-1469	7	14	is	be	AUX
ejde-1469	7	15	a	a	DET
ejde-1469	7	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-1469	7	17	domain	domain	NOUN
ejde-1469	7	18	in	in	ADP
ejde-1469	7	19	rn	rn	PROPN
ejde-1469	7	20	with	with	ADP
ejde-1469	7	21	a	a	DET
ejde-1469	7	22	smooth	smooth	ADJ
ejde-1469	7	23	boundary	boundary	ADJ
ejde-1469	7	24	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1469	7	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	7	26	and	and	CCONJ
ejde-1469	7	27	0	0	NUM
ejde-1469	7	28	∈	∈	PROPN
ejde-1469	7	29	ω	ω	NOUN
ejde-1469	7	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	8	1	the	the	DET
ejde-1469	8	2	dimension	dimension	NOUN
ejde-1469	8	3	n	n	PRON
ejde-1469	8	4	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1469	8	5	n	n	CCONJ
ejde-1469	8	6	>	>	X
ejde-1469	8	7	sp	sp	NOUN
ejde-1469	8	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	8	9	s	s	NOUN
ejde-1469	8	10	∈	∈	PROPN
ejde-1469	8	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	8	12	0	0	NUM
ejde-1469	8	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	8	14	1	1	NUM
ejde-1469	8	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	8	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	8	17	λ	λ	X
ejde-1469	8	18	>	>	X
ejde-1469	8	19	0	0	NUM
ejde-1469	8	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	8	21	0	0	NUM
ejde-1469	8	22	<	<	X
ejde-1469	8	23	γ	γ	X
ejde-1469	8	24	<	<	X
ejde-1469	8	25	1	1	NUM
ejde-1469	8	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	8	27	and	and	CCONJ
ejde-1469	8	28	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	8	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	8	30	=	=	SYM
ejde-1469	8	31	p(n−t	p(n−t	ADJ
ejde-1469	8	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	8	33	n−sp	n−sp	PROPN
ejde-1469	8	34	represent	represent	VERB
ejde-1469	8	35	the	the	DET
ejde-1469	8	36	critical	critical	ADJ
ejde-1469	8	37	hardysobolev	hardysobolev	ADJ
ejde-1469	8	38	exponent	exponent	NOUN
ejde-1469	8	39	.	.	PUNCT
ejde-1469	9	1	the	the	DET
ejde-1469	9	2	weight	weight	NOUN
ejde-1469	9	3	functions	function	NOUN
ejde-1469	9	4	f	f	PROPN
ejde-1469	9	5	and	and	CCONJ
ejde-1469	9	6	g	g	PROPN
ejde-1469	9	7	are	be	AUX
ejde-1469	9	8	elements	element	NOUN
ejde-1469	9	9	of	of	ADP
ejde-1469	9	10	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1469	9	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	9	12	and	and	CCONJ
ejde-1469	9	13	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1469	9	14	specific	specific	ADJ
ejde-1469	9	15	positivity	positivity	NOUN
ejde-1469	9	16	conditions	condition	NOUN
ejde-1469	9	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	9	18	and	and	CCONJ
ejde-1469	9	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	9	20	−∆p)su	−∆p)su	NOUN
ejde-1469	9	21	is	be	AUX
ejde-1469	9	22	the	the	DET
ejde-1469	9	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	9	24	p	p	ADJ
ejde-1469	9	25	-	-	PUNCT
ejde-1469	9	26	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	9	27	operator	operator	NOUN
ejde-1469	9	28	.	.	PUNCT
ejde-1469	10	1	we	we	PRON
ejde-1469	10	2	use	use	VERB
ejde-1469	10	3	the	the	DET
ejde-1469	10	4	method	method	NOUN
ejde-1469	10	5	of	of	ADP
ejde-1469	10	6	suband	suband	NOUN
ejde-1469	10	7	super	super	NOUN
ejde-1469	10	8	-	-	NOUN
ejde-1469	10	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	10	10	combined	combine	VERB
ejde-1469	10	11	with	with	ADP
ejde-1469	10	12	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1469	10	13	arguments	argument	NOUN
ejde-1469	10	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	10	15	to	to	PART
ejde-1469	10	16	establish	establish	VERB
ejde-1469	10	17	the	the	DET
ejde-1469	10	18	existence	existence	NOUN
ejde-1469	10	19	and	and	CCONJ
ejde-1469	10	20	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1469	10	21	of	of	ADP
ejde-1469	10	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	10	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	11	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	11	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	11	3	we	we	PRON
ejde-1469	11	4	prove	prove	VERB
ejde-1469	11	5	that	that	SCONJ
ejde-1469	11	6	any	any	DET
ejde-1469	11	7	weak	weak	ADJ
ejde-1469	11	8	solution	solution	NOUN
ejde-1469	11	9	is	be	AUX
ejde-1469	11	10	locally	locally	ADV
ejde-1469	11	11	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	11	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-1469	11	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	12	1	1	1	X
ejde-1469	12	2	.	.	X
ejde-1469	12	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1469	12	4	the	the	DET
ejde-1469	12	5	purpose	purpose	NOUN
ejde-1469	12	6	of	of	ADP
ejde-1469	12	7	this	this	DET
ejde-1469	12	8	article	article	NOUN
ejde-1469	12	9	is	be	AUX
ejde-1469	12	10	to	to	PART
ejde-1469	12	11	study	study	VERB
ejde-1469	12	12	a	a	DET
ejde-1469	12	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	12	14	equation	equation	NOUN
ejde-1469	12	15	characterized	characterize	VERB
ejde-1469	12	16	by	by	ADP
ejde-1469	12	17	a	a	DET
ejde-1469	12	18	critical	critical	ADJ
ejde-1469	12	19	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	12	20	exponent	exponent	NOUN
ejde-1469	12	21	and	and	CCONJ
ejde-1469	12	22	singular	singular	PROPN
ejde-1469	12	23	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1469	12	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	12	25	(	(	PUNCT
ejde-1469	12	26	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	12	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	12	28	su	su	NOUN
ejde-1469	13	1	=	=	SYM
ejde-1469	13	2	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NOUN
ejde-1469	13	3	±	±	NOUN
ejde-1469	13	4	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	NOUN
ejde-1469	13	5	s(t)−2u	s(t)−2u	PROPN
ejde-1469	13	6	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	13	7	in	in	ADP
ejde-1469	13	8	ω	ω	NUM
ejde-1469	13	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	13	10	u	u	NOUN
ejde-1469	13	11	>	>	X
ejde-1469	13	12	0	0	PUNCT
ejde-1469	13	13	in	in	ADP
ejde-1469	13	14	ω	ω	PROPN
ejde-1469	13	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	13	16	u	u	NOUN
ejde-1469	13	17	=	=	NOUN
ejde-1469	13	18	0	0	NUM
ejde-1469	13	19	in	in	ADP
ejde-1469	13	20	rn	rn	PROPN
ejde-1469	13	21	\	\	PROPN
ejde-1469	13	22	ω	ω	PROPN
ejde-1469	13	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	13	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	13	25	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	13	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	13	27	where	where	SCONJ
ejde-1469	13	28	0	0	NUM
ejde-1469	13	29	∈	∈	PROPN
ejde-1469	13	30	ω	ω	PROPN
ejde-1469	13	31	is	be	AUX
ejde-1469	13	32	a	a	DET
ejde-1469	13	33	bounded	bounded	ADJ
ejde-1469	13	34	domain	domain	NOUN
ejde-1469	13	35	in	in	ADP
ejde-1469	13	36	rn	rn	PROPN
ejde-1469	13	37	with	with	ADP
ejde-1469	13	38	a	a	DET
ejde-1469	13	39	smooth	smooth	ADJ
ejde-1469	13	40	boundary	boundary	ADJ
ejde-1469	13	41	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1469	13	42	,	,	PUNCT
ejde-1469	13	43	and	and	CCONJ
ejde-1469	13	44	n	n	CCONJ
ejde-1469	13	45	>	>	X
ejde-1469	13	46	sp	sp	ADP
ejde-1469	13	47	with	with	ADP
ejde-1469	13	48	s	s	X
ejde-1469	13	49	∈	∈	PROPN
ejde-1469	13	50	(	(	PUNCT
ejde-1469	13	51	0	0	NUM
ejde-1469	13	52	,	,	PUNCT
ejde-1469	13	53	1	1	NUM
ejde-1469	13	54	)	)	PUNCT
ejde-1469	13	55	.	.	PUNCT
ejde-1469	14	1	the	the	DET
ejde-1469	14	2	parameters	parameter	NOUN
ejde-1469	14	3	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1469	14	4	λ	λ	PROPN
ejde-1469	14	5	>	>	X
ejde-1469	14	6	0	0	PUNCT
ejde-1469	15	1	and	and	CCONJ
ejde-1469	15	2	0	0	NUM
ejde-1469	15	3	<	<	X
ejde-1469	15	4	γ	γ	X
ejde-1469	15	5	<	<	X
ejde-1469	15	6	1	1	NUM
ejde-1469	15	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	15	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	15	9	the	the	DET
ejde-1469	15	10	term	term	NOUN
ejde-1469	15	11	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	15	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	15	13	=	=	SYM
ejde-1469	15	14	p(n−t	p(n−t	ADJ
ejde-1469	15	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	15	16	n−sp	n−sp	NOUN
ejde-1469	15	17	represents	represent	VERB
ejde-1469	15	18	the	the	DET
ejde-1469	15	19	critical	critical	ADJ
ejde-1469	15	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	15	21	-	-	PUNCT
ejde-1469	15	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	15	23	exponent	exponent	NOUN
ejde-1469	15	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	16	1	the	the	DET
ejde-1469	16	2	variable	variable	ADJ
ejde-1469	16	3	weight	weight	NOUN
ejde-1469	16	4	functions	function	NOUN
ejde-1469	16	5	f	f	PROPN
ejde-1469	16	6	and	and	CCONJ
ejde-1469	16	7	g	g	PROPN
ejde-1469	16	8	belong	belong	VERB
ejde-1469	16	9	to	to	ADP
ejde-1469	16	10	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1469	16	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	16	12	and	and	CCONJ
ejde-1469	16	13	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1469	16	14	:	:	PUNCT
ejde-1469	16	15	ess	ess	PROPN
ejde-1469	16	16	infx∈ω	infx∈ω	PROPN
ejde-1469	16	17	f(x	f(x	PROPN
ejde-1469	16	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	16	19	>	>	X
ejde-1469	16	20	0	0	PUNCT
ejde-1469	17	1	and	and	CCONJ
ejde-1469	17	2	ess	ess	INTJ
ejde-1469	17	3	infx∈ω	infx∈ω	PROPN
ejde-1469	17	4	g(x	g(x	PROPN
ejde-1469	17	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	17	6	>	>	X
ejde-1469	17	7	0	0	X
ejde-1469	17	8	.	.	PUNCT
ejde-1469	18	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	18	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	18	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	18	4	the	the	DET
ejde-1469	18	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	18	6	p	p	NOUN
ejde-1469	18	7	-	-	PUNCT
ejde-1469	18	8	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	18	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	18	10	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	18	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	18	12	su	su	PROPN
ejde-1469	18	13	is	be	AUX
ejde-1469	18	14	defined	define	VERB
ejde-1469	18	15	for	for	ADP
ejde-1469	18	16	smooth	smooth	ADJ
ejde-1469	18	17	functions	function	NOUN
ejde-1469	18	18	as	as	ADP
ejde-1469	18	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	18	20	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	18	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	18	22	su(x	su(x	PUNCT
ejde-1469	18	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	19	1	=	=	SYM
ejde-1469	19	2	2	2	NUM
ejde-1469	19	3	lim	lim	PROPN
ejde-1469	19	4	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-1469	19	5	↘	↘	PROPN
ejde-1469	19	6	0	0	NUM
ejde-1469	19	7	∫	∫	PROPN
ejde-1469	19	8	rn\bϵ	rn\bϵ	PROPN
ejde-1469	19	9	|u(x)−	|u(x)−	PROPN
ejde-1469	19	10	u(y)|p−2(u(x)−	u(y)|p−2(u(x)−	VERB
ejde-1469	19	11	u(y	u(y	PROPN
ejde-1469	19	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	19	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	19	14	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	19	15	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	20	1	dy	dy	NOUN
ejde-1469	20	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	20	3	where	where	SCONJ
ejde-1469	20	4	x	x	PUNCT
ejde-1469	20	5	∈	∈	PROPN
ejde-1469	20	6	rn	rn	PROPN
ejde-1469	20	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	20	8	bϵ	bϵ	PROPN
ejde-1469	20	9	is	be	AUX
ejde-1469	20	10	a	a	DET
ejde-1469	20	11	ball	ball	NOUN
ejde-1469	20	12	of	of	ADP
ejde-1469	20	13	radius	radius	NOUN
ejde-1469	21	1	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-1469	21	2	centered	center	VERB
ejde-1469	21	3	at	at	ADP
ejde-1469	21	4	x.	x.	NOUN
ejde-1469	21	5	2020	2020	NUM
ejde-1469	21	6	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1469	21	7	subject	subject	ADJ
ejde-1469	21	8	classification	classification	NOUN
ejde-1469	21	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	22	1	34b15	34b15	NUM
ejde-1469	22	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	22	3	37c25	37c25	NUM
ejde-1469	22	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	22	5	35r20	35r20	NUM
ejde-1469	22	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	23	1	key	key	ADJ
ejde-1469	23	2	words	word	NOUN
ejde-1469	23	3	and	and	CCONJ
ejde-1469	23	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1469	23	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	24	1	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	24	2	operator	operator	NOUN
ejde-1469	24	3	;	;	PUNCT
ejde-1469	24	4	singular	singular	ADJ
ejde-1469	24	5	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1469	24	6	;	;	PUNCT
ejde-1469	24	7	existence	existence	NOUN
ejde-1469	24	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	24	9	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1469	24	10	of	of	ADP
ejde-1469	24	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	24	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	24	13	suband	suband	NOUN
ejde-1469	24	14	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-1469	24	15	;	;	PUNCT
ejde-1469	24	16	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1469	24	17	arguments	argument	NOUN
ejde-1469	24	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	25	1	©	©	PROPN
ejde-1469	25	2	2025	2025	NUM
ejde-1469	25	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	26	1	this	this	DET
ejde-1469	26	2	work	work	NOUN
ejde-1469	26	3	is	be	AUX
ejde-1469	26	4	licensed	license	VERB
ejde-1469	26	5	under	under	ADP
ejde-1469	26	6	a	a	DET
ejde-1469	26	7	cc	cc	NOUN
ejde-1469	26	8	by	by	ADP
ejde-1469	26	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1469	26	10	license	license	NOUN
ejde-1469	26	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	27	1	submitted	submit	VERB
ejde-1469	27	2	may	may	PROPN
ejde-1469	27	3	12	12	NUM
ejde-1469	27	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	27	5	2025	2025	NUM
ejde-1469	27	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	28	1	published	publish	VERB
ejde-1469	28	2	october	october	PROPN
ejde-1469	28	3	20	20	NUM
ejde-1469	28	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	28	5	2025	2025	NUM
ejde-1469	28	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	29	1	1	1	NUM
ejde-1469	29	2	2	2	NUM
ejde-1469	29	3	s.	s.	PROPN
ejde-1469	29	4	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	29	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	29	6	k.	k.	PROPN
ejde-1469	29	7	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	29	8	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	29	9	for	for	ADP
ejde-1469	29	10	clarity	clarity	NOUN
ejde-1469	29	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	29	12	we	we	PRON
ejde-1469	29	13	state	state	VERB
ejde-1469	29	14	the	the	DET
ejde-1469	29	15	two	two	NUM
ejde-1469	29	16	versions	version	NOUN
ejde-1469	29	17	of	of	ADP
ejde-1469	29	18	problem	problem	NOUN
ejde-1469	29	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	29	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	29	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	29	22	as	as	SCONJ
ejde-1469	29	23	follows	follow	VERB
ejde-1469	29	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	29	25	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	29	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	29	27	su	su	NOUN
ejde-1469	30	1	=	=	NOUN
ejde-1469	30	2	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	PROPN
ejde-1469	30	3	+	+	CCONJ
ejde-1469	30	4	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	ADJ
ejde-1469	30	5	s(t)−2u	s(t)−2u	PROPN
ejde-1469	30	6	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	30	7	in	in	ADP
ejde-1469	30	8	ω	ω	NUM
ejde-1469	30	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	30	10	u	u	NOUN
ejde-1469	30	11	>	>	X
ejde-1469	30	12	0	0	PUNCT
ejde-1469	31	1	in	in	ADP
ejde-1469	31	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	31	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	31	4	u	u	NOUN
ejde-1469	31	5	=	=	NOUN
ejde-1469	31	6	0	0	NUM
ejde-1469	31	7	in	in	ADP
ejde-1469	31	8	rn	rn	PROPN
ejde-1469	31	9	\	\	PROPN
ejde-1469	31	10	ω	ω	PROPN
ejde-1469	31	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	31	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	31	13	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	31	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	31	15	and	and	CCONJ
ejde-1469	31	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	31	17	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	31	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	31	19	su	su	NOUN
ejde-1469	31	20	=	=	SYM
ejde-1469	31	21	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NOUN
ejde-1469	31	22	−	−	NOUN
ejde-1469	31	23	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	ADJ
ejde-1469	31	24	s(t)−2u	s(t)−2u	PROPN
ejde-1469	31	25	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	31	26	in	in	ADP
ejde-1469	31	27	ω	ω	NUM
ejde-1469	31	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	31	29	u	u	NOUN
ejde-1469	31	30	>	>	X
ejde-1469	31	31	0	0	PUNCT
ejde-1469	32	1	in	in	ADP
ejde-1469	32	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	32	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	32	4	u	u	NOUN
ejde-1469	32	5	=	=	NOUN
ejde-1469	32	6	0	0	NUM
ejde-1469	32	7	in	in	ADP
ejde-1469	32	8	rn	rn	PROPN
ejde-1469	32	9	\	\	PROPN
ejde-1469	32	10	ω	ω	PROPN
ejde-1469	32	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	32	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	32	13	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	32	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	32	15	before	before	ADP
ejde-1469	32	16	presenting	present	VERB
ejde-1469	32	17	the	the	DET
ejde-1469	32	18	key	key	ADJ
ejde-1469	32	19	results	result	NOUN
ejde-1469	32	20	of	of	ADP
ejde-1469	32	21	this	this	DET
ejde-1469	32	22	work	work	NOUN
ejde-1469	32	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	32	24	we	we	PRON
ejde-1469	32	25	will	will	AUX
ejde-1469	32	26	outline	outline	VERB
ejde-1469	32	27	several	several	ADJ
ejde-1469	32	28	related	related	ADJ
ejde-1469	32	29	problems	problem	NOUN
ejde-1469	32	30	to	to	ADP
ejde-1469	32	31	problem	problem	NOUN
ejde-1469	32	32	(	(	PUNCT
ejde-1469	32	33	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	32	34	)	)	PUNCT
ejde-1469	32	35	.	.	PUNCT
ejde-1469	33	1	numerous	numerous	ADJ
ejde-1469	33	2	studies	study	NOUN
ejde-1469	33	3	have	have	AUX
ejde-1469	33	4	investigated	investigate	VERB
ejde-1469	33	5	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	33	6	for	for	ADP
ejde-1469	33	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	33	8	partial	partial	ADJ
ejde-1469	33	9	differential	differential	ADJ
ejde-1469	33	10	equations	equation	NOUN
ejde-1469	33	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	33	12	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	33	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	33	14	with	with	ADP
ejde-1469	33	15	singularity	singularity	NOUN
ejde-1469	33	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	34	1	many	many	ADJ
ejde-1469	34	2	authors	author	NOUN
ejde-1469	34	3	have	have	AUX
ejde-1469	34	4	studied	study	VERB
ejde-1469	34	5	the	the	DET
ejde-1469	34	6	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	34	7	problem	problem	NOUN
ejde-1469	34	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	34	9	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	34	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	34	11	su	su	NOUN
ejde-1469	35	1	=	=	NOUN
ejde-1469	35	2	λa(x	λa(x	X
ejde-1469	35	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	36	1	uγ	uγ	ADP
ejde-1469	36	2	+	+	PROPN
ejde-1469	36	3	mf(x	mf(x	NOUN
ejde-1469	36	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	36	5	u	u	NOUN
ejde-1469	36	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	36	7	in	in	ADP
ejde-1469	36	8	ω	ω	PROPN
ejde-1469	36	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	36	10	u	u	NOUN
ejde-1469	36	11	=	=	NOUN
ejde-1469	36	12	0	0	NUM
ejde-1469	36	13	in	in	ADP
ejde-1469	36	14	rn	rn	PROPN
ejde-1469	36	15	\	\	PROPN
ejde-1469	36	16	ω	ω	PROPN
ejde-1469	36	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	36	18	u	u	NOUN
ejde-1469	36	19	>	>	X
ejde-1469	36	20	0	0	PUNCT
ejde-1469	37	1	in	in	ADP
ejde-1469	37	2	ω	ω	NUM
ejde-1469	37	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	37	4	(	(	PUNCT
ejde-1469	37	5	1.5	1.5	NUM
ejde-1469	37	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	37	7	where	where	SCONJ
ejde-1469	37	8	n	n	X
ejde-1469	37	9	>	>	X
ejde-1469	37	10	ps	ps	PROPN
ejde-1469	37	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	37	12	m	m	VERB
ejde-1469	37	13	≥	≥	NOUN
ejde-1469	37	14	0	0	NUM
ejde-1469	37	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	37	16	and	and	CCONJ
ejde-1469	37	17	a	a	DET
ejde-1469	37	18	:	:	PUNCT
ejde-1469	37	19	ω	ω	NOUN
ejde-1469	37	20	→	→	SYM
ejde-1469	37	21	r	r	NOUN
ejde-1469	37	22	is	be	AUX
ejde-1469	37	23	a	a	DET
ejde-1469	37	24	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1469	37	25	bounded	bounded	ADJ
ejde-1469	37	26	function	function	NOUN
ejde-1469	37	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	38	1	in	in	ADP
ejde-1469	38	2	the	the	DET
ejde-1469	38	3	case	case	NOUN
ejde-1469	38	4	where	where	SCONJ
ejde-1469	38	5	m	m	VERB
ejde-1469	38	6	=	=	SYM
ejde-1469	38	7	0	0	NUM
ejde-1469	38	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	38	9	the	the	DET
ejde-1469	38	10	purely	purely	ADV
ejde-1469	38	11	singular	singular	ADJ
ejde-1469	38	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	38	13	was	be	AUX
ejde-1469	38	14	investigated	investigate	VERB
ejde-1469	38	15	by	by	ADP
ejde-1469	38	16	canino	canino	PROPN
ejde-1469	38	17	et	et	PROPN
ejde-1469	38	18	al	al	PROPN
ejde-1469	38	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	39	1	[	[	X
ejde-1469	39	2	6	6	NUM
ejde-1469	39	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	39	4	.	.	PUNCT
ejde-1469	40	1	the	the	DET
ejde-1469	40	2	authors	author	NOUN
ejde-1469	40	3	proved	prove	VERB
ejde-1469	40	4	that	that	SCONJ
ejde-1469	40	5	when	when	SCONJ
ejde-1469	40	6	0	0	NUM
ejde-1469	40	7	<	<	X
ejde-1469	40	8	γ	γ	X
ejde-1469	40	9	<	<	X
ejde-1469	40	10	1	1	NUM
ejde-1469	40	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	40	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	40	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	40	14	1.5	1.5	NUM
ejde-1469	40	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	40	16	possesses	possess	VERB
ejde-1469	40	17	a	a	DET
ejde-1469	40	18	unique	unique	ADJ
ejde-1469	40	19	solution	solution	NOUN
ejde-1469	40	20	u	u	NOUN
ejde-1469	40	21	in	in	ADP
ejde-1469	40	22	the	the	DET
ejde-1469	40	23	space	space	NOUN
ejde-1469	40	24	w	w	PROPN
ejde-1469	40	25	s	s	PROPN
ejde-1469	40	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	40	27	p	p	NOUN
ejde-1469	40	28	0	0	NUM
ejde-1469	40	29	(	(	PUNCT
ejde-1469	40	30	ω	ω	NOUN
ejde-1469	40	31	)	)	PUNCT
ejde-1469	40	32	.	.	PUNCT
ejde-1469	41	1	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	41	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	41	3	they	they	PRON
ejde-1469	41	4	proved	prove	VERB
ejde-1469	41	5	that	that	SCONJ
ejde-1469	41	6	the	the	DET
ejde-1469	41	7	essential	essential	ADJ
ejde-1469	41	8	infimum	infimum	NOUN
ejde-1469	41	9	of	of	ADP
ejde-1469	41	10	u	u	PROPN
ejde-1469	41	11	over	over	ADP
ejde-1469	41	12	k	k	PROPN
ejde-1469	41	13	is	be	AUX
ejde-1469	41	14	greater	great	ADJ
ejde-1469	41	15	than	than	ADP
ejde-1469	41	16	zero	zero	NUM
ejde-1469	41	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	41	18	i.e.	i.e.	X
ejde-1469	41	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	41	20	ess	ess	PROPN
ejde-1469	41	21	infk	infk	NOUN
ejde-1469	41	22	u	u	PROPN
ejde-1469	41	23	>	>	X
ejde-1469	41	24	0	0	NUM
ejde-1469	41	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	42	1	in	in	ADP
ejde-1469	42	2	[	[	X
ejde-1469	42	3	18	18	NUM
ejde-1469	42	4	]	]	PUNCT
ejde-1469	42	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	42	6	variational	variational	ADJ
ejde-1469	42	7	techniques	technique	NOUN
ejde-1469	42	8	were	be	AUX
ejde-1469	42	9	used	use	VERB
ejde-1469	42	10	to	to	PART
ejde-1469	42	11	establish	establish	VERB
ejde-1469	42	12	multiple	multiple	ADJ
ejde-1469	42	13	results	result	NOUN
ejde-1469	42	14	for	for	ADP
ejde-1469	42	15	f(x	f(x	PROPN
ejde-1469	42	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	42	17	u	u	NOUN
ejde-1469	42	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	42	19	=	=	SYM
ejde-1469	42	20	u2∗s−1	u2∗s−1	NOUN
ejde-1469	42	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	43	1	using	use	VERB
ejde-1469	43	2	the	the	DET
ejde-1469	43	3	nehari	nehari	NOUN
ejde-1469	43	4	method	method	NOUN
ejde-1469	43	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	43	6	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-1469	43	7	et	et	PROPN
ejde-1469	43	8	al	al	PROPN
ejde-1469	43	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	44	1	[	[	X
ejde-1469	44	2	11	11	NUM
ejde-1469	44	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	44	4	obtained	obtain	VERB
ejde-1469	44	5	multiple	multiple	ADJ
ejde-1469	44	6	results	result	NOUN
ejde-1469	44	7	for	for	ADP
ejde-1469	44	8	0	0	NUM
ejde-1469	44	9	<	<	X
ejde-1469	44	10	γ	γ	X
ejde-1469	44	11	<	<	X
ejde-1469	44	12	1	1	NUM
ejde-1469	44	13	and	and	CCONJ
ejde-1469	44	14	λ	λ	X
ejde-1469	44	15	=	=	NOUN
ejde-1469	44	16	1	1	X
ejde-1469	44	17	.	.	PUNCT
ejde-1469	44	18	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	44	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	44	20	alomair	alomair	PROPN
ejde-1469	44	21	et	et	PROPN
ejde-1469	44	22	al	al	PROPN
ejde-1469	44	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	45	1	[	[	X
ejde-1469	45	2	1	1	X
ejde-1469	45	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	45	4	considered	consider	VERB
ejde-1469	45	5	m	m	NOUN
ejde-1469	45	6	=	=	PUNCT
ejde-1469	45	7	b(x	b(x	VERB
ejde-1469	45	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	45	9	and	and	CCONJ
ejde-1469	45	10	f(x	f(x	PROPN
ejde-1469	45	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	45	12	u	u	NOUN
ejde-1469	45	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	45	14	=	=	SYM
ejde-1469	45	15	u2∗s−1	u2∗s−1	ADJ
ejde-1469	45	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	45	17	employing	employ	VERB
ejde-1469	45	18	sub	sub	NOUN
ejde-1469	45	19	and	and	CCONJ
ejde-1469	45	20	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	45	21	methods	method	NOUN
ejde-1469	45	22	along	along	ADP
ejde-1469	45	23	with	with	ADP
ejde-1469	45	24	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1469	45	25	arguments	argument	NOUN
ejde-1469	45	26	to	to	PART
ejde-1469	45	27	derive	derive	VERB
ejde-1469	45	28	both	both	DET
ejde-1469	45	29	existence	existence	NOUN
ejde-1469	45	30	and	and	CCONJ
ejde-1469	45	31	non	non	ADJ
ejde-1469	45	32	-	-	ADJ
ejde-1469	45	33	existence	existence	ADJ
ejde-1469	45	34	results	result	NOUN
ejde-1469	45	35	.	.	PUNCT
ejde-1469	46	1	lastly	lastly	ADV
ejde-1469	46	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	46	3	in	in	ADP
ejde-1469	46	4	daouas	daouas	NOUN
ejde-1469	46	5	et	et	PROPN
ejde-1469	46	6	al	al	PROPN
ejde-1469	46	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	47	1	[	[	X
ejde-1469	47	2	8	8	NUM
ejde-1469	47	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	47	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	47	5	variational	variational	ADJ
ejde-1469	47	6	methods	method	NOUN
ejde-1469	47	7	were	be	AUX
ejde-1469	47	8	combined	combine	VERB
ejde-1469	47	9	with	with	ADP
ejde-1469	47	10	a	a	DET
ejde-1469	47	11	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-1469	47	12	approach	approach	NOUN
ejde-1469	47	13	to	to	PART
ejde-1469	47	14	establish	establish	VERB
ejde-1469	47	15	multiple	multiple	ADJ
ejde-1469	47	16	results	result	NOUN
ejde-1469	47	17	.	.	PUNCT
ejde-1469	48	1	the	the	DET
ejde-1469	48	2	study	study	NOUN
ejde-1469	48	3	of	of	ADP
ejde-1469	48	4	the	the	DET
ejde-1469	48	5	existence	existence	NOUN
ejde-1469	48	6	and	and	CCONJ
ejde-1469	48	7	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	48	8	of	of	ADP
ejde-1469	48	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	48	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	48	11	as	as	ADV
ejde-1469	48	12	well	well	ADV
ejde-1469	48	13	as	as	ADP
ejde-1469	48	14	their	their	PRON
ejde-1469	48	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	48	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	48	17	for	for	ADP
ejde-1469	48	18	regular	regular	ADJ
ejde-1469	48	19	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	48	20	involving	involve	VERB
ejde-1469	48	21	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	48	22	operators	operator	NOUN
ejde-1469	48	23	and	and	CCONJ
ejde-1469	48	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	48	25	-	-	PUNCT
ejde-1469	48	26	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	48	27	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	48	28	has	have	AUX
ejde-1469	48	29	indeed	indeed	ADV
ejde-1469	48	30	attracted	attract	VERB
ejde-1469	48	31	considerable	considerable	ADJ
ejde-1469	48	32	interest	interest	NOUN
ejde-1469	48	33	in	in	ADP
ejde-1469	48	34	recent	recent	ADJ
ejde-1469	48	35	years	year	NOUN
ejde-1469	48	36	.	.	PUNCT
ejde-1469	49	1	in	in	ADP
ejde-1469	49	2	particular	particular	ADJ
ejde-1469	49	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	49	4	works	work	VERB
ejde-1469	49	5	such	such	ADJ
ejde-1469	49	6	as	as	ADP
ejde-1469	49	7	those	those	PRON
ejde-1469	49	8	by	by	ADP
ejde-1469	49	9	chen	chen	PROPN
ejde-1469	49	10	et	et	PROPN
ejde-1469	49	11	al	al	PROPN
ejde-1469	49	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	50	1	[	[	X
ejde-1469	50	2	7	7	NUM
ejde-1469	50	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	50	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	50	5	yan	yan	PROPN
ejde-1469	51	1	[	[	X
ejde-1469	51	2	24	24	NUM
ejde-1469	51	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	51	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	51	5	as	as	ADV
ejde-1469	51	6	well	well	ADV
ejde-1469	51	7	as	as	ADP
ejde-1469	51	8	alotaibi	alotaibi	NOUN
ejde-1469	51	9	et	et	PROPN
ejde-1469	51	10	al	al	PROPN
ejde-1469	51	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	52	1	[	[	X
ejde-1469	52	2	2	2	NUM
ejde-1469	52	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	52	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	52	5	along	along	ADP
ejde-1469	52	6	with	with	ADP
ejde-1469	52	7	the	the	DET
ejde-1469	52	8	references	reference	NOUN
ejde-1469	52	9	therein	therein	ADV
ejde-1469	52	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	52	11	have	have	AUX
ejde-1469	52	12	contributed	contribute	VERB
ejde-1469	52	13	significantly	significantly	ADV
ejde-1469	52	14	to	to	ADP
ejde-1469	52	15	this	this	DET
ejde-1469	52	16	field	field	NOUN
ejde-1469	52	17	.	.	PUNCT
ejde-1469	53	1	these	these	DET
ejde-1469	53	2	studies	study	NOUN
ejde-1469	53	3	have	have	AUX
ejde-1469	53	4	explored	explore	VERB
ejde-1469	53	5	various	various	ADJ
ejde-1469	53	6	aspects	aspect	NOUN
ejde-1469	53	7	of	of	ADP
ejde-1469	53	8	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	53	9	problems	problem	NOUN
ejde-1469	53	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	53	11	particularly	particularly	ADV
ejde-1469	53	12	focusing	focus	VERB
ejde-1469	53	13	on	on	ADP
ejde-1469	53	14	the	the	DET
ejde-1469	53	15	critical	critical	ADJ
ejde-1469	53	16	growth	growth	NOUN
ejde-1469	53	17	of	of	ADP
ejde-1469	53	18	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	53	19	and	and	CCONJ
ejde-1469	53	20	the	the	DET
ejde-1469	53	21	implications	implication	NOUN
ejde-1469	53	22	of	of	ADP
ejde-1469	53	23	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	53	24	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1469	53	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	54	1	it	it	PRON
ejde-1469	54	2	is	be	AUX
ejde-1469	54	3	important	important	ADJ
ejde-1469	54	4	to	to	PART
ejde-1469	54	5	highlight	highlight	VERB
ejde-1469	54	6	that	that	DET
ejde-1469	54	7	research	research	NOUN
ejde-1469	54	8	on	on	ADP
ejde-1469	54	9	singular	singular	ADJ
ejde-1469	54	10	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	54	11	with	with	ADP
ejde-1469	54	12	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	54	13	-	-	PUNCT
ejde-1469	54	14	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	54	15	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	54	16	in	in	ADP
ejde-1469	54	17	a	a	DET
ejde-1469	54	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	54	19	setting	setting	NOUN
ejde-1469	54	20	has	have	AUX
ejde-1469	54	21	not	not	PART
ejde-1469	54	22	been	be	AUX
ejde-1469	54	23	as	as	ADV
ejde-1469	54	24	extensively	extensively	ADV
ejde-1469	54	25	developed	develop	VERB
ejde-1469	54	26	as	as	ADP
ejde-1469	54	27	its	its	PRON
ejde-1469	54	28	classical	classical	ADJ
ejde-1469	54	29	counterpart	counterpart	NOUN
ejde-1469	54	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	55	1	although	although	SCONJ
ejde-1469	55	2	there	there	PRON
ejde-1469	55	3	are	be	VERB
ejde-1469	55	4	foundational	foundational	ADJ
ejde-1469	55	5	results	result	NOUN
ejde-1469	55	6	for	for	ADP
ejde-1469	55	7	regular	regular	ADJ
ejde-1469	55	8	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	55	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	55	10	such	such	ADJ
ejde-1469	55	11	as	as	ADP
ejde-1469	55	12	the	the	DET
ejde-1469	55	13	existence	existence	NOUN
ejde-1469	55	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	55	15	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	55	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	55	17	and	and	CCONJ
ejde-1469	55	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	55	19	of	of	ADP
ejde-1469	55	20	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	55	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	55	22	the	the	DET
ejde-1469	55	23	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	55	24	of	of	ADP
ejde-1469	55	25	singular	singular	ADJ
ejde-1469	55	26	problems	problem	NOUN
ejde-1469	55	27	involving	involve	VERB
ejde-1469	55	28	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	55	29	operators	operator	NOUN
ejde-1469	55	30	remains	remain	VERB
ejde-1469	55	31	comparatively	comparatively	ADV
ejde-1469	55	32	limited	limited	ADJ
ejde-1469	55	33	.	.	PUNCT
ejde-1469	56	1	for	for	ADP
ejde-1469	56	2	instance	instance	NOUN
ejde-1469	56	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	56	4	although	although	SCONJ
ejde-1469	56	5	some	some	DET
ejde-1469	56	6	studies	study	NOUN
ejde-1469	56	7	have	have	AUX
ejde-1469	56	8	addressed	address	VERB
ejde-1469	56	9	the	the	DET
ejde-1469	56	10	existence	existence	NOUN
ejde-1469	56	11	of	of	ADP
ejde-1469	56	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	56	13	for	for	ADP
ejde-1469	56	14	singular	singular	ADJ
ejde-1469	56	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	56	16	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	56	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	56	18	key	key	ADJ
ejde-1469	56	19	questions	question	NOUN
ejde-1469	56	20	regarding	regard	VERB
ejde-1469	56	21	their	their	PRON
ejde-1469	56	22	qualitative	qualitative	ADJ
ejde-1469	56	23	properties	property	NOUN
ejde-1469	56	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	56	25	e.g.	e.g.	ADV
ejde-1469	56	26	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	56	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	56	28	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-1469	56	29	behavior	behavior	NOUN
ejde-1469	56	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	56	31	or	or	CCONJ
ejde-1469	56	32	stability	stability	NOUN
ejde-1469	56	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	56	34	and	and	CCONJ
ejde-1469	56	35	the	the	DET
ejde-1469	56	36	optimality	optimality	NOUN
ejde-1469	56	37	of	of	ADP
ejde-1469	56	38	functional	functional	ADJ
ejde-1469	56	39	frameworks	framework	NOUN
ejde-1469	56	40	(	(	PUNCT
ejde-1469	56	41	e.g.	e.g.	ADV
ejde-1469	56	42	weighted	weight	VERB
ejde-1469	56	43	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	56	44	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	56	45	spaces	space	NOUN
ejde-1469	56	46	)	)	PUNCT
ejde-1469	56	47	are	be	AUX
ejde-1469	56	48	far	far	ADV
ejde-1469	56	49	from	from	ADP
ejde-1469	56	50	being	be	AUX
ejde-1469	56	51	fully	fully	ADV
ejde-1469	56	52	resolved	resolve	VERB
ejde-1469	56	53	.	.	PUNCT
ejde-1469	57	1	this	this	DET
ejde-1469	57	2	gap	gap	NOUN
ejde-1469	57	3	presents	present	VERB
ejde-1469	57	4	an	an	DET
ejde-1469	57	5	opportunity	opportunity	NOUN
ejde-1469	57	6	for	for	ADP
ejde-1469	57	7	further	further	ADJ
ejde-1469	57	8	investigation	investigation	NOUN
ejde-1469	57	9	into	into	ADP
ejde-1469	57	10	singular	singular	ADJ
ejde-1469	57	11	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	57	12	problems	problem	NOUN
ejde-1469	57	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	57	14	particularly	particularly	ADV
ejde-1469	57	15	those	those	PRON
ejde-1469	57	16	combining	combine	VERB
ejde-1469	57	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	57	18	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-1469	57	19	operators	operator	NOUN
ejde-1469	57	20	(	(	PUNCT
ejde-1469	57	21	e.g.	e.g.	ADV
ejde-1469	57	22	the	the	DET
ejde-1469	57	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	57	24	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1469	57	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	57	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	57	27	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	57	28	-	-	PUNCT
ejde-1469	57	29	type	type	NOUN
ejde-1469	57	30	singular	singular	NOUN
ejde-1469	57	31	potentials	potential	NOUN
ejde-1469	57	32	,	,	PUNCT
ejde-1469	57	33	and	and	CCONJ
ejde-1469	57	34	critical	critical	ADJ
ejde-1469	57	35	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	57	36	tied	tie	VERB
ejde-1469	57	37	to	to	ADP
ejde-1469	57	38	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	57	39	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	57	40	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1469	57	41	.	.	PUNCT
ejde-1469	58	1	in	in	ADP
ejde-1469	58	2	this	this	DET
ejde-1469	58	3	article	article	NOUN
ejde-1469	58	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	58	5	we	we	PRON
ejde-1469	58	6	will	will	AUX
ejde-1469	58	7	explore	explore	VERB
ejde-1469	58	8	both	both	DET
ejde-1469	58	9	the	the	DET
ejde-1469	58	10	existence	existence	NOUN
ejde-1469	58	11	and	and	CCONJ
ejde-1469	58	12	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1469	58	13	of	of	ADP
ejde-1469	58	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	58	15	to	to	ADP
ejde-1469	58	16	the	the	DET
ejde-1469	58	17	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	58	18	problem	problem	NOUN
ejde-1469	58	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	58	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	58	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	58	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	58	23	as	as	ADV
ejde-1469	58	24	well	well	ADV
ejde-1469	58	25	as	as	ADP
ejde-1469	58	26	investigate	investigate	VERB
ejde-1469	58	27	its	its	PRON
ejde-1469	58	28	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	58	29	.	.	PUNCT
ejde-1469	59	1	it	it	PRON
ejde-1469	59	2	is	be	AUX
ejde-1469	59	3	essential	essential	ADJ
ejde-1469	59	4	to	to	PART
ejde-1469	59	5	note	note	VERB
ejde-1469	59	6	that	that	SCONJ
ejde-1469	59	7	including	include	VERB
ejde-1469	59	8	weight	weight	NOUN
ejde-1469	59	9	functions	function	NOUN
ejde-1469	59	10	f(x	f(x	PROPN
ejde-1469	59	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	59	12	and	and	CCONJ
ejde-1469	59	13	g(x	g(x	NOUN
ejde-1469	59	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	59	15	in	in	ADP
ejde-1469	59	16	problem	problem	NOUN
ejde-1469	59	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	59	18	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	59	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	59	20	is	be	AUX
ejde-1469	59	21	significant	significant	ADJ
ejde-1469	59	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	59	23	as	as	SCONJ
ejde-1469	59	24	they	they	PRON
ejde-1469	59	25	enhance	enhance	VERB
ejde-1469	59	26	the	the	DET
ejde-1469	59	27	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1469	59	28	richness	richness	NOUN
ejde-1469	59	29	of	of	ADP
ejde-1469	59	30	our	our	PRON
ejde-1469	59	31	model	model	NOUN
ejde-1469	59	32	and	and	CCONJ
ejde-1469	59	33	broaden	broaden	VERB
ejde-1469	59	34	its	its	PRON
ejde-1469	59	35	applicability	applicability	NOUN
ejde-1469	59	36	to	to	ADP
ejde-1469	59	37	real	real	ADJ
ejde-1469	59	38	-	-	PUNCT
ejde-1469	59	39	world	world	NOUN
ejde-1469	59	40	scenarios	scenario	NOUN
ejde-1469	59	41	.	.	PUNCT
ejde-1469	60	1	for	for	ADP
ejde-1469	60	2	example	example	NOUN
ejde-1469	60	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	60	4	these	these	DET
ejde-1469	60	5	weight	weight	NOUN
ejde-1469	60	6	functions	function	NOUN
ejde-1469	60	7	can	can	AUX
ejde-1469	60	8	represent	represent	VERB
ejde-1469	60	9	varying	vary	VERB
ejde-1469	60	10	material	material	NOUN
ejde-1469	60	11	properties	property	NOUN
ejde-1469	60	12	in	in	ADP
ejde-1469	60	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-1469	60	14	media	medium	NOUN
ejde-1469	60	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	60	16	account	account	VERB
ejde-1469	60	17	for	for	ADP
ejde-1469	60	18	spatial	spatial	ADJ
ejde-1469	60	19	differences	difference	NOUN
ejde-1469	60	20	in	in	ADP
ejde-1469	60	21	resource	resource	NOUN
ejde-1469	60	22	availability	availability	NOUN
ejde-1469	60	23	in	in	ADP
ejde-1469	60	24	ecological	ecological	ADJ
ejde-1469	60	25	contexts	contexts	NOUN
ejde-1469	60	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	60	27	and	and	CCONJ
ejde-1469	60	28	play	play	VERB
ejde-1469	60	29	a	a	DET
ejde-1469	60	30	crucial	crucial	ADJ
ejde-1469	60	31	role	role	NOUN
ejde-1469	60	32	in	in	ADP
ejde-1469	60	33	optimization	optimization	NOUN
ejde-1469	60	34	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	60	35	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	60	36	problems	problem	NOUN
ejde-1469	60	37	with	with	ADP
ejde-1469	60	38	variable	variable	ADJ
ejde-1469	60	39	weights	weight	NOUN
ejde-1469	60	40	3	3	NUM
ejde-1469	60	41	problems	problem	NOUN
ejde-1469	60	42	.	.	PUNCT
ejde-1469	61	1	by	by	ADP
ejde-1469	61	2	incorporating	incorporate	VERB
ejde-1469	61	3	weight	weight	NOUN
ejde-1469	61	4	functions	function	NOUN
ejde-1469	61	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	61	6	we	we	PRON
ejde-1469	61	7	address	address	VERB
ejde-1469	61	8	new	new	ADJ
ejde-1469	61	9	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1469	61	10	challenges	challenge	NOUN
ejde-1469	61	11	and	and	CCONJ
ejde-1469	61	12	ensure	ensure	VERB
ejde-1469	61	13	that	that	SCONJ
ejde-1469	61	14	our	our	PRON
ejde-1469	61	15	work	work	NOUN
ejde-1469	61	16	remains	remain	VERB
ejde-1469	61	17	relevant	relevant	ADJ
ejde-1469	61	18	to	to	ADP
ejde-1469	61	19	practical	practical	ADJ
ejde-1469	61	20	applications	application	NOUN
ejde-1469	61	21	across	across	ADP
ejde-1469	61	22	various	various	ADJ
ejde-1469	61	23	fields	field	NOUN
ejde-1469	61	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	62	1	now	now	ADV
ejde-1469	62	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	62	3	we	we	PRON
ejde-1469	62	4	outline	outline	VERB
ejde-1469	62	5	the	the	DET
ejde-1469	62	6	main	main	ADJ
ejde-1469	62	7	results	result	NOUN
ejde-1469	62	8	that	that	PRON
ejde-1469	62	9	will	will	AUX
ejde-1469	62	10	be	be	AUX
ejde-1469	62	11	established	establish	VERB
ejde-1469	62	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	62	13	related	relate	VERB
ejde-1469	62	14	to	to	ADP
ejde-1469	62	15	problem	problem	NOUN
ejde-1469	62	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	62	17	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	62	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	62	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	63	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	63	2	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	63	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	64	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1469	64	2	0	0	PUNCT
ejde-1469	64	3	<	<	X
ejde-1469	64	4	γ	γ	X
ejde-1469	64	5	<	<	X
ejde-1469	64	6	1	1	NUM
ejde-1469	64	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	64	8	that	that	SCONJ
ejde-1469	64	9	the	the	DET
ejde-1469	64	10	weight	weight	NOUN
ejde-1469	64	11	functions	function	NOUN
ejde-1469	64	12	f	f	NOUN
ejde-1469	64	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	64	14	g	g	PROPN
ejde-1469	64	15	∈	∈	PROPN
ejde-1469	64	16	l∞(ω	l∞(ω	X
ejde-1469	64	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	64	18	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-1469	64	19	condition	condition	NOUN
ejde-1469	64	20	(	(	PUNCT
ejde-1469	64	21	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	64	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	64	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	65	1	then	then	ADV
ejde-1469	65	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	65	3	there	there	PRON
ejde-1469	65	4	exists	exist	VERB
ejde-1469	65	5	a	a	DET
ejde-1469	65	6	positive	positive	ADJ
ejde-1469	65	7	constant	constant	ADJ
ejde-1469	65	8	λ1	λ1	NOUN
ejde-1469	65	9	with	with	ADP
ejde-1469	65	10	the	the	DET
ejde-1469	65	11	following	follow	VERB
ejde-1469	65	12	properties	property	NOUN
ejde-1469	65	13	:	:	PUNCT
ejde-1469	65	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	65	15	1	1	X
ejde-1469	65	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	65	17	for	for	ADP
ejde-1469	65	18	every	every	DET
ejde-1469	65	19	λ	λ	PROPN
ejde-1469	65	20	∈	∈	PROPN
ejde-1469	65	21	(	(	PUNCT
ejde-1469	65	22	0,λ1	0,λ1	NUM
ejde-1469	65	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	65	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	65	25	problem	problem	NOUN
ejde-1469	65	26	(	(	PUNCT
ejde-1469	65	27	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	65	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	65	29	admits	admit	VERB
ejde-1469	65	30	a	a	DET
ejde-1469	65	31	minimal	minimal	ADJ
ejde-1469	65	32	solution	solution	NOUN
ejde-1469	65	33	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	65	34	.	.	PUNCT
ejde-1469	66	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	66	2	2	2	NUM
ejde-1469	66	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	66	4	problem	problem	NOUN
ejde-1469	66	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	66	6	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	66	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	66	8	has	have	VERB
ejde-1469	66	9	a	a	DET
ejde-1469	66	10	solution	solution	NOUN
ejde-1469	66	11	when	when	SCONJ
ejde-1469	66	12	λ	λ	PROPN
ejde-1469	66	13	=	=	SYM
ejde-1469	66	14	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	66	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	67	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	67	2	3	3	X
ejde-1469	67	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	67	4	problem	problem	NOUN
ejde-1469	67	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	67	6	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	67	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	67	8	has	have	VERB
ejde-1469	67	9	no	no	DET
ejde-1469	67	10	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	67	11	for	for	ADP
ejde-1469	67	12	λ	λ	PROPN
ejde-1469	67	13	>	>	X
ejde-1469	67	14	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	67	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	68	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	68	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	68	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	69	1	consider	consider	VERB
ejde-1469	69	2	0	0	NUM
ejde-1469	69	3	<	<	X
ejde-1469	69	4	γ	γ	X
ejde-1469	69	5	<	<	X
ejde-1469	69	6	1	1	NUM
ejde-1469	69	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	69	8	the	the	DET
ejde-1469	69	9	weight	weight	NOUN
ejde-1469	69	10	functions	function	NOUN
ejde-1469	69	11	f	f	NOUN
ejde-1469	69	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	69	13	g	g	PROPN
ejde-1469	69	14	∈	∈	PROPN
ejde-1469	69	15	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1469	69	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	69	17	that	that	PRON
ejde-1469	69	18	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1469	69	19	condition	condition	NOUN
ejde-1469	69	20	(	(	PUNCT
ejde-1469	69	21	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	69	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	69	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	70	1	then	then	ADV
ejde-1469	70	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	70	3	there	there	PRON
ejde-1469	70	4	exists	exist	VERB
ejde-1469	70	5	a	a	DET
ejde-1469	70	6	positive	positive	ADJ
ejde-1469	70	7	constant	constant	ADJ
ejde-1469	70	8	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	70	9	such	such	ADJ
ejde-1469	70	10	that	that	SCONJ
ejde-1469	70	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	70	12	1	1	NUM
ejde-1469	70	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	70	14	for	for	ADP
ejde-1469	70	15	λ	λ	PROPN
ejde-1469	70	16	>	>	X
ejde-1469	70	17	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	70	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	70	19	problem	problem	NOUN
ejde-1469	70	20	(	(	PUNCT
ejde-1469	70	21	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	70	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	70	23	has	have	VERB
ejde-1469	70	24	at	at	ADV
ejde-1469	70	25	least	least	ADJ
ejde-1469	70	26	one	one	NUM
ejde-1469	70	27	solution	solution	NOUN
ejde-1469	70	28	.	.	PUNCT
ejde-1469	71	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	71	2	2	2	X
ejde-1469	71	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	71	4	for	for	ADP
ejde-1469	71	5	λ	λ	PROPN
ejde-1469	71	6	<	<	X
ejde-1469	71	7	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	71	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	71	9	problem	problem	NOUN
ejde-1469	71	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	71	11	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	71	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	71	13	has	have	VERB
ejde-1469	71	14	no	no	DET
ejde-1469	71	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	71	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	72	1	the	the	DET
ejde-1469	72	2	third	third	ADJ
ejde-1469	72	3	result	result	NOUN
ejde-1469	72	4	concerns	concern	VERB
ejde-1469	72	5	the	the	DET
ejde-1469	72	6	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	72	7	of	of	ADP
ejde-1469	72	8	weak	weak	ADJ
ejde-1469	72	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	72	10	of	of	ADP
ejde-1469	72	11	problem	problem	NOUN
ejde-1469	72	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	72	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	72	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	72	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	73	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	73	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	73	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	74	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1469	74	2	u	u	NOUN
ejde-1469	74	3	is	be	AUX
ejde-1469	74	4	a	a	DET
ejde-1469	74	5	weak	weak	ADJ
ejde-1469	74	6	positive	positive	ADJ
ejde-1469	74	7	solution	solution	NOUN
ejde-1469	74	8	to	to	ADP
ejde-1469	74	9	problem	problem	NOUN
ejde-1469	74	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	74	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	74	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	74	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	75	1	then	then	ADV
ejde-1469	75	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	75	3	there	there	PRON
ejde-1469	75	4	exists	exist	VERB
ejde-1469	75	5	a	a	DET
ejde-1469	75	6	value	value	NOUN
ejde-1469	75	7	α	α	X
ejde-1469	75	8	∈	∈	PROPN
ejde-1469	75	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	75	10	0	0	NUM
ejde-1469	75	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	75	12	s	s	AUX
ejde-1469	75	13	]	]	X
ejde-1469	75	14	such	such	ADJ
ejde-1469	75	15	that	that	SCONJ
ejde-1469	75	16	u	u	PROPN
ejde-1469	75	17	belongs	belong	VERB
ejde-1469	75	18	to	to	ADP
ejde-1469	75	19	the	the	DET
ejde-1469	75	20	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	75	21	space	space	NOUN
ejde-1469	75	22	cα	cα	ADP
ejde-1469	75	23	loc(ω	loc(ω	PROPN
ejde-1469	75	24	′	′	PROPN
ejde-1469	75	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	75	26	for	for	ADP
ejde-1469	75	27	every	every	DET
ejde-1469	75	28	compactly	compactly	ADV
ejde-1469	75	29	embedded	embed	VERB
ejde-1469	75	30	subset	subset	PROPN
ejde-1469	75	31	ω′	ω′	PROPN
ejde-1469	75	32	⋐	⋐	PROPN
ejde-1469	75	33	ω	ω	PROPN
ejde-1469	75	34	.	.	PUNCT
ejde-1469	76	1	we	we	PRON
ejde-1469	76	2	highlight	highlight	VERB
ejde-1469	76	3	that	that	SCONJ
ejde-1469	76	4	the	the	DET
ejde-1469	76	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	76	6	of	of	ADP
ejde-1469	76	7	problem	problem	NOUN
ejde-1469	76	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	76	9	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	76	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	76	11	has	have	AUX
ejde-1469	76	12	yielded	yield	VERB
ejde-1469	76	13	valuable	valuable	ADJ
ejde-1469	76	14	insights	insight	NOUN
ejde-1469	76	15	into	into	ADP
ejde-1469	76	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	76	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	76	18	equations	equation	NOUN
ejde-1469	76	19	with	with	ADP
ejde-1469	76	20	weight	weight	NOUN
ejde-1469	76	21	functions	function	NOUN
ejde-1469	76	22	.	.	PUNCT
ejde-1469	77	1	it	it	PRON
ejde-1469	77	2	demonstrates	demonstrate	VERB
ejde-1469	77	3	how	how	SCONJ
ejde-1469	77	4	these	these	DET
ejde-1469	77	5	weight	weight	NOUN
ejde-1469	77	6	functions	function	NOUN
ejde-1469	77	7	can	can	AUX
ejde-1469	77	8	alter	alter	VERB
ejde-1469	77	9	the	the	DET
ejde-1469	77	10	properties	property	NOUN
ejde-1469	77	11	of	of	ADP
ejde-1469	77	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	77	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	77	14	affecting	affect	VERB
ejde-1469	77	15	their	their	PRON
ejde-1469	77	16	existence	existence	NOUN
ejde-1469	77	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	77	18	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1469	77	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	77	20	and	and	CCONJ
ejde-1469	77	21	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	77	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	77	23	which	which	PRON
ejde-1469	77	24	is	be	AUX
ejde-1469	77	25	crucial	crucial	ADJ
ejde-1469	77	26	for	for	ADP
ejde-1469	77	27	modeling	model	VERB
ejde-1469	77	28	situations	situation	NOUN
ejde-1469	77	29	where	where	SCONJ
ejde-1469	77	30	material	material	NOUN
ejde-1469	77	31	properties	property	NOUN
ejde-1469	77	32	vary	vary	VERB
ejde-1469	77	33	.	.	PUNCT
ejde-1469	78	1	we	we	PRON
ejde-1469	78	2	have	have	AUX
ejde-1469	78	3	established	establish	VERB
ejde-1469	78	4	new	new	ADJ
ejde-1469	78	5	results	result	NOUN
ejde-1469	78	6	showing	show	VERB
ejde-1469	78	7	that	that	SCONJ
ejde-1469	78	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	78	9	can	can	AUX
ejde-1469	78	10	still	still	ADV
ejde-1469	78	11	exhibit	exhibit	VERB
ejde-1469	78	12	desirable	desirable	ADJ
ejde-1469	78	13	behavior	behavior	NOUN
ejde-1469	78	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	78	15	even	even	ADV
ejde-1469	78	16	in	in	ADP
ejde-1469	78	17	the	the	DET
ejde-1469	78	18	presence	presence	NOUN
ejde-1469	78	19	of	of	ADP
ejde-1469	78	20	singularities	singularity	NOUN
ejde-1469	78	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	79	1	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	79	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	79	3	we	we	PRON
ejde-1469	79	4	have	have	VERB
ejde-1469	79	5	refined	refine	VERB
ejde-1469	79	6	methods	method	NOUN
ejde-1469	79	7	for	for	ADP
ejde-1469	79	8	identifying	identify	VERB
ejde-1469	79	9	suband	suband	NOUN
ejde-1469	79	10	super	super	NOUN
ejde-1469	79	11	-	-	NOUN
ejde-1469	79	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	79	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	79	14	enhancing	enhance	VERB
ejde-1469	79	15	our	our	PRON
ejde-1469	79	16	understanding	understanding	NOUN
ejde-1469	79	17	of	of	ADP
ejde-1469	79	18	how	how	SCONJ
ejde-1469	79	19	weight	weight	NOUN
ejde-1469	79	20	functions	function	NOUN
ejde-1469	79	21	influence	influence	NOUN
ejde-1469	79	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	79	23	in	in	ADP
ejde-1469	79	24	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1469	79	25	contexts	contexts	NOUN
ejde-1469	79	26	.	.	PUNCT
ejde-1469	80	1	the	the	DET
ejde-1469	80	2	interaction	interaction	NOUN
ejde-1469	80	3	between	between	ADP
ejde-1469	80	4	weight	weight	NOUN
ejde-1469	80	5	functions	function	NOUN
ejde-1469	80	6	and	and	CCONJ
ejde-1469	80	7	critical	critical	ADJ
ejde-1469	80	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1469	80	9	terms	term	NOUN
ejde-1469	80	10	has	have	AUX
ejde-1469	80	11	also	also	ADV
ejde-1469	80	12	been	be	AUX
ejde-1469	80	13	clarified	clarify	VERB
ejde-1469	80	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	80	15	revealing	reveal	VERB
ejde-1469	80	16	how	how	SCONJ
ejde-1469	80	17	they	they	PRON
ejde-1469	80	18	can	can	AUX
ejde-1469	80	19	lead	lead	VERB
ejde-1469	80	20	to	to	ADP
ejde-1469	80	21	multiple	multiple	ADJ
ejde-1469	80	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	80	23	or	or	CCONJ
ejde-1469	80	24	impact	impact	VERB
ejde-1469	80	25	the	the	DET
ejde-1469	80	26	stability	stability	NOUN
ejde-1469	80	27	of	of	ADP
ejde-1469	80	28	a	a	DET
ejde-1469	80	29	solution	solution	NOUN
ejde-1469	80	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	81	1	these	these	DET
ejde-1469	81	2	findings	finding	NOUN
ejde-1469	81	3	are	be	AUX
ejde-1469	81	4	relevant	relevant	ADJ
ejde-1469	81	5	in	in	ADP
ejde-1469	81	6	various	various	ADJ
ejde-1469	81	7	fields	field	NOUN
ejde-1469	81	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	81	9	including	include	VERB
ejde-1469	81	10	materials	material	NOUN
ejde-1469	81	11	science	science	NOUN
ejde-1469	81	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	81	13	biology	biology	NOUN
ejde-1469	81	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	81	15	and	and	CCONJ
ejde-1469	81	16	finance	finance	NOUN
ejde-1469	81	17	.	.	PUNCT
ejde-1469	82	1	looking	look	VERB
ejde-1469	82	2	to	to	ADP
ejde-1469	82	3	the	the	DET
ejde-1469	82	4	future	future	NOUN
ejde-1469	82	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	82	6	research	research	NOUN
ejde-1469	82	7	can	can	AUX
ejde-1469	82	8	explore	explore	VERB
ejde-1469	82	9	more	more	ADJ
ejde-1469	82	10	complex	complex	ADJ
ejde-1469	82	11	systems	system	NOUN
ejde-1469	82	12	with	with	ADP
ejde-1469	82	13	multiple	multiple	ADJ
ejde-1469	82	14	weight	weight	NOUN
ejde-1469	82	15	functions	function	NOUN
ejde-1469	82	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	82	17	develop	develop	VERB
ejde-1469	82	18	specific	specific	ADJ
ejde-1469	82	19	numerical	numerical	ADJ
ejde-1469	82	20	methods	method	NOUN
ejde-1469	82	21	for	for	ADP
ejde-1469	82	22	these	these	DET
ejde-1469	82	23	equations	equation	NOUN
ejde-1469	82	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	82	25	investigate	investigate	VERB
ejde-1469	82	26	higher	high	ADJ
ejde-1469	82	27	-	-	PUNCT
ejde-1469	82	28	order	order	NOUN
ejde-1469	82	29	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	82	30	models	model	NOUN
ejde-1469	82	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	82	32	and	and	CCONJ
ejde-1469	82	33	examine	examine	VERB
ejde-1469	82	34	applications	application	NOUN
ejde-1469	82	35	in	in	ADP
ejde-1469	82	36	control	control	NOUN
ejde-1469	82	37	theory	theory	NOUN
ejde-1469	82	38	.	.	PUNCT
ejde-1469	83	1	overall	overall	ADV
ejde-1469	83	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	83	3	this	this	DET
ejde-1469	83	4	work	work	NOUN
ejde-1469	83	5	opens	open	VERB
ejde-1469	83	6	many	many	ADJ
ejde-1469	83	7	new	new	ADJ
ejde-1469	83	8	avenues	avenue	NOUN
ejde-1469	83	9	for	for	ADP
ejde-1469	83	10	research	research	NOUN
ejde-1469	83	11	and	and	CCONJ
ejde-1469	83	12	practical	practical	ADJ
ejde-1469	83	13	applications	application	NOUN
ejde-1469	83	14	in	in	ADP
ejde-1469	83	15	different	different	ADJ
ejde-1469	83	16	scientific	scientific	ADJ
ejde-1469	83	17	disciplines	discipline	NOUN
ejde-1469	83	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	84	1	this	this	DET
ejde-1469	84	2	manuscript	manuscript	NOUN
ejde-1469	84	3	is	be	AUX
ejde-1469	84	4	structured	structure	VERB
ejde-1469	84	5	as	as	SCONJ
ejde-1469	84	6	follows	follow	VERB
ejde-1469	84	7	:	:	PUNCT
ejde-1469	84	8	section	section	NOUN
ejde-1469	84	9	2	2	NUM
ejde-1469	84	10	provides	provide	VERB
ejde-1469	84	11	essential	essential	ADJ
ejde-1469	84	12	foundational	foundational	ADJ
ejde-1469	84	13	results	result	NOUN
ejde-1469	84	14	that	that	PRON
ejde-1469	84	15	will	will	AUX
ejde-1469	84	16	be	be	AUX
ejde-1469	84	17	utilized	utilize	VERB
ejde-1469	84	18	in	in	ADP
ejde-1469	84	19	subsequent	subsequent	ADJ
ejde-1469	84	20	sections	section	NOUN
ejde-1469	84	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	85	1	the	the	DET
ejde-1469	85	2	proofs	proof	NOUN
ejde-1469	85	3	of	of	ADP
ejde-1469	85	4	theorems	theorem	NOUN
ejde-1469	85	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	85	6	and	and	CCONJ
ejde-1469	85	7	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	85	8	can	can	AUX
ejde-1469	85	9	be	be	AUX
ejde-1469	85	10	found	find	VERB
ejde-1469	85	11	in	in	ADP
ejde-1469	85	12	sections	section	NOUN
ejde-1469	85	13	3	3	NUM
ejde-1469	85	14	and	and	CCONJ
ejde-1469	85	15	4	4	NUM
ejde-1469	85	16	.	.	X
ejde-1469	85	17	section	section	NOUN
ejde-1469	85	18	5	5	NUM
ejde-1469	85	19	addresses	address	NOUN
ejde-1469	85	20	the	the	DET
ejde-1469	85	21	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	85	22	of	of	ADP
ejde-1469	85	23	weak	weak	ADJ
ejde-1469	85	24	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	85	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	85	26	as	as	SCONJ
ejde-1469	85	27	detailed	detailed	ADJ
ejde-1469	85	28	in	in	ADP
ejde-1469	85	29	theorem	theorem	NOUN
ejde-1469	85	30	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	85	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	86	1	2	2	NUM
ejde-1469	86	2	.	.	X
ejde-1469	86	3	functional	functional	ADJ
ejde-1469	86	4	framework	framework	NOUN
ejde-1469	86	5	and	and	CCONJ
ejde-1469	86	6	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1469	86	7	results	result	NOUN
ejde-1469	86	8	in	in	ADP
ejde-1469	86	9	this	this	DET
ejde-1469	86	10	section	section	NOUN
ejde-1469	87	1	,	,	PUNCT
ejde-1469	87	2	we	we	PRON
ejde-1469	87	3	introduce	introduce	VERB
ejde-1469	87	4	key	key	ADJ
ejde-1469	87	5	definitions	definition	NOUN
ejde-1469	87	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	87	7	notation	notation	NOUN
ejde-1469	87	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	87	9	and	and	CCONJ
ejde-1469	87	10	function	function	NOUN
ejde-1469	87	11	spaces	space	NOUN
ejde-1469	87	12	that	that	PRON
ejde-1469	87	13	will	will	AUX
ejde-1469	87	14	be	be	AUX
ejde-1469	87	15	used	use	VERB
ejde-1469	87	16	throughout	throughout	ADP
ejde-1469	87	17	this	this	DET
ejde-1469	87	18	work	work	NOUN
ejde-1469	87	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	88	1	we	we	PRON
ejde-1469	88	2	define	define	VERB
ejde-1469	88	3	the	the	DET
ejde-1469	88	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	88	5	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	88	6	space	space	NOUN
ejde-1469	88	7	as	as	ADP
ejde-1469	88	8	w	w	PROPN
ejde-1469	88	9	s	s	PROPN
ejde-1469	88	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	88	11	p	p	NOUN
ejde-1469	88	12	0	0	X
ejde-1469	88	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	88	14	rn	rn	PROPN
ejde-1469	88	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	88	16	:	:	PUNCT
ejde-1469	89	1	=	=	SYM
ejde-1469	89	2	{	{	PUNCT
ejde-1469	89	3	u	u	NOUN
ejde-1469	89	4	∈	∈	PROPN
ejde-1469	89	5	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-1469	89	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	89	7	:	:	PUNCT
ejde-1469	89	8	u	u	NOUN
ejde-1469	89	9	is	be	AUX
ejde-1469	89	10	measurable	measurable	ADJ
ejde-1469	89	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	89	12	|u|s	|u|s	PROPN
ejde-1469	89	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	89	14	p	p	X
ejde-1469	89	15	<	<	X
ejde-1469	89	16	+	+	NOUN
ejde-1469	89	17	∞	∞	PROPN
ejde-1469	89	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	89	19	u	u	PROPN
ejde-1469	89	20	≡	≡	PROPN
ejde-1469	89	21	0	0	NUM
ejde-1469	90	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-1469	90	2	.	.	PROPN
ejde-1469	90	3	onωc	onωc	PROPN
ejde-1469	90	4	}	}	PUNCT
ejde-1469	90	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	91	1	in	in	ADP
ejde-1469	91	2	addition	addition	NOUN
ejde-1469	91	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	91	4	the	the	DET
ejde-1469	91	5	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1469	91	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	91	7	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	91	8	space	space	NOUN
ejde-1469	91	9	is	be	AUX
ejde-1469	91	10	defined	define	VERB
ejde-1469	91	11	as	as	ADP
ejde-1469	91	12	w	w	PROPN
ejde-1469	91	13	s	s	PROPN
ejde-1469	91	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	91	15	p(rn	p(rn	PROPN
ejde-1469	91	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	91	17	:	:	PUNCT
ejde-1469	92	1	=	=	SYM
ejde-1469	92	2	{	{	PUNCT
ejde-1469	92	3	u	u	NOUN
ejde-1469	92	4	∈	∈	PROPN
ejde-1469	92	5	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-1469	92	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	92	7	:	:	PUNCT
ejde-1469	92	8	u	u	NOUN
ejde-1469	92	9	is	be	AUX
ejde-1469	92	10	measurable	measurable	ADJ
ejde-1469	92	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	92	12	|u|s	|u|s	PROPN
ejde-1469	92	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	92	14	p	p	X
ejde-1469	92	15	<	<	X
ejde-1469	92	16	+	+	NOUN
ejde-1469	92	17	∞	∞	NUM
ejde-1469	92	18	}	}	PUNCT
ejde-1469	92	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	93	1	the	the	DET
ejde-1469	93	2	associated	associated	ADJ
ejde-1469	93	3	gagliardo	gagliardo	NOUN
ejde-1469	93	4	norm	norm	NOUN
ejde-1469	93	5	for	for	ADP
ejde-1469	93	6	these	these	DET
ejde-1469	93	7	spaces	space	NOUN
ejde-1469	93	8	is	be	AUX
ejde-1469	93	9	defined	define	VERB
ejde-1469	93	10	as	as	ADP
ejde-1469	93	11	∥u∥s	∥u∥	NOUN
ejde-1469	93	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	93	13	p	p	X
ejde-1469	93	14	:	:	PUNCT
ejde-1469	93	15	=	=	SYM
ejde-1469	93	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	93	17	∥u∥pp	∥u∥pp	PROPN
ejde-1469	93	18	+	+	NUM
ejde-1469	93	19	|u|ps	|u|ps	PROPN
ejde-1469	93	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	93	21	p	p	NOUN
ejde-1469	93	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	93	23	1	1	NUM
ejde-1469	93	24	/	/	SYM
ejde-1469	93	25	p	p	NOUN
ejde-1469	93	26	.	.	PUNCT
ejde-1469	94	1	for	for	ADP
ejde-1469	94	2	a	a	DET
ejde-1469	94	3	comprehensive	comprehensive	ADJ
ejde-1469	94	4	overview	overview	NOUN
ejde-1469	94	5	of	of	ADP
ejde-1469	94	6	the	the	DET
ejde-1469	94	7	properties	property	NOUN
ejde-1469	94	8	of	of	ADP
ejde-1469	94	9	the	the	DET
ejde-1469	94	10	space	space	NOUN
ejde-1469	94	11	w	w	PROPN
ejde-1469	94	12	s	s	PROPN
ejde-1469	94	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	94	14	p(rn	p(rn	PROPN
ejde-1469	94	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	94	16	we	we	PRON
ejde-1469	94	17	refer	refer	VERB
ejde-1469	94	18	to	to	ADP
ejde-1469	94	19	[	[	X
ejde-1469	94	20	19	19	NUM
ejde-1469	94	21	]	]	PUNCT
ejde-1469	94	22	and	and	CCONJ
ejde-1469	94	23	references	reference	NOUN
ejde-1469	94	24	therein	therein	ADV
ejde-1469	94	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	95	1	now	now	ADV
ejde-1469	95	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	95	3	let	let	VERB
ejde-1469	95	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	95	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-1469	95	6	rn	rn	PROPN
ejde-1469	95	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	95	8	define	define	VERB
ejde-1469	95	9	q	q	NOUN
ejde-1469	95	10	=	=	PUNCT
ejde-1469	95	11	r2n	r2n	NOUN
ejde-1469	95	12	\	\	PROPN
ejde-1469	96	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	96	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	96	3	rn	rn	PROPN
ejde-1469	96	4	\ω)×	\ω)×	PROPN
ejde-1469	96	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	96	6	rn	rn	PROPN
ejde-1469	96	7	\ω	\ω	PROPN
ejde-1469	96	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	96	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	96	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	97	1	the	the	DET
ejde-1469	97	2	space	space	NOUN
ejde-1469	97	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	97	4	x	x	NOUN
ejde-1469	97	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	97	6	∥.∥x	∥.∥x	NOUN
ejde-1469	97	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	97	8	is	be	AUX
ejde-1469	97	9	defined	define	VERB
ejde-1469	97	10	as	as	ADP
ejde-1469	97	11	:	:	PUNCT
ejde-1469	97	12	x	x	SYM
ejde-1469	97	13	=	=	PRON
ejde-1469	97	14	{	{	PUNCT
ejde-1469	97	15	u	u	NOUN
ejde-1469	97	16	:	:	PUNCT
ejde-1469	97	17	rn	rn	PROPN
ejde-1469	97	18	→	→	SYM
ejde-1469	97	19	r	r	NOUN
ejde-1469	97	20	is	be	AUX
ejde-1469	97	21	measurable	measurable	ADJ
ejde-1469	97	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	97	23	u|ω	u|ω	PROPN
ejde-1469	97	24	∈	∈	PROPN
ejde-1469	97	25	lp(ω	lp(ω	X
ejde-1469	97	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	97	27	and	and	CCONJ
ejde-1469	97	28	|u(x)−	|u(x)−	PROPN
ejde-1469	97	29	u(y)|	u(y)|	PROPN
ejde-1469	97	30	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	97	31	y|	y|	NOUN
ejde-1469	97	32	n+ps	n+ps	PROPN
ejde-1469	97	33	p	p	PROPN
ejde-1469	97	34	∈	∈	PROPN
ejde-1469	97	35	lp(q	lp(q	X
ejde-1469	97	36	)	)	PUNCT
ejde-1469	97	37	}	}	PUNCT
ejde-1469	97	38	4	4	NUM
ejde-1469	97	39	s.	s.	PROPN
ejde-1469	97	40	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	97	41	,	,	PUNCT
ejde-1469	97	42	k.	k.	PROPN
ejde-1469	98	1	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	98	2	ejde-2025/99	ejde-2025/99	PROPN
ejde-1469	98	3	equipped	equip	VERB
ejde-1469	98	4	with	with	ADP
ejde-1469	98	5	the	the	DET
ejde-1469	98	6	gagliardo	gagliardo	NOUN
ejde-1469	98	7	norm	norm	NOUN
ejde-1469	98	8	∥u∥x	∥u∥x	ADJ
ejde-1469	98	9	=	=	SYM
ejde-1469	98	10	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	98	11	+	+	CCONJ
ejde-1469	98	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	98	13	∫	∫	PROPN
ejde-1469	98	14	q	q	PROPN
ejde-1469	98	15	|u(x)−	|u(x)−	PROPN
ejde-1469	98	16	u(y)|p	u(y)|p	PROPN
ejde-1469	98	17	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	98	18	y|n+ps	y|n+ps	PROPN
ejde-1469	99	1	dx	dx	PROPN
ejde-1469	99	2	dy	dy	PROPN
ejde-1469	99	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	99	4	1	1	X
ejde-1469	99	5	/	/	SYM
ejde-1469	99	6	p	p	NOUN
ejde-1469	99	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	100	1	here	here	ADV
ejde-1469	100	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	100	3	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	100	4	denotes	denote	VERB
ejde-1469	100	5	the	the	DET
ejde-1469	100	6	lp	lp	NOUN
ejde-1469	100	7	-	-	PUNCT
ejde-1469	100	8	norm	norm	NOUN
ejde-1469	100	9	of	of	ADP
ejde-1469	100	10	u.	u.	NOUN
ejde-1469	100	11	we	we	PRON
ejde-1469	100	12	also	also	ADV
ejde-1469	100	13	define	define	VERB
ejde-1469	100	14	the	the	DET
ejde-1469	100	15	subspace	subspace	NOUN
ejde-1469	100	16	x0	x0	PROPN
ejde-1469	101	1	=	=	PUNCT
ejde-1469	101	2	{	{	PUNCT
ejde-1469	101	3	u	u	NOUN
ejde-1469	101	4	∈	∈	PROPN
ejde-1469	101	5	x	x	X
ejde-1469	101	6	:	:	PUNCT
ejde-1469	101	7	u	u	NOUN
ejde-1469	101	8	=	=	NOUN
ejde-1469	101	9	0	0	NUM
ejde-1469	101	10	a.e	a.e	PROPN
ejde-1469	101	11	.	.	PROPN
ejde-1469	102	1	in	in	ADP
ejde-1469	102	2	rn	rn	PROPN
ejde-1469	102	3	\	\	PROPN
ejde-1469	102	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	102	5	}	}	PUNCT
ejde-1469	102	6	which	which	PRON
ejde-1469	102	7	is	be	AUX
ejde-1469	102	8	equipped	equip	VERB
ejde-1469	102	9	with	with	ADP
ejde-1469	102	10	the	the	DET
ejde-1469	102	11	norm	norm	NOUN
ejde-1469	102	12	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1469	102	13	=	=	SYM
ejde-1469	102	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	102	15	∫	∫	PROPN
ejde-1469	102	16	q	q	PROPN
ejde-1469	102	17	|u(x)−	|u(x)−	PROPN
ejde-1469	102	18	u(y)|p	u(y)|p	PROPN
ejde-1469	102	19	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	102	20	y|n+ps	y|n+ps	PROPN
ejde-1469	103	1	dx	dx	PROPN
ejde-1469	103	2	dy	dy	PROPN
ejde-1469	103	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	103	4	1	1	X
ejde-1469	103	5	/	/	SYM
ejde-1469	103	6	p	p	NOUN
ejde-1469	103	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	104	1	lastly	lastly	ADV
ejde-1469	104	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	104	3	for	for	ADP
ejde-1469	104	4	u	u	PROPN
ejde-1469	104	5	∈	∈	PROPN
ejde-1469	104	6	lp∗	lp∗	NOUN
ejde-1469	104	7	s(t)(rn	s(t)(rn	PROPN
ejde-1469	104	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	104	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	104	10	we	we	PRON
ejde-1469	104	11	define	define	VERB
ejde-1469	104	12	the	the	DET
ejde-1469	104	13	norm	norm	NOUN
ejde-1469	104	14	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	104	15	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	104	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	104	17	=	=	PUNCT
ejde-1469	105	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	105	2	∫	∫	PROPN
ejde-1469	105	3	rn	rn	PROPN
ejde-1469	105	4	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	105	5	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	105	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	105	7	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	105	8	dx	dx	PROPN
ejde-1469	105	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	105	10	1	1	NUM
ejde-1469	105	11	/	/	SYM
ejde-1469	105	12	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	105	13	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	105	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	105	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	106	1	3	3	X
ejde-1469	106	2	.	.	X
ejde-1469	106	3	study	study	NOUN
ejde-1469	106	4	of	of	ADP
ejde-1469	106	5	problem	problem	NOUN
ejde-1469	106	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	106	7	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	106	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	106	9	our	our	PRON
ejde-1469	106	10	goal	goal	NOUN
ejde-1469	106	11	is	be	AUX
ejde-1469	106	12	to	to	PART
ejde-1469	106	13	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1469	106	14	the	the	DET
ejde-1469	106	15	existence	existence	NOUN
ejde-1469	106	16	of	of	ADP
ejde-1469	106	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	106	18	for	for	ADP
ejde-1469	106	19	specific	specific	ADJ
ejde-1469	106	20	values	value	NOUN
ejde-1469	106	21	of	of	ADP
ejde-1469	106	22	the	the	DET
ejde-1469	106	23	parameter	parameter	PROPN
ejde-1469	106	24	λ	λ	PROPN
ejde-1469	106	25	.	.	PROPN
ejde-1469	106	26	to	to	PART
ejde-1469	106	27	start	start	VERB
ejde-1469	106	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	106	29	we	we	PRON
ejde-1469	106	30	introduce	introduce	VERB
ejde-1469	106	31	the	the	DET
ejde-1469	106	32	concept	concept	NOUN
ejde-1469	106	33	of	of	ADP
ejde-1469	106	34	a	a	DET
ejde-1469	106	35	weak	weak	ADJ
ejde-1469	106	36	solution	solution	NOUN
ejde-1469	106	37	of	of	ADP
ejde-1469	106	38	problem	problem	NOUN
ejde-1469	106	39	(	(	PUNCT
ejde-1469	106	40	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	106	41	)	)	PUNCT
ejde-1469	106	42	.	.	PUNCT
ejde-1469	107	1	definition	definition	NOUN
ejde-1469	107	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1469	107	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	108	1	a	a	DET
ejde-1469	108	2	function	function	NOUN
ejde-1469	108	3	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	108	4	∈	∈	PROPN
ejde-1469	108	5	x0	x0	PROPN
ejde-1469	108	6	is	be	AUX
ejde-1469	108	7	called	call	VERB
ejde-1469	108	8	a	a	DET
ejde-1469	108	9	weak	weak	ADJ
ejde-1469	108	10	solution	solution	NOUN
ejde-1469	108	11	of	of	ADP
ejde-1469	108	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	108	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	108	14	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	108	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	108	16	if	if	SCONJ
ejde-1469	108	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	108	18	for	for	ADP
ejde-1469	108	19	every	every	DET
ejde-1469	108	20	test	test	NOUN
ejde-1469	108	21	function	function	NOUN
ejde-1469	108	22	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1469	108	23	∈	∈	PROPN
ejde-1469	108	24	x0	x0	PROPN
ejde-1469	108	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	108	26	the	the	DET
ejde-1469	108	27	following	follow	VERB
ejde-1469	108	28	conditions	condition	NOUN
ejde-1469	108	29	hold	hold	VERB
ejde-1469	108	30	(	(	PUNCT
ejde-1469	108	31	i	i	NOUN
ejde-1469	108	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	108	33	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	108	34	>	>	X
ejde-1469	108	35	0	0	PROPN
ejde-1469	108	36	,	,	PUNCT
ejde-1469	108	37	u−γ	u−γ	PROPN
ejde-1469	108	38	λ	λ	PROPN
ejde-1469	108	39	ϕ	ϕ	X
ejde-1469	108	40	∈	∈	PROPN
ejde-1469	108	41	l1(ω	l1(ω	PROPN
ejde-1469	108	42	)	)	PUNCT
ejde-1469	108	43	,	,	PUNCT
ejde-1469	108	44	(	(	PUNCT
ejde-1469	108	45	ii	ii	NOUN
ejde-1469	108	46	)	)	PUNCT
ejde-1469	108	47	∫	∫	PROPN
ejde-1469	109	1	q	q	PROPN
ejde-1469	109	2	|uλ(x)−	|uλ(x)−	PROPN
ejde-1469	110	1	uλ(y)|p−2(uλ(x)−	uλ(y)|p−2(uλ(x)−	PROPN
ejde-1469	110	2	uλ(y))(ϕ(x)−	uλ(y))(ϕ(x)−	PROPN
ejde-1469	110	3	ϕ(y	ϕ(y	PROPN
ejde-1469	110	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	110	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	110	6	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	110	7	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	110	8	dx	dx	PROPN
ejde-1469	110	9	dy	dy	X
ejde-1469	111	1	=	=	SYM
ejde-1469	111	2	λ	λ	PROPN
ejde-1469	111	3	∫	∫	PROPN
ejde-1469	111	4	ω	ω	X
ejde-1469	111	5	f(x)u−γ	f(x)u−γ	PROPN
ejde-1469	111	6	λ	λ	PROPN
ejde-1469	112	1	ϕdx+	ϕdx+	PROPN
ejde-1469	113	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	113	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	113	3	g(x)|uλ|p	g(x)|uλ|p	PROPN
ejde-1469	113	4	∗	∗	PROPN
ejde-1469	113	5	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	113	6	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	113	7	ϕ	ϕ	X
ejde-1469	113	8	dx	dx	PROPN
ejde-1469	113	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	113	10	3.1	3.1	NUM
ejde-1469	113	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	113	12	we	we	PRON
ejde-1469	113	13	now	now	ADV
ejde-1469	113	14	present	present	VERB
ejde-1469	113	15	the	the	DET
ejde-1469	113	16	concepts	concept	NOUN
ejde-1469	113	17	of	of	ADP
ejde-1469	113	18	a	a	DET
ejde-1469	113	19	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	113	20	and	and	CCONJ
ejde-1469	113	21	a	a	DET
ejde-1469	113	22	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	113	23	for	for	ADP
ejde-1469	113	24	problem	problem	NOUN
ejde-1469	113	25	(	(	PUNCT
ejde-1469	113	26	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	113	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	113	28	.	.	PUNCT
ejde-1469	114	1	definition	definition	NOUN
ejde-1469	114	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1469	114	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	115	1	a	a	DET
ejde-1469	115	2	function	function	NOUN
ejde-1469	115	3	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	115	4	is	be	AUX
ejde-1469	115	5	defined	define	VERB
ejde-1469	115	6	as	as	ADP
ejde-1469	115	7	a	a	DET
ejde-1469	115	8	weak	weak	ADJ
ejde-1469	115	9	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	115	10	of	of	ADP
ejde-1469	115	11	problem	problem	NOUN
ejde-1469	115	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	115	13	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	115	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	115	15	if	if	SCONJ
ejde-1469	115	16	it	it	PRON
ejde-1469	115	17	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1469	115	18	(	(	PUNCT
ejde-1469	115	19	1	1	X
ejde-1469	115	20	)	)	PUNCT
ejde-1469	115	21	the	the	DET
ejde-1469	115	22	function	function	NOUN
ejde-1469	115	23	is	be	AUX
ejde-1469	115	24	strictly	strictly	ADV
ejde-1469	115	25	positive	positive	ADJ
ejde-1469	115	26	on	on	ADP
ejde-1469	115	27	the	the	DET
ejde-1469	115	28	domain	domain	NOUN
ejde-1469	115	29	.	.	PUNCT
ejde-1469	116	1	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	116	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	116	3	the	the	DET
ejde-1469	116	4	term	term	NOUN
ejde-1469	116	5	u−γ	u−γ	PROPN
ejde-1469	116	6	λ	λ	PROPN
ejde-1469	116	7	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1469	116	8	is	be	AUX
ejde-1469	116	9	integrable	integrable	ADJ
ejde-1469	116	10	on	on	ADP
ejde-1469	116	11	ω	ω	PROPN
ejde-1469	116	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	116	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	116	14	2	2	X
ejde-1469	116	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	116	16	for	for	ADP
ejde-1469	116	17	every	every	DET
ejde-1469	116	18	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1469	116	19	test	test	NOUN
ejde-1469	116	20	function	function	NOUN
ejde-1469	116	21	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1469	116	22	∈	∈	PROPN
ejde-1469	116	23	x0,∫	x0,∫	PROPN
ejde-1469	117	1	q	q	PROPN
ejde-1469	117	2	|uλ(x)−	|uλ(x)−	PROPN
ejde-1469	117	3	uλ(y)|p−2(uλ(x)−	uλ(y)|p−2(uλ(x)−	PROPN
ejde-1469	117	4	uλ(y))(ϕ(x)−	uλ(y))(ϕ(x)−	PROPN
ejde-1469	117	5	ϕ(y	ϕ(y	PROPN
ejde-1469	117	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	117	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	118	1	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	119	1	y|n+ps	y|n+ps	PROPN
ejde-1469	119	2	dx	dx	PROPN
ejde-1469	119	3	dy	dy	PROPN
ejde-1469	119	4	−	−	PROPN
ejde-1469	119	5	∫	∫	PROPN
ejde-1469	119	6	ω	ω	PROPN
ejde-1469	119	7	λf(x	λf(x	PROPN
ejde-1469	119	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	119	9	uγ	uγ	ADP
ejde-1469	119	10	λ	λ	PROPN
ejde-1469	119	11	ϕdx−	ϕdx−	PROPN
ejde-1469	119	12	∫	∫	PROPN
ejde-1469	119	13	ω	ω	PROPN
ejde-1469	119	14	g(x)|uλ|p	g(x)|uλ|p	PROPN
ejde-1469	119	15	∗	∗	PROPN
ejde-1469	119	16	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	120	1	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	120	2	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1469	120	3	dx	dx	PROPN
ejde-1469	120	4	≤	≤	PROPN
ejde-1469	120	5	0	0	NUM
ejde-1469	120	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	121	1	definition	definition	NOUN
ejde-1469	121	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1469	121	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	122	1	a	a	DET
ejde-1469	122	2	function	function	NOUN
ejde-1469	122	3	ūλ	ūλ	PROPN
ejde-1469	122	4	is	be	AUX
ejde-1469	122	5	defined	define	VERB
ejde-1469	122	6	as	as	ADP
ejde-1469	122	7	a	a	DET
ejde-1469	122	8	weak	weak	ADJ
ejde-1469	122	9	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	122	10	of	of	ADP
ejde-1469	122	11	problem	problem	NOUN
ejde-1469	122	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	122	13	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	122	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	122	15	if	if	SCONJ
ejde-1469	122	16	it	it	PRON
ejde-1469	122	17	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1469	122	18	(	(	PUNCT
ejde-1469	122	19	1	1	X
ejde-1469	122	20	)	)	PUNCT
ejde-1469	122	21	the	the	DET
ejde-1469	122	22	function	function	NOUN
ejde-1469	122	23	is	be	AUX
ejde-1469	122	24	strictly	strictly	ADV
ejde-1469	122	25	positive	positive	ADJ
ejde-1469	122	26	on	on	ADP
ejde-1469	122	27	the	the	DET
ejde-1469	122	28	domain	domain	NOUN
ejde-1469	122	29	.	.	PUNCT
ejde-1469	123	1	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	123	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	123	3	the	the	DET
ejde-1469	123	4	term	term	NOUN
ejde-1469	123	5	ū−γ	ū−γ	PROPN
ejde-1469	123	6	λ	λ	X
ejde-1469	123	7	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1469	123	8	is	be	AUX
ejde-1469	123	9	integrable	integrable	ADJ
ejde-1469	123	10	on	on	ADP
ejde-1469	123	11	ω	ω	PROPN
ejde-1469	123	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	123	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	123	14	2	2	X
ejde-1469	123	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	123	16	for	for	ADP
ejde-1469	123	17	every	every	DET
ejde-1469	123	18	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1469	123	19	test	test	NOUN
ejde-1469	123	20	function	function	NOUN
ejde-1469	123	21	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1469	123	22	∈	∈	PROPN
ejde-1469	123	23	x0,∫	x0,∫	PROPN
ejde-1469	123	24	q	q	PROPN
ejde-1469	124	1	|ūλ(x)−	|ūλ(x)−	PROPN
ejde-1469	124	2	ūλ(y)|p−2(ūλ(x)−	ūλ(y)|p−2(ūλ(x)−	PROPN
ejde-1469	124	3	ūλ(y))(ϕ(x)−	ūλ(y))(ϕ(x)−	PROPN
ejde-1469	124	4	ϕ(y	ϕ(y	PROPN
ejde-1469	124	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	124	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	125	1	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	126	1	y|n+ps	y|n+ps	PROPN
ejde-1469	126	2	dx	dx	PROPN
ejde-1469	126	3	dy	dy	PROPN
ejde-1469	126	4	−	−	PROPN
ejde-1469	126	5	∫	∫	PROPN
ejde-1469	126	6	ω	ω	PROPN
ejde-1469	126	7	λf(x	λf(x	PROPN
ejde-1469	126	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	126	9	ūγ	ūγ	PROPN
ejde-1469	126	10	λ	λ	X
ejde-1469	126	11	ϕdx−	ϕdx−	PROPN
ejde-1469	126	12	∫	∫	PROPN
ejde-1469	126	13	ω	ω	PROPN
ejde-1469	126	14	g(x)|ūλ|p	g(x)|ūλ|p	PROPN
ejde-1469	126	15	∗	∗	PROPN
ejde-1469	126	16	s(t)−2ūλ	s(t)−2ūλ	PROPN
ejde-1469	126	17	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	126	18	ϕdx	ϕdx	ADJ
ejde-1469	126	19	≥	≥	NOUN
ejde-1469	126	20	0	0	NUM
ejde-1469	126	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	127	1	now	now	ADV
ejde-1469	127	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	127	3	we	we	PRON
ejde-1469	127	4	define	define	VERB
ejde-1469	127	5	the	the	DET
ejde-1469	127	6	functional	functional	ADJ
ejde-1469	127	7	iλ	iλ	NOUN
ejde-1469	127	8	:	:	PUNCT
ejde-1469	127	9	x0	x0	PROPN
ejde-1469	127	10	→	→	SYM
ejde-1469	127	11	r	r	NOUN
ejde-1469	127	12	as	as	ADP
ejde-1469	127	13	iλ(u	iλ(u	NOUN
ejde-1469	127	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	127	15	=	=	SYM
ejde-1469	127	16	1	1	NUM
ejde-1469	127	17	p	p	NOUN
ejde-1469	127	18	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	127	19	−	−	PROPN
ejde-1469	128	1	λ	λ	NOUN
ejde-1469	128	2	1−	1−	NUM
ejde-1469	128	3	γ	γ	PROPN
ejde-1469	128	4	∫	∫	PROPN
ejde-1469	128	5	ω	ω	PROPN
ejde-1469	128	6	f(x)|u|1−γ	f(x)|u|1−γ	NOUN
ejde-1469	128	7	dx−	dx−	SYM
ejde-1469	128	8	1	1	NUM
ejde-1469	128	9	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	128	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	128	11	∫	∫	PROPN
ejde-1469	128	12	ω	ω	PROPN
ejde-1469	128	13	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	PROPN
ejde-1469	128	14	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	128	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	128	16	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	128	17	dx	dx	PROPN
ejde-1469	128	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	129	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	129	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1469	129	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	129	4	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	129	5	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	129	6	problems	problem	NOUN
ejde-1469	129	7	with	with	ADP
ejde-1469	129	8	variable	variable	ADJ
ejde-1469	129	9	weights	weight	NOUN
ejde-1469	129	10	5	5	NUM
ejde-1469	129	11	next	next	ADV
ejde-1469	129	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	129	13	we	we	PRON
ejde-1469	129	14	introduce	introduce	VERB
ejde-1469	129	15	the	the	DET
ejde-1469	129	16	critical	critical	ADJ
ejde-1469	129	17	value	value	NOUN
ejde-1469	129	18	λ1	λ1	ADJ
ejde-1469	129	19	:	:	PUNCT
ejde-1469	129	20	=	=	SYM
ejde-1469	129	21	inf	inf	NOUN
ejde-1469	129	22	{	{	PUNCT
ejde-1469	129	23	λ	λ	X
ejde-1469	129	24	>	>	X
ejde-1469	129	25	0	0	PUNCT
ejde-1469	129	26	:	:	PUNCT
ejde-1469	129	27	problem	problem	NOUN
ejde-1469	129	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	129	29	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	129	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	129	31	admits	admit	VERB
ejde-1469	129	32	no	no	DET
ejde-1469	129	33	weak	weak	ADJ
ejde-1469	129	34	solution	solution	NOUN
ejde-1469	129	35	}	}	PUNCT
ejde-1469	129	36	.	.	PUNCT
ejde-1469	130	1	we	we	PRON
ejde-1469	130	2	now	now	ADV
ejde-1469	130	3	establish	establish	VERB
ejde-1469	130	4	the	the	DET
ejde-1469	130	5	following	follow	VERB
ejde-1469	130	6	key	key	ADJ
ejde-1469	130	7	result	result	NOUN
ejde-1469	130	8	.	.	PUNCT
ejde-1469	131	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	131	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	131	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	132	1	for	for	ADP
ejde-1469	132	2	λ	λ	PROPN
ejde-1469	132	3	∈	∈	PROPN
ejde-1469	132	4	(	(	PUNCT
ejde-1469	132	5	0,λ1	0,λ1	NUM
ejde-1469	132	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	132	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	132	8	problem	problem	NOUN
ejde-1469	132	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	132	10	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	132	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	132	12	has	have	VERB
ejde-1469	132	13	at	at	ADV
ejde-1469	132	14	least	least	ADV
ejde-1469	132	15	one	one	NUM
ejde-1469	132	16	weak	weak	ADJ
ejde-1469	132	17	solution	solution	NOUN
ejde-1469	132	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	133	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	133	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	134	1	to	to	PART
ejde-1469	134	2	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1469	134	3	the	the	DET
ejde-1469	134	4	existence	existence	NOUN
ejde-1469	134	5	of	of	ADP
ejde-1469	134	6	a	a	DET
ejde-1469	134	7	solution	solution	NOUN
ejde-1469	134	8	for	for	ADP
ejde-1469	134	9	problem	problem	NOUN
ejde-1469	134	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	134	11	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	134	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	134	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	134	14	we	we	PRON
ejde-1469	134	15	will	will	AUX
ejde-1469	134	16	construct	construct	VERB
ejde-1469	134	17	a	a	DET
ejde-1469	134	18	wellordered	wellordere	VERB
ejde-1469	134	19	pair	pair	NOUN
ejde-1469	134	20	of	of	ADP
ejde-1469	134	21	functions	function	NOUN
ejde-1469	134	22	:	:	PUNCT
ejde-1469	134	23	a	a	DET
ejde-1469	134	24	weak	weak	ADJ
ejde-1469	134	25	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	134	26	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	134	27	and	and	CCONJ
ejde-1469	134	28	a	a	DET
ejde-1469	134	29	weak	weak	ADJ
ejde-1469	134	30	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	134	31	uλ	uλ	SCONJ
ejde-1469	134	32	such	such	ADJ
ejde-1469	134	33	that	that	SCONJ
ejde-1469	134	34	the	the	DET
ejde-1469	134	35	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	134	36	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	134	37	≤	≤	PROPN
ejde-1469	134	38	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	134	39	holds	hold	NOUN
ejde-1469	134	40	throughout	throughout	ADP
ejde-1469	134	41	the	the	DET
ejde-1469	134	42	domain	domain	NOUN
ejde-1469	134	43	.	.	PUNCT
ejde-1469	135	1	first	first	ADV
ejde-1469	135	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	135	3	let	let	VERB
ejde-1469	135	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	135	5	denote	denote	VERB
ejde-1469	135	6	the	the	DET
ejde-1469	135	7	principal	principal	ADJ
ejde-1469	135	8	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1469	135	9	of	of	ADP
ejde-1469	135	10	the	the	DET
ejde-1469	135	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	135	12	p	p	ADJ
ejde-1469	135	13	-	-	PUNCT
ejde-1469	135	14	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	135	15	operator	operator	NOUN
ejde-1469	135	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	135	17	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	135	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	135	19	s	s	VERB
ejde-1469	135	20	in	in	ADP
ejde-1469	135	21	the	the	DET
ejde-1469	135	22	domain	domain	NOUN
ejde-1469	135	23	ω	ω	NOUN
ejde-1469	135	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	136	1	specifically	specifically	ADV
ejde-1469	136	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	136	3	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	136	4	and	and	CCONJ
ejde-1469	136	5	its	its	PRON
ejde-1469	136	6	corresponding	correspond	VERB
ejde-1469	136	7	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1469	136	8	ϕ1	ϕ1	NOUN
ejde-1469	136	9	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1469	136	10	the	the	DET
ejde-1469	136	11	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1469	136	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	136	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	136	14	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	136	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	136	16	sϕ1	sϕ1	NOUN
ejde-1469	137	1	=	=	PRON
ejde-1469	137	2	λ1h(x)|ϕ1|p−2ϕ1	λ1h(x)|ϕ1|p−2ϕ1	PUNCT
ejde-1469	137	3	in	in	ADP
ejde-1469	137	4	ω	ω	NUM
ejde-1469	137	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	137	6	ϕ1	ϕ1	PROPN
ejde-1469	137	7	>	>	X
ejde-1469	137	8	0	0	PUNCT
ejde-1469	137	9	in	in	ADP
ejde-1469	137	10	ω	ω	NUM
ejde-1469	137	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	137	12	ϕ1	ϕ1	NOUN
ejde-1469	137	13	=	=	SYM
ejde-1469	137	14	0	0	NUM
ejde-1469	137	15	in	in	ADP
ejde-1469	137	16	rn	rn	PROPN
ejde-1469	137	17	\	\	PROPN
ejde-1469	137	18	ω	ω	PROPN
ejde-1469	137	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	137	20	where	where	SCONJ
ejde-1469	137	21	h(x	h(x	PROPN
ejde-1469	137	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	137	23	=	=	PUNCT
ejde-1469	137	24	min{f(x	min{f(x	PROPN
ejde-1469	137	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	137	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	137	27	g(x	g(x	NOUN
ejde-1469	137	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	137	29	}	}	PUNCT
ejde-1469	137	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	138	1	here	here	ADV
ejde-1469	138	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	138	3	the	the	DET
ejde-1469	138	4	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1469	138	5	ϕ1	ϕ1	NOUN
ejde-1469	138	6	is	be	AUX
ejde-1469	138	7	positive	positive	ADJ
ejde-1469	138	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	138	9	belongs	belong	VERB
ejde-1469	138	10	to	to	ADP
ejde-1469	138	11	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1469	138	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	138	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	139	1	for	for	ADP
ejde-1469	139	2	further	further	ADJ
ejde-1469	139	3	details	detail	NOUN
ejde-1469	139	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	139	5	we	we	PRON
ejde-1469	139	6	refer	refer	VERB
ejde-1469	139	7	the	the	DET
ejde-1469	139	8	reader	reader	NOUN
ejde-1469	139	9	to	to	ADP
ejde-1469	139	10	[	[	X
ejde-1469	139	11	15	15	NUM
ejde-1469	139	12	]	]	PUNCT
ejde-1469	139	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	140	1	assume	assume	VERB
ejde-1469	140	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-1469	140	3	≤	≤	PROPN
ejde-1469	140	4	λ	λ	PROPN
ejde-1469	140	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	141	1	define	define	VERB
ejde-1469	141	2	the	the	DET
ejde-1469	141	3	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	141	4	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	141	5	=	=	PUNCT
ejde-1469	141	6	ϵϕ1	ϵϕ1	PROPN
ejde-1469	141	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	141	8	where	where	SCONJ
ejde-1469	141	9	ϵ	ϵ	X
ejde-1469	141	10	>	>	X
ejde-1469	141	11	0	0	NUM
ejde-1469	141	12	is	be	AUX
ejde-1469	141	13	a	a	DET
ejde-1469	141	14	small	small	ADJ
ejde-1469	141	15	constant	constant	ADJ
ejde-1469	141	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	142	1	then	then	ADV
ejde-1469	142	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	142	3	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	142	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	142	5	s(uλ	s(uλ	PROPN
ejde-1469	142	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	142	7	=	=	PUNCT
ejde-1469	143	1	λ1ϵ	λ1ϵ	PROPN
ejde-1469	143	2	p−1h(x)ϕp−1	p−1h(x)ϕp−1	NOUN
ejde-1469	143	3	1	1	NUM
ejde-1469	143	4	≤	≤	NOUN
ejde-1469	143	5	λϵp−1h(x)ϕp−1	λϵp−1h(x)ϕp−1	SYM
ejde-1469	143	6	1	1	NUM
ejde-1469	143	7	≤	≤	NOUN
ejde-1469	143	8	λh(x)ϵγϕ−γ	λh(x)ϵγϕ−γ	NOUN
ejde-1469	143	9	1	1	NUM
ejde-1469	143	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	144	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	144	2	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	144	3	=	=	NOUN
ejde-1469	144	4	ϵϕ1	ϵϕ1	NUM
ejde-1469	144	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	144	6	we	we	PRON
ejde-1469	144	7	have	have	VERB
ejde-1469	144	8	λh(x)ϵγ	λh(x)ϵγ	ADJ
ejde-1469	144	9	ϕ−γ	ϕ−γ	NOUN
ejde-1469	144	10	1	1	NUM
ejde-1469	144	11	≤	≤	NUM
ejde-1469	144	12	h(x	h(x	PROPN
ejde-1469	144	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	144	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	144	15	λϵγ	λϵγ	VERB
ejde-1469	144	16	ϕ−γ	ϕ−γ	NOUN
ejde-1469	144	17	1	1	NUM
ejde-1469	144	18	+	+	CCONJ
ejde-1469	144	19	ϵp	ϵp	ADP
ejde-1469	144	20	∗	∗	NOUN
ejde-1469	144	21	s(t)−1|ϕ1|p	s(t)−1|ϕ1|p	VERB
ejde-1469	144	22	∗	∗	NOUN
ejde-1469	144	23	s(t)−2ϕ1	s(t)−2ϕ1	NOUN
ejde-1469	144	24	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	144	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	144	26	≤	≤	NOUN
ejde-1469	145	1	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NUM
ejde-1469	145	2	λ	λ	X
ejde-1469	145	3	+	+	CCONJ
ejde-1469	145	4	g(x)|uλ|p	g(x)|uλ|p	PROPN
ejde-1469	145	5	∗	∗	NOUN
ejde-1469	145	6	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	145	7	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	145	8	.	.	PUNCT
ejde-1469	146	1	thus	thus	ADV
ejde-1469	146	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	146	3	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	146	4	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1469	146	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	146	6	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	146	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	146	8	s(uλ	s(uλ	PROPN
ejde-1469	146	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	146	10	≤	≤	NOUN
ejde-1469	146	11	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NUM
ejde-1469	146	12	λ	λ	X
ejde-1469	146	13	+	+	CCONJ
ejde-1469	146	14	g(x)|uλ|p	g(x)|uλ|p	PROPN
ejde-1469	146	15	∗	∗	NOUN
ejde-1469	146	16	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	146	17	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	146	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	146	19	which	which	PRON
ejde-1469	146	20	shows	show	VERB
ejde-1469	146	21	that	that	SCONJ
ejde-1469	146	22	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	146	23	is	be	AUX
ejde-1469	146	24	a	a	DET
ejde-1469	146	25	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	146	26	of	of	ADP
ejde-1469	146	27	problem	problem	NOUN
ejde-1469	146	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	146	29	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	146	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	146	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	147	1	now	now	ADV
ejde-1469	147	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	147	3	let	let	VERB
ejde-1469	147	4	h(x	h(x	PROPN
ejde-1469	147	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	147	6	=	=	PUNCT
ejde-1469	148	1	max{f(x	max{f(x	PROPN
ejde-1469	148	2	)	)	PUNCT
ejde-1469	148	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	148	4	g(x	g(x	NOUN
ejde-1469	148	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	148	6	}	}	PUNCT
ejde-1469	148	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	148	8	assume	assume	VERB
ejde-1469	148	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	148	10	≥	≥	NUM
ejde-1469	148	11	λ	λ	PROPN
ejde-1469	148	12	.	.	PROPN
ejde-1469	148	13	define	define	VERB
ejde-1469	148	14	the	the	DET
ejde-1469	148	15	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	148	16	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	148	17	=	=	PROPN
ejde-1469	148	18	cϕ1	cϕ1	PROPN
ejde-1469	148	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	148	20	where	where	SCONJ
ejde-1469	148	21	c	c	AUX
ejde-1469	148	22	>	>	X
ejde-1469	148	23	0	0	NUM
ejde-1469	148	24	is	be	AUX
ejde-1469	148	25	a	a	DET
ejde-1469	148	26	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1469	148	27	large	large	ADJ
ejde-1469	148	28	constant	constant	ADJ
ejde-1469	148	29	.	.	PUNCT
ejde-1469	149	1	then	then	ADV
ejde-1469	149	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	149	3	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	149	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	149	5	s(uλ	s(uλ	PROPN
ejde-1469	149	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	149	7	=	=	PUNCT
ejde-1469	150	1	λ1c	λ1c	NOUN
ejde-1469	150	2	p−1h(x)ϕp−1	p−1h(x)ϕp−1	NOUN
ejde-1469	150	3	1	1	NUM
ejde-1469	150	4	≥	≥	NOUN
ejde-1469	150	5	λcp−1h(x)ϕp−1	λcp−1h(x)ϕp−1	NOUN
ejde-1469	150	6	1	1	NUM
ejde-1469	150	7	≥	≥	NOUN
ejde-1469	150	8	λh(x)cγϕ−γ	λh(x)cγϕ−γ	NOUN
ejde-1469	150	9	1	1	NUM
ejde-1469	150	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	151	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	151	2	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	151	3	=	=	PROPN
ejde-1469	151	4	cϕ1	cϕ1	PROPN
ejde-1469	151	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	151	6	we	we	PRON
ejde-1469	151	7	have	have	VERB
ejde-1469	151	8	λh(x)cγ	λh(x)cγ	NOUN
ejde-1469	151	9	ϕ−γ	ϕ−γ	ADP
ejde-1469	151	10	1	1	NUM
ejde-1469	151	11	≥	≥	NOUN
ejde-1469	151	12	h(x	h(x	PROPN
ejde-1469	151	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	151	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	151	15	λcγ	λcγ	ADJ
ejde-1469	151	16	ϕ−γ	ϕ−γ	NOUN
ejde-1469	151	17	1	1	NUM
ejde-1469	151	18	+	+	CCONJ
ejde-1469	151	19	cp∗	cp∗	AUX
ejde-1469	151	20	s(t)−1|ϕ1|p	s(t)−1|ϕ1|p	VERB
ejde-1469	151	21	∗	∗	NOUN
ejde-1469	151	22	s(t)−2ϕ1	s(t)−2ϕ1	NOUN
ejde-1469	151	23	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	151	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	151	25	≥	≥	PROPN
ejde-1469	151	26	h(x	h(x	PROPN
ejde-1469	151	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	151	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	152	1	λ	λ	NOUN
ejde-1469	152	2	u−γ	u−γ	PROPN
ejde-1469	152	3	λ	λ	PROPN
ejde-1469	152	4	+	+	PROPN
ejde-1469	152	5	|uλ|p	|uλ|p	NOUN
ejde-1469	152	6	∗	∗	NOUN
ejde-1469	152	7	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	152	8	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	152	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	152	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	153	1	thus	thus	ADV
ejde-1469	153	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	153	3	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	153	4	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1469	153	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	153	6	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	153	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	153	8	s(uλ	s(uλ	PROPN
ejde-1469	153	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	153	10	≥	≥	NOUN
ejde-1469	153	11	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NUM
ejde-1469	153	12	λ	λ	X
ejde-1469	153	13	+	+	CCONJ
ejde-1469	153	14	g(x)|uλ|p	g(x)|uλ|p	PROPN
ejde-1469	153	15	∗	∗	NOUN
ejde-1469	153	16	s(t)−2uλ	s(t)−2uλ	PROPN
ejde-1469	153	17	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	153	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	153	19	which	which	PRON
ejde-1469	153	20	proves	prove	VERB
ejde-1469	153	21	that	that	SCONJ
ejde-1469	153	22	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	153	23	is	be	AUX
ejde-1469	153	24	a	a	DET
ejde-1469	153	25	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	153	26	of	of	ADP
ejde-1469	153	27	problem	problem	NOUN
ejde-1469	153	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	153	29	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	153	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	153	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	154	1	to	to	PART
ejde-1469	154	2	ensure	ensure	VERB
ejde-1469	154	3	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	154	4	≤	≤	ADJ
ejde-1469	154	5	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	154	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	154	7	we	we	PRON
ejde-1469	154	8	choose	choose	VERB
ejde-1469	154	9	ϵ	ϵ	ADP
ejde-1469	154	10	>	>	X
ejde-1469	154	11	0	0	PUNCT
ejde-1469	155	1	small	small	ADJ
ejde-1469	155	2	enough	enough	ADV
ejde-1469	155	3	and	and	CCONJ
ejde-1469	155	4	c	c	X
ejde-1469	155	5	>	>	X
ejde-1469	155	6	0	0	PUNCT
ejde-1469	156	1	large	large	ADJ
ejde-1469	156	2	enough	enough	ADV
ejde-1469	156	3	such	such	ADJ
ejde-1469	156	4	that	that	DET
ejde-1469	156	5	ϵϕ1	ϵϕ1	NUM
ejde-1469	156	6	≤	≤	NUM
ejde-1469	156	7	cϕ1	cϕ1	NOUN
ejde-1469	156	8	for	for	ADP
ejde-1469	156	9	all	all	DET
ejde-1469	156	10	x	x	SYM
ejde-1469	156	11	∈	∈	PROPN
ejde-1469	156	12	ω	ω	NOUN
ejde-1469	156	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	157	1	this	this	PRON
ejde-1469	157	2	holds	hold	VERB
ejde-1469	157	3	trivially	trivially	ADV
ejde-1469	157	4	since	since	SCONJ
ejde-1469	157	5	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-1469	157	6	≤	≤	X
ejde-1469	157	7	c.	c.	NOUN
ejde-1469	157	8	by	by	ADP
ejde-1469	157	9	the	the	DET
ejde-1469	157	10	weak	weak	ADJ
ejde-1469	157	11	comparison	comparison	NOUN
ejde-1469	157	12	principle	principle	NOUN
ejde-1469	157	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	157	14	see	see	VERB
ejde-1469	157	15	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	157	16	3.1	3.1	NUM
ejde-1469	157	17	in	in	ADP
ejde-1469	157	18	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	157	19	et	et	PROPN
ejde-1469	157	20	al	al	PROPN
ejde-1469	157	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	158	1	[	[	X
ejde-1469	158	2	20	20	NUM
ejde-1469	158	3	]	]	NUM
ejde-1469	158	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	158	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	158	6	we	we	PRON
ejde-1469	158	7	have	have	VERB
ejde-1469	158	8	uλ	uλ	DET
ejde-1469	158	9	≤	≤	NUM
ejde-1469	158	10	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	158	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	159	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	159	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	159	3	using	use	VERB
ejde-1469	159	4	the	the	DET
ejde-1469	159	5	classical	classical	ADJ
ejde-1469	159	6	iteration	iteration	NOUN
ejde-1469	159	7	method	method	NOUN
ejde-1469	159	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	159	9	we	we	PRON
ejde-1469	159	10	conclude	conclude	VERB
ejde-1469	159	11	that	that	DET
ejde-1469	159	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	159	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	159	14	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	159	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	159	16	admits	admit	VERB
ejde-1469	159	17	a	a	DET
ejde-1469	159	18	solution	solution	NOUN
ejde-1469	159	19	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	159	20	that	that	PRON
ejde-1469	159	21	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1469	159	22	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	159	23	≤	≤	NOUN
ejde-1469	159	24	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	159	25	≤	≤	ADJ
ejde-1469	159	26	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	159	27	for	for	ADP
ejde-1469	159	28	all	all	DET
ejde-1469	159	29	λ	λ	PROPN
ejde-1469	159	30	<	<	X
ejde-1469	159	31	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	159	32	.	.	PUNCT
ejde-1469	159	33	□	□	PUNCT
ejde-1469	159	34	.	.	PUNCT
ejde-1469	160	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	160	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1469	160	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	161	1	for	for	ADP
ejde-1469	161	2	all	all	DET
ejde-1469	161	3	λ	λ	X
ejde-1469	161	4	∈	∈	PROPN
ejde-1469	161	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	161	6	0,λ1	0,λ1	NUM
ejde-1469	161	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	161	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	161	9	problem	problem	NOUN
ejde-1469	161	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	161	11	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	161	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	161	13	has	have	VERB
ejde-1469	161	14	a	a	DET
ejde-1469	161	15	minimal	minimal	ADJ
ejde-1469	161	16	solution	solution	NOUN
ejde-1469	161	17	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	161	18	.	.	PROPN
ejde-1469	161	19	6	6	NUM
ejde-1469	161	20	s.	s.	PROPN
ejde-1469	161	21	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	161	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	161	23	k.	k.	PROPN
ejde-1469	161	24	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	161	25	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	161	26	proof	proof	NOUN
ejde-1469	161	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	162	1	to	to	PART
ejde-1469	162	2	prove	prove	VERB
ejde-1469	162	3	the	the	DET
ejde-1469	162	4	existence	existence	NOUN
ejde-1469	162	5	of	of	ADP
ejde-1469	162	6	a	a	DET
ejde-1469	162	7	minimal	minimal	ADJ
ejde-1469	162	8	solution	solution	NOUN
ejde-1469	162	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	162	10	we	we	PRON
ejde-1469	162	11	introduce	introduce	VERB
ejde-1469	162	12	the	the	DET
ejde-1469	162	13	monotone	monotone	ADJ
ejde-1469	162	14	iterative	iterative	NOUN
ejde-1469	162	15	scheme	scheme	NOUN
ejde-1469	162	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	162	17	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	162	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	162	19	sun	sun	NOUN
ejde-1469	162	20	−	−	ADP
ejde-1469	162	21	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	NOUN
ejde-1469	162	22	n	n	NOUN
ejde-1469	162	23	=	=	PUNCT
ejde-1469	162	24	g(x)|un−1|p	g(x)|un−1|p	NOUN
ejde-1469	162	25	∗	∗	NOUN
ejde-1469	162	26	s(t)−2un−1	s(t)−2un−1	NOUN
ejde-1469	162	27	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	162	28	in	in	ADP
ejde-1469	162	29	ω	ω	NUM
ejde-1469	162	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	162	31	un|∂ω	un|∂ω	X
ejde-1469	163	1	=	=	PUNCT
ejde-1469	163	2	0	0	X
ejde-1469	163	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	164	1	we	we	PRON
ejde-1469	164	2	initialize	initialize	VERB
ejde-1469	164	3	the	the	DET
ejde-1469	164	4	scheme	scheme	NOUN
ejde-1469	164	5	with	with	ADP
ejde-1469	164	6	u0	u0	ADJ
ejde-1469	164	7	=	=	NOUN
ejde-1469	164	8	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	164	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	164	10	where	where	SCONJ
ejde-1469	164	11	uλ	uλ	ADV
ejde-1469	164	12	is	be	AUX
ejde-1469	164	13	the	the	DET
ejde-1469	164	14	unique	unique	ADJ
ejde-1469	164	15	solution	solution	NOUN
ejde-1469	164	16	to	to	ADP
ejde-1469	164	17	the	the	DET
ejde-1469	164	18	purely	purely	ADV
ejde-1469	164	19	singular	singular	ADJ
ejde-1469	164	20	problem	problem	NOUN
ejde-1469	164	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	164	22	as	as	SCONJ
ejde-1469	164	23	established	establish	VERB
ejde-1469	164	24	in	in	ADP
ejde-1469	164	25	the	the	DET
ejde-1469	164	26	work	work	NOUN
ejde-1469	164	27	of	of	ADP
ejde-1469	164	28	canino	canino	PROPN
ejde-1469	164	29	et	et	PROPN
ejde-1469	164	30	al	al	PROPN
ejde-1469	164	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	165	1	[	[	X
ejde-1469	165	2	6	6	NUM
ejde-1469	165	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	165	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	165	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	165	6	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	165	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	165	8	su	su	NOUN
ejde-1469	166	1	=	=	NOUN
ejde-1469	166	2	λf(x)u−γ	λf(x)u−γ	PROPN
ejde-1469	166	3	in	in	ADP
ejde-1469	166	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	166	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	166	6	u|∂ω	u|∂ω	PROPN
ejde-1469	166	7	=	=	SYM
ejde-1469	166	8	0	0	NUM
ejde-1469	166	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	166	10	u	u	NOUN
ejde-1469	166	11	>	>	X
ejde-1469	166	12	0	0	PUNCT
ejde-1469	166	13	in	in	ADP
ejde-1469	166	14	ω	ω	PROPN
ejde-1469	166	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	167	1	according	accord	VERB
ejde-1469	167	2	to	to	ADP
ejde-1469	167	3	the	the	DET
ejde-1469	167	4	weak	weak	ADJ
ejde-1469	167	5	comparison	comparison	NOUN
ejde-1469	167	6	principle	principle	NOUN
ejde-1469	167	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	167	8	as	as	SCONJ
ejde-1469	167	9	detailed	detailed	ADJ
ejde-1469	167	10	in	in	ADP
ejde-1469	167	11	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	167	12	et	et	PROPN
ejde-1469	167	13	al	al	PROPN
ejde-1469	167	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	168	1	[	[	X
ejde-1469	168	2	20	20	NUM
ejde-1469	168	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	168	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	168	5	3.1	3.1	NUM
ejde-1469	168	6	]	]	PUNCT
ejde-1469	168	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	168	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	168	9	it	it	PRON
ejde-1469	168	10	follows	follow	VERB
ejde-1469	168	11	that	that	SCONJ
ejde-1469	168	12	u0	u0	ADJ
ejde-1469	168	13	is	be	AUX
ejde-1469	168	14	a	a	DET
ejde-1469	168	15	weak	weak	ADJ
ejde-1469	168	16	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	168	17	to	to	ADP
ejde-1469	168	18	(	(	PUNCT
ejde-1469	168	19	p)+	p)+	VERB
ejde-1469	168	20	and	and	CCONJ
ejde-1469	168	21	fulfills	fulfill	VERB
ejde-1469	168	22	condition	condition	NOUN
ejde-1469	168	23	u0	u0	ADJ
ejde-1469	168	24	≤	≤	PROPN
ejde-1469	168	25	v	v	NOUN
ejde-1469	168	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	168	27	where	where	SCONJ
ejde-1469	168	28	v	v	NOUN
ejde-1469	168	29	denotes	denote	VERB
ejde-1469	168	30	any	any	DET
ejde-1469	168	31	weak	weak	ADJ
ejde-1469	168	32	solution	solution	NOUN
ejde-1469	168	33	of	of	ADP
ejde-1469	168	34	(	(	PUNCT
ejde-1469	168	35	p)+	p)+	NOUN
ejde-1469	168	36	.	.	PUNCT
ejde-1469	169	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	169	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	169	3	applying	apply	VERB
ejde-1469	169	4	the	the	DET
ejde-1469	169	5	weak	weak	ADJ
ejde-1469	169	6	comparison	comparison	NOUN
ejde-1469	169	7	principle	principle	NOUN
ejde-1469	169	8	once	once	ADV
ejde-1469	169	9	more	more	ADV
ejde-1469	169	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	169	11	we	we	PRON
ejde-1469	169	12	can	can	AUX
ejde-1469	169	13	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1469	169	14	that	that	SCONJ
ejde-1469	169	15	the	the	DET
ejde-1469	169	16	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	169	17	{	{	PUNCT
ejde-1469	169	18	un}∞n=1	un}∞n=1	NUM
ejde-1469	169	19	is	be	AUX
ejde-1469	169	20	not	not	PART
ejde-1469	169	21	monotonically	monotonically	ADV
ejde-1469	169	22	decreasing	decrease	VERB
ejde-1469	169	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	169	24	which	which	PRON
ejde-1469	169	25	means	mean	VERB
ejde-1469	169	26	u0	u0	ADJ
ejde-1469	169	27	≤	≤	NUM
ejde-1469	169	28	u1	u1	NOUN
ejde-1469	169	29	≤	≤	NOUN
ejde-1469	169	30	u2	u2	NOUN
ejde-1469	169	31	≤	≤	NOUN
ejde-1469	169	32	·	·	PUNCT
ejde-1469	169	33	·	·	PUNCT
ejde-1469	169	34	·	·	PUNCT
ejde-1469	169	35	.	.	PUNCT
ejde-1469	170	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	170	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	170	3	since	since	SCONJ
ejde-1469	170	4	un	un	PROPN
ejde-1469	170	5	≤	≤	PROPN
ejde-1469	170	6	v	v	NOUN
ejde-1469	170	7	for	for	ADP
ejde-1469	170	8	every	every	DET
ejde-1469	170	9	n	n	CCONJ
ejde-1469	170	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	170	11	the	the	DET
ejde-1469	170	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	170	13	{	{	PUNCT
ejde-1469	170	14	un	un	PROPN
ejde-1469	170	15	}	}	PUNCT
ejde-1469	170	16	remains	remain	VERB
ejde-1469	170	17	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1469	170	18	bounded	bound	VERB
ejde-1469	170	19	in	in	ADP
ejde-1469	170	20	x0	x0	PROPN
ejde-1469	170	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	171	1	from	from	ADP
ejde-1469	171	2	the	the	DET
ejde-1469	171	3	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1469	171	4	and	and	CCONJ
ejde-1469	171	5	uniform	uniform	ADJ
ejde-1469	171	6	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1469	171	7	of	of	ADP
ejde-1469	171	8	the	the	DET
ejde-1469	171	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	171	10	{	{	PUNCT
ejde-1469	171	11	un	un	PROPN
ejde-1469	171	12	}	}	PUNCT
ejde-1469	171	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	171	14	it	it	PRON
ejde-1469	171	15	follows	follow	VERB
ejde-1469	171	16	that	that	SCONJ
ejde-1469	171	17	{	{	PUNCT
ejde-1469	171	18	un	un	PROPN
ejde-1469	171	19	}	}	PUNCT
ejde-1469	171	20	converges	converge	VERB
ejde-1469	171	21	weakly	weakly	ADJ
ejde-1469	171	22	in	in	ADP
ejde-1469	171	23	x0	x0	PROPN
ejde-1469	171	24	and	and	CCONJ
ejde-1469	171	25	pointwise	pointwise	VERB
ejde-1469	171	26	to	to	ADP
ejde-1469	171	27	a	a	DET
ejde-1469	171	28	function	function	NOUN
ejde-1469	171	29	uλ	uλ	NOUN
ejde-1469	171	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	171	31	which	which	PRON
ejde-1469	171	32	serves	serve	VERB
ejde-1469	171	33	as	as	ADP
ejde-1469	171	34	a	a	DET
ejde-1469	171	35	weak	weak	ADJ
ejde-1469	171	36	solution	solution	NOUN
ejde-1469	171	37	to	to	ADP
ejde-1469	171	38	(	(	PUNCT
ejde-1469	171	39	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	171	40	)	)	PUNCT
ejde-1469	171	41	.	.	PUNCT
ejde-1469	172	1	to	to	PART
ejde-1469	172	2	establish	establish	VERB
ejde-1469	172	3	that	that	SCONJ
ejde-1469	172	4	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	172	5	is	be	AUX
ejde-1469	172	6	the	the	DET
ejde-1469	172	7	minimal	minimal	ADJ
ejde-1469	172	8	solution	solution	NOUN
ejde-1469	172	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	172	10	let	let	VERB
ejde-1469	172	11	ũλ	ũλ	PRON
ejde-1469	172	12	represent	represent	VERB
ejde-1469	172	13	any	any	DET
ejde-1469	172	14	weak	weak	ADJ
ejde-1469	172	15	solution	solution	NOUN
ejde-1469	172	16	to	to	ADP
ejde-1469	172	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	172	18	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	172	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	172	20	for	for	ADP
ejde-1469	172	21	0	0	NUM
ejde-1469	172	22	<	<	X
ejde-1469	172	23	λ	λ	X
ejde-1469	172	24	<	<	X
ejde-1469	172	25	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	172	26	.	.	PUNCT
ejde-1469	173	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	173	2	u0	u0	ADJ
ejde-1469	173	3	=	=	PROPN
ejde-1469	173	4	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	173	5	≤	≤	ADJ
ejde-1469	173	6	ũλ	ũλ	PROPN
ejde-1469	173	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	173	8	the	the	DET
ejde-1469	173	9	weak	weak	ADJ
ejde-1469	173	10	comparison	comparison	NOUN
ejde-1469	173	11	principle	principle	NOUN
ejde-1469	173	12	allows	allow	VERB
ejde-1469	173	13	us	we	PRON
ejde-1469	173	14	to	to	PART
ejde-1469	173	15	assert	assert	VERB
ejde-1469	173	16	that	that	DET
ejde-1469	173	17	un	un	PROPN
ejde-1469	173	18	≤	≤	PROPN
ejde-1469	173	19	ũλ	ũλ	PROPN
ejde-1469	173	20	for	for	ADP
ejde-1469	173	21	all	all	DET
ejde-1469	173	22	n	n	PRON
ejde-1469	173	23	≥	≥	NOUN
ejde-1469	173	24	0	0	NUM
ejde-1469	173	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	174	1	taking	take	VERB
ejde-1469	174	2	the	the	DET
ejde-1469	174	3	limit	limit	NOUN
ejde-1469	174	4	as	as	ADP
ejde-1469	174	5	n	n	PROPN
ejde-1469	174	6	→	→	SYM
ejde-1469	174	7	∞	∞	PROPN
ejde-1469	174	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	174	9	we	we	PRON
ejde-1469	174	10	derive	derive	VERB
ejde-1469	174	11	uλ	uλ	ADP
ejde-1469	174	12	≤	≤	ADJ
ejde-1469	174	13	ũλ	ũλ	PROPN
ejde-1469	174	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	175	1	this	this	PRON
ejde-1469	175	2	establishes	establish	VERB
ejde-1469	175	3	that	that	SCONJ
ejde-1469	175	4	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	175	5	is	be	AUX
ejde-1469	175	6	in	in	ADP
ejde-1469	175	7	fact	fact	NOUN
ejde-1469	175	8	the	the	DET
ejde-1469	175	9	minimal	minimal	ADJ
ejde-1469	175	10	solution	solution	NOUN
ejde-1469	175	11	to	to	ADP
ejde-1469	175	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	175	13	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	175	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	175	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	176	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	176	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	176	3	3.6	3.6	NUM
ejde-1469	176	4	.	.	PUNCT
ejde-1469	177	1	problem	problem	NOUN
ejde-1469	177	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	177	3	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	177	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	177	5	admits	admit	VERB
ejde-1469	177	6	a	a	DET
ejde-1469	177	7	solution	solution	NOUN
ejde-1469	177	8	when	when	SCONJ
ejde-1469	177	9	λ	λ	PROPN
ejde-1469	177	10	=	=	SYM
ejde-1469	177	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	177	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	178	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	178	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	179	1	consider	consider	VERB
ejde-1469	179	2	a	a	DET
ejde-1469	179	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	179	4	{	{	PUNCT
ejde-1469	179	5	λn}n∈n	λn}n∈n	INTJ
ejde-1469	179	6	such	such	ADJ
ejde-1469	179	7	that	that	SCONJ
ejde-1469	179	8	λn	λn	PROPN
ejde-1469	179	9	↑	↑	PROPN
ejde-1469	179	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	179	11	as	as	ADP
ejde-1469	179	12	n	n	PROPN
ejde-1469	179	13	→	→	SYM
ejde-1469	179	14	∞.	∞.	PROPN
ejde-1469	179	15	according	accord	VERB
ejde-1469	179	16	to	to	ADP
ejde-1469	179	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	179	18	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	179	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	179	20	we	we	PRON
ejde-1469	179	21	know	know	VERB
ejde-1469	179	22	that	that	SCONJ
ejde-1469	179	23	there	there	PRON
ejde-1469	179	24	exists	exist	VERB
ejde-1469	179	25	a	a	DET
ejde-1469	179	26	weak	weak	ADJ
ejde-1469	179	27	positive	positive	ADJ
ejde-1469	179	28	solution	solution	NOUN
ejde-1469	179	29	un	un	PROPN
ejde-1469	179	30	=	=	NOUN
ejde-1469	179	31	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	179	32	≥	≥	X
ejde-1469	179	33	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	179	34	to	to	ADP
ejde-1469	179	35	problem	problem	NOUN
ejde-1469	179	36	(	(	PUNCT
ejde-1469	179	37	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	179	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	179	39	for	for	ADP
ejde-1469	179	40	the	the	DET
ejde-1469	179	41	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1469	179	42	parameter	parameter	NOUN
ejde-1469	179	43	.	.	PUNCT
ejde-1469	180	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1469	180	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	180	3	for	for	ADP
ejde-1469	180	4	any	any	DET
ejde-1469	180	5	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1469	180	6	∈	∈	PROPN
ejde-1469	180	7	c∞	c∞	PROPN
ejde-1469	180	8	c	c	X
ejde-1469	180	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	180	10	ω	ω	NOUN
ejde-1469	180	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	180	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	180	13	we	we	PRON
ejde-1469	180	14	can	can	AUX
ejde-1469	180	15	derive	derive	VERB
ejde-1469	180	16	that∫	that∫	NOUN
ejde-1469	180	17	q	q	PROPN
ejde-1469	181	1	|un(x)−	|un(x)−	PROPN
ejde-1469	181	2	un(y)|p−2(un(x)−	un(y)|p−2(un(x)−	PROPN
ejde-1469	181	3	un(y))(ϕ(x)−	un(y))(ϕ(x)−	PROPN
ejde-1469	181	4	ϕ(y	ϕ(y	PROPN
ejde-1469	181	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	181	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	182	1	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	182	2	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	182	3	dx	dx	PROPN
ejde-1469	182	4	dy	dy	NOUN
ejde-1469	183	1	=	=	NOUN
ejde-1469	183	2	λn	λn	PROPN
ejde-1469	183	3	∫	∫	PROPN
ejde-1469	183	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	184	1	f(x)u−γ	f(x)u−γ	PROPN
ejde-1469	184	2	n	n	CCONJ
ejde-1469	184	3	ϕdx+	ϕdx+	PROPN
ejde-1469	184	4	∫	∫	PROPN
ejde-1469	184	5	ω	ω	NUM
ejde-1469	184	6	g(x)|un|p	g(x)|un|p	PROPN
ejde-1469	184	7	∗	∗	VERB
ejde-1469	184	8	s(t)−2un	s(t)−2un	PROPN
ejde-1469	184	9	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	184	10	ϕdx	ϕdx	ADJ
ejde-1469	184	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	185	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	185	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1469	185	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	185	4	since	since	SCONJ
ejde-1469	185	5	un	un	PROPN
ejde-1469	185	6	∈	∈	PROPN
ejde-1469	185	7	x0	x0	PROPN
ejde-1469	185	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	185	9	un	un	PROPN
ejde-1469	185	10	≥	≥	PROPN
ejde-1469	185	11	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	185	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	185	13	it	it	PRON
ejde-1469	185	14	is	be	AUX
ejde-1469	185	15	evident	evident	ADJ
ejde-1469	185	16	that	that	SCONJ
ejde-1469	185	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	185	18	3.3	3.3	NUM
ejde-1469	185	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	185	20	holds	hold	VERB
ejde-1469	185	21	for	for	ADP
ejde-1469	185	22	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1469	185	23	∈	∈	PROPN
ejde-1469	185	24	x0	x0	PROPN
ejde-1469	185	25	as	as	ADV
ejde-1469	185	26	well	well	ADV
ejde-1469	185	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	186	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	186	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	186	3	we	we	PRON
ejde-1469	186	4	have	have	VERB
ejde-1469	186	5	∫	∫	PROPN
ejde-1469	186	6	q	q	PROPN
ejde-1469	187	1	|un(x)−	|un(x)−	PROPN
ejde-1469	187	2	un(y)|p	un(y)|p	PROPN
ejde-1469	187	3	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	187	4	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	187	5	dx	dx	PROPN
ejde-1469	187	6	dy	dy	NOUN
ejde-1469	187	7	−	−	PROPN
ejde-1469	188	1	λn	λn	PROPN
ejde-1469	188	2	∫	∫	PROPN
ejde-1469	188	3	ω	ω	PROPN
ejde-1469	188	4	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	X
ejde-1469	188	5	n	n	CCONJ
ejde-1469	188	6	dx−	dx−	NUM
ejde-1469	188	7	∫	∫	PROPN
ejde-1469	188	8	ω	ω	PROPN
ejde-1469	188	9	g(x)|un|p	g(x)|un|p	PROPN
ejde-1469	188	10	∗	∗	NOUN
ejde-1469	188	11	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	188	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	189	1	|x|t	|x|t	ADV
ejde-1469	189	2	dx	dx	X
ejde-1469	189	3	=	=	SYM
ejde-1469	189	4	0	0	PROPN
ejde-1469	189	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	190	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	190	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	190	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	190	4	again	again	ADV
ejde-1469	190	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	190	6	using	use	VERB
ejde-1469	190	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	190	8	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	190	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	190	10	we	we	PRON
ejde-1469	190	11	deduce	deduce	VERB
ejde-1469	190	12	that	that	SCONJ
ejde-1469	190	13	iλn	iλn	PROPN
ejde-1469	190	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	190	15	un	un	PROPN
ejde-1469	190	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	190	17	≤	≤	NOUN
ejde-1469	190	18	iλn	iλn	PROPN
ejde-1469	190	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	190	20	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	190	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	190	22	=	=	SYM
ejde-1469	191	1	1	1	NUM
ejde-1469	191	2	p	p	NOUN
ejde-1469	191	3	∫	∫	PROPN
ejde-1469	191	4	q	q	PROPN
ejde-1469	191	5	|uλn	|uλn	PROPN
ejde-1469	191	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	191	7	x)−	x)−	PROPN
ejde-1469	191	8	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	191	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	191	10	y)|p	y)|p	PROPN
ejde-1469	191	11	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	191	12	y|n+sp	y|n+sp	PROPN
ejde-1469	191	13	dx	dx	PROPN
ejde-1469	191	14	dy	dy	NOUN
ejde-1469	191	15	−	−	PROPN
ejde-1469	191	16	λn	λn	PROPN
ejde-1469	191	17	1−	1−	NUM
ejde-1469	191	18	γ	γ	PROPN
ejde-1469	191	19	∫	∫	PROPN
ejde-1469	191	20	ω	ω	PROPN
ejde-1469	191	21	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	PROPN
ejde-1469	191	22	λn	λn	PROPN
ejde-1469	191	23	dx	dx	PROPN
ejde-1469	191	24	<	<	X
ejde-1469	191	25	0	0	PROPN
ejde-1469	191	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	191	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	191	28	3.5	3.5	NUM
ejde-1469	191	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	191	30	because	because	SCONJ
ejde-1469	191	31	un	un	PROPN
ejde-1469	191	32	is	be	AUX
ejde-1469	191	33	a	a	DET
ejde-1469	191	34	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-1469	191	35	of	of	ADP
ejde-1469	191	36	iλn	iλn	PRON
ejde-1469	191	37	over	over	ADP
ejde-1469	191	38	{	{	PUNCT
ejde-1469	191	39	u	u	NOUN
ejde-1469	191	40	≥	≥	NOUN
ejde-1469	191	41	uλn	uλn	VERB
ejde-1469	191	42	}	}	PUNCT
ejde-1469	191	43	,	,	PUNCT
ejde-1469	191	44	and	and	CCONJ
ejde-1469	191	45	the	the	DET
ejde-1469	191	46	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	191	47	uλn	uλn	NOUN
ejde-1469	191	48	is	be	AUX
ejde-1469	191	49	constructed	construct	VERB
ejde-1469	191	50	to	to	PART
ejde-1469	191	51	have	have	VERB
ejde-1469	191	52	negative	negative	ADJ
ejde-1469	191	53	energy	energy	NOUN
ejde-1469	191	54	because	because	SCONJ
ejde-1469	191	55	of	of	ADP
ejde-1469	191	56	the	the	DET
ejde-1469	191	57	singular	singular	ADJ
ejde-1469	191	58	term	term	NOUN
ejde-1469	191	59	.	.	PUNCT
ejde-1469	192	1	so	so	ADV
ejde-1469	192	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	192	3	substituting	substitute	VERB
ejde-1469	192	4	eq	eq	ADP
ejde-1469	192	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	193	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	193	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	193	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	193	4	into	into	ADP
ejde-1469	193	5	eq	eq	NOUN
ejde-1469	193	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	194	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	194	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1469	194	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	194	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	194	5	we	we	PRON
ejde-1469	194	6	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	194	7	1	1	NUM
ejde-1469	194	8	p	p	NOUN
ejde-1469	194	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	194	10	λn	λn	PROPN
ejde-1469	194	11	∫	∫	PROPN
ejde-1469	194	12	ω	ω	PROPN
ejde-1469	194	13	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	X
ejde-1469	194	14	n	n	CCONJ
ejde-1469	194	15	dx+	dx+	ADJ
ejde-1469	194	16	∫	∫	PROPN
ejde-1469	194	17	ω	ω	PROPN
ejde-1469	194	18	g(x)|un|p	g(x)|un|p	PROPN
ejde-1469	194	19	∗	∗	NOUN
ejde-1469	194	20	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	194	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	194	22	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	194	23	dx	dx	NOUN
ejde-1469	194	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	195	1	−	−	PROPN
ejde-1469	195	2	λn	λn	NOUN
ejde-1469	195	3	1−	1−	NUM
ejde-1469	195	4	γ	γ	PROPN
ejde-1469	195	5	∫	∫	PROPN
ejde-1469	195	6	ω	ω	PROPN
ejde-1469	195	7	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	X
ejde-1469	195	8	n	n	CCONJ
ejde-1469	195	9	dx−	dx−	SYM
ejde-1469	195	10	1	1	NUM
ejde-1469	195	11	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	195	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	196	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	196	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	196	3	g(x)|un|p	g(x)|un|p	PROPN
ejde-1469	196	4	∗	∗	NOUN
ejde-1469	196	5	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	196	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	196	7	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	196	8	dx	dx	X
ejde-1469	196	9	<	<	X
ejde-1469	196	10	0	0	NUM
ejde-1469	196	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	197	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	197	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	197	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	197	4	1	1	NUM
ejde-1469	197	5	p	p	NOUN
ejde-1469	197	6	−	−	PROPN
ejde-1469	197	7	1	1	NUM
ejde-1469	197	8	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	197	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	197	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	198	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	198	2	ω	ω	NUM
ejde-1469	198	3	g(x)|un|p	g(x)|un|p	PROPN
ejde-1469	198	4	∗	∗	NOUN
ejde-1469	198	5	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	198	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	199	1	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	199	2	dx	dx	ADP
ejde-1469	199	3	<	<	X
ejde-1469	199	4	λn	λn	X
ejde-1469	199	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	199	6	1	1	NUM
ejde-1469	199	7	1−	1−	NUM
ejde-1469	199	8	γ	γ	NOUN
ejde-1469	199	9	−	−	PROPN
ejde-1469	199	10	1	1	NUM
ejde-1469	199	11	p	p	NOUN
ejde-1469	199	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	199	13	∫	∫	PROPN
ejde-1469	200	1	ω	ω	PROPN
ejde-1469	200	2	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	X
ejde-1469	200	3	n	n	X
ejde-1469	200	4	dx	dx	PROPN
ejde-1469	200	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	201	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	201	2	3.6	3.6	NUM
ejde-1469	201	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	201	4	insetting	insetting	NOUN
ejde-1469	201	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	201	6	3.6	3.6	NUM
ejde-1469	201	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	201	8	into	into	ADP
ejde-1469	201	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	201	10	3.4	3.4	NUM
ejde-1469	201	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	201	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	201	13	and	and	CCONJ
ejde-1469	201	14	using	use	VERB
ejde-1469	201	15	the	the	DET
ejde-1469	201	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	201	17	embedding	embed	VERB
ejde-1469	201	18	along	along	ADP
ejde-1469	201	19	with	with	ADP
ejde-1469	201	20	the	the	DET
ejde-1469	201	21	fact	fact	NOUN
ejde-1469	201	22	that	that	SCONJ
ejde-1469	201	23	f	f	PROPN
ejde-1469	201	24	∈	∈	PROPN
ejde-1469	201	25	l∞(ω	l∞(ω	PROPN
ejde-1469	201	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	201	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	201	28	we	we	PRON
ejde-1469	201	29	derive	derive	VERB
ejde-1469	201	30	the	the	DET
ejde-1469	201	31	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	201	32	∥un∥p+γ−1	∥un∥p+γ−1	NOUN
ejde-1469	201	33	x0	x0	PROPN
ejde-1469	201	34	≤	≤	PROPN
ejde-1469	201	35	c1	c1	PROPN
ejde-1469	201	36	(	(	PUNCT
ejde-1469	201	37	3.7	3.7	NUM
ejde-1469	201	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	201	39	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	201	40	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	201	41	problems	problem	NOUN
ejde-1469	201	42	with	with	ADP
ejde-1469	201	43	variable	variable	ADJ
ejde-1469	201	44	weights	weight	NOUN
ejde-1469	201	45	7	7	NUM
ejde-1469	201	46	where	where	SCONJ
ejde-1469	201	47	c1	c1	PROPN
ejde-1469	201	48	is	be	AUX
ejde-1469	201	49	a	a	DET
ejde-1469	201	50	positive	positive	ADJ
ejde-1469	201	51	constant	constant	NOUN
ejde-1469	201	52	.	.	PUNCT
ejde-1469	202	1	this	this	PRON
ejde-1469	202	2	leads	lead	VERB
ejde-1469	202	3	us	we	PRON
ejde-1469	202	4	to	to	PART
ejde-1469	202	5	easily	easily	ADV
ejde-1469	202	6	conclude	conclude	VERB
ejde-1469	202	7	that	that	PRON
ejde-1469	202	8	sup	sup	NOUN
ejde-1469	202	9	n∈n	n∈n	NOUN
ejde-1469	202	10	∥un∥x0	∥un∥x0	NOUN
ejde-1469	202	11	<	<	X
ejde-1469	202	12	∞.	∞.	PROPN
ejde-1469	202	13	thus	thus	ADV
ejde-1469	202	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	202	15	given	give	VERB
ejde-1469	202	16	that	that	SCONJ
ejde-1469	202	17	the	the	DET
ejde-1469	202	18	space	space	NOUN
ejde-1469	202	19	x0	x0	PROPN
ejde-1469	202	20	is	be	AUX
ejde-1469	202	21	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-1469	202	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	202	23	we	we	PRON
ejde-1469	202	24	can	can	AUX
ejde-1469	202	25	assert	assert	VERB
ejde-1469	202	26	the	the	DET
ejde-1469	202	27	existence	existence	NOUN
ejde-1469	202	28	of	of	ADP
ejde-1469	202	29	a	a	DET
ejde-1469	202	30	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1469	202	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	202	32	still	still	ADV
ejde-1469	202	33	denoted	denote	VERB
ejde-1469	202	34	by	by	ADP
ejde-1469	202	35	{	{	PUNCT
ejde-1469	202	36	un	un	PROPN
ejde-1469	202	37	}	}	PUNCT
ejde-1469	202	38	,	,	PUNCT
ejde-1469	202	39	such	such	ADJ
ejde-1469	202	40	that	that	SCONJ
ejde-1469	202	41	un	un	PROPN
ejde-1469	202	42	⇀	⇀	PROPN
ejde-1469	202	43	uλ1	uλ1	PROPN
ejde-1469	202	44	in	in	ADP
ejde-1469	202	45	x0	x0	PROPN
ejde-1469	202	46	as	as	ADP
ejde-1469	202	47	n	n	PRON
ejde-1469	202	48	approaches	approach	NOUN
ejde-1469	202	49	∞.	∞.	PROPN
ejde-1469	202	50	by	by	ADP
ejde-1469	202	51	taking	take	VERB
ejde-1469	202	52	the	the	DET
ejde-1469	202	53	limit	limit	NOUN
ejde-1469	202	54	of	of	ADP
ejde-1469	202	55	(	(	PUNCT
ejde-1469	202	56	3.3	3.3	NUM
ejde-1469	202	57	)	)	PUNCT
ejde-1469	202	58	as	as	ADP
ejde-1469	202	59	n	n	PROPN
ejde-1469	202	60	→	→	SYM
ejde-1469	202	61	∞	∞	PROPN
ejde-1469	202	62	,	,	PUNCT
ejde-1469	202	63	we	we	PRON
ejde-1469	202	64	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-1469	202	65	q	q	PUNCT
ejde-1469	202	66	|uλ1	|uλ1	X
ejde-1469	202	67	(	(	PUNCT
ejde-1469	202	68	x)−	x)−	PROPN
ejde-1469	202	69	uλ1	uλ1	PROPN
ejde-1469	202	70	(	(	PUNCT
ejde-1469	202	71	y)|p−2(uλ1	y)|p−2(uλ1	NOUN
ejde-1469	202	72	(	(	PUNCT
ejde-1469	202	73	x)−	x)−	PROPN
ejde-1469	202	74	uλ1	uλ1	PROPN
ejde-1469	202	75	(	(	PUNCT
ejde-1469	202	76	y))(ϕ(x)−	y))(ϕ(x)−	PROPN
ejde-1469	202	77	ϕ(y	ϕ(y	PROPN
ejde-1469	202	78	)	)	PUNCT
ejde-1469	202	79	)	)	PUNCT
ejde-1469	202	80	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	202	81	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	202	82	dx	dx	PROPN
ejde-1469	202	83	dy	dy	PROPN
ejde-1469	203	1	=	=	PROPN
ejde-1469	203	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	203	3	∫	∫	PROPN
ejde-1469	203	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	204	1	f(x)u−γ	f(x)u−γ	PROPN
ejde-1469	204	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	204	3	ϕdx+	ϕdx+	PROPN
ejde-1469	204	4	∫	∫	PROPN
ejde-1469	204	5	ω	ω	NUM
ejde-1469	204	6	g(x)|uλ1	g(x)|uλ1	PROPN
ejde-1469	204	7	|p∗	|p∗	PROPN
ejde-1469	204	8	s(t)−2uλ1	s(t)−2uλ1	PROPN
ejde-1469	204	9	|x|t	|x|t	NOUN
ejde-1469	204	10	ϕdx	ϕdx	NOUN
ejde-1469	204	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	205	1	we	we	PRON
ejde-1469	205	2	deduce	deduce	VERB
ejde-1469	205	3	that	that	SCONJ
ejde-1469	205	4	uλ1	uλ1	PROPN
ejde-1469	205	5	is	be	AUX
ejde-1469	205	6	a	a	DET
ejde-1469	205	7	weak	weak	ADJ
ejde-1469	205	8	solution	solution	NOUN
ejde-1469	205	9	to	to	ADP
ejde-1469	205	10	problem	problem	NOUN
ejde-1469	205	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	205	12	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	205	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	205	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	206	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	206	2	we	we	PRON
ejde-1469	206	3	shall	shall	AUX
ejde-1469	206	4	now	now	ADV
ejde-1469	206	5	prove	prove	VERB
ejde-1469	206	6	that	that	SCONJ
ejde-1469	206	7	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	206	8	is	be	AUX
ejde-1469	206	9	finite	finite	ADJ
ejde-1469	206	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	207	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	207	2	3.7	3.7	NUM
ejde-1469	207	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	208	1	problem	problem	NOUN
ejde-1469	208	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	208	3	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	208	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	208	5	has	have	VERB
ejde-1469	208	6	no	no	DET
ejde-1469	208	7	solution	solution	NOUN
ejde-1469	208	8	if	if	SCONJ
ejde-1469	208	9	λ	λ	PROPN
ejde-1469	208	10	>	>	X
ejde-1469	208	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	208	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	209	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	209	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	210	1	we	we	PRON
ejde-1469	210	2	proceed	proceed	VERB
ejde-1469	210	3	by	by	ADP
ejde-1469	210	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1469	210	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	211	1	assume	assume	VERB
ejde-1469	211	2	that	that	SCONJ
ejde-1469	211	3	there	there	PRON
ejde-1469	211	4	exists	exist	VERB
ejde-1469	211	5	a	a	DET
ejde-1469	211	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	211	7	λn	λn	NOUN
ejde-1469	211	8	→	→	SYM
ejde-1469	211	9	∞	∞	PROPN
ejde-1469	211	10	for	for	ADP
ejde-1469	211	11	which	which	DET
ejde-1469	211	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	211	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	211	14	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	211	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	211	16	has	have	VERB
ejde-1469	211	17	a	a	DET
ejde-1469	211	18	solution	solution	NOUN
ejde-1469	211	19	un	un	NOUN
ejde-1469	211	20	.	.	PROPN
ejde-1469	211	21	setting	set	VERB
ejde-1469	211	22	h	h	NOUN
ejde-1469	211	23	:	:	PUNCT
ejde-1469	211	24	=	=	SYM
ejde-1469	211	25	min	min	PROPN
ejde-1469	211	26	{	{	PUNCT
ejde-1469	211	27	ess	ess	NOUN
ejde-1469	211	28	infx∈ω	infx∈ω	PROPN
ejde-1469	211	29	f(x	f(x	PROPN
ejde-1469	211	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	211	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	211	32	ess	ess	NOUN
ejde-1469	211	33	infx∈ω	infx∈ω	PROPN
ejde-1469	211	34	g(x	g(x	NOUN
ejde-1469	211	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	211	36	}	}	PUNCT
ejde-1469	211	37	>	>	X
ejde-1469	211	38	0	0	X
ejde-1469	211	39	.	.	PUNCT
ejde-1469	212	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	212	2	3.8	3.8	NUM
ejde-1469	212	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	213	1	so	so	ADV
ejde-1469	213	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	213	3	we	we	PRON
ejde-1469	213	4	derive	derive	VERB
ejde-1469	213	5	the	the	DET
ejde-1469	213	6	existence	existence	NOUN
ejde-1469	213	7	of	of	ADP
ejde-1469	213	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	213	9	>	>	X
ejde-1469	213	10	0	0	PUNCT
ejde-1469	214	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1469	214	2	h	h	NOUN
ejde-1469	214	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	214	4	λr−γ	λr−γ	ADJ
ejde-1469	214	5	+	+	CCONJ
ejde-1469	214	6	|r|p∗	|r|p∗	ADJ
ejde-1469	214	7	s(t)−2r	s(t)−2r	PROPN
ejde-1469	214	8	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	214	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	214	10	≥	≥	NOUN
ejde-1469	214	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	214	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	214	13	+	+	CCONJ
ejde-1469	214	14	δ)rp−1	δ)rp−1	PROPN
ejde-1469	214	15	for	for	ADP
ejde-1469	214	16	all	all	DET
ejde-1469	214	17	r	r	NOUN
ejde-1469	214	18	>	>	X
ejde-1469	214	19	0	0	NUM
ejde-1469	214	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	214	21	δ	δ	PROPN
ejde-1469	214	22	∈	∈	PROPN
ejde-1469	214	23	(	(	PUNCT
ejde-1469	214	24	0	0	NUM
ejde-1469	214	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	214	26	1	1	NUM
ejde-1469	214	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	214	28	and	and	CCONJ
ejde-1469	214	29	λ	λ	X
ejde-1469	214	30	>	>	X
ejde-1469	214	31	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	214	32	(	(	PUNCT
ejde-1469	214	33	3.9	3.9	NUM
ejde-1469	214	34	)	)	PUNCT
ejde-1469	214	35	where	where	SCONJ
ejde-1469	214	36	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	214	37	is	be	AUX
ejde-1469	214	38	the	the	DET
ejde-1469	214	39	principal	principal	ADJ
ejde-1469	214	40	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1469	214	41	of	of	ADP
ejde-1469	214	42	(	(	PUNCT
ejde-1469	214	43	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	214	44	)	)	PUNCT
ejde-1469	214	45	s	s	PROPN
ejde-1469	214	46	in	in	ADP
ejde-1469	214	47	ω	ω	PROPN
ejde-1469	214	48	.	.	PUNCT
ejde-1469	215	1	fix	fix	VERB
ejde-1469	215	2	λn	λn	PROPN
ejde-1469	215	3	>	>	X
ejde-1469	215	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	215	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	216	1	it	it	PRON
ejde-1469	216	2	is	be	AUX
ejde-1469	216	3	simple	simple	ADJ
ejde-1469	216	4	to	to	PART
ejde-1469	216	5	see	see	VERB
ejde-1469	216	6	that	that	PRON
ejde-1469	216	7	un	un	PROPN
ejde-1469	216	8	is	be	AUX
ejde-1469	216	9	a	a	DET
ejde-1469	216	10	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1469	216	11	of	of	ADP
ejde-1469	216	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	216	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	216	14	−∆)spu	−∆)spu	X
ejde-1469	216	15	=	=	SYM
ejde-1469	216	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	216	17	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	216	18	+	+	CCONJ
ejde-1469	216	19	δ)up−1	δ)up−1	PROPN
ejde-1469	216	20	in	in	ADP
ejde-1469	216	21	ω	ω	PROPN
ejde-1469	216	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	216	23	u	u	X
ejde-1469	216	24	>	>	X
ejde-1469	216	25	0	0	NUM
ejde-1469	216	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	216	27	u|∂ω	u|∂ω	ADJ
ejde-1469	216	28	=	=	SYM
ejde-1469	216	29	0	0	NUM
ejde-1469	216	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	216	31	(	(	PUNCT
ejde-1469	216	32	3.10	3.10	NUM
ejde-1469	216	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	216	34	for	for	ADP
ejde-1469	216	35	all	all	DET
ejde-1469	216	36	δ	δ	PROPN
ejde-1469	216	37	∈	∈	PROPN
ejde-1469	216	38	(	(	PUNCT
ejde-1469	216	39	0	0	NUM
ejde-1469	216	40	,	,	PUNCT
ejde-1469	216	41	1	1	NUM
ejde-1469	216	42	)	)	PUNCT
ejde-1469	216	43	.	.	PUNCT
ejde-1469	217	1	according	accord	VERB
ejde-1469	217	2	to	to	ADP
ejde-1469	217	3	the	the	DET
ejde-1469	217	4	results	result	NOUN
ejde-1469	217	5	presented	present	VERB
ejde-1469	217	6	in	in	ADP
ejde-1469	217	7	[	[	X
ejde-1469	217	8	6	6	NUM
ejde-1469	217	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	217	10	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	217	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	217	12	]	]	PUNCT
ejde-1469	217	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	217	14	we	we	PRON
ejde-1469	217	15	can	can	AUX
ejde-1469	217	16	select	select	VERB
ejde-1469	217	17	ϵ	ϵ	ADP
ejde-1469	217	18	<	<	X
ejde-1469	217	19	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	217	20	+	+	CCONJ
ejde-1469	217	21	δ	δ	NOUN
ejde-1469	217	22	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1469	217	23	small	small	ADJ
ejde-1469	217	24	such	such	ADJ
ejde-1469	217	25	that	that	DET
ejde-1469	217	26	ϵϕ1(x	ϵϕ1(x	NOUN
ejde-1469	217	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	217	28	<	<	X
ejde-1469	217	29	un(x	un(x	X
ejde-1469	217	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	217	31	ensures	ensure	VERB
ejde-1469	217	32	that	that	SCONJ
ejde-1469	217	33	ϵϕ1	ϵϕ1	NOUN
ejde-1469	217	34	is	be	AUX
ejde-1469	217	35	a	a	DET
ejde-1469	217	36	valid	valid	ADJ
ejde-1469	217	37	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1469	217	38	to	to	PART
ejde-1469	217	39	problem	problem	NOUN
ejde-1469	217	40	(	(	PUNCT
ejde-1469	217	41	3.10	3.10	NUM
ejde-1469	217	42	)	)	PUNCT
ejde-1469	217	43	.	.	PUNCT
ejde-1469	218	1	through	through	ADP
ejde-1469	218	2	a	a	DET
ejde-1469	218	3	monotone	monotone	ADJ
ejde-1469	218	4	iteration	iteration	NOUN
ejde-1469	218	5	process	process	NOUN
ejde-1469	218	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	7	we	we	PRON
ejde-1469	218	8	can	can	AUX
ejde-1469	218	9	derive	derive	VERB
ejde-1469	218	10	a	a	DET
ejde-1469	218	11	solution	solution	NOUN
ejde-1469	218	12	to	to	ADP
ejde-1469	218	13	problem	problem	NOUN
ejde-1469	218	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	218	15	3.10	3.10	NUM
ejde-1469	218	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	218	17	for	for	ADP
ejde-1469	218	18	any	any	DET
ejde-1469	218	19	δ	δ	PROPN
ejde-1469	218	20	∈	∈	PROPN
ejde-1469	218	21	(	(	PUNCT
ejde-1469	218	22	0	0	NUM
ejde-1469	218	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	24	1	1	NUM
ejde-1469	218	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	218	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	27	which	which	PRON
ejde-1469	218	28	contradicts	contradict	VERB
ejde-1469	218	29	the	the	DET
ejde-1469	218	30	assertion	assertion	NOUN
ejde-1469	218	31	that	that	SCONJ
ejde-1469	218	32	λ1(s	λ1(s	ADP
ejde-1469	218	33	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	34	p	p	NOUN
ejde-1469	218	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	218	36	is	be	AUX
ejde-1469	218	37	a	a	DET
ejde-1469	218	38	positive	positive	ADJ
ejde-1469	218	39	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	40	simple	simple	ADJ
ejde-1469	218	41	and	and	CCONJ
ejde-1469	218	42	isolated	isolated	ADJ
ejde-1469	218	43	point	point	NOUN
ejde-1469	218	44	in	in	ADP
ejde-1469	218	45	the	the	DET
ejde-1469	218	46	spectrum	spectrum	NOUN
ejde-1469	218	47	of	of	ADP
ejde-1469	218	48	(	(	PUNCT
ejde-1469	218	49	−∆)sp	−∆)sp	NOUN
ejde-1469	218	50	in	in	ADP
ejde-1469	218	51	x0	x0	PROPN
ejde-1469	218	52	(	(	PUNCT
ejde-1469	218	53	refer	refer	VERB
ejde-1469	218	54	,	,	PUNCT
ejde-1469	218	55	e.g.	e.g.	ADV
ejde-1469	219	1	[	[	X
ejde-1469	219	2	10	10	NUM
ejde-1469	219	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	219	4	theorems	theorem	VERB
ejde-1469	219	5	4.9	4.9	NUM
ejde-1469	219	6	and	and	CCONJ
ejde-1469	219	7	4.11	4.11	NUM
ejde-1469	219	8	]	]	NUM
ejde-1469	219	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	219	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	220	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	220	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	220	3	of	of	ADP
ejde-1469	220	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1469	220	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	220	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	221	1	its	its	PRON
ejde-1469	221	2	assertion	assertion	NOUN
ejde-1469	221	3	can	can	AUX
ejde-1469	221	4	be	be	AUX
ejde-1469	221	5	derived	derive	VERB
ejde-1469	221	6	from	from	ADP
ejde-1469	221	7	the	the	DET
ejde-1469	221	8	results	result	NOUN
ejde-1469	221	9	established	establish	VERB
ejde-1469	221	10	in	in	ADP
ejde-1469	221	11	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-1469	221	12	3.5	3.5	NUM
ejde-1469	221	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	221	14	3.6	3.6	NUM
ejde-1469	221	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	221	16	and	and	CCONJ
ejde-1469	221	17	3.7	3.7	NUM
ejde-1469	221	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	222	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	222	2	4	4	X
ejde-1469	222	3	.	.	X
ejde-1469	222	4	study	study	NOUN
ejde-1469	222	5	of	of	ADP
ejde-1469	222	6	problem	problem	NOUN
ejde-1469	222	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	222	8	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	222	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	222	10	our	our	PRON
ejde-1469	222	11	main	main	ADJ
ejde-1469	222	12	objective	objective	NOUN
ejde-1469	222	13	is	be	AUX
ejde-1469	222	14	to	to	PART
ejde-1469	222	15	investigate	investigate	VERB
ejde-1469	222	16	the	the	DET
ejde-1469	222	17	existence	existence	NOUN
ejde-1469	222	18	of	of	ADP
ejde-1469	222	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	222	20	by	by	ADP
ejde-1469	222	21	analyzing	analyze	VERB
ejde-1469	222	22	the	the	DET
ejde-1469	222	23	critical	critical	ADJ
ejde-1469	222	24	points	point	NOUN
ejde-1469	222	25	of	of	ADP
ejde-1469	222	26	the	the	DET
ejde-1469	222	27	associated	associated	ADJ
ejde-1469	222	28	functional	functional	ADJ
ejde-1469	222	29	energy	energy	NOUN
ejde-1469	222	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	223	1	to	to	ADP
ejde-1469	223	2	this	this	DET
ejde-1469	223	3	end	end	NOUN
ejde-1469	223	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	223	5	we	we	PRON
ejde-1469	223	6	define	define	VERB
ejde-1469	223	7	the	the	DET
ejde-1469	223	8	functional	functional	ADJ
ejde-1469	223	9	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	223	10	:	:	PUNCT
ejde-1469	223	11	x0	x0	PROPN
ejde-1469	223	12	→	→	SYM
ejde-1469	223	13	r	r	NOUN
ejde-1469	223	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	223	15	as	as	ADP
ejde-1469	223	16	eλ(u	eλ(u	NUM
ejde-1469	223	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	223	18	=	=	SYM
ejde-1469	223	19	1	1	NUM
ejde-1469	223	20	p	p	NOUN
ejde-1469	223	21	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	223	22	−	−	PROPN
ejde-1469	224	1	λ	λ	NOUN
ejde-1469	224	2	1−	1−	NUM
ejde-1469	224	3	γ	γ	PROPN
ejde-1469	224	4	∫	∫	PROPN
ejde-1469	224	5	ω	ω	PROPN
ejde-1469	224	6	f(x)|u|1−γ	f(x)|u|1−γ	PROPN
ejde-1469	224	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-1469	224	8	1	1	NUM
ejde-1469	224	9	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	224	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	224	11	∫	∫	PROPN
ejde-1469	224	12	ω	ω	PROPN
ejde-1469	224	13	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	PROPN
ejde-1469	224	14	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	224	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	224	16	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	224	17	dx	dx	PROPN
ejde-1469	224	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	225	1	here	here	ADV
ejde-1469	225	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	225	3	the	the	DET
ejde-1469	225	4	functional	functional	ADJ
ejde-1469	225	5	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	225	6	is	be	AUX
ejde-1469	225	7	considered	consider	VERB
ejde-1469	225	8	within	within	ADP
ejde-1469	225	9	the	the	DET
ejde-1469	225	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	225	11	space	space	NOUN
ejde-1469	225	12	x0	x0	PROPN
ejde-1469	225	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	225	14	which	which	PRON
ejde-1469	225	15	serves	serve	VERB
ejde-1469	225	16	as	as	ADP
ejde-1469	225	17	the	the	DET
ejde-1469	225	18	appropriate	appropriate	ADJ
ejde-1469	225	19	functional	functional	ADJ
ejde-1469	225	20	setting	setting	NOUN
ejde-1469	225	21	for	for	ADP
ejde-1469	225	22	this	this	DET
ejde-1469	225	23	variational	variational	ADJ
ejde-1469	225	24	approach	approach	NOUN
ejde-1469	225	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	226	1	the	the	DET
ejde-1469	226	2	existence	existence	NOUN
ejde-1469	226	3	of	of	ADP
ejde-1469	226	4	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	226	5	is	be	AUX
ejde-1469	226	6	determined	determine	VERB
ejde-1469	226	7	by	by	ADP
ejde-1469	226	8	identifying	identify	VERB
ejde-1469	226	9	the	the	DET
ejde-1469	226	10	critical	critical	ADJ
ejde-1469	226	11	points	point	NOUN
ejde-1469	226	12	of	of	ADP
ejde-1469	226	13	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	226	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	226	15	which	which	PRON
ejde-1469	226	16	correspond	correspond	VERB
ejde-1469	226	17	to	to	ADP
ejde-1469	226	18	weak	weak	ADJ
ejde-1469	226	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	226	20	to	to	ADP
ejde-1469	226	21	problem	problem	NOUN
ejde-1469	226	22	(	(	PUNCT
ejde-1469	226	23	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	226	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	226	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	227	1	to	to	PART
ejde-1469	227	2	establish	establish	VERB
ejde-1469	227	3	the	the	DET
ejde-1469	227	4	main	main	ADJ
ejde-1469	227	5	result	result	NOUN
ejde-1469	227	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	227	7	namely	namely	ADV
ejde-1469	227	8	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	227	9	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	227	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	227	11	we	we	PRON
ejde-1469	227	12	proceed	proceed	VERB
ejde-1469	227	13	through	through	ADP
ejde-1469	227	14	a	a	DET
ejde-1469	227	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	227	16	of	of	ADP
ejde-1469	227	17	intermediate	intermediate	ADJ
ejde-1469	227	18	steps	step	NOUN
ejde-1469	227	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	227	20	each	each	PRON
ejde-1469	227	21	formulated	formulate	VERB
ejde-1469	227	22	as	as	ADP
ejde-1469	227	23	a	a	DET
ejde-1469	227	24	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	227	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	228	1	the	the	DET
ejde-1469	228	2	first	first	ADJ
ejde-1469	228	3	key	key	ADJ
ejde-1469	228	4	step	step	NOUN
ejde-1469	228	5	in	in	ADP
ejde-1469	228	6	our	our	PRON
ejde-1469	228	7	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	228	8	is	be	AUX
ejde-1469	228	9	to	to	PART
ejde-1469	228	10	establish	establish	VERB
ejde-1469	228	11	the	the	DET
ejde-1469	228	12	coercivity	coercivity	NOUN
ejde-1469	228	13	of	of	ADP
ejde-1469	228	14	the	the	DET
ejde-1469	228	15	functional	functional	ADJ
ejde-1469	228	16	energy	energy	NOUN
ejde-1469	228	17	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	228	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	229	1	this	this	DET
ejde-1469	229	2	property	property	NOUN
ejde-1469	229	3	plays	play	VERB
ejde-1469	229	4	a	a	DET
ejde-1469	229	5	crucial	crucial	ADJ
ejde-1469	229	6	role	role	NOUN
ejde-1469	229	7	in	in	ADP
ejde-1469	229	8	ensuring	ensure	VERB
ejde-1469	229	9	the	the	DET
ejde-1469	229	10	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1469	229	11	of	of	ADP
ejde-1469	229	12	minimizing	minimize	VERB
ejde-1469	229	13	sequences	sequence	NOUN
ejde-1469	229	14	and	and	CCONJ
ejde-1469	229	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	229	16	consequently	consequently	ADV
ejde-1469	229	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	229	18	in	in	ADP
ejde-1469	229	19	proving	prove	VERB
ejde-1469	229	20	the	the	DET
ejde-1469	229	21	existence	existence	NOUN
ejde-1469	229	22	of	of	ADP
ejde-1469	229	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	229	24	via	via	ADP
ejde-1469	229	25	variational	variational	ADJ
ejde-1469	229	26	methods	method	NOUN
ejde-1469	229	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	230	1	now	now	ADV
ejde-1469	230	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	230	3	we	we	PRON
ejde-1469	230	4	shall	shall	AUX
ejde-1469	230	5	prove	prove	VERB
ejde-1469	230	6	the	the	DET
ejde-1469	230	7	following	follow	VERB
ejde-1469	230	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	230	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	231	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	231	2	4.1	4.1	NUM
ejde-1469	231	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	232	1	the	the	DET
ejde-1469	232	2	energy	energy	NOUN
ejde-1469	232	3	functional	functional	ADJ
ejde-1469	232	4	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	232	5	is	be	AUX
ejde-1469	232	6	coercive	coercive	ADJ
ejde-1469	232	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	233	1	8	8	NUM
ejde-1469	233	2	s.	s.	PROPN
ejde-1469	233	3	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	233	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	233	5	k.	k.	PROPN
ejde-1469	233	6	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	233	7	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	233	8	proof	proof	NOUN
ejde-1469	233	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	234	1	we	we	PRON
ejde-1469	234	2	begin	begin	VERB
ejde-1469	234	3	by	by	ADP
ejde-1469	234	4	applying	apply	VERB
ejde-1469	234	5	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	234	6	’s	’s	PART
ejde-1469	234	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	234	8	with	with	ADP
ejde-1469	234	9	the	the	DET
ejde-1469	234	10	exponents	exponent	NOUN
ejde-1469	234	11	q	q	X
ejde-1469	234	12	=	=	SYM
ejde-1469	234	13	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	234	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	234	15	1−	1−	NUM
ejde-1469	234	16	γ	γ	NOUN
ejde-1469	234	17	and	and	CCONJ
ejde-1469	234	18	q′	q′	NOUN
ejde-1469	234	19	=	=	SYM
ejde-1469	234	20	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	234	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	234	22	p∗s(t)−	p∗s(t)−	PROPN
ejde-1469	234	23	(	(	PUNCT
ejde-1469	234	24	1−	1−	NUM
ejde-1469	234	25	γ	γ	NOUN
ejde-1469	234	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	234	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	235	1	this	this	PRON
ejde-1469	235	2	yields	yield	VERB
ejde-1469	235	3	the	the	DET
ejde-1469	235	4	estimate∫	estimate∫	PROPN
ejde-1469	235	5	ω	ω	PROPN
ejde-1469	235	6	f(x)|u|1−γ	f(x)|u|1−γ	NOUN
ejde-1469	235	7	dx	dx	PROPN
ejde-1469	235	8	≤	≤	PROPN
ejde-1469	235	9	∥f∥l∞	∥f∥l∞	PUNCT
ejde-1469	236	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	236	2	∫	∫	PROPN
ejde-1469	236	3	ω	ω	PROPN
ejde-1469	236	4	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-1469	236	5	∗	∗	NOUN
ejde-1469	236	6	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	236	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	237	1	dx	dx	PROPN
ejde-1469	237	2	)	)	PUNCT
ejde-1469	238	1	1−γ	1−γ	NUM
ejde-1469	238	2	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	238	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	238	4	t	t	NOUN
ejde-1469	238	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	238	6	|ω|	|ω|	VERB
ejde-1469	238	7	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	238	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	238	9	t)−(1−γ	t)−(1−γ	NOUN
ejde-1469	238	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	238	11	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	238	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	238	13	t	t	NOUN
ejde-1469	238	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	238	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	238	16	where	where	SCONJ
ejde-1469	238	17	|ω|	|ω|	ADP
ejde-1469	238	18	denotes	denote	VERB
ejde-1469	238	19	the	the	DET
ejde-1469	238	20	measure	measure	NOUN
ejde-1469	238	21	of	of	ADP
ejde-1469	238	22	the	the	DET
ejde-1469	238	23	domain	domain	NOUN
ejde-1469	238	24	ω	ω	NOUN
ejde-1469	238	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	239	1	next	next	ADV
ejde-1469	239	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	239	3	we	we	PRON
ejde-1469	239	4	bound	bind	VERB
ejde-1469	239	5	the	the	DET
ejde-1469	239	6	term	term	NOUN
ejde-1469	239	7	∫	∫	PROPN
ejde-1469	239	8	ω	ω	PROPN
ejde-1469	239	9	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	239	10	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	239	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	239	12	dx	dx	NOUN
ejde-1469	239	13	using	use	VERB
ejde-1469	239	14	the	the	DET
ejde-1469	239	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	239	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	239	17	-	-	PUNCT
ejde-1469	239	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	239	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	239	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	239	21	∥u∥lp∗s	∥u∥lp∗s	X
ejde-1469	239	22	(	(	PUNCT
ejde-1469	239	23	t	t	PROPN
ejde-1469	239	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	239	25	≤	≤	NOUN
ejde-1469	239	26	s∥u∥	s∥u∥	PROPN
ejde-1469	239	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	239	28	where	where	SCONJ
ejde-1469	239	29	s	s	VERB
ejde-1469	239	30	>	>	X
ejde-1469	239	31	0	0	NUM
ejde-1469	239	32	is	be	AUX
ejde-1469	239	33	the	the	DET
ejde-1469	239	34	best	good	ADJ
ejde-1469	239	35	sobolev	sobolev	ADJ
ejde-1469	239	36	constant	constant	NOUN
ejde-1469	239	37	associated	associate	VERB
ejde-1469	239	38	with	with	ADP
ejde-1469	239	39	the	the	DET
ejde-1469	239	40	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	239	41	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	239	42	space	space	NOUN
ejde-1469	239	43	x0	x0	PROPN
ejde-1469	239	44	and	and	CCONJ
ejde-1469	239	45	the	the	DET
ejde-1469	239	46	dimension	dimension	NOUN
ejde-1469	239	47	n	n	INTJ
ejde-1469	239	48	.	.	PUNCT
ejde-1469	240	1	applying	apply	VERB
ejde-1469	240	2	this	this	DET
ejde-1469	240	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	240	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	240	5	we	we	PRON
ejde-1469	240	6	obtain(∫	obtain(∫	VERB
ejde-1469	240	7	ω	ω	PROPN
ejde-1469	240	8	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-1469	240	9	∗	∗	NOUN
ejde-1469	240	10	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	240	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	240	12	dx	dx	PROPN
ejde-1469	240	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	240	14	1−γ	1−γ	NUM
ejde-1469	240	15	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	240	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	240	17	t	t	NOUN
ejde-1469	240	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	240	19	≤	≤	NOUN
ejde-1469	240	20	s1−γ∥u∥1−γ	s1−γ∥u∥1−γ	PROPN
ejde-1469	240	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	241	1	substituting	substitute	VERB
ejde-1469	241	2	this	this	DET
ejde-1469	241	3	estimate	estimate	NOUN
ejde-1469	241	4	into	into	ADP
ejde-1469	241	5	the	the	DET
ejde-1469	241	6	singular	singular	ADJ
ejde-1469	241	7	term	term	NOUN
ejde-1469	241	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	241	9	we	we	PRON
ejde-1469	241	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	241	11	λ	λ	PROPN
ejde-1469	241	12	∫	∫	PROPN
ejde-1469	241	13	ω	ω	PROPN
ejde-1469	241	14	f(x)|u|1−γ	f(x)|u|1−γ	NOUN
ejde-1469	241	15	1−	1−	NUM
ejde-1469	241	16	γ	γ	PROPN
ejde-1469	241	17	dx	dx	PROPN
ejde-1469	241	18	≤	≤	PROPN
ejde-1469	241	19	c1∥u∥1−γ	c1∥u∥1−γ	PROPN
ejde-1469	241	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	242	1	where	where	SCONJ
ejde-1469	242	2	c1	c1	PROPN
ejde-1469	242	3	=	=	PROPN
ejde-1469	242	4	λ	λ	PROPN
ejde-1469	242	5	∥f∥l∞	∥f∥l∞	NOUN
ejde-1469	242	6	1−	1−	NUM
ejde-1469	242	7	γ	γ	X
ejde-1469	242	8	s1−γ	s1−γ	PROPN
ejde-1469	242	9	|ω|	|ω|	ADP
ejde-1469	242	10	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	242	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	242	12	t)−(1−γ	t)−(1−γ	NOUN
ejde-1469	242	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	242	14	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	242	15	(	(	PUNCT
ejde-1469	242	16	t	t	NOUN
ejde-1469	242	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	242	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	243	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	243	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	243	3	using	use	VERB
ejde-1469	243	4	the	the	DET
ejde-1469	243	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	243	6	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	243	7	-	-	PUNCT
ejde-1469	243	8	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	243	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	243	10	once	once	ADV
ejde-1469	243	11	again	again	ADV
ejde-1469	243	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	243	13	we	we	PRON
ejde-1469	243	14	have∫	have∫	VERB
ejde-1469	243	15	ω	ω	NUM
ejde-1469	243	16	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	PROPN
ejde-1469	243	17	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	243	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	243	19	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	243	20	dx	dx	PROPN
ejde-1469	243	21	≥	≥	NUM
ejde-1469	243	22	(	(	PUNCT
ejde-1469	243	23	ess	ess	PROPN
ejde-1469	243	24	inf	inf	PROPN
ejde-1469	243	25	x∈ω	x∈ω	PROPN
ejde-1469	243	26	g(x	g(x	PROPN
ejde-1469	243	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	243	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	243	29	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	243	30	∗	∗	NOUN
ejde-1469	243	31	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	243	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	243	33	lp∗s	lp∗s	NOUN
ejde-1469	243	34	(	(	PUNCT
ejde-1469	243	35	t	t	NOUN
ejde-1469	243	36	)	)	PUNCT
ejde-1469	243	37	.	.	PUNCT
ejde-1469	244	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	244	2	∥u∥lp∗s	∥u∥lp∗s	X
ejde-1469	244	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	244	4	t	t	PROPN
ejde-1469	244	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	244	6	≥	≥	NOUN
ejde-1469	244	7	0	0	NUM
ejde-1469	244	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	244	9	it	it	PRON
ejde-1469	244	10	follows	follow	VERB
ejde-1469	244	11	that	that	SCONJ
ejde-1469	244	12	eλ(u	eλ(u	NUM
ejde-1469	244	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	244	14	≥	≥	NOUN
ejde-1469	244	15	1	1	NUM
ejde-1469	244	16	p	p	NOUN
ejde-1469	244	17	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	244	18	−	−	PROPN
ejde-1469	244	19	c1∥u∥1−γ	c1∥u∥1−γ	PROPN
ejde-1469	244	20	.	.	PUNCT
ejde-1469	245	1	noting	note	VERB
ejde-1469	245	2	that	that	SCONJ
ejde-1469	245	3	1−γ	1−γ	NUM
ejde-1469	245	4	<	<	X
ejde-1469	245	5	p	p	X
ejde-1469	245	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	245	7	we	we	PRON
ejde-1469	245	8	conclude	conclude	VERB
ejde-1469	245	9	that	that	PRON
ejde-1469	245	10	eλ(u	eλ(u	NUM
ejde-1469	245	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	246	1	→	→	PUNCT
ejde-1469	246	2	+	+	NUM
ejde-1469	246	3	∞	∞	PROPN
ejde-1469	246	4	as	as	ADP
ejde-1469	246	5	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1469	246	6	→	→	SYM
ejde-1469	246	7	∞.	∞.	PROPN
ejde-1469	246	8	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	246	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	246	10	eλ	eλ	PROPN
ejde-1469	246	11	is	be	AUX
ejde-1469	246	12	coercive	coercive	ADJ
ejde-1469	246	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	247	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	247	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	247	3	4.2	4.2	NUM
ejde-1469	247	4	.	.	PUNCT
ejde-1469	248	1	the	the	DET
ejde-1469	248	2	energy	energy	NOUN
ejde-1469	248	3	functional	functional	ADJ
ejde-1469	248	4	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	248	5	has	have	VERB
ejde-1469	248	6	a	a	DET
ejde-1469	248	7	global	global	ADJ
ejde-1469	248	8	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-1469	248	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	249	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	249	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	250	1	let	let	VERB
ejde-1469	250	2	{	{	PUNCT
ejde-1469	250	3	uk}k	uk}k	VERB
ejde-1469	250	4	be	be	AUX
ejde-1469	250	5	a	a	DET
ejde-1469	250	6	minimizing	minimize	VERB
ejde-1469	250	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	250	8	for	for	ADP
ejde-1469	250	9	the	the	DET
ejde-1469	250	10	functional	functional	ADJ
ejde-1469	250	11	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	250	12	in	in	ADP
ejde-1469	250	13	the	the	DET
ejde-1469	250	14	space	space	NOUN
ejde-1469	250	15	x0	x0	PROPN
ejde-1469	250	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	251	1	by	by	ADP
ejde-1469	251	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	251	3	4.1	4.1	NUM
ejde-1469	251	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	251	5	the	the	DET
ejde-1469	251	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	251	7	{	{	PUNCT
ejde-1469	251	8	uk}k	uk}k	PROPN
ejde-1469	251	9	is	be	AUX
ejde-1469	251	10	bounded	bound	VERB
ejde-1469	251	11	in	in	ADP
ejde-1469	251	12	x0	x0	PROPN
ejde-1469	251	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	252	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1469	252	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	3	since	since	SCONJ
ejde-1469	252	4	eλ(u	eλ(u	NUM
ejde-1469	252	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	252	6	=	=	SYM
ejde-1469	252	7	eλ(|u|	eλ(|u|	PROPN
ejde-1469	252	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	252	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	10	we	we	PRON
ejde-1469	252	11	may	may	AUX
ejde-1469	252	12	assume	assume	VERB
ejde-1469	252	13	without	without	ADP
ejde-1469	252	14	loss	loss	NOUN
ejde-1469	252	15	of	of	ADP
ejde-1469	252	16	generality	generality	NOUN
ejde-1469	252	17	that	that	PRON
ejde-1469	252	18	{	{	PUNCT
ejde-1469	252	19	uk}k	uk}k	PROPN
ejde-1469	252	20	is	be	AUX
ejde-1469	252	21	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1469	252	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	23	that	that	ADV
ejde-1469	252	24	is	is	ADV
ejde-1469	252	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	26	uk	uk	PROPN
ejde-1469	252	27	≥	≥	PRON
ejde-1469	252	28	0	0	NUM
ejde-1469	252	29	for	for	ADP
ejde-1469	252	30	all	all	DET
ejde-1469	252	31	k.	k.	PROPN
ejde-1469	252	32	by	by	ADP
ejde-1469	252	33	the	the	DET
ejde-1469	252	34	reflexivity	reflexivity	NOUN
ejde-1469	252	35	of	of	ADP
ejde-1469	252	36	x0	x0	PROPN
ejde-1469	252	37	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	38	there	there	PRON
ejde-1469	252	39	exists	exist	VERB
ejde-1469	252	40	a	a	DET
ejde-1469	252	41	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1469	252	42	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	43	still	still	ADV
ejde-1469	252	44	denoted	denote	VERB
ejde-1469	252	45	by	by	ADP
ejde-1469	252	46	{	{	PUNCT
ejde-1469	252	47	uk	uk	PROPN
ejde-1469	252	48	}	}	PUNCT
ejde-1469	252	49	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	50	and	and	CCONJ
ejde-1469	252	51	a	a	DET
ejde-1469	252	52	function	function	NOUN
ejde-1469	252	53	u	u	NOUN
ejde-1469	252	54	∈	∈	NOUN
ejde-1469	252	55	x0	x0	PROPN
ejde-1469	252	56	such	such	ADJ
ejde-1469	252	57	that	that	SCONJ
ejde-1469	252	58	uk	uk	PROPN
ejde-1469	252	59	⇀	⇀	PUNCT
ejde-1469	252	60	u	u	NOUN
ejde-1469	252	61	weakly	weakly	ADJ
ejde-1469	252	62	in	in	ADP
ejde-1469	252	63	x0	x0	PROPN
ejde-1469	252	64	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	65	uk	uk	PROPN
ejde-1469	252	66	⇀	⇀	NUM
ejde-1469	252	67	u	u	NOUN
ejde-1469	252	68	weakly	weakly	ADJ
ejde-1469	252	69	in	in	ADP
ejde-1469	252	70	lp∗	lp∗	NOUN
ejde-1469	252	71	s(t)(ω	s(t)(ω	NUM
ejde-1469	252	72	)	)	PUNCT
ejde-1469	252	73	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	74	uk	uk	PROPN
ejde-1469	252	75	→	→	SYM
ejde-1469	252	76	u	u	NOUN
ejde-1469	252	77	strongly	strongly	ADV
ejde-1469	252	78	in	in	ADP
ejde-1469	252	79	lr(ω	lr(ω	PROPN
ejde-1469	252	80	,	,	PUNCT
ejde-1469	252	81	dx	dx	PROPN
ejde-1469	252	82	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	252	83	)	)	PUNCT
ejde-1469	252	84	for	for	ADP
ejde-1469	252	85	r	r	NOUN
ejde-1469	252	86	∈	∈	PROPN
ejde-1469	253	1	[	[	X
ejde-1469	253	2	1	1	NUM
ejde-1469	253	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	253	4	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	253	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	253	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	253	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	253	8	uk	uk	PROPN
ejde-1469	253	9	→	→	SYM
ejde-1469	253	10	u	u	NOUN
ejde-1469	253	11	almost	almost	ADV
ejde-1469	253	12	everywhere	everywhere	ADV
ejde-1469	253	13	in	in	ADP
ejde-1469	253	14	ω	ω	PROPN
ejde-1469	253	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	254	1	these	these	DET
ejde-1469	254	2	convergence	convergence	NOUN
ejde-1469	254	3	properties	property	NOUN
ejde-1469	254	4	are	be	AUX
ejde-1469	254	5	a	a	DET
ejde-1469	254	6	consequence	consequence	NOUN
ejde-1469	254	7	of	of	ADP
ejde-1469	254	8	compact	compact	ADJ
ejde-1469	254	9	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1469	254	10	x0	x0	PROPN
ejde-1469	254	11	↪	↪	PROPN
ejde-1469	254	12	→	→	SYM
ejde-1469	254	13	l1−γ(ω	l1−γ(ω	NOUN
ejde-1469	254	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	254	15	and	and	CCONJ
ejde-1469	254	16	x0	x0	PROPN
ejde-1469	254	17	↪	↪	PROPN
ejde-1469	254	18	→	→	SYM
ejde-1469	254	19	lp∗	lp∗	NOUN
ejde-1469	254	20	s(t)(ω	s(t)(ω	NUM
ejde-1469	254	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	254	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	254	23	as	as	ADV
ejde-1469	254	24	well	well	ADV
ejde-1469	254	25	as	as	ADP
ejde-1469	254	26	the	the	DET
ejde-1469	254	27	weak	weak	ADJ
ejde-1469	254	28	lower	low	ADJ
ejde-1469	254	29	semi	semi	NOUN
ejde-1469	254	30	-	-	NOUN
ejde-1469	254	31	continuity	continuity	NOUN
ejde-1469	254	32	of	of	ADP
ejde-1469	254	33	the	the	DET
ejde-1469	254	34	norm	norm	NOUN
ejde-1469	254	35	∥	∥	X
ejde-1469	254	36	·	·	PUNCT
ejde-1469	254	37	∥.	∥.	ADV
ejde-1469	254	38	from	from	ADP
ejde-1469	254	39	the	the	DET
ejde-1469	254	40	weak	weak	ADJ
ejde-1469	254	41	lower	low	ADJ
ejde-1469	254	42	semicontinuity	semicontinuity	NOUN
ejde-1469	254	43	of	of	ADP
ejde-1469	254	44	the	the	DET
ejde-1469	254	45	norm	norm	NOUN
ejde-1469	254	46	∥	∥	X
ejde-1469	254	47	·	·	PUNCT
ejde-1469	254	48	∥	∥	NUM
ejde-1469	254	49	,	,	PUNCT
ejde-1469	254	50	we	we	PRON
ejde-1469	254	51	have	have	AUX
ejde-1469	254	52	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	254	53	≤	≤	NUM
ejde-1469	254	54	lim	lim	PROPN
ejde-1469	254	55	inf	inf	PROPN
ejde-1469	254	56	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-1469	254	57	∥uk∥p	∥uk∥p	PROPN
ejde-1469	254	58	.	.	PUNCT
ejde-1469	254	59	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	254	60	,	,	PUNCT
ejde-1469	254	61	the	the	DET
ejde-1469	254	62	strong	strong	ADJ
ejde-1469	254	63	convergence	convergence	NOUN
ejde-1469	254	64	in	in	ADP
ejde-1469	254	65	lr(ω	lr(ω	PROPN
ejde-1469	254	66	,	,	PUNCT
ejde-1469	254	67	dx	dx	PROPN
ejde-1469	254	68	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	254	69	)	)	PUNCT
ejde-1469	254	70	and	and	CCONJ
ejde-1469	254	71	the	the	DET
ejde-1469	254	72	convergence	convergence	NOUN
ejde-1469	254	73	almost	almost	ADV
ejde-1469	254	74	everywhere	everywhere	ADV
ejde-1469	254	75	imply∫	imply∫	PROPN
ejde-1469	255	1	ω	ω	NOUN
ejde-1469	255	2	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	X
ejde-1469	255	3	dx	dx	PROPN
ejde-1469	255	4	=	=	PROPN
ejde-1469	255	5	lim	lim	PROPN
ejde-1469	255	6	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-1469	256	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	256	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	256	3	f(x)u1−γ	f(x)u1−γ	PROPN
ejde-1469	256	4	k	k	PROPN
ejde-1469	256	5	dx	dx	PROPN
ejde-1469	256	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	256	7	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	256	8	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	256	9	problems	problem	NOUN
ejde-1469	256	10	with	with	ADP
ejde-1469	256	11	variable	variable	ADJ
ejde-1469	256	12	weights	weight	NOUN
ejde-1469	256	13	9∫	9∫	PROPN
ejde-1469	256	14	ω	ω	NUM
ejde-1469	256	15	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	PROPN
ejde-1469	256	16	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	256	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	257	1	|x|t	|x|t	ADV
ejde-1469	257	2	dx	dx	X
ejde-1469	258	1	=	=	SYM
ejde-1469	258	2	lim	lim	PROPN
ejde-1469	258	3	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-1469	259	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	259	2	ω	ω	PRON
ejde-1469	259	3	g(x)|uk|p	g(x)|uk|p	PROPN
ejde-1469	259	4	∗	∗	NOUN
ejde-1469	259	5	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	259	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	259	7	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	259	8	dx	dx	PROPN
ejde-1469	259	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	260	1	combining	combine	VERB
ejde-1469	260	2	these	these	DET
ejde-1469	260	3	results	result	NOUN
ejde-1469	260	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	260	5	we	we	PRON
ejde-1469	260	6	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	260	7	eλ(u	eλ(u	NOUN
ejde-1469	260	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	260	9	≤	≤	PROPN
ejde-1469	260	10	lim	lim	PROPN
ejde-1469	260	11	inf	inf	PROPN
ejde-1469	260	12	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-1469	260	13	eλ(uk	eλ(uk	PROPN
ejde-1469	260	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	260	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	261	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	261	2	{	{	PUNCT
ejde-1469	261	3	uk	uk	PROPN
ejde-1469	261	4	}	}	PUNCT
ejde-1469	261	5	is	be	AUX
ejde-1469	261	6	a	a	DET
ejde-1469	261	7	minimizing	minimize	VERB
ejde-1469	261	8	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	261	9	for	for	ADP
ejde-1469	261	10	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	261	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	261	12	it	it	PRON
ejde-1469	261	13	follows	follow	VERB
ejde-1469	261	14	that	that	SCONJ
ejde-1469	261	15	u	u	NOUN
ejde-1469	261	16	is	be	AUX
ejde-1469	261	17	a	a	DET
ejde-1469	261	18	global	global	ADJ
ejde-1469	261	19	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-1469	261	20	of	of	ADP
ejde-1469	261	21	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	261	22	in	in	ADP
ejde-1469	261	23	x0	x0	PROPN
ejde-1469	261	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	262	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	262	2	the	the	DET
ejde-1469	262	3	next	next	ADJ
ejde-1469	262	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	262	5	guaranties	guarantie	VERB
ejde-1469	262	6	the	the	DET
ejde-1469	262	7	existence	existence	NOUN
ejde-1469	262	8	of	of	ADP
ejde-1469	262	9	at	at	ADV
ejde-1469	262	10	least	least	ADV
ejde-1469	262	11	one	one	NUM
ejde-1469	262	12	solution	solution	NOUN
ejde-1469	262	13	for	for	ADP
ejde-1469	262	14	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1469	262	15	large	large	ADJ
ejde-1469	262	16	values	value	NOUN
ejde-1469	262	17	of	of	ADP
ejde-1469	262	18	the	the	DET
ejde-1469	262	19	parameter	parameter	PROPN
ejde-1469	262	20	λ	λ	PROPN
ejde-1469	262	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	263	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	263	2	4.3	4.3	NUM
ejde-1469	263	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	264	1	there	there	PRON
ejde-1469	264	2	exists	exist	VERB
ejde-1469	264	3	a	a	DET
ejde-1469	264	4	positive	positive	ADJ
ejde-1469	264	5	number	number	NOUN
ejde-1469	264	6	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	264	7	such	such	ADJ
ejde-1469	264	8	that	that	PRON
ejde-1469	264	9	for	for	SCONJ
ejde-1469	264	10	all	all	DET
ejde-1469	264	11	λ	λ	PROPN
ejde-1469	264	12	>	>	X
ejde-1469	264	13	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	264	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	264	15	problem	problem	NOUN
ejde-1469	264	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	264	17	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	264	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	264	19	admits	admit	VERB
ejde-1469	264	20	at	at	ADP
ejde-1469	264	21	least	least	ADV
ejde-1469	264	22	one	one	NUM
ejde-1469	264	23	solution	solution	NOUN
ejde-1469	264	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	265	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	265	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	266	1	we	we	PRON
ejde-1469	266	2	begin	begin	VERB
ejde-1469	266	3	by	by	ADP
ejde-1469	266	4	introducing	introduce	VERB
ejde-1469	266	5	the	the	DET
ejde-1469	266	6	constrained	constrain	VERB
ejde-1469	266	7	variational	variational	ADJ
ejde-1469	266	8	problem	problem	NOUN
ejde-1469	266	9	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1469	266	10	:	:	PUNCT
ejde-1469	266	11	=	=	SYM
ejde-1469	266	12	inf	inf	NOUN
ejde-1469	266	13	{	{	PUNCT
ejde-1469	266	14	1	1	NUM
ejde-1469	266	15	p	p	NOUN
ejde-1469	266	16	∥w∥p+	∥w∥p+	ADJ
ejde-1469	266	17	1	1	NUM
ejde-1469	266	18	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	266	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	266	20	∫	∫	PROPN
ejde-1469	266	21	ω	ω	PROPN
ejde-1469	266	22	g(x)|w|p∗	g(x)|w|p∗	PROPN
ejde-1469	266	23	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	266	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	266	25	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	266	26	dx	dx	VERB
ejde-1469	266	27	:	:	PUNCT
ejde-1469	266	28	w	w	PROPN
ejde-1469	266	29	∈	∈	PROPN
ejde-1469	266	30	x0	x0	PROPN
ejde-1469	266	31	and	and	CCONJ
ejde-1469	266	32	1	1	NUM
ejde-1469	266	33	1−	1−	NUM
ejde-1469	266	34	γ	γ	PROPN
ejde-1469	266	35	∫	∫	PROPN
ejde-1469	266	36	ω	ω	PROPN
ejde-1469	266	37	f(x)|w|1−γ	f(x)|w|1−γ	PROPN
ejde-1469	266	38	dx	dx	PROPN
ejde-1469	266	39	=	=	SYM
ejde-1469	266	40	1	1	NUM
ejde-1469	266	41	}	}	PUNCT
ejde-1469	266	42	.	.	PUNCT
ejde-1469	267	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	267	2	4.1	4.1	NUM
ejde-1469	267	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	267	4	additionally	additionally	ADV
ejde-1469	267	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	267	6	we	we	PRON
ejde-1469	267	7	define	define	VERB
ejde-1469	267	8	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	267	9	:	:	PUNCT
ejde-1469	267	10	=	=	SYM
ejde-1469	267	11	inf	inf	NOUN
ejde-1469	267	12	{	{	PUNCT
ejde-1469	267	13	λ	λ	X
ejde-1469	267	14	>	>	X
ejde-1469	267	15	0	0	NUM
ejde-1469	267	16	:	:	PUNCT
ejde-1469	267	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	267	18	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	267	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	267	20	admits	admit	VERB
ejde-1469	267	21	a	a	DET
ejde-1469	267	22	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1469	267	23	weak	weak	ADJ
ejde-1469	267	24	solution	solution	NOUN
ejde-1469	267	25	}	}	PUNCT
ejde-1469	267	26	.	.	PUNCT
ejde-1469	268	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	268	2	4.2	4.2	X
ejde-1469	268	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	268	4	consider	consider	VERB
ejde-1469	268	5	a	a	DET
ejde-1469	268	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	268	7	{	{	PUNCT
ejde-1469	268	8	vk}k	vk}k	PROPN
ejde-1469	268	9	to	to	PART
ejde-1469	268	10	be	be	AUX
ejde-1469	268	11	a	a	DET
ejde-1469	268	12	minimizing	minimize	VERB
ejde-1469	268	13	sequence	sequence	NOUN
ejde-1469	268	14	for	for	ADP
ejde-1469	268	15	λ∗.	λ∗.	X
ejde-1469	268	16	employing	employ	VERB
ejde-1469	268	17	an	an	DET
ejde-1469	268	18	argument	argument	NOUN
ejde-1469	268	19	similar	similar	ADJ
ejde-1469	268	20	to	to	ADP
ejde-1469	268	21	the	the	DET
ejde-1469	268	22	one	one	NOUN
ejde-1469	268	23	in	in	ADP
ejde-1469	268	24	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	268	25	4.2	4.2	NUM
ejde-1469	268	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	268	27	we	we	PRON
ejde-1469	268	28	may	may	AUX
ejde-1469	268	29	assume	assume	VERB
ejde-1469	268	30	that	that	SCONJ
ejde-1469	268	31	{	{	PUNCT
ejde-1469	268	32	vk}k	vk}k	PROPN
ejde-1469	268	33	converges	converge	VERB
ejde-1469	268	34	weakly	weakly	ADV
ejde-1469	268	35	to	to	ADP
ejde-1469	268	36	some	some	DET
ejde-1469	268	37	v	v	NOUN
ejde-1469	268	38	∈	∈	NOUN
ejde-1469	268	39	x0	x0	NOUN
ejde-1469	268	40	,	,	PUNCT
ejde-1469	268	41	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1469	268	42	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1469	268	43	=	=	PUNCT
ejde-1469	268	44	1	1	NUM
ejde-1469	268	45	p	p	NOUN
ejde-1469	268	46	∥v∥p	∥v∥p	NOUN
ejde-1469	268	47	+	+	CCONJ
ejde-1469	268	48	1	1	NUM
ejde-1469	268	49	p∗s(t	p∗s(t	ADJ
ejde-1469	268	50	)	)	PUNCT
ejde-1469	268	51	∫	∫	PROPN
ejde-1469	268	52	ω	ω	NUM
ejde-1469	268	53	g(x)|v|p∗	g(x)|v|p∗	PROPN
ejde-1469	268	54	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	268	55	)	)	PUNCT
ejde-1469	268	56	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	268	57	dx	dx	PROPN
ejde-1469	268	58	,	,	PUNCT
ejde-1469	268	59	1	1	NUM
ejde-1469	268	60	1−	1−	NUM
ejde-1469	268	61	γ	γ	PROPN
ejde-1469	268	62	∫	∫	PROPN
ejde-1469	268	63	ω	ω	PROPN
ejde-1469	268	64	f(x)|v|1−γ	f(x)|v|1−γ	NOUN
ejde-1469	268	65	dx	dx	PROPN
ejde-1469	268	66	=	=	SYM
ejde-1469	268	67	1	1	X
ejde-1469	268	68	.	.	PUNCT
ejde-1469	268	69	consequently	consequently	ADV
ejde-1469	268	70	,	,	PUNCT
ejde-1469	268	71	for	for	ADP
ejde-1469	268	72	any	any	DET
ejde-1469	268	73	λ	λ	PROPN
ejde-1469	268	74	>	>	X
ejde-1469	268	75	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1469	268	76	,	,	PUNCT
ejde-1469	268	77	we	we	PRON
ejde-1469	268	78	have	have	VERB
ejde-1469	268	79	eλ(v	eλ(v	NOUN
ejde-1469	268	80	)	)	PUNCT
ejde-1469	269	1	=	=	SYM
ejde-1469	269	2	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1469	269	3	−	−	PROPN
ejde-1469	269	4	λ	λ	X
ejde-1469	269	5	<	<	X
ejde-1469	269	6	0	0	NUM
ejde-1469	269	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	270	1	now	now	ADV
ejde-1469	270	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	270	3	fix	fix	VERB
ejde-1469	270	4	λ	λ	X
ejde-1469	270	5	>	>	X
ejde-1469	270	6	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	270	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	271	1	by	by	ADP
ejde-1469	271	2	the	the	DET
ejde-1469	271	3	definition	definition	NOUN
ejde-1469	271	4	of	of	ADP
ejde-1469	271	5	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	271	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	271	7	there	there	PRON
ejde-1469	271	8	exists	exist	VERB
ejde-1469	271	9	β	β	X
ejde-1469	271	10	∈	∈	PROPN
ejde-1469	271	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	271	12	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	271	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	271	14	λ	λ	NOUN
ejde-1469	271	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	271	16	such	such	ADJ
ejde-1469	271	17	that	that	SCONJ
ejde-1469	271	18	the	the	DET
ejde-1469	271	19	functional	functional	ADJ
ejde-1469	271	20	eβ	eβ	PROPN
ejde-1469	271	21	has	have	AUX
ejde-1469	271	22	a	a	DET
ejde-1469	271	23	non	non	ADJ
ejde-1469	271	24	-	-	ADJ
ejde-1469	271	25	trivial	trivial	ADJ
ejde-1469	271	26	critical	critical	ADJ
ejde-1469	271	27	point	point	NOUN
ejde-1469	271	28	uβ	uβ	PRON
ejde-1469	271	29	∈	∈	PROPN
ejde-1469	271	30	x0	x0	PROPN
ejde-1469	271	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	272	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	272	2	β	β	X
ejde-1469	272	3	<	<	X
ejde-1469	272	4	λ	λ	PROPN
ejde-1469	272	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	272	6	uβ	uβ	PROPN
ejde-1469	272	7	serves	serve	VERB
ejde-1469	272	8	as	as	ADP
ejde-1469	272	9	a	a	DET
ejde-1469	272	10	sub	sub	NOUN
ejde-1469	272	11	-	-	NOUN
ejde-1469	272	12	solution	solution	NOUN
ejde-1469	272	13	to	to	ADP
ejde-1469	272	14	problem	problem	NOUN
ejde-1469	272	15	(	(	PUNCT
ejde-1469	272	16	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	272	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	272	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	273	1	to	to	PART
ejde-1469	273	2	construct	construct	VERB
ejde-1469	273	3	a	a	DET
ejde-1469	273	4	super	super	NOUN
ejde-1469	273	5	-	-	NOUN
ejde-1469	273	6	solution	solution	NOUN
ejde-1469	273	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	273	8	consider	consider	VERB
ejde-1469	273	9	the	the	DET
ejde-1469	273	10	minimization	minimization	NOUN
ejde-1469	273	11	problem	problem	NOUN
ejde-1469	273	12	inf	inf	PROPN
ejde-1469	273	13	{	{	PUNCT
ejde-1469	273	14	1	1	NUM
ejde-1469	273	15	p	p	NOUN
ejde-1469	273	16	∥w∥p	∥w∥p	NOUN
ejde-1469	273	17	−	−	PROPN
ejde-1469	273	18	λ	λ	NOUN
ejde-1469	273	19	1−	1−	NUM
ejde-1469	273	20	γ	γ	PROPN
ejde-1469	273	21	∫	∫	PROPN
ejde-1469	273	22	ω	ω	PROPN
ejde-1469	273	23	f(x)|w|1−γ	f(x)|w|1−γ	PROPN
ejde-1469	273	24	dx+	dx+	PROPN
ejde-1469	273	25	1	1	NUM
ejde-1469	273	26	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	273	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	274	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	274	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	274	3	g(x)|w|p∗	g(x)|w|p∗	PROPN
ejde-1469	274	4	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	274	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	275	1	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	275	2	dx	dx	VERB
ejde-1469	275	3	:	:	PUNCT
ejde-1469	275	4	w	w	PROPN
ejde-1469	275	5	∈	∈	PROPN
ejde-1469	275	6	x0	x0	PROPN
ejde-1469	275	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	275	8	w	w	PROPN
ejde-1469	275	9	≥	≥	NOUN
ejde-1469	275	10	uβ	uβ	X
ejde-1469	275	11	}	}	PUNCT
ejde-1469	275	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	276	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	276	2	4.3	4.3	NUM
ejde-1469	276	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	276	4	then	then	ADV
ejde-1469	276	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	276	6	using	use	VERB
ejde-1469	276	7	arguments	argument	NOUN
ejde-1469	276	8	analogous	analogous	ADJ
ejde-1469	276	9	to	to	ADP
ejde-1469	276	10	those	those	PRON
ejde-1469	276	11	for	for	ADP
ejde-1469	276	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	276	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	276	14	4.1	4.1	NUM
ejde-1469	276	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	276	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	276	17	we	we	PRON
ejde-1469	276	18	deduce	deduce	VERB
ejde-1469	276	19	that	that	DET
ejde-1469	276	20	problem	problem	NOUN
ejde-1469	276	21	(	(	PUNCT
ejde-1469	276	22	4.3	4.3	NUM
ejde-1469	276	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	276	24	admits	admit	VERB
ejde-1469	276	25	a	a	DET
ejde-1469	276	26	solution	solution	NOUN
ejde-1469	276	27	wλ	wλ	INTJ
ejde-1469	276	28	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1469	276	29	wλ	wλ	PROPN
ejde-1469	276	30	>	>	X
ejde-1469	276	31	uβ	uβ	PROPN
ejde-1469	276	32	.	.	PUNCT
ejde-1469	277	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	277	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	277	3	for	for	ADP
ejde-1469	277	4	all	all	DET
ejde-1469	277	5	λ	λ	PROPN
ejde-1469	277	6	>	>	X
ejde-1469	277	7	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	277	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	277	9	the	the	DET
ejde-1469	277	10	function	function	NOUN
ejde-1469	277	11	wλ	wλ	NOUN
ejde-1469	277	12	remains	remain	VERB
ejde-1469	277	13	also	also	ADV
ejde-1469	277	14	a	a	DET
ejde-1469	277	15	weak	weak	ADJ
ejde-1469	277	16	solution	solution	NOUN
ejde-1469	277	17	to	to	ADP
ejde-1469	277	18	problem	problem	NOUN
ejde-1469	277	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	277	20	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	277	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	277	22	.	.	PUNCT
ejde-1469	278	1	using	use	VERB
ejde-1469	278	2	the	the	DET
ejde-1469	278	3	reasoning	reasoning	NOUN
ejde-1469	278	4	described	describe	VERB
ejde-1469	278	5	in	in	ADP
ejde-1469	278	6	[	[	X
ejde-1469	278	7	20	20	NUM
ejde-1469	278	8	]	]	PUNCT
ejde-1469	278	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	278	10	we	we	PRON
ejde-1469	278	11	infer	infer	VERB
ejde-1469	278	12	that	that	SCONJ
ejde-1469	278	13	a	a	DET
ejde-1469	278	14	solution	solution	NOUN
ejde-1469	278	15	exists	exist	VERB
ejde-1469	278	16	for	for	ADP
ejde-1469	278	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	278	18	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	278	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	278	20	when	when	SCONJ
ejde-1469	278	21	λ	λ	X
ejde-1469	278	22	=	=	SYM
ejde-1469	278	23	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	278	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	279	1	finally	finally	ADV
ejde-1469	279	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	279	3	the	the	DET
ejde-1469	279	4	positivity	positivity	NOUN
ejde-1469	279	5	of	of	ADP
ejde-1469	279	6	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	279	7	follows	follow	VERB
ejde-1469	279	8	from	from	ADP
ejde-1469	279	9	the	the	DET
ejde-1469	279	10	strong	strong	ADJ
ejde-1469	279	11	maximum	maximum	ADJ
ejde-1469	279	12	principle	principle	NOUN
ejde-1469	279	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	279	14	see	see	VERB
ejde-1469	279	15	[	[	X
ejde-1469	279	16	16	16	NUM
ejde-1469	279	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	279	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	279	19	2.3	2.3	NUM
ejde-1469	279	20	]	]	PUNCT
ejde-1469	279	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	279	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	279	23	as	as	SCONJ
ejde-1469	279	24	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	279	25	is	be	AUX
ejde-1469	279	26	a	a	DET
ejde-1469	279	27	weak	weak	ADJ
ejde-1469	279	28	c1	c1	NOUN
ejde-1469	279	29	positive	positive	ADJ
ejde-1469	279	30	solution	solution	NOUN
ejde-1469	279	31	of	of	ADP
ejde-1469	279	32	the	the	DET
ejde-1469	279	33	differential	differential	ADJ
ejde-1469	279	34	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	279	35	(	(	PUNCT
ejde-1469	279	36	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-1469	279	37	)	)	PUNCT
ejde-1469	279	38	su+	su+	NOUN
ejde-1469	279	39	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	NOUN
ejde-1469	280	1	s(t)−2u	s(t)−2u	PROPN
ejde-1469	280	2	|x|t	|x|t	ADJ
ejde-1469	280	3	≥	≥	NOUN
ejde-1469	280	4	0	0	NUM
ejde-1469	280	5	in	in	ADP
ejde-1469	280	6	ω	ω	NUM
ejde-1469	280	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	281	1	we	we	PRON
ejde-1469	281	2	derive	derive	VERB
ejde-1469	281	3	that	that	SCONJ
ejde-1469	281	4	uλ	uλ	PRON
ejde-1469	281	5	is	be	AUX
ejde-1469	281	6	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1469	281	7	everywhere	everywhere	ADV
ejde-1469	281	8	in	in	ADP
ejde-1469	281	9	ω	ω	PROPN
ejde-1469	281	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	282	1	this	this	PRON
ejde-1469	282	2	completes	complete	VERB
ejde-1469	282	3	the	the	DET
ejde-1469	282	4	proof	proof	NOUN
ejde-1469	282	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	283	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	283	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	283	3	4.4	4.4	NUM
ejde-1469	283	4	.	.	PUNCT
ejde-1469	284	1	there	there	PRON
ejde-1469	284	2	exists	exist	VERB
ejde-1469	284	3	a	a	DET
ejde-1469	284	4	positive	positive	ADJ
ejde-1469	284	5	number	number	NOUN
ejde-1469	284	6	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	284	7	such	such	ADJ
ejde-1469	284	8	that	that	SCONJ
ejde-1469	284	9	if	if	SCONJ
ejde-1469	284	10	λ	λ	PROPN
ejde-1469	284	11	<	<	X
ejde-1469	284	12	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	284	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	284	14	problem	problem	NOUN
ejde-1469	284	15	(	(	PUNCT
ejde-1469	284	16	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	284	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	284	18	does	do	AUX
ejde-1469	284	19	not	not	PART
ejde-1469	284	20	have	have	AUX
ejde-1469	284	21	solution	solution	NOUN
ejde-1469	284	22	.	.	PUNCT
ejde-1469	285	1	proof	proof	NOUN
ejde-1469	285	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	286	1	fix	fix	VERB
ejde-1469	286	2	δ	δ	PROPN
ejde-1469	286	3	∈	∈	PROPN
ejde-1469	286	4	(	(	PUNCT
ejde-1469	286	5	0	0	NUM
ejde-1469	286	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	286	7	λ1	λ1	NUM
ejde-1469	286	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	286	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	286	10	where	where	SCONJ
ejde-1469	286	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	286	12	is	be	AUX
ejde-1469	286	13	the	the	DET
ejde-1469	286	14	principal	principal	ADJ
ejde-1469	286	15	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1469	286	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	287	1	set	set	NOUN
ejde-1469	287	2	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	287	3	=	=	SYM
ejde-1469	287	4	min{1	min{1	PROPN
ejde-1469	287	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	287	6	δ	δ	PROPN
ejde-1469	287	7	}	}	PUNCT
ejde-1469	287	8	>	>	X
ejde-1469	287	9	0	0	X
ejde-1469	287	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	288	1	we	we	PRON
ejde-1469	288	2	now	now	ADV
ejde-1469	288	3	claim	claim	VERB
ejde-1469	288	4	that	that	SCONJ
ejde-1469	288	5	for	for	ADP
ejde-1469	288	6	all	all	DET
ejde-1469	288	7	λ	λ	PROPN
ejde-1469	288	8	∈	∈	PROPN
ejde-1469	288	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	288	10	0,λ2	0,λ2	NOUN
ejde-1469	288	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	288	12	and	and	CCONJ
ejde-1469	288	13	for	for	ADP
ejde-1469	288	14	all	all	DET
ejde-1469	288	15	r	r	NOUN
ejde-1469	288	16	>	>	X
ejde-1469	288	17	0	0	NUM
ejde-1469	288	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	288	19	the	the	DET
ejde-1469	288	20	following	follow	VERB
ejde-1469	288	21	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	288	22	holds	hold	VERB
ejde-1469	288	23	λf(x)r−γ	λf(x)r−γ	X
ejde-1469	288	24	−	−	PROPN
ejde-1469	288	25	g(x)rp	g(x)rp	NOUN
ejde-1469	288	26	∗	∗	NOUN
ejde-1469	288	27	s(t)−2r	s(t)−2r	PROPN
ejde-1469	288	28	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	288	29	<	<	X
ejde-1469	288	30	δrp−1	δrp−1	NOUN
ejde-1469	288	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	289	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	289	2	4.4	4.4	NUM
ejde-1469	289	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	289	4	indeed	indeed	ADV
ejde-1469	289	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	289	6	first	first	ADV
ejde-1469	289	7	observe	observe	VERB
ejde-1469	289	8	that	that	SCONJ
ejde-1469	289	9	for	for	ADP
ejde-1469	289	10	λ	λ	PROPN
ejde-1469	289	11	<	<	X
ejde-1469	289	12	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	289	13	≤	≤	NUM
ejde-1469	289	14	1	1	NUM
ejde-1469	289	15	and	and	CCONJ
ejde-1469	289	16	0	0	NUM
ejde-1469	289	17	<	<	X
ejde-1469	289	18	γ	γ	X
ejde-1469	289	19	<	<	X
ejde-1469	289	20	1	1	NUM
ejde-1469	289	21	<	<	X
ejde-1469	289	22	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	289	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	289	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	289	25	we	we	PRON
ejde-1469	289	26	derive	derive	VERB
ejde-1469	289	27	for	for	ADP
ejde-1469	289	28	all	all	DET
ejde-1469	289	29	r	r	NOUN
ejde-1469	289	30	∈	∈	NOUN
ejde-1469	290	1	[	[	X
ejde-1469	290	2	0	0	NUM
ejde-1469	290	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	290	4	1	1	NUM
ejde-1469	290	5	]	]	PUNCT
ejde-1469	290	6	that	that	PRON
ejde-1469	290	7	λf(x)r−γ	λf(x)r−γ	NUM
ejde-1469	290	8	−	−	PROPN
ejde-1469	290	9	g(x)rp	g(x)rp	NOUN
ejde-1469	290	10	∗	∗	NOUN
ejde-1469	290	11	s(t)−2r	s(t)−2r	PROPN
ejde-1469	290	12	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	290	13	<	<	X
ejde-1469	290	14	0	0	NUM
ejde-1469	290	15	.	.	PROPN
ejde-1469	290	16	10	10	NUM
ejde-1469	290	17	s.	s.	PROPN
ejde-1469	290	18	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	290	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	290	20	k.	k.	PROPN
ejde-1469	290	21	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	290	22	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	290	23	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	290	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	290	25	for	for	ADP
ejde-1469	290	26	r	r	NOUN
ejde-1469	290	27	>	>	SYM
ejde-1469	290	28	1	1	NUM
ejde-1469	290	29	and	and	CCONJ
ejde-1469	290	30	since	since	SCONJ
ejde-1469	290	31	1−	1−	NUM
ejde-1469	290	32	γ	γ	X
ejde-1469	290	33	<	<	X
ejde-1469	290	34	p	p	X
ejde-1469	290	35	,	,	PUNCT
ejde-1469	290	36	we	we	PRON
ejde-1469	290	37	deduce	deduce	VERB
ejde-1469	290	38	that	that	PRON
ejde-1469	290	39	λf(x)r−γ	λf(x)r−γ	NUM
ejde-1469	290	40	−	−	PROPN
ejde-1469	290	41	g(x)rp	g(x)rp	NOUN
ejde-1469	290	42	∗	∗	NOUN
ejde-1469	290	43	s(t)−2r	s(t)−2r	PROPN
ejde-1469	290	44	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	290	45	<	<	X
ejde-1469	290	46	λf(x)r−γ	λf(x)r−γ	X
ejde-1469	290	47	<	<	X
ejde-1469	290	48	δrp−1	δrp−1	NOUN
ejde-1469	290	49	for	for	ADP
ejde-1469	290	50	all	all	DET
ejde-1469	290	51	λ2	λ2	NOUN
ejde-1469	290	52	∈	∈	PROPN
ejde-1469	290	53	[	[	X
ejde-1469	290	54	λ	λ	X
ejde-1469	290	55	,	,	PUNCT
ejde-1469	290	56	δ	δ	PROPN
ejde-1469	290	57	]	]	PUNCT
ejde-1469	290	58	.	.	PUNCT
ejde-1469	291	1	which	which	PRON
ejde-1469	291	2	proves	prove	VERB
ejde-1469	291	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	291	4	4.4	4.4	NUM
ejde-1469	291	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	291	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	292	1	we	we	PRON
ejde-1469	292	2	now	now	ADV
ejde-1469	292	3	consider	consider	VERB
ejde-1469	292	4	λ	λ	X
ejde-1469	292	5	∈	∈	PROPN
ejde-1469	292	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	292	7	0,λ2	0,λ2	NOUN
ejde-1469	292	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	292	9	and	and	CCONJ
ejde-1469	292	10	let	let	VERB
ejde-1469	292	11	u	u	PRON
ejde-1469	292	12	be	be	AUX
ejde-1469	292	13	a	a	DET
ejde-1469	292	14	critical	critical	ADJ
ejde-1469	292	15	point	point	NOUN
ejde-1469	292	16	to	to	ADP
ejde-1469	292	17	the	the	DET
ejde-1469	292	18	energy	energy	NOUN
ejde-1469	292	19	functional	functional	ADJ
ejde-1469	292	20	eλ	eλ	NOUN
ejde-1469	292	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	293	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	293	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	293	3	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	293	4	w	w	PROPN
ejde-1469	293	5	s	s	PROPN
ejde-1469	293	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	293	7	p	p	NOUN
ejde-1469	293	8	0	0	NUM
ejde-1469	293	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	293	10	ω	ω	NOUN
ejde-1469	293	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	293	12	=	=	SYM
ejde-1469	293	13	⟨(−∆p	⟨(−∆p	PROPN
ejde-1469	293	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	293	15	su	su	PROPN
ejde-1469	293	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	293	17	u⟩	u⟩	PUNCT
ejde-1469	294	1	=	=	PUNCT
ejde-1469	294	2	λ	λ	X
ejde-1469	294	3	∫	∫	PROPN
ejde-1469	294	4	ω	ω	PROPN
ejde-1469	294	5	f(x)|u|1−γ	f(x)|u|1−γ	NOUN
ejde-1469	294	6	dx−	dx−	NUM
ejde-1469	294	7	∫	∫	PROPN
ejde-1469	294	8	ω	ω	PROPN
ejde-1469	294	9	g(x)|u|p∗	g(x)|u|p∗	PROPN
ejde-1469	294	10	s(t	s(t	PROPN
ejde-1469	294	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	295	1	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	295	2	dx	dx	PROPN
ejde-1469	295	3	≤	≤	PROPN
ejde-1469	295	4	δ∥u∥p	δ∥u∥p	NOUN
ejde-1469	295	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	296	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	296	2	4.5	4.5	NUM
ejde-1469	296	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	296	4	on	on	ADP
ejde-1469	296	5	the	the	DET
ejde-1469	296	6	other	other	ADJ
ejde-1469	296	7	hand	hand	NOUN
ejde-1469	296	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	296	9	using	use	VERB
ejde-1469	296	10	the	the	DET
ejde-1469	296	11	variational	variational	ADJ
ejde-1469	296	12	description	description	NOUN
ejde-1469	296	13	of	of	ADP
ejde-1469	296	14	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	296	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	296	16	we	we	PRON
ejde-1469	296	17	have	have	VERB
ejde-1469	296	18	λ1	λ1	VERB
ejde-1469	296	19	=	=	SYM
ejde-1469	296	20	inf	inf	PROPN
ejde-1469	296	21	u∈w	u∈w	NOUN
ejde-1469	296	22	s	s	PROPN
ejde-1469	296	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	296	24	p	p	NOUN
ejde-1469	296	25	0	0	NUM
ejde-1469	296	26	(	(	PUNCT
ejde-1469	296	27	ω	ω	NOUN
ejde-1469	296	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	296	29	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	296	30	w	w	PROPN
ejde-1469	296	31	s	s	PROPN
ejde-1469	296	32	,	,	PUNCT
ejde-1469	296	33	p	p	NOUN
ejde-1469	296	34	0	0	NUM
ejde-1469	296	35	(	(	PUNCT
ejde-1469	296	36	ω	ω	NOUN
ejde-1469	296	37	)	)	PUNCT
ejde-1469	296	38	∥u∥plp(ω	∥u∥plp(ω	PROPN
ejde-1469	296	39	)	)	PUNCT
ejde-1469	296	40	.	.	PUNCT
ejde-1469	297	1	this	this	PRON
ejde-1469	297	2	implies	imply	VERB
ejde-1469	297	3	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	297	4	w	w	NOUN
ejde-1469	297	5	s	s	PROPN
ejde-1469	297	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	297	7	p	p	NOUN
ejde-1469	297	8	0	0	NUM
ejde-1469	297	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	297	10	ω	ω	NOUN
ejde-1469	297	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	297	12	≥	≥	NOUN
ejde-1469	297	13	λ1∥u∥plp(ω	λ1∥u∥plp(ω	NOUN
ejde-1469	297	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	297	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	298	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	298	2	4.6	4.6	X
ejde-1469	298	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	298	4	combining	combine	VERB
ejde-1469	298	5	the	the	DET
ejde-1469	298	6	two	two	NUM
ejde-1469	298	7	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1469	298	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	298	9	4.5	4.5	NUM
ejde-1469	298	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	298	11	and	and	CCONJ
ejde-1469	298	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	298	13	4.6	4.6	NUM
ejde-1469	298	14	)	)	PUNCT
ejde-1469	298	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	298	16	we	we	PRON
ejde-1469	298	17	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	298	18	λ1∥u∥p	λ1∥u∥p	PROPN
ejde-1469	298	19	≤	≤	NUM
ejde-1469	298	20	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	298	21	w	w	PROPN
ejde-1469	298	22	s	s	PROPN
ejde-1469	298	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	298	24	p	p	NOUN
ejde-1469	298	25	0	0	NUM
ejde-1469	298	26	(	(	PUNCT
ejde-1469	298	27	ω	ω	NOUN
ejde-1469	298	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	298	29	≤	≤	PROPN
ejde-1469	298	30	δ∥u∥p	δ∥u∥p	NOUN
ejde-1469	298	31	.	.	PUNCT
ejde-1469	299	1	since	since	SCONJ
ejde-1469	299	2	δ	δ	PROPN
ejde-1469	299	3	<	<	X
ejde-1469	299	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	299	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	299	6	this	this	PRON
ejde-1469	299	7	implies	imply	VERB
ejde-1469	299	8	λ1∥u∥p	λ1∥u∥p	PROPN
ejde-1469	299	9	≤	≤	NUM
ejde-1469	299	10	δ∥u∥p	δ∥u∥p	NOUN
ejde-1469	299	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	300	1	if	if	SCONJ
ejde-1469	300	2	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	300	3	̸=	̸=	PROPN
ejde-1469	300	4	0	0	NUM
ejde-1469	300	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	300	6	then	then	ADV
ejde-1469	300	7	dividing	divide	VERB
ejde-1469	300	8	both	both	DET
ejde-1469	300	9	sides	side	NOUN
ejde-1469	300	10	by	by	ADP
ejde-1469	300	11	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	300	12	gives	give	VERB
ejde-1469	300	13	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	300	14	≤	≤	NUM
ejde-1469	300	15	δ	δ	PROPN
ejde-1469	300	16	.	.	PUNCT
ejde-1469	301	1	but	but	CCONJ
ejde-1469	301	2	this	this	PRON
ejde-1469	301	3	contradicts	contradict	VERB
ejde-1469	301	4	the	the	DET
ejde-1469	301	5	assumption	assumption	NOUN
ejde-1469	301	6	that	that	SCONJ
ejde-1469	301	7	δ	δ	PROPN
ejde-1469	301	8	<	<	X
ejde-1469	301	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1469	301	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	302	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	302	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	302	3	the	the	DET
ejde-1469	302	4	only	only	ADJ
ejde-1469	302	5	possibility	possibility	NOUN
ejde-1469	302	6	is	be	AUX
ejde-1469	302	7	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1469	302	8	=	=	SYM
ejde-1469	302	9	0	0	NUM
ejde-1469	302	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	302	11	which	which	PRON
ejde-1469	302	12	implies	imply	VERB
ejde-1469	302	13	u	u	NOUN
ejde-1469	302	14	=	=	NOUN
ejde-1469	302	15	0	0	NUM
ejde-1469	302	16	almost	almost	ADV
ejde-1469	302	17	everywhere	everywhere	ADV
ejde-1469	302	18	in	in	ADP
ejde-1469	302	19	ω	ω	PROPN
ejde-1469	302	20	.	.	PUNCT
ejde-1469	303	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1469	303	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	303	3	1.4	1.4	NUM
ejde-1469	303	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	303	5	has	have	VERB
ejde-1469	303	6	no	no	DET
ejde-1469	303	7	solution	solution	NOUN
ejde-1469	303	8	if	if	SCONJ
ejde-1469	303	9	λ	λ	PROPN
ejde-1469	303	10	<	<	X
ejde-1469	303	11	λ2	λ2	PROPN
ejde-1469	303	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	304	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	304	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	304	3	of	of	ADP
ejde-1469	304	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1469	304	5	1.2	1.2	NUM
ejde-1469	304	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	305	1	the	the	DET
ejde-1469	305	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	305	3	follows	follow	VERB
ejde-1469	305	4	directly	directly	ADV
ejde-1469	305	5	from	from	ADP
ejde-1469	305	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	305	7	4.3	4.3	NUM
ejde-1469	305	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	305	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	305	10	4.4	4.4	NUM
ejde-1469	305	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	306	1	□	□	SYM
ejde-1469	306	2	5	5	X
ejde-1469	306	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	306	4	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	306	5	results	result	NOUN
ejde-1469	306	6	in	in	ADP
ejde-1469	306	7	this	this	DET
ejde-1469	306	8	section	section	NOUN
ejde-1469	306	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	306	10	we	we	PRON
ejde-1469	306	11	study	study	VERB
ejde-1469	306	12	the	the	DET
ejde-1469	306	13	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	306	14	of	of	ADP
ejde-1469	306	15	weak	weak	ADJ
ejde-1469	306	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	306	17	to	to	ADP
ejde-1469	306	18	problem	problem	NOUN
ejde-1469	306	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	306	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	306	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	306	22	.	.	PUNCT
ejde-1469	307	1	we	we	PRON
ejde-1469	307	2	begin	begin	VERB
ejde-1469	307	3	by	by	ADP
ejde-1469	307	4	recalling	recall	VERB
ejde-1469	307	5	the	the	DET
ejde-1469	307	6	following	follow	VERB
ejde-1469	307	7	elementary	elementary	ADJ
ejde-1469	307	8	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1469	307	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	307	10	which	which	PRON
ejde-1469	307	11	are	be	AUX
ejde-1469	307	12	proved	prove	VERB
ejde-1469	307	13	in	in	ADP
ejde-1469	307	14	[	[	X
ejde-1469	307	15	4	4	NUM
ejde-1469	307	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	307	17	5	5	NUM
ejde-1469	307	18	]	]	PUNCT
ejde-1469	307	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	308	1	these	these	DET
ejde-1469	308	2	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1469	308	3	serve	serve	VERB
ejde-1469	308	4	as	as	ADP
ejde-1469	308	5	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-1469	308	6	tools	tool	NOUN
ejde-1469	308	7	in	in	ADP
ejde-1469	308	8	our	our	PRON
ejde-1469	308	9	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	308	10	.	.	PUNCT
ejde-1469	309	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	309	2	5.1	5.1	NUM
ejde-1469	309	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	309	4	[	[	X
ejde-1469	309	5	4	4	NUM
ejde-1469	309	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	309	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	309	8	c.2	c.2	PROPN
ejde-1469	309	9	]	]	PUNCT
ejde-1469	309	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	309	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	310	1	let	let	VERB
ejde-1469	310	2	1	1	NUM
ejde-1469	310	3	<	<	X
ejde-1469	310	4	p	p	X
ejde-1469	310	5	<	<	X
ejde-1469	310	6	∞	∞	PROPN
ejde-1469	310	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	310	8	r	r	NOUN
ejde-1469	310	9	≥	≥	NUM
ejde-1469	310	10	1	1	NUM
ejde-1469	310	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	311	1	for	for	ADP
ejde-1469	311	2	any	any	DET
ejde-1469	311	3	non	non	ADJ
ejde-1469	311	4	-	-	ADJ
ejde-1469	311	5	negative	negative	ADJ
ejde-1469	311	6	real	real	ADJ
ejde-1469	311	7	numbers	number	NOUN
ejde-1469	311	8	a	a	DET
ejde-1469	311	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	10	b	b	NOUN
ejde-1469	311	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	12	and	and	CCONJ
ejde-1469	311	13	m	m	VERB
ejde-1469	311	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	15	it	it	PRON
ejde-1469	311	16	holds	hold	VERB
ejde-1469	311	17	|a−	|a−	NOUN
ejde-1469	311	18	b|p−2(a−	b|p−2(a−	ADP
ejde-1469	311	19	b)(arm	b)(arm	NOUN
ejde-1469	311	20	−	−	PROPN
ejde-1469	311	21	brm	brm	NOUN
ejde-1469	311	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	311	23	≥	≥	PROPN
ejde-1469	311	24	rpp	rpp	NOUN
ejde-1469	311	25	(	(	PUNCT
ejde-1469	311	26	r	r	NOUN
ejde-1469	311	27	+	+	NOUN
ejde-1469	311	28	p−	p−	NOUN
ejde-1469	311	29	1)p	1)p	NUM
ejde-1469	311	30	∣∣a	∣∣a	NOUN
ejde-1469	311	31	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	311	32	p	p	NOUN
ejde-1469	311	33	m	m	PROPN
ejde-1469	311	34	−	−	PROPN
ejde-1469	311	35	b	b	PROPN
ejde-1469	311	36	r+p−1	r+p−1	PROPN
ejde-1469	311	37	p	p	PROPN
ejde-1469	311	38	m	m	PROPN
ejde-1469	311	39	∣∣	∣∣	X
ejde-1469	311	40	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	41	with	with	ADP
ejde-1469	311	42	am	am	NOUN
ejde-1469	311	43	=	=	SYM
ejde-1469	311	44	min{a	min{a	NOUN
ejde-1469	311	45	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	46	m	m	PRON
ejde-1469	311	47	}	}	PUNCT
ejde-1469	311	48	and	and	CCONJ
ejde-1469	311	49	bm	bm	PROPN
ejde-1469	311	50	=	=	SYM
ejde-1469	311	51	min{b	min{b	PROPN
ejde-1469	311	52	,	,	PUNCT
ejde-1469	311	53	m	m	NOUN
ejde-1469	311	54	}	}	PUNCT
ejde-1469	311	55	.	.	PUNCT
ejde-1469	312	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	312	2	5.2	5.2	NUM
ejde-1469	312	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	312	4	cite[lemma	cite[lemma	PROPN
ejde-1469	312	5	c.3]brpa	c.3]brpa	PROPN
ejde-1469	312	6	)	)	PUNCT
ejde-1469	312	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	313	1	let	let	VERB
ejde-1469	313	2	1	1	NUM
ejde-1469	313	3	<	<	X
ejde-1469	313	4	p	p	X
ejde-1469	313	5	<	<	X
ejde-1469	313	6	∞	∞	PROPN
ejde-1469	313	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	313	8	an	an	DET
ejde-1469	313	9	increasing	increase	VERB
ejde-1469	313	10	function	function	NOUN
ejde-1469	313	11	g	g	NOUN
ejde-1469	313	12	:	:	PUNCT
ejde-1469	313	13	r	r	X
ejde-1469	313	14	→	→	SYM
ejde-1469	313	15	r.	r.	NOUN
ejde-1469	313	16	for	for	ADP
ejde-1469	313	17	each	each	DET
ejde-1469	313	18	a	a	NOUN
ejde-1469	313	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	313	20	b	b	X
ejde-1469	313	21	∈	∈	PROPN
ejde-1469	313	22	r	r	NOUN
ejde-1469	313	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	313	24	it	it	PRON
ejde-1469	313	25	holds	hold	VERB
ejde-1469	313	26	|g(a)−g(b)|p	|g(a)−g(b)|p	ADJ
ejde-1469	313	27	≤	≤	NUM
ejde-1469	313	28	|a−	|a−	NOUN
ejde-1469	313	29	b|p−2(a−	b|p−2(a−	ADP
ejde-1469	313	30	b)(g(a)−	b)(g(a)−	NOUN
ejde-1469	313	31	g(b	g(b	PROPN
ejde-1469	313	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	313	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	313	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	313	35	with	with	ADP
ejde-1469	313	36	g(t	g(t	PROPN
ejde-1469	313	37	)	)	PUNCT
ejde-1469	314	1	=	=	SYM
ejde-1469	314	2	∫	∫	PROPN
ejde-1469	314	3	t	t	NOUN
ejde-1469	314	4	0	0	NUM
ejde-1469	314	5	g′(τ)1	g′(τ)1	PROPN
ejde-1469	314	6	/	/	SYM
ejde-1469	314	7	p	p	NOUN
ejde-1469	314	8	dτ	dτ	PROPN
ejde-1469	314	9	for	for	ADP
ejde-1469	314	10	t	t	PROPN
ejde-1469	314	11	∈	∈	PROPN
ejde-1469	314	12	r.	r.	PROPN
ejde-1469	314	13	now	now	ADV
ejde-1469	314	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	314	15	we	we	PRON
ejde-1469	314	16	establish	establish	VERB
ejde-1469	314	17	the	the	DET
ejde-1469	314	18	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1469	314	19	of	of	ADP
ejde-1469	314	20	weak	weak	ADJ
ejde-1469	314	21	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	314	22	to	to	ADP
ejde-1469	314	23	problem	problem	NOUN
ejde-1469	314	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	314	25	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	314	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	314	27	.	.	PUNCT
ejde-1469	315	1	the	the	DET
ejde-1469	315	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	315	3	relies	rely	VERB
ejde-1469	315	4	on	on	ADP
ejde-1469	315	5	iterative	iterative	NOUN
ejde-1469	315	6	techniques	technique	NOUN
ejde-1469	315	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	315	8	careful	careful	ADJ
ejde-1469	315	9	estimates	estimate	NOUN
ejde-1469	315	10	involving	involve	VERB
ejde-1469	315	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	315	12	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	315	13	spaces	space	NOUN
ejde-1469	315	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	316	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	316	2	5.3	5.3	NUM
ejde-1469	316	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	317	1	if	if	SCONJ
ejde-1469	317	2	u	u	NOUN
ejde-1469	317	3	is	be	AUX
ejde-1469	317	4	a	a	DET
ejde-1469	317	5	weak	weak	ADJ
ejde-1469	317	6	solution	solution	NOUN
ejde-1469	317	7	to	to	ADP
ejde-1469	317	8	problem	problem	NOUN
ejde-1469	317	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	317	10	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	317	11	)	)	PUNCT
ejde-1469	317	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	317	13	then	then	ADV
ejde-1469	317	14	u	u	NOUN
ejde-1469	317	15	belongs	belong	VERB
ejde-1469	317	16	to	to	ADP
ejde-1469	317	17	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1469	317	18	)	)	PUNCT
ejde-1469	317	19	.	.	PUNCT
ejde-1469	318	1	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	318	2	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	318	3	problems	problem	NOUN
ejde-1469	318	4	with	with	ADP
ejde-1469	318	5	variable	variable	ADJ
ejde-1469	318	6	weights	weight	NOUN
ejde-1469	318	7	11	11	NUM
ejde-1469	318	8	proof	proof	NOUN
ejde-1469	318	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	319	1	the	the	DET
ejde-1469	319	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	319	3	adapts	adapt	VERB
ejde-1469	319	4	methods	method	NOUN
ejde-1469	319	5	from	from	ADP
ejde-1469	319	6	[	[	X
ejde-1469	319	7	2	2	NUM
ejde-1469	319	8	]	]	PUNCT
ejde-1469	319	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	319	10	which	which	PRON
ejde-1469	319	11	are	be	AUX
ejde-1469	319	12	inspired	inspire	VERB
ejde-1469	319	13	by	by	ADP
ejde-1469	319	14	the	the	DET
ejde-1469	319	15	work	work	NOUN
ejde-1469	319	16	in	in	ADP
ejde-1469	319	17	[	[	X
ejde-1469	319	18	5	5	NUM
ejde-1469	319	19	]	]	PUNCT
ejde-1469	319	20	.	.	PUNCT
ejde-1469	320	1	this	this	DET
ejde-1469	320	2	method	method	NOUN
ejde-1469	320	3	has	have	AUX
ejde-1469	320	4	been	be	AUX
ejde-1469	320	5	further	far	ADV
ejde-1469	320	6	incorporated	incorporate	VERB
ejde-1469	320	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	320	8	applied	apply	VERB
ejde-1469	320	9	in	in	ADP
ejde-1469	320	10	the	the	DET
ejde-1469	320	11	current	current	ADJ
ejde-1469	320	12	context	context	NOUN
ejde-1469	320	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	321	1	setting	set	VERB
ejde-1469	321	2	ul	ul	NOUN
ejde-1469	321	3	=	=	SYM
ejde-1469	321	4	min{(u−	min{(u−	PROPN
ejde-1469	321	5	1)+	1)+	NUM
ejde-1469	321	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	321	7	l	l	NOUN
ejde-1469	321	8	}	}	PUNCT
ejde-1469	321	9	with	with	ADP
ejde-1469	321	10	l	l	PROPN
ejde-1469	321	11	>	>	X
ejde-1469	321	12	0	0	X
ejde-1469	321	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	322	1	also	also	ADV
ejde-1469	322	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	322	3	let	let	VERB
ejde-1469	322	4	us	we	PRON
ejde-1469	322	5	define	define	VERB
ejde-1469	322	6	the	the	DET
ejde-1469	322	7	function	function	NOUN
ejde-1469	322	8	φ	φ	PROPN
ejde-1469	322	9	by	by	ADP
ejde-1469	322	10	φ	φ	PROPN
ejde-1469	322	11	=	=	SYM
ejde-1469	322	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	322	13	ul	ul	AUX
ejde-1469	322	14	+	+	CCONJ
ejde-1469	322	15	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	323	1	−	−	NOUN
ejde-1469	323	2	θr	θr	NOUN
ejde-1469	323	3	with	with	ADP
ejde-1469	323	4	θ	θ	PROPN
ejde-1469	323	5	>	>	PUNCT
ejde-1469	323	6	0	0	PUNCT
ejde-1469	323	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	323	8	r	r	NOUN
ejde-1469	323	9	≥	≥	NUM
ejde-1469	323	10	1	1	NUM
ejde-1469	323	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	324	1	combining	combine	VERB
ejde-1469	324	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	324	3	5.1	5.1	NUM
ejde-1469	324	4	with	with	ADP
ejde-1469	324	5	the	the	DET
ejde-1469	324	6	triangle	triangle	NOUN
ejde-1469	324	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	324	8	and	and	CCONJ
ejde-1469	324	9	applying	apply	VERB
ejde-1469	324	10	it	it	PRON
ejde-1469	324	11	to	to	ADP
ejde-1469	324	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	324	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	324	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1469	324	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	16	with	with	ADP
ejde-1469	324	17	φ	φ	PROPN
ejde-1469	324	18	∈	∈	PROPN
ejde-1469	324	19	x0	x0	PROPN
ejde-1469	324	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	324	21	we	we	PRON
ejde-1469	324	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	324	23	the	the	DET
ejde-1469	324	24	key	key	ADJ
ejde-1469	324	25	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	324	26	rpp	rpp	NOUN
ejde-1469	324	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	324	28	r	r	NOUN
ejde-1469	324	29	+	+	NOUN
ejde-1469	324	30	p−	p−	NOUN
ejde-1469	324	31	1)p	1)p	NUM
ejde-1469	324	32	∫	∫	NOUN
ejde-1469	324	33	r2n	r2n	NOUN
ejde-1469	324	34	∣∣((ul(x	∣∣((ul(x	PROPN
ejde-1469	324	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	36	+	+	NUM
ejde-1469	324	37	θ	θ	NOUN
ejde-1469	324	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	39	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	40	r+p−1	r+p−1	PROPN
ejde-1469	324	41	p	p	PROPN
ejde-1469	324	42	(	(	PUNCT
ejde-1469	324	43	x)−	x)−	PROPN
ejde-1469	324	44	(	(	PUNCT
ejde-1469	324	45	(	(	PUNCT
ejde-1469	324	46	ul(y	ul(y	ADJ
ejde-1469	324	47	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	48	+	+	NUM
ejde-1469	324	49	θ	θ	NOUN
ejde-1469	324	50	)	)	PUNCT
ejde-1469	324	51	)	)	PUNCT
ejde-1469	325	1	r+p−1	r+p−1	PROPN
ejde-1469	325	2	p	p	PROPN
ejde-1469	325	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	325	4	y	y	NOUN
ejde-1469	325	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	325	6	∣∣dxdy	∣∣dxdy	X
ejde-1469	325	7	≤	≤	NUM
ejde-1469	325	8	∫	∫	PROPN
ejde-1469	326	1	r2n	r2n	NOUN
ejde-1469	326	2	∣∣|u(x)|	∣∣|u(x)|	PROPN
ejde-1469	326	3	−	−	PROPN
ejde-1469	326	4	|u(y)|	|u(y)|	PROPN
ejde-1469	326	5	∣∣p−2(|u(x)|	∣∣p−2(|u(x)|	PROPN
ejde-1469	326	6	−	−	PROPN
ejde-1469	326	7	|u(y)|	|u(y)|	PROPN
ejde-1469	326	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	326	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	326	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	326	11	ul(x	ul(x	NOUN
ejde-1469	326	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	326	13	+	+	NUM
ejde-1469	326	14	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	327	1	−	−	PROPN
ejde-1469	327	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	327	3	ul(y	ul(y	PROPN
ejde-1469	327	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	327	5	+	+	CCONJ
ejde-1469	327	6	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	327	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	327	8	|x−	|x−	PROPN
ejde-1469	327	9	y|n+sp	y|n+sp	VERB
ejde-1469	327	10	dx	dx	PROPN
ejde-1469	327	11	dy	dy	PROPN
ejde-1469	327	12	≤	≤	NUM
ejde-1469	327	13	∫	∫	PROPN
ejde-1469	327	14	ω	ω	NUM
ejde-1469	327	15	λu−γ((ul	λu−γ((ul	X
ejde-1469	327	16	+	+	CCONJ
ejde-1469	327	17	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	327	18	−	−	PROPN
ejde-1469	327	19	θr	θr	NOUN
ejde-1469	327	20	)	)	PUNCT
ejde-1469	327	21	dx+	dx+	NOUN
ejde-1469	327	22	∫	∫	PROPN
ejde-1469	327	23	ω	ω	PROPN
ejde-1469	327	24	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	327	25	s(t)−2u	s(t)−2u	X
ejde-1469	327	26	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	327	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	327	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	327	29	ul	ul	INTJ
ejde-1469	327	30	+	+	CCONJ
ejde-1469	327	31	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	327	32	−	−	PROPN
ejde-1469	327	33	θr	θr	SYM
ejde-1469	327	34	)	)	PUNCT
ejde-1469	327	35	dx	dx	PROPN
ejde-1469	327	36	.	.	PUNCT
ejde-1469	328	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	328	2	5.1	5.1	NUM
ejde-1469	328	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	328	4	then	then	ADV
ejde-1469	328	5	with	with	ADP
ejde-1469	328	6	the	the	DET
ejde-1469	328	7	help	help	NOUN
ejde-1469	328	8	of	of	ADP
ejde-1469	328	9	the	the	DET
ejde-1469	328	10	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	328	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	328	12	combine	combine	VERB
ejde-1469	328	13	with	with	ADP
ejde-1469	328	14	the	the	DET
ejde-1469	328	15	support	support	NOUN
ejde-1469	328	16	of	of	ADP
ejde-1469	328	17	ul	ul	INTJ
ejde-1469	328	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	328	19	we	we	PRON
ejde-1469	328	20	derive∫	derive∫	VERB
ejde-1469	328	21	ω	ω	PRON
ejde-1469	328	22	λu−γ((ul	λu−γ((ul	NOUN
ejde-1469	328	23	+	+	CCONJ
ejde-1469	328	24	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	328	25	−	−	PROPN
ejde-1469	328	26	θr	θr	NOUN
ejde-1469	328	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	328	28	dx+	dx+	NOUN
ejde-1469	329	1	∫	∫	PROPN
ejde-1469	329	2	ω	ω	PROPN
ejde-1469	329	3	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	329	4	s(t)−2u	s(t)−2u	X
ejde-1469	329	5	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	329	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	329	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	329	8	ul	ul	INTJ
ejde-1469	329	9	+	+	CCONJ
ejde-1469	329	10	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	329	11	−	−	PROPN
ejde-1469	329	12	θr	θr	SYM
ejde-1469	329	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	329	14	dx	dx	PROPN
ejde-1469	329	15	=	=	SYM
ejde-1469	329	16	∫	∫	PROPN
ejde-1469	329	17	{	{	PUNCT
ejde-1469	329	18	u≥1	u≥1	PROPN
ejde-1469	329	19	}	}	PUNCT
ejde-1469	329	20	λu−γ((ul	λu−γ((ul	PRON
ejde-1469	329	21	+	+	CCONJ
ejde-1469	329	22	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	329	23	−	−	PROPN
ejde-1469	329	24	θr	θr	NOUN
ejde-1469	329	25	)	)	PUNCT
ejde-1469	329	26	dx+	dx+	NOUN
ejde-1469	329	27	∫	∫	PROPN
ejde-1469	329	28	{	{	PUNCT
ejde-1469	329	29	u≥1	u≥1	PROPN
ejde-1469	329	30	}	}	PUNCT
ejde-1469	329	31	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	329	32	s(t)−2u	s(t)−2u	X
ejde-1469	330	1	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	330	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	4	ul	ul	INTJ
ejde-1469	330	5	+	+	CCONJ
ejde-1469	330	6	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	330	7	−	−	PROPN
ejde-1469	330	8	θr	θr	NOUN
ejde-1469	330	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	330	10	dx	dx	PROPN
ejde-1469	330	11	≤	≤	PROPN
ejde-1469	330	12	k1	k1	PROPN
ejde-1469	330	13	∫	∫	PROPN
ejde-1469	330	14	{	{	PUNCT
ejde-1469	330	15	u≥1	u≥1	PROPN
ejde-1469	330	16	}	}	PUNCT
ejde-1469	330	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	18	1	1	NUM
ejde-1469	330	19	+	+	CCONJ
ejde-1469	330	20	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	330	21	s(t)−2u	s(t)−2u	PROPN
ejde-1469	330	22	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	330	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	330	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	25	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	26	ul	ul	INTJ
ejde-1469	330	27	+	+	CCONJ
ejde-1469	330	28	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	330	29	−	−	PROPN
ejde-1469	330	30	θr	θr	NOUN
ejde-1469	330	31	)	)	PUNCT
ejde-1469	330	32	dx	dx	PROPN
ejde-1469	330	33	≤	≤	NUM
ejde-1469	330	34	2k1	2k1	NUM
ejde-1469	330	35	∫	∫	NOUN
ejde-1469	330	36	{	{	PUNCT
ejde-1469	330	37	u≥1	u≥1	PROPN
ejde-1469	330	38	}	}	PUNCT
ejde-1469	330	39	|u|p∗	|u|p∗	PUNCT
ejde-1469	330	40	s(t)−2u	s(t)−2u	X
ejde-1469	330	41	|x|t	|x|t	PROPN
ejde-1469	330	42	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	43	(	(	PUNCT
ejde-1469	330	44	ul	ul	INTJ
ejde-1469	330	45	+	+	CCONJ
ejde-1469	330	46	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	330	47	−	−	PROPN
ejde-1469	330	48	θr	θr	NOUN
ejde-1469	330	49	)	)	PUNCT
ejde-1469	330	50	dx	dx	PROPN
ejde-1469	330	51	≤	≤	NUM
ejde-1469	330	52	2k1|u|	2k1|u|	NUM
ejde-1469	331	1	p∗	p∗	NOUN
ejde-1469	331	2	s(t)−1	s(t)−1	NOUN
ejde-1469	331	3	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	331	4	s	s	VERB
ejde-1469	331	5	|(ul	|(ul	NOUN
ejde-1469	331	6	+	+	NUM
ejde-1469	331	7	θ)r|q	θ)r|q	CCONJ
ejde-1469	331	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	331	9	5.2	5.2	NUM
ejde-1469	331	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	331	11	with	with	ADP
ejde-1469	331	12	k1	k1	NOUN
ejde-1469	331	13	=	=	SYM
ejde-1469	331	14	max{λ	max{λ	PROPN
ejde-1469	331	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	331	16	1	1	NUM
ejde-1469	331	17	}	}	PUNCT
ejde-1469	331	18	and	and	CCONJ
ejde-1469	331	19	q	q	NOUN
ejde-1469	331	20	=	=	PUNCT
ejde-1469	331	21	p∗s/(p	p∗s/(p	NOUN
ejde-1469	331	22	∗	∗	NOUN
ejde-1469	331	23	s	s	NOUN
ejde-1469	331	24	+	+	CCONJ
ejde-1469	331	25	1	1	NUM
ejde-1469	331	26	−	−	NOUN
ejde-1469	331	27	p∗s(t	p∗s(t	PROPN
ejde-1469	331	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	331	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	331	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	332	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	332	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	332	3	applying	apply	VERB
ejde-1469	332	4	[	[	NOUN
ejde-1469	332	5	19	19	NUM
ejde-1469	332	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	332	7	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	332	8	1	1	NUM
ejde-1469	332	9	]	]	PUNCT
ejde-1469	332	10	with	with	ADP
ejde-1469	332	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	332	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	332	13	ul	ul	INTJ
ejde-1469	332	14	+	+	CCONJ
ejde-1469	332	15	θ)r	θ)r	X
ejde-1469	332	16	≤	≤	PROPN
ejde-1469	332	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	332	18	ul	ul	INTJ
ejde-1469	332	19	+	+	CCONJ
ejde-1469	332	20	θ)r+p−1θ1−p	θ)r+p−1θ1−p	PROPN
ejde-1469	332	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	332	22	we	we	PRON
ejde-1469	332	23	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-1469	332	24	r2n	r2n	NOUN
ejde-1469	332	25	∣∣∣(ul(x	∣∣∣(ul(x	NUM
ejde-1469	332	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	332	27	+	+	NUM
ejde-1469	332	28	θ	θ	X
ejde-1469	332	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	332	30	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	332	31	p	p	NOUN
ejde-1469	332	32	−	−	PROPN
ejde-1469	332	33	(	(	PUNCT
ejde-1469	332	34	ul(y	ul(y	PROPN
ejde-1469	332	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	332	36	+	+	CCONJ
ejde-1469	332	37	θ	θ	X
ejde-1469	332	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	332	39	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	332	40	p	p	PROPN
ejde-1469	332	41	∣∣∣p	∣∣∣p	NOUN
ejde-1469	332	42	dx	dx	PROPN
ejde-1469	332	43	dy	dy	PROPN
ejde-1469	332	44	≥	≥	PROPN
ejde-1469	333	1	cn	cn	PROPN
ejde-1469	333	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	333	3	p	p	X
ejde-1469	333	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	333	5	s	s	PART
ejde-1469	333	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	333	7	∫	∫	PROPN
ejde-1469	333	8	rn	rn	PROPN
ejde-1469	333	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	333	10	(	(	PUNCT
ejde-1469	333	11	ul(x	ul(x	NOUN
ejde-1469	333	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	333	13	+	+	NUM
ejde-1469	333	14	θ	θ	X
ejde-1469	333	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	333	16	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	333	17	p	p	NOUN
ejde-1469	333	18	−	−	PROPN
ejde-1469	333	19	θ	θ	PROPN
ejde-1469	333	20	r+p−1	r+p−1	PROPN
ejde-1469	333	21	p	p	NOUN
ejde-1469	333	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	333	23	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	333	24	s	s	PART
ejde-1469	333	25	dx	dx	PROPN
ejde-1469	333	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	334	1	p	p	X
ejde-1469	334	2	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	334	3	≥	≥	NUM
ejde-1469	334	4	(	(	PUNCT
ejde-1469	334	5	θ	θ	NOUN
ejde-1469	334	6	2	2	X
ejde-1469	334	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	334	8	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	334	9	cn	cn	PROPN
ejde-1469	334	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	334	11	p	p	X
ejde-1469	334	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	334	13	s	s	PART
ejde-1469	334	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	334	15	∫	∫	PROPN
ejde-1469	334	16	rn	rn	PROPN
ejde-1469	334	17	(	(	PUNCT
ejde-1469	334	18	(	(	PUNCT
ejde-1469	334	19	ul(x	ul(x	NOUN
ejde-1469	334	20	)	)	PUNCT
ejde-1469	334	21	+	+	NUM
ejde-1469	334	22	θ	θ	X
ejde-1469	334	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	334	24	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	334	25	p	p	NOUN
ejde-1469	334	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	334	27	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	334	28	s	s	PART
ejde-1469	334	29	dx	dx	PROPN
ejde-1469	334	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	335	1	p	p	PRON
ejde-1469	335	2	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	335	3	−	−	NOUN
ejde-1469	335	4	θr+p−1|ω|	θr+p−1|ω|	VERB
ejde-1469	335	5	p	p	NOUN
ejde-1469	335	6	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	335	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	335	8	5.3	5.3	NUM
ejde-1469	335	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	335	10	with	with	ADP
ejde-1469	335	11	cn	cn	PROPN
ejde-1469	335	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	335	13	p	p	X
ejde-1469	335	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	335	15	s	s	AUX
ejde-1469	335	16	being	be	AUX
ejde-1469	335	17	a	a	DET
ejde-1469	335	18	positive	positive	ADJ
ejde-1469	335	19	constant	constant	NOUN
ejde-1469	335	20	.	.	PUNCT
ejde-1469	336	1	from	from	ADP
ejde-1469	336	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	336	3	5.2	5.2	NUM
ejde-1469	336	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	336	5	and	and	CCONJ
ejde-1469	336	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	336	7	5.3	5.3	NUM
ejde-1469	336	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	336	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	336	10	we	we	PRON
ejde-1469	336	11	derive(∫	derive(∫	VERB
ejde-1469	336	12	rn	rn	X
ejde-1469	336	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	336	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	336	15	ul(x	ul(x	NOUN
ejde-1469	336	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	336	17	+	+	NUM
ejde-1469	336	18	θ	θ	X
ejde-1469	336	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	336	20	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	336	21	p	p	NOUN
ejde-1469	336	22	)	)	PUNCT
ejde-1469	336	23	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	336	24	s	s	PART
ejde-1469	336	25	dx	dx	PROPN
ejde-1469	336	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	337	1	p	p	X
ejde-1469	337	2	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	337	3	≤	≤	NUM
ejde-1469	337	4	cn	cn	PROPN
ejde-1469	337	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	337	6	p	p	PRON
ejde-1469	337	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	337	8	s	s	PART
ejde-1469	337	9	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-1469	337	10	∗	∗	NOUN
ejde-1469	337	11	s(t)−1	s(t)−1	NOUN
ejde-1469	337	12	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	337	13	s	s	PART
ejde-1469	337	14	r	r	NOUN
ejde-1469	337	15	(	(	PUNCT
ejde-1469	337	16	r	r	NOUN
ejde-1469	337	17	+	+	NOUN
ejde-1469	337	18	p−	p−	NOUN
ejde-1469	337	19	1	1	NUM
ejde-1469	337	20	pθ	pθ	VERB
ejde-1469	337	21	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	337	22	p	p	PROPN
ejde-1469	337	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	337	24	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	337	25	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	337	26	+	+	CCONJ
ejde-1469	337	27	θ)r|q	θ)r|q	ADJ
ejde-1469	337	28	+	+	NUM
ejde-1469	337	29	θr|ω|	θr|ω|	NOUN
ejde-1469	337	30	p	p	NOUN
ejde-1469	337	31	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	337	32	.	.	PUNCT
ejde-1469	338	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	338	2	5.4	5.4	NUM
ejde-1469	338	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	338	4	now	now	ADV
ejde-1469	338	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	338	6	noting	note	VERB
ejde-1469	338	7	that	that	SCONJ
ejde-1469	338	8	for	for	ADP
ejde-1469	338	9	r	r	PROPN
ejde-1469	338	10	≥	≥	NUM
ejde-1469	338	11	1	1	NUM
ejde-1469	338	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	338	13	we	we	PRON
ejde-1469	338	14	have	have	VERB
ejde-1469	338	15	rpp	rpp	NOUN
ejde-1469	338	16	(	(	PUNCT
ejde-1469	338	17	r	r	NOUN
ejde-1469	338	18	+	+	NOUN
ejde-1469	338	19	p−	p−	NOUN
ejde-1469	338	20	1)p	1)p	NUM
ejde-1469	338	21	≥	≥	NOUN
ejde-1469	338	22	(	(	PUNCT
ejde-1469	338	23	p	p	NOUN
ejde-1469	338	24	r	r	NOUN
ejde-1469	338	25	+	+	CCONJ
ejde-1469	338	26	p−	p−	NOUN
ejde-1469	338	27	1	1	NUM
ejde-1469	338	28	)	)	PUNCT
ejde-1469	338	29	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	338	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	339	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	339	2	5.5	5.5	NUM
ejde-1469	339	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	339	4	applying	apply	VERB
ejde-1469	339	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	339	6	5.5	5.5	NUM
ejde-1469	339	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	339	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	339	9	it	it	PRON
ejde-1469	339	10	is	be	AUX
ejde-1469	339	11	easy	easy	ADJ
ejde-1469	339	12	to	to	PART
ejde-1469	339	13	see	see	VERB
ejde-1469	339	14	that	that	DET
ejde-1469	339	15	θr|ω|	θr|ω|	NOUN
ejde-1469	339	16	p	p	X
ejde-1469	339	17	p∗s	p∗s	NUM
ejde-1469	339	18	≤	≤	NUM
ejde-1469	339	19	1	1	NUM
ejde-1469	339	20	r	r	NOUN
ejde-1469	339	21	(	(	PUNCT
ejde-1469	339	22	r	r	NOUN
ejde-1469	339	23	+	+	NOUN
ejde-1469	339	24	p−	p−	NOUN
ejde-1469	339	25	1	1	NUM
ejde-1469	339	26	p	p	NOUN
ejde-1469	339	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	339	28	p	p	NOUN
ejde-1469	340	1	|ω|1−	|ω|1−	NOUN
ejde-1469	340	2	1	1	NUM
ejde-1469	340	3	q−	q−	PROPN
ejde-1469	340	4	sp	sp	ADP
ejde-1469	340	5	n	n	DET
ejde-1469	340	6	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	340	7	+	+	CCONJ
ejde-1469	340	8	θ)r|q	θ)r|q	ADJ
ejde-1469	340	9	.	.	PUNCT
ejde-1469	341	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	341	2	5.6	5.6	NUM
ejde-1469	341	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	4	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	341	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	341	6	using	use	VERB
ejde-1469	341	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	341	8	5.6	5.6	NUM
ejde-1469	341	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	10	in	in	ADP
ejde-1469	341	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	341	12	5.4	5.4	NUM
ejde-1469	341	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	341	15	we	we	PRON
ejde-1469	341	16	obtain(∫	obtain(∫	VERB
ejde-1469	341	17	rn	rn	PROPN
ejde-1469	341	18	(	(	PUNCT
ejde-1469	341	19	(	(	PUNCT
ejde-1469	341	20	ul(x	ul(x	NOUN
ejde-1469	341	21	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	22	+	+	NUM
ejde-1469	341	23	θ	θ	X
ejde-1469	341	24	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	25	r+p−1	r+p−1	NOUN
ejde-1469	341	26	p	p	NOUN
ejde-1469	341	27	)	)	PUNCT
ejde-1469	341	28	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	341	29	s	s	PART
ejde-1469	341	30	dx	dx	PROPN
ejde-1469	341	31	)	)	PUNCT
ejde-1469	342	1	p	p	X
ejde-1469	342	2	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	342	3	≤	≤	NUM
ejde-1469	342	4	cn	cn	PROPN
ejde-1469	342	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	342	6	p	p	X
ejde-1469	342	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	342	8	s	s	PART
ejde-1469	342	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	342	10	r	r	NOUN
ejde-1469	342	11	+	+	NOUN
ejde-1469	342	12	p−	p−	NOUN
ejde-1469	342	13	1	1	NUM
ejde-1469	342	14	pθ	pθ	VERB
ejde-1469	342	15	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	342	16	p	p	PROPN
ejde-1469	342	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	342	18	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	342	19	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	342	20	+	+	CCONJ
ejde-1469	342	21	θ)r|q	θ)r|q	ADJ
ejde-1469	342	22	×	×	NOUN
ejde-1469	342	23	(	(	PUNCT
ejde-1469	342	24	|u|p∗	|u|p∗	ADJ
ejde-1469	342	25	s(t)−1	s(t)−1	NOUN
ejde-1469	342	26	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	342	27	s	s	PART
ejde-1469	342	28	θp−1	θp−1	NOUN
ejde-1469	342	29	+	+	CCONJ
ejde-1469	342	30	|ω|1−	|ω|1−	NOUN
ejde-1469	342	31	1	1	NUM
ejde-1469	342	32	q−	q−	PROPN
ejde-1469	342	33	sp	sp	ADP
ejde-1469	342	34	n	n	PROPN
ejde-1469	342	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	342	36	.	.	PUNCT
ejde-1469	343	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	343	2	5.7	5.7	NUM
ejde-1469	343	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	343	4	12	12	NUM
ejde-1469	343	5	s.	s.	PROPN
ejde-1469	343	6	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	343	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	343	8	k.	k.	PROPN
ejde-1469	344	1	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	344	2	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	344	3	we	we	PRON
ejde-1469	344	4	now	now	ADV
ejde-1469	344	5	fix	fix	VERB
ejde-1469	344	6	θ	θ	PROPN
ejde-1469	344	7	>	>	X
ejde-1469	344	8	0	0	PUNCT
ejde-1469	344	9	as	as	ADP
ejde-1469	344	10	θ	θ	PROPN
ejde-1469	344	11	=	=	PUNCT
ejde-1469	344	12	(	(	PUNCT
ejde-1469	344	13	|u|	|u|	X
ejde-1469	344	14	p∗s	p∗s	PUNCT
ejde-1469	344	15	(	(	PUNCT
ejde-1469	345	1	t)−1	t)−1	NOUN
ejde-1469	345	2	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	345	3	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	345	4	s	s	PART
ejde-1469	345	5	+	+	NOUN
ejde-1469	345	6	|ω|	|ω|	NUM
ejde-1469	345	7	1	1	NUM
ejde-1469	345	8	p−1	p−1	PROPN
ejde-1469	345	9	(	(	PUNCT
ejde-1469	345	10	1−	1−	NUM
ejde-1469	345	11	1	1	NUM
ejde-1469	345	12	q−	q−	PROPN
ejde-1469	345	13	sp	sp	ADP
ejde-1469	345	14	n	n	PROPN
ejde-1469	345	15	)	)	PUNCT
ejde-1469	345	16	)	)	PUNCT
ejde-1469	346	1	setting	set	VERB
ejde-1469	346	2	w	w	NOUN
ejde-1469	346	3	=	=	PUNCT
ejde-1469	346	4	rq	rq	NOUN
ejde-1469	346	5	and	and	CCONJ
ejde-1469	346	6	σ	σ	PROPN
ejde-1469	347	1	=	=	SYM
ejde-1469	347	2	p∗	p∗	PROPN
ejde-1469	347	3	s	s	X
ejde-1469	347	4	pq	pq	X
ejde-1469	347	5	>	>	X
ejde-1469	347	6	1	1	NUM
ejde-1469	347	7	.	.	PUNCT
ejde-1469	348	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1469	348	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	348	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	348	4	5.7	5.7	NUM
ejde-1469	348	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	348	6	can	can	AUX
ejde-1469	348	7	be	be	AUX
ejde-1469	348	8	formulated	formulate	VERB
ejde-1469	348	9	as(∫	as(∫	ADJ
ejde-1469	348	10	ω	ω	PROPN
ejde-1469	348	11	(	(	PUNCT
ejde-1469	348	12	ul(x	ul(x	PROPN
ejde-1469	348	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	348	14	+	+	CCONJ
ejde-1469	349	1	θ)wσ	θ)wσ	PROPN
ejde-1469	349	2	dx	dx	PROPN
ejde-1469	349	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	349	4	1	1	NUM
ejde-1469	349	5	wσ	wσ	PROPN
ejde-1469	349	6	≤	≤	NOUN
ejde-1469	349	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	349	8	cn	cn	INTJ
ejde-1469	349	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	349	10	p	p	NOUN
ejde-1469	349	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	349	12	s|ω|1−	s|ω|1−	NOUN
ejde-1469	349	13	1	1	NUM
ejde-1469	349	14	q−	q−	NOUN
ejde-1469	349	15	sp	sp	ADP
ejde-1469	349	16	n	n	PROPN
ejde-1469	349	17	)	)	PUNCT
ejde-1469	349	18	q	q	PROPN
ejde-1469	350	1	w	w	NOUN
ejde-1469	350	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	350	3	q	q	PROPN
ejde-1469	350	4	w	w	PROPN
ejde-1469	350	5	)	)	PUNCT
ejde-1469	350	6	q	q	PROPN
ejde-1469	351	1	w	w	NOUN
ejde-1469	351	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	351	3	w	w	PROPN
ejde-1469	351	4	+	+	CCONJ
ejde-1469	351	5	qp−	qp−	NUM
ejde-1469	351	6	q	q	PROPN
ejde-1469	351	7	q′p	q′p	NOUN
ejde-1469	351	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	351	9	pq	pq	PROPN
ejde-1469	351	10	w	w	NOUN
ejde-1469	351	11	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	351	12	+	+	X
ejde-1469	351	13	θ)|w	θ)|w	NOUN
ejde-1469	351	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	352	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	352	2	5.8	5.8	NUM
ejde-1469	352	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	353	1	so	so	ADV
ejde-1469	353	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	353	3	we	we	PRON
ejde-1469	353	4	now	now	ADV
ejde-1469	353	5	iterate	iterate	VERB
ejde-1469	353	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	353	7	5.8	5.8	NUM
ejde-1469	353	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	353	9	using	use	VERB
ejde-1469	353	10	w0	w0	PROPN
ejde-1469	353	11	=	=	SYM
ejde-1469	353	12	1	1	NUM
ejde-1469	353	13	wk+1	wk+1	NUM
ejde-1469	353	14	=	=	NOUN
ejde-1469	353	15	wkσ	wkσ	NOUN
ejde-1469	353	16	=	=	SYM
ejde-1469	353	17	σk+1	σk+1	PROPN
ejde-1469	353	18	.	.	PUNCT
ejde-1469	353	19	by	by	ADP
ejde-1469	353	20	initiating	initiate	VERB
ejde-1469	353	21	from	from	ADP
ejde-1469	353	22	k	k	PROPN
ejde-1469	353	23	=	=	PUNCT
ejde-1469	353	24	0	0	PROPN
ejde-1469	353	25	at	at	ADP
ejde-1469	353	26	step	step	NOUN
ejde-1469	353	27	k	k	PROPN
ejde-1469	353	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	353	29	we	we	PRON
ejde-1469	353	30	can	can	AUX
ejde-1469	353	31	express	express	VERB
ejde-1469	353	32	the	the	DET
ejde-1469	353	33	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	353	34	(	(	PUNCT
ejde-1469	353	35	5.8	5.8	NUM
ejde-1469	353	36	)	)	PUNCT
ejde-1469	353	37	as	as	ADP
ejde-1469	353	38	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	353	39	+	+	NUM
ejde-1469	353	40	θ)|wk+1	θ)|wk+1	NOUN
ejde-1469	353	41	≤	≤	NOUN
ejde-1469	353	42	(	(	PUNCT
ejde-1469	353	43	cn	cn	INTJ
ejde-1469	353	44	,	,	PUNCT
ejde-1469	353	45	p	p	NOUN
ejde-1469	353	46	,	,	PUNCT
ejde-1469	353	47	s|ω|1−	s|ω|1−	NOUN
ejde-1469	353	48	1	1	NUM
ejde-1469	353	49	q−	q−	NOUN
ejde-1469	353	50	sp	sp	ADP
ejde-1469	353	51	n	n	PROPN
ejde-1469	353	52	)	)	PUNCT
ejde-1469	354	1	∑k	∑k	PROPN
ejde-1469	354	2	i=0	i=0	PROPN
ejde-1469	354	3	q	q	PROPN
ejde-1469	354	4	wi	wi	PROPN
ejde-1469	354	5	k∏	k∏	PROPN
ejde-1469	354	6	i=0	i=0	PROPN
ejde-1469	354	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	354	8	q	q	PROPN
ejde-1469	354	9	wi	wi	PROPN
ejde-1469	354	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	354	11	q	q	PROPN
ejde-1469	354	12	/	/	SYM
ejde-1469	354	13	wi	wi	PROPN
ejde-1469	354	14	(	(	PUNCT
ejde-1469	354	15	wi	wi	PROPN
ejde-1469	354	16	+	+	PROPN
ejde-1469	354	17	qp−	qp−	SYM
ejde-1469	354	18	q	q	PROPN
ejde-1469	354	19	qp	qp	PROPN
ejde-1469	354	20	)	)	PUNCT
ejde-1469	354	21	pq	pq	PROPN
ejde-1469	354	22	/	/	SYM
ejde-1469	354	23	wi	wi	PROPN
ejde-1469	354	24	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	355	1	+	+	X
ejde-1469	355	2	θ)|w	θ)|w	NOUN
ejde-1469	355	3	.	.	PUNCT
ejde-1469	356	1	(	(	PUNCT
ejde-1469	356	2	5.9	5.9	NUM
ejde-1469	356	3	)	)	PUNCT
ejde-1469	356	4	we	we	PRON
ejde-1469	356	5	now	now	ADV
ejde-1469	356	6	notice	notice	VERB
ejde-1469	356	7	that	that	SCONJ
ejde-1469	356	8	wk	wk	NOUN
ejde-1469	356	9	diverges	diverge	VERB
ejde-1469	356	10	at	at	ADP
ejde-1469	356	11	infinity	infinity	NOUN
ejde-1469	356	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	356	13	and	and	CCONJ
ejde-1469	356	14	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1469	356	15	∞∑	∞∑	DET
ejde-1469	356	16	k=0	k=0	PROPN
ejde-1469	356	17	1	1	NUM
ejde-1469	356	18	wk	wk	NOUN
ejde-1469	356	19	=	=	NOUN
ejde-1469	357	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1469	357	2	k=0	k=0	PROPN
ejde-1469	357	3	1	1	NUM
ejde-1469	357	4	σk	σk	NOUN
ejde-1469	357	5	=	=	PROPN
ejde-1469	357	6	σ	σ	PROPN
ejde-1469	357	7	σ	σ	PROPN
ejde-1469	358	1	−	−	NOUN
ejde-1469	358	2	1	1	NUM
ejde-1469	358	3	and	and	CCONJ
ejde-1469	358	4	∞∏	∞∏	PROPN
ejde-1469	358	5	k=0	k=0	PROPN
ejde-1469	358	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	358	7	q	q	X
ejde-1469	358	8	wk	wk	X
ejde-1469	358	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	358	10	q	q	NOUN
ejde-1469	358	11	/	/	SYM
ejde-1469	358	12	wk	wk	INTJ
ejde-1469	358	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	358	14	w	w	PROPN
ejde-1469	358	15	+	+	NOUN
ejde-1469	358	16	qp−	qp−	SYM
ejde-1469	358	17	q	q	PROPN
ejde-1469	358	18	qp	qp	PROPN
ejde-1469	358	19	)	)	PUNCT
ejde-1469	358	20	pq	pq	PROPN
ejde-1469	358	21	/	/	SYM
ejde-1469	358	22	w	w	NOUN
ejde-1469	358	23	<	<	X
ejde-1469	358	24	+	+	NOUN
ejde-1469	358	25	∞.	∞.	PROPN
ejde-1469	358	26	through	through	ADP
ejde-1469	358	27	an	an	DET
ejde-1469	358	28	infinite	infinite	ADJ
ejde-1469	358	29	iteration	iteration	NOUN
ejde-1469	358	30	of	of	ADP
ejde-1469	358	31	inequality	inequality	NOUN
ejde-1469	358	32	(	(	PUNCT
ejde-1469	358	33	5.9	5.9	NUM
ejde-1469	358	34	)	)	PUNCT
ejde-1469	358	35	,	,	PUNCT
ejde-1469	358	36	we	we	PRON
ejde-1469	358	37	arrive	arrive	VERB
ejde-1469	358	38	at	at	ADP
ejde-1469	358	39	|ul|∞	|ul|∞	NOUN
ejde-1469	358	40	≤	≤	NOUN
ejde-1469	358	41	(	(	PUNCT
ejde-1469	358	42	cn	cn	INTJ
ejde-1469	358	43	,	,	PUNCT
ejde-1469	358	44	p	p	NOUN
ejde-1469	358	45	,	,	PUNCT
ejde-1469	358	46	s|ω|1−	s|ω|1−	NOUN
ejde-1469	358	47	1	1	NUM
ejde-1469	358	48	q−	q−	NOUN
ejde-1469	358	49	sp	sp	ADP
ejde-1469	358	50	n	n	NOUN
ejde-1469	358	51	)	)	PUNCT
ejde-1469	358	52	q	q	PROPN
ejde-1469	359	1	σ	σ	NOUN
ejde-1469	360	1	σ−1	σ−1	CCONJ
ejde-1469	360	2	|(ul	|(ul	PROPN
ejde-1469	360	3	+	+	NUM
ejde-1469	360	4	r)|q	r)|q	NOUN
ejde-1469	360	5	.	.	PUNCT
ejde-1469	361	1	given	give	VERB
ejde-1469	361	2	that	that	PRON
ejde-1469	361	3	ul	ul	INTJ
ejde-1469	361	4	≤	≤	X
ejde-1469	361	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	361	6	u−	u−	PROPN
ejde-1469	361	7	1)+	1)+	NUM
ejde-1469	361	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	361	9	we	we	PRON
ejde-1469	361	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1469	361	11	|ul|∞	|ul|∞	NOUN
ejde-1469	361	12	≤	≤	NOUN
ejde-1469	361	13	(	(	PUNCT
ejde-1469	361	14	cn	cn	INTJ
ejde-1469	361	15	,	,	PUNCT
ejde-1469	361	16	p	p	NOUN
ejde-1469	361	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	361	18	s|ω|1−	s|ω|1−	NOUN
ejde-1469	361	19	1	1	NUM
ejde-1469	361	20	q−	q−	NOUN
ejde-1469	361	21	sp	sp	ADP
ejde-1469	361	22	n	n	NOUN
ejde-1469	361	23	)	)	PUNCT
ejde-1469	361	24	q	q	PROPN
ejde-1469	362	1	σ	σ	NUM
ejde-1469	362	2	σ−1	σ−1	PROPN
ejde-1469	362	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	362	4	|(u−	|(u−	PRON
ejde-1469	362	5	1)+|q	1)+|q	NUM
ejde-1469	362	6	+	+	CCONJ
ejde-1469	362	7	θ|ω|1	θ|ω|1	PROPN
ejde-1469	362	8	/	/	SYM
ejde-1469	362	9	q	q	NOUN
ejde-1469	362	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	362	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	363	1	taking	take	VERB
ejde-1469	363	2	l	l	NOUN
ejde-1469	363	3	→	→	SYM
ejde-1469	363	4	∞	∞	PROPN
ejde-1469	363	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	363	6	it	it	PRON
ejde-1469	363	7	follows	follow	VERB
ejde-1469	363	8	that	that	SCONJ
ejde-1469	363	9	|(u−	|(u−	PRON
ejde-1469	364	1	1)+|∞	1)+|∞	VERB
ejde-1469	364	2	≤	≤	NOUN
ejde-1469	364	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	364	4	cn	cn	PROPN
ejde-1469	364	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	364	6	p	p	NOUN
ejde-1469	364	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	364	8	s|ω|1−	s|ω|1−	NOUN
ejde-1469	364	9	1	1	NUM
ejde-1469	364	10	q−	q−	NOUN
ejde-1469	364	11	sp	sp	ADP
ejde-1469	364	12	n	n	NOUN
ejde-1469	364	13	)	)	PUNCT
ejde-1469	364	14	q	q	PROPN
ejde-1469	365	1	σ	σ	NUM
ejde-1469	365	2	σ−1	σ−1	PROPN
ejde-1469	365	3	(	(	PUNCT
ejde-1469	365	4	|(u−	|(u−	PRON
ejde-1469	365	5	1)+|q	1)+|q	NUM
ejde-1469	365	6	+	+	CCONJ
ejde-1469	365	7	θ|ω|1	θ|ω|1	PROPN
ejde-1469	365	8	/	/	SYM
ejde-1469	365	9	q	q	NOUN
ejde-1469	365	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	365	11	.	.	PUNCT
ejde-1469	366	1	thus	thus	ADV
ejde-1469	366	2	,	,	PUNCT
ejde-1469	366	3	in	in	ADP
ejde-1469	366	4	particular	particular	ADJ
ejde-1469	366	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	366	6	we	we	PRON
ejde-1469	366	7	conclud	conclud	VERB
ejde-1469	366	8	that	that	SCONJ
ejde-1469	366	9	u	u	PROPN
ejde-1469	366	10	∈	∈	PROPN
ejde-1469	366	11	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1469	366	12	)	)	PUNCT
ejde-1469	366	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	367	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	367	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	367	3	of	of	ADP
ejde-1469	367	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1469	367	5	1.3	1.3	NUM
ejde-1469	367	6	.	.	PUNCT
ejde-1469	368	1	the	the	DET
ejde-1469	368	2	proof	proof	NOUN
ejde-1469	368	3	follows	follow	VERB
ejde-1469	368	4	from	from	ADP
ejde-1469	368	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1469	368	6	5.3	5.3	NUM
ejde-1469	368	7	and	and	CCONJ
ejde-1469	368	8	[	[	X
ejde-1469	368	9	17	17	NUM
ejde-1469	368	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	368	11	theorem	theorem	VERB
ejde-1469	368	12	6.5	6.5	NUM
ejde-1469	368	13	]	]	PUNCT
ejde-1469	368	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	369	1	□	□	PUNCT
ejde-1469	369	2	references	reference	NOUN
ejde-1469	369	3	[	[	X
ejde-1469	369	4	1	1	NUM
ejde-1469	369	5	]	]	PUNCT
ejde-1469	369	6	k.	k.	PROPN
ejde-1469	369	7	kefi	kefi	PROPN
ejde-1469	369	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	369	9	m.	m.	NOUN
ejde-1469	369	10	kratou	kratou	PROPN
ejde-1469	369	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	369	12	k.	k.	PROPN
ejde-1469	369	13	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	369	14	;	;	PUNCT
ejde-1469	369	15	combined	combined	ADJ
ejde-1469	369	16	effects	effect	NOUN
ejde-1469	369	17	of	of	ADP
ejde-1469	369	18	critical	critical	ADJ
ejde-1469	369	19	and	and	CCONJ
ejde-1469	369	20	singular	singular	ADJ
ejde-1469	369	21	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	369	22	in	in	ADP
ejde-1469	369	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	369	24	problems	problem	NOUN
ejde-1469	369	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	369	26	submitted	submit	VERB
ejde-1469	369	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	369	28	2025	2025	NUM
ejde-1469	369	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	369	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	370	1	[	[	X
ejde-1469	370	2	2	2	X
ejde-1469	370	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	370	4	s.	s.	PROPN
ejde-1469	370	5	rsheed	rsheed	PROPN
ejde-1469	370	6	mohamed	mohamed	PROPN
ejde-1469	370	7	alotaibi	alotaibi	PROPN
ejde-1469	370	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	370	9	k.	k.	PROPN
ejde-1469	370	10	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	370	11	;	;	PUNCT
ejde-1469	370	12	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	370	13	and	and	CCONJ
ejde-1469	370	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	370	15	of	of	ADP
ejde-1469	370	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	370	17	for	for	ADP
ejde-1469	370	18	a	a	DET
ejde-1469	370	19	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	370	20	problem	problem	NOUN
ejde-1469	370	21	with	with	ADP
ejde-1469	370	22	critical	critical	ADJ
ejde-1469	370	23	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	370	24	-	-	PUNCT
ejde-1469	370	25	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	370	26	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	370	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	370	28	journal	journal	NOUN
ejde-1469	370	29	of	of	ADP
ejde-1469	370	30	the	the	DET
ejde-1469	370	31	korean	korean	PROPN
ejde-1469	370	32	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1469	370	33	society	society	NOUN
ejde-1469	370	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	370	35	57	57	NUM
ejde-1469	370	36	(	(	PUNCT
ejde-1469	370	37	3	3	NUM
ejde-1469	370	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	370	39	(	(	PUNCT
ejde-1469	370	40	2020	2020	NUM
ejde-1469	370	41	)	)	PUNCT
ejde-1469	370	42	,	,	PUNCT
ejde-1469	370	43	747	747	NUM
ejde-1469	370	44	-	-	SYM
ejde-1469	370	45	775	775	NUM
ejde-1469	370	46	.	.	PUNCT
ejde-1469	371	1	[	[	X
ejde-1469	371	2	3	3	X
ejde-1469	371	3	]	]	X
ejde-1469	371	4	b.	b.	NOUN
ejde-1469	371	5	barrios	barrios	PROPN
ejde-1469	371	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	7	i.	i.	PROPN
ejde-1469	371	8	de	de	PROPN
ejde-1469	371	9	bonis	bonis	PROPN
ejde-1469	371	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	11	m.	m.	NOUN
ejde-1469	371	12	maria	maria	PROPN
ejde-1469	371	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	14	i.	i.	NOUN
ejde-1469	371	15	peral	peral	NOUN
ejde-1469	371	16	;	;	PUNCT
ejde-1469	371	17	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1469	371	18	problems	problem	NOUN
ejde-1469	371	19	for	for	ADP
ejde-1469	371	20	the	the	DET
ejde-1469	371	21	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	371	22	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1469	371	23	with	with	ADP
ejde-1469	371	24	a	a	DET
ejde-1469	371	25	singular	singular	ADJ
ejde-1469	371	26	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1469	371	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	28	open	open	ADJ
ejde-1469	371	29	math	math	NOUN
ejde-1469	371	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	371	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	32	13	13	NUM
ejde-1469	371	33	(	(	PUNCT
ejde-1469	371	34	2015	2015	NUM
ejde-1469	371	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	371	36	,	,	PUNCT
ejde-1469	371	37	390	390	NUM
ejde-1469	371	38	-	-	SYM
ejde-1469	371	39	407	407	NUM
ejde-1469	371	40	.	.	PUNCT
ejde-1469	372	1	[	[	X
ejde-1469	372	2	4	4	X
ejde-1469	372	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	372	4	l.	l.	PROPN
ejde-1469	372	5	brasco	brasco	PROPN
ejde-1469	372	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	372	7	e.	e.	PROPN
ejde-1469	372	8	lindgren	lindgren	PROPN
ejde-1469	372	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	372	10	e.	e.	PROPN
ejde-1469	372	11	parini	parini	PROPN
ejde-1469	372	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	372	13	the	the	DET
ejde-1469	372	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	372	15	cheeger	cheeger	ADJ
ejde-1469	372	16	problem	problem	NOUN
ejde-1469	372	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	372	18	interfaces	interface	NOUN
ejde-1469	372	19	and	and	CCONJ
ejde-1469	372	20	free	free	ADJ
ejde-1469	372	21	boundaries	boundary	NOUN
ejde-1469	372	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	372	23	16	16	NUM
ejde-1469	372	24	(	(	PUNCT
ejde-1469	372	25	2	2	NUM
ejde-1469	372	26	)	)	PUNCT
ejde-1469	372	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	372	28	2014	2014	NUM
ejde-1469	372	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	372	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	372	31	419	419	NUM
ejde-1469	372	32	-	-	SYM
ejde-1469	372	33	458	458	NUM
ejde-1469	372	34	.	.	PUNCT
ejde-1469	373	1	[	[	X
ejde-1469	373	2	5	5	X
ejde-1469	373	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	373	4	l.	l.	PROPN
ejde-1469	373	5	brasco	brasco	PROPN
ejde-1469	373	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	373	7	e.	e.	PROPN
ejde-1469	373	8	parini	parini	PROPN
ejde-1469	373	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	373	10	the	the	DET
ejde-1469	373	11	second	second	ADJ
ejde-1469	373	12	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1469	373	13	of	of	ADP
ejde-1469	373	14	the	the	DET
ejde-1469	373	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	373	16	p	p	NOUN
ejde-1469	373	17	-	-	PUNCT
ejde-1469	373	18	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	373	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	373	20	adv	adv	PROPN
ejde-1469	373	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	373	22	calc	calc	PROPN
ejde-1469	373	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	374	1	var	var	PROPN
ejde-1469	374	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	374	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	374	4	9	9	NUM
ejde-1469	374	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	374	6	4	4	NUM
ejde-1469	374	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	374	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	374	9	2016	2016	NUM
ejde-1469	374	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	374	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	374	12	323	323	NUM
ejde-1469	374	13	-	-	SYM
ejde-1469	374	14	355	355	NUM
ejde-1469	374	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	375	1	[	[	X
ejde-1469	375	2	6	6	NUM
ejde-1469	375	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	375	4	a.	a.	NOUN
ejde-1469	375	5	canino	canino	PROPN
ejde-1469	375	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	7	l.	l.	PROPN
ejde-1469	375	8	montoro	montoro	PROPN
ejde-1469	375	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	10	b.	b.	PROPN
ejde-1469	375	11	sciunzi	sciunzi	PROPN
ejde-1469	375	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	13	m.	m.	NOUN
ejde-1469	375	14	squassina	squassina	PROPN
ejde-1469	375	15	;	;	PUNCT
ejde-1469	375	16	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	375	17	problems	problem	NOUN
ejde-1469	375	18	with	with	ADP
ejde-1469	375	19	singular	singular	PROPN
ejde-1469	375	20	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1469	375	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	22	bulletin	bulletin	PROPN
ejde-1469	375	23	des	des	PROPN
ejde-1469	375	24	sciences	sciences	PROPN
ejde-1469	375	25	mathématiques	mathématiques	PROPN
ejde-1469	375	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	27	141	141	NUM
ejde-1469	375	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	375	29	3	3	NUM
ejde-1469	375	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	375	31	(	(	PUNCT
ejde-1469	375	32	2017	2017	NUM
ejde-1469	375	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	375	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	375	35	223	223	NUM
ejde-1469	375	36	-	-	SYM
ejde-1469	375	37	250	250	NUM
ejde-1469	375	38	.	.	PUNCT
ejde-1469	376	1	[	[	X
ejde-1469	376	2	7	7	X
ejde-1469	376	3	]	]	X
ejde-1469	376	4	w.	w.	PROPN
ejde-1469	376	5	chen	chen	PROPN
ejde-1469	376	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	376	7	s.	s.	PROPN
ejde-1469	376	8	mosconi	mosconi	PROPN
ejde-1469	376	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	376	10	m.	m.	PROPN
ejde-1469	376	11	squassina	squassina	PROPN
ejde-1469	376	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	376	13	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	376	14	problems	problem	NOUN
ejde-1469	376	15	with	with	ADP
ejde-1469	376	16	critical	critical	ADJ
ejde-1469	376	17	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	376	18	non	non	ADJ
ejde-1469	376	19	-	-	ADJ
ejde-1469	376	20	linearity	linearity	ADJ
ejde-1469	376	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	376	22	journal	journal	NOUN
ejde-1469	376	23	of	of	ADP
ejde-1469	376	24	functional	functional	ADJ
ejde-1469	376	25	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	376	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	376	27	275	275	NUM
ejde-1469	376	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	376	29	11	11	NUM
ejde-1469	376	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	376	31	(	(	PUNCT
ejde-1469	376	32	2018	2018	NUM
ejde-1469	376	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	376	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	376	35	3065	3065	NUM
ejde-1469	376	36	-	-	SYM
ejde-1469	376	37	3114	3114	NUM
ejde-1469	376	38	.	.	PUNCT
ejde-1469	377	1	[	[	X
ejde-1469	377	2	8	8	NUM
ejde-1469	377	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	377	4	a.	a.	NOUN
ejde-1469	377	5	daoues	daoues	PROPN
ejde-1469	377	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	377	7	a.	a.	NOUN
ejde-1469	377	8	hammami	hammami	NOUN
ejde-1469	377	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	377	10	k.	k.	PROPN
ejde-1469	377	11	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	377	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	377	13	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	377	14	results	result	NOUN
ejde-1469	377	15	of	of	ADP
ejde-1469	377	16	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	377	17	singular	singular	ADJ
ejde-1469	377	18	pdes	pde	NOUN
ejde-1469	377	19	with	with	ADP
ejde-1469	377	20	critical	critical	ADJ
ejde-1469	377	21	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	377	22	-	-	PUNCT
ejde-1469	377	23	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	377	24	exponent	exponent	NOUN
ejde-1469	377	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	377	26	electronic	electronic	ADJ
ejde-1469	377	27	journal	journal	NOUN
ejde-1469	377	28	of	of	ADP
ejde-1469	377	29	differential	differential	ADJ
ejde-1469	377	30	equations	equation	NOUN
ejde-1469	377	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	377	32	2023	2023	NUM
ejde-1469	377	33	(	(	PUNCT
ejde-1469	377	34	10	10	NUM
ejde-1469	377	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	377	36	(	(	PUNCT
ejde-1469	377	37	2023	2023	NUM
ejde-1469	377	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	377	39	,	,	PUNCT
ejde-1469	377	40	1	1	NUM
ejde-1469	377	41	-	-	SYM
ejde-1469	377	42	19	19	NUM
ejde-1469	377	43	.	.	PUNCT
ejde-1469	378	1	[	[	X
ejde-1469	378	2	9	9	NUM
ejde-1469	378	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	378	4	a.	a.	NOUN
ejde-1469	378	5	daoues	daoues	PROPN
ejde-1469	378	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	378	7	a.	a.	NOUN
ejde-1469	378	8	hammami	hammami	NOUN
ejde-1469	378	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	378	10	k.	k.	PROPN
ejde-1469	378	11	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	378	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	378	13	existence	existence	NOUN
ejde-1469	378	14	and	and	CCONJ
ejde-1469	378	15	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	378	16	of	of	ADP
ejde-1469	378	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	378	18	for	for	ADP
ejde-1469	378	19	a	a	DET
ejde-1469	378	20	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	378	21	problem	problem	NOUN
ejde-1469	378	22	with	with	ADP
ejde-1469	378	23	critical	critical	ADJ
ejde-1469	378	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	378	25	-	-	PUNCT
ejde-1469	378	26	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	378	27	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	378	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	378	29	mediterranean	mediterranean	PROPN
ejde-1469	378	30	journal	journal	PROPN
ejde-1469	378	31	of	of	ADP
ejde-1469	378	32	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1469	378	33	,	,	PUNCT
ejde-1469	378	34	17	17	NUM
ejde-1469	378	35	(	(	PUNCT
ejde-1469	378	36	167	167	NUM
ejde-1469	378	37	)	)	PUNCT
ejde-1469	378	38	(	(	PUNCT
ejde-1469	378	39	2020	2020	NUM
ejde-1469	378	40	)	)	PUNCT
ejde-1469	378	41	,	,	PUNCT
ejde-1469	378	42	166	166	NUM
ejde-1469	378	43	-	-	SYM
ejde-1469	378	44	188	188	NUM
ejde-1469	378	45	.	.	PUNCT
ejde-1469	379	1	[	[	X
ejde-1469	379	2	10	10	NUM
ejde-1469	379	3	]	]	X
ejde-1469	379	4	l.	l.	PROPN
ejde-1469	379	5	del	del	PROPN
ejde-1469	379	6	pezzo	pezzo	PROPN
ejde-1469	379	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	379	8	a.	a.	NOUN
ejde-1469	379	9	quaas	quaas	NOUN
ejde-1469	379	10	;	;	PUNCT
ejde-1469	379	11	global	global	ADJ
ejde-1469	379	12	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1469	379	13	for	for	ADP
ejde-1469	379	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	379	15	p	p	NOUN
ejde-1469	379	16	-	-	PUNCT
ejde-1469	379	17	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1469	379	18	and	and	CCONJ
ejde-1469	379	19	application	application	NOUN
ejde-1469	379	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	379	21	z.	z.	PROPN
ejde-1469	379	22	anal	anal	PROPN
ejde-1469	379	23	.	.	PUNCT
ejde-1469	379	24	anwend	anwend	PROPN
ejde-1469	379	25	.	.	PUNCT
ejde-1469	379	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	379	27	354	354	NUM
ejde-1469	379	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	379	29	2016	2016	NUM
ejde-1469	379	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	379	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	379	32	411	411	NUM
ejde-1469	379	33	-	-	SYM
ejde-1469	379	34	447	447	NUM
ejde-1469	379	35	.	.	PUNCT
ejde-1469	380	1	[	[	X
ejde-1469	380	2	11	11	NUM
ejde-1469	380	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	380	4	a.	a.	NOUN
ejde-1469	380	5	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-1469	380	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	380	7	k.	k.	PROPN
ejde-1469	380	8	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	380	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	380	10	the	the	DET
ejde-1469	380	11	nehari	nehari	NOUN
ejde-1469	380	12	manifold	manifold	VERB
ejde-1469	380	13	for	for	ADP
ejde-1469	380	14	a	a	DET
ejde-1469	380	15	singular	singular	ADJ
ejde-1469	380	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	380	17	equation	equation	NOUN
ejde-1469	380	18	involving	involve	VERB
ejde-1469	380	19	the	the	DET
ejde-1469	380	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	380	21	laplace	laplace	NOUN
ejde-1469	380	22	operator	operator	NOUN
ejde-1469	380	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	380	24	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	380	25	differential	differential	NOUN
ejde-1469	380	26	calculus	calculus	NOUN
ejde-1469	380	27	,	,	PUNCT
ejde-1469	380	28	6	6	NUM
ejde-1469	380	29	(	(	PUNCT
ejde-1469	380	30	2	2	NUM
ejde-1469	380	31	)	)	PUNCT
ejde-1469	380	32	(	(	PUNCT
ejde-1469	380	33	2016	2016	NUM
ejde-1469	380	34	)	)	PUNCT
ejde-1469	380	35	,	,	PUNCT
ejde-1469	380	36	201	201	NUM
ejde-1469	380	37	-	-	SYM
ejde-1469	380	38	217	217	NUM
ejde-1469	380	39	.	.	PUNCT
ejde-1469	381	1	[	[	X
ejde-1469	381	2	12	12	NUM
ejde-1469	381	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	381	4	a.	a.	NOUN
ejde-1469	381	5	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-1469	381	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	381	7	k.	k.	PROPN
ejde-1469	381	8	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	381	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	381	10	a	a	DET
ejde-1469	381	11	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	381	12	results	result	VERB
ejde-1469	381	13	for	for	ADP
ejde-1469	381	14	a	a	DET
ejde-1469	381	15	singular	singular	ADJ
ejde-1469	381	16	problem	problem	NOUN
ejde-1469	381	17	involving	involve	VERB
ejde-1469	381	18	the	the	DET
ejde-1469	381	19	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	381	20	p	p	ADJ
ejde-1469	381	21	-	-	PUNCT
ejde-1469	381	22	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	381	23	operator	operator	NOUN
ejde-1469	381	24	,	,	PUNCT
ejde-1469	381	25	complex	complex	ADJ
ejde-1469	381	26	.	.	PUNCT
ejde-1469	382	1	var	var	NOUN
ejde-1469	382	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	383	1	elliptic	elliptic	PROPN
ejde-1469	383	2	equ	equ	PROPN
ejde-1469	383	3	.	.	PROPN
ejde-1469	383	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	383	5	61	61	NUM
ejde-1469	383	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	383	7	2016	2016	NUM
ejde-1469	383	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	383	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	383	10	1199	1199	NUM
ejde-1469	383	11	-	-	SYM
ejde-1469	383	12	1216	1216	NUM
ejde-1469	383	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	384	1	[	[	X
ejde-1469	384	2	13	13	NUM
ejde-1469	384	3	]	]	X
ejde-1469	384	4	n.	n.	NOUN
ejde-1469	384	5	ghoussoub	ghoussoub	PROPN
ejde-1469	384	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	384	7	s.	s.	PROPN
ejde-1469	384	8	shakerian	shakerian	PROPN
ejde-1469	384	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	384	10	borderline	borderline	ADJ
ejde-1469	384	11	variational	variational	ADJ
ejde-1469	384	12	problems	problem	NOUN
ejde-1469	384	13	involving	involve	VERB
ejde-1469	384	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	384	15	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-1469	384	16	and	and	CCONJ
ejde-1469	384	17	critical	critical	ADJ
ejde-1469	384	18	singularities	singularity	NOUN
ejde-1469	384	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	384	20	adv	adv	PROPN
ejde-1469	384	21	.	.	PUNCT
ejde-1469	384	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1469	384	23	stud	stud	NOUN
ejde-1469	384	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	385	1	15	15	NUM
ejde-1469	385	2	(	(	PUNCT
ejde-1469	385	3	3	3	NUM
ejde-1469	385	4	)	)	PUNCT
ejde-1469	385	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	385	6	2015	2015	NUM
ejde-1469	385	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	385	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	9	527	527	NUM
ejde-1469	385	10	-	-	SYM
ejde-1469	385	11	555	555	NUM
ejde-1469	385	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	385	13	ejde-2025/99	ejde-2025/99	VERB
ejde-1469	385	14	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	385	15	problems	problem	NOUN
ejde-1469	385	16	with	with	ADP
ejde-1469	385	17	variable	variable	ADJ
ejde-1469	385	18	weights	weight	NOUN
ejde-1469	385	19	13	13	NUM
ejde-1469	385	20	[	[	SYM
ejde-1469	385	21	14	14	NUM
ejde-1469	385	22	]	]	PUNCT
ejde-1469	385	23	a.	a.	NOUN
ejde-1469	385	24	iannizzotto	iannizzotto	PROPN
ejde-1469	385	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	26	s.	s.	PROPN
ejde-1469	385	27	mosconi	mosconi	PROPN
ejde-1469	385	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	29	m.	m.	NOUN
ejde-1469	385	30	squassina	squassina	PROPN
ejde-1469	385	31	;	;	PUNCT
ejde-1469	385	32	global	global	ADJ
ejde-1469	385	33	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	385	34	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	385	35	for	for	ADP
ejde-1469	385	36	the	the	DET
ejde-1469	385	37	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	385	38	p	p	NOUN
ejde-1469	385	39	-	-	PUNCT
ejde-1469	385	40	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	385	41	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	42	revista	revista	PROPN
ejde-1469	385	43	matematica	matematica	PROPN
ejde-1469	385	44	iberoamericana	iberoamericana	PROPN
ejde-1469	385	45	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	46	32	32	NUM
ejde-1469	385	47	(	(	PUNCT
ejde-1469	385	48	4	4	NUM
ejde-1469	385	49	)	)	PUNCT
ejde-1469	385	50	(	(	PUNCT
ejde-1469	385	51	2016	2016	NUM
ejde-1469	385	52	)	)	PUNCT
ejde-1469	385	53	,	,	PUNCT
ejde-1469	385	54	1353	1353	NUM
ejde-1469	385	55	-	-	SYM
ejde-1469	385	56	1392	1392	NUM
ejde-1469	385	57	.	.	PUNCT
ejde-1469	386	1	[	[	X
ejde-1469	386	2	15	15	NUM
ejde-1469	386	3	]	]	X
ejde-1469	386	4	e.	e.	PROPN
ejde-1469	386	5	lindgren	lindgren	PROPN
ejde-1469	386	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	386	7	p.	p.	NOUN
ejde-1469	386	8	lindqvist	lindqvist	NOUN
ejde-1469	386	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	386	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	386	11	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1469	386	12	,	,	PUNCT
ejde-1469	386	13	calc	calc	NOUN
ejde-1469	386	14	.	.	PUNCT
ejde-1469	387	1	var	var	PROPN
ejde-1469	387	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	388	1	partial	partial	ADJ
ejde-1469	388	2	differential	differential	NOUN
ejde-1469	388	3	equations	equation	NOUN
ejde-1469	388	4	,	,	PUNCT
ejde-1469	388	5	49	49	NUM
ejde-1469	388	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	388	7	2014	2014	NUM
ejde-1469	388	8	)	)	PUNCT
ejde-1469	388	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	388	10	795	795	NUM
ejde-1469	388	11	-	-	SYM
ejde-1469	388	12	826	826	NUM
ejde-1469	388	13	.	.	PUNCT
ejde-1469	389	1	[	[	X
ejde-1469	389	2	16	16	NUM
ejde-1469	389	3	]	]	X
ejde-1469	389	4	s.	s.	PROPN
ejde-1469	389	5	mosconi	mosconi	PROPN
ejde-1469	389	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	389	7	m.	m.	PROPN
ejde-1469	389	8	squassina	squassina	PROPN
ejde-1469	389	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	389	10	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	389	11	problems	problem	NOUN
ejde-1469	389	12	at	at	ADP
ejde-1469	389	13	nearly	nearly	ADV
ejde-1469	389	14	critical	critical	ADJ
ejde-1469	389	15	growth	growth	NOUN
ejde-1469	389	16	,	,	PUNCT
ejde-1469	389	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1469	389	18	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	389	19	:	:	PUNCT
ejde-1469	389	20	theory	theory	NOUN
ejde-1469	389	21	,	,	PUNCT
ejde-1469	389	22	methods	method	NOUN
ejde-1469	389	23	&	&	CCONJ
ejde-1469	389	24	applications	application	NOUN
ejde-1469	389	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	389	26	136	136	NUM
ejde-1469	389	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	389	28	2016	2016	NUM
ejde-1469	389	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	389	30	,	,	PUNCT
ejde-1469	389	31	84	84	NUM
ejde-1469	389	32	-	-	SYM
ejde-1469	389	33	101	101	NUM
ejde-1469	389	34	.	.	PUNCT
ejde-1469	390	1	[	[	X
ejde-1469	390	2	17	17	NUM
ejde-1469	390	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	390	4	t.	t.	PROPN
ejde-1469	390	5	mukherjee	mukherjee	PROPN
ejde-1469	390	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	390	7	k.	k.	PROPN
ejde-1469	390	8	sreenadh	sreenadh	PROPN
ejde-1469	390	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	390	10	on	on	ADP
ejde-1469	390	11	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1469	390	12	problem	problem	NOUN
ejde-1469	390	13	for	for	ADP
ejde-1469	390	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	390	15	p	p	NOUN
ejde-1469	390	16	-	-	PUNCT
ejde-1469	390	17	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1469	390	18	with	with	ADP
ejde-1469	390	19	singular	singular	PROPN
ejde-1469	390	20	non	non	NOUN
ejde-1469	390	21	-	-	NOUN
ejde-1469	390	22	linearity	linearity	ADJ
ejde-1469	390	23	,	,	PUNCT
ejde-1469	390	24	advances	advance	NOUN
ejde-1469	390	25	in	in	ADP
ejde-1469	390	26	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1469	390	27	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	390	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	390	29	8	8	NUM
ejde-1469	390	30	(	(	PUNCT
ejde-1469	390	31	2019	2019	NUM
ejde-1469	390	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	390	33	,	,	PUNCT
ejde-1469	390	34	52	52	NUM
ejde-1469	390	35	-	-	SYM
ejde-1469	390	36	72	72	NUM
ejde-1469	390	37	.	.	PUNCT
ejde-1469	391	1	[	[	X
ejde-1469	391	2	18	18	NUM
ejde-1469	391	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	391	4	t.	t.	NOUN
ejde-1469	391	5	mukherjee	mukherjee	PROPN
ejde-1469	391	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	391	7	k.	k.	PROPN
ejde-1469	391	8	sreenadh	sreenadh	PROPN
ejde-1469	391	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	391	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	391	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	391	12	equations	equation	NOUN
ejde-1469	391	13	with	with	ADP
ejde-1469	391	14	critical	critical	ADJ
ejde-1469	391	15	growth	growth	NOUN
ejde-1469	391	16	and	and	CCONJ
ejde-1469	391	17	singular	singular	ADJ
ejde-1469	391	18	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1469	391	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	391	20	electronic	electronic	ADJ
ejde-1469	391	21	journal	journal	NOUN
ejde-1469	391	22	of	of	ADP
ejde-1469	391	23	differential	differential	ADJ
ejde-1469	391	24	equations	equation	NOUN
ejde-1469	391	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	391	26	2016	2016	NUM
ejde-1469	391	27	(	(	PUNCT
ejde-1469	391	28	54	54	NUM
ejde-1469	391	29	)	)	PUNCT
ejde-1469	391	30	(	(	PUNCT
ejde-1469	391	31	2016	2016	NUM
ejde-1469	391	32	)	)	PUNCT
ejde-1469	391	33	,	,	PUNCT
ejde-1469	391	34	1	1	NUM
ejde-1469	391	35	-	-	SYM
ejde-1469	391	36	23	23	NUM
ejde-1469	391	37	.	.	PUNCT
ejde-1469	392	1	[	[	X
ejde-1469	392	2	19	19	NUM
ejde-1469	392	3	]	]	X
ejde-1469	392	4	e.	e.	PROPN
ejde-1469	392	5	di	di	PROPN
ejde-1469	392	6	nezza	nezza	PROPN
ejde-1469	392	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	392	8	g.	g.	PROPN
ejde-1469	392	9	palatucci	palatucci	PROPN
ejde-1469	392	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	392	11	e.	e.	PROPN
ejde-1469	392	12	valdinoci	valdinoci	PROPN
ejde-1469	392	13	;	;	PUNCT
ejde-1469	392	14	hitchhiker	hitchhiker	NOUN
ejde-1469	392	15	’s	’s	PART
ejde-1469	392	16	guide	guide	NOUN
ejde-1469	392	17	to	to	ADP
ejde-1469	392	18	the	the	DET
ejde-1469	392	19	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	392	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	392	21	spaces	space	NOUN
ejde-1469	392	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	392	23	bull	bull	NOUN
ejde-1469	392	24	.	.	PUNCT
ejde-1469	393	1	sci	sci	PROPN
ejde-1469	393	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	393	3	math	math	PROPN
ejde-1469	393	4	.	.	PUNCT
ejde-1469	393	5	,	,	PUNCT
ejde-1469	393	6	136	136	NUM
ejde-1469	393	7	(	(	PUNCT
ejde-1469	393	8	2012	2012	NUM
ejde-1469	393	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	393	10	,	,	PUNCT
ejde-1469	393	11	521–573	521–573	NUM
ejde-1469	393	12	.	.	PUNCT
ejde-1469	394	1	[	[	X
ejde-1469	394	2	20	20	NUM
ejde-1469	394	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	394	4	k.	k.	PROPN
ejde-1469	394	5	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	394	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	7	s.	s.	PROPN
ejde-1469	394	8	ghosh	ghosh	PROPN
ejde-1469	394	9	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	10	d.	d.	PROPN
ejde-1469	394	11	choudhuri	choudhuri	PROPN
ejde-1469	394	12	;	;	PUNCT
ejde-1469	394	13	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-1469	394	14	and	and	CCONJ
ejde-1469	394	15	hölder	hölder	NOUN
ejde-1469	394	16	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	394	17	of	of	ADP
ejde-1469	394	18	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	394	19	for	for	ADP
ejde-1469	394	20	a	a	DET
ejde-1469	394	21	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1469	394	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	394	23	pde	pde	NOUN
ejde-1469	394	24	involving	involve	VERB
ejde-1469	394	25	singularity	singularity	NOUN
ejde-1469	394	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	27	journal	journal	NOUN
ejde-1469	394	28	of	of	ADP
ejde-1469	394	29	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1469	394	30	physics	physics	NOUN
ejde-1469	394	31	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	32	60	60	NUM
ejde-1469	394	33	(	(	PUNCT
ejde-1469	394	34	10	10	NUM
ejde-1469	394	35	)	)	PUNCT
ejde-1469	394	36	(	(	PUNCT
ejde-1469	394	37	2019	2019	NUM
ejde-1469	394	38	)	)	PUNCT
ejde-1469	394	39	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	40	101509	101509	NUM
ejde-1469	394	41	,	,	PUNCT
ejde-1469	394	42	28	28	NUM
ejde-1469	394	43	pp	pp	NOUN
ejde-1469	394	44	.	.	PUNCT
ejde-1469	395	1	[	[	X
ejde-1469	395	2	21	21	NUM
ejde-1469	395	3	]	]	X
ejde-1469	395	4	r.	r.	PROPN
ejde-1469	395	5	servadei	servadei	PROPN
ejde-1469	395	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	395	7	e.	e.	PROPN
ejde-1469	395	8	valdinoci	valdinoci	PROPN
ejde-1469	395	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	395	10	mountain	mountain	NOUN
ejde-1469	395	11	pass	pass	NOUN
ejde-1469	395	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	395	13	for	for	ADP
ejde-1469	395	14	non	non	ADJ
ejde-1469	395	15	-	-	ADJ
ejde-1469	395	16	local	local	ADJ
ejde-1469	395	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	395	18	operators	operator	NOUN
ejde-1469	395	19	,	,	PUNCT
ejde-1469	395	20	journal	journal	NOUN
ejde-1469	395	21	of	of	ADP
ejde-1469	395	22	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1469	395	23	analysis	analysis	NOUN
ejde-1469	395	24	and	and	CCONJ
ejde-1469	395	25	applications	application	NOUN
ejde-1469	395	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	395	27	389	389	NUM
ejde-1469	395	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	395	29	2	2	NUM
ejde-1469	395	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	395	31	(	(	PUNCT
ejde-1469	395	32	2012	2012	NUM
ejde-1469	395	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	395	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	395	35	887	887	NUM
ejde-1469	395	36	-	-	SYM
ejde-1469	395	37	898	898	NUM
ejde-1469	395	38	.	.	PUNCT
ejde-1469	396	1	[	[	X
ejde-1469	396	2	22	22	NUM
ejde-1469	396	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	396	4	r.	r.	PROPN
ejde-1469	396	5	servadei	servadei	PROPN
ejde-1469	396	6	,	,	PUNCT
ejde-1469	396	7	e.	e.	PROPN
ejde-1469	396	8	valdinoci	valdinoci	PROPN
ejde-1469	396	9	;	;	PUNCT
ejde-1469	396	10	variational	variational	ADJ
ejde-1469	396	11	methods	method	NOUN
ejde-1469	396	12	for	for	ADP
ejde-1469	396	13	non	non	ADJ
ejde-1469	396	14	-	-	ADJ
ejde-1469	396	15	local	local	ADJ
ejde-1469	396	16	operators	operator	NOUN
ejde-1469	396	17	of	of	ADP
ejde-1469	396	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1469	396	19	type	type	NOUN
ejde-1469	396	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	396	21	discrete	discrete	ADJ
ejde-1469	396	22	and	and	CCONJ
ejde-1469	396	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-1469	396	24	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-1469	396	25	systems	system	NOUN
ejde-1469	396	26	,	,	PUNCT
ejde-1469	396	27	33	33	NUM
ejde-1469	396	28	(	(	PUNCT
ejde-1469	396	29	5	5	NUM
ejde-1469	396	30	)	)	PUNCT
ejde-1469	396	31	(	(	PUNCT
ejde-1469	396	32	2013	2013	NUM
ejde-1469	396	33	)	)	PUNCT
ejde-1469	396	34	,	,	PUNCT
ejde-1469	396	35	2105	2105	NUM
ejde-1469	396	36	-	-	SYM
ejde-1469	396	37	2137	2137	NUM
ejde-1469	396	38	.	.	PUNCT
ejde-1469	397	1	[	[	X
ejde-1469	397	2	23	23	NUM
ejde-1469	397	3	]	]	PUNCT
ejde-1469	397	4	m.	m.	PROPN
ejde-1469	397	5	q.	q.	PROPN
ejde-1469	397	6	xiang	xiang	PROPN
ejde-1469	397	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	397	8	b.l	b.l	PROPN
ejde-1469	397	9	.	.	PROPN
ejde-1469	397	10	zhang	zhang	PROPN
ejde-1469	397	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	397	12	v.	v.	ADP
ejde-1469	397	13	radulescu	radulescu	NOUN
ejde-1469	397	14	;	;	PUNCT
ejde-1469	397	15	existence	existence	NOUN
ejde-1469	397	16	of	of	ADP
ejde-1469	397	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1469	397	18	for	for	ADP
ejde-1469	397	19	perturbed	perturb	VERB
ejde-1469	397	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	397	21	p	p	NOUN
ejde-1469	397	22	-	-	PUNCT
ejde-1469	397	23	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-1469	397	24	equations	equation	NOUN
ejde-1469	397	25	,	,	PUNCT
ejde-1469	397	26	j.	j.	PROPN
ejde-1469	397	27	differ	differ	VERB
ejde-1469	397	28	.	.	PUNCT
ejde-1469	398	1	equ	equ	PROPN
ejde-1469	398	2	.	.	PROPN
ejde-1469	398	3	,	,	PUNCT
ejde-1469	398	4	260	260	NUM
ejde-1469	398	5	(	(	PUNCT
ejde-1469	398	6	2	2	NUM
ejde-1469	398	7	)	)	PUNCT
ejde-1469	398	8	(	(	PUNCT
ejde-1469	398	9	2016	2016	NUM
ejde-1469	398	10	)	)	PUNCT
ejde-1469	398	11	,	,	PUNCT
ejde-1469	398	12	1392	1392	NUM
ejde-1469	398	13	-	-	SYM
ejde-1469	398	14	1413	1413	NUM
ejde-1469	398	15	.	.	PUNCT
ejde-1469	399	1	[	[	X
ejde-1469	399	2	24	24	NUM
ejde-1469	399	3	]	]	X
ejde-1469	399	4	y.	y.	PROPN
ejde-1469	399	5	yan	yan	PROPN
ejde-1469	399	6	;	;	PUNCT
ejde-1469	399	7	the	the	DET
ejde-1469	399	8	brezis	brezis	PROPN
ejde-1469	399	9	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-1469	399	10	problem	problem	NOUN
ejde-1469	399	11	for	for	ADP
ejde-1469	399	12	the	the	DET
ejde-1469	399	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-1469	399	14	p	p	NOUN
ejde-1469	399	15	-	-	PUNCT
ejde-1469	399	16	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1469	399	17	involving	involve	VERB
ejde-1469	399	18	critical	critical	ADJ
ejde-1469	399	19	hardy	hardy	ADJ
ejde-1469	399	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1469	399	21	exponents	exponent	NOUN
ejde-1469	399	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	399	23	ithaca	ithaca	PROPN
ejde-1469	399	24	:	:	PUNCT
ejde-1469	399	25	cornell	cornell	PROPN
ejde-1469	399	26	university	university	PROPN
ejde-1469	399	27	library	library	NOUN
ejde-1469	399	28	,	,	PUNCT
ejde-1469	399	29	(	(	PUNCT
ejde-1469	399	30	2017	2017	NUM
ejde-1469	399	31	)	)	PUNCT
ejde-1469	399	32	https://arxiv.org/abs/1710.04654	https://arxiv.org/abs/1710.04654	NOUN
ejde-1469	399	33	.	.	PUNCT
ejde-1469	400	1	sarah	sarah	PROPN
ejde-1469	400	2	almutairi	almutairi	PROPN
ejde-1469	400	3	college	college	PROPN
ejde-1469	400	4	of	of	ADP
ejde-1469	400	5	sciences	sciences	PROPN
ejde-1469	400	6	at	at	ADP
ejde-1469	400	7	dammam	dammam	PROPN
ejde-1469	400	8	,	,	PUNCT
ejde-1469	400	9	imam	imam	PROPN
ejde-1469	400	10	abdulrahman	abdulrahman	PROPN
ejde-1469	400	11	bin	bin	PROPN
ejde-1469	400	12	faisal	faisal	PROPN
ejde-1469	400	13	university	university	PROPN
ejde-1469	400	14	,	,	PUNCT
ejde-1469	400	15	31441	31441	NUM
ejde-1469	400	16	dammam	dammam	NOUN
ejde-1469	400	17	,	,	PUNCT
ejde-1469	400	18	kingdom	kingdom	NOUN
ejde-1469	400	19	of	of	ADP
ejde-1469	400	20	saudi	saudi	PROPN
ejde-1469	400	21	arabia	arabia	PROPN
ejde-1469	400	22	.	.	PUNCT
ejde-1469	401	1	basic	basic	ADJ
ejde-1469	401	2	and	and	CCONJ
ejde-1469	401	3	applied	apply	VERB
ejde-1469	401	4	scientific	scientific	ADJ
ejde-1469	401	5	research	research	NOUN
ejde-1469	401	6	center	center	NOUN
ejde-1469	401	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	8	imam	imam	PROPN
ejde-1469	401	9	abdulrahman	abdulrahman	PROPN
ejde-1469	401	10	bin	bin	PROPN
ejde-1469	401	11	faisal	faisal	PROPN
ejde-1469	401	12	university	university	PROPN
ejde-1469	401	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	14	p.o	p.o	PROPN
ejde-1469	401	15	.	.	PROPN
ejde-1469	401	16	box	box	PROPN
ejde-1469	401	17	1982	1982	NUM
ejde-1469	401	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	19	31441	31441	NUM
ejde-1469	401	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	21	dammam	dammam	PROPN
ejde-1469	401	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	23	saudi	saudi	PROPN
ejde-1469	401	24	arabia	arabia	PROPN
ejde-1469	401	25	email	email	NOUN
ejde-1469	401	26	address	address	NOUN
ejde-1469	401	27	:	:	PUNCT
ejde-1469	401	28	2240500248@iau.edu.sa	2240500248@iau.edu.sa	NUM
ejde-1469	401	29	kamel	kamel	PROPN
ejde-1469	401	30	saoudi	saoudi	PROPN
ejde-1469	401	31	college	college	PROPN
ejde-1469	401	32	of	of	ADP
ejde-1469	401	33	sciences	sciences	PROPN
ejde-1469	401	34	at	at	ADP
ejde-1469	401	35	dammam	dammam	PROPN
ejde-1469	401	36	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	37	imam	imam	PROPN
ejde-1469	401	38	abdulrahman	abdulrahman	PROPN
ejde-1469	401	39	bin	bin	PROPN
ejde-1469	401	40	faisal	faisal	PROPN
ejde-1469	401	41	university	university	PROPN
ejde-1469	401	42	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	43	31441	31441	NUM
ejde-1469	401	44	dammam	dammam	NOUN
ejde-1469	401	45	,	,	PUNCT
ejde-1469	401	46	kingdom	kingdom	NOUN
ejde-1469	401	47	of	of	ADP
ejde-1469	401	48	saudi	saudi	PROPN
ejde-1469	401	49	arabia	arabia	PROPN
ejde-1469	401	50	.	.	PUNCT
ejde-1469	402	1	basic	basic	ADJ
ejde-1469	402	2	and	and	CCONJ
ejde-1469	402	3	applied	apply	VERB
ejde-1469	402	4	scientific	scientific	ADJ
ejde-1469	402	5	research	research	NOUN
ejde-1469	402	6	center	center	NOUN
ejde-1469	402	7	,	,	PUNCT
ejde-1469	402	8	imam	imam	PROPN
ejde-1469	402	9	abdulrahman	abdulrahman	PROPN
ejde-1469	402	10	bin	bin	PROPN
ejde-1469	402	11	faisal	faisal	PROPN
ejde-1469	402	12	university	university	PROPN
ejde-1469	402	13	,	,	PUNCT
ejde-1469	402	14	p.o	p.o	PROPN
ejde-1469	402	15	.	.	PROPN
ejde-1469	402	16	box	box	PROPN
ejde-1469	402	17	1982	1982	NUM
ejde-1469	402	18	,	,	PUNCT
ejde-1469	402	19	31441	31441	NUM
ejde-1469	402	20	,	,	PUNCT
ejde-1469	402	21	dammam	dammam	PROPN
ejde-1469	402	22	,	,	PUNCT
ejde-1469	402	23	saudi	saudi	PROPN
ejde-1469	402	24	arabia	arabia	PROPN
ejde-1469	402	25	email	email	NOUN
ejde-1469	402	26	address	address	NOUN
ejde-1469	402	27	:	:	PUNCT
ejde-1469	402	28	kmsaoudi@iau.edu.sa	kmsaoudi@iau.edu.sa	PROPN
ejde-1469	402	29	1	1	NUM
ejde-1469	402	30	.	.	PUNCT
ejde-1469	402	31	introduction	introduction	NOUN
ejde-1469	402	32	2	2	NUM
ejde-1469	402	33	.	.	PUNCT
ejde-1469	402	34	functional	functional	ADJ
ejde-1469	402	35	framework	framework	NOUN
ejde-1469	402	36	and	and	CCONJ
ejde-1469	402	37	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1469	402	38	results	result	NOUN
ejde-1469	402	39	3	3	X
ejde-1469	402	40	.	.	X
ejde-1469	402	41	study	study	NOUN
ejde-1469	402	42	of	of	ADP
ejde-1469	402	43	problem	problem	NOUN
ejde-1469	402	44	(	(	PUNCT
ejde-1469	402	45	?	?	PUNCT
ejde-1469	402	46	?	?	PUNCT
ejde-1469	402	47	)	)	PUNCT
ejde-1469	403	1	4	4	X
ejde-1469	403	2	.	.	X
ejde-1469	403	3	study	study	NOUN
ejde-1469	403	4	of	of	ADP
ejde-1469	403	5	problem	problem	NOUN
ejde-1469	403	6	(	(	PUNCT
ejde-1469	403	7	?	?	PUNCT
ejde-1469	403	8	?	?	PUNCT
ejde-1469	403	9	)	)	PUNCT
ejde-1469	404	1	5	5	X
ejde-1469	404	2	.	.	PUNCT
ejde-1469	404	3	regularity	regularity	NOUN
ejde-1469	404	4	results	result	VERB
ejde-1469	404	5	references	reference	NOUN