id sid tid token lemma pos ejde-155 1 1 electronic electronic ADJ ejde-155 1 2 journal journal NOUN ejde-155 1 3 of of ADP ejde-155 1 4 differential differential ADJ ejde-155 1 5 equations equation NOUN ejde-155 1 6 , , PUNCT ejde-155 1 7 vol vol NOUN ejde-155 1 8 . . PUNCT ejde-155 1 9 2022 2022 NUM ejde-155 1 10 ( ( PUNCT ejde-155 1 11 2022 2022 NUM ejde-155 1 12 ) ) PUNCT ejde-155 1 13 , , PUNCT ejde-155 1 14 no no INTJ ejde-155 1 15 . . NOUN ejde-155 1 16 65 65 NUM ejde-155 1 17 , , PUNCT ejde-155 1 18 pp pp PROPN ejde-155 1 19 . . PUNCT ejde-155 2 1 1–16 1–16 PROPN ejde-155 2 2 . . PUNCT ejde-155 3 1 issn issn PROPN ejde-155 3 2 : : PUNCT ejde-155 3 3 1072 1072 NUM ejde-155 3 4 - - SYM ejde-155 3 5 6691 6691 NUM ejde-155 3 6 . . PUNCT ejde-155 4 1 url url PROPN ejde-155 4 2 : : PUNCT ejde-155 4 3 http://ejde.math.txstate.edu http://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-155 4 4 or or CCONJ ejde-155 4 5 http://ejde.math.unt.edu http://ejde.math.unt.edu VERB ejde-155 4 6 boundary boundary ADJ ejde-155 4 7 regularity regularity NOUN ejde-155 4 8 for for ADP ejde-155 4 9 strongly strongly ADV ejde-155 4 10 degenerate degenerate ADJ ejde-155 4 11 operators operator NOUN ejde-155 4 12 of of ADP ejde-155 4 13 grushin grushin NOUN ejde-155 4 14 type type NOUN ejde-155 4 15 giuseppe giuseppe PROPN ejde-155 4 16 di di PROPN ejde-155 4 17 fazio fazio PROPN ejde-155 4 18 , , PUNCT ejde-155 4 19 maria maria PROPN ejde-155 4 20 stella stella PROPN ejde-155 4 21 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 4 22 , , PUNCT ejde-155 4 23 piero piero PROPN ejde-155 4 24 zamboni zamboni PROPN ejde-155 4 25 communicated communicate VERB ejde-155 4 26 by by ADP ejde-155 4 27 giovanni giovanni PROPN ejde-155 4 28 molica molica PROPN ejde-155 4 29 bisci bisci PROPN ejde-155 4 30 abstract abstract PROPN ejde-155 4 31 . . PUNCT ejde-155 5 1 we we PRON ejde-155 5 2 prove prove VERB ejde-155 5 3 harnack harnack NOUN ejde-155 5 4 inequality inequality NOUN ejde-155 5 5 and and CCONJ ejde-155 5 6 global global ADJ ejde-155 5 7 regularity regularity NOUN ejde-155 5 8 results result NOUN ejde-155 5 9 for for ADP ejde-155 5 10 weak weak ADJ ejde-155 5 11 solutions solution NOUN ejde-155 5 12 of of ADP ejde-155 5 13 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 5 14 degenerate degenerate ADJ ejde-155 5 15 equations equation NOUN ejde-155 5 16 driven drive VERB ejde-155 5 17 by by ADP ejde-155 5 18 operators operator NOUN ejde-155 5 19 of of ADP ejde-155 5 20 grushin grushin ADJ ejde-155 5 21 type type NOUN ejde-155 5 22 with with ADP ejde-155 5 23 natural natural ADJ ejde-155 5 24 growth growth NOUN ejde-155 5 25 . . PUNCT ejde-155 6 1 degeneracy degeneracy NOUN ejde-155 6 2 is be AUX ejde-155 6 3 a a DET ejde-155 6 4 power power NOUN ejde-155 6 5 of of ADP ejde-155 6 6 a a DET ejde-155 6 7 strong strong ADJ ejde-155 6 8 a∞ a∞ PROPN ejde-155 6 9 weight weight NOUN ejde-155 6 10 . . PUNCT ejde-155 7 1 regularity regularity NOUN ejde-155 7 2 results result NOUN ejde-155 7 3 are be AUX ejde-155 7 4 achieved achieve VERB ejde-155 7 5 under under ADP ejde-155 7 6 minimal minimal ADJ ejde-155 7 7 assumptions assumption NOUN ejde-155 7 8 on on ADP ejde-155 7 9 the the DET ejde-155 7 10 lower low ADJ ejde-155 7 11 order order NOUN ejde-155 7 12 coefficients coefficient NOUN ejde-155 7 13 . . PUNCT ejde-155 8 1 1 1 X ejde-155 8 2 . . X ejde-155 8 3 introduction introduction NOUN ejde-155 8 4 in in ADP ejde-155 8 5 recent recent ADJ ejde-155 8 6 decades decade NOUN ejde-155 8 7 regularity regularity NOUN ejde-155 8 8 for for ADP ejde-155 8 9 elliptic elliptic ADJ ejde-155 8 10 pdes pde NOUN ejde-155 8 11 became become VERB ejde-155 8 12 more more ADV ejde-155 8 13 and and CCONJ ejde-155 8 14 more more ADV ejde-155 8 15 important important ADJ ejde-155 8 16 both both PRON ejde-155 8 17 in in ADP ejde-155 8 18 theoretical theoretical ADJ ejde-155 8 19 and and CCONJ ejde-155 8 20 in in ADP ejde-155 8 21 applied applied ADJ ejde-155 8 22 mathematics mathematic NOUN ejde-155 8 23 . . PUNCT ejde-155 9 1 this this DET ejde-155 9 2 paper paper NOUN ejde-155 9 3 contributes contribute VERB ejde-155 9 4 towards towards ADP ejde-155 9 5 a a DET ejde-155 9 6 complete complete ADJ ejde-155 9 7 regularity regularity NOUN ejde-155 9 8 theory theory NOUN ejde-155 9 9 concerning concern VERB ejde-155 9 10 solutions solution NOUN ejde-155 9 11 of of ADP ejde-155 9 12 degenerate degenerate ADJ ejde-155 9 13 elliptic elliptic ADJ ejde-155 9 14 equations equation NOUN ejde-155 9 15 under under ADP ejde-155 9 16 minimal minimal ADJ ejde-155 9 17 assumptions assumption NOUN ejde-155 9 18 on on ADP ejde-155 9 19 the the DET ejde-155 9 20 coefficients coefficient NOUN ejde-155 9 21 . . PUNCT ejde-155 10 1 concerning concern VERB ejde-155 10 2 the the DET ejde-155 10 3 study study NOUN ejde-155 10 4 of of ADP ejde-155 10 5 the the DET ejde-155 10 6 regularity regularity NOUN ejde-155 10 7 properties property NOUN ejde-155 10 8 of of ADP ejde-155 10 9 solutions solution NOUN ejde-155 10 10 of of ADP ejde-155 10 11 quasilinear quasilinear PROPN ejde-155 10 12 elliptic elliptic ADJ ejde-155 10 13 equations equation NOUN ejde-155 10 14 of of ADP ejde-155 10 15 the the DET ejde-155 10 16 form form NOUN ejde-155 10 17 diva(x diva(x NOUN ejde-155 10 18 , , PUNCT ejde-155 10 19 u,∇u u,∇u PROPN ejde-155 10 20 ) ) PUNCT ejde-155 11 1 + + NOUN ejde-155 11 2 b(x b(x ADJ ejde-155 11 3 , , PUNCT ejde-155 11 4 u,∇u u,∇u ADJ ejde-155 11 5 ) ) PUNCT ejde-155 11 6 = = SYM ejde-155 11 7 0 0 PUNCT ejde-155 12 1 ( ( PUNCT ejde-155 12 2 1.1 1.1 NUM ejde-155 12 3 ) ) PUNCT ejde-155 12 4 we we PRON ejde-155 12 5 recall recall VERB ejde-155 12 6 the the DET ejde-155 12 7 classical classical ADJ ejde-155 12 8 works work NOUN ejde-155 12 9 [ [ X ejde-155 12 10 18 18 NUM ejde-155 12 11 , , PUNCT ejde-155 12 12 23 23 NUM ejde-155 12 13 , , PUNCT ejde-155 12 14 24 24 NUM ejde-155 12 15 ] ] PUNCT ejde-155 12 16 , , PUNCT ejde-155 12 17 where where SCONJ ejde-155 12 18 regularity regularity NOUN ejde-155 12 19 under under ADP ejde-155 12 20 lp lp ADJ ejde-155 12 21 assumptions assumption NOUN ejde-155 12 22 took take VERB ejde-155 12 23 its its PRON ejde-155 12 24 final final ADJ ejde-155 12 25 form form NOUN ejde-155 12 26 . . PUNCT ejde-155 13 1 the the DET ejde-155 13 2 first first ADJ ejde-155 13 3 paper paper NOUN ejde-155 13 4 where where SCONJ ejde-155 13 5 non non ADJ ejde-155 13 6 - - ADJ ejde-155 13 7 lp lp ADJ ejde-155 13 8 - - PUNCT ejde-155 13 9 conditions condition NOUN ejde-155 13 10 appear appear VERB ejde-155 13 11 , , PUNCT ejde-155 13 12 is be AUX ejde-155 13 13 [ [ X ejde-155 13 14 20 20 NUM ejde-155 13 15 ] ] PUNCT ejde-155 13 16 , , PUNCT ejde-155 13 17 where where SCONJ ejde-155 13 18 ( ( PUNCT ejde-155 13 19 1.1 1.1 NUM ejde-155 13 20 ) ) PUNCT ejde-155 13 21 has have AUX ejde-155 13 22 been be AUX ejde-155 13 23 investigated investigate VERB ejde-155 13 24 under under ADP ejde-155 13 25 somewhat somewhat ADV ejde-155 13 26 simplified simplified ADJ ejde-155 13 27 structure structure NOUN ejde-155 13 28 although although SCONJ ejde-155 13 29 the the DET ejde-155 13 30 right right ADJ ejde-155 13 31 hand hand NOUN ejde-155 13 32 side side NOUN ejde-155 13 33 is be AUX ejde-155 13 34 allowed allow VERB ejde-155 13 35 to to PART ejde-155 13 36 be be AUX ejde-155 13 37 a a DET ejde-155 13 38 measure measure NOUN ejde-155 13 39 in in ADP ejde-155 13 40 some some DET ejde-155 13 41 morrey morrey NOUN ejde-155 13 42 space space NOUN ejde-155 13 43 . . PUNCT ejde-155 14 1 following follow VERB ejde-155 14 2 de de PROPN ejde-155 14 3 giorgi giorgi NOUN ejde-155 14 4 method method NOUN ejde-155 14 5 , , PUNCT ejde-155 14 6 as as SCONJ ejde-155 14 7 adapted adapt VERB ejde-155 14 8 by by ADP ejde-155 14 9 ladyzhenskaya ladyzhenskaya NOUN ejde-155 14 10 and and CCONJ ejde-155 14 11 ural’tseva ural’tseva X ejde-155 14 12 in in ADP ejde-155 14 13 [ [ X ejde-155 14 14 18 18 NUM ejde-155 14 15 ] ] PUNCT ejde-155 14 16 to to PART ejde-155 14 17 quasilinear quasilinear PROPN ejde-155 14 18 equations equation NOUN ejde-155 14 19 , , PUNCT ejde-155 14 20 hölder hölder VERB ejde-155 14 21 continuity continuity NOUN ejde-155 14 22 of of ADP ejde-155 14 23 the the DET ejde-155 14 24 weak weak ADJ ejde-155 14 25 solutions solution NOUN ejde-155 14 26 is be AUX ejde-155 14 27 proved prove VERB ejde-155 14 28 . . PUNCT ejde-155 15 1 improvements improvement NOUN ejde-155 15 2 of of ADP ejde-155 15 3 [ [ X ejde-155 15 4 20 20 NUM ejde-155 15 5 ] ] PUNCT ejde-155 15 6 can can AUX ejde-155 15 7 be be AUX ejde-155 15 8 found find VERB ejde-155 15 9 in in ADP ejde-155 15 10 [ [ X ejde-155 15 11 17 17 NUM ejde-155 15 12 , , PUNCT ejde-155 15 13 19 19 NUM ejde-155 15 14 ] ] PUNCT ejde-155 15 15 where where SCONJ ejde-155 15 16 some some DET ejde-155 15 17 lp lp ADJ ejde-155 15 18 assumptions assumption NOUN ejde-155 15 19 are be AUX ejde-155 15 20 weakened weaken VERB ejde-155 15 21 or or CCONJ ejde-155 15 22 replaced replace VERB ejde-155 15 23 by by ADP ejde-155 15 24 morrey morrey PROPN ejde-155 15 25 space space NOUN ejde-155 15 26 assumptions assumption NOUN ejde-155 15 27 . . PUNCT ejde-155 16 1 equation equation NOUN ejde-155 16 2 ( ( PUNCT ejde-155 16 3 1.1 1.1 NUM ejde-155 16 4 ) ) PUNCT ejde-155 16 5 has have AUX ejde-155 16 6 been be AUX ejde-155 16 7 investigated investigate VERB ejde-155 16 8 in in ADP ejde-155 16 9 [ [ X ejde-155 16 10 25 25 NUM ejde-155 16 11 ] ] PUNCT ejde-155 16 12 assuming assume VERB ejde-155 16 13 stummel stummel VERB ejde-155 16 14 - - PUNCT ejde-155 16 15 kato kato PROPN ejde-155 16 16 type type NOUN ejde-155 16 17 hypotheses hypothesis NOUN ejde-155 16 18 on on ADP ejde-155 16 19 the the DET ejde-155 16 20 lower low ADJ ejde-155 16 21 order order NOUN ejde-155 16 22 coefficients coefficient NOUN ejde-155 16 23 . . PUNCT ejde-155 17 1 this this PRON ejde-155 17 2 is be AUX ejde-155 17 3 a a DET ejde-155 17 4 kind kind NOUN ejde-155 17 5 of of ADP ejde-155 17 6 generalization generalization NOUN ejde-155 17 7 of of ADP ejde-155 17 8 the the DET ejde-155 17 9 [ [ X ejde-155 17 10 1 1 NUM ejde-155 17 11 , , PUNCT ejde-155 17 12 4 4 NUM ejde-155 17 13 ] ] PUNCT ejde-155 17 14 to to PART ejde-155 17 15 quasilinear quasilinear VERB ejde-155 17 16 elliptic elliptic ADJ ejde-155 17 17 equations equation NOUN ejde-155 17 18 . . PUNCT ejde-155 18 1 we we PRON ejde-155 18 2 now now ADV ejde-155 18 3 turn turn VERB ejde-155 18 4 on on ADP ejde-155 18 5 degenerate degenerate ADJ ejde-155 18 6 elliptic elliptic ADJ ejde-155 18 7 equations equation NOUN ejde-155 18 8 . . PUNCT ejde-155 19 1 many many ADJ ejde-155 19 2 regularity regularity NOUN ejde-155 19 3 results result NOUN ejde-155 19 4 for for ADP ejde-155 19 5 weak weak ADJ ejde-155 19 6 solutions solution NOUN ejde-155 19 7 of of ADP ejde-155 19 8 elliptic elliptic ADJ ejde-155 19 9 equations equation NOUN ejde-155 19 10 have have AUX ejde-155 19 11 been be AUX ejde-155 19 12 generalized generalize VERB ejde-155 19 13 to to ADP ejde-155 19 14 the the DET ejde-155 19 15 carnot carnot NOUN ejde-155 19 16 caratheodory caratheodory NOUN ejde-155 19 17 ( ( PUNCT ejde-155 19 18 cc cc NOUN ejde-155 19 19 ) ) PUNCT ejde-155 19 20 spaces space NOUN ejde-155 19 21 . . PUNCT ejde-155 20 1 in in ADP ejde-155 20 2 such such ADJ ejde-155 20 3 spaces space NOUN ejde-155 20 4 the the DET ejde-155 20 5 metric metric NOUN ejde-155 20 6 is be AUX ejde-155 20 7 generated generate VERB ejde-155 20 8 by by ADP ejde-155 20 9 sub sub ADJ ejde-155 20 10 - - ADJ ejde-155 20 11 unit unit ADJ ejde-155 20 12 curves curve NOUN ejde-155 20 13 associated associate VERB ejde-155 20 14 to to ADP ejde-155 20 15 a a DET ejde-155 20 16 system system NOUN ejde-155 20 17 of of ADP ejde-155 20 18 non non ADJ ejde-155 20 19 - - ADJ ejde-155 20 20 commuting commuting ADJ ejde-155 20 21 vector vector NOUN ejde-155 20 22 fields field NOUN ejde-155 20 23 . . PUNCT ejde-155 21 1 in in ADP ejde-155 21 2 this this DET ejde-155 21 3 direction direction NOUN ejde-155 21 4 we we PRON ejde-155 21 5 quote quote VERB ejde-155 21 6 [ [ X ejde-155 21 7 3 3 NUM ejde-155 21 8 , , PUNCT ejde-155 21 9 5 5 NUM ejde-155 21 10 , , PUNCT ejde-155 21 11 6 6 NUM ejde-155 21 12 , , PUNCT ejde-155 21 13 11 11 NUM ejde-155 21 14 , , PUNCT ejde-155 21 15 12 12 NUM ejde-155 21 16 ] ] PUNCT ejde-155 21 17 , , PUNCT ejde-155 21 18 2020 2020 NUM ejde-155 21 19 mathematics mathematic NOUN ejde-155 21 20 subject subject ADJ ejde-155 21 21 classification classification NOUN ejde-155 21 22 . . PUNCT ejde-155 22 1 35b65 35b65 NUM ejde-155 22 2 . . PUNCT ejde-155 23 1 key key ADJ ejde-155 23 2 words word NOUN ejde-155 23 3 and and CCONJ ejde-155 23 4 phrases phrase NOUN ejde-155 23 5 . . PUNCT ejde-155 24 1 harnack harnack PROPN ejde-155 24 2 inequality inequality NOUN ejde-155 24 3 ; ; PUNCT ejde-155 24 4 strong strong ADJ ejde-155 24 5 a∞ a∞ PROPN ejde-155 24 6 weights weight NOUN ejde-155 24 7 ; ; PUNCT ejde-155 24 8 stummel stummel VERB ejde-155 24 9 - - PUNCT ejde-155 24 10 kato kato PROPN ejde-155 24 11 classes class NOUN ejde-155 24 12 ; ; PUNCT ejde-155 24 13 grushin grushin NOUN ejde-155 24 14 operator operator NOUN ejde-155 24 15 . . PUNCT ejde-155 25 1 © © NOUN ejde-155 25 2 2022 2022 NUM ejde-155 25 3 . . PUNCT ejde-155 26 1 this this DET ejde-155 26 2 work work NOUN ejde-155 26 3 is be AUX ejde-155 26 4 licensed license VERB ejde-155 26 5 under under ADP ejde-155 26 6 a a DET ejde-155 26 7 cc cc NOUN ejde-155 26 8 by by ADP ejde-155 26 9 4.0 4.0 NUM ejde-155 26 10 license license NOUN ejde-155 26 11 . . PUNCT ejde-155 27 1 submitted submit VERB ejde-155 27 2 july july PROPN ejde-155 27 3 6 6 NUM ejde-155 27 4 , , PUNCT ejde-155 27 5 2022 2022 NUM ejde-155 27 6 . . PUNCT ejde-155 28 1 published publish VERB ejde-155 28 2 september september PROPN ejde-155 28 3 15 15 NUM ejde-155 28 4 , , PUNCT ejde-155 28 5 2022 2022 NUM ejde-155 28 6 . . PUNCT ejde-155 29 1 1 1 NUM ejde-155 29 2 2 2 NUM ejde-155 29 3 g. g. PROPN ejde-155 29 4 di di PROPN ejde-155 29 5 fazio fazio PROPN ejde-155 29 6 , , PUNCT ejde-155 29 7 m. m. PROPN ejde-155 29 8 s. s. PROPN ejde-155 29 9 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 29 10 , , PUNCT ejde-155 29 11 p. p. PROPN ejde-155 29 12 zamboni zamboni PROPN ejde-155 29 13 ejde-2022/65 ejde-2022/65 PROPN ejde-155 29 14 where where SCONJ ejde-155 29 15 the the DET ejde-155 29 16 above above ADJ ejde-155 29 17 mentioned mention VERB ejde-155 29 18 results result NOUN ejde-155 29 19 are be AUX ejde-155 29 20 obtained obtain VERB ejde-155 29 21 in in ADP ejde-155 29 22 the the DET ejde-155 29 23 subelliptic subelliptic ADJ ejde-155 29 24 setting setting NOUN ejde-155 29 25 through through ADP ejde-155 29 26 morrey morrey NOUN ejde-155 29 27 and and CCONJ ejde-155 29 28 stummel stummel VERB ejde-155 29 29 - - PUNCT ejde-155 29 30 kato kato PROPN ejde-155 29 31 type type NOUN ejde-155 29 32 assumptions assumption NOUN ejde-155 29 33 . . PUNCT ejde-155 30 1 almost almost ADV ejde-155 30 2 at at ADP ejde-155 30 3 the the DET ejde-155 30 4 same same ADJ ejde-155 30 5 time time NOUN ejde-155 30 6 a a DET ejde-155 30 7 parallel parallel ADJ ejde-155 30 8 investigation investigation NOUN ejde-155 30 9 has have AUX ejde-155 30 10 been be AUX ejde-155 30 11 performed perform VERB ejde-155 30 12 in in ADP ejde-155 30 13 [ [ X ejde-155 30 14 13 13 NUM ejde-155 30 15 , , PUNCT ejde-155 30 16 8 8 NUM ejde-155 30 17 ] ] PUNCT ejde-155 30 18 , , PUNCT ejde-155 30 19 where where SCONJ ejde-155 30 20 degeneracy degeneracy NOUN ejde-155 30 21 of of ADP ejde-155 30 22 operator operator NOUN ejde-155 30 23 is be AUX ejde-155 30 24 due due ADJ ejde-155 30 25 to to ADP ejde-155 30 26 a a DET ejde-155 30 27 suitable suitable ADJ ejde-155 30 28 power power NOUN ejde-155 30 29 of of ADP ejde-155 30 30 a a DET ejde-155 30 31 strong strong ADJ ejde-155 31 1 a∞. a∞. ADV ejde-155 31 2 there there PRON ejde-155 31 3 a a DET ejde-155 31 4 weighted weighted ADJ ejde-155 31 5 version version NOUN ejde-155 31 6 of of ADP ejde-155 31 7 stummel stummel VERB ejde-155 31 8 - - PUNCT ejde-155 31 9 kato kato PROPN ejde-155 31 10 class class NOUN ejde-155 31 11 has have AUX ejde-155 31 12 been be AUX ejde-155 31 13 defined define VERB ejde-155 31 14 to to PART ejde-155 31 15 obtain obtain VERB ejde-155 31 16 the the DET ejde-155 31 17 continuity continuity NOUN ejde-155 31 18 of of ADP ejde-155 31 19 weak weak ADJ ejde-155 31 20 solutions solution NOUN ejde-155 31 21 . . PUNCT ejde-155 32 1 strong strong ADJ ejde-155 32 2 a∞ a∞ PROPN ejde-155 32 3 weights weight NOUN ejde-155 32 4 have have AUX ejde-155 32 5 been be AUX ejde-155 32 6 introduced introduce VERB ejde-155 32 7 by by ADP ejde-155 32 8 david david PROPN ejde-155 32 9 and and CCONJ ejde-155 32 10 semmes semme NOUN ejde-155 32 11 in in ADP ejde-155 32 12 [ [ X ejde-155 32 13 7 7 NUM ejde-155 32 14 ] ] PUNCT ejde-155 32 15 for for ADP ejde-155 32 16 different different ADJ ejde-155 32 17 purposes purpose NOUN ejde-155 32 18 and and CCONJ ejde-155 32 19 it it PRON ejde-155 32 20 has have AUX ejde-155 32 21 been be AUX ejde-155 32 22 found find VERB ejde-155 32 23 useful useful ADJ ejde-155 32 24 in in ADP ejde-155 32 25 several several ADJ ejde-155 32 26 problems problem NOUN ejde-155 32 27 related relate VERB ejde-155 32 28 to to ADP ejde-155 32 29 geometric geometric ADJ ejde-155 32 30 measure measure NOUN ejde-155 32 31 theory theory NOUN ejde-155 32 32 and and CCONJ ejde-155 32 33 quasiconformal quasiconformal ADJ ejde-155 32 34 mappings mapping NOUN ejde-155 32 35 . . PUNCT ejde-155 33 1 in in ADP ejde-155 33 2 [ [ X ejde-155 33 3 8 8 NUM ejde-155 33 4 , , PUNCT ejde-155 33 5 13 13 NUM ejde-155 33 6 ] ] PUNCT ejde-155 33 7 a a DET ejde-155 33 8 strong strong ADJ ejde-155 33 9 a∞ a∞ PROPN ejde-155 33 10 weighted weight VERB ejde-155 33 11 stummel stummel VERB ejde-155 33 12 - - PUNCT ejde-155 33 13 kato kato PROPN ejde-155 33 14 class class NOUN ejde-155 33 15 has have AUX ejde-155 33 16 been be AUX ejde-155 33 17 defined define VERB ejde-155 33 18 and and CCONJ ejde-155 33 19 the the DET ejde-155 33 20 continuity continuity NOUN ejde-155 33 21 of of ADP ejde-155 33 22 weak weak ADJ ejde-155 33 23 solutions solution NOUN ejde-155 33 24 has have AUX ejde-155 33 25 been be AUX ejde-155 33 26 obtained obtain VERB ejde-155 33 27 . . PUNCT ejde-155 34 1 the the DET ejde-155 34 2 first first ADJ ejde-155 34 3 attempt attempt NOUN ejde-155 34 4 to to PART ejde-155 34 5 consider consider VERB ejde-155 34 6 together together ADV ejde-155 34 7 the the DET ejde-155 34 8 two two NUM ejde-155 34 9 types type NOUN ejde-155 34 10 of of ADP ejde-155 34 11 degeneracy degeneracy NOUN ejde-155 34 12 described describe VERB ejde-155 34 13 above above ADV ejde-155 34 14 , , PUNCT ejde-155 34 15 has have AUX ejde-155 34 16 been be AUX ejde-155 34 17 exploited exploit VERB ejde-155 34 18 by by ADP ejde-155 34 19 franchi franchi PROPN ejde-155 34 20 , , PUNCT ejde-155 34 21 gutierrez gutierrez PROPN ejde-155 34 22 and and CCONJ ejde-155 34 23 wheeden wheeden ADJ ejde-155 34 24 in in ADP ejde-155 34 25 [ [ X ejde-155 34 26 14 14 NUM ejde-155 34 27 , , PUNCT ejde-155 34 28 15 15 NUM ejde-155 34 29 ] ] PUNCT ejde-155 34 30 where where SCONJ ejde-155 34 31 they they PRON ejde-155 34 32 proved prove VERB ejde-155 34 33 harnack harnack NOUN ejde-155 34 34 inequality inequality NOUN ejde-155 34 35 for for ADP ejde-155 34 36 positive positive ADJ ejde-155 34 37 weak weak ADJ ejde-155 34 38 solutions solution NOUN ejde-155 34 39 of of ADP ejde-155 34 40 equation equation NOUN ejde-155 34 41 div(w(z)∇λu(z div(w(z)∇λu(z NOUN ejde-155 34 42 ) ) PUNCT ejde-155 34 43 ) ) PUNCT ejde-155 35 1 = = PUNCT ejde-155 35 2 0 0 NUM ejde-155 36 1 where where SCONJ ejde-155 36 2 w w NOUN ejde-155 36 3 is be AUX ejde-155 36 4 a a DET ejde-155 36 5 power power NOUN ejde-155 36 6 of of ADP ejde-155 36 7 a a DET ejde-155 36 8 strong strong ADJ ejde-155 36 9 a∞ a∞ PROPN ejde-155 36 10 weight weight NOUN ejde-155 36 11 and and CCONJ ejde-155 36 12 ∇λu ∇λu NOUN ejde-155 36 13 = = SYM ejde-155 36 14 ( ( PUNCT ejde-155 36 15 ∇xu(z ∇xu(z PROPN ejde-155 36 16 ) ) PUNCT ejde-155 36 17 , , PUNCT ejde-155 36 18 λ(x)∇yu(z λ(x)∇yu(z PROPN ejde-155 36 19 ) ) PUNCT ejde-155 36 20 ) ) PUNCT ejde-155 36 21 . . PUNCT ejde-155 37 1 we we PRON ejde-155 37 2 remark remark VERB ejde-155 37 3 that that SCONJ ejde-155 37 4 equations equation NOUN ejde-155 37 5 studied study VERB ejde-155 37 6 in in ADP ejde-155 37 7 [ [ X ejde-155 37 8 14 14 NUM ejde-155 37 9 , , PUNCT ejde-155 37 10 15 15 NUM ejde-155 37 11 ] ] PUNCT ejde-155 37 12 do do AUX ejde-155 37 13 not not PART ejde-155 37 14 contain contain VERB ejde-155 37 15 lower low ADJ ejde-155 37 16 order order NOUN ejde-155 37 17 terms term NOUN ejde-155 37 18 . . PUNCT ejde-155 38 1 in in ADP ejde-155 38 2 this this DET ejde-155 38 3 article article NOUN ejde-155 38 4 we we PRON ejde-155 38 5 extend extend VERB ejde-155 38 6 results result NOUN ejde-155 38 7 in in ADP ejde-155 38 8 [ [ X ejde-155 38 9 14 14 NUM ejde-155 38 10 , , PUNCT ejde-155 38 11 15 15 NUM ejde-155 38 12 ] ] PUNCT ejde-155 38 13 to to ADP ejde-155 38 14 a a DET ejde-155 38 15 more more ADV ejde-155 38 16 general general ADJ ejde-155 38 17 equation equation NOUN ejde-155 38 18 . . PUNCT ejde-155 39 1 namely namely ADV ejde-155 39 2 , , PUNCT ejde-155 39 3 in in ADP ejde-155 39 4 ω ω PROPN ejde-155 39 5 ⊂ ⊂ PROPN ejde-155 39 6 rn rn PROPN ejde-155 39 7 = = PROPN ejde-155 39 8 rnx rnx VERB ejde-155 39 9 × × PROPN ejde-155 39 10 rmy rmy NOUN ejde-155 39 11 , , PUNCT ejde-155 39 12 we we PRON ejde-155 39 13 consider consider VERB ejde-155 39 14 the the DET ejde-155 39 15 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 39 16 elliptic elliptic ADJ ejde-155 39 17 equation equation NOUN ejde-155 39 18 in in ADP ejde-155 39 19 divergence divergence NOUN ejde-155 39 20 form form NOUN ejde-155 39 21 diva(z diva(z NOUN ejde-155 39 22 , , PUNCT ejde-155 39 23 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 39 24 ) ) PUNCT ejde-155 40 1 + + NOUN ejde-155 40 2 b(z b(z NOUN ejde-155 40 3 , , PUNCT ejde-155 40 4 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 40 5 ) ) PUNCT ejde-155 40 6 = = SYM ejde-155 40 7 0 0 NUM ejde-155 40 8 ( ( PUNCT ejde-155 40 9 1.2 1.2 NUM ejde-155 40 10 ) ) PUNCT ejde-155 40 11 where where SCONJ ejde-155 40 12 a a PRON ejde-155 40 13 and and CCONJ ejde-155 40 14 b b NOUN ejde-155 40 15 are be AUX ejde-155 40 16 measurable measurable ADJ ejde-155 40 17 functions function NOUN ejde-155 40 18 satisfying satisfy VERB ejde-155 40 19 suitable suitable ADJ ejde-155 40 20 structure structure NOUN ejde-155 40 21 conditions condition NOUN ejde-155 40 22 of of ADP ejde-155 40 23 the the DET ejde-155 40 24 form form NOUN ejde-155 40 25 |a(z |a(z PROPN ejde-155 40 26 , , PUNCT ejde-155 40 27 u u NOUN ejde-155 40 28 , , PUNCT ejde-155 40 29 ξ)| ξ)| ADJ ejde-155 40 30 ≤ ≤ NUM ejde-155 40 31 aw(z)[|ξx|2 aw(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 41 1 + + SYM ejde-155 41 2 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 41 3 ] ] X ejde-155 41 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 41 5 2 2 NUM ejde-155 41 6 + + CCONJ ejde-155 41 7 b(z)|u|p−1 b(z)|u|p−1 PROPN ejde-155 41 8 + + CCONJ ejde-155 41 9 e(z e(z PROPN ejde-155 41 10 ) ) PUNCT ejde-155 41 11 |b(z |b(z PROPN ejde-155 41 12 , , PUNCT ejde-155 41 13 u u NOUN ejde-155 41 14 , , PUNCT ejde-155 41 15 ξ)| ξ)| VERB ejde-155 41 16 ≤ ≤ ADJ ejde-155 41 17 b0w(z)[|ξx|2 b0w(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 41 18 + + CCONJ ejde-155 41 19 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 NOUN ejde-155 41 20 + + CCONJ ejde-155 41 21 b1(z)[|ξx|2 b1(z)[|ξx|2 NOUN ejde-155 41 22 + + PUNCT ejde-155 41 23 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 X ejde-155 41 24 ] ] X ejde-155 41 25 p−1 p−1 PROPN ejde-155 41 26 2 2 NUM ejde-155 41 27 + + CCONJ ejde-155 41 28 d(z)|u|p−1 d(z)|u|p−1 NOUN ejde-155 41 29 + + CCONJ ejde-155 41 30 f(z f(z NOUN ejde-155 41 31 ) ) PUNCT ejde-155 41 32 ξ ξ X ejde-155 41 33 · · PUNCT ejde-155 41 34 a(z a(z PROPN ejde-155 41 35 , , PUNCT ejde-155 41 36 u u NOUN ejde-155 41 37 , , PUNCT ejde-155 41 38 ξ ξ NOUN ejde-155 41 39 ) ) PUNCT ejde-155 41 40 ≥ ≥ NOUN ejde-155 41 41 w(z)[|ξx|2 w(z)[|ξx|2 ADJ ejde-155 42 1 + + CCONJ ejde-155 42 2 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 ADJ ejde-155 42 3 − − PRON ejde-155 42 4 d1(z)|u|p d1(z)|u|p NOUN ejde-155 42 5 − − NOUN ejde-155 42 6 g(z g(z PROPN ejde-155 42 7 ) ) PUNCT ejde-155 42 8 ( ( PUNCT ejde-155 42 9 1.3 1.3 NUM ejde-155 42 10 ) ) PUNCT ejde-155 42 11 where where SCONJ ejde-155 42 12 w w NOUN ejde-155 42 13 = = VERB ejde-155 42 14 v1− v1− PROPN ejde-155 42 15 p p NOUN ejde-155 42 16 n n PROPN ejde-155 42 17 , , PUNCT ejde-155 42 18 1 1 NUM ejde-155 42 19 < < X ejde-155 42 20 p p X ejde-155 42 21 < < X ejde-155 42 22 n n PROPN ejde-155 42 23 , , PUNCT ejde-155 42 24 v v NOUN ejde-155 42 25 is be AUX ejde-155 42 26 a a DET ejde-155 42 27 strong strong ADJ ejde-155 42 28 a∞ a∞ PROPN ejde-155 42 29 weight weight NOUN ejde-155 42 30 and and CCONJ ejde-155 42 31 λ λ PROPN ejde-155 42 32 is be AUX ejde-155 42 33 a a DET ejde-155 42 34 suitable suitable ADJ ejde-155 42 35 function function NOUN ejde-155 42 36 we we PRON ejde-155 42 37 make make VERB ejde-155 42 38 precise precise ADJ ejde-155 42 39 later later ADV ejde-155 42 40 . . PUNCT ejde-155 43 1 we we PRON ejde-155 43 2 briefly briefly ADV ejde-155 43 3 describe describe VERB ejde-155 43 4 the the DET ejde-155 43 5 content content NOUN ejde-155 43 6 of of ADP ejde-155 43 7 this this DET ejde-155 43 8 paper paper NOUN ejde-155 43 9 . . PUNCT ejde-155 44 1 in in ADP ejde-155 44 2 section section NOUN ejde-155 44 3 2 2 NUM ejde-155 44 4 we we PRON ejde-155 44 5 recall recall VERB ejde-155 44 6 the the DET ejde-155 44 7 definition definition NOUN ejde-155 44 8 of of ADP ejde-155 44 9 strong strong ADJ ejde-155 44 10 a∞ a∞ PROPN ejde-155 44 11 weight weight NOUN ejde-155 44 12 and and CCONJ ejde-155 44 13 the the DET ejde-155 44 14 related relate VERB ejde-155 44 15 function function NOUN ejde-155 44 16 spaces space NOUN ejde-155 44 17 . . PUNCT ejde-155 45 1 in in ADP ejde-155 45 2 section section NOUN ejde-155 45 3 3 3 NUM ejde-155 45 4 we we PRON ejde-155 45 5 give give VERB ejde-155 45 6 the the DET ejde-155 45 7 definitions definition NOUN ejde-155 45 8 of of ADP ejde-155 45 9 stummel stummel NOUN ejde-155 45 10 - - PUNCT ejde-155 45 11 kato kato PROPN ejde-155 45 12 and and CCONJ ejde-155 45 13 morrey morrey PROPN ejde-155 45 14 classes class NOUN ejde-155 45 15 introduced introduce VERB ejde-155 45 16 in in ADP ejde-155 45 17 [ [ X ejde-155 45 18 9 9 NUM ejde-155 45 19 , , PUNCT ejde-155 45 20 10 10 NUM ejde-155 45 21 ] ] PUNCT ejde-155 45 22 ( ( PUNCT ejde-155 45 23 see see VERB ejde-155 45 24 e.g. e.g. ADV ejde-155 45 25 [ [ X ejde-155 45 26 21 21 NUM ejde-155 45 27 , , PUNCT ejde-155 45 28 22 22 NUM ejde-155 45 29 ] ] PUNCT ejde-155 45 30 ) ) PUNCT ejde-155 45 31 and and CCONJ ejde-155 45 32 state state NOUN ejde-155 45 33 fefferman fefferman ADJ ejde-155 45 34 type type NOUN ejde-155 45 35 inequality inequality NOUN ejde-155 45 36 which which PRON ejde-155 45 37 will will AUX ejde-155 45 38 allows allow VERB ejde-155 45 39 us we PRON ejde-155 45 40 to to PART ejde-155 45 41 control control VERB ejde-155 45 42 the the DET ejde-155 45 43 integral integral ADJ ejde-155 45 44 arising arising NOUN ejde-155 45 45 from from ADP ejde-155 45 46 the the DET ejde-155 45 47 coefficients coefficient NOUN ejde-155 45 48 in in ADP ejde-155 45 49 ( ( PUNCT ejde-155 45 50 1.3 1.3 NUM ejde-155 45 51 ) ) PUNCT ejde-155 45 52 . . PUNCT ejde-155 46 1 in in ADP ejde-155 46 2 section section NOUN ejde-155 46 3 4 4 NUM ejde-155 46 4 , , PUNCT ejde-155 46 5 following follow VERB ejde-155 46 6 trudinger trudinger NOUN ejde-155 46 7 pattern pattern NOUN ejde-155 46 8 ( ( PUNCT ejde-155 46 9 see see VERB ejde-155 46 10 [ [ X ejde-155 46 11 24 24 NUM ejde-155 46 12 ] ] PUNCT ejde-155 46 13 ) ) PUNCT ejde-155 46 14 , , PUNCT ejde-155 46 15 we we PRON ejde-155 46 16 obtain obtain VERB ejde-155 46 17 harnack harnack NOUN ejde-155 46 18 inequality inequality NOUN ejde-155 46 19 for for ADP ejde-155 46 20 non non ADJ ejde-155 46 21 negative negative ADJ ejde-155 46 22 weak weak ADJ ejde-155 46 23 solutions solution NOUN ejde-155 46 24 of of ADP ejde-155 46 25 equation equation NOUN ejde-155 46 26 ( ( PUNCT ejde-155 46 27 1.2 1.2 NUM ejde-155 46 28 ) ) PUNCT ejde-155 46 29 and and CCONJ ejde-155 46 30 , , PUNCT ejde-155 46 31 as as ADP ejde-155 46 32 consequence consequence NOUN ejde-155 46 33 , , PUNCT ejde-155 46 34 the the DET ejde-155 46 35 regularity regularity NOUN ejde-155 46 36 of of ADP ejde-155 46 37 weak weak ADJ ejde-155 46 38 solutions solution NOUN ejde-155 46 39 . . PUNCT ejde-155 47 1 in in ADP ejde-155 47 2 particular particular ADJ ejde-155 47 3 , , PUNCT ejde-155 47 4 we we PRON ejde-155 47 5 prove prove VERB ejde-155 47 6 continuity continuity NOUN ejde-155 47 7 results result NOUN ejde-155 47 8 under under ADP ejde-155 47 9 stummel stummel VERB ejde-155 47 10 - - PUNCT ejde-155 47 11 kato kato PROPN ejde-155 47 12 type type NOUN ejde-155 47 13 assumptions assumption NOUN ejde-155 47 14 , , PUNCT ejde-155 47 15 and and CCONJ ejde-155 47 16 hölder hölder NOUN ejde-155 47 17 continuity continuity NOUN ejde-155 47 18 result result NOUN ejde-155 47 19 under under ADP ejde-155 47 20 morrey morrey PROPN ejde-155 47 21 type type NOUN ejde-155 47 22 assumptions assumption NOUN ejde-155 47 23 . . PUNCT ejde-155 48 1 finally finally ADV ejde-155 48 2 , , PUNCT ejde-155 48 3 in in ADP ejde-155 48 4 section section NOUN ejde-155 48 5 5 5 NUM ejde-155 48 6 we we PRON ejde-155 48 7 use use VERB ejde-155 48 8 trudinger trudinger NOUN ejde-155 48 9 technique technique NOUN ejde-155 48 10 to to PART ejde-155 48 11 prove prove VERB ejde-155 48 12 harnack harnack PROPN ejde-155 48 13 inequality inequality NOUN ejde-155 48 14 up up ADP ejde-155 48 15 to to ADP ejde-155 48 16 the the DET ejde-155 48 17 boundary boundary NOUN ejde-155 48 18 . . PUNCT ejde-155 49 1 2 2 X ejde-155 49 2 . . X ejde-155 49 3 strong strong ADJ ejde-155 49 4 a∞ a∞ PROPN ejde-155 49 5 weights weight NOUN ejde-155 49 6 and and CCONJ ejde-155 49 7 function function NOUN ejde-155 49 8 spaces space NOUN ejde-155 49 9 we we PRON ejde-155 49 10 denote denote VERB ejde-155 49 11 by by ADP ejde-155 49 12 z z PROPN ejde-155 49 13 = = SYM ejde-155 49 14 ( ( PUNCT ejde-155 49 15 x x X ejde-155 49 16 , , PUNCT ejde-155 49 17 y y PROPN ejde-155 49 18 ) ) PUNCT ejde-155 49 19 a a DET ejde-155 49 20 point point NOUN ejde-155 49 21 in in ADP ejde-155 49 22 rn rn PROPN ejde-155 49 23 , , PUNCT ejde-155 49 24 with with ADP ejde-155 49 25 x x PROPN ejde-155 49 26 ∈ ∈ PROPN ejde-155 49 27 rn rn PROPN ejde-155 49 28 and and CCONJ ejde-155 49 29 y y PROPN ejde-155 49 30 ∈ ∈ PROPN ejde-155 49 31 rm rm PROPN ejde-155 49 32 , , PUNCT ejde-155 49 33 n n PROPN ejde-155 49 34 + + X ejde-155 49 35 m m NOUN ejde-155 49 36 = = SYM ejde-155 49 37 n n PROPN ejde-155 49 38 . . PUNCT ejde-155 50 1 we we PRON ejde-155 50 2 assume assume VERB ejde-155 50 3 that that SCONJ ejde-155 50 4 there there PRON ejde-155 50 5 exists exist VERB ejde-155 50 6 a a DET ejde-155 50 7 function function NOUN ejde-155 50 8 λ(x λ(x PROPN ejde-155 50 9 ) ) PUNCT ejde-155 50 10 defined define VERB ejde-155 50 11 on on ADP ejde-155 50 12 rn rn PROPN ejde-155 50 13 such such ADJ ejde-155 50 14 that that SCONJ ejde-155 50 15 ( ( PUNCT ejde-155 50 16 h1 h1 PROPN ejde-155 50 17 ) ) PUNCT ejde-155 50 18 λ λ NOUN ejde-155 50 19 = = SYM ejde-155 50 20 λ(x λ(x X ejde-155 50 21 ) ) PUNCT ejde-155 50 22 is be AUX ejde-155 50 23 a a DET ejde-155 50 24 continuous continuous ADJ ejde-155 50 25 nonnegative nonnegative ADJ ejde-155 50 26 function function NOUN ejde-155 50 27 vanishing vanish VERB ejde-155 50 28 only only ADV ejde-155 50 29 at at ADP ejde-155 50 30 a a DET ejde-155 50 31 finite finite ADJ ejde-155 50 32 number number NOUN ejde-155 50 33 of of ADP ejde-155 50 34 points point NOUN ejde-155 50 35 ; ; PUNCT ejde-155 50 36 ejde-2022/65 ejde-2022/65 ADJ ejde-155 50 37 boundary boundary ADJ ejde-155 50 38 regularity regularity NOUN ejde-155 50 39 for for ADP ejde-155 50 40 strongly strongly ADV ejde-155 50 41 degenerate degenerate ADJ ejde-155 50 42 operators operator NOUN ejde-155 50 43 3 3 NUM ejde-155 50 44 ( ( PUNCT ejde-155 50 45 h2 h2 NOUN ejde-155 50 46 ) ) PUNCT ejde-155 50 47 λn λn NOUN ejde-155 50 48 is be AUX ejde-155 50 49 a a DET ejde-155 50 50 strong strong ADJ ejde-155 50 51 a∞ a∞ PROPN ejde-155 50 52 weight weight NOUN ejde-155 50 53 ( ( PUNCT ejde-155 50 54 see see VERB ejde-155 50 55 definition definition NOUN ejde-155 50 56 2.2 2.2 NUM ejde-155 50 57 ) ) PUNCT ejde-155 50 58 ; ; PUNCT ejde-155 50 59 ( ( PUNCT ejde-155 50 60 h3 h3 NOUN ejde-155 50 61 ) ) PUNCT ejde-155 50 62 λ λ PROPN ejde-155 50 63 satisfies satisfy VERB ejde-155 50 64 an an DET ejde-155 50 65 infinite infinite ADJ ejde-155 50 66 order order NOUN ejde-155 50 67 reverse reverse NOUN ejde-155 50 68 hölder hölder NOUN ejde-155 50 69 inequality inequality NOUN ejde-155 50 70 , , PUNCT ejde-155 50 71 i.e. i.e. X ejde-155 50 72 for for ADP ejde-155 50 73 any any DET ejde-155 50 74 x0 x0 PROPN ejde-155 50 75 ∈ ∈ PROPN ejde-155 50 76 rn rn PROPN ejde-155 50 77 , , PUNCT ejde-155 50 78 r r NOUN ejde-155 50 79 > > X ejde-155 50 80 0 0 NUM ejde-155 50 81 we we PRON ejde-155 50 82 have have VERB ejde-155 51 1 − − PROPN ejde-155 51 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 52 1 |x−x0| > X ejde-155 62 4 1 1 NUM ejde-155 62 5 and and CCONJ ejde-155 62 6 let let VERB ejde-155 62 7 v v PART ejde-155 62 8 be be AUX ejde-155 62 9 a a DET ejde-155 62 10 nonnegative nonnegative ADJ ejde-155 62 11 locally locally ADV ejde-155 62 12 integrable integrable ADJ ejde-155 62 13 function function NOUN ejde-155 62 14 in in ADP ejde-155 62 15 rn rn PROPN ejde-155 62 16 . . PUNCT ejde-155 63 1 we we PRON ejde-155 63 2 say say VERB ejde-155 63 3 that that SCONJ ejde-155 63 4 v v NOUN ejde-155 63 5 is be AUX ejde-155 63 6 a a DET ejde-155 63 7 weight weight NOUN ejde-155 63 8 of of ADP ejde-155 63 9 the the DET ejde-155 63 10 muckenhoupt muckenhoupt ADJ ejde-155 63 11 class class NOUN ejde-155 63 12 aq aq NOUN ejde-155 63 13 if if SCONJ ejde-155 63 14 sup sup PROPN ejde-155 63 15 b b PROPN ejde-155 63 16 ( ( PUNCT ejde-155 63 17 1 1 NUM ejde-155 63 18 |b| |b| PROPN ejde-155 63 19 ∫ ∫ PROPN ejde-155 63 20 b b PROPN ejde-155 63 21 v(z v(z PROPN ejde-155 63 22 ) ) PUNCT ejde-155 63 23 dz dz NOUN ejde-155 63 24 ) ) PUNCT ejde-155 63 25 ( ( PUNCT ejde-155 63 26 1 1 NUM ejde-155 63 27 |b| |b| PROPN ejde-155 63 28 ∫ ∫ PROPN ejde-155 63 29 b b PROPN ejde-155 64 1 [ [ X ejde-155 64 2 v(z v(z NOUN ejde-155 64 3 ) ) PUNCT ejde-155 64 4 ] ] PUNCT ejde-155 65 1 −1 −1 NOUN ejde-155 65 2 q−1 q−1 PROPN ejde-155 65 3 dz dz PROPN ejde-155 65 4 ) ) PUNCT ejde-155 65 5 q−1 q−1 PROPN ejde-155 65 6 ≡ ≡ PROPN ejde-155 65 7 c0 c0 NOUN ejde-155 65 8 < < X ejde-155 66 1 + + PROPN ejde-155 66 2 ∞ ∞ PROPN ejde-155 66 3 , , PUNCT ejde-155 66 4 where where SCONJ ejde-155 66 5 the the DET ejde-155 66 6 supremum supremum NOUN ejde-155 66 7 is be AUX ejde-155 66 8 taken take VERB ejde-155 66 9 over over ADP ejde-155 66 10 all all DET ejde-155 66 11 carnot carnot NOUN ejde-155 66 12 - - PUNCT ejde-155 66 13 carathéodory carathéodory NOUN ejde-155 66 14 metric metric ADJ ejde-155 66 15 balls ball NOUN ejde-155 66 16 b b PROPN ejde-155 66 17 in in ADP ejde-155 66 18 rn rn PROPN ejde-155 66 19 . . PUNCT ejde-155 67 1 the the DET ejde-155 67 2 number number NOUN ejde-155 67 3 c0 c0 NOUN ejde-155 67 4 is be AUX ejde-155 67 5 called call VERB ejde-155 67 6 the the DET ejde-155 67 7 aq aq NOUN ejde-155 67 8 constant constant NOUN ejde-155 67 9 of of ADP ejde-155 67 10 v. v. ADP ejde-155 67 11 definition definition NOUN ejde-155 67 12 2.2 2.2 NUM ejde-155 67 13 . . PUNCT ejde-155 68 1 let let VERB ejde-155 68 2 v v PART ejde-155 68 3 be be AUX ejde-155 68 4 an an DET ejde-155 68 5 aq aq NOUN ejde-155 68 6 weight weight NOUN ejde-155 68 7 for for ADP ejde-155 68 8 some some PRON ejde-155 68 9 q q NOUN ejde-155 68 10 > > X ejde-155 68 11 1 1 X ejde-155 68 12 . . PUNCT ejde-155 69 1 if if SCONJ ejde-155 69 2 z1 z1 VERB ejde-155 69 3 , , PUNCT ejde-155 69 4 z2 z2 PROPN ejde-155 69 5 belong belong VERB ejde-155 69 6 to to ADP ejde-155 69 7 rn rn PROPN ejde-155 69 8 , , PUNCT ejde-155 69 9 put put VERB ejde-155 69 10 δ(z1 δ(z1 ADJ ejde-155 69 11 , , PUNCT ejde-155 69 12 z2 z2 NUM ejde-155 69 13 ) ) PUNCT ejde-155 69 14 = = SYM ejde-155 69 15 inf inf PROPN ejde-155 69 16 ( ( PUNCT ejde-155 69 17 ∫ ∫ PROPN ejde-155 69 18 b b PROPN ejde-155 69 19 v(z)λ v(z)λ PROPN ejde-155 69 20 m m PROPN ejde-155 69 21 n−1 n−1 PROPN ejde-155 69 22 ( ( PUNCT ejde-155 69 23 z)dz z)dz PROPN ejde-155 69 24 ) ) PUNCT ejde-155 69 25 1 1 NUM ejde-155 69 26 / / SYM ejde-155 69 27 n n NOUN ejde-155 69 28 , , PUNCT ejde-155 69 29 where where SCONJ ejde-155 69 30 the the DET ejde-155 69 31 infimum infimum NOUN ejde-155 69 32 is be AUX ejde-155 69 33 taken take VERB ejde-155 69 34 over over ADP ejde-155 69 35 the the DET ejde-155 69 36 balls ball NOUN ejde-155 69 37 b b X ejde-155 69 38 such such ADJ ejde-155 69 39 that that DET ejde-155 69 40 z1 z1 PROPN ejde-155 69 41 , , PUNCT ejde-155 69 42 z2 z2 PROPN ejde-155 69 43 ∈ ∈ PROPN ejde-155 69 44 b. b. PROPN ejde-155 70 1 if if SCONJ ejde-155 70 2 γ γ X ejde-155 70 3 : : PUNCT ejde-155 70 4 [ [ X ejde-155 70 5 0 0 NUM ejde-155 70 6 , , PUNCT ejde-155 70 7 t t X ejde-155 70 8 ] ] PUNCT ejde-155 70 9 → → SYM ejde-155 70 10 rn rn PROPN ejde-155 70 11 is be AUX ejde-155 70 12 a a DET ejde-155 70 13 continuous continuous ADJ ejde-155 70 14 curve curve NOUN ejde-155 70 15 , , PUNCT ejde-155 70 16 we we PRON ejde-155 70 17 define define VERB ejde-155 70 18 the the DET ejde-155 70 19 v v NOUN ejde-155 70 20 - - NOUN ejde-155 70 21 lenght lenght ADJ ejde-155 70 22 of of ADP ejde-155 70 23 γ γ NOUN ejde-155 70 24 as as ADP ejde-155 70 25 l(γ l(γ PROPN ejde-155 70 26 ) ) PUNCT ejde-155 71 1 = = PROPN ejde-155 71 2 lim lim PROPN ejde-155 71 3 inf inf PROPN ejde-155 71 4 |σ|→0 |σ|→0 PROPN ejde-155 71 5 p−1∑ p−1∑ PROPN ejde-155 71 6 i=0 i=0 PROPN ejde-155 71 7 δ(γ(ti+1 δ(γ(ti+1 PROPN ejde-155 71 8 ) ) PUNCT ejde-155 71 9 , , PUNCT ejde-155 71 10 γ(ti γ(ti NOUN ejde-155 71 11 ) ) PUNCT ejde-155 71 12 ) ) PUNCT ejde-155 71 13 , , PUNCT ejde-155 71 14 where where SCONJ ejde-155 71 15 σ σ NOUN ejde-155 71 16 = = SYM ejde-155 71 17 { { PUNCT ejde-155 71 18 t0 t0 NOUN ejde-155 71 19 , , PUNCT ejde-155 71 20 . . PUNCT ejde-155 71 21 . . PUNCT ejde-155 71 22 . . PUNCT ejde-155 72 1 , , PUNCT ejde-155 72 2 tp tp PART ejde-155 72 3 } } PUNCT ejde-155 72 4 is be AUX ejde-155 72 5 a a DET ejde-155 72 6 partition partition NOUN ejde-155 72 7 of of ADP ejde-155 72 8 [ [ X ejde-155 72 9 0 0 NUM ejde-155 72 10 , , PUNCT ejde-155 72 11 t t X ejde-155 72 12 ] ] PUNCT ejde-155 72 13 , , PUNCT ejde-155 72 14 and and CCONJ ejde-155 72 15 we we PRON ejde-155 72 16 define define VERB ejde-155 72 17 a a DET ejde-155 72 18 distance distance NOUN ejde-155 72 19 d(z1 d(z1 NOUN ejde-155 72 20 , , PUNCT ejde-155 72 21 z2 z2 PROPN ejde-155 72 22 ) ) PUNCT ejde-155 72 23 as as ADP ejde-155 72 24 the the DET ejde-155 72 25 infimum infimum NOUN ejde-155 72 26 of of ADP ejde-155 72 27 the the DET ejde-155 72 28 vlengths vlength NOUN ejde-155 72 29 of of ADP ejde-155 72 30 sub sub ADJ ejde-155 72 31 - - ADJ ejde-155 72 32 unit unit ADJ ejde-155 72 33 curves curve NOUN ejde-155 72 34 connecting connect VERB ejde-155 72 35 z1 z1 NOUN ejde-155 72 36 and and CCONJ ejde-155 72 37 z2 z2 NOUN ejde-155 72 38 . . PUNCT ejde-155 73 1 if if SCONJ ejde-155 73 2 there there PRON ejde-155 73 3 exist exist VERB ejde-155 73 4 positive positive ADJ ejde-155 73 5 constants constant NOUN ejde-155 73 6 c1 c1 PROPN ejde-155 73 7 and and CCONJ ejde-155 73 8 c2 c2 PROPN ejde-155 73 9 such such ADJ ejde-155 73 10 that that SCONJ ejde-155 73 11 c1δ(z1 c1δ(z1 PROPN ejde-155 73 12 , , PUNCT ejde-155 73 13 z2 z2 NOUN ejde-155 73 14 ) ) PUNCT ejde-155 73 15 ≤ ≤ NUM ejde-155 73 16 d(z1 d(z1 NOUN ejde-155 73 17 , , PUNCT ejde-155 73 18 z2 z2 NOUN ejde-155 73 19 ) ) PUNCT ejde-155 73 20 ≤ ≤ NOUN ejde-155 73 21 c2δ(z1 c2δ(z1 PROPN ejde-155 73 22 , , PUNCT ejde-155 73 23 z2 z2 PROPN ejde-155 73 24 ) ) PUNCT ejde-155 73 25 , , PUNCT ejde-155 73 26 we we PRON ejde-155 73 27 say say VERB ejde-155 73 28 that that SCONJ ejde-155 73 29 v v NOUN ejde-155 73 30 is be AUX ejde-155 73 31 a a DET ejde-155 73 32 strong strong ADJ ejde-155 73 33 a∞ a∞ PROPN ejde-155 73 34 weight weight NOUN ejde-155 73 35 for for ADP ejde-155 73 36 the the DET ejde-155 73 37 metric metric ADJ ejde-155 73 38 ρ ρ PROPN ejde-155 73 39 . . PUNCT ejde-155 74 1 an an DET ejde-155 74 2 example example NOUN ejde-155 74 3 of of ADP ejde-155 74 4 strong strong ADJ ejde-155 74 5 a∞ a∞ PROPN ejde-155 74 6 weight weight NOUN ejde-155 74 7 is be AUX ejde-155 74 8 the the DET ejde-155 74 9 function function NOUN ejde-155 74 10 v(z v(z NOUN ejde-155 74 11 ) ) PUNCT ejde-155 75 1 = = SYM ejde-155 75 2 ρ(z ρ(z PROPN ejde-155 75 3 , , PUNCT ejde-155 75 4 z0)α z0)α VERB ejde-155 75 5 with with ADP ejde-155 75 6 α α PROPN ejde-155 75 7 ≥ ≥ NOUN ejde-155 75 8 0 0 NUM ejde-155 75 9 and and CCONJ ejde-155 75 10 z0 z0 PROPN ejde-155 75 11 ∈ ∈ PROPN ejde-155 75 12 rn rn PROPN ejde-155 75 13 ( ( PUNCT ejde-155 75 14 see see VERB ejde-155 75 15 [ [ X ejde-155 75 16 15 15 NUM ejde-155 75 17 ] ] NUM ejde-155 75 18 ) ) PUNCT ejde-155 75 19 . . PUNCT ejde-155 76 1 using use VERB ejde-155 76 2 strong strong ADJ ejde-155 76 3 a∞ a∞ PROPN ejde-155 76 4 weights weight NOUN ejde-155 76 5 we we PRON ejde-155 76 6 define define VERB ejde-155 76 7 lebesgue lebesgue NOUN ejde-155 76 8 and and CCONJ ejde-155 76 9 sobolev sobolev NOUN ejde-155 76 10 classes class NOUN ejde-155 76 11 . . PUNCT ejde-155 77 1 4 4 NUM ejde-155 77 2 g. g. PROPN ejde-155 77 3 di di PROPN ejde-155 77 4 fazio fazio PROPN ejde-155 77 5 , , PUNCT ejde-155 77 6 m. m. PROPN ejde-155 77 7 s. s. PROPN ejde-155 77 8 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 77 9 , , PUNCT ejde-155 77 10 p. p. PROPN ejde-155 77 11 zamboni zamboni PROPN ejde-155 77 12 ejde-2022/65 ejde-2022/65 ADJ ejde-155 77 13 definition definition NOUN ejde-155 77 14 2.3 2.3 NUM ejde-155 77 15 . . PUNCT ejde-155 78 1 let let VERB ejde-155 78 2 v v PART ejde-155 78 3 be be AUX ejde-155 78 4 a a DET ejde-155 78 5 strong strong ADJ ejde-155 78 6 a∞ a∞ PROPN ejde-155 78 7 weight weight NOUN ejde-155 78 8 and and CCONJ ejde-155 78 9 w w NOUN ejde-155 78 10 = = PUNCT ejde-155 78 11 v1−p v1−p PROPN ejde-155 78 12 / / SYM ejde-155 78 13 n n CCONJ ejde-155 78 14 , , PUNCT ejde-155 78 15 1 1 NUM ejde-155 78 16 ≤ ≤ NOUN ejde-155 78 17 p p NOUN ejde-155 78 18 < < X ejde-155 78 19 n n PROPN ejde-155 78 20 , , PUNCT ejde-155 78 21 ω ω PROPN ejde-155 78 22 ⊂ ⊂ PROPN ejde-155 78 23 rn rn PROPN ejde-155 78 24 . . PUNCT ejde-155 79 1 for for ADP ejde-155 79 2 any any DET ejde-155 79 3 u u PROPN ejde-155 79 4 ∈ ∈ PROPN ejde-155 79 5 c∞0 c∞0 PROPN ejde-155 79 6 ( ( PUNCT ejde-155 79 7 ω ω X ejde-155 79 8 ) ) PUNCT ejde-155 79 9 we we PRON ejde-155 79 10 set set VERB ejde-155 79 11 ‖u‖lpv(ω ‖u‖lpv(ω PROPN ejde-155 79 12 ) ) PUNCT ejde-155 79 13 = = PRON ejde-155 79 14 ( ( PUNCT ejde-155 79 15 ∫ ∫ PROPN ejde-155 79 16 ω ω PROPN ejde-155 79 17 |u(z)|p |u(z)|p PROPN ejde-155 79 18 w(z w(z PROPN ejde-155 79 19 ) ) PUNCT ejde-155 79 20 dz dz NOUN ejde-155 79 21 ) ) PUNCT ejde-155 79 22 1 1 X ejde-155 79 23 / / SYM ejde-155 79 24 p p NOUN ejde-155 79 25 . . PUNCT ejde-155 80 1 we we PRON ejde-155 80 2 define define VERB ejde-155 80 3 lpv(ω lpv(ω NOUN ejde-155 80 4 ) ) PUNCT ejde-155 80 5 to to PART ejde-155 80 6 be be AUX ejde-155 80 7 the the DET ejde-155 80 8 completion completion NOUN ejde-155 80 9 of of ADP ejde-155 80 10 c∞0 c∞0 PROPN ejde-155 80 11 ( ( PUNCT ejde-155 80 12 ω ω NOUN ejde-155 80 13 ) ) PUNCT ejde-155 80 14 with with ADP ejde-155 80 15 respect respect NOUN ejde-155 80 16 to to ADP ejde-155 80 17 the the DET ejde-155 80 18 above above ADJ ejde-155 80 19 norm norm NOUN ejde-155 80 20 . . PUNCT ejde-155 81 1 for for ADP ejde-155 81 2 u u PROPN ejde-155 81 3 ∈ ∈ PROPN ejde-155 81 4 c∞(ω c∞(ω NOUN ejde-155 81 5 ) ) PUNCT ejde-155 81 6 we we PRON ejde-155 81 7 set set VERB ejde-155 81 8 ‖u‖h1,p ‖u‖h1,p PROPN ejde-155 81 9 v v X ejde-155 81 10 ( ( PUNCT ejde-155 81 11 ω ω NOUN ejde-155 81 12 ) ) PUNCT ejde-155 81 13 = = SYM ejde-155 81 14 ( ( PUNCT ejde-155 82 1 ∫ ∫ PROPN ejde-155 82 2 ω ω PROPN ejde-155 82 3 |u(z)|p |u(z)|p PROPN ejde-155 82 4 w(z w(z PROPN ejde-155 82 5 ) ) PUNCT ejde-155 82 6 dz dz NOUN ejde-155 82 7 ) ) PUNCT ejde-155 82 8 1 1 X ejde-155 82 9 / / SYM ejde-155 82 10 p p X ejde-155 82 11 + + CCONJ ejde-155 82 12 ( ( PUNCT ejde-155 82 13 ∫ ∫ PROPN ejde-155 82 14 ω ω PROPN ejde-155 82 15 |∇λu(z)|p |∇λu(z)|p PROPN ejde-155 82 16 w(z w(z PROPN ejde-155 82 17 ) ) PUNCT ejde-155 82 18 dz dz NOUN ejde-155 82 19 ) ) PUNCT ejde-155 82 20 1 1 X ejde-155 82 21 / / SYM ejde-155 82 22 p p NOUN ejde-155 82 23 . . PUNCT ejde-155 83 1 ( ( PUNCT ejde-155 83 2 2.1 2.1 NUM ejde-155 83 3 ) ) PUNCT ejde-155 83 4 we we PRON ejde-155 83 5 define define VERB ejde-155 83 6 h1,p h1,p PROPN ejde-155 83 7 0,v 0,v X ejde-155 83 8 ( ( PUNCT ejde-155 83 9 ω ω NOUN ejde-155 83 10 ) ) PUNCT ejde-155 83 11 to to PART ejde-155 83 12 be be AUX ejde-155 83 13 the the DET ejde-155 83 14 completion completion NOUN ejde-155 83 15 of of ADP ejde-155 83 16 c∞0 c∞0 PROPN ejde-155 83 17 ( ( PUNCT ejde-155 83 18 ω ω NOUN ejde-155 83 19 ) ) PUNCT ejde-155 83 20 with with ADP ejde-155 83 21 respect respect NOUN ejde-155 83 22 to to ADP ejde-155 83 23 the the DET ejde-155 83 24 norm norm NOUN ejde-155 83 25 ( ( PUNCT ejde-155 83 26 2.1 2.1 NUM ejde-155 83 27 ) ) PUNCT ejde-155 83 28 and and CCONJ ejde-155 83 29 h1,p h1,p PROPN ejde-155 83 30 v v X ejde-155 83 31 ( ( PUNCT ejde-155 83 32 ω ω NOUN ejde-155 83 33 ) ) PUNCT ejde-155 83 34 to to PART ejde-155 83 35 be be AUX ejde-155 83 36 the the DET ejde-155 83 37 completion completion NOUN ejde-155 83 38 of of ADP ejde-155 83 39 c∞(ω c∞(ω NOUN ejde-155 83 40 ) ) PUNCT ejde-155 83 41 with with ADP ejde-155 83 42 respect respect NOUN ejde-155 83 43 to to ADP ejde-155 83 44 the the DET ejde-155 83 45 same same ADJ ejde-155 83 46 norm norm NOUN ejde-155 83 47 . . PUNCT ejde-155 84 1 now now ADV ejde-155 84 2 to to PART ejde-155 84 3 recall recall VERB ejde-155 84 4 the the DET ejde-155 84 5 sobolev sobolev NOUN ejde-155 84 6 embedding embed VERB ejde-155 84 7 theorem theorem NOUN ejde-155 84 8 and and CCONJ ejde-155 84 9 the the DET ejde-155 84 10 representation representation NOUN ejde-155 84 11 formula formula NOUN ejde-155 84 12 proved prove VERB ejde-155 84 13 in in ADP ejde-155 84 14 [ [ X ejde-155 84 15 15 15 NUM ejde-155 84 16 ] ] PUNCT ejde-155 84 17 , , PUNCT ejde-155 84 18 theorem theorem VERB ejde-155 84 19 i i PRON ejde-155 84 20 , , PUNCT ejde-155 84 21 we we PRON ejde-155 84 22 need need VERB ejde-155 84 23 another another DET ejde-155 84 24 assumption assumption NOUN ejde-155 84 25 on on ADP ejde-155 84 26 strong strong ADJ ejde-155 84 27 a∞ a∞ PROPN ejde-155 84 28 weights weight NOUN ejde-155 84 29 . . PUNCT ejde-155 85 1 a a DET ejde-155 85 2 strong strong ADJ ejde-155 85 3 a∞ a∞ PROPN ejde-155 85 4 weight weight NOUN ejde-155 85 5 v v NOUN ejde-155 85 6 satisfies satisfy VERB ejde-155 85 7 the the DET ejde-155 85 8 local local ADJ ejde-155 85 9 boundedness boundedness NOUN ejde-155 85 10 condition condition NOUN ejde-155 85 11 near near ADP ejde-155 85 12 the the DET ejde-155 85 13 zeros zero NOUN ejde-155 85 14 of of ADP ejde-155 85 15 λ λ PROPN ejde-155 85 16 if if SCONJ ejde-155 85 17 the the DET ejde-155 85 18 following follow VERB ejde-155 85 19 condition condition NOUN ejde-155 85 20 holds hold VERB ejde-155 85 21 if if SCONJ ejde-155 85 22 λ(x1 λ(x1 NOUN ejde-155 85 23 ) ) PUNCT ejde-155 85 24 = = SYM ejde-155 85 25 0 0 NUM ejde-155 85 26 , , PUNCT ejde-155 85 27 then then ADV ejde-155 85 28 v(x v(x PROPN ejde-155 85 29 , , PUNCT ejde-155 85 30 y y PROPN ejde-155 85 31 ) ) PUNCT ejde-155 85 32 is be AUX ejde-155 85 33 bounded bound VERB ejde-155 85 34 as as ADP ejde-155 85 35 x x X ejde-155 85 36 → → SYM ejde-155 85 37 x1 x1 PROPN ejde-155 85 38 uniformly uniformly ADV ejde-155 85 39 in in ADP ejde-155 85 40 y y PROPN ejde-155 85 41 , , PUNCT ejde-155 85 42 for for ADP ejde-155 85 43 y y PROPN ejde-155 85 44 in in ADP ejde-155 85 45 every every DET ejde-155 85 46 bounded bound VERB ejde-155 85 47 set set NOUN ejde-155 85 48 . . PUNCT ejde-155 86 1 ( ( PUNCT ejde-155 86 2 2.2 2.2 NUM ejde-155 86 3 ) ) PUNCT ejde-155 86 4 theorem theorem VERB ejde-155 86 5 2.4 2.4 NUM ejde-155 86 6 . . PUNCT ejde-155 87 1 let let VERB ejde-155 87 2 1 1 NUM ejde-155 87 3 < < X ejde-155 87 4 p p X ejde-155 87 5 < < X ejde-155 87 6 n n NOUN ejde-155 87 7 and and CCONJ ejde-155 87 8 v v AUX ejde-155 87 9 be be AUX ejde-155 87 10 a a DET ejde-155 87 11 strong strong ADJ ejde-155 87 12 a∞. a∞. X ejde-155 87 13 if if SCONJ ejde-155 87 14 there there PRON ejde-155 87 15 exists exist VERB ejde-155 87 16 a a DET ejde-155 87 17 strong strong ADJ ejde-155 87 18 a∞ a∞ PROPN ejde-155 87 19 weight weight NOUN ejde-155 88 1 w w NOUN ejde-155 88 2 satisfying satisfy VERB ejde-155 88 3 ( ( PUNCT ejde-155 88 4 zλ zλ NOUN ejde-155 88 5 ) ) PUNCT ejde-155 88 6 such such ADJ ejde-155 88 7 that that PRON ejde-155 88 8 v1−p v1−p PROPN ejde-155 88 9 / / SYM ejde-155 88 10 nw−(n−1)/n nw−(n−1)/n PROPN ejde-155 88 11 belongs belong VERB ejde-155 88 12 to to PART ejde-155 88 13 ap ap VERB ejde-155 88 14 with with ADP ejde-155 88 15 respect respect NOUN ejde-155 88 16 to to ADP ejde-155 88 17 the the DET ejde-155 88 18 ( ( PUNCT ejde-155 88 19 doubling double VERB ejde-155 88 20 ) ) PUNCT ejde-155 88 21 measure measure NOUN ejde-155 88 22 w(n−1)/ndz w(n−1)/ndz NOUN ejde-155 88 23 , , PUNCT ejde-155 88 24 then then ADV ejde-155 88 25 there there PRON ejde-155 88 26 exists exist VERB ejde-155 88 27 a a DET ejde-155 88 28 constant constant ADJ ejde-155 88 29 q q NOUN ejde-155 88 30 > > X ejde-155 88 31 p p X ejde-155 88 32 such such ADJ ejde-155 88 33 that that SCONJ ejde-155 88 34 ( ( PUNCT ejde-155 88 35 − − PROPN ejde-155 88 36 ∫ ∫ PROPN ejde-155 88 37 b(z0,r b(z0,r PROPN ejde-155 88 38 ) ) PUNCT ejde-155 88 39 |g |g VERB ejde-155 88 40 − − PROPN ejde-155 88 41 µ|qv1−p µ|qv1−p PROPN ejde-155 88 42 / / SYM ejde-155 88 43 ndz ndz PROPN ejde-155 88 44 ) ) PUNCT ejde-155 88 45 1 1 X ejde-155 88 46 / / SYM ejde-155 88 47 q q NOUN ejde-155 88 48 ≤ ≤ NOUN ejde-155 88 49 cr cr NOUN ejde-155 88 50 ( ( PUNCT ejde-155 88 51 − − PROPN ejde-155 88 52 ∫ ∫ PROPN ejde-155 88 53 b(z0,r b(z0,r PROPN ejde-155 88 54 ) ) PUNCT ejde-155 88 55 |∇λg|pv1−p |∇λg|pv1−p PROPN ejde-155 88 56 / / SYM ejde-155 88 57 ndz ndz PROPN ejde-155 88 58 ) ) PUNCT ejde-155 88 59 1 1 X ejde-155 88 60 / / SYM ejde-155 88 61 p p X ejde-155 88 62 ( ( PUNCT ejde-155 88 63 2.3 2.3 NUM ejde-155 88 64 ) ) PUNCT ejde-155 88 65 for for ADP ejde-155 88 66 any any DET ejde-155 88 67 lipschitz lipschitz ADJ ejde-155 88 68 continuous continuous ADJ ejde-155 88 69 function function NOUN ejde-155 88 70 g g NOUN ejde-155 88 71 , , PUNCT ejde-155 88 72 where where SCONJ ejde-155 88 73 µ µ NOUN ejde-155 88 74 can can AUX ejde-155 88 75 be be AUX ejde-155 88 76 chosen choose VERB ejde-155 88 77 to to PART ejde-155 88 78 be be AUX ejde-155 88 79 the the DET ejde-155 88 80 v1−p v1−p PROPN ejde-155 88 81 / / SYM ejde-155 88 82 n n PROPN ejde-155 88 83 average average NOUN ejde-155 88 84 of of ADP ejde-155 88 85 g g PROPN ejde-155 88 86 over over ADP ejde-155 88 87 b(z0 b(z0 NOUN ejde-155 88 88 , , PUNCT ejde-155 88 89 r r NOUN ejde-155 88 90 ) ) PUNCT ejde-155 88 91 . . PUNCT ejde-155 89 1 remark remark VERB ejde-155 89 2 2.5 2.5 NUM ejde-155 89 3 . . PUNCT ejde-155 90 1 we we PRON ejde-155 90 2 stress stress VERB ejde-155 90 3 that that SCONJ ejde-155 90 4 if if SCONJ ejde-155 90 5 we we PRON ejde-155 90 6 take take VERB ejde-155 90 7 the the DET ejde-155 90 8 weights weight NOUN ejde-155 90 9 v v NOUN ejde-155 90 10 = = SYM ejde-155 90 11 w w PROPN ejde-155 90 12 = = SYM ejde-155 90 13 ρα(0 ρα(0 NUM ejde-155 90 14 , , PUNCT ejde-155 90 15 z z NOUN ejde-155 90 16 ) ) PUNCT ejde-155 90 17 and and CCONJ ejde-155 90 18 the the DET ejde-155 90 19 function function NOUN ejde-155 90 20 λ λ X ejde-155 90 21 = = SYM ejde-155 90 22 |x|σ |x|σ PROPN ejde-155 90 23 , , PUNCT ejde-155 90 24 ( ( PUNCT ejde-155 90 25 α α X ejde-155 90 26 , , PUNCT ejde-155 90 27 σ σ PROPN ejde-155 90 28 > > X ejde-155 90 29 0 0 NUM ejde-155 90 30 ) ) PUNCT ejde-155 90 31 , , PUNCT ejde-155 90 32 the the DET ejde-155 90 33 assumptions assumption NOUN ejde-155 90 34 of of ADP ejde-155 90 35 theorem theorem ADJ ejde-155 90 36 2.4 2.4 NUM ejde-155 90 37 are be AUX ejde-155 90 38 satisfied satisfied ADJ ejde-155 90 39 ( ( PUNCT ejde-155 90 40 see see VERB ejde-155 90 41 also also ADV ejde-155 90 42 [ [ X ejde-155 90 43 14 14 NUM ejde-155 90 44 ] ] NUM ejde-155 90 45 ) ) PUNCT ejde-155 90 46 . . PUNCT ejde-155 91 1 3 3 X ejde-155 91 2 . . X ejde-155 91 3 stummel stummel VERB ejde-155 91 4 - - PUNCT ejde-155 91 5 kato kato PROPN ejde-155 91 6 type type NOUN ejde-155 91 7 classes class NOUN ejde-155 91 8 in in ADP ejde-155 91 9 this this DET ejde-155 91 10 section section NOUN ejde-155 91 11 we we PRON ejde-155 91 12 recall recall VERB ejde-155 91 13 a a DET ejde-155 91 14 representation representation NOUN ejde-155 91 15 formula formula NOUN ejde-155 91 16 ( ( PUNCT ejde-155 91 17 see see VERB ejde-155 91 18 [ [ X ejde-155 91 19 15 15 NUM ejde-155 91 20 , , PUNCT ejde-155 91 21 corollary corollary ADJ ejde-155 91 22 3.2 3.2 NUM ejde-155 91 23 ] ] PUNCT ejde-155 91 24 ) ) PUNCT ejde-155 91 25 to to PART ejde-155 91 26 define define VERB ejde-155 91 27 stummel stummel ADJ ejde-155 91 28 kato kato PROPN ejde-155 91 29 type type NOUN ejde-155 91 30 classes class NOUN ejde-155 91 31 . . PUNCT ejde-155 92 1 theorem theorem VERB ejde-155 92 2 3.1 3.1 NUM ejde-155 92 3 . . PUNCT ejde-155 93 1 let let VERB ejde-155 93 2 ω ω NUM ejde-155 93 3 be be AUX ejde-155 93 4 a a DET ejde-155 93 5 bounded bounded ADJ ejde-155 93 6 domain domain NOUN ejde-155 93 7 in in ADP ejde-155 93 8 rn rn PROPN ejde-155 93 9 , , PUNCT ejde-155 93 10 v v ADP ejde-155 93 11 a a DET ejde-155 93 12 strong strong ADJ ejde-155 93 13 a∞ a∞ PROPN ejde-155 93 14 weight weight NOUN ejde-155 93 15 satisfying satisfying NOUN ejde-155 93 16 ( ( PUNCT ejde-155 93 17 2.2 2.2 NUM ejde-155 93 18 ) ) PUNCT ejde-155 93 19 and and CCONJ ejde-155 93 20 u u PRON ejde-155 93 21 a a DET ejde-155 93 22 compactly compactly ADV ejde-155 93 23 supported support VERB ejde-155 93 24 smooth smooth ADJ ejde-155 93 25 function function NOUN ejde-155 93 26 in in ADP ejde-155 93 27 a a DET ejde-155 93 28 metric metric ADJ ejde-155 93 29 ball ball NOUN ejde-155 93 30 b b NOUN ejde-155 93 31 = = SYM ejde-155 94 1 br br PROPN ejde-155 94 2 ⊂ ⊂ PROPN ejde-155 94 3 ω ω PROPN ejde-155 94 4 . . PUNCT ejde-155 95 1 then then ADV ejde-155 95 2 there there PRON ejde-155 95 3 exists exist VERB ejde-155 95 4 c c NOUN ejde-155 95 5 independent independent ADJ ejde-155 95 6 of of ADP ejde-155 95 7 u u PRON ejde-155 95 8 such such ADJ ejde-155 95 9 that that SCONJ ejde-155 95 10 |u(z)| |u(z)| PROPN ejde-155 95 11 ≤ ≤ PROPN ejde-155 96 1 c c PROPN ejde-155 96 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 96 3 b b PROPN ejde-155 96 4 |∇λu(ξ)|v1− |∇λu(ξ)|v1− PROPN ejde-155 96 5 1 1 NUM ejde-155 96 6 n n PRON ejde-155 96 7 ( ( PUNCT ejde-155 96 8 ξ)k(z ξ)k(z NOUN ejde-155 96 9 , , PUNCT ejde-155 96 10 ξ)dξ ξ)dξ PROPN ejde-155 96 11 for for ADP ejde-155 96 12 almost almost ADV ejde-155 96 13 all all PRON ejde-155 96 14 z z NOUN ejde-155 96 15 ∈ ∈ PROPN ejde-155 96 16 b b NOUN ejde-155 96 17 , , PUNCT ejde-155 96 18 where where SCONJ ejde-155 96 19 k(z k(z PROPN ejde-155 96 20 , , PUNCT ejde-155 96 21 ξ ξ X ejde-155 96 22 ) ) PUNCT ejde-155 96 23 = = SYM ejde-155 96 24 ( ( PUNCT ejde-155 96 25 ∫ ∫ PROPN ejde-155 96 26 bρ(z bρ(z X ejde-155 96 27 , , PUNCT ejde-155 96 28 ξ)(z ξ)(z ADV ejde-155 96 29 ) ) PUNCT ejde-155 97 1 v(ζ)λ v(ζ)λ PROPN ejde-155 97 2 m m VERB ejde-155 97 3 n−1 n−1 PROPN ejde-155 97 4 ( ( PUNCT ejde-155 97 5 ζ)dζ ζ)dζ PROPN ejde-155 97 6 ) ) PUNCT ejde-155 97 7 1−n 1−n NUM ejde-155 97 8 n n NOUN ejde-155 97 9 . . PUNCT ejde-155 98 1 now now ADV ejde-155 98 2 we we PRON ejde-155 98 3 give give VERB ejde-155 98 4 the the DET ejde-155 98 5 definition definition NOUN ejde-155 98 6 of of ADP ejde-155 98 7 stummel stummel PROPN ejde-155 98 8 - - PUNCT ejde-155 98 9 kato kato PROPN ejde-155 98 10 and and CCONJ ejde-155 98 11 morrey morrey PROPN ejde-155 98 12 classes class NOUN ejde-155 98 13 . . PUNCT ejde-155 99 1 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 99 2 boundary boundary ADJ ejde-155 99 3 regularity regularity NOUN ejde-155 99 4 for for ADP ejde-155 99 5 strongly strongly ADV ejde-155 99 6 degenerate degenerate ADJ ejde-155 99 7 operators operator NOUN ejde-155 99 8 5 5 NUM ejde-155 99 9 definition definition NOUN ejde-155 99 10 3.2 3.2 NUM ejde-155 99 11 . . PUNCT ejde-155 100 1 let let VERB ejde-155 100 2 v v PART ejde-155 100 3 be be AUX ejde-155 100 4 a a DET ejde-155 100 5 locally locally ADV ejde-155 100 6 integrable integrable ADJ ejde-155 100 7 function function NOUN ejde-155 100 8 in in ADP ejde-155 100 9 ω ω PROPN ejde-155 100 10 , , PUNCT ejde-155 100 11 r r NOUN ejde-155 100 12 > > X ejde-155 100 13 0 0 NUM ejde-155 100 14 , , PUNCT ejde-155 100 15 and and CCONJ ejde-155 100 16 p p PRON ejde-155 100 17 ∈]1 ∈]1 PROPN ejde-155 100 18 , , PUNCT ejde-155 100 19 n n PRON ejde-155 101 1 [ [ X ejde-155 101 2 . . PUNCT ejde-155 102 1 let let VERB ejde-155 102 2 v v PART ejde-155 102 3 be be AUX ejde-155 102 4 a a DET ejde-155 102 5 strong strong ADJ ejde-155 102 6 a∞ a∞ PROPN ejde-155 102 7 weight weight NOUN ejde-155 102 8 . . PUNCT ejde-155 103 1 we we PRON ejde-155 103 2 set set VERB ejde-155 103 3 w(z w(z PROPN ejde-155 103 4 ) ) PUNCT ejde-155 104 1 ≡ ≡ PROPN ejde-155 104 2 v1− v1− ADP ejde-155 104 3 p p PROPN ejde-155 104 4 n n PROPN ejde-155 104 5 ( ( PUNCT ejde-155 104 6 z z NOUN ejde-155 104 7 ) ) PUNCT ejde-155 104 8 and and CCONJ ejde-155 104 9 φ(v φ(v ADV ejde-155 104 10 ; ; PUNCT ejde-155 104 11 r r X ejde-155 104 12 ) ) PUNCT ejde-155 104 13 ≡ ≡ PROPN ejde-155 104 14 sup sup PROPN ejde-155 104 15 z∈ω z∈ω PROPN ejde-155 104 16 ( ( PUNCT ejde-155 104 17 ∫ ∫ PROPN ejde-155 104 18 b(z b(z PROPN ejde-155 104 19 , , PUNCT ejde-155 104 20 r r NOUN ejde-155 104 21 ) ) PUNCT ejde-155 104 22 k(z k(z PROPN ejde-155 104 23 , , PUNCT ejde-155 104 24 ξ)v(ξ ξ)v(ξ NOUN ejde-155 104 25 ) ) PUNCT ejde-155 104 26 ( ( PUNCT ejde-155 104 27 ∫ ∫ PROPN ejde-155 104 28 ω ω PROPN ejde-155 104 29 |v |v PROPN ejde-155 104 30 ( ( PUNCT ejde-155 104 31 ζ)|k(ζ ζ)|k(ζ PROPN ejde-155 104 32 , , PUNCT ejde-155 104 33 ξ)w(ζ)dζ ξ)w(ζ)dζ NOUN ejde-155 104 34 ) ) PUNCT ejde-155 104 35 1 1 NUM ejde-155 105 1 p−1 p−1 PROPN ejde-155 105 2 dξ dξ PROPN ejde-155 105 3 ) ) PUNCT ejde-155 105 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 105 5 . . PUNCT ejde-155 106 1 we we PRON ejde-155 106 2 say say VERB ejde-155 106 3 that that SCONJ ejde-155 106 4 v v NOUN ejde-155 106 5 belongs belong VERB ejde-155 106 6 to to ADP ejde-155 106 7 the the DET ejde-155 106 8 class class NOUN ejde-155 106 9 s̃v(ω s̃v(ω VERB ejde-155 106 10 ) ) PUNCT ejde-155 106 11 if if SCONJ ejde-155 106 12 φ(v φ(v ADV ejde-155 106 13 ; ; PUNCT ejde-155 106 14 r r X ejde-155 106 15 ) ) PUNCT ejde-155 106 16 is be AUX ejde-155 106 17 just just ADV ejde-155 106 18 a a DET ejde-155 106 19 bounded bounded ADJ ejde-155 106 20 function function NOUN ejde-155 106 21 in in ADP ejde-155 106 22 a a DET ejde-155 106 23 neighborhood neighborhood NOUN ejde-155 106 24 of of ADP ejde-155 106 25 the the DET ejde-155 106 26 origin origin NOUN ejde-155 106 27 . . PUNCT ejde-155 107 1 if if SCONJ ejde-155 107 2 , , PUNCT ejde-155 107 3 moreover moreover ADV ejde-155 107 4 limr→0 limr→0 NOUN ejde-155 107 5 φ(v φ(v NOUN ejde-155 107 6 ; ; PUNCT ejde-155 107 7 r r X ejde-155 107 8 ) ) PUNCT ejde-155 107 9 = = SYM ejde-155 107 10 0 0 NUM ejde-155 108 1 then then ADV ejde-155 108 2 we we PRON ejde-155 108 3 say say VERB ejde-155 108 4 that that SCONJ ejde-155 108 5 v v NOUN ejde-155 108 6 belongs belong VERB ejde-155 108 7 to to ADP ejde-155 108 8 the the DET ejde-155 108 9 stummel stummel VERB ejde-155 108 10 - - PUNCT ejde-155 108 11 kato kato PROPN ejde-155 108 12 class class NOUN ejde-155 108 13 sv(ω sv(ω PROPN ejde-155 108 14 ) ) PUNCT ejde-155 108 15 . . PUNCT ejde-155 109 1 if if SCONJ ejde-155 109 2 there there PRON ejde-155 109 3 exists exist VERB ejde-155 109 4 ρ ρ PROPN ejde-155 109 5 > > X ejde-155 109 6 0 0 NUM ejde-155 109 7 such such ADJ ejde-155 109 8 that∫ that∫ NOUN ejde-155 109 9 ρ ρ NOUN ejde-155 109 10 0 0 PUNCT ejde-155 109 11 φ(v φ(v PROPN ejde-155 109 12 ; ; PUNCT ejde-155 109 13 t t X ejde-155 109 14 ) ) PUNCT ejde-155 109 15 t t NOUN ejde-155 110 1 dt dt X ejde-155 110 2 < < X ejde-155 110 3 + + PROPN ejde-155 110 4 ∞ ∞ PROPN ejde-155 110 5 , , PUNCT ejde-155 110 6 then then ADV ejde-155 110 7 we we PRON ejde-155 110 8 say say VERB ejde-155 110 9 that that SCONJ ejde-155 110 10 the the DET ejde-155 110 11 function function NOUN ejde-155 110 12 v v NOUN ejde-155 110 13 belongs belong VERB ejde-155 110 14 to to ADP ejde-155 110 15 the the DET ejde-155 110 16 class class NOUN ejde-155 110 17 s′v(ω s′v(ω NOUN ejde-155 110 18 ) ) PUNCT ejde-155 110 19 . . PUNCT ejde-155 111 1 if if SCONJ ejde-155 111 2 there there PRON ejde-155 111 3 exist exist VERB ejde-155 111 4 c c PROPN ejde-155 111 5 and and CCONJ ejde-155 111 6 σ σ NOUN ejde-155 111 7 > > X ejde-155 111 8 0 0 NUM ejde-155 111 9 such such ADJ ejde-155 111 10 that that SCONJ ejde-155 111 11 φ(v φ(v ADV ejde-155 111 12 ; ; PUNCT ejde-155 111 13 r r X ejde-155 111 14 ) ) PUNCT ejde-155 111 15 ≤ ≤ NOUN ejde-155 111 16 crσ crσ NOUN ejde-155 111 17 then then ADV ejde-155 111 18 we we PRON ejde-155 111 19 say say VERB ejde-155 111 20 that that SCONJ ejde-155 111 21 the the DET ejde-155 111 22 function function NOUN ejde-155 111 23 v v NOUN ejde-155 111 24 belongs belong VERB ejde-155 111 25 to to ADP ejde-155 111 26 the the DET ejde-155 111 27 morrey morrey PROPN ejde-155 111 28 class class NOUN ejde-155 111 29 l1,σ l1,σ PROPN ejde-155 111 30 v v PROPN ejde-155 111 31 ( ( PUNCT ejde-155 111 32 ω ω NOUN ejde-155 111 33 ) ) PUNCT ejde-155 111 34 . . PUNCT ejde-155 112 1 remark remark VERB ejde-155 112 2 3.3 3.3 NUM ejde-155 112 3 . . PUNCT ejde-155 113 1 if if SCONJ ejde-155 113 2 v(z v(z NOUN ejde-155 113 3 ) ) PUNCT ejde-155 113 4 = = SYM ejde-155 113 5 1 1 NUM ejde-155 113 6 , , PUNCT ejde-155 113 7 λ(x λ(x X ejde-155 113 8 ) ) PUNCT ejde-155 113 9 = = SYM ejde-155 113 10 1 1 NUM ejde-155 113 11 and and CCONJ ejde-155 113 12 p p NOUN ejde-155 113 13 = = PROPN ejde-155 113 14 2 2 NUM ejde-155 113 15 the the DET ejde-155 113 16 previous previous ADJ ejde-155 113 17 definitions definition NOUN ejde-155 113 18 give give VERB ejde-155 113 19 back back ADP ejde-155 113 20 the the DET ejde-155 113 21 classical classical ADJ ejde-155 113 22 stummel stummel VERB ejde-155 113 23 - - PUNCT ejde-155 113 24 kato kato PROPN ejde-155 113 25 class class NOUN ejde-155 113 26 ( ( PUNCT ejde-155 113 27 see see VERB ejde-155 113 28 [ [ X ejde-155 113 29 1 1 NUM ejde-155 113 30 ] ] PUNCT ejde-155 113 31 ) ) PUNCT ejde-155 113 32 and and CCONJ ejde-155 113 33 morrey morrey PROPN ejde-155 113 34 space space NOUN ejde-155 113 35 l1,n−2+σ l1,n−2+σ PROPN ejde-155 113 36 for for ADP ejde-155 113 37 some some DET ejde-155 113 38 σ σ NOUN ejde-155 113 39 > > X ejde-155 113 40 0 0 X ejde-155 113 41 . . PUNCT ejde-155 114 1 now now ADV ejde-155 114 2 we we PRON ejde-155 114 3 state state VERB ejde-155 114 4 a a DET ejde-155 114 5 fefferman fefferman ADJ ejde-155 114 6 type type NOUN ejde-155 114 7 inequality inequality NOUN ejde-155 114 8 related relate VERB ejde-155 114 9 to to ADP ejde-155 114 10 stummel stummel VERB ejde-155 114 11 - - PUNCT ejde-155 114 12 kato kato PROPN ejde-155 114 13 classes class NOUN ejde-155 114 14 and and CCONJ ejde-155 114 15 its its PRON ejde-155 114 16 corollary corollary NOUN ejde-155 114 17 . . PUNCT ejde-155 115 1 theorem theorem VERB ejde-155 115 2 3.4 3.4 NUM ejde-155 115 3 . . PUNCT ejde-155 116 1 let let VERB ejde-155 116 2 v v PART ejde-155 116 3 be be AUX ejde-155 116 4 a a DET ejde-155 116 5 strong strong ADJ ejde-155 116 6 a∞ a∞ NOUN ejde-155 116 7 weight weight NOUN ejde-155 116 8 satisfying satisfying NOUN ejde-155 116 9 ( ( PUNCT ejde-155 116 10 zλ zλ X ejde-155 116 11 ) ) PUNCT ejde-155 116 12 and and CCONJ ejde-155 116 13 1 1 NUM ejde-155 116 14 < < X ejde-155 116 15 p p X ejde-155 116 16 < < X ejde-155 116 17 n n NOUN ejde-155 116 18 . . PUNCT ejde-155 117 1 if if SCONJ ejde-155 117 2 v v NOUN ejde-155 117 3 belongs belong VERB ejde-155 117 4 to to ADP ejde-155 117 5 the the DET ejde-155 117 6 class class NOUN ejde-155 117 7 s̃v(ω s̃v(ω VERB ejde-155 117 8 ) ) PUNCT ejde-155 117 9 , , PUNCT ejde-155 117 10 then then ADV ejde-155 117 11 there there PRON ejde-155 117 12 exists exist VERB ejde-155 117 13 a a DET ejde-155 117 14 constant constant ADJ ejde-155 117 15 c c NOUN ejde-155 117 16 such such ADJ ejde-155 117 17 that that DET ejde-155 117 18 ∀u ∀u NOUN ejde-155 117 19 ∈ ∈ PROPN ejde-155 117 20 c∞0 c∞0 PROPN ejde-155 117 21 ( ( PUNCT ejde-155 117 22 ω)(∫ ω)(∫ PROPN ejde-155 117 23 b b PROPN ejde-155 117 24 |v |v X ejde-155 117 25 ( ( PUNCT ejde-155 117 26 z)||u(z)|p z)||u(z)|p NUM ejde-155 117 27 w(z w(z NOUN ejde-155 117 28 ) ) PUNCT ejde-155 117 29 dz dz NOUN ejde-155 117 30 ) ) PUNCT ejde-155 117 31 1 1 X ejde-155 117 32 / / SYM ejde-155 117 33 p p NOUN ejde-155 117 34 ≤ ≤ ADJ ejde-155 117 35 cφ1 cφ1 NOUN ejde-155 117 36 / / SYM ejde-155 117 37 p(v p(v NOUN ejde-155 117 38 ; ; PUNCT ejde-155 117 39 2r 2r NUM ejde-155 117 40 ) ) PUNCT ejde-155 117 41 ( ( PUNCT ejde-155 117 42 ∫ ∫ PROPN ejde-155 117 43 b b PROPN ejde-155 117 44 |∇λu(z)|pw |∇λu(z)|pw X ejde-155 117 45 dz dz ADJ ejde-155 117 46 ) ) PUNCT ejde-155 117 47 1 1 NUM ejde-155 117 48 / / SYM ejde-155 117 49 p p NOUN ejde-155 117 50 , , PUNCT ejde-155 117 51 where where SCONJ ejde-155 117 52 w(z w(z PROPN ejde-155 117 53 ) ) PUNCT ejde-155 118 1 ≡ ≡ PROPN ejde-155 118 2 v1− v1− ADP ejde-155 118 3 p p PROPN ejde-155 119 1 n n PROPN ejde-155 119 2 ( ( PUNCT ejde-155 119 3 z z NOUN ejde-155 119 4 ) ) PUNCT ejde-155 119 5 and and CCONJ ejde-155 119 6 r r NOUN ejde-155 119 7 is be AUX ejde-155 119 8 the the DET ejde-155 119 9 radius radius NOUN ejde-155 119 10 of of ADP ejde-155 119 11 a a DET ejde-155 119 12 metric metric ADJ ejde-155 119 13 ball ball NOUN ejde-155 119 14 b b PROPN ejde-155 119 15 , , PUNCT ejde-155 119 16 containing contain VERB ejde-155 119 17 the the DET ejde-155 119 18 support support NOUN ejde-155 119 19 of of ADP ejde-155 119 20 u. u. NOUN ejde-155 119 21 for for ADP ejde-155 119 22 a a DET ejde-155 119 23 proof proof NOUN ejde-155 119 24 of of ADP ejde-155 119 25 the the DET ejde-155 119 26 above above ADJ ejde-155 119 27 theorem theorem NOUN ejde-155 119 28 , , PUNCT ejde-155 119 29 see see VERB ejde-155 119 30 [ [ X ejde-155 119 31 9 9 NUM ejde-155 119 32 , , PUNCT ejde-155 119 33 theorem theorem VERB ejde-155 119 34 2.3 2.3 NUM ejde-155 119 35 ] ] PUNCT ejde-155 119 36 . . PUNCT ejde-155 120 1 corollary corollary ADJ ejde-155 120 2 3.5 3.5 NUM ejde-155 120 3 . . PUNCT ejde-155 121 1 let let VERB ejde-155 121 2 1 1 NUM ejde-155 121 3 < < X ejde-155 121 4 p p X ejde-155 121 5 < < X ejde-155 121 6 n n NOUN ejde-155 121 7 and and CCONJ ejde-155 121 8 v v AUX ejde-155 121 9 be be AUX ejde-155 121 10 a a DET ejde-155 121 11 strong strong ADJ ejde-155 121 12 a∞ a∞ NOUN ejde-155 121 13 weight weight NOUN ejde-155 121 14 satisfying satisfying NOUN ejde-155 121 15 ( ( PUNCT ejde-155 121 16 2.2 2.2 NUM ejde-155 121 17 ) ) PUNCT ejde-155 121 18 . . PUNCT ejde-155 122 1 let let VERB ejde-155 122 2 v v NOUN ejde-155 122 3 belongs belong VERB ejde-155 122 4 to to ADP ejde-155 122 5 the the DET ejde-155 122 6 class class NOUN ejde-155 122 7 sv(ω sv(ω PUNCT ejde-155 122 8 ) ) PUNCT ejde-155 122 9 . . PUNCT ejde-155 123 1 for for ADP ejde-155 123 2 any any DET ejde-155 123 3 ε ε PROPN ejde-155 123 4 > > X ejde-155 123 5 0 0 PROPN ejde-155 123 6 , , PUNCT ejde-155 123 7 there there PRON ejde-155 123 8 exists exist VERB ejde-155 123 9 k(ε k(ε X ejde-155 123 10 ) ) PUNCT ejde-155 124 1 such such ADJ ejde-155 124 2 that∫ that∫ PROPN ejde-155 124 3 b b PROPN ejde-155 124 4 |v |v PROPN ejde-155 124 5 ( ( PUNCT ejde-155 124 6 z)||u(z)|pw(z z)||u(z)|pw(z NUM ejde-155 124 7 ) ) PUNCT ejde-155 124 8 dz dz PROPN ejde-155 124 9 ≤ ≤ NUM ejde-155 124 10 ε ε PROPN ejde-155 124 11 ∫ ∫ PROPN ejde-155 124 12 b b PROPN ejde-155 124 13 |∇λu(z)|pw(z |∇λu(z)|pw(z PROPN ejde-155 124 14 ) ) PUNCT ejde-155 124 15 dz dz X ejde-155 125 1 + + PROPN ejde-155 125 2 k(ε k(ε X ejde-155 125 3 ) ) PUNCT ejde-155 125 4 ∫ ∫ PROPN ejde-155 125 5 b b PROPN ejde-155 125 6 |u(z)|pw(z |u(z)|pw(z NUM ejde-155 125 7 ) ) PUNCT ejde-155 125 8 dz dz NOUN ejde-155 125 9 , , PUNCT ejde-155 125 10 for for ADP ejde-155 125 11 all all DET ejde-155 125 12 u u PROPN ejde-155 125 13 ∈ ∈ PROPN ejde-155 125 14 c∞0 c∞0 PROPN ejde-155 125 15 ( ( PUNCT ejde-155 125 16 ω ω NOUN ejde-155 125 17 ) ) PUNCT ejde-155 125 18 , , PUNCT ejde-155 125 19 where where SCONJ ejde-155 125 20 w(z w(z NOUN ejde-155 125 21 ) ) PUNCT ejde-155 125 22 = = SYM ejde-155 125 23 v(z)1− v(z)1− NOUN ejde-155 125 24 p p NOUN ejde-155 125 25 n n NOUN ejde-155 125 26 , , PUNCT ejde-155 125 27 k(ε k(ε PROPN ejde-155 125 28 ) ) PUNCT ejde-155 125 29 ∼ ∼ NOUN ejde-155 125 30 σ σ PROPN ejde-155 125 31 [ [ PUNCT ejde-155 125 32 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 125 33 ( ( PUNCT ejde-155 125 34 v v NOUN ejde-155 125 35 ; ; PUNCT ejde-155 125 36 ε ε PROPN ejde-155 125 37 ) ) PUNCT ejde-155 125 38 ] ] PUNCT ejde-155 125 39 n+p n+p NUM ejde-155 125 40 and and CCONJ ejde-155 125 41 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 125 42 denotes denote VERB ejde-155 125 43 the the DET ejde-155 125 44 inverse inverse NOUN ejde-155 125 45 function function NOUN ejde-155 125 46 of of ADP ejde-155 125 47 φ φ PROPN ejde-155 125 48 . . PUNCT ejde-155 126 1 for for ADP ejde-155 126 2 a a DET ejde-155 126 3 proof proof NOUN ejde-155 126 4 of of ADP ejde-155 126 5 the the DET ejde-155 126 6 above above ADJ ejde-155 126 7 colollary colollary NOUN ejde-155 126 8 , , PUNCT ejde-155 126 9 see see VERB ejde-155 126 10 [ [ X ejde-155 126 11 9 9 NUM ejde-155 126 12 , , PUNCT ejde-155 126 13 corollary corollary ADJ ejde-155 126 14 2.1 2.1 NUM ejde-155 126 15 ] ] PUNCT ejde-155 126 16 . . PUNCT ejde-155 127 1 4 4 X ejde-155 127 2 . . X ejde-155 127 3 harnack harnack PROPN ejde-155 127 4 inequality inequality NOUN ejde-155 127 5 in in ADP ejde-155 127 6 this this DET ejde-155 127 7 section section NOUN ejde-155 127 8 we we PRON ejde-155 127 9 prove prove VERB ejde-155 127 10 a a DET ejde-155 127 11 weak weak ADJ ejde-155 127 12 harnack harnack NOUN ejde-155 127 13 inequality inequality NOUN ejde-155 127 14 for for ADP ejde-155 127 15 non non ADJ ejde-155 127 16 negative negative ADJ ejde-155 127 17 weak weak ADJ ejde-155 127 18 solutions solution NOUN ejde-155 127 19 of of ADP ejde-155 127 20 the the DET ejde-155 127 21 equation equation NOUN ejde-155 127 22 diva(z diva(z NOUN ejde-155 127 23 , , PUNCT ejde-155 127 24 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 127 25 ) ) PUNCT ejde-155 128 1 + + NOUN ejde-155 128 2 b(z b(z NOUN ejde-155 128 3 , , PUNCT ejde-155 128 4 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 128 5 ) ) PUNCT ejde-155 128 6 = = SYM ejde-155 128 7 0 0 PUNCT ejde-155 128 8 . . PUNCT ejde-155 129 1 ( ( PUNCT ejde-155 129 2 4.1 4.1 NUM ejde-155 129 3 ) ) PUNCT ejde-155 129 4 first first ADV ejde-155 129 5 wee wee ADV ejde-155 129 6 recall recall VERB ejde-155 129 7 what what PRON ejde-155 129 8 we we PRON ejde-155 129 9 mean mean VERB ejde-155 129 10 by by ADP ejde-155 129 11 weak weak ADJ ejde-155 129 12 solution solution NOUN ejde-155 129 13 of of ADP ejde-155 129 14 ( ( PUNCT ejde-155 129 15 4.1 4.1 NUM ejde-155 129 16 ) ) PUNCT ejde-155 129 17 . . PUNCT ejde-155 130 1 6 6 NUM ejde-155 130 2 g. g. PROPN ejde-155 130 3 di di PROPN ejde-155 130 4 fazio fazio PROPN ejde-155 130 5 , , PUNCT ejde-155 130 6 m. m. PROPN ejde-155 130 7 s. s. PROPN ejde-155 130 8 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 130 9 , , PUNCT ejde-155 130 10 p. p. PROPN ejde-155 130 11 zamboni zamboni PROPN ejde-155 130 12 ejde-2022/65 ejde-2022/65 ADJ ejde-155 130 13 definition definition NOUN ejde-155 130 14 4.1 4.1 NUM ejde-155 130 15 . . PUNCT ejde-155 131 1 a a DET ejde-155 131 2 function function NOUN ejde-155 131 3 u u NOUN ejde-155 131 4 ∈ ∈ NOUN ejde-155 131 5 h1,p h1,p PROPN ejde-155 131 6 v v X ejde-155 131 7 ( ( PUNCT ejde-155 131 8 ω ω NOUN ejde-155 131 9 ) ) PUNCT ejde-155 131 10 is be AUX ejde-155 131 11 a a DET ejde-155 131 12 local local ADJ ejde-155 131 13 weak weak ADJ ejde-155 131 14 subsolution subsolution NOUN ejde-155 131 15 ( ( PUNCT ejde-155 131 16 supersolution supersolution NOUN ejde-155 131 17 ) ) PUNCT ejde-155 131 18 of of ADP ejde-155 131 19 equation equation NOUN ejde-155 131 20 ( ( PUNCT ejde-155 131 21 4.1 4.1 NUM ejde-155 131 22 ) ) PUNCT ejde-155 131 23 in in ADP ejde-155 131 24 ω ω PROPN ejde-155 131 25 if∫ if∫ PROPN ejde-155 131 26 ω ω PROPN ejde-155 131 27 a(z a(z PROPN ejde-155 131 28 , , PUNCT ejde-155 131 29 u(z),∇λu(z u(z),∇λu(z PROPN ejde-155 131 30 ) ) PUNCT ejde-155 131 31 ) ) PUNCT ejde-155 131 32 · · PUNCT ejde-155 132 1 ∇ϕdz ∇ϕdz INTJ ejde-155 132 2 − − PROPN ejde-155 132 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 132 4 ω ω NUM ejde-155 132 5 b(z b(z PROPN ejde-155 132 6 , , PUNCT ejde-155 132 7 u(z),∇λu(z))ϕdz u(z),∇λu(z))ϕdz ADJ ejde-155 132 8 ≤ ≤ NOUN ejde-155 132 9 0 0 NUM ejde-155 132 10 ( ( PUNCT ejde-155 132 11 ≥ ≥ NOUN ejde-155 132 12 0 0 NUM ejde-155 132 13 ) ) PUNCT ejde-155 132 14 ( ( PUNCT ejde-155 132 15 4.2 4.2 NUM ejde-155 132 16 ) ) PUNCT ejde-155 132 17 for for ADP ejde-155 132 18 every every DET ejde-155 132 19 non non ADJ ejde-155 132 20 negative negative PROPN ejde-155 132 21 ϕ ϕ PROPN ejde-155 132 22 ∈ ∈ PROPN ejde-155 132 23 h1,p h1,p PROPN ejde-155 132 24 0,v 0,v X ejde-155 132 25 ( ( PUNCT ejde-155 132 26 ω ω NOUN ejde-155 132 27 ) ) PUNCT ejde-155 132 28 . . PUNCT ejde-155 133 1 a a DET ejde-155 133 2 function function NOUN ejde-155 133 3 u u NOUN ejde-155 133 4 is be AUX ejde-155 133 5 a a DET ejde-155 133 6 weak weak ADJ ejde-155 133 7 solution solution NOUN ejde-155 133 8 if if SCONJ ejde-155 133 9 it it PRON ejde-155 133 10 is be AUX ejde-155 133 11 both both CCONJ ejde-155 133 12 super super ADJ ejde-155 133 13 and and CCONJ ejde-155 133 14 sub sub NOUN ejde-155 133 15 solution solution NOUN ejde-155 133 16 . . PUNCT ejde-155 134 1 we we PRON ejde-155 134 2 require require VERB ejde-155 134 3 the the DET ejde-155 134 4 functions function NOUN ejde-155 134 5 a(z a(z PROPN ejde-155 134 6 , , PUNCT ejde-155 134 7 u u NOUN ejde-155 134 8 , , PUNCT ejde-155 134 9 ξ ξ NOUN ejde-155 134 10 ) ) PUNCT ejde-155 134 11 and and CCONJ ejde-155 134 12 b(z b(z PROPN ejde-155 134 13 , , PUNCT ejde-155 134 14 u u NOUN ejde-155 134 15 , , PUNCT ejde-155 134 16 ξ ξ NOUN ejde-155 134 17 ) ) PUNCT ejde-155 134 18 to to PART ejde-155 134 19 be be AUX ejde-155 134 20 measurable measurable ADJ ejde-155 134 21 functions function NOUN ejde-155 134 22 satisfying satisfy VERB ejde-155 134 23 the the DET ejde-155 134 24 following follow VERB ejde-155 134 25 structural structural ADJ ejde-155 134 26 conditions condition NOUN ejde-155 134 27 |a(z |a(z PROPN ejde-155 134 28 , , PUNCT ejde-155 134 29 u u NOUN ejde-155 134 30 , , PUNCT ejde-155 134 31 ξ)| ξ)| ADJ ejde-155 134 32 ≤ ≤ NUM ejde-155 134 33 aw(z)[|ξx|2 aw(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 135 1 + + SYM ejde-155 135 2 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 135 3 ] ] X ejde-155 135 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 135 5 2 2 NUM ejde-155 135 6 + + CCONJ ejde-155 135 7 b(z)|u|p−1 b(z)|u|p−1 PROPN ejde-155 135 8 + + CCONJ ejde-155 135 9 e(z e(z PROPN ejde-155 135 10 ) ) PUNCT ejde-155 135 11 |b(z |b(z PROPN ejde-155 135 12 , , PUNCT ejde-155 135 13 u u NOUN ejde-155 135 14 , , PUNCT ejde-155 135 15 ξ)| ξ)| VERB ejde-155 135 16 ≤ ≤ ADJ ejde-155 135 17 b0w(z)[|ξx|2 b0w(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 135 18 + + CCONJ ejde-155 135 19 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 NOUN ejde-155 135 20 + + CCONJ ejde-155 135 21 b1(z)[|ξx|2 b1(z)[|ξx|2 NOUN ejde-155 135 22 + + PUNCT ejde-155 135 23 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 X ejde-155 135 24 ] ] X ejde-155 135 25 p−1 p−1 PROPN ejde-155 135 26 2 2 NUM ejde-155 135 27 + + CCONJ ejde-155 135 28 d(z)|u|p−1 d(z)|u|p−1 NOUN ejde-155 135 29 + + CCONJ ejde-155 135 30 f(z f(z NOUN ejde-155 135 31 ) ) PUNCT ejde-155 135 32 ξ ξ X ejde-155 135 33 · · PUNCT ejde-155 135 34 a(z a(z PROPN ejde-155 135 35 , , PUNCT ejde-155 135 36 u u NOUN ejde-155 135 37 , , PUNCT ejde-155 135 38 ξ ξ NOUN ejde-155 135 39 ) ) PUNCT ejde-155 135 40 ≥ ≥ NOUN ejde-155 135 41 w(z)[|ξx|2 w(z)[|ξx|2 ADJ ejde-155 136 1 + + CCONJ ejde-155 136 2 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 ADJ ejde-155 136 3 − − PRON ejde-155 136 4 d1(z)|u|p d1(z)|u|p NOUN ejde-155 136 5 − − NOUN ejde-155 136 6 g(z g(z PROPN ejde-155 136 7 ) ) PUNCT ejde-155 136 8 . . PUNCT ejde-155 137 1 ( ( PUNCT ejde-155 137 2 4.3 4.3 NUM ejde-155 137 3 ) ) PUNCT ejde-155 137 4 where where SCONJ ejde-155 137 5 1 1 NUM ejde-155 137 6 < < X ejde-155 137 7 p p X ejde-155 137 8 < < X ejde-155 137 9 n n PROPN ejde-155 137 10 , , PUNCT ejde-155 137 11 w w PROPN ejde-155 137 12 = = PUNCT ejde-155 137 13 v1− v1− PROPN ejde-155 137 14 p p NOUN ejde-155 137 15 n n PROPN ejde-155 137 16 and and CCONJ ejde-155 137 17 v v NOUN ejde-155 137 18 is be AUX ejde-155 137 19 a a DET ejde-155 137 20 strong strong ADJ ejde-155 137 21 a∞ a∞ PROPN ejde-155 137 22 weight weight NOUN ejde-155 137 23 . . PUNCT ejde-155 138 1 we we PRON ejde-155 138 2 show show VERB ejde-155 138 3 that that SCONJ ejde-155 138 4 locally locally ADV ejde-155 138 5 bounded bound VERB ejde-155 138 6 weak weak ADJ ejde-155 138 7 solutions solution NOUN ejde-155 138 8 satisfy satisfy VERB ejde-155 138 9 a a DET ejde-155 138 10 harnack harnack NOUN ejde-155 138 11 inequality inequality NOUN ejde-155 138 12 and and CCONJ ejde-155 138 13 , , PUNCT ejde-155 138 14 as as ADP ejde-155 138 15 a a DET ejde-155 138 16 consequence consequence NOUN ejde-155 138 17 , , PUNCT ejde-155 138 18 some some DET ejde-155 138 19 regularity regularity NOUN ejde-155 138 20 properties property NOUN ejde-155 138 21 . . PUNCT ejde-155 139 1 we we PRON ejde-155 139 2 shall shall AUX ejde-155 139 3 make make VERB ejde-155 139 4 the the DET ejde-155 139 5 following follow VERB ejde-155 139 6 assumptions assumption NOUN ejde-155 139 7 on on ADP ejde-155 139 8 the the DET ejde-155 139 9 lower low ADJ ejde-155 139 10 order order NOUN ejde-155 139 11 terms term NOUN ejde-155 139 12 to to PART ejde-155 139 13 ensure ensure VERB ejde-155 139 14 the the DET ejde-155 139 15 continuity continuity NOUN ejde-155 139 16 of of ADP ejde-155 139 17 local local ADJ ejde-155 139 18 weak weak ADJ ejde-155 139 19 solutions solution NOUN ejde-155 139 20 : : PUNCT ejde-155 139 21 a a X ejde-155 139 22 , , PUNCT ejde-155 139 23 b0 b0 NOUN ejde-155 139 24 ∈ ∈ PROPN ejde-155 139 25 r r NOUN ejde-155 139 26 , , PUNCT ejde-155 139 27 ( ( PUNCT ejde-155 139 28 b b X ejde-155 139 29 w w NOUN ejde-155 139 30 ) ) PUNCT ejde-155 139 31 p p PROPN ejde-155 139 32 p−1 p−1 PROPN ejde-155 139 33 , , PUNCT ejde-155 139 34 ( ( PUNCT ejde-155 139 35 b1 b1 NOUN ejde-155 139 36 w w PROPN ejde-155 139 37 ) ) PUNCT ejde-155 139 38 p p NOUN ejde-155 139 39 , , PUNCT ejde-155 139 40 d d X ejde-155 139 41 w w PROPN ejde-155 139 42 , , PUNCT ejde-155 139 43 d1 d1 PROPN ejde-155 139 44 w w PROPN ejde-155 139 45 , , PUNCT ejde-155 139 46 ( ( PUNCT ejde-155 139 47 e e NOUN ejde-155 139 48 w w PROPN ejde-155 139 49 ) ) PUNCT ejde-155 139 50 p p PROPN ejde-155 139 51 p−1 p−1 PROPN ejde-155 139 52 , , PUNCT ejde-155 139 53 f f PROPN ejde-155 139 54 w w PROPN ejde-155 139 55 , , PUNCT ejde-155 139 56 g g PROPN ejde-155 139 57 w w PROPN ejde-155 139 58 ∈ ∈ PROPN ejde-155 139 59 s′v(ω s′v(ω NOUN ejde-155 139 60 ) ) PUNCT ejde-155 139 61 . . PUNCT ejde-155 140 1 ( ( PUNCT ejde-155 140 2 4.4 4.4 NUM ejde-155 140 3 ) ) PUNCT ejde-155 140 4 theorem theorem VERB ejde-155 140 5 4.2 4.2 NUM ejde-155 140 6 . . PUNCT ejde-155 141 1 let let VERB ejde-155 141 2 u u PRON ejde-155 141 3 be be AUX ejde-155 141 4 a a DET ejde-155 141 5 non non ADJ ejde-155 141 6 negative negative ADJ ejde-155 141 7 weak weak ADJ ejde-155 141 8 supersolution supersolution NOUN ejde-155 141 9 of of ADP ejde-155 141 10 equation equation NOUN ejde-155 141 11 ( ( PUNCT ejde-155 141 12 4.1 4.1 NUM ejde-155 141 13 ) ) PUNCT ejde-155 141 14 in in ADP ejde-155 141 15 ω ω PROPN ejde-155 141 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 141 17 ( ( PUNCT ejde-155 141 18 4.3 4.3 NUM ejde-155 141 19 ) ) PUNCT ejde-155 141 20 and and CCONJ ejde-155 141 21 ( ( PUNCT ejde-155 141 22 4.4 4.4 NUM ejde-155 141 23 ) ) PUNCT ejde-155 141 24 . . PUNCT ejde-155 142 1 let let VERB ejde-155 142 2 br br PRON ejde-155 142 3 be be AUX ejde-155 142 4 a a DET ejde-155 142 5 ball ball NOUN ejde-155 142 6 such such ADJ ejde-155 142 7 that that DET ejde-155 142 8 b3r b3r PROPN ejde-155 142 9 b b PROPN ejde-155 142 10 ω ω PROPN ejde-155 142 11 and and CCONJ ejde-155 142 12 let let VERB ejde-155 142 13 m m PRON ejde-155 142 14 be be AUX ejde-155 142 15 a a DET ejde-155 142 16 constant constant ADJ ejde-155 142 17 such such ADJ ejde-155 142 18 that that SCONJ ejde-155 142 19 u u PROPN ejde-155 142 20 ≤m ≤m NOUN ejde-155 142 21 in in ADP ejde-155 142 22 b3r b3r PROPN ejde-155 142 23 . . PUNCT ejde-155 143 1 then then ADV ejde-155 143 2 there there PRON ejde-155 143 3 exists exist VERB ejde-155 143 4 c c NOUN ejde-155 143 5 depending depend VERB ejde-155 143 6 on on ADP ejde-155 143 7 n n CCONJ ejde-155 143 8 , , PUNCT ejde-155 143 9 m m PRON ejde-155 143 10 , , PUNCT ejde-155 143 11 a a DET ejde-155 143 12 , , PUNCT ejde-155 143 13 b0 b0 NOUN ejde-155 143 14 , , PUNCT ejde-155 143 15 p p NOUN ejde-155 143 16 and and CCONJ ejde-155 143 17 the the DET ejde-155 143 18 weight weight NOUN ejde-155 143 19 v v ADP ejde-155 143 20 such such ADJ ejde-155 143 21 that that PRON ejde-155 143 22 w−1(b2r w−1(b2r NOUN ejde-155 143 23 ) ) PUNCT ejde-155 143 24 ∫ ∫ PROPN ejde-155 144 1 b2r b2r PROPN ejde-155 144 2 uwdz uwdz PROPN ejde-155 145 1 ≤ ≤ PROPN ejde-155 145 2 c c PROPN ejde-155 145 3 { { PUNCT ejde-155 145 4 inf inf PROPN ejde-155 145 5 br br PROPN ejde-155 145 6 u+ u+ PROPN ejde-155 145 7 h(r h(r NOUN ejde-155 145 8 ) ) PUNCT ejde-155 145 9 } } PUNCT ejde-155 145 10 where where SCONJ ejde-155 145 11 h(r h(r NOUN ejde-155 145 12 ) ) PUNCT ejde-155 146 1 = = PUNCT ejde-155 146 2 [ [ PUNCT ejde-155 146 3 φ φ X ejde-155 146 4 ( ( PUNCT ejde-155 146 5 ( ( PUNCT ejde-155 146 6 e e NOUN ejde-155 146 7 w w NOUN ejde-155 146 8 ) ) PUNCT ejde-155 146 9 p p PROPN ejde-155 146 10 p−1 p−1 PROPN ejde-155 146 11 ; ; PUNCT ejde-155 146 12 r r X ejde-155 146 13 ) ) PUNCT ejde-155 147 1 + + CCONJ ejde-155 147 2 φ φ PROPN ejde-155 147 3 ( ( PUNCT ejde-155 147 4 g g PROPN ejde-155 147 5 w w PROPN ejde-155 147 6 ; ; PUNCT ejde-155 147 7 r r NOUN ejde-155 147 8 ) ) PUNCT ejde-155 147 9 ] ] PUNCT ejde-155 147 10 1 1 X ejde-155 147 11 / / SYM ejde-155 147 12 p p X ejde-155 148 1 + + X ejde-155 148 2 [ [ PUNCT ejde-155 148 3 φ φ X ejde-155 148 4 ( ( PUNCT ejde-155 148 5 f f PROPN ejde-155 148 6 w w PROPN ejde-155 148 7 ; ; PUNCT ejde-155 148 8 r r X ejde-155 148 9 ) ) PUNCT ejde-155 148 10 ] ] PUNCT ejde-155 148 11 1 1 NUM ejde-155 148 12 p−1 p−1 PROPN ejde-155 148 13 . . PUNCT ejde-155 149 1 proof proof NOUN ejde-155 149 2 . . PUNCT ejde-155 150 1 we we PRON ejde-155 150 2 simplify simplify VERB ejde-155 150 3 the the DET ejde-155 150 4 structure structure NOUN ejde-155 150 5 assumptions assumption NOUN ejde-155 150 6 by by ADP ejde-155 150 7 setting set VERB ejde-155 150 8 uh uh INTJ ejde-155 150 9 = = SYM ejde-155 150 10 u+ u+ NOUN ejde-155 150 11 h(r h(r NOUN ejde-155 150 12 ) ) PUNCT ejde-155 150 13 . . PUNCT ejde-155 151 1 we we PRON ejde-155 151 2 obtain obtain VERB ejde-155 151 3 |a(z |a(z PROPN ejde-155 151 4 , , PUNCT ejde-155 151 5 u u NOUN ejde-155 151 6 , , PUNCT ejde-155 151 7 ξ)| ξ)| ADJ ejde-155 151 8 ≤ ≤ NUM ejde-155 151 9 aw(z)[|ξx|2 aw(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 152 1 + + SYM ejde-155 152 2 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 152 3 ] ] X ejde-155 152 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 152 5 2 2 NUM ejde-155 152 6 + + CCONJ ejde-155 152 7 b2(z)|uh|p−1 b2(z)|uh|p−1 PROPN ejde-155 152 8 |b(z |b(z PROPN ejde-155 152 9 , , PUNCT ejde-155 152 10 u u NOUN ejde-155 152 11 , , PUNCT ejde-155 152 12 ξ)| ξ)| VERB ejde-155 152 13 ≤ ≤ ADJ ejde-155 152 14 b0w(z)[|ξx|2 b0w(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 152 15 + + CCONJ ejde-155 152 16 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 NOUN ejde-155 152 17 + + CCONJ ejde-155 152 18 b1(z)[|ξx|2 b1(z)[|ξx|2 NOUN ejde-155 152 19 + + PUNCT ejde-155 152 20 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 X ejde-155 152 21 ] ] X ejde-155 152 22 p−1 p−1 PROPN ejde-155 152 23 2 2 NUM ejde-155 153 1 + + CCONJ ejde-155 153 2 d2(z)|uh|p−1 d2(z)|uh|p−1 PROPN ejde-155 153 3 ξ ξ PROPN ejde-155 153 4 · · PUNCT ejde-155 153 5 a(z a(z PROPN ejde-155 153 6 , , PUNCT ejde-155 153 7 u u NOUN ejde-155 153 8 , , PUNCT ejde-155 153 9 ξ ξ NOUN ejde-155 153 10 ) ) PUNCT ejde-155 153 11 ≥ ≥ NOUN ejde-155 154 1 w(z)[|ξx|2 w(z)[|ξx|2 NOUN ejde-155 154 2 + + CCONJ ejde-155 154 3 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 X ejde-155 154 4 − − PROPN ejde-155 154 5 d3(z)|uh|p d3(z)|uh|p PROPN ejde-155 154 6 ( ( PUNCT ejde-155 154 7 4.5 4.5 NUM ejde-155 154 8 ) ) PUNCT ejde-155 154 9 where where SCONJ ejde-155 154 10 b2 b2 NOUN ejde-155 154 11 = = SYM ejde-155 154 12 b+ b+ ADP ejde-155 154 13 h(r)1−pe h(r)1−pe PROPN ejde-155 154 14 , , PUNCT ejde-155 154 15 d2 d2 PROPN ejde-155 154 16 = = SYM ejde-155 154 17 d+ d+ PUNCT ejde-155 154 18 h(r)1−pf h(r)1−pf PROPN ejde-155 154 19 , , PUNCT ejde-155 154 20 and and CCONJ ejde-155 154 21 d3 d3 PROPN ejde-155 154 22 = = PUNCT ejde-155 154 23 d1 d1 PROPN ejde-155 154 24 + + CCONJ ejde-155 154 25 h(r)−pg h(r)−pg PROPN ejde-155 154 26 . . PUNCT ejde-155 155 1 it it PRON ejde-155 155 2 is be AUX ejde-155 155 3 easy easy ADJ ejde-155 155 4 to to PART ejde-155 155 5 check check VERB ejde-155 155 6 that that DET ejde-155 155 7 b2 b2 NOUN ejde-155 155 8 , , PUNCT ejde-155 155 9 d2 d2 PROPN ejde-155 155 10 , , PUNCT ejde-155 155 11 and and CCONJ ejde-155 155 12 d3 d3 PROPN ejde-155 155 13 satisfy satisfy VERB ejde-155 155 14 the the DET ejde-155 155 15 same same ADJ ejde-155 155 16 assumptions assumption NOUN ejde-155 155 17 of of ADP ejde-155 155 18 b b NOUN ejde-155 155 19 , , PUNCT ejde-155 155 20 d d X ejde-155 155 21 d1 d1 NOUN ejde-155 155 22 . . PUNCT ejde-155 156 1 we we PRON ejde-155 156 2 take take VERB ejde-155 156 3 ϕ ϕ NOUN ejde-155 156 4 = = PUNCT ejde-155 156 5 ηpuβhe ηpuβhe NOUN ejde-155 156 6 −b0uh −b0uh NUM ejde-155 156 7 , , PUNCT ejde-155 156 8 β β X ejde-155 156 9 < < X ejde-155 156 10 0 0 NUM ejde-155 156 11 , , PUNCT ejde-155 156 12 as as ADP ejde-155 156 13 test test NOUN ejde-155 156 14 function function NOUN ejde-155 156 15 in in ADP ejde-155 156 16 ( ( PUNCT ejde-155 156 17 4.2 4.2 NUM ejde-155 156 18 ) ) PUNCT ejde-155 156 19 , , PUNCT ejde-155 156 20 ( ( PUNCT ejde-155 156 21 see see VERB ejde-155 156 22 [ [ X ejde-155 156 23 18 18 NUM ejde-155 156 24 ] ] NUM ejde-155 156 25 ) ) PUNCT ejde-155 156 26 , , PUNCT ejde-155 156 27 where where SCONJ ejde-155 156 28 η η PROPN ejde-155 156 29 ∈ ∈ PROPN ejde-155 156 30 c1 c1 PROPN ejde-155 156 31 0 0 NUM ejde-155 156 32 ( ( PUNCT ejde-155 156 33 b3r b3r NOUN ejde-155 156 34 ) ) PUNCT ejde-155 156 35 , , PUNCT ejde-155 156 36 η η PROPN ejde-155 156 37 ≥ ≥ PROPN ejde-155 156 38 0 0 NUM ejde-155 156 39 . . PUNCT ejde-155 157 1 we we PRON ejde-155 157 2 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-155 157 3 b3r b3r PROPN ejde-155 157 4 ηpe−b0uh(b0u ηpe−b0uh(b0u X ejde-155 157 5 β β PROPN ejde-155 157 6 h h NOUN ejde-155 158 1 + + CCONJ ejde-155 158 2 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 158 3 h h NOUN ejde-155 158 4 ) ) PUNCT ejde-155 158 5 ∇λuh ∇λuh PROPN ejde-155 158 6 · · PUNCT ejde-155 158 7 adz adz PROPN ejde-155 158 8 − − PROPN ejde-155 159 1 p p NOUN ejde-155 159 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 159 3 b3r b3r PROPN ejde-155 159 4 uβhη uβhη PROPN ejde-155 159 5 p−1e−b0uh∇λη p−1e−b0uh∇λη X ejde-155 159 6 · · PUNCT ejde-155 159 7 adz adz PROPN ejde-155 159 8 + + CCONJ ejde-155 159 9 ∫ ∫ PROPN ejde-155 159 10 b3r b3r PROPN ejde-155 159 11 ηpuβhe ηpuβhe VERB ejde-155 159 12 −b0uhbdz −b0uhbdz PROPN ejde-155 159 13 ≤ ≤ NUM ejde-155 159 14 0 0 PUNCT ejde-155 159 15 . . PUNCT ejde-155 160 1 ejde-2022/65 ejde-2022/65 ADJ ejde-155 160 2 boundary boundary ADJ ejde-155 160 3 regularity regularity NOUN ejde-155 160 4 for for ADP ejde-155 160 5 strongly strongly ADV ejde-155 160 6 degenerate degenerate ADJ ejde-155 160 7 operators operator NOUN ejde-155 160 8 7 7 NUM ejde-155 160 9 the the DET ejde-155 160 10 previous previous ADJ ejde-155 160 11 inequality inequality NOUN ejde-155 160 12 and and CCONJ ejde-155 160 13 the the DET ejde-155 160 14 structure structure NOUN ejde-155 160 15 assumptions assumption NOUN ejde-155 160 16 ( ( PUNCT ejde-155 160 17 4.5 4.5 NUM ejde-155 160 18 ) ) PUNCT ejde-155 160 19 yield∫ yield∫ NOUN ejde-155 160 20 b3r b3r PROPN ejde-155 160 21 e−b0uhηp(b0u e−b0uhηp(b0u ADP ejde-155 160 22 β β PROPN ejde-155 160 23 h h NOUN ejde-155 160 24 + + CCONJ ejde-155 160 25 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 160 26 h h NOUN ejde-155 160 27 ) ) PUNCT ejde-155 160 28 |∇λuh|pwdz |∇λuh|pwdz PROPN ejde-155 160 29 ≤ ≤ NUM ejde-155 160 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 161 1 b3r b3r PROPN ejde-155 161 2 e−b0uhηp(b0u e−b0uhηp(b0u NOUN ejde-155 161 3 β β PROPN ejde-155 161 4 h h NOUN ejde-155 161 5 + + CCONJ ejde-155 161 6 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 161 7 h h NOUN ejde-155 161 8 ) ) PUNCT ejde-155 161 9 ( ( PUNCT ejde-155 161 10 ∇λuh ∇λuh NOUN ejde-155 161 11 · · PUNCT ejde-155 161 12 a+ a+ X ejde-155 161 13 d3|uh|p)dz d3|uh|p)dz NOUN ejde-155 161 14 ≤ ≤ PROPN ejde-155 161 15 p p X ejde-155 161 16 ∫ ∫ PROPN ejde-155 161 17 b3r b3r PROPN ejde-155 161 18 uβhη uβhη PROPN ejde-155 161 19 p−1e−b0uh∇λη p−1e−b0uh∇λη X ejde-155 161 20 · · PUNCT ejde-155 161 21 adz adz PROPN ejde-155 161 22 − − PROPN ejde-155 161 23 ∫ ∫ PROPN ejde-155 161 24 b3r b3r PROPN ejde-155 161 25 ηpuβhe ηpuβhe PROPN ejde-155 161 26 −b0uhb −b0uhb PROPN ejde-155 161 27 dz dz PROPN ejde-155 161 28 + + NUM ejde-155 161 29 ∫ ∫ PROPN ejde-155 161 30 b3r b3r PROPN ejde-155 161 31 e−b0uhηp(b0u e−b0uhηp(b0u NOUN ejde-155 161 32 β β PROPN ejde-155 161 33 h h NOUN ejde-155 162 1 + + CCONJ ejde-155 162 2 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 162 3 h h NOUN ejde-155 162 4 ) ) PUNCT ejde-155 162 5 d3|uh|p d3|uh|p PROPN ejde-155 162 6 dz dz PROPN ejde-155 162 7 ≤ ≤ PROPN ejde-155 163 1 p p NOUN ejde-155 163 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 163 3 b3r b3r PROPN ejde-155 163 4 uβhη uβhη PROPN ejde-155 163 5 p−1e−b0uh∇λη p−1e−b0uh∇λη X ejde-155 163 6 · · PUNCT ejde-155 163 7 adz adz PROPN ejde-155 163 8 + + CCONJ ejde-155 163 9 ∫ ∫ PROPN ejde-155 163 10 b3r b3r PROPN ejde-155 163 11 ηpuβhe ηpuβhe PROPN ejde-155 163 12 −b0uh(b0|∇λuh|pw −b0uh(b0|∇λuh|pw PROPN ejde-155 163 13 + + CCONJ ejde-155 163 14 b1|∇λuh|p−1 b1|∇λuh|p−1 X ejde-155 163 15 + + CCONJ ejde-155 163 16 d2|uh|p−1)dz d2|uh|p−1)dz PROPN ejde-155 163 17 + + CCONJ ejde-155 163 18 ∫ ∫ PROPN ejde-155 163 19 b3r b3r PROPN ejde-155 163 20 e−b0uhηp(b0u e−b0uhηp(b0u NOUN ejde-155 163 21 β β PROPN ejde-155 163 22 h h NOUN ejde-155 163 23 + + CCONJ ejde-155 163 24 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 163 25 h h NOUN ejde-155 163 26 ) ) PUNCT ejde-155 163 27 d3|uh|p d3|uh|p PROPN ejde-155 163 28 dz dz PROPN ejde-155 163 29 . . PUNCT ejde-155 164 1 by by ADP ejde-155 164 2 young young ADJ ejde-155 164 3 inequality inequality NOUN ejde-155 164 4 and and CCONJ ejde-155 164 5 boundedness boundedness NOUN ejde-155 164 6 of of ADP ejde-155 164 7 uh uh INTJ ejde-155 164 8 in in ADP ejde-155 164 9 b3r b3r NOUN ejde-155 164 10 we we PRON ejde-155 164 11 obtain obtain VERB ejde-155 164 12 |β| |β| PROPN ejde-155 164 13 ∫ ∫ PROPN ejde-155 164 14 b3r b3r PROPN ejde-155 164 15 ηpuβ−1 ηpuβ−1 PUNCT ejde-155 164 16 h h NOUN ejde-155 164 17 |∇λuh|pwdz |∇λuh|pwdz NOUN ejde-155 164 18 ≤ ≤ ADV ejde-155 165 1 cp cp INTJ ejde-155 165 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 165 3 b3r b3r PROPN ejde-155 165 4 uβhη uβhη PROPN ejde-155 165 5 p−1∇λη p−1∇λη PROPN ejde-155 165 6 · · PUNCT ejde-155 165 7 adz adz PROPN ejde-155 166 1 + + CCONJ ejde-155 166 2 c c PROPN ejde-155 166 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 166 4 b3r b3r PROPN ejde-155 166 5 ηpuβh(b1|∇λuh|p−1 ηpuβh(b1|∇λuh|p−1 NOUN ejde-155 166 6 + + CCONJ ejde-155 166 7 d2|uh|p−1)dz d2|uh|p−1)dz PROPN ejde-155 167 1 + + CCONJ ejde-155 168 1 c c NOUN ejde-155 168 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 168 3 b3r b3r PROPN ejde-155 168 4 ηp(b0u ηp(b0u PROPN ejde-155 168 5 β β NOUN ejde-155 168 6 h h NOUN ejde-155 168 7 + + CCONJ ejde-155 168 8 |β|uβ−1 |β|uβ−1 NOUN ejde-155 168 9 h h NOUN ejde-155 168 10 ) ) PUNCT ejde-155 168 11 d3|uh|p d3|uh|p PROPN ejde-155 168 12 dz dz PROPN ejde-155 168 13 ≤ ≤ PROPN ejde-155 168 14 c c PROPN ejde-155 168 15 ∫ ∫ PROPN ejde-155 168 16 b3r b3r PROPN ejde-155 168 17 { { PUNCT ejde-155 168 18 puβhη puβhη NOUN ejde-155 168 19 p−1|∇λη|(aw|∇λuh|p−1 p−1|∇λη|(aw|∇λuh|p−1 PROPN ejde-155 168 20 + + CCONJ ejde-155 168 21 b2|uh|p−1 b2|uh|p−1 PROPN ejde-155 168 22 ) ) PUNCT ejde-155 168 23 + + CCONJ ejde-155 168 24 ηpuβhb1|∇λuh| ηpuβhb1|∇λuh| PROPN ejde-155 168 25 p−1 p−1 PROPN ejde-155 168 26 + + CCONJ ejde-155 168 27 ηpuβ+p−1 ηpuβ+p−1 PROPN ejde-155 168 28 h h PROPN ejde-155 168 29 d2 d2 PROPN ejde-155 168 30 + + CCONJ ejde-155 168 31 ηpb0u ηpb0u PROPN ejde-155 168 32 β+p β+p PUNCT ejde-155 168 33 h h PRON ejde-155 168 34 d3 d3 PROPN ejde-155 168 35 + + CCONJ ejde-155 168 36 |β|ηpuβ+p−1 |β|ηpuβ+p−1 PROPN ejde-155 168 37 h h NOUN ejde-155 168 38 d2 d2 PROPN ejde-155 168 39 } } PUNCT ejde-155 168 40 dz dz PROPN ejde-155 168 41 ≤ ≤ PROPN ejde-155 168 42 c c PROPN ejde-155 168 43 ∫ ∫ PROPN ejde-155 168 44 b3r b3r PROPN ejde-155 168 45 { { PUNCT ejde-155 168 46 puβhη puβhη NOUN ejde-155 168 47 p−1|∇λη|aw|∇λuh|p−1 p−1|∇λη|aw|∇λuh|p−1 PROPN ejde-155 168 48 + + CCONJ ejde-155 168 49 puβ+p−1 puβ+p−1 NOUN ejde-155 168 50 h h NOUN ejde-155 168 51 ηp−1|∇λη|b2 ηp−1|∇λη|b2 NOUN ejde-155 168 52 + + CCONJ ejde-155 168 53 ηpuβhb1|∇λuh| ηpuβhb1|∇λuh| PROPN ejde-155 168 54 p−1 p−1 PROPN ejde-155 168 55 + + CCONJ ejde-155 168 56 ( ( PUNCT ejde-155 168 57 1 1 NUM ejde-155 168 58 + + CCONJ ejde-155 168 59 |β|)ηpuβ+p−1 |β|)ηpuβ+p−1 NUM ejde-155 168 60 h h NOUN ejde-155 168 61 d2 d2 NOUN ejde-155 168 62 + + CCONJ ejde-155 168 63 ηpb0u ηpb0u PROPN ejde-155 168 64 β+p β+p PUNCT ejde-155 168 65 h h PROPN ejde-155 168 66 d3 d3 PROPN ejde-155 168 67 } } PUNCT ejde-155 168 68 dz dz PROPN ejde-155 168 69 . . PUNCT ejde-155 169 1 then then ADV ejde-155 169 2 |β| |β| NOUN ejde-155 169 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 169 4 b3r b3r PROPN ejde-155 169 5 ηpuβ−1 ηpuβ−1 PUNCT ejde-155 169 6 h h NOUN ejde-155 169 7 |∇λuh|pwdz |∇λuh|pwdz NOUN ejde-155 169 8 ≤ ≤ PROPN ejde-155 169 9 c(b0,m c(b0,m X ejde-155 169 10 , , PUNCT ejde-155 169 11 p p NOUN ejde-155 169 12 ) ) PUNCT ejde-155 169 13 ∫ ∫ PROPN ejde-155 169 14 b3r b3r PROPN ejde-155 169 15 { { PUNCT ejde-155 169 16 uβhη uβhη NOUN ejde-155 169 17 p−1|∇λη|a|∇λuh|p−1w p−1|∇λη|a|∇λuh|p−1w PROPN ejde-155 169 18 dz dz X ejde-155 169 19 + + CCONJ ejde-155 169 20 εηpuβ−1 εηpuβ−1 NUM ejde-155 169 21 h h NOUN ejde-155 169 22 |∇λuh|pw |∇λuh|pw NOUN ejde-155 169 23 + + CCONJ ejde-155 170 1 c(ε)ηp c(ε)ηp X ejde-155 170 2 bp1 bp1 PROPN ejde-155 170 3 wp−1 wp−1 PROPN ejde-155 170 4 uβ+p−1 uβ+p−1 PROPN ejde-155 170 5 h h PROPN ejde-155 170 6 + + CCONJ ejde-155 170 7 ηp−1|∇λη|uβ+p−1 ηp−1|∇λη|uβ+p−1 ADJ ejde-155 170 8 h h NOUN ejde-155 170 9 b2 b2 NOUN ejde-155 170 10 + + CCONJ ejde-155 170 11 ( ( PUNCT ejde-155 170 12 1 1 NUM ejde-155 170 13 + + CCONJ ejde-155 170 14 |β|)ηpuβ+p−1 |β|)ηpuβ+p−1 NUM ejde-155 170 15 h h NOUN ejde-155 170 16 d2 d2 NOUN ejde-155 170 17 + + CCONJ ejde-155 170 18 ηpuβ+p ηpuβ+p PROPN ejde-155 170 19 h h NOUN ejde-155 170 20 d3 d3 PROPN ejde-155 170 21 } } PUNCT ejde-155 170 22 dz dz PROPN ejde-155 170 23 8 8 NUM ejde-155 170 24 g. g. PROPN ejde-155 170 25 di di PROPN ejde-155 170 26 fazio fazio PROPN ejde-155 170 27 , , PUNCT ejde-155 170 28 m. m. PROPN ejde-155 170 29 s. s. PROPN ejde-155 170 30 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 170 31 , , PUNCT ejde-155 170 32 p. p. PROPN ejde-155 170 33 zamboni zamboni PROPN ejde-155 170 34 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 170 35 ≤ ≤ PROPN ejde-155 170 36 c(b0,m c(b0,m PROPN ejde-155 170 37 , , PUNCT ejde-155 170 38 a a PRON ejde-155 170 39 , , PUNCT ejde-155 170 40 p p NOUN ejde-155 170 41 ) ) PUNCT ejde-155 170 42 ∫ ∫ PROPN ejde-155 170 43 b3r b3r PROPN ejde-155 170 44 { { PUNCT ejde-155 170 45 uβhη uβhη PROPN ejde-155 170 46 p−1|∇λη||∇λuh|p−1wdz p−1|∇λη||∇λuh|p−1wdz PROPN ejde-155 170 47 + + CCONJ ejde-155 170 48 εηpuβ−1 εηpuβ−1 NUM ejde-155 170 49 h h NOUN ejde-155 170 50 |∇λuh|pw |∇λuh|pw NOUN ejde-155 170 51 + + CCONJ ejde-155 170 52 c(ε)ηp c(ε)ηp X ejde-155 170 53 bp1 bp1 PROPN ejde-155 170 54 wp−1 wp−1 PROPN ejde-155 170 55 uβ+p−1 uβ+p−1 PROPN ejde-155 170 56 h h PROPN ejde-155 170 57 + + CCONJ ejde-155 170 58 uβ+p−1 uβ+p−1 ADJ ejde-155 170 59 h h NOUN ejde-155 170 60 |∇λη|pw |∇λη|pw PROPN ejde-155 170 61 + + PROPN ejde-155 171 1 ηpuβ+p−1 ηpuβ+p−1 PROPN ejde-155 171 2 h h NOUN ejde-155 171 3 b b PROPN ejde-155 171 4 p p X ejde-155 171 5 p−1 p−1 PROPN ejde-155 171 6 2 2 NUM ejde-155 171 7 w w PROPN ejde-155 171 8 1 1 NUM ejde-155 171 9 p−1 p−1 PROPN ejde-155 171 10 + + CCONJ ejde-155 171 11 ( ( PUNCT ejde-155 171 12 1 1 NUM ejde-155 171 13 + + CCONJ ejde-155 171 14 |β|)ηpuβ+p−1 |β|)ηpuβ+p−1 NUM ejde-155 171 15 h h NOUN ejde-155 171 16 d2 d2 PROPN ejde-155 171 17 + + CCONJ ejde-155 171 18 ηpuβ+p−1 ηpuβ+p−1 PROPN ejde-155 171 19 h h NOUN ejde-155 171 20 d3 d3 PROPN ejde-155 171 21 } } PUNCT ejde-155 171 22 dz dz PROPN ejde-155 171 23 . . PUNCT ejde-155 172 1 setting set VERB ejde-155 172 2 v v ADP ejde-155 172 3 = = SYM ejde-155 172 4 b b PROPN ejde-155 172 5 p p X ejde-155 172 6 p−1 p−1 PROPN ejde-155 172 7 2 2 NUM ejde-155 172 8 w w PROPN ejde-155 172 9 1 1 NUM ejde-155 172 10 p−1 p−1 PROPN ejde-155 172 11 + + CCONJ ejde-155 172 12 bp1 bp1 PROPN ejde-155 172 13 wp−1 wp−1 VERB ejde-155 172 14 + + CCONJ ejde-155 172 15 d2 d2 PROPN ejde-155 172 16 + + CCONJ ejde-155 172 17 d3 d3 PROPN ejde-155 172 18 , , PUNCT ejde-155 172 19 we we PRON ejde-155 172 20 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-155 172 21 b3r b3r PROPN ejde-155 172 22 ηpuβ−1 ηpuβ−1 PUNCT ejde-155 172 23 h h NOUN ejde-155 172 24 |∇λuh|pwdz |∇λuh|pwdz NOUN ejde-155 172 25 ≤ ≤ PROPN ejde-155 172 26 c(1 c(1 PROPN ejde-155 172 27 + + CCONJ ejde-155 172 28 |β|−1)p |β|−1)p PROPN ejde-155 172 29 ∫ ∫ PROPN ejde-155 172 30 b3r b3r NOUN ejde-155 172 31 { { PUNCT ejde-155 172 32 |∇λη|puβ+p−1 |∇λη|puβ+p−1 VERB ejde-155 172 33 h h NOUN ejde-155 172 34 w w NOUN ejde-155 173 1 + + NUM ejde-155 173 2 v v ADP ejde-155 173 3 ηpuβ+p−1 ηpuβ+p−1 NOUN ejde-155 173 4 h h NOUN ejde-155 173 5 } } PUNCT ejde-155 173 6 dz dz PROPN ejde-155 173 7 . . PUNCT ejde-155 174 1 ( ( PUNCT ejde-155 174 2 4.6 4.6 NUM ejde-155 174 3 ) ) PUNCT ejde-155 174 4 now now ADV ejde-155 174 5 we we PRON ejde-155 174 6 set set VERB ejde-155 174 7 u(x u(x NOUN ejde-155 174 8 ) ) PUNCT ejde-155 175 1 = = PRON ejde-155 175 2 { { PUNCT ejde-155 175 3 uqh(x uqh(x PROPN ejde-155 175 4 ) ) PUNCT ejde-155 175 5 where where SCONJ ejde-155 175 6 pq pq NOUN ejde-155 175 7 = = VERB ejde-155 175 8 p+ p+ PROPN ejde-155 175 9 β β X ejde-155 175 10 − − PROPN ejde-155 175 11 1 1 NUM ejde-155 175 12 if if SCONJ ejde-155 175 13 β β PROPN ejde-155 175 14 6= 6= ADP ejde-155 175 15 1− 1− NUM ejde-155 175 16 p p NOUN ejde-155 175 17 log log NOUN ejde-155 175 18 uh(x uh(x NOUN ejde-155 175 19 ) ) PUNCT ejde-155 175 20 ifβ ifβ PROPN ejde-155 175 21 = = PUNCT ejde-155 176 1 1− 1− NUM ejde-155 176 2 p p NOUN ejde-155 176 3 by by ADP ejde-155 176 4 ( ( PUNCT ejde-155 176 5 4.6 4.6 NUM ejde-155 176 6 ) ) PUNCT ejde-155 176 7 we we PRON ejde-155 176 8 have∫ have∫ VERB ejde-155 176 9 b3r b3r NOUN ejde-155 176 10 ηp|∇λu|pw ηp|∇λu|pw NOUN ejde-155 176 11 dz dz ADJ ejde-155 176 12 ≤ ≤ NUM ejde-155 176 13 c|q|p(1 c|q|p(1 NOUN ejde-155 176 14 + + CCONJ ejde-155 176 15 |β|−1)p |β|−1)p PROPN ejde-155 176 16 { { PUNCT ejde-155 176 17 ∫ ∫ PROPN ejde-155 176 18 b3r b3r PROPN ejde-155 176 19 |∇λη|pupw |∇λη|pupw VERB ejde-155 176 20 dz dz PROPN ejde-155 176 21 + + NUM ejde-155 176 22 ∫ ∫ PROPN ejde-155 176 23 b3r b3r PROPN ejde-155 176 24 v v PART ejde-155 176 25 ηpup ηpup VERB ejde-155 176 26 dz dz PROPN ejde-155 176 27 } } PUNCT ejde-155 176 28 , , PUNCT ejde-155 176 29 β β PROPN ejde-155 176 30 6= 6= ADP ejde-155 176 31 1− 1− NUM ejde-155 176 32 p p NOUN ejde-155 176 33 , , PUNCT ejde-155 176 34 ( ( PUNCT ejde-155 176 35 4.7 4.7 NUM ejde-155 176 36 ) ) PUNCT ejde-155 176 37 while while SCONJ ejde-155 176 38 ∫ ∫ PROPN ejde-155 176 39 b3r b3r PROPN ejde-155 176 40 ηp|∇λu|pw ηp|∇λu|pw NOUN ejde-155 176 41 dz dz PROPN ejde-155 176 42 ≤ ≤ PROPN ejde-155 176 43 c c PROPN ejde-155 176 44 { { PUNCT ejde-155 176 45 ∫ ∫ PROPN ejde-155 176 46 b3r b3r PROPN ejde-155 176 47 |∇λη|pw |∇λη|pw PROPN ejde-155 176 48 dz dz PROPN ejde-155 176 49 + + NUM ejde-155 176 50 ∫ ∫ PROPN ejde-155 176 51 b3r b3r PROPN ejde-155 176 52 v v ADP ejde-155 176 53 ηp ηp PROPN ejde-155 176 54 dz dz PROPN ejde-155 176 55 } } PUNCT ejde-155 176 56 ( ( PUNCT ejde-155 176 57 4.8 4.8 NUM ejde-155 176 58 ) ) PUNCT ejde-155 176 59 if if SCONJ ejde-155 176 60 β β X ejde-155 176 61 = = SYM ejde-155 176 62 1− 1− NUM ejde-155 177 1 p. p. NOUN ejde-155 177 2 let let VERB ejde-155 177 3 us we PRON ejde-155 177 4 start start VERB ejde-155 177 5 with with ADP ejde-155 177 6 the the DET ejde-155 177 7 case case NOUN ejde-155 177 8 β β X ejde-155 177 9 = = SYM ejde-155 177 10 1− 1− NUM ejde-155 177 11 p. p. NOUN ejde-155 177 12 by by ADP ejde-155 177 13 theorem theorem NOUN ejde-155 177 14 3.4 3.4 NUM ejde-155 177 15 we we PRON ejde-155 177 16 have∫ have∫ VERB ejde-155 177 17 b3r b3r PROPN ejde-155 177 18 v v ADP ejde-155 177 19 ηp ηp PROPN ejde-155 177 20 dz dz PROPN ejde-155 177 21 ≤ ≤ PROPN ejde-155 177 22 cφ cφ X ejde-155 177 23 ( ( PUNCT ejde-155 177 24 v v NOUN ejde-155 177 25 w w PROPN ejde-155 177 26 ; ; PUNCT ejde-155 177 27 diam diam PROPN ejde-155 177 28 ω ω PROPN ejde-155 177 29 ) ) PUNCT ejde-155 177 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 177 31 b3r b3r PROPN ejde-155 177 32 |∇λη|pw |∇λη|pw PROPN ejde-155 177 33 dz dz PROPN ejde-155 177 34 , , PUNCT ejde-155 177 35 and and CCONJ ejde-155 177 36 from from ADP ejde-155 177 37 ( ( PUNCT ejde-155 177 38 4.8 4.8 NUM ejde-155 177 39 ) ) PUNCT ejde-155 177 40 , , PUNCT ejde-155 177 41 ∫ ∫ PROPN ejde-155 177 42 b3r b3r PROPN ejde-155 177 43 ηp|∇λu|pw ηp|∇λu|pw PROPN ejde-155 177 44 dz dz PROPN ejde-155 177 45 ≤ ≤ PROPN ejde-155 177 46 c c PROPN ejde-155 177 47 ∫ ∫ PROPN ejde-155 177 48 b3r b3r PROPN ejde-155 177 49 |∇λη|pw |∇λη|pw PROPN ejde-155 177 50 dz dz PROPN ejde-155 177 51 . . PUNCT ejde-155 178 1 let let VERB ejde-155 178 2 bh bh NOUN ejde-155 178 3 be be AUX ejde-155 178 4 a a DET ejde-155 178 5 ball ball NOUN ejde-155 178 6 contained contain VERB ejde-155 178 7 in in ADP ejde-155 178 8 b2r b2r PROPN ejde-155 178 9 . . PUNCT ejde-155 179 1 choosing choose VERB ejde-155 179 2 η(x η(x NOUN ejde-155 179 3 ) ) PUNCT ejde-155 179 4 so so SCONJ ejde-155 179 5 that that SCONJ ejde-155 179 6 η η PROPN ejde-155 179 7 = = PROPN ejde-155 179 8 1 1 NUM ejde-155 179 9 in in ADP ejde-155 179 10 bh bh NOUN ejde-155 179 11 , , PUNCT ejde-155 179 12 0 0 NUM ejde-155 179 13 ≤ ≤ NUM ejde-155 179 14 η η PROPN ejde-155 179 15 ≤ ≤ ADJ ejde-155 179 16 1 1 NUM ejde-155 179 17 in in ADP ejde-155 179 18 b3r b3r PROPN ejde-155 179 19 \bh \bh PROPN ejde-155 179 20 and and CCONJ ejde-155 179 21 |∇λη| |∇λη| ADJ ejde-155 179 22 ≤ ≤ NUM ejde-155 179 23 3 3 NUM ejde-155 179 24 h h NOUN ejde-155 179 25 , , PUNCT ejde-155 179 26 we we PRON ejde-155 179 27 obtain obtain VERB ejde-155 179 28 ‖∇λu‖lpv(bh ‖∇λu‖lpv(bh NOUN ejde-155 179 29 ) ) PUNCT ejde-155 179 30 ≤ ≤ NUM ejde-155 179 31 c c X ejde-155 179 32 w(bh)1 w(bh)1 PROPN ejde-155 179 33 / / SYM ejde-155 179 34 p p NOUN ejde-155 179 35 h h NOUN ejde-155 179 36 . . PUNCT ejde-155 180 1 by by ADP ejde-155 180 2 theorem theorem ADJ ejde-155 180 3 2.4 2.4 NUM ejde-155 180 4 and and CCONJ ejde-155 180 5 john john PROPN ejde-155 180 6 - - PUNCT ejde-155 180 7 nirenberg nirenberg PROPN ejde-155 180 8 lemma lemma PROPN ejde-155 181 1 [ [ X ejde-155 181 2 2 2 NUM ejde-155 181 3 ] ] PUNCT ejde-155 181 4 , , PUNCT ejde-155 181 5 there there PRON ejde-155 181 6 exist exist VERB ejde-155 181 7 two two NUM ejde-155 181 8 positive positive ADJ ejde-155 181 9 constants constant NOUN ejde-155 181 10 p0 p0 NOUN ejde-155 181 11 and and CCONJ ejde-155 181 12 c c NOUN ejde-155 181 13 , , PUNCT ejde-155 181 14 such such ADJ ejde-155 181 15 that that SCONJ ejde-155 181 16 ( ( PUNCT ejde-155 181 17 − − PROPN ejde-155 181 18 ∫ ∫ PROPN ejde-155 181 19 b2r b2r X ejde-155 181 20 ep0uw ep0uw PROPN ejde-155 181 21 dz dz PROPN ejde-155 181 22 ) ) PUNCT ejde-155 181 23 1 1 NUM ejde-155 181 24 / / SYM ejde-155 181 25 p0 p0 NOUN ejde-155 181 26 ( ( PUNCT ejde-155 181 27 − − PROPN ejde-155 181 28 ∫ ∫ PROPN ejde-155 181 29 b2r b2r PROPN ejde-155 182 1 e−p0uw e−p0uw PROPN ejde-155 182 2 dz dz PROPN ejde-155 182 3 ) ) PUNCT ejde-155 182 4 1 1 NUM ejde-155 182 5 / / SYM ejde-155 182 6 p0 p0 NOUN ejde-155 182 7 ≤ ≤ NUM ejde-155 182 8 c c NOUN ejde-155 182 9 . . PUNCT ejde-155 183 1 ( ( PUNCT ejde-155 183 2 4.9 4.9 NUM ejde-155 183 3 ) ) PUNCT ejde-155 183 4 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 183 5 boundary boundary ADJ ejde-155 183 6 regularity regularity NOUN ejde-155 183 7 for for ADP ejde-155 183 8 strongly strongly ADV ejde-155 183 9 degenerate degenerate ADJ ejde-155 183 10 operators operator NOUN ejde-155 183 11 9 9 NUM ejde-155 183 12 let let VERB ejde-155 183 13 us we PRON ejde-155 183 14 consider consider VERB ejde-155 183 15 the the DET ejde-155 183 16 family family NOUN ejde-155 183 17 of of ADP ejde-155 183 18 seminorms seminorm NOUN ejde-155 183 19 φ(p φ(p PROPN ejde-155 183 20 , , PUNCT ejde-155 183 21 ρ ρ NOUN ejde-155 183 22 ) ) PUNCT ejde-155 183 23 = = SYM ejde-155 184 1 ( ( PUNCT ejde-155 184 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 184 3 bρ bρ PROPN ejde-155 184 4 |uh|pw |uh|pw NOUN ejde-155 184 5 dz dz X ejde-155 184 6 ) ) PUNCT ejde-155 184 7 1 1 PROPN ejde-155 184 8 / / SYM ejde-155 184 9 p p NOUN ejde-155 184 10 , , PUNCT ejde-155 184 11 p p X ejde-155 184 12 6= 6= PROPN ejde-155 184 13 0 0 NUM ejde-155 184 14 . . PUNCT ejde-155 185 1 by by ADP ejde-155 185 2 ( ( PUNCT ejde-155 185 3 4.9 4.9 NUM ejde-155 185 4 ) ) PUNCT ejde-155 185 5 we we PRON ejde-155 185 6 have have VERB ejde-155 185 7 1 1 NUM ejde-155 185 8 w(b2r)1 w(b2r)1 NOUN ejde-155 185 9 / / SYM ejde-155 185 10 p0 p0 PROPN ejde-155 185 11 φ(p0 φ(p0 PROPN ejde-155 185 12 , , PUNCT ejde-155 185 13 2r 2r NUM ejde-155 185 14 ) ) PUNCT ejde-155 185 15 ≤ ≤ NOUN ejde-155 185 16 cw(b2r cw(b2r PROPN ejde-155 185 17 ) ) PUNCT ejde-155 185 18 1 1 NUM ejde-155 185 19 / / SYM ejde-155 185 20 p0φ(−p0 p0φ(−p0 NOUN ejde-155 185 21 , , PUNCT ejde-155 185 22 2r 2r NUM ejde-155 185 23 ) ) PUNCT ejde-155 185 24 . . PUNCT ejde-155 186 1 in in ADP ejde-155 186 2 the the DET ejde-155 186 3 case case NOUN ejde-155 186 4 ( ( PUNCT ejde-155 186 5 4.7 4.7 NUM ejde-155 186 6 ) ) PUNCT ejde-155 186 7 by by ADP ejde-155 186 8 corollary corollary ADJ ejde-155 186 9 3.5 3.5 NUM ejde-155 186 10 we we PRON ejde-155 186 11 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-155 186 12 b3r b3r PROPN ejde-155 186 13 |∇λu|pηpw |∇λu|pηpw NOUN ejde-155 186 14 dz dz PROPN ejde-155 186 15 ≤ ≤ PROPN ejde-155 186 16 c c NOUN ejde-155 186 17 { { PUNCT ejde-155 186 18 ( ( PUNCT ejde-155 186 19 |q|p |q|p PROPN ejde-155 186 20 + + CCONJ ejde-155 186 21 1 1 NUM ejde-155 186 22 ) ) PUNCT ejde-155 186 23 ( ( PUNCT ejde-155 186 24 1 1 NUM ejde-155 186 25 + + SYM ejde-155 186 26 1 1 NUM ejde-155 186 27 |β| |β| NOUN ejde-155 186 28 ) ) PUNCT ejde-155 186 29 p p NOUN ejde-155 186 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 186 31 b3r b3r PROPN ejde-155 186 32 |∇λη|pupwdz |∇λη|pupwdz NOUN ejde-155 186 33 + + CCONJ ejde-155 186 34 [ [ PUNCT ejde-155 186 35 1 1 NUM ejde-155 186 36 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 186 37 ( ( PUNCT ejde-155 186 38 v v NOUN ejde-155 186 39 w w NOUN ejde-155 186 40 ; ; PUNCT ejde-155 186 41 |q|−p(1 |q|−p(1 X ejde-155 186 42 + + CCONJ ejde-155 186 43 1 1 NUM ejde-155 186 44 |β| |β| NOUN ejde-155 186 45 ) ) PUNCT ejde-155 186 46 −p −p NOUN ejde-155 186 47 ) ) PUNCT ejde-155 186 48 ] ] PUNCT ejde-155 186 49 n+p n+p NUM ejde-155 186 50 ∫ ∫ PROPN ejde-155 186 51 b3r b3r PROPN ejde-155 186 52 ηpupw ηpupw VERB ejde-155 186 53 dz dz PROPN ejde-155 186 54 } } PUNCT ejde-155 186 55 . . PUNCT ejde-155 187 1 from from ADP ejde-155 187 2 ( ( PUNCT ejde-155 187 3 2.3 2.3 NUM ejde-155 187 4 ) ) PUNCT ejde-155 187 5 , , PUNCT ejde-155 187 6 setting set VERB ejde-155 187 7 k k X ejde-155 187 8 = = PUNCT ejde-155 187 9 q q ADJ ejde-155 187 10 / / SYM ejde-155 187 11 p p X ejde-155 187 12 , , PUNCT ejde-155 187 13 we we PRON ejde-155 187 14 have(∫ have(∫ VERB ejde-155 187 15 b3r b3r NOUN ejde-155 187 16 |ηu|kpw |ηu|kpw VERB ejde-155 187 17 dz dz PROPN ejde-155 187 18 ) ) PUNCT ejde-155 187 19 1 1 NUM ejde-155 187 20 / / SYM ejde-155 187 21 k k NOUN ejde-155 187 22 ≤ ≤ NOUN ejde-155 187 23 cw(b cw(b X ejde-155 187 24 ) ) PUNCT ejde-155 187 25 1 1 NUM ejde-155 187 26 k−1 k−1 PROPN ejde-155 187 27 { { PUNCT ejde-155 187 28 ( ( PUNCT ejde-155 187 29 |q|p |q|p PROPN ejde-155 187 30 + + CCONJ ejde-155 187 31 2 2 NUM ejde-155 187 32 ) ) PUNCT ejde-155 187 33 ( ( PUNCT ejde-155 187 34 1 1 NUM ejde-155 187 35 + + SYM ejde-155 187 36 1 1 NUM ejde-155 187 37 |β| |β| NOUN ejde-155 187 38 ) ) PUNCT ejde-155 187 39 p p NOUN ejde-155 187 40 ∫ ∫ PROPN ejde-155 187 41 b3r b3r PROPN ejde-155 187 42 |∇λη|pupw |∇λη|pupw VERB ejde-155 187 43 dz dz X ejde-155 187 44 + + CCONJ ejde-155 187 45 [ [ PUNCT ejde-155 187 46 1 1 NUM ejde-155 187 47 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 187 48 ( ( PUNCT ejde-155 187 49 v v NOUN ejde-155 187 50 w w PROPN ejde-155 187 51 ; ; PUNCT ejde-155 187 52 |q|−p |q|−p PROPN ejde-155 187 53 ( ( PUNCT ejde-155 187 54 1 1 NUM ejde-155 187 55 + + SYM ejde-155 187 56 1 1 NUM ejde-155 187 57 |β| |β| NOUN ejde-155 187 58 ) ) PUNCT ejde-155 187 59 −p)]n+p −p)]n+p PROPN ejde-155 187 60 ∫ ∫ PROPN ejde-155 187 61 b3r b3r PROPN ejde-155 187 62 ηpupw ηpupw VERB ejde-155 187 63 dz dz PROPN ejde-155 187 64 } } PUNCT ejde-155 187 65 where where SCONJ ejde-155 187 66 c c NOUN ejde-155 187 67 is be AUX ejde-155 187 68 a a DET ejde-155 187 69 positive positive ADJ ejde-155 187 70 constant constant ADJ ejde-155 187 71 independent independent NOUN ejde-155 187 72 of of ADP ejde-155 187 73 w. w. PROPN ejde-155 187 74 now now ADV ejde-155 187 75 we we PRON ejde-155 187 76 choose choose VERB ejde-155 187 77 the the DET ejde-155 187 78 function function PROPN ejde-155 187 79 η η PROPN ejde-155 187 80 . . PROPN ejde-155 187 81 let let VERB ejde-155 187 82 r1 r1 PROPN ejde-155 187 83 and and CCONJ ejde-155 187 84 r2 r2 PROPN ejde-155 187 85 be be VERB ejde-155 187 86 real real ADJ ejde-155 187 87 numbers number NOUN ejde-155 187 88 such such ADJ ejde-155 187 89 that that SCONJ ejde-155 187 90 r r NOUN ejde-155 187 91 ≤ ≤ NUM ejde-155 187 92 r1 r1 NOUN ejde-155 187 93 < < X ejde-155 187 94 r2 r2 PROPN ejde-155 187 95 ≤ ≤ NOUN ejde-155 187 96 2r 2r NUM ejde-155 187 97 and and CCONJ ejde-155 187 98 let let VERB ejde-155 187 99 the the DET ejde-155 187 100 function function NOUN ejde-155 187 101 η η PROPN ejde-155 187 102 be be AUX ejde-155 187 103 chosen choose VERB ejde-155 187 104 so so SCONJ ejde-155 187 105 that that SCONJ ejde-155 187 106 η(z η(z PROPN ejde-155 187 107 ) ) PUNCT ejde-155 188 1 = = PUNCT ejde-155 188 2 1 1 NUM ejde-155 188 3 in in ADP ejde-155 188 4 br1 br1 PROPN ejde-155 188 5 , , PUNCT ejde-155 188 6 0 0 NUM ejde-155 188 7 ≤ ≤ NUM ejde-155 188 8 η η PROPN ejde-155 188 9 ≤ ≤ ADJ ejde-155 188 10 1 1 NUM ejde-155 188 11 in in ADP ejde-155 188 12 br2 br2 PROPN ejde-155 188 13 , , PUNCT ejde-155 188 14 η(z η(z PROPN ejde-155 188 15 ) ) PUNCT ejde-155 188 16 = = SYM ejde-155 188 17 0 0 NUM ejde-155 188 18 outside outside ADP ejde-155 188 19 br2 br2 PROPN ejde-155 188 20 , , PUNCT ejde-155 188 21 |∇λη| |∇λη| PROPN ejde-155 188 22 ≤ ≤ NUM ejde-155 188 23 c c NOUN ejde-155 188 24 r2−r1 r2−r1 NOUN ejde-155 188 25 for for ADP ejde-155 188 26 some some DET ejde-155 188 27 fixed fix VERB ejde-155 188 28 constant constant ADJ ejde-155 188 29 c. c. NOUN ejde-155 188 30 we we PRON ejde-155 188 31 have(∫ have(∫ PROPN ejde-155 188 32 br1 br1 PROPN ejde-155 188 33 ukpw ukpw PROPN ejde-155 188 34 dz dz PROPN ejde-155 188 35 ) ) PUNCT ejde-155 188 36 1 1 X ejde-155 188 37 / / SYM ejde-155 188 38 k k NOUN ejde-155 188 39 ≤ ≤ NOUN ejde-155 188 40 cw(b cw(b X ejde-155 188 41 ) ) PUNCT ejde-155 188 42 1 1 NUM ejde-155 188 43 k−1 k−1 PROPN ejde-155 188 44 1 1 NUM ejde-155 188 45 ( ( PUNCT ejde-155 188 46 r2 r2 PROPN ejde-155 188 47 − − PROPN ejde-155 188 48 r1)p r1)p NOUN ejde-155 188 49 ( ( PUNCT ejde-155 188 50 |q|p |q|p PROPN ejde-155 188 51 + + CCONJ ejde-155 188 52 2 2 NUM ejde-155 188 53 ) ) PUNCT ejde-155 188 54 ( ( PUNCT ejde-155 188 55 1 1 NUM ejde-155 188 56 + + SYM ejde-155 188 57 1 1 NUM ejde-155 188 58 |β| |β| NOUN ejde-155 188 59 ) ) PUNCT ejde-155 188 60 p p X ejde-155 188 61 × × NOUN ejde-155 188 62 [ [ PUNCT ejde-155 188 63 1 1 NUM ejde-155 188 64 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 188 65 ( ( PUNCT ejde-155 188 66 v v NOUN ejde-155 188 67 w w PROPN ejde-155 188 68 ; ; PUNCT ejde-155 188 69 |q|−p |q|−p PROPN ejde-155 188 70 ( ( PUNCT ejde-155 188 71 1 1 NUM ejde-155 188 72 + + SYM ejde-155 188 73 1 1 NUM ejde-155 188 74 |β| |β| NOUN ejde-155 188 75 ) ) PUNCT ejde-155 188 76 −p)]n+p −p)]n+p PROPN ejde-155 188 77 ∫ ∫ PROPN ejde-155 188 78 br2 br2 PROPN ejde-155 188 79 upw upw VERB ejde-155 188 80 dz dz PROPN ejde-155 188 81 . . PUNCT ejde-155 189 1 setting set VERB ejde-155 189 2 γ γ PROPN ejde-155 189 3 = = SYM ejde-155 189 4 pq pq PROPN ejde-155 189 5 = = NOUN ejde-155 189 6 p+ p+ PROPN ejde-155 189 7 β β X ejde-155 189 8 − − PROPN ejde-155 189 9 1 1 NUM ejde-155 189 10 and and CCONJ ejde-155 189 11 recalling recall VERB ejde-155 189 12 that that DET ejde-155 189 13 u(z u(z NOUN ejde-155 189 14 ) ) PUNCT ejde-155 189 15 = = SYM ejde-155 189 16 uqh(z uqh(z PROPN ejde-155 189 17 ) ) PUNCT ejde-155 189 18 , , PUNCT ejde-155 189 19 we we PRON ejde-155 189 20 obtain obtain VERB ejde-155 189 21 φ(kγ φ(kγ NOUN ejde-155 189 22 , , PUNCT ejde-155 189 23 r1 r1 PROPN ejde-155 189 24 ) ) PUNCT ejde-155 189 25 ≥ ≥ NOUN ejde-155 189 26 c1 c1 NOUN ejde-155 189 27 / / SYM ejde-155 189 28 γw(b γw(b PROPN ejde-155 189 29 ) ) PUNCT ejde-155 189 30 1 1 NUM ejde-155 189 31 γ γ X ejde-155 189 32 ( ( PUNCT ejde-155 189 33 1 1 NUM ejde-155 189 34 k−1)(|q|p k−1)(|q|p NOUN ejde-155 189 35 + + CCONJ ejde-155 189 36 2)1 2)1 NUM ejde-155 189 37 / / SYM ejde-155 189 38 γ γ PART ejde-155 189 39 × × NOUN ejde-155 189 40 [ [ PUNCT ejde-155 189 41 1 1 NUM ejde-155 189 42 φ−1 φ−1 PROPN ejde-155 189 43 ( ( PUNCT ejde-155 189 44 v v NOUN ejde-155 189 45 w w PROPN ejde-155 189 46 ; ; PUNCT ejde-155 189 47 |q|−p |q|−p PROPN ejde-155 189 48 ) ) PUNCT ejde-155 189 49 ] ] PUNCT ejde-155 189 50 n+p n+p NUM ejde-155 189 51 γ γ X ejde-155 189 52 1 1 NUM ejde-155 189 53 ( ( PUNCT ejde-155 189 54 r2 r2 PROPN ejde-155 189 55 − − PROPN ejde-155 189 56 r1)1 r1)1 PROPN ejde-155 189 57 / / SYM ejde-155 189 58 p p ADJ ejde-155 189 59 φ(γ φ(γ ADJ ejde-155 189 60 , , PUNCT ejde-155 189 61 r2 r2 PROPN ejde-155 189 62 ) ) PUNCT ejde-155 189 63 , , PUNCT ejde-155 189 64 ( ( PUNCT ejde-155 189 65 4.10 4.10 NUM ejde-155 189 66 ) ) PUNCT ejde-155 189 67 for for ADP ejde-155 189 68 negative negative ADJ ejde-155 189 69 γ γ NOUN ejde-155 189 70 . . PUNCT ejde-155 190 1 this this PRON ejde-155 190 2 is be AUX ejde-155 190 3 the the DET ejde-155 190 4 inequality inequality NOUN ejde-155 190 5 we we PRON ejde-155 190 6 are be AUX ejde-155 190 7 going go VERB ejde-155 190 8 to to PART ejde-155 190 9 iterate iterate VERB ejde-155 190 10 . . PUNCT ejde-155 191 1 if if SCONJ ejde-155 191 2 γi γi PROPN ejde-155 191 3 = = SYM ejde-155 191 4 kip0 kip0 PROPN ejde-155 191 5 and and CCONJ ejde-155 191 6 ri ri NOUN ejde-155 191 7 = = SYM ejde-155 191 8 r r NOUN ejde-155 191 9 + + NOUN ejde-155 191 10 r r NOUN ejde-155 191 11 2i 2i NOUN ejde-155 191 12 , , PUNCT ejde-155 191 13 i i PRON ejde-155 191 14 = = NOUN ejde-155 191 15 1 1 NUM ejde-155 191 16 , , PUNCT ejde-155 191 17 2 2 NUM ejde-155 191 18 , , PUNCT ejde-155 191 19 . . PUNCT ejde-155 191 20 . . PUNCT ejde-155 191 21 . . PUNCT ejde-155 192 1 iteration iteration NOUN ejde-155 192 2 of of ADP ejde-155 192 3 ( ( PUNCT ejde-155 192 4 4.10 4.10 NUM ejde-155 192 5 ) ) PUNCT ejde-155 192 6 and and CCONJ ejde-155 192 7 use use NOUN ejde-155 192 8 of of ADP ejde-155 192 9 [ [ X ejde-155 192 10 9 9 NUM ejde-155 192 11 , , PUNCT ejde-155 192 12 lemma lemma PROPN ejde-155 192 13 2.4 2.4 NUM ejde-155 192 14 ] ] PUNCT ejde-155 192 15 yield yield NOUN ejde-155 192 16 φ(−∞ φ(−∞ NOUN ejde-155 192 17 , , PUNCT ejde-155 192 18 r r NOUN ejde-155 192 19 ) ) PUNCT ejde-155 192 20 ≥ ≥ NOUN ejde-155 192 21 c(p c(p NOUN ejde-155 192 22 , , PUNCT ejde-155 192 23 a a PRON ejde-155 192 24 , , PUNCT ejde-155 192 25 φv φv PROPN ejde-155 192 26 w w PROPN ejde-155 192 27 , , PUNCT ejde-155 192 28 diam diam PROPN ejde-155 192 29 ω)ω(br ω)ω(br NUM ejde-155 192 30 ) ) PUNCT ejde-155 192 31 1 1 NUM ejde-155 192 32 p0 p0 NOUN ejde-155 192 33 φ(−p0 φ(−p0 PROPN ejde-155 192 34 , , PUNCT ejde-155 192 35 2r 2r NUM ejde-155 192 36 ) ) PUNCT ejde-155 192 37 . . PUNCT ejde-155 193 1 therefore therefore ADV ejde-155 193 2 by by ADP ejde-155 193 3 hölder hölder NOUN ejde-155 193 4 inequality inequality NOUN ejde-155 193 5 , , PUNCT ejde-155 193 6 φ(p′0 φ(p′0 CCONJ ejde-155 193 7 , , PUNCT ejde-155 193 8 2r 2r NUM ejde-155 193 9 ) ) PUNCT ejde-155 193 10 ≤ ≤ NOUN ejde-155 193 11 φ(p0 φ(p0 PROPN ejde-155 193 12 , , PUNCT ejde-155 193 13 2r)w(br 2r)w(br NUM ejde-155 193 14 ) ) PUNCT ejde-155 193 15 1 1 NUM ejde-155 193 16 p′0 p′0 NOUN ejde-155 193 17 − − PROPN ejde-155 193 18 1 1 NUM ejde-155 193 19 p0 p0 NOUN ejde-155 193 20 , , PUNCT ejde-155 193 21 p′0 p′0 VERB ejde-155 193 22 ≤ ≤ ADJ ejde-155 193 23 p0 p0 NOUN ejde-155 193 24 . . PUNCT ejde-155 194 1 so so ADV ejde-155 194 2 we we PRON ejde-155 194 3 obtain obtain VERB ejde-155 194 4 w−1(b2r)φ(1 w−1(b2r)φ(1 ADP ejde-155 194 5 , , PUNCT ejde-155 194 6 2r 2r NUM ejde-155 194 7 ) ) PUNCT ejde-155 194 8 ≤ ≤ PROPN ejde-155 195 1 cφ(−∞ cφ(−∞ PROPN ejde-155 195 2 , , PUNCT ejde-155 195 3 r r NOUN ejde-155 195 4 ) ) PUNCT ejde-155 195 5 where where SCONJ ejde-155 195 6 c c PROPN ejde-155 195 7 ≡ ≡ PROPN ejde-155 195 8 c(p c(p PROPN ejde-155 195 9 , , PUNCT ejde-155 195 10 a a PRON ejde-155 195 11 , , PUNCT ejde-155 195 12 φv φv PROPN ejde-155 195 13 w w PROPN ejde-155 195 14 , , PUNCT ejde-155 195 15 diam diam PROPN ejde-155 195 16 ω ω PROPN ejde-155 195 17 ) ) PUNCT ejde-155 195 18 and and CCONJ ejde-155 195 19 the the DET ejde-155 195 20 result result NOUN ejde-155 195 21 follows follow VERB ejde-155 195 22 . . PUNCT ejde-155 196 1 � � PROPN ejde-155 196 2 we we PRON ejde-155 196 3 obtain obtain VERB ejde-155 196 4 a a DET ejde-155 196 5 weak weak ADJ ejde-155 196 6 harnack harnack NOUN ejde-155 196 7 inequality inequality NOUN ejde-155 196 8 for for ADP ejde-155 196 9 weak weak ADJ ejde-155 196 10 subsolutions subsolution NOUN ejde-155 196 11 in in ADP ejde-155 196 12 a a DET ejde-155 196 13 similar similar ADJ ejde-155 196 14 way way NOUN ejde-155 196 15 of of ADP ejde-155 196 16 theorem theorem ADJ ejde-155 196 17 4.2 4.2 NUM ejde-155 196 18 . . PUNCT ejde-155 197 1 10 10 NUM ejde-155 197 2 g. g. PROPN ejde-155 197 3 di di PROPN ejde-155 197 4 fazio fazio PROPN ejde-155 197 5 , , PUNCT ejde-155 197 6 m. m. PROPN ejde-155 197 7 s. s. PROPN ejde-155 197 8 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 197 9 , , PUNCT ejde-155 197 10 p. p. PROPN ejde-155 197 11 zamboni zamboni PROPN ejde-155 197 12 ejde-2022/65 ejde-2022/65 PROPN ejde-155 197 13 theorem theorem VERB ejde-155 197 14 4.3 4.3 NUM ejde-155 197 15 . . PUNCT ejde-155 198 1 let let VERB ejde-155 198 2 u u PRON ejde-155 198 3 be be AUX ejde-155 198 4 a a DET ejde-155 198 5 non non ADJ ejde-155 198 6 negative negative ADJ ejde-155 198 7 weak weak ADJ ejde-155 198 8 subsolution subsolution NOUN ejde-155 198 9 of of ADP ejde-155 198 10 equation equation NOUN ejde-155 198 11 ( ( PUNCT ejde-155 198 12 4.1 4.1 NUM ejde-155 198 13 ) ) PUNCT ejde-155 198 14 in in ADP ejde-155 198 15 ω ω PROPN ejde-155 198 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 198 17 ( ( PUNCT ejde-155 198 18 4.3 4.3 NUM ejde-155 198 19 ) ) PUNCT ejde-155 198 20 and and CCONJ ejde-155 198 21 ( ( PUNCT ejde-155 198 22 4.4 4.4 NUM ejde-155 198 23 ) ) PUNCT ejde-155 198 24 . . PUNCT ejde-155 199 1 let let VERB ejde-155 199 2 br br PRON ejde-155 199 3 be be AUX ejde-155 199 4 a a DET ejde-155 199 5 ball ball NOUN ejde-155 199 6 such such ADJ ejde-155 199 7 that that DET ejde-155 199 8 b3r b3r PROPN ejde-155 199 9 b b PROPN ejde-155 199 10 ω ω PROPN ejde-155 199 11 and and CCONJ ejde-155 199 12 let let VERB ejde-155 199 13 m m PRON ejde-155 199 14 be be AUX ejde-155 199 15 a a DET ejde-155 199 16 constant constant ADJ ejde-155 199 17 such such ADJ ejde-155 199 18 that that SCONJ ejde-155 199 19 u u PROPN ejde-155 199 20 ≤m ≤m NOUN ejde-155 199 21 in in ADP ejde-155 199 22 b3r b3r PROPN ejde-155 199 23 . . PUNCT ejde-155 200 1 then then ADV ejde-155 200 2 there there PRON ejde-155 200 3 exists exist VERB ejde-155 200 4 c c NOUN ejde-155 200 5 depending depend VERB ejde-155 200 6 on on ADP ejde-155 200 7 n n CCONJ ejde-155 200 8 , , PUNCT ejde-155 200 9 m m PRON ejde-155 200 10 , , PUNCT ejde-155 200 11 a a DET ejde-155 200 12 , , PUNCT ejde-155 200 13 b0 b0 NOUN ejde-155 200 14 , , PUNCT ejde-155 200 15 p p NOUN ejde-155 200 16 and and CCONJ ejde-155 200 17 the the DET ejde-155 200 18 weight weight NOUN ejde-155 200 19 v v ADP ejde-155 200 20 such such ADJ ejde-155 200 21 that that DET ejde-155 200 22 sup sup NOUN ejde-155 200 23 br br NOUN ejde-155 200 24 u u NOUN ejde-155 200 25 ≤ ≤ PROPN ejde-155 200 26 c c PROPN ejde-155 200 27 { { PUNCT ejde-155 200 28 w−1(b2r w−1(b2r INTJ ejde-155 200 29 ) ) PUNCT ejde-155 200 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 201 1 b2r b2r PROPN ejde-155 201 2 uwdz uwdz PROPN ejde-155 201 3 + + NUM ejde-155 201 4 h(r h(r NOUN ejde-155 201 5 ) ) PUNCT ejde-155 201 6 } } PUNCT ejde-155 201 7 where where SCONJ ejde-155 201 8 h(r h(r NOUN ejde-155 201 9 ) ) PUNCT ejde-155 201 10 = = PUNCT ejde-155 202 1 [ [ PUNCT ejde-155 202 2 φ φ X ejde-155 202 3 ( ( PUNCT ejde-155 202 4 ( ( PUNCT ejde-155 202 5 e e NOUN ejde-155 202 6 w w NOUN ejde-155 202 7 ) ) PUNCT ejde-155 202 8 p p PROPN ejde-155 202 9 p−1 p−1 PROPN ejde-155 202 10 ; ; PUNCT ejde-155 202 11 3r 3r NUM ejde-155 202 12 ) ) PUNCT ejde-155 203 1 + + CCONJ ejde-155 203 2 φ φ PROPN ejde-155 203 3 ( ( PUNCT ejde-155 203 4 g g PROPN ejde-155 203 5 w w PROPN ejde-155 203 6 ; ; PUNCT ejde-155 203 7 3r 3r NUM ejde-155 203 8 ) ) PUNCT ejde-155 203 9 ] ] SYM ejde-155 203 10 1 1 X ejde-155 203 11 / / SYM ejde-155 203 12 p p X ejde-155 204 1 + + X ejde-155 204 2 [ [ PUNCT ejde-155 204 3 φ φ X ejde-155 204 4 ( ( PUNCT ejde-155 204 5 f f PROPN ejde-155 204 6 w w PROPN ejde-155 204 7 ; ; PUNCT ejde-155 204 8 3r 3r NUM ejde-155 204 9 ) ) PUNCT ejde-155 204 10 ] ] PUNCT ejde-155 204 11 1 1 NUM ejde-155 204 12 p−1 p−1 PROPN ejde-155 204 13 . . PUNCT ejde-155 205 1 if if SCONJ ejde-155 205 2 we we PRON ejde-155 205 3 take take VERB ejde-155 205 4 a a DET ejde-155 205 5 non non ADJ ejde-155 205 6 negative negative ADJ ejde-155 205 7 weak weak ADJ ejde-155 205 8 solution solution NOUN ejde-155 205 9 , , PUNCT ejde-155 205 10 we we PRON ejde-155 205 11 can can AUX ejde-155 205 12 put put VERB ejde-155 205 13 together together ADV ejde-155 205 14 the the DET ejde-155 205 15 two two NUM ejde-155 205 16 previous previous ADJ ejde-155 205 17 results result NOUN ejde-155 205 18 . . PUNCT ejde-155 206 1 theorem theorem VERB ejde-155 206 2 4.4 4.4 NUM ejde-155 206 3 . . PUNCT ejde-155 207 1 let let VERB ejde-155 207 2 u u PRON ejde-155 207 3 be be AUX ejde-155 207 4 a a DET ejde-155 207 5 non non ADJ ejde-155 207 6 negative negative ADJ ejde-155 207 7 weak weak ADJ ejde-155 207 8 solution solution NOUN ejde-155 207 9 of of ADP ejde-155 207 10 equation equation NOUN ejde-155 207 11 ( ( PUNCT ejde-155 207 12 4.1 4.1 NUM ejde-155 207 13 ) ) PUNCT ejde-155 207 14 in in ADP ejde-155 207 15 ω ω PROPN ejde-155 207 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 207 17 ( ( PUNCT ejde-155 207 18 4.3 4.3 NUM ejde-155 207 19 ) ) PUNCT ejde-155 207 20 and and CCONJ ejde-155 207 21 ( ( PUNCT ejde-155 207 22 4.4 4.4 NUM ejde-155 207 23 ) ) PUNCT ejde-155 207 24 . . PUNCT ejde-155 208 1 let let VERB ejde-155 208 2 br br PRON ejde-155 208 3 be be AUX ejde-155 208 4 a a DET ejde-155 208 5 ball ball NOUN ejde-155 208 6 such such ADJ ejde-155 208 7 that that DET ejde-155 208 8 b3r b3r PROPN ejde-155 208 9 b b PROPN ejde-155 208 10 ω ω PROPN ejde-155 208 11 and and CCONJ ejde-155 208 12 let let VERB ejde-155 208 13 m m PRON ejde-155 208 14 be be AUX ejde-155 208 15 a a DET ejde-155 208 16 constant constant ADJ ejde-155 208 17 such such ADJ ejde-155 208 18 that that SCONJ ejde-155 208 19 u u PROPN ejde-155 208 20 ≤ ≤ X ejde-155 208 21 m m VERB ejde-155 208 22 in in ADP ejde-155 208 23 b3r b3r PROPN ejde-155 208 24 . . PUNCT ejde-155 209 1 then then ADV ejde-155 209 2 there there PRON ejde-155 209 3 exists exist VERB ejde-155 209 4 c c NOUN ejde-155 209 5 depending depend VERB ejde-155 209 6 on on ADP ejde-155 209 7 n n CCONJ ejde-155 209 8 , , PUNCT ejde-155 209 9 m m PRON ejde-155 209 10 , , PUNCT ejde-155 209 11 a a DET ejde-155 209 12 , , PUNCT ejde-155 209 13 b0 b0 NOUN ejde-155 209 14 , , PUNCT ejde-155 209 15 p p NOUN ejde-155 209 16 and and CCONJ ejde-155 209 17 the the DET ejde-155 209 18 weight weight NOUN ejde-155 209 19 v v ADP ejde-155 209 20 such such ADJ ejde-155 209 21 that that DET ejde-155 209 22 sup sup NOUN ejde-155 209 23 br br NOUN ejde-155 209 24 u u NOUN ejde-155 209 25 ≤ ≤ PROPN ejde-155 209 26 c c X ejde-155 209 27 { { PUNCT ejde-155 209 28 inf inf PROPN ejde-155 209 29 br br PROPN ejde-155 209 30 u+ u+ PROPN ejde-155 209 31 h(r h(r NOUN ejde-155 209 32 ) ) PUNCT ejde-155 209 33 } } PUNCT ejde-155 209 34 , , PUNCT ejde-155 209 35 where where SCONJ ejde-155 209 36 h(r h(r NOUN ejde-155 209 37 ) ) PUNCT ejde-155 209 38 = = PUNCT ejde-155 210 1 [ [ PUNCT ejde-155 210 2 φ φ X ejde-155 210 3 ( ( PUNCT ejde-155 210 4 ( ( PUNCT ejde-155 210 5 e e NOUN ejde-155 210 6 w w NOUN ejde-155 210 7 ) ) PUNCT ejde-155 210 8 p p PROPN ejde-155 210 9 p−1 p−1 PROPN ejde-155 210 10 ; ; PUNCT ejde-155 210 11 3r 3r NUM ejde-155 210 12 ) ) PUNCT ejde-155 211 1 + + CCONJ ejde-155 211 2 φ φ PROPN ejde-155 211 3 ( ( PUNCT ejde-155 211 4 g g PROPN ejde-155 211 5 w w PROPN ejde-155 211 6 ; ; PUNCT ejde-155 211 7 3r 3r NUM ejde-155 211 8 ) ) PUNCT ejde-155 211 9 ] ] SYM ejde-155 211 10 1 1 X ejde-155 211 11 / / SYM ejde-155 211 12 p p X ejde-155 212 1 + + X ejde-155 212 2 [ [ PUNCT ejde-155 212 3 φ φ X ejde-155 212 4 ( ( PUNCT ejde-155 212 5 f f PROPN ejde-155 212 6 w w PROPN ejde-155 212 7 ; ; PUNCT ejde-155 212 8 3r 3r NUM ejde-155 212 9 ) ) PUNCT ejde-155 212 10 ] ] PUNCT ejde-155 212 11 1 1 NUM ejde-155 212 12 p−1 p−1 PROPN ejde-155 212 13 . . PUNCT ejde-155 213 1 now now ADV ejde-155 213 2 , , PUNCT ejde-155 213 3 as as ADP ejde-155 213 4 a a DET ejde-155 213 5 simple simple ADJ ejde-155 213 6 consequence consequence NOUN ejde-155 213 7 of of ADP ejde-155 213 8 harnack harnack PROPN ejde-155 213 9 inequality inequality NOUN ejde-155 213 10 , , PUNCT ejde-155 213 11 we we PRON ejde-155 213 12 obtain obtain VERB ejde-155 213 13 some some DET ejde-155 213 14 regularity regularity NOUN ejde-155 213 15 results result NOUN ejde-155 213 16 for for ADP ejde-155 213 17 weak weak ADJ ejde-155 213 18 solutions solution NOUN ejde-155 213 19 of of ADP ejde-155 213 20 ( ( PUNCT ejde-155 213 21 4.1 4.1 NUM ejde-155 213 22 ) ) PUNCT ejde-155 213 23 . . PUNCT ejde-155 214 1 the the DET ejde-155 214 2 proof proof NOUN ejde-155 214 3 is be AUX ejde-155 214 4 an an DET ejde-155 214 5 immediate immediate ADJ ejde-155 214 6 consequence consequence NOUN ejde-155 214 7 of of ADP ejde-155 214 8 harnack harnack PROPN ejde-155 214 9 inequality inequality NOUN ejde-155 214 10 so so SCONJ ejde-155 214 11 we we PRON ejde-155 214 12 omit omit VERB ejde-155 214 13 it it PRON ejde-155 214 14 . . PUNCT ejde-155 215 1 theorem theorem VERB ejde-155 215 2 4.5 4.5 NUM ejde-155 215 3 . . PUNCT ejde-155 216 1 let let VERB ejde-155 216 2 u u PRON ejde-155 216 3 be be AUX ejde-155 216 4 a a DET ejde-155 216 5 locally locally ADV ejde-155 216 6 bounded bound VERB ejde-155 216 7 weak weak ADJ ejde-155 216 8 solution solution NOUN ejde-155 216 9 of of ADP ejde-155 216 10 equation equation NOUN ejde-155 216 11 ( ( PUNCT ejde-155 216 12 4.1 4.1 NUM ejde-155 216 13 ) ) PUNCT ejde-155 216 14 in in ADP ejde-155 216 15 ω ω PROPN ejde-155 216 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 216 17 ( ( PUNCT ejde-155 216 18 4.3 4.3 NUM ejde-155 216 19 ) ) PUNCT ejde-155 216 20 and and CCONJ ejde-155 216 21 ( ( PUNCT ejde-155 216 22 4.4 4.4 NUM ejde-155 216 23 ) ) PUNCT ejde-155 216 24 . . PUNCT ejde-155 217 1 then then ADV ejde-155 217 2 u u PRON ejde-155 217 3 is be AUX ejde-155 217 4 continuous continuous ADJ ejde-155 217 5 in in ADP ejde-155 217 6 ω ω NUM ejde-155 217 7 . . PUNCT ejde-155 218 1 if if SCONJ ejde-155 218 2 we we PRON ejde-155 218 3 assume assume VERB ejde-155 218 4 more more ADV ejde-155 218 5 restrictive restrictive ADJ ejde-155 218 6 assumptions assumption NOUN ejde-155 218 7 on on ADP ejde-155 218 8 the the DET ejde-155 218 9 lower low ADJ ejde-155 218 10 order order NOUN ejde-155 218 11 terms term NOUN ejde-155 218 12 we we PRON ejde-155 218 13 obtain obtain VERB ejde-155 218 14 the the DET ejde-155 218 15 following follow VERB ejde-155 218 16 refinement refinement NOUN ejde-155 218 17 of of ADP ejde-155 218 18 the the DET ejde-155 218 19 previous previous ADJ ejde-155 218 20 one one NUM ejde-155 218 21 . . PUNCT ejde-155 219 1 theorem theorem VERB ejde-155 219 2 4.6 4.6 NUM ejde-155 219 3 . . PUNCT ejde-155 220 1 let let VERB ejde-155 220 2 u u PRON ejde-155 220 3 be be AUX ejde-155 220 4 a a DET ejde-155 220 5 locally locally ADV ejde-155 220 6 bounded bound VERB ejde-155 220 7 weak weak ADJ ejde-155 220 8 solution solution NOUN ejde-155 220 9 of of ADP ejde-155 220 10 equation equation NOUN ejde-155 220 11 ( ( PUNCT ejde-155 220 12 4.1 4.1 NUM ejde-155 220 13 ) ) PUNCT ejde-155 220 14 in in ADP ejde-155 220 15 ω ω PROPN ejde-155 220 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 220 17 ( ( PUNCT ejde-155 220 18 4.3 4.3 NUM ejde-155 220 19 ) ) PUNCT ejde-155 220 20 and and CCONJ ejde-155 220 21 a a DET ejde-155 220 22 , , PUNCT ejde-155 220 23 b0 b0 NOUN ejde-155 220 24 ∈ ∈ PROPN ejde-155 220 25 r r NOUN ejde-155 220 26 , , PUNCT ejde-155 220 27 ( ( PUNCT ejde-155 220 28 b b X ejde-155 220 29 w w NOUN ejde-155 220 30 ) ) PUNCT ejde-155 220 31 p p PROPN ejde-155 220 32 p−1 p−1 PROPN ejde-155 220 33 , , PUNCT ejde-155 220 34 ( ( PUNCT ejde-155 220 35 b1 b1 NOUN ejde-155 220 36 w w PROPN ejde-155 220 37 ) ) PUNCT ejde-155 220 38 p p NOUN ejde-155 220 39 , , PUNCT ejde-155 220 40 d d X ejde-155 220 41 w w PROPN ejde-155 220 42 , , PUNCT ejde-155 220 43 d1 d1 PROPN ejde-155 220 44 w w PROPN ejde-155 220 45 , , PUNCT ejde-155 220 46 ( ( PUNCT ejde-155 220 47 e e NOUN ejde-155 220 48 w w PROPN ejde-155 220 49 ) ) PUNCT ejde-155 220 50 p p PROPN ejde-155 220 51 p−1 p−1 PROPN ejde-155 220 52 , , PUNCT ejde-155 220 53 f f PROPN ejde-155 220 54 w w PROPN ejde-155 220 55 , , PUNCT ejde-155 220 56 g g PROPN ejde-155 220 57 w w PROPN ejde-155 220 58 ∈ ∈ PROPN ejde-155 220 59 l1,σ l1,σ PROPN ejde-155 220 60 v v PROPN ejde-155 220 61 ( ( PUNCT ejde-155 220 62 ω ω NOUN ejde-155 220 63 ) ) PUNCT ejde-155 220 64 , , PUNCT ejde-155 220 65 σ σ X ejde-155 220 66 > > X ejde-155 220 67 0 0 PUNCT ejde-155 220 68 . . PUNCT ejde-155 221 1 then then ADV ejde-155 221 2 u u PRON ejde-155 221 3 is be AUX ejde-155 221 4 locally locally ADV ejde-155 221 5 hölder hölder NOUN ejde-155 221 6 continuous continuous ADJ ejde-155 221 7 in in ADP ejde-155 221 8 ω ω PROPN ejde-155 221 9 . . PROPN ejde-155 221 10 5 5 NUM ejde-155 221 11 . . PUNCT ejde-155 221 12 boundary boundary ADJ ejde-155 221 13 harnack harnack PROPN ejde-155 221 14 inequality inequality NOUN ejde-155 221 15 our our PRON ejde-155 221 16 next next ADJ ejde-155 221 17 step step NOUN ejde-155 221 18 is be AUX ejde-155 221 19 to to PART ejde-155 221 20 show show VERB ejde-155 221 21 a a DET ejde-155 221 22 harnack harnack NOUN ejde-155 221 23 inequality inequality NOUN ejde-155 221 24 near near ADP ejde-155 221 25 the the DET ejde-155 221 26 boundary boundary NOUN ejde-155 221 27 of of ADP ejde-155 221 28 ω ω PROPN ejde-155 221 29 for for ADP ejde-155 221 30 weak weak ADJ ejde-155 221 31 supersolutions supersolution NOUN ejde-155 221 32 and and CCONJ ejde-155 221 33 subsolutions subsolution NOUN ejde-155 221 34 to to ADP ejde-155 221 35 the the DET ejde-155 221 36 equation equation NOUN ejde-155 221 37 diva(z diva(z NOUN ejde-155 221 38 , , PUNCT ejde-155 221 39 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 221 40 ) ) PUNCT ejde-155 222 1 + + NOUN ejde-155 222 2 b(z b(z NOUN ejde-155 222 3 , , PUNCT ejde-155 222 4 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 222 5 ) ) PUNCT ejde-155 222 6 = = SYM ejde-155 222 7 0 0 NUM ejde-155 222 8 , , PUNCT ejde-155 222 9 ( ( PUNCT ejde-155 222 10 5.1 5.1 NUM ejde-155 222 11 ) ) PUNCT ejde-155 222 12 with with ADP ejde-155 222 13 the the DET ejde-155 222 14 structural structural ADJ ejde-155 222 15 conditions condition NOUN ejde-155 222 16 |a(z |a(z PROPN ejde-155 222 17 , , PUNCT ejde-155 222 18 u u NOUN ejde-155 222 19 , , PUNCT ejde-155 222 20 ξ)| ξ)| ADJ ejde-155 222 21 ≤ ≤ NUM ejde-155 222 22 aw(z)[|ξx|2 aw(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 223 1 + + SYM ejde-155 223 2 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 223 3 ] ] X ejde-155 223 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 223 5 2 2 NUM ejde-155 223 6 + + CCONJ ejde-155 223 7 b(z)|u|p−1 b(z)|u|p−1 PROPN ejde-155 223 8 + + CCONJ ejde-155 223 9 e(z e(z PROPN ejde-155 223 10 ) ) PUNCT ejde-155 223 11 |b(z |b(z PROPN ejde-155 223 12 , , PUNCT ejde-155 223 13 u u NOUN ejde-155 223 14 , , PUNCT ejde-155 223 15 ξ)| ξ)| VERB ejde-155 223 16 ≤ ≤ ADJ ejde-155 223 17 b0w(z)[|ξx|2 b0w(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 223 18 + + CCONJ ejde-155 223 19 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 NOUN ejde-155 223 20 + + CCONJ ejde-155 223 21 b1(z)[|ξx|2 b1(z)[|ξx|2 NOUN ejde-155 223 22 + + PUNCT ejde-155 223 23 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 X ejde-155 223 24 ] ] X ejde-155 223 25 p−1 p−1 PROPN ejde-155 223 26 2 2 NUM ejde-155 223 27 + + CCONJ ejde-155 223 28 d(z)|u|p−1 d(z)|u|p−1 NOUN ejde-155 223 29 + + CCONJ ejde-155 223 30 f(z f(z NOUN ejde-155 223 31 ) ) PUNCT ejde-155 223 32 ξ ξ X ejde-155 223 33 · · PUNCT ejde-155 223 34 a(z a(z PROPN ejde-155 223 35 , , PUNCT ejde-155 223 36 u u NOUN ejde-155 223 37 , , PUNCT ejde-155 223 38 ξ ξ NOUN ejde-155 223 39 ) ) PUNCT ejde-155 223 40 ≥ ≥ NOUN ejde-155 223 41 w(z)[|ξx|2 w(z)[|ξx|2 ADJ ejde-155 224 1 + + CCONJ ejde-155 224 2 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 ADJ ejde-155 224 3 − − PRON ejde-155 224 4 d1(z)|u|p d1(z)|u|p NOUN ejde-155 224 5 − − NOUN ejde-155 224 6 g(z g(z PROPN ejde-155 224 7 ) ) PUNCT ejde-155 224 8 ( ( PUNCT ejde-155 224 9 5.2 5.2 NUM ejde-155 224 10 ) ) PUNCT ejde-155 224 11 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 224 12 boundary boundary ADJ ejde-155 224 13 regularity regularity NOUN ejde-155 224 14 for for ADP ejde-155 224 15 strongly strongly ADV ejde-155 224 16 degenerate degenerate ADJ ejde-155 224 17 operators operator NOUN ejde-155 224 18 11 11 NUM ejde-155 224 19 where where SCONJ ejde-155 224 20 1 1 NUM ejde-155 224 21 < < X ejde-155 224 22 p p X ejde-155 224 23 < < X ejde-155 224 24 n n PROPN ejde-155 224 25 , , PUNCT ejde-155 224 26 w w PROPN ejde-155 224 27 = = PUNCT ejde-155 224 28 v1− v1− PROPN ejde-155 224 29 p p NOUN ejde-155 224 30 n n PROPN ejde-155 224 31 and and CCONJ ejde-155 224 32 v v NOUN ejde-155 224 33 is be AUX ejde-155 224 34 a a DET ejde-155 224 35 strong strong ADJ ejde-155 224 36 a∞ a∞ PROPN ejde-155 224 37 weight weight NOUN ejde-155 224 38 and and CCONJ ejde-155 224 39 a a DET ejde-155 224 40 , , PUNCT ejde-155 224 41 b0 b0 NOUN ejde-155 224 42 ∈ ∈ PROPN ejde-155 224 43 r r NOUN ejde-155 224 44 , , PUNCT ejde-155 224 45 ( ( PUNCT ejde-155 224 46 b b X ejde-155 224 47 w w NOUN ejde-155 224 48 ) ) PUNCT ejde-155 224 49 p p PROPN ejde-155 224 50 p−1 p−1 PROPN ejde-155 224 51 , , PUNCT ejde-155 224 52 ( ( PUNCT ejde-155 224 53 b1 b1 NOUN ejde-155 224 54 w w PROPN ejde-155 224 55 ) ) PUNCT ejde-155 224 56 p p NOUN ejde-155 224 57 , , PUNCT ejde-155 224 58 d d X ejde-155 224 59 w w PROPN ejde-155 224 60 , , PUNCT ejde-155 224 61 d1 d1 PROPN ejde-155 224 62 w w PROPN ejde-155 224 63 , , PUNCT ejde-155 224 64 ( ( PUNCT ejde-155 224 65 e e NOUN ejde-155 224 66 w w PROPN ejde-155 224 67 ) ) PUNCT ejde-155 224 68 p p PROPN ejde-155 224 69 p−1 p−1 PROPN ejde-155 224 70 , , PUNCT ejde-155 224 71 f f PROPN ejde-155 224 72 w w PROPN ejde-155 224 73 , , PUNCT ejde-155 224 74 g g PROPN ejde-155 224 75 w w PROPN ejde-155 224 76 ∈ ∈ PROPN ejde-155 224 77 s′v(ω s′v(ω NOUN ejde-155 224 78 ) ) PUNCT ejde-155 224 79 . . PUNCT ejde-155 225 1 ( ( PUNCT ejde-155 225 2 5.3 5.3 NUM ejde-155 225 3 ) ) PUNCT ejde-155 225 4 let let VERB ejde-155 225 5 s s PRON ejde-155 225 6 be be AUX ejde-155 225 7 a a DET ejde-155 225 8 subset subset NOUN ejde-155 225 9 of of ADP ejde-155 225 10 ∂ω ∂ω ADJ ejde-155 225 11 and and CCONJ ejde-155 225 12 u u NOUN ejde-155 225 13 be be VERB ejde-155 225 14 a a DET ejde-155 225 15 function function NOUN ejde-155 225 16 on on ADP ejde-155 225 17 ω ω NUM ejde-155 225 18 . . PUNCT ejde-155 226 1 we we PRON ejde-155 226 2 say say VERB ejde-155 226 3 that that SCONJ ejde-155 226 4 u u PROPN ejde-155 226 5 ≤ ≤ VERB ejde-155 226 6 m m VERB ejde-155 226 7 on on ADP ejde-155 226 8 s s PRON ejde-155 226 9 if if SCONJ ejde-155 226 10 for for ADP ejde-155 226 11 all all DET ejde-155 226 12 ε ε PROPN ejde-155 226 13 > > X ejde-155 226 14 0 0 PUNCT ejde-155 227 1 there there PRON ejde-155 227 2 exists exist VERB ejde-155 227 3 a a DET ejde-155 227 4 neighborhood neighborhood NOUN ejde-155 227 5 n n NOUN ejde-155 227 6 of of ADP ejde-155 227 7 s s PRON ejde-155 227 8 such such ADJ ejde-155 227 9 that that SCONJ ejde-155 227 10 u(x u(x NOUN ejde-155 227 11 ) ) PUNCT ejde-155 227 12 ≤ ≤ NUM ejde-155 227 13 m m VERB ejde-155 227 14 + + X ejde-155 227 15 ε ε PROPN ejde-155 227 16 for for ADP ejde-155 227 17 a.e a.e PROPN ejde-155 227 18 . . PUNCT ejde-155 227 19 x x SYM ejde-155 227 20 ∈ ∈ PROPN ejde-155 227 21 n n PRON ejde-155 227 22 ∩ ∩ X ejde-155 227 23 ω ω NOUN ejde-155 227 24 . . PUNCT ejde-155 228 1 in in ADP ejde-155 228 2 this this DET ejde-155 228 3 way way NOUN ejde-155 228 4 we we PRON ejde-155 228 5 can can AUX ejde-155 228 6 define define VERB ejde-155 228 7 infs infs PROPN ejde-155 228 8 u u PROPN ejde-155 228 9 , , PUNCT ejde-155 228 10 sups sups NOUN ejde-155 228 11 u u NOUN ejde-155 228 12 and and CCONJ ejde-155 228 13 oscs osc NOUN ejde-155 228 14 u. u. VERB ejde-155 228 15 now now ADV ejde-155 228 16 , , PUNCT ejde-155 228 17 let let VERB ejde-155 228 18 br br PRON ejde-155 228 19 be be AUX ejde-155 228 20 a a DET ejde-155 228 21 ball ball NOUN ejde-155 228 22 centered center VERB ejde-155 228 23 at at ADP ejde-155 228 24 x0 x0 PROPN ejde-155 228 25 ∈ ∈ PROPN ejde-155 228 26 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 228 27 and and CCONJ ejde-155 228 28 u u NOUN ejde-155 228 29 ∈ ∈ PROPN ejde-155 228 30 h1,p h1,p PROPN ejde-155 228 31 v v X ejde-155 228 32 ( ( PUNCT ejde-155 228 33 ω ω PROPN ejde-155 228 34 ∩b4r ∩b4r PROPN ejde-155 228 35 , , PUNCT ejde-155 228 36 w w NOUN ejde-155 228 37 ) ) PUNCT ejde-155 228 38 we we PRON ejde-155 228 39 set set VERB ejde-155 228 40 ũ(x ũ(x PROPN ejde-155 228 41 ) ) PUNCT ejde-155 228 42 = = SYM ejde-155 228 43 { { PUNCT ejde-155 228 44 min{u min{u PROPN ejde-155 228 45 , , PUNCT ejde-155 228 46 m m VERB ejde-155 228 47 } } PUNCT ejde-155 228 48 if if SCONJ ejde-155 228 49 x x PROPN ejde-155 228 50 ∈ ∈ NOUN ejde-155 228 51 ω ω NOUN ejde-155 228 52 ∩b4r ∩b4r NOUN ejde-155 228 53 m m NOUN ejde-155 228 54 if if SCONJ ejde-155 228 55 x x PROPN ejde-155 228 56 ∈ ∈ PROPN ejde-155 228 57 rn rn PROPN ejde-155 228 58 \ \ PROPN ejde-155 228 59 ( ( PUNCT ejde-155 228 60 ω ω NOUN ejde-155 228 61 ∩b4r ∩b4r NOUN ejde-155 228 62 ) ) PUNCT ejde-155 228 63 where where SCONJ ejde-155 228 64 m m VERB ejde-155 228 65 = = VERB ejde-155 228 66 inf∂ω∩b4r inf∂ω∩b4r PROPN ejde-155 228 67 u. u. PROPN ejde-155 228 68 moreover moreover ADV ejde-155 228 69 , , PUNCT ejde-155 228 70 we we PRON ejde-155 228 71 define define VERB ejde-155 228 72 b b NOUN ejde-155 228 73 = = SYM ejde-155 228 74 0 0 NUM ejde-155 228 75 , , PUNCT ejde-155 228 76 d d NOUN ejde-155 228 77 = = SYM ejde-155 228 78 0 0 NUM ejde-155 228 79 , , PUNCT ejde-155 228 80 d1 d1 PROPN ejde-155 228 81 = = SYM ejde-155 228 82 0 0 NUM ejde-155 228 83 , , PUNCT ejde-155 228 84 e e X ejde-155 228 85 = = SYM ejde-155 228 86 0 0 NUM ejde-155 228 87 , , PUNCT ejde-155 228 88 f f PROPN ejde-155 228 89 = = SYM ejde-155 228 90 0 0 PROPN ejde-155 228 91 , , PUNCT ejde-155 228 92 g g NOUN ejde-155 228 93 = = SYM ejde-155 228 94 0 0 PROPN ejde-155 228 95 outside outside ADP ejde-155 228 96 ω ω PROPN ejde-155 228 97 . . PUNCT ejde-155 229 1 theorem theorem VERB ejde-155 229 2 5.1 5.1 NUM ejde-155 229 3 . . PUNCT ejde-155 230 1 let let VERB ejde-155 230 2 u u PRON ejde-155 230 3 ∈ ∈ PROPN ejde-155 230 4 h1,p h1,p PROPN ejde-155 230 5 v v X ejde-155 230 6 ( ( PUNCT ejde-155 230 7 ω ω PROPN ejde-155 230 8 ∩ ∩ X ejde-155 230 9 b4r b4r X ejde-155 230 10 ) ) PUNCT ejde-155 230 11 be be AUX ejde-155 230 12 a a DET ejde-155 230 13 weak weak ADJ ejde-155 230 14 non non ADJ ejde-155 230 15 negative negative ADJ ejde-155 230 16 supersolution supersolution NOUN ejde-155 230 17 of of ADP ejde-155 230 18 ( ( PUNCT ejde-155 230 19 5.1 5.1 NUM ejde-155 230 20 ) ) PUNCT ejde-155 230 21 in in ADP ejde-155 230 22 ω ω PROPN ejde-155 230 23 ∩ ∩ X ejde-155 230 24 b4r b4r PROPN ejde-155 230 25 . . PUNCT ejde-155 231 1 assume assume VERB ejde-155 231 2 ( ( PUNCT ejde-155 231 3 5.2 5.2 NUM ejde-155 231 4 ) ) PUNCT ejde-155 231 5 and and CCONJ ejde-155 231 6 ( ( PUNCT ejde-155 231 7 5.3 5.3 NUM ejde-155 231 8 ) ) PUNCT ejde-155 231 9 . . PUNCT ejde-155 232 1 let let VERB ejde-155 232 2 m m PRON ejde-155 232 3 be be AUX ejde-155 232 4 a a DET ejde-155 232 5 constant constant ADJ ejde-155 232 6 such such ADJ ejde-155 232 7 that that SCONJ ejde-155 232 8 u u PROPN ejde-155 232 9 ≤ ≤ X ejde-155 232 10 m m VERB ejde-155 232 11 on on ADP ejde-155 232 12 ω∩b4r ω∩b4r NUM ejde-155 232 13 . . PUNCT ejde-155 233 1 then then ADV ejde-155 233 2 there there PRON ejde-155 233 3 exists exist VERB ejde-155 233 4 c c NOUN ejde-155 233 5 depending depend VERB ejde-155 233 6 on on ADP ejde-155 233 7 n n CCONJ ejde-155 233 8 , , PUNCT ejde-155 233 9 m m PRON ejde-155 233 10 , , PUNCT ejde-155 233 11 a a DET ejde-155 233 12 , , PUNCT ejde-155 233 13 b0 b0 NOUN ejde-155 233 14 , , PUNCT ejde-155 233 15 p p NOUN ejde-155 233 16 and and CCONJ ejde-155 233 17 the the DET ejde-155 233 18 weight weight NOUN ejde-155 233 19 v v ADP ejde-155 233 20 such such ADJ ejde-155 233 21 that that PRON ejde-155 233 22 w−1(b2r w−1(b2r NOUN ejde-155 233 23 ) ) PUNCT ejde-155 233 24 ∫ ∫ PROPN ejde-155 234 1 b2r b2r PROPN ejde-155 234 2 ũ ũ PROPN ejde-155 234 3 wdz wdz VERB ejde-155 234 4 ≤ ≤ PUNCT ejde-155 234 5 c c PROPN ejde-155 234 6 { { PUNCT ejde-155 234 7 inf inf PROPN ejde-155 234 8 br br NOUN ejde-155 234 9 ũ+ ũ+ PROPN ejde-155 234 10 φ1 φ1 PROPN ejde-155 234 11 / / SYM ejde-155 234 12 p p X ejde-155 235 1 [ [ X ejde-155 235 2 ( ( PUNCT ejde-155 235 3 e e NOUN ejde-155 235 4 w w NOUN ejde-155 235 5 ) ) PUNCT ejde-155 235 6 p p PROPN ejde-155 235 7 p−1 p−1 PROPN ejde-155 235 8 ; ; PUNCT ejde-155 235 9 r r X ejde-155 235 10 ] ] PUNCT ejde-155 236 1 + + CCONJ ejde-155 236 2 φ φ PROPN ejde-155 236 3 1 1 NUM ejde-155 236 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 236 5 ( ( PUNCT ejde-155 236 6 f f PROPN ejde-155 236 7 w w PROPN ejde-155 236 8 ; ; PUNCT ejde-155 236 9 r r X ejde-155 236 10 ) ) PUNCT ejde-155 237 1 + + CCONJ ejde-155 237 2 φ1 φ1 PROPN ejde-155 237 3 / / SYM ejde-155 237 4 p p NOUN ejde-155 237 5 ( ( PUNCT ejde-155 237 6 g g PROPN ejde-155 237 7 w w PROPN ejde-155 237 8 ; ; PUNCT ejde-155 237 9 r r NOUN ejde-155 237 10 ) ) PUNCT ejde-155 237 11 } } PUNCT ejde-155 237 12 . . PUNCT ejde-155 238 1 ( ( PUNCT ejde-155 238 2 5.4 5.4 NUM ejde-155 238 3 ) ) PUNCT ejde-155 238 4 proof proof NOUN ejde-155 238 5 . . PUNCT ejde-155 239 1 set set VERB ejde-155 239 2 h h NOUN ejde-155 239 3 = = SYM ejde-155 239 4 φ1 φ1 PROPN ejde-155 239 5 / / SYM ejde-155 239 6 p p X ejde-155 240 1 [ [ X ejde-155 240 2 ( ( PUNCT ejde-155 240 3 e e NOUN ejde-155 240 4 w w NOUN ejde-155 240 5 ) ) PUNCT ejde-155 240 6 p p PROPN ejde-155 240 7 p−1 p−1 PROPN ejde-155 240 8 ; ; PUNCT ejde-155 240 9 r r X ejde-155 240 10 ] ] PUNCT ejde-155 241 1 + + CCONJ ejde-155 241 2 φ φ PROPN ejde-155 241 3 1 1 NUM ejde-155 241 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 241 5 ( ( PUNCT ejde-155 241 6 f f PROPN ejde-155 241 7 w w PROPN ejde-155 241 8 ; ; PUNCT ejde-155 241 9 r r X ejde-155 241 10 ) ) PUNCT ejde-155 242 1 + + CCONJ ejde-155 242 2 φ1 φ1 PROPN ejde-155 242 3 / / SYM ejde-155 242 4 p p NOUN ejde-155 242 5 ( ( PUNCT ejde-155 242 6 g g PROPN ejde-155 242 7 w w PROPN ejde-155 242 8 ; ; PUNCT ejde-155 242 9 r r X ejde-155 242 10 ) ) PUNCT ejde-155 242 11 and and CCONJ ejde-155 242 12 ṽ ṽ PROPN ejde-155 242 13 = = SYM ejde-155 242 14 ũ ũ PROPN ejde-155 242 15 + + CCONJ ejde-155 242 16 h. h. PROPN ejde-155 242 17 let let VERB ejde-155 242 18 η η PROPN ejde-155 242 19 ∈ ∈ PROPN ejde-155 242 20 c1 c1 PROPN ejde-155 242 21 0 0 NUM ejde-155 242 22 ( ( PUNCT ejde-155 242 23 b3r b3r NOUN ejde-155 242 24 ) ) PUNCT ejde-155 242 25 and and CCONJ ejde-155 242 26 η η PROPN ejde-155 242 27 ≥ ≥ X ejde-155 242 28 0 0 NUM ejde-155 242 29 . . PUNCT ejde-155 243 1 for for ADP ejde-155 243 2 β β X ejde-155 243 3 < < X ejde-155 243 4 0 0 X ejde-155 243 5 we we PRON ejde-155 243 6 define define VERB ejde-155 243 7 ϕ(z ϕ(z NOUN ejde-155 243 8 ) ) PUNCT ejde-155 244 1 = = SYM ejde-155 244 2 ηp[ṽβ ηp[ṽβ PROPN ejde-155 244 3 − − X ejde-155 244 4 ( ( PUNCT ejde-155 244 5 m+ m+ NUM ejde-155 244 6 h)β h)β X ejde-155 244 7 ] ] PUNCT ejde-155 244 8 e−|b0|ṽ e−|b0|ṽ PROPN ejde-155 244 9 ∈ ∈ PROPN ejde-155 244 10 h1,p h1,p PROPN ejde-155 244 11 0,v 0,v X ejde-155 244 12 ( ( PUNCT ejde-155 244 13 b3r b3r NOUN ejde-155 244 14 ) ) PUNCT ejde-155 244 15 . . PUNCT ejde-155 245 1 from from ADP ejde-155 245 2 ( ( PUNCT ejde-155 245 3 5.2 5.2 NUM ejde-155 245 4 ) ) PUNCT ejde-155 245 5 , , PUNCT ejde-155 245 6 we we PRON ejde-155 245 7 obtain obtain VERB ejde-155 245 8 in in ADP ejde-155 245 9 the the DET ejde-155 245 10 support support NOUN ejde-155 245 11 of of ADP ejde-155 245 12 ϕ ϕ PROPN ejde-155 245 13 , , PUNCT ejde-155 245 14 |a(z |a(z PROPN ejde-155 245 15 , , PUNCT ejde-155 245 16 u,∇λu)| u,∇λu)| ADJ ejde-155 245 17 ≤ ≤ PROPN ejde-155 246 1 aw(z)|∇λu|p−1 aw(z)|∇λu|p−1 PROPN ejde-155 247 1 + + CCONJ ejde-155 248 1 b2(z)|ṽ|p−1 b2(z)|ṽ|p−1 PROPN ejde-155 248 2 |b(z |b(z PROPN ejde-155 248 3 , , PUNCT ejde-155 248 4 u,∇λu)| u,∇λu)| ADJ ejde-155 248 5 ≤ ≤ NOUN ejde-155 248 6 b0w(z)|∇λu|p b0w(z)|∇λu|p ADJ ejde-155 248 7 + + CCONJ ejde-155 248 8 b1(z)|∇λu|p−1 b1(z)|∇λu|p−1 PROPN ejde-155 248 9 + + CCONJ ejde-155 248 10 d2(z)|ṽ|p−1 d2(z)|ṽ|p−1 PROPN ejde-155 248 11 ξ ξ PROPN ejde-155 248 12 · · PUNCT ejde-155 248 13 a(z a(z PROPN ejde-155 248 14 , , PUNCT ejde-155 248 15 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 248 16 ) ) PUNCT ejde-155 248 17 ≥ ≥ PRON ejde-155 248 18 w(z)|∇λu|p w(z)|∇λu|p VERB ejde-155 248 19 − − PROPN ejde-155 248 20 d3(z)|ṽ|p d3(z)|ṽ|p NOUN ejde-155 248 21 ( ( PUNCT ejde-155 248 22 5.5 5.5 NUM ejde-155 248 23 ) ) PUNCT ejde-155 248 24 where where SCONJ ejde-155 248 25 b2(z b2(z X ejde-155 248 26 ) ) PUNCT ejde-155 248 27 = = SYM ejde-155 248 28 b(z b(z NOUN ejde-155 248 29 ) ) PUNCT ejde-155 248 30 + + SYM ejde-155 249 1 e(z e(z X ejde-155 249 2 ) ) PUNCT ejde-155 249 3 hp−1 hp−1 PROPN ejde-155 249 4 , , PUNCT ejde-155 249 5 d2(z d2(z PROPN ejde-155 249 6 ) ) PUNCT ejde-155 249 7 = = SYM ejde-155 249 8 d+ d+ PUNCT ejde-155 249 9 f(z f(z PROPN ejde-155 249 10 ) ) PUNCT ejde-155 249 11 hp−1 hp−1 NOUN ejde-155 249 12 , , PUNCT ejde-155 249 13 and and CCONJ ejde-155 249 14 d3(z d3(z X ejde-155 249 15 ) ) PUNCT ejde-155 249 16 = = SYM ejde-155 249 17 d1(z d1(z PROPN ejde-155 249 18 ) ) PUNCT ejde-155 249 19 + + CCONJ ejde-155 249 20 g(z g(z ADJ ejde-155 249 21 ) ) PUNCT ejde-155 249 22 hp hp NOUN ejde-155 249 23 . . PUNCT ejde-155 250 1 since since SCONJ ejde-155 250 2 , , PUNCT ejde-155 250 3 for for ADP ejde-155 250 4 any any DET ejde-155 250 5 0 0 NUM ejde-155 250 6 < < X ejde-155 250 7 ρ ρ X ejde-155 250 8 < < X ejde-155 250 9 3r 3r NUM ejde-155 250 10 , , PUNCT ejde-155 250 11 φ φ PROPN ejde-155 250 12 ( ( PUNCT ejde-155 250 13 ( ( PUNCT ejde-155 250 14 b2 b2 PROPN ejde-155 250 15 w w NOUN ejde-155 250 16 ) ) PUNCT ejde-155 250 17 p p PROPN ejde-155 250 18 p−1 p−1 PROPN ejde-155 250 19 ; ; PUNCT ejde-155 250 20 ρ ρ PROPN ejde-155 250 21 ) ) PUNCT ejde-155 250 22 ≤ ≤ PROPN ejde-155 250 23 φ φ PROPN ejde-155 250 24 ( ( PUNCT ejde-155 250 25 ( ( PUNCT ejde-155 250 26 b b X ejde-155 250 27 w w NOUN ejde-155 250 28 ) ) PUNCT ejde-155 250 29 p p PROPN ejde-155 250 30 p−1 p−1 PROPN ejde-155 250 31 ; ; PUNCT ejde-155 250 32 ρ ρ PROPN ejde-155 250 33 ) ) PUNCT ejde-155 251 1 + + CCONJ ejde-155 251 2 1 1 NUM ejde-155 251 3 hp hp X ejde-155 251 4 φ φ X ejde-155 251 5 ( ( PUNCT ejde-155 251 6 ( ( PUNCT ejde-155 251 7 e e NOUN ejde-155 251 8 w w NOUN ejde-155 251 9 ) ) PUNCT ejde-155 251 10 p p PROPN ejde-155 251 11 p−1 p−1 PROPN ejde-155 251 12 ; ; PUNCT ejde-155 251 13 ρ ρ PROPN ejde-155 251 14 ) ) PUNCT ejde-155 251 15 , , PUNCT ejde-155 251 16 φ φ PROPN ejde-155 251 17 ( ( PUNCT ejde-155 251 18 d2 d2 PROPN ejde-155 251 19 w w PROPN ejde-155 251 20 ; ; PUNCT ejde-155 251 21 ρ ρ PROPN ejde-155 251 22 ) ) PUNCT ejde-155 251 23 ≤ ≤ PROPN ejde-155 252 1 φ φ PROPN ejde-155 252 2 ( ( PUNCT ejde-155 252 3 d d PROPN ejde-155 252 4 w w PROPN ejde-155 252 5 ; ; PUNCT ejde-155 252 6 ρ ρ PROPN ejde-155 252 7 ) ) PUNCT ejde-155 253 1 + + CCONJ ejde-155 253 2 1 1 NUM ejde-155 253 3 hp−1 hp−1 PROPN ejde-155 253 4 φ φ PROPN ejde-155 253 5 ( ( PUNCT ejde-155 253 6 f f PROPN ejde-155 253 7 w w PROPN ejde-155 253 8 ; ; PUNCT ejde-155 253 9 ρ ρ PROPN ejde-155 253 10 ) ) PUNCT ejde-155 253 11 , , PUNCT ejde-155 253 12 φ φ PROPN ejde-155 253 13 ( ( PUNCT ejde-155 253 14 d3 d3 PROPN ejde-155 253 15 w w PROPN ejde-155 253 16 ; ; PUNCT ejde-155 253 17 ρ ρ PROPN ejde-155 253 18 ) ) PUNCT ejde-155 253 19 ≤ ≤ PROPN ejde-155 253 20 φ φ PROPN ejde-155 253 21 ( ( PUNCT ejde-155 253 22 d1 d1 PROPN ejde-155 253 23 w w PROPN ejde-155 253 24 ; ; PUNCT ejde-155 253 25 ρ ρ PROPN ejde-155 253 26 ) ) PUNCT ejde-155 254 1 + + CCONJ ejde-155 254 2 1 1 NUM ejde-155 254 3 hp hp X ejde-155 254 4 φ φ X ejde-155 254 5 ( ( PUNCT ejde-155 254 6 g g PROPN ejde-155 254 7 w w PROPN ejde-155 254 8 ; ; PUNCT ejde-155 254 9 ρ ρ X ejde-155 254 10 ) ) PUNCT ejde-155 254 11 we we PRON ejde-155 254 12 obtain obtain VERB ejde-155 254 13 ( ( PUNCT ejde-155 254 14 b2 b2 NOUN ejde-155 254 15 w w NOUN ejde-155 254 16 ) ) PUNCT ejde-155 254 17 p p PROPN ejde-155 254 18 p−1 p−1 PROPN ejde-155 254 19 , , PUNCT ejde-155 254 20 d2 d2 PROPN ejde-155 254 21 w w PROPN ejde-155 254 22 , , PUNCT ejde-155 254 23 d3 d3 PROPN ejde-155 254 24 w w PROPN ejde-155 254 25 ∈ ∈ PROPN ejde-155 254 26 s′v(b3r s′v(b3r NOUN ejde-155 254 27 ) ) PUNCT ejde-155 254 28 . . PUNCT ejde-155 255 1 since since SCONJ ejde-155 255 2 u u NOUN ejde-155 255 3 is be AUX ejde-155 255 4 a a DET ejde-155 255 5 supersolution supersolution NOUN ejde-155 255 6 of of ADP ejde-155 255 7 ( ( PUNCT ejde-155 255 8 5.1 5.1 NUM ejde-155 255 9 ) ) PUNCT ejde-155 255 10 we we PRON ejde-155 255 11 have∫ have∫ VERB ejde-155 255 12 b3r b3r PROPN ejde-155 255 13 ηpe−|b0|ṽ{|β|vβ−1 ηpe−|b0|ṽ{|β|vβ−1 VERB ejde-155 255 14 + + CCONJ ejde-155 255 15 b0[ṽβ b0[ṽβ ADJ ejde-155 255 16 − − PROPN ejde-155 255 17 ( ( PUNCT ejde-155 255 18 m+ m+ NUM ejde-155 255 19 h)β h)β X ejde-155 255 20 ] ] X ejde-155 255 21 } } PUNCT ejde-155 255 22 a(z a(z PROPN ejde-155 255 23 , , PUNCT ejde-155 255 24 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 255 25 ) ) PUNCT ejde-155 255 26 · · PUNCT ejde-155 255 27 ∇λu ∇λu PROPN ejde-155 255 28 dz dz ADJ ejde-155 255 29 + + NUM ejde-155 255 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 255 31 b3r b3r PROPN ejde-155 255 32 b(z b(z PROPN ejde-155 255 33 , , PUNCT ejde-155 255 34 u,∇λu)ϕdz u,∇λu)ϕdz PROPN ejde-155 255 35 12 12 NUM ejde-155 255 36 g. g. PROPN ejde-155 255 37 di di PROPN ejde-155 255 38 fazio fazio PROPN ejde-155 255 39 , , PUNCT ejde-155 255 40 m. m. PROPN ejde-155 255 41 s. s. PROPN ejde-155 255 42 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 255 43 , , PUNCT ejde-155 255 44 p. p. PROPN ejde-155 255 45 zamboni zamboni PROPN ejde-155 255 46 ejde-2022/65 ejde-2022/65 PROPN ejde-155 255 47 ≤ ≤ PROPN ejde-155 256 1 p p PRON ejde-155 256 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 256 3 b3r b3r PROPN ejde-155 256 4 ηp−1a(z ηp−1a(z NOUN ejde-155 256 5 , , PUNCT ejde-155 256 6 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 256 7 ) ) PUNCT ejde-155 256 8 · · PUNCT ejde-155 256 9 ∇λη[ṽβ ∇λη[ṽβ PROPN ejde-155 256 10 − − PROPN ejde-155 257 1 ( ( PUNCT ejde-155 257 2 m+ m+ NUM ejde-155 257 3 h)β h)β X ejde-155 257 4 ] ] X ejde-155 257 5 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz NOUN ejde-155 257 6 using use VERB ejde-155 257 7 ( ( PUNCT ejde-155 257 8 5.5 5.5 NUM ejde-155 257 9 ) ) PUNCT ejde-155 257 10 we we PRON ejde-155 257 11 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-155 257 12 b3r b3r NOUN ejde-155 257 13 ( ( PUNCT ejde-155 257 14 w|∇λu|pd3ṽ w|∇λu|pd3ṽ PROPN ejde-155 257 15 p)ηpe−|b0|ṽ{|β|ṽβ−1 p)ηpe−|b0|ṽ{|β|ṽβ−1 PROPN ejde-155 257 16 + + CCONJ ejde-155 257 17 b0[ṽβ b0[ṽβ NOUN ejde-155 257 18 − − PROPN ejde-155 257 19 ( ( PUNCT ejde-155 257 20 m+ m+ NUM ejde-155 257 21 h)β h)β X ejde-155 257 22 ] ] X ejde-155 257 23 } } PUNCT ejde-155 257 24 dz dz PROPN ejde-155 257 25 ≤ ≤ NUM ejde-155 257 26 p p PRON ejde-155 257 27 ∫ ∫ PROPN ejde-155 257 28 b3r b3r PROPN ejde-155 257 29 ( ( PUNCT ejde-155 257 30 aw|∇λu|p−1 aw|∇λu|p−1 PROPN ejde-155 257 31 + + CCONJ ejde-155 257 32 b0ṽ b0ṽ ADP ejde-155 257 33 p−1)ηp−1|∇λη|[ṽβ p−1)ηp−1|∇λη|[ṽβ PRON ejde-155 257 34 − − PROPN ejde-155 257 35 ( ( PUNCT ejde-155 257 36 m+ m+ NUM ejde-155 257 37 h)β h)β X ejde-155 257 38 ] ] PUNCT ejde-155 257 39 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz SYM ejde-155 257 40 + + NUM ejde-155 257 41 ∫ ∫ PROPN ejde-155 257 42 b3r b3r PROPN ejde-155 257 43 ( ( PUNCT ejde-155 257 44 b0w|∇λu|p b0w|∇λu|p X ejde-155 257 45 + + X ejde-155 257 46 b1|∇λu|p−1 b1|∇λu|p−1 NOUN ejde-155 257 47 + + CCONJ ejde-155 257 48 d2ṽ d2ṽ VERB ejde-155 257 49 p−1)ηp[ṽβ p−1)ηp[ṽβ INTJ ejde-155 257 50 − − PROPN ejde-155 258 1 ( ( PUNCT ejde-155 258 2 m+ m+ NUM ejde-155 258 3 h)β h)β X ejde-155 258 4 ] ] X ejde-155 258 5 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz NOUN ejde-155 258 6 from from ADP ejde-155 258 7 which∫ which∫ PROPN ejde-155 258 8 b3r b3r PROPN ejde-155 258 9 |β||∇λu|pηpe−|b0|ṽ |β||∇λu|pηpe−|b0|ṽ PROPN ejde-155 258 10 ṽβ−1w ṽβ−1w PROPN ejde-155 258 11 dx dx PROPN ejde-155 258 12 ≤ ≤ NUM ejde-155 258 13 |β| |β| NOUN ejde-155 258 14 ∫ ∫ PROPN ejde-155 258 15 b3r b3r PROPN ejde-155 258 16 d3η d3η VERB ejde-155 258 17 pṽp+β−1e−|b0|ṽdz pṽp+β−1e−|b0|ṽdz NOUN ejde-155 258 18 + + CCONJ ejde-155 258 19 b0 b0 NOUN ejde-155 258 20 ∫ ∫ PROPN ejde-155 258 21 b3r b3r PROPN ejde-155 258 22 d3η d3η PROPN ejde-155 258 23 pṽp[vβ pṽp[vβ VERB ejde-155 258 24 − − PROPN ejde-155 258 25 ( ( PUNCT ejde-155 258 26 m+ m+ NUM ejde-155 258 27 h)β h)β X ejde-155 258 28 ] ] PUNCT ejde-155 258 29 e−|b0|ṽ e−|b0|ṽ PROPN ejde-155 258 30 + + X ejde-155 258 31 p p X ejde-155 258 32 ∫ ∫ PROPN ejde-155 258 33 b3r b3r PROPN ejde-155 258 34 aηp−1|∇λη||∇λu|p−1[ṽβ aηp−1|∇λη||∇λu|p−1[ṽβ NOUN ejde-155 259 1 − − PROPN ejde-155 259 2 ( ( PUNCT ejde-155 259 3 m+ m+ NUM ejde-155 259 4 h)β h)β X ejde-155 259 5 ] ] PUNCT ejde-155 259 6 e−|b0|ṽwdz e−|b0|ṽwdz X ejde-155 260 1 + + X ejde-155 260 2 p p DET ejde-155 260 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 260 4 b3r b3r PROPN ejde-155 260 5 b2ṽ b2ṽ ADP ejde-155 260 6 p−1ηp−1|∇λη|[ṽβ p−1ηp−1|∇λη|[ṽβ NUM ejde-155 260 7 − − PROPN ejde-155 260 8 ( ( PUNCT ejde-155 260 9 m+ m+ NUM ejde-155 260 10 h)β h)β X ejde-155 260 11 ] ] PUNCT ejde-155 260 12 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz SYM ejde-155 260 13 + + NUM ejde-155 260 14 ∫ ∫ PROPN ejde-155 260 15 b3r b3r PROPN ejde-155 260 16 b1η b1η PROPN ejde-155 260 17 p|∇λu|p−1[ṽβ p|∇λu|p−1[ṽβ VERB ejde-155 260 18 − − PROPN ejde-155 260 19 ( ( PUNCT ejde-155 260 20 m+ m+ NUM ejde-155 260 21 h)β h)β X ejde-155 260 22 ] ] PUNCT ejde-155 261 1 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz SYM ejde-155 261 2 + + NUM ejde-155 261 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 261 4 b3r b3r PROPN ejde-155 261 5 d2ṽ d2ṽ NOUN ejde-155 261 6 p−1ηp[ṽβ p−1ηp[ṽβ PROPN ejde-155 262 1 − − PROPN ejde-155 262 2 ( ( PUNCT ejde-155 262 3 m+ m+ NUM ejde-155 262 4 h)β h)β X ejde-155 262 5 ] ] X ejde-155 262 6 e−|b0|ṽdz e−|b0|ṽdz X ejde-155 262 7 . . PUNCT ejde-155 263 1 then then ADV ejde-155 263 2 ∫ ∫ PROPN ejde-155 263 3 b3r b3r PROPN ejde-155 263 4 |β||∇λu|pηpṽβ−1w |β||∇λu|pηpṽβ−1w NUM ejde-155 263 5 dx dx PROPN ejde-155 263 6 ≤ ≤ PROPN ejde-155 263 7 c|β| c|β| PROPN ejde-155 263 8 ∫ ∫ PROPN ejde-155 263 9 b3r b3r PROPN ejde-155 263 10 d3η d3η PROPN ejde-155 263 11 pṽp+β−1dz pṽp+β−1dz ADJ ejde-155 263 12 + + CCONJ ejde-155 263 13 c c PROPN ejde-155 263 14 ∫ ∫ PROPN ejde-155 263 15 b3r b3r PROPN ejde-155 263 16 d3η d3η PROPN ejde-155 263 17 pṽp[ṽβ pṽp[ṽβ PROPN ejde-155 263 18 − − PROPN ejde-155 263 19 ( ( PUNCT ejde-155 263 20 m+ m+ NUM ejde-155 263 21 h)β h)β X ejde-155 263 22 ] ] PUNCT ejde-155 264 1 + + CCONJ ejde-155 264 2 c c X ejde-155 264 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 264 4 b3r b3r PROPN ejde-155 264 5 aηp−1|∇λη||∇λu|p−1[ṽβ aηp−1|∇λη||∇λu|p−1[ṽβ NOUN ejde-155 265 1 − − PROPN ejde-155 265 2 ( ( PUNCT ejde-155 265 3 m+ m+ NUM ejde-155 265 4 h)β h)β X ejde-155 265 5 ] ] PUNCT ejde-155 265 6 wdz wdz VERB ejde-155 265 7 + + CCONJ ejde-155 265 8 c c NOUN ejde-155 265 9 ∫ ∫ PROPN ejde-155 265 10 b3r b3r PROPN ejde-155 265 11 b2ṽ b2ṽ ADP ejde-155 265 12 p−1ηp−1|∇λη|[ṽβ p−1ηp−1|∇λη|[ṽβ NUM ejde-155 265 13 − − PROPN ejde-155 266 1 ( ( PUNCT ejde-155 266 2 m+ m+ NUM ejde-155 266 3 h)β h)β X ejde-155 266 4 ] ] X ejde-155 266 5 dz dz X ejde-155 267 1 + + CCONJ ejde-155 267 2 c c PROPN ejde-155 267 3 ∫ ∫ PROPN ejde-155 267 4 b3r b3r PROPN ejde-155 267 5 b1η b1η PROPN ejde-155 267 6 p|∇λu|p−1[ṽβ p|∇λu|p−1[ṽβ VERB ejde-155 267 7 − − PROPN ejde-155 268 1 ( ( PUNCT ejde-155 268 2 m+ m+ NUM ejde-155 268 3 h)β h)β X ejde-155 268 4 ] ] X ejde-155 268 5 dz dz X ejde-155 268 6 + + CCONJ ejde-155 268 7 c c NOUN ejde-155 268 8 ∫ ∫ PROPN ejde-155 268 9 b3r b3r PROPN ejde-155 268 10 d2ṽ d2ṽ ADJ ejde-155 268 11 p−1ηp[ṽβ p−1ηp[ṽβ PROPN ejde-155 269 1 − − PROPN ejde-155 269 2 ( ( PUNCT ejde-155 269 3 m+ m+ NUM ejde-155 269 4 h)β h)β X ejde-155 269 5 ] ] X ejde-155 269 6 dz dz X ejde-155 269 7 . . PUNCT ejde-155 270 1 since since SCONJ ejde-155 270 2 ṽβ ṽβ PRON ejde-155 270 3 − − PROPN ejde-155 270 4 ( ( PUNCT ejde-155 270 5 m+ m+ NUM ejde-155 270 6 h)β h)β X ejde-155 270 7 ≤ ≤ PROPN ejde-155 270 8 ṽβ ṽβ VERB ejde-155 270 9 the the DET ejde-155 270 10 proof proof NOUN ejde-155 270 11 follows follow VERB ejde-155 270 12 as as ADP ejde-155 270 13 in in ADP ejde-155 270 14 the the DET ejde-155 270 15 proof proof NOUN ejde-155 270 16 of of ADP ejde-155 270 17 theorem theorem ADJ ejde-155 270 18 4.2 4.2 NUM ejde-155 270 19 . . PUNCT ejde-155 270 20 � � PROPN ejde-155 270 21 in in ADP ejde-155 270 22 a a DET ejde-155 270 23 similar similar ADJ ejde-155 270 24 way way NOUN ejde-155 270 25 , , PUNCT ejde-155 270 26 let let VERB ejde-155 270 27 br br PRON ejde-155 270 28 be be AUX ejde-155 270 29 a a DET ejde-155 270 30 ball ball NOUN ejde-155 270 31 centered center VERB ejde-155 270 32 at at ADP ejde-155 270 33 x0 x0 PROPN ejde-155 270 34 ∈ ∈ PROPN ejde-155 270 35 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 270 36 and and CCONJ ejde-155 270 37 u u NOUN ejde-155 270 38 ∈ ∈ PROPN ejde-155 270 39 h1,p h1,p PROPN ejde-155 270 40 v v X ejde-155 270 41 ( ( PUNCT ejde-155 270 42 ω ω PROPN ejde-155 270 43 ∩ ∩ X ejde-155 270 44 b4r b4r X ejde-155 270 45 ) ) PUNCT ejde-155 270 46 , , PUNCT ejde-155 270 47 we we PRON ejde-155 270 48 set set VERB ejde-155 270 49 u(x u(x NOUN ejde-155 270 50 ) ) PUNCT ejde-155 271 1 = = SYM ejde-155 271 2 { { PUNCT ejde-155 271 3 max{u max{u PROPN ejde-155 271 4 , , PUNCT ejde-155 271 5 m m NOUN ejde-155 271 6 } } PUNCT ejde-155 271 7 if if SCONJ ejde-155 271 8 x x PROPN ejde-155 271 9 ∈ ∈ NOUN ejde-155 271 10 ω ω NOUN ejde-155 272 1 ∩b4r ∩b4r NOUN ejde-155 272 2 m m NOUN ejde-155 272 3 if if SCONJ ejde-155 272 4 x x PROPN ejde-155 272 5 ∈ ∈ PROPN ejde-155 272 6 rn rn PROPN ejde-155 272 7 \ \ PROPN ejde-155 272 8 ( ( PUNCT ejde-155 272 9 ω ω NOUN ejde-155 272 10 ∩b4r ∩b4r NOUN ejde-155 272 11 ) ) PUNCT ejde-155 272 12 where where SCONJ ejde-155 272 13 m m VERB ejde-155 272 14 = = VERB ejde-155 272 15 sup∂ω∩b4r sup∂ω∩b4r ADJ ejde-155 272 16 u. u. PROPN ejde-155 272 17 ejde-2022/65 ejde-2022/65 ADJ ejde-155 272 18 boundary boundary ADJ ejde-155 272 19 regularity regularity NOUN ejde-155 272 20 for for ADP ejde-155 272 21 strongly strongly ADV ejde-155 272 22 degenerate degenerate ADJ ejde-155 272 23 operators operator NOUN ejde-155 272 24 13 13 NUM ejde-155 272 25 theorem theorem VERB ejde-155 272 26 5.2 5.2 NUM ejde-155 272 27 . . PUNCT ejde-155 273 1 let let VERB ejde-155 273 2 u u PRON ejde-155 273 3 ∈ ∈ PROPN ejde-155 273 4 h1,p h1,p PROPN ejde-155 273 5 v v X ejde-155 273 6 ( ( PUNCT ejde-155 273 7 ω∩b4r ω∩b4r NUM ejde-155 273 8 ) ) PUNCT ejde-155 273 9 be be VERB ejde-155 273 10 a a DET ejde-155 273 11 weak weak ADJ ejde-155 273 12 non non ADJ ejde-155 273 13 negative negative ADJ ejde-155 273 14 subsolution subsolution NOUN ejde-155 273 15 of of ADP ejde-155 273 16 ( ( PUNCT ejde-155 273 17 5.1 5.1 NUM ejde-155 273 18 ) ) PUNCT ejde-155 273 19 in in ADP ejde-155 273 20 ω ω PROPN ejde-155 273 21 ∩ ∩ X ejde-155 273 22 b4r b4r PROPN ejde-155 273 23 . . PUNCT ejde-155 274 1 assume assume VERB ejde-155 274 2 ( ( PUNCT ejde-155 274 3 5.2 5.2 NUM ejde-155 274 4 ) ) PUNCT ejde-155 274 5 and and CCONJ ejde-155 274 6 ( ( PUNCT ejde-155 274 7 5.3 5.3 NUM ejde-155 274 8 ) ) PUNCT ejde-155 274 9 . . PUNCT ejde-155 275 1 let let VERB ejde-155 275 2 m m PRON ejde-155 275 3 be be AUX ejde-155 275 4 a a DET ejde-155 275 5 constant constant ADJ ejde-155 275 6 such such ADJ ejde-155 275 7 that that SCONJ ejde-155 275 8 u u PROPN ejde-155 275 9 ≤ ≤ X ejde-155 275 10 m m VERB ejde-155 275 11 on on ADP ejde-155 275 12 ω ω PROPN ejde-155 275 13 ∩ ∩ X ejde-155 275 14 b4r b4r PROPN ejde-155 275 15 . . PUNCT ejde-155 276 1 then then ADV ejde-155 276 2 there there PRON ejde-155 276 3 exists exist VERB ejde-155 276 4 c c NOUN ejde-155 276 5 depending depend VERB ejde-155 276 6 on on ADP ejde-155 276 7 n n CCONJ ejde-155 276 8 , , PUNCT ejde-155 276 9 m m PRON ejde-155 276 10 , , PUNCT ejde-155 276 11 a a DET ejde-155 276 12 , , PUNCT ejde-155 276 13 b0 b0 NOUN ejde-155 276 14 , , PUNCT ejde-155 276 15 p p NOUN ejde-155 276 16 and and CCONJ ejde-155 276 17 the the DET ejde-155 276 18 weight weight NOUN ejde-155 276 19 v v ADP ejde-155 276 20 such such ADJ ejde-155 276 21 that that DET ejde-155 276 22 sup sup NOUN ejde-155 276 23 br br NOUN ejde-155 276 24 u u NOUN ejde-155 276 25 ≤ ≤ PROPN ejde-155 276 26 c c PROPN ejde-155 276 27 { { PUNCT ejde-155 276 28 w−1(b2r w−1(b2r INTJ ejde-155 276 29 ) ) PUNCT ejde-155 276 30 ∫ ∫ PROPN ejde-155 276 31 b2r b2r PROPN ejde-155 276 32 uw uw PROPN ejde-155 276 33 dz dz PROPN ejde-155 276 34 + + CCONJ ejde-155 276 35 φ1 φ1 PROPN ejde-155 276 36 / / SYM ejde-155 276 37 p p X ejde-155 277 1 [ [ X ejde-155 277 2 ( ( PUNCT ejde-155 277 3 e e NOUN ejde-155 277 4 w w NOUN ejde-155 277 5 ) ) PUNCT ejde-155 277 6 p p PROPN ejde-155 277 7 p−1 p−1 PROPN ejde-155 277 8 ; ; PUNCT ejde-155 277 9 r r X ejde-155 277 10 ] ] PUNCT ejde-155 278 1 + + CCONJ ejde-155 278 2 φ φ PROPN ejde-155 278 3 1 1 NUM ejde-155 278 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 278 5 ( ( PUNCT ejde-155 278 6 f f PROPN ejde-155 278 7 w w PROPN ejde-155 278 8 ; ; PUNCT ejde-155 278 9 r r X ejde-155 278 10 ) ) PUNCT ejde-155 279 1 + + CCONJ ejde-155 279 2 φ1 φ1 PROPN ejde-155 279 3 / / SYM ejde-155 279 4 p p NOUN ejde-155 279 5 ( ( PUNCT ejde-155 279 6 g g PROPN ejde-155 279 7 w w PROPN ejde-155 279 8 ; ; PUNCT ejde-155 279 9 r r NOUN ejde-155 279 10 ) ) PUNCT ejde-155 279 11 } } PUNCT ejde-155 279 12 . . PUNCT ejde-155 280 1 to to PART ejde-155 280 2 obtain obtain VERB ejde-155 280 3 regularity regularity NOUN ejde-155 280 4 up up ADP ejde-155 280 5 to to ADP ejde-155 280 6 the the DET ejde-155 280 7 boundary boundary NOUN ejde-155 280 8 of of ADP ejde-155 280 9 the the DET ejde-155 280 10 domain domain NOUN ejde-155 280 11 we we PRON ejde-155 280 12 need need VERB ejde-155 280 13 some some DET ejde-155 280 14 geometric geometric ADJ ejde-155 280 15 assumptions assumption NOUN ejde-155 280 16 . . PUNCT ejde-155 281 1 definition definition NOUN ejde-155 281 2 5.3 5.3 NUM ejde-155 281 3 . . PUNCT ejde-155 282 1 let let VERB ejde-155 282 2 ω ω PRON ejde-155 282 3 be be AUX ejde-155 282 4 a a DET ejde-155 282 5 domain domain NOUN ejde-155 282 6 in in ADP ejde-155 282 7 rn rn PROPN ejde-155 282 8 and and CCONJ ejde-155 282 9 z0 z0 PROPN ejde-155 282 10 ∈ ∈ PROPN ejde-155 282 11 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 282 12 . . PUNCT ejde-155 283 1 let let VERB ejde-155 283 2 v v PART ejde-155 283 3 be be AUX ejde-155 283 4 a a DET ejde-155 283 5 strong strong ADJ ejde-155 283 6 a∞ a∞ PROPN ejde-155 283 7 weight weight NOUN ejde-155 283 8 and and CCONJ ejde-155 283 9 w w NOUN ejde-155 283 10 = = PROPN ejde-155 283 11 v1− v1− PROPN ejde-155 283 12 p p NOUN ejde-155 283 13 n n PROPN ejde-155 283 14 , , PUNCT ejde-155 283 15 1 1 NUM ejde-155 283 16 < < X ejde-155 283 17 p p X ejde-155 283 18 < < X ejde-155 283 19 n n NOUN ejde-155 283 20 . . PUNCT ejde-155 284 1 we we PRON ejde-155 284 2 say say VERB ejde-155 284 3 that that SCONJ ejde-155 284 4 w w NOUN ejde-155 284 5 satisfies satisfy VERB ejde-155 284 6 the the DET ejde-155 284 7 condition condition NOUN ejde-155 284 8 av av PRON ejde-155 284 9 at at ADP ejde-155 284 10 z0 z0 PROPN ejde-155 284 11 if if SCONJ ejde-155 284 12 there there PRON ejde-155 284 13 exist exist VERB ejde-155 284 14 positive positive ADJ ejde-155 284 15 constants constant NOUN ejde-155 284 16 r0 r0 NOUN ejde-155 284 17 and and CCONJ ejde-155 284 18 a a DET ejde-155 284 19 such such ADJ ejde-155 284 20 that that PRON ejde-155 284 21 w(br(z0 w(br(z0 NOUN ejde-155 284 22 ) ) PUNCT ejde-155 284 23 \ \ PROPN ejde-155 284 24 ω ω X ejde-155 284 25 ) ) PUNCT ejde-155 284 26 w(br(z0 w(br(z0 NOUN ejde-155 284 27 ) ) PUNCT ejde-155 284 28 ) ) PUNCT ejde-155 284 29 ≥ ≥ NOUN ejde-155 284 30 a a PRON ejde-155 284 31 , , PUNCT ejde-155 284 32 0 0 PUNCT ejde-155 284 33 < < X ejde-155 284 34 r r X ejde-155 284 35 < < X ejde-155 284 36 r0 r0 NOUN ejde-155 284 37 . . PUNCT ejde-155 285 1 we we PRON ejde-155 285 2 say say VERB ejde-155 285 3 that that SCONJ ejde-155 285 4 ω ω PROPN ejde-155 285 5 satisfies satisfy VERB ejde-155 285 6 the the DET ejde-155 285 7 condition condition NOUN ejde-155 285 8 av av INTJ ejde-155 285 9 if if SCONJ ejde-155 285 10 it it PRON ejde-155 285 11 satisfies satisfy VERB ejde-155 285 12 the the DET ejde-155 285 13 condition condition NOUN ejde-155 285 14 at at ADP ejde-155 285 15 any any DET ejde-155 285 16 point point NOUN ejde-155 285 17 . . PUNCT ejde-155 286 1 in in ADP ejde-155 286 2 the the DET ejde-155 286 3 case case NOUN ejde-155 286 4 v v ADP ejde-155 286 5 = = SYM ejde-155 286 6 1 1 NUM ejde-155 286 7 the the DET ejde-155 286 8 av av PROPN ejde-155 286 9 condition condition NOUN ejde-155 286 10 gives give VERB ejde-155 286 11 back back ADP ejde-155 286 12 the the DET ejde-155 286 13 outer outer ADJ ejde-155 286 14 sphere sphere NOUN ejde-155 286 15 condition condition NOUN ejde-155 286 16 . . PUNCT ejde-155 287 1 using use VERB ejde-155 287 2 the the DET ejde-155 287 3 geometric geometric ADJ ejde-155 287 4 assumption assumption NOUN ejde-155 287 5 av av PRON ejde-155 287 6 we we PRON ejde-155 287 7 give give VERB ejde-155 287 8 an an DET ejde-155 287 9 estimate estimate NOUN ejde-155 287 10 for for ADP ejde-155 287 11 the the DET ejde-155 287 12 oscillation oscillation NOUN ejde-155 287 13 of of ADP ejde-155 287 14 solutions solution NOUN ejde-155 287 15 near near ADP ejde-155 287 16 the the DET ejde-155 287 17 boundary boundary NOUN ejde-155 287 18 . . PUNCT ejde-155 288 1 theorem theorem VERB ejde-155 288 2 5.4 5.4 NUM ejde-155 288 3 . . PUNCT ejde-155 289 1 let let VERB ejde-155 289 2 ω ω PRON ejde-155 289 3 be be AUX ejde-155 289 4 a a DET ejde-155 289 5 bounded bounded ADJ ejde-155 289 6 open open ADJ ejde-155 289 7 set set NOUN ejde-155 289 8 satisfying satisfy VERB ejde-155 289 9 the the DET ejde-155 289 10 av av PROPN ejde-155 289 11 condition condition NOUN ejde-155 289 12 at at ADP ejde-155 289 13 z0 z0 PROPN ejde-155 289 14 ∈ ∈ PROPN ejde-155 289 15 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 289 16 . . PUNCT ejde-155 290 1 let let VERB ejde-155 290 2 u u PRON ejde-155 290 3 be be AUX ejde-155 290 4 a a DET ejde-155 290 5 locally locally ADV ejde-155 290 6 bounded bound VERB ejde-155 290 7 weak weak ADJ ejde-155 290 8 solution solution NOUN ejde-155 290 9 of of ADP ejde-155 290 10 equation equation NOUN ejde-155 290 11 ( ( PUNCT ejde-155 290 12 5.1 5.1 NUM ejde-155 290 13 ) ) PUNCT ejde-155 290 14 in in ADP ejde-155 290 15 ω ω PROPN ejde-155 290 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 290 17 ( ( PUNCT ejde-155 290 18 5.2 5.2 NUM ejde-155 290 19 ) ) PUNCT ejde-155 290 20 and and CCONJ ejde-155 290 21 ( ( PUNCT ejde-155 290 22 5.3 5.3 NUM ejde-155 290 23 ) ) PUNCT ejde-155 290 24 . . PUNCT ejde-155 291 1 then then ADV ejde-155 291 2 there there PRON ejde-155 291 3 exists exist VERB ejde-155 291 4 r0 r0 NOUN ejde-155 291 5 > > X ejde-155 291 6 0 0 NUM ejde-155 292 1 such such ADJ ejde-155 292 2 that that PRON ejde-155 292 3 for for ADP ejde-155 292 4 any any DET ejde-155 292 5 ball ball NOUN ejde-155 292 6 br(z0 br(z0 NOUN ejde-155 292 7 ) ) PUNCT ejde-155 292 8 , , PUNCT ejde-155 292 9 with with ADP ejde-155 292 10 0 0 NUM ejde-155 292 11 < < X ejde-155 292 12 r r NOUN ejde-155 292 13 < < X ejde-155 292 14 r0 r0 NOUN ejde-155 292 15 and and CCONJ ejde-155 292 16 µ µ NOUN ejde-155 292 17 ∈ ∈ NOUN ejde-155 292 18 ( ( PUNCT ejde-155 292 19 0 0 NUM ejde-155 292 20 , , PUNCT ejde-155 292 21 1 1 X ejde-155 292 22 ) ) PUNCT ejde-155 292 23 we we PRON ejde-155 292 24 have have VERB ejde-155 292 25 oscbr∩ω oscbr∩ω NOUN ejde-155 292 26 u u NOUN ejde-155 292 27 ≤ ≤ X ejde-155 292 28 c c NOUN ejde-155 293 1 [ [ X ejde-155 293 2 ( ( PUNCT ejde-155 293 3 r r NOUN ejde-155 293 4 r0 r0 NOUN ejde-155 293 5 ) ) PUNCT ejde-155 293 6 α α PROPN ejde-155 293 7 oscbr0 oscbr0 ADJ ejde-155 293 8 ∩ω ∩ω ADJ ejde-155 293 9 u+ u+ NOUN ejde-155 293 10 oscb oscb NOUN ejde-155 293 11 rµr rµr VERB ejde-155 293 12 1−µ 1−µ PROPN ejde-155 293 13 0 0 SYM ejde-155 293 14 ∩∂ω ∩∂ω NUM ejde-155 293 15 u+ u+ PROPN ejde-155 293 16 h(rµr1−µ h(rµr1−µ PROPN ejde-155 293 17 0 0 NUM ejde-155 293 18 ) ) PUNCT ejde-155 293 19 ] ] PUNCT ejde-155 293 20 , , PUNCT ejde-155 293 21 where where SCONJ ejde-155 293 22 c c NOUN ejde-155 293 23 and and CCONJ ejde-155 293 24 α α PROPN ejde-155 293 25 are be AUX ejde-155 293 26 positive positive ADJ ejde-155 293 27 constants constant NOUN ejde-155 293 28 and and CCONJ ejde-155 293 29 h h NOUN ejde-155 293 30 is be AUX ejde-155 293 31 an an DET ejde-155 293 32 infinitesimal infinitesimal ADJ ejde-155 293 33 function function NOUN ejde-155 293 34 . . PUNCT ejde-155 294 1 proof proof NOUN ejde-155 294 2 . . PUNCT ejde-155 295 1 for for ADP ejde-155 295 2 ρ ρ PROPN ejde-155 295 3 > > SYM ejde-155 295 4 0 0 NUM ejde-155 295 5 set set VERB ejde-155 295 6 m(ρ m(ρ NUM ejde-155 295 7 ) ) PUNCT ejde-155 295 8 = = PUNCT ejde-155 295 9 supbρ∩ω supbρ∩ω NOUN ejde-155 295 10 u u NOUN ejde-155 295 11 and and CCONJ ejde-155 295 12 m(ρ m(ρ NUM ejde-155 295 13 ) ) PUNCT ejde-155 295 14 = = PUNCT ejde-155 295 15 infbρ∩ω infbρ∩ω X ejde-155 295 16 u u NOUN ejde-155 295 17 , , PUNCT ejde-155 295 18 with with ADP ejde-155 295 19 bρ bρ PROPN ejde-155 295 20 = = PUNCT ejde-155 295 21 bρ(z0 bρ(z0 NOUN ejde-155 295 22 ) ) PUNCT ejde-155 295 23 . . PUNCT ejde-155 296 1 let let VERB ejde-155 296 2 0 0 NUM ejde-155 296 3 < < X ejde-155 296 4 r r NOUN ejde-155 296 5 ≤ ≤ NOUN ejde-155 296 6 r0/4 r0/4 NOUN ejde-155 296 7 the the DET ejde-155 296 8 function function NOUN ejde-155 296 9 m(4r)− m(4r)− PROPN ejde-155 296 10 u u NOUN ejde-155 296 11 is be AUX ejde-155 296 12 solution solution NOUN ejde-155 296 13 of of ADP ejde-155 296 14 div div PROPN ejde-155 296 15 ã(z ã(z PROPN ejde-155 296 16 , , PUNCT ejde-155 296 17 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 296 18 ) ) PUNCT ejde-155 297 1 = = SYM ejde-155 297 2 b̃(z b̃(z PROPN ejde-155 297 3 , , PUNCT ejde-155 297 4 u,∇λu u,∇λu NOUN ejde-155 297 5 ) ) PUNCT ejde-155 297 6 , , PUNCT ejde-155 297 7 where where SCONJ ejde-155 297 8 ã(z ã(z PROPN ejde-155 297 9 , , PUNCT ejde-155 297 10 u u NOUN ejde-155 297 11 , , PUNCT ejde-155 297 12 ξ ξ X ejde-155 297 13 ) ) PUNCT ejde-155 297 14 = = SYM ejde-155 298 1 a(z a(z PROPN ejde-155 298 2 , , PUNCT ejde-155 298 3 m(4r)− m(4r)− NOUN ejde-155 298 4 u,−ξ u,−ξ NOUN ejde-155 298 5 ) ) PUNCT ejde-155 298 6 , , PUNCT ejde-155 298 7 b̃(z b̃(z PROPN ejde-155 298 8 , , PUNCT ejde-155 298 9 u u NOUN ejde-155 298 10 , , PUNCT ejde-155 298 11 ξ ξ X ejde-155 298 12 ) ) PUNCT ejde-155 298 13 = = SYM ejde-155 299 1 b(z b(z NOUN ejde-155 299 2 , , PUNCT ejde-155 299 3 m(4r)− m(4r)− NOUN ejde-155 299 4 u,−ξ u,−ξ NOUN ejde-155 299 5 ) ) PUNCT ejde-155 299 6 . . PUNCT ejde-155 300 1 moreover moreover ADV ejde-155 300 2 ã ã PROPN ejde-155 300 3 and and CCONJ ejde-155 300 4 b̃ b̃ PROPN ejde-155 300 5 satisfy satisfy VERB ejde-155 300 6 |ã(z |ã(z PROPN ejde-155 300 7 , , PUNCT ejde-155 300 8 u u NOUN ejde-155 300 9 , , PUNCT ejde-155 300 10 ξ)| ξ)| ADJ ejde-155 300 11 ≤ ≤ NUM ejde-155 300 12 aw(z)[|ξx|2 aw(z)[|ξx|2 PROPN ejde-155 301 1 + + SYM ejde-155 301 2 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 301 3 ] ] X ejde-155 301 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 301 5 2 2 NUM ejde-155 301 6 + + CCONJ ejde-155 301 7 b|u|p−1 b|u|p−1 NOUN ejde-155 301 8 + + CCONJ ejde-155 301 9 e e NOUN ejde-155 301 10 , , PUNCT ejde-155 301 11 |b̃(z |b̃(z PROPN ejde-155 301 12 , , PUNCT ejde-155 301 13 u u NOUN ejde-155 301 14 , , PUNCT ejde-155 301 15 ξ)| ξ)| VERB ejde-155 301 16 ≤ ≤ ADJ ejde-155 301 17 b0[|ξx|2 b0[|ξx|2 NOUN ejde-155 301 18 + + CCONJ ejde-155 301 19 λ2(x)|ξy|2 λ2(x)|ξy|2 NOUN ejde-155 302 1 ] ] X ejde-155 302 2 p−1 p−1 PROPN ejde-155 302 3 2 2 NUM ejde-155 303 1 + + CCONJ ejde-155 303 2 b1[|ξx|2 b1[|ξx|2 NOUN ejde-155 303 3 + + CCONJ ejde-155 303 4 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 NOUN ejde-155 303 5 + + X ejde-155 303 6 d|u|p−1 d|u|p−1 ADJ ejde-155 304 1 + + CCONJ ejde-155 304 2 f f X ejde-155 304 3 , , PUNCT ejde-155 304 4 ξ ξ PROPN ejde-155 304 5 · · PUNCT ejde-155 304 6 ã(z ã(z PROPN ejde-155 304 7 , , PUNCT ejde-155 304 8 u u NOUN ejde-155 304 9 , , PUNCT ejde-155 304 10 ξ ξ NOUN ejde-155 304 11 ) ) PUNCT ejde-155 304 12 ≥ ≥ NOUN ejde-155 305 1 w(z)[|ξx|2 w(z)[|ξx|2 ADJ ejde-155 305 2 + + CCONJ ejde-155 305 3 λ2(x)|ξy|2]p/2 λ2(x)|ξy|2]p/2 X ejde-155 305 4 − − PROPN ejde-155 305 5 d1|u|p d1|u|p ADJ ejde-155 305 6 − − PROPN ejde-155 305 7 g g NOUN ejde-155 305 8 , , PUNCT ejde-155 305 9 where where SCONJ ejde-155 305 10 b(z b(z NOUN ejde-155 305 11 ) ) PUNCT ejde-155 305 12 = = SYM ejde-155 305 13 2pb(z 2pb(z NUM ejde-155 305 14 ) ) PUNCT ejde-155 305 15 , , PUNCT ejde-155 305 16 d(z d(z PROPN ejde-155 305 17 ) ) PUNCT ejde-155 305 18 = = SYM ejde-155 305 19 2pd(z 2pd(z NUM ejde-155 305 20 ) ) PUNCT ejde-155 305 21 , , PUNCT ejde-155 305 22 d1(z d1(z PROPN ejde-155 305 23 ) ) PUNCT ejde-155 305 24 = = SYM ejde-155 305 25 2pd1(z 2pd1(z NUM ejde-155 305 26 ) ) PUNCT ejde-155 305 27 , , PUNCT ejde-155 305 28 e(z e(z PROPN ejde-155 305 29 ) ) PUNCT ejde-155 305 30 = = PUNCT ejde-155 305 31 2pb(z)m(4r)p−1 2pb(z)m(4r)p−1 PROPN ejde-155 305 32 + + PUNCT ejde-155 305 33 e(z e(z NOUN ejde-155 305 34 ) ) PUNCT ejde-155 305 35 , , PUNCT ejde-155 305 36 f(z f(z NUM ejde-155 305 37 ) ) PUNCT ejde-155 305 38 = = SYM ejde-155 306 1 2pd(z)m(4r)p−1 2pd(z)m(4r)p−1 PROPN ejde-155 306 2 + + NUM ejde-155 306 3 f(z f(z NOUN ejde-155 306 4 ) ) PUNCT ejde-155 306 5 , , PUNCT ejde-155 306 6 14 14 NUM ejde-155 306 7 g. g. PROPN ejde-155 306 8 di di PROPN ejde-155 306 9 fazio fazio PROPN ejde-155 306 10 , , PUNCT ejde-155 306 11 m. m. PROPN ejde-155 306 12 s. s. PROPN ejde-155 306 13 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 306 14 , , PUNCT ejde-155 306 15 p. p. NOUN ejde-155 306 16 zamboni zamboni PROPN ejde-155 306 17 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 306 18 g(z g(z PROPN ejde-155 306 19 ) ) PUNCT ejde-155 306 20 = = SYM ejde-155 307 1 2pd1(z)m(4r)p−1 2pd1(z)m(4r)p−1 PROPN ejde-155 307 2 + + CCONJ ejde-155 307 3 g(z g(z PROPN ejde-155 307 4 ) ) PUNCT ejde-155 307 5 , , PUNCT ejde-155 307 6 ( ( PUNCT ejde-155 307 7 b b X ejde-155 307 8 w w NOUN ejde-155 307 9 ) ) PUNCT ejde-155 307 10 p p X ejde-155 307 11 / / SYM ejde-155 307 12 p−1 p−1 PROPN ejde-155 307 13 , , PUNCT ejde-155 307 14 ( ( PUNCT ejde-155 307 15 d d NOUN ejde-155 307 16 w w PROPN ejde-155 307 17 ) ) PUNCT ejde-155 307 18 , , PUNCT ejde-155 307 19 ( ( PUNCT ejde-155 307 20 d1 d1 PROPN ejde-155 307 21 w w PROPN ejde-155 307 22 ) ) PUNCT ejde-155 307 23 , , PUNCT ejde-155 307 24 ( ( PUNCT ejde-155 307 25 e e X ejde-155 307 26 w w NOUN ejde-155 307 27 ) ) PUNCT ejde-155 307 28 p p X ejde-155 307 29 / / SYM ejde-155 307 30 p−1 p−1 PROPN ejde-155 307 31 , , PUNCT ejde-155 307 32 f f PROPN ejde-155 307 33 w w PROPN ejde-155 307 34 , , PUNCT ejde-155 307 35 g g PROPN ejde-155 307 36 w w PROPN ejde-155 307 37 ∈ ∈ PROPN ejde-155 307 38 s′v(ω s′v(ω NOUN ejde-155 307 39 ) ) PUNCT ejde-155 307 40 . . PUNCT ejde-155 308 1 then then ADV ejde-155 308 2 by by ADP ejde-155 308 3 ( ( PUNCT ejde-155 308 4 5.4 5.4 NUM ejde-155 308 5 ) ) PUNCT ejde-155 308 6 and and CCONJ ejde-155 308 7 condition condition NOUN ejde-155 308 8 av av NOUN ejde-155 308 9 , , PUNCT ejde-155 308 10 we we PRON ejde-155 308 11 have have VERB ejde-155 308 12 m(4r)−m m(4r)−m NOUN ejde-155 308 13 ≤ ≤ NUM ejde-155 308 14 w(b2r w(b2r NOUN ejde-155 308 15 \ \ PROPN ejde-155 308 16 ω ω PROPN ejde-155 308 17 ) ) PUNCT ejde-155 308 18 aw(b2r aw(b2r PROPN ejde-155 308 19 ) ) PUNCT ejde-155 309 1 [ [ X ejde-155 309 2 m(4r)−m m(4r)−m X ejde-155 309 3 ] ] PUNCT ejde-155 309 4 = = SYM ejde-155 309 5 1 1 NUM ejde-155 309 6 aw(b2r aw(b2r PROPN ejde-155 309 7 ) ) PUNCT ejde-155 309 8 ∫ ∫ PROPN ejde-155 309 9 b2r\ω b2r\ω VERB ejde-155 310 1 [ [ X ejde-155 310 2 m(4r)−m m(4r)−m X ejde-155 310 3 ] ] X ejde-155 310 4 w w NOUN ejde-155 310 5 dx dx PROPN ejde-155 310 6 ≤ ≤ NUM ejde-155 310 7 1 1 NUM ejde-155 310 8 aw(b2r aw(b2r PROPN ejde-155 310 9 ) ) PUNCT ejde-155 310 10 ∫ ∫ PROPN ejde-155 310 11 b2r\ω b2r\ω PROPN ejde-155 310 12 [ [ PUNCT ejde-155 310 13 ˜m(4r)− ˜m(4r)− PROPN ejde-155 310 14 u]w u]w PROPN ejde-155 310 15 dx dx PROPN ejde-155 311 1 ≤ ≤ PROPN ejde-155 312 1 c c PROPN ejde-155 312 2 [ [ PUNCT ejde-155 312 3 inf inf ADJ ejde-155 312 4 br∩ω br∩ω NOUN ejde-155 312 5 ( ( PUNCT ejde-155 312 6 m(4r)− m(4r)− NOUN ejde-155 312 7 u u NOUN ejde-155 312 8 ) ) PUNCT ejde-155 312 9 + + X ejde-155 312 10 h(r h(r NOUN ejde-155 312 11 ) ) PUNCT ejde-155 312 12 ] ] PUNCT ejde-155 312 13 ≤ ≤ NUM ejde-155 312 14 c[m(4r)−m(r c[m(4r)−m(r NOUN ejde-155 312 15 ) ) PUNCT ejde-155 313 1 + + X ejde-155 313 2 h(r h(r NOUN ejde-155 313 3 ) ) PUNCT ejde-155 313 4 ] ] PUNCT ejde-155 313 5 . . PUNCT ejde-155 314 1 ( ( PUNCT ejde-155 314 2 5.6 5.6 NUM ejde-155 314 3 ) ) PUNCT ejde-155 314 4 where where SCONJ ejde-155 314 5 m m NOUN ejde-155 314 6 = = VERB ejde-155 314 7 supb4r∩∂ω supb4r∩∂ω NOUN ejde-155 314 8 u u NOUN ejde-155 314 9 , , PUNCT ejde-155 314 10 m m VERB ejde-155 314 11 = = VERB ejde-155 314 12 infb4r∩∂ω infb4r∩∂ω ADJ ejde-155 314 13 u u NOUN ejde-155 314 14 and and CCONJ ejde-155 314 15 h(r h(r NOUN ejde-155 314 16 ) ) PUNCT ejde-155 314 17 = = SYM ejde-155 314 18 φ1 φ1 PROPN ejde-155 314 19 / / SYM ejde-155 314 20 p p X ejde-155 315 1 [ [ X ejde-155 315 2 ( ( PUNCT ejde-155 315 3 e e NOUN ejde-155 315 4 w w NOUN ejde-155 315 5 ) ) PUNCT ejde-155 315 6 p p PROPN ejde-155 315 7 p−1 p−1 PROPN ejde-155 315 8 ; ; PUNCT ejde-155 315 9 r r X ejde-155 315 10 ] ] PUNCT ejde-155 316 1 + + CCONJ ejde-155 316 2 φ φ PROPN ejde-155 316 3 1 1 NUM ejde-155 316 4 p−1 p−1 PROPN ejde-155 316 5 ( ( PUNCT ejde-155 316 6 f f PROPN ejde-155 316 7 w w PROPN ejde-155 316 8 ; ; PUNCT ejde-155 316 9 r r X ejde-155 316 10 ) ) PUNCT ejde-155 317 1 + + CCONJ ejde-155 317 2 φ1 φ1 PROPN ejde-155 317 3 / / SYM ejde-155 317 4 p p NOUN ejde-155 317 5 ( ( PUNCT ejde-155 317 6 g g PROPN ejde-155 317 7 w w PROPN ejde-155 317 8 ; ; PUNCT ejde-155 317 9 r r NOUN ejde-155 317 10 ) ) PUNCT ejde-155 317 11 . . PUNCT ejde-155 318 1 in in ADP ejde-155 318 2 a a DET ejde-155 318 3 similar similar ADJ ejde-155 318 4 way way NOUN ejde-155 318 5 , , PUNCT ejde-155 318 6 for for ADP ejde-155 318 7 u−m(4r u−m(4r NUM ejde-155 318 8 ) ) PUNCT ejde-155 318 9 , , PUNCT ejde-155 318 10 m−m(4r m−m(4r PROPN ejde-155 318 11 ) ) PUNCT ejde-155 318 12 ≤ ≤ NOUN ejde-155 318 13 c[m(r)−m(4r c[m(r)−m(4r PROPN ejde-155 318 14 ) ) PUNCT ejde-155 318 15 + + NUM ejde-155 318 16 h(r h(r NOUN ejde-155 318 17 ) ) PUNCT ejde-155 318 18 ] ] PUNCT ejde-155 318 19 . . PUNCT ejde-155 319 1 ( ( PUNCT ejde-155 319 2 5.7 5.7 NUM ejde-155 319 3 ) ) PUNCT ejde-155 319 4 from from ADP ejde-155 319 5 ( ( PUNCT ejde-155 319 6 5.6 5.6 NUM ejde-155 319 7 ) ) PUNCT ejde-155 319 8 and and CCONJ ejde-155 319 9 ( ( PUNCT ejde-155 319 10 5.7 5.7 NUM ejde-155 319 11 ) ) PUNCT ejde-155 319 12 we we PRON ejde-155 319 13 obtain obtain VERB ejde-155 319 14 , , PUNCT ejde-155 319 15 for for ADP ejde-155 319 16 θ θ PROPN ejde-155 319 17 < < X ejde-155 319 18 1 1 NUM ejde-155 319 19 m(r)−m(r m(r)−m(r NOUN ejde-155 319 20 ) ) PUNCT ejde-155 319 21 ≤ ≤ NUM ejde-155 319 22 θ[m(4r)−m(4r θ[m(4r)−m(4r NOUN ejde-155 319 23 ) ) PUNCT ejde-155 319 24 ] ] PUNCT ejde-155 320 1 + + ADV ejde-155 320 2 m m VERB ejde-155 320 3 −m+ −m+ NOUN ejde-155 320 4 ch(r ch(r PROPN ejde-155 320 5 ) ) PUNCT ejde-155 320 6 , , PUNCT ejde-155 320 7 from from ADP ejde-155 320 8 which which PRON ejde-155 320 9 applying apply VERB ejde-155 320 10 [ [ X ejde-155 320 11 24 24 NUM ejde-155 320 12 , , PUNCT ejde-155 320 13 lemma lemma PROPN ejde-155 320 14 8.23 8.23 NUM ejde-155 320 15 ] ] PUNCT ejde-155 320 16 ( ( PUNCT ejde-155 320 17 see see VERB ejde-155 320 18 also also ADV ejde-155 320 19 [ [ X ejde-155 320 20 16 16 NUM ejde-155 320 21 ] ] SYM ejde-155 320 22 ) ) PUNCT ejde-155 320 23 we we PRON ejde-155 320 24 obtain obtain VERB ejde-155 320 25 the the DET ejde-155 320 26 result result NOUN ejde-155 320 27 . . PUNCT ejde-155 321 1 � � PROPN ejde-155 321 2 as as ADP ejde-155 321 3 consequences consequence NOUN ejde-155 321 4 of of ADP ejde-155 321 5 the the DET ejde-155 321 6 previous previous ADJ ejde-155 321 7 theorem theorem NOUN ejde-155 321 8 we we PRON ejde-155 321 9 obtain obtain VERB ejde-155 321 10 the the DET ejde-155 321 11 following follow VERB ejde-155 321 12 corollary corollary NOUN ejde-155 321 13 . . PUNCT ejde-155 322 1 corollary corollary ADJ ejde-155 322 2 5.5 5.5 NUM ejde-155 322 3 . . PUNCT ejde-155 323 1 let let VERB ejde-155 323 2 ω ω PRON ejde-155 323 3 be be AUX ejde-155 323 4 a a DET ejde-155 323 5 bounded bounded ADJ ejde-155 323 6 open open ADJ ejde-155 323 7 set set VERB ejde-155 323 8 satisfying satisfy VERB ejde-155 323 9 condition condition NOUN ejde-155 323 10 av av PROPN ejde-155 323 11 in in ADP ejde-155 323 12 every every DET ejde-155 323 13 x0 x0 PROPN ejde-155 323 14 ∈ ∈ PROPN ejde-155 323 15 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 323 16 . . PUNCT ejde-155 324 1 let let VERB ejde-155 324 2 u u PRON ejde-155 324 3 be be AUX ejde-155 324 4 a a DET ejde-155 324 5 locally locally ADV ejde-155 324 6 bounded bound VERB ejde-155 324 7 weak weak ADJ ejde-155 324 8 solution solution NOUN ejde-155 324 9 of of ADP ejde-155 324 10 equation equation NOUN ejde-155 324 11 ( ( PUNCT ejde-155 324 12 5.1 5.1 NUM ejde-155 324 13 ) ) PUNCT ejde-155 324 14 in in ADP ejde-155 324 15 ω ω PROPN ejde-155 324 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 324 17 ( ( PUNCT ejde-155 324 18 5.2 5.2 NUM ejde-155 324 19 ) ) PUNCT ejde-155 324 20 and and CCONJ ejde-155 324 21 ( ( PUNCT ejde-155 324 22 5.3 5.3 NUM ejde-155 324 23 ) ) PUNCT ejde-155 324 24 . . PUNCT ejde-155 325 1 let let VERB ejde-155 325 2 u u PRON ejde-155 325 3 = = PROPN ejde-155 325 4 ϕ ϕ PROPN ejde-155 325 5 on on ADP ejde-155 325 6 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 325 7 . . PUNCT ejde-155 326 1 if if SCONJ ejde-155 326 2 ϕ ϕ NOUN ejde-155 326 3 is be AUX ejde-155 326 4 continuous continuous ADJ ejde-155 326 5 in in ADP ejde-155 326 6 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 326 7 then then ADV ejde-155 326 8 u u NOUN ejde-155 326 9 is be AUX ejde-155 326 10 continuous continuous ADJ ejde-155 326 11 in in ADP ejde-155 326 12 ω ω PROPN ejde-155 326 13 . . PUNCT ejde-155 327 1 now now ADV ejde-155 327 2 we we PRON ejde-155 327 3 refine refine VERB ejde-155 327 4 our our PRON ejde-155 327 5 assumptions assumption NOUN ejde-155 327 6 on on ADP ejde-155 327 7 lower low ADJ ejde-155 327 8 order order NOUN ejde-155 327 9 terms term NOUN ejde-155 327 10 . . PUNCT ejde-155 328 1 if if SCONJ ejde-155 328 2 we we PRON ejde-155 328 3 assume assume VERB ejde-155 328 4 the the DET ejde-155 328 5 coefficients coefficient NOUN ejde-155 328 6 in in ADP ejde-155 328 7 a a DET ejde-155 328 8 suitable suitable ADJ ejde-155 328 9 morrey morrey NOUN ejde-155 328 10 space space NOUN ejde-155 328 11 we we PRON ejde-155 328 12 obtain obtain VERB ejde-155 328 13 hölder hölder NOUN ejde-155 328 14 continuity continuity NOUN ejde-155 328 15 of of ADP ejde-155 328 16 the the DET ejde-155 328 17 solution solution NOUN ejde-155 328 18 . . PUNCT ejde-155 329 1 corollary corollary ADJ ejde-155 329 2 5.6 5.6 NUM ejde-155 329 3 . . PUNCT ejde-155 330 1 let let VERB ejde-155 330 2 ω ω NUM ejde-155 330 3 be be AUX ejde-155 330 4 a a DET ejde-155 330 5 bounded bounded ADJ ejde-155 330 6 open open ADJ ejde-155 330 7 set set NOUN ejde-155 330 8 satisfying satisfy VERB ejde-155 330 9 the the DET ejde-155 330 10 av av PROPN ejde-155 330 11 condition condition NOUN ejde-155 330 12 in in ADP ejde-155 330 13 every every DET ejde-155 330 14 z0 z0 PROPN ejde-155 330 15 ∈ ∈ PROPN ejde-155 330 16 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 330 17 . . PUNCT ejde-155 331 1 let let VERB ejde-155 331 2 u u PRON ejde-155 331 3 be be AUX ejde-155 331 4 a a DET ejde-155 331 5 locally locally ADV ejde-155 331 6 bounded bound VERB ejde-155 331 7 weak weak ADJ ejde-155 331 8 solution solution NOUN ejde-155 331 9 of of ADP ejde-155 331 10 equation equation NOUN ejde-155 331 11 ( ( PUNCT ejde-155 331 12 5.1 5.1 NUM ejde-155 331 13 ) ) PUNCT ejde-155 331 14 in in ADP ejde-155 331 15 ω ω PROPN ejde-155 331 16 satisfying satisfying ADJ ejde-155 331 17 ( ( PUNCT ejde-155 331 18 5.2 5.2 NUM ejde-155 331 19 ) ) PUNCT ejde-155 331 20 and and CCONJ ejde-155 331 21 a a DET ejde-155 331 22 , , PUNCT ejde-155 331 23 b0 b0 NOUN ejde-155 331 24 ∈ ∈ PROPN ejde-155 331 25 r r NOUN ejde-155 331 26 , , PUNCT ejde-155 331 27 ( ( PUNCT ejde-155 331 28 b b X ejde-155 331 29 w w NOUN ejde-155 331 30 ) ) PUNCT ejde-155 331 31 p p PROPN ejde-155 331 32 p−1 p−1 PROPN ejde-155 331 33 , , PUNCT ejde-155 331 34 ( ( PUNCT ejde-155 331 35 b1 b1 NOUN ejde-155 331 36 w w PROPN ejde-155 331 37 ) ) PUNCT ejde-155 331 38 p p NOUN ejde-155 331 39 , , PUNCT ejde-155 331 40 d d X ejde-155 331 41 w w PROPN ejde-155 331 42 , , PUNCT ejde-155 331 43 d1 d1 PROPN ejde-155 331 44 w w PROPN ejde-155 331 45 , , PUNCT ejde-155 331 46 ( ( PUNCT ejde-155 331 47 e e NOUN ejde-155 331 48 w w PROPN ejde-155 331 49 ) ) PUNCT ejde-155 331 50 p p PROPN ejde-155 331 51 p−1 p−1 PROPN ejde-155 331 52 , , PUNCT ejde-155 331 53 f f PROPN ejde-155 331 54 w w PROPN ejde-155 331 55 , , PUNCT ejde-155 331 56 g g PROPN ejde-155 331 57 w w PROPN ejde-155 331 58 ∈ ∈ PROPN ejde-155 331 59 l1,p−ε l1,p−ε PRON ejde-155 331 60 v v NOUN ejde-155 331 61 ( ( PUNCT ejde-155 331 62 ω ω NOUN ejde-155 331 63 ) ) PUNCT ejde-155 331 64 , , PUNCT ejde-155 331 65 ( ( PUNCT ejde-155 331 66 5.8 5.8 NUM ejde-155 331 67 ) ) PUNCT ejde-155 331 68 with with ADP ejde-155 331 69 0 0 NUM ejde-155 331 70 < < X ejde-155 331 71 ε ε PROPN ejde-155 331 72 < < X ejde-155 331 73 p. p. NOUN ejde-155 331 74 let let VERB ejde-155 331 75 u u PRON ejde-155 331 76 = = PROPN ejde-155 331 77 ϕ ϕ PROPN ejde-155 331 78 on on ADP ejde-155 331 79 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 331 80 . . PUNCT ejde-155 332 1 if if SCONJ ejde-155 332 2 ϕ ϕ NOUN ejde-155 332 3 is be AUX ejde-155 332 4 hölder hölder NOUN ejde-155 332 5 continuous continuous ADJ ejde-155 332 6 in in ADP ejde-155 332 7 ∂ω ∂ω PROPN ejde-155 332 8 , , PUNCT ejde-155 332 9 then then ADV ejde-155 332 10 u u NOUN ejde-155 332 11 is be AUX ejde-155 332 12 hölder hölder NOUN ejde-155 332 13 continuous continuous ADJ ejde-155 332 14 in in ADP ejde-155 332 15 ω ω PROPN ejde-155 332 16 . . PUNCT ejde-155 332 17 acknowledgements acknowledgement NOUN ejde-155 332 18 . . PUNCT ejde-155 333 1 this this DET ejde-155 333 2 work work NOUN ejde-155 333 3 was be AUX ejde-155 333 4 supported support VERB ejde-155 333 5 by by ADP ejde-155 333 6 universite.gli universite.gli X ejde-155 333 7 studi studi PROPN ejde-155 333 8 di di X ejde-155 333 9 catania catania PROPN ejde-155 333 10 , , PUNCT ejde-155 333 11 “ " PUNCT ejde-155 333 12 piano piano NOUN ejde-155 333 13 pia.ce.ri pia.ce.ri NOUN ejde-155 333 14 ” " PUNCT ejde-155 333 15 , , PUNCT ejde-155 333 16 upb upb PROPN ejde-155 333 17 53722122154 53722122154 NUM ejde-155 333 18 . . PUNCT ejde-155 334 1 ejde-2022/65 ejde-2022/65 VERB ejde-155 334 2 boundary boundary ADJ ejde-155 334 3 regularity regularity NOUN ejde-155 334 4 for for ADP ejde-155 334 5 strongly strongly ADV ejde-155 334 6 degenerate degenerate ADJ ejde-155 334 7 operators operator NOUN ejde-155 334 8 15 15 NUM ejde-155 334 9 references reference NOUN ejde-155 334 10 [ [ X ejde-155 334 11 1 1 NUM ejde-155 334 12 ] ] PUNCT ejde-155 334 13 m. m. NOUN ejde-155 334 14 aizenman aizenman NOUN ejde-155 334 15 b. b. PROPN ejde-155 334 16 simon simon PROPN ejde-155 334 17 ; ; PUNCT ejde-155 335 1 brownian brownian ADJ ejde-155 335 2 motion motion NOUN ejde-155 335 3 and and CCONJ ejde-155 335 4 harnack harnack PROPN ejde-155 335 5 ’s ’s PART ejde-155 335 6 inequality inequality NOUN ejde-155 335 7 for for ADP ejde-155 335 8 schrödinger schrödinger NOUN ejde-155 335 9 operators operator NOUN ejde-155 335 10 , , PUNCT ejde-155 335 11 comm comm NOUN ejde-155 335 12 . . PUNCT ejde-155 336 1 pure pure ADJ ejde-155 336 2 appl appl PROPN ejde-155 336 3 . . PUNCT ejde-155 336 4 math math PROPN ejde-155 336 5 . . PUNCT ejde-155 337 1 , , PUNCT ejde-155 337 2 35 35 NUM ejde-155 337 3 ( ( PUNCT ejde-155 337 4 1982 1982 NUM ejde-155 337 5 ) ) PUNCT ejde-155 337 6 , , PUNCT ejde-155 337 7 209–271 209–271 NUM ejde-155 337 8 . . PUNCT ejde-155 338 1 [ [ X ejde-155 338 2 2 2 NUM ejde-155 338 3 ] ] PUNCT ejde-155 338 4 s. s. PROPN ejde-155 338 5 m. m. PROPN ejde-155 338 6 buckley buckley PROPN ejde-155 338 7 ; ; PUNCT ejde-155 338 8 inequalities inequality NOUN ejde-155 338 9 of of ADP ejde-155 338 10 john john PROPN ejde-155 338 11 – – PUNCT ejde-155 338 12 nirenberg nirenberg PROPN ejde-155 338 13 type type NOUN ejde-155 338 14 in in ADP ejde-155 338 15 doubling double VERB ejde-155 338 16 spaces space NOUN ejde-155 338 17 , , PUNCT ejde-155 338 18 j. j. PROPN ejde-155 338 19 anal anal PROPN ejde-155 338 20 . . PUNCT ejde-155 338 21 math math NOUN ejde-155 338 22 . . PUNCT ejde-155 339 1 79 79 NUM ejde-155 339 2 ( ( PUNCT ejde-155 339 3 1999 1999 NUM ejde-155 339 4 ) ) PUNCT ejde-155 339 5 , , PUNCT ejde-155 339 6 215–240 215–240 NUM ejde-155 339 7 . . PUNCT ejde-155 340 1 [ [ X ejde-155 340 2 3 3 X ejde-155 340 3 ] ] X ejde-155 340 4 l. l. PROPN ejde-155 340 5 capogna capogna PROPN ejde-155 340 6 , , PUNCT ejde-155 340 7 d. d. PROPN ejde-155 340 8 danielli danielli PROPN ejde-155 340 9 , , PUNCT ejde-155 340 10 n. n. PROPN ejde-155 340 11 garofalo garofalo PROPN ejde-155 340 12 ; ; PUNCT ejde-155 340 13 an an DET ejde-155 340 14 embedding embed VERB ejde-155 340 15 theorem theorem NOUN ejde-155 340 16 and and CCONJ ejde-155 340 17 the the DET ejde-155 340 18 harnack harnack NOUN ejde-155 340 19 inequality inequality NOUN ejde-155 340 20 for for ADP ejde-155 340 21 nonlinear nonlinear ADJ ejde-155 340 22 subelliptic subelliptic ADJ ejde-155 340 23 equations equation NOUN ejde-155 340 24 , , PUNCT ejde-155 340 25 comm comm NOUN ejde-155 340 26 . . PUNCT ejde-155 341 1 p.d.e p.d.e NOUN ejde-155 341 2 . . PROPN ejde-155 342 1 18 18 NUM ejde-155 342 2 ( ( PUNCT ejde-155 342 3 1993 1993 NUM ejde-155 342 4 ) ) PUNCT ejde-155 342 5 , , PUNCT ejde-155 342 6 1765–1794 1765–1794 NUM ejde-155 342 7 . . PUNCT ejde-155 343 1 [ [ X ejde-155 343 2 4 4 NUM ejde-155 343 3 ] ] X ejde-155 343 4 f. f. PROPN ejde-155 343 5 chiarenza chiarenza PROPN ejde-155 343 6 , , PUNCT ejde-155 343 7 e. e. PROPN ejde-155 343 8 fabes fabes PROPN ejde-155 343 9 , , PUNCT ejde-155 343 10 n. n. PROPN ejde-155 343 11 garofalo garofalo PROPN ejde-155 343 12 ; ; PUNCT ejde-155 343 13 harnack harnack PROPN ejde-155 343 14 ’s ’s PART ejde-155 343 15 inequality inequality NOUN ejde-155 343 16 for for ADP ejde-155 343 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-155 343 18 operators operator NOUN ejde-155 343 19 and and CCONJ ejde-155 343 20 continuity continuity NOUN ejde-155 343 21 of of ADP ejde-155 343 22 solutions solution NOUN ejde-155 343 23 , , PUNCT ejde-155 343 24 proc proc NOUN ejde-155 343 25 . . PUNCT ejde-155 344 1 ams am NOUN ejde-155 344 2 98 98 NUM ejde-155 344 3 ( ( PUNCT ejde-155 344 4 1986 1986 NUM ejde-155 344 5 ) ) PUNCT ejde-155 344 6 , , PUNCT ejde-155 344 7 415–425 415–425 NUM ejde-155 344 8 . . PUNCT ejde-155 345 1 [ [ X ejde-155 345 2 5 5 NUM ejde-155 345 3 ] ] PUNCT ejde-155 345 4 d. d. PROPN ejde-155 345 5 danielli danielli PROPN ejde-155 345 6 ; ; PUNCT ejde-155 345 7 a a DET ejde-155 345 8 fefferman fefferman ADJ ejde-155 345 9 - - PUNCT ejde-155 345 10 phong phong NOUN ejde-155 345 11 type type NOUN ejde-155 345 12 inequality inequality NOUN ejde-155 345 13 and and CCONJ ejde-155 345 14 applications application NOUN ejde-155 345 15 to to PART ejde-155 345 16 quasilinear quasilinear VERB ejde-155 345 17 subelliptic subelliptic ADJ ejde-155 345 18 equations equation NOUN ejde-155 345 19 , , PUNCT ejde-155 345 20 potential potential ADJ ejde-155 345 21 analysis analysis NOUN ejde-155 345 22 115 115 NUM ejde-155 345 23 ( ( PUNCT ejde-155 345 24 1999 1999 NUM ejde-155 345 25 ) ) PUNCT ejde-155 345 26 , , PUNCT ejde-155 345 27 387–413 387–413 NUM ejde-155 345 28 . . PUNCT ejde-155 346 1 [ [ X ejde-155 346 2 6 6 NUM ejde-155 346 3 ] ] X ejde-155 346 4 d. d. PROPN ejde-155 346 5 danielli danielli PROPN ejde-155 346 6 , , PUNCT ejde-155 346 7 n. n. PROPN ejde-155 346 8 garofalo garofalo PROPN ejde-155 346 9 , , PUNCT ejde-155 346 10 d. d. PROPN ejde-155 346 11 nhieu nhieu PROPN ejde-155 346 12 ; ; PUNCT ejde-155 346 13 trace trace NOUN ejde-155 346 14 inequalities inequality NOUN ejde-155 346 15 for for ADP ejde-155 346 16 carnot carnot NOUN ejde-155 346 17 - - PUNCT ejde-155 346 18 caratheodory caratheodory NOUN ejde-155 346 19 spaces space NOUN ejde-155 346 20 and and CCONJ ejde-155 346 21 applications application NOUN ejde-155 346 22 , , PUNCT ejde-155 346 23 ann ann PROPN ejde-155 346 24 . . PROPN ejde-155 346 25 scuola scuola PROPN ejde-155 346 26 norm norm NOUN ejde-155 346 27 . . PUNCT ejde-155 347 1 sup sup NOUN ejde-155 347 2 . . PUNCT ejde-155 348 1 pisa pisa PROPN ejde-155 348 2 , , PUNCT ejde-155 348 3 4 4 NUM ejde-155 348 4 ( ( PUNCT ejde-155 348 5 1998 1998 NUM ejde-155 348 6 ) ) PUNCT ejde-155 348 7 , , PUNCT ejde-155 348 8 195–252 195–252 NUM ejde-155 348 9 . . PUNCT ejde-155 349 1 [ [ X ejde-155 349 2 7 7 X ejde-155 349 3 ] ] X ejde-155 349 4 g. g. PROPN ejde-155 349 5 david david PROPN ejde-155 349 6 s. s. PROPN ejde-155 349 7 semmes semmes PROPN ejde-155 349 8 ; ; PUNCT ejde-155 349 9 strong strong ADJ ejde-155 349 10 a∞ a∞ PROPN ejde-155 349 11 weights weight NOUN ejde-155 349 12 , , PUNCT ejde-155 349 13 sobolev sobolev NOUN ejde-155 349 14 inequalities inequality NOUN ejde-155 349 15 and and CCONJ ejde-155 349 16 quasiconformal quasiconformal ADJ ejde-155 349 17 mappings mapping NOUN ejde-155 349 18 , , PUNCT ejde-155 349 19 analysis analysis NOUN ejde-155 349 20 and and CCONJ ejde-155 349 21 partial partial ADJ ejde-155 349 22 differential differential NOUN ejde-155 349 23 equations equation NOUN ejde-155 349 24 , , PUNCT ejde-155 349 25 lecture lecture NOUN ejde-155 349 26 notes note NOUN ejde-155 349 27 in in ADP ejde-155 349 28 pure pure ADJ ejde-155 349 29 and and CCONJ ejde-155 349 30 applied applied ADJ ejde-155 349 31 mathematics mathematic NOUN ejde-155 349 32 122 122 NUM ejde-155 349 33 , , PUNCT ejde-155 349 34 marcel marcel PROPN ejde-155 349 35 dekker dekker PROPN ejde-155 349 36 , , PUNCT ejde-155 349 37 1990 1990 NUM ejde-155 349 38 . . PUNCT ejde-155 350 1 [ [ X ejde-155 350 2 8 8 NUM ejde-155 350 3 ] ] X ejde-155 350 4 g. g. PROPN ejde-155 350 5 di di PROPN ejde-155 350 6 fazio fazio PROPN ejde-155 350 7 , , PUNCT ejde-155 350 8 m. m. PROPN ejde-155 350 9 s. s. PROPN ejde-155 350 10 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 350 11 , , PUNCT ejde-155 350 12 p. p. NOUN ejde-155 350 13 zamboni zamboni PROPN ejde-155 350 14 ; ; PUNCT ejde-155 350 15 harnack harnack NOUN ejde-155 350 16 inequality inequality NOUN ejde-155 350 17 and and CCONJ ejde-155 350 18 regularity regularity NOUN ejde-155 350 19 for for ADP ejde-155 350 20 degenerate degenerate ADJ ejde-155 350 21 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 350 22 elliptic elliptic ADJ ejde-155 350 23 equations equation NOUN ejde-155 350 24 , , PUNCT ejde-155 350 25 math math NOUN ejde-155 350 26 . . PUNCT ejde-155 351 1 z. z. PROPN ejde-155 351 2 264 264 NUM ejde-155 351 3 ( ( PUNCT ejde-155 351 4 2010 2010 NUM ejde-155 351 5 ) ) PUNCT ejde-155 351 6 , , PUNCT ejde-155 351 7 no no INTJ ejde-155 351 8 . . NOUN ejde-155 351 9 3 3 NUM ejde-155 351 10 , , PUNCT ejde-155 351 11 679–695 679–695 NUM ejde-155 351 12 . . PUNCT ejde-155 352 1 [ [ X ejde-155 352 2 9 9 NUM ejde-155 352 3 ] ] X ejde-155 352 4 g. g. PROPN ejde-155 352 5 di di PROPN ejde-155 352 6 fazio fazio PROPN ejde-155 352 7 , , PUNCT ejde-155 352 8 m. m. PROPN ejde-155 352 9 s. s. PROPN ejde-155 352 10 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 352 11 , , PUNCT ejde-155 352 12 p. p. NOUN ejde-155 352 13 zamboni zamboni PROPN ejde-155 352 14 ; ; PUNCT ejde-155 352 15 regularity regularity NOUN ejde-155 352 16 for for ADP ejde-155 352 17 a a DET ejde-155 352 18 class class NOUN ejde-155 352 19 of of ADP ejde-155 352 20 strongly strongly ADV ejde-155 352 21 degenerate degenerate ADJ ejde-155 352 22 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 352 23 operators operator NOUN ejde-155 352 24 , , PUNCT ejde-155 352 25 j. j. PROPN ejde-155 352 26 differential differential PROPN ejde-155 352 27 equations equation NOUN ejde-155 352 28 255 255 NUM ejde-155 352 29 ( ( PUNCT ejde-155 352 30 2013 2013 NUM ejde-155 352 31 ) ) PUNCT ejde-155 352 32 , , PUNCT ejde-155 352 33 no no INTJ ejde-155 352 34 . . NOUN ejde-155 352 35 11 11 NUM ejde-155 352 36 , , PUNCT ejde-155 352 37 3920–3939 3920–3939 NUM ejde-155 352 38 . . PUNCT ejde-155 353 1 [ [ X ejde-155 353 2 10 10 NUM ejde-155 353 3 ] ] X ejde-155 353 4 g. g. PROPN ejde-155 353 5 di di PROPN ejde-155 353 6 fazio fazio PROPN ejde-155 353 7 , , PUNCT ejde-155 353 8 m. m. PROPN ejde-155 353 9 s. s. PROPN ejde-155 353 10 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 353 11 , , PUNCT ejde-155 353 12 p. p. NOUN ejde-155 353 13 zamboni zamboni PROPN ejde-155 353 14 ; ; PUNCT ejde-155 353 15 harnack harnack NOUN ejde-155 353 16 inequality inequality NOUN ejde-155 353 17 and and CCONJ ejde-155 353 18 continuity continuity NOUN ejde-155 353 19 of of ADP ejde-155 353 20 weak weak ADJ ejde-155 353 21 solutions solution NOUN ejde-155 353 22 for for ADP ejde-155 353 23 doubly doubly ADV ejde-155 353 24 degenerate degenerate ADJ ejde-155 353 25 elliptic elliptic ADJ ejde-155 353 26 equations equation NOUN ejde-155 353 27 , , PUNCT ejde-155 353 28 mathematische mathematische NOUN ejde-155 353 29 zeitschrift zeitschrift NOUN ejde-155 353 30 , , PUNCT ejde-155 353 31 292 292 NUM ejde-155 353 32 ( ( PUNCT ejde-155 353 33 2019 2019 NUM ejde-155 353 34 ) ) PUNCT ejde-155 353 35 , , PUNCT ejde-155 353 36 1325–1336 1325–1336 NUM ejde-155 353 37 . . PUNCT ejde-155 354 1 [ [ X ejde-155 354 2 11 11 NUM ejde-155 354 3 ] ] X ejde-155 354 4 g. g. PROPN ejde-155 354 5 di di PROPN ejde-155 354 6 fazio fazio PROPN ejde-155 354 7 p. p. PROPN ejde-155 354 8 zamboni zamboni PROPN ejde-155 354 9 ; ; PUNCT ejde-155 354 10 hölder hölder VERB ejde-155 354 11 continuity continuity NOUN ejde-155 354 12 for for ADP ejde-155 354 13 quasilinear quasilinear ADJ ejde-155 354 14 subelliptic subelliptic ADJ ejde-155 354 15 equations equation NOUN ejde-155 354 16 in in ADP ejde-155 354 17 carnot carnot NOUN ejde-155 354 18 caratheodory caratheodory ADJ ejde-155 354 19 spaces space NOUN ejde-155 354 20 , , PUNCT ejde-155 354 21 math math NOUN ejde-155 354 22 . . PUNCT ejde-155 355 1 nachr nachr PROPN ejde-155 355 2 . . PROPN ejde-155 356 1 , , PUNCT ejde-155 356 2 272 272 NUM ejde-155 356 3 ( ( PUNCT ejde-155 356 4 2004 2004 NUM ejde-155 356 5 ) ) PUNCT ejde-155 356 6 , , PUNCT ejde-155 356 7 3–10 3–10 NOUN ejde-155 356 8 . . PUNCT ejde-155 357 1 [ [ X ejde-155 357 2 12 12 NUM ejde-155 357 3 ] ] X ejde-155 357 4 g. g. PROPN ejde-155 357 5 di di PROPN ejde-155 357 6 fazio fazio PROPN ejde-155 357 7 , , PUNCT ejde-155 357 8 p. p. NOUN ejde-155 357 9 zamboni zamboni PROPN ejde-155 357 10 ; ; PUNCT ejde-155 357 11 local local ADJ ejde-155 357 12 regularity regularity NOUN ejde-155 357 13 of of ADP ejde-155 357 14 solutions solution NOUN ejde-155 357 15 to to PART ejde-155 357 16 quasilinear quasilinear VERB ejde-155 357 17 subelliptic subelliptic ADJ ejde-155 357 18 equations equation NOUN ejde-155 357 19 in in ADP ejde-155 357 20 carnot carnot NOUN ejde-155 357 21 carathéodory carathéodory NOUN ejde-155 357 22 spaces space NOUN ejde-155 357 23 , , PUNCT ejde-155 357 24 boll boll NOUN ejde-155 357 25 . . PUNCT ejde-155 358 1 unione unione PROPN ejde-155 358 2 mat mat PROPN ejde-155 358 3 . . PUNCT ejde-155 358 4 ital ital PROPN ejde-155 358 5 . . PROPN ejde-155 358 6 , , PUNCT ejde-155 358 7 ( ( PUNCT ejde-155 358 8 8) 8) NUM ejde-155 358 9 9 9 NUM ejde-155 358 10 b b NOUN ejde-155 358 11 ( ( PUNCT ejde-155 358 12 2006 2006 NUM ejde-155 358 13 ) ) PUNCT ejde-155 358 14 , , PUNCT ejde-155 358 15 no no INTJ ejde-155 358 16 . . NOUN ejde-155 358 17 2 2 NUM ejde-155 358 18 , , PUNCT ejde-155 358 19 485–504 485–504 NUM ejde-155 358 20 . . PUNCT ejde-155 359 1 [ [ X ejde-155 359 2 13 13 NUM ejde-155 359 3 ] ] X ejde-155 359 4 g. g. PROPN ejde-155 359 5 di di PROPN ejde-155 359 6 fazio fazio PROPN ejde-155 359 7 , , PUNCT ejde-155 359 8 p. p. NOUN ejde-155 359 9 zamboni zamboni PROPN ejde-155 359 10 ; ; PUNCT ejde-155 359 11 regularity regularity NOUN ejde-155 359 12 for for ADP ejde-155 359 13 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 359 14 degenerate degenerate ADJ ejde-155 359 15 elliptic elliptic ADJ ejde-155 359 16 equations equation NOUN ejde-155 359 17 , , PUNCT ejde-155 359 18 math math NOUN ejde-155 359 19 . . PUNCT ejde-155 360 1 z. z. PROPN ejde-155 360 2 , , PUNCT ejde-155 360 3 253 253 NUM ejde-155 360 4 ( ( PUNCT ejde-155 360 5 2006 2006 NUM ejde-155 360 6 ) ) PUNCT ejde-155 360 7 , , PUNCT ejde-155 360 8 787–803 787–803 NUM ejde-155 360 9 . . PUNCT ejde-155 361 1 [ [ X ejde-155 361 2 14 14 NUM ejde-155 361 3 ] ] X ejde-155 361 4 b. b. PROPN ejde-155 361 5 franchi franchi PROPN ejde-155 361 6 , , PUNCT ejde-155 361 7 c. c. PROPN ejde-155 361 8 e. e. PROPN ejde-155 361 9 gutierrez gutierrez PROPN ejde-155 361 10 , , PUNCT ejde-155 361 11 r. r. PROPN ejde-155 361 12 wheeden wheeden PROPN ejde-155 361 13 ; ; PUNCT ejde-155 361 14 two two NUM ejde-155 361 15 - - PUNCT ejde-155 361 16 weight weight NOUN ejde-155 361 17 sobolev sobolev NOUN ejde-155 361 18 - - PUNCT ejde-155 361 19 poincaré poincaré ADJ ejde-155 361 20 inequalities inequality NOUN ejde-155 361 21 and and CCONJ ejde-155 361 22 harnack harnack NOUN ejde-155 361 23 inequality inequality NOUN ejde-155 361 24 for for ADP ejde-155 361 25 a a DET ejde-155 361 26 class class NOUN ejde-155 361 27 of of ADP ejde-155 361 28 degenerate degenerate ADJ ejde-155 361 29 elliptic elliptic ADJ ejde-155 361 30 operators operator NOUN ejde-155 361 31 , , PUNCT ejde-155 361 32 rend rend VERB ejde-155 361 33 . . PUNCT ejde-155 362 1 mat mat PROPN ejde-155 362 2 . . PROPN ejde-155 362 3 acc acc PROPN ejde-155 362 4 . . PROPN ejde-155 362 5 lincei lincei PROPN ejde-155 362 6 , , PUNCT ejde-155 362 7 5 5 NUM ejde-155 362 8 ( ( PUNCT ejde-155 362 9 1994 1994 NUM ejde-155 362 10 ) ) PUNCT ejde-155 362 11 , , PUNCT ejde-155 362 12 167–175 167–175 NUM ejde-155 362 13 . . PUNCT ejde-155 363 1 [ [ X ejde-155 363 2 15 15 NUM ejde-155 363 3 ] ] X ejde-155 363 4 b. b. PROPN ejde-155 363 5 franchi franchi PROPN ejde-155 363 6 , , PUNCT ejde-155 363 7 c. c. PROPN ejde-155 363 8 e. e. PROPN ejde-155 363 9 gutierrez gutierrez PROPN ejde-155 363 10 , , PUNCT ejde-155 363 11 r. r. PROPN ejde-155 363 12 wheeden wheeden PROPN ejde-155 363 13 ; ; PUNCT ejde-155 363 14 weighted weight VERB ejde-155 363 15 sobolev sobolev NOUN ejde-155 363 16 - - PUNCT ejde-155 363 17 poincaré poincaré ADJ ejde-155 363 18 inequalities inequality NOUN ejde-155 363 19 for for ADP ejde-155 363 20 grushin grushin ADJ ejde-155 363 21 type type NOUN ejde-155 363 22 operators operator NOUN ejde-155 363 23 , , PUNCT ejde-155 363 24 commun commun PROPN ejde-155 363 25 . . PUNCT ejde-155 364 1 pde pde PROPN ejde-155 364 2 19 19 NUM ejde-155 364 3 ( ( PUNCT ejde-155 364 4 1994 1994 NUM ejde-155 364 5 ) ) PUNCT ejde-155 364 6 , , PUNCT ejde-155 364 7 523–604 523–604 NUM ejde-155 364 8 . . PUNCT ejde-155 365 1 [ [ X ejde-155 365 2 16 16 NUM ejde-155 365 3 ] ] X ejde-155 365 4 d. d. PROPN ejde-155 365 5 gilbarg gilbarg PROPN ejde-155 365 6 , , PUNCT ejde-155 365 7 n. n. PROPN ejde-155 365 8 s. s. PROPN ejde-155 365 9 trudinger trudinger PROPN ejde-155 365 10 ; ; PUNCT ejde-155 365 11 elliptic elliptic ADJ ejde-155 365 12 partial partial ADJ ejde-155 365 13 differential differential ADJ ejde-155 365 14 equations equation NOUN ejde-155 365 15 of of ADP ejde-155 365 16 second second ADJ ejde-155 365 17 order order NOUN ejde-155 365 18 , , PUNCT ejde-155 365 19 springerverlag springerverlag NOUN ejde-155 365 20 , , PUNCT ejde-155 365 21 berlin berlin PROPN ejde-155 365 22 , , PUNCT ejde-155 365 23 1983 1983 NUM ejde-155 365 24 . . PUNCT ejde-155 366 1 [ [ X ejde-155 366 2 17 17 NUM ejde-155 366 3 ] ] X ejde-155 366 4 g. g. PROPN ejde-155 366 5 m. m. PROPN ejde-155 366 6 lieberman lieberman PROPN ejde-155 366 7 ; ; PUNCT ejde-155 366 8 sharp sharp ADJ ejde-155 366 9 form form NOUN ejde-155 366 10 of of ADP ejde-155 366 11 estimates estimate NOUN ejde-155 366 12 for for ADP ejde-155 366 13 subsolutions subsolution NOUN ejde-155 366 14 and and CCONJ ejde-155 366 15 supersolutions supersolution NOUN ejde-155 366 16 of of ADP ejde-155 366 17 quasilinear quasilinear PROPN ejde-155 366 18 elliptic elliptic ADJ ejde-155 366 19 equations equation NOUN ejde-155 366 20 involving involve VERB ejde-155 366 21 measures measure NOUN ejde-155 366 22 , , PUNCT ejde-155 366 23 comm comm NOUN ejde-155 366 24 . . PUNCT ejde-155 367 1 pde pde PROPN ejde-155 367 2 18 18 NUM ejde-155 367 3 ( ( PUNCT ejde-155 367 4 1993 1993 NUM ejde-155 367 5 ) ) PUNCT ejde-155 367 6 , , PUNCT ejde-155 367 7 1191–1212 1191–1212 NUM ejde-155 367 8 . . PUNCT ejde-155 368 1 [ [ X ejde-155 368 2 18 18 NUM ejde-155 368 3 ] ] X ejde-155 368 4 o. o. PROPN ejde-155 368 5 a. a. PROPN ejde-155 368 6 ladyzhenskaya ladyzhenskaya PROPN ejde-155 368 7 , , PUNCT ejde-155 368 8 n. n. PROPN ejde-155 368 9 n. n. PROPN ejde-155 368 10 ural’tseva ural’tseva PROPN ejde-155 368 11 ; ; PUNCT ejde-155 368 12 linear linear ADJ ejde-155 368 13 and and CCONJ ejde-155 368 14 quasilinear quasilinear VERB ejde-155 368 15 elliptic elliptic ADJ ejde-155 368 16 equations equation NOUN ejde-155 368 17 , , PUNCT ejde-155 368 18 academic academic ADJ ejde-155 368 19 press press NOUN ejde-155 368 20 , , PUNCT ejde-155 368 21 new new PROPN ejde-155 368 22 york york PROPN ejde-155 368 23 - - PUNCT ejde-155 368 24 london london PROPN ejde-155 368 25 , , PUNCT ejde-155 368 26 1968 1968 NUM ejde-155 368 27 xviii+495 xviii+495 PROPN ejde-155 368 28 pp pp ADJ ejde-155 368 29 . . PUNCT ejde-155 369 1 [ [ X ejde-155 369 2 19 19 NUM ejde-155 369 3 ] ] X ejde-155 369 4 j. j. PROPN ejde-155 369 5 m. m. PROPN ejde-155 369 6 rakotoson rakotoson PROPN ejde-155 369 7 ; ; PUNCT ejde-155 369 8 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 369 9 equations equation NOUN ejde-155 369 10 and and CCONJ ejde-155 369 11 spaces space NOUN ejde-155 369 12 of of ADP ejde-155 369 13 campanato campanato NOUN ejde-155 369 14 - - PUNCT ejde-155 369 15 morrey morrey NOUN ejde-155 369 16 type type NOUN ejde-155 369 17 , , PUNCT ejde-155 369 18 comm comm NOUN ejde-155 369 19 . . PUNCT ejde-155 370 1 p.d.e p.d.e NOUN ejde-155 370 2 . . PUNCT ejde-155 371 1 16 16 NUM ejde-155 371 2 ( ( PUNCT ejde-155 371 3 1991 1991 NUM ejde-155 371 4 ) ) PUNCT ejde-155 371 5 , , PUNCT ejde-155 371 6 1155–1182 1155–1182 NOUN ejde-155 371 7 . . PUNCT ejde-155 372 1 [ [ X ejde-155 372 2 20 20 NUM ejde-155 372 3 ] ] X ejde-155 372 4 j. j. PROPN ejde-155 372 5 m. m. PROPN ejde-155 372 6 rakotoson rakotoson PROPN ejde-155 372 7 , , PUNCT ejde-155 372 8 w. w. PROPN ejde-155 372 9 p. p. PROPN ejde-155 372 10 ziemer ziemer PROPN ejde-155 372 11 ; ; PUNCT ejde-155 372 12 local local ADJ ejde-155 372 13 behavior behavior NOUN ejde-155 372 14 of of ADP ejde-155 372 15 solutions solution NOUN ejde-155 372 16 of of ADP ejde-155 372 17 quasilinear quasilinear PROPN ejde-155 372 18 elliptic elliptic ADJ ejde-155 372 19 equations equation NOUN ejde-155 372 20 with with ADP ejde-155 372 21 general general ADJ ejde-155 372 22 structure structure NOUN ejde-155 372 23 , , PUNCT ejde-155 372 24 trans trans PROPN ejde-155 372 25 . . PUNCT ejde-155 373 1 ams ams PROPN ejde-155 373 2 319 319 NUM ejde-155 373 3 ( ( PUNCT ejde-155 373 4 1990 1990 NUM ejde-155 373 5 ) ) PUNCT ejde-155 373 6 , , PUNCT ejde-155 373 7 747–764 747–764 NUM ejde-155 373 8 . . PUNCT ejde-155 374 1 [ [ X ejde-155 374 2 21 21 NUM ejde-155 374 3 ] ] X ejde-155 374 4 y. y. PROPN ejde-155 374 5 sawano sawano PROPN ejde-155 374 6 , , PUNCT ejde-155 374 7 g. g. PROPN ejde-155 374 8 di di PROPN ejde-155 374 9 fazio fazio PROPN ejde-155 374 10 , , PUNCT ejde-155 374 11 d. d. PROPN ejde-155 374 12 hakim hakim PROPN ejde-155 374 13 ; ; PUNCT ejde-155 374 14 morrey morrey PROPN ejde-155 374 15 spaces space VERB ejde-155 374 16 : : PUNCT ejde-155 374 17 introduction introduction NOUN ejde-155 374 18 and and CCONJ ejde-155 374 19 applications application NOUN ejde-155 374 20 to to ADP ejde-155 374 21 integral integral ADJ ejde-155 374 22 operators operator NOUN ejde-155 374 23 and and CCONJ ejde-155 374 24 pde pde NOUN ejde-155 374 25 ’s ’s PART ejde-155 374 26 , , PUNCT ejde-155 374 27 volume volume NOUN ejde-155 374 28 i i PRON ejde-155 374 29 , , PUNCT ejde-155 374 30 taylor taylor PROPN ejde-155 374 31 and and CCONJ ejde-155 374 32 francis,2020 francis,2020 NOUN ejde-155 374 33 . . PUNCT ejde-155 375 1 [ [ X ejde-155 375 2 22 22 NUM ejde-155 375 3 ] ] X ejde-155 375 4 y. y. PROPN ejde-155 375 5 sawano sawano PROPN ejde-155 375 6 , , PUNCT ejde-155 375 7 g. g. PROPN ejde-155 375 8 di di PROPN ejde-155 375 9 fazio fazio PROPN ejde-155 375 10 , , PUNCT ejde-155 375 11 d. d. PROPN ejde-155 375 12 hakim hakim PROPN ejde-155 375 13 ; ; PUNCT ejde-155 375 14 morrey morrey PROPN ejde-155 375 15 spaces space VERB ejde-155 375 16 : : PUNCT ejde-155 375 17 introduction introduction NOUN ejde-155 375 18 and and CCONJ ejde-155 375 19 applications application NOUN ejde-155 375 20 to to ADP ejde-155 375 21 integral integral ADJ ejde-155 375 22 operators operator NOUN ejde-155 375 23 and and CCONJ ejde-155 375 24 pde pde NOUN ejde-155 375 25 ’s ’s PART ejde-155 375 26 , , PUNCT ejde-155 375 27 volume volume NOUN ejde-155 375 28 ii ii PROPN ejde-155 375 29 , , PUNCT ejde-155 375 30 taylor taylor PROPN ejde-155 375 31 and and CCONJ ejde-155 375 32 francis francis PROPN ejde-155 375 33 , , PUNCT ejde-155 375 34 2020 2020 NUM ejde-155 375 35 . . PUNCT ejde-155 376 1 [ [ X ejde-155 376 2 23 23 NUM ejde-155 376 3 ] ] PUNCT ejde-155 376 4 j. j. PROPN ejde-155 376 5 serrin serrin PROPN ejde-155 376 6 ; ; PUNCT ejde-155 376 7 local local ADJ ejde-155 376 8 behaviour behaviour NOUN ejde-155 376 9 of of ADP ejde-155 376 10 solutions solution NOUN ejde-155 376 11 of of ADP ejde-155 376 12 quasilinear quasilinear NOUN ejde-155 376 13 equations equation NOUN ejde-155 376 14 , , PUNCT ejde-155 376 15 acta acta PROPN ejde-155 376 16 math math PROPN ejde-155 376 17 . . PUNCT ejde-155 376 18 , , PUNCT ejde-155 376 19 111 111 NUM ejde-155 376 20 ( ( PUNCT ejde-155 376 21 1964 1964 NUM ejde-155 376 22 ) ) PUNCT ejde-155 376 23 , , PUNCT ejde-155 376 24 247–302 247–302 NUM ejde-155 376 25 . . PUNCT ejde-155 377 1 [ [ X ejde-155 377 2 24 24 NUM ejde-155 377 3 ] ] X ejde-155 377 4 n. n. PROPN ejde-155 377 5 s. s. PROPN ejde-155 377 6 trudinger trudinger PROPN ejde-155 377 7 ; ; PUNCT ejde-155 377 8 on on ADP ejde-155 377 9 harnack harnack NOUN ejde-155 377 10 type type NOUN ejde-155 377 11 inequalities inequality NOUN ejde-155 377 12 and and CCONJ ejde-155 377 13 their their PRON ejde-155 377 14 application application NOUN ejde-155 377 15 to to PART ejde-155 377 16 quasilinear quasilinear VERB ejde-155 377 17 elliptic elliptic ADJ ejde-155 377 18 equations equation NOUN ejde-155 377 19 , , PUNCT ejde-155 377 20 cpam cpam NOUN ejde-155 377 21 xx xx NUM ejde-155 377 22 ( ( PUNCT ejde-155 377 23 1967 1967 NUM ejde-155 377 24 ) ) PUNCT ejde-155 377 25 , , PUNCT ejde-155 377 26 721–747 721–747 NUM ejde-155 377 27 . . PUNCT ejde-155 378 1 [ [ X ejde-155 378 2 25 25 NUM ejde-155 378 3 ] ] X ejde-155 378 4 p. p. NOUN ejde-155 378 5 zamboni zamboni PROPN ejde-155 378 6 ; ; PUNCT ejde-155 378 7 the the DET ejde-155 378 8 harnack harnack NOUN ejde-155 378 9 inequality inequality NOUN ejde-155 378 10 for for ADP ejde-155 378 11 quasilinear quasilinear PROPN ejde-155 378 12 elliptic elliptic ADJ ejde-155 378 13 equations equation NOUN ejde-155 378 14 under under ADP ejde-155 378 15 minimal minimal ADJ ejde-155 378 16 assumptions assumption NOUN ejde-155 378 17 , , PUNCT ejde-155 378 18 manuscripta manuscripta NOUN ejde-155 378 19 math math NOUN ejde-155 378 20 . . PUNCT ejde-155 379 1 102 102 NUM ejde-155 379 2 ( ( PUNCT ejde-155 379 3 2000 2000 NUM ejde-155 379 4 ) ) PUNCT ejde-155 379 5 , , PUNCT ejde-155 380 1 311–323 311–323 NUM ejde-155 380 2 . . PUNCT ejde-155 381 1 16 16 NUM ejde-155 381 2 g. g. PROPN ejde-155 381 3 di di PROPN ejde-155 381 4 fazio fazio PROPN ejde-155 381 5 , , PUNCT ejde-155 381 6 m. m. PROPN ejde-155 381 7 s. s. PROPN ejde-155 381 8 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 381 9 , , PUNCT ejde-155 381 10 p. p. PROPN ejde-155 381 11 zamboni zamboni PROPN ejde-155 381 12 ejde-2022/65 ejde-2022/65 PROPN ejde-155 381 13 giuseppe giuseppe PROPN ejde-155 381 14 di di PROPN ejde-155 381 15 fazio fazio PROPN ejde-155 381 16 dipartimento dipartimento PROPN ejde-155 381 17 di di PROPN ejde-155 381 18 matematica matematica PROPN ejde-155 381 19 e e PROPN ejde-155 381 20 informatica informatica PROPN ejde-155 381 21 , , PUNCT ejde-155 381 22 università università PROPN ejde-155 381 23 di di PROPN ejde-155 381 24 catania catania PROPN ejde-155 381 25 , , PUNCT ejde-155 381 26 viale viale PROPN ejde-155 381 27 a. a. PROPN ejde-155 381 28 doria doria PROPN ejde-155 381 29 6 6 NUM ejde-155 381 30 , , PUNCT ejde-155 381 31 95125 95125 NUM ejde-155 381 32 , , PUNCT ejde-155 381 33 catania catania PROPN ejde-155 381 34 , , PUNCT ejde-155 381 35 italy italy PROPN ejde-155 381 36 email email NOUN ejde-155 381 37 address address NOUN ejde-155 381 38 : : PUNCT ejde-155 381 39 giuseppedifazio@unict.it giuseppedifazio@unict.it PROPN ejde-155 381 40 maria maria PROPN ejde-155 381 41 stella stella PROPN ejde-155 381 42 fanciullo fanciullo PROPN ejde-155 381 43 dipartimento dipartimento PROPN ejde-155 381 44 di di X ejde-155 381 45 matematica matematica PROPN ejde-155 381 46 e e PROPN ejde-155 381 47 informatica informatica PROPN ejde-155 381 48 , , PUNCT ejde-155 381 49 università università PROPN ejde-155 381 50 di di PROPN ejde-155 381 51 catania catania PROPN ejde-155 381 52 , , PUNCT ejde-155 381 53 viale viale PROPN ejde-155 381 54 a. a. PROPN ejde-155 381 55 doria doria PROPN ejde-155 381 56 6 6 NUM ejde-155 381 57 , , PUNCT ejde-155 381 58 95125 95125 NUM ejde-155 381 59 , , PUNCT ejde-155 381 60 catania catania PROPN ejde-155 381 61 , , PUNCT ejde-155 381 62 italy italy PROPN ejde-155 381 63 email email NOUN ejde-155 381 64 address address PROPN ejde-155 381 65 : : PUNCT ejde-155 381 66 fanciullo@dmi.unict.it fanciullo@dmi.unict.it PROPN ejde-155 381 67 piero piero PROPN ejde-155 381 68 zamboni zamboni PROPN ejde-155 381 69 dipartimento dipartimento PROPN ejde-155 381 70 di di PROPN ejde-155 381 71 matematica matematica PROPN ejde-155 381 72 e e PROPN ejde-155 381 73 informatica informatica PROPN ejde-155 381 74 , , PUNCT ejde-155 381 75 università università PROPN ejde-155 381 76 di di PROPN ejde-155 381 77 catania catania PROPN ejde-155 381 78 , , PUNCT ejde-155 381 79 viale viale PROPN ejde-155 381 80 a. a. PROPN ejde-155 381 81 doria doria PROPN ejde-155 381 82 6 6 NUM ejde-155 381 83 , , PUNCT ejde-155 381 84 95125 95125 NUM ejde-155 381 85 , , PUNCT ejde-155 381 86 catania catania PROPN ejde-155 381 87 , , PUNCT ejde-155 381 88 italy italy PROPN ejde-155 381 89 email email NOUN ejde-155 381 90 address address NOUN ejde-155 381 91 : : PUNCT ejde-155 381 92 zamboni@dmi.unict.it zamboni@dmi.unict.it PROPN ejde-155 381 93 1 1 NUM ejde-155 381 94 . . PUNCT ejde-155 381 95 introduction introduction NOUN ejde-155 381 96 2 2 NUM ejde-155 381 97 . . PUNCT ejde-155 381 98 strong strong ADJ ejde-155 381 99 a a DET ejde-155 381 100 weights weight NOUN ejde-155 381 101 and and CCONJ ejde-155 381 102 function function NOUN ejde-155 381 103 spaces space VERB ejde-155 381 104 3 3 NUM ejde-155 381 105 . . PUNCT ejde-155 381 106 stummel stummel VERB ejde-155 381 107 - - PUNCT ejde-155 381 108 kato kato PROPN ejde-155 381 109 type type NOUN ejde-155 381 110 classes class NOUN ejde-155 381 111 4 4 NUM ejde-155 381 112 . . PUNCT ejde-155 381 113 harnack harnack PROPN ejde-155 381 114 inequality inequality NOUN ejde-155 381 115 5 5 NUM ejde-155 381 116 . . PUNCT ejde-155 381 117 boundary boundary ADJ ejde-155 381 118 harnack harnack PROPN ejde-155 381 119 inequality inequality NOUN ejde-155 381 120 acknowledgements acknowledgement NOUN ejde-155 381 121 references reference NOUN