id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-362	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-362	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-362	1	3	of	of	ADP
ejde-362	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-362	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-362	1	6	,	,	PUNCT
ejde-362	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-362	1	8	.	.	PUNCT
ejde-362	1	9	2023	2023	NUM
ejde-362	1	10	(	(	PUNCT
ejde-362	1	11	2023	2023	NUM
ejde-362	1	12	)	)	PUNCT
ejde-362	1	13	,	,	PUNCT
ejde-362	1	14	no	no	INTJ
ejde-362	1	15	.	.	NOUN
ejde-362	1	16	61	61	NUM
ejde-362	1	17	,	,	PUNCT
ejde-362	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-362	1	19	.	.	PUNCT
ejde-362	2	1	1–12	1–12	NOUN
ejde-362	2	2	.	.	PUNCT
ejde-362	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-362	3	2	:	:	PUNCT
ejde-362	3	3	1072	1072	NUM
ejde-362	3	4	-	-	SYM
ejde-362	3	5	6691	6691	NUM
ejde-362	3	6	.	.	PUNCT
ejde-362	4	1	url	url	PROPN
ejde-362	4	2	:	:	PUNCT
ejde-362	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-362	4	4	,	,	PUNCT
ejde-362	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-362	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-362	4	7	:	:	PUNCT
ejde-362	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-362	4	9	/	/	SYM
ejde-362	4	10	ejde.2023.61	ejde.2023.61	NOUN
ejde-362	4	11	singular	singular	ADJ
ejde-362	4	12	p	p	ADJ
ejde-362	4	13	-	-	PUNCT
ejde-362	4	14	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	4	15	problems	problem	NOUN
ejde-362	4	16	involving	involve	VERB
ejde-362	4	17	the	the	DET
ejde-362	4	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	4	19	-	-	PUNCT
ejde-362	4	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	4	21	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	4	22	amor	amor	PROPN
ejde-362	4	23	drissi	drissi	PROPN
ejde-362	4	24	,	,	PUNCT
ejde-362	4	25	abdeljabbar	abdeljabbar	PROPN
ejde-362	4	26	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	4	27	,	,	PUNCT
ejde-362	4	28	dušan	dušan	PROPN
ejde-362	4	29	d.	d.	PROPN
ejde-362	4	30	repovš	repovš	VERB
ejde-362	4	31	abstract	abstract	ADV
ejde-362	4	32	.	.	PUNCT
ejde-362	5	1	this	this	DET
ejde-362	5	2	article	article	NOUN
ejde-362	5	3	concerns	concern	VERB
ejde-362	5	4	the	the	DET
ejde-362	5	5	existence	existence	NOUN
ejde-362	5	6	and	and	CCONJ
ejde-362	5	7	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	5	8	of	of	ADP
ejde-362	5	9	solutions	solution	NOUN
ejde-362	5	10	for	for	ADP
ejde-362	5	11	the	the	DET
ejde-362	5	12	singular	singular	ADJ
ejde-362	5	13	p	p	ADJ
ejde-362	5	14	-	-	PUNCT
ejde-362	5	15	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	5	16	problem	problem	NOUN
ejde-362	5	17	involving	involve	VERB
ejde-362	5	18	the	the	DET
ejde-362	5	19	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	5	20	potential	potential	NOUN
ejde-362	5	21	and	and	CCONJ
ejde-362	5	22	the	the	DET
ejde-362	5	23	critical	critical	ADJ
ejde-362	5	24	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	5	25	-	-	PUNCT
ejde-362	5	26	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	5	27	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	5	28	.	.	PUNCT
ejde-362	6	1	to	to	ADP
ejde-362	6	2	this	this	DET
ejde-362	6	3	end	end	NOUN
ejde-362	6	4	we	we	PRON
ejde-362	6	5	use	use	VERB
ejde-362	6	6	variational	variational	ADJ
ejde-362	6	7	methods	method	NOUN
ejde-362	6	8	combined	combine	VERB
ejde-362	6	9	with	with	ADP
ejde-362	6	10	the	the	DET
ejde-362	6	11	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	6	12	pass	pass	NOUN
ejde-362	6	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	6	14	and	and	CCONJ
ejde-362	6	15	the	the	DET
ejde-362	6	16	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-362	6	17	variational	variational	ADJ
ejde-362	6	18	principle	principle	NOUN
ejde-362	6	19	.	.	PUNCT
ejde-362	7	1	we	we	PRON
ejde-362	7	2	illustrate	illustrate	VERB
ejde-362	7	3	the	the	DET
ejde-362	7	4	usefulness	usefulness	NOUN
ejde-362	7	5	of	of	ADP
ejde-362	7	6	our	our	PRON
ejde-362	7	7	results	result	NOUN
ejde-362	7	8	with	with	ADP
ejde-362	7	9	and	and	CCONJ
ejde-362	7	10	example	example	VERB
ejde-362	7	11	.	.	PUNCT
ejde-362	8	1	1	1	X
ejde-362	8	2	.	.	X
ejde-362	8	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-362	8	4	recently	recently	ADV
ejde-362	8	5	,	,	PUNCT
ejde-362	8	6	a	a	DET
ejde-362	8	7	lot	lot	NOUN
ejde-362	8	8	of	of	ADP
ejde-362	8	9	attention	attention	NOUN
ejde-362	8	10	has	have	AUX
ejde-362	8	11	been	be	AUX
ejde-362	8	12	paid	pay	VERB
ejde-362	8	13	to	to	ADP
ejde-362	8	14	the	the	DET
ejde-362	8	15	study	study	NOUN
ejde-362	8	16	of	of	ADP
ejde-362	8	17	problems	problem	NOUN
ejde-362	8	18	involving	involve	VERB
ejde-362	8	19	the	the	DET
ejde-362	8	20	p	p	PROPN
ejde-362	8	21	-	-	PUNCT
ejde-362	8	22	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	8	23	operator	operator	NOUN
ejde-362	8	24	and	and	CCONJ
ejde-362	8	25	the	the	DET
ejde-362	8	26	p	p	ADJ
ejde-362	8	27	-	-	PUNCT
ejde-362	8	28	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	8	29	operator	operator	NOUN
ejde-362	8	30	.	.	PUNCT
ejde-362	9	1	we	we	PRON
ejde-362	9	2	refer	refer	VERB
ejde-362	9	3	the	the	DET
ejde-362	9	4	reader	reader	NOUN
ejde-362	9	5	to	to	PART
ejde-362	9	6	alsaedi	alsaedi	VERB
ejde-362	9	7	et	et	PROPN
ejde-362	9	8	al	al	PROPN
ejde-362	9	9	.	.	PUNCT
ejde-362	10	1	[	[	X
ejde-362	10	2	1	1	NUM
ejde-362	10	3	]	]	PUNCT
ejde-362	10	4	,	,	PUNCT
ejde-362	10	5	cung	cung	PROPN
ejde-362	10	6	et	et	PROPN
ejde-362	10	7	al	al	PROPN
ejde-362	10	8	.	.	PUNCT
ejde-362	11	1	[	[	X
ejde-362	11	2	10	10	NUM
ejde-362	11	3	]	]	PUNCT
ejde-362	11	4	,	,	PUNCT
ejde-362	11	5	huang	huang	PROPN
ejde-362	11	6	and	and	CCONJ
ejde-362	11	7	liu	liu	PROPN
ejde-362	12	1	[	[	X
ejde-362	12	2	15	15	NUM
ejde-362	12	3	]	]	PUNCT
ejde-362	12	4	,	,	PUNCT
ejde-362	12	5	and	and	CCONJ
ejde-362	12	6	sun	sun	NOUN
ejde-362	12	7	and	and	CCONJ
ejde-362	12	8	wu	wu	PROPN
ejde-362	12	9	[	[	X
ejde-362	12	10	24	24	NUM
ejde-362	12	11	,	,	PUNCT
ejde-362	12	12	25	25	NUM
ejde-362	12	13	]	]	PUNCT
ejde-362	12	14	.	.	PUNCT
ejde-362	13	1	the	the	DET
ejde-362	13	2	reason	reason	NOUN
ejde-362	13	3	for	for	ADP
ejde-362	13	4	studying	study	VERB
ejde-362	13	5	these	these	DET
ejde-362	13	6	problems	problem	NOUN
ejde-362	13	7	is	be	AUX
ejde-362	13	8	their	their	PRON
ejde-362	13	9	applications	application	NOUN
ejde-362	13	10	in	in	ADP
ejde-362	13	11	fields	field	NOUN
ejde-362	13	12	such	such	ADJ
ejde-362	13	13	as	as	ADP
ejde-362	13	14	quantum	quantum	ADJ
ejde-362	13	15	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-362	13	16	,	,	PUNCT
ejde-362	13	17	flame	flame	NOUN
ejde-362	13	18	propagation	propagation	NOUN
ejde-362	13	19	,	,	PUNCT
ejde-362	13	20	and	and	CCONJ
ejde-362	13	21	traveling	travel	VERB
ejde-362	13	22	waves	wave	NOUN
ejde-362	13	23	in	in	ADP
ejde-362	13	24	suspension	suspension	NOUN
ejde-362	13	25	bridges	bridge	NOUN
ejde-362	13	26	;	;	PUNCT
ejde-362	13	27	for	for	ADP
ejde-362	13	28	more	more	ADJ
ejde-362	13	29	applications	application	NOUN
ejde-362	13	30	see	see	VERB
ejde-362	13	31	bucur	bucur	NOUN
ejde-362	13	32	and	and	CCONJ
ejde-362	13	33	valdinoci	valdinoci	NOUN
ejde-362	13	34	[	[	X
ejde-362	13	35	6	6	NUM
ejde-362	13	36	]	]	PUNCT
ejde-362	13	37	,	,	PUNCT
ejde-362	13	38	and	and	CCONJ
ejde-362	13	39	lazer	lazer	NOUN
ejde-362	13	40	and	and	CCONJ
ejde-362	13	41	mckenna	mckenna	NOUN
ejde-362	14	1	[	[	X
ejde-362	14	2	16	16	NUM
ejde-362	14	3	]	]	PUNCT
ejde-362	14	4	.	.	PUNCT
ejde-362	15	1	problems	problem	NOUN
ejde-362	15	2	involving	involve	VERB
ejde-362	15	3	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	15	4	terms	term	NOUN
ejde-362	15	5	have	have	AUX
ejde-362	15	6	been	be	AUX
ejde-362	15	7	extensively	extensively	ADV
ejde-362	15	8	investigated	investigate	VERB
ejde-362	15	9	by	by	ADP
ejde-362	15	10	several	several	ADJ
ejde-362	15	11	authors	author	NOUN
ejde-362	15	12	,	,	PUNCT
ejde-362	15	13	see	see	VERB
ejde-362	15	14	,	,	PUNCT
ejde-362	15	15	e.g.	e.g.	ADV
ejde-362	15	16	,	,	PUNCT
ejde-362	15	17	bhakta	bhakta	NOUN
ejde-362	15	18	et	et	PROPN
ejde-362	15	19	al	al	PROPN
ejde-362	15	20	.	.	PUNCT
ejde-362	16	1	[	[	X
ejde-362	16	2	3	3	NUM
ejde-362	16	3	,	,	PUNCT
ejde-362	16	4	4	4	NUM
ejde-362	16	5	]	]	PUNCT
ejde-362	16	6	,	,	PUNCT
ejde-362	16	7	ghoussoub	ghoussoub	NOUN
ejde-362	16	8	and	and	CCONJ
ejde-362	16	9	yuan	yuan	NOUN
ejde-362	16	10	[	[	X
ejde-362	16	11	13	13	NUM
ejde-362	16	12	]	]	PUNCT
ejde-362	16	13	,	,	PUNCT
ejde-362	16	14	and	and	CCONJ
ejde-362	16	15	guan	guan	PROPN
ejde-362	16	16	et	et	PROPN
ejde-362	16	17	al	al	PROPN
ejde-362	16	18	.	.	PUNCT
ejde-362	17	1	[	[	X
ejde-362	17	2	14	14	NUM
ejde-362	17	3	]	]	PUNCT
ejde-362	17	4	.	.	PUNCT
ejde-362	18	1	various	various	ADJ
ejde-362	18	2	problems	problem	NOUN
ejde-362	18	3	involving	involve	VERB
ejde-362	18	4	the	the	DET
ejde-362	18	5	critical	critical	ADJ
ejde-362	18	6	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	18	7	-	-	PUNCT
ejde-362	18	8	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	18	9	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	18	10	have	have	AUX
ejde-362	18	11	been	be	AUX
ejde-362	18	12	widely	widely	ADV
ejde-362	18	13	studied	study	VERB
ejde-362	18	14	,	,	PUNCT
ejde-362	18	15	see	see	VERB
ejde-362	18	16	,	,	PUNCT
ejde-362	18	17	e.g.	e.g.	ADV
ejde-362	18	18	,	,	PUNCT
ejde-362	18	19	chaharlang	chaharlang	PROPN
ejde-362	18	20	and	and	CCONJ
ejde-362	18	21	razani	razani	PROPN
ejde-362	19	1	[	[	X
ejde-362	19	2	7	7	NUM
ejde-362	19	3	]	]	PUNCT
ejde-362	19	4	,	,	PUNCT
ejde-362	19	5	chen	chen	PROPN
ejde-362	19	6	et	et	PROPN
ejde-362	19	7	al	al	PROPN
ejde-362	19	8	.	.	PUNCT
ejde-362	20	1	[	[	X
ejde-362	20	2	9	9	NUM
ejde-362	20	3	]	]	PUNCT
ejde-362	20	4	,	,	PUNCT
ejde-362	20	5	perera	perera	PROPN
ejde-362	20	6	and	and	CCONJ
ejde-362	20	7	zou	zou	PROPN
ejde-362	20	8	[	[	X
ejde-362	20	9	19	19	NUM
ejde-362	20	10	]	]	PUNCT
ejde-362	20	11	,	,	PUNCT
ejde-362	20	12	pérezllanos	pérezllanos	PROPN
ejde-362	20	13	and	and	CCONJ
ejde-362	20	14	primo	primo	VERB
ejde-362	20	15	[	[	X
ejde-362	20	16	20	20	NUM
ejde-362	20	17	]	]	PUNCT
ejde-362	20	18	,	,	PUNCT
ejde-362	20	19	wang	wang	PROPN
ejde-362	21	1	[	[	X
ejde-362	21	2	26	26	NUM
ejde-362	21	3	]	]	PUNCT
ejde-362	21	4	,	,	PUNCT
ejde-362	21	5	and	and	CCONJ
ejde-362	21	6	wang	wang	PROPN
ejde-362	21	7	and	and	CCONJ
ejde-362	21	8	zhao	zhao	PROPN
ejde-362	22	1	[	[	X
ejde-362	22	2	27	27	NUM
ejde-362	22	3	]	]	PUNCT
ejde-362	22	4	.	.	PUNCT
ejde-362	23	1	in	in	ADP
ejde-362	23	2	particular	particular	ADJ
ejde-362	23	3	,	,	PUNCT
ejde-362	23	4	ghoussoub	ghoussoub	ADJ
ejde-362	23	5	and	and	CCONJ
ejde-362	23	6	yuan	yuan	NOUN
ejde-362	23	7	[	[	X
ejde-362	23	8	13	13	NUM
ejde-362	23	9	]	]	PUNCT
ejde-362	23	10	used	use	VERB
ejde-362	23	11	variational	variational	ADJ
ejde-362	23	12	methods	method	NOUN
ejde-362	23	13	to	to	PART
ejde-362	23	14	study	study	VERB
ejde-362	23	15	the	the	DET
ejde-362	23	16	existence	existence	NOUN
ejde-362	23	17	of	of	ADP
ejde-362	23	18	solutions	solution	NOUN
ejde-362	23	19	of	of	ADP
ejde-362	23	20	the	the	DET
ejde-362	23	21	problem	problem	NOUN
ejde-362	23	22	−∆pϕ	−∆pϕ	NOUN
ejde-362	23	23	=	=	SYM
ejde-362	24	1	λ|ϕ|r−2ϕ+	λ|ϕ|r−2ϕ+	PROPN
ejde-362	24	2	µ	µ	PRON
ejde-362	24	3	|ϕ|q−2ϕ	|ϕ|q−2ϕ	PROPN
ejde-362	24	4	|x|α	|x|α	PROPN
ejde-362	24	5	in	in	ADP
ejde-362	24	6	ω	ω	PROPN
ejde-362	24	7	,	,	PUNCT
ejde-362	24	8	ϕ	ϕ	X
ejde-362	24	9	=	=	SYM
ejde-362	24	10	0	0	NUM
ejde-362	24	11	on	on	ADP
ejde-362	24	12	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-362	24	13	,	,	PUNCT
ejde-362	24	14	where	where	SCONJ
ejde-362	24	15	ω	ω	PROPN
ejde-362	24	16	⊂	⊂	PROPN
ejde-362	24	17	rn	rn	PROPN
ejde-362	24	18	is	be	AUX
ejde-362	24	19	a	a	DET
ejde-362	24	20	regular	regular	ADJ
ejde-362	24	21	bounded	bounded	ADJ
ejde-362	24	22	domain	domain	NOUN
ejde-362	24	23	,	,	PUNCT
ejde-362	24	24	µ	µ	NOUN
ejde-362	24	25	and	and	CCONJ
ejde-362	24	26	λ	λ	NOUN
ejde-362	24	27	are	be	AUX
ejde-362	24	28	positive	positive	ADJ
ejde-362	24	29	parameters	parameter	NOUN
ejde-362	24	30	,	,	PUNCT
ejde-362	24	31	min(q	min(q	PROPN
ejde-362	24	32	,	,	PUNCT
ejde-362	24	33	r	r	NOUN
ejde-362	24	34	)	)	PUNCT
ejde-362	24	35	≥	≥	NOUN
ejde-362	24	36	p	p	NOUN
ejde-362	24	37	,	,	PUNCT
ejde-362	24	38	q	q	PROPN
ejde-362	24	39	≤	≤	NUM
ejde-362	24	40	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	24	41	)	)	PUNCT
ejde-362	24	42	,	,	PUNCT
ejde-362	24	43	and	and	CCONJ
ejde-362	24	44	r	r	NOUN
ejde-362	24	45	≤	≤	NUM
ejde-362	24	46	p∗.	p∗.	NOUN
ejde-362	24	47	2020	2020	NUM
ejde-362	24	48	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-362	24	49	subject	subject	ADJ
ejde-362	24	50	classification	classification	NOUN
ejde-362	24	51	.	.	PUNCT
ejde-362	25	1	31b30	31b30	NUM
ejde-362	25	2	,	,	PUNCT
ejde-362	25	3	35j35	35j35	NUM
ejde-362	25	4	,	,	PUNCT
ejde-362	25	5	49j35	49j35	NUM
ejde-362	25	6	.	.	PUNCT
ejde-362	26	1	key	key	ADJ
ejde-362	26	2	words	word	NOUN
ejde-362	26	3	and	and	CCONJ
ejde-362	26	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-362	26	5	.	.	PUNCT
ejde-362	27	1	p	p	X
ejde-362	27	2	-	-	PUNCT
ejde-362	27	3	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	27	4	operator	operator	NOUN
ejde-362	27	5	;	;	PUNCT
ejde-362	27	6	p	p	ADJ
ejde-362	27	7	-	-	PUNCT
ejde-362	27	8	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	27	9	equation	equation	NOUN
ejde-362	27	10	;	;	PUNCT
ejde-362	27	11	variational	variational	ADJ
ejde-362	27	12	method	method	NOUN
ejde-362	27	13	;	;	PUNCT
ejde-362	27	14	existence	existence	NOUN
ejde-362	27	15	of	of	ADP
ejde-362	27	16	solutions	solution	NOUN
ejde-362	27	17	;	;	PUNCT
ejde-362	27	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	27	19	potential	potential	NOUN
ejde-362	27	20	;	;	PUNCT
ejde-362	27	21	critical	critical	ADJ
ejde-362	27	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	27	23	-	-	PUNCT
ejde-362	27	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	27	25	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	27	26	;	;	PUNCT
ejde-362	27	27	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-362	27	28	variational	variational	ADJ
ejde-362	27	29	principle	principle	NOUN
ejde-362	27	30	;	;	PUNCT
ejde-362	27	31	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	27	32	pass	pass	NOUN
ejde-362	27	33	geometry	geometry	NOUN
ejde-362	27	34	.	.	PUNCT
ejde-362	28	1	©	©	ADP
ejde-362	28	2	2023	2023	NUM
ejde-362	28	3	.	.	PUNCT
ejde-362	29	1	this	this	DET
ejde-362	29	2	work	work	NOUN
ejde-362	29	3	is	be	AUX
ejde-362	29	4	licensed	license	VERB
ejde-362	29	5	under	under	ADP
ejde-362	29	6	a	a	DET
ejde-362	29	7	cc	cc	NOUN
ejde-362	29	8	by	by	ADP
ejde-362	29	9	4.0	4.0	NUM
ejde-362	29	10	license	license	NOUN
ejde-362	29	11	.	.	PUNCT
ejde-362	30	1	submitted	submit	VERB
ejde-362	30	2	march	march	PROPN
ejde-362	30	3	8	8	NUM
ejde-362	30	4	,	,	PUNCT
ejde-362	30	5	2023	2023	NUM
ejde-362	30	6	.	.	PUNCT
ejde-362	31	1	published	publish	VERB
ejde-362	31	2	september	september	PROPN
ejde-362	31	3	18	18	NUM
ejde-362	31	4	,	,	PUNCT
ejde-362	31	5	2023	2023	NUM
ejde-362	31	6	.	.	PUNCT
ejde-362	31	7	1	1	NUM
ejde-362	31	8	2	2	NUM
ejde-362	31	9	a.	a.	NOUN
ejde-362	31	10	drissi	drissi	NOUN
ejde-362	31	11	,	,	PUNCT
ejde-362	31	12	a.	a.	NOUN
ejde-362	31	13	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	31	14	,	,	PUNCT
ejde-362	31	15	d.	d.	PROPN
ejde-362	31	16	d.	d.	PROPN
ejde-362	31	17	repovš	repovš	VERB
ejde-362	31	18	ejde-2023/61	ejde-2023/61	PRON
ejde-362	31	19	perrera	perrera	NOUN
ejde-362	31	20	and	and	CCONJ
ejde-362	31	21	zou	zou	NOUN
ejde-362	32	1	[	[	X
ejde-362	32	2	19	19	NUM
ejde-362	32	3	]	]	PUNCT
ejde-362	32	4	investigated	investigate	VERB
ejde-362	32	5	the	the	DET
ejde-362	32	6	critical	critical	ADJ
ejde-362	32	7	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	32	8	p	p	NOUN
ejde-362	32	9	-	-	PUNCT
ejde-362	32	10	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	32	11	problem	problem	NOUN
ejde-362	32	12	−∆pϕ	−∆pϕ	NOUN
ejde-362	32	13	=	=	PUNCT
ejde-362	32	14	λ|ϕ|p−2ϕ+	λ|ϕ|p−2ϕ+	X
ejde-362	32	15	|ϕ|p∗(α)−2ϕ	|ϕ|p∗(α)−2ϕ	AUX
ejde-362	32	16	|x|α	|x|α	PROPN
ejde-362	32	17	in	in	ADP
ejde-362	32	18	ω	ω	PROPN
ejde-362	32	19	,	,	PUNCT
ejde-362	32	20	ϕ	ϕ	X
ejde-362	32	21	=	=	SYM
ejde-362	32	22	0	0	NUM
ejde-362	32	23	on	on	ADP
ejde-362	32	24	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-362	32	25	.	.	PUNCT
ejde-362	33	1	(	(	PUNCT
ejde-362	33	2	1.1	1.1	NUM
ejde-362	33	3	)	)	PUNCT
ejde-362	33	4	more	more	ADV
ejde-362	33	5	precisely	precisely	ADV
ejde-362	33	6	,	,	PUNCT
ejde-362	33	7	they	they	PRON
ejde-362	33	8	used	use	VERB
ejde-362	33	9	variational	variational	ADJ
ejde-362	33	10	methods	method	NOUN
ejde-362	33	11	to	to	PART
ejde-362	33	12	establish	establish	VERB
ejde-362	33	13	the	the	DET
ejde-362	33	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	33	15	of	of	ADP
ejde-362	33	16	solutions	solution	NOUN
ejde-362	33	17	of	of	ADP
ejde-362	33	18	problem	problem	NOUN
ejde-362	33	19	(	(	PUNCT
ejde-362	33	20	1.1	1.1	NUM
ejde-362	33	21	)	)	PUNCT
ejde-362	33	22	.	.	PUNCT
ejde-362	34	1	recently	recently	ADV
ejde-362	34	2	,	,	PUNCT
ejde-362	34	3	wang	wang	PROPN
ejde-362	34	4	[	[	X
ejde-362	34	5	26	26	NUM
ejde-362	34	6	]	]	PUNCT
ejde-362	34	7	considered	consider	VERB
ejde-362	34	8	the	the	DET
ejde-362	34	9	problem	problem	NOUN
ejde-362	35	1	∆2	∆2	PROPN
ejde-362	35	2	pϕ	pϕ	NOUN
ejde-362	35	3	=	=	SYM
ejde-362	35	4	h(x	h(x	PROPN
ejde-362	35	5	,	,	PUNCT
ejde-362	35	6	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	35	7	)	)	PUNCT
ejde-362	35	8	+	+	NUM
ejde-362	35	9	µ	µ	PROPN
ejde-362	35	10	|ϕ|r−2ϕ	|ϕ|r−2ϕ	PROPN
ejde-362	35	11	|x|s	|x|s	PROPN
ejde-362	35	12	in	in	ADP
ejde-362	35	13	ω	ω	PROPN
ejde-362	35	14	,	,	PUNCT
ejde-362	35	15	ϕ	ϕ	X
ejde-362	35	16	=	=	SYM
ejde-362	35	17	∆ϕ	∆ϕ	PROPN
ejde-362	35	18	=	=	NOUN
ejde-362	35	19	0	0	NUM
ejde-362	35	20	on	on	ADP
ejde-362	35	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-362	35	22	.	.	PUNCT
ejde-362	36	1	(	(	PUNCT
ejde-362	36	2	1.2	1.2	NUM
ejde-362	36	3	)	)	PUNCT
ejde-362	36	4	he	he	PRON
ejde-362	36	5	used	use	VERB
ejde-362	36	6	the	the	DET
ejde-362	36	7	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	36	8	pass	pass	NOUN
ejde-362	36	9	theorem	theorem	VERB
ejde-362	36	10	to	to	PART
ejde-362	36	11	establish	establish	VERB
ejde-362	36	12	the	the	DET
ejde-362	36	13	existence	existence	NOUN
ejde-362	36	14	of	of	ADP
ejde-362	36	15	solutions	solution	NOUN
ejde-362	36	16	of	of	ADP
ejde-362	36	17	problem	problem	NOUN
ejde-362	36	18	(	(	PUNCT
ejde-362	36	19	1.2	1.2	NUM
ejde-362	36	20	)	)	PUNCT
ejde-362	36	21	.	.	PUNCT
ejde-362	37	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	37	2	,	,	PUNCT
ejde-362	37	3	the	the	DET
ejde-362	37	4	existence	existence	NOUN
ejde-362	37	5	of	of	ADP
ejde-362	37	6	multiple	multiple	ADJ
ejde-362	37	7	solutions	solution	NOUN
ejde-362	37	8	was	be	AUX
ejde-362	37	9	established	establish	VERB
ejde-362	37	10	by	by	ADP
ejde-362	37	11	applying	apply	VERB
ejde-362	37	12	the	the	DET
ejde-362	37	13	fountain	fountain	NOUN
ejde-362	37	14	theorem	theorem	VERB
ejde-362	37	15	.	.	PROPN
ejde-362	37	16	motivated	motivate	VERB
ejde-362	37	17	by	by	ADP
ejde-362	37	18	the	the	DET
ejde-362	37	19	above	above	ADJ
ejde-362	37	20	mentioned	mention	VERB
ejde-362	37	21	results	result	NOUN
ejde-362	37	22	,	,	PUNCT
ejde-362	37	23	we	we	PRON
ejde-362	37	24	study	study	VERB
ejde-362	37	25	in	in	ADP
ejde-362	37	26	the	the	DET
ejde-362	37	27	existence	existence	NOUN
ejde-362	37	28	and	and	CCONJ
ejde-362	37	29	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	37	30	of	of	ADP
ejde-362	37	31	solutions	solution	NOUN
ejde-362	37	32	of	of	ADP
ejde-362	37	33	the	the	DET
ejde-362	37	34	following	follow	VERB
ejde-362	37	35	singular	singular	ADJ
ejde-362	37	36	p	p	ADJ
ejde-362	37	37	-	-	PUNCT
ejde-362	37	38	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	37	39	problem	problem	NOUN
ejde-362	37	40	involving	involve	VERB
ejde-362	37	41	the	the	DET
ejde-362	37	42	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	37	43	potential	potential	NOUN
ejde-362	37	44	and	and	CCONJ
ejde-362	37	45	the	the	DET
ejde-362	37	46	critical	critical	ADJ
ejde-362	37	47	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	37	48	-	-	PUNCT
ejde-362	37	49	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	37	50	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	37	51	,	,	PUNCT
ejde-362	37	52	∆2	∆2	X
ejde-362	37	53	pϕ−	pϕ−	PUNCT
ejde-362	37	54	λ	λ	VERB
ejde-362	37	55	|ϕ|p−2ϕ	|ϕ|p−2ϕ	PROPN
ejde-362	37	56	|x|2p	|x|2p	PROPN
ejde-362	37	57	+	+	CCONJ
ejde-362	37	58	∆pϕ	∆pϕ	NOUN
ejde-362	37	59	=	=	SYM
ejde-362	37	60	µf(x)h(ϕ	µf(x)h(ϕ	NOUN
ejde-362	37	61	)	)	PUNCT
ejde-362	37	62	+	+	NUM
ejde-362	37	63	|ϕ|p∗(α)−2ϕ	|ϕ|p∗(α)−2ϕ	ADP
ejde-362	37	64	|x|α	|x|α	PROPN
ejde-362	37	65	in	in	ADP
ejde-362	37	66	rn	rn	PROPN
ejde-362	37	67	,	,	PUNCT
ejde-362	37	68	(	(	PUNCT
ejde-362	37	69	1.3	1.3	NUM
ejde-362	37	70	)	)	PUNCT
ejde-362	37	71	where	where	SCONJ
ejde-362	37	72	0	0	NUM
ejde-362	37	73	≤	≤	NUM
ejde-362	38	1	α	α	X
ejde-362	38	2	<	<	X
ejde-362	38	3	2p	2p	NUM
ejde-362	38	4	,	,	PUNCT
ejde-362	38	5	1	1	NUM
ejde-362	38	6	<	<	X
ejde-362	38	7	p	p	X
ejde-362	38	8	<	<	X
ejde-362	38	9	n	n	PRON
ejde-362	38	10	2	2	NUM
ejde-362	38	11	,	,	PUNCT
ejde-362	38	12	λ	λ	X
ejde-362	38	13	>	>	X
ejde-362	38	14	0	0	NUM
ejde-362	38	15	,	,	PUNCT
ejde-362	38	16	µ	µ	X
ejde-362	38	17	>	>	X
ejde-362	38	18	0	0	NUM
ejde-362	38	19	,	,	PUNCT
ejde-362	38	20	and	and	CCONJ
ejde-362	38	21	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	38	22	)	)	PUNCT
ejde-362	38	23	:	:	PUNCT
ejde-362	38	24	=	=	SYM
ejde-362	38	25	p(n−α	p(n−α	PROPN
ejde-362	38	26	)	)	PUNCT
ejde-362	38	27	n−2p	n−2p	NOUN
ejde-362	38	28	.	.	PUNCT
ejde-362	39	1	here	here	ADV
ejde-362	39	2	,	,	PUNCT
ejde-362	39	3	∆p	∆p	PROPN
ejde-362	39	4	and	and	CCONJ
ejde-362	39	5	∆2	∆2	PROPN
ejde-362	39	6	p	p	NOUN
ejde-362	39	7	are	be	AUX
ejde-362	39	8	the	the	DET
ejde-362	39	9	p	p	NOUN
ejde-362	39	10	-	-	PUNCT
ejde-362	39	11	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-362	39	12	and	and	CCONJ
ejde-362	39	13	the	the	DET
ejde-362	39	14	p	p	ADJ
ejde-362	39	15	-	-	PUNCT
ejde-362	39	16	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	39	17	operator	operator	NOUN
ejde-362	39	18	,	,	PUNCT
ejde-362	39	19	respectively	respectively	ADV
ejde-362	39	20	,	,	PUNCT
ejde-362	39	21	defined	define	VERB
ejde-362	39	22	by	by	ADP
ejde-362	39	23	∆pϕ	∆pϕ	NOUN
ejde-362	39	24	:	:	PUNCT
ejde-362	39	25	=	=	PUNCT
ejde-362	39	26	div(|∇ϕ|p−2∇ϕ	div(|∇ϕ|p−2∇ϕ	NOUN
ejde-362	39	27	)	)	PUNCT
ejde-362	39	28	,	,	PUNCT
ejde-362	39	29	∆2	∆2	X
ejde-362	39	30	pϕ	pϕ	NOUN
ejde-362	39	31	:	:	PUNCT
ejde-362	39	32	=	=	SYM
ejde-362	39	33	∆(|∆ϕ|p−2∆ϕ	∆(|∆ϕ|p−2∆ϕ	PROPN
ejde-362	39	34	)	)	PUNCT
ejde-362	39	35	,	,	PUNCT
ejde-362	39	36	respectively	respectively	ADV
ejde-362	39	37	,	,	PUNCT
ejde-362	39	38	f	f	PROPN
ejde-362	39	39	is	be	AUX
ejde-362	39	40	a	a	DET
ejde-362	39	41	positive	positive	ADJ
ejde-362	39	42	function	function	NOUN
ejde-362	39	43	,	,	PUNCT
ejde-362	39	44	h	h	NOUN
ejde-362	39	45	is	be	AUX
ejde-362	39	46	a	a	DET
ejde-362	39	47	continuous	continuous	ADJ
ejde-362	39	48	function	function	NOUN
ejde-362	39	49	.	.	PUNCT
ejde-362	40	1	we	we	PRON
ejde-362	40	2	use	use	VERB
ejde-362	40	3	the	the	DET
ejde-362	40	4	following	following	ADJ
ejde-362	40	5	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	40	6	:	:	PUNCT
ejde-362	40	7	(	(	PUNCT
ejde-362	40	8	h1	h1	PROPN
ejde-362	40	9	)	)	PUNCT
ejde-362	40	10	there	there	PRON
ejde-362	40	11	exists	exist	VERB
ejde-362	41	1	r	r	NOUN
ejde-362	41	2	∈	∈	PROPN
ejde-362	41	3	(	(	PUNCT
ejde-362	41	4	p	p	NOUN
ejde-362	41	5	,	,	PUNCT
ejde-362	41	6	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	41	7	)	)	PUNCT
ejde-362	41	8	such	such	ADJ
ejde-362	41	9	that	that	SCONJ
ejde-362	41	10	f	f	PROPN
ejde-362	41	11	∈	∈	PROPN
ejde-362	41	12	l∞(rn	l∞(rn	PROPN
ejde-362	41	13	)	)	PUNCT
ejde-362	41	14	and	and	CCONJ
ejde-362	41	15	|h(ϕ)|	|h(ϕ)|	VERB
ejde-362	41	16	≤	≤	ADJ
ejde-362	41	17	c1|ϕ|r−1	c1|ϕ|r−1	PROPN
ejde-362	41	18	for	for	ADP
ejde-362	41	19	every	every	DET
ejde-362	41	20	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	41	21	∈	∈	PROPN
ejde-362	41	22	e	e	NOUN
ejde-362	41	23	and	and	CCONJ
ejde-362	41	24	some	some	DET
ejde-362	41	25	positive	positive	ADJ
ejde-362	41	26	constant	constant	ADJ
ejde-362	41	27	c1	c1	NOUN
ejde-362	41	28	,	,	PUNCT
ejde-362	41	29	where	where	SCONJ
ejde-362	41	30	p∗	p∗	ADJ
ejde-362	41	31	:	:	PUNCT
ejde-362	41	32	=	=	PUNCT
ejde-362	41	33	pn	pn	X
ejde-362	41	34	n−2p	n−2p	NOUN
ejde-362	41	35	and	and	CCONJ
ejde-362	41	36	the	the	DET
ejde-362	41	37	space	space	NOUN
ejde-362	41	38	e	e	NOUN
ejde-362	41	39	:	:	PUNCT
ejde-362	41	40	=	=	PUNCT
ejde-362	41	41	w	w	PROPN
ejde-362	41	42	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	41	43	)	)	PUNCT
ejde-362	41	44	is	be	AUX
ejde-362	41	45	defined	define	VERB
ejde-362	41	46	in	in	ADP
ejde-362	41	47	section	section	NOUN
ejde-362	41	48	2	2	NUM
ejde-362	41	49	.	.	PUNCT
ejde-362	42	1	(	(	PUNCT
ejde-362	42	2	h2	h2	NOUN
ejde-362	42	3	)	)	PUNCT
ejde-362	42	4	there	there	PRON
ejde-362	42	5	exists	exist	VERB
ejde-362	42	6	σ	σ	X
ejde-362	42	7	>	>	X
ejde-362	42	8	0	0	NUM
ejde-362	42	9	such	such	ADJ
ejde-362	42	10	that	that	PRON
ejde-362	42	11	for	for	ADP
ejde-362	42	12	every	every	DET
ejde-362	42	13	y	y	PROPN
ejde-362	42	14	∈	∈	PROPN
ejde-362	42	15	rn	rn	PROPN
ejde-362	42	16	,	,	PUNCT
ejde-362	42	17	we	we	PRON
ejde-362	42	18	have	have	VERB
ejde-362	42	19	0	0	NUM
ejde-362	42	20	<	<	X
ejde-362	42	21	rh(ϕ	rh(ϕ	NOUN
ejde-362	42	22	)	)	PUNCT
ejde-362	42	23	≤	≤	NOUN
ejde-362	42	24	h(ϕ)ϕ	h(ϕ)ϕ	NOUN
ejde-362	42	25	,	,	PUNCT
ejde-362	42	26	|ϕ|	|ϕ|	PROPN
ejde-362	42	27	≥	≥	PROPN
ejde-362	42	28	σ	σ	PROPN
ejde-362	42	29	>	>	X
ejde-362	42	30	0	0	PROPN
ejde-362	42	31	,	,	PUNCT
ejde-362	42	32	where	where	SCONJ
ejde-362	42	33	h(t	h(t	PROPN
ejde-362	42	34	)	)	PUNCT
ejde-362	42	35	:	:	PUNCT
ejde-362	43	1	=	=	SYM
ejde-362	43	2	∫	∫	PROPN
ejde-362	43	3	t	t	PROPN
ejde-362	43	4	0	0	NUM
ejde-362	43	5	h(s)ds	h(s)ds	PROPN
ejde-362	43	6	.	.	PUNCT
ejde-362	44	1	(	(	PUNCT
ejde-362	44	2	h3	h3	NOUN
ejde-362	44	3	)	)	PUNCT
ejde-362	44	4	there	there	ADV
ejde-362	44	5	exist	exist	VERB
ejde-362	44	6	c1	c1	PROPN
ejde-362	44	7	>	>	X
ejde-362	44	8	0	0	PROPN
ejde-362	44	9	,	,	PUNCT
ejde-362	44	10	1	1	NUM
ejde-362	44	11	<	<	X
ejde-362	44	12	r	r	NOUN
ejde-362	44	13	<	<	X
ejde-362	44	14	p	p	X
ejde-362	44	15	,	,	PUNCT
ejde-362	44	16	and	and	CCONJ
ejde-362	44	17	s	s	PROPN
ejde-362	44	18	∈	∈	PROPN
ejde-362	44	19	(	(	PUNCT
ejde-362	44	20	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	44	21	p∗−r	p∗−r	ADV
ejde-362	44	22	,	,	PUNCT
ejde-362	44	23	p	p	PROPN
ejde-362	44	24	p−r	p−r	NOUN
ejde-362	44	25	)	)	PUNCT
ejde-362	45	1	such	such	ADJ
ejde-362	45	2	that	that	SCONJ
ejde-362	45	3	0	0	NUM
ejde-362	45	4	<	<	X
ejde-362	45	5	f	f	PROPN
ejde-362	45	6	∈	∈	PROPN
ejde-362	45	7	l	l	NOUN
ejde-362	45	8	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	45	9	p∗−r	p∗−r	ADJ
ejde-362	45	10	(	(	PUNCT
ejde-362	45	11	rn	rn	PROPN
ejde-362	45	12	)	)	PUNCT
ejde-362	45	13	∩	∩	PROPN
ejde-362	45	14	lsloc(rn	lsloc(rn	PROPN
ejde-362	45	15	)	)	PUNCT
ejde-362	45	16	,	,	PUNCT
ejde-362	45	17	and	and	CCONJ
ejde-362	45	18	|h(ϕ)|	|h(ϕ)|	VERB
ejde-362	45	19	≤	≤	ADJ
ejde-362	45	20	c1|ϕ|r−1	c1|ϕ|r−1	PROPN
ejde-362	45	21	for	for	ADP
ejde-362	45	22	for	for	ADP
ejde-362	45	23	every	every	DET
ejde-362	45	24	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	45	25	∈	∈	PROPN
ejde-362	45	26	e.	e.	PROPN
ejde-362	46	1	the	the	DET
ejde-362	46	2	following	follow	VERB
ejde-362	46	3	are	be	AUX
ejde-362	46	4	the	the	DET
ejde-362	46	5	main	main	ADJ
ejde-362	46	6	results	result	NOUN
ejde-362	46	7	of	of	ADP
ejde-362	46	8	this	this	DET
ejde-362	46	9	article	article	NOUN
ejde-362	46	10	.	.	PUNCT
ejde-362	47	1	theorem	theorem	VERB
ejde-362	47	2	1.1	1.1	NUM
ejde-362	47	3	.	.	PUNCT
ejde-362	48	1	suppose	suppose	VERB
ejde-362	48	2	that	that	SCONJ
ejde-362	48	3	(	(	PUNCT
ejde-362	48	4	h1	h1	PROPN
ejde-362	48	5	)	)	PUNCT
ejde-362	48	6	,	,	PUNCT
ejde-362	48	7	(	(	PUNCT
ejde-362	48	8	h2	h2	NOUN
ejde-362	48	9	)	)	PUNCT
ejde-362	48	10	hold	hold	NOUN
ejde-362	48	11	.	.	PUNCT
ejde-362	49	1	then	then	ADV
ejde-362	49	2	for	for	ADP
ejde-362	49	3	every	every	DET
ejde-362	49	4	µ	µ	X
ejde-362	49	5	>	>	X
ejde-362	49	6	0	0	PROPN
ejde-362	49	7	,	,	PUNCT
ejde-362	49	8	the	the	DET
ejde-362	49	9	singular	singular	ADJ
ejde-362	49	10	p	p	ADJ
ejde-362	49	11	-	-	PUNCT
ejde-362	49	12	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	49	13	problem	problem	NOUN
ejde-362	49	14	(	(	PUNCT
ejde-362	49	15	1.3	1.3	NUM
ejde-362	49	16	)	)	PUNCT
ejde-362	49	17	has	have	AUX
ejde-362	49	18	at	at	ADV
ejde-362	49	19	least	least	ADV
ejde-362	49	20	one	one	NUM
ejde-362	49	21	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	49	22	weak	weak	ADJ
ejde-362	49	23	solution	solution	NOUN
ejde-362	49	24	,	,	PUNCT
ejde-362	49	25	provided	provide	VERB
ejde-362	49	26	that	that	SCONJ
ejde-362	49	27	λ	λ	NOUN
ejde-362	49	28	>	>	X
ejde-362	49	29	0	0	NUM
ejde-362	49	30	is	be	AUX
ejde-362	49	31	small	small	ADJ
ejde-362	49	32	enough	enough	ADV
ejde-362	49	33	.	.	PUNCT
ejde-362	50	1	theorem	theorem	VERB
ejde-362	50	2	1.2	1.2	NUM
ejde-362	50	3	.	.	PUNCT
ejde-362	51	1	suppose	suppose	VERB
ejde-362	51	2	that	that	SCONJ
ejde-362	51	3	(	(	PUNCT
ejde-362	51	4	h2	h2	NOUN
ejde-362	51	5	)	)	PUNCT
ejde-362	51	6	,	,	PUNCT
ejde-362	51	7	(	(	PUNCT
ejde-362	51	8	h3	h3	NOUN
ejde-362	51	9	)	)	PUNCT
ejde-362	51	10	hold	hold	VERB
ejde-362	51	11	.	.	PUNCT
ejde-362	52	1	then	then	ADV
ejde-362	52	2	there	there	PRON
ejde-362	52	3	exists	exist	VERB
ejde-362	52	4	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	52	5	>	>	X
ejde-362	52	6	0	0	NUM
ejde-362	53	1	such	such	ADJ
ejde-362	53	2	that	that	PRON
ejde-362	53	3	for	for	ADP
ejde-362	53	4	every	every	DET
ejde-362	53	5	µ	µ	PROPN
ejde-362	53	6	∈	∈	NOUN
ejde-362	53	7	(	(	PUNCT
ejde-362	53	8	0	0	NUM
ejde-362	53	9	,	,	PUNCT
ejde-362	53	10	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	53	11	)	)	PUNCT
ejde-362	53	12	,	,	PUNCT
ejde-362	53	13	the	the	DET
ejde-362	53	14	singular	singular	ADJ
ejde-362	53	15	p	p	ADJ
ejde-362	53	16	-	-	PUNCT
ejde-362	53	17	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	53	18	problem	problem	NOUN
ejde-362	53	19	(	(	PUNCT
ejde-362	53	20	1.3	1.3	NUM
ejde-362	53	21	)	)	PUNCT
ejde-362	53	22	has	have	AUX
ejde-362	53	23	at	at	ADV
ejde-362	53	24	least	least	ADV
ejde-362	53	25	two	two	NUM
ejde-362	53	26	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	53	27	weak	weak	ADJ
ejde-362	53	28	solutions	solution	NOUN
ejde-362	53	29	,	,	PUNCT
ejde-362	53	30	provided	provide	VERB
ejde-362	53	31	that	that	SCONJ
ejde-362	53	32	λ	λ	PROPN
ejde-362	53	33	>	>	X
ejde-362	53	34	0	0	NUM
ejde-362	53	35	is	be	AUX
ejde-362	53	36	small	small	ADJ
ejde-362	53	37	enough	enough	ADV
ejde-362	53	38	.	.	PUNCT
ejde-362	54	1	note	note	VERB
ejde-362	54	2	that	that	SCONJ
ejde-362	54	3	the	the	DET
ejde-362	54	4	singular	singular	ADJ
ejde-362	54	5	p	p	ADJ
ejde-362	54	6	-	-	PUNCT
ejde-362	54	7	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	54	8	problem	problem	NOUN
ejde-362	54	9	(	(	PUNCT
ejde-362	54	10	1.3	1.3	NUM
ejde-362	54	11	)	)	PUNCT
ejde-362	54	12	is	be	AUX
ejde-362	54	13	very	very	ADV
ejde-362	54	14	important	important	ADJ
ejde-362	54	15	since	since	SCONJ
ejde-362	54	16	it	it	PRON
ejde-362	54	17	contains	contain	VERB
ejde-362	54	18	the	the	DET
ejde-362	54	19	p	p	ADJ
ejde-362	54	20	-	-	PUNCT
ejde-362	54	21	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	54	22	operator	operator	NOUN
ejde-362	54	23	,	,	PUNCT
ejde-362	54	24	the	the	DET
ejde-362	54	25	p	p	PROPN
ejde-362	54	26	-	-	PUNCT
ejde-362	54	27	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	54	28	operator	operator	NOUN
ejde-362	54	29	,	,	PUNCT
ejde-362	54	30	the	the	DET
ejde-362	54	31	singular	singular	ADJ
ejde-362	54	32	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-362	54	33	,	,	PUNCT
ejde-362	54	34	and	and	CCONJ
ejde-362	54	35	the	the	DET
ejde-362	54	36	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	54	37	potential	potential	NOUN
ejde-362	54	38	.	.	PUNCT
ejde-362	55	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	55	2	,	,	PUNCT
ejde-362	55	3	it	it	PRON
ejde-362	55	4	appears	appear	VERB
ejde-362	55	5	in	in	ADP
ejde-362	55	6	many	many	ADJ
ejde-362	55	7	applications	application	NOUN
ejde-362	55	8	,	,	PUNCT
ejde-362	55	9	such	such	ADJ
ejde-362	55	10	as	as	ADP
ejde-362	55	11	non	non	ADJ
ejde-362	55	12	-	-	ADJ
ejde-362	55	13	newtonian	newtonian	ADJ
ejde-362	55	14	fluids	fluid	NOUN
ejde-362	55	15	,	,	PUNCT
ejde-362	55	16	viscous	viscous	ADJ
ejde-362	55	17	fluids	fluid	NOUN
ejde-362	55	18	,	,	PUNCT
ejde-362	55	19	traveling	travel	VERB
ejde-362	55	20	waves	wave	NOUN
ejde-362	55	21	in	in	ADP
ejde-362	55	22	suspension	suspension	NOUN
ejde-362	55	23	bridges	bridge	NOUN
ejde-362	55	24	,	,	PUNCT
ejde-362	55	25	and	and	CCONJ
ejde-362	55	26	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	55	27	singular	singular	ADJ
ejde-362	55	28	p	p	ADJ
ejde-362	55	29	-	-	PUNCT
ejde-362	55	30	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	55	31	problems	problem	NOUN
ejde-362	55	32	3	3	NUM
ejde-362	55	33	various	various	ADJ
ejde-362	55	34	other	other	ADJ
ejde-362	55	35	physical	physical	ADJ
ejde-362	55	36	phenomena	phenomenon	NOUN
ejde-362	55	37	,	,	PUNCT
ejde-362	55	38	see	see	VERB
ejde-362	55	39	,	,	PUNCT
ejde-362	55	40	e.g.	e.g.	ADV
ejde-362	55	41	,	,	PUNCT
ejde-362	55	42	chen	chen	PROPN
ejde-362	55	43	et	et	PROPN
ejde-362	55	44	al	al	PROPN
ejde-362	55	45	.	.	PUNCT
ejde-362	56	1	[	[	X
ejde-362	56	2	8	8	NUM
ejde-362	56	3	]	]	PUNCT
ejde-362	56	4	,	,	PUNCT
ejde-362	56	5	lazer	lazer	NOUN
ejde-362	56	6	and	and	CCONJ
ejde-362	56	7	mckenna	mckenna	NOUN
ejde-362	57	1	[	[	X
ejde-362	57	2	16	16	NUM
ejde-362	57	3	]	]	PUNCT
ejde-362	57	4	,	,	PUNCT
ejde-362	57	5	and	and	CCONJ
ejde-362	57	6	ružička	ružička	NOUN
ejde-362	58	1	[	[	X
ejde-362	58	2	22	22	NUM
ejde-362	58	3	]	]	PUNCT
ejde-362	58	4	.	.	PUNCT
ejde-362	59	1	the	the	DET
ejde-362	59	2	article	article	NOUN
ejde-362	59	3	is	be	AUX
ejde-362	59	4	organized	organize	VERB
ejde-362	59	5	as	as	SCONJ
ejde-362	59	6	follows	follow	VERB
ejde-362	59	7	:	:	PUNCT
ejde-362	59	8	in	in	ADP
ejde-362	59	9	section	section	NOUN
ejde-362	59	10	2	2	NUM
ejde-362	59	11	,	,	PUNCT
ejde-362	59	12	we	we	PRON
ejde-362	59	13	present	present	VERB
ejde-362	59	14	some	some	DET
ejde-362	59	15	variational	variational	ADJ
ejde-362	59	16	framework	framework	NOUN
ejde-362	59	17	related	relate	VERB
ejde-362	59	18	to	to	ADP
ejde-362	59	19	problem	problem	NOUN
ejde-362	59	20	(	(	PUNCT
ejde-362	59	21	1.3	1.3	NUM
ejde-362	59	22	)	)	PUNCT
ejde-362	59	23	.	.	PUNCT
ejde-362	60	1	in	in	ADP
ejde-362	60	2	section	section	NOUN
ejde-362	60	3	3	3	NUM
ejde-362	60	4	,	,	PUNCT
ejde-362	60	5	we	we	PRON
ejde-362	60	6	prove	prove	VERB
ejde-362	60	7	theorem	theorem	VERB
ejde-362	60	8	1.1	1.1	NUM
ejde-362	60	9	.	.	PUNCT
ejde-362	61	1	in	in	ADP
ejde-362	61	2	section	section	NOUN
ejde-362	61	3	4	4	NUM
ejde-362	61	4	we	we	PRON
ejde-362	61	5	combine	combine	VERB
ejde-362	61	6	the	the	DET
ejde-362	61	7	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	61	8	pass	pass	NOUN
ejde-362	61	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	61	10	with	with	ADP
ejde-362	61	11	the	the	DET
ejde-362	61	12	ekeland	ekeland	ADJ
ejde-362	61	13	variational	variational	ADJ
ejde-362	61	14	principle	principle	NOUN
ejde-362	61	15	to	to	PART
ejde-362	61	16	prove	prove	VERB
ejde-362	61	17	the	the	DET
ejde-362	61	18	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	61	19	of	of	ADP
ejde-362	61	20	solutions	solution	NOUN
ejde-362	61	21	of	of	ADP
ejde-362	61	22	problem	problem	NOUN
ejde-362	61	23	(	(	PUNCT
ejde-362	61	24	1.3	1.3	NUM
ejde-362	61	25	)	)	PUNCT
ejde-362	61	26	(	(	PUNCT
ejde-362	61	27	theorem	theorem	VERB
ejde-362	61	28	1.2	1.2	NUM
ejde-362	61	29	)	)	PUNCT
ejde-362	61	30	.	.	PUNCT
ejde-362	62	1	in	in	ADP
ejde-362	62	2	section	section	NOUN
ejde-362	62	3	5	5	NUM
ejde-362	62	4	we	we	PRON
ejde-362	62	5	present	present	VERB
ejde-362	62	6	an	an	DET
ejde-362	62	7	example	example	NOUN
ejde-362	62	8	that	that	PRON
ejde-362	62	9	illustrate	illustrate	VERB
ejde-362	62	10	our	our	PRON
ejde-362	62	11	main	main	ADJ
ejde-362	62	12	results	result	NOUN
ejde-362	62	13	.	.	PUNCT
ejde-362	63	1	finally	finally	ADV
ejde-362	63	2	,	,	PUNCT
ejde-362	63	3	in	in	ADP
ejde-362	63	4	section	section	NOUN
ejde-362	63	5	6	6	NUM
ejde-362	63	6	we	we	PRON
ejde-362	63	7	summarize	summarize	VERB
ejde-362	63	8	the	the	DET
ejde-362	63	9	main	main	ADJ
ejde-362	63	10	contributions	contribution	NOUN
ejde-362	63	11	of	of	ADP
ejde-362	63	12	this	this	DET
ejde-362	63	13	article	article	NOUN
ejde-362	63	14	.	.	PUNCT
ejde-362	64	1	2	2	X
ejde-362	64	2	.	.	X
ejde-362	64	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-362	64	4	we	we	PRON
ejde-362	64	5	begin	begin	VERB
ejde-362	64	6	by	by	ADP
ejde-362	64	7	recalling	recall	VERB
ejde-362	64	8	some	some	DET
ejde-362	64	9	necessary	necessary	ADJ
ejde-362	64	10	facts	fact	NOUN
ejde-362	64	11	related	relate	VERB
ejde-362	64	12	to	to	ADP
ejde-362	64	13	the	the	DET
ejde-362	64	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	64	15	-	-	PUNCT
ejde-362	64	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	64	17	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	64	18	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-362	64	19	.	.	PUNCT
ejde-362	65	1	we	we	PRON
ejde-362	65	2	finish	finish	VERB
ejde-362	65	3	this	this	DET
ejde-362	65	4	section	section	NOUN
ejde-362	65	5	by	by	ADP
ejde-362	65	6	presenting	present	VERB
ejde-362	65	7	the	the	DET
ejde-362	65	8	variational	variational	ADJ
ejde-362	65	9	framework	framework	NOUN
ejde-362	65	10	related	relate	VERB
ejde-362	65	11	to	to	ADP
ejde-362	65	12	problem	problem	NOUN
ejde-362	65	13	(	(	PUNCT
ejde-362	65	14	1.3	1.3	NUM
ejde-362	65	15	)	)	PUNCT
ejde-362	65	16	.	.	PUNCT
ejde-362	66	1	for	for	ADP
ejde-362	66	2	other	other	ADJ
ejde-362	66	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-362	66	4	background	background	NOUN
ejde-362	66	5	material	material	NOUN
ejde-362	66	6	we	we	PRON
ejde-362	66	7	refer	refer	VERB
ejde-362	66	8	to	to	ADP
ejde-362	66	9	the	the	DET
ejde-362	66	10	comprehensive	comprehensive	ADJ
ejde-362	66	11	monograph	monograph	NOUN
ejde-362	66	12	by	by	ADP
ejde-362	66	13	papageorgiou	papageorgiou	PROPN
ejde-362	66	14	et	et	PROPN
ejde-362	66	15	al	al	PROPN
ejde-362	66	16	.	.	PUNCT
ejde-362	67	1	[	[	X
ejde-362	67	2	18	18	NUM
ejde-362	67	3	]	]	PUNCT
ejde-362	67	4	.	.	PUNCT
ejde-362	68	1	it	it	PRON
ejde-362	68	2	is	be	AUX
ejde-362	68	3	well	well	ADV
ejde-362	68	4	-	-	PUNCT
ejde-362	68	5	known	know	VERB
ejde-362	68	6	that	that	SCONJ
ejde-362	68	7	the	the	DET
ejde-362	68	8	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	68	9	-	-	PUNCT
ejde-362	68	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	68	11	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	68	12	is	be	AUX
ejde-362	68	13	closely	closely	ADV
ejde-362	68	14	related	relate	VERB
ejde-362	68	15	to	to	ADP
ejde-362	68	16	the	the	DET
ejde-362	68	17	rellich	rellich	PROPN
ejde-362	68	18	inequality	inequality	NOUN
ejde-362	68	19	(	(	PUNCT
ejde-362	68	20	see	see	VERB
ejde-362	68	21	davies	davy	NOUN
ejde-362	68	22	and	and	CCONJ
ejde-362	68	23	hinz	hinz	NOUN
ejde-362	69	1	[	[	X
ejde-362	69	2	11	11	NUM
ejde-362	69	3	,	,	PUNCT
ejde-362	69	4	p.	p.	NOUN
ejde-362	69	5	520])∫	520])∫	PROPN
ejde-362	70	1	rn	rn	PROPN
ejde-362	70	2	|ϕ(x)|p	|ϕ(x)|p	PROPN
ejde-362	70	3	|x|2p	|x|2p	PROPN
ejde-362	70	4	dx	dx	PROPN
ejde-362	70	5	≤	≤	NUM
ejde-362	70	6	(	(	PUNCT
ejde-362	70	7	p2	p2	X
ejde-362	70	8	n(p−	n(p−	X
ejde-362	70	9	1)(n	1)(n	NUM
ejde-362	70	10	−	−	NOUN
ejde-362	70	11	2p	2p	NUM
ejde-362	70	12	)	)	PUNCT
ejde-362	70	13	)	)	PUNCT
ejde-362	71	1	p	p	X
ejde-362	71	2	∫	∫	PROPN
ejde-362	71	3	rn	rn	PROPN
ejde-362	71	4	|∆ϕ(x)|p	|∆ϕ(x)|p	PROPN
ejde-362	71	5	dx	dx	PROPN
ejde-362	71	6	,	,	PUNCT
ejde-362	71	7	(	(	PUNCT
ejde-362	71	8	2.1	2.1	NUM
ejde-362	71	9	)	)	PUNCT
ejde-362	71	10	for	for	ADP
ejde-362	71	11	every	every	DET
ejde-362	71	12	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	71	13	∈	∈	PROPN
ejde-362	71	14	w	w	PROPN
ejde-362	71	15	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	71	16	)	)	PUNCT
ejde-362	71	17	,	,	PUNCT
ejde-362	71	18	where	where	SCONJ
ejde-362	71	19	w	w	PROPN
ejde-362	71	20	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	71	21	)	)	PUNCT
ejde-362	71	22	denotes	denote	VERB
ejde-362	71	23	the	the	DET
ejde-362	71	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	71	25	space	space	NOUN
ejde-362	71	26	which	which	PRON
ejde-362	71	27	is	be	AUX
ejde-362	71	28	defined	define	VERB
ejde-362	71	29	by	by	ADP
ejde-362	71	30	w	w	PROPN
ejde-362	71	31	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	71	32	)	)	PUNCT
ejde-362	71	33	:	:	PUNCT
ejde-362	71	34	=	=	X
ejde-362	71	35	{	{	PUNCT
ejde-362	71	36	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	71	37	∈	∈	PROPN
ejde-362	71	38	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-362	71	39	)	)	PUNCT
ejde-362	71	40	:	:	PUNCT
ejde-362	71	41	∆ϕ	∆ϕ	NUM
ejde-362	71	42	,	,	PUNCT
ejde-362	71	43	|∇ϕ|	|∇ϕ|	PRON
ejde-362	71	44	∈	∈	PROPN
ejde-362	71	45	lp(rn	lp(rn	PROPN
ejde-362	71	46	)	)	PUNCT
ejde-362	71	47	}	}	PUNCT
ejde-362	71	48	.	.	PUNCT
ejde-362	72	1	for	for	ADP
ejde-362	72	2	more	more	ADJ
ejde-362	72	3	details	detail	NOUN
ejde-362	72	4	about	about	ADP
ejde-362	72	5	this	this	DET
ejde-362	72	6	space	space	NOUN
ejde-362	72	7	,	,	PUNCT
ejde-362	72	8	see	see	VERB
ejde-362	72	9	davies	davy	NOUN
ejde-362	72	10	and	and	CCONJ
ejde-362	72	11	hinz	hinz	NOUN
ejde-362	73	1	[	[	X
ejde-362	73	2	11	11	NUM
ejde-362	73	3	]	]	PUNCT
ejde-362	73	4	,	,	PUNCT
ejde-362	73	5	mitidieri	mitidieri	PROPN
ejde-362	74	1	[	[	X
ejde-362	74	2	17	17	NUM
ejde-362	74	3	]	]	PUNCT
ejde-362	74	4	,	,	PUNCT
ejde-362	74	5	and	and	CCONJ
ejde-362	74	6	rellich	rellich	VERB
ejde-362	75	1	[	[	X
ejde-362	75	2	21	21	NUM
ejde-362	75	3	]	]	PUNCT
ejde-362	75	4	.	.	PUNCT
ejde-362	76	1	according	accord	VERB
ejde-362	76	2	to	to	ADP
ejde-362	76	3	the	the	DET
ejde-362	76	4	rellich	rellich	PROPN
ejde-362	76	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-362	76	6	(	(	PUNCT
ejde-362	76	7	2.1	2.1	NUM
ejde-362	76	8	)	)	PUNCT
ejde-362	76	9	,	,	PUNCT
ejde-362	76	10	w	w	PROPN
ejde-362	76	11	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	76	12	)	)	PUNCT
ejde-362	76	13	can	can	AUX
ejde-362	76	14	be	be	AUX
ejde-362	76	15	endowed	endow	VERB
ejde-362	76	16	with	with	ADP
ejde-362	76	17	the	the	DET
ejde-362	76	18	following	follow	VERB
ejde-362	76	19	norm	norm	NOUN
ejde-362	76	20	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	76	21	:	:	PUNCT
ejde-362	77	1	=	=	SYM
ejde-362	77	2	(	(	PUNCT
ejde-362	77	3	∫	∫	PROPN
ejde-362	77	4	rn	rn	PROPN
ejde-362	77	5	|∆ϕ(x)|p	|∆ϕ(x)|p	PROPN
ejde-362	77	6	−	−	PROPN
ejde-362	77	7	λ	λ	PROPN
ejde-362	77	8	|ϕ(x)|p	|ϕ(x)|p	NOUN
ejde-362	77	9	|x|2p	|x|2p	PROPN
ejde-362	77	10	+	+	CCONJ
ejde-362	77	11	|∇ϕ(x)|p	|∇ϕ(x)|p	ADJ
ejde-362	77	12	dx	dx	PROPN
ejde-362	77	13	)	)	PUNCT
ejde-362	77	14	1	1	X
ejde-362	77	15	/	/	SYM
ejde-362	77	16	p	p	NOUN
ejde-362	77	17	,	,	PUNCT
ejde-362	77	18	provided	provide	VERB
ejde-362	77	19	that	that	SCONJ
ejde-362	77	20	0	0	NUM
ejde-362	77	21	<	<	X
ejde-362	77	22	λ	λ	X
ejde-362	77	23	<	<	X
ejde-362	77	24	(	(	PUNCT
ejde-362	77	25	n(p−	n(p−	X
ejde-362	77	26	1)(n	1)(n	NUM
ejde-362	77	27	−	−	NOUN
ejde-362	77	28	2p	2p	NUM
ejde-362	77	29	)	)	PUNCT
ejde-362	77	30	p2	p2	PROPN
ejde-362	77	31	)	)	PUNCT
ejde-362	77	32	p	p	NOUN
ejde-362	77	33	.	.	PUNCT
ejde-362	78	1	(	(	PUNCT
ejde-362	78	2	2.2	2.2	NUM
ejde-362	78	3	)	)	PUNCT
ejde-362	78	4	the	the	DET
ejde-362	78	5	space	space	NOUN
ejde-362	78	6	w	w	PROPN
ejde-362	78	7	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	78	8	)	)	PUNCT
ejde-362	78	9	is	be	AUX
ejde-362	78	10	continuously	continuously	ADV
ejde-362	78	11	embeddable	embeddable	ADJ
ejde-362	78	12	into	into	ADP
ejde-362	78	13	lσ(rn	lσ(rn	PROPN
ejde-362	78	14	)	)	PUNCT
ejde-362	78	15	for	for	ADP
ejde-362	78	16	every	every	DET
ejde-362	78	17	p	p	PROPN
ejde-362	78	18	≤	≤	PROPN
ejde-362	78	19	σ	σ	NOUN
ejde-362	78	20	≤	≤	PROPN
ejde-362	78	21	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	78	22	,	,	PUNCT
ejde-362	78	23	and	and	CCONJ
ejde-362	78	24	compactly	compactly	ADV
ejde-362	78	25	embeddable	embeddable	ADJ
ejde-362	78	26	into	into	ADP
ejde-362	78	27	lσloc(rn	lσloc(rn	PROPN
ejde-362	78	28	)	)	PUNCT
ejde-362	78	29	,	,	PUNCT
ejde-362	78	30	for	for	ADP
ejde-362	78	31	every	every	DET
ejde-362	78	32	p	p	PROPN
ejde-362	78	33	≤	≤	NOUN
ejde-362	78	34	σ	σ	NOUN
ejde-362	78	35	<	<	X
ejde-362	78	36	p∗.	p∗.	NOUN
ejde-362	78	37	moreover	moreover	ADV
ejde-362	78	38	,	,	PUNCT
ejde-362	78	39	for	for	ADP
ejde-362	78	40	every	every	DET
ejde-362	78	41	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	78	42	∈w	∈w	PROPN
ejde-362	78	43	2,p(rn	2,p(rn	NUM
ejde-362	78	44	)	)	PUNCT
ejde-362	78	45	,	,	PUNCT
ejde-362	78	46	one	one	PRON
ejde-362	78	47	has	have	AUX
ejde-362	78	48	|ϕ|σ	|ϕ|σ	VERB
ejde-362	78	49	≤	≤	VERB
ejde-362	78	50	s−1	s−1	PROPN
ejde-362	78	51	/	/	SYM
ejde-362	78	52	p	p	NOUN
ejde-362	78	53	σ	σ	PROPN
ejde-362	78	54	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	78	55	,	,	PUNCT
ejde-362	78	56	(	(	PUNCT
ejde-362	78	57	2.3	2.3	NUM
ejde-362	78	58	)	)	PUNCT
ejde-362	78	59	where	where	SCONJ
ejde-362	78	60	|ϕ|p	|ϕ|p	NOUN
ejde-362	78	61	denotes	denote	VERB
ejde-362	78	62	the	the	DET
ejde-362	78	63	usual	usual	ADJ
ejde-362	78	64	lp(rn	lp(rn	ADJ
ejde-362	78	65	)	)	PUNCT
ejde-362	78	66	-norm	-norm	NOUN
ejde-362	78	67	and	and	CCONJ
ejde-362	78	68	sσ	sσ	NOUN
ejde-362	78	69	is	be	AUX
ejde-362	78	70	defined	define	VERB
ejde-362	78	71	by	by	ADP
ejde-362	78	72	sσ	sσ	NOUN
ejde-362	78	73	:	:	PUNCT
ejde-362	78	74	=	=	SYM
ejde-362	78	75	inf	inf	PROPN
ejde-362	78	76	ϕ∈w	ϕ∈w	NOUN
ejde-362	78	77	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	78	78	)	)	PUNCT
ejde-362	78	79	,	,	PUNCT
ejde-362	79	1	ϕ6=0	ϕ6=0	PROPN
ejde-362	79	2	∫	∫	PROPN
ejde-362	79	3	rn	rn	PROPN
ejde-362	79	4	|∆ϕ(x)|p	|∆ϕ(x)|p	PROPN
ejde-362	79	5	−	−	PROPN
ejde-362	80	1	λ	λ	PROPN
ejde-362	80	2	|ϕ(x)|p	|ϕ(x)|p	NOUN
ejde-362	80	3	|x|2p	|x|2p	PROPN
ejde-362	80	4	+	+	CCONJ
ejde-362	80	5	|∇ϕ(x)|p	|∇ϕ(x)|p	ADJ
ejde-362	80	6	dx(∫	dx(∫	PROPN
ejde-362	80	7	rn	rn	PROPN
ejde-362	80	8	|x−α||ϕ(x)|σ	|x−α||ϕ(x)|σ	PROPN
ejde-362	80	9	dx	dx	PROPN
ejde-362	80	10	)	)	PUNCT
ejde-362	81	1	p	p	X
ejde-362	81	2	/	/	SYM
ejde-362	81	3	σ	σ	PROPN
ejde-362	81	4	.	.	PUNCT
ejde-362	82	1	(	(	PUNCT
ejde-362	82	2	2.4	2.4	NUM
ejde-362	82	3	)	)	PUNCT
ejde-362	82	4	hereafter	hereafter	ADV
ejde-362	82	5	,	,	PUNCT
ejde-362	82	6	for	for	ADP
ejde-362	82	7	simplicity	simplicity	NOUN
ejde-362	82	8	,	,	PUNCT
ejde-362	82	9	we	we	PRON
ejde-362	82	10	shall	shall	AUX
ejde-362	82	11	denote	denote	VERB
ejde-362	82	12	e	e	NOUN
ejde-362	82	13	:	:	PUNCT
ejde-362	82	14	=	=	PUNCT
ejde-362	82	15	w	w	PROPN
ejde-362	82	16	2,p(rn	2,p(rn	PROPN
ejde-362	82	17	)	)	PUNCT
ejde-362	82	18	.	.	PUNCT
ejde-362	83	1	we	we	PRON
ejde-362	83	2	define	define	VERB
ejde-362	83	3	the	the	DET
ejde-362	83	4	weighted	weight	VERB
ejde-362	83	5	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-362	83	6	space	space	PROPN
ejde-362	83	7	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-362	83	8	,	,	PUNCT
ejde-362	83	9	f	f	X
ejde-362	83	10	)	)	PUNCT
ejde-362	83	11	by	by	ADP
ejde-362	83	12	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-362	83	13	,	,	PUNCT
ejde-362	83	14	f	f	NOUN
ejde-362	83	15	)	)	PUNCT
ejde-362	83	16	:	:	PUNCT
ejde-362	84	1	=	=	PRON
ejde-362	84	2	{	{	PUNCT
ejde-362	84	3	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	84	4	:	:	PUNCT
ejde-362	84	5	rn	rn	PROPN
ejde-362	84	6	→	→	SYM
ejde-362	84	7	r	r	NOUN
ejde-362	84	8	:	:	PUNCT
ejde-362	84	9	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	84	10	is	be	AUX
ejde-362	84	11	measurable	measurable	ADJ
ejde-362	84	12	and	and	CCONJ
ejde-362	84	13	∫	∫	PROPN
ejde-362	84	14	rn	rn	PROPN
ejde-362	84	15	f(x)|ϕ(x)|r	f(x)|ϕ(x)|r	PROPN
ejde-362	84	16	dx	dx	PROPN
ejde-362	84	17	<	<	X
ejde-362	84	18	∞	∞	PROPN
ejde-362	84	19	}	}	PUNCT
ejde-362	84	20	,	,	PUNCT
ejde-362	84	21	and	and	CCONJ
ejde-362	84	22	endow	endow	VERB
ejde-362	84	23	it	it	PRON
ejde-362	84	24	with	with	ADP
ejde-362	84	25	the	the	DET
ejde-362	84	26	norm	norm	NOUN
ejde-362	84	27	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	NOUN
ejde-362	84	28	,	,	PUNCT
ejde-362	84	29	f	f	X
ejde-362	84	30	:	:	PUNCT
ejde-362	84	31	=	=	SYM
ejde-362	84	32	(	(	PUNCT
ejde-362	84	33	∫	∫	PROPN
ejde-362	84	34	rn	rn	PROPN
ejde-362	84	35	f(x)|ϕ(x)|r	f(x)|ϕ(x)|r	PROPN
ejde-362	84	36	dx	dx	PROPN
ejde-362	84	37	)	)	PUNCT
ejde-362	84	38	1	1	X
ejde-362	84	39	/	/	SYM
ejde-362	84	40	r	r	NOUN
ejde-362	84	41	.	.	PUNCT
ejde-362	84	42	4	4	NUM
ejde-362	84	43	a.	a.	NOUN
ejde-362	84	44	drissi	drissi	NOUN
ejde-362	84	45	,	,	PUNCT
ejde-362	84	46	a.	a.	NOUN
ejde-362	84	47	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	84	48	,	,	PUNCT
ejde-362	84	49	d.	d.	PROPN
ejde-362	84	50	d.	d.	PROPN
ejde-362	84	51	repovš	repovš	VERB
ejde-362	84	52	ejde-2023/61	ejde-2023/61	NOUN
ejde-362	84	53	then	then	ADV
ejde-362	84	54	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-362	84	55	,	,	PUNCT
ejde-362	84	56	f	f	X
ejde-362	84	57	)	)	PUNCT
ejde-362	84	58	is	be	AUX
ejde-362	84	59	a	a	DET
ejde-362	84	60	uniformly	uniformly	ADV
ejde-362	84	61	convex	convex	ADJ
ejde-362	84	62	banach	banach	NOUN
ejde-362	84	63	space	space	NOUN
ejde-362	84	64	.	.	PUNCT
ejde-362	85	1	dhifli	dhifli	ADJ
ejde-362	85	2	and	and	CCONJ
ejde-362	85	3	alsaedi	alsaedi	VERB
ejde-362	86	1	[	[	X
ejde-362	86	2	12	12	NUM
ejde-362	86	3	]	]	PUNCT
ejde-362	86	4	proved	prove	VERB
ejde-362	86	5	that	that	SCONJ
ejde-362	86	6	under	under	ADP
ejde-362	86	7	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-362	86	8	(	(	PUNCT
ejde-362	86	9	h3	h3	NOUN
ejde-362	86	10	)	)	PUNCT
ejde-362	86	11	,	,	PUNCT
ejde-362	86	12	the	the	DET
ejde-362	86	13	embedding	embed	VERB
ejde-362	86	14	e	e	X
ejde-362	86	15	↪	↪	PROPN
ejde-362	86	16	→	→	SYM
ejde-362	86	17	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-362	86	18	,	,	PUNCT
ejde-362	86	19	f	f	X
ejde-362	86	20	)	)	PUNCT
ejde-362	86	21	is	be	AUX
ejde-362	86	22	continuous	continuous	ADJ
ejde-362	86	23	and	and	CCONJ
ejde-362	86	24	compact	compact	ADJ
ejde-362	86	25	.	.	PUNCT
ejde-362	87	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	87	2	,	,	PUNCT
ejde-362	87	3	one	one	PRON
ejde-362	87	4	has	have	VERB
ejde-362	87	5	the	the	DET
ejde-362	87	6	estimate	estimate	NOUN
ejde-362	87	7	‖ϕ‖rr	‖ϕ‖rr	NOUN
ejde-362	87	8	,	,	PUNCT
ejde-362	87	9	f	f	PROPN
ejde-362	87	10	≤	≤	PROPN
ejde-362	87	11	s	s	PART
ejde-362	87	12	−r	−r	ADJ
ejde-362	87	13	/	/	SYM
ejde-362	87	14	p	p	X
ejde-362	87	15	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	87	16	|f	|f	PROPN
ejde-362	88	1	|	|	ADV
ejde-362	88	2	p∗	p∗	VERB
ejde-362	88	3	p∗−r	p∗−r	ADV
ejde-362	88	4	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	NOUN
ejde-362	88	5	,	,	PUNCT
ejde-362	88	6	for	for	ADP
ejde-362	88	7	every	every	DET
ejde-362	88	8	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	88	9	∈	∈	PROPN
ejde-362	88	10	e.	e.	PROPN
ejde-362	88	11	(	(	PUNCT
ejde-362	88	12	2.5	2.5	NUM
ejde-362	88	13	)	)	PUNCT
ejde-362	88	14	now	now	ADV
ejde-362	88	15	,	,	PUNCT
ejde-362	88	16	let	let	VERB
ejde-362	88	17	us	we	PRON
ejde-362	88	18	introduce	introduce	VERB
ejde-362	88	19	the	the	DET
ejde-362	88	20	notion	notion	NOUN
ejde-362	88	21	of	of	ADP
ejde-362	88	22	weak	weak	ADJ
ejde-362	88	23	solutions	solution	NOUN
ejde-362	88	24	.	.	PUNCT
ejde-362	89	1	definition	definition	NOUN
ejde-362	89	2	2.1	2.1	NUM
ejde-362	89	3	.	.	PUNCT
ejde-362	90	1	a	a	DET
ejde-362	90	2	function	function	NOUN
ejde-362	90	3	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	90	4	∈	∈	PROPN
ejde-362	90	5	e	e	NOUN
ejde-362	90	6	is	be	AUX
ejde-362	90	7	said	say	VERB
ejde-362	90	8	to	to	PART
ejde-362	90	9	be	be	AUX
ejde-362	90	10	a	a	DET
ejde-362	90	11	weak	weak	ADJ
ejde-362	90	12	solution	solution	NOUN
ejde-362	90	13	of	of	ADP
ejde-362	90	14	problem	problem	NOUN
ejde-362	90	15	(	(	PUNCT
ejde-362	90	16	1.3	1.3	NUM
ejde-362	90	17	)	)	PUNCT
ejde-362	90	18	,	,	PUNCT
ejde-362	90	19	provided	provide	VERB
ejde-362	90	20	that	that	SCONJ
ejde-362	90	21	λ(ϕ,ψ	λ(ϕ,ψ	NOUN
ejde-362	90	22	)	)	PUNCT
ejde-362	90	23	=	=	SYM
ejde-362	90	24	µ	µ	PRON
ejde-362	90	25	∫	∫	PROPN
ejde-362	90	26	rn	rn	PROPN
ejde-362	90	27	f(x)h(ϕ)ψ	f(x)h(ϕ)ψ	PROPN
ejde-362	90	28	dx+	dx+	PROPN
ejde-362	90	29	∫	∫	PROPN
ejde-362	90	30	rn	rn	PROPN
ejde-362	90	31	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	90	32	∗(α)−2ϕψ	∗(α)−2ϕψ	VERB
ejde-362	90	33	dx	dx	PROPN
ejde-362	90	34	,	,	PUNCT
ejde-362	90	35	for	for	ADP
ejde-362	90	36	every	every	DET
ejde-362	90	37	ψ	ψ	X
ejde-362	90	38	∈	∈	PROPN
ejde-362	90	39	e	e	NOUN
ejde-362	90	40	,	,	PUNCT
ejde-362	90	41	where	where	SCONJ
ejde-362	90	42	λ(ϕ,ψ	λ(ϕ,ψ	VERB
ejde-362	90	43	)	)	PUNCT
ejde-362	90	44	:	:	PUNCT
ejde-362	90	45	=	=	SYM
ejde-362	90	46	∫	∫	PROPN
ejde-362	90	47	rn	rn	PROPN
ejde-362	90	48	|∆ϕ|p−2∆ϕ∆ψ	|∆ϕ|p−2∆ϕ∆ψ	PROPN
ejde-362	90	49	−	−	PROPN
ejde-362	90	50	λ	λ	PROPN
ejde-362	90	51	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-362	90	52	p−2ϕψ	p−2ϕψ	NOUN
ejde-362	90	53	|x|2p	|x|2p	VERB
ejde-362	90	54	+	+	NUM
ejde-362	90	55	|∇ϕ|p−2∇ϕ∇ψ	|∇ϕ|p−2∇ϕ∇ψ	NOUN
ejde-362	90	56	dx	dx	PROPN
ejde-362	90	57	.	.	PUNCT
ejde-362	91	1	we	we	PRON
ejde-362	91	2	define	define	VERB
ejde-362	91	3	the	the	DET
ejde-362	91	4	energy	energy	NOUN
ejde-362	91	5	functional	functional	ADJ
ejde-362	91	6	jµ	jµ	X
ejde-362	91	7	:	:	PUNCT
ejde-362	91	8	e	e	X
ejde-362	91	9	→	→	SYM
ejde-362	91	10	r	r	NOUN
ejde-362	91	11	,	,	PUNCT
ejde-362	91	12	by	by	ADP
ejde-362	91	13	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	91	14	)	)	PUNCT
ejde-362	92	1	:	:	PUNCT
ejde-362	92	2	=	=	SYM
ejde-362	92	3	1	1	NUM
ejde-362	92	4	p	p	NOUN
ejde-362	92	5	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	92	6	−	−	PROPN
ejde-362	92	7	µ	µ	PROPN
ejde-362	92	8	∫	∫	PROPN
ejde-362	92	9	rn	rn	PROPN
ejde-362	92	10	f(x)h(ϕ)ϕdx−	f(x)h(ϕ)ϕdx−	PROPN
ejde-362	92	11	1	1	NUM
ejde-362	92	12	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	92	13	)	)	PUNCT
ejde-362	92	14	∫	∫	PROPN
ejde-362	92	15	rn	rn	PROPN
ejde-362	92	16	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	92	17	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	92	18	)	)	PUNCT
ejde-362	92	19	dx	dx	PROPN
ejde-362	92	20	.	.	PUNCT
ejde-362	92	21	note	note	VERB
ejde-362	92	22	that	that	SCONJ
ejde-362	92	23	a	a	DET
ejde-362	92	24	function	function	NOUN
ejde-362	92	25	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	92	26	∈	∈	PROPN
ejde-362	92	27	e	e	NOUN
ejde-362	92	28	is	be	AUX
ejde-362	92	29	a	a	DET
ejde-362	92	30	weak	weak	ADJ
ejde-362	92	31	solution	solution	NOUN
ejde-362	92	32	of	of	ADP
ejde-362	92	33	(	(	PUNCT
ejde-362	92	34	1.3	1.3	NUM
ejde-362	92	35	)	)	PUNCT
ejde-362	92	36	,	,	PUNCT
ejde-362	92	37	if	if	SCONJ
ejde-362	92	38	it	it	PRON
ejde-362	92	39	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	92	40	j	j	PROPN
ejde-362	92	41	′µ(ϕ	′µ(ϕ	NOUN
ejde-362	92	42	)	)	PUNCT
ejde-362	92	43	=	=	SYM
ejde-362	92	44	0	0	NUM
ejde-362	92	45	,	,	PUNCT
ejde-362	92	46	i.e.	i.e.	X
ejde-362	92	47	,	,	PUNCT
ejde-362	92	48	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	92	49	is	be	AUX
ejde-362	92	50	a	a	DET
ejde-362	92	51	critical	critical	ADJ
ejde-362	92	52	value	value	NOUN
ejde-362	92	53	for	for	ADP
ejde-362	92	54	jµ.	jµ.	NOUN
ejde-362	92	55	definition	definition	NOUN
ejde-362	92	56	2.2	2.2	NUM
ejde-362	92	57	.	.	PUNCT
ejde-362	93	1	we	we	PRON
ejde-362	93	2	say	say	VERB
ejde-362	93	3	that	that	SCONJ
ejde-362	93	4	a	a	DET
ejde-362	93	5	function	function	NOUN
ejde-362	93	6	φ	φ	PROPN
ejde-362	93	7	∈	∈	PROPN
ejde-362	93	8	c1(f	c1(f	PROPN
ejde-362	93	9	,	,	PUNCT
ejde-362	93	10	r	r	NOUN
ejde-362	93	11	)	)	PUNCT
ejde-362	93	12	,	,	PUNCT
ejde-362	93	13	where	where	SCONJ
ejde-362	93	14	f	f	PROPN
ejde-362	93	15	is	be	AUX
ejde-362	93	16	a	a	DET
ejde-362	93	17	banach	banach	NOUN
ejde-362	93	18	space	space	NOUN
ejde-362	93	19	,	,	PUNCT
ejde-362	93	20	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	93	21	the	the	DET
ejde-362	93	22	palais	palais	PROPN
ejde-362	93	23	-	-	PUNCT
ejde-362	93	24	smale	smale	ADJ
ejde-362	93	25	condition	condition	NOUN
ejde-362	93	26	,	,	PUNCT
ejde-362	93	27	if	if	SCONJ
ejde-362	93	28	every	every	DET
ejde-362	93	29	sequence	sequence	NOUN
ejde-362	93	30	{	{	PUNCT
ejde-362	93	31	ϕn	ϕn	NOUN
ejde-362	93	32	}	}	PUNCT
ejde-362	93	33	⊂	⊂	PROPN
ejde-362	93	34	f	f	PROPN
ejde-362	93	35	,	,	PUNCT
ejde-362	93	36	such	such	ADJ
ejde-362	93	37	that	that	SCONJ
ejde-362	93	38	φ(ϕn	φ(ϕn	PROPN
ejde-362	93	39	)	)	PUNCT
ejde-362	93	40	is	be	AUX
ejde-362	93	41	bounded	bound	VERB
ejde-362	93	42	and	and	CCONJ
ejde-362	93	43	φ′(ϕn)→	φ′(ϕn)→	ADV
ejde-362	93	44	0	0	NUM
ejde-362	93	45	in	in	ADP
ejde-362	93	46	f	f	PROPN
ejde-362	93	47	∗	∗	NOUN
ejde-362	93	48	,	,	PUNCT
ejde-362	93	49	as	as	ADP
ejde-362	93	50	n→∞	n→∞	NUM
ejde-362	93	51	,	,	PUNCT
ejde-362	93	52	contains	contain	VERB
ejde-362	93	53	a	a	DET
ejde-362	93	54	convergent	convergent	NOUN
ejde-362	93	55	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-362	93	56	.	.	PUNCT
ejde-362	94	1	to	to	PART
ejde-362	94	2	prove	prove	VERB
ejde-362	94	3	theorem	theorem	VERB
ejde-362	94	4	1.1	1.1	NUM
ejde-362	94	5	,	,	PUNCT
ejde-362	94	6	we	we	PRON
ejde-362	94	7	need	need	VERB
ejde-362	94	8	the	the	DET
ejde-362	94	9	following	follow	VERB
ejde-362	94	10	result	result	NOUN
ejde-362	94	11	which	which	PRON
ejde-362	94	12	is	be	AUX
ejde-362	94	13	proved	prove	VERB
ejde-362	94	14	in	in	ADP
ejde-362	94	15	ambrosetti	ambrosetti	NOUN
ejde-362	94	16	and	and	CCONJ
ejde-362	94	17	rabinowitz	rabinowitz	VERB
ejde-362	95	1	[	[	X
ejde-362	95	2	2	2	NUM
ejde-362	95	3	,	,	PUNCT
ejde-362	95	4	theorem	theorem	VERB
ejde-362	95	5	2.4	2.4	NUM
ejde-362	95	6	]	]	PUNCT
ejde-362	95	7	.	.	PUNCT
ejde-362	96	1	theorem	theorem	VERB
ejde-362	96	2	2.3	2.3	NUM
ejde-362	96	3	(	(	PUNCT
ejde-362	96	4	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	96	5	pass	pass	NOUN
ejde-362	96	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	96	7	)	)	PUNCT
ejde-362	96	8	.	.	PUNCT
ejde-362	97	1	let	let	VERB
ejde-362	97	2	φ	φ	PROPN
ejde-362	97	3	∈	∈	PROPN
ejde-362	97	4	c1(f	c1(f	PROPN
ejde-362	97	5	,	,	PUNCT
ejde-362	97	6	r	r	NOUN
ejde-362	97	7	)	)	PUNCT
ejde-362	97	8	,	,	PUNCT
ejde-362	97	9	where	where	SCONJ
ejde-362	97	10	f	f	PROPN
ejde-362	97	11	is	be	AUX
ejde-362	97	12	a	a	DET
ejde-362	97	13	banach	banach	NOUN
ejde-362	97	14	space	space	NOUN
ejde-362	97	15	,	,	PUNCT
ejde-362	97	16	and	and	CCONJ
ejde-362	97	17	suppose	suppose	VERB
ejde-362	97	18	that	that	SCONJ
ejde-362	97	19	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	97	20	∈	∈	PROPN
ejde-362	97	21	f	f	PROPN
ejde-362	97	22	is	be	AUX
ejde-362	97	23	such	such	ADJ
ejde-362	97	24	that	that	PRON
ejde-362	97	25	||ϕ||	||ϕ||	PROPN
ejde-362	97	26	>	>	X
ejde-362	97	27	r	r	NOUN
ejde-362	97	28	,	,	PUNCT
ejde-362	97	29	for	for	ADP
ejde-362	97	30	some	some	DET
ejde-362	97	31	r	r	NOUN
ejde-362	97	32	>	>	X
ejde-362	97	33	0	0	NUM
ejde-362	97	34	,	,	PUNCT
ejde-362	97	35	and	and	CCONJ
ejde-362	97	36	inf	inf	PROPN
ejde-362	97	37	||ψ||=r	||ψ||=r	NOUN
ejde-362	97	38	φ(ψ	φ(ψ	PROPN
ejde-362	97	39	)	)	PUNCT
ejde-362	97	40	>	>	X
ejde-362	97	41	φ(0	φ(0	PROPN
ejde-362	97	42	)	)	PUNCT
ejde-362	97	43	>	>	X
ejde-362	97	44	φ(ϕ	φ(ϕ	PROPN
ejde-362	97	45	)	)	PUNCT
ejde-362	97	46	.	.	PUNCT
ejde-362	98	1	if	if	SCONJ
ejde-362	98	2	in	in	ADP
ejde-362	98	3	addition	addition	NOUN
ejde-362	98	4	,	,	PUNCT
ejde-362	98	5	φ	φ	PROPN
ejde-362	98	6	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	98	7	the	the	DET
ejde-362	98	8	palais	palais	PROPN
ejde-362	98	9	-	-	PUNCT
ejde-362	98	10	smale	smale	ADJ
ejde-362	98	11	condition	condition	NOUN
ejde-362	98	12	at	at	ADP
ejde-362	98	13	level	level	NOUN
ejde-362	98	14	c	c	NOUN
ejde-362	98	15	,	,	PUNCT
ejde-362	98	16	then	then	ADV
ejde-362	98	17	c	c	PROPN
ejde-362	98	18	is	be	AUX
ejde-362	98	19	a	a	DET
ejde-362	98	20	critical	critical	ADJ
ejde-362	98	21	value	value	NOUN
ejde-362	98	22	of	of	ADP
ejde-362	98	23	φ	φ	PROPN
ejde-362	98	24	,	,	PUNCT
ejde-362	98	25	where	where	SCONJ
ejde-362	98	26	c	c	X
ejde-362	98	27	:	:	PUNCT
ejde-362	98	28	=	=	SYM
ejde-362	98	29	infγ∈γ	infγ∈γ	ADJ
ejde-362	98	30	maxs∈[0,1	maxs∈[0,1	NOUN
ejde-362	98	31	]	]	X
ejde-362	98	32	φ(γ(s	φ(γ(s	PROPN
ejde-362	98	33	)	)	PUNCT
ejde-362	98	34	)	)	PUNCT
ejde-362	98	35	and	and	CCONJ
ejde-362	98	36	γ	γ	X
ejde-362	98	37	=	=	SYM
ejde-362	98	38	{	{	PUNCT
ejde-362	98	39	γ	γ	X
ejde-362	98	40	∈	∈	PROPN
ejde-362	98	41	c([0	c([0	NOUN
ejde-362	98	42	,	,	PUNCT
ejde-362	98	43	1	1	NUM
ejde-362	98	44	]	]	PUNCT
ejde-362	98	45	,	,	PUNCT
ejde-362	98	46	f	f	PROPN
ejde-362	98	47	)	)	PUNCT
ejde-362	98	48	:	:	PUNCT
ejde-362	98	49	(	(	PUNCT
ejde-362	98	50	γ(0	γ(0	PROPN
ejde-362	98	51	)	)	PUNCT
ejde-362	98	52	,	,	PUNCT
ejde-362	98	53	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-362	98	54	)	)	PUNCT
ejde-362	98	55	)	)	PUNCT
ejde-362	99	1	=	=	SYM
ejde-362	99	2	(	(	PUNCT
ejde-362	99	3	0	0	NUM
ejde-362	99	4	,	,	PUNCT
ejde-362	99	5	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	99	6	)	)	PUNCT
ejde-362	99	7	}	}	PUNCT
ejde-362	99	8	.	.	PUNCT
ejde-362	100	1	3	3	X
ejde-362	100	2	.	.	X
ejde-362	100	3	proof	proof	NOUN
ejde-362	100	4	of	of	ADP
ejde-362	100	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-362	100	6	1.1	1.1	NUM
ejde-362	100	7	in	in	ADP
ejde-362	100	8	this	this	DET
ejde-362	100	9	section	section	NOUN
ejde-362	100	10	,	,	PUNCT
ejde-362	100	11	we	we	PRON
ejde-362	100	12	shall	shall	AUX
ejde-362	100	13	prove	prove	VERB
ejde-362	100	14	the	the	DET
ejde-362	100	15	first	first	ADJ
ejde-362	100	16	main	main	ADJ
ejde-362	100	17	result	result	NOUN
ejde-362	100	18	of	of	ADP
ejde-362	100	19	this	this	DET
ejde-362	100	20	paper	paper	NOUN
ejde-362	100	21	.	.	PUNCT
ejde-362	101	1	more	more	ADV
ejde-362	101	2	precisely	precisely	ADV
ejde-362	101	3	,	,	PUNCT
ejde-362	101	4	under	under	ADP
ejde-362	101	5	suitable	suitable	ADJ
ejde-362	101	6	conditions	condition	NOUN
ejde-362	101	7	,	,	PUNCT
ejde-362	101	8	we	we	PRON
ejde-362	101	9	shall	shall	AUX
ejde-362	101	10	prove	prove	VERB
ejde-362	101	11	that	that	SCONJ
ejde-362	101	12	the	the	DET
ejde-362	101	13	functional	functional	ADJ
ejde-362	101	14	energy	energy	NOUN
ejde-362	101	15	associated	associate	VERB
ejde-362	101	16	with	with	ADP
ejde-362	101	17	problem	problem	NOUN
ejde-362	101	18	(	(	PUNCT
ejde-362	101	19	1.3	1.3	NUM
ejde-362	101	20	)	)	PUNCT
ejde-362	101	21	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	101	22	the	the	DET
ejde-362	101	23	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	101	24	pass	pass	NOUN
ejde-362	101	25	geometry	geometry	NOUN
ejde-362	101	26	.	.	PUNCT
ejde-362	102	1	first	first	ADV
ejde-362	102	2	,	,	PUNCT
ejde-362	102	3	we	we	PRON
ejde-362	102	4	shall	shall	AUX
ejde-362	102	5	prove	prove	VERB
ejde-362	102	6	several	several	ADJ
ejde-362	102	7	lemmas	lemma	NOUN
ejde-362	102	8	.	.	PUNCT
ejde-362	103	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	103	2	3.1	3.1	NUM
ejde-362	103	3	.	.	PUNCT
ejde-362	104	1	under	under	ADP
ejde-362	104	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	104	3	(	(	PUNCT
ejde-362	104	4	h1	h1	NOUN
ejde-362	104	5	)	)	PUNCT
ejde-362	104	6	and	and	CCONJ
ejde-362	104	7	(	(	PUNCT
ejde-362	104	8	h2	h2	NOUN
ejde-362	104	9	)	)	PUNCT
ejde-362	104	10	,	,	PUNCT
ejde-362	104	11	there	there	PRON
ejde-362	104	12	exist	exist	VERB
ejde-362	104	13	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	104	14	>	>	X
ejde-362	104	15	0	0	PROPN
ejde-362	104	16	and	and	CCONJ
ejde-362	104	17	η	η	PROPN
ejde-362	104	18	>	>	X
ejde-362	104	19	0	0	NUM
ejde-362	105	1	such	such	ADJ
ejde-362	105	2	that	that	SCONJ
ejde-362	105	3	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	105	4	=	=	SYM
ejde-362	105	5	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	105	6	implies	imply	VERB
ejde-362	105	7	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	105	8	)	)	PUNCT
ejde-362	105	9	≥	≥	PROPN
ejde-362	105	10	η	η	PROPN
ejde-362	105	11	>	>	X
ejde-362	105	12	0	0	PROPN
ejde-362	105	13	.	.	PUNCT
ejde-362	106	1	proof	proof	NOUN
ejde-362	106	2	.	.	PUNCT
ejde-362	107	1	let	let	VERB
ejde-362	107	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	107	3	∈	∈	PROPN
ejde-362	107	4	e.	e.	PROPN
ejde-362	107	5	from	from	ADP
ejde-362	107	6	(	(	PUNCT
ejde-362	107	7	h1	h1	PROPN
ejde-362	107	8	)	)	PUNCT
ejde-362	107	9	,	,	PUNCT
ejde-362	107	10	(	(	PUNCT
ejde-362	107	11	h2	h2	NOUN
ejde-362	107	12	)	)	PUNCT
ejde-362	107	13	and	and	CCONJ
ejde-362	107	14	(	(	PUNCT
ejde-362	107	15	2.3	2.3	NUM
ejde-362	107	16	)	)	PUNCT
ejde-362	107	17	,	,	PUNCT
ejde-362	107	18	we	we	PRON
ejde-362	107	19	obtain	obtain	VERB
ejde-362	107	20	jµ(ϕ	jµ(ϕ	X
ejde-362	107	21	)	)	PUNCT
ejde-362	107	22	=	=	PUNCT
ejde-362	108	1	1	1	NUM
ejde-362	108	2	p	p	NOUN
ejde-362	108	3	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	108	4	−	−	PROPN
ejde-362	108	5	µ	µ	PROPN
ejde-362	108	6	∫	∫	PROPN
ejde-362	108	7	rn	rn	PROPN
ejde-362	108	8	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	108	9	)	)	PUNCT
ejde-362	108	10	dx−	dx−	SYM
ejde-362	108	11	1	1	NUM
ejde-362	108	12	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	108	13	)	)	PUNCT
ejde-362	108	14	∫	∫	PROPN
ejde-362	108	15	rn	rn	PROPN
ejde-362	108	16	|x|−αup	|x|−αup	PROPN
ejde-362	108	17	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	108	18	)	)	PUNCT
ejde-362	108	19	dx	dx	PROPN
ejde-362	108	20	≥	≥	NUM
ejde-362	108	21	1	1	NUM
ejde-362	108	22	p	p	NOUN
ejde-362	108	23	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	108	24	−	−	PROPN
ejde-362	108	25	µ	µ	PROPN
ejde-362	108	26	r	r	NOUN
ejde-362	108	27	∫	∫	PROPN
ejde-362	108	28	rn	rn	PROPN
ejde-362	108	29	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	108	30	)	)	PUNCT
ejde-362	108	31	dx−	dx−	SYM
ejde-362	108	32	1	1	NUM
ejde-362	108	33	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	108	34	)	)	PUNCT
ejde-362	108	35	s	s	PART
ejde-362	108	36	−	−	PROPN
ejde-362	108	37	p	p	PROPN
ejde-362	108	38	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	108	39	)	)	PUNCT
ejde-362	108	40	p	p	PROPN
ejde-362	108	41	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	108	42	)	)	PUNCT
ejde-362	109	1	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	109	2	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	109	3	)	)	PUNCT
ejde-362	109	4	≥	≥	NOUN
ejde-362	109	5	1	1	NUM
ejde-362	109	6	p	p	NOUN
ejde-362	109	7	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	109	8	−	−	PROPN
ejde-362	109	9	µ	µ	PROPN
ejde-362	109	10	r	r	NOUN
ejde-362	109	11	c1‖f‖∞|u|rr	c1‖f‖∞|u|rr	NOUN
ejde-362	109	12	−	−	PROPN
ejde-362	109	13	1	1	NUM
ejde-362	109	14	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	109	15	)	)	PUNCT
ejde-362	109	16	s	s	PART
ejde-362	109	17	−	−	PROPN
ejde-362	109	18	p	p	PROPN
ejde-362	109	19	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	109	20	)	)	PUNCT
ejde-362	109	21	p	p	PROPN
ejde-362	109	22	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	109	23	)	)	PUNCT
ejde-362	110	1	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	110	2	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	110	3	)	)	PUNCT
ejde-362	110	4	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	110	5	singular	singular	ADJ
ejde-362	110	6	p	p	ADJ
ejde-362	110	7	-	-	PUNCT
ejde-362	110	8	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	110	9	problems	problem	NOUN
ejde-362	110	10	5	5	NUM
ejde-362	110	11	≥	≥	NOUN
ejde-362	110	12	1	1	NUM
ejde-362	110	13	p	p	NOUN
ejde-362	110	14	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	110	15	−	−	PROPN
ejde-362	110	16	µ	µ	PROPN
ejde-362	110	17	r	r	NOUN
ejde-362	110	18	c1‖f‖∞s−r	c1‖f‖∞s−r	X
ejde-362	110	19	/	/	SYM
ejde-362	110	20	pr	pr	NOUN
ejde-362	110	21	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	ADJ
ejde-362	110	22	−	−	PROPN
ejde-362	110	23	1	1	NUM
ejde-362	110	24	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	110	25	)	)	PUNCT
ejde-362	110	26	s	s	PART
ejde-362	110	27	−	−	PROPN
ejde-362	110	28	p	p	PROPN
ejde-362	110	29	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	110	30	)	)	PUNCT
ejde-362	110	31	p	p	PROPN
ejde-362	110	32	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	110	33	)	)	PUNCT
ejde-362	111	1	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	111	2	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	111	3	)	)	PUNCT
ejde-362	111	4	≥	≥	PROPN
ejde-362	111	5	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	111	6	{	{	PUNCT
ejde-362	111	7	1	1	NUM
ejde-362	111	8	p	p	PRON
ejde-362	111	9	−	−	PROPN
ejde-362	111	10	µ	µ	PRON
ejde-362	111	11	r	r	NOUN
ejde-362	111	12	c1‖f‖∞s−r	c1‖f‖∞s−r	X
ejde-362	111	13	/	/	SYM
ejde-362	111	14	pr	pr	NOUN
ejde-362	111	15	‖ϕ‖r−p	‖ϕ‖r−p	VERB
ejde-362	111	16	−	−	PROPN
ejde-362	111	17	1	1	NUM
ejde-362	111	18	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	111	19	)	)	PUNCT
ejde-362	111	20	s	s	PART
ejde-362	111	21	−	−	PROPN
ejde-362	111	22	p	p	PROPN
ejde-362	111	23	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	111	24	)	)	PUNCT
ejde-362	111	25	p	p	PROPN
ejde-362	111	26	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	111	27	)	)	PUNCT
ejde-362	112	1	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	112	2	p∗(α)−p	p∗(α)−p	PROPN
ejde-362	112	3	}	}	PUNCT
ejde-362	112	4	,	,	PUNCT
ejde-362	112	5	and	and	CCONJ
ejde-362	112	6	since	since	SCONJ
ejde-362	112	7	min(r	min(r	NOUN
ejde-362	112	8	,	,	PUNCT
ejde-362	112	9	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	112	10	)	)	PUNCT
ejde-362	112	11	)	)	PUNCT
ejde-362	112	12	>	>	X
ejde-362	113	1	p	p	X
ejde-362	113	2	,	,	PUNCT
ejde-362	113	3	we	we	PRON
ejde-362	113	4	obtain	obtain	VERB
ejde-362	113	5	lim	lim	PROPN
ejde-362	113	6	‖ϕ‖→0	‖ϕ‖→0	PROPN
ejde-362	113	7	{	{	PUNCT
ejde-362	113	8	1	1	NUM
ejde-362	113	9	p	p	PRON
ejde-362	113	10	−	−	PROPN
ejde-362	113	11	µ	µ	PRON
ejde-362	113	12	r	r	NOUN
ejde-362	113	13	c1‖f‖∞s−r	c1‖f‖∞s−r	X
ejde-362	113	14	/	/	SYM
ejde-362	113	15	pr	pr	NOUN
ejde-362	113	16	‖ϕ‖r−p	‖ϕ‖r−p	VERB
ejde-362	113	17	−	−	PROPN
ejde-362	113	18	1	1	NUM
ejde-362	113	19	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	113	20	)	)	PUNCT
ejde-362	113	21	s	s	PART
ejde-362	113	22	−	−	PROPN
ejde-362	113	23	p	p	PROPN
ejde-362	113	24	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	113	25	)	)	PUNCT
ejde-362	113	26	p	p	PROPN
ejde-362	113	27	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	113	28	)	)	PUNCT
ejde-362	114	1	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	114	2	p∗(α)−p	p∗(α)−p	NOUN
ejde-362	114	3	}	}	PUNCT
ejde-362	115	1	=	=	PUNCT
ejde-362	115	2	1	1	NUM
ejde-362	115	3	p	p	NOUN
ejde-362	115	4	>	>	X
ejde-362	115	5	0	0	NUM
ejde-362	115	6	,	,	PUNCT
ejde-362	115	7	therefore	therefore	ADV
ejde-362	115	8	,	,	PUNCT
ejde-362	115	9	for	for	ADP
ejde-362	115	10	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	115	11	>	>	SYM
ejde-362	115	12	0	0	PROPN
ejde-362	115	13	small	small	ADJ
ejde-362	115	14	enough	enough	ADV
ejde-362	115	15	,	,	PUNCT
ejde-362	115	16	if	if	SCONJ
ejde-362	115	17	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	115	18	=	=	SYM
ejde-362	115	19	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	115	20	,	,	PUNCT
ejde-362	115	21	we	we	PRON
ejde-362	115	22	obtain	obtain	VERB
ejde-362	115	23	η	η	NOUN
ejde-362	115	24	:	:	PUNCT
ejde-362	115	25	=	=	SYM
ejde-362	115	26	ρp	ρp	NOUN
ejde-362	115	27	(	(	PUNCT
ejde-362	115	28	1	1	NUM
ejde-362	115	29	p	p	PRON
ejde-362	115	30	−	−	PROPN
ejde-362	115	31	µ	µ	PRON
ejde-362	115	32	r	r	NOUN
ejde-362	115	33	c1‖f‖∞s−r	c1‖f‖∞s−r	X
ejde-362	115	34	/	/	SYM
ejde-362	115	35	pr	pr	NOUN
ejde-362	115	36	ρr−p	ρr−p	NOUN
ejde-362	115	37	−	−	PROPN
ejde-362	115	38	1	1	NUM
ejde-362	115	39	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	115	40	)	)	PUNCT
ejde-362	115	41	s	s	PART
ejde-362	115	42	−	−	PROPN
ejde-362	115	43	p	p	PROPN
ejde-362	115	44	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	115	45	)	)	PUNCT
ejde-362	115	46	p	p	PROPN
ejde-362	115	47	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	115	48	)	)	PUNCT
ejde-362	115	49	ρp	ρp	ADP
ejde-362	115	50	∗(α)−p	∗(α)−p	PROPN
ejde-362	115	51	)	)	PUNCT
ejde-362	115	52	>	>	X
ejde-362	115	53	0	0	NUM
ejde-362	115	54	,	,	PUNCT
ejde-362	116	1	thus	thus	ADV
ejde-362	116	2	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	116	3	=	=	SYM
ejde-362	116	4	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	116	5	=	=	NOUN
ejde-362	116	6	⇒	⇒	PROPN
ejde-362	116	7	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	116	8	)	)	PUNCT
ejde-362	116	9	≥	≥	PROPN
ejde-362	116	10	η	η	PROPN
ejde-362	116	11	>	>	X
ejde-362	116	12	0	0	PROPN
ejde-362	116	13	.	.	PUNCT
ejde-362	117	1	this	this	PRON
ejde-362	117	2	completes	complete	VERB
ejde-362	117	3	the	the	DET
ejde-362	117	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	117	5	.	.	PUNCT
ejde-362	118	1	�	�	PROPN
ejde-362	118	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	118	3	3.2	3.2	NUM
ejde-362	118	4	.	.	PUNCT
ejde-362	119	1	under	under	ADP
ejde-362	119	2	the	the	DET
ejde-362	119	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	119	4	of	of	ADP
ejde-362	119	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	119	6	3.1	3.1	NUM
ejde-362	119	7	,	,	PUNCT
ejde-362	119	8	there	there	PRON
ejde-362	119	9	exists	exist	VERB
ejde-362	119	10	e	e	X
ejde-362	119	11	∈	∈	PROPN
ejde-362	119	12	e	e	NOUN
ejde-362	119	13	such	such	ADJ
ejde-362	119	14	that	that	SCONJ
ejde-362	119	15	‖e‖	‖e‖	PROPN
ejde-362	119	16	>	>	X
ejde-362	119	17	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	119	18	and	and	CCONJ
ejde-362	119	19	jµ(e	jµ(e	PUNCT
ejde-362	119	20	)	)	PUNCT
ejde-362	119	21	<	<	X
ejde-362	120	1	0	0	X
ejde-362	120	2	.	.	PUNCT
ejde-362	120	3	proof	proof	NOUN
ejde-362	120	4	.	.	PUNCT
ejde-362	121	1	let	let	VERB
ejde-362	121	2	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	121	3	be	be	AUX
ejde-362	121	4	a	a	DET
ejde-362	121	5	positive	positive	ADJ
ejde-362	121	6	function	function	NOUN
ejde-362	121	7	in	in	ADP
ejde-362	121	8	c∞c	c∞c	ADJ
ejde-362	121	9	(	(	PUNCT
ejde-362	121	10	e	e	NOUN
ejde-362	121	11	)	)	PUNCT
ejde-362	121	12	.	.	PUNCT
ejde-362	122	1	then	then	ADV
ejde-362	122	2	for	for	ADP
ejde-362	122	3	every	every	DET
ejde-362	122	4	s	s	X
ejde-362	122	5	>	>	X
ejde-362	122	6	0	0	NUM
ejde-362	123	1	we	we	PRON
ejde-362	123	2	have	have	VERB
ejde-362	123	3	jµ(sϕ	jµ(sϕ	PROPN
ejde-362	123	4	)	)	PUNCT
ejde-362	124	1	=	=	PUNCT
ejde-362	124	2	sp	sp	ADP
ejde-362	124	3	p	p	NOUN
ejde-362	124	4	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	PROPN
ejde-362	124	5	−	−	PROPN
ejde-362	124	6	µ	µ	PROPN
ejde-362	124	7	∫	∫	PROPN
ejde-362	124	8	rn	rn	PROPN
ejde-362	124	9	f(x)h(sϕ	f(x)h(sϕ	PROPN
ejde-362	124	10	)	)	PUNCT
ejde-362	124	11	dx−	dx−	NUM
ejde-362	124	12	sp	sp	ADP
ejde-362	124	13	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	124	14	)	)	PUNCT
ejde-362	124	15	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	124	16	)	)	PUNCT
ejde-362	124	17	∫	∫	PROPN
ejde-362	124	18	rn	rn	PROPN
ejde-362	124	19	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	124	20	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	124	21	)	)	PUNCT
ejde-362	124	22	dx	dx	PROPN
ejde-362	124	23	≤	≤	NUM
ejde-362	124	24	sp	sp	ADP
ejde-362	124	25	p	p	NOUN
ejde-362	124	26	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	124	27	−	−	NOUN
ejde-362	124	28	sp	sp	ADP
ejde-362	124	29	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	124	30	)	)	PUNCT
ejde-362	124	31	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	124	32	)	)	PUNCT
ejde-362	124	33	∫	∫	PROPN
ejde-362	124	34	rn	rn	PROPN
ejde-362	124	35	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	124	36	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	124	37	)	)	PUNCT
ejde-362	124	38	dx	dx	PROPN
ejde-362	124	39	.	.	PUNCT
ejde-362	125	1	since	since	SCONJ
ejde-362	125	2	p	p	PRON
ejde-362	125	3	<	<	X
ejde-362	125	4	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	125	5	)	)	PUNCT
ejde-362	125	6	,	,	PUNCT
ejde-362	125	7	it	it	PRON
ejde-362	125	8	follows	follow	VERB
ejde-362	125	9	that	that	SCONJ
ejde-362	125	10	jµ(sϕ	jµ(sϕ	PROPN
ejde-362	125	11	)	)	PUNCT
ejde-362	125	12	→	→	SYM
ejde-362	125	13	−∞	−∞	NOUN
ejde-362	125	14	,	,	PUNCT
ejde-362	125	15	as	as	ADP
ejde-362	125	16	s	s	PROPN
ejde-362	125	17	→	→	SYM
ejde-362	125	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-362	125	19	therefore	therefore	ADV
ejde-362	125	20	there	there	PRON
ejde-362	125	21	exists	exist	VERB
ejde-362	125	22	s0	s0	PROPN
ejde-362	125	23	>	>	PUNCT
ejde-362	125	24	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	125	25	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	125	26	large	large	ADJ
ejde-362	125	27	enough	enough	ADV
ejde-362	125	28	,	,	PUNCT
ejde-362	126	1	such	such	ADJ
ejde-362	126	2	that	that	SCONJ
ejde-362	126	3	jµ(s0ϕ	jµ(s0ϕ	NOUN
ejde-362	126	4	)	)	PUNCT
ejde-362	126	5	<	<	X
ejde-362	126	6	0	0	X
ejde-362	126	7	.	.	PUNCT
ejde-362	127	1	if	if	SCONJ
ejde-362	127	2	we	we	PRON
ejde-362	127	3	now	now	ADV
ejde-362	127	4	set	set	VERB
ejde-362	127	5	e	e	NOUN
ejde-362	127	6	=	=	SYM
ejde-362	127	7	s0ϕ	s0ϕ	PROPN
ejde-362	127	8	,	,	PUNCT
ejde-362	127	9	then	then	ADV
ejde-362	127	10	‖e‖	‖e‖	PROPN
ejde-362	127	11	>	>	X
ejde-362	127	12	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	127	13	and	and	CCONJ
ejde-362	127	14	jµ(e	jµ(e	PUNCT
ejde-362	127	15	)	)	PUNCT
ejde-362	127	16	<	<	X
ejde-362	128	1	0	0	X
ejde-362	128	2	.	.	PUNCT
ejde-362	129	1	this	this	PRON
ejde-362	129	2	completes	complete	VERB
ejde-362	129	3	the	the	DET
ejde-362	129	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	129	5	.	.	PUNCT
ejde-362	130	1	�	�	PROPN
ejde-362	130	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	130	3	3.3	3.3	NUM
ejde-362	130	4	.	.	PUNCT
ejde-362	131	1	under	under	ADP
ejde-362	131	2	the	the	DET
ejde-362	131	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	131	4	of	of	ADP
ejde-362	131	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	131	6	3.1	3.1	NUM
ejde-362	131	7	,	,	PUNCT
ejde-362	131	8	jµ	jµ	PROPN
ejde-362	131	9	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	131	10	the	the	DET
ejde-362	131	11	palais	palais	PROPN
ejde-362	131	12	-	-	PUNCT
ejde-362	131	13	smale	smale	ADJ
ejde-362	131	14	condition	condition	NOUN
ejde-362	131	15	.	.	PUNCT
ejde-362	132	1	proof	proof	NOUN
ejde-362	132	2	.	.	PUNCT
ejde-362	133	1	let	let	VERB
ejde-362	133	2	{	{	PUNCT
ejde-362	133	3	ϕn	ϕn	AUX
ejde-362	133	4	}	}	PUNCT
ejde-362	133	5	be	be	AUX
ejde-362	133	6	a	a	DET
ejde-362	133	7	palais	palais	ADJ
ejde-362	133	8	-	-	PUNCT
ejde-362	133	9	smale	smale	ADJ
ejde-362	133	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-362	133	11	,	,	PUNCT
ejde-362	133	12	which	which	PRON
ejde-362	133	13	means	mean	VERB
ejde-362	133	14	that	that	SCONJ
ejde-362	133	15	jµ(ϕn	jµ(ϕn	NOUN
ejde-362	133	16	)	)	PUNCT
ejde-362	133	17	is	be	AUX
ejde-362	133	18	bounded	bound	VERB
ejde-362	133	19	and	and	CCONJ
ejde-362	133	20	j	j	PROPN
ejde-362	133	21	′µ(ϕn	′µ(ϕn	PROPN
ejde-362	133	22	)	)	PUNCT
ejde-362	133	23	→	→	SYM
ejde-362	133	24	0	0	NUM
ejde-362	133	25	,	,	PUNCT
ejde-362	133	26	as	as	SCONJ
ejde-362	133	27	n	n	PROPN
ejde-362	133	28	→	→	SYM
ejde-362	133	29	∞.	∞.	PROPN
ejde-362	133	30	therefore	therefore	ADV
ejde-362	133	31	there	there	PRON
ejde-362	133	32	exist	exist	VERB
ejde-362	133	33	m1	m1	PROPN
ejde-362	133	34	>	>	PUNCT
ejde-362	133	35	0	0	PUNCT
ejde-362	134	1	and	and	CCONJ
ejde-362	134	2	m2	m2	PROPN
ejde-362	134	3	>	>	X
ejde-362	134	4	0	0	NUM
ejde-362	135	1	such	such	ADJ
ejde-362	135	2	that	that	PRON
ejde-362	135	3	jµ(ϕn	jµ(ϕn	NOUN
ejde-362	135	4	)	)	PUNCT
ejde-362	135	5	≤	≤	NOUN
ejde-362	135	6	m1	m1	NOUN
ejde-362	135	7	and	and	CCONJ
ejde-362	135	8	|j	|j	VERB
ejde-362	135	9	′µ(ϕn)|	′µ(ϕn)|	PROPN
ejde-362	135	10	≤	≤	PROPN
ejde-362	135	11	m2	m2	PROPN
ejde-362	135	12	.	.	PUNCT
ejde-362	136	1	letting	let	VERB
ejde-362	136	2	θ	θ	NOUN
ejde-362	136	3	:	:	PUNCT
ejde-362	136	4	=	=	PUNCT
ejde-362	136	5	min(r	min(r	NOUN
ejde-362	136	6	,	,	PUNCT
ejde-362	136	7	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	136	8	)	)	PUNCT
ejde-362	136	9	)	)	PUNCT
ejde-362	136	10	,	,	PUNCT
ejde-362	136	11	we	we	PRON
ejde-362	136	12	obtain	obtain	VERB
ejde-362	136	13	by	by	ADP
ejde-362	136	14	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-362	136	15	(	(	PUNCT
ejde-362	136	16	h1	h1	PROPN
ejde-362	136	17	)	)	PUNCT
ejde-362	136	18	that	that	SCONJ
ejde-362	136	19	θm1	θm1	PROPN
ejde-362	136	20	+	+	PROPN
ejde-362	136	21	m2	m2	PROPN
ejde-362	136	22	≥	≥	NOUN
ejde-362	136	23	θjµ(ϕn)−	θjµ(ϕn)−	PROPN
ejde-362	136	24	〈	〈	PROPN
ejde-362	136	25	j	j	PROPN
ejde-362	136	26	′µ(ϕn	′µ(ϕn	PROPN
ejde-362	136	27	)	)	PUNCT
ejde-362	136	28	,	,	PUNCT
ejde-362	136	29	ϕn	ϕn	VERB
ejde-362	136	30	〉	〉	NUM
ejde-362	136	31	≥	≥	NOUN
ejde-362	136	32	θ	θ	X
ejde-362	137	1	p	p	X
ejde-362	138	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	INTJ
ejde-362	138	2	−	−	VERB
ejde-362	138	3	µθ	µθ	ADP
ejde-362	138	4	∫	∫	PROPN
ejde-362	138	5	rn	rn	PROPN
ejde-362	138	6	f(x)h(ϕn	f(x)h(ϕn	PROPN
ejde-362	138	7	)	)	PUNCT
ejde-362	138	8	dx−	dx−	NUM
ejde-362	138	9	θ	θ	PROPN
ejde-362	138	10	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	138	11	)	)	PUNCT
ejde-362	138	12	∫	∫	PROPN
ejde-362	138	13	rn	rn	PROPN
ejde-362	138	14	|x|−α|ϕn|p	|x|−α|ϕn|p	PROPN
ejde-362	138	15	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	138	16	)	)	PUNCT
ejde-362	138	17	dx	dx	PROPN
ejde-362	138	18	−	−	PROPN
ejde-362	139	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	X
ejde-362	139	2	+	+	CCONJ
ejde-362	139	3	µ	µ	DET
ejde-362	139	4	∫	∫	PROPN
ejde-362	139	5	rn	rn	PROPN
ejde-362	139	6	f(x)h(ϕn)ϕn	f(x)h(ϕn)ϕn	PROPN
ejde-362	139	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	139	8	∫	∫	PROPN
ejde-362	139	9	rn	rn	PROPN
ejde-362	139	10	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	139	11	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	139	12	)	)	PUNCT
ejde-362	139	13	n	n	CCONJ
ejde-362	139	14	dx	dx	PROPN
ejde-362	139	15	≥	≥	NUM
ejde-362	139	16	(	(	PUNCT
ejde-362	139	17	θ	θ	PROPN
ejde-362	139	18	p	p	NOUN
ejde-362	139	19	−	−	PROPN
ejde-362	139	20	1)‖ϕn‖p	1)‖ϕn‖p	NUM
ejde-362	139	21	+	+	CCONJ
ejde-362	139	22	µ(r	µ(r	ADJ
ejde-362	139	23	−	−	PROPN
ejde-362	139	24	θ	θ	PROPN
ejde-362	139	25	)	)	PUNCT
ejde-362	139	26	∫	∫	PROPN
ejde-362	139	27	rn	rn	PROPN
ejde-362	139	28	f(x)h(ϕn	f(x)h(ϕn	PROPN
ejde-362	139	29	)	)	PUNCT
ejde-362	139	30	dx	dx	PROPN
ejde-362	140	1	+	+	CCONJ
ejde-362	140	2	(	(	PUNCT
ejde-362	140	3	1−	1−	NUM
ejde-362	140	4	θ	θ	PROPN
ejde-362	140	5	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	140	6	)	)	PUNCT
ejde-362	140	7	)	)	PUNCT
ejde-362	141	1	∫	∫	PROPN
ejde-362	141	2	rn	rn	PROPN
ejde-362	141	3	|x|−α|ϕn|p	|x|−α|ϕn|p	PROPN
ejde-362	141	4	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	141	5	)	)	PUNCT
ejde-362	141	6	dx	dx	PROPN
ejde-362	141	7	≥	≥	NUM
ejde-362	141	8	(	(	PUNCT
ejde-362	141	9	θ	θ	PROPN
ejde-362	141	10	p	p	NOUN
ejde-362	141	11	−	−	PROPN
ejde-362	141	12	1)‖ϕn‖p	1)‖ϕn‖p	NUM
ejde-362	141	13	,	,	PUNCT
ejde-362	141	14	and	and	CCONJ
ejde-362	141	15	since	since	SCONJ
ejde-362	141	16	θ	θ	PROPN
ejde-362	141	17	=	=	PUNCT
ejde-362	141	18	min(r	min(r	NOUN
ejde-362	141	19	,	,	PUNCT
ejde-362	141	20	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	141	21	)	)	PUNCT
ejde-362	141	22	)	)	PUNCT
ejde-362	141	23	>	>	X
ejde-362	142	1	p	p	X
ejde-362	142	2	,	,	PUNCT
ejde-362	142	3	it	it	PRON
ejde-362	142	4	follows	follow	VERB
ejde-362	142	5	that	that	SCONJ
ejde-362	142	6	the	the	DET
ejde-362	142	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-362	142	8	{	{	PUNCT
ejde-362	142	9	ϕn	ϕn	NOUN
ejde-362	142	10	}	}	PUNCT
ejde-362	142	11	is	be	AUX
ejde-362	142	12	bounded	bound	VERB
ejde-362	142	13	in	in	ADP
ejde-362	142	14	e.	e.	PROPN
ejde-362	142	15	therefore	therefore	ADV
ejde-362	142	16	(	(	PUNCT
ejde-362	142	17	up	up	ADP
ejde-362	142	18	to	to	ADP
ejde-362	142	19	a	a	DET
ejde-362	142	20	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-362	142	21	)	)	PUNCT
ejde-362	142	22	there	there	PRON
ejde-362	142	23	exists	exist	VERB
ejde-362	142	24	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	142	25	∈	∈	PROPN
ejde-362	142	26	e	e	NOUN
ejde-362	142	27	such	such	ADJ
ejde-362	142	28	that	that	PRON
ejde-362	142	29	ϕn	ϕn	PRON
ejde-362	142	30	⇀	⇀	NOUN
ejde-362	143	1	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	143	2	weakly	weakly	ADJ
ejde-362	143	3	in	in	ADP
ejde-362	143	4	e	e	NOUN
ejde-362	143	5	,	,	PUNCT
ejde-362	143	6	6	6	NUM
ejde-362	143	7	a.	a.	NOUN
ejde-362	143	8	drissi	drissi	NOUN
ejde-362	143	9	,	,	PUNCT
ejde-362	143	10	a.	a.	NOUN
ejde-362	143	11	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	143	12	,	,	PUNCT
ejde-362	143	13	d.	d.	PROPN
ejde-362	143	14	d.	d.	PROPN
ejde-362	143	15	repovš	repovš	VERB
ejde-362	143	16	ejde-2023/61	ejde-2023/61	PROPN
ejde-362	143	17	ϕn	ϕn	INTJ
ejde-362	143	18	→	→	SYM
ejde-362	143	19	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	143	20	strongly	strongly	ADV
ejde-362	143	21	in	in	ADP
ejde-362	143	22	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-362	143	23	)	)	PUNCT
ejde-362	143	24	,	,	PUNCT
ejde-362	143	25	ϕn	ϕn	INTJ
ejde-362	143	26	→	→	SYM
ejde-362	143	27	ϕ	ϕ	X
ejde-362	143	28	a.e	a.e	PROPN
ejde-362	143	29	.	.	PROPN
ejde-362	144	1	in	in	ADP
ejde-362	144	2	rn	rn	PROPN
ejde-362	144	3	,	,	PUNCT
ejde-362	144	4	so	so	ADV
ejde-362	144	5	,	,	PUNCT
ejde-362	144	6	by	by	ADP
ejde-362	144	7	(	(	PUNCT
ejde-362	144	8	h1	h1	PROPN
ejde-362	144	9	)	)	PUNCT
ejde-362	144	10	,	,	PUNCT
ejde-362	144	11	(	(	PUNCT
ejde-362	144	12	h2	h2	NOUN
ejde-362	144	13	)	)	PUNCT
ejde-362	144	14	and	and	CCONJ
ejde-362	144	15	the	the	DET
ejde-362	144	16	dominated	dominate	VERB
ejde-362	144	17	convergence	convergence	NOUN
ejde-362	144	18	theorem	theorem	VERB
ejde-362	144	19	,	,	PUNCT
ejde-362	144	20	lim	lim	PROPN
ejde-362	144	21	n→∞	n→∞	NUM
ejde-362	144	22	∫	∫	PROPN
ejde-362	144	23	rn	rn	PROPN
ejde-362	144	24	f(x)h(ϕn	f(x)h(ϕn	PROPN
ejde-362	144	25	)	)	PUNCT
ejde-362	145	1	dx	dx	PROPN
ejde-362	146	1	=	=	SYM
ejde-362	146	2	∫	∫	PROPN
ejde-362	146	3	rn	rn	PROPN
ejde-362	146	4	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	146	5	)	)	PUNCT
ejde-362	146	6	dx	dx	PROPN
ejde-362	146	7	.	.	PUNCT
ejde-362	147	1	(	(	PUNCT
ejde-362	147	2	3.1	3.1	NUM
ejde-362	147	3	)	)	PUNCT
ejde-362	147	4	one	one	NOUN
ejde-362	147	5	can	can	AUX
ejde-362	147	6	now	now	ADV
ejde-362	147	7	show	show	VERB
ejde-362	147	8	by	by	ADP
ejde-362	147	9	a	a	DET
ejde-362	147	10	standard	standard	ADJ
ejde-362	147	11	argument	argument	NOUN
ejde-362	147	12	that	that	SCONJ
ejde-362	147	13	the	the	DET
ejde-362	147	14	weak	weak	ADJ
ejde-362	147	15	limit	limit	NOUN
ejde-362	147	16	u	u	PROPN
ejde-362	147	17	of	of	ADP
ejde-362	147	18	{	{	PUNCT
ejde-362	147	19	ϕn	ϕn	NOUN
ejde-362	147	20	}	}	PUNCT
ejde-362	147	21	is	be	AUX
ejde-362	147	22	a	a	DET
ejde-362	147	23	critical	critical	ADJ
ejde-362	147	24	point	point	NOUN
ejde-362	147	25	of	of	ADP
ejde-362	147	26	jµ	jµ	PROPN
ejde-362	147	27	and	and	CCONJ
ejde-362	147	28	thus	thus	ADV
ejde-362	147	29	j	j	PROPN
ejde-362	147	30	′µ(ϕ	′µ(ϕ	PROPN
ejde-362	147	31	)	)	PUNCT
ejde-362	147	32	=	=	SYM
ejde-362	148	1	0	0	X
ejde-362	148	2	.	.	PUNCT
ejde-362	148	3	let	let	VERB
ejde-362	148	4	wn	wn	INTJ
ejde-362	148	5	:	:	PUNCT
ejde-362	148	6	=	=	PUNCT
ejde-362	148	7	ϕn	ϕn	INTJ
ejde-362	148	8	−	−	PROPN
ejde-362	148	9	ϕ.	ϕ.	PROPN
ejde-362	148	10	then	then	ADV
ejde-362	148	11	wn	wn	PROPN
ejde-362	148	12	converges	converge	VERB
ejde-362	148	13	weakly	weakly	ADV
ejde-362	148	14	to	to	ADP
ejde-362	148	15	zero	zero	NUM
ejde-362	148	16	.	.	PUNCT
ejde-362	149	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	149	2	,	,	PUNCT
ejde-362	149	3	by	by	ADP
ejde-362	149	4	brezis	brezis	NOUN
ejde-362	149	5	and	and	CCONJ
ejde-362	149	6	lieb	lieb	PROPN
ejde-362	150	1	[	[	X
ejde-362	150	2	5	5	NUM
ejde-362	150	3	,	,	PUNCT
ejde-362	150	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	150	5	3	3	NUM
ejde-362	150	6	]	]	PUNCT
ejde-362	150	7	,	,	PUNCT
ejde-362	150	8	we	we	PRON
ejde-362	150	9	obtain	obtain	VERB
ejde-362	150	10	|wn|p	|wn|p	DET
ejde-362	150	11	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	150	12	)	)	PUNCT
ejde-362	150	13	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	150	14	)	)	PUNCT
ejde-362	151	1	=	=	SYM
ejde-362	151	2	|ϕn|p	|ϕn|p	PROPN
ejde-362	151	3	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	151	4	)	)	PUNCT
ejde-362	151	5	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	151	6	)	)	PUNCT
ejde-362	151	7	−	−	ADP
ejde-362	151	8	|ϕ|	|ϕ|	PROPN
ejde-362	151	9	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	151	10	)	)	PUNCT
ejde-362	151	11	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	151	12	)	)	PUNCT
ejde-362	151	13	+	+	NUM
ejde-362	151	14	o(1	o(1	NOUN
ejde-362	151	15	)	)	PUNCT
ejde-362	151	16	,	,	PUNCT
ejde-362	151	17	therefore	therefore	ADV
ejde-362	151	18	,	,	PUNCT
ejde-362	151	19	lim	lim	PROPN
ejde-362	151	20	n→∞	n→∞	NUM
ejde-362	151	21	∫	∫	PROPN
ejde-362	151	22	rn	rn	PROPN
ejde-362	151	23	|x|−α|ϕn|p	|x|−α|ϕn|p	PROPN
ejde-362	151	24	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	151	25	)	)	PUNCT
ejde-362	151	26	−	−	PROPN
ejde-362	151	27	|x|−α|wn|p	|x|−α|wn|p	NOUN
ejde-362	151	28	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	151	29	)	)	PUNCT
ejde-362	151	30	dx	dx	PROPN
ejde-362	152	1	=	=	SYM
ejde-362	152	2	∫	∫	PROPN
ejde-362	152	3	rn	rn	PROPN
ejde-362	152	4	|x|−α|ϕ|p	|x|−α|ϕ|p	NUM
ejde-362	152	5	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	152	6	)	)	PUNCT
ejde-362	152	7	dx	dx	PROPN
ejde-362	152	8	,	,	PUNCT
ejde-362	152	9	and	and	CCONJ
ejde-362	152	10	from	from	ADP
ejde-362	152	11	(	(	PUNCT
ejde-362	152	12	3.1	3.1	NUM
ejde-362	152	13	)	)	PUNCT
ejde-362	152	14	we	we	PRON
ejde-362	152	15	have	have	VERB
ejde-362	152	16	〈	〈	PROPN
ejde-362	152	17	j	j	PROPN
ejde-362	152	18	′µ(ϕn	′µ(ϕn	PROPN
ejde-362	152	19	)	)	PUNCT
ejde-362	152	20	,	,	PUNCT
ejde-362	152	21	ϕn	ϕn	VERB
ejde-362	152	22	〉	〉	NOUN
ejde-362	152	23	−	−	PROPN
ejde-362	153	1	〈	〈	PROPN
ejde-362	153	2	j	j	PROPN
ejde-362	153	3	′µ(ϕ	′µ(ϕ	PROPN
ejde-362	153	4	)	)	PUNCT
ejde-362	153	5	,	,	PUNCT
ejde-362	154	1	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	154	2	〉	〉	NOUN
ejde-362	154	3	=	=	SYM
ejde-362	155	1	‖wn‖p	‖wn‖p	PROPN
ejde-362	155	2	−	−	PROPN
ejde-362	155	3	∫	∫	PROPN
ejde-362	155	4	rn	rn	PROPN
ejde-362	155	5	|x|−α|wn|p	|x|−α|wn|p	PROPN
ejde-362	155	6	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	155	7	)	)	PUNCT
ejde-362	155	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	155	9	o(1	o(1	NOUN
ejde-362	155	10	)	)	PUNCT
ejde-362	155	11	,	,	PUNCT
ejde-362	155	12	hence	hence	ADV
ejde-362	155	13	for	for	ADP
ejde-362	155	14	n	n	CCONJ
ejde-362	155	15	large	large	ADJ
ejde-362	155	16	enough	enough	ADV
ejde-362	155	17	,	,	PUNCT
ejde-362	155	18	‖wn‖p	‖wn‖p	PROPN
ejde-362	155	19	=	=	SYM
ejde-362	155	20	∫	∫	PROPN
ejde-362	155	21	rn	rn	PROPN
ejde-362	155	22	|x|−α|wn|p	|x|−α|wn|p	PROPN
ejde-362	155	23	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	155	24	)	)	PUNCT
ejde-362	155	25	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	155	26	o(1	o(1	NOUN
ejde-362	155	27	)	)	PUNCT
ejde-362	155	28	,	,	PUNCT
ejde-362	155	29	thus	thus	ADV
ejde-362	155	30	lim	lim	NOUN
ejde-362	155	31	n→∞	n→∞	X
ejde-362	155	32	‖wn‖p	‖wn‖p	PROPN
ejde-362	155	33	=	=	SYM
ejde-362	155	34	lim	lim	PROPN
ejde-362	155	35	n→∞	n→∞	NUM
ejde-362	155	36	∫	∫	PROPN
ejde-362	155	37	rn	rn	PROPN
ejde-362	155	38	|x|−α|wn|p	|x|−α|wn|p	PROPN
ejde-362	155	39	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	155	40	)	)	PUNCT
ejde-362	155	41	=	=	SYM
ejde-362	155	42	l	l	NOUN
ejde-362	155	43	≥	≥	NOUN
ejde-362	155	44	0	0	NUM
ejde-362	155	45	.	.	PUNCT
ejde-362	156	1	(	(	PUNCT
ejde-362	156	2	3.2	3.2	NUM
ejde-362	156	3	)	)	PUNCT
ejde-362	156	4	if	if	SCONJ
ejde-362	156	5	l	l	PROPN
ejde-362	156	6	>	>	X
ejde-362	156	7	0	0	NUM
ejde-362	156	8	,	,	PUNCT
ejde-362	156	9	then	then	ADV
ejde-362	156	10	by	by	ADP
ejde-362	156	11	combining	combine	VERB
ejde-362	156	12	equation	equation	NOUN
ejde-362	156	13	(	(	PUNCT
ejde-362	156	14	2.4	2.4	NUM
ejde-362	156	15	)	)	PUNCT
ejde-362	156	16	with	with	ADP
ejde-362	156	17	(	(	PUNCT
ejde-362	156	18	3.2	3.2	NUM
ejde-362	156	19	)	)	PUNCT
ejde-362	156	20	we	we	PRON
ejde-362	156	21	obtain	obtain	VERB
ejde-362	156	22	l	l	NOUN
ejde-362	156	23	≥	≥	NOUN
ejde-362	156	24	s	s	PART
ejde-362	156	25	p	p	PROPN
ejde-362	156	26	p∗(α)−p	p∗(α)−p	NOUN
ejde-362	156	27	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	156	28	)	)	PUNCT
ejde-362	156	29	.	.	PUNCT
ejde-362	157	1	(	(	PUNCT
ejde-362	157	2	3.3	3.3	NUM
ejde-362	157	3	)	)	PUNCT
ejde-362	157	4	on	on	ADP
ejde-362	157	5	the	the	DET
ejde-362	157	6	other	other	ADJ
ejde-362	157	7	hand	hand	NOUN
ejde-362	157	8	,	,	PUNCT
ejde-362	157	9	one	one	NUM
ejde-362	157	10	has	have	VERB
ejde-362	157	11	jµ(ϕn)−	jµ(ϕn)−	PRON
ejde-362	157	12	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	157	13	)	)	PUNCT
ejde-362	158	1	=	=	PUNCT
ejde-362	158	2	1	1	NUM
ejde-362	158	3	p	p	NOUN
ejde-362	158	4	‖wn‖p	‖wn‖p	NOUN
ejde-362	158	5	−	−	PROPN
ejde-362	158	6	1	1	NUM
ejde-362	158	7	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	158	8	)	)	PUNCT
ejde-362	158	9	∫	∫	PROPN
ejde-362	158	10	rn	rn	PROPN
ejde-362	158	11	|x|−α|wn|p	|x|−α|wn|p	PROPN
ejde-362	158	12	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	158	13	)	)	PUNCT
ejde-362	158	14	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	158	15	o(1	o(1	NOUN
ejde-362	158	16	)	)	PUNCT
ejde-362	158	17	,	,	PUNCT
ejde-362	158	18	so	so	CCONJ
ejde-362	158	19	by	by	ADP
ejde-362	158	20	letting	let	VERB
ejde-362	158	21	n	n	PRON
ejde-362	158	22	tend	tend	VERB
ejde-362	158	23	to	to	PART
ejde-362	158	24	infinity	infinity	VERB
ejde-362	158	25	,	,	PUNCT
ejde-362	158	26	we	we	PRON
ejde-362	158	27	obtain	obtain	VERB
ejde-362	158	28	c−	c−	NOUN
ejde-362	158	29	jµ(ϕ	jµ(ϕ	NOUN
ejde-362	158	30	)	)	PUNCT
ejde-362	159	1	=	=	PUNCT
ejde-362	159	2	(	(	PUNCT
ejde-362	159	3	1	1	NUM
ejde-362	159	4	p	p	NOUN
ejde-362	159	5	−	−	PROPN
ejde-362	159	6	1	1	NUM
ejde-362	159	7	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	159	8	)	)	PUNCT
ejde-362	159	9	)	)	PUNCT
ejde-362	160	1	l	l	NOUN
ejde-362	160	2	,	,	PUNCT
ejde-362	160	3	and	and	CCONJ
ejde-362	160	4	using	use	VERB
ejde-362	160	5	the	the	DET
ejde-362	160	6	last	last	ADJ
ejde-362	160	7	equation	equation	NOUN
ejde-362	160	8	and	and	CCONJ
ejde-362	160	9	(	(	PUNCT
ejde-362	160	10	3.3	3.3	NUM
ejde-362	160	11	)	)	PUNCT
ejde-362	160	12	we	we	PRON
ejde-362	160	13	obtain	obtain	VERB
ejde-362	160	14	jµ(ϕ	jµ(ϕ	NUM
ejde-362	160	15	)	)	PUNCT
ejde-362	161	1	+	+	CCONJ
ejde-362	161	2	(	(	PUNCT
ejde-362	161	3	1	1	NUM
ejde-362	161	4	p	p	NOUN
ejde-362	161	5	−	−	PROPN
ejde-362	161	6	1	1	NUM
ejde-362	161	7	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	161	8	)	)	PUNCT
ejde-362	161	9	)	)	PUNCT
ejde-362	162	1	l	l	X
ejde-362	162	2	=	=	PUNCT
ejde-362	162	3	c	c	X
ejde-362	162	4	<	<	X
ejde-362	162	5	(	(	PUNCT
ejde-362	162	6	1	1	NUM
ejde-362	162	7	p	p	NOUN
ejde-362	162	8	−	−	PROPN
ejde-362	162	9	1	1	NUM
ejde-362	162	10	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	162	11	)	)	PUNCT
ejde-362	162	12	)	)	PUNCT
ejde-362	162	13	s	s	PART
ejde-362	162	14	p	p	ADJ
ejde-362	162	15	p∗(α)−p	p∗(α)−p	PROPN
ejde-362	162	16	λ	λ	PROPN
ejde-362	162	17	,	,	PUNCT
ejde-362	162	18	which	which	PRON
ejde-362	162	19	implies	imply	VERB
ejde-362	162	20	that	that	PRON
ejde-362	162	21	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	162	22	)	)	PUNCT
ejde-362	162	23	<	<	X
ejde-362	162	24	0	0	X
ejde-362	162	25	.	.	PUNCT
ejde-362	163	1	(	(	PUNCT
ejde-362	163	2	3.4	3.4	NUM
ejde-362	163	3	)	)	PUNCT
ejde-362	163	4	however	however	ADV
ejde-362	163	5	,	,	PUNCT
ejde-362	163	6	we	we	PRON
ejde-362	163	7	have	have	VERB
ejde-362	163	8	〈	〈	PROPN
ejde-362	163	9	j	j	PROPN
ejde-362	163	10	′µ(ϕ	′µ(ϕ	PROPN
ejde-362	163	11	)	)	PUNCT
ejde-362	163	12	,	,	PUNCT
ejde-362	163	13	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-362	163	14	〉	〉	NOUN
ejde-362	163	15	=	=	SYM
ejde-362	163	16	0	0	NUM
ejde-362	163	17	,	,	PUNCT
ejde-362	163	18	for	for	ADP
ejde-362	163	19	every	every	DET
ejde-362	163	20	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	163	21	∈	∈	PROPN
ejde-362	163	22	e.	e.	PROPN
ejde-362	164	1	so	so	ADV
ejde-362	164	2	,	,	PUNCT
ejde-362	164	3	from	from	ADP
ejde-362	164	4	(	(	PUNCT
ejde-362	164	5	h2	h2	NOUN
ejde-362	164	6	)	)	PUNCT
ejde-362	164	7	we	we	PRON
ejde-362	164	8	obtain	obtain	VERB
ejde-362	164	9	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	164	10	=	=	SYM
ejde-362	164	11	µ	µ	X
ejde-362	164	12	∫	∫	PROPN
ejde-362	164	13	rn	rn	PROPN
ejde-362	164	14	f(x)h(ϕ)ϕdx+	f(x)h(ϕ)ϕdx+	PROPN
ejde-362	164	15	∫	∫	PROPN
ejde-362	164	16	rn	rn	PROPN
ejde-362	164	17	|x|−α|ϕ|p	|x|−α|ϕ|p	NUM
ejde-362	164	18	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	164	19	)	)	PUNCT
ejde-362	164	20	dx	dx	PROPN
ejde-362	164	21	≥	≥	PROPN
ejde-362	164	22	rµ	rµ	VERB
ejde-362	164	23	∫	∫	PROPN
ejde-362	164	24	rn	rn	PROPN
ejde-362	164	25	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	164	26	)	)	PUNCT
ejde-362	164	27	dx+	dx+	ADJ
ejde-362	164	28	∫	∫	PROPN
ejde-362	164	29	rn	rn	PROPN
ejde-362	164	30	|x|−α|ϕ|p	|x|−α|ϕ|p	NUM
ejde-362	164	31	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	164	32	)	)	PUNCT
ejde-362	164	33	dx	dx	PROPN
ejde-362	164	34	;	;	PUNCT
ejde-362	164	35	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	164	36	singular	singular	PROPN
ejde-362	164	37	p	p	ADJ
ejde-362	164	38	-	-	PUNCT
ejde-362	164	39	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	164	40	problems	problem	NOUN
ejde-362	164	41	7	7	NUM
ejde-362	164	42	therefore	therefore	ADV
ejde-362	164	43	,	,	PUNCT
ejde-362	164	44	jµ(ϕ	jµ(ϕ	X
ejde-362	164	45	)	)	PUNCT
ejde-362	164	46	=	=	PUNCT
ejde-362	165	1	1	1	NUM
ejde-362	165	2	p	p	NOUN
ejde-362	165	3	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	165	4	−	−	PROPN
ejde-362	165	5	µ	µ	PROPN
ejde-362	165	6	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	7	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	8	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	165	9	)	)	PUNCT
ejde-362	165	10	dx−	dx−	SYM
ejde-362	165	11	1	1	NUM
ejde-362	165	12	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	165	13	)	)	PUNCT
ejde-362	165	14	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	15	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	16	|x|−α|u|p	|x|−α|u|p	PROPN
ejde-362	165	17	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	165	18	)	)	PUNCT
ejde-362	165	19	dx	dx	PROPN
ejde-362	165	20	≥	≥	NUM
ejde-362	165	21	1	1	NUM
ejde-362	165	22	p	p	NOUN
ejde-362	165	23	(	(	PUNCT
ejde-362	165	24	rµ	rµ	INTJ
ejde-362	165	25	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	26	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	27	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PRON
ejde-362	165	28	)	)	PUNCT
ejde-362	165	29	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	165	30	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	31	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	32	|x|−α|u|p	|x|−α|u|p	PROPN
ejde-362	165	33	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	165	34	)	)	PUNCT
ejde-362	165	35	dx	dx	PROPN
ejde-362	165	36	)	)	PUNCT
ejde-362	165	37	−	−	PROPN
ejde-362	165	38	µ	µ	NUM
ejde-362	165	39	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	40	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	41	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	165	42	)	)	PUNCT
ejde-362	165	43	dx−	dx−	SYM
ejde-362	165	44	1	1	NUM
ejde-362	165	45	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	165	46	)	)	PUNCT
ejde-362	165	47	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	48	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	49	|x|−α|u|p	|x|−α|u|p	PROPN
ejde-362	165	50	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	165	51	)	)	PUNCT
ejde-362	165	52	dx	dx	PROPN
ejde-362	165	53	≥	≥	PROPN
ejde-362	165	54	µ	µ	X
ejde-362	165	55	(	(	PUNCT
ejde-362	165	56	r	r	NOUN
ejde-362	165	57	p	p	NOUN
ejde-362	165	58	−	−	PROPN
ejde-362	165	59	1	1	NUM
ejde-362	165	60	)	)	PUNCT
ejde-362	165	61	∫	∫	PROPN
ejde-362	165	62	rn	rn	PROPN
ejde-362	165	63	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	165	64	)	)	PUNCT
ejde-362	165	65	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	165	66	(	(	PUNCT
ejde-362	165	67	1	1	NUM
ejde-362	165	68	p	p	NOUN
ejde-362	165	69	−	−	PROPN
ejde-362	165	70	1	1	NUM
ejde-362	165	71	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	165	72	)	)	PUNCT
ejde-362	165	73	)	)	PUNCT
ejde-362	166	1	∫	∫	PROPN
ejde-362	166	2	rn	rn	PROPN
ejde-362	166	3	|x|−α|u|p	|x|−α|u|p	PROPN
ejde-362	166	4	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	166	5	)	)	PUNCT
ejde-362	166	6	dx	dx	PROPN
ejde-362	166	7	,	,	PUNCT
ejde-362	166	8	and	and	CCONJ
ejde-362	166	9	since	since	SCONJ
ejde-362	166	10	r	r	PROPN
ejde-362	166	11	∈	∈	PROPN
ejde-362	166	12	(	(	PUNCT
ejde-362	166	13	p	p	NOUN
ejde-362	166	14	,	,	PUNCT
ejde-362	166	15	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	166	16	)	)	PUNCT
ejde-362	166	17	and	and	CCONJ
ejde-362	166	18	p	p	X
ejde-362	166	19	<	<	X
ejde-362	166	20	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	166	21	)	)	PUNCT
ejde-362	166	22	,	,	PUNCT
ejde-362	166	23	it	it	PRON
ejde-362	166	24	follows	follow	VERB
ejde-362	166	25	that	that	PRON
ejde-362	166	26	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	166	27	)	)	PUNCT
ejde-362	166	28	≥	≥	NOUN
ejde-362	166	29	0	0	NUM
ejde-362	166	30	.	.	PUNCT
ejde-362	167	1	this	this	PRON
ejde-362	167	2	is	be	AUX
ejde-362	167	3	in	in	ADP
ejde-362	167	4	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-362	167	5	with	with	ADP
ejde-362	167	6	(	(	PUNCT
ejde-362	167	7	3.4	3.4	NUM
ejde-362	167	8	)	)	PUNCT
ejde-362	167	9	.	.	PUNCT
ejde-362	168	1	since	since	SCONJ
ejde-362	168	2	l	l	NOUN
ejde-362	168	3	=	=	SYM
ejde-362	168	4	0	0	NUM
ejde-362	168	5	,	,	PUNCT
ejde-362	168	6	we	we	PRON
ejde-362	168	7	see	see	VERB
ejde-362	168	8	by	by	ADP
ejde-362	168	9	(	(	PUNCT
ejde-362	168	10	3.2	3.2	NUM
ejde-362	168	11	)	)	PUNCT
ejde-362	168	12	that	that	SCONJ
ejde-362	168	13	{	{	PUNCT
ejde-362	168	14	ϕn	ϕn	X
ejde-362	168	15	}	}	PUNCT
ejde-362	168	16	converges	converge	VERB
ejde-362	168	17	strongly	strongly	ADV
ejde-362	168	18	to	to	ADP
ejde-362	168	19	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	168	20	in	in	ADP
ejde-362	168	21	e.	e.	PROPN
ejde-362	168	22	this	this	PRON
ejde-362	168	23	completes	complete	VERB
ejde-362	168	24	the	the	DET
ejde-362	168	25	proof	proof	NOUN
ejde-362	168	26	.	.	PUNCT
ejde-362	169	1	�	�	PROPN
ejde-362	169	2	proof	proof	NOUN
ejde-362	169	3	of	of	ADP
ejde-362	169	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-362	169	5	1.1	1.1	NUM
ejde-362	169	6	.	.	PUNCT
ejde-362	170	1	by	by	ADP
ejde-362	170	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	170	3	3.1	3.1	NUM
ejde-362	170	4	,	,	PUNCT
ejde-362	170	5	there	there	PRON
ejde-362	170	6	exist	exist	VERB
ejde-362	170	7	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	170	8	∈	∈	PROPN
ejde-362	170	9	(	(	PUNCT
ejde-362	170	10	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-362	170	11	)	)	PUNCT
ejde-362	170	12	and	and	CCONJ
ejde-362	170	13	η	η	PROPN
ejde-362	170	14	∈	∈	PROPN
ejde-362	170	15	(	(	PUNCT
ejde-362	170	16	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-362	170	17	)	)	PUNCT
ejde-362	170	18	such	such	ADJ
ejde-362	170	19	that	that	SCONJ
ejde-362	170	20	inf‖ϕ‖=ρ	inf‖ϕ‖=ρ	NOUN
ejde-362	170	21	jµ(ϕ	jµ(ϕ	NUM
ejde-362	170	22	)	)	PUNCT
ejde-362	170	23	≥	≥	PROPN
ejde-362	170	24	η	η	PROPN
ejde-362	170	25	>	>	X
ejde-362	170	26	0	0	NUM
ejde-362	170	27	.	.	PUNCT
ejde-362	171	1	on	on	ADP
ejde-362	171	2	the	the	DET
ejde-362	171	3	other	other	ADJ
ejde-362	171	4	hand	hand	NOUN
ejde-362	171	5	,	,	PUNCT
ejde-362	171	6	by	by	ADP
ejde-362	171	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	171	8	3.2	3.2	NUM
ejde-362	171	9	,	,	PUNCT
ejde-362	171	10	there	there	PRON
ejde-362	171	11	exists	exist	VERB
ejde-362	171	12	e	e	X
ejde-362	171	13	∈	∈	PROPN
ejde-362	171	14	e	e	NOUN
ejde-362	171	15	such	such	ADJ
ejde-362	171	16	that	that	SCONJ
ejde-362	171	17	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	171	18	≤	≤	NOUN
ejde-362	171	19	‖e‖	‖e‖	PROPN
ejde-362	171	20	and	and	CCONJ
ejde-362	171	21	jµ(e	jµ(e	PUNCT
ejde-362	171	22	)	)	PUNCT
ejde-362	171	23	<	<	X
ejde-362	171	24	0	0	PUNCT
ejde-362	171	25	<	<	X
ejde-362	171	26	inf	inf	PROPN
ejde-362	171	27	‖ϕ‖=ρ	‖ϕ‖=ρ	PROPN
ejde-362	171	28	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	171	29	)	)	PUNCT
ejde-362	171	30	,	,	PUNCT
ejde-362	171	31	hence	hence	ADV
ejde-362	171	32	,	,	PUNCT
ejde-362	171	33	combining	combine	VERB
ejde-362	171	34	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	171	35	3.3	3.3	NUM
ejde-362	171	36	and	and	CCONJ
ejde-362	171	37	theorem	theorem	VERB
ejde-362	171	38	2.3	2.3	NUM
ejde-362	171	39	,	,	PUNCT
ejde-362	171	40	we	we	PRON
ejde-362	171	41	can	can	AUX
ejde-362	171	42	establish	establish	VERB
ejde-362	171	43	the	the	DET
ejde-362	171	44	existence	existence	NOUN
ejde-362	171	45	of	of	ADP
ejde-362	171	46	a	a	DET
ejde-362	171	47	critical	critical	ADJ
ejde-362	171	48	point	point	NOUN
ejde-362	171	49	ϕµ.	ϕµ.	VERB
ejde-362	171	50	moreover	moreover	ADV
ejde-362	171	51	,	,	PUNCT
ejde-362	171	52	ϕµ	ϕµ	NOUN
ejde-362	171	53	is	be	AUX
ejde-362	171	54	characterized	characterize	VERB
ejde-362	171	55	by	by	ADP
ejde-362	171	56	jµ(ϕµ	jµ(ϕµ	PROPN
ejde-362	171	57	)	)	PUNCT
ejde-362	172	1	=	=	PROPN
ejde-362	172	2	inf	inf	PROPN
ejde-362	172	3	γ∈γ	γ∈γ	ADJ
ejde-362	172	4	max	max	PROPN
ejde-362	172	5	t∈[0,1	t∈[0,1	PROPN
ejde-362	172	6	]	]	PUNCT
ejde-362	172	7	jµ(γ(t	jµ(γ(t	NOUN
ejde-362	172	8	)	)	PUNCT
ejde-362	172	9	)	)	PUNCT
ejde-362	172	10	,	,	PUNCT
ejde-362	172	11	where	where	SCONJ
ejde-362	172	12	γ	γ	X
ejde-362	172	13	:	:	PUNCT
ejde-362	172	14	=	=	SYM
ejde-362	172	15	{	{	PUNCT
ejde-362	172	16	γ	γ	X
ejde-362	172	17	∈	∈	PROPN
ejde-362	172	18	c([0	c([0	NOUN
ejde-362	172	19	,	,	PUNCT
ejde-362	172	20	1	1	NUM
ejde-362	172	21	]	]	PUNCT
ejde-362	172	22	,	,	PUNCT
ejde-362	172	23	x	x	X
ejde-362	172	24	)	)	PUNCT
ejde-362	172	25	:	:	PUNCT
ejde-362	172	26	(	(	PUNCT
ejde-362	172	27	γ(0	γ(0	PROPN
ejde-362	172	28	)	)	PUNCT
ejde-362	172	29	,	,	PUNCT
ejde-362	172	30	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-362	172	31	)	)	PUNCT
ejde-362	172	32	)	)	PUNCT
ejde-362	173	1	=	=	PUNCT
ejde-362	173	2	(	(	PUNCT
ejde-362	173	3	0	0	NUM
ejde-362	173	4	,	,	PUNCT
ejde-362	173	5	e	e	NOUN
ejde-362	173	6	)	)	PUNCT
ejde-362	173	7	}	}	PUNCT
ejde-362	173	8	,	,	PUNCT
ejde-362	173	9	so	so	CCONJ
ejde-362	173	10	if	if	SCONJ
ejde-362	173	11	we	we	PRON
ejde-362	173	12	take	take	VERB
ejde-362	173	13	γ(s	γ(	NOUN
ejde-362	173	14	)	)	PUNCT
ejde-362	173	15	=	=	PUNCT
ejde-362	173	16	se	se	X
ejde-362	173	17	,	,	PUNCT
ejde-362	173	18	then	then	ADV
ejde-362	173	19	there	there	PRON
ejde-362	173	20	exists	exist	VERB
ejde-362	173	21	s0	s0	PROPN
ejde-362	173	22	∈	∈	PROPN
ejde-362	174	1	[	[	X
ejde-362	174	2	0	0	NUM
ejde-362	174	3	,	,	PUNCT
ejde-362	174	4	1	1	NUM
ejde-362	174	5	]	]	PUNCT
ejde-362	174	6	such	such	ADJ
ejde-362	174	7	that	that	SCONJ
ejde-362	174	8	‖s0e‖	‖s0e‖	NOUN
ejde-362	174	9	=	=	SYM
ejde-362	174	10	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	174	11	,	,	PUNCT
ejde-362	174	12	hence	hence	ADV
ejde-362	174	13	invoking	invoke	VERB
ejde-362	174	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	174	15	3.2	3.2	NUM
ejde-362	174	16	,	,	PUNCT
ejde-362	174	17	we	we	PRON
ejde-362	174	18	obtain	obtain	VERB
ejde-362	174	19	jµ(ϕµ	jµ(ϕµ	PROPN
ejde-362	174	20	)	)	PUNCT
ejde-362	174	21	≥	≥	PROPN
ejde-362	174	22	η	η	X
ejde-362	174	23	>	>	X
ejde-362	174	24	0	0	NUM
ejde-362	174	25	.	.	PUNCT
ejde-362	175	1	(	(	PUNCT
ejde-362	175	2	3.5	3.5	NUM
ejde-362	175	3	)	)	PUNCT
ejde-362	175	4	this	this	PRON
ejde-362	175	5	completes	complete	VERB
ejde-362	175	6	the	the	DET
ejde-362	175	7	proof	proof	NOUN
ejde-362	175	8	.	.	PUNCT
ejde-362	176	1	�	�	PROPN
ejde-362	176	2	4	4	NUM
ejde-362	176	3	.	.	PUNCT
ejde-362	176	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	176	5	of	of	ADP
ejde-362	176	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-362	176	7	1.2	1.2	NUM
ejde-362	176	8	the	the	DET
ejde-362	176	9	proof	proof	NOUN
ejde-362	176	10	is	be	AUX
ejde-362	176	11	divided	divide	VERB
ejde-362	176	12	into	into	ADP
ejde-362	176	13	several	several	ADJ
ejde-362	176	14	lemmas	lemma	NOUN
ejde-362	176	15	.	.	PUNCT
ejde-362	177	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	177	2	4.1	4.1	NUM
ejde-362	177	3	.	.	PUNCT
ejde-362	178	1	under	under	ADP
ejde-362	178	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	178	3	(	(	PUNCT
ejde-362	178	4	h2	h2	NOUN
ejde-362	178	5	)	)	PUNCT
ejde-362	178	6	and	and	CCONJ
ejde-362	178	7	(	(	PUNCT
ejde-362	178	8	h3	h3	NOUN
ejde-362	178	9	)	)	PUNCT
ejde-362	178	10	,	,	PUNCT
ejde-362	178	11	there	there	PRON
ejde-362	178	12	exist	exist	VERB
ejde-362	178	13	positive	positive	ADJ
ejde-362	178	14	constants	constant	NOUN
ejde-362	178	15	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	178	16	,	,	PUNCT
ejde-362	178	17	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	178	18	,	,	PUNCT
ejde-362	178	19	and	and	CCONJ
ejde-362	178	20	η	η	PROPN
ejde-362	178	21	such	such	ADJ
ejde-362	178	22	that	that	PRON
ejde-362	178	23	for	for	ADP
ejde-362	178	24	every	every	DET
ejde-362	178	25	µ	µ	PROPN
ejde-362	178	26	∈	∈	NOUN
ejde-362	178	27	(	(	PUNCT
ejde-362	178	28	0	0	NUM
ejde-362	178	29	,	,	PUNCT
ejde-362	178	30	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	178	31	)	)	PUNCT
ejde-362	178	32	,	,	PUNCT
ejde-362	178	33	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	178	34	=	=	SYM
ejde-362	178	35	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	178	36	implies	imply	VERB
ejde-362	178	37	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	178	38	)	)	PUNCT
ejde-362	178	39	≥	≥	PROPN
ejde-362	178	40	η	η	PROPN
ejde-362	178	41	>	>	X
ejde-362	178	42	0	0	NUM
ejde-362	178	43	.	.	NOUN
ejde-362	178	44	8	8	NUM
ejde-362	178	45	a.	a.	NOUN
ejde-362	178	46	drissi	drissi	PROPN
ejde-362	178	47	,	,	PUNCT
ejde-362	178	48	a.	a.	NOUN
ejde-362	178	49	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	178	50	,	,	PUNCT
ejde-362	178	51	d.	d.	PROPN
ejde-362	178	52	d.	d.	PROPN
ejde-362	178	53	repovš	repovš	VERB
ejde-362	178	54	ejde-2023/61	ejde-2023/61	DET
ejde-362	178	55	proof	proof	NOUN
ejde-362	178	56	.	.	PUNCT
ejde-362	179	1	let	let	VERB
ejde-362	179	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	179	3	∈	∈	PROPN
ejde-362	179	4	e.	e.	PROPN
ejde-362	179	5	invoking	invoke	VERB
ejde-362	179	6	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	179	7	(	(	PUNCT
ejde-362	179	8	h2	h2	NOUN
ejde-362	179	9	)	)	PUNCT
ejde-362	179	10	,	,	PUNCT
ejde-362	179	11	(	(	PUNCT
ejde-362	179	12	h3	h3	NOUN
ejde-362	179	13	)	)	PUNCT
ejde-362	179	14	,	,	PUNCT
ejde-362	179	15	equations	equation	NOUN
ejde-362	179	16	(	(	PUNCT
ejde-362	179	17	2.3	2.3	NUM
ejde-362	179	18	)	)	PUNCT
ejde-362	179	19	,	,	PUNCT
ejde-362	179	20	(	(	PUNCT
ejde-362	179	21	2.5	2.5	NUM
ejde-362	179	22	)	)	PUNCT
ejde-362	179	23	,	,	PUNCT
ejde-362	179	24	and	and	CCONJ
ejde-362	179	25	the	the	DET
ejde-362	179	26	hölder	hölder	NOUN
ejde-362	179	27	inequality	inequality	NOUN
ejde-362	179	28	,	,	PUNCT
ejde-362	179	29	we	we	PRON
ejde-362	179	30	obtain	obtain	VERB
ejde-362	179	31	jµ(ϕ	jµ(ϕ	X
ejde-362	179	32	)	)	PUNCT
ejde-362	180	1	=	=	PUNCT
ejde-362	180	2	1	1	NUM
ejde-362	180	3	p	p	NOUN
ejde-362	180	4	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	180	5	−	−	PROPN
ejde-362	180	6	µ	µ	PROPN
ejde-362	180	7	∫	∫	PROPN
ejde-362	180	8	rn	rn	PROPN
ejde-362	180	9	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	180	10	)	)	PUNCT
ejde-362	180	11	dx−	dx−	SYM
ejde-362	180	12	1	1	NUM
ejde-362	180	13	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	180	14	)	)	PUNCT
ejde-362	180	15	∫	∫	PROPN
ejde-362	180	16	rn	rn	PROPN
ejde-362	180	17	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	180	18	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	19	)	)	PUNCT
ejde-362	180	20	dx	dx	PROPN
ejde-362	180	21	≥	≥	NUM
ejde-362	180	22	1	1	NUM
ejde-362	180	23	p	p	NOUN
ejde-362	180	24	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	180	25	−	−	PROPN
ejde-362	180	26	µ	µ	PROPN
ejde-362	180	27	r	r	NOUN
ejde-362	180	28	∫	∫	PROPN
ejde-362	180	29	rn	rn	PROPN
ejde-362	180	30	f(x)h(ϕ	f(x)h(ϕ	PROPN
ejde-362	180	31	)	)	PUNCT
ejde-362	180	32	dx−	dx−	SYM
ejde-362	180	33	1	1	NUM
ejde-362	180	34	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	180	35	)	)	PUNCT
ejde-362	180	36	s	s	AUX
ejde-362	180	37	−	−	PROPN
ejde-362	180	38	p	p	PROPN
ejde-362	180	39	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	40	)	)	PUNCT
ejde-362	180	41	p	p	NOUN
ejde-362	180	42	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	180	43	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	PROPN
ejde-362	180	44	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	45	)	)	PUNCT
ejde-362	180	46	≥	≥	NOUN
ejde-362	180	47	1	1	NUM
ejde-362	180	48	p	p	NOUN
ejde-362	180	49	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	180	50	−	−	PROPN
ejde-362	180	51	µ	µ	NOUN
ejde-362	180	52	r	r	NOUN
ejde-362	180	53	c1‖ϕ‖rr	c1‖ϕ‖rr	NOUN
ejde-362	180	54	,	,	PUNCT
ejde-362	180	55	f	f	PROPN
ejde-362	180	56	−	−	PROPN
ejde-362	180	57	1	1	NUM
ejde-362	180	58	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	180	59	)	)	PUNCT
ejde-362	180	60	s	s	PART
ejde-362	180	61	−	−	PROPN
ejde-362	180	62	p	p	PROPN
ejde-362	180	63	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	64	)	)	PUNCT
ejde-362	180	65	p	p	NOUN
ejde-362	180	66	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	180	67	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	PROPN
ejde-362	180	68	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	69	)	)	PUNCT
ejde-362	180	70	≥	≥	NOUN
ejde-362	180	71	1	1	NUM
ejde-362	180	72	p	p	NOUN
ejde-362	180	73	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	NOUN
ejde-362	180	74	−	−	PROPN
ejde-362	180	75	µ	µ	NOUN
ejde-362	180	76	r	r	NOUN
ejde-362	180	77	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	180	78	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	180	79	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	180	80	s	s	VERB
ejde-362	180	81	−r	−r	ADJ
ejde-362	180	82	/	/	SYM
ejde-362	180	83	p	p	X
ejde-362	180	84	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	180	85	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	ADV
ejde-362	180	86	−	−	PROPN
ejde-362	180	87	1	1	NUM
ejde-362	180	88	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	180	89	)	)	PUNCT
ejde-362	180	90	s	s	PART
ejde-362	180	91	−	−	PROPN
ejde-362	180	92	p	p	PROPN
ejde-362	180	93	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	94	)	)	PUNCT
ejde-362	180	95	p	p	NOUN
ejde-362	180	96	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	180	97	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	PROPN
ejde-362	180	98	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	180	99	)	)	PUNCT
ejde-362	180	100	≥	≥	NOUN
ejde-362	180	101	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	ADV
ejde-362	180	102	(	(	PUNCT
ejde-362	180	103	1	1	NUM
ejde-362	180	104	p	p	NOUN
ejde-362	180	105	‖ϕ‖p−r	‖ϕ‖p−r	PROPN
ejde-362	180	106	−	−	PROPN
ejde-362	181	1	µ	µ	PRON
ejde-362	181	2	r	r	NOUN
ejde-362	181	3	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	181	4	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	181	5	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	181	6	s	s	VERB
ejde-362	181	7	−r	−r	ADJ
ejde-362	181	8	/	/	SYM
ejde-362	181	9	p	p	NOUN
ejde-362	181	10	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	181	11	−	−	PROPN
ejde-362	181	12	1	1	NUM
ejde-362	181	13	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	181	14	)	)	PUNCT
ejde-362	181	15	s	s	PART
ejde-362	181	16	−	−	PROPN
ejde-362	181	17	p	p	PROPN
ejde-362	181	18	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	181	19	)	)	PUNCT
ejde-362	181	20	p	p	NOUN
ejde-362	181	21	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	181	22	‖ϕ‖p	‖ϕ‖p	PROPN
ejde-362	181	23	∗(α)−r	∗(α)−r	PROPN
ejde-362	181	24	)	)	PUNCT
ejde-362	181	25	≥	≥	PROPN
ejde-362	181	26	‖ϕ‖r	‖ϕ‖r	ADV
ejde-362	181	27	(	(	PUNCT
ejde-362	181	28	h	h	NOUN
ejde-362	181	29	(	(	PUNCT
ejde-362	181	30	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	181	31	)	)	PUNCT
ejde-362	182	1	−	−	PROPN
ejde-362	183	1	µ	µ	NUM
ejde-362	183	2	r	r	NOUN
ejde-362	183	3	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	183	4	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	183	5	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	183	6	s	s	VERB
ejde-362	183	7	−r	−r	ADJ
ejde-362	183	8	/	/	SYM
ejde-362	183	9	p	p	NOUN
ejde-362	183	10	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	183	11	)	)	PUNCT
ejde-362	183	12	,	,	PUNCT
ejde-362	183	13	(	(	PUNCT
ejde-362	183	14	4.1	4.1	NUM
ejde-362	183	15	)	)	PUNCT
ejde-362	183	16	where	where	SCONJ
ejde-362	183	17	h(s	h(s	PROPN
ejde-362	183	18	)	)	PUNCT
ejde-362	183	19	:	:	PUNCT
ejde-362	184	1	=	=	SYM
ejde-362	184	2	1	1	NUM
ejde-362	184	3	p	p	NOUN
ejde-362	184	4	sp−r	sp−r	NOUN
ejde-362	184	5	−	−	PROPN
ejde-362	184	6	1	1	NUM
ejde-362	184	7	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	184	8	)	)	PUNCT
ejde-362	184	9	s	s	PART
ejde-362	184	10	−	−	PROPN
ejde-362	184	11	p	p	PROPN
ejde-362	184	12	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	184	13	)	)	PUNCT
ejde-362	184	14	p	p	NOUN
ejde-362	184	15	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	184	16	sp	sp	ADP
ejde-362	184	17	∗(α)−r	∗(α)−r	PROPN
ejde-362	184	18	.	.	PUNCT
ejde-362	185	1	it	it	PRON
ejde-362	185	2	is	be	AUX
ejde-362	185	3	not	not	PART
ejde-362	185	4	difficult	difficult	ADJ
ejde-362	185	5	to	to	PART
ejde-362	185	6	prove	prove	VERB
ejde-362	185	7	that	that	SCONJ
ejde-362	185	8	h	h	PROPN
ejde-362	185	9	attains	attain	VERB
ejde-362	185	10	its	its	PRON
ejde-362	185	11	global	global	ADJ
ejde-362	185	12	maximum	maximum	NOUN
ejde-362	185	13	at	at	ADP
ejde-362	185	14	s0	s0	NOUN
ejde-362	185	15	:	:	PUNCT
ejde-362	185	16	=	=	SYM
ejde-362	185	17	(	(	PUNCT
ejde-362	185	18	p∗(α)(p−	p∗(α)(p−	VERB
ejde-362	185	19	r)s	r)s	NOUN
ejde-362	185	20	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	185	21	)	)	PUNCT
ejde-362	186	1	p	p	NOUN
ejde-362	186	2	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	186	3	p	p	X
ejde-362	186	4	(	(	PUNCT
ejde-362	186	5	p∗(α)−	p∗(α)−	NOUN
ejde-362	186	6	r	r	NOUN
ejde-362	186	7	)	)	PUNCT
ejde-362	186	8	)	)	PUNCT
ejde-362	186	9	1	1	NUM
ejde-362	186	10	p∗−p	p∗−p	ADV
ejde-362	186	11	.	.	PUNCT
ejde-362	187	1	set	set	VERB
ejde-362	187	2	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	187	3	:	:	PUNCT
ejde-362	188	1	=	=	SYM
ejde-362	188	2	rf(s0	rf(s0	VERB
ejde-362	188	3	)	)	PUNCT
ejde-362	188	4	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	188	5	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	188	6	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	188	7	s	s	VERB
ejde-362	188	8	−r	−r	ADJ
ejde-362	188	9	/	/	SYM
ejde-362	188	10	p	p	X
ejde-362	188	11	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	188	12	.	.	PUNCT
ejde-362	189	1	(	(	PUNCT
ejde-362	189	2	4.2	4.2	NUM
ejde-362	189	3	)	)	PUNCT
ejde-362	189	4	then	then	ADV
ejde-362	189	5	for	for	ADP
ejde-362	189	6	every	every	DET
ejde-362	189	7	µ	µ	PROPN
ejde-362	189	8	∈	∈	NOUN
ejde-362	189	9	(	(	PUNCT
ejde-362	189	10	0	0	NUM
ejde-362	189	11	,	,	PUNCT
ejde-362	189	12	µ0	µ0	NUM
ejde-362	189	13	)	)	PUNCT
ejde-362	189	14	,	,	PUNCT
ejde-362	189	15	we	we	PRON
ejde-362	189	16	have	have	VERB
ejde-362	189	17	h(s0)−	h(s0)−	PROPN
ejde-362	189	18	µ	µ	PRON
ejde-362	189	19	r	r	NOUN
ejde-362	189	20	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	189	21	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	189	22	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	189	23	s	s	VERB
ejde-362	189	24	−r	−r	ADJ
ejde-362	189	25	/	/	SYM
ejde-362	189	26	p	p	X
ejde-362	189	27	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	189	28	>	>	X
ejde-362	189	29	0	0	NUM
ejde-362	189	30	,	,	PUNCT
ejde-362	189	31	and	and	CCONJ
ejde-362	189	32	since	since	SCONJ
ejde-362	189	33	h	h	NOUN
ejde-362	189	34	is	be	AUX
ejde-362	189	35	continuous	continuous	ADJ
ejde-362	189	36	,	,	PUNCT
ejde-362	189	37	we	we	PRON
ejde-362	189	38	can	can	AUX
ejde-362	189	39	find	find	VERB
ejde-362	189	40	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	189	41	>	>	X
ejde-362	189	42	0	0	NUM
ejde-362	190	1	such	such	ADJ
ejde-362	190	2	that	that	SCONJ
ejde-362	190	3	h(ρ)−	h(ρ)−	PROPN
ejde-362	190	4	µ	µ	NUM
ejde-362	190	5	r	r	NOUN
ejde-362	190	6	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	190	7	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	190	8	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	190	9	s	s	VERB
ejde-362	190	10	−r	−r	ADJ
ejde-362	190	11	/	/	SYM
ejde-362	190	12	p	p	X
ejde-362	190	13	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	190	14	>	>	X
ejde-362	190	15	0	0	PROPN
ejde-362	190	16	,	,	PUNCT
ejde-362	190	17	thus	thus	ADV
ejde-362	190	18	for	for	ADP
ejde-362	190	19	every	every	DET
ejde-362	190	20	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-362	190	21	∈	∈	PROPN
ejde-362	190	22	e	e	NOUN
ejde-362	190	23	with	with	ADP
ejde-362	190	24	‖ϕ‖	‖ϕ‖	PROPN
ejde-362	190	25	=	=	SYM
ejde-362	190	26	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	190	27	,	,	PUNCT
ejde-362	190	28	we	we	PRON
ejde-362	190	29	have	have	VERB
ejde-362	190	30	jµ(ϕ	jµ(ϕ	PROPN
ejde-362	190	31	)	)	PUNCT
ejde-362	190	32	≥	≥	PROPN
ejde-362	190	33	η	η	PROPN
ejde-362	190	34	:	:	PUNCT
ejde-362	190	35	=	=	SYM
ejde-362	190	36	ρr	ρr	X
ejde-362	190	37	(	(	PUNCT
ejde-362	190	38	h(ρ)−	h(ρ)−	PROPN
ejde-362	190	39	µ	µ	PART
ejde-362	190	40	r	r	NOUN
ejde-362	190	41	c1‖f‖	c1‖f‖	NOUN
ejde-362	190	42	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	190	43	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	190	44	s	s	VERB
ejde-362	190	45	−r	−r	ADJ
ejde-362	190	46	/	/	SYM
ejde-362	190	47	p	p	NOUN
ejde-362	190	48	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	190	49	)	)	PUNCT
ejde-362	190	50	>	>	X
ejde-362	190	51	0	0	X
ejde-362	190	52	.	.	PUNCT
ejde-362	191	1	this	this	PRON
ejde-362	191	2	completes	complete	VERB
ejde-362	191	3	the	the	DET
ejde-362	191	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	191	5	.	.	PUNCT
ejde-362	192	1	�	�	PROPN
ejde-362	192	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	192	3	4.2	4.2	NUM
ejde-362	192	4	.	.	PUNCT
ejde-362	193	1	there	there	PRON
ejde-362	193	2	exists	exist	VERB
ejde-362	193	3	e	e	X
ejde-362	193	4	∈	∈	PROPN
ejde-362	193	5	e	e	NOUN
ejde-362	193	6	such	such	ADJ
ejde-362	193	7	that	that	SCONJ
ejde-362	193	8	‖e‖	‖e‖	PROPN
ejde-362	193	9	>	>	X
ejde-362	193	10	ρ	ρ	PROPN
ejde-362	193	11	and	and	CCONJ
ejde-362	193	12	jµ(e	jµ(e	PUNCT
ejde-362	193	13	)	)	PUNCT
ejde-362	193	14	<	<	X
ejde-362	194	1	0	0	X
ejde-362	194	2	.	.	PUNCT
ejde-362	195	1	since	since	SCONJ
ejde-362	195	2	the	the	DET
ejde-362	195	3	proof	proof	NOUN
ejde-362	195	4	of	of	ADP
ejde-362	195	5	the	the	DET
ejde-362	195	6	above	above	ADJ
ejde-362	195	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	195	8	is	be	AUX
ejde-362	195	9	very	very	ADV
ejde-362	195	10	similar	similar	ADJ
ejde-362	195	11	to	to	ADP
ejde-362	195	12	that	that	PRON
ejde-362	195	13	of	of	ADP
ejde-362	195	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	195	15	3.2	3.2	NUM
ejde-362	195	16	,	,	PUNCT
ejde-362	195	17	we	we	PRON
ejde-362	195	18	omit	omit	VERB
ejde-362	195	19	it	it	PRON
ejde-362	195	20	.	.	PUNCT
ejde-362	196	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	196	2	4.3	4.3	NUM
ejde-362	196	3	.	.	PUNCT
ejde-362	197	1	under	under	ADP
ejde-362	197	2	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	197	3	(	(	PUNCT
ejde-362	197	4	h2	h2	NOUN
ejde-362	197	5	)	)	PUNCT
ejde-362	197	6	and	and	CCONJ
ejde-362	197	7	(	(	PUNCT
ejde-362	197	8	h3	h3	NOUN
ejde-362	197	9	)	)	PUNCT
ejde-362	197	10	,	,	PUNCT
ejde-362	197	11	the	the	DET
ejde-362	197	12	functional	functional	ADJ
ejde-362	197	13	jµ	jµ	ADJ
ejde-362	197	14	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-362	197	15	the	the	DET
ejde-362	197	16	palais	palais	PROPN
ejde-362	197	17	-	-	PUNCT
ejde-362	197	18	smale	smale	ADJ
ejde-362	197	19	condition	condition	NOUN
ejde-362	197	20	.	.	PUNCT
ejde-362	198	1	proof	proof	NOUN
ejde-362	198	2	.	.	PUNCT
ejde-362	199	1	let	let	VERB
ejde-362	199	2	{	{	PUNCT
ejde-362	199	3	ϕn	ϕn	AUX
ejde-362	199	4	}	}	PUNCT
ejde-362	199	5	be	be	AUX
ejde-362	199	6	a	a	DET
ejde-362	199	7	palais	palais	ADJ
ejde-362	199	8	-	-	PUNCT
ejde-362	199	9	smale	smale	ADJ
ejde-362	199	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-362	199	11	.	.	PUNCT
ejde-362	200	1	by	by	ADP
ejde-362	200	2	the	the	DET
ejde-362	200	3	argument	argument	NOUN
ejde-362	200	4	from	from	ADP
ejde-362	200	5	the	the	DET
ejde-362	200	6	previous	previous	ADJ
ejde-362	200	7	section	section	NOUN
ejde-362	200	8	,	,	PUNCT
ejde-362	200	9	it	it	PRON
ejde-362	200	10	follows	follow	VERB
ejde-362	200	11	that	that	SCONJ
ejde-362	200	12	there	there	PRON
ejde-362	200	13	exist	exist	VERB
ejde-362	200	14	m1	m1	PROPN
ejde-362	200	15	>	>	PUNCT
ejde-362	200	16	0	0	PUNCT
ejde-362	200	17	and	and	CCONJ
ejde-362	200	18	m2	m2	PROPN
ejde-362	200	19	>	>	X
ejde-362	200	20	0	0	PROPN
ejde-362	200	21	,	,	PUNCT
ejde-362	200	22	such	such	ADJ
ejde-362	200	23	that	that	PRON
ejde-362	200	24	jµ(ϕn	jµ(ϕn	NOUN
ejde-362	200	25	)	)	PUNCT
ejde-362	200	26	≤	≤	NOUN
ejde-362	200	27	m1	m1	NOUN
ejde-362	200	28	and	and	CCONJ
ejde-362	200	29	|j	|j	VERB
ejde-362	200	30	′µ(ϕn)|	′µ(ϕn)|	PROPN
ejde-362	200	31	≤	≤	PROPN
ejde-362	200	32	m2	m2	PROPN
ejde-362	200	33	.	.	PUNCT
ejde-362	201	1	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	201	2	singular	singular	PROPN
ejde-362	201	3	p	p	ADJ
ejde-362	201	4	-	-	PUNCT
ejde-362	201	5	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	201	6	problems	problem	NOUN
ejde-362	201	7	9	9	NUM
ejde-362	201	8	let	let	VERB
ejde-362	201	9	us	we	PRON
ejde-362	201	10	prove	prove	VERB
ejde-362	201	11	that	that	SCONJ
ejde-362	201	12	{	{	PUNCT
ejde-362	201	13	ϕn	ϕn	NOUN
ejde-362	201	14	}	}	PUNCT
ejde-362	201	15	is	be	AUX
ejde-362	201	16	bounded	bound	VERB
ejde-362	201	17	.	.	PUNCT
ejde-362	202	1	if	if	SCONJ
ejde-362	202	2	not	not	PART
ejde-362	202	3	,	,	PUNCT
ejde-362	202	4	then	then	ADV
ejde-362	202	5	up	up	ADP
ejde-362	202	6	to	to	ADP
ejde-362	202	7	a	a	DET
ejde-362	202	8	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-362	202	9	we	we	PRON
ejde-362	202	10	can	can	AUX
ejde-362	202	11	assume	assume	VERB
ejde-362	202	12	that	that	SCONJ
ejde-362	202	13	‖ϕn‖	‖ϕn‖	NOUN
ejde-362	202	14	→	→	SYM
ejde-362	202	15	∞	∞	PROPN
ejde-362	202	16	,	,	PUNCT
ejde-362	202	17	as	as	ADP
ejde-362	202	18	n→∞.	n→∞.	NUM
ejde-362	202	19	by	by	ADP
ejde-362	202	20	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	202	21	(	(	PUNCT
ejde-362	202	22	h2	h2	NOUN
ejde-362	202	23	)	)	PUNCT
ejde-362	202	24	and	and	CCONJ
ejde-362	202	25	(	(	PUNCT
ejde-362	202	26	h3	h3	NOUN
ejde-362	202	27	)	)	PUNCT
ejde-362	202	28	,	,	PUNCT
ejde-362	202	29	we	we	PRON
ejde-362	202	30	obtain	obtain	VERB
ejde-362	202	31	p∗(α)m1	p∗(α)m1	NOUN
ejde-362	203	1	+	+	NOUN
ejde-362	203	2	m2	m2	PROPN
ejde-362	203	3	≥	≥	PROPN
ejde-362	203	4	p∗(α)jµ(ϕn)−	p∗(α)jµ(ϕn)−	PROPN
ejde-362	203	5	〈	〈	PROPN
ejde-362	203	6	j	j	PROPN
ejde-362	203	7	′µ(ϕn	′µ(ϕn	PROPN
ejde-362	203	8	)	)	PUNCT
ejde-362	203	9	,	,	PUNCT
ejde-362	203	10	ϕn	ϕn	VERB
ejde-362	203	11	〉	〉	NUM
ejde-362	203	12	≥	≥	NOUN
ejde-362	203	13	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	203	14	)	)	PUNCT
ejde-362	204	1	p	p	X
ejde-362	205	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	PROPN
ejde-362	205	2	−	−	PROPN
ejde-362	205	3	µp∗(α	µp∗(α	NUM
ejde-362	205	4	)	)	PUNCT
ejde-362	205	5	∫	∫	PROPN
ejde-362	205	6	rn	rn	PROPN
ejde-362	205	7	f(x)h(ϕn	f(x)h(ϕn	PROPN
ejde-362	205	8	)	)	PUNCT
ejde-362	206	1	dx	dx	PROPN
ejde-362	206	2	−	−	PROPN
ejde-362	206	3	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	206	4	)	)	PUNCT
ejde-362	206	5	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	206	6	)	)	PUNCT
ejde-362	206	7	∫	∫	PROPN
ejde-362	206	8	rn	rn	PROPN
ejde-362	206	9	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	206	10	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	206	11	)	)	PUNCT
ejde-362	206	12	n	n	CCONJ
ejde-362	206	13	dx−	dx−	PROPN
ejde-362	207	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	PUNCT
ejde-362	207	2	+	+	CCONJ
ejde-362	207	3	µ	µ	PRON
ejde-362	207	4	∫	∫	PROPN
ejde-362	207	5	rn	rn	PROPN
ejde-362	207	6	f(x)h(ϕn)ϕn	f(x)h(ϕn)ϕn	PROPN
ejde-362	207	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-362	207	8	∫	∫	PROPN
ejde-362	207	9	rn	rn	PROPN
ejde-362	207	10	|x|−αϕp	|x|−αϕp	PROPN
ejde-362	207	11	∗(α	∗(α	PROPN
ejde-362	207	12	)	)	PUNCT
ejde-362	208	1	n	n	CCONJ
ejde-362	208	2	dx	dx	PROPN
ejde-362	208	3	≥	≥	X
ejde-362	208	4	(	(	PUNCT
ejde-362	208	5	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	208	6	)	)	PUNCT
ejde-362	209	1	p	p	NOUN
ejde-362	209	2	−	−	PROPN
ejde-362	209	3	1	1	NUM
ejde-362	209	4	)	)	PUNCT
ejde-362	210	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	PUNCT
ejde-362	210	2	+	+	PUNCT
ejde-362	210	3	µ(r	µ(r	NOUN
ejde-362	210	4	−	−	PROPN
ejde-362	210	5	p∗(α	p∗(α	NOUN
ejde-362	210	6	)	)	PUNCT
ejde-362	210	7	)	)	PUNCT
ejde-362	211	1	∫	∫	PROPN
ejde-362	211	2	rn	rn	PROPN
ejde-362	211	3	f(x)h(ϕn	f(x)h(ϕn	PROPN
ejde-362	211	4	)	)	PUNCT
ejde-362	211	5	dx	dx	PROPN
ejde-362	211	6	≥	≥	PROPN
ejde-362	211	7	(	(	PUNCT
ejde-362	211	8	p∗(α	p∗(α	PROPN
ejde-362	211	9	)	)	PUNCT
ejde-362	211	10	p	p	NOUN
ejde-362	211	11	−	−	PROPN
ejde-362	211	12	1	1	NUM
ejde-362	211	13	)	)	PUNCT
ejde-362	212	1	‖ϕn‖p	‖ϕn‖p	PRON
ejde-362	212	2	−	−	PROPN
ejde-362	213	1	µ(p∗(α)−	µ(p∗(α)−	ADP
ejde-362	213	2	r)c1‖f‖	r)c1‖f‖	PROPN
ejde-362	213	3	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	213	4	p∗−r	p∗−r	PROPN
ejde-362	213	5	s	s	VERB
ejde-362	213	6	−r	−r	ADJ
ejde-362	213	7	/	/	SYM
ejde-362	213	8	p	p	X
ejde-362	213	9	p∗	p∗	ADJ
ejde-362	213	10	‖ϕn‖r	‖ϕn‖r	PROPN
ejde-362	213	11	.	.	PUNCT
ejde-362	214	1	since	since	SCONJ
ejde-362	214	2	r	r	NOUN
ejde-362	214	3	<	<	X
ejde-362	214	4	p	p	X
ejde-362	214	5	,	,	PUNCT
ejde-362	214	6	a	a	DET
ejde-362	214	7	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-362	214	8	is	be	AUX
ejde-362	214	9	obtained	obtain	VERB
ejde-362	214	10	by	by	ADP
ejde-362	214	11	letting	let	VERB
ejde-362	214	12	n	n	PRON
ejde-362	214	13	in	in	ADP
ejde-362	214	14	the	the	DET
ejde-362	214	15	last	last	ADJ
ejde-362	214	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-362	214	17	tend	tend	VERB
ejde-362	214	18	to	to	PART
ejde-362	214	19	infinity	infinity	VERB
ejde-362	214	20	,	,	PUNCT
ejde-362	214	21	therefore	therefore	ADV
ejde-362	214	22	{	{	PUNCT
ejde-362	214	23	ϕn	ϕn	INTJ
ejde-362	214	24	}	}	PUNCT
ejde-362	214	25	is	be	AUX
ejde-362	214	26	indeed	indeed	ADV
ejde-362	214	27	bounded	bound	VERB
ejde-362	214	28	.	.	PUNCT
ejde-362	215	1	the	the	DET
ejde-362	215	2	rest	rest	NOUN
ejde-362	215	3	of	of	ADP
ejde-362	215	4	the	the	DET
ejde-362	215	5	proof	proof	NOUN
ejde-362	215	6	is	be	AUX
ejde-362	215	7	analogous	analogous	ADJ
ejde-362	215	8	to	to	ADP
ejde-362	215	9	the	the	DET
ejde-362	215	10	proof	proof	NOUN
ejde-362	215	11	of	of	ADP
ejde-362	215	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	215	13	3.3	3.3	NUM
ejde-362	215	14	.	.	PUNCT
ejde-362	216	1	this	this	PRON
ejde-362	216	2	completes	complete	VERB
ejde-362	216	3	the	the	DET
ejde-362	216	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	216	5	.	.	PUNCT
ejde-362	217	1	�	�	PROPN
ejde-362	217	2	proof	proof	NOUN
ejde-362	217	3	of	of	ADP
ejde-362	217	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-362	217	5	1.2	1.2	NUM
ejde-362	217	6	.	.	PUNCT
ejde-362	218	1	let	let	VERB
ejde-362	218	2	µ	µ	X
ejde-362	218	3	∈	∈	X
ejde-362	218	4	(	(	PUNCT
ejde-362	218	5	0	0	NUM
ejde-362	218	6	,	,	PUNCT
ejde-362	218	7	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	218	8	)	)	PUNCT
ejde-362	218	9	,	,	PUNCT
ejde-362	218	10	where	where	SCONJ
ejde-362	218	11	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	218	12	is	be	AUX
ejde-362	218	13	defined	define	VERB
ejde-362	218	14	in	in	ADP
ejde-362	218	15	(	(	PUNCT
ejde-362	218	16	4.2	4.2	NUM
ejde-362	218	17	)	)	PUNCT
ejde-362	218	18	.	.	PUNCT
ejde-362	219	1	combining	combine	VERB
ejde-362	219	2	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-362	219	3	4.1	4.1	NUM
ejde-362	219	4	,	,	PUNCT
ejde-362	219	5	4.2	4.2	NUM
ejde-362	219	6	,	,	PUNCT
ejde-362	219	7	and	and	CCONJ
ejde-362	219	8	4.3	4.3	NUM
ejde-362	219	9	with	with	ADP
ejde-362	219	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-362	219	11	2.3	2.3	NUM
ejde-362	219	12	,	,	PUNCT
ejde-362	219	13	we	we	PRON
ejde-362	219	14	can	can	AUX
ejde-362	219	15	deduce	deduce	VERB
ejde-362	219	16	that	that	DET
ejde-362	219	17	problem	problem	NOUN
ejde-362	219	18	(	(	PUNCT
ejde-362	219	19	1.3	1.3	NUM
ejde-362	219	20	)	)	PUNCT
ejde-362	219	21	has	have	VERB
ejde-362	219	22	a	a	DET
ejde-362	219	23	weak	weak	ADJ
ejde-362	219	24	solution	solution	NOUN
ejde-362	219	25	ψµ	ψµ	NOUN
ejde-362	219	26	as	as	ADP
ejde-362	219	27	a	a	DET
ejde-362	219	28	critical	critical	ADJ
ejde-362	219	29	point	point	NOUN
ejde-362	219	30	for	for	ADP
ejde-362	219	31	jµ.	jµ.	NOUN
ejde-362	219	32	moreover	moreover	ADV
ejde-362	219	33	,	,	PUNCT
ejde-362	219	34	as	as	ADP
ejde-362	219	35	in	in	ADP
ejde-362	219	36	the	the	DET
ejde-362	219	37	proof	proof	NOUN
ejde-362	219	38	of	of	ADP
ejde-362	219	39	(	(	PUNCT
ejde-362	219	40	3.5	3.5	NUM
ejde-362	219	41	)	)	PUNCT
ejde-362	219	42	,	,	PUNCT
ejde-362	219	43	one	one	PRON
ejde-362	219	44	has	have	VERB
ejde-362	219	45	jµ(ψµ	jµ(ψµ	PROPN
ejde-362	219	46	)	)	PUNCT
ejde-362	219	47	≥	≥	PROPN
ejde-362	219	48	η	η	X
ejde-362	219	49	>	>	X
ejde-362	219	50	0	0	PROPN
ejde-362	219	51	.	.	PUNCT
ejde-362	220	1	(	(	PUNCT
ejde-362	220	2	4.3	4.3	NUM
ejde-362	220	3	)	)	PUNCT
ejde-362	220	4	now	now	ADV
ejde-362	220	5	,	,	PUNCT
ejde-362	220	6	by	by	ADP
ejde-362	220	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	220	8	4.1	4.1	NUM
ejde-362	220	9	,	,	PUNCT
ejde-362	220	10	we	we	PRON
ejde-362	220	11	can	can	AUX
ejde-362	220	12	see	see	VERB
ejde-362	220	13	that	that	DET
ejde-362	220	14	infψ∈∂b(0,ρ	infψ∈∂b(0,ρ	NOUN
ejde-362	220	15	)	)	PUNCT
ejde-362	220	16	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	220	17	)	)	PUNCT
ejde-362	220	18	>	>	X
ejde-362	221	1	0	0	X
ejde-362	221	2	.	.	PUNCT
ejde-362	222	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	222	2	,	,	PUNCT
ejde-362	222	3	by	by	ADP
ejde-362	222	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	222	5	4.2	4.2	NUM
ejde-362	222	6	,	,	PUNCT
ejde-362	222	7	and	and	CCONJ
ejde-362	222	8	equation	equation	NOUN
ejde-362	222	9	(	(	PUNCT
ejde-362	222	10	4.1	4.1	NUM
ejde-362	222	11	)	)	PUNCT
ejde-362	222	12	,	,	PUNCT
ejde-362	222	13	we	we	PRON
ejde-362	222	14	obtain	obtain	VERB
ejde-362	222	15	−∞	−∞	ADP
ejde-362	222	16	<	<	X
ejde-362	222	17	c	c	X
ejde-362	222	18	:	:	PUNCT
ejde-362	222	19	=	=	SYM
ejde-362	222	20	inf	inf	NOUN
ejde-362	222	21	ψ∈b(0,ρ	ψ∈b(0,ρ	PROPN
ejde-362	222	22	)	)	PUNCT
ejde-362	222	23	(	(	PUNCT
ejde-362	222	24	jµ(ψ	jµ(ψ	NUM
ejde-362	222	25	)	)	PUNCT
ejde-362	222	26	)	)	PUNCT
ejde-362	223	1	<	<	X
ejde-362	223	2	0	0	X
ejde-362	223	3	.	.	PUNCT
ejde-362	224	1	let	let	VERB
ejde-362	224	2	ε	ε	PROPN
ejde-362	224	3	>	>	X
ejde-362	224	4	0	0	NUM
ejde-362	224	5	be	be	AUX
ejde-362	224	6	such	such	ADJ
ejde-362	224	7	that	that	SCONJ
ejde-362	224	8	0	0	NUM
ejde-362	224	9	<	<	X
ejde-362	224	10	ε	ε	PROPN
ejde-362	224	11	<	<	X
ejde-362	224	12	inf	inf	PROPN
ejde-362	224	13	ψ∈∂b(0,ρ	ψ∈∂b(0,ρ	PROPN
ejde-362	224	14	)	)	PUNCT
ejde-362	224	15	jµ(ψ)−	jµ(ψ)−	PROPN
ejde-362	224	16	inf	inf	NOUN
ejde-362	224	17	ψ∈b(0,ρ	ψ∈b(0,ρ	PROPN
ejde-362	224	18	)	)	PUNCT
ejde-362	224	19	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	224	20	)	)	PUNCT
ejde-362	224	21	.	.	PUNCT
ejde-362	225	1	(	(	PUNCT
ejde-362	225	2	4.4	4.4	NUM
ejde-362	225	3	)	)	PUNCT
ejde-362	225	4	if	if	SCONJ
ejde-362	225	5	we	we	PRON
ejde-362	225	6	consider	consider	VERB
ejde-362	225	7	the	the	DET
ejde-362	225	8	functional	functional	ADJ
ejde-362	225	9	jµ	jµ	X
ejde-362	225	10	:	:	PUNCT
ejde-362	225	11	b(0	b(0	VERB
ejde-362	225	12	,	,	PUNCT
ejde-362	225	13	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	225	14	)	)	PUNCT
ejde-362	225	15	→	→	SYM
ejde-362	225	16	r	r	NOUN
ejde-362	225	17	,	,	PUNCT
ejde-362	225	18	then	then	ADV
ejde-362	225	19	by	by	ADP
ejde-362	225	20	the	the	DET
ejde-362	225	21	ekeland	ekeland	PROPN
ejde-362	225	22	variational	variational	ADJ
ejde-362	225	23	principle	principle	NOUN
ejde-362	225	24	there	there	PRON
ejde-362	225	25	exists	exist	VERB
ejde-362	225	26	ψε	ψε	NOUN
ejde-362	225	27	∈	∈	PROPN
ejde-362	225	28	b(0	b(0	PROPN
ejde-362	225	29	,	,	PUNCT
ejde-362	225	30	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	225	31	)	)	PUNCT
ejde-362	225	32	,	,	PUNCT
ejde-362	225	33	such	such	ADJ
ejde-362	225	34	that	that	SCONJ
ejde-362	225	35	c	c	PROPN
ejde-362	225	36	≤	≤	PROPN
ejde-362	225	37	jµ(ψε	jµ(ψε	PROPN
ejde-362	225	38	)	)	PUNCT
ejde-362	225	39	≤	≤	NUM
ejde-362	225	40	c+	c+	VERB
ejde-362	225	41	ε	ε	PROPN
ejde-362	225	42	jµ(ψε	jµ(ψε	PROPN
ejde-362	225	43	)	)	PUNCT
ejde-362	225	44	<	<	X
ejde-362	225	45	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	225	46	)	)	PUNCT
ejde-362	226	1	+	+	CCONJ
ejde-362	226	2	ε||ψ	ε||ψ	PROPN
ejde-362	226	3	−	−	PROPN
ejde-362	226	4	ψε||	ψε||	PROPN
ejde-362	226	5	,	,	PUNCT
ejde-362	226	6	ψ	ψ	SYM
ejde-362	226	7	6=	6=	SYM
ejde-362	226	8	ψε	ψε	PROPN
ejde-362	226	9	,	,	PUNCT
ejde-362	226	10	(	(	PUNCT
ejde-362	226	11	4.5	4.5	NUM
ejde-362	226	12	)	)	PUNCT
ejde-362	226	13	so	so	ADV
ejde-362	226	14	by	by	ADP
ejde-362	226	15	(	(	PUNCT
ejde-362	226	16	4.4	4.4	NUM
ejde-362	226	17	)	)	PUNCT
ejde-362	226	18	,	,	PUNCT
ejde-362	226	19	we	we	PRON
ejde-362	226	20	have	have	VERB
ejde-362	226	21	jµ(ψε	jµ(ψε	NOUN
ejde-362	226	22	)	)	PUNCT
ejde-362	226	23	≤	≤	NUM
ejde-362	226	24	inf	inf	PROPN
ejde-362	226	25	ψ∈b(0,ρ	ψ∈b(0,ρ	PROPN
ejde-362	226	26	)	)	PUNCT
ejde-362	226	27	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	226	28	)	)	PUNCT
ejde-362	227	1	+	+	CCONJ
ejde-362	227	2	ε	ε	PROPN
ejde-362	227	3	≤	≤	PROPN
ejde-362	227	4	inf	inf	PROPN
ejde-362	227	5	ψ∈b(0,ρ	ψ∈b(0,ρ	PROPN
ejde-362	227	6	)	)	PUNCT
ejde-362	227	7	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	227	8	)	)	PUNCT
ejde-362	228	1	+	+	CCONJ
ejde-362	228	2	ε	ε	PROPN
ejde-362	228	3	<	<	X
ejde-362	228	4	inf	inf	PROPN
ejde-362	228	5	ψ∈∂b(0,ρ	ψ∈∂b(0,ρ	PROPN
ejde-362	228	6	)	)	PUNCT
ejde-362	228	7	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	228	8	)	)	PUNCT
ejde-362	228	9	,	,	PUNCT
ejde-362	228	10	(	(	PUNCT
ejde-362	228	11	4.6	4.6	NUM
ejde-362	228	12	)	)	PUNCT
ejde-362	228	13	which	which	PRON
ejde-362	228	14	implies	imply	VERB
ejde-362	228	15	that	that	SCONJ
ejde-362	228	16	ψε	ψε	PROPN
ejde-362	228	17	∈	∈	PROPN
ejde-362	228	18	b(0	b(0	PROPN
ejde-362	228	19	,	,	PUNCT
ejde-362	228	20	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	228	21	)	)	PUNCT
ejde-362	228	22	.	.	PUNCT
ejde-362	229	1	on	on	ADP
ejde-362	229	2	the	the	DET
ejde-362	229	3	other	other	ADJ
ejde-362	229	4	hand	hand	NOUN
ejde-362	229	5	,	,	PUNCT
ejde-362	229	6	if	if	SCONJ
ejde-362	229	7	we	we	PRON
ejde-362	229	8	define	define	VERB
ejde-362	229	9	the	the	DET
ejde-362	229	10	functional	functional	ADJ
ejde-362	229	11	φµ	φµ	X
ejde-362	229	12	:	:	PUNCT
ejde-362	229	13	b(0	b(0	PROPN
ejde-362	229	14	,	,	PUNCT
ejde-362	229	15	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	229	16	)	)	PUNCT
ejde-362	229	17	→	→	SYM
ejde-362	229	18	r	r	NOUN
ejde-362	229	19	by	by	ADP
ejde-362	229	20	φµ(ψ	φµ(ψ	NOUN
ejde-362	229	21	)	)	PUNCT
ejde-362	229	22	:	:	PUNCT
ejde-362	230	1	=	=	NOUN
ejde-362	230	2	jµ(ψ	jµ(ψ	PROPN
ejde-362	230	3	)	)	PUNCT
ejde-362	230	4	+	+	CCONJ
ejde-362	230	5	ε‖ψ	ε‖ψ	NOUN
ejde-362	230	6	−	−	PROPN
ejde-362	230	7	ψε‖	ψε‖	PROPN
ejde-362	230	8	,	,	PUNCT
ejde-362	230	9	then	then	ADV
ejde-362	230	10	ψε	ψε	VERB
ejde-362	230	11	is	be	AUX
ejde-362	230	12	a	a	DET
ejde-362	230	13	global	global	ADJ
ejde-362	230	14	minimum	minimum	NOUN
ejde-362	230	15	of	of	ADP
ejde-362	230	16	φµ.	φµ.	NOUN
ejde-362	230	17	therefore	therefore	ADV
ejde-362	230	18	,	,	PUNCT
ejde-362	230	19	for	for	ADP
ejde-362	230	20	s	s	PROPN
ejde-362	230	21	∈	∈	PROPN
ejde-362	230	22	(	(	PUNCT
ejde-362	230	23	0	0	NUM
ejde-362	230	24	,	,	PUNCT
ejde-362	230	25	1	1	X
ejde-362	230	26	)	)	PUNCT
ejde-362	230	27	small	small	ADJ
ejde-362	230	28	enough	enough	ADV
ejde-362	230	29	,	,	PUNCT
ejde-362	230	30	we	we	PRON
ejde-362	230	31	have	have	VERB
ejde-362	230	32	φµ(ψε	φµ(ψε	PROPN
ejde-362	230	33	+	+	PUNCT
ejde-362	230	34	sψ)−	sψ)−	NOUN
ejde-362	230	35	φµ(ψε	φµ(ψε	NOUN
ejde-362	230	36	)	)	PUNCT
ejde-362	230	37	s	s	VERB
ejde-362	230	38	≥	≥	NOUN
ejde-362	230	39	0	0	NUM
ejde-362	230	40	,	,	PUNCT
ejde-362	230	41	for	for	ADP
ejde-362	230	42	every	every	DET
ejde-362	230	43	ψ	ψ	X
ejde-362	230	44	∈	∈	PROPN
ejde-362	230	45	b(0	b(0	NOUN
ejde-362	230	46	,	,	PUNCT
ejde-362	230	47	1	1	NUM
ejde-362	230	48	)	)	PUNCT
ejde-362	230	49	,	,	PUNCT
ejde-362	230	50	10	10	NUM
ejde-362	230	51	a.	a.	NOUN
ejde-362	230	52	drissi	drissi	NOUN
ejde-362	230	53	,	,	PUNCT
ejde-362	230	54	a.	a.	NOUN
ejde-362	230	55	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	230	56	,	,	PUNCT
ejde-362	230	57	d.	d.	PROPN
ejde-362	230	58	d.	d.	PROPN
ejde-362	230	59	repovš	repovš	VERB
ejde-362	230	60	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	230	61	i.e.	i.e.	X
ejde-362	230	62	,	,	PUNCT
ejde-362	230	63	jµ(ψε	jµ(ψε	NOUN
ejde-362	230	64	+	+	CCONJ
ejde-362	230	65	sψ)−	sψ)−	X
ejde-362	230	66	jµ(ψε	jµ(ψε	NOUN
ejde-362	230	67	)	)	PUNCT
ejde-362	230	68	s	s	PART
ejde-362	231	1	+	+	X
ejde-362	231	2	ε‖ψ‖	ε‖ψ‖	PROPN
ejde-362	231	3	≥	≥	NOUN
ejde-362	231	4	0	0	NUM
ejde-362	231	5	.	.	PUNCT
ejde-362	232	1	by	by	ADP
ejde-362	232	2	letting	let	VERB
ejde-362	232	3	s	s	PRON
ejde-362	232	4	tend	tend	VERB
ejde-362	232	5	to	to	PART
ejde-362	232	6	zero	zero	NUM
ejde-362	232	7	,	,	PUNCT
ejde-362	232	8	we	we	PRON
ejde-362	232	9	obtain	obtain	VERB
ejde-362	232	10	〈	〈	PROPN
ejde-362	232	11	j	j	NOUN
ejde-362	232	12	′µ(ψε	′µ(ψε	NOUN
ejde-362	232	13	)	)	PUNCT
ejde-362	232	14	,	,	PUNCT
ejde-362	232	15	ψ	ψ	VERB
ejde-362	232	16	〉	〉	NOUN
ejde-362	232	17	+	+	SYM
ejde-362	232	18	ε‖ψ‖	ε‖ψ‖	PROPN
ejde-362	232	19	≥	≥	NUM
ejde-362	232	20	0	0	NUM
ejde-362	232	21	.	.	PUNCT
ejde-362	233	1	this	this	PRON
ejde-362	233	2	implies	imply	VERB
ejde-362	233	3	that	that	SCONJ
ejde-362	233	4	‖j	‖j	ADV
ejde-362	233	5	′µ(ψε)‖	′µ(ψε)‖	ADJ
ejde-362	233	6	≤	≤	X
ejde-362	233	7	ε	ε	PROPN
ejde-362	233	8	.	.	PUNCT
ejde-362	234	1	if	if	SCONJ
ejde-362	234	2	we	we	PRON
ejde-362	234	3	put	put	VERB
ejde-362	234	4	wn	wn	NOUN
ejde-362	234	5	:	:	PUNCT
ejde-362	234	6	=	=	SYM
ejde-362	234	7	ψ	ψ	X
ejde-362	234	8	1	1	NUM
ejde-362	234	9	n	n	NOUN
ejde-362	234	10	,	,	PUNCT
ejde-362	234	11	we	we	PRON
ejde-362	234	12	obtain	obtain	VERB
ejde-362	234	13	{	{	PUNCT
ejde-362	234	14	wn	wn	PROPN
ejde-362	234	15	}	}	PUNCT
ejde-362	234	16	⊂	⊂	PROPN
ejde-362	234	17	b(0	b(0	PROPN
ejde-362	234	18	,	,	PUNCT
ejde-362	234	19	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	234	20	)	)	PUNCT
ejde-362	234	21	.	.	PUNCT
ejde-362	235	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	235	2	,	,	PUNCT
ejde-362	235	3	jµ(wn)→	jµ(wn)→	PROPN
ejde-362	235	4	c	c	PROPN
ejde-362	235	5	<	<	X
ejde-362	235	6	0	0	NUM
ejde-362	235	7	,	,	PUNCT
ejde-362	235	8	and	and	CCONJ
ejde-362	235	9	j	j	PROPN
ejde-362	235	10	′µ(wn	′µ(wn	PROPN
ejde-362	235	11	)	)	PUNCT
ejde-362	235	12	→	→	SYM
ejde-362	235	13	0	0	NUM
ejde-362	235	14	,	,	PUNCT
ejde-362	235	15	as	as	ADP
ejde-362	235	16	n	n	PROPN
ejde-362	235	17	→	→	SYM
ejde-362	235	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-362	235	19	since	since	SCONJ
ejde-362	235	20	{	{	PUNCT
ejde-362	235	21	wn	wn	PROPN
ejde-362	235	22	}	}	PUNCT
ejde-362	235	23	⊂	⊂	PROPN
ejde-362	235	24	b(0	b(0	PROPN
ejde-362	235	25	,	,	PUNCT
ejde-362	235	26	ρ	ρ	NOUN
ejde-362	235	27	)	)	PUNCT
ejde-362	235	28	,	,	PUNCT
ejde-362	235	29	it	it	PRON
ejde-362	235	30	follows	follow	VERB
ejde-362	235	31	that	that	SCONJ
ejde-362	235	32	{	{	PUNCT
ejde-362	235	33	wn	wn	PROPN
ejde-362	235	34	}	}	PUNCT
ejde-362	235	35	is	be	AUX
ejde-362	235	36	bounded	bound	VERB
ejde-362	235	37	in	in	ADP
ejde-362	235	38	e.	e.	PROPN
ejde-362	236	1	so	so	ADV
ejde-362	236	2	,	,	PUNCT
ejde-362	236	3	up	up	ADP
ejde-362	236	4	to	to	ADP
ejde-362	236	5	a	a	DET
ejde-362	236	6	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-362	236	7	still	still	ADV
ejde-362	236	8	denoted	denote	VERB
ejde-362	236	9	by	by	ADP
ejde-362	236	10	wn	wn	PROPN
ejde-362	236	11	,	,	PUNCT
ejde-362	236	12	there	there	PRON
ejde-362	236	13	exists	exist	VERB
ejde-362	236	14	ψµ	ψµ	ADP
ejde-362	236	15	∈	∈	PROPN
ejde-362	236	16	e	e	NOUN
ejde-362	236	17	,	,	PUNCT
ejde-362	236	18	such	such	ADJ
ejde-362	236	19	that	that	SCONJ
ejde-362	236	20	{	{	PUNCT
ejde-362	236	21	wn	wn	NOUN
ejde-362	236	22	}	}	PUNCT
ejde-362	236	23	converges	converge	VERB
ejde-362	236	24	weakly	weakly	ADJ
ejde-362	236	25	to	to	PART
ejde-362	236	26	ψµ	ψµ	VERB
ejde-362	236	27	∈	∈	PROPN
ejde-362	236	28	e.	e.	PROPN
ejde-362	236	29	invoking	invoke	VERB
ejde-362	236	30	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	236	31	4.3	4.3	NUM
ejde-362	236	32	,	,	PUNCT
ejde-362	236	33	we	we	PRON
ejde-362	236	34	see	see	VERB
ejde-362	236	35	that	that	PRON
ejde-362	236	36	wn	wn	PROPN
ejde-362	236	37	→	→	SYM
ejde-362	236	38	ψµ	ψµ	NOUN
ejde-362	236	39	strongly	strongly	ADV
ejde-362	236	40	in	in	ADP
ejde-362	236	41	e.	e.	PROPN
ejde-362	236	42	now	now	ADV
ejde-362	236	43	,	,	PUNCT
ejde-362	236	44	from	from	ADP
ejde-362	236	45	the	the	DET
ejde-362	236	46	fact	fact	NOUN
ejde-362	236	47	that	that	SCONJ
ejde-362	236	48	jµ	jµ	PRON
ejde-362	236	49	∈	∈	PROPN
ejde-362	236	50	c1(e	c1(e	ADP
ejde-362	236	51	,	,	PUNCT
ejde-362	236	52	r	r	NOUN
ejde-362	236	53	)	)	PUNCT
ejde-362	236	54	implies	imply	VERB
ejde-362	236	55	t	t	PROPN
ejde-362	236	56	j	j	PROPN
ejde-362	236	57	′µ(wn)→	′µ(wn)→	PROPN
ejde-362	236	58	jµ(ψµ	jµ(ψµ	PROPN
ejde-362	236	59	)	)	PUNCT
ejde-362	236	60	,	,	PUNCT
ejde-362	236	61	as	as	ADP
ejde-362	236	62	n→∞	n→∞	NUM
ejde-362	236	63	,	,	PUNCT
ejde-362	236	64	we	we	PRON
ejde-362	236	65	have	have	VERB
ejde-362	236	66	j	j	PROPN
ejde-362	236	67	′µ(ψµ	′µ(ψµ	NOUN
ejde-362	236	68	)	)	PUNCT
ejde-362	236	69	=	=	SYM
ejde-362	236	70	0	0	NUM
ejde-362	236	71	and	and	CCONJ
ejde-362	236	72	jµ(ψµ	jµ(ψµ	PROPN
ejde-362	236	73	)	)	PUNCT
ejde-362	236	74	<	<	X
ejde-362	236	75	0	0	NUM
ejde-362	236	76	,	,	PUNCT
ejde-362	236	77	(	(	PUNCT
ejde-362	236	78	4.7	4.7	NUM
ejde-362	236	79	)	)	PUNCT
ejde-362	236	80	hence	hence	ADV
ejde-362	236	81	ψµ	ψµ	NOUN
ejde-362	236	82	is	be	AUX
ejde-362	236	83	a	a	DET
ejde-362	236	84	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	236	85	weak	weak	ADJ
ejde-362	236	86	solution	solution	NOUN
ejde-362	236	87	of	of	ADP
ejde-362	236	88	(	(	PUNCT
ejde-362	236	89	1.3	1.3	NUM
ejde-362	236	90	)	)	PUNCT
ejde-362	236	91	.	.	PUNCT
ejde-362	237	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	237	2	,	,	PUNCT
ejde-362	237	3	by	by	ADP
ejde-362	237	4	combining	combine	VERB
ejde-362	237	5	(	(	PUNCT
ejde-362	237	6	4.3	4.3	NUM
ejde-362	237	7	)	)	PUNCT
ejde-362	237	8	with	with	ADP
ejde-362	237	9	(	(	PUNCT
ejde-362	237	10	4.7	4.7	NUM
ejde-362	237	11	)	)	PUNCT
ejde-362	237	12	,	,	PUNCT
ejde-362	237	13	we	we	PRON
ejde-362	237	14	obtain	obtain	VERB
ejde-362	237	15	that	that	DET
ejde-362	237	16	jµ(ϕµ	jµ(ϕµ	PROPN
ejde-362	237	17	)	)	PUNCT
ejde-362	237	18	<	<	X
ejde-362	237	19	0	0	PUNCT
ejde-362	237	20	<	<	X
ejde-362	237	21	jµ(ψµ	jµ(ψµ	PROPN
ejde-362	237	22	)	)	PUNCT
ejde-362	237	23	,	,	PUNCT
ejde-362	237	24	i.e.	i.e.	X
ejde-362	237	25	,	,	PUNCT
ejde-362	237	26	uµ	uµ	NOUN
ejde-362	237	27	and	and	CCONJ
ejde-362	237	28	ψµ	ψµ	NOUN
ejde-362	237	29	are	be	AUX
ejde-362	237	30	distinct	distinct	ADJ
ejde-362	237	31	.	.	PUNCT
ejde-362	238	1	this	this	PRON
ejde-362	238	2	completes	complete	VERB
ejde-362	238	3	the	the	DET
ejde-362	238	4	proof	proof	NOUN
ejde-362	238	5	.	.	PUNCT
ejde-362	239	1	�	�	PROPN
ejde-362	239	2	5	5	NUM
ejde-362	239	3	.	.	PUNCT
ejde-362	240	1	an	an	DET
ejde-362	240	2	application	application	NOUN
ejde-362	240	3	as	as	ADP
ejde-362	240	4	an	an	DET
ejde-362	240	5	application	application	NOUN
ejde-362	240	6	of	of	ADP
ejde-362	240	7	our	our	PRON
ejde-362	240	8	results	result	NOUN
ejde-362	240	9	,	,	PUNCT
ejde-362	240	10	we	we	PRON
ejde-362	240	11	shall	shall	AUX
ejde-362	240	12	consider	consider	VERB
ejde-362	240	13	the	the	DET
ejde-362	240	14	problem	problem	NOUN
ejde-362	240	15	∆2	∆2	PUNCT
ejde-362	241	1	pϕ−	pϕ−	PUNCT
ejde-362	241	2	λ	λ	VERB
ejde-362	241	3	|ϕ|p−2ϕ	|ϕ|p−2ϕ	PROPN
ejde-362	241	4	|x|2p	|x|2p	PROPN
ejde-362	241	5	+	+	CCONJ
ejde-362	241	6	∆pϕ	∆pϕ	NOUN
ejde-362	241	7	=	=	SYM
ejde-362	241	8	µf(x)|ϕ|r−2ϕ+	µf(x)|ϕ|r−2ϕ+	ADP
ejde-362	241	9	|ϕ|p∗(p)−2ϕ	|ϕ|p∗(p)−2ϕ	VERB
ejde-362	241	10	|x|p	|x|p	PROPN
ejde-362	241	11	in	in	ADP
ejde-362	241	12	rn	rn	PROPN
ejde-362	241	13	,	,	PUNCT
ejde-362	241	14	(	(	PUNCT
ejde-362	241	15	5.1	5.1	NUM
ejde-362	241	16	)	)	PUNCT
ejde-362	241	17	where	where	SCONJ
ejde-362	241	18	1	1	NUM
ejde-362	241	19	<	<	X
ejde-362	241	20	p	p	X
ejde-362	241	21	<	<	X
ejde-362	241	22	n	n	PROPN
ejde-362	241	23	2	2	NUM
ejde-362	241	24	and	and	CCONJ
ejde-362	241	25	λ	λ	X
ejde-362	241	26	>	>	X
ejde-362	241	27	0	0	X
ejde-362	241	28	.	.	PUNCT
ejde-362	242	1	we	we	PRON
ejde-362	242	2	note	note	VERB
ejde-362	242	3	that	that	SCONJ
ejde-362	242	4	problems	problem	NOUN
ejde-362	242	5	of	of	ADP
ejde-362	242	6	type	type	NOUN
ejde-362	242	7	(	(	PUNCT
ejde-362	242	8	5.1	5.1	NUM
ejde-362	242	9	)	)	PUNCT
ejde-362	242	10	describe	describe	VERB
ejde-362	242	11	the	the	DET
ejde-362	242	12	deformations	deformation	NOUN
ejde-362	242	13	of	of	ADP
ejde-362	242	14	an	an	DET
ejde-362	242	15	elastic	elastic	ADJ
ejde-362	242	16	beam	beam	NOUN
ejde-362	242	17	.	.	PUNCT
ejde-362	243	1	also	also	ADV
ejde-362	243	2	,	,	PUNCT
ejde-362	243	3	they	they	PRON
ejde-362	243	4	give	give	VERB
ejde-362	243	5	a	a	DET
ejde-362	243	6	model	model	NOUN
ejde-362	243	7	for	for	ADP
ejde-362	243	8	considering	consider	VERB
ejde-362	243	9	traveling	travel	VERB
ejde-362	243	10	waves	wave	NOUN
ejde-362	243	11	in	in	ADP
ejde-362	243	12	suspension	suspension	NOUN
ejde-362	243	13	bridges	bridge	NOUN
ejde-362	243	14	.	.	PUNCT
ejde-362	244	1	it	it	PRON
ejde-362	244	2	is	be	AUX
ejde-362	244	3	not	not	PART
ejde-362	244	4	difficult	difficult	ADJ
ejde-362	244	5	to	to	PART
ejde-362	244	6	see	see	VERB
ejde-362	244	7	that	that	SCONJ
ejde-362	244	8	1	1	NUM
ejde-362	244	9	<	<	X
ejde-362	244	10	α	α	NOUN
ejde-362	244	11	=	=	X
ejde-362	245	1	p	p	X
ejde-362	245	2	<	<	X
ejde-362	245	3	2p	2p	NUM
ejde-362	245	4	and	and	CCONJ
ejde-362	245	5	h(ϕ	h(ϕ	NOUN
ejde-362	245	6	)	)	PUNCT
ejde-362	245	7	=	=	SYM
ejde-362	245	8	|ϕ|r−2ϕ	|ϕ|r−2ϕ	PROPN
ejde-362	245	9	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	245	10	the	the	DET
ejde-362	245	11	second	second	ADJ
ejde-362	245	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-362	245	13	of	of	ADP
ejde-362	245	14	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-362	245	15	(	(	PUNCT
ejde-362	245	16	h1	h1	NOUN
ejde-362	245	17	)	)	PUNCT
ejde-362	245	18	and	and	CCONJ
ejde-362	245	19	(	(	PUNCT
ejde-362	245	20	h3	h3	NOUN
ejde-362	245	21	)	)	PUNCT
ejde-362	245	22	,	,	PUNCT
ejde-362	245	23	with	with	ADP
ejde-362	245	24	c1	c1	PROPN
ejde-362	245	25	=	=	PUNCT
ejde-362	246	1	1	1	NUM
ejde-362	246	2	>	>	SYM
ejde-362	246	3	0	0	X
ejde-362	246	4	.	.	PUNCT
ejde-362	247	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	247	2	,	,	PUNCT
ejde-362	247	3	a	a	DET
ejde-362	247	4	simple	simple	ADJ
ejde-362	247	5	calculation	calculation	NOUN
ejde-362	247	6	shows	show	VERB
ejde-362	247	7	that	that	SCONJ
ejde-362	247	8	h(ϕ	h(ϕ	NOUN
ejde-362	247	9	)	)	PUNCT
ejde-362	247	10	=	=	SYM
ejde-362	247	11	1	1	NUM
ejde-362	247	12	r	r	NOUN
ejde-362	247	13	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-362	247	14	r	r	NOUN
ejde-362	247	15	which	which	PRON
ejde-362	247	16	satisfies	satisfy	VERB
ejde-362	247	17	rh(ϕ	rh(ϕ	NOUN
ejde-362	247	18	)	)	PUNCT
ejde-362	247	19	=	=	SYM
ejde-362	247	20	h(ϕ)ϕ	h(ϕ)ϕ	NOUN
ejde-362	247	21	,	,	PUNCT
ejde-362	247	22	so	so	SCONJ
ejde-362	247	23	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-362	247	24	(	(	PUNCT
ejde-362	247	25	h2	h2	NOUN
ejde-362	247	26	)	)	PUNCT
ejde-362	247	27	is	be	AUX
ejde-362	247	28	also	also	ADV
ejde-362	247	29	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-362	247	30	for	for	ADP
ejde-362	247	31	every	every	DET
ejde-362	247	32	σ	σ	PROPN
ejde-362	247	33	>	>	X
ejde-362	247	34	0	0	NUM
ejde-362	247	35	.	.	PUNCT
ejde-362	248	1	hence	hence	ADV
ejde-362	248	2	if	if	SCONJ
ejde-362	248	3	r	r	NOUN
ejde-362	248	4	∈	∈	PROPN
ejde-362	248	5	(	(	PUNCT
ejde-362	248	6	p	p	NOUN
ejde-362	248	7	,	,	PUNCT
ejde-362	248	8	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	248	9	)	)	PUNCT
ejde-362	248	10	and	and	CCONJ
ejde-362	248	11	f	f	PROPN
ejde-362	248	12	∈	∈	PROPN
ejde-362	248	13	l∞(rn	l∞(rn	PROPN
ejde-362	248	14	)	)	PUNCT
ejde-362	248	15	,	,	PUNCT
ejde-362	248	16	then	then	ADV
ejde-362	248	17	theorem	theorem	VERB
ejde-362	248	18	1.1	1.1	NUM
ejde-362	248	19	implies	imply	VERB
ejde-362	248	20	that	that	SCONJ
ejde-362	248	21	for	for	ADP
ejde-362	248	22	every	every	DET
ejde-362	248	23	µ	µ	X
ejde-362	248	24	>	>	X
ejde-362	248	25	0	0	NUM
ejde-362	248	26	,	,	PUNCT
ejde-362	248	27	there	there	PRON
ejde-362	248	28	exists	exist	VERB
ejde-362	248	29	λ0	λ0	NOUN
ejde-362	248	30	>	>	X
ejde-362	248	31	0	0	NUM
ejde-362	248	32	such	such	ADJ
ejde-362	248	33	that	that	PRON
ejde-362	248	34	for	for	SCONJ
ejde-362	248	35	every	every	DET
ejde-362	248	36	λ	λ	PROPN
ejde-362	248	37	∈	∈	PROPN
ejde-362	248	38	(	(	PUNCT
ejde-362	248	39	0	0	NUM
ejde-362	248	40	,	,	PUNCT
ejde-362	248	41	λ0	λ0	NOUN
ejde-362	248	42	)	)	PUNCT
ejde-362	248	43	,	,	PUNCT
ejde-362	248	44	problem	problem	NOUN
ejde-362	248	45	(	(	PUNCT
ejde-362	248	46	5.1	5.1	NUM
ejde-362	248	47	)	)	PUNCT
ejde-362	248	48	has	have	VERB
ejde-362	248	49	a	a	DET
ejde-362	248	50	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	248	51	solution	solution	NOUN
ejde-362	248	52	.	.	PUNCT
ejde-362	249	1	moreover	moreover	ADV
ejde-362	249	2	,	,	PUNCT
ejde-362	249	3	if	if	SCONJ
ejde-362	249	4	1	1	NUM
ejde-362	249	5	<	<	X
ejde-362	249	6	r	r	NOUN
ejde-362	249	7	<	<	X
ejde-362	249	8	p	p	NOUN
ejde-362	249	9	and	and	CCONJ
ejde-362	249	10	0	0	NUM
ejde-362	249	11	<	<	X
ejde-362	249	12	f	f	PROPN
ejde-362	249	13	∈	∈	PROPN
ejde-362	249	14	l	l	NOUN
ejde-362	249	15	p∗	p∗	PROPN
ejde-362	249	16	p∗−r	p∗−r	ADJ
ejde-362	249	17	(	(	PUNCT
ejde-362	249	18	rn	rn	PROPN
ejde-362	249	19	)	)	PUNCT
ejde-362	249	20	∩	∩	PROPN
ejde-362	249	21	lsloc(rn	lsloc(rn	PROPN
ejde-362	249	22	)	)	PUNCT
ejde-362	249	23	,	,	PUNCT
ejde-362	249	24	for	for	ADP
ejde-362	249	25	some	some	DET
ejde-362	249	26	s	s	NOUN
ejde-362	249	27	∈	∈	NOUN
ejde-362	249	28	(	(	PUNCT
ejde-362	249	29	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	249	30	p∗	p∗	NOUN
ejde-362	249	31	−	−	PROPN
ejde-362	249	32	r	r	NOUN
ejde-362	249	33	,	,	PUNCT
ejde-362	249	34	p	p	NOUN
ejde-362	249	35	p−	p−	NOUN
ejde-362	249	36	r	r	NOUN
ejde-362	249	37	)	)	PUNCT
ejde-362	249	38	,	,	PUNCT
ejde-362	249	39	then	then	ADV
ejde-362	249	40	theorem	theorem	VERB
ejde-362	249	41	1.2	1.2	NUM
ejde-362	249	42	implies	imply	VERB
ejde-362	249	43	the	the	DET
ejde-362	249	44	existence	existence	NOUN
ejde-362	249	45	of	of	ADP
ejde-362	249	46	λ0	λ0	NOUN
ejde-362	249	47	>	>	X
ejde-362	249	48	0	0	PUNCT
ejde-362	250	1	and	and	CCONJ
ejde-362	250	2	µ0	µ0	NOUN
ejde-362	250	3	>	>	X
ejde-362	250	4	0	0	NUM
ejde-362	250	5	such	such	ADJ
ejde-362	250	6	that	that	PRON
ejde-362	250	7	for	for	ADP
ejde-362	250	8	every	every	DET
ejde-362	250	9	λ	λ	PROPN
ejde-362	250	10	∈	∈	PROPN
ejde-362	250	11	(	(	PUNCT
ejde-362	250	12	0	0	NUM
ejde-362	250	13	,	,	PUNCT
ejde-362	250	14	λ0	λ0	NOUN
ejde-362	250	15	)	)	PUNCT
ejde-362	250	16	and	and	CCONJ
ejde-362	250	17	µ	µ	PRON
ejde-362	250	18	∈	∈	NOUN
ejde-362	250	19	(	(	PUNCT
ejde-362	250	20	0	0	NUM
ejde-362	250	21	,	,	PUNCT
ejde-362	250	22	µ0	µ0	NUM
ejde-362	250	23	)	)	PUNCT
ejde-362	250	24	,	,	PUNCT
ejde-362	250	25	problem	problem	NOUN
ejde-362	250	26	(	(	PUNCT
ejde-362	250	27	5.1	5.1	NUM
ejde-362	250	28	)	)	PUNCT
ejde-362	250	29	has	have	VERB
ejde-362	250	30	at	at	ADV
ejde-362	250	31	least	least	ADJ
ejde-362	250	32	two	two	NUM
ejde-362	250	33	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	250	34	solutions	solution	NOUN
ejde-362	250	35	.	.	PUNCT
ejde-362	251	1	6	6	X
ejde-362	251	2	.	.	X
ejde-362	251	3	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-362	251	4	the	the	DET
ejde-362	251	5	variational	variational	ADJ
ejde-362	251	6	method	method	NOUN
ejde-362	251	7	has	have	VERB
ejde-362	251	8	a	a	DET
ejde-362	251	9	long	long	ADJ
ejde-362	251	10	and	and	CCONJ
ejde-362	251	11	rich	rich	ADJ
ejde-362	251	12	history	history	NOUN
ejde-362	251	13	,	,	PUNCT
ejde-362	251	14	and	and	CCONJ
ejde-362	251	15	it	it	PRON
ejde-362	251	16	has	have	AUX
ejde-362	251	17	given	give	VERB
ejde-362	251	18	rise	rise	NOUN
ejde-362	251	19	to	to	ADP
ejde-362	251	20	the	the	DET
ejde-362	251	21	functional	functional	ADJ
ejde-362	251	22	energy	energy	NOUN
ejde-362	251	23	.	.	PUNCT
ejde-362	252	1	the	the	DET
ejde-362	252	2	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	252	3	pass	pass	NOUN
ejde-362	252	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	252	5	is	be	AUX
ejde-362	252	6	used	use	VERB
ejde-362	252	7	in	in	ADP
ejde-362	252	8	the	the	DET
ejde-362	252	9	first	first	ADJ
ejde-362	252	10	part	part	NOUN
ejde-362	252	11	of	of	ADP
ejde-362	252	12	this	this	DET
ejde-362	252	13	paper	paper	NOUN
ejde-362	252	14	to	to	PART
ejde-362	252	15	prove	prove	VERB
ejde-362	252	16	the	the	DET
ejde-362	252	17	existence	existence	NOUN
ejde-362	252	18	of	of	ADP
ejde-362	252	19	a	a	DET
ejde-362	252	20	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	252	21	solution	solution	NOUN
ejde-362	252	22	for	for	ADP
ejde-362	252	23	a	a	DET
ejde-362	252	24	p	p	ADJ
ejde-362	252	25	-	-	PUNCT
ejde-362	252	26	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	252	27	problem	problem	NOUN
ejde-362	252	28	involving	involve	VERB
ejde-362	252	29	the	the	DET
ejde-362	252	30	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	252	31	-	-	PUNCT
ejde-362	252	32	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	252	33	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	252	34	.	.	PUNCT
ejde-362	253	1	our	our	PRON
ejde-362	253	2	first	first	ADJ
ejde-362	253	3	main	main	ADJ
ejde-362	253	4	result	result	NOUN
ejde-362	253	5	generalizes	generalize	VERB
ejde-362	253	6	the	the	DET
ejde-362	253	7	paper	paper	NOUN
ejde-362	253	8	of	of	ADP
ejde-362	253	9	ghoussoub	ghoussoub	NOUN
ejde-362	253	10	and	and	CCONJ
ejde-362	253	11	yuan	yuan	NOUN
ejde-362	254	1	[	[	X
ejde-362	254	2	13	13	NUM
ejde-362	254	3	]	]	PUNCT
ejde-362	254	4	.	.	PUNCT
ejde-362	255	1	in	in	ADP
ejde-362	255	2	the	the	DET
ejde-362	255	3	second	second	ADJ
ejde-362	255	4	part	part	NOUN
ejde-362	255	5	of	of	ADP
ejde-362	255	6	the	the	DET
ejde-362	255	7	paper	paper	NOUN
ejde-362	255	8	,	,	PUNCT
ejde-362	255	9	the	the	DET
ejde-362	255	10	mountain	mountain	NOUN
ejde-362	255	11	pass	pass	NOUN
ejde-362	255	12	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	255	13	is	be	AUX
ejde-362	255	14	combined	combine	VERB
ejde-362	255	15	with	with	ADP
ejde-362	255	16	the	the	DET
ejde-362	255	17	ekeland	ekeland	ADJ
ejde-362	255	18	variational	variational	ADJ
ejde-362	255	19	principle	principle	NOUN
ejde-362	255	20	to	to	PART
ejde-362	255	21	prove	prove	VERB
ejde-362	255	22	the	the	DET
ejde-362	255	23	existence	existence	NOUN
ejde-362	255	24	of	of	ADP
ejde-362	255	25	two	two	NUM
ejde-362	255	26	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	255	27	solutions	solution	NOUN
ejde-362	255	28	.	.	PUNCT
ejde-362	256	1	our	our	PRON
ejde-362	256	2	second	second	ADJ
ejde-362	256	3	main	main	ADJ
ejde-362	256	4	result	result	NOUN
ejde-362	256	5	of	of	ADP
ejde-362	256	6	this	this	DET
ejde-362	256	7	paper	paper	NOUN
ejde-362	256	8	generalizes	generalize	VERB
ejde-362	256	9	the	the	DET
ejde-362	256	10	work	work	NOUN
ejde-362	256	11	of	of	ADP
ejde-362	256	12	perrera	perrera	NOUN
ejde-362	256	13	and	and	CCONJ
ejde-362	256	14	zou	zou	NOUN
ejde-362	256	15	[	[	X
ejde-362	256	16	19	19	NUM
ejde-362	256	17	]	]	PUNCT
ejde-362	256	18	.	.	PUNCT
ejde-362	257	1	ejde-2023/61	ejde-2023/61	ADP
ejde-362	257	2	singular	singular	PROPN
ejde-362	257	3	p	p	ADJ
ejde-362	257	4	-	-	PUNCT
ejde-362	257	5	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	257	6	problems	problem	NOUN
ejde-362	257	7	11	11	NUM
ejde-362	257	8	we	we	PRON
ejde-362	257	9	note	note	VERB
ejde-362	257	10	that	that	SCONJ
ejde-362	257	11	the	the	DET
ejde-362	257	12	manipulation	manipulation	NOUN
ejde-362	257	13	of	of	ADP
ejde-362	257	14	the	the	DET
ejde-362	257	15	critical	critical	ADJ
ejde-362	257	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	257	17	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-362	257	18	is	be	AUX
ejde-362	257	19	more	more	ADV
ejde-362	257	20	complicated	complicated	ADJ
ejde-362	257	21	and	and	CCONJ
ejde-362	257	22	the	the	DET
ejde-362	257	23	improvement	improvement	NOUN
ejde-362	257	24	method	method	NOUN
ejde-362	257	25	used	use	VERB
ejde-362	257	26	here	here	ADV
ejde-362	257	27	is	be	AUX
ejde-362	257	28	an	an	DET
ejde-362	257	29	application	application	NOUN
ejde-362	257	30	of	of	ADP
ejde-362	257	31	the	the	DET
ejde-362	257	32	brezis	brezis	NOUN
ejde-362	257	33	-	-	PUNCT
ejde-362	257	34	lieb	lieb	PROPN
ejde-362	257	35	lemma	lemma	PROPN
ejde-362	257	36	.	.	PUNCT
ejde-362	258	1	as	as	ADP
ejde-362	258	2	the	the	DET
ejde-362	258	3	foundation	foundation	NOUN
ejde-362	258	4	for	for	ADP
ejde-362	258	5	further	further	ADJ
ejde-362	258	6	improvements	improvement	NOUN
ejde-362	258	7	,	,	PUNCT
ejde-362	258	8	we	we	PRON
ejde-362	258	9	aim	aim	VERB
ejde-362	258	10	to	to	PART
ejde-362	258	11	obtain	obtain	VERB
ejde-362	258	12	even	even	ADV
ejde-362	258	13	stronger	strong	ADJ
ejde-362	258	14	results	result	NOUN
ejde-362	258	15	for	for	ADP
ejde-362	258	16	problems	problem	NOUN
ejde-362	258	17	with	with	ADP
ejde-362	258	18	discontinuous	discontinuous	ADJ
ejde-362	258	19	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-362	258	20	.	.	PUNCT
ejde-362	259	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-362	259	2	.	.	PUNCT
ejde-362	260	1	repovš	repovš	NOUN
ejde-362	260	2	was	be	AUX
ejde-362	260	3	supported	support	VERB
ejde-362	260	4	by	by	ADP
ejde-362	260	5	the	the	DET
ejde-362	260	6	slovenian	slovenian	PROPN
ejde-362	260	7	research	research	PROPN
ejde-362	260	8	agency	agency	PROPN
ejde-362	260	9	grants	grant	VERB
ejde-362	260	10	p1	p1	PROPN
ejde-362	260	11	-	-	PUNCT
ejde-362	260	12	0292	0292	NUM
ejde-362	260	13	,	,	PUNCT
ejde-362	260	14	j1	j1	PROPN
ejde-362	260	15	-	-	PUNCT
ejde-362	260	16	4031	4031	NUM
ejde-362	260	17	,	,	PUNCT
ejde-362	260	18	j1	j1	PROPN
ejde-362	260	19	-	-	PUNCT
ejde-362	260	20	4001	4001	NUM
ejde-362	260	21	,	,	PUNCT
ejde-362	260	22	n1	n1	NOUN
ejde-362	260	23	-	-	PUNCT
ejde-362	260	24	0278	0278	NUM
ejde-362	260	25	,	,	PUNCT
ejde-362	260	26	n1	n1	NOUN
ejde-362	260	27	-	-	PUNCT
ejde-362	260	28	0114	0114	NUM
ejde-362	260	29	,	,	PUNCT
ejde-362	260	30	and	and	CCONJ
ejde-362	260	31	n1	n1	NOUN
ejde-362	260	32	-	-	PUNCT
ejde-362	260	33	0083	0083	NUM
ejde-362	260	34	.	.	PUNCT
ejde-362	261	1	we	we	PRON
ejde-362	261	2	thank	thank	VERB
ejde-362	261	3	the	the	DET
ejde-362	261	4	referee	referee	NOUN
ejde-362	261	5	for	for	ADP
ejde-362	261	6	comments	comment	NOUN
ejde-362	261	7	and	and	CCONJ
ejde-362	261	8	suggestions	suggestion	NOUN
ejde-362	261	9	.	.	PUNCT
ejde-362	262	1	references	reference	NOUN
ejde-362	262	2	[	[	X
ejde-362	262	3	1	1	NUM
ejde-362	262	4	]	]	PUNCT
ejde-362	262	5	r.	r.	PROPN
ejde-362	262	6	alsaedi	alsaedi	PROPN
ejde-362	262	7	,	,	PUNCT
ejde-362	262	8	a.	a.	PROPN
ejde-362	262	9	dhifli	dhifli	PROPN
ejde-362	262	10	,	,	PUNCT
ejde-362	262	11	a.	a.	NOUN
ejde-362	262	12	ghanmi	ghanmi	NOUN
ejde-362	262	13	;	;	PUNCT
ejde-362	262	14	low	low	ADJ
ejde-362	262	15	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-362	262	16	of	of	ADP
ejde-362	262	17	p	p	ADJ
ejde-362	262	18	-	-	PUNCT
ejde-362	262	19	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	262	20	equations	equation	NOUN
ejde-362	262	21	with	with	ADP
ejde-362	262	22	competing	compete	VERB
ejde-362	262	23	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-362	262	24	,	,	PUNCT
ejde-362	262	25	complex	complex	ADJ
ejde-362	262	26	var	var	NOUN
ejde-362	262	27	.	.	PUNCT
ejde-362	263	1	elliptic	elliptic	PROPN
ejde-362	263	2	equ	equ	PROPN
ejde-362	263	3	.	.	PROPN
ejde-362	264	1	66	66	NUM
ejde-362	264	2	(	(	PUNCT
ejde-362	264	3	2021	2021	NUM
ejde-362	264	4	)	)	PUNCT
ejde-362	264	5	,	,	PUNCT
ejde-362	265	1	no	no	INTJ
ejde-362	265	2	.	.	NOUN
ejde-362	265	3	4	4	NUM
ejde-362	265	4	,	,	PUNCT
ejde-362	265	5	642–657	642–657	NUM
ejde-362	265	6	.	.	PUNCT
ejde-362	266	1	[	[	X
ejde-362	266	2	2	2	NUM
ejde-362	266	3	]	]	PUNCT
ejde-362	266	4	a.	a.	NOUN
ejde-362	266	5	ambrosett	ambrosett	PROPN
ejde-362	266	6	,	,	PUNCT
ejde-362	266	7	p.h	p.h	PROPN
ejde-362	266	8	.	.	PROPN
ejde-362	266	9	rabinowitz	rabinowitz	PROPN
ejde-362	266	10	;	;	PUNCT
ejde-362	266	11	dual	dual	ADJ
ejde-362	266	12	variational	variational	ADJ
ejde-362	266	13	methods	method	NOUN
ejde-362	266	14	in	in	ADP
ejde-362	266	15	critical	critical	ADJ
ejde-362	266	16	point	point	NOUN
ejde-362	266	17	theory	theory	NOUN
ejde-362	266	18	and	and	CCONJ
ejde-362	266	19	applications	application	NOUN
ejde-362	266	20	,	,	PUNCT
ejde-362	266	21	j.	j.	PROPN
ejde-362	266	22	funct	funct	PROPN
ejde-362	266	23	.	.	PUNCT
ejde-362	267	1	anal	anal	PROPN
ejde-362	267	2	.	.	PUNCT
ejde-362	268	1	14	14	NUM
ejde-362	268	2	(	(	PUNCT
ejde-362	268	3	1973	1973	NUM
ejde-362	268	4	)	)	PUNCT
ejde-362	268	5	,	,	PUNCT
ejde-362	268	6	349–381	349–381	NUM
ejde-362	268	7	.	.	PUNCT
ejde-362	269	1	[	[	X
ejde-362	269	2	3	3	NUM
ejde-362	269	3	]	]	PUNCT
ejde-362	269	4	m.	m.	NOUN
ejde-362	269	5	bhakta	bhakta	NOUN
ejde-362	269	6	,	,	PUNCT
ejde-362	269	7	a.	a.	PROPN
ejde-362	269	8	biswas	biswas	PROPN
ejde-362	269	9	,	,	PUNCT
ejde-362	269	10	d.	d.	PROPN
ejde-362	269	11	ganguly	ganguly	PROPN
ejde-362	269	12	,	,	PUNCT
ejde-362	269	13	l.	l.	PROPN
ejde-362	269	14	montoro	montoro	PROPN
ejde-362	269	15	;	;	PUNCT
ejde-362	269	16	integral	integral	ADJ
ejde-362	269	17	representation	representation	NOUN
ejde-362	269	18	of	of	ADP
ejde-362	269	19	solutions	solution	NOUN
ejde-362	269	20	using	use	VERB
ejde-362	269	21	the	the	DET
ejde-362	269	22	green	green	ADJ
ejde-362	269	23	function	function	NOUN
ejde-362	269	24	for	for	ADP
ejde-362	269	25	fractional	fractional	ADJ
ejde-362	269	26	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	269	27	equations	equation	NOUN
ejde-362	269	28	,	,	PUNCT
ejde-362	269	29	j.	j.	PROPN
ejde-362	269	30	differ	differ	VERB
ejde-362	269	31	.	.	PUNCT
ejde-362	270	1	equ	equ	PROPN
ejde-362	270	2	.	.	PUNCT
ejde-362	270	3	269(2020	269(2020	NUM
ejde-362	270	4	)	)	PUNCT
ejde-362	270	5	,	,	PUNCT
ejde-362	270	6	no	no	INTJ
ejde-362	270	7	.	.	NOUN
ejde-362	270	8	7	7	NUM
ejde-362	270	9	,	,	PUNCT
ejde-362	270	10	5573–5594	5573–5594	NUM
ejde-362	270	11	.	.	PUNCT
ejde-362	271	1	[	[	X
ejde-362	271	2	4	4	NUM
ejde-362	271	3	]	]	PUNCT
ejde-362	271	4	m.	m.	NOUN
ejde-362	271	5	bhakta	bhakta	NOUN
ejde-362	271	6	,	,	PUNCT
ejde-362	271	7	s.	s.	PROPN
ejde-362	271	8	chakraborty	chakraborty	PROPN
ejde-362	271	9	,	,	PUNCT
ejde-362	271	10	p.	p.	NOUN
ejde-362	271	11	pucci	pucci	PROPN
ejde-362	271	12	;	;	PUNCT
ejde-362	271	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-362	271	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	271	15	-	-	PUNCT
ejde-362	271	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	271	17	equations	equation	NOUN
ejde-362	271	18	with	with	ADP
ejde-362	271	19	nonhomogeneous	nonhomogeneous	ADJ
ejde-362	271	20	terms	term	NOUN
ejde-362	271	21	,	,	PUNCT
ejde-362	271	22	adv	adv	PROPN
ejde-362	271	23	.	.	PUNCT
ejde-362	272	1	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-362	272	2	anal	anal	PROPN
ejde-362	272	3	.	.	PUNCT
ejde-362	273	1	10	10	NUM
ejde-362	273	2	(	(	PUNCT
ejde-362	273	3	2021	2021	NUM
ejde-362	273	4	)	)	PUNCT
ejde-362	273	5	,	,	PUNCT
ejde-362	273	6	no	no	INTJ
ejde-362	273	7	.	.	NOUN
ejde-362	273	8	1	1	NUM
ejde-362	273	9	,	,	PUNCT
ejde-362	273	10	1086–1116	1086–1116	NUM
ejde-362	273	11	.	.	PUNCT
ejde-362	274	1	[	[	X
ejde-362	274	2	5	5	X
ejde-362	274	3	]	]	PUNCT
ejde-362	274	4	h.	h.	NOUN
ejde-362	274	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-362	274	6	,	,	PUNCT
ejde-362	274	7	e.	e.	PROPN
ejde-362	274	8	lieb	lieb	PROPN
ejde-362	274	9	;	;	PUNCT
ejde-362	274	10	a	a	DET
ejde-362	274	11	relation	relation	NOUN
ejde-362	274	12	between	between	ADP
ejde-362	274	13	point	point	NOUN
ejde-362	274	14	convergence	convergence	NOUN
ejde-362	274	15	of	of	ADP
ejde-362	274	16	functions	function	NOUN
ejde-362	274	17	and	and	CCONJ
ejde-362	274	18	convergence	convergence	NOUN
ejde-362	274	19	of	of	ADP
ejde-362	274	20	functionals	functional	NOUN
ejde-362	274	21	,	,	PUNCT
ejde-362	274	22	proc	proc	NOUN
ejde-362	274	23	.	.	PUNCT
ejde-362	275	1	amer	amer	PROPN
ejde-362	275	2	.	.	PUNCT
ejde-362	275	3	math	math	PROPN
ejde-362	275	4	.	.	PUNCT
ejde-362	276	1	soc	soc	PROPN
ejde-362	276	2	.	.	PUNCT
ejde-362	277	1	88	88	NUM
ejde-362	277	2	(	(	PUNCT
ejde-362	277	3	1983	1983	NUM
ejde-362	277	4	)	)	PUNCT
ejde-362	277	5	,	,	PUNCT
ejde-362	277	6	486–490	486–490	NUM
ejde-362	277	7	.	.	PUNCT
ejde-362	278	1	[	[	X
ejde-362	278	2	6	6	NUM
ejde-362	278	3	]	]	X
ejde-362	278	4	c.	c.	PROPN
ejde-362	278	5	bucur	bucur	PROPN
ejde-362	278	6	,	,	PUNCT
ejde-362	278	7	e.	e.	PROPN
ejde-362	278	8	valdinoci	valdinoci	PROPN
ejde-362	278	9	;	;	PUNCT
ejde-362	278	10	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-362	278	11	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-362	278	12	and	and	CCONJ
ejde-362	278	13	applications	application	NOUN
ejde-362	278	14	,	,	PUNCT
ejde-362	278	15	lect	lect	PROPN
ejde-362	278	16	.	.	PUNCT
ejde-362	278	17	notes	note	VERB
ejde-362	278	18	unione	unione	PROPN
ejde-362	278	19	mat	mat	PROPN
ejde-362	278	20	.	.	PUNCT
ejde-362	278	21	ital	ital	PROPN
ejde-362	278	22	.	.	PROPN
ejde-362	278	23	,	,	PUNCT
ejde-362	278	24	20	20	NUM
ejde-362	278	25	,	,	PUNCT
ejde-362	278	26	springer	springer	NOUN
ejde-362	278	27	,	,	PUNCT
ejde-362	278	28	cham	cham	NOUN
ejde-362	278	29	,	,	PUNCT
ejde-362	278	30	2016	2016	NUM
ejde-362	278	31	.	.	PUNCT
ejde-362	279	1	[	[	X
ejde-362	279	2	7	7	X
ejde-362	279	3	]	]	X
ejde-362	279	4	m.	m.	NOUN
ejde-362	279	5	m.	m.	NOUN
ejde-362	279	6	chaharlang	chaharlang	PROPN
ejde-362	279	7	,	,	PUNCT
ejde-362	279	8	a.	a.	NOUN
ejde-362	279	9	razani	razani	PROPN
ejde-362	279	10	;	;	PUNCT
ejde-362	279	11	a	a	DET
ejde-362	279	12	fourth	fourth	ADJ
ejde-362	279	13	order	order	NOUN
ejde-362	279	14	singular	singular	PROPN
ejde-362	279	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-362	279	16	problem	problem	NOUN
ejde-362	279	17	involving	involve	VERB
ejde-362	279	18	p	p	ADJ
ejde-362	279	19	-	-	PUNCT
ejde-362	279	20	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	279	21	operator	operator	NOUN
ejde-362	279	22	,	,	PUNCT
ejde-362	279	23	taiwanese	taiwanese	PROPN
ejde-362	279	24	j.	j.	PROPN
ejde-362	279	25	math	math	PROPN
ejde-362	279	26	.	.	PUNCT
ejde-362	280	1	23	23	NUM
ejde-362	280	2	(	(	PUNCT
ejde-362	280	3	2019	2019	NUM
ejde-362	280	4	)	)	PUNCT
ejde-362	280	5	,	,	PUNCT
ejde-362	280	6	589–599	589–599	NUM
ejde-362	280	7	.	.	PUNCT
ejde-362	281	1	[	[	X
ejde-362	281	2	8	8	NUM
ejde-362	281	3	]	]	X
ejde-362	281	4	y.	y.	PROPN
ejde-362	281	5	chen	chen	PROPN
ejde-362	281	6	,	,	PUNCT
ejde-362	281	7	s.	s.	PROPN
ejde-362	281	8	levine	levine	PROPN
ejde-362	281	9	,	,	PUNCT
ejde-362	281	10	m.	m.	NOUN
ejde-362	281	11	rao	rao	PROPN
ejde-362	281	12	;	;	PUNCT
ejde-362	281	13	variable	variable	ADJ
ejde-362	281	14	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	281	15	,	,	PUNCT
ejde-362	281	16	linear	linear	ADJ
ejde-362	281	17	growth	growth	NOUN
ejde-362	281	18	functionals	functional	NOUN
ejde-362	281	19	in	in	ADP
ejde-362	281	20	image	image	NOUN
ejde-362	281	21	processing	processing	NOUN
ejde-362	281	22	,	,	PUNCT
ejde-362	281	23	siam	siam	PROPN
ejde-362	281	24	j.	j.	PROPN
ejde-362	281	25	appl	appl	PROPN
ejde-362	281	26	.	.	PROPN
ejde-362	281	27	math	math	PROPN
ejde-362	281	28	.	.	PUNCT
ejde-362	282	1	66	66	NUM
ejde-362	282	2	(	(	PUNCT
ejde-362	282	3	2006	2006	NUM
ejde-362	282	4	)	)	PUNCT
ejde-362	282	5	,	,	PUNCT
ejde-362	282	6	1383–1406	1383–1406	NUM
ejde-362	282	7	.	.	PUNCT
ejde-362	283	1	[	[	X
ejde-362	283	2	9	9	NUM
ejde-362	283	3	]	]	PUNCT
ejde-362	283	4	w.	w.	PROPN
ejde-362	283	5	chen	chen	PROPN
ejde-362	283	6	,	,	PUNCT
ejde-362	283	7	v.	v.	PROPN
ejde-362	283	8	d.	d.	PROPN
ejde-362	283	9	rǎdulescu	rǎdulescu	PROPN
ejde-362	283	10	,	,	PUNCT
ejde-362	283	11	b.	b.	PROPN
ejde-362	283	12	zhang	zhang	PROPN
ejde-362	283	13	;	;	PUNCT
ejde-362	283	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-362	283	15	choquard	choquard	NOUN
ejde-362	283	16	-	-	PUNCT
ejde-362	283	17	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-362	283	18	problems	problem	NOUN
ejde-362	283	19	with	with	ADP
ejde-362	283	20	critical	critical	ADJ
ejde-362	283	21	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-362	283	22	and	and	CCONJ
ejde-362	283	23	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	283	24	potential	potential	ADJ
ejde-362	283	25	,	,	PUNCT
ejde-362	283	26	anal	anal	NOUN
ejde-362	283	27	.	.	PUNCT
ejde-362	283	28	math	math	NOUN
ejde-362	283	29	.	.	PUNCT
ejde-362	284	1	phys	phy	NOUN
ejde-362	284	2	.	.	PUNCT
ejde-362	285	1	132	132	NUM
ejde-362	285	2	(	(	PUNCT
ejde-362	285	3	2021	2021	NUM
ejde-362	285	4	)	)	PUNCT
ejde-362	285	5	,	,	PUNCT
ejde-362	285	6	no	no	INTJ
ejde-362	285	7	.	.	NOUN
ejde-362	285	8	11	11	NUM
ejde-362	285	9	,	,	PUNCT
ejde-362	285	10	https	https	NOUN
ejde-362	285	11	:	:	PUNCT
ejde-362	285	12	//doi.org/10.1007	//doi.org/10.1007	PROPN
ejde-362	285	13	/	/	SYM
ejde-362	285	14	s13324	s13324	PROPN
ejde-362	285	15	-	-	PUNCT
ejde-362	285	16	021	021	NUM
ejde-362	285	17	-	-	PUNCT
ejde-362	285	18	00564	00564	NUM
ejde-362	285	19	-	-	PUNCT
ejde-362	285	20	7	7	NUM
ejde-362	285	21	.	.	PUNCT
ejde-362	286	1	[	[	X
ejde-362	286	2	10	10	NUM
ejde-362	286	3	]	]	X
ejde-362	286	4	n.t	n.t	PROPN
ejde-362	286	5	.	.	PROPN
ejde-362	286	6	chung	chung	PROPN
ejde-362	286	7	,	,	PUNCT
ejde-362	286	8	a.	a.	NOUN
ejde-362	286	9	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	286	10	,	,	PUNCT
ejde-362	286	11	t.	t.	NOUN
ejde-362	286	12	kenzizi	kenzizi	NOUN
ejde-362	286	13	;	;	PUNCT
ejde-362	286	14	multiple	multiple	ADJ
ejde-362	286	15	solutions	solution	NOUN
ejde-362	286	16	to	to	ADP
ejde-362	286	17	p	p	ADJ
ejde-362	286	18	-	-	PUNCT
ejde-362	286	19	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	286	20	equations	equation	NOUN
ejde-362	286	21	of	of	ADP
ejde-362	286	22	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-362	286	23	type	type	NOUN
ejde-362	286	24	with	with	ADP
ejde-362	286	25	vanishing	vanish	VERB
ejde-362	286	26	potential	potential	NOUN
ejde-362	286	27	,	,	PUNCT
ejde-362	286	28	numer	numer	NOUN
ejde-362	286	29	.	.	PUNCT
ejde-362	286	30	funct	funct	PROPN
ejde-362	286	31	.	.	PUNCT
ejde-362	287	1	anal	anal	PROPN
ejde-362	287	2	.	.	PUNCT
ejde-362	288	1	optim	optim	PROPN
ejde-362	288	2	.	.	PUNCT
ejde-362	289	1	44(2023	44(2023	NUM
ejde-362	289	2	)	)	PUNCT
ejde-362	289	3	,	,	PUNCT
ejde-362	290	1	no	no	INTJ
ejde-362	290	2	.	.	NOUN
ejde-362	290	3	3	3	NUM
ejde-362	290	4	,	,	PUNCT
ejde-362	290	5	202	202	NUM
ejde-362	290	6	-	-	SYM
ejde-362	290	7	220	220	NUM
ejde-362	290	8	[	[	PUNCT
ejde-362	290	9	11	11	NUM
ejde-362	290	10	]	]	X
ejde-362	290	11	e.	e.	PROPN
ejde-362	290	12	davies	davies	PROPN
ejde-362	290	13	,	,	PUNCT
ejde-362	290	14	a.	a.	NOUN
ejde-362	290	15	hinz	hinz	PROPN
ejde-362	290	16	;	;	PUNCT
ejde-362	290	17	explicit	explicit	ADJ
ejde-362	290	18	constants	constant	NOUN
ejde-362	290	19	for	for	ADP
ejde-362	290	20	rellich	rellich	PROPN
ejde-362	290	21	inequalities	inequality	NOUN
ejde-362	290	22	in	in	ADP
ejde-362	290	23	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-362	290	24	)	)	PUNCT
ejde-362	290	25	,	,	PUNCT
ejde-362	290	26	math	math	NOUN
ejde-362	290	27	.	.	PUNCT
ejde-362	291	1	z.	z.	PROPN
ejde-362	291	2	227	227	NUM
ejde-362	291	3	(	(	PUNCT
ejde-362	291	4	1998	1998	NUM
ejde-362	291	5	)	)	PUNCT
ejde-362	291	6	,	,	PUNCT
ejde-362	291	7	511–523	511–523	NUM
ejde-362	291	8	.	.	PUNCT
ejde-362	292	1	[	[	X
ejde-362	292	2	12	12	NUM
ejde-362	292	3	]	]	PUNCT
ejde-362	292	4	a.	a.	NOUN
ejde-362	292	5	dhifli	dhifli	PROPN
ejde-362	292	6	,	,	PUNCT
ejde-362	292	7	r.	r.	PROPN
ejde-362	292	8	alsaedi	alsaedi	PROPN
ejde-362	292	9	;	;	PUNCT
ejde-362	292	10	existence	existence	NOUN
ejde-362	292	11	and	and	CCONJ
ejde-362	292	12	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	292	13	of	of	ADP
ejde-362	292	14	solution	solution	NOUN
ejde-362	292	15	for	for	ADP
ejde-362	292	16	a	a	DET
ejde-362	292	17	singular	singular	ADJ
ejde-362	292	18	problem	problem	NOUN
ejde-362	292	19	involving	involve	VERB
ejde-362	292	20	the	the	DET
ejde-362	292	21	p	p	ADJ
ejde-362	292	22	-	-	PUNCT
ejde-362	292	23	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	292	24	operator	operator	NOUN
ejde-362	292	25	in	in	ADP
ejde-362	292	26	rn	rn	PROPN
ejde-362	292	27	,	,	PUNCT
ejde-362	292	28	j.	j.	PROPN
ejde-362	292	29	math	math	PROPN
ejde-362	292	30	.	.	PUNCT
ejde-362	293	1	anal	anal	PROPN
ejde-362	293	2	.	.	PUNCT
ejde-362	294	1	appl	appl	PROPN
ejde-362	294	2	.	.	PUNCT
ejde-362	295	1	499	499	NUM
ejde-362	295	2	(	(	PUNCT
ejde-362	295	3	2021	2021	NUM
ejde-362	295	4	)	)	PUNCT
ejde-362	295	5	,	,	PUNCT
ejde-362	295	6	125049	125049	NUM
ejde-362	295	7	.	.	PUNCT
ejde-362	296	1	[	[	X
ejde-362	296	2	13	13	NUM
ejde-362	296	3	]	]	X
ejde-362	296	4	n.	n.	NOUN
ejde-362	296	5	ghoussoub	ghoussoub	PROPN
ejde-362	296	6	,	,	PUNCT
ejde-362	296	7	c.	c.	PROPN
ejde-362	296	8	yuan	yuan	PROPN
ejde-362	296	9	;	;	PUNCT
ejde-362	296	10	multiple	multiple	ADJ
ejde-362	296	11	solutions	solution	NOUN
ejde-362	296	12	for	for	ADP
ejde-362	296	13	quasi	quasi	ADJ
ejde-362	296	14	-	-	ADJ
ejde-362	296	15	linear	linear	ADJ
ejde-362	296	16	pdes	pde	NOUN
ejde-362	296	17	involving	involve	VERB
ejde-362	296	18	the	the	DET
ejde-362	296	19	critical	critical	ADJ
ejde-362	296	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	296	21	and	and	CCONJ
ejde-362	296	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	296	23	exponents	exponent	NOUN
ejde-362	296	24	,	,	PUNCT
ejde-362	296	25	trans	trans	PROPN
ejde-362	296	26	.	.	PROPN
ejde-362	296	27	amer	amer	PROPN
ejde-362	296	28	.	.	PUNCT
ejde-362	296	29	math	math	PROPN
ejde-362	296	30	.	.	PUNCT
ejde-362	297	1	soc	soc	PROPN
ejde-362	297	2	.	.	PUNCT
ejde-362	298	1	352	352	NUM
ejde-362	298	2	(	(	PUNCT
ejde-362	298	3	2000	2000	NUM
ejde-362	298	4	)	)	PUNCT
ejde-362	298	5	,	,	PUNCT
ejde-362	298	6	5703–5743	5703–5743	NUM
ejde-362	298	7	.	.	PUNCT
ejde-362	299	1	[	[	X
ejde-362	299	2	14	14	NUM
ejde-362	299	3	]	]	X
ejde-362	299	4	w.	w.	PROPN
ejde-362	299	5	guan	guan	PROPN
ejde-362	299	6	,	,	PUNCT
ejde-362	299	7	v.	v.	PROPN
ejde-362	299	8	d.	d.	PROPN
ejde-362	299	9	rǎdulescu	rǎdulescu	PROPN
ejde-362	299	10	,	,	PUNCT
ejde-362	299	11	d.	d.	PROPN
ejde-362	299	12	b.	b.	PROPN
ejde-362	299	13	wang	wang	PROPN
ejde-362	299	14	;	;	PUNCT
ejde-362	299	15	bound	bind	VERB
ejde-362	299	16	states	state	NOUN
ejde-362	299	17	of	of	ADP
ejde-362	299	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-362	299	19	choquard	choquard	NOUN
ejde-362	299	20	equations	equation	NOUN
ejde-362	299	21	with	with	ADP
ejde-362	299	22	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	299	23	-	-	PUNCT
ejde-362	299	24	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-362	299	25	-	-	PUNCT
ejde-362	299	26	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	299	27	critical	critical	ADJ
ejde-362	299	28	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	299	29	,	,	PUNCT
ejde-362	299	30	j.	j.	PROPN
ejde-362	299	31	differ	differ	VERB
ejde-362	299	32	.	.	PUNCT
ejde-362	300	1	equa	equa	NOUN
ejde-362	300	2	.	.	PUNCT
ejde-362	301	1	355	355	NUM
ejde-362	301	2	(	(	PUNCT
ejde-362	301	3	2023	2023	NUM
ejde-362	301	4	)	)	PUNCT
ejde-362	301	5	,	,	PUNCT
ejde-362	301	6	219–247	219–247	NUM
ejde-362	301	7	.	.	PUNCT
ejde-362	302	1	[	[	X
ejde-362	302	2	15	15	NUM
ejde-362	302	3	]	]	X
ejde-362	302	4	y.	y.	PROPN
ejde-362	302	5	huang	huang	PROPN
ejde-362	302	6	,	,	PUNCT
ejde-362	302	7	x.	x.	PROPN
ejde-362	302	8	liu	liu	PROPN
ejde-362	302	9	;	;	PUNCT
ejde-362	302	10	sign	sign	NOUN
ejde-362	302	11	-	-	PUNCT
ejde-362	302	12	changing	change	VERB
ejde-362	302	13	solutions	solution	NOUN
ejde-362	302	14	for	for	ADP
ejde-362	302	15	p	p	NOUN
ejde-362	302	16	-	-	PUNCT
ejde-362	302	17	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	302	18	equations	equation	NOUN
ejde-362	302	19	with	with	ADP
ejde-362	302	20	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	302	21	potential	potential	NOUN
ejde-362	302	22	,	,	PUNCT
ejde-362	302	23	j.	j.	PROPN
ejde-362	302	24	math	math	PROPN
ejde-362	302	25	.	.	PUNCT
ejde-362	303	1	anal	anal	PROPN
ejde-362	303	2	.	.	PUNCT
ejde-362	303	3	appl	appl	PROPN
ejde-362	303	4	.	.	PUNCT
ejde-362	304	1	412	412	NUM
ejde-362	304	2	(	(	PUNCT
ejde-362	304	3	2014	2014	NUM
ejde-362	304	4	)	)	PUNCT
ejde-362	304	5	,	,	PUNCT
ejde-362	304	6	142–154	142–154	NUM
ejde-362	304	7	.	.	PUNCT
ejde-362	305	1	[	[	X
ejde-362	305	2	16	16	NUM
ejde-362	305	3	]	]	PUNCT
ejde-362	305	4	a.	a.	NOUN
ejde-362	305	5	lazer	lazer	NOUN
ejde-362	305	6	,	,	PUNCT
ejde-362	305	7	p.	p.	NOUN
ejde-362	305	8	mckenna	mckenna	NOUN
ejde-362	305	9	;	;	PUNCT
ejde-362	305	10	large	large	ADJ
ejde-362	305	11	-	-	PUNCT
ejde-362	305	12	amplitude	amplitude	NOUN
ejde-362	305	13	periodic	periodic	ADJ
ejde-362	305	14	oscillations	oscillation	NOUN
ejde-362	305	15	in	in	ADP
ejde-362	305	16	suspension	suspension	NOUN
ejde-362	305	17	bridges	bridge	NOUN
ejde-362	305	18	.	.	PUNCT
ejde-362	306	1	some	some	DET
ejde-362	306	2	new	new	ADJ
ejde-362	306	3	connections	connection	NOUN
ejde-362	306	4	with	with	ADP
ejde-362	306	5	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-362	306	6	analysis	analysis	NOUN
ejde-362	306	7	,	,	PUNCT
ejde-362	306	8	siam	siam	PROPN
ejde-362	306	9	rev	rev	X
ejde-362	306	10	.	.	PROPN
ejde-362	306	11	32	32	NUM
ejde-362	306	12	(	(	PUNCT
ejde-362	306	13	1990	1990	NUM
ejde-362	306	14	)	)	PUNCT
ejde-362	306	15	,	,	PUNCT
ejde-362	306	16	537–578	537–578	NUM
ejde-362	306	17	.	.	PUNCT
ejde-362	307	1	[	[	X
ejde-362	307	2	17	17	NUM
ejde-362	307	3	]	]	X
ejde-362	307	4	e.	e.	PROPN
ejde-362	307	5	mitidieri	mitidieri	PROPN
ejde-362	307	6	;	;	PUNCT
ejde-362	307	7	a	a	DET
ejde-362	307	8	simple	simple	ADJ
ejde-362	307	9	approach	approach	NOUN
ejde-362	307	10	to	to	ADP
ejde-362	307	11	hardy	hardy	PROPN
ejde-362	307	12	’s	’s	PART
ejde-362	307	13	inequalities	inequality	NOUN
ejde-362	307	14	,	,	PUNCT
ejde-362	307	15	math	math	NOUN
ejde-362	307	16	.	.	PUNCT
ejde-362	307	17	notes	note	VERB
ejde-362	307	18	67	67	NUM
ejde-362	307	19	(	(	PUNCT
ejde-362	307	20	2000	2000	NUM
ejde-362	307	21	)	)	PUNCT
ejde-362	307	22	,	,	PUNCT
ejde-362	307	23	479–486	479–486	NUM
ejde-362	307	24	.	.	PUNCT
ejde-362	308	1	[	[	X
ejde-362	308	2	18	18	NUM
ejde-362	308	3	]	]	X
ejde-362	308	4	n.	n.	PROPN
ejde-362	308	5	s.	s.	PROPN
ejde-362	308	6	papageorgiou	papageorgiou	PROPN
ejde-362	308	7	,	,	PUNCT
ejde-362	308	8	v.	v.	PROPN
ejde-362	308	9	d.	d.	PROPN
ejde-362	308	10	rădulescu	rădulescu	PROPN
ejde-362	308	11	,	,	PUNCT
ejde-362	308	12	d.	d.	PROPN
ejde-362	308	13	d.	d.	PROPN
ejde-362	308	14	repovš	repovš	VERB
ejde-362	308	15	;	;	PUNCT
ejde-362	308	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-362	308	17	analysis	analysis	NOUN
ejde-362	308	18	theory	theory	NOUN
ejde-362	308	19	and	and	CCONJ
ejde-362	308	20	methods	method	NOUN
ejde-362	308	21	,	,	PUNCT
ejde-362	308	22	springer	springer	NOUN
ejde-362	308	23	monographs	monograph	NOUN
ejde-362	308	24	in	in	ADP
ejde-362	308	25	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-362	308	26	,	,	PUNCT
ejde-362	308	27	springer	springer	NOUN
ejde-362	308	28	,	,	PUNCT
ejde-362	308	29	cham	cham	NOUN
ejde-362	308	30	,	,	PUNCT
ejde-362	308	31	2019	2019	NUM
ejde-362	308	32	.	.	PUNCT
ejde-362	309	1	[	[	X
ejde-362	309	2	19	19	NUM
ejde-362	309	3	]	]	PUNCT
ejde-362	309	4	k.	k.	PROPN
ejde-362	309	5	perera	perera	PROPN
ejde-362	309	6	,	,	PUNCT
ejde-362	309	7	w.	w.	PROPN
ejde-362	309	8	zou	zou	PROPN
ejde-362	309	9	;	;	PUNCT
ejde-362	309	10	p	p	X
ejde-362	309	11	-	-	PUNCT
ejde-362	309	12	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	309	13	problems	problem	NOUN
ejde-362	309	14	involving	involve	VERB
ejde-362	309	15	critical	critical	ADJ
ejde-362	309	16	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	309	17	–	–	PUNCT
ejde-362	309	18	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	309	19	exponents	exponent	NOUN
ejde-362	309	20	,	,	PUNCT
ejde-362	309	21	nodea	nodea	PROPN
ejde-362	309	22	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-362	309	23	differ	differ	VERB
ejde-362	309	24	.	.	PUNCT
ejde-362	310	1	equ	equ	PROPN
ejde-362	310	2	.	.	PUNCT
ejde-362	310	3	appl	appl	PROPN
ejde-362	310	4	.	.	PROPN
ejde-362	311	1	25	25	NUM
ejde-362	311	2	(	(	PUNCT
ejde-362	311	3	2018	2018	NUM
ejde-362	311	4	)	)	PUNCT
ejde-362	311	5	,	,	PUNCT
ejde-362	311	6	no	no	INTJ
ejde-362	311	7	.	.	NOUN
ejde-362	311	8	25	25	NUM
ejde-362	311	9	,	,	PUNCT
ejde-362	311	10	https://doi.org/10.1007/s00030018-0517-7	https://doi.org/10.1007/s00030018-0517-7	ADV
ejde-362	311	11	.	.	PUNCT
ejde-362	312	1	[	[	X
ejde-362	312	2	20	20	NUM
ejde-362	312	3	]	]	PUNCT
ejde-362	312	4	m.	m.	NOUN
ejde-362	312	5	pérez	pérez	NOUN
ejde-362	312	6	-	-	PUNCT
ejde-362	312	7	llanos	llanos	PROPN
ejde-362	312	8	,	,	PUNCT
ejde-362	312	9	a.	a.	NOUN
ejde-362	312	10	primo	primo	NOUN
ejde-362	312	11	;	;	PUNCT
ejde-362	312	12	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-362	312	13	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	312	14	problems	problem	NOUN
ejde-362	312	15	with	with	ADP
ejde-362	312	16	a	a	DET
ejde-362	312	17	singular	singular	ADJ
ejde-362	312	18	term	term	NOUN
ejde-362	312	19	,	,	PUNCT
ejde-362	312	20	j.	j.	PROPN
ejde-362	312	21	differ	differ	VERB
ejde-362	312	22	.	.	PUNCT
ejde-362	313	1	equ	equ	PROPN
ejde-362	313	2	.	.	PROPN
ejde-362	314	1	257	257	NUM
ejde-362	314	2	(	(	PUNCT
ejde-362	314	3	2014	2014	NUM
ejde-362	314	4	)	)	PUNCT
ejde-362	314	5	,	,	PUNCT
ejde-362	314	6	3200–3225	3200–3225	NUM
ejde-362	314	7	.	.	PUNCT
ejde-362	315	1	[	[	X
ejde-362	315	2	21	21	NUM
ejde-362	315	3	]	]	X
ejde-362	315	4	f.	f.	PROPN
ejde-362	315	5	rellich	rellich	PROPN
ejde-362	315	6	;	;	PUNCT
ejde-362	315	7	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-362	315	8	theory	theory	NOUN
ejde-362	315	9	of	of	ADP
ejde-362	315	10	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-362	315	11	problems	problem	NOUN
ejde-362	315	12	,	,	PUNCT
ejde-362	315	13	courant	courant	PROPN
ejde-362	315	14	institute	institute	PROPN
ejde-362	315	15	of	of	ADP
ejde-362	315	16	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-362	315	17	sciences	sciences	PROPN
ejde-362	315	18	,	,	PUNCT
ejde-362	315	19	new	new	PROPN
ejde-362	315	20	york	york	PROPN
ejde-362	315	21	university	university	PROPN
ejde-362	315	22	,	,	PUNCT
ejde-362	315	23	new	new	PROPN
ejde-362	315	24	york	york	PROPN
ejde-362	315	25	,	,	PUNCT
ejde-362	315	26	1954	1954	NUM
ejde-362	315	27	.	.	PUNCT
ejde-362	316	1	[	[	X
ejde-362	316	2	22	22	NUM
ejde-362	316	3	]	]	PUNCT
ejde-362	316	4	m.	m.	NOUN
ejde-362	316	5	ružička	ružička	NOUN
ejde-362	316	6	;	;	PUNCT
ejde-362	316	7	electrorheological	electrorheological	ADJ
ejde-362	316	8	fluids	fluid	NOUN
ejde-362	316	9	:	:	PUNCT
ejde-362	316	10	modelling	modelling	NOUN
ejde-362	316	11	and	and	CCONJ
ejde-362	316	12	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-362	316	13	theory	theory	NOUN
ejde-362	316	14	,	,	PUNCT
ejde-362	316	15	springer	springer	NOUN
ejde-362	316	16	,	,	PUNCT
ejde-362	316	17	berlin	berlin	PROPN
ejde-362	316	18	,	,	PUNCT
ejde-362	316	19	2000	2000	NUM
ejde-362	316	20	.	.	PUNCT
ejde-362	317	1	12	12	NUM
ejde-362	317	2	a.	a.	NOUN
ejde-362	317	3	drissi	drissi	NOUN
ejde-362	317	4	,	,	PUNCT
ejde-362	317	5	a.	a.	NOUN
ejde-362	317	6	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	317	7	,	,	PUNCT
ejde-362	317	8	d.	d.	PROPN
ejde-362	317	9	d.	d.	PROPN
ejde-362	317	10	repovš	repovš	VERB
ejde-362	317	11	ejde-2023/61	ejde-2023/61	NOUN
ejde-362	317	12	[	[	X
ejde-362	317	13	23	23	NUM
ejde-362	317	14	]	]	PUNCT
ejde-362	317	15	j.	j.	PROPN
ejde-362	317	16	sun	sun	PROPN
ejde-362	317	17	,	,	PUNCT
ejde-362	317	18	j.	j.	PROPN
ejde-362	317	19	chu	chu	PROPN
ejde-362	317	20	,	,	PUNCT
ejde-362	317	21	t.f	t.f	PROPN
ejde-362	317	22	.	.	PROPN
ejde-362	317	23	wu	wu	PROPN
ejde-362	317	24	;	;	PUNCT
ejde-362	317	25	existence	existence	NOUN
ejde-362	317	26	and	and	CCONJ
ejde-362	317	27	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-362	317	28	of	of	ADP
ejde-362	317	29	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	317	30	solutions	solution	NOUN
ejde-362	317	31	for	for	ADP
ejde-362	317	32	some	some	DET
ejde-362	317	33	biharmonic	biharmonic	ADJ
ejde-362	317	34	equations	equation	NOUN
ejde-362	317	35	with	with	ADP
ejde-362	317	36	p	p	NOUN
ejde-362	317	37	-	-	PUNCT
ejde-362	317	38	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-362	317	39	,	,	PUNCT
ejde-362	317	40	j.	j.	PROPN
ejde-362	317	41	differ	differ	VERB
ejde-362	317	42	.	.	PUNCT
ejde-362	318	1	equ	equ	PROPN
ejde-362	318	2	.	.	PROPN
ejde-362	319	1	262	262	NUM
ejde-362	319	2	(	(	PUNCT
ejde-362	319	3	2017	2017	NUM
ejde-362	319	4	)	)	PUNCT
ejde-362	319	5	,	,	PUNCT
ejde-362	320	1	945–977	945–977	NUM
ejde-362	320	2	.	.	PUNCT
ejde-362	321	1	[	[	X
ejde-362	321	2	24	24	NUM
ejde-362	321	3	]	]	PUNCT
ejde-362	321	4	j.	j.	PROPN
ejde-362	321	5	sun	sun	PROPN
ejde-362	321	6	,	,	PUNCT
ejde-362	321	7	t.f	t.f	PROPN
ejde-362	321	8	.	.	PROPN
ejde-362	321	9	wu	wu	PROPN
ejde-362	321	10	;	;	PUNCT
ejde-362	321	11	existence	existence	NOUN
ejde-362	321	12	of	of	ADP
ejde-362	321	13	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-362	321	14	solutions	solution	NOUN
ejde-362	321	15	for	for	ADP
ejde-362	321	16	a	a	DET
ejde-362	321	17	biharmonic	biharmonic	ADJ
ejde-362	321	18	equation	equation	NOUN
ejde-362	321	19	with	with	ADP
ejde-362	321	20	p	p	NOUN
ejde-362	321	21	-	-	PUNCT
ejde-362	321	22	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	321	23	and	and	CCONJ
ejde-362	321	24	singular	singular	ADJ
ejde-362	321	25	sign	sign	NOUN
ejde-362	321	26	-	-	PUNCT
ejde-362	321	27	changing	change	VERB
ejde-362	321	28	potential	potential	NOUN
ejde-362	321	29	,	,	PUNCT
ejde-362	321	30	appl	appl	PROPN
ejde-362	321	31	.	.	PROPN
ejde-362	321	32	math	math	PROPN
ejde-362	321	33	.	.	PUNCT
ejde-362	322	1	lett	lett	PROPN
ejde-362	322	2	.	.	PUNCT
ejde-362	323	1	66	66	NUM
ejde-362	323	2	(	(	PUNCT
ejde-362	323	3	2017	2017	NUM
ejde-362	323	4	)	)	PUNCT
ejde-362	323	5	,	,	PUNCT
ejde-362	324	1	61–67	61–67	NUM
ejde-362	324	2	.	.	PUNCT
ejde-362	325	1	[	[	X
ejde-362	325	2	25	25	NUM
ejde-362	325	3	]	]	PUNCT
ejde-362	325	4	j.	j.	PROPN
ejde-362	325	5	sun	sun	PROPN
ejde-362	325	6	,	,	PUNCT
ejde-362	325	7	t.f	t.f	PROPN
ejde-362	325	8	.	.	PROPN
ejde-362	325	9	wu	wu	PROPN
ejde-362	325	10	;	;	PUNCT
ejde-362	325	11	the	the	DET
ejde-362	325	12	nehari	nehari	NOUN
ejde-362	325	13	manifold	manifold	ADJ
ejde-362	325	14	of	of	ADP
ejde-362	325	15	biharmonic	biharmonic	ADJ
ejde-362	325	16	equations	equation	NOUN
ejde-362	325	17	with	with	ADP
ejde-362	325	18	p	p	NOUN
ejde-362	325	19	-	-	PUNCT
ejde-362	325	20	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-362	325	21	and	and	CCONJ
ejde-362	325	22	singular	singular	ADJ
ejde-362	325	23	potential	potential	NOUN
ejde-362	325	24	,	,	PUNCT
ejde-362	325	25	appl	appl	PROPN
ejde-362	325	26	.	.	PROPN
ejde-362	325	27	math	math	PROPN
ejde-362	325	28	.	.	PUNCT
ejde-362	326	1	lett	lett	PROPN
ejde-362	326	2	.	.	PROPN
ejde-362	326	3	,	,	PUNCT
ejde-362	326	4	88	88	NUM
ejde-362	326	5	(	(	PUNCT
ejde-362	326	6	2019	2019	NUM
ejde-362	326	7	)	)	PUNCT
ejde-362	326	8	,	,	PUNCT
ejde-362	326	9	156–163	156–163	NUM
ejde-362	326	10	.	.	PUNCT
ejde-362	327	1	[	[	X
ejde-362	327	2	26	26	NUM
ejde-362	327	3	]	]	X
ejde-362	327	4	w.	w.	PROPN
ejde-362	327	5	wang	wang	PROPN
ejde-362	327	6	;	;	PUNCT
ejde-362	327	7	p	p	ADJ
ejde-362	327	8	-	-	PUNCT
ejde-362	327	9	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	327	10	equation	equation	NOUN
ejde-362	327	11	with	with	ADP
ejde-362	327	12	hardy	hardy	ADJ
ejde-362	327	13	–	–	PUNCT
ejde-362	327	14	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-362	327	15	exponent	exponent	NOUN
ejde-362	327	16	and	and	CCONJ
ejde-362	327	17	without	without	ADP
ejde-362	327	18	the	the	DET
ejde-362	327	19	ambrosettirabinowitz	ambrosettirabinowitz	PROPN
ejde-362	327	20	condition	condition	NOUN
ejde-362	327	21	,	,	PUNCT
ejde-362	327	22	nodea	nodea	PROPN
ejde-362	327	23	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-362	327	24	differ	differ	VERB
ejde-362	327	25	.	.	PUNCT
ejde-362	328	1	equ	equ	PROPN
ejde-362	328	2	.	.	PUNCT
ejde-362	328	3	appl	appl	PROPN
ejde-362	328	4	.	.	PUNCT
ejde-362	329	1	42	42	NUM
ejde-362	329	2	(	(	PUNCT
ejde-362	329	3	2020	2020	NUM
ejde-362	329	4	)	)	PUNCT
ejde-362	329	5	,	,	PUNCT
ejde-362	329	6	1–16	1–16	PROPN
ejde-362	329	7	.	.	PUNCT
ejde-362	330	1	[	[	X
ejde-362	330	2	27	27	NUM
ejde-362	330	3	]	]	X
ejde-362	330	4	w.	w.	PROPN
ejde-362	330	5	wang	wang	PROPN
ejde-362	330	6	,	,	PUNCT
ejde-362	330	7	p.	p.	PROPN
ejde-362	330	8	zhao	zhao	PROPN
ejde-362	330	9	;	;	PUNCT
ejde-362	330	10	nonuniformly	nonuniformly	ADV
ejde-362	330	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-362	330	12	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-362	330	13	equations	equation	NOUN
ejde-362	330	14	of	of	ADP
ejde-362	330	15	p	p	ADJ
ejde-362	330	16	-	-	PUNCT
ejde-362	330	17	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-362	330	18	type	type	NOUN
ejde-362	330	19	,	,	PUNCT
ejde-362	330	20	j.	j.	PROPN
ejde-362	330	21	math	math	PROPN
ejde-362	330	22	.	.	PUNCT
ejde-362	331	1	anal	anal	PROPN
ejde-362	331	2	.	.	PUNCT
ejde-362	331	3	appl	appl	PROPN
ejde-362	331	4	.	.	PUNCT
ejde-362	332	1	348	348	NUM
ejde-362	332	2	(	(	PUNCT
ejde-362	332	3	2008	2008	NUM
ejde-362	332	4	)	)	PUNCT
ejde-362	332	5	,	,	PUNCT
ejde-362	333	1	730–738	730–738	NUM
ejde-362	333	2	.	.	PUNCT
ejde-362	333	3	amor	amor	PROPN
ejde-362	333	4	drissi	drissi	PROPN
ejde-362	333	5	department	department	PROPN
ejde-362	333	6	of	of	ADP
ejde-362	333	7	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-362	333	8	,	,	PUNCT
ejde-362	333	9	faculty	faculty	NOUN
ejde-362	333	10	of	of	ADP
ejde-362	333	11	sciences	science	NOUN
ejde-362	333	12	,	,	PUNCT
ejde-362	333	13	university	university	NOUN
ejde-362	333	14	of	of	ADP
ejde-362	333	15	tunis	tunis	PROPN
ejde-362	333	16	el	el	PROPN
ejde-362	333	17	manar	manar	PROPN
ejde-362	333	18	,	,	PUNCT
ejde-362	333	19	2092	2092	NUM
ejde-362	333	20	tunis	tunis	NOUN
ejde-362	333	21	,	,	PUNCT
ejde-362	333	22	tunisia	tunisia	NOUN
ejde-362	333	23	email	email	NOUN
ejde-362	333	24	address	address	NOUN
ejde-362	333	25	:	:	PUNCT
ejde-362	333	26	amor.drissi@ipeiem.utm.tn	amor.drissi@ipeiem.utm.tn	PROPN
ejde-362	333	27	abdeljabbar	abdeljabbar	PROPN
ejde-362	333	28	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-362	333	29	department	department	PROPN
ejde-362	333	30	of	of	ADP
ejde-362	333	31	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-362	333	32	,	,	PUNCT
ejde-362	333	33	faculty	faculty	NOUN
ejde-362	333	34	of	of	ADP
ejde-362	333	35	sciences	science	NOUN
ejde-362	333	36	,	,	PUNCT
ejde-362	333	37	university	university	NOUN
ejde-362	333	38	of	of	ADP
ejde-362	333	39	tunis	tunis	PROPN
ejde-362	333	40	el	el	PROPN
ejde-362	333	41	manar	manar	PROPN
ejde-362	333	42	,	,	PUNCT
ejde-362	333	43	2092	2092	NUM
ejde-362	333	44	tunis	tunis	NOUN
ejde-362	333	45	,	,	PUNCT
ejde-362	333	46	tunisia	tunisia	NOUN
ejde-362	333	47	email	email	NOUN
ejde-362	333	48	address	address	NOUN
ejde-362	333	49	:	:	PUNCT
ejde-362	333	50	abdeljabbar.ghanmi@lamsin.rnu.tn	abdeljabbar.ghanmi@lamsin.rnu.tn	PROPN
ejde-362	333	51	dušan	dušan	PROPN
ejde-362	333	52	d.	d.	PROPN
ejde-362	333	53	repovš	repovš	VERB
ejde-362	333	54	faculty	faculty	NOUN
ejde-362	333	55	of	of	ADP
ejde-362	333	56	education	education	NOUN
ejde-362	333	57	and	and	CCONJ
ejde-362	333	58	faculty	faculty	NOUN
ejde-362	333	59	of	of	ADP
ejde-362	333	60	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-362	333	61	and	and	CCONJ
ejde-362	333	62	physics	physics	PROPN
ejde-362	333	63	,	,	PUNCT
ejde-362	333	64	university	university	PROPN
ejde-362	333	65	of	of	ADP
ejde-362	333	66	ljubljana	ljubljana	PROPN
ejde-362	333	67	,	,	PUNCT
ejde-362	333	68	and	and	CCONJ
ejde-362	333	69	institute	institute	NOUN
ejde-362	333	70	of	of	ADP
ejde-362	333	71	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-362	333	72	,	,	PUNCT
ejde-362	333	73	physics	physics	NOUN
ejde-362	333	74	and	and	CCONJ
ejde-362	333	75	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-362	333	76	,	,	PUNCT
ejde-362	333	77	si-1000	si-1000	PROPN
ejde-362	333	78	,	,	PUNCT
ejde-362	333	79	slovenia	slovenia	PROPN
ejde-362	333	80	email	email	NOUN
ejde-362	333	81	address	address	NOUN
ejde-362	333	82	:	:	PUNCT
ejde-362	333	83	dusan.repovs@guest.arnes.si	dusan.repovs@guest.arnes.si	PROPN
ejde-362	333	84	1	1	NUM
ejde-362	333	85	.	.	PUNCT
ejde-362	333	86	introduction	introduction	NOUN
ejde-362	333	87	2	2	NUM
ejde-362	333	88	.	.	PUNCT
ejde-362	333	89	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-362	333	90	3	3	NUM
ejde-362	333	91	.	.	PUNCT
ejde-362	334	1	proof	proof	NOUN
ejde-362	334	2	of	of	ADP
ejde-362	334	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	334	4	?	?	PUNCT
ejde-362	334	5	?	?	PUNCT
ejde-362	335	1	4	4	X
ejde-362	335	2	.	.	X
ejde-362	335	3	proof	proof	NOUN
ejde-362	335	4	of	of	ADP
ejde-362	335	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-362	335	6	?	?	PUNCT
ejde-362	335	7	?	?	PUNCT
ejde-362	336	1	5	5	X
ejde-362	336	2	.	.	X
ejde-362	336	3	an	an	DET
ejde-362	336	4	application	application	NOUN
ejde-362	336	5	6	6	NUM
ejde-362	336	6	.	.	PUNCT
ejde-362	337	1	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-362	337	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-362	337	3	references	reference	NOUN