id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1514	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1514	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1514	1	3	of	of	ADP
ejde-1514	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1514	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1514	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1514	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1514	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1514	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1514	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1514	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	1	14	no	no	INTJ
ejde-1514	1	15	.	.	NOUN
ejde-1514	1	16	56	56	NUM
ejde-1514	1	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-1514	1	19	.	.	PUNCT
ejde-1514	2	1	1–10	1–10	PROPN
ejde-1514	2	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-1514	3	2	:	:	PUNCT
ejde-1514	3	3	1072	1072	NUM
ejde-1514	3	4	-	-	SYM
ejde-1514	3	5	6691	6691	NUM
ejde-1514	3	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	4	1	url	url	PROPN
ejde-1514	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1514	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1514	4	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-1514	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-1514	4	7	:	:	PUNCT
ejde-1514	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1514	4	9	/	/	SYM
ejde-1514	4	10	ejde.2025.56	ejde.2025.56	VERB
ejde-1514	4	11	positive	positive	ADJ
ejde-1514	4	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	4	13	for	for	ADP
ejde-1514	4	14	n	n	CCONJ
ejde-1514	4	15	-	-	PUNCT
ejde-1514	4	16	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	4	17	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	4	18	-	-	PUNCT
ejde-1514	4	19	order	order	NOUN
ejde-1514	4	20	systems	system	NOUN
ejde-1514	4	21	under	under	ADP
ejde-1514	4	22	a	a	DET
ejde-1514	4	23	parametric	parametric	ADJ
ejde-1514	4	24	condition	condition	NOUN
ejde-1514	4	25	pablo	pablo	PROPN
ejde-1514	4	26	álvarez	álvarez	PROPN
ejde-1514	4	27	-	-	PUNCT
ejde-1514	4	28	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	4	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	4	30	cristina	cristina	PROPN
ejde-1514	4	31	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	4	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	4	33	devashish	devashish	ADJ
ejde-1514	4	34	sonowal	sonowal	NOUN
ejde-1514	4	35	communicated	communicate	VERB
ejde-1514	4	36	by	by	ADP
ejde-1514	4	37	giovanni	giovanni	PROPN
ejde-1514	4	38	molica	molica	PROPN
ejde-1514	4	39	bisci	bisci	PROPN
ejde-1514	4	40	abstract	abstract	ADJ
ejde-1514	4	41	.	.	PUNCT
ejde-1514	5	1	we	we	PRON
ejde-1514	5	2	establish	establish	VERB
ejde-1514	5	3	the	the	DET
ejde-1514	5	4	existence	existence	NOUN
ejde-1514	5	5	of	of	ADP
ejde-1514	5	6	positive	positive	ADJ
ejde-1514	5	7	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	5	8	for	for	ADP
ejde-1514	5	9	a	a	DET
ejde-1514	5	10	system	system	NOUN
ejde-1514	5	11	of	of	ADP
ejde-1514	5	12	coupled	couple	VERB
ejde-1514	5	13	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	5	14	-	-	PUNCT
ejde-1514	5	15	order	order	NOUN
ejde-1514	5	16	partial	partial	ADJ
ejde-1514	5	17	differential	differential	NOUN
ejde-1514	5	18	equations	equation	NOUN
ejde-1514	5	19	on	on	ADP
ejde-1514	5	20	a	a	DET
ejde-1514	5	21	bounded	bounded	ADJ
ejde-1514	5	22	domain	domain	NOUN
ejde-1514	5	23	ω	ω	PROPN
ejde-1514	5	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-1514	5	25	rn	rn	PROPN
ejde-1514	5	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	27	∆2u1	∆2u1	PUNCT
ejde-1514	5	28	+	+	NUM
ejde-1514	5	29	β1∆u1	β1∆u1	NUM
ejde-1514	5	30	−	−	NOUN
ejde-1514	5	31	α1u1	α1u1	X
ejde-1514	5	32	=	=	SYM
ejde-1514	5	33	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-1514	5	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	35	u1	u1	NOUN
ejde-1514	5	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	37	u2	u2	PROPN
ejde-1514	5	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	5	39	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	40	∆2u2	∆2u2	X
ejde-1514	5	41	+	+	CCONJ
ejde-1514	5	42	β2∆u2	β2∆u2	PROPN
ejde-1514	5	43	−	−	PROPN
ejde-1514	5	44	α2u2	α2u2	NOUN
ejde-1514	5	45	=	=	SYM
ejde-1514	5	46	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	5	47	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	48	u1	u1	NOUN
ejde-1514	5	49	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	50	u2	u2	PROPN
ejde-1514	5	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	5	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	53	for	for	ADP
ejde-1514	5	54	x	x	PROPN
ejde-1514	5	55	∈	∈	PROPN
ejde-1514	5	56	ω	ω	PROPN
ejde-1514	5	57	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	58	subject	subject	ADJ
ejde-1514	5	59	to	to	ADP
ejde-1514	5	60	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	5	61	navier	navier	NOUN
ejde-1514	5	62	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	5	63	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	5	64	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	65	where	where	SCONJ
ejde-1514	5	66	the	the	DET
ejde-1514	5	67	functions	function	NOUN
ejde-1514	5	68	f1	f1	NOUN
ejde-1514	5	69	,	,	PUNCT
ejde-1514	5	70	f2	f2	PROPN
ejde-1514	5	71	:	:	PUNCT
ejde-1514	5	72	ω×	ω×	NUM
ejde-1514	6	1	[	[	X
ejde-1514	6	2	0,∞)×	0,∞)×	NUM
ejde-1514	6	3	[	[	X
ejde-1514	6	4	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1514	6	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	6	6	→	→	PUNCT
ejde-1514	7	1	[	[	X
ejde-1514	7	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1514	7	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	7	4	are	be	AUX
ejde-1514	7	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	7	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	7	7	and	and	CCONJ
ejde-1514	7	8	α1	α1	PROPN
ejde-1514	7	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	7	10	α2	α2	PROPN
ejde-1514	7	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	7	12	β1	β1	PROPN
ejde-1514	7	13	and	and	CCONJ
ejde-1514	7	14	β2	β2	NOUN
ejde-1514	7	15	are	be	AUX
ejde-1514	7	16	real	real	ADJ
ejde-1514	7	17	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	7	18	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1514	7	19	certain	certain	ADJ
ejde-1514	7	20	constraints	constraint	NOUN
ejde-1514	7	21	related	relate	VERB
ejde-1514	7	22	to	to	ADP
ejde-1514	7	23	the	the	DET
ejde-1514	7	24	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	7	25	of	of	ADP
ejde-1514	7	26	the	the	DET
ejde-1514	7	27	associated	associated	ADJ
ejde-1514	7	28	laplace	laplace	NOUN
ejde-1514	7	29	operator	operator	NOUN
ejde-1514	7	30	.	.	PUNCT
ejde-1514	8	1	1	1	X
ejde-1514	8	2	.	.	X
ejde-1514	8	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1514	8	4	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	8	5	-	-	PUNCT
ejde-1514	8	6	order	order	NOUN
ejde-1514	8	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1514	8	8	differential	differential	ADJ
ejde-1514	8	9	equations	equation	NOUN
ejde-1514	8	10	naturally	naturally	ADV
ejde-1514	8	11	appear	appear	VERB
ejde-1514	8	12	in	in	ADP
ejde-1514	8	13	models	model	NOUN
ejde-1514	8	14	concerning	concern	VERB
ejde-1514	8	15	physical	physical	ADJ
ejde-1514	8	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	17	biological	biological	ADJ
ejde-1514	8	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	19	and	and	CCONJ
ejde-1514	8	20	chemical	chemical	NOUN
ejde-1514	8	21	phenomena	phenomenon	NOUN
ejde-1514	8	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	23	such	such	ADJ
ejde-1514	8	24	as	as	ADP
ejde-1514	8	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	26	for	for	ADP
ejde-1514	8	27	instance	instance	NOUN
ejde-1514	8	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	29	problems	problem	NOUN
ejde-1514	8	30	of	of	ADP
ejde-1514	8	31	elasticity	elasticity	NOUN
ejde-1514	8	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	33	deformation	deformation	NOUN
ejde-1514	8	34	of	of	ADP
ejde-1514	8	35	structures	structure	NOUN
ejde-1514	8	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	37	or	or	CCONJ
ejde-1514	8	38	soil	soil	NOUN
ejde-1514	8	39	settlement	settlement	NOUN
ejde-1514	8	40	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	41	see	see	VERB
ejde-1514	8	42	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	43	for	for	ADP
ejde-1514	8	44	example	example	NOUN
ejde-1514	8	45	,	,	PUNCT
ejde-1514	8	46	[	[	X
ejde-1514	8	47	12	12	NUM
ejde-1514	8	48	]	]	PUNCT
ejde-1514	8	49	and	and	CCONJ
ejde-1514	9	1	[	[	X
ejde-1514	9	2	5	5	NUM
ejde-1514	9	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	9	4	for	for	ADP
ejde-1514	9	5	an	an	DET
ejde-1514	9	6	exposition	exposition	NOUN
ejde-1514	9	7	of	of	ADP
ejde-1514	9	8	several	several	ADJ
ejde-1514	9	9	models	model	NOUN
ejde-1514	9	10	involving	involve	VERB
ejde-1514	9	11	higher	high	ADJ
ejde-1514	9	12	order	order	NOUN
ejde-1514	9	13	operators	operator	NOUN
ejde-1514	9	14	.	.	PUNCT
ejde-1514	10	1	as	as	SCONJ
ejde-1514	10	2	it	it	PRON
ejde-1514	10	3	is	be	AUX
ejde-1514	10	4	explained	explain	VERB
ejde-1514	10	5	in	in	ADP
ejde-1514	10	6	[	[	X
ejde-1514	10	7	12	12	NUM
ejde-1514	10	8	]	]	PUNCT
ejde-1514	10	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	10	10	typically	typically	ADV
ejde-1514	10	11	in	in	ADP
ejde-1514	10	12	the	the	DET
ejde-1514	10	13	literature	literature	NOUN
ejde-1514	10	14	we	we	PRON
ejde-1514	10	15	find	find	VERB
ejde-1514	10	16	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	10	17	-	-	PUNCT
ejde-1514	10	18	order	order	NOUN
ejde-1514	10	19	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-1514	10	20	differential	differential	ADJ
ejde-1514	10	21	equations	equation	NOUN
ejde-1514	10	22	of	of	ADP
ejde-1514	10	23	the	the	DET
ejde-1514	10	24	form	form	NOUN
ejde-1514	10	25	u(iv)(x	u(iv)(x	NOUN
ejde-1514	10	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	1	=	=	SYM
ejde-1514	11	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-1514	11	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-1514	11	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	7	u′′(x	u′′(x	NOUN
ejde-1514	11	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	11	0	0	PUNCT
ejde-1514	11	12	<	<	X
ejde-1514	11	13	x	x	X
ejde-1514	11	14	<	<	X
ejde-1514	11	15	1	1	NUM
ejde-1514	11	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	17	u(0	u(0	NOUN
ejde-1514	11	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	19	=	=	SYM
ejde-1514	11	20	u(1	u(1	PROPN
ejde-1514	11	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	22	=	=	SYM
ejde-1514	11	23	u′′(0	u′′(0	NOUN
ejde-1514	11	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	25	=	=	SYM
ejde-1514	11	26	u′′(1	u′′(1	NOUN
ejde-1514	11	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	11	30	1.1	1.1	NUM
ejde-1514	11	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	11	32	under	under	ADP
ejde-1514	11	33	different	different	ADJ
ejde-1514	11	34	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	11	35	on	on	ADP
ejde-1514	11	36	the	the	DET
ejde-1514	11	37	function	function	NOUN
ejde-1514	11	38	g.	g.	NOUN
ejde-1514	11	39	such	such	ADJ
ejde-1514	11	40	kind	kind	NOUN
ejde-1514	11	41	of	of	ADP
ejde-1514	11	42	equations	equation	NOUN
ejde-1514	11	43	are	be	AUX
ejde-1514	11	44	used	use	VERB
ejde-1514	11	45	to	to	PART
ejde-1514	11	46	model	model	VERB
ejde-1514	11	47	the	the	DET
ejde-1514	11	48	deformations	deformation	NOUN
ejde-1514	11	49	of	of	ADP
ejde-1514	11	50	an	an	DET
ejde-1514	11	51	elastic	elastic	ADJ
ejde-1514	11	52	beam	beam	NOUN
ejde-1514	11	53	in	in	ADP
ejde-1514	11	54	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-1514	11	55	state	state	NOUN
ejde-1514	11	56	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	57	whose	whose	DET
ejde-1514	11	58	two	two	NUM
ejde-1514	11	59	ends	end	NOUN
ejde-1514	11	60	are	be	AUX
ejde-1514	11	61	simply	simply	ADV
ejde-1514	11	62	supported	support	VERB
ejde-1514	11	63	[	[	PUNCT
ejde-1514	11	64	7	7	NUM
ejde-1514	11	65	,	,	PUNCT
ejde-1514	11	66	8	8	NUM
ejde-1514	11	67	]	]	PUNCT
ejde-1514	11	68	.	.	PUNCT
ejde-1514	12	1	because	because	SCONJ
ejde-1514	12	2	of	of	ADP
ejde-1514	12	3	its	its	PRON
ejde-1514	12	4	physics	physics	NOUN
ejde-1514	12	5	applications	application	NOUN
ejde-1514	12	6	one	one	NOUN
ejde-1514	12	7	normally	normally	ADV
ejde-1514	12	8	looks	look	VERB
ejde-1514	12	9	for	for	ADP
ejde-1514	12	10	the	the	DET
ejde-1514	12	11	existence	existence	NOUN
ejde-1514	12	12	of	of	ADP
ejde-1514	12	13	positive	positive	ADJ
ejde-1514	12	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	12	15	.	.	PUNCT
ejde-1514	13	1	thus	thus	ADV
ejde-1514	13	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	13	3	for	for	ADP
ejde-1514	13	4	the	the	DET
ejde-1514	13	5	particular	particular	ADJ
ejde-1514	13	6	one	one	NUM
ejde-1514	13	7	-	-	PUNCT
ejde-1514	13	8	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	13	9	case	case	NOUN
ejde-1514	13	10	there	there	PRON
ejde-1514	13	11	are	be	VERB
ejde-1514	13	12	several	several	ADJ
ejde-1514	13	13	papers	paper	NOUN
ejde-1514	13	14	where	where	SCONJ
ejde-1514	13	15	such	such	DET
ejde-1514	13	16	an	an	DET
ejde-1514	13	17	existence	existence	NOUN
ejde-1514	13	18	is	be	AUX
ejde-1514	13	19	analyzed	analyze	VERB
ejde-1514	13	20	;	;	PUNCT
ejde-1514	13	21	see	see	VERB
ejde-1514	13	22	[	[	X
ejde-1514	13	23	3	3	NUM
ejde-1514	13	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	13	25	7	7	NUM
ejde-1514	13	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	13	27	8	8	NUM
ejde-1514	13	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	13	29	10	10	NUM
ejde-1514	13	30	]	]	PUNCT
ejde-1514	13	31	for	for	ADP
ejde-1514	13	32	further	further	ADJ
ejde-1514	13	33	details	detail	NOUN
ejde-1514	13	34	and	and	CCONJ
ejde-1514	13	35	references	reference	NOUN
ejde-1514	13	36	therein	therein	ADV
ejde-1514	13	37	.	.	PUNCT
ejde-1514	14	1	although	although	SCONJ
ejde-1514	14	2	there	there	PRON
ejde-1514	14	3	are	be	VERB
ejde-1514	14	4	numerous	numerous	ADJ
ejde-1514	14	5	references	reference	NOUN
ejde-1514	14	6	dealing	deal	VERB
ejde-1514	14	7	with	with	ADP
ejde-1514	14	8	this	this	DET
ejde-1514	14	9	type	type	NOUN
ejde-1514	14	10	of	of	ADP
ejde-1514	14	11	one	one	NUM
ejde-1514	14	12	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	14	13	problems	problem	NOUN
ejde-1514	14	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	14	15	little	little	ADJ
ejde-1514	14	16	is	be	AUX
ejde-1514	14	17	yet	yet	ADV
ejde-1514	14	18	known	know	VERB
ejde-1514	14	19	about	about	ADP
ejde-1514	14	20	the	the	DET
ejde-1514	14	21	behavior	behavior	NOUN
ejde-1514	14	22	of	of	ADP
ejde-1514	14	23	the	the	DET
ejde-1514	14	24	solution	solution	NOUN
ejde-1514	14	25	in	in	ADP
ejde-1514	14	26	higher	high	ADJ
ejde-1514	14	27	dimensions	dimension	NOUN
ejde-1514	14	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	14	29	both	both	PRON
ejde-1514	14	30	for	for	ADP
ejde-1514	14	31	a	a	DET
ejde-1514	14	32	single	single	ADJ
ejde-1514	14	33	equation	equation	NOUN
ejde-1514	14	34	or	or	CCONJ
ejde-1514	14	35	a	a	DET
ejde-1514	14	36	system	system	NOUN
ejde-1514	14	37	.	.	PUNCT
ejde-1514	15	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1514	15	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	15	3	for	for	ADP
ejde-1514	15	4	one	one	NUM
ejde-1514	15	5	single	single	ADJ
ejde-1514	15	6	equation	equation	NOUN
ejde-1514	15	7	the	the	DET
ejde-1514	15	8	work	work	NOUN
ejde-1514	15	9	[	[	X
ejde-1514	15	10	3	3	X
ejde-1514	15	11	]	]	PUNCT
ejde-1514	15	12	is	be	AUX
ejde-1514	15	13	probably	probably	ADV
ejde-1514	15	14	the	the	DET
ejde-1514	15	15	only	only	ADJ
ejde-1514	15	16	one	one	NUM
ejde-1514	15	17	mentioning	mention	VERB
ejde-1514	15	18	higher	high	ADJ
ejde-1514	15	19	dimension	dimension	NOUN
ejde-1514	15	20	equations	equation	NOUN
ejde-1514	15	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	16	1	on	on	ADP
ejde-1514	16	2	the	the	DET
ejde-1514	16	3	other	other	ADJ
ejde-1514	16	4	hand	hand	NOUN
ejde-1514	16	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	16	6	we	we	PRON
ejde-1514	16	7	would	would	AUX
ejde-1514	16	8	like	like	VERB
ejde-1514	16	9	to	to	PART
ejde-1514	16	10	mention	mention	VERB
ejde-1514	16	11	the	the	DET
ejde-1514	16	12	work	work	NOUN
ejde-1514	16	13	of	of	ADP
ejde-1514	16	14	wang	wang	PROPN
ejde-1514	16	15	-	-	PUNCT
ejde-1514	16	16	yang	yang	PROPN
ejde-1514	17	1	[	[	X
ejde-1514	17	2	15	15	NUM
ejde-1514	17	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	17	4	where	where	SCONJ
ejde-1514	17	5	a	a	DET
ejde-1514	17	6	system	system	NOUN
ejde-1514	17	7	of	of	ADP
ejde-1514	17	8	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	17	9	order	order	NOUN
ejde-1514	17	10	differential	differential	ADJ
ejde-1514	17	11	equations	equation	NOUN
ejde-1514	17	12	was	be	AUX
ejde-1514	17	13	analyzed	analyze	VERB
ejde-1514	17	14	obtaining	obtain	VERB
ejde-1514	17	15	the	the	DET
ejde-1514	17	16	existence	existence	NOUN
ejde-1514	17	17	of	of	ADP
ejde-1514	17	18	positive	positive	ADJ
ejde-1514	17	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	17	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	17	21	however	however	ADV
ejde-1514	17	22	in	in	ADP
ejde-1514	17	23	one	one	NUM
ejde-1514	17	24	dimension	dimension	NOUN
ejde-1514	17	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	18	1	in	in	ADP
ejde-1514	18	2	this	this	DET
ejde-1514	18	3	work	work	NOUN
ejde-1514	18	4	we	we	PRON
ejde-1514	18	5	consider	consider	VERB
ejde-1514	18	6	a	a	DET
ejde-1514	18	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-1514	18	8	smooth	smooth	ADJ
ejde-1514	18	9	domain	domain	NOUN
ejde-1514	18	10	ω	ω	PROPN
ejde-1514	18	11	⊂	⊂	PROPN
ejde-1514	18	12	rn	rn	PROPN
ejde-1514	18	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	14	with	with	ADP
ejde-1514	18	15	n	n	PRON
ejde-1514	18	16	≥	≥	NOUN
ejde-1514	18	17	1	1	NUM
ejde-1514	18	18	and	and	CCONJ
ejde-1514	18	19	we	we	PRON
ejde-1514	18	20	generalize	generalize	VERB
ejde-1514	18	21	the	the	DET
ejde-1514	18	22	one	one	NUM
ejde-1514	18	23	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	18	24	system	system	NOUN
ejde-1514	18	25	studied	study	VERB
ejde-1514	18	26	in	in	ADP
ejde-1514	18	27	[	[	X
ejde-1514	18	28	15	15	NUM
ejde-1514	18	29	]	]	PUNCT
ejde-1514	18	30	to	to	ADP
ejde-1514	18	31	a	a	DET
ejde-1514	18	32	system	system	NOUN
ejde-1514	18	33	with	with	ADP
ejde-1514	18	34	two	two	NUM
ejde-1514	18	35	coupled	couple	VERB
ejde-1514	18	36	equations	equation	NOUN
ejde-1514	18	37	of	of	ADP
ejde-1514	18	38	the	the	DET
ejde-1514	18	39	form	form	NOUN
ejde-1514	18	40	∆2u1	∆2u1	PROPN
ejde-1514	18	41	=	=	SYM
ejde-1514	18	42	g1(x	g1(x	NOUN
ejde-1514	18	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	44	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	45	u1	u1	NOUN
ejde-1514	18	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	47	u2,∆u1	u2,∆u1	NOUN
ejde-1514	18	48	)	)	PUNCT
ejde-1514	18	49	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	50	∆2u2	∆2u2	X
ejde-1514	18	51	=	=	SYM
ejde-1514	18	52	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-1514	18	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	54	u1	u1	PROPN
ejde-1514	18	55	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	56	u2,∆u2	u2,∆u2	PROPN
ejde-1514	18	57	)	)	PUNCT
ejde-1514	18	58	,	,	PUNCT
ejde-1514	18	59	2020	2020	NUM
ejde-1514	18	60	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1514	18	61	subject	subject	ADJ
ejde-1514	18	62	classification	classification	NOUN
ejde-1514	18	63	.	.	PUNCT
ejde-1514	19	1	35j70	35j70	NUM
ejde-1514	19	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	19	3	35j47	35j47	NUM
ejde-1514	19	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	19	5	35k57	35k57	NUM
ejde-1514	19	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	20	1	key	key	ADJ
ejde-1514	20	2	words	word	NOUN
ejde-1514	20	3	and	and	CCONJ
ejde-1514	20	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1514	20	5	.	.	PUNCT
ejde-1514	21	1	coupled	couple	VERB
ejde-1514	21	2	system	system	NOUN
ejde-1514	21	3	;	;	PUNCT
ejde-1514	21	4	higher	high	ADJ
ejde-1514	21	5	order	order	NOUN
ejde-1514	21	6	operator	operator	NOUN
ejde-1514	21	7	.	.	PUNCT
ejde-1514	22	1	©	©	PROPN
ejde-1514	22	2	2025	2025	NUM
ejde-1514	22	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	23	1	this	this	DET
ejde-1514	23	2	work	work	NOUN
ejde-1514	23	3	is	be	AUX
ejde-1514	23	4	licensed	license	VERB
ejde-1514	23	5	under	under	ADP
ejde-1514	23	6	a	a	DET
ejde-1514	23	7	cc	cc	NOUN
ejde-1514	23	8	by	by	ADP
ejde-1514	23	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1514	23	10	license	license	NOUN
ejde-1514	23	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	24	1	submitted	submit	VERB
ejde-1514	24	2	august	august	PROPN
ejde-1514	24	3	14	14	NUM
ejde-1514	24	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	24	5	2024	2024	NUM
ejde-1514	24	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	25	1	published	publish	VERB
ejde-1514	25	2	may	may	AUX
ejde-1514	25	3	29	29	NUM
ejde-1514	25	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	25	5	2025	2025	NUM
ejde-1514	25	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	26	1	1	1	NUM
ejde-1514	26	2	2	2	NUM
ejde-1514	26	3	p.	p.	NOUN
ejde-1514	26	4	álvarez	álvarez	NOUN
ejde-1514	26	5	-	-	PUNCT
ejde-1514	26	6	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	26	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	26	8	c.	c.	PROPN
ejde-1514	26	9	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	26	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	26	11	d.	d.	PROPN
ejde-1514	26	12	sonowal	sonowal	ADV
ejde-1514	26	13	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	26	14	for	for	ADP
ejde-1514	26	15	some	some	DET
ejde-1514	26	16	functions	function	NOUN
ejde-1514	26	17	g1	g1	NOUN
ejde-1514	26	18	and	and	CCONJ
ejde-1514	26	19	g2	g2	PROPN
ejde-1514	26	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	27	1	more	more	ADV
ejde-1514	27	2	precisely	precisely	ADV
ejde-1514	27	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	4	and	and	CCONJ
ejde-1514	27	5	in	in	ADP
ejde-1514	27	6	relation	relation	NOUN
ejde-1514	27	7	to	to	ADP
ejde-1514	27	8	the	the	DET
ejde-1514	27	9	previously	previously	ADV
ejde-1514	27	10	analyzed	analyze	VERB
ejde-1514	27	11	problems	problem	NOUN
ejde-1514	27	12	in	in	ADP
ejde-1514	27	13	1d	1d	NUM
ejde-1514	27	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	15	we	we	PRON
ejde-1514	27	16	will	will	AUX
ejde-1514	27	17	be	be	AUX
ejde-1514	27	18	interested	interested	ADJ
ejde-1514	27	19	in	in	ADP
ejde-1514	27	20	discussing	discuss	VERB
ejde-1514	27	21	the	the	DET
ejde-1514	27	22	existence	existence	NOUN
ejde-1514	27	23	of	of	ADP
ejde-1514	27	24	positive	positive	ADJ
ejde-1514	27	25	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	27	26	(	(	PUNCT
ejde-1514	27	27	u1	u1	NOUN
ejde-1514	27	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	29	u2	u2	PROPN
ejde-1514	27	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	27	31	to	to	ADP
ejde-1514	27	32	the	the	DET
ejde-1514	27	33	system	system	NOUN
ejde-1514	27	34	∆2u1	∆2u1	PROPN
ejde-1514	27	35	+	+	NUM
ejde-1514	27	36	β1∆u1	β1∆u1	NUM
ejde-1514	27	37	−	−	NOUN
ejde-1514	27	38	α1u1	α1u1	X
ejde-1514	27	39	=	=	SYM
ejde-1514	27	40	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-1514	27	41	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	42	u1	u1	NOUN
ejde-1514	27	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	44	u2	u2	PROPN
ejde-1514	27	45	)	)	PUNCT
ejde-1514	27	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	47	x	x	PUNCT
ejde-1514	27	48	∈	∈	PROPN
ejde-1514	27	49	ω	ω	PROPN
ejde-1514	27	50	.	.	PUNCT
ejde-1514	27	51	∆2u2	∆2u2	PROPN
ejde-1514	27	52	+	+	CCONJ
ejde-1514	27	53	β2∆u2	β2∆u2	PROPN
ejde-1514	27	54	−	−	PROPN
ejde-1514	27	55	α2u2	α2u2	NOUN
ejde-1514	27	56	=	=	SYM
ejde-1514	27	57	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	27	58	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	59	u1	u1	NOUN
ejde-1514	27	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	61	u2	u2	PROPN
ejde-1514	27	62	)	)	PUNCT
ejde-1514	27	63	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	64	x	x	PUNCT
ejde-1514	27	65	∈	∈	PROPN
ejde-1514	27	66	ω	ω	PROPN
ejde-1514	27	67	,	,	PUNCT
ejde-1514	27	68	(	(	PUNCT
ejde-1514	27	69	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	27	70	)	)	PUNCT
ejde-1514	27	71	under	under	ADP
ejde-1514	27	72	the	the	DET
ejde-1514	27	73	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	27	74	navier	navier	NOUN
ejde-1514	27	75	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	27	76	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	27	77	u1	u1	NOUN
ejde-1514	27	78	=	=	SYM
ejde-1514	27	79	∆u1	∆u1	PROPN
ejde-1514	27	80	=	=	SYM
ejde-1514	27	81	u2	u2	PROPN
ejde-1514	27	82	=	=	PROPN
ejde-1514	27	83	∆u2	∆u2	PROPN
ejde-1514	27	84	=	=	PUNCT
ejde-1514	27	85	0	0	NUM
ejde-1514	27	86	on	on	ADP
ejde-1514	27	87	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	27	88	.	.	PUNCT
ejde-1514	28	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	28	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1514	28	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	28	4	we	we	PRON
ejde-1514	28	5	will	will	AUX
ejde-1514	28	6	assume	assume	VERB
ejde-1514	28	7	that	that	SCONJ
ejde-1514	28	8	the	the	DET
ejde-1514	28	9	functions	function	NOUN
ejde-1514	28	10	f1	f1	NOUN
ejde-1514	28	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	28	12	f2	f2	PROPN
ejde-1514	28	13	:	:	PUNCT
ejde-1514	28	14	ω	ω	NUM
ejde-1514	28	15	×	×	NOUN
ejde-1514	29	1	[	[	X
ejde-1514	29	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1514	29	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	29	4	×	×	NOUN
ejde-1514	30	1	[	[	X
ejde-1514	30	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1514	30	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	30	4	→	→	PUNCT
ejde-1514	31	1	[	[	X
ejde-1514	31	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1514	31	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	31	4	are	be	AUX
ejde-1514	31	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	31	6	and	and	CCONJ
ejde-1514	31	7	α1	α1	PROPN
ejde-1514	31	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	31	9	α2	α2	ADJ
ejde-1514	31	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	31	11	β1	β1	PROPN
ejde-1514	31	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	31	13	β2	β2	PROPN
ejde-1514	31	14	are	be	AUX
ejde-1514	31	15	real	real	ADJ
ejde-1514	31	16	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	31	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	32	1	our	our	PRON
ejde-1514	32	2	aim	aim	NOUN
ejde-1514	32	3	in	in	ADP
ejde-1514	32	4	this	this	DET
ejde-1514	32	5	article	article	NOUN
ejde-1514	32	6	is	be	AUX
ejde-1514	32	7	to	to	PART
ejde-1514	32	8	show	show	VERB
ejde-1514	32	9	that	that	SCONJ
ejde-1514	32	10	under	under	ADP
ejde-1514	32	11	additional	additional	ADJ
ejde-1514	32	12	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	32	13	on	on	ADP
ejde-1514	32	14	the	the	DET
ejde-1514	32	15	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	32	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	32	17	the	the	DET
ejde-1514	32	18	so	so	ADV
ejde-1514	32	19	-	-	PUNCT
ejde-1514	32	20	called	call	VERB
ejde-1514	32	21	non	non	ADJ
ejde-1514	32	22	-	-	ADJ
ejde-1514	32	23	resonance	resonance	ADJ
ejde-1514	32	24	condition	condition	NOUN
ejde-1514	32	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	32	26	see	see	VERB
ejde-1514	32	27	[	[	X
ejde-1514	32	28	3	3	NUM
ejde-1514	32	29	]	]	PUNCT
ejde-1514	32	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	32	31	of	of	ADP
ejde-1514	32	32	the	the	DET
ejde-1514	32	33	system	system	NOUN
ejde-1514	32	34	and	and	CCONJ
ejde-1514	32	35	on	on	ADP
ejde-1514	32	36	the	the	DET
ejde-1514	32	37	growth	growth	NOUN
ejde-1514	32	38	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	32	39	of	of	ADP
ejde-1514	32	40	f1	f1	NOUN
ejde-1514	32	41	and	and	CCONJ
ejde-1514	32	42	f2	f2	PROPN
ejde-1514	32	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	32	44	the	the	DET
ejde-1514	32	45	system	system	NOUN
ejde-1514	32	46	has	have	VERB
ejde-1514	32	47	at	at	ADV
ejde-1514	32	48	least	least	ADV
ejde-1514	32	49	one	one	NUM
ejde-1514	32	50	positive	positive	ADJ
ejde-1514	32	51	solution	solution	NOUN
ejde-1514	32	52	(	(	PUNCT
ejde-1514	32	53	see	see	VERB
ejde-1514	32	54	section	section	NOUN
ejde-1514	32	55	4	4	NUM
ejde-1514	32	56	)	)	PUNCT
ejde-1514	32	57	.	.	PUNCT
ejde-1514	33	1	outline	outline	NOUN
ejde-1514	33	2	of	of	ADP
ejde-1514	33	3	this	this	DET
ejde-1514	33	4	paper	paper	NOUN
ejde-1514	33	5	:	:	PUNCT
ejde-1514	33	6	in	in	ADP
ejde-1514	33	7	section	section	NOUN
ejde-1514	33	8	2	2	NUM
ejde-1514	33	9	we	we	PRON
ejde-1514	33	10	show	show	VERB
ejde-1514	33	11	some	some	DET
ejde-1514	33	12	crucial	crucial	ADJ
ejde-1514	33	13	and	and	CCONJ
ejde-1514	33	14	important	important	ADJ
ejde-1514	33	15	results	result	NOUN
ejde-1514	33	16	and	and	CCONJ
ejde-1514	33	17	properties	property	NOUN
ejde-1514	33	18	for	for	ADP
ejde-1514	33	19	green	green	PROPN
ejde-1514	33	20	’s	’s	PART
ejde-1514	33	21	functions	function	NOUN
ejde-1514	33	22	that	that	PRON
ejde-1514	33	23	will	will	AUX
ejde-1514	33	24	be	be	AUX
ejde-1514	33	25	essential	essential	ADJ
ejde-1514	33	26	in	in	ADP
ejde-1514	33	27	proving	prove	VERB
ejde-1514	33	28	the	the	DET
ejde-1514	33	29	existence	existence	NOUN
ejde-1514	33	30	of	of	ADP
ejde-1514	33	31	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	33	32	for	for	ADP
ejde-1514	33	33	problem	problem	NOUN
ejde-1514	33	34	(	(	PUNCT
ejde-1514	33	35	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	33	36	)	)	PUNCT
ejde-1514	33	37	–	–	PUNCT
ejde-1514	33	38	(	(	PUNCT
ejde-1514	33	39	1.3	1.3	NUM
ejde-1514	33	40	)	)	PUNCT
ejde-1514	33	41	.	.	PUNCT
ejde-1514	34	1	those	those	DET
ejde-1514	34	2	existence	existence	NOUN
ejde-1514	34	3	results	result	NOUN
ejde-1514	34	4	will	will	AUX
ejde-1514	34	5	be	be	AUX
ejde-1514	34	6	obtained	obtain	VERB
ejde-1514	34	7	through	through	ADP
ejde-1514	34	8	the	the	DET
ejde-1514	34	9	application	application	NOUN
ejde-1514	34	10	of	of	ADP
ejde-1514	34	11	general	general	ADJ
ejde-1514	34	12	fixed	fix	VERB
ejde-1514	34	13	point	point	NOUN
ejde-1514	34	14	theory	theory	NOUN
ejde-1514	34	15	showed	show	VERB
ejde-1514	34	16	in	in	ADP
ejde-1514	34	17	section	section	NOUN
ejde-1514	34	18	3	3	NUM
ejde-1514	34	19	.	.	PUNCT
ejde-1514	35	1	the	the	DET
ejde-1514	35	2	final	final	ADJ
ejde-1514	35	3	section	section	NOUN
ejde-1514	35	4	4	4	NUM
ejde-1514	35	5	is	be	AUX
ejde-1514	35	6	devoted	devote	VERB
ejde-1514	35	7	to	to	ADP
ejde-1514	35	8	the	the	DET
ejde-1514	35	9	proof	proof	NOUN
ejde-1514	35	10	of	of	ADP
ejde-1514	35	11	the	the	DET
ejde-1514	35	12	existence	existence	NOUN
ejde-1514	35	13	result	result	VERB
ejde-1514	35	14	.	.	PUNCT
ejde-1514	36	1	2	2	X
ejde-1514	36	2	.	.	X
ejde-1514	36	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-1514	36	4	:	:	PUNCT
ejde-1514	36	5	the	the	DET
ejde-1514	36	6	case	case	NOUN
ejde-1514	36	7	of	of	ADP
ejde-1514	36	8	a	a	DET
ejde-1514	36	9	single	single	ADJ
ejde-1514	36	10	equation	equation	NOUN
ejde-1514	36	11	to	to	PART
ejde-1514	36	12	show	show	VERB
ejde-1514	36	13	the	the	DET
ejde-1514	36	14	existence	existence	NOUN
ejde-1514	36	15	of	of	ADP
ejde-1514	36	16	solution	solution	NOUN
ejde-1514	36	17	for	for	ADP
ejde-1514	36	18	system	system	NOUN
ejde-1514	36	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	36	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	36	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	36	22	under	under	ADP
ejde-1514	36	23	the	the	DET
ejde-1514	36	24	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	36	25	navier	navier	NOUN
ejde-1514	36	26	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	36	27	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	36	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	36	29	1.3	1.3	NUM
ejde-1514	36	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	36	31	it	it	PRON
ejde-1514	36	32	seems	seem	VERB
ejde-1514	36	33	to	to	PART
ejde-1514	36	34	be	be	AUX
ejde-1514	36	35	convenient	convenient	ADJ
ejde-1514	36	36	to	to	PART
ejde-1514	36	37	study	study	VERB
ejde-1514	36	38	the	the	DET
ejde-1514	36	39	behavior	behavior	NOUN
ejde-1514	36	40	of	of	ADP
ejde-1514	36	41	the	the	DET
ejde-1514	36	42	problem	problem	NOUN
ejde-1514	36	43	∆2u+	∆2u+	NUM
ejde-1514	36	44	β∆u−	β∆u−	NOUN
ejde-1514	36	45	αu	αu	NOUN
ejde-1514	36	46	=	=	NOUN
ejde-1514	36	47	0	0	NUM
ejde-1514	36	48	in	in	ADP
ejde-1514	36	49	ω	ω	PROPN
ejde-1514	36	50	,	,	PUNCT
ejde-1514	36	51	u	u	NOUN
ejde-1514	36	52	=	=	PUNCT
ejde-1514	36	53	∆u	∆u	PROPN
ejde-1514	36	54	=	=	SYM
ejde-1514	36	55	0	0	NUM
ejde-1514	36	56	on	on	ADP
ejde-1514	36	57	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	36	58	,	,	PUNCT
ejde-1514	36	59	(	(	PUNCT
ejde-1514	36	60	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	36	61	)	)	PUNCT
ejde-1514	36	62	where	where	SCONJ
ejde-1514	36	63	α	α	NOUN
ejde-1514	36	64	and	and	CCONJ
ejde-1514	36	65	β	β	X
ejde-1514	36	66	are	be	AUX
ejde-1514	36	67	two	two	NUM
ejde-1514	36	68	real	real	ADJ
ejde-1514	36	69	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	36	70	.	.	PUNCT
ejde-1514	37	1	as	as	ADP
ejde-1514	37	2	a	a	DET
ejde-1514	37	3	first	first	ADJ
ejde-1514	37	4	step	step	NOUN
ejde-1514	37	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	37	6	observe	observe	VERB
ejde-1514	37	7	that	that	SCONJ
ejde-1514	37	8	this	this	DET
ejde-1514	37	9	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	37	10	order	order	NOUN
ejde-1514	37	11	equation	equation	NOUN
ejde-1514	37	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	37	13	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	37	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	37	15	can	can	AUX
ejde-1514	37	16	be	be	AUX
ejde-1514	37	17	rewritten	rewrite	VERB
ejde-1514	37	18	as	as	ADP
ejde-1514	37	19	lµ1lµ2u	lµ1lµ2u	NOUN
ejde-1514	37	20	:	:	PUNCT
ejde-1514	37	21	=	=	SYM
ejde-1514	37	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	37	23	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	37	24	µ1)(−∆−	µ1)(−∆−	PROPN
ejde-1514	37	25	µ2)u	µ2)u	VERB
ejde-1514	37	26	=	=	SYM
ejde-1514	37	27	0	0	NUM
ejde-1514	37	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	37	29	with	with	ADP
ejde-1514	37	30	β	β	X
ejde-1514	37	31	=	=	SYM
ejde-1514	37	32	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	37	33	+	+	CCONJ
ejde-1514	37	34	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	37	35	and	and	CCONJ
ejde-1514	37	36	α	α	NOUN
ejde-1514	37	37	=	=	PUNCT
ejde-1514	38	1	−µ1µ2	−µ1µ2	PROPN
ejde-1514	38	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	38	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	38	4	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	38	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	38	6	the	the	DET
ejde-1514	38	7	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	38	8	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	38	9	and	and	CCONJ
ejde-1514	38	10	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	38	11	are	be	AUX
ejde-1514	38	12	also	also	ADV
ejde-1514	38	13	the	the	DET
ejde-1514	38	14	roots	root	NOUN
ejde-1514	38	15	of	of	ADP
ejde-1514	38	16	the	the	DET
ejde-1514	38	17	polynomial	polynomial	ADJ
ejde-1514	38	18	p	p	X
ejde-1514	38	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	38	20	µ	µ	NOUN
ejde-1514	38	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	38	22	=	=	VERB
ejde-1514	39	1	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	39	2	−	−	PROPN
ejde-1514	39	3	βµ−	βµ−	PUNCT
ejde-1514	39	4	α	α	NOUN
ejde-1514	39	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	39	6	so	so	SCONJ
ejde-1514	39	7	that	that	SCONJ
ejde-1514	39	8	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	39	9	=	=	SYM
ejde-1514	39	10	β	β	X
ejde-1514	39	11	+	+	CCONJ
ejde-1514	39	12	√	√	PROPN
ejde-1514	39	13	β2	β2	NOUN
ejde-1514	39	14	+	+	CCONJ
ejde-1514	39	15	4α	4α	NOUN
ejde-1514	39	16	2	2	NUM
ejde-1514	39	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	39	18	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	39	19	=	=	PUNCT
ejde-1514	39	20	β	β	PART
ejde-1514	39	21	−	−	NOUN
ejde-1514	39	22	√	√	PROPN
ejde-1514	40	1	β2	β2	NOUN
ejde-1514	40	2	+	+	CCONJ
ejde-1514	40	3	4α	4α	NOUN
ejde-1514	40	4	2	2	NUM
ejde-1514	40	5	.	.	PUNCT
ejde-1514	41	1	we	we	PRON
ejde-1514	41	2	observe	observe	VERB
ejde-1514	41	3	that	that	SCONJ
ejde-1514	41	4	these	these	DET
ejde-1514	41	5	kinds	kind	NOUN
ejde-1514	41	6	of	of	ADP
ejde-1514	41	7	algebraic	algebraic	ADJ
ejde-1514	41	8	computations	computation	NOUN
ejde-1514	41	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	41	10	as	as	ADV
ejde-1514	41	11	well	well	ADV
ejde-1514	41	12	as	as	ADP
ejde-1514	41	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	41	14	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	41	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	41	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	41	17	are	be	AUX
ejde-1514	41	18	relatively	relatively	ADV
ejde-1514	41	19	standard	standard	ADJ
ejde-1514	41	20	for	for	ADP
ejde-1514	41	21	this	this	DET
ejde-1514	41	22	type	type	NOUN
ejde-1514	41	23	of	of	ADP
ejde-1514	41	24	problems	problem	NOUN
ejde-1514	41	25	;	;	PUNCT
ejde-1514	41	26	see	see	VERB
ejde-1514	41	27	several	several	ADJ
ejde-1514	41	28	examples	example	NOUN
ejde-1514	41	29	in	in	ADP
ejde-1514	41	30	the	the	DET
ejde-1514	41	31	book	book	NOUN
ejde-1514	41	32	of	of	ADP
ejde-1514	41	33	peletier	peletier	NOUN
ejde-1514	41	34	-	-	PUNCT
ejde-1514	41	35	troy	troy	NOUN
ejde-1514	41	36	[	[	X
ejde-1514	41	37	12	12	NUM
ejde-1514	41	38	]	]	PUNCT
ejde-1514	41	39	.	.	PUNCT
ejde-1514	42	1	it	it	PRON
ejde-1514	42	2	will	will	AUX
ejde-1514	42	3	be	be	AUX
ejde-1514	42	4	also	also	ADV
ejde-1514	42	5	useful	useful	ADJ
ejde-1514	42	6	to	to	PART
ejde-1514	42	7	introduce	introduce	VERB
ejde-1514	42	8	λk	λk	ADP
ejde-1514	42	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	42	10	the	the	DET
ejde-1514	42	11	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	42	12	of	of	ADP
ejde-1514	42	13	the	the	DET
ejde-1514	42	14	laplace	laplace	NOUN
ejde-1514	42	15	operator	operator	NOUN
ejde-1514	42	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	42	17	−∆	−∆	PROPN
ejde-1514	42	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	42	19	under	under	ADP
ejde-1514	42	20	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	42	21	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	42	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	42	23	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	42	24	in	in	ADP
ejde-1514	42	25	ω	ω	PROPN
ejde-1514	42	26	.	.	PUNCT
ejde-1514	43	1	for	for	ADP
ejde-1514	43	2	such	such	DET
ejde-1514	43	3	an	an	DET
ejde-1514	43	4	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-1514	43	5	problem	problem	NOUN
ejde-1514	43	6	we	we	PRON
ejde-1514	43	7	actually	actually	ADV
ejde-1514	43	8	have	have	VERB
ejde-1514	43	9	a	a	DET
ejde-1514	43	10	family	family	NOUN
ejde-1514	43	11	of	of	ADP
ejde-1514	43	12	infinitely	infinitely	ADV
ejde-1514	43	13	many	many	ADJ
ejde-1514	43	14	positive	positive	ADJ
ejde-1514	43	15	ordered	order	VERB
ejde-1514	43	16	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	43	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	43	18	i.e.	i.e.	X
ejde-1514	43	19	0	0	X
ejde-1514	43	20	<	<	X
ejde-1514	43	21	λ1	λ1	ADJ
ejde-1514	43	22	≤	≤	NUM
ejde-1514	43	23	λ2	λ2	NOUN
ejde-1514	43	24	≤	≤	NOUN
ejde-1514	43	25	·	·	PUNCT
ejde-1514	43	26	·	·	PUNCT
ejde-1514	43	27	·	·	PUNCT
ejde-1514	44	1	≤	≤	NUM
ejde-1514	44	2	λk	λk	ADP
ejde-1514	44	3	≤	≤	NOUN
ejde-1514	44	4	.	.	PUNCT
ejde-1514	44	5	.	.	PUNCT
ejde-1514	45	1	.	.	PUNCT
ejde-1514	46	1	associated	associate	VERB
ejde-1514	46	2	with	with	ADP
ejde-1514	46	3	a	a	DET
ejde-1514	46	4	complete	complete	ADJ
ejde-1514	46	5	family	family	NOUN
ejde-1514	46	6	of	of	ADP
ejde-1514	46	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	46	8	{	{	PUNCT
ejde-1514	46	9	ϕk}∞k=1	ϕk}∞k=1	X
ejde-1514	46	10	.	.	PUNCT
ejde-1514	47	1	now	now	ADV
ejde-1514	47	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	47	3	for	for	ADP
ejde-1514	47	4	the	the	DET
ejde-1514	47	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1514	47	6	problem	problem	NOUN
ejde-1514	47	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	47	8	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	47	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	47	10	we	we	PRON
ejde-1514	47	11	can	can	AUX
ejde-1514	47	12	establish	establish	VERB
ejde-1514	47	13	the	the	DET
ejde-1514	47	14	following	following	ADJ
ejde-1514	47	15	result	result	NOUN
ejde-1514	47	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	47	17	providing	provide	VERB
ejde-1514	47	18	us	we	PRON
ejde-1514	47	19	with	with	ADP
ejde-1514	47	20	an	an	DET
ejde-1514	47	21	existence	existence	NOUN
ejde-1514	47	22	condition	condition	NOUN
ejde-1514	47	23	for	for	ADP
ejde-1514	47	24	non	non	ADJ
ejde-1514	47	25	-	-	ADJ
ejde-1514	47	26	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	47	27	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	47	28	in	in	ADP
ejde-1514	47	29	terms	term	NOUN
ejde-1514	47	30	of	of	ADP
ejde-1514	47	31	the	the	DET
ejde-1514	47	32	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	47	33	α	α	NOUN
ejde-1514	47	34	and	and	CCONJ
ejde-1514	48	1	β	β	X
ejde-1514	48	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	49	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1514	49	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	49	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	50	1	the	the	DET
ejde-1514	50	2	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1514	50	3	problem	problem	NOUN
ejde-1514	50	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	50	5	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	50	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	50	7	has	have	VERB
ejde-1514	50	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	50	9	at	at	ADP
ejde-1514	50	10	least	least	ADJ
ejde-1514	50	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	50	12	a	a	DET
ejde-1514	50	13	non	non	ADJ
ejde-1514	50	14	-	-	ADJ
ejde-1514	50	15	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	50	16	solution	solution	NOUN
ejde-1514	50	17	if	if	SCONJ
ejde-1514	50	18	and	and	CCONJ
ejde-1514	50	19	only	only	ADV
ejde-1514	50	20	if	if	SCONJ
ejde-1514	50	21	the	the	DET
ejde-1514	50	22	pair	pair	NOUN
ejde-1514	50	23	(	(	PUNCT
ejde-1514	50	24	α	α	NOUN
ejde-1514	50	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	50	26	β	β	NOUN
ejde-1514	50	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	50	28	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1514	50	29	α	α	PRON
ejde-1514	50	30	λ2k	λ2k	NOUN
ejde-1514	51	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	51	2	β	β	X
ejde-1514	51	3	λk	λk	X
ejde-1514	51	4	=	=	SYM
ejde-1514	51	5	1	1	NUM
ejde-1514	51	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	51	7	for	for	ADP
ejde-1514	51	8	some	some	DET
ejde-1514	51	9	k	k	PROPN
ejde-1514	51	10	∈	∈	PROPN
ejde-1514	51	11	n.	n.	NOUN
ejde-1514	51	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	51	13	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	51	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	51	15	proof	proof	NOUN
ejde-1514	51	16	.	.	PUNCT
ejde-1514	52	1	first	first	ADV
ejde-1514	52	2	of	of	ADP
ejde-1514	52	3	all	all	PRON
ejde-1514	52	4	observe	observe	VERB
ejde-1514	52	5	that	that	SCONJ
ejde-1514	52	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	52	7	instead	instead	ADV
ejde-1514	52	8	of	of	ADP
ejde-1514	52	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	52	10	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	52	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	52	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	52	13	or	or	CCONJ
ejde-1514	52	14	(	(	PUNCT
ejde-1514	52	15	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	52	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	52	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	52	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	52	19	we	we	PRON
ejde-1514	52	20	might	might	AUX
ejde-1514	52	21	consider	consider	VERB
ejde-1514	52	22	the	the	DET
ejde-1514	52	23	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1514	52	24	pair	pair	NOUN
ejde-1514	52	25	of	of	ADP
ejde-1514	52	26	helmholz	helmholz	PROPN
ejde-1514	52	27	equations	equation	NOUN
ejde-1514	52	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	52	29	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	52	30	µ2)u	µ2)u	PROPN
ejde-1514	52	31	=	=	SYM
ejde-1514	52	32	v	v	NOUN
ejde-1514	52	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	52	34	(	(	PUNCT
ejde-1514	52	35	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	52	36	µ1)v	µ1)v	VERB
ejde-1514	52	37	=	=	NOUN
ejde-1514	52	38	0	0	X
ejde-1514	52	39	.	.	PUNCT
ejde-1514	53	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	53	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1514	53	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	53	4	if	if	SCONJ
ejde-1514	53	5	(	(	PUNCT
ejde-1514	53	6	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	53	7	)	)	PUNCT
ejde-1514	53	8	has	have	VERB
ejde-1514	53	9	a	a	DET
ejde-1514	53	10	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1514	53	11	solution	solution	NOUN
ejde-1514	53	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	53	13	then	then	ADV
ejde-1514	53	14	it	it	PRON
ejde-1514	53	15	is	be	AUX
ejde-1514	53	16	clear	clear	ADJ
ejde-1514	53	17	that	that	SCONJ
ejde-1514	53	18	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	53	19	=	=	SYM
ejde-1514	53	20	λk	λk	NOUN
ejde-1514	53	21	or	or	CCONJ
ejde-1514	53	22	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	53	23	=	=	SYM
ejde-1514	53	24	λk	λk	PROPN
ejde-1514	53	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	53	26	for	for	ADP
ejde-1514	53	27	some	some	DET
ejde-1514	53	28	k	k	PROPN
ejde-1514	53	29	∈	∈	PROPN
ejde-1514	53	30	n.	n.	PROPN
ejde-1514	53	31	indeed	indeed	ADV
ejde-1514	53	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	53	33	assume	assume	VERB
ejde-1514	53	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	53	35	by	by	ADP
ejde-1514	53	36	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	53	37	,	,	PUNCT
ejde-1514	53	38	that	that	PRON
ejde-1514	53	39	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	53	40	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	53	41	λk	λk	ADV
ejde-1514	54	1	and	and	CCONJ
ejde-1514	54	2	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	54	3	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	54	4	λk	λk	ADP
ejde-1514	54	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	54	6	for	for	ADP
ejde-1514	54	7	all	all	DET
ejde-1514	54	8	k	k	PROPN
ejde-1514	54	9	∈	∈	PROPN
ejde-1514	54	10	n.	n.	NOUN
ejde-1514	54	11	in	in	ADP
ejde-1514	54	12	that	that	DET
ejde-1514	54	13	case	case	NOUN
ejde-1514	54	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	54	15	the	the	DET
ejde-1514	54	16	second	second	ADJ
ejde-1514	54	17	equation	equation	NOUN
ejde-1514	54	18	in	in	ADP
ejde-1514	54	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	54	20	2.4	2.4	NUM
ejde-1514	54	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	54	22	has	have	VERB
ejde-1514	54	23	only	only	ADV
ejde-1514	54	24	the	the	DET
ejde-1514	54	25	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	54	26	solution	solution	NOUN
ejde-1514	54	27	and	and	CCONJ
ejde-1514	54	28	consequently	consequently	ADV
ejde-1514	54	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	54	30	the	the	DET
ejde-1514	54	31	solution	solution	NOUN
ejde-1514	54	32	for	for	ADP
ejde-1514	54	33	the	the	DET
ejde-1514	54	34	first	first	ADJ
ejde-1514	54	35	equation	equation	NOUN
ejde-1514	54	36	is	be	AUX
ejde-1514	54	37	also	also	ADV
ejde-1514	54	38	only	only	ADV
ejde-1514	54	39	the	the	DET
ejde-1514	54	40	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	54	41	one	one	NOUN
ejde-1514	54	42	.	.	PUNCT
ejde-1514	55	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	55	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	55	3	if	if	SCONJ
ejde-1514	55	4	ϕk	ϕk	PROPN
ejde-1514	55	5	denotes	denote	VERB
ejde-1514	55	6	the	the	DET
ejde-1514	55	7	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	55	8	for	for	ADP
ejde-1514	55	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	55	10	−∆	−∆	NOUN
ejde-1514	55	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	55	12	in	in	ADP
ejde-1514	55	13	ω	ω	NUM
ejde-1514	55	14	under	under	ADP
ejde-1514	55	15	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	55	16	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	55	17	n	n	CCONJ
ejde-1514	55	18	-	-	PUNCT
ejde-1514	55	19	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	55	20	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	55	21	-	-	PUNCT
ejde-1514	55	22	order	order	NOUN
ejde-1514	55	23	systems	system	NOUN
ejde-1514	55	24	3	3	NUM
ejde-1514	55	25	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	55	26	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	55	27	associated	associate	VERB
ejde-1514	55	28	with	with	ADP
ejde-1514	55	29	the	the	DET
ejde-1514	55	30	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1514	55	31	λk	λk	PROPN
ejde-1514	55	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	55	33	then	then	ADV
ejde-1514	55	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	55	35	in	in	ADP
ejde-1514	55	36	any	any	DET
ejde-1514	55	37	case	case	NOUN
ejde-1514	55	38	,	,	PUNCT
ejde-1514	55	39	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	55	40	=	=	SYM
ejde-1514	55	41	λk	λk	NOUN
ejde-1514	55	42	or	or	CCONJ
ejde-1514	55	43	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	55	44	=	=	SYM
ejde-1514	55	45	λk	λk	PROPN
ejde-1514	55	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	55	47	the	the	DET
ejde-1514	55	48	function	function	NOUN
ejde-1514	55	49	u	u	NOUN
ejde-1514	56	1	=	=	NOUN
ejde-1514	56	2	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-1514	56	3	is	be	AUX
ejde-1514	56	4	a	a	DET
ejde-1514	56	5	solution	solution	NOUN
ejde-1514	56	6	to	to	ADP
ejde-1514	56	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	56	8	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	56	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	56	10	and	and	CCONJ
ejde-1514	56	11	hence	hence	ADV
ejde-1514	56	12	to	to	ADP
ejde-1514	56	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	56	14	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	56	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	56	16	.	.	PUNCT
ejde-1514	57	1	so	so	ADV
ejde-1514	57	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	57	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	57	4	finally	finally	ADV
ejde-1514	57	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	57	6	substituting	substitute	VERB
ejde-1514	57	7	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-1514	57	8	into	into	ADP
ejde-1514	57	9	the	the	DET
ejde-1514	57	10	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	57	11	order	order	NOUN
ejde-1514	57	12	equation	equation	NOUN
ejde-1514	57	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	57	14	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	57	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	57	16	we	we	PRON
ejde-1514	57	17	arrive	arrive	VERB
ejde-1514	57	18	at	at	ADP
ejde-1514	57	19	the	the	DET
ejde-1514	57	20	equality	equality	NOUN
ejde-1514	57	21	(	(	PUNCT
ejde-1514	57	22	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	57	23	)	)	PUNCT
ejde-1514	57	24	.	.	PUNCT
ejde-1514	58	1	conversely	conversely	ADV
ejde-1514	58	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	58	3	if	if	SCONJ
ejde-1514	58	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	58	5	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	58	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	58	7	holds	hold	VERB
ejde-1514	58	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	58	9	it	it	PRON
ejde-1514	58	10	is	be	AUX
ejde-1514	58	11	straightforward	straightforward	ADJ
ejde-1514	58	12	to	to	PART
ejde-1514	58	13	see	see	VERB
ejde-1514	58	14	that	that	DET
ejde-1514	58	15	u	u	NOUN
ejde-1514	59	1	=	=	PUNCT
ejde-1514	59	2	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-1514	59	3	is	be	AUX
ejde-1514	59	4	a	a	DET
ejde-1514	59	5	solution	solution	NOUN
ejde-1514	59	6	to	to	ADP
ejde-1514	59	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	59	8	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	59	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	59	10	.	.	PUNCT
ejde-1514	60	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	60	2	remark	remark	NOUN
ejde-1514	60	3	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	60	4	.	.	PUNCT
ejde-1514	61	1	observe	observe	VERB
ejde-1514	61	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	61	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	61	4	as	as	ADP
ejde-1514	61	5	in	in	ADP
ejde-1514	61	6	[	[	X
ejde-1514	61	7	3	3	NUM
ejde-1514	61	8	]	]	PUNCT
ejde-1514	61	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	61	10	without	without	ADP
ejde-1514	61	11	further	further	ADJ
ejde-1514	61	12	assumptions	assumption	NOUN
ejde-1514	61	13	on	on	ADP
ejde-1514	61	14	α	α	PROPN
ejde-1514	61	15	and	and	CCONJ
ejde-1514	61	16	β	β	X
ejde-1514	61	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	61	18	the	the	DET
ejde-1514	61	19	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-1514	61	20	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	61	21	and	and	CCONJ
ejde-1514	61	22	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	61	23	may	may	AUX
ejde-1514	61	24	be	be	AUX
ejde-1514	61	25	complex	complex	ADJ
ejde-1514	61	26	.	.	PUNCT
ejde-1514	62	1	in	in	ADP
ejde-1514	62	2	addition	addition	NOUN
ejde-1514	62	3	to	to	ADP
ejde-1514	62	4	the	the	DET
ejde-1514	62	5	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	62	6	problem	problem	NOUN
ejde-1514	62	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	62	8	2.1	2.1	NUM
ejde-1514	62	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	62	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	62	11	we	we	PRON
ejde-1514	62	12	consider	consider	VERB
ejde-1514	62	13	the	the	DET
ejde-1514	62	14	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-1514	62	15	problem	problem	NOUN
ejde-1514	62	16	∆2u+	∆2u+	NUM
ejde-1514	62	17	β∆u−	β∆u−	NOUN
ejde-1514	62	18	αu	αu	ADP
ejde-1514	62	19	=	=	SYM
ejde-1514	62	20	h(x	h(x	PROPN
ejde-1514	62	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	62	22	in	in	ADP
ejde-1514	62	23	ω	ω	NUM
ejde-1514	62	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	62	25	u	u	NOUN
ejde-1514	62	26	=	=	PUNCT
ejde-1514	62	27	∆u	∆u	PROPN
ejde-1514	62	28	=	=	SYM
ejde-1514	62	29	0	0	NUM
ejde-1514	62	30	on	on	ADP
ejde-1514	62	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	62	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	62	33	(	(	PUNCT
ejde-1514	62	34	2.5	2.5	NUM
ejde-1514	62	35	)	)	PUNCT
ejde-1514	62	36	for	for	ADP
ejde-1514	62	37	h	h	NOUN
ejde-1514	62	38	positive	positive	ADJ
ejde-1514	62	39	and	and	CCONJ
ejde-1514	62	40	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	62	41	in	in	ADP
ejde-1514	62	42	ω	ω	NUM
ejde-1514	62	43	.	.	PUNCT
ejde-1514	63	1	we	we	PRON
ejde-1514	63	2	will	will	AUX
ejde-1514	63	3	impose	impose	VERB
ejde-1514	63	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	63	5	α	α	PROPN
ejde-1514	63	6	and	and	CCONJ
ejde-1514	63	7	β	β	AUX
ejde-1514	63	8	verify	verify	VERB
ejde-1514	63	9	β	β	X
ejde-1514	63	10	<	<	X
ejde-1514	63	11	2λ1	2λ1	NUM
ejde-1514	63	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	63	13	and	and	CCONJ
ejde-1514	63	14	β2	β2	VERB
ejde-1514	63	15	≥	≥	NOUN
ejde-1514	63	16	−4α	−4α	PROPN
ejde-1514	63	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	64	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	64	2	2.6	2.6	NUM
ejde-1514	64	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	64	4	these	these	DET
ejde-1514	64	5	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	64	6	imply	imply	VERB
ejde-1514	64	7	that	that	PRON
ejde-1514	64	8	µ1	µ1	PROPN
ejde-1514	64	9	≥	≥	NOUN
ejde-1514	64	10	µ2	µ2	PROPN
ejde-1514	64	11	>	>	X
ejde-1514	64	12	−λ1	−λ1	PROPN
ejde-1514	64	13	.	.	PUNCT
ejde-1514	65	1	in	in	ADP
ejde-1514	65	2	particular	particular	ADJ
ejde-1514	65	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	65	4	λk	λk	ADP
ejde-1514	65	5	+	+	X
ejde-1514	65	6	µ	µ	X
ejde-1514	65	7	>	>	X
ejde-1514	65	8	0	0	NUM
ejde-1514	65	9	.	.	PUNCT
ejde-1514	66	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	66	2	we	we	PRON
ejde-1514	66	3	denote	denote	VERB
ejde-1514	66	4	by	by	ADP
ejde-1514	66	5	gi(x	gi(x	PROPN
ejde-1514	66	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	66	7	τ	τ	PROPN
ejde-1514	66	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	66	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	66	10	the	the	DET
ejde-1514	66	11	green	green	NOUN
ejde-1514	66	12	’s	’s	PART
ejde-1514	66	13	function	function	NOUN
ejde-1514	66	14	of	of	ADP
ejde-1514	66	15	the	the	DET
ejde-1514	66	16	linear	linear	PROPN
ejde-1514	66	17	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	66	18	problem	problem	NOUN
ejde-1514	66	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	66	20	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	66	21	µi)u	µi)u	NOUN
ejde-1514	66	22	=	=	NOUN
ejde-1514	66	23	0	0	NUM
ejde-1514	66	24	in	in	ADP
ejde-1514	66	25	ω	ω	NUM
ejde-1514	66	26	together	together	ADV
ejde-1514	66	27	with	with	ADP
ejde-1514	66	28	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	66	29	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	66	30	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	66	31	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	66	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	66	33	then	then	ADV
ejde-1514	66	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	66	35	using	use	VERB
ejde-1514	66	36	again	again	ADV
ejde-1514	66	37	the	the	DET
ejde-1514	66	38	expression	expression	NOUN
ejde-1514	66	39	(	(	PUNCT
ejde-1514	66	40	2.2	2.2	NUM
ejde-1514	66	41	)	)	PUNCT
ejde-1514	66	42	,	,	PUNCT
ejde-1514	66	43	we	we	PRON
ejde-1514	66	44	have	have	VERB
ejde-1514	66	45	that	that	SCONJ
ejde-1514	66	46	the	the	DET
ejde-1514	66	47	solution	solution	NOUN
ejde-1514	66	48	of	of	ADP
ejde-1514	66	49	(	(	PUNCT
ejde-1514	66	50	2.5	2.5	NUM
ejde-1514	66	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	66	52	is	be	AUX
ejde-1514	66	53	unique	unique	ADJ
ejde-1514	66	54	and	and	CCONJ
ejde-1514	66	55	it	it	PRON
ejde-1514	66	56	can	can	AUX
ejde-1514	66	57	be	be	AUX
ejde-1514	66	58	expressed	express	VERB
ejde-1514	66	59	as	as	ADP
ejde-1514	66	60	u(x	u(x	NOUN
ejde-1514	66	61	)	)	PUNCT
ejde-1514	67	1	=	=	SYM
ejde-1514	68	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	69	1	ω	ω	NUM
ejde-1514	69	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	69	3	ω	ω	PROPN
ejde-1514	69	4	g1(x	g1(x	PROPN
ejde-1514	69	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	69	6	τ)g2(τ	τ)g2(τ	NOUN
ejde-1514	69	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	69	8	s)h(s	s)h(s	NOUN
ejde-1514	69	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	69	10	ds	ds	ADJ
ejde-1514	69	11	dτ	dτ	NOUN
ejde-1514	69	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	69	13	x	x	PROPN
ejde-1514	69	14	∈	∈	PROPN
ejde-1514	69	15	ω	ω	PROPN
ejde-1514	69	16	.	.	PUNCT
ejde-1514	70	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	70	2	2.7	2.7	NUM
ejde-1514	70	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	70	4	observe	observe	VERB
ejde-1514	70	5	that	that	SCONJ
ejde-1514	70	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	70	7	due	due	ADP
ejde-1514	70	8	to	to	ADP
ejde-1514	70	9	the	the	DET
ejde-1514	70	10	fredholm	fredholm	NOUN
ejde-1514	70	11	alternative	alternative	NOUN
ejde-1514	70	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	70	13	the	the	DET
ejde-1514	70	14	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-1514	70	15	problem	problem	NOUN
ejde-1514	70	16	has	have	VERB
ejde-1514	70	17	a	a	DET
ejde-1514	70	18	unique	unique	ADJ
ejde-1514	70	19	solution	solution	NOUN
ejde-1514	70	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	70	21	which	which	PRON
ejde-1514	70	22	is	be	AUX
ejde-1514	70	23	given	give	VERB
ejde-1514	70	24	by	by	ADP
ejde-1514	70	25	the	the	DET
ejde-1514	70	26	green	green	PROPN
ejde-1514	70	27	’s	’s	PART
ejde-1514	70	28	function	function	NOUN
ejde-1514	70	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	70	30	2.7	2.7	NUM
ejde-1514	70	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	70	32	if	if	SCONJ
ejde-1514	70	33	(	(	PUNCT
ejde-1514	70	34	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	70	35	)	)	PUNCT
ejde-1514	70	36	fails	fail	VERB
ejde-1514	70	37	.	.	PUNCT
ejde-1514	71	1	this	this	PRON
ejde-1514	71	2	indeed	indeed	ADV
ejde-1514	71	3	happens	happen	VERB
ejde-1514	71	4	if	if	SCONJ
ejde-1514	71	5	µi	µi	PROPN
ejde-1514	71	6	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	71	7	−λk	−λk	VERB
ejde-1514	71	8	which	which	PRON
ejde-1514	71	9	implies	imply	VERB
ejde-1514	71	10	that	that	SCONJ
ejde-1514	71	11	the	the	DET
ejde-1514	71	12	operators	operator	NOUN
ejde-1514	71	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	71	14	−∆−	−∆−	AUX
ejde-1514	71	15	µi	µi	INTJ
ejde-1514	71	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	71	17	do	do	AUX
ejde-1514	71	18	not	not	PART
ejde-1514	71	19	have	have	VERB
ejde-1514	71	20	the	the	DET
ejde-1514	71	21	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1514	71	22	0	0	PUNCT
ejde-1514	71	23	and	and	CCONJ
ejde-1514	71	24	hence	hence	ADV
ejde-1514	71	25	they	they	PRON
ejde-1514	71	26	are	be	AUX
ejde-1514	71	27	invertible	invertible	ADJ
ejde-1514	71	28	.	.	PUNCT
ejde-1514	72	1	we	we	PRON
ejde-1514	72	2	now	now	ADV
ejde-1514	72	3	prove	prove	VERB
ejde-1514	72	4	some	some	DET
ejde-1514	72	5	important	important	ADJ
ejde-1514	72	6	properties	property	NOUN
ejde-1514	72	7	of	of	ADP
ejde-1514	72	8	the	the	DET
ejde-1514	72	9	green	green	PROPN
ejde-1514	72	10	’s	’s	PART
ejde-1514	72	11	function	function	NOUN
ejde-1514	72	12	that	that	PRON
ejde-1514	72	13	will	will	AUX
ejde-1514	72	14	play	play	VERB
ejde-1514	72	15	a	a	DET
ejde-1514	72	16	crucial	crucial	ADJ
ejde-1514	72	17	role	role	NOUN
ejde-1514	72	18	in	in	ADP
ejde-1514	72	19	our	our	PRON
ejde-1514	72	20	analysis	analysis	NOUN
ejde-1514	72	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	73	1	note	note	VERB
ejde-1514	73	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	73	3	in	in	ADP
ejde-1514	73	4	general	general	ADJ
ejde-1514	73	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	73	6	for	for	ADP
ejde-1514	73	7	the	the	DET
ejde-1514	73	8	problem	problem	NOUN
ejde-1514	73	9	lu	lu	NOUN
ejde-1514	73	10	=	=	SYM
ejde-1514	73	11	f	f	PROPN
ejde-1514	73	12	in	in	ADP
ejde-1514	73	13	ω	ω	PROPN
ejde-1514	73	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	73	15	u	u	NOUN
ejde-1514	73	16	=	=	NOUN
ejde-1514	73	17	0	0	NUM
ejde-1514	73	18	on	on	ADP
ejde-1514	73	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	73	20	(	(	PUNCT
ejde-1514	73	21	2.8	2.8	NUM
ejde-1514	73	22	)	)	PUNCT
ejde-1514	73	23	with	with	ADP
ejde-1514	73	24	l	l	PROPN
ejde-1514	73	25	a	a	DET
ejde-1514	73	26	second	second	ADJ
ejde-1514	73	27	order	order	NOUN
ejde-1514	73	28	differential	differential	NOUN
ejde-1514	73	29	operator	operator	NOUN
ejde-1514	73	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	73	31	self	self	NOUN
ejde-1514	73	32	-	-	PUNCT
ejde-1514	73	33	adjoint	adjoint	NOUN
ejde-1514	73	34	to	to	PART
ejde-1514	73	35	have	have	VERB
ejde-1514	73	36	some	some	DET
ejde-1514	73	37	extra	extra	ADJ
ejde-1514	73	38	properties	property	NOUN
ejde-1514	73	39	)	)	PUNCT
ejde-1514	73	40	we	we	PRON
ejde-1514	73	41	find	find	VERB
ejde-1514	73	42	a	a	DET
ejde-1514	73	43	solution	solution	NOUN
ejde-1514	73	44	to	to	ADP
ejde-1514	73	45	(	(	PUNCT
ejde-1514	73	46	2.8	2.8	NUM
ejde-1514	73	47	)	)	PUNCT
ejde-1514	73	48	as	as	ADP
ejde-1514	73	49	u(x	u(x	NOUN
ejde-1514	73	50	)	)	PUNCT
ejde-1514	73	51	=	=	PUNCT
ejde-1514	74	1	l−1[f	l−1[f	NOUN
ejde-1514	74	2	]	]	PUNCT
ejde-1514	74	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	74	4	x	x	X
ejde-1514	74	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	74	6	=	=	SYM
ejde-1514	75	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	75	2	ω	ω	NUM
ejde-1514	75	3	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	75	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	75	5	τ)f(τ)dτ	τ)f(τ)dτ	PROPN
ejde-1514	75	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	75	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	75	8	2.9	2.9	NUM
ejde-1514	75	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	75	10	in	in	ADP
ejde-1514	75	11	terms	term	NOUN
ejde-1514	75	12	of	of	ADP
ejde-1514	75	13	the	the	DET
ejde-1514	75	14	green	green	PROPN
ejde-1514	75	15	’s	’s	PART
ejde-1514	75	16	function	function	PROPN
ejde-1514	75	17	g.	g.	PROPN
ejde-1514	76	1	thus	thus	ADV
ejde-1514	76	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	76	3	the	the	DET
ejde-1514	76	4	existence	existence	NOUN
ejde-1514	76	5	of	of	ADP
ejde-1514	76	6	a	a	DET
ejde-1514	76	7	green	green	PROPN
ejde-1514	76	8	’s	’s	PART
ejde-1514	76	9	function	function	NOUN
ejde-1514	76	10	is	be	AUX
ejde-1514	76	11	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1514	76	12	to	to	ADP
ejde-1514	76	13	that	that	PRON
ejde-1514	76	14	of	of	ADP
ejde-1514	76	15	a	a	DET
ejde-1514	76	16	unique	unique	ADJ
ejde-1514	76	17	solution	solution	NOUN
ejde-1514	76	18	of	of	ADP
ejde-1514	76	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	76	20	2.8	2.8	NUM
ejde-1514	76	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	76	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	77	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	77	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	77	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	78	1	for	for	ADP
ejde-1514	78	2	all	all	DET
ejde-1514	78	3	x	x	NOUN
ejde-1514	78	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	78	5	τ	τ	PROPN
ejde-1514	78	6	∈	∈	PROPN
ejde-1514	78	7	ω	ω	PROPN
ejde-1514	78	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	78	9	the	the	DET
ejde-1514	78	10	green	green	NOUN
ejde-1514	78	11	’s	’s	PART
ejde-1514	78	12	function	function	NOUN
ejde-1514	78	13	g	g	PROPN
ejde-1514	78	14	associated	associate	VERB
ejde-1514	78	15	with	with	ADP
ejde-1514	78	16	the	the	DET
ejde-1514	78	17	differential	differential	ADJ
ejde-1514	78	18	operator	operator	NOUN
ejde-1514	78	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	78	20	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	78	21	µ	µ	X
ejde-1514	78	22	)	)	PUNCT
ejde-1514	78	23	with	with	ADP
ejde-1514	78	24	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	78	25	boundary	boundary	PROPN
ejde-1514	78	26	condition	condition	NOUN
ejde-1514	78	27	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1514	78	28	the	the	DET
ejde-1514	78	29	following	follow	VERB
ejde-1514	78	30	properties	property	NOUN
ejde-1514	78	31	:	:	PUNCT
ejde-1514	78	32	(	(	PUNCT
ejde-1514	78	33	i	i	NOUN
ejde-1514	78	34	)	)	PUNCT
ejde-1514	78	35	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	78	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	78	37	τ	τ	X
ejde-1514	78	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	1	=	=	SYM
ejde-1514	79	2	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	79	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	4	x	x	NOUN
ejde-1514	79	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	6	and	and	CCONJ
ejde-1514	79	7	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	79	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	9	τ	τ	X
ejde-1514	79	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	11	>	>	X
ejde-1514	79	12	0	0	NUM
ejde-1514	79	13	;	;	PUNCT
ejde-1514	79	14	(	(	PUNCT
ejde-1514	79	15	ii	ii	NOUN
ejde-1514	79	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	17	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	79	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	19	τ	τ	NOUN
ejde-1514	79	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	21	≤	≤	PUNCT
ejde-1514	79	22	c	c	NOUN
ejde-1514	79	23	√	√	PROPN
ejde-1514	79	24	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	79	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	26	τ	τ	PROPN
ejde-1514	79	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	29	where	where	SCONJ
ejde-1514	79	30	c	c	PROPN
ejde-1514	79	31	>	>	X
ejde-1514	79	32	0	0	NUM
ejde-1514	79	33	is	be	AUX
ejde-1514	79	34	a	a	DET
ejde-1514	79	35	constant	constant	ADJ
ejde-1514	79	36	;	;	PUNCT
ejde-1514	79	37	(	(	PUNCT
ejde-1514	79	38	iii	iii	X
ejde-1514	79	39	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	40	g(x	g(x	NOUN
ejde-1514	79	41	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	42	τ	τ	PROPN
ejde-1514	79	43	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	44	≥	≥	NOUN
ejde-1514	79	45	δψ2(x	δψ2(x	NOUN
ejde-1514	79	46	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	47	√	√	PROPN
ejde-1514	79	48	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	79	49	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	50	τ	τ	PROPN
ejde-1514	79	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	53	where	where	SCONJ
ejde-1514	79	54	δ	δ	PROPN
ejde-1514	79	55	>	>	X
ejde-1514	79	56	0	0	PUNCT
ejde-1514	79	57	is	be	AUX
ejde-1514	79	58	a	a	DET
ejde-1514	79	59	constant	constant	ADJ
ejde-1514	79	60	and	and	CCONJ
ejde-1514	79	61	ψ	ψ	NOUN
ejde-1514	79	62	is	be	AUX
ejde-1514	79	63	the	the	DET
ejde-1514	79	64	l2	l2	NOUN
ejde-1514	79	65	-	-	PUNCT
ejde-1514	79	66	normalized	normalize	VERB
ejde-1514	79	67	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	79	68	associated	associate	VERB
ejde-1514	79	69	with	with	ADP
ejde-1514	79	70	the	the	DET
ejde-1514	79	71	first	first	ADJ
ejde-1514	79	72	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	79	73	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	74	λ1	λ1	PROPN
ejde-1514	79	75	,	,	PUNCT
ejde-1514	79	76	of	of	ADP
ejde-1514	79	77	the	the	DET
ejde-1514	79	78	linear	linear	ADJ
ejde-1514	79	79	operator	operator	NOUN
ejde-1514	79	80	(	(	PUNCT
ejde-1514	79	81	−∆	−∆	NOUN
ejde-1514	79	82	−	−	PROPN
ejde-1514	79	83	µ	µ	NUM
ejde-1514	79	84	)	)	PUNCT
ejde-1514	79	85	with	with	ADP
ejde-1514	79	86	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	79	87	boundary	boundary	PROPN
ejde-1514	79	88	condition	condition	NOUN
ejde-1514	79	89	.	.	PUNCT
ejde-1514	80	1	remark	remark	PROPN
ejde-1514	80	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1514	80	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	81	1	since	since	SCONJ
ejde-1514	81	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	81	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	81	4	τ	τ	X
ejde-1514	81	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	81	6	=	=	SYM
ejde-1514	81	7	0	0	NUM
ejde-1514	81	8	for	for	ADP
ejde-1514	81	9	x	x	PROPN
ejde-1514	81	10	∈	∈	PROPN
ejde-1514	81	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	81	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	81	13	we	we	PRON
ejde-1514	81	14	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	81	15	that	that	DET
ejde-1514	81	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	81	17	ii	ii	NOUN
ejde-1514	81	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	81	19	and	and	CCONJ
ejde-1514	81	20	(	(	PUNCT
ejde-1514	81	21	iii	iii	NOUN
ejde-1514	81	22	)	)	PUNCT
ejde-1514	81	23	above	above	ADV
ejde-1514	81	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	81	25	are	be	AUX
ejde-1514	81	26	trivially	trivially	ADV
ejde-1514	81	27	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1514	81	28	for	for	ADP
ejde-1514	81	29	x	x	SYM
ejde-1514	81	30	∈	∈	PROPN
ejde-1514	81	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1514	81	32	.	.	PUNCT
ejde-1514	82	1	proof	proof	NOUN
ejde-1514	82	2	of	of	ADP
ejde-1514	82	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	82	4	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	82	5	.	.	PUNCT
ejde-1514	83	1	first	first	ADV
ejde-1514	83	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	83	3	observe	observe	VERB
ejde-1514	83	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	83	5	g	g	PROPN
ejde-1514	83	6	is	be	AUX
ejde-1514	83	7	the	the	DET
ejde-1514	83	8	green	green	PROPN
ejde-1514	83	9	’s	’s	PART
ejde-1514	83	10	function	function	NOUN
ejde-1514	83	11	associated	associate	VERB
ejde-1514	83	12	with	with	ADP
ejde-1514	83	13	the	the	DET
ejde-1514	83	14	self	self	NOUN
ejde-1514	83	15	-	-	PUNCT
ejde-1514	83	16	adjoint	adjoint	NOUN
ejde-1514	83	17	operator	operator	NOUN
ejde-1514	83	18	(	(	PUNCT
ejde-1514	83	19	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	83	20	µ	µ	NUM
ejde-1514	83	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	83	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	83	23	whose	whose	DET
ejde-1514	83	24	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	83	25	and	and	CCONJ
ejde-1514	83	26	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	83	27	are	be	AUX
ejde-1514	83	28	just	just	ADV
ejde-1514	83	29	λk	λk	ADP
ejde-1514	83	30	+	+	NUM
ejde-1514	83	31	µ	µ	NOUN
ejde-1514	83	32	and	and	CCONJ
ejde-1514	83	33	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-1514	83	34	.	.	PUNCT
ejde-1514	84	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	84	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	84	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	84	4	2.6	2.6	NUM
ejde-1514	84	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	84	6	implies	imply	VERB
ejde-1514	84	7	that	that	SCONJ
ejde-1514	84	8	λk	λk	ADP
ejde-1514	84	9	+	+	CCONJ
ejde-1514	84	10	µi	µi	PROPN
ejde-1514	84	11	>	>	X
ejde-1514	84	12	0	0	X
ejde-1514	84	13	.	.	PUNCT
ejde-1514	85	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	85	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	85	3	the	the	DET
ejde-1514	85	4	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-1514	85	5	property	property	NOUN
ejde-1514	85	6	in	in	ADP
ejde-1514	85	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	85	8	i	i	NOUN
ejde-1514	85	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	85	10	and	and	CCONJ
ejde-1514	85	11	the	the	DET
ejde-1514	85	12	positivity	positivity	NOUN
ejde-1514	85	13	of	of	ADP
ejde-1514	85	14	g	g	PROPN
ejde-1514	85	15	are	be	AUX
ejde-1514	85	16	straightforward	straightforward	ADJ
ejde-1514	85	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	85	18	see	see	VERB
ejde-1514	85	19	for	for	ADP
ejde-1514	85	20	instance	instance	NOUN
ejde-1514	85	21	[	[	X
ejde-1514	85	22	9	9	NUM
ejde-1514	85	23	]	]	PUNCT
ejde-1514	85	24	.	.	PUNCT
ejde-1514	86	1	4	4	NUM
ejde-1514	86	2	p.	p.	NOUN
ejde-1514	86	3	álvarez	álvarez	NOUN
ejde-1514	86	4	-	-	PUNCT
ejde-1514	86	5	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	86	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	86	7	c.	c.	PROPN
ejde-1514	86	8	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	86	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	86	10	d.	d.	PROPN
ejde-1514	86	11	sonowal	sonowal	ADV
ejde-1514	86	12	ejde-2025/56	ejde-2025/56	VERB
ejde-1514	86	13	to	to	PART
ejde-1514	86	14	prove	prove	VERB
ejde-1514	86	15	the	the	DET
ejde-1514	86	16	following	follow	VERB
ejde-1514	86	17	items	item	NOUN
ejde-1514	86	18	we	we	PRON
ejde-1514	86	19	use	use	VERB
ejde-1514	86	20	the	the	DET
ejde-1514	86	21	so	so	ADV
ejde-1514	86	22	-	-	PUNCT
ejde-1514	86	23	called	call	VERB
ejde-1514	86	24	bilinear	bilinear	NOUN
ejde-1514	86	25	representation	representation	NOUN
ejde-1514	86	26	for	for	ADP
ejde-1514	86	27	the	the	DET
ejde-1514	86	28	green	green	PROPN
ejde-1514	86	29	’s	’s	PART
ejde-1514	86	30	functions	function	NOUN
ejde-1514	86	31	of	of	ADP
ejde-1514	86	32	helmholtz	helmholtz	NOUN
ejde-1514	86	33	type	type	NOUN
ejde-1514	86	34	equations	equation	NOUN
ejde-1514	86	35	(	(	PUNCT
ejde-1514	86	36	see	see	VERB
ejde-1514	86	37	[	[	X
ejde-1514	86	38	4	4	X
ejde-1514	86	39	]	]	PUNCT
ejde-1514	86	40	for	for	ADP
ejde-1514	86	41	further	further	ADJ
ejde-1514	86	42	details	detail	NOUN
ejde-1514	86	43	on	on	ADP
ejde-1514	86	44	the	the	DET
ejde-1514	86	45	original	original	ADJ
ejde-1514	86	46	paper	paper	NOUN
ejde-1514	86	47	of	of	ADP
ejde-1514	86	48	sommerfield	sommerfield	ADJ
ejde-1514	87	1	[	[	X
ejde-1514	87	2	14	14	NUM
ejde-1514	87	3	]	]	SYM
ejde-1514	87	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	87	5	.	.	PUNCT
ejde-1514	88	1	in	in	ADP
ejde-1514	88	2	particular	particular	ADJ
ejde-1514	88	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	88	4	we	we	PRON
ejde-1514	88	5	have	have	VERB
ejde-1514	88	6	g(x	g(x	NOUN
ejde-1514	88	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	88	8	τ	τ	X
ejde-1514	88	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	88	10	=	=	PUNCT
ejde-1514	89	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1514	89	2	k=1	k=1	PUNCT
ejde-1514	89	3	ϕk(x)ϕk(τ	ϕk(x)ϕk(τ	NOUN
ejde-1514	89	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	89	5	λk	λk	ADP
ejde-1514	90	1	+	+	X
ejde-1514	90	2	µ	µ	X
ejde-1514	90	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	91	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	91	2	2.10	2.10	NUM
ejde-1514	91	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	91	4	the	the	DET
ejde-1514	91	5	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1514	91	6	of	of	ADP
ejde-1514	91	7	g	g	PROPN
ejde-1514	91	8	and	and	CCONJ
ejde-1514	91	9	the	the	DET
ejde-1514	91	10	cauchy	cauchy	PROPN
ejde-1514	91	11	-	-	PUNCT
ejde-1514	91	12	schwartz	schwartz	PROPN
ejde-1514	91	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-1514	91	14	applied	apply	VERB
ejde-1514	91	15	to	to	ADP
ejde-1514	91	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	91	17	2.10	2.10	NUM
ejde-1514	91	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	91	19	yields	yield	NOUN
ejde-1514	91	20	estimate	estimate	VERB
ejde-1514	91	21	(	(	PUNCT
ejde-1514	91	22	ii	ii	NOUN
ejde-1514	91	23	)	)	PUNCT
ejde-1514	91	24	.	.	PUNCT
ejde-1514	92	1	finally	finally	ADV
ejde-1514	92	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	92	3	to	to	PART
ejde-1514	92	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	92	5	estimate	estimate	NOUN
ejde-1514	92	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	92	7	iii	iii	NOUN
ejde-1514	92	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	92	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	92	10	it	it	PRON
ejde-1514	92	11	suffices	suffice	VERB
ejde-1514	92	12	to	to	PART
ejde-1514	92	13	show	show	VERB
ejde-1514	92	14	that	that	SCONJ
ejde-1514	92	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	92	16	there	there	PRON
ejde-1514	92	17	exists	exist	VERB
ejde-1514	92	18	a	a	DET
ejde-1514	92	19	constant	constant	ADJ
ejde-1514	92	20	δ	δ	NOUN
ejde-1514	92	21	such	such	ADJ
ejde-1514	92	22	that	that	DET
ejde-1514	92	23	inf	inf	PROPN
ejde-1514	92	24	x	x	NOUN
ejde-1514	92	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	92	26	τ∈ω	τ∈ω	VERB
ejde-1514	92	27	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	92	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	92	29	τ	τ	PROPN
ejde-1514	92	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	92	31	ψ2(x	ψ2(x	NOUN
ejde-1514	93	1	)	)	PUNCT
ejde-1514	93	2	√	√	NOUN
ejde-1514	93	3	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	93	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	93	5	τ	τ	PROPN
ejde-1514	93	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	93	7	≥	≥	PROPN
ejde-1514	93	8	δ	δ	X
ejde-1514	93	9	>	>	X
ejde-1514	93	10	0	0	NUM
ejde-1514	93	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	94	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	94	2	2.11	2.11	NUM
ejde-1514	94	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	94	4	to	to	ADP
ejde-1514	94	5	this	this	DET
ejde-1514	94	6	aim	aim	NOUN
ejde-1514	94	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	94	8	we	we	PRON
ejde-1514	94	9	observe	observe	VERB
ejde-1514	94	10	first	first	ADV
ejde-1514	94	11	that	that	SCONJ
ejde-1514	94	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	94	13	from	from	ADP
ejde-1514	94	14	(	(	PUNCT
ejde-1514	94	15	i	i	NOUN
ejde-1514	94	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	94	17	we	we	PRON
ejde-1514	94	18	have	have	VERB
ejde-1514	94	19	that	that	PRON
ejde-1514	94	20	g	g	PROPN
ejde-1514	94	21	is	be	AUX
ejde-1514	94	22	positive	positive	ADJ
ejde-1514	94	23	in	in	ADP
ejde-1514	94	24	ω	ω	PROPN
ejde-1514	94	25	and	and	CCONJ
ejde-1514	94	26	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	94	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	94	28	g	g	PROPN
ejde-1514	94	29	is	be	AUX
ejde-1514	94	30	bounded	bound	VERB
ejde-1514	94	31	in	in	ADP
ejde-1514	94	32	ω	ω	NUM
ejde-1514	94	33	by	by	ADP
ejde-1514	94	34	continuity	continuity	NOUN
ejde-1514	94	35	.	.	PUNCT
ejde-1514	95	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	95	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	95	3	ψ2(x	ψ2(x	NOUN
ejde-1514	95	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	95	5	√	√	NOUN
ejde-1514	95	6	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	95	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	95	8	τ	τ	X
ejde-1514	95	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	95	10	is	be	AUX
ejde-1514	95	11	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1514	95	12	bounded	bound	VERB
ejde-1514	95	13	in	in	ADP
ejde-1514	95	14	ω	ω	PROPN
ejde-1514	95	15	.	.	PUNCT
ejde-1514	96	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	96	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	96	3	the	the	DET
ejde-1514	96	4	infimum	infimum	NOUN
ejde-1514	96	5	in	in	ADP
ejde-1514	96	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	96	7	2.11	2.11	NUM
ejde-1514	96	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	96	9	could	could	AUX
ejde-1514	96	10	only	only	ADV
ejde-1514	96	11	be	be	AUX
ejde-1514	96	12	zero	zero	NUM
ejde-1514	96	13	if	if	SCONJ
ejde-1514	96	14	the	the	DET
ejde-1514	96	15	numerator	numerator	NOUN
ejde-1514	96	16	approaches	approach	VERB
ejde-1514	96	17	zero	zero	NUM
ejde-1514	96	18	.	.	PUNCT
ejde-1514	97	1	however	however	ADV
ejde-1514	97	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	97	3	we	we	PRON
ejde-1514	97	4	will	will	AUX
ejde-1514	97	5	show	show	VERB
ejde-1514	97	6	that	that	SCONJ
ejde-1514	97	7	this	this	DET
ejde-1514	97	8	infimum	infimum	NOUN
ejde-1514	97	9	can	can	AUX
ejde-1514	97	10	not	not	PART
ejde-1514	97	11	be	be	AUX
ejde-1514	97	12	achieved	achieve	VERB
ejde-1514	97	13	when	when	SCONJ
ejde-1514	97	14	the	the	DET
ejde-1514	97	15	numerator	numerator	NOUN
ejde-1514	97	16	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	97	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	97	18	τ	τ	X
ejde-1514	97	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	97	20	approaches	approach	VERB
ejde-1514	97	21	zero	zero	NUM
ejde-1514	97	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	98	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1514	98	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	98	3	for	for	ADP
ejde-1514	98	4	each	each	PRON
ejde-1514	98	5	ϵ	ϵ	X
ejde-1514	98	6	>	>	X
ejde-1514	98	7	0	0	NUM
ejde-1514	98	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	98	9	consider	consider	VERB
ejde-1514	98	10	the	the	DET
ejde-1514	98	11	set	set	NOUN
ejde-1514	98	12	aϵ	aϵ	NOUN
ejde-1514	98	13	=	=	SYM
ejde-1514	98	14	{	{	PUNCT
ejde-1514	98	15	x	x	PUNCT
ejde-1514	98	16	∈	∈	PROPN
ejde-1514	98	17	ω	ω	NUM
ejde-1514	99	1	|	|	NOUN
ejde-1514	99	2	0	0	NUM
ejde-1514	99	3	<	<	X
ejde-1514	99	4	ϵ	ϵ	X
ejde-1514	99	5	2	2	NUM
ejde-1514	99	6	<	<	X
ejde-1514	99	7	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	99	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	99	9	τ	τ	X
ejde-1514	99	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	99	11	<	<	X
ejde-1514	99	12	ϵ	ϵ	X
ejde-1514	99	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	99	14	for	for	ADP
ejde-1514	99	15	all	all	DET
ejde-1514	99	16	τ	τ	PROPN
ejde-1514	99	17	∈	∈	PROPN
ejde-1514	99	18	ω	ω	PROPN
ejde-1514	99	19	}	}	PUNCT
ejde-1514	99	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	100	1	since	since	SCONJ
ejde-1514	100	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	100	3	−∆	−∆	PROPN
ejde-1514	100	4	−	−	PRON
ejde-1514	100	5	µ)ψ	µ)ψ	NOUN
ejde-1514	100	6	=	=	SYM
ejde-1514	100	7	λ1ψ	λ1ψ	PROPN
ejde-1514	100	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	100	9	with	with	ADP
ejde-1514	100	10	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1514	100	11	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	100	12	boundary	boundary	PROPN
ejde-1514	100	13	data	data	PROPN
ejde-1514	100	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	100	15	using	use	VERB
ejde-1514	100	16	the	the	DET
ejde-1514	100	17	representation	representation	NOUN
ejde-1514	100	18	formula	formula	NOUN
ejde-1514	100	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	100	20	we	we	PRON
ejde-1514	100	21	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	100	22	that	that	PRON
ejde-1514	100	23	for	for	ADP
ejde-1514	100	24	each	each	DET
ejde-1514	100	25	x	x	SYM
ejde-1514	100	26	∈	∈	PROPN
ejde-1514	100	27	aϵ	aϵ	NOUN
ejde-1514	100	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	100	29	ψ(x	ψ(x	NOUN
ejde-1514	100	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	100	31	=	=	PUNCT
ejde-1514	101	1	λ1	λ1	ADJ
ejde-1514	101	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	101	3	ω	ω	PROPN
ejde-1514	101	4	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	101	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	101	6	y)ψ(y)dy	y)ψ(y)dy	PROPN
ejde-1514	101	7	≤	≤	NUM
ejde-1514	101	8	ϵλ	ϵλ	PROPN
ejde-1514	101	9	1+n	1+n	NUM
ejde-1514	101	10	4	4	NUM
ejde-1514	101	11	1	1	NUM
ejde-1514	101	12	|ω|	|ω|	NOUN
ejde-1514	101	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	101	14	(	(	PUNCT
ejde-1514	101	15	2.12	2.12	NUM
ejde-1514	101	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	101	17	where	where	SCONJ
ejde-1514	101	18	the	the	DET
ejde-1514	101	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-1514	101	20	follows	follow	VERB
ejde-1514	101	21	from	from	ADP
ejde-1514	101	22	the	the	DET
ejde-1514	101	23	estimate	estimate	NOUN
ejde-1514	101	24	|ψ(y)|	|ψ(y)|	PROPN
ejde-1514	101	25	≤	≤	ADJ
ejde-1514	101	26	λ	λ	PROPN
ejde-1514	101	27	n	n	CCONJ
ejde-1514	101	28	4	4	NUM
ejde-1514	101	29	1	1	NUM
ejde-1514	101	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	101	31	for	for	ADP
ejde-1514	101	32	all	all	DET
ejde-1514	101	33	y	y	PROPN
ejde-1514	101	34	∈	∈	PROPN
ejde-1514	101	35	ω	ω	NOUN
ejde-1514	102	1	[	[	X
ejde-1514	102	2	2	2	NUM
ejde-1514	102	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	102	4	.	.	PUNCT
ejde-1514	103	1	finally	finally	ADV
ejde-1514	103	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	103	3	using	use	VERB
ejde-1514	103	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	103	5	2.12	2.12	NUM
ejde-1514	103	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	103	8	for	for	ADP
ejde-1514	103	9	any	any	DET
ejde-1514	103	10	x	x	SYM
ejde-1514	103	11	∈	∈	NOUN
ejde-1514	103	12	aϵ	aϵ	SCONJ
ejde-1514	103	13	we	we	PRON
ejde-1514	103	14	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	103	15	g(x	g(x	NOUN
ejde-1514	103	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	103	17	τ	τ	PROPN
ejde-1514	103	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	19	ψ2(x	ψ2(x	NOUN
ejde-1514	103	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	21	√	√	NOUN
ejde-1514	103	22	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	103	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	103	24	τ	τ	PROPN
ejde-1514	103	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	26	≥	≥	PROPN
ejde-1514	103	27	(	(	PUNCT
ejde-1514	103	28	2ϵλ	2ϵλ	NOUN
ejde-1514	103	29	2+n	2+n	NUM
ejde-1514	103	30	2	2	NUM
ejde-1514	103	31	1	1	NUM
ejde-1514	103	32	max	max	PROPN
ejde-1514	103	33	ω	ω	NUM
ejde-1514	103	34	√	√	PROPN
ejde-1514	103	35	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	103	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	103	37	τ	τ	PROPN
ejde-1514	103	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	39	)	)	PUNCT
ejde-1514	103	40	−1	−1	NOUN
ejde-1514	103	41	.	.	PUNCT
ejde-1514	104	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	104	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	3	as	as	SCONJ
ejde-1514	104	4	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-1514	104	5	tends	tend	VERB
ejde-1514	104	6	to	to	ADP
ejde-1514	104	7	zero	zero	NUM
ejde-1514	104	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	9	g(x	g(x	PROPN
ejde-1514	104	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	11	τ	τ	NOUN
ejde-1514	104	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	13	ψ2(x	ψ2(x	NOUN
ejde-1514	104	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	15	√	√	NOUN
ejde-1514	104	16	g(τ	g(τ	PROPN
ejde-1514	104	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	18	τ	τ	NOUN
ejde-1514	104	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	20	→	→	SYM
ejde-1514	104	21	∞.	∞.	PROPN
ejde-1514	104	22	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	104	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	24	the	the	DET
ejde-1514	104	25	infimum	infimum	ADJ
ejde-1514	104	26	(	(	PUNCT
ejde-1514	104	27	2.11	2.11	NUM
ejde-1514	104	28	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	29	is	be	AUX
ejde-1514	104	30	attained	attain	VERB
ejde-1514	104	31	at	at	ADP
ejde-1514	104	32	a	a	DET
ejde-1514	104	33	point	point	NOUN
ejde-1514	104	34	(	(	PUNCT
ejde-1514	104	35	x	x	X
ejde-1514	104	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	37	τ	τ	X
ejde-1514	104	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	39	such	such	ADJ
ejde-1514	104	40	that	that	SCONJ
ejde-1514	104	41	g(x	g(x	NOUN
ejde-1514	104	42	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	43	τ	τ	X
ejde-1514	104	44	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	45	is	be	AUX
ejde-1514	104	46	positive	positive	ADJ
ejde-1514	104	47	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	48	and	and	CCONJ
ejde-1514	104	49	due	due	ADP
ejde-1514	104	50	to	to	ADP
ejde-1514	104	51	the	the	DET
ejde-1514	104	52	continuity	continuity	NOUN
ejde-1514	104	53	and	and	CCONJ
ejde-1514	104	54	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1514	104	55	of	of	ADP
ejde-1514	104	56	g	g	NOUN
ejde-1514	104	57	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	58	(	(	PUNCT
ejde-1514	104	59	2.11	2.11	NUM
ejde-1514	104	60	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	61	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	62	and	and	CCONJ
ejde-1514	104	63	hence	hence	ADV
ejde-1514	104	64	(	(	PUNCT
ejde-1514	104	65	iii	iii	NOUN
ejde-1514	104	66	)	)	PUNCT
ejde-1514	104	67	,	,	PUNCT
ejde-1514	104	68	follows	follow	VERB
ejde-1514	104	69	.	.	PUNCT
ejde-1514	105	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	105	2	finally	finally	ADV
ejde-1514	105	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	105	4	we	we	PRON
ejde-1514	105	5	include	include	VERB
ejde-1514	105	6	an	an	DET
ejde-1514	105	7	estimation	estimation	NOUN
ejde-1514	105	8	for	for	ADP
ejde-1514	105	9	the	the	DET
ejde-1514	105	10	solution	solution	NOUN
ejde-1514	105	11	of	of	ADP
ejde-1514	105	12	equation	equation	NOUN
ejde-1514	105	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	105	14	2.5	2.5	NUM
ejde-1514	105	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	105	16	.	.	PUNCT
ejde-1514	106	1	its	its	PRON
ejde-1514	106	2	proof	proof	NOUN
ejde-1514	106	3	is	be	AUX
ejde-1514	106	4	similar	similar	ADJ
ejde-1514	106	5	to	to	ADP
ejde-1514	106	6	the	the	DET
ejde-1514	106	7	one	one	NOUN
ejde-1514	106	8	performed	perform	VERB
ejde-1514	106	9	in	in	ADP
ejde-1514	106	10	[	[	X
ejde-1514	106	11	10	10	NUM
ejde-1514	106	12	]	]	PUNCT
ejde-1514	106	13	and	and	CCONJ
ejde-1514	106	14	we	we	PRON
ejde-1514	106	15	omit	omit	VERB
ejde-1514	106	16	it	it	PRON
ejde-1514	106	17	here	here	ADV
ejde-1514	106	18	.	.	PUNCT
ejde-1514	107	1	in	in	ADP
ejde-1514	107	2	the	the	DET
ejde-1514	107	3	sequel	sequel	NOUN
ejde-1514	107	4	we	we	PRON
ejde-1514	107	5	will	will	AUX
ejde-1514	107	6	denote	denote	VERB
ejde-1514	107	7	the	the	DET
ejde-1514	107	8	maximum	maximum	ADJ
ejde-1514	107	9	norm	norm	NOUN
ejde-1514	107	10	in	in	ADP
ejde-1514	107	11	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1514	107	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	107	13	by	by	ADP
ejde-1514	107	14	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1514	107	15	=	=	SYM
ejde-1514	107	16	maxω	maxω	NOUN
ejde-1514	107	17	u(x	u(x	VERB
ejde-1514	107	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	107	19	.	.	PUNCT
ejde-1514	108	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	108	2	2.5	2.5	NUM
ejde-1514	108	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	109	1	the	the	DET
ejde-1514	109	2	solution	solution	NOUN
ejde-1514	109	3	u	u	NOUN
ejde-1514	109	4	of	of	ADP
ejde-1514	109	5	the	the	DET
ejde-1514	109	6	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	109	7	value	value	NOUN
ejde-1514	109	8	problem	problem	NOUN
ejde-1514	109	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	109	10	2.5	2.5	NUM
ejde-1514	109	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	109	12	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1514	109	13	for	for	ADP
ejde-1514	109	14	all	all	DET
ejde-1514	109	15	x	x	SYM
ejde-1514	109	16	∈	∈	PROPN
ejde-1514	109	17	ω	ω	PROPN
ejde-1514	109	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	109	19	u(x	u(x	PROPN
ejde-1514	109	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	109	21	≥	≥	NOUN
ejde-1514	109	22	δ1δ2c0ψ	δ1δ2c0ψ	PROPN
ejde-1514	109	23	2	2	NUM
ejde-1514	109	24	1(x	1(x	NUM
ejde-1514	109	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	109	26	c1c2|ω|	c1c2|ω|	NOUN
ejde-1514	109	27	√	√	PROPN
ejde-1514	109	28	m1	m1	PROPN
ejde-1514	109	29	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-1514	109	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	109	31	(	(	PUNCT
ejde-1514	109	32	2.13	2.13	NUM
ejde-1514	109	33	)	)	PUNCT
ejde-1514	109	34	with	with	ADP
ejde-1514	109	35	c0	c0	PROPN
ejde-1514	109	36	=	=	SYM
ejde-1514	110	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	110	2	ω	ω	NUM
ejde-1514	110	3	√	√	PROPN
ejde-1514	111	1	g1(x	g1(x	NOUN
ejde-1514	111	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	111	3	x)ψ	x)ψ	NUM
ejde-1514	111	4	2	2	NUM
ejde-1514	111	5	2(x	2(x	NUM
ejde-1514	111	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	111	7	dx	dx	PROPN
ejde-1514	111	8	and	and	CCONJ
ejde-1514	111	9	m1	m1	PROPN
ejde-1514	111	10	=	=	SYM
ejde-1514	111	11	max	max	PROPN
ejde-1514	111	12	ω	ω	PROPN
ejde-1514	111	13	g1(x	g1(x	PROPN
ejde-1514	111	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	111	15	x	x	NOUN
ejde-1514	111	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	111	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	112	1	where	where	SCONJ
ejde-1514	112	2	δi	δi	PROPN
ejde-1514	112	3	and	and	CCONJ
ejde-1514	112	4	ci	ci	NOUN
ejde-1514	112	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	112	6	with	with	ADP
ejde-1514	112	7	i	i	PROPN
ejde-1514	112	8	=	=	SYM
ejde-1514	112	9	1	1	NUM
ejde-1514	112	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	112	11	2	2	NUM
ejde-1514	112	12	are	be	AUX
ejde-1514	112	13	the	the	DET
ejde-1514	112	14	quantities	quantity	NOUN
ejde-1514	112	15	δ	δ	PROPN
ejde-1514	112	16	and	and	CCONJ
ejde-1514	112	17	c	c	PROPN
ejde-1514	112	18	(	(	PUNCT
ejde-1514	112	19	respectively	respectively	ADV
ejde-1514	112	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	112	21	appearing	appear	VERB
ejde-1514	112	22	in	in	ADP
ejde-1514	112	23	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	112	24	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	112	25	relatively	relatively	ADV
ejde-1514	112	26	to	to	ADP
ejde-1514	112	27	green	green	PROPN
ejde-1514	112	28	’s	’s	PART
ejde-1514	112	29	function	function	NOUN
ejde-1514	112	30	gi	gi	NOUN
ejde-1514	112	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	112	32	ψi	ψi	ADJ
ejde-1514	112	33	are	be	AUX
ejde-1514	112	34	the	the	DET
ejde-1514	112	35	l2	l2	NOUN
ejde-1514	112	36	-	-	PUNCT
ejde-1514	112	37	normalized	normalize	VERB
ejde-1514	112	38	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	112	39	associated	associate	VERB
ejde-1514	112	40	with	with	ADP
ejde-1514	112	41	the	the	DET
ejde-1514	112	42	first	first	ADJ
ejde-1514	112	43	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1514	112	44	of	of	ADP
ejde-1514	112	45	the	the	DET
ejde-1514	112	46	linear	linear	ADJ
ejde-1514	112	47	operator	operator	NOUN
ejde-1514	112	48	(	(	PUNCT
ejde-1514	112	49	−∆−	−∆−	PROPN
ejde-1514	112	50	µi	µi	PROPN
ejde-1514	112	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	112	52	with	with	ADP
ejde-1514	112	53	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	112	54	boundary	boundary	PROPN
ejde-1514	112	55	condition	condition	NOUN
ejde-1514	112	56	.	.	PUNCT
ejde-1514	113	1	3	3	X
ejde-1514	113	2	.	.	X
ejde-1514	113	3	fixed	fix	VERB
ejde-1514	113	4	point	point	NOUN
ejde-1514	113	5	theory	theory	NOUN
ejde-1514	113	6	from	from	ADP
ejde-1514	113	7	the	the	DET
ejde-1514	113	8	previous	previous	ADJ
ejde-1514	113	9	section	section	NOUN
ejde-1514	113	10	it	it	PRON
ejde-1514	113	11	can	can	AUX
ejde-1514	113	12	be	be	AUX
ejde-1514	113	13	seen	see	VERB
ejde-1514	113	14	that	that	SCONJ
ejde-1514	113	15	we	we	PRON
ejde-1514	113	16	actually	actually	ADV
ejde-1514	113	17	can	can	AUX
ejde-1514	113	18	work	work	VERB
ejde-1514	113	19	with	with	ADP
ejde-1514	113	20	integral	integral	ADJ
ejde-1514	113	21	equations	equation	NOUN
ejde-1514	113	22	to	to	PART
ejde-1514	113	23	prove	prove	VERB
ejde-1514	113	24	the	the	DET
ejde-1514	113	25	existence	existence	NOUN
ejde-1514	113	26	of	of	ADP
ejde-1514	113	27	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	113	28	for	for	ADP
ejde-1514	113	29	problem	problem	NOUN
ejde-1514	113	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	113	31	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	113	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	113	33	(	(	PUNCT
ejde-1514	113	34	based	base	VERB
ejde-1514	113	35	on	on	ADP
ejde-1514	113	36	the	the	DET
ejde-1514	113	37	green	green	PROPN
ejde-1514	113	38	’s	’s	PART
ejde-1514	113	39	functions	function	NOUN
ejde-1514	113	40	)	)	PUNCT
ejde-1514	113	41	.	.	PUNCT
ejde-1514	114	1	in	in	ADP
ejde-1514	114	2	fact	fact	NOUN
ejde-1514	114	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	114	4	first	first	ADV
ejde-1514	114	5	of	of	ADP
ejde-1514	114	6	all	all	PRON
ejde-1514	114	7	we	we	PRON
ejde-1514	114	8	observe	observe	VERB
ejde-1514	114	9	that	that	SCONJ
ejde-1514	114	10	we	we	PRON
ejde-1514	114	11	can	can	AUX
ejde-1514	114	12	adapt	adapt	VERB
ejde-1514	114	13	the	the	DET
ejde-1514	114	14	expression	expression	NOUN
ejde-1514	114	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	114	16	2.7	2.7	NUM
ejde-1514	114	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	114	18	to	to	ADP
ejde-1514	114	19	the	the	DET
ejde-1514	114	20	solution	solution	NOUN
ejde-1514	114	21	of	of	ADP
ejde-1514	114	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	114	23	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	114	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	114	25	and	and	CCONJ
ejde-1514	114	26	write	write	VERB
ejde-1514	114	27	uj(x	uj(x	NOUN
ejde-1514	114	28	)	)	PUNCT
ejde-1514	115	1	=	=	SYM
ejde-1514	115	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	116	1	ω	ω	NUM
ejde-1514	116	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	116	3	ω	ω	PROPN
ejde-1514	116	4	g1,j(x	g1,j(x	PROPN
ejde-1514	116	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	6	τ)g2,j(τ	τ)g2,j(τ	ADJ
ejde-1514	116	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	8	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	116	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	10	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	116	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	116	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	13	u2(s))ds	u2(s))ds	PUNCT
ejde-1514	116	14	dτ	dτ	NOUN
ejde-1514	116	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	16	x	x	PROPN
ejde-1514	116	17	∈	∈	PROPN
ejde-1514	116	18	ω	ω	PROPN
ejde-1514	116	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	20	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	116	21	n	n	CCONJ
ejde-1514	116	22	-	-	PUNCT
ejde-1514	116	23	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	116	24	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	116	25	-	-	PUNCT
ejde-1514	116	26	order	order	NOUN
ejde-1514	116	27	systems	system	NOUN
ejde-1514	116	28	5	5	NUM
ejde-1514	116	29	with	with	ADP
ejde-1514	116	30	j	j	PROPN
ejde-1514	116	31	=	=	SYM
ejde-1514	116	32	1	1	NUM
ejde-1514	116	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	116	34	2	2	NUM
ejde-1514	116	35	.	.	PUNCT
ejde-1514	117	1	in	in	ADP
ejde-1514	117	2	view	view	NOUN
ejde-1514	117	3	of	of	ADP
ejde-1514	117	4	this	this	DET
ejde-1514	117	5	expression	expression	NOUN
ejde-1514	117	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	117	7	we	we	PRON
ejde-1514	117	8	shall	shall	AUX
ejde-1514	117	9	mainly	mainly	ADV
ejde-1514	117	10	discuss	discuss	VERB
ejde-1514	117	11	the	the	DET
ejde-1514	117	12	existence	existence	NOUN
ejde-1514	117	13	results	result	VERB
ejde-1514	117	14	for	for	ADP
ejde-1514	117	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	117	16	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	117	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	117	18	by	by	ADP
ejde-1514	117	19	using	use	VERB
ejde-1514	117	20	the	the	DET
ejde-1514	117	21	fixed	fix	VERB
ejde-1514	117	22	point	point	NOUN
ejde-1514	117	23	index	index	NOUN
ejde-1514	117	24	theory	theory	NOUN
ejde-1514	117	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	118	1	thus	thus	ADV
ejde-1514	118	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	118	3	we	we	PRON
ejde-1514	118	4	define	define	VERB
ejde-1514	118	5	the	the	DET
ejde-1514	118	6	following	follow	VERB
ejde-1514	118	7	mappings	mapping	NOUN
ejde-1514	118	8	:	:	PUNCT
ejde-1514	118	9	tj(u1	tj(u1	NOUN
ejde-1514	118	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	118	11	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	118	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	119	1	=	=	SYM
ejde-1514	120	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	121	1	ω	ω	NUM
ejde-1514	121	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	121	3	ω	ω	PROPN
ejde-1514	121	4	g1,j(x	g1,j(x	PROPN
ejde-1514	121	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	6	τ)g2,j(τ	τ)g2,j(τ	ADJ
ejde-1514	121	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	8	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	121	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	10	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	121	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	13	u2(s))ds	u2(s))ds	PUNCT
ejde-1514	121	14	dτ	dτ	PROPN
ejde-1514	121	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	16	t	t	PROPN
ejde-1514	121	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	121	18	u1	u1	PROPN
ejde-1514	121	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	20	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	121	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	22	=	=	PUNCT
ejde-1514	121	23	(	(	PUNCT
ejde-1514	121	24	t1(u1	t1(u1	NOUN
ejde-1514	121	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	26	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	121	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	29	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	121	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	31	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	121	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	33	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	35	(	(	PUNCT
ejde-1514	121	36	3.1	3.1	NUM
ejde-1514	121	37	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	38	for	for	ADP
ejde-1514	121	39	all	all	DET
ejde-1514	121	40	x	x	SYM
ejde-1514	121	41	∈	∈	PROPN
ejde-1514	121	42	ω	ω	PROPN
ejde-1514	121	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	44	(	(	PUNCT
ejde-1514	121	45	u1	u1	NOUN
ejde-1514	121	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	121	47	u2	u2	PROPN
ejde-1514	121	48	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	49	∈	∈	PROPN
ejde-1514	121	50	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1514	121	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	52	×	×	NOUN
ejde-1514	121	53	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1514	121	54	)	)	PUNCT
ejde-1514	121	55	.	.	PUNCT
ejde-1514	122	1	observe	observe	VERB
ejde-1514	122	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	122	3	the	the	DET
ejde-1514	122	4	existence	existence	NOUN
ejde-1514	122	5	of	of	ADP
ejde-1514	122	6	non	non	ADJ
ejde-1514	122	7	-	-	ADJ
ejde-1514	122	8	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	122	9	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	122	10	for	for	ADP
ejde-1514	122	11	system	system	NOUN
ejde-1514	122	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	122	13	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	122	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	122	15	is	be	AUX
ejde-1514	122	16	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1514	122	17	to	to	ADP
ejde-1514	122	18	the	the	DET
ejde-1514	122	19	existence	existence	NOUN
ejde-1514	122	20	of	of	ADP
ejde-1514	122	21	a	a	DET
ejde-1514	122	22	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1514	122	23	fixed	fix	VERB
ejde-1514	122	24	point	point	NOUN
ejde-1514	122	25	of	of	ADP
ejde-1514	122	26	t	t	PROPN
ejde-1514	122	27	.	.	PUNCT
ejde-1514	123	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	123	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	123	3	we	we	PRON
ejde-1514	123	4	just	just	ADV
ejde-1514	123	5	need	need	VERB
ejde-1514	123	6	to	to	PART
ejde-1514	123	7	find	find	VERB
ejde-1514	123	8	the	the	DET
ejde-1514	123	9	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1514	123	10	fixed	fix	VERB
ejde-1514	123	11	point	point	NOUN
ejde-1514	123	12	of	of	ADP
ejde-1514	123	13	t	t	PROPN
ejde-1514	123	14	to	to	PART
ejde-1514	123	15	establish	establish	VERB
ejde-1514	123	16	the	the	DET
ejde-1514	123	17	existence	existence	NOUN
ejde-1514	123	18	of	of	ADP
ejde-1514	123	19	non	non	ADJ
ejde-1514	123	20	-	-	ADJ
ejde-1514	123	21	trivial	trivial	ADJ
ejde-1514	123	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	123	23	for	for	ADP
ejde-1514	123	24	(	(	PUNCT
ejde-1514	123	25	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	123	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	123	27	.	.	PUNCT
ejde-1514	124	1	we	we	PRON
ejde-1514	124	2	introduce	introduce	VERB
ejde-1514	124	3	some	some	DET
ejde-1514	124	4	results	result	NOUN
ejde-1514	124	5	of	of	ADP
ejde-1514	124	6	fixed	fix	VERB
ejde-1514	124	7	point	point	NOUN
ejde-1514	124	8	index	index	NOUN
ejde-1514	124	9	theory	theory	NOUN
ejde-1514	124	10	which	which	PRON
ejde-1514	124	11	will	will	AUX
ejde-1514	124	12	be	be	AUX
ejde-1514	124	13	play	play	VERB
ejde-1514	124	14	a	a	DET
ejde-1514	124	15	key	key	ADJ
ejde-1514	124	16	role	role	NOUN
ejde-1514	124	17	in	in	ADP
ejde-1514	124	18	the	the	DET
ejde-1514	124	19	subsequent	subsequent	ADJ
ejde-1514	124	20	analysis	analysis	NOUN
ejde-1514	124	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	124	22	see	see	VERB
ejde-1514	124	23	[	[	X
ejde-1514	124	24	1	1	NUM
ejde-1514	124	25	]	]	PUNCT
ejde-1514	124	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	124	27	[	[	X
ejde-1514	124	28	6	6	NUM
ejde-1514	124	29	]	]	PUNCT
ejde-1514	124	30	and	and	CCONJ
ejde-1514	124	31	[	[	X
ejde-1514	124	32	11	11	NUM
ejde-1514	124	33	]	]	PUNCT
ejde-1514	124	34	.	.	PUNCT
ejde-1514	125	1	definition	definition	NOUN
ejde-1514	125	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1514	125	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	125	4	[	[	X
ejde-1514	125	5	6	6	NUM
ejde-1514	125	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	125	7	chapter	chapter	NOUN
ejde-1514	125	8	1	1	NUM
ejde-1514	125	9	]	]	PUNCT
ejde-1514	125	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	125	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	126	1	let	let	AUX
ejde-1514	126	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	126	3	e	e	NOUN
ejde-1514	126	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	126	5	∥	∥	X
ejde-1514	126	6	∥	∥	X
ejde-1514	126	7	)	)	PUNCT
ejde-1514	126	8	be	be	AUX
ejde-1514	126	9	a	a	DET
ejde-1514	126	10	real	real	ADJ
ejde-1514	126	11	banach	banach	NOUN
ejde-1514	126	12	space	space	NOUN
ejde-1514	126	13	.	.	PUNCT
ejde-1514	127	1	a	a	DET
ejde-1514	127	2	non	non	ADJ
ejde-1514	127	3	-	-	ADJ
ejde-1514	127	4	empty	empty	ADJ
ejde-1514	127	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	127	6	closed	closed	ADJ
ejde-1514	127	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	127	8	convex	convex	PROPN
ejde-1514	127	9	set	set	VERB
ejde-1514	127	10	k	k	PROPN
ejde-1514	127	11	⊂	⊂	PROPN
ejde-1514	127	12	e	e	PROPN
ejde-1514	127	13	is	be	AUX
ejde-1514	127	14	called	call	VERB
ejde-1514	127	15	a	a	DET
ejde-1514	127	16	cone	cone	NOUN
ejde-1514	127	17	if	if	SCONJ
ejde-1514	127	18	the	the	DET
ejde-1514	127	19	following	follow	VERB
ejde-1514	127	20	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	127	21	are	be	AUX
ejde-1514	127	22	met	meet	VERB
ejde-1514	127	23	:	:	PUNCT
ejde-1514	127	24	(	(	PUNCT
ejde-1514	127	25	i	i	NOUN
ejde-1514	127	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	127	27	if	if	SCONJ
ejde-1514	127	28	v	v	NUM
ejde-1514	127	29	∈	∈	PROPN
ejde-1514	127	30	k	k	NOUN
ejde-1514	127	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	127	32	and	and	CCONJ
ejde-1514	127	33	a	a	DET
ejde-1514	127	34	≥	≥	NOUN
ejde-1514	127	35	0	0	NUM
ejde-1514	128	1	then	then	ADV
ejde-1514	128	2	av	av	PROPN
ejde-1514	128	3	∈	∈	PROPN
ejde-1514	128	4	k	k	NOUN
ejde-1514	128	5	;	;	PUNCT
ejde-1514	128	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	128	7	ii	ii	NOUN
ejde-1514	128	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	128	9	if	if	SCONJ
ejde-1514	128	10	v	v	NUM
ejde-1514	128	11	∈	∈	PROPN
ejde-1514	128	12	k	k	NOUN
ejde-1514	128	13	and	and	CCONJ
ejde-1514	128	14	−v	−v	NOUN
ejde-1514	128	15	∈	∈	PROPN
ejde-1514	129	1	k	k	NOUN
ejde-1514	129	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	129	3	then	then	ADV
ejde-1514	129	4	v	v	NOUN
ejde-1514	129	5	=	=	SYM
ejde-1514	129	6	0	0	PROPN
ejde-1514	129	7	.	.	PUNCT
ejde-1514	130	1	in	in	ADP
ejde-1514	130	2	our	our	PRON
ejde-1514	130	3	setting	setting	NOUN
ejde-1514	130	4	we	we	PRON
ejde-1514	130	5	consider	consider	VERB
ejde-1514	130	6	the	the	DET
ejde-1514	130	7	banach	banach	NOUN
ejde-1514	130	8	space	space	NOUN
ejde-1514	130	9	e	e	NOUN
ejde-1514	130	10	:	:	PUNCT
ejde-1514	130	11	=	=	PUNCT
ejde-1514	130	12	c(ω)×	c(ω)×	PROPN
ejde-1514	130	13	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1514	130	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	130	15	endowed	endow	VERB
ejde-1514	130	16	with	with	ADP
ejde-1514	130	17	the	the	DET
ejde-1514	130	18	norm	norm	NOUN
ejde-1514	130	19	∥(u1	∥(u1	ADV
ejde-1514	130	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	130	21	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	130	22	=	=	NOUN
ejde-1514	131	1	∥u1∥+	∥u1∥+	PROPN
ejde-1514	131	2	∥u2∥.	∥u2∥.	PROPN
ejde-1514	131	3	recall	recall	VERB
ejde-1514	131	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	131	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	131	6	by	by	ADP
ejde-1514	131	7	abuse	abuse	NOUN
ejde-1514	131	8	of	of	ADP
ejde-1514	131	9	notation	notation	NOUN
ejde-1514	131	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	131	11	we	we	PRON
ejde-1514	131	12	have	have	AUX
ejde-1514	131	13	denoted	denote	VERB
ejde-1514	131	14	the	the	DET
ejde-1514	131	15	maximum	maximum	ADJ
ejde-1514	131	16	norm	norm	NOUN
ejde-1514	131	17	of	of	ADP
ejde-1514	131	18	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1514	131	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	131	20	also	also	ADV
ejde-1514	131	21	by	by	ADP
ejde-1514	131	22	∥	∥	X
ejde-1514	131	23	·	·	PUNCT
ejde-1514	131	24	∥.	∥.	NOUN
ejde-1514	132	1	having	have	VERB
ejde-1514	132	2	this	this	PRON
ejde-1514	132	3	in	in	ADP
ejde-1514	132	4	mind	mind	NOUN
ejde-1514	132	5	we	we	PRON
ejde-1514	132	6	define	define	VERB
ejde-1514	132	7	for	for	ADP
ejde-1514	132	8	the	the	DET
ejde-1514	132	9	closed	closed	ADJ
ejde-1514	132	10	subset	subset	NOUN
ejde-1514	132	11	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	132	12	of	of	ADP
ejde-1514	132	13	ω	ω	PROPN
ejde-1514	132	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	1	the	the	DET
ejde-1514	133	2	set	set	NOUN
ejde-1514	133	3	p	p	NOUN
ejde-1514	133	4	=	=	X
ejde-1514	133	5	{	{	PUNCT
ejde-1514	133	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	133	7	u1	u1	NOUN
ejde-1514	133	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	9	u2	u2	NOUN
ejde-1514	133	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	133	11	∈	∈	PROPN
ejde-1514	133	12	e	e	NOUN
ejde-1514	133	13	:	:	PUNCT
ejde-1514	133	14	(	(	PUNCT
ejde-1514	133	15	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-1514	133	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	133	17	+	+	PUNCT
ejde-1514	133	18	u2(x	u2(x	X
ejde-1514	133	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	133	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	133	21	≥	≥	NOUN
ejde-1514	133	22	σ∥(u1	σ∥(u1	NOUN
ejde-1514	133	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	24	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	133	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	26	for	for	ADP
ejde-1514	133	27	all	all	DET
ejde-1514	133	28	x	x	SYM
ejde-1514	133	29	∈	∈	PROPN
ejde-1514	133	30	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	133	31	}	}	PUNCT
ejde-1514	133	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	33	with	with	ADP
ejde-1514	133	34	σ	σ	NOUN
ejde-1514	133	35	=	=	PUNCT
ejde-1514	133	36	min{σ1	min{σ1	NOUN
ejde-1514	133	37	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	38	σ2	σ2	NOUN
ejde-1514	133	39	}	}	PUNCT
ejde-1514	133	40	where	where	SCONJ
ejde-1514	133	41	σj	σj	ADJ
ejde-1514	133	42	=	=	SYM
ejde-1514	133	43	δ1,jδ2,jm1,jc0,j	δ1,jδ2,jm1,jc0,j	PROPN
ejde-1514	133	44	c1,jc2,j	c1,jc2,j	NOUN
ejde-1514	133	45	√	√	PROPN
ejde-1514	133	46	m1,j	m1,j	NOUN
ejde-1514	133	47	|ω|	|ω|	PROPN
ejde-1514	133	48	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	49	with	with	ADP
ejde-1514	133	50	δi	δi	ADP
ejde-1514	133	51	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	52	j	j	PROPN
ejde-1514	133	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	54	c0,j	c0,j	PROPN
ejde-1514	133	55	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	56	ci	ci	PROPN
ejde-1514	133	57	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	58	j	j	PROPN
ejde-1514	133	59	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	60	and	and	CCONJ
ejde-1514	133	61	m1,j	m1,j	NOUN
ejde-1514	133	62	as	as	ADP
ejde-1514	133	63	the	the	DET
ejde-1514	133	64	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1514	133	65	quantities	quantity	NOUN
ejde-1514	133	66	coming	come	VERB
ejde-1514	133	67	from	from	ADP
ejde-1514	133	68	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	133	69	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	133	70	for	for	ADP
ejde-1514	133	71	uj	uj	PROPN
ejde-1514	133	72	,	,	PUNCT
ejde-1514	133	73	and	and	CCONJ
ejde-1514	133	74	m1,j	m1,j	NOUN
ejde-1514	133	75	=	=	SYM
ejde-1514	133	76	minω0	minω0	NOUN
ejde-1514	133	77	ψ2	ψ2	NOUN
ejde-1514	133	78	1,j(x	1,j(x	NUM
ejde-1514	133	79	)	)	PUNCT
ejde-1514	133	80	,	,	PUNCT
ejde-1514	134	1	i	i	PRON
ejde-1514	134	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	134	3	j	j	PROPN
ejde-1514	134	4	=	=	SYM
ejde-1514	134	5	1	1	NUM
ejde-1514	134	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	134	7	2	2	NUM
ejde-1514	134	8	.	.	X
ejde-1514	134	9	note	note	VERB
ejde-1514	134	10	that	that	SCONJ
ejde-1514	134	11	0	0	PUNCT
ejde-1514	134	12	<	<	X
ejde-1514	134	13	σj	σj	VERB
ejde-1514	134	14	<	<	X
ejde-1514	134	15	∞	∞	NOUN
ejde-1514	134	16	for	for	ADP
ejde-1514	134	17	all	all	DET
ejde-1514	134	18	x	x	SYM
ejde-1514	134	19	∈	∈	PROPN
ejde-1514	134	20	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	134	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	135	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	135	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1514	135	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	136	1	the	the	DET
ejde-1514	136	2	set	set	NOUN
ejde-1514	136	3	p	p	NOUN
ejde-1514	136	4	is	be	AUX
ejde-1514	136	5	a	a	DET
ejde-1514	136	6	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-1514	136	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	136	8	convex	convex	NOUN
ejde-1514	136	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	136	10	and	and	CCONJ
ejde-1514	136	11	closed	close	VERB
ejde-1514	136	12	subset	subset	NOUN
ejde-1514	136	13	of	of	ADP
ejde-1514	136	14	e.	e.	PROPN
ejde-1514	136	15	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	136	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	136	17	p	p	PRON
ejde-1514	136	18	is	be	AUX
ejde-1514	136	19	a	a	DET
ejde-1514	136	20	cone	cone	NOUN
ejde-1514	136	21	of	of	ADP
ejde-1514	136	22	e.	e.	PROPN
ejde-1514	136	23	proof	proof	PROPN
ejde-1514	136	24	.	.	PUNCT
ejde-1514	137	1	it	it	PRON
ejde-1514	137	2	is	be	AUX
ejde-1514	137	3	clear	clear	ADJ
ejde-1514	137	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	137	5	p	p	NOUN
ejde-1514	137	6	is	be	AUX
ejde-1514	137	7	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-1514	137	8	as	as	ADP
ejde-1514	137	9	0	0	NUM
ejde-1514	137	10	∈	∈	PROPN
ejde-1514	137	11	p.	p.	NOUN
ejde-1514	137	12	also	also	ADV
ejde-1514	137	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	137	14	thanks	thank	NOUN
ejde-1514	137	15	to	to	ADP
ejde-1514	137	16	the	the	DET
ejde-1514	137	17	continuity	continuity	NOUN
ejde-1514	137	18	of	of	ADP
ejde-1514	137	19	u1	u1	NOUN
ejde-1514	137	20	and	and	CCONJ
ejde-1514	137	21	u2	u2	PROPN
ejde-1514	137	22	it	it	PRON
ejde-1514	137	23	follows	follow	VERB
ejde-1514	137	24	that	that	SCONJ
ejde-1514	137	25	p	p	NOUN
ejde-1514	137	26	is	be	AUX
ejde-1514	137	27	closed	closed	ADJ
ejde-1514	137	28	.	.	PUNCT
ejde-1514	138	1	to	to	PART
ejde-1514	138	2	see	see	VERB
ejde-1514	138	3	that	that	SCONJ
ejde-1514	138	4	it	it	PRON
ejde-1514	138	5	is	be	AUX
ejde-1514	138	6	convex	convex	PROPN
ejde-1514	138	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	138	8	observe	observe	VERB
ejde-1514	138	9	that	that	SCONJ
ejde-1514	138	10	if	if	SCONJ
ejde-1514	138	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	138	12	u1	u1	NOUN
ejde-1514	138	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	138	14	u2	u2	PROPN
ejde-1514	138	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	138	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	138	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	138	18	v1	v1	NOUN
ejde-1514	138	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	138	20	v2	v2	NOUN
ejde-1514	138	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	138	22	∈	∈	PROPN
ejde-1514	138	23	p	p	NOUN
ejde-1514	138	24	for	for	ADP
ejde-1514	138	25	t	t	PROPN
ejde-1514	138	26	∈	∈	PROPN
ejde-1514	138	27	(	(	PUNCT
ejde-1514	138	28	0	0	NUM
ejde-1514	138	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	138	30	1	1	X
ejde-1514	138	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	138	32	t(u1	t(u1	NOUN
ejde-1514	138	33	+	+	CCONJ
ejde-1514	138	34	u2	u2	NOUN
ejde-1514	138	35	)	)	PUNCT
ejde-1514	138	36	+	+	CCONJ
ejde-1514	138	37	(	(	PUNCT
ejde-1514	138	38	1−	1−	NUM
ejde-1514	138	39	t)(v1	t)(v1	PROPN
ejde-1514	138	40	+	+	CCONJ
ejde-1514	138	41	v2	v2	NOUN
ejde-1514	138	42	)	)	PUNCT
ejde-1514	138	43	≥	≥	NOUN
ejde-1514	138	44	σ(t(∥u1∥+	σ(t(∥u1∥+	PROPN
ejde-1514	138	45	∥u2∥	∥u2∥	PROPN
ejde-1514	138	46	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	139	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	139	3	1−	1−	NUM
ejde-1514	139	4	t)(∥v1∥+	t)(∥v1∥+	NOUN
ejde-1514	139	5	∥v2∥	∥v2∥	PROPN
ejde-1514	139	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	7	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	8	≥	≥	PRON
ejde-1514	139	9	σ(∥tu1	σ(∥tu1	VERB
ejde-1514	139	10	+	+	CCONJ
ejde-1514	139	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	139	12	1−	1−	NUM
ejde-1514	139	13	t)v1∥+	t)v1∥+	NOUN
ejde-1514	139	14	∥tu2	∥tu2	PROPN
ejde-1514	139	15	+	+	CCONJ
ejde-1514	139	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	139	17	1−	1−	NUM
ejde-1514	139	18	t)v2∥	t)v2∥	NUM
ejde-1514	139	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	139	21	which	which	PRON
ejde-1514	139	22	implies	imply	VERB
ejde-1514	139	23	t(u1	t(u1	NOUN
ejde-1514	139	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	139	25	u2	u2	PROPN
ejde-1514	139	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	27	+	+	CCONJ
ejde-1514	139	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	139	29	1−	1−	NUM
ejde-1514	139	30	t)(v1	t)(v1	PROPN
ejde-1514	139	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	139	32	v2	v2	NOUN
ejde-1514	139	33	)	)	PUNCT
ejde-1514	139	34	∈	∈	PROPN
ejde-1514	140	1	p.	p.	NOUN
ejde-1514	140	2	finally	finally	ADV
ejde-1514	140	3	we	we	PRON
ejde-1514	140	4	prove	prove	VERB
ejde-1514	140	5	that	that	SCONJ
ejde-1514	140	6	p	p	NOUN
ejde-1514	140	7	is	be	AUX
ejde-1514	140	8	a	a	DET
ejde-1514	140	9	cone	cone	NOUN
ejde-1514	140	10	of	of	ADP
ejde-1514	140	11	the	the	DET
ejde-1514	140	12	banach	banach	NOUN
ejde-1514	140	13	space	space	NOUN
ejde-1514	140	14	e.	e.	PROPN
ejde-1514	140	15	indeed	indeed	ADV
ejde-1514	140	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	140	17	it	it	PRON
ejde-1514	140	18	is	be	AUX
ejde-1514	140	19	straightforward	straightforward	ADJ
ejde-1514	140	20	to	to	PART
ejde-1514	140	21	check	check	VERB
ejde-1514	140	22	that	that	SCONJ
ejde-1514	141	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	141	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	141	3	u1	u1	NOUN
ejde-1514	141	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	5	u2	u2	PROPN
ejde-1514	141	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	141	7	∈	∈	PROPN
ejde-1514	141	8	p	p	NOUN
ejde-1514	141	9	and	and	CCONJ
ejde-1514	141	10	a	a	DET
ejde-1514	141	11	≥	≥	NOUN
ejde-1514	141	12	0	0	NUM
ejde-1514	141	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	14	then	then	ADV
ejde-1514	141	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	141	16	au1	au1	PROPN
ejde-1514	141	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	18	au2	au2	NOUN
ejde-1514	141	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	141	20	∈	∈	PROPN
ejde-1514	141	21	p.	p.	NOUN
ejde-1514	141	22	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	141	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	24	assume	assume	VERB
ejde-1514	141	25	that	that	SCONJ
ejde-1514	141	26	(	(	PUNCT
ejde-1514	141	27	u1	u1	NOUN
ejde-1514	141	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	29	u2	u2	PROPN
ejde-1514	141	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	141	31	and	and	CCONJ
ejde-1514	141	32	(	(	PUNCT
ejde-1514	141	33	−u1,−u2	−u1,−u2	NOUN
ejde-1514	141	34	)	)	PUNCT
ejde-1514	141	35	belong	belong	VERB
ejde-1514	141	36	to	to	ADP
ejde-1514	141	37	p.	p.	NOUN
ejde-1514	141	38	then	then	ADV
ejde-1514	141	39	,	,	PUNCT
ejde-1514	141	40	0	0	NUM
ejde-1514	141	41	≥	≥	NOUN
ejde-1514	141	42	2σ(∥u1∥	2σ(∥u1∥	NUM
ejde-1514	141	43	+	+	CCONJ
ejde-1514	141	44	∥u2∥	∥u2∥	PROPN
ejde-1514	141	45	)	)	PUNCT
ejde-1514	141	46	.	.	PUNCT
ejde-1514	142	1	since	since	SCONJ
ejde-1514	142	2	σ	σ	PROPN
ejde-1514	142	3	>	>	X
ejde-1514	142	4	0	0	PUNCT
ejde-1514	142	5	inside	inside	ADP
ejde-1514	142	6	p	p	PROPN
ejde-1514	142	7	we	we	PRON
ejde-1514	142	8	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	142	9	that	that	PRON
ejde-1514	142	10	(	(	PUNCT
ejde-1514	142	11	u1	u1	NOUN
ejde-1514	142	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	142	13	u2	u2	PROPN
ejde-1514	142	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	142	15	=	=	PUNCT
ejde-1514	142	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	142	17	0	0	NUM
ejde-1514	142	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	142	19	0	0	NUM
ejde-1514	142	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	142	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	143	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	143	2	we	we	PRON
ejde-1514	143	3	now	now	ADV
ejde-1514	143	4	present	present	VERB
ejde-1514	143	5	a	a	DET
ejde-1514	143	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	143	7	that	that	PRON
ejde-1514	143	8	outlines	outline	VERB
ejde-1514	143	9	some	some	DET
ejde-1514	143	10	properties	property	NOUN
ejde-1514	143	11	of	of	ADP
ejde-1514	143	12	the	the	DET
ejde-1514	143	13	mapping	mapping	NOUN
ejde-1514	143	14	t	t	NOUN
ejde-1514	143	15	.	.	PUNCT
ejde-1514	144	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	144	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1514	144	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	145	1	the	the	DET
ejde-1514	145	2	mapping	mapping	NOUN
ejde-1514	145	3	t	t	NOUN
ejde-1514	145	4	:	:	PUNCT
ejde-1514	145	5	p	p	X
ejde-1514	145	6	→	→	SYM
ejde-1514	145	7	p	p	X
ejde-1514	145	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	145	9	defined	define	VERB
ejde-1514	145	10	by	by	ADP
ejde-1514	145	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	145	12	3.1	3.1	NUM
ejde-1514	145	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	145	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	145	15	is	be	AUX
ejde-1514	145	16	completely	completely	ADV
ejde-1514	145	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	145	18	and	and	CCONJ
ejde-1514	145	19	t	t	PROPN
ejde-1514	145	20	(	(	PUNCT
ejde-1514	145	21	p	p	NOUN
ejde-1514	145	22	)	)	PUNCT
ejde-1514	145	23	⊂	⊂	PROPN
ejde-1514	146	1	p.	p.	NOUN
ejde-1514	146	2	proof	proof	NOUN
ejde-1514	146	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	147	1	let	let	VERB
ejde-1514	147	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	147	3	u1	u1	NOUN
ejde-1514	147	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	147	5	u2	u2	PROPN
ejde-1514	147	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	147	7	∈	∈	PROPN
ejde-1514	147	8	p.	p.	NOUN
ejde-1514	147	9	for	for	ADP
ejde-1514	147	10	j	j	PROPN
ejde-1514	147	11	=	=	SYM
ejde-1514	147	12	1	1	NUM
ejde-1514	147	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	147	14	2	2	NUM
ejde-1514	147	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	147	16	using	use	VERB
ejde-1514	147	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	147	18	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	147	19	we	we	PRON
ejde-1514	147	20	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	147	21	tj(u1	tj(u1	NOUN
ejde-1514	147	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	147	23	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	147	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	147	25	=	=	SYM
ejde-1514	148	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	148	2	ω	ω	NUM
ejde-1514	148	3	∫	∫	PROPN
ejde-1514	148	4	ω	ω	PROPN
ejde-1514	148	5	g1,j(x	g1,j(x	PROPN
ejde-1514	148	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	7	τ)g2,j(τ	τ)g2,j(τ	ADJ
ejde-1514	148	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	9	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	148	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	11	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	148	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	148	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	14	u2(s))ds	u2(s))ds	PUNCT
ejde-1514	148	15	dτ	dτ	PROPN
ejde-1514	148	16	≤	≤	VERB
ejde-1514	148	17	c1,jc2,j	c1,jc2,j	NOUN
ejde-1514	148	18	√	√	PROPN
ejde-1514	148	19	m1,j	m1,j	PROPN
ejde-1514	148	20	|ω|	|ω|	PROPN
ejde-1514	148	21	∫	∫	PROPN
ejde-1514	148	22	ω	ω	NUM
ejde-1514	148	23	√	√	PROPN
ejde-1514	148	24	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	148	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	26	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	148	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	28	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	148	29	)	)	PUNCT
ejde-1514	148	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	31	u2(s))ds	u2(s))ds	NUM
ejde-1514	148	32	(	(	PUNCT
ejde-1514	148	33	3.2	3.2	NUM
ejde-1514	148	34	)	)	PUNCT
ejde-1514	148	35	for	for	ADP
ejde-1514	148	36	all	all	DET
ejde-1514	148	37	x	x	SYM
ejde-1514	148	38	∈	∈	PROPN
ejde-1514	148	39	ω	ω	NOUN
ejde-1514	148	40	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	41	and	and	CCONJ
ejde-1514	148	42	hence	hence	ADV
ejde-1514	148	43	∥tj(u1	∥tj(u1	NUM
ejde-1514	148	44	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	45	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	148	46	≤	≤	NOUN
ejde-1514	148	47	c1,jc2,j	c1,jc2,j	ADJ
ejde-1514	148	48	√	√	PROPN
ejde-1514	148	49	m1,j	m1,j	PROPN
ejde-1514	148	50	|ω|	|ω|	PROPN
ejde-1514	148	51	∫	∫	PROPN
ejde-1514	148	52	ω	ω	NUM
ejde-1514	148	53	√	√	PROPN
ejde-1514	148	54	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	148	55	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	56	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	148	57	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	58	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	148	59	)	)	PUNCT
ejde-1514	148	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	148	61	u2(s))ds	u2(s))ds	NUM
ejde-1514	148	62	.	.	PUNCT
ejde-1514	149	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	149	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1514	149	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	149	4	6	6	NUM
ejde-1514	149	5	p.	p.	NOUN
ejde-1514	149	6	álvarez	álvarez	NOUN
ejde-1514	149	7	-	-	PUNCT
ejde-1514	149	8	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	149	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	149	10	c.	c.	PROPN
ejde-1514	149	11	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	149	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	149	13	d.	d.	PROPN
ejde-1514	149	14	sonowal	sonowal	ADV
ejde-1514	149	15	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	149	16	on	on	ADP
ejde-1514	149	17	the	the	DET
ejde-1514	149	18	other	other	ADJ
ejde-1514	149	19	hand	hand	NOUN
ejde-1514	149	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	149	21	using	use	VERB
ejde-1514	149	22	the	the	DET
ejde-1514	149	23	estimate	estimate	NOUN
ejde-1514	149	24	(	(	PUNCT
ejde-1514	149	25	3.3	3.3	NUM
ejde-1514	149	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	149	27	and	and	CCONJ
ejde-1514	149	28	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	149	29	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	149	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	149	31	we	we	PRON
ejde-1514	149	32	observe	observe	VERB
ejde-1514	149	33	for	for	ADP
ejde-1514	149	34	all	all	DET
ejde-1514	149	35	x	x	SYM
ejde-1514	149	36	∈	∈	PROPN
ejde-1514	149	37	ω	ω	NUM
ejde-1514	149	38	that	that	PRON
ejde-1514	149	39	tj(u1	tj(u1	NOUN
ejde-1514	149	40	,	,	PUNCT
ejde-1514	149	41	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	149	42	)	)	PUNCT
ejde-1514	149	43	=	=	SYM
ejde-1514	150	1	∫	∫	PROPN
ejde-1514	150	2	ω	ω	NUM
ejde-1514	150	3	∫	∫	PROPN
ejde-1514	150	4	ω	ω	PROPN
ejde-1514	150	5	g1,j(x	g1,j(x	PROPN
ejde-1514	150	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	150	7	τ)g2,j(τ	τ)g2,j(τ	ADJ
ejde-1514	150	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	150	9	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	150	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	150	11	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	150	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	150	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	150	14	u2(s))ds	u2(s))ds	PUNCT
ejde-1514	150	15	dτ	dτ	X
ejde-1514	150	16	≥	≥	PROPN
ejde-1514	150	17	δ1,jδ2,jψ	δ1,jδ2,jψ	PROPN
ejde-1514	150	18	2	2	NUM
ejde-1514	150	19	1,j(x	1,j(x	NUM
ejde-1514	150	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	150	21	∫	∫	PROPN
ejde-1514	151	1	ω	ω	NUM
ejde-1514	151	2	∫	∫	PROPN
ejde-1514	151	3	ω	ω	PROPN
ejde-1514	151	4	√	√	PROPN
ejde-1514	151	5	g1,j(τ	g1,j(τ	NOUN
ejde-1514	151	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	151	7	τ)ψ	τ)ψ	ADJ
ejde-1514	151	8	2	2	NUM
ejde-1514	151	9	2,j(τ	2,j(τ	NUM
ejde-1514	151	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	151	11	√	√	ADP
ejde-1514	151	12	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	151	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	151	14	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	151	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	151	16	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	151	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	151	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	151	19	u2(s))ds	u2(s))ds	PUNCT
ejde-1514	151	20	dτ	dτ	X
ejde-1514	151	21	≥	≥	PROPN
ejde-1514	151	22	δ1,jδ2,jψ	δ1,jδ2,jψ	PROPN
ejde-1514	151	23	2	2	NUM
ejde-1514	151	24	1,j(x	1,j(x	NUM
ejde-1514	151	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	151	26	∫	∫	PROPN
ejde-1514	152	1	ω	ω	NUM
ejde-1514	152	2	√	√	PROPN
ejde-1514	152	3	g1,j(τ	g1,j(τ	NOUN
ejde-1514	152	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	152	5	τ)ψ	τ)ψ	ADJ
ejde-1514	152	6	2	2	NUM
ejde-1514	152	7	2,j(τ)dτ	2,j(τ)dτ	NUM
ejde-1514	152	8	∫	∫	NOUN
ejde-1514	152	9	ω	ω	NUM
ejde-1514	152	10	√	√	PROPN
ejde-1514	152	11	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	152	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	152	13	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	152	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	152	15	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	152	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	152	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	152	18	u2(s))ds	u2(s))d	NOUN
ejde-1514	153	1	=	=	SYM
ejde-1514	153	2	δ1,jδ2,jψ	δ1,jδ2,jψ	PROPN
ejde-1514	153	3	2	2	NUM
ejde-1514	153	4	1,j(x)c0,j	1,j(x)c0,j	NUM
ejde-1514	153	5	∫	∫	PROPN
ejde-1514	153	6	ω	ω	NOUN
ejde-1514	153	7	√	√	PROPN
ejde-1514	153	8	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	153	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	10	s)fj(s	s)fj(s	PROPN
ejde-1514	153	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	12	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	153	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	153	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	15	u2(s))ds	u2(s))ds	PRON
ejde-1514	153	16	≥	≥	NOUN
ejde-1514	153	17	δ1,jδ2,jψ	δ1,jδ2,jψ	PROPN
ejde-1514	153	18	2	2	NUM
ejde-1514	153	19	1,j(x)c0,j	1,j(x)c0,j	NUM
ejde-1514	153	20	c1,jc2,j	c1,jc2,j	NOUN
ejde-1514	153	21	√	√	PROPN
ejde-1514	153	22	m1,j	m1,j	PROPN
ejde-1514	153	23	|ω|	|ω|	PROPN
ejde-1514	153	24	∥tj(u1	∥tj(u1	NUM
ejde-1514	153	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	26	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	153	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	28	j	j	PROPN
ejde-1514	153	29	=	=	SYM
ejde-1514	153	30	1	1	NUM
ejde-1514	153	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	153	32	2	2	NUM
ejde-1514	153	33	.	.	PUNCT
ejde-1514	154	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	154	2	x	x	SYM
ejde-1514	154	3	∈	∈	PROPN
ejde-1514	154	4	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	154	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	154	6	we	we	PRON
ejde-1514	154	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	154	8	that	that	DET
ejde-1514	154	9	tj(u1	tj(u1	NOUN
ejde-1514	154	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	154	11	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	154	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	154	13	≥	≥	NOUN
ejde-1514	154	14	σj∥tj(u1	σj∥tj(u1	NOUN
ejde-1514	154	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	154	16	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	154	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	154	18	which	which	PRON
ejde-1514	154	19	yields	yield	VERB
ejde-1514	154	20	t1(u1	t1(u1	VERB
ejde-1514	154	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	154	22	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	154	23	)	)	PUNCT
ejde-1514	155	1	+	+	NUM
ejde-1514	155	2	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	155	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	4	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	155	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	155	6	≥	≥	NOUN
ejde-1514	155	7	σ1∥t1(u1	σ1∥t1(u1	PROPN
ejde-1514	155	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	9	u2)∥+	u2)∥+	PROPN
ejde-1514	155	10	σ2∥t2(u1	σ2∥t2(u1	PROPN
ejde-1514	155	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	12	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	155	13	≥	≥	NOUN
ejde-1514	155	14	σ∥t	σ∥t	NOUN
ejde-1514	155	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	155	16	u1	u1	PROPN
ejde-1514	155	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	18	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	155	19	and	and	CCONJ
ejde-1514	155	20	hence	hence	ADV
ejde-1514	155	21	t	t	PROPN
ejde-1514	155	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	155	23	u1	u1	PROPN
ejde-1514	155	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	25	u2	u2	PROPN
ejde-1514	155	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	155	27	=	=	PUNCT
ejde-1514	155	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	155	29	t1(u1	t1(u1	NOUN
ejde-1514	155	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	31	u2	u2	NOUN
ejde-1514	155	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	155	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	34	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	155	35	,	,	PUNCT
ejde-1514	155	36	u2	u2	NOUN
ejde-1514	155	37	)	)	PUNCT
ejde-1514	155	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	156	1	∈	∈	PROPN
ejde-1514	157	1	p	p	NOUN
ejde-1514	157	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	157	3	that	that	ADV
ejde-1514	157	4	is	is	ADV
ejde-1514	157	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	157	6	t	t	PROPN
ejde-1514	157	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	157	8	p	p	NOUN
ejde-1514	157	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	157	10	⊂	⊂	PROPN
ejde-1514	158	1	p.	p.	NOUN
ejde-1514	158	2	in	in	ADP
ejde-1514	158	3	addition	addition	NOUN
ejde-1514	158	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	158	5	note	note	VERB
ejde-1514	158	6	that	that	SCONJ
ejde-1514	158	7	f1	f1	NOUN
ejde-1514	158	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	158	9	f2	f2	PROPN
ejde-1514	158	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	158	11	and	and	CCONJ
ejde-1514	158	12	gi	gi	INTJ
ejde-1514	158	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	158	14	j	j	PROPN
ejde-1514	158	15	are	be	AUX
ejde-1514	158	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	158	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	159	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	159	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	159	3	we	we	PRON
ejde-1514	159	4	can	can	AUX
ejde-1514	159	5	deduce	deduce	VERB
ejde-1514	159	6	that	that	DET
ejde-1514	159	7	t	t	PROPN
ejde-1514	159	8	is	be	AUX
ejde-1514	159	9	completely	completely	ADV
ejde-1514	159	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	159	11	just	just	ADV
ejde-1514	159	12	applying	apply	VERB
ejde-1514	159	13	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-1514	159	14	-	-	PUNCT
ejde-1514	159	15	arzela	arzela	PROPN
ejde-1514	159	16	theorem	theorem	VERB
ejde-1514	159	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	160	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	160	2	finally	finally	ADV
ejde-1514	160	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	160	4	let	let	VERB
ejde-1514	160	5	us	we	PRON
ejde-1514	160	6	denote	denote	VERB
ejde-1514	160	7	pr	pr	NOUN
ejde-1514	160	8	:	:	PUNCT
ejde-1514	160	9	=	=	SYM
ejde-1514	160	10	{	{	PUNCT
ejde-1514	160	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	160	12	u1	u1	NOUN
ejde-1514	160	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	160	14	u2	u2	PROPN
ejde-1514	160	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	160	16	∈	∈	PROPN
ejde-1514	160	17	p	p	NOUN
ejde-1514	160	18	:	:	PUNCT
ejde-1514	160	19	∥(u1	∥(u1	ADJ
ejde-1514	160	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	160	21	u2)∥	u2)∥	X
ejde-1514	160	22	<	<	X
ejde-1514	160	23	r	r	X
ejde-1514	160	24	}	}	PUNCT
ejde-1514	160	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	161	1	clearly	clearly	ADV
ejde-1514	161	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	3	for	for	ADP
ejde-1514	161	4	each	each	DET
ejde-1514	161	5	r	r	NOUN
ejde-1514	161	6	>	>	PUNCT
ejde-1514	161	7	0,pr	0,pr	NUM
ejde-1514	161	8	is	be	AUX
ejde-1514	161	9	a	a	DET
ejde-1514	161	10	relatively	relatively	ADV
ejde-1514	161	11	open	open	ADJ
ejde-1514	161	12	and	and	CCONJ
ejde-1514	161	13	bounded	bound	VERB
ejde-1514	161	14	set	set	NOUN
ejde-1514	161	15	of	of	ADP
ejde-1514	161	16	p.	p.	NOUN
ejde-1514	161	17	then	then	ADV
ejde-1514	161	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	19	by	by	ADP
ejde-1514	161	20	the	the	DET
ejde-1514	161	21	definition	definition	NOUN
ejde-1514	161	22	of	of	ADP
ejde-1514	161	23	cone	cone	NOUN
ejde-1514	161	24	p	p	NOUN
ejde-1514	161	25	and	and	CCONJ
ejde-1514	161	26	the	the	DET
ejde-1514	161	27	norm	norm	NOUN
ejde-1514	161	28	∥(u1	∥(u1	NUM
ejde-1514	161	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	30	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	161	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	32	one	one	PRON
ejde-1514	161	33	can	can	AUX
ejde-1514	161	34	see	see	VERB
ejde-1514	161	35	that	that	DET
ejde-1514	161	36	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	161	37	:	:	PUNCT
ejde-1514	161	38	=	=	SYM
ejde-1514	161	39	{	{	PUNCT
ejde-1514	161	40	(	(	PUNCT
ejde-1514	161	41	u1	u1	NOUN
ejde-1514	161	42	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	43	u2	u2	PROPN
ejde-1514	161	44	)	)	PUNCT
ejde-1514	161	45	∈	∈	PROPN
ejde-1514	161	46	p	p	NOUN
ejde-1514	161	47	:	:	PUNCT
ejde-1514	161	48	∥(u1	∥(u1	ADJ
ejde-1514	161	49	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	50	u2)∥	u2)∥	X
ejde-1514	161	51	=	=	PUNCT
ejde-1514	161	52	r	r	X
ejde-1514	161	53	}	}	PUNCT
ejde-1514	161	54	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	55	pr	pr	X
ejde-1514	161	56	:	:	PUNCT
ejde-1514	161	57	=	=	SYM
ejde-1514	161	58	{	{	PUNCT
ejde-1514	161	59	(	(	PUNCT
ejde-1514	161	60	u1	u1	NOUN
ejde-1514	161	61	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	62	u2	u2	PROPN
ejde-1514	161	63	)	)	PUNCT
ejde-1514	161	64	∈	∈	PROPN
ejde-1514	161	65	p	p	NOUN
ejde-1514	161	66	:	:	PUNCT
ejde-1514	161	67	∥(u1	∥(u1	ADJ
ejde-1514	161	68	,	,	PUNCT
ejde-1514	161	69	u2)∥	u2)∥	X
ejde-1514	161	70	≤	≤	ADV
ejde-1514	161	71	r	r	NOUN
ejde-1514	161	72	}	}	PUNCT
ejde-1514	161	73	.	.	PUNCT
ejde-1514	162	1	since	since	SCONJ
ejde-1514	162	2	pr	pr	NOUN
ejde-1514	162	3	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	162	4	∅	∅	NOUN
ejde-1514	162	5	and	and	CCONJ
ejde-1514	162	6	t	t	PROPN
ejde-1514	162	7	:	:	PUNCT
ejde-1514	162	8	pr	pr	X
ejde-1514	162	9	→	→	PUNCT
ejde-1514	162	10	p	p	PRON
ejde-1514	162	11	is	be	AUX
ejde-1514	162	12	a	a	DET
ejde-1514	162	13	completely	completely	ADV
ejde-1514	162	14	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	162	15	mapping	mapping	NOUN
ejde-1514	162	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	17	see	see	VERB
ejde-1514	162	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	162	19	3.2	3.2	NUM
ejde-1514	162	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	21	we	we	PRON
ejde-1514	162	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	162	23	that	that	SCONJ
ejde-1514	162	24	the	the	DET
ejde-1514	162	25	fixed	fix	VERB
ejde-1514	162	26	point	point	NOUN
ejde-1514	162	27	index	index	NOUN
ejde-1514	162	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	29	i	i	PRON
ejde-1514	162	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	162	31	t	t	PROPN
ejde-1514	162	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	33	pr	pr	NOUN
ejde-1514	162	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	35	p	p	NOUN
ejde-1514	162	36	)	)	PUNCT
ejde-1514	162	37	is	be	AUX
ejde-1514	162	38	defined	define	VERB
ejde-1514	162	39	if	if	SCONJ
ejde-1514	162	40	t	t	PROPN
ejde-1514	162	41	(	(	PUNCT
ejde-1514	162	42	u1	u1	PROPN
ejde-1514	162	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	44	u2	u2	PROPN
ejde-1514	162	45	)	)	PUNCT
ejde-1514	162	46	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	162	47	(	(	PUNCT
ejde-1514	162	48	u1	u1	PROPN
ejde-1514	162	49	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	50	u2	u2	PROPN
ejde-1514	162	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	162	52	for	for	ADP
ejde-1514	162	53	ever	ever	ADV
ejde-1514	162	54	(	(	PUNCT
ejde-1514	162	55	u1	u1	NOUN
ejde-1514	162	56	,	,	PUNCT
ejde-1514	162	57	u2	u2	PROPN
ejde-1514	162	58	)	)	PUNCT
ejde-1514	162	59	∈	∈	PROPN
ejde-1514	162	60	pr	pr	NOUN
ejde-1514	162	61	.	.	PUNCT
ejde-1514	163	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	163	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	163	3	if	if	SCONJ
ejde-1514	163	4	i	i	PRON
ejde-1514	163	5	(	(	PUNCT
ejde-1514	163	6	t	t	PROPN
ejde-1514	163	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	163	8	pr	pr	NOUN
ejde-1514	163	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	163	10	p	p	NOUN
ejde-1514	163	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	163	12	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	163	13	0	0	NUM
ejde-1514	163	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	163	15	this	this	PRON
ejde-1514	163	16	actually	actually	ADV
ejde-1514	163	17	implies	imply	VERB
ejde-1514	163	18	that	that	SCONJ
ejde-1514	163	19	the	the	DET
ejde-1514	163	20	mapping	mapping	NOUN
ejde-1514	163	21	t	t	PROPN
ejde-1514	163	22	possesses	possess	VERB
ejde-1514	163	23	a	a	DET
ejde-1514	163	24	fixed	fix	VERB
ejde-1514	163	25	point	point	NOUN
ejde-1514	163	26	in	in	ADP
ejde-1514	163	27	pr	pr	NOUN
ejde-1514	163	28	.	.	PUNCT
ejde-1514	164	1	recall	recall	VERB
ejde-1514	164	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	164	3	the	the	DET
ejde-1514	164	4	fixed	fix	VERB
ejde-1514	164	5	point	point	NOUN
ejde-1514	164	6	index	index	NOUN
ejde-1514	164	7	i	i	PRON
ejde-1514	164	8	is	be	AUX
ejde-1514	164	9	a	a	DET
ejde-1514	164	10	counter	counter	NOUN
ejde-1514	164	11	of	of	ADP
ejde-1514	164	12	the	the	DET
ejde-1514	164	13	number	number	NOUN
ejde-1514	164	14	of	of	ADP
ejde-1514	164	15	zeros	zero	NOUN
ejde-1514	164	16	for	for	ADP
ejde-1514	164	17	a	a	DET
ejde-1514	164	18	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	164	19	differential	differential	NOUN
ejde-1514	164	20	operator	operator	NOUN
ejde-1514	164	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	165	1	it	it	PRON
ejde-1514	165	2	might	might	AUX
ejde-1514	165	3	be	be	AUX
ejde-1514	165	4	obtained	obtain	VERB
ejde-1514	165	5	using	use	VERB
ejde-1514	165	6	the	the	DET
ejde-1514	165	7	leray	leray	ADJ
ejde-1514	165	8	-	-	PUNCT
ejde-1514	165	9	schauder	schauder	NOUN
ejde-1514	165	10	formula	formula	NOUN
ejde-1514	165	11	of	of	ADP
ejde-1514	165	12	the	the	DET
ejde-1514	165	13	topological	topological	ADJ
ejde-1514	165	14	degree	degree	NOUN
ejde-1514	165	15	for	for	ADP
ejde-1514	165	16	compact	compact	ADJ
ejde-1514	165	17	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-1514	165	18	of	of	ADP
ejde-1514	165	19	the	the	DET
ejde-1514	165	20	identity	identity	NOUN
ejde-1514	165	21	in	in	ADP
ejde-1514	165	22	a	a	DET
ejde-1514	165	23	banach	banach	NOUN
ejde-1514	165	24	space	space	NOUN
ejde-1514	165	25	and	and	CCONJ
ejde-1514	165	26	it	it	PRON
ejde-1514	165	27	is	be	AUX
ejde-1514	165	28	related	relate	VERB
ejde-1514	165	29	to	to	ADP
ejde-1514	165	30	the	the	DET
ejde-1514	165	31	topological	topological	ADJ
ejde-1514	165	32	degree	degree	NOUN
ejde-1514	165	33	of	of	ADP
ejde-1514	165	34	brouwer	brouwer	PROPN
ejde-1514	165	35	.	.	PUNCT
ejde-1514	166	1	through	through	ADP
ejde-1514	166	2	these	these	DET
ejde-1514	166	3	abstract	abstract	ADJ
ejde-1514	166	4	algebraic	algebraic	ADJ
ejde-1514	166	5	concepts	concept	NOUN
ejde-1514	166	6	one	one	PRON
ejde-1514	166	7	can	can	AUX
ejde-1514	166	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	166	9	the	the	DET
ejde-1514	166	10	number	number	NOUN
ejde-1514	166	11	of	of	ADP
ejde-1514	166	12	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	166	13	of	of	ADP
ejde-1514	166	14	a	a	DET
ejde-1514	166	15	differential	differential	ADJ
ejde-1514	166	16	equation	equation	NOUN
ejde-1514	166	17	;	;	PUNCT
ejde-1514	166	18	see	see	VERB
ejde-1514	166	19	[	[	X
ejde-1514	166	20	1	1	NUM
ejde-1514	166	21	]	]	PUNCT
ejde-1514	166	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	166	23	[	[	X
ejde-1514	166	24	6	6	NUM
ejde-1514	166	25	]	]	PUNCT
ejde-1514	166	26	and	and	CCONJ
ejde-1514	167	1	[	[	X
ejde-1514	167	2	11	11	NUM
ejde-1514	167	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	167	4	for	for	ADP
ejde-1514	167	5	further	further	ADJ
ejde-1514	167	6	details	detail	NOUN
ejde-1514	167	7	on	on	ADP
ejde-1514	167	8	fixed	fix	VERB
ejde-1514	167	9	point	point	NOUN
ejde-1514	167	10	theory	theory	NOUN
ejde-1514	167	11	an	an	DET
ejde-1514	167	12	extensive	extensive	ADJ
ejde-1514	167	13	analysis	analysis	NOUN
ejde-1514	167	14	of	of	ADP
ejde-1514	167	15	such	such	ADJ
ejde-1514	167	16	concepts	concept	NOUN
ejde-1514	167	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	168	1	the	the	DET
ejde-1514	168	2	following	follow	VERB
ejde-1514	168	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	168	4	states	state	VERB
ejde-1514	168	5	how	how	SCONJ
ejde-1514	168	6	to	to	PART
ejde-1514	168	7	calculate	calculate	VERB
ejde-1514	168	8	the	the	DET
ejde-1514	168	9	fixed	fix	VERB
ejde-1514	168	10	point	point	NOUN
ejde-1514	168	11	index	index	NOUN
ejde-1514	168	12	of	of	ADP
ejde-1514	168	13	t	t	PROPN
ejde-1514	168	14	in	in	ADP
ejde-1514	168	15	pr	pr	NOUN
ejde-1514	168	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	168	17	i	i	PRON
ejde-1514	168	18	(	(	PUNCT
ejde-1514	168	19	t	t	PROPN
ejde-1514	168	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	168	21	pr	pr	NOUN
ejde-1514	168	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	168	23	p	p	NOUN
ejde-1514	168	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	168	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	169	1	we	we	PRON
ejde-1514	169	2	include	include	VERB
ejde-1514	169	3	it	it	PRON
ejde-1514	169	4	here	here	ADV
ejde-1514	169	5	omitting	omit	VERB
ejde-1514	169	6	the	the	DET
ejde-1514	169	7	proof	proof	NOUN
ejde-1514	169	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	169	9	which	which	PRON
ejde-1514	169	10	can	can	AUX
ejde-1514	169	11	be	be	AUX
ejde-1514	169	12	checked	check	VERB
ejde-1514	169	13	in	in	ADP
ejde-1514	169	14	[	[	X
ejde-1514	169	15	6	6	NUM
ejde-1514	169	16	]	]	PUNCT
ejde-1514	169	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	170	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	170	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1514	170	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	171	1	let	let	VERB
ejde-1514	171	2	t	t	NOUN
ejde-1514	171	3	:	:	PUNCT
ejde-1514	171	4	p	p	X
ejde-1514	171	5	→	→	PUNCT
ejde-1514	171	6	p	p	X
ejde-1514	171	7	be	be	AUX
ejde-1514	171	8	a	a	DET
ejde-1514	171	9	completely	completely	ADV
ejde-1514	171	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	171	11	mapping	mapping	NOUN
ejde-1514	171	12	.	.	PUNCT
ejde-1514	172	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	2	1	1	X
ejde-1514	172	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	4	if	if	SCONJ
ejde-1514	172	5	ηt	ηt	ADP
ejde-1514	172	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	7	u1	u1	NOUN
ejde-1514	172	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	9	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	10	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	11	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	172	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	13	u1	u1	PROPN
ejde-1514	172	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	15	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	17	for	for	ADP
ejde-1514	172	18	every	every	DET
ejde-1514	172	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	20	u1	u1	NOUN
ejde-1514	172	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	22	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	23	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	24	∈	∈	PROPN
ejde-1514	172	25	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	172	26	and	and	CCONJ
ejde-1514	172	27	0	0	NUM
ejde-1514	172	28	<	<	X
ejde-1514	172	29	η	η	PROPN
ejde-1514	172	30	≤	≤	PROPN
ejde-1514	172	31	1	1	NUM
ejde-1514	172	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	33	then	then	ADV
ejde-1514	172	34	i	i	PRON
ejde-1514	172	35	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	36	t	t	PROPN
ejde-1514	172	37	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	38	pr	pr	NOUN
ejde-1514	172	39	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	40	p	p	NOUN
ejde-1514	172	41	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	42	=	=	SYM
ejde-1514	172	43	1	1	X
ejde-1514	172	44	.	.	PUNCT
ejde-1514	172	45	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	46	2	2	X
ejde-1514	172	47	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	48	if	if	SCONJ
ejde-1514	172	49	ηt	ηt	ADP
ejde-1514	172	50	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	51	u1	u1	NOUN
ejde-1514	172	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	53	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	54	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	55	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	172	56	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	57	u1	u1	PROPN
ejde-1514	172	58	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	59	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	60	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	61	for	for	ADP
ejde-1514	172	62	every	every	DET
ejde-1514	172	63	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	64	u1	u1	NOUN
ejde-1514	172	65	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	66	u2	u2	PROPN
ejde-1514	172	67	)	)	PUNCT
ejde-1514	172	68	∈	∈	PROPN
ejde-1514	172	69	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	172	70	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	71	η	η	PROPN
ejde-1514	172	72	≥	≥	PROPN
ejde-1514	172	73	1	1	NUM
ejde-1514	172	74	and	and	CCONJ
ejde-1514	172	75	inf(u1,u2)∈∂pr	inf(u1,u2)∈∂pr	PROPN
ejde-1514	172	76	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	172	77	(	(	PUNCT
ejde-1514	172	78	u1	u1	PROPN
ejde-1514	172	79	,	,	PUNCT
ejde-1514	172	80	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	172	81	>	>	X
ejde-1514	172	82	0	0	PUNCT
ejde-1514	173	1	then	then	ADV
ejde-1514	173	2	i	i	PRON
ejde-1514	173	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	173	4	t	t	PROPN
ejde-1514	173	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	173	6	pr	pr	NOUN
ejde-1514	173	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	173	8	p	p	NOUN
ejde-1514	173	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	173	10	=	=	SYM
ejde-1514	173	11	0	0	NUM
ejde-1514	173	12	.	.	NOUN
ejde-1514	173	13	4	4	NUM
ejde-1514	173	14	.	.	X
ejde-1514	173	15	existence	existence	NOUN
ejde-1514	173	16	of	of	ADP
ejde-1514	173	17	positive	positive	ADJ
ejde-1514	173	18	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	173	19	in	in	ADP
ejde-1514	173	20	this	this	DET
ejde-1514	173	21	section	section	NOUN
ejde-1514	173	22	we	we	PRON
ejde-1514	173	23	proof	proof	VERB
ejde-1514	173	24	the	the	DET
ejde-1514	173	25	main	main	ADJ
ejde-1514	173	26	theorem	theorem	NOUN
ejde-1514	173	27	of	of	ADP
ejde-1514	173	28	the	the	DET
ejde-1514	173	29	paper	paper	NOUN
ejde-1514	173	30	.	.	PUNCT
ejde-1514	174	1	as	as	SCONJ
ejde-1514	174	2	mentioned	mention	VERB
ejde-1514	174	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	174	4	we	we	PRON
ejde-1514	174	5	will	will	AUX
ejde-1514	174	6	establish	establish	VERB
ejde-1514	174	7	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	174	8	on	on	ADP
ejde-1514	174	9	the	the	DET
ejde-1514	174	10	functions	function	NOUN
ejde-1514	174	11	fi	fi	NOUN
ejde-1514	174	12	and	and	CCONJ
ejde-1514	174	13	on	on	ADP
ejde-1514	174	14	the	the	DET
ejde-1514	174	15	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	174	16	of	of	ADP
ejde-1514	174	17	the	the	DET
ejde-1514	174	18	system	system	NOUN
ejde-1514	174	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	174	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	174	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	174	22	so	so	SCONJ
ejde-1514	174	23	that	that	SCONJ
ejde-1514	174	24	(	(	PUNCT
ejde-1514	174	25	1.2	1.2	NUM
ejde-1514	174	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	174	27	has	have	VERB
ejde-1514	174	28	positive	positive	ADJ
ejde-1514	174	29	solution	solution	NOUN
ejde-1514	174	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	174	31	u1	u1	NOUN
ejde-1514	174	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	174	33	u2	u2	PROPN
ejde-1514	174	34	)	)	PUNCT
ejde-1514	174	35	.	.	PUNCT
ejde-1514	175	1	recall	recall	VERB
ejde-1514	175	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	175	3	the	the	DET
ejde-1514	175	4	functions	function	NOUN
ejde-1514	175	5	f1	f1	NOUN
ejde-1514	175	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	175	7	f2	f2	PROPN
ejde-1514	175	8	:	:	PUNCT
ejde-1514	175	9	ω×	ω×	NUM
ejde-1514	176	1	[	[	X
ejde-1514	176	2	0,∞)×	0,∞)×	NUM
ejde-1514	176	3	[	[	X
ejde-1514	176	4	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1514	176	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	176	6	→	→	PUNCT
ejde-1514	177	1	[	[	X
ejde-1514	177	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1514	177	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	177	4	are	be	AUX
ejde-1514	177	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-1514	177	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	178	1	more	more	ADV
ejde-1514	178	2	precisely	precisely	ADV
ejde-1514	178	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	178	4	we	we	PRON
ejde-1514	178	5	will	will	AUX
ejde-1514	178	6	assume	assume	VERB
ejde-1514	178	7	that	that	SCONJ
ejde-1514	178	8	the	the	DET
ejde-1514	178	9	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	178	10	of	of	ADP
ejde-1514	178	11	the	the	DET
ejde-1514	178	12	system	system	NOUN
ejde-1514	178	13	verify	verify	VERB
ejde-1514	178	14	βi	βi	PRON
ejde-1514	178	15	<	<	X
ejde-1514	178	16	2λ1	2λ1	NUM
ejde-1514	178	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	178	18	β2	β2	VERB
ejde-1514	178	19	i	i	PRON
ejde-1514	178	20	≥	≥	VERB
ejde-1514	178	21	−4αi	−4αi	ADV
ejde-1514	178	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	178	23	αi	αi	VERB
ejde-1514	178	24	λ2k	λ2k	NOUN
ejde-1514	179	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	179	2	βi	βi	PROPN
ejde-1514	179	3	λk	λk	X
ejde-1514	179	4	<	<	X
ejde-1514	179	5	1	1	NUM
ejde-1514	179	6	.	.	PUNCT
ejde-1514	179	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	179	8	4.1	4.1	NUM
ejde-1514	179	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	179	10	recall	recall	NOUN
ejde-1514	179	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	179	12	see	see	VERB
ejde-1514	179	13	section	section	NOUN
ejde-1514	179	14	2	2	NUM
ejde-1514	179	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	179	16	that	that	SCONJ
ejde-1514	179	17	the	the	DET
ejde-1514	179	18	first	first	ADJ
ejde-1514	179	19	two	two	NUM
ejde-1514	179	20	conditions	condition	NOUN
ejde-1514	179	21	are	be	AUX
ejde-1514	179	22	related	relate	VERB
ejde-1514	179	23	to	to	ADP
ejde-1514	179	24	the	the	DET
ejde-1514	179	25	existence	existence	NOUN
ejde-1514	179	26	and	and	CCONJ
ejde-1514	179	27	properties	property	NOUN
ejde-1514	179	28	of	of	ADP
ejde-1514	179	29	the	the	DET
ejde-1514	179	30	green	green	PROPN
ejde-1514	179	31	’s	’s	PART
ejde-1514	179	32	functions	function	NOUN
ejde-1514	179	33	and	and	CCONJ
ejde-1514	179	34	the	the	DET
ejde-1514	179	35	third	third	ADJ
ejde-1514	179	36	one	one	NUM
ejde-1514	179	37	to	to	ADP
ejde-1514	179	38	the	the	DET
ejde-1514	179	39	existence	existence	NOUN
ejde-1514	179	40	of	of	ADP
ejde-1514	179	41	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	179	42	.	.	PUNCT
ejde-1514	180	1	as	as	ADP
ejde-1514	180	2	for	for	ADP
ejde-1514	180	3	the	the	DET
ejde-1514	180	4	functions	function	NOUN
ejde-1514	180	5	fi	fi	NOUN
ejde-1514	180	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	180	7	let	let	VERB
ejde-1514	180	8	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	180	9	n	n	CCONJ
ejde-1514	180	10	-	-	PUNCT
ejde-1514	180	11	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	180	12	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	180	13	-	-	PUNCT
ejde-1514	180	14	order	order	NOUN
ejde-1514	180	15	systems	system	NOUN
ejde-1514	180	16	7	7	NUM
ejde-1514	180	17	us	we	PRON
ejde-1514	180	18	introduce	introduce	VERB
ejde-1514	180	19	the	the	DET
ejde-1514	180	20	following	following	ADJ
ejde-1514	180	21	notation	notation	NOUN
ejde-1514	180	22	for	for	ADP
ejde-1514	180	23	convenience	convenience	NOUN
ejde-1514	181	1	:	:	PUNCT
ejde-1514	181	2	f0	f0	PROPN
ejde-1514	181	3	=	=	PROPN
ejde-1514	181	4	lim	lim	PROPN
ejde-1514	181	5	inf	inf	PROPN
ejde-1514	181	6	u+u2→0	u+u2→0	PROPN
ejde-1514	181	7	+	+	CCONJ
ejde-1514	181	8	min	min	NOUN
ejde-1514	181	9	x∈ω	x∈ω	NOUN
ejde-1514	181	10	f	f	PROPN
ejde-1514	182	1	[	[	X
ejde-1514	182	2	x	x	NOUN
ejde-1514	182	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	182	4	u1	u1	NOUN
ejde-1514	182	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	182	6	u2	u2	PROPN
ejde-1514	182	7	]	]	PUNCT
ejde-1514	182	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	182	9	f∞	f∞	PROPN
ejde-1514	182	10	=	=	SYM
ejde-1514	182	11	lim	lim	PROPN
ejde-1514	182	12	inf	inf	PROPN
ejde-1514	183	1	u1+u2→+∞	u1+u2→+∞	PROPN
ejde-1514	183	2	min	min	PROPN
ejde-1514	183	3	x∈ω	x∈ω	PROPN
ejde-1514	183	4	f	f	PROPN
ejde-1514	184	1	[	[	X
ejde-1514	184	2	x	x	NOUN
ejde-1514	184	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	184	4	u1	u1	NOUN
ejde-1514	184	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	184	6	u2	u2	PROPN
ejde-1514	184	7	]	]	PUNCT
ejde-1514	184	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	184	9	f0	f0	PROPN
ejde-1514	184	10	=	=	PROPN
ejde-1514	184	11	lim	lim	PROPN
ejde-1514	184	12	sup	sup	PROPN
ejde-1514	184	13	u1+u2→0	u1+u2→0	PROPN
ejde-1514	184	14	+	+	CCONJ
ejde-1514	184	15	max	max	PROPN
ejde-1514	184	16	x∈ω	x∈ω	NOUN
ejde-1514	184	17	f	f	PROPN
ejde-1514	185	1	[	[	X
ejde-1514	185	2	x	x	NOUN
ejde-1514	185	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	185	4	u1	u1	NOUN
ejde-1514	185	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	185	6	u2	u2	PROPN
ejde-1514	185	7	]	]	PUNCT
ejde-1514	185	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	185	9	f∞	f∞	PROPN
ejde-1514	185	10	=	=	SYM
ejde-1514	185	11	lim	lim	PROPN
ejde-1514	185	12	sup	sup	PROPN
ejde-1514	185	13	u1+u2→+∞	u1+u2→+∞	PROPN
ejde-1514	185	14	max	max	PROPN
ejde-1514	185	15	x∈ω	x∈ω	PROPN
ejde-1514	185	16	f	f	PROPN
ejde-1514	186	1	[	[	X
ejde-1514	186	2	x	x	NOUN
ejde-1514	186	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	4	u1	u1	NOUN
ejde-1514	186	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	6	u2	u2	PROPN
ejde-1514	186	7	]	]	PUNCT
ejde-1514	186	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	9	where	where	SCONJ
ejde-1514	186	10	f	f	PROPN
ejde-1514	186	11	[	[	X
ejde-1514	186	12	x	x	NOUN
ejde-1514	186	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	14	u1	u1	NOUN
ejde-1514	186	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	16	u2	u2	PROPN
ejde-1514	186	17	]	]	PUNCT
ejde-1514	186	18	:	:	PUNCT
ejde-1514	186	19	=	=	PUNCT
ejde-1514	186	20	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-1514	186	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	22	u1	u1	NOUN
ejde-1514	186	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	24	u2	u2	PROPN
ejde-1514	186	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	186	26	+	+	SYM
ejde-1514	186	27	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	186	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	29	u1	u1	NOUN
ejde-1514	186	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	186	31	u2	u2	PROPN
ejde-1514	186	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	186	33	l1u1	l1u1	NOUN
ejde-1514	187	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	187	2	l2u2	l2u2	PROPN
ejde-1514	187	3	and	and	CCONJ
ejde-1514	187	4	li	li	PROPN
ejde-1514	187	5	=	=	SYM
ejde-1514	187	6	λ21	λ21	PROPN
ejde-1514	187	7	−	−	PROPN
ejde-1514	187	8	λ1βi	λ1βi	PUNCT
ejde-1514	187	9	−	−	PUNCT
ejde-1514	187	10	αi	αi	VERB
ejde-1514	187	11	for	for	ADP
ejde-1514	187	12	i	i	PROPN
ejde-1514	187	13	=	=	NOUN
ejde-1514	187	14	1	1	NUM
ejde-1514	187	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	187	16	2	2	NUM
ejde-1514	187	17	.	.	X
ejde-1514	187	18	observe	observe	VERB
ejde-1514	187	19	that	that	SCONJ
ejde-1514	187	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	187	21	due	due	ADP
ejde-1514	187	22	to	to	ADP
ejde-1514	187	23	the	the	DET
ejde-1514	187	24	third	third	ADJ
ejde-1514	187	25	condition	condition	NOUN
ejde-1514	187	26	in	in	ADP
ejde-1514	187	27	(	(	PUNCT
ejde-1514	187	28	4.1	4.1	NUM
ejde-1514	187	29	)	)	PUNCT
ejde-1514	187	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	187	31	li	li	PROPN
ejde-1514	187	32	>	>	X
ejde-1514	187	33	0	0	PROPN
ejde-1514	187	34	.	.	PUNCT
ejde-1514	187	35	theorem	theorem	VERB
ejde-1514	187	36	4.1	4.1	NUM
ejde-1514	187	37	.	.	PUNCT
ejde-1514	188	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	188	2	f0	f0	PROPN
ejde-1514	188	3	<	<	X
ejde-1514	188	4	1	1	NUM
ejde-1514	188	5	<	<	X
ejde-1514	188	6	f∞	f∞	NOUN
ejde-1514	188	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	188	8	then	then	ADV
ejde-1514	188	9	the	the	DET
ejde-1514	188	10	system	system	NOUN
ejde-1514	188	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	188	12	1.2)–(1.3	1.2)–(1.3	NUM
ejde-1514	188	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	188	14	has	have	VERB
ejde-1514	188	15	at	at	ADV
ejde-1514	188	16	least	least	ADV
ejde-1514	188	17	one	one	NUM
ejde-1514	188	18	positive	positive	ADJ
ejde-1514	188	19	solution	solution	NOUN
ejde-1514	188	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	189	1	proof	proof	NOUN
ejde-1514	189	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	190	1	first	first	ADV
ejde-1514	190	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	3	since	since	SCONJ
ejde-1514	190	4	f0	f0	PROPN
ejde-1514	190	5	<	<	X
ejde-1514	190	6	1	1	NUM
ejde-1514	190	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	8	there	there	PRON
ejde-1514	190	9	exists	exist	VERB
ejde-1514	190	10	ε	ε	PROPN
ejde-1514	190	11	∈	∈	PROPN
ejde-1514	190	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	190	13	0	0	NUM
ejde-1514	190	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	15	1	1	NUM
ejde-1514	190	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	190	17	and	and	CCONJ
ejde-1514	190	18	r0	r0	VERB
ejde-1514	190	19	>	>	X
ejde-1514	190	20	0	0	NUM
ejde-1514	190	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	22	small	small	ADJ
ejde-1514	190	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	24	so	so	SCONJ
ejde-1514	190	25	that	that	DET
ejde-1514	190	26	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-1514	190	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	28	u1	u1	NOUN
ejde-1514	190	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	190	30	u2	u2	PROPN
ejde-1514	190	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	190	32	+	+	SYM
ejde-1514	191	1	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	191	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	191	3	u1	u1	NOUN
ejde-1514	191	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	191	5	u2	u2	NOUN
ejde-1514	191	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	191	7	≤	≤	NOUN
ejde-1514	191	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	191	9	1−	1−	NUM
ejde-1514	191	10	ε)(l1u1	ε)(l1u1	NOUN
ejde-1514	191	11	+	+	CCONJ
ejde-1514	191	12	l2u2	l2u2	PROPN
ejde-1514	191	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	191	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	191	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	191	16	4.2	4.2	NUM
ejde-1514	191	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	191	18	for	for	ADP
ejde-1514	191	19	all	all	DET
ejde-1514	191	20	x	x	SYM
ejde-1514	191	21	∈	∈	PROPN
ejde-1514	191	22	ω	ω	NOUN
ejde-1514	191	23	and	and	CCONJ
ejde-1514	191	24	u1	u1	PROPN
ejde-1514	191	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	191	26	u2	u2	PROPN
ejde-1514	191	27	≥	≥	NOUN
ejde-1514	191	28	0	0	NUM
ejde-1514	191	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	191	30	u1	u1	NOUN
ejde-1514	191	31	+	+	CCONJ
ejde-1514	191	32	u2	u2	PROPN
ejde-1514	191	33	≤	≤	NUM
ejde-1514	191	34	r0	r0	NOUN
ejde-1514	191	35	.	.	PUNCT
ejde-1514	192	1	we	we	PRON
ejde-1514	192	2	claim	claim	VERB
ejde-1514	192	3	now	now	ADV
ejde-1514	192	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	192	5	for	for	ADP
ejde-1514	192	6	every	every	DET
ejde-1514	192	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	192	8	u1	u1	NOUN
ejde-1514	192	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	192	10	u2	u2	NOUN
ejde-1514	192	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	192	12	∈	∈	NOUN
ejde-1514	192	13	∂pr0	∂pr0	NUM
ejde-1514	192	14	and	and	CCONJ
ejde-1514	192	15	0	0	NUM
ejde-1514	192	16	<	<	X
ejde-1514	192	17	η	η	PROPN
ejde-1514	192	18	≤	≤	ADV
ejde-1514	192	19	1	1	NUM
ejde-1514	192	20	ηt	ηt	ADP
ejde-1514	192	21	(	(	PUNCT
ejde-1514	192	22	u1	u1	NOUN
ejde-1514	192	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	192	24	u2	u2	PROPN
ejde-1514	192	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	192	26	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	192	27	(	(	PUNCT
ejde-1514	192	28	u1	u1	PROPN
ejde-1514	192	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	192	30	u2	u2	PROPN
ejde-1514	192	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	192	32	.	.	PUNCT
ejde-1514	193	1	then	then	ADV
ejde-1514	193	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	193	3	following	follow	VERB
ejde-1514	193	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	193	5	3.4	3.4	NUM
ejde-1514	193	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	193	7	we	we	PRON
ejde-1514	193	8	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	193	9	that	that	SCONJ
ejde-1514	194	1	i	i	PRON
ejde-1514	194	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	194	3	t	t	PROPN
ejde-1514	194	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	5	pr0	pr0	PROPN
ejde-1514	194	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	7	p	p	X
ejde-1514	194	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	194	9	=	=	SYM
ejde-1514	194	10	1	1	X
ejde-1514	194	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	194	12	(	(	PUNCT
ejde-1514	194	13	4.3	4.3	NUM
ejde-1514	194	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	194	15	to	to	PART
ejde-1514	194	16	proof	proof	VERB
ejde-1514	194	17	the	the	DET
ejde-1514	194	18	claim	claim	NOUN
ejde-1514	194	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	20	we	we	PRON
ejde-1514	194	21	argue	argue	VERB
ejde-1514	194	22	by	by	ADP
ejde-1514	194	23	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	194	24	by	by	ADP
ejde-1514	194	25	assuming	assume	VERB
ejde-1514	194	26	that	that	SCONJ
ejde-1514	194	27	there	there	PRON
ejde-1514	194	28	exist	exist	VERB
ejde-1514	194	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	194	30	u01	u01	PROPN
ejde-1514	194	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	32	u	u	NOUN
ejde-1514	194	33	0	0	NUM
ejde-1514	194	34	2	2	NUM
ejde-1514	194	35	)	)	PUNCT
ejde-1514	194	36	∈	∈	NOUN
ejde-1514	194	37	∂pr0	∂pr0	NUM
ejde-1514	194	38	and	and	CCONJ
ejde-1514	194	39	0	0	NUM
ejde-1514	194	40	<	<	X
ejde-1514	194	41	η0	η0	NOUN
ejde-1514	194	42	≤	≤	NOUN
ejde-1514	194	43	1	1	NUM
ejde-1514	194	44	such	such	ADJ
ejde-1514	194	45	that	that	SCONJ
ejde-1514	194	46	η0	η0	PROPN
ejde-1514	194	47	t	t	PROPN
ejde-1514	194	48	(	(	PUNCT
ejde-1514	194	49	u	u	NOUN
ejde-1514	194	50	0	0	NUM
ejde-1514	194	51	1	1	NUM
ejde-1514	194	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	53	u	u	NOUN
ejde-1514	194	54	0	0	NUM
ejde-1514	194	55	2	2	NUM
ejde-1514	194	56	)	)	PUNCT
ejde-1514	194	57	=	=	PRON
ejde-1514	194	58	(	(	PUNCT
ejde-1514	194	59	u01	u01	PROPN
ejde-1514	194	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	194	61	u	u	NOUN
ejde-1514	194	62	0	0	NUM
ejde-1514	194	63	2	2	NUM
ejde-1514	194	64	)	)	PUNCT
ejde-1514	194	65	.	.	PUNCT
ejde-1514	195	1	then	then	ADV
ejde-1514	195	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	3	by	by	ADP
ejde-1514	195	4	definition	definition	NOUN
ejde-1514	195	5	of	of	ADP
ejde-1514	195	6	t	t	PROPN
ejde-1514	195	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	8	we	we	PRON
ejde-1514	195	9	have	have	VERB
ejde-1514	195	10	that	that	PRON
ejde-1514	195	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	195	12	u01	u01	PROPN
ejde-1514	195	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	14	u	u	NOUN
ejde-1514	195	15	0	0	NUM
ejde-1514	195	16	2	2	NUM
ejde-1514	195	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	195	18	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1514	195	19	differential	differential	ADJ
ejde-1514	195	20	equations	equation	NOUN
ejde-1514	195	21	∆2u01	∆2u01	VERB
ejde-1514	195	22	+	+	CCONJ
ejde-1514	195	23	β1∆u	β1∆u	X
ejde-1514	195	24	0	0	NUM
ejde-1514	195	25	1	1	NUM
ejde-1514	195	26	−	−	PROPN
ejde-1514	195	27	α1u	α1u	NOUN
ejde-1514	195	28	0	0	NUM
ejde-1514	195	29	1	1	NUM
ejde-1514	195	30	=	=	SYM
ejde-1514	195	31	η0f1(x	η0f1(x	NOUN
ejde-1514	195	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	33	u	u	NOUN
ejde-1514	195	34	0	0	NUM
ejde-1514	195	35	1	1	NUM
ejde-1514	195	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	37	u	u	NOUN
ejde-1514	195	38	0	0	NUM
ejde-1514	195	39	2	2	NUM
ejde-1514	195	40	)	)	PUNCT
ejde-1514	195	41	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	42	∆2u02	∆2u02	PROPN
ejde-1514	195	43	+	+	CCONJ
ejde-1514	195	44	β2∆u	β2∆u	NOUN
ejde-1514	195	45	0	0	NUM
ejde-1514	195	46	2	2	NUM
ejde-1514	195	47	−	−	NOUN
ejde-1514	195	48	α2u	α2u	NOUN
ejde-1514	195	49	0	0	NUM
ejde-1514	195	50	2	2	NUM
ejde-1514	195	51	=	=	SYM
ejde-1514	195	52	η0f2(x	η0f2(x	PROPN
ejde-1514	195	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	54	u	u	NOUN
ejde-1514	195	55	0	0	NUM
ejde-1514	195	56	1	1	NUM
ejde-1514	195	57	,	,	PUNCT
ejde-1514	195	58	u	u	NOUN
ejde-1514	195	59	0	0	NUM
ejde-1514	195	60	2	2	NUM
ejde-1514	195	61	)	)	PUNCT
ejde-1514	195	62	(	(	PUNCT
ejde-1514	195	63	4.4	4.4	NUM
ejde-1514	195	64	)	)	PUNCT
ejde-1514	195	65	and	and	CCONJ
ejde-1514	195	66	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	195	67	condition	condition	NOUN
ejde-1514	195	68	(	(	PUNCT
ejde-1514	195	69	1.3	1.3	NUM
ejde-1514	195	70	)	)	PUNCT
ejde-1514	195	71	.	.	PUNCT
ejde-1514	196	1	adding	add	VERB
ejde-1514	196	2	these	these	DET
ejde-1514	196	3	equations	equation	NOUN
ejde-1514	196	4	and	and	CCONJ
ejde-1514	196	5	using	use	VERB
ejde-1514	196	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	196	7	4.2	4.2	NUM
ejde-1514	196	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	196	9	we	we	PRON
ejde-1514	196	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	196	11	∆2u01	∆2u01	NOUN
ejde-1514	196	12	+	+	CCONJ
ejde-1514	196	13	β1∆u	β1∆u	X
ejde-1514	196	14	0	0	NUM
ejde-1514	196	15	1	1	NUM
ejde-1514	197	1	−	−	PROPN
ejde-1514	197	2	α1u	α1u	NOUN
ejde-1514	197	3	0	0	NUM
ejde-1514	197	4	1	1	NUM
ejde-1514	197	5	+	+	NOUN
ejde-1514	197	6	∆2u02	∆2u02	X
ejde-1514	197	7	+	+	CCONJ
ejde-1514	197	8	β2∆u	β2∆u	NOUN
ejde-1514	197	9	0	0	NUM
ejde-1514	197	10	2	2	NUM
ejde-1514	197	11	−	−	NOUN
ejde-1514	197	12	α2u	α2u	NOUN
ejde-1514	197	13	0	0	NUM
ejde-1514	197	14	2	2	NUM
ejde-1514	197	15	≤	≤	NOUN
ejde-1514	197	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	197	17	1−	1−	NUM
ejde-1514	197	18	ε)(l1u1	ε)(l1u1	NOUN
ejde-1514	197	19	+	+	CCONJ
ejde-1514	197	20	l2u2	l2u2	NOUN
ejde-1514	197	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	197	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	198	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	2	4.5	4.5	X
ejde-1514	198	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	198	4	multiplying	multiply	VERB
ejde-1514	198	5	this	this	DET
ejde-1514	198	6	expression	expression	NOUN
ejde-1514	198	7	by	by	ADP
ejde-1514	198	8	ϕ1(x	ϕ1(x	PROPN
ejde-1514	198	9	)	)	PUNCT
ejde-1514	198	10	and	and	CCONJ
ejde-1514	198	11	integrating	integrate	VERB
ejde-1514	198	12	by	by	ADP
ejde-1514	198	13	parts	part	NOUN
ejde-1514	198	14	we	we	PRON
ejde-1514	198	15	have∫	have∫	VERB
ejde-1514	198	16	ω	ω	X
ejde-1514	198	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	18	l1u1	l1u1	NOUN
ejde-1514	198	19	+	+	NUM
ejde-1514	198	20	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	ADJ
ejde-1514	198	21	≤	≤	NOUN
ejde-1514	198	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	23	1−	1−	NUM
ejde-1514	198	24	ε	ε	PROPN
ejde-1514	198	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	198	26	∫	∫	PROPN
ejde-1514	198	27	ω	ω	PROPN
ejde-1514	198	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	29	l1uu	l1uu	SYM
ejde-1514	198	30	+	+	NUM
ejde-1514	198	31	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	NOUN
ejde-1514	198	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	198	33	which	which	PRON
ejde-1514	198	34	is	be	AUX
ejde-1514	198	35	a	a	DET
ejde-1514	198	36	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	198	37	,	,	PUNCT
ejde-1514	198	38	since	since	SCONJ
ejde-1514	198	39	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	40	l1u1	l1u1	NOUN
ejde-1514	198	41	+	+	NUM
ejde-1514	198	42	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	X
ejde-1514	198	43	≥	≥	NOUN
ejde-1514	198	44	0	0	NUM
ejde-1514	198	45	in	in	ADP
ejde-1514	198	46	ω	ω	NUM
ejde-1514	198	47	,	,	PUNCT
ejde-1514	198	48	and	and	CCONJ
ejde-1514	198	49	hence	hence	ADV
ejde-1514	198	50	(	(	PUNCT
ejde-1514	198	51	4.3	4.3	NUM
ejde-1514	198	52	)	)	PUNCT
ejde-1514	198	53	follows	follow	VERB
ejde-1514	198	54	.	.	PUNCT
ejde-1514	199	1	on	on	ADP
ejde-1514	199	2	the	the	DET
ejde-1514	199	3	other	other	ADJ
ejde-1514	199	4	hand	hand	NOUN
ejde-1514	199	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	6	we	we	PRON
ejde-1514	199	7	have	have	VERB
ejde-1514	199	8	that	that	PRON
ejde-1514	199	9	due	due	ADJ
ejde-1514	199	10	to	to	ADP
ejde-1514	199	11	f∞	f∞	X
ejde-1514	199	12	>	>	X
ejde-1514	199	13	1	1	NUM
ejde-1514	199	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	15	there	there	PRON
ejde-1514	199	16	exists	exist	VERB
ejde-1514	199	17	ε	ε	PROPN
ejde-1514	199	18	∈	∈	PROPN
ejde-1514	199	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	199	20	0	0	NUM
ejde-1514	199	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	22	1	1	NUM
ejde-1514	199	23	)	)	PUNCT
ejde-1514	199	24	and	and	CCONJ
ejde-1514	199	25	k	k	X
ejde-1514	199	26	>	>	X
ejde-1514	199	27	0	0	NUM
ejde-1514	199	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	29	so	so	SCONJ
ejde-1514	199	30	that	that	DET
ejde-1514	199	31	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-1514	199	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	33	u1	u1	NOUN
ejde-1514	199	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	35	u2	u2	PROPN
ejde-1514	199	36	)	)	PUNCT
ejde-1514	199	37	+	+	SYM
ejde-1514	199	38	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	199	39	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	40	u1	u1	NOUN
ejde-1514	199	41	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	42	u2	u2	PROPN
ejde-1514	199	43	)	)	PUNCT
ejde-1514	199	44	≥	≥	NOUN
ejde-1514	199	45	(	(	PUNCT
ejde-1514	199	46	1	1	NUM
ejde-1514	199	47	+	+	NUM
ejde-1514	199	48	ε)(l1u1	ε)(l1u1	PROPN
ejde-1514	199	49	+	+	CCONJ
ejde-1514	199	50	l2u2	l2u2	PROPN
ejde-1514	199	51	)	)	PUNCT
ejde-1514	199	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	53	(	(	PUNCT
ejde-1514	199	54	4.6	4.6	NUM
ejde-1514	199	55	)	)	PUNCT
ejde-1514	199	56	for	for	ADP
ejde-1514	199	57	all	all	DET
ejde-1514	199	58	x	x	SYM
ejde-1514	199	59	∈	∈	PROPN
ejde-1514	199	60	ω	ω	NOUN
ejde-1514	199	61	and	and	CCONJ
ejde-1514	199	62	u1	u1	PROPN
ejde-1514	199	63	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	64	u2	u2	PROPN
ejde-1514	199	65	≥	≥	NOUN
ejde-1514	199	66	0	0	NUM
ejde-1514	199	67	,	,	PUNCT
ejde-1514	199	68	u1	u1	NOUN
ejde-1514	199	69	+	+	CCONJ
ejde-1514	199	70	u2	u2	PROPN
ejde-1514	199	71	≥	≥	PROPN
ejde-1514	199	72	k.	k.	PROPN
ejde-1514	200	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	200	2	if	if	SCONJ
ejde-1514	200	3	we	we	PRON
ejde-1514	200	4	take	take	VERB
ejde-1514	200	5	c	c	NOUN
ejde-1514	200	6	=	=	SYM
ejde-1514	200	7	k(1	k(1	PROPN
ejde-1514	200	8	+	+	PROPN
ejde-1514	200	9	ε)(l1	ε)(l1	PROPN
ejde-1514	200	10	+	+	CCONJ
ejde-1514	200	11	l2	l2	NOUN
ejde-1514	200	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	13	then	then	ADV
ejde-1514	200	14	for	for	ADP
ejde-1514	200	15	all	all	DET
ejde-1514	200	16	x	x	SYM
ejde-1514	200	17	∈	∈	PROPN
ejde-1514	200	18	ω	ω	NOUN
ejde-1514	200	19	and	and	CCONJ
ejde-1514	200	20	u1	u1	PROPN
ejde-1514	200	21	+	+	CCONJ
ejde-1514	200	22	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	23	≥	≥	NOUN
ejde-1514	200	24	0	0	NUM
ejde-1514	200	25	f1(x	f1(x	ADJ
ejde-1514	200	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	27	u1	u1	NOUN
ejde-1514	200	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	29	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	31	+	+	SYM
ejde-1514	200	32	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	200	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	34	u1	u1	NOUN
ejde-1514	200	35	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	36	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	37	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	38	≥	≥	NOUN
ejde-1514	200	39	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	40	1	1	NUM
ejde-1514	200	41	+	+	NUM
ejde-1514	200	42	ε)(l1u1	ε)(l1u1	PROPN
ejde-1514	200	43	+	+	CCONJ
ejde-1514	200	44	l2u2)−	l2u2)−	ADJ
ejde-1514	200	45	c.	c.	NOUN
ejde-1514	200	46	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	47	4.7	4.7	NUM
ejde-1514	200	48	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	49	we	we	PRON
ejde-1514	200	50	want	want	VERB
ejde-1514	200	51	to	to	PART
ejde-1514	200	52	show	show	VERB
ejde-1514	200	53	now	now	ADV
ejde-1514	200	54	that	that	SCONJ
ejde-1514	200	55	there	there	PRON
ejde-1514	200	56	exists	exist	VERB
ejde-1514	200	57	an	an	DET
ejde-1514	200	58	r	r	NOUN
ejde-1514	200	59	>	>	X
ejde-1514	200	60	r0	r0	NOUN
ejde-1514	200	61	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	62	to	to	PART
ejde-1514	200	63	be	be	AUX
ejde-1514	200	64	chosen	choose	VERB
ejde-1514	200	65	later	later	ADV
ejde-1514	200	66	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	67	so	so	SCONJ
ejde-1514	200	68	that	that	DET
ejde-1514	200	69	inf	inf	PROPN
ejde-1514	200	70	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	71	u1,u2)∈pr	u1,u2)∈pr	NUM
ejde-1514	200	72	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	200	73	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	74	u1	u1	PROPN
ejde-1514	200	75	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	76	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	200	77	>	>	X
ejde-1514	200	78	0	0	NUM
ejde-1514	200	79	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	80	and	and	CCONJ
ejde-1514	200	81	ηt	ηt	ADP
ejde-1514	200	82	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	83	u1	u1	NOUN
ejde-1514	200	84	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	85	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	86	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	87	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	200	88	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	89	u1	u1	PROPN
ejde-1514	200	90	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	91	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	92	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	93	for	for	ADP
ejde-1514	200	94	every	every	DET
ejde-1514	200	95	(	(	PUNCT
ejde-1514	200	96	u1	u1	NOUN
ejde-1514	200	97	,	,	PUNCT
ejde-1514	200	98	u2	u2	PROPN
ejde-1514	200	99	)	)	PUNCT
ejde-1514	200	100	∈	∈	PROPN
ejde-1514	200	101	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	200	102	and	and	CCONJ
ejde-1514	200	103	η	η	PROPN
ejde-1514	200	104	≥	≥	NUM
ejde-1514	200	105	1	1	NUM
ejde-1514	200	106	.	.	PUNCT
ejde-1514	201	1	as	as	ADP
ejde-1514	201	2	before	before	ADV
ejde-1514	201	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	201	4	this	this	PRON
ejde-1514	201	5	implies	imply	VERB
ejde-1514	201	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	201	7	following	follow	VERB
ejde-1514	201	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	201	9	3.4	3.4	NUM
ejde-1514	201	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	201	11	that	that	SCONJ
ejde-1514	201	12	i	i	PRON
ejde-1514	201	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	201	14	t	t	PROPN
ejde-1514	201	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	201	16	pr	pr	NOUN
ejde-1514	201	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	201	18	p	p	NOUN
ejde-1514	201	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	201	20	=	=	SYM
ejde-1514	202	1	0	0	X
ejde-1514	202	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	203	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	203	2	4.8	4.8	NUM
ejde-1514	203	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	203	4	we	we	PRON
ejde-1514	203	5	argue	argue	VERB
ejde-1514	203	6	again	again	ADV
ejde-1514	203	7	by	by	ADP
ejde-1514	203	8	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	203	9	.	.	PUNCT
ejde-1514	204	1	let	let	VERB
ejde-1514	204	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	204	3	u01	u01	PROPN
ejde-1514	204	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	204	5	u	u	NOUN
ejde-1514	204	6	0	0	NUM
ejde-1514	204	7	2	2	NUM
ejde-1514	204	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	204	9	∈	∈	PROPN
ejde-1514	204	10	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	204	11	and	and	CCONJ
ejde-1514	204	12	η0	η0	ADJ
ejde-1514	204	13	≥	≥	NUM
ejde-1514	204	14	1	1	NUM
ejde-1514	204	15	such	such	ADJ
ejde-1514	204	16	that	that	SCONJ
ejde-1514	204	17	η0	η0	PROPN
ejde-1514	204	18	t	t	PROPN
ejde-1514	204	19	(	(	PUNCT
ejde-1514	204	20	u	u	NOUN
ejde-1514	204	21	0	0	NUM
ejde-1514	204	22	1	1	NUM
ejde-1514	204	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	204	24	u	u	NOUN
ejde-1514	204	25	0	0	NUM
ejde-1514	204	26	2	2	NUM
ejde-1514	204	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	204	28	=	=	PRON
ejde-1514	204	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	204	30	u01	u01	PROPN
ejde-1514	204	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	204	32	u	u	NOUN
ejde-1514	204	33	0	0	NUM
ejde-1514	204	34	2	2	NUM
ejde-1514	204	35	)	)	PUNCT
ejde-1514	204	36	.	.	PUNCT
ejde-1514	205	1	then	then	ADV
ejde-1514	205	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	205	3	from	from	ADP
ejde-1514	205	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	205	5	4.4	4.4	NUM
ejde-1514	205	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	205	7	and	and	CCONJ
ejde-1514	205	8	following	follow	VERB
ejde-1514	205	9	the	the	DET
ejde-1514	205	10	same	same	ADJ
ejde-1514	205	11	steps	step	NOUN
ejde-1514	205	12	as	as	ADP
ejde-1514	205	13	in	in	ADP
ejde-1514	205	14	the	the	DET
ejde-1514	205	15	first	first	ADJ
ejde-1514	205	16	part	part	NOUN
ejde-1514	205	17	of	of	ADP
ejde-1514	205	18	the	the	DET
ejde-1514	205	19	proof	proof	NOUN
ejde-1514	205	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	205	21	using	use	VERB
ejde-1514	205	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	205	23	4.7	4.7	NUM
ejde-1514	205	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	205	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	205	26	we	we	PRON
ejde-1514	205	27	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	205	28	∫	∫	PROPN
ejde-1514	205	29	ω	ω	PROPN
ejde-1514	205	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	205	31	l1u1	l1u1	NOUN
ejde-1514	205	32	+	+	NUM
ejde-1514	205	33	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	ADJ
ejde-1514	205	34	≥	≥	NOUN
ejde-1514	206	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	206	2	1	1	NUM
ejde-1514	206	3	+	+	CCONJ
ejde-1514	206	4	ε	ε	PROPN
ejde-1514	206	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	206	6	∫	∫	PROPN
ejde-1514	206	7	ω	ω	PROPN
ejde-1514	206	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	206	9	l1uu	l1uu	SYM
ejde-1514	206	10	+	+	NUM
ejde-1514	206	11	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	NOUN
ejde-1514	206	12	−	−	PROPN
ejde-1514	206	13	c	c	PROPN
ejde-1514	206	14	∫	∫	PROPN
ejde-1514	206	15	ω	ω	NUM
ejde-1514	206	16	ϕ1	ϕ1	PROPN
ejde-1514	206	17	.	.	PUNCT
ejde-1514	207	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1514	207	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	207	3	we	we	PRON
ejde-1514	207	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	207	5	that	that	PRON
ejde-1514	207	6	ε	ε	PROPN
ejde-1514	207	7	∫	∫	PROPN
ejde-1514	207	8	ω	ω	PROPN
ejde-1514	207	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	207	10	l1u	l1u	PROPN
ejde-1514	207	11	0	0	NUM
ejde-1514	207	12	1	1	NUM
ejde-1514	207	13	+	+	NUM
ejde-1514	207	14	l2u	l2u	NOUN
ejde-1514	207	15	0	0	SYM
ejde-1514	207	16	2)ϕ1	2)ϕ1	NUM
ejde-1514	207	17	≤	≤	PROPN
ejde-1514	207	18	c	c	PROPN
ejde-1514	207	19	∫	∫	PROPN
ejde-1514	207	20	ω	ω	NUM
ejde-1514	207	21	ϕ1	ϕ1	PROPN
ejde-1514	207	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	208	1	(	(	PUNCT
ejde-1514	208	2	4.9	4.9	NUM
ejde-1514	208	3	)	)	PUNCT
ejde-1514	208	4	8	8	NUM
ejde-1514	208	5	p.	p.	NOUN
ejde-1514	208	6	álvarez	álvarez	NOUN
ejde-1514	208	7	-	-	PUNCT
ejde-1514	208	8	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	208	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	10	c.	c.	PROPN
ejde-1514	208	11	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	208	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	13	d.	d.	PROPN
ejde-1514	208	14	sonowal	sonowal	ADV
ejde-1514	208	15	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	208	16	on	on	ADP
ejde-1514	208	17	the	the	DET
ejde-1514	208	18	other	other	ADJ
ejde-1514	208	19	hand	hand	NOUN
ejde-1514	208	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	21	since	since	SCONJ
ejde-1514	208	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	208	23	u01	u01	PROPN
ejde-1514	208	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	25	u	u	NOUN
ejde-1514	208	26	0	0	NUM
ejde-1514	208	27	2	2	NUM
ejde-1514	208	28	)	)	PUNCT
ejde-1514	208	29	∈	∈	PROPN
ejde-1514	208	30	pr	pr	NOUN
ejde-1514	208	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	32	we	we	PRON
ejde-1514	208	33	have∫	have∫	VERB
ejde-1514	208	34	ω	ω	PROPN
ejde-1514	208	35	(	(	PUNCT
ejde-1514	208	36	l1u	l1u	X
ejde-1514	208	37	0	0	NUM
ejde-1514	208	38	1	1	NUM
ejde-1514	208	39	+	+	NUM
ejde-1514	208	40	l2u	l2u	NOUN
ejde-1514	208	41	0	0	NUM
ejde-1514	208	42	2	2	NUM
ejde-1514	208	43	)	)	PUNCT
ejde-1514	208	44	≥	≥	NOUN
ejde-1514	208	45	min{l1	min{l1	NUM
ejde-1514	208	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	47	l2}σ∥(u01	l2}σ∥(u01	PROPN
ejde-1514	208	48	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	49	u02)∥	u02)∥	PROPN
ejde-1514	208	50	∫	∫	PROPN
ejde-1514	208	51	ω	ω	NUM
ejde-1514	208	52	ϕ1	ϕ1	PROPN
ejde-1514	208	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	54	so	so	SCONJ
ejde-1514	208	55	that	that	SCONJ
ejde-1514	208	56	we	we	PRON
ejde-1514	208	57	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	208	58	that	that	PRON
ejde-1514	208	59	∥(u01	∥(u01	PROPN
ejde-1514	208	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	61	u02)∥	u02)∥	PROPN
ejde-1514	208	62	≤	≤	PROPN
ejde-1514	208	63	c	c	NOUN
ejde-1514	208	64	σεmin{l1	σεmin{l1	NOUN
ejde-1514	208	65	,	,	PUNCT
ejde-1514	208	66	l2	l2	NOUN
ejde-1514	208	67	}	}	PUNCT
ejde-1514	208	68	:	:	PUNCT
ejde-1514	208	69	=	=	SYM
ejde-1514	208	70	r1	r1	PROPN
ejde-1514	208	71	.	.	PUNCT
ejde-1514	209	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	209	2	r	r	NOUN
ejde-1514	209	3	>	>	X
ejde-1514	209	4	r1	r1	NOUN
ejde-1514	209	5	this	this	DET
ejde-1514	209	6	last	last	ADJ
ejde-1514	209	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-1514	209	8	provides	provide	VERB
ejde-1514	209	9	a	a	DET
ejde-1514	209	10	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	209	11	with	with	ADP
ejde-1514	209	12	the	the	DET
ejde-1514	209	13	fact	fact	NOUN
ejde-1514	210	1	that	that	SCONJ
ejde-1514	210	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	210	3	u01	u01	PROPN
ejde-1514	210	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	210	5	u	u	NOUN
ejde-1514	210	6	0	0	NUM
ejde-1514	210	7	2	2	NUM
ejde-1514	210	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	210	9	∈	∈	PROPN
ejde-1514	210	10	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	210	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	211	1	next	next	ADV
ejde-1514	211	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	211	3	we	we	PRON
ejde-1514	211	4	show	show	VERB
ejde-1514	211	5	that	that	SCONJ
ejde-1514	211	6	inf(u1,u2)∈pr	inf(u1,u2)∈pr	NOUN
ejde-1514	211	7	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	211	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	211	9	u1	u1	PROPN
ejde-1514	211	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	211	11	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	211	12	>	>	X
ejde-1514	211	13	0	0	X
ejde-1514	211	14	.	.	PUNCT
ejde-1514	212	1	to	to	ADP
ejde-1514	212	2	this	this	DET
ejde-1514	212	3	aim	aim	NOUN
ejde-1514	212	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	212	5	let	let	VERB
ejde-1514	212	6	r2	r2	PROPN
ejde-1514	212	7	=	=	SYM
ejde-1514	212	8	k	k	PROPN
ejde-1514	212	9	/	/	SYM
ejde-1514	212	10	σ	σ	PROPN
ejde-1514	212	11	and	and	CCONJ
ejde-1514	212	12	for	for	ADP
ejde-1514	212	13	r	r	NOUN
ejde-1514	212	14	>	>	X
ejde-1514	212	15	r2	r2	PROPN
ejde-1514	212	16	take	take	NOUN
ejde-1514	212	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	212	18	u1	u1	NOUN
ejde-1514	212	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	212	20	u2	u2	PROPN
ejde-1514	212	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	212	22	∈	∈	PROPN
ejde-1514	212	23	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	212	24	.	.	PUNCT
ejde-1514	213	1	then	then	ADV
ejde-1514	213	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	213	3	by	by	ADP
ejde-1514	213	4	definition	definition	NOUN
ejde-1514	213	5	of	of	ADP
ejde-1514	213	6	the	the	DET
ejde-1514	213	7	cone	cone	NOUN
ejde-1514	213	8	p	p	NOUN
ejde-1514	213	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	213	10	for	for	ADP
ejde-1514	213	11	x	x	PROPN
ejde-1514	213	12	∈	∈	PROPN
ejde-1514	213	13	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	213	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	213	15	we	we	PRON
ejde-1514	213	16	have	have	VERB
ejde-1514	213	17	that	that	PRON
ejde-1514	213	18	(	(	PUNCT
ejde-1514	213	19	u1	u1	NOUN
ejde-1514	213	20	+	+	CCONJ
ejde-1514	213	21	u2)(x	u2)(x	PROPN
ejde-1514	213	22	)	)	PUNCT
ejde-1514	213	23	≥	≥	NOUN
ejde-1514	213	24	σ∥(u1	σ∥(u1	NOUN
ejde-1514	213	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	213	26	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	213	27	>	>	X
ejde-1514	213	28	k	k	PROPN
ejde-1514	213	29	.	.	PUNCT
ejde-1514	214	1	so	so	ADV
ejde-1514	214	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	214	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	214	4	because	because	SCONJ
ejde-1514	214	5	of	of	ADP
ejde-1514	214	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	214	7	4.6	4.6	NUM
ejde-1514	214	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	214	9	we	we	PRON
ejde-1514	214	10	find	find	VERB
ejde-1514	214	11	that	that	SCONJ
ejde-1514	214	12	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-1514	214	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	214	14	u1	u1	NOUN
ejde-1514	214	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	214	16	u2	u2	PROPN
ejde-1514	214	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	214	18	+	+	SYM
ejde-1514	215	1	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	215	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	215	3	u1	u1	NOUN
ejde-1514	215	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	215	5	u2	u2	PROPN
ejde-1514	215	6	)	)	PUNCT
ejde-1514	215	7	≥	≥	NOUN
ejde-1514	215	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	215	9	1	1	NUM
ejde-1514	216	1	+	+	NUM
ejde-1514	216	2	ε)(l1u1	ε)(l1u1	PROPN
ejde-1514	216	3	+	+	CCONJ
ejde-1514	216	4	l2u2	l2u2	X
ejde-1514	216	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	216	6	≥	≥	NOUN
ejde-1514	216	7	(	(	PUNCT
ejde-1514	216	8	1	1	NUM
ejde-1514	216	9	+	+	CCONJ
ejde-1514	216	10	ε)min{l1	ε)min{l1	PROPN
ejde-1514	216	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	216	12	l2}σ∥(u1	l2}σ∥(u1	PROPN
ejde-1514	216	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	216	14	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	216	15	≥	≥	NUM
ejde-1514	216	16	(	(	PUNCT
ejde-1514	216	17	1	1	NUM
ejde-1514	216	18	+	+	CCONJ
ejde-1514	216	19	ε)min{l1	ε)min{l1	PROPN
ejde-1514	216	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	216	21	l2}k	l2}k	PROPN
ejde-1514	216	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	216	23	(	(	PUNCT
ejde-1514	216	24	4.10	4.10	NUM
ejde-1514	216	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	216	26	for	for	ADP
ejde-1514	216	27	all	all	DET
ejde-1514	216	28	x	x	SYM
ejde-1514	216	29	∈	∈	PROPN
ejde-1514	216	30	ω0	ω0	NOUN
ejde-1514	216	31	.	.	PUNCT
ejde-1514	217	1	on	on	ADP
ejde-1514	217	2	the	the	DET
ejde-1514	217	3	other	other	ADJ
ejde-1514	217	4	hand	hand	NOUN
ejde-1514	217	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	217	6	let	let	VERB
ejde-1514	217	7	x0	x0	PROPN
ejde-1514	217	8	∈	∈	PROPN
ejde-1514	217	9	ω0	ω0	PROPN
ejde-1514	217	10	fixed	fix	VERB
ejde-1514	217	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	217	12	as	as	ADP
ejde-1514	217	13	in	in	ADP
ejde-1514	217	14	the	the	DET
ejde-1514	217	15	proof	proof	NOUN
ejde-1514	217	16	of	of	ADP
ejde-1514	217	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	217	18	3.3	3.3	NUM
ejde-1514	217	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	217	20	using	use	VERB
ejde-1514	217	21	lemma	lemma	PROPN
ejde-1514	217	22	2.3	2.3	NUM
ejde-1514	217	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	217	24	we	we	PRON
ejde-1514	217	25	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	217	26	(	(	PUNCT
ejde-1514	217	27	t1(u1	t1(u1	NOUN
ejde-1514	217	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	217	29	u2	u2	NOUN
ejde-1514	217	30	)	)	PUNCT
ejde-1514	217	31	+	+	CCONJ
ejde-1514	218	1	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	218	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	218	3	u2))(x0	u2))(x0	NUM
ejde-1514	218	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	218	5	≥	≥	NOUN
ejde-1514	218	6	δ1,1δ2,1ψ	δ1,1δ2,1ψ	VERB
ejde-1514	219	1	2	2	NUM
ejde-1514	219	2	1,1c0,1	1,1c0,1	NUM
ejde-1514	219	3	∫	∫	PROPN
ejde-1514	219	4	ω	ω	NUM
ejde-1514	219	5	√	√	PROPN
ejde-1514	219	6	g2,1(s	g2,1(s	PROPN
ejde-1514	219	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	8	s)f1(s	s)f1(s	PROPN
ejde-1514	219	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	10	u1(s	u1(s	NOUN
ejde-1514	219	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	219	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	13	u2(s))ds	u2(s))d	NOUN
ejde-1514	219	14	+	+	CCONJ
ejde-1514	219	15	δ1,2δ2,2ψ	δ1,2δ2,2ψ	PROPN
ejde-1514	219	16	2	2	NUM
ejde-1514	219	17	1,2c0,2	1,2c0,2	NUM
ejde-1514	219	18	∫	∫	PROPN
ejde-1514	219	19	ω	ω	PROPN
ejde-1514	219	20	√	√	PROPN
ejde-1514	219	21	g2,2(s	g2,2(s	PROPN
ejde-1514	219	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	23	s)f2(s	s)f2(s	NOUN
ejde-1514	219	24	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	25	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	219	26	)	)	PUNCT
ejde-1514	219	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	28	u2(s))ds	u2(s))ds	NUM
ejde-1514	219	29	≥	≥	X
ejde-1514	219	30	min	min	NOUN
ejde-1514	219	31	j=1,2	j=1,2	ADJ
ejde-1514	219	32	{	{	PUNCT
ejde-1514	219	33	δ1,jδ2,jm1,jc0,j	δ1,jδ2,jm1,jc0,j	PROPN
ejde-1514	219	34	}	}	PUNCT
ejde-1514	219	35	∫	∫	PROPN
ejde-1514	219	36	ω0	ω0	PROPN
ejde-1514	219	37	(	(	PUNCT
ejde-1514	219	38	√	√	PROPN
ejde-1514	219	39	g2,1(s	g2,1(s	PROPN
ejde-1514	219	40	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	41	s)f1(s	s)f1(s	PROPN
ejde-1514	219	42	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	43	u1(s	u1(s	NOUN
ejde-1514	219	44	)	)	PUNCT
ejde-1514	219	45	,	,	PUNCT
ejde-1514	219	46	u2(s	u2(s	NOUN
ejde-1514	219	47	)	)	PUNCT
ejde-1514	219	48	)	)	PUNCT
ejde-1514	220	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	220	2	√	√	PROPN
ejde-1514	220	3	g2,2(s	g2,2(s	PROPN
ejde-1514	220	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	220	5	s)f2(s	s)f2(s	NOUN
ejde-1514	220	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	220	7	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	220	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	220	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	220	10	u2(s	u2(s	NOUN
ejde-1514	220	11	)	)	PUNCT
ejde-1514	220	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	220	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	221	1	ds	ds	ADP
ejde-1514	221	2	≥	≥	NUM
ejde-1514	221	3	min	min	NOUN
ejde-1514	221	4	j=1,2	j=1,2	ADJ
ejde-1514	221	5	{	{	PUNCT
ejde-1514	221	6	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j	PROPN
ejde-1514	221	7	}	}	PUNCT
ejde-1514	221	8	∫	∫	PROPN
ejde-1514	221	9	ω0	ω0	PROPN
ejde-1514	221	10	f1(s	f1(s	PROPN
ejde-1514	221	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	221	12	u1(s	u1(s	NOUN
ejde-1514	221	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	221	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	221	15	u2(s	u2(s	NOUN
ejde-1514	221	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	221	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	222	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	223	1	f2(s	f2(s	NOUN
ejde-1514	223	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	223	3	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	223	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	223	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	223	6	u2(s))ds	u2(s))d	NOUN
ejde-1514	223	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	223	8	where	where	SCONJ
ejde-1514	223	9	m2,j	m2,j	PROPN
ejde-1514	223	10	=	=	SYM
ejde-1514	223	11	minω0	minω0	VERB
ejde-1514	223	12	g2,j(s	g2,j(s	PROPN
ejde-1514	223	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	223	14	s	s	NOUN
ejde-1514	223	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	223	16	.	.	PUNCT
ejde-1514	224	1	from	from	ADP
ejde-1514	224	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	224	3	4.10	4.10	NUM
ejde-1514	224	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	224	5	we	we	PRON
ejde-1514	224	6	have	have	VERB
ejde-1514	224	7	that∫	that∫	NOUN
ejde-1514	224	8	ω0	ω0	PROPN
ejde-1514	224	9	f1(s	f1(s	PROPN
ejde-1514	224	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	224	11	u1(s	u1(s	NOUN
ejde-1514	224	12	)	)	PUNCT
ejde-1514	224	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	224	14	u2(s	u2(s	NOUN
ejde-1514	224	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	224	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	225	1	+	+	CCONJ
ejde-1514	226	1	f2(s	f2(s	NOUN
ejde-1514	226	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	3	u1(s	u1(s	PROPN
ejde-1514	226	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	226	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	6	u2(s))ds	u2(s))ds	NUM
ejde-1514	226	7	≥	≥	X
ejde-1514	226	8	(	(	PUNCT
ejde-1514	226	9	1	1	NUM
ejde-1514	226	10	+	+	CCONJ
ejde-1514	226	11	ε)min{l1	ε)min{l1	PROPN
ejde-1514	226	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	13	l2}k|ω0|	l2}k|ω0|	NUM
ejde-1514	226	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	226	16	4.11	4.11	NUM
ejde-1514	226	17	)	)	PUNCT
ejde-1514	226	18	so	so	SCONJ
ejde-1514	226	19	that	that	SCONJ
ejde-1514	226	20	we	we	PRON
ejde-1514	226	21	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	226	22	that	that	SCONJ
ejde-1514	226	23	(	(	PUNCT
ejde-1514	226	24	t1(u1	t1(u1	NOUN
ejde-1514	226	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	26	u2	u2	NOUN
ejde-1514	226	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	226	28	+	+	CCONJ
ejde-1514	226	29	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	226	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	31	u2))(x0	u2))(x0	NUM
ejde-1514	226	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	226	33	≥	≥	NOUN
ejde-1514	226	34	(	(	PUNCT
ejde-1514	226	35	1	1	NUM
ejde-1514	226	36	+	+	CCONJ
ejde-1514	226	37	ε	ε	PROPN
ejde-1514	226	38	)	)	PUNCT
ejde-1514	226	39	min	min	NOUN
ejde-1514	226	40	j=1,2	j=1,2	PROPN
ejde-1514	226	41	{	{	PUNCT
ejde-1514	226	42	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	PROPN
ejde-1514	226	43	,	,	PUNCT
ejde-1514	226	44	l2}k|ω0|	l2}k|ω0|	NUM
ejde-1514	226	45	.	.	PUNCT
ejde-1514	227	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1514	227	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	3	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	227	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	5	u1	u1	PROPN
ejde-1514	227	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	7	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	227	8	≥	≥	X
ejde-1514	227	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	10	t1(u1	t1(u1	NOUN
ejde-1514	227	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	12	u2	u2	NOUN
ejde-1514	227	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	227	14	+	+	CCONJ
ejde-1514	227	15	t2(u1	t2(u1	NOUN
ejde-1514	227	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	17	u2))(x0	u2))(x0	NUM
ejde-1514	227	18	)	)	PUNCT
ejde-1514	227	19	≥	≥	NOUN
ejde-1514	227	20	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	21	1	1	NUM
ejde-1514	227	22	+	+	CCONJ
ejde-1514	227	23	ε	ε	PROPN
ejde-1514	227	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	227	25	min	min	NOUN
ejde-1514	227	26	j=1,2	j=1,2	PROPN
ejde-1514	227	27	{	{	PUNCT
ejde-1514	227	28	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	PROPN
ejde-1514	227	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	30	l2}k|ω0|	l2}k|ω0|	NUM
ejde-1514	227	31	.	.	PUNCT
ejde-1514	227	32	taking	take	VERB
ejde-1514	227	33	the	the	DET
ejde-1514	227	34	infimum	infimum	NOUN
ejde-1514	227	35	on	on	ADP
ejde-1514	227	36	both	both	DET
ejde-1514	227	37	sides	side	NOUN
ejde-1514	227	38	over	over	ADP
ejde-1514	227	39	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	40	u1	u1	NOUN
ejde-1514	227	41	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	42	u2	u2	PROPN
ejde-1514	227	43	)	)	PUNCT
ejde-1514	227	44	∈	∈	PROPN
ejde-1514	227	45	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	227	46	we	we	PRON
ejde-1514	227	47	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	227	48	that	that	SCONJ
ejde-1514	227	49	inf(u1,u2)∈∂pr	inf(u1,u2)∈∂pr	PROPN
ejde-1514	227	50	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	227	51	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	52	u1	u1	PROPN
ejde-1514	227	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	54	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	227	55	>	>	X
ejde-1514	227	56	0	0	X
ejde-1514	227	57	.	.	PUNCT
ejde-1514	227	58	summing	sum	VERB
ejde-1514	227	59	up	up	ADP
ejde-1514	227	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	61	for	for	ADP
ejde-1514	227	62	any	any	DET
ejde-1514	227	63	r0	r0	NOUN
ejde-1514	227	64	>	>	X
ejde-1514	227	65	0	0	PUNCT
ejde-1514	227	66	small	small	ADJ
ejde-1514	227	67	and	and	CCONJ
ejde-1514	227	68	r	r	NOUN
ejde-1514	227	69	>	>	X
ejde-1514	227	70	max	max	PROPN
ejde-1514	227	71	{	{	PUNCT
ejde-1514	227	72	r0	r0	NOUN
ejde-1514	227	73	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	74	r1	r1	NOUN
ejde-1514	227	75	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	76	r2	r2	PROPN
ejde-1514	227	77	}	}	PUNCT
ejde-1514	227	78	we	we	PRON
ejde-1514	227	79	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	227	80	the	the	DET
ejde-1514	227	81	proof	proof	NOUN
ejde-1514	227	82	by	by	ADP
ejde-1514	227	83	using	use	VERB
ejde-1514	227	84	the	the	DET
ejde-1514	227	85	additivity	additivity	NOUN
ejde-1514	227	86	of	of	ADP
ejde-1514	227	87	fixed	fix	VERB
ejde-1514	227	88	point	point	NOUN
ejde-1514	227	89	index	index	NOUN
ejde-1514	227	90	for	for	ADP
ejde-1514	227	91	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	92	4.3	4.3	NUM
ejde-1514	227	93	)	)	PUNCT
ejde-1514	227	94	and	and	CCONJ
ejde-1514	227	95	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	96	4.8	4.8	NUM
ejde-1514	227	97	):	):	PUNCT
ejde-1514	227	98	i	i	PRON
ejde-1514	227	99	(	(	PUNCT
ejde-1514	227	100	t	t	PROPN
ejde-1514	227	101	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	102	pr\pr0	pr\pr0	NOUN
ejde-1514	227	103	,	,	PUNCT
ejde-1514	227	104	p	p	NOUN
ejde-1514	227	105	)	)	PUNCT
ejde-1514	228	1	=	=	SYM
ejde-1514	228	2	i	i	PROPN
ejde-1514	228	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	228	4	t	t	PROPN
ejde-1514	228	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	228	6	pr	pr	NOUN
ejde-1514	228	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	228	8	p)−	p)−	NOUN
ejde-1514	228	9	i	i	PRON
ejde-1514	228	10	(	(	PUNCT
ejde-1514	228	11	t	t	PROPN
ejde-1514	228	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	228	13	pr0	pr0	PROPN
ejde-1514	228	14	,	,	PUNCT
ejde-1514	228	15	p	p	NOUN
ejde-1514	228	16	)	)	PUNCT
ejde-1514	228	17	=	=	SYM
ejde-1514	228	18	−1	−1	NOUN
ejde-1514	228	19	.	.	PUNCT
ejde-1514	229	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	229	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	229	3	since	since	SCONJ
ejde-1514	229	4	r0	r0	NOUN
ejde-1514	229	5	is	be	AUX
ejde-1514	229	6	as	as	ADV
ejde-1514	229	7	small	small	ADJ
ejde-1514	229	8	as	as	SCONJ
ejde-1514	229	9	desired	desire	VERB
ejde-1514	229	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	229	11	t	t	PROPN
ejde-1514	229	12	has	have	VERB
ejde-1514	229	13	a	a	DET
ejde-1514	229	14	fixed	fix	VERB
ejde-1514	229	15	point	point	NOUN
ejde-1514	229	16	in	in	ADP
ejde-1514	229	17	pr\{0	pr\{0	PROPN
ejde-1514	229	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	229	19	0	0	NUM
ejde-1514	229	20	}	}	PUNCT
ejde-1514	229	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	229	22	which	which	PRON
ejde-1514	229	23	is	be	AUX
ejde-1514	229	24	a	a	DET
ejde-1514	229	25	positive	positive	ADJ
ejde-1514	229	26	solution	solution	NOUN
ejde-1514	229	27	of	of	ADP
ejde-1514	229	28	the	the	DET
ejde-1514	229	29	system	system	NOUN
ejde-1514	229	30	(	(	PUNCT
ejde-1514	229	31	1.2)–(1.3	1.2)–(1.3	NUM
ejde-1514	229	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	229	33	.	.	PUNCT
ejde-1514	230	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	230	2	theorem	theorem	VERB
ejde-1514	230	3	4.2	4.2	NUM
ejde-1514	230	4	.	.	PUNCT
ejde-1514	231	1	if	if	SCONJ
ejde-1514	231	2	f∞	f∞	NOUN
ejde-1514	231	3	<	<	X
ejde-1514	231	4	1	1	NUM
ejde-1514	231	5	<	<	X
ejde-1514	231	6	f0	f0	PROPN
ejde-1514	231	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	231	8	then	then	ADV
ejde-1514	231	9	the	the	DET
ejde-1514	231	10	system	system	NOUN
ejde-1514	231	11	(	(	PUNCT
ejde-1514	231	12	1.2)–(1.3	1.2)–(1.3	NUM
ejde-1514	231	13	)	)	PUNCT
ejde-1514	231	14	has	have	VERB
ejde-1514	231	15	at	at	ADV
ejde-1514	231	16	least	least	ADV
ejde-1514	231	17	one	one	NUM
ejde-1514	231	18	positive	positive	ADJ
ejde-1514	231	19	solution	solution	NOUN
ejde-1514	231	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	232	1	proof	proof	NOUN
ejde-1514	232	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	233	1	the	the	DET
ejde-1514	233	2	proof	proof	NOUN
ejde-1514	233	3	follows	follow	VERB
ejde-1514	233	4	the	the	DET
ejde-1514	233	5	same	same	ADJ
ejde-1514	233	6	arguments	argument	NOUN
ejde-1514	233	7	as	as	ADP
ejde-1514	233	8	the	the	DET
ejde-1514	233	9	previous	previous	ADJ
ejde-1514	233	10	one	one	NUM
ejde-1514	233	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	234	1	we	we	PRON
ejde-1514	234	2	omit	omit	VERB
ejde-1514	234	3	the	the	DET
ejde-1514	234	4	details	detail	NOUN
ejde-1514	234	5	and	and	CCONJ
ejde-1514	234	6	sketch	sketch	VERB
ejde-1514	234	7	the	the	DET
ejde-1514	234	8	main	main	ADJ
ejde-1514	234	9	differences	difference	NOUN
ejde-1514	234	10	.	.	PUNCT
ejde-1514	235	1	since	since	SCONJ
ejde-1514	235	2	1	1	NUM
ejde-1514	235	3	<	<	X
ejde-1514	235	4	f0	f0	PROPN
ejde-1514	235	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	6	there	there	PRON
ejde-1514	235	7	exists	exist	VERB
ejde-1514	235	8	ε	ε	PROPN
ejde-1514	235	9	∈	∈	PROPN
ejde-1514	235	10	(	(	PUNCT
ejde-1514	235	11	0	0	NUM
ejde-1514	235	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	13	1	1	NUM
ejde-1514	235	14	)	)	PUNCT
ejde-1514	235	15	and	and	CCONJ
ejde-1514	235	16	r0	r0	VERB
ejde-1514	235	17	>	>	X
ejde-1514	235	18	0	0	NUM
ejde-1514	235	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	20	small	small	ADJ
ejde-1514	235	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	22	so	so	SCONJ
ejde-1514	235	23	that	that	DET
ejde-1514	235	24	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-1514	235	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	26	u1	u1	NOUN
ejde-1514	235	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	28	u2	u2	PROPN
ejde-1514	235	29	)	)	PUNCT
ejde-1514	235	30	+	+	SYM
ejde-1514	235	31	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	235	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	33	u1	u1	NOUN
ejde-1514	235	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	35	u2	u2	PROPN
ejde-1514	235	36	)	)	PUNCT
ejde-1514	235	37	≥	≥	NOUN
ejde-1514	235	38	(	(	PUNCT
ejde-1514	235	39	1	1	NUM
ejde-1514	235	40	+	+	NUM
ejde-1514	235	41	ε)(l1u1	ε)(l1u1	PROPN
ejde-1514	235	42	+	+	CCONJ
ejde-1514	235	43	l2u2	l2u2	X
ejde-1514	235	44	)	)	PUNCT
ejde-1514	235	45	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	46	ejde-2025/56	ejde-2025/56	NOUN
ejde-1514	235	47	n	n	CCONJ
ejde-1514	235	48	-	-	PUNCT
ejde-1514	235	49	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1514	235	50	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	235	51	-	-	PUNCT
ejde-1514	235	52	order	order	NOUN
ejde-1514	235	53	systems	system	NOUN
ejde-1514	235	54	9	9	NUM
ejde-1514	235	55	for	for	ADP
ejde-1514	235	56	all	all	DET
ejde-1514	235	57	x	x	SYM
ejde-1514	235	58	∈	∈	PROPN
ejde-1514	235	59	ω	ω	NOUN
ejde-1514	235	60	and	and	CCONJ
ejde-1514	235	61	u1	u1	PROPN
ejde-1514	235	62	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	63	u2	u2	PROPN
ejde-1514	235	64	≥	≥	NOUN
ejde-1514	235	65	0	0	NUM
ejde-1514	235	66	,	,	PUNCT
ejde-1514	235	67	u1+u2	u1+u2	ADJ
ejde-1514	235	68	≤	≤	NOUN
ejde-1514	235	69	r0	r0	NOUN
ejde-1514	235	70	.	.	PUNCT
ejde-1514	236	1	then	then	ADV
ejde-1514	236	2	for	for	ADP
ejde-1514	236	3	every	every	DET
ejde-1514	236	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	236	5	u1	u1	NOUN
ejde-1514	236	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	236	7	u2	u2	NOUN
ejde-1514	236	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	236	9	∈	∈	PROPN
ejde-1514	236	10	∂pr0	∂pr0	NUM
ejde-1514	236	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	236	12	through	through	ADP
ejde-1514	236	13	the	the	DET
ejde-1514	236	14	argument	argument	NOUN
ejde-1514	236	15	used	use	VERB
ejde-1514	236	16	in	in	ADP
ejde-1514	236	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	236	18	4.11	4.11	NUM
ejde-1514	236	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	236	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	236	21	we	we	PRON
ejde-1514	236	22	have	have	VERB
ejde-1514	236	23	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	236	24	(	(	PUNCT
ejde-1514	236	25	u1	u1	NOUN
ejde-1514	236	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	236	27	u2)∥	u2)∥	PROPN
ejde-1514	236	28	≥	≥	NUM
ejde-1514	236	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	236	30	1	1	NUM
ejde-1514	236	31	+	+	CCONJ
ejde-1514	236	32	ε	ε	PROPN
ejde-1514	236	33	)	)	PUNCT
ejde-1514	236	34	min	min	NOUN
ejde-1514	236	35	j=1,2	j=1,2	PROPN
ejde-1514	236	36	{	{	PUNCT
ejde-1514	236	37	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	δ1,jδ2,jm1,jm2,jc0,j}min{l1	PROPN
ejde-1514	236	38	,	,	PUNCT
ejde-1514	236	39	l2}r0|ω0|	l2}r0|ω0|	NOUN
ejde-1514	236	40	.	.	PUNCT
ejde-1514	237	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	237	2	inf(u1,u2)∈∂pr0	inf(u1,u2)∈∂pr0	ADP
ejde-1514	237	3	∥t	∥t	PROPN
ejde-1514	237	4	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	5	u1	u1	PROPN
ejde-1514	237	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	7	u2)|	u2)|	NOUN
ejde-1514	237	8	>	>	X
ejde-1514	237	9	0	0	NUM
ejde-1514	237	10	.	.	PUNCT
ejde-1514	237	11	to	to	PART
ejde-1514	237	12	show	show	VERB
ejde-1514	237	13	that	that	SCONJ
ejde-1514	237	14	ηt	ηt	ADP
ejde-1514	237	15	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	16	u1	u1	NOUN
ejde-1514	237	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	18	u2	u2	PROPN
ejde-1514	237	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	20	̸=	̸=	PROPN
ejde-1514	237	21	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	22	u1	u1	PROPN
ejde-1514	237	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	24	u2	u2	PROPN
ejde-1514	237	25	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	26	for	for	ADP
ejde-1514	237	27	any	any	DET
ejde-1514	237	28	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	29	u1	u1	NOUN
ejde-1514	237	30	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	31	u2	u2	NOUN
ejde-1514	237	32	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	33	∈	∈	PROPN
ejde-1514	237	34	∂pr0	∂pr0	NUM
ejde-1514	237	35	and	and	CCONJ
ejde-1514	237	36	η	η	PROPN
ejde-1514	237	37	≥	≥	NUM
ejde-1514	237	38	1	1	NUM
ejde-1514	237	39	we	we	PRON
ejde-1514	237	40	argue	argue	VERB
ejde-1514	237	41	by	by	ADP
ejde-1514	237	42	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	237	43	and	and	CCONJ
ejde-1514	237	44	get	get	VERB
ejde-1514	237	45	that	that	PRON
ejde-1514	237	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	47	if	if	SCONJ
ejde-1514	237	48	there	there	PRON
ejde-1514	237	49	exist	exist	VERB
ejde-1514	237	50	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	51	u01	u01	PROPN
ejde-1514	237	52	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	53	u	u	NOUN
ejde-1514	237	54	0	0	NUM
ejde-1514	237	55	2	2	NUM
ejde-1514	237	56	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	57	∈	∈	NOUN
ejde-1514	237	58	∂pr0	∂pr0	NOUN
ejde-1514	237	59	and	and	CCONJ
ejde-1514	237	60	η0	η0	ADJ
ejde-1514	237	61	≥	≥	NUM
ejde-1514	237	62	1	1	NUM
ejde-1514	237	63	such	such	ADJ
ejde-1514	237	64	that	that	SCONJ
ejde-1514	237	65	η0	η0	PROPN
ejde-1514	237	66	t	t	PROPN
ejde-1514	237	67	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	68	u	u	NOUN
ejde-1514	237	69	0	0	NUM
ejde-1514	237	70	1	1	NUM
ejde-1514	237	71	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	72	u	u	NOUN
ejde-1514	237	73	0	0	NUM
ejde-1514	237	74	2	2	NUM
ejde-1514	237	75	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	76	=	=	PRON
ejde-1514	237	77	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	78	u01	u01	PROPN
ejde-1514	237	79	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	80	u	u	NOUN
ejde-1514	237	81	0	0	NUM
ejde-1514	237	82	2	2	NUM
ejde-1514	237	83	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	84	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	85	then∫	then∫	NOUN
ejde-1514	237	86	ω	ω	PROPN
ejde-1514	237	87	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	88	l1u1	l1u1	NOUN
ejde-1514	237	89	+	+	NUM
ejde-1514	237	90	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	ADJ
ejde-1514	237	91	≥	≥	NOUN
ejde-1514	237	92	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	93	1	1	NUM
ejde-1514	237	94	+	+	CCONJ
ejde-1514	237	95	ε	ε	PROPN
ejde-1514	237	96	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	97	∫	∫	PROPN
ejde-1514	237	98	ω	ω	PROPN
ejde-1514	237	99	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	100	l1uu	l1uu	SYM
ejde-1514	237	101	+	+	NUM
ejde-1514	237	102	l2u2)ϕ1	l2u2)ϕ1	NOUN
ejde-1514	237	103	,	,	PUNCT
ejde-1514	237	104	which	which	PRON
ejde-1514	237	105	implies	imply	VERB
ejde-1514	237	106	1	1	NUM
ejde-1514	237	107	≥	≥	NOUN
ejde-1514	237	108	(	(	PUNCT
ejde-1514	237	109	1	1	NUM
ejde-1514	237	110	+	+	CCONJ
ejde-1514	237	111	ϵ	ϵ	NUM
ejde-1514	237	112	)	)	PUNCT
ejde-1514	237	113	.	.	PUNCT
ejde-1514	238	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	238	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	238	3	we	we	PRON
ejde-1514	238	4	conclude	conclude	VERB
ejde-1514	238	5	that	that	SCONJ
ejde-1514	239	1	i	i	PRON
ejde-1514	239	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	239	3	t	t	PROPN
ejde-1514	239	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	239	5	pr0	pr0	PROPN
ejde-1514	239	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	239	7	p	p	X
ejde-1514	239	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	239	9	=	=	SYM
ejde-1514	239	10	0	0	X
ejde-1514	239	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	240	1	on	on	ADP
ejde-1514	240	2	the	the	DET
ejde-1514	240	3	other	other	ADJ
ejde-1514	240	4	hand	hand	NOUN
ejde-1514	240	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	6	f∞	f∞	X
ejde-1514	240	7	<	<	X
ejde-1514	240	8	1	1	NUM
ejde-1514	240	9	implies	imply	VERB
ejde-1514	240	10	that	that	SCONJ
ejde-1514	240	11	there	there	PRON
ejde-1514	240	12	exist	exist	VERB
ejde-1514	240	13	there	there	ADV
ejde-1514	240	14	exists	exist	VERB
ejde-1514	240	15	ε	ε	PROPN
ejde-1514	240	16	∈	∈	PROPN
ejde-1514	240	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	240	18	0	0	NUM
ejde-1514	240	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	20	1	1	NUM
ejde-1514	240	21	)	)	PUNCT
ejde-1514	240	22	and	and	CCONJ
ejde-1514	240	23	k	k	X
ejde-1514	240	24	>	>	X
ejde-1514	240	25	0	0	NUM
ejde-1514	240	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	27	so	so	ADV
ejde-1514	240	28	f1(x	f1(x	ADJ
ejde-1514	240	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	30	u1	u1	NOUN
ejde-1514	240	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	32	u2	u2	PROPN
ejde-1514	240	33	)	)	PUNCT
ejde-1514	240	34	+	+	SYM
ejde-1514	240	35	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	240	36	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	37	u1	u1	NOUN
ejde-1514	240	38	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	39	u2	u2	NOUN
ejde-1514	240	40	)	)	PUNCT
ejde-1514	240	41	≤	≤	NOUN
ejde-1514	240	42	(	(	PUNCT
ejde-1514	240	43	1−	1−	NUM
ejde-1514	240	44	ε)(l1u1	ε)(l1u1	NOUN
ejde-1514	240	45	+	+	CCONJ
ejde-1514	240	46	l2u2	l2u2	PROPN
ejde-1514	240	47	)	)	PUNCT
ejde-1514	240	48	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	49	for	for	ADP
ejde-1514	240	50	all	all	DET
ejde-1514	240	51	x	x	SYM
ejde-1514	240	52	∈	∈	PROPN
ejde-1514	240	53	ω	ω	NOUN
ejde-1514	240	54	and	and	CCONJ
ejde-1514	240	55	u1	u1	PROPN
ejde-1514	240	56	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	57	u2	u2	PROPN
ejde-1514	240	58	≥	≥	NOUN
ejde-1514	240	59	0	0	NUM
ejde-1514	240	60	,	,	PUNCT
ejde-1514	240	61	u1	u1	NOUN
ejde-1514	240	62	+	+	CCONJ
ejde-1514	240	63	u2	u2	PROPN
ejde-1514	240	64	≥	≥	PROPN
ejde-1514	240	65	k.	k.	PROPN
ejde-1514	241	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1514	241	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	241	3	we	we	PRON
ejde-1514	241	4	can	can	AUX
ejde-1514	241	5	find	find	VERB
ejde-1514	241	6	c	c	NOUN
ejde-1514	241	7	>	>	X
ejde-1514	241	8	0	0	PUNCT
ejde-1514	242	1	so	so	SCONJ
ejde-1514	242	2	that	that	SCONJ
ejde-1514	242	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	4	for	for	ADP
ejde-1514	242	5	all	all	DET
ejde-1514	242	6	x	x	SYM
ejde-1514	242	7	∈	∈	PROPN
ejde-1514	242	8	ω	ω	NOUN
ejde-1514	242	9	and	and	CCONJ
ejde-1514	242	10	u1	u1	PROPN
ejde-1514	242	11	+	+	CCONJ
ejde-1514	242	12	u2	u2	PROPN
ejde-1514	242	13	≥	≥	NOUN
ejde-1514	242	14	0	0	NUM
ejde-1514	242	15	f1(x	f1(x	ADJ
ejde-1514	242	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	17	u1	u1	NOUN
ejde-1514	242	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	19	u2	u2	PROPN
ejde-1514	242	20	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	21	+	+	SYM
ejde-1514	242	22	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-1514	242	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	24	u1	u1	NOUN
ejde-1514	242	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	26	u2	u2	NOUN
ejde-1514	242	27	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	28	≤	≤	NOUN
ejde-1514	242	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	242	30	1−	1−	NUM
ejde-1514	242	31	ε)(l1u1	ε)(l1u1	NOUN
ejde-1514	242	32	+	+	CCONJ
ejde-1514	242	33	l2u2	l2u2	X
ejde-1514	242	34	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	35	+	+	CCONJ
ejde-1514	242	36	c.	c.	NOUN
ejde-1514	242	37	we	we	PRON
ejde-1514	242	38	argue	argue	VERB
ejde-1514	242	39	as	as	ADP
ejde-1514	242	40	in	in	ADP
ejde-1514	242	41	the	the	DET
ejde-1514	242	42	proof	proof	NOUN
ejde-1514	242	43	of	of	ADP
ejde-1514	242	44	theorem	theorem	ADJ
ejde-1514	242	45	4.1	4.1	NUM
ejde-1514	242	46	assuming	assume	VERB
ejde-1514	242	47	that	that	SCONJ
ejde-1514	242	48	for	for	SCONJ
ejde-1514	242	49	r	r	NOUN
ejde-1514	242	50	>	>	X
ejde-1514	242	51	r0	r0	NOUN
ejde-1514	242	52	there	there	ADV
ejde-1514	242	53	exist	exist	VERB
ejde-1514	242	54	(	(	PUNCT
ejde-1514	242	55	u01	u01	PROPN
ejde-1514	242	56	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	57	u	u	NOUN
ejde-1514	242	58	0	0	NUM
ejde-1514	242	59	2	2	NUM
ejde-1514	242	60	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	61	∈	∈	PROPN
ejde-1514	242	62	∂pr	∂pr	PROPN
ejde-1514	242	63	and	and	CCONJ
ejde-1514	242	64	0	0	NUM
ejde-1514	242	65	<	<	X
ejde-1514	242	66	η0	η0	PROPN
ejde-1514	242	67	≤	≤	NOUN
ejde-1514	242	68	1	1	NUM
ejde-1514	242	69	such	such	ADJ
ejde-1514	242	70	that	that	SCONJ
ejde-1514	242	71	η0	η0	PROPN
ejde-1514	242	72	t	t	PROPN
ejde-1514	242	73	(	(	PUNCT
ejde-1514	242	74	u	u	NOUN
ejde-1514	242	75	0	0	NUM
ejde-1514	242	76	1	1	NUM
ejde-1514	242	77	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	78	u	u	NOUN
ejde-1514	242	79	0	0	NUM
ejde-1514	242	80	2	2	NUM
ejde-1514	242	81	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	82	=	=	PRON
ejde-1514	242	83	(	(	PUNCT
ejde-1514	242	84	u01	u01	PROPN
ejde-1514	242	85	,	,	PUNCT
ejde-1514	242	86	u	u	NOUN
ejde-1514	242	87	0	0	NUM
ejde-1514	242	88	2	2	NUM
ejde-1514	242	89	)	)	PUNCT
ejde-1514	242	90	.	.	PUNCT
ejde-1514	243	1	we	we	PRON
ejde-1514	243	2	get	get	VERB
ejde-1514	243	3	that	that	DET
ejde-1514	243	4	∥(u01	∥(u01	PROPN
ejde-1514	243	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	243	6	u02)∥	u02)∥	PROPN
ejde-1514	243	7	≤	≤	PROPN
ejde-1514	243	8	c	c	NOUN
ejde-1514	243	9	σεmin{l1	σεmin{l1	NOUN
ejde-1514	243	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	243	11	l2	l2	NOUN
ejde-1514	243	12	}	}	PUNCT
ejde-1514	243	13	:	:	PUNCT
ejde-1514	243	14	=	=	X
ejde-1514	243	15	r1	r1	PROPN
ejde-1514	243	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	243	17	which	which	PRON
ejde-1514	243	18	is	be	AUX
ejde-1514	243	19	a	a	DET
ejde-1514	243	20	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1514	243	21	if	if	SCONJ
ejde-1514	243	22	r	r	NOUN
ejde-1514	243	23	>	>	X
ejde-1514	243	24	r1	r1	PROPN
ejde-1514	243	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	244	1	hence	hence	ADV
ejde-1514	244	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	244	3	if	if	SCONJ
ejde-1514	244	4	r	r	NOUN
ejde-1514	244	5	>	>	X
ejde-1514	244	6	max{r0	max{r0	NOUN
ejde-1514	244	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	244	8	r1	r1	PROPN
ejde-1514	244	9	}	}	PUNCT
ejde-1514	244	10	we	we	PRON
ejde-1514	244	11	obtain	obtain	VERB
ejde-1514	244	12	i	i	PRON
ejde-1514	244	13	(	(	PUNCT
ejde-1514	244	14	t	t	PROPN
ejde-1514	244	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	244	16	pr	pr	NOUN
ejde-1514	244	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	244	18	p	p	NOUN
ejde-1514	244	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	244	20	=	=	SYM
ejde-1514	245	1	1	1	X
ejde-1514	245	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	246	1	finally	finally	ADV
ejde-1514	246	2	it	it	PRON
ejde-1514	246	3	follows	follow	VERB
ejde-1514	246	4	that	that	SCONJ
ejde-1514	247	1	i	i	PRON
ejde-1514	247	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	247	3	t	t	PROPN
ejde-1514	247	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	247	5	pr\pr0	pr\pr0	NOUN
ejde-1514	247	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	247	7	p	p	NOUN
ejde-1514	247	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	247	9	=	=	SYM
ejde-1514	248	1	i	i	PROPN
ejde-1514	248	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	248	3	t	t	PROPN
ejde-1514	248	4	,	,	PUNCT
ejde-1514	248	5	pr	pr	NOUN
ejde-1514	248	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	248	7	p)−	p)−	NOUN
ejde-1514	248	8	i	i	PRON
ejde-1514	248	9	(	(	PUNCT
ejde-1514	248	10	t	t	PROPN
ejde-1514	248	11	,	,	PUNCT
ejde-1514	248	12	pr0	pr0	PROPN
ejde-1514	248	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	248	14	p	p	X
ejde-1514	248	15	)	)	PUNCT
ejde-1514	248	16	=	=	SYM
ejde-1514	248	17	1	1	X
ejde-1514	248	18	.	.	PUNCT
ejde-1514	249	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1514	249	2	,	,	PUNCT
ejde-1514	249	3	t	t	PROPN
ejde-1514	249	4	has	have	VERB
ejde-1514	249	5	a	a	DET
ejde-1514	249	6	fixed	fix	VERB
ejde-1514	249	7	point	point	NOUN
ejde-1514	249	8	in	in	ADP
ejde-1514	249	9	pr\pr0	pr\pr0	NOUN
ejde-1514	249	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	249	11	which	which	PRON
ejde-1514	249	12	is	be	AUX
ejde-1514	249	13	a	a	DET
ejde-1514	249	14	positive	positive	ADJ
ejde-1514	249	15	solution	solution	NOUN
ejde-1514	249	16	of	of	ADP
ejde-1514	249	17	(	(	PUNCT
ejde-1514	249	18	1.2)–(1.3	1.2)–(1.3	NUM
ejde-1514	249	19	)	)	PUNCT
ejde-1514	249	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	250	1	□	□	PUNCT
ejde-1514	250	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1514	250	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	251	1	this	this	DET
ejde-1514	251	2	research	research	NOUN
ejde-1514	251	3	was	be	AUX
ejde-1514	251	4	partially	partially	ADV
ejde-1514	251	5	supported	support	VERB
ejde-1514	251	6	by	by	ADP
ejde-1514	251	7	ministry	ministry	PROPN
ejde-1514	251	8	of	of	ADP
ejde-1514	251	9	economy	economy	NOUN
ejde-1514	251	10	and	and	CCONJ
ejde-1514	251	11	competitiveness	competitiveness	NOUN
ejde-1514	251	12	of	of	ADP
ejde-1514	251	13	spain	spain	PROPN
ejde-1514	251	14	under	under	ADP
ejde-1514	251	15	research	research	NOUN
ejde-1514	251	16	project	project	NOUN
ejde-1514	251	17	pid2019	pid2019	NOUN
ejde-1514	251	18	-	-	PUNCT
ejde-1514	251	19	106122gb	106122gb	ADJ
ejde-1514	251	20	-	-	PUNCT
ejde-1514	251	21	i00	i00	NOUN
ejde-1514	251	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	252	1	references	reference	NOUN
ejde-1514	252	2	[	[	X
ejde-1514	252	3	1	1	NUM
ejde-1514	252	4	]	]	PUNCT
ejde-1514	252	5	h.	h.	PROPN
ejde-1514	252	6	amann	amann	PROPN
ejde-1514	252	7	;	;	PUNCT
ejde-1514	252	8	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-1514	252	9	differential	differential	ADJ
ejde-1514	252	10	equations	equation	NOUN
ejde-1514	252	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	253	1	an	an	DET
ejde-1514	253	2	introduction	introduction	NOUN
ejde-1514	253	3	to	to	ADP
ejde-1514	253	4	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1514	253	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-1514	253	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	253	7	walter	walter	PROPN
ejde-1514	253	8	de	de	PROPN
ejde-1514	253	9	gruyter	gruyter	PROPN
ejde-1514	253	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	253	11	berlin	berlin	PROPN
ejde-1514	253	12	,	,	PUNCT
ejde-1514	253	13	1990	1990	NUM
ejde-1514	253	14	.	.	PUNCT
ejde-1514	254	1	[	[	X
ejde-1514	254	2	2	2	NUM
ejde-1514	254	3	]	]	X
ejde-1514	254	4	r.	r.	PROPN
ejde-1514	254	5	banuelos	banuelos	PROPN
ejde-1514	254	6	;	;	PUNCT
ejde-1514	254	7	sharp	sharp	ADJ
ejde-1514	254	8	estimates	estimate	NOUN
ejde-1514	254	9	for	for	ADP
ejde-1514	254	10	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1514	254	11	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1514	254	12	in	in	ADP
ejde-1514	254	13	simply	simply	ADV
ejde-1514	254	14	connected	connect	VERB
ejde-1514	254	15	domains	domain	NOUN
ejde-1514	254	16	,	,	PUNCT
ejde-1514	254	17	j.	j.	PROPN
ejde-1514	254	18	differential	differential	PROPN
ejde-1514	254	19	equations	equations	PROPN
ejde-1514	254	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	254	21	125	125	NUM
ejde-1514	254	22	(	(	PUNCT
ejde-1514	254	23	1996	1996	NUM
ejde-1514	254	24	)	)	PUNCT
ejde-1514	254	25	,	,	PUNCT
ejde-1514	254	26	pp	pp	ADP
ejde-1514	254	27	.	.	PUNCT
ejde-1514	255	1	282–298	282–298	NUM
ejde-1514	255	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	256	1	[	[	X
ejde-1514	256	2	3	3	X
ejde-1514	256	3	]	]	X
ejde-1514	256	4	m.	m.	NOUN
ejde-1514	256	5	a.	a.	PROPN
ejde-1514	256	6	del	del	PROPN
ejde-1514	256	7	pino	pino	PROPN
ejde-1514	256	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	256	9	r.	r.	PROPN
ejde-1514	256	10	f.	f.	PROPN
ejde-1514	256	11	manásevich	manásevich	PROPN
ejde-1514	256	12	;	;	PUNCT
ejde-1514	256	13	existence	existence	NOUN
ejde-1514	256	14	for	for	ADP
ejde-1514	256	15	a	a	DET
ejde-1514	256	16	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	256	17	-	-	PUNCT
ejde-1514	256	18	order	order	NOUN
ejde-1514	256	19	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	256	20	value	value	NOUN
ejde-1514	256	21	problem	problem	NOUN
ejde-1514	256	22	under	under	ADP
ejde-1514	256	23	a	a	DET
ejde-1514	256	24	twoparameter	twoparameter	ADJ
ejde-1514	256	25	nonresonance	nonresonance	NOUN
ejde-1514	256	26	condition	condition	NOUN
ejde-1514	256	27	,	,	PUNCT
ejde-1514	256	28	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-1514	256	29	of	of	ADP
ejde-1514	256	30	the	the	DET
ejde-1514	256	31	american	american	PROPN
ejde-1514	256	32	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-1514	256	33	society	society	NOUN
ejde-1514	256	34	,	,	PUNCT
ejde-1514	256	35	vol	vol	NOUN
ejde-1514	256	36	.	.	PROPN
ejde-1514	256	37	112	112	NUM
ejde-1514	256	38	,	,	PUNCT
ejde-1514	256	39	no	no	INTJ
ejde-1514	256	40	.	.	NOUN
ejde-1514	256	41	1	1	NUM
ejde-1514	256	42	(	(	PUNCT
ejde-1514	256	43	1991	1991	NUM
ejde-1514	256	44	)	)	PUNCT
ejde-1514	256	45	,	,	PUNCT
ejde-1514	256	46	81–86	81–86	NUM
ejde-1514	256	47	.	.	PUNCT
ejde-1514	257	1	[	[	X
ejde-1514	257	2	4	4	X
ejde-1514	257	3	]	]	X
ejde-1514	257	4	d.	d.	PROPN
ejde-1514	257	5	j.	j.	PROPN
ejde-1514	257	6	duffy	duffy	PROPN
ejde-1514	257	7	;	;	PUNCT
ejde-1514	257	8	green	green	PROPN
ejde-1514	257	9	’s	’s	PART
ejde-1514	257	10	functions	function	NOUN
ejde-1514	257	11	with	with	ADP
ejde-1514	257	12	applications	application	NOUN
ejde-1514	257	13	,	,	PUNCT
ejde-1514	257	14	crc	crc	PROPN
ejde-1514	257	15	press	press	PROPN
ejde-1514	257	16	taylor	taylor	PROPN
ejde-1514	257	17	&	&	CCONJ
ejde-1514	257	18	francis	francis	PROPN
ejde-1514	257	19	group	group	PROPN
ejde-1514	257	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	257	21	2015	2015	NUM
ejde-1514	257	22	.	.	PUNCT
ejde-1514	258	1	[	[	X
ejde-1514	258	2	5	5	NUM
ejde-1514	258	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	258	4	f.	f.	PROPN
ejde-1514	258	5	gazzola	gazzola	PROPN
ejde-1514	258	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	258	7	h.-ch	h.-ch	PROPN
ejde-1514	258	8	.	.	PUNCT
ejde-1514	258	9	grunau	grunau	PROPN
ejde-1514	258	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	258	11	g.	g.	PROPN
ejde-1514	258	12	sweers	sweer	NOUN
ejde-1514	258	13	;	;	PUNCT
ejde-1514	258	14	polyharmonic	polyharmonic	ADJ
ejde-1514	258	15	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	258	16	value	value	NOUN
ejde-1514	258	17	problems	problem	NOUN
ejde-1514	258	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	258	19	lnm	lnm	PROPN
ejde-1514	258	20	1991	1991	NUM
ejde-1514	258	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	258	22	springer	springer	NOUN
ejde-1514	258	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	258	24	2010	2010	NUM
ejde-1514	258	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	259	1	[	[	X
ejde-1514	259	2	6	6	NUM
ejde-1514	259	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	259	4	d.	d.	PROPN
ejde-1514	259	5	guo	guo	PROPN
ejde-1514	259	6	and	and	CCONJ
ejde-1514	259	7	v.	v.	PROPN
ejde-1514	259	8	laksmikantham	laksmikantham	PROPN
ejde-1514	259	9	;	;	PUNCT
ejde-1514	259	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1514	259	11	problems	problem	NOUN
ejde-1514	259	12	in	in	ADP
ejde-1514	259	13	abstract	abstract	ADJ
ejde-1514	259	14	cones	cone	NOUN
ejde-1514	259	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	259	16	academic	academic	ADJ
ejde-1514	259	17	press	press	NOUN
ejde-1514	259	18	,	,	PUNCT
ejde-1514	259	19	1988	1988	NUM
ejde-1514	259	20	.	.	PUNCT
ejde-1514	260	1	[	[	X
ejde-1514	260	2	7	7	X
ejde-1514	260	3	]	]	X
ejde-1514	260	4	c.	c.	PROPN
ejde-1514	260	5	p.	p.	PROPN
ejde-1514	260	6	gupta	gupta	PROPN
ejde-1514	260	7	;	;	PUNCT
ejde-1514	260	8	existence	existence	NOUN
ejde-1514	260	9	and	and	CCONJ
ejde-1514	260	10	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-1514	260	11	results	result	NOUN
ejde-1514	260	12	for	for	ADP
ejde-1514	260	13	the	the	DET
ejde-1514	260	14	bending	bending	NOUN
ejde-1514	260	15	of	of	ADP
ejde-1514	260	16	an	an	DET
ejde-1514	260	17	elastic	elastic	ADJ
ejde-1514	260	18	beam	beam	NOUN
ejde-1514	260	19	equation	equation	NOUN
ejde-1514	260	20	at	at	ADP
ejde-1514	260	21	resonance	resonance	NOUN
ejde-1514	260	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	260	23	j.	j.	PROPN
ejde-1514	260	24	math	math	PROPN
ejde-1514	260	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	261	1	anal	anal	PROPN
ejde-1514	261	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	262	1	appl	appl	PROPN
ejde-1514	262	2	.	.	PROPN
ejde-1514	263	1	,	,	PUNCT
ejde-1514	263	2	135	135	NUM
ejde-1514	263	3	(	(	PUNCT
ejde-1514	263	4	1988	1988	NUM
ejde-1514	263	5	)	)	PUNCT
ejde-1514	263	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	263	7	208-–225	208-–225	X
ejde-1514	264	1	[	[	X
ejde-1514	264	2	8	8	NUM
ejde-1514	264	3	]	]	X
ejde-1514	264	4	c.	c.	PROPN
ejde-1514	264	5	p.	p.	PROPN
ejde-1514	264	6	gupta	gupta	PROPN
ejde-1514	264	7	;	;	PUNCT
ejde-1514	264	8	existence	existence	NOUN
ejde-1514	264	9	and	and	CCONJ
ejde-1514	264	10	uniqueness	uniqueness	ADJ
ejde-1514	264	11	theorems	theorem	NOUN
ejde-1514	264	12	for	for	ADP
ejde-1514	264	13	a	a	DET
ejde-1514	264	14	bending	bending	NOUN
ejde-1514	264	15	of	of	ADP
ejde-1514	264	16	an	an	DET
ejde-1514	264	17	elastic	elastic	ADJ
ejde-1514	264	18	beam	beam	NOUN
ejde-1514	264	19	equation	equation	NOUN
ejde-1514	264	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	264	21	appl	appl	PROPN
ejde-1514	264	22	.	.	PROPN
ejde-1514	265	1	anal	anal	PROPN
ejde-1514	265	2	.	.	PUNCT
ejde-1514	266	1	26	26	NUM
ejde-1514	266	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	266	3	1988	1988	NUM
ejde-1514	266	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	266	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	266	6	289–304	289–304	NUM
ejde-1514	266	7	.	.	PUNCT
ejde-1514	267	1	[	[	X
ejde-1514	267	2	9	9	NUM
ejde-1514	267	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	267	4	k.	k.	PROPN
ejde-1514	267	5	kreith	kreith	PROPN
ejde-1514	267	6	;	;	PUNCT
ejde-1514	267	7	criteria	criterion	NOUN
ejde-1514	267	8	for	for	ADP
ejde-1514	267	9	positive	positive	ADJ
ejde-1514	267	10	green	green	ADJ
ejde-1514	267	11	’s	’s	PART
ejde-1514	267	12	functions	function	NOUN
ejde-1514	267	13	.	.	PUNCT
ejde-1514	268	1	illinois	illinois	PROPN
ejde-1514	268	2	j.	j.	PROPN
ejde-1514	268	3	math	math	PROPN
ejde-1514	268	4	.	.	PUNCT
ejde-1514	269	1	12	12	NUM
ejde-1514	269	2	(	(	PUNCT
ejde-1514	269	3	1968	1968	NUM
ejde-1514	269	4	)	)	PUNCT
ejde-1514	269	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	269	6	475–478	475–478	NUM
ejde-1514	269	7	.	.	PUNCT
ejde-1514	270	1	[	[	X
ejde-1514	270	2	10	10	NUM
ejde-1514	270	3	]	]	X
ejde-1514	270	4	y.	y.	PROPN
ejde-1514	270	5	li	li	PROPN
ejde-1514	270	6	;	;	PUNCT
ejde-1514	270	7	positive	positive	ADJ
ejde-1514	270	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	270	9	of	of	ADP
ejde-1514	270	10	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	270	11	-	-	PUNCT
ejde-1514	270	12	order	order	NOUN
ejde-1514	270	13	boundary	boundary	ADJ
ejde-1514	270	14	value	value	NOUN
ejde-1514	270	15	problems	problem	NOUN
ejde-1514	270	16	with	with	ADP
ejde-1514	270	17	two	two	NUM
ejde-1514	270	18	parameters	parameter	NOUN
ejde-1514	270	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	270	20	journal	journal	NOUN
ejde-1514	270	21	of	of	ADP
ejde-1514	270	22	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1514	270	23	analysis	analysis	NOUN
ejde-1514	270	24	and	and	CCONJ
ejde-1514	270	25	applications	application	NOUN
ejde-1514	270	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	270	27	281	281	NUM
ejde-1514	270	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	270	29	(	(	PUNCT
ejde-1514	270	30	2003	2003	NUM
ejde-1514	270	31	)	)	PUNCT
ejde-1514	270	32	,	,	PUNCT
ejde-1514	270	33	477–484	477–484	NUM
ejde-1514	270	34	.	.	PUNCT
ejde-1514	271	1	[	[	X
ejde-1514	271	2	11	11	NUM
ejde-1514	271	3	]	]	X
ejde-1514	271	4	n.	n.	PROPN
ejde-1514	271	5	g.	g.	PROPN
ejde-1514	271	6	lloyd	lloyd	PROPN
ejde-1514	271	7	;	;	PUNCT
ejde-1514	271	8	degree	degree	NOUN
ejde-1514	271	9	theory	theory	NOUN
ejde-1514	271	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	271	11	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-1514	271	12	tracts	tract	NOUN
ejde-1514	271	13	in	in	ADP
ejde-1514	271	14	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-1514	271	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	271	16	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-1514	271	17	university	university	PROPN
ejde-1514	271	18	press	press	NOUN
ejde-1514	271	19	,	,	PUNCT
ejde-1514	271	20	cambridge,1978	cambridge,1978	PROPN
ejde-1514	271	21	.	.	PUNCT
ejde-1514	272	1	[	[	X
ejde-1514	272	2	12	12	NUM
ejde-1514	272	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	272	4	l.	l.	PROPN
ejde-1514	272	5	a.	a.	PROPN
ejde-1514	272	6	peletier	peletier	PROPN
ejde-1514	272	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	272	8	w.	w.	PROPN
ejde-1514	272	9	c.	c.	PROPN
ejde-1514	272	10	troy	troy	PROPN
ejde-1514	272	11	;	;	PUNCT
ejde-1514	272	12	spatial	spatial	ADJ
ejde-1514	272	13	patterns	pattern	NOUN
ejde-1514	272	14	.	.	PUNCT
ejde-1514	273	1	higher	high	ADJ
ejde-1514	273	2	order	order	NOUN
ejde-1514	273	3	models	model	NOUN
ejde-1514	273	4	in	in	ADP
ejde-1514	273	5	physics	physics	NOUN
ejde-1514	273	6	and	and	CCONJ
ejde-1514	273	7	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-1514	273	8	,	,	PUNCT
ejde-1514	273	9	springer	springer	NOUN
ejde-1514	273	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	273	11	2001	2001	NUM
ejde-1514	273	12	.	.	PUNCT
ejde-1514	274	1	[	[	X
ejde-1514	274	2	13	13	NUM
ejde-1514	274	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	274	4	a.	a.	NOUN
ejde-1514	274	5	polyanin	polyanin	PROPN
ejde-1514	274	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	274	7	v.	v.	PROPN
ejde-1514	274	8	nazaikinskii	nazaikinskii	PROPN
ejde-1514	274	9	;	;	PUNCT
ejde-1514	274	10	handbook	handbook	NOUN
ejde-1514	274	11	of	of	ADP
ejde-1514	274	12	linear	linear	ADJ
ejde-1514	274	13	partial	partial	ADJ
ejde-1514	274	14	differential	differential	NOUN
ejde-1514	274	15	equations	equation	NOUN
ejde-1514	274	16	for	for	ADP
ejde-1514	274	17	engineers	engineer	NOUN
ejde-1514	274	18	and	and	CCONJ
ejde-1514	274	19	scientists	scientist	NOUN
ejde-1514	274	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	274	21	second	second	ADJ
ejde-1514	274	22	edition	edition	NOUN
ejde-1514	274	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	274	24	2016	2016	NUM
ejde-1514	274	25	.	.	PUNCT
ejde-1514	275	1	[	[	X
ejde-1514	275	2	14	14	NUM
ejde-1514	275	3	]	]	PUNCT
ejde-1514	275	4	a.	a.	NOUN
ejde-1514	275	5	sommerfeld	sommerfeld	PROPN
ejde-1514	275	6	;	;	PUNCT
ejde-1514	275	7	die	die	VERB
ejde-1514	275	8	greensche	greensche	PROPN
ejde-1514	275	9	funktion	funktion	PROPN
ejde-1514	275	10	der	der	PROPN
ejde-1514	275	11	schwingungsgleichung	schwingungsgleichung	PROPN
ejde-1514	275	12	.	.	PUNCT
ejde-1514	276	1	jahresbericht	jahresbericht	PROPN
ejde-1514	276	2	deutsch	deutsch	PROPN
ejde-1514	276	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	277	1	math.-verein	math.-verein	X
ejde-1514	277	2	.	.	PROPN
ejde-1514	277	3	,	,	PUNCT
ejde-1514	277	4	21	21	NUM
ejde-1514	277	5	,	,	PUNCT
ejde-1514	277	6	(	(	PUNCT
ejde-1514	277	7	1912	1912	NUM
ejde-1514	277	8	)	)	PUNCT
ejde-1514	277	9	,	,	PUNCT
ejde-1514	277	10	309–353	309–353	NUM
ejde-1514	277	11	.	.	PUNCT
ejde-1514	278	1	[	[	X
ejde-1514	278	2	15	15	NUM
ejde-1514	278	3	]	]	X
ejde-1514	278	4	q.	q.	PROPN
ejde-1514	278	5	wang	wang	PROPN
ejde-1514	278	6	,	,	PUNCT
ejde-1514	278	7	l.	l.	PROPN
ejde-1514	278	8	yang	yang	PROPN
ejde-1514	278	9	;	;	PUNCT
ejde-1514	278	10	positive	positive	ADJ
ejde-1514	278	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	278	12	for	for	ADP
ejde-1514	278	13	a	a	DET
ejde-1514	278	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1514	278	15	system	system	NOUN
ejde-1514	278	16	of	of	ADP
ejde-1514	278	17	fourth	fourth	ADJ
ejde-1514	278	18	-	-	PUNCT
ejde-1514	278	19	order	order	NOUN
ejde-1514	278	20	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-1514	278	21	differential	differential	ADJ
ejde-1514	278	22	equations	equation	NOUN
ejde-1514	278	23	,	,	PUNCT
ejde-1514	278	24	electronic	electronic	ADJ
ejde-1514	278	25	journal	journal	NOUN
ejde-1514	278	26	of	of	ADP
ejde-1514	278	27	differential	differential	ADJ
ejde-1514	278	28	equations	equation	NOUN
ejde-1514	278	29	,	,	PUNCT
ejde-1514	278	30	vol	vol	NOUN
ejde-1514	278	31	.	.	PUNCT
ejde-1514	278	32	2020	2020	NUM
ejde-1514	278	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	278	34	no	no	INTJ
ejde-1514	278	35	.	.	NOUN
ejde-1514	278	36	45	45	NUM
ejde-1514	278	37	(	(	PUNCT
ejde-1514	278	38	2020	2020	NUM
ejde-1514	278	39	)	)	PUNCT
ejde-1514	278	40	,	,	PUNCT
ejde-1514	278	41	1–15	1–15	NUM
ejde-1514	278	42	.	.	PUNCT
ejde-1514	279	1	pablo	pablo	PROPN
ejde-1514	279	2	álvarez	álvarez	PROPN
ejde-1514	279	3	-	-	PUNCT
ejde-1514	279	4	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	279	5	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	279	6	carlos	carlos	PROPN
ejde-1514	279	7	iii	iii	PROPN
ejde-1514	279	8	de	de	PROPN
ejde-1514	279	9	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	279	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	279	11	avenida	avenida	PROPN
ejde-1514	279	12	de	de	PROPN
ejde-1514	279	13	la	la	X
ejde-1514	279	14	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	279	15	,	,	PUNCT
ejde-1514	279	16	30	30	NUM
ejde-1514	279	17	,	,	PUNCT
ejde-1514	279	18	28911	28911	NUM
ejde-1514	279	19	leganés	legané	NOUN
ejde-1514	279	20	,	,	PUNCT
ejde-1514	279	21	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	279	22	,	,	PUNCT
ejde-1514	279	23	spain	spain	PROPN
ejde-1514	279	24	email	email	PROPN
ejde-1514	279	25	address	address	NOUN
ejde-1514	279	26	:	:	PUNCT
ejde-1514	280	1	pacaudev@math.uc3m.es	pacaudev@math.uc3m.es	NUM
ejde-1514	280	2	10	10	NUM
ejde-1514	280	3	p.	p.	NOUN
ejde-1514	280	4	álvarez	álvarez	NOUN
ejde-1514	280	5	-	-	PUNCT
ejde-1514	280	6	caudevilla	caudevilla	NOUN
ejde-1514	280	7	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	8	c.	c.	PROPN
ejde-1514	280	9	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	280	10	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	11	d.	d.	PROPN
ejde-1514	280	12	sonowal	sonowal	ADV
ejde-1514	280	13	ejde-2025/56	ejde-2025/56	VERB
ejde-1514	280	14	cristina	cristina	PROPN
ejde-1514	280	15	brändle	brändle	PROPN
ejde-1514	280	16	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	280	17	carlos	carlos	PROPN
ejde-1514	280	18	iii	iii	PROPN
ejde-1514	280	19	de	de	PROPN
ejde-1514	280	20	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	280	21	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	22	avenida	avenida	PROPN
ejde-1514	280	23	de	de	PROPN
ejde-1514	280	24	la	la	X
ejde-1514	280	25	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	280	26	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	27	30	30	NUM
ejde-1514	280	28	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	29	28911	28911	NUM
ejde-1514	280	30	leganés	legané	NOUN
ejde-1514	280	31	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	32	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	280	33	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	34	spain	spain	PROPN
ejde-1514	280	35	email	email	NOUN
ejde-1514	280	36	address	address	NOUN
ejde-1514	280	37	:	:	PUNCT
ejde-1514	280	38	cbrandle@math.uc3m.es	cbrandle@math.uc3m.es	PUNCT
ejde-1514	280	39	devashish	devashish	VERB
ejde-1514	280	40	sonowal	sonowal	PROPN
ejde-1514	280	41	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	280	42	carlos	carlos	PROPN
ejde-1514	280	43	iii	iii	PROPN
ejde-1514	280	44	de	de	PROPN
ejde-1514	280	45	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	280	46	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	47	avenida	avenida	PROPN
ejde-1514	280	48	de	de	PROPN
ejde-1514	280	49	la	la	X
ejde-1514	280	50	universidad	universidad	PROPN
ejde-1514	280	51	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	52	30	30	NUM
ejde-1514	280	53	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	54	28911	28911	NUM
ejde-1514	280	55	leganés	legané	NOUN
ejde-1514	280	56	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	57	madrid	madrid	PROPN
ejde-1514	280	58	,	,	PUNCT
ejde-1514	280	59	spain	spain	PROPN
ejde-1514	280	60	email	email	NOUN
ejde-1514	280	61	address	address	NOUN
ejde-1514	280	62	:	:	PUNCT
ejde-1514	280	63	devashish.sonowal@iit.comillas.edu	devashish.sonowal@iit.comillas.edu	PROPN
ejde-1514	280	64	1	1	NUM
ejde-1514	280	65	.	.	PUNCT
ejde-1514	281	1	introduction	introduction	NOUN
ejde-1514	281	2	2	2	NUM
ejde-1514	281	3	.	.	PUNCT
ejde-1514	281	4	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-1514	281	5	:	:	PUNCT
ejde-1514	281	6	the	the	DET
ejde-1514	281	7	case	case	NOUN
ejde-1514	281	8	of	of	ADP
ejde-1514	281	9	a	a	DET
ejde-1514	281	10	single	single	ADJ
ejde-1514	281	11	equation	equation	NOUN
ejde-1514	281	12	3	3	NUM
ejde-1514	281	13	.	.	PUNCT
ejde-1514	281	14	fixed	fix	VERB
ejde-1514	281	15	point	point	NOUN
ejde-1514	281	16	theory	theory	NOUN
ejde-1514	281	17	4	4	NUM
ejde-1514	281	18	.	.	PUNCT
ejde-1514	282	1	existence	existence	NOUN
ejde-1514	282	2	of	of	ADP
ejde-1514	282	3	positive	positive	ADJ
ejde-1514	282	4	solutions	solution	NOUN
ejde-1514	282	5	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1514	282	6	references	reference	NOUN