id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1590	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1590	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1590	1	3	of	of	ADP
ejde-1590	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1590	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1590	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1590	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1590	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1590	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	1	14	no	no	INTJ
ejde-1590	1	15	.	.	NOUN
ejde-1590	1	16	82	82	NUM
ejde-1590	1	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-1590	1	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	2	1	1–17	1–17	NOUN
ejde-1590	2	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-1590	3	2	:	:	PUNCT
ejde-1590	3	3	1072	1072	NUM
ejde-1590	3	4	-	-	SYM
ejde-1590	3	5	6691	6691	NUM
ejde-1590	3	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	4	1	url	url	PROPN
ejde-1590	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1590	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1590	4	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-1590	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-1590	4	7	:	:	PUNCT
ejde-1590	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1590	4	9	/	/	SYM
ejde-1590	4	10	ejde.2025.82	ejde.2025.82	ADJ
ejde-1590	4	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	4	12	operators	operator	NOUN
ejde-1590	4	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	4	14	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	4	15	on	on	ADP
ejde-1590	4	16	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	4	17	central	central	ADJ
ejde-1590	4	18	function	function	NOUN
ejde-1590	4	19	spaces	space	NOUN
ejde-1590	4	20	le	le	X
ejde-1590	4	21	trung	trung	VERB
ejde-1590	4	22	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	4	23	communicated	communicate	VERB
ejde-1590	4	24	by	by	ADP
ejde-1590	4	25	jesus	jesus	PROPN
ejde-1590	4	26	ildefonso	ildefonso	PROPN
ejde-1590	4	27	diaz	diaz	PROPN
ejde-1590	4	28	abstract	abstract	PROPN
ejde-1590	4	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	5	1	in	in	ADP
ejde-1590	5	2	this	this	DET
ejde-1590	5	3	article	article	NOUN
ejde-1590	5	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	5	we	we	PRON
ejde-1590	5	6	study	study	VERB
ejde-1590	5	7	the	the	DET
ejde-1590	5	8	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	5	9	of	of	ADP
ejde-1590	5	10	operators	operator	NOUN
ejde-1590	5	11	of	of	ADP
ejde-1590	5	12	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	5	13	type	type	NOUN
ejde-1590	5	14	on	on	ADP
ejde-1590	5	15	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	5	16	central	central	ADJ
ejde-1590	5	17	function	function	NOUN
ejde-1590	5	18	spaces	space	NOUN
ejde-1590	5	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	20	such	such	ADJ
ejde-1590	5	21	as	as	ADP
ejde-1590	5	22	the	the	DET
ejde-1590	5	23	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	5	24	central	central	ADJ
ejde-1590	5	25	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	5	26	space	space	NOUN
ejde-1590	5	27	hap	hap	NOUN
ejde-1590	5	28	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	29	r	r	PROPN
ejde-1590	5	30	φ	φ	PROPN
ejde-1590	5	31	(	(	PUNCT
ejde-1590	5	32	rn	rn	PROPN
ejde-1590	5	33	)	)	PUNCT
ejde-1590	5	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	35	the	the	DET
ejde-1590	5	36	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	5	37	central	central	ADJ
ejde-1590	5	38	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	5	39	space	space	NOUN
ejde-1590	5	40	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	5	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	42	r	r	PROPN
ejde-1590	5	43	φ	φ	PROPN
ejde-1590	5	44	(	(	PUNCT
ejde-1590	5	45	rn	rn	NOUN
ejde-1590	5	46	)	)	PUNCT
ejde-1590	5	47	,	,	PUNCT
ejde-1590	5	48	and	and	CCONJ
ejde-1590	5	49	the	the	DET
ejde-1590	5	50	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	5	51	central	central	ADJ
ejde-1590	5	52	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	5	53	space	space	NOUN
ejde-1590	5	54	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	6	1	p	p	X
ejde-1590	6	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	6	3	r	r	PROPN
ejde-1590	6	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	6	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	6	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	6	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	6	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	6	9	with	with	ADP
ejde-1590	6	10	p	p	PROPN
ejde-1590	6	11	∈	∈	PROPN
ejde-1590	6	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	6	13	1,∞	1,∞	NUM
ejde-1590	6	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	6	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	6	16	and	and	CCONJ
ejde-1590	6	17	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	6	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	6	19	:	:	PUNCT
ejde-1590	6	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	6	21	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	6	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	6	23	→	→	SYM
ejde-1590	6	24	(	(	PUNCT
ejde-1590	6	25	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1590	6	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	6	27	.	.	PUNCT
ejde-1590	7	1	we	we	PRON
ejde-1590	7	2	first	first	ADV
ejde-1590	7	3	show	show	VERB
ejde-1590	7	4	that	that	SCONJ
ejde-1590	7	5	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	7	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	7	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	7	8	rn	rn	NOUN
ejde-1590	7	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	7	10	is	be	AUX
ejde-1590	7	11	the	the	DET
ejde-1590	7	12	predual	predual	ADJ
ejde-1590	7	13	of	of	ADP
ejde-1590	7	14	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	8	1	p	p	X
ejde-1590	8	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	8	3	r	r	PROPN
ejde-1590	8	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	8	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	8	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	8	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	8	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	9	1	after	after	ADP
ejde-1590	9	2	that	that	PRON
ejde-1590	9	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	9	4	we	we	PRON
ejde-1590	9	5	investigate	investigate	VERB
ejde-1590	9	6	the	the	DET
ejde-1590	9	7	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	9	8	of	of	ADP
ejde-1590	9	9	operators	operator	NOUN
ejde-1590	9	10	of	of	ADP
ejde-1590	9	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	9	12	type	type	NOUN
ejde-1590	9	13	on	on	ADP
ejde-1590	9	14	those	those	DET
ejde-1590	9	15	spaces	space	NOUN
ejde-1590	9	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	10	1	by	by	ADP
ejde-1590	10	2	duality	duality	NOUN
ejde-1590	10	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	10	4	we	we	PRON
ejde-1590	10	5	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	10	6	the	the	DET
ejde-1590	10	7	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	10	8	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	10	9	of	of	ADP
ejde-1590	10	10	function	function	NOUN
ejde-1590	10	11	b	b	PROPN
ejde-1590	10	12	∈	∈	PROPN
ejde-1590	10	13	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	11	1	p	p	X
ejde-1590	11	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	11	3	r	r	PROPN
ejde-1590	11	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	11	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	11	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	11	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	11	8	via	via	ADP
ejde-1590	11	9	the	the	DET
ejde-1590	11	10	ṁ	ṁ	PROPN
ejde-1590	11	11	p	p	NOUN
ejde-1590	11	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	11	13	r	r	PROPN
ejde-1590	11	14	φ	φ	PROPN
ejde-1590	11	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	11	16	rn)-boundedness	rn)-boundedness	NOUN
ejde-1590	11	17	of	of	ADP
ejde-1590	11	18	commutator	commutator	NOUN
ejde-1590	11	19	[	[	X
ejde-1590	11	20	b	b	PROPN
ejde-1590	11	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	11	22	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	11	23	]	]	X
ejde-1590	11	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	12	1	1	1	X
ejde-1590	12	2	.	.	X
ejde-1590	12	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1590	12	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	12	5	main	main	ADJ
ejde-1590	12	6	results	result	NOUN
ejde-1590	12	7	firstly	firstly	ADV
ejde-1590	12	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	12	9	we	we	PRON
ejde-1590	12	10	introduce	introduce	VERB
ejde-1590	12	11	a	a	DET
ejde-1590	12	12	singular	singular	ADJ
ejde-1590	12	13	solution	solution	NOUN
ejde-1590	12	14	outside	outside	ADP
ejde-1590	12	15	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1590	12	16	spaces	space	NOUN
ejde-1590	12	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	12	18	its	its	PRON
ejde-1590	12	19	description	description	NOUN
ejde-1590	12	20	via	via	ADP
ejde-1590	12	21	central	central	ADJ
ejde-1590	12	22	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	12	23	and	and	CCONJ
ejde-1590	12	24	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	12	25	spaces	space	NOUN
ejde-1590	12	26	.	.	PUNCT
ejde-1590	13	1	problem	problem	NOUN
ejde-1590	13	2	setting	set	VERB
ejde-1590	13	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	14	1	we	we	PRON
ejde-1590	14	2	consider	consider	VERB
ejde-1590	14	3	the	the	DET
ejde-1590	14	4	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-1590	14	5	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1590	14	6	equation	equation	NOUN
ejde-1590	14	7	on	on	ADP
ejde-1590	14	8	the	the	DET
ejde-1590	14	9	unit	unit	NOUN
ejde-1590	14	10	ball	ball	NOUN
ejde-1590	14	11	b	b	PROPN
ejde-1590	14	12	:	:	PUNCT
ejde-1590	14	13	=	=	NOUN
ejde-1590	14	14	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-1590	14	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	15	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	15	2	rn	rn	PROPN
ejde-1590	15	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	15	4	with	with	ADP
ejde-1590	15	5	n	n	PRON
ejde-1590	15	6	≥	≥	NUM
ejde-1590	15	7	3	3	NUM
ejde-1590	15	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	1	−∆u−	−∆u−	PROPN
ejde-1590	16	2	µ	µ	PRON
ejde-1590	16	3	|x|2	|x|2	NOUN
ejde-1590	16	4	u	u	NOUN
ejde-1590	16	5	=	=	PROPN
ejde-1590	16	6	uq	uq	PROPN
ejde-1590	16	7	in	in	ADP
ejde-1590	16	8	b	b	PROPN
ejde-1590	16	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	16	10	u	u	NOUN
ejde-1590	16	11	>	>	X
ejde-1590	16	12	0	0	NUM
ejde-1590	16	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	16	14	u	u	PROPN
ejde-1590	16	15	∈	∈	PROPN
ejde-1590	16	16	h1	h1	NOUN
ejde-1590	16	17	loc(b	loc(b	ADJ
ejde-1590	16	18	\	\	PROPN
ejde-1590	16	19	{	{	PUNCT
ejde-1590	16	20	0	0	NUM
ejde-1590	16	21	}	}	PUNCT
ejde-1590	16	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	23	(	(	PUNCT
ejde-1590	16	24	1.1	1.1	NUM
ejde-1590	16	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	26	with	with	ADP
ejde-1590	16	27	•	•	NUM
ejde-1590	16	28	µ	µ	PRON
ejde-1590	16	29	∈	∈	NOUN
ejde-1590	16	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	16	31	0	0	NUM
ejde-1590	16	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	16	33	(	(	PUNCT
ejde-1590	16	34	n−2	n−2	PROPN
ejde-1590	16	35	2	2	NUM
ejde-1590	16	36	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	37	2	2	NUM
ejde-1590	16	38	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	39	(	(	PUNCT
ejde-1590	16	40	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-1590	16	41	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	16	42	potential	potential	NOUN
ejde-1590	16	43	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	16	45	•	•	ADP
ejde-1590	16	46	q	q	X
ejde-1590	16	47	>	>	X
ejde-1590	16	48	1	1	NUM
ejde-1590	16	49	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-1590	16	50	,	,	PUNCT
ejde-1590	16	51	•	•	PUNCT
ejde-1590	16	52	u	u	NOUN
ejde-1590	16	53	=	=	NOUN
ejde-1590	16	54	0	0	NUM
ejde-1590	16	55	on	on	ADP
ejde-1590	16	56	∂b	∂b	PROPN
ejde-1590	16	57	(	(	PUNCT
ejde-1590	16	58	in	in	ADP
ejde-1590	16	59	weak	weak	ADJ
ejde-1590	16	60	sense	sense	NOUN
ejde-1590	16	61	)	)	PUNCT
ejde-1590	16	62	.	.	PUNCT
ejde-1590	17	1	explicit	explicit	ADJ
ejde-1590	17	2	singular	singular	ADJ
ejde-1590	17	3	solution	solution	NOUN
ejde-1590	17	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	18	1	a	a	DET
ejde-1590	18	2	classical	classical	ADJ
ejde-1590	18	3	singular	singular	ADJ
ejde-1590	18	4	approximate	approximate	ADJ
ejde-1590	18	5	solution	solution	NOUN
ejde-1590	18	6	is	be	AUX
ejde-1590	18	7	given	give	VERB
ejde-1590	18	8	by	by	ADP
ejde-1590	18	9	u(x	u(x	NOUN
ejde-1590	18	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	18	11	=	=	SYM
ejde-1590	18	12	c|x|−γ	c|x|−γ	NOUN
ejde-1590	18	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	18	14	where	where	SCONJ
ejde-1590	18	15	γ	γ	PROPN
ejde-1590	18	16	=	=	SYM
ejde-1590	18	17	n−	n−	PROPN
ejde-1590	18	18	2	2	NUM
ejde-1590	18	19	2	2	NUM
ejde-1590	18	20	−	−	NOUN
ejde-1590	18	21	√(n−	√(n−	PROPN
ejde-1590	18	22	2	2	NUM
ejde-1590	18	23	2	2	NUM
ejde-1590	18	24	)	)	SYM
ejde-1590	18	25	2	2	NUM
ejde-1590	18	26	−	−	NOUN
ejde-1590	18	27	µ.	µ.	NOUN
ejde-1590	18	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	18	29	1.2	1.2	NUM
ejde-1590	18	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	18	31	this	this	DET
ejde-1590	18	32	function	function	NOUN
ejde-1590	18	33	is	be	AUX
ejde-1590	18	34	•	•	ADV
ejde-1590	18	35	not	not	PART
ejde-1590	18	36	in	in	ADP
ejde-1590	18	37	h1(b	h1(b	NOUN
ejde-1590	18	38	)	)	PUNCT
ejde-1590	18	39	because∫	because∫	NOUN
ejde-1590	18	40	b	b	PROPN
ejde-1590	18	41	|∇u|2dx	|∇u|2dx	NOUN
ejde-1590	18	42	∼	∼	NOUN
ejde-1590	18	43	∫	∫	NOUN
ejde-1590	18	44	1	1	NUM
ejde-1590	18	45	0	0	NUM
ejde-1590	19	1	rn−1−2(γ+1)dr	rn−1−2(γ+1)dr	NOUN
ejde-1590	19	2	=	=	SYM
ejde-1590	20	1	∞	∞	NUM
ejde-1590	20	2	•	•	NOUN
ejde-1590	20	3	in	in	ADP
ejde-1590	20	4	h1	h1	NOUN
ejde-1590	20	5	loc(b	loc(b	ADJ
ejde-1590	20	6	\	\	PROPN
ejde-1590	20	7	{	{	PUNCT
ejde-1590	20	8	0	0	NUM
ejde-1590	20	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	20	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	20	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	20	12	with	with	ADP
ejde-1590	20	13	singularity	singularity	NOUN
ejde-1590	20	14	at	at	ADP
ejde-1590	20	15	the	the	DET
ejde-1590	20	16	origin	origin	NOUN
ejde-1590	20	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	21	1	2020	2020	NUM
ejde-1590	21	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1590	21	3	subject	subject	ADJ
ejde-1590	21	4	classification	classification	NOUN
ejde-1590	21	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	22	1	42b20	42b20	NUM
ejde-1590	22	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	22	3	42b35	42b35	NUM
ejde-1590	22	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	22	5	42b30	42b30	NUM
ejde-1590	22	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	22	7	46a20	46a20	NOUN
ejde-1590	22	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	23	1	key	key	ADJ
ejde-1590	23	2	words	word	NOUN
ejde-1590	23	3	and	and	CCONJ
ejde-1590	23	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1590	23	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	24	1	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	24	2	operators	operator	NOUN
ejde-1590	24	3	;	;	PUNCT
ejde-1590	24	4	commutator	commutator	NOUN
ejde-1590	24	5	;	;	PUNCT
ejde-1590	24	6	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	24	7	central	central	ADJ
ejde-1590	24	8	function	function	NOUN
ejde-1590	24	9	space	space	NOUN
ejde-1590	24	10	;	;	PUNCT
ejde-1590	24	11	central	central	ADJ
ejde-1590	24	12	atomic	atomic	ADJ
ejde-1590	24	13	space	space	NOUN
ejde-1590	24	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	25	1	©	©	PROPN
ejde-1590	25	2	2025	2025	NUM
ejde-1590	25	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	26	1	this	this	DET
ejde-1590	26	2	work	work	NOUN
ejde-1590	26	3	is	be	AUX
ejde-1590	26	4	licensed	license	VERB
ejde-1590	26	5	under	under	ADP
ejde-1590	26	6	a	a	DET
ejde-1590	26	7	cc	cc	NOUN
ejde-1590	26	8	by	by	ADP
ejde-1590	26	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1590	26	10	license	license	NOUN
ejde-1590	26	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	27	1	submitted	submit	VERB
ejde-1590	27	2	july	july	PROPN
ejde-1590	27	3	2	2	NUM
ejde-1590	27	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	27	5	2025	2025	NUM
ejde-1590	27	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	28	1	published	publish	VERB
ejde-1590	28	2	august	august	PROPN
ejde-1590	28	3	8	8	NUM
ejde-1590	28	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	28	5	2025	2025	NUM
ejde-1590	28	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	29	1	1	1	NUM
ejde-1590	29	2	2	2	NUM
ejde-1590	29	3	l.	l.	NOUN
ejde-1590	29	4	t.	t.	NOUN
ejde-1590	29	5	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	29	6	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	29	7	why	why	SCONJ
ejde-1590	29	8	the	the	DET
ejde-1590	29	9	solution	solution	NOUN
ejde-1590	29	10	is	be	AUX
ejde-1590	29	11	independent	independent	ADJ
ejde-1590	29	12	of	of	ADP
ejde-1590	29	13	q.	q.	PROPN
ejde-1590	29	14	let	let	VERB
ejde-1590	29	15	us	we	PRON
ejde-1590	29	16	verify	verify	VERB
ejde-1590	29	17	whether	whether	SCONJ
ejde-1590	29	18	u(x	u(x	NOUN
ejde-1590	29	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	29	20	=	=	SYM
ejde-1590	29	21	c|x|−γ	c|x|−γ	NOUN
ejde-1590	29	22	solves	solve	VERB
ejde-1590	29	23	the	the	DET
ejde-1590	29	24	full	full	ADJ
ejde-1590	29	25	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1590	29	26	equation	equation	NOUN
ejde-1590	29	27	−∆u−	−∆u−	PROPN
ejde-1590	29	28	µ	µ	PRON
ejde-1590	29	29	|x|2	|x|2	NOUN
ejde-1590	29	30	u	u	NOUN
ejde-1590	29	31	=	=	PROPN
ejde-1590	29	32	uq	uq	PROPN
ejde-1590	29	33	.	.	PUNCT
ejde-1590	30	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	30	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1590	30	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	30	4	we	we	PRON
ejde-1590	30	5	compute	compute	VERB
ejde-1590	30	6	∆(|x|−γ	∆(|x|−γ	PRON
ejde-1590	30	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	30	8	=	=	SYM
ejde-1590	31	1	γ(γ	γ(γ	PROPN
ejde-1590	31	2	+	+	CCONJ
ejde-1590	31	3	2−	2−	NUM
ejde-1590	31	4	n)|x|−γ−2	n)|x|−γ−2	ADJ
ejde-1590	31	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	31	6	so	so	SCONJ
ejde-1590	31	7	that	that	SCONJ
ejde-1590	31	8	−∆u−	−∆u−	PROPN
ejde-1590	31	9	µ	µ	PRON
ejde-1590	31	10	|x|2	|x|2	NOUN
ejde-1590	31	11	u	u	NOUN
ejde-1590	31	12	=	=	PUNCT
ejde-1590	31	13	c	c	PROPN
ejde-1590	32	1	[	[	X
ejde-1590	32	2	γ(γ	γ(γ	PROPN
ejde-1590	32	3	+	+	CCONJ
ejde-1590	32	4	2−	2−	NUM
ejde-1590	32	5	n)−	n)−	PROPN
ejde-1590	32	6	µ	µ	X
ejde-1590	32	7	]	]	X
ejde-1590	32	8	|x|−γ−2	|x|−γ−2	NUM
ejde-1590	32	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	33	1	we	we	PRON
ejde-1590	33	2	compare	compare	VERB
ejde-1590	33	3	this	this	PRON
ejde-1590	33	4	with	with	ADP
ejde-1590	33	5	uq	uq	NOUN
ejde-1590	33	6	=	=	PUNCT
ejde-1590	33	7	cq|x|−γq	cq|x|−γq	PROPN
ejde-1590	33	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	33	9	and	and	CCONJ
ejde-1590	33	10	for	for	ADP
ejde-1590	33	11	equality	equality	NOUN
ejde-1590	33	12	we	we	PRON
ejde-1590	33	13	must	must	AUX
ejde-1590	33	14	have	have	AUX
ejde-1590	33	15	−γ	−γ	VERB
ejde-1590	33	16	−	−	PROPN
ejde-1590	33	17	2	2	NUM
ejde-1590	33	18	=	=	SYM
ejde-1590	33	19	−γq	−γq	X
ejde-1590	33	20	⇒	⇒	X
ejde-1590	33	21	γ(q	γ(q	PROPN
ejde-1590	34	1	−	−	NOUN
ejde-1590	34	2	1	1	NUM
ejde-1590	34	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	34	4	=	=	SYM
ejde-1590	34	5	2	2	NUM
ejde-1590	34	6	⇒	⇒	NOUN
ejde-1590	34	7	γ	γ	X
ejde-1590	34	8	=	=	SYM
ejde-1590	34	9	2	2	NUM
ejde-1590	34	10	q	q	NOUN
ejde-1590	34	11	−	−	PROPN
ejde-1590	34	12	1	1	NUM
ejde-1590	34	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	35	1	hence	hence	ADV
ejde-1590	35	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	35	3	the	the	DET
ejde-1590	35	4	singular	singular	NOUN
ejde-1590	35	5	function	function	NOUN
ejde-1590	35	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-1590	35	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	35	8	=	=	SYM
ejde-1590	35	9	|x|−γ	|x|−γ	PROPN
ejde-1590	35	10	solves	solve	VERB
ejde-1590	35	11	the	the	DET
ejde-1590	35	12	full	full	ADJ
ejde-1590	35	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1590	35	14	equation	equation	NOUN
ejde-1590	35	15	only	only	ADV
ejde-1590	35	16	when	when	SCONJ
ejde-1590	35	17	γ	γ	X
ejde-1590	35	18	=	=	SYM
ejde-1590	35	19	2	2	NUM
ejde-1590	35	20	q−1	q−1	PROPN
ejde-1590	35	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	36	1	thus	thus	ADV
ejde-1590	36	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	36	3	u(x	u(x	X
ejde-1590	36	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	36	5	=	=	SYM
ejde-1590	37	1	|x|−γ	|x|−γ	X
ejde-1590	37	2	is	be	AUX
ejde-1590	37	3	a	a	DET
ejde-1590	37	4	solution	solution	NOUN
ejde-1590	37	5	to	to	ADP
ejde-1590	37	6	the	the	DET
ejde-1590	37	7	*	*	ADJ
ejde-1590	37	8	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-1590	37	9	*	*	ADJ
ejde-1590	37	10	problem	problem	NOUN
ejde-1590	37	11	only	only	ADV
ejde-1590	37	12	when	when	SCONJ
ejde-1590	37	13	2	2	NUM
ejde-1590	37	14	q	q	NOUN
ejde-1590	37	15	−	−	PROPN
ejde-1590	37	16	1	1	NUM
ejde-1590	37	17	=	=	SYM
ejde-1590	37	18	n−	n−	NOUN
ejde-1590	37	19	2	2	NUM
ejde-1590	37	20	2	2	NUM
ejde-1590	37	21	−	−	NOUN
ejde-1590	37	22	√(n−	√(n−	PROPN
ejde-1590	37	23	2	2	NUM
ejde-1590	37	24	2	2	NUM
ejde-1590	37	25	)	)	SYM
ejde-1590	37	26	2	2	NUM
ejde-1590	37	27	−	−	NOUN
ejde-1590	37	28	µ.	µ.	NOUN
ejde-1590	37	29	but	but	CCONJ
ejde-1590	37	30	in	in	ADP
ejde-1590	37	31	our	our	PRON
ejde-1590	37	32	example	example	NOUN
ejde-1590	37	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	37	34	we	we	PRON
ejde-1590	37	35	fixed	fix	VERB
ejde-1590	37	36	:	:	PUNCT
ejde-1590	37	37	γ	γ	X
ejde-1590	37	38	=	=	SYM
ejde-1590	37	39	n−	n−	PROPN
ejde-1590	37	40	2	2	NUM
ejde-1590	37	41	2	2	NUM
ejde-1590	37	42	−	−	NOUN
ejde-1590	37	43	√(n−	√(n−	PROPN
ejde-1590	37	44	2	2	NUM
ejde-1590	37	45	2	2	NUM
ejde-1590	37	46	)	)	SYM
ejde-1590	37	47	2	2	NUM
ejde-1590	37	48	−	−	PROPN
ejde-1590	37	49	µ	µ	NUM
ejde-1590	37	50	,	,	PUNCT
ejde-1590	37	51	which	which	PRON
ejde-1590	37	52	only	only	ADV
ejde-1590	37	53	matches	match	VERB
ejde-1590	37	54	2	2	NUM
ejde-1590	37	55	q−1	q−1	PROPN
ejde-1590	37	56	for	for	ADP
ejde-1590	37	57	a	a	DET
ejde-1590	37	58	specific	specific	ADJ
ejde-1590	37	59	q.	q.	NOUN
ejde-1590	37	60	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	37	61	,	,	PUNCT
ejde-1590	37	62	u	u	NOUN
ejde-1590	37	63	is	be	AUX
ejde-1590	37	64	not	not	PART
ejde-1590	37	65	a	a	DET
ejde-1590	37	66	solution	solution	NOUN
ejde-1590	37	67	to	to	ADP
ejde-1590	37	68	the	the	DET
ejde-1590	37	69	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1590	37	70	equation	equation	NOUN
ejde-1590	37	71	for	for	ADP
ejde-1590	37	72	general	general	ADJ
ejde-1590	37	73	q	q	NOUN
ejde-1590	37	74	,	,	PUNCT
ejde-1590	37	75	but	but	CCONJ
ejde-1590	37	76	it	it	PRON
ejde-1590	37	77	serves	serve	VERB
ejde-1590	37	78	as	as	ADP
ejde-1590	37	79	a	a	DET
ejde-1590	37	80	model	model	NOUN
ejde-1590	37	81	to	to	PART
ejde-1590	37	82	study	study	VERB
ejde-1590	37	83	the	the	DET
ejde-1590	37	84	singularity	singularity	NOUN
ejde-1590	37	85	and	and	CCONJ
ejde-1590	37	86	local	local	ADJ
ejde-1590	37	87	behavior	behavior	NOUN
ejde-1590	37	88	,	,	PUNCT
ejde-1590	37	89	independently	independently	ADV
ejde-1590	37	90	of	of	ADP
ejde-1590	37	91	the	the	DET
ejde-1590	37	92	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1590	37	93	.	.	PUNCT
ejde-1590	38	1	it	it	PRON
ejde-1590	38	2	serves	serve	VERB
ejde-1590	38	3	as	as	ADP
ejde-1590	38	4	a	a	DET
ejde-1590	38	5	model	model	NOUN
ejde-1590	38	6	to	to	PART
ejde-1590	38	7	study	study	VERB
ejde-1590	38	8	the	the	DET
ejde-1590	38	9	singular	singular	ADJ
ejde-1590	38	10	behavior	behavior	NOUN
ejde-1590	38	11	of	of	ADP
ejde-1590	38	12	more	more	ADJ
ejde-1590	38	13	general	general	ADJ
ejde-1590	38	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1590	38	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	38	16	particularly	particularly	ADV
ejde-1590	38	17	near	near	ADP
ejde-1590	38	18	the	the	DET
ejde-1590	38	19	origin	origin	NOUN
ejde-1590	38	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	39	1	membership	membership	NOUN
ejde-1590	39	2	in	in	ADP
ejde-1590	39	3	central	central	ADJ
ejde-1590	39	4	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	39	5	spaces	space	NOUN
ejde-1590	39	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	40	1	we	we	PRON
ejde-1590	40	2	test	test	VERB
ejde-1590	40	3	whether	whether	SCONJ
ejde-1590	40	4	u	u	PROPN
ejde-1590	40	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	40	6	lp	lp	NOUN
ejde-1590	40	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	40	8	λ(b	λ(b	PROPN
ejde-1590	40	9	):	):	PUNCT
ejde-1590	40	10	∥u∥lp	∥u∥lp	NOUN
ejde-1590	40	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	40	12	λ	λ	X
ejde-1590	40	13	:	:	PUNCT
ejde-1590	40	14	=	=	SYM
ejde-1590	40	15	sup	sup	NOUN
ejde-1590	40	16	r<1	r<1	VERB
ejde-1590	40	17	r−λ	r−λ	NOUN
ejde-1590	40	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	40	19	∫	∫	PROPN
ejde-1590	40	20	b(0,r	b(0,r	CCONJ
ejde-1590	40	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	40	22	|u(x)|pdx	|u(x)|pdx	X
ejde-1590	40	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	40	24	1	1	X
ejde-1590	40	25	/	/	SYM
ejde-1590	40	26	p	p	X
ejde-1590	40	27	<	<	X
ejde-1590	40	28	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	40	29	(	(	PUNCT
ejde-1590	40	30	1.4	1.4	NUM
ejde-1590	40	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	40	32	let	let	VERB
ejde-1590	40	33	u(x	u(x	NOUN
ejde-1590	40	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	40	35	=	=	SYM
ejde-1590	40	36	|x|−γ	|x|−γ	PROPN
ejde-1590	40	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	40	38	then∫	then∫	PRON
ejde-1590	40	39	b(0,r	b(0,r	CCONJ
ejde-1590	40	40	)	)	PUNCT
ejde-1590	40	41	|x|−pγdx	|x|−pγdx	NOUN
ejde-1590	40	42	∼	∼	NOUN
ejde-1590	40	43	∫	∫	PROPN
ejde-1590	40	44	r	r	NOUN
ejde-1590	40	45	0	0	NUM
ejde-1590	40	46	ρn−1−pγdρ	ρn−1−pγdρ	NOUN
ejde-1590	40	47	=	=	SYM
ejde-1590	40	48	rn−pγ	rn−pγ	ADJ
ejde-1590	40	49	⇒	⇒	PROPN
ejde-1590	40	50	∥u∥lp	∥u∥lp	PROPN
ejde-1590	40	51	,	,	PUNCT
ejde-1590	40	52	λ	λ	X
ejde-1590	40	53	∼	∼	NOUN
ejde-1590	40	54	r−λ+n	r−λ+n	PUNCT
ejde-1590	40	55	p	p	NOUN
ejde-1590	40	56	−γ	−γ	NOUN
ejde-1590	40	57	.	.	PUNCT
ejde-1590	41	1	so	so	ADV
ejde-1590	41	2	u	u	PROPN
ejde-1590	41	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	41	4	lp	lp	NOUN
ejde-1590	41	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	41	6	λ	λ	PROPN
ejde-1590	41	7	for	for	ADP
ejde-1590	41	8	λ	λ	PROPN
ejde-1590	41	9	<	<	X
ejde-1590	41	10	n	n	CCONJ
ejde-1590	41	11	p	p	NOUN
ejde-1590	41	12	−	−	PROPN
ejde-1590	41	13	γ	γ	X
ejde-1590	41	14	.	.	PROPN
ejde-1590	42	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	42	2	1.5	1.5	NUM
ejde-1590	42	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	42	4	oscillation	oscillation	NOUN
ejde-1590	42	5	near	near	ADP
ejde-1590	42	6	zero	zero	NUM
ejde-1590	42	7	:	:	PUNCT
ejde-1590	42	8	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	42	9	spaces	space	NOUN
ejde-1590	42	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	43	1	consider	consider	VERB
ejde-1590	43	2	the	the	DET
ejde-1590	43	3	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	43	4	seminorm	seminorm	NOUN
ejde-1590	43	5	∥f∥2l2,λ	∥f∥2l2,λ	NOUN
ejde-1590	43	6	camp	camp	NOUN
ejde-1590	43	7	:	:	PUNCT
ejde-1590	43	8	=	=	SYM
ejde-1590	43	9	sup	sup	NOUN
ejde-1590	43	10	r<1	r<1	VERB
ejde-1590	43	11	r−λ	r−λ	NOUN
ejde-1590	43	12	∫	∫	NOUN
ejde-1590	43	13	b(0,r	b(0,r	CCONJ
ejde-1590	43	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	43	15	|f(x)−	|f(x)−	NOUN
ejde-1590	43	16	fb(0,r)|2dx	fb(0,r)|2dx	PUNCT
ejde-1590	43	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	44	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	44	2	1.6	1.6	NUM
ejde-1590	44	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	44	4	for	for	ADP
ejde-1590	44	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	44	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	45	1	=	=	SYM
ejde-1590	46	1	|x|−γ	|x|−γ	PROPN
ejde-1590	46	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	46	3	the	the	DET
ejde-1590	46	4	mean	mean	ADJ
ejde-1590	46	5	oscillation	oscillation	NOUN
ejde-1590	46	6	behaves	behave	VERB
ejde-1590	46	7	like	like	ADP
ejde-1590	46	8	r−λ	r−λ	NOUN
ejde-1590	46	9	∫	∫	PROPN
ejde-1590	46	10	b(0,r	b(0,r	CCONJ
ejde-1590	46	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	46	12	|f(x)−	|f(x)−	NOUN
ejde-1590	46	13	fb(0,r)|2dx	fb(0,r)|2dx	PUNCT
ejde-1590	46	14	∼	∼	NOUN
ejde-1590	46	15	rn−2γ−λ	rn−2γ−λ	NOUN
ejde-1590	46	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	47	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	47	2	1.7	1.7	NUM
ejde-1590	47	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	47	4	so	so	CCONJ
ejde-1590	47	5	f	f	PROPN
ejde-1590	47	6	∈	∈	PROPN
ejde-1590	47	7	l2,λ	l2,λ	PROPN
ejde-1590	47	8	camp(b	camp(b	PROPN
ejde-1590	47	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	47	10	for	for	ADP
ejde-1590	47	11	λ	λ	PROPN
ejde-1590	47	12	<	<	X
ejde-1590	47	13	n−	n−	NOUN
ejde-1590	47	14	2γ	2γ	NOUN
ejde-1590	47	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	48	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	48	2	1.8	1.8	NUM
ejde-1590	48	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	48	4	in	in	ADP
ejde-1590	48	5	particular	particular	ADJ
ejde-1590	48	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	48	7	since	since	SCONJ
ejde-1590	48	8	bmo	bmo	NOUN
ejde-1590	48	9	corresponds	correspond	VERB
ejde-1590	48	10	to	to	ADP
ejde-1590	48	11	λ	λ	PROPN
ejde-1590	48	12	=	=	SYM
ejde-1590	48	13	n	n	CCONJ
ejde-1590	48	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	48	15	the	the	DET
ejde-1590	48	16	function	function	NOUN
ejde-1590	48	17	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	48	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	49	1	=	=	SYM
ejde-1590	50	1	|x|−γ	|x|−γ	PROPN
ejde-1590	50	2	is	be	AUX
ejde-1590	50	3	not	not	PART
ejde-1590	50	4	in	in	ADP
ejde-1590	50	5	bmo	bmo	NOUN
ejde-1590	50	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	50	7	but	but	CCONJ
ejde-1590	50	8	lies	lie	VERB
ejde-1590	50	9	in	in	ADP
ejde-1590	50	10	a	a	DET
ejde-1590	50	11	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	50	12	space	space	NOUN
ejde-1590	50	13	with	with	ADP
ejde-1590	50	14	smaller	small	ADJ
ejde-1590	50	15	λ	λ	NOUN
ejde-1590	50	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	51	1	in	in	ADP
ejde-1590	51	2	summary	summary	NOUN
ejde-1590	51	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	52	1	the	the	DET
ejde-1590	52	2	function	function	NOUN
ejde-1590	52	3	u(x	u(x	VERB
ejde-1590	52	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	52	5	=	=	SYM
ejde-1590	53	1	|x|−γ	|x|−γ	PROPN
ejde-1590	53	2	•	•	ADV
ejde-1590	53	3	is	be	AUX
ejde-1590	53	4	not	not	PART
ejde-1590	53	5	in	in	ADP
ejde-1590	53	6	the	the	DET
ejde-1590	53	7	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1590	53	8	space	space	NOUN
ejde-1590	53	9	h1(b	h1(b	PROPN
ejde-1590	53	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	53	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	12	•	•	NUM
ejde-1590	53	13	is	be	AUX
ejde-1590	53	14	in	in	ADP
ejde-1590	53	15	the	the	DET
ejde-1590	53	16	central	central	ADJ
ejde-1590	53	17	morrey	morrey	PROPN
ejde-1590	53	18	space	space	NOUN
ejde-1590	53	19	lp	lp	NOUN
ejde-1590	53	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	21	λ(b	λ(b	PROPN
ejde-1590	53	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	53	23	for	for	ADP
ejde-1590	53	24	suitable	suitable	ADJ
ejde-1590	53	25	λ	λ	NOUN
ejde-1590	53	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	27	•	•	NUM
ejde-1590	53	28	is	be	AUX
ejde-1590	53	29	in	in	ADP
ejde-1590	53	30	the	the	DET
ejde-1590	53	31	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	53	32	space	space	NOUN
ejde-1590	53	33	l2,λ(b	l2,λ(b	PROPN
ejde-1590	53	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	53	35	for	for	ADP
ejde-1590	53	36	λ	λ	PROPN
ejde-1590	53	37	<	<	X
ejde-1590	53	38	n−	n−	NOUN
ejde-1590	53	39	2γ	2γ	NOUN
ejde-1590	53	40	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	41	•	•	NUM
ejde-1590	53	42	is	be	AUX
ejde-1590	53	43	not	not	PART
ejde-1590	53	44	in	in	ADP
ejde-1590	53	45	bmo	bmo	NOUN
ejde-1590	53	46	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	47	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	53	48	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	53	49	operators	operator	NOUN
ejde-1590	53	50	and	and	CCONJ
ejde-1590	53	51	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	53	52	3	3	NUM
ejde-1590	53	53	•	•	NOUN
ejde-1590	53	54	serves	serve	VERB
ejde-1590	53	55	as	as	ADP
ejde-1590	53	56	a	a	DET
ejde-1590	53	57	barrier	barrier	NOUN
ejde-1590	53	58	function	function	NOUN
ejde-1590	53	59	that	that	PRON
ejde-1590	53	60	captures	capture	VERB
ejde-1590	53	61	the	the	DET
ejde-1590	53	62	singularity	singularity	NOUN
ejde-1590	53	63	of	of	ADP
ejde-1590	53	64	the	the	DET
ejde-1590	53	65	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	53	66	potential	potential	NOUN
ejde-1590	53	67	,	,	PUNCT
ejde-1590	53	68	independent	independent	ADJ
ejde-1590	53	69	of	of	ADP
ejde-1590	53	70	the	the	DET
ejde-1590	53	71	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1590	53	72	.	.	PUNCT
ejde-1590	54	1	this	this	PRON
ejde-1590	54	2	demonstrates	demonstrate	VERB
ejde-1590	54	3	how	how	SCONJ
ejde-1590	54	4	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	54	5	central	central	ADJ
ejde-1590	54	6	spaces	space	NOUN
ejde-1590	54	7	such	such	ADJ
ejde-1590	54	8	as	as	ADP
ejde-1590	54	9	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	54	10	and	and	CCONJ
ejde-1590	54	11	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	54	12	capture	capture	VERB
ejde-1590	54	13	the	the	DET
ejde-1590	54	14	behavior	behavior	NOUN
ejde-1590	54	15	of	of	ADP
ejde-1590	54	16	singular	singular	ADJ
ejde-1590	54	17	solutions	solution	NOUN
ejde-1590	54	18	to	to	ADP
ejde-1590	54	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1590	54	20	pdes	pde	NOUN
ejde-1590	54	21	with	with	ADP
ejde-1590	54	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	54	23	-	-	PUNCT
ejde-1590	54	24	type	type	NOUN
ejde-1590	54	25	potentials	potential	NOUN
ejde-1590	54	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	54	27	even	even	ADV
ejde-1590	54	28	when	when	SCONJ
ejde-1590	54	29	the	the	DET
ejde-1590	54	30	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-1590	54	31	is	be	AUX
ejde-1590	54	32	not	not	PART
ejde-1590	54	33	presented	present	VERB
ejde-1590	54	34	.	.	PUNCT
ejde-1590	55	1	building	build	VERB
ejde-1590	55	2	on	on	ADP
ejde-1590	55	3	this	this	DET
ejde-1590	55	4	observation	observation	NOUN
ejde-1590	55	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	55	6	our	our	PRON
ejde-1590	55	7	studies	study	NOUN
ejde-1590	55	8	are	be	AUX
ejde-1590	55	9	the	the	DET
ejde-1590	55	10	following	follow	VERB
ejde-1590	55	11	twofold	twofold	NOUN
ejde-1590	55	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	56	1	first	first	ADV
ejde-1590	56	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	56	3	we	we	PRON
ejde-1590	56	4	study	study	VERB
ejde-1590	56	5	some	some	DET
ejde-1590	56	6	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	56	7	central	central	ADJ
ejde-1590	56	8	function	function	NOUN
ejde-1590	56	9	spaces	space	NOUN
ejde-1590	56	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	56	11	such	such	ADJ
ejde-1590	56	12	as	as	ADP
ejde-1590	56	13	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	56	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	56	15	r	r	PROPN
ejde-1590	56	16	φ	φ	PROPN
ejde-1590	56	17	(	(	PUNCT
ejde-1590	56	18	rn	rn	PROPN
ejde-1590	56	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	56	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	56	21	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	57	1	p	p	X
ejde-1590	57	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	57	3	r	r	PROPN
ejde-1590	57	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	57	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	57	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	57	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	57	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	57	9	and	and	CCONJ
ejde-1590	57	10	hap	hap	NOUN
ejde-1590	57	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	57	12	r	r	PROPN
ejde-1590	57	13	φ	φ	PROPN
ejde-1590	57	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	57	15	rn	rn	PROPN
ejde-1590	57	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	57	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	57	18	where	where	SCONJ
ejde-1590	57	19	p	p	PROPN
ejde-1590	57	20	∈	∈	PROPN
ejde-1590	57	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	57	22	1,∞	1,∞	NUM
ejde-1590	57	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	57	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	58	1	through	through	ADP
ejde-1590	58	2	the	the	DET
ejde-1590	58	3	paper	paper	NOUN
ejde-1590	58	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	58	5	we	we	PRON
ejde-1590	58	6	always	always	ADV
ejde-1590	58	7	assume	assume	VERB
ejde-1590	58	8	that	that	SCONJ
ejde-1590	58	9	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	58	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	58	11	is	be	AUX
ejde-1590	58	12	non	non	ADJ
ejde-1590	58	13	-	-	ADJ
ejde-1590	58	14	increasing	increase	VERB
ejde-1590	58	15	on	on	ADP
ejde-1590	58	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	58	17	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	58	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	58	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	58	20	and	and	CCONJ
ejde-1590	58	21	t	t	PROPN
ejde-1590	58	22	n	n	CCONJ
ejde-1590	58	23	p	p	PROPN
ejde-1590	58	24	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	58	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	58	26	is	be	AUX
ejde-1590	58	27	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-1590	58	28	on	on	ADP
ejde-1590	58	29	(	(	PUNCT
ejde-1590	58	30	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1590	58	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	58	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	59	1	then	then	ADV
ejde-1590	59	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	59	3	we	we	PRON
ejde-1590	59	4	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1590	59	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	59	6	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	59	7	φ	φ	PROPN
ejde-1590	59	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	59	9	rn	rn	NOUN
ejde-1590	59	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	59	11	is	be	AUX
ejde-1590	59	12	the	the	DET
ejde-1590	59	13	predual	predual	ADJ
ejde-1590	59	14	of	of	ADP
ejde-1590	59	15	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	60	1	p	p	X
ejde-1590	60	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	60	3	r	r	PROPN
ejde-1590	60	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	60	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	60	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	60	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	60	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	61	1	second	second	ADJ
ejde-1590	61	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	61	3	we	we	PRON
ejde-1590	61	4	investigate	investigate	VERB
ejde-1590	61	5	the	the	DET
ejde-1590	61	6	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	61	7	of	of	ADP
ejde-1590	61	8	operators	operator	NOUN
ejde-1590	61	9	of	of	ADP
ejde-1590	61	10	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	61	11	type	type	NOUN
ejde-1590	61	12	on	on	ADP
ejde-1590	61	13	those	those	DET
ejde-1590	61	14	spaces	space	NOUN
ejde-1590	61	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	62	1	by	by	ADP
ejde-1590	62	2	duality	duality	NOUN
ejde-1590	62	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	62	4	we	we	PRON
ejde-1590	62	5	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	62	6	the	the	DET
ejde-1590	62	7	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	62	8	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	62	9	of	of	ADP
ejde-1590	62	10	function	function	NOUN
ejde-1590	62	11	b	b	NOUN
ejde-1590	62	12	in	in	ADP
ejde-1590	62	13	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	63	1	p	p	X
ejde-1590	63	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	63	3	r	r	PROPN
ejde-1590	63	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	63	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	63	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	63	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	63	8	by	by	ADP
ejde-1590	63	9	means	mean	NOUN
ejde-1590	63	10	of	of	ADP
ejde-1590	63	11	the	the	DET
ejde-1590	63	12	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	63	13	of	of	ADP
ejde-1590	63	14	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	63	15	[	[	X
ejde-1590	63	16	b	b	NOUN
ejde-1590	63	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	63	18	h	h	NOUN
ejde-1590	63	19	]	]	X
ejde-1590	63	20	and	and	CCONJ
ejde-1590	63	21	[	[	X
ejde-1590	63	22	b	b	PROPN
ejde-1590	63	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	63	24	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	63	25	]	]	PUNCT
ejde-1590	63	26	in	in	ADP
ejde-1590	63	27	the	the	DET
ejde-1590	63	28	above	above	ADJ
ejde-1590	63	29	central	central	ADJ
ejde-1590	63	30	function	function	NOUN
ejde-1590	63	31	spaces	space	NOUN
ejde-1590	63	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	64	1	notation	notation	NOUN
ejde-1590	64	2	:	:	PUNCT
ejde-1590	64	3	for	for	ADP
ejde-1590	64	4	q	q	PROPN
ejde-1590	64	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	64	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	64	7	1,∞	1,∞	NUM
ejde-1590	64	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	64	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	64	10	we	we	PRON
ejde-1590	64	11	denote	denote	VERB
ejde-1590	64	12	q′	q′	NOUN
ejde-1590	64	13	the	the	DET
ejde-1590	64	14	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-1590	64	15	exponent	exponent	NOUN
ejde-1590	64	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	64	17	1	1	NUM
ejde-1590	64	18	q	q	NOUN
ejde-1590	64	19	+	+	NUM
ejde-1590	64	20	1	1	NUM
ejde-1590	64	21	q′	q′	NOUN
ejde-1590	64	22	=	=	SYM
ejde-1590	64	23	1	1	X
ejde-1590	64	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	65	1	with	with	ADP
ejde-1590	65	2	|ω|	|ω|	PROPN
ejde-1590	65	3	we	we	PRON
ejde-1590	65	4	denote	denote	VERB
ejde-1590	65	5	the	the	DET
ejde-1590	65	6	lebesgue	lebesgue	ADJ
ejde-1590	65	7	measure	measure	NOUN
ejde-1590	65	8	of	of	ADP
ejde-1590	65	9	a	a	DET
ejde-1590	65	10	measurable	measurable	ADJ
ejde-1590	65	11	set	set	VERB
ejde-1590	65	12	ω	ω	PROPN
ejde-1590	65	13	in	in	ADP
ejde-1590	65	14	rn	rn	PROPN
ejde-1590	65	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	65	16	and	and	CCONJ
ejde-1590	65	17	bt	bt	NOUN
ejde-1590	65	18	is	be	AUX
ejde-1590	65	19	the	the	DET
ejde-1590	65	20	ball	ball	NOUN
ejde-1590	65	21	centered	center	VERB
ejde-1590	65	22	at	at	ADP
ejde-1590	65	23	0	0	NUM
ejde-1590	65	24	∈	∈	PROPN
ejde-1590	65	25	rn	rn	NOUN
ejde-1590	65	26	with	with	ADP
ejde-1590	65	27	radius	radius	NOUN
ejde-1590	65	28	t.	t.	NOUN
ejde-1590	65	29	as	as	ADP
ejde-1590	65	30	usual	usual	ADJ
ejde-1590	65	31	,	,	PUNCT
ejde-1590	65	32	we	we	PRON
ejde-1590	65	33	denote	denote	VERB
ejde-1590	65	34	a	a	DET
ejde-1590	65	35	constant	constant	ADJ
ejde-1590	65	36	by	by	ADP
ejde-1590	65	37	c	c	PROPN
ejde-1590	65	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	65	39	which	which	PRON
ejde-1590	65	40	may	may	AUX
ejde-1590	65	41	depend	depend	VERB
ejde-1590	65	42	on	on	ADP
ejde-1590	65	43	p	p	PROPN
ejde-1590	65	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	65	45	n	n	CCONJ
ejde-1590	65	46	and	and	CCONJ
ejde-1590	65	47	is	be	AUX
ejde-1590	65	48	probably	probably	ADV
ejde-1590	65	49	different	different	ADJ
ejde-1590	65	50	at	at	ADP
ejde-1590	65	51	different	different	ADJ
ejde-1590	65	52	occurrences	occurrence	NOUN
ejde-1590	65	53	.	.	PUNCT
ejde-1590	66	1	finally	finally	ADV
ejde-1590	66	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	66	3	we	we	PRON
ejde-1590	66	4	denote	denote	VERB
ejde-1590	66	5	a	a	DET
ejde-1590	66	6	≲	≲	PROPN
ejde-1590	66	7	b	b	NOUN
ejde-1590	66	8	if	if	SCONJ
ejde-1590	66	9	there	there	PRON
ejde-1590	66	10	exists	exist	VERB
ejde-1590	66	11	a	a	DET
ejde-1590	66	12	constant	constant	ADJ
ejde-1590	66	13	c	c	NOUN
ejde-1590	66	14	>	>	X
ejde-1590	66	15	0	0	NUM
ejde-1590	66	16	such	such	ADJ
ejde-1590	66	17	that	that	SCONJ
ejde-1590	66	18	a	a	DET
ejde-1590	66	19	≤	≤	PROPN
ejde-1590	66	20	cb	cb	PROPN
ejde-1590	66	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	67	1	the	the	DET
ejde-1590	67	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	67	3	operator	operator	NOUN
ejde-1590	67	4	is	be	AUX
ejde-1590	67	5	defined	define	VERB
ejde-1590	67	6	by	by	ADP
ejde-1590	67	7	h(f)(x	h(f)(x	PROPN
ejde-1590	67	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	67	9	=	=	SYM
ejde-1590	67	10	1	1	NUM
ejde-1590	67	11	νn|x|n	νn|x|n	NOUN
ejde-1590	67	12	∫	∫	PROPN
ejde-1590	67	13	|y|<|x|	|y|<|x|	PROPN
ejde-1590	67	14	f(y	f(y	PROPN
ejde-1590	67	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	67	16	dy	dy	NOUN
ejde-1590	67	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	67	18	x	x	PROPN
ejde-1590	67	19	∈	∈	PROPN
ejde-1590	67	20	rn	rn	PROPN
ejde-1590	67	21	\	\	PROPN
ejde-1590	67	22	{	{	PUNCT
ejde-1590	67	23	0	0	NUM
ejde-1590	67	24	}	}	PUNCT
ejde-1590	67	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	67	26	(	(	PUNCT
ejde-1590	67	27	1.9	1.9	NUM
ejde-1590	67	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	67	29	and	and	CCONJ
ejde-1590	67	30	its	its	PRON
ejde-1590	67	31	dual	dual	ADJ
ejde-1590	67	32	form	form	NOUN
ejde-1590	67	33	is	be	AUX
ejde-1590	67	34	h∗(f)(x	h∗(f)(x	NOUN
ejde-1590	67	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	67	36	=	=	SYM
ejde-1590	68	1	1	1	NUM
ejde-1590	68	2	νn	νn	X
ejde-1590	68	3	∫	∫	PROPN
ejde-1590	68	4	|y|≥|x|	|y|≥|x|	PROPN
ejde-1590	68	5	f(y	f(y	PROPN
ejde-1590	68	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	68	7	|y|n	|y|n	PROPN
ejde-1590	68	8	dy	dy	PROPN
ejde-1590	68	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	68	10	x	x	PROPN
ejde-1590	68	11	∈	∈	PROPN
ejde-1590	68	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	68	13	\	\	PROPN
ejde-1590	68	14	{	{	PUNCT
ejde-1590	68	15	0	0	NUM
ejde-1590	68	16	}	}	PUNCT
ejde-1590	68	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	68	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	68	19	1.10	1.10	NUM
ejde-1590	68	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	68	21	where	where	SCONJ
ejde-1590	68	22	νn	νn	NOUN
ejde-1590	68	23	=	=	SYM
ejde-1590	68	24	πn/2	πn/2	PROPN
ejde-1590	68	25	γ(1+n/2	γ(1+n/2	PROPN
ejde-1590	68	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	68	27	is	be	AUX
ejde-1590	68	28	the	the	DET
ejde-1590	68	29	volume	volume	NOUN
ejde-1590	68	30	of	of	ADP
ejde-1590	68	31	unit	unit	NOUN
ejde-1590	68	32	ball	ball	PROPN
ejde-1590	68	33	in	in	ADP
ejde-1590	68	34	rn	rn	PROPN
ejde-1590	68	35	.	.	PROPN
ejde-1590	69	1	in	in	ADP
ejde-1590	69	2	the	the	DET
ejde-1590	69	3	pioneering	pioneering	ADJ
ejde-1590	69	4	work	work	NOUN
ejde-1590	69	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	69	6	when	when	SCONJ
ejde-1590	69	7	n	n	X
ejde-1590	69	8	=	=	SYM
ejde-1590	69	9	1	1	NUM
ejde-1590	69	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	69	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	69	12	[	[	X
ejde-1590	69	13	17	17	NUM
ejde-1590	69	14	]	]	PUNCT
ejde-1590	69	15	established	establish	VERB
ejde-1590	69	16	the	the	DET
ejde-1590	69	17	integral	integral	ADJ
ejde-1590	69	18	inequality∫	inequality∫	ADJ
ejde-1590	69	19	∞	∞	NUM
ejde-1590	69	20	0	0	NUM
ejde-1590	70	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	70	2	1	1	NUM
ejde-1590	70	3	x	x	SYM
ejde-1590	70	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	70	5	x	x	SYM
ejde-1590	70	6	0	0	NUM
ejde-1590	70	7	f(t	f(t	NOUN
ejde-1590	70	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	70	9	dt	dt	NOUN
ejde-1590	70	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	71	1	p	p	PROPN
ejde-1590	71	2	dx	dx	PROPN
ejde-1590	71	3	≤	≤	NUM
ejde-1590	71	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	71	5	p	p	NOUN
ejde-1590	71	6	p−	p−	NOUN
ejde-1590	71	7	1	1	NUM
ejde-1590	71	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	71	9	p	p	NOUN
ejde-1590	71	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	71	11	∞	∞	NUM
ejde-1590	71	12	0	0	NUM
ejde-1590	72	1	f(x)p	f(x)p	PROPN
ejde-1590	72	2	dx	dx	PROPN
ejde-1590	72	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	72	4	1.11	1.11	NUM
ejde-1590	72	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	72	6	for	for	ADP
ejde-1590	72	7	all	all	DET
ejde-1590	72	8	non	non	ADJ
ejde-1590	72	9	-	-	ADJ
ejde-1590	72	10	negative	negative	ADJ
ejde-1590	72	11	f	f	PROPN
ejde-1590	72	12	∈	∈	PROPN
ejde-1590	72	13	lp(r+	lp(r+	NOUN
ejde-1590	72	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	72	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	72	16	with	with	ADP
ejde-1590	72	17	1	1	NUM
ejde-1590	72	18	<	<	X
ejde-1590	72	19	p	p	X
ejde-1590	72	20	<	<	X
ejde-1590	72	21	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	72	22	note	note	VERB
ejde-1590	72	23	that	that	SCONJ
ejde-1590	72	24	the	the	DET
ejde-1590	72	25	constant	constant	ADJ
ejde-1590	72	26	p	p	PROPN
ejde-1590	72	27	p−1	p−1	PROPN
ejde-1590	72	28	is	be	AUX
ejde-1590	72	29	sharp	sharp	ADJ
ejde-1590	72	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	73	1	by	by	ADP
ejde-1590	73	2	considering	consider	VERB
ejde-1590	73	3	two	two	NUM
ejde-1590	73	4	-	-	PUNCT
ejde-1590	73	5	sided	sided	ADJ
ejde-1590	73	6	averages	average	NOUN
ejde-1590	73	7	of	of	ADP
ejde-1590	73	8	f	f	PROPN
ejde-1590	73	9	instead	instead	ADV
ejde-1590	73	10	of	of	ADP
ejde-1590	73	11	one	one	NUM
ejde-1590	73	12	-	-	PUNCT
ejde-1590	73	13	sided	sided	ADJ
ejde-1590	73	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	73	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	73	16	1.11	1.11	NUM
ejde-1590	73	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	73	18	can	can	AUX
ejde-1590	73	19	be	be	AUX
ejde-1590	73	20	equivalently	equivalently	ADV
ejde-1590	73	21	formulated	formulate	VERB
ejde-1590	73	22	as	as	ADP
ejde-1590	73	23	∥h(f)∥lp(r	∥h(f)∥lp(r	NOUN
ejde-1590	73	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	73	25	≤	≤	NOUN
ejde-1590	74	1	p	p	NOUN
ejde-1590	74	2	p−	p−	NOUN
ejde-1590	74	3	1	1	NUM
ejde-1590	74	4	∥f∥lp(r	∥f∥lp(r	NOUN
ejde-1590	74	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	74	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	75	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	75	2	1.12	1.12	NUM
ejde-1590	75	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	75	4	christ	christ	PROPN
ejde-1590	75	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	75	6	grafakos	grafakos	PROPN
ejde-1590	76	1	[	[	X
ejde-1590	76	2	4	4	NUM
ejde-1590	76	3	]	]	X
ejde-1590	76	4	extended	extend	VERB
ejde-1590	76	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	76	6	1.12	1.12	NUM
ejde-1590	76	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	76	8	to	to	ADP
ejde-1590	76	9	n	n	CCONJ
ejde-1590	76	10	-	-	PUNCT
ejde-1590	76	11	dimension	dimension	NOUN
ejde-1590	76	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	77	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1590	77	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	77	3	a	a	DET
ejde-1590	77	4	sharp	sharp	ADJ
ejde-1590	77	5	bound	bind	VERB
ejde-1590	77	6	of	of	ADP
ejde-1590	77	7	weak	weak	ADJ
ejde-1590	77	8	type	type	NOUN
ejde-1590	77	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	77	10	p	p	X
ejde-1590	77	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	77	12	p	p	NOUN
ejde-1590	77	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	77	14	of	of	ADP
ejde-1590	77	15	h	h	NOUN
ejde-1590	77	16	was	be	AUX
ejde-1590	77	17	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	77	18	by	by	ADP
ejde-1590	77	19	the	the	DET
ejde-1590	77	20	authors	author	NOUN
ejde-1590	77	21	in	in	ADP
ejde-1590	77	22	[	[	X
ejde-1590	77	23	12	12	NUM
ejde-1590	77	24	]	]	PUNCT
ejde-1590	77	25	.	.	PUNCT
ejde-1590	78	1	specifically	specifically	ADV
ejde-1590	78	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	78	3	for	for	ADP
ejde-1590	78	4	any	any	DET
ejde-1590	78	5	1	1	NUM
ejde-1590	78	6	≤	≤	NOUN
ejde-1590	78	7	p	p	NOUN
ejde-1590	78	8	≤	≤	NOUN
ejde-1590	78	9	∞	∞	NUM
ejde-1590	78	10	we	we	PRON
ejde-1590	78	11	have	have	VERB
ejde-1590	78	12	∥h(f)∥lp,∞	∥h(f)∥lp,∞	NOUN
ejde-1590	78	13	≤	≤	NUM
ejde-1590	78	14	∥f∥lp	∥f∥lp	PROPN
ejde-1590	78	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	78	16	r	r	NOUN
ejde-1590	78	17	for	for	ADP
ejde-1590	78	18	all	all	DET
ejde-1590	78	19	f	f	PROPN
ejde-1590	78	20	∈	∈	PROPN
ejde-1590	78	21	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-1590	78	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	78	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	79	1	in	in	ADP
ejde-1590	79	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	79	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	79	4	∥h∥lp→lp,∞	∥h∥lp→lp,∞	NOUN
ejde-1590	79	5	=	=	SYM
ejde-1590	79	6	1	1	X
ejde-1590	79	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	80	1	it	it	PRON
ejde-1590	80	2	is	be	AUX
ejde-1590	80	3	known	know	VERB
ejde-1590	80	4	that	that	SCONJ
ejde-1590	80	5	the	the	DET
ejde-1590	80	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	80	7	of	of	ADP
ejde-1590	80	8	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	80	9	type	type	NOUN
ejde-1590	80	10	play	play	VERB
ejde-1590	80	11	important	important	ADJ
ejde-1590	80	12	roles	role	NOUN
ejde-1590	80	13	in	in	ADP
ejde-1590	80	14	many	many	ADJ
ejde-1590	80	15	areas	area	NOUN
ejde-1590	80	16	of	of	ADP
ejde-1590	80	17	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1590	80	18	such	such	ADJ
ejde-1590	80	19	as	as	ADP
ejde-1590	80	20	analysis	analysis	NOUN
ejde-1590	80	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	22	probability	probability	NOUN
ejde-1590	80	23	and	and	CCONJ
ejde-1590	80	24	partial	partial	ADJ
ejde-1590	80	25	differential	differential	ADJ
ejde-1590	80	26	equations	equation	NOUN
ejde-1590	80	27	(	(	PUNCT
ejde-1590	80	28	see	see	VERB
ejde-1590	80	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	30	e.g.	e.g.	ADV
ejde-1590	80	31	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	32	[	[	X
ejde-1590	80	33	1	1	NUM
ejde-1590	80	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	35	2	2	NUM
ejde-1590	80	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	37	4	4	NUM
ejde-1590	80	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	39	11	11	NUM
ejde-1590	80	40	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	41	16	16	NUM
ejde-1590	80	42	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	43	18	18	NUM
ejde-1590	80	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	45	21	21	NUM
ejde-1590	80	46	,	,	PUNCT
ejde-1590	80	47	23	23	NUM
ejde-1590	80	48	]	]	PUNCT
ejde-1590	80	49	and	and	CCONJ
ejde-1590	80	50	the	the	DET
ejde-1590	80	51	references	reference	NOUN
ejde-1590	80	52	therein	therein	ADV
ejde-1590	80	53	)	)	PUNCT
ejde-1590	80	54	.	.	PUNCT
ejde-1590	81	1	for	for	ADP
ejde-1590	81	2	example	example	NOUN
ejde-1590	81	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	81	4	a	a	DET
ejde-1590	81	5	slight	slight	ADJ
ejde-1590	81	6	modification	modification	NOUN
ejde-1590	81	7	of	of	ADP
ejde-1590	81	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	81	9	1.11	1.11	NUM
ejde-1590	81	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	81	11	by	by	ADP
ejde-1590	81	12	setting	set	VERB
ejde-1590	81	13	f	f	PROPN
ejde-1590	81	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	81	15	x	x	X
ejde-1590	81	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	81	17	=	=	NOUN
ejde-1590	81	18	∫	∫	NOUN
ejde-1590	81	19	x	x	SYM
ejde-1590	81	20	0	0	NUM
ejde-1590	81	21	f(t	f(t	NOUN
ejde-1590	81	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	82	1	dt	dt	PUNCT
ejde-1590	82	2	provides	provide	VERB
ejde-1590	82	3	us	we	PRON
ejde-1590	82	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	82	5	∞	∞	PROPN
ejde-1590	83	1	0	0	NUM
ejde-1590	83	2	f	f	PROPN
ejde-1590	83	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	83	4	x)p	x)p	PROPN
ejde-1590	83	5	xp	xp	PROPN
ejde-1590	83	6	dx	dx	PROPN
ejde-1590	83	7	≤	≤	PROPN
ejde-1590	83	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	83	9	p	p	NOUN
ejde-1590	83	10	p−	p−	NOUN
ejde-1590	83	11	1	1	NUM
ejde-1590	83	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	83	13	p	p	NOUN
ejde-1590	83	14	∫	∫	PROPN
ejde-1590	83	15	∞	∞	NUM
ejde-1590	83	16	0	0	NUM
ejde-1590	84	1	f	f	X
ejde-1590	85	1	′(x)p	′(x)p	PROPN
ejde-1590	85	2	dx	dx	PROPN
ejde-1590	85	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	86	1	the	the	DET
ejde-1590	86	2	analogue	analogue	NOUN
ejde-1590	86	3	of	of	ADP
ejde-1590	86	4	this	this	DET
ejde-1590	86	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	86	6	in	in	ADP
ejde-1590	86	7	rn	rn	PROPN
ejde-1590	86	8	for	for	ADP
ejde-1590	86	9	n	n	PROPN
ejde-1590	86	10	>	>	SYM
ejde-1590	86	11	1	1	NUM
ejde-1590	86	12	is∫	is∫	PROPN
ejde-1590	86	13	rn	rn	PROPN
ejde-1590	86	14	∣∣f(x	∣∣f(x	PROPN
ejde-1590	86	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	86	16	x	x	SYM
ejde-1590	86	17	∣∣p	∣∣p	PROPN
ejde-1590	86	18	≤	≤	NOUN
ejde-1590	86	19	(	(	PUNCT
ejde-1590	86	20	p	p	NOUN
ejde-1590	86	21	n−	n−	PROPN
ejde-1590	86	22	p	p	NOUN
ejde-1590	86	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	86	24	p	p	PROPN
ejde-1590	86	25	∫	∫	PROPN
ejde-1590	86	26	rn	rn	PROPN
ejde-1590	86	27	|∇f(x)|p	|∇f(x)|p	PROPN
ejde-1590	86	28	dx	dx	PROPN
ejde-1590	86	29	(	(	PUNCT
ejde-1590	86	30	1.13	1.13	NUM
ejde-1590	86	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	86	32	where	where	SCONJ
ejde-1590	86	33	∇f	∇f	PROPN
ejde-1590	86	34	is	be	AUX
ejde-1590	86	35	the	the	DET
ejde-1590	86	36	gradient	gradient	NOUN
ejde-1590	86	37	of	of	ADP
ejde-1590	86	38	f	f	PROPN
ejde-1590	86	39	as	as	ADP
ejde-1590	86	40	usual	usual	ADJ
ejde-1590	86	41	;	;	PUNCT
ejde-1590	86	42	this	this	PRON
ejde-1590	86	43	holds	hold	VERB
ejde-1590	86	44	for	for	ADP
ejde-1590	86	45	all	all	DET
ejde-1590	86	46	f	f	PROPN
ejde-1590	86	47	∈	∈	PROPN
ejde-1590	86	48	c∞	c∞	PROPN
ejde-1590	86	49	0	0	NUM
ejde-1590	86	50	(	(	PUNCT
ejde-1590	86	51	rn	rn	NOUN
ejde-1590	86	52	\	\	PROPN
ejde-1590	86	53	{	{	PUNCT
ejde-1590	86	54	0	0	NUM
ejde-1590	86	55	}	}	PUNCT
ejde-1590	86	56	)	)	PUNCT
ejde-1590	86	57	if	if	SCONJ
ejde-1590	86	58	n	n	ADV
ejde-1590	86	59	<	<	X
ejde-1590	86	60	p	p	X
ejde-1590	86	61	<	<	X
ejde-1590	86	62	∞	∞	PROPN
ejde-1590	86	63	,	,	PUNCT
ejde-1590	86	64	and	and	CCONJ
ejde-1590	86	65	for	for	ADP
ejde-1590	86	66	all	all	DET
ejde-1590	86	67	f	f	PROPN
ejde-1590	86	68	∈	∈	PROPN
ejde-1590	86	69	c∞	c∞	PROPN
ejde-1590	86	70	0	0	NUM
ejde-1590	86	71	(	(	PUNCT
ejde-1590	86	72	rn	rn	NOUN
ejde-1590	86	73	)	)	PUNCT
ejde-1590	86	74	if	if	SCONJ
ejde-1590	86	75	1	1	NUM
ejde-1590	86	76	≤	≤	NOUN
ejde-1590	86	77	p	p	X
ejde-1590	86	78	<	<	X
ejde-1590	86	79	n.	n.	NOUN
ejde-1590	87	1	the	the	DET
ejde-1590	87	2	constant	constant	ADJ
ejde-1590	87	3	is	be	AUX
ejde-1590	87	4	sharp	sharp	ADJ
ejde-1590	87	5	and	and	CCONJ
ejde-1590	87	6	equality	equality	NOUN
ejde-1590	87	7	can	can	AUX
ejde-1590	87	8	only	only	ADV
ejde-1590	87	9	be	be	AUX
ejde-1590	87	10	attained	attain	VERB
ejde-1590	87	11	by	by	ADP
ejde-1590	87	12	functions	function	NOUN
ejde-1590	88	1	f	f	NOUN
ejde-1590	88	2	=	=	SYM
ejde-1590	88	3	0	0	NUM
ejde-1590	88	4	a.e	a.e	PROPN
ejde-1590	88	5	.	.	PROPN
ejde-1590	88	6	4	4	NUM
ejde-1590	88	7	l.	l.	NOUN
ejde-1590	88	8	t.	t.	NOUN
ejde-1590	88	9	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	88	10	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	88	11	since	since	SCONJ
ejde-1590	88	12	the	the	DET
ejde-1590	88	13	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	88	14	operators	operator	NOUN
ejde-1590	88	15	are	be	AUX
ejde-1590	88	16	centrosymmetric	centrosymmetric	ADJ
ejde-1590	89	1	,	,	PUNCT
ejde-1590	89	2	the	the	DET
ejde-1590	89	3	function	function	NOUN
ejde-1590	89	4	spaces	space	NOUN
ejde-1590	89	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	89	6	which	which	PRON
ejde-1590	89	7	are	be	AUX
ejde-1590	89	8	characterized	characterize	VERB
ejde-1590	89	9	by	by	ADP
ejde-1590	89	10	the	the	DET
ejde-1590	89	11	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	89	12	of	of	ADP
ejde-1590	89	13	h	h	NOUN
ejde-1590	89	14	and	and	CCONJ
ejde-1590	89	15	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	89	16	are	be	AUX
ejde-1590	89	17	central	central	ADJ
ejde-1590	89	18	ones	one	NOUN
ejde-1590	89	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	90	1	for	for	ADP
ejde-1590	90	2	example	example	NOUN
ejde-1590	90	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	90	4	shi	shi	PROPN
ejde-1590	90	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	90	6	lu	lu	PROPN
ejde-1590	90	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	90	8	[	[	X
ejde-1590	90	9	25	25	NUM
ejde-1590	90	10	]	]	PUNCT
ejde-1590	90	11	established	establish	VERB
ejde-1590	90	12	the	the	DET
ejde-1590	90	13	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	90	14	of	of	ADP
ejde-1590	90	15	h	h	NOUN
ejde-1590	90	16	and	and	CCONJ
ejde-1590	90	17	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	90	18	in	in	ADP
ejde-1590	90	19	the	the	DET
ejde-1590	90	20	central	central	ADJ
ejde-1590	90	21	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	90	22	spaces	space	VERB
ejde-1590	91	1	ṁ	ṁ	PROPN
ejde-1590	91	2	p	p	X
ejde-1590	91	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	91	4	λ	λ	PROPN
ejde-1590	91	5	φ	φ	X
ejde-1590	91	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	91	7	rn	rn	PROPN
ejde-1590	91	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	91	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	91	10	see	see	VERB
ejde-1590	91	11	definition	definition	NOUN
ejde-1590	91	12	1.2	1.2	NUM
ejde-1590	91	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	91	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	92	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	92	2	1.1	1.1	NUM
ejde-1590	92	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	92	4	shi	shi	PROPN
ejde-1590	92	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	92	6	lu	lu	PROPN
ejde-1590	93	1	[	[	X
ejde-1590	93	2	25	25	NUM
ejde-1590	93	3	]	]	PUNCT
ejde-1590	93	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	93	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	94	1	let	let	VERB
ejde-1590	94	2	1	1	NUM
ejde-1590	94	3	<	<	X
ejde-1590	94	4	p	p	X
ejde-1590	94	5	<	<	X
ejde-1590	94	6	∞	∞	PROPN
ejde-1590	94	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	94	8	λ	λ	X
ejde-1590	94	9	∈	∈	PROPN
ejde-1590	94	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	94	11	0	0	NUM
ejde-1590	94	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	94	13	np	np	INTJ
ejde-1590	94	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	94	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	95	1	then	then	ADV
ejde-1590	95	2	h	h	PROPN
ejde-1590	95	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	95	4	resp	resp	PROPN
ejde-1590	95	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	96	1	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	96	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	96	3	is	be	AUX
ejde-1590	96	4	a	a	DET
ejde-1590	96	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	96	6	operator	operator	NOUN
ejde-1590	96	7	from	from	ADP
ejde-1590	96	8	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	96	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	96	10	λ	λ	PROPN
ejde-1590	96	11	φ	φ	X
ejde-1590	96	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	96	13	rn	rn	PROPN
ejde-1590	96	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	96	15	→	→	SYM
ejde-1590	96	16	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	96	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	96	18	λ	λ	PROPN
ejde-1590	96	19	φ	φ	X
ejde-1590	96	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	96	21	rn	rn	NOUN
ejde-1590	96	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	96	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	97	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	97	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	97	3	the	the	DET
ejde-1590	97	4	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	97	5	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	97	6	of	of	ADP
ejde-1590	97	7	operators	operator	NOUN
ejde-1590	97	8	of	of	ADP
ejde-1590	97	9	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	97	10	type	type	NOUN
ejde-1590	97	11	in	in	ADP
ejde-1590	97	12	the	the	DET
ejde-1590	97	13	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1590	97	14	herz	herz	PROPN
ejde-1590	97	15	spaces	space	NOUN
ejde-1590	97	16	has	have	AUX
ejde-1590	97	17	been	be	AUX
ejde-1590	97	18	studied	study	VERB
ejde-1590	97	19	by	by	ADP
ejde-1590	97	20	the	the	DET
ejde-1590	97	21	authors	author	NOUN
ejde-1590	97	22	in	in	ADP
ejde-1590	97	23	[	[	X
ejde-1590	97	24	13	13	NUM
ejde-1590	97	25	]	]	PUNCT
ejde-1590	97	26	.	.	PUNCT
ejde-1590	98	1	inspired	inspire	VERB
ejde-1590	98	2	by	by	ADP
ejde-1590	98	3	the	the	DET
ejde-1590	98	4	above	above	ADJ
ejde-1590	98	5	results	result	NOUN
ejde-1590	98	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	98	7	we	we	PRON
ejde-1590	98	8	would	would	AUX
ejde-1590	98	9	like	like	VERB
ejde-1590	98	10	to	to	PART
ejde-1590	98	11	study	study	VERB
ejde-1590	98	12	the	the	DET
ejde-1590	98	13	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	98	14	of	of	ADP
ejde-1590	98	15	operators	operator	NOUN
ejde-1590	98	16	of	of	ADP
ejde-1590	98	17	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	98	18	type	type	NOUN
ejde-1590	98	19	in	in	ADP
ejde-1590	98	20	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	98	21	central	central	ADJ
ejde-1590	98	22	function	function	NOUN
ejde-1590	98	23	spaces	space	NOUN
ejde-1590	98	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	99	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	99	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	99	3	it	it	PRON
ejde-1590	99	4	is	be	AUX
ejde-1590	99	5	convenient	convenient	ADJ
ejde-1590	99	6	for	for	SCONJ
ejde-1590	99	7	us	we	PRON
ejde-1590	99	8	to	to	PART
ejde-1590	99	9	introduce	introduce	VERB
ejde-1590	99	10	the	the	DET
ejde-1590	99	11	notions	notion	NOUN
ejde-1590	99	12	of	of	ADP
ejde-1590	99	13	those	those	DET
ejde-1590	99	14	spaces	space	NOUN
ejde-1590	99	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	100	1	definition	definition	NOUN
ejde-1590	100	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1590	100	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	101	1	a	a	DET
ejde-1590	101	2	real	real	ADV
ejde-1590	101	3	-	-	PUNCT
ejde-1590	101	4	valued	value	VERB
ejde-1590	101	5	function	function	NOUN
ejde-1590	101	6	f	f	PROPN
ejde-1590	101	7	is	be	AUX
ejde-1590	101	8	said	say	VERB
ejde-1590	101	9	to	to	PART
ejde-1590	101	10	belong	belong	VERB
ejde-1590	101	11	to	to	ADP
ejde-1590	101	12	the	the	DET
ejde-1590	101	13	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	101	14	central	central	ADJ
ejde-1590	101	15	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	101	16	space	space	NOUN
ejde-1590	101	17	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	101	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	101	19	r	r	PROPN
ejde-1590	101	20	φ	φ	PROPN
ejde-1590	101	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	101	22	rn	rn	NOUN
ejde-1590	101	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	101	24	provided	provide	VERB
ejde-1590	101	25	the	the	DET
ejde-1590	101	26	following	follow	VERB
ejde-1590	101	27	norm	norm	NOUN
ejde-1590	101	28	is	be	AUX
ejde-1590	101	29	finite	finite	ADJ
ejde-1590	101	30	:	:	PUNCT
ejde-1590	101	31	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	101	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	101	33	r	r	NOUN
ejde-1590	101	34	φ	φ	NOUN
ejde-1590	101	35	=	=	NOUN
ejde-1590	101	36	sup	sup	PROPN
ejde-1590	101	37	bt	bt	PROPN
ejde-1590	101	38	∥f∥lp	∥f∥lp	NOUN
ejde-1590	101	39	,	,	PUNCT
ejde-1590	101	40	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	101	41	)	)	PUNCT
ejde-1590	101	42	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	101	43	/	/	SYM
ejde-1590	101	44	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	101	45	)	)	PUNCT
ejde-1590	101	46	,	,	PUNCT
ejde-1590	101	47	where	where	SCONJ
ejde-1590	101	48	the	the	DET
ejde-1590	101	49	supremum	supremum	NOUN
ejde-1590	101	50	is	be	AUX
ejde-1590	101	51	taken	take	VERB
ejde-1590	101	52	over	over	ADP
ejde-1590	101	53	all	all	DET
ejde-1590	101	54	the	the	DET
ejde-1590	101	55	balls	ball	NOUN
ejde-1590	101	56	bt	bt	VERB
ejde-1590	101	57	in	in	ADP
ejde-1590	101	58	rn	rn	PROPN
ejde-1590	101	59	.	.	PROPN
ejde-1590	101	60	remark	remark	PROPN
ejde-1590	101	61	1.3	1.3	NUM
ejde-1590	101	62	.	.	PUNCT
ejde-1590	102	1	a	a	DET
ejde-1590	102	2	canonical	canonical	ADJ
ejde-1590	102	3	example	example	NOUN
ejde-1590	102	4	is	be	AUX
ejde-1590	102	5	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	102	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	102	7	=	=	PUNCT
ejde-1590	102	8	t−λ	t−λ	NOUN
ejde-1590	102	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	102	10	λ	λ	PROPN
ejde-1590	102	11	∈	∈	PROPN
ejde-1590	102	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	102	13	0	0	NUM
ejde-1590	102	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	102	15	np	np	INTJ
ejde-1590	102	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	102	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	103	1	in	in	ADP
ejde-1590	103	2	this	this	DET
ejde-1590	103	3	case	case	NOUN
ejde-1590	103	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	103	5	we	we	PRON
ejde-1590	103	6	denote	denote	VERB
ejde-1590	103	7	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	103	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	103	9	r	r	PROPN
ejde-1590	103	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	103	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	103	12	rn	rn	NOUN
ejde-1590	103	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	103	14	by	by	ADP
ejde-1590	103	15	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	103	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	103	17	λ(rn	λ(rn	PROPN
ejde-1590	103	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	103	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	104	1	next	next	ADV
ejde-1590	104	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	104	3	let	let	VERB
ejde-1590	104	4	us	we	PRON
ejde-1590	104	5	define	define	VERB
ejde-1590	104	6	the	the	DET
ejde-1590	104	7	φ	φ	ADJ
ejde-1590	104	8	-	-	ADJ
ejde-1590	104	9	central	central	ADJ
ejde-1590	104	10	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	104	11	space	space	NOUN
ejde-1590	104	12	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	105	1	p	p	X
ejde-1590	105	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	105	3	r	r	PROPN
ejde-1590	105	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	105	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	105	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	105	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	105	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	106	1	definition	definition	NOUN
ejde-1590	106	2	1.4	1.4	NUM
ejde-1590	106	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	107	1	a	a	DET
ejde-1590	107	2	function	function	NOUN
ejde-1590	107	3	f	f	PROPN
ejde-1590	107	4	∈	∈	PROPN
ejde-1590	107	5	lp	lp	PROPN
ejde-1590	107	6	loc(rn	loc(rn	NOUN
ejde-1590	107	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	107	8	is	be	AUX
ejde-1590	107	9	said	say	VERB
ejde-1590	107	10	to	to	PART
ejde-1590	107	11	belong	belong	VERB
ejde-1590	107	12	to	to	ADP
ejde-1590	107	13	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	108	1	p	p	X
ejde-1590	108	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	108	3	r	r	PROPN
ejde-1590	108	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	108	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	108	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	108	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	108	8	if	if	SCONJ
ejde-1590	108	9	∥f∥	∥f∥	VERB
ejde-1590	108	10	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	109	1	p	p	X
ejde-1590	109	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	109	3	r	r	NOUN
ejde-1590	109	4	φ	φ	NOUN
ejde-1590	109	5	:	:	PUNCT
ejde-1590	109	6	=	=	SYM
ejde-1590	109	7	sup	sup	NOUN
ejde-1590	109	8	t>0	t>0	NOUN
ejde-1590	110	1	∥f	∥f	PROPN
ejde-1590	110	2	−	−	NOUN
ejde-1590	110	3	fbt∥lp	fbt∥lp	NOUN
ejde-1590	110	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	110	5	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	110	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	110	7	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	110	8	/	/	SYM
ejde-1590	110	9	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	110	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	111	1	<	<	X
ejde-1590	111	2	∞	∞	NUM
ejde-1590	111	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	111	4	with	with	SCONJ
ejde-1590	111	5	fb	fb	NOUN
ejde-1590	111	6	=	=	SYM
ejde-1590	111	7	1	1	NUM
ejde-1590	111	8	|b|	|b|	PROPN
ejde-1590	111	9	∫	∫	PROPN
ejde-1590	111	10	b	b	PROPN
ejde-1590	111	11	f(y	f(y	PROPN
ejde-1590	111	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	111	13	dy	dy	NOUN
ejde-1590	111	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	111	15	for	for	ADP
ejde-1590	111	16	set	set	NOUN
ejde-1590	111	17	b	b	PROPN
ejde-1590	111	18	in	in	ADP
ejde-1590	111	19	rn	rn	PROPN
ejde-1590	111	20	.	.	PROPN
ejde-1590	111	21	remark	remark	PROPN
ejde-1590	111	22	1.5	1.5	NUM
ejde-1590	111	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	112	1	when	when	SCONJ
ejde-1590	112	2	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-1590	112	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	112	4	≡	≡	PROPN
ejde-1590	112	5	1	1	NUM
ejde-1590	112	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	112	7	we	we	PRON
ejde-1590	112	8	denote	denote	VERB
ejde-1590	112	9	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	113	1	p	p	X
ejde-1590	113	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	113	3	r	r	PROPN
ejde-1590	113	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	113	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	113	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	113	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	113	8	by	by	ADP
ejde-1590	113	9	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	114	1	p	p	X
ejde-1590	114	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	114	3	r	r	NOUN
ejde-1590	114	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	114	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	114	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	114	7	for	for	ADP
ejde-1590	114	8	short	short	ADJ
ejde-1590	114	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	115	1	and	and	CCONJ
ejde-1590	115	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	115	3	if	if	SCONJ
ejde-1590	115	4	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	115	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	116	1	=	=	PUNCT
ejde-1590	116	2	t−λ	t−λ	NOUN
ejde-1590	116	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	116	4	λ	λ	PROPN
ejde-1590	116	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	116	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	116	7	0	0	NUM
ejde-1590	116	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	116	9	np	np	INTJ
ejde-1590	116	10	]	]	PUNCT
ejde-1590	116	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	116	12	we	we	PRON
ejde-1590	116	13	denote	denote	VERB
ejde-1590	116	14	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	117	1	p	p	X
ejde-1590	117	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	117	3	r	r	PROPN
ejde-1590	117	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	117	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	117	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	117	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	117	8	by	by	ADP
ejde-1590	117	9	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	118	1	p	p	X
ejde-1590	118	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	118	3	λ	λ	PROPN
ejde-1590	118	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	118	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	118	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	118	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	119	1	remark	remark	VERB
ejde-1590	119	2	1.6	1.6	NUM
ejde-1590	119	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	120	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	120	2	there	there	PRON
ejde-1590	120	3	exists	exist	VERB
ejde-1590	120	4	a	a	DET
ejde-1590	120	5	constant	constant	ADJ
ejde-1590	120	6	d0	d0	NOUN
ejde-1590	120	7	∈	∈	PROPN
ejde-1590	120	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	120	9	0	0	NUM
ejde-1590	120	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	120	11	1	1	NUM
ejde-1590	120	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	120	13	such	such	ADJ
ejde-1590	120	14	that	that	SCONJ
ejde-1590	120	15	φ(2	φ(2	PROPN
ejde-1590	120	16	t	t	PROPN
ejde-1590	120	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	120	18	≤	≤	NUM
ejde-1590	120	19	d0φ(t	d0φ(t	NOUN
ejde-1590	120	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	120	21	for	for	ADP
ejde-1590	120	22	all	all	DET
ejde-1590	120	23	t	t	PROPN
ejde-1590	120	24	>	>	X
ejde-1590	120	25	0	0	NUM
ejde-1590	120	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	120	27	then	then	ADV
ejde-1590	120	28	by	by	ADP
ejde-1590	120	29	using	use	VERB
ejde-1590	120	30	the	the	DET
ejde-1590	120	31	same	same	ADJ
ejde-1590	120	32	argument	argument	NOUN
ejde-1590	120	33	as	as	ADP
ejde-1590	120	34	in	in	ADP
ejde-1590	120	35	[	[	X
ejde-1590	120	36	30	30	NUM
ejde-1590	120	37	]	]	PUNCT
ejde-1590	120	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	120	39	we	we	PRON
ejde-1590	120	40	also	also	ADV
ejde-1590	120	41	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	120	42	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	120	43	,	,	PUNCT
ejde-1590	120	44	r	r	PROPN
ejde-1590	120	45	φ	φ	PROPN
ejde-1590	120	46	(	(	PUNCT
ejde-1590	120	47	rn	rn	NOUN
ejde-1590	120	48	)	)	PUNCT
ejde-1590	120	49	=	=	SYM
ejde-1590	121	1	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	122	1	p	p	X
ejde-1590	122	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	122	3	r	r	PROPN
ejde-1590	122	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	122	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	122	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	122	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	122	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	123	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	123	2	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	123	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	123	4	in	in	ADP
ejde-1590	123	5	particular	particular	ADJ
ejde-1590	123	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	123	7	we	we	PRON
ejde-1590	123	8	have	have	VERB
ejde-1590	123	9	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	123	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	123	11	λ(rn	λ(rn	NOUN
ejde-1590	123	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	123	13	=	=	SYM
ejde-1590	124	1	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	125	1	p	p	X
ejde-1590	125	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	125	3	λ	λ	PROPN
ejde-1590	125	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	125	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	125	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	125	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	125	8	with	with	ADP
ejde-1590	125	9	λ	λ	PROPN
ejde-1590	125	10	∈	∈	PROPN
ejde-1590	125	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	125	12	0	0	NUM
ejde-1590	125	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	125	14	np	np	INTJ
ejde-1590	125	15	]	]	PUNCT
ejde-1590	125	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	126	1	remark	remark	PROPN
ejde-1590	126	2	1.7	1.7	NUM
ejde-1590	126	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	127	1	obviously	obviously	ADV
ejde-1590	127	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	127	3	for	for	ADP
ejde-1590	127	4	1	1	NUM
ejde-1590	127	5	≤	≤	NOUN
ejde-1590	127	6	p1	p1	NOUN
ejde-1590	127	7	<	<	X
ejde-1590	127	8	p2	p2	PROPN
ejde-1590	127	9	we	we	PRON
ejde-1590	127	10	have	have	VERB
ejde-1590	127	11	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	128	1	p2,r	p2,r	PROPN
ejde-1590	128	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	128	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	128	4	rn	rn	PROPN
ejde-1590	128	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	128	6	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	128	7	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	129	1	p1,r	p1,r	PROPN
ejde-1590	129	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	129	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	129	4	rn	rn	PROPN
ejde-1590	129	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	129	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	130	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	130	2	1.15	1.15	NUM
ejde-1590	130	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	130	4	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	130	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	130	6	it	it	PRON
ejde-1590	130	7	is	be	AUX
ejde-1590	130	8	known	know	VERB
ejde-1590	130	9	that	that	SCONJ
ejde-1590	130	10	bmo(rn	bmo(rn	NOUN
ejde-1590	130	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	130	12	⊊	⊊	VERB
ejde-1590	130	13	˙cmo	˙cmo	X
ejde-1590	131	1	p2,r	p2,r	PROPN
ejde-1590	131	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	131	3	rn	rn	NOUN
ejde-1590	131	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	131	5	⊊	⊊	VERB
ejde-1590	131	6	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	132	1	p1,r	p1,r	PROPN
ejde-1590	132	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	132	3	rn	rn	NOUN
ejde-1590	132	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	132	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	133	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	133	2	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	133	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	133	4	we	we	PRON
ejde-1590	133	5	emphasize	emphasize	VERB
ejde-1590	133	6	that	that	SCONJ
ejde-1590	133	7	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	134	1	p	p	X
ejde-1590	134	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	134	3	r	r	NOUN
ejde-1590	134	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	134	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	134	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	134	7	depends	depend	VERB
ejde-1590	134	8	on	on	ADP
ejde-1590	134	9	p.	p.	NOUN
ejde-1590	134	10	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	134	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	134	12	there	there	PRON
ejde-1590	134	13	is	be	VERB
ejde-1590	134	14	no	no	DET
ejde-1590	134	15	analogy	analogy	NOUN
ejde-1590	134	16	of	of	ADP
ejde-1590	134	17	the	the	DET
ejde-1590	134	18	famous	famous	ADJ
ejde-1590	134	19	john	john	PROPN
ejde-1590	134	20	-	-	PUNCT
ejde-1590	134	21	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-1590	134	22	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	134	23	of	of	ADP
ejde-1590	134	24	bmo(rn	bmo(rn	PROPN
ejde-1590	134	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	134	26	for	for	ADP
ejde-1590	134	27	the	the	DET
ejde-1590	134	28	space	space	NOUN
ejde-1590	134	29	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	135	1	p	p	X
ejde-1590	135	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	135	3	r	r	NOUN
ejde-1590	135	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	135	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	135	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	135	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	136	1	our	our	PRON
ejde-1590	136	2	last	last	ADJ
ejde-1590	136	3	interested	interested	ADJ
ejde-1590	136	4	central	central	ADJ
ejde-1590	136	5	function	function	NOUN
ejde-1590	136	6	space	space	NOUN
ejde-1590	136	7	is	be	AUX
ejde-1590	136	8	the	the	DET
ejde-1590	136	9	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	136	10	central	central	ADJ
ejde-1590	136	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	136	12	space	space	NOUN
ejde-1590	136	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	137	1	to	to	PART
ejde-1590	137	2	define	define	VERB
ejde-1590	137	3	this	this	DET
ejde-1590	137	4	space	space	NOUN
ejde-1590	137	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	137	6	we	we	PRON
ejde-1590	137	7	first	first	ADV
ejde-1590	137	8	point	point	VERB
ejde-1590	137	9	out	out	ADP
ejde-1590	137	10	the	the	DET
ejde-1590	137	11	definition	definition	NOUN
ejde-1590	137	12	of	of	ADP
ejde-1590	137	13	a	a	DET
ejde-1590	137	14	central	central	ADJ
ejde-1590	137	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	137	16	1	1	NUM
ejde-1590	137	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	137	18	q	q	NOUN
ejde-1590	137	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	137	20	φ)-atom	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	137	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	138	1	definition	definition	NOUN
ejde-1590	138	2	1.8	1.8	NUM
ejde-1590	138	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	139	1	let	let	VERB
ejde-1590	139	2	1	1	NUM
ejde-1590	139	3	<	<	X
ejde-1590	139	4	p	p	X
ejde-1590	139	5	≤	≤	NUM
ejde-1590	139	6	∞	∞	PROPN
ejde-1590	139	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	139	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	139	9	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	139	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	139	11	:	:	PUNCT
ejde-1590	139	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	139	13	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	139	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	139	15	→	→	SYM
ejde-1590	139	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	139	17	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1590	139	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	139	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	140	1	a	a	DET
ejde-1590	140	2	function	function	NOUN
ejde-1590	140	3	a(x	a(x	NOUN
ejde-1590	140	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	140	5	is	be	AUX
ejde-1590	140	6	called	call	VERB
ejde-1590	140	7	a	a	DET
ejde-1590	140	8	central	central	ADJ
ejde-1590	140	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	140	10	1	1	NUM
ejde-1590	140	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	140	12	p	p	X
ejde-1590	140	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	140	14	r	r	NOUN
ejde-1590	140	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	140	16	φ)-atom	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	140	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	140	18	if	if	SCONJ
ejde-1590	140	19	there	there	PRON
ejde-1590	140	20	exists	exist	VERB
ejde-1590	140	21	a	a	DET
ejde-1590	140	22	ball	ball	NOUN
ejde-1590	140	23	bt	bt	NOUN
ejde-1590	140	24	in	in	ADP
ejde-1590	140	25	rn	rn	PROPN
ejde-1590	140	26	such	such	ADJ
ejde-1590	140	27	that	that	SCONJ
ejde-1590	140	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	140	29	i	i	NOUN
ejde-1590	140	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	140	31	supp(a	supp(a	PROPN
ejde-1590	140	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	140	33	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	140	34	bt	bt	PROPN
ejde-1590	140	35	,	,	PUNCT
ejde-1590	140	36	(	(	PUNCT
ejde-1590	140	37	ii	ii	NOUN
ejde-1590	140	38	)	)	PUNCT
ejde-1590	140	39	∫	∫	PROPN
ejde-1590	140	40	bt	bt	PROPN
ejde-1590	140	41	a(x	a(x	PROPN
ejde-1590	140	42	)	)	PUNCT
ejde-1590	140	43	dx	dx	PROPN
ejde-1590	141	1	=	=	SYM
ejde-1590	141	2	0	0	PROPN
ejde-1590	141	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	141	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	141	5	iii	iii	NOUN
ejde-1590	141	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	141	7	∥a∥lp	∥a∥lp	NOUN
ejde-1590	141	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	141	9	r	r	NOUN
ejde-1590	141	10	≤	≤	NUM
ejde-1590	141	11	1	1	NUM
ejde-1590	141	12	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	141	13	/	/	SYM
ejde-1590	141	14	q′φ(t	q′φ(t	NOUN
ejde-1590	141	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	141	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	142	1	now	now	ADV
ejde-1590	142	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	142	3	we	we	PRON
ejde-1590	142	4	are	be	AUX
ejde-1590	142	5	ready	ready	ADJ
ejde-1590	142	6	to	to	PART
ejde-1590	142	7	define	define	VERB
ejde-1590	142	8	hap	hap	NOUN
ejde-1590	142	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	142	10	r	r	PROPN
ejde-1590	142	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	142	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	142	13	rn	rn	PROPN
ejde-1590	142	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	142	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	142	16	see	see	VERB
ejde-1590	142	17	definition	definition	NOUN
ejde-1590	142	18	hp	hp	PROPN
ejde-1590	142	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	142	20	φ(rn	φ(rn	NUM
ejde-1590	142	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	142	22	by	by	ADP
ejde-1590	142	23	zorko	zorko	PROPN
ejde-1590	142	24	[	[	X
ejde-1590	142	25	30	30	NUM
ejde-1590	142	26	]	]	PUNCT
ejde-1590	142	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	142	28	.	.	PUNCT
ejde-1590	143	1	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	143	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	143	3	operators	operator	NOUN
ejde-1590	143	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	143	5	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	143	6	5	5	NUM
ejde-1590	143	7	definition	definition	NOUN
ejde-1590	143	8	1.9	1.9	NUM
ejde-1590	143	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	144	1	let	let	VERB
ejde-1590	144	2	1	1	NUM
ejde-1590	144	3	<	<	X
ejde-1590	144	4	p	p	X
ejde-1590	144	5	<	<	X
ejde-1590	144	6	∞	∞	PROPN
ejde-1590	144	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	144	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	144	9	let	let	VERB
ejde-1590	144	10	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	144	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	144	12	:	:	PUNCT
ejde-1590	144	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	144	14	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	144	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	144	16	→	→	SYM
ejde-1590	144	17	(	(	PUNCT
ejde-1590	144	18	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1590	144	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	144	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	145	1	we	we	PRON
ejde-1590	145	2	denote	denote	VERB
ejde-1590	145	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	145	4	by	by	ADP
ejde-1590	145	5	hap	hap	NOUN
ejde-1590	145	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	145	7	r	r	PROPN
ejde-1590	145	8	φ	φ	PROPN
ejde-1590	145	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	145	10	rn	rn	PROPN
ejde-1590	145	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	145	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	145	13	the	the	DET
ejde-1590	145	14	family	family	NOUN
ejde-1590	145	15	of	of	ADP
ejde-1590	145	16	distributions	distribution	NOUN
ejde-1590	145	17	h	h	NOUN
ejde-1590	145	18	that	that	PRON
ejde-1590	145	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	145	20	in	in	ADP
ejde-1590	145	21	the	the	DET
ejde-1590	145	22	sense	sense	NOUN
ejde-1590	145	23	of	of	ADP
ejde-1590	145	24	distributions	distribution	NOUN
ejde-1590	145	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	145	26	can	can	AUX
ejde-1590	145	27	be	be	AUX
ejde-1590	145	28	written	write	VERB
ejde-1590	145	29	as	as	ADP
ejde-1590	145	30	h	h	NOUN
ejde-1590	145	31	=	=	PROPN
ejde-1590	146	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	146	2	j=0	j=0	PUNCT
ejde-1590	146	3	λjaj	λjaj	ADV
ejde-1590	146	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	5	where	where	SCONJ
ejde-1590	146	6	aj	aj	PROPN
ejde-1590	146	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	8	j	j	PROPN
ejde-1590	146	9	≥	≥	NUM
ejde-1590	146	10	0	0	NUM
ejde-1590	146	11	are	be	AUX
ejde-1590	146	12	central	central	ADJ
ejde-1590	146	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	146	14	1	1	NUM
ejde-1590	146	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	16	p	p	X
ejde-1590	146	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	18	r	r	NOUN
ejde-1590	146	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	20	φ)-atoms	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	146	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	146	22	and	and	CCONJ
ejde-1590	146	23	∑∞	∑∞	PROPN
ejde-1590	146	24	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	146	25	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	147	1	|	|	ADV
ejde-1590	147	2	<	<	X
ejde-1590	147	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	147	4	it	it	PRON
ejde-1590	147	5	is	be	AUX
ejde-1590	147	6	clear	clear	ADJ
ejde-1590	147	7	that	that	SCONJ
ejde-1590	147	8	hap	hap	NOUN
ejde-1590	147	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	147	10	r	r	PROPN
ejde-1590	147	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	147	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	147	13	rn	rn	NOUN
ejde-1590	147	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	147	15	is	be	AUX
ejde-1590	147	16	a	a	DET
ejde-1590	147	17	vector	vector	NOUN
ejde-1590	147	18	space	space	NOUN
ejde-1590	147	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	148	1	in	in	ADP
ejde-1590	148	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	148	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	148	4	we	we	PRON
ejde-1590	148	5	denote	denote	VERB
ejde-1590	148	6	∥h∥hap	∥h∥hap	PROPN
ejde-1590	148	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	148	8	r	r	PROPN
ejde-1590	148	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	148	10	=	=	SYM
ejde-1590	148	11	inf	inf	PROPN
ejde-1590	148	12	{	{	PUNCT
ejde-1590	148	13	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	148	14	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	148	15	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	148	16	|	|	ADV
ejde-1590	148	17	}	}	PUNCT
ejde-1590	148	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	148	19	where	where	SCONJ
ejde-1590	148	20	the	the	DET
ejde-1590	148	21	infimum	infimum	NOUN
ejde-1590	148	22	is	be	AUX
ejde-1590	148	23	taken	take	VERB
ejde-1590	148	24	over	over	ADP
ejde-1590	148	25	all	all	DET
ejde-1590	148	26	possible	possible	ADJ
ejde-1590	148	27	decompositions	decomposition	NOUN
ejde-1590	148	28	of	of	ADP
ejde-1590	148	29	h	h	NOUN
ejde-1590	148	30	as	as	ADP
ejde-1590	148	31	above	above	ADV
ejde-1590	148	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	149	1	then	then	ADV
ejde-1590	149	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	149	3	hap	hap	X
ejde-1590	149	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	149	5	r	r	PROPN
ejde-1590	149	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	149	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	149	8	rn	rn	PROPN
ejde-1590	149	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	149	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	149	11	∥	∥	X
ejde-1590	149	12	·	·	PUNCT
ejde-1590	150	1	∥hap	∥hap	NUM
ejde-1590	150	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	150	3	r	r	PROPN
ejde-1590	150	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	150	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	150	6	becomes	become	VERB
ejde-1590	150	7	a	a	DET
ejde-1590	150	8	normed	normed	ADJ
ejde-1590	150	9	space	space	NOUN
ejde-1590	150	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	151	1	such	such	DET
ejde-1590	151	2	a	a	DET
ejde-1590	151	3	space	space	NOUN
ejde-1590	151	4	of	of	ADP
ejde-1590	151	5	this	this	DET
ejde-1590	151	6	type	type	NOUN
ejde-1590	151	7	has	have	AUX
ejde-1590	151	8	been	be	AUX
ejde-1590	151	9	studied	study	VERB
ejde-1590	151	10	by	by	ADP
ejde-1590	151	11	the	the	DET
ejde-1590	151	12	authors	author	NOUN
ejde-1590	151	13	in	in	ADP
ejde-1590	151	14	[	[	X
ejde-1590	151	15	3	3	NUM
ejde-1590	151	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	151	17	15	15	NUM
ejde-1590	151	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	151	19	14	14	NUM
ejde-1590	151	20	]	]	PUNCT
ejde-1590	151	21	and	and	CCONJ
ejde-1590	151	22	in	in	ADP
ejde-1590	151	23	the	the	DET
ejde-1590	151	24	references	reference	NOUN
ejde-1590	151	25	cited	cite	VERB
ejde-1590	151	26	therein	therein	ADV
ejde-1590	151	27	when	when	SCONJ
ejde-1590	151	28	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	151	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	151	30	≡	≡	PROPN
ejde-1590	151	31	1	1	X
ejde-1590	151	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	152	1	in	in	ADP
ejde-1590	152	2	fact	fact	NOUN
ejde-1590	152	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	4	chen	chen	PROPN
ejde-1590	152	5	–	–	PUNCT
ejde-1590	152	6	lau	lau	PROPN
ejde-1590	152	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	8	[	[	X
ejde-1590	152	9	3	3	NUM
ejde-1590	152	10	]	]	PUNCT
ejde-1590	152	11	studied	study	VERB
ejde-1590	152	12	a	a	DET
ejde-1590	152	13	theory	theory	NOUN
ejde-1590	152	14	of	of	ADP
ejde-1590	152	15	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	152	16	spaces	space	NOUN
ejde-1590	152	17	hap	hap	NOUN
ejde-1590	152	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	19	r	r	PROPN
ejde-1590	152	20	φ	φ	X
ejde-1590	152	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	152	22	r	r	NOUN
ejde-1590	152	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	152	24	associated	associate	VERB
ejde-1590	152	25	with	with	ADP
ejde-1590	152	26	the	the	DET
ejde-1590	152	27	beurling	beurling	NOUN
ejde-1590	152	28	algebras	algebras	PROPN
ejde-1590	152	29	ap	ap	PROPN
ejde-1590	152	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	31	1	1	NUM
ejde-1590	152	32	<	<	X
ejde-1590	152	33	p	p	X
ejde-1590	152	34	<	<	X
ejde-1590	152	35	∞	∞	PROPN
ejde-1590	152	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	37	the	the	DET
ejde-1590	152	38	space	space	NOUN
ejde-1590	152	39	consisting	consist	VERB
ejde-1590	152	40	of	of	ADP
ejde-1590	152	41	functions	function	NOUN
ejde-1590	152	42	f	f	PROPN
ejde-1590	152	43	on	on	ADP
ejde-1590	152	44	rn	rn	PROPN
ejde-1590	152	45	for	for	ADP
ejde-1590	152	46	which	which	PRON
ejde-1590	152	47	∥f∥ap	∥f∥ap	NOUN
ejde-1590	152	48	=	=	SYM
ejde-1590	152	49	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	152	50	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	152	51	2	2	NUM
ejde-1590	152	52	kn	kn	PROPN
ejde-1590	152	53	p′	p′	PROPN
ejde-1590	152	54	∥fχk∥lp	∥fχk∥lp	NOUN
ejde-1590	152	55	<	<	X
ejde-1590	152	56	∞	∞	PROPN
ejde-1590	152	57	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	58	where	where	SCONJ
ejde-1590	152	59	χk	χk	PROPN
ejde-1590	152	60	is	be	AUX
ejde-1590	152	61	the	the	DET
ejde-1590	152	62	characteristic	characteristic	ADJ
ejde-1590	152	63	function	function	NOUN
ejde-1590	152	64	on	on	ADP
ejde-1590	152	65	the	the	DET
ejde-1590	152	66	set	set	NOUN
ejde-1590	152	67	{	{	PUNCT
ejde-1590	152	68	x	x	SYM
ejde-1590	152	69	∈	∈	PROPN
ejde-1590	152	70	rn	rn	NOUN
ejde-1590	152	71	:	:	PUNCT
ejde-1590	152	72	2k−1	2k−1	NUM
ejde-1590	152	73	<	<	X
ejde-1590	152	74	|x|	|x|	PROPN
ejde-1590	152	75	≤	≤	NOUN
ejde-1590	152	76	2k	2k	NOUN
ejde-1590	152	77	}	}	PUNCT
ejde-1590	152	78	,	,	PUNCT
ejde-1590	152	79	k	k	X
ejde-1590	152	80	≥	≥	NUM
ejde-1590	152	81	1	1	NUM
ejde-1590	152	82	.	.	PUNCT
ejde-1590	153	1	for	for	ADP
ejde-1590	153	2	convenience	convenience	NOUN
ejde-1590	153	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	153	4	we	we	PRON
ejde-1590	153	5	recall	recall	VERB
ejde-1590	153	6	here	here	ADV
ejde-1590	153	7	the	the	DET
ejde-1590	153	8	definition	definition	NOUN
ejde-1590	153	9	of	of	ADP
ejde-1590	153	10	hap	hap	NOUN
ejde-1590	153	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	153	12	r	r	NOUN
ejde-1590	153	13	φ	φ	X
ejde-1590	153	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	153	15	r	r	NOUN
ejde-1590	153	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	153	17	via	via	ADP
ejde-1590	153	18	the	the	DET
ejde-1590	153	19	beurling	beurling	NOUN
ejde-1590	153	20	algebras	algebras	PROPN
ejde-1590	153	21	ap	ap	PROPN
ejde-1590	153	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	153	23	definition	definition	NOUN
ejde-1590	153	24	1.10	1.10	NUM
ejde-1590	153	25	.	.	PUNCT
ejde-1590	154	1	let	let	VERB
ejde-1590	154	2	f∗	f∗	NOUN
ejde-1590	154	3	be	be	AUX
ejde-1590	154	4	the	the	DET
ejde-1590	154	5	vertical	vertical	ADJ
ejde-1590	154	6	maximal	maximal	ADJ
ejde-1590	154	7	function	function	NOUN
ejde-1590	154	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	154	9	defined	define	VERB
ejde-1590	154	10	by	by	ADP
ejde-1590	154	11	f∗(x	f∗(x	NOUN
ejde-1590	154	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	154	13	=	=	SYM
ejde-1590	155	1	sup	sup	NOUN
ejde-1590	155	2	t>0	t>0	NOUN
ejde-1590	155	3	∣∣(f	∣∣(f	PROPN
ejde-1590	155	4	∗	∗	NOUN
ejde-1590	155	5	ψt)(x	ψt)(x	NOUN
ejde-1590	155	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	156	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	156	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	156	3	where	where	SCONJ
ejde-1590	156	4	ψt(x	ψt(x	PUNCT
ejde-1590	156	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	157	1	=	=	SYM
ejde-1590	157	2	t−nψ(x	t−nψ(x	NUM
ejde-1590	157	3	/	/	SYM
ejde-1590	157	4	t	t	NOUN
ejde-1590	157	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	157	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	157	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	157	8	ψ	ψ	NOUN
ejde-1590	157	9	is	be	AUX
ejde-1590	157	10	an	an	DET
ejde-1590	157	11	integrable	integrable	ADJ
ejde-1590	157	12	function	function	NOUN
ejde-1590	157	13	on	on	ADP
ejde-1590	157	14	rn	rn	PROPN
ejde-1590	157	15	such	such	ADJ
ejde-1590	157	16	that	that	DET
ejde-1590	157	17	∫	∫	PROPN
ejde-1590	157	18	rn	rn	PROPN
ejde-1590	157	19	ψ(x	ψ(x	PROPN
ejde-1590	157	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	157	21	dx	dx	PROPN
ejde-1590	158	1	=	=	SYM
ejde-1590	159	1	1	1	X
ejde-1590	159	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	160	1	then	then	ADV
ejde-1590	160	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	160	3	we	we	PRON
ejde-1590	160	4	define	define	VERB
ejde-1590	160	5	hap	hap	NOUN
ejde-1590	160	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	160	7	r	r	NOUN
ejde-1590	160	8	φ	φ	X
ejde-1590	160	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	160	10	r	r	NOUN
ejde-1590	160	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	160	12	by	by	ADP
ejde-1590	160	13	the	the	DET
ejde-1590	160	14	set	set	NOUN
ejde-1590	160	15	of	of	ADP
ejde-1590	160	16	functions	function	NOUN
ejde-1590	160	17	f	f	X
ejde-1590	160	18	such	such	ADJ
ejde-1590	160	19	that	that	SCONJ
ejde-1590	160	20	∥f∗∥ap	∥f∗∥ap	PROPN
ejde-1590	160	21	is	be	AUX
ejde-1590	160	22	finite	finite	ADJ
ejde-1590	160	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	161	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	161	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	161	3	if	if	SCONJ
ejde-1590	161	4	we	we	PRON
ejde-1590	161	5	set	set	VERB
ejde-1590	161	6	∥f∥hap	∥f∥hap	NUM
ejde-1590	161	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	161	8	r	r	NOUN
ejde-1590	161	9	φ	φ	NOUN
ejde-1590	161	10	=	=	SYM
ejde-1590	161	11	∥f∗∥ap	∥f∗∥ap	PROPN
ejde-1590	161	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	161	13	then	then	ADV
ejde-1590	161	14	∥	∥	PUNCT
ejde-1590	161	15	·	·	PUNCT
ejde-1590	161	16	∥hap	∥hap	NUM
ejde-1590	161	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	161	18	r	r	PROPN
ejde-1590	161	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	161	20	is	be	AUX
ejde-1590	161	21	a	a	DET
ejde-1590	161	22	norm	norm	NOUN
ejde-1590	161	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	162	1	the	the	DET
ejde-1590	162	2	most	most	ADV
ejde-1590	162	3	interesting	interesting	ADJ
ejde-1590	162	4	aspect	aspect	NOUN
ejde-1590	162	5	of	of	ADP
ejde-1590	162	6	the	the	DET
ejde-1590	162	7	theory	theory	NOUN
ejde-1590	162	8	constructed	construct	VERB
ejde-1590	162	9	by	by	ADP
ejde-1590	162	10	chen	chen	PROPN
ejde-1590	162	11	-	-	PUNCT
ejde-1590	162	12	lau	lau	PROPN
ejde-1590	162	13	is	be	AUX
ejde-1590	162	14	the	the	DET
ejde-1590	162	15	atomic	atomic	ADJ
ejde-1590	162	16	decomposition	decomposition	NOUN
ejde-1590	162	17	of	of	ADP
ejde-1590	162	18	hap	hap	NOUN
ejde-1590	162	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	162	20	r(r	r(r	PROPN
ejde-1590	162	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	162	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	162	23	for	for	ADP
ejde-1590	162	24	1	1	NUM
ejde-1590	162	25	<	<	X
ejde-1590	162	26	p	p	X
ejde-1590	162	27	≤	≤	ADJ
ejde-1590	162	28	2	2	NUM
ejde-1590	162	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	163	1	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	163	2	to	to	ADP
ejde-1590	163	3	this	this	DET
ejde-1590	163	4	decomposition	decomposition	NOUN
ejde-1590	163	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	163	6	they	they	PRON
ejde-1590	163	7	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	163	8	the	the	DET
ejde-1590	163	9	duality	duality	NOUN
ejde-1590	163	10	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	163	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	163	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	163	13	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	163	14	=	=	PRON
ejde-1590	163	15	˙cmo	˙cmo	X
ejde-1590	164	1	p	p	X
ejde-1590	164	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	164	3	r	r	NOUN
ejde-1590	164	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	164	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	164	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	164	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	165	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	165	2	1.17	1.17	NUM
ejde-1590	165	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	165	4	after	after	ADP
ejde-1590	165	5	that	that	PRON
ejde-1590	165	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	165	7	garćıa	garćıa	NOUN
ejde-1590	165	8	-	-	PUNCT
ejde-1590	165	9	cuerva	cuerva	NOUN
ejde-1590	165	10	[	[	X
ejde-1590	165	11	15	15	NUM
ejde-1590	165	12	]	]	PUNCT
ejde-1590	165	13	extended	extend	VERB
ejde-1590	165	14	their	their	PRON
ejde-1590	165	15	results	result	NOUN
ejde-1590	165	16	for	for	ADP
ejde-1590	165	17	all	all	DET
ejde-1590	165	18	p	p	NOUN
ejde-1590	165	19	∈	∈	PROPN
ejde-1590	165	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	165	21	1,∞	1,∞	NUM
ejde-1590	165	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	165	23	by	by	ADP
ejde-1590	165	24	using	use	VERB
ejde-1590	165	25	the	the	DET
ejde-1590	165	26	characterizations	characterization	NOUN
ejde-1590	165	27	via	via	ADP
ejde-1590	165	28	the	the	DET
ejde-1590	165	29	grand	grand	ADJ
ejde-1590	165	30	maximal	maximal	ADJ
ejde-1590	165	31	functions	function	NOUN
ejde-1590	165	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	166	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	166	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	166	3	the	the	DET
ejde-1590	166	4	associated	associate	VERB
ejde-1590	166	5	spaces	space	NOUN
ejde-1590	166	6	haq	haq	PROPN
ejde-1590	166	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	166	8	p	p	X
ejde-1590	166	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	166	10	0	0	PUNCT
ejde-1590	166	11	<	<	X
ejde-1590	166	12	q	q	X
ejde-1590	166	13	<	<	X
ejde-1590	166	14	1	1	NUM
ejde-1590	166	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	166	16	1	1	NUM
ejde-1590	166	17	<	<	X
ejde-1590	166	18	p	p	X
ejde-1590	166	19	≤	≤	PROPN
ejde-1590	166	20	∞	∞	PROPN
ejde-1590	166	21	was	be	AUX
ejde-1590	166	22	investigated	investigate	VERB
ejde-1590	166	23	by	by	ADP
ejde-1590	166	24	the	the	DET
ejde-1590	166	25	authors	author	NOUN
ejde-1590	166	26	in	in	ADP
ejde-1590	166	27	[	[	X
ejde-1590	166	28	14	14	NUM
ejde-1590	166	29	]	]	PUNCT
ejde-1590	166	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	167	1	remark	remark	PROPN
ejde-1590	167	2	1.11	1.11	NUM
ejde-1590	167	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	168	1	obviously	obviously	ADV
ejde-1590	168	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	168	3	for	for	ADP
ejde-1590	168	4	any	any	DET
ejde-1590	168	5	1	1	NUM
ejde-1590	168	6	<	<	X
ejde-1590	168	7	p1	p1	PROPN
ejde-1590	168	8	<	<	X
ejde-1590	168	9	p2	p2	PROPN
ejde-1590	168	10	≤	≤	ADV
ejde-1590	168	11	∞	∞	NUM
ejde-1590	168	12	we	we	PRON
ejde-1590	168	13	have	have	VERB
ejde-1590	168	14	hap2,r	hap2,r	PROPN
ejde-1590	168	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	168	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	168	17	rn	rn	PROPN
ejde-1590	168	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	168	19	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	169	1	hap1,r	hap1,r	PROPN
ejde-1590	169	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	169	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	169	4	rn	rn	PROPN
ejde-1590	169	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	169	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	170	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	170	2	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	170	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	170	4	it	it	PRON
ejde-1590	170	5	is	be	AUX
ejde-1590	170	6	interesting	interesting	ADJ
ejde-1590	170	7	to	to	PART
ejde-1590	170	8	emphasize	emphasize	VERB
ejde-1590	170	9	that	that	SCONJ
ejde-1590	170	10	when	when	SCONJ
ejde-1590	170	11	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-1590	170	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	170	13	≡	≡	PROPN
ejde-1590	170	14	1	1	NUM
ejde-1590	170	15	the	the	DET
ejde-1590	170	16	inclusion	inclusion	NOUN
ejde-1590	170	17	in	in	ADP
ejde-1590	170	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	170	19	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	170	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	170	21	is	be	AUX
ejde-1590	170	22	strictly	strictly	ADV
ejde-1590	170	23	according	accord	VERB
ejde-1590	170	24	to	to	ADP
ejde-1590	170	25	(	(	PUNCT
ejde-1590	170	26	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	170	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	170	28	and	and	CCONJ
ejde-1590	170	29	(	(	PUNCT
ejde-1590	170	30	1.17	1.17	NUM
ejde-1590	170	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	170	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	171	1	this	this	DET
ejde-1590	171	2	observation	observation	NOUN
ejde-1590	171	3	is	be	AUX
ejde-1590	171	4	different	different	ADJ
ejde-1590	171	5	from	from	ADP
ejde-1590	171	6	the	the	DET
ejde-1590	171	7	point	point	NOUN
ejde-1590	171	8	of	of	ADP
ejde-1590	171	9	view	view	NOUN
ejde-1590	171	10	of	of	ADP
ejde-1590	171	11	the	the	DET
ejde-1590	171	12	classical	classical	ADJ
ejde-1590	171	13	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	171	14	spaces	space	NOUN
ejde-1590	171	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	172	1	that	that	PRON
ejde-1590	172	2	is	be	AUX
ejde-1590	172	3	h1,∞(rn	h1,∞(rn	NUM
ejde-1590	172	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	173	1	=	=	SYM
ejde-1590	173	2	h1,q(rn	h1,q(rn	PROPN
ejde-1590	173	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	173	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	173	5	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	173	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	173	7	for	for	ADP
ejde-1590	173	8	1	1	NUM
ejde-1590	173	9	<	<	X
ejde-1590	173	10	q	q	X
ejde-1590	173	11	<	<	X
ejde-1590	173	12	∞	∞	PROPN
ejde-1590	173	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	173	14	see	see	VERB
ejde-1590	173	15	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	173	16	a	a	PRON
ejde-1590	173	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	173	18	[	[	X
ejde-1590	173	19	6	6	NUM
ejde-1590	173	20	]	]	PUNCT
ejde-1590	173	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	174	1	by	by	ADP
ejde-1590	174	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	174	3	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	174	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	174	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	174	6	one	one	PRON
ejde-1590	174	7	can	can	AUX
ejde-1590	174	8	define	define	VERB
ejde-1590	174	9	h1(rn	h1(rn	PROPN
ejde-1590	174	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	174	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	174	12	the	the	DET
ejde-1590	174	13	real	real	ADJ
ejde-1590	174	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	174	15	space	space	NOUN
ejde-1590	174	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	174	17	to	to	PART
ejde-1590	174	18	be	be	AUX
ejde-1590	174	19	any	any	DET
ejde-1590	174	20	one	one	NUM
ejde-1590	174	21	of	of	ADP
ejde-1590	174	22	the	the	DET
ejde-1590	174	23	spaces	space	NOUN
ejde-1590	174	24	h1,q(rn	h1,q(rn	PROPN
ejde-1590	174	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	174	26	for	for	ADP
ejde-1590	174	27	1	1	NUM
ejde-1590	174	28	<	<	X
ejde-1590	174	29	q	q	PROPN
ejde-1590	174	30	≤	≤	NUM
ejde-1590	174	31	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	174	32	next	next	ADV
ejde-1590	174	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	174	34	we	we	PRON
ejde-1590	174	35	discuss	discuss	VERB
ejde-1590	174	36	the	the	DET
ejde-1590	174	37	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	174	38	of	of	ADP
ejde-1590	174	39	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	174	40	operators	operator	NOUN
ejde-1590	174	41	.	.	PUNCT
ejde-1590	175	1	for	for	ADP
ejde-1590	175	2	any	any	DET
ejde-1590	175	3	operator	operator	NOUN
ejde-1590	175	4	t	t	NOUN
ejde-1590	175	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	175	6	let	let	VERB
ejde-1590	175	7	us	we	PRON
ejde-1590	175	8	define	define	VERB
ejde-1590	175	9	[	[	X
ejde-1590	175	10	b	b	X
ejde-1590	175	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	175	12	t	t	X
ejde-1590	175	13	]	]	X
ejde-1590	175	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	175	15	f	f	X
ejde-1590	175	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	175	17	:	:	PUNCT
ejde-1590	175	18	=	=	SYM
ejde-1590	175	19	bt	bt	PROPN
ejde-1590	175	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	175	21	f)−	f)−	PROPN
ejde-1590	175	22	t	t	PROPN
ejde-1590	175	23	(	(	PUNCT
ejde-1590	175	24	bf	bf	NOUN
ejde-1590	175	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	175	26	.	.	PUNCT
ejde-1590	176	1	note	note	VERB
ejde-1590	176	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	176	3	b	b	NOUN
ejde-1590	176	4	is	be	AUX
ejde-1590	176	5	called	call	VERB
ejde-1590	176	6	the	the	DET
ejde-1590	176	7	symbol	symbol	NOUN
ejde-1590	176	8	function	function	NOUN
ejde-1590	176	9	of	of	ADP
ejde-1590	176	10	[	[	X
ejde-1590	176	11	b	b	PROPN
ejde-1590	176	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	176	13	t	t	X
ejde-1590	176	14	]	]	PUNCT
ejde-1590	176	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	177	1	when	when	SCONJ
ejde-1590	177	2	t	t	PROPN
ejde-1590	177	3	is	be	AUX
ejde-1590	177	4	an	an	DET
ejde-1590	177	5	operator	operator	NOUN
ejde-1590	177	6	of	of	ADP
ejde-1590	177	7	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	177	8	type	type	NOUN
ejde-1590	177	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	10	the	the	DET
ejde-1590	177	11	study	study	NOUN
ejde-1590	177	12	of	of	ADP
ejde-1590	177	13	[	[	X
ejde-1590	177	14	b	b	PROPN
ejde-1590	177	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	16	t	t	PROPN
ejde-1590	177	17	]	]	PUNCT
ejde-1590	177	18	has	have	AUX
ejde-1590	177	19	been	be	AUX
ejde-1590	177	20	investigated	investigate	VERB
ejde-1590	177	21	by	by	ADP
ejde-1590	177	22	many	many	ADJ
ejde-1590	177	23	authors	author	NOUN
ejde-1590	177	24	in	in	ADP
ejde-1590	177	25	[	[	X
ejde-1590	177	26	12	12	NUM
ejde-1590	177	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	28	20	20	NUM
ejde-1590	177	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	30	13	13	NUM
ejde-1590	177	31	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	32	24	24	NUM
ejde-1590	177	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	34	27	27	NUM
ejde-1590	177	35	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	36	26	26	NUM
ejde-1590	177	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	38	25	25	NUM
ejde-1590	177	39	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	40	23	23	NUM
ejde-1590	177	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	42	22	22	NUM
ejde-1590	177	43	]	]	PUNCT
ejde-1590	177	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	177	45	and	and	CCONJ
ejde-1590	177	46	the	the	DET
ejde-1590	177	47	references	reference	NOUN
ejde-1590	177	48	therein	therein	ADV
ejde-1590	177	49	.	.	PUNCT
ejde-1590	178	1	in	in	ADP
ejde-1590	178	2	[	[	X
ejde-1590	178	3	22	22	NUM
ejde-1590	178	4	]	]	PUNCT
ejde-1590	178	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	6	long	long	ADV
ejde-1590	178	7	–	–	PUNCT
ejde-1590	178	8	wang	wang	PROPN
ejde-1590	178	9	proved	prove	VERB
ejde-1590	178	10	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	178	11	’s	’s	PART
ejde-1590	178	12	integral	integral	ADJ
ejde-1590	178	13	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	178	14	for	for	ADP
ejde-1590	178	15	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	178	16	[	[	X
ejde-1590	178	17	b	b	NOUN
ejde-1590	178	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	19	h	h	NOUN
ejde-1590	178	20	]	]	X
ejde-1590	178	21	and	and	CCONJ
ejde-1590	178	22	[	[	X
ejde-1590	178	23	b	b	X
ejde-1590	178	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	25	hβ	hβ	INTJ
ejde-1590	178	26	]	]	PUNCT
ejde-1590	178	27	(	(	PUNCT
ejde-1590	178	28	the	the	DET
ejde-1590	178	29	fractional	fractional	ADJ
ejde-1590	178	30	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	178	31	operator	operator	NOUN
ejde-1590	178	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	178	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	34	β	β	X
ejde-1590	178	35	∈	∈	PROPN
ejde-1590	178	36	(	(	PUNCT
ejde-1590	178	37	0	0	NUM
ejde-1590	178	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	39	1	1	NUM
ejde-1590	178	40	)	)	PUNCT
ejde-1590	178	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	178	42	with	with	SCONJ
ejde-1590	178	43	b	b	NOUN
ejde-1590	178	44	belongs	belong	VERB
ejde-1590	178	45	to	to	ADP
ejde-1590	178	46	the	the	DET
ejde-1590	178	47	one	one	NUM
ejde-1590	178	48	-	-	PUNCT
ejde-1590	178	49	sided	sided	ADJ
ejde-1590	178	50	dyadic	dyadic	ADJ
ejde-1590	178	51	functions	function	NOUN
ejde-1590	178	52	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	179	1	p	p	X
ejde-1590	179	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	179	3	r	r	NOUN
ejde-1590	179	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	179	5	r+	r+	NOUN
ejde-1590	179	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	179	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	180	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	180	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	180	3	fu	fu	PROPN
ejde-1590	180	4	et	et	PROPN
ejde-1590	180	5	al	al	PROPN
ejde-1590	180	6	.	.	PROPN
ejde-1590	180	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	181	1	[	[	X
ejde-1590	181	2	13	13	NUM
ejde-1590	181	3	]	]	PUNCT
ejde-1590	181	4	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	181	5	some	some	DET
ejde-1590	181	6	characterizations	characterization	NOUN
ejde-1590	181	7	of	of	ADP
ejde-1590	181	8	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	182	1	p	p	X
ejde-1590	182	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	182	3	r	r	NOUN
ejde-1590	182	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	182	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	182	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	182	7	for	for	ADP
ejde-1590	182	8	1	1	NUM
ejde-1590	182	9	<	<	X
ejde-1590	182	10	p	p	X
ejde-1590	182	11	<	<	X
ejde-1590	182	12	∞	∞	PROPN
ejde-1590	182	13	via	via	ADP
ejde-1590	182	14	the	the	DET
ejde-1590	182	15	lp	lp	NOUN
ejde-1590	182	16	-	-	PUNCT
ejde-1590	182	17	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	182	18	of	of	ADP
ejde-1590	182	19	[	[	X
ejde-1590	182	20	b	b	PROPN
ejde-1590	182	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	182	22	h	h	NOUN
ejde-1590	182	23	]	]	X
ejde-1590	182	24	and	and	CCONJ
ejde-1590	182	25	[	[	X
ejde-1590	182	26	b	b	PROPN
ejde-1590	182	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	182	28	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	182	29	]	]	PUNCT
ejde-1590	182	30	in	in	ADP
ejde-1590	182	31	the	the	DET
ejde-1590	182	32	following	following	NOUN
ejde-1590	182	33	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	182	34	.	.	PROPN
ejde-1590	182	35	6	6	NUM
ejde-1590	182	36	l.	l.	NOUN
ejde-1590	182	37	t.	t.	NOUN
ejde-1590	182	38	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	182	39	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	182	40	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	182	41	1.12	1.12	NUM
ejde-1590	182	42	(	(	PUNCT
ejde-1590	182	43	fu	fu	PROPN
ejde-1590	182	44	et	et	PROPN
ejde-1590	182	45	al	al	PROPN
ejde-1590	182	46	.	.	PUNCT
ejde-1590	183	1	[	[	X
ejde-1590	183	2	13	13	NUM
ejde-1590	183	3	]	]	NUM
ejde-1590	183	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	183	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	184	1	let	let	VERB
ejde-1590	184	2	b	b	X
ejde-1590	184	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	184	4	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	184	5	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	184	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	184	7	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	184	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	184	9	rn	rn	NOUN
ejde-1590	184	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	184	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	185	1	then	then	ADV
ejde-1590	185	2	both	both	DET
ejde-1590	185	3	[	[	X
ejde-1590	185	4	b	b	X
ejde-1590	185	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	185	6	h	h	NOUN
ejde-1590	185	7	]	]	X
ejde-1590	185	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	185	9	[	[	X
ejde-1590	185	10	b	b	PROPN
ejde-1590	185	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	185	12	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	185	13	]	]	PUNCT
ejde-1590	185	14	are	be	AUX
ejde-1590	185	15	bounded	bound	VERB
ejde-1590	185	16	on	on	ADP
ejde-1590	185	17	lp	lp	PROPN
ejde-1590	185	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	186	1	conversely	conversely	ADV
ejde-1590	186	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	186	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	186	4	a	a	X
ejde-1590	186	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	186	6	if	if	SCONJ
ejde-1590	186	7	[	[	X
ejde-1590	186	8	b	b	NOUN
ejde-1590	186	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	186	10	h	h	NOUN
ejde-1590	186	11	]	]	X
ejde-1590	186	12	is	be	AUX
ejde-1590	186	13	bounded	bound	VERB
ejde-1590	186	14	on	on	ADP
ejde-1590	186	15	lp	lp	NOUN
ejde-1590	186	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	186	17	then	then	ADV
ejde-1590	186	18	b	b	PROPN
ejde-1590	186	19	∈	∈	PROPN
ejde-1590	186	20	˙cmo	˙cmo	X
ejde-1590	187	1	p′,r	p′,r	PROPN
ejde-1590	187	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	187	3	rn	rn	PROPN
ejde-1590	187	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	187	5	;	;	PUNCT
ejde-1590	187	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	187	7	b	b	X
ejde-1590	187	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	187	9	if	if	SCONJ
ejde-1590	187	10	[	[	X
ejde-1590	187	11	b	b	NOUN
ejde-1590	187	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	187	13	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	187	14	]	]	PUNCT
ejde-1590	187	15	is	be	AUX
ejde-1590	187	16	bounded	bound	VERB
ejde-1590	187	17	on	on	ADP
ejde-1590	187	18	lp	lp	NOUN
ejde-1590	187	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	187	20	then	then	ADV
ejde-1590	187	21	b	b	PROPN
ejde-1590	187	22	∈	∈	PROPN
ejde-1590	187	23	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	188	1	p	p	X
ejde-1590	188	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	188	3	r	r	NOUN
ejde-1590	188	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	188	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	188	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	188	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	189	1	we	we	PRON
ejde-1590	189	2	also	also	ADV
ejde-1590	189	3	mention	mention	VERB
ejde-1590	189	4	that	that	SCONJ
ejde-1590	189	5	komori	komori	PROPN
ejde-1590	189	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	189	7	[	[	X
ejde-1590	189	8	20	20	NUM
ejde-1590	189	9	]	]	PUNCT
ejde-1590	189	10	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	189	11	a	a	DET
ejde-1590	189	12	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	189	13	of	of	ADP
ejde-1590	189	14	function	function	NOUN
ejde-1590	189	15	b	b	PROPN
ejde-1590	189	16	∈	∈	PROPN
ejde-1590	189	17	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	190	1	p	p	X
ejde-1590	190	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	190	3	r	r	NOUN
ejde-1590	190	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	190	5	r+	r+	X
ejde-1590	190	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	190	7	by	by	ADP
ejde-1590	190	8	means	mean	NOUN
ejde-1590	190	9	of	of	ADP
ejde-1590	190	10	the	the	DET
ejde-1590	190	11	lp	lp	NOUN
ejde-1590	190	12	-	-	PUNCT
ejde-1590	190	13	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	190	14	of	of	ADP
ejde-1590	190	15	[	[	X
ejde-1590	190	16	b	b	PROPN
ejde-1590	190	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	190	18	h	h	NOUN
ejde-1590	190	19	]	]	X
ejde-1590	190	20	and	and	CCONJ
ejde-1590	190	21	[	[	X
ejde-1590	190	22	b	b	PROPN
ejde-1590	190	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	190	24	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	190	25	]	]	PUNCT
ejde-1590	190	26	.	.	PUNCT
ejde-1590	191	1	note	note	VERB
ejde-1590	191	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	191	3	his	his	PRON
ejde-1590	191	4	argument	argument	NOUN
ejde-1590	191	5	can	can	AUX
ejde-1590	191	6	be	be	AUX
ejde-1590	191	7	adapted	adapt	VERB
ejde-1590	191	8	for	for	ADP
ejde-1590	191	9	the	the	DET
ejde-1590	191	10	setting	setting	NOUN
ejde-1590	191	11	of	of	ADP
ejde-1590	191	12	the	the	DET
ejde-1590	191	13	euclidean	euclidean	ADJ
ejde-1590	191	14	space	space	NOUN
ejde-1590	191	15	rn	rn	PROPN
ejde-1590	191	16	instead	instead	ADV
ejde-1590	191	17	of	of	ADP
ejde-1590	191	18	r+	r+	X
ejde-1590	191	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	192	1	lu	lu	PROPN
ejde-1590	192	2	-	-	PUNCT
ejde-1590	192	3	zhao	zhao	PROPN
ejde-1590	192	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	192	5	[	[	X
ejde-1590	192	6	24	24	NUM
ejde-1590	192	7	]	]	X
ejde-1590	192	8	extended	extended	ADJ
ejde-1590	192	9	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	192	10	1.12	1.12	NUM
ejde-1590	192	11	to	to	ADP
ejde-1590	192	12	the	the	DET
ejde-1590	192	13	space	space	NOUN
ejde-1590	192	14	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	193	1	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	193	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	193	3	q′},λ	q′},λ	PROPN
ejde-1590	193	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	193	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	193	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	193	7	as	as	SCONJ
ejde-1590	193	8	follows	follow	VERB
ejde-1590	193	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	194	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	194	2	1.13	1.13	NUM
ejde-1590	194	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	194	4	lu	lu	NOUN
ejde-1590	194	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	194	6	zhao	zhao	NOUN
ejde-1590	194	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	194	8	[	[	X
ejde-1590	194	9	24	24	NUM
ejde-1590	194	10	]	]	PUNCT
ejde-1590	194	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	194	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	195	1	let	let	VERB
ejde-1590	195	2	1	1	NUM
ejde-1590	195	3	<	<	X
ejde-1590	195	4	q	q	X
ejde-1590	195	5	<	<	X
ejde-1590	195	6	p	p	X
ejde-1590	195	7	<	<	X
ejde-1590	195	8	∞	∞	NUM
ejde-1590	195	9	be	be	VERB
ejde-1590	195	10	such	such	ADJ
ejde-1590	196	1	that	that	SCONJ
ejde-1590	196	2	0	0	NUM
ejde-1590	196	3	<	<	X
ejde-1590	196	4	λ	λ	X
ejde-1590	196	5	=	=	SYM
ejde-1590	196	6	1	1	NUM
ejde-1590	196	7	q	q	NOUN
ejde-1590	196	8	−	−	PROPN
ejde-1590	196	9	1	1	NUM
ejde-1590	196	10	p	p	NOUN
ejde-1590	196	11	<	<	X
ejde-1590	196	12	1	1	NUM
ejde-1590	196	13	n	n	NOUN
ejde-1590	196	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	197	1	then	then	ADV
ejde-1590	197	2	b	b	X
ejde-1590	197	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	197	4	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	197	5	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	197	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	197	7	q′},λ	q′},λ	PROPN
ejde-1590	197	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	197	9	rn	rn	NOUN
ejde-1590	197	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	198	1	⇐	⇐	ADJ
ejde-1590	198	2	⇒	⇒	NOUN
ejde-1590	198	3	[	[	X
ejde-1590	198	4	b	b	NOUN
ejde-1590	198	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	198	6	h	h	NOUN
ejde-1590	198	7	]	]	X
ejde-1590	198	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	198	9	[	[	X
ejde-1590	198	10	b	b	X
ejde-1590	198	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	198	12	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	198	13	]	]	X
ejde-1590	198	14	:	:	PUNCT
ejde-1590	198	15	lq(rn	lq(rn	PROPN
ejde-1590	198	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	198	17	→	→	SYM
ejde-1590	198	18	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-1590	198	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	198	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	199	1	1.1	1.1	NUM
ejde-1590	199	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	199	3	main	main	ADJ
ejde-1590	199	4	results	result	NOUN
ejde-1590	199	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	200	1	as	as	SCONJ
ejde-1590	200	2	mentioned	mention	VERB
ejde-1590	200	3	at	at	ADP
ejde-1590	200	4	the	the	DET
ejde-1590	200	5	beginning	beginning	NOUN
ejde-1590	200	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	200	7	our	our	PRON
ejde-1590	200	8	first	first	ADJ
ejde-1590	200	9	result	result	NOUN
ejde-1590	200	10	is	be	AUX
ejde-1590	200	11	the	the	DET
ejde-1590	200	12	following	follow	VERB
ejde-1590	200	13	duality	duality	NOUN
ejde-1590	200	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	201	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	201	2	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	201	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	202	1	let	let	VERB
ejde-1590	202	2	1	1	NUM
ejde-1590	202	3	<	<	X
ejde-1590	202	4	p	p	X
ejde-1590	202	5	<	<	X
ejde-1590	202	6	∞	∞	PROPN
ejde-1590	202	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	202	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	202	9	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	202	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	202	11	:	:	PUNCT
ejde-1590	202	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	202	13	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	202	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	202	15	→	→	SYM
ejde-1590	202	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	202	17	0,∞	0,∞	NUM
ejde-1590	202	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	202	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	203	1	then	then	ADV
ejde-1590	203	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	203	3	we	we	PRON
ejde-1590	203	4	have	have	VERB
ejde-1590	203	5	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	203	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	203	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	203	8	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	203	9	=	=	PRON
ejde-1590	203	10	˙cmo	˙cmo	X
ejde-1590	204	1	p	p	X
ejde-1590	204	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	204	3	r	r	PROPN
ejde-1590	204	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	204	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	204	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	204	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	204	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	205	1	remark	remark	VERB
ejde-1590	205	2	1.15	1.15	NUM
ejde-1590	205	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	206	1	as	as	ADP
ejde-1590	206	2	a	a	DET
ejde-1590	206	3	consequence	consequence	NOUN
ejde-1590	206	4	of	of	ADP
ejde-1590	206	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	206	6	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	206	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	206	8	we	we	PRON
ejde-1590	206	9	observe	observe	VERB
ejde-1590	206	10	that	that	SCONJ
ejde-1590	206	11	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	207	1	p	p	X
ejde-1590	207	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	207	3	r	r	PROPN
ejde-1590	207	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	207	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	207	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	207	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	207	8	is	be	AUX
ejde-1590	207	9	a	a	DET
ejde-1590	207	10	banach	banach	NOUN
ejde-1590	207	11	space	space	NOUN
ejde-1590	207	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	208	1	next	next	ADV
ejde-1590	208	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	208	3	we	we	PRON
ejde-1590	208	4	extend	extend	VERB
ejde-1590	208	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	208	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1590	208	7	to	to	ADP
ejde-1590	208	8	ṁ	ṁ	PROPN
ejde-1590	208	9	p	p	PROPN
ejde-1590	208	10	φ(rn	φ(rn	PROPN
ejde-1590	208	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	208	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	209	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	209	2	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	209	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	210	1	let	let	VERB
ejde-1590	210	2	1	1	NUM
ejde-1590	210	3	<	<	X
ejde-1590	210	4	p	p	X
ejde-1590	210	5	<	<	X
ejde-1590	210	6	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	210	7	assume	assume	VERB
ejde-1590	210	8	that	that	SCONJ
ejde-1590	210	9	there	there	PRON
ejde-1590	210	10	is	be	VERB
ejde-1590	210	11	a	a	DET
ejde-1590	210	12	constant	constant	ADJ
ejde-1590	210	13	d0	d0	NOUN
ejde-1590	210	14	∈	∈	PROPN
ejde-1590	210	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	210	16	0	0	NUM
ejde-1590	210	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	210	18	1	1	NUM
ejde-1590	210	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	210	20	such	such	ADJ
ejde-1590	210	21	that	that	SCONJ
ejde-1590	210	22	φ(2	φ(2	PROPN
ejde-1590	210	23	t	t	PROPN
ejde-1590	210	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	210	25	≤	≤	NUM
ejde-1590	210	26	d0φ(t	d0φ(t	NOUN
ejde-1590	210	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	210	28	,	,	PUNCT
ejde-1590	210	29	∀t	∀t	PROPN
ejde-1590	210	30	>	>	X
ejde-1590	210	31	0	0	PUNCT
ejde-1590	210	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	211	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	211	2	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	211	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	211	4	then	then	ADV
ejde-1590	211	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	211	6	h	h	PROPN
ejde-1590	211	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	211	8	resp	resp	PROPN
ejde-1590	211	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	212	1	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	212	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	212	3	is	be	AUX
ejde-1590	212	4	a	a	DET
ejde-1590	212	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	212	6	operator	operator	NOUN
ejde-1590	212	7	from	from	ADP
ejde-1590	212	8	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	212	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	212	10	r	r	PROPN
ejde-1590	212	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	212	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	212	13	rn	rn	NOUN
ejde-1590	212	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	212	15	→	→	SYM
ejde-1590	212	16	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	212	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	212	18	r	r	PROPN
ejde-1590	212	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	212	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	212	21	rn	rn	NOUN
ejde-1590	212	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	212	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	213	1	in	in	ADP
ejde-1590	213	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	213	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	213	4	we	we	PRON
ejde-1590	213	5	have	have	VERB
ejde-1590	213	6	∥h(f)∥ṁp	∥h(f)∥ṁp	PROPN
ejde-1590	213	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	213	8	r	r	PROPN
ejde-1590	213	9	φ	φ	X
ejde-1590	213	10	≤	≤	NUM
ejde-1590	213	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	213	12	p	p	NOUN
ejde-1590	213	13	p−	p−	NOUN
ejde-1590	213	14	1	1	NUM
ejde-1590	213	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	213	16	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	213	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	213	18	r	r	PROPN
ejde-1590	213	19	φ	φ	X
ejde-1590	213	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	213	21	1.21	1.21	NUM
ejde-1590	213	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	213	23	for	for	ADP
ejde-1590	213	24	f	f	PROPN
ejde-1590	213	25	∈	∈	PROPN
ejde-1590	213	26	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	213	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	213	28	r	r	PROPN
ejde-1590	213	29	φ	φ	PROPN
ejde-1590	213	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	213	31	rn	rn	PROPN
ejde-1590	213	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	213	33	;	;	PUNCT
ejde-1590	213	34	and	and	CCONJ
ejde-1590	213	35	there	there	PRON
ejde-1590	213	36	is	be	VERB
ejde-1590	213	37	a	a	DET
ejde-1590	213	38	constant	constant	ADJ
ejde-1590	213	39	c	c	NOUN
ejde-1590	213	40	=	=	SYM
ejde-1590	213	41	c(n	c(n	PROPN
ejde-1590	213	42	,	,	PUNCT
ejde-1590	213	43	p	p	NOUN
ejde-1590	213	44	)	)	PUNCT
ejde-1590	213	45	>	>	X
ejde-1590	213	46	0	0	NUM
ejde-1590	214	1	such	such	ADJ
ejde-1590	214	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	214	3	∥h∗(f)∥ṁp	∥h∗(f)∥ṁp	PROPN
ejde-1590	214	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	214	5	r	r	PROPN
ejde-1590	214	6	φ	φ	NOUN
ejde-1590	214	7	≤	≤	NOUN
ejde-1590	214	8	c∥f∥ṁp	c∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	214	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	214	10	r	r	NOUN
ejde-1590	214	11	φ	φ	X
ejde-1590	214	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	214	13	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	214	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	214	15	for	for	ADP
ejde-1590	214	16	f	f	PROPN
ejde-1590	214	17	∈	∈	PROPN
ejde-1590	214	18	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	214	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	214	20	r	r	PROPN
ejde-1590	214	21	φ	φ	PROPN
ejde-1590	214	22	(	(	PUNCT
ejde-1590	214	23	rn	rn	NOUN
ejde-1590	214	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	214	25	.	.	PUNCT
ejde-1590	215	1	remark	remark	VERB
ejde-1590	215	2	1.17	1.17	NUM
ejde-1590	215	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	216	1	we	we	PRON
ejde-1590	216	2	emphasize	emphasize	VERB
ejde-1590	216	3	that	that	DET
ejde-1590	216	4	condition	condition	NOUN
ejde-1590	216	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	216	6	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	216	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	216	8	can	can	AUX
ejde-1590	216	9	be	be	AUX
ejde-1590	216	10	relaxed	relax	VERB
ejde-1590	216	11	in	in	ADP
ejde-1590	216	12	the	the	DET
ejde-1590	216	13	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	216	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	216	15	r	r	NOUN
ejde-1590	216	16	φ	φ	NUM
ejde-1590	216	17	-boundedness	-boundedness	NOUN
ejde-1590	216	18	of	of	ADP
ejde-1590	216	19	h	h	NOUN
ejde-1590	216	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	216	21	see	see	VERB
ejde-1590	216	22	the	the	DET
ejde-1590	216	23	proof	proof	NOUN
ejde-1590	216	24	of	of	ADP
ejde-1590	216	25	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	216	26	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	216	27	.	.	PUNCT
ejde-1590	217	1	this	this	PRON
ejde-1590	217	2	means	mean	VERB
ejde-1590	217	3	that	that	SCONJ
ejde-1590	217	4	one	one	PRON
ejde-1590	217	5	can	can	AUX
ejde-1590	217	6	take	take	VERB
ejde-1590	217	7	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	217	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	218	1	≡	≡	PROPN
ejde-1590	219	1	c	c	X
ejde-1590	219	2	>	>	X
ejde-1590	219	3	0	0	PUNCT
ejde-1590	220	1	in	in	ADP
ejde-1590	220	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	220	3	1.21	1.21	NUM
ejde-1590	220	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	220	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	221	1	as	as	ADP
ejde-1590	221	2	a	a	DET
ejde-1590	221	3	consequence	consequence	NOUN
ejde-1590	221	4	of	of	ADP
ejde-1590	221	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	221	6	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	221	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	221	8	remark	remark	VERB
ejde-1590	221	9	1.6	1.6	NUM
ejde-1590	221	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	221	11	and	and	CCONJ
ejde-1590	221	12	theorem1.14	theorem1.14	PRON
ejde-1590	221	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	221	14	we	we	PRON
ejde-1590	221	15	have	have	VERB
ejde-1590	221	16	the	the	DET
ejde-1590	221	17	following	follow	VERB
ejde-1590	221	18	corollary	corollary	NOUN
ejde-1590	221	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	222	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	222	2	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	222	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	223	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	223	2	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	223	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	224	1	then	then	ADV
ejde-1590	224	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	224	3	the	the	DET
ejde-1590	224	4	following	follow	VERB
ejde-1590	224	5	statements	statement	NOUN
ejde-1590	224	6	hold	hold	VERB
ejde-1590	224	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	224	8	a	a	NOUN
ejde-1590	224	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	224	10	h	h	NOUN
ejde-1590	224	11	and	and	CCONJ
ejde-1590	224	12	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	224	13	are	be	AUX
ejde-1590	224	14	bounded	bound	VERB
ejde-1590	224	15	operators	operator	NOUN
ejde-1590	224	16	from	from	ADP
ejde-1590	224	17	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	225	1	p	p	X
ejde-1590	225	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	225	3	r	r	PROPN
ejde-1590	225	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	225	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	225	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	225	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	225	8	→	→	SYM
ejde-1590	225	9	˙cmo	˙cmo	X
ejde-1590	226	1	p	p	X
ejde-1590	226	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	226	3	r	r	PROPN
ejde-1590	226	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	226	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	226	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	226	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	226	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	226	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	226	10	b	b	X
ejde-1590	226	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	226	12	h	h	NOUN
ejde-1590	226	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	226	14	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	226	15	are	be	AUX
ejde-1590	226	16	bounded	bound	VERB
ejde-1590	226	17	operators	operator	NOUN
ejde-1590	226	18	from	from	ADP
ejde-1590	226	19	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	226	20	φ	φ	PROPN
ejde-1590	226	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	226	22	rn	rn	PROPN
ejde-1590	226	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	226	24	→	→	SYM
ejde-1590	226	25	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	226	26	φ	φ	PROPN
ejde-1590	226	27	(	(	PUNCT
ejde-1590	226	28	rn	rn	PROPN
ejde-1590	226	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	226	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	227	1	concerning	concern	VERB
ejde-1590	227	2	the	the	DET
ejde-1590	227	3	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	227	4	of	of	ADP
ejde-1590	227	5	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	227	6	of	of	ADP
ejde-1590	227	7	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	227	8	operator	operator	NOUN
ejde-1590	227	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	227	10	we	we	PRON
ejde-1590	227	11	have	have	VERB
ejde-1590	227	12	the	the	DET
ejde-1590	227	13	following	follow	VERB
ejde-1590	227	14	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	227	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	227	16	theorem	theorem	PROPN
ejde-1590	227	17	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	227	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	228	1	assume	assume	VERB
ejde-1590	228	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	228	3	of	of	ADP
ejde-1590	228	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	228	5	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	228	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	229	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	229	2	b	b	PROPN
ejde-1590	229	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	229	4	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	229	5	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	229	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	229	7	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	229	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	229	9	rn	rn	NOUN
ejde-1590	229	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	229	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	229	12	then	then	ADV
ejde-1590	229	13	the	the	DET
ejde-1590	229	14	following	follow	VERB
ejde-1590	229	15	statements	statement	NOUN
ejde-1590	229	16	hold	hold	VERB
ejde-1590	229	17	(	(	PUNCT
ejde-1590	229	18	a	a	NOUN
ejde-1590	229	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	230	1	[	[	X
ejde-1590	230	2	b	b	X
ejde-1590	230	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	230	4	h	h	NOUN
ejde-1590	230	5	]	]	X
ejde-1590	230	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	230	7	resp	resp	NOUN
ejde-1590	230	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	231	1	[	[	X
ejde-1590	231	2	b	b	X
ejde-1590	231	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	231	4	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	231	5	]	]	PUNCT
ejde-1590	231	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	231	7	is	be	AUX
ejde-1590	231	8	a	a	DET
ejde-1590	231	9	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	231	10	operator	operator	NOUN
ejde-1590	231	11	from	from	ADP
ejde-1590	231	12	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	231	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	231	14	r	r	PROPN
ejde-1590	231	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	231	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	231	17	rn	rn	NOUN
ejde-1590	231	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	231	19	→	→	SYM
ejde-1590	231	20	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	231	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	231	22	r	r	PROPN
ejde-1590	231	23	φ	φ	PROPN
ejde-1590	231	24	(	(	PUNCT
ejde-1590	231	25	rn	rn	PROPN
ejde-1590	231	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	231	27	;	;	PUNCT
ejde-1590	231	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	231	29	b	b	X
ejde-1590	231	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	232	1	[	[	X
ejde-1590	232	2	b	b	X
ejde-1590	232	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	232	4	h	h	NOUN
ejde-1590	232	5	]	]	X
ejde-1590	232	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	232	7	resp	resp	NOUN
ejde-1590	232	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	233	1	[	[	X
ejde-1590	233	2	b	b	X
ejde-1590	233	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	233	4	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	233	5	]	]	PUNCT
ejde-1590	233	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	233	7	is	be	AUX
ejde-1590	233	8	a	a	DET
ejde-1590	233	9	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	233	10	operator	operator	NOUN
ejde-1590	233	11	from	from	ADP
ejde-1590	233	12	ṁp′,r	ṁp′,r	PROPN
ejde-1590	233	13	φ	φ	PROPN
ejde-1590	233	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	233	15	rn	rn	NOUN
ejde-1590	233	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	233	17	→	→	SYM
ejde-1590	233	18	ṁp′,r	ṁp′,r	PROPN
ejde-1590	233	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	233	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	233	21	rn	rn	NOUN
ejde-1590	233	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	233	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	234	1	remark	remark	VERB
ejde-1590	234	2	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	234	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	235	1	similarly	similarly	ADV
ejde-1590	235	2	as	as	ADP
ejde-1590	235	3	in	in	ADP
ejde-1590	235	4	remark	remark	NOUN
ejde-1590	235	5	1.17	1.17	NUM
ejde-1590	235	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	235	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	235	8	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	235	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	235	10	can	can	AUX
ejde-1590	235	11	be	be	AUX
ejde-1590	235	12	relaxed	relax	VERB
ejde-1590	235	13	for	for	ADP
ejde-1590	235	14	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-1590	235	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	235	16	a	a	X
ejde-1590	235	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	235	18	of	of	ADP
ejde-1590	235	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	235	20	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	235	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	236	1	by	by	ADP
ejde-1590	236	2	duality	duality	NOUN
ejde-1590	236	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	236	4	we	we	PRON
ejde-1590	236	5	have	have	VERB
ejde-1590	236	6	the	the	DET
ejde-1590	236	7	following	follow	VERB
ejde-1590	236	8	result	result	NOUN
ejde-1590	236	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	237	1	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	237	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	237	3	operators	operator	NOUN
ejde-1590	237	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	237	5	commutators	commutator	VERB
ejde-1590	237	6	7	7	NUM
ejde-1590	237	7	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	237	8	1.21	1.21	NUM
ejde-1590	237	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	238	1	assume	assume	VERB
ejde-1590	238	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	238	3	in	in	ADP
ejde-1590	238	4	corollary	corollary	NOUN
ejde-1590	238	5	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	238	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	239	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	239	2	b	b	PROPN
ejde-1590	239	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	239	4	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	239	5	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	239	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	239	7	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	239	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	239	9	rn	rn	NOUN
ejde-1590	239	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	239	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	239	12	then	then	ADV
ejde-1590	239	13	[	[	X
ejde-1590	239	14	b	b	X
ejde-1590	239	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	239	16	h	h	NOUN
ejde-1590	239	17	]	]	X
ejde-1590	239	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	239	19	resp	resp	NOUN
ejde-1590	239	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	240	1	[	[	X
ejde-1590	240	2	b	b	X
ejde-1590	240	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	240	4	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	240	5	]	]	PUNCT
ejde-1590	240	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	240	7	is	be	AUX
ejde-1590	240	8	a	a	DET
ejde-1590	240	9	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	240	10	operator	operator	NOUN
ejde-1590	240	11	on	on	ADP
ejde-1590	240	12	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	241	1	p	p	X
ejde-1590	241	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	241	3	r	r	PROPN
ejde-1590	241	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	241	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	241	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	241	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	241	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	241	9	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	241	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	241	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	241	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	241	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	241	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	242	1	typical	typical	ADJ
ejde-1590	242	2	examples	example	NOUN
ejde-1590	242	3	for	for	ADP
ejde-1590	242	4	the	the	DET
ejde-1590	242	5	corollaries	corollary	NOUN
ejde-1590	242	6	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	242	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	242	8	1.21	1.21	NUM
ejde-1590	242	9	are	be	AUX
ejde-1590	242	10	φ(t	φ(t	NUM
ejde-1590	242	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	242	12	=	=	PUNCT
ejde-1590	242	13	t−λ	t−λ	NOUN
ejde-1590	242	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	242	15	and	and	CCONJ
ejde-1590	242	16	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-1590	242	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	243	1	=	=	PUNCT
ejde-1590	243	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	243	3	1	1	NUM
ejde-1590	243	4	log(1+t	log(1+t	NOUN
ejde-1590	243	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	243	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	244	1	λ	λ	INTJ
ejde-1590	244	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	244	3	for	for	ADP
ejde-1590	244	4	λ	λ	PROPN
ejde-1590	244	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	244	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	244	7	0	0	NUM
ejde-1590	244	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	244	9	n	n	CCONJ
ejde-1590	244	10	/	/	SYM
ejde-1590	244	11	p	p	X
ejde-1590	244	12	]	]	X
ejde-1590	244	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	245	1	our	our	PRON
ejde-1590	245	2	last	last	ADJ
ejde-1590	245	3	result	result	NOUN
ejde-1590	245	4	is	be	AUX
ejde-1590	245	5	a	a	DET
ejde-1590	245	6	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	245	7	of	of	ADP
ejde-1590	245	8	function	function	NOUN
ejde-1590	245	9	b	b	NOUN
ejde-1590	245	10	in	in	ADP
ejde-1590	245	11	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	246	1	p	p	X
ejde-1590	246	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	246	3	r	r	NOUN
ejde-1590	246	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	246	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	246	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	246	7	by	by	ADP
ejde-1590	246	8	means	mean	NOUN
ejde-1590	246	9	of	of	ADP
ejde-1590	246	10	the	the	DET
ejde-1590	246	11	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	246	12	of	of	ADP
ejde-1590	246	13	[	[	X
ejde-1590	246	14	b	b	PROPN
ejde-1590	246	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	246	16	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	246	17	]	]	PUNCT
ejde-1590	246	18	in	in	ADP
ejde-1590	246	19	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	246	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	246	21	r	r	PROPN
ejde-1590	246	22	φ	φ	X
ejde-1590	246	23	(	(	PUNCT
ejde-1590	246	24	rn	rn	NOUN
ejde-1590	246	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	246	26	.	.	PUNCT
ejde-1590	247	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	247	2	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	247	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	248	1	assume	assume	VERB
ejde-1590	248	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	248	3	in	in	ADP
ejde-1590	248	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	248	5	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	248	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	249	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	249	2	b	b	PROPN
ejde-1590	249	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	249	4	lp	lp	NOUN
ejde-1590	249	5	loc(rn	loc(rn	NOUN
ejde-1590	249	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	249	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	249	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	249	9	[	[	X
ejde-1590	249	10	b	b	NOUN
ejde-1590	249	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	249	12	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	249	13	]	]	X
ejde-1590	249	14	is	be	AUX
ejde-1590	249	15	a	a	DET
ejde-1590	249	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	249	17	operator	operator	NOUN
ejde-1590	249	18	on	on	ADP
ejde-1590	249	19	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	249	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	249	21	r	r	PROPN
ejde-1590	249	22	φ	φ	PROPN
ejde-1590	249	23	(	(	PUNCT
ejde-1590	249	24	rn	rn	PROPN
ejde-1590	249	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	249	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	249	27	then	then	ADV
ejde-1590	249	28	b	b	X
ejde-1590	249	29	∈	∈	PROPN
ejde-1590	249	30	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	250	1	p	p	X
ejde-1590	250	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	250	3	r	r	NOUN
ejde-1590	250	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	250	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	250	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	250	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	251	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1590	251	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	251	3	there	there	PRON
ejde-1590	251	4	exists	exist	VERB
ejde-1590	251	5	a	a	DET
ejde-1590	251	6	constant	constant	ADJ
ejde-1590	251	7	c	c	NOUN
ejde-1590	251	8	>	>	PUNCT
ejde-1590	251	9	0	0	PUNCT
ejde-1590	252	1	depending	depend	VERB
ejde-1590	252	2	on	on	ADP
ejde-1590	252	3	n	n	CCONJ
ejde-1590	252	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	252	5	p	p	X
ejde-1590	252	6	such	such	ADJ
ejde-1590	252	7	that	that	PRON
ejde-1590	252	8	∥b∥	∥b∥	NOUN
ejde-1590	252	9	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	253	1	p	p	X
ejde-1590	253	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	253	3	r	r	NOUN
ejde-1590	253	4	≤	≤	PUNCT
ejde-1590	253	5	c∥[b	c∥[b	PROPN
ejde-1590	253	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	253	7	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	PROPN
ejde-1590	253	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	253	9	r	r	NOUN
ejde-1590	253	10	φ	φ	NUM
ejde-1590	253	11	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	253	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	253	13	r	r	PROPN
ejde-1590	253	14	φ	φ	PROPN
ejde-1590	253	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	254	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	254	2	1.23	1.23	NUM
ejde-1590	254	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	254	4	by	by	ADP
ejde-1590	254	5	duality	duality	NOUN
ejde-1590	254	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	254	7	we	we	PRON
ejde-1590	254	8	have	have	VERB
ejde-1590	254	9	the	the	DET
ejde-1590	254	10	following	follow	VERB
ejde-1590	254	11	corollary	corollary	NOUN
ejde-1590	254	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	255	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	255	2	1.23	1.23	NUM
ejde-1590	255	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	256	1	assume	assume	VERB
ejde-1590	256	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	256	3	in	in	ADP
ejde-1590	256	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	256	5	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	256	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	257	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	257	2	b	b	PROPN
ejde-1590	257	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	257	4	lp	lp	NOUN
ejde-1590	257	5	loc(rn	loc(rn	NOUN
ejde-1590	257	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	257	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	257	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	257	9	[	[	X
ejde-1590	257	10	b	b	PROPN
ejde-1590	257	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	257	12	h	h	NOUN
ejde-1590	257	13	]	]	X
ejde-1590	257	14	is	be	AUX
ejde-1590	257	15	a	a	DET
ejde-1590	257	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	257	17	operator	operator	NOUN
ejde-1590	257	18	on	on	ADP
ejde-1590	257	19	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	257	20	φ	φ	PROPN
ejde-1590	257	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	257	22	rn	rn	PROPN
ejde-1590	257	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	257	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	257	25	then	then	ADV
ejde-1590	257	26	b	b	X
ejde-1590	257	27	∈	∈	PROPN
ejde-1590	257	28	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	258	1	p	p	X
ejde-1590	258	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	258	3	r	r	NOUN
ejde-1590	258	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	258	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	258	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	258	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	259	1	in	in	ADP
ejde-1590	259	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	259	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	259	4	there	there	PRON
ejde-1590	259	5	exists	exist	VERB
ejde-1590	259	6	a	a	DET
ejde-1590	259	7	constant	constant	ADJ
ejde-1590	259	8	c	c	NOUN
ejde-1590	259	9	>	>	PUNCT
ejde-1590	259	10	0	0	PUNCT
ejde-1590	260	1	depending	depend	VERB
ejde-1590	260	2	on	on	ADP
ejde-1590	260	3	n	n	CCONJ
ejde-1590	260	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	260	5	p	p	X
ejde-1590	260	6	such	such	ADJ
ejde-1590	260	7	that	that	PRON
ejde-1590	260	8	∥b∥	∥b∥	NOUN
ejde-1590	260	9	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	261	1	p	p	X
ejde-1590	261	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	261	3	r	r	NOUN
ejde-1590	261	4	≤	≤	PUNCT
ejde-1590	261	5	c∥[b	c∥[b	PROPN
ejde-1590	261	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	261	7	h]∥	h]∥	PROPN
ejde-1590	261	8	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	261	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	261	10	→hap′,r′	→hap′,r′	X
ejde-1590	261	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	261	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	262	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	262	2	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	262	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	262	4	as	as	ADP
ejde-1590	262	5	a	a	DET
ejde-1590	262	6	consequence	consequence	NOUN
ejde-1590	262	7	of	of	ADP
ejde-1590	262	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	262	9	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	262	10	and	and	CCONJ
ejde-1590	262	11	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	262	12	1.23	1.23	NUM
ejde-1590	262	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	262	14	we	we	PRON
ejde-1590	262	15	have	have	VERB
ejde-1590	262	16	the	the	DET
ejde-1590	262	17	following	follow	VERB
ejde-1590	262	18	result	result	NOUN
ejde-1590	262	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	263	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	263	2	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	263	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	264	1	assume	assume	VERB
ejde-1590	264	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	264	3	in	in	ADP
ejde-1590	264	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	264	5	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	264	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	265	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1590	265	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	265	3	t	t	PROPN
ejde-1590	265	4	min{n	min{n	NOUN
ejde-1590	265	5	p	p	NOUN
ejde-1590	265	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	265	7	n	n	CCONJ
ejde-1590	265	8	p′	p′	NOUN
ejde-1590	265	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	265	10	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	265	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	265	12	is	be	AUX
ejde-1590	265	13	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-1590	265	14	on	on	ADP
ejde-1590	265	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	265	16	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	265	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	265	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	265	19	and	and	CCONJ
ejde-1590	265	20	b	b	X
ejde-1590	265	21	∈	∈	PROPN
ejde-1590	265	22	l	l	NOUN
ejde-1590	265	23	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	265	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	265	25	p′	p′	NOUN
ejde-1590	265	26	}	}	PUNCT
ejde-1590	265	27	loc	loc	PROPN
ejde-1590	265	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	265	29	rn	rn	NOUN
ejde-1590	265	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	265	31	.	.	PUNCT
ejde-1590	266	1	then	then	ADV
ejde-1590	266	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	266	3	the	the	DET
ejde-1590	266	4	following	follow	VERB
ejde-1590	266	5	statements	statement	NOUN
ejde-1590	266	6	hold	hold	VERB
ejde-1590	266	7	:	:	PUNCT
ejde-1590	266	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	266	9	a	a	X
ejde-1590	266	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	266	11	if	if	SCONJ
ejde-1590	266	12	[	[	X
ejde-1590	266	13	b	b	NOUN
ejde-1590	266	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	266	15	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	266	16	]	]	X
ejde-1590	266	17	is	be	AUX
ejde-1590	266	18	a	a	DET
ejde-1590	266	19	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	266	20	operator	operator	NOUN
ejde-1590	266	21	on	on	ADP
ejde-1590	266	22	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	266	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	266	24	r	r	PROPN
ejde-1590	266	25	φ	φ	PROPN
ejde-1590	266	26	(	(	PUNCT
ejde-1590	266	27	rn	rn	NOUN
ejde-1590	266	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	266	29	and	and	CCONJ
ejde-1590	266	30	ṁp′,r	ṁp′,r	PROPN
ejde-1590	266	31	φ	φ	PROPN
ejde-1590	266	32	(	(	PUNCT
ejde-1590	266	33	rn	rn	PROPN
ejde-1590	266	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	266	35	,	,	PUNCT
ejde-1590	266	36	then	then	ADV
ejde-1590	266	37	b	b	X
ejde-1590	266	38	∈	∈	PROPN
ejde-1590	266	39	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	267	1	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	267	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	267	3	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	267	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	267	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	267	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	267	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	268	1	in	in	ADP
ejde-1590	268	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	268	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	268	4	there	there	PRON
ejde-1590	268	5	exists	exist	VERB
ejde-1590	268	6	a	a	DET
ejde-1590	268	7	constant	constant	ADJ
ejde-1590	268	8	c	c	NOUN
ejde-1590	268	9	=	=	SYM
ejde-1590	268	10	c(n	c(n	PROPN
ejde-1590	268	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	268	12	p	p	NOUN
ejde-1590	268	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	268	14	>	>	X
ejde-1590	268	15	0	0	NUM
ejde-1590	268	16	such	such	ADJ
ejde-1590	268	17	that	that	SCONJ
ejde-1590	268	18	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	268	19	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	268	20	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	268	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	269	1	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	269	2	≤	≤	NUM
ejde-1590	269	3	c	c	X
ejde-1590	269	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	269	5	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	269	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	269	7	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	269	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	269	9	r	r	NOUN
ejde-1590	269	10	φ	φ	NUM
ejde-1590	269	11	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	269	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	269	13	r	r	NOUN
ejde-1590	269	14	φ	φ	NOUN
ejde-1590	269	15	+	+	CCONJ
ejde-1590	269	16	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	269	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	269	18	h∗]∥	h∗]∥	ADJ
ejde-1590	269	19	ṁp′,r	ṁp′,r	X
ejde-1590	269	20	φ	φ	PROPN
ejde-1590	269	21	→ṁp′,r	→ṁp′,r	PROPN
ejde-1590	269	22	φ	φ	PROPN
ejde-1590	269	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	269	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	270	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	270	2	1.25	1.25	NUM
ejde-1590	270	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	270	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	270	5	b	b	X
ejde-1590	270	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	270	7	if	if	SCONJ
ejde-1590	270	8	[	[	X
ejde-1590	270	9	b	b	NOUN
ejde-1590	270	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	270	11	h	h	NOUN
ejde-1590	270	12	]	]	X
ejde-1590	270	13	is	be	AUX
ejde-1590	270	14	a	a	DET
ejde-1590	270	15	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	270	16	operator	operator	NOUN
ejde-1590	270	17	on	on	ADP
ejde-1590	270	18	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	270	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	270	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	270	21	rn	rn	PROPN
ejde-1590	270	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	270	23	and	and	CCONJ
ejde-1590	270	24	hap	hap	NOUN
ejde-1590	270	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	270	26	r	r	PROPN
ejde-1590	270	27	φ	φ	PROPN
ejde-1590	270	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	270	29	rn	rn	PROPN
ejde-1590	270	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	270	31	,	,	PUNCT
ejde-1590	270	32	then	then	ADV
ejde-1590	270	33	b	b	X
ejde-1590	270	34	∈	∈	PROPN
ejde-1590	270	35	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	270	36	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	270	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	270	38	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	270	39	(	(	PUNCT
ejde-1590	270	40	rn	rn	NOUN
ejde-1590	270	41	)	)	PUNCT
ejde-1590	270	42	.	.	PUNCT
ejde-1590	271	1	in	in	ADP
ejde-1590	271	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	271	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	4	there	there	PRON
ejde-1590	271	5	exists	exist	VERB
ejde-1590	271	6	a	a	DET
ejde-1590	271	7	constant	constant	ADJ
ejde-1590	271	8	c	c	NOUN
ejde-1590	271	9	=	=	SYM
ejde-1590	271	10	c(n	c(n	PROPN
ejde-1590	271	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	12	p	p	NOUN
ejde-1590	271	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	271	14	>	>	X
ejde-1590	271	15	0	0	NUM
ejde-1590	271	16	such	such	ADJ
ejde-1590	271	17	that	that	SCONJ
ejde-1590	271	18	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	271	19	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	271	20	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	271	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	22	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	271	23	≤	≤	NUM
ejde-1590	271	24	c	c	X
ejde-1590	271	25	(	(	PUNCT
ejde-1590	271	26	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	271	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	28	h∥	h∥	NOUN
ejde-1590	271	29	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	271	30	φ	φ	PROPN
ejde-1590	271	31	→hap′,r′	→hap′,r′	X
ejde-1590	271	32	φ	φ	PROPN
ejde-1590	271	33	+	+	CCONJ
ejde-1590	271	34	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	271	35	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	36	h]∥hap	h]∥hap	NOUN
ejde-1590	271	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	38	r	r	PROPN
ejde-1590	271	39	φ	φ	NOUN
ejde-1590	271	40	→hap	→hap	PROPN
ejde-1590	271	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	271	42	r	r	NOUN
ejde-1590	271	43	φ	φ	PROPN
ejde-1590	271	44	)	)	PUNCT
ejde-1590	271	45	.	.	PUNCT
ejde-1590	272	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	272	2	1.26	1.26	NUM
ejde-1590	272	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	272	4	typical	typical	ADJ
ejde-1590	272	5	examples	example	NOUN
ejde-1590	272	6	of	of	ADP
ejde-1590	272	7	functions	function	NOUN
ejde-1590	272	8	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1590	272	9	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	272	10	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	272	11	are	be	AUX
ejde-1590	272	12	φ(t	φ(t	NUM
ejde-1590	272	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	272	14	=	=	PUNCT
ejde-1590	273	1	t−λ	t−λ	NOUN
ejde-1590	273	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	273	3	and	and	CCONJ
ejde-1590	273	4	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-1590	273	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	273	6	=	=	PUNCT
ejde-1590	273	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	273	8	1	1	NUM
ejde-1590	273	9	log(1+t	log(1+t	NOUN
ejde-1590	273	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	273	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	274	1	λ	λ	INTJ
ejde-1590	274	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	274	3	for	for	ADP
ejde-1590	274	4	λ	λ	PROPN
ejde-1590	274	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	274	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	274	7	0,min{n	0,min{n	NOUN
ejde-1590	274	8	/	/	SYM
ejde-1590	274	9	p	p	NOUN
ejde-1590	274	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	274	11	n	n	CCONJ
ejde-1590	274	12	/	/	SYM
ejde-1590	274	13	p′	p′	NOUN
ejde-1590	274	14	}	}	PUNCT
ejde-1590	274	15	]	]	PUNCT
ejde-1590	274	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	275	1	our	our	PRON
ejde-1590	275	2	paper	paper	NOUN
ejde-1590	275	3	is	be	AUX
ejde-1590	275	4	organized	organize	VERB
ejde-1590	275	5	as	as	SCONJ
ejde-1590	275	6	follows	follow	VERB
ejde-1590	275	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	276	1	we	we	PRON
ejde-1590	276	2	study	study	VERB
ejde-1590	276	3	the	the	DET
ejde-1590	276	4	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	276	5	central	central	ADJ
ejde-1590	276	6	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	276	7	space	space	NOUN
ejde-1590	276	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	276	9	and	and	CCONJ
ejde-1590	276	10	prove	prove	VERB
ejde-1590	276	11	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	276	12	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	276	13	in	in	ADP
ejde-1590	276	14	the	the	DET
ejde-1590	276	15	next	next	ADJ
ejde-1590	276	16	section	section	NOUN
ejde-1590	276	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	277	1	the	the	DET
ejde-1590	277	2	last	last	ADJ
ejde-1590	277	3	section	section	NOUN
ejde-1590	277	4	is	be	AUX
ejde-1590	277	5	devoted	devote	VERB
ejde-1590	277	6	to	to	ADP
ejde-1590	277	7	the	the	DET
ejde-1590	277	8	proof	proof	NOUN
ejde-1590	277	9	of	of	ADP
ejde-1590	277	10	theorems	theorem	NOUN
ejde-1590	277	11	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	277	12	-	-	SYM
ejde-1590	277	13	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	277	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	277	15	and	and	CCONJ
ejde-1590	277	16	of	of	ADP
ejde-1590	277	17	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	277	18	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	277	19	-	-	SYM
ejde-1590	277	20	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	277	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	278	1	2	2	NUM
ejde-1590	278	2	.	.	X
ejde-1590	278	3	space	space	NOUN
ejde-1590	278	4	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	278	5	φ	φ	PROPN
ejde-1590	278	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	278	7	rn	rn	PROPN
ejde-1590	278	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	278	9	as	as	ADP
ejde-1590	278	10	the	the	DET
ejde-1590	278	11	predual	predual	ADJ
ejde-1590	278	12	of	of	ADP
ejde-1590	278	13	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	279	1	p	p	X
ejde-1590	279	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	279	3	r	r	PROPN
ejde-1590	279	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	279	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	279	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	279	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	279	8	for	for	ADP
ejde-1590	279	9	any	any	DET
ejde-1590	279	10	ball	ball	NOUN
ejde-1590	279	11	b	b	PROPN
ejde-1590	279	12	in	in	ADP
ejde-1590	279	13	rn	rn	PROPN
ejde-1590	279	14	we	we	PRON
ejde-1590	279	15	denote	denote	VERB
ejde-1590	279	16	lp	lp	ADP
ejde-1590	279	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	279	18	r	r	NOUN
ejde-1590	279	19	0	0	NUM
ejde-1590	279	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	279	21	b	b	NOUN
ejde-1590	279	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	279	23	by	by	ADP
ejde-1590	279	24	the	the	DET
ejde-1590	279	25	subspace	subspace	NOUN
ejde-1590	279	26	of	of	ADP
ejde-1590	279	27	lp(b	lp(b	PROPN
ejde-1590	279	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	279	29	of	of	ADP
ejde-1590	279	30	functions	function	NOUN
ejde-1590	279	31	having	having	AUX
ejde-1590	279	32	mean	mean	VERB
ejde-1590	279	33	value	value	NOUN
ejde-1590	279	34	zero	zero	NUM
ejde-1590	279	35	.	.	PUNCT
ejde-1590	280	1	it	it	PRON
ejde-1590	280	2	is	be	AUX
ejde-1590	280	3	not	not	PART
ejde-1590	280	4	difficult	difficult	ADJ
ejde-1590	280	5	to	to	PART
ejde-1590	280	6	verify	verify	VERB
ejde-1590	280	7	that	that	PRON
ejde-1590	280	8	lp	lp	NOUN
ejde-1590	280	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	280	10	r	r	NOUN
ejde-1590	280	11	0	0	NUM
ejde-1590	280	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	280	13	b)∗	b)∗	PROPN
ejde-1590	280	14	=	=	SYM
ejde-1590	280	15	lp′,r′(b)/c(b	lp′,r′(b)/c(b	PROPN
ejde-1590	280	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	280	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	280	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	280	19	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	280	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	280	21	where	where	SCONJ
ejde-1590	280	22	c(b	c(b	PROPN
ejde-1590	280	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	280	24	is	be	AUX
ejde-1590	280	25	the	the	DET
ejde-1590	280	26	set	set	NOUN
ejde-1590	280	27	of	of	ADP
ejde-1590	280	28	the	the	DET
ejde-1590	280	29	functions	function	NOUN
ejde-1590	280	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	280	31	which	which	PRON
ejde-1590	280	32	are	be	AUX
ejde-1590	280	33	constant	constant	ADJ
ejde-1590	280	34	on	on	ADP
ejde-1590	280	35	b.	b.	PROPN
ejde-1590	280	36	then	then	ADV
ejde-1590	280	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	280	38	we	we	PRON
ejde-1590	280	39	have	have	VERB
ejde-1590	280	40	the	the	DET
ejde-1590	280	41	following	follow	VERB
ejde-1590	280	42	embedding	embed	VERB
ejde-1590	280	43	result	result	NOUN
ejde-1590	280	44	.	.	PUNCT
ejde-1590	281	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	281	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	281	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	282	1	for	for	ADP
ejde-1590	282	2	any	any	PRON
ejde-1590	282	3	τ	τ	PROPN
ejde-1590	282	4	>	>	X
ejde-1590	282	5	0	0	NUM
ejde-1590	282	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	282	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	282	8	for	for	ADP
ejde-1590	282	9	f	f	PROPN
ejde-1590	282	10	∈	∈	PROPN
ejde-1590	282	11	lp	lp	NOUN
ejde-1590	282	12	0(bτ	0(bτ	NOUN
ejde-1590	282	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	282	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	282	15	we	we	PRON
ejde-1590	282	16	have	have	VERB
ejde-1590	282	17	∥1bτ	∥1bτ	NUM
ejde-1590	282	18	f∥hap	f∥hap	PROPN
ejde-1590	282	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	282	20	r	r	NOUN
ejde-1590	282	21	φ	φ	PROPN
ejde-1590	282	22	≤	≤	X
ejde-1590	282	23	|bτ	|bτ	X
ejde-1590	282	24	|1	|1	X
ejde-1590	282	25	/	/	SYM
ejde-1590	282	26	p	p	NOUN
ejde-1590	282	27	′	′	NUM
ejde-1590	282	28	φ(τ)∥f∥lp	φ(τ)∥f∥lp	NOUN
ejde-1590	282	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	282	30	r(bτ	r(bτ	NOUN
ejde-1590	282	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	282	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	283	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	283	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	284	1	let	let	VERB
ejde-1590	284	2	us	we	PRON
ejde-1590	284	3	set	set	VERB
ejde-1590	284	4	a(x	a(x	NOUN
ejde-1590	284	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	284	6	=	=	PUNCT
ejde-1590	284	7	1bτ	1bτ	NOUN
ejde-1590	284	8	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	284	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	284	10	|bτ	|bτ	PROPN
ejde-1590	284	11	|1	|1	PRON
ejde-1590	284	12	/	/	SYM
ejde-1590	284	13	p′φ(τ)∥ft∥lp	p′φ(τ)∥ft∥lp	NOUN
ejde-1590	284	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	284	15	r(bτ	r(bτ	NOUN
ejde-1590	284	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	284	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	285	1	since	since	SCONJ
ejde-1590	285	2	∫	∫	PROPN
ejde-1590	285	3	bτ	bτ	PROPN
ejde-1590	285	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	285	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	285	6	dx	dx	PROPN
ejde-1590	286	1	=	=	SYM
ejde-1590	286	2	0	0	PROPN
ejde-1590	286	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	286	4	then	then	ADV
ejde-1590	286	5	it	it	PRON
ejde-1590	286	6	is	be	AUX
ejde-1590	286	7	not	not	PART
ejde-1590	286	8	difficult	difficult	ADJ
ejde-1590	286	9	to	to	PART
ejde-1590	286	10	verify	verify	VERB
ejde-1590	286	11	that	that	SCONJ
ejde-1590	286	12	a	a	PRON
ejde-1590	286	13	is	be	AUX
ejde-1590	286	14	a	a	DET
ejde-1590	286	15	central	central	ADJ
ejde-1590	286	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	286	17	1	1	NUM
ejde-1590	286	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	286	19	p	p	X
ejde-1590	286	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	286	21	r	r	NOUN
ejde-1590	286	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	286	23	φ)-atom	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	286	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	287	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	287	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	287	3	the	the	DET
ejde-1590	287	4	desired	desire	VERB
ejde-1590	287	5	result	result	NOUN
ejde-1590	287	6	follows	follow	VERB
ejde-1590	287	7	from	from	ADP
ejde-1590	287	8	the	the	DET
ejde-1590	287	9	definition	definition	NOUN
ejde-1590	287	10	1.9	1.9	NUM
ejde-1590	287	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	288	1	□	□	SYM
ejde-1590	288	2	8	8	NUM
ejde-1590	288	3	l.	l.	NOUN
ejde-1590	288	4	t.	t.	NOUN
ejde-1590	288	5	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	288	6	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	288	7	remark	remark	NOUN
ejde-1590	288	8	2.2	2.2	NUM
ejde-1590	288	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	289	1	as	as	ADP
ejde-1590	289	2	a	a	DET
ejde-1590	289	3	consequence	consequence	NOUN
ejde-1590	289	4	of	of	ADP
ejde-1590	289	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	289	6	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	289	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	289	8	if	if	SCONJ
ejde-1590	289	9	f	f	PROPN
ejde-1590	289	10	∈	∈	PROPN
ejde-1590	289	11	hap	hap	NOUN
ejde-1590	289	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	289	13	r	r	PROPN
ejde-1590	289	14	φ	φ	X
ejde-1590	289	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	289	16	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	289	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	289	18	then	then	ADV
ejde-1590	289	19	for	for	ADP
ejde-1590	289	20	any	any	PRON
ejde-1590	289	21	τ	τ	PROPN
ejde-1590	289	22	>	>	X
ejde-1590	289	23	0	0	NUM
ejde-1590	290	1	we	we	PRON
ejde-1590	290	2	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	290	3	1bτ	1bτ	NOUN
ejde-1590	290	4	f	f	PROPN
ejde-1590	290	5	∈	∈	PROPN
ejde-1590	290	6	lp	lp	NOUN
ejde-1590	290	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	290	8	r	r	NOUN
ejde-1590	290	9	0	0	NUM
ejde-1590	290	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	290	11	bτ	bτ	NOUN
ejde-1590	290	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	290	13	∗	∗	NOUN
ejde-1590	290	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	291	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	291	2	of	of	ADP
ejde-1590	291	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	291	4	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	291	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	292	1	let	let	VERB
ejde-1590	292	2	a	a	DET
ejde-1590	292	3	be	be	AUX
ejde-1590	292	4	a	a	DET
ejde-1590	292	5	central	central	ADJ
ejde-1590	292	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	292	7	1	1	NUM
ejde-1590	292	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	292	9	p′	p′	NOUN
ejde-1590	292	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	292	11	r′	r′	PROPN
ejde-1590	292	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	292	13	φ)-atom	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	292	14	with	with	ADP
ejde-1590	292	15	supp(a	supp(a	NOUN
ejde-1590	292	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	292	17	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	292	18	bt	bt	VERB
ejde-1590	292	19	for	for	ADP
ejde-1590	292	20	some	some	DET
ejde-1590	292	21	t	t	PROPN
ejde-1590	292	22	>	>	X
ejde-1590	292	23	0	0	X
ejde-1590	292	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	293	1	then	then	ADV
ejde-1590	293	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	293	3	for	for	ADP
ejde-1590	293	4	any	any	DET
ejde-1590	293	5	f	f	PROPN
ejde-1590	293	6	∈	∈	PROPN
ejde-1590	293	7	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	294	1	p	p	X
ejde-1590	294	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	294	3	r	r	PROPN
ejde-1590	294	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	294	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	294	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	294	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	294	8	we	we	PRON
ejde-1590	294	9	have∣∣∣	have∣∣∣	ADJ
ejde-1590	294	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	294	11	rn	rn	PROPN
ejde-1590	294	12	f(x)a(x	f(x)a(x	PROPN
ejde-1590	294	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	294	14	dx	dx	PROPN
ejde-1590	294	15	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	294	16	=	=	SYM
ejde-1590	295	1	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	295	2	∫	∫	PROPN
ejde-1590	295	3	bt	bt	PROPN
ejde-1590	295	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	295	5	f(x)−	f(x)−	PROPN
ejde-1590	295	6	fbt	fbt	PROPN
ejde-1590	295	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	295	8	a(x	a(x	PROPN
ejde-1590	295	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	295	10	dx	dx	PROPN
ejde-1590	295	11	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	295	12	≤	≤	PROPN
ejde-1590	296	1	∥f	∥f	PROPN
ejde-1590	296	2	−	−	PROPN
ejde-1590	296	3	fbt	fbt	PROPN
ejde-1590	296	4	∥lp	∥lp	PROPN
ejde-1590	296	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	296	6	r(bt)∥a∥lp′,r′	r(bt)∥a∥lp′,r′	X
ejde-1590	296	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	296	8	bt	bt	NOUN
ejde-1590	296	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	296	10	≤	≤	NOUN
ejde-1590	297	1	∥f	∥f	PROPN
ejde-1590	297	2	−	−	PROPN
ejde-1590	297	3	fbt∥lp	fbt∥lp	NOUN
ejde-1590	297	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	297	5	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	297	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	297	7	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	297	8	/	/	SYM
ejde-1590	297	9	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	297	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	297	11	≤	≤	NUM
ejde-1590	297	12	∥f∥	∥f∥	ADJ
ejde-1590	297	13	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	298	1	p	p	X
ejde-1590	298	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	298	3	r	r	NOUN
ejde-1590	298	4	φ	φ	NOUN
ejde-1590	298	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	299	1	for	for	ADP
ejde-1590	299	2	every	every	DET
ejde-1590	299	3	g	g	PROPN
ejde-1590	299	4	∈	∈	PROPN
ejde-1590	299	5	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	299	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	299	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	299	8	rn	rn	PROPN
ejde-1590	299	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	299	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	299	11	one	one	PRON
ejde-1590	299	12	can	can	AUX
ejde-1590	299	13	decompose	decompose	VERB
ejde-1590	299	14	g	g	NOUN
ejde-1590	299	15	=	=	PUNCT
ejde-1590	299	16	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	299	17	j=0	j=0	VERB
ejde-1590	299	18	λjaj	λjaj	ADV
ejde-1590	299	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	299	20	where	where	SCONJ
ejde-1590	299	21	{	{	PUNCT
ejde-1590	299	22	aj}j≥0	aj}j≥0	NOUN
ejde-1590	299	23	is	be	AUX
ejde-1590	299	24	a	a	DET
ejde-1590	299	25	sequence	sequence	NOUN
ejde-1590	299	26	of	of	ADP
ejde-1590	299	27	central	central	ADJ
ejde-1590	299	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	299	29	1	1	NUM
ejde-1590	299	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	299	31	p′	p′	NOUN
ejde-1590	299	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	299	33	r′	r′	PROPN
ejde-1590	299	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	299	35	φ)-atoms	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	299	36	;	;	PUNCT
ejde-1590	299	37	and	and	CCONJ
ejde-1590	299	38	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	299	39	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	299	40	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	300	1	|	|	ADV
ejde-1590	300	2	<	<	X
ejde-1590	300	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	300	4	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	300	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	300	6	we	we	PRON
ejde-1590	300	7	deduce	deduce	VERB
ejde-1590	300	8	from	from	ADP
ejde-1590	300	9	the	the	DET
ejde-1590	300	10	last	last	ADJ
ejde-1590	300	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	300	12	that∣∣∣	that∣∣∣	PROPN
ejde-1590	300	13	∫	∫	PROPN
ejde-1590	300	14	rn	rn	PROPN
ejde-1590	300	15	f(x)g(x	f(x)g(x	X
ejde-1590	300	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	300	17	dx	dx	PROPN
ejde-1590	300	18	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	300	19	=	=	SYM
ejde-1590	300	20	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	300	21	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	300	22	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	300	23	∫	∫	PROPN
ejde-1590	300	24	rn	rn	PROPN
ejde-1590	300	25	λjf(x)aj(x	λjf(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	300	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	300	27	dx	dx	PROPN
ejde-1590	300	28	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	300	29	≤	≤	NUM
ejde-1590	300	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	300	31	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	300	32	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	300	33	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	300	34	|	|	ADV
ejde-1590	300	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	300	36	∥f∥	∥f∥	VERB
ejde-1590	300	37	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	301	1	p	p	X
ejde-1590	301	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	301	3	r	r	PROPN
ejde-1590	301	4	φ	φ	NOUN
ejde-1590	301	5	≤	≤	PUNCT
ejde-1590	301	6	∥g∥	∥g∥	PROPN
ejde-1590	301	7	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	301	8	φ	φ	PROPN
ejde-1590	301	9	∥f∥	∥f∥	VERB
ejde-1590	301	10	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	302	1	p	p	X
ejde-1590	302	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	302	3	r	r	NOUN
ejde-1590	302	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	302	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	303	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	303	2	2.2	2.2	NUM
ejde-1590	303	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	303	4	this	this	DET
ejde-1590	303	5	yields	yield	VERB
ejde-1590	303	6	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	304	1	p	p	X
ejde-1590	304	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	304	3	r	r	PROPN
ejde-1590	304	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	304	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	304	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	304	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	304	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	305	1	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	305	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	305	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	305	4	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	305	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	306	1	it	it	PRON
ejde-1590	306	2	remains	remain	VERB
ejde-1590	306	3	to	to	PART
ejde-1590	306	4	show	show	VERB
ejde-1590	306	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	306	6	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	306	7	φ	φ	PROPN
ejde-1590	306	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	306	9	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	306	10	⊂	⊂	X
ejde-1590	306	11	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	307	1	p	p	X
ejde-1590	307	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	307	3	r	r	PROPN
ejde-1590	307	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	307	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	307	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	307	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	307	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	308	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	308	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1590	308	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	308	4	let	let	VERB
ejde-1590	308	5	f	f	PROPN
ejde-1590	308	6	∈	∈	PROPN
ejde-1590	308	7	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	308	8	φ	φ	PROPN
ejde-1590	308	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	308	10	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	308	11	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	308	12	to	to	PART
ejde-1590	308	13	remark	remark	VERB
ejde-1590	308	14	2.2	2.2	NUM
ejde-1590	308	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	308	16	we	we	PRON
ejde-1590	308	17	have	have	VERB
ejde-1590	308	18	that	that	PRON
ejde-1590	308	19	1bτf	1bτf	PROPN
ejde-1590	308	20	∈	∈	NOUN
ejde-1590	309	1	lp′,r′	lp′,r′	X
ejde-1590	309	2	0	0	PUNCT
ejde-1590	309	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	309	4	bτ	bτ	NOUN
ejde-1590	309	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	309	6	∗	∗	NOUN
ejde-1590	309	7	for	for	ADP
ejde-1590	309	8	τ	τ	PROPN
ejde-1590	309	9	>	>	X
ejde-1590	309	10	0	0	NUM
ejde-1590	309	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	310	1	by	by	ADP
ejde-1590	310	2	(	(	PUNCT
ejde-1590	310	3	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	310	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	310	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	310	6	there	there	PRON
ejde-1590	310	7	exists	exist	VERB
ejde-1590	310	8	fτ	fτ	ADP
ejde-1590	310	9	∈	∈	PROPN
ejde-1590	310	10	lp	lp	NOUN
ejde-1590	310	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	310	12	r(bτ	r(bτ	NOUN
ejde-1590	310	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	310	14	/c(bτ	/c(bτ	PUNCT
ejde-1590	310	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	311	1	such	such	ADJ
ejde-1590	311	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	311	3	⟨1bτ	⟨1bτ	PROPN
ejde-1590	311	4	f	f	X
ejde-1590	311	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	311	6	g⟩lp	g⟩lp	NOUN
ejde-1590	311	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	311	8	lp′	lp′	PROPN
ejde-1590	311	9	=	=	SYM
ejde-1590	311	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	311	11	bτ	bτ	PRON
ejde-1590	311	12	fτ	fτ	X
ejde-1590	311	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	311	14	x)g(x	x)g(x	PROPN
ejde-1590	311	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	311	16	dx	dx	PROPN
ejde-1590	311	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	311	18	∀g	∀g	X
ejde-1590	311	19	∈	∈	NOUN
ejde-1590	311	20	lp′,r′	lp′,r′	X
ejde-1590	311	21	0	0	PUNCT
ejde-1590	312	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	312	2	bτ	bτ	PROPN
ejde-1590	312	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	312	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	313	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	313	2	2.4	2.4	NUM
ejde-1590	313	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	313	4	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	313	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	313	6	for	for	ADP
ejde-1590	313	7	every	every	DET
ejde-1590	313	8	0	0	NUM
ejde-1590	313	9	<	<	X
ejde-1590	313	10	τ1	τ1	NOUN
ejde-1590	313	11	<	<	X
ejde-1590	313	12	τ2	τ2	PROPN
ejde-1590	313	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	313	14	we	we	PRON
ejde-1590	313	15	have	have	VERB
ejde-1590	313	16	fτ1(x	fτ1(x	NOUN
ejde-1590	313	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	313	18	=	=	SYM
ejde-1590	313	19	fτ2(x	fτ2(x	PROPN
ejde-1590	313	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	313	21	for	for	ADP
ejde-1590	313	22	a.e	a.e	PROPN
ejde-1590	313	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	313	24	x	x	SYM
ejde-1590	313	25	∈	∈	NOUN
ejde-1590	313	26	bτ1	bτ1	NOUN
ejde-1590	313	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	313	28	which	which	PRON
ejde-1590	313	29	makes	make	VERB
ejde-1590	313	30	sense	sense	NOUN
ejde-1590	313	31	by	by	ADP
ejde-1590	313	32	(	(	PUNCT
ejde-1590	313	33	2.4	2.4	NUM
ejde-1590	313	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	313	35	.	.	PUNCT
ejde-1590	314	1	next	next	ADV
ejde-1590	314	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	314	3	let	let	VERB
ejde-1590	314	4	us	we	PRON
ejde-1590	314	5	define	define	VERB
ejde-1590	314	6	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	314	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	315	1	=	=	NOUN
ejde-1590	315	2	fτ	fτ	X
ejde-1590	315	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	315	4	x	x	X
ejde-1590	315	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	315	6	if	if	SCONJ
ejde-1590	315	7	x	x	SYM
ejde-1590	315	8	∈	∈	PROPN
ejde-1590	315	9	bτ	bτ	NOUN
ejde-1590	315	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	316	1	obviously	obviously	ADV
ejde-1590	316	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	316	3	we	we	PRON
ejde-1590	316	4	have	have	VERB
ejde-1590	316	5	f	f	PROPN
ejde-1590	316	6	∈	∈	PROPN
ejde-1590	316	7	lp	lp	PROPN
ejde-1590	316	8	loc(rn	loc(rn	NOUN
ejde-1590	316	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	316	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	317	1	now	now	ADV
ejde-1590	317	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	317	3	we	we	PRON
ejde-1590	317	4	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1590	317	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	317	6	f	f	PROPN
ejde-1590	317	7	∈	∈	PROPN
ejde-1590	317	8	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	318	1	p	p	X
ejde-1590	318	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	318	3	r	r	PROPN
ejde-1590	318	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	318	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	318	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	318	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	318	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	319	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1590	319	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	319	3	for	for	ADP
ejde-1590	319	4	any	any	DET
ejde-1590	319	5	ball	ball	NOUN
ejde-1590	319	6	bt	bt	NOUN
ejde-1590	319	7	in	in	ADP
ejde-1590	319	8	rn	rn	PROPN
ejde-1590	319	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	319	10	let	let	VERB
ejde-1590	319	11	us	we	PRON
ejde-1590	319	12	fix	fix	VERB
ejde-1590	319	13	τ0	τ0	NOUN
ejde-1590	319	14	>	>	X
ejde-1590	319	15	t.	t.	PROPN
ejde-1590	319	16	remind	remind	VERB
ejde-1590	319	17	that	that	SCONJ
ejde-1590	319	18	f(x	f(x	NOUN
ejde-1590	319	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	319	20	=	=	SYM
ejde-1590	320	1	ft(x	ft(x	X
ejde-1590	320	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	3	∈	∈	PROPN
ejde-1590	320	4	lp	lp	NOUN
ejde-1590	320	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	320	6	r(bt)/c(bt	r(bt)/c(bt	X
ejde-1590	320	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	8	for	for	ADP
ejde-1590	320	9	x	x	PROPN
ejde-1590	320	10	∈	∈	PROPN
ejde-1590	320	11	bt	bt	PROPN
ejde-1590	320	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	320	13	by	by	ADP
ejde-1590	320	14	duality	duality	NOUN
ejde-1590	320	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	320	16	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	320	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	320	19	we	we	PRON
ejde-1590	320	20	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	320	21	∥f	∥f	PROPN
ejde-1590	320	22	−	−	PROPN
ejde-1590	320	23	fbt	fbt	PROPN
ejde-1590	320	24	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	320	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	320	26	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	320	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	28	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	320	29	/	/	SYM
ejde-1590	320	30	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	320	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	32	=	=	SYM
ejde-1590	320	33	1	1	NUM
ejde-1590	320	34	|bt|1	|bt|1	NUM
ejde-1590	320	35	/	/	SYM
ejde-1590	320	36	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	320	37	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	38	sup	sup	NOUN
ejde-1590	320	39	∥h∥	∥h∥	PROPN
ejde-1590	320	40	l	l	NOUN
ejde-1590	320	41	p′,r′	p′,r′	NOUN
ejde-1590	320	42	0	0	NUM
ejde-1590	320	43	(	(	PUNCT
ejde-1590	320	44	bt	bt	NOUN
ejde-1590	320	45	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	46	=	=	SYM
ejde-1590	320	47	1	1	NUM
ejde-1590	320	48	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	320	49	∫	∫	PROPN
ejde-1590	320	50	bt	bt	PROPN
ejde-1590	320	51	(	(	PUNCT
ejde-1590	320	52	f(x)−	f(x)−	PROPN
ejde-1590	320	53	fbt)h(x	fbt)h(x	PROPN
ejde-1590	320	54	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	55	dx	dx	PROPN
ejde-1590	320	56	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	320	57	=	=	SYM
ejde-1590	320	58	1	1	NUM
ejde-1590	320	59	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	320	60	/	/	SYM
ejde-1590	320	61	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	320	62	)	)	PUNCT
ejde-1590	320	63	sup	sup	NOUN
ejde-1590	320	64	∥h∥	∥h∥	PROPN
ejde-1590	320	65	l	l	NOUN
ejde-1590	320	66	p′,r′	p′,r′	NOUN
ejde-1590	320	67	0	0	NUM
ejde-1590	320	68	(	(	PUNCT
ejde-1590	320	69	bt	bt	NOUN
ejde-1590	320	70	)	)	PUNCT
ejde-1590	321	1	=	=	SYM
ejde-1590	321	2	1	1	NUM
ejde-1590	321	3	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	321	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	321	5	bt	bt	PROPN
ejde-1590	321	6	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	321	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	321	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	321	9	h(x)−	h(x)−	PROPN
ejde-1590	321	10	hbt	hbt	PROPN
ejde-1590	321	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	321	12	dx	dx	PROPN
ejde-1590	321	13	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	321	14	=	=	SYM
ejde-1590	321	15	sup	sup	NOUN
ejde-1590	321	16	∥h∥	∥h∥	NOUN
ejde-1590	321	17	l	l	NOUN
ejde-1590	321	18	p′,r′	p′,r′	NOUN
ejde-1590	321	19	0	0	NUM
ejde-1590	321	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	321	21	bt	bt	NOUN
ejde-1590	321	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	321	23	=	=	SYM
ejde-1590	321	24	1	1	NUM
ejde-1590	321	25	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	321	26	∫	∫	PROPN
ejde-1590	321	27	rn	rn	PROPN
ejde-1590	321	28	fτ0(x	fτ0(x	PROPN
ejde-1590	321	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	322	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	322	2	h(x)−	h(x)−	PROPN
ejde-1590	322	3	hbt)1bt	hbt)1bt	ADV
ejde-1590	322	4	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	322	5	/	/	SYM
ejde-1590	322	6	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	322	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	322	8	dx	dx	PROPN
ejde-1590	322	9	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	322	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	323	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	2	2.5	2.5	NUM
ejde-1590	323	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	4	since	since	SCONJ
ejde-1590	323	5	h	h	NOUN
ejde-1590	323	6	∈	∈	PROPN
ejde-1590	323	7	lp′	lp′	PROPN
ejde-1590	323	8	0	0	NUM
ejde-1590	323	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	10	bt	bt	NOUN
ejde-1590	323	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	12	and	and	CCONJ
ejde-1590	323	13	∥h∥lp′,r′	∥h∥lp′,r′	PROPN
ejde-1590	323	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	15	bt	bt	NOUN
ejde-1590	323	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	17	=	=	SYM
ejde-1590	323	18	1	1	NUM
ejde-1590	323	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	323	20	it	it	PRON
ejde-1590	323	21	follows	follow	VERB
ejde-1590	323	22	that	that	SCONJ
ejde-1590	323	23	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	24	h(x)−hbt)1bt	h(x)−hbt)1bt	PROPN
ejde-1590	323	25	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	323	26	/	/	SYM
ejde-1590	323	27	pφ(t	pφ(t	PUNCT
ejde-1590	323	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	29	is	be	AUX
ejde-1590	323	30	a	a	DET
ejde-1590	323	31	central	central	ADJ
ejde-1590	323	32	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	33	1	1	NUM
ejde-1590	323	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	323	35	p′	p′	NOUN
ejde-1590	323	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	323	37	r′	r′	PROPN
ejde-1590	323	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	323	39	φ)-atom	φ)-atom	PUNCT
ejde-1590	323	40	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	41	see	see	VERB
ejde-1590	323	42	the	the	DET
ejde-1590	323	43	proof	proof	NOUN
ejde-1590	323	44	of	of	ADP
ejde-1590	323	45	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	323	46	2.1	2.1	NUM
ejde-1590	323	47	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	48	,	,	PUNCT
ejde-1590	323	49	and	and	CCONJ
ejde-1590	323	50	∥1bt	∥1bt	NOUN
ejde-1590	323	51	(	(	PUNCT
ejde-1590	323	52	h(x)−	h(x)−	PROPN
ejde-1590	323	53	hbt	hbt	PROPN
ejde-1590	323	54	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	55	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	323	56	/	/	SYM
ejde-1590	323	57	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	323	58	)	)	PUNCT
ejde-1590	323	59	∥	∥	PUNCT
ejde-1590	324	1	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	324	2	φ	φ	NUM
ejde-1590	324	3	≤	≤	NUM
ejde-1590	324	4	1	1	NUM
ejde-1590	324	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	325	1	ejde-2025/82	ejde-2025/82	VERB
ejde-1590	325	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	325	3	operators	operator	NOUN
ejde-1590	325	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	325	5	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	325	6	9	9	NUM
ejde-1590	325	7	with	with	ADP
ejde-1590	325	8	this	this	DET
ejde-1590	325	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	325	10	noted	note	VERB
ejde-1590	325	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	325	12	it	it	PRON
ejde-1590	325	13	follows	follow	VERB
ejde-1590	325	14	from	from	ADP
ejde-1590	325	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	325	16	2.5	2.5	NUM
ejde-1590	325	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	326	1	that	that	PRON
ejde-1590	327	1	∥f	∥f	PROPN
ejde-1590	327	2	−	−	PROPN
ejde-1590	327	3	fbt	fbt	PROPN
ejde-1590	327	4	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	327	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	327	6	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	327	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	8	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	327	9	/	/	SYM
ejde-1590	327	10	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	327	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	12	≤	≤	NUM
ejde-1590	327	13	∥1bτ0	∥1bτ0	NOUN
ejde-1590	327	14	f∥	f∥	NOUN
ejde-1590	327	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	327	16	hap′,r′	hap′,r′	NOUN
ejde-1590	327	17	φ	φ	PROPN
ejde-1590	327	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	19	∗	∗	PROPN
ejde-1590	327	20	∥∥1bt	∥∥1bt	PUNCT
ejde-1590	327	21	(	(	PUNCT
ejde-1590	327	22	h(x)−	h(x)−	PROPN
ejde-1590	327	23	hbt	hbt	PROPN
ejde-1590	327	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	25	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	327	26	/	/	SYM
ejde-1590	327	27	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	327	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	29	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-1590	327	30	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	327	31	φ	φ	PROPN
ejde-1590	327	32	≤	≤	NUM
ejde-1590	327	33	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	327	34	(	(	PUNCT
ejde-1590	327	35	hap′,r′	hap′,r′	NOUN
ejde-1590	327	36	φ	φ	PROPN
ejde-1590	327	37	)	)	PUNCT
ejde-1590	327	38	∗	∗	NOUN
ejde-1590	327	39	.	.	PUNCT
ejde-1590	328	1	since	since	SCONJ
ejde-1590	328	2	the	the	DET
ejde-1590	328	3	last	last	ADJ
ejde-1590	328	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	328	5	holds	hold	VERB
ejde-1590	328	6	for	for	ADP
ejde-1590	328	7	every	every	DET
ejde-1590	328	8	t	t	NOUN
ejde-1590	328	9	>	>	X
ejde-1590	328	10	0	0	NUM
ejde-1590	328	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	328	12	we	we	PRON
ejde-1590	328	13	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	328	14	∥f∥	∥f∥	ADJ
ejde-1590	328	15	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	329	1	p	p	X
ejde-1590	329	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	329	3	r	r	PROPN
ejde-1590	329	4	φ	φ	X
ejde-1590	329	5	≤	≤	NUM
ejde-1590	329	6	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	329	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	329	8	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	329	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	329	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	329	11	∗	∗	NOUN
ejde-1590	329	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	329	13	which	which	PRON
ejde-1590	329	14	yields	yield	VERB
ejde-1590	329	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	329	16	2.3	2.3	NUM
ejde-1590	329	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	329	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	330	1	hence	hence	ADV
ejde-1590	330	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	330	3	we	we	PRON
ejde-1590	330	4	have	have	AUX
ejde-1590	330	5	completed	complete	VERB
ejde-1590	330	6	the	the	DET
ejde-1590	330	7	proof	proof	NOUN
ejde-1590	330	8	of	of	ADP
ejde-1590	330	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	330	10	1.14	1.14	NUM
ejde-1590	330	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	331	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	331	2	next	next	ADV
ejde-1590	331	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	331	4	we	we	PRON
ejde-1590	331	5	use	use	VERB
ejde-1590	331	6	some	some	DET
ejde-1590	331	7	properties	property	NOUN
ejde-1590	331	8	of	of	ADP
ejde-1590	331	9	hap	hap	NOUN
ejde-1590	331	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	331	11	r	r	PROPN
ejde-1590	331	12	φ	φ	PROPN
ejde-1590	331	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	331	14	rn	rn	NOUN
ejde-1590	331	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	331	16	under	under	ADP
ejde-1590	331	17	certain	certain	ADJ
ejde-1590	331	18	conditions	condition	NOUN
ejde-1590	331	19	on	on	ADP
ejde-1590	331	20	φ	φ	PROPN
ejde-1590	331	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	332	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	332	2	2.3	2.3	NUM
ejde-1590	332	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	332	4	suppose	suppose	VERB
ejde-1590	332	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	332	6	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	332	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	332	8	is	be	AUX
ejde-1590	332	9	non	non	ADJ
ejde-1590	332	10	-	-	ADJ
ejde-1590	332	11	increasing	increase	VERB
ejde-1590	332	12	on	on	ADP
ejde-1590	332	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	332	14	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1590	332	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	332	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	332	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	332	18	there	there	PRON
ejde-1590	332	19	exists	exist	VERB
ejde-1590	332	20	τ0	τ0	NOUN
ejde-1590	332	21	>	>	X
ejde-1590	332	22	0	0	NUM
ejde-1590	332	23	such	such	ADJ
ejde-1590	332	24	that	that	SCONJ
ejde-1590	332	25	t	t	PROPN
ejde-1590	332	26	n	n	CCONJ
ejde-1590	332	27	p	p	PROPN
ejde-1590	332	28	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	332	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	332	30	is	be	AUX
ejde-1590	332	31	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-1590	332	32	on	on	ADP
ejde-1590	332	33	(	(	PUNCT
ejde-1590	332	34	τ0,∞	τ0,∞	PUNCT
ejde-1590	332	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	332	36	.	.	PUNCT
ejde-1590	333	1	then	then	ADV
ejde-1590	333	2	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	333	3	φ	φ	PROPN
ejde-1590	333	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	333	5	rn	rn	NOUN
ejde-1590	333	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	333	7	is	be	AUX
ejde-1590	333	8	the	the	DET
ejde-1590	333	9	subspace	subspace	NOUN
ejde-1590	333	10	of	of	ADP
ejde-1590	333	11	l∞	l∞	NOUN
ejde-1590	333	12	c	c	NOUN
ejde-1590	333	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	333	14	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	333	15	proof	proof	NOUN
ejde-1590	333	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	334	1	let	let	VERB
ejde-1590	334	2	a	a	DET
ejde-1590	334	3	be	be	AUX
ejde-1590	334	4	a	a	DET
ejde-1590	334	5	central	central	ADJ
ejde-1590	334	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	334	7	1	1	NUM
ejde-1590	334	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	334	9	p′	p′	NOUN
ejde-1590	334	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	334	11	r′	r′	PROPN
ejde-1590	334	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	334	13	φ)-atom	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	334	14	with	with	ADP
ejde-1590	334	15	supp(a	supp(a	NOUN
ejde-1590	334	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	334	17	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	334	18	bt	bt	PROPN
ejde-1590	334	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	334	20	and	and	CCONJ
ejde-1590	334	21	let	let	VERB
ejde-1590	334	22	ψ	ψ	PART
ejde-1590	334	23	be	be	AUX
ejde-1590	334	24	a	a	DET
ejde-1590	334	25	test	test	NOUN
ejde-1590	334	26	function	function	NOUN
ejde-1590	334	27	in	in	ADP
ejde-1590	334	28	l∞	l∞	PROPN
ejde-1590	334	29	c	c	PROPN
ejde-1590	334	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	334	31	rn	rn	NOUN
ejde-1590	334	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	334	33	(	(	PUNCT
ejde-1590	334	34	the	the	DET
ejde-1590	334	35	space	space	NOUN
ejde-1590	334	36	of	of	ADP
ejde-1590	334	37	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	334	38	functions	function	NOUN
ejde-1590	334	39	with	with	ADP
ejde-1590	334	40	compact	compact	ADJ
ejde-1590	334	41	support	support	NOUN
ejde-1590	334	42	)	)	PUNCT
ejde-1590	334	43	with	with	ADP
ejde-1590	334	44	supp(ψ	supp(ψ	PROPN
ejde-1590	334	45	)	)	PUNCT
ejde-1590	334	46	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	334	47	bt0	bt0	PROPN
ejde-1590	334	48	.	.	PUNCT
ejde-1590	335	1	applying	apply	VERB
ejde-1590	335	2	hölder	hölder	NOUN
ejde-1590	335	3	’s	’s	PART
ejde-1590	335	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	335	5	yields∣∣	yields∣∣	PROPN
ejde-1590	335	6	∫	∫	PROPN
ejde-1590	335	7	rn	rn	PROPN
ejde-1590	335	8	a(x)ψ(x	a(x)ψ(x	NUM
ejde-1590	335	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	336	1	dx	dx	PROPN
ejde-1590	337	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	337	2	≤	≤	PROPN
ejde-1590	337	3	∥a∥lp′	∥a∥lp′	NUM
ejde-1590	337	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	337	5	bt	bt	NOUN
ejde-1590	337	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	337	7	∥ψ∥lp(bt∩bt0	∥ψ∥lp(bt∩bt0	NOUN
ejde-1590	337	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	337	9	≤	≤	NOUN
ejde-1590	337	10	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	337	11	|bt	|bt	NUM
ejde-1590	337	12	∩bt0	∩bt0	NOUN
ejde-1590	337	13	|1	|1	X
ejde-1590	337	14	/	/	SYM
ejde-1590	337	15	p	p	NOUN
ejde-1590	337	16	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	337	17	/	/	SYM
ejde-1590	337	18	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	337	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	337	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	338	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	338	2	t	t	PROPN
ejde-1590	338	3	≤	≤	NUM
ejde-1590	338	4	max{t0	max{t0	PROPN
ejde-1590	338	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	338	6	τ0	τ0	NOUN
ejde-1590	338	7	}	}	PUNCT
ejde-1590	338	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	338	9	then	then	ADV
ejde-1590	338	10	it	it	PRON
ejde-1590	338	11	follows	follow	VERB
ejde-1590	338	12	from	from	ADP
ejde-1590	338	13	the	the	DET
ejde-1590	338	14	last	last	ADJ
ejde-1590	338	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	338	16	and	and	CCONJ
ejde-1590	338	17	the	the	DET
ejde-1590	338	18	fact	fact	NOUN
ejde-1590	338	19	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	338	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	338	21	≥	≥	NOUN
ejde-1590	338	22	min{φ(t0	min{φ(t0	NUM
ejde-1590	338	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	338	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	338	25	φ(τ0	φ(τ0	PROPN
ejde-1590	338	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	338	27	}	}	PUNCT
ejde-1590	338	28	that	that	SCONJ
ejde-1590	338	29	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	338	30	∫	∫	PROPN
ejde-1590	338	31	rn	rn	PROPN
ejde-1590	338	32	a(x)ψ(x	a(x)ψ(x	NUM
ejde-1590	338	33	)	)	PUNCT
ejde-1590	338	34	dx	dx	PROPN
ejde-1590	339	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	339	2	≤	≤	NUM
ejde-1590	339	3	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	339	4	min{φ(t0	min{φ(t0	NOUN
ejde-1590	339	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	339	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	339	7	φ(τ0	φ(τ0	PROPN
ejde-1590	339	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	339	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	339	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	340	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1590	340	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	340	3	we	we	PRON
ejde-1590	340	4	have	have	VERB
ejde-1590	340	5	t	t	PROPN
ejde-1590	340	6	n	n	CCONJ
ejde-1590	340	7	p	p	PROPN
ejde-1590	340	8	0	0	NUM
ejde-1590	340	9	φ(t0	φ(t0	NOUN
ejde-1590	340	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	340	11	≤	≤	NOUN
ejde-1590	341	1	t	t	PROPN
ejde-1590	341	2	n	n	CCONJ
ejde-1590	341	3	p	p	PROPN
ejde-1590	341	4	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	341	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	341	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	342	1	therefore,∣∣	therefore,∣∣	VERB
ejde-1590	342	2	∫	∫	PROPN
ejde-1590	342	3	rn	rn	PROPN
ejde-1590	342	4	a(x)ψ(x	a(x)ψ(x	NUM
ejde-1590	342	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	342	6	dx	dx	PROPN
ejde-1590	342	7	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	342	8	≤	≤	NUM
ejde-1590	342	9	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	342	10	|b(z0	|b(z0	NOUN
ejde-1590	342	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	342	12	t0)|1	t0)|1	NOUN
ejde-1590	342	13	/	/	SYM
ejde-1590	342	14	p	p	NOUN
ejde-1590	342	15	|b(z0	|b(z0	NOUN
ejde-1590	342	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	342	17	t0)|1	t0)|1	PROPN
ejde-1590	342	18	/	/	SYM
ejde-1590	342	19	pφ(t0	pφ(t0	NOUN
ejde-1590	342	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	343	1	=	=	PUNCT
ejde-1590	343	2	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	343	3	φ(t0	φ(t0	NOUN
ejde-1590	343	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	343	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	344	1	by	by	ADP
ejde-1590	344	2	combining	combine	VERB
ejde-1590	344	3	the	the	DET
ejde-1590	344	4	two	two	NUM
ejde-1590	344	5	cases	case	NOUN
ejde-1590	344	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	344	7	we	we	PRON
ejde-1590	344	8	obtain∣∣	obtain∣∣	NOUN
ejde-1590	344	9	∫	∫	PROPN
ejde-1590	344	10	rn	rn	PROPN
ejde-1590	344	11	a(x)ψ(x	a(x)ψ(x	NUM
ejde-1590	344	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	344	13	dx	dx	PROPN
ejde-1590	345	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	345	2	≤	≤	NUM
ejde-1590	345	3	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	345	4	min{φ(t0	min{φ(t0	NOUN
ejde-1590	345	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	345	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	345	7	φ(τ0	φ(τ0	NOUN
ejde-1590	345	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	345	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	345	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	346	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	346	2	2.6	2.6	NUM
ejde-1590	346	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	346	4	now	now	ADV
ejde-1590	346	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	6	for	for	ADP
ejde-1590	346	7	each	each	DET
ejde-1590	346	8	h	h	NOUN
ejde-1590	346	9	∈	∈	PROPN
ejde-1590	346	10	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	346	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	346	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	346	13	rn	rn	PROPN
ejde-1590	346	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	346	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	16	we	we	PRON
ejde-1590	346	17	can	can	AUX
ejde-1590	346	18	write	write	VERB
ejde-1590	346	19	h	h	NOUN
ejde-1590	346	20	=	=	PUNCT
ejde-1590	346	21	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	346	22	j=0	j=0	VERB
ejde-1590	346	23	λjaj	λjaj	ADV
ejde-1590	346	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	25	where	where	SCONJ
ejde-1590	346	26	aj	aj	PROPN
ejde-1590	346	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	28	j	j	PROPN
ejde-1590	346	29	≥	≥	NUM
ejde-1590	346	30	0	0	NUM
ejde-1590	346	31	are	be	AUX
ejde-1590	346	32	(	(	PUNCT
ejde-1590	346	33	1	1	NUM
ejde-1590	346	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	35	p′	p′	NOUN
ejde-1590	346	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	37	r′	r′	PROPN
ejde-1590	346	38	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	39	φ)atoms	φ)atom	NOUN
ejde-1590	346	40	,	,	PUNCT
ejde-1590	346	41	and	and	CCONJ
ejde-1590	346	42	∑∞	∑∞	PROPN
ejde-1590	346	43	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	346	44	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	347	1	|	|	ADV
ejde-1590	347	2	<	<	X
ejde-1590	347	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	347	4	then	then	ADV
ejde-1590	347	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	347	6	it	it	PRON
ejde-1590	347	7	follows	follow	VERB
ejde-1590	347	8	from	from	ADP
ejde-1590	347	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	347	10	2.6	2.6	NUM
ejde-1590	347	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	347	12	that∣∣	that∣∣	PROPN
ejde-1590	347	13	∫	∫	PROPN
ejde-1590	347	14	rn	rn	PROPN
ejde-1590	347	15	h(x)ψ(x	h(x)ψ(x	PROPN
ejde-1590	347	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	347	17	dx	dx	PROPN
ejde-1590	348	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	348	2	≤	≤	NOUN
ejde-1590	348	3	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	348	4	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	348	5	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	348	6	|	|	ADV
ejde-1590	348	7	∣∣	∣∣	X
ejde-1590	348	8	∫	∫	PROPN
ejde-1590	348	9	rn	rn	PROPN
ejde-1590	348	10	aj(x)ψ(x	aj(x)ψ(x	PROPN
ejde-1590	348	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	348	12	dx	dx	PROPN
ejde-1590	348	13	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	348	14	≤	≤	NUM
ejde-1590	348	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	349	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	349	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	349	3	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	349	4	|	|	ADV
ejde-1590	349	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	349	6	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	349	7	min{φ(t0	min{φ(t0	NOUN
ejde-1590	349	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	349	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	349	10	φ(τ0	φ(τ0	NOUN
ejde-1590	349	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	349	12	}	}	PUNCT
ejde-1590	349	13	≤	≤	NUM
ejde-1590	349	14	∥h∥	∥h∥	PROPN
ejde-1590	349	15	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	349	16	φ	φ	PROPN
ejde-1590	349	17	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	PROPN
ejde-1590	349	18	min{φ(t0	min{φ(t0	NOUN
ejde-1590	349	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	349	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	349	21	φ(τ0	φ(τ0	PROPN
ejde-1590	349	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	349	23	}	}	PUNCT
ejde-1590	349	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	350	1	thus	thus	ADV
ejde-1590	350	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	350	3	we	we	PRON
ejde-1590	350	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	350	5	the	the	DET
ejde-1590	350	6	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-1590	350	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	351	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	351	2	remark	remark	NOUN
ejde-1590	351	3	2.4	2.4	NUM
ejde-1590	351	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	352	1	as	as	ADP
ejde-1590	352	2	a	a	DET
ejde-1590	352	3	consequence	consequence	NOUN
ejde-1590	352	4	of	of	ADP
ejde-1590	352	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	352	6	2.3	2.3	NUM
ejde-1590	352	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	352	8	if	if	SCONJ
ejde-1590	352	9	h	h	NOUN
ejde-1590	352	10	∈	∈	PROPN
ejde-1590	352	11	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	352	12	φ	φ	PROPN
ejde-1590	352	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	352	14	rn	rn	PROPN
ejde-1590	352	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	352	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	352	17	h	h	NOUN
ejde-1590	352	18	=	=	PUNCT
ejde-1590	352	19	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	352	20	j=0	j=0	VERB
ejde-1590	352	21	λjaj	λjaj	ADV
ejde-1590	352	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	352	23	then	then	ADV
ejde-1590	352	24	the	the	DET
ejde-1590	352	25	series	series	NOUN
ejde-1590	352	26	converges	converge	VERB
ejde-1590	352	27	to	to	ADP
ejde-1590	352	28	h	h	NOUN
ejde-1590	352	29	in	in	ADP
ejde-1590	352	30	the	the	DET
ejde-1590	352	31	norm	norm	NOUN
ejde-1590	352	32	of	of	ADP
ejde-1590	352	33	l∞	l∞	NOUN
ejde-1590	352	34	c	c	NOUN
ejde-1590	352	35	(	(	PUNCT
ejde-1590	352	36	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	352	37	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	352	38	2.5	2.5	NUM
ejde-1590	352	39	.	.	PUNCT
ejde-1590	353	1	under	under	ADP
ejde-1590	353	2	the	the	DET
ejde-1590	353	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1590	353	4	in	in	ADP
ejde-1590	353	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-1590	353	6	2.3	2.3	NUM
ejde-1590	353	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	353	8	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	353	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	353	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	353	11	rn	rn	NOUN
ejde-1590	353	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	353	13	is	be	AUX
ejde-1590	353	14	a	a	DET
ejde-1590	353	15	banach	banach	NOUN
ejde-1590	353	16	space	space	NOUN
ejde-1590	353	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	354	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	354	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	355	1	let	let	VERB
ejde-1590	355	2	{	{	PUNCT
ejde-1590	355	3	fn}n≥1	fn}n≥1	NOUN
ejde-1590	355	4	be	be	AUX
ejde-1590	355	5	a	a	DET
ejde-1590	355	6	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-1590	355	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-1590	355	8	in	in	ADP
ejde-1590	355	9	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	355	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	355	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	355	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	355	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	355	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	356	1	then	then	ADV
ejde-1590	356	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	356	3	there	there	PRON
ejde-1590	356	4	exists	exist	VERB
ejde-1590	356	5	a	a	DET
ejde-1590	356	6	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1590	356	7	{	{	PUNCT
ejde-1590	356	8	fnk	fnk	NOUN
ejde-1590	356	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	356	10	k≥1	k≥1	NOUN
ejde-1590	356	11	such	such	ADJ
ejde-1590	356	12	that	that	SCONJ
ejde-1590	357	1	∥fnk	∥fnk	ADJ
ejde-1590	357	2	−	−	PROPN
ejde-1590	357	3	fnk−1	fnk−1	PROPN
ejde-1590	357	4	∥	∥	PUNCT
ejde-1590	357	5	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	357	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	357	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	357	8	rn	rn	NOUN
ejde-1590	357	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	357	10	≤	≤	NUM
ejde-1590	357	11	2−k	2−k	NUM
ejde-1590	357	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	358	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	358	2	2.7	2.7	NUM
ejde-1590	358	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	358	4	put	put	VERB
ejde-1590	358	5	f	f	NOUN
ejde-1590	358	6	=	=	PUNCT
ejde-1590	358	7	fn1	fn1	PROPN
ejde-1590	359	1	+	+	CCONJ
ejde-1590	359	2	∑	∑	PROPN
ejde-1590	359	3	k≥2	k≥2	PROPN
ejde-1590	359	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	359	5	fnk	fnk	VERB
ejde-1590	359	6	−	−	PROPN
ejde-1590	359	7	fnk−1	fnk−1	PROPN
ejde-1590	359	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	359	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	360	1	10	10	NUM
ejde-1590	360	2	l.	l.	NOUN
ejde-1590	360	3	t.	t.	NOUN
ejde-1590	360	4	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	360	5	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	360	6	note	note	NOUN
ejde-1590	360	7	that	that	SCONJ
ejde-1590	360	8	for	for	ADP
ejde-1590	360	9	each	each	DET
ejde-1590	360	10	k	k	PROPN
ejde-1590	360	11	≥	≥	NUM
ejde-1590	360	12	1	1	NUM
ejde-1590	360	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	14	we	we	PRON
ejde-1590	360	15	have	have	AUX
ejde-1590	360	16	fnk	fnk	VERB
ejde-1590	360	17	−	−	PROPN
ejde-1590	360	18	fnk−1	fnk−1	PROPN
ejde-1590	360	19	=	=	PUNCT
ejde-1590	360	20	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	360	21	j≥0	j≥0	PROPN
ejde-1590	360	22	λkj	λkj	VERB
ejde-1590	360	23	a	a	DET
ejde-1590	360	24	k	k	PROPN
ejde-1590	360	25	j	j	PROPN
ejde-1590	360	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	27	where	where	SCONJ
ejde-1590	360	28	{	{	PUNCT
ejde-1590	360	29	akj	akj	ADJ
ejde-1590	360	30	}	}	PUNCT
ejde-1590	360	31	j≥0	j≥0	PROPN
ejde-1590	360	32	is	be	AUX
ejde-1590	360	33	a	a	DET
ejde-1590	360	34	sequence	sequence	NOUN
ejde-1590	360	35	of	of	ADP
ejde-1590	360	36	central	central	ADJ
ejde-1590	360	37	(	(	PUNCT
ejde-1590	360	38	1	1	NUM
ejde-1590	360	39	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	40	p′	p′	NOUN
ejde-1590	360	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	42	r′	r′	PROPN
ejde-1590	360	43	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	44	φ)-atoms	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	360	45	,	,	PUNCT
ejde-1590	360	46	and∑	and∑	X
ejde-1590	360	47	j≥0	j≥0	ADJ
ejde-1590	360	48	|λkj	|λkj	PROPN
ejde-1590	360	49	|	|	ADV
ejde-1590	360	50	≤	≤	NUM
ejde-1590	360	51	∥∥fnk	∥∥fnk	NOUN
ejde-1590	361	1	−	−	PUNCT
ejde-1590	361	2	fnk−1	fnk−1	PRON
ejde-1590	361	3	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	361	4	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	361	5	φ	φ	PROPN
ejde-1590	361	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	361	7	rn	rn	PROPN
ejde-1590	361	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	361	9	+	+	NUM
ejde-1590	361	10	2−k	2−k	NUM
ejde-1590	361	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	362	1	with	with	SCONJ
ejde-1590	362	2	this	this	DET
ejde-1590	362	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	362	4	noted	note	VERB
ejde-1590	362	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	362	6	and	and	CCONJ
ejde-1590	362	7	by	by	ADP
ejde-1590	362	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	362	9	2.7	2.7	NUM
ejde-1590	362	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	362	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	362	12	we	we	PRON
ejde-1590	362	13	obtain∑	obtain∑	VERB
ejde-1590	362	14	k≥1	k≥1	NOUN
ejde-1590	362	15	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	362	16	j≥0	j≥0	PROPN
ejde-1590	362	17	|λkj	|λkj	PROPN
ejde-1590	362	18	|	|	ADV
ejde-1590	362	19	≤	≤	NUM
ejde-1590	362	20	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	362	21	k≥1	k≥1	NOUN
ejde-1590	362	22	21−k	21−k	NUM
ejde-1590	362	23	<	<	X
ejde-1590	362	24	∞	∞	NUM
ejde-1590	362	25	.	.	PUNCT
ejde-1590	363	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	363	2	2.8	2.8	NUM
ejde-1590	363	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	363	4	this	this	PRON
ejde-1590	363	5	implies	imply	VERB
ejde-1590	363	6	that	that	SCONJ
ejde-1590	363	7	f	f	PROPN
ejde-1590	363	8	can	can	AUX
ejde-1590	363	9	be	be	AUX
ejde-1590	363	10	decomposed	decompose	VERB
ejde-1590	363	11	into	into	ADP
ejde-1590	363	12	central	central	ADJ
ejde-1590	363	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	363	14	1	1	NUM
ejde-1590	363	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	363	16	p′	p′	NOUN
ejde-1590	363	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	363	18	r′	r′	PROPN
ejde-1590	363	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	363	20	φ)-atoms	φ)-atom	NOUN
ejde-1590	363	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	364	1	next	next	ADV
ejde-1590	364	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	364	3	we	we	PRON
ejde-1590	364	4	claim	claim	VERB
ejde-1590	364	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	364	6	fnk	fnk	NOUN
ejde-1590	364	7	→	→	SYM
ejde-1590	364	8	f	f	PROPN
ejde-1590	364	9	as	as	ADP
ejde-1590	364	10	k	k	PROPN
ejde-1590	364	11	→	→	SYM
ejde-1590	364	12	∞	∞	PROPN
ejde-1590	364	13	in	in	ADP
ejde-1590	364	14	the	the	DET
ejde-1590	364	15	norm	norm	NOUN
ejde-1590	364	16	of	of	ADP
ejde-1590	364	17	l∞	l∞	NOUN
ejde-1590	364	18	c	c	NOUN
ejde-1590	364	19	(	(	PUNCT
ejde-1590	364	20	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	364	21	if	if	SCONJ
ejde-1590	364	22	this	this	PRON
ejde-1590	364	23	is	be	AUX
ejde-1590	364	24	true	true	ADJ
ejde-1590	364	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	364	26	then	then	ADV
ejde-1590	364	27	by	by	ADP
ejde-1590	364	28	(	(	PUNCT
ejde-1590	364	29	2.8	2.8	NUM
ejde-1590	364	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	364	31	we	we	PRON
ejde-1590	364	32	can	can	AUX
ejde-1590	364	33	conclude	conclude	VERB
ejde-1590	364	34	that	that	PRON
ejde-1590	364	35	fn	fn	PROPN
ejde-1590	364	36	→	→	SYM
ejde-1590	364	37	f	f	PROPN
ejde-1590	364	38	in	in	ADP
ejde-1590	364	39	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	364	40	φ	φ	PROPN
ejde-1590	364	41	(	(	PUNCT
ejde-1590	364	42	rn	rn	NOUN
ejde-1590	364	43	)	)	PUNCT
ejde-1590	364	44	as	as	ADP
ejde-1590	364	45	n	n	PROPN
ejde-1590	364	46	→	→	SYM
ejde-1590	364	47	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	364	48	since	since	SCONJ
ejde-1590	364	49	f	f	PROPN
ejde-1590	364	50	=	=	SYM
ejde-1590	364	51	fnk0	fnk0	PROPN
ejde-1590	364	52	+	+	CCONJ
ejde-1590	364	53	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	364	54	k≥k0	k≥k0	ADJ
ejde-1590	364	55	+	+	NOUN
ejde-1590	364	56	1(fnk	1(fnk	VERB
ejde-1590	364	57	−fnk−1	−fnk−1	ADV
ejde-1590	364	58	)	)	PUNCT
ejde-1590	364	59	,	,	PUNCT
ejde-1590	364	60	it	it	PRON
ejde-1590	364	61	suffices	suffice	VERB
ejde-1590	364	62	to	to	PART
ejde-1590	364	63	prove	prove	VERB
ejde-1590	364	64	that	that	SCONJ
ejde-1590	364	65	∑	∑	ADP
ejde-1590	364	66	k≥k0	k≥k0	ADJ
ejde-1590	364	67	+	+	NOUN
ejde-1590	364	68	1(fnk	1(fnk	VERB
ejde-1590	364	69	−fnk−1	−fnk−1	NOUN
ejde-1590	364	70	)	)	PUNCT
ejde-1590	364	71	converges	converge	VERB
ejde-1590	364	72	to	to	ADP
ejde-1590	364	73	0	0	NUM
ejde-1590	364	74	as	as	ADP
ejde-1590	364	75	k0	k0	PROPN
ejde-1590	364	76	→	→	SYM
ejde-1590	364	77	∞	∞	PROPN
ejde-1590	364	78	with	with	ADP
ejde-1590	364	79	respect	respect	NOUN
ejde-1590	364	80	to	to	ADP
ejde-1590	364	81	the	the	DET
ejde-1590	364	82	norm	norm	NOUN
ejde-1590	364	83	of	of	ADP
ejde-1590	364	84	l∞	l∞	NOUN
ejde-1590	364	85	c	c	NOUN
ejde-1590	364	86	(	(	PUNCT
ejde-1590	364	87	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	364	88	by	by	ADP
ejde-1590	364	89	(	(	PUNCT
ejde-1590	364	90	2.6	2.6	NUM
ejde-1590	364	91	)	)	PUNCT
ejde-1590	364	92	,	,	PUNCT
ejde-1590	364	93	we	we	PRON
ejde-1590	364	94	obtain∣∣∣	obtain∣∣∣	VERB
ejde-1590	365	1	∫	∫	PROPN
ejde-1590	365	2	rn	rn	PROPN
ejde-1590	365	3	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	365	4	k≥k0	k≥k0	PROPN
ejde-1590	365	5	+	+	PROPN
ejde-1590	365	6	1	1	NUM
ejde-1590	365	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	365	8	fnk	fnk	VERB
ejde-1590	365	9	−	−	PROPN
ejde-1590	365	10	fnk−1	fnk−1	PROPN
ejde-1590	365	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	365	12	(	(	PUNCT
ejde-1590	365	13	x)ψ(x	x)ψ(x	NOUN
ejde-1590	365	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	365	15	dx	dx	PROPN
ejde-1590	365	16	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	365	17	≤	≤	X
ejde-1590	365	18	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	365	19	k≥k0	k≥k0	ADJ
ejde-1590	365	20	+	+	ADJ
ejde-1590	365	21	1	1	NUM
ejde-1590	365	22	∑	∑	NOUN
ejde-1590	365	23	l≥0	l≥0	NOUN
ejde-1590	365	24	|λkl	|λkl	NOUN
ejde-1590	365	25	|	|	ADV
ejde-1590	365	26	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	365	27	∫	∫	PROPN
ejde-1590	365	28	rn	rn	PROPN
ejde-1590	365	29	akl	akl	PROPN
ejde-1590	365	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	365	31	x)ψ(x	x)ψ(x	PROPN
ejde-1590	365	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	365	33	dx	dx	PROPN
ejde-1590	365	34	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	365	35	≤	≤	X
ejde-1590	365	36	∑	∑	PUNCT
ejde-1590	365	37	k≥k0	k≥k0	ADJ
ejde-1590	365	38	+	+	ADJ
ejde-1590	365	39	1	1	NUM
ejde-1590	365	40	∑	∑	NOUN
ejde-1590	365	41	l≥0	l≥0	NOUN
ejde-1590	365	42	|λkl	|λkl	ADP
ejde-1590	365	43	|	|	ADV
ejde-1590	365	44	∥ψ∥l∞	∥ψ∥l∞	NOUN
ejde-1590	365	45	min{φ(t0	min{φ(t0	NOUN
ejde-1590	365	46	)	)	PUNCT
ejde-1590	365	47	,	,	PUNCT
ejde-1590	365	48	φ(τ0	φ(τ0	NOUN
ejde-1590	365	49	)	)	PUNCT
ejde-1590	365	50	}	}	PUNCT
ejde-1590	365	51	.	.	PUNCT
ejde-1590	366	1	with	with	ADP
ejde-1590	366	2	this	this	DET
ejde-1590	366	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	366	4	it	it	PRON
ejde-1590	366	5	follows	follow	VERB
ejde-1590	366	6	from	from	ADP
ejde-1590	366	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	366	8	2.8	2.8	NUM
ejde-1590	366	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	366	10	that	that	PRON
ejde-1590	366	11	lim	lim	PROPN
ejde-1590	366	12	k0→∞	k0→∞	VERB
ejde-1590	366	13	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	366	14	∑	∑	PART
ejde-1590	366	15	k≥k0	k≥k0	ADJ
ejde-1590	366	16	+	+	NOUN
ejde-1590	366	17	1	1	NUM
ejde-1590	366	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	366	19	fnk	fnk	VERB
ejde-1590	366	20	−	−	PROPN
ejde-1590	366	21	fnk−1	fnk−1	PROPN
ejde-1590	366	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	366	23	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	366	24	l∞	l∞	NOUN
ejde-1590	366	25	c	c	NOUN
ejde-1590	366	26	(	(	PUNCT
ejde-1590	366	27	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	366	28	=	=	SYM
ejde-1590	366	29	0	0	NUM
ejde-1590	366	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	367	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	367	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	367	3	fnk0	fnk0	PROPN
ejde-1590	367	4	→	→	SYM
ejde-1590	367	5	f	f	PROPN
ejde-1590	367	6	in	in	ADP
ejde-1590	367	7	l∞	l∞	PROPN
ejde-1590	367	8	c	c	NOUN
ejde-1590	367	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	367	10	rn)∗	rn)∗	PROPN
ejde-1590	367	11	as	as	ADP
ejde-1590	367	12	k0	k0	PROPN
ejde-1590	367	13	→	→	PUNCT
ejde-1590	367	14	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	367	15	this	this	PRON
ejde-1590	367	16	completes	complete	VERB
ejde-1590	367	17	the	the	DET
ejde-1590	367	18	proof	proof	NOUN
ejde-1590	367	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	368	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	368	2	3	3	X
ejde-1590	368	3	.	.	X
ejde-1590	368	4	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	368	5	of	of	ADP
ejde-1590	368	6	operators	operator	NOUN
ejde-1590	368	7	of	of	ADP
ejde-1590	368	8	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	368	9	type	type	NOUN
ejde-1590	368	10	in	in	ADP
ejde-1590	368	11	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	368	12	central	central	ADJ
ejde-1590	368	13	function	function	NOUN
ejde-1590	368	14	spaces	space	VERB
ejde-1590	368	15	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	368	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	369	1	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	369	2	operators	operator	NOUN
ejde-1590	369	3	in	in	ADP
ejde-1590	369	4	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	369	5	central	central	ADJ
ejde-1590	369	6	function	function	NOUN
ejde-1590	369	7	spaces	space	NOUN
ejde-1590	369	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	370	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	370	2	of	of	ADP
ejde-1590	370	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	370	4	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	370	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	371	1	we	we	PRON
ejde-1590	371	2	first	first	ADV
ejde-1590	371	3	prove	prove	VERB
ejde-1590	371	4	the	the	DET
ejde-1590	371	5	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	371	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	7	r	r	NOUN
ejde-1590	371	8	φ	φ	NUM
ejde-1590	371	9	-boundedness	-boundedness	NOUN
ejde-1590	371	10	of	of	ADP
ejde-1590	371	11	h.	h.	NOUN
ejde-1590	371	12	for	for	ADP
ejde-1590	371	13	each	each	DET
ejde-1590	371	14	ball	ball	NOUN
ejde-1590	371	15	bt	bt	NOUN
ejde-1590	371	16	in	in	ADP
ejde-1590	371	17	rn	rn	PROPN
ejde-1590	371	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	19	let	let	VERB
ejde-1590	371	20	us	we	PRON
ejde-1590	371	21	write	write	VERB
ejde-1590	371	22	h(f)(x	h(f)(x	PROPN
ejde-1590	371	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	371	24	=	=	SYM
ejde-1590	371	25	h(f1)(x	h(f1)(x	X
ejde-1590	371	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	371	27	+	+	NOUN
ejde-1590	371	28	h(f2)(x	h(f2)(x	NOUN
ejde-1590	371	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	371	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	31	∀x	∀x	PROPN
ejde-1590	371	32	∈	∈	PROPN
ejde-1590	371	33	rn	rn	PROPN
ejde-1590	371	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	35	with	with	ADP
ejde-1590	371	36	f1	f1	PROPN
ejde-1590	371	37	=	=	SYM
ejde-1590	371	38	f1bt	f1bt	PUNCT
ejde-1590	371	39	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	40	and	and	CCONJ
ejde-1590	371	41	f2	f2	PROPN
ejde-1590	371	42	=	=	SYM
ejde-1590	371	43	f1bc	f1bc	PROPN
ejde-1590	371	44	t	t	PROPN
ejde-1590	371	45	,	,	PUNCT
ejde-1590	371	46	bc	bc	PROPN
ejde-1590	371	47	t	t	PROPN
ejde-1590	371	48	=	=	SYM
ejde-1590	371	49	rn	rn	PROPN
ejde-1590	371	50	\bt	\bt	PROPN
ejde-1590	371	51	.	.	PUNCT
ejde-1590	372	1	for	for	ADP
ejde-1590	372	2	f1	f1	NOUN
ejde-1590	372	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	372	4	we	we	PRON
ejde-1590	372	5	apply	apply	VERB
ejde-1590	372	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	372	7	1.12	1.12	NUM
ejde-1590	372	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	372	9	to	to	PART
ejde-1590	372	10	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	372	11	∥h(f1)∥lp	∥h(f1)∥lp	NOUN
ejde-1590	372	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	372	13	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	372	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	372	15	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	372	16	/	/	SYM
ejde-1590	372	17	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	372	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	372	19	≤	≤	NOUN
ejde-1590	373	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	373	2	p	p	NOUN
ejde-1590	373	3	p−	p−	NOUN
ejde-1590	373	4	1	1	NUM
ejde-1590	373	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	373	6	∥f1∥lp	∥f1∥lp	PROPN
ejde-1590	373	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	373	8	r	r	NOUN
ejde-1590	373	9	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	373	10	/	/	SYM
ejde-1590	373	11	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	373	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	373	13	=	=	PUNCT
ejde-1590	374	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	374	2	p	p	NOUN
ejde-1590	374	3	p−	p−	NOUN
ejde-1590	374	4	1	1	NUM
ejde-1590	374	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	374	6	∥f∥lp	∥f∥lp	PROPN
ejde-1590	374	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	374	8	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	374	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	374	10	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	374	11	/	/	SYM
ejde-1590	374	12	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	374	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	374	14	≤	≤	NOUN
ejde-1590	375	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	375	2	p	p	NOUN
ejde-1590	375	3	p−	p−	NOUN
ejde-1590	375	4	1	1	NUM
ejde-1590	375	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	375	6	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	375	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	375	8	r	r	PROPN
ejde-1590	375	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	375	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	376	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	376	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	376	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	376	4	next	next	ADV
ejde-1590	376	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	376	6	since	since	SCONJ
ejde-1590	376	7	f2	f2	NOUN
ejde-1590	376	8	=	=	SYM
ejde-1590	376	9	0	0	NUM
ejde-1590	376	10	on	on	ADP
ejde-1590	376	11	bt	bt	PROPN
ejde-1590	376	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	376	13	for	for	ADP
ejde-1590	376	14	each	each	DET
ejde-1590	376	15	x	x	SYM
ejde-1590	376	16	∈	∈	PROPN
ejde-1590	376	17	bt	bt	NOUN
ejde-1590	376	18	we	we	PRON
ejde-1590	376	19	observe	observe	VERB
ejde-1590	376	20	that	that	DET
ejde-1590	376	21	h(f2)(x	h(f2)(x	NOUN
ejde-1590	376	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	377	1	=	=	SYM
ejde-1590	377	2	1	1	NUM
ejde-1590	377	3	νn|x|n	νn|x|n	NOUN
ejde-1590	377	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	377	5	|y|<|x|	|y|<|x|	PROPN
ejde-1590	377	6	f2(y	f2(y	PROPN
ejde-1590	377	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	377	8	dy	dy	NOUN
ejde-1590	377	9	=	=	NOUN
ejde-1590	377	10	0	0	PROPN
ejde-1590	377	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	378	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	378	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	378	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	4	a	a	DET
ejde-1590	378	5	combination	combination	NOUN
ejde-1590	378	6	of	of	ADP
ejde-1590	378	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	378	8	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	378	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	10	and	and	CCONJ
ejde-1590	378	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	378	12	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	378	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	14	yields	yield	VERB
ejde-1590	378	15	∥h(f)∥lp	∥h(f)∥lp	NOUN
ejde-1590	378	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	378	17	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	378	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	19	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	378	20	/	/	SYM
ejde-1590	378	21	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	378	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	23	=	=	SYM
ejde-1590	378	24	∥h(f1)∥lp	∥h(f1)∥lp	NOUN
ejde-1590	378	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	378	26	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	378	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	28	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	378	29	/	/	SYM
ejde-1590	378	30	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	378	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	378	32	≤	≤	NOUN
ejde-1590	379	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	379	2	p	p	NOUN
ejde-1590	379	3	p−	p−	NOUN
ejde-1590	379	4	1	1	NUM
ejde-1590	379	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	379	6	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	379	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	379	8	r	r	NOUN
ejde-1590	379	9	φ	φ	NOUN
ejde-1590	379	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	380	1	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	380	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	380	3	operators	operator	NOUN
ejde-1590	380	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	380	5	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	380	6	11	11	NUM
ejde-1590	380	7	since	since	SCONJ
ejde-1590	380	8	the	the	DET
ejde-1590	380	9	last	last	ADJ
ejde-1590	380	10	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	380	11	holds	hold	VERB
ejde-1590	380	12	for	for	ADP
ejde-1590	380	13	any	any	DET
ejde-1590	380	14	t	t	NOUN
ejde-1590	380	15	>	>	X
ejde-1590	380	16	0	0	NUM
ejde-1590	380	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	380	18	we	we	PRON
ejde-1590	380	19	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	380	20	∥h(f)∥ṁp	∥h(f)∥ṁp	PROPN
ejde-1590	380	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	380	22	r	r	PROPN
ejde-1590	380	23	φ	φ	NOUN
ejde-1590	380	24	≤	≤	NUM
ejde-1590	381	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	381	2	p	p	NOUN
ejde-1590	381	3	p−	p−	NOUN
ejde-1590	381	4	1	1	NUM
ejde-1590	381	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	381	6	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	381	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	381	8	r	r	NOUN
ejde-1590	381	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	381	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	382	1	it	it	PRON
ejde-1590	382	2	remains	remain	VERB
ejde-1590	382	3	to	to	PART
ejde-1590	382	4	prove	prove	VERB
ejde-1590	382	5	the	the	DET
ejde-1590	382	6	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	382	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	382	8	r	r	NOUN
ejde-1590	382	9	φ	φ	NUM
ejde-1590	382	10	-boundedness	-boundedness	NOUN
ejde-1590	382	11	of	of	ADP
ejde-1590	382	12	h∗.	h∗.	NOUN
ejde-1590	382	13	we	we	PRON
ejde-1590	382	14	argue	argue	VERB
ejde-1590	382	15	similarly	similarly	ADV
ejde-1590	382	16	as	as	ADP
ejde-1590	382	17	in	in	ADP
ejde-1590	382	18	(	(	PUNCT
ejde-1590	382	19	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	382	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	382	21	to	to	PART
ejde-1590	382	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	382	23	∥h∗(f1)∥lp	∥h∗(f1)∥lp	PROPN
ejde-1590	382	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	382	25	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	382	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	382	27	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	382	28	/	/	SYM
ejde-1590	382	29	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	382	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	382	31	≲	≲	PROPN
ejde-1590	382	32	∥f∥ṁp	∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	382	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	382	34	r	r	PROPN
ejde-1590	382	35	φ	φ	PROPN
ejde-1590	382	36	.	.	PUNCT
ejde-1590	383	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	383	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1590	383	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	383	4	next	next	ADV
ejde-1590	383	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	383	6	we	we	PRON
ejde-1590	383	7	observe	observe	VERB
ejde-1590	383	8	that	that	SCONJ
ejde-1590	383	9	|h∗(f2)(x)|	|h∗(f2)(x)|	PUNCT
ejde-1590	383	10	=	=	SYM
ejde-1590	383	11	∣∣∣	∣∣∣	ADP
ejde-1590	383	12	1	1	NUM
ejde-1590	383	13	νn	νn	NOUN
ejde-1590	383	14	∫	∫	PROPN
ejde-1590	383	15	|y|≥2	|y|≥2	PROPN
ejde-1590	383	16	t	t	PROPN
ejde-1590	383	17	f(y	f(y	PROPN
ejde-1590	383	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	384	1	|y|n	|y|n	PROPN
ejde-1590	384	2	dy	dy	VERB
ejde-1590	384	3	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	384	4	=	=	SYM
ejde-1590	384	5	1	1	NUM
ejde-1590	384	6	νn	νn	NOUN
ejde-1590	384	7	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	384	8	∞∑	∞∑	VERB
ejde-1590	384	9	k=1	k=1	PUNCT
ejde-1590	384	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	384	11	{	{	PUNCT
ejde-1590	384	12	2kt≤|y|<2k+1	2kt≤|y|<2k+1	NUM
ejde-1590	384	13	t	t	NOUN
ejde-1590	384	14	}	}	PUNCT
ejde-1590	384	15	f(y	f(y	NOUN
ejde-1590	384	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	385	1	|y|n	|y|n	PROPN
ejde-1590	385	2	dy	dy	NOUN
ejde-1590	385	3	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	385	4	≲	≲	PROPN
ejde-1590	385	5	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	385	6	k=1	k=1	X
ejde-1590	385	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	385	8	2kt)−n	2kt)−n	ADV
ejde-1590	385	9	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	385	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	385	11	{	{	PUNCT
ejde-1590	385	12	2kt≤|y|<2k+1	2kt≤|y|<2k+1	NUM
ejde-1590	385	13	t	t	NOUN
ejde-1590	385	14	}	}	SYM
ejde-1590	385	15	f(y	f(y	NOUN
ejde-1590	385	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	385	17	dy	dy	NOUN
ejde-1590	385	18	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	385	19	≤	≤	NOUN
ejde-1590	386	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	386	2	k=1	k=1	X
ejde-1590	387	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	387	2	2kt)−n	2kt)−n	NOUN
ejde-1590	387	3	∫	∫	PROPN
ejde-1590	387	4	b	b	PROPN
ejde-1590	387	5	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	387	6	t	t	PROPN
ejde-1590	387	7	|f(y)|	|f(y)|	PROPN
ejde-1590	387	8	dy	dy	NOUN
ejde-1590	387	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	388	1	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	388	2	to	to	ADP
ejde-1590	388	3	hölder	hölder	PROPN
ejde-1590	388	4	’s	’s	PART
ejde-1590	388	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	388	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	388	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	388	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	388	9	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	388	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	388	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	388	12	we	we	PRON
ejde-1590	388	13	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	388	14	|h∗(f2)(x)|	|h∗(f2)(x)|	NUM
ejde-1590	388	15	≲	≲	PROPN
ejde-1590	388	16	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	388	17	k=1	k=1	X
ejde-1590	389	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	389	2	2kt)−n∥f∥lp(b	2kt)−n∥f∥lp(b	NUM
ejde-1590	389	3	2k+1	2k+1	NUM
ejde-1590	389	4	t	t	NOUN
ejde-1590	389	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	390	1	|b2k+1t|1	|b2k+1t|1	ADV
ejde-1590	390	2	/	/	SYM
ejde-1590	390	3	p	p	NOUN
ejde-1590	390	4	′	′	NUM
ejde-1590	391	1	≲	≲	PROPN
ejde-1590	391	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	391	3	k=1	k=1	PUNCT
ejde-1590	391	4	∥f∥lp(b	∥f∥lp(b	PRON
ejde-1590	392	1	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	392	2	t	t	NOUN
ejde-1590	392	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	393	1	|b2k+1t|1	|b2k+1t|1	ADV
ejde-1590	393	2	/	/	SYM
ejde-1590	393	3	pφ(2k+1	pφ(2k+1	NUM
ejde-1590	393	4	t	t	NOUN
ejde-1590	393	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	393	6	φ(2k+1	φ(2k+1	NOUN
ejde-1590	393	7	t	t	PROPN
ejde-1590	393	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	393	9	≤	≤	NOUN
ejde-1590	394	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	394	2	k=1	k=1	PROPN
ejde-1590	394	3	φ(2k+1t)∥f∥ṁp	φ(2k+1t)∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	394	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	394	5	r	r	PROPN
ejde-1590	394	6	φ	φ	NOUN
ejde-1590	394	7	≤	≤	NOUN
ejde-1590	395	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	395	2	k=1	k=1	AUX
ejde-1590	395	3	dk+1	dk+1	PUNCT
ejde-1590	395	4	0	0	NUM
ejde-1590	395	5	φ(t)∥f∥ṁp	φ(t)∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	395	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	395	7	r	r	PROPN
ejde-1590	395	8	φ	φ	NOUN
ejde-1590	395	9	≲	≲	PROPN
ejde-1590	395	10	φ(t)∥f∥ṁp	φ(t)∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	395	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	395	12	r	r	NOUN
ejde-1590	395	13	φ	φ	PROPN
ejde-1590	395	14	.	.	PUNCT
ejde-1590	396	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	396	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	396	3	we	we	PRON
ejde-1590	396	4	deduce	deduce	VERB
ejde-1590	396	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	396	6	∥h∗(f2)∥lp	∥h∗(f2)∥lp	PROPN
ejde-1590	396	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	396	8	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	396	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	396	10	≲	≲	PROPN
ejde-1590	396	11	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	396	12	/	/	SYM
ejde-1590	396	13	pφ(t)∥f∥ṁp	pφ(t)∥f∥ṁp	PROPN
ejde-1590	396	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	396	15	r	r	NOUN
ejde-1590	396	16	φ	φ	NOUN
ejde-1590	396	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	397	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	397	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1590	397	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	397	4	combing	combing	NOUN
ejde-1590	397	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	397	6	3.3	3.3	NUM
ejde-1590	397	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	397	8	and	and	CCONJ
ejde-1590	397	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	397	10	3.4	3.4	NUM
ejde-1590	397	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	397	12	yields	yield	VERB
ejde-1590	397	13	the	the	DET
ejde-1590	397	14	desired	desire	VERB
ejde-1590	397	15	result	result	NOUN
ejde-1590	397	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	398	1	the	the	DET
ejde-1590	398	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	398	3	is	be	AUX
ejde-1590	398	4	complete	complete	ADJ
ejde-1590	398	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	399	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	399	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	399	3	of	of	ADP
ejde-1590	399	4	corollary	corollary	NOUN
ejde-1590	399	5	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	399	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	400	1	the	the	DET
ejde-1590	400	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	400	3	of	of	ADP
ejde-1590	400	4	part	part	NOUN
ejde-1590	400	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	400	6	a	a	PRON
ejde-1590	400	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	400	8	follows	follow	VERB
ejde-1590	400	9	from	from	ADP
ejde-1590	400	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	400	11	1.16	1.16	NUM
ejde-1590	400	12	and	and	CCONJ
ejde-1590	400	13	remark	remark	VERB
ejde-1590	400	14	1.6	1.6	NUM
ejde-1590	400	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	401	1	it	it	PRON
ejde-1590	401	2	remains	remain	VERB
ejde-1590	401	3	to	to	PART
ejde-1590	401	4	prove	prove	VERB
ejde-1590	401	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	401	6	b	b	NOUN
ejde-1590	401	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	401	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	402	1	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	402	2	to	to	ADP
ejde-1590	402	3	duality	duality	NOUN
ejde-1590	402	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	402	5	for	for	ADP
ejde-1590	402	6	every	every	DET
ejde-1590	402	7	f	f	PROPN
ejde-1590	402	8	∈	∈	PROPN
ejde-1590	402	9	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	402	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	402	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	402	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	402	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	402	14	we	we	PRON
ejde-1590	402	15	have	have	AUX
ejde-1590	402	16	∥h(f)∥	∥h(f)∥	VERB
ejde-1590	402	17	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	402	18	φ	φ	NOUN
ejde-1590	402	19	=	=	SYM
ejde-1590	402	20	sup	sup	PROPN
ejde-1590	402	21	∥g∥	∥g∥	NUM
ejde-1590	402	22	˙cmop	˙cmop	NOUN
ejde-1590	402	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	402	24	r	r	NOUN
ejde-1590	402	25	φ	φ	NOUN
ejde-1590	402	26	=	=	SYM
ejde-1590	402	27	1	1	NUM
ejde-1590	402	28	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	402	29	∫	∫	PROPN
ejde-1590	402	30	h(f)(x)g(x	h(f)(x)g(x	NOUN
ejde-1590	402	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	402	32	dx	dx	PROPN
ejde-1590	402	33	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	403	1	=	=	SYM
ejde-1590	403	2	sup	sup	NOUN
ejde-1590	403	3	∥g∥	∥g∥	NUM
ejde-1590	403	4	˙cmop	˙cmop	NOUN
ejde-1590	403	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	403	6	r	r	NOUN
ejde-1590	403	7	φ	φ	NOUN
ejde-1590	403	8	=	=	SYM
ejde-1590	403	9	1	1	NUM
ejde-1590	403	10	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	403	11	∫	∫	PROPN
ejde-1590	403	12	f(x)h∗(g)(x	f(x)h∗(g)(x	PROPN
ejde-1590	403	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	403	14	dx	dx	PROPN
ejde-1590	403	15	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	403	16	≤	≤	NUM
ejde-1590	403	17	sup	sup	PROPN
ejde-1590	403	18	∥g∥	∥g∥	NUM
ejde-1590	403	19	˙cmop	˙cmop	NOUN
ejde-1590	403	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	403	21	r	r	NOUN
ejde-1590	403	22	φ	φ	NOUN
ejde-1590	403	23	=	=	SYM
ejde-1590	403	24	1	1	NUM
ejde-1590	403	25	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	403	26	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	403	27	φ	φ	PROPN
ejde-1590	403	28	∥h∗(g)∥	∥h∗(g)∥	PART
ejde-1590	404	1	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	405	1	p	p	X
ejde-1590	405	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	405	3	r	r	NOUN
ejde-1590	405	4	φ	φ	NOUN
ejde-1590	405	5	≲	≲	PROPN
ejde-1590	405	6	sup	sup	PROPN
ejde-1590	405	7	∥g∥	∥g∥	NUM
ejde-1590	405	8	˙cmop	˙cmop	NOUN
ejde-1590	405	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	405	10	r	r	NOUN
ejde-1590	405	11	φ	φ	NOUN
ejde-1590	405	12	=	=	SYM
ejde-1590	405	13	1	1	NUM
ejde-1590	405	14	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	405	15	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	405	16	φ	φ	PROPN
ejde-1590	405	17	∥g∥	∥g∥	PROPN
ejde-1590	405	18	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	406	1	p	p	X
ejde-1590	406	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	406	3	=	=	SYM
ejde-1590	406	4	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	406	5	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	406	6	φ	φ	PROPN
ejde-1590	406	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	407	1	hence	hence	ADV
ejde-1590	407	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	407	3	we	we	PRON
ejde-1590	407	4	conclude	conclude	VERB
ejde-1590	407	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	407	6	h	h	PROPN
ejde-1590	407	7	maps	map	VERB
ejde-1590	407	8	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	407	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	407	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	407	11	rn	rn	PROPN
ejde-1590	407	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	407	13	→	→	SYM
ejde-1590	407	14	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	407	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	407	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	407	17	rn	rn	PROPN
ejde-1590	407	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	407	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	408	1	similarly	similarly	ADV
ejde-1590	408	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	408	3	the	the	DET
ejde-1590	408	4	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-1590	408	5	also	also	ADV
ejde-1590	408	6	holds	hold	VERB
ejde-1590	408	7	for	for	ADP
ejde-1590	408	8	h∗.	h∗.	VERB
ejde-1590	408	9	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	408	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	408	11	we	we	PRON
ejde-1590	408	12	complete	complete	VERB
ejde-1590	408	13	the	the	DET
ejde-1590	408	14	proof	proof	NOUN
ejde-1590	408	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	409	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	409	2	12	12	NUM
ejde-1590	409	3	l.	l.	NOUN
ejde-1590	409	4	t.	t.	NOUN
ejde-1590	409	5	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	409	6	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	409	7	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	409	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	410	1	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	410	2	of	of	ADP
ejde-1590	410	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	410	4	operators	operator	NOUN
ejde-1590	410	5	in	in	ADP
ejde-1590	410	6	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	410	7	central	central	ADJ
ejde-1590	410	8	function	function	NOUN
ejde-1590	410	9	spaces	space	NOUN
ejde-1590	410	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	411	1	before	before	ADP
ejde-1590	411	2	proving	prove	VERB
ejde-1590	411	3	theorems	theorem	NOUN
ejde-1590	411	4	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	411	5	and	and	CCONJ
ejde-1590	411	6	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	411	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	411	8	we	we	PRON
ejde-1590	411	9	recall	recall	VERB
ejde-1590	411	10	a	a	DET
ejde-1590	411	11	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-1590	411	12	result	result	NOUN
ejde-1590	411	13	being	be	AUX
ejde-1590	411	14	useful	useful	ADJ
ejde-1590	411	15	for	for	ADP
ejde-1590	411	16	our	our	PRON
ejde-1590	411	17	argument	argument	NOUN
ejde-1590	411	18	later	later	ADV
ejde-1590	411	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	412	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	412	2	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	412	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	413	1	let	let	VERB
ejde-1590	413	2	1	1	NUM
ejde-1590	413	3	≤	≤	NOUN
ejde-1590	414	1	p	p	PRON
ejde-1590	414	2	<	<	X
ejde-1590	414	3	∞	∞	PROPN
ejde-1590	414	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	414	5	and	and	CCONJ
ejde-1590	414	6	k	k	PROPN
ejde-1590	414	7	≥	≥	NUM
ejde-1590	414	8	1	1	NUM
ejde-1590	414	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	415	1	for	for	ADP
ejde-1590	415	2	each	each	DET
ejde-1590	415	3	ball	ball	NOUN
ejde-1590	415	4	bt	bt	NOUN
ejde-1590	415	5	in	in	ADP
ejde-1590	415	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	415	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	415	8	we	we	PRON
ejde-1590	415	9	have∥∥b−	have∥∥b−	VERB
ejde-1590	415	10	bb	bb	NUM
ejde-1590	415	11	2kt	2kt	NOUN
ejde-1590	415	12	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-1590	416	1	lp	lp	ADJ
ejde-1590	416	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	416	3	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	416	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	416	5	≤	≤	NOUN
ejde-1590	416	6	2n(k	2n(k	PROPN
ejde-1590	417	1	+	+	CCONJ
ejde-1590	418	1	1)∥b∥	1)∥b∥	NUM
ejde-1590	418	2	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	419	1	p	p	X
ejde-1590	419	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	419	3	r	r	NOUN
ejde-1590	419	4	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	419	5	/	/	SYM
ejde-1590	419	6	p	p	NOUN
ejde-1590	419	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	420	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	420	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	421	1	for	for	ADP
ejde-1590	421	2	each	each	DET
ejde-1590	421	3	j	j	PROPN
ejde-1590	421	4	≥	≥	NUM
ejde-1590	421	5	1	1	NUM
ejde-1590	421	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	421	7	we	we	PRON
ejde-1590	421	8	observe	observe	VERB
ejde-1590	421	9	that	that	SCONJ
ejde-1590	421	10	|bb2j+1	|bb2j+1	NOUN
ejde-1590	421	11	t	t	NOUN
ejde-1590	421	12	−	−	NOUN
ejde-1590	421	13	bb2jt	bb2jt	NOUN
ejde-1590	421	14	|	|	ADV
ejde-1590	421	15	≤	≤	NUM
ejde-1590	421	16	1	1	NUM
ejde-1590	421	17	|b2jt|	|b2jt|	NOUN
ejde-1590	421	18	∫	∫	PROPN
ejde-1590	421	19	b2jt	b2jt	X
ejde-1590	421	20	|b(y)−	|b(y)−	PROPN
ejde-1590	421	21	bb2j+1	bb2j+1	PROPN
ejde-1590	421	22	t	t	NOUN
ejde-1590	421	23	|	|	NOUN
ejde-1590	421	24	dy	dy	VERB
ejde-1590	421	25	≤	≤	NOUN
ejde-1590	421	26	|b2j+1t|	|b2j+1t|	PROPN
ejde-1590	421	27	|b2jt|	|b2jt|	NOUN
ejde-1590	421	28	1	1	NUM
ejde-1590	421	29	|b2j+1t|	|b2j+1t|	PROPN
ejde-1590	421	30	∫	∫	PROPN
ejde-1590	422	1	b2j+1	b2j+1	PROPN
ejde-1590	422	2	t	t	PROPN
ejde-1590	422	3	∣∣b(y)−	∣∣b(y)−	PROPN
ejde-1590	422	4	bb2j+1	bb2j+1	PROPN
ejde-1590	422	5	t	t	X
ejde-1590	422	6	∣∣	∣∣	PUNCT
ejde-1590	422	7	dy	dy	VERB
ejde-1590	422	8	≤	≤	NUM
ejde-1590	422	9	2n∥b∥	2n∥b∥	NUM
ejde-1590	422	10	˙cmo	˙cmo	SYM
ejde-1590	422	11	1	1	NUM
ejde-1590	422	12	≤	≤	NOUN
ejde-1590	422	13	2n∥b∥	2n∥b∥	NUM
ejde-1590	422	14	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	423	1	p	p	X
ejde-1590	423	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	423	3	r	r	NOUN
ejde-1590	423	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	424	1	from	from	ADP
ejde-1590	424	2	this	this	DET
ejde-1590	424	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	424	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	424	5	we	we	PRON
ejde-1590	424	6	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	424	7	∥b−	∥b−	NUM
ejde-1590	424	8	bb	bb	NUM
ejde-1590	424	9	2kt	2kt	NOUN
ejde-1590	425	1	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	425	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	425	3	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	425	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	425	5	≤	≤	NOUN
ejde-1590	426	1	∥b−	∥b−	NUM
ejde-1590	426	2	bbt	bbt	PROPN
ejde-1590	426	3	∥lp	∥lp	PROPN
ejde-1590	426	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	426	5	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	426	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	426	7	+	+	CCONJ
ejde-1590	426	8	k−1∑	k−1∑	PROPN
ejde-1590	426	9	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	426	10	∥bb2jt	∥bb2jt	PROPN
ejde-1590	426	11	−	−	PROPN
ejde-1590	426	12	bb2j+1	bb2j+1	PROPN
ejde-1590	426	13	t	t	X
ejde-1590	426	14	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	426	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	426	16	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	426	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	426	18	≤	≤	NOUN
ejde-1590	426	19	|bt|1	|bt|1	PUNCT
ejde-1590	426	20	/	/	SYM
ejde-1590	426	21	p	p	X
ejde-1590	426	22	∥b−	∥b−	PROPN
ejde-1590	426	23	bbt	bbt	PROPN
ejde-1590	426	24	∥lp	∥lp	PROPN
ejde-1590	426	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	426	26	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	426	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	426	28	|bt|1	|bt|1	PUNCT
ejde-1590	426	29	/	/	SYM
ejde-1590	426	30	p	p	X
ejde-1590	426	31	+	+	CCONJ
ejde-1590	426	32	k−1∑	k−1∑	PROPN
ejde-1590	426	33	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	426	34	|bb2jt	|bb2jt	PROPN
ejde-1590	426	35	−	−	NUM
ejde-1590	426	36	bb2j+1	bb2j+1	SYM
ejde-1590	426	37	t	t	NOUN
ejde-1590	426	38	||bt|1	||bt|1	PROPN
ejde-1590	426	39	/	/	SYM
ejde-1590	426	40	p	p	NOUN
ejde-1590	426	41	≤	≤	NUM
ejde-1590	426	42	2n(k	2n(k	PROPN
ejde-1590	427	1	+	+	CCONJ
ejde-1590	427	2	1)∥b∥	1)∥b∥	NUM
ejde-1590	427	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	428	1	p	p	X
ejde-1590	428	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	428	3	r	r	NOUN
ejde-1590	428	4	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	428	5	/	/	SYM
ejde-1590	428	6	p	p	NOUN
ejde-1590	428	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	429	1	the	the	DET
ejde-1590	429	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	429	3	is	be	AUX
ejde-1590	429	4	complete	complete	ADJ
ejde-1590	429	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	430	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	430	2	next	next	ADV
ejde-1590	430	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	430	4	we	we	PRON
ejde-1590	430	5	estimate	estimate	VERB
ejde-1590	430	6	∥1br	∥1br	NOUN
ejde-1590	430	7	∥ṁp	∥ṁp	PUNCT
ejde-1590	430	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	430	9	r	r	NOUN
ejde-1590	430	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	430	11	for	for	ADP
ejde-1590	430	12	each	each	DET
ejde-1590	430	13	ball	ball	NOUN
ejde-1590	430	14	br	br	NOUN
ejde-1590	430	15	in	in	ADP
ejde-1590	430	16	rn	rn	PROPN
ejde-1590	430	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	431	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	431	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	431	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	431	4	suppose	suppose	VERB
ejde-1590	431	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	431	6	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	431	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	431	8	is	be	AUX
ejde-1590	431	9	non	non	ADJ
ejde-1590	431	10	-	-	ADJ
ejde-1590	431	11	increasing	increase	VERB
ejde-1590	431	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	431	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	431	14	t	t	PROPN
ejde-1590	431	15	n	n	CCONJ
ejde-1590	431	16	p	p	PROPN
ejde-1590	431	17	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	431	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	431	19	is	be	AUX
ejde-1590	431	20	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-1590	431	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	432	1	then	then	ADV
ejde-1590	432	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	432	3	for	for	ADP
ejde-1590	432	4	any	any	DET
ejde-1590	432	5	ball	ball	NOUN
ejde-1590	432	6	br	br	NOUN
ejde-1590	432	7	in	in	ADP
ejde-1590	432	8	rn	rn	PROPN
ejde-1590	432	9	we	we	PRON
ejde-1590	432	10	have	have	VERB
ejde-1590	432	11	∥1br∥ṁp	∥1br∥ṁp	PROPN
ejde-1590	432	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	432	13	r	r	NOUN
ejde-1590	432	14	φ	φ	NOUN
ejde-1590	432	15	=	=	SYM
ejde-1590	432	16	1	1	NUM
ejde-1590	432	17	φ(r	φ(r	ADJ
ejde-1590	432	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	432	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	433	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	433	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	434	1	we	we	PRON
ejde-1590	434	2	consider	consider	VERB
ejde-1590	434	3	the	the	DET
ejde-1590	434	4	term	term	NOUN
ejde-1590	434	5	i(t	i(t	PROPN
ejde-1590	434	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	434	7	:	:	PUNCT
ejde-1590	434	8	=	=	SYM
ejde-1590	434	9	∥1br∥lp	∥1br∥lp	NOUN
ejde-1590	434	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	434	11	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	434	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	434	13	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	434	14	/	/	SYM
ejde-1590	434	15	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	434	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	434	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	434	18	t	t	X
ejde-1590	434	19	>	>	X
ejde-1590	434	20	0	0	X
ejde-1590	434	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	435	1	if	if	SCONJ
ejde-1590	435	2	t	t	NOUN
ejde-1590	435	3	≤	≤	NOUN
ejde-1590	435	4	r	r	NOUN
ejde-1590	435	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	435	6	then	then	ADV
ejde-1590	435	7	since	since	SCONJ
ejde-1590	435	8	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	435	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	435	10	is	be	AUX
ejde-1590	435	11	nonincreasing	nonincrease	VERB
ejde-1590	435	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	435	13	then	then	ADV
ejde-1590	435	14	we	we	PRON
ejde-1590	435	15	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	435	16	i(t	i(t	NOUN
ejde-1590	435	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	435	18	=	=	PUNCT
ejde-1590	436	1	|br	|br	NUM
ejde-1590	436	2	∩bt|1	∩bt|1	NOUN
ejde-1590	436	3	/	/	SYM
ejde-1590	436	4	p	p	NOUN
ejde-1590	436	5	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	436	6	/	/	SYM
ejde-1590	436	7	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	436	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	436	9	=	=	SYM
ejde-1590	436	10	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	436	11	/	/	SYM
ejde-1590	436	12	p	p	NOUN
ejde-1590	436	13	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	436	14	/	/	SYM
ejde-1590	436	15	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	436	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	436	17	≤	≤	NOUN
ejde-1590	436	18	1	1	NUM
ejde-1590	436	19	φ(r	φ(r	NOUN
ejde-1590	436	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	436	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	437	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1590	437	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	437	3	it	it	PRON
ejde-1590	437	4	follows	follow	VERB
ejde-1590	437	5	from	from	ADP
ejde-1590	437	6	the	the	DET
ejde-1590	437	7	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1590	437	8	of	of	ADP
ejde-1590	437	9	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	437	10	/	/	SYM
ejde-1590	437	11	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	437	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	437	13	that	that	SCONJ
ejde-1590	437	14	i(t	i(t	NOUN
ejde-1590	437	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	437	16	≤	≤	NOUN
ejde-1590	437	17	|br|1	|br|1	PUNCT
ejde-1590	437	18	/	/	SYM
ejde-1590	437	19	p	p	NOUN
ejde-1590	437	20	|br|1	|br|1	NOUN
ejde-1590	437	21	/	/	SYM
ejde-1590	437	22	pφ(r	pφ(r	NUM
ejde-1590	437	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	437	24	≤	≤	NOUN
ejde-1590	437	25	1	1	NUM
ejde-1590	437	26	φ(r	φ(r	NOUN
ejde-1590	437	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	437	28	.	.	PUNCT
ejde-1590	438	1	combining	combine	VERB
ejde-1590	438	2	the	the	DET
ejde-1590	438	3	two	two	NUM
ejde-1590	438	4	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	438	5	yields	yield	VERB
ejde-1590	438	6	∥1br	∥1br	NOUN
ejde-1590	438	7	∥ṁp	∥ṁp	NUM
ejde-1590	438	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	438	9	r	r	NOUN
ejde-1590	438	10	φ	φ	NOUN
ejde-1590	438	11	≤	≤	NUM
ejde-1590	438	12	1	1	NUM
ejde-1590	438	13	φ(r	φ(r	ADJ
ejde-1590	438	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	438	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	439	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	439	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1590	439	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	439	4	the	the	DET
ejde-1590	439	5	reverse	reverse	NOUN
ejde-1590	439	6	of	of	ADP
ejde-1590	439	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	439	8	3.5	3.5	NUM
ejde-1590	439	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	439	10	is	be	AUX
ejde-1590	439	11	obvious	obvious	ADJ
ejde-1590	439	12	since	since	SCONJ
ejde-1590	439	13	i(r	i(r	PROPN
ejde-1590	439	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	439	15	=	=	SYM
ejde-1590	439	16	1	1	NUM
ejde-1590	439	17	φ(r	φ(r	ADJ
ejde-1590	439	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	439	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	440	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	440	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	440	3	the	the	DET
ejde-1590	440	4	desired	desire	VERB
ejde-1590	440	5	result	result	NOUN
ejde-1590	440	6	follows	follow	VERB
ejde-1590	440	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	441	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	441	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	441	3	of	of	ADP
ejde-1590	441	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	441	5	1.19	1.19	NUM
ejde-1590	441	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	442	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	442	2	a	a	X
ejde-1590	442	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	442	4	fix	fix	VERB
ejde-1590	442	5	a	a	DET
ejde-1590	442	6	ball	ball	NOUN
ejde-1590	442	7	bt	bt	NOUN
ejde-1590	442	8	in	in	ADP
ejde-1590	442	9	rn	rn	PROPN
ejde-1590	442	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	443	1	we	we	PRON
ejde-1590	443	2	write	write	VERB
ejde-1590	443	3	[	[	X
ejde-1590	443	4	b	b	PROPN
ejde-1590	443	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	443	6	h](f	h](f	NUM
ejde-1590	443	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	443	8	=	=	PUNCT
ejde-1590	444	1	[	[	X
ejde-1590	444	2	b	b	PROPN
ejde-1590	444	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	444	4	h](f1	h](f1	NOUN
ejde-1590	444	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	445	1	+	+	CCONJ
ejde-1590	446	1	[	[	X
ejde-1590	446	2	b	b	X
ejde-1590	446	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	446	4	h](f2	h](f2	NOUN
ejde-1590	446	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	446	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	446	7	with	with	ADP
ejde-1590	446	8	f1	f1	PROPN
ejde-1590	446	9	=	=	SYM
ejde-1590	446	10	f1bt	f1bt	PUNCT
ejde-1590	446	11	and	and	CCONJ
ejde-1590	446	12	f2	f2	PROPN
ejde-1590	446	13	=	=	SYM
ejde-1590	446	14	f1bc	f1bc	PROPN
ejde-1590	446	15	t	t	PROPN
ejde-1590	446	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	447	1	since	since	SCONJ
ejde-1590	447	2	[	[	X
ejde-1590	447	3	b	b	X
ejde-1590	447	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	5	h	h	NOUN
ejde-1590	447	6	]	]	PUNCT
ejde-1590	447	7	maps	map	VERB
ejde-1590	447	8	lp	lp	NOUN
ejde-1590	447	9	→	→	SYM
ejde-1590	447	10	lp	lp	PROPN
ejde-1590	447	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	12	we	we	PRON
ejde-1590	447	13	have	have	VERB
ejde-1590	447	14	∥[b	∥[b	NOUN
ejde-1590	447	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	16	h](f1)∥lp	h](f1)∥lp	PROPN
ejde-1590	447	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	18	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	447	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	447	20	≲	≲	PROPN
ejde-1590	447	21	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	447	22	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	447	23	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	447	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	25	p′},r∥f1∥lp	p′},r∥f1∥lp	NOUN
ejde-1590	447	26	=	=	SYM
ejde-1590	447	27	∥b∥	∥b∥	NUM
ejde-1590	447	28	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	447	29	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	447	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	31	p′},r∥f∥lp	p′},r∥f∥lp	NOUN
ejde-1590	447	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	447	33	r(b2	r(b2	NOUN
ejde-1590	447	34	t	t	PROPN
ejde-1590	447	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	447	36	.	.	PUNCT
ejde-1590	448	1	it	it	PRON
ejde-1590	448	2	follows	follow	VERB
ejde-1590	448	3	from	from	ADP
ejde-1590	448	4	the	the	DET
ejde-1590	448	5	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1590	448	6	of	of	ADP
ejde-1590	448	7	φ	φ	PROPN
ejde-1590	448	8	that	that	PRON
ejde-1590	448	9	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	448	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	448	11	h](f1)∥lp	h](f1)∥lp	PROPN
ejde-1590	448	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	448	13	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	448	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	448	15	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	448	16	/	/	SYM
ejde-1590	448	17	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	448	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	449	1	≲	≲	PROPN
ejde-1590	449	2	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	449	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	449	4	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	449	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	449	6	p′},r	p′},r	PROPN
ejde-1590	449	7	∥f∥lp	∥f∥lp	PROPN
ejde-1590	449	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	449	9	r(b2	r(b2	NOUN
ejde-1590	449	10	t	t	PROPN
ejde-1590	449	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	449	12	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	449	13	/	/	SYM
ejde-1590	449	14	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	449	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	449	16	≤	≤	NOUN
ejde-1590	450	1	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	450	2	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	450	3	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	450	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	450	5	p′},r∥f∥ṁp	p′},r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	450	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	450	7	r	r	PROPN
ejde-1590	450	8	φ	φ	PROPN
ejde-1590	450	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	451	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	451	2	3.6	3.6	NUM
ejde-1590	451	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	451	4	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	451	5	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	451	6	operators	operator	NOUN
ejde-1590	451	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	451	8	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	451	9	13	13	NUM
ejde-1590	451	10	next	next	ADV
ejde-1590	451	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	451	12	for	for	ADP
ejde-1590	451	13	any	any	DET
ejde-1590	451	14	x	x	SYM
ejde-1590	451	15	∈	∈	PROPN
ejde-1590	451	16	bt	bt	NOUN
ejde-1590	451	17	we	we	PRON
ejde-1590	451	18	observe	observe	VERB
ejde-1590	451	19	that	that	SCONJ
ejde-1590	452	1	[	[	X
ejde-1590	452	2	b	b	NOUN
ejde-1590	452	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	452	4	h](f2)(x	h](f2)(x	PROPN
ejde-1590	452	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	452	6	=	=	PUNCT
ejde-1590	453	1	0	0	X
ejde-1590	453	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	454	1	a	a	DET
ejde-1590	454	2	combination	combination	NOUN
ejde-1590	454	3	of	of	ADP
ejde-1590	454	4	this	this	DET
ejde-1590	454	5	fact	fact	NOUN
ejde-1590	454	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	454	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	454	8	(	(	PUNCT
ejde-1590	454	9	3.6	3.6	NUM
ejde-1590	454	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	454	11	provides	provide	VERB
ejde-1590	454	12	us	we	PRON
ejde-1590	454	13	with	with	ADP
ejde-1590	454	14	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	454	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	454	16	h](f)∥lp	h](f)∥lp	NOUN
ejde-1590	454	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	454	18	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	454	19	)	)	PUNCT
ejde-1590	454	20	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	454	21	/	/	SYM
ejde-1590	454	22	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	454	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	454	24	=	=	SYM
ejde-1590	454	25	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	454	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	454	27	h(f1)∥lp	h(f1)∥lp	NOUN
ejde-1590	454	28	,	,	PUNCT
ejde-1590	454	29	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	454	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	454	31	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	454	32	/	/	SYM
ejde-1590	454	33	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	454	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	455	1	≲	≲	PROPN
ejde-1590	455	2	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	455	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	455	4	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	455	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	455	6	p′},r∥f∥ṁp	p′},r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	455	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	455	8	r	r	PROPN
ejde-1590	455	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	455	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	456	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	456	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	456	3	we	we	PRON
ejde-1590	456	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	456	5	the	the	DET
ejde-1590	456	6	desired	desire	VERB
ejde-1590	456	7	result	result	NOUN
ejde-1590	456	8	in	in	ADP
ejde-1590	456	9	part	part	NOUN
ejde-1590	456	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	456	11	a	a	NOUN
ejde-1590	456	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	456	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	457	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	457	2	b	b	X
ejde-1590	457	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	457	4	since	since	SCONJ
ejde-1590	457	5	[	[	X
ejde-1590	457	6	b	b	X
ejde-1590	457	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	457	8	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	457	9	]	]	PUNCT
ejde-1590	457	10	maps	map	VERB
ejde-1590	457	11	lp	lp	NOUN
ejde-1590	457	12	→	→	SYM
ejde-1590	457	13	lp	lp	PROPN
ejde-1590	457	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	457	15	then	then	ADV
ejde-1590	457	16	we	we	PRON
ejde-1590	457	17	can	can	AUX
ejde-1590	457	18	mimic	mimic	VERB
ejde-1590	457	19	the	the	DET
ejde-1590	457	20	proof	proof	NOUN
ejde-1590	457	21	of	of	ADP
ejde-1590	457	22	(	(	PUNCT
ejde-1590	457	23	3.6	3.6	NUM
ejde-1590	457	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	457	25	to	to	PART
ejde-1590	457	26	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	457	27	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	457	28	,	,	PUNCT
ejde-1590	457	29	h∗](f1)∥lp	h∗](f1)∥lp	PROPN
ejde-1590	457	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	457	31	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	457	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	457	33	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	457	34	/	/	SYM
ejde-1590	457	35	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	457	36	)	)	PUNCT
ejde-1590	458	1	≲	≲	PROPN
ejde-1590	458	2	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	458	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	458	4	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	458	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	458	6	p′},r∥f∥ṁp	p′},r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	458	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	458	8	r	r	PROPN
ejde-1590	458	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	458	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	459	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	459	2	3.7	3.7	NUM
ejde-1590	459	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	459	4	concerning	concern	VERB
ejde-1590	459	5	f2	f2	PROPN
ejde-1590	459	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	459	7	we	we	PRON
ejde-1590	459	8	write	write	VERB
ejde-1590	459	9	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	459	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	459	11	h∗](f2)∥lp	h∗](f2)∥lp	NOUN
ejde-1590	459	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	459	13	r(bt	r(bt	X
ejde-1590	459	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	459	15	=	=	PUNCT
ejde-1590	460	1	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	460	2	1	1	NUM
ejde-1590	460	3	νn	νn	X
ejde-1590	460	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	460	5	|y|≥2	|y|≥2	PROPN
ejde-1590	460	6	t	t	PROPN
ejde-1590	460	7	(	(	PUNCT
ejde-1590	460	8	b(x)−	b(x)−	PROPN
ejde-1590	460	9	b(y	b(y	PROPN
ejde-1590	460	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	12	f(y	f(y	NOUN
ejde-1590	460	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	14	|y|n	|y|n	PROPN
ejde-1590	460	15	dy	dy	X
ejde-1590	460	16	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-1590	460	17	lp	lp	NOUN
ejde-1590	460	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	460	19	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	460	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	21	≤	≤	PUNCT
ejde-1590	460	22	∥∥	∥∥	VERB
ejde-1590	460	23	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	460	24	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	460	25	(	(	PUNCT
ejde-1590	460	26	2kt)−n	2kt)−n	PROPN
ejde-1590	460	27	∫	∫	PROPN
ejde-1590	460	28	{	{	PUNCT
ejde-1590	460	29	2kt≤|y|<2k+1	2kt≤|y|<2k+1	NUM
ejde-1590	460	30	t	t	NOUN
ejde-1590	460	31	}	}	PUNCT
ejde-1590	460	32	|b(x)−	|b(x)−	NOUN
ejde-1590	460	33	bb	bb	NUM
ejde-1590	460	34	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	460	35	t	t	NOUN
ejde-1590	460	36	|	|	ADV
ejde-1590	460	37	|f(y)|	|f(y)|	PROPN
ejde-1590	460	38	dy	dy	X
ejde-1590	460	39	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-1590	460	40	lp	lp	NOUN
ejde-1590	460	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	460	42	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	460	43	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	44	+	+	NUM
ejde-1590	460	45	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	460	46	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	460	47	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	460	48	(	(	PUNCT
ejde-1590	460	49	2kt)−n	2kt)−n	PROPN
ejde-1590	460	50	∫	∫	PROPN
ejde-1590	460	51	{	{	PUNCT
ejde-1590	460	52	2kt≤|y|<2k+1	2kt≤|y|<2k+1	NUM
ejde-1590	460	53	t	t	NOUN
ejde-1590	460	54	}	}	PUNCT
ejde-1590	460	55	|b(y)−	|b(y)−	VERB
ejde-1590	460	56	bb	bb	NUM
ejde-1590	460	57	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	460	58	t	t	NOUN
ejde-1590	460	59	|	|	ADV
ejde-1590	460	60	|f(y)|	|f(y)|	PROPN
ejde-1590	460	61	dy	dy	X
ejde-1590	460	62	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-1590	460	63	lp	lp	NOUN
ejde-1590	460	64	,	,	PUNCT
ejde-1590	460	65	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	460	66	)	)	PUNCT
ejde-1590	460	67	:	:	PUNCT
ejde-1590	460	68	=	=	PROPN
ejde-1590	460	69	i1	i1	PROPN
ejde-1590	460	70	+	+	CCONJ
ejde-1590	460	71	i2	i2	PROPN
ejde-1590	460	72	.	.	PUNCT
ejde-1590	461	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	461	2	3.8	3.8	NUM
ejde-1590	461	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	461	4	we	we	PRON
ejde-1590	461	5	first	first	ADV
ejde-1590	461	6	treat	treat	VERB
ejde-1590	461	7	i1	i1	PROPN
ejde-1590	461	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	462	1	applying	apply	VERB
ejde-1590	462	2	the	the	DET
ejde-1590	462	3	triangle	triangle	NOUN
ejde-1590	462	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	462	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	462	6	minkowski	minkowski	PROPN
ejde-1590	462	7	’s	’s	PART
ejde-1590	462	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	462	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	462	10	and	and	CCONJ
ejde-1590	462	11	the	the	DET
ejde-1590	462	12	hölder	hölder	NOUN
ejde-1590	462	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	462	14	yields	yield	VERB
ejde-1590	462	15	i1	i1	PROPN
ejde-1590	462	16	≤	≤	NUM
ejde-1590	463	1	∞∑	∞∑	PRON
ejde-1590	463	2	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	463	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	463	4	2kt)−n	2kt)−n	PROPN
ejde-1590	463	5	∫	∫	PROPN
ejde-1590	463	6	{	{	PUNCT
ejde-1590	463	7	2kt≤|y|<2k+1	2kt≤|y|<2k+1	NUM
ejde-1590	463	8	t	t	NOUN
ejde-1590	463	9	}	}	PUNCT
ejde-1590	463	10	∥b−	∥b−	NUM
ejde-1590	463	11	bb	bb	NUM
ejde-1590	463	12	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	463	13	t	t	NOUN
ejde-1590	463	14	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	463	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	463	16	r(bt)|f(y)|	r(bt)|f(y)|	NOUN
ejde-1590	463	17	dy	dy	NOUN
ejde-1590	463	18	≲	≲	PROPN
ejde-1590	463	19	∞∑	∞∑	PROPN
ejde-1590	463	20	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	463	21	|b2k+1t|−1∥b−	|b2k+1t|−1∥b−	PROPN
ejde-1590	463	22	bb	bb	NUM
ejde-1590	463	23	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	463	24	t	t	NOUN
ejde-1590	463	25	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	463	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	463	27	r(bt)∥f∥lp(b	r(bt)∥f∥lp(b	NOUN
ejde-1590	463	28	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	463	29	t	t	NOUN
ejde-1590	463	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	464	1	|b2k+1t|	|b2k+1t|	PROPN
ejde-1590	464	2	1	1	NUM
ejde-1590	464	3	p′	p′	NOUN
ejde-1590	464	4	≤	≤	NOUN
ejde-1590	464	5	∞∑	∞∑	PRON
ejde-1590	464	6	k=0	k=0	PUNCT
ejde-1590	464	7	∥b−	∥b−	NUM
ejde-1590	464	8	bb	bb	NUM
ejde-1590	464	9	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	464	10	t	t	NOUN
ejde-1590	464	11	∥lp	∥lp	NOUN
ejde-1590	464	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	464	13	r(bt)φ(2	r(bt)φ(2	ADJ
ejde-1590	464	14	k+1t)∥f∥ṁp	k+1t)∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	464	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	464	16	r	r	NOUN
ejde-1590	464	17	φ	φ	NOUN
ejde-1590	464	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	465	1	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	465	2	to	to	ADP
ejde-1590	465	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	465	4	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	465	5	and	and	CCONJ
ejde-1590	465	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	465	7	1.20	1.20	NUM
ejde-1590	465	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	465	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	465	10	we	we	PRON
ejde-1590	465	11	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	465	12	from	from	ADP
ejde-1590	465	13	the	the	DET
ejde-1590	465	14	last	last	ADJ
ejde-1590	465	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	465	16	that	that	SCONJ
ejde-1590	465	17	i1	i1	PROPN
ejde-1590	465	18	≲	≲	PROPN
ejde-1590	465	19	∞∑	∞∑	PROPN
ejde-1590	465	20	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	465	21	2n(k	2n(k	PROPN
ejde-1590	466	1	+	+	CCONJ
ejde-1590	466	2	2)∥b∥	2)∥b∥	NUM
ejde-1590	466	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	467	1	p	p	X
ejde-1590	467	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	467	3	r	r	NOUN
ejde-1590	467	4	|bt|1	|bt|1	NOUN
ejde-1590	467	5	/	/	SYM
ejde-1590	467	6	pdk+1	pdk+1	NOUN
ejde-1590	467	7	0	0	NUM
ejde-1590	467	8	φ(t)∥f∥ṁp	φ(t)∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	467	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	467	10	r	r	NOUN
ejde-1590	467	11	φ	φ	NOUN
ejde-1590	467	12	≲	≲	PROPN
ejde-1590	467	13	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	467	14	/	/	SYM
ejde-1590	467	15	pφ(t)∥b∥	pφ(t)∥b∥	NOUN
ejde-1590	467	16	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	468	1	p	p	X
ejde-1590	468	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	468	3	r∥f∥ṁp	r∥f∥ṁp	NUM
ejde-1590	468	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	468	5	r	r	NOUN
ejde-1590	468	6	φ	φ	NOUN
ejde-1590	468	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	469	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	469	2	3.9	3.9	NUM
ejde-1590	469	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	469	4	note	note	VERB
ejde-1590	469	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	469	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	469	7	3.9	3.9	NUM
ejde-1590	469	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	469	9	was	be	AUX
ejde-1590	469	10	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	469	11	from	from	ADP
ejde-1590	469	12	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	469	13	k=0(k	k=0(k	X
ejde-1590	469	14	+	+	X
ejde-1590	469	15	2)dk+1	2)dk+1	NUM
ejde-1590	469	16	0	0	PUNCT
ejde-1590	470	1	<	<	X
ejde-1590	470	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	470	3	for	for	ADP
ejde-1590	470	4	i2	i2	PROPN
ejde-1590	470	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	470	6	we	we	PRON
ejde-1590	470	7	use	use	VERB
ejde-1590	470	8	hölder	hölder	NOUN
ejde-1590	470	9	’s	’s	PART
ejde-1590	470	10	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	470	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	470	12	and	and	CCONJ
ejde-1590	470	13	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	470	14	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	470	15	to	to	PART
ejde-1590	470	16	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	470	17	i2	i2	PROPN
ejde-1590	470	18	≤	≤	NOUN
ejde-1590	470	19	∥∥	∥∥	VERB
ejde-1590	470	20	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	470	21	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	470	22	(	(	PUNCT
ejde-1590	470	23	2kt)−n∥b−	2kt)−n∥b−	NUM
ejde-1590	470	24	bb	bb	NUM
ejde-1590	470	25	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	470	26	t	t	NOUN
ejde-1590	470	27	∥lp′,r(b	∥lp′,r(b	NOUN
ejde-1590	470	28	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	470	29	t	t	NOUN
ejde-1590	470	30	)	)	PUNCT
ejde-1590	470	31	∥f∥lp	∥f∥lp	PROPN
ejde-1590	470	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	470	33	r(b	r(b	NOUN
ejde-1590	470	34	2k+1	2k+1	NOUN
ejde-1590	470	35	t	t	NOUN
ejde-1590	470	36	)	)	PUNCT
ejde-1590	470	37	∥∥	∥∥	X
ejde-1590	471	1	lp	lp	ADJ
ejde-1590	471	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	471	3	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	471	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	471	5	≲	≲	PROPN
ejde-1590	472	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	472	2	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	472	3	∥b−	∥b−	NUM
ejde-1590	472	4	bb	bb	NUM
ejde-1590	472	5	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	472	6	t	t	NOUN
ejde-1590	472	7	∥lp′,r(b	∥lp′,r(b	NOUN
ejde-1590	472	8	2k+1	2k+1	PROPN
ejde-1590	472	9	t	t	NOUN
ejde-1590	472	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	473	1	|b2k+1t|	|b2k+1t|	ADP
ejde-1590	473	2	1	1	NUM
ejde-1590	473	3	p′	p′	NUM
ejde-1590	473	4	∥f∥lp	∥f∥lp	PROPN
ejde-1590	473	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	473	6	r(b	r(b	NOUN
ejde-1590	473	7	2k+1	2k+1	NOUN
ejde-1590	473	8	t	t	NOUN
ejde-1590	473	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	474	1	|b2k+1t|1	|b2k+1t|1	ADV
ejde-1590	474	2	/	/	SYM
ejde-1590	474	3	pφ(2k+1	pφ(2k+1	NUM
ejde-1590	474	4	t	t	NOUN
ejde-1590	474	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	474	6	φ(2k+1t)|bt|1	φ(2k+1t)|bt|1	X
ejde-1590	474	7	/	/	SYM
ejde-1590	474	8	p	p	X
ejde-1590	474	9	≤	≤	NOUN
ejde-1590	475	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	475	2	k=0	k=0	PROPN
ejde-1590	475	3	∥b∥	∥b∥	ADJ
ejde-1590	475	4	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	476	1	p′,r∥f∥ṁp	p′,r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	476	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	476	3	r	r	PROPN
ejde-1590	476	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	476	5	dk+1	dk+1	X
ejde-1590	476	6	0	0	NUM
ejde-1590	476	7	φ(t)|bt|1	φ(t)|bt|1	PROPN
ejde-1590	476	8	/	/	SYM
ejde-1590	476	9	p	p	VERB
ejde-1590	476	10	≲	≲	PROPN
ejde-1590	476	11	|bt|1	|bt|1	PROPN
ejde-1590	476	12	/	/	SYM
ejde-1590	476	13	pφ(t)∥b∥	pφ(t)∥b∥	NOUN
ejde-1590	476	14	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	477	1	p′,r∥f∥ṁp	p′,r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	477	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	477	3	r	r	PROPN
ejde-1590	477	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	477	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	478	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	478	2	3.10	3.10	NUM
ejde-1590	478	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	478	4	combining	combine	VERB
ejde-1590	478	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	478	6	3.8	3.8	NUM
ejde-1590	478	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	478	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	478	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	478	10	3.9	3.9	NUM
ejde-1590	478	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	478	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	478	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	478	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	478	15	3.10	3.10	NUM
ejde-1590	478	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	478	17	yields	yield	NOUN
ejde-1590	478	18	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	478	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	478	20	h∗](f2)∥lp	h∗](f2)∥lp	NOUN
ejde-1590	478	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	478	22	r(bt	r(bt	NOUN
ejde-1590	478	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	478	24	|bt|1	|bt|1	SYM
ejde-1590	478	25	/	/	SYM
ejde-1590	478	26	pφ(t	pφ(t	NUM
ejde-1590	478	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	479	1	≲	≲	PROPN
ejde-1590	479	2	∥b∥	∥b∥	VERB
ejde-1590	479	3	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	479	4	max{p	max{p	NOUN
ejde-1590	479	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	479	6	p′},r∥f∥ṁp	p′},r∥f∥ṁp	NOUN
ejde-1590	479	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	479	8	r	r	PROPN
ejde-1590	479	9	φ	φ	PROPN
ejde-1590	479	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	480	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	480	2	3.11	3.11	NUM
ejde-1590	480	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	480	4	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	480	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	480	6	the	the	DET
ejde-1590	480	7	desired	desire	VERB
ejde-1590	480	8	result	result	NOUN
ejde-1590	480	9	follows	follow	VERB
ejde-1590	480	10	from	from	ADP
ejde-1590	480	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	480	12	3.7	3.7	NUM
ejde-1590	480	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	480	14	and	and	CCONJ
ejde-1590	480	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	480	16	3.11	3.11	NUM
ejde-1590	480	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	480	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	481	1	the	the	DET
ejde-1590	481	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	481	3	is	be	AUX
ejde-1590	481	4	complete	complete	ADJ
ejde-1590	481	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	482	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	482	2	14	14	NUM
ejde-1590	482	3	l.	l.	NOUN
ejde-1590	482	4	t.	t.	NOUN
ejde-1590	482	5	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	482	6	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	482	7	proof	proof	NOUN
ejde-1590	482	8	of	of	ADP
ejde-1590	482	9	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	482	10	1.21	1.21	NUM
ejde-1590	482	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	483	1	the	the	DET
ejde-1590	483	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	483	3	is	be	AUX
ejde-1590	483	4	similar	similar	ADJ
ejde-1590	483	5	to	to	ADP
ejde-1590	483	6	the	the	DET
ejde-1590	483	7	one	one	NUM
ejde-1590	483	8	of	of	ADP
ejde-1590	483	9	corollary	corollary	NOUN
ejde-1590	483	10	1.18	1.18	NUM
ejde-1590	483	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	483	12	then	then	ADV
ejde-1590	483	13	we	we	PRON
ejde-1590	483	14	leave	leave	VERB
ejde-1590	483	15	it	it	PRON
ejde-1590	483	16	to	to	ADP
ejde-1590	483	17	the	the	DET
ejde-1590	483	18	reader	reader	NOUN
ejde-1590	483	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	484	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	484	2	finally	finally	ADV
ejde-1590	484	3	we	we	PRON
ejde-1590	484	4	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1590	484	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1590	484	6	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	484	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	485	1	the	the	DET
ejde-1590	485	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	485	3	follows	follow	VERB
ejde-1590	485	4	by	by	ADP
ejde-1590	485	5	way	way	NOUN
ejde-1590	485	6	of	of	ADP
ejde-1590	485	7	the	the	DET
ejde-1590	485	8	following	follow	VERB
ejde-1590	485	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	485	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	486	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	486	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1590	486	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	487	1	let	let	VERB
ejde-1590	487	2	a	a	DET
ejde-1590	487	3	be	be	AUX
ejde-1590	487	4	a	a	DET
ejde-1590	487	5	central	central	ADJ
ejde-1590	487	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	487	7	1	1	NUM
ejde-1590	487	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	487	9	p′)-atom	p′)-atom	NOUN
ejde-1590	487	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	488	1	then	then	ADV
ejde-1590	488	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	488	3	there	there	PRON
ejde-1590	488	4	exist	exist	VERB
ejde-1590	488	5	two	two	NUM
ejde-1590	488	6	functions	function	NOUN
ejde-1590	488	7	f	f	PROPN
ejde-1590	488	8	∈	∈	PROPN
ejde-1590	488	9	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	488	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	488	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	488	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	488	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	488	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	488	15	and	and	CCONJ
ejde-1590	488	16	g	g	PROPN
ejde-1590	488	17	∈	∈	PROPN
ejde-1590	488	18	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	488	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	488	20	r	r	PROPN
ejde-1590	488	21	φ	φ	PROPN
ejde-1590	488	22	(	(	PUNCT
ejde-1590	488	23	rn	rn	NOUN
ejde-1590	488	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	488	25	such	such	ADJ
ejde-1590	488	26	that	that	SCONJ
ejde-1590	488	27	a(x	a(x	NOUN
ejde-1590	488	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	488	29	=	=	SYM
ejde-1590	488	30	f(x)h∗(g)(x)−	f(x)h∗(g)(x)−	PROPN
ejde-1590	488	31	g(x)h(f)(x	g(x)h(f)(x	PROPN
ejde-1590	488	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	488	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	488	34	(	(	PUNCT
ejde-1590	488	35	3.12	3.12	NUM
ejde-1590	488	36	)	)	PUNCT
ejde-1590	488	37	∥f∥	∥f∥	PROPN
ejde-1590	488	38	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	488	39	φ	φ	PROPN
ejde-1590	488	40	∥g∥ṁp	∥g∥ṁp	PROPN
ejde-1590	488	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	488	42	r	r	NOUN
ejde-1590	488	43	φ	φ	X
ejde-1590	488	44	≤	≤	NUM
ejde-1590	488	45	2	2	NUM
ejde-1590	488	46	n	n	NOUN
ejde-1590	488	47	p	p	NOUN
ejde-1590	488	48	ln	ln	ADJ
ejde-1590	488	49	2	2	NUM
ejde-1590	488	50	.	.	PUNCT
ejde-1590	489	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	489	2	3.13	3.13	NUM
ejde-1590	489	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	489	4	proof	proof	NOUN
ejde-1590	489	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	490	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1590	490	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	490	3	supp(a	supp(a	PROPN
ejde-1590	490	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	490	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	490	6	bτ	bτ	PROPN
ejde-1590	490	7	for	for	ADP
ejde-1590	490	8	some	some	PRON
ejde-1590	490	9	τ	τ	PROPN
ejde-1590	490	10	>	>	X
ejde-1590	490	11	0	0	X
ejde-1590	490	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	491	1	let	let	VERB
ejde-1590	491	2	us	we	PRON
ejde-1590	491	3	set	set	VERB
ejde-1590	491	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	491	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	492	1	=	=	SYM
ejde-1590	492	2	a(x	a(x	NOUN
ejde-1590	492	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	492	4	φ(τ	φ(τ	NOUN
ejde-1590	492	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	492	6	ln	ln	ADV
ejde-1590	492	7	2	2	NUM
ejde-1590	492	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	492	9	and	and	CCONJ
ejde-1590	492	10	g(x	g(x	NOUN
ejde-1590	492	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	492	12	=	=	SYM
ejde-1590	492	13	φ(τ)1{τ<|x|<2τ}(x	φ(τ)1{τ<|x|<2τ}(x	NOUN
ejde-1590	492	14	)	)	PUNCT
ejde-1590	492	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	493	1	we	we	PRON
ejde-1590	493	2	first	first	ADV
ejde-1590	493	3	claim	claim	VERB
ejde-1590	493	4	that	that	SCONJ
ejde-1590	493	5	the	the	DET
ejde-1590	493	6	above	above	ADJ
ejde-1590	493	7	construction	construction	NOUN
ejde-1590	493	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1590	493	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	493	10	3.12	3.12	NUM
ejde-1590	493	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	493	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	494	1	in	in	ADP
ejde-1590	494	2	fact	fact	NOUN
ejde-1590	494	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	494	4	if	if	SCONJ
ejde-1590	494	5	|x|	|x|	PROPN
ejde-1590	494	6	≥	≥	X
ejde-1590	494	7	τ	τ	PROPN
ejde-1590	494	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	494	9	then	then	ADV
ejde-1590	494	10	it	it	PRON
ejde-1590	494	11	is	be	AUX
ejde-1590	494	12	clear	clear	ADJ
ejde-1590	494	13	that	that	SCONJ
ejde-1590	494	14	f(x	f(x	PROPN
ejde-1590	494	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	494	16	=	=	PUNCT
ejde-1590	495	1	h(f)(x	h(f)(x	X
ejde-1590	495	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	495	3	=	=	SYM
ejde-1590	495	4	0	0	PUNCT
ejde-1590	495	5	since	since	SCONJ
ejde-1590	495	6	supp(a	supp(a	NUM
ejde-1590	495	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	496	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-1590	496	2	bτ	bτ	PROPN
ejde-1590	496	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	496	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	496	5	the	the	DET
ejde-1590	496	6	cancellation	cancellation	NOUN
ejde-1590	496	7	property	property	NOUN
ejde-1590	496	8	of	of	ADP
ejde-1590	496	9	a	a	DET
ejde-1590	496	10	respectively	respectively	ADV
ejde-1590	496	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	497	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	497	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	497	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	497	4	3.12	3.12	NUM
ejde-1590	497	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	497	6	is	be	AUX
ejde-1590	497	7	true	true	ADJ
ejde-1590	497	8	for	for	ADP
ejde-1590	497	9	all	all	DET
ejde-1590	497	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-1590	497	11	≥	≥	PROPN
ejde-1590	497	12	τ	τ	PROPN
ejde-1590	497	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	498	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1590	498	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	498	3	we	we	PRON
ejde-1590	498	4	have	have	VERB
ejde-1590	498	5	g(x	g(x	NOUN
ejde-1590	498	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	499	1	=	=	SYM
ejde-1590	499	2	0	0	NUM
ejde-1590	499	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	499	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	499	5	h∗(g)(x	h∗(g)(x	NOUN
ejde-1590	499	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	499	7	=	=	SYM
ejde-1590	500	1	1	1	NUM
ejde-1590	500	2	νn	νn	X
ejde-1590	500	3	∫	∫	PROPN
ejde-1590	500	4	|y|≥|x|	|y|≥|x|	PROPN
ejde-1590	500	5	φ(τ)1{τ<|x|<2τ}(y	φ(τ)1{τ<|x|<2τ}(y	NUM
ejde-1590	500	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	500	7	|y|n	|y|n	PROPN
ejde-1590	500	8	dy	dy	NOUN
ejde-1590	500	9	=	=	PUNCT
ejde-1590	500	10	φ(τ	φ(τ	NOUN
ejde-1590	500	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	500	12	νn	νn	AUX
ejde-1590	500	13	∫	∫	PROPN
ejde-1590	500	14	2τ	2τ	NUM
ejde-1590	500	15	τ	τ	PROPN
ejde-1590	500	16	νns	νn	VERB
ejde-1590	500	17	−nsn−1	−nsn−1	ADJ
ejde-1590	500	18	ds	ds	X
ejde-1590	500	19	=	=	PUNCT
ejde-1590	500	20	φ(τ	φ(τ	NOUN
ejde-1590	500	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	500	22	ln	ln	ADV
ejde-1590	500	23	2	2	NUM
ejde-1590	500	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	501	1	this	this	DET
ejde-1590	501	2	yields	yield	VERB
ejde-1590	501	3	the	the	DET
ejde-1590	501	4	above	above	ADJ
ejde-1590	501	5	claim	claim	NOUN
ejde-1590	501	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	502	1	now	now	ADV
ejde-1590	502	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	502	3	we	we	PRON
ejde-1590	502	4	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1590	502	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	502	6	3.13	3.13	NUM
ejde-1590	502	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	502	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	503	1	since	since	SCONJ
ejde-1590	503	2	a	a	PRON
ejde-1590	503	3	is	be	AUX
ejde-1590	503	4	a	a	DET
ejde-1590	503	5	central	central	ADJ
ejde-1590	503	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	503	7	1	1	NUM
ejde-1590	503	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	503	9	p′)-atom	p′)-atom	NOUN
ejde-1590	503	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	503	11	f	f	PROPN
ejde-1590	503	12	is	be	AUX
ejde-1590	503	13	a	a	DET
ejde-1590	503	14	multiple	multiple	NOUN
ejde-1590	503	15	of	of	ADP
ejde-1590	503	16	central	central	ADJ
ejde-1590	503	17	(	(	PUNCT
ejde-1590	503	18	1	1	NUM
ejde-1590	503	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	503	20	p′	p′	NOUN
ejde-1590	503	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	503	22	φ)atom	φ)atom	NOUN
ejde-1590	503	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	503	24	and	and	CCONJ
ejde-1590	503	25	∥f∥	∥f∥	NUM
ejde-1590	503	26	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	503	27	φ	φ	PROPN
ejde-1590	503	28	≤	≤	NUM
ejde-1590	503	29	1	1	NUM
ejde-1590	503	30	ln	ln	ADJ
ejde-1590	503	31	2	2	NUM
ejde-1590	503	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	504	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	504	2	3.14	3.14	NUM
ejde-1590	504	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	504	4	moreover	moreover	ADV
ejde-1590	504	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	504	6	thanks	thank	NOUN
ejde-1590	504	7	to	to	ADP
ejde-1590	504	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	504	9	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	504	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	504	11	we	we	PRON
ejde-1590	504	12	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	504	13	∥g∥ṁp	∥g∥ṁp	PROPN
ejde-1590	504	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	504	15	r	r	NOUN
ejde-1590	504	16	φ	φ	NOUN
ejde-1590	504	17	=	=	SYM
ejde-1590	504	18	φ(τ)∥1{τ<|x|<2τ}∥ṁp	φ(τ)∥1{τ<|x|<2τ}∥ṁp	PROPN
ejde-1590	504	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	504	20	r	r	PROPN
ejde-1590	504	21	φ	φ	NOUN
ejde-1590	504	22	≤	≤	NOUN
ejde-1590	504	23	φ(τ	φ(τ	NOUN
ejde-1590	504	24	)	)	PUNCT
ejde-1590	504	25	φ(2τ	φ(2τ	NUM
ejde-1590	504	26	)	)	PUNCT
ejde-1590	504	27	=	=	SYM
ejde-1590	505	1	2	2	NUM
ejde-1590	505	2	n	n	NUM
ejde-1590	505	3	p	p	X
ejde-1590	505	4	τ	τ	X
ejde-1590	505	5	n	n	CCONJ
ejde-1590	505	6	p	p	NOUN
ejde-1590	505	7	φ(τ	φ(τ	NOUN
ejde-1590	505	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	505	9	(	(	PUNCT
ejde-1590	505	10	2τ	2τ	NUM
ejde-1590	505	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	505	12	n	n	PRON
ejde-1590	505	13	p	p	NOUN
ejde-1590	505	14	φ(2τ	φ(2τ	PROPN
ejde-1590	505	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	505	16	≤	≤	NUM
ejde-1590	505	17	2	2	NUM
ejde-1590	505	18	n	n	NOUN
ejde-1590	505	19	p	p	NOUN
ejde-1590	505	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	506	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	506	2	3.15	3.15	NUM
ejde-1590	506	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	506	4	the	the	DET
ejde-1590	506	5	last	last	ADJ
ejde-1590	506	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	506	7	follows	follow	VERB
ejde-1590	506	8	from	from	ADP
ejde-1590	506	9	the	the	DET
ejde-1590	506	10	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-1590	506	11	of	of	ADP
ejde-1590	506	12	function	function	NOUN
ejde-1590	506	13	t	t	PROPN
ejde-1590	506	14	n	n	CCONJ
ejde-1590	506	15	p	p	PROPN
ejde-1590	506	16	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-1590	506	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	506	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	507	1	as	as	ADP
ejde-1590	507	2	a	a	DET
ejde-1590	507	3	result	result	NOUN
ejde-1590	507	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	507	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	507	6	3.13	3.13	NUM
ejde-1590	507	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	507	8	follows	follow	VERB
ejde-1590	507	9	from	from	ADP
ejde-1590	507	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	507	11	3.14	3.14	NUM
ejde-1590	507	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	507	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	507	14	(	(	PUNCT
ejde-1590	507	15	3.15	3.15	NUM
ejde-1590	507	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	507	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	508	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	508	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	508	3	we	we	PRON
ejde-1590	508	4	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	508	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	508	6	3.3	3.3	NUM
ejde-1590	508	7	.	.	PUNCT
ejde-1590	509	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	509	2	remark	remark	NOUN
ejde-1590	509	3	3.4	3.4	NUM
ejde-1590	509	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	510	1	the	the	DET
ejde-1590	510	2	above	above	ADJ
ejde-1590	510	3	construction	construction	NOUN
ejde-1590	510	4	demonstrates	demonstrate	VERB
ejde-1590	510	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	510	6	g	g	PROPN
ejde-1590	510	7	∈	∈	PROPN
ejde-1590	510	8	l∞	l∞	PROPN
ejde-1590	510	9	c	c	X
ejde-1590	510	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	510	11	rn	rn	NOUN
ejde-1590	510	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	510	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	510	14	and	and	CCONJ
ejde-1590	510	15	f	f	PROPN
ejde-1590	510	16	∈	∈	PROPN
ejde-1590	510	17	lp′	lp′	PROPN
ejde-1590	510	18	c	c	NOUN
ejde-1590	510	19	(	(	PUNCT
ejde-1590	510	20	rn	rn	NOUN
ejde-1590	510	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	510	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	511	1	in	in	ADP
ejde-1590	511	2	addition	addition	NOUN
ejde-1590	511	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	511	4	the	the	DET
ejde-1590	511	5	result	result	NOUN
ejde-1590	511	6	of	of	ADP
ejde-1590	511	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	511	8	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	511	9	can	can	AUX
ejde-1590	511	10	be	be	AUX
ejde-1590	511	11	considered	consider	VERB
ejde-1590	511	12	as	as	ADP
ejde-1590	511	13	a	a	DET
ejde-1590	511	14	hap′,r′(rn)∗	hap′,r′(rn)∗	ADJ
ejde-1590	511	15	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	511	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	512	1	note	note	VERB
ejde-1590	512	2	that	that	SCONJ
ejde-1590	512	3	the	the	DET
ejde-1590	512	4	h1(rn	h1(rn	PROPN
ejde-1590	512	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	512	6	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	512	7	by	by	ADP
ejde-1590	512	8	means	mean	NOUN
ejde-1590	512	9	of	of	ADP
ejde-1590	512	10	the	the	DET
ejde-1590	512	11	calderón	calderón	NOUN
ejde-1590	512	12	–	–	PUNCT
ejde-1590	512	13	zygmund	zygmund	ADJ
ejde-1590	512	14	operators	operator	NOUN
ejde-1590	512	15	has	have	AUX
ejde-1590	512	16	been	be	AUX
ejde-1590	512	17	studied	study	VERB
ejde-1590	512	18	by	by	ADP
ejde-1590	512	19	the	the	DET
ejde-1590	512	20	authors	author	NOUN
ejde-1590	512	21	in	in	ADP
ejde-1590	512	22	[	[	X
ejde-1590	512	23	5	5	NUM
ejde-1590	512	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	25	7	7	NUM
ejde-1590	512	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	27	8	8	NUM
ejde-1590	512	28	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	29	9	9	NUM
ejde-1590	512	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	31	10	10	NUM
ejde-1590	512	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	33	19	19	NUM
ejde-1590	512	34	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	35	28	28	NUM
ejde-1590	512	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	512	37	29	29	NUM
ejde-1590	512	38	]	]	PUNCT
ejde-1590	512	39	and	and	CCONJ
ejde-1590	512	40	the	the	DET
ejde-1590	512	41	references	reference	NOUN
ejde-1590	512	42	therein	therein	ADV
ejde-1590	512	43	.	.	PUNCT
ejde-1590	513	1	proof	proof	NOUN
ejde-1590	513	2	of	of	ADP
ejde-1590	513	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	513	4	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	513	5	.	.	PUNCT
ejde-1590	514	1	for	for	ADP
ejde-1590	514	2	thsi	thsi	NOUN
ejde-1590	514	3	purpose	purpose	NOUN
ejde-1590	514	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	514	5	we	we	PRON
ejde-1590	514	6	use	use	VERB
ejde-1590	514	7	a	a	DET
ejde-1590	514	8	duality	duality	NOUN
ejde-1590	514	9	argument	argument	NOUN
ejde-1590	514	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	515	1	since	since	SCONJ
ejde-1590	515	2	˙cmo	˙cmo	PROPN
ejde-1590	515	3	p	p	X
ejde-1590	515	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	515	5	r	r	NOUN
ejde-1590	515	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	515	7	rn	rn	NOUN
ejde-1590	515	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	515	9	=	=	PUNCT
ejde-1590	515	10	hap′,r′(rn)∗	hap′,r′(rn)∗	ADJ
ejde-1590	515	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	515	12	it	it	PRON
ejde-1590	515	13	follows	follow	VERB
ejde-1590	515	14	that	that	SCONJ
ejde-1590	515	15	for	for	ADP
ejde-1590	515	16	any	any	DET
ejde-1590	515	17	h	h	NOUN
ejde-1590	515	18	∈	∈	PROPN
ejde-1590	515	19	hap′,r′(rn	hap′,r′(rn	PROPN
ejde-1590	515	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	515	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	515	22	one	one	PRON
ejde-1590	515	23	can	can	AUX
ejde-1590	515	24	decompose	decompose	VERB
ejde-1590	515	25	h	h	NOUN
ejde-1590	515	26	=	=	PUNCT
ejde-1590	516	1	∞∑	∞∑	PROPN
ejde-1590	516	2	j=0	j=0	ADJ
ejde-1590	516	3	λjaj	λjaj	ADV
ejde-1590	516	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	516	5	where	where	SCONJ
ejde-1590	516	6	{	{	PUNCT
ejde-1590	516	7	aj}j≥0	aj}j≥0	NOUN
ejde-1590	516	8	is	be	AUX
ejde-1590	516	9	a	a	DET
ejde-1590	516	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-1590	516	11	of	of	ADP
ejde-1590	516	12	central	central	ADJ
ejde-1590	516	13	(	(	PUNCT
ejde-1590	516	14	1	1	NUM
ejde-1590	516	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	516	16	p′)-atoms	p′)-atom	NOUN
ejde-1590	516	17	;	;	PUNCT
ejde-1590	516	18	and	and	CCONJ
ejde-1590	516	19	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-1590	516	20	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	516	21	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	517	1	|	|	ADV
ejde-1590	517	2	<	<	X
ejde-1590	517	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	517	4	for	for	ADP
ejde-1590	517	5	every	every	DET
ejde-1590	517	6	j	j	PROPN
ejde-1590	517	7	≥	≥	NUM
ejde-1590	517	8	0	0	NUM
ejde-1590	517	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	517	10	by	by	ADP
ejde-1590	517	11	applying	apply	VERB
ejde-1590	517	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-1590	517	13	3.3	3.3	NUM
ejde-1590	517	14	to	to	PART
ejde-1590	517	15	aj	aj	PROPN
ejde-1590	517	16	we	we	PRON
ejde-1590	517	17	have	have	VERB
ejde-1590	517	18	that	that	SCONJ
ejde-1590	517	19	there	there	PRON
ejde-1590	517	20	exist	exist	VERB
ejde-1590	517	21	two	two	NUM
ejde-1590	517	22	functions	function	NOUN
ejde-1590	517	23	gj	gj	NOUN
ejde-1590	517	24	∈	∈	PROPN
ejde-1590	517	25	ṁp	ṁp	NOUN
ejde-1590	517	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	517	27	r	r	PROPN
ejde-1590	517	28	φ	φ	PROPN
ejde-1590	517	29	(	(	PUNCT
ejde-1590	517	30	rn	rn	NOUN
ejde-1590	517	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	517	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	517	33	and	and	CCONJ
ejde-1590	518	1	fj	fj	PROPN
ejde-1590	518	2	∈	∈	PROPN
ejde-1590	518	3	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	518	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	518	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	518	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	518	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	518	8	such	such	ADJ
ejde-1590	518	9	that	that	PRON
ejde-1590	518	10	aj(x	aj(x	PUNCT
ejde-1590	518	11	)	)	PUNCT
ejde-1590	518	12	=	=	SYM
ejde-1590	518	13	fj(x)h∗(gj)(x)−	fj(x)h∗(gj)(x)−	PROPN
ejde-1590	518	14	gj(x)h(fj)(x	gj(x)h(fj)(x	PROPN
ejde-1590	518	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	518	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	518	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	518	18	∥fj∥hap′,r′	∥fj∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	518	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	518	20	∥gj∥ṁp	∥gj∥ṁp	PROPN
ejde-1590	518	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	518	22	r	r	PROPN
ejde-1590	518	23	φ	φ	NOUN
ejde-1590	518	24	≤	≤	NUM
ejde-1590	518	25	2	2	NUM
ejde-1590	518	26	n	n	NOUN
ejde-1590	518	27	p	p	NOUN
ejde-1590	518	28	ln	ln	ADJ
ejde-1590	518	29	2	2	NUM
ejde-1590	518	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	519	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	519	2	3.16	3.16	NUM
ejde-1590	519	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	519	4	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	519	5	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	519	6	operators	operator	NOUN
ejde-1590	519	7	and	and	CCONJ
ejde-1590	519	8	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	519	9	15	15	NUM
ejde-1590	519	10	since	since	SCONJ
ejde-1590	519	11	b	b	PROPN
ejde-1590	519	12	∈	∈	PROPN
ejde-1590	519	13	lp	lp	NOUN
ejde-1590	519	14	loc(rn	loc(rn	NOUN
ejde-1590	519	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	519	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	519	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	519	18	by	by	ADP
ejde-1590	519	19	remark	remark	NOUN
ejde-1590	519	20	3.4	3.4	NUM
ejde-1590	519	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	519	22	the	the	DET
ejde-1590	519	23	following	follow	VERB
ejde-1590	519	24	integrals	integral	NOUN
ejde-1590	519	25	are	be	AUX
ejde-1590	519	26	well	well	ADV
ejde-1590	519	27	-	-	PUNCT
ejde-1590	519	28	defined	define	VERB
ejde-1590	519	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	519	30	and	and	CCONJ
ejde-1590	519	31	satisfy∣∣∣	satisfy∣∣∣	PROPN
ejde-1590	519	32	∫	∫	PROPN
ejde-1590	519	33	rn	rn	PROPN
ejde-1590	519	34	b(x)aj(x	b(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	519	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	519	36	dx	dx	PROPN
ejde-1590	519	37	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	519	38	=	=	SYM
ejde-1590	519	39	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	519	40	∫	∫	PROPN
ejde-1590	519	41	rn	rn	PROPN
ejde-1590	519	42	b(x)[fj(x)h∗(gj)(x)−	b(x)[fj(x)h∗(gj)(x)−	PROPN
ejde-1590	519	43	gj(x)h(fj)(x	gj(x)h(fj)(x	PROPN
ejde-1590	519	44	)	)	PUNCT
ejde-1590	519	45	]	]	PUNCT
ejde-1590	520	1	dx	dx	PROPN
ejde-1590	520	2	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	520	3	=	=	SYM
ejde-1590	520	4	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	520	5	∫	∫	PROPN
ejde-1590	520	6	rn	rn	PROPN
ejde-1590	520	7	fj(x)[b	fj(x)[b	PROPN
ejde-1590	520	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	520	9	h∗](gj)(x	h∗](gj)(x	NOUN
ejde-1590	520	10	)	)	PUNCT
ejde-1590	520	11	dx	dx	PROPN
ejde-1590	520	12	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	520	13	≤	≤	NUM
ejde-1590	520	14	∥fj∥hap′,r′	∥fj∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	520	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	520	16	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	520	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	520	18	h∗](gj)∥ṁp	h∗](gj)∥ṁp	PROPN
ejde-1590	520	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	520	20	r	r	NOUN
ejde-1590	520	21	φ	φ	PROPN
ejde-1590	520	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	521	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	521	2	3.17	3.17	NUM
ejde-1590	521	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	521	4	note	note	NOUN
ejde-1590	521	5	that	that	SCONJ
ejde-1590	521	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	521	7	3.17	3.17	NUM
ejde-1590	521	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	521	9	was	be	AUX
ejde-1590	521	10	obtained	obtain	VERB
ejde-1590	521	11	from	from	ADP
ejde-1590	521	12	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	521	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	521	14	r	r	PROPN
ejde-1590	521	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	521	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	521	17	rn	rn	NOUN
ejde-1590	521	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	521	19	=	=	SYM
ejde-1590	521	20	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	522	1	p	p	X
ejde-1590	522	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	522	3	r	r	PROPN
ejde-1590	522	4	φ	φ	PROPN
ejde-1590	522	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	522	6	rn	rn	NOUN
ejde-1590	522	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	522	8	=	=	SYM
ejde-1590	523	1	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	523	2	φ	φ	PROPN
ejde-1590	523	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	523	4	rn)∗.	rn)∗.	ADV
ejde-1590	523	5	since	since	SCONJ
ejde-1590	523	6	[	[	X
ejde-1590	523	7	b	b	X
ejde-1590	523	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	9	h∗	h∗	PROPN
ejde-1590	523	10	]	]	X
ejde-1590	523	11	is	be	AUX
ejde-1590	523	12	a	a	DET
ejde-1590	523	13	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	523	14	operator	operator	NOUN
ejde-1590	523	15	on	on	ADP
ejde-1590	523	16	ṁp	ṁp	PROPN
ejde-1590	523	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	18	r	r	PROPN
ejde-1590	523	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	523	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	523	21	rn	rn	PROPN
ejde-1590	523	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	523	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	24	it	it	PRON
ejde-1590	523	25	follows	follow	VERB
ejde-1590	523	26	from	from	ADP
ejde-1590	523	27	(	(	PUNCT
ejde-1590	523	28	3.17	3.17	NUM
ejde-1590	523	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	523	30	and	and	CCONJ
ejde-1590	523	31	(	(	PUNCT
ejde-1590	523	32	3.16	3.16	NUM
ejde-1590	523	33	)	)	PUNCT
ejde-1590	523	34	that	that	PRON
ejde-1590	523	35	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	523	36	∫	∫	PROPN
ejde-1590	523	37	rn	rn	PROPN
ejde-1590	523	38	b(x)aj(x	b(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	523	39	)	)	PUNCT
ejde-1590	523	40	dx	dx	PROPN
ejde-1590	523	41	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	523	42	≤	≤	X
ejde-1590	523	43	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	523	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	45	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	523	46	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	47	r	r	NOUN
ejde-1590	523	48	φ	φ	NUM
ejde-1590	523	49	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	523	50	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	51	r	r	PROPN
ejde-1590	523	52	φ	φ	PROPN
ejde-1590	523	53	∥gj∥ṁp	∥gj∥ṁp	PROPN
ejde-1590	523	54	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	55	r	r	PROPN
ejde-1590	523	56	φ	φ	PROPN
ejde-1590	523	57	∥fj∥hap′,r′	∥fj∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	523	58	φ	φ	PROPN
ejde-1590	523	59	≤	≤	NUM
ejde-1590	523	60	2	2	NUM
ejde-1590	523	61	n	n	NOUN
ejde-1590	523	62	p	p	NOUN
ejde-1590	523	63	ln	ln	ADJ
ejde-1590	523	64	2	2	NUM
ejde-1590	523	65	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	523	66	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	67	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	523	68	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	69	r	r	NOUN
ejde-1590	523	70	φ	φ	NUM
ejde-1590	523	71	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	523	72	,	,	PUNCT
ejde-1590	523	73	r	r	NOUN
ejde-1590	523	74	φ	φ	NOUN
ejde-1590	523	75	.	.	PUNCT
ejde-1590	524	1	with	with	ADP
ejde-1590	524	2	this	this	DET
ejde-1590	524	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	524	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	524	5	for	for	ADP
ejde-1590	524	6	any	any	DET
ejde-1590	524	7	h	h	NOUN
ejde-1590	524	8	∈	∈	PROPN
ejde-1590	524	9	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	524	10	φ	φ	PROPN
ejde-1590	524	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	524	12	rn	rn	PROPN
ejde-1590	524	13	)	)	PUNCT
ejde-1590	524	14	we	we	PRON
ejde-1590	524	15	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	524	16	∣∣	∣∣	ADJ
ejde-1590	524	17	∫	∫	PROPN
ejde-1590	524	18	rn	rn	PROPN
ejde-1590	524	19	b(x)h(x	b(x)h(x	PROPN
ejde-1590	524	20	)	)	PUNCT
ejde-1590	524	21	dx	dx	PROPN
ejde-1590	524	22	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	524	23	=	=	PUNCT
ejde-1590	525	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	525	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	525	3	∣∣λj	∣∣λj	PROPN
ejde-1590	525	4	∫	∫	PROPN
ejde-1590	525	5	rn	rn	PROPN
ejde-1590	525	6	b(x)aj(x	b(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	525	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	525	8	dx	dx	PROPN
ejde-1590	525	9	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	525	10	≤	≤	NUM
ejde-1590	525	11	(	(	PUNCT
ejde-1590	525	12	∞∑	∞∑	NUM
ejde-1590	525	13	j=0	j=0	PROPN
ejde-1590	525	14	|λj	|λj	PUNCT
ejde-1590	525	15	|	|	ADV
ejde-1590	525	16	)	)	PUNCT
ejde-1590	525	17	2	2	NUM
ejde-1590	525	18	n	n	NOUN
ejde-1590	525	19	p	p	NOUN
ejde-1590	525	20	ln	ln	ADJ
ejde-1590	525	21	2	2	NUM
ejde-1590	525	22	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	525	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	525	24	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	525	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	525	26	r	r	NOUN
ejde-1590	525	27	φ	φ	NUM
ejde-1590	525	28	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	525	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	525	30	r	r	NOUN
ejde-1590	525	31	φ	φ	NOUN
ejde-1590	525	32	≤	≤	NUM
ejde-1590	525	33	2	2	NUM
ejde-1590	526	1	n	n	NOUN
ejde-1590	526	2	p	p	NOUN
ejde-1590	526	3	ln	ln	ADJ
ejde-1590	526	4	2	2	NUM
ejde-1590	526	5	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	526	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	526	7	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	526	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	526	9	r	r	NOUN
ejde-1590	526	10	φ	φ	NUM
ejde-1590	526	11	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	526	12	,	,	PUNCT
ejde-1590	526	13	r	r	NOUN
ejde-1590	526	14	φ	φ	NUM
ejde-1590	526	15	∥h∥hap′,r′	∥h∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	526	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	527	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	527	2	3.18	3.18	NUM
ejde-1590	527	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	527	4	by	by	ADP
ejde-1590	527	5	duality	duality	NOUN
ejde-1590	527	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	527	7	we	we	PRON
ejde-1590	527	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	527	9	∥b∥	∥b∥	NOUN
ejde-1590	527	10	˙cmo	˙cmo	PUNCT
ejde-1590	528	1	p	p	X
ejde-1590	528	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	528	3	r	r	NOUN
ejde-1590	528	4	≤	≤	NUM
ejde-1590	528	5	2	2	NUM
ejde-1590	528	6	n	n	NOUN
ejde-1590	528	7	p	p	NOUN
ejde-1590	528	8	ln	ln	ADJ
ejde-1590	528	9	2	2	NUM
ejde-1590	528	10	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	528	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	528	12	h∗]∥ṁp	h∗]∥ṁp	NOUN
ejde-1590	528	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	528	14	r	r	NOUN
ejde-1590	528	15	φ	φ	NUM
ejde-1590	528	16	→ṁp	→ṁp	PROPN
ejde-1590	528	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	528	18	r	r	PROPN
ejde-1590	528	19	φ	φ	PROPN
ejde-1590	528	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	529	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	529	2	3.19	3.19	NUM
ejde-1590	529	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	529	4	the	the	DET
ejde-1590	529	5	proof	proof	NOUN
ejde-1590	529	6	is	be	AUX
ejde-1590	529	7	complete	complete	ADJ
ejde-1590	529	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	530	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	530	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	530	3	of	of	ADP
ejde-1590	530	4	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	530	5	1.23	1.23	NUM
ejde-1590	530	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	531	1	to	to	PART
ejde-1590	531	2	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	531	3	the	the	DET
ejde-1590	531	4	result	result	NOUN
ejde-1590	531	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	531	6	we	we	PRON
ejde-1590	531	7	can	can	AUX
ejde-1590	531	8	repeat	repeat	VERB
ejde-1590	531	9	the	the	DET
ejde-1590	531	10	proof	proof	NOUN
ejde-1590	531	11	of	of	ADP
ejde-1590	531	12	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	531	13	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	531	14	with	with	ADP
ejde-1590	531	15	a	a	DET
ejde-1590	531	16	slight	slight	ADJ
ejde-1590	531	17	modification	modification	NOUN
ejde-1590	531	18	in	in	ADP
ejde-1590	531	19	(	(	PUNCT
ejde-1590	531	20	3.17	3.17	NUM
ejde-1590	531	21	)	)	PUNCT
ejde-1590	531	22	as	as	ADP
ejde-1590	531	23	follows∣∣∣	follows∣∣∣	PROPN
ejde-1590	531	24	∫	∫	PROPN
ejde-1590	531	25	rn	rn	PROPN
ejde-1590	531	26	b(x)aj(x	b(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	531	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	531	28	dx	dx	PROPN
ejde-1590	531	29	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	531	30	=	=	SYM
ejde-1590	531	31	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-1590	531	32	∫	∫	PROPN
ejde-1590	531	33	rn	rn	PROPN
ejde-1590	531	34	b(x	b(x	PROPN
ejde-1590	531	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	532	1	[	[	X
ejde-1590	532	2	fj(x)h∗(gj)(x)−	fj(x)h∗(gj)(x)−	NOUN
ejde-1590	532	3	gj(x)h(fj)(x	gj(x)h(fj)(x	PROPN
ejde-1590	532	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	532	5	]	]	PUNCT
ejde-1590	532	6	dx	dx	PROPN
ejde-1590	532	7	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	532	8	=	=	SYM
ejde-1590	532	9	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-1590	532	10	∫	∫	PROPN
ejde-1590	532	11	rn	rn	PROPN
ejde-1590	533	1	[	[	X
ejde-1590	533	2	b	b	PROPN
ejde-1590	533	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	533	4	h](fj)(x)gj(x	h](fj)(x)gj(x	PROPN
ejde-1590	533	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	534	1	dx	dx	PROPN
ejde-1590	534	2	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-1590	534	3	≤	≤	NUM
ejde-1590	534	4	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	534	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	534	6	h](fj)∥hap′,r′	h](fj)∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	534	7	φ	φ	PROPN
ejde-1590	534	8	∥gj∥ṁp	∥gj∥ṁp	PROPN
ejde-1590	534	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	534	10	r	r	PROPN
ejde-1590	534	11	φ	φ	PROPN
ejde-1590	534	12	.	.	PUNCT
ejde-1590	535	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	535	2	3.20	3.20	NUM
ejde-1590	535	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	535	4	since	since	SCONJ
ejde-1590	535	5	[	[	X
ejde-1590	535	6	b	b	X
ejde-1590	535	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	535	8	h	h	NOUN
ejde-1590	535	9	]	]	X
ejde-1590	535	10	maps	map	VERB
ejde-1590	535	11	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	535	12	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	13	→	→	SYM
ejde-1590	535	14	hap′,r′	hap′,r′	PROPN
ejde-1590	535	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	535	17	we	we	PRON
ejde-1590	535	18	deduce	deduce	VERB
ejde-1590	535	19	from	from	ADP
ejde-1590	535	20	(	(	PUNCT
ejde-1590	535	21	3.20	3.20	NUM
ejde-1590	535	22	)	)	PUNCT
ejde-1590	535	23	that∣∣	that∣∣	PROPN
ejde-1590	535	24	∫	∫	PROPN
ejde-1590	535	25	rn	rn	PROPN
ejde-1590	535	26	b(x)aj(x	b(x)aj(x	PROPN
ejde-1590	535	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	535	28	dx	dx	PROPN
ejde-1590	535	29	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	535	30	≤	≤	X
ejde-1590	535	31	∥[b	∥[b	PROPN
ejde-1590	535	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	535	33	h]∥	h]∥	PROPN
ejde-1590	535	34	hap′,r′	hap′,r′	NOUN
ejde-1590	535	35	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	36	→hap′,r′	→hap′,r′	X
ejde-1590	535	37	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	38	∥fj∥hap′,r′	∥fj∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	535	39	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	40	∥gj∥ṁp	∥gj∥ṁp	PROPN
ejde-1590	535	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	535	42	r	r	PROPN
ejde-1590	535	43	φ	φ	NOUN
ejde-1590	535	44	≤	≤	NUM
ejde-1590	535	45	2	2	NUM
ejde-1590	535	46	n	n	NOUN
ejde-1590	535	47	p	p	NOUN
ejde-1590	535	48	ln	ln	ADJ
ejde-1590	535	49	2	2	NUM
ejde-1590	535	50	∥[b	∥[b	NOUN
ejde-1590	535	51	,	,	PUNCT
ejde-1590	535	52	h]∥	h]∥	NOUN
ejde-1590	535	53	hap′,r′	hap′,r′	NOUN
ejde-1590	535	54	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	55	→hap′,r′	→hap′,r′	X
ejde-1590	535	56	φ	φ	PROPN
ejde-1590	535	57	.	.	PUNCT
ejde-1590	536	1	by	by	ADP
ejde-1590	536	2	arguing	argue	VERB
ejde-1590	536	3	similarly	similarly	ADV
ejde-1590	536	4	as	as	ADP
ejde-1590	536	5	in	in	ADP
ejde-1590	536	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	536	7	3.18	3.18	NUM
ejde-1590	536	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	536	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	536	10	for	for	ADP
ejde-1590	536	11	any	any	DET
ejde-1590	536	12	h	h	NOUN
ejde-1590	536	13	∈	∈	PROPN
ejde-1590	536	14	hap′,r′	hap′,r′	X
ejde-1590	536	15	φ	φ	PROPN
ejde-1590	536	16	(	(	PUNCT
ejde-1590	536	17	rn	rn	PROPN
ejde-1590	536	18	)	)	PUNCT
ejde-1590	536	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	536	20	we	we	PRON
ejde-1590	536	21	also	also	ADV
ejde-1590	536	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	536	23	∣∣	∣∣	ADJ
ejde-1590	536	24	∫	∫	PROPN
ejde-1590	536	25	rn	rn	PROPN
ejde-1590	536	26	b(x)h(x	b(x)h(x	PROPN
ejde-1590	536	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	536	28	dx	dx	PROPN
ejde-1590	537	1	∣∣	∣∣	NUM
ejde-1590	537	2	≤	≤	ADV
ejde-1590	537	3	2	2	NUM
ejde-1590	537	4	n	n	NOUN
ejde-1590	537	5	p	p	NOUN
ejde-1590	537	6	ln	ln	ADJ
ejde-1590	537	7	2	2	NUM
ejde-1590	537	8	∥[b	∥[b	NOUN
ejde-1590	537	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	537	10	h]∥	h]∥	NOUN
ejde-1590	537	11	hap′,r′	hap′,r′	NOUN
ejde-1590	537	12	φ	φ	PROPN
ejde-1590	537	13	→hap′,r′	→hap′,r′	X
ejde-1590	537	14	φ	φ	PROPN
ejde-1590	537	15	∥h∥hap′,r′	∥h∥hap′,r′	PROPN
ejde-1590	537	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	538	1	this	this	DET
ejde-1590	538	2	yields	yield	NOUN
ejde-1590	538	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	538	4	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	538	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	538	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	539	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	539	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	539	3	of	of	ADP
ejde-1590	539	4	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	539	5	1.24	1.24	NUM
ejde-1590	539	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	540	1	the	the	DET
ejde-1590	540	2	proof	proof	NOUN
ejde-1590	540	3	is	be	AUX
ejde-1590	540	4	just	just	ADV
ejde-1590	540	5	a	a	DET
ejde-1590	540	6	combination	combination	NOUN
ejde-1590	540	7	of	of	ADP
ejde-1590	540	8	the	the	DET
ejde-1590	540	9	results	result	NOUN
ejde-1590	540	10	in	in	ADP
ejde-1590	540	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-1590	540	12	1.22	1.22	NUM
ejde-1590	540	13	and	and	CCONJ
ejde-1590	540	14	corollary	corollary	ADJ
ejde-1590	540	15	1.23	1.23	NUM
ejde-1590	540	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	541	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1590	541	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	541	3	we	we	PRON
ejde-1590	541	4	leave	leave	VERB
ejde-1590	541	5	it	it	PRON
ejde-1590	541	6	to	to	ADP
ejde-1590	541	7	the	the	DET
ejde-1590	541	8	reader	reader	NOUN
ejde-1590	541	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	542	1	□	□	PUNCT
ejde-1590	542	2	16	16	NUM
ejde-1590	542	3	l.	l.	NOUN
ejde-1590	542	4	t.	t.	NOUN
ejde-1590	542	5	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	542	6	ejde-2025/82	ejde-2025/82	NOUN
ejde-1590	542	7	4	4	NUM
ejde-1590	542	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	542	9	applications	application	NOUN
ejde-1590	542	10	of	of	ADP
ejde-1590	542	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	542	12	’s	’s	PART
ejde-1590	542	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	542	14	we	we	PRON
ejde-1590	542	15	present	present	VERB
ejde-1590	542	16	here	here	ADV
ejde-1590	542	17	several	several	ADJ
ejde-1590	542	18	applications	application	NOUN
ejde-1590	542	19	of	of	ADP
ejde-1590	542	20	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	542	21	’s	’s	PART
ejde-1590	542	22	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	542	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	543	1	in	in	ADP
ejde-1590	543	2	[	[	X
ejde-1590	543	3	2	2	NUM
ejde-1590	543	4	]	]	PUNCT
ejde-1590	543	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	6	brezis	brezis	NOUN
ejde-1590	543	7	-	-	PUNCT
ejde-1590	543	8	vázquez	vázquez	PROPN
ejde-1590	543	9	studied	study	VERB
ejde-1590	543	10	the	the	DET
ejde-1590	543	11	problem	problem	NOUN
ejde-1590	543	12	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1590	543	13	=	=	SYM
ejde-1590	543	14	λf(u	λf(u	NUM
ejde-1590	543	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	543	16	in	in	ADP
ejde-1590	543	17	ω	ω	NUM
ejde-1590	543	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	19	u	u	NOUN
ejde-1590	543	20	=	=	NOUN
ejde-1590	543	21	0	0	NUM
ejde-1590	543	22	on	on	ADP
ejde-1590	543	23	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1590	543	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	25	(	(	PUNCT
ejde-1590	543	26	4.1	4.1	NUM
ejde-1590	543	27	)	)	PUNCT
ejde-1590	543	28	where	where	SCONJ
ejde-1590	543	29	ω	ω	PROPN
ejde-1590	543	30	is	be	AUX
ejde-1590	543	31	a	a	DET
ejde-1590	543	32	bounded	bounded	ADJ
ejde-1590	543	33	domain	domain	NOUN
ejde-1590	543	34	in	in	ADP
ejde-1590	543	35	rn	rn	PROPN
ejde-1590	543	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	37	and	and	CCONJ
ejde-1590	543	38	f	f	PROPN
ejde-1590	543	39	is	be	AUX
ejde-1590	543	40	a	a	DET
ejde-1590	543	41	continuous	continuous	ADJ
ejde-1590	543	42	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	43	positive	positive	ADJ
ejde-1590	543	44	,	,	PUNCT
ejde-1590	543	45	increasing	increase	VERB
ejde-1590	543	46	and	and	CCONJ
ejde-1590	543	47	convex	convex	NOUN
ejde-1590	543	48	function	function	NOUN
ejde-1590	543	49	defined	define	VERB
ejde-1590	543	50	for	for	ADP
ejde-1590	543	51	u	u	PROPN
ejde-1590	543	52	≥	≥	NOUN
ejde-1590	543	53	0	0	NUM
ejde-1590	543	54	with	with	ADP
ejde-1590	543	55	f(0	f(0	NOUN
ejde-1590	543	56	)	)	PUNCT
ejde-1590	543	57	>	>	X
ejde-1590	543	58	0	0	PUNCT
ejde-1590	544	1	and	and	CCONJ
ejde-1590	544	2	lim	lim	PROPN
ejde-1590	544	3	s→∞	s→∞	PROPN
ejde-1590	544	4	f(s	f(s	ADV
ejde-1590	544	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	544	6	s	s	PART
ejde-1590	544	7	=	=	SYM
ejde-1590	544	8	∞.	∞.	PROPN
ejde-1590	544	9	the	the	DET
ejde-1590	544	10	authors	author	NOUN
ejde-1590	544	11	established	establish	VERB
ejde-1590	544	12	a	a	DET
ejde-1590	544	13	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	544	14	of	of	ADP
ejde-1590	544	15	the	the	DET
ejde-1590	544	16	singular	singular	PROPN
ejde-1590	544	17	h1	h1	PROPN
ejde-1590	544	18	extremal	extremal	ADJ
ejde-1590	544	19	solutions	solution	NOUN
ejde-1590	544	20	and	and	CCONJ
ejde-1590	544	21	the	the	DET
ejde-1590	544	22	extremal	extremal	ADJ
ejde-1590	544	23	value	value	NOUN
ejde-1590	544	24	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1590	544	25	by	by	ADP
ejde-1590	544	26	a	a	DET
ejde-1590	544	27	criterion	criterion	NOUN
ejde-1590	544	28	consisting	consist	VERB
ejde-1590	544	29	of	of	ADP
ejde-1590	544	30	two	two	NUM
ejde-1590	544	31	conditions	condition	NOUN
ejde-1590	544	32	:	:	PUNCT
ejde-1590	544	33	(	(	PUNCT
ejde-1590	544	34	i	i	NOUN
ejde-1590	544	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	544	36	they	they	PRON
ejde-1590	544	37	must	must	AUX
ejde-1590	544	38	be	be	AUX
ejde-1590	544	39	energy	energy	NOUN
ejde-1590	544	40	solutions	solution	NOUN
ejde-1590	544	41	,	,	PUNCT
ejde-1590	544	42	not	not	PART
ejde-1590	544	43	in	in	ADP
ejde-1590	544	44	l∞.	l∞.	PROPN
ejde-1590	544	45	(	(	PUNCT
ejde-1590	544	46	ii	ii	NOUN
ejde-1590	544	47	)	)	PUNCT
ejde-1590	544	48	they	they	PRON
ejde-1590	544	49	must	must	AUX
ejde-1590	544	50	satisfy	satisfy	VERB
ejde-1590	545	1	λ	λ	PROPN
ejde-1590	545	2	∫	∫	PROPN
ejde-1590	545	3	ω	ω	PROPN
ejde-1590	545	4	f	f	PROPN
ejde-1590	545	5	′(u)ϕ2dx	′(u)ϕ2dx	PROPN
ejde-1590	545	6	≤	≤	PROPN
ejde-1590	545	7	∫	∫	PROPN
ejde-1590	545	8	ω	ω	X
ejde-1590	545	9	|∇ϕ|2dx	|∇ϕ|2dx	ADJ
ejde-1590	545	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	545	11	∀ϕ	∀ϕ	PROPN
ejde-1590	545	12	∈	∈	PROPN
ejde-1590	545	13	c∞	c∞	PROPN
ejde-1590	545	14	0	0	NUM
ejde-1590	545	15	(	(	PUNCT
ejde-1590	545	16	ω	ω	NOUN
ejde-1590	545	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	545	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	546	1	(	(	PUNCT
ejde-1590	546	2	4.2	4.2	NUM
ejde-1590	546	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	546	4	roughly	roughly	ADV
ejde-1590	546	5	speaking	speak	VERB
ejde-1590	546	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	546	7	this	this	DET
ejde-1590	546	8	formula	formula	NOUN
ejde-1590	546	9	means	mean	VERB
ejde-1590	546	10	that	that	SCONJ
ejde-1590	546	11	the	the	DET
ejde-1590	546	12	first	first	ADJ
ejde-1590	546	13	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1590	546	14	of	of	ADP
ejde-1590	546	15	−∆−λf	−∆−λf	ADJ
ejde-1590	546	16	′(u	′(u	NOUN
ejde-1590	546	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	546	18	is	be	AUX
ejde-1590	546	19	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1590	546	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	546	21	is	be	AUX
ejde-1590	546	22	a	a	DET
ejde-1590	546	23	version	version	NOUN
ejde-1590	546	24	of	of	ADP
ejde-1590	546	25	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	546	26	’s	’s	PART
ejde-1590	546	27	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	546	28	.	.	PUNCT
ejde-1590	547	1	to	to	PART
ejde-1590	547	2	obtain	obtain	VERB
ejde-1590	547	3	the	the	DET
ejde-1590	547	4	desired	desire	VERB
ejde-1590	547	5	result	result	NOUN
ejde-1590	547	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	547	7	they	they	PRON
ejde-1590	547	8	improved	improve	VERB
ejde-1590	547	9	a	a	DET
ejde-1590	547	10	version	version	NOUN
ejde-1590	547	11	of	of	ADP
ejde-1590	547	12	the	the	DET
ejde-1590	547	13	classical	classical	ADJ
ejde-1590	547	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	547	15	’s	’s	PART
ejde-1590	547	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	547	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	548	1	another	another	DET
ejde-1590	548	2	application	application	NOUN
ejde-1590	548	3	of	of	ADP
ejde-1590	548	4	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	548	5	’s	’s	PART
ejde-1590	548	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	548	7	is	be	AUX
ejde-1590	548	8	to	to	PART
ejde-1590	548	9	study	study	VERB
ejde-1590	548	10	negative	negative	ADJ
ejde-1590	548	11	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1590	548	12	of	of	ADP
ejde-1590	548	13	the	the	DET
ejde-1590	548	14	self	self	NOUN
ejde-1590	548	15	-	-	PUNCT
ejde-1590	548	16	adjoint	adjoint	NOUN
ejde-1590	548	17	operator	operator	NOUN
ejde-1590	548	18	−∆	−∆	NOUN
ejde-1590	548	19	−	−	ADP
ejde-1590	548	20	v	v	NOUN
ejde-1590	548	21	in	in	ADP
ejde-1590	548	22	l2(rn	l2(rn	PROPN
ejde-1590	548	23	)	)	PUNCT
ejde-1590	548	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	548	25	where	where	SCONJ
ejde-1590	548	26	potential	potential	ADJ
ejde-1590	548	27	v	v	ADP
ejde-1590	548	28	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1590	548	29	v	v	ADP
ejde-1590	548	30	≥	≥	NOUN
ejde-1590	548	31	0	0	NUM
ejde-1590	548	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	548	33	v	v	ADP
ejde-1590	548	34	∈	∈	PROPN
ejde-1590	548	35	ln/2(rn	ln/2(rn	PROPN
ejde-1590	548	36	)	)	PUNCT
ejde-1590	548	37	,	,	PUNCT
ejde-1590	548	38	n	n	X
ejde-1590	548	39	≥	≥	NOUN
ejde-1590	548	40	3	3	NUM
ejde-1590	548	41	.	.	PUNCT
ejde-1590	549	1	this	this	PRON
ejde-1590	549	2	has	have	VERB
ejde-1590	549	3	important	important	ADJ
ejde-1590	549	4	implications	implication	NOUN
ejde-1590	549	5	in	in	ADP
ejde-1590	549	6	semi	semi	ADJ
ejde-1590	549	7	-	-	ADJ
ejde-1590	549	8	classical	classical	ADJ
ejde-1590	549	9	spectral	spectral	ADJ
ejde-1590	549	10	analysis	analysis	NOUN
ejde-1590	549	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	549	12	in	in	ADP
ejde-1590	549	13	which	which	PRON
ejde-1590	549	14	the	the	DET
ejde-1590	549	15	transition	transition	NOUN
ejde-1590	549	16	between	between	ADP
ejde-1590	549	17	classical	classical	ADJ
ejde-1590	549	18	and	and	CCONJ
ejde-1590	549	19	quantum	quantum	NOUN
ejde-1590	549	20	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-1590	549	21	is	be	AUX
ejde-1590	549	22	studied	study	VERB
ejde-1590	549	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	550	1	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-1590	550	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	551	1	the	the	DET
ejde-1590	551	2	author	author	NOUN
ejde-1590	551	3	would	would	AUX
ejde-1590	551	4	like	like	VERB
ejde-1590	551	5	to	to	PART
ejde-1590	551	6	thank	thank	VERB
ejde-1590	551	7	professor	professor	PROPN
ejde-1590	551	8	jesus	jesus	PROPN
ejde-1590	551	9	ildefonso	ildefonso	PROPN
ejde-1590	551	10	dı́az	dı́az	PROPN
ejde-1590	551	11	for	for	ADP
ejde-1590	551	12	his	his	PRON
ejde-1590	551	13	valuable	valuable	ADJ
ejde-1590	551	14	comments	comment	NOUN
ejde-1590	551	15	which	which	PRON
ejde-1590	551	16	were	be	AUX
ejde-1590	551	17	very	very	ADV
ejde-1590	551	18	helpful	helpful	ADJ
ejde-1590	551	19	for	for	ADP
ejde-1590	551	20	improving	improve	VERB
ejde-1590	551	21	the	the	DET
ejde-1590	551	22	original	original	ADJ
ejde-1590	551	23	manuscript	manuscript	NOUN
ejde-1590	551	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	552	1	references	reference	NOUN
ejde-1590	552	2	[	[	X
ejde-1590	552	3	1	1	NUM
ejde-1590	552	4	]	]	X
ejde-1590	552	5	anderson	anderson	PROPN
ejde-1590	552	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	552	7	k.	k.	PROPN
ejde-1590	552	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	552	9	muckenhoupt	muckenhoupt	PROPN
ejde-1590	552	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	552	11	b.	b.	PROPN
ejde-1590	552	12	;	;	PUNCT
ejde-1590	552	13	weighted	weight	VERB
ejde-1590	552	14	weak	weak	ADJ
ejde-1590	552	15	type	type	NOUN
ejde-1590	552	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	552	17	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	552	18	with	with	ADP
ejde-1590	552	19	application	application	NOUN
ejde-1590	552	20	to	to	ADP
ejde-1590	552	21	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-1590	552	22	transforms	transform	VERB
ejde-1590	552	23	and	and	CCONJ
ejde-1590	552	24	maximal	maximal	ADJ
ejde-1590	552	25	functions	function	NOUN
ejde-1590	552	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	552	27	studia	studia	PROPN
ejde-1590	552	28	math	math	NOUN
ejde-1590	552	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	553	1	,	,	PUNCT
ejde-1590	553	2	72(1	72(1	NOUN
ejde-1590	553	3	)	)	PUNCT
ejde-1590	553	4	(	(	PUNCT
ejde-1590	553	5	1982	1982	NUM
ejde-1590	553	6	)	)	PUNCT
ejde-1590	553	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	553	8	9–26	9–26	NOUN
ejde-1590	553	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	554	1	[	[	X
ejde-1590	554	2	2	2	NUM
ejde-1590	554	3	]	]	PUNCT
ejde-1590	554	4	brezis	brezis	NOUN
ejde-1590	554	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	554	6	h.	h.	PROPN
ejde-1590	554	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	554	8	vázquez	vázquez	PROPN
ejde-1590	554	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	554	10	j.	j.	PROPN
ejde-1590	554	11	v.	v.	PROPN
ejde-1590	554	12	;	;	PUNCT
ejde-1590	554	13	blow	blow	NOUN
ejde-1590	554	14	-	-	PUNCT
ejde-1590	554	15	up	up	ADP
ejde-1590	554	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1590	554	17	of	of	ADP
ejde-1590	554	18	some	some	DET
ejde-1590	554	19	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1590	554	20	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1590	554	21	problems	problem	NOUN
ejde-1590	554	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	554	23	rev	rev	PROPN
ejde-1590	554	24	.	.	PROPN
ejde-1590	554	25	mat	mat	PROPN
ejde-1590	554	26	.	.	PROPN
ejde-1590	554	27	univ	univ	PROPN
ejde-1590	554	28	.	.	PUNCT
ejde-1590	554	29	complut	complut	PROPN
ejde-1590	554	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	555	1	madrid	madrid	PROPN
ejde-1590	555	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	555	3	10(2	10(2	NUM
ejde-1590	555	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	555	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	555	6	1997	1997	NUM
ejde-1590	555	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	555	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	555	9	443–469	443–469	NUM
ejde-1590	555	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	556	1	[	[	X
ejde-1590	556	2	3	3	NUM
ejde-1590	556	3	]	]	X
ejde-1590	556	4	chen	chen	PROPN
ejde-1590	556	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	556	6	y.	y.	PROPN
ejde-1590	556	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	556	8	lau	lau	PROPN
ejde-1590	556	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	556	10	k.	k.	PROPN
ejde-1590	556	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	556	12	some	some	DET
ejde-1590	556	13	new	new	ADJ
ejde-1590	556	14	classes	class	NOUN
ejde-1590	556	15	of	of	ADP
ejde-1590	556	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	556	17	spaces	space	NOUN
ejde-1590	556	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	556	19	j.	j.	PROPN
ejde-1590	556	20	funct	funct	PROPN
ejde-1590	556	21	.	.	PUNCT
ejde-1590	557	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	557	2	.	.	PROPN
ejde-1590	557	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	557	4	84(2	84(2	NUM
ejde-1590	557	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	557	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	557	7	1989	1989	NUM
ejde-1590	557	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	557	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	557	10	255–278	255–278	NUM
ejde-1590	557	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	558	1	[	[	X
ejde-1590	558	2	4	4	NUM
ejde-1590	558	3	]	]	X
ejde-1590	558	4	christ	christ	PROPN
ejde-1590	558	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	558	6	m.	m.	NOUN
ejde-1590	558	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	558	8	grafakos	grafakos	PROPN
ejde-1590	558	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	558	10	l.	l.	PROPN
ejde-1590	558	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	558	12	best	good	ADJ
ejde-1590	558	13	constants	constant	NOUN
ejde-1590	558	14	for	for	ADP
ejde-1590	558	15	two	two	NUM
ejde-1590	558	16	nonconvolution	nonconvolution	NOUN
ejde-1590	558	17	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	558	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	558	19	proc	proc	PROPN
ejde-1590	558	20	.	.	PUNCT
ejde-1590	559	1	amer	amer	PROPN
ejde-1590	559	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	559	3	math	math	PROPN
ejde-1590	559	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	560	1	soc	soc	PROPN
ejde-1590	560	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	560	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	560	4	123(5	123(5	NUM
ejde-1590	560	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	560	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	560	7	1995	1995	NUM
ejde-1590	560	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	560	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	560	10	1687–1693	1687–1693	NUM
ejde-1590	560	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	561	1	[	[	X
ejde-1590	561	2	5	5	NUM
ejde-1590	561	3	]	]	X
ejde-1590	561	4	coifman	coifman	NOUN
ejde-1590	561	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	6	r.	r.	PROPN
ejde-1590	561	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	561	8	rochberg	rochberg	PROPN
ejde-1590	561	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	10	r.	r.	PROPN
ejde-1590	561	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	561	12	weiss	weiss	PROPN
ejde-1590	561	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	14	g.	g.	PROPN
ejde-1590	561	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	561	16	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	561	17	theorems	theorem	NOUN
ejde-1590	561	18	for	for	ADP
ejde-1590	561	19	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	561	20	spaces	space	NOUN
ejde-1590	561	21	in	in	ADP
ejde-1590	561	22	several	several	ADJ
ejde-1590	561	23	variables	variable	NOUN
ejde-1590	561	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	25	ann	ann	PROPN
ejde-1590	561	26	.	.	PROPN
ejde-1590	561	27	of	of	ADP
ejde-1590	561	28	math	math	NOUN
ejde-1590	561	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	561	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	31	103(3	103(3	NUM
ejde-1590	561	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	561	33	(	(	PUNCT
ejde-1590	561	34	1976	1976	NUM
ejde-1590	561	35	)	)	PUNCT
ejde-1590	561	36	,	,	PUNCT
ejde-1590	561	37	611–635	611–635	NUM
ejde-1590	561	38	.	.	PUNCT
ejde-1590	562	1	[	[	X
ejde-1590	562	2	6	6	NUM
ejde-1590	562	3	]	]	X
ejde-1590	562	4	coifman	coifman	NOUN
ejde-1590	562	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	562	6	r.	r.	PROPN
ejde-1590	562	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	562	8	weiss	weiss	PROPN
ejde-1590	562	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	562	10	g.	g.	PROPN
ejde-1590	562	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	562	12	extensions	extension	NOUN
ejde-1590	562	13	of	of	ADP
ejde-1590	562	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	562	15	spaces	space	NOUN
ejde-1590	562	16	and	and	CCONJ
ejde-1590	562	17	their	their	PRON
ejde-1590	562	18	use	use	NOUN
ejde-1590	562	19	in	in	ADP
ejde-1590	562	20	analysis	analysis	NOUN
ejde-1590	562	21	,	,	PUNCT
ejde-1590	562	22	bull	bull	NOUN
ejde-1590	562	23	.	.	PUNCT
ejde-1590	563	1	amer	amer	PROPN
ejde-1590	563	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	563	3	math	math	PROPN
ejde-1590	563	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	564	1	soc	soc	PROPN
ejde-1590	564	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	564	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	564	4	83(4	83(4	NUM
ejde-1590	564	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	564	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	564	7	1977	1977	NUM
ejde-1590	564	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	564	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	564	10	569–645	569–645	NUM
ejde-1590	564	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	565	1	[	[	X
ejde-1590	565	2	7	7	NUM
ejde-1590	565	3	]	]	X
ejde-1590	565	4	dao	dao	NOUN
ejde-1590	565	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	565	6	n.	n.	PROPN
ejde-1590	565	7	a.	a.	PROPN
ejde-1590	565	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	565	9	krantz	krantz	PROPN
ejde-1590	565	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	565	11	s.	s.	PROPN
ejde-1590	565	12	g.	g.	PROPN
ejde-1590	565	13	;	;	PUNCT
ejde-1590	565	14	lam	lam	PROPN
ejde-1590	565	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	565	16	n.	n.	PROPN
ejde-1590	565	17	;	;	PUNCT
ejde-1590	565	18	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-1590	565	19	integral	integral	ADJ
ejde-1590	565	20	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	565	21	and	and	CCONJ
ejde-1590	565	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	565	23	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	565	24	on	on	ADP
ejde-1590	565	25	lorentz	lorentz	PROPN
ejde-1590	565	26	spaces	space	NOUN
ejde-1590	565	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	565	28	j.	j.	PROPN
ejde-1590	565	29	math	math	PROPN
ejde-1590	565	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	566	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	566	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	567	1	appl	appl	PROPN
ejde-1590	567	2	.	.	PROPN
ejde-1590	567	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	567	4	498(1	498(1	NUM
ejde-1590	567	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	567	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	567	7	2021	2021	NUM
ejde-1590	567	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	567	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	567	10	124926	124926	NUM
ejde-1590	567	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	568	1	[	[	X
ejde-1590	568	2	8	8	NUM
ejde-1590	568	3	]	]	X
ejde-1590	568	4	dao	dao	NOUN
ejde-1590	568	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	568	6	n.	n.	PROPN
ejde-1590	568	7	a.	a.	NOUN
ejde-1590	568	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	568	9	wick	wick	PROPN
ejde-1590	568	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	568	11	b.	b.	PROPN
ejde-1590	568	12	d.	d.	PROPN
ejde-1590	568	13	;	;	PUNCT
ejde-1590	568	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	568	15	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	568	16	in	in	ADP
ejde-1590	568	17	terms	term	NOUN
ejde-1590	568	18	of	of	ADP
ejde-1590	568	19	multilinear	multilinear	ADJ
ejde-1590	568	20	calderón	calderón	NOUN
ejde-1590	568	21	-	-	PUNCT
ejde-1590	568	22	zygmund	zygmund	ADJ
ejde-1590	568	23	operators	operator	NOUN
ejde-1590	568	24	using	use	VERB
ejde-1590	568	25	morrey	morrey	PROPN
ejde-1590	568	26	spaces	space	NOUN
ejde-1590	568	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	568	28	submitted	submit	VERB
ejde-1590	568	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	569	1	[	[	X
ejde-1590	569	2	9	9	NUM
ejde-1590	569	3	]	]	X
ejde-1590	569	4	dao	dao	NOUN
ejde-1590	569	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	569	6	n.	n.	PROPN
ejde-1590	569	7	a.	a.	NOUN
ejde-1590	569	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	569	9	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	569	10	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	569	11	in	in	ADP
ejde-1590	569	12	terms	term	NOUN
ejde-1590	569	13	of	of	ADP
ejde-1590	569	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-1590	569	15	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	569	16	in	in	ADP
ejde-1590	569	17	lorentz	lorentz	PROPN
ejde-1590	569	18	spaces	space	NOUN
ejde-1590	569	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	569	20	to	to	PART
ejde-1590	569	21	appear	appear	VERB
ejde-1590	569	22	in	in	ADP
ejde-1590	569	23	front	front	NOUN
ejde-1590	569	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	570	1	math	math	NOUN
ejde-1590	570	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	571	1	china	china	PROPN
ejde-1590	571	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	571	3	doi	doi	X
ejde-1590	571	4	10.1007	10.1007	NUM
ejde-1590	571	5	/	/	SYM
ejde-1590	571	6	s11464	s11464	NOUN
ejde-1590	571	7	-	-	PUNCT
ejde-1590	571	8	021	021	NUM
ejde-1590	571	9	-	-	PUNCT
ejde-1590	571	10	0946	0946	NUM
ejde-1590	571	11	-	-	SYM
ejde-1590	571	12	1	1	NUM
ejde-1590	571	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	572	1	[	[	X
ejde-1590	572	2	10	10	NUM
ejde-1590	572	3	]	]	X
ejde-1590	572	4	duong	duong	PROPN
ejde-1590	572	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	572	6	x.	x.	PROPN
ejde-1590	572	7	t.	t.	PROPN
ejde-1590	572	8	;	;	PUNCT
ejde-1590	572	9	gong	gong	PROPN
ejde-1590	572	10	,	,	PUNCT
ejde-1590	572	11	r.	r.	PROPN
ejde-1590	572	12	;	;	PUNCT
ejde-1590	572	13	kuffner	kuffner	NOUN
ejde-1590	572	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	572	15	m.-j	m.-j	PROPN
ejde-1590	572	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	573	1	s.	s.	PROPN
ejde-1590	573	2	;	;	PUNCT
ejde-1590	573	3	li	li	PROPN
ejde-1590	573	4	,	,	PUNCT
ejde-1590	573	5	j.	j.	PROPN
ejde-1590	573	6	;	;	PUNCT
ejde-1590	573	7	wick	wick	PROPN
ejde-1590	573	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	573	9	b.	b.	PROPN
ejde-1590	573	10	d.	d.	PROPN
ejde-1590	573	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	573	12	yang	yang	PROPN
ejde-1590	573	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	573	14	d.	d.	PROPN
ejde-1590	573	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	573	16	two	two	NUM
ejde-1590	573	17	weight	weight	NOUN
ejde-1590	573	18	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	573	19	on	on	ADP
ejde-1590	573	20	spaces	space	NOUN
ejde-1590	573	21	of	of	ADP
ejde-1590	573	22	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1590	573	23	type	type	NOUN
ejde-1590	573	24	and	and	CCONJ
ejde-1590	573	25	applications	application	NOUN
ejde-1590	573	26	,	,	PUNCT
ejde-1590	573	27	j.	j.	PROPN
ejde-1590	573	28	geom	geom	PROPN
ejde-1590	573	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	574	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	574	2	.	.	PROPN
ejde-1590	574	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	574	4	31(1	31(1	NUM
ejde-1590	574	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	574	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	574	7	2021	2021	NUM
ejde-1590	574	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	574	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	574	10	980–1038	980–1038	NUM
ejde-1590	574	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	575	1	[	[	X
ejde-1590	575	2	11	11	NUM
ejde-1590	575	3	]	]	X
ejde-1590	575	4	faris	faris	PROPN
ejde-1590	575	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	575	6	w.	w.	NOUN
ejde-1590	575	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	575	8	weak	weak	ADJ
ejde-1590	575	9	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-1590	575	10	spaces	space	NOUN
ejde-1590	575	11	and	and	CCONJ
ejde-1590	575	12	quantum	quantum	ADJ
ejde-1590	575	13	mechanical	mechanical	ADJ
ejde-1590	575	14	binding	bind	VERB
ejde-1590	575	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	575	16	duke	duke	PROPN
ejde-1590	575	17	math	math	PROPN
ejde-1590	575	18	.	.	PUNCT
ejde-1590	576	1	j.	j.	PROPN
ejde-1590	576	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	576	3	43(2	43(2	PROPN
ejde-1590	576	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	576	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	576	6	1976	1976	NUM
ejde-1590	576	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	576	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	576	9	365–373	365–373	NUM
ejde-1590	576	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	577	1	[	[	X
ejde-1590	577	2	12	12	NUM
ejde-1590	577	3	]	]	X
ejde-1590	577	4	zhao	zhao	PROPN
ejde-1590	577	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	577	6	f.	f.	PROPN
ejde-1590	577	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	577	8	fu	fu	PROPN
ejde-1590	577	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	577	10	z.	z.	PROPN
ejde-1590	577	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	577	12	lu	lu	PROPN
ejde-1590	577	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	577	14	s.	s.	PROPN
ejde-1590	577	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	577	16	endpoint	endpoint	NOUN
ejde-1590	577	17	estimates	estimate	NOUN
ejde-1590	577	18	for	for	ADP
ejde-1590	577	19	n	n	CCONJ
ejde-1590	577	20	-	-	PUNCT
ejde-1590	577	21	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1590	577	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	577	23	operators	operator	NOUN
ejde-1590	577	24	and	and	CCONJ
ejde-1590	577	25	their	their	PRON
ejde-1590	577	26	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	577	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	577	28	sci	sci	PROPN
ejde-1590	577	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	578	1	china	china	PROPN
ejde-1590	578	2	ser	ser	PROPN
ejde-1590	578	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	579	1	a	a	DET
ejde-1590	579	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	579	3	55(9	55(9	NUM
ejde-1590	579	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	579	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	579	6	2012	2012	NUM
ejde-1590	579	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	579	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	579	9	1977–1990	1977–1990	NUM
ejde-1590	579	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	580	1	[	[	X
ejde-1590	580	2	13	13	NUM
ejde-1590	580	3	]	]	SYM
ejde-1590	580	4	fu	fu	PROPN
ejde-1590	580	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	580	6	z.	z.	PROPN
ejde-1590	580	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	580	8	liu	liu	PROPN
ejde-1590	580	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	580	10	z.	z.	PROPN
ejde-1590	580	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	580	12	lu	lu	PROPN
ejde-1590	580	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	580	14	s.	s.	PROPN
ejde-1590	580	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	580	16	wang	wang	PROPN
ejde-1590	580	17	,	,	PUNCT
ejde-1590	580	18	h.	h.	PROPN
ejde-1590	580	19	;	;	PUNCT
ejde-1590	580	20	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	580	21	for	for	ADP
ejde-1590	580	22	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	580	23	of	of	ADP
ejde-1590	580	24	n	n	ADV
ejde-1590	580	25	-	-	PUNCT
ejde-1590	580	26	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1590	580	27	fractional	fractional	ADJ
ejde-1590	580	28	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	580	29	operators	operator	NOUN
ejde-1590	580	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	580	31	sci	sci	PROPN
ejde-1590	580	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	581	1	china	china	PROPN
ejde-1590	581	2	ser	ser	PROPN
ejde-1590	581	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	582	1	a	a	DET
ejde-1590	582	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	582	3	50(10	50(10	NOUN
ejde-1590	582	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	582	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	582	6	2007	2007	NUM
ejde-1590	582	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	582	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	582	9	1418–1426	1418–1426	NUM
ejde-1590	582	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	583	1	[	[	X
ejde-1590	583	2	14	14	NUM
ejde-1590	583	3	]	]	PUNCT
ejde-1590	583	4	garćıa	garćıa	NOUN
ejde-1590	583	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	583	6	cuerva	cuerva	NOUN
ejde-1590	583	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	583	8	j.	j.	PROPN
ejde-1590	583	9	;	;	PUNCT
ejde-1590	583	10	herrero	herrero	PROPN
ejde-1590	583	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	583	12	m.-j	m.-j	PROPN
ejde-1590	583	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	584	1	l.	l.	PROPN
ejde-1590	584	2	;	;	PUNCT
ejde-1590	584	3	a	a	DET
ejde-1590	584	4	theory	theory	NOUN
ejde-1590	584	5	of	of	ADP
ejde-1590	584	6	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	584	7	spaces	space	NOUN
ejde-1590	584	8	associated	associate	VERB
ejde-1590	584	9	to	to	ADP
ejde-1590	584	10	the	the	DET
ejde-1590	584	11	herz	herz	PROPN
ejde-1590	584	12	spaces	space	NOUN
ejde-1590	584	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	584	14	proc	proc	NOUN
ejde-1590	584	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	585	1	london	london	PROPN
ejde-1590	585	2	math	math	PROPN
ejde-1590	585	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	586	1	soc	soc	PROPN
ejde-1590	586	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	587	1	69(3	69(3	NUM
ejde-1590	587	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	587	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	587	4	1994	1994	NUM
ejde-1590	587	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	587	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	587	7	605–628	605–628	NUM
ejde-1590	587	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	588	1	[	[	X
ejde-1590	588	2	15	15	NUM
ejde-1590	588	3	]	]	X
ejde-1590	588	4	garćıa	garćıa	NOUN
ejde-1590	588	5	-	-	PUNCT
ejde-1590	588	6	cuerva	cuerva	NOUN
ejde-1590	588	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	588	8	j.	j.	PROPN
ejde-1590	588	9	;	;	PUNCT
ejde-1590	588	10	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	588	11	spaces	space	NOUN
ejde-1590	588	12	and	and	CCONJ
ejde-1590	588	13	beurling	beurle	VERB
ejde-1590	588	14	algebras	algebras	PROPN
ejde-1590	588	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	588	16	j.	j.	PROPN
ejde-1590	588	17	london	london	PROPN
ejde-1590	588	18	math	math	PROPN
ejde-1590	588	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	589	1	soc	soc	PROPN
ejde-1590	589	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	590	1	39(3	39(3	NUM
ejde-1590	590	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	590	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	590	4	1989	1989	NUM
ejde-1590	590	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	590	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	591	1	499–513	499–513	NUM
ejde-1590	591	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	592	1	[	[	X
ejde-1590	592	2	16	16	NUM
ejde-1590	592	3	]	]	X
ejde-1590	592	4	ghoussoub	ghoussoub	PROPN
ejde-1590	592	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	592	6	n.	n.	NOUN
ejde-1590	592	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	592	8	moradifam	moradifam	PROPN
ejde-1590	592	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	592	10	a.	a.	NOUN
ejde-1590	592	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	592	12	bessel	bessel	NOUN
ejde-1590	592	13	pairs	pair	NOUN
ejde-1590	592	14	and	and	CCONJ
ejde-1590	592	15	optimal	optimal	ADJ
ejde-1590	592	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	592	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	592	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	592	19	-	-	PUNCT
ejde-1590	592	20	rellich	rellich	NOUN
ejde-1590	592	21	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	592	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	592	23	math	math	NOUN
ejde-1590	592	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	593	1	ann	ann	PROPN
ejde-1590	593	2	.	.	PROPN
ejde-1590	594	1	349(1	349(1	NUM
ejde-1590	594	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	594	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	594	4	2011	2011	NUM
ejde-1590	594	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	594	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	594	7	1–57	1–57	NOUN
ejde-1590	594	8	.	.	PUNCT
ejde-1590	595	1	[	[	X
ejde-1590	595	2	17	17	NUM
ejde-1590	595	3	]	]	X
ejde-1590	595	4	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	595	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	595	6	g.	g.	NOUN
ejde-1590	595	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	595	8	note	note	VERB
ejde-1590	595	9	on	on	ADP
ejde-1590	595	10	a	a	DET
ejde-1590	595	11	theorem	theorem	NOUN
ejde-1590	595	12	of	of	ADP
ejde-1590	595	13	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-1590	595	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	595	15	math	math	NOUN
ejde-1590	595	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	596	1	z.	z.	PROPN
ejde-1590	596	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	596	3	6(3	6(3	NUM
ejde-1590	596	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	596	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	596	6	1920	1920	NUM
ejde-1590	596	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	596	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	596	9	314–317	314–317	NUM
ejde-1590	596	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	597	1	ejde-2025/82	ejde-2025/82	ADJ
ejde-1590	597	2	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	597	3	operators	operator	NOUN
ejde-1590	597	4	and	and	CCONJ
ejde-1590	597	5	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	597	6	17	17	NUM
ejde-1590	597	7	[	[	SYM
ejde-1590	597	8	18	18	NUM
ejde-1590	597	9	]	]	X
ejde-1590	597	10	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	597	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	12	g.	g.	PROPN
ejde-1590	597	13	;	;	PUNCT
ejde-1590	597	14	littlewood	littlewood	PROPN
ejde-1590	597	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	16	j.	j.	PROPN
ejde-1590	597	17	;	;	PUNCT
ejde-1590	597	18	polya	polya	PROPN
ejde-1590	597	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	20	g.	g.	PROPN
ejde-1590	597	21	;	;	PUNCT
ejde-1590	597	22	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	597	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	24	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-1590	597	25	university	university	PROPN
ejde-1590	597	26	press	press	PROPN
ejde-1590	597	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	28	london	london	PROPN
ejde-1590	597	29	/	/	SYM
ejde-1590	597	30	new	new	PROPN
ejde-1590	597	31	york	york	PROPN
ejde-1590	597	32	,	,	PUNCT
ejde-1590	597	33	1934	1934	NUM
ejde-1590	597	34	.	.	PUNCT
ejde-1590	598	1	[	[	X
ejde-1590	598	2	19	19	NUM
ejde-1590	598	3	]	]	SYM
ejde-1590	598	4	komori	komori	X
ejde-1590	598	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	598	6	y.	y.	PROPN
ejde-1590	598	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	598	8	mizuhara	mizuhara	PROPN
ejde-1590	598	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	598	10	t.	t.	NOUN
ejde-1590	598	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	598	12	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	598	13	of	of	ADP
ejde-1590	598	14	functions	function	NOUN
ejde-1590	598	15	in	in	ADP
ejde-1590	598	16	h1(rn	h1(rn	PROPN
ejde-1590	598	17	)	)	PUNCT
ejde-1590	598	18	and	and	CCONJ
ejde-1590	598	19	generalized	generalize	VERB
ejde-1590	598	20	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	598	21	spaces	space	NOUN
ejde-1590	598	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	598	23	math	math	NOUN
ejde-1590	598	24	.	.	PUNCT
ejde-1590	598	25	nachr	nachr	PROPN
ejde-1590	598	26	.	.	PROPN
ejde-1590	598	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	598	28	279(6	279(6	NUM
ejde-1590	598	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	598	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	598	31	2006	2006	NUM
ejde-1590	598	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	598	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	598	34	619–624	619–624	NUM
ejde-1590	598	35	.	.	PUNCT
ejde-1590	599	1	[	[	X
ejde-1590	599	2	20	20	NUM
ejde-1590	599	3	]	]	SYM
ejde-1590	599	4	komori	komori	X
ejde-1590	599	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	599	6	y.	y.	PROPN
ejde-1590	599	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	599	8	notes	note	NOUN
ejde-1590	599	9	on	on	ADP
ejde-1590	599	10	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	599	11	of	of	ADP
ejde-1590	599	12	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	599	13	operators	operator	NOUN
ejde-1590	599	14	,	,	PUNCT
ejde-1590	599	15	int	int	PROPN
ejde-1590	599	16	.	.	PUNCT
ejde-1590	600	1	j.	j.	PROPN
ejde-1590	600	2	pure	pure	PROPN
ejde-1590	600	3	appl	appl	PROPN
ejde-1590	600	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	600	5	math	math	PROPN
ejde-1590	600	6	.	.	PUNCT
ejde-1590	600	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	600	8	7(3	7(3	NUM
ejde-1590	600	9	)	)	PUNCT
ejde-1590	600	10	(	(	PUNCT
ejde-1590	600	11	2003	2003	NUM
ejde-1590	600	12	)	)	PUNCT
ejde-1590	600	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	600	14	329–334	329–334	NUM
ejde-1590	600	15	.	.	PUNCT
ejde-1590	601	1	[	[	X
ejde-1590	601	2	21	21	NUM
ejde-1590	601	3	]	]	X
ejde-1590	601	4	lam	lam	PROPN
ejde-1590	601	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	601	6	n.	n.	PROPN
ejde-1590	601	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	601	8	lu	lu	PROPN
ejde-1590	601	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	601	10	g.	g.	PROPN
ejde-1590	601	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	601	12	zhang	zhang	PROPN
ejde-1590	601	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	601	14	l.	l.	PROPN
ejde-1590	601	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	601	16	geometric	geometric	ADJ
ejde-1590	601	17	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	601	18	’s	’s	PART
ejde-1590	601	19	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1590	601	20	with	with	ADP
ejde-1590	601	21	general	general	ADJ
ejde-1590	601	22	distance	distance	NOUN
ejde-1590	601	23	functions	function	NOUN
ejde-1590	601	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	601	25	j.	j.	PROPN
ejde-1590	601	26	funct	funct	PROPN
ejde-1590	601	27	.	.	PUNCT
ejde-1590	602	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	602	2	.	.	PROPN
ejde-1590	602	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	602	4	279(3	279(3	NUM
ejde-1590	602	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	602	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	602	7	2020	2020	NUM
ejde-1590	602	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	602	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	602	10	108673	108673	NUM
ejde-1590	602	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	603	1	[	[	X
ejde-1590	603	2	22	22	NUM
ejde-1590	603	3	]	]	X
ejde-1590	603	4	long	long	ADV
ejde-1590	603	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	603	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	603	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	603	8	wang	wang	PROPN
ejde-1590	603	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	603	10	j.	j.	PROPN
ejde-1590	603	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	603	12	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	603	13	of	of	ADP
ejde-1590	603	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	603	15	operators	operator	NOUN
ejde-1590	603	16	,	,	PUNCT
ejde-1590	603	17	j.	j.	PROPN
ejde-1590	603	18	math	math	PROPN
ejde-1590	603	19	.	.	PUNCT
ejde-1590	604	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	604	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	605	1	appl	appl	PROPN
ejde-1590	605	2	.	.	PROPN
ejde-1590	605	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	605	4	274(2	274(2	NUM
ejde-1590	605	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	605	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	605	7	2002	2002	NUM
ejde-1590	605	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	605	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	605	10	626–644	626–644	NUM
ejde-1590	605	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	606	1	[	[	X
ejde-1590	606	2	23	23	NUM
ejde-1590	606	3	]	]	X
ejde-1590	606	4	lu	lu	PROPN
ejde-1590	606	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	606	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	606	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	606	8	function	function	NOUN
ejde-1590	606	9	characterizations	characterization	NOUN
ejde-1590	606	10	via	via	ADP
ejde-1590	606	11	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	606	12	of	of	ADP
ejde-1590	606	13	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	606	14	operator	operator	NOUN
ejde-1590	606	15	,	,	PUNCT
ejde-1590	606	16	front	front	NOUN
ejde-1590	606	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	607	1	math	math	NOUN
ejde-1590	607	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	608	1	china	china	PROPN
ejde-1590	608	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	608	3	16(1	16(1	NUM
ejde-1590	608	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	608	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	608	6	2021	2021	NUM
ejde-1590	608	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	608	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	608	9	1–12	1–12	NOUN
ejde-1590	608	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	609	1	[	[	X
ejde-1590	609	2	24	24	NUM
ejde-1590	609	3	]	]	SYM
ejde-1590	609	4	lu	lu	PROPN
ejde-1590	609	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	609	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	609	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	609	8	zhao	zhao	PROPN
ejde-1590	609	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	609	10	f.	f.	PROPN
ejde-1590	609	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	609	12	a	a	DET
ejde-1590	609	13	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	609	14	of	of	ADP
ejde-1590	609	15	λ	λ	ADJ
ejde-1590	609	16	-	-	ADJ
ejde-1590	609	17	central	central	ADJ
ejde-1590	609	18	bmo	bmo	NOUN
ejde-1590	609	19	space	space	NOUN
ejde-1590	609	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	609	21	front	front	NOUN
ejde-1590	609	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	610	1	math	math	NOUN
ejde-1590	610	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	611	1	china	china	PROPN
ejde-1590	611	2	,	,	PUNCT
ejde-1590	611	3	8(1	8(1	NOUN
ejde-1590	611	4	)	)	PUNCT
ejde-1590	611	5	(	(	PUNCT
ejde-1590	611	6	2013	2013	NUM
ejde-1590	611	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	611	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	611	9	229–238	229–238	NUM
ejde-1590	611	10	.	.	PUNCT
ejde-1590	612	1	[	[	X
ejde-1590	612	2	25	25	NUM
ejde-1590	612	3	]	]	X
ejde-1590	612	4	shi	shi	PROPN
ejde-1590	612	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	612	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	612	7	,	,	PUNCT
ejde-1590	612	8	lu	lu	PROPN
ejde-1590	612	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	612	10	s.	s.	PROPN
ejde-1590	612	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	612	12	characterization	characterization	NOUN
ejde-1590	612	13	of	of	ADP
ejde-1590	612	14	the	the	DET
ejde-1590	612	15	central	central	ADJ
ejde-1590	612	16	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	612	17	space	space	NOUN
ejde-1590	612	18	via	via	ADP
ejde-1590	612	19	the	the	DET
ejde-1590	612	20	commutator	commutator	NOUN
ejde-1590	612	21	operator	operator	NOUN
ejde-1590	612	22	of	of	ADP
ejde-1590	612	23	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	612	24	type	type	NOUN
ejde-1590	612	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	612	26	j.	j.	PROPN
ejde-1590	612	27	math	math	PROPN
ejde-1590	612	28	.	.	PUNCT
ejde-1590	613	1	anal	anal	PROPN
ejde-1590	613	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	614	1	appl	appl	PROPN
ejde-1590	614	2	.	.	PROPN
ejde-1590	615	1	429(1	429(1	NUM
ejde-1590	615	2	)	)	PUNCT
ejde-1590	615	3	(	(	PUNCT
ejde-1590	615	4	2015	2015	NUM
ejde-1590	615	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	615	6	,	,	PUNCT
ejde-1590	616	1	713–732	713–732	NUM
ejde-1590	616	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	617	1	[	[	X
ejde-1590	617	2	26	26	NUM
ejde-1590	617	3	]	]	X
ejde-1590	617	4	shi	shi	PROPN
ejde-1590	617	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	617	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	617	8	fu	fu	PROPN
ejde-1590	617	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	10	z.	z.	PROPN
ejde-1590	617	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	617	12	lu	lu	PROPN
ejde-1590	617	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	14	s.	s.	PROPN
ejde-1590	617	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	617	16	on	on	ADP
ejde-1590	617	17	the	the	DET
ejde-1590	617	18	compactness	compactness	NOUN
ejde-1590	617	19	of	of	ADP
ejde-1590	617	20	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	617	21	of	of	ADP
ejde-1590	617	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	617	23	operators	operator	NOUN
ejde-1590	617	24	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	25	pacific	pacific	PROPN
ejde-1590	617	26	j.	j.	PROPN
ejde-1590	617	27	math	math	PROPN
ejde-1590	617	28	.	.	PROPN
ejde-1590	617	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	30	307(2	307(2	NUM
ejde-1590	617	31	)	)	PUNCT
ejde-1590	617	32	(	(	PUNCT
ejde-1590	617	33	2020	2020	NUM
ejde-1590	617	34	)	)	PUNCT
ejde-1590	617	35	,	,	PUNCT
ejde-1590	617	36	239–256	239–256	NUM
ejde-1590	617	37	.	.	PUNCT
ejde-1590	618	1	[	[	X
ejde-1590	618	2	27	27	NUM
ejde-1590	618	3	]	]	X
ejde-1590	618	4	shi	shi	PROPN
ejde-1590	618	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	618	6	s.	s.	PROPN
ejde-1590	618	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	618	8	lu	lu	PROPN
ejde-1590	618	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	618	10	s.	s.	PROPN
ejde-1590	618	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	618	12	some	some	DET
ejde-1590	618	13	characterizations	characterization	NOUN
ejde-1590	618	14	of	of	ADP
ejde-1590	618	15	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	618	16	spaces	space	NOUN
ejde-1590	618	17	via	via	ADP
ejde-1590	618	18	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	618	19	on	on	ADP
ejde-1590	618	20	morrey	morrey	PROPN
ejde-1590	618	21	spaces	space	NOUN
ejde-1590	618	22	,	,	PUNCT
ejde-1590	618	23	pacific	pacific	PROPN
ejde-1590	618	24	j.	j.	PROPN
ejde-1590	618	25	math	math	PROPN
ejde-1590	618	26	.	.	PROPN
ejde-1590	618	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	618	28	264(1	264(1	NUM
ejde-1590	618	29	)	)	PUNCT
ejde-1590	618	30	(	(	PUNCT
ejde-1590	618	31	2013	2013	NUM
ejde-1590	618	32	)	)	PUNCT
ejde-1590	618	33	,	,	PUNCT
ejde-1590	618	34	221–234	221–234	NUM
ejde-1590	618	35	.	.	PUNCT
ejde-1590	619	1	[	[	X
ejde-1590	619	2	28	28	NUM
ejde-1590	619	3	]	]	X
ejde-1590	619	4	tao	tao	PROPN
ejde-1590	619	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	619	6	j.	j.	PROPN
ejde-1590	619	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	619	8	yang	yang	PROPN
ejde-1590	619	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	619	10	d.	d.	PROPN
ejde-1590	619	11	;	;	PUNCT
ejde-1590	619	12	yang	yang	PROPN
ejde-1590	619	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	619	14	d.	d.	PROPN
ejde-1590	619	15	;	;	PUNCT
ejde-1590	619	16	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	619	17	and	and	CCONJ
ejde-1590	619	18	compactness	compactness	NOUN
ejde-1590	619	19	characterizations	characterization	NOUN
ejde-1590	619	20	of	of	ADP
ejde-1590	619	21	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-1590	619	22	integral	integral	ADJ
ejde-1590	619	23	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	619	24	on	on	ADP
ejde-1590	619	25	morrey	morrey	PROPN
ejde-1590	619	26	spaces	space	NOUN
ejde-1590	619	27	,	,	PUNCT
ejde-1590	619	28	math	math	NOUN
ejde-1590	619	29	.	.	PUNCT
ejde-1590	620	1	methods	method	NOUN
ejde-1590	620	2	appl	appl	PROPN
ejde-1590	620	3	.	.	PUNCT
ejde-1590	621	1	sci	sci	PROPN
ejde-1590	621	2	.	.	PROPN
ejde-1590	621	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	621	4	42(5	42(5	NUM
ejde-1590	621	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	621	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	621	7	2019	2019	NUM
ejde-1590	621	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	621	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	621	10	1631–1651	1631–1651	ADV
ejde-1590	621	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	622	1	[	[	X
ejde-1590	622	2	29	29	NUM
ejde-1590	622	3	]	]	X
ejde-1590	622	4	uchiyama	uchiyama	NOUN
ejde-1590	622	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	622	6	a.	a.	NOUN
ejde-1590	622	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	622	8	the	the	DET
ejde-1590	622	9	factorization	factorization	NOUN
ejde-1590	622	10	of	of	ADP
ejde-1590	622	11	hp	hp	PROPN
ejde-1590	622	12	on	on	ADP
ejde-1590	622	13	the	the	DET
ejde-1590	622	14	space	space	NOUN
ejde-1590	622	15	of	of	ADP
ejde-1590	622	16	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1590	622	17	type	type	NOUN
ejde-1590	622	18	,	,	PUNCT
ejde-1590	622	19	pacific	pacific	PROPN
ejde-1590	622	20	j.	j.	PROPN
ejde-1590	622	21	math	math	PROPN
ejde-1590	622	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	622	23	,	,	PUNCT
ejde-1590	622	24	92(2	92(2	NUM
ejde-1590	622	25	)	)	PUNCT
ejde-1590	622	26	(	(	PUNCT
ejde-1590	622	27	1981	1981	NUM
ejde-1590	622	28	)	)	PUNCT
ejde-1590	622	29	,	,	PUNCT
ejde-1590	622	30	453–468	453–468	NUM
ejde-1590	622	31	.	.	PUNCT
ejde-1590	623	1	[	[	X
ejde-1590	623	2	30	30	NUM
ejde-1590	623	3	]	]	PUNCT
ejde-1590	623	4	zorko	zorko	PROPN
ejde-1590	623	5	,	,	PUNCT
ejde-1590	623	6	c.	c.	PROPN
ejde-1590	623	7	;	;	PUNCT
ejde-1590	623	8	the	the	DET
ejde-1590	623	9	morrey	morrey	PROPN
ejde-1590	623	10	space	space	NOUN
ejde-1590	623	11	,	,	PUNCT
ejde-1590	623	12	proc	proc	NOUN
ejde-1590	623	13	.	.	PUNCT
ejde-1590	624	1	amer	amer	PROPN
ejde-1590	624	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	624	3	math	math	PROPN
ejde-1590	624	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	625	1	soc	soc	PROPN
ejde-1590	625	2	.	.	PUNCT
ejde-1590	625	3	,	,	PUNCT
ejde-1590	625	4	98(4	98(4	X
ejde-1590	625	5	)	)	PUNCT
ejde-1590	625	6	(	(	PUNCT
ejde-1590	625	7	1986	1986	NUM
ejde-1590	625	8	)	)	PUNCT
ejde-1590	625	9	,	,	PUNCT
ejde-1590	625	10	586–592	586–592	NUM
ejde-1590	625	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	625	12	le	le	PROPN
ejde-1590	625	13	trung	trung	VERB
ejde-1590	625	14	nghia	nghia	NOUN
ejde-1590	625	15	faculty	faculty	NOUN
ejde-1590	625	16	of	of	ADP
ejde-1590	625	17	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1590	625	18	and	and	CCONJ
ejde-1590	625	19	statistics	statistic	NOUN
ejde-1590	625	20	,	,	PUNCT
ejde-1590	625	21	ton	ton	PROPN
ejde-1590	625	22	duc	duc	PROPN
ejde-1590	625	23	thang	thang	PROPN
ejde-1590	625	24	university	university	PROPN
ejde-1590	625	25	,	,	PUNCT
ejde-1590	625	26	ho	ho	PROPN
ejde-1590	625	27	chi	chi	PROPN
ejde-1590	625	28	minh	minh	PROPN
ejde-1590	625	29	city	city	PROPN
ejde-1590	625	30	,	,	PUNCT
ejde-1590	625	31	vietnam	vietnam	PROPN
ejde-1590	625	32	.	.	PUNCT
ejde-1590	626	1	ho	ho	PROPN
ejde-1590	626	2	chi	chi	PROPN
ejde-1590	626	3	minh	minh	PROPN
ejde-1590	626	4	city	city	PROPN
ejde-1590	626	5	university	university	PROPN
ejde-1590	626	6	of	of	ADP
ejde-1590	626	7	education	education	NOUN
ejde-1590	626	8	,	,	PUNCT
ejde-1590	626	9	ho	ho	PROPN
ejde-1590	626	10	chi	chi	PROPN
ejde-1590	626	11	minh	minh	PROPN
ejde-1590	626	12	city	city	PROPN
ejde-1590	626	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	626	14	vietnam	vietnam	PROPN
ejde-1590	626	15	email	email	NOUN
ejde-1590	626	16	address	address	NOUN
ejde-1590	626	17	:	:	PUNCT
ejde-1590	626	18	letrungnghia@tdtu.edu.vn	letrungnghia@tdtu.edu.vn	ADJ
ejde-1590	626	19	,	,	PUNCT
ejde-1590	626	20	letrungnghia85@yahoo.com	letrungnghia85@yahoo.com	X
ejde-1590	626	21	1	1	X
ejde-1590	626	22	.	.	PUNCT
ejde-1590	626	23	introduction	introduction	NOUN
ejde-1590	626	24	and	and	CCONJ
ejde-1590	626	25	main	main	ADJ
ejde-1590	626	26	results	result	NOUN
ejde-1590	626	27	problem	problem	NOUN
ejde-1590	626	28	setting	set	VERB
ejde-1590	626	29	explicit	explicit	ADJ
ejde-1590	626	30	singular	singular	ADJ
ejde-1590	626	31	solution	solution	NOUN
ejde-1590	626	32	why	why	SCONJ
ejde-1590	626	33	the	the	DET
ejde-1590	626	34	solution	solution	NOUN
ejde-1590	626	35	is	be	AUX
ejde-1590	626	36	independent	independent	ADJ
ejde-1590	626	37	of	of	ADP
ejde-1590	626	38	q	q	PROPN
ejde-1590	626	39	membership	membership	NOUN
ejde-1590	626	40	in	in	ADP
ejde-1590	626	41	central	central	ADJ
ejde-1590	626	42	morrey	morrey	NOUN
ejde-1590	626	43	spaces	space	VERB
ejde-1590	626	44	oscillation	oscillation	NOUN
ejde-1590	626	45	near	near	ADP
ejde-1590	626	46	zero	zero	NUM
ejde-1590	626	47	:	:	PUNCT
ejde-1590	626	48	campanato	campanato	NOUN
ejde-1590	626	49	spaces	space	VERB
ejde-1590	626	50	1.1	1.1	NUM
ejde-1590	626	51	.	.	PUNCT
ejde-1590	627	1	main	main	ADJ
ejde-1590	627	2	results	result	NOUN
ejde-1590	627	3	2	2	NUM
ejde-1590	627	4	.	.	PUNCT
ejde-1590	627	5	space	space	NOUN
ejde-1590	627	6	hap',r'(rn	hap',r'(rn	PROPN
ejde-1590	627	7	)	)	PUNCT
ejde-1590	627	8	as	as	ADP
ejde-1590	627	9	the	the	DET
ejde-1590	627	10	predual	predual	ADJ
ejde-1590	627	11	of	of	ADP
ejde-1590	627	12	p	p	X
ejde-1590	627	13	,	,	PUNCT
ejde-1590	627	14	r(rn	r(rn	NUM
ejde-1590	627	15	)	)	PUNCT
ejde-1590	627	16	3	3	NUM
ejde-1590	627	17	.	.	PUNCT
ejde-1590	627	18	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-1590	627	19	of	of	ADP
ejde-1590	627	20	operators	operator	NOUN
ejde-1590	627	21	of	of	ADP
ejde-1590	627	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	627	23	type	type	NOUN
ejde-1590	627	24	in	in	ADP
ejde-1590	627	25	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	627	26	central	central	ADJ
ejde-1590	627	27	function	function	NOUN
ejde-1590	627	28	spaces	space	VERB
ejde-1590	627	29	3.1	3.1	NUM
ejde-1590	627	30	.	.	PUNCT
ejde-1590	628	1	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	628	2	operators	operator	NOUN
ejde-1590	628	3	in	in	ADP
ejde-1590	628	4	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	628	5	central	central	ADJ
ejde-1590	628	6	function	function	NOUN
ejde-1590	628	7	spaces	space	VERB
ejde-1590	628	8	3.2	3.2	NUM
ejde-1590	628	9	.	.	PUNCT
ejde-1590	629	1	commutators	commutator	NOUN
ejde-1590	629	2	of	of	ADP
ejde-1590	629	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-1590	629	4	operators	operator	NOUN
ejde-1590	629	5	in	in	ADP
ejde-1590	629	6	generalized	generalized	ADJ
ejde-1590	629	7	central	central	ADJ
ejde-1590	629	8	function	function	NOUN
ejde-1590	629	9	spaces	space	VERB
ejde-1590	629	10	4	4	NUM
ejde-1590	629	11	.	.	PUNCT
ejde-1590	630	1	applications	application	NOUN
ejde-1590	630	2	of	of	ADP
ejde-1590	630	3	hardy	hardy	NOUN
ejde-1590	630	4	's	's	PART
ejde-1590	630	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-1590	630	6	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-1590	630	7	references	reference	NOUN