id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-1684	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-1684	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-1684	1	3	of	of	ADP
ejde-1684	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-1684	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-1684	1	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-1684	1	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	1	9	2025	2025	NUM
ejde-1684	1	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	1	11	2025	2025	NUM
ejde-1684	1	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	1	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	1	14	no	no	INTJ
ejde-1684	1	15	.	.	NOUN
ejde-1684	1	16	105	105	NUM
ejde-1684	1	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-1684	1	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	2	1	1–18	1–18	PROPN
ejde-1684	2	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-1684	3	2	:	:	PUNCT
ejde-1684	3	3	1072	1072	NUM
ejde-1684	3	4	-	-	SYM
ejde-1684	3	5	6691	6691	NUM
ejde-1684	3	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	4	1	url	url	PROPN
ejde-1684	4	2	:	:	PUNCT
ejde-1684	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-1684	4	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	4	5	doi	doi	NOUN
ejde-1684	4	6	:	:	PUNCT
ejde-1684	4	7	10.58997	10.58997	NUM
ejde-1684	4	8	/	/	SYM
ejde-1684	4	9	ejde.2025.105	ejde.2025.105	PROPN
ejde-1684	4	10	global	global	ADJ
ejde-1684	4	11	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	4	12	for	for	ADP
ejde-1684	4	13	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	4	14	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	4	15	problems	problem	NOUN
ejde-1684	4	16	involving	involve	VERB
ejde-1684	4	17	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	4	18	terms	term	NOUN
ejde-1684	4	19	qingbo	qingbo	VERB
ejde-1684	4	20	liu	liu	PROPN
ejde-1684	4	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	4	22	lan	lan	PROPN
ejde-1684	4	23	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	4	24	abstract	abstract	NOUN
ejde-1684	4	25	.	.	PUNCT
ejde-1684	5	1	we	we	PRON
ejde-1684	5	2	investigate	investigate	VERB
ejde-1684	5	3	global	global	ADJ
ejde-1684	5	4	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	5	5	phenomenon	phenomenon	NOUN
ejde-1684	5	6	for	for	ADP
ejde-1684	5	7	a	a	DET
ejde-1684	5	8	class	class	NOUN
ejde-1684	5	9	of	of	ADP
ejde-1684	5	10	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-1684	5	11	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	5	12	problems	problem	NOUN
ejde-1684	5	13	involving	involve	VERB
ejde-1684	5	14	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	5	15	terms	term	NOUN
ejde-1684	5	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	6	1	under	under	ADP
ejde-1684	6	2	certain	certain	ADJ
ejde-1684	6	3	assumptions	assumption	NOUN
ejde-1684	6	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	6	5	we	we	PRON
ejde-1684	6	6	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1684	6	7	the	the	DET
ejde-1684	6	8	existence	existence	NOUN
ejde-1684	6	9	of	of	ADP
ejde-1684	6	10	a	a	DET
ejde-1684	6	11	global	global	ADJ
ejde-1684	6	12	continuum	continuum	ADJ
ejde-1684	6	13	emanating	emanating	NOUN
ejde-1684	6	14	from	from	ADP
ejde-1684	6	15	the	the	DET
ejde-1684	6	16	first	first	ADJ
ejde-1684	6	17	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	6	18	of	of	ADP
ejde-1684	6	19	the	the	DET
ejde-1684	6	20	unperturbed	unperturbed	ADJ
ejde-1684	6	21	problem	problem	NOUN
ejde-1684	6	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	7	1	as	as	ADP
ejde-1684	7	2	an	an	DET
ejde-1684	7	3	application	application	NOUN
ejde-1684	7	4	of	of	ADP
ejde-1684	7	5	this	this	DET
ejde-1684	7	6	result	result	NOUN
ejde-1684	7	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	7	8	we	we	PRON
ejde-1684	7	9	identify	identify	VERB
ejde-1684	7	10	the	the	DET
ejde-1684	7	11	parameter	parameter	NOUN
ejde-1684	7	12	interval	interval	NOUN
ejde-1684	7	13	for	for	ADP
ejde-1684	7	14	which	which	PRON
ejde-1684	7	15	positive	positive	ADJ
ejde-1684	7	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	7	17	exist	exist	VERB
ejde-1684	7	18	in	in	ADP
ejde-1684	7	19	the	the	DET
ejde-1684	7	20	problem	problem	NOUN
ejde-1684	7	21	with	with	ADP
ejde-1684	7	22	general	general	ADJ
ejde-1684	7	23	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-1684	7	24	f	f	NOUN
ejde-1684	7	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	7	26	where	where	SCONJ
ejde-1684	7	27	f	f	PROPN
ejde-1684	7	28	exhibits	exhibit	VERB
ejde-1684	7	29	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-1684	7	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	7	31	q	q	NOUN
ejde-1684	7	32	−	−	PROPN
ejde-1684	7	33	1)-linear	1)-linear	NUM
ejde-1684	7	34	behavior	behavior	NOUN
ejde-1684	7	35	both	both	PRON
ejde-1684	7	36	near	near	ADP
ejde-1684	7	37	zero	zero	NUM
ejde-1684	7	38	and	and	CCONJ
ejde-1684	7	39	at	at	ADP
ejde-1684	7	40	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	7	41	.	.	PUNCT
ejde-1684	8	1	to	to	PART
ejde-1684	8	2	study	study	VERB
ejde-1684	8	3	the	the	DET
ejde-1684	8	4	global	global	ADJ
ejde-1684	8	5	structure	structure	NOUN
ejde-1684	8	6	of	of	ADP
ejde-1684	8	7	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	8	8	branch	branch	NOUN
ejde-1684	8	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	8	10	we	we	PRON
ejde-1684	8	11	also	also	ADV
ejde-1684	8	12	establish	establish	VERB
ejde-1684	8	13	some	some	DET
ejde-1684	8	14	properties	property	NOUN
ejde-1684	8	15	of	of	ADP
ejde-1684	8	16	the	the	DET
ejde-1684	8	17	first	first	ADJ
ejde-1684	8	18	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	8	19	for	for	ADP
ejde-1684	8	20	a	a	DET
ejde-1684	8	21	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-1684	8	22	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	8	23	problem	problem	NOUN
ejde-1684	8	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	9	1	1	1	X
ejde-1684	9	2	.	.	X
ejde-1684	9	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-1684	9	4	in	in	ADP
ejde-1684	9	5	this	this	DET
ejde-1684	9	6	article	article	NOUN
ejde-1684	9	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	9	8	we	we	PRON
ejde-1684	9	9	study	study	VERB
ejde-1684	9	10	the	the	DET
ejde-1684	9	11	global	global	ADJ
ejde-1684	9	12	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	9	13	phenomenon	phenomenon	NOUN
ejde-1684	9	14	for	for	ADP
ejde-1684	9	15	the	the	DET
ejde-1684	9	16	problem	problem	NOUN
ejde-1684	9	17	:	:	PUNCT
ejde-1684	9	18	−∆u	−∆u	X
ejde-1684	10	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	10	2	λ	λ	X
ejde-1684	10	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	10	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	10	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	10	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	10	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	10	8	2	2	NUM
ejde-1684	11	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	11	2	|u|q−2u+	|u|q−2u+	PROPN
ejde-1684	11	3	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	11	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	11	5	u	u	NOUN
ejde-1684	11	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	11	7	λ	λ	PROPN
ejde-1684	11	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	11	9	in	in	ADP
ejde-1684	11	10	ω	ω	PROPN
ejde-1684	11	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	11	12	u	u	NOUN
ejde-1684	11	13	=	=	NOUN
ejde-1684	11	14	0	0	NUM
ejde-1684	11	15	on	on	ADP
ejde-1684	11	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	11	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	12	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	12	2	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	12	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	12	4	where	where	SCONJ
ejde-1684	12	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	12	6	is	be	AUX
ejde-1684	12	7	a	a	DET
ejde-1684	12	8	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	12	9	domain	domain	NOUN
ejde-1684	12	10	in	in	ADP
ejde-1684	12	11	rn	rn	PROPN
ejde-1684	12	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	12	13	n	n	PRON
ejde-1684	12	14	≥	≥	NOUN
ejde-1684	12	15	2	2	NUM
ejde-1684	12	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	12	17	with	with	ADP
ejde-1684	12	18	a	a	DET
ejde-1684	12	19	smooth	smooth	ADJ
ejde-1684	12	20	boundary	boundary	ADJ
ejde-1684	12	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	12	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	12	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	12	24	λ	λ	PROPN
ejde-1684	12	25	is	be	AUX
ejde-1684	12	26	a	a	DET
ejde-1684	12	27	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	12	28	parameter	parameter	NOUN
ejde-1684	12	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	13	1	the	the	DET
ejde-1684	13	2	exponent	exponent	NOUN
ejde-1684	13	3	q	q	PROPN
ejde-1684	13	4	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	13	5	1	1	NUM
ejde-1684	13	6	≤	≤	NUM
ejde-1684	13	7	q	q	PROPN
ejde-1684	13	8	≤	≤	NUM
ejde-1684	13	9	2	2	NUM
ejde-1684	13	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	14	1	the	the	DET
ejde-1684	14	2	function	function	NOUN
ejde-1684	14	3	h	h	NOUN
ejde-1684	14	4	:	:	PUNCT
ejde-1684	14	5	ω	ω	NUM
ejde-1684	14	6	×	×	NOUN
ejde-1684	14	7	r	r	NOUN
ejde-1684	14	8	×	×	NOUN
ejde-1684	14	9	r	r	NOUN
ejde-1684	14	10	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	14	11	the	the	DET
ejde-1684	14	12	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-1684	14	13	condition	condition	NOUN
ejde-1684	14	14	in	in	ADP
ejde-1684	14	15	the	the	DET
ejde-1684	14	16	first	first	ADJ
ejde-1684	14	17	two	two	NUM
ejde-1684	14	18	variable	variable	NOUN
ejde-1684	14	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	15	1	problem	problem	NOUN
ejde-1684	15	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	15	3	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	15	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	15	5	is	be	AUX
ejde-1684	15	6	related	relate	VERB
ejde-1684	15	7	to	to	ADP
ejde-1684	15	8	the	the	DET
ejde-1684	15	9	so	so	ADV
ejde-1684	15	10	-	-	PUNCT
ejde-1684	15	11	called	call	VERB
ejde-1684	15	12	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-1684	15	13	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	15	14	problem	problem	NOUN
ejde-1684	15	15	of	of	ADP
ejde-1684	15	16	the	the	DET
ejde-1684	15	17	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-1684	15	18	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1684	15	19	−∆u	−∆u	X
ejde-1684	16	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	16	2	λ	λ	X
ejde-1684	16	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	16	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	16	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	16	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	16	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	16	8	2	2	NUM
ejde-1684	17	1	q−1	q−1	PRON
ejde-1684	17	2	|u|q−2u	|u|q−2u	INTJ
ejde-1684	17	3	in	in	ADP
ejde-1684	17	4	ω	ω	PROPN
ejde-1684	17	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	17	6	u	u	NOUN
ejde-1684	17	7	=	=	NOUN
ejde-1684	17	8	0	0	NUM
ejde-1684	17	9	on	on	ADP
ejde-1684	17	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	17	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	17	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	17	13	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	17	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	17	15	where	where	SCONJ
ejde-1684	17	16	the	the	DET
ejde-1684	17	17	exponent	exponent	NOUN
ejde-1684	17	18	q	q	PROPN
ejde-1684	17	19	∈	∈	PROPN
ejde-1684	18	1	[	[	X
ejde-1684	18	2	1	1	NUM
ejde-1684	18	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	18	4	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	18	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	18	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	19	1	the	the	DET
ejde-1684	19	2	first	first	ADJ
ejde-1684	19	3	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	19	4	of	of	ADP
ejde-1684	19	5	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-1684	19	6	problem	problem	NOUN
ejde-1684	19	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	19	8	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	19	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	19	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	19	11	λ1,q(ω	λ1,q(ω	NOUN
ejde-1684	19	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	19	13	=	=	SYM
ejde-1684	19	14	inf	inf	NOUN
ejde-1684	19	15	{	{	PUNCT
ejde-1684	19	16	∫	∫	PROPN
ejde-1684	19	17	ω	ω	PROPN
ejde-1684	19	18	|∇u|2	|∇u|2	NOUN
ejde-1684	19	19	dx	dx	PROPN
ejde-1684	19	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	19	21	∫	∫	PROPN
ejde-1684	19	22	ω	ω	PROPN
ejde-1684	19	23	|u|q	|u|q	PROPN
ejde-1684	19	24	dx	dx	PROPN
ejde-1684	19	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	19	26	2	2	X
ejde-1684	19	27	/	/	SYM
ejde-1684	19	28	q	q	NOUN
ejde-1684	19	29	:	:	PUNCT
ejde-1684	19	30	u	u	PRON
ejde-1684	19	31	∈w	∈w	VERB
ejde-1684	19	32	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	19	33	0	0	NUM
ejde-1684	19	34	(	(	PUNCT
ejde-1684	19	35	ω	ω	NOUN
ejde-1684	19	36	)	)	PUNCT
ejde-1684	19	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	19	38	u	u	NOUN
ejde-1684	19	39	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-1684	19	40	0	0	NUM
ejde-1684	19	41	}	}	PUNCT
ejde-1684	19	42	,	,	PUNCT
ejde-1684	19	43	is	be	AUX
ejde-1684	19	44	significant	significant	ADJ
ejde-1684	19	45	and	and	CCONJ
ejde-1684	19	46	has	have	AUX
ejde-1684	19	47	been	be	AUX
ejde-1684	19	48	extensively	extensively	ADV
ejde-1684	19	49	studies	study	NOUN
ejde-1684	19	50	in	in	ADP
ejde-1684	19	51	relation	relation	NOUN
ejde-1684	19	52	to	to	ADP
ejde-1684	19	53	the	the	DET
ejde-1684	19	54	geometry	geometry	NOUN
ejde-1684	19	55	and	and	CCONJ
ejde-1684	19	56	function	function	NOUN
ejde-1684	19	57	theory	theory	NOUN
ejde-1684	19	58	of	of	ADP
ejde-1684	19	59	ω	ω	PROPN
ejde-1684	19	60	,	,	PUNCT
ejde-1684	19	61	as	as	ADV
ejde-1684	19	62	well	well	ADV
ejde-1684	19	63	as	as	ADP
ejde-1684	19	64	in	in	ADP
ejde-1684	19	65	the	the	DET
ejde-1684	19	66	context	context	NOUN
ejde-1684	19	67	of	of	ADP
ejde-1684	19	68	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1684	19	69	physics	physics	NOUN
ejde-1684	19	70	issues	issue	NOUN
ejde-1684	19	71	encountered	encounter	VERB
ejde-1684	19	72	in	in	ADP
ejde-1684	19	73	engineering	engineering	NOUN
ejde-1684	19	74	.	.	PUNCT
ejde-1684	20	1	in	in	ADP
ejde-1684	20	2	particular	particular	ADJ
ejde-1684	20	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	20	4	it	it	PRON
ejde-1684	20	5	is	be	AUX
ejde-1684	20	6	associated	associate	VERB
ejde-1684	20	7	with	with	ADP
ejde-1684	20	8	the	the	DET
ejde-1684	20	9	sharp	sharp	ADJ
ejde-1684	20	10	constant	constant	ADJ
ejde-1684	20	11	in	in	ADP
ejde-1684	20	12	the	the	DET
ejde-1684	20	13	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1684	20	14	embedding	embed	VERB
ejde-1684	20	15	w	w	PROPN
ejde-1684	20	16	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	20	17	0	0	NUM
ejde-1684	20	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	20	19	ω	ω	NOUN
ejde-1684	20	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	20	21	↪	↪	PROPN
ejde-1684	20	22	→	→	SYM
ejde-1684	20	23	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1684	20	24	):	):	PUNCT
ejde-1684	20	25	sq(ω	sq(ω	PUNCT
ejde-1684	20	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	20	27	=	=	SYM
ejde-1684	21	1	1√	1√	PROPN
ejde-1684	21	2	λ1,q(ω	λ1,q(ω	NOUN
ejde-1684	21	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	21	4	=	=	SYM
ejde-1684	21	5	sup	sup	NOUN
ejde-1684	21	6	{	{	PUNCT
ejde-1684	21	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	21	8	∫	∫	PROPN
ejde-1684	21	9	ω	ω	PROPN
ejde-1684	21	10	|u|q	|u|q	PROPN
ejde-1684	21	11	dx	dx	PROPN
ejde-1684	21	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	21	13	1	1	X
ejde-1684	21	14	/	/	SYM
ejde-1684	21	15	q	q	NOUN
ejde-1684	21	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	21	17	∫	∫	PROPN
ejde-1684	21	18	ω	ω	PROPN
ejde-1684	21	19	|∇u|2	|∇u|2	NOUN
ejde-1684	21	20	dx	dx	PROPN
ejde-1684	21	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	21	22	1/2	1/2	NUM
ejde-1684	21	23	:	:	PUNCT
ejde-1684	21	24	u	u	PRON
ejde-1684	21	25	∈w	∈w	VERB
ejde-1684	21	26	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	21	27	0	0	NUM
ejde-1684	21	28	(	(	PUNCT
ejde-1684	21	29	ω	ω	NOUN
ejde-1684	21	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	21	31	,	,	PUNCT
ejde-1684	21	32	u	u	NOUN
ejde-1684	21	33	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-1684	21	34	0	0	NUM
ejde-1684	21	35	}	}	PUNCT
ejde-1684	21	36	.	.	PUNCT
ejde-1684	22	1	s1(ω	s1(ω	X
ejde-1684	22	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	22	3	=	=	SYM
ejde-1684	23	1	λ1,1(ω	λ1,1(ω	PROPN
ejde-1684	23	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	23	3	is	be	AUX
ejde-1684	23	4	usually	usually	ADV
ejde-1684	23	5	referred	refer	VERB
ejde-1684	23	6	to	to	ADP
ejde-1684	23	7	as	as	ADP
ejde-1684	23	8	the	the	DET
ejde-1684	23	9	torsional	torsional	ADJ
ejde-1684	23	10	rigidity	rigidity	NOUN
ejde-1684	23	11	of	of	ADP
ejde-1684	23	12	the	the	DET
ejde-1684	23	13	set	set	PROPN
ejde-1684	23	14	ω	ω	PROPN
ejde-1684	23	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	23	16	which	which	PRON
ejde-1684	23	17	is	be	AUX
ejde-1684	23	18	a	a	DET
ejde-1684	23	19	key	key	ADJ
ejde-1684	23	20	parameter	parameter	NOUN
ejde-1684	23	21	that	that	PRON
ejde-1684	23	22	measures	measure	VERB
ejde-1684	23	23	the	the	DET
ejde-1684	23	24	ability	ability	NOUN
ejde-1684	23	25	of	of	ADP
ejde-1684	23	26	rod	rod	NOUN
ejde-1684	23	27	-	-	PUNCT
ejde-1684	23	28	like	like	ADJ
ejde-1684	23	29	structures	structure	NOUN
ejde-1684	23	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	23	31	such	such	ADJ
ejde-1684	23	32	as	as	ADP
ejde-1684	23	33	beams	beam	NOUN
ejde-1684	23	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	23	35	shafts	shafts	ADJ
ejde-1684	23	36	,	,	PUNCT
ejde-1684	23	37	or	or	CCONJ
ejde-1684	23	38	columns	column	NOUN
ejde-1684	23	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	23	40	to	to	PART
ejde-1684	23	41	resist	resist	VERB
ejde-1684	23	42	torsional	torsional	ADJ
ejde-1684	23	43	deformation	deformation	NOUN
ejde-1684	23	44	within	within	ADP
ejde-1684	23	45	the	the	DET
ejde-1684	23	46	frameworks	framework	NOUN
ejde-1684	23	47	of	of	ADP
ejde-1684	23	48	elasticity	elasticity	NOUN
ejde-1684	23	49	theory	theory	NOUN
ejde-1684	23	50	and	and	CCONJ
ejde-1684	23	51	structural	structural	ADJ
ejde-1684	23	52	engineering	engineering	NOUN
ejde-1684	23	53	.	.	PUNCT
ejde-1684	24	1	for	for	ADP
ejde-1684	24	2	a	a	DET
ejde-1684	24	3	given	give	VERB
ejde-1684	24	4	area	area	NOUN
ejde-1684	24	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	24	6	the	the	DET
ejde-1684	24	7	disk	disk	NOUN
ejde-1684	24	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	24	9	or	or	CCONJ
ejde-1684	24	10	ball	ball	NOUN
ejde-1684	24	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	24	12	maximizes	maximize	NOUN
ejde-1684	24	13	s1(ω	s1(ω	NOUN
ejde-1684	24	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	24	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	24	16	pólya	pólya	ADV
ejde-1684	24	17	-	-	PUNCT
ejde-1684	24	18	szegö	szegö	VERB
ejde-1684	24	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	24	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	24	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	25	1	λ1,2(ω	λ1,2(ω	VERB
ejde-1684	25	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	26	1	is	be	AUX
ejde-1684	26	2	the	the	DET
ejde-1684	26	3	principal	principal	ADJ
ejde-1684	26	4	frequency	frequency	NOUN
ejde-1684	26	5	of	of	ADP
ejde-1684	26	6	the	the	DET
ejde-1684	26	7	membrane(more	membrane(more	PROPN
ejde-1684	26	8	generally	generally	ADV
ejde-1684	26	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	26	10	the	the	DET
ejde-1684	26	11	bottom	bottom	NOUN
ejde-1684	26	12	of	of	ADP
ejde-1684	26	13	the	the	DET
ejde-1684	26	14	spectrum	spectrum	NOUN
ejde-1684	26	15	of	of	ADP
ejde-1684	26	16	the	the	DET
ejde-1684	26	17	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-1684	26	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	26	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	27	1	for	for	ADP
ejde-1684	27	2	a	a	DET
ejde-1684	27	3	given	give	VERB
ejde-1684	27	4	area	area	NOUN
ejde-1684	27	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	27	6	the	the	DET
ejde-1684	27	7	disk	disk	NOUN
ejde-1684	27	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	27	9	or	or	CCONJ
ejde-1684	27	10	ball	ball	NOUN
ejde-1684	27	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	27	12	minimizes	minimize	VERB
ejde-1684	27	13	λ1,2(ω)(faber	λ1,2(ω)(faber	PROPN
ejde-1684	27	14	-	-	PUNCT
ejde-1684	27	15	krahn	krahn	VERB
ejde-1684	27	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-1684	27	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	27	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	28	1	in	in	ADP
ejde-1684	28	2	accordance	accordance	NOUN
ejde-1684	28	3	with	with	ADP
ejde-1684	28	4	2020	2020	NUM
ejde-1684	28	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1684	28	6	subject	subject	ADJ
ejde-1684	28	7	classification	classification	NOUN
ejde-1684	28	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	29	1	35b20	35b20	NUM
ejde-1684	29	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	29	3	35b32	35b32	NUM
ejde-1684	29	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	29	5	35p30	35p30	NUM
ejde-1684	29	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	30	1	key	key	ADJ
ejde-1684	30	2	words	word	NOUN
ejde-1684	30	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	30	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-1684	30	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	31	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	31	2	method	method	NOUN
ejde-1684	31	3	;	;	PUNCT
ejde-1684	31	4	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	31	5	problem	problem	NOUN
ejde-1684	31	6	;	;	PUNCT
ejde-1684	31	7	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	31	8	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	31	9	problem	problem	NOUN
ejde-1684	31	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	32	1	©	©	PROPN
ejde-1684	32	2	2025	2025	NUM
ejde-1684	32	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	33	1	this	this	DET
ejde-1684	33	2	work	work	NOUN
ejde-1684	33	3	is	be	AUX
ejde-1684	33	4	licensed	license	VERB
ejde-1684	33	5	under	under	ADP
ejde-1684	33	6	a	a	DET
ejde-1684	33	7	cc	cc	NOUN
ejde-1684	33	8	by	by	ADP
ejde-1684	33	9	4.0	4.0	NUM
ejde-1684	33	10	license	license	NOUN
ejde-1684	33	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	34	1	submitted	submit	VERB
ejde-1684	34	2	august	august	PROPN
ejde-1684	34	3	11	11	NUM
ejde-1684	34	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	34	5	2025	2025	NUM
ejde-1684	34	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	35	1	published	publish	VERB
ejde-1684	35	2	november	november	PROPN
ejde-1684	35	3	11	11	NUM
ejde-1684	35	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	35	5	2025	2025	NUM
ejde-1684	35	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	36	1	1	1	NUM
ejde-1684	36	2	2	2	NUM
ejde-1684	36	3	q.	q.	PROPN
ejde-1684	36	4	liu	liu	PROPN
ejde-1684	36	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	36	6	l.	l.	PROPN
ejde-1684	36	7	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	36	8	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	36	9	equation	equation	NOUN
ejde-1684	36	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	36	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	36	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	36	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	36	14	λ1,q(ω	λ1,q(ω	NOUN
ejde-1684	36	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	36	16	interpolates	interpolate	NOUN
ejde-1684	36	17	between	between	ADP
ejde-1684	36	18	the	the	DET
ejde-1684	36	19	torsional	torsional	ADJ
ejde-1684	36	20	rigidity	rigidity	NOUN
ejde-1684	36	21	of	of	ADP
ejde-1684	36	22	a	a	DET
ejde-1684	36	23	domain	domain	NOUN
ejde-1684	36	24	and	and	CCONJ
ejde-1684	36	25	its	its	PRON
ejde-1684	36	26	principal	principal	ADJ
ejde-1684	36	27	frequency	frequency	NOUN
ejde-1684	36	28	as	as	SCONJ
ejde-1684	36	29	q	q	PROPN
ejde-1684	36	30	ranges	range	VERB
ejde-1684	36	31	from	from	ADP
ejde-1684	36	32	1	1	NUM
ejde-1684	36	33	to	to	ADP
ejde-1684	36	34	2	2	NUM
ejde-1684	36	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	36	36	see	see	VERB
ejde-1684	36	37	[	[	X
ejde-1684	36	38	3	3	NUM
ejde-1684	36	39	]	]	NUM
ejde-1684	36	40	)	)	PUNCT
ejde-1684	36	41	.	.	PUNCT
ejde-1684	37	1	rabinowitz	rabinowitz	NOUN
ejde-1684	38	1	[	[	X
ejde-1684	38	2	9	9	NUM
ejde-1684	38	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	38	4	studied	study	VERB
ejde-1684	38	5	problem	problem	NOUN
ejde-1684	38	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	38	7	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	38	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	38	9	with	with	ADP
ejde-1684	38	10	q	q	NOUN
ejde-1684	38	11	=	=	SYM
ejde-1684	38	12	2	2	NUM
ejde-1684	38	13	by	by	ADP
ejde-1684	38	14	using	use	VERB
ejde-1684	38	15	the	the	DET
ejde-1684	38	16	topological	topological	ADJ
ejde-1684	38	17	degree	degree	NOUN
ejde-1684	38	18	argument	argument	NOUN
ejde-1684	38	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	38	20	to	to	PART
ejde-1684	38	21	be	be	AUX
ejde-1684	38	22	precise	precise	ADJ
ejde-1684	38	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	38	24	the	the	DET
ejde-1684	38	25	leray	leray	ADJ
ejde-1684	38	26	-	-	PUNCT
ejde-1684	38	27	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	38	28	degree	degree	NOUN
ejde-1684	38	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	39	1	he	he	PRON
ejde-1684	39	2	proved	prove	VERB
ejde-1684	39	3	the	the	DET
ejde-1684	39	4	existence	existence	NOUN
ejde-1684	39	5	of	of	ADP
ejde-1684	39	6	two	two	NUM
ejde-1684	39	7	distinct	distinct	ADJ
ejde-1684	39	8	continua	continuum	NOUN
ejde-1684	39	9	of	of	ADP
ejde-1684	39	10	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	39	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	39	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	39	13	positive	positive	ADJ
ejde-1684	39	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	39	15	negative	negative	ADJ
ejde-1684	39	16	ones	one	NOUN
ejde-1684	39	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	39	18	that	that	PRON
ejde-1684	39	19	bifurcate	bifurcate	VERB
ejde-1684	39	20	at	at	ADP
ejde-1684	39	21	the	the	DET
ejde-1684	39	22	point	point	NOUN
ejde-1684	39	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	39	24	λ1,2	λ1,2	NOUN
ejde-1684	39	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	39	26	0	0	NUM
ejde-1684	39	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	39	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	40	1	in	in	ADP
ejde-1684	40	2	this	this	DET
ejde-1684	40	3	article	article	NOUN
ejde-1684	40	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	40	5	we	we	PRON
ejde-1684	40	6	hope	hope	VERB
ejde-1684	40	7	to	to	PART
ejde-1684	40	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	40	9	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	40	10	results	result	NOUN
ejde-1684	40	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	41	1	unfortunately	unfortunately	ADV
ejde-1684	41	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	41	3	problem	problem	NOUN
ejde-1684	41	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	41	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	41	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	41	7	is	be	AUX
ejde-1684	41	8	not	not	PART
ejde-1684	41	9	linear	linear	ADJ
ejde-1684	41	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	41	11	so	so	ADV
ejde-1684	41	12	leray	leray	ADJ
ejde-1684	41	13	-	-	PUNCT
ejde-1684	41	14	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	41	15	degree	degree	NOUN
ejde-1684	41	16	argument	argument	NOUN
ejde-1684	41	17	does	do	AUX
ejde-1684	41	18	not	not	PART
ejde-1684	41	19	work	work	VERB
ejde-1684	41	20	directly	directly	ADV
ejde-1684	41	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	42	1	upon	upon	SCONJ
ejde-1684	42	2	recognizing	recognize	VERB
ejde-1684	42	3	that	that	DET
ejde-1684	42	4	problem	problem	NOUN
ejde-1684	42	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	42	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	42	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	42	8	is	be	AUX
ejde-1684	42	9	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-1684	42	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	42	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	42	12	drawing	draw	VERB
ejde-1684	42	13	inspiration	inspiration	NOUN
ejde-1684	42	14	from	from	ADP
ejde-1684	42	15	the	the	DET
ejde-1684	42	16	work	work	NOUN
ejde-1684	42	17	of	of	ADP
ejde-1684	42	18	petr	petr	PROPN
ejde-1684	42	19	girg	girg	PROPN
ejde-1684	42	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	42	21	peter	peter	PROPN
ejde-1684	42	22	takáč	takáč	VERB
ejde-1684	43	1	[	[	X
ejde-1684	43	2	7	7	NUM
ejde-1684	43	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	43	4	and	and	CCONJ
ejde-1684	43	5	pavel	pavel	PROPN
ejde-1684	43	6	drábek	drábek	PROPN
ejde-1684	44	1	[	[	X
ejde-1684	44	2	5	5	NUM
ejde-1684	44	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	44	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	44	5	we	we	PRON
ejde-1684	44	6	employ	employ	VERB
ejde-1684	44	7	the	the	DET
ejde-1684	44	8	browder	browder	NOUN
ejde-1684	44	9	-	-	PUNCT
ejde-1684	44	10	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	44	11	degree	degree	NOUN
ejde-1684	44	12	instead	instead	ADV
ejde-1684	44	13	of	of	ADP
ejde-1684	44	14	the	the	DET
ejde-1684	44	15	leray	leray	ADJ
ejde-1684	44	16	-	-	PUNCT
ejde-1684	44	17	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	44	18	degree	degree	NOUN
ejde-1684	44	19	to	to	PART
ejde-1684	44	20	address	address	VERB
ejde-1684	44	21	this	this	DET
ejde-1684	44	22	challenge	challenge	NOUN
ejde-1684	44	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	45	1	another	another	DET
ejde-1684	45	2	distinguishing	distinguish	VERB
ejde-1684	45	3	feature	feature	NOUN
ejde-1684	45	4	of	of	ADP
ejde-1684	45	5	problem	problem	NOUN
ejde-1684	45	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	45	7	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	45	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	45	9	is	be	AUX
ejde-1684	45	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	45	11	the	the	DET
ejde-1684	45	12	first	first	ADJ
ejde-1684	45	13	equation	equation	NOUN
ejde-1684	45	14	contains	contain	VERB
ejde-1684	45	15	a	a	DET
ejde-1684	45	16	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	45	17	term	term	NOUN
ejde-1684	45	18	∫	∫	PROPN
ejde-1684	45	19	ω	ω	PROPN
ejde-1684	45	20	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	45	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	45	22	hence	hence	ADV
ejde-1684	45	23	the	the	DET
ejde-1684	45	24	equation	equation	NOUN
ejde-1684	45	25	is	be	AUX
ejde-1684	45	26	no	no	ADV
ejde-1684	45	27	longer	long	ADV
ejde-1684	45	28	a	a	DET
ejde-1684	45	29	pointwise	pointwise	ADJ
ejde-1684	45	30	identity	identity	NOUN
ejde-1684	45	31	.	.	PUNCT
ejde-1684	46	1	this	this	PRON
ejde-1684	46	2	also	also	ADV
ejde-1684	46	3	raises	raise	VERB
ejde-1684	46	4	some	some	DET
ejde-1684	46	5	essential	essential	ADJ
ejde-1684	46	6	difficulties	difficulty	NOUN
ejde-1684	46	7	to	to	PART
ejde-1684	46	8	study	study	VERB
ejde-1684	46	9	this	this	DET
ejde-1684	46	10	kind	kind	NOUN
ejde-1684	46	11	of	of	ADP
ejde-1684	46	12	problems	problem	NOUN
ejde-1684	46	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	47	1	to	to	PART
ejde-1684	47	2	tackle	tackle	VERB
ejde-1684	47	3	the	the	DET
ejde-1684	47	4	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	47	5	term	term	NOUN
ejde-1684	47	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	47	7	we	we	PRON
ejde-1684	47	8	partially	partially	ADV
ejde-1684	47	9	employ	employ	VERB
ejde-1684	47	10	the	the	DET
ejde-1684	47	11	approach	approach	NOUN
ejde-1684	47	12	outlined	outline	VERB
ejde-1684	47	13	in	in	ADP
ejde-1684	47	14	[	[	X
ejde-1684	47	15	4	4	NUM
ejde-1684	47	16	]	]	PUNCT
ejde-1684	47	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	47	18	which	which	PRON
ejde-1684	47	19	investigates	investigate	VERB
ejde-1684	47	20	a	a	DET
ejde-1684	47	21	comparable	comparable	ADJ
ejde-1684	47	22	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	47	23	equation	equation	NOUN
ejde-1684	47	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	47	25	namely	namely	ADV
ejde-1684	47	26	a	a	DET
ejde-1684	47	27	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-1684	47	28	-	-	PUNCT
ejde-1684	47	29	type	type	NOUN
ejde-1684	47	30	equation	equation	NOUN
ejde-1684	47	31	.	.	PUNCT
ejde-1684	48	1	it	it	PRON
ejde-1684	48	2	is	be	AUX
ejde-1684	48	3	crucial	crucial	ADJ
ejde-1684	48	4	to	to	PART
ejde-1684	48	5	highlight	highlight	VERB
ejde-1684	48	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	48	7	the	the	DET
ejde-1684	48	8	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	48	9	term	term	NOUN
ejde-1684	48	10	in	in	ADP
ejde-1684	48	11	[	[	X
ejde-1684	48	12	4	4	X
ejde-1684	48	13	]	]	PUNCT
ejde-1684	48	14	is	be	AUX
ejde-1684	48	15	formulated	formulate	VERB
ejde-1684	48	16	using	use	VERB
ejde-1684	48	17	∫	∫	PROPN
ejde-1684	48	18	ω	ω	PROPN
ejde-1684	48	19	|∇u|2	|∇u|2	PROPN
ejde-1684	48	20	dx	dx	PROPN
ejde-1684	48	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	48	22	which	which	PRON
ejde-1684	48	23	differs	differ	VERB
ejde-1684	48	24	from	from	ADP
ejde-1684	48	25	our	our	PRON
ejde-1684	48	26	specific	specific	ADJ
ejde-1684	48	27	formulation	formulation	NOUN
ejde-1684	48	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	49	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1684	49	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	49	3	our	our	PRON
ejde-1684	49	4	methodology	methodology	NOUN
ejde-1684	49	5	does	do	AUX
ejde-1684	49	6	not	not	PART
ejde-1684	49	7	represent	represent	VERB
ejde-1684	49	8	a	a	DET
ejde-1684	49	9	full	full	ADJ
ejde-1684	49	10	replication	replication	NOUN
ejde-1684	49	11	of	of	ADP
ejde-1684	49	12	the	the	DET
ejde-1684	49	13	techniques	technique	NOUN
ejde-1684	49	14	described	describe	VERB
ejde-1684	49	15	in	in	ADP
ejde-1684	49	16	[	[	X
ejde-1684	49	17	4	4	NUM
ejde-1684	49	18	]	]	PUNCT
ejde-1684	49	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	50	1	finally	finally	ADV
ejde-1684	50	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	50	3	we	we	PRON
ejde-1684	50	4	establish	establish	VERB
ejde-1684	50	5	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	50	6	results	result	NOUN
ejde-1684	50	7	as	as	SCONJ
ejde-1684	50	8	discussed	discuss	VERB
ejde-1684	50	9	in	in	ADP
ejde-1684	50	10	[	[	X
ejde-1684	50	11	7	7	NUM
ejde-1684	50	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	50	13	9	9	NUM
ejde-1684	50	14	]	]	PUNCT
ejde-1684	50	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	51	1	we	we	PRON
ejde-1684	51	2	believe	believe	VERB
ejde-1684	51	3	that	that	DET
ejde-1684	51	4	problem	problem	NOUN
ejde-1684	51	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	51	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	51	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	51	8	has	have	AUX
ejde-1684	51	9	not	not	PART
ejde-1684	51	10	been	be	AUX
ejde-1684	51	11	considered	consider	VERB
ejde-1684	51	12	earlier	early	ADV
ejde-1684	51	13	by	by	ADP
ejde-1684	51	14	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	51	15	arguments	argument	NOUN
ejde-1684	51	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	51	17	thus	thus	ADV
ejde-1684	51	18	our	our	PRON
ejde-1684	51	19	results	result	NOUN
ejde-1684	51	20	with	with	ADP
ejde-1684	51	21	some	some	DET
ejde-1684	51	22	innovative	innovative	ADJ
ejde-1684	51	23	features	feature	NOUN
ejde-1684	51	24	are	be	AUX
ejde-1684	51	25	extension	extension	NOUN
ejde-1684	51	26	of	of	ADP
ejde-1684	51	27	those	those	DET
ejde-1684	51	28	existed	exist	VERB
ejde-1684	51	29	results	result	NOUN
ejde-1684	51	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	52	1	in	in	ADP
ejde-1684	52	2	section	section	NOUN
ejde-1684	52	3	2	2	NUM
ejde-1684	52	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	52	5	we	we	PRON
ejde-1684	52	6	investigate	investigate	VERB
ejde-1684	52	7	the	the	DET
ejde-1684	52	8	first	first	ADJ
ejde-1684	52	9	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	52	10	of	of	ADP
ejde-1684	52	11	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	52	12	problem	problem	NOUN
ejde-1684	52	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	52	14	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	52	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	52	16	and	and	CCONJ
ejde-1684	52	17	give	give	VERB
ejde-1684	52	18	its	its	PRON
ejde-1684	52	19	basic	basic	ADJ
ejde-1684	52	20	properties	property	NOUN
ejde-1684	52	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	53	1	this	this	PRON
ejde-1684	53	2	is	be	AUX
ejde-1684	53	3	also	also	ADV
ejde-1684	53	4	a	a	DET
ejde-1684	53	5	contribution	contribution	NOUN
ejde-1684	53	6	of	of	ADP
ejde-1684	53	7	this	this	DET
ejde-1684	53	8	article	article	NOUN
ejde-1684	53	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	54	1	the	the	DET
ejde-1684	54	2	remaining	remain	VERB
ejde-1684	54	3	section	section	NOUN
ejde-1684	54	4	is	be	AUX
ejde-1684	54	5	devoted	devote	VERB
ejde-1684	54	6	to	to	ADP
ejde-1684	54	7	some	some	DET
ejde-1684	54	8	a	a	DET
ejde-1684	54	9	priori	priori	ADJ
ejde-1684	54	10	estimates	estimate	NOUN
ejde-1684	54	11	about	about	ADP
ejde-1684	54	12	convergence	convergence	NOUN
ejde-1684	54	13	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	54	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	54	15	the	the	DET
ejde-1684	54	16	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-1684	54	17	of	of	ADP
ejde-1684	54	18	norms	norm	NOUN
ejde-1684	54	19	near	near	ADP
ejde-1684	54	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	54	21	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	54	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	54	23	0	0	NUM
ejde-1684	54	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	54	25	and	and	CCONJ
ejde-1684	54	26	(	(	PUNCT
ejde-1684	54	27	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	54	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	54	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	55	1	this	this	DET
ejde-1684	55	2	part	part	NOUN
ejde-1684	55	3	is	be	AUX
ejde-1684	55	4	essential	essential	ADJ
ejde-1684	55	5	for	for	ADP
ejde-1684	55	6	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	55	7	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	55	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	56	1	in	in	ADP
ejde-1684	56	2	section	section	NOUN
ejde-1684	56	3	3	3	NUM
ejde-1684	56	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	56	5	we	we	PRON
ejde-1684	56	6	establish	establish	VERB
ejde-1684	56	7	the	the	DET
ejde-1684	56	8	global	global	ADJ
ejde-1684	56	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	56	10	result	result	VERB
ejde-1684	56	11	for	for	ADP
ejde-1684	56	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	56	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	56	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	56	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	57	1	let	let	VERB
ejde-1684	57	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	57	3	≡	≡	PROPN
ejde-1684	57	4	λ1,q	λ1,q	PROPN
ejde-1684	57	5	denote	denote	VERB
ejde-1684	57	6	the	the	DET
ejde-1684	57	7	first	first	ADJ
ejde-1684	57	8	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	57	9	of	of	ADP
ejde-1684	57	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	57	11	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	57	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	57	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	58	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	58	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	58	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	58	4	h1	h1	PROPN
ejde-1684	58	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	58	6	h	h	NOUN
ejde-1684	58	7	:	:	PUNCT
ejde-1684	58	8	ω×	ω×	PUNCT
ejde-1684	58	9	r×	r×	NOUN
ejde-1684	58	10	r	r	NOUN
ejde-1684	58	11	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	58	12	the	the	DET
ejde-1684	58	13	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-1684	58	14	condition	condition	NOUN
ejde-1684	58	15	in	in	ADP
ejde-1684	58	16	the	the	DET
ejde-1684	58	17	first	first	ADJ
ejde-1684	58	18	two	two	NUM
ejde-1684	58	19	variable	variable	NOUN
ejde-1684	58	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	58	21	is	be	AUX
ejde-1684	58	22	locally	locally	ADV
ejde-1684	58	23	hölder	hölder	NOUN
ejde-1684	58	24	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	58	25	in	in	ADP
ejde-1684	58	26	the	the	DET
ejde-1684	58	27	second	second	ADJ
ejde-1684	58	28	variable	variable	NOUN
ejde-1684	58	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	59	1	there	there	PRON
ejde-1684	59	2	exists	exist	VERB
ejde-1684	59	3	a	a	DET
ejde-1684	59	4	constant	constant	ADJ
ejde-1684	59	5	c	c	NOUN
ejde-1684	59	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	59	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	59	8	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1684	59	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	59	11	p	p	NOUN
ejde-1684	59	12	∈	∈	PROPN
ejde-1684	59	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	59	14	2	2	NUM
ejde-1684	59	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	59	16	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	59	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	18	such	such	ADJ
ejde-1684	59	19	that	that	SCONJ
ejde-1684	59	20	|h(x	|h(x	PROPN
ejde-1684	59	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	59	22	u;λ)|	u;λ)|	PROPN
ejde-1684	59	23	≤	≤	PUNCT
ejde-1684	59	24	c|u|p−1	c|u|p−1	PROPN
ejde-1684	59	25	for	for	ADP
ejde-1684	59	26	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	59	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	59	28	x	x	PUNCT
ejde-1684	59	29	∈	∈	PROPN
ejde-1684	59	30	ω	ω	NOUN
ejde-1684	59	31	and	and	CCONJ
ejde-1684	59	32	all	all	PRON
ejde-1684	59	33	(	(	PUNCT
ejde-1684	59	34	u	u	NOUN
ejde-1684	59	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	59	36	λ	λ	NOUN
ejde-1684	59	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	38	∈	∈	PROPN
ejde-1684	59	39	r×	r×	PROPN
ejde-1684	59	40	r.	r.	PROPN
ejde-1684	59	41	(	(	PUNCT
ejde-1684	59	42	h2	h2	PROPN
ejde-1684	59	43	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	44	(	(	PUNCT
ejde-1684	59	45	for	for	ADP
ejde-1684	59	46	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	59	47	from	from	ADP
ejde-1684	59	48	zero	zero	NUM
ejde-1684	59	49	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	50	lim	lim	PROPN
ejde-1684	59	51	s→0	s→0	PROPN
ejde-1684	59	52	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	59	53	,	,	PUNCT
ejde-1684	59	54	s	s	PROPN
ejde-1684	59	55	,	,	PUNCT
ejde-1684	59	56	λ	λ	NOUN
ejde-1684	59	57	)	)	PUNCT
ejde-1684	59	58	s	s	PART
ejde-1684	59	59	=	=	NOUN
ejde-1684	59	60	0	0	X
ejde-1684	59	61	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	59	62	for	for	ADP
ejde-1684	59	63	almost	almost	ADV
ejde-1684	59	64	every	every	PRON
ejde-1684	59	65	x	x	SYM
ejde-1684	59	66	∈	∈	PROPN
ejde-1684	59	67	ω	ω	NOUN
ejde-1684	59	68	and	and	CCONJ
ejde-1684	59	69	λ	λ	PROPN
ejde-1684	59	70	on	on	ADP
ejde-1684	59	71	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	59	72	sets	set	NOUN
ejde-1684	59	73	.	.	PUNCT
ejde-1684	60	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	60	2	h3	h3	NOUN
ejde-1684	60	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	60	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	60	5	for	for	ADP
ejde-1684	60	6	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	60	7	from	from	ADP
ejde-1684	60	8	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	60	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	61	1	lim	lim	PROPN
ejde-1684	61	2	s→+∞	s→+∞	PROPN
ejde-1684	61	3	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	61	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	61	5	s	s	PROPN
ejde-1684	61	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	61	7	λ	λ	NOUN
ejde-1684	61	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	61	9	s	s	PART
ejde-1684	61	10	=	=	NOUN
ejde-1684	61	11	0	0	X
ejde-1684	61	12	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	61	13	for	for	ADP
ejde-1684	61	14	almost	almost	ADV
ejde-1684	61	15	every	every	PRON
ejde-1684	61	16	x	x	SYM
ejde-1684	61	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	61	18	ω	ω	NOUN
ejde-1684	61	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	61	20	λ	λ	PROPN
ejde-1684	61	21	on	on	ADP
ejde-1684	61	22	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	61	23	sets	set	NOUN
ejde-1684	61	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	62	1	let	let	VERB
ejde-1684	62	2	us	we	PRON
ejde-1684	62	3	point	point	VERB
ejde-1684	62	4	out	out	ADP
ejde-1684	62	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	62	6	the	the	DET
ejde-1684	62	7	advantage	advantage	NOUN
ejde-1684	62	8	of	of	ADP
ejde-1684	62	9	working	work	VERB
ejde-1684	62	10	with	with	ADP
ejde-1684	62	11	the	the	DET
ejde-1684	62	12	class	class	NOUN
ejde-1684	62	13	locally	locally	ADV
ejde-1684	62	14	hölder	hölder	VERB
ejde-1684	62	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	62	16	is	be	AUX
ejde-1684	62	17	that	that	SCONJ
ejde-1684	62	18	we	we	PRON
ejde-1684	62	19	can	can	AUX
ejde-1684	62	20	get	get	VERB
ejde-1684	62	21	classical	classical	ADJ
ejde-1684	62	22	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	62	23	of	of	ADP
ejde-1684	62	24	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	62	25	equations	equation	NOUN
ejde-1684	62	26	we	we	PRON
ejde-1684	62	27	deal	deal	VERB
ejde-1684	62	28	with	with	ADP
ejde-1684	62	29	by	by	ADP
ejde-1684	62	30	means	mean	NOUN
ejde-1684	62	31	of	of	ADP
ejde-1684	62	32	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	62	33	estimates	estimate	NOUN
ejde-1684	62	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	62	35	not	not	PART
ejde-1684	62	36	merely	merely	ADV
ejde-1684	62	37	weak	weak	ADJ
ejde-1684	62	38	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	62	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	63	1	the	the	DET
ejde-1684	63	2	first	first	ADJ
ejde-1684	63	3	main	main	ADJ
ejde-1684	63	4	result	result	NOUN
ejde-1684	63	5	of	of	ADP
ejde-1684	63	6	this	this	DET
ejde-1684	63	7	article	article	NOUN
ejde-1684	63	8	is	be	AUX
ejde-1684	63	9	the	the	DET
ejde-1684	63	10	following	follow	VERB
ejde-1684	63	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	63	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	63	13	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	63	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	63	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	64	1	let	let	VERB
ejde-1684	64	2	q	q	NOUN
ejde-1684	64	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	65	1	[	[	X
ejde-1684	65	2	1	1	NUM
ejde-1684	65	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	65	4	2	2	NUM
ejde-1684	65	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	65	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	65	7	h	h	NOUN
ejde-1684	65	8	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-1684	65	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	65	10	h1	h1	PROPN
ejde-1684	65	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	65	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	65	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	65	14	h2	h2	NOUN
ejde-1684	65	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	65	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	66	1	then	then	ADV
ejde-1684	66	2	the	the	DET
ejde-1684	66	3	pair	pair	NOUN
ejde-1684	66	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	66	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	66	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	66	7	0	0	NUM
ejde-1684	66	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	66	9	is	be	AUX
ejde-1684	66	10	a	a	DET
ejde-1684	66	11	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	66	12	point	point	NOUN
ejde-1684	66	13	of	of	ADP
ejde-1684	66	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	66	15	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	66	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	66	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	67	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	67	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	67	3	there	there	PRON
ejde-1684	67	4	is	be	VERB
ejde-1684	67	5	a	a	DET
ejde-1684	67	6	component	component	NOUN
ejde-1684	67	7	c	c	NOUN
ejde-1684	67	8	of	of	ADP
ejde-1684	67	9	the	the	DET
ejde-1684	67	10	set	set	NOUN
ejde-1684	67	11	of	of	ADP
ejde-1684	67	12	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	67	13	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	67	14	of	of	ADP
ejde-1684	67	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	67	16	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	67	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	67	18	in	in	ADP
ejde-1684	67	19	r×w	r×w	PROPN
ejde-1684	67	20	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	67	21	0	0	NUM
ejde-1684	67	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	67	23	ω	ω	NOUN
ejde-1684	67	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	67	25	whose	whose	DET
ejde-1684	67	26	closure	closure	NOUN
ejde-1684	67	27	contains	contain	VERB
ejde-1684	67	28	(	(	PUNCT
ejde-1684	67	29	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	67	30	,	,	PUNCT
ejde-1684	67	31	0	0	NUM
ejde-1684	67	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	67	33	and	and	CCONJ
ejde-1684	67	34	it	it	PRON
ejde-1684	67	35	is	be	AUX
ejde-1684	67	36	either	either	CCONJ
ejde-1684	67	37	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	67	38	or	or	CCONJ
ejde-1684	67	39	contains	contain	VERB
ejde-1684	67	40	a	a	DET
ejde-1684	67	41	pair	pair	NOUN
ejde-1684	67	42	(	(	PUNCT
ejde-1684	67	43	λ̄	λ̄	ADJ
ejde-1684	67	44	,	,	PUNCT
ejde-1684	67	45	0	0	NUM
ejde-1684	67	46	)	)	PUNCT
ejde-1684	67	47	for	for	ADP
ejde-1684	67	48	some	some	DET
ejde-1684	67	49	λ̄	λ̄	NOUN
ejde-1684	67	50	,	,	PUNCT
ejde-1684	67	51	an	an	DET
ejde-1684	67	52	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	67	53	of	of	ADP
ejde-1684	67	54	(	(	PUNCT
ejde-1684	67	55	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	67	56	)	)	PUNCT
ejde-1684	67	57	with	with	ADP
ejde-1684	67	58	λ̄	λ̄	NUM
ejde-1684	67	59	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	67	60	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	67	61	.	.	PUNCT
ejde-1684	68	1	let	let	VERB
ejde-1684	68	2	us	we	PRON
ejde-1684	68	3	reformulate	reformulate	VERB
ejde-1684	68	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	68	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	68	6	in	in	ADP
ejde-1684	68	7	terms	term	NOUN
ejde-1684	68	8	of	of	ADP
ejde-1684	68	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	68	10	from	from	ADP
ejde-1684	68	11	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	68	12	for	for	ADP
ejde-1684	68	13	problem	problem	NOUN
ejde-1684	68	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	68	15	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	68	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	68	17	at	at	ADP
ejde-1684	68	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	68	19	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	68	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	68	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	69	1	then	then	ADV
ejde-1684	69	2	the	the	DET
ejde-1684	69	3	second	second	ADJ
ejde-1684	69	4	main	main	ADJ
ejde-1684	69	5	result	result	NOUN
ejde-1684	69	6	of	of	ADP
ejde-1684	69	7	this	this	DET
ejde-1684	69	8	paper	paper	NOUN
ejde-1684	69	9	is	be	AUX
ejde-1684	69	10	stated	state	VERB
ejde-1684	69	11	below	below	ADV
ejde-1684	69	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	70	1	we	we	PRON
ejde-1684	70	2	only	only	ADV
ejde-1684	70	3	state	state	VERB
ejde-1684	70	4	the	the	DET
ejde-1684	70	5	result	result	NOUN
ejde-1684	70	6	for	for	ADP
ejde-1684	70	7	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	70	8	from	from	ADP
ejde-1684	70	9	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	70	10	without	without	ADP
ejde-1684	70	11	providing	provide	VERB
ejde-1684	70	12	a	a	DET
ejde-1684	70	13	proof	proof	NOUN
ejde-1684	70	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	70	15	as	as	SCONJ
ejde-1684	70	16	the	the	DET
ejde-1684	70	17	proof	proof	NOUN
ejde-1684	70	18	can	can	AUX
ejde-1684	70	19	be	be	AUX
ejde-1684	70	20	obtained	obtain	VERB
ejde-1684	70	21	by	by	ADP
ejde-1684	70	22	combining	combine	VERB
ejde-1684	70	23	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	70	24	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	70	25	and	and	CCONJ
ejde-1684	70	26	[	[	X
ejde-1684	70	27	10	10	NUM
ejde-1684	70	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	70	29	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	70	30	1.6	1.6	NUM
ejde-1684	70	31	]	]	PUNCT
ejde-1684	70	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	71	1	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	71	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	71	3	for	for	ADP
ejde-1684	71	4	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	71	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	71	6	problems	problem	NOUN
ejde-1684	71	7	3	3	NUM
ejde-1684	71	8	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	71	9	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	71	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	72	1	let	let	VERB
ejde-1684	72	2	q	q	PROPN
ejde-1684	72	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	73	1	[	[	X
ejde-1684	73	2	1	1	NUM
ejde-1684	73	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	73	4	2	2	NUM
ejde-1684	73	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	73	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	73	7	h	h	NOUN
ejde-1684	73	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	73	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	73	10	h1	h1	PROPN
ejde-1684	73	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	73	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	73	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	73	14	h3	h3	NOUN
ejde-1684	73	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	73	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	74	1	then	then	ADV
ejde-1684	74	2	the	the	DET
ejde-1684	74	3	pair	pair	NOUN
ejde-1684	74	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	74	5	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	74	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	74	7	is	be	AUX
ejde-1684	74	8	a	a	DET
ejde-1684	74	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	74	10	point	point	NOUN
ejde-1684	74	11	of	of	ADP
ejde-1684	74	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	74	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	74	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	74	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	75	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	75	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	75	3	there	there	PRON
ejde-1684	75	4	is	be	VERB
ejde-1684	75	5	a	a	DET
ejde-1684	75	6	component	component	NOUN
ejde-1684	75	7	d	d	NOUN
ejde-1684	75	8	of	of	ADP
ejde-1684	75	9	the	the	DET
ejde-1684	75	10	set	set	NOUN
ejde-1684	75	11	of	of	ADP
ejde-1684	75	12	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	75	13	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	75	14	of	of	ADP
ejde-1684	75	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	75	16	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	75	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	75	18	in	in	ADP
ejde-1684	75	19	r×w	r×w	PROPN
ejde-1684	75	20	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	75	21	0	0	NUM
ejde-1684	75	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	75	23	ω	ω	NOUN
ejde-1684	75	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	75	25	which	which	PRON
ejde-1684	75	26	meets	meet	VERB
ejde-1684	75	27	(	(	PUNCT
ejde-1684	75	28	λ1,∞	λ1,∞	NOUN
ejde-1684	75	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	75	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	76	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	76	2	λ	λ	PROPN
ejde-1684	76	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	76	4	r	r	NOUN
ejde-1684	76	5	is	be	AUX
ejde-1684	76	6	an	an	DET
ejde-1684	76	7	interval	interval	NOUN
ejde-1684	76	8	such	such	ADJ
ejde-1684	76	9	that	that	SCONJ
ejde-1684	76	10	λ	λ	NOUN
ejde-1684	76	11	∩	∩	NOUN
ejde-1684	76	12	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	76	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	76	14	=	=	SYM
ejde-1684	76	15	{	{	PUNCT
ejde-1684	76	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	76	17	}	}	PUNCT
ejde-1684	76	18	where	where	SCONJ
ejde-1684	76	19	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	76	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	76	21	is	be	AUX
ejde-1684	76	22	the	the	DET
ejde-1684	76	23	set	set	NOUN
ejde-1684	76	24	of	of	ADP
ejde-1684	76	25	real	real	ADJ
ejde-1684	76	26	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-1684	76	27	values	value	NOUN
ejde-1684	76	28	of	of	ADP
ejde-1684	76	29	(	(	PUNCT
ejde-1684	76	30	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	76	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	76	32	and	and	CCONJ
ejde-1684	76	33	m	m	PROPN
ejde-1684	76	34	is	be	AUX
ejde-1684	76	35	a	a	DET
ejde-1684	76	36	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-1684	76	37	of	of	ADP
ejde-1684	76	38	(	(	PUNCT
ejde-1684	76	39	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	76	40	)	)	PUNCT
ejde-1684	76	41	whose	whose	DET
ejde-1684	76	42	projection	projection	NOUN
ejde-1684	76	43	on	on	ADP
ejde-1684	76	44	r	r	NOUN
ejde-1684	76	45	lies	lie	NOUN
ejde-1684	76	46	in	in	ADP
ejde-1684	76	47	λ	λ	PROPN
ejde-1684	76	48	and	and	CCONJ
ejde-1684	76	49	whose	whose	DET
ejde-1684	76	50	projection	projection	NOUN
ejde-1684	76	51	on	on	ADP
ejde-1684	76	52	w	w	PROPN
ejde-1684	76	53	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	76	54	0	0	NUM
ejde-1684	76	55	(	(	PUNCT
ejde-1684	76	56	ω	ω	NOUN
ejde-1684	76	57	)	)	PUNCT
ejde-1684	76	58	is	be	AUX
ejde-1684	76	59	bounded	bound	VERB
ejde-1684	76	60	away	away	ADV
ejde-1684	76	61	from	from	ADP
ejde-1684	76	62	0	0	NUM
ejde-1684	76	63	,	,	PUNCT
ejde-1684	76	64	then	then	ADV
ejde-1684	76	65	either	either	CCONJ
ejde-1684	76	66	(	(	PUNCT
ejde-1684	76	67	i	i	NOUN
ejde-1684	76	68	)	)	PUNCT
ejde-1684	77	1	d	d	NOUN
ejde-1684	77	2	−	−	NOUN
ejde-1684	78	1	m	m	VERB
ejde-1684	78	2	is	be	AUX
ejde-1684	78	3	bounded	bound	VERB
ejde-1684	78	4	in	in	ADP
ejde-1684	78	5	r×w	r×w	PROPN
ejde-1684	78	6	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	78	7	0	0	NUM
ejde-1684	78	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	78	9	ω	ω	NOUN
ejde-1684	78	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	78	11	in	in	ADP
ejde-1684	78	12	which	which	DET
ejde-1684	78	13	case	case	NOUN
ejde-1684	78	14	d	d	X
ejde-1684	78	15	−	−	NOUN
ejde-1684	78	16	m	m	VERB
ejde-1684	78	17	meets	meet	VERB
ejde-1684	78	18	r	r	NOUN
ejde-1684	78	19	=	=	SYM
ejde-1684	78	20	{	{	PUNCT
ejde-1684	78	21	(	(	PUNCT
ejde-1684	78	22	λ	λ	PROPN
ejde-1684	78	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	78	24	0	0	NUM
ejde-1684	78	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	79	1	|	|	ADV
ejde-1684	79	2	λ	λ	X
ejde-1684	79	3	∈	∈	NOUN
ejde-1684	79	4	r	r	NOUN
ejde-1684	79	5	}	}	PUNCT
ejde-1684	79	6	or	or	CCONJ
ejde-1684	79	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	79	8	ii	ii	NOUN
ejde-1684	79	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	80	1	d	d	NOUN
ejde-1684	80	2	−	−	NOUN
ejde-1684	80	3	m	m	VERB
ejde-1684	80	4	is	be	AUX
ejde-1684	80	5	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	80	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	81	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	81	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	81	3	ii	ii	NOUN
ejde-1684	81	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	81	5	occurs	occur	VERB
ejde-1684	81	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	81	7	d	d	DET
ejde-1684	81	8	−	−	NOUN
ejde-1684	81	9	m	m	AUX
ejde-1684	81	10	has	have	VERB
ejde-1684	81	11	a	a	DET
ejde-1684	81	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	81	13	projection	projection	NOUN
ejde-1684	81	14	on	on	ADP
ejde-1684	81	15	r	r	NOUN
ejde-1684	81	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	81	17	then	then	ADV
ejde-1684	81	18	d	d	X
ejde-1684	81	19	−	−	NOUN
ejde-1684	81	20	m	m	VERB
ejde-1684	81	21	meets	meet	VERB
ejde-1684	81	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	81	23	λ̂,∞	λ̂,∞	ADJ
ejde-1684	81	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	81	25	where	where	SCONJ
ejde-1684	81	26	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	81	27	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	81	28	λ̂	λ̂	NUM
ejde-1684	81	29	∈	∈	PROPN
ejde-1684	81	30	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	81	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	81	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	82	1	in	in	ADP
ejde-1684	82	2	section	section	NOUN
ejde-1684	82	3	4	4	NUM
ejde-1684	82	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	82	5	as	as	ADP
ejde-1684	82	6	a	a	DET
ejde-1684	82	7	extension	extension	NOUN
ejde-1684	82	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	82	9	application	application	NOUN
ejde-1684	82	10	of	of	ADP
ejde-1684	82	11	the	the	DET
ejde-1684	82	12	results	result	NOUN
ejde-1684	82	13	in	in	ADP
ejde-1684	82	14	section	section	NOUN
ejde-1684	82	15	3	3	NUM
ejde-1684	82	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	82	17	we	we	PRON
ejde-1684	82	18	consider	consider	VERB
ejde-1684	82	19	the	the	DET
ejde-1684	82	20	problem	problem	NOUN
ejde-1684	82	21	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1684	83	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	83	2	λ	λ	X
ejde-1684	83	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	83	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	83	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	83	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	83	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	83	8	2	2	NUM
ejde-1684	83	9	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	83	10	f(u	f(u	PROPN
ejde-1684	83	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	83	12	in	in	ADP
ejde-1684	83	13	ω	ω	NUM
ejde-1684	83	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	83	15	u	u	NOUN
ejde-1684	83	16	=	=	NOUN
ejde-1684	83	17	0	0	NUM
ejde-1684	83	18	on	on	ADP
ejde-1684	83	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	83	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	84	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	84	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	84	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	84	4	we	we	PRON
ejde-1684	84	5	assume	assume	VERB
ejde-1684	84	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	84	7	f	f	PROPN
ejde-1684	84	8	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	84	9	the	the	DET
ejde-1684	84	10	following	follow	VERB
ejde-1684	84	11	conditions	condition	NOUN
ejde-1684	84	12	:	:	PUNCT
ejde-1684	84	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	84	14	h4	h4	PROPN
ejde-1684	84	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	84	16	f	f	NOUN
ejde-1684	84	17	:	:	PUNCT
ejde-1684	84	18	r+	r+	X
ejde-1684	84	19	=	=	PUNCT
ejde-1684	85	1	[	[	X
ejde-1684	85	2	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1684	85	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	85	4	→	→	NOUN
ejde-1684	85	5	r+	r+	PRON
ejde-1684	85	6	is	be	AUX
ejde-1684	85	7	a	a	DET
ejde-1684	85	8	locally	locally	ADV
ejde-1684	85	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-1684	85	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	85	11	function	function	NOUN
ejde-1684	85	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	86	1	there	there	PRON
ejde-1684	86	2	exists	exist	VERB
ejde-1684	86	3	a	a	DET
ejde-1684	86	4	positive	positive	ADJ
ejde-1684	86	5	constant	constant	ADJ
ejde-1684	86	6	τ	τ	NOUN
ejde-1684	86	7	such	such	ADJ
ejde-1684	86	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	86	9	f(τ	f(τ	NOUN
ejde-1684	86	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	86	11	=	=	SYM
ejde-1684	86	12	0	0	NUM
ejde-1684	86	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	86	14	f(s)s	f(s)s	PROPN
ejde-1684	86	15	>	>	X
ejde-1684	86	16	0	0	PUNCT
ejde-1684	87	1	for	for	ADP
ejde-1684	87	2	s	s	PROPN
ejde-1684	87	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	87	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	87	5	0	0	NUM
ejde-1684	87	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	87	7	τ	τ	NOUN
ejde-1684	87	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	87	9	∪	∪	X
ejde-1684	87	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	87	11	τ,+∞	τ,+∞	NUM
ejde-1684	87	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	87	13	and	and	CCONJ
ejde-1684	87	14	there	there	PRON
ejde-1684	87	15	exists	exist	VERB
ejde-1684	87	16	a	a	DET
ejde-1684	87	17	constant	constant	ADJ
ejde-1684	87	18	κ	κ	X
ejde-1684	87	19	>	>	X
ejde-1684	87	20	0	0	NUM
ejde-1684	87	21	such	such	ADJ
ejde-1684	87	22	that	that	SCONJ
ejde-1684	87	23	lim	lim	PROPN
ejde-1684	87	24	s→τ−	s→τ−	PROPN
ejde-1684	87	25	f(s	f(s	ADV
ejde-1684	87	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	88	1	τ	τ	PROPN
ejde-1684	89	1	−	−	PROPN
ejde-1684	89	2	s	s	PART
ejde-1684	89	3	=	=	NOUN
ejde-1684	89	4	κ	κ	NOUN
ejde-1684	89	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	89	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	89	7	h5	h5	PROPN
ejde-1684	89	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	89	9	there	there	PRON
ejde-1684	89	10	exists	exist	VERB
ejde-1684	89	11	f0	f0	PROPN
ejde-1684	89	12	∈	∈	PROPN
ejde-1684	89	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	89	14	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1684	89	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	89	16	such	such	ADJ
ejde-1684	89	17	that	that	SCONJ
ejde-1684	89	18	lim	lim	PROPN
ejde-1684	89	19	s→0	s→0	PROPN
ejde-1684	89	20	+	+	ADJ
ejde-1684	89	21	f(s	f(	NOUN
ejde-1684	89	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	89	23	|s|q−2s	|s|q−2s	NOUN
ejde-1684	89	24	=	=	SYM
ejde-1684	89	25	f0	f0	PROPN
ejde-1684	89	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	90	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	90	2	h6	h6	PROPN
ejde-1684	90	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	90	4	there	there	PRON
ejde-1684	90	5	exists	exist	VERB
ejde-1684	90	6	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	90	7	∈	∈	PROPN
ejde-1684	90	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	90	9	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1684	90	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	90	11	such	such	ADJ
ejde-1684	90	12	that	that	SCONJ
ejde-1684	90	13	lim	lim	PROPN
ejde-1684	90	14	s→+∞	s→+∞	PROPN
ejde-1684	90	15	f(s	f(s	PROPN
ejde-1684	90	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	91	1	|s|q−2s	|s|q−2s	X
ejde-1684	92	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	92	2	f∞.	f∞.	VERB
ejde-1684	92	3	the	the	DET
ejde-1684	92	4	third	third	ADJ
ejde-1684	92	5	main	main	ADJ
ejde-1684	92	6	result	result	NOUN
ejde-1684	92	7	reads	read	VERB
ejde-1684	92	8	as	as	SCONJ
ejde-1684	92	9	follows	follow	VERB
ejde-1684	92	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	93	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	93	2	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	93	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	94	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	94	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	94	3	q	q	PUNCT
ejde-1684	95	1	∈	∈	PROPN
ejde-1684	96	1	[	[	X
ejde-1684	96	2	1	1	NUM
ejde-1684	96	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	96	4	2	2	NUM
ejde-1684	96	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	96	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	97	1	f	f	PROPN
ejde-1684	97	2	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	97	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	4	h4)–(h6	h4)–(h6	NOUN
ejde-1684	97	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	97	7	f0	f0	PROPN
ejde-1684	97	8	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	97	9	f∞.	f∞.	PROPN
ejde-1684	97	10	then	then	ADV
ejde-1684	97	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	12	i	i	NOUN
ejde-1684	97	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	14	if	if	SCONJ
ejde-1684	97	15	λ	λ	X
ejde-1684	97	16	∈	∈	PROPN
ejde-1684	97	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	18	min{λ1	min{λ1	NOUN
ejde-1684	97	19	/	/	SYM
ejde-1684	97	20	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	97	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	97	22	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	97	23	/	/	SYM
ejde-1684	97	24	f0},max{λ1	f0},max{λ1	NOUN
ejde-1684	97	25	/	/	SYM
ejde-1684	97	26	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	97	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	97	28	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	97	29	/	/	SYM
ejde-1684	97	30	f0	f0	PROPN
ejde-1684	97	31	}	}	PUNCT
ejde-1684	97	32	]	]	PUNCT
ejde-1684	97	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	97	34	then	then	ADV
ejde-1684	97	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	36	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	97	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	38	has	have	VERB
ejde-1684	97	39	at	at	ADV
ejde-1684	97	40	least	least	ADV
ejde-1684	97	41	one	one	NUM
ejde-1684	97	42	positive	positive	ADJ
ejde-1684	97	43	solution	solution	NOUN
ejde-1684	97	44	;	;	PUNCT
ejde-1684	97	45	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	46	i	i	NOUN
ejde-1684	97	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	48	if	if	SCONJ
ejde-1684	97	49	λ	λ	X
ejde-1684	97	50	∈	∈	NOUN
ejde-1684	97	51	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	52	max{λ1	max{λ1	NOUN
ejde-1684	97	53	/	/	SYM
ejde-1684	97	54	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	97	55	,	,	PUNCT
ejde-1684	97	56	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	97	57	/	/	SYM
ejde-1684	97	58	f0},+∞	f0},+∞	ADJ
ejde-1684	97	59	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	60	,	,	PUNCT
ejde-1684	97	61	then	then	ADV
ejde-1684	97	62	(	(	PUNCT
ejde-1684	97	63	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	97	64	)	)	PUNCT
ejde-1684	97	65	has	have	VERB
ejde-1684	97	66	at	at	ADV
ejde-1684	97	67	least	least	ADV
ejde-1684	97	68	two	two	NUM
ejde-1684	97	69	positive	positive	ADJ
ejde-1684	97	70	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	97	71	.	.	PUNCT
ejde-1684	98	1	see	see	VERB
ejde-1684	98	2	figure	figure	NOUN
ejde-1684	98	3	1	1	NUM
ejde-1684	98	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	98	5	figure	figure	VERB
ejde-1684	98	6	1	1	NUM
ejde-1684	98	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	98	8	schematic	schematic	ADJ
ejde-1684	98	9	diagram	diagram	NOUN
ejde-1684	98	10	of	of	ADP
ejde-1684	98	11	f0	f0	PROPN
ejde-1684	98	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	98	13	f∞	f∞	X
ejde-1684	98	14	∈	∈	PROPN
ejde-1684	98	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	98	16	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1684	98	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	98	18	and	and	CCONJ
ejde-1684	98	19	f0	f0	PROPN
ejde-1684	98	20	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	98	21	f∞.	f∞.	PROPN
ejde-1684	98	22	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	98	23	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	98	24	can	can	AUX
ejde-1684	98	25	not	not	PART
ejde-1684	98	26	be	be	AUX
ejde-1684	98	27	derived	derive	VERB
ejde-1684	98	28	directly	directly	ADV
ejde-1684	98	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	99	1	in	in	ADP
ejde-1684	99	2	fact	fact	NOUN
ejde-1684	99	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	99	4	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	99	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	99	6	is	be	AUX
ejde-1684	99	7	not	not	PART
ejde-1684	99	8	used	use	VERB
ejde-1684	99	9	in	in	ADP
ejde-1684	99	10	the	the	DET
ejde-1684	99	11	derivation	derivation	NOUN
ejde-1684	99	12	of	of	ADP
ejde-1684	99	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	99	14	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	99	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	99	16	by	by	ADP
ejde-1684	99	17	expanding	expand	VERB
ejde-1684	99	18	f(u	f(u	PROPN
ejde-1684	99	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	99	20	at	at	ADP
ejde-1684	99	21	both	both	DET
ejde-1684	99	22	zero	zero	NUM
ejde-1684	99	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	99	24	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	99	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	99	26	it	it	PRON
ejde-1684	99	27	becomes	become	VERB
ejde-1684	99	28	evident	evident	ADJ
ejde-1684	99	29	that	that	SCONJ
ejde-1684	99	30	the	the	DET
ejde-1684	99	31	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-1684	99	32	of	of	ADP
ejde-1684	99	33	equation	equation	NOUN
ejde-1684	99	34	(	(	PUNCT
ejde-1684	99	35	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	99	36	)	)	PUNCT
ejde-1684	99	37	does	do	AUX
ejde-1684	99	38	contain	contain	VERB
ejde-1684	99	39	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	99	40	terms	term	NOUN
ejde-1684	99	41	,	,	PUNCT
ejde-1684	99	42	whereas	whereas	SCONJ
ejde-1684	99	43	the	the	DET
ejde-1684	99	44	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-1684	99	45	of	of	ADP
ejde-1684	99	46	equation	equation	NOUN
ejde-1684	99	47	(	(	PUNCT
ejde-1684	99	48	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	99	49	)	)	PUNCT
ejde-1684	99	50	4	4	NUM
ejde-1684	99	51	q.	q.	PROPN
ejde-1684	99	52	liu	liu	PROPN
ejde-1684	99	53	,	,	PUNCT
ejde-1684	99	54	l.	l.	PROPN
ejde-1684	99	55	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	99	56	ejde-2025/105	ejde-2025/105	NOUN
ejde-1684	99	57	does	do	AUX
ejde-1684	99	58	not	not	PART
ejde-1684	99	59	include	include	VERB
ejde-1684	99	60	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	99	61	terms	term	NOUN
ejde-1684	99	62	.	.	PUNCT
ejde-1684	100	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	100	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	100	3	in	in	ADP
ejde-1684	100	4	section	section	NOUN
ejde-1684	100	5	4	4	NUM
ejde-1684	100	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	100	7	we	we	PRON
ejde-1684	100	8	will	will	AUX
ejde-1684	100	9	formulate	formulate	VERB
ejde-1684	100	10	a	a	DET
ejde-1684	100	11	new	new	ADJ
ejde-1684	100	12	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	100	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	100	14	that	that	PRON
ejde-1684	100	15	is	be	AUX
ejde-1684	100	16	related	relate	VERB
ejde-1684	100	17	to	to	ADP
ejde-1684	100	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	100	19	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	100	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	100	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	101	1	in	in	ADP
ejde-1684	101	2	the	the	DET
ejde-1684	101	3	appendix	appendix	NOUN
ejde-1684	101	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	101	5	we	we	PRON
ejde-1684	101	6	give	give	VERB
ejde-1684	101	7	some	some	DET
ejde-1684	101	8	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-1684	101	9	results	result	NOUN
ejde-1684	101	10	concerning	concern	VERB
ejde-1684	101	11	browder	browder	NOUN
ejde-1684	101	12	-	-	PUNCT
ejde-1684	101	13	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	101	14	degree	degree	NOUN
ejde-1684	101	15	for	for	ADP
ejde-1684	101	16	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-1684	101	17	of	of	ADP
ejde-1684	101	18	monotone	monotone	ADJ
ejde-1684	101	19	operators	operator	NOUN
ejde-1684	101	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	102	1	the	the	DET
ejde-1684	102	2	definition	definition	NOUN
ejde-1684	102	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	102	4	basic	basic	ADJ
ejde-1684	102	5	properties	property	NOUN
ejde-1684	102	6	can	can	AUX
ejde-1684	102	7	be	be	AUX
ejde-1684	102	8	found	find	VERB
ejde-1684	102	9	in	in	ADP
ejde-1684	102	10	[	[	X
ejde-1684	102	11	11	11	NUM
ejde-1684	102	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	102	13	12	12	NUM
ejde-1684	102	14	]	]	PUNCT
ejde-1684	102	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	103	1	we	we	PRON
ejde-1684	103	2	now	now	ADV
ejde-1684	103	3	introduce	introduce	VERB
ejde-1684	103	4	some	some	DET
ejde-1684	103	5	notation	notation	NOUN
ejde-1684	103	6	conventions	convention	NOUN
ejde-1684	103	7	which	which	PRON
ejde-1684	103	8	will	will	AUX
ejde-1684	103	9	be	be	AUX
ejde-1684	103	10	used	use	VERB
ejde-1684	103	11	later	later	ADV
ejde-1684	103	12	in	in	ADP
ejde-1684	103	13	this	this	DET
ejde-1684	103	14	paper	paper	NOUN
ejde-1684	103	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	104	1	let	let	VERB
ejde-1684	104	2	x	x	PRON
ejde-1684	104	3	be	be	AUX
ejde-1684	104	4	the	the	DET
ejde-1684	104	5	usual	usual	ADJ
ejde-1684	104	6	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1684	104	7	space	space	NOUN
ejde-1684	104	8	w	w	PROPN
ejde-1684	104	9	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	104	10	0	0	NUM
ejde-1684	104	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	104	12	ω	ω	NOUN
ejde-1684	104	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	104	14	with	with	ADP
ejde-1684	104	15	the	the	DET
ejde-1684	104	16	norm	norm	NOUN
ejde-1684	104	17	∥u∥x	∥u∥x	NOUN
ejde-1684	104	18	=	=	SYM
ejde-1684	104	19	(	(	PUNCT
ejde-1684	104	20	∫	∫	PROPN
ejde-1684	104	21	ω	ω	PROPN
ejde-1684	104	22	|∇u|2	|∇u|2	PROPN
ejde-1684	104	23	)	)	PUNCT
ejde-1684	104	24	1/2	1/2	NUM
ejde-1684	104	25	and	and	CCONJ
ejde-1684	104	26	x	x	SYM
ejde-1684	104	27	′	′	NUM
ejde-1684	104	28	be	be	AUX
ejde-1684	104	29	its	its	PRON
ejde-1684	104	30	dual	dual	ADJ
ejde-1684	104	31	space	space	NOUN
ejde-1684	104	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	105	1	sometimes	sometimes	ADV
ejde-1684	105	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	105	3	we	we	PRON
ejde-1684	105	4	omit	omit	VERB
ejde-1684	105	5	dx	dx	PROPN
ejde-1684	105	6	in	in	ADP
ejde-1684	105	7	the	the	DET
ejde-1684	105	8	integral	integral	ADJ
ejde-1684	105	9	symbol	symbol	NOUN
ejde-1684	105	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	106	1	denote	denote	VERB
ejde-1684	106	2	by	by	ADP
ejde-1684	106	3	⟨	⟨	NOUN
ejde-1684	106	4	·	·	PUNCT
ejde-1684	106	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	106	6	·	·	PUNCT
ejde-1684	106	7	⟩	⟩	NOUN
ejde-1684	106	8	the	the	DET
ejde-1684	106	9	duality	duality	NOUN
ejde-1684	106	10	pairing	pair	VERB
ejde-1684	106	11	between	between	ADP
ejde-1684	106	12	x	x	PROPN
ejde-1684	106	13	and	and	CCONJ
ejde-1684	106	14	x	x	SYM
ejde-1684	106	15	′.	′.	NOUN
ejde-1684	106	16	we	we	PRON
ejde-1684	106	17	write	write	VERB
ejde-1684	106	18	un	un	PROPN
ejde-1684	106	19	⇀	⇀	PROPN
ejde-1684	106	20	u	u	PROPN
ejde-1684	106	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	106	22	un	un	PROPN
ejde-1684	106	23	→	→	SYM
ejde-1684	106	24	u	u	PROPN
ejde-1684	106	25	for	for	ADP
ejde-1684	106	26	the	the	DET
ejde-1684	106	27	weak	weak	ADJ
ejde-1684	106	28	and	and	CCONJ
ejde-1684	106	29	strong	strong	ADJ
ejde-1684	106	30	convergence	convergence	NOUN
ejde-1684	106	31	of	of	ADP
ejde-1684	106	32	the	the	DET
ejde-1684	106	33	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	106	34	{	{	PUNCT
ejde-1684	106	35	un	un	PROPN
ejde-1684	106	36	}	}	PUNCT
ejde-1684	106	37	in	in	ADP
ejde-1684	106	38	x	x	NOUN
ejde-1684	106	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	106	40	respectively	respectively	ADV
ejde-1684	106	41	.	.	PUNCT
ejde-1684	107	1	let	let	VERB
ejde-1684	107	2	lp	lp	NOUN
ejde-1684	107	3	be	be	AUX
ejde-1684	107	4	the	the	DET
ejde-1684	107	5	usual	usual	ADJ
ejde-1684	107	6	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-1684	107	7	space	space	NOUN
ejde-1684	107	8	with	with	ADP
ejde-1684	107	9	the	the	DET
ejde-1684	107	10	norm	norm	NOUN
ejde-1684	107	11	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-1684	107	12	=	=	PUNCT
ejde-1684	107	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	107	14	∫	∫	PROPN
ejde-1684	107	15	ω	ω	PROPN
ejde-1684	107	16	|u|pdx	|u|pdx	NUM
ejde-1684	107	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	107	18	1	1	NUM
ejde-1684	107	19	/	/	SYM
ejde-1684	107	20	p	p	NOUN
ejde-1684	107	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	108	1	for	for	ADP
ejde-1684	108	2	a	a	DET
ejde-1684	108	3	measurable	measurable	ADJ
ejde-1684	108	4	set	set	NOUN
ejde-1684	108	5	a	a	PRON
ejde-1684	108	6	of	of	ADP
ejde-1684	108	7	rn	rn	PROPN
ejde-1684	108	8	we	we	PRON
ejde-1684	108	9	denote	denote	VERB
ejde-1684	108	10	its	its	PRON
ejde-1684	108	11	measure	measure	NOUN
ejde-1684	108	12	by	by	ADP
ejde-1684	108	13	|a|	|a|	NOUN
ejde-1684	108	14	.	.	PROPN
ejde-1684	108	15	also	also	ADV
ejde-1684	108	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	17	we	we	PRON
ejde-1684	108	18	denote	denote	VERB
ejde-1684	108	19	by	by	ADP
ejde-1684	108	20	c	c	PROPN
ejde-1684	108	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	22	ci	ci	PROPN
ejde-1684	108	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	24	c	c	NOUN
ejde-1684	108	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	26	and	and	CCONJ
ejde-1684	108	27	ci	ci	NOUN
ejde-1684	108	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	29	i	i	PROPN
ejde-1684	108	30	∈	∈	PROPN
ejde-1684	108	31	n	n	CCONJ
ejde-1684	108	32	,	,	PUNCT
ejde-1684	108	33	general	general	ADJ
ejde-1684	108	34	positive	positive	ADJ
ejde-1684	108	35	constants	constant	NOUN
ejde-1684	108	36	the	the	DET
ejde-1684	108	37	exact	exact	ADJ
ejde-1684	108	38	value	value	NOUN
ejde-1684	108	39	may	may	AUX
ejde-1684	108	40	be	be	AUX
ejde-1684	108	41	different	different	ADJ
ejde-1684	108	42	from	from	ADP
ejde-1684	108	43	line	line	NOUN
ejde-1684	108	44	to	to	ADP
ejde-1684	108	45	line	line	NOUN
ejde-1684	108	46	.	.	PUNCT
ejde-1684	109	1	the	the	DET
ejde-1684	109	2	rest	rest	NOUN
ejde-1684	109	3	of	of	ADP
ejde-1684	109	4	this	this	DET
ejde-1684	109	5	paper	paper	NOUN
ejde-1684	109	6	is	be	AUX
ejde-1684	109	7	arranged	arrange	VERB
ejde-1684	109	8	as	as	SCONJ
ejde-1684	109	9	follows	follow	VERB
ejde-1684	109	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	110	1	in	in	ADP
ejde-1684	110	2	section	section	NOUN
ejde-1684	110	3	2	2	NUM
ejde-1684	110	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	110	5	we	we	PRON
ejde-1684	110	6	give	give	VERB
ejde-1684	110	7	some	some	DET
ejde-1684	110	8	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-1684	110	9	which	which	PRON
ejde-1684	110	10	will	will	AUX
ejde-1684	110	11	be	be	AUX
ejde-1684	110	12	used	use	VERB
ejde-1684	110	13	later	later	ADV
ejde-1684	110	14	in	in	ADP
ejde-1684	110	15	this	this	DET
ejde-1684	110	16	paper	paper	NOUN
ejde-1684	110	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	111	1	in	in	ADP
ejde-1684	111	2	section	section	NOUN
ejde-1684	111	3	3	3	NUM
ejde-1684	111	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	111	5	we	we	PRON
ejde-1684	111	6	give	give	VERB
ejde-1684	111	7	the	the	DET
ejde-1684	111	8	proof	proof	NOUN
ejde-1684	111	9	of	of	ADP
ejde-1684	111	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	111	11	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	111	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	112	1	in	in	ADP
ejde-1684	112	2	section	section	NOUN
ejde-1684	112	3	4	4	NUM
ejde-1684	112	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	112	5	we	we	PRON
ejde-1684	112	6	give	give	VERB
ejde-1684	112	7	the	the	DET
ejde-1684	112	8	proof	proof	NOUN
ejde-1684	112	9	of	of	ADP
ejde-1684	112	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	112	11	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	112	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	113	1	2	2	NUM
ejde-1684	113	2	.	.	NUM
ejde-1684	113	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-1684	113	4	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	113	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	114	1	properties	property	NOUN
ejde-1684	114	2	of	of	ADP
ejde-1684	114	3	the	the	DET
ejde-1684	114	4	first	first	ADJ
ejde-1684	114	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	114	6	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	114	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	115	1	by	by	ADP
ejde-1684	115	2	the	the	DET
ejde-1684	115	3	compactness	compactness	NOUN
ejde-1684	115	4	of	of	ADP
ejde-1684	115	5	the	the	DET
ejde-1684	115	6	embedding	embed	VERB
ejde-1684	115	7	w	w	PROPN
ejde-1684	115	8	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	115	9	0	0	NUM
ejde-1684	115	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	115	11	ω	ω	NOUN
ejde-1684	115	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	115	13	↪	↪	PROPN
ejde-1684	115	14	→	→	SYM
ejde-1684	115	15	lp(ω	lp(ω	NUM
ejde-1684	115	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	115	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	115	18	there	there	PRON
ejde-1684	115	19	exists	exist	VERB
ejde-1684	115	20	a	a	DET
ejde-1684	115	21	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-1684	115	22	of	of	ADP
ejde-1684	115	23	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	115	24	and	and	CCONJ
ejde-1684	115	25	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	115	26	is	be	AUX
ejde-1684	115	27	well	well	ADV
ejde-1684	115	28	defined	define	VERB
ejde-1684	115	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	116	1	we	we	PRON
ejde-1684	116	2	are	be	AUX
ejde-1684	116	3	going	go	VERB
ejde-1684	116	4	to	to	PART
ejde-1684	116	5	study	study	VERB
ejde-1684	116	6	the	the	DET
ejde-1684	116	7	properties	property	NOUN
ejde-1684	116	8	of	of	ADP
ejde-1684	116	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	116	10	=	=	PUNCT
ejde-1684	116	11	inf	inf	PROPN
ejde-1684	116	12	{	{	PUNCT
ejde-1684	116	13	∫	∫	PROPN
ejde-1684	116	14	ω	ω	PROPN
ejde-1684	116	15	|∇u|2	|∇u|2	NOUN
ejde-1684	116	16	dx	dx	PROPN
ejde-1684	116	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	116	18	∫	∫	PROPN
ejde-1684	116	19	ω	ω	PROPN
ejde-1684	116	20	|u|q	|u|q	PROPN
ejde-1684	116	21	dx	dx	PROPN
ejde-1684	116	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	116	23	2	2	X
ejde-1684	116	24	/	/	SYM
ejde-1684	116	25	q	q	NOUN
ejde-1684	116	26	:	:	PUNCT
ejde-1684	116	27	u	u	PRON
ejde-1684	116	28	∈w	∈w	VERB
ejde-1684	116	29	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	116	30	0	0	NUM
ejde-1684	116	31	(	(	PUNCT
ejde-1684	116	32	ω	ω	NOUN
ejde-1684	116	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	116	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	116	35	u	u	NOUN
ejde-1684	116	36	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-1684	116	37	0	0	NUM
ejde-1684	116	38	}	}	PUNCT
ejde-1684	116	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	117	1	these	these	DET
ejde-1684	117	2	properties	property	NOUN
ejde-1684	117	3	are	be	AUX
ejde-1684	117	4	important	important	ADJ
ejde-1684	117	5	in	in	ADP
ejde-1684	117	6	the	the	DET
ejde-1684	117	7	study	study	NOUN
ejde-1684	117	8	of	of	ADP
ejde-1684	117	9	global	global	ADJ
ejde-1684	117	10	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	117	11	phenomena	phenomenon	NOUN
ejde-1684	117	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	118	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	118	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	118	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	119	1	let	let	VERB
ejde-1684	119	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	119	3	is	be	AUX
ejde-1684	119	4	the	the	DET
ejde-1684	119	5	first	first	ADJ
ejde-1684	119	6	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	119	7	of	of	ADP
ejde-1684	119	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	119	9	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	119	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	119	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	119	12	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	119	13	is	be	AUX
ejde-1684	119	14	an	an	DET
ejde-1684	119	15	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	119	16	corresponding	correspond	VERB
ejde-1684	119	17	to	to	ADP
ejde-1684	119	18	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	119	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	120	1	then	then	ADV
ejde-1684	120	2	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	120	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	120	4	c1,α(ω̄	c1,α(ω̄	PROPN
ejde-1684	120	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	120	6	for	for	ADP
ejde-1684	120	7	some	some	DET
ejde-1684	120	8	α	α	NOUN
ejde-1684	120	9	∈	∈	PROPN
ejde-1684	120	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	120	11	0	0	NUM
ejde-1684	120	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	120	13	1	1	NUM
ejde-1684	120	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	120	15	and	and	CCONJ
ejde-1684	120	16	∂φ1/∂ν	∂φ1/∂ν	VERB
ejde-1684	120	17	<	<	X
ejde-1684	120	18	0	0	PUNCT
ejde-1684	121	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	121	2	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	121	3	is	be	AUX
ejde-1684	121	4	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-1684	121	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	121	6	where	where	SCONJ
ejde-1684	121	7	ν	ν	PROPN
ejde-1684	121	8	is	be	AUX
ejde-1684	121	9	the	the	DET
ejde-1684	121	10	outer	outer	ADJ
ejde-1684	121	11	unit	unit	NOUN
ejde-1684	121	12	normal	normal	ADJ
ejde-1684	121	13	at	at	ADP
ejde-1684	121	14	x	x	PROPN
ejde-1684	121	15	∈	∈	PROPN
ejde-1684	121	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	121	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	122	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	122	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	123	1	in	in	ADP
ejde-1684	123	2	fact	fact	NOUN
ejde-1684	123	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	123	4	u	u	NOUN
ejde-1684	123	5	belongs	belong	VERB
ejde-1684	123	6	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-1684	123	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	123	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	124	1	the	the	DET
ejde-1684	124	2	method	method	NOUN
ejde-1684	124	3	of	of	ADP
ejde-1684	124	4	proof	proof	NOUN
ejde-1684	124	5	is	be	AUX
ejde-1684	124	6	so	so	ADV
ejde-1684	124	7	-	-	PUNCT
ejde-1684	124	8	called	call	VERB
ejde-1684	124	9	the	the	DET
ejde-1684	124	10	bootstrap	bootstrap	NOUN
ejde-1684	124	11	argument	argument	NOUN
ejde-1684	124	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	124	13	we	we	PRON
ejde-1684	124	14	refer	refer	VERB
ejde-1684	124	15	readers	reader	NOUN
ejde-1684	124	16	to	to	ADP
ejde-1684	124	17	[	[	X
ejde-1684	124	18	2	2	NUM
ejde-1684	124	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	124	20	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	124	21	1.16	1.16	NUM
ejde-1684	124	22	]	]	PUNCT
ejde-1684	124	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	125	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1684	125	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	125	3	if	if	SCONJ
ejde-1684	125	4	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	125	5	≥	≥	NUM
ejde-1684	125	6	0	0	NUM
ejde-1684	125	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	125	8	by	by	ADP
ejde-1684	125	9	the	the	DET
ejde-1684	125	10	strong	strong	ADJ
ejde-1684	125	11	maximum	maximum	ADJ
ejde-1684	125	12	principle(see	principle(see	NOUN
ejde-1684	125	13	[	[	X
ejde-1684	125	14	8	8	NUM
ejde-1684	125	15	]	]	NUM
ejde-1684	125	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	125	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	125	18	∂φ1/∂ν	∂φ1/∂ν	VERB
ejde-1684	125	19	<	<	X
ejde-1684	125	20	0	0	PUNCT
ejde-1684	125	21	for	for	ADP
ejde-1684	125	22	all	all	DET
ejde-1684	125	23	x	x	SYM
ejde-1684	125	24	∈	∈	PROPN
ejde-1684	125	25	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	125	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	126	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	126	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	126	3	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	126	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	127	1	let	let	VERB
ejde-1684	127	2	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	127	3	be	be	AUX
ejde-1684	127	4	an	an	DET
ejde-1684	127	5	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	127	6	associated	associate	VERB
ejde-1684	127	7	with	with	ADP
ejde-1684	127	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	127	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	127	10	then	then	ADV
ejde-1684	127	11	either	either	CCONJ
ejde-1684	127	12	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	127	13	>	>	X
ejde-1684	127	14	0	0	PUNCT
ejde-1684	128	1	or	or	CCONJ
ejde-1684	128	2	φ1	φ1	NOUN
ejde-1684	128	3	<	<	X
ejde-1684	128	4	0	0	PUNCT
ejde-1684	128	5	in	in	ADP
ejde-1684	128	6	ω	ω	PROPN
ejde-1684	128	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	128	8	i.e.	i.e.	X
ejde-1684	128	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	128	10	is	be	AUX
ejde-1684	128	11	the	the	DET
ejde-1684	128	12	principal	principal	ADJ
ejde-1684	128	13	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	128	14	of	of	ADP
ejde-1684	128	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	128	16	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	128	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	128	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	129	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	129	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	130	1	we	we	PRON
ejde-1684	130	2	notice	notice	VERB
ejde-1684	130	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	130	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	130	5	φ1	φ1	NOUN
ejde-1684	130	6	is	be	AUX
ejde-1684	130	7	an	an	DET
ejde-1684	130	8	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	130	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	130	10	so	so	ADV
ejde-1684	130	11	is	be	AUX
ejde-1684	130	12	v	v	ADJ
ejde-1684	130	13	:	:	PUNCT
ejde-1684	130	14	=	=	SYM
ejde-1684	130	15	|φ1|	|φ1|	NOUN
ejde-1684	130	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	131	1	without	without	ADP
ejde-1684	131	2	loss	loss	NOUN
ejde-1684	131	3	of	of	ADP
ejde-1684	131	4	generality	generality	NOUN
ejde-1684	131	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	131	6	we	we	PRON
ejde-1684	131	7	shall	shall	AUX
ejde-1684	131	8	assume	assume	VERB
ejde-1684	131	9	that	that	SCONJ
ejde-1684	131	10	∥v∥q	∥v∥q	PROPN
ejde-1684	131	11	=	=	NOUN
ejde-1684	132	1	1	1	X
ejde-1684	132	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	133	1	so	so	ADV
ejde-1684	133	2	we	we	PRON
ejde-1684	133	3	have	have	VERB
ejde-1684	133	4	−∆v	−∆v	X
ejde-1684	134	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	134	2	λ1v	λ1v	X
ejde-1684	135	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	135	2	in	in	ADP
ejde-1684	135	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	135	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	135	5	v	v	NOUN
ejde-1684	135	6	=	=	SYM
ejde-1684	135	7	0	0	NUM
ejde-1684	135	8	on	on	ADP
ejde-1684	135	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	135	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	136	1	by	by	ADP
ejde-1684	136	2	the	the	DET
ejde-1684	136	3	strong	strong	ADJ
ejde-1684	136	4	maximum	maximum	ADJ
ejde-1684	136	5	principle	principle	NOUN
ejde-1684	136	6	[	[	X
ejde-1684	136	7	8	8	NUM
ejde-1684	136	8	]	]	PUNCT
ejde-1684	136	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	136	10	we	we	PRON
ejde-1684	136	11	know	know	VERB
ejde-1684	136	12	that	that	SCONJ
ejde-1684	136	13	v	v	ADP
ejde-1684	136	14	>	>	X
ejde-1684	136	15	0	0	PUNCT
ejde-1684	137	1	in	in	ADP
ejde-1684	137	2	the	the	DET
ejde-1684	137	3	whole	whole	ADJ
ejde-1684	137	4	domain	domain	NOUN
ejde-1684	137	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	138	1	by	by	ADP
ejde-1684	138	2	the	the	DET
ejde-1684	138	3	continuity	continuity	NOUN
ejde-1684	138	4	of	of	ADP
ejde-1684	138	5	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	138	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	138	7	either	either	CCONJ
ejde-1684	138	8	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	138	9	or	or	CCONJ
ejde-1684	138	10	−φ1	−φ1	PROPN
ejde-1684	138	11	is	be	AUX
ejde-1684	138	12	positive	positive	ADJ
ejde-1684	138	13	in	in	ADP
ejde-1684	138	14	the	the	DET
ejde-1684	138	15	whole	whole	ADJ
ejde-1684	138	16	domain	domain	NOUN
ejde-1684	138	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	139	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	139	2	remark	remark	NOUN
ejde-1684	139	3	2.3	2.3	NUM
ejde-1684	139	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	140	1	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	140	2	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	140	3	can	can	AUX
ejde-1684	140	4	be	be	AUX
ejde-1684	140	5	normalized	normalize	VERB
ejde-1684	140	6	by	by	ADP
ejde-1684	140	7	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	140	8	>	>	X
ejde-1684	140	9	0	0	PUNCT
ejde-1684	141	1	in	in	ADP
ejde-1684	141	2	ω	ω	PROPN
ejde-1684	141	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	141	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	141	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	141	6	φq	φq	PROPN
ejde-1684	141	7	1	1	NUM
ejde-1684	141	8	=	=	SYM
ejde-1684	141	9	1	1	NUM
ejde-1684	141	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	141	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	141	12	2.4	2.4	NUM
ejde-1684	141	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	142	1	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	142	2	is	be	AUX
ejde-1684	142	3	simple	simple	ADJ
ejde-1684	142	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	143	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	143	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	144	1	we	we	PRON
ejde-1684	144	2	only	only	ADV
ejde-1684	144	3	discuss	discuss	VERB
ejde-1684	144	4	q	q	PROPN
ejde-1684	144	5	∈	∈	PROPN
ejde-1684	145	1	[	[	X
ejde-1684	145	2	1	1	NUM
ejde-1684	145	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	145	4	2	2	NUM
ejde-1684	145	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	145	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	145	7	q	q	NOUN
ejde-1684	145	8	=	=	SYM
ejde-1684	145	9	2	2	NUM
ejde-1684	145	10	is	be	AUX
ejde-1684	145	11	easy	easy	ADJ
ejde-1684	145	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	146	1	consider	consider	VERB
ejde-1684	146	2	the	the	DET
ejde-1684	146	3	auxiliary	auxiliary	ADJ
ejde-1684	146	4	problem	problem	NOUN
ejde-1684	146	5	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1684	147	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	147	2	uq−1	uq−1	ADJ
ejde-1684	147	3	in	in	ADP
ejde-1684	147	4	ω	ω	PROPN
ejde-1684	147	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	147	6	u	u	NOUN
ejde-1684	147	7	=	=	NOUN
ejde-1684	147	8	0	0	NUM
ejde-1684	147	9	on	on	ADP
ejde-1684	147	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	147	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	148	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	148	2	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	148	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	148	4	reference	reference	NOUN
ejde-1684	148	5	[	[	X
ejde-1684	148	6	1	1	NUM
ejde-1684	148	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	148	8	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	148	9	8.4.1	8.4.1	NUM
ejde-1684	148	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	148	11	states	state	VERB
ejde-1684	148	12	that	that	SCONJ
ejde-1684	148	13	the	the	DET
ejde-1684	148	14	positive	positive	ADJ
ejde-1684	148	15	solution	solution	NOUN
ejde-1684	148	16	of	of	ADP
ejde-1684	148	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	148	18	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	148	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	148	20	is	be	AUX
ejde-1684	148	21	unique	unique	ADJ
ejde-1684	148	22	with	with	ADP
ejde-1684	148	23	q	q	PROPN
ejde-1684	148	24	∈	∈	PROPN
ejde-1684	149	1	[	[	X
ejde-1684	149	2	1	1	NUM
ejde-1684	149	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	149	4	2	2	NUM
ejde-1684	149	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	149	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	150	1	let	let	VERB
ejde-1684	150	2	u	u	NOUN
ejde-1684	150	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	150	4	v	v	PART
ejde-1684	150	5	be	be	AUX
ejde-1684	150	6	two	two	NUM
ejde-1684	150	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	150	8	associated	associate	VERB
ejde-1684	150	9	with	with	ADP
ejde-1684	150	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	150	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	151	1	then	then	ADV
ejde-1684	151	2	λ2−q	λ2−q	PROPN
ejde-1684	151	3	1	1	NUM
ejde-1684	151	4	u	u	NOUN
ejde-1684	151	5	∥u∥1	∥u∥1	NOUN
ejde-1684	151	6	/	/	SYM
ejde-1684	151	7	qq	qq	NOUN
ejde-1684	151	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	151	9	λ2−q	λ2−q	PROPN
ejde-1684	151	10	1	1	NUM
ejde-1684	151	11	v	v	ADP
ejde-1684	151	12	∥v∥1	∥v∥1	PROPN
ejde-1684	151	13	/	/	SYM
ejde-1684	151	14	qq	qq	X
ejde-1684	151	15	ejde-2025/105	ejde-2025/105	NOUN
ejde-1684	151	16	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	151	17	for	for	ADP
ejde-1684	151	18	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	151	19	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	151	20	problems	problem	NOUN
ejde-1684	151	21	5	5	NUM
ejde-1684	151	22	are	be	AUX
ejde-1684	151	23	both	both	PRON
ejde-1684	151	24	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	151	25	to	to	ADP
ejde-1684	151	26	(	(	PUNCT
ejde-1684	151	27	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	151	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	151	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	152	1	hence	hence	ADV
ejde-1684	152	2	u	u	NOUN
ejde-1684	152	3	=	=	PUNCT
ejde-1684	152	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	152	5	∥u∥q	∥u∥q	INTJ
ejde-1684	152	6	∥v∥q	∥v∥q	NOUN
ejde-1684	152	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	152	8	1	1	X
ejde-1684	152	9	/	/	SYM
ejde-1684	152	10	q	q	NOUN
ejde-1684	152	11	v	v	NOUN
ejde-1684	152	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	152	13	which	which	PRON
ejde-1684	152	14	shows	show	VERB
ejde-1684	152	15	that	that	SCONJ
ejde-1684	152	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	152	17	is	be	AUX
ejde-1684	152	18	simple	simple	ADJ
ejde-1684	152	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	153	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	153	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	153	3	2.5	2.5	NUM
ejde-1684	153	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	154	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	154	2	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	154	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	154	4	has	have	VERB
ejde-1684	154	5	a	a	DET
ejde-1684	154	6	positive	positive	ADJ
ejde-1684	154	7	solution	solution	NOUN
ejde-1684	154	8	if	if	SCONJ
ejde-1684	154	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	154	10	only	only	ADV
ejde-1684	154	11	if	if	SCONJ
ejde-1684	154	12	λ	λ	PROPN
ejde-1684	154	13	=	=	SYM
ejde-1684	154	14	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	154	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	155	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	155	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	156	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	156	2	on	on	ADP
ejde-1684	156	3	the	the	DET
ejde-1684	156	4	contrary	contrary	NOUN
ejde-1684	156	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	156	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	156	7	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	156	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	156	9	with	with	ADP
ejde-1684	156	10	λ	λ	PROPN
ejde-1684	156	11	>	>	X
ejde-1684	156	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	156	13	has	have	VERB
ejde-1684	156	14	a	a	DET
ejde-1684	156	15	positive	positive	ADJ
ejde-1684	156	16	solution	solution	NOUN
ejde-1684	156	17	v	v	NOUN
ejde-1684	156	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	156	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	156	20	let	let	VERB
ejde-1684	156	21	u	u	PRON
ejde-1684	156	22	be	be	AUX
ejde-1684	156	23	a	a	DET
ejde-1684	156	24	positive	positive	ADJ
ejde-1684	156	25	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	156	26	corresponding	correspond	VERB
ejde-1684	156	27	to	to	ADP
ejde-1684	156	28	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	156	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	157	1	there	there	PRON
ejde-1684	157	2	exists	exist	VERB
ejde-1684	157	3	a	a	DET
ejde-1684	157	4	constant	constant	ADJ
ejde-1684	157	5	t	t	NOUN
ejde-1684	157	6	>	>	X
ejde-1684	157	7	0	0	PUNCT
ejde-1684	158	1	large	large	ADJ
ejde-1684	158	2	enough	enough	ADV
ejde-1684	158	3	such	such	ADJ
ejde-1684	158	4	that	that	DET
ejde-1684	158	5	tv	tv	NOUN
ejde-1684	158	6	≥	≥	NOUN
ejde-1684	158	7	u.	u.	VERB
ejde-1684	158	8	clearly	clearly	ADV
ejde-1684	158	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	158	10	ṽ	ṽ	PROPN
ejde-1684	158	11	:	:	PUNCT
ejde-1684	158	12	=	=	SYM
ejde-1684	158	13	tv	tv	NOUN
ejde-1684	158	14	is	be	AUX
ejde-1684	158	15	also	also	ADV
ejde-1684	158	16	an	an	DET
ejde-1684	158	17	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	158	18	of	of	ADP
ejde-1684	158	19	(	(	PUNCT
ejde-1684	158	20	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	158	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	158	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	159	1	define	define	VERB
ejde-1684	159	2	φ	φ	PROPN
ejde-1684	159	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	159	4	ψ	ψ	X
ejde-1684	159	5	on	on	ADP
ejde-1684	159	6	x	x	PUNCT
ejde-1684	159	7	by	by	ADP
ejde-1684	159	8	φ(w	φ(w	PROPN
ejde-1684	159	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	159	10	=	=	SYM
ejde-1684	159	11	1	1	NUM
ejde-1684	159	12	2	2	NUM
ejde-1684	159	13	∥w∥2x	∥w∥2x	PROPN
ejde-1684	159	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	159	15	ψ(w	ψ(w	X
ejde-1684	159	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	159	17	=	=	SYM
ejde-1684	159	18	1	1	NUM
ejde-1684	159	19	2	2	NUM
ejde-1684	159	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	159	21	∫	∫	PROPN
ejde-1684	159	22	ω	ω	PROPN
ejde-1684	159	23	wqdx	wqdx	PROPN
ejde-1684	159	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	159	25	2	2	X
ejde-1684	159	26	/	/	SYM
ejde-1684	159	27	q	q	NOUN
ejde-1684	159	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	160	1	then	then	ADV
ejde-1684	160	2	the	the	DET
ejde-1684	160	3	energy	energy	NOUN
ejde-1684	160	4	functional	functional	ADJ
ejde-1684	160	5	corresponding	corresponding	NOUN
ejde-1684	160	6	to	to	ADP
ejde-1684	160	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	160	8	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	160	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	160	10	is	be	AUX
ejde-1684	160	11	j(w	j(w	PROPN
ejde-1684	160	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	160	13	=	=	PUNCT
ejde-1684	161	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	161	2	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	161	3	λψ)(w	λψ)(w	PROPN
ejde-1684	161	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	162	1	=	=	SYM
ejde-1684	162	2	1	1	NUM
ejde-1684	162	3	2	2	NUM
ejde-1684	162	4	∥w∥2x	∥w∥2x	PROPN
ejde-1684	162	5	−	−	NOUN
ejde-1684	162	6	λ	λ	NOUN
ejde-1684	162	7	2	2	NUM
ejde-1684	162	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	162	9	∫	∫	PROPN
ejde-1684	162	10	ω	ω	PROPN
ejde-1684	162	11	wqdx	wqdx	PROPN
ejde-1684	162	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	162	13	2	2	NUM
ejde-1684	162	14	/	/	SYM
ejde-1684	162	15	q	q	NOUN
ejde-1684	162	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	163	1	for	for	ADP
ejde-1684	163	2	all	all	DET
ejde-1684	163	3	φ	φ	PROPN
ejde-1684	163	4	∈	∈	PROPN
ejde-1684	163	5	c∞	c∞	PROPN
ejde-1684	163	6	c	c	X
ejde-1684	163	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	163	8	ω	ω	NOUN
ejde-1684	163	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	163	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	163	11	let	let	VERB
ejde-1684	163	12	φ′(w)φ	φ′(w)φ	NUM
ejde-1684	163	13	=	=	SYM
ejde-1684	163	14	∫	∫	PROPN
ejde-1684	163	15	ω	ω	NUM
ejde-1684	163	16	∇w∇φ	∇w∇φ	PROPN
ejde-1684	163	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	163	18	ψ′(w)φ	ψ′(w)φ	ADP
ejde-1684	163	19	=	=	SYM
ejde-1684	163	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	163	21	∫	∫	PROPN
ejde-1684	163	22	ω	ω	NUM
ejde-1684	163	23	wqdx	wqdx	PROPN
ejde-1684	163	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	163	25	2	2	NUM
ejde-1684	164	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	164	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	164	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	164	4	wq−1φ	wq−1φ	PROPN
ejde-1684	164	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	165	1	then	then	ADV
ejde-1684	165	2	w	w	PROPN
ejde-1684	165	3	is	be	AUX
ejde-1684	165	4	a	a	DET
ejde-1684	165	5	weak	weak	ADJ
ejde-1684	165	6	solution	solution	NOUN
ejde-1684	165	7	of	of	ADP
ejde-1684	165	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	165	9	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	165	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	165	11	if	if	SCONJ
ejde-1684	165	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	165	13	only	only	ADV
ejde-1684	165	14	if	if	SCONJ
ejde-1684	165	15	φ′(w	φ′(w	ADP
ejde-1684	165	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	165	17	=	=	SYM
ejde-1684	165	18	λψ′(w	λψ′(w	PROPN
ejde-1684	165	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	165	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	166	1	for	for	ADP
ejde-1684	166	2	φ	φ	PROPN
ejde-1684	166	3	≥	≥	PROPN
ejde-1684	166	4	0	0	NUM
ejde-1684	166	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	166	6	we	we	PRON
ejde-1684	166	7	have	have	VERB
ejde-1684	166	8	⟨ψ′(u	⟨ψ′(u	PROPN
ejde-1684	166	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	166	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	166	11	φ⟩	φ⟩	VERB
ejde-1684	166	12	≤	≤	NUM
ejde-1684	166	13	⟨ψ′(ṽ	⟨ψ′(ṽ	NOUN
ejde-1684	166	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	166	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	166	16	φ⟩.	φ⟩.	PRON
ejde-1684	166	17	then	then	ADV
ejde-1684	166	18	⟨φ′(u	⟨φ′(u	PROPN
ejde-1684	166	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	166	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	166	21	φ⟩	φ⟩	NOUN
ejde-1684	167	1	=	=	SYM
ejde-1684	167	2	⟨λ1ψ′(u	⟨λ1ψ′(u	NOUN
ejde-1684	167	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	167	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	167	5	φ⟩	φ⟩	VERB
ejde-1684	167	6	≤	≤	NUM
ejde-1684	167	7	⟨λ1ψ′(ṽ	⟨λ1ψ′(ṽ	NOUN
ejde-1684	167	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	167	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	167	10	φ⟩	φ⟩	NOUN
ejde-1684	167	11	=	=	SYM
ejde-1684	167	12	⟨λψ′(ηṽ	⟨λψ′(ηṽ	NOUN
ejde-1684	167	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	167	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	167	15	φ⟩	φ⟩	NOUN
ejde-1684	168	1	=	=	SYM
ejde-1684	168	2	⟨φ′(ηṽ	⟨φ′(ηṽ	PROPN
ejde-1684	168	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	168	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	5	φ⟩	φ⟩	NOUN
ejde-1684	168	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	7	where	where	SCONJ
ejde-1684	168	8	η	η	PROPN
ejde-1684	168	9	=	=	PROPN
ejde-1684	168	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	168	11	/	/	SYM
ejde-1684	168	12	λ	λ	X
ejde-1684	168	13	<	<	X
ejde-1684	168	14	1	1	NUM
ejde-1684	168	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	168	16	taking	take	VERB
ejde-1684	168	17	φ	φ	PROPN
ejde-1684	168	18	=	=	SYM
ejde-1684	168	19	(	(	PUNCT
ejde-1684	168	20	u−ηṽ)+	u−ηṽ)+	PROPN
ejde-1684	168	21	as	as	ADP
ejde-1684	168	22	a	a	DET
ejde-1684	168	23	test	test	NOUN
ejde-1684	168	24	function	function	NOUN
ejde-1684	168	25	in	in	ADP
ejde-1684	168	26	⟨φ′(u	⟨φ′(u	PROPN
ejde-1684	168	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	168	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	29	φ⟩	φ⟩	VERB
ejde-1684	168	30	≤	≤	NUM
ejde-1684	168	31	⟨φ′(ηṽ	⟨φ′(ηṽ	PROPN
ejde-1684	168	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	168	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	34	φ⟩	φ⟩	NOUN
ejde-1684	168	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	36	it	it	PRON
ejde-1684	168	37	follows	follow	VERB
ejde-1684	168	38	that	that	SCONJ
ejde-1684	168	39	∇(u−	∇(u−	PRON
ejde-1684	168	40	ηṽ)+	ηṽ)+	NOUN
ejde-1684	168	41	=	=	SYM
ejde-1684	168	42	0	0	PROPN
ejde-1684	168	43	,	,	PUNCT
ejde-1684	168	44	this	this	PRON
ejde-1684	168	45	implies	imply	VERB
ejde-1684	168	46	(	(	PUNCT
ejde-1684	168	47	u−	u−	NUM
ejde-1684	168	48	ηṽ)+	ηṽ)+	NOUN
ejde-1684	168	49	=	=	SYM
ejde-1684	168	50	0	0	NUM
ejde-1684	168	51	and	and	CCONJ
ejde-1684	168	52	so	so	ADV
ejde-1684	168	53	u	u	PROPN
ejde-1684	168	54	≤	≤	ADJ
ejde-1684	168	55	ηṽ	ηṽ	NOUN
ejde-1684	168	56	in	in	ADP
ejde-1684	168	57	ω	ω	PROPN
ejde-1684	168	58	.	.	PUNCT
ejde-1684	169	1	repeating	repeat	VERB
ejde-1684	169	2	this	this	DET
ejde-1684	169	3	argument	argument	NOUN
ejde-1684	169	4	n	n	DET
ejde-1684	169	5	times	time	NOUN
ejde-1684	169	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	169	7	we	we	PRON
ejde-1684	169	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	169	9	that	that	DET
ejde-1684	169	10	0	0	NUM
ejde-1684	169	11	≤	≤	NUM
ejde-1684	169	12	u	u	NOUN
ejde-1684	169	13	≤	≤	NOUN
ejde-1684	169	14	ηnṽ.	ηnṽ.	PROPN
ejde-1684	169	15	letting	let	VERB
ejde-1684	169	16	n	n	X
ejde-1684	169	17	→	→	SYM
ejde-1684	169	18	+	+	PROPN
ejde-1684	169	19	∞	∞	PROPN
ejde-1684	169	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	169	21	we	we	PRON
ejde-1684	169	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	169	23	u	u	PRON
ejde-1684	169	24	≡	≡	PROPN
ejde-1684	169	25	0	0	PROPN
ejde-1684	169	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	170	1	this	this	PRON
ejde-1684	170	2	is	be	AUX
ejde-1684	170	3	a	a	DET
ejde-1684	170	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	170	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	171	1	so	so	ADV
ejde-1684	171	2	v	v	NOUN
ejde-1684	171	3	must	must	AUX
ejde-1684	171	4	change	change	VERB
ejde-1684	171	5	sign	sign	NOUN
ejde-1684	171	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	172	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	172	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	172	3	2.6	2.6	NUM
ejde-1684	172	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	173	1	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	173	2	is	be	AUX
ejde-1684	173	3	isolated	isolate	VERB
ejde-1684	173	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	174	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	174	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	175	1	let	let	VERB
ejde-1684	175	2	v	v	PART
ejde-1684	175	3	be	be	AUX
ejde-1684	175	4	any	any	DET
ejde-1684	175	5	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	175	6	associated	associate	VERB
ejde-1684	175	7	to	to	ADP
ejde-1684	175	8	an	an	DET
ejde-1684	175	9	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	175	10	λ	λ	PROPN
ejde-1684	175	11	>	>	X
ejde-1684	175	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	175	13	and	and	CCONJ
ejde-1684	175	14	n	n	PRON
ejde-1684	175	15	be	be	VERB
ejde-1684	175	16	its	its	PRON
ejde-1684	175	17	any	any	DET
ejde-1684	175	18	nodal	nodal	NOUN
ejde-1684	175	19	domain	domain	NOUN
ejde-1684	175	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	176	1	then	then	ADV
ejde-1684	176	2	we	we	PRON
ejde-1684	176	3	have	have	VERB
ejde-1684	176	4	v|n	v|n	NOUN
ejde-1684	176	5	∈w	∈w	VERB
ejde-1684	176	6	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	176	7	0	0	NUM
ejde-1684	176	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	176	9	n	n	NOUN
ejde-1684	176	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	176	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	177	1	define	define	VERB
ejde-1684	177	2	w	w	NOUN
ejde-1684	177	3	=	=	X
ejde-1684	177	4	{	{	PUNCT
ejde-1684	177	5	v	v	NOUN
ejde-1684	177	6	for	for	ADP
ejde-1684	177	7	x	x	PROPN
ejde-1684	177	8	∈	∈	PROPN
ejde-1684	177	9	n	n	ADV
ejde-1684	177	10	0	0	NUM
ejde-1684	177	11	for	for	ADP
ejde-1684	177	12	x	x	PROPN
ejde-1684	177	13	∈	∈	PROPN
ejde-1684	177	14	ω\n	ω\n	PROPN
ejde-1684	177	15	it	it	PRON
ejde-1684	177	16	is	be	AUX
ejde-1684	177	17	easy	easy	ADJ
ejde-1684	177	18	to	to	PART
ejde-1684	177	19	see	see	VERB
ejde-1684	177	20	that	that	DET
ejde-1684	177	21	w	w	PROPN
ejde-1684	177	22	∈	∈	PROPN
ejde-1684	177	23	x	x	X
ejde-1684	177	24	and	and	CCONJ
ejde-1684	177	25	we	we	PRON
ejde-1684	177	26	claim	claim	VERB
ejde-1684	177	27	|n	|n	ADJ
ejde-1684	177	28	|	|	ADV
ejde-1684	177	29	≥	≥	NOUN
ejde-1684	177	30	c(λ	c(λ	NUM
ejde-1684	177	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	177	32	,	,	PUNCT
ejde-1684	177	33	where	where	SCONJ
ejde-1684	177	34	c(λ	c(λ	PROPN
ejde-1684	177	35	)	)	PUNCT
ejde-1684	177	36	is	be	AUX
ejde-1684	177	37	a	a	DET
ejde-1684	177	38	constant	constant	ADJ
ejde-1684	177	39	and	and	CCONJ
ejde-1684	177	40	is	be	AUX
ejde-1684	177	41	only	only	ADV
ejde-1684	177	42	related	relate	VERB
ejde-1684	177	43	to	to	ADP
ejde-1684	177	44	λ	λ	X
ejde-1684	177	45	.	.	PUNCT
ejde-1684	178	1	we	we	PRON
ejde-1684	178	2	only	only	ADV
ejde-1684	178	3	consider	consider	VERB
ejde-1684	178	4	the	the	DET
ejde-1684	178	5	case	case	NOUN
ejde-1684	178	6	n	n	PRON
ejde-1684	178	7	≥	≥	NOUN
ejde-1684	178	8	3	3	NUM
ejde-1684	178	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	178	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	178	11	n	n	CCONJ
ejde-1684	178	12	=	=	SYM
ejde-1684	178	13	2	2	NUM
ejde-1684	178	14	is	be	AUX
ejde-1684	178	15	simple	simple	ADJ
ejde-1684	178	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	179	1	we	we	PRON
ejde-1684	179	2	have∫	have∫	VERB
ejde-1684	179	3	n	n	NOUN
ejde-1684	179	4	|∇w|2dx	|∇w|2dx	NOUN
ejde-1684	180	1	=	=	SYM
ejde-1684	180	2	λ	λ	X
ejde-1684	180	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	180	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	180	5	n	n	CCONJ
ejde-1684	180	6	|v|qdx	|v|qdx	CCONJ
ejde-1684	180	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	180	8	2	2	NUM
ejde-1684	181	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	181	2	∫	∫	NOUN
ejde-1684	181	3	n	n	PRON
ejde-1684	181	4	wqdx	wqdx	NOUN
ejde-1684	181	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	182	1	by	by	ADP
ejde-1684	182	2	the	the	DET
ejde-1684	182	3	hölder	hölder	NOUN
ejde-1684	182	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-1684	182	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	182	6	the	the	DET
ejde-1684	182	7	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1684	182	8	embeddings	embedding	NOUN
ejde-1684	182	9	we	we	PRON
ejde-1684	182	10	have	have	VERB
ejde-1684	182	11	c∥w∥22∗	c∥w∥22∗	PROPN
ejde-1684	182	12	≤	≤	NUM
ejde-1684	182	13	∫	∫	PROPN
ejde-1684	183	1	n	n	CCONJ
ejde-1684	183	2	|∇w|2dx	|∇w|2dx	VERB
ejde-1684	183	3	≤	≤	NUM
ejde-1684	184	1	λ	λ	PROPN
ejde-1684	184	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	184	3	∫	∫	PROPN
ejde-1684	184	4	n	n	CCONJ
ejde-1684	184	5	|w|qdx	|w|qdx	NUM
ejde-1684	184	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	184	7	2	2	X
ejde-1684	184	8	/	/	SYM
ejde-1684	184	9	q	q	NOUN
ejde-1684	184	10	≤	≤	NOUN
ejde-1684	184	11	λ∥w∥22∗	λ∥w∥22∗	PROPN
ejde-1684	184	12	|n	|n	NOUN
ejde-1684	184	13	|(1−	|(1−	PROPN
ejde-1684	184	14	q	q	PROPN
ejde-1684	184	15	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	184	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	184	17	2	2	NUM
ejde-1684	184	18	q	q	NOUN
ejde-1684	184	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	185	1	where	where	SCONJ
ejde-1684	185	2	c	c	X
ejde-1684	185	3	>	>	X
ejde-1684	185	4	0	0	NUM
ejde-1684	185	5	is	be	AUX
ejde-1684	185	6	related	relate	VERB
ejde-1684	185	7	to	to	ADP
ejde-1684	185	8	the	the	DET
ejde-1684	185	9	best	good	ADJ
ejde-1684	185	10	embedding	embed	VERB
ejde-1684	185	11	constant	constant	ADJ
ejde-1684	185	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	186	1	based	base	VERB
ejde-1684	186	2	on	on	ADP
ejde-1684	186	3	the	the	DET
ejde-1684	186	4	aforementioned	aforementioned	ADJ
ejde-1684	186	5	fact	fact	NOUN
ejde-1684	186	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	186	7	we	we	PRON
ejde-1684	186	8	substantiate	substantiate	VERB
ejde-1684	186	9	the	the	DET
ejde-1684	186	10	assertion	assertion	NOUN
ejde-1684	186	11	:	:	PUNCT
ejde-1684	186	12	|n	|n	X
ejde-1684	186	13	|	|	ADV
ejde-1684	187	1	≥	≥	NUM
ejde-1684	187	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	187	3	c	c	NOUN
ejde-1684	187	4	λ	λ	X
ejde-1684	187	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	187	6	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	188	1	2∗−q	2∗−q	NUM
ejde-1684	188	2	q	q	NOUN
ejde-1684	188	3	2	2	NUM
ejde-1684	188	4	≡	≡	PROPN
ejde-1684	188	5	c(λ	c(λ	NUM
ejde-1684	188	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	188	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	189	1	now	now	ADV
ejde-1684	189	2	we	we	PRON
ejde-1684	189	3	prove	prove	VERB
ejde-1684	189	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	189	5	2.6	2.6	NUM
ejde-1684	189	6	by	by	ADP
ejde-1684	189	7	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	189	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	190	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	190	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	190	3	there	there	PRON
ejde-1684	190	4	exists	exist	VERB
ejde-1684	190	5	a	a	DET
ejde-1684	190	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	190	7	of	of	ADP
ejde-1684	190	8	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	190	9	λn	λn	PROPN
ejde-1684	190	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	190	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	190	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	190	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	190	14	δ	δ	PROPN
ejde-1684	190	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	190	16	for	for	ADP
ejde-1684	190	17	some	some	DET
ejde-1684	190	18	constant	constant	ADJ
ejde-1684	190	19	δ	δ	PROPN
ejde-1684	190	20	>	>	X
ejde-1684	190	21	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	190	22	which	which	PRON
ejde-1684	190	23	converges	converge	VERB
ejde-1684	190	24	to	to	ADP
ejde-1684	190	25	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	190	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	191	1	let	let	VERB
ejde-1684	191	2	un	un	PROPN
ejde-1684	191	3	be	be	AUX
ejde-1684	191	4	the	the	DET
ejde-1684	191	5	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1684	191	6	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	191	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	192	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	192	2	2.5	2.5	NUM
ejde-1684	192	3	implies	imply	VERB
ejde-1684	192	4	that	that	SCONJ
ejde-1684	192	5	un	un	PROPN
ejde-1684	192	6	changes	change	NOUN
ejde-1684	192	7	sign	sign	NOUN
ejde-1684	192	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	193	1	integration	integration	NOUN
ejde-1684	193	2	by	by	ADP
ejde-1684	193	3	parts	part	NOUN
ejde-1684	193	4	gives∫	gives∫	NOUN
ejde-1684	193	5	ω	ω	NOUN
ejde-1684	193	6	|∇un|2dx	|∇un|2dx	PROPN
ejde-1684	193	7	=	=	X
ejde-1684	193	8	λn	λn	PROPN
ejde-1684	193	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	193	10	∫	∫	PROPN
ejde-1684	193	11	ω	ω	PROPN
ejde-1684	193	12	|un|qdx	|un|qdx	NOUN
ejde-1684	193	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	193	14	2	2	NUM
ejde-1684	193	15	/	/	SYM
ejde-1684	193	16	q	q	NOUN
ejde-1684	193	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	194	1	6	6	NUM
ejde-1684	194	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	194	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	194	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	194	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	194	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	194	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	195	1	we	we	PRON
ejde-1684	195	2	define	define	VERB
ejde-1684	195	3	vn	vn	PROPN
ejde-1684	195	4	:	:	PUNCT
ejde-1684	195	5	=	=	PROPN
ejde-1684	195	6	un	un	PROPN
ejde-1684	195	7	∥un∥q	∥un∥q	PROPN
ejde-1684	195	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	196	1	obviously	obviously	ADV
ejde-1684	196	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	196	3	vn	vn	PROPN
ejde-1684	196	4	is	be	AUX
ejde-1684	196	5	bounded	bound	VERB
ejde-1684	196	6	in	in	ADP
ejde-1684	196	7	x	x	VERB
ejde-1684	197	1	so	so	ADV
ejde-1684	197	2	there	there	PRON
ejde-1684	197	3	exists	exist	VERB
ejde-1684	197	4	a	a	DET
ejde-1684	197	5	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	197	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	197	7	denoted	denote	VERB
ejde-1684	197	8	again	again	ADV
ejde-1684	197	9	by	by	ADP
ejde-1684	197	10	vn	vn	PROPN
ejde-1684	197	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	197	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	197	13	v	v	ADP
ejde-1684	197	14	∈	∈	NOUN
ejde-1684	197	15	x	x	PUNCT
ejde-1684	197	16	such	such	ADJ
ejde-1684	197	17	that	that	PRON
ejde-1684	197	18	vn	vn	PROPN
ejde-1684	197	19	⇀	⇀	NUM
ejde-1684	197	20	v	v	NOUN
ejde-1684	197	21	in	in	ADP
ejde-1684	197	22	x	x	X
ejde-1684	197	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	197	24	vn	vn	PROPN
ejde-1684	197	25	→	→	SYM
ejde-1684	197	26	v	v	NOUN
ejde-1684	197	27	in	in	ADP
ejde-1684	197	28	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1684	197	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	197	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	198	1	norm	norm	NOUN
ejde-1684	198	2	∥	∥	PROPN
ejde-1684	198	3	·	·	PUNCT
ejde-1684	199	1	∥x	∥x	PROPN
ejde-1684	199	2	is	be	AUX
ejde-1684	199	3	sequentially	sequentially	ADV
ejde-1684	199	4	weakly	weakly	ADV
ejde-1684	199	5	lower	low	ADJ
ejde-1684	199	6	semi	semi	ADJ
ejde-1684	199	7	-	-	ADJ
ejde-1684	199	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	199	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	199	10	so	so	SCONJ
ejde-1684	199	11	we	we	PRON
ejde-1684	199	12	have	have	VERB
ejde-1684	199	13	that	that	DET
ejde-1684	199	14	∫	∫	PROPN
ejde-1684	199	15	ω	ω	PROPN
ejde-1684	199	16	|∇v|2dx	|∇v|2dx	PROPN
ejde-1684	199	17	≤	≤	PROPN
ejde-1684	199	18	lim	lim	PROPN
ejde-1684	199	19	inf	inf	PROPN
ejde-1684	200	1	n→+∞	n→+∞	VERB
ejde-1684	200	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	200	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	200	4	|∇vn|2dx	|∇vn|2dx	PROPN
ejde-1684	200	5	=	=	SYM
ejde-1684	200	6	lim	lim	PROPN
ejde-1684	200	7	inf	inf	PROPN
ejde-1684	200	8	n→+∞	n→+∞	VERB
ejde-1684	200	9	λn	λn	NOUN
ejde-1684	200	10	=	=	SYM
ejde-1684	200	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	200	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	201	1	on	on	ADP
ejde-1684	201	2	the	the	DET
ejde-1684	201	3	other	other	ADJ
ejde-1684	201	4	hand	hand	NOUN
ejde-1684	201	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	201	6	∥vn∥q	∥vn∥q	PROPN
ejde-1684	201	7	=	=	SYM
ejde-1684	201	8	1	1	NUM
ejde-1684	201	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	201	10	vn	vn	PROPN
ejde-1684	201	11	→	→	SYM
ejde-1684	201	12	v	v	NOUN
ejde-1684	201	13	in	in	ADP
ejde-1684	201	14	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1684	201	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	201	16	imply	imply	VERB
ejde-1684	201	17	that	that	SCONJ
ejde-1684	201	18	∥v∥q	∥v∥q	NOUN
ejde-1684	202	1	=	=	NOUN
ejde-1684	202	2	1	1	X
ejde-1684	202	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	203	1	it	it	PRON
ejde-1684	203	2	follows	follow	VERB
ejde-1684	203	3	that∫	that∫	PROPN
ejde-1684	203	4	ω	ω	PROPN
ejde-1684	203	5	|∇v|2dx	|∇v|2dx	PROPN
ejde-1684	203	6	≤	≤	PROPN
ejde-1684	203	7	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	203	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	203	9	∫	∫	PROPN
ejde-1684	203	10	ω	ω	PROPN
ejde-1684	203	11	vqdx	vqdx	PROPN
ejde-1684	203	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	203	13	2	2	X
ejde-1684	203	14	/	/	SYM
ejde-1684	203	15	q	q	NOUN
ejde-1684	203	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	204	1	the	the	DET
ejde-1684	204	2	above	above	ADJ
ejde-1684	204	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-1684	204	4	and	and	CCONJ
ejde-1684	204	5	the	the	DET
ejde-1684	204	6	variational	variational	ADJ
ejde-1684	204	7	characterization	characterization	NOUN
ejde-1684	204	8	of	of	ADP
ejde-1684	204	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	204	10	imply	imply	PROPN
ejde-1684	204	11	that∫	that∫	PROPN
ejde-1684	204	12	ω	ω	PROPN
ejde-1684	204	13	|∇v|2dx	|∇v|2dx	PROPN
ejde-1684	204	14	=	=	X
ejde-1684	204	15	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	204	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	204	17	∫	∫	PROPN
ejde-1684	204	18	ω	ω	PROPN
ejde-1684	204	19	vqdx	vqdx	PROPN
ejde-1684	204	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	204	21	2	2	X
ejde-1684	204	22	/	/	SYM
ejde-1684	204	23	q	q	NOUN
ejde-1684	204	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	205	1	without	without	ADP
ejde-1684	205	2	loss	loss	NOUN
ejde-1684	205	3	of	of	ADP
ejde-1684	205	4	generality	generality	NOUN
ejde-1684	205	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	205	6	we	we	PRON
ejde-1684	205	7	may	may	AUX
ejde-1684	205	8	assume	assume	VERB
ejde-1684	205	9	that	that	SCONJ
ejde-1684	205	10	v	v	X
ejde-1684	205	11	>	>	X
ejde-1684	205	12	0	0	PUNCT
ejde-1684	205	13	in	in	ADP
ejde-1684	205	14	ω	ω	PROPN
ejde-1684	205	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	206	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	206	2	vn	vn	PROPN
ejde-1684	206	3	⇀	⇀	NUM
ejde-1684	206	4	v	v	NOUN
ejde-1684	206	5	in	in	ADP
ejde-1684	206	6	x	x	NOUN
ejde-1684	206	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	206	8	passing	pass	VERB
ejde-1684	206	9	if	if	SCONJ
ejde-1684	206	10	necessary	necessary	ADJ
ejde-1684	206	11	to	to	ADP
ejde-1684	206	12	a	a	DET
ejde-1684	206	13	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	206	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	206	15	we	we	PRON
ejde-1684	206	16	can	can	AUX
ejde-1684	206	17	assume	assume	VERB
ejde-1684	206	18	that	that	SCONJ
ejde-1684	206	19	vn	vn	PROPN
ejde-1684	206	20	→	→	SYM
ejde-1684	206	21	v	v	X
ejde-1684	206	22	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	206	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	207	1	in	in	ADP
ejde-1684	207	2	ω	ω	PROPN
ejde-1684	207	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	208	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1684	208	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	208	3	we	we	PRON
ejde-1684	208	4	arrive	arrive	VERB
ejde-1684	208	5	at	at	ADP
ejde-1684	208	6	the	the	DET
ejde-1684	208	7	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-1684	208	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	208	9	|b−	|b−	PROPN
ejde-1684	208	10	n	n	CCONJ
ejde-1684	208	11	|	|	NOUN
ejde-1684	208	12	→	→	SYM
ejde-1684	208	13	0	0	NUM
ejde-1684	208	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	208	15	where	where	SCONJ
ejde-1684	208	16	b−	b−	PROPN
ejde-1684	208	17	n	n	PRON
ejde-1684	208	18	denotes	denote	VERB
ejde-1684	208	19	the	the	DET
ejde-1684	208	20	negative	negative	ADJ
ejde-1684	208	21	set	set	NOUN
ejde-1684	208	22	of	of	ADP
ejde-1684	208	23	un	un	PROPN
ejde-1684	208	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	209	1	this	this	PRON
ejde-1684	209	2	presents	present	VERB
ejde-1684	209	3	a	a	DET
ejde-1684	209	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	209	5	to	to	ADP
ejde-1684	209	6	the	the	DET
ejde-1684	209	7	aforementioned	aforementioned	ADJ
ejde-1684	209	8	assertion	assertion	NOUN
ejde-1684	209	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	210	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	210	2	because	because	SCONJ
ejde-1684	210	3	of	of	ADP
ejde-1684	210	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	210	5	2.6	2.6	NUM
ejde-1684	210	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	210	7	we	we	PRON
ejde-1684	210	8	have	have	AUX
ejde-1684	210	9	shown	show	VERB
ejde-1684	210	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	210	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	210	12	is	be	AUX
ejde-1684	210	13	an	an	DET
ejde-1684	210	14	isolated	isolated	ADJ
ejde-1684	210	15	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	210	16	of	of	ADP
ejde-1684	210	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	210	18	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	210	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	210	20	;	;	PUNCT
ejde-1684	210	21	i.e.	i.e.	X
ejde-1684	210	22	if	if	SCONJ
ejde-1684	210	23	we	we	PRON
ejde-1684	210	24	let	let	VERB
ejde-1684	210	25	λ2	λ2	NOUN
ejde-1684	210	26	=	=	SYM
ejde-1684	210	27	inf{λ	inf{λ	X
ejde-1684	210	28	>	>	X
ejde-1684	210	29	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	210	30	:	:	PUNCT
ejde-1684	210	31	λ	λ	NOUN
ejde-1684	210	32	is	be	AUX
ejde-1684	210	33	an	an	DET
ejde-1684	210	34	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	210	35	of	of	ADP
ejde-1684	210	36	problem	problem	NOUN
ejde-1684	210	37	(	(	PUNCT
ejde-1684	210	38	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	210	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	210	40	}	}	PUNCT
ejde-1684	210	41	,	,	PUNCT
ejde-1684	210	42	then	then	ADV
ejde-1684	210	43	λ1	λ1	VERB
ejde-1684	210	44	<	<	X
ejde-1684	210	45	λ2	λ2	PROPN
ejde-1684	210	46	.	.	PUNCT
ejde-1684	211	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	211	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	211	3	we	we	PRON
ejde-1684	211	4	have	have	VERB
ejde-1684	211	5	the	the	DET
ejde-1684	211	6	following	follow	VERB
ejde-1684	211	7	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-1684	211	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	212	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-1684	212	2	2.7	2.7	NUM
ejde-1684	212	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	213	1	there	there	PRON
ejde-1684	213	2	exists	exist	VERB
ejde-1684	213	3	δ	δ	PROPN
ejde-1684	213	4	>	>	X
ejde-1684	213	5	0	0	NUM
ejde-1684	213	6	such	such	ADJ
ejde-1684	213	7	that	that	PRON
ejde-1684	213	8	for	for	ADP
ejde-1684	213	9	all	all	DET
ejde-1684	213	10	q	q	PROPN
ejde-1684	213	11	∈	∈	PROPN
ejde-1684	214	1	[	[	X
ejde-1684	214	2	1	1	NUM
ejde-1684	214	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	214	4	2	2	NUM
ejde-1684	214	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	214	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	214	7	there	there	PRON
ejde-1684	214	8	is	be	VERB
ejde-1684	214	9	no	no	DET
ejde-1684	214	10	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	214	11	of	of	ADP
ejde-1684	214	12	problem	problem	NOUN
ejde-1684	214	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	214	14	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	214	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	214	16	in	in	ADP
ejde-1684	214	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	214	18	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	214	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	214	20	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	214	21	+	+	CCONJ
ejde-1684	214	22	δ	δ	PROPN
ejde-1684	214	23	]	]	X
ejde-1684	214	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	215	1	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	215	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	215	3	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-1684	215	4	of	of	ADP
ejde-1684	215	5	norms	norm	NOUN
ejde-1684	215	6	near	near	ADP
ejde-1684	215	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	215	8	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	215	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	215	10	0	0	NUM
ejde-1684	215	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	215	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	215	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	215	14	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	215	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	215	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	216	1	the	the	DET
ejde-1684	216	2	following	follow	VERB
ejde-1684	216	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	216	4	is	be	AUX
ejde-1684	216	5	a	a	DET
ejde-1684	216	6	useful	useful	ADJ
ejde-1684	216	7	consequence	consequence	NOUN
ejde-1684	216	8	of	of	ADP
ejde-1684	216	9	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1684	216	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	216	11	h2	h2	NOUN
ejde-1684	216	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	216	13	or	or	CCONJ
ejde-1684	216	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	216	15	h3	h3	NOUN
ejde-1684	216	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	216	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	217	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	217	2	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	217	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	218	1	let	let	VERB
ejde-1684	218	2	u	u	PRON
ejde-1684	218	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	218	4	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1684	218	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	218	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	218	7	u	u	NOUN
ejde-1684	218	8	̸≡	̸≡	NOUN
ejde-1684	218	9	0	0	NUM
ejde-1684	219	1	in	in	ADP
ejde-1684	219	2	ω	ω	PROPN
ejde-1684	219	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	220	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	220	2	i	i	NOUN
ejde-1684	220	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	220	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	220	6	h2	h2	NOUN
ejde-1684	220	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	8	is	be	AUX
ejde-1684	220	9	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	220	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	11	then	then	ADV
ejde-1684	220	12	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	220	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	14	u	u	NOUN
ejde-1684	220	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	16	λ	λ	NOUN
ejde-1684	220	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	18	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NUM
ejde-1684	220	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	20	→	→	SYM
ejde-1684	220	21	0	0	NUM
ejde-1684	220	22	as	as	ADP
ejde-1684	220	23	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	220	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	25	→	→	SYM
ejde-1684	220	26	0	0	NUM
ejde-1684	220	27	holds	hold	VERB
ejde-1684	220	28	for	for	ADP
ejde-1684	220	29	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	220	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	220	31	x	x	PUNCT
ejde-1684	220	32	∈	∈	PROPN
ejde-1684	220	33	ω	ω	NOUN
ejde-1684	220	34	and	and	CCONJ
ejde-1684	220	35	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	220	36	for	for	ADP
ejde-1684	220	37	every	every	DET
ejde-1684	220	38	λ	λ	PROPN
ejde-1684	220	39	∈	∈	PROPN
ejde-1684	220	40	r.	r.	PROPN
ejde-1684	220	41	(	(	PUNCT
ejde-1684	220	42	ii	ii	PROPN
ejde-1684	220	43	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	44	if	if	SCONJ
ejde-1684	220	45	(	(	PUNCT
ejde-1684	220	46	h3	h3	NOUN
ejde-1684	220	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	48	is	be	AUX
ejde-1684	220	49	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	220	50	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	51	then	then	ADV
ejde-1684	220	52	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	220	53	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	54	u	u	NOUN
ejde-1684	220	55	,	,	PUNCT
ejde-1684	220	56	λ	λ	NOUN
ejde-1684	220	57	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	58	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NUM
ejde-1684	220	59	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	60	→	→	SYM
ejde-1684	220	61	0	0	NUM
ejde-1684	220	62	as	as	ADP
ejde-1684	220	63	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	220	64	)	)	PUNCT
ejde-1684	220	65	→	→	SYM
ejde-1684	220	66	∞	∞	PROPN
ejde-1684	220	67	holds	hold	VERB
ejde-1684	220	68	for	for	ADP
ejde-1684	220	69	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	220	70	.	.	PUNCT
ejde-1684	220	71	x	x	PUNCT
ejde-1684	220	72	∈	∈	PROPN
ejde-1684	220	73	ω	ω	NOUN
ejde-1684	220	74	and	and	CCONJ
ejde-1684	220	75	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	220	76	for	for	ADP
ejde-1684	220	77	every	every	DET
ejde-1684	220	78	λ	λ	PROPN
ejde-1684	220	79	∈	∈	PROPN
ejde-1684	220	80	r.	r.	NOUN
ejde-1684	220	81	proof	proof	NOUN
ejde-1684	220	82	.	.	PUNCT
ejde-1684	221	1	we	we	PRON
ejde-1684	221	2	first	first	ADV
ejde-1684	221	3	notice	notice	VERB
ejde-1684	221	4	that	that	SCONJ
ejde-1684	221	5	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	221	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	221	7	u	u	NOUN
ejde-1684	221	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	221	9	λ	λ	X
ejde-1684	221	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	221	11	=	=	SYM
ejde-1684	221	12	0	0	PUNCT
ejde-1684	221	13	if	if	SCONJ
ejde-1684	221	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-1684	221	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	221	16	=	=	SYM
ejde-1684	221	17	0	0	NUM
ejde-1684	221	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	221	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	221	20	estimate	estimate	VERB
ejde-1684	221	21	|h(x	|h(x	PROPN
ejde-1684	221	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	221	23	un	un	PROPN
ejde-1684	221	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	221	25	λ)|	λ)|	PROPN
ejde-1684	221	26	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	221	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	221	28	=	=	PUNCT
ejde-1684	222	1	|h(x	|h(x	PROPN
ejde-1684	222	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	222	3	un	un	PROPN
ejde-1684	222	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	222	5	λ)|	λ)|	PROPN
ejde-1684	222	6	|un(x)|	|un(x)|	PROPN
ejde-1684	222	7	|un(x)|	|un(x)|	PROPN
ejde-1684	222	8	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	222	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	222	10	≤	≤	PROPN
ejde-1684	223	1	|h(x	|h(x	PROPN
ejde-1684	223	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	223	3	un	un	PROPN
ejde-1684	223	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	223	5	λ)|	λ)|	PROPN
ejde-1684	223	6	|un(x)|	|un(x)|	PROPN
ejde-1684	223	7	if	if	SCONJ
ejde-1684	223	8	un(x	un(x	NOUN
ejde-1684	223	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	223	10	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	223	11	0	0	NUM
ejde-1684	223	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	223	13	from	from	ADP
ejde-1684	223	14	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	223	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	223	16	→	→	SYM
ejde-1684	223	17	0	0	NUM
ejde-1684	223	18	we	we	PRON
ejde-1684	223	19	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	223	20	un(x	un(x	NOUN
ejde-1684	223	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	223	22	→	→	SYM
ejde-1684	223	23	0	0	NUM
ejde-1684	223	24	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	223	25	for	for	ADP
ejde-1684	223	26	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	223	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	223	28	x	x	SYM
ejde-1684	224	1	∈	∈	PROPN
ejde-1684	224	2	ω	ω	NOUN
ejde-1684	224	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	225	1	this	this	PRON
ejde-1684	225	2	gives	give	VERB
ejde-1684	225	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	225	4	i	i	NOUN
ejde-1684	225	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	225	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	226	1	to	to	PART
ejde-1684	226	2	prove	prove	VERB
ejde-1684	226	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	226	4	ii	ii	NOUN
ejde-1684	226	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	226	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	226	7	we	we	PRON
ejde-1684	226	8	split	split	VERB
ejde-1684	226	9	the	the	DET
ejde-1684	226	10	domain	domain	NOUN
ejde-1684	226	11	as	as	ADP
ejde-1684	226	12	ω	ω	PROPN
ejde-1684	226	13	=	=	PROPN
ejde-1684	226	14	mn	mn	PROPN
ejde-1684	226	15	∪nn	∪nn	VERB
ejde-1684	226	16	where	where	SCONJ
ejde-1684	226	17	mn	mn	PROPN
ejde-1684	226	18	=	=	PRON
ejde-1684	226	19	{	{	PUNCT
ejde-1684	226	20	x	x	PUNCT
ejde-1684	226	21	∈	∈	PROPN
ejde-1684	226	22	ω	ω	NOUN
ejde-1684	226	23	:	:	PUNCT
ejde-1684	226	24	|un(x)|	|un(x)|	NOUN
ejde-1684	226	25	≤	≤	ADJ
ejde-1684	226	26	∥un∥	∥un∥	ADV
ejde-1684	226	27	1	1	NUM
ejde-1684	226	28	2(p−1	2(p−1	NOUN
ejde-1684	226	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	226	30	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1684	226	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	226	32	}	}	PUNCT
ejde-1684	226	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	226	34	nn	nn	X
ejde-1684	226	35	=	=	PRON
ejde-1684	226	36	{	{	PUNCT
ejde-1684	226	37	x	x	PUNCT
ejde-1684	226	38	∈	∈	PROPN
ejde-1684	226	39	ω	ω	NOUN
ejde-1684	226	40	:	:	PUNCT
ejde-1684	226	41	|un(x)|	|un(x)|	NOUN
ejde-1684	226	42	>	>	X
ejde-1684	226	43	∥un∥	∥un∥	ADJ
ejde-1684	226	44	1	1	NUM
ejde-1684	226	45	2(p−1	2(p−1	NOUN
ejde-1684	226	46	)	)	PUNCT
ejde-1684	226	47	l∞(ω	l∞(ω	NOUN
ejde-1684	226	48	)	)	PUNCT
ejde-1684	226	49	}	}	PUNCT
ejde-1684	226	50	.	.	PUNCT
ejde-1684	227	1	for	for	ADP
ejde-1684	227	2	x	x	SYM
ejde-1684	227	3	∈mn	∈mn	PROPN
ejde-1684	227	4	we	we	PRON
ejde-1684	227	5	infer	infer	VERB
ejde-1684	227	6	that	that	DET
ejde-1684	227	7	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	227	8	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	227	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	227	10	=	=	PUNCT
ejde-1684	227	11	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	227	12	|un|p−1	|un|p−1	PROPN
ejde-1684	227	13	|un|p−1	|un|p−1	PROPN
ejde-1684	227	14	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	227	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	227	16	≤	≤	NOUN
ejde-1684	228	1	c	c	NOUN
ejde-1684	228	2	∥un∥1/2l∞(ω	∥un∥1/2l∞(ω	NOUN
ejde-1684	228	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	228	4	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	228	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	228	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	229	1	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	229	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	229	3	for	for	ADP
ejde-1684	229	4	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	229	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	229	6	problems	problem	NOUN
ejde-1684	229	7	7	7	NUM
ejde-1684	229	8	for	for	ADP
ejde-1684	229	9	x	x	PROPN
ejde-1684	229	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	229	11	nn	nn	X
ejde-1684	229	12	we	we	PRON
ejde-1684	229	13	infer	infer	VERB
ejde-1684	229	14	that	that	DET
ejde-1684	229	15	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	229	16	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	229	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	230	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	230	2	|h(un)|	|h(un)|	NUM
ejde-1684	230	3	|un|	|un|	NOUN
ejde-1684	230	4	|un|	|un|	NOUN
ejde-1684	230	5	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	230	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	230	7	≤	≤	NUM
ejde-1684	230	8	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	230	9	|un|	|un|	NOUN
ejde-1684	230	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	231	1	now	now	ADV
ejde-1684	231	2	let	let	VERB
ejde-1684	231	3	χmn	χmn	NOUN
ejde-1684	231	4	and	and	CCONJ
ejde-1684	231	5	χnn	χnn	ADJ
ejde-1684	231	6	denote	denote	VERB
ejde-1684	231	7	the	the	DET
ejde-1684	231	8	characteristic	characteristic	ADJ
ejde-1684	231	9	functions	function	NOUN
ejde-1684	231	10	of	of	ADP
ejde-1684	231	11	the	the	DET
ejde-1684	231	12	sets	set	NOUN
ejde-1684	231	13	mn	mn	PROPN
ejde-1684	231	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	231	15	nn	nn	PROPN
ejde-1684	231	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	231	17	respectively	respectively	ADV
ejde-1684	231	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	232	1	by	by	ADP
ejde-1684	232	2	combining	combine	VERB
ejde-1684	232	3	the	the	DET
ejde-1684	232	4	previous	previous	ADJ
ejde-1684	232	5	inequalities	inequality	NOUN
ejde-1684	232	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	232	7	we	we	PRON
ejde-1684	232	8	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	232	9	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	232	10	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	232	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	232	12	≤	≤	PUNCT
ejde-1684	232	13	c	c	NOUN
ejde-1684	232	14	∥un∥1/2l∞(ω	∥un∥1/2l∞(ω	NOUN
ejde-1684	232	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	232	16	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	232	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	232	18	χmn(x	χmn(x	PROPN
ejde-1684	232	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	233	1	+	+	NUM
ejde-1684	233	2	|h(un)|	|h(un)|	NOUN
ejde-1684	233	3	|un|	|un|	NOUN
ejde-1684	233	4	χnn(x	χnn(x	NOUN
ejde-1684	233	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	233	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	234	1	it	it	PRON
ejde-1684	234	2	is	be	AUX
ejde-1684	234	3	easy	easy	ADJ
ejde-1684	234	4	to	to	PART
ejde-1684	234	5	see	see	VERB
ejde-1684	234	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	234	7	h(un	h(un	NOUN
ejde-1684	234	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	234	9	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	234	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	234	11	→	→	SYM
ejde-1684	234	12	0	0	NUM
ejde-1684	234	13	as	as	ADP
ejde-1684	234	14	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	234	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	234	16	→	→	PUNCT
ejde-1684	235	1	+	+	NOUN
ejde-1684	235	2	∞	∞	NUM
ejde-1684	235	3	holds	hold	VERB
ejde-1684	235	4	for	for	ADP
ejde-1684	235	5	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	235	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	235	7	x	x	SYM
ejde-1684	235	8	∈	∈	PROPN
ejde-1684	235	9	ω	ω	PROPN
ejde-1684	235	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	236	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	236	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	236	3	2.9	2.9	NUM
ejde-1684	236	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	237	1	let	let	VERB
ejde-1684	237	2	1	1	NUM
ejde-1684	237	3	≤	≤	NOUN
ejde-1684	237	4	r	r	NOUN
ejde-1684	237	5	<	<	X
ejde-1684	237	6	∞	∞	PROPN
ejde-1684	237	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	237	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	237	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	237	10	h2	h2	NOUN
ejde-1684	237	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	237	12	or	or	CCONJ
ejde-1684	237	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	237	14	h3	h3	NOUN
ejde-1684	237	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	237	16	is	be	AUX
ejde-1684	237	17	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	237	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	238	1	then	then	ADV
ejde-1684	238	2	∥	∥	PUNCT
ejde-1684	238	3	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	238	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	238	5	u	u	NOUN
ejde-1684	238	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	238	7	λ	λ	NOUN
ejde-1684	238	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	238	9	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	238	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	238	11	∥r	∥r	PROPN
ejde-1684	238	12	=	=	SYM
ejde-1684	238	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	238	14	∫	∫	PROPN
ejde-1684	238	15	ω	ω	PROPN
ejde-1684	239	1	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-1684	239	2	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	239	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	239	4	u	u	NOUN
ejde-1684	239	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	239	6	λ	λ	NOUN
ejde-1684	239	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	239	8	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	239	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	239	10	∣∣r)1	∣∣r)1	PROPN
ejde-1684	239	11	/	/	SYM
ejde-1684	239	12	r	r	NOUN
ejde-1684	239	13	→	→	SYM
ejde-1684	239	14	0	0	NUM
ejde-1684	239	15	as	as	ADP
ejde-1684	239	16	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	239	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	239	18	→	→	SYM
ejde-1684	239	19	0	0	NUM
ejde-1684	239	20	or	or	CCONJ
ejde-1684	239	21	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NUM
ejde-1684	239	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	240	1	→	→	SYM
ejde-1684	240	2	∞	∞	NUM
ejde-1684	240	3	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	240	4	for	for	SCONJ
ejde-1684	240	5	every	every	DET
ejde-1684	240	6	λ	λ	PROPN
ejde-1684	240	7	∈	∈	PROPN
ejde-1684	240	8	r.	r.	NOUN
ejde-1684	240	9	let	let	VERB
ejde-1684	240	10	us	we	PRON
ejde-1684	240	11	consider	consider	VERB
ejde-1684	240	12	a	a	DET
ejde-1684	240	13	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	240	14	of	of	ADP
ejde-1684	240	15	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	240	16	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	240	17	{	{	PUNCT
ejde-1684	240	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	240	19	λn	λn	NOUN
ejde-1684	240	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	240	21	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PROPN
ejde-1684	240	22	of	of	ADP
ejde-1684	240	23	problem	problem	NOUN
ejde-1684	240	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	240	25	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	240	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	240	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	240	28	i.e.	i.e.	X
ejde-1684	240	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	240	30	for	for	ADP
ejde-1684	240	31	each	each	DET
ejde-1684	240	32	n	n	NOUN
ejde-1684	240	33	=	=	SYM
ejde-1684	240	34	1	1	NUM
ejde-1684	240	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	240	36	2	2	NUM
ejde-1684	240	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	240	38	.	.	PUNCT
ejde-1684	240	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	241	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	241	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	241	3	the	the	DET
ejde-1684	241	4	integral	integral	ADJ
ejde-1684	241	5	identity∫	identity∫	PROPN
ejde-1684	241	6	ω	ω	NUM
ejde-1684	241	7	∇un∇ϕdx	∇un∇ϕdx	PROPN
ejde-1684	241	8	=	=	SYM
ejde-1684	241	9	λn	λn	PROPN
ejde-1684	241	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	241	11	∫	∫	PROPN
ejde-1684	241	12	ω	ω	PROPN
ejde-1684	241	13	|un|qdx	|un|qdx	NOUN
ejde-1684	241	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	241	15	2	2	NUM
ejde-1684	242	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	242	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	242	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	242	4	|un|q−2unϕdx+	|un|q−2unϕdx+	NUM
ejde-1684	242	5	∫	∫	PROPN
ejde-1684	242	6	ω	ω	PROPN
ejde-1684	242	7	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	242	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	242	9	un;λ)ϕdx	un;λ)ϕdx	PROPN
ejde-1684	242	10	holds	hold	VERB
ejde-1684	242	11	for	for	ADP
ejde-1684	242	12	all	all	DET
ejde-1684	242	13	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1684	242	14	∈w	∈w	PROPN
ejde-1684	242	15	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	242	16	0	0	NUM
ejde-1684	242	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	242	18	ω	ω	NOUN
ejde-1684	242	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	242	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	243	1	we	we	PRON
ejde-1684	243	2	assume	assume	VERB
ejde-1684	243	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	243	4	0	0	PUNCT
ejde-1684	243	5	<	<	X
ejde-1684	243	6	λn	λn	NOUN
ejde-1684	243	7	≤	≤	NUM
ejde-1684	243	8	λ2	λ2	PROPN
ejde-1684	243	9	−	−	PROPN
ejde-1684	243	10	δ	δ	PROPN
ejde-1684	243	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	243	12	n	n	NOUN
ejde-1684	243	13	=	=	SYM
ejde-1684	243	14	1	1	NUM
ejde-1684	243	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	243	16	2	2	NUM
ejde-1684	243	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	243	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	243	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	244	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	245	1	,	,	PUNCT
ejde-1684	245	2	where	where	SCONJ
ejde-1684	245	3	δ	δ	PROPN
ejde-1684	245	4	∈	∈	PROPN
ejde-1684	245	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	245	6	λ2	λ2	NOUN
ejde-1684	245	7	−	−	PROPN
ejde-1684	245	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	245	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	245	10	is	be	AUX
ejde-1684	245	11	a	a	DET
ejde-1684	245	12	constant	constant	ADJ
ejde-1684	245	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	246	1	because	because	SCONJ
ejde-1684	246	2	of	of	ADP
ejde-1684	246	3	[	[	X
ejde-1684	246	4	2	2	NUM
ejde-1684	246	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	246	6	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	246	7	1.16	1.16	NUM
ejde-1684	246	8	]	]	PUNCT
ejde-1684	246	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	246	10	un	un	PROPN
ejde-1684	246	11	∈	∈	PROPN
ejde-1684	246	12	c2(ω	c2(ω	PROPN
ejde-1684	246	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	246	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	247	1	more	more	ADV
ejde-1684	247	2	over	over	ADV
ejde-1684	247	3	we	we	PRON
ejde-1684	247	4	have	have	VERB
ejde-1684	247	5	the	the	DET
ejde-1684	247	6	following	follow	VERB
ejde-1684	247	7	result	result	NOUN
ejde-1684	247	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	248	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	248	2	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	248	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	249	1	let	let	VERB
ejde-1684	249	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	249	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	249	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	249	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	249	6	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PRON
ejde-1684	249	7	be	be	VERB
ejde-1684	249	8	as	as	ADV
ejde-1684	249	9	above	above	ADV
ejde-1684	249	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	250	1	then	then	ADV
ejde-1684	250	2	the	the	DET
ejde-1684	250	3	following	follow	VERB
ejde-1684	250	4	three	three	NUM
ejde-1684	250	5	statements	statement	NOUN
ejde-1684	250	6	are	be	AUX
ejde-1684	250	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1684	250	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	250	9	as	as	ADP
ejde-1684	250	10	n→	n→	ADV
ejde-1684	250	11	∞	∞	PROPN
ejde-1684	250	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	250	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	250	14	i	i	NOUN
ejde-1684	250	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	250	16	∥un∥w	∥un∥w	NOUN
ejde-1684	251	1	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	251	2	0	0	NUM
ejde-1684	251	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	251	4	ω	ω	NOUN
ejde-1684	251	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	251	6	→	→	SYM
ejde-1684	251	7	0	0	NUM
ejde-1684	251	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	251	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	251	10	ii	ii	NOUN
ejde-1684	251	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	251	12	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	251	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	251	14	→	→	SYM
ejde-1684	251	15	0	0	NUM
ejde-1684	251	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	251	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	251	18	iii	iii	X
ejde-1684	251	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	251	20	∥un∥c1,β(ω	∥un∥c1,β(ω	PROPN
ejde-1684	251	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	251	22	→	→	SYM
ejde-1684	251	23	0	0	X
ejde-1684	251	24	.	.	X
ejde-1684	251	25	proof	proof	NOUN
ejde-1684	251	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	252	1	clearly	clearly	ADV
ejde-1684	252	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	252	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	252	4	iii	iii	NOUN
ejde-1684	252	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	252	6	implies	imply	VERB
ejde-1684	252	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	252	8	i	i	NOUN
ejde-1684	252	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	252	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	252	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	252	12	ii	ii	NOUN
ejde-1684	252	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	252	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	253	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	253	2	i	i	NOUN
ejde-1684	253	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	253	4	⇒	⇒	PROPN
ejde-1684	253	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	253	6	ii	ii	NUM
ejde-1684	253	7	):	):	PUNCT
ejde-1684	253	8	we	we	PRON
ejde-1684	253	9	denote	denote	VERB
ejde-1684	253	10	wn	wn	PROPN
ejde-1684	253	11	=	=	PUNCT
ejde-1684	253	12	un/∥un∥x	un/∥un∥x	NOUN
ejde-1684	254	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	254	2	∥wn∥x	∥wn∥x	NOUN
ejde-1684	254	3	=	=	SYM
ejde-1684	254	4	1	1	NUM
ejde-1684	254	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	254	6	−∆wn	−∆wn	ADV
ejde-1684	255	1	=	=	SYM
ejde-1684	255	2	λn	λn	PROPN
ejde-1684	255	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	255	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	255	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	255	6	|wn|qdx	|wn|qdx	PROPN
ejde-1684	255	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	255	8	2	2	NUM
ejde-1684	256	1	q−1	q−1	PRON
ejde-1684	256	2	|wn|q−2wn	|wn|q−2wn	AUX
ejde-1684	256	3	+	+	CCONJ
ejde-1684	256	4	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	256	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	256	6	wn∥un∥x	wn∥un∥x	PROPN
ejde-1684	256	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	256	8	λn	λn	NOUN
ejde-1684	256	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	256	10	∥un∥x	∥un∥x	NOUN
ejde-1684	256	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	257	1	based	base	VERB
ejde-1684	257	2	on	on	ADP
ejde-1684	257	3	the	the	DET
ejde-1684	257	4	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1684	257	5	1	1	NUM
ejde-1684	257	6	≤	≤	NUM
ejde-1684	257	7	q	q	ADJ
ejde-1684	257	8	≤	≤	NUM
ejde-1684	257	9	2	2	NUM
ejde-1684	257	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	257	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	257	12	h1	h1	PROPN
ejde-1684	257	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	257	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	257	15	the	the	DET
ejde-1684	257	16	right	right	ADJ
ejde-1684	257	17	-	-	PUNCT
ejde-1684	257	18	hand	hand	NOUN
ejde-1684	257	19	side	side	NOUN
ejde-1684	257	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	257	21	represented	represent	VERB
ejde-1684	257	22	as	as	ADP
ejde-1684	257	23	f(x	f(x	PROPN
ejde-1684	257	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	257	25	wn	wn	PROPN
ejde-1684	257	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	257	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	257	28	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	257	29	f(x	f(x	PROPN
ejde-1684	257	30	,	,	PUNCT
ejde-1684	257	31	wn	wn	PROPN
ejde-1684	257	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	257	33	=	=	PUNCT
ejde-1684	258	1	λn∥wn∥2−q	λn∥wn∥2−q	ADJ
ejde-1684	258	2	q	q	X
ejde-1684	258	3	|wn|q−2wn	|wn|q−2wn	X
ejde-1684	258	4	+	+	CCONJ
ejde-1684	258	5	h	h	NOUN
ejde-1684	258	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	258	7	x	x	X
ejde-1684	258	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	258	9	wn∥un∥x	wn∥un∥x	NUM
ejde-1684	258	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	258	11	λn	λn	NOUN
ejde-1684	258	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	258	13	∥un∥x	∥un∥x	ADV
ejde-1684	258	14	≤	≤	PUNCT
ejde-1684	259	1	c1|wn|q−1	c1|wn|q−1	PROPN
ejde-1684	259	2	+	+	CCONJ
ejde-1684	259	3	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	259	4	x	x	SYM
ejde-1684	259	5	|wn|p−1	|wn|p−1	PROPN
ejde-1684	259	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	259	7	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	259	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	259	9	where	where	SCONJ
ejde-1684	259	10	c1	c1	PROPN
ejde-1684	259	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	259	12	c2	c2	PROPN
ejde-1684	259	13	are	be	AUX
ejde-1684	259	14	constants	constant	NOUN
ejde-1684	259	15	that	that	PRON
ejde-1684	259	16	are	be	AUX
ejde-1684	259	17	independent	independent	ADJ
ejde-1684	259	18	of	of	ADP
ejde-1684	259	19	∥un∥x	∥un∥x	NOUN
ejde-1684	259	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	260	1	our	our	PRON
ejde-1684	260	2	aim	aim	NOUN
ejde-1684	260	3	is	be	AUX
ejde-1684	260	4	to	to	PART
ejde-1684	260	5	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	260	6	a	a	DET
ejde-1684	260	7	priori	priori	ADJ
ejde-1684	260	8	estimates	estimate	NOUN
ejde-1684	260	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	260	10	determine	determine	VERB
ejde-1684	260	11	the	the	DET
ejde-1684	260	12	l∞-norm	l∞-norm	NOUN
ejde-1684	260	13	of	of	ADP
ejde-1684	260	14	wn	wn	PROPN
ejde-1684	260	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	260	16	which	which	PRON
ejde-1684	260	17	is	be	AUX
ejde-1684	260	18	controlled	control	VERB
ejde-1684	260	19	by	by	ADP
ejde-1684	260	20	the	the	DET
ejde-1684	260	21	w	w	PROPN
ejde-1684	260	22	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	260	23	0	0	NUM
ejde-1684	260	24	-norm	-norm	NOUN
ejde-1684	260	25	of	of	ADP
ejde-1684	260	26	wn	wn	PROPN
ejde-1684	260	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	261	1	however	however	ADV
ejde-1684	261	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	261	3	it	it	PRON
ejde-1684	261	4	is	be	AUX
ejde-1684	261	5	important	important	ADJ
ejde-1684	261	6	to	to	PART
ejde-1684	261	7	recognize	recognize	VERB
ejde-1684	261	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	261	9	the	the	DET
ejde-1684	261	10	coefficient	coefficient	NOUN
ejde-1684	261	11	of	of	ADP
ejde-1684	261	12	|wn|p−1	|wn|p−1	PROPN
ejde-1684	261	13	is	be	AUX
ejde-1684	261	14	associated	associate	VERB
ejde-1684	261	15	with	with	ADP
ejde-1684	261	16	the	the	DET
ejde-1684	261	17	value	value	NOUN
ejde-1684	261	18	of	of	ADP
ejde-1684	261	19	∥un∥p−2	∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	261	20	x	x	X
ejde-1684	261	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	261	22	which	which	PRON
ejde-1684	261	23	is	be	AUX
ejde-1684	261	24	variable	variable	ADJ
ejde-1684	261	25	!	!	PUNCT
ejde-1684	262	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	262	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	262	3	a	a	DET
ejde-1684	262	4	comprehensive	comprehensive	ADJ
ejde-1684	262	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	262	6	utilizing	utilize	VERB
ejde-1684	262	7	a	a	DET
ejde-1684	262	8	bootstrap	bootstrap	NOUN
ejde-1684	262	9	argument	argument	NOUN
ejde-1684	262	10	is	be	AUX
ejde-1684	262	11	required	require	VERB
ejde-1684	262	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	263	1	now	now	ADV
ejde-1684	263	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	263	3	we	we	PRON
ejde-1684	263	4	proceed	proceed	VERB
ejde-1684	263	5	as	as	ADP
ejde-1684	263	6	in	in	ADP
ejde-1684	263	7	the	the	DET
ejde-1684	263	8	proof	proof	NOUN
ejde-1684	263	9	of	of	ADP
ejde-1684	263	10	[	[	X
ejde-1684	263	11	2	2	NUM
ejde-1684	263	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	263	13	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	263	14	1.16	1.16	NUM
ejde-1684	263	15	]	]	PUNCT
ejde-1684	263	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	264	1	step	step	NOUN
ejde-1684	264	2	1	1	NUM
ejde-1684	264	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	265	1	by	by	ADP
ejde-1684	265	2	the	the	DET
ejde-1684	265	3	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1684	265	4	embedding	embed	VERB
ejde-1684	265	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	265	6	it	it	PRON
ejde-1684	265	7	follows	follow	VERB
ejde-1684	265	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	265	9	wn	wn	PROPN
ejde-1684	265	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	265	11	l2∗	l2∗	NOUN
ejde-1684	265	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	265	13	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	265	14	∥wn∥2∗	∥wn∥2∗	NOUN
ejde-1684	265	15	≤	≤	NUM
ejde-1684	266	1	c∥wn∥x	c∥wn∥x	NOUN
ejde-1684	266	2	=	=	SYM
ejde-1684	266	3	c	c	X
ejde-1684	266	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	266	5	2.3	2.3	NUM
ejde-1684	266	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	266	7	where	where	SCONJ
ejde-1684	266	8	c	c	NOUN
ejde-1684	266	9	is	be	AUX
ejde-1684	266	10	a	a	DET
ejde-1684	266	11	constant	constant	ADJ
ejde-1684	266	12	that	that	PRON
ejde-1684	266	13	is	be	AUX
ejde-1684	266	14	independent	independent	ADJ
ejde-1684	266	15	of	of	ADP
ejde-1684	266	16	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	266	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	267	1	8	8	NUM
ejde-1684	267	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	267	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	267	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	267	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	267	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	267	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	267	8	step	step	NOUN
ejde-1684	267	9	2	2	NUM
ejde-1684	267	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	267	11	based	base	VERB
ejde-1684	267	12	on	on	ADP
ejde-1684	267	13	the	the	DET
ejde-1684	267	14	information	information	NOUN
ejde-1684	267	15	provided	provide	VERB
ejde-1684	267	16	in	in	ADP
ejde-1684	267	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	267	18	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	267	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	267	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	267	21	the	the	DET
ejde-1684	267	22	condition	condition	NOUN
ejde-1684	267	23	p	p	PROPN
ejde-1684	267	24	>	>	X
ejde-1684	267	25	q	q	X
ejde-1684	267	26	,	,	PUNCT
ejde-1684	267	27	it	it	PRON
ejde-1684	267	28	follows	follow	VERB
ejde-1684	267	29	that	that	SCONJ
ejde-1684	267	30	f(x	f(x	PROPN
ejde-1684	267	31	,	,	PUNCT
ejde-1684	267	32	wn	wn	PROPN
ejde-1684	267	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	267	34	∈	∈	PROPN
ejde-1684	267	35	lr	lr	X
ejde-1684	267	36	with	with	ADP
ejde-1684	268	1	r	r	NOUN
ejde-1684	268	2	=	=	SYM
ejde-1684	268	3	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	268	4	p−1	p−1	PROPN
ejde-1684	268	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	268	6	∥f(x	∥f(x	PROPN
ejde-1684	268	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	268	8	wn)∥rr	wn)∥rr	PROPN
ejde-1684	268	9	≤	≤	PROPN
ejde-1684	268	10	∫	∫	PROPN
ejde-1684	268	11	ω	ω	PROPN
ejde-1684	268	12	∣∣c1|wn|q−1	∣∣c1|wn|q−1	PUNCT
ejde-1684	269	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	269	2	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	269	3	x	x	PROPN
ejde-1684	269	4	|wn|p−1	|wn|p−1	PROPN
ejde-1684	269	5	∣∣rdx	∣∣rdx	PROPN
ejde-1684	269	6	≤	≤	PROPN
ejde-1684	269	7	c1	c1	PROPN
ejde-1684	269	8	∫	∫	PROPN
ejde-1684	269	9	ω	ω	PROPN
ejde-1684	269	10	|wn|(q−1)rdx+	|wn|(q−1)rdx+	NUM
ejde-1684	269	11	c2∥un∥(p−2)r	c2∥un∥(p−2)r	X
ejde-1684	269	12	x	x	X
ejde-1684	269	13	∫	∫	PROPN
ejde-1684	269	14	ω	ω	NUM
ejde-1684	269	15	|wn|(p−1)rdx	|wn|(p−1)rdx	PROPN
ejde-1684	269	16	=	=	SYM
ejde-1684	269	17	c1∥wn∥(q−1)r	c1∥wn∥(q−1)r	PROPN
ejde-1684	269	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	269	19	q−1)r	q−1)r	X
ejde-1684	269	20	+	+	CCONJ
ejde-1684	269	21	c2∥un∥(p−2)r	c2∥un∥(p−2)r	X
ejde-1684	269	22	x	x	SYM
ejde-1684	269	23	∥wn∥(p−1)r	∥wn∥(p−1)r	PROPN
ejde-1684	269	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	269	25	p−1)r	p−1)r	VERB
ejde-1684	269	26	≤	≤	NUM
ejde-1684	269	27	c1∥wn∥(q−1)r	c1∥wn∥(q−1)r	PUNCT
ejde-1684	269	28	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	269	29	+	+	NUM
ejde-1684	269	30	c2∥un∥(p−2)r	c2∥un∥(p−2)r	X
ejde-1684	269	31	x	x	SYM
ejde-1684	269	32	∥wn∥(p−1)r	∥wn∥(p−1)r	X
ejde-1684	269	33	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	269	34	.	.	PUNCT
ejde-1684	270	1	hence	hence	ADV
ejde-1684	270	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	270	3	we	we	PRON
ejde-1684	270	4	derive	derive	VERB
ejde-1684	270	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	270	6	∥f(x	∥f(x	NOUN
ejde-1684	270	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	270	8	wn)∥r	wn)∥r	NOUN
ejde-1684	270	9	≤	≤	X
ejde-1684	270	10	c1∥wn∥q−1	c1∥wn∥q−1	PROPN
ejde-1684	270	11	2∗	2∗	PROPN
ejde-1684	271	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	271	2	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	271	3	x	x	PROPN
ejde-1684	271	4	∥wn∥p−1	∥wn∥p−1	PROPN
ejde-1684	271	5	2∗	2∗	PROPN
ejde-1684	271	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	271	7	2.4	2.4	NUM
ejde-1684	271	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	271	9	where	where	SCONJ
ejde-1684	271	10	c1	c1	PROPN
ejde-1684	271	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	271	12	c2	c2	PROPN
ejde-1684	271	13	are	be	AUX
ejde-1684	271	14	constants	constant	NOUN
ejde-1684	271	15	that	that	PRON
ejde-1684	271	16	are	be	AUX
ejde-1684	271	17	independent	independent	ADJ
ejde-1684	271	18	of	of	ADP
ejde-1684	271	19	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	271	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	272	1	step	step	NOUN
ejde-1684	272	2	3	3	NUM
ejde-1684	272	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	273	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	273	2	−∆wn	−∆wn	PROPN
ejde-1684	273	3	=	=	SYM
ejde-1684	273	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-1684	273	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	273	6	wn	wn	PROPN
ejde-1684	273	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	273	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	273	9	l	l	PROPN
ejde-1684	273	10	p	p	NOUN
ejde-1684	273	11	-	-	PUNCT
ejde-1684	273	12	estimates	estimate	NOUN
ejde-1684	273	13	yields	yield	VERB
ejde-1684	273	14	u	u	PRON
ejde-1684	273	15	∈w	∈w	NOUN
ejde-1684	273	16	2,r	2,r	NUM
ejde-1684	273	17	and	and	CCONJ
ejde-1684	273	18	∥wn∥w	∥wn∥w	NOUN
ejde-1684	273	19	2,r(ω	2,r(ω	NUM
ejde-1684	273	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	274	1	≤	≤	PROPN
ejde-1684	274	2	c∥f(x	c∥f(x	PROPN
ejde-1684	274	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	274	4	wn)∥r	wn)∥r	NOUN
ejde-1684	274	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	274	6	2.5	2.5	NUM
ejde-1684	274	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	274	8	where	where	SCONJ
ejde-1684	274	9	c	c	NOUN
ejde-1684	274	10	is	be	AUX
ejde-1684	274	11	a	a	DET
ejde-1684	274	12	constant	constant	ADJ
ejde-1684	274	13	that	that	PRON
ejde-1684	274	14	is	be	AUX
ejde-1684	274	15	independent	independent	ADJ
ejde-1684	274	16	of	of	ADP
ejde-1684	274	17	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	274	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	275	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	275	2	2r	2r	NUM
ejde-1684	275	3	>	>	X
ejde-1684	275	4	n	n	CCONJ
ejde-1684	275	5	then	then	ADV
ejde-1684	275	6	u	u	PROPN
ejde-1684	275	7	∈	∈	PROPN
ejde-1684	275	8	c0,γ(ω	c0,γ(ω	NOUN
ejde-1684	275	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	275	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	276	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1684	276	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	276	3	we	we	PRON
ejde-1684	276	4	can	can	AUX
ejde-1684	276	5	repeat	repeat	VERB
ejde-1684	276	6	steps	step	NOUN
ejde-1684	276	7	1–3	1–3	PROPN
ejde-1684	276	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	277	1	after	after	ADP
ejde-1684	277	2	a	a	DET
ejde-1684	277	3	finite	finite	ADJ
ejde-1684	277	4	number	number	NOUN
ejde-1684	277	5	of	of	ADP
ejde-1684	277	6	times	time	NOUN
ejde-1684	277	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	277	8	one	one	PRON
ejde-1684	277	9	finally	finally	ADV
ejde-1684	277	10	finds	find	VERB
ejde-1684	277	11	a	a	DET
ejde-1684	277	12	number	number	NOUN
ejde-1684	277	13	r∗	r∗	NOUN
ejde-1684	277	14	such	such	ADJ
ejde-1684	277	15	that	that	SCONJ
ejde-1684	277	16	u	u	PROPN
ejde-1684	277	17	∈	∈	NOUN
ejde-1684	277	18	w	w	NOUN
ejde-1684	277	19	2,r∗	2,r∗	NUM
ejde-1684	277	20	with	with	ADP
ejde-1684	277	21	2r∗	2r∗	NUM
ejde-1684	277	22	>	>	X
ejde-1684	277	23	n.	n.	NOUN
ejde-1684	277	24	then	then	ADV
ejde-1684	277	25	the	the	DET
ejde-1684	277	26	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-1684	277	27	embedding	embed	VERB
ejde-1684	277	28	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	277	29	yields	yield	NOUN
ejde-1684	277	30	again	again	ADV
ejde-1684	277	31	w	w	ADP
ejde-1684	277	32	2,r∗(ω	2,r∗(ω	NUM
ejde-1684	277	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	277	34	↪	↪	PROPN
ejde-1684	277	35	→	→	SYM
ejde-1684	277	36	c0,γ(ω	c0,γ(ω	NOUN
ejde-1684	277	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	277	38	with	with	ADP
ejde-1684	277	39	γ	γ	PROPN
ejde-1684	277	40	≤	≤	NUM
ejde-1684	277	41	1	1	NUM
ejde-1684	277	42	and	and	CCONJ
ejde-1684	277	43	∥wn∥c0,γ(ω	∥wn∥c0,γ(ω	NUM
ejde-1684	277	44	)	)	PUNCT
ejde-1684	277	45	≤	≤	NUM
ejde-1684	277	46	c∥wn∥w	c∥wn∥w	PROPN
ejde-1684	277	47	2,r(ω	2,r(ω	NUM
ejde-1684	277	48	)	)	PUNCT
ejde-1684	277	49	(	(	PUNCT
ejde-1684	277	50	2.6	2.6	NUM
ejde-1684	277	51	)	)	PUNCT
ejde-1684	277	52	where	where	SCONJ
ejde-1684	277	53	c	c	NOUN
ejde-1684	277	54	is	be	AUX
ejde-1684	277	55	a	a	DET
ejde-1684	277	56	constant	constant	ADJ
ejde-1684	277	57	that	that	PRON
ejde-1684	277	58	is	be	AUX
ejde-1684	277	59	independent	independent	ADJ
ejde-1684	277	60	of	of	ADP
ejde-1684	277	61	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	277	62	.	.	PUNCT
ejde-1684	278	1	from	from	ADP
ejde-1684	278	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	278	3	2.3)-(2.6	2.3)-(2.6	NOUN
ejde-1684	278	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	278	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	278	6	we	we	PRON
ejde-1684	278	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	278	8	∥wn∥c0,γ(ω	∥wn∥c0,γ(ω	NUM
ejde-1684	278	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	278	10	≤	≤	NOUN
ejde-1684	278	11	c1	c1	NOUN
ejde-1684	278	12	+	+	CCONJ
ejde-1684	278	13	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	278	14	x	x	SYM
ejde-1684	278	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	278	16	2.7	2.7	NUM
ejde-1684	278	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	278	18	where	where	SCONJ
ejde-1684	278	19	c1	c1	PROPN
ejde-1684	278	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	278	21	c2	c2	PROPN
ejde-1684	278	22	are	be	AUX
ejde-1684	278	23	constants	constant	NOUN
ejde-1684	278	24	that	that	PRON
ejde-1684	278	25	are	be	AUX
ejde-1684	278	26	independent	independent	ADJ
ejde-1684	278	27	of	of	ADP
ejde-1684	278	28	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	278	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	279	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1684	279	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	279	3	based	base	VERB
ejde-1684	279	4	on	on	ADP
ejde-1684	279	5	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	279	6	estimates	estimate	NOUN
ejde-1684	279	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	279	8	we	we	PRON
ejde-1684	279	9	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	279	10	wn	wn	PROPN
ejde-1684	279	11	∈	∈	PROPN
ejde-1684	279	12	c2,γ(ω	c2,γ(ω	NOUN
ejde-1684	279	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	279	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	279	15	∥wn∥c2,γ(ω	∥wn∥c2,γ(ω	NOUN
ejde-1684	279	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	279	17	≤	≤	NOUN
ejde-1684	279	18	c1	c1	NOUN
ejde-1684	279	19	+	+	CCONJ
ejde-1684	279	20	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	279	21	x	x	SYM
ejde-1684	279	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	279	23	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	279	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	279	25	where	where	SCONJ
ejde-1684	279	26	c1	c1	PROPN
ejde-1684	279	27	and	and	CCONJ
ejde-1684	279	28	c2	c2	PROPN
ejde-1684	279	29	are	be	AUX
ejde-1684	279	30	constants	constant	NOUN
ejde-1684	279	31	that	that	PRON
ejde-1684	279	32	are	be	AUX
ejde-1684	279	33	independent	independent	ADJ
ejde-1684	279	34	of	of	ADP
ejde-1684	279	35	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	279	36	.	.	PUNCT
ejde-1684	280	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	280	2	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	280	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	280	4	implies	imply	VERB
ejde-1684	280	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	280	6	∥un∥∞	∥un∥∞	VERB
ejde-1684	280	7	≤	≤	NOUN
ejde-1684	280	8	c∥un∥c2,γ(ω	c∥un∥c2,γ(ω	NOUN
ejde-1684	280	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	280	10	≤	≤	NOUN
ejde-1684	280	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	280	12	c1	c1	NOUN
ejde-1684	280	13	+	+	CCONJ
ejde-1684	280	14	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	280	15	x	x	PUNCT
ejde-1684	280	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	280	17	∥un∥x	∥un∥x	NOUN
ejde-1684	280	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	281	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	281	2	2.9	2.9	NUM
ejde-1684	281	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	281	4	however	however	ADV
ejde-1684	281	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	281	6	because	because	SCONJ
ejde-1684	281	7	p−	p−	NOUN
ejde-1684	281	8	2	2	NUM
ejde-1684	281	9	>	>	SYM
ejde-1684	281	10	0	0	NUM
ejde-1684	281	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	281	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	281	13	i	i	NOUN
ejde-1684	281	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	281	15	⇒	⇒	PROPN
ejde-1684	281	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	281	17	ii	ii	NOUN
ejde-1684	281	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	281	19	is	be	AUX
ejde-1684	281	20	proved	prove	VERB
ejde-1684	281	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	282	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	282	2	ii	ii	NOUN
ejde-1684	282	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	282	4	⇒	⇒	NOUN
ejde-1684	282	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	282	6	iii	iii	NOUN
ejde-1684	282	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	282	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	283	1	proceeding	proceed	VERB
ejde-1684	283	2	as	as	ADP
ejde-1684	283	3	above	above	ADV
ejde-1684	283	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	283	5	we	we	PRON
ejde-1684	283	6	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	283	7	∥un∥c1,β(ω	∥un∥c1,β(ω	NOUN
ejde-1684	283	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	283	9	≤	≤	NOUN
ejde-1684	283	10	c∥un∥c2,γ(ω	c∥un∥c2,γ(ω	NOUN
ejde-1684	283	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	283	12	≤	≤	NOUN
ejde-1684	283	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	283	14	c1	c1	NOUN
ejde-1684	283	15	+	+	CCONJ
ejde-1684	283	16	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	283	17	∞	∞	PROPN
ejde-1684	283	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	284	1	∥un∥∞	∥un∥∞	VERB
ejde-1684	284	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	284	3	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	284	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	284	5	where	where	SCONJ
ejde-1684	284	6	c1	c1	PROPN
ejde-1684	284	7	and	and	CCONJ
ejde-1684	284	8	c2	c2	PROPN
ejde-1684	284	9	are	be	AUX
ejde-1684	284	10	constants	constant	NOUN
ejde-1684	284	11	that	that	PRON
ejde-1684	284	12	are	be	AUX
ejde-1684	284	13	independent	independent	ADJ
ejde-1684	284	14	of	of	ADP
ejde-1684	284	15	∥un∥∞.	∥un∥∞.	NOUN
ejde-1684	284	16	□	□	PUNCT
ejde-1684	284	17	corollary	corollary	NOUN
ejde-1684	284	18	2.11	2.11	NUM
ejde-1684	284	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	285	1	let	let	VERB
ejde-1684	285	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	285	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	285	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	285	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	285	6	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PRON
ejde-1684	285	7	be	be	VERB
ejde-1684	285	8	as	as	ADV
ejde-1684	285	9	above	above	ADV
ejde-1684	285	10	with	with	ADP
ejde-1684	285	11	∥un∥∞	∥un∥∞	NOUN
ejde-1684	285	12	→	→	SYM
ejde-1684	285	13	0	0	NUM
ejde-1684	285	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	286	1	then	then	ADV
ejde-1684	286	2	there	there	PRON
ejde-1684	286	3	exists	exist	VERB
ejde-1684	286	4	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	286	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	286	6	which	which	PRON
ejde-1684	286	7	we	we	PRON
ejde-1684	286	8	denote	denote	VERB
ejde-1684	286	9	again	again	ADV
ejde-1684	286	10	by	by	ADP
ejde-1684	286	11	λn	λn	NOUN
ejde-1684	286	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	286	13	un	un	PROPN
ejde-1684	286	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	286	15	such	such	ADJ
ejde-1684	286	16	that	that	SCONJ
ejde-1684	286	17	as	as	ADP
ejde-1684	286	18	n→	n→	ADV
ejde-1684	286	19	∞	∞	PROPN
ejde-1684	286	20	for	for	ADP
ejde-1684	286	21	some	some	DET
ejde-1684	286	22	α	α	NOUN
ejde-1684	286	23	∈	∈	PROPN
ejde-1684	286	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	286	25	0	0	NUM
ejde-1684	286	26	,	,	PUNCT
ejde-1684	286	27	1	1	NUM
ejde-1684	286	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	286	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	286	30	λn	λn	PROPN
ejde-1684	286	31	→	→	SYM
ejde-1684	286	32	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	286	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	286	34	un	un	PROPN
ejde-1684	286	35	∥un∥∞	∥un∥∞	PROPN
ejde-1684	286	36	→	→	SYM
ejde-1684	286	37	±	±	NUM
ejde-1684	286	38	φ1	φ1	NOUN
ejde-1684	286	39	∥φ1∥∞	∥φ1∥∞	PROPN
ejde-1684	286	40	in	in	ADP
ejde-1684	286	41	c1,α(ω	c1,α(ω	NOUN
ejde-1684	286	42	)	)	PUNCT
ejde-1684	286	43	(	(	PUNCT
ejde-1684	286	44	2.11	2.11	NUM
ejde-1684	286	45	)	)	PUNCT
ejde-1684	286	46	where	where	SCONJ
ejde-1684	286	47	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	286	48	is	be	AUX
ejde-1684	286	49	the	the	DET
ejde-1684	286	50	first	first	ADJ
ejde-1684	286	51	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	286	52	of	of	ADP
ejde-1684	286	53	(	(	PUNCT
ejde-1684	286	54	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	286	55	)	)	PUNCT
ejde-1684	286	56	and	and	CCONJ
ejde-1684	286	57	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	286	58	is	be	AUX
ejde-1684	286	59	an	an	DET
ejde-1684	286	60	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	286	61	corresponding	correspond	VERB
ejde-1684	286	62	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	286	63	.	.	PUNCT
ejde-1684	287	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	287	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	288	1	we	we	PRON
ejde-1684	288	2	denote	denote	VERB
ejde-1684	288	3	wn	wn	PROPN
ejde-1684	288	4	=	=	SYM
ejde-1684	288	5	un/∥un∥∞	un/∥un∥∞	PROPN
ejde-1684	288	6	which	which	PRON
ejde-1684	288	7	satisfies∫	satisfies∫	VERB
ejde-1684	288	8	ω	ω	NOUN
ejde-1684	288	9	∇wn∇ϕ	∇wn∇ϕ	NOUN
ejde-1684	288	10	=	=	SYM
ejde-1684	288	11	λn	λn	PROPN
ejde-1684	288	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	288	13	∫	∫	PROPN
ejde-1684	288	14	ω	ω	NUM
ejde-1684	288	15	|wn|q	|wn|q	PROPN
ejde-1684	288	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	288	17	2	2	NUM
ejde-1684	289	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	289	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	289	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	289	4	|wn|q−2wnϕ+	|wn|q−2wnϕ+	PROPN
ejde-1684	289	5	∫	∫	PROPN
ejde-1684	290	1	ω	ω	PROPN
ejde-1684	290	2	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	290	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	290	4	wn∥un∥∞	wn∥un∥∞	NOUN
ejde-1684	290	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	290	6	λn	λn	NOUN
ejde-1684	290	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	290	8	∥un∥∞	∥un∥∞	VERB
ejde-1684	290	9	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1684	290	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	290	11	2.12	2.12	NUM
ejde-1684	290	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	290	13	for	for	ADP
ejde-1684	290	14	all	all	DET
ejde-1684	290	15	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	290	16	∈	∈	NOUN
ejde-1684	290	17	x.	x.	NOUN
ejde-1684	290	18	using	use	VERB
ejde-1684	290	19	the	the	DET
ejde-1684	290	20	compact	compact	ADJ
ejde-1684	290	21	embedding	embed	VERB
ejde-1684	290	22	c1,β	c1,β	PROPN
ejde-1684	290	23	↪	↪	PROPN
ejde-1684	290	24	→	→	SYM
ejde-1684	290	25	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1684	290	26	with	with	ADP
ejde-1684	290	27	0	0	NUM
ejde-1684	290	28	<	<	X
ejde-1684	290	29	α	α	X
ejde-1684	290	30	<	<	X
ejde-1684	290	31	β	β	X
ejde-1684	290	32	<	<	X
ejde-1684	290	33	1	1	NUM
ejde-1684	290	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	290	35	the	the	DET
ejde-1684	290	36	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	290	37	wn	wn	PROPN
ejde-1684	290	38	contains	contain	VERB
ejde-1684	290	39	a	a	DET
ejde-1684	290	40	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	290	41	that	that	PRON
ejde-1684	290	42	converges	converge	VERB
ejde-1684	290	43	in	in	ADP
ejde-1684	290	44	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1684	290	45	to	to	ADP
ejde-1684	290	46	some	some	DET
ejde-1684	290	47	w	w	NOUN
ejde-1684	290	48	;	;	PUNCT
ejde-1684	290	49	we	we	PRON
ejde-1684	290	50	denote	denote	VERB
ejde-1684	290	51	it	it	PRON
ejde-1684	290	52	again	again	ADV
ejde-1684	290	53	by	by	ADP
ejde-1684	290	54	wn	wn	PROPN
ejde-1684	290	55	→	→	SYM
ejde-1684	290	56	w.	w.	PROPN
ejde-1684	290	57	we	we	PRON
ejde-1684	290	58	let	let	VERB
ejde-1684	290	59	n→	n→	PUNCT
ejde-1684	290	60	∞	∞	PROPN
ejde-1684	290	61	in	in	ADP
ejde-1684	290	62	(	(	PUNCT
ejde-1684	290	63	2.12	2.12	NUM
ejde-1684	290	64	)	)	PUNCT
ejde-1684	290	65	and	and	CCONJ
ejde-1684	290	66	use	use	VERB
ejde-1684	290	67	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	290	68	2.9	2.9	NUM
ejde-1684	290	69	,	,	PUNCT
ejde-1684	290	70	to	to	PART
ejde-1684	290	71	conclude	conclude	VERB
ejde-1684	290	72	that	that	PRON
ejde-1684	290	73	w	w	PROPN
ejde-1684	290	74	∈	∈	PROPN
ejde-1684	290	75	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-1684	290	76	must	must	AUX
ejde-1684	290	77	satisfy∫	satisfy∫	VERB
ejde-1684	290	78	ω	ω	NUM
ejde-1684	290	79	∇w∇ϕdx	∇w∇ϕdx	NOUN
ejde-1684	290	80	=	=	X
ejde-1684	290	81	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1684	290	82	(	(	PUNCT
ejde-1684	290	83	∫	∫	PROPN
ejde-1684	290	84	ω	ω	NUM
ejde-1684	290	85	|w|q	|w|q	PROPN
ejde-1684	290	86	dx	dx	PROPN
ejde-1684	290	87	)	)	PUNCT
ejde-1684	290	88	2	2	NUM
ejde-1684	291	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	291	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	291	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	291	4	|w|q−2wϕdx	|w|q−2wϕdx	X
ejde-1684	291	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	291	6	2.13	2.13	NUM
ejde-1684	291	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	291	8	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	291	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	291	10	for	for	ADP
ejde-1684	291	11	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	291	12	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	291	13	problems	problem	NOUN
ejde-1684	291	14	9	9	NUM
ejde-1684	291	15	where	where	SCONJ
ejde-1684	291	16	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1684	291	17	=	=	SYM
ejde-1684	291	18	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-1684	291	19	λn	λn	NOUN
ejde-1684	291	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	292	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	292	2	0	0	NUM
ejde-1684	292	3	≤	≤	NUM
ejde-1684	292	4	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1684	292	5	≤	≤	ADJ
ejde-1684	292	6	λ2	λ2	PROPN
ejde-1684	292	7	−	−	PROPN
ejde-1684	292	8	δ	δ	PROPN
ejde-1684	292	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	292	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	292	11	is	be	AUX
ejde-1684	292	12	the	the	DET
ejde-1684	292	13	only	only	ADJ
ejde-1684	292	14	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	292	15	of	of	ADP
ejde-1684	292	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	292	17	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	292	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	292	19	in	in	ADP
ejde-1684	292	20	the	the	DET
ejde-1684	292	21	open	open	ADJ
ejde-1684	292	22	interval	interval	NOUN
ejde-1684	292	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	292	24	0	0	NUM
ejde-1684	292	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	292	26	λ2	λ2	NOUN
ejde-1684	292	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	292	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	292	29	we	we	PRON
ejde-1684	292	30	must	must	AUX
ejde-1684	292	31	have	have	VERB
ejde-1684	292	32	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-1684	292	33	=	=	SYM
ejde-1684	292	34	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	292	35	.	.	PUNCT
ejde-1684	293	1	in	in	ADP
ejde-1684	293	2	addition	addition	NOUN
ejde-1684	293	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	293	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	293	5	being	be	AUX
ejde-1684	293	6	a	a	DET
ejde-1684	293	7	simple	simple	ADJ
ejde-1684	293	8	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	293	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	293	10	we	we	PRON
ejde-1684	293	11	have	have	VERB
ejde-1684	293	12	w	w	NOUN
ejde-1684	293	13	=	=	PUNCT
ejde-1684	293	14	kφ1	kφ1	NOUN
ejde-1684	293	15	in	in	ADP
ejde-1684	293	16	ω	ω	NUM
ejde-1684	293	17	where	where	SCONJ
ejde-1684	293	18	k	k	PROPN
ejde-1684	293	19	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	293	20	|k|	|k|	NOUN
ejde-1684	293	21	·	·	PUNCT
ejde-1684	293	22	∥φ1∥∞	∥φ1∥∞	NOUN
ejde-1684	294	1	=	=	SYM
ejde-1684	294	2	∥w∥∞	∥w∥∞	PUNCT
ejde-1684	294	3	=	=	SYM
ejde-1684	294	4	∥wn∥∞	∥wn∥∞	NOUN
ejde-1684	294	5	=	=	NOUN
ejde-1684	294	6	1	1	X
ejde-1684	294	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	295	1	this	this	PRON
ejde-1684	295	2	gives	give	VERB
ejde-1684	295	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	295	4	2.11	2.11	NUM
ejde-1684	295	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	295	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	296	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	296	2	comparable	comparable	ADJ
ejde-1684	296	3	results	result	NOUN
ejde-1684	296	4	can	can	AUX
ejde-1684	296	5	be	be	AUX
ejde-1684	296	6	achieved	achieve	VERB
ejde-1684	296	7	concerning	concern	VERB
ejde-1684	296	8	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	296	9	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	296	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	296	11	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	296	12	2.11	2.11	NUM
ejde-1684	296	13	in	in	ADP
ejde-1684	296	14	the	the	DET
ejde-1684	296	15	context	context	NOUN
ejde-1684	296	16	of	of	ADP
ejde-1684	296	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	296	18	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	296	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	296	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	297	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	297	2	2.12	2.12	NUM
ejde-1684	297	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	298	1	let	let	VERB
ejde-1684	298	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	298	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	298	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	298	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	298	6	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PRON
ejde-1684	298	7	be	be	VERB
ejde-1684	298	8	as	as	ADV
ejde-1684	298	9	above	above	ADV
ejde-1684	298	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	299	1	then	then	ADV
ejde-1684	299	2	the	the	DET
ejde-1684	299	3	following	follow	VERB
ejde-1684	299	4	three	three	NUM
ejde-1684	299	5	statements	statement	NOUN
ejde-1684	299	6	are	be	AUX
ejde-1684	299	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1684	299	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	299	9	as	as	ADP
ejde-1684	299	10	n→	n→	ADV
ejde-1684	299	11	∞	∞	PROPN
ejde-1684	299	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	299	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	299	14	i	i	NOUN
ejde-1684	299	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	299	16	∥un∥w	∥un∥w	NOUN
ejde-1684	300	1	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	300	2	0	0	NUM
ejde-1684	300	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	300	4	ω	ω	NOUN
ejde-1684	300	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	300	6	→	→	SYM
ejde-1684	300	7	∞	∞	PROPN
ejde-1684	300	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	300	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	300	10	ii	ii	NOUN
ejde-1684	300	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	300	12	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	PROPN
ejde-1684	300	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	300	14	→	→	SYM
ejde-1684	300	15	∞	∞	PROPN
ejde-1684	300	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	300	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	300	18	iii	iii	X
ejde-1684	300	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	300	20	∥un∥c1,β(ω	∥un∥c1,β(ω	PROPN
ejde-1684	300	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	300	22	→	→	PUNCT
ejde-1684	300	23	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	300	24	corollary	corollary	NOUN
ejde-1684	300	25	2.13	2.13	NUM
ejde-1684	300	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	301	1	let	let	VERB
ejde-1684	301	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	301	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	301	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	301	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	301	6	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PRON
ejde-1684	301	7	be	be	VERB
ejde-1684	301	8	as	as	ADV
ejde-1684	301	9	above	above	ADV
ejde-1684	301	10	with	with	ADP
ejde-1684	301	11	∥un∥∞	∥un∥∞	NOUN
ejde-1684	301	12	→	→	SYM
ejde-1684	301	13	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	301	14	then	then	ADV
ejde-1684	301	15	there	there	PRON
ejde-1684	301	16	exists	exist	VERB
ejde-1684	301	17	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	301	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	301	19	which	which	PRON
ejde-1684	301	20	we	we	PRON
ejde-1684	301	21	denote	denote	VERB
ejde-1684	301	22	again	again	ADV
ejde-1684	301	23	by	by	ADP
ejde-1684	301	24	λn	λn	NOUN
ejde-1684	301	25	and	and	CCONJ
ejde-1684	301	26	un	un	PROPN
ejde-1684	301	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	301	28	such	such	ADJ
ejde-1684	301	29	that	that	SCONJ
ejde-1684	301	30	as	as	ADP
ejde-1684	301	31	n→	n→	ADV
ejde-1684	301	32	∞	∞	PROPN
ejde-1684	301	33	for	for	ADP
ejde-1684	301	34	some	some	DET
ejde-1684	301	35	α	α	NOUN
ejde-1684	301	36	∈	∈	PROPN
ejde-1684	301	37	(	(	PUNCT
ejde-1684	301	38	0	0	NUM
ejde-1684	301	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	301	40	1	1	X
ejde-1684	301	41	)	)	PUNCT
ejde-1684	301	42	λn	λn	PROPN
ejde-1684	301	43	→	→	SYM
ejde-1684	301	44	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	301	45	,	,	PUNCT
ejde-1684	301	46	un	un	PROPN
ejde-1684	301	47	∥un∥∞	∥un∥∞	PROPN
ejde-1684	301	48	→	→	SYM
ejde-1684	301	49	±	±	NUM
ejde-1684	301	50	φ1	φ1	NOUN
ejde-1684	301	51	∥φ1∥∞	∥φ1∥∞	PROPN
ejde-1684	301	52	in	in	ADP
ejde-1684	301	53	c1,α(ω	c1,α(ω	NOUN
ejde-1684	301	54	)	)	PUNCT
ejde-1684	301	55	where	where	SCONJ
ejde-1684	301	56	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	301	57	is	be	AUX
ejde-1684	301	58	the	the	DET
ejde-1684	301	59	first	first	ADJ
ejde-1684	301	60	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	301	61	of	of	ADP
ejde-1684	301	62	(	(	PUNCT
ejde-1684	301	63	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	301	64	)	)	PUNCT
ejde-1684	301	65	and	and	CCONJ
ejde-1684	301	66	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	301	67	is	be	AUX
ejde-1684	301	68	an	an	DET
ejde-1684	301	69	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	301	70	corresponding	correspond	VERB
ejde-1684	301	71	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	301	72	.	.	PUNCT
ejde-1684	302	1	3	3	X
ejde-1684	302	2	.	.	X
ejde-1684	302	3	global	global	ADJ
ejde-1684	302	4	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	302	5	it	it	PRON
ejde-1684	302	6	is	be	AUX
ejde-1684	302	7	known	know	VERB
ejde-1684	302	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	302	9	u	u	PRON
ejde-1684	302	10	∈w	∈w	VERB
ejde-1684	302	11	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	302	12	0	0	NUM
ejde-1684	302	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	302	14	ω	ω	NOUN
ejde-1684	302	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	302	16	is	be	AUX
ejde-1684	302	17	a	a	DET
ejde-1684	302	18	solution	solution	NOUN
ejde-1684	302	19	of	of	ADP
ejde-1684	302	20	problem	problem	NOUN
ejde-1684	302	21	(	(	PUNCT
ejde-1684	302	22	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	302	23	)	)	PUNCT
ejde-1684	302	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	302	25	in	in	ADP
ejde-1684	302	26	the	the	DET
ejde-1684	302	27	weak	weak	ADJ
ejde-1684	302	28	sense	sense	NOUN
ejde-1684	302	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	302	30	if	if	SCONJ
ejde-1684	302	31	and	and	CCONJ
ejde-1684	302	32	only	only	ADV
ejde-1684	302	33	if	if	SCONJ
ejde-1684	302	34	a	a	DET
ejde-1684	302	35	pair	pair	NOUN
ejde-1684	302	36	(	(	PUNCT
ejde-1684	302	37	λ	λ	NOUN
ejde-1684	302	38	,	,	PUNCT
ejde-1684	302	39	u	u	NOUN
ejde-1684	302	40	)	)	PUNCT
ejde-1684	302	41	∈	∈	PROPN
ejde-1684	302	42	r×w	r×w	PROPN
ejde-1684	302	43	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	302	44	0	0	NUM
ejde-1684	302	45	(	(	PUNCT
ejde-1684	302	46	ω	ω	NOUN
ejde-1684	302	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	302	48	that	that	PRON
ejde-1684	302	49	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	302	50	the	the	DET
ejde-1684	302	51	integral	integral	ADJ
ejde-1684	302	52	identity∫	identity∫	NOUN
ejde-1684	302	53	ω	ω	NUM
ejde-1684	302	54	∇u∇ϕdx	∇u∇ϕdx	NOUN
ejde-1684	303	1	=	=	SYM
ejde-1684	303	2	λ	λ	PROPN
ejde-1684	303	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	303	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	303	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	303	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	303	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	303	8	2	2	NUM
ejde-1684	304	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	304	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	304	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	304	4	|u|q−2uϕ	|u|q−2uϕ	PROPN
ejde-1684	304	5	dx+	dx+	ADJ
ejde-1684	304	6	∫	∫	PROPN
ejde-1684	304	7	ω	ω	PROPN
ejde-1684	304	8	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	304	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	304	10	u;λ)ϕdx	u;λ)ϕdx	ADV
ejde-1684	304	11	for	for	ADP
ejde-1684	304	12	all	all	DET
ejde-1684	304	13	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1684	304	14	∈w	∈w	PROPN
ejde-1684	304	15	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	304	16	0	0	NUM
ejde-1684	304	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	304	18	ω	ω	NOUN
ejde-1684	304	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	304	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	305	1	the	the	DET
ejde-1684	305	2	last	last	ADJ
ejde-1684	305	3	equation	equation	NOUN
ejde-1684	305	4	is	be	AUX
ejde-1684	305	5	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1684	305	6	to	to	ADP
ejde-1684	305	7	the	the	DET
ejde-1684	305	8	operator	operator	NOUN
ejde-1684	305	9	equation	equation	NOUN
ejde-1684	305	10	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-1684	305	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	305	12	=	=	SYM
ejde-1684	305	13	λψ(u	λψ(u	X
ejde-1684	305	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	1	+	+	VERB
ejde-1684	306	2	h(λ	h(λ	PROPN
ejde-1684	306	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	4	u	u	NOUN
ejde-1684	306	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	6	with	with	ADP
ejde-1684	306	7	all	all	DET
ejde-1684	306	8	terms	term	NOUN
ejde-1684	306	9	valued	value	VERB
ejde-1684	306	10	in	in	ADP
ejde-1684	306	11	the	the	DET
ejde-1684	306	12	dual	dual	ADJ
ejde-1684	306	13	space	space	NOUN
ejde-1684	306	14	x	x	NOUN
ejde-1684	306	15	′	′	NOUN
ejde-1684	306	16	=	=	SYM
ejde-1684	306	17	w−1,2′(ω	w−1,2′(ω	PROPN
ejde-1684	306	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	19	of	of	ADP
ejde-1684	306	20	x	x	X
ejde-1684	306	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	306	22	the	the	DET
ejde-1684	306	23	operators	operator	NOUN
ejde-1684	306	24	φ	φ	NUM
ejde-1684	306	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	26	ψ	ψ	SYM
ejde-1684	306	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	28	h(λ	h(λ	PROPN
ejde-1684	306	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	30	·	·	PUNCT
ejde-1684	306	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	32	:	:	PUNCT
ejde-1684	306	33	x	x	X
ejde-1684	306	34	→	→	SYM
ejde-1684	306	35	x	x	SYM
ejde-1684	306	36	′	′	NUM
ejde-1684	306	37	defined	define	VERB
ejde-1684	306	38	as	as	ADP
ejde-1684	306	39	follows	follow	VERB
ejde-1684	306	40	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	41	for	for	ADP
ejde-1684	306	42	all	all	DET
ejde-1684	306	43	u	u	NOUN
ejde-1684	306	44	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	45	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	306	46	∈	∈	PROPN
ejde-1684	306	47	x	x	X
ejde-1684	306	48	and	and	CCONJ
ejde-1684	306	49	λ	λ	X
ejde-1684	306	50	∈	∈	NOUN
ejde-1684	306	51	r	r	NOUN
ejde-1684	306	52	:	:	PUNCT
ejde-1684	306	53	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	306	54	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	55	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	56	ϕ⟩x	ϕ⟩x	PROPN
ejde-1684	306	57	=	=	SYM
ejde-1684	306	58	∫	∫	PROPN
ejde-1684	306	59	ω	ω	NUM
ejde-1684	306	60	∇u∇ϕdx	∇u∇ϕdx	PROPN
ejde-1684	306	61	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	62	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	306	63	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	64	,	,	PUNCT
ejde-1684	306	65	ϕ⟩x	ϕ⟩x	PROPN
ejde-1684	306	66	=	=	SYM
ejde-1684	306	67	(	(	PUNCT
ejde-1684	306	68	∫	∫	PROPN
ejde-1684	306	69	ω	ω	PROPN
ejde-1684	306	70	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	306	71	)	)	PUNCT
ejde-1684	306	72	2	2	NUM
ejde-1684	307	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	307	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	307	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	307	4	|u|q−2uϕ	|u|q−2uϕ	PROPN
ejde-1684	307	5	dx	dx	PROPN
ejde-1684	307	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	307	7	⟨h(λ	⟨h(λ	PROPN
ejde-1684	307	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	307	9	u	u	NOUN
ejde-1684	307	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	307	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	307	12	ϕ⟩x	ϕ⟩x	PROPN
ejde-1684	307	13	=	=	SYM
ejde-1684	307	14	∫	∫	PROPN
ejde-1684	307	15	ω	ω	PROPN
ejde-1684	307	16	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	307	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	307	18	u	u	NOUN
ejde-1684	307	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	307	20	λ)ϕ(x	λ)ϕ(x	PRON
ejde-1684	307	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	307	22	dx	dx	PROPN
ejde-1684	307	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	308	1	it	it	PRON
ejde-1684	308	2	is	be	AUX
ejde-1684	308	3	easy	easy	ADJ
ejde-1684	308	4	to	to	PART
ejde-1684	308	5	see	see	VERB
ejde-1684	308	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	308	7	the	the	DET
ejde-1684	308	8	operator	operator	NOUN
ejde-1684	308	9	φ	φ	X
ejde-1684	308	10	:	:	PUNCT
ejde-1684	308	11	x	x	X
ejde-1684	308	12	→	→	SYM
ejde-1684	308	13	x	x	SYM
ejde-1684	308	14	′	′	NOUN
ejde-1684	308	15	is	be	AUX
ejde-1684	308	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	308	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	308	18	coercive	coercive	ADJ
ejde-1684	308	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	308	20	strictly	strictly	ADV
ejde-1684	308	21	monotone	monotone	ADJ
ejde-1684	308	22	and	and	CCONJ
ejde-1684	308	23	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	308	24	condition	condition	NOUN
ejde-1684	308	25	(	(	PUNCT
ejde-1684	308	26	s+	s+	ADV
ejde-1684	308	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	308	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	309	1	the	the	DET
ejde-1684	309	2	operator	operator	NOUN
ejde-1684	309	3	ψ	ψ	X
ejde-1684	309	4	:	:	PUNCT
ejde-1684	309	5	x	x	SYM
ejde-1684	309	6	→	→	SYM
ejde-1684	309	7	x	x	SYM
ejde-1684	309	8	′	′	NOUN
ejde-1684	309	9	can	can	AUX
ejde-1684	309	10	be	be	AUX
ejde-1684	309	11	extended	extend	VERB
ejde-1684	309	12	to	to	ADP
ejde-1684	309	13	a	a	DET
ejde-1684	309	14	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	309	15	operator	operator	NOUN
ejde-1684	309	16	ψ̃	ψ̃	PROPN
ejde-1684	309	17	:	:	PUNCT
ejde-1684	309	18	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1684	309	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	309	20	→	→	PUNCT
ejde-1684	309	21	(	(	PUNCT
ejde-1684	309	22	lq(ω))′	lq(ω))′	PROPN
ejde-1684	309	23	=	=	SYM
ejde-1684	309	24	lq′(ω	lq′(ω	PROPN
ejde-1684	309	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	309	26	in	in	ADP
ejde-1684	309	27	a	a	DET
ejde-1684	309	28	unique	unique	ADJ
ejde-1684	309	29	way	way	NOUN
ejde-1684	309	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	310	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	310	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	310	3	ψ	ψ	AUX
ejde-1684	310	4	decomposed	decompose	VERB
ejde-1684	310	5	as	as	ADP
ejde-1684	310	6	ψ	ψ	X
ejde-1684	310	7	:	:	PUNCT
ejde-1684	310	8	x	x	SYM
ejde-1684	310	9	↪	↪	PROPN
ejde-1684	310	10	→	→	SYM
ejde-1684	310	11	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-1684	310	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	310	13	ψ̃−→	ψ̃−→	PROPN
ejde-1684	310	14	lq′(ω	lq′(ω	PROPN
ejde-1684	310	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	310	16	↪	↪	PROPN
ejde-1684	310	17	→	→	SYM
ejde-1684	310	18	x	x	SYM
ejde-1684	310	19	′	′	NOUN
ejde-1684	310	20	is	be	AUX
ejde-1684	310	21	compact	compact	ADJ
ejde-1684	310	22	by	by	ADP
ejde-1684	310	23	rellich	rellich	PROPN
ejde-1684	310	24	’s	’s	PART
ejde-1684	310	25	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	310	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	311	1	finally	finally	ADV
ejde-1684	311	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	311	3	given	give	VERB
ejde-1684	311	4	λ	λ	PROPN
ejde-1684	311	5	∈	∈	PROPN
ejde-1684	311	6	r	r	NOUN
ejde-1684	311	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	311	8	operator	operator	NOUN
ejde-1684	311	9	h(λ	h(λ	PROPN
ejde-1684	311	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	311	11	·	·	PUNCT
ejde-1684	311	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	311	13	:	:	PUNCT
ejde-1684	311	14	x	x	X
ejde-1684	311	15	→	→	PUNCT
ejde-1684	311	16	x	x	SYM
ejde-1684	311	17	′	′	NOUN
ejde-1684	311	18	is	be	AUX
ejde-1684	311	19	also	also	ADV
ejde-1684	311	20	compact	compact	ADJ
ejde-1684	311	21	by	by	ADP
ejde-1684	311	22	rellich	rellich	PROPN
ejde-1684	311	23	’s	’s	PART
ejde-1684	311	24	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	311	25	.	.	PUNCT
ejde-1684	312	1	thus	thus	ADV
ejde-1684	312	2	gλ(u	gλ(u	NOUN
ejde-1684	312	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	312	4	=	=	SYM
ejde-1684	312	5	g(λ	g(λ	PROPN
ejde-1684	312	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	312	7	u	u	NOUN
ejde-1684	312	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	312	9	≡	≡	PROPN
ejde-1684	312	10	φ(u)−ψ(u)−h(λ	φ(u)−ψ(u)−h(λ	NOUN
ejde-1684	312	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	312	12	u	u	NOUN
ejde-1684	312	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	312	14	can	can	AUX
ejde-1684	312	15	be	be	AUX
ejde-1684	312	16	viewed	view	VERB
ejde-1684	312	17	as	as	ADP
ejde-1684	312	18	a	a	DET
ejde-1684	312	19	compact	compact	ADJ
ejde-1684	312	20	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-1684	312	21	of	of	ADP
ejde-1684	312	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	312	23	s+)-type	s+)-type	NOUN
ejde-1684	312	24	operator	operator	NOUN
ejde-1684	312	25	ψ	ψ	NOUN
ejde-1684	312	26	and	and	CCONJ
ejde-1684	312	27	is	be	AUX
ejde-1684	312	28	also	also	ADV
ejde-1684	312	29	(	(	PUNCT
ejde-1684	312	30	s+)-type	s+)-type	PROPN
ejde-1684	312	31	.	.	PUNCT
ejde-1684	313	1	so	so	SCONJ
ejde-1684	313	2	its	its	PRON
ejde-1684	313	3	browder	browder	NOUN
ejde-1684	313	4	-	-	PUNCT
ejde-1684	313	5	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	313	6	degree	degree	NOUN
ejde-1684	313	7	can	can	AUX
ejde-1684	313	8	be	be	AUX
ejde-1684	313	9	defined	define	VERB
ejde-1684	313	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	314	1	now	now	ADV
ejde-1684	314	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	314	3	we	we	PRON
ejde-1684	314	4	give	give	VERB
ejde-1684	314	5	a	a	DET
ejde-1684	314	6	result	result	NOUN
ejde-1684	314	7	that	that	PRON
ejde-1684	314	8	shows	show	VERB
ejde-1684	314	9	discontinuity	discontinuity	NOUN
ejde-1684	314	10	for	for	ADP
ejde-1684	314	11	browder	browder	NOUN
ejde-1684	314	12	-	-	PUNCT
ejde-1684	314	13	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	314	14	degree	degree	NOUN
ejde-1684	314	15	at	at	ADP
ejde-1684	314	16	the	the	DET
ejde-1684	314	17	first	first	ADJ
ejde-1684	314	18	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	314	19	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	314	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	315	1	10	10	NUM
ejde-1684	315	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	315	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	315	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	315	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	315	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	315	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	315	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	315	9	3.1	3.1	NUM
ejde-1684	315	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	316	1	for	for	ADP
ejde-1684	316	2	all	all	DET
ejde-1684	316	3	r	r	NOUN
ejde-1684	316	4	>	>	X
ejde-1684	316	5	0	0	NUM
ejde-1684	317	1	and	and	CCONJ
ejde-1684	317	2	all	all	DET
ejde-1684	317	3	0	0	NUM
ejde-1684	317	4	<	<	X
ejde-1684	317	5	δ	δ	X
ejde-1684	317	6	<	<	X
ejde-1684	317	7	λ2	λ2	PROPN
ejde-1684	317	8	−	−	PROPN
ejde-1684	318	1	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	318	2	we	we	PRON
ejde-1684	318	3	have	have	AUX
ejde-1684	318	4	deg	deg	VERB
ejde-1684	318	5	[	[	PUNCT
ejde-1684	318	6	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	318	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	318	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	318	9	±	±	NUM
ejde-1684	318	10	δ)ψ;br(0	δ)ψ;br(0	PROPN
ejde-1684	318	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	318	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	318	13	0	0	NUM
ejde-1684	318	14	]	]	PUNCT
ejde-1684	318	15	=	=	PUNCT
ejde-1684	318	16	∓1	∓1	NOUN
ejde-1684	318	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	319	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	319	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	320	1	given	give	VERB
ejde-1684	320	2	r	r	NOUN
ejde-1684	320	3	>	>	SYM
ejde-1684	320	4	0	0	NUM
ejde-1684	320	5	fixed	fix	VERB
ejde-1684	320	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	320	7	we	we	PRON
ejde-1684	320	8	define	define	VERB
ejde-1684	320	9	ψ	ψ	X
ejde-1684	320	10	:	:	PUNCT
ejde-1684	320	11	r+	r+	NOUN
ejde-1684	320	12	→	→	SYM
ejde-1684	320	13	r+	r+	NOUN
ejde-1684	320	14	as	as	ADP
ejde-1684	320	15	ψ(t	ψ(t	PROPN
ejde-1684	320	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	320	17	=	=	SYM
ejde-1684	321	1			NOUN
ejde-1684	321	2	0	0	NUM
ejde-1684	321	3	for	for	ADP
ejde-1684	321	4	0	0	NUM
ejde-1684	321	5	≤	≤	NUM
ejde-1684	321	6	t	t	NOUN
ejde-1684	321	7	≤	≤	NOUN
ejde-1684	321	8	r	r	NOUN
ejde-1684	321	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	321	10	δ	δ	PROPN
ejde-1684	321	11	r	r	NOUN
ejde-1684	321	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	321	13	t−r	t−r	PROPN
ejde-1684	321	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	321	15	2	2	NUM
ejde-1684	321	16	for	for	ADP
ejde-1684	321	17	r	r	NOUN
ejde-1684	321	18	<	<	X
ejde-1684	321	19	t	t	X
ejde-1684	321	20	<	<	X
ejde-1684	321	21	2r	2r	NUM
ejde-1684	321	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	321	23	2δ(t−	2δ(t−	NUM
ejde-1684	321	24	2r	2r	NUM
ejde-1684	321	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	322	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	322	2	δr	δr	NOUN
ejde-1684	322	3	for	for	ADP
ejde-1684	322	4	2r	2r	NUM
ejde-1684	322	5	≤	≤	PROPN
ejde-1684	322	6	t	t	PROPN
ejde-1684	322	7	<	<	X
ejde-1684	322	8	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	322	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	322	10	3.1	3.1	NUM
ejde-1684	322	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	322	12	clearly	clearly	ADV
ejde-1684	322	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	322	14	ψ	ψ	X
ejde-1684	322	15	is	be	AUX
ejde-1684	322	16	continuously	continuously	ADV
ejde-1684	322	17	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-1684	322	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	322	19	monotone	monotone	ADJ
ejde-1684	322	20	increasing	increasing	NOUN
ejde-1684	322	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	322	22	and	and	CCONJ
ejde-1684	322	23	convex	convex	VERB
ejde-1684	322	24	on	on	ADP
ejde-1684	322	25	r+	r+	NOUN
ejde-1684	322	26	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	322	27	ψ′(t	ψ′(t	PUNCT
ejde-1684	322	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	322	29	=	=	SYM
ejde-1684	323	1			NOUN
ejde-1684	323	2	0	0	NUM
ejde-1684	323	3	for	for	ADP
ejde-1684	323	4	0	0	NUM
ejde-1684	323	5	≤	≤	NUM
ejde-1684	323	6	t	t	NOUN
ejde-1684	323	7	≤	≤	NOUN
ejde-1684	323	8	r	r	NOUN
ejde-1684	323	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	323	10	2δ	2δ	NUM
ejde-1684	323	11	r	r	NOUN
ejde-1684	323	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	323	13	t−r	t−r	PROPN
ejde-1684	323	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	323	15	for	for	ADP
ejde-1684	323	16	r	r	NOUN
ejde-1684	323	17	<	<	X
ejde-1684	323	18	t	t	X
ejde-1684	323	19	<	<	X
ejde-1684	323	20	2r	2r	NUM
ejde-1684	323	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	323	22	2δ	2δ	NUM
ejde-1684	323	23	for	for	ADP
ejde-1684	323	24	2r	2r	NUM
ejde-1684	323	25	≤	≤	PROPN
ejde-1684	323	26	t	t	PROPN
ejde-1684	323	27	<	<	X
ejde-1684	323	28	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	323	29	(	(	PUNCT
ejde-1684	323	30	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	323	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	323	32	now	now	ADV
ejde-1684	323	33	we	we	PRON
ejde-1684	323	34	consider	consider	VERB
ejde-1684	323	35	the	the	DET
ejde-1684	323	36	functional	functional	ADJ
ejde-1684	323	37	tλ	tλ	NOUN
ejde-1684	323	38	:	:	PUNCT
ejde-1684	323	39	x	x	X
ejde-1684	324	1	→	→	SYM
ejde-1684	324	2	r	r	NOUN
ejde-1684	324	3	defined	define	VERB
ejde-1684	324	4	as	as	ADP
ejde-1684	324	5	tλ(u	tλ(u	NUM
ejde-1684	324	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	324	7	=	=	SYM
ejde-1684	324	8	1	1	NUM
ejde-1684	324	9	2	2	NUM
ejde-1684	324	10	〈	〈	PROPN
ejde-1684	324	11	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-1684	324	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	324	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	324	14	u	u	NOUN
ejde-1684	324	15	〉	〉	NOUN
ejde-1684	324	16	x	x	NOUN
ejde-1684	324	17	−	−	NOUN
ejde-1684	324	18	λ	λ	PROPN
ejde-1684	324	19	2	2	NUM
ejde-1684	324	20	〈	〈	PROPN
ejde-1684	324	21	ψ(u	ψ(u	PROPN
ejde-1684	324	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	324	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	324	24	u	u	NOUN
ejde-1684	324	25	〉	〉	NOUN
ejde-1684	324	26	x	x	PUNCT
ejde-1684	324	27	+	+	NUM
ejde-1684	324	28	ψ	ψ	X
ejde-1684	324	29	(	(	PUNCT
ejde-1684	324	30	1	1	NUM
ejde-1684	324	31	2	2	NUM
ejde-1684	324	32	〈	〈	PROPN
ejde-1684	324	33	ψ(u	ψ(u	PROPN
ejde-1684	324	34	)	)	PUNCT
ejde-1684	324	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	324	36	u	u	NOUN
ejde-1684	324	37	〉	〉	NOUN
ejde-1684	324	38	x	x	PROPN
ejde-1684	324	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	324	40	.	.	PUNCT
ejde-1684	325	1	every	every	DET
ejde-1684	325	2	critical	critical	ADJ
ejde-1684	325	3	point	point	NOUN
ejde-1684	325	4	u0	u0	NOUN
ejde-1684	325	5	∈	∈	PROPN
ejde-1684	325	6	x	x	X
ejde-1684	325	7	of	of	ADP
ejde-1684	325	8	tλ	tλ	NOUN
ejde-1684	325	9	is	be	AUX
ejde-1684	325	10	a	a	DET
ejde-1684	325	11	solution	solution	NOUN
ejde-1684	325	12	of	of	ADP
ejde-1684	325	13	the	the	DET
ejde-1684	325	14	operator	operator	NOUN
ejde-1684	325	15	equation	equation	NOUN
ejde-1684	325	16	t	t	NOUN
ejde-1684	325	17	′	′	NOUN
ejde-1684	325	18	λ(u	λ(u	PROPN
ejde-1684	325	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	326	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	326	2	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	326	3	[	[	PUNCT
ejde-1684	326	4	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	326	5	ψ′	ψ′	PROPN
ejde-1684	326	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	326	7	1	1	NUM
ejde-1684	326	8	2	2	NUM
ejde-1684	326	9	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	326	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	326	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	326	12	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	326	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	326	14	]	]	PUNCT
ejde-1684	326	15	ψ(u	ψ(u	PROPN
ejde-1684	326	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	326	17	=	=	PUNCT
ejde-1684	326	18	0	0	PUNCT
ejde-1684	327	1	inx	inx	NOUN
ejde-1684	327	2	′	′	NUM
ejde-1684	327	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	328	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	328	2	3.3	3.3	NUM
ejde-1684	328	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	329	1	next	next	ADV
ejde-1684	329	2	we	we	PRON
ejde-1684	329	3	investigate	investigate	VERB
ejde-1684	329	4	the	the	DET
ejde-1684	329	5	above	above	ADJ
ejde-1684	329	6	equation	equation	NOUN
ejde-1684	329	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	330	1	assuming	assume	VERB
ejde-1684	330	2	λ	λ	PROPN
ejde-1684	330	3	≤	≤	X
ejde-1684	330	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	330	5	+	+	CCONJ
ejde-1684	330	6	δ	δ	NOUN
ejde-1684	330	7	<	<	X
ejde-1684	330	8	λ2	λ2	NOUN
ejde-1684	330	9	we	we	PRON
ejde-1684	330	10	have	have	VERB
ejde-1684	330	11	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	330	12	2δ	2δ	NOUN
ejde-1684	330	13	≤	≤	NUM
ejde-1684	331	1	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	331	2	ψ′	ψ′	NUM
ejde-1684	331	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	331	4	1	1	NUM
ejde-1684	331	5	2	2	NUM
ejde-1684	331	6	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	331	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	331	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	331	9	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	331	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	331	11	≤	≤	PUNCT
ejde-1684	332	1	λ	λ	X
ejde-1684	332	2	≤	≤	NOUN
ejde-1684	332	3	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	332	4	+	+	CCONJ
ejde-1684	332	5	δ	δ	NOUN
ejde-1684	332	6	<	<	X
ejde-1684	332	7	λ2	λ2	PROPN
ejde-1684	332	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	333	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1684	333	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	333	3	if	if	SCONJ
ejde-1684	333	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	333	5	3.3	3.3	NUM
ejde-1684	333	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	333	7	is	be	AUX
ejde-1684	333	8	valid	valid	ADJ
ejde-1684	333	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	333	10	we	we	PRON
ejde-1684	333	11	have	have	AUX
ejde-1684	333	12	following	follow	VERB
ejde-1684	333	13	two	two	NUM
ejde-1684	333	14	cases	case	NOUN
ejde-1684	333	15	:	:	PUNCT
ejde-1684	333	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	333	17	i	i	NOUN
ejde-1684	333	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	333	19	u0	u0	PROPN
ejde-1684	333	20	=	=	NOUN
ejde-1684	333	21	0	0	NUM
ejde-1684	333	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	333	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	333	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	333	25	ii	ii	NOUN
ejde-1684	333	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	333	27	λ−ψ′	λ−ψ′	PROPN
ejde-1684	333	28	(	(	PUNCT
ejde-1684	333	29	12	12	NUM
ejde-1684	333	30	⟨ψ(u0	⟨ψ(u0	NOUN
ejde-1684	333	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	333	32	,	,	PUNCT
ejde-1684	333	33	u0⟩x	u0⟩x	NUM
ejde-1684	333	34	)	)	PUNCT
ejde-1684	334	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	334	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	334	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	334	4	u0	u0	ADJ
ejde-1684	334	5	=	=	NOUN
ejde-1684	334	6	αφ1	αφ1	NOUN
ejde-1684	334	7	for	for	ADP
ejde-1684	334	8	some	some	DET
ejde-1684	334	9	constant	constant	ADJ
ejde-1684	334	10	α	α	PRON
ejde-1684	334	11	∈	∈	NOUN
ejde-1684	334	12	r	r	NOUN
ejde-1684	334	13	\	\	PUNCT
ejde-1684	334	14	{	{	PUNCT
ejde-1684	334	15	0	0	NUM
ejde-1684	334	16	}	}	PUNCT
ejde-1684	334	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	335	1	here	here	ADV
ejde-1684	335	2	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	335	3	is	be	AUX
ejde-1684	335	4	an	an	DET
ejde-1684	335	5	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-1684	335	6	corresponding	correspond	VERB
ejde-1684	335	7	to	to	ADP
ejde-1684	335	8	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	335	9	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	335	10	∥φ1∥2q	∥φ1∥2q	PROPN
ejde-1684	335	11	=	=	SYM
ejde-1684	335	12	1	1	NUM
ejde-1684	335	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	335	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	335	15	α	α	NOUN
ejde-1684	335	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	335	17	because	because	SCONJ
ejde-1684	335	18	of	of	ADP
ejde-1684	335	19	the	the	DET
ejde-1684	335	20	homogeneity	homogeneity	NOUN
ejde-1684	335	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	335	22	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	335	23	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	335	24	ψ′	ψ′	PROPN
ejde-1684	335	25	(	(	PUNCT
ejde-1684	335	26	|α|2	|α|2	NOUN
ejde-1684	335	27	2	2	NUM
ejde-1684	335	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	335	29	=	=	SYM
ejde-1684	335	30	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	335	31	.	.	PUNCT
ejde-1684	336	1	because	because	SCONJ
ejde-1684	336	2	α	α	PROPN
ejde-1684	336	3	depends	depend	VERB
ejde-1684	336	4	on	on	ADP
ejde-1684	336	5	λ	λ	NOUN
ejde-1684	336	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	336	7	we	we	PRON
ejde-1684	336	8	sometimes	sometimes	ADV
ejde-1684	336	9	write	write	VERB
ejde-1684	336	10	α	α	NOUN
ejde-1684	336	11	=	=	NOUN
ejde-1684	336	12	αλ	αλ	NUM
ejde-1684	336	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	337	1	next	next	ADV
ejde-1684	337	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	337	3	we	we	PRON
ejde-1684	337	4	discuss	discuss	VERB
ejde-1684	337	5	the	the	DET
ejde-1684	337	6	value	value	NOUN
ejde-1684	337	7	of	of	ADP
ejde-1684	337	8	λ	λ	PROPN
ejde-1684	337	9	in	in	ADP
ejde-1684	337	10	three	three	NUM
ejde-1684	337	11	cases	case	NOUN
ejde-1684	337	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	338	1	case	case	NOUN
ejde-1684	338	2	1	1	NUM
ejde-1684	338	3	:	:	PUNCT
ejde-1684	338	4	λ	λ	X
ejde-1684	338	5	<	<	X
ejde-1684	338	6	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	338	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	339	1	we	we	PRON
ejde-1684	339	2	have	have	VERB
ejde-1684	339	3	ψ′	ψ′	NUM
ejde-1684	339	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	339	5	|α|2/2	|α|2/2	PROPN
ejde-1684	339	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	339	7	=	=	SYM
ejde-1684	340	1	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	340	2	λ1	λ1	X
ejde-1684	340	3	<	<	X
ejde-1684	340	4	0	0	X
ejde-1684	340	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	341	1	combining	combine	VERB
ejde-1684	341	2	with	with	ADP
ejde-1684	341	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	341	4	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	341	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	341	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	341	7	the	the	DET
ejde-1684	341	8	only	only	ADJ
ejde-1684	341	9	zero	zero	NUM
ejde-1684	341	10	of	of	ADP
ejde-1684	341	11	tλ	tλ	NOUN
ejde-1684	341	12	is	be	AUX
ejde-1684	341	13	the	the	DET
ejde-1684	341	14	u	u	NOUN
ejde-1684	341	15	=	=	NOUN
ejde-1684	341	16	0	0	NUM
ejde-1684	341	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	341	18	x	x	NOUN
ejde-1684	341	19	;	;	PUNCT
ejde-1684	341	20	it	it	PRON
ejde-1684	341	21	is	be	AUX
ejde-1684	341	22	the	the	DET
ejde-1684	341	23	global	global	ADJ
ejde-1684	341	24	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-1684	341	25	for	for	ADP
ejde-1684	341	26	tλ	tλ	NOUN
ejde-1684	341	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	342	1	we	we	PRON
ejde-1684	342	2	apply	apply	VERB
ejde-1684	342	3	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	342	4	5.8	5.8	NUM
ejde-1684	342	5	to	to	PART
ejde-1684	342	6	conclude	conclude	VERB
ejde-1684	342	7	that	that	DET
ejde-1684	342	8	deg[tλ;br(0	deg[tλ;br(0	PROPN
ejde-1684	342	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	342	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	342	11	0	0	X
ejde-1684	342	12	]	]	X
ejde-1684	342	13	=	=	SYM
ejde-1684	342	14	1	1	NUM
ejde-1684	342	15	for	for	ADP
ejde-1684	342	16	all	all	DET
ejde-1684	342	17	r	r	NOUN
ejde-1684	342	18	>	>	X
ejde-1684	342	19	0	0	NUM
ejde-1684	342	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	343	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	343	2	3.4	3.4	NUM
ejde-1684	343	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	343	4	case	case	NOUN
ejde-1684	343	5	2	2	NUM
ejde-1684	343	6	:	:	PUNCT
ejde-1684	343	7	λ	λ	X
ejde-1684	343	8	=	=	SYM
ejde-1684	343	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	343	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	344	1	in	in	ADP
ejde-1684	344	2	this	this	DET
ejde-1684	344	3	situation	situation	NOUN
ejde-1684	344	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	344	5	ψ′(|α|2/2	ψ′(|α|2/2	PUNCT
ejde-1684	344	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	344	7	=	=	SYM
ejde-1684	345	1	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	345	2	−	−	PROPN
ejde-1684	345	3	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	345	4	=	=	SYM
ejde-1684	345	5	0	0	X
ejde-1684	345	6	.	.	X
ejde-1684	345	7	combining	combine	VERB
ejde-1684	345	8	with	with	ADP
ejde-1684	345	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	345	10	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	345	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	345	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	345	13	we	we	PRON
ejde-1684	345	14	have	have	VERB
ejde-1684	345	15	0	0	NUM
ejde-1684	345	16	≤	≤	NUM
ejde-1684	345	17	|αλ1	|αλ1	NOUN
ejde-1684	345	18	|2	|2	NUM
ejde-1684	345	19	2	2	NUM
ejde-1684	345	20	≤	≤	NOUN
ejde-1684	345	21	r.	r.	NOUN
ejde-1684	345	22	combining	combine	VERB
ejde-1684	345	23	with	with	ADP
ejde-1684	345	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	345	25	3.1	3.1	NUM
ejde-1684	345	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	345	27	again	again	ADV
ejde-1684	345	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	345	29	it	it	PRON
ejde-1684	345	30	is	be	AUX
ejde-1684	345	31	easy	easy	ADJ
ejde-1684	345	32	to	to	PART
ejde-1684	345	33	see	see	VERB
ejde-1684	345	34	that	that	DET
ejde-1684	345	35	tλ1	tλ1	NOUN
ejde-1684	345	36	(	(	PUNCT
ejde-1684	345	37	αλ1	αλ1	X
ejde-1684	345	38	φ1	φ1	PROPN
ejde-1684	345	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	345	40	=	=	SYM
ejde-1684	346	1	0	0	X
ejde-1684	346	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	346	3	case	case	NOUN
ejde-1684	346	4	3	3	NUM
ejde-1684	346	5	:	:	PUNCT
ejde-1684	346	6	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	346	7	<	<	X
ejde-1684	346	8	λ	λ	X
ejde-1684	346	9	≤	≤	X
ejde-1684	346	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	346	11	+	+	CCONJ
ejde-1684	346	12	δ	δ	PROPN
ejde-1684	346	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	347	1	in	in	ADP
ejde-1684	347	2	this	this	DET
ejde-1684	347	3	situation	situation	NOUN
ejde-1684	347	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	347	5	ψ′	ψ′	PUNCT
ejde-1684	347	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	347	7	|α|2/2	|α|2/2	NOUN
ejde-1684	347	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	347	9	∈	∈	PROPN
ejde-1684	347	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	347	11	0	0	NUM
ejde-1684	347	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	347	13	δ	δ	PROPN
ejde-1684	347	14	]	]	PUNCT
ejde-1684	347	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	348	1	combining	combine	VERB
ejde-1684	348	2	this	this	PRON
ejde-1684	348	3	with	with	ADP
ejde-1684	348	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	348	5	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	348	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	348	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	348	8	we	we	PRON
ejde-1684	348	9	have	have	VERB
ejde-1684	348	10	r	r	NOUN
ejde-1684	348	11	<	<	X
ejde-1684	348	12	|αλ|2/2	|αλ|2/2	X
ejde-1684	348	13	≤	≤	NUM
ejde-1684	348	14	3r	3r	NUM
ejde-1684	348	15	2	2	NUM
ejde-1684	348	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	349	1	it	it	PRON
ejde-1684	349	2	can	can	AUX
ejde-1684	349	3	be	be	AUX
ejde-1684	349	4	known	know	VERB
ejde-1684	349	5	by	by	ADP
ejde-1684	349	6	direct	direct	ADJ
ejde-1684	349	7	calculation	calculation	NOUN
ejde-1684	349	8	that	that	PRON
ejde-1684	349	9	tλ1+δ(±αλ1+δφ1	tλ1+δ(±αλ1+δφ1	PROPN
ejde-1684	349	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	349	11	<	<	X
ejde-1684	349	12	0	0	PUNCT
ejde-1684	349	13	=	=	SYM
ejde-1684	349	14	t0	t0	PROPN
ejde-1684	349	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	350	1	according	accord	VERB
ejde-1684	350	2	to	to	ADP
ejde-1684	350	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	350	4	3.3	3.3	NUM
ejde-1684	350	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	350	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	350	7	0	0	NUM
ejde-1684	350	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	350	9	±αλ1+δφ1	±αλ1+δφ1	PROPN
ejde-1684	350	10	are	be	AUX
ejde-1684	350	11	the	the	DET
ejde-1684	350	12	whole	whole	ADJ
ejde-1684	350	13	set	set	NOUN
ejde-1684	350	14	of	of	ADP
ejde-1684	350	15	zeros	zero	NOUN
ejde-1684	350	16	of	of	ADP
ejde-1684	350	17	tλ1+δ	tλ1+δ	PROPN
ejde-1684	350	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	351	1	next	next	ADV
ejde-1684	351	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	351	3	we	we	PRON
ejde-1684	351	4	proof	proof	VERB
ejde-1684	351	5	tλ	tλ	NOUN
ejde-1684	351	6	is	be	AUX
ejde-1684	351	7	coercive	coercive	ADJ
ejde-1684	351	8	on	on	ADP
ejde-1684	351	9	x.	x.	NOUN
ejde-1684	351	10	in	in	ADP
ejde-1684	351	11	fact	fact	NOUN
ejde-1684	351	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	351	13	we	we	PRON
ejde-1684	351	14	fix	fix	VERB
ejde-1684	351	15	1	1	NUM
ejde-1684	351	16	2	2	NUM
ejde-1684	351	17	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	351	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	351	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	352	1	u⟩x	u⟩x	X
ejde-1684	352	2	=	=	PUNCT
ejde-1684	352	3	2r	2r	NUM
ejde-1684	352	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	353	1	this	this	PRON
ejde-1684	353	2	is	be	AUX
ejde-1684	353	3	a	a	DET
ejde-1684	353	4	c1	c1	NOUN
ejde-1684	353	5	manifold	manifold	NOUN
ejde-1684	353	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	353	7	contains	contain	VERB
ejde-1684	353	8	origin	origin	NOUN
ejde-1684	353	9	u	u	NOUN
ejde-1684	353	10	=	=	PROPN
ejde-1684	353	11	0	0	PROPN
ejde-1684	353	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	354	1	then	then	ADV
ejde-1684	354	2	we	we	PRON
ejde-1684	354	3	have	have	VERB
ejde-1684	354	4	tλ(u	tλ(u	PUNCT
ejde-1684	354	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	354	6	=	=	SYM
ejde-1684	354	7	1	1	NUM
ejde-1684	354	8	2	2	NUM
ejde-1684	354	9	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	354	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	354	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	354	12	u⟩x	u⟩x	PRON
ejde-1684	354	13	−	−	NOUN
ejde-1684	354	14	λ	λ	PROPN
ejde-1684	354	15	2	2	NUM
ejde-1684	354	16	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	354	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	354	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	354	19	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	354	20	+	+	CCONJ
ejde-1684	354	21	2δ	2δ	NUM
ejde-1684	354	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	354	23	1	1	NUM
ejde-1684	354	24	2	2	NUM
ejde-1684	354	25	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	354	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	354	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	354	28	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	354	29	−	−	PROPN
ejde-1684	354	30	2r	2r	NUM
ejde-1684	354	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	355	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	355	2	δr	δr	X
ejde-1684	355	3	=	=	SYM
ejde-1684	355	4	1	1	NUM
ejde-1684	355	5	2	2	NUM
ejde-1684	355	6	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	355	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	355	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	355	9	u⟩x	u⟩x	PRON
ejde-1684	355	10	−	−	PROPN
ejde-1684	355	11	λ−	λ−	PROPN
ejde-1684	355	12	2δ	2δ	NUM
ejde-1684	355	13	2	2	NUM
ejde-1684	355	14	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	355	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	355	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	355	17	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	355	18	−	−	NOUN
ejde-1684	355	19	3δr	3δr	ADJ
ejde-1684	356	1	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	356	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	356	3	for	for	ADP
ejde-1684	356	4	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	356	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	356	6	problems	problem	NOUN
ejde-1684	356	7	11	11	NUM
ejde-1684	356	8	≥	≥	NOUN
ejde-1684	356	9	1	1	NUM
ejde-1684	356	10	2	2	NUM
ejde-1684	356	11	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	356	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	356	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	356	14	u⟩x	u⟩x	PRON
ejde-1684	356	15	−	−	PROPN
ejde-1684	357	1	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	357	2	−	−	PROPN
ejde-1684	357	3	δ	δ	PROPN
ejde-1684	357	4	2	2	NUM
ejde-1684	357	5	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	357	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	357	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	357	8	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	357	9	−	−	NOUN
ejde-1684	357	10	3δr	3δr	ADJ
ejde-1684	357	11	≥	≥	NOUN
ejde-1684	357	12	1	1	NUM
ejde-1684	357	13	2	2	NUM
ejde-1684	357	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	357	15	1−	1−	NUM
ejde-1684	357	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	357	17	−	−	PROPN
ejde-1684	357	18	δ	δ	PROPN
ejde-1684	357	19	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	357	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	357	21	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	357	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	357	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	357	24	u⟩x	u⟩x	NOUN
ejde-1684	357	25	−	−	NOUN
ejde-1684	358	1	3δr	3δr	ADJ
ejde-1684	358	2	=	=	PUNCT
ejde-1684	358	3	δ	δ	PROPN
ejde-1684	358	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	358	5	1	1	NUM
ejde-1684	358	6	2λ1	2λ1	NUM
ejde-1684	358	7	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	358	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	358	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	358	10	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	358	11	−	−	NOUN
ejde-1684	358	12	3r	3r	NUM
ejde-1684	358	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	358	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	359	1	let	let	VERB
ejde-1684	359	2	∥u∥x	∥u∥x	NOUN
ejde-1684	359	3	→	→	SYM
ejde-1684	359	4	∞	∞	PROPN
ejde-1684	359	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	359	6	we	we	PRON
ejde-1684	359	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	359	8	tλ(u	tλ(u	PUNCT
ejde-1684	359	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	359	10	→	→	SYM
ejde-1684	359	11	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	359	12	thus	thus	ADV
ejde-1684	359	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	359	14	±αλ1+δφ1	±αλ1+δφ1	PROPN
ejde-1684	359	15	are	be	AUX
ejde-1684	359	16	the	the	DET
ejde-1684	359	17	global	global	ADJ
ejde-1684	359	18	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-1684	359	19	for	for	ADP
ejde-1684	359	20	tλ1+δ	tλ1+δ	NOUN
ejde-1684	359	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	360	1	by	by	ADP
ejde-1684	360	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	360	3	5.8	5.8	NUM
ejde-1684	360	4	again	again	ADV
ejde-1684	360	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	360	6	we	we	PRON
ejde-1684	360	7	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	360	8	deg	deg	PROPN
ejde-1684	360	9	[	[	PUNCT
ejde-1684	360	10	t	t	PROPN
ejde-1684	360	11	′	′	NUM
ejde-1684	360	12	λ1+δ;bσ(±αλ1+δφ1	λ1+δ;bσ(±αλ1+δφ1	PROPN
ejde-1684	360	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	360	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	360	15	0	0	NUM
ejde-1684	360	16	]	]	PUNCT
ejde-1684	361	1	=	=	SYM
ejde-1684	361	2	1	1	NUM
ejde-1684	361	3	for	for	ADP
ejde-1684	361	4	every	every	DET
ejde-1684	361	5	σ	σ	NOUN
ejde-1684	361	6	>	>	X
ejde-1684	361	7	0	0	PROPN
ejde-1684	361	8	small	small	ADJ
ejde-1684	361	9	enough	enough	ADV
ejde-1684	361	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	362	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	362	2	3.5	3.5	NUM
ejde-1684	362	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	362	4	without	without	ADP
ejde-1684	362	5	loss	loss	NOUN
ejde-1684	362	6	of	of	ADP
ejde-1684	362	7	generality	generality	NOUN
ejde-1684	362	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	362	9	we	we	PRON
ejde-1684	362	10	assume	assume	VERB
ejde-1684	362	11	σ	σ	X
ejde-1684	362	12	<	<	X
ejde-1684	362	13	1	1	NUM
ejde-1684	362	14	2αλ1+δ∥φ1∥x	2αλ1+δ∥φ1∥x	NUM
ejde-1684	362	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	363	1	set	set	VERB
ejde-1684	363	2	rδ	rδ	NOUN
ejde-1684	363	3	=	=	SYM
ejde-1684	363	4	2αλ1+δ∥φ1∥x	2αλ1+δ∥φ1∥x	NUM
ejde-1684	363	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	363	6	then	then	ADV
ejde-1684	363	7	rδ	rδ	VERB
ejde-1684	363	8	>	>	X
ejde-1684	363	9	αλ1+δ∥φ1∥x	αλ1+δ∥φ1∥x	PROPN
ejde-1684	364	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	364	2	σ	σ	X
ejde-1684	364	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	364	4	let	let	VERB
ejde-1684	364	5	tt(u	tt(u	NUM
ejde-1684	364	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	365	1	=	=	PRON
ejde-1684	365	2	tt	tt	PROPN
ejde-1684	365	3	′	′	NUM
ejde-1684	365	4	λ1−δ(u	λ1−δ(u	NOUN
ejde-1684	365	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	366	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	366	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	366	3	1−	1−	NUM
ejde-1684	366	4	t)t	t)t	X
ejde-1684	366	5	′	′	NUM
ejde-1684	366	6	λ1+δ(u	λ1+δ(u	NUM
ejde-1684	366	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	366	8	t	t	PROPN
ejde-1684	366	9	∈	∈	PROPN
ejde-1684	367	1	[	[	X
ejde-1684	367	2	0	0	NUM
ejde-1684	367	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	367	4	1	1	NUM
ejde-1684	367	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	367	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	367	7	∥u∥x	∥u∥x	ADJ
ejde-1684	367	8	>	>	SYM
ejde-1684	367	9	rδ	rδ	PROPN
ejde-1684	367	10	.	.	NOUN
ejde-1684	367	11	noticing	notice	VERB
ejde-1684	367	12	that	that	DET
ejde-1684	367	13	tt(u	tt(u	NUM
ejde-1684	367	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	367	15	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	367	16	0	0	NUM
ejde-1684	367	17	holds	hold	VERB
ejde-1684	367	18	for	for	ADP
ejde-1684	367	19	all	all	DET
ejde-1684	367	20	u	u	PROPN
ejde-1684	367	21	∈	∈	PROPN
ejde-1684	367	22	∂brδ(0	∂brδ(0	NOUN
ejde-1684	367	23	)	)	PUNCT
ejde-1684	367	24	and	and	CCONJ
ejde-1684	367	25	t	t	NOUN
ejde-1684	367	26	∈	∈	PROPN
ejde-1684	368	1	[	[	X
ejde-1684	368	2	0	0	NUM
ejde-1684	368	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	4	1	1	NUM
ejde-1684	368	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	368	6	due	due	ADP
ejde-1684	368	7	to	to	ADP
ejde-1684	368	8	choice	choice	NOUN
ejde-1684	368	9	of	of	ADP
ejde-1684	368	10	σ	σ	PROPN
ejde-1684	368	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	368	12	rδ	rδ	PROPN
ejde-1684	368	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	14	by	by	ADP
ejde-1684	368	15	the	the	DET
ejde-1684	368	16	homotopy	homotopy	NOUN
ejde-1684	368	17	invariance	invariance	NOUN
ejde-1684	368	18	of	of	ADP
ejde-1684	368	19	degree	degree	NOUN
ejde-1684	368	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	21	we	we	PRON
ejde-1684	368	22	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	368	23	deg	deg	PROPN
ejde-1684	368	24	[	[	PUNCT
ejde-1684	368	25	t	t	NOUN
ejde-1684	368	26	′	′	NUM
ejde-1684	368	27	λ1+δ;br(0	λ1+δ;br(0	NOUN
ejde-1684	368	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	368	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	30	0	0	NUM
ejde-1684	368	31	]	]	PUNCT
ejde-1684	368	32	=	=	PUNCT
ejde-1684	368	33	deg	deg	X
ejde-1684	368	34	[	[	PUNCT
ejde-1684	368	35	t	t	PROPN
ejde-1684	368	36	′	′	NUM
ejde-1684	368	37	λ1−δ;br(0	λ1−δ;br(0	PROPN
ejde-1684	368	38	)	)	PUNCT
ejde-1684	368	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	40	0	0	NUM
ejde-1684	368	41	]	]	PUNCT
ejde-1684	368	42	=	=	SYM
ejde-1684	368	43	1	1	NUM
ejde-1684	368	44	for	for	ADP
ejde-1684	368	45	every	every	DET
ejde-1684	368	46	r	r	NOUN
ejde-1684	368	47	>	>	X
ejde-1684	368	48	rδ	rδ	PROPN
ejde-1684	368	49	.	.	PUNCT
ejde-1684	368	50	(	(	PUNCT
ejde-1684	368	51	3.6	3.6	NUM
ejde-1684	368	52	)	)	PUNCT
ejde-1684	368	53	on	on	ADP
ejde-1684	368	54	the	the	DET
ejde-1684	368	55	other	other	ADJ
ejde-1684	368	56	hand	hand	NOUN
ejde-1684	368	57	,	,	PUNCT
ejde-1684	368	58	0	0	NUM
ejde-1684	368	59	is	be	AUX
ejde-1684	368	60	also	also	ADV
ejde-1684	368	61	an	an	DET
ejde-1684	368	62	isolated	isolated	ADJ
ejde-1684	368	63	zero	zero	NUM
ejde-1684	368	64	of	of	ADP
ejde-1684	368	65	t	t	PROPN
ejde-1684	368	66	′	′	NUM
ejde-1684	368	67	λ	λ	PROPN
ejde-1684	368	68	with	with	ADP
ejde-1684	368	69	λ	λ	PROPN
ejde-1684	368	70	=	=	SYM
ejde-1684	368	71	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	368	72	+	+	CCONJ
ejde-1684	368	73	δ	δ	PROPN
ejde-1684	368	74	and	and	CCONJ
ejde-1684	368	75	deg	deg	PROPN
ejde-1684	369	1	[	[	PUNCT
ejde-1684	369	2	t	t	NOUN
ejde-1684	369	3	′	′	NUM
ejde-1684	369	4	λ1+δ;bσ′(0	λ1+δ;bσ′(0	NUM
ejde-1684	369	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	369	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	369	7	0	0	NUM
ejde-1684	369	8	]	]	PUNCT
ejde-1684	369	9	is	be	AUX
ejde-1684	369	10	well	well	ADV
ejde-1684	369	11	defined	define	VERB
ejde-1684	369	12	for	for	ADP
ejde-1684	369	13	every	every	DET
ejde-1684	369	14	σ′	σ′	PROPN
ejde-1684	369	15	>	>	X
ejde-1684	369	16	0	0	PUNCT
ejde-1684	369	17	small	small	ADJ
ejde-1684	369	18	enough	enough	ADV
ejde-1684	369	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	370	1	without	without	ADP
ejde-1684	370	2	loss	loss	NOUN
ejde-1684	370	3	of	of	ADP
ejde-1684	370	4	generality	generality	NOUN
ejde-1684	370	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	370	6	we	we	PRON
ejde-1684	370	7	still	still	ADV
ejde-1684	370	8	assume	assume	VERB
ejde-1684	370	9	σ′	σ′	PROPN
ejde-1684	370	10	<	<	X
ejde-1684	370	11	1	1	NUM
ejde-1684	370	12	2αλ1+δ∥φ1∥x	2αλ1+δ∥φ1∥x	NUM
ejde-1684	370	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	371	1	from	from	ADP
ejde-1684	371	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	371	3	3.4	3.4	NUM
ejde-1684	371	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	371	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	371	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	371	7	3.6	3.6	NUM
ejde-1684	371	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	371	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	371	10	additivity	additivity	NOUN
ejde-1684	371	11	property	property	NOUN
ejde-1684	371	12	of	of	ADP
ejde-1684	371	13	the	the	DET
ejde-1684	371	14	degree	degree	NOUN
ejde-1684	371	15	we	we	PRON
ejde-1684	371	16	deduce	deduce	VERB
ejde-1684	371	17	for	for	ADP
ejde-1684	371	18	all	all	DET
ejde-1684	371	19	r	r	NOUN
ejde-1684	371	20	>	>	X
ejde-1684	371	21	rδ	rδ	PROPN
ejde-1684	371	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	371	23	deg	deg	X
ejde-1684	371	24	[	[	PUNCT
ejde-1684	371	25	t	t	NOUN
ejde-1684	371	26	′	′	NUM
ejde-1684	371	27	λ1+δ;bσ(αλ1+δφ1	λ1+δ;bσ(αλ1+δφ1	INTJ
ejde-1684	371	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	371	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	371	30	0	0	NUM
ejde-1684	371	31	]	]	PUNCT
ejde-1684	372	1	+	+	X
ejde-1684	372	2	deg	deg	X
ejde-1684	372	3	[	[	PUNCT
ejde-1684	372	4	t	t	NOUN
ejde-1684	372	5	′	′	NUM
ejde-1684	372	6	λ1+δ;bσ(−αλ1+δφ1	λ1+δ;bσ(−αλ1+δφ1	NOUN
ejde-1684	372	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	372	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	372	9	0	0	NUM
ejde-1684	372	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	373	1	+	+	X
ejde-1684	373	2	deg	deg	X
ejde-1684	373	3	[	[	PUNCT
ejde-1684	373	4	t	t	NOUN
ejde-1684	373	5	′	′	NUM
ejde-1684	373	6	λ1+δ;bσ′(0	λ1+δ;bσ′(0	NUM
ejde-1684	373	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	373	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	373	9	0	0	NUM
ejde-1684	373	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	374	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	374	2	deg	deg	X
ejde-1684	374	3	[	[	PUNCT
ejde-1684	374	4	t	t	NOUN
ejde-1684	374	5	′	′	NUM
ejde-1684	374	6	λ1+δ;br(0	λ1+δ;br(0	NOUN
ejde-1684	374	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	374	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	374	9	0	0	NUM
ejde-1684	374	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	374	11	=	=	PUNCT
ejde-1684	374	12	deg	deg	X
ejde-1684	374	13	[	[	PUNCT
ejde-1684	374	14	t	t	PROPN
ejde-1684	374	15	′	′	NUM
ejde-1684	374	16	λ1−δ;br(0	λ1−δ;br(0	PROPN
ejde-1684	374	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	374	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	374	19	0	0	NUM
ejde-1684	374	20	]	]	PUNCT
ejde-1684	374	21	=	=	PUNCT
ejde-1684	374	22	1	1	X
ejde-1684	374	23	.	.	X
ejde-1684	374	24	from	from	ADP
ejde-1684	374	25	(	(	PUNCT
ejde-1684	374	26	3.5	3.5	NUM
ejde-1684	374	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	374	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	374	29	we	we	PRON
ejde-1684	374	30	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	374	31	deg	deg	PROPN
ejde-1684	374	32	[	[	PUNCT
ejde-1684	374	33	t	t	NOUN
ejde-1684	374	34	′	′	NUM
ejde-1684	374	35	λ1+δ;bσ′(0	λ1+δ;bσ′(0	NUM
ejde-1684	374	36	)	)	PUNCT
ejde-1684	374	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	374	38	0	0	NUM
ejde-1684	374	39	]	]	PUNCT
ejde-1684	374	40	=	=	PUNCT
ejde-1684	374	41	−1	−1	NOUN
ejde-1684	374	42	.	.	PUNCT
ejde-1684	375	1	to	to	PART
ejde-1684	375	2	complete	complete	VERB
ejde-1684	375	3	the	the	DET
ejde-1684	375	4	proof	proof	NOUN
ejde-1684	375	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	375	6	we	we	PRON
ejde-1684	375	7	only	only	ADV
ejde-1684	375	8	need	need	VERB
ejde-1684	375	9	to	to	PART
ejde-1684	375	10	prove	prove	VERB
ejde-1684	375	11	that	that	SCONJ
ejde-1684	375	12	there	there	PRON
ejde-1684	375	13	exists	exist	VERB
ejde-1684	375	14	σ′	σ′	VERB
ejde-1684	375	15	small	small	ADJ
ejde-1684	375	16	enough	enough	ADJ
ejde-1684	375	17	such	such	ADJ
ejde-1684	375	18	that	that	SCONJ
ejde-1684	375	19	1	1	NUM
ejde-1684	375	20	2	2	NUM
ejde-1684	375	21	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	375	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	375	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	375	24	u⟩x	u⟩x	PRON
ejde-1684	375	25	<	<	X
ejde-1684	375	26	r	r	NOUN
ejde-1684	375	27	for	for	ADP
ejde-1684	375	28	∥u∥x	∥u∥x	ADJ
ejde-1684	375	29	<	<	X
ejde-1684	375	30	σ′.	σ′.	NOUN
ejde-1684	376	1	this	this	PRON
ejde-1684	376	2	is	be	AUX
ejde-1684	376	3	because	because	SCONJ
ejde-1684	376	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	376	5	if	if	SCONJ
ejde-1684	376	6	that	that	PRON
ejde-1684	376	7	is	be	AUX
ejde-1684	376	8	correct	correct	ADJ
ejde-1684	376	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	376	10	from	from	ADP
ejde-1684	376	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	376	12	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	376	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	376	14	we	we	PRON
ejde-1684	376	15	have	have	VERB
ejde-1684	376	16	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	376	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	376	18	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	376	19	+	+	NUM
ejde-1684	376	20	δ)ψ(u	δ)ψ(u	NOUN
ejde-1684	376	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	377	1	=	=	SYM
ejde-1684	377	2	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	377	3	[	[	PUNCT
ejde-1684	377	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	377	5	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	377	6	+	+	CCONJ
ejde-1684	377	7	δ	δ	PROPN
ejde-1684	377	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	378	1	+	+	NUM
ejde-1684	378	2	ψ′	ψ′	NUM
ejde-1684	378	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	378	4	1	1	NUM
ejde-1684	378	5	2	2	NUM
ejde-1684	378	6	⟨ψ(u	⟨ψ(u	NOUN
ejde-1684	378	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	378	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	378	9	u⟩	u⟩	NOUN
ejde-1684	378	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	378	11	]	]	PUNCT
ejde-1684	379	1	ψ(u	ψ(u	PROPN
ejde-1684	379	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	379	3	=	=	PUNCT
ejde-1684	380	1	t	t	NOUN
ejde-1684	380	2	′	′	NUM
ejde-1684	380	3	λ1+δ(u	λ1+δ(u	PRON
ejde-1684	380	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	380	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	381	1	then	then	ADV
ejde-1684	381	2	deg	deg	VERB
ejde-1684	382	1	[	[	X
ejde-1684	382	2	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	382	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	382	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	382	5	+	+	NUM
ejde-1684	382	6	δ)ψ;bσ′(0	δ)ψ;bσ′(0	NOUN
ejde-1684	382	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	382	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	382	9	0	0	NUM
ejde-1684	382	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	382	11	=	=	X
ejde-1684	382	12	deg	deg	X
ejde-1684	382	13	[	[	PUNCT
ejde-1684	382	14	t	t	NOUN
ejde-1684	382	15	′	′	NUM
ejde-1684	382	16	λ1+δ;bσ′(0	λ1+δ;bσ′(0	NUM
ejde-1684	382	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	382	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	382	19	0	0	NUM
ejde-1684	382	20	]	]	PUNCT
ejde-1684	382	21	=	=	PUNCT
ejde-1684	382	22	−1	−1	NOUN
ejde-1684	382	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	383	1	indeed	indeed	ADV
ejde-1684	383	2	that	that	PRON
ejde-1684	383	3	is	be	AUX
ejde-1684	383	4	true	true	ADJ
ejde-1684	383	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	384	1	because	because	SCONJ
ejde-1684	384	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	384	3	from	from	ADP
ejde-1684	384	4	the	the	DET
ejde-1684	384	5	definition	definition	NOUN
ejde-1684	384	6	of	of	ADP
ejde-1684	384	7	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	384	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	384	9	we	we	PRON
ejde-1684	384	10	have	have	VERB
ejde-1684	384	11	λ1⟨ψ(u	λ1⟨ψ(u	NUM
ejde-1684	384	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	384	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	384	14	u⟩x	u⟩x	PROPN
ejde-1684	384	15	≤	≤	NUM
ejde-1684	384	16	⟨φ(u	⟨φ(u	NOUN
ejde-1684	384	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	384	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	384	19	u⟩	u⟩	NOUN
ejde-1684	384	20	=	=	PUNCT
ejde-1684	384	21	∥u∥x	∥u∥x	NOUN
ejde-1684	384	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	385	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	385	2	u	u	NOUN
ejde-1684	385	3	=	=	NOUN
ejde-1684	385	4	0	0	SYM
ejde-1684	385	5	∈	∈	PROPN
ejde-1684	385	6	x	x	PUNCT
ejde-1684	385	7	is	be	AUX
ejde-1684	385	8	the	the	DET
ejde-1684	385	9	only	only	ADJ
ejde-1684	385	10	solution	solution	NOUN
ejde-1684	385	11	to	to	ADP
ejde-1684	385	12	the	the	DET
ejde-1684	385	13	operator	operator	NOUN
ejde-1684	385	14	equation	equation	NOUN
ejde-1684	385	15	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-1684	385	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	385	17	=	=	SYM
ejde-1684	385	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	385	19	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	385	20	+	+	NUM
ejde-1684	385	21	δ)ψ(u	δ)ψ(u	NOUN
ejde-1684	385	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	385	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	386	1	we	we	PRON
ejde-1684	386	2	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	386	3	deg	deg	NOUN
ejde-1684	387	1	[	[	X
ejde-1684	387	2	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	387	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	387	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	387	5	+	+	NUM
ejde-1684	387	6	δ)ψ;br(0	δ)ψ;br(0	PROPN
ejde-1684	387	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	387	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	387	9	0	0	NUM
ejde-1684	387	10	]	]	PUNCT
ejde-1684	387	11	=	=	X
ejde-1684	387	12	−1	−1	NOUN
ejde-1684	387	13	for	for	ADP
ejde-1684	387	14	every	every	DET
ejde-1684	387	15	r	r	NOUN
ejde-1684	387	16	>	>	X
ejde-1684	387	17	0	0	NUM
ejde-1684	387	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	387	19	by	by	ADP
ejde-1684	387	20	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	387	21	arguments	argument	NOUN
ejde-1684	387	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	387	23	we	we	PRON
ejde-1684	387	24	infer	infer	VERB
ejde-1684	387	25	that	that	SCONJ
ejde-1684	387	26	deg	deg	NOUN
ejde-1684	388	1	[	[	X
ejde-1684	388	2	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	388	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	388	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	388	5	−	−	PROPN
ejde-1684	388	6	δ)ψ;br(0	δ)ψ;br(0	PROPN
ejde-1684	388	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	388	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	388	9	0	0	NUM
ejde-1684	388	10	]	]	X
ejde-1684	388	11	=	=	SYM
ejde-1684	388	12	1	1	NUM
ejde-1684	388	13	for	for	ADP
ejde-1684	388	14	every	every	DET
ejde-1684	388	15	r	r	NOUN
ejde-1684	388	16	>	>	X
ejde-1684	388	17	0	0	NUM
ejde-1684	388	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	389	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	389	2	proof	proof	NOUN
ejde-1684	389	3	of	of	ADP
ejde-1684	389	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	389	5	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	389	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	390	1	according	accord	VERB
ejde-1684	390	2	to	to	ADP
ejde-1684	390	3	[	[	X
ejde-1684	390	4	6	6	NUM
ejde-1684	390	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	390	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	390	7	if	if	SCONJ
ejde-1684	390	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	390	9	λ	λ	NOUN
ejde-1684	390	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	390	11	0	0	NUM
ejde-1684	390	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	390	13	is	be	AUX
ejde-1684	390	14	a	a	DET
ejde-1684	390	15	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	390	16	point	point	NOUN
ejde-1684	390	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	390	18	then	then	ADV
ejde-1684	390	19	λ	λ	PROPN
ejde-1684	390	20	is	be	AUX
ejde-1684	390	21	an	an	DET
ejde-1684	390	22	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	390	23	for	for	ADP
ejde-1684	390	24	the	the	DET
ejde-1684	390	25	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-1684	390	26	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	390	27	problem	problem	NOUN
ejde-1684	390	28	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-1684	390	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	390	30	−	−	NOUN
ejde-1684	390	31	λψ(u	λψ(u	NUM
ejde-1684	390	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	390	33	=	=	PUNCT
ejde-1684	391	1	0	0	X
ejde-1684	391	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	392	1	so	so	ADV
ejde-1684	392	2	for	for	ADP
ejde-1684	392	3	each	each	DET
ejde-1684	392	4	λ	λ	PROPN
ejde-1684	392	5	∈	∈	PROPN
ejde-1684	392	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	392	7	0	0	NUM
ejde-1684	392	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	392	9	λ2)\{λ1	λ2)\{λ1	NOUN
ejde-1684	392	10	}	}	PUNCT
ejde-1684	392	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	392	12	u	u	NOUN
ejde-1684	392	13	=	=	NOUN
ejde-1684	392	14	0	0	PUNCT
ejde-1684	392	15	∈	∈	PROPN
ejde-1684	392	16	x	x	X
ejde-1684	392	17	is	be	AUX
ejde-1684	392	18	an	an	DET
ejde-1684	392	19	isolated	isolated	ADJ
ejde-1684	392	20	solution	solution	NOUN
ejde-1684	392	21	of	of	ADP
ejde-1684	392	22	gλ(u	gλ(u	NOUN
ejde-1684	392	23	)	)	PUNCT
ejde-1684	392	24	=	=	SYM
ejde-1684	393	1	0	0	X
ejde-1684	393	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	394	1	thus	thus	ADV
ejde-1684	394	2	one	one	PRON
ejde-1684	394	3	can	can	AUX
ejde-1684	394	4	find	find	VERB
ejde-1684	394	5	r	r	NOUN
ejde-1684	394	6	>	>	X
ejde-1684	394	7	0	0	PUNCT
ejde-1684	394	8	small	small	ADJ
ejde-1684	394	9	enough	enough	ADV
ejde-1684	394	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	394	11	such	such	ADJ
ejde-1684	394	12	that	that	DET
ejde-1684	394	13	deg[gλ1±δ;br(0	deg[gλ1±δ;br(0	PROPN
ejde-1684	394	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	394	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	394	16	0	0	X
ejde-1684	394	17	]	]	PUNCT
ejde-1684	394	18	remains	remain	VERB
ejde-1684	394	19	constant	constant	ADJ
ejde-1684	394	20	with	with	ADP
ejde-1684	394	21	respect	respect	NOUN
ejde-1684	394	22	to	to	ADP
ejde-1684	394	23	r	r	PROPN
ejde-1684	394	24	∈	∈	PROPN
ejde-1684	394	25	(	(	PUNCT
ejde-1684	394	26	0	0	NUM
ejde-1684	394	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	394	28	r	r	NOUN
ejde-1684	394	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	394	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	395	1	now	now	ADV
ejde-1684	395	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	395	3	we	we	PRON
ejde-1684	395	4	assert	assert	VERB
ejde-1684	395	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	395	6	there	there	PRON
ejde-1684	395	7	exists	exist	VERB
ejde-1684	395	8	r′	r′	PROPN
ejde-1684	395	9	∈	∈	PROPN
ejde-1684	395	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	395	11	0	0	NUM
ejde-1684	395	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	395	13	r	r	NOUN
ejde-1684	395	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	395	15	such	such	ADJ
ejde-1684	395	16	that	that	SCONJ
ejde-1684	395	17	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	395	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	395	19	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	395	20	±	±	PROPN
ejde-1684	395	21	δ)ψ(u)−	δ)ψ(u)−	NOUN
ejde-1684	395	22	th(λ1	th(λ1	NOUN
ejde-1684	395	23	±	±	NUM
ejde-1684	395	24	δ	δ	PROPN
ejde-1684	395	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	395	26	u	u	NOUN
ejde-1684	395	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	395	28	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	395	29	0	0	NUM
ejde-1684	395	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	395	31	3.7	3.7	NUM
ejde-1684	395	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	395	33	12	12	NUM
ejde-1684	395	34	q.	q.	PROPN
ejde-1684	395	35	liu	liu	PROPN
ejde-1684	395	36	,	,	PUNCT
ejde-1684	395	37	l.	l.	PROPN
ejde-1684	395	38	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	395	39	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	395	40	for	for	ADP
ejde-1684	395	41	all	all	DET
ejde-1684	395	42	u	u	PROPN
ejde-1684	395	43	∈	∈	PROPN
ejde-1684	395	44	∂br′(0	∂br′(0	NOUN
ejde-1684	395	45	)	)	PUNCT
ejde-1684	395	46	and	and	CCONJ
ejde-1684	395	47	t	t	NOUN
ejde-1684	395	48	∈	∈	PROPN
ejde-1684	396	1	[	[	X
ejde-1684	396	2	0	0	NUM
ejde-1684	396	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	396	4	1	1	NUM
ejde-1684	396	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	396	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	397	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	397	2	not	not	PART
ejde-1684	397	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	397	4	for	for	ADP
ejde-1684	398	1	all	all	DET
ejde-1684	398	2	r′	r′	PROPN
ejde-1684	398	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	398	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	398	5	0	0	NUM
ejde-1684	398	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	398	7	r	r	NOUN
ejde-1684	398	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	398	9	there	there	PRON
ejde-1684	398	10	exist	exist	VERB
ejde-1684	398	11	u	u	PROPN
ejde-1684	398	12	∈	∈	PROPN
ejde-1684	398	13	∂br′(0	∂br′(0	NOUN
ejde-1684	398	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	398	15	and	and	CCONJ
ejde-1684	398	16	t	t	NOUN
ejde-1684	398	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	399	1	[	[	X
ejde-1684	399	2	0	0	NUM
ejde-1684	399	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	399	4	1	1	NUM
ejde-1684	399	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	399	6	such	such	ADJ
ejde-1684	399	7	that	that	SCONJ
ejde-1684	399	8	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	399	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	399	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	399	11	±	±	PROPN
ejde-1684	399	12	δ)ψ(u)−	δ)ψ(u)−	NOUN
ejde-1684	399	13	th(λ1	th(λ1	NOUN
ejde-1684	399	14	±	±	NUM
ejde-1684	399	15	δ	δ	PROPN
ejde-1684	399	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	399	17	u	u	NOUN
ejde-1684	399	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	399	19	=	=	SYM
ejde-1684	399	20	0	0	X
ejde-1684	399	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	400	1	thus	thus	ADV
ejde-1684	400	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	3	we	we	PRON
ejde-1684	400	4	can	can	AUX
ejde-1684	400	5	find	find	VERB
ejde-1684	400	6	a	a	DET
ejde-1684	400	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	400	8	{	{	PUNCT
ejde-1684	400	9	rn}∞n=1	rn}∞n=1	X
ejde-1684	400	10	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	400	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	400	12	0	0	NUM
ejde-1684	400	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	14	r	r	NOUN
ejde-1684	400	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	400	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	17	rn	rn	PROPN
ejde-1684	400	18	→	→	X
ejde-1684	400	19	0	0	NUM
ejde-1684	400	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	21	with	with	ADP
ejde-1684	400	22	{	{	PUNCT
ejde-1684	400	23	un}∞n=1	un}∞n=1	X
ejde-1684	400	24	⊂	⊂	X
ejde-1684	400	25	x	x	PROPN
ejde-1684	400	26	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	27	un	un	PROPN
ejde-1684	400	28	∈	∈	PROPN
ejde-1684	400	29	∂brn(0	∂brn(0	PROPN
ejde-1684	400	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	400	31	,	,	PUNCT
ejde-1684	400	32	and	and	CCONJ
ejde-1684	400	33	{	{	PUNCT
ejde-1684	400	34	tn}∞n=1	tn}∞n=1	NUM
ejde-1684	400	35	⊂	⊂	X
ejde-1684	401	1	[	[	X
ejde-1684	401	2	0	0	NUM
ejde-1684	401	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	401	4	1	1	NUM
ejde-1684	401	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	401	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	401	7	such	such	ADJ
ejde-1684	401	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	401	9	above	above	ADP
ejde-1684	401	10	equation	equation	NOUN
ejde-1684	401	11	holds	hold	VERB
ejde-1684	401	12	with	with	ADP
ejde-1684	401	13	un	un	PROPN
ejde-1684	401	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	401	15	tn	tn	PROPN
ejde-1684	401	16	in	in	ADP
ejde-1684	401	17	place	place	NOUN
ejde-1684	401	18	of	of	ADP
ejde-1684	401	19	u	u	PROPN
ejde-1684	401	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	401	21	t	t	PROPN
ejde-1684	401	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	401	23	respectively	respectively	ADV
ejde-1684	401	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	402	1	so	so	ADV
ejde-1684	402	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	402	3	for	for	ADP
ejde-1684	402	4	all	all	DET
ejde-1684	402	5	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	402	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	402	7	c∞	c∞	PROPN
ejde-1684	402	8	c	c	X
ejde-1684	402	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	402	10	ω	ω	NOUN
ejde-1684	402	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	402	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	402	13	we	we	PRON
ejde-1684	402	14	have∫	have∫	VERB
ejde-1684	402	15	ω	ω	NUM
ejde-1684	402	16	∇un∇ϕ	∇un∇ϕ	NOUN
ejde-1684	402	17	=	=	SYM
ejde-1684	402	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	402	19	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	402	20	±	±	NUM
ejde-1684	402	21	δ	δ	PROPN
ejde-1684	402	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	402	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	402	24	∫	∫	PROPN
ejde-1684	402	25	ω	ω	PROPN
ejde-1684	402	26	|un|q	|un|q	PROPN
ejde-1684	402	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	402	28	2	2	NUM
ejde-1684	403	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	403	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	403	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	403	4	|un|q−2un	|un|q−2un	PROPN
ejde-1684	403	5	ϕ+	ϕ+	PROPN
ejde-1684	403	6	tn	tn	PROPN
ejde-1684	403	7	∫	∫	PROPN
ejde-1684	404	1	ω	ω	PROPN
ejde-1684	404	2	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	404	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	404	4	un	un	PROPN
ejde-1684	404	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	404	6	λ)ϕ.	λ)ϕ.	PROPN
ejde-1684	404	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	404	8	3.8	3.8	NUM
ejde-1684	404	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	404	10	since	since	SCONJ
ejde-1684	404	11	un	un	PROPN
ejde-1684	404	12	∈	∈	PROPN
ejde-1684	404	13	∂brn(0	∂brn(0	PROPN
ejde-1684	404	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	404	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	404	16	we	we	PRON
ejde-1684	404	17	have	have	VERB
ejde-1684	404	18	∥un∥x	∥un∥x	NOUN
ejde-1684	404	19	→	→	SYM
ejde-1684	404	20	0	0	X
ejde-1684	404	21	.	.	X
ejde-1684	405	1	dividing	divide	VERB
ejde-1684	405	2	both	both	DET
ejde-1684	405	3	sides	side	NOUN
ejde-1684	405	4	of	of	ADP
ejde-1684	405	5	the	the	DET
ejde-1684	405	6	equation	equation	NOUN
ejde-1684	405	7	by	by	ADP
ejde-1684	405	8	∥un∥x	∥un∥x	ADV
ejde-1684	405	9	and	and	CCONJ
ejde-1684	405	10	denoting	denote	VERB
ejde-1684	405	11	un/∥un∥x	un/∥un∥x	INTJ
ejde-1684	405	12	by	by	ADP
ejde-1684	405	13	wn	wn	PROPN
ejde-1684	405	14	the	the	DET
ejde-1684	405	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	405	16	{	{	PUNCT
ejde-1684	405	17	wn	wn	PROPN
ejde-1684	405	18	}	}	PUNCT
ejde-1684	405	19	is	be	AUX
ejde-1684	405	20	bounded	bound	VERB
ejde-1684	405	21	in	in	ADP
ejde-1684	405	22	x.	x.	NOUN
ejde-1684	405	23	this	this	PRON
ejde-1684	405	24	means	mean	VERB
ejde-1684	405	25	that	that	SCONJ
ejde-1684	405	26	there	there	PRON
ejde-1684	405	27	exists	exist	VERB
ejde-1684	405	28	a	a	DET
ejde-1684	405	29	w	w	NOUN
ejde-1684	405	30	∈	∈	NOUN
ejde-1684	405	31	x	x	X
ejde-1684	405	32	and	and	CCONJ
ejde-1684	405	33	subsequence	subsequence	VERB
ejde-1684	405	34	that	that	SCONJ
ejde-1684	405	35	we	we	PRON
ejde-1684	405	36	call	call	VERB
ejde-1684	405	37	again	again	ADV
ejde-1684	405	38	wn	wn	PROPN
ejde-1684	405	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	405	40	such	such	ADJ
ejde-1684	405	41	that	that	SCONJ
ejde-1684	405	42	•	•	NOUN
ejde-1684	405	43	wn	wn	NOUN
ejde-1684	406	1	⇀	⇀	X
ejde-1684	406	2	w	w	NOUN
ejde-1684	406	3	in	in	ADP
ejde-1684	406	4	x	x	NOUN
ejde-1684	406	5	;	;	PUNCT
ejde-1684	406	6	•	•	NUM
ejde-1684	406	7	wn	wn	PROPN
ejde-1684	406	8	→	→	PUNCT
ejde-1684	406	9	w	w	PROPN
ejde-1684	406	10	in	in	ADP
ejde-1684	406	11	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-1684	406	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	406	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	406	14	∀	∀	PUNCT
ejde-1684	407	1	p	p	NOUN
ejde-1684	407	2	∈	∈	PROPN
ejde-1684	408	1	[	[	X
ejde-1684	408	2	1	1	NUM
ejde-1684	408	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	408	4	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	408	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	408	6	;	;	PUNCT
ejde-1684	408	7	•	•	X
ejde-1684	408	8	wn(x	wn(x	X
ejde-1684	408	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	408	10	→	→	SYM
ejde-1684	408	11	w(x	w(x	NUM
ejde-1684	408	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	408	13	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	408	14	.	.	PROPN
ejde-1684	409	1	in	in	ADP
ejde-1684	409	2	ω	ω	NUM
ejde-1684	409	3	;	;	PUNCT
ejde-1684	409	4	•	•	ADP
ejde-1684	409	5	there	there	PRON
ejde-1684	409	6	exists	exist	VERB
ejde-1684	409	7	v	v	ADP
ejde-1684	409	8	∈	∈	PROPN
ejde-1684	409	9	lp(ω	lp(ω	PUNCT
ejde-1684	409	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	410	1	such	such	ADJ
ejde-1684	410	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	410	3	|wn(x)|	|wn(x)|	VERB
ejde-1684	410	4	≤	≤	ADJ
ejde-1684	410	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-1684	410	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	410	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	410	8	.	.	PROPN
ejde-1684	411	1	in	in	ADP
ejde-1684	411	2	ω	ω	PROPN
ejde-1684	411	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	411	4	for	for	ADP
ejde-1684	411	5	all	all	DET
ejde-1684	411	6	n.	n.	NOUN
ejde-1684	411	7	then	then	ADV
ejde-1684	411	8	we	we	PRON
ejde-1684	411	9	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-1684	411	10	ω	ω	PROPN
ejde-1684	411	11	∇wn∇ϕ	∇wn∇ϕ	NOUN
ejde-1684	411	12	=	=	SYM
ejde-1684	411	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	411	14	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	411	15	±	±	NUM
ejde-1684	411	16	δ	δ	PROPN
ejde-1684	411	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	411	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	411	19	∫	∫	PROPN
ejde-1684	411	20	ω	ω	NUM
ejde-1684	411	21	|wn|q	|wn|q	PROPN
ejde-1684	411	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	411	23	2	2	NUM
ejde-1684	412	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	412	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	412	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	412	4	|wn|q−2wnϕ+	|wn|q−2wnϕ+	PROPN
ejde-1684	412	5	tn	tn	PROPN
ejde-1684	412	6	∫	∫	PROPN
ejde-1684	413	1	ω	ω	PROPN
ejde-1684	413	2	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	413	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	413	4	un	un	PROPN
ejde-1684	413	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	413	6	λ	λ	NOUN
ejde-1684	413	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	413	8	∥un∥x	∥un∥x	PUNCT
ejde-1684	414	1	ϕ.	ϕ.	PROPN
ejde-1684	414	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	414	3	3.9	3.9	NUM
ejde-1684	414	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	414	5	next	next	ADV
ejde-1684	414	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	414	7	it	it	PRON
ejde-1684	414	8	is	be	AUX
ejde-1684	414	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-1684	414	10	to	to	PART
ejde-1684	414	11	show	show	VERB
ejde-1684	414	12	that	that	SCONJ
ejde-1684	414	13	lim	lim	PROPN
ejde-1684	414	14	n→∞	n→∞	PRON
ejde-1684	414	15	∫	∫	PROPN
ejde-1684	414	16	ω	ω	PROPN
ejde-1684	414	17	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	414	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	414	19	un	un	PROPN
ejde-1684	414	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	414	21	λ	λ	NOUN
ejde-1684	414	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	414	23	∥un∥x	∥un∥x	PUNCT
ejde-1684	415	1	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	415	2	dx	dx	PROPN
ejde-1684	415	3	=	=	SYM
ejde-1684	415	4	0	0	PROPN
ejde-1684	415	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	416	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	416	2	3.10	3.10	NUM
ejde-1684	416	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	416	4	since	since	SCONJ
ejde-1684	416	5	combining	combine	VERB
ejde-1684	416	6	with	with	ADP
ejde-1684	416	7	weak	weak	ADJ
ejde-1684	416	8	convergence	convergence	NOUN
ejde-1684	416	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	416	10	hölder	hölder	NOUN
ejde-1684	416	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-1684	416	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	416	13	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-1684	416	14	dominated	dominate	VERB
ejde-1684	416	15	convergence	convergence	NOUN
ejde-1684	416	16	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	416	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	416	18	we	we	PRON
ejde-1684	416	19	can	can	AUX
ejde-1684	416	20	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	416	21	that	that	DET
ejde-1684	416	22	∫	∫	PROPN
ejde-1684	416	23	ω	ω	PROPN
ejde-1684	416	24	∇wn∇ϕdx→	∇wn∇ϕdx→	PROPN
ejde-1684	416	25	∫	∫	PROPN
ejde-1684	416	26	ω	ω	PROPN
ejde-1684	416	27	∇w∇ϕdx,(∫	∇w∇ϕdx,(∫	PROPN
ejde-1684	416	28	ω	ω	PROPN
ejde-1684	416	29	|wn|qdx	|wn|qdx	PUNCT
ejde-1684	416	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	416	31	2	2	NUM
ejde-1684	417	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	417	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	417	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	417	4	|wn|q−2wnϕdx→	|wn|q−2wnϕdx→	PROPN
ejde-1684	418	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	418	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	418	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	418	4	|w|qdx	|w|qdx	NUM
ejde-1684	418	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	418	6	2	2	NUM
ejde-1684	419	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	419	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	419	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	419	4	|w|q−2wϕdx	|w|q−2wϕdx	PROPN
ejde-1684	419	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	420	1	this	this	PRON
ejde-1684	420	2	means	mean	VERB
ejde-1684	420	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	420	4	there	there	PRON
ejde-1684	420	5	exists	exist	VERB
ejde-1684	420	6	0	0	NUM
ejde-1684	420	7	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	420	8	w	w	PROPN
ejde-1684	420	9	∈	∈	PROPN
ejde-1684	420	10	x	x	PUNCT
ejde-1684	420	11	satisfying∫	satisfying∫	NOUN
ejde-1684	420	12	ω	ω	X
ejde-1684	420	13	∇w∇ϕdx	∇w∇ϕdx	NOUN
ejde-1684	420	14	=	=	SYM
ejde-1684	420	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	420	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	420	17	±	±	NUM
ejde-1684	420	18	δ	δ	PROPN
ejde-1684	420	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	420	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	420	21	∫	∫	PROPN
ejde-1684	420	22	ω	ω	PROPN
ejde-1684	420	23	|w|qdx	|w|qdx	NUM
ejde-1684	420	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	420	25	2	2	NUM
ejde-1684	421	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	421	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	421	3	ω	ω	NUM
ejde-1684	421	4	|w|q−2wϕdx	|w|q−2wϕdx	PROPN
ejde-1684	421	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	422	1	this	this	PRON
ejde-1684	422	2	contradicts	contradict	VERB
ejde-1684	422	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	422	4	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	422	5	±	±	PROPN
ejde-1684	422	6	δ	δ	PROPN
ejde-1684	422	7	are	be	AUX
ejde-1684	422	8	not	not	PART
ejde-1684	422	9	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	422	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	423	1	now	now	ADV
ejde-1684	423	2	we	we	PRON
ejde-1684	423	3	prove	prove	VERB
ejde-1684	423	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	423	5	3.10	3.10	NUM
ejde-1684	423	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	423	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	424	1	from	from	ADP
ejde-1684	424	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	424	3	2.9	2.9	NUM
ejde-1684	424	4	and	and	CCONJ
ejde-1684	424	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	424	6	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	424	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	424	8	we	we	PRON
ejde-1684	424	9	have∫	have∫	VERB
ejde-1684	424	10	ω	ω	PRON
ejde-1684	424	11	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	424	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	424	13	un	un	PROPN
ejde-1684	424	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	424	15	λ	λ	NOUN
ejde-1684	424	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	424	17	∥un∥x	∥un∥x	PUNCT
ejde-1684	425	1	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	425	2	dx	dx	PROPN
ejde-1684	425	3	=	=	SYM
ejde-1684	425	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	425	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	425	6	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	425	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	425	8	un	un	PROPN
ejde-1684	425	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	425	10	λ	λ	NOUN
ejde-1684	425	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	425	12	∥un∥∞	∥un∥∞	VERB
ejde-1684	425	13	∥un∥∞	∥un∥∞	ADJ
ejde-1684	425	14	∥un∥x	∥un∥x	NOUN
ejde-1684	425	15	ϕdx	ϕdx	ADJ
ejde-1684	425	16	≤	≤	PROPN
ejde-1684	426	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	426	2	c1	c1	NOUN
ejde-1684	426	3	+	+	CCONJ
ejde-1684	426	4	c2∥un∥p−2	c2∥un∥p−2	PROPN
ejde-1684	426	5	x	x	PROPN
ejde-1684	426	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	426	7	∫	∫	PROPN
ejde-1684	427	1	ω	ω	PROPN
ejde-1684	427	2	h(x	h(x	PROPN
ejde-1684	427	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	427	4	un	un	PROPN
ejde-1684	427	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	427	6	λ	λ	NOUN
ejde-1684	427	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	427	8	∥un∥∞	∥un∥∞	VERB
ejde-1684	427	9	ϕdx→	ϕdx→	PROPN
ejde-1684	427	10	0	0	NUM
ejde-1684	427	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	428	1	therefore	therefore	ADV
ejde-1684	428	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	428	3	the	the	DET
ejde-1684	428	4	degree	degree	NOUN
ejde-1684	428	5	of	of	ADP
ejde-1684	428	6	the	the	DET
ejde-1684	428	7	homotopy	homotopy	NOUN
ejde-1684	428	8	operator	operator	NOUN
ejde-1684	428	9	φ(u)−	φ(u)−	NOUN
ejde-1684	428	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	428	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	428	12	±	±	PROPN
ejde-1684	428	13	δ)ψ(u)−	δ)ψ(u)−	NOUN
ejde-1684	428	14	th(λ1	th(λ1	NOUN
ejde-1684	428	15	±	±	NUM
ejde-1684	428	16	δ	δ	PROPN
ejde-1684	428	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	428	18	u	u	NOUN
ejde-1684	428	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	428	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	428	21	t	t	PROPN
ejde-1684	428	22	∈	∈	PROPN
ejde-1684	429	1	[	[	X
ejde-1684	429	2	0	0	NUM
ejde-1684	429	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	429	4	1	1	NUM
ejde-1684	429	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	429	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	429	7	is	be	AUX
ejde-1684	429	8	well	well	ADV
ejde-1684	429	9	defined	define	VERB
ejde-1684	429	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	430	1	this	this	DET
ejde-1684	430	2	operator	operator	NOUN
ejde-1684	430	3	connects	connect	VERB
ejde-1684	430	4	gλ1±δ	gλ1±δ	NOUN
ejde-1684	430	5	with	with	ADP
ejde-1684	430	6	φ−	φ−	PROPN
ejde-1684	430	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	430	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	430	9	±	±	NUM
ejde-1684	430	10	δ)ψ	δ)ψ	NOUN
ejde-1684	430	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	431	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	431	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	431	3	by	by	ADP
ejde-1684	431	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	431	5	3.1	3.1	NUM
ejde-1684	431	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	431	7	we	we	PRON
ejde-1684	431	8	have	have	VERB
ejde-1684	431	9	deg[gλ1±δ;br(0	deg[gλ1±δ;br(0	PROPN
ejde-1684	431	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	431	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	431	12	0	0	NUM
ejde-1684	431	13	]	]	X
ejde-1684	431	14	=	=	SYM
ejde-1684	431	15	deg[gλ1±δ;br′(0	deg[gλ1±δ;br′(0	NOUN
ejde-1684	431	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	431	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	431	18	0	0	NUM
ejde-1684	431	19	]	]	PUNCT
ejde-1684	431	20	=	=	PUNCT
ejde-1684	431	21	deg[φ−	deg[φ−	PROPN
ejde-1684	431	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	431	23	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	431	24	±	±	NUM
ejde-1684	431	25	δ)ψ;br′(0	δ)ψ;br′(0	NOUN
ejde-1684	431	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	431	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	431	28	0	0	NUM
ejde-1684	431	29	]	]	X
ejde-1684	431	30	=	=	PUNCT
ejde-1684	431	31	∓1	∓1	NOUN
ejde-1684	431	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	432	1	next	next	ADV
ejde-1684	432	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	432	3	we	we	PRON
ejde-1684	432	4	can	can	AUX
ejde-1684	432	5	proceed	proceed	VERB
ejde-1684	432	6	step	step	NOUN
ejde-1684	432	7	by	by	ADP
ejde-1684	432	8	step	step	NOUN
ejde-1684	432	9	as	as	ADP
ejde-1684	432	10	in	in	ADP
ejde-1684	432	11	the	the	DET
ejde-1684	432	12	original	original	ADJ
ejde-1684	432	13	proof	proof	NOUN
ejde-1684	432	14	of	of	ADP
ejde-1684	432	15	rabinowitz	rabinowitz	NOUN
ejde-1684	432	16	[	[	X
ejde-1684	432	17	9	9	NUM
ejde-1684	432	18	]	]	PUNCT
ejde-1684	432	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	433	1	this	this	PRON
ejde-1684	433	2	concludes	conclude	VERB
ejde-1684	433	3	the	the	DET
ejde-1684	433	4	proof	proof	NOUN
ejde-1684	433	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	434	1	□	□	PUNCT
ejde-1684	434	2	□	□	PUNCT
ejde-1684	434	3	by	by	ADP
ejde-1684	434	4	corollary	corollary	NOUN
ejde-1684	434	5	2.11	2.11	NUM
ejde-1684	434	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	434	7	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	434	8	2.13	2.13	NUM
ejde-1684	434	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	434	10	we	we	PRON
ejde-1684	434	11	have	have	VERB
ejde-1684	434	12	the	the	DET
ejde-1684	434	13	following	follow	VERB
ejde-1684	434	14	result	result	NOUN
ejde-1684	434	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	435	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	435	2	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	435	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	436	1	let	let	VERB
ejde-1684	436	2	c	c	NOUN
ejde-1684	436	3	is	be	AUX
ejde-1684	436	4	a	a	DET
ejde-1684	436	5	component	component	NOUN
ejde-1684	436	6	of	of	ADP
ejde-1684	436	7	the	the	DET
ejde-1684	436	8	set	set	NOUN
ejde-1684	436	9	of	of	ADP
ejde-1684	436	10	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	436	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	436	12	of	of	ADP
ejde-1684	436	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	436	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	436	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	436	16	in	in	ADP
ejde-1684	436	17	r	r	NOUN
ejde-1684	436	18	×	×	NOUN
ejde-1684	436	19	x	x	PUNCT
ejde-1684	436	20	in	in	ADP
ejde-1684	436	21	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	436	22	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	436	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	436	24	d	d	NOUN
ejde-1684	436	25	is	be	AUX
ejde-1684	436	26	a	a	DET
ejde-1684	436	27	component	component	NOUN
ejde-1684	436	28	of	of	ADP
ejde-1684	436	29	the	the	DET
ejde-1684	436	30	set	set	NOUN
ejde-1684	436	31	of	of	ADP
ejde-1684	436	32	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	436	33	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	436	34	of	of	ADP
ejde-1684	436	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	436	36	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	436	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	436	38	in	in	ADP
ejde-1684	436	39	r×x	r×x	PROPN
ejde-1684	436	40	in	in	ADP
ejde-1684	436	41	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	436	42	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	436	43	.	.	PUNCT
ejde-1684	437	1	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	437	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	437	3	for	for	ADP
ejde-1684	437	4	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	437	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	437	6	problems	problem	NOUN
ejde-1684	437	7	13	13	NUM
ejde-1684	437	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	437	9	i	i	NOUN
ejde-1684	437	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	437	11	if	if	SCONJ
ejde-1684	437	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	437	13	µn	µn	PROPN
ejde-1684	437	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	437	15	un	un	ADJ
ejde-1684	437	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	437	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	437	18	c	c	NOUN
ejde-1684	437	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	437	20	is	be	AUX
ejde-1684	437	21	near	near	ADV
ejde-1684	437	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	437	23	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	437	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	437	25	0	0	NUM
ejde-1684	437	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	437	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	437	28	then	then	ADV
ejde-1684	437	29	un	un	PROPN
ejde-1684	437	30	=	=	PRON
ejde-1684	437	31	snφ1	snφ1	PROPN
ejde-1684	437	32	+	+	PROPN
ejde-1684	437	33	wn	wn	PROPN
ejde-1684	437	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	437	35	where	where	SCONJ
ejde-1684	437	36	wn	wn	PROPN
ejde-1684	437	37	=	=	PUNCT
ejde-1684	437	38	o(|sn|	o(|sn|	PROPN
ejde-1684	437	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	437	40	as	as	ADP
ejde-1684	437	41	|sn|	|sn|	PROPN
ejde-1684	437	42	→	→	SYM
ejde-1684	437	43	0	0	NUM
ejde-1684	437	44	and	and	CCONJ
ejde-1684	437	45	∫	∫	PROPN
ejde-1684	437	46	ω	ω	PROPN
ejde-1684	437	47	wnφ1dx	wnφ1dx	PROPN
ejde-1684	437	48	=	=	SYM
ejde-1684	437	49	0	0	PROPN
ejde-1684	437	50	.	.	PUNCT
ejde-1684	438	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	438	2	ii	ii	NOUN
ejde-1684	438	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	438	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	438	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	438	6	µn	µn	PROPN
ejde-1684	438	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	438	8	un	un	ADJ
ejde-1684	438	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	438	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	438	11	d	d	NOUN
ejde-1684	438	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	438	13	is	be	AUX
ejde-1684	438	14	near	near	ADV
ejde-1684	438	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	438	16	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	438	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	438	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	438	19	then	then	ADV
ejde-1684	438	20	un	un	PROPN
ejde-1684	438	21	=	=	PROPN
ejde-1684	438	22	snφ1+wn	snφ1+wn	PROPN
ejde-1684	438	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	438	24	where	where	SCONJ
ejde-1684	438	25	wn	wn	PROPN
ejde-1684	438	26	=	=	PUNCT
ejde-1684	438	27	o(|sn|	o(|sn|	PROPN
ejde-1684	438	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	438	29	as	as	ADP
ejde-1684	438	30	|sn|	|sn|	PROPN
ejde-1684	438	31	→	→	SYM
ejde-1684	438	32	∞	∞	PROPN
ejde-1684	438	33	and	and	CCONJ
ejde-1684	438	34	∫	∫	PROPN
ejde-1684	438	35	ω	ω	PROPN
ejde-1684	438	36	wnφ1dx	wnφ1dx	PROPN
ejde-1684	438	37	=	=	SYM
ejde-1684	438	38	0	0	NUM
ejde-1684	438	39	.	.	NOUN
ejde-1684	439	1	4	4	NUM
ejde-1684	439	2	.	.	X
ejde-1684	439	3	positive	positive	ADJ
ejde-1684	439	4	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	439	5	in	in	ADP
ejde-1684	439	6	this	this	DET
ejde-1684	439	7	section	section	NOUN
ejde-1684	439	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	439	9	we	we	PRON
ejde-1684	439	10	consider	consider	VERB
ejde-1684	439	11	the	the	DET
ejde-1684	439	12	problem	problem	NOUN
ejde-1684	439	13	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1684	440	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	440	2	λ	λ	X
ejde-1684	440	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	440	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	440	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	440	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	440	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	440	8	2	2	NUM
ejde-1684	440	9	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	440	10	f(u	f(u	PROPN
ejde-1684	440	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	440	12	in	in	ADP
ejde-1684	440	13	ω	ω	NUM
ejde-1684	440	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	440	15	u	u	NOUN
ejde-1684	440	16	=	=	NOUN
ejde-1684	440	17	0	0	NUM
ejde-1684	440	18	on	on	ADP
ejde-1684	440	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	440	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	441	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	441	2	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	441	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	441	4	using	use	VERB
ejde-1684	441	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	441	6	h5	h5	PROPN
ejde-1684	441	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	441	8	we	we	PRON
ejde-1684	441	9	define	define	VERB
ejde-1684	441	10	ξ	ξ	PRON
ejde-1684	441	11	:	:	PUNCT
ejde-1684	441	12	r+	r+	NOUN
ejde-1684	441	13	→	→	SYM
ejde-1684	441	14	r+	r+	X
ejde-1684	441	15	as	as	ADP
ejde-1684	441	16	f(s	f(	NOUN
ejde-1684	441	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	441	18	=	=	SYM
ejde-1684	441	19	f0|s|q−2s+	f0|s|q−2s+	NOUN
ejde-1684	441	20	ξ(s	ξ(s	PROPN
ejde-1684	441	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	441	22	with	with	ADP
ejde-1684	441	23	lim	lim	PROPN
ejde-1684	441	24	s→0	s→0	PROPN
ejde-1684	441	25	+	+	CCONJ
ejde-1684	441	26	ξ(s	ξ(s	PROPN
ejde-1684	441	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	441	28	|s|q−2s	|s|q−2s	NOUN
ejde-1684	442	1	=	=	NOUN
ejde-1684	442	2	0	0	PROPN
ejde-1684	442	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	443	1	then	then	ADV
ejde-1684	443	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	443	3	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	443	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	443	5	is	be	AUX
ejde-1684	443	6	transformed	transform	VERB
ejde-1684	443	7	into	into	ADP
ejde-1684	443	8	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1684	443	9	=	=	X
ejde-1684	443	10	λf0	λf0	X
ejde-1684	443	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	443	12	∫	∫	PROPN
ejde-1684	443	13	ω	ω	PROPN
ejde-1684	443	14	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	443	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	443	16	2	2	NUM
ejde-1684	444	1	q−1	q−1	NOUN
ejde-1684	444	2	|u|q−2u+	|u|q−2u+	PROPN
ejde-1684	444	3	λ	λ	INTJ
ejde-1684	444	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	444	5	∫	∫	PROPN
ejde-1684	444	6	ω	ω	PROPN
ejde-1684	444	7	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	444	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	444	9	2	2	NUM
ejde-1684	444	10	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	444	11	ξ(u	ξ(u	NOUN
ejde-1684	444	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	444	13	in	in	ADP
ejde-1684	444	14	ω	ω	NUM
ejde-1684	444	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	444	16	u	u	NOUN
ejde-1684	444	17	=	=	NOUN
ejde-1684	444	18	0	0	NUM
ejde-1684	444	19	on	on	ADP
ejde-1684	444	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	444	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	444	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	444	23	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	444	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	444	25	as	as	ADP
ejde-1684	444	26	a	a	DET
ejde-1684	444	27	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	444	28	problem	problem	NOUN
ejde-1684	444	29	from	from	ADP
ejde-1684	444	30	the	the	DET
ejde-1684	444	31	trivial	trivial	ADJ
ejde-1684	444	32	solution	solution	NOUN
ejde-1684	444	33	axis	axis	NOUN
ejde-1684	444	34	.	.	PUNCT
ejde-1684	445	1	we	we	PRON
ejde-1684	445	2	intend	intend	VERB
ejde-1684	445	3	to	to	PART
ejde-1684	445	4	utilize	utilize	VERB
ejde-1684	445	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	445	6	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	445	7	in	in	ADP
ejde-1684	445	8	the	the	DET
ejde-1684	445	9	context	context	NOUN
ejde-1684	445	10	of	of	ADP
ejde-1684	445	11	problem	problem	NOUN
ejde-1684	445	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	445	13	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	445	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	445	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	446	1	however	however	ADV
ejde-1684	446	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	446	3	we	we	PRON
ejde-1684	446	4	observe	observe	VERB
ejde-1684	446	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	446	6	equations	equation	NOUN
ejde-1684	446	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	446	8	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	446	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	446	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	446	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	446	12	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	446	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	446	14	are	be	AUX
ejde-1684	446	15	not	not	PART
ejde-1684	446	16	entirely	entirely	ADV
ejde-1684	446	17	identical	identical	ADJ
ejde-1684	446	18	;	;	PUNCT
ejde-1684	446	19	they	they	PRON
ejde-1684	446	20	share	share	VERB
ejde-1684	446	21	a	a	DET
ejde-1684	446	22	similar	similar	ADJ
ejde-1684	446	23	structure	structure	NOUN
ejde-1684	446	24	only	only	ADV
ejde-1684	446	25	in	in	ADP
ejde-1684	446	26	certain	certain	ADJ
ejde-1684	446	27	aspects	aspect	NOUN
ejde-1684	446	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	447	1	to	to	PART
ejde-1684	447	2	be	be	AUX
ejde-1684	447	3	precise	precise	ADJ
ejde-1684	447	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	447	5	it	it	PRON
ejde-1684	447	6	is	be	AUX
ejde-1684	447	7	observed	observe	VERB
ejde-1684	447	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	447	9	the	the	DET
ejde-1684	447	10	second	second	ADJ
ejde-1684	447	11	term	term	NOUN
ejde-1684	447	12	on	on	ADP
ejde-1684	447	13	the	the	DET
ejde-1684	447	14	right	right	ADJ
ejde-1684	447	15	-	-	PUNCT
ejde-1684	447	16	hand	hand	NOUN
ejde-1684	447	17	side	side	NOUN
ejde-1684	447	18	of	of	ADP
ejde-1684	447	19	equation	equation	NOUN
ejde-1684	447	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	447	21	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	447	22	)	)	PUNCT
ejde-1684	447	23	includes	include	VERB
ejde-1684	447	24	a	a	DET
ejde-1684	447	25	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	447	26	term	term	NOUN
ejde-1684	447	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	447	28	(	(	PUNCT
ejde-1684	447	29	∫	∫	PROPN
ejde-1684	447	30	ω	ω	PROPN
ejde-1684	447	31	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	447	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	447	33	2	2	NUM
ejde-1684	447	34	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	447	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	447	36	whereas	whereas	SCONJ
ejde-1684	447	37	the	the	DET
ejde-1684	447	38	second	second	ADJ
ejde-1684	447	39	term	term	NOUN
ejde-1684	447	40	on	on	ADP
ejde-1684	447	41	the	the	DET
ejde-1684	447	42	right	right	ADJ
ejde-1684	447	43	-	-	PUNCT
ejde-1684	447	44	hand	hand	NOUN
ejde-1684	447	45	side	side	NOUN
ejde-1684	447	46	of	of	ADP
ejde-1684	447	47	equation	equation	NOUN
ejde-1684	447	48	(	(	PUNCT
ejde-1684	447	49	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	447	50	)	)	PUNCT
ejde-1684	447	51	does	do	AUX
ejde-1684	447	52	not	not	PART
ejde-1684	447	53	incorporate	incorporate	VERB
ejde-1684	447	54	this	this	DET
ejde-1684	447	55	term	term	NOUN
ejde-1684	447	56	.	.	PUNCT
ejde-1684	448	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	448	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	448	3	it	it	PRON
ejde-1684	448	4	is	be	AUX
ejde-1684	448	5	necessary	necessary	ADJ
ejde-1684	448	6	to	to	PART
ejde-1684	448	7	formulate	formulate	VERB
ejde-1684	448	8	a	a	DET
ejde-1684	448	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	448	10	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	448	11	to	to	PART
ejde-1684	448	12	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	448	13	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	448	14	for	for	ADP
ejde-1684	448	15	equation	equation	NOUN
ejde-1684	448	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	448	17	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	448	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	448	19	.	.	PUNCT
ejde-1684	449	1	to	to	PART
ejde-1684	449	2	ensure	ensure	VERB
ejde-1684	449	3	comprehensiveness	comprehensiveness	NOUN
ejde-1684	449	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	449	5	we	we	PRON
ejde-1684	449	6	generalize	generalize	VERB
ejde-1684	449	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	449	8	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	449	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	449	10	into	into	ADP
ejde-1684	449	11	the	the	DET
ejde-1684	449	12	following	follow	VERB
ejde-1684	449	13	equation	equation	NOUN
ejde-1684	449	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	450	1	−∆u	−∆u	X
ejde-1684	451	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	451	2	λ	λ	X
ejde-1684	451	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	451	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	451	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	451	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	451	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	451	8	2	2	NUM
ejde-1684	452	1	q−1	q−1	PRON
ejde-1684	452	2	|u|q−2u+	|u|q−2u+	PROPN
ejde-1684	452	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	452	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	452	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	452	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	452	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	452	8	2	2	NUM
ejde-1684	453	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	453	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	453	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	453	4	u	u	NOUN
ejde-1684	453	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	453	6	λ	λ	PROPN
ejde-1684	453	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	453	8	in	in	ADP
ejde-1684	453	9	ω	ω	PROPN
ejde-1684	453	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	453	11	u	u	NOUN
ejde-1684	453	12	=	=	NOUN
ejde-1684	453	13	0	0	NUM
ejde-1684	453	14	on	on	ADP
ejde-1684	453	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	453	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	453	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	453	18	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	453	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	453	20	where	where	SCONJ
ejde-1684	453	21	g	g	NOUN
ejde-1684	453	22	:	:	PUNCT
ejde-1684	453	23	ω	ω	NUM
ejde-1684	453	24	×	×	NOUN
ejde-1684	453	25	r	r	NOUN
ejde-1684	453	26	×	×	NOUN
ejde-1684	453	27	r	r	NOUN
ejde-1684	453	28	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	453	29	the	the	DET
ejde-1684	453	30	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-1684	453	31	condition	condition	NOUN
ejde-1684	453	32	in	in	ADP
ejde-1684	453	33	the	the	DET
ejde-1684	453	34	first	first	ADJ
ejde-1684	453	35	two	two	NUM
ejde-1684	453	36	variable	variable	NOUN
ejde-1684	453	37	and	and	CCONJ
ejde-1684	453	38	is	be	AUX
ejde-1684	453	39	locally	locally	ADV
ejde-1684	453	40	hölder	hölder	NOUN
ejde-1684	453	41	continuous	continuous	ADJ
ejde-1684	453	42	about	about	ADP
ejde-1684	453	43	the	the	DET
ejde-1684	453	44	second	second	ADJ
ejde-1684	453	45	variable	variable	NOUN
ejde-1684	453	46	.	.	PUNCT
ejde-1684	454	1	there	there	PRON
ejde-1684	454	2	exists	exist	VERB
ejde-1684	454	3	a	a	DET
ejde-1684	454	4	constant	constant	ADJ
ejde-1684	454	5	c	c	NOUN
ejde-1684	454	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	454	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	454	8	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-1684	454	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	454	11	p	p	NOUN
ejde-1684	454	12	∈	∈	PROPN
ejde-1684	454	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	454	14	2	2	NUM
ejde-1684	454	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	16	2∗	2∗	NUM
ejde-1684	454	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	18	such	such	ADJ
ejde-1684	454	19	that	that	SCONJ
ejde-1684	454	20	|g(x	|g(x	NOUN
ejde-1684	454	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	22	u	u	NOUN
ejde-1684	454	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	24	λ)|	λ)|	PROPN
ejde-1684	454	25	≤	≤	PROPN
ejde-1684	454	26	c|u|p−1	c|u|p−1	NOUN
ejde-1684	454	27	for	for	ADP
ejde-1684	454	28	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	454	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	454	30	x	x	PUNCT
ejde-1684	454	31	∈	∈	PROPN
ejde-1684	454	32	ω	ω	NOUN
ejde-1684	454	33	and	and	CCONJ
ejde-1684	454	34	all	all	DET
ejde-1684	454	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	454	36	u	u	NOUN
ejde-1684	454	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	38	λ	λ	NOUN
ejde-1684	454	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	40	∈	∈	PROPN
ejde-1684	454	41	r	r	NOUN
ejde-1684	454	42	×	×	PROPN
ejde-1684	454	43	r.	r.	PROPN
ejde-1684	454	44	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1684	454	45	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	46	we	we	PRON
ejde-1684	454	47	assume	assume	VERB
ejde-1684	454	48	that	that	SCONJ
ejde-1684	454	49	g	g	PROPN
ejde-1684	454	50	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	454	51	the	the	DET
ejde-1684	454	52	following	follow	VERB
ejde-1684	454	53	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-1684	454	54	:	:	PUNCT
ejde-1684	454	55	(	(	PUNCT
ejde-1684	454	56	h7	h7	NOUN
ejde-1684	454	57	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	58	(	(	PUNCT
ejde-1684	454	59	for	for	ADP
ejde-1684	454	60	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	454	61	from	from	ADP
ejde-1684	454	62	zero	zero	NUM
ejde-1684	454	63	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	64	lim	lim	NOUN
ejde-1684	454	65	s→0	s→0	PROPN
ejde-1684	454	66	+	+	CCONJ
ejde-1684	454	67	g(x	g(x	PROPN
ejde-1684	454	68	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	69	s	s	NOUN
ejde-1684	454	70	,	,	PUNCT
ejde-1684	454	71	λ	λ	NOUN
ejde-1684	454	72	)	)	PUNCT
ejde-1684	454	73	sq−1	sq−1	NOUN
ejde-1684	454	74	=	=	NOUN
ejde-1684	454	75	0	0	NUM
ejde-1684	454	76	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	454	77	for	for	ADP
ejde-1684	454	78	almost	almost	ADV
ejde-1684	454	79	every	every	PRON
ejde-1684	454	80	x	x	SYM
ejde-1684	454	81	∈	∈	PROPN
ejde-1684	454	82	ω	ω	NOUN
ejde-1684	454	83	and	and	CCONJ
ejde-1684	454	84	λ	λ	PROPN
ejde-1684	454	85	on	on	ADP
ejde-1684	454	86	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	454	87	sets	set	NOUN
ejde-1684	454	88	.	.	PUNCT
ejde-1684	455	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	455	2	h8	h8	PROPN
ejde-1684	455	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	455	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	455	5	for	for	ADP
ejde-1684	455	6	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	455	7	from	from	ADP
ejde-1684	455	8	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	455	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	456	1	lim	lim	PROPN
ejde-1684	456	2	s→+∞	s→+∞	PROPN
ejde-1684	456	3	g(x	g(x	PROPN
ejde-1684	456	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	456	5	s	s	PROPN
ejde-1684	456	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	456	7	λ	λ	NOUN
ejde-1684	456	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	456	9	sq−1	sq−1	NOUN
ejde-1684	456	10	=	=	NOUN
ejde-1684	456	11	0	0	NUM
ejde-1684	456	12	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	456	13	for	for	ADP
ejde-1684	456	14	almost	almost	ADV
ejde-1684	456	15	every	every	PRON
ejde-1684	456	16	x	x	SYM
ejde-1684	456	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	456	18	ω	ω	NOUN
ejde-1684	456	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	456	20	λ	λ	PROPN
ejde-1684	456	21	on	on	ADP
ejde-1684	456	22	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	456	23	sets	set	NOUN
ejde-1684	456	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	457	1	we	we	PRON
ejde-1684	457	2	aim	aim	VERB
ejde-1684	457	3	to	to	PART
ejde-1684	457	4	provide	provide	VERB
ejde-1684	457	5	a	a	DET
ejde-1684	457	6	proof	proof	NOUN
ejde-1684	457	7	of	of	ADP
ejde-1684	457	8	the	the	DET
ejde-1684	457	9	subsequent	subsequent	ADJ
ejde-1684	457	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	457	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	457	12	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	457	13	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	457	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	458	1	let	let	VERB
ejde-1684	458	2	q	q	NOUN
ejde-1684	458	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	459	1	[	[	X
ejde-1684	459	2	1	1	NUM
ejde-1684	459	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	459	4	2	2	NUM
ejde-1684	459	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	459	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	459	7	g	g	NOUN
ejde-1684	459	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-1684	459	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	459	10	h7	h7	PROPN
ejde-1684	459	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	459	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	460	1	then	then	ADV
ejde-1684	460	2	the	the	DET
ejde-1684	460	3	pair	pair	NOUN
ejde-1684	460	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	460	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	460	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	460	7	0	0	NUM
ejde-1684	460	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	460	9	is	be	AUX
ejde-1684	460	10	a	a	DET
ejde-1684	460	11	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	460	12	point	point	NOUN
ejde-1684	460	13	of	of	ADP
ejde-1684	460	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	460	15	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	460	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	460	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	461	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	461	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	461	3	there	there	PRON
ejde-1684	461	4	is	be	VERB
ejde-1684	461	5	a	a	DET
ejde-1684	461	6	component	component	NOUN
ejde-1684	461	7	c	c	NOUN
ejde-1684	461	8	of	of	ADP
ejde-1684	461	9	the	the	DET
ejde-1684	461	10	set	set	NOUN
ejde-1684	461	11	of	of	ADP
ejde-1684	461	12	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	461	13	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	461	14	of	of	ADP
ejde-1684	461	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	461	16	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	461	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	461	18	in	in	ADP
ejde-1684	461	19	r	r	NOUN
ejde-1684	461	20	×x	×x	VERB
ejde-1684	461	21	whose	whose	DET
ejde-1684	461	22	closure	closure	NOUN
ejde-1684	461	23	contains	contain	VERB
ejde-1684	461	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	461	25	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	461	26	,	,	PUNCT
ejde-1684	461	27	0	0	NUM
ejde-1684	461	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	461	29	and	and	CCONJ
ejde-1684	461	30	it	it	PRON
ejde-1684	461	31	is	be	AUX
ejde-1684	461	32	either	either	CCONJ
ejde-1684	461	33	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	461	34	or	or	CCONJ
ejde-1684	461	35	contains	contain	VERB
ejde-1684	461	36	a	a	DET
ejde-1684	461	37	pair	pair	NOUN
ejde-1684	461	38	(	(	PUNCT
ejde-1684	461	39	λ	λ	PROPN
ejde-1684	461	40	,	,	PUNCT
ejde-1684	461	41	0	0	NUM
ejde-1684	461	42	)	)	PUNCT
ejde-1684	461	43	for	for	ADP
ejde-1684	461	44	some	some	DET
ejde-1684	461	45	λ	λ	NOUN
ejde-1684	461	46	,	,	PUNCT
ejde-1684	461	47	an	an	DET
ejde-1684	461	48	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	461	49	of	of	ADP
ejde-1684	461	50	(	(	PUNCT
ejde-1684	461	51	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	461	52	)	)	PUNCT
ejde-1684	461	53	with	with	ADP
ejde-1684	461	54	λ	λ	PROPN
ejde-1684	461	55	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	461	56	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	461	57	.	.	PUNCT
ejde-1684	462	1	14	14	NUM
ejde-1684	462	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	462	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	462	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	462	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	462	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	462	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	462	8	upon	upon	SCONJ
ejde-1684	462	9	examining	examine	VERB
ejde-1684	462	10	the	the	DET
ejde-1684	462	11	proof	proof	NOUN
ejde-1684	462	12	of	of	ADP
ejde-1684	462	13	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	462	14	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	462	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	462	16	it	it	PRON
ejde-1684	462	17	becomes	become	VERB
ejde-1684	462	18	evident	evident	ADJ
ejde-1684	462	19	that	that	SCONJ
ejde-1684	462	20	the	the	DET
ejde-1684	462	21	critical	critical	ADJ
ejde-1684	462	22	component	component	NOUN
ejde-1684	462	23	lies	lie	VERB
ejde-1684	462	24	in	in	ADP
ejde-1684	462	25	the	the	DET
ejde-1684	462	26	demonstration	demonstration	NOUN
ejde-1684	462	27	of	of	ADP
ejde-1684	462	28	(	(	PUNCT
ejde-1684	462	29	3.10	3.10	NUM
ejde-1684	462	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	462	31	.	.	PUNCT
ejde-1684	463	1	however	however	ADV
ejde-1684	463	2	the	the	DET
ejde-1684	463	3	validity	validity	NOUN
ejde-1684	463	4	of	of	ADP
ejde-1684	463	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	463	6	3.10	3.10	NUM
ejde-1684	463	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	463	8	is	be	AUX
ejde-1684	463	9	contingent	contingent	ADJ
ejde-1684	463	10	upon	upon	SCONJ
ejde-1684	463	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	463	12	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	463	13	and	and	CCONJ
ejde-1684	463	14	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	463	15	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	463	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	464	1	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	464	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	464	3	it	it	PRON
ejde-1684	464	4	is	be	AUX
ejde-1684	464	5	imperative	imperative	ADJ
ejde-1684	464	6	to	to	PART
ejde-1684	464	7	establish	establish	VERB
ejde-1684	464	8	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	464	9	conclusions	conclusion	NOUN
ejde-1684	464	10	for	for	ADP
ejde-1684	464	11	the	the	DET
ejde-1684	464	12	function	function	NOUN
ejde-1684	464	13	∥u∥2−q	∥u∥2−q	X
ejde-1684	464	14	q	q	ADJ
ejde-1684	464	15	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	464	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	464	17	u	u	NOUN
ejde-1684	464	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	464	19	λ	λ	PROPN
ejde-1684	464	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	464	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	465	1	we	we	PRON
ejde-1684	465	2	shall	shall	AUX
ejde-1684	465	3	now	now	ADV
ejde-1684	465	4	continue	continue	VERB
ejde-1684	465	5	with	with	ADP
ejde-1684	465	6	this	this	DET
ejde-1684	465	7	verification	verification	NOUN
ejde-1684	465	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	466	1	initially	initially	ADV
ejde-1684	466	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	466	3	it	it	PRON
ejde-1684	466	4	is	be	AUX
ejde-1684	466	5	evident	evident	ADJ
ejde-1684	466	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	466	7	the	the	DET
ejde-1684	466	8	analogue	analogue	NOUN
ejde-1684	466	9	of	of	ADP
ejde-1684	466	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	466	11	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	466	12	can	can	AUX
ejde-1684	466	13	be	be	AUX
ejde-1684	466	14	established	establish	VERB
ejde-1684	466	15	through	through	ADP
ejde-1684	466	16	a	a	DET
ejde-1684	466	17	proof	proof	NOUN
ejde-1684	466	18	that	that	PRON
ejde-1684	466	19	is	be	AUX
ejde-1684	466	20	analogous	analogous	ADJ
ejde-1684	466	21	to	to	ADP
ejde-1684	466	22	that	that	PRON
ejde-1684	466	23	of	of	ADP
ejde-1684	466	24	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	466	25	2.8	2.8	NUM
ejde-1684	466	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	467	1	this	this	PRON
ejde-1684	467	2	constitutes	constitute	VERB
ejde-1684	467	3	the	the	DET
ejde-1684	467	4	subsequent	subsequent	ADJ
ejde-1684	467	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	467	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	468	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	468	2	4.2	4.2	NUM
ejde-1684	468	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	469	1	let	let	VERB
ejde-1684	469	2	u	u	PRON
ejde-1684	469	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	469	4	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1684	469	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	469	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	469	7	u	u	NOUN
ejde-1684	469	8	̸≡	̸≡	NOUN
ejde-1684	469	9	0	0	NUM
ejde-1684	469	10	in	in	ADP
ejde-1684	469	11	ω	ω	PROPN
ejde-1684	469	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	470	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	470	2	i	i	NOUN
ejde-1684	470	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	470	5	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1684	470	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	470	7	h7	h7	PROPN
ejde-1684	470	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	9	is	be	AUX
ejde-1684	470	10	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	470	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	12	then	then	ADV
ejde-1684	470	13	g(x	g(x	NUM
ejde-1684	470	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	15	u	u	NOUN
ejde-1684	470	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	17	λ	λ	PROPN
ejde-1684	470	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	19	∥u∥q−1	∥u∥q−1	NOUN
ejde-1684	470	20	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1684	470	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	22	→	→	SYM
ejde-1684	470	23	0	0	NUM
ejde-1684	470	24	as	as	ADP
ejde-1684	470	25	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	470	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	27	→	→	SYM
ejde-1684	470	28	0	0	NUM
ejde-1684	470	29	holds	hold	VERB
ejde-1684	470	30	for	for	ADP
ejde-1684	470	31	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	470	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	470	33	x	x	PUNCT
ejde-1684	470	34	∈	∈	PROPN
ejde-1684	470	35	ω	ω	NOUN
ejde-1684	470	36	and	and	CCONJ
ejde-1684	470	37	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	470	38	for	for	ADP
ejde-1684	470	39	every	every	DET
ejde-1684	470	40	λ	λ	PROPN
ejde-1684	470	41	∈	∈	PROPN
ejde-1684	470	42	r.	r.	PROPN
ejde-1684	470	43	(	(	PUNCT
ejde-1684	470	44	ii	ii	PROPN
ejde-1684	470	45	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	46	if	if	SCONJ
ejde-1684	470	47	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-1684	470	48	(	(	PUNCT
ejde-1684	470	49	h8	h8	PROPN
ejde-1684	470	50	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	51	is	be	AUX
ejde-1684	470	52	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	470	53	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	54	then	then	ADV
ejde-1684	470	55	g(x	g(x	NUM
ejde-1684	470	56	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	57	u	u	NOUN
ejde-1684	470	58	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	59	λ	λ	PROPN
ejde-1684	470	60	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	61	∥u∥q−1	∥u∥q−1	NOUN
ejde-1684	470	62	l∞(ω	l∞(ω	ADJ
ejde-1684	470	63	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	64	→	→	SYM
ejde-1684	470	65	0	0	NUM
ejde-1684	470	66	as	as	ADP
ejde-1684	470	67	∥u∥l∞(ω	∥u∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	470	68	)	)	PUNCT
ejde-1684	470	69	→	→	SYM
ejde-1684	470	70	∞	∞	PROPN
ejde-1684	470	71	holds	hold	VERB
ejde-1684	470	72	for	for	ADP
ejde-1684	470	73	a.e	a.e	PROPN
ejde-1684	470	74	.	.	PUNCT
ejde-1684	470	75	x	x	PUNCT
ejde-1684	470	76	∈	∈	PROPN
ejde-1684	470	77	ω	ω	NOUN
ejde-1684	470	78	and	and	CCONJ
ejde-1684	470	79	uniformly	uniformly	ADV
ejde-1684	470	80	for	for	ADP
ejde-1684	470	81	every	every	DET
ejde-1684	470	82	λ	λ	PROPN
ejde-1684	470	83	∈	∈	PROPN
ejde-1684	470	84	r.	r.	PROPN
ejde-1684	470	85	next	next	ADV
ejde-1684	470	86	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	87	we	we	PRON
ejde-1684	470	88	investigate	investigate	VERB
ejde-1684	470	89	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	470	90	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	470	91	,	,	PUNCT
ejde-1684	470	92	the	the	DET
ejde-1684	470	93	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-1684	470	94	of	of	ADP
ejde-1684	470	95	norms	norm	NOUN
ejde-1684	470	96	.	.	PUNCT
ejde-1684	471	1	an	an	DET
ejde-1684	471	2	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	471	3	of	of	ADP
ejde-1684	471	4	the	the	DET
ejde-1684	471	5	proof	proof	NOUN
ejde-1684	471	6	of	of	ADP
ejde-1684	471	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-1684	471	8	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	471	9	reveals	reveal	VERB
ejde-1684	471	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	471	11	a	a	DET
ejde-1684	471	12	pivotal	pivotal	ADJ
ejde-1684	471	13	aspect	aspect	NOUN
ejde-1684	471	14	is	be	AUX
ejde-1684	471	15	the	the	DET
ejde-1684	471	16	establishment	establishment	NOUN
ejde-1684	471	17	of	of	ADP
ejde-1684	471	18	(	(	PUNCT
ejde-1684	471	19	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	471	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	471	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	471	22	step	step	NOUN
ejde-1684	471	23	2	2	NUM
ejde-1684	471	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	471	25	when	when	SCONJ
ejde-1684	471	26	h	h	NOUN
ejde-1684	471	27	is	be	AUX
ejde-1684	471	28	replaced	replace	VERB
ejde-1684	471	29	by	by	ADP
ejde-1684	471	30	∥u∥2−q	∥u∥2−q	X
ejde-1684	471	31	q	q	ADJ
ejde-1684	471	32	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	471	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	471	34	u	u	NOUN
ejde-1684	471	35	,	,	PUNCT
ejde-1684	471	36	λ	λ	PROPN
ejde-1684	471	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	471	38	,	,	PUNCT
ejde-1684	471	39	the	the	DET
ejde-1684	471	40	resulting	result	VERB
ejde-1684	471	41	expression	expression	NOUN
ejde-1684	471	42	is	be	AUX
ejde-1684	471	43	as	as	SCONJ
ejde-1684	471	44	follows	follow	VERB
ejde-1684	471	45	f(x	f(x	PROPN
ejde-1684	471	46	,	,	PUNCT
ejde-1684	471	47	wn	wn	PROPN
ejde-1684	471	48	)	)	PUNCT
ejde-1684	471	49	=	=	PUNCT
ejde-1684	472	1	λn∥wn∥2−q	λn∥wn∥2−q	ADJ
ejde-1684	472	2	q	q	X
ejde-1684	472	3	|wn|q−2wn	|wn|q−2wn	X
ejde-1684	472	4	+	+	NUM
ejde-1684	472	5	∥un∥2−q	∥un∥2−q	VERB
ejde-1684	472	6	q	q	ADJ
ejde-1684	472	7	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	472	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	472	9	wn∥un∥x	wn∥un∥x	PROPN
ejde-1684	472	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	472	11	λn	λn	NOUN
ejde-1684	472	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	472	13	∥un∥x	∥un∥x	ADP
ejde-1684	472	14	≤	≤	NUM
ejde-1684	472	15	c|wn|q−1	c|wn|q−1	NOUN
ejde-1684	473	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	473	2	∥un∥2−q	∥un∥2−q	VERB
ejde-1684	473	3	q	q	X
ejde-1684	473	4	∥un∥2−q	∥un∥2−q	NOUN
ejde-1684	473	5	x	x	PART
ejde-1684	473	6	·	·	PUNCT
ejde-1684	473	7	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	473	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	473	9	wn∥un∥x	wn∥un∥x	PROPN
ejde-1684	473	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	473	11	λn	λn	NOUN
ejde-1684	473	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	473	13	∥un∥q−1	∥un∥q−1	NOUN
ejde-1684	473	14	x	x	SYM
ejde-1684	473	15	≤	≤	NUM
ejde-1684	473	16	c|wn|q−1	c|wn|q−1	NOUN
ejde-1684	474	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	474	2	c2−qc|wn|p−1∥un∥p−1	c2−qc|wn|p−1∥un∥p−1	NOUN
ejde-1684	474	3	x	x	X
ejde-1684	475	1	∥un∥q−1	∥un∥q−1	NOUN
ejde-1684	475	2	x	x	X
ejde-1684	475	3	=	=	PUNCT
ejde-1684	475	4	c1|wn|q−1	c1|wn|q−1	PROPN
ejde-1684	475	5	+	+	CCONJ
ejde-1684	475	6	c2∥un∥p−q	c2∥un∥p−q	PROPN
ejde-1684	475	7	x	x	PART
ejde-1684	475	8	|wn|p−1	|wn|p−1	PROPN
ejde-1684	475	9	where	where	SCONJ
ejde-1684	475	10	c1	c1	PROPN
ejde-1684	475	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	475	12	c2	c2	PROPN
ejde-1684	475	13	are	be	AUX
ejde-1684	475	14	constants	constant	NOUN
ejde-1684	475	15	that	that	PRON
ejde-1684	475	16	are	be	AUX
ejde-1684	475	17	independent	independent	ADJ
ejde-1684	475	18	of	of	ADP
ejde-1684	475	19	∥un∥x	∥un∥x	PROPN
ejde-1684	475	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	476	1	considering	consider	VERB
ejde-1684	476	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	476	3	p−	p−	NOUN
ejde-1684	476	4	q	q	X
ejde-1684	476	5	>	>	X
ejde-1684	476	6	0	0	NUM
ejde-1684	476	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	476	8	it	it	PRON
ejde-1684	476	9	can	can	AUX
ejde-1684	476	10	be	be	AUX
ejde-1684	476	11	inferred	infer	VERB
ejde-1684	476	12	that	that	SCONJ
ejde-1684	476	13	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	476	14	2.10	2.10	NUM
ejde-1684	476	15	remains	remain	VERB
ejde-1684	476	16	valid	valid	ADJ
ejde-1684	476	17	when	when	SCONJ
ejde-1684	476	18	h	h	NOUN
ejde-1684	476	19	is	be	AUX
ejde-1684	476	20	substituted	substitute	VERB
ejde-1684	476	21	with	with	ADP
ejde-1684	476	22	∥u∥2−q	∥u∥2−q	X
ejde-1684	476	23	q	q	ADJ
ejde-1684	476	24	g(x	g(x	NOUN
ejde-1684	476	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	476	26	u	u	NOUN
ejde-1684	476	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	476	28	λ	λ	PROPN
ejde-1684	476	29	)	)	PUNCT
ejde-1684	476	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	477	1	this	this	PRON
ejde-1684	477	2	constitutes	constitute	VERB
ejde-1684	477	3	the	the	DET
ejde-1684	477	4	subsequent	subsequent	ADJ
ejde-1684	477	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	477	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	477	7	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	477	8	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	477	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	478	1	let	let	VERB
ejde-1684	478	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	478	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	478	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	478	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	478	6	un)}∞n=1	un)}∞n=1	PRON
ejde-1684	478	7	be	be	VERB
ejde-1684	478	8	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	478	9	of	of	ADP
ejde-1684	478	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	478	11	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	478	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	478	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	479	1	then	then	ADV
ejde-1684	479	2	the	the	DET
ejde-1684	479	3	following	follow	VERB
ejde-1684	479	4	three	three	NUM
ejde-1684	479	5	stateents	stateent	NOUN
ejde-1684	479	6	are	be	AUX
ejde-1684	479	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-1684	479	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	479	9	as	as	ADP
ejde-1684	479	10	n→	n→	ADV
ejde-1684	479	11	∞	∞	PROPN
ejde-1684	479	12	:	:	PUNCT
ejde-1684	479	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	479	14	i	i	NOUN
ejde-1684	479	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	479	16	∥un∥w	∥un∥w	NOUN
ejde-1684	480	1	1,2	1,2	NUM
ejde-1684	480	2	0	0	NUM
ejde-1684	480	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	480	4	ω	ω	NOUN
ejde-1684	480	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	480	6	→	→	SYM
ejde-1684	480	7	0	0	NUM
ejde-1684	480	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	480	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	480	10	ii	ii	NOUN
ejde-1684	480	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	480	12	∥un∥l∞(ω	∥un∥l∞(ω	NOUN
ejde-1684	480	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	480	14	→	→	SYM
ejde-1684	480	15	0	0	NUM
ejde-1684	480	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	480	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	480	18	iii	iii	X
ejde-1684	480	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	480	20	∥un∥c1,β(ω	∥un∥c1,β(ω	PROPN
ejde-1684	480	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	480	22	→	→	SYM
ejde-1684	480	23	0	0	X
ejde-1684	480	24	.	.	NOUN
ejde-1684	480	25	similar	similar	ADJ
ejde-1684	480	26	to	to	ADP
ejde-1684	480	27	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	480	28	1.1	1.1	NUM
ejde-1684	480	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	480	30	we	we	PRON
ejde-1684	480	31	have	have	AUX
ejde-1684	480	32	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	480	33	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	480	34	.	.	PUNCT
ejde-1684	481	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	481	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	481	3	similar	similar	ADJ
ejde-1684	481	4	to	to	ADP
ejde-1684	481	5	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	481	6	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	481	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	481	8	we	we	PRON
ejde-1684	481	9	can	can	AUX
ejde-1684	481	10	draw	draw	VERB
ejde-1684	481	11	conclusions	conclusion	NOUN
ejde-1684	481	12	regarding	regard	VERB
ejde-1684	481	13	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	481	14	from	from	ADP
ejde-1684	481	15	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	481	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	482	1	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	482	2	4.4	4.4	NUM
ejde-1684	482	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	483	1	let	let	VERB
ejde-1684	483	2	q	q	NOUN
ejde-1684	483	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	484	1	[	[	X
ejde-1684	484	2	1	1	NUM
ejde-1684	484	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	484	4	2	2	NUM
ejde-1684	484	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	484	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	484	7	g	g	PROPN
ejde-1684	484	8	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-1684	484	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	484	10	h8	h8	PROPN
ejde-1684	484	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	484	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	485	1	then	then	ADV
ejde-1684	485	2	the	the	DET
ejde-1684	485	3	pair	pair	NOUN
ejde-1684	485	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	485	5	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	485	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	485	7	is	be	AUX
ejde-1684	485	8	a	a	DET
ejde-1684	485	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	485	10	point	point	NOUN
ejde-1684	485	11	of	of	ADP
ejde-1684	485	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	485	13	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	485	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	485	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	486	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	486	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	486	3	there	there	PRON
ejde-1684	486	4	is	be	VERB
ejde-1684	486	5	a	a	DET
ejde-1684	486	6	component	component	NOUN
ejde-1684	486	7	d	d	NOUN
ejde-1684	486	8	of	of	ADP
ejde-1684	486	9	the	the	DET
ejde-1684	486	10	set	set	NOUN
ejde-1684	486	11	of	of	ADP
ejde-1684	486	12	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	486	13	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	486	14	of	of	ADP
ejde-1684	486	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	486	16	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	486	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	486	18	in	in	ADP
ejde-1684	486	19	r×x	r×x	PROPN
ejde-1684	486	20	which	which	PRON
ejde-1684	486	21	meets	meet	VERB
ejde-1684	486	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	486	23	λ1,∞	λ1,∞	NOUN
ejde-1684	486	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	486	25	.	.	PUNCT
ejde-1684	487	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	487	2	λ	λ	PROPN
ejde-1684	487	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	487	4	r	r	NOUN
ejde-1684	487	5	is	be	AUX
ejde-1684	487	6	an	an	DET
ejde-1684	487	7	interval	interval	NOUN
ejde-1684	487	8	such	such	ADJ
ejde-1684	487	9	that	that	SCONJ
ejde-1684	487	10	λ	λ	NOUN
ejde-1684	487	11	∩	∩	NOUN
ejde-1684	487	12	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	487	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	487	14	=	=	SYM
ejde-1684	487	15	{	{	PUNCT
ejde-1684	487	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	487	17	}	}	PUNCT
ejde-1684	487	18	where	where	SCONJ
ejde-1684	487	19	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	487	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	487	21	is	be	AUX
ejde-1684	487	22	the	the	DET
ejde-1684	487	23	set	set	NOUN
ejde-1684	487	24	of	of	ADP
ejde-1684	487	25	real	real	ADJ
ejde-1684	487	26	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-1684	487	27	values	value	NOUN
ejde-1684	487	28	of	of	ADP
ejde-1684	487	29	(	(	PUNCT
ejde-1684	487	30	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	487	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	487	32	and	and	CCONJ
ejde-1684	487	33	m	m	PROPN
ejde-1684	487	34	is	be	AUX
ejde-1684	487	35	a	a	DET
ejde-1684	487	36	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-1684	487	37	of	of	ADP
ejde-1684	487	38	(	(	PUNCT
ejde-1684	487	39	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	487	40	)	)	PUNCT
ejde-1684	487	41	whose	whose	DET
ejde-1684	487	42	projection	projection	NOUN
ejde-1684	487	43	on	on	ADP
ejde-1684	487	44	r	r	NOUN
ejde-1684	487	45	lies	lie	NOUN
ejde-1684	487	46	in	in	ADP
ejde-1684	487	47	λ	λ	PROPN
ejde-1684	487	48	and	and	CCONJ
ejde-1684	487	49	whose	whose	DET
ejde-1684	487	50	projection	projection	NOUN
ejde-1684	487	51	on	on	ADP
ejde-1684	487	52	x	x	VERB
ejde-1684	487	53	is	be	AUX
ejde-1684	487	54	bounded	bound	VERB
ejde-1684	487	55	away	away	ADV
ejde-1684	487	56	from	from	ADP
ejde-1684	487	57	0	0	NUM
ejde-1684	487	58	,	,	PUNCT
ejde-1684	487	59	then	then	ADV
ejde-1684	487	60	either	either	CCONJ
ejde-1684	487	61	(	(	PUNCT
ejde-1684	487	62	i	i	NOUN
ejde-1684	487	63	)	)	PUNCT
ejde-1684	488	1	d	d	NOUN
ejde-1684	488	2	−	−	NOUN
ejde-1684	489	1	m	m	VERB
ejde-1684	489	2	is	be	AUX
ejde-1684	489	3	bounded	bound	VERB
ejde-1684	489	4	in	in	ADP
ejde-1684	489	5	r×x	r×x	PROPN
ejde-1684	489	6	in	in	ADP
ejde-1684	489	7	which	which	DET
ejde-1684	489	8	case	case	NOUN
ejde-1684	490	1	d	d	X
ejde-1684	490	2	−	−	NOUN
ejde-1684	491	1	m	m	VERB
ejde-1684	491	2	meets	meet	VERB
ejde-1684	491	3	r	r	NOUN
ejde-1684	491	4	=	=	SYM
ejde-1684	491	5	{	{	PUNCT
ejde-1684	491	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	491	7	λ	λ	PROPN
ejde-1684	491	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	491	9	0	0	NUM
ejde-1684	491	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	492	1	|	|	ADV
ejde-1684	492	2	λ	λ	X
ejde-1684	492	3	∈	∈	NOUN
ejde-1684	492	4	r	r	NOUN
ejde-1684	492	5	}	}	PUNCT
ejde-1684	492	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	492	7	or	or	CCONJ
ejde-1684	492	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	492	9	ii	ii	NOUN
ejde-1684	492	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	493	1	d	d	NOUN
ejde-1684	493	2	−	−	NOUN
ejde-1684	493	3	m	m	VERB
ejde-1684	493	4	is	be	AUX
ejde-1684	493	5	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	493	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	494	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	494	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	494	3	ii	ii	NOUN
ejde-1684	494	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	494	5	occurs	occur	VERB
ejde-1684	494	6	and	and	CCONJ
ejde-1684	494	7	d	d	DET
ejde-1684	494	8	−	−	NOUN
ejde-1684	494	9	m	m	AUX
ejde-1684	494	10	has	have	VERB
ejde-1684	494	11	a	a	DET
ejde-1684	494	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-1684	494	13	projection	projection	NOUN
ejde-1684	494	14	on	on	ADP
ejde-1684	494	15	r	r	NOUN
ejde-1684	494	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	494	17	then	then	ADV
ejde-1684	494	18	d	d	X
ejde-1684	494	19	−	−	NOUN
ejde-1684	494	20	m	m	VERB
ejde-1684	494	21	meets	meet	VERB
ejde-1684	494	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	494	23	λ̂,∞	λ̂,∞	ADJ
ejde-1684	494	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	494	25	where	where	SCONJ
ejde-1684	494	26	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	494	27	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	494	28	λ̂	λ̂	NUM
ejde-1684	494	29	∈	∈	PROPN
ejde-1684	494	30	r(l	r(l	NOUN
ejde-1684	494	31	)	)	PUNCT
ejde-1684	494	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	495	1	similar	similar	ADJ
ejde-1684	495	2	to	to	ADP
ejde-1684	495	3	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	495	4	3.2	3.2	NUM
ejde-1684	495	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	495	6	we	we	PRON
ejde-1684	495	7	have	have	VERB
ejde-1684	495	8	the	the	DET
ejde-1684	495	9	following	follow	VERB
ejde-1684	495	10	statement	statement	NOUN
ejde-1684	495	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	496	1	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	496	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	496	3	for	for	ADP
ejde-1684	496	4	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	496	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	496	6	problems	problem	NOUN
ejde-1684	496	7	15	15	NUM
ejde-1684	496	8	corollary	corollary	ADJ
ejde-1684	496	9	4.5	4.5	NUM
ejde-1684	496	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	497	1	let	let	VERB
ejde-1684	497	2	c	c	PRON
ejde-1684	497	3	be	be	AUX
ejde-1684	497	4	a	a	DET
ejde-1684	497	5	component	component	NOUN
ejde-1684	497	6	of	of	ADP
ejde-1684	497	7	the	the	DET
ejde-1684	497	8	set	set	NOUN
ejde-1684	497	9	of	of	ADP
ejde-1684	497	10	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	497	11	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	497	12	of	of	ADP
ejde-1684	497	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	497	14	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	497	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	497	16	in	in	ADP
ejde-1684	497	17	r	r	NOUN
ejde-1684	497	18	×	×	NOUN
ejde-1684	497	19	x	x	PUNCT
ejde-1684	497	20	in	in	ADP
ejde-1684	497	21	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	497	22	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	497	23	and	and	CCONJ
ejde-1684	497	24	d	d	NOUN
ejde-1684	497	25	is	be	AUX
ejde-1684	497	26	a	a	DET
ejde-1684	497	27	component	component	NOUN
ejde-1684	497	28	of	of	ADP
ejde-1684	497	29	the	the	DET
ejde-1684	497	30	set	set	NOUN
ejde-1684	497	31	of	of	ADP
ejde-1684	497	32	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	497	33	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	497	34	of	of	ADP
ejde-1684	497	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	497	36	4.3	4.3	NUM
ejde-1684	497	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	497	38	in	in	ADP
ejde-1684	497	39	r×x	r×x	PROPN
ejde-1684	497	40	in	in	ADP
ejde-1684	497	41	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	497	42	4.4	4.4	NUM
ejde-1684	497	43	.	.	PUNCT
ejde-1684	498	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	498	2	i	i	NOUN
ejde-1684	498	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	498	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	498	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	498	6	µn	µn	PROPN
ejde-1684	498	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	498	8	un	un	ADJ
ejde-1684	498	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	498	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	498	11	c	c	NOUN
ejde-1684	498	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	498	13	is	be	AUX
ejde-1684	498	14	near	near	ADV
ejde-1684	498	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	498	16	λ1	λ1	ADJ
ejde-1684	498	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	498	18	0	0	NUM
ejde-1684	498	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	498	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	498	21	then	then	ADV
ejde-1684	498	22	un	un	PROPN
ejde-1684	498	23	=	=	PRON
ejde-1684	498	24	snφ1	snφ1	PROPN
ejde-1684	498	25	+	+	PROPN
ejde-1684	498	26	wn	wn	PROPN
ejde-1684	498	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	498	28	where	where	SCONJ
ejde-1684	498	29	wn	wn	PROPN
ejde-1684	498	30	=	=	PUNCT
ejde-1684	498	31	o(|sn|	o(|sn|	PROPN
ejde-1684	498	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	498	33	as	as	ADP
ejde-1684	498	34	|sn|	|sn|	PROPN
ejde-1684	498	35	→	→	SYM
ejde-1684	498	36	0	0	NUM
ejde-1684	498	37	and	and	CCONJ
ejde-1684	498	38	∫	∫	PROPN
ejde-1684	498	39	ω	ω	PROPN
ejde-1684	498	40	wnφ1dx	wnφ1dx	PROPN
ejde-1684	498	41	=	=	SYM
ejde-1684	498	42	0	0	PROPN
ejde-1684	498	43	.	.	PUNCT
ejde-1684	499	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	499	2	ii	ii	NOUN
ejde-1684	499	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	499	4	if	if	SCONJ
ejde-1684	499	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	499	6	µn	µn	PROPN
ejde-1684	499	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	499	8	un	un	ADJ
ejde-1684	499	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	499	10	∈	∈	PROPN
ejde-1684	499	11	d	d	NOUN
ejde-1684	499	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	499	13	is	be	AUX
ejde-1684	499	14	near	near	ADV
ejde-1684	499	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	499	16	λ1,∞	λ1,∞	PROPN
ejde-1684	499	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	499	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	499	19	then	then	ADV
ejde-1684	499	20	un	un	PROPN
ejde-1684	499	21	=	=	PROPN
ejde-1684	499	22	snφ1+wn	snφ1+wn	PROPN
ejde-1684	499	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	499	24	where	where	SCONJ
ejde-1684	499	25	wn	wn	PROPN
ejde-1684	499	26	=	=	PUNCT
ejde-1684	499	27	o(|sn|	o(|sn|	PROPN
ejde-1684	499	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	499	29	as	as	ADP
ejde-1684	499	30	|sn|	|sn|	PROPN
ejde-1684	499	31	→	→	SYM
ejde-1684	499	32	∞	∞	PROPN
ejde-1684	499	33	and	and	CCONJ
ejde-1684	499	34	∫	∫	PROPN
ejde-1684	499	35	ω	ω	PROPN
ejde-1684	499	36	wnφ1dx	wnφ1dx	PROPN
ejde-1684	499	37	=	=	SYM
ejde-1684	499	38	0	0	X
ejde-1684	499	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	500	1	we	we	PRON
ejde-1684	500	2	will	will	AUX
ejde-1684	500	3	now	now	ADV
ejde-1684	500	4	proceed	proceed	VERB
ejde-1684	500	5	with	with	ADP
ejde-1684	500	6	the	the	DET
ejde-1684	500	7	examination	examination	NOUN
ejde-1684	500	8	of	of	ADP
ejde-1684	500	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	500	10	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	500	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	500	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	501	1	let	let	VERB
ejde-1684	501	2	e	e	NOUN
ejde-1684	501	3	=	=	PRON
ejde-1684	501	4	{	{	PUNCT
ejde-1684	501	5	u	u	NOUN
ejde-1684	501	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	501	7	c1(ω	c1(ω	PROPN
ejde-1684	501	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	501	9	:	:	PUNCT
ejde-1684	501	10	u	u	NOUN
ejde-1684	501	11	=	=	NOUN
ejde-1684	501	12	0	0	NUM
ejde-1684	501	13	on	on	ADP
ejde-1684	501	14	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-1684	501	15	}	}	PUNCT
ejde-1684	501	16	with	with	ADP
ejde-1684	501	17	the	the	DET
ejde-1684	501	18	usual	usual	ADJ
ejde-1684	501	19	norm	norm	NOUN
ejde-1684	501	20	∥u∥c1	∥u∥c1	VERB
ejde-1684	501	21	=	=	PROPN
ejde-1684	501	22	max	max	PROPN
ejde-1684	501	23	ω	ω	PROPN
ejde-1684	501	24	|u|+max	|u|+max	PROPN
ejde-1684	501	25	ω	ω	PUNCT
ejde-1684	501	26	|∇u|	|∇u|	PROPN
ejde-1684	501	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	502	1	set	set	VERB
ejde-1684	502	2	p+	p+	NOUN
ejde-1684	502	3	=	=	SYM
ejde-1684	502	4	{	{	PUNCT
ejde-1684	502	5	u	u	NOUN
ejde-1684	502	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	502	7	e	e	NOUN
ejde-1684	502	8	:	:	PUNCT
ejde-1684	502	9	u	u	X
ejde-1684	502	10	>	>	X
ejde-1684	502	11	0	0	PUNCT
ejde-1684	503	1	in	in	ADP
ejde-1684	503	2	ω	ω	PROPN
ejde-1684	503	3	and	and	CCONJ
ejde-1684	503	4	∂u	∂u	PROPN
ejde-1684	503	5	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-1684	503	6	<	<	X
ejde-1684	503	7	0	0	PUNCT
ejde-1684	503	8	on	on	ADP
ejde-1684	503	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	503	10	}	}	PUNCT
ejde-1684	503	11	where	where	SCONJ
ejde-1684	503	12	ω	ω	PROPN
ejde-1684	503	13	is	be	AUX
ejde-1684	503	14	the	the	DET
ejde-1684	503	15	outward	outward	ADJ
ejde-1684	503	16	pointing	point	VERB
ejde-1684	503	17	normal	normal	ADJ
ejde-1684	503	18	vector	vector	NOUN
ejde-1684	503	19	to	to	ADP
ejde-1684	503	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	503	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	504	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	504	2	4.6	4.6	NUM
ejde-1684	504	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	505	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	505	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	505	3	h4	h4	PROPN
ejde-1684	505	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	505	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	505	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	505	7	h5	h5	PROPN
ejde-1684	505	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	505	9	hold	hold	VERB
ejde-1684	505	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	506	1	then	then	ADV
ejde-1684	506	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	506	3	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	506	4	/	/	SYM
ejde-1684	506	5	f0	f0	PROPN
ejde-1684	506	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	506	7	0	0	NUM
ejde-1684	506	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	506	9	is	be	AUX
ejde-1684	506	10	a	a	DET
ejde-1684	506	11	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	506	12	point	point	NOUN
ejde-1684	506	13	of	of	ADP
ejde-1684	506	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	506	15	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	506	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	506	17	and	and	CCONJ
ejde-1684	506	18	the	the	DET
ejde-1684	506	19	associated	associated	ADJ
ejde-1684	506	20	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	506	21	branch	branch	NOUN
ejde-1684	506	22	c	c	PROPN
ejde-1684	507	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	508	1	r×e	r×e	PROPN
ejde-1684	508	2	whose	whose	DET
ejde-1684	508	3	closure	closure	NOUN
ejde-1684	508	4	contains	contain	VERB
ejde-1684	508	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	508	6	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	508	7	/	/	SYM
ejde-1684	508	8	f0	f0	PROPN
ejde-1684	508	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	508	10	0	0	NUM
ejde-1684	508	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	508	12	is	be	AUX
ejde-1684	508	13	either	either	CCONJ
ejde-1684	508	14	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	508	15	or	or	CCONJ
ejde-1684	508	16	contains	contain	VERB
ejde-1684	508	17	a	a	DET
ejde-1684	508	18	pair	pair	NOUN
ejde-1684	508	19	(	(	PUNCT
ejde-1684	508	20	λ	λ	NOUN
ejde-1684	508	21	/	/	SYM
ejde-1684	508	22	f0	f0	PROPN
ejde-1684	508	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	508	24	0	0	NUM
ejde-1684	508	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	508	26	where	where	SCONJ
ejde-1684	508	27	λ	λ	PROPN
ejde-1684	508	28	is	be	AUX
ejde-1684	508	29	an	an	DET
ejde-1684	508	30	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	508	31	of	of	ADP
ejde-1684	508	32	(	(	PUNCT
ejde-1684	508	33	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	508	34	)	)	PUNCT
ejde-1684	508	35	and	and	CCONJ
ejde-1684	508	36	λ	λ	PROPN
ejde-1684	508	37	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	508	38	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	508	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	509	1	the	the	DET
ejde-1684	509	2	above	above	ADJ
ejde-1684	509	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	509	4	is	be	AUX
ejde-1684	509	5	an	an	DET
ejde-1684	509	6	application	application	NOUN
ejde-1684	509	7	of	of	ADP
ejde-1684	509	8	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	509	9	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	509	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	510	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	510	2	4.7	4.7	NUM
ejde-1684	510	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	511	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	511	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	511	3	h4	h4	PROPN
ejde-1684	511	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	511	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	511	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	511	7	h5	h5	PROPN
ejde-1684	511	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	511	9	hold	hold	VERB
ejde-1684	511	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	512	1	then	then	ADV
ejde-1684	512	2	c	c	PROPN
ejde-1684	512	3	⊆	⊆	NUM
ejde-1684	512	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	512	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	512	6	r	r	NOUN
ejde-1684	512	7	×	×	PROPN
ejde-1684	512	8	p+	p+	NOUN
ejde-1684	512	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	512	10	∪	∪	ADJ
ejde-1684	512	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	512	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	512	13	/	/	SYM
ejde-1684	512	14	f0	f0	PROPN
ejde-1684	512	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	512	16	0	0	NUM
ejde-1684	512	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	512	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	512	19	and	and	CCONJ
ejde-1684	512	20	the	the	DET
ejde-1684	512	21	last	last	ADJ
ejde-1684	512	22	alternative	alternative	NOUN
ejde-1684	512	23	in	in	ADP
ejde-1684	512	24	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	512	25	4.6	4.6	NUM
ejde-1684	512	26	is	be	AUX
ejde-1684	512	27	impossible	impossible	ADJ
ejde-1684	512	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	513	1	proof	proof	NOUN
ejde-1684	513	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	514	1	by	by	ADP
ejde-1684	514	2	the	the	DET
ejde-1684	514	3	strong	strong	ADJ
ejde-1684	514	4	maximum	maximum	ADJ
ejde-1684	514	5	principle	principle	NOUN
ejde-1684	514	6	[	[	X
ejde-1684	514	7	8	8	NUM
ejde-1684	514	8	]	]	PUNCT
ejde-1684	514	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	514	10	any	any	DET
ejde-1684	514	11	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	514	12	solution	solution	NOUN
ejde-1684	514	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	514	14	λ	λ	NOUN
ejde-1684	514	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	514	16	u	u	NOUN
ejde-1684	514	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	514	18	belongs	belong	VERB
ejde-1684	514	19	to	to	ADP
ejde-1684	514	20	r×p+	r×p+	PROPN
ejde-1684	514	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	515	1	so	so	ADV
ejde-1684	515	2	we	we	PRON
ejde-1684	515	3	have	have	VERB
ejde-1684	515	4	c	c	NOUN
ejde-1684	515	5	⊆	⊆	NUM
ejde-1684	515	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	515	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	515	8	r×p+)∪(r×{0	r×p+)∪(r×{0	X
ejde-1684	515	9	}	}	PUNCT
ejde-1684	515	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	515	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	515	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	516	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	516	2	on	on	ADP
ejde-1684	516	3	the	the	DET
ejde-1684	516	4	contrary	contrary	NOUN
ejde-1684	516	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	516	6	there	there	PRON
ejde-1684	516	7	exists	exist	VERB
ejde-1684	516	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	516	9	λn	λn	NOUN
ejde-1684	516	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	516	11	un	un	PROPN
ejde-1684	516	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	516	13	→	→	SYM
ejde-1684	516	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	516	15	λ	λ	X
ejde-1684	516	16	/	/	SYM
ejde-1684	516	17	f0	f0	PROPN
ejde-1684	516	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	516	19	0	0	NUM
ejde-1684	516	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	516	21	with	with	ADP
ejde-1684	516	22	(	(	PUNCT
ejde-1684	516	23	λn	λn	NOUN
ejde-1684	516	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	516	25	un	un	ADJ
ejde-1684	516	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	516	27	∈	∈	PROPN
ejde-1684	516	28	c	c	PROPN
ejde-1684	516	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	516	30	un	un	PROPN
ejde-1684	516	31	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	516	32	0	0	NUM
ejde-1684	516	33	and	and	CCONJ
ejde-1684	516	34	λ	λ	PROPN
ejde-1684	516	35	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	516	36	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	516	37	.	.	PUNCT
ejde-1684	517	1	let	let	VERB
ejde-1684	517	2	vn	vn	VERB
ejde-1684	517	3	=	=	SYM
ejde-1684	517	4	un/∥un∥∞	un/∥un∥∞	PROPN
ejde-1684	517	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	517	6	then	then	ADV
ejde-1684	517	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	517	8	λn	λn	NOUN
ejde-1684	517	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	517	10	vn	vn	NOUN
ejde-1684	517	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	517	12	satisfies∫	satisfies∫	X
ejde-1684	517	13	ω	ω	NOUN
ejde-1684	517	14	∇vn∇ϕ	∇vn∇ϕ	NOUN
ejde-1684	517	15	=	=	SYM
ejde-1684	517	16	λnf0	λnf0	PROPN
ejde-1684	517	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	517	18	∫	∫	PROPN
ejde-1684	517	19	ω	ω	PROPN
ejde-1684	517	20	|vn|q	|vn|q	PROPN
ejde-1684	517	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	517	22	2	2	NUM
ejde-1684	518	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	518	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	519	1	ω	ω	INTJ
ejde-1684	519	2	|vn|q−2vnϕ+	|vn|q−2vnϕ+	AUX
ejde-1684	519	3	λn	λn	PROPN
ejde-1684	519	4	∥un∥2−q	∥un∥2−q	VERB
ejde-1684	519	5	q	q	NOUN
ejde-1684	519	6	∥un∥2−q	∥un∥2−q	NOUN
ejde-1684	519	7	∞	∞	PROPN
ejde-1684	519	8	∫	∫	PROPN
ejde-1684	519	9	ω	ω	PROPN
ejde-1684	519	10	ξ(un	ξ(un	PROPN
ejde-1684	519	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	519	12	∥un∥q−1	∥un∥q−1	PROPN
ejde-1684	519	13	∞	∞	NUM
ejde-1684	519	14	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-1684	519	15	for	for	ADP
ejde-1684	519	16	all	all	DET
ejde-1684	519	17	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-1684	519	18	∈	∈	PROPN
ejde-1684	519	19	x.	x.	NOUN
ejde-1684	519	20	we	we	PRON
ejde-1684	519	21	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	519	22	that	that	SCONJ
ejde-1684	519	23	there	there	PRON
ejde-1684	519	24	exists	exist	VERB
ejde-1684	519	25	a	a	DET
ejde-1684	519	26	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	519	27	vm	vm	PROPN
ejde-1684	519	28	→	→	SYM
ejde-1684	519	29	v	v	NOUN
ejde-1684	519	30	as	as	ADP
ejde-1684	519	31	m→	m→	PROPN
ejde-1684	519	32	+	+	NOUN
ejde-1684	519	33	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	519	34	now	now	ADV
ejde-1684	519	35	v	v	VERB
ejde-1684	519	36	verifies	verifie	NOUN
ejde-1684	519	37	the	the	DET
ejde-1684	519	38	equation	equation	NOUN
ejde-1684	519	39	∫	∫	PROPN
ejde-1684	519	40	ω	ω	PROPN
ejde-1684	519	41	∇v∇ϕdx	∇v∇ϕdx	ADP
ejde-1684	519	42	=	=	SYM
ejde-1684	519	43	λ̄	λ̄	X
ejde-1684	519	44	(	(	PUNCT
ejde-1684	519	45	∫	∫	PROPN
ejde-1684	519	46	ω	ω	PROPN
ejde-1684	519	47	|v|qdx	|v|qdx	PROPN
ejde-1684	519	48	)	)	PUNCT
ejde-1684	519	49	2	2	NUM
ejde-1684	520	1	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	520	2	∫	∫	PROPN
ejde-1684	520	3	ω	ω	PROPN
ejde-1684	520	4	|v|q−2vϕ	|v|q−2vϕ	NUM
ejde-1684	520	5	dx	dx	PROPN
ejde-1684	520	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	521	1	hence	hence	ADV
ejde-1684	521	2	v	v	PROPN
ejde-1684	521	3	must	must	AUX
ejde-1684	521	4	change	change	VERB
ejde-1684	521	5	sign	sign	NOUN
ejde-1684	521	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	521	7	and	and	CCONJ
ejde-1684	521	8	this	this	PRON
ejde-1684	521	9	is	be	AUX
ejde-1684	521	10	a	a	DET
ejde-1684	521	11	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	521	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	522	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-1684	522	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	522	3	it	it	PRON
ejde-1684	522	4	follows	follow	VERB
ejde-1684	522	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	522	6	c	c	PROPN
ejde-1684	522	7	⊆	⊆	NUM
ejde-1684	522	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	522	9	r	r	NOUN
ejde-1684	522	10	×	×	PROPN
ejde-1684	522	11	p+	p+	NOUN
ejde-1684	522	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	13	∪	∪	ADJ
ejde-1684	522	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	522	15	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	522	16	/	/	SYM
ejde-1684	522	17	f0	f0	PROPN
ejde-1684	522	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	522	19	0	0	NUM
ejde-1684	522	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	522	22	c	c	PROPN
ejde-1684	522	23	is	be	AUX
ejde-1684	522	24	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	522	25	in	in	ADP
ejde-1684	522	26	r×	r×	PROPN
ejde-1684	522	27	e.	e.	PROPN
ejde-1684	522	28	□	□	PUNCT
ejde-1684	522	29	using	use	VERB
ejde-1684	522	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	522	31	h6	h6	PROPN
ejde-1684	522	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	33	,	,	PUNCT
ejde-1684	522	34	we	we	PRON
ejde-1684	522	35	define	define	VERB
ejde-1684	522	36	η	η	PROPN
ejde-1684	522	37	:	:	PUNCT
ejde-1684	522	38	r+	r+	NOUN
ejde-1684	522	39	→	→	SYM
ejde-1684	522	40	r+	r+	X
ejde-1684	522	41	as	as	ADP
ejde-1684	522	42	f(s	f(	NOUN
ejde-1684	522	43	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	44	=	=	SYM
ejde-1684	522	45	f∞|s|q−2s+	f∞|s|q−2s+	VERB
ejde-1684	522	46	η(s	η(s	PROPN
ejde-1684	522	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	48	with	with	ADP
ejde-1684	522	49	lim	lim	PROPN
ejde-1684	522	50	s→+∞	s→+∞	PROPN
ejde-1684	522	51	η(s	η(s	PROPN
ejde-1684	522	52	)	)	PUNCT
ejde-1684	522	53	|s|q−2s	|s|q−2s	NOUN
ejde-1684	523	1	=	=	NOUN
ejde-1684	523	2	0	0	PROPN
ejde-1684	523	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	524	1	then	then	ADV
ejde-1684	524	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	524	3	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	524	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	524	5	is	be	AUX
ejde-1684	524	6	transformed	transform	VERB
ejde-1684	524	7	into	into	ADP
ejde-1684	524	8	−∆u	−∆u	PRON
ejde-1684	525	1	=	=	SYM
ejde-1684	525	2	λf∞	λf∞	PROPN
ejde-1684	525	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	525	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	525	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	525	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	525	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	525	8	2	2	NUM
ejde-1684	525	9	q−1	q−1	NOUN
ejde-1684	525	10	|u|q−2u+	|u|q−2u+	PROPN
ejde-1684	525	11	λ	λ	INTJ
ejde-1684	525	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	525	13	∫	∫	PROPN
ejde-1684	525	14	ω	ω	PROPN
ejde-1684	525	15	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	525	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	525	17	2	2	NUM
ejde-1684	525	18	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	525	19	η(u	η(u	NOUN
ejde-1684	525	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	525	21	in	in	ADP
ejde-1684	525	22	ω	ω	PROPN
ejde-1684	525	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	525	24	u	u	NOUN
ejde-1684	525	25	=	=	NOUN
ejde-1684	525	26	0	0	NUM
ejde-1684	525	27	on	on	ADP
ejde-1684	525	28	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	525	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	525	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	525	31	4.4	4.4	NUM
ejde-1684	525	32	)	)	PUNCT
ejde-1684	525	33	as	as	ADP
ejde-1684	525	34	a	a	DET
ejde-1684	525	35	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	525	36	problem	problem	NOUN
ejde-1684	525	37	from	from	ADP
ejde-1684	525	38	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	525	39	.	.	PUNCT
ejde-1684	526	1	similar	similar	ADJ
ejde-1684	526	2	to	to	ADP
ejde-1684	526	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	526	4	4.6	4.6	NUM
ejde-1684	526	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	526	6	4.7	4.7	NUM
ejde-1684	526	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	526	8	we	we	PRON
ejde-1684	526	9	have	have	VERB
ejde-1684	526	10	the	the	DET
ejde-1684	526	11	following	follow	VERB
ejde-1684	526	12	statement	statement	NOUN
ejde-1684	526	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	527	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	527	2	4.8	4.8	NUM
ejde-1684	527	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	528	1	assume	assume	VERB
ejde-1684	528	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	528	3	h4	h4	PROPN
ejde-1684	528	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	528	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	528	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	528	7	h6	h6	PROPN
ejde-1684	528	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	528	9	hold	hold	VERB
ejde-1684	528	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	529	1	then	then	ADV
ejde-1684	529	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	529	3	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	529	4	/	/	SYM
ejde-1684	529	5	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	529	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	529	7	is	be	AUX
ejde-1684	529	8	a	a	DET
ejde-1684	529	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	529	10	point	point	NOUN
ejde-1684	529	11	of	of	ADP
ejde-1684	529	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	529	13	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	529	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	529	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	530	1	moreover	moreover	ADV
ejde-1684	530	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	530	3	there	there	PRON
ejde-1684	530	4	exists	exist	VERB
ejde-1684	530	5	a	a	DET
ejde-1684	530	6	continuum	continuum	NOUN
ejde-1684	530	7	d	d	X
ejde-1684	530	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	530	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	530	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	530	11	r	r	NOUN
ejde-1684	530	12	×	×	PROPN
ejde-1684	530	13	p+	p+	NOUN
ejde-1684	530	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	530	15	∪	∪	ADJ
ejde-1684	530	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	530	17	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	530	18	/	/	SYM
ejde-1684	530	19	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	530	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	530	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	530	22	of	of	ADP
ejde-1684	530	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	530	24	of	of	ADP
ejde-1684	530	25	problem	problem	NOUN
ejde-1684	530	26	(	(	PUNCT
ejde-1684	530	27	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	530	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	530	29	meeting	meeting	NOUN
ejde-1684	530	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	530	31	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	530	32	/	/	SYM
ejde-1684	530	33	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	530	34	)	)	PUNCT
ejde-1684	530	35	and	and	CCONJ
ejde-1684	530	36	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	530	37	at	at	ADV
ejde-1684	530	38	least	least	ADJ
ejde-1684	530	39	one	one	NUM
ejde-1684	530	40	of	of	ADP
ejde-1684	530	41	the	the	DET
ejde-1684	530	42	alternatives	alternative	NOUN
ejde-1684	530	43	of	of	ADP
ejde-1684	530	44	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	530	45	4.4	4.4	NUM
ejde-1684	530	46	.	.	PUNCT
ejde-1684	531	1	16	16	NUM
ejde-1684	531	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	531	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	531	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	531	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	531	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	531	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	531	8	proof	proof	NOUN
ejde-1684	531	9	of	of	ADP
ejde-1684	531	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	531	11	1.3	1.3	NUM
ejde-1684	531	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	532	1	firstly	firstly	ADV
ejde-1684	532	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	532	3	we	we	PRON
ejde-1684	532	4	define	define	VERB
ejde-1684	532	5	f̃(s	f̃(	NOUN
ejde-1684	532	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	532	7	=	=	PRON
ejde-1684	532	8	{	{	PUNCT
ejde-1684	532	9	f(s	f(s	PROPN
ejde-1684	532	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	532	11	if	if	SCONJ
ejde-1684	532	12	0	0	NUM
ejde-1684	532	13	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	532	14	s	s	PART
ejde-1684	532	15	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	532	16	τ	τ	PROPN
ejde-1684	532	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	532	18	0	0	PUNCT
ejde-1684	532	19	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1684	532	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	532	21	consider	consider	VERB
ejde-1684	532	22	the	the	DET
ejde-1684	532	23	problem	problem	NOUN
ejde-1684	532	24	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1684	533	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	533	2	λ	λ	X
ejde-1684	533	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	533	4	∫	∫	PROPN
ejde-1684	533	5	ω	ω	PROPN
ejde-1684	533	6	|u|qdx	|u|qdx	PROPN
ejde-1684	533	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	533	8	2	2	NUM
ejde-1684	533	9	q−1	q−1	PROPN
ejde-1684	533	10	f̃(u	f̃(u	PROPN
ejde-1684	533	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	533	12	in	in	ADP
ejde-1684	533	13	ω	ω	NUM
ejde-1684	533	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	533	15	u	u	NOUN
ejde-1684	533	16	=	=	NOUN
ejde-1684	533	17	0	0	NUM
ejde-1684	533	18	on	on	ADP
ejde-1684	533	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	533	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	534	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	534	2	4.5	4.5	X
ejde-1684	534	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	534	4	utilizing	utilize	VERB
ejde-1684	534	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	534	6	4.7	4.7	NUM
ejde-1684	534	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	534	8	there	there	PRON
ejde-1684	534	9	exists	exist	VERB
ejde-1684	534	10	a	a	DET
ejde-1684	534	11	continuum	continuum	ADJ
ejde-1684	534	12	c	c	PROPN
ejde-1684	534	13	of	of	ADP
ejde-1684	534	14	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-1684	534	15	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	534	16	of	of	ADP
ejde-1684	534	17	problem	problem	NOUN
ejde-1684	534	18	4.5	4.5	NUM
ejde-1684	534	19	emanating	emanate	VERB
ejde-1684	534	20	from	from	ADP
ejde-1684	534	21	(	(	PUNCT
ejde-1684	534	22	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	534	23	/	/	SYM
ejde-1684	534	24	f0	f0	PROPN
ejde-1684	534	25	,	,	PUNCT
ejde-1684	534	26	0	0	NUM
ejde-1684	534	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	535	1	such	such	ADJ
ejde-1684	535	2	that	that	SCONJ
ejde-1684	535	3	c	c	PROPN
ejde-1684	535	4	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	535	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	535	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	535	7	r×	r×	NOUN
ejde-1684	535	8	p+	p+	NOUN
ejde-1684	535	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	535	10	∪	∪	ADJ
ejde-1684	535	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	535	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	535	13	/	/	SYM
ejde-1684	535	14	f0	f0	PROPN
ejde-1684	535	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	535	16	0	0	NUM
ejde-1684	535	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	535	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	535	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	535	20	meets	meet	VERB
ejde-1684	535	21	∞	∞	PROPN
ejde-1684	535	22	in	in	ADP
ejde-1684	535	23	r×e	r×e	PROPN
ejde-1684	535	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	536	1	we	we	PRON
ejde-1684	536	2	claim	claim	VERB
ejde-1684	536	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	536	4	u	u	PRON
ejde-1684	536	5	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	536	6	τ	τ	PROPN
ejde-1684	536	7	for	for	ADP
ejde-1684	536	8	any	any	DET
ejde-1684	536	9	(	(	PUNCT
ejde-1684	536	10	λ	λ	PROPN
ejde-1684	536	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	536	12	u	u	NOUN
ejde-1684	536	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	536	14	∈	∈	PROPN
ejde-1684	536	15	c	c	PROPN
ejde-1684	536	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	537	1	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	537	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	537	3	by	by	ADP
ejde-1684	537	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	537	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	537	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	537	7	there	there	PRON
ejde-1684	537	8	exists	exist	VERB
ejde-1684	537	9	x	x	X
ejde-1684	537	10	∈	∈	NOUN
ejde-1684	537	11	ω	ω	NUM
ejde-1684	537	12	so	so	SCONJ
ejde-1684	537	13	that	that	SCONJ
ejde-1684	537	14	u(x	u(x	VERB
ejde-1684	537	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	537	16	>	>	PUNCT
ejde-1684	538	1	τ	τ	PROPN
ejde-1684	538	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	539	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	539	2	u	u	PROPN
ejde-1684	539	3	∈	∈	PROPN
ejde-1684	539	4	c1(ω	c1(ω	NUM
ejde-1684	539	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	539	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	539	7	we	we	PRON
ejde-1684	539	8	can	can	AUX
ejde-1684	539	9	find	find	VERB
ejde-1684	539	10	ω1	ω1	PROPN
ejde-1684	539	11	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	539	12	ω	ω	PROPN
ejde-1684	539	13	so	so	SCONJ
ejde-1684	539	14	that	that	SCONJ
ejde-1684	539	15	u(x	u(x	VERB
ejde-1684	539	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	539	17	>	>	PUNCT
ejde-1684	540	1	τ	τ	PROPN
ejde-1684	540	2	in	in	ADP
ejde-1684	540	3	ω1	ω1	PROPN
ejde-1684	540	4	and	and	CCONJ
ejde-1684	540	5	u(x	u(x	NOUN
ejde-1684	540	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	540	7	=	=	PUNCT
ejde-1684	540	8	τ	τ	PROPN
ejde-1684	540	9	on	on	ADP
ejde-1684	540	10	∂ω1	∂ω1	PROPN
ejde-1684	540	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	541	1	this	this	PRON
ejde-1684	541	2	leads	lead	VERB
ejde-1684	541	3	to	to	ADP
ejde-1684	541	4	the	the	DET
ejde-1684	541	5	equation	equation	NOUN
ejde-1684	541	6	−∆u	−∆u	PUNCT
ejde-1684	542	1	=	=	PUNCT
ejde-1684	542	2	0	0	NUM
ejde-1684	542	3	in	in	ADP
ejde-1684	542	4	ω1	ω1	PROPN
ejde-1684	542	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	542	6	u	u	NOUN
ejde-1684	542	7	=	=	PROPN
ejde-1684	542	8	τ	τ	PROPN
ejde-1684	542	9	on	on	ADP
ejde-1684	542	10	∂ω1	∂ω1	PROPN
ejde-1684	542	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	543	1	this	this	PRON
ejde-1684	543	2	leads	lead	VERB
ejde-1684	543	3	to	to	ADP
ejde-1684	543	4	a	a	DET
ejde-1684	543	5	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	543	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	543	7	as	as	SCONJ
ejde-1684	543	8	it	it	PRON
ejde-1684	543	9	follows	follow	VERB
ejde-1684	543	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	543	11	u(x	u(x	VERB
ejde-1684	543	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	543	13	=	=	PUNCT
ejde-1684	543	14	τ	τ	PROPN
ejde-1684	543	15	in	in	ADP
ejde-1684	543	16	ω1	ω1	PROPN
ejde-1684	543	17	by	by	ADP
ejde-1684	543	18	maximum	maximum	ADJ
ejde-1684	543	19	principle	principle	NOUN
ejde-1684	543	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	544	1	this	this	PRON
ejde-1684	544	2	substantiates	substantiate	VERB
ejde-1684	544	3	the	the	DET
ejde-1684	544	4	assertion	assertion	NOUN
ejde-1684	544	5	and	and	CCONJ
ejde-1684	544	6	consequently	consequently	ADV
ejde-1684	544	7	indicates	indicate	VERB
ejde-1684	544	8	that	that	SCONJ
ejde-1684	544	9	u	u	NOUN
ejde-1684	544	10	is	be	AUX
ejde-1684	544	11	also	also	ADV
ejde-1684	544	12	a	a	DET
ejde-1684	544	13	solution	solution	NOUN
ejde-1684	544	14	of	of	ADP
ejde-1684	544	15	(	(	PUNCT
ejde-1684	544	16	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	544	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	544	18	for	for	ADP
ejde-1684	544	19	any	any	DET
ejde-1684	544	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	544	21	λ	λ	PROPN
ejde-1684	544	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	544	23	u	u	NOUN
ejde-1684	544	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	544	25	∈	∈	PROPN
ejde-1684	544	26	c	c	PROPN
ejde-1684	544	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	545	1	subsequently	subsequently	ADV
ejde-1684	545	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	545	3	we	we	PRON
ejde-1684	545	4	will	will	AUX
ejde-1684	545	5	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1684	545	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	545	7	the	the	DET
ejde-1684	545	8	projection	projection	NOUN
ejde-1684	545	9	of	of	ADP
ejde-1684	545	10	c	c	PROPN
ejde-1684	545	11	on	on	ADP
ejde-1684	545	12	r	r	NOUN
ejde-1684	545	13	is	be	AUX
ejde-1684	545	14	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	545	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	546	1	it	it	PRON
ejde-1684	546	2	is	be	AUX
ejde-1684	546	3	adequate	adequate	ADJ
ejde-1684	546	4	to	to	PART
ejde-1684	546	5	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1684	546	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	546	7	the	the	DET
ejde-1684	546	8	set	set	NOUN
ejde-1684	546	9	{	{	PUNCT
ejde-1684	546	10	(	(	PUNCT
ejde-1684	546	11	λ	λ	PROPN
ejde-1684	546	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	546	13	u	u	NOUN
ejde-1684	546	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	546	15	∈	∈	PROPN
ejde-1684	546	16	c	c	NOUN
ejde-1684	546	17	:	:	PUNCT
ejde-1684	546	18	λ	λ	X
ejde-1684	546	19	∈	∈	PROPN
ejde-1684	546	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	546	21	0	0	NUM
ejde-1684	546	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	546	23	d	d	X
ejde-1684	546	24	]	]	X
ejde-1684	546	25	}	}	PUNCT
ejde-1684	546	26	is	be	AUX
ejde-1684	546	27	bounded	bound	VERB
ejde-1684	546	28	for	for	ADP
ejde-1684	546	29	any	any	DET
ejde-1684	546	30	fixed	fix	VERB
ejde-1684	546	31	d	d	X
ejde-1684	546	32	∈	∈	PROPN
ejde-1684	546	33	(	(	PUNCT
ejde-1684	546	34	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-1684	546	35	)	)	PUNCT
ejde-1684	546	36	.	.	PUNCT
ejde-1684	547	1	arguing	argue	VERB
ejde-1684	547	2	by	by	ADP
ejde-1684	547	3	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	547	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	547	5	if	if	SCONJ
ejde-1684	547	6	there	there	PRON
ejde-1684	547	7	exists	exist	VERB
ejde-1684	547	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	547	9	λn	λn	NOUN
ejde-1684	547	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	547	11	un	un	PROPN
ejde-1684	547	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	547	13	∈	∈	PROPN
ejde-1684	547	14	c	c	PROPN
ejde-1684	547	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	547	16	such	such	ADJ
ejde-1684	547	17	that	that	SCONJ
ejde-1684	547	18	λn	λn	NOUN
ejde-1684	547	19	→	→	SYM
ejde-1684	547	20	λ′	λ′	X
ejde-1684	547	21	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	547	22	d	d	PROPN
ejde-1684	547	23	,	,	PUNCT
ejde-1684	547	24	un	un	PROPN
ejde-1684	547	25	→	→	PROPN
ejde-1684	547	26	+	+	ADJ
ejde-1684	547	27	∞	∞	PROPN
ejde-1684	547	28	as	as	ADP
ejde-1684	547	29	n→	n→	ADV
ejde-1684	547	30	+	+	PROPN
ejde-1684	547	31	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	547	32	let	let	VERB
ejde-1684	547	33	wn	wn	PROPN
ejde-1684	547	34	=	=	PRON
ejde-1684	547	35	un/∥un∥c1	un/∥un∥c1	PROPN
ejde-1684	547	36	.	.	PUNCT
ejde-1684	548	1	then	then	ADV
ejde-1684	548	2	we	we	PRON
ejde-1684	548	3	have	have	VERB
ejde-1684	548	4	that	that	PRON
ejde-1684	548	5	wn	wn	PROPN
ejde-1684	548	6	=	=	PUNCT
ejde-1684	548	7	q	q	PROPN
ejde-1684	549	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	549	2	λn	λn	NOUN
ejde-1684	549	3	∥un∥2−q	∥un∥2−q	VERB
ejde-1684	549	4	q	q	NOUN
ejde-1684	549	5	∥un∥2−q	∥un∥2−q	PROPN
ejde-1684	549	6	c1	c1	PROPN
ejde-1684	549	7	f̃(un	f̃(un	NOUN
ejde-1684	549	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	549	9	∥un∥q−1	∥un∥q−1	PROPN
ejde-1684	549	10	c1	c1	PROPN
ejde-1684	549	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	549	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	550	1	where	where	SCONJ
ejde-1684	550	2	q	q	NOUN
ejde-1684	550	3	=	=	PUNCT
ejde-1684	550	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	550	5	−∆)−1	−∆)−1	PROPN
ejde-1684	550	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	551	1	clearly	clearly	ADV
ejde-1684	551	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	551	3	we	we	PRON
ejde-1684	551	4	have	have	VERB
ejde-1684	551	5	that	that	DET
ejde-1684	551	6	f̃(un	f̃(un	NOUN
ejde-1684	551	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	551	8	⩽	⩽	ADJ
ejde-1684	551	9	max	max	PROPN
ejde-1684	552	1	[	[	X
ejde-1684	552	2	0,τ	0,τ	X
ejde-1684	552	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	552	4	|f(s)|	|f(s)|	PROPN
ejde-1684	552	5	.	.	PUNCT
ejde-1684	553	1	it	it	PRON
ejde-1684	553	2	means	mean	VERB
ejde-1684	553	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	553	4	λn	λn	NOUN
ejde-1684	553	5	∥un∥2−q	∥un∥2−q	VERB
ejde-1684	553	6	q	q	NOUN
ejde-1684	553	7	∥un∥2−q	∥un∥2−q	PROPN
ejde-1684	553	8	c1	c1	PROPN
ejde-1684	553	9	f̃(un	f̃(un	NOUN
ejde-1684	553	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	553	11	∥un∥q−1	∥un∥q−1	PROPN
ejde-1684	553	12	c1	c1	NOUN
ejde-1684	553	13	→	→	SYM
ejde-1684	553	14	0	0	PUNCT
ejde-1684	553	15	as	as	ADP
ejde-1684	553	16	n→	n→	ADV
ejde-1684	553	17	+	+	PROPN
ejde-1684	553	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	553	19	by	by	ADP
ejde-1684	553	20	the	the	DET
ejde-1684	553	21	compactness	compactness	NOUN
ejde-1684	553	22	of	of	ADP
ejde-1684	553	23	q	q	NOUN
ejde-1684	553	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	553	25	we	we	PRON
ejde-1684	553	26	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	553	27	that	that	PRON
ejde-1684	553	28	for	for	ADP
ejde-1684	553	29	some	some	DET
ejde-1684	553	30	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-1684	553	31	wn	wn	PROPN
ejde-1684	553	32	→	→	SYM
ejde-1684	553	33	0	0	PROPN
ejde-1684	553	34	as	as	SCONJ
ejde-1684	553	35	n	n	PRON
ejde-1684	553	36	→	→	PUNCT
ejde-1684	553	37	+	+	PROPN
ejde-1684	553	38	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	553	39	this	this	DET
ejde-1684	553	40	result	result	NOUN
ejde-1684	553	41	stands	stand	VERB
ejde-1684	553	42	in	in	ADP
ejde-1684	553	43	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	553	44	to	to	ADP
ejde-1684	553	45	the	the	DET
ejde-1684	553	46	assertion	assertion	NOUN
ejde-1684	553	47	that	that	SCONJ
ejde-1684	553	48	∥wn∥c1	∥wn∥c1	ADV
ejde-1684	553	49	=	=	SYM
ejde-1684	553	50	1	1	X
ejde-1684	553	51	.	.	PUNCT
ejde-1684	554	1	this	this	PRON
ejde-1684	554	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	554	3	in	in	ADP
ejde-1684	554	4	conjunction	conjunction	NOUN
ejde-1684	554	5	with	with	ADP
ejde-1684	554	6	the	the	DET
ejde-1684	554	7	observation	observation	NOUN
ejde-1684	554	8	that	that	PRON
ejde-1684	554	9	c	c	PROPN
ejde-1684	554	10	joins	join	VERB
ejde-1684	554	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	554	13	/	/	SYM
ejde-1684	554	14	f0	f0	PROPN
ejde-1684	554	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	554	16	0	0	NUM
ejde-1684	554	17	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	18	to	to	PART
ejde-1684	554	19	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	554	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	554	21	indicates	indicate	VERB
ejde-1684	554	22	that	that	SCONJ
ejde-1684	554	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	24	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	554	25	/	/	SYM
ejde-1684	554	26	f0,+∞	f0,+∞	PROPN
ejde-1684	554	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	28	⊆	⊆	NUM
ejde-1684	554	29	proj(c	proj(c	NOUN
ejde-1684	554	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	31	where	where	SCONJ
ejde-1684	554	32	proj(c	proj(c	NOUN
ejde-1684	554	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	34	denotes	denote	VERB
ejde-1684	554	35	the	the	DET
ejde-1684	554	36	projection	projection	NOUN
ejde-1684	554	37	of	of	ADP
ejde-1684	554	38	c	c	PROPN
ejde-1684	554	39	on	on	ADP
ejde-1684	554	40	r.	r.	PROPN
ejde-1684	554	41	applying	apply	VERB
ejde-1684	554	42	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	554	43	4.8	4.8	NUM
ejde-1684	554	44	,	,	PUNCT
ejde-1684	554	45	there	there	PRON
ejde-1684	554	46	exists	exist	VERB
ejde-1684	554	47	a	a	DET
ejde-1684	554	48	continuum	continuum	NOUN
ejde-1684	554	49	d	d	X
ejde-1684	554	50	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	554	51	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	52	r	r	NOUN
ejde-1684	554	53	×	×	PROPN
ejde-1684	554	54	p+	p+	NOUN
ejde-1684	554	55	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	56	∪	∪	ADJ
ejde-1684	554	57	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	58	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	554	59	/	/	SYM
ejde-1684	554	60	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	554	61	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	62	of	of	ADP
ejde-1684	554	63	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	554	64	of	of	ADP
ejde-1684	554	65	problem	problem	NOUN
ejde-1684	554	66	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	67	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	554	68	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	69	meeting	meeting	NOUN
ejde-1684	554	70	(	(	PUNCT
ejde-1684	554	71	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	554	72	/	/	SYM
ejde-1684	554	73	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	554	74	)	)	PUNCT
ejde-1684	554	75	and	and	CCONJ
ejde-1684	554	76	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	554	77	at	at	ADV
ejde-1684	554	78	least	least	ADJ
ejde-1684	554	79	one	one	NUM
ejde-1684	554	80	of	of	ADP
ejde-1684	554	81	the	the	DET
ejde-1684	554	82	alternatives	alternative	NOUN
ejde-1684	554	83	of	of	ADP
ejde-1684	554	84	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	554	85	4.4	4.4	NUM
ejde-1684	554	86	.	.	PUNCT
ejde-1684	555	1	in	in	ADP
ejde-1684	555	2	addition	addition	NOUN
ejde-1684	555	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	555	4	it	it	PRON
ejde-1684	555	5	is	be	AUX
ejde-1684	555	6	relatively	relatively	ADV
ejde-1684	555	7	straightforward	straightforward	ADJ
ejde-1684	555	8	to	to	PART
ejde-1684	555	9	confirm	confirm	VERB
ejde-1684	555	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	555	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	555	12	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	555	13	/	/	SYM
ejde-1684	555	14	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	555	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	555	16	is	be	AUX
ejde-1684	555	17	the	the	DET
ejde-1684	555	18	unique	unique	ADJ
ejde-1684	555	19	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	555	20	point	point	NOUN
ejde-1684	555	21	of	of	ADP
ejde-1684	555	22	positive	positive	ADJ
ejde-1684	555	23	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	555	24	of	of	ADP
ejde-1684	555	25	(	(	PUNCT
ejde-1684	555	26	4.1	4.1	NUM
ejde-1684	555	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	555	28	from	from	ADP
ejde-1684	555	29	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	555	30	we	we	PRON
ejde-1684	555	31	will	will	AUX
ejde-1684	555	32	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-1684	555	33	that	that	SCONJ
ejde-1684	555	34	these	these	DET
ejde-1684	555	35	two	two	NUM
ejde-1684	555	36	components	component	NOUN
ejde-1684	555	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	555	38	c	c	PROPN
ejde-1684	555	39	and	and	CCONJ
ejde-1684	555	40	d	d	PROPN
ejde-1684	555	41	,	,	PUNCT
ejde-1684	555	42	are	be	AUX
ejde-1684	555	43	disjoint	disjoint	ADJ
ejde-1684	555	44	.	.	PUNCT
ejde-1684	556	1	let	let	VERB
ejde-1684	556	2	f	f	NOUN
ejde-1684	556	3	=	=	PRON
ejde-1684	556	4	{	{	PUNCT
ejde-1684	556	5	u	u	NOUN
ejde-1684	556	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	556	7	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-1684	556	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	556	9	:	:	PUNCT
ejde-1684	557	1	u	u	NOUN
ejde-1684	557	2	=	=	NOUN
ejde-1684	557	3	0	0	NUM
ejde-1684	557	4	on	on	ADP
ejde-1684	557	5	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-1684	557	6	}	}	PUNCT
ejde-1684	557	7	with	with	ADP
ejde-1684	557	8	the	the	DET
ejde-1684	557	9	usual	usual	ADJ
ejde-1684	557	10	norm	norm	NOUN
ejde-1684	557	11	∥u∥∞	∥u∥∞	X
ejde-1684	557	12	=	=	SYM
ejde-1684	557	13	max	max	PROPN
ejde-1684	557	14	ω	ω	PROPN
ejde-1684	557	15	|u|	|u|	PROPN
ejde-1684	557	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	558	1	it	it	PRON
ejde-1684	558	2	is	be	AUX
ejde-1684	558	3	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-1684	558	4	to	to	PART
ejde-1684	558	5	show	show	VERB
ejde-1684	558	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	558	7	c	c	PROPN
ejde-1684	558	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	558	9	d	d	PROPN
ejde-1684	558	10	are	be	AUX
ejde-1684	558	11	disjoint	disjoint	ADJ
ejde-1684	558	12	in	in	ADP
ejde-1684	558	13	r	r	PROPN
ejde-1684	558	14	×	×	PROPN
ejde-1684	558	15	f	f	NOUN
ejde-1684	558	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	559	1	we	we	PRON
ejde-1684	559	2	first	first	ADV
ejde-1684	559	3	claim	claim	VERB
ejde-1684	559	4	that	that	SCONJ
ejde-1684	559	5	d	d	NOUN
ejde-1684	559	6	is	be	AUX
ejde-1684	559	7	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	559	8	in	in	ADP
ejde-1684	559	9	the	the	DET
ejde-1684	559	10	direction	direction	NOUN
ejde-1684	559	11	of	of	ADP
ejde-1684	559	12	f	f	PROPN
ejde-1684	559	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	560	1	and	and	CCONJ
ejde-1684	560	2	this	this	PRON
ejde-1684	560	3	only	only	ADV
ejde-1684	560	4	requires	require	VERB
ejde-1684	560	5	proving	prove	VERB
ejde-1684	560	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	560	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	560	8	λ1	λ1	X
ejde-1684	560	9	/	/	SYM
ejde-1684	560	10	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	560	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	560	12	0	0	NUM
ejde-1684	560	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	560	14	is	be	AUX
ejde-1684	560	15	a	a	DET
ejde-1684	560	16	blow	blow	NOUN
ejde-1684	560	17	-	-	PUNCT
ejde-1684	560	18	up	up	ADP
ejde-1684	560	19	point	point	NOUN
ejde-1684	560	20	of	of	ADP
ejde-1684	560	21	d	d	PROPN
ejde-1684	560	22	in	in	ADP
ejde-1684	560	23	r	r	NOUN
ejde-1684	560	24	×	×	PROPN
ejde-1684	560	25	f	f	X
ejde-1684	560	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	561	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-1684	561	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	561	3	there	there	PRON
ejde-1684	561	4	exists	exist	VERB
ejde-1684	561	5	m	m	VERB
ejde-1684	561	6	>	>	X
ejde-1684	561	7	0	0	NUM
ejde-1684	562	1	such	such	ADJ
ejde-1684	562	2	that	that	PRON
ejde-1684	562	3	∥un∥∞	∥un∥∞	ADJ
ejde-1684	562	4	⩽	⩽	NOUN
ejde-1684	562	5	m	m	VERB
ejde-1684	562	6	for	for	ADP
ejde-1684	562	7	any	any	DET
ejde-1684	562	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	562	9	λn	λn	NOUN
ejde-1684	562	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	562	11	un	un	ADJ
ejde-1684	562	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	562	13	∈	∈	PROPN
ejde-1684	562	14	d	d	NOUN
ejde-1684	562	15	with	with	ADP
ejde-1684	562	16	λn	λn	NOUN
ejde-1684	562	17	→	→	SYM
ejde-1684	562	18	λ1	λ1	X
ejde-1684	562	19	/	/	SYM
ejde-1684	562	20	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	562	21	as	as	ADP
ejde-1684	562	22	n	n	PROPN
ejde-1684	562	23	→	→	PUNCT
ejde-1684	562	24	+	+	PROPN
ejde-1684	562	25	∞.	∞.	PROPN
ejde-1684	562	26	applying	apply	VERB
ejde-1684	562	27	[	[	NOUN
ejde-1684	562	28	8	8	NUM
ejde-1684	562	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	562	30	theorem	theorem	VERB
ejde-1684	562	31	8.33	8.33	NUM
ejde-1684	562	32	of	of	ADP
ejde-1684	562	33	]	]	PUNCT
ejde-1684	562	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	562	35	we	we	PRON
ejde-1684	562	36	obtain	obtain	VERB
ejde-1684	562	37	that	that	PRON
ejde-1684	562	38	∥un∥c1	∥un∥c1	VERB
ejde-1684	562	39	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	562	40	m	m	VERB
ejde-1684	562	41	′	′	NUM
ejde-1684	562	42	for	for	ADP
ejde-1684	562	43	some	some	DET
ejde-1684	562	44	positive	positive	ADJ
ejde-1684	562	45	constant	constant	ADJ
ejde-1684	562	46	m	m	NOUN
ejde-1684	562	47	′	′	NOUN
ejde-1684	562	48	,	,	PUNCT
ejde-1684	562	49	which	which	PRON
ejde-1684	562	50	contradicts	contradict	VERB
ejde-1684	562	51	the	the	DET
ejde-1684	562	52	fact	fact	NOUN
ejde-1684	562	53	of	of	ADP
ejde-1684	562	54	d	d	PROPN
ejde-1684	562	55	meeting	meeting	NOUN
ejde-1684	562	56	(	(	PUNCT
ejde-1684	562	57	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	562	58	/	/	SYM
ejde-1684	562	59	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	562	60	)	)	PUNCT
ejde-1684	562	61	.	.	PUNCT
ejde-1684	563	1	let	let	VERB
ejde-1684	563	2	us	we	PRON
ejde-1684	563	3	assume	assume	VERB
ejde-1684	563	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	563	5	for	for	ADP
ejde-1684	563	6	the	the	DET
ejde-1684	563	7	sake	sake	NOUN
ejde-1684	563	8	of	of	ADP
ejde-1684	563	9	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-1684	563	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	563	11	that	that	SCONJ
ejde-1684	563	12	c	c	NOUN
ejde-1684	563	13	∩	∩	PROPN
ejde-1684	563	14	d	d	PROPN
ejde-1684	563	15	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	563	16	∅	∅	NOUN
ejde-1684	563	17	in	in	ADP
ejde-1684	563	18	r×	r×	PROPN
ejde-1684	563	19	f	f	PROPN
ejde-1684	563	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	564	1	since	since	SCONJ
ejde-1684	564	2	d	d	PROPN
ejde-1684	564	3	is	be	AUX
ejde-1684	564	4	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	564	5	in	in	ADP
ejde-1684	564	6	the	the	DET
ejde-1684	564	7	direction	direction	NOUN
ejde-1684	564	8	of	of	ADP
ejde-1684	564	9	f	f	PROPN
ejde-1684	564	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	564	11	ejde-2025/105	ejde-2025/105	ADP
ejde-1684	564	12	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	564	13	for	for	ADP
ejde-1684	564	14	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	564	15	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	564	16	problems	problem	NOUN
ejde-1684	564	17	17	17	NUM
ejde-1684	564	18	there	there	PRON
ejde-1684	564	19	exists	exist	VERB
ejde-1684	564	20	(	(	PUNCT
ejde-1684	564	21	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-1684	564	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	564	23	u∗	u∗	PROPN
ejde-1684	564	24	)	)	PUNCT
ejde-1684	564	25	∈	∈	PROPN
ejde-1684	564	26	(	(	PUNCT
ejde-1684	564	27	c	c	NOUN
ejde-1684	564	28	∩	∩	X
ejde-1684	564	29	d	d	NOUN
ejde-1684	564	30	)	)	PUNCT
ejde-1684	564	31	such	such	ADJ
ejde-1684	564	32	that	that	SCONJ
ejde-1684	564	33	maxω	maxω	PROPN
ejde-1684	564	34	u	u	NOUN
ejde-1684	564	35	∗	∗	NOUN
ejde-1684	564	36	=	=	SYM
ejde-1684	564	37	τ	τ	PROPN
ejde-1684	564	38	.	.	PUNCT
ejde-1684	565	1	due	due	ADP
ejde-1684	565	2	to	to	ADP
ejde-1684	565	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	565	4	h4	h4	PROPN
ejde-1684	565	5	)	)	PUNCT
ejde-1684	565	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	565	7	there	there	PRON
ejde-1684	565	8	exists	exist	VERB
ejde-1684	565	9	0	0	PUNCT
ejde-1684	565	10	<	<	X
ejde-1684	565	11	κ	κ	X
ejde-1684	565	12	<	<	X
ejde-1684	565	13	+	+	NOUN
ejde-1684	565	14	∞	∞	NUM
ejde-1684	565	15	such	such	ADJ
ejde-1684	565	16	that	that	PRON
ejde-1684	565	17	f(s	f(	NOUN
ejde-1684	565	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	565	19	⩽	⩽	ADJ
ejde-1684	565	20	κ(τ	κ(τ	PROPN
ejde-1684	565	21	−	−	PROPN
ejde-1684	565	22	s	s	NOUN
ejde-1684	565	23	)	)	PUNCT
ejde-1684	565	24	for	for	ADP
ejde-1684	565	25	any	any	DET
ejde-1684	565	26	s	s	X
ejde-1684	565	27	∈	∈	NOUN
ejde-1684	566	1	[	[	X
ejde-1684	566	2	0	0	NUM
ejde-1684	566	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	566	4	τ	τ	X
ejde-1684	566	5	]	]	PUNCT
ejde-1684	566	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	567	1	so	so	ADV
ejde-1684	567	2	we	we	PRON
ejde-1684	567	3	have	have	VERB
ejde-1684	567	4	−∆(τ	−∆(τ	ADJ
ejde-1684	567	5	−	−	PROPN
ejde-1684	567	6	u∗	u∗	PROPN
ejde-1684	567	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	568	1	+	+	CCONJ
ejde-1684	569	1	λ∗κ∥u∗∥2−q	λ∗κ∥u∗∥2−q	PROPN
ejde-1684	569	2	q	q	X
ejde-1684	569	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	569	4	τ	τ	X
ejde-1684	569	5	−	−	PROPN
ejde-1684	569	6	u∗	u∗	PROPN
ejde-1684	569	7	)	)	PUNCT
ejde-1684	569	8	≥	≥	NOUN
ejde-1684	569	9	0	0	NUM
ejde-1684	569	10	in	in	ADP
ejde-1684	569	11	ω	ω	PROPN
ejde-1684	569	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	569	13	τ	τ	PROPN
ejde-1684	569	14	−	−	NOUN
ejde-1684	569	15	u∗	u∗	ADV
ejde-1684	569	16	>	>	X
ejde-1684	569	17	0	0	PUNCT
ejde-1684	570	1	on	on	ADP
ejde-1684	570	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-1684	570	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	571	1	the	the	DET
ejde-1684	571	2	strong	strong	ADJ
ejde-1684	571	3	maximum	maximum	ADJ
ejde-1684	571	4	principle	principle	NOUN
ejde-1684	571	5	of	of	ADP
ejde-1684	571	6	[	[	X
ejde-1684	571	7	8	8	NUM
ejde-1684	571	8	]	]	PUNCT
ejde-1684	571	9	implies	imply	VERB
ejde-1684	571	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	571	11	τ	τ	PROPN
ejde-1684	571	12	>	>	X
ejde-1684	571	13	u	u	PROPN
ejde-1684	571	14	in	in	ADP
ejde-1684	571	15	ω	ω	PROPN
ejde-1684	571	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	572	1	this	this	DET
ejde-1684	572	2	statement	statement	NOUN
ejde-1684	572	3	presents	present	VERB
ejde-1684	572	4	a	a	DET
ejde-1684	572	5	paradox	paradox	NOUN
ejde-1684	572	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	573	1	thus	thus	ADV
ejde-1684	573	2	d	d	X
ejde-1684	573	3	−	−	NOUN
ejde-1684	573	4	m	m	VERB
ejde-1684	573	5	is	be	AUX
ejde-1684	573	6	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	573	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	573	8	where	where	SCONJ
ejde-1684	573	9	m	m	NOUN
ejde-1684	573	10	is	be	AUX
ejde-1684	573	11	a	a	DET
ejde-1684	573	12	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-1684	573	13	of	of	ADP
ejde-1684	573	14	(	(	PUNCT
ejde-1684	573	15	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	573	16	/	/	SYM
ejde-1684	573	17	f∞,∞	f∞,∞	PROPN
ejde-1684	573	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	573	19	whose	whose	DET
ejde-1684	573	20	projection	projection	NOUN
ejde-1684	573	21	on	on	ADP
ejde-1684	573	22	r	r	NOUN
ejde-1684	573	23	contains	contain	VERB
ejde-1684	573	24	λ1	λ1	PROPN
ejde-1684	573	25	/	/	SYM
ejde-1684	573	26	f∞	f∞	NOUN
ejde-1684	573	27	and	and	CCONJ
ejde-1684	573	28	whose	whose	DET
ejde-1684	573	29	projection	projection	NOUN
ejde-1684	573	30	on	on	ADP
ejde-1684	573	31	e	e	PROPN
ejde-1684	573	32	is	be	AUX
ejde-1684	573	33	bounded	bound	VERB
ejde-1684	573	34	away	away	ADV
ejde-1684	573	35	from	from	ADP
ejde-1684	573	36	0	0	NUM
ejde-1684	573	37	.	.	PUNCT
ejde-1684	574	1	we	we	PRON
ejde-1684	574	2	claim	claim	VERB
ejde-1684	574	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	575	1	d	d	PROPN
ejde-1684	575	2	−	−	NOUN
ejde-1684	576	1	m	m	VERB
ejde-1684	576	2	has	have	VERB
ejde-1684	576	3	an	an	DET
ejde-1684	576	4	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-1684	576	5	projection	projection	NOUN
ejde-1684	576	6	on	on	ADP
ejde-1684	576	7	r.	r.	PROPN
ejde-1684	576	8	this	this	PRON
ejde-1684	576	9	only	only	ADV
ejde-1684	576	10	needs	need	VERB
ejde-1684	576	11	to	to	PART
ejde-1684	576	12	examine	examine	VERB
ejde-1684	576	13	that	that	SCONJ
ejde-1684	576	14	the	the	DET
ejde-1684	576	15	case	case	NOUN
ejde-1684	576	16	of	of	ADP
ejde-1684	576	17	d	d	PROPN
ejde-1684	576	18	−	−	PROPN
ejde-1684	576	19	m	m	AUX
ejde-1684	576	20	meeting	meet	VERB
ejde-1684	576	21	(	(	PUNCT
ejde-1684	576	22	λj	λj	PROPN
ejde-1684	576	23	/	/	SYM
ejde-1684	576	24	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	576	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	576	26	for	for	ADP
ejde-1684	576	27	some	some	DET
ejde-1684	576	28	j	j	PROPN
ejde-1684	576	29	>	>	X
ejde-1684	576	30	1	1	NUM
ejde-1684	576	31	is	be	AUX
ejde-1684	576	32	not	not	PART
ejde-1684	576	33	feasible	feasible	ADJ
ejde-1684	576	34	,	,	PUNCT
ejde-1684	576	35	where	where	SCONJ
ejde-1684	576	36	λj	λj	PROPN
ejde-1684	576	37	denotes	denote	VERB
ejde-1684	576	38	the	the	DET
ejde-1684	576	39	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	576	40	of	of	ADP
ejde-1684	576	41	jth	jth	PROPN
ejde-1684	576	42	of	of	ADP
ejde-1684	576	43	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	576	44	problem	problem	NOUN
ejde-1684	576	45	(	(	PUNCT
ejde-1684	576	46	1.2	1.2	NUM
ejde-1684	576	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	576	48	.	.	PUNCT
ejde-1684	577	1	if	if	SCONJ
ejde-1684	577	2	not	not	PART
ejde-1684	577	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	577	4	we	we	PRON
ejde-1684	577	5	assume	assume	VERB
ejde-1684	577	6	that	that	SCONJ
ejde-1684	578	1	d	d	PROPN
ejde-1684	578	2	−	−	NOUN
ejde-1684	578	3	m	m	VERB
ejde-1684	578	4	meets	meet	VERB
ejde-1684	578	5	(	(	PUNCT
ejde-1684	578	6	λj	λj	PROPN
ejde-1684	578	7	/	/	SYM
ejde-1684	578	8	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	578	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	578	10	for	for	ADP
ejde-1684	578	11	some	some	DET
ejde-1684	578	12	j	j	PROPN
ejde-1684	578	13	>	>	X
ejde-1684	578	14	1	1	X
ejde-1684	578	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	579	1	so	so	ADV
ejde-1684	579	2	there	there	PRON
ejde-1684	579	3	exists	exist	VERB
ejde-1684	579	4	a	a	DET
ejde-1684	579	5	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-1684	579	6	ñ	ñ	VERB
ejde-1684	580	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	580	2	m̃	m̃	PROPN
ejde-1684	580	3	of	of	ADP
ejde-1684	580	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	5	λj	λj	PROPN
ejde-1684	580	6	/	/	SYM
ejde-1684	580	7	f∞,∞	f∞,∞	PROPN
ejde-1684	580	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	9	such	such	ADJ
ejde-1684	580	10	that	that	SCONJ
ejde-1684	580	11	u	u	PROPN
ejde-1684	580	12	must	must	AUX
ejde-1684	580	13	change	change	VERB
ejde-1684	580	14	sign	sign	NOUN
ejde-1684	580	15	for	for	ADP
ejde-1684	580	16	any	any	DET
ejde-1684	580	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	18	λ	λ	PROPN
ejde-1684	580	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	580	20	u	u	NOUN
ejde-1684	580	21	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	22	∈	∈	PROPN
ejde-1684	580	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	25	d	d	NOUN
ejde-1684	580	26	−	−	PROPN
ejde-1684	580	27	m	m	NOUN
ejde-1684	580	28	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	29	∩	∩	NOUN
ejde-1684	580	30	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	31	ñ	ñ	VERB
ejde-1684	580	32	\	\	NOUN
ejde-1684	580	33	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	34	λj	λj	PROPN
ejde-1684	580	35	/	/	SYM
ejde-1684	580	36	f∞,∞	f∞,∞	NUM
ejde-1684	580	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	38	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	39	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	40	,	,	PUNCT
ejde-1684	580	41	where	where	SCONJ
ejde-1684	580	42	m̃	m̃	PROPN
ejde-1684	580	43	is	be	AUX
ejde-1684	580	44	a	a	DET
ejde-1684	580	45	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-1684	580	46	of	of	ADP
ejde-1684	580	47	(	(	PUNCT
ejde-1684	580	48	λj	λj	PROPN
ejde-1684	580	49	/	/	SYM
ejde-1684	580	50	f∞,∞	f∞,∞	PROPN
ejde-1684	580	51	)	)	PUNCT
ejde-1684	580	52	which	which	PRON
ejde-1684	580	53	satisfies	satisfy	VERB
ejde-1684	580	54	the	the	DET
ejde-1684	580	55	assumptions	assumption	NOUN
ejde-1684	580	56	of	of	ADP
ejde-1684	580	57	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	580	58	4.8	4.8	NUM
ejde-1684	580	59	.	.	PUNCT
ejde-1684	581	1	this	this	PRON
ejde-1684	581	2	contradicts	contradict	VERB
ejde-1684	581	3	that	that	SCONJ
ejde-1684	581	4	d	d	PROPN
ejde-1684	581	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	581	6	(	(	PUNCT
ejde-1684	581	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	581	8	r×p+)∪(λ1	r×p+)∪(λ1	NOUN
ejde-1684	581	9	/	/	SYM
ejde-1684	581	10	f∞,+∞	f∞,+∞	PROPN
ejde-1684	581	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	581	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	581	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	582	1	the	the	DET
ejde-1684	582	2	anticipated	anticipate	VERB
ejde-1684	582	3	conclusions	conclusion	NOUN
ejde-1684	582	4	are	be	AUX
ejde-1684	582	5	now	now	ADV
ejde-1684	582	6	evident	evident	ADJ
ejde-1684	582	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	582	8	see	see	VERB
ejde-1684	582	9	figure	figure	NOUN
ejde-1684	582	10	1	1	NUM
ejde-1684	582	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	583	1	□	□	SYM
ejde-1684	583	2	5	5	X
ejde-1684	583	3	.	.	X
ejde-1684	583	4	appendix	appendix	NOUN
ejde-1684	583	5	:	:	PUNCT
ejde-1684	583	6	browder	browder	NOUN
ejde-1684	583	7	-	-	PUNCT
ejde-1684	583	8	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	583	9	degree	degree	NOUN
ejde-1684	583	10	we	we	PRON
ejde-1684	583	11	need	need	VERB
ejde-1684	583	12	some	some	DET
ejde-1684	583	13	theories	theory	NOUN
ejde-1684	583	14	on	on	ADP
ejde-1684	583	15	the	the	DET
ejde-1684	583	16	browder	browder	NOUN
ejde-1684	583	17	-	-	PUNCT
ejde-1684	583	18	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	583	19	degree	degree	NOUN
ejde-1684	583	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	584	1	we	we	PRON
ejde-1684	584	2	list	list	VERB
ejde-1684	584	3	some	some	PRON
ejde-1684	584	4	of	of	ADP
ejde-1684	584	5	its	its	PRON
ejde-1684	584	6	definitions	definition	NOUN
ejde-1684	584	7	and	and	CCONJ
ejde-1684	584	8	properties	property	NOUN
ejde-1684	584	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	585	1	for	for	ADP
ejde-1684	585	2	detailed	detailed	ADJ
ejde-1684	585	3	information	information	NOUN
ejde-1684	585	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	585	5	we	we	PRON
ejde-1684	585	6	refer	refer	VERB
ejde-1684	585	7	readers	reader	NOUN
ejde-1684	585	8	to	to	ADP
ejde-1684	585	9	[	[	X
ejde-1684	585	10	11	11	NUM
ejde-1684	585	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	585	12	12	12	NUM
ejde-1684	585	13	]	]	PUNCT
ejde-1684	585	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	586	1	now	now	ADV
ejde-1684	586	2	let	let	VERB
ejde-1684	586	3	x	x	PRON
ejde-1684	586	4	be	be	AUX
ejde-1684	586	5	a	a	DET
ejde-1684	586	6	banach	banach	NOUN
ejde-1684	586	7	space	space	NOUN
ejde-1684	586	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	586	9	d	d	NOUN
ejde-1684	586	10	is	be	AUX
ejde-1684	586	11	a	a	DET
ejde-1684	586	12	subset	subset	NOUN
ejde-1684	586	13	of	of	ADP
ejde-1684	586	14	x.	x.	NOUN
ejde-1684	586	15	we	we	PRON
ejde-1684	586	16	consider	consider	VERB
ejde-1684	586	17	an	an	DET
ejde-1684	586	18	operator	operator	NOUN
ejde-1684	586	19	a	a	PRON
ejde-1684	586	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	586	21	in	in	ADP
ejde-1684	586	22	general	general	ADJ
ejde-1684	586	23	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-1684	586	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	586	25	defined	define	VERB
ejde-1684	586	26	on	on	ADP
ejde-1684	586	27	a	a	DET
ejde-1684	586	28	subset	subset	NOUN
ejde-1684	586	29	of	of	ADP
ejde-1684	586	30	x	x	X
ejde-1684	586	31	,	,	PUNCT
ejde-1684	586	32	with	with	ADP
ejde-1684	586	33	values	value	NOUN
ejde-1684	586	34	in	in	ADP
ejde-1684	586	35	x	x	SYM
ejde-1684	586	36	′.	′.	PROPN
ejde-1684	586	37	definition	definition	NOUN
ejde-1684	586	38	5.1	5.1	NUM
ejde-1684	586	39	(	(	PUNCT
ejde-1684	586	40	condition	condition	NOUN
ejde-1684	586	41	(	(	PUNCT
ejde-1684	586	42	s)+	s)+	ADJ
ejde-1684	586	43	or	or	CCONJ
ejde-1684	586	44	condition	condition	VERB
ejde-1684	586	45	α(d	α(d	NOUN
ejde-1684	586	46	)	)	PUNCT
ejde-1684	586	47	)	)	PUNCT
ejde-1684	586	48	.	.	PUNCT
ejde-1684	587	1	operator	operator	NOUN
ejde-1684	587	2	a	a	DET
ejde-1684	587	3	belongs	belong	VERB
ejde-1684	587	4	to	to	ADP
ejde-1684	587	5	the	the	DET
ejde-1684	587	6	class	class	NOUN
ejde-1684	587	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	587	8	s)+	s)+	VERB
ejde-1684	587	9	if	if	SCONJ
ejde-1684	587	10	for	for	ADP
ejde-1684	587	11	any	any	DET
ejde-1684	587	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	587	13	un	un	PROPN
ejde-1684	587	14	∈	∈	PROPN
ejde-1684	587	15	d	d	PROPN
ejde-1684	587	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	587	17	un	un	PROPN
ejde-1684	587	18	⇀	⇀	PROPN
ejde-1684	587	19	u0	u0	ADJ
ejde-1684	587	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	587	21	limn→∞⟨aun	limn→∞⟨aun	PROPN
ejde-1684	587	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	587	23	un	un	PROPN
ejde-1684	587	24	−	−	PROPN
ejde-1684	587	25	u0⟩	u0⟩	PROPN
ejde-1684	587	26	⩽	⩽	PROPN
ejde-1684	587	27	0	0	PUNCT
ejde-1684	587	28	imply	imply	VERB
ejde-1684	587	29	un	un	PROPN
ejde-1684	587	30	→	→	SYM
ejde-1684	587	31	u0	u0	PROPN
ejde-1684	587	32	.	.	PUNCT
ejde-1684	588	1	definition	definition	NOUN
ejde-1684	588	2	5.2	5.2	NUM
ejde-1684	588	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	589	1	the	the	DET
ejde-1684	589	2	operator	operator	NOUN
ejde-1684	589	3	a	a	PRON
ejde-1684	589	4	is	be	AUX
ejde-1684	589	5	said	say	VERB
ejde-1684	589	6	to	to	PART
ejde-1684	589	7	be	be	AUX
ejde-1684	589	8	demicontinuous	demicontinuous	ADJ
ejde-1684	589	9	on	on	ADP
ejde-1684	589	10	d	d	X
ejde-1684	589	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	589	12	if	if	SCONJ
ejde-1684	589	13	for	for	ADP
ejde-1684	589	14	any	any	DET
ejde-1684	589	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	589	16	un	un	PROPN
ejde-1684	589	17	∈	∈	PROPN
ejde-1684	590	1	d	d	X
ejde-1684	590	2	strongly	strongly	ADV
ejde-1684	590	3	converging	converge	VERB
ejde-1684	590	4	to	to	AUX
ejde-1684	590	5	u0	u0	VERB
ejde-1684	590	6	∈	∈	PROPN
ejde-1684	590	7	d	d	NOUN
ejde-1684	590	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	590	9	we	we	PRON
ejde-1684	590	10	have	have	VERB
ejde-1684	590	11	the	the	DET
ejde-1684	590	12	equality	equality	NOUN
ejde-1684	590	13	lim	lim	PROPN
ejde-1684	590	14	n→∞	n→∞	NUM
ejde-1684	590	15	⟨aun	⟨aun	PROPN
ejde-1684	590	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	590	17	v⟩	v⟩	NOUN
ejde-1684	590	18	=	=	PUNCT
ejde-1684	591	1	⟨au0	⟨au0	NOUN
ejde-1684	591	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	591	3	v⟩	v⟩	VERB
ejde-1684	591	4	for	for	ADP
ejde-1684	591	5	all	all	DET
ejde-1684	591	6	v	v	NOUN
ejde-1684	591	7	∈	∈	NOUN
ejde-1684	591	8	x.	x.	NOUN
ejde-1684	591	9	definition	definition	NOUN
ejde-1684	591	10	5.3	5.3	NUM
ejde-1684	591	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	592	1	for	for	ADP
ejde-1684	592	2	f	f	PROPN
ejde-1684	592	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-1684	593	1	d	d	X
ejde-1684	593	2	we	we	PRON
ejde-1684	593	3	denote	denote	VERB
ejde-1684	593	4	by	by	ADP
ejde-1684	593	5	a(d	a(d	PROPN
ejde-1684	593	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	593	7	f	f	PROPN
ejde-1684	593	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	593	9	the	the	DET
ejde-1684	593	10	set	set	NOUN
ejde-1684	593	11	of	of	ADP
ejde-1684	593	12	all	all	DET
ejde-1684	593	13	bounded	bound	VERB
ejde-1684	593	14	demicontinuous	demicontinuous	ADJ
ejde-1684	593	15	mappings	mapping	NOUN
ejde-1684	593	16	a	a	DET
ejde-1684	593	17	:	:	PUNCT
ejde-1684	593	18	d	d	X
ejde-1684	593	19	7→	7→	NUM
ejde-1684	593	20	x	x	SYM
ejde-1684	593	21	′	′	NUM
ejde-1684	593	22	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	593	23	condition	condition	NOUN
ejde-1684	593	24	condition	condition	NOUN
ejde-1684	593	25	α(f	α(f	PROPN
ejde-1684	593	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	593	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	594	1	when	when	SCONJ
ejde-1684	594	2	f	f	PROPN
ejde-1684	594	3	=	=	SYM
ejde-1684	594	4	d	d	PROPN
ejde-1684	594	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	594	6	we	we	PRON
ejde-1684	594	7	write	write	VERB
ejde-1684	594	8	a(d	a(d	PROPN
ejde-1684	594	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	594	10	instead	instead	ADV
ejde-1684	594	11	of	of	ADP
ejde-1684	594	12	a(d	a(d	NOUN
ejde-1684	594	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	594	14	d	d	NOUN
ejde-1684	594	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	594	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	595	1	we	we	PRON
ejde-1684	595	2	define	define	VERB
ejde-1684	595	3	deg(a	deg(a	PROPN
ejde-1684	595	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	595	5	d	d	NOUN
ejde-1684	595	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	595	7	0	0	NUM
ejde-1684	595	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	595	9	–	–	PUNCT
ejde-1684	595	10	the	the	DET
ejde-1684	595	11	degree	degree	NOUN
ejde-1684	595	12	of	of	ADP
ejde-1684	595	13	a	a	DET
ejde-1684	595	14	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	595	15	a	a	PRON
ejde-1684	595	16	on	on	ADP
ejde-1684	595	17	the	the	DET
ejde-1684	595	18	set	set	NOUN
ejde-1684	595	19	d	d	PROPN
ejde-1684	595	20	with	with	ADP
ejde-1684	595	21	respect	respect	NOUN
ejde-1684	595	22	to	to	ADP
ejde-1684	595	23	the	the	DET
ejde-1684	595	24	origin	origin	NOUN
ejde-1684	595	25	of	of	ADP
ejde-1684	595	26	the	the	DET
ejde-1684	595	27	space	space	NOUN
ejde-1684	595	28	x	x	NOUN
ejde-1684	595	29	′	′	NUM
ejde-1684	595	30	–	–	PUNCT
ejde-1684	595	31	under	under	ADP
ejde-1684	595	32	the	the	DET
ejde-1684	595	33	conditions	condition	NOUN
ejde-1684	595	34	:	:	PUNCT
ejde-1684	595	35	(	(	PUNCT
ejde-1684	595	36	a	a	X
ejde-1684	595	37	)	)	PUNCT
ejde-1684	595	38	a	a	DET
ejde-1684	595	39	∈	∈	PROPN
ejde-1684	595	40	a(d	a(d	NOUN
ejde-1684	595	41	)	)	PUNCT
ejde-1684	595	42	,	,	PUNCT
ejde-1684	595	43	(	(	PUNCT
ejde-1684	595	44	b	b	X
ejde-1684	595	45	)	)	PUNCT
ejde-1684	595	46	au	au	PROPN
ejde-1684	595	47	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	595	48	0	0	NUM
ejde-1684	595	49	for	for	ADP
ejde-1684	595	50	any	any	DET
ejde-1684	595	51	element	element	NOUN
ejde-1684	595	52	u	u	NOUN
ejde-1684	595	53	∈	∈	PROPN
ejde-1684	595	54	∂d	∂d	PROPN
ejde-1684	595	55	.	.	PUNCT
ejde-1684	596	1	let	let	VERB
ejde-1684	596	2	{	{	PUNCT
ejde-1684	596	3	vi	vi	VERB
ejde-1684	596	4	}	}	PUNCT
ejde-1684	596	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	596	6	i	i	PRON
ejde-1684	596	7	=	=	NOUN
ejde-1684	596	8	1	1	NUM
ejde-1684	596	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	596	10	2	2	NUM
ejde-1684	596	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	596	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	596	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	597	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	597	2	,	,	PUNCT
ejde-1684	597	3	be	be	AUX
ejde-1684	597	4	any	any	DET
ejde-1684	597	5	complete	complete	ADJ
ejde-1684	597	6	system	system	NOUN
ejde-1684	597	7	of	of	ADP
ejde-1684	597	8	the	the	DET
ejde-1684	597	9	space	space	NOUN
ejde-1684	597	10	x	x	PUNCT
ejde-1684	597	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	597	12	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	597	13	that	that	SCONJ
ejde-1684	597	14	for	for	ADP
ejde-1684	597	15	every	every	DET
ejde-1684	597	16	n	n	CCONJ
ejde-1684	597	17	the	the	DET
ejde-1684	597	18	elements	element	NOUN
ejde-1684	597	19	v1	v1	NOUN
ejde-1684	597	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	597	21	.	.	PUNCT
ejde-1684	597	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	598	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	599	1	,	,	PUNCT
ejde-1684	599	2	vn	vn	PROPN
ejde-1684	599	3	are	be	AUX
ejde-1684	599	4	linear	linear	PROPN
ejde-1684	599	5	independent	independent	ADJ
ejde-1684	599	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	600	1	denote	denote	VERB
ejde-1684	600	2	by	by	ADP
ejde-1684	600	3	fn	fn	PROPN
ejde-1684	600	4	the	the	DET
ejde-1684	600	5	linear	linear	PROPN
ejde-1684	600	6	hull	hull	NOUN
ejde-1684	600	7	of	of	ADP
ejde-1684	600	8	the	the	DET
ejde-1684	600	9	elements	element	NOUN
ejde-1684	600	10	v1	v1	NOUN
ejde-1684	600	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	600	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	600	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	601	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	602	1	,	,	PUNCT
ejde-1684	602	2	vn	vn	INTJ
ejde-1684	602	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	602	4	define	define	VERB
ejde-1684	602	5	for	for	ADP
ejde-1684	602	6	every	every	DET
ejde-1684	602	7	n	n	NOUN
ejde-1684	602	8	=	=	SYM
ejde-1684	602	9	1	1	NUM
ejde-1684	602	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	602	11	2	2	NUM
ejde-1684	602	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	602	13	.	.	PUNCT
ejde-1684	602	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	602	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	603	1	the	the	DET
ejde-1684	603	2	finite	finite	ADJ
ejde-1684	603	3	-	-	ADJ
ejde-1684	603	4	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1684	603	5	approximation	approximation	NOUN
ejde-1684	603	6	an	an	PRON
ejde-1684	603	7	of	of	ADP
ejde-1684	603	8	the	the	DET
ejde-1684	603	9	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	603	10	a	a	PRON
ejde-1684	603	11	in	in	ADP
ejde-1684	603	12	the	the	DET
ejde-1684	603	13	following	following	ADJ
ejde-1684	603	14	way	way	NOUN
ejde-1684	603	15	:	:	PUNCT
ejde-1684	603	16	anu	anu	PROPN
ejde-1684	603	17	=	=	SYM
ejde-1684	603	18	n∑	n∑	PROPN
ejde-1684	603	19	i=1	i=1	PROPN
ejde-1684	603	20	⟨au	⟨au	PROPN
ejde-1684	603	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	603	22	vi⟩vi	vi⟩vi	X
ejde-1684	603	23	for	for	ADP
ejde-1684	603	24	u	u	PROPN
ejde-1684	603	25	∈	∈	PROPN
ejde-1684	603	26	dn	dn	NOUN
ejde-1684	603	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	603	28	dn	dn	NOUN
ejde-1684	603	29	=	=	SYM
ejde-1684	603	30	d	d	PROPN
ejde-1684	603	31	∩	∩	PROPN
ejde-1684	603	32	fn	fn	NOUN
ejde-1684	603	33	.	.	PUNCT
ejde-1684	604	1	(	(	PUNCT
ejde-1684	604	2	5.1	5.1	NUM
ejde-1684	604	3	)	)	PUNCT
ejde-1684	604	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	604	5	5.4	5.4	NUM
ejde-1684	604	6	.	.	PUNCT
ejde-1684	605	1	let	let	VERB
ejde-1684	605	2	a	a	DET
ejde-1684	605	3	be	be	AUX
ejde-1684	605	4	an	an	DET
ejde-1684	605	5	operator	operator	NOUN
ejde-1684	605	6	satisfying	satisfy	VERB
ejde-1684	605	7	conditions	condition	NOUN
ejde-1684	605	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	605	9	a	a	X
ejde-1684	605	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	605	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	605	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	605	13	b	b	NOUN
ejde-1684	605	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	605	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	606	1	then	then	ADV
ejde-1684	606	2	there	there	PRON
ejde-1684	606	3	exists	exist	VERB
ejde-1684	606	4	n	n	PRON
ejde-1684	606	5	such	such	ADJ
ejde-1684	606	6	that	that	PRON
ejde-1684	606	7	for	for	ADP
ejde-1684	606	8	n	n	NOUN
ejde-1684	606	9	⩾	⩾	PROPN
ejde-1684	606	10	n	n	ADP
ejde-1684	606	11	the	the	DET
ejde-1684	606	12	following	follow	VERB
ejde-1684	606	13	assertions	assertion	NOUN
ejde-1684	606	14	hold	hold	VERB
ejde-1684	606	15	:	:	PUNCT
ejde-1684	606	16	(	(	PUNCT
ejde-1684	606	17	1	1	X
ejde-1684	606	18	)	)	PUNCT
ejde-1684	606	19	the	the	DET
ejde-1684	606	20	equation	equation	NOUN
ejde-1684	606	21	anu	anu	NOUN
ejde-1684	606	22	=	=	NOUN
ejde-1684	606	23	0	0	PROPN
ejde-1684	606	24	has	have	VERB
ejde-1684	606	25	no	no	DET
ejde-1684	606	26	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	606	27	belonging	belong	VERB
ejde-1684	606	28	to	to	ADP
ejde-1684	606	29	∂dn	∂dn	NOUN
ejde-1684	606	30	;	;	PUNCT
ejde-1684	606	31	(	(	PUNCT
ejde-1684	606	32	2	2	X
ejde-1684	606	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	606	34	leray	leray	ADJ
ejde-1684	606	35	-	-	PUNCT
ejde-1684	606	36	schauder	schauder	NOUN
ejde-1684	606	37	degree	degree	NOUN
ejde-1684	606	38	deg(an	deg(an	PROPN
ejde-1684	606	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	606	40	dn	dn	NOUN
ejde-1684	606	41	,	,	PUNCT
ejde-1684	606	42	0	0	NUM
ejde-1684	606	43	)	)	PUNCT
ejde-1684	606	44	of	of	ADP
ejde-1684	606	45	the	the	DET
ejde-1684	606	46	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	606	47	an	an	PRON
ejde-1684	606	48	on	on	ADP
ejde-1684	606	49	the	the	DET
ejde-1684	606	50	set	set	NOUN
ejde-1684	606	51	dn	dn	NOUN
ejde-1684	606	52	with	with	ADP
ejde-1684	606	53	respect	respect	NOUN
ejde-1684	606	54	to	to	ADP
ejde-1684	606	55	0	0	NUM
ejde-1684	606	56	∈	∈	NOUN
ejde-1684	606	57	fn	fn	NOUN
ejde-1684	606	58	is	be	AUX
ejde-1684	606	59	defined	define	VERB
ejde-1684	606	60	and	and	CCONJ
ejde-1684	606	61	independent	independent	ADJ
ejde-1684	606	62	of	of	ADP
ejde-1684	606	63	n.	n.	NOUN
ejde-1684	606	64	by	by	ADP
ejde-1684	606	65	theorem	theorem	NOUN
ejde-1684	606	66	5.4	5.4	NUM
ejde-1684	606	67	,	,	PUNCT
ejde-1684	606	68	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-1684	606	69	deg(an	deg(an	NOUN
ejde-1684	606	70	,	,	PUNCT
ejde-1684	606	71	dn	dn	NOUN
ejde-1684	606	72	,	,	PUNCT
ejde-1684	606	73	0	0	NUM
ejde-1684	606	74	)	)	PUNCT
ejde-1684	606	75	exists	exist	VERB
ejde-1684	606	76	and	and	CCONJ
ejde-1684	606	77	we	we	PRON
ejde-1684	606	78	denote	denote	VERB
ejde-1684	606	79	it	it	PRON
ejde-1684	606	80	by	by	ADP
ejde-1684	606	81	d{vi	d{vi	PROPN
ejde-1684	606	82	}	}	PUNCT
ejde-1684	606	83	.	.	PUNCT
ejde-1684	607	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	607	2	5.5	5.5	NUM
ejde-1684	607	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	607	4	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	607	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	607	6	the	the	DET
ejde-1684	607	7	conditions	condition	NOUN
ejde-1684	607	8	(	(	PUNCT
ejde-1684	607	9	a	a	X
ejde-1684	607	10	)	)	PUNCT
ejde-1684	607	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	607	12	(	(	PUNCT
ejde-1684	607	13	b	b	X
ejde-1684	607	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	607	15	are	be	AUX
ejde-1684	607	16	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-1684	607	17	.	.	PUNCT
ejde-1684	608	1	then	then	ADV
ejde-1684	608	2	the	the	DET
ejde-1684	608	3	limit	limit	NOUN
ejde-1684	608	4	d{vi	d{vi	PROPN
ejde-1684	608	5	}	}	PUNCT
ejde-1684	608	6	=	=	SYM
ejde-1684	608	7	lim	lim	PROPN
ejde-1684	608	8	n→∞	n→∞	NUM
ejde-1684	608	9	deg(an	deg(an	PROPN
ejde-1684	608	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	608	11	dn	dn	NOUN
ejde-1684	608	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	608	13	0	0	NUM
ejde-1684	608	14	)	)	PUNCT
ejde-1684	608	15	does	do	AUX
ejde-1684	608	16	not	not	PART
ejde-1684	608	17	depend	depend	VERB
ejde-1684	608	18	on	on	ADP
ejde-1684	608	19	the	the	DET
ejde-1684	608	20	the	the	DET
ejde-1684	608	21	choice	choice	NOUN
ejde-1684	608	22	of	of	ADP
ejde-1684	608	23	the	the	DET
ejde-1684	608	24	sequence	sequence	NOUN
ejde-1684	608	25	{	{	PUNCT
ejde-1684	608	26	vi	vi	NOUN
ejde-1684	608	27	}	}	PUNCT
ejde-1684	608	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	609	1	18	18	NUM
ejde-1684	609	2	q.	q.	PROPN
ejde-1684	609	3	liu	liu	PROPN
ejde-1684	609	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	609	5	l.	l.	PROPN
ejde-1684	609	6	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	609	7	ejde-2025/105	ejde-2025/105	PUNCT
ejde-1684	609	8	the	the	DET
ejde-1684	609	9	5.4	5.4	NUM
ejde-1684	609	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	609	11	5.5	5.5	NUM
ejde-1684	609	12	justify	justify	VERB
ejde-1684	609	13	the	the	DET
ejde-1684	609	14	following	follow	VERB
ejde-1684	609	15	definition	definition	NOUN
ejde-1684	609	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	610	1	definition	definition	NOUN
ejde-1684	610	2	5.6	5.6	NUM
ejde-1684	610	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	610	4	browder	browder	NOUN
ejde-1684	610	5	-	-	PUNCT
ejde-1684	610	6	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	610	7	degree	degree	NOUN
ejde-1684	610	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	610	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	611	1	for	for	ADP
ejde-1684	611	2	an	an	DET
ejde-1684	611	3	operator	operator	NOUN
ejde-1684	611	4	a	a	DET
ejde-1684	611	5	satisfying	satisfying	ADJ
ejde-1684	611	6	conditions	condition	NOUN
ejde-1684	611	7	(	(	PUNCT
ejde-1684	611	8	a	a	X
ejde-1684	611	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	611	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	611	11	(	(	PUNCT
ejde-1684	611	12	b	b	NOUN
ejde-1684	611	13	)	)	PUNCT
ejde-1684	611	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	611	15	by	by	ADP
ejde-1684	611	16	its	its	PRON
ejde-1684	611	17	degree	degree	NOUN
ejde-1684	611	18	on	on	ADP
ejde-1684	611	19	the	the	DET
ejde-1684	611	20	set	set	NOUN
ejde-1684	611	21	d	d	PROPN
ejde-1684	611	22	with	with	ADP
ejde-1684	611	23	respect	respect	NOUN
ejde-1684	611	24	to	to	ADP
ejde-1684	611	25	the	the	DET
ejde-1684	611	26	point	point	NOUN
ejde-1684	611	27	0	0	PUNCT
ejde-1684	611	28	∈	∈	NOUN
ejde-1684	611	29	x	x	NOUN
ejde-1684	612	1	′	′	NOUN
ejde-1684	613	1	we	we	PRON
ejde-1684	613	2	mean	mean	VERB
ejde-1684	613	3	the	the	DET
ejde-1684	613	4	number	number	NOUN
ejde-1684	613	5	lim	lim	PROPN
ejde-1684	613	6	n→∞	n→∞	NUM
ejde-1684	613	7	deg(an	deg(an	PROPN
ejde-1684	613	8	,	,	PUNCT
ejde-1684	613	9	dn	dn	NOUN
ejde-1684	613	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	613	11	0	0	NUM
ejde-1684	613	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	613	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	613	14	where	where	SCONJ
ejde-1684	613	15	an	an	X
ejde-1684	613	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	613	17	dn	dn	PROPN
ejde-1684	613	18	are	be	AUX
ejde-1684	613	19	determined	determine	VERB
ejde-1684	613	20	in	in	ADP
ejde-1684	613	21	accordance	accordance	NOUN
ejde-1684	613	22	with	with	ADP
ejde-1684	613	23	(	(	PUNCT
ejde-1684	613	24	5.1	5.1	NUM
ejde-1684	613	25	)	)	PUNCT
ejde-1684	613	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	614	1	this	this	DET
ejde-1684	614	2	degree	degree	NOUN
ejde-1684	614	3	is	be	AUX
ejde-1684	614	4	denoted	denote	VERB
ejde-1684	614	5	by	by	ADP
ejde-1684	614	6	deg(a	deg(a	PROPN
ejde-1684	614	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	614	8	d	d	NOUN
ejde-1684	614	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	614	10	0	0	NUM
ejde-1684	614	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	614	12	.	.	PUNCT
ejde-1684	615	1	the	the	DET
ejde-1684	615	2	degree	degree	NOUN
ejde-1684	615	3	of	of	ADP
ejde-1684	615	4	a	a	DET
ejde-1684	615	5	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	615	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	615	7	introduced	introduce	VERB
ejde-1684	615	8	above	above	ADV
ejde-1684	615	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	615	10	possesses	possess	VERB
ejde-1684	615	11	all	all	DET
ejde-1684	615	12	the	the	DET
ejde-1684	615	13	natural	natural	ADJ
ejde-1684	615	14	properties	property	NOUN
ejde-1684	615	15	of	of	ADP
ejde-1684	615	16	the	the	DET
ejde-1684	615	17	degree	degree	NOUN
ejde-1684	615	18	of	of	ADP
ejde-1684	615	19	finite	finite	ADJ
ejde-1684	615	20	-	-	ADJ
ejde-1684	615	21	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-1684	615	22	mappings	mapping	NOUN
ejde-1684	615	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	616	1	definition	definition	NOUN
ejde-1684	616	2	5.7	5.7	NUM
ejde-1684	616	3	(	(	PUNCT
ejde-1684	616	4	index	index	NOUN
ejde-1684	616	5	of	of	ADP
ejde-1684	616	6	isolated	isolated	ADJ
ejde-1684	616	7	zero	zero	NUM
ejde-1684	616	8	point	point	NOUN
ejde-1684	616	9	)	)	PUNCT
ejde-1684	616	10	.	.	PUNCT
ejde-1684	617	1	the	the	DET
ejde-1684	617	2	number	number	NOUN
ejde-1684	617	3	lim	lim	PROPN
ejde-1684	617	4	r→0	r→0	VERB
ejde-1684	617	5	deg(a	deg(a	PROPN
ejde-1684	617	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	617	7	br(u0	br(u0	NOUN
ejde-1684	617	8	)	)	PUNCT
ejde-1684	617	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	617	10	0	0	NUM
ejde-1684	617	11	)	)	PUNCT
ejde-1684	617	12	is	be	AUX
ejde-1684	617	13	called	call	VERB
ejde-1684	617	14	the	the	DET
ejde-1684	617	15	index	index	NOUN
ejde-1684	617	16	of	of	ADP
ejde-1684	617	17	the	the	DET
ejde-1684	617	18	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	617	19	a	a	PRON
ejde-1684	617	20	at	at	ADP
ejde-1684	617	21	the	the	DET
ejde-1684	617	22	isolated	isolated	ADJ
ejde-1684	617	23	zero	zero	NUM
ejde-1684	617	24	point	point	NOUN
ejde-1684	617	25	u0	u0	ADJ
ejde-1684	617	26	and	and	CCONJ
ejde-1684	617	27	is	be	AUX
ejde-1684	617	28	denoted	denote	VERB
ejde-1684	617	29	by	by	ADP
ejde-1684	617	30	ind(a	ind(a	PROPN
ejde-1684	617	31	,	,	PUNCT
ejde-1684	617	32	u0	u0	ADJ
ejde-1684	617	33	)	)	PUNCT
ejde-1684	617	34	.	.	PUNCT
ejde-1684	618	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-1684	618	2	5.8	5.8	NUM
ejde-1684	618	3	.	.	PUNCT
ejde-1684	618	4	suppose	suppose	VERB
ejde-1684	618	5	that	that	SCONJ
ejde-1684	618	6	a	a	DET
ejde-1684	618	7	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	618	8	a	a	PRON
ejde-1684	618	9	of	of	ADP
ejde-1684	618	10	class	class	NOUN
ejde-1684	618	11	a(d	a(d	NOUN
ejde-1684	618	12	)	)	PUNCT
ejde-1684	618	13	has	have	AUX
ejde-1684	618	14	only	only	ADV
ejde-1684	618	15	isolated	isolate	VERB
ejde-1684	618	16	zero	zero	NUM
ejde-1684	618	17	points	point	NOUN
ejde-1684	618	18	in	in	ADP
ejde-1684	618	19	d	d	PROPN
ejde-1684	618	20	and	and	CCONJ
ejde-1684	618	21	au	au	ADP
ejde-1684	618	22	̸=	̸=	PROPN
ejde-1684	618	23	0	0	NUM
ejde-1684	618	24	for	for	ADP
ejde-1684	618	25	u	u	PROPN
ejde-1684	618	26	∈	∈	PROPN
ejde-1684	618	27	∂d	∂d	PROPN
ejde-1684	618	28	.	.	PUNCT
ejde-1684	619	1	then	then	ADV
ejde-1684	619	2	there	there	PRON
ejde-1684	619	3	exists	exist	VERB
ejde-1684	619	4	only	only	ADV
ejde-1684	619	5	a	a	DET
ejde-1684	619	6	finite	finite	ADJ
ejde-1684	619	7	number	number	NOUN
ejde-1684	619	8	of	of	ADP
ejde-1684	619	9	zero	zero	NUM
ejde-1684	619	10	points	point	NOUN
ejde-1684	619	11	and	and	CCONJ
ejde-1684	619	12	the	the	DET
ejde-1684	619	13	equality	equality	NOUN
ejde-1684	619	14	deg(a	deg(a	PROPN
ejde-1684	619	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	16	d	d	NOUN
ejde-1684	619	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	18	0	0	NUM
ejde-1684	619	19	)	)	PUNCT
ejde-1684	619	20	=	=	SYM
ejde-1684	619	21	i∑	i∑	PROPN
ejde-1684	619	22	i=1	i=1	PROPN
ejde-1684	619	23	ind(a	ind(a	PROPN
ejde-1684	619	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	25	ui	ui	PROPN
ejde-1684	619	26	)	)	PUNCT
ejde-1684	619	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	28	holds	hold	VERB
ejde-1684	619	29	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	30	where	where	SCONJ
ejde-1684	619	31	ui	ui	PROPN
ejde-1684	619	32	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	33	i	i	PRON
ejde-1684	619	34	=	=	NOUN
ejde-1684	619	35	1	1	NUM
ejde-1684	619	36	,	,	PUNCT
ejde-1684	619	37	.	.	PUNCT
ejde-1684	619	38	.	.	PUNCT
ejde-1684	620	1	.	.	PUNCT
ejde-1684	621	1	,	,	PUNCT
ejde-1684	621	2	i	i	PRON
ejde-1684	621	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	621	4	are	be	AUX
ejde-1684	621	5	all	all	PRON
ejde-1684	621	6	zero	zero	NUM
ejde-1684	621	7	points	point	NOUN
ejde-1684	621	8	of	of	ADP
ejde-1684	621	9	the	the	DET
ejde-1684	621	10	mapping	mapping	NOUN
ejde-1684	621	11	a	a	PRON
ejde-1684	621	12	in	in	ADP
ejde-1684	621	13	d.	d.	PROPN
ejde-1684	621	14	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1684	621	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	622	1	the	the	DET
ejde-1684	622	2	authors	author	NOUN
ejde-1684	622	3	wish	wish	VERB
ejde-1684	622	4	to	to	PART
ejde-1684	622	5	express	express	VERB
ejde-1684	622	6	their	their	PRON
ejde-1684	622	7	gratitude	gratitude	NOUN
ejde-1684	622	8	to	to	ADP
ejde-1684	622	9	the	the	DET
ejde-1684	622	10	anonymous	anonymous	ADJ
ejde-1684	622	11	referee	referee	NOUN
ejde-1684	622	12	for	for	ADP
ejde-1684	622	13	reading	read	VERB
ejde-1684	622	14	the	the	DET
ejde-1684	622	15	paper	paper	NOUN
ejde-1684	622	16	carefully	carefully	ADV
ejde-1684	622	17	and	and	CCONJ
ejde-1684	622	18	making	make	VERB
ejde-1684	622	19	several	several	ADJ
ejde-1684	622	20	corrections	correction	NOUN
ejde-1684	622	21	and	and	CCONJ
ejde-1684	622	22	remarks	remark	NOUN
ejde-1684	622	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	623	1	references	reference	NOUN
ejde-1684	623	2	[	[	X
ejde-1684	623	3	1	1	NUM
ejde-1684	623	4	]	]	PUNCT
ejde-1684	623	5	a.	a.	NOUN
ejde-1684	623	6	ambrosetti	ambrosetti	PROPN
ejde-1684	623	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	8	d.	d.	PROPN
ejde-1684	623	9	arcoya	arcoya	PROPN
ejde-1684	623	10	;	;	PUNCT
ejde-1684	623	11	an	an	DET
ejde-1684	623	12	introduction	introduction	NOUN
ejde-1684	623	13	to	to	ADP
ejde-1684	623	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	623	15	functional	functional	ADJ
ejde-1684	623	16	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	623	17	and	and	CCONJ
ejde-1684	623	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	623	19	problems	problem	NOUN
ejde-1684	623	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	21	birkhäuser	birkhäuser	NOUN
ejde-1684	623	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	23	boston	boston	PROPN
ejde-1684	623	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	25	basel	basel	PROPN
ejde-1684	623	26	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	27	berlin	berlin	PROPN
ejde-1684	623	28	,	,	PUNCT
ejde-1684	623	29	2011	2011	NUM
ejde-1684	623	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	624	1	[	[	X
ejde-1684	624	2	2	2	NUM
ejde-1684	624	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	624	4	a.	a.	NOUN
ejde-1684	624	5	ambrosetti	ambrosetti	PROPN
ejde-1684	624	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	624	7	a.	a.	NOUN
ejde-1684	624	8	malchiodi	malchiodi	PROPN
ejde-1684	624	9	;	;	PUNCT
ejde-1684	624	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	624	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	624	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	624	13	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-1684	624	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	624	15	problems	problem	NOUN
ejde-1684	624	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	624	17	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-1684	624	18	university	university	PROPN
ejde-1684	624	19	press	press	NOUN
ejde-1684	624	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	624	21	2007	2007	NUM
ejde-1684	624	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	625	1	[	[	X
ejde-1684	625	2	3	3	X
ejde-1684	625	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	625	4	t.	t.	PROPN
ejde-1684	625	5	carroll	carroll	PROPN
ejde-1684	625	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	625	7	j.	j.	PROPN
ejde-1684	625	8	ratzkin	ratzkin	PROPN
ejde-1684	625	9	;	;	PUNCT
ejde-1684	625	10	interpolating	interpolate	VERB
ejde-1684	625	11	between	between	ADP
ejde-1684	625	12	torsional	torsional	ADJ
ejde-1684	625	13	rigidity	rigidity	NOUN
ejde-1684	625	14	and	and	CCONJ
ejde-1684	625	15	principal	principal	ADJ
ejde-1684	625	16	frequency	frequency	NOUN
ejde-1684	625	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	625	18	j.	j.	PROPN
ejde-1684	625	19	math	math	PROPN
ejde-1684	625	20	.	.	PUNCT
ejde-1684	626	1	anal	anal	PROPN
ejde-1684	626	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	626	3	appl	appl	PROPN
ejde-1684	626	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	627	1	379(2011	379(2011	NUM
ejde-1684	627	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	627	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	627	4	818	818	NUM
ejde-1684	627	5	-	-	SYM
ejde-1684	627	6	826	826	NUM
ejde-1684	627	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	628	1	[	[	X
ejde-1684	628	2	4	4	X
ejde-1684	628	3	]	]	X
ejde-1684	628	4	g.	g.	PROPN
ejde-1684	628	5	w.	w.	PROPN
ejde-1684	628	6	dai	dai	PROPN
ejde-1684	628	7	;	;	PUNCT
ejde-1684	628	8	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-1684	628	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	628	10	global	global	ADJ
ejde-1684	628	11	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	628	12	and	and	CCONJ
ejde-1684	628	13	positive	positive	ADJ
ejde-1684	628	14	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	628	15	for	for	ADP
ejde-1684	628	16	a	a	DET
ejde-1684	628	17	class	class	NOUN
ejde-1684	628	18	of	of	ADP
ejde-1684	628	19	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-1684	628	20	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	628	21	equations	equation	NOUN
ejde-1684	628	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	628	23	topol	topol	NOUN
ejde-1684	628	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	629	1	methods	method	NOUN
ejde-1684	629	2	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-1684	629	3	anal	anal	PROPN
ejde-1684	629	4	.	.	PUNCT
ejde-1684	630	1	48(1)(2016	48(1)(2016	NUM
ejde-1684	630	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	630	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	630	4	213	213	NUM
ejde-1684	630	5	-	-	SYM
ejde-1684	630	6	233	233	NUM
ejde-1684	630	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	631	1	[	[	X
ejde-1684	631	2	5	5	X
ejde-1684	631	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	631	4	p.	p.	NOUN
ejde-1684	631	5	drábek	drábek	PROPN
ejde-1684	631	6	;	;	PUNCT
ejde-1684	631	7	solvability	solvability	NOUN
ejde-1684	631	8	and	and	CCONJ
ejde-1684	631	9	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	631	10	of	of	ADP
ejde-1684	631	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	631	12	equations	equation	NOUN
ejde-1684	631	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	631	14	pitman	pitman	NOUN
ejde-1684	631	15	research	research	NOUN
ejde-1684	631	16	notes	note	NOUN
ejde-1684	631	17	in	in	ADP
ejde-1684	631	18	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1684	631	19	series	series	NOUN
ejde-1684	631	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	631	21	vol.264	vol.264	NOUN
ejde-1684	631	22	.	.	PUNCT
ejde-1684	632	1	longman	longman	PROPN
ejde-1684	632	2	scientific	scientific	PROPN
ejde-1684	632	3	&	&	CCONJ
ejde-1684	632	4	technical	technical	ADJ
ejde-1684	632	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	632	6	1992	1992	NUM
ejde-1684	632	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	633	1	[	[	X
ejde-1684	633	2	6	6	NUM
ejde-1684	633	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	633	4	s.	s.	PROPN
ejde-1684	633	5	fuč́ık	fuč́ık	PROPN
ejde-1684	633	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	633	7	j.	j.	PROPN
ejde-1684	633	8	nečas	nečas	PROPN
ejde-1684	633	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	633	10	j.	j.	PROPN
ejde-1684	633	11	souček	souček	PROPN
ejde-1684	633	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	633	13	v.	v.	PROPN
ejde-1684	633	14	souček	souček	PROPN
ejde-1684	633	15	;	;	PUNCT
ejde-1684	633	16	spectral	spectral	ADJ
ejde-1684	633	17	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	633	18	of	of	ADP
ejde-1684	633	19	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	633	20	operators	operator	NOUN
ejde-1684	633	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	633	22	lecture	lecture	NOUN
ejde-1684	633	23	notes	note	NOUN
ejde-1684	633	24	in	in	ADP
ejde-1684	633	25	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-1684	633	26	vol	vol	NOUN
ejde-1684	633	27	.	.	PUNCT
ejde-1684	634	1	346	346	NUM
ejde-1684	634	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	634	3	springer	springer	NOUN
ejde-1684	634	4	-	-	PUNCT
ejde-1684	634	5	verlag	verlag	PROPN
ejde-1684	634	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	634	7	new	new	PROPN
ejde-1684	634	8	york	york	PROPN
ejde-1684	634	9	,	,	PUNCT
ejde-1684	634	10	berlin	berlin	PROPN
ejde-1684	634	11	,	,	PUNCT
ejde-1684	634	12	heidelberg	heidelberg	PROPN
ejde-1684	634	13	,	,	PUNCT
ejde-1684	634	14	1973	1973	NUM
ejde-1684	634	15	.	.	PUNCT
ejde-1684	635	1	[	[	X
ejde-1684	635	2	7	7	X
ejde-1684	635	3	]	]	X
ejde-1684	635	4	p.	p.	NOUN
ejde-1684	635	5	girg	girg	NOUN
ejde-1684	635	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	635	7	p.	p.	NOUN
ejde-1684	635	8	takáč	takáč	PROPN
ejde-1684	635	9	;	;	PUNCT
ejde-1684	635	10	bifurcations	bifurcation	NOUN
ejde-1684	635	11	of	of	ADP
ejde-1684	635	12	positive	positive	ADJ
ejde-1684	635	13	and	and	CCONJ
ejde-1684	635	14	negative	negative	ADJ
ejde-1684	635	15	continua	continuum	NOUN
ejde-1684	635	16	in	in	ADP
ejde-1684	635	17	quasilinear	quasilinear	PROPN
ejde-1684	635	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	635	19	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	635	20	problems	problem	NOUN
ejde-1684	635	21	,	,	PUNCT
ejde-1684	635	22	ann	ann	PROPN
ejde-1684	635	23	.	.	PUNCT
ejde-1684	636	1	henri	henri	PROPN
ejde-1684	636	2	poincaré.	poincaré.	PROPN
ejde-1684	636	3	9	9	NUM
ejde-1684	636	4	(	(	PUNCT
ejde-1684	636	5	2008	2008	NUM
ejde-1684	636	6	)	)	PUNCT
ejde-1684	636	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	636	8	275	275	NUM
ejde-1684	636	9	-	-	SYM
ejde-1684	636	10	327	327	NUM
ejde-1684	636	11	.	.	PUNCT
ejde-1684	637	1	[	[	X
ejde-1684	637	2	8	8	NUM
ejde-1684	637	3	]	]	X
ejde-1684	637	4	d.	d.	PROPN
ejde-1684	637	5	gilbarg	gilbarg	PROPN
ejde-1684	637	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	637	7	n.	n.	PROPN
ejde-1684	637	8	s.	s.	PROPN
ejde-1684	637	9	trudinger	trudinger	PROPN
ejde-1684	637	10	;	;	PUNCT
ejde-1684	637	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	637	12	partial	partial	ADJ
ejde-1684	637	13	differential	differential	ADJ
ejde-1684	637	14	equations	equation	NOUN
ejde-1684	637	15	of	of	ADP
ejde-1684	637	16	second	second	ADJ
ejde-1684	637	17	order	order	NOUN
ejde-1684	637	18	,	,	PUNCT
ejde-1684	637	19	springer	springer	NOUN
ejde-1684	637	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	637	21	berlin	berlin	PROPN
ejde-1684	637	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	637	23	2001	2001	NUM
ejde-1684	637	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	638	1	[	[	X
ejde-1684	638	2	9	9	NUM
ejde-1684	638	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	638	4	p.	p.	NOUN
ejde-1684	638	5	h.	h.	PROPN
ejde-1684	638	6	rabinowitz	rabinowitz	PROPN
ejde-1684	638	7	;	;	PUNCT
ejde-1684	638	8	some	some	DET
ejde-1684	638	9	global	global	ADJ
ejde-1684	638	10	results	result	NOUN
ejde-1684	638	11	for	for	ADP
ejde-1684	638	12	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	638	13	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	638	14	problems	problem	NOUN
ejde-1684	638	15	,	,	PUNCT
ejde-1684	638	16	j.	j.	PROPN
ejde-1684	638	17	funct	funct	PROPN
ejde-1684	638	18	.	.	PUNCT
ejde-1684	639	1	anal	anal	ADJ
ejde-1684	639	2	.	.	PUNCT
ejde-1684	640	1	7(1971	7(1971	NUM
ejde-1684	640	2	)	)	PUNCT
ejde-1684	640	3	,	,	PUNCT
ejde-1684	640	4	487	487	NUM
ejde-1684	640	5	-	-	SYM
ejde-1684	640	6	513	513	NUM
ejde-1684	640	7	.	.	PUNCT
ejde-1684	641	1	[	[	X
ejde-1684	641	2	10	10	NUM
ejde-1684	641	3	]	]	X
ejde-1684	641	4	p.	p.	NOUN
ejde-1684	641	5	h.	h.	PROPN
ejde-1684	641	6	rabinowitz	rabinowitz	PROPN
ejde-1684	641	7	;	;	PUNCT
ejde-1684	641	8	on	on	ADP
ejde-1684	641	9	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	641	10	from	from	ADP
ejde-1684	641	11	infinity	infinity	NOUN
ejde-1684	641	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	641	13	j.	j.	PROPN
ejde-1684	641	14	differential	differential	PROPN
ejde-1684	641	15	equations	equation	NOUN
ejde-1684	641	16	.	.	PUNCT
ejde-1684	642	1	14	14	NUM
ejde-1684	642	2	(	(	PUNCT
ejde-1684	642	3	1973	1973	NUM
ejde-1684	642	4	)	)	PUNCT
ejde-1684	642	5	,	,	PUNCT
ejde-1684	642	6	462	462	NUM
ejde-1684	642	7	-	-	SYM
ejde-1684	642	8	475	475	NUM
ejde-1684	642	9	.	.	PUNCT
ejde-1684	643	1	[	[	X
ejde-1684	643	2	11	11	NUM
ejde-1684	643	3	]	]	X
ejde-1684	643	4	i.	i.	PROPN
ejde-1684	643	5	v.	v.	PROPN
ejde-1684	643	6	skrypnik	skrypnik	PROPN
ejde-1684	643	7	;	;	PUNCT
ejde-1684	643	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	643	9	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-1684	643	10	boundary	boundary	ADJ
ejde-1684	643	11	value	value	NOUN
ejde-1684	643	12	problems	problem	NOUN
ejde-1684	643	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	643	14	in	in	ADP
ejde-1684	643	15	russian	russian	PROPN
ejde-1684	643	16	)	)	PUNCT
ejde-1684	643	17	,	,	PUNCT
ejde-1684	643	18	naukovaja	naukovaja	ADJ
ejde-1684	643	19	dumka	dumka	PROPN
ejde-1684	643	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	643	21	kyiev	kyiev	NOUN
ejde-1684	643	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	643	23	1973	1973	NUM
ejde-1684	643	24	.	.	PUNCT
ejde-1684	644	1	english	english	ADJ
ejde-1684	644	2	translation	translation	NOUN
ejde-1684	644	3	:	:	PUNCT
ejde-1684	644	4	in	in	ADP
ejde-1684	644	5	teubner	teubner	NOUN
ejde-1684	644	6	-	-	PUNCT
ejde-1684	644	7	texte	texte	PROPN
ejde-1684	644	8	zur	zur	PROPN
ejde-1684	644	9	mathematik	mathematik	PROPN
ejde-1684	644	10	,	,	PUNCT
ejde-1684	644	11	vol	vol	NOUN
ejde-1684	644	12	.	.	PROPN
ejde-1684	644	13	91	91	NUM
ejde-1684	644	14	.	.	PUNCT
ejde-1684	645	1	teubner	teubner	ADJ
ejde-1684	645	2	-	-	PUNCT
ejde-1684	645	3	verlag	verlag	PROPN
ejde-1684	645	4	,	,	PUNCT
ejde-1684	645	5	leipzig	leipzig	NOUN
ejde-1684	645	6	,	,	PUNCT
ejde-1684	645	7	1986	1986	NUM
ejde-1684	645	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	646	1	[	[	X
ejde-1684	646	2	12	12	NUM
ejde-1684	646	3	]	]	PUNCT
ejde-1684	646	4	e.	e.	PROPN
ejde-1684	646	5	zeidler	zeidler	PROPN
ejde-1684	646	6	;	;	PUNCT
ejde-1684	646	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-1684	646	8	functional	functional	ADJ
ejde-1684	646	9	analysis	analysis	NOUN
ejde-1684	646	10	and	and	CCONJ
ejde-1684	646	11	its	its	PRON
ejde-1684	646	12	applications	application	NOUN
ejde-1684	646	13	ii	ii	PROPN
ejde-1684	646	14	/	/	SYM
ejde-1684	646	15	b	b	PROPN
ejde-1684	646	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	646	17	springer	springer	NOUN
ejde-1684	646	18	-	-	PUNCT
ejde-1684	646	19	verlag	verlag	PROPN
ejde-1684	646	20	,	,	PUNCT
ejde-1684	646	21	berlin	berlin	PROPN
ejde-1684	646	22	,	,	PUNCT
ejde-1684	646	23	heidelberg	heidelberg	PROPN
ejde-1684	646	24	,	,	PUNCT
ejde-1684	646	25	new	new	PROPN
ejde-1684	646	26	york	york	PROPN
ejde-1684	646	27	,	,	PUNCT
ejde-1684	646	28	1990	1990	NUM
ejde-1684	646	29	.	.	PUNCT
ejde-1684	647	1	qingbo	qingbo	PROPN
ejde-1684	647	2	liu	liu	PROPN
ejde-1684	647	3	school	school	PROPN
ejde-1684	647	4	of	of	ADP
ejde-1684	647	5	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1684	647	6	sciences	sciences	PROPN
ejde-1684	647	7	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	8	dalian	dalian	PROPN
ejde-1684	647	9	university	university	PROPN
ejde-1684	647	10	of	of	ADP
ejde-1684	647	11	technology	technology	PROPN
ejde-1684	647	12	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	13	dalian	dalian	PROPN
ejde-1684	647	14	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	15	116024	116024	NUM
ejde-1684	647	16	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	17	china	china	PROPN
ejde-1684	647	18	email	email	PROPN
ejde-1684	647	19	address	address	NOUN
ejde-1684	647	20	:	:	PUNCT
ejde-1684	647	21	liuqingbo@mail.dlut.edu.cn	liuqingbo@mail.dlut.edu.cn	PROPN
ejde-1684	647	22	lan	lan	PROPN
ejde-1684	647	23	zhao	zhao	PROPN
ejde-1684	647	24	(	(	PUNCT
ejde-1684	647	25	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-1684	647	26	author	author	NOUN
ejde-1684	647	27	)	)	PUNCT
ejde-1684	647	28	school	school	NOUN
ejde-1684	647	29	of	of	ADP
ejde-1684	647	30	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-1684	647	31	sciences	sciences	PROPN
ejde-1684	647	32	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	33	dalian	dalian	PROPN
ejde-1684	647	34	university	university	PROPN
ejde-1684	647	35	of	of	ADP
ejde-1684	647	36	technology	technology	PROPN
ejde-1684	647	37	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	38	dalian	dalian	PROPN
ejde-1684	647	39	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	40	116024	116024	NUM
ejde-1684	647	41	,	,	PUNCT
ejde-1684	647	42	china	china	PROPN
ejde-1684	647	43	email	email	PROPN
ejde-1684	647	44	address	address	NOUN
ejde-1684	647	45	:	:	PUNCT
ejde-1684	647	46	zhaolan@mail.dlut.edu.cn	zhaolan@mail.dlut.edu.cn	NOUN
ejde-1684	647	47	1	1	X
ejde-1684	647	48	.	.	PUNCT
ejde-1684	647	49	introduction	introduction	NOUN
ejde-1684	647	50	2	2	NUM
ejde-1684	647	51	.	.	PUNCT
ejde-1684	647	52	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-1684	647	53	2.1	2.1	NUM
ejde-1684	647	54	.	.	PUNCT
ejde-1684	648	1	properties	property	NOUN
ejde-1684	648	2	of	of	ADP
ejde-1684	648	3	the	the	DET
ejde-1684	648	4	first	first	ADJ
ejde-1684	648	5	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-1684	648	6	1	1	NUM
ejde-1684	648	7	2.2	2.2	NUM
ejde-1684	648	8	.	.	PUNCT
ejde-1684	648	9	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-1684	648	10	of	of	ADP
ejde-1684	648	11	norms	norm	NOUN
ejde-1684	648	12	near	near	ADP
ejde-1684	648	13	(	(	PUNCT
ejde-1684	648	14	1,0	1,0	NUM
ejde-1684	648	15	)	)	PUNCT
ejde-1684	648	16	and	and	CCONJ
ejde-1684	648	17	(	(	PUNCT
ejde-1684	648	18	1	1	NUM
ejde-1684	648	19	,	,	PUNCT
ejde-1684	648	20	)	)	PUNCT
ejde-1684	648	21	3	3	X
ejde-1684	648	22	.	.	X
ejde-1684	648	23	global	global	ADJ
ejde-1684	648	24	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-1684	648	25	4	4	NUM
ejde-1684	648	26	.	.	PUNCT
ejde-1684	648	27	positive	positive	ADJ
ejde-1684	648	28	solutions	solution	NOUN
ejde-1684	648	29	5	5	NUM
ejde-1684	648	30	.	.	PUNCT
ejde-1684	648	31	appendix	appendix	NOUN
ejde-1684	648	32	:	:	PUNCT
ejde-1684	648	33	browder	browder	NOUN
ejde-1684	648	34	-	-	PUNCT
ejde-1684	648	35	petryshyn	petryshyn	ADJ
ejde-1684	648	36	degree	degree	NOUN
ejde-1684	648	37	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-1684	648	38	references	reference	NOUN