id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-2	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-2	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-2	1	3	of	of	ADP
ejde-2	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-2	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-2	1	6	,	,	PUNCT
ejde-2	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-2	1	8	.	.	PUNCT
ejde-2	1	9	2023	2023	NUM
ejde-2	1	10	(	(	PUNCT
ejde-2	1	11	2023	2023	NUM
ejde-2	1	12	)	)	PUNCT
ejde-2	1	13	,	,	PUNCT
ejde-2	1	14	no	no	INTJ
ejde-2	1	15	.	.	NOUN
ejde-2	1	16	01	01	NUM
ejde-2	1	17	,	,	PUNCT
ejde-2	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-2	1	19	.	.	PUNCT
ejde-2	2	1	1–20	1–20	PROPN
ejde-2	2	2	.	.	PUNCT
ejde-2	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-2	3	2	:	:	PUNCT
ejde-2	3	3	1072	1072	NUM
ejde-2	3	4	-	-	SYM
ejde-2	3	5	6691	6691	NUM
ejde-2	3	6	.	.	PUNCT
ejde-2	4	1	url	url	PROPN
ejde-2	4	2	:	:	PUNCT
ejde-2	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-2	4	4	or	or	CCONJ
ejde-2	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-2	4	6	linear	linear	ADJ
ejde-2	4	7	higher	high	ADJ
ejde-2	4	8	-	-	PUNCT
ejde-2	4	9	order	order	NOUN
ejde-2	4	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	4	11	differential	differential	NOUN
ejde-2	4	12	and	and	CCONJ
ejde-2	4	13	integral	integral	ADJ
ejde-2	4	14	equations	equation	NOUN
ejde-2	4	15	kunquan	kunquan	PROPN
ejde-2	4	16	lan	lan	PROPN
ejde-2	4	17	abstract	abstract	PROPN
ejde-2	4	18	.	.	PUNCT
ejde-2	5	1	we	we	PRON
ejde-2	5	2	study	study	VERB
ejde-2	5	3	the	the	DET
ejde-2	5	4	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	5	5	and	and	CCONJ
ejde-2	5	6	the	the	DET
ejde-2	5	7	implications	implication	NOUN
ejde-2	5	8	between	between	ADP
ejde-2	5	9	linear	linear	PROPN
ejde-2	5	10	(	(	PUNCT
ejde-2	5	11	or	or	CCONJ
ejde-2	5	12	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-2	5	13	)	)	PUNCT
ejde-2	5	14	nth	nth	NOUN
ejde-2	5	15	order	order	NOUN
ejde-2	5	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	5	17	differential	differential	ADJ
ejde-2	5	18	equations	equation	NOUN
ejde-2	5	19	(	(	PUNCT
ejde-2	5	20	fdes	fde	NOUN
ejde-2	5	21	)	)	PUNCT
ejde-2	5	22	and	and	CCONJ
ejde-2	5	23	integral	integral	ADJ
ejde-2	5	24	equations	equation	NOUN
ejde-2	5	25	in	in	ADP
ejde-2	5	26	the	the	DET
ejde-2	5	27	spaces	space	NOUN
ejde-2	5	28	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	5	29	,	,	PUNCT
ejde-2	5	30	b	b	NOUN
ejde-2	5	31	)	)	PUNCT
ejde-2	5	32	and	and	CCONJ
ejde-2	5	33	c[a	c[a	NUM
ejde-2	5	34	,	,	PUNCT
ejde-2	5	35	b	b	X
ejde-2	5	36	]	]	X
ejde-2	5	37	when	when	SCONJ
ejde-2	5	38	n	n	X
ejde-2	5	39	≥	≥	NOUN
ejde-2	5	40	2	2	NUM
ejde-2	5	41	.	.	PUNCT
ejde-2	6	1	we	we	PRON
ejde-2	6	2	establish	establish	VERB
ejde-2	6	3	the	the	DET
ejde-2	6	4	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	6	5	in	in	ADP
ejde-2	6	6	c[a	c[a	NUM
ejde-2	6	7	,	,	PUNCT
ejde-2	6	8	b	b	X
ejde-2	6	9	]	]	PUNCT
ejde-2	6	10	of	of	ADP
ejde-2	6	11	the	the	DET
ejde-2	6	12	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	6	13	of	of	ADP
ejde-2	6	14	the	the	DET
ejde-2	6	15	nth	nth	NOUN
ejde-2	6	16	order	order	NOUN
ejde-2	6	17	fde	fde	PROPN
ejde-2	6	18	subject	subject	NOUN
ejde-2	6	19	to	to	ADP
ejde-2	6	20	the	the	DET
ejde-2	6	21	initial	initial	ADJ
ejde-2	6	22	condition	condition	NOUN
ejde-2	6	23	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	6	24	)	)	PUNCT
ejde-2	7	1	=	=	SYM
ejde-2	7	2	ui	ui	PROPN
ejde-2	7	3	for	for	ADP
ejde-2	7	4	i	i	PROPN
ejde-2	7	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	7	6	{	{	PUNCT
ejde-2	7	7	0	0	NUM
ejde-2	7	8	,	,	PUNCT
ejde-2	7	9	1	1	NUM
ejde-2	7	10	,	,	PUNCT
ejde-2	7	11	.	.	PUNCT
ejde-2	7	12	.	.	PUNCT
ejde-2	8	1	.	.	PUNCT
ejde-2	9	1	,	,	PUNCT
ejde-2	10	1	n	n	CCONJ
ejde-2	11	1	−	−	PROPN
ejde-2	11	2	1	1	NUM
ejde-2	11	3	}	}	PUNCT
ejde-2	11	4	when	when	SCONJ
ejde-2	11	5	n	n	X
ejde-2	11	6	≥	≥	NOUN
ejde-2	11	7	2	2	NUM
ejde-2	11	8	.	.	PUNCT
ejde-2	12	1	the	the	DET
ejde-2	12	2	difficulty	difficulty	NOUN
ejde-2	12	3	is	be	AUX
ejde-2	12	4	that	that	SCONJ
ejde-2	12	5	the	the	DET
ejde-2	12	6	known	know	VERB
ejde-2	12	7	conditions	condition	NOUN
ejde-2	12	8	for	for	ADP
ejde-2	12	9	such	such	ADJ
ejde-2	12	10	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	12	11	for	for	ADP
ejde-2	12	12	the	the	DET
ejde-2	12	13	first	first	ADJ
ejde-2	12	14	order	order	NOUN
ejde-2	12	15	fdes	fde	NOUN
ejde-2	12	16	are	be	AUX
ejde-2	12	17	not	not	PART
ejde-2	12	18	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-2	12	19	for	for	ADP
ejde-2	12	20	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	12	21	in	in	ADP
ejde-2	12	22	the	the	DET
ejde-2	12	23	nth	nth	NOUN
ejde-2	12	24	order	order	NOUN
ejde-2	12	25	fdes	fde	NOUN
ejde-2	12	26	with	with	ADP
ejde-2	12	27	n	n	PRON
ejde-2	12	28	≥	≥	NUM
ejde-2	12	29	2	2	NUM
ejde-2	12	30	.	.	PUNCT
ejde-2	13	1	in	in	ADP
ejde-2	13	2	this	this	DET
ejde-2	13	3	article	article	NOUN
ejde-2	13	4	we	we	PRON
ejde-2	13	5	provide	provide	VERB
ejde-2	13	6	additional	additional	ADJ
ejde-2	13	7	conditions	condition	NOUN
ejde-2	13	8	to	to	PART
ejde-2	13	9	ensure	ensure	VERB
ejde-2	13	10	the	the	DET
ejde-2	13	11	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	13	12	for	for	ADP
ejde-2	13	13	the	the	DET
ejde-2	13	14	nth	nth	NOUN
ejde-2	13	15	order	order	NOUN
ejde-2	13	16	fdes	fde	NOUN
ejde-2	13	17	with	with	ADP
ejde-2	13	18	n	n	PRON
ejde-2	13	19	≥	≥	NUM
ejde-2	13	20	2	2	NUM
ejde-2	13	21	.	.	PUNCT
ejde-2	14	1	in	in	ADP
ejde-2	14	2	particular	particular	ADJ
ejde-2	14	3	,	,	PUNCT
ejde-2	14	4	we	we	PRON
ejde-2	14	5	obtain	obtain	VERB
ejde-2	14	6	conditions	condition	NOUN
ejde-2	14	7	under	under	ADP
ejde-2	14	8	which	which	PRON
ejde-2	14	9	solutions	solution	NOUN
ejde-2	14	10	of	of	ADP
ejde-2	14	11	the	the	DET
ejde-2	14	12	integral	integral	ADJ
ejde-2	14	13	equations	equation	NOUN
ejde-2	14	14	are	be	AUX
ejde-2	14	15	solutions	solution	NOUN
ejde-2	14	16	of	of	ADP
ejde-2	14	17	the	the	DET
ejde-2	14	18	linear	linear	PROPN
ejde-2	14	19	nth	nth	NOUN
ejde-2	14	20	order	order	NOUN
ejde-2	14	21	fdes	fde	NOUN
ejde-2	14	22	.	.	PUNCT
ejde-2	15	1	these	these	DET
ejde-2	15	2	results	result	NOUN
ejde-2	15	3	are	be	AUX
ejde-2	15	4	keys	key	NOUN
ejde-2	15	5	for	for	ADP
ejde-2	15	6	further	far	ADV
ejde-2	15	7	studying	study	VERB
ejde-2	15	8	the	the	DET
ejde-2	15	9	existence	existence	NOUN
ejde-2	15	10	of	of	ADP
ejde-2	15	11	solutions	solution	NOUN
ejde-2	15	12	and	and	CCONJ
ejde-2	15	13	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-2	15	14	solutions	solution	NOUN
ejde-2	15	15	to	to	ADP
ejde-2	15	16	initial	initial	ADJ
ejde-2	15	17	and	and	CCONJ
ejde-2	15	18	boundary	boundary	ADJ
ejde-2	15	19	value	value	NOUN
ejde-2	15	20	problems	problem	NOUN
ejde-2	15	21	of	of	ADP
ejde-2	15	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	15	23	nth	nth	PROPN
ejde-2	15	24	order	order	NOUN
ejde-2	15	25	fdes	fde	NOUN
ejde-2	15	26	.	.	PUNCT
ejde-2	16	1	this	this	PRON
ejde-2	16	2	is	be	AUX
ejde-2	16	3	done	do	VERB
ejde-2	16	4	via	via	ADP
ejde-2	16	5	the	the	DET
ejde-2	16	6	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-2	16	7	integral	integral	ADJ
ejde-2	16	8	equations	equation	NOUN
ejde-2	16	9	by	by	ADP
ejde-2	16	10	topological	topological	ADJ
ejde-2	16	11	methods	method	NOUN
ejde-2	16	12	such	such	ADJ
ejde-2	16	13	as	as	ADP
ejde-2	16	14	the	the	DET
ejde-2	16	15	banach	banach	NOUN
ejde-2	16	16	contraction	contraction	NOUN
ejde-2	16	17	principle	principle	NOUN
ejde-2	16	18	,	,	PUNCT
ejde-2	16	19	fixed	fix	VERB
ejde-2	16	20	point	point	NOUN
ejde-2	16	21	index	index	NOUN
ejde-2	16	22	theory	theory	NOUN
ejde-2	16	23	,	,	PUNCT
ejde-2	16	24	and	and	CCONJ
ejde-2	16	25	degree	degree	NOUN
ejde-2	16	26	theory	theory	NOUN
ejde-2	16	27	.	.	PUNCT
ejde-2	17	1	1	1	X
ejde-2	17	2	.	.	X
ejde-2	17	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-2	17	4	one	one	NUM
ejde-2	17	5	of	of	ADP
ejde-2	17	6	the	the	DET
ejde-2	17	7	important	important	ADJ
ejde-2	17	8	topics	topic	NOUN
ejde-2	17	9	in	in	ADP
ejde-2	17	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	17	11	calculus	calculus	NOUN
ejde-2	17	12	is	be	AUX
ejde-2	17	13	to	to	PART
ejde-2	17	14	establish	establish	VERB
ejde-2	17	15	the	the	DET
ejde-2	17	16	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	17	17	or	or	CCONJ
ejde-2	17	18	the	the	DET
ejde-2	17	19	implication	implication	NOUN
ejde-2	17	20	between	between	ADP
ejde-2	17	21	linear	linear	PROPN
ejde-2	17	22	(	(	PUNCT
ejde-2	17	23	or	or	CCONJ
ejde-2	17	24	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-2	17	25	)	)	PUNCT
ejde-2	17	26	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	17	27	differential	differential	ADJ
ejde-2	17	28	equations	equation	NOUN
ejde-2	17	29	(	(	PUNCT
ejde-2	17	30	fdes	fde	NOUN
ejde-2	17	31	)	)	PUNCT
ejde-2	17	32	and	and	CCONJ
ejde-2	17	33	the	the	DET
ejde-2	17	34	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-2	17	35	integral	integral	ADJ
ejde-2	17	36	equations	equation	NOUN
ejde-2	17	37	.	.	PUNCT
ejde-2	18	1	understanding	understand	VERB
ejde-2	18	2	this	this	DET
ejde-2	18	3	topic	topic	NOUN
ejde-2	18	4	is	be	AUX
ejde-2	18	5	a	a	DET
ejde-2	18	6	key	key	NOUN
ejde-2	18	7	toward	toward	ADP
ejde-2	18	8	further	far	ADV
ejde-2	18	9	studying	study	VERB
ejde-2	18	10	the	the	DET
ejde-2	18	11	existence	existence	NOUN
ejde-2	18	12	of	of	ADP
ejde-2	18	13	solutions	solution	NOUN
ejde-2	18	14	and	and	CCONJ
ejde-2	18	15	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-2	18	16	solutions	solution	NOUN
ejde-2	18	17	for	for	ADP
ejde-2	18	18	initial	initial	ADJ
ejde-2	18	19	value	value	NOUN
ejde-2	18	20	problems	problem	NOUN
ejde-2	18	21	(	(	PUNCT
ejde-2	18	22	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	18	23	)	)	PUNCT
ejde-2	18	24	and	and	CCONJ
ejde-2	18	25	boundary	boundary	ADJ
ejde-2	18	26	value	value	NOUN
ejde-2	18	27	problems	problem	NOUN
ejde-2	18	28	of	of	ADP
ejde-2	18	29	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	18	30	fdes	fde	NOUN
ejde-2	18	31	via	via	ADP
ejde-2	18	32	the	the	DET
ejde-2	18	33	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-2	18	34	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	18	35	integral	integral	ADJ
ejde-2	18	36	equations	equation	NOUN
ejde-2	18	37	by	by	ADP
ejde-2	18	38	topological	topological	ADJ
ejde-2	18	39	methods	method	NOUN
ejde-2	18	40	such	such	ADJ
ejde-2	18	41	as	as	ADP
ejde-2	18	42	the	the	DET
ejde-2	18	43	banach	banach	NOUN
ejde-2	18	44	contraction	contraction	NOUN
ejde-2	18	45	principle	principle	NOUN
ejde-2	18	46	,	,	PUNCT
ejde-2	18	47	fixed	fix	VERB
ejde-2	18	48	point	point	NOUN
ejde-2	18	49	index	index	NOUN
ejde-2	18	50	theory	theory	NOUN
ejde-2	18	51	or	or	CCONJ
ejde-2	18	52	degree	degree	NOUN
ejde-2	18	53	theory	theory	NOUN
ejde-2	18	54	.	.	PUNCT
ejde-2	19	1	very	very	ADV
ejde-2	19	2	recently	recently	ADV
ejde-2	19	3	,	,	PUNCT
ejde-2	19	4	the	the	DET
ejde-2	19	5	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	19	6	between	between	ADP
ejde-2	19	7	linear	linear	PROPN
ejde-2	19	8	first	first	ADJ
ejde-2	19	9	order	order	NOUN
ejde-2	19	10	fdes	fde	NOUN
ejde-2	19	11	and	and	CCONJ
ejde-2	19	12	integral	integral	ADJ
ejde-2	19	13	equations	equation	NOUN
ejde-2	19	14	obtained	obtain	VERB
ejde-2	19	15	in	in	ADP
ejde-2	19	16	[	[	X
ejde-2	19	17	18	18	NUM
ejde-2	19	18	]	]	PUNCT
ejde-2	19	19	is	be	AUX
ejde-2	19	20	employed	employ	VERB
ejde-2	19	21	to	to	PART
ejde-2	19	22	study	study	VERB
ejde-2	19	23	the	the	DET
ejde-2	19	24	existence	existence	NOUN
ejde-2	19	25	of	of	ADP
ejde-2	19	26	solutions	solution	NOUN
ejde-2	19	27	and	and	CCONJ
ejde-2	19	28	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-2	19	29	solutions	solution	NOUN
ejde-2	19	30	for	for	ADP
ejde-2	19	31	the	the	DET
ejde-2	19	32	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	19	33	of	of	ADP
ejde-2	19	34	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	19	35	first	first	ADJ
ejde-2	19	36	order	order	NOUN
ejde-2	19	37	fdes	fde	NOUN
ejde-2	19	38	in	in	ADP
ejde-2	19	39	[	[	X
ejde-2	19	40	21	21	NUM
ejde-2	19	41	]	]	PUNCT
ejde-2	19	42	,	,	PUNCT
ejde-2	19	43	where	where	SCONJ
ejde-2	19	44	the	the	DET
ejde-2	19	45	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-2	19	46	is	be	AUX
ejde-2	19	47	an	an	DET
ejde-2	19	48	lp	lp	ADJ
ejde-2	19	49	-	-	PUNCT
ejde-2	19	50	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-2	19	51	function	function	NOUN
ejde-2	19	52	and	and	CCONJ
ejde-2	19	53	first	first	ADJ
ejde-2	19	54	order	order	NOUN
ejde-2	19	55	fdes	fde	NOUN
ejde-2	19	56	with	with	ADP
ejde-2	19	57	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-2	19	58	from	from	ADP
ejde-2	19	59	combustion	combustion	NOUN
ejde-2	19	60	theory	theory	NOUN
ejde-2	19	61	are	be	AUX
ejde-2	19	62	considered	consider	VERB
ejde-2	19	63	.	.	PUNCT
ejde-2	20	1	some	some	DET
ejde-2	20	2	initial	initial	ADJ
ejde-2	20	3	or	or	CCONJ
ejde-2	20	4	boundary	boundary	ADJ
ejde-2	20	5	value	value	NOUN
ejde-2	20	6	problems	problem	NOUN
ejde-2	20	7	for	for	ADP
ejde-2	20	8	linear	linear	ADJ
ejde-2	20	9	or	or	CCONJ
ejde-2	20	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	20	11	fdes	fde	NOUN
ejde-2	20	12	and	and	CCONJ
ejde-2	20	13	integral	integral	ADJ
ejde-2	20	14	equations	equation	NOUN
ejde-2	20	15	have	have	AUX
ejde-2	20	16	been	be	AUX
ejde-2	20	17	studied	study	VERB
ejde-2	20	18	,	,	PUNCT
ejde-2	20	19	for	for	ADP
ejde-2	20	20	example	example	NOUN
ejde-2	20	21	in	in	ADP
ejde-2	20	22	[	[	X
ejde-2	20	23	1	1	NUM
ejde-2	20	24	,	,	PUNCT
ejde-2	20	25	2	2	NUM
ejde-2	20	26	,	,	PUNCT
ejde-2	20	27	5	5	NUM
ejde-2	20	28	,	,	PUNCT
ejde-2	20	29	8	8	NUM
ejde-2	20	30	,	,	PUNCT
ejde-2	20	31	9	9	NUM
ejde-2	20	32	,	,	PUNCT
ejde-2	20	33	16	16	NUM
ejde-2	20	34	,	,	PUNCT
ejde-2	20	35	17	17	NUM
ejde-2	20	36	,	,	PUNCT
ejde-2	20	37	18	18	NUM
ejde-2	20	38	,	,	PUNCT
ejde-2	20	39	19	19	NUM
ejde-2	20	40	,	,	PUNCT
ejde-2	20	41	20	20	NUM
ejde-2	20	42	,	,	PUNCT
ejde-2	20	43	27	27	NUM
ejde-2	20	44	,	,	PUNCT
ejde-2	20	45	28	28	NUM
ejde-2	20	46	,	,	PUNCT
ejde-2	20	47	29	29	NUM
ejde-2	20	48	,	,	PUNCT
ejde-2	20	49	30	30	NUM
ejde-2	20	50	]	]	PUNCT
ejde-2	20	51	.	.	PUNCT
ejde-2	21	1	we	we	PRON
ejde-2	21	2	consider	consider	VERB
ejde-2	21	3	the	the	DET
ejde-2	21	4	linear	linear	NOUN
ejde-2	21	5	(	(	PUNCT
ejde-2	21	6	or	or	CCONJ
ejde-2	21	7	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-2	21	8	)	)	PUNCT
ejde-2	21	9	nth	nth	NOUN
ejde-2	21	10	order	order	NOUN
ejde-2	21	11	fde	fde	PROPN
ejde-2	21	12	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	21	13	p	p	NOUN
ejde-2	21	14	,	,	PUNCT
ejde-2	21	15	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	21	16	)	)	PUNCT
ejde-2	21	17	:	:	PUNCT
ejde-2	21	18	=	=	SYM
ejde-2	21	19	(	(	PUNCT
ejde-2	21	20	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	21	21	pm))(n)(x	pm))(n)(x	PROPN
ejde-2	21	22	)	)	PUNCT
ejde-2	21	23	=	=	SYM
ejde-2	21	24	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	21	25	)	)	PUNCT
ejde-2	21	26	for	for	ADP
ejde-2	21	27	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	21	28	.	.	PUNCT
ejde-2	21	29	x	x	SYM
ejde-2	21	30	∈	∈	PROPN
ejde-2	21	31	[	[	X
ejde-2	21	32	a	a	X
ejde-2	21	33	,	,	PUNCT
ejde-2	21	34	b	b	NOUN
ejde-2	21	35	]	]	X
ejde-2	21	36	,	,	PUNCT
ejde-2	21	37	(	(	PUNCT
ejde-2	21	38	1.1	1.1	NUM
ejde-2	21	39	)	)	PUNCT
ejde-2	21	40	2020	2020	NUM
ejde-2	21	41	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-2	21	42	subject	subject	ADJ
ejde-2	21	43	classification	classification	NOUN
ejde-2	21	44	.	.	PUNCT
ejde-2	22	1	34a08	34a08	NUM
ejde-2	22	2	,	,	PUNCT
ejde-2	22	3	26a33	26a33	NUM
ejde-2	22	4	,	,	PUNCT
ejde-2	22	5	34a12	34a12	NUM
ejde-2	22	6	,	,	PUNCT
ejde-2	22	7	45d05	45d05	NUM
ejde-2	22	8	.	.	PUNCT
ejde-2	23	1	key	key	ADJ
ejde-2	23	2	words	word	NOUN
ejde-2	23	3	and	and	CCONJ
ejde-2	23	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-2	23	5	.	.	PUNCT
ejde-2	24	1	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	24	2	differential	differential	ADJ
ejde-2	24	3	equation	equation	NOUN
ejde-2	24	4	;	;	PUNCT
ejde-2	24	5	integral	integral	ADJ
ejde-2	24	6	equation	equation	NOUN
ejde-2	24	7	;	;	PUNCT
ejde-2	24	8	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	24	9	;	;	PUNCT
ejde-2	24	10	initial	initial	ADJ
ejde-2	24	11	value	value	NOUN
ejde-2	24	12	problem	problem	NOUN
ejde-2	24	13	.	.	PUNCT
ejde-2	25	1	©	©	ADP
ejde-2	25	2	2023	2023	NUM
ejde-2	25	3	.	.	PUNCT
ejde-2	26	1	this	this	DET
ejde-2	26	2	work	work	NOUN
ejde-2	26	3	is	be	AUX
ejde-2	26	4	licensed	license	VERB
ejde-2	26	5	under	under	ADP
ejde-2	26	6	a	a	DET
ejde-2	26	7	cc	cc	NOUN
ejde-2	26	8	by	by	ADP
ejde-2	26	9	4.0	4.0	NUM
ejde-2	26	10	license	license	NOUN
ejde-2	26	11	.	.	PUNCT
ejde-2	27	1	submitted	submit	VERB
ejde-2	27	2	november	november	PROPN
ejde-2	27	3	1	1	NUM
ejde-2	27	4	,	,	PUNCT
ejde-2	27	5	2022	2022	NUM
ejde-2	27	6	.	.	PUNCT
ejde-2	28	1	published	publish	VERB
ejde-2	28	2	january	january	PROPN
ejde-2	28	3	4	4	NUM
ejde-2	28	4	,	,	PUNCT
ejde-2	28	5	2023	2023	NUM
ejde-2	28	6	.	.	PUNCT
ejde-2	29	1	1	1	NUM
ejde-2	29	2	2	2	NUM
ejde-2	29	3	k.	k.	PROPN
ejde-2	29	4	lan	lan	PROPN
ejde-2	29	5	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	29	6	where	where	SCONJ
ejde-2	29	7	α	α	X
ejde-2	29	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	29	9	(	(	PUNCT
ejde-2	29	10	0	0	NUM
ejde-2	29	11	,	,	PUNCT
ejde-2	29	12	1	1	NUM
ejde-2	29	13	)	)	PUNCT
ejde-2	29	14	,	,	PUNCT
ejde-2	29	15	n	n	PROPN
ejde-2	29	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	29	17	n	n	NOUN
ejde-2	29	18	with	with	ADP
ejde-2	29	19	n	n	PRON
ejde-2	29	20	≥	≥	NUM
ejde-2	29	21	2	2	NUM
ejde-2	29	22	,	,	PUNCT
ejde-2	29	23	m	m	PROPN
ejde-2	29	24	∈	∈	NOUN
ejde-2	29	25	{	{	PUNCT
ejde-2	29	26	0	0	NUM
ejde-2	29	27	,	,	PUNCT
ejde-2	29	28	1	1	NUM
ejde-2	29	29	,	,	PUNCT
ejde-2	29	30	.	.	PUNCT
ejde-2	29	31	.	.	PUNCT
ejde-2	29	32	.	.	PUNCT
ejde-2	30	1	n−	n−	NOUN
ejde-2	30	2	1	1	NUM
ejde-2	30	3	}	}	PUNCT
ejde-2	30	4	and	and	CCONJ
ejde-2	30	5	pm(x	pm(x	NOUN
ejde-2	30	6	)	)	PUNCT
ejde-2	30	7	=	=	SYM
ejde-2	30	8	m∑	m∑	CCONJ
ejde-2	30	9	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	30	10	ui	ui	PROPN
ejde-2	31	1	i	i	PROPN
ejde-2	31	2	!	!	PUNCT
ejde-2	32	1	(	(	PUNCT
ejde-2	32	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	32	3	a)i	a)i	X
ejde-2	32	4	for	for	ADP
ejde-2	32	5	each	each	DET
ejde-2	32	6	x	x	SYM
ejde-2	32	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	32	8	[	[	X
ejde-2	32	9	a	a	X
ejde-2	32	10	,	,	PUNCT
ejde-2	32	11	b	b	X
ejde-2	32	12	]	]	X
ejde-2	32	13	is	be	AUX
ejde-2	32	14	a	a	DET
ejde-2	32	15	polynomial	polynomial	NOUN
ejde-2	32	16	of	of	ADP
ejde-2	32	17	degree	degree	NOUN
ejde-2	32	18	m	m	PROPN
ejde-2	32	19	,	,	PUNCT
ejde-2	32	20	and	and	CCONJ
ejde-2	32	21	the	the	DET
ejde-2	32	22	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-2	32	23	{	{	PUNCT
ejde-2	32	24	ui	ui	NOUN
ejde-2	32	25	:	:	PUNCT
ejde-2	32	26	i	i	PRON
ejde-2	32	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	32	28	{	{	PUNCT
ejde-2	32	29	0	0	NUM
ejde-2	32	30	,	,	PUNCT
ejde-2	32	31	.	.	PUNCT
ejde-2	32	32	.	.	PUNCT
ejde-2	33	1	.m	.m	PROPN
ejde-2	33	2	}	}	PUNCT
ejde-2	33	3	}	}	PUNCT
ejde-2	33	4	are	be	AUX
ejde-2	33	5	given	give	VERB
ejde-2	33	6	.	.	PUNCT
ejde-2	34	1	the	the	DET
ejde-2	34	2	symbols	symbol	NOUN
ejde-2	34	3	and	and	CCONJ
ejde-2	34	4	detailed	detailed	ADJ
ejde-2	34	5	concepts	concept	NOUN
ejde-2	34	6	in	in	ADP
ejde-2	34	7	the	the	DET
ejde-2	34	8	introduction	introduction	NOUN
ejde-2	34	9	will	will	AUX
ejde-2	34	10	be	be	AUX
ejde-2	34	11	given	give	VERB
ejde-2	34	12	later	later	ADV
ejde-2	34	13	.	.	PUNCT
ejde-2	35	1	one	one	NUM
ejde-2	35	2	of	of	ADP
ejde-2	35	3	our	our	PRON
ejde-2	35	4	aims	aim	NOUN
ejde-2	35	5	when	when	SCONJ
ejde-2	35	6	m	m	VERB
ejde-2	35	7	=	=	SYM
ejde-2	35	8	n	n	CCONJ
ejde-2	35	9	−	−	PROPN
ejde-2	35	10	1	1	NUM
ejde-2	35	11	is	be	AUX
ejde-2	35	12	to	to	PART
ejde-2	35	13	establish	establish	VERB
ejde-2	35	14	implications	implication	NOUN
ejde-2	35	15	of	of	ADP
ejde-2	35	16	existence	existence	NOUN
ejde-2	35	17	of	of	ADP
ejde-2	35	18	solutions	solution	NOUN
ejde-2	35	19	in	in	ADP
ejde-2	35	20	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	35	21	,	,	PUNCT
ejde-2	35	22	b	b	NOUN
ejde-2	35	23	)	)	PUNCT
ejde-2	35	24	between	between	ADP
ejde-2	35	25	the	the	DET
ejde-2	35	26	nth	nth	NOUN
ejde-2	35	27	order	order	NOUN
ejde-2	35	28	fde	fde	X
ejde-2	35	29	(	(	PUNCT
ejde-2	35	30	1.1	1.1	NUM
ejde-2	35	31	)	)	PUNCT
ejde-2	35	32	without	without	ADP
ejde-2	35	33	any	any	DET
ejde-2	35	34	initial	initial	ADJ
ejde-2	35	35	conditions	condition	NOUN
ejde-2	35	36	and	and	CCONJ
ejde-2	35	37	the	the	DET
ejde-2	35	38	integral	integral	ADJ
ejde-2	35	39	equation	equation	NOUN
ejde-2	35	40	u(x	u(x	VERB
ejde-2	35	41	)	)	PUNCT
ejde-2	35	42	=	=	SYM
ejde-2	35	43	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	35	44	)	)	PUNCT
ejde-2	36	1	+	+	CCONJ
ejde-2	37	1	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	37	2	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	37	3	(	(	PUNCT
ejde-2	37	4	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	37	5	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	37	6	)	)	PUNCT
ejde-2	38	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	38	2	+	+	CCONJ
ejde-2	38	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	38	4	α	α	NOUN
ejde-2	38	5	)	)	PUNCT
ejde-2	38	6	(	(	PUNCT
ejde-2	38	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	38	8	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	38	9	+	+	CCONJ
ejde-2	38	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	38	11	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	38	12	)	)	PUNCT
ejde-2	38	13	for	for	ADP
ejde-2	38	14	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	38	15	.	.	PUNCT
ejde-2	38	16	x	x	SYM
ejde-2	38	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	38	18	[	[	X
ejde-2	38	19	a	a	X
ejde-2	38	20	,	,	PUNCT
ejde-2	38	21	b	b	NOUN
ejde-2	38	22	]	]	X
ejde-2	38	23	.	.	PUNCT
ejde-2	39	1	also	also	ADV
ejde-2	39	2	to	to	PART
ejde-2	39	3	establish	establish	VERB
ejde-2	39	4	implications	implication	NOUN
ejde-2	39	5	of	of	ADP
ejde-2	39	6	solutions	solution	NOUN
ejde-2	39	7	in	in	ADP
ejde-2	39	8	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	39	9	,	,	PUNCT
ejde-2	39	10	b	b	NOUN
ejde-2	39	11	)	)	PUNCT
ejde-2	39	12	between	between	ADP
ejde-2	39	13	the	the	DET
ejde-2	39	14	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	39	15	of	of	ADP
ejde-2	39	16	(	(	PUNCT
ejde-2	39	17	1.1	1.1	NUM
ejde-2	39	18	)	)	PUNCT
ejde-2	39	19	subject	subject	NOUN
ejde-2	39	20	to	to	ADP
ejde-2	39	21	the	the	DET
ejde-2	39	22	initial	initial	ADJ
ejde-2	39	23	condition	condition	NOUN
ejde-2	39	24	(	(	PUNCT
ejde-2	39	25	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	39	26	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	39	27	)	)	PUNCT
ejde-2	40	1	=	=	SYM
ejde-2	40	2	ci	ci	PROPN
ejde-2	40	3	for	for	ADP
ejde-2	40	4	each	each	DET
ejde-2	40	5	i	i	PRON
ejde-2	40	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	40	7	{	{	PUNCT
ejde-2	40	8	0	0	NUM
ejde-2	40	9	,	,	PUNCT
ejde-2	40	10	1	1	NUM
ejde-2	40	11	,	,	PUNCT
ejde-2	40	12	.	.	PUNCT
ejde-2	40	13	.	.	PUNCT
ejde-2	40	14	.	.	PUNCT
ejde-2	41	1	n−	n−	NOUN
ejde-2	41	2	1	1	NUM
ejde-2	41	3	}	}	PUNCT
ejde-2	41	4	(	(	PUNCT
ejde-2	41	5	1.2	1.2	NUM
ejde-2	41	6	)	)	PUNCT
ejde-2	41	7	and	and	CCONJ
ejde-2	41	8	the	the	DET
ejde-2	41	9	integral	integral	ADJ
ejde-2	41	10	equation	equation	NOUN
ejde-2	41	11	u(x	u(x	VERB
ejde-2	41	12	)	)	PUNCT
ejde-2	41	13	=	=	SYM
ejde-2	41	14	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	41	15	)	)	PUNCT
ejde-2	42	1	+	+	CCONJ
ejde-2	43	1	n−1∑	n−1∑	ADJ
ejde-2	43	2	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	43	3	ci	ci	PROPN
ejde-2	44	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	44	2	+	+	PROPN
ejde-2	44	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	44	4	α	α	NOUN
ejde-2	44	5	)	)	PUNCT
ejde-2	44	6	(	(	PUNCT
ejde-2	44	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	44	8	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	45	1	+	+	CCONJ
ejde-2	45	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	45	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	45	4	)	)	PUNCT
ejde-2	45	5	for	for	ADP
ejde-2	45	6	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	45	7	.	.	PUNCT
ejde-2	45	8	x	x	SYM
ejde-2	45	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	46	1	[	[	X
ejde-2	46	2	a	a	X
ejde-2	46	3	,	,	PUNCT
ejde-2	46	4	b	b	NOUN
ejde-2	46	5	]	]	X
ejde-2	46	6	.	.	PUNCT
ejde-2	47	1	these	these	DET
ejde-2	47	2	results	result	NOUN
ejde-2	47	3	generalize	generalize	VERB
ejde-2	47	4	the	the	DET
ejde-2	47	5	results	result	NOUN
ejde-2	47	6	in	in	ADP
ejde-2	47	7	[	[	X
ejde-2	47	8	18	18	NUM
ejde-2	47	9	]	]	PUNCT
ejde-2	47	10	from	from	ADP
ejde-2	47	11	n	n	NOUN
ejde-2	47	12	=	=	SYM
ejde-2	47	13	1	1	NUM
ejde-2	47	14	to	to	ADP
ejde-2	47	15	n	n	PROPN
ejde-2	47	16	>	>	X
ejde-2	47	17	1	1	NUM
ejde-2	47	18	,	,	PUNCT
ejde-2	47	19	and	and	CCONJ
ejde-2	47	20	are	be	AUX
ejde-2	47	21	related	relate	VERB
ejde-2	47	22	to	to	ADP
ejde-2	47	23	the	the	DET
ejde-2	47	24	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	47	25	for	for	ADP
ejde-2	47	26	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	47	27	(	(	PUNCT
ejde-2	47	28	1.1)-(1.2	1.1)-(1.2	NUM
ejde-2	47	29	)	)	PUNCT
ejde-2	47	30	with	with	ADP
ejde-2	47	31	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	47	32	)	)	PUNCT
ejde-2	47	33	=	=	SYM
ejde-2	47	34	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	47	35	,	,	PUNCT
ejde-2	47	36	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	47	37	)	)	PUNCT
ejde-2	47	38	)	)	PUNCT
ejde-2	47	39	studied	study	VERB
ejde-2	47	40	in	in	ADP
ejde-2	47	41	[	[	X
ejde-2	47	42	12	12	NUM
ejde-2	47	43	,	,	PUNCT
ejde-2	47	44	15	15	NUM
ejde-2	47	45	,	,	PUNCT
ejde-2	47	46	26	26	NUM
ejde-2	47	47	,	,	PUNCT
ejde-2	47	48	29	29	NUM
ejde-2	47	49	]	]	PUNCT
ejde-2	47	50	.	.	PUNCT
ejde-2	48	1	in	in	ADP
ejde-2	48	2	particular	particular	ADJ
ejde-2	48	3	,	,	PUNCT
ejde-2	48	4	we	we	PRON
ejde-2	48	5	obtain	obtain	VERB
ejde-2	48	6	results	result	NOUN
ejde-2	48	7	on	on	ADP
ejde-2	48	8	the	the	DET
ejde-2	48	9	identity	identity	NOUN
ejde-2	48	10	on	on	ADP
ejde-2	48	11	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	48	12	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	48	13	p	p	NOUN
ejde-2	48	14	,	,	PUNCT
ejde-2	48	15	a+u	a+u	NUM
ejde-2	48	16	,	,	PUNCT
ejde-2	48	17	which	which	PRON
ejde-2	48	18	generalize	generalize	VERB
ejde-2	48	19	the	the	DET
ejde-2	48	20	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-2	48	21	results	result	NOUN
ejde-2	48	22	in	in	ADP
ejde-2	48	23	[	[	X
ejde-2	48	24	5	5	NUM
ejde-2	48	25	,	,	PUNCT
ejde-2	48	26	15	15	NUM
ejde-2	48	27	,	,	PUNCT
ejde-2	48	28	25	25	NUM
ejde-2	48	29	]	]	PUNCT
ejde-2	48	30	,	,	PUNCT
ejde-2	48	31	where	where	SCONJ
ejde-2	48	32	ui	ui	PROPN
ejde-2	48	33	=	=	NOUN
ejde-2	48	34	0	0	NUM
ejde-2	48	35	for	for	ADP
ejde-2	48	36	i	i	PRON
ejde-2	48	37	∈	∈	PROPN
ejde-2	48	38	{	{	PUNCT
ejde-2	48	39	0	0	NUM
ejde-2	48	40	,	,	PUNCT
ejde-2	48	41	1	1	NUM
ejde-2	48	42	,	,	PUNCT
ejde-2	48	43	.	.	PUNCT
ejde-2	48	44	.	.	PUNCT
ejde-2	48	45	.	.	PUNCT
ejde-2	49	1	n−	n−	NOUN
ejde-2	49	2	1	1	NUM
ejde-2	49	3	}	}	PUNCT
ejde-2	49	4	.	.	PUNCT
ejde-2	50	1	a	a	DET
ejde-2	50	2	more	more	ADV
ejde-2	50	3	challenging	challenging	ADJ
ejde-2	50	4	topic	topic	NOUN
ejde-2	50	5	is	be	AUX
ejde-2	50	6	to	to	PART
ejde-2	50	7	establish	establish	VERB
ejde-2	50	8	the	the	DET
ejde-2	50	9	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	50	10	in	in	ADP
ejde-2	50	11	c[a	c[a	NUM
ejde-2	50	12	,	,	PUNCT
ejde-2	50	13	b	b	X
ejde-2	50	14	]	]	PUNCT
ejde-2	50	15	between	between	ADP
ejde-2	50	16	the	the	DET
ejde-2	50	17	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	50	18	of	of	ADP
ejde-2	50	19	(	(	PUNCT
ejde-2	50	20	1.1	1.1	NUM
ejde-2	50	21	)	)	PUNCT
ejde-2	50	22	subject	subject	NOUN
ejde-2	50	23	to	to	ADP
ejde-2	50	24	the	the	DET
ejde-2	50	25	initial	initial	ADJ
ejde-2	50	26	conditions	condition	NOUN
ejde-2	50	27	u(a	u(a	NOUN
ejde-2	50	28	)	)	PUNCT
ejde-2	50	29	=	=	SYM
ejde-2	50	30	u0	u0	ADJ
ejde-2	50	31	,	,	PUNCT
ejde-2	50	32	u′(a	u′(a	ADJ
ejde-2	50	33	)	)	PUNCT
ejde-2	50	34	=	=	SYM
ejde-2	50	35	u1	u1	NOUN
ejde-2	50	36	,	,	PUNCT
ejde-2	50	37	.	.	PUNCT
ejde-2	50	38	.	.	PUNCT
ejde-2	51	1	.	.	PUNCT
ejde-2	52	1	,	,	PUNCT
ejde-2	52	2	u	u	PROPN
ejde-2	52	3	(	(	PUNCT
ejde-2	52	4	m)(a	m)(a	PROPN
ejde-2	52	5	)	)	PUNCT
ejde-2	52	6	=	=	SYM
ejde-2	52	7	um	um	INTJ
ejde-2	52	8	,	,	PUNCT
ejde-2	52	9	(	(	PUNCT
ejde-2	52	10	1.3	1.3	NUM
ejde-2	52	11	)	)	PUNCT
ejde-2	52	12	where	where	SCONJ
ejde-2	52	13	m	m	VERB
ejde-2	52	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	52	15	{	{	PUNCT
ejde-2	52	16	0	0	NUM
ejde-2	52	17	,	,	PUNCT
ejde-2	52	18	.	.	PUNCT
ejde-2	52	19	.	.	PUNCT
ejde-2	52	20	.	.	PUNCT
ejde-2	53	1	n−	n−	NOUN
ejde-2	53	2	1	1	NUM
ejde-2	53	3	}	}	PUNCT
ejde-2	53	4	is	be	AUX
ejde-2	53	5	given	give	VERB
ejde-2	53	6	,	,	PUNCT
ejde-2	53	7	and	and	CCONJ
ejde-2	53	8	suitable	suitable	ADJ
ejde-2	53	9	integral	integral	ADJ
ejde-2	53	10	equations	equation	NOUN
ejde-2	53	11	.	.	PUNCT
ejde-2	54	1	when	when	SCONJ
ejde-2	54	2	n	n	X
ejde-2	54	3	≥	≥	NOUN
ejde-2	54	4	2	2	NUM
ejde-2	54	5	,	,	PUNCT
ejde-2	54	6	m	m	VERB
ejde-2	54	7	≤	≤	NOUN
ejde-2	54	8	n	n	CCONJ
ejde-2	54	9	−	−	PROPN
ejde-2	54	10	2	2	NUM
ejde-2	54	11	and	and	CCONJ
ejde-2	54	12	[	[	X
ejde-2	54	13	a	a	X
ejde-2	54	14	,	,	PUNCT
ejde-2	54	15	b	b	NOUN
ejde-2	54	16	]	]	X
ejde-2	54	17	=	=	PUNCT
ejde-2	55	1	[	[	X
ejde-2	55	2	0	0	NUM
ejde-2	55	3	,	,	PUNCT
ejde-2	55	4	1	1	NUM
ejde-2	55	5	]	]	PUNCT
ejde-2	55	6	,	,	PUNCT
ejde-2	55	7	lan	lan	PROPN
ejde-2	55	8	[	[	X
ejde-2	55	9	17	17	NUM
ejde-2	55	10	]	]	PUNCT
ejde-2	55	11	obtained	obtain	VERB
ejde-2	55	12	the	the	DET
ejde-2	55	13	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	55	14	in	in	ADP
ejde-2	55	15	c[a	c[a	NUM
ejde-2	55	16	,	,	PUNCT
ejde-2	55	17	b	b	X
ejde-2	55	18	]	]	PUNCT
ejde-2	55	19	between	between	ADP
ejde-2	55	20	the	the	DET
ejde-2	55	21	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	55	22	of	of	ADP
ejde-2	55	23	(	(	PUNCT
ejde-2	55	24	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	55	25	)	)	PUNCT
ejde-2	55	26	,	,	PUNCT
ejde-2	55	27	where	where	SCONJ
ejde-2	55	28	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	55	29	)	)	PUNCT
ejde-2	55	30	is	be	AUX
ejde-2	55	31	not	not	PART
ejde-2	55	32	required	require	VERB
ejde-2	55	33	to	to	PART
ejde-2	55	34	exist	exist	VERB
ejde-2	55	35	for	for	ADP
ejde-2	55	36	i	i	PROPN
ejde-2	55	37	∈	∈	PROPN
ejde-2	55	38	{	{	PUNCT
ejde-2	55	39	m+	m+	NOUN
ejde-2	55	40	1	1	NUM
ejde-2	55	41	,	,	PUNCT
ejde-2	55	42	.	.	PUNCT
ejde-2	55	43	.	.	PUNCT
ejde-2	56	1	.	.	PUNCT
ejde-2	57	1	,	,	PUNCT
ejde-2	57	2	n−	n−	NOUN
ejde-2	57	3	1	1	NUM
ejde-2	57	4	}	}	PUNCT
ejde-2	57	5	,	,	PUNCT
ejde-2	57	6	and	and	CCONJ
ejde-2	57	7	the	the	DET
ejde-2	57	8	integral	integral	ADJ
ejde-2	57	9	equation	equation	NOUN
ejde-2	57	10	u(x	u(x	VERB
ejde-2	57	11	)	)	PUNCT
ejde-2	57	12	=	=	SYM
ejde-2	57	13	pm(x	pm(x	X
ejde-2	57	14	)	)	PUNCT
ejde-2	58	1	+	+	CCONJ
ejde-2	58	2	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-2	58	3	i	i	NOUN
ejde-2	58	4	=	=	NOUN
ejde-2	58	5	m+1	m+1	NUM
ejde-2	58	6	cix	cix	NOUN
ejde-2	58	7	i−α	i−α	PART
ejde-2	58	8	+	+	CCONJ
ejde-2	58	9	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	58	10	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	58	11	)	)	PUNCT
ejde-2	58	12	for	for	ADP
ejde-2	58	13	each	each	DET
ejde-2	58	14	x	x	SYM
ejde-2	58	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	58	16	[	[	X
ejde-2	58	17	a	a	X
ejde-2	58	18	,	,	PUNCT
ejde-2	58	19	b	b	NOUN
ejde-2	58	20	]	]	X
ejde-2	58	21	.	.	PUNCT
ejde-2	59	1	(	(	PUNCT
ejde-2	59	2	1.4	1.4	NUM
ejde-2	59	3	)	)	PUNCT
ejde-2	59	4	the	the	DET
ejde-2	59	5	results	result	NOUN
ejde-2	59	6	in	in	ADP
ejde-2	59	7	[	[	X
ejde-2	59	8	17	17	NUM
ejde-2	59	9	]	]	PUNCT
ejde-2	59	10	allow	allow	VERB
ejde-2	59	11	v	v	ADP
ejde-2	59	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	59	13	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	59	14	,	,	PUNCT
ejde-2	59	15	b	b	NOUN
ejde-2	59	16	)	)	PUNCT
ejde-2	59	17	.	.	PUNCT
ejde-2	60	1	note	note	VERB
ejde-2	60	2	that	that	SCONJ
ejde-2	60	3	all	all	DET
ejde-2	60	4	the	the	DET
ejde-2	60	5	results	result	NOUN
ejde-2	60	6	in	in	ADP
ejde-2	60	7	[	[	X
ejde-2	60	8	17	17	NUM
ejde-2	60	9	]	]	PUNCT
ejde-2	60	10	hold	hold	NOUN
ejde-2	60	11	on	on	ADP
ejde-2	60	12	the	the	DET
ejde-2	60	13	general	general	ADJ
ejde-2	60	14	interval	interval	NOUN
ejde-2	60	15	[	[	X
ejde-2	60	16	a	a	X
ejde-2	60	17	,	,	PUNCT
ejde-2	60	18	b	b	NOUN
ejde-2	60	19	]	]	PUNCT
ejde-2	60	20	by	by	ADP
ejde-2	60	21	simple	simple	ADJ
ejde-2	60	22	modifications	modification	NOUN
ejde-2	60	23	.	.	PUNCT
ejde-2	61	1	it	it	PRON
ejde-2	61	2	is	be	AUX
ejde-2	61	3	mentioned	mention	VERB
ejde-2	61	4	in	in	ADP
ejde-2	61	5	[	[	X
ejde-2	61	6	17	17	NUM
ejde-2	61	7	,	,	PUNCT
ejde-2	61	8	p.5226	p.5226	VERB
ejde-2	61	9	]	]	PUNCT
ejde-2	62	1	that	that	SCONJ
ejde-2	62	2	for	for	ADP
ejde-2	62	3	n	n	NOUN
ejde-2	62	4	=	=	SYM
ejde-2	62	5	1	1	NUM
ejde-2	62	6	or	or	CCONJ
ejde-2	62	7	n	n	PRON
ejde-2	62	8	≥	≥	NOUN
ejde-2	62	9	2	2	NUM
ejde-2	62	10	and	and	CCONJ
ejde-2	62	11	m	m	VERB
ejde-2	62	12	=	=	VERB
ejde-2	62	13	n−	n−	NOUN
ejde-2	62	14	1	1	NUM
ejde-2	62	15	,	,	PUNCT
ejde-2	62	16	if	if	SCONJ
ejde-2	62	17	one	one	NUM
ejde-2	62	18	only	only	ADV
ejde-2	62	19	assumes	assume	VERB
ejde-2	62	20	v	v	ADP
ejde-2	62	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	62	22	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	62	23	,	,	PUNCT
ejde-2	62	24	b	b	NOUN
ejde-2	62	25	)	)	PUNCT
ejde-2	62	26	,	,	PUNCT
ejde-2	62	27	(	(	PUNCT
ejde-2	62	28	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	62	29	)	)	PUNCT
ejde-2	62	30	may	may	AUX
ejde-2	62	31	not	not	PART
ejde-2	62	32	be	be	AUX
ejde-2	62	33	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	62	34	to	to	ADP
ejde-2	62	35	the	the	DET
ejde-2	62	36	integral	integral	ADJ
ejde-2	62	37	equation	equation	NOUN
ejde-2	62	38	u(x	u(x	VERB
ejde-2	62	39	)	)	PUNCT
ejde-2	62	40	=	=	SYM
ejde-2	62	41	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	62	42	)	)	PUNCT
ejde-2	63	1	+	+	NUM
ejde-2	63	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	63	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	63	4	)	)	PUNCT
ejde-2	63	5	for	for	ADP
ejde-2	63	6	each	each	DET
ejde-2	63	7	x	x	SYM
ejde-2	63	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	63	9	[	[	X
ejde-2	63	10	a	a	X
ejde-2	63	11	,	,	PUNCT
ejde-2	63	12	b	b	NOUN
ejde-2	63	13	]	]	X
ejde-2	63	14	.	.	PUNCT
ejde-2	64	1	(	(	PUNCT
ejde-2	64	2	1.5	1.5	NUM
ejde-2	64	3	)	)	PUNCT
ejde-2	64	4	therefore	therefore	ADV
ejde-2	64	5	,	,	PUNCT
ejde-2	64	6	additional	additional	ADJ
ejde-2	64	7	conditions	condition	NOUN
ejde-2	64	8	on	on	ADP
ejde-2	64	9	v	v	NUM
ejde-2	64	10	are	be	AUX
ejde-2	64	11	required	require	VERB
ejde-2	64	12	for	for	ADP
ejde-2	64	13	studying	study	VERB
ejde-2	64	14	the	the	DET
ejde-2	64	15	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	64	16	of	of	ADP
ejde-2	64	17	the	the	DET
ejde-2	64	18	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	64	19	(	(	PUNCT
ejde-2	64	20	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	64	21	)	)	PUNCT
ejde-2	64	22	and	and	CCONJ
ejde-2	64	23	the	the	DET
ejde-2	64	24	integral	integral	ADJ
ejde-2	64	25	equation	equation	NOUN
ejde-2	64	26	(	(	PUNCT
ejde-2	64	27	1.5	1.5	NUM
ejde-2	64	28	)	)	PUNCT
ejde-2	64	29	in	in	ADP
ejde-2	64	30	c[a	c[a	NUM
ejde-2	64	31	,	,	PUNCT
ejde-2	64	32	b	b	X
ejde-2	64	33	]	]	X
ejde-2	64	34	when	when	SCONJ
ejde-2	64	35	n	n	X
ejde-2	64	36	=	=	SYM
ejde-2	64	37	1	1	NUM
ejde-2	64	38	or	or	CCONJ
ejde-2	64	39	n	n	PRON
ejde-2	64	40	≥	≥	NOUN
ejde-2	64	41	2	2	NUM
ejde-2	64	42	and	and	CCONJ
ejde-2	64	43	m	m	VERB
ejde-2	64	44	=	=	VERB
ejde-2	64	45	n−	n−	NOUN
ejde-2	64	46	1	1	NUM
ejde-2	64	47	.	.	PUNCT
ejde-2	65	1	when	when	SCONJ
ejde-2	65	2	n	n	X
ejde-2	65	3	=	=	SYM
ejde-2	65	4	1	1	NUM
ejde-2	65	5	,	,	PUNCT
ejde-2	65	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	65	7	[	[	X
ejde-2	65	8	18	18	NUM
ejde-2	65	9	]	]	PUNCT
ejde-2	65	10	used	use	VERB
ejde-2	65	11	the	the	DET
ejde-2	65	12	following	follow	VERB
ejde-2	65	13	additional	additional	ADJ
ejde-2	65	14	condition	condition	NOUN
ejde-2	65	15	on	on	ADP
ejde-2	65	16	v	v	NOUN
ejde-2	65	17	to	to	PART
ejde-2	65	18	obtain	obtain	VERB
ejde-2	65	19	the	the	DET
ejde-2	65	20	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	65	21	between	between	ADP
ejde-2	65	22	(	(	PUNCT
ejde-2	65	23	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	65	24	)	)	PUNCT
ejde-2	65	25	and	and	CCONJ
ejde-2	65	26	(	(	PUNCT
ejde-2	65	27	1.5	1.5	NUM
ejde-2	65	28	)	)	PUNCT
ejde-2	65	29	in	in	ADP
ejde-2	65	30	c[a	c[a	NUM
ejde-2	65	31	,	,	PUNCT
ejde-2	65	32	b	b	NOUN
ejde-2	65	33	]	]	X
ejde-2	65	34	:	:	PUNCT
ejde-2	65	35	(	(	PUNCT
ejde-2	65	36	h1	h1	PROPN
ejde-2	65	37	)	)	PUNCT
ejde-2	65	38	|i1−αa+	|i1−αa+	NOUN
ejde-2	65	39	v(x)|	v(x)|	NOUN
ejde-2	65	40	<	<	X
ejde-2	65	41	∞	∞	NUM
ejde-2	65	42	and	and	CCONJ
ejde-2	65	43	(	(	PUNCT
ejde-2	65	44	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	65	45	v)′(x	v)′(x	NOUN
ejde-2	65	46	)	)	PUNCT
ejde-2	65	47	=	=	SYM
ejde-2	65	48	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	65	49	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	65	50	)	)	PUNCT
ejde-2	65	51	for	for	ADP
ejde-2	65	52	each	each	DET
ejde-2	65	53	x	x	SYM
ejde-2	65	54	∈	∈	PROPN
ejde-2	65	55	[	[	X
ejde-2	65	56	a	a	X
ejde-2	65	57	,	,	PUNCT
ejde-2	65	58	b	b	NOUN
ejde-2	65	59	]	]	PUNCT
ejde-2	65	60	.	.	PUNCT
ejde-2	66	1	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	66	2	linear	linear	ADJ
ejde-2	66	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	66	4	differential	differential	NOUN
ejde-2	66	5	and	and	CCONJ
ejde-2	66	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	66	7	equations	equation	NOUN
ejde-2	66	8	3	3	NUM
ejde-2	66	9	however	however	ADV
ejde-2	66	10	,	,	PUNCT
ejde-2	66	11	when	when	SCONJ
ejde-2	66	12	n	n	X
ejde-2	66	13	≥	≥	X
ejde-2	66	14	2	2	NUM
ejde-2	66	15	and	and	CCONJ
ejde-2	66	16	m	m	PROPN
ejde-2	66	17	=	=	SYM
ejde-2	66	18	n	n	CCONJ
ejde-2	66	19	−	−	PROPN
ejde-2	66	20	1	1	NUM
ejde-2	66	21	,	,	PUNCT
ejde-2	66	22	the	the	DET
ejde-2	66	23	condition	condition	NOUN
ejde-2	66	24	(	(	PUNCT
ejde-2	66	25	h1	h1	PROPN
ejde-2	66	26	)	)	PUNCT
ejde-2	66	27	is	be	AUX
ejde-2	66	28	not	not	PART
ejde-2	66	29	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-2	66	30	for	for	ADP
ejde-2	66	31	studying	study	VERB
ejde-2	66	32	the	the	DET
ejde-2	66	33	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	66	34	between	between	ADP
ejde-2	66	35	(	(	PUNCT
ejde-2	66	36	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	66	37	)	)	PUNCT
ejde-2	66	38	and	and	CCONJ
ejde-2	66	39	(	(	PUNCT
ejde-2	66	40	1.5	1.5	NUM
ejde-2	66	41	)	)	PUNCT
ejde-2	66	42	in	in	ADP
ejde-2	66	43	c[a	c[a	NUM
ejde-2	66	44	,	,	PUNCT
ejde-2	66	45	b	b	NOUN
ejde-2	66	46	]	]	X
ejde-2	66	47	.	.	PUNCT
ejde-2	67	1	the	the	DET
ejde-2	67	2	challenge	challenge	NOUN
ejde-2	67	3	is	be	AUX
ejde-2	67	4	that	that	SCONJ
ejde-2	67	5	under	under	ADP
ejde-2	67	6	what	what	PRON
ejde-2	67	7	additional	additional	ADJ
ejde-2	67	8	conditions	condition	NOUN
ejde-2	67	9	on	on	ADP
ejde-2	67	10	v	v	NOUN
ejde-2	67	11	,	,	PUNCT
ejde-2	67	12	(	(	PUNCT
ejde-2	67	13	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	67	14	)	)	PUNCT
ejde-2	67	15	implies	imply	VERB
ejde-2	67	16	(	(	PUNCT
ejde-2	67	17	1.5	1.5	NUM
ejde-2	67	18	)	)	PUNCT
ejde-2	67	19	,	,	PUNCT
ejde-2	67	20	or	or	CCONJ
ejde-2	67	21	(	(	PUNCT
ejde-2	67	22	1.5	1.5	NUM
ejde-2	67	23	)	)	PUNCT
ejde-2	67	24	implies	imply	VERB
ejde-2	67	25	(	(	PUNCT
ejde-2	67	26	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	67	27	)	)	PUNCT
ejde-2	67	28	or	or	CCONJ
ejde-2	67	29	(	(	PUNCT
ejde-2	67	30	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	67	31	)	)	PUNCT
ejde-2	67	32	is	be	AUX
ejde-2	67	33	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	67	34	to	to	ADP
ejde-2	67	35	(	(	PUNCT
ejde-2	67	36	1.5	1.5	NUM
ejde-2	67	37	)	)	PUNCT
ejde-2	67	38	in	in	ADP
ejde-2	67	39	c[a	c[a	NUM
ejde-2	67	40	,	,	PUNCT
ejde-2	67	41	b	b	NOUN
ejde-2	67	42	]	]	X
ejde-2	67	43	?	?	PUNCT
ejde-2	68	1	another	another	DET
ejde-2	68	2	aim	aim	NOUN
ejde-2	68	3	of	of	ADP
ejde-2	68	4	this	this	DET
ejde-2	68	5	paper	paper	NOUN
ejde-2	68	6	is	be	AUX
ejde-2	68	7	to	to	PART
ejde-2	68	8	study	study	VERB
ejde-2	68	9	the	the	DET
ejde-2	68	10	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	68	11	or	or	CCONJ
ejde-2	68	12	the	the	DET
ejde-2	68	13	implication	implication	NOUN
ejde-2	68	14	in	in	ADP
ejde-2	68	15	c[a	c[a	NUM
ejde-2	68	16	,	,	PUNCT
ejde-2	68	17	b	b	NOUN
ejde-2	68	18	]	]	PUNCT
ejde-2	68	19	between	between	ADP
ejde-2	68	20	(	(	PUNCT
ejde-2	68	21	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	68	22	)	)	PUNCT
ejde-2	68	23	and	and	CCONJ
ejde-2	68	24	(	(	PUNCT
ejde-2	68	25	1.5	1.5	NUM
ejde-2	68	26	)	)	PUNCT
ejde-2	68	27	mentioned	mention	VERB
ejde-2	68	28	above	above	ADV
ejde-2	68	29	when	when	SCONJ
ejde-2	68	30	n	n	X
ejde-2	68	31	≥	≥	X
ejde-2	68	32	2	2	NUM
ejde-2	68	33	and	and	CCONJ
ejde-2	68	34	m	m	VERB
ejde-2	68	35	=	=	VERB
ejde-2	68	36	n−	n−	NOUN
ejde-2	68	37	1	1	NUM
ejde-2	68	38	.	.	PUNCT
ejde-2	69	1	for	for	ADP
ejde-2	69	2	example	example	NOUN
ejde-2	69	3	,	,	PUNCT
ejde-2	69	4	when	when	SCONJ
ejde-2	69	5	n	n	X
ejde-2	69	6	≥	≥	X
ejde-2	69	7	2	2	NUM
ejde-2	69	8	and	and	CCONJ
ejde-2	69	9	m	m	PROPN
ejde-2	69	10	=	=	SYM
ejde-2	69	11	n	n	CCONJ
ejde-2	69	12	−	−	PROPN
ejde-2	69	13	1	1	NUM
ejde-2	69	14	,	,	PUNCT
ejde-2	69	15	we	we	PRON
ejde-2	69	16	shall	shall	AUX
ejde-2	69	17	prove	prove	VERB
ejde-2	69	18	that	that	SCONJ
ejde-2	69	19	if	if	SCONJ
ejde-2	69	20	the	the	DET
ejde-2	69	21	condition	condition	NOUN
ejde-2	69	22	v	v	ADP
ejde-2	69	23	∈	∈	NOUN
ejde-2	69	24	hα	hα	ADP
ejde-2	69	25	0	0	NUM
ejde-2	69	26	(	(	PUNCT
ejde-2	69	27	a	a	DET
ejde-2	69	28	,	,	PUNCT
ejde-2	69	29	b	b	NOUN
ejde-2	69	30	)	)	PUNCT
ejde-2	69	31	,	,	PUNCT
ejde-2	69	32	in	in	ADP
ejde-2	69	33	particular	particular	ADJ
ejde-2	69	34	,	,	PUNCT
ejde-2	69	35	v	v	NOUN
ejde-2	69	36	∈	∈	NOUN
ejde-2	69	37	lp(a	lp(a	NOUN
ejde-2	69	38	,	,	PUNCT
ejde-2	69	39	b	b	NOUN
ejde-2	69	40	)	)	PUNCT
ejde-2	69	41	for	for	ADP
ejde-2	69	42	some	some	DET
ejde-2	69	43	p	p	NOUN
ejde-2	69	44	∈	∈	PROPN
ejde-2	69	45	(	(	PUNCT
ejde-2	69	46	1	1	NUM
ejde-2	69	47	1−α	1−α	NUM
ejde-2	69	48	,	,	PUNCT
ejde-2	69	49	∞	∞	PROPN
ejde-2	69	50	]	]	PUNCT
ejde-2	69	51	,	,	PUNCT
ejde-2	69	52	then	then	ADV
ejde-2	69	53	solutions	solution	NOUN
ejde-2	69	54	of	of	ADP
ejde-2	69	55	(	(	PUNCT
ejde-2	69	56	1.5	1.5	NUM
ejde-2	69	57	)	)	PUNCT
ejde-2	69	58	in	in	ADP
ejde-2	69	59	c[a	c[a	NUM
ejde-2	69	60	,	,	PUNCT
ejde-2	69	61	b	b	AUX
ejde-2	69	62	]	]	X
ejde-2	69	63	are	be	AUX
ejde-2	69	64	solutions	solution	NOUN
ejde-2	69	65	of	of	ADP
ejde-2	69	66	(	(	PUNCT
ejde-2	69	67	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	69	68	)	)	PUNCT
ejde-2	69	69	in	in	ADP
ejde-2	69	70	c[a	c[a	NUM
ejde-2	69	71	,	,	PUNCT
ejde-2	69	72	b	b	NOUN
ejde-2	69	73	]	]	X
ejde-2	69	74	;	;	PUNCT
ejde-2	69	75	and	and	CCONJ
ejde-2	69	76	if	if	SCONJ
ejde-2	69	77	v	v	NUM
ejde-2	69	78	∈	∈	NOUN
ejde-2	69	79	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	69	80	(	(	PUNCT
ejde-2	69	81	a	a	DET
ejde-2	69	82	,	,	PUNCT
ejde-2	69	83	b	b	NOUN
ejde-2	69	84	)	)	PUNCT
ejde-2	69	85	,	,	PUNCT
ejde-2	69	86	then	then	ADV
ejde-2	69	87	one	one	PRON
ejde-2	69	88	can	can	AUX
ejde-2	69	89	obtain	obtain	VERB
ejde-2	69	90	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	69	91	between	between	ADP
ejde-2	69	92	(	(	PUNCT
ejde-2	69	93	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	69	94	)	)	PUNCT
ejde-2	69	95	and	and	CCONJ
ejde-2	69	96	(	(	PUNCT
ejde-2	69	97	1.5	1.5	NUM
ejde-2	69	98	)	)	PUNCT
ejde-2	69	99	in	in	ADP
ejde-2	69	100	c[a	c[a	NUM
ejde-2	69	101	,	,	PUNCT
ejde-2	69	102	b	b	NOUN
ejde-2	69	103	]	]	X
ejde-2	69	104	.	.	PUNCT
ejde-2	70	1	we	we	PRON
ejde-2	70	2	shall	shall	AUX
ejde-2	70	3	show	show	VERB
ejde-2	70	4	that	that	SCONJ
ejde-2	70	5	cγ	cγ	ADP
ejde-2	70	6	[	[	X
ejde-2	70	7	a	a	X
ejde-2	70	8	,	,	PUNCT
ejde-2	70	9	b	b	NOUN
ejde-2	70	10	]	]	X
ejde-2	70	11	⊂	⊂	X
ejde-2	70	12	lp(a	lp(a	PROPN
ejde-2	70	13	,	,	PUNCT
ejde-2	70	14	b	b	NOUN
ejde-2	70	15	)	)	PUNCT
ejde-2	70	16	∩	∩	ADJ
ejde-2	70	17	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	70	18	,	,	PUNCT
ejde-2	70	19	b	b	NOUN
ejde-2	70	20	)	)	PUNCT
ejde-2	70	21	)	)	PUNCT
ejde-2	71	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	71	2	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	71	3	(	(	PUNCT
ejde-2	71	4	a	a	DET
ejde-2	71	5	,	,	PUNCT
ejde-2	71	6	b	b	NOUN
ejde-2	71	7	)	)	PUNCT
ejde-2	71	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	71	9	hα	hα	ADP
ejde-2	71	10	0	0	NUM
ejde-2	71	11	(	(	PUNCT
ejde-2	71	12	a	a	DET
ejde-2	71	13	,	,	PUNCT
ejde-2	71	14	b	b	NOUN
ejde-2	71	15	)	)	PUNCT
ejde-2	71	16	for	for	ADP
ejde-2	71	17	p	p	PROPN
ejde-2	71	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	71	19	(	(	PUNCT
ejde-2	71	20	1	1	NUM
ejde-2	71	21	1−	1−	NUM
ejde-2	71	22	α	α	NOUN
ejde-2	71	23	,	,	PUNCT
ejde-2	71	24	∞	∞	PROPN
ejde-2	71	25	]	]	X
ejde-2	71	26	,	,	PUNCT
ejde-2	71	27	where	where	SCONJ
ejde-2	71	28	γ	γ	X
ejde-2	71	29	>	>	X
ejde-2	71	30	−1	−1	PROPN
ejde-2	71	31	,	,	PUNCT
ejde-2	71	32	cγ	cγ	ADP
ejde-2	71	33	[	[	X
ejde-2	71	34	a	a	X
ejde-2	71	35	,	,	PUNCT
ejde-2	71	36	b	b	NOUN
ejde-2	71	37	]	]	X
ejde-2	71	38	=	=	PUNCT
ejde-2	71	39	{	{	PUNCT
ejde-2	71	40	u	u	NOUN
ejde-2	71	41	∈	∈	PROPN
ejde-2	71	42	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	71	43	,	,	PUNCT
ejde-2	71	44	b	b	X
ejde-2	71	45	]	]	X
ejde-2	71	46	:	:	PUNCT
ejde-2	71	47	limx→a+	limx→a+	NOUN
ejde-2	71	48	x	x	SYM
ejde-2	71	49	−γu(x	−γu(x	ADV
ejde-2	71	50	)	)	PUNCT
ejde-2	71	51	exists	exist	VERB
ejde-2	71	52	}	}	PUNCT
ejde-2	71	53	,	,	PUNCT
ejde-2	71	54	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	71	55	(	(	PUNCT
ejde-2	71	56	a	a	DET
ejde-2	71	57	,	,	PUNCT
ejde-2	71	58	b	b	NOUN
ejde-2	71	59	)	)	PUNCT
ejde-2	71	60	:	:	PUNCT
ejde-2	71	61	=	=	SYM
ejde-2	71	62	{	{	PUNCT
ejde-2	71	63	v	v	NUM
ejde-2	71	64	∈	∈	NUM
ejde-2	71	65	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	71	66	,	,	PUNCT
ejde-2	71	67	b	b	NOUN
ejde-2	71	68	)	)	PUNCT
ejde-2	71	69	:	:	PUNCT
ejde-2	71	70	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	71	71	v	v	ADP
ejde-2	71	72	∈	∈	PROPN
ejde-2	71	73	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	71	74	,	,	PUNCT
ejde-2	71	75	b	b	NOUN
ejde-2	71	76	]	]	PUNCT
ejde-2	71	77	and	and	CCONJ
ejde-2	71	78	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	71	79	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	71	80	)	)	PUNCT
ejde-2	71	81	=	=	SYM
ejde-2	72	1	0	0	X
ejde-2	72	2	}	}	PUNCT
ejde-2	72	3	and	and	CCONJ
ejde-2	72	4	hα	hα	ADP
ejde-2	72	5	0	0	NUM
ejde-2	72	6	(	(	PUNCT
ejde-2	72	7	a	a	DET
ejde-2	72	8	,	,	PUNCT
ejde-2	72	9	b	b	NOUN
ejde-2	72	10	)	)	PUNCT
ejde-2	72	11	=	=	SYM
ejde-2	72	12	{	{	PUNCT
ejde-2	72	13	v	v	NUM
ejde-2	72	14	∈	∈	NUM
ejde-2	72	15	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	72	16	,	,	PUNCT
ejde-2	72	17	b	b	NOUN
ejde-2	72	18	)	)	PUNCT
ejde-2	72	19	:	:	PUNCT
ejde-2	72	20	v	v	X
ejde-2	72	21	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	72	22	(	(	PUNCT
ejde-2	72	23	h1	h1	PROPN
ejde-2	72	24	)	)	PUNCT
ejde-2	72	25	and	and	CCONJ
ejde-2	72	26	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	72	27	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	72	28	)	)	PUNCT
ejde-2	72	29	=	=	PUNCT
ejde-2	72	30	0	0	NUM
ejde-2	72	31	}	}	PUNCT
ejde-2	72	32	.	.	PUNCT
ejde-2	73	1	our	our	PRON
ejde-2	73	2	results	result	NOUN
ejde-2	73	3	generalize	generalize	VERB
ejde-2	73	4	[	[	X
ejde-2	73	5	15	15	NUM
ejde-2	73	6	,	,	PUNCT
ejde-2	73	7	theorem	theorem	VERB
ejde-2	73	8	3.24	3.24	NUM
ejde-2	73	9	,	,	PUNCT
ejde-2	73	10	p.199	p.199	NOUN
ejde-2	73	11	]	]	PUNCT
ejde-2	73	12	and	and	CCONJ
ejde-2	73	13	the	the	DET
ejde-2	73	14	parts	part	NOUN
ejde-2	73	15	2	2	NUM
ejde-2	73	16	and	and	CCONJ
ejde-2	73	17	3	3	NUM
ejde-2	73	18	of	of	ADP
ejde-2	73	19	[	[	X
ejde-2	73	20	29	29	NUM
ejde-2	73	21	,	,	PUNCT
ejde-2	73	22	theorem	theorem	VERB
ejde-2	73	23	5.1	5.1	NUM
ejde-2	73	24	]	]	PUNCT
ejde-2	73	25	,	,	PUNCT
ejde-2	73	26	where	where	SCONJ
ejde-2	73	27	v	v	X
ejde-2	73	28	∈	∈	NOUN
ejde-2	73	29	cγ	cγ	NOUN
ejde-2	73	30	[	[	X
ejde-2	73	31	a	a	X
ejde-2	73	32	,	,	PUNCT
ejde-2	73	33	b	b	NOUN
ejde-2	73	34	]	]	X
ejde-2	73	35	with	with	ADP
ejde-2	73	36	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	73	37	)	)	PUNCT
ejde-2	73	38	=	=	SYM
ejde-2	74	1	(	(	PUNCT
ejde-2	74	2	x	x	X
ejde-2	74	3	−	−	PROPN
ejde-2	74	4	a)−γw(x	a)−γw(x	NOUN
ejde-2	74	5	)	)	PUNCT
ejde-2	74	6	for	for	ADP
ejde-2	74	7	each	each	DET
ejde-2	74	8	x	x	SYM
ejde-2	74	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	74	10	(	(	PUNCT
ejde-2	74	11	a	a	DET
ejde-2	74	12	,	,	PUNCT
ejde-2	74	13	b	b	NOUN
ejde-2	74	14	]	]	X
ejde-2	74	15	,	,	PUNCT
ejde-2	74	16	0	0	NUM
ejde-2	74	17	≤	≤	NUM
ejde-2	74	18	γ	γ	X
ejde-2	74	19	<	<	X
ejde-2	74	20	α	α	NOUN
ejde-2	74	21	and	and	CCONJ
ejde-2	74	22	w	w	PROPN
ejde-2	74	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	74	24	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	74	25	,	,	PUNCT
ejde-2	74	26	b	b	NOUN
ejde-2	74	27	]	]	X
ejde-2	74	28	.	.	PUNCT
ejde-2	75	1	we	we	PRON
ejde-2	75	2	also	also	ADV
ejde-2	75	3	discuss	discuss	VERB
ejde-2	75	4	the	the	DET
ejde-2	75	5	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	75	6	between	between	ADP
ejde-2	75	7	(	(	PUNCT
ejde-2	75	8	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	75	9	)	)	PUNCT
ejde-2	75	10	which	which	PRON
ejde-2	75	11	holds	hold	VERB
ejde-2	75	12	for	for	ADP
ejde-2	75	13	each	each	DET
ejde-2	75	14	x	x	SYM
ejde-2	75	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	76	1	[	[	X
ejde-2	76	2	a	a	X
ejde-2	76	3	,	,	PUNCT
ejde-2	76	4	b	b	NOUN
ejde-2	76	5	]	]	PUNCT
ejde-2	76	6	and	and	CCONJ
ejde-2	76	7	(	(	PUNCT
ejde-2	76	8	1.5	1.5	NUM
ejde-2	76	9	)	)	PUNCT
ejde-2	76	10	in	in	ADP
ejde-2	76	11	c[a	c[a	NUM
ejde-2	76	12	,	,	PUNCT
ejde-2	76	13	b	b	NOUN
ejde-2	76	14	]	]	PUNCT
ejde-2	76	15	.	.	PUNCT
ejde-2	77	1	closely	closely	ADV
ejde-2	77	2	related	relate	VERB
ejde-2	77	3	to	to	ADP
ejde-2	77	4	the	the	DET
ejde-2	77	5	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	77	6	(	(	PUNCT
ejde-2	77	7	1.1)-(1.3	1.1)-(1.3	NUM
ejde-2	77	8	)	)	PUNCT
ejde-2	77	9	is	be	AUX
ejde-2	77	10	the	the	DET
ejde-2	77	11	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	77	12	for	for	ADP
ejde-2	77	13	the	the	DET
ejde-2	77	14	nth	nth	NOUN
ejde-2	77	15	order	order	NOUN
ejde-2	77	16	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	77	17	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	77	18	differential	differential	NOUN
ejde-2	77	19	equation	equation	NOUN
ejde-2	77	20	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	77	21	c	c	NOUN
ejde-2	77	22	,	,	PUNCT
ejde-2	77	23	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	77	24	)	)	PUNCT
ejde-2	78	1	=	=	SYM
ejde-2	78	2	iαa+u	iαa+u	PROPN
ejde-2	78	3	(	(	PUNCT
ejde-2	78	4	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	78	5	)	)	PUNCT
ejde-2	78	6	=	=	SYM
ejde-2	78	7	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	78	8	)	)	PUNCT
ejde-2	78	9	for	for	ADP
ejde-2	78	10	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	78	11	.	.	PUNCT
ejde-2	78	12	x	x	SYM
ejde-2	78	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	78	14	[	[	X
ejde-2	78	15	a	a	X
ejde-2	78	16	,	,	PUNCT
ejde-2	78	17	b	b	NOUN
ejde-2	78	18	]	]	X
ejde-2	78	19	(	(	PUNCT
ejde-2	78	20	1.6	1.6	NUM
ejde-2	78	21	)	)	PUNCT
ejde-2	78	22	subject	subject	NOUN
ejde-2	78	23	to	to	ADP
ejde-2	78	24	(	(	PUNCT
ejde-2	78	25	1.3	1.3	NUM
ejde-2	78	26	)	)	PUNCT
ejde-2	78	27	with	with	ADP
ejde-2	78	28	n	n	PRON
ejde-2	78	29	≥	≥	NUM
ejde-2	78	30	2	2	NUM
ejde-2	78	31	and	and	CCONJ
ejde-2	78	32	m	m	VERB
ejde-2	78	33	=	=	VERB
ejde-2	78	34	n−	n−	NOUN
ejde-2	78	35	1	1	NUM
ejde-2	78	36	.	.	PUNCT
ejde-2	79	1	we	we	PRON
ejde-2	79	2	show	show	VERB
ejde-2	79	3	that	that	SCONJ
ejde-2	79	4	(	(	PUNCT
ejde-2	79	5	1.6	1.6	NUM
ejde-2	79	6	)	)	PUNCT
ejde-2	79	7	has	have	VERB
ejde-2	79	8	no	no	DET
ejde-2	79	9	solutions	solution	NOUN
ejde-2	79	10	in	in	ADP
ejde-2	79	11	the	the	DET
ejde-2	79	12	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-2	79	13	set	set	VERB
ejde-2	79	14	c[a	c[a	NUM
ejde-2	79	15	,	,	PUNCT
ejde-2	79	16	b	b	X
ejde-2	79	17	]	]	PUNCT
ejde-2	79	18	\	\	ADJ
ejde-2	79	19	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	79	20	,	,	PUNCT
ejde-2	79	21	b	b	NOUN
ejde-2	79	22	)	)	PUNCT
ejde-2	79	23	)	)	PUNCT
ejde-2	79	24	and	and	CCONJ
ejde-2	79	25	provide	provide	VERB
ejde-2	79	26	conditions	condition	NOUN
ejde-2	79	27	on	on	ADP
ejde-2	79	28	v	v	NOUN
ejde-2	79	29	for	for	ADP
ejde-2	79	30	(	(	PUNCT
ejde-2	79	31	1.6)-(1.3	1.6)-(1.3	NUM
ejde-2	79	32	)	)	PUNCT
ejde-2	79	33	and	and	CCONJ
ejde-2	79	34	(	(	PUNCT
ejde-2	79	35	1.5	1.5	NUM
ejde-2	79	36	)	)	PUNCT
ejde-2	79	37	to	to	PART
ejde-2	79	38	be	be	AUX
ejde-2	79	39	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	79	40	.	.	PUNCT
ejde-2	80	1	in	in	ADP
ejde-2	80	2	particular	particular	ADJ
ejde-2	80	3	,	,	PUNCT
ejde-2	80	4	if	if	SCONJ
ejde-2	80	5	v	v	ADP
ejde-2	80	6	∈	∈	NOUN
ejde-2	80	7	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	80	8	,	,	PUNCT
ejde-2	80	9	b	b	NOUN
ejde-2	80	10	)	)	PUNCT
ejde-2	80	11	)	)	PUNCT
ejde-2	80	12	,	,	PUNCT
ejde-2	80	13	then	then	ADV
ejde-2	80	14	one	one	PRON
ejde-2	80	15	can	can	AUX
ejde-2	80	16	obtain	obtain	VERB
ejde-2	80	17	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	80	18	between	between	ADP
ejde-2	80	19	(	(	PUNCT
ejde-2	80	20	1.6)-(1.3	1.6)-(1.3	NUM
ejde-2	80	21	)	)	PUNCT
ejde-2	80	22	and	and	CCONJ
ejde-2	80	23	(	(	PUNCT
ejde-2	80	24	1.5	1.5	NUM
ejde-2	80	25	)	)	PUNCT
ejde-2	80	26	in	in	ADP
ejde-2	80	27	c[a	c[a	NUM
ejde-2	80	28	,	,	PUNCT
ejde-2	80	29	b	b	X
ejde-2	80	30	]	]	X
ejde-2	80	31	when	when	SCONJ
ejde-2	80	32	n	n	X
ejde-2	80	33	≥	≥	X
ejde-2	80	34	2	2	NUM
ejde-2	80	35	and	and	CCONJ
ejde-2	80	36	m	m	VERB
ejde-2	80	37	=	=	VERB
ejde-2	80	38	n−	n−	NOUN
ejde-2	80	39	1	1	NUM
ejde-2	80	40	.	.	PUNCT
ejde-2	81	1	the	the	DET
ejde-2	81	2	paper	paper	NOUN
ejde-2	81	3	is	be	AUX
ejde-2	81	4	structured	structure	VERB
ejde-2	81	5	in	in	ADP
ejde-2	81	6	the	the	DET
ejde-2	81	7	following	following	ADJ
ejde-2	81	8	way	way	NOUN
ejde-2	81	9	.	.	PUNCT
ejde-2	82	1	in	in	ADP
ejde-2	82	2	section	section	NOUN
ejde-2	82	3	2	2	NUM
ejde-2	82	4	,	,	PUNCT
ejde-2	82	5	we	we	PRON
ejde-2	82	6	recall	recall	VERB
ejde-2	82	7	the	the	DET
ejde-2	82	8	important	important	ADJ
ejde-2	82	9	properties	property	NOUN
ejde-2	82	10	of	of	ADP
ejde-2	82	11	the	the	DET
ejde-2	82	12	riemann	riemann	PROPN
ejde-2	82	13	-	-	PUNCT
ejde-2	82	14	liouville	liouville	VERB
ejde-2	82	15	integral	integral	ADJ
ejde-2	82	16	operators	operator	NOUN
ejde-2	82	17	and	and	CCONJ
ejde-2	82	18	higher	high	ADJ
ejde-2	82	19	order	order	NOUN
ejde-2	82	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	82	21	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	82	22	.	.	PUNCT
ejde-2	83	1	in	in	ADP
ejde-2	83	2	sections	section	NOUN
ejde-2	83	3	3	3	NUM
ejde-2	83	4	and	and	CCONJ
ejde-2	83	5	4	4	NUM
ejde-2	83	6	,	,	PUNCT
ejde-2	83	7	we	we	PRON
ejde-2	83	8	study	study	VERB
ejde-2	83	9	implications	implication	NOUN
ejde-2	83	10	and	and	CCONJ
ejde-2	83	11	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	83	12	of	of	ADP
ejde-2	83	13	higher	high	ADJ
ejde-2	83	14	order	order	NOUN
ejde-2	83	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	83	16	differential	differential	NOUN
ejde-2	83	17	and	and	CCONJ
ejde-2	83	18	integral	integral	ADJ
ejde-2	83	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	83	20	in	in	ADP
ejde-2	83	21	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	83	22	,	,	PUNCT
ejde-2	83	23	b	b	NOUN
ejde-2	83	24	)	)	PUNCT
ejde-2	83	25	and	and	CCONJ
ejde-2	83	26	in	in	ADP
ejde-2	83	27	c[a	c[a	NUM
ejde-2	83	28	,	,	PUNCT
ejde-2	83	29	b	b	NOUN
ejde-2	83	30	]	]	X
ejde-2	83	31	,	,	PUNCT
ejde-2	83	32	respectively	respectively	ADV
ejde-2	83	33	.	.	PUNCT
ejde-2	84	1	in	in	ADP
ejde-2	84	2	section	section	NOUN
ejde-2	84	3	5	5	NUM
ejde-2	84	4	,	,	PUNCT
ejde-2	84	5	we	we	PRON
ejde-2	84	6	study	study	VERB
ejde-2	84	7	implications	implication	NOUN
ejde-2	84	8	and	and	CCONJ
ejde-2	84	9	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	84	10	of	of	ADP
ejde-2	84	11	higher	high	ADJ
ejde-2	84	12	order	order	NOUN
ejde-2	84	13	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	84	14	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	84	15	differential	differential	ADJ
ejde-2	84	16	equations	equation	NOUN
ejde-2	84	17	and	and	CCONJ
ejde-2	84	18	integral	integral	ADJ
ejde-2	84	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	84	20	.	.	PUNCT
ejde-2	85	1	2	2	X
ejde-2	85	2	.	.	X
ejde-2	85	3	higher	high	ADJ
ejde-2	85	4	order	order	NOUN
ejde-2	85	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	85	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	85	7	and	and	CCONJ
ejde-2	85	8	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	85	9	throughout	throughout	ADP
ejde-2	85	10	this	this	DET
ejde-2	85	11	paper	paper	NOUN
ejde-2	85	12	,	,	PUNCT
ejde-2	85	13	we	we	PRON
ejde-2	85	14	always	always	ADV
ejde-2	85	15	assume	assume	VERB
ejde-2	85	16	α	α	PRON
ejde-2	85	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	85	18	(	(	PUNCT
ejde-2	85	19	0	0	NUM
ejde-2	85	20	,	,	PUNCT
ejde-2	85	21	1	1	NUM
ejde-2	85	22	)	)	PUNCT
ejde-2	85	23	,	,	PUNCT
ejde-2	85	24	a	a	DET
ejde-2	85	25	,	,	PUNCT
ejde-2	85	26	b	b	X
ejde-2	85	27	∈	∈	NOUN
ejde-2	85	28	r	r	NOUN
ejde-2	85	29	with	with	ADP
ejde-2	85	30	a	a	DET
ejde-2	85	31	<	<	X
ejde-2	85	32	b	b	NOUN
ejde-2	85	33	and	and	CCONJ
ejde-2	85	34	n	n	CCONJ
ejde-2	85	35	∈	∈	PROPN
ejde-2	85	36	n	n	NOUN
ejde-2	85	37	with	with	ADP
ejde-2	85	38	n	n	PRON
ejde-2	85	39	≥	≥	NUM
ejde-2	85	40	2	2	NUM
ejde-2	85	41	.	.	PUNCT
ejde-2	86	1	we	we	PRON
ejde-2	86	2	use	use	VERB
ejde-2	86	3	the	the	DET
ejde-2	86	4	usual	usual	ADJ
ejde-2	86	5	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	86	6	symbols	symbol	NOUN
ejde-2	86	7	u′	u′	PROPN
ejde-2	86	8	and	and	CCONJ
ejde-2	86	9	u(i	u(i	NOUN
ejde-2	86	10	)	)	PUNCT
ejde-2	86	11	to	to	PART
ejde-2	86	12	denote	denote	VERB
ejde-2	86	13	the	the	DET
ejde-2	86	14	first	first	ADJ
ejde-2	86	15	order	order	NOUN
ejde-2	86	16	and	and	CCONJ
ejde-2	86	17	the	the	DET
ejde-2	86	18	ith	ith	PROPN
ejde-2	86	19	order	order	NOUN
ejde-2	86	20	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	86	21	of	of	ADP
ejde-2	86	22	a	a	DET
ejde-2	86	23	real	real	ADV
ejde-2	86	24	-	-	PUNCT
ejde-2	86	25	valued	value	VERB
ejde-2	86	26	function	function	NOUN
ejde-2	86	27	u	u	NOUN
ejde-2	86	28	defined	define	VERB
ejde-2	86	29	on	on	ADP
ejde-2	86	30	[	[	X
ejde-2	86	31	a	a	DET
ejde-2	86	32	,	,	PUNCT
ejde-2	86	33	b	b	NOUN
ejde-2	86	34	]	]	X
ejde-2	86	35	for	for	ADP
ejde-2	86	36	each	each	DET
ejde-2	86	37	i	i	PRON
ejde-2	86	38	∈	∈	PROPN
ejde-2	86	39	n	n	CCONJ
ejde-2	86	40	\	\	NOUN
ejde-2	86	41	{	{	PUNCT
ejde-2	86	42	1	1	NUM
ejde-2	86	43	}	}	PUNCT
ejde-2	86	44	.	.	PUNCT
ejde-2	87	1	for	for	ADP
ejde-2	87	2	each	each	DET
ejde-2	87	3	n	n	PRON
ejde-2	87	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	87	5	n	n	CCONJ
ejde-2	87	6	,	,	PUNCT
ejde-2	87	7	let	let	VERB
ejde-2	87	8	nn	nn	X
ejde-2	87	9	=	=	X
ejde-2	87	10	{	{	PUNCT
ejde-2	87	11	1	1	NUM
ejde-2	87	12	,	,	PUNCT
ejde-2	87	13	.	.	PUNCT
ejde-2	87	14	.	.	PUNCT
ejde-2	88	1	.	.	PUNCT
ejde-2	88	2	,	,	PUNCT
ejde-2	89	1	n	n	CCONJ
ejde-2	89	2	}	}	PUNCT
ejde-2	89	3	and	and	CCONJ
ejde-2	89	4	n0,n	n0,n	VERB
ejde-2	89	5	=	=	SYM
ejde-2	89	6	{	{	PUNCT
ejde-2	89	7	0	0	NUM
ejde-2	89	8	,	,	PUNCT
ejde-2	89	9	1	1	NUM
ejde-2	89	10	,	,	PUNCT
ejde-2	89	11	.	.	PUNCT
ejde-2	89	12	.	.	PUNCT
ejde-2	90	1	.	.	PUNCT
ejde-2	90	2	,	,	PUNCT
ejde-2	90	3	n	n	CCONJ
ejde-2	90	4	}	}	PUNCT
ejde-2	90	5	.	.	PUNCT
ejde-2	91	1	the	the	DET
ejde-2	91	2	riemann	riemann	PROPN
ejde-2	91	3	-	-	PUNCT
ejde-2	91	4	liouville	liouville	NOUN
ejde-2	91	5	(	(	PUNCT
ejde-2	91	6	r	r	NOUN
ejde-2	91	7	-	-	PUNCT
ejde-2	91	8	l	l	NOUN
ejde-2	91	9	)	)	PUNCT
ejde-2	91	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	91	11	integral	integral	ADJ
ejde-2	91	12	of	of	ADP
ejde-2	91	13	order	order	NOUN
ejde-2	91	14	β	β	X
ejde-2	91	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	91	16	(	(	PUNCT
ejde-2	91	17	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-2	91	18	)	)	PUNCT
ejde-2	91	19	of	of	ADP
ejde-2	91	20	a	a	DET
ejde-2	91	21	function	function	NOUN
ejde-2	91	22	u	u	PROPN
ejde-2	91	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	91	24	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	91	25	,	,	PUNCT
ejde-2	91	26	b	b	NOUN
ejde-2	91	27	)	)	PUNCT
ejde-2	91	28	is	be	AUX
ejde-2	91	29	defined	define	VERB
ejde-2	91	30	by	by	ADP
ejde-2	91	31	a	a	DET
ejde-2	91	32	volterra	volterra	NOUN
ejde-2	91	33	integral	integral	ADJ
ejde-2	91	34	operator	operator	NOUN
ejde-2	91	35	(	(	PUNCT
ejde-2	91	36	iβa+u)(x	iβa+u)(x	PROPN
ejde-2	91	37	)	)	PUNCT
ejde-2	91	38	=	=	NOUN
ejde-2	91	39	1	1	NUM
ejde-2	91	40	γ(β	γ(β	PROPN
ejde-2	91	41	)	)	PUNCT
ejde-2	91	42	{	{	PUNCT
ejde-2	91	43	∫	∫	PROPN
ejde-2	91	44	x	x	X
ejde-2	91	45	a	a	DET
ejde-2	91	46	u(y	u(y	NOUN
ejde-2	91	47	)	)	PUNCT
ejde-2	91	48	(	(	PUNCT
ejde-2	91	49	x−y)1−β	x−y)1−β	PROPN
ejde-2	91	50	dy	dy	VERB
ejde-2	91	51	for	for	ADP
ejde-2	91	52	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	91	53	.	.	PUNCT
ejde-2	91	54	x	x	SYM
ejde-2	91	55	∈	∈	PROPN
ejde-2	92	1	[	[	X
ejde-2	92	2	a	a	X
ejde-2	92	3	,	,	PUNCT
ejde-2	92	4	b	b	NOUN
ejde-2	92	5	]	]	X
ejde-2	92	6	if	if	SCONJ
ejde-2	92	7	β	β	X
ejde-2	92	8	<	<	X
ejde-2	92	9	1,∫	1,∫	NUM
ejde-2	92	10	x	x	SYM
ejde-2	92	11	a	a	PRON
ejde-2	92	12	(	(	PUNCT
ejde-2	92	13	x−	x−	PROPN
ejde-2	92	14	y)β−1u(y	y)β−1u(y	PRON
ejde-2	92	15	)	)	PUNCT
ejde-2	92	16	dy	dy	NOUN
ejde-2	92	17	for	for	ADP
ejde-2	92	18	each	each	DET
ejde-2	92	19	x	x	SYM
ejde-2	92	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	92	21	[	[	X
ejde-2	92	22	a	a	X
ejde-2	92	23	,	,	PUNCT
ejde-2	92	24	b	b	NOUN
ejde-2	92	25	]	]	X
ejde-2	92	26	,	,	PUNCT
ejde-2	92	27	if	if	SCONJ
ejde-2	92	28	β	β	X
ejde-2	92	29	≥	≥	NOUN
ejde-2	92	30	1	1	NUM
ejde-2	92	31	,	,	PUNCT
ejde-2	92	32	(	(	PUNCT
ejde-2	92	33	2.1	2.1	NUM
ejde-2	92	34	)	)	SYM
ejde-2	92	35	4	4	NUM
ejde-2	92	36	k.	k.	PROPN
ejde-2	92	37	lan	lan	PROPN
ejde-2	92	38	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	92	39	where	where	SCONJ
ejde-2	92	40	γ(β	γ(β	PROPN
ejde-2	92	41	)	)	PUNCT
ejde-2	93	1	=	=	SYM
ejde-2	93	2	∫∞	∫∞	NOUN
ejde-2	93	3	0	0	NUM
ejde-2	94	1	xβ−1e−x	xβ−1e−x	PROPN
ejde-2	94	2	dx	dx	PROPN
ejde-2	94	3	is	be	AUX
ejde-2	94	4	the	the	DET
ejde-2	94	5	well	well	ADV
ejde-2	94	6	-	-	PUNCT
ejde-2	94	7	known	know	VERB
ejde-2	94	8	euler	euler	NOUN
ejde-2	94	9	’s	’s	PART
ejde-2	94	10	gamma	gamma	PROPN
ejde-2	94	11	function	function	PROPN
ejde-2	94	12	,	,	PUNCT
ejde-2	94	13	see	see	VERB
ejde-2	94	14	[	[	X
ejde-2	94	15	5	5	NUM
ejde-2	94	16	,	,	PUNCT
ejde-2	94	17	p.13	p.13	AUX
ejde-2	94	18	]	]	X
ejde-2	94	19	,	,	PUNCT
ejde-2	94	20	[	[	X
ejde-2	94	21	15	15	NUM
ejde-2	94	22	,	,	PUNCT
ejde-2	94	23	p.69	p.69	NOUN
ejde-2	94	24	]	]	PUNCT
ejde-2	94	25	and	and	CCONJ
ejde-2	94	26	[	[	X
ejde-2	94	27	25	25	NUM
ejde-2	94	28	,	,	PUNCT
ejde-2	94	29	p.33	p.33	PROPN
ejde-2	94	30	]	]	PUNCT
ejde-2	94	31	.	.	PUNCT
ejde-2	95	1	following	follow	VERB
ejde-2	95	2	[	[	X
ejde-2	95	3	17	17	NUM
ejde-2	95	4	,	,	PUNCT
ejde-2	95	5	18	18	NUM
ejde-2	95	6	]	]	PUNCT
ejde-2	95	7	,	,	PUNCT
ejde-2	95	8	for	for	ADP
ejde-2	95	9	each	each	DET
ejde-2	95	10	n	n	PRON
ejde-2	95	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	95	12	n	n	CCONJ
ejde-2	95	13	,	,	PUNCT
ejde-2	95	14	the	the	DET
ejde-2	95	15	integral	integral	ADJ
ejde-2	95	16	operator	operator	NOUN
ejde-2	95	17	ina+	ina+	NOUN
ejde-2	95	18	and	and	CCONJ
ejde-2	95	19	the	the	DET
ejde-2	95	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	95	21	integral	integral	ADJ
ejde-2	95	22	operator	operator	NOUN
ejde-2	95	23	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	95	24	are	be	AUX
ejde-2	95	25	said	say	VERB
ejde-2	95	26	to	to	PART
ejde-2	95	27	be	be	AUX
ejde-2	95	28	the	the	DET
ejde-2	95	29	nth	nth	NOUN
ejde-2	95	30	order	order	NOUN
ejde-2	95	31	r	r	X
ejde-2	95	32	-	-	PUNCT
ejde-2	95	33	l	l	NOUN
ejde-2	95	34	integral	integral	ADJ
ejde-2	95	35	operator	operator	NOUN
ejde-2	95	36	and	and	CCONJ
ejde-2	95	37	the	the	DET
ejde-2	95	38	nth	nth	NOUN
ejde-2	95	39	order	order	NOUN
ejde-2	95	40	r	r	X
ejde-2	95	41	-	-	PUNCT
ejde-2	95	42	l	l	NOUN
ejde-2	95	43	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	95	44	integral	integral	ADJ
ejde-2	95	45	operator	operator	NOUN
ejde-2	95	46	with	with	ADP
ejde-2	95	47	fraction	fraction	NOUN
ejde-2	95	48	α	α	NOUN
ejde-2	95	49	,	,	PUNCT
ejde-2	95	50	respectively	respectively	ADV
ejde-2	95	51	.	.	PUNCT
ejde-2	96	1	we	we	PRON
ejde-2	96	2	list	list	VERB
ejde-2	96	3	some	some	DET
ejde-2	96	4	properties	property	NOUN
ejde-2	96	5	of	of	ADP
ejde-2	96	6	iβa+	iβa+	PROPN
ejde-2	96	7	,	,	PUNCT
ejde-2	96	8	ina+	ina+	NOUN
ejde-2	96	9	and	and	CCONJ
ejde-2	96	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	96	11	,	,	PUNCT
ejde-2	96	12	which	which	PRON
ejde-2	96	13	will	will	AUX
ejde-2	96	14	be	be	AUX
ejde-2	96	15	used	use	VERB
ejde-2	96	16	later	later	ADV
ejde-2	96	17	.	.	PUNCT
ejde-2	97	1	most	most	ADJ
ejde-2	97	2	of	of	ADP
ejde-2	97	3	these	these	DET
ejde-2	97	4	properties	property	NOUN
ejde-2	97	5	can	can	AUX
ejde-2	97	6	be	be	AUX
ejde-2	97	7	found	find	VERB
ejde-2	97	8	in	in	ADP
ejde-2	97	9	[	[	X
ejde-2	97	10	5	5	NUM
ejde-2	97	11	,	,	PUNCT
ejde-2	97	12	17	17	NUM
ejde-2	97	13	,	,	PUNCT
ejde-2	97	14	18	18	NUM
ejde-2	97	15	,	,	PUNCT
ejde-2	97	16	25	25	NUM
ejde-2	97	17	,	,	PUNCT
ejde-2	97	18	29	29	NUM
ejde-2	97	19	]	]	PUNCT
ejde-2	97	20	,	,	PUNCT
ejde-2	97	21	where	where	SCONJ
ejde-2	97	22	some	some	DET
ejde-2	97	23	properties	property	NOUN
ejde-2	97	24	are	be	AUX
ejde-2	97	25	considered	consider	VERB
ejde-2	97	26	when	when	SCONJ
ejde-2	97	27	[	[	X
ejde-2	97	28	a	a	X
ejde-2	97	29	,	,	PUNCT
ejde-2	97	30	b	b	NOUN
ejde-2	97	31	]	]	X
ejde-2	97	32	=	=	PUNCT
ejde-2	98	1	[	[	X
ejde-2	98	2	0	0	NUM
ejde-2	98	3	,	,	PUNCT
ejde-2	98	4	1	1	NUM
ejde-2	98	5	]	]	PUNCT
ejde-2	98	6	,	,	PUNCT
ejde-2	98	7	but	but	CCONJ
ejde-2	98	8	hold	hold	VERB
ejde-2	98	9	for	for	ADP
ejde-2	98	10	the	the	DET
ejde-2	98	11	general	general	ADJ
ejde-2	98	12	interval	interval	NOUN
ejde-2	98	13	[	[	X
ejde-2	98	14	a	a	X
ejde-2	98	15	,	,	PUNCT
ejde-2	98	16	b	b	NOUN
ejde-2	98	17	]	]	PUNCT
ejde-2	98	18	.	.	PUNCT
ejde-2	99	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	99	2	2.1	2.1	NUM
ejde-2	99	3	.	.	PUNCT
ejde-2	100	1	let	let	VERB
ejde-2	100	2	β	β	X
ejde-2	100	3	,	,	PUNCT
ejde-2	100	4	γ	γ	PROPN
ejde-2	100	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	100	6	(	(	PUNCT
ejde-2	100	7	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-2	100	8	)	)	PUNCT
ejde-2	100	9	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-2	100	10	β	β	X
ejde-2	101	1	+	+	X
ejde-2	101	2	γ	γ	X
ejde-2	101	3	≥	≥	NUM
ejde-2	101	4	1	1	NUM
ejde-2	101	5	and	and	CCONJ
ejde-2	101	6	v	v	ADP
ejde-2	101	7	∈	∈	NOUN
ejde-2	101	8	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	101	9	,	,	PUNCT
ejde-2	101	10	b	b	NOUN
ejde-2	101	11	)	)	PUNCT
ejde-2	101	12	.	.	PUNCT
ejde-2	102	1	then	then	ADV
ejde-2	102	2	iβa+i	iβa+i	PUNCT
ejde-2	102	3	γ	γ	NOUN
ejde-2	102	4	a+v(x	a+v(x	ADJ
ejde-2	102	5	)	)	PUNCT
ejde-2	102	6	=	=	SYM
ejde-2	102	7	iγa+i	iγa+i	PROPN
ejde-2	102	8	β	β	X
ejde-2	102	9	a+v(x	a+v(x	NUM
ejde-2	102	10	)	)	PUNCT
ejde-2	102	11	=	=	VERB
ejde-2	102	12	iβ+γa+	iβ+γa+	VERB
ejde-2	102	13	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	102	14	)	)	PUNCT
ejde-2	102	15	for	for	ADP
ejde-2	102	16	each	each	DET
ejde-2	102	17	x	x	SYM
ejde-2	102	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	102	19	[	[	X
ejde-2	102	20	a	a	X
ejde-2	102	21	,	,	PUNCT
ejde-2	102	22	b	b	NOUN
ejde-2	102	23	]	]	PUNCT
ejde-2	102	24	.	.	PUNCT
ejde-2	103	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	103	2	2.2	2.2	NUM
ejde-2	103	3	.	.	PUNCT
ejde-2	104	1	let	let	VERB
ejde-2	104	2	β	β	PRON
ejde-2	104	3	>	>	X
ejde-2	104	4	0	0	PUNCT
ejde-2	104	5	and	and	CCONJ
ejde-2	104	6	γ	γ	X
ejde-2	104	7	>	>	X
ejde-2	104	8	−1	−1	NOUN
ejde-2	104	9	.	.	PUNCT
ejde-2	105	1	then	then	ADV
ejde-2	105	2	iβa+(x−	iβa+(x−	ADP
ejde-2	105	3	a)γ	a)γ	PUNCT
ejde-2	106	1	=	=	PUNCT
ejde-2	106	2	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	106	3	+	+	NUM
ejde-2	106	4	γ	γ	X
ejde-2	106	5	)	)	PUNCT
ejde-2	106	6	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	107	1	+	+	NUM
ejde-2	107	2	β	β	X
ejde-2	107	3	+	+	X
ejde-2	107	4	γ	γ	X
ejde-2	107	5	)	)	PUNCT
ejde-2	107	6	(	(	PUNCT
ejde-2	107	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	107	8	a)β+γ	a)β+γ	PROPN
ejde-2	107	9	for	for	ADP
ejde-2	107	10	each	each	DET
ejde-2	107	11	x	x	SYM
ejde-2	107	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	107	13	(	(	PUNCT
ejde-2	107	14	a	a	DET
ejde-2	107	15	,	,	PUNCT
ejde-2	107	16	b	b	NOUN
ejde-2	107	17	]	]	X
ejde-2	107	18	if	if	SCONJ
ejde-2	107	19	assume	assume	VERB
ejde-2	107	20	further	far	ADV
ejde-2	107	21	that	that	SCONJ
ejde-2	107	22	β	β	PROPN
ejde-2	107	23	+	+	X
ejde-2	107	24	γ	γ	X
ejde-2	107	25	≥	≥	NUM
ejde-2	107	26	0	0	NUM
ejde-2	107	27	,	,	PUNCT
ejde-2	107	28	then	then	ADV
ejde-2	107	29	the	the	DET
ejde-2	107	30	above	above	ADJ
ejde-2	107	31	result	result	NOUN
ejde-2	107	32	holds	hold	VERB
ejde-2	107	33	for	for	ADP
ejde-2	107	34	each	each	DET
ejde-2	107	35	x	x	SYM
ejde-2	107	36	∈	∈	PROPN
ejde-2	107	37	[	[	X
ejde-2	107	38	a	a	X
ejde-2	107	39	,	,	PUNCT
ejde-2	107	40	b	b	NOUN
ejde-2	107	41	]	]	PUNCT
ejde-2	107	42	.	.	PUNCT
ejde-2	108	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	108	2	2.3	2.3	NUM
ejde-2	108	3	.	.	PUNCT
ejde-2	109	1	(	(	PUNCT
ejde-2	109	2	1	1	X
ejde-2	109	3	)	)	PUNCT
ejde-2	109	4	i1a+	i1a+	ADV
ejde-2	109	5	maps	map	VERB
ejde-2	109	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	109	7	,	,	PUNCT
ejde-2	109	8	b	b	NOUN
ejde-2	109	9	)	)	PUNCT
ejde-2	109	10	to	to	ADP
ejde-2	109	11	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	109	12	,	,	PUNCT
ejde-2	109	13	b	b	NOUN
ejde-2	109	14	]	]	X
ejde-2	109	15	.	.	PUNCT
ejde-2	110	1	moreover	moreover	ADV
ejde-2	110	2	,	,	PUNCT
ejde-2	110	3	for	for	ADP
ejde-2	110	4	each	each	PRON
ejde-2	110	5	v	v	ADP
ejde-2	110	6	∈	∈	PRON
ejde-2	110	7	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	110	8	,	,	PUNCT
ejde-2	110	9	b	b	NOUN
ejde-2	110	10	)	)	PUNCT
ejde-2	110	11	,	,	PUNCT
ejde-2	110	12	(	(	PUNCT
ejde-2	110	13	i1a+v)′(x	i1a+v)′(x	NOUN
ejde-2	110	14	)	)	PUNCT
ejde-2	110	15	=	=	SYM
ejde-2	110	16	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	110	17	)	)	PUNCT
ejde-2	110	18	for	for	ADP
ejde-2	110	19	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	110	20	.	.	PUNCT
ejde-2	110	21	x	x	SYM
ejde-2	110	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	111	1	[	[	X
ejde-2	111	2	a	a	X
ejde-2	111	3	,	,	PUNCT
ejde-2	111	4	b	b	NOUN
ejde-2	111	5	]	]	PUNCT
ejde-2	111	6	and	and	CCONJ
ejde-2	111	7	for	for	ADP
ejde-2	111	8	v	v	PROPN
ejde-2	111	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	111	10	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	111	11	,	,	PUNCT
ejde-2	111	12	b	b	NOUN
ejde-2	111	13	]	]	X
ejde-2	111	14	,	,	PUNCT
ejde-2	111	15	(	(	PUNCT
ejde-2	111	16	i1a+v)′(x	i1a+v)′(x	NOUN
ejde-2	111	17	)	)	PUNCT
ejde-2	111	18	=	=	SYM
ejde-2	111	19	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	111	20	)	)	PUNCT
ejde-2	111	21	for	for	ADP
ejde-2	111	22	each	each	DET
ejde-2	111	23	x	x	SYM
ejde-2	111	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	111	25	[	[	X
ejde-2	111	26	a	a	X
ejde-2	111	27	,	,	PUNCT
ejde-2	111	28	b	b	NOUN
ejde-2	111	29	]	]	X
ejde-2	111	30	.	.	PUNCT
ejde-2	112	1	(	(	PUNCT
ejde-2	112	2	2.2	2.2	NUM
ejde-2	112	3	)	)	PUNCT
ejde-2	112	4	(	(	PUNCT
ejde-2	112	5	2	2	NUM
ejde-2	112	6	)	)	PUNCT
ejde-2	112	7	for	for	ADP
ejde-2	112	8	n	n	X
ejde-2	112	9	≥	≥	NOUN
ejde-2	112	10	2	2	NUM
ejde-2	112	11	,	,	PUNCT
ejde-2	112	12	ina+	ina+	NOUN
ejde-2	112	13	maps	map	VERB
ejde-2	112	14	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	112	15	,	,	PUNCT
ejde-2	112	16	b	b	NOUN
ejde-2	112	17	)	)	PUNCT
ejde-2	112	18	to	to	PART
ejde-2	112	19	cn−1[a	cn−1[a	PROPN
ejde-2	112	20	,	,	PUNCT
ejde-2	112	21	b	b	NOUN
ejde-2	112	22	]	]	X
ejde-2	112	23	.	.	PUNCT
ejde-2	113	1	moreover	moreover	ADV
ejde-2	113	2	,	,	PUNCT
ejde-2	113	3	for	for	ADP
ejde-2	113	4	v	v	NUM
ejde-2	113	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	113	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	113	7	,	,	PUNCT
ejde-2	113	8	b	b	NOUN
ejde-2	113	9	)	)	PUNCT
ejde-2	113	10	,	,	PUNCT
ejde-2	113	11	(	(	PUNCT
ejde-2	113	12	ina+v)(i)(x	ina+v)(i)(x	NOUN
ejde-2	113	13	)	)	PUNCT
ejde-2	113	14	=	=	PUNCT
ejde-2	113	15	in−ia+	in−ia+	PROPN
ejde-2	113	16	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	113	17	)	)	PUNCT
ejde-2	113	18	for	for	ADP
ejde-2	113	19	each	each	DET
ejde-2	113	20	x	x	SYM
ejde-2	113	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	113	22	[	[	X
ejde-2	113	23	a	a	X
ejde-2	113	24	,	,	PUNCT
ejde-2	113	25	b	b	NOUN
ejde-2	113	26	]	]	PUNCT
ejde-2	113	27	and	and	CCONJ
ejde-2	113	28	i	i	PRON
ejde-2	113	29	∈	∈	PROPN
ejde-2	113	30	nn−1	nn−1	PROPN
ejde-2	113	31	and	and	CCONJ
ejde-2	113	32	in−ia+	in−ia+	PROPN
ejde-2	113	33	v(a	v(a	PROPN
ejde-2	113	34	)	)	PUNCT
ejde-2	113	35	=	=	SYM
ejde-2	113	36	0	0	NUM
ejde-2	113	37	for	for	ADP
ejde-2	113	38	each	each	PRON
ejde-2	113	39	i	i	PRON
ejde-2	113	40	∈	∈	PROPN
ejde-2	113	41	nn−1	nn−1	PROPN
ejde-2	113	42	.	.	PUNCT
ejde-2	113	43	(	(	PUNCT
ejde-2	113	44	2.3	2.3	NUM
ejde-2	113	45	)	)	PUNCT
ejde-2	113	46	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	113	47	2.4	2.4	NUM
ejde-2	113	48	.	.	PUNCT
ejde-2	114	1	(	(	PUNCT
ejde-2	114	2	1	1	X
ejde-2	114	3	)	)	PUNCT
ejde-2	114	4	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	114	5	maps	maps	PROPN
ejde-2	114	6	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	114	7	,	,	PUNCT
ejde-2	114	8	b	b	NOUN
ejde-2	114	9	)	)	PUNCT
ejde-2	114	10	to	to	ADP
ejde-2	114	11	l1(a	l1(a	NUM
ejde-2	114	12	,	,	PUNCT
ejde-2	114	13	b	b	NOUN
ejde-2	114	14	)	)	PUNCT
ejde-2	114	15	,	,	PUNCT
ejde-2	114	16	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	114	17	maps	map	NOUN
ejde-2	114	18	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	114	19	,	,	PUNCT
ejde-2	114	20	b	b	NOUN
ejde-2	114	21	)	)	PUNCT
ejde-2	114	22	)	)	PUNCT
ejde-2	114	23	to	to	ADP
ejde-2	114	24	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	114	25	,	,	PUNCT
ejde-2	114	26	b	b	NOUN
ejde-2	114	27	]	]	X
ejde-2	114	28	.	.	PUNCT
ejde-2	115	1	for	for	ADP
ejde-2	115	2	each	each	DET
ejde-2	115	3	p	p	PROPN
ejde-2	115	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	115	5	(	(	PUNCT
ejde-2	115	6	1	1	NUM
ejde-2	115	7	1−α	1−α	NUM
ejde-2	115	8	,	,	PUNCT
ejde-2	115	9	∞	∞	PROPN
ejde-2	115	10	]	]	PUNCT
ejde-2	115	11	,	,	PUNCT
ejde-2	115	12	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	115	13	maps	map	NOUN
ejde-2	115	14	lp(a	lp(a	ADP
ejde-2	115	15	,	,	PUNCT
ejde-2	115	16	b	b	NOUN
ejde-2	115	17	)	)	PUNCT
ejde-2	115	18	to	to	ADP
ejde-2	115	19	c[a	c[a	NUM
ejde-2	115	20	,	,	PUNCT
ejde-2	115	21	b	b	X
ejde-2	115	22	]	]	PUNCT
ejde-2	115	23	and	and	CCONJ
ejde-2	115	24	(	(	PUNCT
ejde-2	115	25	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	115	26	v)(a	v)(a	ADJ
ejde-2	115	27	)	)	PUNCT
ejde-2	115	28	=	=	SYM
ejde-2	115	29	0	0	NUM
ejde-2	116	1	for	for	ADP
ejde-2	116	2	v	v	NOUN
ejde-2	116	3	∈	∈	NOUN
ejde-2	116	4	lp(a	lp(a	AUX
ejde-2	116	5	,	,	PUNCT
ejde-2	116	6	b	b	NOUN
ejde-2	116	7	)	)	PUNCT
ejde-2	116	8	.	.	PUNCT
ejde-2	117	1	(	(	PUNCT
ejde-2	117	2	2	2	X
ejde-2	117	3	)	)	PUNCT
ejde-2	117	4	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	117	5	maps	maps	PROPN
ejde-2	117	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	117	7	,	,	PUNCT
ejde-2	117	8	b	b	NOUN
ejde-2	117	9	)	)	PUNCT
ejde-2	117	10	to	to	ADP
ejde-2	117	11	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	117	12	,	,	PUNCT
ejde-2	117	13	b	b	NOUN
ejde-2	117	14	]	]	X
ejde-2	117	15	.	.	PUNCT
ejde-2	118	1	moreover	moreover	ADV
ejde-2	118	2	,	,	PUNCT
ejde-2	118	3	for	for	ADP
ejde-2	118	4	each	each	PRON
ejde-2	118	5	v	v	ADP
ejde-2	118	6	∈	∈	PRON
ejde-2	118	7	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	118	8	,	,	PUNCT
ejde-2	118	9	b	b	NOUN
ejde-2	118	10	)	)	PUNCT
ejde-2	118	11	,	,	PUNCT
ejde-2	118	12	(	(	PUNCT
ejde-2	118	13	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	118	14	v)′(x	v)′(x	NOUN
ejde-2	118	15	)	)	PUNCT
ejde-2	118	16	=	=	SYM
ejde-2	118	17	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	118	18	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	118	19	)	)	PUNCT
ejde-2	118	20	for	for	ADP
ejde-2	118	21	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	118	22	x	x	SYM
ejde-2	118	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	118	24	[	[	X
ejde-2	118	25	a	a	X
ejde-2	118	26	,	,	PUNCT
ejde-2	118	27	b	b	NOUN
ejde-2	118	28	]	]	X
ejde-2	118	29	,	,	PUNCT
ejde-2	118	30	and	and	CCONJ
ejde-2	118	31	if	if	SCONJ
ejde-2	118	32	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	118	33	v	v	X
ejde-2	118	34	∈	∈	PROPN
ejde-2	118	35	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	118	36	,	,	PUNCT
ejde-2	118	37	b	b	NOUN
ejde-2	118	38	]	]	X
ejde-2	118	39	,	,	PUNCT
ejde-2	118	40	then	then	ADV
ejde-2	118	41	(	(	PUNCT
ejde-2	118	42	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	118	43	v)′(x	v)′(x	NOUN
ejde-2	118	44	)	)	PUNCT
ejde-2	118	45	=	=	SYM
ejde-2	118	46	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	118	47	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	118	48	)	)	PUNCT
ejde-2	118	49	for	for	ADP
ejde-2	118	50	each	each	DET
ejde-2	118	51	x	x	SYM
ejde-2	118	52	∈	∈	PROPN
ejde-2	118	53	[	[	X
ejde-2	118	54	a	a	X
ejde-2	118	55	,	,	PUNCT
ejde-2	118	56	b	b	NOUN
ejde-2	118	57	]	]	X
ejde-2	118	58	.	.	PUNCT
ejde-2	119	1	(	(	PUNCT
ejde-2	119	2	3	3	X
ejde-2	119	3	)	)	PUNCT
ejde-2	119	4	for	for	ADP
ejde-2	119	5	n	n	NUM
ejde-2	119	6	≥	≥	NUM
ejde-2	119	7	3	3	NUM
ejde-2	119	8	,	,	PUNCT
ejde-2	119	9	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	119	10	maps	map	NOUN
ejde-2	119	11	l1(a	l1(a	PRON
ejde-2	119	12	,	,	PUNCT
ejde-2	119	13	b	b	NOUN
ejde-2	119	14	)	)	PUNCT
ejde-2	119	15	to	to	ADP
ejde-2	119	16	cn−2[a	cn−2[a	PROPN
ejde-2	119	17	,	,	PUNCT
ejde-2	119	18	b	b	NOUN
ejde-2	119	19	]	]	PUNCT
ejde-2	119	20	and	and	CCONJ
ejde-2	119	21	for	for	ADP
ejde-2	119	22	each	each	DET
ejde-2	119	23	v	v	ADP
ejde-2	119	24	∈	∈	PRON
ejde-2	119	25	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	119	26	,	,	PUNCT
ejde-2	119	27	b	b	NOUN
ejde-2	119	28	)	)	PUNCT
ejde-2	119	29	,	,	PUNCT
ejde-2	119	30	(	(	PUNCT
ejde-2	119	31	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	119	32	v)(i)(x	v)(i)(x	PROPN
ejde-2	119	33	)	)	PUNCT
ejde-2	119	34	=	=	PRON
ejde-2	119	35	(	(	PUNCT
ejde-2	119	36	in−α−ia+	in−α−ia+	PROPN
ejde-2	119	37	v)(x	v)(x	PROPN
ejde-2	119	38	)	)	PUNCT
ejde-2	119	39	for	for	ADP
ejde-2	119	40	each	each	DET
ejde-2	119	41	x	x	SYM
ejde-2	119	42	∈	∈	PROPN
ejde-2	119	43	[	[	X
ejde-2	119	44	a	a	X
ejde-2	119	45	,	,	PUNCT
ejde-2	119	46	b	b	NOUN
ejde-2	119	47	]	]	PUNCT
ejde-2	119	48	and	and	CCONJ
ejde-2	119	49	i	i	PROPN
ejde-2	119	50	∈	∈	PROPN
ejde-2	119	51	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	119	52	.	.	PUNCT
ejde-2	120	1	(	(	PUNCT
ejde-2	120	2	2.4	2.4	NUM
ejde-2	120	3	)	)	PUNCT
ejde-2	120	4	(	(	PUNCT
ejde-2	120	5	4	4	NUM
ejde-2	120	6	)	)	PUNCT
ejde-2	120	7	for	for	ADP
ejde-2	120	8	n	n	X
ejde-2	120	9	≥	≥	NOUN
ejde-2	120	10	2	2	NUM
ejde-2	120	11	,	,	PUNCT
ejde-2	120	12	(	(	PUNCT
ejde-2	120	13	in−αa+	in−αa+	X
ejde-2	120	14	v)(a	v)(a	ADJ
ejde-2	120	15	)	)	PUNCT
ejde-2	120	16	=	=	SYM
ejde-2	120	17	0	0	PUNCT
ejde-2	120	18	for	for	ADP
ejde-2	120	19	each	each	DET
ejde-2	120	20	v	v	ADP
ejde-2	120	21	∈	∈	PRON
ejde-2	120	22	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	120	23	,	,	PUNCT
ejde-2	120	24	b	b	NOUN
ejde-2	120	25	)	)	PUNCT
ejde-2	120	26	.	.	PUNCT
ejde-2	121	1	(	(	PUNCT
ejde-2	121	2	5	5	NUM
ejde-2	121	3	)	)	PUNCT
ejde-2	121	4	for	for	ADP
ejde-2	121	5	n	n	NUM
ejde-2	121	6	≥	≥	NUM
ejde-2	121	7	1	1	NUM
ejde-2	121	8	,	,	PUNCT
ejde-2	121	9	in−αa+	in−αa+	NOUN
ejde-2	121	10	:	:	PUNCT
ejde-2	121	11	l1(a	l1(a	NUM
ejde-2	121	12	,	,	PUNCT
ejde-2	121	13	b)→	b)→	VERB
ejde-2	121	14	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	121	15	,	,	PUNCT
ejde-2	121	16	b	b	NOUN
ejde-2	121	17	)	)	PUNCT
ejde-2	121	18	is	be	AUX
ejde-2	121	19	one	one	NUM
ejde-2	121	20	to	to	ADP
ejde-2	121	21	one	one	NUM
ejde-2	121	22	.	.	PUNCT
ejde-2	122	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	122	2	.	.	PUNCT
ejde-2	123	1	we	we	PRON
ejde-2	123	2	only	only	ADV
ejde-2	123	3	prove	prove	VERB
ejde-2	123	4	(	(	PUNCT
ejde-2	123	5	5	5	NUM
ejde-2	123	6	)	)	PUNCT
ejde-2	123	7	.	.	PUNCT
ejde-2	124	1	assume	assume	VERB
ejde-2	124	2	that	that	SCONJ
ejde-2	124	3	v1	v1	NOUN
ejde-2	124	4	,	,	PUNCT
ejde-2	124	5	v2	v2	PROPN
ejde-2	124	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	124	7	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	124	8	,	,	PUNCT
ejde-2	124	9	b	b	NOUN
ejde-2	124	10	)	)	PUNCT
ejde-2	124	11	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-2	124	12	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	124	13	v1(x	v1(x	NUM
ejde-2	124	14	)	)	PUNCT
ejde-2	124	15	=	=	SYM
ejde-2	124	16	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	124	17	v2(x	v2(x	NOUN
ejde-2	124	18	)	)	PUNCT
ejde-2	124	19	for	for	ADP
ejde-2	124	20	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	124	21	.	.	PUNCT
ejde-2	124	22	x	x	SYM
ejde-2	124	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	125	1	[	[	X
ejde-2	125	2	a	a	X
ejde-2	125	3	,	,	PUNCT
ejde-2	125	4	b	b	NOUN
ejde-2	125	5	]	]	PUNCT
ejde-2	125	6	.	.	PUNCT
ejde-2	126	1	applying	apply	VERB
ejde-2	126	2	iαa+	iαa+	PROPN
ejde-2	126	3	to	to	ADP
ejde-2	126	4	both	both	DET
ejde-2	126	5	sides	side	NOUN
ejde-2	126	6	of	of	ADP
ejde-2	126	7	the	the	DET
ejde-2	126	8	above	above	ADJ
ejde-2	126	9	equation	equation	NOUN
ejde-2	126	10	and	and	CCONJ
ejde-2	126	11	using	use	VERB
ejde-2	126	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	126	13	2.1	2.1	NUM
ejde-2	126	14	,	,	PUNCT
ejde-2	126	15	we	we	PRON
ejde-2	126	16	have	have	VERB
ejde-2	126	17	ina+v1(x	ina+v1(x	NOUN
ejde-2	126	18	)	)	PUNCT
ejde-2	127	1	=	=	SYM
ejde-2	127	2	iαa+i	iαa+i	ADV
ejde-2	127	3	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	127	4	a+	a+	PUNCT
ejde-2	127	5	v1(x	v1(x	NUM
ejde-2	127	6	)	)	PUNCT
ejde-2	127	7	=	=	SYM
ejde-2	127	8	iαa+i	iαa+i	ADV
ejde-2	127	9	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	127	10	a+	a+	PUNCT
ejde-2	127	11	v2(x	v2(x	NOUN
ejde-2	127	12	)	)	PUNCT
ejde-2	127	13	=	=	SYM
ejde-2	127	14	ina+v2(x	ina+v2(x	NOUN
ejde-2	127	15	)	)	PUNCT
ejde-2	127	16	for	for	ADP
ejde-2	127	17	each	each	DET
ejde-2	127	18	x	x	SYM
ejde-2	127	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	127	20	[	[	X
ejde-2	127	21	a	a	X
ejde-2	127	22	,	,	PUNCT
ejde-2	127	23	b	b	NOUN
ejde-2	127	24	]	]	PUNCT
ejde-2	127	25	.	.	PUNCT
ejde-2	128	1	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	128	2	linear	linear	ADJ
ejde-2	128	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	128	4	differential	differential	NOUN
ejde-2	128	5	and	and	CCONJ
ejde-2	128	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	128	7	equations	equation	NOUN
ejde-2	128	8	5	5	NUM
ejde-2	128	9	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	128	10	both	both	DET
ejde-2	128	11	sides	side	NOUN
ejde-2	128	12	of	of	ADP
ejde-2	128	13	the	the	DET
ejde-2	128	14	above	above	ADJ
ejde-2	128	15	equation	equation	NOUN
ejde-2	128	16	n	n	NUM
ejde-2	128	17	times	time	NOUN
ejde-2	128	18	and	and	CCONJ
ejde-2	128	19	using	use	VERB
ejde-2	128	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	128	21	2.3	2.3	NUM
ejde-2	128	22	,	,	PUNCT
ejde-2	128	23	(	(	PUNCT
ejde-2	128	24	2	2	X
ejde-2	128	25	)	)	PUNCT
ejde-2	128	26	implies	imply	VERB
ejde-2	128	27	that	that	SCONJ
ejde-2	128	28	v1(x	v1(x	NOUN
ejde-2	128	29	)	)	PUNCT
ejde-2	128	30	=	=	SYM
ejde-2	129	1	v2(x	v2(x	X
ejde-2	129	2	)	)	PUNCT
ejde-2	129	3	for	for	ADP
ejde-2	129	4	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	129	5	.	.	PUNCT
ejde-2	129	6	x	x	SYM
ejde-2	129	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	130	1	[	[	X
ejde-2	130	2	a	a	X
ejde-2	130	3	,	,	PUNCT
ejde-2	130	4	b	b	NOUN
ejde-2	130	5	]	]	PUNCT
ejde-2	130	6	and	and	CCONJ
ejde-2	130	7	v1	v1	NOUN
ejde-2	130	8	=	=	SYM
ejde-2	130	9	v2	v2	PROPN
ejde-2	130	10	in	in	ADP
ejde-2	130	11	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	130	12	,	,	PUNCT
ejde-2	130	13	b	b	NOUN
ejde-2	130	14	)	)	PUNCT
ejde-2	130	15	.	.	PUNCT
ejde-2	131	1	�	�	PROPN
ejde-2	131	2	remark	remark	VERB
ejde-2	131	3	2.5	2.5	NUM
ejde-2	131	4	.	.	PUNCT
ejde-2	132	1	the	the	DET
ejde-2	132	2	result	result	NOUN
ejde-2	132	3	:	:	PUNCT
ejde-2	132	4	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	132	5	maps	map	NOUN
ejde-2	132	6	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	132	7	,	,	PUNCT
ejde-2	132	8	b	b	NOUN
ejde-2	132	9	)	)	PUNCT
ejde-2	132	10	)	)	PUNCT
ejde-2	132	11	to	to	AUX
ejde-2	132	12	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	132	13	,	,	PUNCT
ejde-2	132	14	b	b	X
ejde-2	132	15	]	]	X
ejde-2	132	16	is	be	AUX
ejde-2	132	17	proved	prove	VERB
ejde-2	132	18	in	in	ADP
ejde-2	132	19	[	[	X
ejde-2	132	20	18	18	NUM
ejde-2	132	21	,	,	PUNCT
ejde-2	132	22	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	132	23	2.2	2.2	NUM
ejde-2	132	24	]	]	PUNCT
ejde-2	132	25	and	and	CCONJ
ejde-2	132	26	generalizes	generalize	VERB
ejde-2	132	27	the	the	DET
ejde-2	132	28	result	result	NOUN
ejde-2	132	29	:	:	PUNCT
ejde-2	132	30	i1−αa+	i1−αa+	PROPN
ejde-2	132	31	maps	map	NOUN
ejde-2	132	32	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	132	33	,	,	PUNCT
ejde-2	133	1	b	b	X
ejde-2	133	2	]	]	X
ejde-2	133	3	to	to	ADP
ejde-2	133	4	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	133	5	,	,	PUNCT
ejde-2	133	6	b	b	X
ejde-2	133	7	]	]	X
ejde-2	133	8	in	in	ADP
ejde-2	133	9	[	[	X
ejde-2	133	10	20	20	NUM
ejde-2	133	11	,	,	PUNCT
ejde-2	133	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	133	13	2.3	2.3	NUM
ejde-2	133	14	]	]	PUNCT
ejde-2	133	15	,	,	PUNCT
ejde-2	133	16	the	the	DET
ejde-2	133	17	first	first	ADJ
ejde-2	133	18	part	part	NOUN
ejde-2	133	19	of	of	ADP
ejde-2	133	20	[	[	X
ejde-2	133	21	25	25	NUM
ejde-2	133	22	,	,	PUNCT
ejde-2	133	23	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	133	24	2.1	2.1	NUM
ejde-2	133	25	]	]	PUNCT
ejde-2	133	26	and	and	CCONJ
ejde-2	133	27	[	[	X
ejde-2	133	28	29	29	NUM
ejde-2	133	29	,	,	PUNCT
ejde-2	133	30	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	133	31	3.2	3.2	NUM
ejde-2	133	32	(	(	PUNCT
ejde-2	133	33	6	6	NUM
ejde-2	133	34	)	)	PUNCT
ejde-2	133	35	]	]	PUNCT
ejde-2	133	36	.	.	PUNCT
ejde-2	134	1	when	when	SCONJ
ejde-2	134	2	n	n	X
ejde-2	134	3	=	=	SYM
ejde-2	134	4	1	1	NUM
ejde-2	134	5	,	,	PUNCT
ejde-2	134	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	134	7	2.4	2.4	NUM
ejde-2	134	8	(	(	PUNCT
ejde-2	134	9	5	5	NUM
ejde-2	134	10	)	)	PUNCT
ejde-2	134	11	is	be	AUX
ejde-2	134	12	given	give	VERB
ejde-2	134	13	in	in	ADP
ejde-2	134	14	[	[	X
ejde-2	134	15	25	25	NUM
ejde-2	134	16	,	,	PUNCT
ejde-2	134	17	theorem	theorem	VERB
ejde-2	134	18	2.1	2.1	NUM
ejde-2	134	19	]	]	PUNCT
ejde-2	134	20	(	(	PUNCT
ejde-2	134	21	also	also	ADV
ejde-2	134	22	,	,	PUNCT
ejde-2	134	23	see	see	VERB
ejde-2	134	24	[	[	X
ejde-2	134	25	20	20	NUM
ejde-2	134	26	,	,	PUNCT
ejde-2	134	27	p.65	p.65	NOUN
ejde-2	134	28	]	]	PUNCT
ejde-2	134	29	)	)	PUNCT
ejde-2	134	30	.	.	PUNCT
ejde-2	135	1	let	let	VERB
ejde-2	135	2	n	n	PRON
ejde-2	135	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	135	4	n	n	ADJ
ejde-2	135	5	and	and	CCONJ
ejde-2	135	6	m	m	PROPN
ejde-2	135	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	135	8	n0,n	n0,n	PROPN
ejde-2	135	9	.	.	PUNCT
ejde-2	136	1	for	for	ADP
ejde-2	136	2	each	each	DET
ejde-2	136	3	i	i	PRON
ejde-2	136	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	136	5	n0,n−1	n0,n−1	NOUN
ejde-2	136	6	,	,	PUNCT
ejde-2	136	7	let	let	VERB
ejde-2	136	8	ui	ui	PROPN
ejde-2	136	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	136	10	r	r	NOUN
ejde-2	136	11	be	be	AUX
ejde-2	136	12	given	give	VERB
ejde-2	136	13	.	.	PUNCT
ejde-2	137	1	we	we	PRON
ejde-2	137	2	define	define	VERB
ejde-2	137	3	a	a	DET
ejde-2	137	4	function	function	NOUN
ejde-2	137	5	pm	pm	NOUN
ejde-2	137	6	:	:	PUNCT
ejde-2	138	1	[	[	X
ejde-2	138	2	a	a	X
ejde-2	138	3	,	,	PUNCT
ejde-2	138	4	b]→	b]→	ADJ
ejde-2	138	5	r	r	NOUN
ejde-2	138	6	by	by	ADP
ejde-2	138	7	pm(x	pm(x	NOUN
ejde-2	138	8	)	)	PUNCT
ejde-2	138	9	=	=	PUNCT
ejde-2	138	10	m∑	m∑	CCONJ
ejde-2	138	11	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	138	12	ui	ui	PROPN
ejde-2	139	1	i	i	PROPN
ejde-2	139	2	!	!	PUNCT
ejde-2	140	1	(	(	PUNCT
ejde-2	140	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	140	3	a)i	a)i	X
ejde-2	140	4	for	for	ADP
ejde-2	140	5	each	each	DET
ejde-2	140	6	x	x	SYM
ejde-2	140	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	140	8	[	[	X
ejde-2	140	9	a	a	X
ejde-2	140	10	,	,	PUNCT
ejde-2	140	11	b	b	NOUN
ejde-2	140	12	]	]	X
ejde-2	140	13	.	.	PUNCT
ejde-2	141	1	(	(	PUNCT
ejde-2	141	2	2.5	2.5	NUM
ejde-2	141	3	)	)	PUNCT
ejde-2	141	4	definition	definition	NOUN
ejde-2	141	5	2.6	2.6	NUM
ejde-2	141	6	.	.	PUNCT
ejde-2	142	1	the	the	DET
ejde-2	142	2	nth	nth	NOUN
ejde-2	142	3	order	order	NOUN
ejde-2	142	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	142	5	derivative	derivative	NOUN
ejde-2	142	6	with	with	ADP
ejde-2	142	7	fraction	fraction	NOUN
ejde-2	142	8	α	α	PROPN
ejde-2	142	9	(	(	PUNCT
ejde-2	142	10	relative	relative	ADJ
ejde-2	142	11	to	to	ADP
ejde-2	142	12	pm	pm	NOUN
ejde-2	142	13	)	)	PUNCT
ejde-2	142	14	of	of	ADP
ejde-2	142	15	a	a	DET
ejde-2	142	16	function	function	NOUN
ejde-2	142	17	u	u	PROPN
ejde-2	142	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	142	19	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	142	20	,	,	PUNCT
ejde-2	142	21	b	b	NOUN
ejde-2	142	22	)	)	PUNCT
ejde-2	142	23	is	be	AUX
ejde-2	142	24	defined	define	VERB
ejde-2	142	25	by	by	ADP
ejde-2	142	26	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	142	27	p	p	NOUN
ejde-2	142	28	,	,	PUNCT
ejde-2	142	29	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	142	30	)	)	PUNCT
ejde-2	143	1	=	=	SYM
ejde-2	143	2	(	(	PUNCT
ejde-2	143	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	143	4	pm))(n)(x	pm))(n)(x	PROPN
ejde-2	143	5	)	)	PUNCT
ejde-2	143	6	for	for	ADP
ejde-2	143	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	143	8	.	.	PUNCT
ejde-2	143	9	x	x	SYM
ejde-2	143	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	143	11	[	[	X
ejde-2	143	12	a	a	X
ejde-2	143	13	,	,	PUNCT
ejde-2	143	14	b	b	NOUN
ejde-2	143	15	]	]	X
ejde-2	143	16	.	.	PUNCT
ejde-2	144	1	the	the	DET
ejde-2	144	2	letter	letter	NOUN
ejde-2	144	3	p	p	PROPN
ejde-2	144	4	in	in	ADP
ejde-2	144	5	the	the	DET
ejde-2	144	6	symbol	symbol	NOUN
ejde-2	144	7	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	144	8	p	p	NOUN
ejde-2	144	9	,	,	PUNCT
ejde-2	144	10	a+u	a+u	X
ejde-2	144	11	is	be	AUX
ejde-2	144	12	the	the	DET
ejde-2	144	13	first	first	ADJ
ejde-2	144	14	letter	letter	NOUN
ejde-2	144	15	of	of	ADP
ejde-2	144	16	polynomial	polynomial	ADJ
ejde-2	144	17	and	and	CCONJ
ejde-2	144	18	is	be	AUX
ejde-2	144	19	used	use	VERB
ejde-2	144	20	to	to	PART
ejde-2	144	21	indicate	indicate	VERB
ejde-2	144	22	that	that	SCONJ
ejde-2	144	23	the	the	DET
ejde-2	144	24	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	144	25	differential	differential	NOUN
ejde-2	144	26	operator	operator	NOUN
ejde-2	144	27	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	144	28	p	p	NOUN
ejde-2	144	29	,	,	PUNCT
ejde-2	144	30	a+	a+	PUNCT
ejde-2	144	31	contains	contain	VERB
ejde-2	144	32	a	a	DET
ejde-2	144	33	polynomial	polynomial	NOUN
ejde-2	144	34	.	.	PUNCT
ejde-2	145	1	a	a	DET
ejde-2	145	2	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-2	145	3	condition	condition	NOUN
ejde-2	145	4	for	for	ADP
ejde-2	145	5	the	the	DET
ejde-2	145	6	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	145	7	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	145	8	p	p	NOUN
ejde-2	145	9	,	,	PUNCT
ejde-2	145	10	a+u	a+u	NUM
ejde-2	145	11	to	to	PART
ejde-2	145	12	exist	exist	VERB
ejde-2	145	13	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	145	14	.	.	PROPN
ejde-2	145	15	on	on	ADP
ejde-2	145	16	[	[	X
ejde-2	145	17	a	a	X
ejde-2	145	18	,	,	PUNCT
ejde-2	145	19	b	b	X
ejde-2	145	20	]	]	X
ejde-2	145	21	is	be	AUX
ejde-2	145	22	(	(	PUNCT
ejde-2	145	23	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	145	24	−	−	PROPN
ejde-2	145	25	pm))(n−1	pm))(n−1	NUM
ejde-2	145	26	)	)	PUNCT
ejde-2	145	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	146	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	146	2	,	,	PUNCT
ejde-2	146	3	b	b	NOUN
ejde-2	146	4	]	]	X
ejde-2	146	5	.	.	PUNCT
ejde-2	147	1	in	in	ADP
ejde-2	147	2	definition	definition	NOUN
ejde-2	147	3	2.6	2.6	NUM
ejde-2	147	4	,	,	PUNCT
ejde-2	147	5	we	we	PRON
ejde-2	147	6	require	require	VERB
ejde-2	147	7	neither	neither	CCONJ
ejde-2	147	8	the	the	DET
ejde-2	147	9	existence	existence	NOUN
ejde-2	147	10	of	of	ADP
ejde-2	147	11	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	147	12	)	)	PUNCT
ejde-2	147	13	nor	nor	CCONJ
ejde-2	147	14	ui	ui	NOUN
ejde-2	147	15	=	=	SYM
ejde-2	147	16	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	147	17	)	)	PUNCT
ejde-2	147	18	for	for	ADP
ejde-2	147	19	i	i	PRON
ejde-2	147	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	147	21	n0,n−1	n0,n−1	ADV
ejde-2	147	22	since	since	SCONJ
ejde-2	147	23	the	the	DET
ejde-2	147	24	polynomial	polynomial	ADJ
ejde-2	147	25	pm	pm	NOUN
ejde-2	147	26	is	be	AUX
ejde-2	147	27	independent	independent	ADJ
ejde-2	147	28	of	of	ADP
ejde-2	147	29	u.	u.	NOUN
ejde-2	147	30	when	when	SCONJ
ejde-2	147	31	n	n	X
ejde-2	147	32	=	=	SYM
ejde-2	147	33	1	1	NUM
ejde-2	147	34	,	,	PUNCT
ejde-2	147	35	the	the	DET
ejde-2	147	36	first	first	ADJ
ejde-2	147	37	order	order	NOUN
ejde-2	147	38	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	147	39	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	147	40	d1−α	d1−α	PROPN
ejde-2	147	41	p	p	NOUN
ejde-2	147	42	,	,	PUNCT
ejde-2	147	43	a+u	a+u	X
ejde-2	147	44	is	be	AUX
ejde-2	147	45	used	use	VERB
ejde-2	147	46	in	in	ADP
ejde-2	147	47	[	[	X
ejde-2	147	48	18	18	NUM
ejde-2	147	49	]	]	PUNCT
ejde-2	147	50	.	.	PUNCT
ejde-2	148	1	for	for	ADP
ejde-2	148	2	n	n	PROPN
ejde-2	148	3	≥	≥	NUM
ejde-2	148	4	2	2	NUM
ejde-2	148	5	and	and	CCONJ
ejde-2	148	6	m	m	PROPN
ejde-2	148	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	148	8	n0,n−2	n0,n−2	NOUN
ejde-2	148	9	,	,	PUNCT
ejde-2	148	10	the	the	DET
ejde-2	148	11	nth	nth	NOUN
ejde-2	148	12	order	order	NOUN
ejde-2	148	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	148	14	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	148	15	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	148	16	p	p	NOUN
ejde-2	148	17	,	,	PUNCT
ejde-2	148	18	a+u	a+u	X
ejde-2	148	19	is	be	AUX
ejde-2	148	20	considered	consider	VERB
ejde-2	148	21	in	in	ADP
ejde-2	148	22	[	[	X
ejde-2	148	23	17	17	NUM
ejde-2	148	24	]	]	PUNCT
ejde-2	148	25	,	,	PUNCT
ejde-2	148	26	where	where	SCONJ
ejde-2	148	27	[	[	X
ejde-2	148	28	a	a	X
ejde-2	148	29	,	,	PUNCT
ejde-2	148	30	b	b	NOUN
ejde-2	148	31	]	]	X
ejde-2	148	32	=	=	PUNCT
ejde-2	149	1	[	[	X
ejde-2	149	2	0	0	NUM
ejde-2	149	3	,	,	PUNCT
ejde-2	149	4	1	1	NUM
ejde-2	149	5	]	]	PUNCT
ejde-2	149	6	.	.	PUNCT
ejde-2	150	1	if	if	SCONJ
ejde-2	150	2	ui	ui	PROPN
ejde-2	150	3	=	=	NOUN
ejde-2	150	4	0	0	NUM
ejde-2	150	5	for	for	ADP
ejde-2	150	6	each	each	DET
ejde-2	150	7	i	i	PROPN
ejde-2	150	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	150	9	n0,m	n0,m	PROPN
ejde-2	150	10	,	,	PUNCT
ejde-2	150	11	then	then	ADV
ejde-2	150	12	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	150	13	p	p	NOUN
ejde-2	150	14	,	,	PUNCT
ejde-2	150	15	a+	a+	PUNCT
ejde-2	150	16	=	=	VERB
ejde-2	150	17	dn−α	dn−α	NOUN
ejde-2	150	18	a+	a+	PUNCT
ejde-2	150	19	is	be	AUX
ejde-2	150	20	the	the	DET
ejde-2	150	21	usual	usual	ADJ
ejde-2	150	22	r	r	NOUN
ejde-2	150	23	-	-	PUNCT
ejde-2	150	24	l	l	NOUN
ejde-2	150	25	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	150	26	differential	differential	NOUN
ejde-2	150	27	operator	operator	NOUN
ejde-2	150	28	of	of	ADP
ejde-2	150	29	order	order	NOUN
ejde-2	150	30	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	150	31	,	,	PUNCT
ejde-2	150	32	see	see	VERB
ejde-2	150	33	[	[	X
ejde-2	150	34	5	5	NUM
ejde-2	150	35	,	,	PUNCT
ejde-2	150	36	definition	definition	NOUN
ejde-2	150	37	2.2	2.2	NUM
ejde-2	150	38	]	]	PUNCT
ejde-2	150	39	,	,	PUNCT
ejde-2	150	40	[	[	X
ejde-2	150	41	15	15	NUM
ejde-2	150	42	,	,	PUNCT
ejde-2	150	43	p.	p.	NOUN
ejde-2	150	44	70	70	NUM
ejde-2	150	45	]	]	PUNCT
ejde-2	150	46	,	,	PUNCT
ejde-2	150	47	[	[	X
ejde-2	150	48	22	22	NUM
ejde-2	150	49	,	,	PUNCT
ejde-2	150	50	p.88	p.88	NOUN
ejde-2	150	51	]	]	PUNCT
ejde-2	150	52	,	,	PUNCT
ejde-2	150	53	[	[	X
ejde-2	150	54	25	25	NUM
ejde-2	150	55	,	,	PUNCT
ejde-2	150	56	p.37	p.37	NOUN
ejde-2	150	57	]	]	X
ejde-2	150	58	,	,	PUNCT
ejde-2	150	59	and	and	CCONJ
ejde-2	150	60	[	[	X
ejde-2	150	61	29	29	NUM
ejde-2	150	62	,	,	PUNCT
ejde-2	150	63	definition	definition	NOUN
ejde-2	150	64	4.8	4.8	NUM
ejde-2	150	65	]	]	PUNCT
ejde-2	150	66	.	.	PUNCT
ejde-2	151	1	if	if	SCONJ
ejde-2	151	2	m	m	VERB
ejde-2	151	3	=	=	SYM
ejde-2	151	4	n	n	CCONJ
ejde-2	151	5	−	−	PROPN
ejde-2	151	6	1	1	NUM
ejde-2	151	7	,	,	PUNCT
ejde-2	151	8	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	151	9	)	)	PUNCT
ejde-2	151	10	exists	exist	VERB
ejde-2	151	11	and	and	CCONJ
ejde-2	151	12	ui	ui	NOUN
ejde-2	151	13	=	=	SYM
ejde-2	151	14	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	151	15	)	)	PUNCT
ejde-2	151	16	for	for	ADP
ejde-2	151	17	each	each	DET
ejde-2	151	18	i	i	PRON
ejde-2	151	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	151	20	n0,n−1	n0,n−1	NOUN
ejde-2	151	21	,	,	PUNCT
ejde-2	151	22	then	then	ADV
ejde-2	151	23	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	151	24	p	p	NOUN
ejde-2	151	25	,	,	PUNCT
ejde-2	151	26	a+	a+	PUNCT
ejde-2	151	27	=	=	VERB
ejde-2	151	28	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	151	29	∗a+	∗a+	NOUN
ejde-2	151	30	is	be	AUX
ejde-2	151	31	the	the	DET
ejde-2	151	32	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	151	33	differential	differential	NOUN
ejde-2	151	34	operator	operator	NOUN
ejde-2	151	35	of	of	ADP
ejde-2	151	36	order	order	NOUN
ejde-2	151	37	n−	n−	NOUN
ejde-2	151	38	α	α	NOUN
ejde-2	151	39	in	in	ADP
ejde-2	151	40	[	[	X
ejde-2	151	41	5	5	NUM
ejde-2	151	42	,	,	PUNCT
ejde-2	151	43	definition	definition	NOUN
ejde-2	151	44	3.2	3.2	NUM
ejde-2	151	45	]	]	PUNCT
ejde-2	151	46	and	and	CCONJ
ejde-2	151	47	[	[	X
ejde-2	151	48	15	15	NUM
ejde-2	151	49	,	,	PUNCT
ejde-2	151	50	section	section	NOUN
ejde-2	151	51	2.4	2.4	NUM
ejde-2	151	52	,	,	PUNCT
ejde-2	151	53	p.90	p.90	PROPN
ejde-2	151	54	]	]	PUNCT
ejde-2	151	55	.	.	PUNCT
ejde-2	152	1	3	3	X
ejde-2	152	2	.	.	NUM
ejde-2	152	3	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	152	4	of	of	ADP
ejde-2	152	5	the	the	DET
ejde-2	152	6	nth	nth	NOUN
ejde-2	152	7	order	order	NOUN
ejde-2	152	8	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	152	9	differential	differential	NOUN
ejde-2	152	10	and	and	CCONJ
ejde-2	152	11	integral	integral	ADJ
ejde-2	152	12	equations	equation	NOUN
ejde-2	152	13	in	in	ADP
ejde-2	152	14	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	152	15	,	,	PUNCT
ejde-2	152	16	b	b	NOUN
ejde-2	152	17	)	)	PUNCT
ejde-2	152	18	we	we	PRON
ejde-2	152	19	study	study	VERB
ejde-2	152	20	solutions	solution	NOUN
ejde-2	152	21	in	in	ADP
ejde-2	152	22	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	152	23	,	,	PUNCT
ejde-2	152	24	b	b	NOUN
ejde-2	152	25	)	)	PUNCT
ejde-2	152	26	of	of	ADP
ejde-2	152	27	the	the	DET
ejde-2	152	28	nth	nth	NOUN
ejde-2	152	29	order	order	NOUN
ejde-2	152	30	fde	fde	PROPN
ejde-2	152	31	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	152	32	p	p	NOUN
ejde-2	152	33	,	,	PUNCT
ejde-2	152	34	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	152	35	)	)	PUNCT
ejde-2	152	36	:	:	PUNCT
ejde-2	153	1	=	=	SYM
ejde-2	153	2	(	(	PUNCT
ejde-2	153	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	153	4	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	153	5	)	)	PUNCT
ejde-2	153	6	=	=	SYM
ejde-2	153	7	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	153	8	)	)	PUNCT
ejde-2	153	9	(	(	PUNCT
ejde-2	153	10	3.1	3.1	NUM
ejde-2	153	11	)	)	PUNCT
ejde-2	153	12	for	for	ADP
ejde-2	153	13	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	153	14	.	.	PUNCT
ejde-2	153	15	x	x	SYM
ejde-2	153	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	153	17	[	[	X
ejde-2	153	18	a	a	X
ejde-2	153	19	,	,	PUNCT
ejde-2	153	20	b	b	NOUN
ejde-2	153	21	]	]	X
ejde-2	153	22	,	,	PUNCT
ejde-2	153	23	where	where	SCONJ
ejde-2	153	24	n	n	X
ejde-2	153	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	153	26	n	n	X
ejde-2	153	27	with	with	ADP
ejde-2	153	28	n	n	PRON
ejde-2	153	29	≥	≥	NUM
ejde-2	153	30	2	2	NUM
ejde-2	153	31	,	,	PUNCT
ejde-2	153	32	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	153	33	)	)	PUNCT
ejde-2	153	34	=	=	SYM
ejde-2	153	35	∑n−1	∑n−1	ADP
ejde-2	153	36	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	153	37	ui	ui	PROPN
ejde-2	154	1	i	i	PROPN
ejde-2	154	2	!	!	PUNCT
ejde-2	155	1	(	(	PUNCT
ejde-2	155	2	x	x	X
ejde-2	155	3	−	−	NOUN
ejde-2	155	4	a)i	a)i	PUNCT
ejde-2	155	5	for	for	ADP
ejde-2	155	6	each	each	DET
ejde-2	155	7	x	x	SYM
ejde-2	155	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	155	9	[	[	X
ejde-2	155	10	a	a	X
ejde-2	155	11	,	,	PUNCT
ejde-2	155	12	b	b	NOUN
ejde-2	155	13	]	]	X
ejde-2	155	14	,	,	PUNCT
ejde-2	155	15	ui	ui	PROPN
ejde-2	155	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	155	17	r	r	NOUN
ejde-2	155	18	for	for	ADP
ejde-2	155	19	each	each	DET
ejde-2	155	20	i	i	PRON
ejde-2	155	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	155	22	n0,n−1	n0,n−1	ADV
ejde-2	155	23	is	be	AUX
ejde-2	155	24	given	give	VERB
ejde-2	155	25	and	and	CCONJ
ejde-2	155	26	v	v	ADP
ejde-2	155	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	155	28	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	155	29	,	,	PUNCT
ejde-2	155	30	b	b	NOUN
ejde-2	155	31	)	)	PUNCT
ejde-2	155	32	.	.	PUNCT
ejde-2	156	1	definition	definition	NOUN
ejde-2	156	2	3.1	3.1	NUM
ejde-2	156	3	.	.	PUNCT
ejde-2	157	1	a	a	DET
ejde-2	157	2	function	function	NOUN
ejde-2	157	3	u	u	PROPN
ejde-2	157	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	157	5	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	157	6	,	,	PUNCT
ejde-2	157	7	b	b	NOUN
ejde-2	157	8	)	)	PUNCT
ejde-2	157	9	is	be	AUX
ejde-2	157	10	said	say	VERB
ejde-2	157	11	to	to	PART
ejde-2	157	12	be	be	AUX
ejde-2	157	13	a	a	DET
ejde-2	157	14	solution	solution	NOUN
ejde-2	157	15	of	of	ADP
ejde-2	157	16	(	(	PUNCT
ejde-2	157	17	3.1	3.1	NUM
ejde-2	157	18	)	)	PUNCT
ejde-2	157	19	(	(	PUNCT
ejde-2	157	20	relative	relative	ADJ
ejde-2	157	21	to	to	ADP
ejde-2	157	22	pn−1	pn−1	PROPN
ejde-2	157	23	)	)	PUNCT
ejde-2	157	24	if	if	SCONJ
ejde-2	157	25	u	u	PRON
ejde-2	157	26	satisfies	satisfy	VERB
ejde-2	157	27	(	(	PUNCT
ejde-2	157	28	3.1	3.1	NUM
ejde-2	157	29	)	)	PUNCT
ejde-2	157	30	.	.	PUNCT
ejde-2	158	1	we	we	PRON
ejde-2	158	2	shall	shall	AUX
ejde-2	158	3	see	see	VERB
ejde-2	158	4	that	that	SCONJ
ejde-2	158	5	the	the	DET
ejde-2	158	6	condition	condition	NOUN
ejde-2	158	7	(	(	PUNCT
ejde-2	158	8	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	158	9	−	−	ADP
ejde-2	158	10	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	158	11	)	)	PUNCT
ejde-2	158	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	158	13	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	158	14	,	,	PUNCT
ejde-2	158	15	b	b	AUX
ejde-2	158	16	]	]	X
ejde-2	158	17	is	be	AUX
ejde-2	158	18	needed	need	VERB
ejde-2	158	19	to	to	PART
ejde-2	158	20	ensure	ensure	VERB
ejde-2	158	21	that	that	SCONJ
ejde-2	158	22	u	u	PRON
ejde-2	158	23	is	be	AUX
ejde-2	158	24	a	a	DET
ejde-2	158	25	solution	solution	NOUN
ejde-2	158	26	of	of	ADP
ejde-2	158	27	(	(	PUNCT
ejde-2	158	28	3.1	3.1	NUM
ejde-2	158	29	)	)	PUNCT
ejde-2	158	30	when	when	SCONJ
ejde-2	158	31	we	we	PRON
ejde-2	158	32	study	study	VERB
ejde-2	158	33	the	the	DET
ejde-2	158	34	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	158	35	between	between	ADP
ejde-2	158	36	the	the	DET
ejde-2	158	37	fde	fde	NOUN
ejde-2	158	38	(	(	PUNCT
ejde-2	158	39	3.1	3.1	NUM
ejde-2	158	40	)	)	PUNCT
ejde-2	158	41	and	and	CCONJ
ejde-2	158	42	the	the	DET
ejde-2	158	43	integral	integral	ADJ
ejde-2	158	44	equation	equation	NOUN
ejde-2	158	45	u(x	u(x	VERB
ejde-2	158	46	)	)	PUNCT
ejde-2	158	47	=	=	SYM
ejde-2	158	48	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	158	49	)	)	PUNCT
ejde-2	159	1	+	+	CCONJ
ejde-2	160	1	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	160	2	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	160	3	(	(	PUNCT
ejde-2	160	4	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	160	5	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	160	6	)	)	PUNCT
ejde-2	161	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	161	2	+	+	CCONJ
ejde-2	161	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	161	4	α	α	NOUN
ejde-2	161	5	)	)	PUNCT
ejde-2	161	6	(	(	PUNCT
ejde-2	161	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	161	8	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	161	9	+	+	CCONJ
ejde-2	161	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	161	11	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	161	12	)	)	PUNCT
ejde-2	161	13	(	(	PUNCT
ejde-2	161	14	3.2	3.2	NUM
ejde-2	161	15	)	)	PUNCT
ejde-2	161	16	6	6	NUM
ejde-2	161	17	k.	k.	PROPN
ejde-2	161	18	lan	lan	PROPN
ejde-2	161	19	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	161	20	for	for	ADP
ejde-2	161	21	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	161	22	.	.	PUNCT
ejde-2	161	23	x	x	SYM
ejde-2	161	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	162	1	[	[	X
ejde-2	162	2	a	a	X
ejde-2	162	3	,	,	PUNCT
ejde-2	162	4	b	b	NOUN
ejde-2	162	5	]	]	X
ejde-2	162	6	.	.	PUNCT
ejde-2	163	1	a	a	DET
ejde-2	163	2	function	function	NOUN
ejde-2	163	3	u	u	PROPN
ejde-2	163	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	163	5	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	163	6	,	,	PUNCT
ejde-2	163	7	b	b	NOUN
ejde-2	163	8	)	)	PUNCT
ejde-2	163	9	is	be	AUX
ejde-2	163	10	said	say	VERB
ejde-2	163	11	to	to	PART
ejde-2	163	12	be	be	AUX
ejde-2	163	13	a	a	DET
ejde-2	163	14	solution	solution	NOUN
ejde-2	163	15	of	of	ADP
ejde-2	163	16	(	(	PUNCT
ejde-2	163	17	3.2	3.2	NUM
ejde-2	163	18	)	)	PUNCT
ejde-2	163	19	if	if	SCONJ
ejde-2	163	20	u	u	NOUN
ejde-2	163	21	satisfies	satisfy	VERB
ejde-2	163	22	(	(	PUNCT
ejde-2	163	23	3.2	3.2	NUM
ejde-2	163	24	)	)	PUNCT
ejde-2	163	25	.	.	PUNCT
ejde-2	164	1	the	the	DET
ejde-2	164	2	following	follow	VERB
ejde-2	164	3	new	new	ADJ
ejde-2	164	4	result	result	NOUN
ejde-2	164	5	provides	provide	VERB
ejde-2	164	6	the	the	DET
ejde-2	164	7	implications	implication	NOUN
ejde-2	164	8	between	between	ADP
ejde-2	164	9	(	(	PUNCT
ejde-2	164	10	3.1	3.1	NUM
ejde-2	164	11	)	)	PUNCT
ejde-2	164	12	and	and	CCONJ
ejde-2	164	13	(	(	PUNCT
ejde-2	164	14	3.2	3.2	NUM
ejde-2	164	15	)	)	PUNCT
ejde-2	164	16	in	in	ADP
ejde-2	164	17	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	164	18	,	,	PUNCT
ejde-2	164	19	b	b	NOUN
ejde-2	164	20	)	)	PUNCT
ejde-2	164	21	.	.	PUNCT
ejde-2	165	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	165	2	3.2	3.2	NUM
ejde-2	165	3	.	.	PUNCT
ejde-2	166	1	let	let	VERB
ejde-2	166	2	u	u	NOUN
ejde-2	166	3	,	,	PUNCT
ejde-2	166	4	v	v	NOUN
ejde-2	166	5	∈	∈	NOUN
ejde-2	166	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	166	7	,	,	PUNCT
ejde-2	166	8	b	b	NOUN
ejde-2	166	9	)	)	PUNCT
ejde-2	166	10	.	.	PUNCT
ejde-2	167	1	then	then	ADV
ejde-2	167	2	the	the	DET
ejde-2	167	3	following	follow	VERB
ejde-2	167	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	167	5	hold	hold	VERB
ejde-2	167	6	.	.	PUNCT
ejde-2	168	1	(	(	PUNCT
ejde-2	168	2	1	1	X
ejde-2	168	3	)	)	PUNCT
ejde-2	168	4	if	if	SCONJ
ejde-2	168	5	(	(	PUNCT
ejde-2	168	6	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	X
ejde-2	168	7	)	)	PUNCT
ejde-2	168	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	168	9	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	168	10	,	,	PUNCT
ejde-2	168	11	b	b	NOUN
ejde-2	168	12	]	]	PUNCT
ejde-2	168	13	and	and	CCONJ
ejde-2	168	14	u	u	NOUN
ejde-2	168	15	is	be	AUX
ejde-2	168	16	a	a	DET
ejde-2	168	17	solution	solution	NOUN
ejde-2	168	18	of	of	ADP
ejde-2	168	19	(	(	PUNCT
ejde-2	168	20	3.1	3.1	NUM
ejde-2	168	21	)	)	PUNCT
ejde-2	168	22	,	,	PUNCT
ejde-2	168	23	then	then	ADV
ejde-2	168	24	u	u	NOUN
ejde-2	168	25	is	be	AUX
ejde-2	168	26	a	a	DET
ejde-2	168	27	solution	solution	NOUN
ejde-2	168	28	of	of	ADP
ejde-2	168	29	(	(	PUNCT
ejde-2	168	30	3.2	3.2	NUM
ejde-2	168	31	)	)	PUNCT
ejde-2	168	32	.	.	PUNCT
ejde-2	169	1	(	(	PUNCT
ejde-2	169	2	2	2	X
ejde-2	169	3	)	)	PUNCT
ejde-2	169	4	if	if	SCONJ
ejde-2	169	5	iαa+(u−pn−1	iαa+(u−pn−1	ADJ
ejde-2	169	6	)	)	PUNCT
ejde-2	169	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	169	8	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	169	9	,	,	PUNCT
ejde-2	169	10	b	b	X
ejde-2	169	11	]	]	PUNCT
ejde-2	169	12	and	and	CCONJ
ejde-2	169	13	u	u	NOUN
ejde-2	169	14	is	be	AUX
ejde-2	169	15	a	a	DET
ejde-2	169	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	169	17	of	of	ADP
ejde-2	169	18	(	(	PUNCT
ejde-2	169	19	3.2	3.2	NUM
ejde-2	169	20	)	)	PUNCT
ejde-2	169	21	,	,	PUNCT
ejde-2	169	22	then	then	ADV
ejde-2	169	23	u	u	NOUN
ejde-2	169	24	is	be	AUX
ejde-2	169	25	a	a	DET
ejde-2	169	26	solution	solution	NOUN
ejde-2	169	27	of	of	ADP
ejde-2	169	28	(	(	PUNCT
ejde-2	169	29	3.1	3.1	NUM
ejde-2	169	30	)	)	PUNCT
ejde-2	169	31	proof	proof	NOUN
ejde-2	169	32	.	.	PUNCT
ejde-2	170	1	(	(	PUNCT
ejde-2	170	2	1	1	X
ejde-2	170	3	)	)	PUNCT
ejde-2	170	4	assume	assume	VERB
ejde-2	170	5	that	that	SCONJ
ejde-2	170	6	(	(	PUNCT
ejde-2	170	7	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	X
ejde-2	170	8	)	)	PUNCT
ejde-2	170	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	170	10	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	170	11	,	,	PUNCT
ejde-2	170	12	b	b	NOUN
ejde-2	170	13	]	]	PUNCT
ejde-2	170	14	and	and	CCONJ
ejde-2	170	15	u	u	NOUN
ejde-2	170	16	is	be	AUX
ejde-2	170	17	a	a	DET
ejde-2	170	18	solution	solution	NOUN
ejde-2	170	19	of	of	ADP
ejde-2	170	20	(	(	PUNCT
ejde-2	170	21	3.1	3.1	NUM
ejde-2	170	22	)	)	PUNCT
ejde-2	170	23	.	.	PUNCT
ejde-2	171	1	integrating	integrate	VERB
ejde-2	171	2	both	both	DET
ejde-2	171	3	sides	side	NOUN
ejde-2	171	4	of	of	ADP
ejde-2	171	5	(	(	PUNCT
ejde-2	171	6	3.1	3.1	NUM
ejde-2	171	7	)	)	PUNCT
ejde-2	171	8	from	from	ADP
ejde-2	171	9	a	a	DET
ejde-2	171	10	to	to	PART
ejde-2	171	11	x	x	NOUN
ejde-2	171	12	implies	implie	NOUN
ejde-2	171	13	(	(	PUNCT
ejde-2	171	14	iαa+(u−	iαa+(u−	X
ejde-2	171	15	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	171	16	)	)	PUNCT
ejde-2	171	17	=	=	PUNCT
ejde-2	171	18	(	(	PUNCT
ejde-2	171	19	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	171	20	pn−1))(n−1)(a	pn−1))(n−1)(a	NOUN
ejde-2	171	21	)	)	PUNCT
ejde-2	172	1	+	+	CCONJ
ejde-2	172	2	i1a+v(x	i1a+v(x	PROPN
ejde-2	172	3	)	)	PUNCT
ejde-2	172	4	for	for	ADP
ejde-2	172	5	each	each	DET
ejde-2	172	6	x	x	SYM
ejde-2	172	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	172	8	[	[	X
ejde-2	172	9	a	a	X
ejde-2	172	10	,	,	PUNCT
ejde-2	172	11	b	b	NOUN
ejde-2	172	12	]	]	X
ejde-2	172	13	.	.	PUNCT
ejde-2	173	1	since	since	SCONJ
ejde-2	173	2	(	(	PUNCT
ejde-2	173	3	iαa+(u−pn−1))(n−2	iαa+(u−pn−1))(n−2	ADJ
ejde-2	173	4	)	)	PUNCT
ejde-2	173	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	173	6	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	173	7	,	,	PUNCT
ejde-2	173	8	b	b	NOUN
ejde-2	173	9	]	]	X
ejde-2	173	10	,	,	PUNCT
ejde-2	173	11	integrating	integrate	VERB
ejde-2	173	12	both	both	DET
ejde-2	173	13	sides	side	NOUN
ejde-2	173	14	of	of	ADP
ejde-2	173	15	the	the	DET
ejde-2	173	16	above	above	ADJ
ejde-2	173	17	equation	equation	NOUN
ejde-2	173	18	from	from	ADP
ejde-2	173	19	a	a	DET
ejde-2	173	20	to	to	NOUN
ejde-2	173	21	x	x	PROPN
ejde-2	173	22	implies	implie	NOUN
ejde-2	173	23	for	for	ADP
ejde-2	173	24	each	each	DET
ejde-2	173	25	x	x	SYM
ejde-2	173	26	∈	∈	PROPN
ejde-2	174	1	[	[	X
ejde-2	174	2	a	a	X
ejde-2	174	3	,	,	PUNCT
ejde-2	174	4	b	b	NOUN
ejde-2	174	5	]	]	X
ejde-2	174	6	,	,	PUNCT
ejde-2	174	7	(	(	PUNCT
ejde-2	174	8	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	174	9	pn−1))(n−2)(x	pn−1))(n−2)(x	NOUN
ejde-2	174	10	)	)	PUNCT
ejde-2	174	11	=	=	PUNCT
ejde-2	174	12	(	(	PUNCT
ejde-2	174	13	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	174	14	pn−1))(n−2)(a	pn−1))(n−2)(a	NOUN
ejde-2	174	15	)	)	PUNCT
ejde-2	175	1	+	+	CCONJ
ejde-2	175	2	(	(	PUNCT
ejde-2	175	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	175	4	pn−1))(n−1)(a)(x−	pn−1))(n−1)(a)(x−	NOUN
ejde-2	175	5	a	a	NOUN
ejde-2	175	6	)	)	PUNCT
ejde-2	175	7	+	+	CCONJ
ejde-2	175	8	i2a+v(x	i2a+v(x	PROPN
ejde-2	175	9	)	)	PUNCT
ejde-2	175	10	.	.	PUNCT
ejde-2	176	1	repeating	repeat	VERB
ejde-2	176	2	the	the	DET
ejde-2	176	3	process	process	NOUN
ejde-2	176	4	,	,	PUNCT
ejde-2	176	5	for	for	ADP
ejde-2	176	6	each	each	DET
ejde-2	176	7	x	x	SYM
ejde-2	176	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	176	9	[	[	X
ejde-2	176	10	a	a	X
ejde-2	176	11	,	,	PUNCT
ejde-2	176	12	b	b	NOUN
ejde-2	176	13	]	]	X
ejde-2	176	14	we	we	PRON
ejde-2	176	15	have	have	VERB
ejde-2	176	16	iαa+(u−	iαa+(u−	VERB
ejde-2	176	17	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	176	18	)	)	PUNCT
ejde-2	177	1	=	=	SYM
ejde-2	177	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	177	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	177	4	(	(	PUNCT
ejde-2	177	5	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	177	6	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	177	7	)	)	PUNCT
ejde-2	177	8	i	i	PRON
ejde-2	177	9	!	!	PUNCT
ejde-2	178	1	(	(	PUNCT
ejde-2	178	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	178	3	a)i	a)i	X
ejde-2	178	4	+	+	CCONJ
ejde-2	178	5	ina+v(x	ina+v(x	NOUN
ejde-2	178	6	)	)	PUNCT
ejde-2	178	7	.	.	PUNCT
ejde-2	179	1	taking	take	VERB
ejde-2	179	2	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	179	3	on	on	ADP
ejde-2	179	4	both	both	DET
ejde-2	179	5	sides	side	NOUN
ejde-2	179	6	of	of	ADP
ejde-2	179	7	the	the	DET
ejde-2	179	8	above	above	ADJ
ejde-2	179	9	equation	equation	NOUN
ejde-2	179	10	and	and	CCONJ
ejde-2	179	11	using	use	VERB
ejde-2	179	12	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-2	179	13	2.1	2.1	NUM
ejde-2	179	14	and	and	CCONJ
ejde-2	179	15	2.2	2.2	NUM
ejde-2	179	16	,	,	PUNCT
ejde-2	179	17	we	we	PRON
ejde-2	179	18	obtain	obtain	VERB
ejde-2	179	19	for	for	ADP
ejde-2	179	20	each	each	DET
ejde-2	179	21	x	x	SYM
ejde-2	179	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	180	1	[	[	X
ejde-2	180	2	a	a	X
ejde-2	180	3	,	,	PUNCT
ejde-2	180	4	b	b	NOUN
ejde-2	180	5	]	]	X
ejde-2	180	6	,	,	PUNCT
ejde-2	180	7	i1a+(u−	i1a+(u−	ADJ
ejde-2	180	8	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	180	9	)	)	PUNCT
ejde-2	181	1	=	=	SYM
ejde-2	181	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	181	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	181	4	(	(	PUNCT
ejde-2	181	5	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	181	6	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	181	7	)	)	PUNCT
ejde-2	181	8	i	i	PRON
ejde-2	181	9	!	!	PUNCT
ejde-2	182	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	182	2	+	+	CCONJ
ejde-2	182	3	i	i	NOUN
ejde-2	182	4	)	)	PUNCT
ejde-2	183	1	γ(2	γ(2	PROPN
ejde-2	184	1	+	+	CCONJ
ejde-2	184	2	i−	i−	PROPN
ejde-2	184	3	α	α	NOUN
ejde-2	184	4	)	)	PUNCT
ejde-2	184	5	(	(	PUNCT
ejde-2	184	6	x−	x−	PROPN
ejde-2	184	7	a)1+i−α	a)1+i−α	PROPN
ejde-2	184	8	+	+	CCONJ
ejde-2	184	9	i1a+i	i1a+i	ADV
ejde-2	184	10	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	184	11	a+	a+	PUNCT
ejde-2	184	12	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	184	13	)	)	PUNCT
ejde-2	184	14	=	=	SYM
ejde-2	184	15	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	184	16	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	184	17	(	(	PUNCT
ejde-2	184	18	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	184	19	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	184	20	)	)	PUNCT
ejde-2	184	21	γ(2	γ(2	PROPN
ejde-2	185	1	+	+	CCONJ
ejde-2	185	2	i−	i−	PROPN
ejde-2	185	3	α	α	NOUN
ejde-2	185	4	)	)	PUNCT
ejde-2	185	5	(	(	PUNCT
ejde-2	185	6	x−	x−	PROPN
ejde-2	185	7	a)1+i−α	a)1+i−α	PROPN
ejde-2	185	8	+	+	CCONJ
ejde-2	185	9	i1a+i	i1a+i	ADV
ejde-2	185	10	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	185	11	a+	a+	PUNCT
ejde-2	185	12	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	185	13	)	)	PUNCT
ejde-2	185	14	.	.	PUNCT
ejde-2	186	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	186	2	both	both	DET
ejde-2	186	3	sides	side	NOUN
ejde-2	186	4	of	of	ADP
ejde-2	186	5	the	the	DET
ejde-2	186	6	above	above	ADJ
ejde-2	186	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	186	8	,	,	PUNCT
ejde-2	186	9	we	we	PRON
ejde-2	186	10	have	have	VERB
ejde-2	186	11	for	for	ADP
ejde-2	186	12	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	186	13	.	.	PUNCT
ejde-2	187	1	x	x	SYM
ejde-2	187	2	∈	∈	PROPN
ejde-2	188	1	[	[	X
ejde-2	188	2	a	a	X
ejde-2	188	3	,	,	PUNCT
ejde-2	188	4	b	b	NOUN
ejde-2	188	5	]	]	X
ejde-2	188	6	,	,	PUNCT
ejde-2	188	7	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-2	188	8	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	188	9	)	)	PUNCT
ejde-2	189	1	=	=	SYM
ejde-2	189	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	189	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	189	4	(	(	PUNCT
ejde-2	189	5	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	189	6	pn−1))(i)(a)(1	pn−1))(i)(a)(1	PROPN
ejde-2	189	7	+	+	NUM
ejde-2	189	8	i−	i−	PROPN
ejde-2	189	9	α	α	NOUN
ejde-2	189	10	)	)	PUNCT
ejde-2	189	11	γ(2	γ(2	PROPN
ejde-2	189	12	+	+	CCONJ
ejde-2	189	13	i−	i−	PROPN
ejde-2	189	14	α	α	NOUN
ejde-2	189	15	)	)	PUNCT
ejde-2	189	16	(	(	PUNCT
ejde-2	189	17	x−	x−	PROPN
ejde-2	189	18	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	189	19	+	+	CCONJ
ejde-2	189	20	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	189	21	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	189	22	)	)	PUNCT
ejde-2	189	23	=	=	SYM
ejde-2	189	24	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	189	25	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	189	26	(	(	PUNCT
ejde-2	189	27	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	189	28	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	189	29	)	)	PUNCT
ejde-2	190	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	190	2	+	+	CCONJ
ejde-2	190	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	190	4	α	α	NOUN
ejde-2	190	5	)	)	PUNCT
ejde-2	190	6	(	(	PUNCT
ejde-2	190	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	190	8	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	190	9	+	+	CCONJ
ejde-2	190	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	190	11	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	190	12	)	)	PUNCT
ejde-2	190	13	.	.	PUNCT
ejde-2	191	1	(	(	PUNCT
ejde-2	191	2	2	2	X
ejde-2	191	3	)	)	PUNCT
ejde-2	191	4	assume	assume	VERB
ejde-2	191	5	that	that	SCONJ
ejde-2	191	6	iαa+(u−pn−1	iαa+(u−pn−1	ADJ
ejde-2	191	7	)	)	PUNCT
ejde-2	191	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	191	9	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	191	10	,	,	PUNCT
ejde-2	191	11	b	b	X
ejde-2	191	12	]	]	PUNCT
ejde-2	191	13	and	and	CCONJ
ejde-2	191	14	u	u	NOUN
ejde-2	191	15	is	be	AUX
ejde-2	191	16	a	a	DET
ejde-2	191	17	solution	solution	NOUN
ejde-2	191	18	of	of	ADP
ejde-2	191	19	(	(	PUNCT
ejde-2	191	20	3.2	3.2	NUM
ejde-2	191	21	)	)	PUNCT
ejde-2	191	22	.	.	PUNCT
ejde-2	192	1	taking	take	VERB
ejde-2	192	2	iαa+	iαa+	PROPN
ejde-2	192	3	on	on	ADP
ejde-2	192	4	both	both	DET
ejde-2	192	5	sides	side	NOUN
ejde-2	192	6	of	of	ADP
ejde-2	192	7	(	(	PUNCT
ejde-2	192	8	3.2	3.2	NUM
ejde-2	192	9	)	)	PUNCT
ejde-2	192	10	and	and	CCONJ
ejde-2	192	11	using	use	VERB
ejde-2	192	12	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-2	192	13	2.1	2.1	NUM
ejde-2	192	14	and	and	CCONJ
ejde-2	192	15	2.2	2.2	NUM
ejde-2	192	16	,	,	PUNCT
ejde-2	192	17	we	we	PRON
ejde-2	192	18	obtain	obtain	VERB
ejde-2	192	19	for	for	ADP
ejde-2	192	20	each	each	DET
ejde-2	192	21	x	x	SYM
ejde-2	192	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	193	1	[	[	X
ejde-2	193	2	a	a	X
ejde-2	193	3	,	,	PUNCT
ejde-2	193	4	b	b	NOUN
ejde-2	193	5	]	]	X
ejde-2	193	6	,	,	PUNCT
ejde-2	193	7	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	193	8	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	193	9	)	)	PUNCT
ejde-2	194	1	=	=	SYM
ejde-2	194	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	194	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	194	4	(	(	PUNCT
ejde-2	194	5	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	194	6	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	194	7	)	)	PUNCT
ejde-2	195	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	195	2	+	+	CCONJ
ejde-2	195	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	195	4	α	α	NOUN
ejde-2	195	5	)	)	PUNCT
ejde-2	195	6	iαa+(x−	iαa+(x−	PUNCT
ejde-2	195	7	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	196	1	+	+	CCONJ
ejde-2	196	2	iαa+i	iαa+i	ADV
ejde-2	196	3	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	196	4	a+	a+	PUNCT
ejde-2	196	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	196	6	)	)	PUNCT
ejde-2	196	7	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	196	8	linear	linear	ADJ
ejde-2	196	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	196	10	differential	differential	NOUN
ejde-2	196	11	and	and	CCONJ
ejde-2	196	12	integral	integral	ADJ
ejde-2	196	13	equations	equation	NOUN
ejde-2	196	14	7	7	NUM
ejde-2	196	15	=	=	SYM
ejde-2	196	16	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-2	196	17	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	196	18	(	(	PUNCT
ejde-2	196	19	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	196	20	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	196	21	)	)	PUNCT
ejde-2	197	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	197	2	+	+	CCONJ
ejde-2	197	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	197	4	α	α	NOUN
ejde-2	197	5	)	)	PUNCT
ejde-2	198	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	198	2	+	+	CCONJ
ejde-2	198	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	198	4	α	α	NOUN
ejde-2	198	5	)	)	PUNCT
ejde-2	199	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	200	1	+	+	CCONJ
ejde-2	200	2	i	i	NOUN
ejde-2	200	3	)	)	PUNCT
ejde-2	200	4	(	(	PUNCT
ejde-2	201	1	x−	x−	PROPN
ejde-2	201	2	a)i	a)i	X
ejde-2	201	3	+	+	CCONJ
ejde-2	201	4	ina+v(x	ina+v(x	NOUN
ejde-2	201	5	)	)	PUNCT
ejde-2	202	1	=	=	PUNCT
ejde-2	202	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	202	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	202	4	(	(	PUNCT
ejde-2	202	5	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	202	6	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	202	7	)	)	PUNCT
ejde-2	203	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	204	1	+	+	CCONJ
ejde-2	204	2	i	i	NOUN
ejde-2	204	3	)	)	PUNCT
ejde-2	204	4	(	(	PUNCT
ejde-2	204	5	x−	x−	PROPN
ejde-2	204	6	a)i	a)i	X
ejde-2	204	7	+	+	CCONJ
ejde-2	204	8	ina+v(x	ina+v(x	NOUN
ejde-2	204	9	)	)	PUNCT
ejde-2	204	10	.	.	PUNCT
ejde-2	205	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	205	2	both	both	DET
ejde-2	205	3	sides	side	NOUN
ejde-2	205	4	of	of	ADP
ejde-2	205	5	the	the	DET
ejde-2	205	6	above	above	ADJ
ejde-2	205	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	205	8	n	n	CCONJ
ejde-2	205	9	−	−	NUM
ejde-2	205	10	1	1	NUM
ejde-2	205	11	times	time	NOUN
ejde-2	205	12	and	and	CCONJ
ejde-2	205	13	using	use	VERB
ejde-2	205	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	205	15	2.3(2	2.3(2	NUM
ejde-2	205	16	)	)	PUNCT
ejde-2	205	17	,	,	PUNCT
ejde-2	205	18	we	we	PRON
ejde-2	205	19	have	have	VERB
ejde-2	205	20	for	for	ADP
ejde-2	205	21	each	each	DET
ejde-2	205	22	x	x	SYM
ejde-2	205	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	206	1	[	[	X
ejde-2	206	2	a	a	X
ejde-2	206	3	,	,	PUNCT
ejde-2	206	4	b	b	NOUN
ejde-2	206	5	]	]	X
ejde-2	206	6	,	,	PUNCT
ejde-2	206	7	(	(	PUNCT
ejde-2	206	8	iαa+(u−	iαa+(u−	X
ejde-2	206	9	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	206	10	)	)	PUNCT
ejde-2	207	1	=	=	PUNCT
ejde-2	207	2	(	(	PUNCT
ejde-2	207	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	207	4	pn−1))(n−1)(a	pn−1))(n−1)(a	NOUN
ejde-2	207	5	)	)	PUNCT
ejde-2	208	1	+	+	CCONJ
ejde-2	208	2	i1a+v(x	i1a+v(x	PROPN
ejde-2	208	3	)	)	PUNCT
ejde-2	208	4	.	.	PUNCT
ejde-2	209	1	this	this	PRON
ejde-2	209	2	with	with	ADP
ejde-2	209	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	209	4	2.3(1	2.3(1	PRON
ejde-2	209	5	)	)	PUNCT
ejde-2	209	6	implies	imply	VERB
ejde-2	209	7	(	(	PUNCT
ejde-2	209	8	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	209	9	−	−	ADP
ejde-2	209	10	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	209	11	)	)	PUNCT
ejde-2	209	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	209	13	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	209	14	,	,	PUNCT
ejde-2	209	15	b	b	NOUN
ejde-2	209	16	]	]	X
ejde-2	209	17	.	.	PUNCT
ejde-2	210	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	210	2	both	both	DET
ejde-2	210	3	sides	side	NOUN
ejde-2	210	4	of	of	ADP
ejde-2	210	5	the	the	DET
ejde-2	210	6	last	last	ADJ
ejde-2	210	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	210	8	and	and	CCONJ
ejde-2	210	9	using	use	VERB
ejde-2	210	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	210	11	2.3(1	2.3(1	PROPN
ejde-2	210	12	)	)	PUNCT
ejde-2	210	13	,	,	PUNCT
ejde-2	210	14	we	we	PRON
ejde-2	210	15	obtain	obtain	VERB
ejde-2	210	16	(	(	PUNCT
ejde-2	210	17	3.1	3.1	NUM
ejde-2	210	18	)	)	PUNCT
ejde-2	210	19	.	.	PUNCT
ejde-2	211	1	�	�	PROPN
ejde-2	211	2	by	by	ADP
ejde-2	211	3	using	use	VERB
ejde-2	211	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	211	5	3.2	3.2	NUM
ejde-2	211	6	,	,	PUNCT
ejde-2	211	7	we	we	PRON
ejde-2	211	8	obtain	obtain	VERB
ejde-2	211	9	the	the	DET
ejde-2	211	10	following	follow	VERB
ejde-2	211	11	identity	identity	NOUN
ejde-2	211	12	.	.	PUNCT
ejde-2	212	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	212	2	3.3	3.3	NUM
ejde-2	212	3	.	.	PUNCT
ejde-2	213	1	if	if	SCONJ
ejde-2	213	2	u	u	PROPN
ejde-2	213	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	213	4	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	213	5	,	,	PUNCT
ejde-2	213	6	b	b	NOUN
ejde-2	213	7	)	)	PUNCT
ejde-2	213	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	213	9	(	(	PUNCT
ejde-2	213	10	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	213	11	−	−	ADP
ejde-2	213	12	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	213	13	)	)	PUNCT
ejde-2	213	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	213	15	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	213	16	,	,	PUNCT
ejde-2	213	17	b	b	NOUN
ejde-2	213	18	]	]	X
ejde-2	213	19	,	,	PUNCT
ejde-2	213	20	then	then	ADV
ejde-2	213	21	for	for	ADP
ejde-2	213	22	each	each	DET
ejde-2	213	23	x	x	SYM
ejde-2	213	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	214	1	[	[	X
ejde-2	214	2	a	a	X
ejde-2	214	3	,	,	PUNCT
ejde-2	214	4	b	b	NOUN
ejde-2	214	5	]	]	X
ejde-2	214	6	,	,	PUNCT
ejde-2	214	7	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	214	8	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	214	9	p	p	NOUN
ejde-2	214	10	,	,	PUNCT
ejde-2	214	11	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	214	12	)	)	PUNCT
ejde-2	215	1	=	=	SYM
ejde-2	215	2	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-2	215	3	pn−1(x)−	pn−1(x)−	PROPN
ejde-2	215	4	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	215	5	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	215	6	(	(	PUNCT
ejde-2	215	7	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	215	8	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	215	9	)	)	PUNCT
ejde-2	216	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	216	2	+	+	CCONJ
ejde-2	216	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	216	4	α	α	NOUN
ejde-2	216	5	)	)	PUNCT
ejde-2	216	6	(	(	PUNCT
ejde-2	216	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	216	8	a)i−α	a)i−α	PROPN
ejde-2	216	9	.	.	PUNCT
ejde-2	217	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	217	2	.	.	PUNCT
ejde-2	218	1	let	let	VERB
ejde-2	218	2	v(x	v(x	PRON
ejde-2	218	3	)	)	PUNCT
ejde-2	219	1	=	=	PUNCT
ejde-2	219	2	(	(	PUNCT
ejde-2	219	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	219	4	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	219	5	)	)	PUNCT
ejde-2	219	6	for	for	ADP
ejde-2	219	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	219	8	.	.	PUNCT
ejde-2	219	9	x	x	SYM
ejde-2	219	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	219	11	[	[	X
ejde-2	219	12	a	a	X
ejde-2	219	13	,	,	PUNCT
ejde-2	219	14	b	b	NOUN
ejde-2	219	15	]	]	PUNCT
ejde-2	219	16	.	.	PUNCT
ejde-2	220	1	by	by	ADP
ejde-2	220	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	220	3	3.2	3.2	NUM
ejde-2	220	4	(	(	PUNCT
ejde-2	220	5	1	1	NUM
ejde-2	220	6	)	)	PUNCT
ejde-2	220	7	,	,	PUNCT
ejde-2	220	8	u	u	NOUN
ejde-2	220	9	is	be	AUX
ejde-2	220	10	a	a	DET
ejde-2	220	11	solution	solution	NOUN
ejde-2	220	12	of	of	ADP
ejde-2	220	13	(	(	PUNCT
ejde-2	220	14	3.2	3.2	NUM
ejde-2	220	15	)	)	PUNCT
ejde-2	220	16	.	.	PUNCT
ejde-2	221	1	substituting	substitute	VERB
ejde-2	221	2	v	v	NOUN
ejde-2	221	3	into	into	ADP
ejde-2	221	4	(	(	PUNCT
ejde-2	221	5	3.2	3.2	NUM
ejde-2	221	6	)	)	PUNCT
ejde-2	221	7	the	the	DET
ejde-2	221	8	result	result	NOUN
ejde-2	221	9	holds	holds	AUX
ejde-2	221	10	.	.	PUNCT
ejde-2	222	1	�	�	PROPN
ejde-2	222	2	when	when	SCONJ
ejde-2	222	3	ui	ui	PROPN
ejde-2	222	4	=	=	NOUN
ejde-2	222	5	0	0	NUM
ejde-2	222	6	for	for	ADP
ejde-2	222	7	each	each	DET
ejde-2	222	8	i	i	PRON
ejde-2	222	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	222	10	n0,n−1	n0,n−1	NUM
ejde-2	222	11	,	,	PUNCT
ejde-2	222	12	theorem	theorem	VERB
ejde-2	222	13	3.3	3.3	NUM
ejde-2	222	14	was	be	AUX
ejde-2	222	15	proved	prove	VERB
ejde-2	222	16	by	by	ADP
ejde-2	222	17	different	different	ADJ
ejde-2	222	18	methods	method	NOUN
ejde-2	222	19	,	,	PUNCT
ejde-2	222	20	for	for	ADP
ejde-2	222	21	example	example	NOUN
ejde-2	222	22	,	,	PUNCT
ejde-2	222	23	in	in	ADP
ejde-2	222	24	[	[	PUNCT
ejde-2	222	25	5	5	NUM
ejde-2	222	26	,	,	PUNCT
ejde-2	222	27	theorem	theorem	VERB
ejde-2	222	28	2.23	2.23	NUM
ejde-2	222	29	]	]	PUNCT
ejde-2	222	30	,	,	PUNCT
ejde-2	222	31	where	where	SCONJ
ejde-2	222	32	(	(	PUNCT
ejde-2	222	33	iαa+u)(i)(a	iαa+u)(i)(a	NOUN
ejde-2	222	34	)	)	PUNCT
ejde-2	222	35	is	be	AUX
ejde-2	222	36	replaced	replace	VERB
ejde-2	222	37	by	by	ADP
ejde-2	222	38	the	the	DET
ejde-2	222	39	limit	limit	NOUN
ejde-2	222	40	:	:	PUNCT
ejde-2	222	41	limx→a+(iαa+u)(i)(x	limx→a+(iαa+u)(i)(x	PROPN
ejde-2	222	42	)	)	PUNCT
ejde-2	222	43	,	,	PUNCT
ejde-2	223	1	[	[	X
ejde-2	223	2	15	15	NUM
ejde-2	223	3	,	,	PUNCT
ejde-2	223	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	223	5	2.5	2.5	NUM
ejde-2	223	6	(	(	PUNCT
ejde-2	223	7	b	b	NOUN
ejde-2	223	8	)	)	PUNCT
ejde-2	223	9	,	,	PUNCT
ejde-2	223	10	p.75	p.75	X
ejde-2	223	11	]	]	PUNCT
ejde-2	223	12	and	and	CCONJ
ejde-2	223	13	the	the	DET
ejde-2	223	14	second	second	ADJ
ejde-2	223	15	part	part	NOUN
ejde-2	223	16	of	of	ADP
ejde-2	223	17	[	[	X
ejde-2	223	18	25	25	NUM
ejde-2	223	19	,	,	PUNCT
ejde-2	223	20	theorem	theorem	VERB
ejde-2	223	21	2.4	2.4	NUM
ejde-2	223	22	,	,	PUNCT
ejde-2	223	23	p.44	p.44	NOUN
ejde-2	223	24	]	]	PUNCT
ejde-2	223	25	.	.	PUNCT
ejde-2	224	1	next	next	ADV
ejde-2	224	2	,	,	PUNCT
ejde-2	224	3	we	we	PRON
ejde-2	224	4	consider	consider	VERB
ejde-2	224	5	(	(	PUNCT
ejde-2	224	6	3.1	3.1	NUM
ejde-2	224	7	)	)	PUNCT
ejde-2	224	8	subject	subject	NOUN
ejde-2	224	9	to	to	ADP
ejde-2	224	10	the	the	DET
ejde-2	224	11	initial	initial	ADJ
ejde-2	224	12	condition	condition	NOUN
ejde-2	224	13	(	(	PUNCT
ejde-2	224	14	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	224	15	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	224	16	)	)	PUNCT
ejde-2	225	1	=	=	SYM
ejde-2	225	2	ci	ci	PROPN
ejde-2	225	3	for	for	ADP
ejde-2	225	4	i	i	PROPN
ejde-2	225	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	225	6	n0,n−1	n0,n−1	NOUN
ejde-2	225	7	,	,	PUNCT
ejde-2	225	8	(	(	PUNCT
ejde-2	225	9	3.3	3.3	NUM
ejde-2	225	10	)	)	PUNCT
ejde-2	225	11	where	where	SCONJ
ejde-2	225	12	ci	ci	PROPN
ejde-2	225	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	225	14	r	r	NOUN
ejde-2	225	15	is	be	AUX
ejde-2	225	16	given	give	VERB
ejde-2	225	17	for	for	ADP
ejde-2	225	18	each	each	DET
ejde-2	225	19	i	i	PRON
ejde-2	225	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	225	21	n0,n−1	n0,n−1	PROPN
ejde-2	225	22	.	.	PUNCT
ejde-2	226	1	we	we	PRON
ejde-2	226	2	show	show	VERB
ejde-2	226	3	that	that	SCONJ
ejde-2	226	4	(	(	PUNCT
ejde-2	226	5	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	226	6	)	)	PUNCT
ejde-2	226	7	can	can	AUX
ejde-2	226	8	be	be	AUX
ejde-2	226	9	studied	study	VERB
ejde-2	226	10	via	via	ADP
ejde-2	226	11	the	the	DET
ejde-2	226	12	the	the	DET
ejde-2	226	13	equation	equation	NOUN
ejde-2	226	14	u(x	u(x	VERB
ejde-2	226	15	)	)	PUNCT
ejde-2	226	16	=	=	PUNCT
ejde-2	226	17	pn−1(x)+	pn−1(x)+	VERB
ejde-2	226	18	n−1∑	n−1∑	ADJ
ejde-2	226	19	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	226	20	ci	ci	PROPN
ejde-2	227	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	227	2	+	+	PROPN
ejde-2	227	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	227	4	α	α	NOUN
ejde-2	227	5	)	)	PUNCT
ejde-2	227	6	(	(	PUNCT
ejde-2	227	7	x−a)i−α+in−αa+	x−a)i−α+in−αa+	PROPN
ejde-2	227	8	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	227	9	)	)	PUNCT
ejde-2	227	10	for	for	ADP
ejde-2	227	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	227	12	.	.	PUNCT
ejde-2	228	1	x	x	SYM
ejde-2	228	2	∈	∈	PROPN
ejde-2	229	1	[	[	X
ejde-2	229	2	a	a	X
ejde-2	229	3	,	,	PUNCT
ejde-2	229	4	b	b	NOUN
ejde-2	229	5	]	]	X
ejde-2	229	6	.	.	PUNCT
ejde-2	230	1	(	(	PUNCT
ejde-2	230	2	3.4	3.4	NUM
ejde-2	230	3	)	)	PUNCT
ejde-2	230	4	when	when	SCONJ
ejde-2	230	5	n	n	X
ejde-2	230	6	=	=	SYM
ejde-2	230	7	1	1	NUM
ejde-2	230	8	,	,	PUNCT
ejde-2	230	9	the	the	DET
ejde-2	230	10	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	230	11	in	in	ADP
ejde-2	230	12	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	230	13	,	,	PUNCT
ejde-2	230	14	b	b	NOUN
ejde-2	230	15	)	)	PUNCT
ejde-2	230	16	between	between	ADP
ejde-2	230	17	(	(	PUNCT
ejde-2	230	18	3.1	3.1	NUM
ejde-2	230	19	)	)	PUNCT
ejde-2	230	20	and	and	CCONJ
ejde-2	230	21	(	(	PUNCT
ejde-2	230	22	3.4	3.4	NUM
ejde-2	230	23	)	)	PUNCT
ejde-2	230	24	was	be	AUX
ejde-2	230	25	studied	study	VERB
ejde-2	230	26	in	in	ADP
ejde-2	230	27	[	[	X
ejde-2	230	28	18	18	NUM
ejde-2	230	29	,	,	PUNCT
ejde-2	230	30	theorem	theorem	VERB
ejde-2	230	31	3.1	3.1	NUM
ejde-2	230	32	]	]	PUNCT
ejde-2	230	33	.	.	PUNCT
ejde-2	231	1	the	the	DET
ejde-2	231	2	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	231	3	for	for	ADP
ejde-2	231	4	(	(	PUNCT
ejde-2	231	5	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	231	6	)	)	PUNCT
ejde-2	231	7	with	with	ADP
ejde-2	231	8	n	n	NOUN
ejde-2	231	9	=	=	SYM
ejde-2	231	10	1	1	NUM
ejde-2	231	11	were	be	AUX
ejde-2	231	12	studied	study	VERB
ejde-2	231	13	in	in	ADP
ejde-2	231	14	[	[	X
ejde-2	231	15	18	18	NUM
ejde-2	231	16	,	,	PUNCT
ejde-2	231	17	theorem	theorem	VERB
ejde-2	231	18	3.2	3.2	NUM
ejde-2	231	19	]	]	PUNCT
ejde-2	231	20	.	.	PUNCT
ejde-2	232	1	the	the	DET
ejde-2	232	2	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	232	3	for	for	ADP
ejde-2	232	4	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-2	232	5	(	(	PUNCT
ejde-2	232	6	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	232	7	)	)	PUNCT
ejde-2	232	8	with	with	ADP
ejde-2	232	9	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	232	10	)	)	PUNCT
ejde-2	232	11	=	=	SYM
ejde-2	232	12	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	232	13	,	,	PUNCT
ejde-2	232	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	232	15	)	)	PUNCT
ejde-2	232	16	)	)	PUNCT
ejde-2	232	17	were	be	AUX
ejde-2	232	18	studied	study	VERB
ejde-2	232	19	in	in	ADP
ejde-2	232	20	[	[	X
ejde-2	232	21	26	26	NUM
ejde-2	232	22	,	,	PUNCT
ejde-2	232	23	theorem	theorem	VERB
ejde-2	232	24	4	4	NUM
ejde-2	232	25	]	]	PUNCT
ejde-2	232	26	,	,	PUNCT
ejde-2	233	1	[	[	X
ejde-2	233	2	12	12	NUM
ejde-2	233	3	,	,	PUNCT
ejde-2	233	4	theorem	theorem	VERB
ejde-2	233	5	1	1	NUM
ejde-2	233	6	]	]	PUNCT
ejde-2	233	7	,	,	PUNCT
ejde-2	233	8	[	[	X
ejde-2	233	9	15	15	NUM
ejde-2	233	10	,	,	PUNCT
ejde-2	233	11	theorem	theorem	VERB
ejde-2	233	12	3.1	3.1	NUM
ejde-2	233	13	,	,	PUNCT
ejde-2	233	14	p.145	p.145	NOUN
ejde-2	233	15	]	]	PUNCT
ejde-2	233	16	,	,	PUNCT
ejde-2	233	17	and	and	CCONJ
ejde-2	233	18	[	[	X
ejde-2	233	19	29	29	NUM
ejde-2	233	20	,	,	PUNCT
ejde-2	233	21	theorem	theorem	VERB
ejde-2	233	22	6.10	6.10	NUM
ejde-2	233	23	]	]	PUNCT
ejde-2	233	24	.	.	PUNCT
ejde-2	234	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	234	2	3.4	3.4	NUM
ejde-2	234	3	.	.	PUNCT
ejde-2	235	1	(	(	PUNCT
ejde-2	235	2	1	1	X
ejde-2	235	3	)	)	PUNCT
ejde-2	235	4	if	if	SCONJ
ejde-2	235	5	iαa+(u−pn−1	iαa+(u−pn−1	ADJ
ejde-2	235	6	)	)	PUNCT
ejde-2	235	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	235	8	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	235	9	,	,	PUNCT
ejde-2	235	10	b	b	X
ejde-2	235	11	]	]	PUNCT
ejde-2	235	12	and	and	CCONJ
ejde-2	235	13	u	u	NOUN
ejde-2	235	14	is	be	AUX
ejde-2	235	15	a	a	DET
ejde-2	235	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	235	17	of	of	ADP
ejde-2	235	18	(	(	PUNCT
ejde-2	235	19	3.4	3.4	NUM
ejde-2	235	20	)	)	PUNCT
ejde-2	235	21	,	,	PUNCT
ejde-2	235	22	then	then	ADV
ejde-2	235	23	(	(	PUNCT
ejde-2	235	24	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	235	25	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	235	26	)	)	PUNCT
ejde-2	235	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	235	28	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	235	29	,	,	PUNCT
ejde-2	235	30	b	b	NOUN
ejde-2	235	31	]	]	PUNCT
ejde-2	235	32	and	and	CCONJ
ejde-2	235	33	u	u	NOUN
ejde-2	235	34	is	be	AUX
ejde-2	235	35	a	a	DET
ejde-2	235	36	solution	solution	NOUN
ejde-2	235	37	of	of	ADP
ejde-2	235	38	(	(	PUNCT
ejde-2	235	39	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	235	40	)	)	PUNCT
ejde-2	235	41	.	.	PUNCT
ejde-2	236	1	(	(	PUNCT
ejde-2	236	2	2	2	X
ejde-2	236	3	)	)	PUNCT
ejde-2	236	4	if	if	SCONJ
ejde-2	236	5	u	u	PROPN
ejde-2	236	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	236	7	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	236	8	,	,	PUNCT
ejde-2	236	9	b	b	NOUN
ejde-2	236	10	)	)	PUNCT
ejde-2	236	11	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	236	12	(	(	PUNCT
ejde-2	236	13	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	PROPN
ejde-2	236	14	)	)	PUNCT
ejde-2	236	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	236	16	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	236	17	,	,	PUNCT
ejde-2	236	18	b	b	NOUN
ejde-2	236	19	]	]	PUNCT
ejde-2	236	20	and	and	CCONJ
ejde-2	236	21	u	u	NOUN
ejde-2	236	22	is	be	AUX
ejde-2	236	23	a	a	DET
ejde-2	236	24	solution	solution	NOUN
ejde-2	236	25	of	of	ADP
ejde-2	236	26	(	(	PUNCT
ejde-2	236	27	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	236	28	)	)	PUNCT
ejde-2	236	29	,	,	PUNCT
ejde-2	236	30	then	then	ADV
ejde-2	236	31	u	u	NOUN
ejde-2	236	32	is	be	AUX
ejde-2	236	33	a	a	DET
ejde-2	236	34	solution	solution	NOUN
ejde-2	236	35	of	of	ADP
ejde-2	236	36	(	(	PUNCT
ejde-2	236	37	3.4)-(3.3	3.4)-(3.3	NUM
ejde-2	236	38	)	)	PUNCT
ejde-2	236	39	.	.	PUNCT
ejde-2	237	1	(	(	PUNCT
ejde-2	237	2	3	3	X
ejde-2	237	3	)	)	PUNCT
ejde-2	237	4	if	if	SCONJ
ejde-2	237	5	iαa+(u−pn−1	iαa+(u−pn−1	ADJ
ejde-2	237	6	)	)	PUNCT
ejde-2	237	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	237	8	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	237	9	,	,	PUNCT
ejde-2	237	10	b	b	X
ejde-2	237	11	]	]	PUNCT
ejde-2	237	12	and	and	CCONJ
ejde-2	237	13	u	u	NOUN
ejde-2	237	14	is	be	AUX
ejde-2	237	15	a	a	DET
ejde-2	237	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	237	17	of	of	ADP
ejde-2	237	18	(	(	PUNCT
ejde-2	237	19	3.4	3.4	NUM
ejde-2	237	20	)	)	PUNCT
ejde-2	237	21	,	,	PUNCT
ejde-2	237	22	then	then	ADV
ejde-2	237	23	u	u	NOUN
ejde-2	237	24	is	be	AUX
ejde-2	237	25	a	a	DET
ejde-2	237	26	solution	solution	NOUN
ejde-2	237	27	of	of	ADP
ejde-2	237	28	(	(	PUNCT
ejde-2	237	29	3.2	3.2	NUM
ejde-2	237	30	)	)	PUNCT
ejde-2	237	31	.	.	PUNCT
ejde-2	238	1	8	8	NUM
ejde-2	238	2	k.	k.	PROPN
ejde-2	238	3	lan	lan	PROPN
ejde-2	238	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	238	5	proof	proof	NOUN
ejde-2	238	6	.	.	PUNCT
ejde-2	239	1	(	(	PUNCT
ejde-2	239	2	1	1	X
ejde-2	239	3	)	)	PUNCT
ejde-2	239	4	assume	assume	VERB
ejde-2	239	5	that	that	SCONJ
ejde-2	239	6	u	u	PROPN
ejde-2	239	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	239	8	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	239	9	,	,	PUNCT
ejde-2	239	10	b	b	NOUN
ejde-2	239	11	)	)	PUNCT
ejde-2	239	12	is	be	AUX
ejde-2	239	13	a	a	DET
ejde-2	239	14	solution	solution	NOUN
ejde-2	239	15	of	of	ADP
ejde-2	239	16	(	(	PUNCT
ejde-2	239	17	3.4	3.4	NUM
ejde-2	239	18	)	)	PUNCT
ejde-2	239	19	and	and	CCONJ
ejde-2	239	20	iαa+(u	iαa+(u	ADJ
ejde-2	239	21	−	−	ADP
ejde-2	239	22	pn−1	pn−1	ADJ
ejde-2	239	23	)	)	PUNCT
ejde-2	239	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	239	25	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	239	26	,	,	PUNCT
ejde-2	239	27	b	b	NOUN
ejde-2	239	28	]	]	PUNCT
ejde-2	239	29	.	.	PUNCT
ejde-2	240	1	applying	apply	VERB
ejde-2	240	2	iαa+	iαa+	PROPN
ejde-2	240	3	to	to	ADP
ejde-2	240	4	both	both	DET
ejde-2	240	5	sides	side	NOUN
ejde-2	240	6	of	of	ADP
ejde-2	240	7	(	(	PUNCT
ejde-2	240	8	3.4	3.4	NUM
ejde-2	240	9	)	)	PUNCT
ejde-2	240	10	and	and	CCONJ
ejde-2	240	11	using	use	VERB
ejde-2	240	12	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-2	240	13	2.2	2.2	NUM
ejde-2	240	14	and	and	CCONJ
ejde-2	240	15	2.1	2.1	NUM
ejde-2	240	16	,	,	PUNCT
ejde-2	240	17	we	we	PRON
ejde-2	240	18	have	have	VERB
ejde-2	240	19	for	for	ADP
ejde-2	240	20	each	each	DET
ejde-2	240	21	x	x	SYM
ejde-2	240	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	241	1	[	[	X
ejde-2	241	2	a	a	X
ejde-2	241	3	,	,	PUNCT
ejde-2	241	4	b	b	NOUN
ejde-2	241	5	]	]	PUNCT
ejde-2	241	6	iαa+(u−	iαa+(u−	PUNCT
ejde-2	241	7	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	241	8	)	)	PUNCT
ejde-2	242	1	=	=	SYM
ejde-2	242	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	242	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	242	4	ci	ci	PROPN
ejde-2	243	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	243	2	+	+	PROPN
ejde-2	243	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	243	4	α	α	NOUN
ejde-2	243	5	)	)	PUNCT
ejde-2	243	6	iαa+(x−	iαa+(x−	PUNCT
ejde-2	243	7	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	244	1	+	+	CCONJ
ejde-2	244	2	iαa+i	iαa+i	ADV
ejde-2	244	3	n−α	n−α	NOUN
ejde-2	244	4	a+	a+	PUNCT
ejde-2	244	5	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	244	6	)	)	PUNCT
ejde-2	244	7	=	=	SYM
ejde-2	244	8	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	244	9	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	244	10	ci	ci	PROPN
ejde-2	245	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	245	2	+	+	PROPN
ejde-2	245	3	i	i	NOUN
ejde-2	245	4	)	)	PUNCT
ejde-2	245	5	(	(	PUNCT
ejde-2	245	6	x−	x−	PROPN
ejde-2	245	7	a)i	a)i	X
ejde-2	245	8	+	+	CCONJ
ejde-2	245	9	ina+v(x	ina+v(x	NOUN
ejde-2	245	10	)	)	PUNCT
ejde-2	245	11	.	.	PUNCT
ejde-2	246	1	by	by	ADP
ejde-2	246	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	246	3	2.3	2.3	NUM
ejde-2	246	4	(	(	PUNCT
ejde-2	246	5	2	2	NUM
ejde-2	246	6	)	)	PUNCT
ejde-2	246	7	,	,	PUNCT
ejde-2	246	8	ina+	ina+	PROPN
ejde-2	246	9	maps	map	VERB
ejde-2	246	10	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	246	11	,	,	PUNCT
ejde-2	246	12	b	b	NOUN
ejde-2	246	13	)	)	PUNCT
ejde-2	246	14	to	to	PART
ejde-2	246	15	cn−1[a	cn−1[a	PROPN
ejde-2	246	16	,	,	PUNCT
ejde-2	246	17	b	b	NOUN
ejde-2	246	18	]	]	PUNCT
ejde-2	246	19	.	.	PUNCT
ejde-2	247	1	it	it	PRON
ejde-2	247	2	follows	follow	VERB
ejde-2	247	3	from	from	ADP
ejde-2	247	4	the	the	DET
ejde-2	247	5	above	above	ADJ
ejde-2	247	6	equation	equation	NOUN
ejde-2	247	7	that	that	SCONJ
ejde-2	247	8	iαa+(u−	iαa+(u−	ADP
ejde-2	247	9	pn−1	pn−1	PROPN
ejde-2	247	10	)	)	PUNCT
ejde-2	247	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	247	12	cn−1[a	cn−1[a	PROPN
ejde-2	247	13	,	,	PUNCT
ejde-2	247	14	b	b	NOUN
ejde-2	247	15	]	]	X
ejde-2	247	16	.	.	PUNCT
ejde-2	248	1	since	since	SCONJ
ejde-2	248	2	ina+v	ina+v	PROPN
ejde-2	248	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	248	4	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	248	5	,	,	PUNCT
ejde-2	248	6	b	b	NOUN
ejde-2	248	7	]	]	PUNCT
ejde-2	248	8	and	and	CCONJ
ejde-2	248	9	ina+v(a	ina+v(a	PROPN
ejde-2	248	10	)	)	PUNCT
ejde-2	248	11	=	=	SYM
ejde-2	248	12	0	0	NUM
ejde-2	248	13	,	,	PUNCT
ejde-2	248	14	it	it	PRON
ejde-2	248	15	follows	follow	VERB
ejde-2	248	16	from	from	ADP
ejde-2	248	17	the	the	DET
ejde-2	248	18	above	above	ADJ
ejde-2	248	19	equation	equation	NOUN
ejde-2	249	1	that	that	PRON
ejde-2	249	2	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	249	3	−	−	ADP
ejde-2	249	4	pn−1	pn−1	ADJ
ejde-2	249	5	)	)	PUNCT
ejde-2	249	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	249	7	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	249	8	,	,	PUNCT
ejde-2	249	9	b	b	NOUN
ejde-2	249	10	]	]	PUNCT
ejde-2	249	11	and	and	CCONJ
ejde-2	249	12	iαa+(u	iαa+(u	ADJ
ejde-2	249	13	−	−	NOUN
ejde-2	249	14	pn−1)(a	pn−1)(a	NOUN
ejde-2	249	15	)	)	PUNCT
ejde-2	249	16	=	=	SYM
ejde-2	249	17	c0	c0	NOUN
ejde-2	249	18	.	.	PUNCT
ejde-2	250	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	250	2	both	both	DET
ejde-2	250	3	sides	side	NOUN
ejde-2	250	4	of	of	ADP
ejde-2	250	5	the	the	DET
ejde-2	250	6	last	last	ADJ
ejde-2	250	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	250	8	and	and	CCONJ
ejde-2	250	9	repeating	repeat	VERB
ejde-2	250	10	the	the	DET
ejde-2	250	11	process	process	NOUN
ejde-2	250	12	k	k	PROPN
ejde-2	250	13	times	time	NOUN
ejde-2	250	14	imply	imply	VERB
ejde-2	250	15	for	for	ADP
ejde-2	250	16	each	each	DET
ejde-2	250	17	x	x	SYM
ejde-2	250	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	251	1	[	[	X
ejde-2	251	2	a	a	X
ejde-2	251	3	,	,	PUNCT
ejde-2	251	4	b	b	NOUN
ejde-2	251	5	]	]	X
ejde-2	251	6	,	,	PUNCT
ejde-2	251	7	(	(	PUNCT
ejde-2	251	8	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	251	9	pn−1))(k)(x	pn−1))(k)(x	PROPN
ejde-2	251	10	)	)	PUNCT
ejde-2	251	11	=	=	SYM
ejde-2	252	1	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	252	2	i	i	PROPN
ejde-2	252	3	=	=	PROPN
ejde-2	252	4	k	k	PROPN
ejde-2	252	5	πi	πi	PROPN
ejde-2	252	6	j	j	PROPN
ejde-2	252	7	=	=	PROPN
ejde-2	252	8	i−k+1j	i−k+1j	NOUN
ejde-2	252	9	ci	ci	NOUN
ejde-2	253	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	253	2	+	+	CCONJ
ejde-2	253	3	i	i	NOUN
ejde-2	253	4	)	)	PUNCT
ejde-2	253	5	(	(	PUNCT
ejde-2	253	6	x−	x−	X
ejde-2	253	7	a)i−k	a)i−k	VERB
ejde-2	253	8	+	+	PUNCT
ejde-2	253	9	in−ka+	in−ka+	PROPN
ejde-2	253	10	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	253	11	)	)	PUNCT
ejde-2	254	1	=	=	PUNCT
ejde-2	254	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	255	1	i	i	PROPN
ejde-2	255	2	=	=	PROPN
ejde-2	255	3	k	k	PROPN
ejde-2	255	4	ci	ci	PROPN
ejde-2	255	5	(	(	PUNCT
ejde-2	255	6	i−	i−	PROPN
ejde-2	255	7	k	k	PROPN
ejde-2	255	8	)	)	PUNCT
ejde-2	255	9	!	!	PUNCT
ejde-2	256	1	(	(	PUNCT
ejde-2	256	2	x−	x−	NOUN
ejde-2	256	3	a)i−k	a)i−k	VERB
ejde-2	256	4	+	+	PUNCT
ejde-2	256	5	in−ka+	in−ka+	PROPN
ejde-2	256	6	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	256	7	)	)	PUNCT
ejde-2	256	8	.	.	PUNCT
ejde-2	257	1	(	(	PUNCT
ejde-2	257	2	3.5	3.5	NUM
ejde-2	257	3	)	)	PUNCT
ejde-2	257	4	since	since	SCONJ
ejde-2	257	5	in−ka+	in−ka+	PRON
ejde-2	257	6	v	v	PROPN
ejde-2	257	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	257	8	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	257	9	,	,	PUNCT
ejde-2	257	10	b	b	NOUN
ejde-2	257	11	]	]	PUNCT
ejde-2	257	12	and	and	CCONJ
ejde-2	257	13	in−ka+	in−ka+	PROPN
ejde-2	257	14	v(a	v(a	PROPN
ejde-2	257	15	)	)	PUNCT
ejde-2	257	16	=	=	SYM
ejde-2	257	17	0	0	NUM
ejde-2	257	18	,	,	PUNCT
ejde-2	257	19	it	it	PRON
ejde-2	257	20	follows	follow	VERB
ejde-2	257	21	from	from	ADP
ejde-2	257	22	(	(	PUNCT
ejde-2	257	23	3.5	3.5	NUM
ejde-2	257	24	)	)	PUNCT
ejde-2	257	25	that	that	SCONJ
ejde-2	257	26	(	(	PUNCT
ejde-2	257	27	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	257	28	pn−1))(k	pn−1))(k	NOUN
ejde-2	257	29	)	)	PUNCT
ejde-2	257	30	∈	∈	PROPN
ejde-2	258	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	258	2	,	,	PUNCT
ejde-2	258	3	b	b	NOUN
ejde-2	258	4	]	]	PUNCT
ejde-2	258	5	and	and	CCONJ
ejde-2	258	6	(	(	PUNCT
ejde-2	258	7	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	258	8	pn−1))(k)(a	pn−1))(k)(a	NUM
ejde-2	258	9	)	)	PUNCT
ejde-2	259	1	=	=	SYM
ejde-2	259	2	ck	ck	ADJ
ejde-2	259	3	.	.	PUNCT
ejde-2	260	1	by	by	ADP
ejde-2	260	2	(	(	PUNCT
ejde-2	260	3	3.5	3.5	NUM
ejde-2	260	4	)	)	PUNCT
ejde-2	260	5	with	with	ADP
ejde-2	260	6	k	k	PROPN
ejde-2	260	7	=	=	PUNCT
ejde-2	260	8	n−	n−	NOUN
ejde-2	260	9	1	1	NUM
ejde-2	260	10	,	,	PUNCT
ejde-2	260	11	we	we	PRON
ejde-2	260	12	obtain	obtain	VERB
ejde-2	260	13	(	(	PUNCT
ejde-2	260	14	iαa+(u−	iαa+(u−	X
ejde-2	260	15	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	260	16	)	)	PUNCT
ejde-2	260	17	=	=	PUNCT
ejde-2	261	1	cn−1	cn−1	PROPN
ejde-2	261	2	+	+	CCONJ
ejde-2	261	3	i1a+v(x	i1a+v(x	PROPN
ejde-2	261	4	)	)	PUNCT
ejde-2	261	5	for	for	ADP
ejde-2	261	6	each	each	DET
ejde-2	261	7	x	x	SYM
ejde-2	261	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	262	1	[	[	X
ejde-2	262	2	a	a	X
ejde-2	262	3	,	,	PUNCT
ejde-2	262	4	b	b	NOUN
ejde-2	262	5	]	]	PUNCT
ejde-2	262	6	.	.	PUNCT
ejde-2	263	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	263	2	both	both	DET
ejde-2	263	3	sides	side	NOUN
ejde-2	263	4	of	of	ADP
ejde-2	263	5	the	the	DET
ejde-2	263	6	above	above	ADJ
ejde-2	263	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	263	8	,	,	PUNCT
ejde-2	263	9	(	(	PUNCT
ejde-2	263	10	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	263	11	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	263	12	)	)	PUNCT
ejde-2	263	13	=	=	SYM
ejde-2	263	14	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	263	15	)	)	PUNCT
ejde-2	263	16	for	for	ADP
ejde-2	263	17	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	263	18	.	.	PUNCT
ejde-2	263	19	x	x	SYM
ejde-2	263	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	264	1	[	[	X
ejde-2	264	2	a	a	X
ejde-2	264	3	,	,	PUNCT
ejde-2	264	4	b	b	NOUN
ejde-2	264	5	]	]	X
ejde-2	264	6	.	.	PUNCT
ejde-2	265	1	(	(	PUNCT
ejde-2	265	2	2	2	X
ejde-2	265	3	)	)	PUNCT
ejde-2	265	4	since	since	SCONJ
ejde-2	265	5	u	u	NOUN
ejde-2	265	6	is	be	AUX
ejde-2	265	7	a	a	DET
ejde-2	265	8	solution	solution	NOUN
ejde-2	265	9	of	of	ADP
ejde-2	265	10	(	(	PUNCT
ejde-2	265	11	3.1	3.1	NUM
ejde-2	265	12	)	)	PUNCT
ejde-2	265	13	,	,	PUNCT
ejde-2	265	14	by	by	ADP
ejde-2	265	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	265	16	3.2	3.2	NUM
ejde-2	265	17	,	,	PUNCT
ejde-2	265	18	u	u	NOUN
ejde-2	265	19	is	be	AUX
ejde-2	265	20	a	a	DET
ejde-2	265	21	solution	solution	NOUN
ejde-2	265	22	of	of	ADP
ejde-2	265	23	(	(	PUNCT
ejde-2	265	24	3.2	3.2	NUM
ejde-2	265	25	)	)	PUNCT
ejde-2	265	26	.	.	PUNCT
ejde-2	266	1	since	since	SCONJ
ejde-2	266	2	u	u	PRON
ejde-2	266	3	satisfy	satisfy	VERB
ejde-2	266	4	(	(	PUNCT
ejde-2	266	5	3.3	3.3	NUM
ejde-2	266	6	)	)	PUNCT
ejde-2	266	7	,	,	PUNCT
ejde-2	266	8	by	by	ADP
ejde-2	266	9	(	(	PUNCT
ejde-2	266	10	3.2	3.2	NUM
ejde-2	266	11	)	)	PUNCT
ejde-2	266	12	,	,	PUNCT
ejde-2	266	13	(	(	PUNCT
ejde-2	266	14	3.4	3.4	NUM
ejde-2	266	15	)	)	PUNCT
ejde-2	266	16	holds	hold	VERB
ejde-2	266	17	and	and	CCONJ
ejde-2	266	18	u	u	NOUN
ejde-2	266	19	is	be	AUX
ejde-2	266	20	a	a	DET
ejde-2	266	21	solution	solution	NOUN
ejde-2	266	22	of	of	ADP
ejde-2	266	23	(	(	PUNCT
ejde-2	266	24	3.4)-(3.3	3.4)-(3.3	NUM
ejde-2	266	25	)	)	PUNCT
ejde-2	266	26	.	.	PUNCT
ejde-2	267	1	(	(	PUNCT
ejde-2	267	2	3	3	X
ejde-2	267	3	)	)	PUNCT
ejde-2	267	4	if	if	SCONJ
ejde-2	267	5	u	u	PROPN
ejde-2	267	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	267	7	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	267	8	,	,	PUNCT
ejde-2	267	9	b	b	NOUN
ejde-2	267	10	)	)	PUNCT
ejde-2	267	11	is	be	AUX
ejde-2	267	12	a	a	DET
ejde-2	267	13	solution	solution	NOUN
ejde-2	267	14	of	of	ADP
ejde-2	267	15	(	(	PUNCT
ejde-2	267	16	3.4	3.4	NUM
ejde-2	267	17	)	)	PUNCT
ejde-2	267	18	,	,	PUNCT
ejde-2	267	19	then	then	ADV
ejde-2	267	20	by	by	ADP
ejde-2	267	21	result	result	NOUN
ejde-2	267	22	(	(	PUNCT
ejde-2	267	23	1	1	NUM
ejde-2	267	24	)	)	PUNCT
ejde-2	267	25	,	,	PUNCT
ejde-2	267	26	(	(	PUNCT
ejde-2	267	27	3.3	3.3	NUM
ejde-2	267	28	)	)	PUNCT
ejde-2	267	29	holds	hold	VERB
ejde-2	267	30	.	.	PUNCT
ejde-2	268	1	hence	hence	ADV
ejde-2	268	2	,	,	PUNCT
ejde-2	268	3	(	(	PUNCT
ejde-2	268	4	3.3	3.3	NUM
ejde-2	268	5	)	)	PUNCT
ejde-2	268	6	and	and	CCONJ
ejde-2	268	7	(	(	PUNCT
ejde-2	268	8	3.4	3.4	NUM
ejde-2	268	9	)	)	PUNCT
ejde-2	268	10	together	together	ADV
ejde-2	268	11	imply	imply	VERB
ejde-2	268	12	(	(	PUNCT
ejde-2	268	13	3.2	3.2	NUM
ejde-2	268	14	)	)	PUNCT
ejde-2	268	15	.	.	PUNCT
ejde-2	269	1	�	�	PROPN
ejde-2	269	2	theorem	theorem	VERB
ejde-2	269	3	3.4	3.4	NUM
ejde-2	269	4	generalizes	generalize	VERB
ejde-2	269	5	[	[	X
ejde-2	269	6	18	18	NUM
ejde-2	269	7	,	,	PUNCT
ejde-2	269	8	theorem	theorem	VERB
ejde-2	269	9	3.2	3.2	NUM
ejde-2	269	10	]	]	PUNCT
ejde-2	269	11	from	from	ADP
ejde-2	269	12	n	n	NOUN
ejde-2	269	13	=	=	SYM
ejde-2	269	14	1	1	NUM
ejde-2	269	15	to	to	ADP
ejde-2	269	16	n	n	PRON
ejde-2	269	17	≥	≥	NOUN
ejde-2	269	18	2	2	NUM
ejde-2	269	19	.	.	PUNCT
ejde-2	270	1	when	when	SCONJ
ejde-2	270	2	ui	ui	PROPN
ejde-2	270	3	=	=	NOUN
ejde-2	270	4	0	0	NUM
ejde-2	270	5	for	for	ADP
ejde-2	270	6	i	i	PRON
ejde-2	270	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	270	8	n0,n−1	n0,n−1	ADJ
ejde-2	270	9	and	and	CCONJ
ejde-2	270	10	[	[	X
ejde-2	270	11	a	a	X
ejde-2	270	12	,	,	PUNCT
ejde-2	270	13	b	b	NOUN
ejde-2	270	14	]	]	X
ejde-2	270	15	=	=	PUNCT
ejde-2	271	1	[	[	X
ejde-2	271	2	0	0	NUM
ejde-2	271	3	,	,	PUNCT
ejde-2	271	4	1	1	NUM
ejde-2	271	5	]	]	PUNCT
ejde-2	271	6	,	,	PUNCT
ejde-2	271	7	theorem	theorem	VERB
ejde-2	271	8	3.4	3.4	NUM
ejde-2	271	9	(	(	PUNCT
ejde-2	271	10	1	1	NUM
ejde-2	271	11	)	)	PUNCT
ejde-2	271	12	and	and	CCONJ
ejde-2	271	13	(	(	PUNCT
ejde-2	271	14	2	2	X
ejde-2	271	15	)	)	PUNCT
ejde-2	271	16	were	be	AUX
ejde-2	271	17	obtained	obtain	VERB
ejde-2	271	18	in	in	ADP
ejde-2	271	19	[	[	X
ejde-2	271	20	29	29	NUM
ejde-2	271	21	,	,	PUNCT
ejde-2	271	22	theorem	theorem	VERB
ejde-2	271	23	6.10	6.10	NUM
ejde-2	271	24	]	]	PUNCT
ejde-2	271	25	when	when	SCONJ
ejde-2	271	26	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	271	27	)	)	PUNCT
ejde-2	272	1	=	=	SYM
ejde-2	272	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	272	3	,	,	PUNCT
ejde-2	272	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	272	5	)	)	PUNCT
ejde-2	272	6	)	)	PUNCT
ejde-2	272	7	for	for	ADP
ejde-2	272	8	each	each	DET
ejde-2	272	9	x	x	SYM
ejde-2	272	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	273	1	[	[	X
ejde-2	273	2	0	0	NUM
ejde-2	273	3	,	,	PUNCT
ejde-2	273	4	1	1	NUM
ejde-2	273	5	]	]	PUNCT
ejde-2	273	6	and	and	CCONJ
ejde-2	273	7	v	v	ADP
ejde-2	273	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	273	9	l1(0	l1(0	NOUN
ejde-2	273	10	,	,	PUNCT
ejde-2	273	11	1	1	NUM
ejde-2	273	12	)	)	PUNCT
ejde-2	273	13	.	.	PUNCT
ejde-2	274	1	note	note	VERB
ejde-2	274	2	that	that	SCONJ
ejde-2	274	3	the	the	DET
ejde-2	274	4	solutions	solution	NOUN
ejde-2	274	5	of	of	ADP
ejde-2	274	6	(	(	PUNCT
ejde-2	274	7	3.4	3.4	NUM
ejde-2	274	8	)	)	PUNCT
ejde-2	274	9	depend	depend	VERB
ejde-2	274	10	on	on	ADP
ejde-2	274	11	ci	ci	PROPN
ejde-2	274	12	.	.	PUNCT
ejde-2	274	13	hence	hence	ADV
ejde-2	274	14	,	,	PUNCT
ejde-2	274	15	for	for	SCONJ
ejde-2	274	16	given	give	VERB
ejde-2	274	17	ci	ci	NOUN
ejde-2	274	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	274	19	r	r	NOUN
ejde-2	274	20	for	for	ADP
ejde-2	274	21	i	i	PRON
ejde-2	274	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	274	23	n0,n−1	n0,n−1	PROPN
ejde-2	274	24	,	,	PUNCT
ejde-2	274	25	the	the	DET
ejde-2	274	26	converse	converse	NOUN
ejde-2	274	27	of	of	ADP
ejde-2	274	28	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	274	29	3.4	3.4	NUM
ejde-2	274	30	(	(	PUNCT
ejde-2	274	31	3	3	NUM
ejde-2	274	32	)	)	PUNCT
ejde-2	274	33	may	may	AUX
ejde-2	274	34	not	not	PART
ejde-2	274	35	be	be	AUX
ejde-2	274	36	true	true	ADJ
ejde-2	274	37	since	since	SCONJ
ejde-2	274	38	(	(	PUNCT
ejde-2	274	39	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	274	40	−	−	NOUN
ejde-2	274	41	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	274	42	)	)	PUNCT
ejde-2	274	43	may	may	AUX
ejde-2	274	44	not	not	PART
ejde-2	274	45	be	be	AUX
ejde-2	274	46	equal	equal	ADJ
ejde-2	274	47	to	to	ADP
ejde-2	274	48	ci	ci	PROPN
ejde-2	274	49	.	.	PUNCT
ejde-2	275	1	hence	hence	ADV
ejde-2	275	2	,	,	PUNCT
ejde-2	275	3	(	(	PUNCT
ejde-2	275	4	3.1)-(3.3	3.1)-(3.3	NUM
ejde-2	275	5	)	)	PUNCT
ejde-2	275	6	in	in	ADP
ejde-2	275	7	general	general	ADJ
ejde-2	275	8	is	be	AUX
ejde-2	275	9	not	not	PART
ejde-2	275	10	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	275	11	to	to	ADP
ejde-2	275	12	(	(	PUNCT
ejde-2	275	13	3.2	3.2	NUM
ejde-2	275	14	)	)	PUNCT
ejde-2	275	15	,	,	PUNCT
ejde-2	275	16	where	where	SCONJ
ejde-2	275	17	(	(	PUNCT
ejde-2	275	18	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	275	19	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	275	20	)	)	PUNCT
ejde-2	275	21	is	be	AUX
ejde-2	275	22	required	require	VERB
ejde-2	275	23	to	to	PART
ejde-2	275	24	exist	exist	VERB
ejde-2	275	25	.	.	PUNCT
ejde-2	276	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	276	2	3.5	3.5	NUM
ejde-2	276	3	.	.	PUNCT
ejde-2	277	1	assume	assume	VERB
ejde-2	277	2	that	that	SCONJ
ejde-2	277	3	u	u	PROPN
ejde-2	277	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	277	5	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	277	6	,	,	PUNCT
ejde-2	277	7	b	b	NOUN
ejde-2	277	8	)	)	PUNCT
ejde-2	277	9	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	277	10	(	(	PUNCT
ejde-2	277	11	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	277	12	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	277	13	)	)	PUNCT
ejde-2	277	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	277	15	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	277	16	,	,	PUNCT
ejde-2	277	17	b	b	NOUN
ejde-2	277	18	]	]	PUNCT
ejde-2	277	19	and	and	CCONJ
ejde-2	277	20	(	(	PUNCT
ejde-2	277	21	3.3	3.3	NUM
ejde-2	277	22	)	)	PUNCT
ejde-2	277	23	.	.	PUNCT
ejde-2	278	1	then	then	ADV
ejde-2	278	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	278	3	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	278	4	p	p	NOUN
ejde-2	278	5	,	,	PUNCT
ejde-2	278	6	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	278	7	)	)	PUNCT
ejde-2	279	1	=	=	SYM
ejde-2	279	2	u(x)−pn−1(x)−	u(x)−pn−1(x)−	PROPN
ejde-2	279	3	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	279	4	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	279	5	ci	ci	PROPN
ejde-2	280	1	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-2	280	2	+	+	PROPN
ejde-2	280	3	i−	i−	PROPN
ejde-2	280	4	α	α	NOUN
ejde-2	280	5	)	)	PUNCT
ejde-2	280	6	(	(	PUNCT
ejde-2	280	7	x−a)i−α	x−a)i−α	PROPN
ejde-2	280	8	for	for	ADP
ejde-2	280	9	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	280	10	.	.	PUNCT
ejde-2	281	1	x	x	SYM
ejde-2	281	2	∈	∈	PROPN
ejde-2	282	1	[	[	X
ejde-2	282	2	a	a	X
ejde-2	282	3	,	,	PUNCT
ejde-2	282	4	b	b	NOUN
ejde-2	282	5	]	]	PUNCT
ejde-2	282	6	.	.	PUNCT
ejde-2	283	1	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	283	2	linear	linear	ADJ
ejde-2	283	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	283	4	differential	differential	NOUN
ejde-2	283	5	and	and	CCONJ
ejde-2	283	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	283	7	equations	equation	NOUN
ejde-2	283	8	9	9	NUM
ejde-2	283	9	proof	proof	NOUN
ejde-2	283	10	.	.	PUNCT
ejde-2	284	1	since	since	SCONJ
ejde-2	284	2	(	(	PUNCT
ejde-2	284	3	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	PROPN
ejde-2	284	4	)	)	PUNCT
ejde-2	284	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	284	6	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	284	7	,	,	PUNCT
ejde-2	284	8	b	b	NOUN
ejde-2	284	9	]	]	X
ejde-2	284	10	,	,	PUNCT
ejde-2	284	11	it	it	PRON
ejde-2	284	12	follows	follow	VERB
ejde-2	284	13	from	from	ADP
ejde-2	284	14	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	284	15	3.3	3.3	NUM
ejde-2	284	16	that	that	PRON
ejde-2	284	17	the	the	DET
ejde-2	284	18	function	function	NOUN
ejde-2	284	19	v	v	NOUN
ejde-2	284	20	defined	define	VERB
ejde-2	284	21	by	by	ADP
ejde-2	284	22	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	284	23	)	)	PUNCT
ejde-2	284	24	=	=	PUNCT
ejde-2	284	25	(	(	PUNCT
ejde-2	284	26	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	284	27	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	284	28	)	)	PUNCT
ejde-2	284	29	for	for	ADP
ejde-2	284	30	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	284	31	.	.	PUNCT
ejde-2	284	32	x	x	SYM
ejde-2	284	33	∈	∈	PROPN
ejde-2	284	34	[	[	X
ejde-2	284	35	a	a	X
ejde-2	284	36	,	,	PUNCT
ejde-2	284	37	b	b	NOUN
ejde-2	284	38	]	]	X
ejde-2	284	39	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	284	40	(	(	PUNCT
ejde-2	284	41	3.2	3.2	NUM
ejde-2	284	42	)	)	PUNCT
ejde-2	284	43	.	.	PUNCT
ejde-2	285	1	since	since	SCONJ
ejde-2	285	2	u	u	PRON
ejde-2	285	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	285	4	(	(	PUNCT
ejde-2	285	5	3.3	3.3	NUM
ejde-2	285	6	)	)	PUNCT
ejde-2	285	7	,	,	PUNCT
ejde-2	285	8	(	(	PUNCT
ejde-2	285	9	3.2	3.2	NUM
ejde-2	285	10	)	)	PUNCT
ejde-2	285	11	implies	imply	VERB
ejde-2	285	12	that	that	SCONJ
ejde-2	285	13	(	(	PUNCT
ejde-2	285	14	3.4	3.4	NUM
ejde-2	285	15	)	)	PUNCT
ejde-2	285	16	holds	hold	VERB
ejde-2	285	17	and	and	CCONJ
ejde-2	285	18	the	the	DET
ejde-2	285	19	function	function	NOUN
ejde-2	285	20	v	v	ADP
ejde-2	285	21	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	285	22	(	(	PUNCT
ejde-2	285	23	3.4	3.4	NUM
ejde-2	285	24	)	)	PUNCT
ejde-2	285	25	.	.	PUNCT
ejde-2	286	1	substituting	substitute	VERB
ejde-2	286	2	v	v	NOUN
ejde-2	286	3	into	into	ADP
ejde-2	286	4	(	(	PUNCT
ejde-2	286	5	3.4	3.4	NUM
ejde-2	286	6	)	)	PUNCT
ejde-2	286	7	the	the	DET
ejde-2	286	8	result	result	NOUN
ejde-2	286	9	holds	holds	AUX
ejde-2	286	10	.	.	PUNCT
ejde-2	287	1	�	�	PROPN
ejde-2	287	2	4	4	NUM
ejde-2	287	3	.	.	PUNCT
ejde-2	288	1	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	288	2	of	of	ADP
ejde-2	288	3	the	the	DET
ejde-2	288	4	nth	nth	NOUN
ejde-2	288	5	order	order	NOUN
ejde-2	288	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	288	7	differential	differential	NOUN
ejde-2	288	8	and	and	CCONJ
ejde-2	288	9	integral	integral	ADJ
ejde-2	288	10	equations	equation	NOUN
ejde-2	288	11	in	in	ADP
ejde-2	288	12	c[a	c[a	NUM
ejde-2	288	13	,	,	PUNCT
ejde-2	288	14	b	b	X
ejde-2	288	15	]	]	X
ejde-2	288	16	we	we	PRON
ejde-2	288	17	study	study	VERB
ejde-2	288	18	solutions	solution	NOUN
ejde-2	288	19	in	in	ADP
ejde-2	288	20	c[a	c[a	NUM
ejde-2	288	21	,	,	PUNCT
ejde-2	288	22	b	b	X
ejde-2	288	23	]	]	PUNCT
ejde-2	288	24	of	of	ADP
ejde-2	288	25	the	the	DET
ejde-2	288	26	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	288	27	for	for	ADP
ejde-2	288	28	the	the	DET
ejde-2	288	29	nth	nth	NOUN
ejde-2	288	30	order	order	NOUN
ejde-2	288	31	fde	fde	PROPN
ejde-2	288	32	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	288	33	p	p	NOUN
ejde-2	288	34	,	,	PUNCT
ejde-2	288	35	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	288	36	)	)	PUNCT
ejde-2	288	37	:	:	PUNCT
ejde-2	289	1	=	=	SYM
ejde-2	289	2	(	(	PUNCT
ejde-2	289	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	289	4	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	289	5	)	)	PUNCT
ejde-2	289	6	=	=	SYM
ejde-2	289	7	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	289	8	)	)	PUNCT
ejde-2	289	9	for	for	ADP
ejde-2	289	10	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	289	11	.	.	PUNCT
ejde-2	289	12	x	x	SYM
ejde-2	289	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	289	14	[	[	X
ejde-2	289	15	a	a	X
ejde-2	289	16	,	,	PUNCT
ejde-2	289	17	b	b	NOUN
ejde-2	289	18	]	]	X
ejde-2	289	19	(	(	PUNCT
ejde-2	289	20	4.1	4.1	NUM
ejde-2	289	21	)	)	PUNCT
ejde-2	289	22	subject	subject	NOUN
ejde-2	289	23	to	to	ADP
ejde-2	289	24	the	the	DET
ejde-2	289	25	initial	initial	ADJ
ejde-2	289	26	condition	condition	NOUN
ejde-2	289	27	u(a	u(a	NOUN
ejde-2	289	28	)	)	PUNCT
ejde-2	289	29	=	=	SYM
ejde-2	289	30	u0	u0	ADJ
ejde-2	289	31	,	,	PUNCT
ejde-2	289	32	u′(a	u′(a	ADJ
ejde-2	289	33	)	)	PUNCT
ejde-2	289	34	=	=	SYM
ejde-2	289	35	u1	u1	NOUN
ejde-2	289	36	,	,	PUNCT
ejde-2	289	37	.	.	PUNCT
ejde-2	289	38	.	.	PUNCT
ejde-2	289	39	.	.	PUNCT
ejde-2	290	1	,	,	PUNCT
ejde-2	290	2	u	u	PROPN
ejde-2	290	3	(	(	PUNCT
ejde-2	290	4	n−1)(a	n−1)(a	PROPN
ejde-2	290	5	)	)	PUNCT
ejde-2	290	6	=	=	SYM
ejde-2	290	7	un−1	un−1	PROPN
ejde-2	290	8	,	,	PUNCT
ejde-2	290	9	(	(	PUNCT
ejde-2	290	10	4.2	4.2	NUM
ejde-2	290	11	)	)	PUNCT
ejde-2	290	12	where	where	SCONJ
ejde-2	290	13	ui	ui	PROPN
ejde-2	290	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	290	15	r	r	NOUN
ejde-2	290	16	for	for	ADP
ejde-2	290	17	each	each	DET
ejde-2	290	18	i	i	PRON
ejde-2	290	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	290	20	n0,n−1	n0,n−1	ADJ
ejde-2	290	21	and	and	CCONJ
ejde-2	290	22	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	290	23	)	)	PUNCT
ejde-2	290	24	=	=	SYM
ejde-2	290	25	∑n−1	∑n−1	ADP
ejde-2	290	26	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	290	27	ui	ui	PROPN
ejde-2	291	1	i	i	PROPN
ejde-2	291	2	!	!	PUNCT
ejde-2	292	1	(	(	PUNCT
ejde-2	292	2	x−a)i	x−a)i	ADJ
ejde-2	292	3	for	for	ADP
ejde-2	292	4	each	each	DET
ejde-2	292	5	x	x	SYM
ejde-2	292	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	292	7	[	[	X
ejde-2	292	8	a	a	X
ejde-2	292	9	,	,	PUNCT
ejde-2	292	10	b	b	NOUN
ejde-2	292	11	]	]	X
ejde-2	292	12	.	.	PUNCT
ejde-2	293	1	we	we	PRON
ejde-2	293	2	show	show	VERB
ejde-2	293	3	that	that	SCONJ
ejde-2	293	4	under	under	ADP
ejde-2	293	5	suitable	suitable	ADJ
ejde-2	293	6	conditions	condition	NOUN
ejde-2	293	7	on	on	ADP
ejde-2	293	8	v	v	NOUN
ejde-2	293	9	,	,	PUNCT
ejde-2	293	10	the	the	DET
ejde-2	293	11	solutions	solution	NOUN
ejde-2	293	12	in	in	ADP
ejde-2	293	13	c[a	c[a	NUM
ejde-2	293	14	,	,	PUNCT
ejde-2	293	15	b	b	X
ejde-2	293	16	]	]	PUNCT
ejde-2	293	17	of	of	ADP
ejde-2	293	18	(	(	PUNCT
ejde-2	293	19	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NOUN
ejde-2	293	20	)	)	PUNCT
ejde-2	293	21	can	can	AUX
ejde-2	293	22	be	be	AUX
ejde-2	293	23	studied	study	VERB
ejde-2	293	24	via	via	ADP
ejde-2	293	25	the	the	DET
ejde-2	293	26	integral	integral	ADJ
ejde-2	293	27	equation	equation	NOUN
ejde-2	293	28	u(x	u(x	VERB
ejde-2	293	29	)	)	PUNCT
ejde-2	293	30	=	=	SYM
ejde-2	293	31	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	293	32	)	)	PUNCT
ejde-2	294	1	+	+	NUM
ejde-2	294	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	294	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	294	4	)	)	PUNCT
ejde-2	294	5	for	for	ADP
ejde-2	294	6	each	each	DET
ejde-2	294	7	x	x	SYM
ejde-2	294	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	294	9	[	[	X
ejde-2	294	10	a	a	X
ejde-2	294	11	,	,	PUNCT
ejde-2	294	12	b	b	NOUN
ejde-2	294	13	]	]	X
ejde-2	294	14	.	.	PUNCT
ejde-2	295	1	(	(	PUNCT
ejde-2	295	2	4.3	4.3	NUM
ejde-2	295	3	)	)	PUNCT
ejde-2	295	4	definition	definition	NOUN
ejde-2	295	5	4.1	4.1	NUM
ejde-2	295	6	.	.	PUNCT
ejde-2	296	1	let	let	VERB
ejde-2	296	2	v	v	NUM
ejde-2	296	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	296	4	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	296	5	,	,	PUNCT
ejde-2	296	6	b	b	AUX
ejde-2	296	7	)	)	PUNCT
ejde-2	296	8	be	be	AUX
ejde-2	296	9	given	give	VERB
ejde-2	296	10	.	.	PUNCT
ejde-2	297	1	a	a	DET
ejde-2	297	2	function	function	NOUN
ejde-2	297	3	u	u	NOUN
ejde-2	297	4	:	:	PUNCT
ejde-2	297	5	[	[	X
ejde-2	297	6	a	a	X
ejde-2	297	7	,	,	PUNCT
ejde-2	297	8	b	b	NOUN
ejde-2	297	9	]	]	X
ejde-2	297	10	→	→	PUNCT
ejde-2	297	11	r	r	NOUN
ejde-2	297	12	is	be	AUX
ejde-2	297	13	said	say	VERB
ejde-2	297	14	to	to	PART
ejde-2	297	15	be	be	AUX
ejde-2	297	16	a	a	DET
ejde-2	297	17	solution	solution	NOUN
ejde-2	297	18	of	of	ADP
ejde-2	297	19	(	(	PUNCT
ejde-2	297	20	4.3	4.3	NUM
ejde-2	297	21	)	)	PUNCT
ejde-2	297	22	if	if	SCONJ
ejde-2	297	23	u	u	PRON
ejde-2	297	24	satisfies	satisfy	VERB
ejde-2	297	25	(	(	PUNCT
ejde-2	297	26	4.3	4.3	NUM
ejde-2	297	27	)	)	PUNCT
ejde-2	297	28	.	.	PUNCT
ejde-2	298	1	when	when	SCONJ
ejde-2	298	2	v	v	X
ejde-2	298	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	298	4	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	298	5	,	,	PUNCT
ejde-2	298	6	b	b	NOUN
ejde-2	298	7	)	)	PUNCT
ejde-2	298	8	,	,	PUNCT
ejde-2	298	9	the	the	DET
ejde-2	298	10	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	298	11	in	in	ADP
ejde-2	298	12	c[a	c[a	NUM
ejde-2	298	13	,	,	PUNCT
ejde-2	298	14	b	b	X
ejde-2	298	15	]	]	PUNCT
ejde-2	298	16	between	between	ADP
ejde-2	298	17	the	the	DET
ejde-2	298	18	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	298	19	for	for	ADP
ejde-2	298	20	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	298	21	p	p	NOUN
ejde-2	298	22	,	,	PUNCT
ejde-2	298	23	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	298	24	)	)	PUNCT
ejde-2	298	25	:	:	PUNCT
ejde-2	298	26	=	=	SYM
ejde-2	298	27	(	(	PUNCT
ejde-2	298	28	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	298	29	pm))(n)(x	pm))(n)(x	PROPN
ejde-2	298	30	)	)	PUNCT
ejde-2	298	31	=	=	SYM
ejde-2	298	32	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	298	33	)	)	PUNCT
ejde-2	298	34	for	for	ADP
ejde-2	298	35	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	298	36	.	.	PUNCT
ejde-2	298	37	x	x	SYM
ejde-2	298	38	∈	∈	PROPN
ejde-2	298	39	[	[	X
ejde-2	298	40	a	a	X
ejde-2	298	41	,	,	PUNCT
ejde-2	298	42	b	b	NOUN
ejde-2	298	43	]	]	X
ejde-2	298	44	(	(	PUNCT
ejde-2	298	45	4.4	4.4	NUM
ejde-2	298	46	)	)	PUNCT
ejde-2	298	47	subject	subject	NOUN
ejde-2	298	48	to	to	ADP
ejde-2	298	49	the	the	DET
ejde-2	298	50	initial	initial	ADJ
ejde-2	298	51	condition	condition	NOUN
ejde-2	298	52	u(a	u(a	NOUN
ejde-2	298	53	)	)	PUNCT
ejde-2	298	54	=	=	SYM
ejde-2	298	55	u0	u0	ADJ
ejde-2	298	56	,	,	PUNCT
ejde-2	298	57	u′(a	u′(a	ADJ
ejde-2	298	58	)	)	PUNCT
ejde-2	298	59	=	=	SYM
ejde-2	298	60	u1	u1	NOUN
ejde-2	298	61	,	,	PUNCT
ejde-2	298	62	.	.	PUNCT
ejde-2	298	63	.	.	PUNCT
ejde-2	298	64	.	.	PUNCT
ejde-2	299	1	,	,	PUNCT
ejde-2	299	2	u	u	PROPN
ejde-2	299	3	(	(	PUNCT
ejde-2	299	4	m)(a	m)(a	PROPN
ejde-2	299	5	)	)	PUNCT
ejde-2	300	1	=	=	PUNCT
ejde-2	300	2	um	um	INTJ
ejde-2	300	3	,	,	PUNCT
ejde-2	300	4	and	and	CCONJ
ejde-2	300	5	the	the	DET
ejde-2	300	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	300	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	300	8	u(x	u(x	VERB
ejde-2	300	9	)	)	PUNCT
ejde-2	300	10	=	=	SYM
ejde-2	300	11	pm(x	pm(x	X
ejde-2	300	12	)	)	PUNCT
ejde-2	301	1	+	+	CCONJ
ejde-2	301	2	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-2	301	3	i	i	NOUN
ejde-2	301	4	=	=	NOUN
ejde-2	301	5	m+1	m+1	NUM
ejde-2	301	6	cix	cix	NOUN
ejde-2	301	7	i−α	i−α	PART
ejde-2	301	8	+	+	CCONJ
ejde-2	301	9	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	301	10	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	301	11	)	)	PUNCT
ejde-2	301	12	for	for	ADP
ejde-2	301	13	each	each	DET
ejde-2	301	14	x	x	SYM
ejde-2	301	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	301	16	[	[	X
ejde-2	301	17	a	a	X
ejde-2	301	18	,	,	PUNCT
ejde-2	301	19	b	b	NOUN
ejde-2	301	20	]	]	X
ejde-2	301	21	,	,	PUNCT
ejde-2	301	22	where	where	SCONJ
ejde-2	301	23	n	n	PRON
ejde-2	301	24	≥	≥	NOUN
ejde-2	301	25	2	2	NUM
ejde-2	301	26	,	,	PUNCT
ejde-2	301	27	m	m	VERB
ejde-2	301	28	≤	≤	NOUN
ejde-2	301	29	n	n	CCONJ
ejde-2	301	30	−	−	PROPN
ejde-2	301	31	2	2	NUM
ejde-2	302	1	and	and	CCONJ
ejde-2	302	2	[	[	X
ejde-2	302	3	a	a	X
ejde-2	302	4	,	,	PUNCT
ejde-2	302	5	b	b	NOUN
ejde-2	302	6	]	]	X
ejde-2	302	7	=	=	PUNCT
ejde-2	303	1	[	[	X
ejde-2	303	2	0	0	NUM
ejde-2	303	3	,	,	PUNCT
ejde-2	303	4	1	1	NUM
ejde-2	303	5	]	]	PUNCT
ejde-2	303	6	,	,	PUNCT
ejde-2	303	7	was	be	AUX
ejde-2	303	8	studied	study	VERB
ejde-2	303	9	by	by	ADP
ejde-2	303	10	lan	lan	PROPN
ejde-2	303	11	[	[	X
ejde-2	303	12	17	17	NUM
ejde-2	303	13	]	]	PUNCT
ejde-2	303	14	,	,	PUNCT
ejde-2	303	15	where	where	SCONJ
ejde-2	303	16	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	303	17	)	)	PUNCT
ejde-2	303	18	is	be	AUX
ejde-2	303	19	not	not	PART
ejde-2	303	20	required	require	VERB
ejde-2	303	21	to	to	PART
ejde-2	303	22	exist	exist	VERB
ejde-2	303	23	for	for	ADP
ejde-2	303	24	i	i	PROPN
ejde-2	303	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	303	26	{	{	PUNCT
ejde-2	303	27	m+	m+	NOUN
ejde-2	303	28	1	1	NUM
ejde-2	303	29	.	.	PUNCT
ejde-2	303	30	.	.	PUNCT
ejde-2	303	31	.	.	PUNCT
ejde-2	304	1	.	.	PUNCT
ejde-2	305	1	,	,	PUNCT
ejde-2	305	2	n−	n−	NOUN
ejde-2	305	3	1	1	NUM
ejde-2	305	4	}	}	PUNCT
ejde-2	305	5	.	.	PUNCT
ejde-2	306	1	it	it	PRON
ejde-2	306	2	is	be	AUX
ejde-2	306	3	pointed	point	VERB
ejde-2	306	4	out	out	ADP
ejde-2	306	5	in	in	ADP
ejde-2	306	6	[	[	X
ejde-2	306	7	17	17	NUM
ejde-2	306	8	,	,	PUNCT
ejde-2	306	9	p.5226	p.5226	VERB
ejde-2	306	10	]	]	PUNCT
ejde-2	306	11	that	that	SCONJ
ejde-2	306	12	the	the	DET
ejde-2	306	13	solutions	solution	NOUN
ejde-2	306	14	in	in	ADP
ejde-2	306	15	c[a	c[a	NUM
ejde-2	306	16	,	,	PUNCT
ejde-2	306	17	b	b	X
ejde-2	306	18	]	]	PUNCT
ejde-2	306	19	of	of	ADP
ejde-2	306	20	(	(	PUNCT
ejde-2	306	21	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NOUN
ejde-2	306	22	)	)	PUNCT
ejde-2	306	23	with	with	ADP
ejde-2	306	24	n	n	PRON
ejde-2	306	25	≥	≥	NOUN
ejde-2	306	26	1	1	NUM
ejde-2	306	27	can	can	AUX
ejde-2	306	28	not	not	PART
ejde-2	306	29	be	be	AUX
ejde-2	306	30	obtained	obtain	VERB
ejde-2	306	31	via	via	ADP
ejde-2	306	32	(	(	PUNCT
ejde-2	306	33	4.3	4.3	NUM
ejde-2	306	34	)	)	PUNCT
ejde-2	306	35	if	if	SCONJ
ejde-2	306	36	one	one	NUM
ejde-2	306	37	only	only	ADV
ejde-2	306	38	requires	require	VERB
ejde-2	306	39	v	v	ADP
ejde-2	306	40	∈	∈	PRON
ejde-2	306	41	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	306	42	,	,	PUNCT
ejde-2	306	43	b	b	NOUN
ejde-2	306	44	)	)	PUNCT
ejde-2	306	45	.	.	PUNCT
ejde-2	307	1	therefore	therefore	ADV
ejde-2	307	2	,	,	PUNCT
ejde-2	307	3	additional	additional	ADJ
ejde-2	307	4	conditions	condition	NOUN
ejde-2	307	5	on	on	ADP
ejde-2	307	6	v	v	NUM
ejde-2	307	7	are	be	AUX
ejde-2	307	8	required	require	VERB
ejde-2	307	9	for	for	ADP
ejde-2	307	10	studying	study	VERB
ejde-2	307	11	solutions	solution	NOUN
ejde-2	307	12	in	in	ADP
ejde-2	307	13	c[a	c[a	NUM
ejde-2	307	14	,	,	PUNCT
ejde-2	307	15	b	b	X
ejde-2	307	16	]	]	PUNCT
ejde-2	307	17	of	of	ADP
ejde-2	307	18	(	(	PUNCT
ejde-2	307	19	4.1)(4.2	4.1)(4.2	NOUN
ejde-2	307	20	)	)	PUNCT
ejde-2	307	21	with	with	ADP
ejde-2	307	22	n	n	PRON
ejde-2	307	23	≥	≥	NUM
ejde-2	307	24	1	1	NUM
ejde-2	307	25	.	.	PUNCT
ejde-2	308	1	when	when	SCONJ
ejde-2	308	2	n	n	X
ejde-2	308	3	=	=	SYM
ejde-2	308	4	1	1	NUM
ejde-2	308	5	,	,	PUNCT
ejde-2	308	6	the	the	DET
ejde-2	308	7	additional	additional	ADJ
ejde-2	308	8	condition	condition	NOUN
ejde-2	308	9	on	on	ADP
ejde-2	308	10	v	v	NUM
ejde-2	308	11	used	use	VERB
ejde-2	308	12	in	in	ADP
ejde-2	308	13	[	[	X
ejde-2	308	14	18	18	NUM
ejde-2	308	15	]	]	PUNCT
ejde-2	308	16	is	be	AUX
ejde-2	308	17	(	(	PUNCT
ejde-2	308	18	h1	h1	PROPN
ejde-2	308	19	)	)	PUNCT
ejde-2	308	20	.	.	PUNCT
ejde-2	309	1	however	however	ADV
ejde-2	309	2	,	,	PUNCT
ejde-2	309	3	when	when	SCONJ
ejde-2	309	4	n	n	X
ejde-2	309	5	≥	≥	NOUN
ejde-2	309	6	2	2	NUM
ejde-2	309	7	,	,	PUNCT
ejde-2	309	8	condition	condition	NOUN
ejde-2	309	9	(	(	PUNCT
ejde-2	309	10	h1	h1	PROPN
ejde-2	309	11	)	)	PUNCT
ejde-2	309	12	is	be	AUX
ejde-2	309	13	not	not	PART
ejde-2	309	14	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-2	309	15	for	for	ADP
ejde-2	309	16	studying	study	VERB
ejde-2	309	17	solutions	solution	NOUN
ejde-2	309	18	of	of	ADP
ejde-2	309	19	(	(	PUNCT
ejde-2	309	20	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NOUN
ejde-2	309	21	)	)	PUNCT
ejde-2	309	22	in	in	ADP
ejde-2	309	23	c[a	c[a	NUM
ejde-2	309	24	,	,	PUNCT
ejde-2	309	25	b	b	NOUN
ejde-2	309	26	]	]	X
ejde-2	309	27	.	.	PUNCT
ejde-2	310	1	next	next	ADV
ejde-2	310	2	we	we	PRON
ejde-2	310	3	introduce	introduce	VERB
ejde-2	310	4	new	new	ADJ
ejde-2	310	5	conditions	condition	NOUN
ejde-2	310	6	on	on	ADP
ejde-2	310	7	v	v	NOUN
ejde-2	310	8	for	for	ADP
ejde-2	310	9	studying	study	VERB
ejde-2	310	10	solutions	solution	NOUN
ejde-2	310	11	of	of	ADP
ejde-2	310	12	(	(	PUNCT
ejde-2	310	13	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NOUN
ejde-2	310	14	)	)	PUNCT
ejde-2	310	15	in	in	ADP
ejde-2	310	16	c[a	c[a	NUM
ejde-2	310	17	,	,	PUNCT
ejde-2	310	18	b	b	X
ejde-2	310	19	]	]	X
ejde-2	310	20	when	when	SCONJ
ejde-2	310	21	n	n	X
ejde-2	310	22	≥	≥	NOUN
ejde-2	310	23	2	2	X
ejde-2	310	24	.	.	PUNCT
ejde-2	311	1	let	let	VERB
ejde-2	311	2	hα	hα	ADP
ejde-2	311	3	0	0	NUM
ejde-2	312	1	(	(	PUNCT
ejde-2	312	2	a	a	DET
ejde-2	312	3	,	,	PUNCT
ejde-2	312	4	b	b	NOUN
ejde-2	312	5	)	)	PUNCT
ejde-2	312	6	=	=	SYM
ejde-2	312	7	{	{	PUNCT
ejde-2	312	8	v	v	NUM
ejde-2	312	9	∈	∈	NUM
ejde-2	312	10	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	312	11	,	,	PUNCT
ejde-2	312	12	b	b	NOUN
ejde-2	312	13	)	)	PUNCT
ejde-2	312	14	:	:	PUNCT
ejde-2	312	15	v	v	X
ejde-2	312	16	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	312	17	(	(	PUNCT
ejde-2	312	18	h1	h1	PROPN
ejde-2	312	19	)	)	PUNCT
ejde-2	312	20	and	and	CCONJ
ejde-2	312	21	(	(	PUNCT
ejde-2	312	22	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	312	23	v)(a	v)(a	ADJ
ejde-2	312	24	)	)	PUNCT
ejde-2	312	25	=	=	SYM
ejde-2	313	1	0	0	NUM
ejde-2	313	2	}	}	PUNCT
ejde-2	313	3	,	,	PUNCT
ejde-2	313	4	hα	hα	ADP
ejde-2	313	5	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	313	6	,	,	PUNCT
ejde-2	313	7	b	b	X
ejde-2	313	8	)	)	PUNCT
ejde-2	313	9	=	=	PRON
ejde-2	313	10	{	{	PUNCT
ejde-2	313	11	v	v	NUM
ejde-2	313	12	∈	∈	NUM
ejde-2	313	13	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	313	14	,	,	PUNCT
ejde-2	313	15	b	b	NOUN
ejde-2	313	16	)	)	PUNCT
ejde-2	313	17	:	:	PUNCT
ejde-2	313	18	v	v	X
ejde-2	313	19	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	313	20	(	(	PUNCT
ejde-2	313	21	h1	h1	PROPN
ejde-2	313	22	)	)	PUNCT
ejde-2	313	23	and	and	CCONJ
ejde-2	313	24	lim	lim	PROPN
ejde-2	313	25	sup	sup	PROPN
ejde-2	313	26	x→a+	x→a+	NUM
ejde-2	313	27	|(i1−αa+	|(i1−αa+	ADJ
ejde-2	313	28	v)(x)|	v)(x)|	PROPN
ejde-2	313	29	<	<	X
ejde-2	313	30	∞	∞	NUM
ejde-2	313	31	}	}	PUNCT
ejde-2	313	32	.	.	PUNCT
ejde-2	314	1	then	then	ADV
ejde-2	314	2	both	both	PRON
ejde-2	314	3	hα	hα	ADP
ejde-2	314	4	0	0	NUM
ejde-2	315	1	(	(	PUNCT
ejde-2	315	2	a	a	DET
ejde-2	315	3	,	,	PUNCT
ejde-2	315	4	b	b	NOUN
ejde-2	315	5	)	)	PUNCT
ejde-2	315	6	and	and	CCONJ
ejde-2	315	7	hα	hα	ADP
ejde-2	315	8	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	315	9	,	,	PUNCT
ejde-2	315	10	b	b	X
ejde-2	315	11	)	)	PUNCT
ejde-2	315	12	are	be	AUX
ejde-2	315	13	linear	linear	ADJ
ejde-2	315	14	spaces	space	NOUN
ejde-2	315	15	.	.	PUNCT
ejde-2	316	1	moreover	moreover	ADV
ejde-2	316	2	,	,	PUNCT
ejde-2	316	3	if	if	SCONJ
ejde-2	316	4	v	v	NUM
ejde-2	316	5	∈	∈	NOUN
ejde-2	316	6	hα	hα	ADP
ejde-2	316	7	0	0	NUM
ejde-2	316	8	(	(	PUNCT
ejde-2	316	9	a	a	DET
ejde-2	316	10	,	,	PUNCT
ejde-2	316	11	b	b	NOUN
ejde-2	316	12	)	)	PUNCT
ejde-2	317	1	and	and	CCONJ
ejde-2	318	1	limx→a+	limx→a+	NOUN
ejde-2	318	2	i	i	PRON
ejde-2	318	3	1−α	1−α	NUM
ejde-2	318	4	a+	a+	PUNCT
ejde-2	318	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	318	6	)	)	PUNCT
ejde-2	318	7	=	=	SYM
ejde-2	318	8	0	0	NUM
ejde-2	318	9	,	,	PUNCT
ejde-2	318	10	then	then	ADV
ejde-2	318	11	v	v	ADP
ejde-2	318	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	318	13	hα	hα	ADP
ejde-2	318	14	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	318	15	,	,	PUNCT
ejde-2	318	16	b	b	NOUN
ejde-2	318	17	)	)	PUNCT
ejde-2	318	18	.	.	PUNCT
ejde-2	319	1	remark	remark	VERB
ejde-2	319	2	4.2	4.2	NUM
ejde-2	319	3	.	.	PUNCT
ejde-2	320	1	it	it	PRON
ejde-2	320	2	is	be	AUX
ejde-2	320	3	not	not	PART
ejde-2	320	4	clear	clear	ADJ
ejde-2	320	5	whether	whether	SCONJ
ejde-2	320	6	one	one	NUM
ejde-2	320	7	of	of	ADP
ejde-2	320	8	the	the	DET
ejde-2	320	9	following	follow	VERB
ejde-2	320	10	inclusions	inclusion	NOUN
ejde-2	320	11	holds	hold	VERB
ejde-2	320	12	.	.	PUNCT
ejde-2	321	1	hα	hα	ADP
ejde-2	321	2	0	0	NUM
ejde-2	321	3	(	(	PUNCT
ejde-2	321	4	a	a	DET
ejde-2	321	5	,	,	PUNCT
ejde-2	321	6	b	b	NOUN
ejde-2	321	7	)	)	PUNCT
ejde-2	321	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	321	9	hα	hα	ADP
ejde-2	321	10	b(a	b(a	PROPN
ejde-2	321	11	,	,	PUNCT
ejde-2	321	12	b	b	NOUN
ejde-2	321	13	)	)	PUNCT
ejde-2	321	14	or	or	CCONJ
ejde-2	321	15	hα	hα	ADP
ejde-2	321	16	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	321	17	,	,	PUNCT
ejde-2	321	18	b	b	X
ejde-2	321	19	)	)	PUNCT
ejde-2	321	20	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	321	21	hα	hα	ADP
ejde-2	321	22	0	0	NUM
ejde-2	321	23	(	(	PUNCT
ejde-2	321	24	a	a	DET
ejde-2	321	25	,	,	PUNCT
ejde-2	321	26	b	b	NOUN
ejde-2	321	27	)	)	PUNCT
ejde-2	321	28	.	.	PUNCT
ejde-2	322	1	(	(	PUNCT
ejde-2	322	2	4.5	4.5	NUM
ejde-2	322	3	)	)	PUNCT
ejde-2	322	4	10	10	NUM
ejde-2	322	5	k.	k.	PROPN
ejde-2	322	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	322	7	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	322	8	let	let	VERB
ejde-2	322	9	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	322	10	,	,	PUNCT
ejde-2	322	11	b	b	NOUN
ejde-2	322	12	)	)	PUNCT
ejde-2	322	13	=	=	SYM
ejde-2	322	14	iαa+(l1(a	iαa+(l1(a	NOUN
ejde-2	322	15	,	,	PUNCT
ejde-2	322	16	b	b	NOUN
ejde-2	322	17	)	)	PUNCT
ejde-2	322	18	)	)	PUNCT
ejde-2	322	19	,	,	PUNCT
ejde-2	322	20	(	(	PUNCT
ejde-2	322	21	4.6	4.6	NUM
ejde-2	322	22	)	)	PUNCT
ejde-2	322	23	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	322	24	(	(	PUNCT
ejde-2	322	25	a	a	DET
ejde-2	322	26	,	,	PUNCT
ejde-2	322	27	b	b	NOUN
ejde-2	322	28	)	)	PUNCT
ejde-2	322	29	:	:	PUNCT
ejde-2	322	30	=	=	SYM
ejde-2	322	31	{	{	PUNCT
ejde-2	322	32	v	v	NUM
ejde-2	322	33	∈	∈	NUM
ejde-2	322	34	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	322	35	,	,	PUNCT
ejde-2	322	36	b	b	NOUN
ejde-2	322	37	)	)	PUNCT
ejde-2	322	38	:	:	PUNCT
ejde-2	322	39	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	322	40	v	v	ADP
ejde-2	322	41	∈	∈	PROPN
ejde-2	322	42	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	322	43	,	,	PUNCT
ejde-2	322	44	b	b	NOUN
ejde-2	322	45	]	]	PUNCT
ejde-2	322	46	and	and	CCONJ
ejde-2	322	47	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	322	48	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	322	49	)	)	PUNCT
ejde-2	322	50	=	=	PUNCT
ejde-2	323	1	0	0	NUM
ejde-2	323	2	}	}	PUNCT
ejde-2	323	3	.	.	PUNCT
ejde-2	324	1	(	(	PUNCT
ejde-2	324	2	4.7	4.7	NUM
ejde-2	324	3	)	)	PUNCT
ejde-2	324	4	by	by	ADP
ejde-2	324	5	[	[	X
ejde-2	324	6	18	18	NUM
ejde-2	324	7	,	,	PUNCT
ejde-2	324	8	propositions	proposition	NOUN
ejde-2	324	9	2.2	2.2	NUM
ejde-2	324	10	]	]	PUNCT
ejde-2	324	11	(	(	PUNCT
ejde-2	324	12	see	see	VERB
ejde-2	324	13	also	also	ADV
ejde-2	324	14	[	[	X
ejde-2	324	15	29	29	NUM
ejde-2	324	16	,	,	PUNCT
ejde-2	324	17	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	324	18	3.6	3.6	NUM
ejde-2	324	19	]	]	PUNCT
ejde-2	324	20	,	,	PUNCT
ejde-2	324	21	where	where	SCONJ
ejde-2	324	22	[	[	X
ejde-2	324	23	a	a	X
ejde-2	324	24	,	,	PUNCT
ejde-2	324	25	b	b	NOUN
ejde-2	324	26	]	]	X
ejde-2	324	27	=	=	PUNCT
ejde-2	325	1	[	[	X
ejde-2	325	2	0	0	NUM
ejde-2	325	3	,	,	PUNCT
ejde-2	325	4	t	t	NOUN
ejde-2	325	5	]	]	PUNCT
ejde-2	325	6	and	and	CCONJ
ejde-2	325	7	the	the	DET
ejde-2	325	8	proof	proof	NOUN
ejde-2	325	9	of	of	ADP
ejde-2	325	10	[	[	X
ejde-2	325	11	25	25	NUM
ejde-2	325	12	,	,	PUNCT
ejde-2	325	13	theorem	theorem	VERB
ejde-2	325	14	2.1	2.1	NUM
ejde-2	325	15	]	]	PUNCT
ejde-2	325	16	)	)	PUNCT
ejde-2	325	17	,	,	PUNCT
ejde-2	325	18	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	325	19	,	,	PUNCT
ejde-2	325	20	b	b	NOUN
ejde-2	325	21	)	)	PUNCT
ejde-2	325	22	=	=	PRON
ejde-2	325	23	{	{	PUNCT
ejde-2	325	24	v	v	NUM
ejde-2	325	25	∈	∈	NUM
ejde-2	325	26	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	325	27	,	,	PUNCT
ejde-2	325	28	b	b	NOUN
ejde-2	325	29	)	)	PUNCT
ejde-2	325	30	:	:	PUNCT
ejde-2	325	31	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	325	32	v	v	X
ejde-2	325	33	∈	∈	PROPN
ejde-2	325	34	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	325	35	,	,	PUNCT
ejde-2	325	36	b	b	NOUN
ejde-2	325	37	]	]	PUNCT
ejde-2	325	38	and	and	CCONJ
ejde-2	325	39	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	325	40	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	325	41	)	)	PUNCT
ejde-2	325	42	=	=	PUNCT
ejde-2	326	1	0	0	NUM
ejde-2	326	2	}	}	PUNCT
ejde-2	326	3	.	.	PUNCT
ejde-2	327	1	(	(	PUNCT
ejde-2	327	2	4.8	4.8	NUM
ejde-2	327	3	)	)	PUNCT
ejde-2	327	4	by	by	ADP
ejde-2	327	5	[	[	X
ejde-2	327	6	18	18	NUM
ejde-2	327	7	,	,	PUNCT
ejde-2	327	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	327	9	2.3	2.3	NUM
ejde-2	327	10	]	]	PUNCT
ejde-2	327	11	and	and	CCONJ
ejde-2	327	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	327	13	2.4	2.4	NUM
ejde-2	327	14	(	(	PUNCT
ejde-2	327	15	1	1	NUM
ejde-2	327	16	)	)	PUNCT
ejde-2	327	17	,	,	PUNCT
ejde-2	327	18	(	(	PUNCT
ejde-2	327	19	2	2	NUM
ejde-2	327	20	)	)	PUNCT
ejde-2	327	21	,	,	PUNCT
ejde-2	327	22	we	we	PRON
ejde-2	327	23	obtain	obtain	VERB
ejde-2	327	24	the	the	DET
ejde-2	327	25	following	follow	VERB
ejde-2	327	26	result	result	NOUN
ejde-2	327	27	.	.	PUNCT
ejde-2	328	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	328	2	4.3	4.3	NUM
ejde-2	328	3	.	.	PUNCT
ejde-2	329	1	let	let	VERB
ejde-2	329	2	α	α	PRON
ejde-2	329	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	329	4	(	(	PUNCT
ejde-2	329	5	0	0	NUM
ejde-2	329	6	,	,	PUNCT
ejde-2	329	7	1	1	NUM
ejde-2	329	8	)	)	PUNCT
ejde-2	329	9	.	.	PUNCT
ejde-2	330	1	then	then	ADV
ejde-2	330	2	the	the	DET
ejde-2	330	3	following	follow	VERB
ejde-2	330	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	330	5	hold	hold	VERB
ejde-2	330	6	.	.	PUNCT
ejde-2	331	1	(	(	PUNCT
ejde-2	331	2	1	1	X
ejde-2	331	3	)	)	PUNCT
ejde-2	331	4	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	331	5	,	,	PUNCT
ejde-2	331	6	b	b	X
ejde-2	331	7	]	]	X
ejde-2	331	8	$	$	SYM
ejde-2	331	9	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	331	10	,	,	PUNCT
ejde-2	331	11	b	b	NOUN
ejde-2	331	12	)	)	PUNCT
ejde-2	331	13	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	331	14	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	331	15	(	(	PUNCT
ejde-2	331	16	a	a	DET
ejde-2	331	17	,	,	PUNCT
ejde-2	331	18	b	b	NOUN
ejde-2	331	19	)	)	PUNCT
ejde-2	331	20	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	331	21	hα	hα	ADP
ejde-2	331	22	0	0	NUM
ejde-2	331	23	(	(	PUNCT
ejde-2	331	24	a	a	PRON
ejde-2	331	25	,	,	PUNCT
ejde-2	331	26	b	b	NOUN
ejde-2	331	27	)	)	PUNCT
ejde-2	331	28	∩hα	∩hα	PROPN
ejde-2	331	29	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	331	30	,	,	PUNCT
ejde-2	331	31	b	b	NOUN
ejde-2	331	32	)	)	PUNCT
ejde-2	331	33	.	.	PUNCT
ejde-2	332	1	(	(	PUNCT
ejde-2	332	2	2	2	X
ejde-2	332	3	)	)	PUNCT
ejde-2	332	4	lp(a	lp(a	PROPN
ejde-2	332	5	,	,	PUNCT
ejde-2	332	6	b	b	X
ejde-2	332	7	)	)	PUNCT
ejde-2	332	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	332	9	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	332	10	(	(	PUNCT
ejde-2	332	11	a	a	DET
ejde-2	332	12	,	,	PUNCT
ejde-2	332	13	b	b	NOUN
ejde-2	332	14	)	)	PUNCT
ejde-2	332	15	for	for	ADP
ejde-2	332	16	p	p	PROPN
ejde-2	332	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	332	18	(	(	PUNCT
ejde-2	332	19	1	1	NUM
ejde-2	332	20	1−α	1−α	NUM
ejde-2	332	21	,	,	PUNCT
ejde-2	332	22	∞	∞	PROPN
ejde-2	332	23	]	]	PUNCT
ejde-2	332	24	.	.	PUNCT
ejde-2	333	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	333	2	4.4	4.4	NUM
ejde-2	333	3	.	.	PUNCT
ejde-2	334	1	the	the	DET
ejde-2	334	2	following	follow	VERB
ejde-2	334	3	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	334	4	hold	hold	VERB
ejde-2	334	5	.	.	PUNCT
ejde-2	335	1	(	(	PUNCT
ejde-2	335	2	1	1	X
ejde-2	335	3	)	)	PUNCT
ejde-2	335	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	335	5	,	,	PUNCT
ejde-2	335	6	b	b	X
ejde-2	335	7	]	]	X
ejde-2	335	8	\rα(a	\rα(a	PROPN
ejde-2	335	9	,	,	PUNCT
ejde-2	335	10	b	b	NOUN
ejde-2	335	11	)	)	PUNCT
ejde-2	335	12	6=	6=	NOUN
ejde-2	335	13	∅	∅	NOUN
ejde-2	335	14	for	for	ADP
ejde-2	335	15	each	each	DET
ejde-2	335	16	α	α	NOUN
ejde-2	335	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	335	18	(	(	PUNCT
ejde-2	335	19	0	0	NUM
ejde-2	335	20	,	,	PUNCT
ejde-2	335	21	1	1	NUM
ejde-2	335	22	)	)	PUNCT
ejde-2	335	23	.	.	PUNCT
ejde-2	336	1	(	(	PUNCT
ejde-2	336	2	2	2	X
ejde-2	336	3	)	)	PUNCT
ejde-2	336	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	336	5	,	,	PUNCT
ejde-2	336	6	b	b	AUX
ejde-2	336	7	]	]	PUNCT
ejde-2	336	8	\	\	PROPN
ejde-2	336	9	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	336	10	(	(	PUNCT
ejde-2	336	11	lp(a	lp(a	PROPN
ejde-2	336	12	,	,	PUNCT
ejde-2	336	13	b	b	NOUN
ejde-2	336	14	)	)	PUNCT
ejde-2	336	15	)	)	PUNCT
ejde-2	337	1	6=	6=	ADP
ejde-2	337	2	∅	∅	NOUN
ejde-2	337	3	for	for	ADP
ejde-2	337	4	each	each	DET
ejde-2	337	5	α	α	NOUN
ejde-2	337	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	337	7	(	(	PUNCT
ejde-2	337	8	0	0	NUM
ejde-2	337	9	,	,	PUNCT
ejde-2	337	10	1	1	NUM
ejde-2	337	11	)	)	PUNCT
ejde-2	337	12	and	and	CCONJ
ejde-2	337	13	p	p	NOUN
ejde-2	337	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	337	15	(	(	PUNCT
ejde-2	337	16	1	1	NUM
ejde-2	337	17	1−α	1−α	NUM
ejde-2	337	18	,	,	PUNCT
ejde-2	337	19	∞	∞	PROPN
ejde-2	337	20	]	]	PUNCT
ejde-2	337	21	.	.	PUNCT
ejde-2	338	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	338	2	.	.	PUNCT
ejde-2	339	1	(	(	PUNCT
ejde-2	339	2	1	1	X
ejde-2	339	3	)	)	PUNCT
ejde-2	339	4	let	let	VERB
ejde-2	339	5	δ	δ	PRON
ejde-2	339	6	>	>	X
ejde-2	339	7	1	1	X
ejde-2	339	8	.	.	PUNCT
ejde-2	340	1	we	we	PRON
ejde-2	340	2	consider	consider	VERB
ejde-2	340	3	the	the	DET
ejde-2	340	4	following	follow	VERB
ejde-2	340	5	weierstrass	weierstrass	PROPN
ejde-2	340	6	function	function	PROPN
ejde-2	340	7	w(x	w(x	PROPN
ejde-2	340	8	)	)	PUNCT
ejde-2	340	9	=	=	PUNCT
ejde-2	341	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-2	341	2	k=0	k=0	PROPN
ejde-2	341	3	1	1	NUM
ejde-2	341	4	δαk	δαk	NOUN
ejde-2	341	5	cos(δkx	cos(δkx	NOUN
ejde-2	341	6	)	)	PUNCT
ejde-2	341	7	for	for	ADP
ejde-2	341	8	x	x	PROPN
ejde-2	341	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	341	10	[	[	X
ejde-2	341	11	a	a	X
ejde-2	341	12	,	,	PUNCT
ejde-2	341	13	b	b	NOUN
ejde-2	341	14	]	]	X
ejde-2	341	15	.	.	PUNCT
ejde-2	342	1	(	(	PUNCT
ejde-2	342	2	4.9	4.9	NUM
ejde-2	342	3	)	)	PUNCT
ejde-2	342	4	it	it	PRON
ejde-2	342	5	follows	follow	VERB
ejde-2	342	6	from	from	ADP
ejde-2	342	7	[	[	X
ejde-2	342	8	29	29	NUM
ejde-2	342	9	,	,	PUNCT
ejde-2	342	10	addendum	addendum	NOUN
ejde-2	342	11	(	(	PUNCT
ejde-2	342	12	3	3	NUM
ejde-2	342	13	)	)	PUNCT
ejde-2	342	14	,	,	PUNCT
ejde-2	342	15	p.33	p.33	PROPN
ejde-2	342	16	]	]	PUNCT
ejde-2	342	17	or	or	CCONJ
ejde-2	342	18	[	[	X
ejde-2	342	19	11	11	NUM
ejde-2	342	20	,	,	PUNCT
ejde-2	342	21	section	section	NOUN
ejde-2	342	22	5.5	5.5	NUM
ejde-2	342	23	,	,	PUNCT
ejde-2	342	24	p.589	p.589	NOUN
ejde-2	342	25	]	]	PUNCT
ejde-2	342	26	that	that	SCONJ
ejde-2	342	27	w	w	PROPN
ejde-2	342	28	∈	∈	PROPN
ejde-2	342	29	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	342	30	,	,	PUNCT
ejde-2	342	31	b	b	NOUN
ejde-2	342	32	]	]	PUNCT
ejde-2	342	33	and	and	CCONJ
ejde-2	342	34	i1−αa+	i1−αa+	PROPN
ejde-2	343	1	w	w	PROPN
ejde-2	343	2	6∈	6∈	PROPN
ejde-2	343	3	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	343	4	,	,	PUNCT
ejde-2	343	5	b	b	X
ejde-2	343	6	]	]	X
ejde-2	343	7	since	since	SCONJ
ejde-2	343	8	i1−αa+	i1−αa+	PROPN
ejde-2	343	9	w	w	NOUN
ejde-2	343	10	are	be	AUX
ejde-2	343	11	not	not	PART
ejde-2	343	12	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-2	343	13	anywhere	anywhere	ADV
ejde-2	343	14	on	on	ADP
ejde-2	343	15	[	[	X
ejde-2	343	16	a	a	PRON
ejde-2	343	17	,	,	PUNCT
ejde-2	343	18	b	b	NOUN
ejde-2	343	19	]	]	PUNCT
ejde-2	343	20	.	.	PUNCT
ejde-2	344	1	by	by	ADP
ejde-2	344	2	(	(	PUNCT
ejde-2	344	3	4.8	4.8	NUM
ejde-2	344	4	)	)	PUNCT
ejde-2	344	5	,	,	PUNCT
ejde-2	344	6	we	we	PRON
ejde-2	344	7	see	see	VERB
ejde-2	344	8	that	that	PRON
ejde-2	344	9	w	w	PROPN
ejde-2	344	10	6∈	6∈	PROPN
ejde-2	344	11	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	344	12	,	,	PUNCT
ejde-2	344	13	b	b	NOUN
ejde-2	344	14	)	)	PUNCT
ejde-2	344	15	.	.	PUNCT
ejde-2	345	1	hence	hence	ADV
ejde-2	345	2	,	,	PUNCT
ejde-2	345	3	w	w	PROPN
ejde-2	345	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	345	5	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	345	6	,	,	PUNCT
ejde-2	345	7	b	b	X
ejde-2	345	8	]	]	X
ejde-2	345	9	\rα(a	\rα(a	PROPN
ejde-2	345	10	,	,	PUNCT
ejde-2	345	11	b	b	NOUN
ejde-2	345	12	)	)	PUNCT
ejde-2	345	13	for	for	ADP
ejde-2	345	14	each	each	DET
ejde-2	345	15	α	α	NOUN
ejde-2	345	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	345	17	(	(	PUNCT
ejde-2	345	18	0	0	NUM
ejde-2	345	19	,	,	PUNCT
ejde-2	345	20	1	1	NUM
ejde-2	345	21	)	)	PUNCT
ejde-2	345	22	.	.	PUNCT
ejde-2	346	1	(	(	PUNCT
ejde-2	346	2	4.10	4.10	NUM
ejde-2	346	3	)	)	PUNCT
ejde-2	346	4	(	(	PUNCT
ejde-2	346	5	2	2	X
ejde-2	346	6	)	)	PUNCT
ejde-2	346	7	by	by	ADP
ejde-2	346	8	(	(	PUNCT
ejde-2	346	9	4.6	4.6	NUM
ejde-2	346	10	)	)	PUNCT
ejde-2	346	11	,	,	PUNCT
ejde-2	346	12	we	we	PRON
ejde-2	346	13	have	have	VERB
ejde-2	346	14	for	for	ADP
ejde-2	346	15	each	each	DET
ejde-2	346	16	α	α	NOUN
ejde-2	346	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	346	18	(	(	PUNCT
ejde-2	346	19	0	0	NUM
ejde-2	346	20	,	,	PUNCT
ejde-2	346	21	1	1	NUM
ejde-2	346	22	)	)	PUNCT
ejde-2	346	23	and	and	CCONJ
ejde-2	346	24	p	p	NOUN
ejde-2	346	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	346	26	(	(	PUNCT
ejde-2	346	27	1	1	NUM
ejde-2	346	28	1−α	1−α	NUM
ejde-2	346	29	,	,	PUNCT
ejde-2	346	30	∞	∞	PROPN
ejde-2	346	31	]	]	X
ejde-2	346	32	,	,	PUNCT
ejde-2	346	33	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	346	34	(	(	PUNCT
ejde-2	346	35	lp(a	lp(a	PROPN
ejde-2	346	36	,	,	PUNCT
ejde-2	346	37	b	b	NOUN
ejde-2	346	38	)	)	PUNCT
ejde-2	346	39	)	)	PUNCT
ejde-2	347	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	347	2	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	347	3	(	(	PUNCT
ejde-2	347	4	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	347	5	,	,	PUNCT
ejde-2	347	6	b	b	NOUN
ejde-2	347	7	)	)	PUNCT
ejde-2	347	8	)	)	PUNCT
ejde-2	348	1	=	=	SYM
ejde-2	348	2	r1−α(a	r1−α(a	PROPN
ejde-2	348	3	,	,	PUNCT
ejde-2	348	4	b	b	NOUN
ejde-2	348	5	)	)	PUNCT
ejde-2	348	6	.	.	PUNCT
ejde-2	349	1	this	this	PRON
ejde-2	349	2	,	,	PUNCT
ejde-2	349	3	together	together	ADV
ejde-2	349	4	with	with	ADP
ejde-2	349	5	(	(	PUNCT
ejde-2	349	6	4.10	4.10	NUM
ejde-2	349	7	)	)	PUNCT
ejde-2	349	8	,	,	PUNCT
ejde-2	349	9	implies	imply	VERB
ejde-2	349	10	that	that	SCONJ
ejde-2	349	11	w	w	PROPN
ejde-2	349	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	349	13	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	349	14	,	,	PUNCT
ejde-2	349	15	b	b	NOUN
ejde-2	349	16	]	]	X
ejde-2	349	17	\r1−α(a	\r1−α(a	NOUN
ejde-2	349	18	,	,	PUNCT
ejde-2	349	19	b	b	NOUN
ejde-2	349	20	)	)	PUNCT
ejde-2	349	21	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	349	22	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	349	23	,	,	PUNCT
ejde-2	349	24	b	b	AUX
ejde-2	349	25	]	]	PUNCT
ejde-2	349	26	\	\	PROPN
ejde-2	349	27	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	349	28	(	(	PUNCT
ejde-2	349	29	lp(a	lp(a	PROPN
ejde-2	349	30	,	,	PUNCT
ejde-2	349	31	b	b	NOUN
ejde-2	349	32	)	)	PUNCT
ejde-2	349	33	)	)	PUNCT
ejde-2	349	34	and	and	CCONJ
ejde-2	349	35	the	the	DET
ejde-2	349	36	result	result	NOUN
ejde-2	349	37	follows	follow	VERB
ejde-2	349	38	.	.	PUNCT
ejde-2	350	1	�	�	NOUN
ejde-2	350	2	we	we	PRON
ejde-2	350	3	refer	refer	VERB
ejde-2	350	4	to	to	ADP
ejde-2	350	5	[	[	X
ejde-2	350	6	4	4	X
ejde-2	350	7	]	]	PUNCT
ejde-2	350	8	for	for	ADP
ejde-2	350	9	another	another	DET
ejde-2	350	10	function	function	NOUN
ejde-2	350	11	in	in	ADP
ejde-2	350	12	c[a	c[a	NUM
ejde-2	350	13	,	,	PUNCT
ejde-2	350	14	b	b	X
ejde-2	350	15	]	]	X
ejde-2	350	16	\rα(a	\rα(a	PROPN
ejde-2	350	17	,	,	PUNCT
ejde-2	350	18	b	b	NOUN
ejde-2	350	19	)	)	PUNCT
ejde-2	350	20	.	.	PUNCT
ejde-2	351	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	351	2	4.5	4.5	NUM
ejde-2	351	3	.	.	PUNCT
ejde-2	352	1	if	if	SCONJ
ejde-2	352	2	u	u	NOUN
ejde-2	352	3	is	be	AUX
ejde-2	352	4	a	a	DET
ejde-2	352	5	solution	solution	NOUN
ejde-2	352	6	of	of	ADP
ejde-2	352	7	(	(	PUNCT
ejde-2	352	8	4.3	4.3	NUM
ejde-2	352	9	)	)	PUNCT
ejde-2	352	10	,	,	PUNCT
ejde-2	352	11	then	then	ADV
ejde-2	352	12	the	the	DET
ejde-2	352	13	following	follow	VERB
ejde-2	352	14	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	352	15	hold	hold	VERB
ejde-2	352	16	.	.	PUNCT
ejde-2	353	1	(	(	PUNCT
ejde-2	353	2	1	1	X
ejde-2	353	3	)	)	PUNCT
ejde-2	353	4	if	if	SCONJ
ejde-2	353	5	v	v	ADJ
ejde-2	353	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	353	7	(	(	PUNCT
ejde-2	353	8	h1	h1	PROPN
ejde-2	353	9	)	)	PUNCT
ejde-2	353	10	,	,	PUNCT
ejde-2	353	11	then	then	ADV
ejde-2	353	12	u(n−1)(x	u(n−1)(x	PROPN
ejde-2	353	13	)	)	PUNCT
ejde-2	353	14	=	=	SYM
ejde-2	354	1	un−1	un−1	ADJ
ejde-2	354	2	+	+	NUM
ejde-2	354	3	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	354	4	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	354	5	)	)	PUNCT
ejde-2	354	6	for	for	ADP
ejde-2	354	7	each	each	DET
ejde-2	354	8	x	x	SYM
ejde-2	354	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	354	10	[	[	X
ejde-2	354	11	a	a	X
ejde-2	354	12	,	,	PUNCT
ejde-2	354	13	b	b	NOUN
ejde-2	354	14	]	]	X
ejde-2	354	15	.	.	PUNCT
ejde-2	355	1	(	(	PUNCT
ejde-2	355	2	4.11	4.11	NUM
ejde-2	355	3	)	)	PUNCT
ejde-2	355	4	(	(	PUNCT
ejde-2	355	5	2	2	X
ejde-2	355	6	)	)	PUNCT
ejde-2	355	7	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	355	8	v	v	ADP
ejde-2	355	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	355	10	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	355	11	,	,	PUNCT
ejde-2	355	12	b	b	X
ejde-2	355	13	]	]	X
ejde-2	355	14	if	if	SCONJ
ejde-2	355	15	and	and	CCONJ
ejde-2	355	16	only	only	ADV
ejde-2	355	17	if	if	SCONJ
ejde-2	355	18	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	355	19	)	)	PUNCT
ejde-2	355	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	355	21	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	355	22	,	,	PUNCT
ejde-2	355	23	b	b	NOUN
ejde-2	355	24	]	]	X
ejde-2	355	25	.	.	PUNCT
ejde-2	356	1	(	(	PUNCT
ejde-2	356	2	3	3	X
ejde-2	356	3	)	)	PUNCT
ejde-2	356	4	v	v	NOUN
ejde-2	356	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	356	6	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	356	7	,	,	PUNCT
ejde-2	356	8	b	b	NOUN
ejde-2	356	9	)	)	PUNCT
ejde-2	356	10	if	if	SCONJ
ejde-2	356	11	and	and	CCONJ
ejde-2	356	12	only	only	ADV
ejde-2	356	13	if	if	SCONJ
ejde-2	356	14	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	356	15	)	)	PUNCT
ejde-2	356	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	356	17	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	356	18	,	,	PUNCT
ejde-2	356	19	b	b	NOUN
ejde-2	356	20	]	]	PUNCT
ejde-2	356	21	and	and	CCONJ
ejde-2	356	22	v	v	ADP
ejde-2	356	23	∈	∈	NOUN
ejde-2	356	24	hα	hα	ADP
ejde-2	356	25	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	356	26	,	,	PUNCT
ejde-2	356	27	b	b	X
ejde-2	356	28	)	)	PUNCT
ejde-2	356	29	∩hα	∩hα	NOUN
ejde-2	356	30	0	0	PUNCT
ejde-2	357	1	(	(	PUNCT
ejde-2	357	2	a	a	DET
ejde-2	357	3	,	,	PUNCT
ejde-2	357	4	b	b	NOUN
ejde-2	357	5	)	)	PUNCT
ejde-2	357	6	.	.	PUNCT
ejde-2	358	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	358	2	.	.	PUNCT
ejde-2	359	1	(	(	PUNCT
ejde-2	359	2	1	1	X
ejde-2	359	3	)	)	PUNCT
ejde-2	359	4	using	use	VERB
ejde-2	359	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	359	6	2.4	2.4	NUM
ejde-2	359	7	(	(	PUNCT
ejde-2	359	8	3	3	NUM
ejde-2	359	9	)	)	PUNCT
ejde-2	359	10	and	and	CCONJ
ejde-2	359	11	(	(	PUNCT
ejde-2	359	12	h1	h1	PROPN
ejde-2	359	13	)	)	PUNCT
ejde-2	359	14	and	and	CCONJ
ejde-2	359	15	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	359	16	both	both	DET
ejde-2	359	17	sides	side	NOUN
ejde-2	359	18	of	of	ADP
ejde-2	359	19	(	(	PUNCT
ejde-2	359	20	4.3	4.3	NUM
ejde-2	359	21	)	)	PUNCT
ejde-2	359	22	n−	n−	NOUN
ejde-2	359	23	1	1	NUM
ejde-2	359	24	times	time	NOUN
ejde-2	359	25	imply	imply	VERB
ejde-2	359	26	(	(	PUNCT
ejde-2	359	27	4.11	4.11	NUM
ejde-2	359	28	)	)	PUNCT
ejde-2	359	29	.	.	PUNCT
ejde-2	360	1	(	(	PUNCT
ejde-2	360	2	2	2	X
ejde-2	360	3	)	)	PUNCT
ejde-2	360	4	by	by	ADP
ejde-2	360	5	(	(	PUNCT
ejde-2	360	6	4.11	4.11	NUM
ejde-2	360	7	)	)	PUNCT
ejde-2	360	8	,	,	PUNCT
ejde-2	360	9	we	we	PRON
ejde-2	360	10	see	see	VERB
ejde-2	360	11	that	that	SCONJ
ejde-2	360	12	the	the	DET
ejde-2	360	13	result	result	NOUN
ejde-2	360	14	(	(	PUNCT
ejde-2	360	15	2	2	X
ejde-2	360	16	)	)	PUNCT
ejde-2	360	17	holds	hold	VERB
ejde-2	360	18	.	.	PUNCT
ejde-2	361	1	(	(	PUNCT
ejde-2	361	2	3	3	X
ejde-2	361	3	)	)	PUNCT
ejde-2	361	4	if	if	SCONJ
ejde-2	361	5	v	v	NUM
ejde-2	361	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	361	7	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	361	8	,	,	PUNCT
ejde-2	361	9	b	b	NOUN
ejde-2	361	10	)	)	PUNCT
ejde-2	361	11	,	,	PUNCT
ejde-2	361	12	then	then	ADV
ejde-2	361	13	by	by	ADP
ejde-2	361	14	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	361	15	4.3(1	4.3(1	NUM
ejde-2	361	16	)	)	PUNCT
ejde-2	361	17	,	,	PUNCT
ejde-2	361	18	v	v	X
ejde-2	361	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	361	20	hα	hα	ADP
ejde-2	361	21	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	361	22	,	,	PUNCT
ejde-2	361	23	b	b	NOUN
ejde-2	361	24	)	)	PUNCT
ejde-2	361	25	∩	∩	NOUN
ejde-2	361	26	hα	hα	ADP
ejde-2	361	27	0	0	NUM
ejde-2	361	28	(	(	PUNCT
ejde-2	361	29	a	a	DET
ejde-2	361	30	,	,	PUNCT
ejde-2	361	31	b	b	NOUN
ejde-2	361	32	)	)	PUNCT
ejde-2	361	33	.	.	PUNCT
ejde-2	362	1	since	since	SCONJ
ejde-2	362	2	i1−αa+	i1−αa+	PROPN
ejde-2	362	3	v	v	ADP
ejde-2	362	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	362	5	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	362	6	,	,	PUNCT
ejde-2	362	7	b	b	NOUN
ejde-2	362	8	]	]	X
ejde-2	362	9	,	,	PUNCT
ejde-2	362	10	by	by	ADP
ejde-2	362	11	(	(	PUNCT
ejde-2	362	12	4.11	4.11	NUM
ejde-2	362	13	)	)	PUNCT
ejde-2	362	14	we	we	PRON
ejde-2	362	15	have	have	VERB
ejde-2	362	16	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	362	17	)	)	PUNCT
ejde-2	362	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	362	19	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	362	20	,	,	PUNCT
ejde-2	362	21	b	b	NOUN
ejde-2	362	22	]	]	X
ejde-2	362	23	.	.	PUNCT
ejde-2	363	1	conversely	conversely	ADV
ejde-2	363	2	,	,	PUNCT
ejde-2	363	3	if	if	SCONJ
ejde-2	363	4	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	363	5	)	)	PUNCT
ejde-2	363	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	363	7	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	363	8	,	,	PUNCT
ejde-2	363	9	b	b	NOUN
ejde-2	363	10	]	]	PUNCT
ejde-2	363	11	and	and	CCONJ
ejde-2	363	12	v	v	ADP
ejde-2	363	13	∈	∈	NOUN
ejde-2	363	14	hα	hα	ADP
ejde-2	363	15	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	363	16	,	,	PUNCT
ejde-2	363	17	b	b	X
ejde-2	363	18	)	)	PUNCT
ejde-2	363	19	∩hα	∩hα	NOUN
ejde-2	363	20	0	0	PUNCT
ejde-2	364	1	(	(	PUNCT
ejde-2	364	2	a	a	DET
ejde-2	364	3	,	,	PUNCT
ejde-2	364	4	b	b	NOUN
ejde-2	364	5	)	)	PUNCT
ejde-2	364	6	,	,	PUNCT
ejde-2	364	7	then	then	ADV
ejde-2	364	8	v	v	X
ejde-2	364	9	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	364	10	(	(	PUNCT
ejde-2	364	11	h1	h1	PROPN
ejde-2	364	12	)	)	PUNCT
ejde-2	364	13	and	and	CCONJ
ejde-2	364	14	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	364	15	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	364	16	)	)	PUNCT
ejde-2	364	17	=	=	SYM
ejde-2	365	1	0	0	X
ejde-2	365	2	.	.	PUNCT
ejde-2	365	3	by	by	ADP
ejde-2	365	4	(	(	PUNCT
ejde-2	365	5	4.11	4.11	NUM
ejde-2	365	6	)	)	PUNCT
ejde-2	365	7	and	and	CCONJ
ejde-2	365	8	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	365	9	)	)	PUNCT
ejde-2	365	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	365	11	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	365	12	,	,	PUNCT
ejde-2	365	13	b	b	NOUN
ejde-2	365	14	]	]	X
ejde-2	365	15	,	,	PUNCT
ejde-2	365	16	we	we	PRON
ejde-2	365	17	obtain	obtain	VERB
ejde-2	365	18	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	365	19	v	v	ADP
ejde-2	365	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	365	21	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	365	22	,	,	PUNCT
ejde-2	365	23	b	b	NOUN
ejde-2	365	24	]	]	X
ejde-2	365	25	.	.	PUNCT
ejde-2	366	1	hence	hence	ADV
ejde-2	366	2	,	,	PUNCT
ejde-2	366	3	v	v	PROPN
ejde-2	366	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	366	5	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	366	6	,	,	PUNCT
ejde-2	366	7	b	b	NOUN
ejde-2	366	8	)	)	PUNCT
ejde-2	366	9	.	.	PUNCT
ejde-2	367	1	�	�	PROPN
ejde-2	367	2	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	367	3	linear	linear	ADJ
ejde-2	367	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	367	5	differential	differential	NOUN
ejde-2	367	6	and	and	CCONJ
ejde-2	367	7	integral	integral	ADJ
ejde-2	367	8	equations	equation	NOUN
ejde-2	367	9	11	11	NUM
ejde-2	367	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	367	11	4.6	4.6	NUM
ejde-2	367	12	.	.	PUNCT
ejde-2	368	1	let	let	VERB
ejde-2	368	2	n	n	PRON
ejde-2	368	3	≥	≥	NOUN
ejde-2	368	4	2	2	NUM
ejde-2	368	5	,	,	PUNCT
ejde-2	368	6	y	y	PROPN
ejde-2	368	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	368	8	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	368	9	,	,	PUNCT
ejde-2	368	10	b	b	NOUN
ejde-2	368	11	]	]	PUNCT
ejde-2	368	12	and	and	CCONJ
ejde-2	368	13	v	v	ADP
ejde-2	368	14	∈	∈	NOUN
ejde-2	368	15	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	368	16	,	,	PUNCT
ejde-2	368	17	b	b	NOUN
ejde-2	368	18	)	)	PUNCT
ejde-2	368	19	.	.	PUNCT
ejde-2	369	1	then	then	ADV
ejde-2	369	2	the	the	DET
ejde-2	369	3	following	follow	VERB
ejde-2	369	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	369	5	are	be	AUX
ejde-2	369	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	369	7	.	.	PUNCT
ejde-2	370	1	(	(	PUNCT
ejde-2	370	2	1	1	X
ejde-2	370	3	)	)	PUNCT
ejde-2	370	4	(	(	PUNCT
ejde-2	370	5	iαa+y)(n−1	iαa+y)(n−1	PROPN
ejde-2	370	6	)	)	PUNCT
ejde-2	370	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	370	8	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	370	9	,	,	PUNCT
ejde-2	370	10	b	b	NOUN
ejde-2	370	11	]	]	X
ejde-2	370	12	and	and	CCONJ
ejde-2	370	13	y	y	PROPN
ejde-2	370	14	,	,	PUNCT
ejde-2	370	15	v	v	PART
ejde-2	370	16	satisfy	satisfy	VERB
ejde-2	370	17	the	the	DET
ejde-2	370	18	equation	equation	NOUN
ejde-2	370	19	dn−α	dn−α	NOUN
ejde-2	370	20	a+	a+	PUNCT
ejde-2	370	21	y(x	y(x	PROPN
ejde-2	370	22	)	)	PUNCT
ejde-2	370	23	=	=	SYM
ejde-2	370	24	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	370	25	)	)	PUNCT
ejde-2	370	26	for	for	ADP
ejde-2	370	27	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	370	28	.	.	PUNCT
ejde-2	370	29	x	x	SYM
ejde-2	370	30	∈	∈	PROPN
ejde-2	371	1	[	[	X
ejde-2	371	2	a	a	X
ejde-2	371	3	,	,	PUNCT
ejde-2	371	4	b	b	NOUN
ejde-2	371	5	]	]	X
ejde-2	371	6	.	.	PUNCT
ejde-2	372	1	(	(	PUNCT
ejde-2	372	2	2	2	X
ejde-2	372	3	)	)	PUNCT
ejde-2	372	4	there	there	PRON
ejde-2	372	5	exists	exist	VERB
ejde-2	372	6	{	{	PUNCT
ejde-2	372	7	ci	ci	NOUN
ejde-2	372	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	372	9	r	r	NOUN
ejde-2	372	10	:	:	PUNCT
ejde-2	372	11	i	i	PRON
ejde-2	372	12	∈	∈	VERB
ejde-2	372	13	nn−1	nn−1	ADJ
ejde-2	372	14	}	}	PUNCT
ejde-2	372	15	such	such	ADJ
ejde-2	372	16	that	that	SCONJ
ejde-2	372	17	y(x	y(x	NOUN
ejde-2	372	18	)	)	PUNCT
ejde-2	373	1	=	=	PUNCT
ejde-2	373	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	373	3	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	373	4	ci(x−	ci(x−	PROPN
ejde-2	373	5	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	374	1	+	+	CCONJ
ejde-2	374	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	374	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	374	4	)	)	PUNCT
ejde-2	374	5	for	for	ADP
ejde-2	374	6	each	each	DET
ejde-2	374	7	x	x	SYM
ejde-2	374	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	374	9	[	[	X
ejde-2	374	10	a	a	X
ejde-2	374	11	,	,	PUNCT
ejde-2	374	12	b	b	NOUN
ejde-2	374	13	]	]	PUNCT
ejde-2	374	14	.	.	PUNCT
ejde-2	375	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	375	2	4.6	4.6	NUM
ejde-2	375	3	was	be	AUX
ejde-2	375	4	proved	prove	VERB
ejde-2	375	5	in	in	ADP
ejde-2	375	6	[	[	X
ejde-2	375	7	17	17	NUM
ejde-2	375	8	,	,	PUNCT
ejde-2	375	9	theorem	theorem	VERB
ejde-2	375	10	2.5	2.5	NUM
ejde-2	375	11	]	]	PUNCT
ejde-2	375	12	when	when	SCONJ
ejde-2	375	13	[	[	X
ejde-2	375	14	a	a	X
ejde-2	375	15	,	,	PUNCT
ejde-2	375	16	b	b	NOUN
ejde-2	375	17	]	]	X
ejde-2	375	18	=	=	PUNCT
ejde-2	376	1	[	[	X
ejde-2	376	2	0	0	NUM
ejde-2	376	3	,	,	PUNCT
ejde-2	376	4	1	1	NUM
ejde-2	376	5	]	]	PUNCT
ejde-2	376	6	,	,	PUNCT
ejde-2	376	7	but	but	CCONJ
ejde-2	376	8	it	it	PRON
ejde-2	376	9	is	be	AUX
ejde-2	376	10	easy	easy	ADJ
ejde-2	376	11	to	to	PART
ejde-2	376	12	see	see	VERB
ejde-2	376	13	that	that	SCONJ
ejde-2	376	14	the	the	DET
ejde-2	376	15	result	result	NOUN
ejde-2	376	16	holds	hold	VERB
ejde-2	376	17	on	on	ADP
ejde-2	376	18	[	[	X
ejde-2	376	19	a	a	X
ejde-2	376	20	,	,	PUNCT
ejde-2	376	21	b	b	NOUN
ejde-2	376	22	]	]	PUNCT
ejde-2	376	23	.	.	PUNCT
ejde-2	377	1	now	now	ADV
ejde-2	377	2	,	,	PUNCT
ejde-2	377	3	we	we	PRON
ejde-2	377	4	prove	prove	VERB
ejde-2	377	5	the	the	DET
ejde-2	377	6	following	following	ADJ
ejde-2	377	7	result	result	NOUN
ejde-2	377	8	on	on	ADP
ejde-2	377	9	implications	implication	NOUN
ejde-2	377	10	between	between	ADP
ejde-2	377	11	(	(	PUNCT
ejde-2	377	12	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	377	13	)	)	PUNCT
ejde-2	377	14	and	and	CCONJ
ejde-2	377	15	(	(	PUNCT
ejde-2	377	16	4.3	4.3	NUM
ejde-2	377	17	)	)	PUNCT
ejde-2	377	18	.	.	PUNCT
ejde-2	378	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	378	2	4.7	4.7	NUM
ejde-2	378	3	.	.	PUNCT
ejde-2	379	1	(	(	PUNCT
ejde-2	379	2	1	1	X
ejde-2	379	3	)	)	PUNCT
ejde-2	379	4	if	if	SCONJ
ejde-2	379	5	v	v	NUM
ejde-2	379	6	∈	∈	NOUN
ejde-2	379	7	hα	hα	ADP
ejde-2	379	8	0	0	NUM
ejde-2	379	9	(	(	PUNCT
ejde-2	379	10	a	a	DET
ejde-2	379	11	,	,	PUNCT
ejde-2	379	12	b	b	NOUN
ejde-2	379	13	)	)	PUNCT
ejde-2	379	14	and	and	CCONJ
ejde-2	379	15	u	u	NOUN
ejde-2	379	16	is	be	AUX
ejde-2	379	17	a	a	DET
ejde-2	379	18	solution	solution	NOUN
ejde-2	379	19	of	of	ADP
ejde-2	379	20	(	(	PUNCT
ejde-2	379	21	4.3	4.3	NUM
ejde-2	379	22	)	)	PUNCT
ejde-2	379	23	,	,	PUNCT
ejde-2	379	24	then	then	ADV
ejde-2	379	25	u	u	PROPN
ejde-2	379	26	∈	∈	PROPN
ejde-2	379	27	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	379	28	,	,	PUNCT
ejde-2	379	29	b	b	NOUN
ejde-2	379	30	]	]	X
ejde-2	379	31	,	,	PUNCT
ejde-2	379	32	(	(	PUNCT
ejde-2	379	33	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	379	34	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	379	35	)	)	PUNCT
ejde-2	379	36	∈	∈	PROPN
ejde-2	379	37	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	379	38	,	,	PUNCT
ejde-2	379	39	b	b	NOUN
ejde-2	379	40	]	]	PUNCT
ejde-2	379	41	and	and	CCONJ
ejde-2	379	42	u	u	NOUN
ejde-2	379	43	is	be	AUX
ejde-2	379	44	a	a	DET
ejde-2	379	45	solution	solution	NOUN
ejde-2	379	46	of	of	ADP
ejde-2	379	47	(	(	PUNCT
ejde-2	379	48	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	379	49	)	)	PUNCT
ejde-2	379	50	.	.	PUNCT
ejde-2	380	1	(	(	PUNCT
ejde-2	380	2	2	2	X
ejde-2	380	3	)	)	PUNCT
ejde-2	380	4	if	if	SCONJ
ejde-2	380	5	v	v	NUM
ejde-2	380	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	380	7	hα	hα	ADP
ejde-2	380	8	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	380	9	,	,	PUNCT
ejde-2	380	10	b	b	X
ejde-2	380	11	)	)	PUNCT
ejde-2	380	12	,	,	PUNCT
ejde-2	380	13	u	u	PROPN
ejde-2	380	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	380	15	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	380	16	,	,	PUNCT
ejde-2	380	17	b	b	NOUN
ejde-2	380	18	]	]	X
ejde-2	380	19	,	,	PUNCT
ejde-2	380	20	(	(	PUNCT
ejde-2	380	21	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	380	22	−	−	ADP
ejde-2	380	23	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	380	24	)	)	PUNCT
ejde-2	380	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	380	26	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	380	27	,	,	PUNCT
ejde-2	380	28	b	b	NOUN
ejde-2	380	29	]	]	PUNCT
ejde-2	380	30	and	and	CCONJ
ejde-2	380	31	u	u	NOUN
ejde-2	380	32	is	be	AUX
ejde-2	380	33	a	a	DET
ejde-2	380	34	solution	solution	NOUN
ejde-2	380	35	of	of	ADP
ejde-2	380	36	(	(	PUNCT
ejde-2	380	37	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	380	38	)	)	PUNCT
ejde-2	380	39	,	,	PUNCT
ejde-2	380	40	then	then	ADV
ejde-2	380	41	u	u	NOUN
ejde-2	380	42	is	be	AUX
ejde-2	380	43	a	a	DET
ejde-2	380	44	solution	solution	NOUN
ejde-2	380	45	of	of	ADP
ejde-2	380	46	(	(	PUNCT
ejde-2	380	47	4.3	4.3	NUM
ejde-2	380	48	)	)	PUNCT
ejde-2	380	49	and	and	CCONJ
ejde-2	380	50	v	v	ADP
ejde-2	380	51	∈	∈	NOUN
ejde-2	380	52	hα	hα	ADP
ejde-2	380	53	0	0	NUM
ejde-2	380	54	(	(	PUNCT
ejde-2	380	55	a	a	DET
ejde-2	380	56	,	,	PUNCT
ejde-2	380	57	b	b	NOUN
ejde-2	380	58	)	)	PUNCT
ejde-2	380	59	.	.	PUNCT
ejde-2	381	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	381	2	.	.	PUNCT
ejde-2	382	1	(	(	PUNCT
ejde-2	382	2	1	1	X
ejde-2	382	3	)	)	PUNCT
ejde-2	382	4	assume	assume	VERB
ejde-2	382	5	that	that	SCONJ
ejde-2	382	6	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	382	7	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	382	8	)	)	PUNCT
ejde-2	382	9	=	=	SYM
ejde-2	382	10	0	0	PUNCT
ejde-2	382	11	and	and	CCONJ
ejde-2	382	12	u	u	NOUN
ejde-2	382	13	is	be	AUX
ejde-2	382	14	a	a	DET
ejde-2	382	15	solution	solution	NOUN
ejde-2	382	16	of	of	ADP
ejde-2	382	17	(	(	PUNCT
ejde-2	382	18	4.3	4.3	NUM
ejde-2	382	19	)	)	PUNCT
ejde-2	382	20	.	.	PUNCT
ejde-2	383	1	by	by	ADP
ejde-2	383	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	383	3	2.4	2.4	NUM
ejde-2	383	4	(	(	PUNCT
ejde-2	383	5	2	2	NUM
ejde-2	383	6	)	)	PUNCT
ejde-2	383	7	and	and	CCONJ
ejde-2	383	8	(	(	PUNCT
ejde-2	383	9	3	3	NUM
ejde-2	383	10	)	)	PUNCT
ejde-2	383	11	,	,	PUNCT
ejde-2	383	12	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	383	13	v	v	PROPN
ejde-2	383	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	383	15	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	383	16	,	,	PUNCT
ejde-2	383	17	b	b	NOUN
ejde-2	383	18	]	]	X
ejde-2	383	19	.	.	PUNCT
ejde-2	384	1	this	this	PRON
ejde-2	384	2	,	,	PUNCT
ejde-2	384	3	together	together	ADV
ejde-2	384	4	with	with	ADP
ejde-2	384	5	(	(	PUNCT
ejde-2	384	6	4.3	4.3	NUM
ejde-2	384	7	)	)	PUNCT
ejde-2	384	8	,	,	PUNCT
ejde-2	384	9	implies	imply	VERB
ejde-2	384	10	u	u	PROPN
ejde-2	384	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	384	12	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	384	13	,	,	PUNCT
ejde-2	384	14	b	b	NOUN
ejde-2	384	15	]	]	PUNCT
ejde-2	384	16	.	.	PUNCT
ejde-2	385	1	let	let	VERB
ejde-2	385	2	y	y	PROPN
ejde-2	385	3	=	=	PUNCT
ejde-2	385	4	u−	u−	PROPN
ejde-2	385	5	pn−1	pn−1	PROPN
ejde-2	385	6	and	and	CCONJ
ejde-2	385	7	ci	ci	NOUN
ejde-2	386	1	=	=	NOUN
ejde-2	386	2	0	0	PROPN
ejde-2	387	1	for	for	ADP
ejde-2	387	2	i	i	PRON
ejde-2	387	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	387	4	nn−1	nn−1	PROPN
ejde-2	387	5	.	.	PUNCT
ejde-2	388	1	then	then	ADV
ejde-2	388	2	y	y	PROPN
ejde-2	388	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	388	4	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	388	5	,	,	PUNCT
ejde-2	388	6	b	b	NOUN
ejde-2	388	7	]	]	PUNCT
ejde-2	388	8	and	and	CCONJ
ejde-2	388	9	by	by	ADP
ejde-2	388	10	(	(	PUNCT
ejde-2	388	11	4.3	4.3	NUM
ejde-2	388	12	)	)	PUNCT
ejde-2	388	13	,	,	PUNCT
ejde-2	388	14	we	we	PRON
ejde-2	388	15	have	have	VERB
ejde-2	388	16	y(x	y(x	NOUN
ejde-2	388	17	)	)	PUNCT
ejde-2	388	18	=	=	SYM
ejde-2	388	19	in−αa+	in−αa+	NOUN
ejde-2	388	20	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	388	21	)	)	PUNCT
ejde-2	388	22	=	=	PRON
ejde-2	389	1	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	389	2	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	389	3	ci(x−	ci(x−	PROPN
ejde-2	389	4	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	390	1	+	+	CCONJ
ejde-2	390	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	390	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	390	4	)	)	PUNCT
ejde-2	390	5	for	for	ADP
ejde-2	390	6	each	each	DET
ejde-2	390	7	x	x	SYM
ejde-2	390	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	390	9	[	[	X
ejde-2	390	10	a	a	X
ejde-2	390	11	,	,	PUNCT
ejde-2	390	12	b	b	NOUN
ejde-2	390	13	]	]	X
ejde-2	390	14	.	.	PUNCT
ejde-2	391	1	since	since	SCONJ
ejde-2	391	2	(	(	PUNCT
ejde-2	391	3	2	2	X
ejde-2	391	4	)	)	PUNCT
ejde-2	391	5	implying	imply	VERB
ejde-2	391	6	(	(	PUNCT
ejde-2	391	7	1	1	NUM
ejde-2	391	8	)	)	PUNCT
ejde-2	391	9	of	of	ADP
ejde-2	391	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	391	11	4.6	4.6	NUM
ejde-2	391	12	,	,	PUNCT
ejde-2	391	13	(	(	PUNCT
ejde-2	391	14	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	391	15	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	PROPN
ejde-2	391	16	)	)	PUNCT
ejde-2	391	17	=	=	SYM
ejde-2	391	18	(	(	PUNCT
ejde-2	391	19	iαa+y)(n−1	iαa+y)(n−1	PROPN
ejde-2	391	20	)	)	PUNCT
ejde-2	391	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	391	22	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	391	23	,	,	PUNCT
ejde-2	391	24	b	b	NOUN
ejde-2	391	25	]	]	X
ejde-2	391	26	,	,	PUNCT
ejde-2	391	27	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	391	28	p	p	PRON
ejde-2	391	29	,	,	PUNCT
ejde-2	391	30	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	391	31	)	)	PUNCT
ejde-2	391	32	=	=	SYM
ejde-2	391	33	dn−α	dn−α	NOUN
ejde-2	391	34	a+	a+	PUNCT
ejde-2	391	35	y(x	y(x	PROPN
ejde-2	391	36	)	)	PUNCT
ejde-2	391	37	=	=	SYM
ejde-2	391	38	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	391	39	)	)	PUNCT
ejde-2	391	40	for	for	ADP
ejde-2	391	41	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	391	42	.	.	PUNCT
ejde-2	391	43	x	x	SYM
ejde-2	391	44	∈	∈	PROPN
ejde-2	392	1	[	[	X
ejde-2	392	2	a	a	X
ejde-2	392	3	,	,	PUNCT
ejde-2	392	4	b	b	NOUN
ejde-2	392	5	]	]	PUNCT
ejde-2	392	6	.	.	PUNCT
ejde-2	393	1	now	now	ADV
ejde-2	393	2	,	,	PUNCT
ejde-2	393	3	we	we	PRON
ejde-2	393	4	prove	prove	VERB
ejde-2	393	5	that	that	SCONJ
ejde-2	393	6	u	u	PRON
ejde-2	393	7	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	393	8	(	(	PUNCT
ejde-2	393	9	4.2	4.2	NUM
ejde-2	393	10	)	)	PUNCT
ejde-2	393	11	.	.	PUNCT
ejde-2	394	1	if	if	SCONJ
ejde-2	394	2	n	n	NOUN
ejde-2	394	3	=	=	SYM
ejde-2	394	4	2	2	NUM
ejde-2	394	5	,	,	PUNCT
ejde-2	394	6	then	then	ADV
ejde-2	394	7	by	by	ADP
ejde-2	394	8	(	(	PUNCT
ejde-2	394	9	4.3	4.3	NUM
ejde-2	394	10	)	)	PUNCT
ejde-2	394	11	,	,	PUNCT
ejde-2	394	12	we	we	PRON
ejde-2	394	13	have	have	VERB
ejde-2	394	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	394	15	)	)	PUNCT
ejde-2	394	16	=	=	PUNCT
ejde-2	395	1	u0	u0	ADJ
ejde-2	395	2	+	+	ADJ
ejde-2	395	3	u1(x−	u1(x−	X
ejde-2	395	4	a	a	NOUN
ejde-2	395	5	)	)	PUNCT
ejde-2	396	1	+	+	NUM
ejde-2	396	2	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	396	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	396	4	)	)	PUNCT
ejde-2	396	5	for	for	ADP
ejde-2	396	6	each	each	DET
ejde-2	396	7	x	x	SYM
ejde-2	396	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	396	9	[	[	X
ejde-2	396	10	a	a	X
ejde-2	396	11	,	,	PUNCT
ejde-2	396	12	b	b	NOUN
ejde-2	396	13	]	]	PUNCT
ejde-2	396	14	.	.	PUNCT
ejde-2	397	1	by	by	ADP
ejde-2	397	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	397	3	2.4	2.4	NUM
ejde-2	397	4	(	(	PUNCT
ejde-2	397	5	4	4	NUM
ejde-2	397	6	)	)	PUNCT
ejde-2	397	7	,	,	PUNCT
ejde-2	397	8	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	397	9	v(a	v(a	PROPN
ejde-2	397	10	)	)	PUNCT
ejde-2	397	11	=	=	SYM
ejde-2	397	12	0	0	NUM
ejde-2	397	13	and	and	CCONJ
ejde-2	397	14	u(a	u(a	NOUN
ejde-2	397	15	)	)	PUNCT
ejde-2	397	16	=	=	PUNCT
ejde-2	397	17	u0	u0	ADJ
ejde-2	397	18	.	.	PUNCT
ejde-2	398	1	using	use	VERB
ejde-2	398	2	(	(	PUNCT
ejde-2	398	3	h1	h1	PROPN
ejde-2	398	4	)	)	PUNCT
ejde-2	398	5	and	and	CCONJ
ejde-2	398	6	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	398	7	both	both	DET
ejde-2	398	8	sides	side	NOUN
ejde-2	398	9	of	of	ADP
ejde-2	398	10	the	the	DET
ejde-2	398	11	above	above	ADJ
ejde-2	398	12	equation	equation	NOUN
ejde-2	398	13	we	we	PRON
ejde-2	398	14	obtain	obtain	VERB
ejde-2	398	15	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	398	16	)	)	PUNCT
ejde-2	398	17	=	=	SYM
ejde-2	398	18	u1	u1	NOUN
ejde-2	398	19	+	+	NUM
ejde-2	398	20	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	398	21	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	398	22	)	)	PUNCT
ejde-2	398	23	for	for	ADP
ejde-2	398	24	each	each	DET
ejde-2	398	25	x	x	SYM
ejde-2	398	26	∈	∈	PROPN
ejde-2	399	1	[	[	X
ejde-2	399	2	a	a	X
ejde-2	399	3	,	,	PUNCT
ejde-2	399	4	b	b	NOUN
ejde-2	399	5	]	]	X
ejde-2	399	6	.	.	PUNCT
ejde-2	400	1	this	this	PRON
ejde-2	400	2	,	,	PUNCT
ejde-2	400	3	together	together	ADV
ejde-2	400	4	with	with	ADP
ejde-2	400	5	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	400	6	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	400	7	)	)	PUNCT
ejde-2	400	8	=	=	SYM
ejde-2	400	9	0	0	NUM
ejde-2	400	10	,	,	PUNCT
ejde-2	400	11	implies	imply	VERB
ejde-2	400	12	u′(a	u′(a	PUNCT
ejde-2	400	13	)	)	PUNCT
ejde-2	400	14	=	=	SYM
ejde-2	400	15	u1	u1	NOUN
ejde-2	400	16	and	and	CCONJ
ejde-2	400	17	(	(	PUNCT
ejde-2	400	18	4.2	4.2	NUM
ejde-2	400	19	)	)	PUNCT
ejde-2	400	20	with	with	ADP
ejde-2	400	21	n	n	NOUN
ejde-2	400	22	=	=	SYM
ejde-2	400	23	2	2	NUM
ejde-2	400	24	holds	hold	NOUN
ejde-2	400	25	.	.	PUNCT
ejde-2	401	1	if	if	SCONJ
ejde-2	401	2	n	n	NOUN
ejde-2	401	3	=	=	SYM
ejde-2	401	4	3	3	NUM
ejde-2	401	5	,	,	PUNCT
ejde-2	401	6	then	then	ADV
ejde-2	401	7	using	use	VERB
ejde-2	401	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	401	9	2.4	2.4	NUM
ejde-2	401	10	(	(	PUNCT
ejde-2	401	11	3	3	NUM
ejde-2	401	12	)	)	PUNCT
ejde-2	401	13	and	and	CCONJ
ejde-2	401	14	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	401	15	both	both	DET
ejde-2	401	16	sides	side	NOUN
ejde-2	401	17	of	of	ADP
ejde-2	401	18	(	(	PUNCT
ejde-2	401	19	4.3	4.3	NUM
ejde-2	401	20	)	)	PUNCT
ejde-2	401	21	with	with	ADP
ejde-2	401	22	n	n	NOUN
ejde-2	401	23	=	=	SYM
ejde-2	401	24	3	3	NUM
ejde-2	401	25	,	,	PUNCT
ejde-2	401	26	we	we	PRON
ejde-2	401	27	have	have	VERB
ejde-2	401	28	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	401	29	)	)	PUNCT
ejde-2	401	30	=	=	NOUN
ejde-2	401	31	u1	u1	NOUN
ejde-2	401	32	+	+	CCONJ
ejde-2	401	33	u2(x−	u2(x−	ADP
ejde-2	401	34	a	a	X
ejde-2	401	35	)	)	PUNCT
ejde-2	402	1	+	+	NUM
ejde-2	402	2	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	402	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	402	4	)	)	PUNCT
ejde-2	402	5	for	for	ADP
ejde-2	402	6	each	each	DET
ejde-2	402	7	x	x	SYM
ejde-2	402	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	402	9	[	[	X
ejde-2	402	10	a	a	X
ejde-2	402	11	,	,	PUNCT
ejde-2	402	12	b	b	NOUN
ejde-2	402	13	]	]	PUNCT
ejde-2	402	14	.	.	PUNCT
ejde-2	403	1	by	by	ADP
ejde-2	403	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	403	3	2.4	2.4	NUM
ejde-2	403	4	(	(	PUNCT
ejde-2	403	5	4	4	NUM
ejde-2	403	6	)	)	PUNCT
ejde-2	403	7	,	,	PUNCT
ejde-2	403	8	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	403	9	v(a	v(a	PROPN
ejde-2	403	10	)	)	PUNCT
ejde-2	403	11	=	=	SYM
ejde-2	403	12	0	0	NUM
ejde-2	403	13	and	and	CCONJ
ejde-2	403	14	u′(a	u′(a	NUM
ejde-2	403	15	)	)	PUNCT
ejde-2	403	16	=	=	SYM
ejde-2	403	17	u1	u1	NOUN
ejde-2	403	18	.	.	PUNCT
ejde-2	404	1	using	use	VERB
ejde-2	404	2	(	(	PUNCT
ejde-2	404	3	h1	h1	PROPN
ejde-2	404	4	)	)	PUNCT
ejde-2	404	5	and	and	CCONJ
ejde-2	404	6	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	404	7	both	both	DET
ejde-2	404	8	sides	side	NOUN
ejde-2	404	9	of	of	ADP
ejde-2	404	10	the	the	DET
ejde-2	404	11	above	above	ADJ
ejde-2	404	12	equation	equation	NOUN
ejde-2	404	13	we	we	PRON
ejde-2	404	14	obtain	obtain	VERB
ejde-2	404	15	u′′(x	u′′(x	NOUN
ejde-2	404	16	)	)	PUNCT
ejde-2	404	17	=	=	SYM
ejde-2	404	18	u2	u2	NOUN
ejde-2	404	19	+	+	NUM
ejde-2	404	20	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	404	21	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	404	22	)	)	PUNCT
ejde-2	404	23	for	for	ADP
ejde-2	404	24	each	each	DET
ejde-2	404	25	x	x	SYM
ejde-2	404	26	∈	∈	PROPN
ejde-2	404	27	[	[	X
ejde-2	404	28	a	a	X
ejde-2	404	29	,	,	PUNCT
ejde-2	404	30	b	b	NOUN
ejde-2	404	31	]	]	X
ejde-2	404	32	.	.	PUNCT
ejde-2	405	1	this	this	PRON
ejde-2	405	2	,	,	PUNCT
ejde-2	405	3	together	together	ADV
ejde-2	405	4	with	with	ADP
ejde-2	405	5	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	405	6	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	405	7	)	)	PUNCT
ejde-2	405	8	=	=	SYM
ejde-2	405	9	0	0	NUM
ejde-2	405	10	,	,	PUNCT
ejde-2	405	11	implies	imply	VERB
ejde-2	405	12	u′′(a	u′′(a	NOUN
ejde-2	405	13	)	)	PUNCT
ejde-2	405	14	=	=	SYM
ejde-2	405	15	u2	u2	PROPN
ejde-2	405	16	.	.	PUNCT
ejde-2	406	1	hence	hence	ADV
ejde-2	406	2	,	,	PUNCT
ejde-2	406	3	(	(	PUNCT
ejde-2	406	4	4.2	4.2	NUM
ejde-2	406	5	)	)	PUNCT
ejde-2	406	6	with	with	ADP
ejde-2	406	7	n	n	NOUN
ejde-2	406	8	=	=	SYM
ejde-2	406	9	3	3	NUM
ejde-2	406	10	holds	hold	VERB
ejde-2	406	11	and	and	CCONJ
ejde-2	406	12	(	(	PUNCT
ejde-2	406	13	2	2	X
ejde-2	406	14	)	)	PUNCT
ejde-2	406	15	holds	hold	NOUN
ejde-2	406	16	.	.	PUNCT
ejde-2	407	1	12	12	NUM
ejde-2	407	2	k.	k.	PROPN
ejde-2	407	3	lan	lan	PROPN
ejde-2	407	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	407	5	if	if	SCONJ
ejde-2	407	6	n	n	NUM
ejde-2	407	7	≥	≥	NOUN
ejde-2	407	8	4	4	NUM
ejde-2	407	9	,	,	PUNCT
ejde-2	407	10	then	then	ADV
ejde-2	407	11	by	by	ADP
ejde-2	407	12	(	(	PUNCT
ejde-2	407	13	4.3	4.3	NUM
ejde-2	407	14	)	)	PUNCT
ejde-2	407	15	and	and	CCONJ
ejde-2	407	16	(	(	PUNCT
ejde-2	407	17	2.4	2.4	NUM
ejde-2	407	18	)	)	PUNCT
ejde-2	407	19	,	,	PUNCT
ejde-2	407	20	we	we	PRON
ejde-2	407	21	have	have	VERB
ejde-2	407	22	for	for	ADP
ejde-2	407	23	each	each	DET
ejde-2	407	24	k	k	PROPN
ejde-2	407	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	407	26	nn−3	nn−3	PROPN
ejde-2	407	27	and	and	CCONJ
ejde-2	407	28	x	x	PUNCT
ejde-2	407	29	∈	∈	PROPN
ejde-2	408	1	[	[	X
ejde-2	408	2	a	a	X
ejde-2	408	3	,	,	PUNCT
ejde-2	408	4	b	b	NOUN
ejde-2	408	5	]	]	X
ejde-2	408	6	,	,	PUNCT
ejde-2	408	7	u(k)(x	u(k)(x	PROPN
ejde-2	408	8	)	)	PUNCT
ejde-2	408	9	=	=	SYM
ejde-2	409	1	(	(	PUNCT
ejde-2	409	2	n−1∑	n−1∑	ADJ
ejde-2	409	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	409	4	u(i	u(i	PROPN
ejde-2	409	5	)	)	PUNCT
ejde-2	409	6	i	i	PRON
ejde-2	409	7	!	!	PUNCT
ejde-2	410	1	(	(	PUNCT
ejde-2	410	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	410	3	a)i	a)i	X
ejde-2	410	4	)	)	PUNCT
ejde-2	410	5	(	(	PUNCT
ejde-2	410	6	k	k	NOUN
ejde-2	410	7	)	)	PUNCT
ejde-2	410	8	+	+	CCONJ
ejde-2	410	9	(	(	PUNCT
ejde-2	410	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	410	11	v)(k)(x	v)(k)(x	PROPN
ejde-2	410	12	)	)	PUNCT
ejde-2	411	1	=	=	PUNCT
ejde-2	411	2	n−1−k∑	n−1−k∑	NOUN
ejde-2	411	3	j=0	j=0	VERB
ejde-2	411	4	uk+j	uk+j	PROPN
ejde-2	411	5	j	j	PROPN
ejde-2	411	6	!	!	PUNCT
ejde-2	412	1	(	(	PUNCT
ejde-2	412	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	412	3	a)j	a)j	PROPN
ejde-2	413	1	+	+	NUM
ejde-2	413	2	in−k−αa+	in−k−αa+	ADJ
ejde-2	413	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	413	4	)	)	PUNCT
ejde-2	413	5	(	(	PUNCT
ejde-2	413	6	4.12	4.12	NUM
ejde-2	413	7	)	)	PUNCT
ejde-2	413	8	and	and	CCONJ
ejde-2	413	9	u(n−2)(x	u(n−2)(x	NOUN
ejde-2	413	10	)	)	PUNCT
ejde-2	413	11	=	=	PRON
ejde-2	413	12	un−2	un−2	VERB
ejde-2	413	13	+	+	SYM
ejde-2	414	1	un−1(x−	un−1(x−	PROPN
ejde-2	414	2	a	a	PRON
ejde-2	414	3	)	)	PUNCT
ejde-2	414	4	+	+	NUM
ejde-2	414	5	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	414	6	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	414	7	)	)	PUNCT
ejde-2	414	8	for	for	ADP
ejde-2	414	9	each	each	DET
ejde-2	414	10	x	x	SYM
ejde-2	414	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	414	12	[	[	X
ejde-2	414	13	a	a	X
ejde-2	414	14	,	,	PUNCT
ejde-2	414	15	b	b	NOUN
ejde-2	414	16	]	]	X
ejde-2	414	17	.	.	PUNCT
ejde-2	415	1	(	(	PUNCT
ejde-2	415	2	4.13	4.13	NUM
ejde-2	415	3	)	)	PUNCT
ejde-2	415	4	by	by	ADP
ejde-2	415	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	415	6	2.4(4	2.4(4	NUM
ejde-2	415	7	)	)	PUNCT
ejde-2	415	8	,	,	PUNCT
ejde-2	415	9	(	(	PUNCT
ejde-2	415	10	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	415	11	v)(k)(a	v)(k)(a	NUM
ejde-2	415	12	)	)	PUNCT
ejde-2	416	1	=	=	SYM
ejde-2	416	2	0	0	NUM
ejde-2	417	1	for	for	ADP
ejde-2	417	2	k	k	PROPN
ejde-2	417	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	417	4	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	417	5	.	.	PUNCT
ejde-2	418	1	this	this	PRON
ejde-2	418	2	,	,	PUNCT
ejde-2	418	3	together	together	ADV
ejde-2	418	4	with	with	ADP
ejde-2	418	5	(	(	PUNCT
ejde-2	418	6	4.12	4.12	NUM
ejde-2	418	7	)	)	PUNCT
ejde-2	418	8	and	and	CCONJ
ejde-2	418	9	(	(	PUNCT
ejde-2	418	10	4.13	4.13	NUM
ejde-2	418	11	)	)	PUNCT
ejde-2	418	12	,	,	PUNCT
ejde-2	418	13	implies	imply	VERB
ejde-2	418	14	u(k)(a	u(k)(a	ADV
ejde-2	418	15	)	)	PUNCT
ejde-2	418	16	=	=	SYM
ejde-2	418	17	uk	uk	PROPN
ejde-2	418	18	for	for	ADP
ejde-2	418	19	k	k	PROPN
ejde-2	418	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	418	21	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	418	22	.	.	PUNCT
ejde-2	418	23	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	418	24	both	both	DET
ejde-2	418	25	sides	side	NOUN
ejde-2	418	26	of	of	ADP
ejde-2	418	27	(	(	PUNCT
ejde-2	418	28	4.13	4.13	NUM
ejde-2	418	29	)	)	PUNCT
ejde-2	418	30	and	and	CCONJ
ejde-2	418	31	using	use	VERB
ejde-2	418	32	(	(	PUNCT
ejde-2	418	33	h1	h1	PROPN
ejde-2	418	34	)	)	PUNCT
ejde-2	418	35	imply	imply	VERB
ejde-2	418	36	that	that	SCONJ
ejde-2	418	37	for	for	ADP
ejde-2	418	38	n	n	X
ejde-2	418	39	≥	≥	NOUN
ejde-2	418	40	4	4	NUM
ejde-2	418	41	,	,	PUNCT
ejde-2	418	42	u(n−1)(x	u(n−1)(x	NOUN
ejde-2	418	43	)	)	PUNCT
ejde-2	418	44	=	=	SYM
ejde-2	419	1	un−1	un−1	ADJ
ejde-2	419	2	+	+	NUM
ejde-2	419	3	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	419	4	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	419	5	)	)	PUNCT
ejde-2	419	6	for	for	ADP
ejde-2	419	7	each	each	DET
ejde-2	419	8	x	x	SYM
ejde-2	419	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	419	10	[	[	X
ejde-2	419	11	a	a	X
ejde-2	419	12	,	,	PUNCT
ejde-2	419	13	b	b	NOUN
ejde-2	419	14	]	]	X
ejde-2	419	15	.	.	PUNCT
ejde-2	420	1	this	this	PRON
ejde-2	420	2	,	,	PUNCT
ejde-2	420	3	together	together	ADV
ejde-2	420	4	with	with	ADP
ejde-2	420	5	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	420	6	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	420	7	)	)	PUNCT
ejde-2	420	8	=	=	SYM
ejde-2	420	9	0	0	NUM
ejde-2	420	10	,	,	PUNCT
ejde-2	420	11	implies	imply	VERB
ejde-2	420	12	u(n−1)(a	u(n−1)(a	NOUN
ejde-2	420	13	)	)	PUNCT
ejde-2	420	14	=	=	SYM
ejde-2	421	1	un−1	un−1	ADJ
ejde-2	421	2	for	for	ADP
ejde-2	421	3	n	n	PRON
ejde-2	421	4	≥	≥	NOUN
ejde-2	421	5	4	4	NUM
ejde-2	421	6	.	.	PUNCT
ejde-2	422	1	hence	hence	ADV
ejde-2	422	2	,	,	PUNCT
ejde-2	422	3	u	u	PRON
ejde-2	422	4	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	422	5	(	(	PUNCT
ejde-2	422	6	4.2	4.2	NUM
ejde-2	422	7	)	)	PUNCT
ejde-2	422	8	.	.	PUNCT
ejde-2	423	1	(	(	PUNCT
ejde-2	423	2	2	2	X
ejde-2	423	3	)	)	PUNCT
ejde-2	423	4	by	by	ADP
ejde-2	423	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	423	6	4.6	4.6	NUM
ejde-2	423	7	with	with	ADP
ejde-2	423	8	y	y	PROPN
ejde-2	423	9	=	=	SYM
ejde-2	423	10	u−pn−1	u−pn−1	PROPN
ejde-2	423	11	,	,	PUNCT
ejde-2	423	12	there	there	PRON
ejde-2	423	13	exists	exist	VERB
ejde-2	423	14	{	{	PUNCT
ejde-2	423	15	ci	ci	NOUN
ejde-2	423	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	423	17	r	r	NOUN
ejde-2	423	18	:	:	PUNCT
ejde-2	423	19	i	i	PRON
ejde-2	423	20	∈	∈	VERB
ejde-2	423	21	nn−1	nn−1	ADJ
ejde-2	423	22	}	}	PUNCT
ejde-2	423	23	such	such	ADJ
ejde-2	423	24	that	that	SCONJ
ejde-2	423	25	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	423	26	)	)	PUNCT
ejde-2	424	1	=	=	PUNCT
ejde-2	424	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	424	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	424	4	ui	ui	NOUN
ejde-2	425	1	i	i	PROPN
ejde-2	425	2	!	!	PUNCT
ejde-2	426	1	(	(	PUNCT
ejde-2	426	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	426	3	a)i	a)i	X
ejde-2	427	1	+	+	CCONJ
ejde-2	427	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	427	3	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	427	4	ci(x−	ci(x−	PROPN
ejde-2	427	5	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	428	1	+	+	CCONJ
ejde-2	428	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	428	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	428	4	)	)	PUNCT
ejde-2	428	5	for	for	ADP
ejde-2	428	6	each	each	DET
ejde-2	428	7	x	x	SYM
ejde-2	428	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	428	9	[	[	X
ejde-2	428	10	a	a	X
ejde-2	428	11	,	,	PUNCT
ejde-2	428	12	b	b	NOUN
ejde-2	428	13	]	]	X
ejde-2	428	14	.	.	PUNCT
ejde-2	429	1	(	(	PUNCT
ejde-2	429	2	4.14	4.14	NUM
ejde-2	429	3	)	)	PUNCT
ejde-2	429	4	we	we	PRON
ejde-2	429	5	prove	prove	VERB
ejde-2	429	6	that	that	DET
ejde-2	429	7	ci	ci	NOUN
ejde-2	430	1	=	=	NOUN
ejde-2	430	2	0	0	PROPN
ejde-2	430	3	for	for	ADP
ejde-2	430	4	each	each	DET
ejde-2	430	5	i	i	PRON
ejde-2	430	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	430	7	nn−1	nn−1	ADJ
ejde-2	430	8	.	.	PUNCT
ejde-2	431	1	if	if	SCONJ
ejde-2	431	2	n	n	NOUN
ejde-2	431	3	=	=	SYM
ejde-2	431	4	2	2	NUM
ejde-2	431	5	,	,	PUNCT
ejde-2	431	6	then	then	ADV
ejde-2	431	7	by	by	ADP
ejde-2	431	8	(	(	PUNCT
ejde-2	431	9	4.14	4.14	NUM
ejde-2	431	10	)	)	PUNCT
ejde-2	431	11	,	,	PUNCT
ejde-2	431	12	we	we	PRON
ejde-2	431	13	have	have	VERB
ejde-2	431	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	431	15	)	)	PUNCT
ejde-2	431	16	=	=	PUNCT
ejde-2	432	1	u0	u0	ADJ
ejde-2	432	2	+	+	ADJ
ejde-2	432	3	u1(x−	u1(x−	X
ejde-2	432	4	a	a	NOUN
ejde-2	432	5	)	)	PUNCT
ejde-2	433	1	+	+	CCONJ
ejde-2	433	2	c1(x−	c1(x−	X
ejde-2	433	3	a)1−α	a)1−α	PROPN
ejde-2	433	4	+	+	NUM
ejde-2	433	5	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	433	6	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	433	7	)	)	PUNCT
ejde-2	433	8	for	for	ADP
ejde-2	433	9	each	each	DET
ejde-2	433	10	x	x	SYM
ejde-2	433	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	433	12	[	[	X
ejde-2	433	13	a	a	X
ejde-2	433	14	,	,	PUNCT
ejde-2	433	15	b	b	NOUN
ejde-2	433	16	]	]	X
ejde-2	433	17	.	.	PUNCT
ejde-2	434	1	(	(	PUNCT
ejde-2	434	2	4.15	4.15	NUM
ejde-2	434	3	)	)	PUNCT
ejde-2	434	4	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	434	5	both	both	DET
ejde-2	434	6	sides	side	NOUN
ejde-2	434	7	of	of	ADP
ejde-2	434	8	(	(	PUNCT
ejde-2	434	9	4.15	4.15	NUM
ejde-2	434	10	)	)	PUNCT
ejde-2	434	11	and	and	CCONJ
ejde-2	434	12	using	use	VERB
ejde-2	434	13	(	(	PUNCT
ejde-2	434	14	h1	h1	PROPN
ejde-2	434	15	)	)	PUNCT
ejde-2	434	16	yields	yield	NOUN
ejde-2	434	17	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	434	18	)	)	PUNCT
ejde-2	434	19	=	=	NOUN
ejde-2	434	20	u1	u1	NOUN
ejde-2	434	21	+	+	CCONJ
ejde-2	434	22	c1(1−	c1(1−	PROPN
ejde-2	434	23	α	α	NOUN
ejde-2	434	24	)	)	PUNCT
ejde-2	434	25	(	(	PUNCT
ejde-2	434	26	x−	x−	PROPN
ejde-2	434	27	a)α	a)α	X
ejde-2	434	28	+	+	NUM
ejde-2	434	29	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	434	30	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	434	31	)	)	PUNCT
ejde-2	434	32	for	for	ADP
ejde-2	434	33	each	each	DET
ejde-2	434	34	x	x	SYM
ejde-2	434	35	∈	∈	PROPN
ejde-2	434	36	(	(	PUNCT
ejde-2	434	37	a	a	DET
ejde-2	434	38	,	,	PUNCT
ejde-2	434	39	b	b	NOUN
ejde-2	434	40	]	]	X
ejde-2	434	41	.	.	PUNCT
ejde-2	435	1	(	(	PUNCT
ejde-2	435	2	4.16	4.16	NUM
ejde-2	435	3	)	)	PUNCT
ejde-2	435	4	since	since	SCONJ
ejde-2	435	5	u′(a	u′(a	PROPN
ejde-2	435	6	)	)	PUNCT
ejde-2	435	7	=	=	NOUN
ejde-2	435	8	u1	u1	NOUN
ejde-2	435	9	exists	exist	VERB
ejde-2	435	10	,	,	PUNCT
ejde-2	435	11	it	it	PRON
ejde-2	435	12	follows	follow	VERB
ejde-2	435	13	from	from	ADP
ejde-2	435	14	the	the	DET
ejde-2	435	15	mean	mean	ADJ
ejde-2	435	16	value	value	NOUN
ejde-2	435	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	435	18	that	that	SCONJ
ejde-2	435	19	there	there	PRON
ejde-2	435	20	exists	exist	VERB
ejde-2	435	21	a	a	DET
ejde-2	435	22	sequence	sequence	NOUN
ejde-2	435	23	{	{	PUNCT
ejde-2	435	24	xm	xm	PROPN
ejde-2	435	25	}	}	PUNCT
ejde-2	435	26	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	435	27	(	(	PUNCT
ejde-2	435	28	a	a	DET
ejde-2	435	29	,	,	PUNCT
ejde-2	435	30	b	b	NOUN
ejde-2	435	31	)	)	PUNCT
ejde-2	435	32	such	such	ADJ
ejde-2	435	33	that	that	SCONJ
ejde-2	435	34	limm→∞	limm→∞	PROPN
ejde-2	435	35	xm	xm	PUNCT
ejde-2	436	1	=	=	PUNCT
ejde-2	436	2	0	0	PROPN
ejde-2	437	1	and	and	CCONJ
ejde-2	437	2	lim	lim	PROPN
ejde-2	437	3	m→∞	m→∞	NUM
ejde-2	437	4	u′(xm	u′(xm	PROPN
ejde-2	437	5	)	)	PUNCT
ejde-2	437	6	=	=	PUNCT
ejde-2	438	1	u′(a	u′(a	PROPN
ejde-2	438	2	)	)	PUNCT
ejde-2	438	3	.	.	PUNCT
ejde-2	439	1	(	(	PUNCT
ejde-2	439	2	4.17	4.17	NUM
ejde-2	439	3	)	)	PUNCT
ejde-2	439	4	since	since	SCONJ
ejde-2	439	5	lim	lim	PROPN
ejde-2	439	6	supx→a+	supx→a+	PROPN
ejde-2	439	7	|i1−αa+	|i1−αa+	PROPN
ejde-2	439	8	v(x)|	v(x)|	NOUN
ejde-2	439	9	<	<	X
ejde-2	439	10	∞	∞	PROPN
ejde-2	439	11	,	,	PUNCT
ejde-2	439	12	it	it	PRON
ejde-2	439	13	follows	follow	VERB
ejde-2	439	14	from	from	ADP
ejde-2	439	15	(	(	PUNCT
ejde-2	439	16	4.16	4.16	NUM
ejde-2	439	17	)	)	PUNCT
ejde-2	439	18	and	and	CCONJ
ejde-2	439	19	(	(	PUNCT
ejde-2	439	20	4.17	4.17	NUM
ejde-2	439	21	)	)	PUNCT
ejde-2	439	22	that	that	DET
ejde-2	439	23	c1	c1	NOUN
ejde-2	439	24	=	=	PUNCT
ejde-2	439	25	0	0	X
ejde-2	439	26	.	.	PUNCT
ejde-2	439	27	noting	note	VERB
ejde-2	439	28	that	that	SCONJ
ejde-2	439	29	u(a	u(a	PROPN
ejde-2	439	30	)	)	PUNCT
ejde-2	439	31	=	=	PUNCT
ejde-2	439	32	u0	u0	ADJ
ejde-2	439	33	and	and	CCONJ
ejde-2	439	34	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	439	35	v(a	v(a	PROPN
ejde-2	439	36	)	)	PUNCT
ejde-2	439	37	=	=	SYM
ejde-2	440	1	0	0	NUM
ejde-2	440	2	,	,	PUNCT
ejde-2	440	3	by	by	ADP
ejde-2	440	4	(	(	PUNCT
ejde-2	440	5	4.15	4.15	NUM
ejde-2	440	6	)	)	PUNCT
ejde-2	440	7	with	with	ADP
ejde-2	440	8	c1	c1	PROPN
ejde-2	440	9	=	=	PUNCT
ejde-2	440	10	0	0	PROPN
ejde-2	440	11	,	,	PUNCT
ejde-2	440	12	we	we	PRON
ejde-2	440	13	have	have	VERB
ejde-2	440	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	440	15	)	)	PUNCT
ejde-2	441	1	=	=	PUNCT
ejde-2	441	2	u0	u0	ADJ
ejde-2	441	3	+	+	ADJ
ejde-2	441	4	u1(x−	u1(x−	X
ejde-2	441	5	a	a	NOUN
ejde-2	441	6	)	)	PUNCT
ejde-2	442	1	+	+	NUM
ejde-2	442	2	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	442	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	442	4	)	)	PUNCT
ejde-2	442	5	for	for	ADP
ejde-2	442	6	each	each	DET
ejde-2	442	7	x	x	SYM
ejde-2	442	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	442	9	[	[	X
ejde-2	442	10	a	a	X
ejde-2	442	11	,	,	PUNCT
ejde-2	442	12	b	b	NOUN
ejde-2	442	13	]	]	PUNCT
ejde-2	442	14	and	and	CCONJ
ejde-2	442	15	(	(	PUNCT
ejde-2	442	16	4.3	4.3	NUM
ejde-2	442	17	)	)	PUNCT
ejde-2	442	18	with	with	ADP
ejde-2	442	19	n	n	NOUN
ejde-2	442	20	=	=	SYM
ejde-2	442	21	2	2	NUM
ejde-2	442	22	holds	hold	NOUN
ejde-2	442	23	.	.	PUNCT
ejde-2	443	1	if	if	SCONJ
ejde-2	443	2	n	n	NUM
ejde-2	443	3	≥	≥	NOUN
ejde-2	443	4	3	3	NUM
ejde-2	443	5	,	,	PUNCT
ejde-2	443	6	then	then	ADV
ejde-2	443	7	by	by	ADP
ejde-2	443	8	(	(	PUNCT
ejde-2	443	9	4.14	4.14	NUM
ejde-2	443	10	)	)	PUNCT
ejde-2	443	11	and	and	CCONJ
ejde-2	443	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	443	13	2.4	2.4	NUM
ejde-2	443	14	(	(	PUNCT
ejde-2	443	15	3	3	NUM
ejde-2	443	16	)	)	PUNCT
ejde-2	443	17	,	,	PUNCT
ejde-2	443	18	we	we	PRON
ejde-2	443	19	have	have	VERB
ejde-2	443	20	for	for	ADP
ejde-2	443	21	each	each	DET
ejde-2	443	22	k	k	PROPN
ejde-2	443	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	443	24	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	443	25	,	,	PUNCT
ejde-2	443	26	u(k)(x	u(k)(x	ADJ
ejde-2	443	27	)	)	PUNCT
ejde-2	443	28	=	=	SYM
ejde-2	444	1	(	(	PUNCT
ejde-2	444	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	444	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	444	4	ui	ui	NOUN
ejde-2	445	1	i	i	PROPN
ejde-2	445	2	!	!	PUNCT
ejde-2	446	1	(	(	PUNCT
ejde-2	446	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	446	3	a)i	a)i	X
ejde-2	446	4	)	)	PUNCT
ejde-2	446	5	(	(	PUNCT
ejde-2	446	6	k	k	NOUN
ejde-2	446	7	)	)	PUNCT
ejde-2	447	1	+	+	CCONJ
ejde-2	447	2	(	(	PUNCT
ejde-2	447	3	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-2	447	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	447	5	ci(x−	ci(x−	PROPN
ejde-2	447	6	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	447	7	)	)	PUNCT
ejde-2	447	8	(	(	PUNCT
ejde-2	447	9	k	k	NOUN
ejde-2	447	10	)	)	PUNCT
ejde-2	447	11	+	+	CCONJ
ejde-2	447	12	(	(	PUNCT
ejde-2	447	13	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	447	14	v)(k)(x	v)(k)(x	PROPN
ejde-2	447	15	)	)	PUNCT
ejde-2	447	16	=	=	PUNCT
ejde-2	448	1	n−1−k∑	n−1−k∑	NOUN
ejde-2	448	2	j=0	j=0	VERB
ejde-2	448	3	uk+j	uk+j	PROPN
ejde-2	448	4	j	j	PROPN
ejde-2	448	5	!	!	PUNCT
ejde-2	449	1	(	(	PUNCT
ejde-2	449	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	449	3	a)j	a)j	PROPN
ejde-2	450	1	+	+	CCONJ
ejde-2	450	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	450	3	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	450	4	ciη(i	ciη(i	PROPN
ejde-2	450	5	,	,	PUNCT
ejde-2	450	6	k)(x−	k)(x−	PROPN
ejde-2	450	7	a)i−α−k	a)i−α−k	PROPN
ejde-2	450	8	+	+	CCONJ
ejde-2	450	9	in−k−αa+	in−k−αa+	ADJ
ejde-2	450	10	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	450	11	)	)	PUNCT
ejde-2	450	12	(	(	PUNCT
ejde-2	450	13	4.18	4.18	NUM
ejde-2	450	14	)	)	PUNCT
ejde-2	450	15	ejde-2023/01	ejde-2023/01	NOUN
ejde-2	450	16	linear	linear	ADJ
ejde-2	450	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	450	18	differential	differential	NOUN
ejde-2	450	19	and	and	CCONJ
ejde-2	450	20	integral	integral	ADJ
ejde-2	450	21	equations	equation	NOUN
ejde-2	450	22	13	13	NUM
ejde-2	450	23	=	=	PUNCT
ejde-2	450	24	n−1−k∑	n−1−k∑	PROPN
ejde-2	450	25	j=0	j=0	VERB
ejde-2	450	26	uk+j	uk+j	PROPN
ejde-2	450	27	j	j	PROPN
ejde-2	450	28	!	!	PUNCT
ejde-2	451	1	(	(	PUNCT
ejde-2	451	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	451	3	a)j	a)j	PROPN
ejde-2	452	1	+	+	CCONJ
ejde-2	452	2	k∑	k∑	ADJ
ejde-2	452	3	i=1	i=1	PROPN
ejde-2	452	4	ciη(i	ciη(i	PROPN
ejde-2	452	5	,	,	PUNCT
ejde-2	452	6	k	k	NOUN
ejde-2	452	7	)	)	PUNCT
ejde-2	452	8	(	(	PUNCT
ejde-2	452	9	x−	x−	PROPN
ejde-2	453	1	a)k−i+α	a)k−i+α	ADV
ejde-2	453	2	+	+	CCONJ
ejde-2	453	3	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	453	4	i	i	NOUN
ejde-2	453	5	=	=	NOUN
ejde-2	453	6	k+1	k+1	X
ejde-2	453	7	ciη(i	ciη(i	PROPN
ejde-2	453	8	,	,	PUNCT
ejde-2	453	9	k)(x−	k)(x−	PROPN
ejde-2	453	10	a)i−α−k	a)i−α−k	PROPN
ejde-2	453	11	+	+	CCONJ
ejde-2	453	12	in−k−αa+	in−k−αa+	ADJ
ejde-2	453	13	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	453	14	)	)	PUNCT
ejde-2	453	15	for	for	ADP
ejde-2	453	16	each	each	DET
ejde-2	453	17	x	x	SYM
ejde-2	453	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	453	19	(	(	PUNCT
ejde-2	453	20	a	a	DET
ejde-2	453	21	,	,	PUNCT
ejde-2	453	22	b	b	NOUN
ejde-2	453	23	]	]	X
ejde-2	453	24	,	,	PUNCT
ejde-2	453	25	where	where	SCONJ
ejde-2	453	26	η(i	η(i	PROPN
ejde-2	453	27	,	,	PUNCT
ejde-2	453	28	k	k	NOUN
ejde-2	453	29	)	)	PUNCT
ejde-2	453	30	=	=	VERB
ejde-2	453	31	ciπ	ciπ	NOUN
ejde-2	453	32	k−1	k−1	PROPN
ejde-2	453	33	j=0	j=0	PROPN
ejde-2	453	34	(	(	PUNCT
ejde-2	453	35	i−	i−	PROPN
ejde-2	453	36	α−	α−	PROPN
ejde-2	453	37	j	j	PROPN
ejde-2	453	38	)	)	PUNCT
ejde-2	453	39	for	for	ADP
ejde-2	453	40	k	k	PROPN
ejde-2	453	41	∈	∈	PROPN
ejde-2	453	42	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	453	43	and	and	CCONJ
ejde-2	453	44	i	i	NOUN
ejde-2	453	45	∈	∈	PROPN
ejde-2	453	46	nn−1	nn−1	ADJ
ejde-2	453	47	.	.	PUNCT
ejde-2	454	1	by	by	ADP
ejde-2	454	2	(	(	PUNCT
ejde-2	454	3	4.18	4.18	NUM
ejde-2	454	4	)	)	PUNCT
ejde-2	454	5	with	with	ADP
ejde-2	454	6	k	k	PROPN
ejde-2	454	7	=	=	SYM
ejde-2	454	8	1	1	NUM
ejde-2	454	9	,	,	PUNCT
ejde-2	454	10	we	we	PRON
ejde-2	454	11	have	have	VERB
ejde-2	454	12	for	for	ADP
ejde-2	454	13	each	each	DET
ejde-2	454	14	x	x	SYM
ejde-2	454	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	454	16	(	(	PUNCT
ejde-2	454	17	a	a	PRON
ejde-2	454	18	,	,	PUNCT
ejde-2	454	19	b	b	NOUN
ejde-2	454	20	]	]	X
ejde-2	454	21	,	,	PUNCT
ejde-2	454	22	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	454	23	)	)	PUNCT
ejde-2	454	24	=	=	PUNCT
ejde-2	454	25	n−2∑	n−2∑	NUM
ejde-2	454	26	j=0	j=0	PROPN
ejde-2	454	27	u1+j	u1+j	PROPN
ejde-2	454	28	j	j	PROPN
ejde-2	454	29	!	!	PUNCT
ejde-2	455	1	(	(	PUNCT
ejde-2	455	2	x−a)j+	x−a)j+	PROPN
ejde-2	456	1	c1η(1	c1η(1	ADJ
ejde-2	456	2	,	,	PUNCT
ejde-2	456	3	1	1	NUM
ejde-2	456	4	)	)	PUNCT
ejde-2	456	5	(	(	PUNCT
ejde-2	456	6	x−	x−	PROPN
ejde-2	456	7	a)α	a)α	X
ejde-2	457	1	+	+	CCONJ
ejde-2	457	2	n−1∑	n−1∑	ADJ
ejde-2	457	3	i=2	i=2	PROPN
ejde-2	457	4	ciη(i	ciη(i	PROPN
ejde-2	457	5	,	,	PUNCT
ejde-2	457	6	1)(x−a)i−α−1+in−1−αa+	1)(x−a)i−α−1+in−1−αa+	NUM
ejde-2	457	7	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	457	8	)	)	PUNCT
ejde-2	457	9	.	.	PUNCT
ejde-2	458	1	(	(	PUNCT
ejde-2	458	2	4.19	4.19	NUM
ejde-2	458	3	)	)	PUNCT
ejde-2	458	4	by	by	ADP
ejde-2	458	5	(	(	PUNCT
ejde-2	458	6	4.2	4.2	NUM
ejde-2	458	7	)	)	PUNCT
ejde-2	458	8	,	,	PUNCT
ejde-2	458	9	u′(a	u′(a	PROPN
ejde-2	458	10	)	)	PUNCT
ejde-2	458	11	=	=	SYM
ejde-2	458	12	u1	u1	NOUN
ejde-2	458	13	exists	exist	VERB
ejde-2	458	14	.	.	PUNCT
ejde-2	459	1	it	it	PRON
ejde-2	459	2	follows	follow	VERB
ejde-2	459	3	from	from	ADP
ejde-2	459	4	the	the	DET
ejde-2	459	5	mean	mean	ADJ
ejde-2	459	6	value	value	NOUN
ejde-2	459	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	459	8	that	that	SCONJ
ejde-2	459	9	there	there	PRON
ejde-2	459	10	exists	exist	VERB
ejde-2	459	11	a	a	DET
ejde-2	459	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-2	459	13	{	{	PUNCT
ejde-2	459	14	xm	xm	PROPN
ejde-2	459	15	}	}	PUNCT
ejde-2	459	16	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	459	17	(	(	PUNCT
ejde-2	459	18	a	a	DET
ejde-2	459	19	,	,	PUNCT
ejde-2	459	20	b	b	NOUN
ejde-2	459	21	)	)	PUNCT
ejde-2	459	22	such	such	ADJ
ejde-2	459	23	that	that	SCONJ
ejde-2	459	24	limm→∞	limm→∞	PROPN
ejde-2	459	25	xm	xm	PUNCT
ejde-2	460	1	=	=	PUNCT
ejde-2	460	2	0	0	PROPN
ejde-2	461	1	and	and	CCONJ
ejde-2	461	2	(	(	PUNCT
ejde-2	461	3	4.17	4.17	NUM
ejde-2	461	4	)	)	PUNCT
ejde-2	461	5	holds	hold	VERB
ejde-2	461	6	.	.	PUNCT
ejde-2	462	1	since	since	SCONJ
ejde-2	462	2	in−1−αa+	in−1−αa+	PROPN
ejde-2	462	3	v	v	ADP
ejde-2	462	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	462	5	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	462	6	,	,	PUNCT
ejde-2	462	7	b	b	NOUN
ejde-2	462	8	]	]	X
ejde-2	462	9	,	,	PUNCT
ejde-2	462	10	by	by	ADP
ejde-2	462	11	(	(	PUNCT
ejde-2	462	12	4.17	4.17	NUM
ejde-2	462	13	)	)	PUNCT
ejde-2	462	14	and	and	CCONJ
ejde-2	462	15	(	(	PUNCT
ejde-2	462	16	4.19	4.19	NUM
ejde-2	462	17	)	)	PUNCT
ejde-2	462	18	,	,	PUNCT
ejde-2	462	19	we	we	PRON
ejde-2	462	20	obtain	obtain	VERB
ejde-2	462	21	c1	c1	NOUN
ejde-2	462	22	=	=	PUNCT
ejde-2	462	23	0	0	X
ejde-2	462	24	.	.	PUNCT
ejde-2	463	1	hence	hence	ADV
ejde-2	463	2	,	,	PUNCT
ejde-2	463	3	(	(	PUNCT
ejde-2	463	4	4.14	4.14	NUM
ejde-2	463	5	)	)	PUNCT
ejde-2	463	6	becomes	become	VERB
ejde-2	463	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	463	8	)	)	PUNCT
ejde-2	463	9	=	=	PUNCT
ejde-2	464	1	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	464	2	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	464	3	ui	ui	NOUN
ejde-2	465	1	i	i	PROPN
ejde-2	465	2	!	!	PUNCT
ejde-2	466	1	(	(	PUNCT
ejde-2	466	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	466	3	a)i	a)i	X
ejde-2	467	1	+	+	CCONJ
ejde-2	467	2	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-2	467	3	i=2	i=2	PROPN
ejde-2	467	4	ci(x−	ci(x−	NOUN
ejde-2	467	5	a)i−α	a)i−α	PUNCT
ejde-2	468	1	+	+	CCONJ
ejde-2	468	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	468	3	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	468	4	)	)	PUNCT
ejde-2	468	5	for	for	ADP
ejde-2	468	6	each	each	DET
ejde-2	468	7	x	x	SYM
ejde-2	468	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	468	9	[	[	X
ejde-2	468	10	a	a	X
ejde-2	468	11	,	,	PUNCT
ejde-2	468	12	b	b	NOUN
ejde-2	468	13	]	]	PUNCT
ejde-2	468	14	.	.	PUNCT
ejde-2	469	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	469	2	both	both	DET
ejde-2	469	3	sides	side	NOUN
ejde-2	469	4	of	of	ADP
ejde-2	469	5	the	the	DET
ejde-2	469	6	above	above	ADJ
ejde-2	469	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	469	8	we	we	PRON
ejde-2	469	9	obtain	obtain	VERB
ejde-2	469	10	that	that	PRON
ejde-2	469	11	for	for	ADP
ejde-2	469	12	each	each	DET
ejde-2	469	13	x	x	SYM
ejde-2	469	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	470	1	[	[	X
ejde-2	470	2	a	a	X
ejde-2	470	3	,	,	PUNCT
ejde-2	470	4	b	b	NOUN
ejde-2	470	5	]	]	X
ejde-2	470	6	,	,	PUNCT
ejde-2	470	7	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	470	8	)	)	PUNCT
ejde-2	470	9	=	=	PUNCT
ejde-2	471	1	n−2∑	n−2∑	NUM
ejde-2	471	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-2	471	3	u1+j	u1+j	PROPN
ejde-2	471	4	j	j	PROPN
ejde-2	471	5	!	!	PUNCT
ejde-2	471	6	(	(	PUNCT
ejde-2	471	7	x−	x−	PROPN
ejde-2	471	8	a)j	a)j	PROPN
ejde-2	472	1	+	+	CCONJ
ejde-2	472	2	n−1∑	n−1∑	ADJ
ejde-2	472	3	i=2	i=2	PROPN
ejde-2	472	4	ciη(i	ciη(i	PROPN
ejde-2	472	5	,	,	PUNCT
ejde-2	472	6	1)(x−	1)(x−	NUM
ejde-2	472	7	a)i−α−1	a)i−α−1	PROPN
ejde-2	472	8	+	+	CCONJ
ejde-2	472	9	in−1−αa+	in−1−αa+	SYM
ejde-2	472	10	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	472	11	)	)	PUNCT
ejde-2	472	12	.	.	PUNCT
ejde-2	473	1	(	(	PUNCT
ejde-2	473	2	4.20	4.20	NUM
ejde-2	473	3	)	)	PUNCT
ejde-2	473	4	by	by	ADP
ejde-2	473	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	473	6	2.4	2.4	NUM
ejde-2	473	7	(	(	PUNCT
ejde-2	473	8	2	2	NUM
ejde-2	473	9	)	)	PUNCT
ejde-2	473	10	and	and	CCONJ
ejde-2	473	11	(	(	PUNCT
ejde-2	473	12	3	3	NUM
ejde-2	473	13	)	)	PUNCT
ejde-2	473	14	,	,	PUNCT
ejde-2	474	1	in−1−αa+	in−1−αa+	PROPN
ejde-2	474	2	v	v	NUM
ejde-2	474	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	474	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	474	5	,	,	PUNCT
ejde-2	474	6	b	b	NOUN
ejde-2	474	7	]	]	X
ejde-2	474	8	.	.	PUNCT
ejde-2	475	1	this	this	PRON
ejde-2	475	2	with	with	ADP
ejde-2	475	3	(	(	PUNCT
ejde-2	475	4	4.20	4.20	NUM
ejde-2	475	5	)	)	PUNCT
ejde-2	475	6	implies	imply	VERB
ejde-2	475	7	u′	u′	PROPN
ejde-2	475	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	475	9	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	475	10	,	,	PUNCT
ejde-2	475	11	b	b	X
ejde-2	475	12	]	]	X
ejde-2	475	13	for	for	ADP
ejde-2	475	14	n	n	PRON
ejde-2	475	15	≥	≥	NOUN
ejde-2	475	16	3	3	NUM
ejde-2	475	17	.	.	PUNCT
ejde-2	476	1	if	if	SCONJ
ejde-2	476	2	n	n	NUM
ejde-2	476	3	=	=	SYM
ejde-2	476	4	3	3	NUM
ejde-2	476	5	,	,	PUNCT
ejde-2	476	6	then	then	ADV
ejde-2	476	7	(	(	PUNCT
ejde-2	476	8	4.20	4.20	NUM
ejde-2	476	9	)	)	PUNCT
ejde-2	476	10	with	with	ADP
ejde-2	476	11	n	n	NOUN
ejde-2	476	12	=	=	SYM
ejde-2	476	13	3	3	NUM
ejde-2	476	14	becomes	become	VERB
ejde-2	476	15	u′(x	u′(x	SYM
ejde-2	476	16	)	)	PUNCT
ejde-2	476	17	=	=	SYM
ejde-2	476	18	u1	u1	NOUN
ejde-2	476	19	+	+	CCONJ
ejde-2	476	20	u2(x−	u2(x−	ADP
ejde-2	476	21	a	a	X
ejde-2	476	22	)	)	PUNCT
ejde-2	477	1	+	+	CCONJ
ejde-2	477	2	c2η(2	c2η(2	PROPN
ejde-2	477	3	,	,	PUNCT
ejde-2	477	4	1)(x−	1)(x−	NUM
ejde-2	477	5	a)1−α	a)1−α	NOUN
ejde-2	477	6	+	+	NUM
ejde-2	477	7	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	477	8	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	477	9	)	)	PUNCT
ejde-2	477	10	for	for	ADP
ejde-2	477	11	each	each	DET
ejde-2	477	12	x	x	SYM
ejde-2	477	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	477	14	[	[	X
ejde-2	477	15	a	a	X
ejde-2	477	16	,	,	PUNCT
ejde-2	477	17	b	b	NOUN
ejde-2	477	18	]	]	PUNCT
ejde-2	477	19	.	.	PUNCT
ejde-2	478	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	478	2	both	both	DET
ejde-2	478	3	sides	side	NOUN
ejde-2	478	4	of	of	ADP
ejde-2	478	5	the	the	DET
ejde-2	478	6	above	above	ADJ
ejde-2	478	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	478	8	and	and	CCONJ
ejde-2	478	9	using	use	VERB
ejde-2	478	10	(	(	PUNCT
ejde-2	478	11	h1	h1	PROPN
ejde-2	478	12	)	)	PUNCT
ejde-2	478	13	,	,	PUNCT
ejde-2	478	14	we	we	PRON
ejde-2	478	15	obtain	obtain	VERB
ejde-2	478	16	u′′(x	u′′(x	NOUN
ejde-2	478	17	)	)	PUNCT
ejde-2	478	18	=	=	SYM
ejde-2	478	19	u2	u2	PROPN
ejde-2	478	20	+	+	CCONJ
ejde-2	478	21	c2η(2	c2η(2	PROPN
ejde-2	478	22	,	,	PUNCT
ejde-2	478	23	1)(1−	1)(1−	NUM
ejde-2	478	24	α	α	NUM
ejde-2	478	25	)	)	PUNCT
ejde-2	478	26	(	(	PUNCT
ejde-2	478	27	x−	x−	PROPN
ejde-2	478	28	a)α	a)α	X
ejde-2	478	29	+	+	NUM
ejde-2	478	30	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	478	31	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	478	32	)	)	PUNCT
ejde-2	478	33	for	for	ADP
ejde-2	478	34	each	each	DET
ejde-2	478	35	x	x	SYM
ejde-2	478	36	∈	∈	PROPN
ejde-2	478	37	(	(	PUNCT
ejde-2	478	38	a	a	DET
ejde-2	478	39	,	,	PUNCT
ejde-2	478	40	b	b	NOUN
ejde-2	478	41	]	]	X
ejde-2	478	42	.	.	PUNCT
ejde-2	479	1	(	(	PUNCT
ejde-2	479	2	4.21	4.21	NUM
ejde-2	479	3	)	)	PUNCT
ejde-2	479	4	by	by	ADP
ejde-2	479	5	(	(	PUNCT
ejde-2	479	6	4.2	4.2	NUM
ejde-2	479	7	)	)	PUNCT
ejde-2	479	8	,	,	PUNCT
ejde-2	479	9	u′′(a	u′′(a	NOUN
ejde-2	479	10	)	)	PUNCT
ejde-2	479	11	=	=	SYM
ejde-2	479	12	u2	u2	NOUN
ejde-2	479	13	exists	exist	VERB
ejde-2	479	14	.	.	PUNCT
ejde-2	480	1	it	it	PRON
ejde-2	480	2	follows	follow	VERB
ejde-2	480	3	from	from	ADP
ejde-2	480	4	the	the	DET
ejde-2	480	5	mean	mean	ADJ
ejde-2	480	6	value	value	NOUN
ejde-2	480	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	480	8	that	that	SCONJ
ejde-2	480	9	there	there	PRON
ejde-2	480	10	exists	exist	VERB
ejde-2	480	11	a	a	DET
ejde-2	480	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-2	480	13	{	{	PUNCT
ejde-2	480	14	x∗m	x∗m	PROPN
ejde-2	480	15	}	}	PUNCT
ejde-2	480	16	⊂	⊂	X
ejde-2	480	17	(	(	PUNCT
ejde-2	480	18	a	a	DET
ejde-2	480	19	,	,	PUNCT
ejde-2	480	20	b	b	NOUN
ejde-2	480	21	)	)	PUNCT
ejde-2	480	22	such	such	ADJ
ejde-2	480	23	that	that	SCONJ
ejde-2	480	24	limm→∞	limm→∞	PROPN
ejde-2	480	25	x∗m	x∗m	PROPN
ejde-2	481	1	=	=	SYM
ejde-2	481	2	0	0	PUNCT
ejde-2	481	3	and	and	CCONJ
ejde-2	481	4	lim	lim	PROPN
ejde-2	481	5	m→∞	m→∞	NUM
ejde-2	481	6	u′′(x∗m	u′′(x∗m	PROPN
ejde-2	481	7	)	)	PUNCT
ejde-2	481	8	=	=	SYM
ejde-2	481	9	u′′(a	u′′(a	NOUN
ejde-2	481	10	)	)	PUNCT
ejde-2	481	11	.	.	PUNCT
ejde-2	482	1	(	(	PUNCT
ejde-2	482	2	4.22	4.22	NUM
ejde-2	482	3	)	)	PUNCT
ejde-2	482	4	since	since	SCONJ
ejde-2	482	5	lim	lim	PROPN
ejde-2	482	6	supx→a+	supx→a+	PROPN
ejde-2	482	7	|i1−αa+	|i1−αa+	PROPN
ejde-2	482	8	v(x)|	v(x)|	NOUN
ejde-2	482	9	<	<	X
ejde-2	482	10	∞	∞	PROPN
ejde-2	482	11	,	,	PUNCT
ejde-2	482	12	it	it	PRON
ejde-2	482	13	follows	follow	VERB
ejde-2	482	14	from	from	ADP
ejde-2	482	15	(	(	PUNCT
ejde-2	482	16	4.21	4.21	NUM
ejde-2	482	17	)	)	PUNCT
ejde-2	482	18	and	and	CCONJ
ejde-2	482	19	(	(	PUNCT
ejde-2	482	20	4.22	4.22	NUM
ejde-2	482	21	)	)	PUNCT
ejde-2	482	22	that	that	PRON
ejde-2	482	23	c2	c2	PROPN
ejde-2	482	24	=	=	PUNCT
ejde-2	482	25	0	0	X
ejde-2	482	26	.	.	PUNCT
ejde-2	483	1	repeating	repeat	VERB
ejde-2	483	2	the	the	DET
ejde-2	483	3	process	process	NOUN
ejde-2	483	4	we	we	PRON
ejde-2	483	5	obtain	obtain	VERB
ejde-2	483	6	for	for	ADP
ejde-2	483	7	n	n	X
ejde-2	483	8	≥	≥	NOUN
ejde-2	483	9	4	4	NUM
ejde-2	483	10	,	,	PUNCT
ejde-2	483	11	ci	ci	NOUN
ejde-2	483	12	=	=	NOUN
ejde-2	483	13	0	0	PROPN
ejde-2	483	14	for	for	ADP
ejde-2	483	15	each	each	DET
ejde-2	483	16	i	i	PROPN
ejde-2	483	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	483	18	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	483	19	.	.	PROPN
ejde-2	483	20	hence	hence	ADV
ejde-2	483	21	,	,	PUNCT
ejde-2	483	22	equation	equation	NOUN
ejde-2	483	23	(	(	PUNCT
ejde-2	483	24	4.14	4.14	NUM
ejde-2	483	25	)	)	PUNCT
ejde-2	483	26	becomes	become	VERB
ejde-2	483	27	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	483	28	)	)	PUNCT
ejde-2	484	1	=	=	PUNCT
ejde-2	484	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-2	484	3	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	484	4	ui	ui	NOUN
ejde-2	485	1	i	i	PROPN
ejde-2	485	2	!	!	PUNCT
ejde-2	486	1	(	(	PUNCT
ejde-2	486	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	486	3	a)i	a)i	X
ejde-2	487	1	+	+	CCONJ
ejde-2	487	2	cn−1(x−	cn−1(x−	PROPN
ejde-2	487	3	a)n−1−α	a)n−1−α	NOUN
ejde-2	487	4	+	+	CCONJ
ejde-2	487	5	in−αa+	in−αa+	NOUN
ejde-2	487	6	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	487	7	)	)	PUNCT
ejde-2	487	8	for	for	ADP
ejde-2	487	9	each	each	DET
ejde-2	487	10	x	x	SYM
ejde-2	487	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	487	12	[	[	X
ejde-2	487	13	a	a	X
ejde-2	487	14	,	,	PUNCT
ejde-2	487	15	b	b	NOUN
ejde-2	487	16	]	]	X
ejde-2	487	17	.	.	PUNCT
ejde-2	488	1	(	(	PUNCT
ejde-2	488	2	4.23	4.23	NUM
ejde-2	488	3	)	)	PUNCT
ejde-2	488	4	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	488	5	both	both	DET
ejde-2	488	6	sides	side	NOUN
ejde-2	488	7	of	of	ADP
ejde-2	488	8	(	(	PUNCT
ejde-2	488	9	4.23	4.23	NUM
ejde-2	488	10	)	)	PUNCT
ejde-2	488	11	(	(	PUNCT
ejde-2	488	12	n−	n−	NOUN
ejde-2	488	13	2	2	NUM
ejde-2	488	14	)	)	PUNCT
ejde-2	488	15	times	time	NOUN
ejde-2	488	16	implies	imply	VERB
ejde-2	488	17	for	for	ADP
ejde-2	488	18	each	each	DET
ejde-2	488	19	x	x	SYM
ejde-2	488	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	489	1	[	[	X
ejde-2	489	2	a	a	X
ejde-2	489	3	,	,	PUNCT
ejde-2	489	4	b	b	NOUN
ejde-2	489	5	]	]	X
ejde-2	489	6	,	,	PUNCT
ejde-2	489	7	u(n−2)(x	u(n−2)(x	NOUN
ejde-2	489	8	)	)	PUNCT
ejde-2	489	9	=	=	PRON
ejde-2	489	10	un−2	un−2	VERB
ejde-2	489	11	+	+	NOUN
ejde-2	489	12	un−1(x−a)+cn−1η(n−1	un−1(x−a)+cn−1η(n−1	ADJ
ejde-2	489	13	,	,	PUNCT
ejde-2	489	14	n−2)(x−a)1−α+i2−αa+	n−2)(x−a)1−α+i2−αa+	ADJ
ejde-2	489	15	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	489	16	)	)	PUNCT
ejde-2	489	17	.	.	PUNCT
ejde-2	490	1	(	(	PUNCT
ejde-2	490	2	4.24	4.24	NUM
ejde-2	490	3	)	)	PUNCT
ejde-2	490	4	by	by	ADP
ejde-2	490	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	490	6	2.4	2.4	NUM
ejde-2	490	7	(	(	PUNCT
ejde-2	490	8	2	2	NUM
ejde-2	490	9	)	)	PUNCT
ejde-2	490	10	,	,	PUNCT
ejde-2	490	11	i2−αa+	i2−αa+	PROPN
ejde-2	490	12	v	v	PROPN
ejde-2	490	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	490	14	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	490	15	,	,	PUNCT
ejde-2	490	16	b	b	NOUN
ejde-2	490	17	]	]	X
ejde-2	490	18	.	.	PUNCT
ejde-2	491	1	this	this	PRON
ejde-2	491	2	with	with	ADP
ejde-2	491	3	(	(	PUNCT
ejde-2	491	4	4.24	4.24	NUM
ejde-2	491	5	)	)	PUNCT
ejde-2	491	6	implies	imply	VERB
ejde-2	491	7	u(n−2	u(n−2	NOUN
ejde-2	491	8	)	)	PUNCT
ejde-2	491	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	491	10	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	491	11	,	,	PUNCT
ejde-2	491	12	b	b	NOUN
ejde-2	491	13	]	]	PUNCT
ejde-2	491	14	.	.	PUNCT
ejde-2	492	1	using	use	VERB
ejde-2	492	2	(	(	PUNCT
ejde-2	492	3	h1	h1	PROPN
ejde-2	492	4	)	)	PUNCT
ejde-2	492	5	and	and	CCONJ
ejde-2	492	6	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	492	7	both	both	DET
ejde-2	492	8	sides	side	NOUN
ejde-2	492	9	of	of	ADP
ejde-2	492	10	the	the	DET
ejde-2	492	11	above	above	ADJ
ejde-2	492	12	equation	equation	NOUN
ejde-2	492	13	imply	imply	VERB
ejde-2	492	14	for	for	ADP
ejde-2	492	15	x	x	PROPN
ejde-2	492	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	492	17	(	(	PUNCT
ejde-2	492	18	a	a	PRON
ejde-2	492	19	,	,	PUNCT
ejde-2	492	20	b	b	NOUN
ejde-2	492	21	]	]	X
ejde-2	492	22	,	,	PUNCT
ejde-2	492	23	u(n−1)(x	u(n−1)(x	PROPN
ejde-2	492	24	)	)	PUNCT
ejde-2	492	25	=	=	SYM
ejde-2	493	1	un−1	un−1	PROPN
ejde-2	493	2	+	+	CCONJ
ejde-2	493	3	cn−1η(n−	cn−1η(n−	NOUN
ejde-2	493	4	1	1	NUM
ejde-2	493	5	,	,	PUNCT
ejde-2	493	6	n−	n−	NOUN
ejde-2	493	7	2)(1−	2)(1−	X
ejde-2	493	8	α	α	X
ejde-2	493	9	)	)	PUNCT
ejde-2	493	10	(	(	PUNCT
ejde-2	493	11	x−	x−	PROPN
ejde-2	493	12	a)α	a)α	X
ejde-2	493	13	+	+	NUM
ejde-2	493	14	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	493	15	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	493	16	)	)	PUNCT
ejde-2	493	17	.	.	PUNCT
ejde-2	494	1	(	(	PUNCT
ejde-2	494	2	4.25	4.25	NUM
ejde-2	494	3	)	)	PUNCT
ejde-2	494	4	14	14	NUM
ejde-2	494	5	k.	k.	PROPN
ejde-2	494	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	494	7	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	494	8	since	since	SCONJ
ejde-2	494	9	u(n−1)(a	u(n−1)(a	NOUN
ejde-2	494	10	)	)	PUNCT
ejde-2	495	1	=	=	SYM
ejde-2	495	2	un−1	un−1	ADJ
ejde-2	495	3	exists	exist	VERB
ejde-2	495	4	and	and	CCONJ
ejde-2	495	5	lim	lim	PROPN
ejde-2	495	6	supx→a+	supx→a+	PROPN
ejde-2	495	7	|i1−αa+	|i1−αa+	PROPN
ejde-2	495	8	v(x)|	v(x)|	NOUN
ejde-2	495	9	<	<	X
ejde-2	495	10	∞	∞	PROPN
ejde-2	495	11	,	,	PUNCT
ejde-2	495	12	by	by	ADP
ejde-2	495	13	the	the	DET
ejde-2	495	14	mean	mean	ADJ
ejde-2	495	15	value	value	NOUN
ejde-2	495	16	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	495	17	and	and	CCONJ
ejde-2	495	18	(	(	PUNCT
ejde-2	495	19	4.25	4.25	NUM
ejde-2	495	20	)	)	PUNCT
ejde-2	495	21	,	,	PUNCT
ejde-2	495	22	we	we	PRON
ejde-2	495	23	have	have	VERB
ejde-2	495	24	cn−1	cn−1	NOUN
ejde-2	495	25	=	=	SYM
ejde-2	495	26	0	0	X
ejde-2	495	27	.	.	PUNCT
ejde-2	496	1	by	by	ADP
ejde-2	496	2	(	(	PUNCT
ejde-2	496	3	4.23	4.23	NUM
ejde-2	496	4	)	)	PUNCT
ejde-2	496	5	with	with	ADP
ejde-2	496	6	cn−1	cn−1	PROPN
ejde-2	496	7	=	=	SYM
ejde-2	496	8	0	0	NUM
ejde-2	496	9	,	,	PUNCT
ejde-2	496	10	we	we	PRON
ejde-2	496	11	see	see	VERB
ejde-2	496	12	that	that	SCONJ
ejde-2	496	13	(	(	PUNCT
ejde-2	496	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	496	15	)	)	PUNCT
ejde-2	496	16	holds	hold	VERB
ejde-2	496	17	for	for	ADP
ejde-2	496	18	n	n	PRON
ejde-2	496	19	≥	≥	NOUN
ejde-2	496	20	3	3	NUM
ejde-2	496	21	.	.	PUNCT
ejde-2	497	1	since	since	SCONJ
ejde-2	497	2	v	v	NUM
ejde-2	497	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	497	4	hα	hα	ADP
ejde-2	497	5	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	497	6	,	,	PUNCT
ejde-2	497	7	b	b	NOUN
ejde-2	497	8	)	)	PUNCT
ejde-2	497	9	,	,	PUNCT
ejde-2	497	10	(	(	PUNCT
ejde-2	497	11	h1	h1	PROPN
ejde-2	497	12	)	)	PUNCT
ejde-2	497	13	holds	hold	VERB
ejde-2	497	14	.	.	PUNCT
ejde-2	498	1	since	since	SCONJ
ejde-2	498	2	(	(	PUNCT
ejde-2	498	3	4.3	4.3	NUM
ejde-2	498	4	)	)	PUNCT
ejde-2	498	5	holds	hold	NOUN
ejde-2	498	6	and	and	CCONJ
ejde-2	498	7	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	498	8	)	)	PUNCT
ejde-2	498	9	=	=	SYM
ejde-2	498	10	un−1	un−1	PROPN
ejde-2	498	11	,	,	PUNCT
ejde-2	498	12	it	it	PRON
ejde-2	498	13	follows	follow	VERB
ejde-2	498	14	from	from	ADP
ejde-2	498	15	(	(	PUNCT
ejde-2	498	16	4.11	4.11	NUM
ejde-2	498	17	)	)	PUNCT
ejde-2	498	18	that	that	PRON
ejde-2	498	19	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	498	20	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	498	21	)	)	PUNCT
ejde-2	498	22	=	=	SYM
ejde-2	498	23	0	0	NUM
ejde-2	498	24	and	and	CCONJ
ejde-2	498	25	v	v	ADP
ejde-2	498	26	∈	∈	NOUN
ejde-2	498	27	hα	hα	ADP
ejde-2	498	28	0	0	NUM
ejde-2	498	29	(	(	PUNCT
ejde-2	498	30	a	a	DET
ejde-2	498	31	,	,	PUNCT
ejde-2	498	32	b	b	NOUN
ejde-2	498	33	)	)	PUNCT
ejde-2	498	34	.	.	PUNCT
ejde-2	499	1	�	�	PROPN
ejde-2	499	2	remark	remark	VERB
ejde-2	499	3	4.8	4.8	NUM
ejde-2	499	4	.	.	PUNCT
ejde-2	500	1	by	by	ADP
ejde-2	500	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	500	3	4.3	4.3	NUM
ejde-2	500	4	(	(	PUNCT
ejde-2	500	5	1	1	NUM
ejde-2	500	6	)	)	PUNCT
ejde-2	500	7	and	and	CCONJ
ejde-2	500	8	theorem	theorem	VERB
ejde-2	500	9	4.7	4.7	NUM
ejde-2	500	10	(	(	PUNCT
ejde-2	500	11	1	1	NUM
ejde-2	500	12	)	)	PUNCT
ejde-2	500	13	,	,	PUNCT
ejde-2	500	14	we	we	PRON
ejde-2	500	15	see	see	VERB
ejde-2	500	16	that	that	SCONJ
ejde-2	500	17	the	the	DET
ejde-2	500	18	condition	condition	NOUN
ejde-2	500	19	v	v	ADP
ejde-2	500	20	∈	∈	NOUN
ejde-2	500	21	hα	hα	ADP
ejde-2	500	22	0	0	NUM
ejde-2	500	23	(	(	PUNCT
ejde-2	500	24	a	a	DET
ejde-2	500	25	,	,	PUNCT
ejde-2	500	26	b	b	NOUN
ejde-2	500	27	)	)	PUNCT
ejde-2	500	28	,	,	PUNCT
ejde-2	500	29	in	in	ADP
ejde-2	500	30	particular	particular	ADJ
ejde-2	500	31	,	,	PUNCT
ejde-2	500	32	v	v	NOUN
ejde-2	500	33	∈	∈	NOUN
ejde-2	500	34	lp(a	lp(a	NOUN
ejde-2	500	35	,	,	PUNCT
ejde-2	500	36	b	b	NOUN
ejde-2	500	37	)	)	PUNCT
ejde-2	500	38	for	for	ADP
ejde-2	500	39	some	some	DET
ejde-2	500	40	p	p	NOUN
ejde-2	500	41	∈	∈	PROPN
ejde-2	500	42	(	(	PUNCT
ejde-2	500	43	1	1	NUM
ejde-2	500	44	1−α	1−α	NUM
ejde-2	500	45	,	,	PUNCT
ejde-2	500	46	∞	∞	PROPN
ejde-2	500	47	]	]	PUNCT
ejde-2	500	48	,	,	PUNCT
ejde-2	500	49	is	be	AUX
ejde-2	500	50	a	a	DET
ejde-2	500	51	useful	useful	ADJ
ejde-2	500	52	condition	condition	NOUN
ejde-2	500	53	for	for	ADP
ejde-2	500	54	studying	study	VERB
ejde-2	500	55	solutions	solution	NOUN
ejde-2	500	56	of	of	ADP
ejde-2	500	57	(	(	PUNCT
ejde-2	500	58	3.1)-(4.2	3.1)-(4.2	NOUN
ejde-2	500	59	)	)	PUNCT
ejde-2	500	60	in	in	ADP
ejde-2	500	61	c[a	c[a	NUM
ejde-2	500	62	,	,	PUNCT
ejde-2	500	63	b	b	X
ejde-2	500	64	]	]	PUNCT
ejde-2	500	65	via	via	ADP
ejde-2	500	66	(	(	PUNCT
ejde-2	500	67	4.3	4.3	NUM
ejde-2	500	68	)	)	PUNCT
ejde-2	500	69	.	.	PUNCT
ejde-2	501	1	by	by	ADP
ejde-2	501	2	using	use	VERB
ejde-2	501	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	501	4	4.7	4.7	NUM
ejde-2	501	5	,	,	PUNCT
ejde-2	501	6	we	we	PRON
ejde-2	501	7	obtain	obtain	VERB
ejde-2	501	8	the	the	DET
ejde-2	501	9	following	following	ADJ
ejde-2	501	10	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	501	11	result	result	NOUN
ejde-2	501	12	.	.	PUNCT
ejde-2	502	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	502	2	4.9	4.9	NUM
ejde-2	502	3	.	.	PUNCT
ejde-2	503	1	let	let	VERB
ejde-2	503	2	v	v	NUM
ejde-2	503	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	503	4	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	503	5	,	,	PUNCT
ejde-2	503	6	b	b	NOUN
ejde-2	503	7	)	)	PUNCT
ejde-2	503	8	.	.	PUNCT
ejde-2	504	1	then	then	ADV
ejde-2	504	2	the	the	DET
ejde-2	504	3	following	follow	VERB
ejde-2	504	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	504	5	are	be	AUX
ejde-2	504	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	504	7	.	.	PUNCT
ejde-2	505	1	(	(	PUNCT
ejde-2	505	2	1	1	X
ejde-2	505	3	)	)	PUNCT
ejde-2	505	4	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	505	5	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	505	6	)	)	PUNCT
ejde-2	506	1	=	=	SYM
ejde-2	506	2	0	0	NUM
ejde-2	506	3	,	,	PUNCT
ejde-2	506	4	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	506	5	)	)	PUNCT
ejde-2	506	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	506	7	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	506	8	,	,	PUNCT
ejde-2	506	9	b	b	NOUN
ejde-2	506	10	]	]	X
ejde-2	506	11	,	,	PUNCT
ejde-2	506	12	and	and	CCONJ
ejde-2	506	13	u	u	NOUN
ejde-2	506	14	is	be	AUX
ejde-2	506	15	a	a	DET
ejde-2	506	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	506	17	of	of	ADP
ejde-2	506	18	(	(	PUNCT
ejde-2	506	19	4.3	4.3	NUM
ejde-2	506	20	)	)	PUNCT
ejde-2	506	21	.	.	PUNCT
ejde-2	507	1	(	(	PUNCT
ejde-2	507	2	2	2	X
ejde-2	507	3	)	)	PUNCT
ejde-2	507	4	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	507	5	v	v	ADP
ejde-2	507	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	507	7	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	507	8	,	,	PUNCT
ejde-2	507	9	b	b	NOUN
ejde-2	507	10	]	]	X
ejde-2	507	11	,	,	PUNCT
ejde-2	507	12	u	u	PROPN
ejde-2	507	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	507	14	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	507	15	,	,	PUNCT
ejde-2	507	16	b	b	NOUN
ejde-2	507	17	]	]	X
ejde-2	507	18	,	,	PUNCT
ejde-2	507	19	(	(	PUNCT
ejde-2	507	20	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	507	21	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	507	22	)	)	PUNCT
ejde-2	507	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	508	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	508	2	,	,	PUNCT
ejde-2	508	3	b	b	NOUN
ejde-2	508	4	]	]	PUNCT
ejde-2	508	5	and	and	CCONJ
ejde-2	508	6	and	and	CCONJ
ejde-2	508	7	u	u	NOUN
ejde-2	508	8	is	be	AUX
ejde-2	508	9	a	a	DET
ejde-2	508	10	solution	solution	NOUN
ejde-2	508	11	of	of	ADP
ejde-2	508	12	(	(	PUNCT
ejde-2	508	13	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	508	14	)	)	PUNCT
ejde-2	508	15	.	.	PUNCT
ejde-2	509	1	(	(	PUNCT
ejde-2	509	2	3	3	X
ejde-2	509	3	)	)	PUNCT
ejde-2	509	4	v	v	NOUN
ejde-2	509	5	∈	∈	NOUN
ejde-2	509	6	hα	hα	ADP
ejde-2	509	7	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	509	8	,	,	PUNCT
ejde-2	509	9	b	b	NOUN
ejde-2	509	10	)	)	PUNCT
ejde-2	509	11	,	,	PUNCT
ejde-2	509	12	u(n−1	u(n−1	PROPN
ejde-2	509	13	)	)	PUNCT
ejde-2	509	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	509	15	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	509	16	,	,	PUNCT
ejde-2	509	17	b	b	NOUN
ejde-2	509	18	]	]	X
ejde-2	509	19	,	,	PUNCT
ejde-2	509	20	(	(	PUNCT
ejde-2	509	21	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	509	22	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	509	23	)	)	PUNCT
ejde-2	509	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	510	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	510	2	,	,	PUNCT
ejde-2	510	3	b	b	NOUN
ejde-2	510	4	]	]	PUNCT
ejde-2	510	5	and	and	CCONJ
ejde-2	510	6	and	and	CCONJ
ejde-2	510	7	u	u	NOUN
ejde-2	510	8	is	be	AUX
ejde-2	510	9	a	a	DET
ejde-2	510	10	solution	solution	NOUN
ejde-2	510	11	of	of	ADP
ejde-2	510	12	(	(	PUNCT
ejde-2	510	13	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	510	14	)	)	PUNCT
ejde-2	510	15	.	.	PUNCT
ejde-2	511	1	(	(	PUNCT
ejde-2	511	2	4	4	X
ejde-2	511	3	)	)	PUNCT
ejde-2	511	4	v	v	NOUN
ejde-2	511	5	∈	∈	NOUN
ejde-2	511	6	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	511	7	(	(	PUNCT
ejde-2	511	8	a	a	DET
ejde-2	511	9	,	,	PUNCT
ejde-2	511	10	b	b	NOUN
ejde-2	511	11	)	)	PUNCT
ejde-2	511	12	and	and	CCONJ
ejde-2	511	13	u	u	NOUN
ejde-2	511	14	is	be	AUX
ejde-2	511	15	a	a	DET
ejde-2	511	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	511	17	of	of	ADP
ejde-2	511	18	(	(	PUNCT
ejde-2	511	19	4.3	4.3	NUM
ejde-2	511	20	)	)	PUNCT
ejde-2	511	21	.	.	PUNCT
ejde-2	512	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	512	2	.	.	PUNCT
ejde-2	513	1	(	(	PUNCT
ejde-2	513	2	1	1	X
ejde-2	513	3	)	)	PUNCT
ejde-2	513	4	implies	imply	VERB
ejde-2	513	5	(	(	PUNCT
ejde-2	513	6	2	2	NUM
ejde-2	513	7	)	)	PUNCT
ejde-2	513	8	.	.	PUNCT
ejde-2	514	1	since	since	SCONJ
ejde-2	514	2	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	514	3	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	514	4	)	)	PUNCT
ejde-2	514	5	=	=	SYM
ejde-2	514	6	0	0	NUM
ejde-2	514	7	and	and	CCONJ
ejde-2	514	8	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	514	9	)	)	PUNCT
ejde-2	514	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	514	11	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	514	12	,	,	PUNCT
ejde-2	514	13	b	b	NOUN
ejde-2	514	14	]	]	X
ejde-2	514	15	,	,	PUNCT
ejde-2	514	16	by	by	ADP
ejde-2	514	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	514	18	4.5(2	4.5(2	PROPN
ejde-2	514	19	)	)	PUNCT
ejde-2	514	20	,	,	PUNCT
ejde-2	514	21	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	514	22	v	v	ADP
ejde-2	514	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	514	24	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	514	25	,	,	PUNCT
ejde-2	514	26	b	b	NOUN
ejde-2	514	27	]	]	PUNCT
ejde-2	514	28	and	and	CCONJ
ejde-2	514	29	v	v	ADP
ejde-2	514	30	∈	∈	NOUN
ejde-2	514	31	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	514	32	(	(	PUNCT
ejde-2	514	33	a	a	DET
ejde-2	514	34	,	,	PUNCT
ejde-2	514	35	b	b	NOUN
ejde-2	514	36	)	)	PUNCT
ejde-2	514	37	.	.	PUNCT
ejde-2	515	1	by	by	ADP
ejde-2	515	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	515	3	4.3(1	4.3(1	NUM
ejde-2	515	4	)	)	PUNCT
ejde-2	515	5	,	,	PUNCT
ejde-2	515	6	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	515	7	(	(	PUNCT
ejde-2	515	8	a	a	DET
ejde-2	515	9	,	,	PUNCT
ejde-2	515	10	b	b	NOUN
ejde-2	515	11	)	)	PUNCT
ejde-2	515	12	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	515	13	hα	hα	ADP
ejde-2	515	14	0	0	NUM
ejde-2	515	15	(	(	PUNCT
ejde-2	515	16	a	a	DET
ejde-2	515	17	,	,	PUNCT
ejde-2	515	18	b	b	NOUN
ejde-2	515	19	)	)	PUNCT
ejde-2	515	20	and	and	CCONJ
ejde-2	515	21	v	v	ADP
ejde-2	515	22	∈	∈	NOUN
ejde-2	515	23	hα	hα	ADP
ejde-2	515	24	0	0	NUM
ejde-2	515	25	(	(	PUNCT
ejde-2	515	26	a	a	DET
ejde-2	515	27	,	,	PUNCT
ejde-2	515	28	b	b	NOUN
ejde-2	515	29	)	)	PUNCT
ejde-2	515	30	.	.	PUNCT
ejde-2	516	1	by	by	ADP
ejde-2	516	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	516	3	4.7(1	4.7(1	NUM
ejde-2	516	4	)	)	PUNCT
ejde-2	516	5	,	,	PUNCT
ejde-2	516	6	u	u	PROPN
ejde-2	516	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	516	8	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	516	9	,	,	PUNCT
ejde-2	516	10	b	b	NOUN
ejde-2	516	11	]	]	X
ejde-2	516	12	,	,	PUNCT
ejde-2	516	13	(	(	PUNCT
ejde-2	516	14	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	PROPN
ejde-2	516	15	)	)	PUNCT
ejde-2	516	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	516	17	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	516	18	,	,	PUNCT
ejde-2	516	19	b	b	NOUN
ejde-2	516	20	]	]	PUNCT
ejde-2	516	21	and	and	CCONJ
ejde-2	516	22	u	u	NOUN
ejde-2	516	23	is	be	AUX
ejde-2	516	24	a	a	DET
ejde-2	516	25	solution	solution	NOUN
ejde-2	516	26	of	of	ADP
ejde-2	516	27	(	(	PUNCT
ejde-2	516	28	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	516	29	)	)	PUNCT
ejde-2	516	30	and	and	CCONJ
ejde-2	516	31	(	(	PUNCT
ejde-2	516	32	2	2	X
ejde-2	516	33	)	)	PUNCT
ejde-2	516	34	holds	hold	VERB
ejde-2	516	35	.	.	PUNCT
ejde-2	517	1	(	(	PUNCT
ejde-2	517	2	2	2	X
ejde-2	517	3	)	)	PUNCT
ejde-2	517	4	implies	imply	VERB
ejde-2	517	5	(	(	PUNCT
ejde-2	517	6	1	1	NUM
ejde-2	517	7	)	)	PUNCT
ejde-2	517	8	.	.	PUNCT
ejde-2	518	1	by	by	ADP
ejde-2	518	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	518	3	2.4	2.4	NUM
ejde-2	518	4	(	(	PUNCT
ejde-2	518	5	2	2	NUM
ejde-2	518	6	)	)	PUNCT
ejde-2	518	7	,	,	PUNCT
ejde-2	518	8	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	518	9	v	v	ADP
ejde-2	518	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	518	11	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	518	12	,	,	PUNCT
ejde-2	519	1	b	b	NOUN
ejde-2	519	2	]	]	PUNCT
ejde-2	519	3	implies	imply	VERB
ejde-2	519	4	v	v	NUM
ejde-2	519	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	519	6	hα	hα	ADP
ejde-2	519	7	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	519	8	,	,	PUNCT
ejde-2	519	9	b	b	NOUN
ejde-2	519	10	)	)	PUNCT
ejde-2	519	11	.	.	PUNCT
ejde-2	520	1	by	by	ADP
ejde-2	520	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	520	3	4.7	4.7	NUM
ejde-2	520	4	(	(	PUNCT
ejde-2	520	5	2	2	NUM
ejde-2	520	6	)	)	PUNCT
ejde-2	520	7	,	,	PUNCT
ejde-2	520	8	u	u	NOUN
ejde-2	520	9	is	be	AUX
ejde-2	520	10	a	a	DET
ejde-2	520	11	solution	solution	NOUN
ejde-2	520	12	of	of	ADP
ejde-2	520	13	(	(	PUNCT
ejde-2	520	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	520	15	)	)	PUNCT
ejde-2	520	16	and	and	CCONJ
ejde-2	520	17	v	v	ADP
ejde-2	520	18	∈	∈	NOUN
ejde-2	520	19	hα	hα	ADP
ejde-2	520	20	0	0	NUM
ejde-2	520	21	(	(	PUNCT
ejde-2	520	22	a	a	DET
ejde-2	520	23	,	,	PUNCT
ejde-2	520	24	b	b	NOUN
ejde-2	520	25	)	)	PUNCT
ejde-2	520	26	.	.	PUNCT
ejde-2	521	1	hence	hence	ADV
ejde-2	521	2	,	,	PUNCT
ejde-2	521	3	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	521	4	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	521	5	)	)	PUNCT
ejde-2	521	6	=	=	SYM
ejde-2	522	1	0	0	X
ejde-2	522	2	.	.	PUNCT
ejde-2	523	1	since	since	SCONJ
ejde-2	523	2	i1−αa+	i1−αa+	PROPN
ejde-2	523	3	v	v	ADP
ejde-2	523	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	523	5	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	523	6	,	,	PUNCT
ejde-2	523	7	b	b	X
ejde-2	523	8	]	]	PUNCT
ejde-2	523	9	and	and	CCONJ
ejde-2	523	10	u	u	NOUN
ejde-2	523	11	is	be	AUX
ejde-2	523	12	a	a	DET
ejde-2	523	13	solution	solution	NOUN
ejde-2	523	14	of	of	ADP
ejde-2	523	15	(	(	PUNCT
ejde-2	523	16	4.3	4.3	NUM
ejde-2	523	17	)	)	PUNCT
ejde-2	523	18	,	,	PUNCT
ejde-2	523	19	by	by	ADP
ejde-2	523	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	523	21	4.5	4.5	NUM
ejde-2	523	22	(	(	PUNCT
ejde-2	523	23	2	2	NUM
ejde-2	523	24	)	)	PUNCT
ejde-2	523	25	,	,	PUNCT
ejde-2	523	26	we	we	PRON
ejde-2	523	27	obtain	obtain	VERB
ejde-2	523	28	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	523	29	)	)	PUNCT
ejde-2	523	30	∈	∈	PROPN
ejde-2	523	31	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	523	32	,	,	PUNCT
ejde-2	523	33	b	b	X
ejde-2	523	34	]	]	PUNCT
ejde-2	523	35	and	and	CCONJ
ejde-2	523	36	(	(	PUNCT
ejde-2	523	37	1	1	X
ejde-2	523	38	)	)	PUNCT
ejde-2	523	39	holds	hold	VERB
ejde-2	523	40	.	.	PUNCT
ejde-2	524	1	(	(	PUNCT
ejde-2	524	2	2	2	X
ejde-2	524	3	)	)	PUNCT
ejde-2	524	4	implies	imply	VERB
ejde-2	524	5	(	(	PUNCT
ejde-2	524	6	3	3	NUM
ejde-2	524	7	)	)	PUNCT
ejde-2	524	8	.	.	PUNCT
ejde-2	525	1	assume	assume	VERB
ejde-2	525	2	that	that	SCONJ
ejde-2	525	3	(	(	PUNCT
ejde-2	525	4	2	2	X
ejde-2	525	5	)	)	PUNCT
ejde-2	525	6	holds	hold	NOUN
ejde-2	525	7	.	.	PUNCT
ejde-2	526	1	by	by	ADP
ejde-2	526	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	526	3	2.4	2.4	NUM
ejde-2	526	4	,	,	PUNCT
ejde-2	526	5	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	526	6	v	v	ADP
ejde-2	526	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	526	8	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	526	9	,	,	PUNCT
ejde-2	526	10	b	b	NOUN
ejde-2	526	11	]	]	PUNCT
ejde-2	526	12	implies	imply	VERB
ejde-2	526	13	v	v	NUM
ejde-2	526	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	526	15	hα	hα	ADP
ejde-2	526	16	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	526	17	,	,	PUNCT
ejde-2	526	18	b	b	X
ejde-2	526	19	)	)	PUNCT
ejde-2	526	20	and	and	CCONJ
ejde-2	526	21	(	(	PUNCT
ejde-2	526	22	3	3	X
ejde-2	526	23	)	)	PUNCT
ejde-2	526	24	holds	hold	VERB
ejde-2	526	25	.	.	PUNCT
ejde-2	527	1	(	(	PUNCT
ejde-2	527	2	3	3	X
ejde-2	527	3	)	)	PUNCT
ejde-2	527	4	implies	imply	VERB
ejde-2	527	5	(	(	PUNCT
ejde-2	527	6	1	1	NUM
ejde-2	527	7	)	)	PUNCT
ejde-2	527	8	.	.	PUNCT
ejde-2	528	1	assume	assume	VERB
ejde-2	528	2	that	that	SCONJ
ejde-2	528	3	(	(	PUNCT
ejde-2	528	4	3	3	X
ejde-2	528	5	)	)	PUNCT
ejde-2	528	6	holds	hold	NOUN
ejde-2	528	7	.	.	PUNCT
ejde-2	529	1	by	by	ADP
ejde-2	529	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	529	3	4.7	4.7	NUM
ejde-2	529	4	(	(	PUNCT
ejde-2	529	5	2	2	NUM
ejde-2	529	6	)	)	PUNCT
ejde-2	529	7	,	,	PUNCT
ejde-2	529	8	u	u	NOUN
ejde-2	529	9	is	be	AUX
ejde-2	529	10	a	a	DET
ejde-2	529	11	solution	solution	NOUN
ejde-2	529	12	of	of	ADP
ejde-2	529	13	(	(	PUNCT
ejde-2	529	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	529	15	)	)	PUNCT
ejde-2	529	16	and	and	CCONJ
ejde-2	529	17	v	v	ADP
ejde-2	529	18	∈	∈	NOUN
ejde-2	529	19	hα	hα	ADP
ejde-2	529	20	0	0	NUM
ejde-2	529	21	(	(	PUNCT
ejde-2	529	22	a	a	DET
ejde-2	529	23	,	,	PUNCT
ejde-2	529	24	b	b	NOUN
ejde-2	529	25	)	)	PUNCT
ejde-2	529	26	.	.	PUNCT
ejde-2	530	1	hence	hence	ADV
ejde-2	530	2	,	,	PUNCT
ejde-2	530	3	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	530	4	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	530	5	)	)	PUNCT
ejde-2	530	6	=	=	SYM
ejde-2	531	1	0	0	X
ejde-2	531	2	.	.	PUNCT
ejde-2	532	1	it	it	PRON
ejde-2	532	2	follows	follow	VERB
ejde-2	532	3	that	that	SCONJ
ejde-2	532	4	(	(	PUNCT
ejde-2	532	5	1	1	X
ejde-2	532	6	)	)	PUNCT
ejde-2	532	7	holds	hold	VERB
ejde-2	532	8	.	.	PUNCT
ejde-2	533	1	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	533	2	between	between	ADP
ejde-2	533	3	(	(	PUNCT
ejde-2	533	4	1	1	NUM
ejde-2	533	5	)	)	PUNCT
ejde-2	533	6	and	and	CCONJ
ejde-2	533	7	(	(	PUNCT
ejde-2	533	8	4	4	NUM
ejde-2	533	9	)	)	PUNCT
ejde-2	533	10	.	.	PUNCT
ejde-2	534	1	by	by	ADP
ejde-2	534	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	534	3	4.7	4.7	NUM
ejde-2	534	4	and	and	CCONJ
ejde-2	534	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	534	6	4.5(2	4.5(2	PROPN
ejde-2	534	7	)	)	PUNCT
ejde-2	534	8	,	,	PUNCT
ejde-2	534	9	we	we	PRON
ejde-2	534	10	see	see	VERB
ejde-2	534	11	that	that	SCONJ
ejde-2	534	12	(	(	PUNCT
ejde-2	534	13	1	1	X
ejde-2	534	14	)	)	PUNCT
ejde-2	534	15	and	and	CCONJ
ejde-2	534	16	(	(	PUNCT
ejde-2	534	17	4	4	X
ejde-2	534	18	)	)	PUNCT
ejde-2	534	19	are	be	AUX
ejde-2	534	20	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	534	21	.	.	PUNCT
ejde-2	535	1	�	�	PROPN
ejde-2	535	2	remark	remark	VERB
ejde-2	535	3	4.10	4.10	NUM
ejde-2	535	4	.	.	PUNCT
ejde-2	536	1	the	the	DET
ejde-2	536	2	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	536	3	between	between	ADP
ejde-2	536	4	(	(	PUNCT
ejde-2	536	5	3	3	NUM
ejde-2	536	6	)	)	PUNCT
ejde-2	536	7	and	and	CCONJ
ejde-2	536	8	(	(	PUNCT
ejde-2	536	9	4	4	NUM
ejde-2	536	10	)	)	PUNCT
ejde-2	536	11	of	of	ADP
ejde-2	536	12	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	536	13	4.9	4.9	NUM
ejde-2	536	14	generalizes	generalize	VERB
ejde-2	536	15	the	the	DET
ejde-2	536	16	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	536	17	[	[	X
ejde-2	536	18	15	15	NUM
ejde-2	536	19	,	,	PUNCT
ejde-2	536	20	theorem	theorem	VERB
ejde-2	536	21	3.24	3.24	NUM
ejde-2	536	22	,	,	PUNCT
ejde-2	536	23	p.199	p.199	NOUN
ejde-2	536	24	]	]	PUNCT
ejde-2	536	25	and	and	CCONJ
ejde-2	536	26	the	the	DET
ejde-2	536	27	parts	part	NOUN
ejde-2	536	28	2	2	NUM
ejde-2	536	29	and	and	CCONJ
ejde-2	536	30	3	3	NUM
ejde-2	536	31	of	of	ADP
ejde-2	536	32	[	[	X
ejde-2	536	33	29	29	NUM
ejde-2	536	34	,	,	PUNCT
ejde-2	536	35	theorem	theorem	VERB
ejde-2	536	36	5.1	5.1	NUM
ejde-2	536	37	]	]	PUNCT
ejde-2	536	38	,	,	PUNCT
ejde-2	536	39	where	where	SCONJ
ejde-2	536	40	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	536	41	)	)	PUNCT
ejde-2	536	42	=	=	PRON
ejde-2	537	1	(	(	PUNCT
ejde-2	537	2	x−a)−γw(x	x−a)−γw(x	NUM
ejde-2	537	3	)	)	PUNCT
ejde-2	537	4	for	for	ADP
ejde-2	537	5	each	each	DET
ejde-2	537	6	x	x	SYM
ejde-2	537	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	537	8	(	(	PUNCT
ejde-2	537	9	a	a	DET
ejde-2	537	10	,	,	PUNCT
ejde-2	537	11	b	b	NOUN
ejde-2	537	12	]	]	X
ejde-2	537	13	,	,	PUNCT
ejde-2	537	14	0	0	NUM
ejde-2	537	15	≤	≤	NUM
ejde-2	537	16	γ	γ	X
ejde-2	537	17	<	<	X
ejde-2	537	18	1−α	1−α	NUM
ejde-2	537	19	and	and	CCONJ
ejde-2	537	20	w	w	PROPN
ejde-2	537	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	537	22	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	537	23	,	,	PUNCT
ejde-2	537	24	b	b	NOUN
ejde-2	537	25	]	]	X
ejde-2	537	26	.	.	PUNCT
ejde-2	538	1	as	as	ADP
ejde-2	538	2	an	an	DET
ejde-2	538	3	application	application	NOUN
ejde-2	538	4	of	of	ADP
ejde-2	538	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	538	6	4.7	4.7	NUM
ejde-2	538	7	,	,	PUNCT
ejde-2	538	8	we	we	PRON
ejde-2	538	9	obtain	obtain	VERB
ejde-2	538	10	the	the	DET
ejde-2	538	11	following	follow	VERB
ejde-2	538	12	identity	identity	NOUN
ejde-2	538	13	.	.	PUNCT
ejde-2	539	1	theorem	theorem	PROPN
ejde-2	539	2	4.11	4.11	NUM
ejde-2	539	3	.	.	PUNCT
ejde-2	540	1	assume	assume	VERB
ejde-2	540	2	that	that	SCONJ
ejde-2	540	3	u	u	PROPN
ejde-2	540	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	540	5	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	540	6	,	,	PUNCT
ejde-2	540	7	b	b	X
ejde-2	540	8	]	]	X
ejde-2	540	9	satisfies	satisfy	VERB
ejde-2	540	10	the	the	DET
ejde-2	540	11	following	follow	VERB
ejde-2	540	12	conditions	condition	NOUN
ejde-2	540	13	:	:	PUNCT
ejde-2	540	14	(	(	PUNCT
ejde-2	540	15	i	i	NOUN
ejde-2	540	16	)	)	PUNCT
ejde-2	540	17	(	(	PUNCT
ejde-2	540	18	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	540	19	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	540	20	)	)	PUNCT
ejde-2	540	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	540	22	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	540	23	,	,	PUNCT
ejde-2	540	24	b	b	NOUN
ejde-2	540	25	]	]	X
ejde-2	540	26	.	.	PUNCT
ejde-2	541	1	(	(	PUNCT
ejde-2	541	2	ii	ii	X
ejde-2	541	3	)	)	PUNCT
ejde-2	541	4	the	the	DET
ejde-2	541	5	initial	initial	ADJ
ejde-2	541	6	condition	condition	NOUN
ejde-2	541	7	(	(	PUNCT
ejde-2	541	8	4.2	4.2	NUM
ejde-2	541	9	)	)	PUNCT
ejde-2	541	10	holds	hold	VERB
ejde-2	541	11	.	.	PUNCT
ejde-2	542	1	(	(	PUNCT
ejde-2	542	2	iii	iii	X
ejde-2	542	3	)	)	PUNCT
ejde-2	542	4	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	542	5	p	p	NOUN
ejde-2	542	6	,	,	PUNCT
ejde-2	542	7	a+u	a+u	PROPN
ejde-2	542	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	542	9	h	h	NOUN
ejde-2	542	10	α	α	PROPN
ejde-2	542	11	b(a	b(a	PROPN
ejde-2	542	12	,	,	PUNCT
ejde-2	542	13	b	b	NOUN
ejde-2	542	14	)	)	PUNCT
ejde-2	542	15	.	.	PUNCT
ejde-2	543	1	then	then	ADV
ejde-2	543	2	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	543	3	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	543	4	p	p	NOUN
ejde-2	543	5	,	,	PUNCT
ejde-2	543	6	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	543	7	)	)	PUNCT
ejde-2	543	8	=	=	SYM
ejde-2	543	9	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-2	543	10	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	543	11	)	)	PUNCT
ejde-2	543	12	for	for	ADP
ejde-2	543	13	each	each	DET
ejde-2	543	14	x	x	SYM
ejde-2	543	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	544	1	[	[	X
ejde-2	544	2	a	a	X
ejde-2	544	3	,	,	PUNCT
ejde-2	544	4	b	b	NOUN
ejde-2	544	5	]	]	X
ejde-2	544	6	.	.	PUNCT
ejde-2	545	1	(	(	PUNCT
ejde-2	545	2	4.26	4.26	NUM
ejde-2	545	3	)	)	PUNCT
ejde-2	545	4	proof	proof	NOUN
ejde-2	545	5	.	.	PUNCT
ejde-2	546	1	let	let	VERB
ejde-2	546	2	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	546	3	)	)	PUNCT
ejde-2	547	1	=	=	SYM
ejde-2	547	2	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	547	3	p	p	NOUN
ejde-2	547	4	,	,	PUNCT
ejde-2	547	5	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	547	6	)	)	PUNCT
ejde-2	547	7	for	for	ADP
ejde-2	547	8	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	547	9	.	.	PUNCT
ejde-2	547	10	x	x	SYM
ejde-2	547	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	547	12	[	[	X
ejde-2	547	13	a	a	X
ejde-2	547	14	,	,	PUNCT
ejde-2	547	15	b	b	NOUN
ejde-2	547	16	]	]	PUNCT
ejde-2	547	17	.	.	PUNCT
ejde-2	548	1	by	by	ADP
ejde-2	548	2	(	(	PUNCT
ejde-2	548	3	iii	iii	NOUN
ejde-2	548	4	)	)	PUNCT
ejde-2	548	5	,	,	PUNCT
ejde-2	548	6	v	v	X
ejde-2	548	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	548	8	hα	hα	ADP
ejde-2	548	9	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	548	10	,	,	PUNCT
ejde-2	548	11	b	b	X
ejde-2	548	12	)	)	PUNCT
ejde-2	548	13	and	and	CCONJ
ejde-2	548	14	u	u	PROPN
ejde-2	548	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	548	16	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	548	17	,	,	PUNCT
ejde-2	548	18	b	b	X
ejde-2	548	19	]	]	X
ejde-2	548	20	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	548	21	(	(	PUNCT
ejde-2	548	22	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	548	23	)	)	PUNCT
ejde-2	548	24	.	.	PUNCT
ejde-2	549	1	this	this	PRON
ejde-2	549	2	with	with	ADP
ejde-2	549	3	(	(	PUNCT
ejde-2	549	4	i)-(iii	i)-(iii	NOUN
ejde-2	549	5	)	)	PUNCT
ejde-2	549	6	and	and	CCONJ
ejde-2	549	7	theorem	theorem	VERB
ejde-2	549	8	4.7(2	4.7(2	PROPN
ejde-2	549	9	)	)	PUNCT
ejde-2	549	10	implies	imply	VERB
ejde-2	549	11	that	that	SCONJ
ejde-2	549	12	u	u	NOUN
ejde-2	549	13	is	be	AUX
ejde-2	549	14	a	a	DET
ejde-2	549	15	solution	solution	NOUN
ejde-2	549	16	of	of	ADP
ejde-2	549	17	(	(	PUNCT
ejde-2	549	18	4.3	4.3	NUM
ejde-2	549	19	)	)	PUNCT
ejde-2	549	20	and	and	CCONJ
ejde-2	549	21	v	v	ADP
ejde-2	549	22	∈	∈	NOUN
ejde-2	549	23	hα	hα	ADP
ejde-2	549	24	0	0	NUM
ejde-2	549	25	(	(	PUNCT
ejde-2	549	26	a	a	DET
ejde-2	549	27	,	,	PUNCT
ejde-2	549	28	b	b	NOUN
ejde-2	549	29	)	)	PUNCT
ejde-2	549	30	.	.	PUNCT
ejde-2	550	1	substituting	substitute	VERB
ejde-2	550	2	v	v	NOUN
ejde-2	550	3	into	into	ADP
ejde-2	550	4	(	(	PUNCT
ejde-2	550	5	4.3	4.3	NUM
ejde-2	550	6	)	)	PUNCT
ejde-2	550	7	implies	imply	VERB
ejde-2	550	8	(	(	PUNCT
ejde-2	550	9	4.26	4.26	NUM
ejde-2	550	10	)	)	PUNCT
ejde-2	550	11	.	.	PUNCT
ejde-2	551	1	�	�	PROPN
ejde-2	551	2	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	551	3	linear	linear	ADJ
ejde-2	551	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	551	5	differential	differential	NOUN
ejde-2	551	6	and	and	CCONJ
ejde-2	551	7	integral	integral	ADJ
ejde-2	551	8	equations	equation	NOUN
ejde-2	551	9	15	15	NUM
ejde-2	551	10	remark	remark	NOUN
ejde-2	551	11	4.12	4.12	NUM
ejde-2	551	12	.	.	PUNCT
ejde-2	552	1	when	when	SCONJ
ejde-2	552	2	n	n	X
ejde-2	552	3	=	=	SYM
ejde-2	552	4	1	1	NUM
ejde-2	552	5	,	,	PUNCT
ejde-2	552	6	[	[	X
ejde-2	552	7	18	18	NUM
ejde-2	552	8	,	,	PUNCT
ejde-2	552	9	theorem	theorem	VERB
ejde-2	552	10	5.6	5.6	NUM
ejde-2	552	11	]	]	PUNCT
ejde-2	552	12	only	only	ADV
ejde-2	552	13	requires	require	VERB
ejde-2	552	14	that	that	SCONJ
ejde-2	552	15	d1−α	d1−α	PROPN
ejde-2	552	16	p	p	NOUN
ejde-2	552	17	,	,	PUNCT
ejde-2	552	18	a+u	a+u	NUM
ejde-2	552	19	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	552	20	(	(	PUNCT
ejde-2	552	21	h1	h1	PROPN
ejde-2	552	22	)	)	PUNCT
ejde-2	552	23	.	.	PUNCT
ejde-2	553	1	when	when	SCONJ
ejde-2	553	2	n	n	X
ejde-2	553	3	≥	≥	X
ejde-2	553	4	2	2	NUM
ejde-2	553	5	,	,	PUNCT
ejde-2	553	6	theorem	theorem	VERB
ejde-2	553	7	4.11	4.11	NUM
ejde-2	553	8	suggests	suggest	VERB
ejde-2	553	9	that	that	SCONJ
ejde-2	553	10	a	a	DET
ejde-2	553	11	stronger	strong	ADJ
ejde-2	553	12	condition	condition	NOUN
ejde-2	553	13	(	(	PUNCT
ejde-2	553	14	iii	iii	NOUN
ejde-2	553	15	)	)	PUNCT
ejde-2	553	16	is	be	AUX
ejde-2	553	17	needed	need	VERB
ejde-2	553	18	.	.	PUNCT
ejde-2	554	1	now	now	ADV
ejde-2	554	2	,	,	PUNCT
ejde-2	554	3	we	we	PRON
ejde-2	554	4	study	study	VERB
ejde-2	554	5	solutions	solution	NOUN
ejde-2	554	6	in	in	ADP
ejde-2	554	7	c[a	c[a	NUM
ejde-2	554	8	,	,	PUNCT
ejde-2	554	9	b	b	X
ejde-2	554	10	]	]	PUNCT
ejde-2	554	11	of	of	ADP
ejde-2	554	12	the	the	DET
ejde-2	554	13	ivp	ivp	NOUN
ejde-2	554	14	of	of	ADP
ejde-2	554	15	the	the	DET
ejde-2	554	16	nth	nth	NOUN
ejde-2	554	17	order	order	NOUN
ejde-2	554	18	fde	fde	PROPN
ejde-2	554	19	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	554	20	p	p	NOUN
ejde-2	554	21	,	,	PUNCT
ejde-2	554	22	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	554	23	)	)	PUNCT
ejde-2	554	24	:	:	PUNCT
ejde-2	555	1	=	=	SYM
ejde-2	555	2	(	(	PUNCT
ejde-2	555	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	555	4	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	555	5	)	)	PUNCT
ejde-2	555	6	=	=	SYM
ejde-2	555	7	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	555	8	)	)	PUNCT
ejde-2	555	9	for	for	ADP
ejde-2	555	10	each	each	DET
ejde-2	555	11	x	x	SYM
ejde-2	555	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	555	13	[	[	X
ejde-2	555	14	a	a	X
ejde-2	555	15	,	,	PUNCT
ejde-2	555	16	b	b	NOUN
ejde-2	555	17	]	]	X
ejde-2	555	18	(	(	PUNCT
ejde-2	555	19	4.27	4.27	NUM
ejde-2	555	20	)	)	PUNCT
ejde-2	555	21	subject	subject	NOUN
ejde-2	555	22	to	to	ADP
ejde-2	555	23	(	(	PUNCT
ejde-2	555	24	4.2	4.2	NUM
ejde-2	555	25	)	)	PUNCT
ejde-2	555	26	when	when	SCONJ
ejde-2	555	27	v	v	X
ejde-2	555	28	∈	∈	PROPN
ejde-2	555	29	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	555	30	,	,	PUNCT
ejde-2	555	31	b	b	NOUN
ejde-2	555	32	]	]	X
ejde-2	555	33	.	.	PUNCT
ejde-2	556	1	the	the	DET
ejde-2	556	2	difference	difference	NOUN
ejde-2	556	3	between	between	ADP
ejde-2	556	4	(	(	PUNCT
ejde-2	556	5	4.1	4.1	NUM
ejde-2	556	6	)	)	PUNCT
ejde-2	556	7	and	and	CCONJ
ejde-2	556	8	(	(	PUNCT
ejde-2	556	9	4.27	4.27	NUM
ejde-2	556	10	)	)	PUNCT
ejde-2	556	11	is	be	AUX
ejde-2	556	12	that	that	PRON
ejde-2	556	13	(	(	PUNCT
ejde-2	556	14	4.1	4.1	NUM
ejde-2	556	15	)	)	PUNCT
ejde-2	556	16	holds	hold	VERB
ejde-2	556	17	for	for	ADP
ejde-2	556	18	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	556	19	.	.	PUNCT
ejde-2	556	20	x	x	SYM
ejde-2	556	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	557	1	[	[	X
ejde-2	557	2	a	a	X
ejde-2	557	3	,	,	PUNCT
ejde-2	557	4	b	b	NOUN
ejde-2	557	5	]	]	PUNCT
ejde-2	557	6	while	while	SCONJ
ejde-2	557	7	(	(	PUNCT
ejde-2	557	8	4.27	4.27	NUM
ejde-2	557	9	)	)	PUNCT
ejde-2	557	10	holds	hold	VERB
ejde-2	557	11	for	for	ADP
ejde-2	557	12	each	each	DET
ejde-2	557	13	x	x	SYM
ejde-2	557	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	558	1	[	[	X
ejde-2	558	2	a	a	X
ejde-2	558	3	,	,	PUNCT
ejde-2	558	4	b	b	NOUN
ejde-2	558	5	]	]	X
ejde-2	558	6	.	.	PUNCT
ejde-2	559	1	we	we	PRON
ejde-2	559	2	need	need	VERB
ejde-2	559	3	the	the	DET
ejde-2	559	4	following	follow	VERB
ejde-2	559	5	result	result	NOUN
ejde-2	559	6	,	,	PUNCT
ejde-2	559	7	see	see	VERB
ejde-2	559	8	[	[	X
ejde-2	559	9	24	24	NUM
ejde-2	559	10	,	,	PUNCT
ejde-2	559	11	theorem	theorem	VERB
ejde-2	559	12	7.21	7.21	NUM
ejde-2	559	13	,	,	PUNCT
ejde-2	559	14	p.149	p.149	VERB
ejde-2	559	15	]	]	X
ejde-2	559	16	.	.	PUNCT
ejde-2	560	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	560	2	4.13	4.13	NUM
ejde-2	560	3	.	.	PUNCT
ejde-2	561	1	assume	assume	VERB
ejde-2	561	2	that	that	SCONJ
ejde-2	561	3	f	f	X
ejde-2	561	4	:	:	PUNCT
ejde-2	562	1	[	[	X
ejde-2	562	2	a	a	X
ejde-2	562	3	,	,	PUNCT
ejde-2	562	4	b]→	b]→	ADJ
ejde-2	562	5	r	r	NOUN
ejde-2	562	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	562	7	the	the	DET
ejde-2	562	8	following	follow	VERB
ejde-2	562	9	conditions	condition	NOUN
ejde-2	562	10	.	.	PUNCT
ejde-2	563	1	(	(	PUNCT
ejde-2	563	2	i	i	NOUN
ejde-2	563	3	)	)	PUNCT
ejde-2	563	4	f	f	PROPN
ejde-2	563	5	′(x	′(x	PROPN
ejde-2	563	6	)	)	PUNCT
ejde-2	563	7	exists	exist	VERB
ejde-2	563	8	for	for	ADP
ejde-2	563	9	each	each	DET
ejde-2	563	10	x	x	SYM
ejde-2	563	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	564	1	[	[	X
ejde-2	564	2	a	a	X
ejde-2	564	3	,	,	PUNCT
ejde-2	564	4	b	b	NOUN
ejde-2	564	5	]	]	X
ejde-2	564	6	.	.	PUNCT
ejde-2	565	1	(	(	PUNCT
ejde-2	565	2	ii	ii	X
ejde-2	565	3	)	)	PUNCT
ejde-2	565	4	f	f	NOUN
ejde-2	565	5	′	′	NUM
ejde-2	565	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	565	7	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	565	8	,	,	PUNCT
ejde-2	565	9	b	b	NOUN
ejde-2	565	10	)	)	PUNCT
ejde-2	565	11	.	.	PUNCT
ejde-2	566	1	then	then	ADV
ejde-2	566	2	f	f	PROPN
ejde-2	566	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	566	4	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	566	5	,	,	PUNCT
ejde-2	566	6	b	b	NOUN
ejde-2	566	7	]	]	PUNCT
ejde-2	566	8	.	.	PUNCT
ejde-2	567	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	567	2	4.14	4.14	NUM
ejde-2	567	3	.	.	PUNCT
ejde-2	568	1	(	(	PUNCT
ejde-2	568	2	1	1	X
ejde-2	568	3	)	)	PUNCT
ejde-2	568	4	assume	assume	VERB
ejde-2	568	5	that	that	SCONJ
ejde-2	568	6	the	the	DET
ejde-2	568	7	following	follow	VERB
ejde-2	568	8	conditions	condition	NOUN
ejde-2	568	9	hold	hold	VERB
ejde-2	568	10	.	.	PUNCT
ejde-2	569	1	(	(	PUNCT
ejde-2	569	2	i	i	NOUN
ejde-2	569	3	)	)	PUNCT
ejde-2	569	4	v	v	NOUN
ejde-2	569	5	:	:	PUNCT
ejde-2	570	1	[	[	X
ejde-2	570	2	a	a	X
ejde-2	570	3	,	,	PUNCT
ejde-2	570	4	b]→	b]→	ADJ
ejde-2	570	5	r	r	NOUN
ejde-2	570	6	is	be	AUX
ejde-2	570	7	a	a	DET
ejde-2	570	8	function	function	NOUN
ejde-2	570	9	and	and	CCONJ
ejde-2	570	10	v	v	ADP
ejde-2	570	11	∈	∈	NOUN
ejde-2	570	12	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	570	13	,	,	PUNCT
ejde-2	570	14	b	b	NOUN
ejde-2	570	15	)	)	PUNCT
ejde-2	570	16	.	.	PUNCT
ejde-2	571	1	(	(	PUNCT
ejde-2	571	2	ii	ii	X
ejde-2	571	3	)	)	PUNCT
ejde-2	571	4	u	u	NOUN
ejde-2	571	5	is	be	AUX
ejde-2	571	6	a	a	DET
ejde-2	571	7	solution	solution	NOUN
ejde-2	571	8	of	of	ADP
ejde-2	571	9	(	(	PUNCT
ejde-2	571	10	4.27	4.27	NUM
ejde-2	571	11	)	)	PUNCT
ejde-2	571	12	.	.	PUNCT
ejde-2	572	1	then	then	ADV
ejde-2	572	2	(	(	PUNCT
ejde-2	572	3	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	572	4	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	572	5	)	)	PUNCT
ejde-2	572	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	572	7	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	572	8	,	,	PUNCT
ejde-2	572	9	b	b	NOUN
ejde-2	572	10	]	]	X
ejde-2	572	11	,	,	PUNCT
ejde-2	572	12	and	and	CCONJ
ejde-2	572	13	u	u	NOUN
ejde-2	572	14	is	be	AUX
ejde-2	572	15	a	a	DET
ejde-2	572	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	572	17	of	of	ADP
ejde-2	572	18	(	(	PUNCT
ejde-2	572	19	4.1	4.1	NUM
ejde-2	572	20	)	)	PUNCT
ejde-2	572	21	.	.	PUNCT
ejde-2	573	1	(	(	PUNCT
ejde-2	573	2	2	2	X
ejde-2	573	3	)	)	PUNCT
ejde-2	573	4	if	if	SCONJ
ejde-2	573	5	v	v	NUM
ejde-2	573	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	573	7	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	573	8	,	,	PUNCT
ejde-2	574	1	b	b	X
ejde-2	574	2	]	]	PUNCT
ejde-2	574	3	and	and	CCONJ
ejde-2	574	4	(	(	PUNCT
ejde-2	574	5	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	574	6	−	−	ADP
ejde-2	574	7	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	574	8	)	)	PUNCT
ejde-2	574	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	574	10	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	574	11	,	,	PUNCT
ejde-2	574	12	b	b	NOUN
ejde-2	574	13	]	]	PUNCT
ejde-2	574	14	and	and	CCONJ
ejde-2	574	15	u	u	NOUN
ejde-2	574	16	is	be	AUX
ejde-2	574	17	a	a	DET
ejde-2	574	18	solution	solution	NOUN
ejde-2	574	19	of	of	ADP
ejde-2	574	20	(	(	PUNCT
ejde-2	574	21	4.1	4.1	NUM
ejde-2	574	22	)	)	PUNCT
ejde-2	574	23	,	,	PUNCT
ejde-2	574	24	then	then	ADV
ejde-2	574	25	u	u	NOUN
ejde-2	574	26	is	be	AUX
ejde-2	574	27	a	a	DET
ejde-2	574	28	solution	solution	NOUN
ejde-2	574	29	of	of	ADP
ejde-2	574	30	(	(	PUNCT
ejde-2	574	31	4.27	4.27	NUM
ejde-2	574	32	)	)	PUNCT
ejde-2	574	33	proof	proof	NOUN
ejde-2	574	34	.	.	PUNCT
ejde-2	575	1	(	(	PUNCT
ejde-2	575	2	1	1	X
ejde-2	575	3	)	)	PUNCT
ejde-2	575	4	by	by	ADP
ejde-2	575	5	conditions	condition	NOUN
ejde-2	575	6	(	(	PUNCT
ejde-2	575	7	i	i	NOUN
ejde-2	575	8	)	)	PUNCT
ejde-2	575	9	and	and	CCONJ
ejde-2	575	10	(	(	PUNCT
ejde-2	575	11	ii	ii	NOUN
ejde-2	575	12	)	)	PUNCT
ejde-2	575	13	,	,	PUNCT
ejde-2	575	14	(	(	PUNCT
ejde-2	575	15	iα0+(u	iα0+(u	PRON
ejde-2	575	16	−	−	PROPN
ejde-2	575	17	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	575	18	)	)	PUNCT
ejde-2	575	19	exists	exist	VERB
ejde-2	575	20	for	for	ADP
ejde-2	575	21	each	each	DET
ejde-2	575	22	x	x	SYM
ejde-2	575	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	576	1	[	[	X
ejde-2	576	2	a	a	X
ejde-2	576	3	,	,	PUNCT
ejde-2	576	4	b	b	NOUN
ejde-2	576	5	]	]	X
ejde-2	576	6	.	.	PUNCT
ejde-2	577	1	we	we	PRON
ejde-2	577	2	define	define	VERB
ejde-2	577	3	a	a	DET
ejde-2	577	4	function	function	NOUN
ejde-2	577	5	f	f	NOUN
ejde-2	577	6	:	:	PUNCT
ejde-2	578	1	[	[	X
ejde-2	578	2	a	a	X
ejde-2	578	3	,	,	PUNCT
ejde-2	578	4	b]→	b]→	ADJ
ejde-2	578	5	r	r	NOUN
ejde-2	578	6	by	by	ADP
ejde-2	578	7	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	578	8	)	)	PUNCT
ejde-2	578	9	=	=	PUNCT
ejde-2	578	10	(	(	PUNCT
ejde-2	578	11	iαa+(u−	iαa+(u−	X
ejde-2	578	12	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	578	13	)	)	PUNCT
ejde-2	578	14	for	for	ADP
ejde-2	578	15	each	each	DET
ejde-2	578	16	x	x	SYM
ejde-2	578	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	579	1	[	[	X
ejde-2	579	2	a	a	X
ejde-2	579	3	,	,	PUNCT
ejde-2	579	4	b	b	NOUN
ejde-2	579	5	]	]	X
ejde-2	579	6	.	.	PUNCT
ejde-2	580	1	then	then	ADV
ejde-2	580	2	by	by	ADP
ejde-2	580	3	the	the	DET
ejde-2	580	4	conditions	condition	NOUN
ejde-2	580	5	(	(	PUNCT
ejde-2	580	6	i	i	NOUN
ejde-2	580	7	)	)	PUNCT
ejde-2	580	8	and	and	CCONJ
ejde-2	580	9	(	(	PUNCT
ejde-2	580	10	ii	ii	NOUN
ejde-2	580	11	)	)	PUNCT
ejde-2	580	12	,	,	PUNCT
ejde-2	580	13	f	f	PROPN
ejde-2	580	14	′(x	′(x	PROPN
ejde-2	580	15	)	)	PUNCT
ejde-2	580	16	=	=	SYM
ejde-2	581	1	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	581	2	)	)	PUNCT
ejde-2	581	3	exists	exist	VERB
ejde-2	581	4	for	for	ADP
ejde-2	581	5	each	each	DET
ejde-2	581	6	x	x	SYM
ejde-2	581	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	582	1	[	[	X
ejde-2	582	2	a	a	X
ejde-2	582	3	,	,	PUNCT
ejde-2	582	4	b	b	NOUN
ejde-2	582	5	]	]	PUNCT
ejde-2	582	6	and	and	CCONJ
ejde-2	582	7	f	f	NOUN
ejde-2	583	1	′	′	NUM
ejde-2	583	2	=	=	SYM
ejde-2	583	3	v	v	ADP
ejde-2	583	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	583	5	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	583	6	,	,	PUNCT
ejde-2	583	7	b	b	NOUN
ejde-2	583	8	)	)	PUNCT
ejde-2	583	9	.	.	PUNCT
ejde-2	584	1	by	by	ADP
ejde-2	584	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	584	3	4.13	4.13	NUM
ejde-2	584	4	,	,	PUNCT
ejde-2	584	5	f	f	PROPN
ejde-2	584	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	584	7	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	584	8	,	,	PUNCT
ejde-2	584	9	b	b	NOUN
ejde-2	584	10	]	]	PUNCT
ejde-2	584	11	and	and	CCONJ
ejde-2	584	12	the	the	DET
ejde-2	584	13	result	result	NOUN
ejde-2	584	14	follows	follow	VERB
ejde-2	584	15	.	.	PUNCT
ejde-2	585	1	(	(	PUNCT
ejde-2	585	2	2	2	X
ejde-2	585	3	)	)	PUNCT
ejde-2	585	4	since	since	SCONJ
ejde-2	585	5	(	(	PUNCT
ejde-2	585	6	iαa+(u−pn−1))(n−1	iαa+(u−pn−1))(n−1	PROPN
ejde-2	585	7	)	)	PUNCT
ejde-2	585	8	∈	∈	PROPN
ejde-2	585	9	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	585	10	,	,	PUNCT
ejde-2	585	11	b	b	NOUN
ejde-2	585	12	]	]	X
ejde-2	585	13	,	,	PUNCT
ejde-2	585	14	integrating	integrate	VERB
ejde-2	585	15	both	both	DET
ejde-2	585	16	sides	side	NOUN
ejde-2	585	17	of	of	ADP
ejde-2	585	18	(	(	PUNCT
ejde-2	585	19	4.1	4.1	NUM
ejde-2	585	20	)	)	PUNCT
ejde-2	585	21	from	from	ADP
ejde-2	585	22	a	a	DET
ejde-2	585	23	to	to	PART
ejde-2	585	24	x	x	SYM
ejde-2	585	25	,	,	PUNCT
ejde-2	585	26	we	we	PRON
ejde-2	585	27	have	have	VERB
ejde-2	585	28	(	(	PUNCT
ejde-2	585	29	iαa+(u−pn−1))(n−1)(x)−(iαa+(u−pn−1))(n−1)(a	iαa+(u−pn−1))(n−1)(x)−(iαa+(u−pn−1))(n−1)(a	NOUN
ejde-2	585	30	)	)	PUNCT
ejde-2	585	31	=	=	SYM
ejde-2	586	1	∫	∫	PROPN
ejde-2	586	2	x	x	X
ejde-2	586	3	a	a	DET
ejde-2	586	4	v(y	v(y	PROPN
ejde-2	586	5	)	)	PUNCT
ejde-2	586	6	dy	dy	NOUN
ejde-2	586	7	for	for	ADP
ejde-2	586	8	each	each	DET
ejde-2	586	9	x	x	SYM
ejde-2	586	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	586	11	[	[	X
ejde-2	586	12	a	a	X
ejde-2	586	13	,	,	PUNCT
ejde-2	586	14	b	b	NOUN
ejde-2	586	15	]	]	PUNCT
ejde-2	586	16	.	.	PUNCT
ejde-2	587	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	587	2	both	both	DET
ejde-2	587	3	sides	side	NOUN
ejde-2	587	4	of	of	ADP
ejde-2	587	5	the	the	DET
ejde-2	587	6	above	above	ADJ
ejde-2	587	7	equation	equation	NOUN
ejde-2	587	8	yields	yield	NOUN
ejde-2	587	9	(	(	PUNCT
ejde-2	587	10	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	587	11	pn−1))(n)(x	pn−1))(n)(x	NOUN
ejde-2	587	12	)	)	PUNCT
ejde-2	587	13	=	=	SYM
ejde-2	587	14	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	587	15	)	)	PUNCT
ejde-2	587	16	for	for	ADP
ejde-2	587	17	each	each	DET
ejde-2	587	18	x	x	SYM
ejde-2	587	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	587	20	[	[	X
ejde-2	587	21	a	a	X
ejde-2	587	22	,	,	PUNCT
ejde-2	587	23	b	b	NOUN
ejde-2	587	24	]	]	X
ejde-2	587	25	.	.	PUNCT
ejde-2	588	1	hence	hence	ADV
ejde-2	588	2	,	,	PUNCT
ejde-2	588	3	u	u	PROPN
ejde-2	588	4	is	be	AUX
ejde-2	588	5	a	a	DET
ejde-2	588	6	solution	solution	NOUN
ejde-2	588	7	of	of	ADP
ejde-2	588	8	(	(	PUNCT
ejde-2	588	9	4.27	4.27	NUM
ejde-2	588	10	)	)	PUNCT
ejde-2	588	11	.	.	PUNCT
ejde-2	589	1	�	�	PROPN
ejde-2	589	2	by	by	ADP
ejde-2	589	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	589	4	4.14	4.14	NUM
ejde-2	589	5	with	with	ADP
ejde-2	589	6	v	v	NUM
ejde-2	589	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	589	8	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	589	9	,	,	PUNCT
ejde-2	589	10	b	b	NOUN
ejde-2	589	11	]	]	X
ejde-2	589	12	,	,	PUNCT
ejde-2	589	13	we	we	PRON
ejde-2	589	14	obtain	obtain	VERB
ejde-2	589	15	the	the	DET
ejde-2	589	16	following	following	ADJ
ejde-2	589	17	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	589	18	result	result	NOUN
ejde-2	589	19	that	that	SCONJ
ejde-2	589	20	generalizes	generalize	VERB
ejde-2	589	21	[	[	X
ejde-2	589	22	18	18	NUM
ejde-2	589	23	,	,	PUNCT
ejde-2	589	24	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	589	25	4.2	4.2	NUM
ejde-2	589	26	]	]	PUNCT
ejde-2	589	27	from	from	ADP
ejde-2	589	28	n	n	NOUN
ejde-2	589	29	=	=	SYM
ejde-2	589	30	1	1	NUM
ejde-2	589	31	to	to	ADP
ejde-2	589	32	n	n	PRON
ejde-2	589	33	≥	≥	NOUN
ejde-2	589	34	2	2	NUM
ejde-2	589	35	.	.	PUNCT
ejde-2	589	36	corollary	corollary	ADJ
ejde-2	589	37	4.15	4.15	NUM
ejde-2	589	38	.	.	PUNCT
ejde-2	590	1	let	let	VERB
ejde-2	590	2	u	u	PRON
ejde-2	590	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	590	4	l1(a	l1(a	PROPN
ejde-2	590	5	,	,	PUNCT
ejde-2	590	6	b	b	NOUN
ejde-2	590	7	)	)	PUNCT
ejde-2	590	8	and	and	CCONJ
ejde-2	590	9	v	v	ADP
ejde-2	590	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	590	11	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	590	12	,	,	PUNCT
ejde-2	590	13	b	b	NOUN
ejde-2	590	14	]	]	X
ejde-2	590	15	.	.	PUNCT
ejde-2	591	1	then	then	ADV
ejde-2	591	2	u	u	PRON
ejde-2	591	3	is	be	AUX
ejde-2	591	4	a	a	DET
ejde-2	591	5	solution	solution	NOUN
ejde-2	591	6	of	of	ADP
ejde-2	591	7	(	(	PUNCT
ejde-2	591	8	4.27	4.27	NUM
ejde-2	591	9	)	)	PUNCT
ejde-2	591	10	if	if	SCONJ
ejde-2	591	11	and	and	CCONJ
ejde-2	591	12	only	only	ADV
ejde-2	591	13	if	if	SCONJ
ejde-2	591	14	(	(	PUNCT
ejde-2	591	15	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	591	16	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	591	17	)	)	PUNCT
ejde-2	591	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	591	19	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	591	20	,	,	PUNCT
ejde-2	591	21	b	b	NOUN
ejde-2	591	22	]	]	PUNCT
ejde-2	591	23	and	and	CCONJ
ejde-2	591	24	u	u	NOUN
ejde-2	591	25	is	be	AUX
ejde-2	591	26	a	a	DET
ejde-2	591	27	solution	solution	NOUN
ejde-2	591	28	of	of	ADP
ejde-2	591	29	(	(	PUNCT
ejde-2	591	30	4.1	4.1	NUM
ejde-2	591	31	)	)	PUNCT
ejde-2	591	32	.	.	PUNCT
ejde-2	592	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	592	2	.	.	PUNCT
ejde-2	593	1	assume	assume	VERB
ejde-2	593	2	that	that	SCONJ
ejde-2	593	3	u	u	PRON
ejde-2	593	4	is	be	AUX
ejde-2	593	5	a	a	DET
ejde-2	593	6	solution	solution	NOUN
ejde-2	593	7	of	of	ADP
ejde-2	593	8	(	(	PUNCT
ejde-2	593	9	4.27	4.27	NUM
ejde-2	593	10	)	)	PUNCT
ejde-2	593	11	.	.	PUNCT
ejde-2	594	1	since	since	SCONJ
ejde-2	594	2	v	v	NUM
ejde-2	594	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	594	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	594	5	,	,	PUNCT
ejde-2	594	6	b	b	NOUN
ejde-2	594	7	]	]	X
ejde-2	594	8	,	,	PUNCT
ejde-2	594	9	the	the	DET
ejde-2	594	10	result	result	NOUN
ejde-2	594	11	follows	follow	VERB
ejde-2	594	12	from	from	ADP
ejde-2	594	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	594	14	4.14(1	4.14(1	PROPN
ejde-2	594	15	)	)	PUNCT
ejde-2	594	16	.	.	PUNCT
ejde-2	595	1	the	the	DET
ejde-2	595	2	converse	converse	NOUN
ejde-2	595	3	follows	follow	VERB
ejde-2	595	4	from	from	ADP
ejde-2	595	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	595	6	4.14(2	4.14(2	NUM
ejde-2	595	7	)	)	PUNCT
ejde-2	595	8	.	.	PUNCT
ejde-2	596	1	�	�	PROPN
ejde-2	597	1	the	the	DET
ejde-2	597	2	following	following	ADJ
ejde-2	597	3	result	result	NOUN
ejde-2	597	4	shows	show	VERB
ejde-2	597	5	that	that	SCONJ
ejde-2	597	6	(	(	PUNCT
ejde-2	597	7	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	597	8	)	)	PUNCT
ejde-2	597	9	can	can	AUX
ejde-2	597	10	be	be	AUX
ejde-2	597	11	studied	study	VERB
ejde-2	597	12	via	via	ADP
ejde-2	597	13	(	(	PUNCT
ejde-2	597	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	597	15	)	)	PUNCT
ejde-2	597	16	when	when	SCONJ
ejde-2	597	17	v	v	X
ejde-2	597	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	597	19	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	597	20	,	,	PUNCT
ejde-2	597	21	b	b	NOUN
ejde-2	597	22	]	]	PUNCT
ejde-2	597	23	.	.	PUNCT
ejde-2	598	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	598	2	4.16	4.16	NUM
ejde-2	598	3	.	.	PUNCT
ejde-2	599	1	let	let	VERB
ejde-2	599	2	v	v	NUM
ejde-2	599	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	599	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	599	5	,	,	PUNCT
ejde-2	599	6	b	b	NOUN
ejde-2	599	7	]	]	X
ejde-2	599	8	.	.	PUNCT
ejde-2	600	1	then	then	ADV
ejde-2	600	2	u	u	PRON
ejde-2	600	3	is	be	AUX
ejde-2	600	4	a	a	DET
ejde-2	600	5	solution	solution	NOUN
ejde-2	600	6	of	of	ADP
ejde-2	600	7	(	(	PUNCT
ejde-2	600	8	4.3	4.3	NUM
ejde-2	600	9	)	)	PUNCT
ejde-2	600	10	if	if	SCONJ
ejde-2	600	11	and	and	CCONJ
ejde-2	600	12	only	only	ADV
ejde-2	600	13	if	if	SCONJ
ejde-2	600	14	u	u	PROPN
ejde-2	600	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	600	16	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	600	17	,	,	PUNCT
ejde-2	600	18	b	b	X
ejde-2	600	19	]	]	PUNCT
ejde-2	600	20	and	and	CCONJ
ejde-2	600	21	u	u	NOUN
ejde-2	600	22	is	be	AUX
ejde-2	600	23	a	a	DET
ejde-2	600	24	solution	solution	NOUN
ejde-2	600	25	of	of	ADP
ejde-2	600	26	(	(	PUNCT
ejde-2	600	27	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	600	28	)	)	PUNCT
ejde-2	600	29	.	.	PUNCT
ejde-2	601	1	16	16	NUM
ejde-2	601	2	k.	k.	PROPN
ejde-2	601	3	lan	lan	PROPN
ejde-2	601	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	601	5	proof	proof	NOUN
ejde-2	601	6	.	.	PUNCT
ejde-2	602	1	assume	assume	VERB
ejde-2	602	2	that	that	SCONJ
ejde-2	602	3	u	u	PRON
ejde-2	602	4	is	be	AUX
ejde-2	602	5	a	a	DET
ejde-2	602	6	solution	solution	NOUN
ejde-2	602	7	of	of	ADP
ejde-2	602	8	(	(	PUNCT
ejde-2	602	9	4.3	4.3	NUM
ejde-2	602	10	)	)	PUNCT
ejde-2	602	11	.	.	PUNCT
ejde-2	603	1	since	since	SCONJ
ejde-2	603	2	v	v	NUM
ejde-2	603	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	603	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	603	5	,	,	PUNCT
ejde-2	603	6	b	b	NOUN
ejde-2	603	7	]	]	X
ejde-2	603	8	,	,	PUNCT
ejde-2	603	9	we	we	PRON
ejde-2	603	10	have	have	VERB
ejde-2	603	11	v	v	NUM
ejde-2	603	12	∈	∈	NOUN
ejde-2	603	13	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	603	14	(	(	PUNCT
ejde-2	603	15	a	a	DET
ejde-2	603	16	,	,	PUNCT
ejde-2	603	17	b	b	NOUN
ejde-2	603	18	)	)	PUNCT
ejde-2	603	19	.	.	PUNCT
ejde-2	604	1	by	by	ADP
ejde-2	604	2	(	(	PUNCT
ejde-2	604	3	4	4	X
ejde-2	604	4	)	)	PUNCT
ejde-2	604	5	implying	imply	VERB
ejde-2	604	6	(	(	PUNCT
ejde-2	604	7	2	2	NUM
ejde-2	604	8	)	)	PUNCT
ejde-2	604	9	of	of	ADP
ejde-2	604	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	604	11	4.9	4.9	NUM
ejde-2	604	12	,	,	PUNCT
ejde-2	604	13	u	u	PROPN
ejde-2	604	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	604	15	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	604	16	,	,	PUNCT
ejde-2	604	17	b	b	NOUN
ejde-2	604	18	]	]	X
ejde-2	604	19	,	,	PUNCT
ejde-2	604	20	(	(	PUNCT
ejde-2	604	21	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	604	22	−	−	ADP
ejde-2	604	23	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	604	24	)	)	PUNCT
ejde-2	604	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	604	26	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	604	27	,	,	PUNCT
ejde-2	604	28	b	b	NOUN
ejde-2	604	29	]	]	PUNCT
ejde-2	604	30	and	and	CCONJ
ejde-2	604	31	u	u	NOUN
ejde-2	604	32	is	be	AUX
ejde-2	604	33	a	a	DET
ejde-2	604	34	solution	solution	NOUN
ejde-2	604	35	of	of	ADP
ejde-2	604	36	(	(	PUNCT
ejde-2	604	37	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	604	38	)	)	PUNCT
ejde-2	604	39	.	.	PUNCT
ejde-2	605	1	since	since	SCONJ
ejde-2	605	2	v	v	NUM
ejde-2	605	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	605	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	605	5	,	,	PUNCT
ejde-2	605	6	b	b	X
ejde-2	605	7	]	]	PUNCT
ejde-2	605	8	and	and	CCONJ
ejde-2	605	9	u	u	NOUN
ejde-2	605	10	is	be	AUX
ejde-2	605	11	a	a	DET
ejde-2	605	12	solution	solution	NOUN
ejde-2	605	13	of	of	ADP
ejde-2	605	14	(	(	PUNCT
ejde-2	605	15	4.1	4.1	NUM
ejde-2	605	16	)	)	PUNCT
ejde-2	605	17	,	,	PUNCT
ejde-2	605	18	by	by	ADP
ejde-2	605	19	corollary	corollary	ADJ
ejde-2	605	20	4.15	4.15	NUM
ejde-2	605	21	,	,	PUNCT
ejde-2	605	22	u	u	NOUN
ejde-2	605	23	is	be	AUX
ejde-2	605	24	a	a	DET
ejde-2	605	25	solution	solution	NOUN
ejde-2	605	26	of	of	ADP
ejde-2	605	27	(	(	PUNCT
ejde-2	605	28	4.27	4.27	NUM
ejde-2	605	29	)	)	PUNCT
ejde-2	605	30	.	.	PUNCT
ejde-2	606	1	hence	hence	ADV
ejde-2	606	2	,	,	PUNCT
ejde-2	606	3	u	u	PROPN
ejde-2	606	4	is	be	AUX
ejde-2	606	5	a	a	DET
ejde-2	606	6	solution	solution	NOUN
ejde-2	606	7	of	of	ADP
ejde-2	606	8	(	(	PUNCT
ejde-2	606	9	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	606	10	)	)	PUNCT
ejde-2	606	11	.	.	PUNCT
ejde-2	607	1	conversely	conversely	ADV
ejde-2	607	2	,	,	PUNCT
ejde-2	607	3	assume	assume	VERB
ejde-2	607	4	that	that	SCONJ
ejde-2	607	5	u	u	PROPN
ejde-2	607	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	607	7	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	607	8	,	,	PUNCT
ejde-2	607	9	b	b	X
ejde-2	607	10	]	]	PUNCT
ejde-2	607	11	and	and	CCONJ
ejde-2	607	12	u	u	NOUN
ejde-2	607	13	is	be	AUX
ejde-2	607	14	a	a	DET
ejde-2	607	15	solution	solution	NOUN
ejde-2	607	16	of	of	ADP
ejde-2	607	17	(	(	PUNCT
ejde-2	607	18	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	607	19	)	)	PUNCT
ejde-2	607	20	.	.	PUNCT
ejde-2	608	1	since	since	SCONJ
ejde-2	608	2	v	v	NUM
ejde-2	608	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	608	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	608	5	,	,	PUNCT
ejde-2	608	6	b	b	NOUN
ejde-2	608	7	]	]	X
ejde-2	608	8	,	,	PUNCT
ejde-2	608	9	by	by	ADP
ejde-2	608	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	608	11	2.4(2	2.4(2	NUM
ejde-2	608	12	)	)	PUNCT
ejde-2	608	13	,	,	PUNCT
ejde-2	608	14	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	608	15	v	v	ADP
ejde-2	608	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	608	17	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	608	18	,	,	PUNCT
ejde-2	608	19	b	b	NOUN
ejde-2	608	20	]	]	PUNCT
ejde-2	608	21	and	and	CCONJ
ejde-2	608	22	by	by	ADP
ejde-2	608	23	corollary	corollary	ADJ
ejde-2	608	24	4.15	4.15	NUM
ejde-2	608	25	,	,	PUNCT
ejde-2	608	26	(	(	PUNCT
ejde-2	608	27	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	608	28	−	−	ADP
ejde-2	608	29	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	608	30	)	)	PUNCT
ejde-2	608	31	∈	∈	PROPN
ejde-2	608	32	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	608	33	,	,	PUNCT
ejde-2	608	34	b	b	NOUN
ejde-2	608	35	]	]	PUNCT
ejde-2	608	36	and	and	CCONJ
ejde-2	608	37	u	u	NOUN
ejde-2	608	38	is	be	AUX
ejde-2	608	39	a	a	DET
ejde-2	608	40	solution	solution	NOUN
ejde-2	608	41	of	of	ADP
ejde-2	608	42	(	(	PUNCT
ejde-2	608	43	4.1)-(4.2	4.1)-(4.2	NUM
ejde-2	608	44	)	)	PUNCT
ejde-2	608	45	.	.	PUNCT
ejde-2	609	1	by	by	ADP
ejde-2	609	2	(	(	PUNCT
ejde-2	609	3	1	1	X
ejde-2	609	4	)	)	PUNCT
ejde-2	609	5	implying	imply	VERB
ejde-2	609	6	(	(	PUNCT
ejde-2	609	7	1	1	NUM
ejde-2	609	8	)	)	PUNCT
ejde-2	609	9	of	of	ADP
ejde-2	609	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	609	11	4.9	4.9	NUM
ejde-2	609	12	,	,	PUNCT
ejde-2	609	13	u	u	NOUN
ejde-2	609	14	is	be	AUX
ejde-2	609	15	a	a	DET
ejde-2	609	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	609	17	of	of	ADP
ejde-2	609	18	(	(	PUNCT
ejde-2	609	19	4.3	4.3	NUM
ejde-2	609	20	)	)	PUNCT
ejde-2	609	21	.	.	PUNCT
ejde-2	610	1	�	�	PROPN
ejde-2	610	2	remark	remark	VERB
ejde-2	610	3	4.17	4.17	NUM
ejde-2	610	4	.	.	PUNCT
ejde-2	611	1	the	the	DET
ejde-2	611	2	solutions	solution	NOUN
ejde-2	611	3	of	of	ADP
ejde-2	611	4	(	(	PUNCT
ejde-2	611	5	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	611	6	)	)	PUNCT
ejde-2	611	7	were	be	AUX
ejde-2	611	8	studied	study	VERB
ejde-2	611	9	analytically	analytically	ADV
ejde-2	611	10	and	and	CCONJ
ejde-2	611	11	numerically	numerically	ADV
ejde-2	611	12	in	in	ADP
ejde-2	611	13	[	[	X
ejde-2	611	14	3	3	NUM
ejde-2	611	15	,	,	PUNCT
ejde-2	611	16	10	10	NUM
ejde-2	611	17	]	]	PUNCT
ejde-2	611	18	when	when	SCONJ
ejde-2	611	19	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	611	20	)	)	PUNCT
ejde-2	612	1	=	=	SYM
ejde-2	612	2	−λαu(x	−λαu(x	PROPN
ejde-2	612	3	)	)	PUNCT
ejde-2	613	1	+	+	CCONJ
ejde-2	613	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	613	3	)	)	PUNCT
ejde-2	613	4	.	.	PUNCT
ejde-2	614	1	when	when	SCONJ
ejde-2	614	2	a	a	DET
ejde-2	614	3	=	=	SYM
ejde-2	614	4	0	0	NUM
ejde-2	614	5	,	,	PUNCT
ejde-2	614	6	the	the	DET
ejde-2	614	7	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	614	8	of	of	ADP
ejde-2	614	9	(	(	PUNCT
ejde-2	614	10	4.27)-(4.2	4.27)-(4.2	NOUN
ejde-2	614	11	)	)	PUNCT
ejde-2	614	12	and	and	CCONJ
ejde-2	614	13	(	(	PUNCT
ejde-2	614	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	614	15	)	)	PUNCT
ejde-2	614	16	is	be	AUX
ejde-2	614	17	implicitly	implicitly	ADV
ejde-2	614	18	proved	prove	VERB
ejde-2	614	19	by	by	ADP
ejde-2	614	20	a	a	DET
ejde-2	614	21	different	different	ADJ
ejde-2	614	22	method	method	NOUN
ejde-2	614	23	in	in	ADP
ejde-2	614	24	[	[	X
ejde-2	614	25	5	5	NUM
ejde-2	614	26	,	,	PUNCT
ejde-2	614	27	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	614	28	6.2	6.2	NUM
ejde-2	614	29	]	]	PUNCT
ejde-2	614	30	(	(	PUNCT
ejde-2	614	31	also	also	ADV
ejde-2	614	32	see	see	VERB
ejde-2	614	33	[	[	X
ejde-2	614	34	7	7	NUM
ejde-2	614	35	,	,	PUNCT
ejde-2	614	36	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	614	37	2.1	2.1	NUM
ejde-2	614	38	]	]	PUNCT
ejde-2	614	39	,	,	PUNCT
ejde-2	615	1	[	[	X
ejde-2	615	2	13	13	NUM
ejde-2	615	3	,	,	PUNCT
ejde-2	615	4	theorem	theorem	VERB
ejde-2	615	5	1	1	NUM
ejde-2	615	6	]	]	PUNCT
ejde-2	615	7	,	,	PUNCT
ejde-2	615	8	[	[	X
ejde-2	615	9	14	14	NUM
ejde-2	615	10	,	,	PUNCT
ejde-2	615	11	theorem	theorem	VERB
ejde-2	615	12	1	1	NUM
ejde-2	615	13	]	]	PUNCT
ejde-2	615	14	)	)	PUNCT
ejde-2	615	15	,	,	PUNCT
ejde-2	615	16	where	where	SCONJ
ejde-2	615	17	u	u	PROPN
ejde-2	615	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	615	19	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	615	20	,	,	PUNCT
ejde-2	615	21	b	b	NOUN
ejde-2	615	22	]	]	X
ejde-2	615	23	,	,	PUNCT
ejde-2	615	24	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	615	25	)	)	PUNCT
ejde-2	616	1	=	=	SYM
ejde-2	616	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	616	3	,	,	PUNCT
ejde-2	616	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	616	5	)	)	PUNCT
ejde-2	616	6	)	)	PUNCT
ejde-2	616	7	and	and	CCONJ
ejde-2	616	8	f	f	PROPN
ejde-2	616	9	is	be	AUX
ejde-2	616	10	a	a	DET
ejde-2	616	11	suitable	suitable	ADJ
ejde-2	616	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-2	616	13	function	function	NOUN
ejde-2	616	14	.	.	PUNCT
ejde-2	617	1	as	as	ADP
ejde-2	617	2	a	a	DET
ejde-2	617	3	special	special	ADJ
ejde-2	617	4	case	case	NOUN
ejde-2	617	5	of	of	ADP
ejde-2	617	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	617	7	4.11	4.11	NUM
ejde-2	617	8	,	,	PUNCT
ejde-2	617	9	we	we	PRON
ejde-2	617	10	obtain	obtain	VERB
ejde-2	617	11	the	the	DET
ejde-2	617	12	following	follow	VERB
ejde-2	617	13	result	result	NOUN
ejde-2	617	14	.	.	PUNCT
ejde-2	618	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-2	618	2	4.18	4.18	NUM
ejde-2	618	3	.	.	PUNCT
ejde-2	619	1	assume	assume	VERB
ejde-2	619	2	that	that	SCONJ
ejde-2	619	3	u	u	PROPN
ejde-2	619	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	619	5	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	619	6	,	,	PUNCT
ejde-2	619	7	b	b	X
ejde-2	619	8	]	]	X
ejde-2	619	9	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	619	10	(	(	PUNCT
ejde-2	619	11	4.2	4.2	NUM
ejde-2	619	12	)	)	PUNCT
ejde-2	619	13	and	and	CCONJ
ejde-2	619	14	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	619	15	p	p	NOUN
ejde-2	619	16	,	,	PUNCT
ejde-2	619	17	a+u	a+u	PROPN
ejde-2	619	18	∈	∈	PROPN
ejde-2	619	19	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	619	20	,	,	PUNCT
ejde-2	619	21	b	b	NOUN
ejde-2	619	22	]	]	X
ejde-2	619	23	.	.	PUNCT
ejde-2	620	1	then	then	ADV
ejde-2	620	2	(	(	PUNCT
ejde-2	620	3	4.26	4.26	NUM
ejde-2	620	4	)	)	PUNCT
ejde-2	620	5	holds	hold	VERB
ejde-2	620	6	.	.	PUNCT
ejde-2	621	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	621	2	.	.	PUNCT
ejde-2	622	1	let	let	VERB
ejde-2	622	2	v(x	v(x	PRON
ejde-2	622	3	)	)	PUNCT
ejde-2	623	1	=	=	SYM
ejde-2	623	2	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	623	3	p	p	NOUN
ejde-2	623	4	,	,	PUNCT
ejde-2	623	5	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	623	6	)	)	PUNCT
ejde-2	623	7	for	for	ADP
ejde-2	623	8	x	x	PROPN
ejde-2	623	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	623	10	[	[	X
ejde-2	623	11	a	a	X
ejde-2	623	12	,	,	PUNCT
ejde-2	623	13	b	b	NOUN
ejde-2	623	14	]	]	X
ejde-2	623	15	.	.	PUNCT
ejde-2	624	1	since	since	SCONJ
ejde-2	624	2	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	624	3	p	p	PRON
ejde-2	624	4	,	,	PUNCT
ejde-2	624	5	a+u	a+u	PROPN
ejde-2	624	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	624	7	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	624	8	,	,	PUNCT
ejde-2	624	9	b	b	NOUN
ejde-2	624	10	]	]	X
ejde-2	624	11	,	,	PUNCT
ejde-2	624	12	by	by	ADP
ejde-2	624	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	624	14	4.14	4.14	NUM
ejde-2	624	15	,	,	PUNCT
ejde-2	624	16	(	(	PUNCT
ejde-2	624	17	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	624	18	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	624	19	)	)	PUNCT
ejde-2	624	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	624	21	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	624	22	,	,	PUNCT
ejde-2	624	23	b	b	NOUN
ejde-2	624	24	]	]	PUNCT
ejde-2	624	25	and	and	CCONJ
ejde-2	624	26	theorem	theorem	VERB
ejde-2	624	27	4.11	4.11	NUM
ejde-2	624	28	(	(	PUNCT
ejde-2	624	29	i	i	NOUN
ejde-2	624	30	)	)	PUNCT
ejde-2	624	31	holds	hold	VERB
ejde-2	624	32	.	.	PUNCT
ejde-2	625	1	by	by	ADP
ejde-2	625	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	625	3	4.3(2	4.3(2	NUM
ejde-2	625	4	)	)	PUNCT
ejde-2	625	5	,	,	PUNCT
ejde-2	625	6	v	v	PROPN
ejde-2	625	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	625	8	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	625	9	,	,	PUNCT
ejde-2	625	10	b	b	NOUN
ejde-2	625	11	]	]	PUNCT
ejde-2	625	12	implies	imply	VERB
ejde-2	625	13	theorem	theorem	VERB
ejde-2	625	14	4.11(iii	4.11(iii	NOUN
ejde-2	625	15	)	)	PUNCT
ejde-2	625	16	.	.	PUNCT
ejde-2	626	1	the	the	DET
ejde-2	626	2	result	result	NOUN
ejde-2	626	3	follows	follow	VERB
ejde-2	626	4	from	from	ADP
ejde-2	626	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	626	6	4.11	4.11	NUM
ejde-2	626	7	.	.	PUNCT
ejde-2	626	8	�	�	PROPN
ejde-2	626	9	corollary	corollary	NOUN
ejde-2	626	10	4.18	4.18	NUM
ejde-2	626	11	generalizes	generalize	VERB
ejde-2	626	12	[	[	PUNCT
ejde-2	626	13	6	6	NUM
ejde-2	626	14	,	,	PUNCT
ejde-2	626	15	theorem	theorem	VERB
ejde-2	626	16	2.5	2.5	NUM
ejde-2	626	17	]	]	PUNCT
ejde-2	626	18	,	,	PUNCT
ejde-2	626	19	where	where	SCONJ
ejde-2	626	20	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	626	21	)	)	PUNCT
ejde-2	626	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	626	23	c[a	c[a	PROPN
ejde-2	626	24	,	,	PUNCT
ejde-2	626	25	b	b	NOUN
ejde-2	626	26	]	]	X
ejde-2	626	27	,	,	PUNCT
ejde-2	626	28	ui	ui	NOUN
ejde-2	626	29	=	=	SYM
ejde-2	626	30	u(i)(a	u(i)(a	NUM
ejde-2	626	31	)	)	PUNCT
ejde-2	626	32	and	and	CCONJ
ejde-2	626	33	a	a	DET
ejde-2	626	34	very	very	ADV
ejde-2	626	35	different	different	ADJ
ejde-2	626	36	proof	proof	NOUN
ejde-2	626	37	is	be	AUX
ejde-2	626	38	given	give	VERB
ejde-2	626	39	.	.	PUNCT
ejde-2	627	1	5	5	NUM
ejde-2	627	2	.	.	NOUN
ejde-2	627	3	higher	high	ADJ
ejde-2	627	4	-	-	PUNCT
ejde-2	627	5	order	order	NOUN
ejde-2	627	6	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	627	7	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	627	8	differential	differential	ADJ
ejde-2	627	9	equations	equation	NOUN
ejde-2	627	10	we	we	PRON
ejde-2	627	11	consider	consider	VERB
ejde-2	627	12	the	the	DET
ejde-2	627	13	ivps	ivps	PROPN
ejde-2	627	14	of	of	ADP
ejde-2	627	15	the	the	DET
ejde-2	627	16	nth	nth	NOUN
ejde-2	627	17	order	order	NOUN
ejde-2	627	18	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	627	19	fde	fde	PROPN
ejde-2	627	20	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	627	21	c	c	PROPN
ejde-2	627	22	,	,	PUNCT
ejde-2	627	23	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	627	24	)	)	PUNCT
ejde-2	627	25	=	=	SYM
ejde-2	628	1	iαa+u	iαa+u	PROPN
ejde-2	628	2	(	(	PUNCT
ejde-2	628	3	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	628	4	)	)	PUNCT
ejde-2	628	5	=	=	SYM
ejde-2	628	6	v(x	v(x	PROPN
ejde-2	628	7	)	)	PUNCT
ejde-2	628	8	for	for	ADP
ejde-2	628	9	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	628	10	.	.	PUNCT
ejde-2	628	11	x	x	SYM
ejde-2	628	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	628	13	[	[	X
ejde-2	628	14	a	a	X
ejde-2	628	15	,	,	PUNCT
ejde-2	628	16	b	b	NOUN
ejde-2	628	17	]	]	X
ejde-2	628	18	(	(	PUNCT
ejde-2	628	19	5.1	5.1	NUM
ejde-2	628	20	)	)	PUNCT
ejde-2	628	21	subject	subject	NOUN
ejde-2	628	22	to	to	ADP
ejde-2	628	23	the	the	DET
ejde-2	628	24	initial	initial	ADJ
ejde-2	628	25	conditions	condition	NOUN
ejde-2	628	26	u(a	u(a	NOUN
ejde-2	628	27	)	)	PUNCT
ejde-2	628	28	=	=	SYM
ejde-2	628	29	u0	u0	ADJ
ejde-2	628	30	,	,	PUNCT
ejde-2	628	31	u′(a	u′(a	ADJ
ejde-2	628	32	)	)	PUNCT
ejde-2	628	33	=	=	SYM
ejde-2	628	34	u1	u1	NOUN
ejde-2	628	35	,	,	PUNCT
ejde-2	628	36	.	.	PUNCT
ejde-2	628	37	.	.	PUNCT
ejde-2	628	38	.	.	PUNCT
ejde-2	629	1	,	,	PUNCT
ejde-2	629	2	u	u	PROPN
ejde-2	629	3	(	(	PUNCT
ejde-2	629	4	n−1)(a	n−1)(a	PROPN
ejde-2	629	5	)	)	PUNCT
ejde-2	629	6	=	=	SYM
ejde-2	629	7	un−1	un−1	PROPN
ejde-2	629	8	,	,	PUNCT
ejde-2	629	9	(	(	PUNCT
ejde-2	629	10	5.2	5.2	NUM
ejde-2	629	11	)	)	PUNCT
ejde-2	629	12	where	where	SCONJ
ejde-2	629	13	ui	ui	PROPN
ejde-2	629	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	629	15	r	r	NOUN
ejde-2	629	16	for	for	ADP
ejde-2	629	17	each	each	DET
ejde-2	629	18	i	i	PRON
ejde-2	629	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	629	20	n0,n−1	n0,n−1	ADJ
ejde-2	629	21	and	and	CCONJ
ejde-2	629	22	v	v	ADP
ejde-2	629	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	629	24	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	629	25	,	,	PUNCT
ejde-2	629	26	b	b	NOUN
ejde-2	629	27	)	)	PUNCT
ejde-2	629	28	are	be	AUX
ejde-2	629	29	given	give	VERB
ejde-2	629	30	.	.	PUNCT
ejde-2	630	1	definition	definition	NOUN
ejde-2	630	2	5.1	5.1	NUM
ejde-2	630	3	.	.	PUNCT
ejde-2	631	1	a	a	DET
ejde-2	631	2	function	function	NOUN
ejde-2	631	3	u	u	NOUN
ejde-2	631	4	:	:	PUNCT
ejde-2	631	5	[	[	X
ejde-2	631	6	a	a	X
ejde-2	631	7	,	,	PUNCT
ejde-2	631	8	b	b	NOUN
ejde-2	631	9	]	]	X
ejde-2	631	10	→	→	PUNCT
ejde-2	631	11	r	r	NOUN
ejde-2	631	12	is	be	AUX
ejde-2	631	13	said	say	VERB
ejde-2	631	14	to	to	PART
ejde-2	631	15	be	be	AUX
ejde-2	631	16	a	a	DET
ejde-2	631	17	solution	solution	NOUN
ejde-2	631	18	of	of	ADP
ejde-2	631	19	(	(	PUNCT
ejde-2	631	20	5.1	5.1	NUM
ejde-2	631	21	)	)	PUNCT
ejde-2	631	22	if	if	SCONJ
ejde-2	631	23	u(n	u(n	PROPN
ejde-2	631	24	)	)	PUNCT
ejde-2	631	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	631	26	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	631	27	,	,	PUNCT
ejde-2	631	28	b	b	NOUN
ejde-2	631	29	)	)	PUNCT
ejde-2	631	30	and	and	CCONJ
ejde-2	631	31	u	u	NOUN
ejde-2	631	32	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	631	33	(	(	PUNCT
ejde-2	631	34	5.1	5.1	NUM
ejde-2	631	35	)	)	PUNCT
ejde-2	631	36	;	;	PUNCT
ejde-2	631	37	to	to	PART
ejde-2	631	38	be	be	AUX
ejde-2	631	39	a	a	DET
ejde-2	631	40	solution	solution	NOUN
ejde-2	631	41	of	of	ADP
ejde-2	631	42	(	(	PUNCT
ejde-2	631	43	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	631	44	)	)	PUNCT
ejde-2	631	45	if	if	SCONJ
ejde-2	631	46	u	u	NOUN
ejde-2	631	47	is	be	AUX
ejde-2	631	48	a	a	DET
ejde-2	631	49	solution	solution	NOUN
ejde-2	631	50	of	of	ADP
ejde-2	631	51	(	(	PUNCT
ejde-2	631	52	5.1	5.1	NUM
ejde-2	631	53	)	)	PUNCT
ejde-2	631	54	and	and	CCONJ
ejde-2	631	55	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	631	56	(	(	PUNCT
ejde-2	631	57	5.2	5.2	NUM
ejde-2	631	58	)	)	PUNCT
ejde-2	631	59	.	.	PUNCT
ejde-2	632	1	the	the	DET
ejde-2	632	2	following	follow	VERB
ejde-2	632	3	result	result	NOUN
ejde-2	632	4	provides	provide	VERB
ejde-2	632	5	a	a	DET
ejde-2	632	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-2	632	7	function	function	NOUN
ejde-2	632	8	u	u	NOUN
ejde-2	632	9	whose	whose	DET
ejde-2	632	10	nth	nth	NOUN
ejde-2	632	11	order	order	NOUN
ejde-2	632	12	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	632	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	632	14	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	632	15	are	be	AUX
ejde-2	632	16	zero	zero	NUM
ejde-2	632	17	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	632	18	.	.	PROPN
ejde-2	633	1	on	on	ADP
ejde-2	633	2	[	[	X
ejde-2	633	3	a	a	X
ejde-2	633	4	,	,	PUNCT
ejde-2	633	5	b	b	NOUN
ejde-2	633	6	]	]	PUNCT
ejde-2	633	7	and	and	CCONJ
ejde-2	633	8	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	633	9	)	)	PUNCT
ejde-2	633	10	6∈	6∈	NOUN
ejde-2	633	11	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	633	12	,	,	PUNCT
ejde-2	633	13	b	b	NOUN
ejde-2	633	14	]	]	X
ejde-2	633	15	,	,	PUNCT
ejde-2	633	16	which	which	PRON
ejde-2	633	17	is	be	AUX
ejde-2	633	18	a	a	DET
ejde-2	633	19	solution	solution	NOUN
ejde-2	633	20	of	of	ADP
ejde-2	633	21	(	(	PUNCT
ejde-2	633	22	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	633	23	)	)	PUNCT
ejde-2	633	24	.	.	PUNCT
ejde-2	634	1	example	example	NOUN
ejde-2	635	1	5.2	5.2	NUM
ejde-2	635	2	.	.	PUNCT
ejde-2	636	1	let	let	VERB
ejde-2	636	2	f	f	PRON
ejde-2	636	3	be	be	AUX
ejde-2	636	4	the	the	DET
ejde-2	636	5	cantor	cantor	NOUN
ejde-2	636	6	function	function	NOUN
ejde-2	636	7	defined	define	VERB
ejde-2	636	8	on	on	ADP
ejde-2	636	9	[	[	X
ejde-2	636	10	0	0	NUM
ejde-2	636	11	,	,	PUNCT
ejde-2	636	12	1	1	NUM
ejde-2	636	13	]	]	PUNCT
ejde-2	636	14	(	(	PUNCT
ejde-2	636	15	see	see	VERB
ejde-2	636	16	[	[	X
ejde-2	636	17	23	23	NUM
ejde-2	636	18	,	,	PUNCT
ejde-2	636	19	example	example	NOUN
ejde-2	636	20	7.1	7.1	NUM
ejde-2	636	21	,	,	PUNCT
ejde-2	636	22	p.	p.	NOUN
ejde-2	636	23	141	141	NUM
ejde-2	636	24	]	]	PUNCT
ejde-2	636	25	)	)	PUNCT
ejde-2	636	26	.	.	PUNCT
ejde-2	637	1	we	we	PRON
ejde-2	637	2	define	define	VERB
ejde-2	637	3	a	a	DET
ejde-2	637	4	function	function	NOUN
ejde-2	637	5	u	u	NOUN
ejde-2	637	6	:	:	PUNCT
ejde-2	638	1	[	[	X
ejde-2	638	2	0	0	NUM
ejde-2	638	3	,	,	PUNCT
ejde-2	638	4	1]→	1]→	ADJ
ejde-2	638	5	r	r	NOUN
ejde-2	638	6	by	by	ADP
ejde-2	638	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-2	638	8	)	)	PUNCT
ejde-2	638	9	=	=	PUNCT
ejde-2	638	10	in−10	in−10	X
ejde-2	638	11	+	+	ADJ
ejde-2	638	12	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	638	13	)	)	PUNCT
ejde-2	638	14	for	for	ADP
ejde-2	638	15	each	each	DET
ejde-2	638	16	x	x	SYM
ejde-2	638	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	639	1	[	[	X
ejde-2	639	2	0	0	NUM
ejde-2	639	3	,	,	PUNCT
ejde-2	639	4	1	1	NUM
ejde-2	639	5	]	]	PUNCT
ejde-2	639	6	.	.	PUNCT
ejde-2	640	1	(	(	PUNCT
ejde-2	640	2	5.3	5.3	NUM
ejde-2	640	3	)	)	PUNCT
ejde-2	640	4	then	then	ADV
ejde-2	640	5	the	the	DET
ejde-2	640	6	following	follow	VERB
ejde-2	640	7	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	640	8	hold	hold	VERB
ejde-2	640	9	.	.	PUNCT
ejde-2	641	1	(	(	PUNCT
ejde-2	641	2	i	i	NOUN
ejde-2	641	3	)	)	PUNCT
ejde-2	641	4	u(n−1	u(n−1	PROPN
ejde-2	641	5	)	)	PUNCT
ejde-2	641	6	6∈	6∈	PROPN
ejde-2	641	7	ac[0	ac[0	NOUN
ejde-2	641	8	,	,	PUNCT
ejde-2	641	9	1	1	NUM
ejde-2	641	10	]	]	PUNCT
ejde-2	641	11	and	and	CCONJ
ejde-2	641	12	u	u	NOUN
ejde-2	641	13	satisfies	satisfy	VERB
ejde-2	641	14	the	the	DET
ejde-2	641	15	initial	initial	ADJ
ejde-2	641	16	condition	condition	NOUN
ejde-2	641	17	u(0	u(0	NOUN
ejde-2	641	18	)	)	PUNCT
ejde-2	642	1	=	=	SYM
ejde-2	642	2	0	0	NUM
ejde-2	642	3	,	,	PUNCT
ejde-2	642	4	u′(0	u′(0	PROPN
ejde-2	642	5	)	)	PUNCT
ejde-2	642	6	=	=	SYM
ejde-2	642	7	0	0	NUM
ejde-2	642	8	,	,	PUNCT
ejde-2	642	9	.	.	PUNCT
ejde-2	642	10	.	.	PUNCT
ejde-2	642	11	.	.	PUNCT
ejde-2	643	1	,	,	PUNCT
ejde-2	643	2	u(n−1)(0	u(n−1)(0	PROPN
ejde-2	643	3	)	)	PUNCT
ejde-2	643	4	=	=	SYM
ejde-2	644	1	0	0	X
ejde-2	644	2	.	.	PUNCT
ejde-2	645	1	(	(	PUNCT
ejde-2	645	2	5.4	5.4	NUM
ejde-2	645	3	)	)	PUNCT
ejde-2	645	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	NOUN
ejde-2	645	5	linear	linear	ADJ
ejde-2	645	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	645	7	differential	differential	NOUN
ejde-2	645	8	and	and	CCONJ
ejde-2	645	9	integral	integral	ADJ
ejde-2	645	10	equations	equation	NOUN
ejde-2	645	11	17	17	NUM
ejde-2	645	12	(	(	PUNCT
ejde-2	645	13	ii	ii	NOUN
ejde-2	645	14	)	)	PUNCT
ejde-2	645	15	u(x	u(x	PROPN
ejde-2	645	16	)	)	PUNCT
ejde-2	645	17	6≡	6≡	NUM
ejde-2	645	18	0	0	NUM
ejde-2	645	19	on	on	ADP
ejde-2	645	20	[	[	X
ejde-2	645	21	0	0	NUM
ejde-2	645	22	,	,	PUNCT
ejde-2	645	23	1	1	NUM
ejde-2	645	24	]	]	PUNCT
ejde-2	645	25	and	and	CCONJ
ejde-2	645	26	u	u	NOUN
ejde-2	645	27	is	be	AUX
ejde-2	645	28	not	not	PART
ejde-2	645	29	a	a	DET
ejde-2	645	30	polynomials	polynomial	NOUN
ejde-2	645	31	of	of	ADP
ejde-2	645	32	degree	degree	NOUN
ejde-2	645	33	n−	n−	NOUN
ejde-2	645	34	1	1	NUM
ejde-2	645	35	.	.	PUNCT
ejde-2	646	1	(	(	PUNCT
ejde-2	646	2	iii	iii	X
ejde-2	646	3	)	)	PUNCT
ejde-2	646	4	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	646	5	c	c	NOUN
ejde-2	646	6	,	,	PUNCT
ejde-2	646	7	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	646	8	)	)	PUNCT
ejde-2	646	9	=	=	SYM
ejde-2	646	10	iα0+u	iα0+u	PROPN
ejde-2	646	11	(	(	PUNCT
ejde-2	646	12	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	646	13	)	)	PUNCT
ejde-2	646	14	=	=	SYM
ejde-2	646	15	0	0	NUM
ejde-2	646	16	for	for	ADP
ejde-2	646	17	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	646	18	.	.	PUNCT
ejde-2	646	19	x	x	SYM
ejde-2	646	20	∈	∈	PROPN
ejde-2	647	1	[	[	X
ejde-2	647	2	0	0	NUM
ejde-2	647	3	,	,	PUNCT
ejde-2	647	4	1	1	NUM
ejde-2	647	5	]	]	PUNCT
ejde-2	647	6	.	.	PUNCT
ejde-2	648	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	648	2	.	.	PUNCT
ejde-2	649	1	(	(	PUNCT
ejde-2	649	2	i	i	NOUN
ejde-2	649	3	)	)	PUNCT
ejde-2	649	4	by	by	ADP
ejde-2	649	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	649	6	2.3	2.3	NUM
ejde-2	649	7	,	,	PUNCT
ejde-2	649	8	we	we	PRON
ejde-2	649	9	have	have	VERB
ejde-2	649	10	for	for	ADP
ejde-2	649	11	i	i	PROPN
ejde-2	649	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	649	13	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	649	14	,	,	PUNCT
ejde-2	649	15	u(i)(x	u(i)(x	ADJ
ejde-2	649	16	)	)	PUNCT
ejde-2	649	17	=	=	PUNCT
ejde-2	649	18	in−1−i0	in−1−i0	VERB
ejde-2	649	19	+	+	CCONJ
ejde-2	649	20	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	649	21	)	)	PUNCT
ejde-2	649	22	for	for	ADP
ejde-2	649	23	each	each	DET
ejde-2	649	24	x	x	SYM
ejde-2	649	25	∈	∈	PROPN
ejde-2	650	1	[	[	X
ejde-2	650	2	0	0	NUM
ejde-2	650	3	,	,	PUNCT
ejde-2	650	4	1	1	NUM
ejde-2	650	5	]	]	PUNCT
ejde-2	650	6	(	(	PUNCT
ejde-2	650	7	5.5	5.5	NUM
ejde-2	650	8	)	)	PUNCT
ejde-2	650	9	and	and	CCONJ
ejde-2	650	10	u(i)(0	u(i)(0	NUM
ejde-2	650	11	)	)	PUNCT
ejde-2	650	12	=	=	SYM
ejde-2	650	13	0	0	NUM
ejde-2	650	14	for	for	ADP
ejde-2	650	15	i	i	PROPN
ejde-2	650	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	650	17	nn−2	nn−2	PROPN
ejde-2	650	18	.	.	PROPN
ejde-2	650	19	by	by	ADP
ejde-2	650	20	(	(	PUNCT
ejde-2	650	21	5.5	5.5	NUM
ejde-2	650	22	)	)	PUNCT
ejde-2	650	23	with	with	ADP
ejde-2	650	24	i	i	NOUN
ejde-2	650	25	=	=	PUNCT
ejde-2	650	26	n−	n−	NOUN
ejde-2	650	27	2	2	NUM
ejde-2	650	28	,	,	PUNCT
ejde-2	650	29	we	we	PRON
ejde-2	650	30	have	have	VERB
ejde-2	650	31	u(n−2)(x	u(n−2)(x	NOUN
ejde-2	650	32	)	)	PUNCT
ejde-2	650	33	=	=	SYM
ejde-2	650	34	i1a+f(x	i1a+f(x	PROPN
ejde-2	650	35	)	)	PUNCT
ejde-2	650	36	for	for	ADP
ejde-2	650	37	each	each	DET
ejde-2	650	38	x	x	SYM
ejde-2	650	39	∈	∈	PROPN
ejde-2	651	1	[	[	X
ejde-2	651	2	0	0	NUM
ejde-2	651	3	,	,	PUNCT
ejde-2	651	4	1	1	NUM
ejde-2	651	5	]	]	PUNCT
ejde-2	651	6	.	.	PUNCT
ejde-2	652	1	since	since	SCONJ
ejde-2	652	2	f	f	PROPN
ejde-2	652	3	is	be	AUX
ejde-2	652	4	a	a	DET
ejde-2	652	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-2	652	6	increasing	increase	VERB
ejde-2	652	7	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-2	652	8	function	function	NOUN
ejde-2	652	9	on	on	ADP
ejde-2	652	10	[	[	X
ejde-2	652	11	0	0	NUM
ejde-2	652	12	,	,	PUNCT
ejde-2	652	13	1	1	NUM
ejde-2	652	14	]	]	PUNCT
ejde-2	652	15	,	,	PUNCT
ejde-2	652	16	by	by	ADP
ejde-2	652	17	(	(	PUNCT
ejde-2	652	18	2.2	2.2	NUM
ejde-2	652	19	)	)	PUNCT
ejde-2	652	20	,	,	PUNCT
ejde-2	652	21	we	we	PRON
ejde-2	652	22	have	have	VERB
ejde-2	652	23	u(n−1)(x	u(n−1)(x	NOUN
ejde-2	652	24	)	)	PUNCT
ejde-2	652	25	=	=	SYM
ejde-2	652	26	f(x	f(x	PROPN
ejde-2	652	27	)	)	PUNCT
ejde-2	652	28	for	for	ADP
ejde-2	652	29	each	each	DET
ejde-2	652	30	x	x	SYM
ejde-2	652	31	∈	∈	PROPN
ejde-2	653	1	[	[	X
ejde-2	653	2	0	0	NUM
ejde-2	653	3	,	,	PUNCT
ejde-2	653	4	1	1	NUM
ejde-2	653	5	]	]	PUNCT
ejde-2	653	6	.	.	PUNCT
ejde-2	654	1	(	(	PUNCT
ejde-2	654	2	5.6	5.6	NUM
ejde-2	654	3	)	)	PUNCT
ejde-2	654	4	since	since	SCONJ
ejde-2	654	5	f	f	PROPN
ejde-2	654	6	6∈	6∈	PROPN
ejde-2	654	7	ac[0	ac[0	PROPN
ejde-2	654	8	,	,	PUNCT
ejde-2	654	9	1	1	NUM
ejde-2	654	10	]	]	PUNCT
ejde-2	654	11	,	,	PUNCT
ejde-2	654	12	by	by	ADP
ejde-2	654	13	(	(	PUNCT
ejde-2	654	14	5.6	5.6	NUM
ejde-2	654	15	)	)	PUNCT
ejde-2	654	16	,	,	PUNCT
ejde-2	654	17	we	we	PRON
ejde-2	654	18	have	have	VERB
ejde-2	654	19	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	654	20	)	)	PUNCT
ejde-2	654	21	6∈	6∈	PROPN
ejde-2	654	22	ac[0	ac[0	NOUN
ejde-2	654	23	,	,	PUNCT
ejde-2	654	24	1	1	NUM
ejde-2	654	25	]	]	PUNCT
ejde-2	654	26	.	.	PUNCT
ejde-2	655	1	since	since	SCONJ
ejde-2	655	2	f(0	f(0	NOUN
ejde-2	655	3	)	)	PUNCT
ejde-2	655	4	=	=	SYM
ejde-2	655	5	0	0	NUM
ejde-2	655	6	,	,	PUNCT
ejde-2	655	7	by	by	ADP
ejde-2	655	8	(	(	PUNCT
ejde-2	655	9	5.6	5.6	NUM
ejde-2	655	10	)	)	PUNCT
ejde-2	655	11	we	we	PRON
ejde-2	655	12	have	have	AUX
ejde-2	655	13	u(n−1)(0	u(n−1)(0	VERB
ejde-2	655	14	)	)	PUNCT
ejde-2	656	1	=	=	SYM
ejde-2	656	2	0	0	X
ejde-2	656	3	.	.	PUNCT
ejde-2	657	1	hence	hence	ADV
ejde-2	657	2	,	,	PUNCT
ejde-2	657	3	result	result	NOUN
ejde-2	657	4	(	(	PUNCT
ejde-2	657	5	i	i	NOUN
ejde-2	657	6	)	)	PUNCT
ejde-2	657	7	holds	hold	VERB
ejde-2	657	8	.	.	PUNCT
ejde-2	658	1	(	(	PUNCT
ejde-2	658	2	ii	ii	NOUN
ejde-2	658	3	)	)	PUNCT
ejde-2	658	4	since	since	SCONJ
ejde-2	658	5	f	f	PROPN
ejde-2	658	6	is	be	AUX
ejde-2	658	7	a	a	DET
ejde-2	658	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-2	658	9	increasing	increase	VERB
ejde-2	658	10	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-2	658	11	function	function	NOUN
ejde-2	658	12	on	on	ADP
ejde-2	658	13	[	[	X
ejde-2	658	14	0	0	NUM
ejde-2	658	15	,	,	PUNCT
ejde-2	658	16	1	1	NUM
ejde-2	658	17	]	]	PUNCT
ejde-2	658	18	and	and	CCONJ
ejde-2	658	19	f(0	f(0	NOUN
ejde-2	658	20	)	)	PUNCT
ejde-2	658	21	=	=	SYM
ejde-2	658	22	0	0	NUM
ejde-2	658	23	,	,	PUNCT
ejde-2	658	24	by	by	ADP
ejde-2	658	25	(	(	PUNCT
ejde-2	658	26	5.3	5.3	NUM
ejde-2	658	27	)	)	PUNCT
ejde-2	658	28	,	,	PUNCT
ejde-2	658	29	u(x	u(x	PROPN
ejde-2	658	30	)	)	PUNCT
ejde-2	658	31	6≡	6≡	NUM
ejde-2	658	32	0	0	NUM
ejde-2	658	33	on	on	ADP
ejde-2	658	34	[	[	X
ejde-2	658	35	0	0	NUM
ejde-2	658	36	,	,	PUNCT
ejde-2	658	37	1	1	NUM
ejde-2	658	38	]	]	PUNCT
ejde-2	658	39	.	.	PUNCT
ejde-2	659	1	since	since	SCONJ
ejde-2	659	2	f	f	PROPN
ejde-2	659	3	is	be	AUX
ejde-2	659	4	a	a	DET
ejde-2	659	5	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-2	659	6	function	function	NOUN
ejde-2	659	7	on	on	ADP
ejde-2	659	8	[	[	X
ejde-2	659	9	0	0	NUM
ejde-2	659	10	,	,	PUNCT
ejde-2	659	11	1	1	NUM
ejde-2	659	12	]	]	PUNCT
ejde-2	659	13	,	,	PUNCT
ejde-2	659	14	by	by	ADP
ejde-2	659	15	(	(	PUNCT
ejde-2	659	16	5.6	5.6	NUM
ejde-2	659	17	)	)	PUNCT
ejde-2	659	18	,	,	PUNCT
ejde-2	659	19	u	u	NOUN
ejde-2	659	20	is	be	AUX
ejde-2	659	21	not	not	PART
ejde-2	659	22	a	a	DET
ejde-2	659	23	polynomial	polynomial	NOUN
ejde-2	659	24	of	of	ADP
ejde-2	659	25	degree	degree	NOUN
ejde-2	659	26	n−1	n−1	PROPN
ejde-2	659	27	since	since	SCONJ
ejde-2	659	28	the	the	DET
ejde-2	659	29	(	(	PUNCT
ejde-2	659	30	n−1)th	n−1)th	NUM
ejde-2	659	31	order	order	NOUN
ejde-2	659	32	derivative	derivative	NOUN
ejde-2	659	33	of	of	ADP
ejde-2	659	34	a	a	DET
ejde-2	659	35	polynomial	polynomial	NOUN
ejde-2	659	36	of	of	ADP
ejde-2	659	37	degree	degree	NOUN
ejde-2	659	38	n−	n−	NOUN
ejde-2	659	39	1	1	NUM
ejde-2	659	40	must	must	AUX
ejde-2	659	41	be	be	AUX
ejde-2	659	42	a	a	DET
ejde-2	659	43	constant	constant	ADJ
ejde-2	659	44	.	.	PUNCT
ejde-2	660	1	hence	hence	ADV
ejde-2	660	2	,	,	PUNCT
ejde-2	660	3	the	the	DET
ejde-2	660	4	result	result	NOUN
ejde-2	660	5	(	(	PUNCT
ejde-2	660	6	ii	ii	NOUN
ejde-2	660	7	)	)	PUNCT
ejde-2	660	8	holds	hold	VERB
ejde-2	660	9	.	.	PUNCT
ejde-2	661	1	(	(	PUNCT
ejde-2	661	2	iii	iii	X
ejde-2	661	3	)	)	PUNCT
ejde-2	661	4	since	since	SCONJ
ejde-2	661	5	f	f	PROPN
ejde-2	661	6	′(x	′(x	PROPN
ejde-2	661	7	)	)	PUNCT
ejde-2	662	1	=	=	SYM
ejde-2	662	2	0	0	NUM
ejde-2	663	1	for	for	ADP
ejde-2	663	2	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	663	3	.	.	PUNCT
ejde-2	663	4	x	x	SYM
ejde-2	663	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	664	1	[	[	X
ejde-2	664	2	0	0	NUM
ejde-2	664	3	,	,	PUNCT
ejde-2	664	4	1	1	NUM
ejde-2	664	5	]	]	PUNCT
ejde-2	664	6	,	,	PUNCT
ejde-2	664	7	by	by	ADP
ejde-2	664	8	(	(	PUNCT
ejde-2	664	9	5.6	5.6	NUM
ejde-2	664	10	)	)	PUNCT
ejde-2	664	11	,	,	PUNCT
ejde-2	664	12	we	we	PRON
ejde-2	664	13	have	have	VERB
ejde-2	664	14	u(n)(x	u(n)(x	PROPN
ejde-2	664	15	)	)	PUNCT
ejde-2	665	1	=	=	SYM
ejde-2	665	2	f	f	NOUN
ejde-2	665	3	′(x	′(x	NOUN
ejde-2	665	4	)	)	PUNCT
ejde-2	665	5	=	=	SYM
ejde-2	665	6	0	0	NUM
ejde-2	666	1	for	for	ADP
ejde-2	666	2	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	666	3	.	.	PUNCT
ejde-2	666	4	x	x	SYM
ejde-2	666	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	667	1	[	[	X
ejde-2	667	2	0	0	NUM
ejde-2	667	3	,	,	PUNCT
ejde-2	667	4	1	1	NUM
ejde-2	667	5	]	]	PUNCT
ejde-2	667	6	.	.	PUNCT
ejde-2	668	1	this	this	PRON
ejde-2	668	2	implies	imply	VERB
ejde-2	668	3	that	that	SCONJ
ejde-2	668	4	the	the	DET
ejde-2	668	5	result	result	NOUN
ejde-2	668	6	(	(	PUNCT
ejde-2	668	7	iii	iii	NOUN
ejde-2	668	8	)	)	PUNCT
ejde-2	668	9	holds	hold	VERB
ejde-2	668	10	.	.	PUNCT
ejde-2	669	1	�	�	PROPN
ejde-2	669	2	a	a	DET
ejde-2	669	3	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-2	669	4	condition	condition	NOUN
ejde-2	669	5	for	for	SCONJ
ejde-2	669	6	u	u	NOUN
ejde-2	669	7	to	to	PART
ejde-2	669	8	satisfy	satisfy	VERB
ejde-2	669	9	u(n	u(n	PROPN
ejde-2	669	10	)	)	PUNCT
ejde-2	669	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	669	12	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	669	13	,	,	PUNCT
ejde-2	669	14	b	b	NOUN
ejde-2	669	15	)	)	PUNCT
ejde-2	669	16	is	be	AUX
ejde-2	669	17	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	669	18	)	)	PUNCT
ejde-2	669	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	669	20	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	669	21	,	,	PUNCT
ejde-2	669	22	b	b	NOUN
ejde-2	669	23	]	]	X
ejde-2	669	24	.	.	PUNCT
ejde-2	670	1	when	when	SCONJ
ejde-2	670	2	studying	study	VERB
ejde-2	670	3	the	the	DET
ejde-2	670	4	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	670	5	between	between	ADP
ejde-2	670	6	(	(	PUNCT
ejde-2	670	7	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	670	8	)	)	PUNCT
ejde-2	670	9	and	and	CCONJ
ejde-2	670	10	the	the	DET
ejde-2	670	11	integral	integral	ADJ
ejde-2	670	12	equation	equation	NOUN
ejde-2	670	13	(	(	PUNCT
ejde-2	670	14	4.3	4.3	NUM
ejde-2	670	15	)	)	PUNCT
ejde-2	670	16	,	,	PUNCT
ejde-2	670	17	the	the	DET
ejde-2	670	18	condition	condition	NOUN
ejde-2	670	19	u(n−1	u(n−1	VERB
ejde-2	670	20	)	)	PUNCT
ejde-2	670	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	670	22	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	670	23	,	,	PUNCT
ejde-2	670	24	b	b	AUX
ejde-2	670	25	]	]	X
ejde-2	670	26	is	be	AUX
ejde-2	670	27	needed	need	VERB
ejde-2	670	28	to	to	PART
ejde-2	670	29	ensure	ensure	VERB
ejde-2	670	30	the	the	DET
ejde-2	670	31	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	670	32	,	,	PUNCT
ejde-2	670	33	see	see	VERB
ejde-2	670	34	theorem	theorem	VERB
ejde-2	670	35	5.6	5.6	NUM
ejde-2	670	36	below	below	ADV
ejde-2	670	37	.	.	PUNCT
ejde-2	671	1	following	follow	VERB
ejde-2	671	2	[	[	X
ejde-2	671	3	21	21	NUM
ejde-2	671	4	,	,	PUNCT
ejde-2	671	5	section	section	NOUN
ejde-2	671	6	9	9	NUM
ejde-2	671	7	]	]	PUNCT
ejde-2	671	8	,	,	PUNCT
ejde-2	671	9	the	the	DET
ejde-2	671	10	condition	condition	NOUN
ejde-2	671	11	u(n−1	u(n−1	VERB
ejde-2	671	12	)	)	PUNCT
ejde-2	671	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	671	14	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	671	15	,	,	PUNCT
ejde-2	671	16	b	b	AUX
ejde-2	671	17	]	]	X
ejde-2	671	18	would	would	AUX
ejde-2	671	19	be	be	AUX
ejde-2	671	20	used	use	VERB
ejde-2	671	21	as	as	ADP
ejde-2	671	22	a	a	DET
ejde-2	671	23	necessary	necessary	ADJ
ejde-2	671	24	condition	condition	NOUN
ejde-2	671	25	for	for	ADP
ejde-2	671	26	the	the	DET
ejde-2	671	27	definition	definition	NOUN
ejde-2	671	28	of	of	ADP
ejde-2	671	29	a	a	DET
ejde-2	671	30	solution	solution	NOUN
ejde-2	671	31	u	u	NOUN
ejde-2	671	32	of	of	ADP
ejde-2	671	33	(	(	PUNCT
ejde-2	671	34	5.1	5.1	NUM
ejde-2	671	35	)	)	PUNCT
ejde-2	671	36	to	to	PART
ejde-2	671	37	prevent	prevent	VERB
ejde-2	671	38	having	have	VERB
ejde-2	671	39	functions	function	NOUN
ejde-2	671	40	such	such	ADJ
ejde-2	671	41	as	as	ADP
ejde-2	671	42	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-2	671	43	’s	’s	PART
ejde-2	671	44	singular	singular	ADJ
ejde-2	671	45	function	function	NOUN
ejde-2	671	46	like	like	ADP
ejde-2	671	47	the	the	DET
ejde-2	671	48	function	function	NOUN
ejde-2	671	49	u	u	NOUN
ejde-2	671	50	given	give	VERB
ejde-2	671	51	in	in	ADP
ejde-2	671	52	example	example	NOUN
ejde-2	671	53	5.2	5.2	NUM
ejde-2	671	54	as	as	ADP
ejde-2	671	55	solutions	solution	NOUN
ejde-2	671	56	of	of	ADP
ejde-2	671	57	(	(	PUNCT
ejde-2	671	58	5.1	5.1	NUM
ejde-2	671	59	)	)	PUNCT
ejde-2	671	60	.	.	PUNCT
ejde-2	672	1	we	we	PRON
ejde-2	672	2	first	first	ADV
ejde-2	672	3	give	give	VERB
ejde-2	672	4	the	the	DET
ejde-2	672	5	following	following	ADJ
ejde-2	672	6	result	result	NOUN
ejde-2	672	7	on	on	ADP
ejde-2	672	8	the	the	DET
ejde-2	672	9	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-2	672	10	of	of	ADP
ejde-2	672	11	solutions	solution	NOUN
ejde-2	672	12	of	of	ADP
ejde-2	672	13	(	(	PUNCT
ejde-2	672	14	5.1	5.1	NUM
ejde-2	672	15	)	)	PUNCT
ejde-2	672	16	.	.	PUNCT
ejde-2	673	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	673	2	5.3	5.3	NUM
ejde-2	673	3	.	.	PUNCT
ejde-2	674	1	if	if	SCONJ
ejde-2	674	2	v	v	NUM
ejde-2	674	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	674	4	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	674	5	,	,	PUNCT
ejde-2	674	6	b	b	NOUN
ejde-2	674	7	)	)	PUNCT
ejde-2	674	8	\rα(a	\rα(a	PROPN
ejde-2	674	9	,	,	PUNCT
ejde-2	674	10	b	b	NOUN
ejde-2	674	11	)	)	PUNCT
ejde-2	674	12	,	,	PUNCT
ejde-2	674	13	then	then	ADV
ejde-2	674	14	(	(	PUNCT
ejde-2	674	15	5.1	5.1	NUM
ejde-2	674	16	)	)	PUNCT
ejde-2	674	17	has	have	VERB
ejde-2	674	18	no	no	DET
ejde-2	674	19	solutions	solution	NOUN
ejde-2	674	20	.	.	PUNCT
ejde-2	675	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	675	2	.	.	PUNCT
ejde-2	676	1	by	by	ADP
ejde-2	676	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	676	3	4.4	4.4	NUM
ejde-2	676	4	,	,	PUNCT
ejde-2	676	5	c[a	c[a	NUM
ejde-2	676	6	,	,	PUNCT
ejde-2	676	7	b	b	NOUN
ejde-2	676	8	]	]	X
ejde-2	676	9	\rα(a	\rα(a	PROPN
ejde-2	676	10	,	,	PUNCT
ejde-2	676	11	b	b	NOUN
ejde-2	676	12	)	)	PUNCT
ejde-2	676	13	6=	6=	ADP
ejde-2	676	14	∅.	∅.	AUX
ejde-2	676	15	assume	assume	VERB
ejde-2	676	16	that	that	SCONJ
ejde-2	676	17	(	(	PUNCT
ejde-2	676	18	5.1	5.1	NUM
ejde-2	676	19	)	)	PUNCT
ejde-2	676	20	has	have	VERB
ejde-2	676	21	a	a	DET
ejde-2	676	22	solution	solution	NOUN
ejde-2	676	23	u	u	NOUN
ejde-2	676	24	:	:	PUNCT
ejde-2	676	25	[	[	X
ejde-2	676	26	a	a	X
ejde-2	676	27	,	,	PUNCT
ejde-2	676	28	b]→	b]→	PROPN
ejde-2	676	29	r.	r.	PROPN
ejde-2	676	30	by	by	ADP
ejde-2	676	31	definition	definition	NOUN
ejde-2	676	32	5.1	5.1	NUM
ejde-2	676	33	,	,	PUNCT
ejde-2	676	34	u(n	u(n	PROPN
ejde-2	676	35	)	)	PUNCT
ejde-2	676	36	∈	∈	PROPN
ejde-2	676	37	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	676	38	,	,	PUNCT
ejde-2	676	39	b	b	NOUN
ejde-2	676	40	)	)	PUNCT
ejde-2	676	41	and	and	CCONJ
ejde-2	676	42	u	u	NOUN
ejde-2	676	43	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	676	44	(	(	PUNCT
ejde-2	676	45	5.1	5.1	NUM
ejde-2	676	46	)	)	PUNCT
ejde-2	676	47	.	.	PUNCT
ejde-2	677	1	by	by	ADP
ejde-2	677	2	(	(	PUNCT
ejde-2	677	3	5.1	5.1	NUM
ejde-2	677	4	)	)	PUNCT
ejde-2	677	5	and	and	CCONJ
ejde-2	677	6	(	(	PUNCT
ejde-2	677	7	4.6	4.6	NUM
ejde-2	677	8	)	)	PUNCT
ejde-2	677	9	,	,	PUNCT
ejde-2	677	10	we	we	PRON
ejde-2	677	11	have	have	VERB
ejde-2	677	12	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	677	13	)	)	PUNCT
ejde-2	678	1	=	=	SYM
ejde-2	678	2	dn−α	dn−α	NOUN
ejde-2	678	3	c	c	NOUN
ejde-2	678	4	,	,	PUNCT
ejde-2	678	5	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	678	6	)	)	PUNCT
ejde-2	678	7	=	=	SYM
ejde-2	679	1	iαa+u	iαa+u	NUM
ejde-2	679	2	(	(	PUNCT
ejde-2	679	3	n	n	CCONJ
ejde-2	679	4	)	)	PUNCT
ejde-2	679	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	679	6	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	679	7	,	,	PUNCT
ejde-2	679	8	b	b	NOUN
ejde-2	679	9	)	)	PUNCT
ejde-2	679	10	,	,	PUNCT
ejde-2	679	11	(	(	PUNCT
ejde-2	679	12	5.7	5.7	NUM
ejde-2	679	13	)	)	PUNCT
ejde-2	679	14	a	a	DET
ejde-2	679	15	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-2	679	16	.	.	PUNCT
ejde-2	680	1	�	�	PROPN
ejde-2	681	1	the	the	DET
ejde-2	681	2	following	following	ADJ
ejde-2	681	3	result	result	NOUN
ejde-2	681	4	shows	show	VERB
ejde-2	681	5	that	that	SCONJ
ejde-2	681	6	under	under	ADP
ejde-2	681	7	suitable	suitable	ADJ
ejde-2	681	8	conditions	condition	NOUN
ejde-2	681	9	on	on	ADP
ejde-2	681	10	u	u	NOUN
ejde-2	681	11	,	,	PUNCT
ejde-2	681	12	the	the	DET
ejde-2	681	13	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	681	14	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	681	15	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	681	16	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	681	17	c	c	NOUN
ejde-2	681	18	,	,	PUNCT
ejde-2	681	19	a+u	a+u	X
ejde-2	681	20	is	be	AUX
ejde-2	681	21	equal	equal	ADJ
ejde-2	681	22	to	to	ADP
ejde-2	681	23	the	the	DET
ejde-2	681	24	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	681	25	derivative	derivative	ADJ
ejde-2	681	26	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	681	27	p	p	NOUN
ejde-2	681	28	,	,	PUNCT
ejde-2	681	29	a+u	a+u	NUM
ejde-2	681	30	.	.	PUNCT
ejde-2	682	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	682	2	5.4	5.4	NUM
ejde-2	682	3	.	.	PUNCT
ejde-2	683	1	let	let	VERB
ejde-2	683	2	ui	ui	PROPN
ejde-2	683	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	683	4	r	r	NOUN
ejde-2	683	5	be	be	AUX
ejde-2	683	6	given	give	VERB
ejde-2	683	7	for	for	ADP
ejde-2	683	8	each	each	DET
ejde-2	683	9	i	i	PRON
ejde-2	683	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	683	11	n0,n−1	n0,n−1	PROPN
ejde-2	683	12	.	.	PUNCT
ejde-2	684	1	assume	assume	VERB
ejde-2	684	2	that	that	SCONJ
ejde-2	684	3	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	684	4	)	)	PUNCT
ejde-2	684	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	684	6	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	684	7	,	,	PUNCT
ejde-2	684	8	b	b	NOUN
ejde-2	684	9	]	]	PUNCT
ejde-2	684	10	and	and	CCONJ
ejde-2	684	11	u	u	NOUN
ejde-2	684	12	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	684	13	(	(	PUNCT
ejde-2	684	14	5.2	5.2	NUM
ejde-2	684	15	)	)	PUNCT
ejde-2	684	16	.	.	PUNCT
ejde-2	685	1	then	then	ADV
ejde-2	685	2	the	the	DET
ejde-2	685	3	following	follow	VERB
ejde-2	685	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	685	5	hold	hold	VERB
ejde-2	685	6	.	.	PUNCT
ejde-2	686	1	(	(	PUNCT
ejde-2	686	2	i	i	NOUN
ejde-2	686	3	)	)	PUNCT
ejde-2	686	4	ina+u	ina+u	PROPN
ejde-2	686	5	(	(	PUNCT
ejde-2	686	6	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	686	7	)	)	PUNCT
ejde-2	686	8	=	=	PUNCT
ejde-2	686	9	(	(	PUNCT
ejde-2	686	10	u−	u−	PROPN
ejde-2	686	11	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	686	12	)	)	PUNCT
ejde-2	686	13	for	for	ADP
ejde-2	686	14	each	each	DET
ejde-2	686	15	x	x	SYM
ejde-2	686	16	∈	∈	PROPN
ejde-2	686	17	[	[	X
ejde-2	686	18	a	a	X
ejde-2	686	19	,	,	PUNCT
ejde-2	686	20	b	b	NOUN
ejde-2	686	21	]	]	X
ejde-2	686	22	(	(	PUNCT
ejde-2	686	23	5.8	5.8	NUM
ejde-2	686	24	)	)	PUNCT
ejde-2	686	25	where	where	SCONJ
ejde-2	686	26	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	686	27	)	)	PUNCT
ejde-2	686	28	=	=	SYM
ejde-2	686	29	∑n−1	∑n−1	ADP
ejde-2	686	30	i=0	i=0	PROPN
ejde-2	686	31	ui	ui	PROPN
ejde-2	687	1	i	i	PROPN
ejde-2	687	2	!	!	PUNCT
ejde-2	688	1	(	(	PUNCT
ejde-2	688	2	x−	x−	PROPN
ejde-2	688	3	a)i	a)i	X
ejde-2	688	4	for	for	ADP
ejde-2	688	5	each	each	DET
ejde-2	688	6	x	x	SYM
ejde-2	688	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	688	8	[	[	X
ejde-2	688	9	a	a	X
ejde-2	688	10	,	,	PUNCT
ejde-2	688	11	b	b	NOUN
ejde-2	688	12	]	]	X
ejde-2	688	13	.	.	PUNCT
ejde-2	689	1	(	(	PUNCT
ejde-2	689	2	ii	ii	NOUN
ejde-2	689	3	)	)	PUNCT
ejde-2	689	4	(	(	PUNCT
ejde-2	689	5	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	689	6	−	−	ADP
ejde-2	689	7	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	689	8	)	)	PUNCT
ejde-2	689	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	689	10	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	689	11	,	,	PUNCT
ejde-2	689	12	b	b	NOUN
ejde-2	689	13	]	]	PUNCT
ejde-2	689	14	and	and	CCONJ
ejde-2	689	15	(	(	PUNCT
ejde-2	689	16	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	689	17	−	−	PROPN
ejde-2	689	18	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	689	19	)	)	PUNCT
ejde-2	689	20	=	=	SYM
ejde-2	689	21	0	0	NUM
ejde-2	690	1	for	for	ADP
ejde-2	690	2	i	i	PRON
ejde-2	690	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	690	4	n0,n−1	n0,n−1	PROPN
ejde-2	690	5	.	.	PUNCT
ejde-2	691	1	(	(	PUNCT
ejde-2	691	2	iii	iii	X
ejde-2	691	3	)	)	PUNCT
ejde-2	691	4	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	691	5	c	c	NOUN
ejde-2	691	6	,	,	PUNCT
ejde-2	691	7	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	691	8	)	)	PUNCT
ejde-2	692	1	=	=	SYM
ejde-2	692	2	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	692	3	p	p	NOUN
ejde-2	692	4	,	,	PUNCT
ejde-2	692	5	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	692	6	)	)	PUNCT
ejde-2	692	7	for	for	ADP
ejde-2	692	8	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	692	9	.	.	PUNCT
ejde-2	692	10	x	x	SYM
ejde-2	692	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	692	12	[	[	X
ejde-2	692	13	a	a	X
ejde-2	692	14	,	,	PUNCT
ejde-2	692	15	b	b	NOUN
ejde-2	692	16	]	]	X
ejde-2	692	17	.	.	PUNCT
ejde-2	693	1	18	18	NUM
ejde-2	693	2	k.	k.	PROPN
ejde-2	693	3	lan	lan	PROPN
ejde-2	693	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	693	5	(	(	PUNCT
ejde-2	693	6	iv	iv	X
ejde-2	693	7	)	)	PUNCT
ejde-2	693	8	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	693	9	c	c	NOUN
ejde-2	693	10	,	,	PUNCT
ejde-2	693	11	a+u	a+u	X
ejde-2	693	12	=	=	SYM
ejde-2	693	13	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	693	14	p	p	NOUN
ejde-2	693	15	,	,	PUNCT
ejde-2	693	16	a+u	a+u	PROPN
ejde-2	693	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	693	18	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	693	19	,	,	PUNCT
ejde-2	693	20	b	b	NOUN
ejde-2	693	21	)	)	PUNCT
ejde-2	693	22	.	.	PUNCT
ejde-2	694	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	694	2	.	.	PUNCT
ejde-2	695	1	(	(	PUNCT
ejde-2	695	2	i	i	NOUN
ejde-2	695	3	)	)	PUNCT
ejde-2	695	4	because	because	SCONJ
ejde-2	695	5	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	695	6	)	)	PUNCT
ejde-2	695	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	695	8	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	695	9	,	,	PUNCT
ejde-2	695	10	b	b	NOUN
ejde-2	695	11	]	]	PUNCT
ejde-2	695	12	and	and	CCONJ
ejde-2	695	13	u	u	NOUN
ejde-2	695	14	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	695	15	(	(	PUNCT
ejde-2	695	16	5.2	5.2	NUM
ejde-2	695	17	)	)	PUNCT
ejde-2	695	18	,	,	PUNCT
ejde-2	695	19	we	we	PRON
ejde-2	695	20	have	have	VERB
ejde-2	695	21	i1a+u	i1a+u	PROPN
ejde-2	695	22	(	(	PUNCT
ejde-2	695	23	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	695	24	)	)	PUNCT
ejde-2	695	25	=	=	PUNCT
ejde-2	696	1	u(n−1)(x)−	u(n−1)(x)−	PROPN
ejde-2	696	2	u(n−1)(a	u(n−1)(a	NOUN
ejde-2	696	3	)	)	PUNCT
ejde-2	696	4	=	=	PUNCT
ejde-2	697	1	u(n−1)(x)−	u(n−1)(x)−	PROPN
ejde-2	697	2	un−1	un−1	PROPN
ejde-2	697	3	for	for	ADP
ejde-2	697	4	each	each	DET
ejde-2	697	5	x	x	SYM
ejde-2	697	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	697	7	[	[	X
ejde-2	697	8	a	a	X
ejde-2	697	9	,	,	PUNCT
ejde-2	697	10	b	b	NOUN
ejde-2	697	11	]	]	X
ejde-2	697	12	.	.	PUNCT
ejde-2	698	1	since	since	SCONJ
ejde-2	698	2	u(n−2	u(n−2	NOUN
ejde-2	698	3	)	)	PUNCT
ejde-2	698	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	698	5	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	698	6	,	,	PUNCT
ejde-2	698	7	b	b	NOUN
ejde-2	698	8	]	]	X
ejde-2	698	9	,	,	PUNCT
ejde-2	698	10	integrating	integrate	VERB
ejde-2	698	11	the	the	DET
ejde-2	698	12	above	above	ADJ
ejde-2	698	13	equation	equation	NOUN
ejde-2	698	14	from	from	ADP
ejde-2	698	15	a	a	DET
ejde-2	698	16	to	to	NOUN
ejde-2	698	17	x	x	PROPN
ejde-2	698	18	implies	imply	VERB
ejde-2	698	19	i2a+u	i2a+u	PROPN
ejde-2	698	20	(	(	PUNCT
ejde-2	698	21	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	698	22	)	)	PUNCT
ejde-2	698	23	=	=	PUNCT
ejde-2	699	1	u(n−2)(x)−	u(n−2)(x)−	PROPN
ejde-2	699	2	u(n−2)(a)−	u(n−2)(a)−	PROPN
ejde-2	699	3	un−1(x−	un−1(x−	PROPN
ejde-2	699	4	a	a	PRON
ejde-2	699	5	)	)	PUNCT
ejde-2	699	6	=	=	SYM
ejde-2	700	1	u(n−2)(x)−	u(n−2)(x)−	PROPN
ejde-2	700	2	un−2	un−2	VERB
ejde-2	700	3	−	−	PROPN
ejde-2	700	4	un−1(x−	un−1(x−	PROPN
ejde-2	700	5	a	a	NOUN
ejde-2	700	6	)	)	PUNCT
ejde-2	700	7	for	for	ADP
ejde-2	700	8	each	each	DET
ejde-2	700	9	x	x	SYM
ejde-2	700	10	∈	∈	PROPN
ejde-2	701	1	[	[	X
ejde-2	701	2	a	a	X
ejde-2	701	3	,	,	PUNCT
ejde-2	701	4	b	b	NOUN
ejde-2	701	5	]	]	PUNCT
ejde-2	701	6	.	.	PUNCT
ejde-2	702	1	repeating	repeat	VERB
ejde-2	702	2	the	the	DET
ejde-2	702	3	process	process	NOUN
ejde-2	702	4	implies	imply	VERB
ejde-2	702	5	(	(	PUNCT
ejde-2	702	6	5.8	5.8	NUM
ejde-2	702	7	)	)	PUNCT
ejde-2	702	8	.	.	PUNCT
ejde-2	703	1	(	(	PUNCT
ejde-2	703	2	ii	ii	NOUN
ejde-2	703	3	)	)	PUNCT
ejde-2	703	4	applying	apply	VERB
ejde-2	703	5	iαa+	iαa+	PROPN
ejde-2	703	6	to	to	PART
ejde-2	703	7	(	(	PUNCT
ejde-2	703	8	5.8	5.8	NUM
ejde-2	703	9	)	)	PUNCT
ejde-2	703	10	,	,	PUNCT
ejde-2	703	11	we	we	PRON
ejde-2	703	12	have	have	VERB
ejde-2	703	13	ina+i	ina+i	PROPN
ejde-2	703	14	α	α	NOUN
ejde-2	703	15	a+u	a+u	X
ejde-2	703	16	(	(	PUNCT
ejde-2	703	17	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	703	18	)	)	PUNCT
ejde-2	703	19	=	=	SYM
ejde-2	704	1	iαa+i	iαa+i	PROPN
ejde-2	704	2	n	n	CCONJ
ejde-2	704	3	a+u	a+u	X
ejde-2	704	4	(	(	PUNCT
ejde-2	704	5	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	704	6	)	)	PUNCT
ejde-2	704	7	=	=	SYM
ejde-2	705	1	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	705	2	pn−1)(x	pn−1)(x	NOUN
ejde-2	705	3	)	)	PUNCT
ejde-2	705	4	for	for	ADP
ejde-2	705	5	each	each	DET
ejde-2	705	6	x	x	SYM
ejde-2	705	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	705	8	[	[	X
ejde-2	705	9	a	a	X
ejde-2	705	10	,	,	PUNCT
ejde-2	705	11	b	b	NOUN
ejde-2	705	12	]	]	PUNCT
ejde-2	705	13	.	.	PUNCT
ejde-2	706	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	706	2	the	the	DET
ejde-2	706	3	above	above	ADJ
ejde-2	706	4	equation	equation	NOUN
ejde-2	706	5	i	i	PRON
ejde-2	706	6	and	and	CCONJ
ejde-2	706	7	using	use	VERB
ejde-2	706	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	706	9	2.3	2.3	NUM
ejde-2	706	10	(	(	PUNCT
ejde-2	706	11	2	2	NUM
ejde-2	706	12	)	)	PUNCT
ejde-2	706	13	imply	imply	VERB
ejde-2	706	14	in−ia+	in−ia+	PROPN
ejde-2	706	15	iαa+u	iαa+u	PROPN
ejde-2	706	16	(	(	PUNCT
ejde-2	706	17	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	706	18	)	)	PUNCT
ejde-2	706	19	=	=	PUNCT
ejde-2	706	20	(	(	PUNCT
ejde-2	706	21	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	706	22	pn−1))(i)(x	pn−1))(i)(x	PROPN
ejde-2	706	23	)	)	PUNCT
ejde-2	706	24	for	for	ADP
ejde-2	706	25	each	each	DET
ejde-2	706	26	x	x	SYM
ejde-2	706	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	706	28	[	[	X
ejde-2	706	29	a	a	X
ejde-2	706	30	,	,	PUNCT
ejde-2	706	31	b	b	NOUN
ejde-2	706	32	]	]	X
ejde-2	706	33	.	.	PUNCT
ejde-2	707	1	(	(	PUNCT
ejde-2	707	2	5.9	5.9	NUM
ejde-2	707	3	)	)	PUNCT
ejde-2	707	4	by	by	ADP
ejde-2	707	5	(	(	PUNCT
ejde-2	707	6	2.3	2.3	NUM
ejde-2	707	7	)	)	PUNCT
ejde-2	707	8	,	,	PUNCT
ejde-2	707	9	we	we	PRON
ejde-2	707	10	have	have	VERB
ejde-2	707	11	in−ia+	in−ia+	PROPN
ejde-2	707	12	iαa+u	iαa+u	PROPN
ejde-2	707	13	(	(	PUNCT
ejde-2	707	14	n)(a	n)(a	NUM
ejde-2	707	15	)	)	PUNCT
ejde-2	707	16	=	=	SYM
ejde-2	707	17	0	0	PUNCT
ejde-2	707	18	for	for	ADP
ejde-2	707	19	each	each	PRON
ejde-2	707	20	i	i	PRON
ejde-2	707	21	∈	∈	PROPN
ejde-2	707	22	nn−1	nn−1	ADJ
ejde-2	707	23	.	.	PUNCT
ejde-2	708	1	it	it	PRON
ejde-2	708	2	follows	follow	VERB
ejde-2	708	3	from	from	ADP
ejde-2	708	4	(	(	PUNCT
ejde-2	708	5	5.9	5.9	NUM
ejde-2	708	6	)	)	PUNCT
ejde-2	708	7	that	that	SCONJ
ejde-2	708	8	(	(	PUNCT
ejde-2	708	9	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	708	10	pn−1))(i)(a	pn−1))(i)(a	NUM
ejde-2	708	11	)	)	PUNCT
ejde-2	708	12	=	=	SYM
ejde-2	708	13	0	0	NUM
ejde-2	708	14	for	for	ADP
ejde-2	708	15	each	each	DET
ejde-2	708	16	i	i	PRON
ejde-2	708	17	∈	∈	PROPN
ejde-2	708	18	n0,n−1	n0,n−1	NUM
ejde-2	708	19	.	.	PUNCT
ejde-2	709	1	by	by	ADP
ejde-2	709	2	(	(	PUNCT
ejde-2	709	3	5.9	5.9	NUM
ejde-2	709	4	)	)	PUNCT
ejde-2	709	5	with	with	ADP
ejde-2	709	6	i	i	NOUN
ejde-2	709	7	=	=	PUNCT
ejde-2	709	8	n−	n−	NOUN
ejde-2	709	9	1	1	NUM
ejde-2	709	10	,	,	PUNCT
ejde-2	709	11	we	we	PRON
ejde-2	709	12	obtain	obtain	VERB
ejde-2	709	13	i1a+i	i1a+i	NOUN
ejde-2	709	14	α	α	NOUN
ejde-2	709	15	a+u	a+u	X
ejde-2	709	16	(	(	PUNCT
ejde-2	709	17	n)(x	n)(x	PROPN
ejde-2	709	18	)	)	PUNCT
ejde-2	709	19	=	=	PUNCT
ejde-2	709	20	(	(	PUNCT
ejde-2	709	21	iαa+(u−	iαa+(u−	X
ejde-2	709	22	pn−1))(n−1)(x	pn−1))(n−1)(x	NOUN
ejde-2	709	23	)	)	PUNCT
ejde-2	709	24	for	for	ADP
ejde-2	709	25	each	each	DET
ejde-2	709	26	x	x	SYM
ejde-2	709	27	∈	∈	PROPN
ejde-2	709	28	[	[	X
ejde-2	709	29	a	a	X
ejde-2	709	30	,	,	PUNCT
ejde-2	709	31	b	b	NOUN
ejde-2	709	32	]	]	X
ejde-2	709	33	.	.	PUNCT
ejde-2	710	1	(	(	PUNCT
ejde-2	710	2	5.10	5.10	NUM
ejde-2	710	3	)	)	PUNCT
ejde-2	710	4	since	since	SCONJ
ejde-2	710	5	i1a+i	i1a+i	NOUN
ejde-2	710	6	α	α	NOUN
ejde-2	710	7	a+u	a+u	X
ejde-2	710	8	(	(	PUNCT
ejde-2	710	9	n	n	CCONJ
ejde-2	710	10	)	)	PUNCT
ejde-2	710	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	710	12	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	710	13	,	,	PUNCT
ejde-2	710	14	b	b	NOUN
ejde-2	710	15	]	]	X
ejde-2	710	16	,	,	PUNCT
ejde-2	710	17	we	we	PRON
ejde-2	710	18	have	have	VERB
ejde-2	710	19	(	(	PUNCT
ejde-2	710	20	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	710	21	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	710	22	)	)	PUNCT
ejde-2	710	23	∈	∈	PROPN
ejde-2	711	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	711	2	,	,	PUNCT
ejde-2	711	3	b	b	NOUN
ejde-2	711	4	]	]	X
ejde-2	711	5	.	.	PUNCT
ejde-2	712	1	(	(	PUNCT
ejde-2	712	2	iii	iii	NOUN
ejde-2	712	3	)	)	PUNCT
ejde-2	712	4	differentiating	differentiate	VERB
ejde-2	712	5	both	both	DET
ejde-2	712	6	sides	side	NOUN
ejde-2	712	7	of	of	ADP
ejde-2	712	8	(	(	PUNCT
ejde-2	712	9	5.10	5.10	NUM
ejde-2	712	10	)	)	PUNCT
ejde-2	712	11	implies	imply	VERB
ejde-2	712	12	(	(	PUNCT
ejde-2	712	13	iii	iii	NOUN
ejde-2	712	14	)	)	PUNCT
ejde-2	712	15	.	.	PUNCT
ejde-2	713	1	(	(	PUNCT
ejde-2	713	2	iv	iv	X
ejde-2	713	3	)	)	PUNCT
ejde-2	713	4	the	the	DET
ejde-2	713	5	result	result	NOUN
ejde-2	713	6	follows	follow	VERB
ejde-2	713	7	from	from	ADP
ejde-2	713	8	(	(	PUNCT
ejde-2	713	9	5.7	5.7	NUM
ejde-2	713	10	)	)	PUNCT
ejde-2	713	11	and	and	CCONJ
ejde-2	713	12	(	(	PUNCT
ejde-2	713	13	iii	iii	NOUN
ejde-2	713	14	)	)	PUNCT
ejde-2	713	15	.	.	PUNCT
ejde-2	714	1	�	�	PROPN
ejde-2	714	2	when	when	SCONJ
ejde-2	714	3	ui	ui	PROPN
ejde-2	714	4	is	be	AUX
ejde-2	714	5	replaced	replace	VERB
ejde-2	714	6	by	by	ADP
ejde-2	714	7	u(i)(a	u(i)(a	NOUN
ejde-2	714	8	)	)	PUNCT
ejde-2	714	9	for	for	ADP
ejde-2	714	10	each	each	DET
ejde-2	714	11	i	i	PRON
ejde-2	714	12	∈	∈	PROPN
ejde-2	714	13	n0,n−1	n0,n−1	PROPN
ejde-2	714	14	,	,	PUNCT
ejde-2	714	15	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	714	16	5.4	5.4	NUM
ejde-2	714	17	(	(	PUNCT
ejde-2	714	18	iii	iii	NOUN
ejde-2	714	19	)	)	PUNCT
ejde-2	714	20	is	be	AUX
ejde-2	714	21	proved	prove	VERB
ejde-2	714	22	in	in	ADP
ejde-2	714	23	[	[	X
ejde-2	714	24	5	5	NUM
ejde-2	714	25	,	,	PUNCT
ejde-2	714	26	theorem	theorem	VERB
ejde-2	714	27	3.1	3.1	NUM
ejde-2	714	28	,	,	PUNCT
ejde-2	714	29	p.50	p.50	X
ejde-2	714	30	]	]	X
ejde-2	714	31	,	,	PUNCT
ejde-2	714	32	[	[	X
ejde-2	714	33	15	15	NUM
ejde-2	714	34	,	,	PUNCT
ejde-2	714	35	theorem	theorem	VERB
ejde-2	714	36	2.1	2.1	NUM
ejde-2	714	37	,	,	PUNCT
ejde-2	714	38	p.92	p.92	NOUN
ejde-2	714	39	]	]	PUNCT
ejde-2	714	40	and	and	CCONJ
ejde-2	714	41	[	[	X
ejde-2	714	42	29	29	NUM
ejde-2	714	43	,	,	PUNCT
ejde-2	714	44	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	714	45	4.12	4.12	NUM
ejde-2	714	46	]	]	PUNCT
ejde-2	714	47	with	with	ADP
ejde-2	714	48	different	different	ADJ
ejde-2	714	49	proofs	proof	NOUN
ejde-2	714	50	.	.	PUNCT
ejde-2	715	1	other	other	ADJ
ejde-2	715	2	results	result	NOUN
ejde-2	715	3	of	of	ADP
ejde-2	715	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	715	5	5.4	5.4	NUM
ejde-2	715	6	are	be	AUX
ejde-2	715	7	new	new	ADJ
ejde-2	715	8	.	.	PUNCT
ejde-2	716	1	the	the	DET
ejde-2	716	2	following	follow	VERB
ejde-2	716	3	result	result	NOUN
ejde-2	716	4	provides	provide	VERB
ejde-2	716	5	the	the	DET
ejde-2	716	6	conditions	condition	NOUN
ejde-2	716	7	which	which	PRON
ejde-2	716	8	ensure	ensure	VERB
ejde-2	716	9	that	that	SCONJ
ejde-2	716	10	(	(	PUNCT
ejde-2	716	11	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	716	12	)	)	PUNCT
ejde-2	716	13	and	and	CCONJ
ejde-2	716	14	(	(	PUNCT
ejde-2	716	15	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	716	16	)	)	PUNCT
ejde-2	716	17	are	be	AUX
ejde-2	716	18	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	716	19	.	.	PUNCT
ejde-2	717	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	717	2	5.5	5.5	NUM
ejde-2	717	3	.	.	PUNCT
ejde-2	718	1	assume	assume	VERB
ejde-2	718	2	that	that	SCONJ
ejde-2	718	3	v	v	X
ejde-2	718	4	∈	∈	PRON
ejde-2	718	5	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	718	6	,	,	PUNCT
ejde-2	718	7	b	b	NOUN
ejde-2	718	8	)	)	PUNCT
ejde-2	718	9	.	.	PUNCT
ejde-2	719	1	then	then	ADV
ejde-2	719	2	the	the	DET
ejde-2	719	3	following	follow	VERB
ejde-2	719	4	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	719	5	hold	hold	VERB
ejde-2	719	6	.	.	PUNCT
ejde-2	720	1	(	(	PUNCT
ejde-2	720	2	1	1	X
ejde-2	720	3	)	)	PUNCT
ejde-2	720	4	if	if	SCONJ
ejde-2	720	5	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	720	6	)	)	PUNCT
ejde-2	720	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	720	8	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	720	9	,	,	PUNCT
ejde-2	720	10	b	b	NOUN
ejde-2	720	11	]	]	PUNCT
ejde-2	720	12	and	and	CCONJ
ejde-2	720	13	u	u	NOUN
ejde-2	720	14	is	be	AUX
ejde-2	720	15	a	a	DET
ejde-2	720	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	720	17	of	of	ADP
ejde-2	720	18	(	(	PUNCT
ejde-2	720	19	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	720	20	)	)	PUNCT
ejde-2	720	21	,	,	PUNCT
ejde-2	720	22	then	then	ADV
ejde-2	720	23	v	v	X
ejde-2	720	24	∈	∈	PROPN
ejde-2	720	25	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	720	26	,	,	PUNCT
ejde-2	720	27	b	b	NOUN
ejde-2	720	28	)	)	PUNCT
ejde-2	720	29	,	,	PUNCT
ejde-2	720	30	(	(	PUNCT
ejde-2	720	31	iαa+(u−	iαa+(u−	PROPN
ejde-2	720	32	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	720	33	)	)	PUNCT
ejde-2	720	34	∈	∈	PROPN
ejde-2	721	1	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	721	2	,	,	PUNCT
ejde-2	721	3	b	b	NOUN
ejde-2	721	4	]	]	PUNCT
ejde-2	721	5	and	and	CCONJ
ejde-2	721	6	u	u	NOUN
ejde-2	721	7	is	be	AUX
ejde-2	721	8	a	a	DET
ejde-2	721	9	solution	solution	NOUN
ejde-2	721	10	of	of	ADP
ejde-2	721	11	(	(	PUNCT
ejde-2	721	12	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	721	13	)	)	PUNCT
ejde-2	721	14	.	.	PUNCT
ejde-2	722	1	(	(	PUNCT
ejde-2	722	2	2	2	X
ejde-2	722	3	)	)	PUNCT
ejde-2	722	4	let	let	VERB
ejde-2	722	5	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	722	6	)	)	PUNCT
ejde-2	722	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	722	8	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	722	9	,	,	PUNCT
ejde-2	723	1	b	b	NOUN
ejde-2	723	2	]	]	PUNCT
ejde-2	723	3	and	and	CCONJ
ejde-2	723	4	v	v	ADP
ejde-2	723	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	723	6	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	723	7	,	,	PUNCT
ejde-2	723	8	b	b	NOUN
ejde-2	723	9	)	)	PUNCT
ejde-2	723	10	.	.	PUNCT
ejde-2	724	1	then	then	ADV
ejde-2	724	2	u	u	PRON
ejde-2	724	3	is	be	AUX
ejde-2	724	4	a	a	DET
ejde-2	724	5	solution	solution	NOUN
ejde-2	724	6	of	of	ADP
ejde-2	724	7	(	(	PUNCT
ejde-2	724	8	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	724	9	)	)	PUNCT
ejde-2	724	10	if	if	SCONJ
ejde-2	724	11	and	and	CCONJ
ejde-2	724	12	only	only	ADV
ejde-2	724	13	if	if	SCONJ
ejde-2	724	14	u	u	NOUN
ejde-2	724	15	is	be	AUX
ejde-2	724	16	a	a	DET
ejde-2	724	17	solution	solution	NOUN
ejde-2	724	18	of	of	ADP
ejde-2	724	19	(	(	PUNCT
ejde-2	724	20	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	724	21	)	)	PUNCT
ejde-2	724	22	.	.	PUNCT
ejde-2	725	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	725	2	.	.	PUNCT
ejde-2	726	1	(	(	PUNCT
ejde-2	726	2	1	1	X
ejde-2	726	3	)	)	PUNCT
ejde-2	726	4	assume	assume	VERB
ejde-2	726	5	that	that	SCONJ
ejde-2	726	6	u	u	PRON
ejde-2	726	7	is	be	AUX
ejde-2	726	8	a	a	DET
ejde-2	726	9	solution	solution	NOUN
ejde-2	726	10	of	of	ADP
ejde-2	726	11	(	(	PUNCT
ejde-2	726	12	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	726	13	)	)	PUNCT
ejde-2	726	14	.	.	PUNCT
ejde-2	727	1	since	since	SCONJ
ejde-2	727	2	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	727	3	)	)	PUNCT
ejde-2	727	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	727	5	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	727	6	,	,	PUNCT
ejde-2	727	7	b	b	NOUN
ejde-2	727	8	]	]	X
ejde-2	727	9	,	,	PUNCT
ejde-2	727	10	by	by	ADP
ejde-2	727	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	727	12	5.4	5.4	NUM
ejde-2	727	13	(	(	PUNCT
ejde-2	727	14	ii	ii	NOUN
ejde-2	727	15	)	)	PUNCT
ejde-2	727	16	,	,	PUNCT
ejde-2	727	17	(	(	PUNCT
ejde-2	727	18	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	727	19	−	−	ADP
ejde-2	727	20	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	727	21	)	)	PUNCT
ejde-2	727	22	∈	∈	PROPN
ejde-2	727	23	ac[a	ac[a	NOUN
ejde-2	727	24	,	,	PUNCT
ejde-2	727	25	b	b	NOUN
ejde-2	727	26	]	]	PUNCT
ejde-2	727	27	.	.	PUNCT
ejde-2	728	1	by	by	ADP
ejde-2	728	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	728	3	5.4	5.4	NUM
ejde-2	728	4	(	(	PUNCT
ejde-2	728	5	iii	iii	NOUN
ejde-2	728	6	)	)	PUNCT
ejde-2	728	7	and	and	CCONJ
ejde-2	728	8	u	u	NOUN
ejde-2	728	9	is	be	AUX
ejde-2	728	10	a	a	DET
ejde-2	728	11	solution	solution	NOUN
ejde-2	728	12	of	of	ADP
ejde-2	728	13	(	(	PUNCT
ejde-2	728	14	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	728	15	)	)	PUNCT
ejde-2	728	16	,	,	PUNCT
ejde-2	728	17	we	we	PRON
ejde-2	728	18	see	see	VERB
ejde-2	728	19	that	that	SCONJ
ejde-2	728	20	u	u	NOUN
ejde-2	728	21	is	be	AUX
ejde-2	728	22	a	a	DET
ejde-2	728	23	solution	solution	NOUN
ejde-2	728	24	of	of	ADP
ejde-2	728	25	(	(	PUNCT
ejde-2	728	26	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	728	27	)	)	PUNCT
ejde-2	728	28	.	.	PUNCT
ejde-2	729	1	(	(	PUNCT
ejde-2	729	2	2	2	X
ejde-2	729	3	)	)	PUNCT
ejde-2	729	4	let	let	VERB
ejde-2	729	5	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	729	6	)	)	PUNCT
ejde-2	729	7	∈	∈	PROPN
ejde-2	729	8	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	729	9	,	,	PUNCT
ejde-2	730	1	b	b	NOUN
ejde-2	730	2	]	]	PUNCT
ejde-2	730	3	and	and	CCONJ
ejde-2	730	4	(	(	PUNCT
ejde-2	730	5	5.2	5.2	NUM
ejde-2	730	6	)	)	PUNCT
ejde-2	730	7	holds	hold	VERB
ejde-2	730	8	.	.	PUNCT
ejde-2	731	1	by	by	ADP
ejde-2	731	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	731	3	5.4	5.4	NUM
ejde-2	731	4	(	(	PUNCT
ejde-2	731	5	iii	iii	NOUN
ejde-2	731	6	)	)	PUNCT
ejde-2	731	7	,	,	PUNCT
ejde-2	731	8	we	we	PRON
ejde-2	731	9	see	see	VERB
ejde-2	731	10	that	that	SCONJ
ejde-2	731	11	u	u	NOUN
ejde-2	731	12	is	be	AUX
ejde-2	731	13	a	a	DET
ejde-2	731	14	solution	solution	NOUN
ejde-2	731	15	of	of	ADP
ejde-2	731	16	(	(	PUNCT
ejde-2	731	17	5.1	5.1	NUM
ejde-2	731	18	)	)	PUNCT
ejde-2	732	1	if	if	SCONJ
ejde-2	732	2	and	and	CCONJ
ejde-2	732	3	only	only	ADV
ejde-2	732	4	if	if	SCONJ
ejde-2	732	5	u	u	NOUN
ejde-2	732	6	is	be	AUX
ejde-2	732	7	a	a	DET
ejde-2	732	8	solution	solution	NOUN
ejde-2	732	9	of	of	ADP
ejde-2	732	10	(	(	PUNCT
ejde-2	732	11	4.1	4.1	NUM
ejde-2	732	12	)	)	PUNCT
ejde-2	732	13	.	.	PUNCT
ejde-2	733	1	�	�	PROPN
ejde-2	733	2	the	the	DET
ejde-2	733	3	following	following	ADJ
ejde-2	733	4	result	result	NOUN
ejde-2	733	5	provides	provide	VERB
ejde-2	733	6	conditions	condition	NOUN
ejde-2	733	7	which	which	PRON
ejde-2	733	8	ensure	ensure	VERB
ejde-2	733	9	that	that	SCONJ
ejde-2	733	10	(	(	PUNCT
ejde-2	733	11	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	733	12	)	)	PUNCT
ejde-2	733	13	and	and	CCONJ
ejde-2	733	14	(	(	PUNCT
ejde-2	733	15	4.3	4.3	NUM
ejde-2	733	16	)	)	PUNCT
ejde-2	733	17	are	be	AUX
ejde-2	733	18	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	733	19	.	.	PUNCT
ejde-2	734	1	theorem	theorem	VERB
ejde-2	734	2	5.6	5.6	NUM
ejde-2	734	3	.	.	PUNCT
ejde-2	735	1	the	the	DET
ejde-2	735	2	following	follow	VERB
ejde-2	735	3	assertions	assertion	NOUN
ejde-2	735	4	are	be	AUX
ejde-2	735	5	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	735	6	.	.	PUNCT
ejde-2	736	1	(	(	PUNCT
ejde-2	736	2	1	1	X
ejde-2	736	3	)	)	PUNCT
ejde-2	736	4	v	v	ADP
ejde-2	736	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	736	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	736	7	,	,	PUNCT
ejde-2	736	8	b	b	NOUN
ejde-2	736	9	)	)	PUNCT
ejde-2	736	10	,	,	PUNCT
ejde-2	736	11	u(n−1	u(n−1	PROPN
ejde-2	736	12	)	)	PUNCT
ejde-2	736	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	736	14	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	736	15	,	,	PUNCT
ejde-2	736	16	b	b	NOUN
ejde-2	736	17	]	]	PUNCT
ejde-2	736	18	and	and	CCONJ
ejde-2	736	19	u	u	NOUN
ejde-2	736	20	is	be	AUX
ejde-2	736	21	a	a	DET
ejde-2	736	22	solution	solution	NOUN
ejde-2	736	23	of	of	ADP
ejde-2	736	24	(	(	PUNCT
ejde-2	736	25	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	736	26	)	)	PUNCT
ejde-2	736	27	.	.	PUNCT
ejde-2	737	1	(	(	PUNCT
ejde-2	737	2	2	2	X
ejde-2	737	3	)	)	PUNCT
ejde-2	737	4	v	v	NOUN
ejde-2	737	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	737	6	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	737	7	,	,	PUNCT
ejde-2	737	8	b	b	NOUN
ejde-2	737	9	)	)	PUNCT
ejde-2	737	10	and	and	CCONJ
ejde-2	737	11	u	u	NOUN
ejde-2	737	12	is	be	AUX
ejde-2	737	13	a	a	DET
ejde-2	737	14	solution	solution	NOUN
ejde-2	737	15	of	of	ADP
ejde-2	737	16	(	(	PUNCT
ejde-2	737	17	4.3	4.3	NUM
ejde-2	737	18	)	)	PUNCT
ejde-2	737	19	.	.	PUNCT
ejde-2	738	1	(	(	PUNCT
ejde-2	738	2	3	3	X
ejde-2	738	3	)	)	PUNCT
ejde-2	738	4	v	v	ADP
ejde-2	738	5	∈	∈	PROPN
ejde-2	738	6	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	738	7	,	,	PUNCT
ejde-2	738	8	b	b	NOUN
ejde-2	738	9	)	)	PUNCT
ejde-2	738	10	,	,	PUNCT
ejde-2	738	11	i1−αa+	i1−αa+	NOUN
ejde-2	738	12	v(a	v(a	NOUN
ejde-2	738	13	)	)	PUNCT
ejde-2	738	14	=	=	SYM
ejde-2	738	15	0	0	NUM
ejde-2	738	16	,	,	PUNCT
ejde-2	738	17	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	738	18	)	)	PUNCT
ejde-2	738	19	∈	∈	PROPN
ejde-2	738	20	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	738	21	,	,	PUNCT
ejde-2	738	22	b	b	NOUN
ejde-2	738	23	]	]	PUNCT
ejde-2	738	24	and	and	CCONJ
ejde-2	738	25	u	u	NOUN
ejde-2	738	26	is	be	AUX
ejde-2	738	27	a	a	DET
ejde-2	738	28	solution	solution	NOUN
ejde-2	738	29	of	of	ADP
ejde-2	738	30	(	(	PUNCT
ejde-2	738	31	4.3	4.3	NUM
ejde-2	738	32	)	)	PUNCT
ejde-2	738	33	.	.	PUNCT
ejde-2	739	1	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	739	2	linear	linear	ADJ
ejde-2	739	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	739	4	differential	differential	NOUN
ejde-2	739	5	and	and	CCONJ
ejde-2	739	6	integral	integral	ADJ
ejde-2	739	7	equations	equation	NOUN
ejde-2	739	8	19	19	NUM
ejde-2	739	9	(	(	PUNCT
ejde-2	739	10	4	4	NUM
ejde-2	739	11	)	)	PUNCT
ejde-2	739	12	v	v	ADP
ejde-2	739	13	∈	∈	NOUN
ejde-2	739	14	hα	hα	ADP
ejde-2	739	15	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	739	16	,	,	PUNCT
ejde-2	739	17	b	b	X
ejde-2	739	18	)	)	PUNCT
ejde-2	739	19	∩hα	∩hα	NOUN
ejde-2	739	20	0	0	PUNCT
ejde-2	740	1	(	(	PUNCT
ejde-2	740	2	a	a	DET
ejde-2	740	3	,	,	PUNCT
ejde-2	740	4	b	b	NOUN
ejde-2	740	5	)	)	PUNCT
ejde-2	740	6	,	,	PUNCT
ejde-2	740	7	u(n−1	u(n−1	PROPN
ejde-2	740	8	)	)	PUNCT
ejde-2	740	9	∈	∈	PROPN
ejde-2	740	10	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	740	11	,	,	PUNCT
ejde-2	740	12	b	b	NOUN
ejde-2	740	13	]	]	PUNCT
ejde-2	740	14	and	and	CCONJ
ejde-2	740	15	u	u	NOUN
ejde-2	740	16	is	be	AUX
ejde-2	740	17	a	a	DET
ejde-2	740	18	solution	solution	NOUN
ejde-2	740	19	of	of	ADP
ejde-2	740	20	(	(	PUNCT
ejde-2	740	21	4.3	4.3	NUM
ejde-2	740	22	)	)	PUNCT
ejde-2	740	23	.	.	PUNCT
ejde-2	741	1	proof	proof	NOUN
ejde-2	741	2	.	.	PUNCT
ejde-2	742	1	(	(	PUNCT
ejde-2	742	2	1	1	X
ejde-2	742	3	)	)	PUNCT
ejde-2	742	4	implies	imply	VERB
ejde-2	742	5	(	(	PUNCT
ejde-2	742	6	2	2	NUM
ejde-2	742	7	)	)	PUNCT
ejde-2	742	8	.	.	PUNCT
ejde-2	743	1	assume	assume	VERB
ejde-2	743	2	that	that	SCONJ
ejde-2	743	3	(	(	PUNCT
ejde-2	743	4	1	1	X
ejde-2	743	5	)	)	PUNCT
ejde-2	743	6	holds	hold	VERB
ejde-2	743	7	.	.	PUNCT
ejde-2	744	1	it	it	PRON
ejde-2	744	2	follows	follow	VERB
ejde-2	744	3	from	from	ADP
ejde-2	744	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	744	5	5.5(1	5.5(1	NUM
ejde-2	744	6	)	)	PUNCT
ejde-2	744	7	that	that	SCONJ
ejde-2	744	8	(	(	PUNCT
ejde-2	744	9	iαa+(u	iαa+(u	ADV
ejde-2	744	10	−	−	ADP
ejde-2	744	11	pn−1))(n−1	pn−1))(n−1	ADJ
ejde-2	744	12	)	)	PUNCT
ejde-2	744	13	∈	∈	PROPN
ejde-2	744	14	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	744	15	,	,	PUNCT
ejde-2	744	16	b	b	NOUN
ejde-2	744	17	]	]	PUNCT
ejde-2	744	18	and	and	CCONJ
ejde-2	744	19	u	u	NOUN
ejde-2	744	20	is	be	AUX
ejde-2	744	21	a	a	DET
ejde-2	744	22	solution	solution	NOUN
ejde-2	744	23	of	of	ADP
ejde-2	744	24	(	(	PUNCT
ejde-2	744	25	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	744	26	)	)	PUNCT
ejde-2	744	27	.	.	PUNCT
ejde-2	745	1	since	since	SCONJ
ejde-2	745	2	u(n−1	u(n−1	NOUN
ejde-2	745	3	)	)	PUNCT
ejde-2	745	4	∈	∈	PROPN
ejde-2	745	5	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	745	6	,	,	PUNCT
ejde-2	745	7	b	b	NOUN
ejde-2	745	8	]	]	PUNCT
ejde-2	745	9	and	and	CCONJ
ejde-2	745	10	(	(	PUNCT
ejde-2	745	11	5.2	5.2	NUM
ejde-2	745	12	)	)	PUNCT
ejde-2	745	13	holds	hold	NOUN
ejde-2	745	14	,	,	PUNCT
ejde-2	745	15	by	by	ADP
ejde-2	745	16	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	745	17	5.4	5.4	NUM
ejde-2	745	18	(	(	PUNCT
ejde-2	745	19	iv	iv	NOUN
ejde-2	745	20	)	)	PUNCT
ejde-2	745	21	and	and	CCONJ
ejde-2	745	22	(	(	PUNCT
ejde-2	745	23	5.1	5.1	NUM
ejde-2	745	24	)	)	PUNCT
ejde-2	745	25	,	,	PUNCT
ejde-2	745	26	we	we	PRON
ejde-2	745	27	have	have	VERB
ejde-2	745	28	v	v	NOUN
ejde-2	745	29	=	=	SYM
ejde-2	745	30	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	745	31	c	c	NOUN
ejde-2	745	32	,	,	PUNCT
ejde-2	745	33	a+u	a+u	X
ejde-2	746	1	∈	∈	PROPN
ejde-2	747	1	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	747	2	,	,	PUNCT
ejde-2	747	3	b	b	NOUN
ejde-2	747	4	)	)	PUNCT
ejde-2	747	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	747	6	hα	hα	ADP
ejde-2	747	7	b(a	b(a	NOUN
ejde-2	747	8	,	,	PUNCT
ejde-2	747	9	b	b	NOUN
ejde-2	747	10	)	)	PUNCT
ejde-2	747	11	.	.	PUNCT
ejde-2	748	1	by	by	ADP
ejde-2	748	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	748	3	4.7(2	4.7(2	PROPN
ejde-2	748	4	)	)	PUNCT
ejde-2	748	5	,	,	PUNCT
ejde-2	748	6	u	u	NOUN
ejde-2	748	7	is	be	AUX
ejde-2	748	8	a	a	DET
ejde-2	748	9	solution	solution	NOUN
ejde-2	748	10	of	of	ADP
ejde-2	748	11	(	(	PUNCT
ejde-2	748	12	4.3	4.3	NUM
ejde-2	748	13	)	)	PUNCT
ejde-2	748	14	.	.	PUNCT
ejde-2	749	1	(	(	PUNCT
ejde-2	749	2	2	2	X
ejde-2	749	3	)	)	PUNCT
ejde-2	749	4	implies	imply	VERB
ejde-2	749	5	(	(	PUNCT
ejde-2	749	6	3	3	NUM
ejde-2	749	7	)	)	PUNCT
ejde-2	749	8	.	.	PUNCT
ejde-2	750	1	assume	assume	VERB
ejde-2	750	2	that	that	SCONJ
ejde-2	750	3	(	(	PUNCT
ejde-2	750	4	2	2	X
ejde-2	750	5	)	)	PUNCT
ejde-2	750	6	holds	hold	NOUN
ejde-2	750	7	.	.	PUNCT
ejde-2	751	1	by	by	ADP
ejde-2	751	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	751	3	4.3(1	4.3(1	NUM
ejde-2	751	4	)	)	PUNCT
ejde-2	751	5	,	,	PUNCT
ejde-2	751	6	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	751	7	,	,	PUNCT
ejde-2	751	8	b	b	NOUN
ejde-2	751	9	)	)	PUNCT
ejde-2	751	10	⊂	⊂	PROPN
ejde-2	751	11	cα0	cα0	NOUN
ejde-2	751	12	(	(	PUNCT
ejde-2	751	13	a	a	DET
ejde-2	751	14	,	,	PUNCT
ejde-2	751	15	b	b	NOUN
ejde-2	751	16	)	)	PUNCT
ejde-2	751	17	.	.	PUNCT
ejde-2	752	1	this	this	PRON
ejde-2	752	2	with	with	ADP
ejde-2	752	3	(	(	PUNCT
ejde-2	752	4	4	4	X
ejde-2	752	5	)	)	PUNCT
ejde-2	752	6	implying	imply	VERB
ejde-2	752	7	(	(	PUNCT
ejde-2	752	8	1	1	NUM
ejde-2	752	9	)	)	PUNCT
ejde-2	752	10	of	of	ADP
ejde-2	752	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	752	12	4.9	4.9	NUM
ejde-2	752	13	implies	imply	VERB
ejde-2	752	14	the	the	DET
ejde-2	752	15	result	result	NOUN
ejde-2	752	16	(	(	PUNCT
ejde-2	752	17	3	3	NUM
ejde-2	752	18	)	)	PUNCT
ejde-2	752	19	.	.	PUNCT
ejde-2	753	1	(	(	PUNCT
ejde-2	753	2	3	3	X
ejde-2	753	3	)	)	PUNCT
ejde-2	753	4	implies	imply	VERB
ejde-2	753	5	(	(	PUNCT
ejde-2	753	6	1	1	NUM
ejde-2	753	7	)	)	PUNCT
ejde-2	753	8	.	.	PUNCT
ejde-2	754	1	by	by	ADP
ejde-2	754	2	(	(	PUNCT
ejde-2	754	3	1	1	X
ejde-2	754	4	)	)	PUNCT
ejde-2	754	5	implying	imply	VERB
ejde-2	754	6	(	(	PUNCT
ejde-2	754	7	3	3	NUM
ejde-2	754	8	)	)	PUNCT
ejde-2	754	9	of	of	ADP
ejde-2	754	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	754	11	4.9	4.9	NUM
ejde-2	754	12	,	,	PUNCT
ejde-2	754	13	u	u	NOUN
ejde-2	754	14	is	be	AUX
ejde-2	754	15	a	a	DET
ejde-2	754	16	solution	solution	NOUN
ejde-2	754	17	of	of	ADP
ejde-2	754	18	(	(	PUNCT
ejde-2	754	19	4.1)-(5.2	4.1)-(5.2	NUM
ejde-2	754	20	)	)	PUNCT
ejde-2	754	21	.	.	PUNCT
ejde-2	755	1	by	by	ADP
ejde-2	755	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-2	755	3	5.4	5.4	NUM
ejde-2	755	4	(	(	PUNCT
ejde-2	755	5	iii	iii	NOUN
ejde-2	755	6	)	)	PUNCT
ejde-2	755	7	,	,	PUNCT
ejde-2	755	8	u	u	NOUN
ejde-2	755	9	is	be	AUX
ejde-2	755	10	a	a	DET
ejde-2	755	11	solution	solution	NOUN
ejde-2	755	12	of	of	ADP
ejde-2	755	13	(	(	PUNCT
ejde-2	755	14	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	755	15	)	)	PUNCT
ejde-2	755	16	.	.	PUNCT
ejde-2	756	1	(	(	PUNCT
ejde-2	756	2	4	4	NUM
ejde-2	756	3	)	)	PUNCT
ejde-2	756	4	and	and	CCONJ
ejde-2	756	5	(	(	PUNCT
ejde-2	756	6	2	2	NUM
ejde-2	756	7	)	)	PUNCT
ejde-2	756	8	.	.	PUNCT
ejde-2	757	1	by	by	ADP
ejde-2	757	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-2	757	3	4.5(3	4.5(3	NUM
ejde-2	757	4	)	)	PUNCT
ejde-2	757	5	,	,	PUNCT
ejde-2	757	6	we	we	PRON
ejde-2	757	7	see	see	VERB
ejde-2	757	8	that	that	SCONJ
ejde-2	757	9	(	(	PUNCT
ejde-2	757	10	4	4	NUM
ejde-2	757	11	)	)	PUNCT
ejde-2	757	12	and	and	CCONJ
ejde-2	757	13	(	(	PUNCT
ejde-2	757	14	2	2	X
ejde-2	757	15	)	)	PUNCT
ejde-2	757	16	are	be	AUX
ejde-2	757	17	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-2	757	18	.	.	PUNCT
ejde-2	758	1	�	�	PROPN
ejde-2	758	2	theorem	theorem	VERB
ejde-2	758	3	5.7	5.7	NUM
ejde-2	758	4	.	.	PUNCT
ejde-2	759	1	if	if	SCONJ
ejde-2	759	2	u	u	PROPN
ejde-2	759	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	759	4	c[a	c[a	NOUN
ejde-2	759	5	,	,	PUNCT
ejde-2	759	6	b	b	X
ejde-2	759	7	]	]	X
ejde-2	759	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-2	759	9	(	(	PUNCT
ejde-2	759	10	5.2	5.2	NUM
ejde-2	759	11	)	)	PUNCT
ejde-2	759	12	and	and	CCONJ
ejde-2	759	13	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	759	14	)	)	PUNCT
ejde-2	759	15	∈	∈	PROPN
ejde-2	759	16	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	759	17	,	,	PUNCT
ejde-2	759	18	b	b	NOUN
ejde-2	759	19	]	]	X
ejde-2	759	20	,	,	PUNCT
ejde-2	759	21	then	then	ADV
ejde-2	759	22	in−αa+	in−αa+	PROPN
ejde-2	759	23	dn−α	dn−α	PROPN
ejde-2	759	24	c	c	NOUN
ejde-2	759	25	,	,	PUNCT
ejde-2	759	26	a+u(x	a+u(x	X
ejde-2	759	27	)	)	PUNCT
ejde-2	759	28	=	=	SYM
ejde-2	759	29	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-2	759	30	pn−1(x	pn−1(x	NOUN
ejde-2	759	31	)	)	PUNCT
ejde-2	759	32	for	for	ADP
ejde-2	759	33	each	each	DET
ejde-2	759	34	x	x	SYM
ejde-2	759	35	∈	∈	PROPN
ejde-2	759	36	[	[	X
ejde-2	759	37	a	a	X
ejde-2	759	38	,	,	PUNCT
ejde-2	759	39	b	b	NOUN
ejde-2	759	40	]	]	X
ejde-2	759	41	.	.	PUNCT
ejde-2	760	1	(	(	PUNCT
ejde-2	760	2	5.11	5.11	NUM
ejde-2	760	3	)	)	PUNCT
ejde-2	760	4	proof	proof	NOUN
ejde-2	760	5	.	.	PUNCT
ejde-2	761	1	let	let	VERB
ejde-2	761	2	v(x	v(x	NOUN
ejde-2	761	3	)	)	PUNCT
ejde-2	762	1	=	=	SYM
ejde-2	762	2	dn−α	dn−α	NOUN
ejde-2	762	3	c	c	NOUN
ejde-2	762	4	,	,	PUNCT
ejde-2	762	5	a+u(x	a+u(x	NUM
ejde-2	762	6	)	)	PUNCT
ejde-2	762	7	for	for	ADP
ejde-2	762	8	a.e	a.e	PROPN
ejde-2	762	9	.	.	PUNCT
ejde-2	762	10	x	x	SYM
ejde-2	762	11	∈	∈	PROPN
ejde-2	763	1	[	[	X
ejde-2	763	2	a	a	X
ejde-2	763	3	,	,	PUNCT
ejde-2	763	4	b	b	NOUN
ejde-2	763	5	]	]	X
ejde-2	763	6	.	.	PUNCT
ejde-2	764	1	then	then	ADV
ejde-2	764	2	v	v	X
ejde-2	764	3	∈	∈	PROPN
ejde-2	764	4	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	764	5	,	,	PUNCT
ejde-2	764	6	b	b	NOUN
ejde-2	764	7	)	)	PUNCT
ejde-2	764	8	.	.	PUNCT
ejde-2	765	1	by	by	ADP
ejde-2	765	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-2	765	3	,	,	PUNCT
ejde-2	765	4	u(n−1	u(n−1	ADJ
ejde-2	765	5	)	)	PUNCT
ejde-2	765	6	∈	∈	PROPN
ejde-2	765	7	ac[a	ac[a	PROPN
ejde-2	765	8	,	,	PUNCT
ejde-2	765	9	b	b	NOUN
ejde-2	765	10	]	]	PUNCT
ejde-2	765	11	and	and	CCONJ
ejde-2	765	12	u	u	NOUN
ejde-2	765	13	is	be	AUX
ejde-2	765	14	a	a	DET
ejde-2	765	15	solution	solution	NOUN
ejde-2	765	16	of	of	ADP
ejde-2	765	17	(	(	PUNCT
ejde-2	765	18	5.1)-(5.2	5.1)-(5.2	NOUN
ejde-2	765	19	)	)	PUNCT
ejde-2	765	20	.	.	PUNCT
ejde-2	766	1	by	by	ADP
ejde-2	766	2	(	(	PUNCT
ejde-2	766	3	1	1	X
ejde-2	766	4	)	)	PUNCT
ejde-2	766	5	implying	imply	VERB
ejde-2	766	6	(	(	PUNCT
ejde-2	766	7	2	2	NUM
ejde-2	766	8	)	)	PUNCT
ejde-2	766	9	of	of	ADP
ejde-2	766	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	766	11	5.6	5.6	NUM
ejde-2	766	12	,	,	PUNCT
ejde-2	766	13	v	v	NOUN
ejde-2	766	14	∈	∈	PROPN
ejde-2	766	15	rα(a	rα(a	NOUN
ejde-2	766	16	,	,	PUNCT
ejde-2	766	17	b	b	NOUN
ejde-2	766	18	)	)	PUNCT
ejde-2	766	19	and	and	CCONJ
ejde-2	766	20	u	u	NOUN
ejde-2	766	21	is	be	AUX
ejde-2	766	22	a	a	DET
ejde-2	766	23	solution	solution	NOUN
ejde-2	766	24	of	of	ADP
ejde-2	766	25	(	(	PUNCT
ejde-2	766	26	4.3	4.3	NUM
ejde-2	766	27	)	)	PUNCT
ejde-2	766	28	.	.	PUNCT
ejde-2	767	1	substituting	substitute	VERB
ejde-2	767	2	v	v	NOUN
ejde-2	767	3	in	in	ADP
ejde-2	767	4	(	(	PUNCT
ejde-2	767	5	5.1	5.1	NUM
ejde-2	767	6	)	)	PUNCT
ejde-2	767	7	into	into	ADP
ejde-2	767	8	(	(	PUNCT
ejde-2	767	9	4.3	4.3	NUM
ejde-2	767	10	)	)	PUNCT
ejde-2	767	11	implies	imply	VERB
ejde-2	767	12	(	(	PUNCT
ejde-2	767	13	5.11	5.11	NUM
ejde-2	767	14	)	)	PUNCT
ejde-2	767	15	.	.	PUNCT
ejde-2	768	1	�	�	PROPN
ejde-2	768	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-2	768	3	.	.	PUNCT
ejde-2	769	1	the	the	DET
ejde-2	769	2	author	author	NOUN
ejde-2	769	3	was	be	AUX
ejde-2	769	4	supported	support	VERB
ejde-2	769	5	in	in	ADP
ejde-2	769	6	part	part	NOUN
ejde-2	769	7	by	by	ADP
ejde-2	769	8	the	the	DET
ejde-2	769	9	natural	natural	ADJ
ejde-2	769	10	sciences	sciences	PROPN
ejde-2	769	11	and	and	CCONJ
ejde-2	769	12	engineering	engineering	NOUN
ejde-2	769	13	research	research	NOUN
ejde-2	769	14	council	council	PROPN
ejde-2	769	15	of	of	ADP
ejde-2	769	16	canada	canada	PROPN
ejde-2	769	17	under	under	ADP
ejde-2	769	18	grant	grant	PROPN
ejde-2	769	19	no	no	PRON
ejde-2	769	20	.	.	NOUN
ejde-2	769	21	135752	135752	NUM
ejde-2	769	22	-	-	SYM
ejde-2	769	23	2018	2018	NUM
ejde-2	769	24	.	.	PUNCT
ejde-2	770	1	references	reference	NOUN
ejde-2	770	2	[	[	X
ejde-2	770	3	1	1	NUM
ejde-2	770	4	]	]	X
ejde-2	770	5	i.	i.	PROPN
ejde-2	770	6	bachar	bachar	PROPN
ejde-2	770	7	,	,	PUNCT
ejde-2	770	8	h.	h.	PROPN
ejde-2	770	9	maagle	maagle	PROPN
ejde-2	770	10	,	,	PUNCT
ejde-2	770	11	v.	v.	PROPN
ejde-2	770	12	d.	d.	PROPN
ejde-2	770	13	radulescu	radulescu	PROPN
ejde-2	770	14	;	;	PUNCT
ejde-2	770	15	positive	positive	ADJ
ejde-2	770	16	solutions	solution	NOUN
ejde-2	770	17	for	for	ADP
ejde-2	770	18	superlinear	superlinear	ADJ
ejde-2	770	19	riemann	riemann	PROPN
ejde-2	770	20	-	-	PUNCT
ejde-2	770	21	liouville	liouville	VERB
ejde-2	770	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	770	23	boundary	boundary	ADJ
ejde-2	770	24	-	-	PUNCT
ejde-2	770	25	value	value	NOUN
ejde-2	770	26	problems	problem	NOUN
ejde-2	770	27	,	,	PUNCT
ejde-2	770	28	electr	electr	PROPN
ejde-2	770	29	.	.	PUNCT
ejde-2	771	1	j.	j.	PROPN
ejde-2	771	2	differ	differ	VERB
ejde-2	771	3	.	.	PUNCT
ejde-2	772	1	equ	equ	PROPN
ejde-2	772	2	.	.	PROPN
ejde-2	772	3	,	,	PUNCT
ejde-2	772	4	(	(	PUNCT
ejde-2	772	5	2017	2017	NUM
ejde-2	772	6	)	)	PUNCT
ejde-2	772	7	,	,	PUNCT
ejde-2	772	8	no	no	INTJ
ejde-2	772	9	.	.	NOUN
ejde-2	772	10	240	240	NUM
ejde-2	772	11	,	,	PUNCT
ejde-2	772	12	1	1	NUM
ejde-2	772	13	-	-	SYM
ejde-2	772	14	16	16	NUM
ejde-2	772	15	.	.	PUNCT
ejde-2	773	1	[	[	X
ejde-2	773	2	2	2	NUM
ejde-2	773	3	]	]	PUNCT
ejde-2	773	4	l.	l.	PROPN
ejde-2	773	5	c.	c.	PROPN
ejde-2	773	6	becker	becker	PROPN
ejde-2	773	7	,	,	PUNCT
ejde-2	773	8	t.	t.	PROPN
ejde-2	773	9	a.	a.	PROPN
ejde-2	773	10	burton	burton	PROPN
ejde-2	773	11	,	,	PUNCT
ejde-2	773	12	i.	i.	PROPN
ejde-2	773	13	k.	k.	PROPN
ejde-2	773	14	purnaras	purnaras	PROPN
ejde-2	773	15	;	;	PUNCT
ejde-2	773	16	integral	integral	ADJ
ejde-2	773	17	and	and	CCONJ
ejde-2	773	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	773	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	773	20	,	,	PUNCT
ejde-2	773	21	positive	positive	ADJ
ejde-2	773	22	solutions	solution	NOUN
ejde-2	773	23	,	,	PUNCT
ejde-2	773	24	and	and	CCONJ
ejde-2	773	25	schaefer	schaefer	PROPN
ejde-2	773	26	’s	’s	PART
ejde-2	773	27	fixed	fix	VERB
ejde-2	773	28	point	point	NOUN
ejde-2	773	29	theorem	theorem	ADJ
ejde-2	773	30	,	,	PUNCT
ejde-2	773	31	opuscula	opuscula	NOUN
ejde-2	773	32	math	math	NOUN
ejde-2	773	33	.	.	PUNCT
ejde-2	774	1	36	36	NUM
ejde-2	774	2	(	(	PUNCT
ejde-2	774	3	2016	2016	NUM
ejde-2	774	4	)	)	PUNCT
ejde-2	774	5	,	,	PUNCT
ejde-2	774	6	431	431	NUM
ejde-2	774	7	-	-	SYM
ejde-2	774	8	458	458	NUM
ejde-2	774	9	.	.	PUNCT
ejde-2	775	1	[	[	X
ejde-2	775	2	3	3	X
ejde-2	775	3	]	]	PUNCT
ejde-2	775	4	l.	l.	PROPN
ejde-2	775	5	blank	blank	PROPN
ejde-2	775	6	;	;	PUNCT
ejde-2	775	7	numerical	numerical	ADJ
ejde-2	775	8	treatment	treatment	NOUN
ejde-2	775	9	of	of	ADP
ejde-2	775	10	differential	differential	ADJ
ejde-2	775	11	equaitons	equaiton	NOUN
ejde-2	775	12	of	of	ADP
ejde-2	775	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	775	14	order	order	NOUN
ejde-2	775	15	,	,	PUNCT
ejde-2	775	16	numerical	numerical	ADJ
ejde-2	775	17	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	775	18	report	report	NOUN
ejde-2	775	19	287	287	NUM
ejde-2	775	20	.	.	PUNCT
ejde-2	776	1	manchester	manchester	PROPN
ejde-2	776	2	centre	centre	PROPN
ejde-2	776	3	for	for	ADP
ejde-2	776	4	computational	computational	ADJ
ejde-2	776	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-2	776	6	,	,	PUNCT
ejde-2	776	7	1996	1996	NUM
ejde-2	776	8	.	.	PUNCT
ejde-2	777	1	[	[	X
ejde-2	777	2	4	4	NUM
ejde-2	777	3	]	]	PUNCT
ejde-2	777	4	m.	m.	NOUN
ejde-2	777	5	cichon	cichon	PROPN
ejde-2	777	6	,	,	PUNCT
ejde-2	777	7	h.	h.	PROPN
ejde-2	777	8	a.	a.	PROPN
ejde-2	777	9	h.	h.	PROPN
ejde-2	777	10	salem	salem	PROPN
ejde-2	777	11	;	;	PUNCT
ejde-2	777	12	on	on	ADP
ejde-2	777	13	the	the	DET
ejde-2	777	14	lack	lack	NOUN
ejde-2	777	15	of	of	ADP
ejde-2	777	16	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	777	17	between	between	ADP
ejde-2	777	18	differential	differential	ADJ
ejde-2	777	19	and	and	CCONJ
ejde-2	777	20	integral	integral	ADJ
ejde-2	777	21	forms	form	NOUN
ejde-2	777	22	of	of	ADP
ejde-2	777	23	the	the	DET
ejde-2	777	24	caputo	caputo	NOUN
ejde-2	777	25	-	-	PUNCT
ejde-2	777	26	type	type	NOUN
ejde-2	777	27	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	777	28	problems	problem	NOUN
ejde-2	777	29	,	,	PUNCT
ejde-2	777	30	j.	j.	PROPN
ejde-2	777	31	pseudo	pseudo	NOUN
ejde-2	777	32	-	-	PUNCT
ejde-2	777	33	differ	differ	VERB
ejde-2	777	34	.	.	PUNCT
ejde-2	778	1	oper	oper	PROPN
ejde-2	778	2	.	.	PUNCT
ejde-2	778	3	appl	appl	PROPN
ejde-2	778	4	.	.	PROPN
ejde-2	778	5	,	,	PUNCT
ejde-2	778	6	11	11	NUM
ejde-2	778	7	(	(	PUNCT
ejde-2	778	8	2020	2020	NUM
ejde-2	778	9	)	)	PUNCT
ejde-2	778	10	,	,	PUNCT
ejde-2	778	11	1869	1869	NUM
ejde-2	778	12	-	-	SYM
ejde-2	778	13	1895	1895	NUM
ejde-2	778	14	.	.	PUNCT
ejde-2	779	1	[	[	X
ejde-2	779	2	5	5	NUM
ejde-2	779	3	]	]	PUNCT
ejde-2	779	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	779	5	diethelm	diethelm	PROPN
ejde-2	779	6	;	;	PUNCT
ejde-2	779	7	the	the	DET
ejde-2	779	8	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	779	9	of	of	ADP
ejde-2	779	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	779	11	differential	differential	ADJ
ejde-2	779	12	equations	equation	NOUN
ejde-2	779	13	.	.	PUNCT
ejde-2	780	1	an	an	DET
ejde-2	780	2	application	application	NOUN
ejde-2	780	3	-	-	PUNCT
ejde-2	780	4	oriented	orient	VERB
ejde-2	780	5	exposition	exposition	NOUN
ejde-2	780	6	using	use	VERB
ejde-2	780	7	differential	differential	ADJ
ejde-2	780	8	operators	operator	NOUN
ejde-2	780	9	of	of	ADP
ejde-2	780	10	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	780	11	type	type	PROPN
ejde-2	780	12	.	.	PUNCT
ejde-2	781	1	lecture	lecture	NOUN
ejde-2	781	2	notes	note	NOUN
ejde-2	781	3	in	in	ADP
ejde-2	781	4	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-2	781	5	,	,	PUNCT
ejde-2	781	6	no	no	INTJ
ejde-2	781	7	.	.	NOUN
ejde-2	781	8	2004	2004	NUM
ejde-2	781	9	.	.	PUNCT
ejde-2	782	1	springer	springer	NOUN
ejde-2	782	2	-	-	PUNCT
ejde-2	782	3	verlag	verlag	PROPN
ejde-2	782	4	,	,	PUNCT
ejde-2	782	5	berlin	berlin	PROPN
ejde-2	782	6	,	,	PUNCT
ejde-2	782	7	2010	2010	NUM
ejde-2	782	8	.	.	PUNCT
ejde-2	783	1	[	[	X
ejde-2	783	2	6	6	NUM
ejde-2	783	3	]	]	PUNCT
ejde-2	783	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	783	5	diethelm	diethelm	PROPN
ejde-2	783	6	;	;	PUNCT
ejde-2	783	7	erratum	erratum	PROPN
ejde-2	783	8	:	:	PUNCT
ejde-2	783	9	the	the	DET
ejde-2	783	10	mean	mean	ADJ
ejde-2	783	11	value	value	NOUN
ejde-2	783	12	theorems	theorem	NOUN
ejde-2	783	13	and	and	CCONJ
ejde-2	783	14	a	a	DET
ejde-2	783	15	nagumo	nagumo	ADJ
ejde-2	783	16	-	-	PUNCT
ejde-2	783	17	type	type	NOUN
ejde-2	783	18	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-2	783	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-2	783	20	for	for	ADP
ejde-2	783	21	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	783	22	’s	’s	PART
ejde-2	783	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	783	24	calculus	calculus	NOUN
ejde-2	783	25	(	(	PUNCT
ejde-2	783	26	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	783	27	calculus	calculus	NOUN
ejde-2	783	28	and	and	CCONJ
ejde-2	783	29	applied	apply	VERB
ejde-2	783	30	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	783	31	(	(	PUNCT
ejde-2	783	32	2012	2012	NUM
ejde-2	783	33	)	)	PUNCT
ejde-2	783	34	15:2	15:2	NUM
ejde-2	783	35	(	(	PUNCT
ejde-2	783	36	304	304	NUM
ejde-2	783	37	-	-	SYM
ejde-2	783	38	313	313	NUM
ejde-2	783	39	)	)	PUNCT
ejde-2	783	40	doi	doi	NOUN
ejde-2	783	41	:	:	PUNCT
ejde-2	783	42	10.2478	10.2478	NUM
ejde-2	783	43	/	/	SYM
ejde-2	783	44	s13540	s13540	PROPN
ejde-2	783	45	-	-	PUNCT
ejde-2	783	46	012	012	NUM
ejde-2	783	47	-	-	PUNCT
ejde-2	783	48	0022	0022	NUM
ejde-2	783	49	-	-	PUNCT
ejde-2	783	50	3	3	NUM
ejde-2	783	51	)	)	PUNCT
ejde-2	783	52	j.	j.	PROPN
ejde-2	783	53	fract	fract	PROPN
ejde-2	783	54	.	.	PUNCT
ejde-2	784	1	calc	calc	PROPN
ejde-2	784	2	.	.	PUNCT
ejde-2	785	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	785	2	.	.	PROPN
ejde-2	785	3	,	,	PUNCT
ejde-2	785	4	20	20	NUM
ejde-2	785	5	(	(	PUNCT
ejde-2	785	6	2017	2017	NUM
ejde-2	785	7	)	)	PUNCT
ejde-2	785	8	(	(	PUNCT
ejde-2	785	9	6	6	NUM
ejde-2	785	10	)	)	PUNCT
ejde-2	785	11	,	,	PUNCT
ejde-2	785	12	1567	1567	NUM
ejde-2	785	13	-	-	SYM
ejde-2	785	14	1577	1577	NUM
ejde-2	785	15	.	.	PUNCT
ejde-2	786	1	[	[	X
ejde-2	786	2	7	7	X
ejde-2	786	3	]	]	PUNCT
ejde-2	786	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	786	5	diethelm	diethelm	PROPN
ejde-2	786	6	,	,	PUNCT
ejde-2	786	7	n.	n.	PROPN
ejde-2	786	8	j.	j.	PROPN
ejde-2	786	9	ford	ford	PROPN
ejde-2	786	10	;	;	PUNCT
ejde-2	786	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	786	12	of	of	ADP
ejde-2	786	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	786	14	differential	differential	ADJ
ejde-2	786	15	equations	equation	NOUN
ejde-2	786	16	,	,	PUNCT
ejde-2	786	17	j.	j.	PROPN
ejde-2	786	18	math	math	PROPN
ejde-2	786	19	.	.	PUNCT
ejde-2	787	1	anal	anal	PROPN
ejde-2	787	2	.	.	PUNCT
ejde-2	788	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	788	2	.	.	PROPN
ejde-2	788	3	,	,	PUNCT
ejde-2	788	4	265	265	NUM
ejde-2	788	5	(	(	PUNCT
ejde-2	788	6	2002	2002	NUM
ejde-2	788	7	)	)	PUNCT
ejde-2	788	8	,	,	PUNCT
ejde-2	788	9	229	229	NUM
ejde-2	788	10	-	-	SYM
ejde-2	788	11	248	248	NUM
ejde-2	788	12	.	.	PUNCT
ejde-2	789	1	[	[	X
ejde-2	789	2	8	8	NUM
ejde-2	789	3	]	]	PUNCT
ejde-2	789	4	p.	p.	NOUN
ejde-2	789	5	w.	w.	PROPN
ejde-2	789	6	eloe	eloe	PROPN
ejde-2	789	7	,	,	PUNCT
ejde-2	789	8	t.	t.	PROPN
ejde-2	789	9	masthay	masthay	PROPN
ejde-2	789	10	;	;	PUNCT
ejde-2	789	11	initial	initial	ADJ
ejde-2	789	12	value	value	NOUN
ejde-2	789	13	problems	problem	NOUN
ejde-2	789	14	for	for	ADP
ejde-2	789	15	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	789	16	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	789	17	differential	differential	PROPN
ejde-2	789	18	equations	equation	NOUN
ejde-2	789	19	,	,	PUNCT
ejde-2	789	20	j.	j.	PROPN
ejde-2	789	21	fract	fract	PROPN
ejde-2	789	22	.	.	PUNCT
ejde-2	790	1	calc	calc	PROPN
ejde-2	790	2	.	.	PUNCT
ejde-2	791	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	791	2	.	.	PROPN
ejde-2	791	3	,	,	PUNCT
ejde-2	791	4	9	9	NUM
ejde-2	791	5	(	(	PUNCT
ejde-2	791	6	2018	2018	NUM
ejde-2	791	7	)	)	PUNCT
ejde-2	791	8	,	,	PUNCT
ejde-2	791	9	178	178	NUM
ejde-2	791	10	-	-	SYM
ejde-2	791	11	195	195	NUM
ejde-2	791	12	.	.	PUNCT
ejde-2	792	1	[	[	X
ejde-2	792	2	9	9	NUM
ejde-2	792	3	]	]	PUNCT
ejde-2	792	4	c.	c.	PROPN
ejde-2	792	5	s.	s.	PROPN
ejde-2	792	6	goodrich	goodrich	PROPN
ejde-2	792	7	;	;	PUNCT
ejde-2	792	8	existence	existence	NOUN
ejde-2	792	9	of	of	ADP
ejde-2	792	10	a	a	DET
ejde-2	792	11	positive	positive	ADJ
ejde-2	792	12	solution	solution	NOUN
ejde-2	792	13	to	to	ADP
ejde-2	792	14	a	a	DET
ejde-2	792	15	class	class	NOUN
ejde-2	792	16	of	of	ADP
ejde-2	792	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	792	18	differential	differential	ADJ
ejde-2	792	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	792	20	,	,	PUNCT
ejde-2	792	21	appl	appl	PROPN
ejde-2	792	22	.	.	PROPN
ejde-2	792	23	math	math	PROPN
ejde-2	792	24	.	.	PUNCT
ejde-2	793	1	lett	lett	PROPN
ejde-2	793	2	.	.	PROPN
ejde-2	793	3	,	,	PUNCT
ejde-2	793	4	23	23	NUM
ejde-2	793	5	(	(	PUNCT
ejde-2	793	6	2010	2010	NUM
ejde-2	793	7	)	)	PUNCT
ejde-2	793	8	,	,	PUNCT
ejde-2	793	9	1050	1050	NUM
ejde-2	793	10	-	-	SYM
ejde-2	793	11	1055	1055	NUM
ejde-2	793	12	.	.	PUNCT
ejde-2	794	1	[	[	X
ejde-2	794	2	10	10	NUM
ejde-2	794	3	]	]	X
ejde-2	794	4	r.	r.	PROPN
ejde-2	794	5	gorenflo	gorenflo	PROPN
ejde-2	794	6	,	,	PUNCT
ejde-2	794	7	r.	r.	PROPN
ejde-2	794	8	rutman	rutman	NOUN
ejde-2	794	9	;	;	PUNCT
ejde-2	794	10	on	on	ADP
ejde-2	794	11	ultraslow	ultraslow	ADJ
ejde-2	794	12	and	and	CCONJ
ejde-2	794	13	intermediate	intermediate	ADJ
ejde-2	794	14	processes	process	NOUN
ejde-2	794	15	,	,	PUNCT
ejde-2	794	16	in	in	ADP
ejde-2	794	17	transform	transform	NOUN
ejde-2	794	18	methods	method	NOUN
ejde-2	794	19	and	and	CCONJ
ejde-2	794	20	special	special	ADJ
ejde-2	794	21	functions	function	NOUN
ejde-2	794	22	,	,	PUNCT
ejde-2	794	23	sofia	sofia	PROPN
ejde-2	794	24	1994	1994	NUM
ejde-2	794	25	(	(	PUNCT
ejde-2	794	26	p.	p.	NOUN
ejde-2	794	27	rusev	rusev	PROPN
ejde-2	794	28	,	,	PUNCT
ejde-2	794	29	i.	i.	PROPN
ejde-2	794	30	dimovski	dimovski	PROPN
ejde-2	794	31	,	,	PUNCT
ejde-2	794	32	and	and	CCONJ
ejde-2	794	33	v.	v.	ADP
ejde-2	794	34	kiryakova	kiryakova	PROPN
ejde-2	794	35	,	,	PUNCT
ejde-2	794	36	eds	ed	NOUN
ejde-2	794	37	.	.	PUNCT
ejde-2	794	38	)	)	PUNCT
ejde-2	794	39	,	,	PUNCT
ejde-2	795	1	pp	pp	ADP
ejde-2	795	2	.	.	PUNCT
ejde-2	796	1	61	61	NUM
ejde-2	796	2	-	-	SYM
ejde-2	796	3	81	81	NUM
ejde-2	796	4	,	,	PUNCT
ejde-2	796	5	science	science	NOUN
ejde-2	796	6	culture	culture	NOUN
ejde-2	796	7	technology	technology	PROPN
ejde-2	796	8	,	,	PUNCT
ejde-2	796	9	singapore	singapore	PROPN
ejde-2	796	10	,	,	PUNCT
ejde-2	796	11	1995	1995	NUM
ejde-2	796	12	.	.	PUNCT
ejde-2	797	1	[	[	X
ejde-2	797	2	11	11	NUM
ejde-2	797	3	]	]	X
ejde-2	797	4	g.	g.	PROPN
ejde-2	797	5	h.	h.	PROPN
ejde-2	797	6	hardy	hardy	PROPN
ejde-2	797	7	,	,	PUNCT
ejde-2	797	8	j.	j.	PROPN
ejde-2	797	9	e.	e.	PROPN
ejde-2	797	10	littlewood	littlewood	PROPN
ejde-2	797	11	;	;	PUNCT
ejde-2	797	12	some	some	DET
ejde-2	797	13	properties	property	NOUN
ejde-2	797	14	of	of	ADP
ejde-2	797	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	797	16	integrals	integral	NOUN
ejde-2	797	17	,	,	PUNCT
ejde-2	797	18	i.	i.	PROPN
ejde-2	797	19	math	math	PROPN
ejde-2	797	20	.	.	PUNCT
ejde-2	798	1	z.	z.	PROPN
ejde-2	798	2	27	27	NUM
ejde-2	798	3	,	,	PUNCT
ejde-2	798	4	(	(	PUNCT
ejde-2	798	5	1928	1928	NUM
ejde-2	798	6	)	)	PUNCT
ejde-2	798	7	(	(	PUNCT
ejde-2	798	8	4	4	NUM
ejde-2	798	9	)	)	PUNCT
ejde-2	798	10	,	,	PUNCT
ejde-2	798	11	565	565	NUM
ejde-2	798	12	-	-	SYM
ejde-2	798	13	606	606	NUM
ejde-2	798	14	.	.	PUNCT
ejde-2	799	1	[	[	X
ejde-2	799	2	12	12	NUM
ejde-2	799	3	]	]	PUNCT
ejde-2	799	4	a.	a.	NOUN
ejde-2	799	5	a.	a.	NOUN
ejde-2	799	6	kilbas	kilbas	PROPN
ejde-2	799	7	,	,	PUNCT
ejde-2	799	8	b.	b.	PROPN
ejde-2	799	9	bonilla	bonilla	PROPN
ejde-2	799	10	,	,	PUNCT
ejde-2	799	11	j.	j.	PROPN
ejde-2	799	12	j.	j.	PROPN
ejde-2	799	13	trujillo	trujillo	PROPN
ejde-2	799	14	;	;	PUNCT
ejde-2	799	15	existence	existence	NOUN
ejde-2	799	16	and	and	CCONJ
ejde-2	799	17	uniqueness	uniqueness	ADJ
ejde-2	799	18	theorems	theorem	NOUN
ejde-2	799	19	for	for	ADP
ejde-2	799	20	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	799	21	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	799	22	differential	differential	NOUN
ejde-2	799	23	equations	equation	NOUN
ejde-2	799	24	,	,	PUNCT
ejde-2	799	25	demonstratio	demonstratio	PROPN
ejde-2	799	26	math	math	PROPN
ejde-2	799	27	.	.	PUNCT
ejde-2	799	28	,	,	PUNCT
ejde-2	799	29	33	33	NUM
ejde-2	799	30	(	(	PUNCT
ejde-2	799	31	2000	2000	NUM
ejde-2	799	32	)	)	PUNCT
ejde-2	799	33	(	(	PUNCT
ejde-2	799	34	3	3	NUM
ejde-2	799	35	)	)	PUNCT
ejde-2	799	36	,	,	PUNCT
ejde-2	799	37	583	583	NUM
ejde-2	799	38	-	-	SYM
ejde-2	799	39	602	602	NUM
ejde-2	799	40	.	.	X
ejde-2	800	1	20	20	NUM
ejde-2	800	2	k.	k.	PROPN
ejde-2	800	3	lan	lan	PROPN
ejde-2	800	4	ejde-2023/01	ejde-2023/01	PROPN
ejde-2	801	1	[	[	X
ejde-2	801	2	13	13	NUM
ejde-2	801	3	]	]	PUNCT
ejde-2	801	4	a.	a.	NOUN
ejde-2	801	5	a.	a.	NOUN
ejde-2	801	6	kilbas	kilbas	PROPN
ejde-2	801	7	,	,	PUNCT
ejde-2	801	8	s.	s.	PROPN
ejde-2	801	9	a.	a.	PROPN
ejde-2	801	10	marzan	marzan	PROPN
ejde-2	801	11	;	;	PUNCT
ejde-2	801	12	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-2	801	13	problem	problem	NOUN
ejde-2	801	14	for	for	ADP
ejde-2	801	15	differential	differential	ADJ
ejde-2	801	16	equation	equation	NOUN
ejde-2	801	17	with	with	ADP
ejde-2	801	18	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	801	19	derivative	derivative	PROPN
ejde-2	801	20	,	,	PUNCT
ejde-2	801	21	fract	fract	NOUN
ejde-2	801	22	.	.	PUNCT
ejde-2	802	1	calc	calc	PROPN
ejde-2	802	2	.	.	PUNCT
ejde-2	803	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	803	2	.	.	PUNCT
ejde-2	804	1	anal	anal	PROPN
ejde-2	804	2	.	.	PROPN
ejde-2	804	3	,	,	PUNCT
ejde-2	804	4	7	7	NUM
ejde-2	804	5	(	(	PUNCT
ejde-2	804	6	2004	2004	NUM
ejde-2	804	7	)	)	PUNCT
ejde-2	804	8	(	(	PUNCT
ejde-2	804	9	3	3	NUM
ejde-2	804	10	)	)	PUNCT
ejde-2	804	11	,	,	PUNCT
ejde-2	804	12	297	297	NUM
ejde-2	804	13	-	-	SYM
ejde-2	804	14	321	321	NUM
ejde-2	804	15	.	.	PUNCT
ejde-2	805	1	[	[	X
ejde-2	805	2	14	14	NUM
ejde-2	805	3	]	]	PUNCT
ejde-2	805	4	a.	a.	NOUN
ejde-2	805	5	a.	a.	NOUN
ejde-2	805	6	kilbas	kilbas	PROPN
ejde-2	805	7	,	,	PUNCT
ejde-2	805	8	s.	s.	PROPN
ejde-2	805	9	a.	a.	PROPN
ejde-2	805	10	marzan	marzan	PROPN
ejde-2	805	11	;	;	PUNCT
ejde-2	805	12	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	805	13	differential	differential	ADJ
ejde-2	805	14	equations	equation	NOUN
ejde-2	805	15	with	with	ADP
ejde-2	805	16	the	the	DET
ejde-2	805	17	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	805	18	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	805	19	derivative	derivative	NOUN
ejde-2	805	20	in	in	ADP
ejde-2	805	21	the	the	DET
ejde-2	805	22	space	space	NOUN
ejde-2	805	23	of	of	ADP
ejde-2	805	24	continuously	continuously	ADV
ejde-2	805	25	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-2	805	26	functions	function	NOUN
ejde-2	805	27	,	,	PUNCT
ejde-2	805	28	differential	differential	ADJ
ejde-2	805	29	equations	equation	NOUN
ejde-2	805	30	41	41	NUM
ejde-2	805	31	(	(	PUNCT
ejde-2	805	32	2005	2005	NUM
ejde-2	805	33	)	)	PUNCT
ejde-2	805	34	(	(	PUNCT
ejde-2	805	35	1	1	NUM
ejde-2	805	36	)	)	PUNCT
ejde-2	805	37	,	,	PUNCT
ejde-2	805	38	84	84	NUM
ejde-2	805	39	-	-	SYM
ejde-2	805	40	89	89	NUM
ejde-2	805	41	.	.	PUNCT
ejde-2	806	1	[	[	X
ejde-2	806	2	15	15	NUM
ejde-2	806	3	]	]	X
ejde-2	806	4	a.	a.	NOUN
ejde-2	806	5	a.	a.	NOUN
ejde-2	806	6	kilbas	kilbas	PROPN
ejde-2	806	7	,	,	PUNCT
ejde-2	806	8	h.	h.	PROPN
ejde-2	806	9	m.	m.	PROPN
ejde-2	806	10	srivastava	srivastava	PROPN
ejde-2	806	11	,	,	PUNCT
ejde-2	806	12	j.	j.	PROPN
ejde-2	806	13	j.	j.	PROPN
ejde-2	806	14	trujillo	trujillo	PROPN
ejde-2	806	15	;	;	PUNCT
ejde-2	806	16	theory	theory	NOUN
ejde-2	806	17	and	and	CCONJ
ejde-2	806	18	applications	application	NOUN
ejde-2	806	19	of	of	ADP
ejde-2	806	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	806	21	differential	differential	ADJ
ejde-2	806	22	equations	equation	NOUN
ejde-2	806	23	,	,	PUNCT
ejde-2	806	24	north	north	NOUN
ejde-2	806	25	-	-	PUNCT
ejde-2	806	26	holland	holland	PROPN
ejde-2	806	27	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-2	806	28	studies	study	NOUN
ejde-2	806	29	,	,	PUNCT
ejde-2	806	30	vol	vol	NOUN
ejde-2	806	31	.	.	PROPN
ejde-2	806	32	204	204	NUM
ejde-2	806	33	,	,	PUNCT
ejde-2	806	34	elsevier	elsevier	PROPN
ejde-2	806	35	science	science	PROPN
ejde-2	806	36	b.v	b.v	PROPN
ejde-2	806	37	.	.	PROPN
ejde-2	806	38	,	,	PUNCT
ejde-2	806	39	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-2	806	40	,	,	PUNCT
ejde-2	806	41	2006	2006	NUM
ejde-2	806	42	.	.	PUNCT
ejde-2	807	1	[	[	X
ejde-2	807	2	16	16	NUM
ejde-2	807	3	]	]	X
ejde-2	807	4	n.	n.	PROPN
ejde-2	807	5	kosmatov	kosmatov	PROPN
ejde-2	807	6	,	,	PUNCT
ejde-2	807	7	integral	integral	ADJ
ejde-2	807	8	equations	equation	NOUN
ejde-2	807	9	and	and	CCONJ
ejde-2	807	10	initial	initial	ADJ
ejde-2	807	11	value	value	NOUN
ejde-2	807	12	problems	problem	NOUN
ejde-2	807	13	for	for	ADP
ejde-2	807	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	807	15	differential	differential	ADJ
ejde-2	807	16	equations	equation	NOUN
ejde-2	807	17	of	of	ADP
ejde-2	807	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	807	19	order	order	NOUN
ejde-2	807	20	,	,	PUNCT
ejde-2	807	21	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	807	22	anal	anal	NOUN
ejde-2	807	23	.	.	PUNCT
ejde-2	807	24	,	,	PUNCT
ejde-2	807	25	70	70	NUM
ejde-2	807	26	(	(	PUNCT
ejde-2	807	27	2000	2000	NUM
ejde-2	807	28	)	)	PUNCT
ejde-2	807	29	,	,	PUNCT
ejde-2	807	30	2521	2521	NUM
ejde-2	807	31	-	-	SYM
ejde-2	807	32	2529	2529	NUM
ejde-2	807	33	.	.	PUNCT
ejde-2	808	1	[	[	X
ejde-2	808	2	17	17	NUM
ejde-2	808	3	]	]	PUNCT
ejde-2	808	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	808	5	q.	q.	PROPN
ejde-2	808	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	808	7	;	;	PUNCT
ejde-2	808	8	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-2	808	9	of	of	ADP
ejde-2	808	10	higher	high	ADJ
ejde-2	808	11	order	order	NOUN
ejde-2	808	12	linear	linear	PROPN
ejde-2	808	13	riemann	riemann	PROPN
ejde-2	808	14	-	-	PUNCT
ejde-2	808	15	liouville	liouville	VERB
ejde-2	808	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	808	17	differential	differential	NOUN
ejde-2	808	18	and	and	CCONJ
ejde-2	808	19	integral	integral	ADJ
ejde-2	808	20	equations	equation	NOUN
ejde-2	808	21	,	,	PUNCT
ejde-2	808	22	proc	proc	NOUN
ejde-2	808	23	.	.	PUNCT
ejde-2	809	1	amer	amer	PROPN
ejde-2	809	2	.	.	PUNCT
ejde-2	809	3	math	math	PROPN
ejde-2	809	4	.	.	PUNCT
ejde-2	810	1	soc	soc	PROPN
ejde-2	810	2	.	.	PUNCT
ejde-2	811	1	,	,	PUNCT
ejde-2	811	2	148	148	NUM
ejde-2	811	3	(	(	PUNCT
ejde-2	811	4	2020	2020	NUM
ejde-2	811	5	)	)	PUNCT
ejde-2	811	6	(	(	PUNCT
ejde-2	811	7	12	12	NUM
ejde-2	811	8	)	)	PUNCT
ejde-2	811	9	,	,	PUNCT
ejde-2	811	10	5225	5225	NUM
ejde-2	811	11	-	-	SYM
ejde-2	811	12	5234	5234	NUM
ejde-2	811	13	.	.	PUNCT
ejde-2	812	1	[	[	X
ejde-2	812	2	18	18	NUM
ejde-2	812	3	]	]	PUNCT
ejde-2	812	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	812	5	q.	q.	PROPN
ejde-2	812	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	812	7	;	;	PUNCT
ejde-2	812	8	linear	linear	PROPN
ejde-2	812	9	first	first	ADJ
ejde-2	812	10	order	order	NOUN
ejde-2	812	11	riemann	riemann	NOUN
ejde-2	812	12	-	-	PUNCT
ejde-2	812	13	liouville	liouville	VERB
ejde-2	812	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	812	15	differential	differential	NOUN
ejde-2	812	16	and	and	CCONJ
ejde-2	812	17	perturbed	perturb	VERB
ejde-2	812	18	abel	abel	PROPN
ejde-2	812	19	’s	’s	PART
ejde-2	812	20	integral	integral	ADJ
ejde-2	812	21	equations	equation	NOUN
ejde-2	812	22	,	,	PUNCT
ejde-2	812	23	j.	j.	PROPN
ejde-2	812	24	differential	differential	PROPN
ejde-2	812	25	equations	equation	NOUN
ejde-2	812	26	,	,	PUNCT
ejde-2	812	27	306	306	NUM
ejde-2	812	28	(	(	PUNCT
ejde-2	812	29	2022	2022	NUM
ejde-2	812	30	)	)	PUNCT
ejde-2	812	31	,	,	PUNCT
ejde-2	812	32	28	28	NUM
ejde-2	812	33	-	-	SYM
ejde-2	812	34	59	59	NUM
ejde-2	812	35	.	.	PUNCT
ejde-2	813	1	[	[	X
ejde-2	813	2	19	19	NUM
ejde-2	813	3	]	]	PUNCT
ejde-2	813	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	813	5	q.	q.	PROPN
ejde-2	813	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	813	7	,	,	PUNCT
ejde-2	813	8	w.	w.	PROPN
ejde-2	813	9	lin	lin	PROPN
ejde-2	813	10	;	;	PUNCT
ejde-2	813	11	multiple	multiple	ADJ
ejde-2	813	12	positive	positive	ADJ
ejde-2	813	13	solutions	solution	NOUN
ejde-2	813	14	of	of	ADP
ejde-2	813	15	systems	system	NOUN
ejde-2	813	16	of	of	ADP
ejde-2	813	17	hammerstein	hammerstein	PROPN
ejde-2	813	18	integral	integral	ADJ
ejde-2	813	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	813	20	with	with	ADP
ejde-2	813	21	applications	application	NOUN
ejde-2	813	22	to	to	ADP
ejde-2	813	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	813	24	differential	differential	ADJ
ejde-2	813	25	equations	equation	NOUN
ejde-2	813	26	,	,	PUNCT
ejde-2	813	27	j.	j.	PROPN
ejde-2	813	28	london	london	PROPN
ejde-2	813	29	math	math	PROPN
ejde-2	813	30	.	.	PUNCT
ejde-2	814	1	soc	soc	PROPN
ejde-2	814	2	.	.	PUNCT
ejde-2	814	3	,	,	PUNCT
ejde-2	814	4	83	83	NUM
ejde-2	814	5	(	(	PUNCT
ejde-2	814	6	2011	2011	NUM
ejde-2	814	7	)	)	PUNCT
ejde-2	814	8	(	(	PUNCT
ejde-2	814	9	2	2	NUM
ejde-2	814	10	)	)	PUNCT
ejde-2	814	11	,	,	PUNCT
ejde-2	814	12	449	449	NUM
ejde-2	814	13	-	-	SYM
ejde-2	814	14	469	469	NUM
ejde-2	814	15	.	.	PUNCT
ejde-2	815	1	[	[	X
ejde-2	815	2	20	20	NUM
ejde-2	815	3	]	]	PUNCT
ejde-2	815	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	815	5	q.	q.	PROPN
ejde-2	815	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	815	7	,	,	PUNCT
ejde-2	815	8	w.	w.	PROPN
ejde-2	815	9	lin	lin	PROPN
ejde-2	815	10	;	;	PUNCT
ejde-2	815	11	positive	positive	ADJ
ejde-2	815	12	solutions	solution	NOUN
ejde-2	815	13	of	of	ADP
ejde-2	815	14	systems	system	NOUN
ejde-2	815	15	of	of	ADP
ejde-2	815	16	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	815	17	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	815	18	differential	differential	PROPN
ejde-2	815	19	equations	equation	NOUN
ejde-2	815	20	,	,	PUNCT
ejde-2	815	21	communi	communi	PROPN
ejde-2	815	22	.	.	PUNCT
ejde-2	815	23	appl	appl	PROPN
ejde-2	815	24	.	.	PUNCT
ejde-2	816	1	anal	anal	PROPN
ejde-2	816	2	.	.	PROPN
ejde-2	816	3	,	,	PUNCT
ejde-2	816	4	17	17	NUM
ejde-2	816	5	(	(	PUNCT
ejde-2	816	6	2013	2013	NUM
ejde-2	816	7	)	)	PUNCT
ejde-2	816	8	(	(	PUNCT
ejde-2	816	9	1	1	NUM
ejde-2	816	10	)	)	PUNCT
ejde-2	816	11	,	,	PUNCT
ejde-2	816	12	61	61	NUM
ejde-2	816	13	-	-	SYM
ejde-2	816	14	86	86	NUM
ejde-2	816	15	.	.	PUNCT
ejde-2	817	1	[	[	X
ejde-2	817	2	21	21	NUM
ejde-2	817	3	]	]	PUNCT
ejde-2	817	4	k.	k.	PROPN
ejde-2	817	5	q.	q.	PROPN
ejde-2	817	6	lan	lan	PROPN
ejde-2	817	7	,	,	PUNCT
ejde-2	817	8	j.	j.	PROPN
ejde-2	817	9	r.	r.	PROPN
ejde-2	817	10	l.	l.	PROPN
ejde-2	817	11	webb	webb	PROPN
ejde-2	817	12	;	;	PUNCT
ejde-2	817	13	a	a	DET
ejde-2	817	14	new	new	ADJ
ejde-2	817	15	bihari	bihari	PROPN
ejde-2	817	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-2	817	17	and	and	CCONJ
ejde-2	817	18	initial	initial	ADJ
ejde-2	817	19	value	value	NOUN
ejde-2	817	20	problems	problem	NOUN
ejde-2	817	21	of	of	ADP
ejde-2	817	22	first	first	ADJ
ejde-2	817	23	order	order	NOUN
ejde-2	817	24	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	817	25	differential	differential	ADJ
ejde-2	817	26	equations	equation	NOUN
ejde-2	817	27	,	,	PUNCT
ejde-2	817	28	submitted	submit	VERB
ejde-2	817	29	for	for	ADP
ejde-2	817	30	publication	publication	NOUN
ejde-2	817	31	.	.	PUNCT
ejde-2	818	1	[	[	X
ejde-2	818	2	22	22	NUM
ejde-2	818	3	]	]	PUNCT
ejde-2	818	4	i.	i.	NOUN
ejde-2	818	5	podlubny	podlubny	PROPN
ejde-2	818	6	;	;	PUNCT
ejde-2	818	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	818	8	differential	differential	ADJ
ejde-2	818	9	equations	equation	NOUN
ejde-2	818	10	.	.	PUNCT
ejde-2	819	1	an	an	DET
ejde-2	819	2	introduction	introduction	NOUN
ejde-2	819	3	to	to	ADP
ejde-2	819	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	819	5	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	819	6	,	,	PUNCT
ejde-2	819	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	819	8	differential	differential	ADJ
ejde-2	819	9	equations	equation	NOUN
ejde-2	819	10	,	,	PUNCT
ejde-2	819	11	to	to	ADP
ejde-2	819	12	methods	method	NOUN
ejde-2	819	13	of	of	ADP
ejde-2	819	14	their	their	PRON
ejde-2	819	15	solution	solution	NOUN
ejde-2	819	16	and	and	CCONJ
ejde-2	819	17	some	some	PRON
ejde-2	819	18	of	of	ADP
ejde-2	819	19	their	their	PRON
ejde-2	819	20	applications	application	NOUN
ejde-2	819	21	,	,	PUNCT
ejde-2	819	22	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-2	819	23	in	in	ADP
ejde-2	819	24	science	science	NOUN
ejde-2	819	25	and	and	CCONJ
ejde-2	819	26	engineering	engineering	NOUN
ejde-2	819	27	,	,	PUNCT
ejde-2	819	28	198	198	NUM
ejde-2	819	29	.	.	PUNCT
ejde-2	820	1	academic	academic	ADJ
ejde-2	820	2	press	press	PROPN
ejde-2	820	3	,	,	PUNCT
ejde-2	820	4	inc	inc	PROPN
ejde-2	820	5	.	.	PROPN
ejde-2	820	6	,	,	PUNCT
ejde-2	820	7	san	san	PROPN
ejde-2	820	8	diego	diego	PROPN
ejde-2	820	9	,	,	PUNCT
ejde-2	820	10	ca	ca	NOUN
ejde-2	820	11	,	,	PUNCT
ejde-2	820	12	1999	1999	NUM
ejde-2	820	13	.	.	PUNCT
ejde-2	821	1	[	[	X
ejde-2	821	2	23	23	NUM
ejde-2	821	3	]	]	PUNCT
ejde-2	821	4	l.	l.	PROPN
ejde-2	821	5	f.	f.	PROPN
ejde-2	821	6	richardson	richardson	PROPN
ejde-2	821	7	;	;	PUNCT
ejde-2	821	8	measure	measure	NOUN
ejde-2	821	9	and	and	CCONJ
ejde-2	821	10	integration	integration	NOUN
ejde-2	821	11	:	:	PUNCT
ejde-2	821	12	a	a	DET
ejde-2	821	13	concise	concise	ADJ
ejde-2	821	14	introduction	introduction	NOUN
ejde-2	821	15	to	to	ADP
ejde-2	821	16	real	real	ADJ
ejde-2	821	17	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	821	18	,	,	PUNCT
ejde-2	821	19	wiley	wiley	NOUN
ejde-2	821	20	,	,	PUNCT
ejde-2	821	21	new	new	PROPN
ejde-2	821	22	york	york	PROPN
ejde-2	821	23	,	,	PUNCT
ejde-2	821	24	2009	2009	NUM
ejde-2	821	25	.	.	PUNCT
ejde-2	822	1	[	[	X
ejde-2	822	2	24	24	NUM
ejde-2	822	3	]	]	X
ejde-2	822	4	w.	w.	PROPN
ejde-2	822	5	rudin	rudin	PROPN
ejde-2	822	6	;	;	PUNCT
ejde-2	822	7	real	real	ADJ
ejde-2	822	8	and	and	CCONJ
ejde-2	822	9	complex	complex	ADJ
ejde-2	822	10	analysis	analysis	NOUN
ejde-2	822	11	,	,	PUNCT
ejde-2	822	12	3th	3th	PROPN
ejde-2	822	13	edition	edition	NOUN
ejde-2	822	14	,	,	PUNCT
ejde-2	822	15	mcgraw	mcgraw	PROPN
ejde-2	822	16	-	-	PUNCT
ejde-2	822	17	hill	hill	NOUN
ejde-2	822	18	,	,	PUNCT
ejde-2	822	19	1987	1987	NUM
ejde-2	822	20	.	.	PUNCT
ejde-2	823	1	[	[	X
ejde-2	823	2	25	25	NUM
ejde-2	823	3	]	]	X
ejde-2	823	4	s.	s.	PROPN
ejde-2	823	5	g.	g.	PROPN
ejde-2	823	6	samko	samko	PROPN
ejde-2	823	7	,	,	PUNCT
ejde-2	823	8	a.	a.	NOUN
ejde-2	823	9	a.	a.	NOUN
ejde-2	823	10	kilbas	kilbas	PROPN
ejde-2	823	11	,	,	PUNCT
ejde-2	823	12	o.	o.	PROPN
ejde-2	823	13	i.	i.	PROPN
ejde-2	823	14	marichev	marichev	PROPN
ejde-2	823	15	;	;	PUNCT
ejde-2	823	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	823	17	integrals	integral	NOUN
ejde-2	823	18	and	and	CCONJ
ejde-2	823	19	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	823	20	:	:	PUNCT
ejde-2	823	21	theory	theory	NOUN
ejde-2	823	22	and	and	CCONJ
ejde-2	823	23	applications	application	NOUN
ejde-2	823	24	,	,	PUNCT
ejde-2	823	25	gordon	gordon	PROPN
ejde-2	823	26	and	and	CCONJ
ejde-2	823	27	breach	breach	VERB
ejde-2	823	28	science	science	NOUN
ejde-2	823	29	publishers	publisher	NOUN
ejde-2	823	30	,	,	PUNCT
ejde-2	823	31	yverdon	yverdon	PROPN
ejde-2	823	32	,	,	PUNCT
ejde-2	823	33	1993	1993	NUM
ejde-2	823	34	.	.	PUNCT
ejde-2	824	1	[	[	X
ejde-2	824	2	26	26	NUM
ejde-2	824	3	]	]	PUNCT
ejde-2	824	4	j.	j.	PROPN
ejde-2	824	5	d.	d.	PROPN
ejde-2	824	6	tamarkin	tamarkin	PROPN
ejde-2	824	7	;	;	PUNCT
ejde-2	824	8	on	on	ADP
ejde-2	824	9	integrable	integrable	ADJ
ejde-2	824	10	solutions	solution	NOUN
ejde-2	824	11	of	of	ADP
ejde-2	824	12	abel	abel	PROPN
ejde-2	824	13	’s	’s	PART
ejde-2	824	14	integral	integral	ADJ
ejde-2	824	15	equation	equation	NOUN
ejde-2	824	16	,	,	PUNCT
ejde-2	824	17	ann	ann	PROPN
ejde-2	824	18	.	.	PROPN
ejde-2	824	19	math	math	PROPN
ejde-2	824	20	.	.	PUNCT
ejde-2	825	1	,	,	PUNCT
ejde-2	825	2	31	31	NUM
ejde-2	825	3	(	(	PUNCT
ejde-2	825	4	1930	1930	NUM
ejde-2	825	5	)	)	PUNCT
ejde-2	825	6	,	,	PUNCT
ejde-2	825	7	219	219	NUM
ejde-2	825	8	-	-	SYM
ejde-2	825	9	229	229	NUM
ejde-2	825	10	.	.	PUNCT
ejde-2	826	1	[	[	X
ejde-2	826	2	27	27	NUM
ejde-2	826	3	]	]	PUNCT
ejde-2	826	4	j.	j.	PROPN
ejde-2	826	5	r.	r.	PROPN
ejde-2	826	6	l.	l.	PROPN
ejde-2	826	7	webb	webb	PROPN
ejde-2	826	8	;	;	PUNCT
ejde-2	826	9	weakly	weakly	ADV
ejde-2	826	10	singular	singular	ADJ
ejde-2	826	11	gronwall	gronwall	ADJ
ejde-2	826	12	inequalities	inequality	NOUN
ejde-2	826	13	and	and	CCONJ
ejde-2	826	14	applications	application	NOUN
ejde-2	826	15	to	to	ADP
ejde-2	826	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	826	17	differential	differential	ADJ
ejde-2	826	18	equations	equation	NOUN
ejde-2	826	19	,	,	PUNCT
ejde-2	826	20	j.	j.	PROPN
ejde-2	826	21	math	math	PROPN
ejde-2	826	22	.	.	PUNCT
ejde-2	827	1	anal	anal	PROPN
ejde-2	827	2	.	.	PUNCT
ejde-2	828	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	828	2	.	.	PROPN
ejde-2	828	3	,	,	PUNCT
ejde-2	828	4	471	471	NUM
ejde-2	828	5	(	(	PUNCT
ejde-2	828	6	2019	2019	NUM
ejde-2	828	7	)	)	PUNCT
ejde-2	828	8	,	,	PUNCT
ejde-2	828	9	692	692	NUM
ejde-2	828	10	-	-	SYM
ejde-2	828	11	711	711	NUM
ejde-2	828	12	.	.	PUNCT
ejde-2	829	1	[	[	X
ejde-2	829	2	28	28	NUM
ejde-2	829	3	]	]	X
ejde-2	829	4	j.	j.	PROPN
ejde-2	829	5	r.	r.	PROPN
ejde-2	829	6	l.	l.	PROPN
ejde-2	829	7	webb	webb	PROPN
ejde-2	829	8	;	;	PUNCT
ejde-2	829	9	compactness	compactness	NOUN
ejde-2	829	10	of	of	ADP
ejde-2	829	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-2	829	12	integral	integral	ADJ
ejde-2	829	13	operators	operator	NOUN
ejde-2	829	14	with	with	ADP
ejde-2	829	15	discontinuous	discontinuous	ADJ
ejde-2	829	16	and	and	CCONJ
ejde-2	829	17	with	with	ADP
ejde-2	829	18	singular	singular	ADJ
ejde-2	829	19	kernels	kernel	NOUN
ejde-2	829	20	,	,	PUNCT
ejde-2	829	21	j.	j.	PROPN
ejde-2	829	22	math	math	PROPN
ejde-2	829	23	.	.	PUNCT
ejde-2	830	1	anal	anal	PROPN
ejde-2	830	2	.	.	PUNCT
ejde-2	831	1	appl	appl	PROPN
ejde-2	831	2	.	.	PROPN
ejde-2	831	3	,	,	PUNCT
ejde-2	831	4	509	509	NUM
ejde-2	831	5	(	(	PUNCT
ejde-2	831	6	2022	2022	NUM
ejde-2	831	7	)	)	PUNCT
ejde-2	831	8	,	,	PUNCT
ejde-2	831	9	126000	126000	NUM
ejde-2	831	10	.	.	PUNCT
ejde-2	832	1	[	[	X
ejde-2	832	2	29	29	NUM
ejde-2	832	3	]	]	PUNCT
ejde-2	832	4	j.	j.	PROPN
ejde-2	832	5	r.	r.	PROPN
ejde-2	832	6	l.	l.	PROPN
ejde-2	832	7	webb	webb	PROPN
ejde-2	832	8	;	;	PUNCT
ejde-2	832	9	initial	initial	ADJ
ejde-2	832	10	value	value	NOUN
ejde-2	832	11	problems	problem	NOUN
ejde-2	832	12	for	for	ADP
ejde-2	832	13	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	832	14	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	832	15	equations	equation	NOUN
ejde-2	832	16	with	with	ADP
ejde-2	832	17	singular	singular	ADJ
ejde-2	832	18	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-2	832	19	,	,	PUNCT
ejde-2	832	20	electr	electr	PROPN
ejde-2	832	21	.	.	PUNCT
ejde-2	833	1	j.	j.	PROPN
ejde-2	833	2	differ	differ	VERB
ejde-2	833	3	.	.	PUNCT
ejde-2	834	1	equ	equ	PROPN
ejde-2	834	2	.	.	PROPN
ejde-2	834	3	,	,	PUNCT
ejde-2	834	4	(	(	PUNCT
ejde-2	834	5	2019	2019	NUM
ejde-2	834	6	)	)	PUNCT
ejde-2	834	7	,	,	PUNCT
ejde-2	834	8	no	no	INTJ
ejde-2	834	9	.	.	NOUN
ejde-2	834	10	117	117	NUM
ejde-2	834	11	,	,	PUNCT
ejde-2	834	12	1	1	NUM
ejde-2	834	13	-	-	SYM
ejde-2	834	14	32	32	NUM
ejde-2	834	15	.	.	PUNCT
ejde-2	835	1	[	[	X
ejde-2	835	2	30	30	NUM
ejde-2	835	3	]	]	PUNCT
ejde-2	835	4	j.	j.	PROPN
ejde-2	835	5	r.	r.	PROPN
ejde-2	835	6	l.	l.	PROPN
ejde-2	835	7	webb	webb	PROPN
ejde-2	835	8	;	;	PUNCT
ejde-2	835	9	a	a	DET
ejde-2	835	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	835	11	gronwall	gronwall	ADJ
ejde-2	835	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-2	835	13	and	and	CCONJ
ejde-2	835	14	the	the	DET
ejde-2	835	15	asymptotoc	asymptotoc	ADJ
ejde-2	835	16	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-2	835	17	of	of	ADP
ejde-2	835	18	global	global	ADJ
ejde-2	835	19	solutions	solution	NOUN
ejde-2	835	20	of	of	ADP
ejde-2	835	21	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	835	22	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	835	23	problems	problem	NOUN
ejde-2	835	24	,	,	PUNCT
ejde-2	835	25	electr	electr	PROPN
ejde-2	835	26	.	.	PUNCT
ejde-2	836	1	j.	j.	PROPN
ejde-2	836	2	differ	differ	VERB
ejde-2	836	3	.	.	PUNCT
ejde-2	837	1	equ	equ	PROPN
ejde-2	837	2	.	.	PROPN
ejde-2	837	3	,	,	PUNCT
ejde-2	837	4	(	(	PUNCT
ejde-2	837	5	2021	2021	NUM
ejde-2	837	6	)	)	PUNCT
ejde-2	837	7	,	,	PUNCT
ejde-2	837	8	no	no	INTJ
ejde-2	837	9	.	.	NOUN
ejde-2	837	10	80	80	NUM
ejde-2	837	11	,	,	PUNCT
ejde-2	837	12	1	1	NUM
ejde-2	837	13	-	-	SYM
ejde-2	837	14	22	22	NUM
ejde-2	837	15	.	.	PUNCT
ejde-2	838	1	kunquan	kunquan	PROPN
ejde-2	838	2	lan	lan	PROPN
ejde-2	838	3	department	department	PROPN
ejde-2	838	4	of	of	ADP
ejde-2	838	5	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-2	838	6	,	,	PUNCT
ejde-2	838	7	toronto	toronto	PROPN
ejde-2	838	8	metropolitan	metropolitan	PROPN
ejde-2	838	9	university	university	PROPN
ejde-2	838	10	(	(	PUNCT
ejde-2	838	11	formerly	formerly	ADV
ejde-2	838	12	ryerson	ryerson	NOUN
ejde-2	838	13	university	university	NOUN
ejde-2	838	14	)	)	PUNCT
ejde-2	838	15	,	,	PUNCT
ejde-2	838	16	toronto	toronto	PROPN
ejde-2	838	17	,	,	PUNCT
ejde-2	838	18	ontario	ontario	PROPN
ejde-2	838	19	,	,	PUNCT
ejde-2	838	20	m5b	m5b	PROPN
ejde-2	838	21	2k3	2k3	NUM
ejde-2	838	22	,	,	PUNCT
ejde-2	838	23	canada	canada	PROPN
ejde-2	838	24	email	email	NOUN
ejde-2	838	25	address	address	NOUN
ejde-2	838	26	:	:	PUNCT
ejde-2	839	1	klan@torontomu.ca	klan@torontomu.ca	NOUN
ejde-2	839	2	1	1	NUM
ejde-2	839	3	.	.	PUNCT
ejde-2	839	4	introduction	introduction	NOUN
ejde-2	839	5	2	2	NUM
ejde-2	839	6	.	.	PUNCT
ejde-2	839	7	higher	high	ADJ
ejde-2	839	8	order	order	NOUN
ejde-2	839	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	839	10	integral	integral	ADJ
ejde-2	839	11	and	and	CCONJ
ejde-2	839	12	derivatives	derivative	NOUN
ejde-2	839	13	3	3	NUM
ejde-2	839	14	.	.	PUNCT
ejde-2	839	15	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	839	16	of	of	ADP
ejde-2	839	17	the	the	DET
ejde-2	839	18	nth	nth	NOUN
ejde-2	839	19	order	order	NOUN
ejde-2	839	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	839	21	differential	differential	NOUN
ejde-2	839	22	and	and	CCONJ
ejde-2	839	23	integral	integral	ADJ
ejde-2	839	24	equations	equation	NOUN
ejde-2	839	25	in	in	ADP
ejde-2	839	26	l1(a	l1(a	ADP
ejde-2	839	27	,	,	PUNCT
ejde-2	839	28	b	b	NOUN
ejde-2	839	29	)	)	PUNCT
ejde-2	839	30	4	4	NUM
ejde-2	839	31	.	.	PUNCT
ejde-2	840	1	equivalences	equivalence	NOUN
ejde-2	840	2	of	of	ADP
ejde-2	840	3	the	the	DET
ejde-2	840	4	nth	nth	NOUN
ejde-2	840	5	order	order	NOUN
ejde-2	840	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-2	840	7	differential	differential	NOUN
ejde-2	840	8	and	and	CCONJ
ejde-2	840	9	integral	integral	ADJ
ejde-2	840	10	equations	equation	NOUN
ejde-2	840	11	in	in	ADP
ejde-2	840	12	c[a	c[a	NUM
ejde-2	840	13	,	,	PUNCT
ejde-2	840	14	b	b	X
ejde-2	840	15	]	]	X
ejde-2	840	16	5	5	NUM
ejde-2	840	17	.	.	NOUN
ejde-2	840	18	higher	high	ADJ
ejde-2	840	19	-	-	PUNCT
ejde-2	840	20	order	order	NOUN
ejde-2	840	21	caputo	caputo	PROPN
ejde-2	840	22	fractional	fractional	PROPN
ejde-2	840	23	differential	differential	NOUN
ejde-2	840	24	equations	equation	NOUN
ejde-2	840	25	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-2	840	26	references	reference	NOUN