id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1481	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1481	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1481	1	3	of	of	ADP
ejde-1481	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1481	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1481	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1481	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1481	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1481	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	1	14	no	no	INTJ
ejde-1481	1	15	.	.	NOUN
ejde-1481	1	16	50	50	NUM
ejde-1481	1	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-1481	1	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	2	1	1–11	1–11	PROPN
ejde-1481	2	2	.	.	PUNCT
ejde-1481	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-1481	3	2	:	:	PUNCT
ejde-1481	3	3	1072	1072	NUM
ejde-1481	3	4	-	-	SYM
ejde-1481	3	5	6691	6691	NUM
ejde-1481	3	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	4	1	url	url	PROPN
ejde-1481	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1481	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1481	4	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-1481	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-1481	4	7	:	:	PUNCT
ejde-1481	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1481	4	9	/	/	SYM
ejde-1481	4	10	ejde.2025.50	ejde.2025.50	VERB
ejde-1481	4	11	positive	positive	ADJ
ejde-1481	4	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	4	13	for	for	ADP
ejde-1481	4	14	generalized	generalized	ADJ
ejde-1481	4	15	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	4	16	-	-	PUNCT
ejde-1481	4	17	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	4	18	equations	equation	NOUN
ejde-1481	4	19	xizheng	xizheng	PROPN
ejde-1481	4	20	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	4	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	4	22	xiyou	xiyou	PROPN
ejde-1481	4	23	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	4	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	4	25	meihua	meihua	PROPN
ejde-1481	4	26	yang	yang	PROPN
ejde-1481	4	27	abstract	abstract	PROPN
ejde-1481	4	28	.	.	PUNCT
ejde-1481	5	1	this	this	DET
ejde-1481	5	2	article	article	NOUN
ejde-1481	5	3	concerns	concern	VERB
ejde-1481	5	4	a	a	DET
ejde-1481	5	5	generalized	generalized	ADJ
ejde-1481	5	6	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	5	7	-	-	PUNCT
ejde-1481	5	8	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	5	9	equation	equation	NOUN
ejde-1481	5	10	and	and	CCONJ
ejde-1481	5	11	its	its	PRON
ejde-1481	5	12	associated	associated	ADJ
ejde-1481	5	13	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1481	5	14	problem	problem	NOUN
ejde-1481	5	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	6	1	we	we	PRON
ejde-1481	6	2	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	6	3	upper	upper	ADJ
ejde-1481	6	4	and	and	CCONJ
ejde-1481	6	5	lower	low	ADJ
ejde-1481	6	6	estimates	estimate	NOUN
ejde-1481	6	7	for	for	ADP
ejde-1481	6	8	positive	positive	ADJ
ejde-1481	6	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	6	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	6	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	6	12	establish	establish	VERB
ejde-1481	6	13	the	the	DET
ejde-1481	6	14	existence	existence	NOUN
ejde-1481	6	15	and	and	CCONJ
ejde-1481	6	16	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	6	17	of	of	ADP
ejde-1481	6	18	positive	positive	ADJ
ejde-1481	6	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	6	20	to	to	ADP
ejde-1481	6	21	both	both	DET
ejde-1481	6	22	the	the	DET
ejde-1481	6	23	equation	equation	NOUN
ejde-1481	6	24	and	and	CCONJ
ejde-1481	6	25	its	its	PRON
ejde-1481	6	26	associated	associated	ADJ
ejde-1481	6	27	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1481	6	28	problem	problem	NOUN
ejde-1481	6	29	under	under	ADP
ejde-1481	6	30	certain	certain	ADJ
ejde-1481	6	31	parametric	parametric	ADJ
ejde-1481	6	32	conditions	condition	NOUN
ejde-1481	6	33	.	.	PUNCT
ejde-1481	7	1	1	1	X
ejde-1481	7	2	.	.	X
ejde-1481	7	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1481	7	4	we	we	PRON
ejde-1481	7	5	consider	consider	VERB
ejde-1481	7	6	the	the	DET
ejde-1481	7	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	7	8	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	7	9	equation	equation	NOUN
ejde-1481	7	10	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	8	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	9	1	[	[	X
ejde-1481	9	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	9	3	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	9	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	9	5	x	x	PROPN
ejde-1481	9	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	9	7	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1481	9	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	9	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	9	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	9	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	9	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	9	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	9	14	its	its	PRON
ejde-1481	9	15	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1481	9	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1481	9	17	problem	problem	NOUN
ejde-1481	9	18	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	10	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	11	1	[	[	X
ejde-1481	11	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	11	3	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	11	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	5	x	x	PROPN
ejde-1481	11	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	11	7	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1481	11	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	10	u	u	NOUN
ejde-1481	11	11	=	=	PROPN
ejde-1481	11	12	0	0	PROPN
ejde-1481	11	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	14	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	11	15	=	=	SYM
ejde-1481	11	16	1	1	NUM
ejde-1481	11	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	11	19	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	11	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	21	where	where	SCONJ
ejde-1481	11	22	b1(0	b1(0	NOUN
ejde-1481	11	23	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-1481	11	25	rn	rn	PROPN
ejde-1481	11	26	(	(	PUNCT
ejde-1481	11	27	n	n	CCONJ
ejde-1481	11	28	≥	≥	NOUN
ejde-1481	11	29	3	3	NUM
ejde-1481	11	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	31	is	be	AUX
ejde-1481	11	32	a	a	DET
ejde-1481	11	33	ball	ball	NOUN
ejde-1481	11	34	of	of	ADP
ejde-1481	11	35	radius	radius	NOUN
ejde-1481	11	36	1	1	NUM
ejde-1481	11	37	centered	center	VERB
ejde-1481	11	38	at	at	ADP
ejde-1481	11	39	0	0	NUM
ejde-1481	11	40	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	41	p	p	PROPN
ejde-1481	11	42	̸=	̸=	PROPN
ejde-1481	11	43	1	1	NUM
ejde-1481	11	44	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	45	α	α	NOUN
ejde-1481	11	46	∈	∈	NOUN
ejde-1481	11	47	r	r	NOUN
ejde-1481	11	48	and	and	CCONJ
ejde-1481	11	49	w	w	PROPN
ejde-1481	11	50	∈	∈	PROPN
ejde-1481	11	51	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-1481	11	52	,	,	PUNCT
ejde-1481	11	53	1],r+	1],r+	NUM
ejde-1481	11	54	0	0	NUM
ejde-1481	11	55	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	56	with	with	ADP
ejde-1481	11	57	r+	r+	NOUN
ejde-1481	11	58	0	0	PUNCT
ejde-1481	11	59	=	=	SYM
ejde-1481	11	60	(	(	PUNCT
ejde-1481	11	61	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1481	11	62	)	)	PUNCT
ejde-1481	11	63	.	.	PUNCT
ejde-1481	12	1	equation	equation	NOUN
ejde-1481	12	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	12	3	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	12	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	12	5	is	be	AUX
ejde-1481	12	6	usually	usually	ADV
ejde-1481	12	7	called	call	VERB
ejde-1481	12	8	the	the	DET
ejde-1481	12	9	generalized	generalized	ADJ
ejde-1481	12	10	boundary	boundary	ADJ
ejde-1481	12	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	12	12	-	-	PUNCT
ejde-1481	12	13	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	12	14	equation	equation	NOUN
ejde-1481	12	15	because	because	SCONJ
ejde-1481	12	16	of	of	ADP
ejde-1481	12	17	the	the	DET
ejde-1481	12	18	presence	presence	NOUN
ejde-1481	12	19	of	of	ADP
ejde-1481	12	20	weight	weight	NOUN
ejde-1481	12	21	function	function	NOUN
ejde-1481	12	22	[	[	X
ejde-1481	12	23	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	PRON
ejde-1481	12	24	|x|)]α	|x|)]α	NUM
ejde-1481	12	25	.	.	PROPN
ejde-1481	13	1	in	in	ADP
ejde-1481	13	2	particular	particular	ADJ
ejde-1481	13	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	13	4	when	when	SCONJ
ejde-1481	13	5	w	w	PROPN
ejde-1481	13	6	≡	≡	PROPN
ejde-1481	13	7	1	1	NUM
ejde-1481	13	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	13	9	equation	equation	NOUN
ejde-1481	13	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	13	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	13	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	13	13	is	be	AUX
ejde-1481	13	14	the	the	DET
ejde-1481	13	15	so	so	ADV
ejde-1481	13	16	-	-	PUNCT
ejde-1481	13	17	called	call	VERB
ejde-1481	13	18	boundary	boundary	ADJ
ejde-1481	13	19	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	13	20	-	-	PUNCT
ejde-1481	13	21	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	13	22	equation	equation	NOUN
ejde-1481	13	23	[	[	X
ejde-1481	13	24	7	7	NUM
ejde-1481	13	25	]	]	PUNCT
ejde-1481	13	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	14	1	let	let	VERB
ejde-1481	14	2	us	we	PRON
ejde-1481	14	3	briefly	briefly	ADV
ejde-1481	14	4	recall	recall	VERB
ejde-1481	14	5	some	some	DET
ejde-1481	14	6	relevant	relevant	ADJ
ejde-1481	14	7	studies	study	NOUN
ejde-1481	14	8	on	on	ADP
ejde-1481	14	9	the	the	DET
ejde-1481	14	10	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	14	11	equation	equation	NOUN
ejde-1481	14	12	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	15	1	=	=	SYM
ejde-1481	15	2	a(x)up	a(x)up	PROPN
ejde-1481	15	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	15	4	in	in	ADP
ejde-1481	15	5	ω	ω	NUM
ejde-1481	15	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	15	7	(	(	PUNCT
ejde-1481	15	8	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	15	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	15	10	where	where	SCONJ
ejde-1481	15	11	ω	ω	PROPN
ejde-1481	15	12	⊂	⊂	PROPN
ejde-1481	15	13	rn	rn	PROPN
ejde-1481	15	14	is	be	AUX
ejde-1481	15	15	a	a	DET
ejde-1481	15	16	domain	domain	NOUN
ejde-1481	15	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	16	1	when	when	SCONJ
ejde-1481	16	2	a	a	DET
ejde-1481	16	3	≡	≡	PROPN
ejde-1481	16	4	1	1	NUM
ejde-1481	16	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	16	6	equation	equation	NOUN
ejde-1481	16	7	(	(	PUNCT
ejde-1481	16	8	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	16	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	16	10	is	be	AUX
ejde-1481	16	11	the	the	DET
ejde-1481	16	12	lane	lane	NOUN
ejde-1481	16	13	-	-	PUNCT
ejde-1481	16	14	emden	emden	NOUN
ejde-1481	16	15	equation	equation	NOUN
ejde-1481	16	16	[	[	X
ejde-1481	16	17	4	4	NUM
ejde-1481	16	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	16	19	12	12	NUM
ejde-1481	16	20	]	]	PUNCT
ejde-1481	16	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	17	1	when	when	SCONJ
ejde-1481	17	2	a(x	a(x	NOUN
ejde-1481	17	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	17	4	=	=	SYM
ejde-1481	17	5	|x|α	|x|α	PROPN
ejde-1481	17	6	and	and	CCONJ
ejde-1481	17	7	0	0	NUM
ejde-1481	17	8	∈	∈	PROPN
ejde-1481	17	9	ω	ω	PROPN
ejde-1481	17	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	17	11	equation	equation	NOUN
ejde-1481	17	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	17	13	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	17	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	17	15	is	be	AUX
ejde-1481	17	16	called	call	VERB
ejde-1481	17	17	the	the	DET
ejde-1481	17	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	17	19	-	-	PUNCT
ejde-1481	17	20	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	17	21	equation	equation	NOUN
ejde-1481	17	22	[	[	X
ejde-1481	17	23	7	7	NUM
ejde-1481	17	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	17	25	16	16	NUM
ejde-1481	17	26	]	]	PUNCT
ejde-1481	17	27	.	.	PUNCT
ejde-1481	18	1	for	for	ADP
ejde-1481	18	2	the	the	DET
ejde-1481	18	3	case	case	NOUN
ejde-1481	18	4	α	α	X
ejde-1481	18	5	>	>	X
ejde-1481	18	6	−2	−2	PROPN
ejde-1481	18	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	18	8	p	p	X
ejde-1481	18	9	<	<	X
ejde-1481	18	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	18	11	n	n	PROPN
ejde-1481	18	12	+	+	CCONJ
ejde-1481	18	13	2	2	NUM
ejde-1481	18	14	+	+	NUM
ejde-1481	18	15	2α)/(n	2α)/(n	NOUN
ejde-1481	18	16	−	−	ADP
ejde-1481	18	17	2	2	NUM
ejde-1481	18	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	18	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	18	20	phan	phan	NOUN
ejde-1481	18	21	-	-	PUNCT
ejde-1481	18	22	souplet	souplet	NOUN
ejde-1481	18	23	[	[	X
ejde-1481	18	24	16	16	NUM
ejde-1481	18	25	]	]	PUNCT
ejde-1481	18	26	showed	show	VERB
ejde-1481	18	27	that	that	SCONJ
ejde-1481	18	28	equation	equation	NOUN
ejde-1481	18	29	(	(	PUNCT
ejde-1481	18	30	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	18	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	18	32	with	with	ADP
ejde-1481	18	33	ω	ω	PROPN
ejde-1481	18	34	=	=	SYM
ejde-1481	18	35	rn	rn	PROPN
ejde-1481	18	36	has	have	VERB
ejde-1481	18	37	no	no	DET
ejde-1481	18	38	positive	positive	ADJ
ejde-1481	18	39	radial	radial	ADJ
ejde-1481	18	40	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	18	41	.	.	PUNCT
ejde-1481	19	1	when	when	SCONJ
ejde-1481	19	2	α	α	DET
ejde-1481	19	3	≤	≤	NOUN
ejde-1481	19	4	−2	−2	NOUN
ejde-1481	19	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	19	6	p	p	X
ejde-1481	19	7	>	>	X
ejde-1481	19	8	1	1	NUM
ejde-1481	19	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	19	10	dancer	dancer	NOUN
ejde-1481	19	11	-	-	PUNCT
ejde-1481	19	12	du	du	NOUN
ejde-1481	19	13	-	-	NOUN
ejde-1481	19	14	guo	guo	NOUN
ejde-1481	19	15	[	[	X
ejde-1481	19	16	8	8	NUM
ejde-1481	19	17	]	]	PUNCT
ejde-1481	19	18	proved	prove	VERB
ejde-1481	19	19	that	that	SCONJ
ejde-1481	19	20	the	the	DET
ejde-1481	19	21	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	19	22	-	-	PUNCT
ejde-1481	19	23	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	19	24	equation	equation	NOUN
ejde-1481	19	25	(	(	PUNCT
ejde-1481	19	26	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	19	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	19	28	has	have	VERB
ejde-1481	19	29	no	no	DET
ejde-1481	19	30	positive	positive	ADJ
ejde-1481	19	31	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	19	32	in	in	ADP
ejde-1481	19	33	any	any	DET
ejde-1481	19	34	domain	domain	NOUN
ejde-1481	19	35	ω	ω	NOUN
ejde-1481	19	36	containing	contain	VERB
ejde-1481	19	37	the	the	DET
ejde-1481	19	38	origin	origin	NOUN
ejde-1481	19	39	.	.	PUNCT
ejde-1481	20	1	for	for	ADP
ejde-1481	20	2	the	the	DET
ejde-1481	20	3	case	case	NOUN
ejde-1481	20	4	p	p	X
ejde-1481	20	5	<	<	X
ejde-1481	20	6	0	0	NUM
ejde-1481	20	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	20	8	α	α	NOUN
ejde-1481	20	9	>	>	X
ejde-1481	20	10	−2	−2	PROPN
ejde-1481	20	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	20	12	du	du	NOUN
ejde-1481	20	13	-	-	NOUN
ejde-1481	20	14	guo	guo	PROPN
ejde-1481	21	1	[	[	X
ejde-1481	21	2	10	10	NUM
ejde-1481	21	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	21	4	investigated	investigate	VERB
ejde-1481	21	5	the	the	DET
ejde-1481	21	6	stable	stable	ADJ
ejde-1481	21	7	positive	positive	ADJ
ejde-1481	21	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	21	9	of	of	ADP
ejde-1481	21	10	equation	equation	NOUN
ejde-1481	21	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	21	12	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	21	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	21	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	22	1	for	for	ADP
ejde-1481	22	2	the	the	DET
ejde-1481	22	3	case	case	NOUN
ejde-1481	22	4	a(x	a(x	NOUN
ejde-1481	22	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	22	6	=	=	SYM
ejde-1481	22	7	|x|α	|x|α	PROPN
ejde-1481	22	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	22	9	ω	ω	NUM
ejde-1481	22	10	=	=	SYM
ejde-1481	22	11	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1481	22	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	22	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	22	14	cao	cao	PROPN
ejde-1481	22	15	-	-	PUNCT
ejde-1481	22	16	peng	peng	PROPN
ejde-1481	22	17	-	-	PUNCT
ejde-1481	22	18	yan	yan	PROPN
ejde-1481	23	1	[	[	X
ejde-1481	23	2	3	3	NUM
ejde-1481	23	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	23	4	analyzed	analyze	VERB
ejde-1481	23	5	the	the	DET
ejde-1481	23	6	profile	profile	NOUN
ejde-1481	23	7	of	of	ADP
ejde-1481	23	8	ground	ground	NOUN
ejde-1481	23	9	state	state	NOUN
ejde-1481	23	10	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	23	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	23	12	the	the	DET
ejde-1481	23	13	existence	existence	NOUN
ejde-1481	23	14	of	of	ADP
ejde-1481	23	15	multi	multi	ADJ
ejde-1481	23	16	-	-	ADJ
ejde-1481	23	17	peaked	peaked	ADJ
ejde-1481	23	18	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	23	19	with	with	ADP
ejde-1481	23	20	the	the	DET
ejde-1481	23	21	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1481	23	22	boundary	boundary	PROPN
ejde-1481	23	23	condition	condition	NOUN
ejde-1481	23	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	24	1	du	du	PROPN
ejde-1481	25	1	[	[	X
ejde-1481	25	2	9	9	NUM
ejde-1481	25	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	25	4	established	establish	VERB
ejde-1481	25	5	the	the	DET
ejde-1481	25	6	existence	existence	NOUN
ejde-1481	25	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	25	8	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1481	25	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	25	10	blow	blow	NOUN
ejde-1481	25	11	-	-	PUNCT
ejde-1481	25	12	up	up	ADP
ejde-1481	25	13	rate	rate	NOUN
ejde-1481	25	14	of	of	ADP
ejde-1481	25	15	large	large	ADJ
ejde-1481	25	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	25	17	of	of	ADP
ejde-1481	25	18	equation	equation	NOUN
ejde-1481	25	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	25	20	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	25	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	25	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	26	1	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	26	2	-	-	PUNCT
ejde-1481	26	3	wei	wei	PROPN
ejde-1481	26	4	-	-	PROPN
ejde-1481	26	5	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	27	1	[	[	X
ejde-1481	27	2	7	7	NUM
ejde-1481	27	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	27	4	explored	explore	VERB
ejde-1481	27	5	the	the	DET
ejde-1481	27	6	estimates	estimate	NOUN
ejde-1481	27	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	27	8	existence	existence	NOUN
ejde-1481	27	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	27	10	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	27	11	of	of	ADP
ejde-1481	27	12	positive	positive	ADJ
ejde-1481	27	13	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	27	14	to	to	ADP
ejde-1481	27	15	equation	equation	NOUN
ejde-1481	27	16	(	(	PUNCT
ejde-1481	27	17	1.3	1.3	NUM
ejde-1481	27	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	27	19	for	for	ADP
ejde-1481	27	20	the	the	DET
ejde-1481	27	21	case	case	NOUN
ejde-1481	27	22	a(x	a(x	NOUN
ejde-1481	27	23	)	)	PUNCT
ejde-1481	27	24	=	=	PUNCT
ejde-1481	27	25	(	(	PUNCT
ejde-1481	27	26	1	1	NUM
ejde-1481	27	27	−	−	NOUN
ejde-1481	27	28	|x|)α	|x|)α	PROPN
ejde-1481	27	29	and	and	CCONJ
ejde-1481	27	30	ω	ω	NUM
ejde-1481	27	31	=	=	PROPN
ejde-1481	27	32	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1481	27	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	27	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	28	1	for	for	ADP
ejde-1481	28	2	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	28	3	equations	equation	NOUN
ejde-1481	28	4	with	with	ADP
ejde-1481	28	5	the	the	DET
ejde-1481	28	6	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	28	7	potential	potential	NOUN
ejde-1481	28	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	9	some	some	DET
ejde-1481	28	10	profound	profound	ADJ
ejde-1481	28	11	results	result	NOUN
ejde-1481	28	12	on	on	ADP
ejde-1481	28	13	the	the	DET
ejde-1481	28	14	existence	existence	NOUN
ejde-1481	28	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	16	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	28	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	18	and	and	CCONJ
ejde-1481	28	19	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-1481	28	20	behavior	behavior	NOUN
ejde-1481	28	21	of	of	ADP
ejde-1481	28	22	positive	positive	ADJ
ejde-1481	28	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	28	24	were	be	AUX
ejde-1481	28	25	presented	present	VERB
ejde-1481	28	26	in	in	ADP
ejde-1481	28	27	[	[	X
ejde-1481	28	28	1	1	NUM
ejde-1481	28	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	30	2	2	NUM
ejde-1481	28	31	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	32	5	5	NUM
ejde-1481	28	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	34	6	6	NUM
ejde-1481	28	35	,	,	PUNCT
ejde-1481	28	36	15	15	NUM
ejde-1481	28	37	]	]	PUNCT
ejde-1481	28	38	and	and	CCONJ
ejde-1481	28	39	the	the	DET
ejde-1481	28	40	references	reference	NOUN
ejde-1481	28	41	therein	therein	ADV
ejde-1481	28	42	.	.	PUNCT
ejde-1481	29	1	the	the	DET
ejde-1481	29	2	goal	goal	NOUN
ejde-1481	29	3	of	of	ADP
ejde-1481	29	4	this	this	DET
ejde-1481	29	5	article	article	NOUN
ejde-1481	29	6	is	be	AUX
ejde-1481	29	7	to	to	PART
ejde-1481	29	8	establish	establish	VERB
ejde-1481	29	9	the	the	DET
ejde-1481	29	10	estimate	estimate	NOUN
ejde-1481	29	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	29	12	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	29	13	of	of	ADP
ejde-1481	29	14	positive	positive	ADJ
ejde-1481	29	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	29	16	to	to	ADP
ejde-1481	29	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	29	18	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	29	19	)	)	PUNCT
ejde-1481	29	20	and	and	CCONJ
ejde-1481	29	21	to	to	PART
ejde-1481	29	22	present	present	VERB
ejde-1481	29	23	the	the	DET
ejde-1481	29	24	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	29	25	,	,	PUNCT
ejde-1481	29	26	existence	existence	NOUN
ejde-1481	29	27	and	and	CCONJ
ejde-1481	29	28	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1481	29	29	of	of	ADP
ejde-1481	29	30	positive	positive	ADJ
ejde-1481	29	31	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	29	32	of	of	ADP
ejde-1481	29	33	(	(	PUNCT
ejde-1481	29	34	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	29	35	)	)	PUNCT
ejde-1481	29	36	.	.	PUNCT
ejde-1481	30	1	the	the	DET
ejde-1481	30	2	rest	rest	NOUN
ejde-1481	30	3	of	of	ADP
ejde-1481	30	4	this	this	DET
ejde-1481	30	5	paper	paper	NOUN
ejde-1481	30	6	is	be	AUX
ejde-1481	30	7	organized	organize	VERB
ejde-1481	30	8	as	as	SCONJ
ejde-1481	30	9	follows	follow	VERB
ejde-1481	30	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	31	1	we	we	PRON
ejde-1481	31	2	study	study	VERB
ejde-1481	31	3	positive	positive	ADJ
ejde-1481	31	4	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	31	5	of	of	ADP
ejde-1481	31	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	31	7	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	31	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	31	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	31	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	31	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	31	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	31	13	for	for	ADP
ejde-1481	31	14	the	the	DET
ejde-1481	31	15	case	case	NOUN
ejde-1481	31	16	1	1	NUM
ejde-1481	31	17	<	<	X
ejde-1481	31	18	p	p	X
ejde-1481	31	19	<	<	X
ejde-1481	31	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	31	21	n	n	PROPN
ejde-1481	31	22	+	+	CCONJ
ejde-1481	31	23	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	31	24	−	−	NOUN
ejde-1481	31	25	2	2	NUM
ejde-1481	31	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	31	27	in	in	ADP
ejde-1481	31	28	section	section	NOUN
ejde-1481	31	29	2	2	NUM
ejde-1481	31	30	and	and	CCONJ
ejde-1481	31	31	for	for	ADP
ejde-1481	31	32	the	the	DET
ejde-1481	31	33	case	case	NOUN
ejde-1481	31	34	p	p	X
ejde-1481	31	35	<	<	X
ejde-1481	31	36	1	1	NUM
ejde-1481	31	37	in	in	ADP
ejde-1481	31	38	section	section	NOUN
ejde-1481	31	39	3	3	NUM
ejde-1481	31	40	,	,	PUNCT
ejde-1481	31	41	respectively	respectively	ADV
ejde-1481	31	42	.	.	PUNCT
ejde-1481	32	1	2020	2020	NUM
ejde-1481	32	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1481	32	3	subject	subject	ADJ
ejde-1481	32	4	classification	classification	NOUN
ejde-1481	32	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	33	1	35j60	35j60	NUM
ejde-1481	33	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	33	3	35b09	35b09	NUM
ejde-1481	33	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	33	5	35b45	35b45	NUM
ejde-1481	33	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	34	1	key	key	ADJ
ejde-1481	34	2	words	word	NOUN
ejde-1481	34	3	and	and	CCONJ
ejde-1481	34	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1481	34	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	35	1	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	35	2	-	-	PUNCT
ejde-1481	35	3	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	35	4	equation	equation	NOUN
ejde-1481	35	5	;	;	PUNCT
ejde-1481	35	6	sub	sub	ADJ
ejde-1481	35	7	-	-	ADJ
ejde-1481	35	8	super	super	ADJ
ejde-1481	35	9	solution	solution	NOUN
ejde-1481	35	10	method	method	NOUN
ejde-1481	35	11	;	;	PUNCT
ejde-1481	35	12	mountain	mountain	NOUN
ejde-1481	35	13	pass	pass	NOUN
ejde-1481	35	14	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	35	15	;	;	PUNCT
ejde-1481	35	16	singularity	singularity	NOUN
ejde-1481	35	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	36	1	©	©	PROPN
ejde-1481	36	2	2025	2025	NUM
ejde-1481	36	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	37	1	this	this	DET
ejde-1481	37	2	work	work	NOUN
ejde-1481	37	3	is	be	AUX
ejde-1481	37	4	licensed	license	VERB
ejde-1481	37	5	under	under	ADP
ejde-1481	37	6	a	a	DET
ejde-1481	37	7	cc	cc	NOUN
ejde-1481	37	8	by	by	ADP
ejde-1481	37	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1481	37	10	license	license	NOUN
ejde-1481	37	11	.	.	PUNCT
ejde-1481	38	1	submitted	submit	VERB
ejde-1481	38	2	december	december	PROPN
ejde-1481	38	3	11	11	NUM
ejde-1481	38	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	38	5	2024	2024	NUM
ejde-1481	38	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	39	1	published	publish	VERB
ejde-1481	39	2	may	may	PROPN
ejde-1481	39	3	14	14	NUM
ejde-1481	39	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	39	5	2025	2025	NUM
ejde-1481	39	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	40	1	1	1	NUM
ejde-1481	40	2	2	2	NUM
ejde-1481	40	3	x.	x.	NOUN
ejde-1481	40	4	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	40	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	40	6	x.	x.	PROPN
ejde-1481	40	7	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	40	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	40	9	m.	m.	PROPN
ejde-1481	40	10	yang	yang	PROPN
ejde-1481	40	11	ejde-2025/50	ejde-2025/50	PROPN
ejde-1481	40	12	2	2	NUM
ejde-1481	40	13	.	.	X
ejde-1481	40	14	results	result	NOUN
ejde-1481	40	15	for	for	ADP
ejde-1481	40	16	the	the	DET
ejde-1481	40	17	case	case	NOUN
ejde-1481	40	18	p	p	X
ejde-1481	40	19	>	>	X
ejde-1481	40	20	1	1	NUM
ejde-1481	40	21	throughout	throughout	ADP
ejde-1481	40	22	this	this	DET
ejde-1481	40	23	article	article	NOUN
ejde-1481	40	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	40	25	for	for	ADP
ejde-1481	40	26	simplicity	simplicity	NOUN
ejde-1481	40	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	40	28	we	we	PRON
ejde-1481	40	29	denote	denote	VERB
ejde-1481	40	30	maxt∈[0,1	maxt∈[0,1	PROPN
ejde-1481	40	31	]	]	X
ejde-1481	41	1	|w′(t)|	|w′(t)|	NUM
ejde-1481	41	2	by	by	ADP
ejde-1481	41	3	|w′|∞	|w′|∞	NOUN
ejde-1481	41	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	41	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	41	6	denote	denote	VERB
ejde-1481	41	7	br(0	br(0	PROPN
ejde-1481	41	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	41	9	by	by	ADP
ejde-1481	41	10	br	br	NOUN
ejde-1481	41	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	41	12	and	and	CCONJ
ejde-1481	41	13	the	the	DET
ejde-1481	41	14	closure	closure	NOUN
ejde-1481	41	15	of	of	ADP
ejde-1481	41	16	br(0	br(0	NOUN
ejde-1481	41	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	41	18	by	by	ADP
ejde-1481	41	19	br	br	PROPN
ejde-1481	41	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	41	21	for	for	ADP
ejde-1481	41	22	any	any	DET
ejde-1481	41	23	r	r	NOUN
ejde-1481	41	24	>	>	X
ejde-1481	41	25	0	0	NUM
ejde-1481	41	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	42	1	we	we	PRON
ejde-1481	42	2	start	start	VERB
ejde-1481	42	3	with	with	ADP
ejde-1481	42	4	the	the	DET
ejde-1481	42	5	upper	upper	ADJ
ejde-1481	42	6	estimate	estimate	NOUN
ejde-1481	42	7	of	of	ADP
ejde-1481	42	8	positive	positive	ADJ
ejde-1481	42	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	42	10	of	of	ADP
ejde-1481	42	11	equation	equation	NOUN
ejde-1481	42	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	42	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	42	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	42	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	43	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	43	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	43	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	44	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	44	2	1	1	NUM
ejde-1481	44	3	<	<	X
ejde-1481	44	4	p	p	X
ejde-1481	44	5	<	<	X
ejde-1481	44	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	44	7	n	n	NOUN
ejde-1481	44	8	+2)/(n	+2)/(n	NOUN
ejde-1481	44	9	−	−	NUM
ejde-1481	44	10	2	2	NUM
ejde-1481	44	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	44	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	44	13	for	for	ADP
ejde-1481	44	14	any	any	DET
ejde-1481	44	15	positive	positive	ADJ
ejde-1481	44	16	solution	solution	NOUN
ejde-1481	44	17	u	u	NOUN
ejde-1481	44	18	of	of	ADP
ejde-1481	44	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	44	20	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	44	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	44	22	in	in	ADP
ejde-1481	44	23	b1	b1	NOUN
ejde-1481	44	24	there	there	ADV
ejde-1481	44	25	exists	exist	VERB
ejde-1481	44	26	c	c	NOUN
ejde-1481	44	27	=	=	SYM
ejde-1481	44	28	c(n	c(n	PROPN
ejde-1481	44	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	44	30	p	p	X
ejde-1481	44	31	,	,	PUNCT
ejde-1481	44	32	α	α	PROPN
ejde-1481	44	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	44	34	d	d	PROPN
ejde-1481	44	35	,	,	PUNCT
ejde-1481	44	36	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	44	37	)	)	PUNCT
ejde-1481	44	38	>	>	X
ejde-1481	44	39	0	0	NUM
ejde-1481	44	40	such	such	ADJ
ejde-1481	44	41	that	that	SCONJ
ejde-1481	44	42	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	44	43	)	)	PUNCT
ejde-1481	44	44	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	45	1	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	45	2	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	45	3	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	45	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	45	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	45	6	x	x	PROPN
ejde-1481	45	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	45	8	b1	b1	NOUN
ejde-1481	45	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	46	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	46	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	46	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	46	4	for	for	ADP
ejde-1481	46	5	α	α	PRON
ejde-1481	46	6	≤	≤	ADJ
ejde-1481	46	7	−2	−2	NOUN
ejde-1481	46	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	46	9	we	we	PRON
ejde-1481	46	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	46	11	the	the	DET
ejde-1481	46	12	following	follow	VERB
ejde-1481	46	13	result	result	NOUN
ejde-1481	46	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	47	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	47	2	2.2	2.2	NUM
ejde-1481	47	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	48	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	48	2	i	i	NOUN
ejde-1481	48	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	48	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	48	5	p	p	PROPN
ejde-1481	48	6	>	>	X
ejde-1481	48	7	1	1	NUM
ejde-1481	48	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	48	9	α	α	NOUN
ejde-1481	48	10	≤	≤	ADJ
ejde-1481	48	11	−2	−2	NOUN
ejde-1481	48	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	48	13	then	then	ADV
ejde-1481	48	14	(	(	PUNCT
ejde-1481	48	15	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	48	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	48	17	has	have	VERB
ejde-1481	48	18	no	no	DET
ejde-1481	48	19	positive	positive	ADJ
ejde-1481	48	20	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	48	21	with	with	ADP
ejde-1481	48	22	a	a	DET
ejde-1481	48	23	positive	positive	ADJ
ejde-1481	48	24	lower	lower	ADV
ejde-1481	48	25	bound	bind	VERB
ejde-1481	48	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	49	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	49	2	ii	ii	NOUN
ejde-1481	49	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	49	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	49	5	p	p	PROPN
ejde-1481	49	6	>	>	X
ejde-1481	49	7	1	1	NUM
ejde-1481	49	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	49	9	α+	α+	PROPN
ejde-1481	49	10	p+	p+	NOUN
ejde-1481	49	11	2	2	NUM
ejde-1481	49	12	≤	≤	NUM
ejde-1481	49	13	0	0	NUM
ejde-1481	49	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	49	15	then	then	ADV
ejde-1481	49	16	(	(	PUNCT
ejde-1481	49	17	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	49	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	49	19	has	have	VERB
ejde-1481	49	20	no	no	DET
ejde-1481	49	21	positive	positive	ADJ
ejde-1481	49	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	49	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	50	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	50	2	iii	iii	X
ejde-1481	50	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	50	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	50	5	1	1	NUM
ejde-1481	50	6	<	<	X
ejde-1481	50	7	p	p	X
ejde-1481	50	8	<	<	X
ejde-1481	50	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	50	10	n	n	PROPN
ejde-1481	50	11	+	+	CCONJ
ejde-1481	50	12	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	50	13	−	−	NOUN
ejde-1481	50	14	2	2	NUM
ejde-1481	50	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	50	16	and	and	CCONJ
ejde-1481	50	17	α+	α+	PRON
ejde-1481	50	18	p+	p+	NOUN
ejde-1481	50	19	1	1	NUM
ejde-1481	50	20	<	<	X
ejde-1481	50	21	0	0	NUM
ejde-1481	50	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	50	23	then	then	ADV
ejde-1481	50	24	(	(	PUNCT
ejde-1481	50	25	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	50	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	50	27	has	have	VERB
ejde-1481	50	28	no	no	DET
ejde-1481	50	29	positive	positive	ADJ
ejde-1481	50	30	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	50	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	51	1	for	for	ADP
ejde-1481	51	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	51	3	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	51	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	51	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	51	6	when	when	SCONJ
ejde-1481	51	7	1	1	NUM
ejde-1481	51	8	<	<	X
ejde-1481	51	9	p	p	X
ejde-1481	51	10	<	<	X
ejde-1481	51	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	51	12	n	n	PROPN
ejde-1481	51	13	+	+	CCONJ
ejde-1481	51	14	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	51	15	−	−	NOUN
ejde-1481	51	16	2	2	NUM
ejde-1481	51	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	51	18	and	and	CCONJ
ejde-1481	51	19	α	α	NOUN
ejde-1481	51	20	>	>	X
ejde-1481	51	21	−2	−2	NOUN
ejde-1481	51	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	51	23	we	we	PRON
ejde-1481	51	24	have	have	VERB
ejde-1481	51	25	the	the	DET
ejde-1481	51	26	following	follow	VERB
ejde-1481	51	27	result	result	NOUN
ejde-1481	51	28	.	.	PUNCT
ejde-1481	52	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	52	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	52	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	53	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	53	2	1	1	NUM
ejde-1481	53	3	<	<	X
ejde-1481	53	4	p	p	X
ejde-1481	53	5	<	<	X
ejde-1481	53	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	53	7	n	n	PROPN
ejde-1481	53	8	+	+	CCONJ
ejde-1481	53	9	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	53	10	−	−	NOUN
ejde-1481	53	11	2	2	NUM
ejde-1481	53	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	53	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	53	14	α	α	NOUN
ejde-1481	53	15	>	>	X
ejde-1481	53	16	−2	−2	NOUN
ejde-1481	53	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	53	18	then	then	ADV
ejde-1481	53	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	53	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	53	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	53	22	has	have	VERB
ejde-1481	53	23	a	a	DET
ejde-1481	53	24	positive	positive	ADJ
ejde-1481	53	25	solution	solution	NOUN
ejde-1481	53	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	54	1	to	to	PART
ejde-1481	54	2	prove	prove	VERB
ejde-1481	54	3	theorems	theorem	NOUN
ejde-1481	54	4	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	54	5	-	-	SYM
ejde-1481	54	6	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	54	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	54	8	we	we	PRON
ejde-1481	54	9	need	need	VERB
ejde-1481	54	10	the	the	DET
ejde-1481	54	11	following	follow	VERB
ejde-1481	54	12	two	two	NUM
ejde-1481	54	13	technical	technical	ADJ
ejde-1481	54	14	lemmas	lemma	NOUN
ejde-1481	54	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	55	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	55	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1481	55	3	(	(	PUNCT
ejde-1481	55	4	[	[	X
ejde-1481	55	5	16	16	NUM
ejde-1481	55	6	]	]	PUNCT
ejde-1481	55	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	55	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	56	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	56	2	n	n	NUM
ejde-1481	56	3	≥	≥	NOUN
ejde-1481	56	4	3	3	NUM
ejde-1481	56	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	6	1	1	NUM
ejde-1481	56	7	<	<	X
ejde-1481	56	8	p	p	X
ejde-1481	56	9	<	<	X
ejde-1481	56	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	56	11	n	n	PROPN
ejde-1481	56	12	+	+	CCONJ
ejde-1481	56	13	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	56	14	−	−	NOUN
ejde-1481	56	15	2	2	NUM
ejde-1481	56	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	56	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	18	µ	µ	X
ejde-1481	56	19	∈	∈	X
ejde-1481	56	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	56	21	0	0	NUM
ejde-1481	56	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	23	1	1	NUM
ejde-1481	56	24	]	]	PUNCT
ejde-1481	56	25	and	and	CCONJ
ejde-1481	56	26	a(x	a(x	PROPN
ejde-1481	56	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	56	28	∈	∈	PROPN
ejde-1481	56	29	cµ(b1	cµ(b1	NOUN
ejde-1481	56	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	56	31	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	56	32	∥a∥cµ(b1	∥a∥cµ(b1	NOUN
ejde-1481	56	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	56	34	≤	≤	NOUN
ejde-1481	56	35	c1	c1	NOUN
ejde-1481	56	36	and	and	CCONJ
ejde-1481	56	37	a(x	a(x	PROPN
ejde-1481	56	38	)	)	PUNCT
ejde-1481	56	39	≥	≥	NOUN
ejde-1481	56	40	c2	c2	PROPN
ejde-1481	56	41	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	42	x	x	PROPN
ejde-1481	56	43	∈	∈	PROPN
ejde-1481	56	44	b1	b1	NOUN
ejde-1481	56	45	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	46	for	for	ADP
ejde-1481	56	47	some	some	DET
ejde-1481	56	48	constants	constant	NOUN
ejde-1481	56	49	c1	c1	NOUN
ejde-1481	56	50	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	51	c2	c2	PROPN
ejde-1481	56	52	>	>	X
ejde-1481	56	53	0	0	PROPN
ejde-1481	56	54	,	,	PUNCT
ejde-1481	56	55	then	then	ADV
ejde-1481	56	56	there	there	PRON
ejde-1481	56	57	exists	exist	VERB
ejde-1481	56	58	c	c	NOUN
ejde-1481	56	59	>	>	X
ejde-1481	56	60	0	0	PUNCT
ejde-1481	57	1	depending	depend	VERB
ejde-1481	57	2	only	only	ADV
ejde-1481	57	3	on	on	ADP
ejde-1481	57	4	n	n	CCONJ
ejde-1481	57	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	6	p	p	X
ejde-1481	57	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	8	µ	µ	NOUN
ejde-1481	57	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	10	c1	c1	PROPN
ejde-1481	57	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	12	c2	c2	PROPN
ejde-1481	57	13	such	such	ADJ
ejde-1481	57	14	that	that	PRON
ejde-1481	57	15	for	for	ADP
ejde-1481	57	16	any	any	DET
ejde-1481	57	17	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1481	57	18	classical	classical	ADJ
ejde-1481	57	19	solution	solution	NOUN
ejde-1481	57	20	u	u	NOUN
ejde-1481	57	21	of	of	ADP
ejde-1481	57	22	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	57	23	=	=	SYM
ejde-1481	57	24	a(x)up	a(x)up	PROPN
ejde-1481	57	25	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	26	x	x	SYM
ejde-1481	57	27	∈	∈	PROPN
ejde-1481	57	28	b1	b1	NOUN
ejde-1481	57	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	57	30	it	it	PRON
ejde-1481	57	31	holds	hold	VERB
ejde-1481	57	32	|u(x)|	|u(x)|	PROPN
ejde-1481	57	33	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	57	34	2	2	NUM
ejde-1481	58	1	+	+	NUM
ejde-1481	58	2	|∇u(x)|	|∇u(x)|	NOUN
ejde-1481	58	3	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	58	4	p+1	p+1	NOUN
ejde-1481	58	5	≤	≤	ADJ
ejde-1481	58	6	c(1	c(1	NOUN
ejde-1481	58	7	+	+	CCONJ
ejde-1481	58	8	1	1	NUM
ejde-1481	58	9	1−	1−	NUM
ejde-1481	58	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	58	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	58	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	58	13	x	x	PROPN
ejde-1481	58	14	∈	∈	PROPN
ejde-1481	58	15	b1	b1	NOUN
ejde-1481	58	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	59	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	59	2	2.2	2.2	NUM
ejde-1481	59	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	59	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	59	5	2.5	2.5	NUM
ejde-1481	59	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	60	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	60	2	1	1	NUM
ejde-1481	60	3	<	<	X
ejde-1481	60	4	p	p	X
ejde-1481	60	5	<	<	X
ejde-1481	60	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	60	7	n	n	NOUN
ejde-1481	60	8	+2)/(n	+2)/(n	NOUN
ejde-1481	60	9	−2	−2	NOUN
ejde-1481	60	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	60	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	60	12	then	then	ADV
ejde-1481	60	13	there	there	PRON
ejde-1481	60	14	exists	exist	VERB
ejde-1481	60	15	c	c	NOUN
ejde-1481	60	16	=	=	SYM
ejde-1481	60	17	c(n	c(n	PROPN
ejde-1481	60	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	60	19	p	p	X
ejde-1481	60	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	60	21	α	α	PROPN
ejde-1481	60	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	60	23	d	d	PROPN
ejde-1481	60	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	60	25	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	60	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	60	27	>	>	X
ejde-1481	60	28	0	0	NUM
ejde-1481	61	1	such	such	ADJ
ejde-1481	61	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	61	3	any	any	DET
ejde-1481	61	4	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1481	61	5	solution	solution	NOUN
ejde-1481	61	6	u	u	NOUN
ejde-1481	61	7	of	of	ADP
ejde-1481	61	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	61	9	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	61	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	61	11	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	61	12	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	61	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	61	14	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	62	1	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	62	2	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	62	3	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	62	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	62	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	62	6	|∇u(x)|	|∇u(x)|	NOUN
ejde-1481	62	7	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	63	1	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	63	2	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	64	1	p+1+α	p+1+α	PROPN
ejde-1481	65	1	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	65	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	65	3	x	x	PROPN
ejde-1481	65	4	∈	∈	PROPN
ejde-1481	65	5	b1\b1/2	b1\b1/2	PROPN
ejde-1481	65	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	66	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	66	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	66	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	66	4	proof	proof	NOUN
ejde-1481	66	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	67	1	let	let	VERB
ejde-1481	67	2	x0	x0	PROPN
ejde-1481	67	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	67	4	b1	b1	NOUN
ejde-1481	67	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	68	1	then	then	ADV
ejde-1481	68	2	y	y	INTJ
ejde-1481	68	3	:	:	PUNCT
ejde-1481	68	4	=	=	SYM
ejde-1481	68	5	x0	x0	PROPN
ejde-1481	68	6	+	+	CCONJ
ejde-1481	68	7	c(x0)x/2	c(x0)x/2	SYM
ejde-1481	68	8	∈	∈	NOUN
ejde-1481	68	9	b1	b1	NOUN
ejde-1481	68	10	for	for	ADP
ejde-1481	68	11	all	all	DET
ejde-1481	68	12	x	x	SYM
ejde-1481	68	13	∈	∈	PROPN
ejde-1481	68	14	b1	b1	NOUN
ejde-1481	68	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	68	16	where	where	SCONJ
ejde-1481	68	17	c(x	c(x	NOUN
ejde-1481	68	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	68	19	=	=	SYM
ejde-1481	69	1	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	69	2	−	−	PROPN
ejde-1481	69	3	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	69	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	69	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	70	1	let	let	VERB
ejde-1481	70	2	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	70	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	70	4	=	=	SYM
ejde-1481	70	5	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	70	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	70	7	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	71	1	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	71	2	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	71	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	71	4	c(x0)x/2	c(x0)x/2	NOUN
ejde-1481	71	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	71	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	71	7	x	x	PROPN
ejde-1481	71	8	∈	∈	PROPN
ejde-1481	71	9	b1	b1	NOUN
ejde-1481	71	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	72	1	then	then	ADV
ejde-1481	72	2	u	u	PRON
ejde-1481	72	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	72	4	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	73	1	=	=	SYM
ejde-1481	73	2	a(x;x0)u	a(x;x0)u	X
ejde-1481	73	3	p	p	X
ejde-1481	73	4	∀x	∀x	PUNCT
ejde-1481	73	5	∈	∈	PROPN
ejde-1481	73	6	b1	b1	NOUN
ejde-1481	73	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	73	8	where	where	SCONJ
ejde-1481	73	9	a(x;x0	a(x;x0	X
ejde-1481	73	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	73	11	=	=	SYM
ejde-1481	73	12	c(y)α	c(y)α	PROPN
ejde-1481	73	13	4c(x0)α	4c(x0)α	NOUN
ejde-1481	73	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	74	1	for	for	ADP
ejde-1481	74	2	x0	x0	PROPN
ejde-1481	74	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	74	4	b1	b1	PROPN
ejde-1481	74	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	74	6	it	it	PRON
ejde-1481	74	7	follows	follow	VERB
ejde-1481	74	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	74	9	c(y	c(y	NOUN
ejde-1481	74	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	11	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	74	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	13	≥	≥	NOUN
ejde-1481	74	14	d(1−	d(1−	PROPN
ejde-1481	74	15	|x0	|x0	PROPN
ejde-1481	74	16	+	+	CCONJ
ejde-1481	74	17	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	74	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	19	2	2	NUM
ejde-1481	74	20	x|	x|	PROPN
ejde-1481	74	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	22	1−	1−	NUM
ejde-1481	74	23	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-1481	74	24	≥	≥	PROPN
ejde-1481	74	25	d(1−	d(1−	PROPN
ejde-1481	74	26	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-1481	74	27	−	−	PROPN
ejde-1481	74	28	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	74	29	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	30	2	2	NUM
ejde-1481	74	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	32	1−	1−	NUM
ejde-1481	74	33	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-1481	74	34	≥	≥	NOUN
ejde-1481	74	35	d	d	ADP
ejde-1481	74	36	2	2	NUM
ejde-1481	74	37	>	>	SYM
ejde-1481	74	38	0	0	NUM
ejde-1481	74	39	and	and	CCONJ
ejde-1481	74	40	c(y	c(y	PROPN
ejde-1481	74	41	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	42	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	74	43	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	44	≤	≤	NOUN
ejde-1481	74	45	(	(	PUNCT
ejde-1481	74	46	1−	1−	NUM
ejde-1481	74	47	|x0	|x0	PROPN
ejde-1481	74	48	+	+	CCONJ
ejde-1481	74	49	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	74	50	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	51	2	2	NUM
ejde-1481	74	52	x|	x|	PROPN
ejde-1481	74	53	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	54	d(1−	d(1−	PROPN
ejde-1481	74	55	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-1481	74	56	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	57	≤	≤	NOUN
ejde-1481	74	58	(	(	PUNCT
ejde-1481	74	59	1−	1−	NUM
ejde-1481	74	60	|x0|+	|x0|+	ADV
ejde-1481	74	61	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	74	62	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	63	2	2	NUM
ejde-1481	74	64	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	65	d(1−	d(1−	PROPN
ejde-1481	74	66	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-1481	74	67	)	)	PUNCT
ejde-1481	74	68	≤	≤	NOUN
ejde-1481	74	69	3	3	NUM
ejde-1481	74	70	2d	2d	NOUN
ejde-1481	74	71	.	.	PUNCT
ejde-1481	75	1	thus	thus	ADV
ejde-1481	75	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	75	3	for	for	ADP
ejde-1481	75	4	x	x	SYM
ejde-1481	75	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	75	6	x0	x0	PROPN
ejde-1481	75	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	75	8	b1	b1	NOUN
ejde-1481	75	9	it	it	PRON
ejde-1481	75	10	holds(d	holds(d	VERB
ejde-1481	75	11	2	2	NUM
ejde-1481	75	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	13	α	α	PROPN
ejde-1481	75	14	≤	≤	NUM
ejde-1481	75	15	4a(x;x0	4a(x;x0	NUM
ejde-1481	75	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	17	≤	≤	NOUN
ejde-1481	75	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	75	19	3	3	NUM
ejde-1481	75	20	2d	2d	NUM
ejde-1481	75	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	22	α	α	NOUN
ejde-1481	75	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	75	24	as	as	ADP
ejde-1481	75	25	α	α	DET
ejde-1481	75	26	≥	≥	NOUN
ejde-1481	75	27	0	0	NUM
ejde-1481	75	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	75	29	(	(	PUNCT
ejde-1481	75	30	3	3	NUM
ejde-1481	75	31	2d	2d	NUM
ejde-1481	75	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	33	α	α	PROPN
ejde-1481	75	34	≤	≤	NUM
ejde-1481	75	35	4a(x;x0	4a(x;x0	NUM
ejde-1481	75	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	37	≤	≤	NOUN
ejde-1481	75	38	(	(	PUNCT
ejde-1481	75	39	d	d	NOUN
ejde-1481	75	40	2	2	X
ejde-1481	75	41	)	)	PUNCT
ejde-1481	75	42	α	α	NOUN
ejde-1481	75	43	,	,	PUNCT
ejde-1481	75	44	as	as	ADP
ejde-1481	75	45	α	α	X
ejde-1481	75	46	<	<	X
ejde-1481	75	47	0	0	NUM
ejde-1481	75	48	.	.	PUNCT
ejde-1481	76	1	ejde-2025/50	ejde-2025/50	NOUN
ejde-1481	76	2	generalized	generalize	VERB
ejde-1481	76	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	76	4	-	-	PUNCT
ejde-1481	76	5	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	76	6	equations	equation	NOUN
ejde-1481	76	7	3	3	NUM
ejde-1481	76	8	we	we	PRON
ejde-1481	76	9	claim	claim	VERB
ejde-1481	76	10	that	that	SCONJ
ejde-1481	76	11	∥a(·;x0)∥c1(b1	∥a(·;x0)∥c1(b1	NOUN
ejde-1481	76	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	76	13	≤	≤	NUM
ejde-1481	76	14	c	c	NOUN
ejde-1481	76	15	for	for	ADP
ejde-1481	76	16	x0	x0	PROPN
ejde-1481	76	17	∈	∈	PROPN
ejde-1481	76	18	b1\b1/2	b1\b1/2	PROPN
ejde-1481	76	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	76	20	where	where	SCONJ
ejde-1481	76	21	c	c	NOUN
ejde-1481	76	22	depends	depend	VERB
ejde-1481	76	23	only	only	ADV
ejde-1481	76	24	on	on	ADP
ejde-1481	76	25	d	d	PROPN
ejde-1481	76	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	76	27	α	α	NOUN
ejde-1481	76	28	and	and	CCONJ
ejde-1481	76	29	|w′|∞.	|w′|∞.	VERB
ejde-1481	76	30	in	in	ADP
ejde-1481	76	31	fact	fact	NOUN
ejde-1481	76	32	,	,	PUNCT
ejde-1481	76	33	using	use	VERB
ejde-1481	76	34	|dia(x;x0)|	|dia(x;x0)|	NOUN
ejde-1481	76	35	=	=	SYM
ejde-1481	76	36	∣∣∣α	∣∣∣α	PROPN
ejde-1481	76	37	8	8	NUM
ejde-1481	76	38	(	(	PUNCT
ejde-1481	76	39	c(y	c(y	PROPN
ejde-1481	76	40	)	)	PUNCT
ejde-1481	76	41	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	76	42	)	)	PUNCT
ejde-1481	76	43	)	)	PUNCT
ejde-1481	77	1	α−1	α−1	NOUN
ejde-1481	77	2	x	x	SYM
ejde-1481	78	1	i	i	NOUN
ejde-1481	78	2	0	0	PUNCT
ejde-1481	78	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	78	4	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	78	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	78	6	2	2	NUM
ejde-1481	78	7	xi	xi	ADP
ejde-1481	78	8	|x0	|x0	PROPN
ejde-1481	78	9	+	+	CCONJ
ejde-1481	78	10	w(|x0|)(1−|x0|	w(|x0|)(1−|x0|	PROPN
ejde-1481	78	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	78	12	2	2	NUM
ejde-1481	78	13	x|	x|	X
ejde-1481	79	1	[	[	X
ejde-1481	79	2	w′(|y|)(1−	w′(|y|)(1−	PROPN
ejde-1481	79	3	|y|)−	|y|)−	ADJ
ejde-1481	79	4	w(|y|	w(|y|	PROPN
ejde-1481	79	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	79	6	]	]	PUNCT
ejde-1481	79	7	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1481	79	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	9	where	where	SCONJ
ejde-1481	79	10	xi	xi	PROPN
ejde-1481	79	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	79	12	xi	xi	PROPN
ejde-1481	79	13	0	0	PROPN
ejde-1481	79	14	denote	denote	VERB
ejde-1481	79	15	the	the	DET
ejde-1481	79	16	i	i	PROPN
ejde-1481	79	17	-	-	PUNCT
ejde-1481	79	18	th	th	VERB
ejde-1481	79	19	component	component	NOUN
ejde-1481	79	20	of	of	ADP
ejde-1481	79	21	x	x	PROPN
ejde-1481	79	22	and	and	CCONJ
ejde-1481	79	23	x0	x0	PROPN
ejde-1481	79	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	25	for	for	ADP
ejde-1481	79	26	x	x	PROPN
ejde-1481	79	27	∈	∈	PROPN
ejde-1481	79	28	b1	b1	NOUN
ejde-1481	79	29	and	and	CCONJ
ejde-1481	79	30	x0	x0	PROPN
ejde-1481	79	31	∈	∈	PROPN
ejde-1481	79	32	b1\b1/2	b1\b1/2	PROPN
ejde-1481	79	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	34	we	we	PRON
ejde-1481	79	35	have	have	VERB
ejde-1481	79	36	|dia(x;x0)|	|dia(x;x0)|	NOUN
ejde-1481	79	37	≤	≤	NOUN
ejde-1481	79	38	{	{	PUNCT
ejde-1481	79	39	α	α	NOUN
ejde-1481	79	40	8	8	NUM
ejde-1481	79	41	(	(	PUNCT
ejde-1481	79	42	|w	|w	ADJ
ejde-1481	79	43	′|∞	′|∞	NOUN
ejde-1481	79	44	+	+	X
ejde-1481	79	45	1	1	X
ejde-1481	79	46	)	)	PUNCT
ejde-1481	79	47	(	(	PUNCT
ejde-1481	79	48	3	3	NUM
ejde-1481	79	49	2d	2d	NUM
ejde-1481	79	50	)	)	PUNCT
ejde-1481	79	51	α−1	α−1	PROPN
ejde-1481	79	52	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	53	as	as	SCONJ
ejde-1481	79	54	α	α	PRON
ejde-1481	79	55	≥	≥	NUM
ejde-1481	79	56	1	1	NUM
ejde-1481	79	57	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	58	|α|	|α|	PROPN
ejde-1481	79	59	8	8	NUM
ejde-1481	79	60	(	(	PUNCT
ejde-1481	79	61	|w′|∞	|w′|∞	NOUN
ejde-1481	79	62	+	+	NOUN
ejde-1481	79	63	1	1	NUM
ejde-1481	79	64	)	)	PUNCT
ejde-1481	79	65	(	(	PUNCT
ejde-1481	79	66	d	d	NOUN
ejde-1481	79	67	2	2	X
ejde-1481	79	68	)	)	PUNCT
ejde-1481	79	69	α−1	α−1	PROPN
ejde-1481	79	70	,	,	PUNCT
ejde-1481	79	71	as	as	ADP
ejde-1481	79	72	α	α	X
ejde-1481	79	73	<	<	X
ejde-1481	79	74	1	1	NUM
ejde-1481	79	75	.	.	PUNCT
ejde-1481	80	1	in	in	ADP
ejde-1481	80	2	view	view	NOUN
ejde-1481	80	3	of	of	ADP
ejde-1481	80	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	80	5	2.4	2.4	NUM
ejde-1481	80	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	80	7	we	we	PRON
ejde-1481	80	8	have	have	VERB
ejde-1481	80	9	|u(x)|	|u(x)|	NOUN
ejde-1481	80	10	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	80	11	2	2	NUM
ejde-1481	81	1	+	+	NUM
ejde-1481	81	2	|∇u(x)|	|∇u(x)|	NOUN
ejde-1481	81	3	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	81	4	p+1	p+1	NOUN
ejde-1481	81	5	≤	≤	ADJ
ejde-1481	81	6	c(1	c(1	NOUN
ejde-1481	81	7	+	+	CCONJ
ejde-1481	81	8	1	1	NUM
ejde-1481	81	9	1−	1−	NUM
ejde-1481	81	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	81	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	81	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	81	13	x	x	PROPN
ejde-1481	81	14	∈	∈	PROPN
ejde-1481	81	15	b1	b1	NOUN
ejde-1481	81	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	82	1	let	let	VERB
ejde-1481	82	2	x	x	SYM
ejde-1481	82	3	=	=	SYM
ejde-1481	82	4	0	0	X
ejde-1481	82	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	83	1	then	then	ADV
ejde-1481	83	2	we	we	PRON
ejde-1481	83	3	deduce	deduce	VERB
ejde-1481	83	4	|u(0)|	|u(0)|	NOUN
ejde-1481	83	5	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	83	6	2	2	NUM
ejde-1481	83	7	+	+	CCONJ
ejde-1481	83	8	|∇u(0)|	|∇u(0)|	NOUN
ejde-1481	83	9	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	83	10	p+1	p+1	NOUN
ejde-1481	83	11	≤	≤	PROPN
ejde-1481	84	1	c	c	X
ejde-1481	84	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	84	3	u(0	u(0	NOUN
ejde-1481	84	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	84	5	=	=	SYM
ejde-1481	84	6	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	84	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	84	8	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	84	9	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	84	10	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	84	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	84	12	=	=	PUNCT
ejde-1481	85	1	[	[	X
ejde-1481	85	2	w(|x0|)(1−	w(|x0|)(1−	PROPN
ejde-1481	85	3	|x0|	|x0|	NUM
ejde-1481	85	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	85	5	]	]	PUNCT
ejde-1481	85	6	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	85	7	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	85	8	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	85	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	85	10	≥	≥	NOUN
ejde-1481	85	11	0	0	NUM
ejde-1481	85	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	86	1	so	so	ADV
ejde-1481	86	2	we	we	PRON
ejde-1481	86	3	have	have	VERB
ejde-1481	86	4	u(0	u(0	NOUN
ejde-1481	86	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	87	1	+	+	CCONJ
ejde-1481	87	2	|∇u(0)|	|∇u(0)|	NUM
ejde-1481	87	3	≤	≤	NUM
ejde-1481	87	4	c	c	NOUN
ejde-1481	87	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	87	6	which	which	PRON
ejde-1481	87	7	implies	imply	VERB
ejde-1481	87	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	87	9	for	for	ADP
ejde-1481	87	10	any	any	DET
ejde-1481	87	11	x0	x0	PROPN
ejde-1481	87	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	87	13	b1\b1/2	b1\b1/2	NOUN
ejde-1481	87	14	it	it	PRON
ejde-1481	87	15	holds	hold	VERB
ejde-1481	87	16	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	87	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	87	18	≤	≤	NOUN
ejde-1481	87	19	c[w(|x0|)(1−	c[w(|x0|)(1−	ADP
ejde-1481	87	20	|x0|)]−	|x0|)]−	NUM
ejde-1481	87	21	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	87	22	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	87	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	87	24	|∇u(x0)|	|∇u(x0)|	VERB
ejde-1481	87	25	≤	≤	ADJ
ejde-1481	87	26	c[w(|x0|)(1−	c[w(|x0|)(1−	ADP
ejde-1481	87	27	|x0|)]−	|x0|)]−	NUM
ejde-1481	87	28	p+α+1	p+α+1	NOUN
ejde-1481	87	29	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	87	30	.	.	PUNCT
ejde-1481	88	1	by	by	ADP
ejde-1481	88	2	the	the	DET
ejde-1481	88	3	arbitrariness	arbitrariness	NOUN
ejde-1481	88	4	of	of	ADP
ejde-1481	88	5	x0	x0	PROPN
ejde-1481	88	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	88	7	b1\b1/2	b1\b1/2	PROPN
ejde-1481	88	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	88	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-1481	88	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	88	11	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	88	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	88	13	follows	follow	VERB
ejde-1481	88	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	89	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	89	2	proof	proof	NOUN
ejde-1481	89	3	of	of	ADP
ejde-1481	89	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	89	5	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	89	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	90	1	on	on	ADP
ejde-1481	90	2	the	the	DET
ejde-1481	90	3	one	one	NUM
ejde-1481	90	4	hand	hand	NOUN
ejde-1481	90	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	6	by	by	ADP
ejde-1481	90	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	90	8	2.5	2.5	NUM
ejde-1481	90	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	10	there	there	PRON
ejde-1481	90	11	exists	exist	VERB
ejde-1481	90	12	c1	c1	NOUN
ejde-1481	90	13	=	=	PUNCT
ejde-1481	90	14	c1(n	c1(n	PROPN
ejde-1481	90	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	16	p	p	X
ejde-1481	90	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	18	α	α	PROPN
ejde-1481	90	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	20	d	d	PROPN
ejde-1481	90	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	90	22	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	90	23	)	)	PUNCT
ejde-1481	90	24	>	>	X
ejde-1481	90	25	0	0	NUM
ejde-1481	91	1	such	such	ADJ
ejde-1481	91	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	91	3	any	any	DET
ejde-1481	91	4	positive	positive	ADJ
ejde-1481	91	5	solution	solution	NOUN
ejde-1481	91	6	u	u	NOUN
ejde-1481	91	7	of	of	ADP
ejde-1481	91	8	equation	equation	NOUN
ejde-1481	91	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	91	10	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	91	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	91	12	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	91	13	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	91	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	91	15	≤	≤	NUM
ejde-1481	91	16	c1[w(|x|)(1−	c1[w(|x|)(1−	X
ejde-1481	92	1	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	92	2	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	92	3	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	92	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	92	5	x	x	PUNCT
ejde-1481	92	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	92	7	b1\b1/2	b1\b1/2	PROPN
ejde-1481	92	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	93	1	on	on	ADP
ejde-1481	93	2	the	the	DET
ejde-1481	93	3	other	other	ADJ
ejde-1481	93	4	hand	hand	NOUN
ejde-1481	93	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	93	6	we	we	PRON
ejde-1481	93	7	have	have	VERB
ejde-1481	93	8	0	0	NUM
ejde-1481	93	9	<	<	X
ejde-1481	93	10	d	d	PROPN
ejde-1481	93	11	2	2	NUM
ejde-1481	93	12	≤	≤	NUM
ejde-1481	93	13	w(|x|)(1	w(|x|)(1	PRON
ejde-1481	93	14	−	−	PROPN
ejde-1481	94	1	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	94	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	94	3	≤	≤	NOUN
ejde-1481	94	4	1	1	NUM
ejde-1481	94	5	for	for	ADP
ejde-1481	94	6	x	x	PROPN
ejde-1481	94	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	94	8	b1/2	b1/2	NOUN
ejde-1481	94	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	94	10	which	which	PRON
ejde-1481	94	11	together	together	ADV
ejde-1481	94	12	with	with	ADP
ejde-1481	94	13	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	94	14	2.4	2.4	NUM
ejde-1481	94	15	implies	imply	VERB
ejde-1481	94	16	that	that	SCONJ
ejde-1481	94	17	there	there	PRON
ejde-1481	94	18	is	be	VERB
ejde-1481	94	19	c2	c2	PROPN
ejde-1481	94	20	=	=	SYM
ejde-1481	94	21	c2(n	c2(n	PROPN
ejde-1481	94	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	94	23	p	p	X
ejde-1481	94	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	94	25	α	α	PROPN
ejde-1481	94	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	94	27	d	d	PROPN
ejde-1481	94	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	94	29	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	94	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	94	31	>	>	X
ejde-1481	94	32	0	0	NUM
ejde-1481	94	33	such	such	ADJ
ejde-1481	94	34	that	that	SCONJ
ejde-1481	94	35	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	94	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	94	37	≤	≤	NOUN
ejde-1481	94	38	c2	c2	PROPN
ejde-1481	94	39	for	for	ADP
ejde-1481	94	40	x	x	PROPN
ejde-1481	94	41	∈	∈	PROPN
ejde-1481	94	42	b1/2	b1/2	NOUN
ejde-1481	94	43	.	.	PUNCT
ejde-1481	95	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1481	95	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	3	there	there	PRON
ejde-1481	95	4	exists	exist	VERB
ejde-1481	95	5	c	c	NOUN
ejde-1481	95	6	=	=	SYM
ejde-1481	95	7	c(n	c(n	PROPN
ejde-1481	95	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	9	p	p	X
ejde-1481	95	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	11	α	α	PROPN
ejde-1481	95	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	13	d	d	PROPN
ejde-1481	95	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	15	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	95	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	95	17	>	>	X
ejde-1481	95	18	0	0	NUM
ejde-1481	95	19	such	such	ADJ
ejde-1481	95	20	that	that	SCONJ
ejde-1481	95	21	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	95	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	95	23	≤	≤	NOUN
ejde-1481	95	24	c[w(|x|)(1	c[w(|x|)(1	ADV
ejde-1481	95	25	−	−	PROPN
ejde-1481	95	26	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	95	27	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	95	28	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	95	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	95	30	for	for	ADP
ejde-1481	95	31	x	x	PROPN
ejde-1481	95	32	∈	∈	PROPN
ejde-1481	95	33	b1	b1	NOUN
ejde-1481	95	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	96	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	96	2	proof	proof	NOUN
ejde-1481	96	3	of	of	ADP
ejde-1481	96	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	96	5	2.2	2.2	NUM
ejde-1481	96	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	97	1	assume	assume	VERB
ejde-1481	97	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	97	3	u	u	PROPN
ejde-1481	97	4	∈	∈	PROPN
ejde-1481	97	5	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	97	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	97	7	is	be	AUX
ejde-1481	97	8	a	a	DET
ejde-1481	97	9	positive	positive	ADJ
ejde-1481	97	10	solution	solution	NOUN
ejde-1481	97	11	of	of	ADP
ejde-1481	97	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	97	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	97	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	97	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	98	1	using	use	VERB
ejde-1481	98	2	spherical	spherical	ADJ
ejde-1481	98	3	coordinates	coordinate	NOUN
ejde-1481	98	4	to	to	PART
ejde-1481	98	5	write	write	VERB
ejde-1481	98	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	98	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	98	8	=	=	SYM
ejde-1481	98	9	u(r	u(r	NOUN
ejde-1481	98	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	98	11	θ	θ	NOUN
ejde-1481	98	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	98	13	with	with	ADP
ejde-1481	98	14	r	r	NOUN
ejde-1481	98	15	=	=	SYM
ejde-1481	98	16	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	98	17	and	and	CCONJ
ejde-1481	98	18	θ	θ	PROPN
ejde-1481	98	19	=	=	PUNCT
ejde-1481	99	1	x	x	PUNCT
ejde-1481	99	2	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	99	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	99	4	we	we	PRON
ejde-1481	99	5	have	have	VERB
ejde-1481	99	6	urr	urr	NOUN
ejde-1481	99	7	+	+	CCONJ
ejde-1481	99	8	n	n	CCONJ
ejde-1481	99	9	−	−	NUM
ejde-1481	99	10	1	1	NUM
ejde-1481	100	1	r	r	NOUN
ejde-1481	100	2	ur	ur	NOUN
ejde-1481	100	3	+	+	NOUN
ejde-1481	100	4	1	1	NUM
ejde-1481	100	5	r2	r2	NOUN
ejde-1481	100	6	∆sn−1u	∆sn−1u	NOUN
ejde-1481	100	7	=	=	SYM
ejde-1481	100	8	−[w(r)(1−	−[w(r)(1−	PROPN
ejde-1481	100	9	r)]αup	r)]αup	NOUN
ejde-1481	100	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	100	11	r	r	NOUN
ejde-1481	100	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	100	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	100	14	0	0	NUM
ejde-1481	100	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	100	16	1	1	NUM
ejde-1481	100	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	100	18	.	.	PUNCT
ejde-1481	101	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	101	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1481	101	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	101	4	let	let	VERB
ejde-1481	101	5	ũ(r	ũ(r	NOUN
ejde-1481	101	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	101	7	=	=	SYM
ejde-1481	101	8	1	1	NUM
ejde-1481	101	9	|sn−1|	|sn−1|	NUM
ejde-1481	101	10	∫	∫	PROPN
ejde-1481	101	11	sn−1	sn−1	PROPN
ejde-1481	101	12	u(r	u(r	PROPN
ejde-1481	101	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	101	14	θ)dθ	θ)dθ	PROPN
ejde-1481	101	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	102	1	it	it	PRON
ejde-1481	102	2	follows	follow	VERB
ejde-1481	102	3	from	from	ADP
ejde-1481	102	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	102	5	2.4	2.4	NUM
ejde-1481	102	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	103	1	that	that	PRON
ejde-1481	103	2	ũrr	ũrr	ADV
ejde-1481	103	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	103	4	n	n	CCONJ
ejde-1481	103	5	−	−	NUM
ejde-1481	103	6	1	1	NUM
ejde-1481	103	7	r	r	NOUN
ejde-1481	103	8	ũr	ũr	NOUN
ejde-1481	103	9	=	=	PUNCT
ejde-1481	104	1	−	−	PROPN
ejde-1481	105	1	[	[	X
ejde-1481	105	2	w(r)(1−	w(r)(1−	NUM
ejde-1481	105	3	r)]α	r)]α	PROPN
ejde-1481	105	4	|sn−1|	|sn−1|	PROPN
ejde-1481	105	5	∫	∫	PROPN
ejde-1481	105	6	sn−1	sn−1	PROPN
ejde-1481	105	7	u(r	u(r	PROPN
ejde-1481	105	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	105	9	θ)pdθ	θ)pdθ	PROPN
ejde-1481	105	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	106	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	106	2	2.5	2.5	NUM
ejde-1481	106	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	106	4	thus	thus	ADV
ejde-1481	106	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	106	6	we	we	PRON
ejde-1481	106	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	106	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	106	9	rn−1ũ′(r))′	rn−1ũ′(r))′	PROPN
ejde-1481	106	10	<	<	X
ejde-1481	106	11	0	0	NUM
ejde-1481	106	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	106	13	for	for	ADP
ejde-1481	106	14	all	all	DET
ejde-1481	106	15	r	r	NOUN
ejde-1481	106	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	106	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	106	18	0	0	NUM
ejde-1481	106	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	106	20	1	1	NUM
ejde-1481	106	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	106	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	106	23	which	which	PRON
ejde-1481	106	24	implies	imply	VERB
ejde-1481	106	25	that	that	SCONJ
ejde-1481	106	26	rn−1ũ′	rn−1ũ′	NOUN
ejde-1481	106	27	is	be	AUX
ejde-1481	106	28	decreasing	decrease	VERB
ejde-1481	106	29	.	.	PUNCT
ejde-1481	107	1	it	it	PRON
ejde-1481	107	2	has	have	VERB
ejde-1481	107	3	a	a	DET
ejde-1481	107	4	limit	limit	NOUN
ejde-1481	107	5	m	m	NOUN
ejde-1481	107	6	∈	∈	NOUN
ejde-1481	108	1	[	[	X
ejde-1481	108	2	−∞,+∞	−∞,+∞	NUM
ejde-1481	108	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	108	4	as	as	ADP
ejde-1481	108	5	r	r	NOUN
ejde-1481	108	6	→	→	SYM
ejde-1481	108	7	1−.	1−.	NUM
ejde-1481	108	8	in	in	ADP
ejde-1481	108	9	addition	addition	NOUN
ejde-1481	108	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	108	11	using	use	VERB
ejde-1481	108	12	jensen	jensen	PROPN
ejde-1481	108	13	’s	’s	PART
ejde-1481	108	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-1481	108	15	[	[	X
ejde-1481	108	16	19	19	NUM
ejde-1481	108	17	]	]	PUNCT
ejde-1481	108	18	for	for	ADP
ejde-1481	108	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	108	20	2.5	2.5	NUM
ejde-1481	108	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	108	22	yields	yield	NOUN
ejde-1481	108	23	−(rn−1ũ′)′	−(rn−1ũ′)′	INTJ
ejde-1481	108	24	≥	≥	NOUN
ejde-1481	109	1	[	[	X
ejde-1481	109	2	w(r)(1−	w(r)(1−	ADP
ejde-1481	109	3	r)]αrn−1ũp	r)]αrn−1ũp	ADJ
ejde-1481	109	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	109	5	r	r	NOUN
ejde-1481	109	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	109	7	(	(	PUNCT
ejde-1481	109	8	0	0	NUM
ejde-1481	109	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	109	10	1	1	NUM
ejde-1481	109	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	109	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	110	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	110	2	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	110	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	110	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	110	5	i	i	NOUN
ejde-1481	110	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	110	7	assume	assume	VERB
ejde-1481	110	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	110	9	u	u	PRON
ejde-1481	110	10	has	have	VERB
ejde-1481	110	11	a	a	DET
ejde-1481	110	12	positive	positive	ADJ
ejde-1481	110	13	lower	lower	ADV
ejde-1481	110	14	bound	bind	VERB
ejde-1481	110	15	when	when	SCONJ
ejde-1481	110	16	α	α	NOUN
ejde-1481	110	17	≤	≤	ADJ
ejde-1481	110	18	−2	−2	NOUN
ejde-1481	110	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	111	1	4	4	NUM
ejde-1481	111	2	x.	x.	NOUN
ejde-1481	111	3	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	111	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	111	5	x.	x.	PROPN
ejde-1481	111	6	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	111	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	111	8	m.	m.	PROPN
ejde-1481	111	9	yang	yang	PROPN
ejde-1481	111	10	ejde-2025/50	ejde-2025/50	PROPN
ejde-1481	111	11	case	case	NOUN
ejde-1481	111	12	1	1	X
ejde-1481	111	13	..	..	PUNCT
ejde-1481	111	14	if	if	SCONJ
ejde-1481	111	15	m	m	PROPN
ejde-1481	111	16	≥	≥	NOUN
ejde-1481	111	17	0	0	NUM
ejde-1481	111	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	111	19	then	then	ADV
ejde-1481	111	20	rn−1ũ′(r	rn−1ũ′(r	VERB
ejde-1481	111	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	111	22	>	>	X
ejde-1481	111	23	m	m	PROPN
ejde-1481	111	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	111	25	r	r	NOUN
ejde-1481	111	26	∈	∈	PROPN
ejde-1481	111	27	(	(	PUNCT
ejde-1481	111	28	0	0	NUM
ejde-1481	111	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	111	30	1	1	NUM
ejde-1481	111	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	111	32	.	.	PUNCT
ejde-1481	112	1	so	so	ADV
ejde-1481	112	2	ũ′	ũ′	PROPN
ejde-1481	112	3	>	>	X
ejde-1481	112	4	0	0	PUNCT
ejde-1481	112	5	holds	hold	VERB
ejde-1481	112	6	for	for	ADP
ejde-1481	112	7	r	r	NOUN
ejde-1481	112	8	∈	∈	PROPN
ejde-1481	112	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	112	10	0	0	NUM
ejde-1481	112	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	112	12	1	1	NUM
ejde-1481	112	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	112	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	113	1	assume	assume	VERB
ejde-1481	113	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	113	3	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	113	4	→	→	SYM
ejde-1481	113	5	n1	n1	PROPN
ejde-1481	113	6	as	as	ADP
ejde-1481	113	7	r	r	NOUN
ejde-1481	113	8	→	→	SYM
ejde-1481	113	9	1−.	1−.	NOUN
ejde-1481	113	10	then	then	ADV
ejde-1481	113	11	there	there	PRON
ejde-1481	113	12	exist	exist	VERB
ejde-1481	113	13	constants	constant	NOUN
ejde-1481	113	14	m1	m1	PROPN
ejde-1481	113	15	>	>	X
ejde-1481	113	16	0	0	PUNCT
ejde-1481	114	1	and	and	CCONJ
ejde-1481	114	2	r1	r1	PROPN
ejde-1481	114	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	114	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	114	5	0	0	NUM
ejde-1481	114	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	114	7	1	1	NUM
ejde-1481	114	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	114	9	such	such	ADJ
ejde-1481	114	10	that	that	SCONJ
ejde-1481	114	11	ũ(r	ũ(r	NOUN
ejde-1481	114	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	114	13	>	>	X
ejde-1481	114	14	m1	m1	PROPN
ejde-1481	114	15	for	for	ADP
ejde-1481	114	16	any	any	DET
ejde-1481	114	17	r	r	NOUN
ejde-1481	114	18	∈	∈	PROPN
ejde-1481	114	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	114	20	r1	r1	NOUN
ejde-1481	114	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	114	22	1	1	NUM
ejde-1481	114	23	)	)	PUNCT
ejde-1481	114	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	115	1	from	from	ADP
ejde-1481	115	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	115	3	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	115	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	115	5	it	it	PRON
ejde-1481	115	6	follows	follow	VERB
ejde-1481	115	7	that	that	SCONJ
ejde-1481	115	8	rn−1	rn−1	PROPN
ejde-1481	115	9	1	1	NUM
ejde-1481	115	10	ũ′(r1	ũ′(r1	PROPN
ejde-1481	115	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	115	12	=	=	PUNCT
ejde-1481	116	1	rn−1ũ′(r)−	rn−1ũ′(r)−	PROPN
ejde-1481	116	2	∫	∫	PROPN
ejde-1481	116	3	r	r	PROPN
ejde-1481	116	4	r1	r1	PROPN
ejde-1481	116	5	(	(	PUNCT
ejde-1481	116	6	τn−1ũ′(τ))′	τn−1ũ′(τ))′	X
ejde-1481	116	7	dτ	dτ	X
ejde-1481	116	8	≥	≥	NUM
ejde-1481	116	9	∫	∫	PROPN
ejde-1481	116	10	r	r	PROPN
ejde-1481	116	11	r1	r1	PROPN
ejde-1481	116	12	[	[	X
ejde-1481	116	13	w(τ)(1−	w(τ)(1−	NUM
ejde-1481	116	14	τ)]ατn−1ũ(τ)p	τ)]ατn−1ũ(τ)p	ADJ
ejde-1481	116	15	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	116	16	≥	≥	PROPN
ejde-1481	116	17	2−prn−1	2−prn−1	PROPN
ejde-1481	116	18	1	1	NUM
ejde-1481	116	19	mp	mp	PROPN
ejde-1481	116	20	1	1	NUM
ejde-1481	116	21	∫	∫	NOUN
ejde-1481	116	22	r	r	PROPN
ejde-1481	116	23	r1	r1	PROPN
ejde-1481	116	24	(	(	PUNCT
ejde-1481	116	25	1−	1−	NUM
ejde-1481	116	26	τ)α	τ)α	PUNCT
ejde-1481	116	27	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	116	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	116	29	r	r	NOUN
ejde-1481	116	30	∈	∈	PROPN
ejde-1481	116	31	(	(	PUNCT
ejde-1481	116	32	r1	r1	NOUN
ejde-1481	116	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	116	34	1	1	NUM
ejde-1481	116	35	)	)	PUNCT
ejde-1481	116	36	.	.	PUNCT
ejde-1481	117	1	let	let	VERB
ejde-1481	117	2	r	r	NOUN
ejde-1481	117	3	→	→	SYM
ejde-1481	117	4	1−.	1−.	NUM
ejde-1481	117	5	in	in	ADP
ejde-1481	117	6	view	view	NOUN
ejde-1481	117	7	of	of	ADP
ejde-1481	117	8	α	α	NOUN
ejde-1481	117	9	≤	≤	ADJ
ejde-1481	117	10	−2	−2	NOUN
ejde-1481	117	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	117	12	the	the	DET
ejde-1481	117	13	above	above	ADJ
ejde-1481	117	14	integral	integral	ADJ
ejde-1481	117	15	diverges	diverge	NOUN
ejde-1481	117	16	to	to	ADP
ejde-1481	117	17	+	+	NOUN
ejde-1481	117	18	∞	∞	PROPN
ejde-1481	117	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	117	20	which	which	PRON
ejde-1481	117	21	is	be	AUX
ejde-1481	117	22	a	a	DET
ejde-1481	117	23	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	117	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	118	1	case	case	NOUN
ejde-1481	118	2	2	2	X
ejde-1481	118	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	119	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	119	2	m	m	VERB
ejde-1481	119	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	119	4	[	[	X
ejde-1481	119	5	−∞	−∞	NOUN
ejde-1481	119	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	119	7	0	0	NUM
ejde-1481	119	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	119	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	119	10	there	there	PRON
ejde-1481	119	11	exist	exist	VERB
ejde-1481	119	12	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	119	13	>	>	X
ejde-1481	119	14	0	0	PUNCT
ejde-1481	119	15	and	and	CCONJ
ejde-1481	119	16	n2	n2	PROPN
ejde-1481	119	17	>	>	X
ejde-1481	119	18	0	0	NUM
ejde-1481	119	19	such	such	ADJ
ejde-1481	119	20	that	that	DET
ejde-1481	119	21	rn−1ũ′(r	rn−1ũ′(r	NOUN
ejde-1481	119	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	119	23	<	<	X
ejde-1481	119	24	−n2	−n2	PROPN
ejde-1481	119	25	,	,	PUNCT
ejde-1481	119	26	r	r	NOUN
ejde-1481	119	27	∈	∈	PROPN
ejde-1481	119	28	(	(	PUNCT
ejde-1481	119	29	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	119	30	,	,	PUNCT
ejde-1481	119	31	1	1	NUM
ejde-1481	119	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	119	33	.	.	PUNCT
ejde-1481	120	1	so	so	ADV
ejde-1481	120	2	there	there	PRON
ejde-1481	120	3	is	be	VERB
ejde-1481	120	4	n∗	n∗	PROPN
ejde-1481	120	5	∈	∈	PROPN
ejde-1481	120	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	120	7	0	0	NUM
ejde-1481	120	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	120	9	n2	n2	NOUN
ejde-1481	120	10	]	]	PUNCT
ejde-1481	120	11	such	such	ADJ
ejde-1481	120	12	that	that	SCONJ
ejde-1481	120	13	ũ′(r	ũ′(r	NOUN
ejde-1481	120	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	120	15	<	<	X
ejde-1481	121	1	−n∗	−n∗	PROPN
ejde-1481	122	1	for	for	ADP
ejde-1481	122	2	r	r	PROPN
ejde-1481	122	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	122	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	122	5	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	122	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	122	7	1	1	NUM
ejde-1481	122	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	122	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	123	1	noticing	notice	VERB
ejde-1481	123	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	123	3	u	u	PROPN
ejde-1481	123	4	has	have	VERB
ejde-1481	123	5	a	a	DET
ejde-1481	123	6	positive	positive	ADJ
ejde-1481	123	7	lower	lower	ADV
ejde-1481	123	8	bound	bind	VERB
ejde-1481	123	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	124	1	we	we	PRON
ejde-1481	124	2	assume	assume	VERB
ejde-1481	124	3	that	that	SCONJ
ejde-1481	124	4	ũ(r	ũ(r	NOUN
ejde-1481	124	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	124	6	→	→	PUNCT
ejde-1481	124	7	n3	n3	NOUN
ejde-1481	124	8	∈	∈	PROPN
ejde-1481	124	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	124	10	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1481	124	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	124	12	as	as	ADP
ejde-1481	124	13	r	r	NOUN
ejde-1481	124	14	→	→	SYM
ejde-1481	124	15	1−	1−	NUM
ejde-1481	124	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	124	17	which	which	PRON
ejde-1481	124	18	together	together	ADV
ejde-1481	124	19	with	with	ADP
ejde-1481	124	20	the	the	DET
ejde-1481	124	21	strictly	strictly	ADV
ejde-1481	124	22	decreasing	decrease	VERB
ejde-1481	124	23	of	of	ADP
ejde-1481	124	24	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	124	25	yields	yield	NOUN
ejde-1481	124	26	ũ(r	ũ(r	PROPN
ejde-1481	124	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	124	28	>	>	X
ejde-1481	124	29	n3	n3	NOUN
ejde-1481	124	30	for	for	ADP
ejde-1481	124	31	r	r	PROPN
ejde-1481	124	32	∈	∈	PROPN
ejde-1481	124	33	(	(	PUNCT
ejde-1481	124	34	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	124	35	,	,	PUNCT
ejde-1481	124	36	1	1	NUM
ejde-1481	124	37	)	)	PUNCT
ejde-1481	124	38	.	.	PUNCT
ejde-1481	125	1	from	from	ADP
ejde-1481	125	2	equation	equation	NOUN
ejde-1481	125	3	(	(	PUNCT
ejde-1481	125	4	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	125	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	125	6	it	it	PRON
ejde-1481	125	7	follows	follow	VERB
ejde-1481	125	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	125	9	−rn−1ũ′(r	−rn−1ũ′(r	NOUN
ejde-1481	125	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	125	11	≥	≥	NOUN
ejde-1481	125	12	−rn−1	−rn−1	X
ejde-1481	125	13	∗	∗	NOUN
ejde-1481	125	14	ũ′(r∗	ũ′(r∗	PROPN
ejde-1481	125	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	126	1	+	+	CCONJ
ejde-1481	126	2	np	np	INTJ
ejde-1481	126	3	3	3	NUM
ejde-1481	126	4	∫	∫	NOUN
ejde-1481	126	5	r	r	NOUN
ejde-1481	126	6	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	126	7	[	[	X
ejde-1481	126	8	w(τ)(1−	w(τ)(1−	NUM
ejde-1481	126	9	τ)]ατn−1	τ)]ατn−1	PROPN
ejde-1481	126	10	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	126	11	≥	≥	NOUN
ejde-1481	126	12	np	np	INTJ
ejde-1481	126	13	3	3	NUM
ejde-1481	126	14	∫	∫	NOUN
ejde-1481	126	15	r	r	NOUN
ejde-1481	126	16	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	127	1	[	[	X
ejde-1481	127	2	w(τ)(1−	w(τ)(1−	NUM
ejde-1481	127	3	τ)]ατn−1	τ)]ατn−1	PROPN
ejde-1481	127	4	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	127	5	≥	≥	NOUN
ejde-1481	127	6	np	np	INTJ
ejde-1481	127	7	3r	3r	NUM
ejde-1481	128	1	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	128	2	∗	∗	NOUN
ejde-1481	128	3	∫	∫	PROPN
ejde-1481	128	4	r	r	NOUN
ejde-1481	128	5	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	128	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	128	7	1−	1−	NUM
ejde-1481	128	8	τ)α	τ)α	PUNCT
ejde-1481	128	9	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	128	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	128	11	r	r	NOUN
ejde-1481	128	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	128	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	128	14	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	128	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	128	16	1	1	NUM
ejde-1481	128	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	128	18	.	.	PUNCT
ejde-1481	129	1	then	then	ADV
ejde-1481	129	2	ũ′(r	ũ′(r	PROPN
ejde-1481	129	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	129	4	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	130	1	−np	−np	NOUN
ejde-1481	130	2	3r	3r	NUM
ejde-1481	130	3	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	130	4	∗	∗	NOUN
ejde-1481	130	5	∫	∫	PROPN
ejde-1481	130	6	r	r	NOUN
ejde-1481	130	7	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	130	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	130	9	1−	1−	NUM
ejde-1481	130	10	τ)α	τ)α	PUNCT
ejde-1481	130	11	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	130	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	130	13	r	r	NOUN
ejde-1481	130	14	∈	∈	PROPN
ejde-1481	130	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	130	16	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	130	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	130	18	1	1	NUM
ejde-1481	130	19	)	)	PUNCT
ejde-1481	130	20	.	.	PUNCT
ejde-1481	131	1	integrating	integrate	VERB
ejde-1481	131	2	the	the	DET
ejde-1481	131	3	above	above	ADJ
ejde-1481	131	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-1481	131	5	from	from	ADP
ejde-1481	131	6	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	131	7	to	to	ADP
ejde-1481	131	8	r	r	NOUN
ejde-1481	131	9	leads	lead	VERB
ejde-1481	131	10	to	to	ADP
ejde-1481	131	11	ũ(r)−	ũ(r)−	PROPN
ejde-1481	131	12	ũ(r∗	ũ(r∗	NOUN
ejde-1481	131	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	131	14	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	132	1	−np	−np	NOUN
ejde-1481	132	2	3r	3r	NUM
ejde-1481	132	3	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	132	4	∗	∗	NOUN
ejde-1481	132	5	∫	∫	PROPN
ejde-1481	132	6	r	r	NOUN
ejde-1481	132	7	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	132	8	∫	∫	PROPN
ejde-1481	132	9	t	t	PROPN
ejde-1481	132	10	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	132	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	132	12	1−	1−	NUM
ejde-1481	132	13	τ)α	τ)α	PUNCT
ejde-1481	132	14	dτdt	dτdt	PROPN
ejde-1481	132	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	132	16	r	r	NOUN
ejde-1481	132	17	∈	∈	PROPN
ejde-1481	132	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	132	19	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	132	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	132	21	1	1	NUM
ejde-1481	132	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	132	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	133	1	because	because	SCONJ
ejde-1481	133	2	α	α	PRON
ejde-1481	133	3	≤	≤	ADJ
ejde-1481	133	4	−2	−2	NOUN
ejde-1481	133	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	133	6	the	the	DET
ejde-1481	133	7	right	right	ADJ
ejde-1481	133	8	-	-	PUNCT
ejde-1481	133	9	hand	hand	NOUN
ejde-1481	133	10	side	side	NOUN
ejde-1481	133	11	diverges	diverge	VERB
ejde-1481	133	12	to	to	ADP
ejde-1481	133	13	−∞	−∞	X
ejde-1481	133	14	as	as	ADP
ejde-1481	133	15	r	r	PROPN
ejde-1481	133	16	→	→	SYM
ejde-1481	133	17	1−	1−	NUM
ejde-1481	133	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	133	19	which	which	PRON
ejde-1481	133	20	yields	yield	VERB
ejde-1481	133	21	a	a	DET
ejde-1481	133	22	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	133	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	134	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	134	2	ii	ii	NOUN
ejde-1481	134	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	134	4	by	by	ADP
ejde-1481	134	5	an	an	DET
ejde-1481	134	6	argument	argument	NOUN
ejde-1481	134	7	similar	similar	ADJ
ejde-1481	134	8	to	to	ADP
ejde-1481	134	9	part	part	NOUN
ejde-1481	134	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	134	11	i	i	NOUN
ejde-1481	134	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	134	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	134	14	we	we	PRON
ejde-1481	134	15	can	can	AUX
ejde-1481	134	16	deduce	deduce	VERB
ejde-1481	134	17	a	a	DET
ejde-1481	134	18	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	134	19	for	for	ADP
ejde-1481	134	20	case	case	NOUN
ejde-1481	134	21	1	1	NUM
ejde-1481	134	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	135	1	as	as	ADP
ejde-1481	135	2	for	for	ADP
ejde-1481	135	3	case	case	NOUN
ejde-1481	135	4	2	2	NUM
ejde-1481	135	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	135	6	we	we	PRON
ejde-1481	135	7	have	have	VERB
ejde-1481	135	8	ũ′(r	ũ′(r	NOUN
ejde-1481	135	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	136	1	<	<	X
ejde-1481	136	2	−n∗	−n∗	PROPN
ejde-1481	136	3	for	for	ADP
ejde-1481	136	4	r	r	PROPN
ejde-1481	136	5	∈	∈	PROPN
ejde-1481	136	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	136	7	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	136	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	136	9	1	1	NUM
ejde-1481	136	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	136	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	136	12	ũ(r	ũ(r	PROPN
ejde-1481	136	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	136	14	→	→	PUNCT
ejde-1481	136	15	n3	n3	NOUN
ejde-1481	136	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	137	1	[	[	X
ejde-1481	137	2	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1481	137	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	137	4	as	as	ADP
ejde-1481	137	5	r	r	NOUN
ejde-1481	137	6	→	→	SYM
ejde-1481	137	7	1−.	1−.	NUM
ejde-1481	137	8	if	if	SCONJ
ejde-1481	137	9	n3	n3	NOUN
ejde-1481	137	10	∈	∈	PROPN
ejde-1481	137	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	137	12	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1481	137	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	137	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	137	15	we	we	PRON
ejde-1481	137	16	can	can	AUX
ejde-1481	137	17	derive	derive	VERB
ejde-1481	137	18	a	a	DET
ejde-1481	137	19	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	137	20	analogous	analogous	ADJ
ejde-1481	137	21	to	to	PART
ejde-1481	137	22	case	case	VERB
ejde-1481	137	23	2	2	NUM
ejde-1481	137	24	in	in	ADP
ejde-1481	137	25	the	the	DET
ejde-1481	137	26	proof	proof	NOUN
ejde-1481	137	27	of	of	ADP
ejde-1481	137	28	part	part	NOUN
ejde-1481	137	29	(	(	PUNCT
ejde-1481	137	30	i	i	NOUN
ejde-1481	137	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	137	32	.	.	PUNCT
ejde-1481	138	1	now	now	ADV
ejde-1481	138	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	138	3	we	we	PRON
ejde-1481	138	4	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	138	5	that	that	SCONJ
ejde-1481	138	6	n3	n3	NOUN
ejde-1481	138	7	=	=	NOUN
ejde-1481	138	8	0	0	PROPN
ejde-1481	138	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	139	1	using	use	VERB
ejde-1481	139	2	the	the	DET
ejde-1481	139	3	differential	differential	ADJ
ejde-1481	139	4	mean	mean	NOUN
ejde-1481	139	5	value	value	NOUN
ejde-1481	139	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	139	7	leads	lead	NOUN
ejde-1481	139	8	to	to	ADP
ejde-1481	139	9	ũ(r	ũ(r	PROPN
ejde-1481	139	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	139	11	≥	≥	NOUN
ejde-1481	139	12	n∗(1−	n∗(1−	PROPN
ejde-1481	139	13	r	r	NOUN
ejde-1481	139	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	139	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	139	16	r	r	NOUN
ejde-1481	139	17	∈	∈	PROPN
ejde-1481	139	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	139	19	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	139	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	139	21	1	1	NUM
ejde-1481	139	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	139	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	140	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	140	2	2.7	2.7	NUM
ejde-1481	140	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	140	4	for	for	ADP
ejde-1481	140	5	any	any	DET
ejde-1481	140	6	r	r	NOUN
ejde-1481	140	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	140	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	140	9	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	140	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	140	11	1	1	NUM
ejde-1481	140	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	140	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	140	14	from	from	ADP
ejde-1481	140	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	140	16	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	140	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	140	18	it	it	PRON
ejde-1481	140	19	follows	follow	VERB
ejde-1481	140	20	that	that	SCONJ
ejde-1481	140	21	rn−1	rn−1	PROPN
ejde-1481	140	22	∗	∗	NOUN
ejde-1481	140	23	ũ′(r∗)−	ũ′(r∗)−	ADV
ejde-1481	140	24	rn−1ũ′(r	rn−1ũ′(r	NOUN
ejde-1481	140	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	140	26	≥	≥	NOUN
ejde-1481	140	27	np	np	INTJ
ejde-1481	140	28	∗	∗	X
ejde-1481	140	29	∫	∫	PROPN
ejde-1481	141	1	r	r	NOUN
ejde-1481	141	2	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	142	1	[	[	X
ejde-1481	142	2	w(τ)]α(1−	w(τ)]α(1−	PROPN
ejde-1481	142	3	τ)α+pτn−1	τ)α+pτn−1	PROPN
ejde-1481	142	4	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	142	5	.	.	PROPN
ejde-1481	142	6	hence	hence	ADV
ejde-1481	142	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	142	8	we	we	PRON
ejde-1481	142	9	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	142	10	−ũ′(r	−ũ′(r	NOUN
ejde-1481	142	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	142	12	≥	≥	NOUN
ejde-1481	143	1	np	np	ADP
ejde-1481	143	2	∗r	∗r	PROPN
ejde-1481	143	3	1−n	1−n	NUM
ejde-1481	143	4	∫	∫	PROPN
ejde-1481	143	5	r	r	NOUN
ejde-1481	143	6	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	143	7	(	(	PUNCT
ejde-1481	143	8	1−	1−	NUM
ejde-1481	143	9	τ)α+pτn−1	τ)α+pτn−1	PROPN
ejde-1481	143	10	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	143	11	≥	≥	PROPN
ejde-1481	143	12	np	np	INTJ
ejde-1481	143	13	∗r	∗r	PROPN
ejde-1481	143	14	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	143	15	∗	∗	X
ejde-1481	143	16	∫	∫	PROPN
ejde-1481	143	17	r	r	NOUN
ejde-1481	143	18	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	143	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	143	20	1−	1−	NUM
ejde-1481	143	21	τ)α+p	τ)α+p	X
ejde-1481	143	22	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	143	23	=	=	VERB
ejde-1481	143	24	np	np	PROPN
ejde-1481	143	25	∗r	∗r	PROPN
ejde-1481	143	26	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	143	27	∗	∗	NOUN
ejde-1481	143	28	α+	α+	X
ejde-1481	143	29	p+	p+	NOUN
ejde-1481	143	30	1	1	NUM
ejde-1481	143	31	[	[	X
ejde-1481	143	32	(	(	PUNCT
ejde-1481	143	33	1−	1−	NUM
ejde-1481	143	34	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	143	35	)	)	PUNCT
ejde-1481	143	36	α+p+1	α+p+1	NOUN
ejde-1481	143	37	−	−	PROPN
ejde-1481	143	38	(	(	PUNCT
ejde-1481	143	39	1−	1−	NUM
ejde-1481	143	40	r)α+p+1	r)α+p+1	NOUN
ejde-1481	143	41	]	]	PUNCT
ejde-1481	143	42	,	,	PUNCT
ejde-1481	143	43	r	r	NOUN
ejde-1481	143	44	∈	∈	PROPN
ejde-1481	143	45	(	(	PUNCT
ejde-1481	143	46	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	143	47	,	,	PUNCT
ejde-1481	143	48	1	1	NUM
ejde-1481	143	49	)	)	PUNCT
ejde-1481	143	50	.	.	PUNCT
ejde-1481	144	1	letting	let	VERB
ejde-1481	144	2	r	r	PRON
ejde-1481	144	3	→	→	SYM
ejde-1481	144	4	1−	1−	NUM
ejde-1481	144	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	144	6	we	we	PRON
ejde-1481	144	7	can	can	AUX
ejde-1481	144	8	see	see	VERB
ejde-1481	144	9	a	a	DET
ejde-1481	144	10	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	144	11	because	because	SCONJ
ejde-1481	144	12	α+	α+	PROPN
ejde-1481	144	13	p+	p+	NOUN
ejde-1481	144	14	2	2	NUM
ejde-1481	144	15	≤	≤	NOUN
ejde-1481	144	16	0	0	NUM
ejde-1481	144	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	145	1	ejde-2025/50	ejde-2025/50	NOUN
ejde-1481	145	2	generalized	generalize	VERB
ejde-1481	145	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	145	4	-	-	PUNCT
ejde-1481	145	5	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	145	6	equations	equation	NOUN
ejde-1481	145	7	5	5	NUM
ejde-1481	145	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	145	9	iii	iii	NOUN
ejde-1481	145	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	145	11	the	the	DET
ejde-1481	145	12	proof	proof	NOUN
ejde-1481	145	13	of	of	ADP
ejde-1481	145	14	case	case	NOUN
ejde-1481	145	15	1	1	NUM
ejde-1481	145	16	is	be	AUX
ejde-1481	145	17	similar	similar	ADJ
ejde-1481	145	18	to	to	ADP
ejde-1481	145	19	that	that	PRON
ejde-1481	145	20	of	of	ADP
ejde-1481	145	21	case	case	NOUN
ejde-1481	145	22	1	1	NUM
ejde-1481	145	23	in	in	ADP
ejde-1481	145	24	part	part	NOUN
ejde-1481	145	25	(	(	PUNCT
ejde-1481	145	26	i	i	NOUN
ejde-1481	145	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	145	28	.	.	PUNCT
ejde-1481	146	1	for	for	ADP
ejde-1481	146	2	case	case	NOUN
ejde-1481	146	3	2	2	NUM
ejde-1481	146	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	146	5	the	the	DET
ejde-1481	146	6	proof	proof	NOUN
ejde-1481	146	7	is	be	AUX
ejde-1481	146	8	analogous	analogous	ADJ
ejde-1481	146	9	to	to	ADP
ejde-1481	146	10	that	that	PRON
ejde-1481	146	11	of	of	ADP
ejde-1481	146	12	part	part	NOUN
ejde-1481	146	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	146	14	ii	ii	NOUN
ejde-1481	146	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	146	16	when	when	SCONJ
ejde-1481	146	17	n3	n3	PROPN
ejde-1481	146	18	∈	∈	PROPN
ejde-1481	146	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	146	20	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1481	146	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	146	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	147	1	next	next	ADV
ejde-1481	147	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	147	3	we	we	PRON
ejde-1481	147	4	only	only	ADV
ejde-1481	147	5	need	need	VERB
ejde-1481	147	6	to	to	PART
ejde-1481	147	7	consider	consider	VERB
ejde-1481	147	8	the	the	DET
ejde-1481	147	9	case	case	NOUN
ejde-1481	147	10	n3	n3	NOUN
ejde-1481	147	11	=	=	NOUN
ejde-1481	147	12	0	0	PROPN
ejde-1481	147	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	148	1	in	in	ADP
ejde-1481	148	2	view	view	NOUN
ejde-1481	148	3	of	of	ADP
ejde-1481	148	4	1	1	NUM
ejde-1481	148	5	<	<	X
ejde-1481	148	6	p	p	X
ejde-1481	148	7	<	<	X
ejde-1481	148	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	148	9	n	n	PROPN
ejde-1481	148	10	+	+	CCONJ
ejde-1481	148	11	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	148	12	−	−	NOUN
ejde-1481	148	13	2	2	NUM
ejde-1481	148	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	148	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	148	16	from	from	ADP
ejde-1481	148	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	148	18	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	148	19	and	and	CCONJ
ejde-1481	148	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	148	21	2.5)-(2.6	2.5)-(2.6	NUM
ejde-1481	148	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	148	23	it	it	PRON
ejde-1481	148	24	follows	follow	VERB
ejde-1481	148	25	that	that	SCONJ
ejde-1481	148	26	[	[	X
ejde-1481	148	27	w(r)(1−	w(r)(1−	NUM
ejde-1481	148	28	r)]αrn−1ũp	r)]αrn−1ũp	ADJ
ejde-1481	148	29	≤	≤	NUM
ejde-1481	148	30	−(rn−1ũ′)′	−(rn−1ũ′)′	PUNCT
ejde-1481	148	31	≤	≤	ADJ
ejde-1481	148	32	crn−1[w(r)(1−	crn−1[w(r)(1−	PROPN
ejde-1481	148	33	r)]α[w(r)(1−	r)]α[w(r)(1−	NOUN
ejde-1481	148	34	r)]−p(2+α)/(p−1	r)]−p(2+α)/(p−1	PROPN
ejde-1481	148	35	)	)	PUNCT
ejde-1481	148	36	,	,	PUNCT
ejde-1481	148	37	where	where	SCONJ
ejde-1481	148	38	c	c	PROPN
ejde-1481	148	39	>	>	X
ejde-1481	148	40	0	0	PUNCT
ejde-1481	148	41	is	be	AUX
ejde-1481	148	42	a	a	DET
ejde-1481	148	43	positive	positive	ADJ
ejde-1481	148	44	constant	constant	NOUN
ejde-1481	148	45	.	.	PUNCT
ejde-1481	149	1	this	this	PRON
ejde-1481	149	2	together	together	ADV
ejde-1481	149	3	with	with	ADP
ejde-1481	149	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	149	5	2.7	2.7	NUM
ejde-1481	149	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	149	7	gives	give	VERB
ejde-1481	149	8	c[w(r)(1−	c[w(r)(1−	PROPN
ejde-1481	149	9	r)]−p(2+α)/(p−1	r)]−p(2+α)/(p−1	PROPN
ejde-1481	149	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	149	11	≥	≥	NOUN
ejde-1481	149	12	np	np	PRON
ejde-1481	149	13	∗(1−	∗(1−	PROPN
ejde-1481	149	14	r)p	r)p	X
ejde-1481	149	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	149	16	r	r	NOUN
ejde-1481	149	17	∈	∈	PROPN
ejde-1481	149	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	149	19	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	149	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	149	21	1	1	NUM
ejde-1481	149	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	149	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	150	1	that	that	PRON
ejde-1481	150	2	is	be	AUX
ejde-1481	150	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	150	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	150	5	1−	1−	NUM
ejde-1481	150	6	r)−p(α+p+1)/(p−1	r)−p(α+p+1)/(p−1	NOUN
ejde-1481	150	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	150	8	≥	≥	NOUN
ejde-1481	150	9	np	np	INTJ
ejde-1481	150	10	∗	∗	PRON
ejde-1481	150	11	c(w(r))p(2+α)/(p−1	c(w(r))p(2+α)/(p−1	NOUN
ejde-1481	150	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	150	13	≥	≥	NOUN
ejde-1481	150	14	np	np	INTJ
ejde-1481	150	15	∗	∗	X
ejde-1481	150	16	c	c	PROPN
ejde-1481	150	17	>	>	X
ejde-1481	150	18	0	0	NUM
ejde-1481	150	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	150	20	r	r	NOUN
ejde-1481	150	21	∈	∈	PROPN
ejde-1481	150	22	(	(	PUNCT
ejde-1481	150	23	r∗	r∗	PROPN
ejde-1481	150	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	150	25	1	1	NUM
ejde-1481	150	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	150	27	.	.	PUNCT
ejde-1481	151	1	in	in	ADP
ejde-1481	151	2	view	view	NOUN
ejde-1481	151	3	of	of	ADP
ejde-1481	151	4	−p(α+	−p(α+	NOUN
ejde-1481	151	5	p+1)/(p−	p+1)/(p−	NOUN
ejde-1481	151	6	1	1	NUM
ejde-1481	151	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	151	8	>	>	X
ejde-1481	151	9	0	0	NUM
ejde-1481	151	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	151	11	we	we	PRON
ejde-1481	151	12	have	have	VERB
ejde-1481	151	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	151	14	1−	1−	NUM
ejde-1481	151	15	r)−p(α+p+1)/(p−1	r)−p(α+p+1)/(p−1	NOUN
ejde-1481	151	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	151	17	→	→	SYM
ejde-1481	151	18	0	0	NUM
ejde-1481	152	1	as	as	ADP
ejde-1481	152	2	r	r	NOUN
ejde-1481	152	3	→	→	SYM
ejde-1481	152	4	1−	1−	NUM
ejde-1481	152	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	152	6	which	which	PRON
ejde-1481	152	7	yields	yield	VERB
ejde-1481	152	8	a	a	DET
ejde-1481	152	9	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	152	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	153	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	153	2	to	to	PART
ejde-1481	153	3	establish	establish	VERB
ejde-1481	153	4	the	the	DET
ejde-1481	153	5	existence	existence	NOUN
ejde-1481	153	6	of	of	ADP
ejde-1481	153	7	positive	positive	ADJ
ejde-1481	153	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	153	9	to	to	ADP
ejde-1481	153	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	153	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	153	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	153	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	153	14	we	we	PRON
ejde-1481	153	15	start	start	VERB
ejde-1481	153	16	with	with	ADP
ejde-1481	153	17	a	a	DET
ejde-1481	153	18	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1481	153	19	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-1481	153	20	problem	problem	NOUN
ejde-1481	153	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	154	1	applying	apply	VERB
ejde-1481	154	2	the	the	DET
ejde-1481	154	3	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	154	4	principle	principle	NOUN
ejde-1481	154	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	154	6	the	the	DET
ejde-1481	154	7	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	154	8	of	of	ADP
ejde-1481	154	9	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	154	10	equations	equation	NOUN
ejde-1481	155	1	[	[	X
ejde-1481	155	2	9	9	NUM
ejde-1481	155	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	155	4	14	14	NUM
ejde-1481	155	5	]	]	PUNCT
ejde-1481	155	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	155	7	we	we	PRON
ejde-1481	155	8	can	can	AUX
ejde-1481	155	9	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	155	10	the	the	DET
ejde-1481	155	11	following	follow	VERB
ejde-1481	155	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	155	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	156	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	156	2	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	156	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	157	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	157	2	1	1	NUM
ejde-1481	157	3	<	<	X
ejde-1481	157	4	p	p	X
ejde-1481	157	5	<	<	X
ejde-1481	157	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	157	7	n	n	PROPN
ejde-1481	157	8	+	+	CCONJ
ejde-1481	157	9	2)/(n	2)/(n	NUM
ejde-1481	157	10	−	−	NOUN
ejde-1481	157	11	2	2	NUM
ejde-1481	157	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	157	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	157	14	α	α	PROPN
ejde-1481	157	15	>	>	X
ejde-1481	157	16	−2	−2	PROPN
ejde-1481	157	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	157	18	ϵ0	ϵ0	VERB
ejde-1481	157	19	>	>	X
ejde-1481	157	20	0	0	PUNCT
ejde-1481	158	1	and	and	CCONJ
ejde-1481	158	2	ϵ	ϵ	PRON
ejde-1481	158	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	158	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	158	5	0	0	NUM
ejde-1481	158	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	7	ϵ0	ϵ0	NOUN
ejde-1481	158	8	]	]	PUNCT
ejde-1481	158	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	10	then	then	ADV
ejde-1481	158	11	there	there	PRON
ejde-1481	158	12	exists	exist	VERB
ejde-1481	158	13	c	c	NOUN
ejde-1481	158	14	=	=	SYM
ejde-1481	158	15	c(n	c(n	PROPN
ejde-1481	158	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	17	p	p	X
ejde-1481	158	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	19	α	α	NOUN
ejde-1481	158	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	21	ϵ0	ϵ0	ADJ
ejde-1481	158	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	23	d	d	NOUN
ejde-1481	158	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	158	25	|w′|∞	|w′|∞	PROPN
ejde-1481	158	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	158	27	>	>	X
ejde-1481	158	28	0	0	NUM
ejde-1481	159	1	such	such	ADJ
ejde-1481	159	2	that	that	PRON
ejde-1481	159	3	for	for	ADP
ejde-1481	159	4	any	any	DET
ejde-1481	159	5	positive	positive	ADJ
ejde-1481	159	6	radial	radial	ADJ
ejde-1481	159	7	solution	solution	NOUN
ejde-1481	159	8	uϵ	uϵ	ADP
ejde-1481	159	9	∈	∈	PROPN
ejde-1481	159	10	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	159	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	159	12	∩c(b1	∩c(b1	NOUN
ejde-1481	159	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	159	14	of	of	ADP
ejde-1481	159	15	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	159	16	=	=	PUNCT
ejde-1481	160	1	[	[	X
ejde-1481	160	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	160	3	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	160	4	+	+	CCONJ
ejde-1481	160	5	ϵ−	ϵ−	ADJ
ejde-1481	160	6	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	160	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	160	8	x	x	PROPN
ejde-1481	160	9	∈	∈	PROPN
ejde-1481	160	10	b1	b1	NOUN
ejde-1481	160	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	160	12	u	u	NOUN
ejde-1481	160	13	=	=	PROPN
ejde-1481	160	14	0	0	PROPN
ejde-1481	160	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	160	16	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	160	17	=	=	SYM
ejde-1481	160	18	1	1	NUM
ejde-1481	160	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	160	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	160	21	2.8	2.8	NUM
ejde-1481	160	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	160	23	it	it	PRON
ejde-1481	160	24	holds	hold	VERB
ejde-1481	160	25	∥∇uϵ∥l∞(b1	∥∇uϵ∥l∞(b1	NOUN
ejde-1481	160	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	160	27	+	+	CCONJ
ejde-1481	160	28	∥uϵ∥l∞(b1	∥uϵ∥l∞(b1	PROPN
ejde-1481	160	29	)	)	PUNCT
ejde-1481	160	30	≤	≤	NOUN
ejde-1481	160	31	c.	c.	NOUN
ejde-1481	160	32	(	(	PUNCT
ejde-1481	160	33	2.9	2.9	NUM
ejde-1481	160	34	)	)	PUNCT
ejde-1481	160	35	proof	proof	NOUN
ejde-1481	160	36	.	.	PUNCT
ejde-1481	161	1	to	to	PART
ejde-1481	161	2	show	show	VERB
ejde-1481	161	3	that	that	DET
ejde-1481	161	4	∥uϵ∥l∞(b1	∥uϵ∥l∞(b1	NOUN
ejde-1481	161	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	161	6	≤	≤	NOUN
ejde-1481	162	1	c	c	X
ejde-1481	162	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	162	3	we	we	PRON
ejde-1481	162	4	conversely	conversely	ADV
ejde-1481	162	5	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	162	6	that	that	SCONJ
ejde-1481	162	7	there	there	PRON
ejde-1481	162	8	are	be	VERB
ejde-1481	162	9	a	a	DET
ejde-1481	162	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-1481	162	11	of	of	ADP
ejde-1481	162	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	162	13	uk	uk	PROPN
ejde-1481	162	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	162	15	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	162	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	162	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	162	18	0	0	NUM
ejde-1481	162	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	162	20	ϵ0	ϵ0	ADJ
ejde-1481	162	21	]	]	PUNCT
ejde-1481	162	22	and	and	CCONJ
ejde-1481	162	23	pk	pk	NOUN
ejde-1481	162	24	∈	∈	NOUN
ejde-1481	162	25	b1	b1	NOUN
ejde-1481	162	26	such	such	ADJ
ejde-1481	162	27	that	that	SCONJ
ejde-1481	162	28	mk	mk	PROPN
ejde-1481	162	29	=	=	PROPN
ejde-1481	162	30	max	max	PROPN
ejde-1481	162	31	x∈b1	x∈b1	PROPN
ejde-1481	162	32	uk(x	uk(x	PROPN
ejde-1481	162	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	162	34	=	=	SYM
ejde-1481	162	35	uk(pk	uk(pk	ADJ
ejde-1481	162	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	162	37	→	→	PUNCT
ejde-1481	162	38	+	+	NUM
ejde-1481	162	39	∞	∞	PROPN
ejde-1481	162	40	,	,	PUNCT
ejde-1481	162	41	as	as	SCONJ
ejde-1481	162	42	k	k	PROPN
ejde-1481	162	43	→	→	SYM
ejde-1481	162	44	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	162	45	we	we	PRON
ejde-1481	162	46	claim	claim	VERB
ejde-1481	162	47	that	that	SCONJ
ejde-1481	162	48	pk	pk	NOUN
ejde-1481	162	49	=	=	NOUN
ejde-1481	162	50	0	0	PROPN
ejde-1481	162	51	.	.	PUNCT
ejde-1481	163	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1481	163	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	163	3	if	if	SCONJ
ejde-1481	163	4	pk	pk	NOUN
ejde-1481	163	5	̸=	̸=	PROPN
ejde-1481	163	6	0	0	NUM
ejde-1481	163	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	163	8	then	then	ADV
ejde-1481	163	9	by	by	ADP
ejde-1481	163	10	the	the	DET
ejde-1481	163	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	163	12	property	property	NOUN
ejde-1481	163	13	there	there	PRON
ejde-1481	163	14	exists	exist	VERB
ejde-1481	163	15	qk	qk	ADP
ejde-1481	163	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	163	17	b1	b1	NOUN
ejde-1481	163	18	such	such	ADJ
ejde-1481	163	19	that	that	SCONJ
ejde-1481	163	20	|pk|	|pk|	NOUN
ejde-1481	163	21	>	>	X
ejde-1481	163	22	|qk|	|qk|	NOUN
ejde-1481	163	23	and	and	CCONJ
ejde-1481	163	24	uk	uk	PROPN
ejde-1481	163	25	achieves	achieve	VERB
ejde-1481	163	26	the	the	DET
ejde-1481	163	27	local	local	ADJ
ejde-1481	163	28	minimum	minimum	NOUN
ejde-1481	163	29	at	at	ADP
ejde-1481	163	30	qk	qk	NOUN
ejde-1481	163	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	164	1	thus	thus	ADV
ejde-1481	164	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	164	3	we	we	PRON
ejde-1481	164	4	have	have	VERB
ejde-1481	164	5	0	0	NUM
ejde-1481	164	6	≥	≥	NUM
ejde-1481	164	7	−∆uk(qk	−∆uk(qk	NUM
ejde-1481	164	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	164	9	=	=	SYM
ejde-1481	165	1	[	[	X
ejde-1481	165	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	165	3	w(|qk|)(1	w(|qk|)(1	NOUN
ejde-1481	165	4	+	+	NOUN
ejde-1481	165	5	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	165	6	−	−	NUM
ejde-1481	165	7	|qk|)]αuk(qk	|qk|)]αuk(qk	NOUN
ejde-1481	165	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	165	9	p	p	X
ejde-1481	165	10	>	>	X
ejde-1481	165	11	0	0	NUM
ejde-1481	165	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	165	13	which	which	PRON
ejde-1481	165	14	is	be	AUX
ejde-1481	165	15	a	a	DET
ejde-1481	165	16	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	165	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	166	1	without	without	ADP
ejde-1481	166	2	loss	loss	NOUN
ejde-1481	166	3	of	of	ADP
ejde-1481	166	4	generality	generality	NOUN
ejde-1481	166	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	166	6	we	we	PRON
ejde-1481	166	7	assume	assume	VERB
ejde-1481	166	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	166	9	ϵk	ϵk	X
ejde-1481	166	10	→	→	SYM
ejde-1481	166	11	ϵ̃	ϵ̃	NUM
ejde-1481	166	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	167	1	[	[	X
ejde-1481	167	2	0	0	NUM
ejde-1481	167	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	167	4	ϵ0	ϵ0	NUM
ejde-1481	167	5	]	]	PUNCT
ejde-1481	167	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	168	1	let	let	VERB
ejde-1481	168	2	uk(y	uk(y	NOUN
ejde-1481	168	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	168	4	=	=	SYM
ejde-1481	168	5	1	1	NUM
ejde-1481	168	6	mk	mk	NOUN
ejde-1481	168	7	uk(m	uk(m	NOUN
ejde-1481	168	8	−(p−1)/2	−(p−1)/2	PROPN
ejde-1481	168	9	k	k	PROPN
ejde-1481	168	10	y	y	PROPN
ejde-1481	168	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	168	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	169	1	then	then	ADV
ejde-1481	169	2	uk	uk	PROPN
ejde-1481	169	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	169	4	−∆uk	−∆uk	X
ejde-1481	170	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	171	1	[	[	X
ejde-1481	171	2	w(|m−(p−1)/2	w(|m−(p−1)/2	PROPN
ejde-1481	171	3	k	k	NOUN
ejde-1481	171	4	y|)(1	y|)(1	PROPN
ejde-1481	172	1	+	+	CCONJ
ejde-1481	172	2	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	172	3	−	−	PROPN
ejde-1481	172	4	|m−(p−1)/2	|m−(p−1)/2	PROPN
ejde-1481	172	5	k	k	PROPN
ejde-1481	172	6	y|)]αup	y|)]αup	PROPN
ejde-1481	173	1	k	k	PROPN
ejde-1481	173	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	173	3	where	where	SCONJ
ejde-1481	173	4	0	0	NUM
ejde-1481	173	5	≤	≤	NUM
ejde-1481	173	6	uk	uk	PROPN
ejde-1481	173	7	≤	≤	NOUN
ejde-1481	173	8	1	1	NUM
ejde-1481	173	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	173	10	uk(0	uk(0	NOUN
ejde-1481	173	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	173	12	=	=	SYM
ejde-1481	173	13	1	1	X
ejde-1481	173	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	174	1	according	accord	VERB
ejde-1481	174	2	to	to	ADP
ejde-1481	174	3	the	the	DET
ejde-1481	174	4	standard	standard	ADJ
ejde-1481	174	5	arguments	argument	NOUN
ejde-1481	174	6	of	of	ADP
ejde-1481	174	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	174	8	equations	equation	NOUN
ejde-1481	174	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	174	10	we	we	PRON
ejde-1481	174	11	can	can	AUX
ejde-1481	174	12	extract	extract	VERB
ejde-1481	174	13	a	a	DET
ejde-1481	174	14	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1481	174	15	of	of	ADP
ejde-1481	174	16	{	{	PUNCT
ejde-1481	174	17	uk	uk	PROPN
ejde-1481	174	18	}	}	PUNCT
ejde-1481	174	19	converging	converge	VERB
ejde-1481	174	20	to	to	ADP
ejde-1481	174	21	a	a	DET
ejde-1481	174	22	function	function	NOUN
ejde-1481	174	23	u	u	NOUN
ejde-1481	174	24	in	in	ADP
ejde-1481	174	25	c2	c2	PROPN
ejde-1481	174	26	loc(rn	loc(rn	PRON
ejde-1481	174	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	174	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	174	29	from	from	ADP
ejde-1481	174	30	which	which	PRON
ejde-1481	174	31	we	we	PRON
ejde-1481	174	32	derive	derive	VERB
ejde-1481	174	33	that	that	SCONJ
ejde-1481	174	34	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	174	35	=	=	PUNCT
ejde-1481	175	1	[	[	X
ejde-1481	175	2	w(0)(1	w(0)(1	NOUN
ejde-1481	175	3	+	+	X
ejde-1481	175	4	ϵ̃)]αup	ϵ̃)]αup	NUM
ejde-1481	175	5	in	in	ADP
ejde-1481	175	6	rn	rn	PROPN
ejde-1481	175	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	175	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	175	9	u(0	u(0	PROPN
ejde-1481	175	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	175	11	=	=	SYM
ejde-1481	175	12	1	1	X
ejde-1481	175	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	176	1	this	this	PRON
ejde-1481	176	2	yields	yield	VERB
ejde-1481	176	3	a	a	DET
ejde-1481	176	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	176	5	with	with	ADP
ejde-1481	176	6	[	[	X
ejde-1481	176	7	13	13	NUM
ejde-1481	176	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	176	9	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	176	10	4.1	4.1	NUM
ejde-1481	176	11	]	]	PUNCT
ejde-1481	176	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	177	1	to	to	PART
ejde-1481	177	2	prove	prove	VERB
ejde-1481	177	3	that	that	PRON
ejde-1481	177	4	∥∇uϵ∥l∞(b1	∥∇uϵ∥l∞(b1	VERB
ejde-1481	177	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	177	6	≤	≤	NOUN
ejde-1481	178	1	c	c	X
ejde-1481	178	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	178	3	we	we	PRON
ejde-1481	178	4	know	know	VERB
ejde-1481	178	5	that	that	PRON
ejde-1481	178	6	∥uϵ∥l∞(b1	∥uϵ∥l∞(b1	NOUN
ejde-1481	178	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	178	8	≤	≤	NOUN
ejde-1481	178	9	c	c	NOUN
ejde-1481	178	10	for	for	ADP
ejde-1481	178	11	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-1481	178	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	178	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	178	14	0	0	NUM
ejde-1481	178	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	178	16	ϵ0	ϵ0	NOUN
ejde-1481	178	17	]	]	PUNCT
ejde-1481	178	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	178	19	and	and	CCONJ
ejde-1481	178	20	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-1481	178	21	is	be	AUX
ejde-1481	178	22	radially	radially	ADV
ejde-1481	178	23	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	178	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	179	1	for	for	ADP
ejde-1481	179	2	convenience	convenience	NOUN
ejde-1481	179	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	179	4	we	we	PRON
ejde-1481	179	5	denote	denote	VERB
ejde-1481	179	6	uϵ(r	uϵ(r	PRON
ejde-1481	179	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	179	8	=	=	SYM
ejde-1481	180	1	uϵ(x	uϵ(x	NOUN
ejde-1481	180	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	181	1	as	as	ADP
ejde-1481	181	2	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	181	3	=	=	SYM
ejde-1481	181	4	r.	r.	PROPN
ejde-1481	181	5	for	for	ADP
ejde-1481	181	6	the	the	DET
ejde-1481	181	7	case	case	NOUN
ejde-1481	181	8	α	α	DET
ejde-1481	181	9	≥	≥	NOUN
ejde-1481	181	10	0	0	NUM
ejde-1481	181	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	181	12	by	by	ADP
ejde-1481	181	13	the	the	DET
ejde-1481	181	14	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	181	15	of	of	ADP
ejde-1481	181	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	181	17	equations	equation	NOUN
ejde-1481	181	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	181	19	it	it	PRON
ejde-1481	181	20	is	be	AUX
ejde-1481	181	21	easy	easy	ADJ
ejde-1481	181	22	to	to	PART
ejde-1481	181	23	see	see	VERB
ejde-1481	181	24	the	the	DET
ejde-1481	181	25	desired	desire	VERB
ejde-1481	181	26	result	result	NOUN
ejde-1481	181	27	.	.	PUNCT
ejde-1481	182	1	for	for	ADP
ejde-1481	182	2	the	the	DET
ejde-1481	182	3	case	case	NOUN
ejde-1481	182	4	−2	−2	X
ejde-1481	182	5	<	<	X
ejde-1481	182	6	α	α	X
ejde-1481	182	7	<	<	X
ejde-1481	182	8	0	0	NUM
ejde-1481	182	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	182	10	by	by	ADP
ejde-1481	182	11	way	way	NOUN
ejde-1481	182	12	of	of	ADP
ejde-1481	182	13	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	182	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	182	15	we	we	PRON
ejde-1481	182	16	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	182	17	that	that	SCONJ
ejde-1481	182	18	there	there	PRON
ejde-1481	182	19	exist	exist	VERB
ejde-1481	182	20	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	182	21	∈	∈	PROPN
ejde-1481	182	22	(	(	PUNCT
ejde-1481	182	23	0	0	NUM
ejde-1481	182	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	182	25	ϵ0	ϵ0	ADJ
ejde-1481	182	26	]	]	PUNCT
ejde-1481	182	27	and	and	CCONJ
ejde-1481	182	28	positive	positive	ADJ
ejde-1481	182	29	solution	solution	NOUN
ejde-1481	182	30	uk	uk	PROPN
ejde-1481	182	31	of	of	ADP
ejde-1481	182	32	(	(	PUNCT
ejde-1481	182	33	2.8	2.8	NUM
ejde-1481	182	34	)	)	PUNCT
ejde-1481	182	35	with	with	ADP
ejde-1481	182	36	ϵ	ϵ	NOUN
ejde-1481	182	37	=	=	SYM
ejde-1481	182	38	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	182	39	such	such	ADJ
ejde-1481	182	40	that	that	DET
ejde-1481	182	41	∥∇uk∥l∞(b1	∥∇uk∥l∞(b1	NOUN
ejde-1481	182	42	)	)	PUNCT
ejde-1481	182	43	→	→	PUNCT
ejde-1481	183	1	+	+	NUM
ejde-1481	183	2	∞	∞	PROPN
ejde-1481	183	3	as	as	ADP
ejde-1481	183	4	k	k	PROPN
ejde-1481	183	5	→	→	SYM
ejde-1481	183	6	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	183	7	from	from	ADP
ejde-1481	183	8	u′	u′	PROPN
ejde-1481	183	9	k(0	k(0	PROPN
ejde-1481	183	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	183	11	=	=	SYM
ejde-1481	183	12	0	0	NUM
ejde-1481	183	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	183	14	−rn−1u′	−rn−1u′	DET
ejde-1481	183	15	k(r	k(r	PROPN
ejde-1481	183	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	184	1	=	=	SYM
ejde-1481	184	2	∫	∫	PROPN
ejde-1481	185	1	r	r	NOUN
ejde-1481	185	2	0	0	NUM
ejde-1481	186	1	[	[	X
ejde-1481	186	2	w(τ)(1	w(τ)(1	X
ejde-1481	186	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	186	4	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	186	5	−	−	NOUN
ejde-1481	186	6	τ)]ατn−1up	τ)]ατn−1up	PROPN
ejde-1481	186	7	k(τ	k(τ	PROPN
ejde-1481	186	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	186	9	dτ	dτ	NOUN
ejde-1481	186	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	186	11	r	r	NOUN
ejde-1481	186	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	186	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	186	14	0	0	NUM
ejde-1481	186	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	186	16	1	1	NUM
ejde-1481	186	17	]	]	PUNCT
ejde-1481	186	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	186	19	we	we	PRON
ejde-1481	186	20	deduce	deduce	VERB
ejde-1481	186	21	that	that	SCONJ
ejde-1481	186	22	u′	u′	PROPN
ejde-1481	186	23	k(r	k(r	PROPN
ejde-1481	186	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	186	25	<	<	X
ejde-1481	186	26	0	0	NUM
ejde-1481	186	27	for	for	ADP
ejde-1481	186	28	r	r	PROPN
ejde-1481	186	29	∈	∈	PROPN
ejde-1481	186	30	(	(	PUNCT
ejde-1481	186	31	0	0	NUM
ejde-1481	186	32	,	,	PUNCT
ejde-1481	186	33	1	1	NUM
ejde-1481	186	34	]	]	PUNCT
ejde-1481	186	35	.	.	PUNCT
ejde-1481	187	1	let	let	VERB
ejde-1481	187	2	rk	rk	VERB
ejde-1481	187	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	187	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	187	5	0	0	NUM
ejde-1481	187	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	187	7	1	1	NUM
ejde-1481	187	8	]	]	PUNCT
ejde-1481	187	9	be	be	AUX
ejde-1481	187	10	the	the	DET
ejde-1481	187	11	minimum	minimum	ADJ
ejde-1481	187	12	point	point	NOUN
ejde-1481	187	13	of	of	ADP
ejde-1481	187	14	u′	u′	PROPN
ejde-1481	188	1	k.	k.	NOUN
ejde-1481	188	2	using	use	VERB
ejde-1481	188	3	the	the	DET
ejde-1481	188	4	interior	interior	ADJ
ejde-1481	188	5	estimate	estimate	NOUN
ejde-1481	188	6	of	of	ADP
ejde-1481	188	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	188	8	equations	equation	NOUN
ejde-1481	188	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	188	10	we	we	PRON
ejde-1481	188	11	see	see	VERB
ejde-1481	188	12	that	that	SCONJ
ejde-1481	188	13	{	{	PUNCT
ejde-1481	188	14	rk	rk	PRON
ejde-1481	188	15	}	}	PUNCT
ejde-1481	188	16	has	have	VERB
ejde-1481	188	17	a	a	DET
ejde-1481	188	18	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1481	188	19	converging	converge	VERB
ejde-1481	188	20	to	to	ADP
ejde-1481	188	21	1	1	NUM
ejde-1481	188	22	.	.	NOUN
ejde-1481	188	23	6	6	NUM
ejde-1481	188	24	x.	x.	NOUN
ejde-1481	188	25	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	188	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	188	27	x.	x.	PROPN
ejde-1481	188	28	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	188	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	188	30	m.	m.	PROPN
ejde-1481	188	31	yang	yang	PROPN
ejde-1481	188	32	ejde-2025/50	ejde-2025/50	PROPN
ejde-1481	188	33	without	without	ADP
ejde-1481	188	34	loss	loss	NOUN
ejde-1481	188	35	of	of	ADP
ejde-1481	188	36	generality	generality	NOUN
ejde-1481	188	37	,	,	PUNCT
ejde-1481	188	38	assume	assume	VERB
ejde-1481	188	39	that	that	SCONJ
ejde-1481	188	40	rk	rk	NOUN
ejde-1481	188	41	→	→	SYM
ejde-1481	188	42	1	1	NUM
ejde-1481	188	43	as	as	ADP
ejde-1481	188	44	k	k	PROPN
ejde-1481	188	45	→	→	SYM
ejde-1481	188	46	∞	∞	PROPN
ejde-1481	188	47	,	,	PUNCT
ejde-1481	188	48	then	then	ADV
ejde-1481	188	49	−u′	−u′	NOUN
ejde-1481	188	50	k(rk	k(rk	PROPN
ejde-1481	188	51	)	)	PUNCT
ejde-1481	188	52	→	→	PUNCT
ejde-1481	189	1	+	+	NUM
ejde-1481	189	2	∞	∞	PROPN
ejde-1481	189	3	as	as	ADP
ejde-1481	189	4	k	k	PROPN
ejde-1481	189	5	→	→	SYM
ejde-1481	189	6	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	189	7	from	from	ADP
ejde-1481	189	8	(	(	PUNCT
ejde-1481	189	9	2.8	2.8	NUM
ejde-1481	189	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	189	11	it	it	PRON
ejde-1481	189	12	follows	follow	VERB
ejde-1481	189	13	that	that	SCONJ
ejde-1481	189	14	−u′	−u′	NOUN
ejde-1481	189	15	k(r	k(r	PROPN
ejde-1481	189	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	190	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	191	1	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1481	191	2	∫	∫	NOUN
ejde-1481	191	3	r	r	NOUN
ejde-1481	191	4	0	0	NUM
ejde-1481	191	5	τn−1[w(τ)(1	τn−1[w(τ)(1	NOUN
ejde-1481	192	1	+	+	CCONJ
ejde-1481	192	2	ϵk	ϵk	ADP
ejde-1481	192	3	−	−	PROPN
ejde-1481	192	4	τ)]αup	τ)]αup	PROPN
ejde-1481	192	5	k(τ	k(τ	PROPN
ejde-1481	192	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	192	7	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	192	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	192	9	r	r	NOUN
ejde-1481	192	10	∈	∈	PROPN
ejde-1481	192	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	192	12	0	0	NUM
ejde-1481	192	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	192	14	1	1	NUM
ejde-1481	192	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	192	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	192	17	where	where	SCONJ
ejde-1481	192	18	−2	−2	NOUN
ejde-1481	192	19	<	<	X
ejde-1481	192	20	α	α	X
ejde-1481	192	21	<	<	X
ejde-1481	192	22	0	0	NUM
ejde-1481	192	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	193	1	by	by	ADP
ejde-1481	193	2	the	the	DET
ejde-1481	193	3	differential	differential	ADJ
ejde-1481	193	4	mean	mean	NOUN
ejde-1481	193	5	value	value	NOUN
ejde-1481	193	6	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	193	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	193	8	we	we	PRON
ejde-1481	193	9	have	have	VERB
ejde-1481	193	10	uk(r	uk(r	NOUN
ejde-1481	193	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	193	12	≤	≤	NOUN
ejde-1481	193	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	193	14	1	1	NUM
ejde-1481	193	15	−	−	NOUN
ejde-1481	193	16	r)|u′	r)|u′	NOUN
ejde-1481	193	17	k(rk)|	k(rk)|	NOUN
ejde-1481	193	18	for	for	ADP
ejde-1481	193	19	r	r	PROPN
ejde-1481	193	20	∈	∈	PROPN
ejde-1481	193	21	(	(	PUNCT
ejde-1481	193	22	0	0	NUM
ejde-1481	193	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	193	24	1	1	NUM
ejde-1481	193	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	193	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	193	27	implying	imply	VERB
ejde-1481	193	28	that	that	SCONJ
ejde-1481	193	29	|u′	|u′	NOUN
ejde-1481	193	30	k(rk)|	k(rk)|	PROPN
ejde-1481	193	31	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	194	1	r1−n	r1−n	PROPN
ejde-1481	194	2	k	k	PROPN
ejde-1481	194	3	∫	∫	PROPN
ejde-1481	194	4	rk	rk	NOUN
ejde-1481	194	5	0	0	NUM
ejde-1481	194	6	τn−1[w(τ)(1−	τn−1[w(τ)(1−	PROPN
ejde-1481	194	7	τ)]αup	τ)]αup	PROPN
ejde-1481	194	8	k(τ	k(τ	PROPN
ejde-1481	194	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	194	10	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	195	1	≤	≤	NUM
ejde-1481	195	2	∫	∫	PROPN
ejde-1481	195	3	rk	rk	NOUN
ejde-1481	195	4	0	0	NUM
ejde-1481	196	1	[	[	X
ejde-1481	196	2	w(τ)(1−	w(τ)(1−	NUM
ejde-1481	196	3	τ)]αup	τ)]αup	PROPN
ejde-1481	196	4	k(τ	k(τ	PROPN
ejde-1481	196	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	196	6	dτ	dτ	NOUN
ejde-1481	197	1	=	=	SYM
ejde-1481	197	2	∫	∫	PROPN
ejde-1481	197	3	rk	rk	NOUN
ejde-1481	197	4	0	0	NUM
ejde-1481	198	1	[	[	X
ejde-1481	198	2	w(τ)(1−	w(τ)(1−	NUM
ejde-1481	198	3	τ)]αuk(τ	τ)]αuk(τ	PROPN
ejde-1481	198	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	198	5	1−ηuk(τ	1−ηuk(τ	NUM
ejde-1481	198	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	198	7	p+η−1	p+η−1	NOUN
ejde-1481	198	8	dτ	dτ	NOUN
ejde-1481	198	9	≤	≤	ADJ
ejde-1481	198	10	cp+η−1dα|u′	cp+η−1dα|u′	PROPN
ejde-1481	198	11	k(rk)|1−η	k(rk)|1−η	PUNCT
ejde-1481	198	12	∫	∫	INTJ
ejde-1481	198	13	rk	rk	NOUN
ejde-1481	198	14	0	0	NUM
ejde-1481	198	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	198	16	1−	1−	NUM
ejde-1481	198	17	τ)α+1−η	τ)α+1−η	ADV
ejde-1481	198	18	dτ	dτ	PROPN
ejde-1481	198	19	for	for	ADP
ejde-1481	198	20	any	any	DET
ejde-1481	198	21	given	give	VERB
ejde-1481	198	22	constant	constant	ADJ
ejde-1481	198	23	η	η	PROPN
ejde-1481	198	24	∈	∈	PROPN
ejde-1481	198	25	(	(	PUNCT
ejde-1481	198	26	0,min{1	0,min{1	NUM
ejde-1481	198	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	198	28	α+	α+	X
ejde-1481	198	29	2	2	NUM
ejde-1481	198	30	}	}	PUNCT
ejde-1481	198	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	198	32	.	.	PUNCT
ejde-1481	199	1	then	then	ADV
ejde-1481	199	2	we	we	PRON
ejde-1481	199	3	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	199	4	|u′	|u′	NOUN
ejde-1481	199	5	k(rk)|	k(rk)|	NOUN
ejde-1481	199	6	≤	≤	ADJ
ejde-1481	199	7	k|u′	k|u′	PROPN
ejde-1481	199	8	k(rk)|1−η	k(rk)|1−η	NOUN
ejde-1481	199	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	199	10	for	for	ADP
ejde-1481	199	11	all	all	DET
ejde-1481	199	12	k	k	PROPN
ejde-1481	199	13	∈	∈	PROPN
ejde-1481	199	14	n	n	PRON
ejde-1481	199	15	and	and	CCONJ
ejde-1481	199	16	some	some	PRON
ejde-1481	199	17	k	k	PROPN
ejde-1481	199	18	>	>	X
ejde-1481	199	19	0	0	PROPN
ejde-1481	199	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	199	21	which	which	PRON
ejde-1481	199	22	is	be	AUX
ejde-1481	199	23	a	a	DET
ejde-1481	199	24	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	199	25	with	with	ADP
ejde-1481	199	26	|u′	|u′	NOUN
ejde-1481	199	27	k(rk)|	k(rk)|	NOUN
ejde-1481	199	28	→	→	PUNCT
ejde-1481	200	1	+	+	NUM
ejde-1481	200	2	∞	∞	PROPN
ejde-1481	200	3	as	as	ADP
ejde-1481	200	4	k	k	PROPN
ejde-1481	200	5	→	→	SYM
ejde-1481	200	6	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	200	7	□	□	PUNCT
ejde-1481	200	8	proof	proof	NOUN
ejde-1481	200	9	of	of	ADP
ejde-1481	200	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	200	11	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	200	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	201	1	we	we	PRON
ejde-1481	201	2	need	need	VERB
ejde-1481	201	3	to	to	PART
ejde-1481	201	4	consider	consider	VERB
ejde-1481	201	5	two	two	NUM
ejde-1481	201	6	cases	case	NOUN
ejde-1481	201	7	.	.	PUNCT
ejde-1481	202	1	case	case	NOUN
ejde-1481	202	2	1	1	NUM
ejde-1481	202	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	202	4	when	when	SCONJ
ejde-1481	202	5	−2	−2	PROPN
ejde-1481	202	6	<	<	X
ejde-1481	202	7	α	α	X
ejde-1481	202	8	≤	≤	NUM
ejde-1481	202	9	0	0	NUM
ejde-1481	202	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	202	11	we	we	PRON
ejde-1481	202	12	consider	consider	VERB
ejde-1481	202	13	the	the	DET
ejde-1481	202	14	problem	problem	NOUN
ejde-1481	202	15	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	203	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	204	1	[	[	X
ejde-1481	204	2	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	204	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	204	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	204	5	−	−	PROPN
ejde-1481	204	6	|x|)]α|u|p−1u	|x|)]α|u|p−1u	PROPN
ejde-1481	204	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	8	x	x	SYM
ejde-1481	204	9	∈	∈	PROPN
ejde-1481	204	10	b1	b1	NOUN
ejde-1481	204	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	12	u	u	NOUN
ejde-1481	204	13	=	=	PROPN
ejde-1481	204	14	0	0	PROPN
ejde-1481	204	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	16	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	204	17	=	=	SYM
ejde-1481	204	18	1	1	NUM
ejde-1481	204	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	204	21	2.10	2.10	NUM
ejde-1481	204	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	204	23	where	where	SCONJ
ejde-1481	204	24	n	n	X
ejde-1481	204	25	∈	∈	PROPN
ejde-1481	204	26	n.	n.	NOUN
ejde-1481	204	27	define	define	VERB
ejde-1481	204	28	u+	u+	NOUN
ejde-1481	204	29	=	=	SYM
ejde-1481	204	30	max{u	max{u	NOUN
ejde-1481	204	31	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	32	0	0	NUM
ejde-1481	204	33	}	}	PUNCT
ejde-1481	204	34	and	and	CCONJ
ejde-1481	204	35	fn(u	fn(u	NOUN
ejde-1481	204	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	204	37	=	=	SYM
ejde-1481	204	38	1	1	NUM
ejde-1481	204	39	2	2	NUM
ejde-1481	204	40	∫	∫	NOUN
ejde-1481	204	41	b1	b1	NOUN
ejde-1481	204	42	|∇u|2dx−	|∇u|2dx−	PUNCT
ejde-1481	204	43	1	1	NUM
ejde-1481	204	44	p+	p+	NOUN
ejde-1481	204	45	1	1	NUM
ejde-1481	204	46	∫	∫	NOUN
ejde-1481	204	47	b1	b1	NOUN
ejde-1481	204	48	[	[	X
ejde-1481	204	49	w(|x|)(1	w(|x|)(1	PROPN
ejde-1481	204	50	+	+	CCONJ
ejde-1481	204	51	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	204	52	−	−	PROPN
ejde-1481	204	53	|x|)]α(u+)p+1dx	|x|)]α(u+)p+1dx	PROPN
ejde-1481	204	54	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	55	u	u	NOUN
ejde-1481	204	56	∈	∈	PROPN
ejde-1481	204	57	h1	h1	NOUN
ejde-1481	204	58	0	0	NUM
ejde-1481	204	59	(	(	PUNCT
ejde-1481	204	60	b1	b1	NOUN
ejde-1481	204	61	)	)	PUNCT
ejde-1481	204	62	,	,	PUNCT
ejde-1481	204	63	where	where	SCONJ
ejde-1481	204	64	h1	h1	PROPN
ejde-1481	204	65	0	0	NUM
ejde-1481	204	66	(	(	PUNCT
ejde-1481	204	67	b1	b1	PROPN
ejde-1481	204	68	)	)	PUNCT
ejde-1481	204	69	is	be	AUX
ejde-1481	204	70	equipped	equip	VERB
ejde-1481	204	71	with	with	ADP
ejde-1481	204	72	the	the	DET
ejde-1481	204	73	norm	norm	NOUN
ejde-1481	204	74	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1481	204	75	=	=	SYM
ejde-1481	204	76	(	(	PUNCT
ejde-1481	204	77	∫	∫	PROPN
ejde-1481	204	78	b1	b1	PROPN
ejde-1481	204	79	|∇u|2dx)1/2	|∇u|2dx)1/2	PROPN
ejde-1481	204	80	for	for	ADP
ejde-1481	204	81	u	u	PROPN
ejde-1481	204	82	∈	∈	PROPN
ejde-1481	204	83	h1	h1	NOUN
ejde-1481	204	84	0	0	NUM
ejde-1481	204	85	(	(	PUNCT
ejde-1481	204	86	b1	b1	NOUN
ejde-1481	204	87	)	)	PUNCT
ejde-1481	204	88	.	.	PUNCT
ejde-1481	205	1	we	we	PRON
ejde-1481	205	2	now	now	ADV
ejde-1481	205	3	prove	prove	VERB
ejde-1481	205	4	that	that	SCONJ
ejde-1481	205	5	fn	fn	PROPN
ejde-1481	205	6	has	have	VERB
ejde-1481	205	7	a	a	DET
ejde-1481	205	8	radially	radially	ADV
ejde-1481	205	9	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	205	10	critical	critical	ADJ
ejde-1481	205	11	point	point	NOUN
ejde-1481	205	12	in	in	ADP
ejde-1481	205	13	h1	h1	PROPN
ejde-1481	205	14	0	0	NUM
ejde-1481	205	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	205	16	b1	b1	NOUN
ejde-1481	205	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	205	18	.	.	PUNCT
ejde-1481	206	1	to	to	ADP
ejde-1481	206	2	this	this	DET
ejde-1481	206	3	end	end	NOUN
ejde-1481	206	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	206	5	we	we	PRON
ejde-1481	206	6	choose	choose	VERB
ejde-1481	206	7	the	the	DET
ejde-1481	206	8	subspace	subspace	NOUN
ejde-1481	206	9	of	of	ADP
ejde-1481	206	10	h1	h1	PROPN
ejde-1481	206	11	0	0	NUM
ejde-1481	206	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	206	13	b1	b1	PROPN
ejde-1481	206	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	206	15	as	as	ADP
ejde-1481	206	16	x	x	X
ejde-1481	206	17	=	=	PRON
ejde-1481	206	18	{	{	PUNCT
ejde-1481	206	19	u	u	NOUN
ejde-1481	206	20	∈	∈	PROPN
ejde-1481	206	21	h1	h1	NOUN
ejde-1481	206	22	0	0	NUM
ejde-1481	206	23	(	(	PUNCT
ejde-1481	206	24	b1	b1	PROPN
ejde-1481	206	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	206	26	:	:	PUNCT
ejde-1481	207	1	u	u	NOUN
ejde-1481	207	2	is	be	AUX
ejde-1481	207	3	a	a	DET
ejde-1481	207	4	radially	radially	ADV
ejde-1481	207	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	207	6	function	function	NOUN
ejde-1481	207	7	in	in	ADP
ejde-1481	207	8	b1	b1	NOUN
ejde-1481	207	9	}	}	PUNCT
ejde-1481	207	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	208	1	clearly	clearly	ADV
ejde-1481	208	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	208	3	for	for	ADP
ejde-1481	208	4	any	any	DET
ejde-1481	208	5	fixed	fix	VERB
ejde-1481	208	6	n	n	NOUN
ejde-1481	208	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	208	8	fn	fn	NOUN
ejde-1481	208	9	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	208	10	the	the	DET
ejde-1481	208	11	conditions	condition	NOUN
ejde-1481	208	12	of	of	ADP
ejde-1481	208	13	mountain	mountain	NOUN
ejde-1481	208	14	pass	pass	NOUN
ejde-1481	208	15	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	208	16	in	in	ADP
ejde-1481	208	17	x	x	PUNCT
ejde-1481	209	1	[	[	X
ejde-1481	209	2	18	18	NUM
ejde-1481	209	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	209	4	.	.	PUNCT
ejde-1481	210	1	by	by	ADP
ejde-1481	210	2	the	the	DET
ejde-1481	210	3	theory	theory	NOUN
ejde-1481	210	4	of	of	ADP
ejde-1481	210	5	critical	critical	ADJ
ejde-1481	210	6	point	point	NOUN
ejde-1481	210	7	on	on	ADP
ejde-1481	210	8	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	210	9	function	function	NOUN
ejde-1481	210	10	spaces	space	NOUN
ejde-1481	210	11	[	[	X
ejde-1481	210	12	18	18	NUM
ejde-1481	210	13	]	]	PUNCT
ejde-1481	210	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	210	15	fn	fn	PROPN
ejde-1481	210	16	has	have	VERB
ejde-1481	210	17	a	a	DET
ejde-1481	210	18	critical	critical	ADJ
ejde-1481	210	19	point	point	NOUN
ejde-1481	210	20	un	un	PROPN
ejde-1481	210	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	210	22	which	which	PRON
ejde-1481	210	23	is	be	AUX
ejde-1481	210	24	a	a	DET
ejde-1481	210	25	radially	radially	ADV
ejde-1481	210	26	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	210	27	function	function	NOUN
ejde-1481	210	28	in	in	ADP
ejde-1481	210	29	h1	h1	PROPN
ejde-1481	210	30	0	0	NUM
ejde-1481	210	31	(	(	PUNCT
ejde-1481	210	32	b1	b1	NOUN
ejde-1481	210	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	210	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	211	1	thus	thus	ADV
ejde-1481	211	2	un	un	PROPN
ejde-1481	211	3	is	be	AUX
ejde-1481	211	4	a	a	DET
ejde-1481	211	5	nontrivial	nontrivial	NOUN
ejde-1481	211	6	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1481	211	7	weak	weak	ADJ
ejde-1481	211	8	solution	solution	NOUN
ejde-1481	211	9	to	to	ADP
ejde-1481	211	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	211	11	2.10	2.10	NUM
ejde-1481	211	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	211	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	212	1	from	from	ADP
ejde-1481	212	2	the	the	DET
ejde-1481	212	3	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	212	4	and	and	CCONJ
ejde-1481	212	5	strong	strong	ADJ
ejde-1481	212	6	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	212	7	principle	principle	NOUN
ejde-1481	212	8	[	[	X
ejde-1481	212	9	14	14	NUM
ejde-1481	212	10	]	]	PUNCT
ejde-1481	212	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	212	12	we	we	PRON
ejde-1481	212	13	have	have	VERB
ejde-1481	212	14	un	un	PROPN
ejde-1481	212	15	∈	∈	PROPN
ejde-1481	212	16	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	212	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	212	18	∩	∩	NOUN
ejde-1481	212	19	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	212	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	212	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	212	22	un	un	PROPN
ejde-1481	212	23	>	>	X
ejde-1481	212	24	0	0	X
ejde-1481	212	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	213	1	from	from	ADP
ejde-1481	213	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	213	3	2.6	2.6	NUM
ejde-1481	213	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	213	5	there	there	PRON
ejde-1481	213	6	is	be	VERB
ejde-1481	213	7	c	c	NOUN
ejde-1481	213	8	>	>	X
ejde-1481	213	9	0	0	NUM
ejde-1481	213	10	such	such	ADJ
ejde-1481	213	11	that	that	DET
ejde-1481	213	12	∥un∥c1(b1	∥un∥c1(b1	NOUN
ejde-1481	213	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	213	14	≤	≤	NUM
ejde-1481	213	15	c	c	NOUN
ejde-1481	213	16	for	for	ADP
ejde-1481	213	17	all	all	DET
ejde-1481	213	18	n	n	PRON
ejde-1481	213	19	∈	∈	NOUN
ejde-1481	213	20	n.	n.	NOUN
ejde-1481	213	21	by	by	ADP
ejde-1481	213	22	the	the	DET
ejde-1481	213	23	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	213	24	of	of	ADP
ejde-1481	213	25	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	213	26	equations	equation	NOUN
ejde-1481	213	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	213	28	un	un	PROPN
ejde-1481	213	29	is	be	AUX
ejde-1481	213	30	bounded	bound	VERB
ejde-1481	213	31	in	in	ADP
ejde-1481	213	32	c2+µ	c2+µ	PROPN
ejde-1481	213	33	loc	loc	PROPN
ejde-1481	213	34	(	(	PUNCT
ejde-1481	213	35	b1	b1	PROPN
ejde-1481	213	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	213	37	with	with	ADP
ejde-1481	213	38	µ	µ	PRON
ejde-1481	213	39	∈	∈	NOUN
ejde-1481	213	40	(	(	PUNCT
ejde-1481	213	41	0	0	NUM
ejde-1481	213	42	,	,	PUNCT
ejde-1481	213	43	1	1	NUM
ejde-1481	213	44	)	)	PUNCT
ejde-1481	213	45	.	.	PUNCT
ejde-1481	214	1	by	by	ADP
ejde-1481	214	2	the	the	DET
ejde-1481	214	3	arzela	arzela	PROPN
ejde-1481	214	4	-	-	PUNCT
ejde-1481	214	5	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-1481	214	6	theorem	theorem	PROPN
ejde-1481	214	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	214	8	we	we	PRON
ejde-1481	214	9	see	see	VERB
ejde-1481	214	10	un	un	PROPN
ejde-1481	214	11	→	→	SYM
ejde-1481	214	12	u	u	PROPN
ejde-1481	214	13	in	in	ADP
ejde-1481	214	14	c2	c2	PROPN
ejde-1481	214	15	loc(b1	loc(b1	PROPN
ejde-1481	214	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	214	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	215	1	hence	hence	ADV
ejde-1481	215	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	215	3	u	u	PROPN
ejde-1481	215	4	∈	∈	PROPN
ejde-1481	215	5	c2(b1)∩c1(b1	c2(b1)∩c1(b1	PROPN
ejde-1481	215	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	215	7	is	be	AUX
ejde-1481	215	8	a	a	DET
ejde-1481	215	9	radially	radially	ADV
ejde-1481	215	10	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-1481	215	11	solution	solution	NOUN
ejde-1481	215	12	to	to	ADP
ejde-1481	215	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	215	14	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	215	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	215	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	216	1	we	we	PRON
ejde-1481	216	2	claim	claim	VERB
ejde-1481	216	3	that	that	SCONJ
ejde-1481	216	4	u	u	NOUN
ejde-1481	216	5	is	be	AUX
ejde-1481	216	6	a	a	DET
ejde-1481	216	7	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1481	216	8	solution	solution	NOUN
ejde-1481	216	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	217	1	without	without	ADP
ejde-1481	217	2	loss	loss	NOUN
ejde-1481	217	3	of	of	ADP
ejde-1481	217	4	generality	generality	NOUN
ejde-1481	217	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	217	6	we	we	PRON
ejde-1481	217	7	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	217	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	217	9	un	un	PROPN
ejde-1481	217	10	→	→	SYM
ejde-1481	217	11	u	u	PROPN
ejde-1481	217	12	in	in	ADP
ejde-1481	217	13	c1	c1	PROPN
ejde-1481	217	14	loc(b1	loc(b1	PROPN
ejde-1481	217	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	217	16	as	as	ADP
ejde-1481	217	17	n	n	PROPN
ejde-1481	217	18	→	→	SYM
ejde-1481	217	19	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	217	20	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1481	217	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	217	22	u	u	PROPN
ejde-1481	217	23	≡	≡	PROPN
ejde-1481	217	24	0	0	NUM
ejde-1481	217	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	218	1	from	from	ADP
ejde-1481	218	2	un	un	PROPN
ejde-1481	218	3	→	→	SYM
ejde-1481	218	4	u	u	PROPN
ejde-1481	218	5	in	in	ADP
ejde-1481	218	6	c(b1	c(b1	NOUN
ejde-1481	218	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	218	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	218	9	it	it	PRON
ejde-1481	218	10	follows	follow	VERB
ejde-1481	218	11	that	that	SCONJ
ejde-1481	218	12	∥un∥l∞(b1	∥un∥l∞(b1	NOUN
ejde-1481	218	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	218	14	=	=	SYM
ejde-1481	218	15	o(1	o(1	PROPN
ejde-1481	218	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	218	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	218	18	as	as	ADP
ejde-1481	218	19	n	n	PROPN
ejde-1481	218	20	→	→	SYM
ejde-1481	218	21	∞	∞	NUM
ejde-1481	218	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	218	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	219	1	using	use	VERB
ejde-1481	219	2	equations	equation	NOUN
ejde-1481	219	3	of	of	ADP
ejde-1481	219	4	un	un	PROPN
ejde-1481	219	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	219	6	un+1	un+1	PROPN
ejde-1481	219	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	219	8	we	we	PRON
ejde-1481	219	9	have	have	VERB
ejde-1481	219	10	−∆(un+1	−∆(un+1	PROPN
ejde-1481	219	11	−	−	NOUN
ejde-1481	219	12	un	un	PROPN
ejde-1481	219	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	219	14	=	=	NOUN
ejde-1481	220	1	[	[	X
ejde-1481	220	2	w(|x|)]α[(1	w(|x|)]α[(1	X
ejde-1481	220	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	220	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	220	5	n+	n+	NUM
ejde-1481	220	6	1)−1	1)−1	NUM
ejde-1481	220	7	−	−	NOUN
ejde-1481	220	8	|x|)αup	|x|)αup	NOUN
ejde-1481	220	9	n+1	n+1	ADV
ejde-1481	220	10	−	−	PROPN
ejde-1481	220	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	220	12	1	1	NUM
ejde-1481	220	13	+	+	NUM
ejde-1481	220	14	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	220	15	−	−	PROPN
ejde-1481	220	16	|x|)αup	|x|)αup	NOUN
ejde-1481	220	17	n	n	X
ejde-1481	220	18	]	]	PUNCT
ejde-1481	220	19	>	>	X
ejde-1481	221	1	[	[	X
ejde-1481	221	2	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	221	3	+	+	PROPN
ejde-1481	221	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	221	5	−	−	PROPN
ejde-1481	221	6	|x|)]α(up	|x|)]α(up	NUM
ejde-1481	221	7	n+1	n+1	PROPN
ejde-1481	221	8	−	−	PROPN
ejde-1481	221	9	up	up	ADP
ejde-1481	221	10	n	n	CCONJ
ejde-1481	221	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	221	12	=	=	PUNCT
ejde-1481	222	1	[	[	X
ejde-1481	222	2	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	222	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	222	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	222	5	−	−	PROPN
ejde-1481	222	6	|x|)]α(un+1	|x|)]α(un+1	NOUN
ejde-1481	222	7	−	−	PROPN
ejde-1481	222	8	un)χn(x	un)χn(x	PROPN
ejde-1481	222	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	222	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	222	11	x	x	PROPN
ejde-1481	222	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	222	13	b1	b1	NOUN
ejde-1481	222	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	222	15	ejde-2025/50	ejde-2025/50	NOUN
ejde-1481	222	16	generalized	generalize	VERB
ejde-1481	222	17	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	222	18	-	-	PUNCT
ejde-1481	222	19	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	222	20	equations	equation	NOUN
ejde-1481	222	21	7	7	NUM
ejde-1481	222	22	where	where	SCONJ
ejde-1481	222	23	∥χn∥l∞(b1	∥χn∥l∞(b1	VERB
ejde-1481	222	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	222	25	=	=	SYM
ejde-1481	222	26	o(1	o(1	PROPN
ejde-1481	222	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	222	28	(	(	PUNCT
ejde-1481	222	29	as	as	ADP
ejde-1481	222	30	n	n	PROPN
ejde-1481	222	31	→	→	SYM
ejde-1481	222	32	∞	∞	NUM
ejde-1481	222	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	222	34	,	,	PUNCT
ejde-1481	222	35	and	and	CCONJ
ejde-1481	222	36	thus	thus	ADV
ejde-1481	222	37	−∆(un+1	−∆(un+1	NUM
ejde-1481	222	38	−	−	NOUN
ejde-1481	222	39	un)−	un)−	PRON
ejde-1481	223	1	[	[	X
ejde-1481	223	2	w(|x|)(1	w(|x|)(1	ADP
ejde-1481	223	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	223	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	223	5	−	−	PROPN
ejde-1481	223	6	|x|)]αχn(x)(un+1	|x|)]αχn(x)(un+1	PROPN
ejde-1481	223	7	−	−	PROPN
ejde-1481	223	8	un	un	PROPN
ejde-1481	223	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	223	10	>	>	X
ejde-1481	223	11	0	0	NUM
ejde-1481	223	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	13	x	x	PROPN
ejde-1481	223	14	∈	∈	PROPN
ejde-1481	223	15	b1	b1	NOUN
ejde-1481	223	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	17	un+1	un+1	PROPN
ejde-1481	223	18	−	−	PROPN
ejde-1481	223	19	un	un	PROPN
ejde-1481	223	20	=	=	PROPN
ejde-1481	223	21	0	0	PROPN
ejde-1481	223	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	23	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	223	24	=	=	SYM
ejde-1481	223	25	1	1	X
ejde-1481	223	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	223	27	(	(	PUNCT
ejde-1481	223	28	2.11	2.11	NUM
ejde-1481	223	29	)	)	PUNCT
ejde-1481	223	30	we	we	PRON
ejde-1481	223	31	denote	denote	VERB
ejde-1481	223	32	by	by	ADP
ejde-1481	223	33	λ1[h(x	λ1[h(x	PROPN
ejde-1481	223	34	)	)	PUNCT
ejde-1481	223	35	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	36	χ	χ	X
ejde-1481	223	37	]	]	X
ejde-1481	223	38	the	the	DET
ejde-1481	223	39	first	first	ADJ
ejde-1481	223	40	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1481	223	41	of	of	ADP
ejde-1481	223	42	−∆φ+	−∆φ+	PROPN
ejde-1481	223	43	h(x)φ	h(x)φ	PROPN
ejde-1481	223	44	=	=	PUNCT
ejde-1481	223	45	λφ	λφ	ADP
ejde-1481	223	46	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	47	x	x	SYM
ejde-1481	223	48	∈	∈	NOUN
ejde-1481	223	49	χ	χ	NOUN
ejde-1481	223	50	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	51	φ	φ	PROPN
ejde-1481	223	52	=	=	SYM
ejde-1481	223	53	0	0	PROPN
ejde-1481	223	54	,	,	PUNCT
ejde-1481	223	55	x	x	X
ejde-1481	223	56	∈	∈	NOUN
ejde-1481	223	57	∂χ	∂χ	PROPN
ejde-1481	223	58	.	.	PUNCT
ejde-1481	224	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	224	2	2.12	2.12	NUM
ejde-1481	224	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	224	4	let	let	VERB
ejde-1481	224	5	h(x	h(x	PROPN
ejde-1481	224	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	225	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	226	1	−d2	−d2	NOUN
ejde-1481	226	2	4	4	NUM
ejde-1481	227	1	[	[	X
ejde-1481	227	2	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	227	3	+	+	CCONJ
ejde-1481	227	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	227	5	−	−	NOUN
ejde-1481	227	6	|x|)]−2	|x|)]−2	PROPN
ejde-1481	227	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	227	8	t(x	t(x	PROPN
ejde-1481	227	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	228	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	229	1	−	−	PROPN
ejde-1481	229	2	1	1	NUM
ejde-1481	229	3	4	4	NUM
ejde-1481	229	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	229	5	1	1	NUM
ejde-1481	229	6	+	+	NUM
ejde-1481	229	7	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	229	8	−	−	PROPN
ejde-1481	229	9	|x|)−2	|x|)−2	PROPN
ejde-1481	229	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	230	1	from	from	ADP
ejde-1481	230	2	[	[	X
ejde-1481	230	3	11	11	NUM
ejde-1481	230	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	230	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	230	6	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	230	7	]	]	PUNCT
ejde-1481	230	8	it	it	PRON
ejde-1481	230	9	follows	follow	VERB
ejde-1481	230	10	that	that	SCONJ
ejde-1481	230	11	λ1[h(x	λ1[h(x	PROPN
ejde-1481	230	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	230	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	230	14	b1	b1	PROPN
ejde-1481	230	15	]	]	PUNCT
ejde-1481	230	16	≥	≥	NOUN
ejde-1481	230	17	λ1[t(x	λ1[t(x	NUM
ejde-1481	230	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	230	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	230	20	b1	b1	NOUN
ejde-1481	230	21	]	]	PUNCT
ejde-1481	230	22	>	>	X
ejde-1481	230	23	0	0	X
ejde-1481	230	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	231	1	in	in	ADP
ejde-1481	231	2	view	view	NOUN
ejde-1481	231	3	of	of	ADP
ejde-1481	231	4	α	α	NOUN
ejde-1481	231	5	>	>	X
ejde-1481	231	6	−2	−2	PROPN
ejde-1481	231	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	231	8	∥χn∥l∞(b1	∥χn∥l∞(b1	VERB
ejde-1481	231	9	)	)	PUNCT
ejde-1481	231	10	=	=	SYM
ejde-1481	231	11	o(1	o(1	PROPN
ejde-1481	231	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	231	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	231	14	as	as	ADP
ejde-1481	231	15	n	n	PROPN
ejde-1481	231	16	→	→	SYM
ejde-1481	231	17	∞	∞	NUM
ejde-1481	231	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	231	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	231	20	for	for	ADP
ejde-1481	231	21	the	the	DET
ejde-1481	231	22	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-1481	231	23	large	large	ADJ
ejde-1481	231	24	n	n	NOUN
ejde-1481	231	25	we	we	PRON
ejde-1481	231	26	have	have	VERB
ejde-1481	231	27	[	[	X
ejde-1481	231	28	w(|x|)(1	w(|x|)(1	NOUN
ejde-1481	231	29	+	+	PROPN
ejde-1481	231	30	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	231	31	−	−	PROPN
ejde-1481	231	32	|x|)]αχn(x	|x|)]αχn(x	PROPN
ejde-1481	231	33	)	)	PUNCT
ejde-1481	231	34	≤	≤	NOUN
ejde-1481	231	35	−h(x	−h(x	PROPN
ejde-1481	231	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	231	37	in	in	ADP
ejde-1481	231	38	b1	b1	NOUN
ejde-1481	231	39	.	.	PUNCT
ejde-1481	232	1	thus	thus	ADV
ejde-1481	232	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	232	3	λ1[−(w(|x|)(1	λ1[−(w(|x|)(1	PUNCT
ejde-1481	232	4	+	+	CCONJ
ejde-1481	232	5	n−1	n−1	PROPN
ejde-1481	232	6	−	−	PROPN
ejde-1481	232	7	|x|))αχn(x	|x|))αχn(x	PROPN
ejde-1481	232	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	232	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	232	10	b1	b1	PROPN
ejde-1481	232	11	]	]	PUNCT
ejde-1481	232	12	≥	≥	NOUN
ejde-1481	232	13	λ1[h(x	λ1[h(x	NOUN
ejde-1481	232	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	232	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	232	16	b1	b1	NOUN
ejde-1481	232	17	]	]	PUNCT
ejde-1481	232	18	>	>	X
ejde-1481	232	19	0	0	X
ejde-1481	232	20	.	.	PUNCT
ejde-1481	233	1	from	from	ADP
ejde-1481	233	2	(	(	PUNCT
ejde-1481	233	3	2.11	2.11	NUM
ejde-1481	233	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	233	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	233	6	the	the	DET
ejde-1481	233	7	strong	strong	ADJ
ejde-1481	233	8	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	233	9	principle	principle	NOUN
ejde-1481	233	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	233	11	it	it	PRON
ejde-1481	233	12	follows	follow	VERB
ejde-1481	233	13	that	that	SCONJ
ejde-1481	233	14	un+1(x	un+1(x	PROPN
ejde-1481	233	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	233	16	>	>	X
ejde-1481	233	17	un(x	un(x	X
ejde-1481	233	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	233	19	for	for	ADP
ejde-1481	233	20	x	x	PROPN
ejde-1481	233	21	∈	∈	PROPN
ejde-1481	233	22	b1	b1	NOUN
ejde-1481	233	23	and	and	CCONJ
ejde-1481	233	24	for	for	ADP
ejde-1481	233	25	the	the	DET
ejde-1481	233	26	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-1481	233	27	large	large	ADJ
ejde-1481	233	28	n	n	CCONJ
ejde-1481	233	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	233	30	which	which	PRON
ejde-1481	233	31	contradicts	contradict	VERB
ejde-1481	233	32	the	the	DET
ejde-1481	233	33	fact	fact	NOUN
ejde-1481	233	34	that	that	SCONJ
ejde-1481	233	35	un	un	PROPN
ejde-1481	233	36	→	→	SYM
ejde-1481	233	37	0	0	NUM
ejde-1481	233	38	in	in	ADP
ejde-1481	233	39	c(b1	c(b1	NOUN
ejde-1481	233	40	)	)	PUNCT
ejde-1481	233	41	as	as	ADP
ejde-1481	233	42	n	n	PROPN
ejde-1481	233	43	→	→	SYM
ejde-1481	233	44	∞.	∞.	PROPN
ejde-1481	233	45	therefore	therefore	ADV
ejde-1481	233	46	,	,	PUNCT
ejde-1481	233	47	u	u	NOUN
ejde-1481	233	48	̸≡	̸≡	NOUN
ejde-1481	233	49	0	0	NUM
ejde-1481	233	50	and	and	CCONJ
ejde-1481	233	51	u	u	NOUN
ejde-1481	233	52	is	be	AUX
ejde-1481	233	53	a	a	DET
ejde-1481	233	54	positive	positive	ADJ
ejde-1481	233	55	solution	solution	NOUN
ejde-1481	233	56	to	to	ADP
ejde-1481	233	57	(	(	PUNCT
ejde-1481	233	58	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	233	59	)	)	PUNCT
ejde-1481	233	60	.	.	PUNCT
ejde-1481	234	1	case	case	NOUN
ejde-1481	234	2	2	2	NUM
ejde-1481	234	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	234	4	when	when	SCONJ
ejde-1481	234	5	α	α	X
ejde-1481	234	6	>	>	X
ejde-1481	234	7	0	0	PROPN
ejde-1481	234	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	234	9	we	we	PRON
ejde-1481	234	10	define	define	VERB
ejde-1481	234	11	a	a	DET
ejde-1481	234	12	functional	functional	ADJ
ejde-1481	234	13	f	f	NOUN
ejde-1481	234	14	in	in	ADP
ejde-1481	234	15	h1	h1	PROPN
ejde-1481	234	16	0	0	NUM
ejde-1481	234	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	234	18	b1	b1	PROPN
ejde-1481	234	19	)	)	PUNCT
ejde-1481	234	20	by	by	ADP
ejde-1481	234	21	f	f	PROPN
ejde-1481	234	22	(	(	PUNCT
ejde-1481	234	23	u	u	NOUN
ejde-1481	234	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	234	25	=	=	SYM
ejde-1481	234	26	1	1	NUM
ejde-1481	234	27	2	2	NUM
ejde-1481	234	28	∫	∫	NOUN
ejde-1481	234	29	b1	b1	NOUN
ejde-1481	234	30	|∇u|2dx−	|∇u|2dx−	PUNCT
ejde-1481	234	31	1	1	NUM
ejde-1481	234	32	p+	p+	NOUN
ejde-1481	234	33	1	1	NUM
ejde-1481	234	34	∫	∫	NOUN
ejde-1481	234	35	b1	b1	PROPN
ejde-1481	234	36	[	[	PUNCT
ejde-1481	234	37	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	ADP
ejde-1481	234	38	|x|)]α(u+)p+1dx	|x|)]α(u+)p+1dx	PROPN
ejde-1481	234	39	.	.	PUNCT
ejde-1481	234	40	by	by	ADP
ejde-1481	234	41	the	the	DET
ejde-1481	234	42	mountain	mountain	NOUN
ejde-1481	234	43	pass	pass	VERB
ejde-1481	234	44	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	235	1	[	[	X
ejde-1481	235	2	18	18	NUM
ejde-1481	235	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	235	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	235	5	f	f	PROPN
ejde-1481	235	6	has	have	VERB
ejde-1481	235	7	a	a	DET
ejde-1481	235	8	positive	positive	ADJ
ejde-1481	235	9	critical	critical	ADJ
ejde-1481	235	10	point	point	NOUN
ejde-1481	235	11	v	v	ADP
ejde-1481	235	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	235	13	h1	h1	NOUN
ejde-1481	235	14	0	0	NUM
ejde-1481	235	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	235	16	b1	b1	NOUN
ejde-1481	235	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	235	18	.	.	PUNCT
ejde-1481	236	1	by	by	ADP
ejde-1481	236	2	1	1	NUM
ejde-1481	236	3	<	<	X
ejde-1481	236	4	p	p	X
ejde-1481	236	5	<	<	X
ejde-1481	236	6	n+2	n+2	PRON
ejde-1481	236	7	n−2	n−2	PROPN
ejde-1481	236	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	236	9	α	α	NOUN
ejde-1481	236	10	>	>	X
ejde-1481	236	11	0	0	NUM
ejde-1481	236	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	236	13	together	together	ADV
ejde-1481	236	14	with	with	ADP
ejde-1481	236	15	the	the	DET
ejde-1481	236	16	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	236	17	of	of	ADP
ejde-1481	236	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	236	19	equations	equation	NOUN
ejde-1481	236	20	[	[	X
ejde-1481	236	21	14	14	NUM
ejde-1481	236	22	]	]	PUNCT
ejde-1481	236	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	236	24	we	we	PRON
ejde-1481	236	25	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	236	26	that	that	DET
ejde-1481	236	27	v	v	NUM
ejde-1481	236	28	∈	∈	PROPN
ejde-1481	236	29	c2(b1)∩c1(b1	c2(b1)∩c1(b1	NOUN
ejde-1481	236	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	236	31	is	be	AUX
ejde-1481	236	32	a	a	DET
ejde-1481	236	33	positive	positive	ADJ
ejde-1481	236	34	solution	solution	NOUN
ejde-1481	236	35	to	to	ADP
ejde-1481	236	36	(	(	PUNCT
ejde-1481	236	37	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	236	38	)	)	PUNCT
ejde-1481	236	39	.	.	PUNCT
ejde-1481	237	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	237	2	3	3	X
ejde-1481	237	3	.	.	X
ejde-1481	237	4	results	result	NOUN
ejde-1481	237	5	for	for	ADP
ejde-1481	237	6	the	the	DET
ejde-1481	237	7	case	case	NOUN
ejde-1481	237	8	p	p	X
ejde-1481	237	9	<	<	X
ejde-1481	237	10	1	1	NUM
ejde-1481	237	11	in	in	ADP
ejde-1481	237	12	this	this	DET
ejde-1481	237	13	section	section	NOUN
ejde-1481	237	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	237	15	we	we	PRON
ejde-1481	237	16	consider	consider	VERB
ejde-1481	237	17	problems	problem	NOUN
ejde-1481	237	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	237	19	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	237	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	237	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	237	22	(	(	PUNCT
ejde-1481	237	23	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	237	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	237	25	when	when	SCONJ
ejde-1481	237	26	p	p	NOUN
ejde-1481	237	27	<	<	X
ejde-1481	237	28	1	1	X
ejde-1481	237	29	.	.	PUNCT
ejde-1481	238	1	let	let	VERB
ejde-1481	238	2	us	we	PRON
ejde-1481	238	3	summarize	summarize	VERB
ejde-1481	238	4	our	our	PRON
ejde-1481	238	5	results	result	NOUN
ejde-1481	238	6	as	as	SCONJ
ejde-1481	238	7	follows	follow	VERB
ejde-1481	238	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	239	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	239	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	239	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	240	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	240	2	0	0	NUM
ejde-1481	240	3	<	<	X
ejde-1481	240	4	p	p	X
ejde-1481	240	5	<	<	X
ejde-1481	240	6	1	1	NUM
ejde-1481	240	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	240	8	then	then	ADV
ejde-1481	240	9	there	there	PRON
ejde-1481	240	10	exists	exist	VERB
ejde-1481	240	11	a	a	DET
ejde-1481	240	12	constant	constant	ADJ
ejde-1481	240	13	c	c	NOUN
ejde-1481	240	14	>	>	X
ejde-1481	240	15	0	0	NUM
ejde-1481	240	16	such	such	ADJ
ejde-1481	240	17	that	that	SCONJ
ejde-1481	240	18	any	any	DET
ejde-1481	240	19	positive	positive	ADJ
ejde-1481	240	20	solution	solution	NOUN
ejde-1481	240	21	u	u	INTJ
ejde-1481	240	22	to	to	ADP
ejde-1481	240	23	(	(	PUNCT
ejde-1481	240	24	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	240	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	240	26	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	240	27	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	240	28	)	)	PUNCT
ejde-1481	240	29	≥	≥	NOUN
ejde-1481	241	1	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	241	2	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	241	3	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	241	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	241	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	241	6	x	x	PROPN
ejde-1481	241	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	241	8	b1	b1	NOUN
ejde-1481	241	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	242	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	242	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	242	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	242	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	242	5	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	242	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	243	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	243	2	0	0	NUM
ejde-1481	243	3	<	<	X
ejde-1481	243	4	p	p	X
ejde-1481	243	5	<	<	X
ejde-1481	243	6	1	1	NUM
ejde-1481	243	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	243	8	1	1	NUM
ejde-1481	243	9	+	+	NUM
ejde-1481	243	10	p+	p+	VERB
ejde-1481	243	11	α	α	NOUN
ejde-1481	243	12	<	<	X
ejde-1481	243	13	0	0	NUM
ejde-1481	243	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	243	15	then	then	ADV
ejde-1481	243	16	(	(	PUNCT
ejde-1481	243	17	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	243	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	243	19	has	have	VERB
ejde-1481	243	20	no	no	DET
ejde-1481	243	21	positive	positive	ADJ
ejde-1481	243	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	243	23	in	in	ADP
ejde-1481	243	24	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	243	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	243	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	244	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	244	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1481	244	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	245	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	245	2	0	0	NUM
ejde-1481	245	3	<	<	X
ejde-1481	245	4	p	p	X
ejde-1481	245	5	<	<	X
ejde-1481	245	6	1	1	NUM
ejde-1481	245	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	245	8	α	α	NOUN
ejde-1481	245	9	≤	≤	ADJ
ejde-1481	245	10	−2	−2	NOUN
ejde-1481	245	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	245	12	then	then	ADV
ejde-1481	245	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	245	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	245	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	245	16	has	have	VERB
ejde-1481	245	17	no	no	DET
ejde-1481	245	18	positive	positive	ADJ
ejde-1481	245	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	245	20	in	in	ADP
ejde-1481	245	21	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	245	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	245	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	246	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1481	246	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	246	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	247	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	247	2	i	i	NOUN
ejde-1481	247	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	247	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	247	5	p	p	X
ejde-1481	247	6	<	<	X
ejde-1481	247	7	1	1	NUM
ejde-1481	247	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	247	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	247	10	α	α	NOUN
ejde-1481	247	11	>	>	X
ejde-1481	247	12	−2	−2	NOUN
ejde-1481	247	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	247	14	then	then	ADV
ejde-1481	247	15	(	(	PUNCT
ejde-1481	247	16	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	247	17	)	)	PUNCT
ejde-1481	247	18	has	have	VERB
ejde-1481	247	19	a	a	DET
ejde-1481	247	20	positive	positive	ADJ
ejde-1481	247	21	classical	classical	ADJ
ejde-1481	247	22	solution	solution	NOUN
ejde-1481	247	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	248	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1481	248	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	248	3	if	if	SCONJ
ejde-1481	248	4	p	p	X
ejde-1481	248	5	<	<	X
ejde-1481	248	6	0	0	PROPN
ejde-1481	248	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	248	8	the	the	DET
ejde-1481	248	9	positive	positive	ADJ
ejde-1481	248	10	solution	solution	NOUN
ejde-1481	248	11	of	of	ADP
ejde-1481	248	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	248	13	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	248	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	248	15	is	be	AUX
ejde-1481	248	16	unique	unique	ADJ
ejde-1481	248	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	249	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	249	2	ii	ii	NOUN
ejde-1481	249	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	249	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	249	5	ζ	ζ	NOUN
ejde-1481	249	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	249	7	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	249	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	249	9	is	be	AUX
ejde-1481	249	10	a	a	DET
ejde-1481	249	11	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1481	249	12	function	function	NOUN
ejde-1481	249	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	249	14	0	0	PUNCT
ejde-1481	249	15	<	<	X
ejde-1481	249	16	p	p	X
ejde-1481	249	17	<	<	X
ejde-1481	249	18	1	1	NUM
ejde-1481	249	19	and	and	CCONJ
ejde-1481	249	20	α	α	PRON
ejde-1481	249	21	≥	≥	NOUN
ejde-1481	249	22	0	0	NUM
ejde-1481	249	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	249	24	then	then	ADV
ejde-1481	249	25	the	the	DET
ejde-1481	249	26	problem	problem	NOUN
ejde-1481	249	27	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	250	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	251	1	[	[	X
ejde-1481	251	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	251	3	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	251	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	251	5	x	x	PROPN
ejde-1481	251	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	251	7	b1	b1	NOUN
ejde-1481	251	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	251	9	u	u	NOUN
ejde-1481	251	10	=	=	SYM
ejde-1481	251	11	ζ	ζ	PROPN
ejde-1481	251	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	251	13	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	251	14	=	=	SYM
ejde-1481	251	15	1	1	NUM
ejde-1481	251	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	251	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	251	18	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	251	19	)	)	PUNCT
ejde-1481	251	20	has	have	VERB
ejde-1481	251	21	a	a	DET
ejde-1481	251	22	unique	unique	ADJ
ejde-1481	251	23	positive	positive	ADJ
ejde-1481	251	24	solution	solution	NOUN
ejde-1481	251	25	in	in	ADP
ejde-1481	251	26	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	251	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	251	28	∩	∩	NOUN
ejde-1481	251	29	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	251	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	251	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	252	1	to	to	PART
ejde-1481	252	2	establish	establish	VERB
ejde-1481	252	3	the	the	DET
ejde-1481	252	4	lower	low	ADJ
ejde-1481	252	5	estimates	estimate	NOUN
ejde-1481	252	6	of	of	ADP
ejde-1481	252	7	positive	positive	ADJ
ejde-1481	252	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	252	9	to	to	ADP
ejde-1481	252	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	252	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	252	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	252	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	252	14	we	we	PRON
ejde-1481	252	15	need	need	VERB
ejde-1481	252	16	the	the	DET
ejde-1481	252	17	following	follow	VERB
ejde-1481	252	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	252	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	253	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	253	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1481	253	3	(	(	PUNCT
ejde-1481	253	4	[	[	X
ejde-1481	253	5	7	7	NUM
ejde-1481	253	6	]	]	NUM
ejde-1481	253	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	253	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	254	1	if	if	SCONJ
ejde-1481	254	2	n	n	NUM
ejde-1481	254	3	≥	≥	NOUN
ejde-1481	254	4	3	3	NUM
ejde-1481	254	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	254	6	p	p	X
ejde-1481	254	7	<	<	X
ejde-1481	254	8	1	1	NUM
ejde-1481	254	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	254	10	µ	µ	PRON
ejde-1481	254	11	∈	∈	NOUN
ejde-1481	254	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	254	13	0	0	NUM
ejde-1481	254	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	254	15	1	1	NUM
ejde-1481	254	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	254	17	and	and	CCONJ
ejde-1481	254	18	a	a	DET
ejde-1481	254	19	∈	∈	NOUN
ejde-1481	254	20	cµ(b1	cµ(b1	NOUN
ejde-1481	254	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	254	22	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	254	23	a(x	a(x	NOUN
ejde-1481	254	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	254	25	≥	≥	NOUN
ejde-1481	254	26	c	c	NOUN
ejde-1481	254	27	for	for	ADP
ejde-1481	254	28	x	x	PROPN
ejde-1481	254	29	∈	∈	PROPN
ejde-1481	254	30	b1	b1	NOUN
ejde-1481	254	31	and	and	CCONJ
ejde-1481	255	1	some	some	DET
ejde-1481	255	2	constant	constant	ADJ
ejde-1481	255	3	c	c	NOUN
ejde-1481	255	4	>	>	X
ejde-1481	255	5	0	0	NUM
ejde-1481	255	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	255	7	then	then	ADV
ejde-1481	255	8	for	for	ADP
ejde-1481	255	9	any	any	DET
ejde-1481	255	10	positive	positive	ADJ
ejde-1481	255	11	classical	classical	ADJ
ejde-1481	255	12	solution	solution	NOUN
ejde-1481	255	13	u	u	NOUN
ejde-1481	255	14	to	to	ADP
ejde-1481	255	15	the	the	DET
ejde-1481	255	16	problem	problem	NOUN
ejde-1481	255	17	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1481	256	1	=	=	SYM
ejde-1481	256	2	a(x)up	a(x)up	PROPN
ejde-1481	256	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	256	4	x	x	SYM
ejde-1481	256	5	∈	∈	PROPN
ejde-1481	256	6	b1	b1	NOUN
ejde-1481	256	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	256	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	256	9	|u(0)|	|u(0)|	VERB
ejde-1481	256	10	≥	≥	PROPN
ejde-1481	256	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	256	12	c	c	NOUN
ejde-1481	256	13	λ1(b1	λ1(b1	PROPN
ejde-1481	256	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	256	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	257	1	1/(1−p	1/(1−p	NUM
ejde-1481	257	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	257	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	257	4	x	x	PROPN
ejde-1481	257	5	∈	∈	PROPN
ejde-1481	257	6	b1	b1	NOUN
ejde-1481	257	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	257	8	8	8	NUM
ejde-1481	257	9	x.	x.	NOUN
ejde-1481	257	10	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	257	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	257	12	x.	x.	PROPN
ejde-1481	257	13	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	257	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	257	15	m.	m.	NOUN
ejde-1481	257	16	yang	yang	PROPN
ejde-1481	257	17	ejde-2025/50	ejde-2025/50	PROPN
ejde-1481	257	18	where	where	SCONJ
ejde-1481	257	19	λ1(b1	λ1(b1	AUX
ejde-1481	257	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	257	21	is	be	AUX
ejde-1481	257	22	the	the	DET
ejde-1481	257	23	first	first	ADJ
ejde-1481	257	24	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1481	257	25	of	of	ADP
ejde-1481	257	26	−∆	−∆	NOUN
ejde-1481	257	27	with	with	ADP
ejde-1481	257	28	the	the	DET
ejde-1481	257	29	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1481	257	30	boundary	boundary	ADJ
ejde-1481	257	31	condition	condition	NOUN
ejde-1481	257	32	on	on	ADP
ejde-1481	257	33	b1	b1	NOUN
ejde-1481	257	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	258	1	now	now	ADV
ejde-1481	258	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	258	3	we	we	PRON
ejde-1481	258	4	are	be	AUX
ejde-1481	258	5	in	in	ADP
ejde-1481	258	6	a	a	DET
ejde-1481	258	7	position	position	NOUN
ejde-1481	258	8	to	to	PART
ejde-1481	258	9	prove	prove	VERB
ejde-1481	258	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	258	11	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	258	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	259	1	proof	proof	NOUN
ejde-1481	259	2	of	of	ADP
ejde-1481	259	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	259	4	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	259	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	260	1	let	let	VERB
ejde-1481	260	2	x0	x0	PROPN
ejde-1481	260	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	260	4	b1	b1	NOUN
ejde-1481	260	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	260	6	c(x	c(x	NOUN
ejde-1481	260	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	260	8	=	=	PUNCT
ejde-1481	260	9	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	260	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	260	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	260	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	261	1	then	then	ADV
ejde-1481	261	2	y	y	INTJ
ejde-1481	261	3	:	:	PUNCT
ejde-1481	261	4	=	=	SYM
ejde-1481	261	5	x0	x0	PROPN
ejde-1481	261	6	+	+	CCONJ
ejde-1481	261	7	c(x0)x/2	c(x0)x/2	SYM
ejde-1481	261	8	∈	∈	NOUN
ejde-1481	261	9	b1	b1	NOUN
ejde-1481	261	10	for	for	ADP
ejde-1481	261	11	x	x	PROPN
ejde-1481	261	12	∈	∈	PROPN
ejde-1481	261	13	b1	b1	NOUN
ejde-1481	261	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	262	1	we	we	PRON
ejde-1481	262	2	define	define	VERB
ejde-1481	262	3	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	262	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	262	5	=	=	SYM
ejde-1481	262	6	c(x0	c(x0	NOUN
ejde-1481	262	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	262	8	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	262	9	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	262	10	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	262	11	+	+	CCONJ
ejde-1481	262	12	c(x0)x/2	c(x0)x/2	NOUN
ejde-1481	262	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	262	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	262	15	x	x	PROPN
ejde-1481	262	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	262	17	b1	b1	NOUN
ejde-1481	262	18	.	.	PUNCT
ejde-1481	263	1	then	then	ADV
ejde-1481	263	2	u	u	PRON
ejde-1481	263	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	263	4	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	264	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	264	2	a(x;x0)u	a(x;x0)u	X
ejde-1481	264	3	p	p	X
ejde-1481	264	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	264	5	x	x	SYM
ejde-1481	264	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	264	7	b1	b1	NOUN
ejde-1481	264	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	264	9	where	where	SCONJ
ejde-1481	264	10	a(x;x0	a(x;x0	X
ejde-1481	264	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	264	12	=	=	SYM
ejde-1481	264	13	c(y)α	c(y)α	PROPN
ejde-1481	264	14	4c(x0)α	4c(x0)α	NOUN
ejde-1481	264	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	265	1	from	from	ADP
ejde-1481	265	2	the	the	DET
ejde-1481	265	3	proof	proof	NOUN
ejde-1481	265	4	of	of	ADP
ejde-1481	265	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	265	6	2.5	2.5	NUM
ejde-1481	265	7	we	we	PRON
ejde-1481	265	8	know	know	VERB
ejde-1481	265	9	that	that	SCONJ
ejde-1481	265	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	11	for	for	ADP
ejde-1481	265	12	all	all	DET
ejde-1481	265	13	x	x	NOUN
ejde-1481	265	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	15	x0	x0	PROPN
ejde-1481	265	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	265	17	b1	b1	PROPN
ejde-1481	265	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	19	4a(x;x0	4a(x;x0	NUM
ejde-1481	265	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	265	21	≥	≥	NOUN
ejde-1481	265	22	{	{	PUNCT
ejde-1481	265	23	(	(	PUNCT
ejde-1481	265	24	d	d	NOUN
ejde-1481	265	25	2	2	NUM
ejde-1481	265	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	265	27	α	α	NOUN
ejde-1481	265	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	29	as	as	ADP
ejde-1481	265	30	α	α	DET
ejde-1481	265	31	≥	≥	NOUN
ejde-1481	265	32	0	0	NUM
ejde-1481	265	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	34	(	(	PUNCT
ejde-1481	265	35	3	3	NUM
ejde-1481	265	36	2d	2d	NUM
ejde-1481	265	37	)	)	PUNCT
ejde-1481	265	38	α	α	NOUN
ejde-1481	265	39	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	40	as	as	ADP
ejde-1481	265	41	α	α	X
ejde-1481	265	42	<	<	X
ejde-1481	265	43	0	0	NUM
ejde-1481	265	44	.	.	PUNCT
ejde-1481	265	45	applying	apply	VERB
ejde-1481	265	46	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	265	47	3.5	3.5	NUM
ejde-1481	265	48	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	49	we	we	PRON
ejde-1481	265	50	have	have	VERB
ejde-1481	265	51	u(0	u(0	NOUN
ejde-1481	265	52	)	)	PUNCT
ejde-1481	265	53	≥	≥	NOUN
ejde-1481	265	54	c	c	NOUN
ejde-1481	265	55	for	for	ADP
ejde-1481	265	56	some	some	DET
ejde-1481	265	57	constant	constant	ADJ
ejde-1481	265	58	c	c	NOUN
ejde-1481	265	59	>	>	X
ejde-1481	265	60	0	0	NUM
ejde-1481	265	61	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	62	i.e.	i.e.	X
ejde-1481	265	63	,	,	PUNCT
ejde-1481	265	64	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-1481	265	65	)	)	PUNCT
ejde-1481	265	66	≥	≥	X
ejde-1481	266	1	c[w(|x0|)(1−	c[w(|x0|)(1−	PROPN
ejde-1481	266	2	|x0|)]−	|x0|)]−	PROPN
ejde-1481	266	3	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	266	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	266	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	267	1	because	because	SCONJ
ejde-1481	267	2	x0	x0	PROPN
ejde-1481	267	3	∈	∈	PROPN
ejde-1481	267	4	b1	b1	NOUN
ejde-1481	267	5	is	be	AUX
ejde-1481	267	6	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-1481	267	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	267	8	we	we	PRON
ejde-1481	267	9	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	267	10	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	267	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	267	12	≥	≥	NOUN
ejde-1481	268	1	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	268	2	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	268	3	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	268	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	268	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	268	6	x	x	PROPN
ejde-1481	268	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	268	8	b1	b1	NOUN
ejde-1481	268	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	269	1	the	the	DET
ejde-1481	269	2	proof	proof	NOUN
ejde-1481	269	3	is	be	AUX
ejde-1481	269	4	complete	complete	ADJ
ejde-1481	269	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	270	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	270	2	proof	proof	NOUN
ejde-1481	270	3	of	of	ADP
ejde-1481	270	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	270	5	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	270	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	271	1	assume	assume	VERB
ejde-1481	271	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	271	3	u	u	PROPN
ejde-1481	271	4	∈	∈	PROPN
ejde-1481	271	5	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	271	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	271	7	is	be	AUX
ejde-1481	271	8	a	a	DET
ejde-1481	271	9	positive	positive	ADJ
ejde-1481	271	10	solution	solution	NOUN
ejde-1481	271	11	of	of	ADP
ejde-1481	271	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	271	13	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	271	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	271	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	272	1	according	accord	VERB
ejde-1481	272	2	to	to	ADP
ejde-1481	272	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	272	4	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	272	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	272	6	hopf	hopf	PROPN
ejde-1481	272	7	’s	’s	PART
ejde-1481	272	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	272	9	[	[	X
ejde-1481	272	10	9	9	NUM
ejde-1481	272	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	272	12	14	14	NUM
ejde-1481	272	13	]	]	PUNCT
ejde-1481	272	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	272	15	there	there	PRON
ejde-1481	272	16	exist	exist	VERB
ejde-1481	272	17	constants	constant	NOUN
ejde-1481	272	18	c1	c1	PROPN
ejde-1481	272	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	272	20	c2	c2	PROPN
ejde-1481	272	21	>	>	X
ejde-1481	272	22	0	0	NUM
ejde-1481	273	1	such	such	ADJ
ejde-1481	273	2	that	that	PRON
ejde-1481	273	3	c1[w(|x|)(1−	c1[w(|x|)(1−	PROPN
ejde-1481	274	1	|x|)]−	|x|)]−	PROPN
ejde-1481	274	2	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	274	3	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	274	4	≤	≤	NUM
ejde-1481	274	5	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	274	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	274	7	≤	≤	NOUN
ejde-1481	274	8	c2w(|x|)(1−	c2w(|x|)(1−	VERB
ejde-1481	274	9	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	274	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	274	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	274	12	x	x	PROPN
ejde-1481	274	13	∈	∈	PROPN
ejde-1481	274	14	b1	b1	NOUN
ejde-1481	274	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	274	16	which	which	PRON
ejde-1481	274	17	together	together	ADV
ejde-1481	274	18	with	with	ADP
ejde-1481	274	19	−	−	PROPN
ejde-1481	274	20	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	275	1	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	275	2	<	<	X
ejde-1481	275	3	1	1	NUM
ejde-1481	275	4	yields	yield	NOUN
ejde-1481	275	5	a	a	DET
ejde-1481	275	6	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	275	7	by	by	ADP
ejde-1481	275	8	letting	let	VERB
ejde-1481	275	9	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	275	10	→	→	SYM
ejde-1481	275	11	1−.	1−.	NUM
ejde-1481	275	12	□	□	PUNCT
ejde-1481	275	13	proof	proof	NOUN
ejde-1481	275	14	of	of	ADP
ejde-1481	275	15	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	275	16	3.3	3.3	NUM
ejde-1481	275	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	276	1	we	we	PRON
ejde-1481	276	2	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	276	3	that	that	SCONJ
ejde-1481	276	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	276	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	276	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	276	7	has	have	VERB
ejde-1481	276	8	a	a	DET
ejde-1481	276	9	positive	positive	ADJ
ejde-1481	276	10	solution	solution	NOUN
ejde-1481	276	11	u.	u.	VERB
ejde-1481	276	12	by	by	ADP
ejde-1481	276	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	276	14	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	276	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	276	16	there	there	PRON
ejde-1481	276	17	exists	exist	VERB
ejde-1481	276	18	a	a	DET
ejde-1481	276	19	positive	positive	ADJ
ejde-1481	276	20	constant	constant	ADJ
ejde-1481	276	21	c	c	NOUN
ejde-1481	276	22	>	>	X
ejde-1481	276	23	0	0	NUM
ejde-1481	276	24	such	such	ADJ
ejde-1481	276	25	that	that	SCONJ
ejde-1481	276	26	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	276	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	276	28	≥	≥	NOUN
ejde-1481	276	29	c	c	NOUN
ejde-1481	276	30	,	,	PUNCT
ejde-1481	276	31	x	x	SYM
ejde-1481	276	32	∈	∈	PROPN
ejde-1481	276	33	b1	b1	NOUN
ejde-1481	276	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	277	1	we	we	PRON
ejde-1481	277	2	denote	denote	VERB
ejde-1481	277	3	ũ(r	ũ(r	PROPN
ejde-1481	277	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	277	5	:	:	PUNCT
ejde-1481	278	1	=	=	SYM
ejde-1481	278	2	1	1	NUM
ejde-1481	278	3	|sn−1|	|sn−1|	NUM
ejde-1481	278	4	∫	∫	PROPN
ejde-1481	278	5	sn−1	sn−1	PROPN
ejde-1481	278	6	u(r	u(r	PROPN
ejde-1481	278	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	278	8	θ)dθ	θ)dθ	PROPN
ejde-1481	278	9	.	.	PROPN
ejde-1481	278	10	then	then	ADV
ejde-1481	278	11	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	278	12	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	278	13	−(rn−1ũ′(r))′	−(rn−1ũ′(r))′	PROPN
ejde-1481	278	14	≥	≥	PRON
ejde-1481	278	15	cp[w(r)(1−	cp[w(r)(1−	PROPN
ejde-1481	278	16	r)]αrn−1	r)]αrn−1	PROPN
ejde-1481	278	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	278	18	r	r	NOUN
ejde-1481	278	19	∈	∈	PROPN
ejde-1481	278	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	278	21	0	0	NUM
ejde-1481	278	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	278	23	1	1	NUM
ejde-1481	278	24	)	)	PUNCT
ejde-1481	278	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	279	1	using	use	VERB
ejde-1481	279	2	the	the	DET
ejde-1481	279	3	arguments	argument	NOUN
ejde-1481	279	4	as	as	SCONJ
ejde-1481	279	5	we	we	PRON
ejde-1481	279	6	did	do	VERB
ejde-1481	279	7	for	for	ADP
ejde-1481	279	8	the	the	DET
ejde-1481	279	9	proof	proof	NOUN
ejde-1481	279	10	of	of	ADP
ejde-1481	279	11	part	part	NOUN
ejde-1481	279	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	279	13	i	i	NOUN
ejde-1481	279	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	279	15	in	in	ADP
ejde-1481	279	16	theorem	theorem	NOUN
ejde-1481	279	17	2.2	2.2	NUM
ejde-1481	279	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	279	19	we	we	PRON
ejde-1481	279	20	can	can	AUX
ejde-1481	279	21	deduce	deduce	VERB
ejde-1481	279	22	a	a	DET
ejde-1481	279	23	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	279	24	.	.	PUNCT
ejde-1481	280	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	280	2	proof	proof	NOUN
ejde-1481	280	3	of	of	ADP
ejde-1481	280	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	280	5	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	280	6	.	.	PUNCT
ejde-1481	281	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	281	2	i	i	NOUN
ejde-1481	281	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	281	4	for	for	ADP
ejde-1481	281	5	convenience	convenience	NOUN
ejde-1481	281	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	281	7	we	we	PRON
ejde-1481	281	8	separate	separate	VERB
ejde-1481	281	9	the	the	DET
ejde-1481	281	10	proof	proof	NOUN
ejde-1481	281	11	into	into	ADP
ejde-1481	281	12	two	two	NUM
ejde-1481	281	13	steps	step	NOUN
ejde-1481	281	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	282	1	step	step	NOUN
ejde-1481	282	2	1	1	NUM
ejde-1481	282	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	282	4	prove	prove	VERB
ejde-1481	282	5	the	the	DET
ejde-1481	282	6	existence	existence	NOUN
ejde-1481	282	7	of	of	ADP
ejde-1481	282	8	positive	positive	ADJ
ejde-1481	282	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	282	10	to	to	ADP
ejde-1481	282	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	282	12	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	282	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	282	14	with	with	ADP
ejde-1481	282	15	p	p	X
ejde-1481	282	16	<	<	X
ejde-1481	282	17	1	1	NUM
ejde-1481	282	18	and	and	CCONJ
ejde-1481	282	19	α	α	NOUN
ejde-1481	282	20	>	>	X
ejde-1481	282	21	−2	−2	NOUN
ejde-1481	282	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	283	1	we	we	PRON
ejde-1481	283	2	denote	denote	VERB
ejde-1481	283	3	the	the	DET
ejde-1481	283	4	first	first	ADJ
ejde-1481	283	5	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1481	283	6	and	and	CCONJ
ejde-1481	283	7	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1481	283	8	by	by	ADP
ejde-1481	283	9	φ1	φ1	NOUN
ejde-1481	283	10	and	and	CCONJ
ejde-1481	283	11	λ1(b1	λ1(b1	AUX
ejde-1481	283	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	283	13	of	of	ADP
ejde-1481	283	14	the	the	DET
ejde-1481	283	15	problem	problem	NOUN
ejde-1481	283	16	−∆φ	−∆φ	X
ejde-1481	284	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	284	2	λφ	λφ	NOUN
ejde-1481	284	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	284	4	in	in	ADP
ejde-1481	284	5	b1	b1	NOUN
ejde-1481	284	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	284	7	φ	φ	PROPN
ejde-1481	284	8	=	=	SYM
ejde-1481	284	9	0	0	PROPN
ejde-1481	284	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	284	11	on	on	ADP
ejde-1481	284	12	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	284	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	285	1	let	let	VERB
ejde-1481	285	2	β	β	X
ejde-1481	285	3	=	=	PUNCT
ejde-1481	285	4	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	285	5	1−p	1−p	NUM
ejde-1481	285	6	and	and	CCONJ
ejde-1481	285	7	u	u	X
ejde-1481	285	8	=	=	NOUN
ejde-1481	285	9	mφβ	mφβ	PROPN
ejde-1481	285	10	1	1	NUM
ejde-1481	285	11	.	.	PUNCT
ejde-1481	286	1	by	by	ADP
ejde-1481	286	2	hopf	hopf	PROPN
ejde-1481	286	3	’s	’s	PART
ejde-1481	286	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	286	5	there	there	PRON
ejde-1481	286	6	exist	exist	VERB
ejde-1481	286	7	constants	constant	NOUN
ejde-1481	286	8	c1	c1	PROPN
ejde-1481	286	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	286	10	c2	c2	PROPN
ejde-1481	286	11	>	>	X
ejde-1481	286	12	0	0	NUM
ejde-1481	287	1	such	such	ADJ
ejde-1481	287	2	that	that	DET
ejde-1481	287	3	c1φ1(x	c1φ1(x	NOUN
ejde-1481	287	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	287	5	≤	≤	NOUN
ejde-1481	287	6	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	ADP
ejde-1481	287	7	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	287	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	287	9	≤	≤	NOUN
ejde-1481	287	10	c2φ1(x	c2φ1(x	NOUN
ejde-1481	287	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	287	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	287	13	x	x	PROPN
ejde-1481	287	14	∈	∈	PROPN
ejde-1481	287	15	b1	b1	NOUN
ejde-1481	287	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	288	1	then	then	ADV
ejde-1481	288	2	there	there	PRON
ejde-1481	288	3	exist	exist	VERB
ejde-1481	288	4	a	a	DET
ejde-1481	288	5	proper	proper	ADJ
ejde-1481	288	6	constant	constant	ADJ
ejde-1481	288	7	c	c	NOUN
ejde-1481	288	8	>	>	PUNCT
ejde-1481	288	9	0	0	PUNCT
ejde-1481	288	10	and	and	CCONJ
ejde-1481	288	11	a	a	DET
ejde-1481	288	12	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1481	288	13	small	small	ADJ
ejde-1481	288	14	constant	constant	ADJ
ejde-1481	288	15	m	m	NOUN
ejde-1481	288	16	>	>	X
ejde-1481	288	17	0	0	NUM
ejde-1481	288	18	such	such	ADJ
ejde-1481	288	19	that	that	SCONJ
ejde-1481	288	20	−∆u−	−∆u−	PROPN
ejde-1481	288	21	[	[	X
ejde-1481	288	22	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	288	23	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	288	24	=	=	PUNCT
ejde-1481	288	25	−∆(mφβ	−∆(mφβ	PROPN
ejde-1481	288	26	1	1	NUM
ejde-1481	288	27	)	)	PUNCT
ejde-1481	288	28	−	−	PROPN
ejde-1481	289	1	[	[	X
ejde-1481	289	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	289	3	|x|)]α(mφβ	|x|)]α(mφβ	NOUN
ejde-1481	289	4	1	1	NUM
ejde-1481	289	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	289	6	p	p	NOUN
ejde-1481	289	7	=	=	PUNCT
ejde-1481	289	8	−(mβφβ−1	−(mβφβ−1	X
ejde-1481	289	9	1	1	NUM
ejde-1481	289	10	∆φ1	∆φ1	PROPN
ejde-1481	289	11	+	+	NOUN
ejde-1481	289	12	mβ(β	mβ(β	NOUN
ejde-1481	289	13	−	−	PROPN
ejde-1481	289	14	1)φβ−2	1)φβ−2	NUM
ejde-1481	289	15	1	1	X
ejde-1481	289	16	|∇φ1|2)−	|∇φ1|2)−	PROPN
ejde-1481	289	17	[	[	PUNCT
ejde-1481	289	18	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	289	19	|x|)]αmpφpβ	|x|)]αmpφpβ	SYM
ejde-1481	289	20	1	1	NUM
ejde-1481	289	21	≤	≤	NUM
ejde-1481	289	22	mβλ1(b1)φ	mβλ1(b1)φ	NOUN
ejde-1481	289	23	β	β	PROPN
ejde-1481	289	24	1	1	NUM
ejde-1481	289	25	−mβ(β	−mβ(β	ADV
ejde-1481	289	26	−	−	NUM
ejde-1481	289	27	1)φβ−2	1)φβ−2	NUM
ejde-1481	289	28	1	1	NUM
ejde-1481	289	29	|∇φ1|2	|∇φ1|2	X
ejde-1481	289	30	−	−	NOUN
ejde-1481	289	31	cαmpφpβ+α	cαmpφpβ+α	VERB
ejde-1481	289	32	1	1	NUM
ejde-1481	289	33	ejde-2025/50	ejde-2025/50	NOUN
ejde-1481	289	34	generalized	generalize	VERB
ejde-1481	289	35	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	289	36	-	-	PUNCT
ejde-1481	289	37	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	289	38	equations	equation	NOUN
ejde-1481	289	39	9	9	NUM
ejde-1481	289	40	=	=	SYM
ejde-1481	289	41	mβφβ−2	mβφβ−2	NOUN
ejde-1481	289	42	1	1	NUM
ejde-1481	290	1	[	[	X
ejde-1481	290	2	λ1(b1)φ	λ1(b1)φ	X
ejde-1481	290	3	2	2	NUM
ejde-1481	290	4	1	1	NUM
ejde-1481	290	5	−	−	NOUN
ejde-1481	290	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	290	7	β	β	NOUN
ejde-1481	290	8	−	−	PROPN
ejde-1481	290	9	1)|∇φ1|2	1)|∇φ1|2	NUM
ejde-1481	290	10	−	−	PROPN
ejde-1481	290	11	cαβ−1mp−1	cαβ−1mp−1	NOUN
ejde-1481	290	12	]	]	PUNCT
ejde-1481	290	13	≤	≤	NUM
ejde-1481	290	14	0	0	NUM
ejde-1481	290	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	290	16	x	x	SYM
ejde-1481	290	17	∈	∈	NOUN
ejde-1481	290	18	b1	b1	NOUN
ejde-1481	290	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	291	1	let	let	VERB
ejde-1481	291	2	u	u	PRON
ejde-1481	292	1	=	=	NOUN
ejde-1481	292	2	kφρ	kφρ	NOUN
ejde-1481	292	3	1	1	NUM
ejde-1481	292	4	with	with	ADP
ejde-1481	292	5	the	the	DET
ejde-1481	292	6	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1481	292	7	large	large	ADJ
ejde-1481	292	8	k	k	PROPN
ejde-1481	292	9	>	>	X
ejde-1481	292	10	0	0	NUM
ejde-1481	292	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	292	12	ρ	ρ	PROPN
ejde-1481	292	13	∈	∈	PROPN
ejde-1481	292	14	(	(	PUNCT
ejde-1481	292	15	0,min{1	0,min{1	NUM
ejde-1481	292	16	,	,	PUNCT
ejde-1481	292	17	2+α	2+α	NUM
ejde-1481	292	18	1−p	1−p	NUM
ejde-1481	292	19	}	}	PUNCT
ejde-1481	292	20	]	]	PUNCT
ejde-1481	292	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	293	1	then	then	ADV
ejde-1481	293	2	we	we	PRON
ejde-1481	293	3	find	find	VERB
ejde-1481	293	4	that	that	SCONJ
ejde-1481	293	5	−∆u−	−∆u−	PROPN
ejde-1481	293	6	[	[	X
ejde-1481	293	7	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	293	8	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	293	9	=	=	PUNCT
ejde-1481	293	10	−∆(kφρ	−∆(kφρ	PROPN
ejde-1481	294	1	1)−	1)−	PROPN
ejde-1481	295	1	[	[	X
ejde-1481	295	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	ADP
ejde-1481	295	3	|x|)]α(kφρ	|x|)]α(kφρ	NOUN
ejde-1481	295	4	1	1	X
ejde-1481	295	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	295	6	p	p	NOUN
ejde-1481	295	7	=	=	SYM
ejde-1481	295	8	−(kρφρ−1	−(kρφρ−1	NUM
ejde-1481	295	9	1	1	NUM
ejde-1481	296	1	∆φ1	∆φ1	PROPN
ejde-1481	297	1	+	+	PROPN
ejde-1481	297	2	kρ(ρ−	kρ(ρ−	NOUN
ejde-1481	297	3	1)φρ−2	1)φρ−2	NUM
ejde-1481	297	4	1	1	NUM
ejde-1481	297	5	|∇φ1|2)−	|∇φ1|2)−	PROPN
ejde-1481	297	6	[	[	PUNCT
ejde-1481	297	7	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	297	8	|x|)]αkpφρp	|x|)]αkpφρp	PROPN
ejde-1481	297	9	1	1	NUM
ejde-1481	297	10	≥	≥	NOUN
ejde-1481	297	11	kρλ1(b1)φ	kρλ1(b1)φ	NOUN
ejde-1481	297	12	ρ	ρ	NOUN
ejde-1481	297	13	1	1	NUM
ejde-1481	297	14	−kρ(ρ−	−kρ(ρ−	NOUN
ejde-1481	297	15	1)φρ−2	1)φρ−2	NUM
ejde-1481	297	16	1	1	NUM
ejde-1481	297	17	|∇φ1|2	|∇φ1|2	ADP
ejde-1481	297	18	−	−	NOUN
ejde-1481	297	19	cαkpφρp+α	cαkpφρp+α	NOUN
ejde-1481	297	20	1	1	NUM
ejde-1481	297	21	=	=	SYM
ejde-1481	297	22	kρφρ−2	kρφρ−2	PROPN
ejde-1481	297	23	1	1	NUM
ejde-1481	298	1	[	[	X
ejde-1481	298	2	λ1(b1)φ	λ1(b1)φ	X
ejde-1481	298	3	2	2	NUM
ejde-1481	298	4	1	1	NUM
ejde-1481	298	5	−	−	PROPN
ejde-1481	298	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	298	7	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-1481	298	8	1)|∇φ1|2	1)|∇φ1|2	NUM
ejde-1481	298	9	−	−	NOUN
ejde-1481	298	10	cαρ−1kp−1	cαρ−1kp−1	X
ejde-1481	298	11	]	]	X
ejde-1481	298	12	≥	≥	NOUN
ejde-1481	298	13	0	0	NUM
ejde-1481	298	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	298	15	x	x	SYM
ejde-1481	298	16	∈	∈	PROPN
ejde-1481	298	17	b1	b1	NOUN
ejde-1481	298	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	298	19	where	where	SCONJ
ejde-1481	298	20	c	c	PROPN
ejde-1481	298	21	>	>	X
ejde-1481	298	22	0	0	PUNCT
ejde-1481	298	23	is	be	AUX
ejde-1481	298	24	a	a	DET
ejde-1481	298	25	constant	constant	ADJ
ejde-1481	298	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	299	1	by	by	ADP
ejde-1481	299	2	the	the	DET
ejde-1481	299	3	sub	sub	ADJ
ejde-1481	299	4	-	-	ADJ
ejde-1481	299	5	super	super	ADJ
ejde-1481	299	6	solution	solution	NOUN
ejde-1481	299	7	method	method	NOUN
ejde-1481	299	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	299	9	the	the	DET
ejde-1481	299	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	299	11	of	of	ADP
ejde-1481	299	12	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	299	13	equations	equation	NOUN
ejde-1481	299	14	[	[	X
ejde-1481	299	15	9	9	NUM
ejde-1481	299	16	]	]	PUNCT
ejde-1481	299	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	299	18	equation	equation	NOUN
ejde-1481	299	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	299	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	299	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	299	22	has	have	VERB
ejde-1481	299	23	a	a	DET
ejde-1481	299	24	positive	positive	ADJ
ejde-1481	299	25	solution	solution	NOUN
ejde-1481	299	26	in	in	ADP
ejde-1481	299	27	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	299	28	)	)	PUNCT
ejde-1481	299	29	∩	∩	NOUN
ejde-1481	299	30	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	299	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	299	32	.	.	PUNCT
ejde-1481	300	1	step	step	NOUN
ejde-1481	300	2	2	2	NUM
ejde-1481	300	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	300	4	show	show	VERB
ejde-1481	300	5	the	the	DET
ejde-1481	300	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1481	300	7	of	of	ADP
ejde-1481	300	8	positive	positive	ADJ
ejde-1481	300	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	300	10	to	to	ADP
ejde-1481	300	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	300	12	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	300	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	300	14	with	with	ADP
ejde-1481	300	15	p	p	X
ejde-1481	300	16	<	<	X
ejde-1481	300	17	0	0	NUM
ejde-1481	300	18	and	and	CCONJ
ejde-1481	300	19	α	α	NOUN
ejde-1481	300	20	>	>	X
ejde-1481	300	21	−2	−2	NOUN
ejde-1481	300	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	301	1	by	by	ADP
ejde-1481	301	2	the	the	DET
ejde-1481	301	3	estimates	estimate	NOUN
ejde-1481	301	4	of	of	ADP
ejde-1481	301	5	positive	positive	ADJ
ejde-1481	301	6	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	301	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	301	8	there	there	PRON
ejde-1481	301	9	is	be	VERB
ejde-1481	301	10	a	a	DET
ejde-1481	301	11	constant	constant	ADJ
ejde-1481	301	12	c∗	c∗	NOUN
ejde-1481	301	13	>	>	X
ejde-1481	301	14	0	0	NUM
ejde-1481	302	1	such	such	ADJ
ejde-1481	302	2	that	that	PRON
ejde-1481	302	3	for	for	ADP
ejde-1481	302	4	any	any	DET
ejde-1481	302	5	positive	positive	ADJ
ejde-1481	302	6	solution	solution	NOUN
ejde-1481	302	7	u	u	INTJ
ejde-1481	302	8	to	to	ADP
ejde-1481	302	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	302	10	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	302	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	302	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	302	13	we	we	PRON
ejde-1481	302	14	have	have	VERB
ejde-1481	302	15	u(x	u(x	NOUN
ejde-1481	302	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	302	17	≥	≥	NOUN
ejde-1481	302	18	c∗φ	c∗φ	NUM
ejde-1481	302	19	(	(	PUNCT
ejde-1481	302	20	2+α)/(1−p	2+α)/(1−p	NUM
ejde-1481	302	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	302	22	1	1	NUM
ejde-1481	302	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	303	1	choose	choose	VERB
ejde-1481	303	2	a	a	DET
ejde-1481	303	3	positive	positive	ADJ
ejde-1481	303	4	constant	constant	ADJ
ejde-1481	303	5	m	m	NOUN
ejde-1481	303	6	<	<	X
ejde-1481	303	7	c∗	c∗	PROPN
ejde-1481	303	8	in	in	ADP
ejde-1481	303	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	303	10	i)-step	i)-step	NOUN
ejde-1481	303	11	1	1	NUM
ejde-1481	303	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	304	1	then	then	ADV
ejde-1481	304	2	there	there	PRON
ejde-1481	304	3	is	be	VERB
ejde-1481	304	4	a	a	DET
ejde-1481	304	5	minimal	minimal	ADJ
ejde-1481	304	6	positive	positive	ADJ
ejde-1481	304	7	solution	solution	NOUN
ejde-1481	304	8	v∗	v∗	NOUN
ejde-1481	304	9	in	in	ADP
ejde-1481	304	10	[	[	X
ejde-1481	304	11	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	304	12	1	1	NUM
ejde-1481	304	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	304	14	kφρ	kφρ	NOUN
ejde-1481	304	15	1	1	NUM
ejde-1481	304	16	]	]	PUNCT
ejde-1481	304	17	.	.	PUNCT
ejde-1481	305	1	assume	assume	VERB
ejde-1481	305	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	305	3	v	v	NOUN
ejde-1481	305	4	is	be	AUX
ejde-1481	305	5	any	any	DET
ejde-1481	305	6	positive	positive	ADJ
ejde-1481	305	7	solution	solution	NOUN
ejde-1481	305	8	to	to	ADP
ejde-1481	305	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	305	10	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	305	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	305	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	306	1	then	then	ADV
ejde-1481	306	2	v(x	v(x	PROPN
ejde-1481	306	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	306	4	≥	≥	NOUN
ejde-1481	306	5	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	306	6	1	1	NUM
ejde-1481	306	7	and	and	CCONJ
ejde-1481	306	8	so	so	ADV
ejde-1481	306	9	min{v	min{v	PROPN
ejde-1481	306	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	11	kφρ	kφρ	NOUN
ejde-1481	306	12	1	1	NUM
ejde-1481	306	13	}	}	PUNCT
ejde-1481	306	14	is	be	AUX
ejde-1481	306	15	a	a	DET
ejde-1481	306	16	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1481	306	17	to	to	ADP
ejde-1481	306	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	306	19	1.2	1.2	NUM
ejde-1481	306	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	306	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	306	22	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	306	23	1	1	NUM
ejde-1481	306	24	≤	≤	NOUN
ejde-1481	306	25	min{v	min{v	PROPN
ejde-1481	306	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	27	kφρ	kφρ	NOUN
ejde-1481	306	28	1	1	NUM
ejde-1481	306	29	}	}	PUNCT
ejde-1481	306	30	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	31	which	which	PRON
ejde-1481	306	32	indicates	indicate	VERB
ejde-1481	306	33	that	that	SCONJ
ejde-1481	306	34	v∗	v∗	PROPN
ejde-1481	306	35	≤	≤	PUNCT
ejde-1481	306	36	min{v	min{v	NOUN
ejde-1481	306	37	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	38	kφρ	kφρ	NOUN
ejde-1481	306	39	1	1	NUM
ejde-1481	306	40	}	}	PUNCT
ejde-1481	306	41	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	42	in	in	ADP
ejde-1481	306	43	particular	particular	ADJ
ejde-1481	306	44	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	45	v∗	v∗	PROPN
ejde-1481	306	46	≤	≤	NOUN
ejde-1481	306	47	v.	v.	ADP
ejde-1481	306	48	hence	hence	ADV
ejde-1481	306	49	,	,	PUNCT
ejde-1481	306	50	v∗	v∗	PROPN
ejde-1481	306	51	is	be	AUX
ejde-1481	306	52	a	a	DET
ejde-1481	306	53	minimal	minimal	ADJ
ejde-1481	306	54	positive	positive	ADJ
ejde-1481	306	55	solution	solution	NOUN
ejde-1481	306	56	.	.	PUNCT
ejde-1481	307	1	now	now	ADV
ejde-1481	307	2	we	we	PRON
ejde-1481	307	3	claim	claim	VERB
ejde-1481	307	4	that	that	SCONJ
ejde-1481	307	5	v∗	v∗	NOUN
ejde-1481	307	6	=	=	NOUN
ejde-1481	308	1	v.	v.	CCONJ
ejde-1481	308	2	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1481	308	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	308	4	there	there	PRON
ejde-1481	308	5	exists	exist	VERB
ejde-1481	308	6	x0	x0	PROPN
ejde-1481	308	7	∈	∈	PROPN
ejde-1481	308	8	b1	b1	VERB
ejde-1481	308	9	such	such	ADJ
ejde-1481	308	10	that	that	SCONJ
ejde-1481	308	11	v∗(x0	v∗(x0	NOUN
ejde-1481	308	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	308	13	−	−	NOUN
ejde-1481	308	14	v(x0	v(x0	NOUN
ejde-1481	308	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	309	1	=	=	SYM
ejde-1481	309	2	minx∈b1	minx∈b1	PROPN
ejde-1481	309	3	{	{	PUNCT
ejde-1481	309	4	v∗(x)−	v∗(x)−	PROPN
ejde-1481	309	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-1481	309	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	309	7	}	}	PUNCT
ejde-1481	309	8	<	<	X
ejde-1481	309	9	0	0	X
ejde-1481	309	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	310	1	then	then	ADV
ejde-1481	310	2	0	0	NUM
ejde-1481	310	3	≥	≥	NOUN
ejde-1481	310	4	−∆(v∗	−∆(v∗	NOUN
ejde-1481	310	5	−	−	NOUN
ejde-1481	310	6	v)(x0	v)(x0	NOUN
ejde-1481	310	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	310	8	=	=	PUNCT
ejde-1481	311	1	[	[	X
ejde-1481	311	2	w(|x0|)(1−	w(|x0|)(1−	PROPN
ejde-1481	311	3	|x0|)]α(v∗(x0	|x0|)]α(v∗(x0	NUM
ejde-1481	311	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	311	5	p	p	DET
ejde-1481	311	6	−	−	NOUN
ejde-1481	311	7	v(x0	v(x0	NOUN
ejde-1481	311	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	311	9	p	p	NOUN
ejde-1481	311	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	311	11	>	>	X
ejde-1481	311	12	0	0	NUM
ejde-1481	311	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	311	14	which	which	PRON
ejde-1481	311	15	obviously	obviously	ADV
ejde-1481	311	16	yields	yield	VERB
ejde-1481	311	17	a	a	DET
ejde-1481	311	18	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	311	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	312	1	(	(	PUNCT
ejde-1481	312	2	ii	ii	NOUN
ejde-1481	312	3	)	)	PUNCT
ejde-1481	312	4	to	to	PART
ejde-1481	312	5	prove	prove	VERB
ejde-1481	312	6	the	the	DET
ejde-1481	312	7	existence	existence	NOUN
ejde-1481	312	8	of	of	ADP
ejde-1481	312	9	positive	positive	ADJ
ejde-1481	312	10	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	312	11	to	to	ADP
ejde-1481	312	12	(	(	PUNCT
ejde-1481	312	13	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	312	14	)	)	PUNCT
ejde-1481	312	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	312	16	from	from	ADP
ejde-1481	312	17	(	(	PUNCT
ejde-1481	312	18	i)-step	i)-step	NOUN
ejde-1481	312	19	1	1	NUM
ejde-1481	312	20	we	we	PRON
ejde-1481	312	21	know	know	VERB
ejde-1481	312	22	that	that	SCONJ
ejde-1481	312	23	u	u	NOUN
ejde-1481	312	24	=	=	NOUN
ejde-1481	312	25	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	312	26	1	1	NUM
ejde-1481	312	27	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1481	312	28	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1481	312	29	≤	≤	NOUN
ejde-1481	313	1	[	[	PUNCT
ejde-1481	313	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	313	3	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	313	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	313	5	in	in	ADP
ejde-1481	313	6	b1	b1	NOUN
ejde-1481	313	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	313	8	u	u	NOUN
ejde-1481	313	9	=	=	NOUN
ejde-1481	313	10	0	0	NUM
ejde-1481	313	11	≤	≤	NUM
ejde-1481	313	12	ζ	ζ	NOUN
ejde-1481	313	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	313	14	on	on	ADP
ejde-1481	313	15	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	313	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	314	1	for	for	ADP
ejde-1481	314	2	any	any	DET
ejde-1481	314	3	given	give	VERB
ejde-1481	314	4	constants	constant	NOUN
ejde-1481	314	5	δ	δ	PROPN
ejde-1481	314	6	>	>	X
ejde-1481	314	7	0	0	PUNCT
ejde-1481	314	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	314	9	q	q	ADJ
ejde-1481	314	10	∈	∈	PROPN
ejde-1481	314	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	314	12	1	1	NUM
ejde-1481	314	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	314	14	n+2	n+2	PRON
ejde-1481	314	15	n−2	n−2	PROPN
ejde-1481	314	16	)	)	PUNCT
ejde-1481	314	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	314	18	there	there	PRON
ejde-1481	314	19	is	be	VERB
ejde-1481	314	20	a	a	DET
ejde-1481	314	21	positive	positive	ADJ
ejde-1481	314	22	solution	solution	NOUN
ejde-1481	314	23	uδ	uδ	ADP
ejde-1481	314	24	to	to	ADP
ejde-1481	314	25	the	the	DET
ejde-1481	314	26	problem	problem	NOUN
ejde-1481	314	27	−∆u	−∆u	X
ejde-1481	315	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	315	2	uq	uq	PROPN
ejde-1481	315	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	315	4	in	in	ADP
ejde-1481	315	5	b1+δ	b1+δ	NOUN
ejde-1481	315	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	315	7	u	u	NOUN
ejde-1481	315	8	=	=	PROPN
ejde-1481	315	9	0	0	NUM
ejde-1481	315	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	315	11	on	on	ADP
ejde-1481	315	12	∂b1+δ	∂b1+δ	NOUN
ejde-1481	315	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	316	1	we	we	PRON
ejde-1481	316	2	can	can	AUX
ejde-1481	316	3	take	take	VERB
ejde-1481	316	4	a	a	DET
ejde-1481	316	5	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1481	316	6	large	large	ADJ
ejde-1481	316	7	m	m	NOUN
ejde-1481	316	8	>	>	X
ejde-1481	316	9	0	0	NUM
ejde-1481	316	10	such	such	ADJ
ejde-1481	316	11	that	that	DET
ejde-1481	316	12	u	u	NOUN
ejde-1481	316	13	:	:	PUNCT
ejde-1481	316	14	=	=	SYM
ejde-1481	316	15	muδ	muδ	NOUN
ejde-1481	316	16	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	316	17	u	u	PROPN
ejde-1481	316	18	≥	≥	PROPN
ejde-1481	316	19	u	u	NOUN
ejde-1481	316	20	in	in	ADP
ejde-1481	316	21	b1	b1	NOUN
ejde-1481	316	22	and	and	CCONJ
ejde-1481	316	23	−∆u	−∆u	NOUN
ejde-1481	316	24	=	=	NOUN
ejde-1481	316	25	muq	muq	PROPN
ejde-1481	316	26	δ	δ	PROPN
ejde-1481	316	27	≥	≥	NOUN
ejde-1481	316	28	[	[	X
ejde-1481	316	29	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	ADP
ejde-1481	316	30	|x|)]α(muδ	|x|)]α(muδ	NOUN
ejde-1481	316	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	316	32	p	p	NOUN
ejde-1481	317	1	=	=	PUNCT
ejde-1481	318	1	[	[	X
ejde-1481	318	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	DET
ejde-1481	318	3	|x|)]αup	|x|)]αup	NOUN
ejde-1481	318	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	318	5	in	in	ADP
ejde-1481	318	6	b1	b1	NOUN
ejde-1481	318	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	318	8	u	u	PROPN
ejde-1481	318	9	≥	≥	NOUN
ejde-1481	318	10	ζ	ζ	NOUN
ejde-1481	318	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	318	12	on	on	ADP
ejde-1481	318	13	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	318	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	319	1	by	by	ADP
ejde-1481	319	2	the	the	DET
ejde-1481	319	3	sub	sub	ADJ
ejde-1481	319	4	-	-	ADJ
ejde-1481	319	5	super	super	ADJ
ejde-1481	319	6	solution	solution	NOUN
ejde-1481	319	7	method	method	NOUN
ejde-1481	319	8	and	and	CCONJ
ejde-1481	319	9	the	the	DET
ejde-1481	319	10	standard	standard	ADJ
ejde-1481	319	11	arguments	argument	NOUN
ejde-1481	319	12	[	[	X
ejde-1481	319	13	9	9	NUM
ejde-1481	319	14	]	]	PUNCT
ejde-1481	319	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	319	16	(	(	PUNCT
ejde-1481	319	17	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	319	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	319	19	has	have	VERB
ejde-1481	319	20	a	a	DET
ejde-1481	319	21	minimal	minimal	ADJ
ejde-1481	319	22	positive	positive	ADJ
ejde-1481	319	23	solution	solution	NOUN
ejde-1481	319	24	u∗	u∗	ADJ
ejde-1481	319	25	and	and	CCONJ
ejde-1481	319	26	a	a	DET
ejde-1481	319	27	maximal	maximal	ADJ
ejde-1481	319	28	positive	positive	ADJ
ejde-1481	319	29	solution	solution	NOUN
ejde-1481	319	30	u∗	u∗	ADV
ejde-1481	319	31	in	in	ADP
ejde-1481	319	32	the	the	DET
ejde-1481	319	33	interval	interval	NOUN
ejde-1481	320	1	[	[	X
ejde-1481	320	2	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	320	3	1	1	NUM
ejde-1481	320	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	320	5	muδ	muδ	NOUN
ejde-1481	320	6	]	]	PUNCT
ejde-1481	320	7	.	.	PUNCT
ejde-1481	321	1	to	to	PART
ejde-1481	321	2	show	show	VERB
ejde-1481	321	3	the	the	DET
ejde-1481	321	4	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1481	321	5	of	of	ADP
ejde-1481	321	6	positive	positive	ADJ
ejde-1481	321	7	solution	solution	NOUN
ejde-1481	321	8	to	to	ADP
ejde-1481	321	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	321	10	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	321	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	321	12	,	,	PUNCT
ejde-1481	321	13	we	we	PRON
ejde-1481	321	14	assume	assume	VERB
ejde-1481	321	15	that	that	SCONJ
ejde-1481	321	16	v	v	NOUN
ejde-1481	321	17	is	be	AUX
ejde-1481	321	18	an	an	DET
ejde-1481	321	19	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-1481	321	20	positive	positive	ADJ
ejde-1481	321	21	solution	solution	NOUN
ejde-1481	321	22	to	to	ADP
ejde-1481	321	23	(	(	PUNCT
ejde-1481	321	24	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	321	25	)	)	PUNCT
ejde-1481	321	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	322	1	from	from	ADP
ejde-1481	322	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-1481	322	3	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	322	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	322	5	there	there	PRON
ejde-1481	322	6	exists	exist	VERB
ejde-1481	322	7	constant	constant	ADJ
ejde-1481	322	8	c	c	NOUN
ejde-1481	322	9	>	>	X
ejde-1481	322	10	0	0	NUM
ejde-1481	323	1	such	such	ADJ
ejde-1481	323	2	that	that	SCONJ
ejde-1481	323	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-1481	323	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	323	5	≥	≥	X
ejde-1481	323	6	c[w(|x|)(1−	c[w(|x|)(1−	NOUN
ejde-1481	323	7	|x|)]β	|x|)]β	PROPN
ejde-1481	323	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	323	9	x	x	PROPN
ejde-1481	323	10	∈	∈	PROPN
ejde-1481	323	11	b1	b1	NOUN
ejde-1481	323	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	324	1	without	without	ADP
ejde-1481	324	2	loss	loss	NOUN
ejde-1481	324	3	of	of	ADP
ejde-1481	324	4	generality	generality	NOUN
ejde-1481	324	5	,	,	PUNCT
ejde-1481	324	6	we	we	PRON
ejde-1481	324	7	suppose	suppose	VERB
ejde-1481	324	8	that	that	SCONJ
ejde-1481	324	9	mφ1(x	mφ1(x	NOUN
ejde-1481	324	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	324	11	β	β	NOUN
ejde-1481	324	12	≤	≤	NOUN
ejde-1481	324	13	c[w(|x|)(1	c[w(|x|)(1	ADV
ejde-1481	324	14	−	−	ADP
ejde-1481	324	15	|x|)]β	|x|)]β	PROPN
ejde-1481	324	16	for	for	ADP
ejde-1481	324	17	all	all	DET
ejde-1481	324	18	x	x	SYM
ejde-1481	324	19	∈	∈	PROPN
ejde-1481	324	20	b1	b1	NOUN
ejde-1481	324	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	324	22	some	some	PRON
ejde-1481	324	23	m	m	VERB
ejde-1481	324	24	>	>	X
ejde-1481	324	25	0	0	X
ejde-1481	324	26	.	.	PUNCT
ejde-1481	325	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1481	325	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	325	3	mφβ	mφβ	NOUN
ejde-1481	325	4	1	1	NUM
ejde-1481	325	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	325	6	min{v	min{v	PROPN
ejde-1481	325	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	325	8	u	u	NOUN
ejde-1481	325	9	}	}	PUNCT
ejde-1481	325	10	are	be	AUX
ejde-1481	325	11	a	a	DET
ejde-1481	325	12	pair	pair	NOUN
ejde-1481	325	13	of	of	ADP
ejde-1481	325	14	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-1481	325	15	and	and	CCONJ
ejde-1481	325	16	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-1481	325	17	of	of	ADP
ejde-1481	325	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	325	19	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	325	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	325	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	326	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1481	326	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	326	3	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-1481	326	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	326	5	≤	≤	NOUN
ejde-1481	326	6	v(x	v(x	NOUN
ejde-1481	326	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	326	8	for	for	ADP
ejde-1481	326	9	all	all	DET
ejde-1481	326	10	x	x	SYM
ejde-1481	326	11	∈	∈	PROPN
ejde-1481	326	12	b1	b1	NOUN
ejde-1481	326	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	327	1	because	because	SCONJ
ejde-1481	327	2	of	of	ADP
ejde-1481	327	3	the	the	DET
ejde-1481	327	4	arbitrariness	arbitrariness	NOUN
ejde-1481	327	5	of	of	ADP
ejde-1481	327	6	v	v	NOUN
ejde-1481	327	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	327	8	we	we	PRON
ejde-1481	327	9	see	see	VERB
ejde-1481	327	10	that	that	DET
ejde-1481	327	11	u∗	u∗	NOUN
ejde-1481	327	12	is	be	AUX
ejde-1481	327	13	a	a	DET
ejde-1481	327	14	minimal	minimal	ADJ
ejde-1481	327	15	positive	positive	ADJ
ejde-1481	327	16	solution	solution	NOUN
ejde-1481	327	17	of	of	ADP
ejde-1481	327	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	327	19	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	327	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	327	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	328	1	now	now	ADV
ejde-1481	328	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	328	3	we	we	PRON
ejde-1481	328	4	prove	prove	VERB
ejde-1481	328	5	that	that	SCONJ
ejde-1481	328	6	v	v	NOUN
ejde-1481	328	7	=	=	SYM
ejde-1481	328	8	u∗.	u∗.	PROPN
ejde-1481	328	9	choose	choose	VERB
ejde-1481	328	10	a	a	DET
ejde-1481	328	11	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-1481	328	12	large	large	ADJ
ejde-1481	328	13	m	m	NOUN
ejde-1481	328	14	>	>	X
ejde-1481	328	15	0	0	NUM
ejde-1481	328	16	such	such	ADJ
ejde-1481	328	17	that	that	SCONJ
ejde-1481	328	18	muδ(x	muδ(x	PROPN
ejde-1481	328	19	)	)	PUNCT
ejde-1481	328	20	≥	≥	NOUN
ejde-1481	328	21	v(x	v(x	PROPN
ejde-1481	328	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	328	23	for	for	ADP
ejde-1481	328	24	all	all	DET
ejde-1481	328	25	x	x	SYM
ejde-1481	328	26	∈	∈	PROPN
ejde-1481	328	27	b1	b1	NOUN
ejde-1481	328	28	.	.	PUNCT
ejde-1481	329	1	then	then	ADV
ejde-1481	329	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	329	3	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-1481	329	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	329	5	≤	≤	NOUN
ejde-1481	329	6	v(x	v(x	NOUN
ejde-1481	329	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	329	8	≤	≤	NUM
ejde-1481	330	1	u∗(x	u∗(x	NOUN
ejde-1481	330	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	330	3	for	for	ADP
ejde-1481	330	4	all	all	DET
ejde-1481	330	5	x	x	SYM
ejde-1481	330	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	330	7	b1	b1	NOUN
ejde-1481	330	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	331	1	by	by	ADP
ejde-1481	331	2	α	α	DET
ejde-1481	331	3	≥	≥	NOUN
ejde-1481	331	4	0	0	NUM
ejde-1481	331	5	and	and	CCONJ
ejde-1481	331	6	the	the	DET
ejde-1481	331	7	regularity	regularity	NOUN
ejde-1481	331	8	of	of	ADP
ejde-1481	331	9	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	331	10	equations	equation	NOUN
ejde-1481	331	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	331	12	u∗	u∗	ADJ
ejde-1481	331	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	331	14	u∗	u∗	ADV
ejde-1481	331	15	belong	belong	VERB
ejde-1481	331	16	to	to	ADP
ejde-1481	331	17	c2(b1	c2(b1	NOUN
ejde-1481	331	18	)	)	PUNCT
ejde-1481	331	19	∩	∩	NOUN
ejde-1481	331	20	c1(b1	c1(b1	NOUN
ejde-1481	331	21	)	)	PUNCT
ejde-1481	331	22	.	.	PUNCT
ejde-1481	332	1	we	we	PRON
ejde-1481	332	2	claim	claim	VERB
ejde-1481	332	3	that	that	SCONJ
ejde-1481	332	4	u∗	u∗	ADV
ejde-1481	332	5	=	=	SYM
ejde-1481	332	6	u∗.	u∗.	PROPN
ejde-1481	332	7	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1481	332	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	332	9	if	if	SCONJ
ejde-1481	332	10	u∗	u∗	ADJ
ejde-1481	332	11	≥	≥	PUNCT
ejde-1481	332	12	u∗	u∗	VERB
ejde-1481	332	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	332	14	u∗	u∗	VERB
ejde-1481	332	15	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-1481	332	16	u∗	u∗	PROPN
ejde-1481	332	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	332	18	then	then	ADV
ejde-1481	332	19	by	by	ADP
ejde-1481	332	20	the	the	DET
ejde-1481	332	21	strong	strong	ADJ
ejde-1481	332	22	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	332	23	principle	principle	NOUN
ejde-1481	332	24	of	of	ADP
ejde-1481	332	25	the	the	DET
ejde-1481	332	26	problem	problem	NOUN
ejde-1481	332	27	−∆(u∗	−∆(u∗	ADV
ejde-1481	332	28	−	−	NOUN
ejde-1481	332	29	u∗	u∗	NOUN
ejde-1481	332	30	)	)	PUNCT
ejde-1481	332	31	=	=	PUNCT
ejde-1481	333	1	[	[	X
ejde-1481	333	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	333	3	|x|)]α[up	|x|)]α[up	PROPN
ejde-1481	333	4	∗	∗	NOUN
ejde-1481	333	5	−	−	PROPN
ejde-1481	333	6	(	(	PUNCT
ejde-1481	333	7	u∗)p	u∗)p	PROPN
ejde-1481	333	8	]	]	X
ejde-1481	333	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	10	x	x	SYM
ejde-1481	333	11	∈	∈	PROPN
ejde-1481	333	12	b1	b1	NOUN
ejde-1481	333	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	14	10	10	NUM
ejde-1481	333	15	x.	x.	NOUN
ejde-1481	333	16	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	333	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	18	x.	x.	PROPN
ejde-1481	333	19	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	333	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	21	m.	m.	PROPN
ejde-1481	333	22	yang	yang	PROPN
ejde-1481	333	23	ejde-2025/50	ejde-2025/50	PROPN
ejde-1481	333	24	u∗	u∗	PROPN
ejde-1481	333	25	−	−	PROPN
ejde-1481	333	26	u∗	u∗	NOUN
ejde-1481	333	27	=	=	SYM
ejde-1481	333	28	0	0	NUM
ejde-1481	333	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	30	|x|	|x|	PROPN
ejde-1481	333	31	=	=	SYM
ejde-1481	333	32	1	1	NUM
ejde-1481	333	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	333	34	we	we	PRON
ejde-1481	333	35	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	333	36	u∗(x	u∗(x	NOUN
ejde-1481	333	37	)	)	PUNCT
ejde-1481	333	38	>	>	X
ejde-1481	334	1	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-1481	334	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	334	3	for	for	ADP
ejde-1481	334	4	all	all	DET
ejde-1481	334	5	x	x	SYM
ejde-1481	334	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	334	7	b1	b1	NOUN
ejde-1481	334	8	.	.	PUNCT
ejde-1481	335	1	in	in	ADP
ejde-1481	335	2	addition	addition	NOUN
ejde-1481	335	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	335	4	by	by	ADP
ejde-1481	335	5	hopf	hopf	PROPN
ejde-1481	335	6	’s	’s	PART
ejde-1481	335	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-1481	335	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	335	9	∂(u∗−u∗	∂(u∗−u∗	PROPN
ejde-1481	335	10	)	)	PUNCT
ejde-1481	335	11	∂ν	∂ν	PROPN
ejde-1481	335	12	<	<	X
ejde-1481	335	13	0	0	PUNCT
ejde-1481	335	14	on	on	ADP
ejde-1481	335	15	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	335	16	with	with	ADP
ejde-1481	335	17	ν	ν	NOUN
ejde-1481	335	18	being	be	AUX
ejde-1481	335	19	the	the	DET
ejde-1481	335	20	exterior	exterior	ADJ
ejde-1481	335	21	unit	unit	NOUN
ejde-1481	335	22	normal	normal	ADJ
ejde-1481	335	23	on	on	ADP
ejde-1481	335	24	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	335	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	336	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-1481	336	2	equation	equation	NOUN
ejde-1481	336	3	(	(	PUNCT
ejde-1481	336	4	3.2	3.2	NUM
ejde-1481	336	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	336	6	with	with	ADP
ejde-1481	336	7	u	u	NOUN
ejde-1481	336	8	=	=	X
ejde-1481	336	9	u∗	u∗	INTJ
ejde-1481	336	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	336	11	resp	resp	NOUN
ejde-1481	336	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	337	1	u	u	NOUN
ejde-1481	337	2	=	=	SYM
ejde-1481	337	3	u∗	u∗	PROPN
ejde-1481	337	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	337	5	by	by	ADP
ejde-1481	337	6	u∗	u∗	PROPN
ejde-1481	337	7	(	(	PUNCT
ejde-1481	337	8	resp	resp	NOUN
ejde-1481	337	9	.	.	PUNCT
ejde-1481	338	1	u∗	u∗	PROPN
ejde-1481	338	2	)	)	PUNCT
ejde-1481	338	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	338	4	we	we	PRON
ejde-1481	338	5	obtain	obtain	VERB
ejde-1481	338	6	−u∗∆u∗	−u∗∆u∗	X
ejde-1481	338	7	=	=	PUNCT
ejde-1481	339	1	[	[	X
ejde-1481	339	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	339	3	|x|)]α(u∗	|x|)]α(u∗	NOUN
ejde-1481	339	4	)	)	PUNCT
ejde-1481	339	5	pu∗	pu∗	NOUN
ejde-1481	339	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	339	7	x	x	PROPN
ejde-1481	339	8	∈	∈	PROPN
ejde-1481	339	9	b1	b1	NOUN
ejde-1481	339	10	,	,	PUNCT
ejde-1481	339	11	−u∗∆u∗	−u∗∆u∗	VERB
ejde-1481	339	12	=	=	PUNCT
ejde-1481	340	1	[	[	X
ejde-1481	340	2	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	X
ejde-1481	340	3	|x|)]α(u∗)pu∗	|x|)]α(u∗)pu∗	PROPN
ejde-1481	340	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	340	5	x	x	PROPN
ejde-1481	340	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	340	7	b1	b1	NOUN
ejde-1481	340	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	340	9	(	(	PUNCT
ejde-1481	340	10	3.3	3.3	NUM
ejde-1481	340	11	)	)	PUNCT
ejde-1481	340	12	subtracting	subtract	VERB
ejde-1481	340	13	equations	equation	NOUN
ejde-1481	340	14	from	from	ADP
ejde-1481	340	15	each	each	DET
ejde-1481	340	16	other	other	ADJ
ejde-1481	340	17	in	in	ADP
ejde-1481	340	18	(	(	PUNCT
ejde-1481	340	19	3.3	3.3	NUM
ejde-1481	340	20	)	)	PUNCT
ejde-1481	340	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	340	22	then	then	ADV
ejde-1481	340	23	integrating	integrate	VERB
ejde-1481	340	24	by	by	ADP
ejde-1481	340	25	parts	part	NOUN
ejde-1481	340	26	over	over	ADP
ejde-1481	340	27	b1	b1	NOUN
ejde-1481	340	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	340	29	we	we	PRON
ejde-1481	340	30	have	have	VERB
ejde-1481	340	31	0	0	NUM
ejde-1481	340	32	≥	≥	NOUN
ejde-1481	340	33	∫	∫	PROPN
ejde-1481	341	1	∂b1	∂b1	PROPN
ejde-1481	341	2	ζ	ζ	PROPN
ejde-1481	342	1	[	[	X
ejde-1481	342	2	∂u∗	∂u∗	X
ejde-1481	342	3	∂ν	∂ν	PRON
ejde-1481	343	1	−	−	NOUN
ejde-1481	343	2	∂u∗	∂u∗	VERB
ejde-1481	343	3	∂ν	∂ν	X
ejde-1481	343	4	]	]	PUNCT
ejde-1481	344	1	=	=	SYM
ejde-1481	344	2	∫	∫	PROPN
ejde-1481	344	3	b1	b1	PROPN
ejde-1481	344	4	[	[	PUNCT
ejde-1481	344	5	w(|x|)(1−	w(|x|)(1−	ADP
ejde-1481	344	6	|x|)]αu∗u	|x|)]αu∗u	NOUN
ejde-1481	344	7	∗[up−1	∗[up−1	NOUN
ejde-1481	344	8	∗	∗	NOUN
ejde-1481	344	9	−	−	PROPN
ejde-1481	344	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	344	11	u∗)p−1	u∗)p−1	X
ejde-1481	344	12	]	]	X
ejde-1481	344	13	>	>	X
ejde-1481	344	14	0	0	PROPN
ejde-1481	344	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	344	16	which	which	PRON
ejde-1481	344	17	is	be	AUX
ejde-1481	344	18	a	a	DET
ejde-1481	344	19	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1481	344	20	.	.	PUNCT
ejde-1481	345	1	□	□	PUNCT
ejde-1481	345	2	remark	remark	NOUN
ejde-1481	345	3	3.6	3.6	NUM
ejde-1481	345	4	.	.	PUNCT
ejde-1481	346	1	in	in	ADP
ejde-1481	346	2	general	general	ADJ
ejde-1481	346	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	346	4	if	if	SCONJ
ejde-1481	346	5	w	w	PROPN
ejde-1481	346	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	346	7	c1[0	c1[0	PROPN
ejde-1481	346	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	346	9	1	1	NUM
ejde-1481	346	10	]	]	PUNCT
ejde-1481	346	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	346	12	d1	d1	PROPN
ejde-1481	346	13	≤	≤	NUM
ejde-1481	346	14	w	w	PROPN
ejde-1481	346	15	≤	≤	NUM
ejde-1481	346	16	d2	d2	NOUN
ejde-1481	346	17	for	for	ADP
ejde-1481	346	18	some	some	DET
ejde-1481	346	19	d2	d2	PROPN
ejde-1481	346	20	≥	≥	NOUN
ejde-1481	346	21	d1	d1	PROPN
ejde-1481	346	22	>	>	X
ejde-1481	346	23	0	0	NUM
ejde-1481	346	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	346	25	then	then	ADV
ejde-1481	346	26	theorems	theorem	VERB
ejde-1481	346	27	2.1	2.1	NUM
ejde-1481	346	28	-	-	SYM
ejde-1481	346	29	2.3	2.3	NUM
ejde-1481	346	30	and	and	CCONJ
ejde-1481	346	31	3.1	3.1	NUM
ejde-1481	346	32	-	-	SYM
ejde-1481	346	33	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	346	34	are	be	AUX
ejde-1481	346	35	still	still	ADV
ejde-1481	346	36	valid	valid	ADJ
ejde-1481	346	37	.	.	PUNCT
ejde-1481	347	1	in	in	ADP
ejde-1481	347	2	fact	fact	NOUN
ejde-1481	347	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	347	4	we	we	PRON
ejde-1481	347	5	denote	denote	VERB
ejde-1481	347	6	by	by	ADP
ejde-1481	347	7	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	347	8	:	:	PUNCT
ejde-1481	347	9	=	=	SYM
ejde-1481	347	10	d	d	X
ejde-1481	347	11	α	α	X
ejde-1481	347	12	p−1	p−1	PROPN
ejde-1481	347	13	2	2	NUM
ejde-1481	347	14	u	u	NOUN
ejde-1481	347	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	347	16	w̃	w̃	PROPN
ejde-1481	347	17	=	=	SYM
ejde-1481	347	18	w	w	PROPN
ejde-1481	347	19	d2	d2	PROPN
ejde-1481	347	20	and	and	CCONJ
ejde-1481	347	21	d̃	d̃	PROPN
ejde-1481	347	22	=	=	SYM
ejde-1481	347	23	d1	d1	PROPN
ejde-1481	347	24	d2	d2	PROPN
ejde-1481	347	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	348	1	then	then	ADV
ejde-1481	348	2	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	348	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1481	348	4	the	the	DET
ejde-1481	348	5	equation	equation	NOUN
ejde-1481	348	6	−∆ũ	−∆ũ	NOUN
ejde-1481	348	7	=	=	PUNCT
ejde-1481	349	1	[	[	X
ejde-1481	349	2	w̃(|x|)(1−	w̃(|x|)(1−	NOUN
ejde-1481	349	3	|x|)]αũp	|x|)]αũp	ADJ
ejde-1481	349	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	349	5	x	x	PROPN
ejde-1481	349	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	349	7	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1481	349	8	)	)	PUNCT
ejde-1481	349	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	349	10	(	(	PUNCT
ejde-1481	349	11	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	349	12	)	)	PUNCT
ejde-1481	349	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	349	14	u	u	NOUN
ejde-1481	349	15	is	be	AUX
ejde-1481	349	16	a	a	DET
ejde-1481	349	17	positive	positive	ADJ
ejde-1481	349	18	solution	solution	NOUN
ejde-1481	349	19	to	to	ADP
ejde-1481	349	20	(	(	PUNCT
ejde-1481	349	21	1.1	1.1	NUM
ejde-1481	349	22	)	)	PUNCT
ejde-1481	349	23	if	if	SCONJ
ejde-1481	349	24	and	and	CCONJ
ejde-1481	349	25	only	only	ADV
ejde-1481	349	26	if	if	SCONJ
ejde-1481	349	27	ũ	ũ	PROPN
ejde-1481	349	28	is	be	AUX
ejde-1481	349	29	a	a	DET
ejde-1481	349	30	positive	positive	ADJ
ejde-1481	349	31	solution	solution	NOUN
ejde-1481	349	32	of	of	ADP
ejde-1481	349	33	(	(	PUNCT
ejde-1481	349	34	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	349	35	)	)	PUNCT
ejde-1481	349	36	.	.	PUNCT
ejde-1481	350	1	it	it	PRON
ejde-1481	350	2	is	be	AUX
ejde-1481	350	3	obvious	obvious	ADJ
ejde-1481	350	4	that	that	SCONJ
ejde-1481	350	5	w̃	w̃	PROPN
ejde-1481	350	6	∈	∈	PROPN
ejde-1481	350	7	c1[0	c1[0	PROPN
ejde-1481	350	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	350	9	1	1	NUM
ejde-1481	350	10	]	]	PUNCT
ejde-1481	350	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	350	12	0	0	NUM
ejde-1481	350	13	<	<	X
ejde-1481	350	14	d̃	d̃	PROPN
ejde-1481	350	15	≤	≤	NOUN
ejde-1481	351	1	w̃	w̃	PROPN
ejde-1481	351	2	≤	≤	NOUN
ejde-1481	351	3	1	1	NUM
ejde-1481	351	4	.	.	PUNCT
ejde-1481	352	1	then	then	ADV
ejde-1481	352	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	352	3	it	it	PRON
ejde-1481	352	4	suffices	suffice	VERB
ejde-1481	352	5	to	to	PART
ejde-1481	352	6	apply	apply	VERB
ejde-1481	352	7	the	the	DET
ejde-1481	352	8	mentioned	mention	VERB
ejde-1481	352	9	results	result	NOUN
ejde-1481	352	10	above	above	ADV
ejde-1481	352	11	to	to	ADP
ejde-1481	352	12	equation	equation	NOUN
ejde-1481	352	13	(	(	PUNCT
ejde-1481	352	14	3.4	3.4	NUM
ejde-1481	352	15	)	)	PUNCT
ejde-1481	352	16	.	.	PUNCT
ejde-1481	353	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1481	353	2	.	.	PUNCT
ejde-1481	354	1	this	this	DET
ejde-1481	354	2	work	work	NOUN
ejde-1481	354	3	is	be	AUX
ejde-1481	354	4	partially	partially	ADV
ejde-1481	354	5	supported	support	VERB
ejde-1481	354	6	by	by	ADP
ejde-1481	354	7	the	the	DET
ejde-1481	354	8	nsf	nsf	PROPN
ejde-1481	354	9	of	of	ADP
ejde-1481	354	10	china	china	PROPN
ejde-1481	354	11	(	(	PUNCT
ejde-1481	354	12	12371242	12371242	NUM
ejde-1481	354	13	)	)	PUNCT
ejde-1481	354	14	.	.	PUNCT
ejde-1481	355	1	references	reference	NOUN
ejde-1481	355	2	[	[	X
ejde-1481	355	3	1	1	NUM
ejde-1481	355	4	]	]	PUNCT
ejde-1481	355	5	c.	c.	NOUN
ejde-1481	355	6	bandle	bandle	PROPN
ejde-1481	355	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	355	8	m.	m.	NOUN
ejde-1481	355	9	pozio	pozio	PROPN
ejde-1481	355	10	;	;	PUNCT
ejde-1481	355	11	sublinear	sublinear	VERB
ejde-1481	355	12	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	355	13	problems	problem	NOUN
ejde-1481	355	14	with	with	ADP
ejde-1481	355	15	a	a	DET
ejde-1481	355	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	355	17	potential	potential	NOUN
ejde-1481	355	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	355	19	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	355	20	anal	anal	NOUN
ejde-1481	355	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	355	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	355	23	119	119	NUM
ejde-1481	355	24	(	(	PUNCT
ejde-1481	355	25	2015	2015	NUM
ejde-1481	355	26	)	)	PUNCT
ejde-1481	355	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	355	28	149	149	NUM
ejde-1481	355	29	-	-	SYM
ejde-1481	355	30	166	166	NUM
ejde-1481	355	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	356	1	[	[	X
ejde-1481	356	2	2	2	X
ejde-1481	356	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	356	4	h.	h.	NOUN
ejde-1481	356	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-1481	356	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	356	7	m.	m.	PROPN
ejde-1481	356	8	marcus	marcus	PROPN
ejde-1481	356	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	356	10	hardy	hardy	PROPN
ejde-1481	356	11	’s	’s	PART
ejde-1481	356	12	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1481	356	13	revisited	revisit	VERB
ejde-1481	356	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	356	15	ann	ann	PROPN
ejde-1481	356	16	.	.	PROPN
ejde-1481	356	17	scuola	scuola	PROPN
ejde-1481	356	18	norm	norm	NOUN
ejde-1481	356	19	.	.	PUNCT
ejde-1481	357	1	sup	sup	NOUN
ejde-1481	357	2	.	.	PUNCT
ejde-1481	357	3	pisa	pisa	PROPN
ejde-1481	357	4	cl	cl	PROPN
ejde-1481	357	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	358	1	sci	sci	PROPN
ejde-1481	358	2	.	.	PROPN
ejde-1481	358	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	358	4	25	25	NUM
ejde-1481	358	5	(	(	PUNCT
ejde-1481	358	6	1997	1997	NUM
ejde-1481	358	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	358	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	358	9	217	217	NUM
ejde-1481	358	10	-	-	SYM
ejde-1481	358	11	237	237	NUM
ejde-1481	358	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	359	1	[	[	X
ejde-1481	359	2	3	3	X
ejde-1481	359	3	]	]	X
ejde-1481	359	4	d.	d.	PROPN
ejde-1481	359	5	cao	cao	PROPN
ejde-1481	359	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	359	7	s.	s.	PROPN
ejde-1481	359	8	peng	peng	PROPN
ejde-1481	359	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	359	10	s.	s.	PROPN
ejde-1481	359	11	yan	yan	PROPN
ejde-1481	359	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	359	13	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-1481	359	14	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-1481	359	15	of	of	ADP
ejde-1481	359	16	ground	ground	NOUN
ejde-1481	359	17	state	state	NOUN
ejde-1481	359	18	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	359	19	for	for	ADP
ejde-1481	359	20	the	the	DET
ejde-1481	359	21	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	359	22	equation	equation	NOUN
ejde-1481	359	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	359	24	i	i	PRON
ejde-1481	359	25	m	m	VERB
ejde-1481	359	26	a	a	PROPN
ejde-1481	359	27	j.	j.	PROPN
ejde-1481	359	28	appl	appl	PROPN
ejde-1481	359	29	.	.	PROPN
ejde-1481	359	30	math	math	PROPN
ejde-1481	359	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	359	32	,	,	PUNCT
ejde-1481	359	33	74	74	NUM
ejde-1481	359	34	(	(	PUNCT
ejde-1481	359	35	2009	2009	NUM
ejde-1481	359	36	)	)	PUNCT
ejde-1481	359	37	,	,	PUNCT
ejde-1481	359	38	468	468	NUM
ejde-1481	359	39	-	-	SYM
ejde-1481	359	40	480	480	NUM
ejde-1481	359	41	.	.	PUNCT
ejde-1481	360	1	[	[	X
ejde-1481	360	2	4	4	X
ejde-1481	360	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	360	4	w.	w.	PROPN
ejde-1481	360	5	chen	chen	PROPN
ejde-1481	360	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	360	7	c.	c.	PROPN
ejde-1481	360	8	li	li	PROPN
ejde-1481	360	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	360	10	classification	classification	NOUN
ejde-1481	360	11	of	of	ADP
ejde-1481	360	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	360	13	of	of	ADP
ejde-1481	360	14	some	some	DET
ejde-1481	360	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	360	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	360	17	equations	equation	NOUN
ejde-1481	360	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	360	19	duke	duke	PROPN
ejde-1481	360	20	math	math	PROPN
ejde-1481	360	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	361	1	j.	j.	PROPN
ejde-1481	361	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	361	3	63	63	NUM
ejde-1481	361	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	361	5	1991	1991	NUM
ejde-1481	361	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	361	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	361	8	615	615	NUM
ejde-1481	361	9	-	-	SYM
ejde-1481	361	10	622	622	NUM
ejde-1481	361	11	.	.	PUNCT
ejde-1481	362	1	[	[	X
ejde-1481	362	2	5	5	NUM
ejde-1481	362	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	362	4	x.	x.	NOUN
ejde-1481	362	5	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	362	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	362	7	z.	z.	PROPN
ejde-1481	362	8	feng	feng	PROPN
ejde-1481	362	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	362	10	l.	l.	PROPN
ejde-1481	362	11	wei	wei	PROPN
ejde-1481	362	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	362	13	positive	positive	ADJ
ejde-1481	362	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	362	15	for	for	ADP
ejde-1481	362	16	a	a	DET
ejde-1481	362	17	class	class	NOUN
ejde-1481	362	18	of	of	ADP
ejde-1481	362	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	362	20	equations	equation	NOUN
ejde-1481	362	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	362	22	j.	j.	PROPN
ejde-1481	362	23	differential	differential	PROPN
ejde-1481	362	24	equations	equation	NOUN
ejde-1481	362	25	,	,	PUNCT
ejde-1481	362	26	275	275	NUM
ejde-1481	362	27	(	(	PUNCT
ejde-1481	362	28	2021	2021	NUM
ejde-1481	362	29	)	)	PUNCT
ejde-1481	362	30	,	,	PUNCT
ejde-1481	362	31	1	1	NUM
ejde-1481	362	32	-	-	SYM
ejde-1481	362	33	26	26	NUM
ejde-1481	362	34	.	.	PUNCT
ejde-1481	363	1	[	[	X
ejde-1481	363	2	6	6	NUM
ejde-1481	363	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	363	4	x.	x.	NOUN
ejde-1481	363	5	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	363	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	363	7	z.	z.	PROPN
ejde-1481	363	8	feng	feng	PROPN
ejde-1481	363	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	363	10	l.	l.	PROPN
ejde-1481	363	11	wei	wei	PROPN
ejde-1481	363	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	363	13	multiple	multiple	ADJ
ejde-1481	363	14	critical	critical	ADJ
ejde-1481	363	15	points	point	NOUN
ejde-1481	363	16	of	of	ADP
ejde-1481	363	17	a	a	DET
ejde-1481	363	18	functional	functional	ADJ
ejde-1481	363	19	in	in	ADP
ejde-1481	363	20	product	product	NOUN
ejde-1481	363	21	spaces	space	NOUN
ejde-1481	363	22	with	with	ADP
ejde-1481	363	23	applications	application	NOUN
ejde-1481	363	24	to	to	ADP
ejde-1481	363	25	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	363	26	systems	system	NOUN
ejde-1481	363	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	363	28	j.	j.	PROPN
ejde-1481	363	29	geom	geom	PROPN
ejde-1481	363	30	.	.	PUNCT
ejde-1481	364	1	anal	anal	PROPN
ejde-1481	364	2	.	.	PROPN
ejde-1481	364	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	364	4	33	33	NUM
ejde-1481	364	5	(	(	PUNCT
ejde-1481	364	6	2023	2023	NUM
ejde-1481	364	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	364	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	365	1	no	no	INTJ
ejde-1481	365	2	.	.	NOUN
ejde-1481	365	3	1	1	NUM
ejde-1481	365	4	,	,	PUNCT
ejde-1481	365	5	paper	paper	NOUN
ejde-1481	365	6	no	no	NOUN
ejde-1481	365	7	.	.	PROPN
ejde-1481	365	8	36	36	NUM
ejde-1481	365	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	365	10	1	1	NUM
ejde-1481	365	11	-	-	SYM
ejde-1481	365	12	36	36	NUM
ejde-1481	365	13	.	.	PUNCT
ejde-1481	366	1	[	[	X
ejde-1481	366	2	7	7	X
ejde-1481	366	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	366	4	x.	x.	NOUN
ejde-1481	366	5	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	366	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	366	7	l.	l.	PROPN
ejde-1481	366	8	wei	wei	PROPN
ejde-1481	366	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	366	10	y.	y.	PROPN
ejde-1481	366	11	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	366	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	366	13	estimate	estimate	VERB
ejde-1481	366	14	,	,	PUNCT
ejde-1481	366	15	existence	existence	NOUN
ejde-1481	366	16	and	and	CCONJ
ejde-1481	366	17	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-1481	366	18	of	of	ADP
ejde-1481	366	19	positive	positive	ADJ
ejde-1481	366	20	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	366	21	of	of	ADP
ejde-1481	366	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	366	23	-	-	PUNCT
ejde-1481	366	24	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	366	25	equations	equation	NOUN
ejde-1481	366	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	366	27	proc	proc	NOUN
ejde-1481	366	28	.	.	PUNCT
ejde-1481	367	1	roy	roy	PROPN
ejde-1481	367	2	.	.	PROPN
ejde-1481	367	3	soc	soc	PROPN
ejde-1481	367	4	.	.	PUNCT
ejde-1481	368	1	edinburgh	edinburgh	PROPN
ejde-1481	368	2	sect	sect	PROPN
ejde-1481	368	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	369	1	a.	a.	NOUN
ejde-1481	369	2	,	,	PUNCT
ejde-1481	369	3	152	152	NUM
ejde-1481	369	4	(	(	PUNCT
ejde-1481	369	5	2022	2022	NUM
ejde-1481	369	6	)	)	PUNCT
ejde-1481	369	7	,	,	PUNCT
ejde-1481	369	8	518	518	NUM
ejde-1481	369	9	-	-	SYM
ejde-1481	369	10	541	541	NUM
ejde-1481	369	11	.	.	PUNCT
ejde-1481	370	1	[	[	X
ejde-1481	370	2	8	8	X
ejde-1481	370	3	]	]	X
ejde-1481	370	4	e.	e.	PROPN
ejde-1481	370	5	dancer	dancer	PROPN
ejde-1481	370	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	370	7	y.	y.	PROPN
ejde-1481	370	8	du	du	PROPN
ejde-1481	370	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	370	10	z.	z.	PROPN
ejde-1481	370	11	guo	guo	PROPN
ejde-1481	370	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	370	13	finite	finite	PROPN
ejde-1481	370	14	morse	morse	PROPN
ejde-1481	370	15	index	index	NOUN
ejde-1481	370	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	370	17	of	of	ADP
ejde-1481	370	18	an	an	DET
ejde-1481	370	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	370	20	equation	equation	NOUN
ejde-1481	370	21	with	with	ADP
ejde-1481	370	22	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-1481	370	23	exponent	exponent	NOUN
ejde-1481	370	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	370	25	j.	j.	PROPN
ejde-1481	370	26	differential	differential	PROPN
ejde-1481	370	27	equations	equations	PROPN
ejde-1481	370	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	370	29	250	250	NUM
ejde-1481	370	30	(	(	PUNCT
ejde-1481	370	31	2011	2011	NUM
ejde-1481	370	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	370	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	370	34	3281	3281	NUM
ejde-1481	370	35	-	-	SYM
ejde-1481	370	36	3310	3310	NUM
ejde-1481	370	37	.	.	PUNCT
ejde-1481	371	1	[	[	X
ejde-1481	371	2	9	9	NUM
ejde-1481	371	3	]	]	X
ejde-1481	371	4	y.	y.	PROPN
ejde-1481	371	5	du	du	PROPN
ejde-1481	371	6	;	;	PUNCT
ejde-1481	371	7	order	order	NOUN
ejde-1481	371	8	structure	structure	NOUN
ejde-1481	371	9	and	and	CCONJ
ejde-1481	371	10	topological	topological	ADJ
ejde-1481	371	11	methods	method	NOUN
ejde-1481	371	12	in	in	ADP
ejde-1481	371	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	371	14	partial	partial	ADJ
ejde-1481	371	15	differential	differential	NOUN
ejde-1481	371	16	equations	equation	NOUN
ejde-1481	371	17	,	,	PUNCT
ejde-1481	371	18	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	371	19	principle	principle	NOUN
ejde-1481	371	20	and	and	CCONJ
ejde-1481	371	21	applications	application	NOUN
ejde-1481	371	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	371	23	vol	vol	NOUN
ejde-1481	371	24	1	1	NUM
ejde-1481	371	25	,	,	PUNCT
ejde-1481	371	26	world	world	NOUN
ejde-1481	371	27	scientific	scientific	ADJ
ejde-1481	371	28	publishing	publishing	NOUN
ejde-1481	371	29	,	,	PUNCT
ejde-1481	371	30	2006	2006	NUM
ejde-1481	371	31	.	.	PUNCT
ejde-1481	372	1	[	[	X
ejde-1481	372	2	10	10	NUM
ejde-1481	372	3	]	]	X
ejde-1481	372	4	y.	y.	PROPN
ejde-1481	372	5	du	du	PROPN
ejde-1481	372	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	372	7	z.	z.	PROPN
ejde-1481	372	8	guo	guo	PROPN
ejde-1481	372	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	372	10	positive	positive	ADJ
ejde-1481	372	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	372	12	of	of	ADP
ejde-1481	372	13	an	an	DET
ejde-1481	372	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	372	15	equation	equation	NOUN
ejde-1481	372	16	with	with	ADP
ejde-1481	372	17	negative	negative	ADJ
ejde-1481	372	18	exponent	exponent	NOUN
ejde-1481	372	19	:	:	PUNCT
ejde-1481	372	20	stability	stability	NOUN
ejde-1481	372	21	and	and	CCONJ
ejde-1481	372	22	critical	critical	ADJ
ejde-1481	372	23	power	power	NOUN
ejde-1481	372	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	372	25	j.	j.	PROPN
ejde-1481	372	26	differential	differential	PROPN
ejde-1481	372	27	equations	equations	PROPN
ejde-1481	372	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	372	29	246	246	NUM
ejde-1481	372	30	(	(	PUNCT
ejde-1481	372	31	2009	2009	NUM
ejde-1481	372	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	372	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	372	34	2387	2387	NUM
ejde-1481	372	35	-	-	SYM
ejde-1481	372	36	2414	2414	NUM
ejde-1481	372	37	.	.	PUNCT
ejde-1481	373	1	[	[	X
ejde-1481	373	2	11	11	NUM
ejde-1481	373	3	]	]	X
ejde-1481	373	4	y.	y.	PROPN
ejde-1481	373	5	du	du	PROPN
ejde-1481	373	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	373	7	l.	l.	PROPN
ejde-1481	373	8	wei	wei	PROPN
ejde-1481	373	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	373	10	boundary	boundary	ADJ
ejde-1481	373	11	behavior	behavior	NOUN
ejde-1481	373	12	of	of	ADP
ejde-1481	373	13	positive	positive	ADJ
ejde-1481	373	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	373	15	to	to	ADP
ejde-1481	373	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	373	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	373	18	equations	equation	NOUN
ejde-1481	373	19	with	with	ADP
ejde-1481	373	20	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	373	21	potential	potential	NOUN
ejde-1481	373	22	,	,	PUNCT
ejde-1481	373	23	j.	j.	PROPN
ejde-1481	373	24	lond	lond	PROPN
ejde-1481	373	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	374	1	math	math	PROPN
ejde-1481	374	2	.	.	PUNCT
ejde-1481	375	1	soc	soc	PROPN
ejde-1481	375	2	.	.	PROPN
ejde-1481	375	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	375	4	91	91	NUM
ejde-1481	375	5	(	(	PUNCT
ejde-1481	375	6	2015	2015	NUM
ejde-1481	375	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	375	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	375	9	731	731	NUM
ejde-1481	375	10	-	-	SYM
ejde-1481	375	11	749	749	NUM
ejde-1481	375	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	376	1	[	[	X
ejde-1481	376	2	12	12	NUM
ejde-1481	376	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	376	4	b.	b.	PROPN
ejde-1481	376	5	gidas	gidas	PROPN
ejde-1481	376	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	376	7	w.	w.	PROPN
ejde-1481	376	8	ni	ni	PROPN
ejde-1481	376	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	376	10	l.	l.	PROPN
ejde-1481	376	11	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-1481	376	12	;	;	PUNCT
ejde-1481	376	13	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-1481	376	14	and	and	CCONJ
ejde-1481	376	15	related	relate	VERB
ejde-1481	376	16	properties	property	NOUN
ejde-1481	376	17	via	via	ADP
ejde-1481	376	18	the	the	DET
ejde-1481	376	19	maximum	maximum	ADJ
ejde-1481	376	20	principle	principle	NOUN
ejde-1481	376	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	376	22	comm	comm	NOUN
ejde-1481	376	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	376	24	math	math	NOUN
ejde-1481	376	25	.	.	PUNCT
ejde-1481	377	1	phys	phy	NOUN
ejde-1481	377	2	.	.	PUNCT
ejde-1481	377	3	,	,	PUNCT
ejde-1481	377	4	68	68	NUM
ejde-1481	377	5	(	(	PUNCT
ejde-1481	377	6	1979	1979	NUM
ejde-1481	377	7	)	)	PUNCT
ejde-1481	377	8	,	,	PUNCT
ejde-1481	377	9	209	209	NUM
ejde-1481	377	10	-	-	SYM
ejde-1481	377	11	243	243	NUM
ejde-1481	377	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	378	1	[	[	X
ejde-1481	378	2	13	13	NUM
ejde-1481	378	3	]	]	X
ejde-1481	378	4	b.	b.	PROPN
ejde-1481	378	5	gidas	gidas	PROPN
ejde-1481	378	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	378	7	j.	j.	PROPN
ejde-1481	378	8	spruck	spruck	PROPN
ejde-1481	378	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	378	10	global	global	ADJ
ejde-1481	378	11	and	and	CCONJ
ejde-1481	378	12	local	local	ADJ
ejde-1481	378	13	behavior	behavior	NOUN
ejde-1481	378	14	of	of	ADP
ejde-1481	378	15	positive	positive	ADJ
ejde-1481	378	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	378	17	of	of	ADP
ejde-1481	378	18	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	378	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	378	20	equations	equation	NOUN
ejde-1481	378	21	,	,	PUNCT
ejde-1481	378	22	comm	comm	NOUN
ejde-1481	378	23	.	.	PUNCT
ejde-1481	379	1	pure	pure	ADJ
ejde-1481	379	2	appl	appl	PROPN
ejde-1481	379	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	379	4	math	math	PROPN
ejde-1481	379	5	.	.	PUNCT
ejde-1481	380	1	,	,	PUNCT
ejde-1481	380	2	34	34	NUM
ejde-1481	380	3	(	(	PUNCT
ejde-1481	380	4	1981	1981	NUM
ejde-1481	380	5	)	)	PUNCT
ejde-1481	380	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	380	7	525	525	NUM
ejde-1481	380	8	-	-	SYM
ejde-1481	380	9	598	598	NUM
ejde-1481	380	10	.	.	PUNCT
ejde-1481	381	1	[	[	X
ejde-1481	381	2	14	14	NUM
ejde-1481	381	3	]	]	X
ejde-1481	381	4	d.	d.	PROPN
ejde-1481	381	5	gilbarg	gilbarg	PROPN
ejde-1481	381	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	381	7	n.	n.	PROPN
ejde-1481	381	8	s.	s.	PROPN
ejde-1481	381	9	trudinger	trudinger	PROPN
ejde-1481	381	10	;	;	PUNCT
ejde-1481	381	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	381	12	partial	partial	ADJ
ejde-1481	381	13	differential	differential	ADJ
ejde-1481	381	14	equations	equation	NOUN
ejde-1481	381	15	of	of	ADP
ejde-1481	381	16	second	second	ADJ
ejde-1481	381	17	order	order	NOUN
ejde-1481	381	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	381	19	reprint	reprint	NOUN
ejde-1481	381	20	of	of	ADP
ejde-1481	381	21	the	the	DET
ejde-1481	381	22	2nd	2nd	PROPN
ejde-1481	381	23	edition	edition	NOUN
ejde-1481	381	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	381	25	springer	springer	NOUN
ejde-1481	381	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	381	27	berlin	berlin	PROPN
ejde-1481	381	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	381	29	2001	2001	NUM
ejde-1481	381	30	.	.	PUNCT
ejde-1481	382	1	[	[	X
ejde-1481	382	2	15	15	NUM
ejde-1481	382	3	]	]	X
ejde-1481	382	4	c.	c.	PROPN
ejde-1481	382	5	mercuri	mercuri	PROPN
ejde-1481	382	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	382	7	e.	e.	PROPN
ejde-1481	382	8	moreira	moreira	PROPN
ejde-1481	382	9	dos	dos	PROPN
ejde-1481	382	10	santos	santo	NOUN
ejde-1481	382	11	;	;	PUNCT
ejde-1481	382	12	quantitative	quantitative	ADJ
ejde-1481	382	13	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-1481	382	14	breaking	breaking	NOUN
ejde-1481	382	15	of	of	ADP
ejde-1481	382	16	groundstates	groundstate	NOUN
ejde-1481	382	17	for	for	ADP
ejde-1481	382	18	a	a	DET
ejde-1481	382	19	class	class	NOUN
ejde-1481	382	20	of	of	ADP
ejde-1481	382	21	weighted	weight	VERB
ejde-1481	382	22	emden	emden	ADJ
ejde-1481	382	23	-	-	PUNCT
ejde-1481	382	24	fowler	fowler	PROPN
ejde-1481	382	25	equations	equation	NOUN
ejde-1481	382	26	,	,	PUNCT
ejde-1481	382	27	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1481	382	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	382	29	32	32	NUM
ejde-1481	382	30	(	(	PUNCT
ejde-1481	382	31	2019	2019	NUM
ejde-1481	382	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	382	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	382	34	4445	4445	NUM
ejde-1481	382	35	-	-	SYM
ejde-1481	382	36	4464	4464	NUM
ejde-1481	382	37	.	.	PUNCT
ejde-1481	383	1	[	[	X
ejde-1481	383	2	16	16	NUM
ejde-1481	383	3	]	]	X
ejde-1481	383	4	q.	q.	PROPN
ejde-1481	383	5	phan	phan	PROPN
ejde-1481	383	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	383	7	p.	p.	NOUN
ejde-1481	383	8	souplet	souplet	NOUN
ejde-1481	383	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	383	10	liouville	liouville	NOUN
ejde-1481	383	11	-	-	PUNCT
ejde-1481	383	12	type	type	NOUN
ejde-1481	383	13	theorems	theorem	NOUN
ejde-1481	383	14	and	and	CCONJ
ejde-1481	383	15	bounds	bound	NOUN
ejde-1481	383	16	of	of	ADP
ejde-1481	383	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	383	18	of	of	ADP
ejde-1481	383	19	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	383	20	-	-	PUNCT
ejde-1481	383	21	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	383	22	equations	equation	NOUN
ejde-1481	383	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	383	24	j.	j.	PROPN
ejde-1481	383	25	differential	differential	PROPN
ejde-1481	383	26	equations	equation	NOUN
ejde-1481	383	27	,	,	PUNCT
ejde-1481	383	28	252	252	NUM
ejde-1481	383	29	(	(	PUNCT
ejde-1481	383	30	2012	2012	NUM
ejde-1481	383	31	)	)	PUNCT
ejde-1481	383	32	,	,	PUNCT
ejde-1481	383	33	2544	2544	NUM
ejde-1481	383	34	-	-	SYM
ejde-1481	383	35	2562	2562	NUM
ejde-1481	383	36	.	.	PUNCT
ejde-1481	384	1	[	[	X
ejde-1481	384	2	17	17	NUM
ejde-1481	384	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	384	4	l.	l.	PROPN
ejde-1481	384	5	wei	wei	PROPN
ejde-1481	384	6	,	,	PUNCT
ejde-1481	384	7	y.	y.	PROPN
ejde-1481	384	8	du	du	PROPN
ejde-1481	384	9	;	;	PUNCT
ejde-1481	384	10	exact	exact	ADJ
ejde-1481	384	11	singular	singular	ADJ
ejde-1481	384	12	behavior	behavior	NOUN
ejde-1481	384	13	of	of	ADP
ejde-1481	384	14	positive	positive	ADJ
ejde-1481	384	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1481	384	16	to	to	ADP
ejde-1481	384	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1481	384	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1481	384	19	equations	equation	NOUN
ejde-1481	384	20	with	with	ADP
ejde-1481	384	21	a	a	DET
ejde-1481	384	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	384	23	potential	potential	NOUN
ejde-1481	384	24	,	,	PUNCT
ejde-1481	384	25	j.	j.	PROPN
ejde-1481	384	26	differential	differential	PROPN
ejde-1481	384	27	equations	equations	PROPN
ejde-1481	384	28	,	,	PUNCT
ejde-1481	384	29	262	262	NUM
ejde-1481	384	30	(	(	PUNCT
ejde-1481	384	31	2017	2017	NUM
ejde-1481	384	32	)	)	PUNCT
ejde-1481	384	33	,	,	PUNCT
ejde-1481	384	34	3864	3864	NUM
ejde-1481	384	35	-	-	SYM
ejde-1481	384	36	3886	3886	NUM
ejde-1481	384	37	.	.	PUNCT
ejde-1481	385	1	[	[	X
ejde-1481	385	2	18	18	NUM
ejde-1481	385	3	]	]	PUNCT
ejde-1481	385	4	m.	m.	NOUN
ejde-1481	385	5	willem	willem	PROPN
ejde-1481	385	6	;	;	PUNCT
ejde-1481	385	7	minimax	minimax	NOUN
ejde-1481	385	8	theorems	theorem	NOUN
ejde-1481	385	9	,	,	PUNCT
ejde-1481	385	10	birkhauser	birkhaus	ADJ
ejde-1481	385	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	385	12	basel	basel	PROPN
ejde-1481	385	13	,	,	PUNCT
ejde-1481	385	14	1996	1996	NUM
ejde-1481	385	15	.	.	PUNCT
ejde-1481	386	1	[	[	X
ejde-1481	386	2	19	19	NUM
ejde-1481	386	3	]	]	X
ejde-1481	386	4	v.	v.	ADP
ejde-1481	386	5	a.	a.	NOUN
ejde-1481	386	6	zorich	zorich	PROPN
ejde-1481	386	7	;	;	PUNCT
ejde-1481	386	8	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1481	386	9	analysis	analysis	NOUN
ejde-1481	386	10	ii	ii	PROPN
ejde-1481	386	11	,	,	PUNCT
ejde-1481	386	12	berlin	berlin	PROPN
ejde-1481	386	13	-	-	PUNCT
ejde-1481	386	14	heidelverg	heidelverg	PROPN
ejde-1481	386	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	386	16	springer	springer	NOUN
ejde-1481	386	17	-	-	PUNCT
ejde-1481	386	18	verlag	verlag	PROPN
ejde-1481	386	19	,	,	PUNCT
ejde-1481	386	20	2004	2004	NUM
ejde-1481	386	21	.	.	PUNCT
ejde-1481	387	1	ejde-2025/50	ejde-2025/50	NOUN
ejde-1481	387	2	generalized	generalize	VERB
ejde-1481	387	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-1481	387	4	-	-	PUNCT
ejde-1481	387	5	hénon	hénon	NOUN
ejde-1481	387	6	equations	equation	NOUN
ejde-1481	387	7	11	11	NUM
ejde-1481	387	8	xizheng	xizheng	PROPN
ejde-1481	387	9	zhang	zhang	PROPN
ejde-1481	387	10	school	school	PROPN
ejde-1481	387	11	of	of	ADP
ejde-1481	387	12	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1481	387	13	and	and	CCONJ
ejde-1481	387	14	statistics	statistic	NOUN
ejde-1481	387	15	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	16	lanzhou	lanzhou	PROPN
ejde-1481	387	17	university	university	PROPN
ejde-1481	387	18	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	19	lanzhou	lanzhou	PROPN
ejde-1481	387	20	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	21	gansu	gansu	PROPN
ejde-1481	387	22	730000	730000	NUM
ejde-1481	387	23	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	24	china	china	PROPN
ejde-1481	387	25	email	email	NOUN
ejde-1481	387	26	address	address	NOUN
ejde-1481	387	27	:	:	PUNCT
ejde-1481	387	28	220220934341@lzu.edu.cn	220220934341@lzu.edu.cn	NUM
ejde-1481	387	29	xiyou	xiyou	PROPN
ejde-1481	387	30	cheng	cheng	PROPN
ejde-1481	387	31	(	(	PUNCT
ejde-1481	387	32	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1481	387	33	author	author	NOUN
ejde-1481	387	34	)	)	PUNCT
ejde-1481	387	35	school	school	NOUN
ejde-1481	387	36	of	of	ADP
ejde-1481	387	37	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1481	387	38	and	and	CCONJ
ejde-1481	387	39	statistics	statistic	NOUN
ejde-1481	387	40	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	41	lanzhou	lanzhou	PROPN
ejde-1481	387	42	university	university	PROPN
ejde-1481	387	43	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	44	lanzhou	lanzhou	PROPN
ejde-1481	387	45	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	46	gansu	gansu	PROPN
ejde-1481	387	47	730000	730000	NUM
ejde-1481	387	48	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	49	china	china	PROPN
ejde-1481	387	50	email	email	NOUN
ejde-1481	387	51	address	address	NOUN
ejde-1481	387	52	:	:	PUNCT
ejde-1481	387	53	chengxy@lzu.edu.cn	chengxy@lzu.edu.cn	PROPN
ejde-1481	387	54	meihua	meihua	PROPN
ejde-1481	387	55	yang	yang	PROPN
ejde-1481	387	56	school	school	PROPN
ejde-1481	387	57	of	of	ADP
ejde-1481	387	58	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1481	387	59	and	and	CCONJ
ejde-1481	387	60	statistics	statistic	NOUN
ejde-1481	387	61	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	62	huazhong	huazhong	PROPN
ejde-1481	387	63	university	university	PROPN
ejde-1481	387	64	of	of	ADP
ejde-1481	387	65	science	science	NOUN
ejde-1481	387	66	and	and	CCONJ
ejde-1481	387	67	technology	technology	NOUN
ejde-1481	387	68	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	69	wuhan	wuhan	PROPN
ejde-1481	387	70	430074	430074	PROPN
ejde-1481	387	71	,	,	PUNCT
ejde-1481	387	72	china	china	PROPN
ejde-1481	387	73	email	email	NOUN
ejde-1481	387	74	address	address	PROPN
ejde-1481	387	75	:	:	PUNCT
ejde-1481	387	76	yangmeih@hust.edu.cn	yangmeih@hust.edu.cn	PROPN
ejde-1481	387	77	1	1	NUM
ejde-1481	387	78	.	.	PUNCT
ejde-1481	388	1	introduction	introduction	NOUN
ejde-1481	388	2	2	2	NUM
ejde-1481	388	3	.	.	PUNCT
ejde-1481	388	4	results	result	NOUN
ejde-1481	388	5	for	for	ADP
ejde-1481	388	6	the	the	DET
ejde-1481	388	7	case	case	NOUN
ejde-1481	388	8	p	p	X
ejde-1481	388	9	>	>	X
ejde-1481	388	10	1	1	NUM
ejde-1481	388	11	3	3	NUM
ejde-1481	388	12	.	.	PUNCT
ejde-1481	388	13	results	result	NOUN
ejde-1481	388	14	for	for	ADP
ejde-1481	388	15	the	the	DET
ejde-1481	388	16	case	case	NOUN
ejde-1481	388	17	p	p	X
ejde-1481	388	18	<	<	X
ejde-1481	388	19	1	1	NUM
ejde-1481	388	20	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1481	388	21	references	reference	NOUN