id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-38	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-38	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-38	1	3	of	of	ADP
ejde-38	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-38	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-38	1	6	,	,	PUNCT
ejde-38	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-38	1	8	.	.	PUNCT
ejde-38	1	9	2023	2023	NUM
ejde-38	1	10	(	(	PUNCT
ejde-38	1	11	2023	2023	NUM
ejde-38	1	12	)	)	PUNCT
ejde-38	1	13	,	,	PUNCT
ejde-38	1	14	no	no	INTJ
ejde-38	1	15	.	.	NOUN
ejde-38	1	16	22	22	NUM
ejde-38	1	17	,	,	PUNCT
ejde-38	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-38	1	19	.	.	PUNCT
ejde-38	2	1	1–24	1–24	PROPN
ejde-38	2	2	.	.	PUNCT
ejde-38	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-38	3	2	:	:	PUNCT
ejde-38	3	3	1072	1072	NUM
ejde-38	3	4	-	-	SYM
ejde-38	3	5	6691	6691	NUM
ejde-38	3	6	.	.	PUNCT
ejde-38	4	1	url	url	PROPN
ejde-38	4	2	:	:	PUNCT
ejde-38	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-38	4	4	or	or	CCONJ
ejde-38	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-38	5	1	an	an	DET
ejde-38	5	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	5	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	5	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	5	5	with	with	ADP
ejde-38	5	6	storage	storage	NOUN
ejde-38	5	7	fees	fee	NOUN
ejde-38	5	8	mohit	mohit	PROPN
ejde-38	5	9	bansil	bansil	PROPN
ejde-38	5	10	,	,	PUNCT
ejde-38	5	11	jun	jun	PROPN
ejde-38	5	12	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	5	13	communicated	communicate	VERB
ejde-38	5	14	by	by	ADP
ejde-38	5	15	nestor	nestor	PROPN
ejde-38	5	16	guillen	guillen	PROPN
ejde-38	5	17	abstract	abstract	PROPN
ejde-38	5	18	.	.	PUNCT
ejde-38	6	1	we	we	PRON
ejde-38	6	2	establish	establish	VERB
ejde-38	6	3	basic	basic	ADJ
ejde-38	6	4	properties	property	NOUN
ejde-38	6	5	of	of	ADP
ejde-38	6	6	a	a	DET
ejde-38	6	7	variant	variant	NOUN
ejde-38	6	8	of	of	ADP
ejde-38	6	9	the	the	DET
ejde-38	6	10	semi	semi	ADJ
ejde-38	6	11	-	-	ADJ
ejde-38	6	12	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	6	13	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	6	14	transport	transport	NOUN
ejde-38	6	15	problem	problem	NOUN
ejde-38	6	16	in	in	ADP
ejde-38	6	17	a	a	DET
ejde-38	6	18	relatively	relatively	ADV
ejde-38	6	19	general	general	ADJ
ejde-38	6	20	setting	setting	NOUN
ejde-38	6	21	.	.	PUNCT
ejde-38	7	1	in	in	ADP
ejde-38	7	2	this	this	DET
ejde-38	7	3	problem	problem	NOUN
ejde-38	7	4	,	,	PUNCT
ejde-38	7	5	one	one	NUM
ejde-38	7	6	is	be	AUX
ejde-38	7	7	given	give	VERB
ejde-38	7	8	an	an	DET
ejde-38	7	9	absolutely	absolutely	ADV
ejde-38	7	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	7	11	source	source	NOUN
ejde-38	7	12	measure	measure	NOUN
ejde-38	7	13	and	and	CCONJ
ejde-38	7	14	cost	cost	NOUN
ejde-38	7	15	function	function	NOUN
ejde-38	7	16	,	,	PUNCT
ejde-38	7	17	along	along	ADP
ejde-38	7	18	with	with	ADP
ejde-38	7	19	a	a	DET
ejde-38	7	20	finite	finite	NOUN
ejde-38	7	21	set	set	NOUN
ejde-38	7	22	which	which	PRON
ejde-38	7	23	will	will	AUX
ejde-38	7	24	be	be	AUX
ejde-38	7	25	the	the	DET
ejde-38	7	26	support	support	NOUN
ejde-38	7	27	of	of	ADP
ejde-38	7	28	the	the	DET
ejde-38	7	29	target	target	NOUN
ejde-38	7	30	measure	measure	NOUN
ejde-38	7	31	,	,	PUNCT
ejde-38	7	32	and	and	CCONJ
ejde-38	7	33	a	a	DET
ejde-38	7	34	“	"	PUNCT
ejde-38	7	35	storage	storage	NOUN
ejde-38	7	36	fee	fee	NOUN
ejde-38	7	37	”	"	PUNCT
ejde-38	7	38	function	function	NOUN
ejde-38	7	39	.	.	PUNCT
ejde-38	8	1	the	the	DET
ejde-38	8	2	goal	goal	NOUN
ejde-38	8	3	is	be	AUX
ejde-38	8	4	to	to	PART
ejde-38	8	5	find	find	VERB
ejde-38	8	6	a	a	DET
ejde-38	8	7	map	map	NOUN
ejde-38	8	8	for	for	ADP
ejde-38	8	9	which	which	PRON
ejde-38	8	10	the	the	DET
ejde-38	8	11	total	total	ADJ
ejde-38	8	12	transport	transport	NOUN
ejde-38	8	13	cost	cost	NOUN
ejde-38	8	14	plus	plus	CCONJ
ejde-38	8	15	the	the	DET
ejde-38	8	16	storage	storage	NOUN
ejde-38	8	17	fee	fee	NOUN
ejde-38	8	18	evaluated	evaluate	VERB
ejde-38	8	19	on	on	ADP
ejde-38	8	20	the	the	DET
ejde-38	8	21	masses	masse	NOUN
ejde-38	8	22	of	of	ADP
ejde-38	8	23	the	the	DET
ejde-38	8	24	pushforward	pushforward	NOUN
ejde-38	8	25	of	of	ADP
ejde-38	8	26	the	the	DET
ejde-38	8	27	source	source	NOUN
ejde-38	8	28	measure	measure	NOUN
ejde-38	8	29	is	be	AUX
ejde-38	8	30	minimized	minimize	VERB
ejde-38	8	31	.	.	PUNCT
ejde-38	9	1	we	we	PRON
ejde-38	9	2	prove	prove	VERB
ejde-38	9	3	existence	existence	NOUN
ejde-38	9	4	and	and	CCONJ
ejde-38	9	5	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-38	9	6	for	for	ADP
ejde-38	9	7	the	the	DET
ejde-38	9	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	9	9	,	,	PUNCT
ejde-38	9	10	derive	derive	VERB
ejde-38	9	11	a	a	DET
ejde-38	9	12	dual	dual	ADJ
ejde-38	9	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	9	14	for	for	ADP
ejde-38	9	15	which	which	PRON
ejde-38	9	16	strong	strong	ADJ
ejde-38	9	17	duality	duality	NOUN
ejde-38	9	18	holds	hold	VERB
ejde-38	9	19	,	,	PUNCT
ejde-38	9	20	and	and	CCONJ
ejde-38	9	21	give	give	VERB
ejde-38	9	22	a	a	DET
ejde-38	9	23	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	9	24	of	of	ADP
ejde-38	9	25	dual	dual	ADJ
ejde-38	9	26	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	9	27	and	and	CCONJ
ejde-38	9	28	primal	primal	ADJ
ejde-38	9	29	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	9	30	.	.	PUNCT
ejde-38	10	1	additionally	additionally	ADV
ejde-38	10	2	,	,	PUNCT
ejde-38	10	3	we	we	PRON
ejde-38	10	4	find	find	VERB
ejde-38	10	5	some	some	DET
ejde-38	10	6	stability	stability	NOUN
ejde-38	10	7	results	result	NOUN
ejde-38	10	8	for	for	ADP
ejde-38	10	9	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	10	10	and	and	CCONJ
ejde-38	10	11	a	a	DET
ejde-38	10	12	γ	γ	NOUN
ejde-38	10	13	-	-	PUNCT
ejde-38	10	14	convergence	convergence	ADJ
ejde-38	10	15	result	result	NOUN
ejde-38	10	16	as	as	SCONJ
ejde-38	10	17	the	the	DET
ejde-38	10	18	target	target	NOUN
ejde-38	10	19	set	set	VERB
ejde-38	10	20	becomes	become	VERB
ejde-38	10	21	denser	dense	ADJ
ejde-38	10	22	and	and	CCONJ
ejde-38	10	23	denser	dense	ADJ
ejde-38	10	24	in	in	ADP
ejde-38	10	25	a	a	DET
ejde-38	10	26	continuum	continuum	ADJ
ejde-38	10	27	domain	domain	NOUN
ejde-38	10	28	.	.	PUNCT
ejde-38	11	1	1	1	X
ejde-38	11	2	.	.	X
ejde-38	11	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-38	11	4	semi	semi	ADJ
ejde-38	11	5	-	-	ADJ
ejde-38	11	6	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	11	7	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	11	8	transport	transport	NOUN
ejde-38	11	9	.	.	PUNCT
ejde-38	12	1	we	we	PRON
ejde-38	12	2	begin	begin	VERB
ejde-38	12	3	by	by	ADP
ejde-38	12	4	recalling	recall	VERB
ejde-38	12	5	the	the	DET
ejde-38	12	6	classical	classical	ADJ
ejde-38	12	7	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	12	8	transport	transport	NOUN
ejde-38	12	9	problem	problem	NOUN
ejde-38	12	10	.	.	PUNCT
ejde-38	13	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	13	2	x	x	PRON
ejde-38	13	3	,	,	PUNCT
ejde-38	13	4	y	y	PROPN
ejde-38	13	5	are	be	AUX
ejde-38	13	6	polish	polish	ADJ
ejde-38	13	7	spaces	space	NOUN
ejde-38	13	8	,	,	PUNCT
ejde-38	13	9	c	c	NOUN
ejde-38	13	10	:	:	PUNCT
ejde-38	13	11	x	x	SYM
ejde-38	13	12	×	×	NOUN
ejde-38	13	13	y	y	PROPN
ejde-38	13	14	→	→	SYM
ejde-38	13	15	r	r	NOUN
ejde-38	13	16	is	be	AUX
ejde-38	13	17	a	a	DET
ejde-38	13	18	borel	borel	NOUN
ejde-38	13	19	measurable	measurable	ADJ
ejde-38	13	20	cost	cost	NOUN
ejde-38	13	21	function	function	NOUN
ejde-38	13	22	,	,	PUNCT
ejde-38	13	23	and	and	CCONJ
ejde-38	13	24	µ	µ	NOUN
ejde-38	13	25	,	,	PUNCT
ejde-38	13	26	ν	ν	NOUN
ejde-38	13	27	are	be	AUX
ejde-38	13	28	borel	borel	NOUN
ejde-38	13	29	probability	probability	NOUN
ejde-38	13	30	measures	measure	NOUN
ejde-38	13	31	on	on	ADP
ejde-38	13	32	x	x	PUNCT
ejde-38	13	33	and	and	CCONJ
ejde-38	13	34	y	y	PROPN
ejde-38	13	35	respectively	respectively	ADV
ejde-38	13	36	.	.	PUNCT
ejde-38	14	1	then	then	ADV
ejde-38	14	2	the	the	DET
ejde-38	14	3	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	14	4	transport	transport	NOUN
ejde-38	14	5	problem	problem	NOUN
ejde-38	14	6	or	or	CCONJ
ejde-38	14	7	monge	monge	VERB
ejde-38	14	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	14	9	transporting	transport	VERB
ejde-38	14	10	µ	µ	NOUN
ejde-38	14	11	to	to	ADP
ejde-38	14	12	ν	ν	PROPN
ejde-38	14	13	is	be	AUX
ejde-38	14	14	to	to	PART
ejde-38	14	15	find	find	VERB
ejde-38	14	16	a	a	DET
ejde-38	14	17	borel	borel	NOUN
ejde-38	14	18	measurable	measurable	ADJ
ejde-38	14	19	mapping	mapping	NOUN
ejde-38	14	20	t	t	NOUN
ejde-38	14	21	:	:	PUNCT
ejde-38	14	22	x	x	X
ejde-38	14	23	→	→	SYM
ejde-38	14	24	y	y	NUM
ejde-38	15	1	such	such	ADJ
ejde-38	15	2	that	that	DET
ejde-38	15	3	t#µ	t#µ	NOUN
ejde-38	15	4	=	=	PUNCT
ejde-38	15	5	ν	ν	NOUN
ejde-38	15	6	(	(	PUNCT
ejde-38	15	7	here	here	ADV
ejde-38	15	8	recall	recall	VERB
ejde-38	15	9	the	the	DET
ejde-38	15	10	pushforward	pushforward	ADJ
ejde-38	15	11	measure	measure	NOUN
ejde-38	15	12	is	be	AUX
ejde-38	15	13	defined	define	VERB
ejde-38	15	14	by	by	ADP
ejde-38	15	15	t#µ(e	t#µ(e	PROPN
ejde-38	15	16	)	)	PUNCT
ejde-38	15	17	=	=	PUNCT
ejde-38	15	18	µ(t−1(e	µ(t−1(e	PROPN
ejde-38	15	19	)	)	PUNCT
ejde-38	15	20	)	)	PUNCT
ejde-38	15	21	for	for	ADP
ejde-38	15	22	any	any	DET
ejde-38	15	23	measurable	measurable	ADJ
ejde-38	15	24	e	e	X
ejde-38	15	25	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	15	26	y	y	PROPN
ejde-38	15	27	)	)	PUNCT
ejde-38	15	28	,	,	PUNCT
ejde-38	15	29	and	and	CCONJ
ejde-38	15	30	t	t	PROPN
ejde-38	15	31	satisfies∫	satisfies∫	NOUN
ejde-38	15	32	x	x	NOUN
ejde-38	15	33	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	15	34	,	,	PUNCT
ejde-38	15	35	t	t	PROPN
ejde-38	15	36	(	(	PUNCT
ejde-38	15	37	x	x	NOUN
ejde-38	15	38	)	)	PUNCT
ejde-38	15	39	)	)	PUNCT
ejde-38	15	40	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	15	41	)	)	PUNCT
ejde-38	15	42	=	=	SYM
ejde-38	15	43	min	min	NOUN
ejde-38	16	1	s#µ=ν	s#µ=ν	NOUN
ejde-38	16	2	∫	∫	NOUN
ejde-38	16	3	x	x	SYM
ejde-38	16	4	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	16	5	,	,	PUNCT
ejde-38	16	6	s(x	s(x	PROPN
ejde-38	16	7	)	)	PUNCT
ejde-38	16	8	)	)	PUNCT
ejde-38	16	9	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	16	10	)	)	PUNCT
ejde-38	16	11	.	.	PUNCT
ejde-38	17	1	(	(	PUNCT
ejde-38	17	2	1.1	1.1	NUM
ejde-38	17	3	)	)	PUNCT
ejde-38	17	4	if	if	SCONJ
ejde-38	17	5	ν	ν	NOUN
ejde-38	17	6	is	be	AUX
ejde-38	17	7	a	a	DET
ejde-38	17	8	finite	finite	ADJ
ejde-38	17	9	linear	linear	ADJ
ejde-38	17	10	combination	combination	NOUN
ejde-38	17	11	of	of	ADP
ejde-38	17	12	delta	delta	NOUN
ejde-38	17	13	measures	measure	NOUN
ejde-38	17	14	,	,	PUNCT
ejde-38	17	15	the	the	DET
ejde-38	17	16	above	above	ADJ
ejde-38	17	17	is	be	AUX
ejde-38	17	18	usually	usually	ADV
ejde-38	17	19	referred	refer	VERB
ejde-38	17	20	to	to	ADP
ejde-38	17	21	as	as	ADP
ejde-38	17	22	the	the	DET
ejde-38	17	23	semi	semi	ADJ
ejde-38	17	24	-	-	ADJ
ejde-38	17	25	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	17	26	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	17	27	transport	transport	NOUN
ejde-38	17	28	problem	problem	NOUN
ejde-38	17	29	.	.	PUNCT
ejde-38	18	1	we	we	PRON
ejde-38	18	2	will	will	AUX
ejde-38	18	3	now	now	ADV
ejde-38	18	4	be	be	AUX
ejde-38	18	5	interested	interested	ADJ
ejde-38	18	6	in	in	ADP
ejde-38	18	7	the	the	DET
ejde-38	18	8	following	follow	VERB
ejde-38	18	9	variant	variant	NOUN
ejde-38	18	10	of	of	ADP
ejde-38	18	11	the	the	DET
ejde-38	18	12	semi	semi	ADJ
ejde-38	18	13	-	-	ADJ
ejde-38	18	14	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	18	15	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	18	16	transport	transport	NOUN
ejde-38	18	17	problem	problem	NOUN
ejde-38	18	18	,	,	PUNCT
ejde-38	18	19	where	where	SCONJ
ejde-38	18	20	we	we	PRON
ejde-38	18	21	introduce	introduce	VERB
ejde-38	18	22	a	a	DET
ejde-38	18	23	“	"	PUNCT
ejde-38	18	24	storage	storage	NOUN
ejde-38	18	25	fee	fee	NOUN
ejde-38	18	26	.	.	PUNCT
ejde-38	18	27	”	"	PUNCT
ejde-38	19	1	fix	fix	VERB
ejde-38	19	2	a	a	DET
ejde-38	19	3	finite	finite	ADJ
ejde-38	19	4	collection	collection	NOUN
ejde-38	19	5	of	of	ADP
ejde-38	19	6	n	n	NUM
ejde-38	19	7	points	point	NOUN
ejde-38	19	8	,	,	PUNCT
ejde-38	19	9	y	y	PROPN
ejde-38	19	10	:	:	PUNCT
ejde-38	19	11	=	=	SYM
ejde-38	19	12	{	{	PUNCT
ejde-38	19	13	yj}nj=1	yj}nj=1	PROPN
ejde-38	19	14	and	and	CCONJ
ejde-38	19	15	a	a	DET
ejde-38	19	16	function	function	NOUN
ejde-38	19	17	f	f	NOUN
ejde-38	19	18	:	:	PUNCT
ejde-38	19	19	rn	rn	PROPN
ejde-38	19	20	→	→	SYM
ejde-38	19	21	r	r	NOUN
ejde-38	19	22	,	,	PUNCT
ejde-38	19	23	and	and	CCONJ
ejde-38	19	24	assume	assume	VERB
ejde-38	19	25	µ	µ	PRON
ejde-38	19	26	is	be	AUX
ejde-38	19	27	a	a	DET
ejde-38	19	28	borel	borel	NOUN
ejde-38	19	29	probability	probability	NOUN
ejde-38	19	30	measure	measure	NOUN
ejde-38	19	31	on	on	ADP
ejde-38	19	32	a	a	DET
ejde-38	19	33	polish	polish	ADJ
ejde-38	19	34	space	space	NOUN
ejde-38	19	35	x.	x.	NOUN
ejde-38	20	1	this	this	DET
ejde-38	20	2	variant	variant	NOUN
ejde-38	20	3	is	be	AUX
ejde-38	20	4	to	to	PART
ejde-38	20	5	find	find	VERB
ejde-38	20	6	a	a	DET
ejde-38	20	7	pair	pair	NOUN
ejde-38	20	8	(	(	PUNCT
ejde-38	20	9	t	t	PROPN
ejde-38	20	10	,	,	PUNCT
ejde-38	20	11	λ	λ	NOUN
ejde-38	20	12	)	)	PUNCT
ejde-38	20	13	where	where	SCONJ
ejde-38	20	14	λ	λ	X
ejde-38	20	15	=	=	SYM
ejde-38	20	16	(	(	PUNCT
ejde-38	20	17	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	20	18	,	,	PUNCT
ejde-38	20	19	.	.	PUNCT
ejde-38	20	20	.	.	PUNCT
ejde-38	21	1	.	.	PUNCT
ejde-38	22	1	,	,	PUNCT
ejde-38	22	2	λn	λn	NOUN
ejde-38	22	3	)	)	PUNCT
ejde-38	22	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	22	5	rn	rn	PROPN
ejde-38	22	6	and	and	CCONJ
ejde-38	22	7	t	t	PROPN
ejde-38	22	8	:	:	PUNCT
ejde-38	22	9	x	x	X
ejde-38	22	10	→	→	SYM
ejde-38	22	11	y	y	PROPN
ejde-38	22	12	is	be	AUX
ejde-38	22	13	borel	borel	NOUN
ejde-38	22	14	measurable	measurable	ADJ
ejde-38	22	15	satisfying	satisfy	VERB
ejde-38	22	16	t#µ	t#µ	PROPN
ejde-38	22	17	=	=	PUNCT
ejde-38	23	1	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	23	2	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	23	3	λjδyj	λjδyj	NOUN
ejde-38	23	4	2020	2020	NUM
ejde-38	23	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-38	23	6	subject	subject	ADJ
ejde-38	23	7	classification	classification	NOUN
ejde-38	23	8	.	.	PUNCT
ejde-38	24	1	49j45	49j45	NUM
ejde-38	24	2	,	,	PUNCT
ejde-38	24	3	49k40	49k40	X
ejde-38	24	4	,	,	PUNCT
ejde-38	24	5	49q22	49q22	NOUN
ejde-38	24	6	.	.	PUNCT
ejde-38	25	1	key	key	ADJ
ejde-38	25	2	words	word	NOUN
ejde-38	25	3	and	and	CCONJ
ejde-38	25	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-38	25	5	.	.	PUNCT
ejde-38	26	1	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	26	2	transport	transport	NOUN
ejde-38	26	3	;	;	PUNCT
ejde-38	26	4	gamma	gamma	NOUN
ejde-38	26	5	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	26	6	;	;	PUNCT
ejde-38	26	7	storage	storage	NOUN
ejde-38	26	8	fees	fee	NOUN
ejde-38	26	9	;	;	PUNCT
ejde-38	26	10	queue	queue	NOUN
ejde-38	26	11	penalization	penalization	NOUN
ejde-38	26	12	.	.	PUNCT
ejde-38	27	1	©	©	ADP
ejde-38	27	2	2023	2023	NUM
ejde-38	27	3	.	.	PUNCT
ejde-38	28	1	this	this	DET
ejde-38	28	2	work	work	NOUN
ejde-38	28	3	is	be	AUX
ejde-38	28	4	licensed	license	VERB
ejde-38	28	5	under	under	ADP
ejde-38	28	6	a	a	DET
ejde-38	28	7	cc	cc	NOUN
ejde-38	28	8	by	by	ADP
ejde-38	28	9	4.0	4.0	NUM
ejde-38	28	10	license	license	NOUN
ejde-38	28	11	.	.	PUNCT
ejde-38	29	1	submitted	submit	VERB
ejde-38	29	2	june	june	PROPN
ejde-38	29	3	22	22	NUM
ejde-38	29	4	,	,	PUNCT
ejde-38	29	5	2022	2022	NUM
ejde-38	29	6	.	.	PUNCT
ejde-38	30	1	published	publish	VERB
ejde-38	30	2	march	march	PROPN
ejde-38	30	3	2	2	NUM
ejde-38	30	4	,	,	PUNCT
ejde-38	30	5	2023	2023	NUM
ejde-38	30	6	.	.	PUNCT
ejde-38	30	7	1	1	NUM
ejde-38	30	8	2	2	NUM
ejde-38	30	9	m.	m.	NOUN
ejde-38	30	10	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	30	11	,	,	PUNCT
ejde-38	30	12	j.	j.	PROPN
ejde-38	30	13	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	30	14	ejde-2023/22	ejde-2023/22	AUX
ejde-38	31	1	such	such	ADJ
ejde-38	31	2	that∫	that∫	NOUN
ejde-38	31	3	x	x	SYM
ejde-38	31	4	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	31	5	,	,	PUNCT
ejde-38	31	6	t	t	PROPN
ejde-38	31	7	(	(	PUNCT
ejde-38	31	8	x	x	NOUN
ejde-38	31	9	)	)	PUNCT
ejde-38	31	10	)	)	PUNCT
ejde-38	31	11	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	31	12	)	)	PUNCT
ejde-38	32	1	+	+	CCONJ
ejde-38	32	2	f	f	X
ejde-38	32	3	(	(	PUNCT
ejde-38	32	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	32	5	)	)	PUNCT
ejde-38	32	6	=	=	SYM
ejde-38	32	7	min	min	NOUN
ejde-38	32	8	λ̃∈rn	λ̃∈rn	NOUN
ejde-38	32	9	,	,	PUNCT
ejde-38	32	10	t̃#µ=	t̃#µ=	PROPN
ejde-38	32	11	∑n	∑n	PROPN
ejde-38	33	1	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	33	2	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	33	3	jδyj	jδyj	PROPN
ejde-38	33	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	33	5	x	x	SYM
ejde-38	33	6	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	33	7	,	,	PUNCT
ejde-38	33	8	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	33	9	(	(	PUNCT
ejde-38	33	10	x	x	NOUN
ejde-38	33	11	)	)	PUNCT
ejde-38	33	12	)	)	PUNCT
ejde-38	33	13	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	33	14	)	)	PUNCT
ejde-38	34	1	+	+	CCONJ
ejde-38	34	2	f	f	X
ejde-38	34	3	(	(	PUNCT
ejde-38	34	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	34	5	)	)	PUNCT
ejde-38	34	6	.	.	PUNCT
ejde-38	35	1	(	(	PUNCT
ejde-38	35	2	1.2	1.2	NUM
ejde-38	35	3	)	)	PUNCT
ejde-38	35	4	note	note	NOUN
ejde-38	35	5	here	here	ADV
ejde-38	35	6	that	that	SCONJ
ejde-38	35	7	the	the	DET
ejde-38	35	8	vector	vector	NOUN
ejde-38	35	9	λ	λ	PROPN
ejde-38	35	10	is	be	AUX
ejde-38	35	11	actually	actually	ADV
ejde-38	35	12	uniquely	uniquely	ADV
ejde-38	35	13	determined	determine	VERB
ejde-38	35	14	by	by	ADP
ejde-38	35	15	the	the	DET
ejde-38	35	16	map	map	NOUN
ejde-38	35	17	t	t	NOUN
ejde-38	35	18	.	.	PUNCT
ejde-38	36	1	we	we	PRON
ejde-38	36	2	will	will	AUX
ejde-38	36	3	consider	consider	VERB
ejde-38	36	4	a	a	DET
ejde-38	36	5	relaxation	relaxation	NOUN
ejde-38	36	6	of	of	ADP
ejde-38	36	7	this	this	DET
ejde-38	36	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	36	9	which	which	PRON
ejde-38	36	10	we	we	PRON
ejde-38	36	11	will	will	AUX
ejde-38	36	12	refer	refer	VERB
ejde-38	36	13	to	to	ADP
ejde-38	36	14	as	as	ADP
ejde-38	36	15	the	the	DET
ejde-38	36	16	primal	primal	ADJ
ejde-38	36	17	problem	problem	NOUN
ejde-38	36	18	for	for	ADP
ejde-38	36	19	the	the	DET
ejde-38	36	20	remainder	remainder	NOUN
ejde-38	36	21	of	of	ADP
ejde-38	36	22	the	the	DET
ejde-38	36	23	paper	paper	NOUN
ejde-38	36	24	.	.	PUNCT
ejde-38	37	1	to	to	PART
ejde-38	37	2	define	define	VERB
ejde-38	37	3	this	this	DET
ejde-38	37	4	relaxation	relaxation	NOUN
ejde-38	37	5	,	,	PUNCT
ejde-38	37	6	we	we	PRON
ejde-38	37	7	write	write	VERB
ejde-38	37	8	π(µ	π(µ	ADV
ejde-38	37	9	,	,	PUNCT
ejde-38	37	10	ν	ν	NOUN
ejde-38	37	11	)	)	PUNCT
ejde-38	37	12	to	to	PART
ejde-38	37	13	denote	denote	VERB
ejde-38	37	14	the	the	DET
ejde-38	37	15	space	space	NOUN
ejde-38	37	16	of	of	ADP
ejde-38	37	17	probability	probability	NOUN
ejde-38	37	18	measures	measure	NOUN
ejde-38	37	19	on	on	ADP
ejde-38	37	20	x	x	SYM
ejde-38	37	21	×	×	PROPN
ejde-38	37	22	y	y	PROPN
ejde-38	37	23	whose	whose	DET
ejde-38	37	24	left	leave	VERB
ejde-38	37	25	and	and	CCONJ
ejde-38	37	26	right	right	ADJ
ejde-38	37	27	marginals	marginal	NOUN
ejde-38	37	28	are	be	AUX
ejde-38	37	29	µ	µ	NOUN
ejde-38	37	30	and	and	CCONJ
ejde-38	37	31	ν	ν	NOUN
ejde-38	37	32	respectively	respectively	ADV
ejde-38	37	33	.	.	PUNCT
ejde-38	38	1	then	then	ADV
ejde-38	38	2	,	,	PUNCT
ejde-38	38	3	we	we	PRON
ejde-38	38	4	wish	wish	VERB
ejde-38	38	5	to	to	PART
ejde-38	38	6	find	find	VERB
ejde-38	38	7	a	a	DET
ejde-38	38	8	pair	pair	NOUN
ejde-38	38	9	(	(	PUNCT
ejde-38	38	10	γ	γ	X
ejde-38	38	11	,	,	PUNCT
ejde-38	38	12	λ	λ	NOUN
ejde-38	38	13	)	)	PUNCT
ejde-38	38	14	where	where	SCONJ
ejde-38	38	15	λ	λ	PROPN
ejde-38	38	16	∈	∈	PROPN
ejde-38	38	17	rn	rn	PROPN
ejde-38	38	18	and	and	CCONJ
ejde-38	38	19	γ	γ	PROPN
ejde-38	38	20	∈	∈	PROPN
ejde-38	38	21	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	38	22	,	,	PUNCT
ejde-38	38	23	∑n	∑n	PROPN
ejde-38	38	24	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	38	25	λ	λ	PROPN
ejde-38	38	26	jδyj	jδyj	PROPN
ejde-38	38	27	)	)	PUNCT
ejde-38	38	28	,	,	PUNCT
ejde-38	39	1	satisfying∫	satisfying∫	NOUN
ejde-38	39	2	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	39	3	c	c	PROPN
ejde-38	39	4	dγ	dγ	ADP
ejde-38	39	5	+	+	X
ejde-38	39	6	f	f	X
ejde-38	39	7	(	(	PUNCT
ejde-38	39	8	λ	λ	NOUN
ejde-38	39	9	)	)	PUNCT
ejde-38	39	10	=	=	SYM
ejde-38	39	11	min	min	NOUN
ejde-38	39	12	λ̃∈rn	λ̃∈rn	NOUN
ejde-38	39	13	,	,	PUNCT
ejde-38	39	14	γ̃∈π(µ	γ̃∈π(µ	PROPN
ejde-38	39	15	,	,	PUNCT
ejde-38	39	16	∑n	∑n	PROPN
ejde-38	39	17	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	39	18	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	39	19	jδyj	jδyj	PROPN
ejde-38	39	20	)	)	PUNCT
ejde-38	39	21	∫	∫	PROPN
ejde-38	39	22	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	40	1	c	c	PROPN
ejde-38	40	2	dγ̃	dγ̃	PROPN
ejde-38	41	1	+	+	NUM
ejde-38	41	2	f	f	X
ejde-38	41	3	(	(	PUNCT
ejde-38	41	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	41	5	)	)	PUNCT
ejde-38	41	6	.	.	PUNCT
ejde-38	42	1	(	(	PUNCT
ejde-38	42	2	1.3	1.3	NUM
ejde-38	42	3	)	)	PUNCT
ejde-38	42	4	the	the	DET
ejde-38	42	5	above	above	ADJ
ejde-38	42	6	relaxation	relaxation	NOUN
ejde-38	42	7	is	be	AUX
ejde-38	42	8	the	the	DET
ejde-38	42	9	analogue	analogue	NOUN
ejde-38	42	10	of	of	ADP
ejde-38	42	11	relaxing	relax	VERB
ejde-38	42	12	the	the	DET
ejde-38	42	13	monge	monge	ADJ
ejde-38	42	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	42	15	(	(	PUNCT
ejde-38	42	16	1.1	1.1	NUM
ejde-38	42	17	)	)	PUNCT
ejde-38	42	18	in	in	ADP
ejde-38	42	19	classical	classical	ADJ
ejde-38	42	20	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	42	21	transport	transport	NOUN
ejde-38	42	22	to	to	ADP
ejde-38	42	23	the	the	DET
ejde-38	42	24	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	42	25	problem	problem	NOUN
ejde-38	42	26	,	,	PUNCT
ejde-38	42	27	which	which	PRON
ejde-38	42	28	we	we	PRON
ejde-38	42	29	recall	recall	VERB
ejde-38	42	30	is	be	AUX
ejde-38	42	31	(	(	PUNCT
ejde-38	42	32	fixing	fix	VERB
ejde-38	42	33	borel	borel	NOUN
ejde-38	42	34	probability	probability	NOUN
ejde-38	42	35	measures	measure	NOUN
ejde-38	42	36	µ	µ	NOUN
ejde-38	42	37	and	and	CCONJ
ejde-38	42	38	ν	ν	NOUN
ejde-38	42	39	on	on	ADP
ejde-38	42	40	any	any	DET
ejde-38	42	41	two	two	NUM
ejde-38	42	42	topological	topological	ADJ
ejde-38	42	43	spaces	space	NOUN
ejde-38	42	44	x	x	PUNCT
ejde-38	42	45	and	and	CCONJ
ejde-38	42	46	y	y	PROPN
ejde-38	42	47	)	)	PUNCT
ejde-38	42	48	the	the	DET
ejde-38	42	49	problem	problem	NOUN
ejde-38	42	50	of	of	ADP
ejde-38	42	51	finding	find	VERB
ejde-38	42	52	a	a	DET
ejde-38	42	53	measure	measure	NOUN
ejde-38	42	54	γ	γ	X
ejde-38	42	55	∈	∈	PROPN
ejde-38	42	56	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	42	57	,	,	PUNCT
ejde-38	42	58	ν	ν	NOUN
ejde-38	42	59	)	)	PUNCT
ejde-38	42	60	satisfying∫	satisfying∫	NOUN
ejde-38	42	61	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	43	1	c	c	PROPN
ejde-38	43	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	43	3	=	=	SYM
ejde-38	43	4	min	min	PROPN
ejde-38	43	5	γ̃∈π(µ,ν	γ̃∈π(µ,ν	PROPN
ejde-38	43	6	)	)	PUNCT
ejde-38	43	7	∫	∫	PROPN
ejde-38	43	8	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	44	1	c	c	PROPN
ejde-38	44	2	dγ̃.	dγ̃.	PROPN
ejde-38	44	3	(	(	PUNCT
ejde-38	44	4	1.4	1.4	NUM
ejde-38	44	5	)	)	PUNCT
ejde-38	44	6	once	once	ADV
ejde-38	44	7	a	a	DET
ejde-38	44	8	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	44	9	pair	pair	NOUN
ejde-38	44	10	in	in	ADP
ejde-38	44	11	the	the	DET
ejde-38	44	12	above	above	ADJ
ejde-38	44	13	primal	primal	ADJ
ejde-38	44	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	44	15	(	(	PUNCT
ejde-38	44	16	1.3	1.3	NUM
ejde-38	44	17	)	)	PUNCT
ejde-38	44	18	is	be	AUX
ejde-38	44	19	found	find	VERB
ejde-38	44	20	,	,	PUNCT
ejde-38	44	21	it	it	PRON
ejde-38	44	22	is	be	AUX
ejde-38	44	23	clear	clear	ADJ
ejde-38	44	24	the	the	DET
ejde-38	44	25	measure	measure	NOUN
ejde-38	44	26	γ	γ	NOUN
ejde-38	44	27	is	be	AUX
ejde-38	44	28	a	a	DET
ejde-38	44	29	solution	solution	NOUN
ejde-38	44	30	in	in	ADP
ejde-38	44	31	the	the	DET
ejde-38	44	32	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	44	33	problem	problem	NOUN
ejde-38	44	34	(	(	PUNCT
ejde-38	44	35	1.4	1.4	NUM
ejde-38	44	36	)	)	PUNCT
ejde-38	44	37	with	with	ADP
ejde-38	44	38	the	the	DET
ejde-38	44	39	choice	choice	NOUN
ejde-38	44	40	ν	ν	NOUN
ejde-38	44	41	=	=	NOUN
ejde-38	45	1	∑n	∑n	PROPN
ejde-38	45	2	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	45	3	λ	λ	PROPN
ejde-38	45	4	jδyj	jδyj	PROPN
ejde-38	45	5	.	.	PUNCT
ejde-38	46	1	hence	hence	ADV
ejde-38	46	2	under	under	ADP
ejde-38	46	3	standard	standard	ADJ
ejde-38	46	4	conditions	condition	NOUN
ejde-38	46	5	on	on	ADP
ejde-38	46	6	the	the	DET
ejde-38	46	7	cost	cost	NOUN
ejde-38	46	8	function	function	NOUN
ejde-38	46	9	and	and	CCONJ
ejde-38	46	10	µ	µ	NOUN
ejde-38	46	11	,	,	PUNCT
ejde-38	46	12	it	it	PRON
ejde-38	46	13	is	be	AUX
ejde-38	46	14	easily	easily	ADV
ejde-38	46	15	seen	see	VERB
ejde-38	46	16	that	that	SCONJ
ejde-38	46	17	a	a	DET
ejde-38	46	18	solution	solution	NOUN
ejde-38	46	19	of	of	ADP
ejde-38	46	20	(	(	PUNCT
ejde-38	46	21	1.3	1.3	NUM
ejde-38	46	22	)	)	PUNCT
ejde-38	46	23	gives	give	VERB
ejde-38	46	24	rise	rise	NOUN
ejde-38	46	25	to	to	ADP
ejde-38	46	26	a	a	DET
ejde-38	46	27	solution	solution	NOUN
ejde-38	46	28	of	of	ADP
ejde-38	46	29	the	the	DET
ejde-38	46	30	monge	monge	ADJ
ejde-38	46	31	version	version	NOUN
ejde-38	46	32	of	of	ADP
ejde-38	46	33	the	the	DET
ejde-38	46	34	problem	problem	NOUN
ejde-38	46	35	(	(	PUNCT
ejde-38	46	36	1.2	1.2	NUM
ejde-38	46	37	)	)	PUNCT
ejde-38	46	38	.	.	PUNCT
ejde-38	47	1	for	for	SCONJ
ejde-38	47	2	more	more	ADJ
ejde-38	47	3	details	detail	NOUN
ejde-38	47	4	see	see	VERB
ejde-38	47	5	remark	remark	NOUN
ejde-38	47	6	4.3	4.3	NUM
ejde-38	47	7	.	.	PUNCT
ejde-38	47	8	previous	previous	ADJ
ejde-38	47	9	results	result	NOUN
ejde-38	47	10	.	.	PUNCT
ejde-38	48	1	the	the	DET
ejde-38	48	2	paper	paper	NOUN
ejde-38	48	3	[	[	X
ejde-38	48	4	6	6	NUM
ejde-38	48	5	]	]	PUNCT
ejde-38	48	6	considers	consider	VERB
ejde-38	48	7	the	the	DET
ejde-38	48	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	48	9	presented	present	VERB
ejde-38	48	10	here	here	ADV
ejde-38	48	11	in	in	ADP
ejde-38	48	12	the	the	DET
ejde-38	48	13	specific	specific	ADJ
ejde-38	48	14	case	case	NOUN
ejde-38	48	15	of	of	ADP
ejde-38	48	16	cost	cost	NOUN
ejde-38	48	17	function	function	NOUN
ejde-38	48	18	given	give	VERB
ejde-38	48	19	by	by	ADP
ejde-38	48	20	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	48	21	,	,	PUNCT
ejde-38	48	22	y	y	NOUN
ejde-38	48	23	)	)	PUNCT
ejde-38	48	24	=	=	NOUN
ejde-38	48	25	|x	|x	NOUN
ejde-38	49	1	−	−	PROPN
ejde-38	49	2	y|p	y|p	NOUN
ejde-38	49	3	with	with	ADP
ejde-38	49	4	p	p	PRON
ejde-38	49	5	≥	≥	NUM
ejde-38	49	6	1	1	NUM
ejde-38	49	7	,	,	PUNCT
ejde-38	49	8	and	and	CCONJ
ejde-38	49	9	storage	storage	NOUN
ejde-38	49	10	fee	fee	NOUN
ejde-38	49	11	function	function	NOUN
ejde-38	49	12	of	of	ADP
ejde-38	49	13	the	the	DET
ejde-38	49	14	form	form	NOUN
ejde-38	49	15	f	f	X
ejde-38	49	16	(	(	PUNCT
ejde-38	49	17	λ	λ	NOUN
ejde-38	49	18	)	)	PUNCT
ejde-38	49	19	=	=	SYM
ejde-38	50	1	∑n	∑n	NOUN
ejde-38	50	2	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	50	3	λ	λ	PROPN
ejde-38	50	4	jhj(λ	jhj(λ	PROPN
ejde-38	50	5	j	j	PROPN
ejde-38	50	6	)	)	PUNCT
ejde-38	50	7	for	for	ADP
ejde-38	50	8	some	some	DET
ejde-38	50	9	functions	function	NOUN
ejde-38	50	10	hj	hj	PROPN
ejde-38	50	11	(	(	PUNCT
ejde-38	50	12	note	note	VERB
ejde-38	50	13	however	however	ADV
ejde-38	50	14	,	,	PUNCT
ejde-38	50	15	the	the	DET
ejde-38	50	16	authors	author	NOUN
ejde-38	50	17	mention	mention	VERB
ejde-38	50	18	their	their	PRON
ejde-38	50	19	results	result	NOUN
ejde-38	50	20	can	can	AUX
ejde-38	50	21	be	be	AUX
ejde-38	50	22	extended	extend	VERB
ejde-38	50	23	to	to	ADP
ejde-38	50	24	more	more	ADJ
ejde-38	50	25	general	general	ADJ
ejde-38	50	26	cost	cost	NOUN
ejde-38	50	27	functions	function	NOUN
ejde-38	50	28	satisfying	satisfy	VERB
ejde-38	50	29	the	the	DET
ejde-38	50	30	condition	condition	NOUN
ejde-38	50	31	(	(	PUNCT
ejde-38	50	32	4.2	4.2	NUM
ejde-38	50	33	)	)	PUNCT
ejde-38	50	34	)	)	PUNCT
ejde-38	50	35	.	.	PUNCT
ejde-38	51	1	this	this	DET
ejde-38	51	2	previous	previous	ADJ
ejde-38	51	3	result	result	NOUN
ejde-38	51	4	gives	give	VERB
ejde-38	51	5	conditions	condition	NOUN
ejde-38	51	6	for	for	ADP
ejde-38	51	7	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	51	8	,	,	PUNCT
ejde-38	51	9	but	but	CCONJ
ejde-38	51	10	does	do	AUX
ejde-38	51	11	not	not	PART
ejde-38	51	12	introduce	introduce	VERB
ejde-38	51	13	the	the	DET
ejde-38	51	14	dual	dual	ADJ
ejde-38	51	15	problem	problem	NOUN
ejde-38	51	16	or	or	CCONJ
ejde-38	51	17	show	show	VERB
ejde-38	51	18	stability	stability	NOUN
ejde-38	51	19	properties	property	NOUN
ejde-38	51	20	as	as	SCONJ
ejde-38	51	21	we	we	PRON
ejde-38	51	22	do	do	VERB
ejde-38	51	23	here	here	ADV
ejde-38	51	24	.	.	PUNCT
ejde-38	52	1	we	we	PRON
ejde-38	52	2	are	be	AUX
ejde-38	52	3	careful	careful	ADJ
ejde-38	52	4	to	to	PART
ejde-38	52	5	mention	mention	VERB
ejde-38	52	6	our	our	PRON
ejde-38	52	7	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	52	8	from	from	ADP
ejde-38	52	9	section	section	NOUN
ejde-38	52	10	4	4	NUM
ejde-38	52	11	matches	match	VERB
ejde-38	52	12	the	the	DET
ejde-38	52	13	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	52	14	of	of	ADP
ejde-38	52	15	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	52	16	given	give	VERB
ejde-38	52	17	in	in	ADP
ejde-38	52	18	[	[	X
ejde-38	52	19	6	6	NUM
ejde-38	52	20	]	]	PUNCT
ejde-38	52	21	:	:	PUNCT
ejde-38	52	22	however	however	ADV
ejde-38	52	23	our	our	PRON
ejde-38	52	24	methods	method	NOUN
ejde-38	52	25	differ	differ	VERB
ejde-38	52	26	as	as	SCONJ
ejde-38	52	27	we	we	PRON
ejde-38	52	28	use	use	VERB
ejde-38	52	29	a	a	DET
ejde-38	52	30	proof	proof	NOUN
ejde-38	52	31	based	base	VERB
ejde-38	52	32	on	on	ADP
ejde-38	52	33	the	the	DET
ejde-38	52	34	dual	dual	ADJ
ejde-38	52	35	formulation	formulation	NOUN
ejde-38	52	36	,	,	PUNCT
ejde-38	52	37	while	while	SCONJ
ejde-38	52	38	[	[	X
ejde-38	52	39	6	6	NUM
ejde-38	52	40	]	]	PUNCT
ejde-38	52	41	relies	rely	VERB
ejde-38	52	42	on	on	ADP
ejde-38	52	43	both	both	CCONJ
ejde-38	52	44	the	the	DET
ejde-38	52	45	specific	specific	ADJ
ejde-38	52	46	form	form	NOUN
ejde-38	52	47	of	of	ADP
ejde-38	52	48	their	their	PRON
ejde-38	52	49	function	function	NOUN
ejde-38	52	50	f	f	PROPN
ejde-38	52	51	and	and	CCONJ
ejde-38	52	52	an	an	DET
ejde-38	52	53	assumption	assumption	NOUN
ejde-38	52	54	of	of	ADP
ejde-38	52	55	differentiability	differentiability	NOUN
ejde-38	52	56	.	.	PUNCT
ejde-38	53	1	finally	finally	ADV
ejde-38	53	2	,	,	PUNCT
ejde-38	53	3	we	we	PRON
ejde-38	53	4	mention	mention	VERB
ejde-38	53	5	that	that	SCONJ
ejde-38	53	6	[	[	X
ejde-38	53	7	6	6	NUM
ejde-38	53	8	]	]	PUNCT
ejde-38	53	9	also	also	ADV
ejde-38	53	10	analyzes	analyze	VERB
ejde-38	53	11	an	an	DET
ejde-38	53	12	associated	associated	ADJ
ejde-38	53	13	but	but	CCONJ
ejde-38	53	14	different	different	ADJ
ejde-38	53	15	variational	variational	ADJ
ejde-38	53	16	problem	problem	NOUN
ejde-38	53	17	which	which	PRON
ejde-38	53	18	we	we	PRON
ejde-38	53	19	do	do	AUX
ejde-38	53	20	not	not	PART
ejde-38	53	21	discuss	discuss	VERB
ejde-38	53	22	,	,	PUNCT
ejde-38	53	23	our	our	PRON
ejde-38	53	24	problem	problem	NOUN
ejde-38	53	25	is	be	AUX
ejde-38	53	26	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-38	53	27	to	to	ADP
ejde-38	53	28	what	what	PRON
ejde-38	53	29	crippa	crippa	NOUN
ejde-38	53	30	,	,	PUNCT
ejde-38	53	31	jimenez	jimenez	PROPN
ejde-38	53	32	,	,	PUNCT
ejde-38	53	33	and	and	CCONJ
ejde-38	53	34	pratelli	pratelli	NOUN
ejde-38	53	35	refer	refer	VERB
ejde-38	53	36	to	to	ADP
ejde-38	53	37	as	as	ADP
ejde-38	53	38	finding	find	VERB
ejde-38	53	39	an	an	DET
ejde-38	53	40	“	"	PUNCT
ejde-38	53	41	optimum	optimum	ADJ
ejde-38	53	42	,	,	PUNCT
ejde-38	53	43	”	"	PUNCT
ejde-38	53	44	while	while	SCONJ
ejde-38	53	45	the	the	DET
ejde-38	53	46	above	above	ADJ
ejde-38	53	47	reference	reference	NOUN
ejde-38	53	48	deals	deal	VERB
ejde-38	53	49	with	with	ADP
ejde-38	53	50	the	the	DET
ejde-38	53	51	additional	additional	ADJ
ejde-38	53	52	problem	problem	NOUN
ejde-38	53	53	of	of	ADP
ejde-38	53	54	finding	find	VERB
ejde-38	53	55	an	an	DET
ejde-38	53	56	“	"	PUNCT
ejde-38	53	57	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-38	53	58	.	.	PUNCT
ejde-38	53	59	”	"	PUNCT
ejde-38	54	1	there	there	PRON
ejde-38	54	2	are	be	VERB
ejde-38	54	3	also	also	ADV
ejde-38	54	4	a	a	DET
ejde-38	54	5	number	number	NOUN
ejde-38	54	6	of	of	ADP
ejde-38	54	7	results	result	NOUN
ejde-38	54	8	in	in	ADP
ejde-38	54	9	the	the	DET
ejde-38	54	10	literature	literature	NOUN
ejde-38	54	11	dealing	deal	VERB
ejde-38	54	12	with	with	ADP
ejde-38	54	13	the	the	DET
ejde-38	54	14	so	so	ADV
ejde-38	54	15	-	-	PUNCT
ejde-38	54	16	called	call	VERB
ejde-38	54	17	bilevel	bilevel	ADJ
ejde-38	54	18	location	location	NOUN
ejde-38	54	19	problem	problem	NOUN
ejde-38	54	20	using	use	VERB
ejde-38	54	21	the	the	DET
ejde-38	54	22	framework	framework	NOUN
ejde-38	54	23	of	of	ADP
ejde-38	54	24	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	54	25	transport	transport	NOUN
ejde-38	54	26	:	:	PUNCT
ejde-38	54	27	this	this	PRON
ejde-38	54	28	can	can	AUX
ejde-38	54	29	be	be	AUX
ejde-38	54	30	viewed	view	VERB
ejde-38	54	31	as	as	ADP
ejde-38	54	32	a	a	DET
ejde-38	54	33	two	two	NUM
ejde-38	54	34	level	level	NOUN
ejde-38	54	35	problem	problem	NOUN
ejde-38	54	36	in	in	ADP
ejde-38	54	37	which	which	PRON
ejde-38	54	38	there	there	PRON
ejde-38	54	39	is	be	VERB
ejde-38	54	40	a	a	DET
ejde-38	54	41	“	"	PUNCT
ejde-38	54	42	lower	low	ADJ
ejde-38	54	43	level	level	NOUN
ejde-38	54	44	problem	problem	NOUN
ejde-38	54	45	”	"	PUNCT
ejde-38	54	46	equivalent	equivalent	NOUN
ejde-38	54	47	to	to	ADP
ejde-38	54	48	the	the	DET
ejde-38	54	49	problem	problem	NOUN
ejde-38	54	50	discussed	discuss	VERB
ejde-38	54	51	in	in	ADP
ejde-38	54	52	this	this	DET
ejde-38	54	53	manuscript	manuscript	NOUN
ejde-38	54	54	,	,	PUNCT
ejde-38	54	55	followed	follow	VERB
ejde-38	54	56	by	by	ADP
ejde-38	54	57	a	a	DET
ejde-38	54	58	second	second	ADJ
ejde-38	54	59	“	"	PUNCT
ejde-38	54	60	upper	upper	ADJ
ejde-38	54	61	level	level	NOUN
ejde-38	54	62	problem	problem	NOUN
ejde-38	54	63	”	"	PUNCT
ejde-38	54	64	consisting	consist	VERB
ejde-38	54	65	of	of	ADP
ejde-38	54	66	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	54	67	over	over	ADP
ejde-38	54	68	the	the	DET
ejde-38	54	69	locations	location	NOUN
ejde-38	54	70	{	{	PUNCT
ejde-38	54	71	yj}nj=1	yj}nj=1	PROPN
ejde-38	54	72	in	in	ADP
ejde-38	54	73	the	the	DET
ejde-38	54	74	target	target	NOUN
ejde-38	54	75	domain	domain	NOUN
ejde-38	54	76	.	.	PUNCT
ejde-38	55	1	the	the	DET
ejde-38	55	2	paper	paper	NOUN
ejde-38	55	3	[	[	X
ejde-38	55	4	8	8	NUM
ejde-38	55	5	]	]	PUNCT
ejde-38	55	6	,	,	PUNCT
ejde-38	55	7	analyzes	analyze	VERB
ejde-38	55	8	the	the	DET
ejde-38	55	9	case	case	NOUN
ejde-38	55	10	when	when	SCONJ
ejde-38	55	11	the	the	DET
ejde-38	55	12	lower	low	ADJ
ejde-38	55	13	level	level	NOUN
ejde-38	55	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	55	15	corresponds	correspond	VERB
ejde-38	55	16	to	to	ADP
ejde-38	55	17	our	our	PRON
ejde-38	55	18	problem	problem	NOUN
ejde-38	55	19	with	with	ADP
ejde-38	55	20	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	55	21	,	,	PUNCT
ejde-38	55	22	y	y	NOUN
ejde-38	55	23	)	)	PUNCT
ejde-38	55	24	=	=	NOUN
ejde-38	55	25	|x	|x	NOUN
ejde-38	55	26	−	−	PROPN
ejde-38	55	27	y|2	y|2	PROPN
ejde-38	55	28	in	in	ADP
ejde-38	55	29	r2	r2	PROPN
ejde-38	55	30	×	×	PROPN
ejde-38	55	31	r2	r2	PROPN
ejde-38	55	32	and	and	CCONJ
ejde-38	55	33	f	f	PROPN
ejde-38	55	34	(	(	PUNCT
ejde-38	55	35	λ	λ	NOUN
ejde-38	55	36	)	)	PUNCT
ejde-38	55	37	=	=	PUNCT
ejde-38	56	1	〈	〈	PROPN
ejde-38	56	2	a	a	PRON
ejde-38	56	3	,	,	PUNCT
ejde-38	56	4	λ	λ	X
ejde-38	56	5	〉	〉	NOUN
ejde-38	56	6	for	for	ADP
ejde-38	56	7	a	a	DET
ejde-38	56	8	fixed	fix	VERB
ejde-38	56	9	vector	vector	NOUN
ejde-38	56	10	a	a	NOUN
ejde-38	56	11	,	,	PUNCT
ejde-38	56	12	and	and	CCONJ
ejde-38	56	13	shows	show	VERB
ejde-38	56	14	existence	existence	NOUN
ejde-38	56	15	and	and	CCONJ
ejde-38	56	16	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-38	56	17	under	under	ADP
ejde-38	56	18	certain	certain	ADJ
ejde-38	56	19	conditions	condition	NOUN
ejde-38	56	20	.	.	PUNCT
ejde-38	57	1	the	the	DET
ejde-38	57	2	result	result	NOUN
ejde-38	57	3	[	[	X
ejde-38	57	4	5	5	NUM
ejde-38	57	5	]	]	PUNCT
ejde-38	57	6	ejde-2023/22	ejde-2023/22	NOUN
ejde-38	57	7	an	an	DET
ejde-38	57	8	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	57	9	transport	transport	NOUN
ejde-38	57	10	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	11	3	3	NUM
ejde-38	57	12	views	view	VERB
ejde-38	57	13	the	the	DET
ejde-38	57	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	15	in	in	ADP
ejde-38	57	16	an	an	DET
ejde-38	57	17	economic	economic	ADJ
ejde-38	57	18	context	context	NOUN
ejde-38	57	19	,	,	PUNCT
ejde-38	57	20	their	their	PRON
ejde-38	57	21	lower	low	ADJ
ejde-38	57	22	level	level	NOUN
ejde-38	57	23	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	24	is	be	AUX
ejde-38	57	25	related	relate	VERB
ejde-38	57	26	to	to	ADP
ejde-38	57	27	a	a	DET
ejde-38	57	28	partial	partial	ADJ
ejde-38	57	29	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	57	30	transport	transport	NOUN
ejde-38	57	31	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	32	with	with	ADP
ejde-38	57	33	an	an	DET
ejde-38	57	34	associated	associated	ADJ
ejde-38	57	35	storage	storage	NOUN
ejde-38	57	36	fee	fee	NOUN
ejde-38	57	37	;	;	PUNCT
ejde-38	57	38	note	note	VERB
ejde-38	57	39	however	however	ADV
ejde-38	57	40	that	that	SCONJ
ejde-38	57	41	their	their	PRON
ejde-38	57	42	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	43	is	be	AUX
ejde-38	57	44	not	not	PART
ejde-38	57	45	exactly	exactly	ADV
ejde-38	57	46	an	an	DET
ejde-38	57	47	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	57	48	transport	transport	NOUN
ejde-38	57	49	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	50	as	as	SCONJ
ejde-38	57	51	it	it	PRON
ejde-38	57	52	arises	arise	VERB
ejde-38	57	53	from	from	ADP
ejde-38	57	54	the	the	DET
ejde-38	57	55	problem	problem	NOUN
ejde-38	57	56	of	of	ADP
ejde-38	57	57	monopolistic	monopolistic	ADJ
ejde-38	57	58	pricing	pricing	NOUN
ejde-38	57	59	,	,	PUNCT
ejde-38	57	60	and	and	CCONJ
ejde-38	57	61	involves	involve	VERB
ejde-38	57	62	an	an	DET
ejde-38	57	63	extra	extra	ADJ
ejde-38	57	64	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-38	57	65	in	in	ADP
ejde-38	57	66	the	the	DET
ejde-38	57	67	definition	definition	NOUN
ejde-38	57	68	of	of	ADP
ejde-38	57	69	laguerre	laguerre	NOUN
ejde-38	57	70	cells	cell	NOUN
ejde-38	57	71	.	.	PUNCT
ejde-38	58	1	we	we	PRON
ejde-38	58	2	emphasize	emphasize	VERB
ejde-38	58	3	that	that	SCONJ
ejde-38	58	4	we	we	PRON
ejde-38	58	5	do	do	AUX
ejde-38	58	6	not	not	PART
ejde-38	58	7	deal	deal	VERB
ejde-38	58	8	with	with	ADP
ejde-38	58	9	the	the	DET
ejde-38	58	10	“	"	PUNCT
ejde-38	58	11	upper	upper	ADJ
ejde-38	58	12	level	level	NOUN
ejde-38	58	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	58	14	”	"	PUNCT
ejde-38	58	15	,	,	PUNCT
ejde-38	58	16	while	while	SCONJ
ejde-38	58	17	the	the	DET
ejde-38	58	18	above	above	ADJ
ejde-38	58	19	two	two	NUM
ejde-38	58	20	references	reference	NOUN
ejde-38	58	21	also	also	ADV
ejde-38	58	22	analyze	analyze	VERB
ejde-38	58	23	that	that	DET
ejde-38	58	24	problem	problem	NOUN
ejde-38	58	25	as	as	ADV
ejde-38	58	26	well	well	ADV
ejde-38	58	27	.	.	PUNCT
ejde-38	59	1	contributions	contribution	NOUN
ejde-38	59	2	of	of	ADP
ejde-38	59	3	this	this	DET
ejde-38	59	4	article	article	NOUN
ejde-38	59	5	.	.	PUNCT
ejde-38	60	1	we	we	PRON
ejde-38	60	2	show	show	VERB
ejde-38	60	3	the	the	DET
ejde-38	60	4	existence	existence	NOUN
ejde-38	60	5	of	of	ADP
ejde-38	60	6	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	60	7	of	of	ADP
ejde-38	60	8	the	the	DET
ejde-38	60	9	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	60	10	transport	transport	NOUN
ejde-38	60	11	problem	problem	NOUN
ejde-38	60	12	with	with	ADP
ejde-38	60	13	storage	storage	NOUN
ejde-38	60	14	fees	fee	NOUN
ejde-38	60	15	,	,	PUNCT
ejde-38	60	16	exhibit	exhibit	VERB
ejde-38	60	17	a	a	DET
ejde-38	60	18	dual	dual	ADJ
ejde-38	60	19	problem	problem	NOUN
ejde-38	60	20	with	with	ADP
ejde-38	60	21	strong	strong	ADJ
ejde-38	60	22	duality	duality	NOUN
ejde-38	60	23	(	(	PUNCT
ejde-38	60	24	along	along	ADP
ejde-38	60	25	with	with	ADP
ejde-38	60	26	existence	existence	NOUN
ejde-38	60	27	of	of	ADP
ejde-38	60	28	dual	dual	ADJ
ejde-38	60	29	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	60	30	)	)	PUNCT
ejde-38	60	31	for	for	ADP
ejde-38	60	32	a	a	DET
ejde-38	60	33	wide	wide	ADJ
ejde-38	60	34	class	class	NOUN
ejde-38	60	35	of	of	ADP
ejde-38	60	36	storage	storage	NOUN
ejde-38	60	37	fees	fee	NOUN
ejde-38	60	38	f	f	PROPN
ejde-38	60	39	and	and	CCONJ
ejde-38	60	40	c	c	PROPN
ejde-38	60	41	,	,	PUNCT
ejde-38	60	42	show	show	VERB
ejde-38	60	43	a	a	DET
ejde-38	60	44	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	60	45	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	60	46	of	of	ADP
ejde-38	60	47	dual	dual	ADJ
ejde-38	60	48	and	and	CCONJ
ejde-38	60	49	primal	primal	ADJ
ejde-38	60	50	extremizers	extremizer	NOUN
ejde-38	60	51	,	,	PUNCT
ejde-38	60	52	and	and	CCONJ
ejde-38	60	53	produce	produce	VERB
ejde-38	60	54	some	some	DET
ejde-38	60	55	stability	stability	NOUN
ejde-38	60	56	results	result	NOUN
ejde-38	60	57	.	.	PUNCT
ejde-38	61	1	one	one	NUM
ejde-38	61	2	novelty	novelty	NOUN
ejde-38	61	3	of	of	ADP
ejde-38	61	4	our	our	PRON
ejde-38	61	5	results	result	NOUN
ejde-38	61	6	is	be	AUX
ejde-38	61	7	that	that	SCONJ
ejde-38	61	8	both	both	DET
ejde-38	61	9	existence	existence	NOUN
ejde-38	61	10	and	and	CCONJ
ejde-38	61	11	the	the	DET
ejde-38	61	12	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	61	13	of	of	ADP
ejde-38	61	14	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	61	15	do	do	AUX
ejde-38	61	16	not	not	PART
ejde-38	61	17	require	require	VERB
ejde-38	61	18	any	any	DET
ejde-38	61	19	assumption	assumption	NOUN
ejde-38	61	20	of	of	ADP
ejde-38	61	21	differentiability	differentiability	NOUN
ejde-38	61	22	of	of	ADP
ejde-38	61	23	f	f	PROPN
ejde-38	61	24	,	,	PUNCT
ejde-38	61	25	in	in	ADP
ejde-38	61	26	contrast	contrast	NOUN
ejde-38	61	27	with	with	ADP
ejde-38	61	28	previous	previous	ADJ
ejde-38	61	29	results	result	NOUN
ejde-38	61	30	such	such	ADJ
ejde-38	61	31	as	as	ADP
ejde-38	61	32	[	[	X
ejde-38	61	33	6	6	NUM
ejde-38	61	34	]	]	PUNCT
ejde-38	61	35	.	.	PUNCT
ejde-38	62	1	the	the	DET
ejde-38	62	2	class	class	NOUN
ejde-38	62	3	of	of	ADP
ejde-38	62	4	functions	function	NOUN
ejde-38	62	5	is	be	AUX
ejde-38	62	6	wide	wide	ADJ
ejde-38	62	7	enough	enough	ADV
ejde-38	62	8	to	to	PART
ejde-38	62	9	allow	allow	VERB
ejde-38	62	10	for	for	ADP
ejde-38	62	11	storage	storage	NOUN
ejde-38	62	12	fee	fee	NOUN
ejde-38	62	13	functions	function	NOUN
ejde-38	62	14	which	which	PRON
ejde-38	62	15	may	may	AUX
ejde-38	62	16	take	take	VERB
ejde-38	62	17	the	the	DET
ejde-38	62	18	value	value	NOUN
ejde-38	62	19	∞	∞	PROPN
ejde-38	62	20	at	at	ADP
ejde-38	62	21	some	some	DET
ejde-38	62	22	points	point	NOUN
ejde-38	62	23	in	in	ADP
ejde-38	62	24	the	the	DET
ejde-38	62	25	standard	standard	ADJ
ejde-38	62	26	simplex	simplex	NOUN
ejde-38	62	27	.	.	PUNCT
ejde-38	63	1	additionally	additionally	ADV
ejde-38	63	2	,	,	PUNCT
ejde-38	63	3	the	the	DET
ejde-38	63	4	simple	simple	ADJ
ejde-38	63	5	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	63	6	of	of	ADP
ejde-38	63	7	extremizers	extremizer	NOUN
ejde-38	63	8	can	can	AUX
ejde-38	63	9	be	be	AUX
ejde-38	63	10	exploited	exploit	VERB
ejde-38	63	11	to	to	PART
ejde-38	63	12	form	form	VERB
ejde-38	63	13	a	a	DET
ejde-38	63	14	provably	provably	ADV
ejde-38	63	15	convergent	convergent	ADJ
ejde-38	63	16	numerical	numerical	ADJ
ejde-38	63	17	approximation	approximation	NOUN
ejde-38	63	18	scheme	scheme	NOUN
ejde-38	63	19	based	base	VERB
ejde-38	63	20	on	on	ADP
ejde-38	63	21	a	a	DET
ejde-38	63	22	damped	damped	ADJ
ejde-38	63	23	newton	newton	PROPN
ejde-38	63	24	method	method	NOUN
ejde-38	63	25	,	,	PUNCT
ejde-38	63	26	which	which	PRON
ejde-38	63	27	the	the	DET
ejde-38	63	28	authors	author	NOUN
ejde-38	63	29	have	have	AUX
ejde-38	63	30	explored	explore	VERB
ejde-38	63	31	in	in	ADP
ejde-38	63	32	[	[	X
ejde-38	63	33	1	1	NUM
ejde-38	63	34	]	]	PUNCT
ejde-38	63	35	.	.	PUNCT
ejde-38	64	1	we	we	PRON
ejde-38	64	2	also	also	ADV
ejde-38	64	3	mention	mention	VERB
ejde-38	64	4	the	the	DET
ejde-38	64	5	following	follow	VERB
ejde-38	64	6	economics	economics	NOUN
ejde-38	64	7	interpretation	interpretation	NOUN
ejde-38	64	8	of	of	ADP
ejde-38	64	9	the	the	DET
ejde-38	64	10	problem	problem	NOUN
ejde-38	64	11	with	with	ADP
ejde-38	64	12	storage	storage	NOUN
ejde-38	64	13	fees	fee	NOUN
ejde-38	64	14	.	.	PUNCT
ejde-38	65	1	a	a	DET
ejde-38	65	2	manufacturer	manufacturer	NOUN
ejde-38	65	3	has	have	VERB
ejde-38	65	4	a	a	DET
ejde-38	65	5	distribution	distribution	NOUN
ejde-38	65	6	of	of	ADP
ejde-38	65	7	factories	factory	NOUN
ejde-38	65	8	µ	µ	NUM
ejde-38	65	9	,	,	PUNCT
ejde-38	65	10	all	all	PRON
ejde-38	65	11	producing	produce	VERB
ejde-38	65	12	the	the	DET
ejde-38	65	13	same	same	ADJ
ejde-38	65	14	product	product	NOUN
ejde-38	65	15	,	,	PUNCT
ejde-38	65	16	and	and	CCONJ
ejde-38	65	17	is	be	AUX
ejde-38	65	18	leasing	lease	VERB
ejde-38	65	19	a	a	DET
ejde-38	65	20	finite	finite	ADJ
ejde-38	65	21	number	number	NOUN
ejde-38	65	22	of	of	ADP
ejde-38	65	23	warehouses	warehouse	NOUN
ejde-38	65	24	at	at	ADP
ejde-38	65	25	the	the	DET
ejde-38	65	26	locations	location	NOUN
ejde-38	65	27	yj	yj	PROPN
ejde-38	65	28	.	.	PUNCT
ejde-38	66	1	at	at	ADP
ejde-38	66	2	the	the	DET
ejde-38	66	3	end	end	NOUN
ejde-38	66	4	of	of	ADP
ejde-38	66	5	each	each	DET
ejde-38	66	6	production	production	NOUN
ejde-38	66	7	cycle	cycle	NOUN
ejde-38	66	8	,	,	PUNCT
ejde-38	66	9	the	the	DET
ejde-38	66	10	manufacturer	manufacturer	NOUN
ejde-38	66	11	must	must	AUX
ejde-38	66	12	ship	ship	VERB
ejde-38	66	13	all	all	PRON
ejde-38	66	14	of	of	ADP
ejde-38	66	15	their	their	PRON
ejde-38	66	16	product	product	NOUN
ejde-38	66	17	to	to	PART
ejde-38	66	18	be	be	AUX
ejde-38	66	19	stored	store	VERB
ejde-38	66	20	at	at	ADP
ejde-38	66	21	some	some	DET
ejde-38	66	22	combination	combination	NOUN
ejde-38	66	23	of	of	ADP
ejde-38	66	24	the	the	DET
ejde-38	66	25	warehouses	warehouse	NOUN
ejde-38	66	26	.	.	PUNCT
ejde-38	67	1	the	the	DET
ejde-38	67	2	manufacturer	manufacturer	NOUN
ejde-38	67	3	can	can	AUX
ejde-38	67	4	choose	choose	VERB
ejde-38	67	5	how	how	SCONJ
ejde-38	67	6	many	many	ADJ
ejde-38	67	7	units	unit	NOUN
ejde-38	67	8	of	of	ADP
ejde-38	67	9	their	their	PRON
ejde-38	67	10	product	product	NOUN
ejde-38	67	11	is	be	AUX
ejde-38	67	12	to	to	PART
ejde-38	67	13	be	be	AUX
ejde-38	67	14	stored	store	VERB
ejde-38	67	15	at	at	ADP
ejde-38	67	16	each	each	DET
ejde-38	67	17	warehouse	warehouse	NOUN
ejde-38	67	18	,	,	PUNCT
ejde-38	67	19	but	but	CCONJ
ejde-38	67	20	the	the	DET
ejde-38	67	21	leasing	leasing	NOUN
ejde-38	67	22	company	company	NOUN
ejde-38	67	23	will	will	AUX
ejde-38	67	24	charge	charge	VERB
ejde-38	67	25	a	a	DET
ejde-38	67	26	storage	storage	NOUN
ejde-38	67	27	fee	fee	NOUN
ejde-38	67	28	given	give	VERB
ejde-38	67	29	by	by	ADP
ejde-38	67	30	f	f	PROPN
ejde-38	67	31	based	base	VERB
ejde-38	67	32	on	on	ADP
ejde-38	67	33	the	the	DET
ejde-38	67	34	capacity	capacity	NOUN
ejde-38	67	35	used	use	VERB
ejde-38	67	36	.	.	PUNCT
ejde-38	68	1	additionally	additionally	ADV
ejde-38	68	2	,	,	PUNCT
ejde-38	68	3	there	there	PRON
ejde-38	68	4	is	be	VERB
ejde-38	68	5	a	a	DET
ejde-38	68	6	cost	cost	NOUN
ejde-38	68	7	associated	associate	VERB
ejde-38	68	8	to	to	ADP
ejde-38	68	9	the	the	DET
ejde-38	68	10	transportation	transportation	NOUN
ejde-38	68	11	itself	itself	PRON
ejde-38	68	12	given	give	VERB
ejde-38	68	13	by	by	ADP
ejde-38	68	14	c	c	PROPN
ejde-38	68	15	,	,	PUNCT
ejde-38	68	16	and	and	CCONJ
ejde-38	68	17	the	the	DET
ejde-38	68	18	goal	goal	NOUN
ejde-38	68	19	is	be	AUX
ejde-38	68	20	to	to	PART
ejde-38	68	21	minimize	minimize	VERB
ejde-38	68	22	the	the	DET
ejde-38	68	23	total	total	ADJ
ejde-38	68	24	cost	cost	NOUN
ejde-38	68	25	of	of	ADP
ejde-38	68	26	transport	transport	NOUN
ejde-38	68	27	plus	plus	CCONJ
ejde-38	68	28	storage	storage	NOUN
ejde-38	68	29	.	.	PUNCT
ejde-38	69	1	we	we	PRON
ejde-38	69	2	conclude	conclude	VERB
ejde-38	69	3	by	by	ADP
ejde-38	69	4	mentioning	mention	VERB
ejde-38	69	5	that	that	SCONJ
ejde-38	69	6	even	even	ADV
ejde-38	69	7	in	in	ADP
ejde-38	69	8	the	the	DET
ejde-38	69	9	restricted	restricted	ADJ
ejde-38	69	10	cases	case	NOUN
ejde-38	69	11	treated	treat	VERB
ejde-38	69	12	in	in	ADP
ejde-38	69	13	previous	previous	ADJ
ejde-38	69	14	work	work	NOUN
ejde-38	69	15	,	,	PUNCT
ejde-38	69	16	there	there	PRON
ejde-38	69	17	is	be	VERB
ejde-38	69	18	no	no	DET
ejde-38	69	19	mention	mention	NOUN
ejde-38	69	20	of	of	ADP
ejde-38	69	21	the	the	DET
ejde-38	69	22	associated	associated	ADJ
ejde-38	69	23	dual	dual	ADJ
ejde-38	69	24	problem	problem	NOUN
ejde-38	69	25	,	,	PUNCT
ejde-38	69	26	which	which	PRON
ejde-38	69	27	we	we	PRON
ejde-38	69	28	have	have	AUX
ejde-38	69	29	shown	show	VERB
ejde-38	69	30	has	have	VERB
ejde-38	69	31	strong	strong	ADJ
ejde-38	69	32	duality	duality	NOUN
ejde-38	69	33	.	.	PUNCT
ejde-38	70	1	the	the	DET
ejde-38	70	2	dual	dual	ADJ
ejde-38	70	3	problem	problem	NOUN
ejde-38	70	4	we	we	PRON
ejde-38	70	5	exhibit	exhibit	VERB
ejde-38	70	6	here	here	ADV
ejde-38	70	7	has	have	VERB
ejde-38	70	8	a	a	DET
ejde-38	70	9	very	very	ADV
ejde-38	70	10	natural	natural	ADJ
ejde-38	70	11	interpretation	interpretation	NOUN
ejde-38	70	12	in	in	ADP
ejde-38	70	13	terms	term	NOUN
ejde-38	70	14	of	of	ADP
ejde-38	70	15	the	the	DET
ejde-38	70	16	economic	economic	ADJ
ejde-38	70	17	analogy	analogy	NOUN
ejde-38	70	18	mentioned	mention	VERB
ejde-38	70	19	above	above	ADV
ejde-38	70	20	.	.	PUNCT
ejde-38	71	1	namely	namely	ADV
ejde-38	71	2	,	,	PUNCT
ejde-38	71	3	for	for	ADP
ejde-38	71	4	the	the	DET
ejde-38	71	5	classical	classical	ADJ
ejde-38	71	6	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	71	7	transport	transport	NOUN
ejde-38	71	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	71	9	(	(	PUNCT
ejde-38	71	10	see	see	VERB
ejde-38	71	11	[	[	X
ejde-38	71	12	12	12	NUM
ejde-38	71	13	,	,	PUNCT
ejde-38	71	14	p.	p.	NOUN
ejde-38	71	15	53	53	NUM
ejde-38	71	16	]	]	PUNCT
ejde-38	71	17	)	)	PUNCT
ejde-38	71	18	,	,	PUNCT
ejde-38	71	19	the	the	DET
ejde-38	71	20	dual	dual	ADJ
ejde-38	71	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	71	22	can	can	AUX
ejde-38	71	23	be	be	AUX
ejde-38	71	24	interpreted	interpret	VERB
ejde-38	71	25	as	as	ADP
ejde-38	71	26	contracting	contract	VERB
ejde-38	71	27	a	a	DET
ejde-38	71	28	third	third	ADJ
ejde-38	71	29	party	party	NOUN
ejde-38	71	30	shipping	shipping	NOUN
ejde-38	71	31	company	company	NOUN
ejde-38	71	32	:	:	PUNCT
ejde-38	71	33	a	a	DET
ejde-38	71	34	pair	pair	NOUN
ejde-38	71	35	of	of	ADP
ejde-38	71	36	dual	dual	ADJ
ejde-38	71	37	potentials	potential	NOUN
ejde-38	71	38	represents	represent	VERB
ejde-38	71	39	a	a	DET
ejde-38	71	40	price	price	NOUN
ejde-38	71	41	schedule	schedule	NOUN
ejde-38	71	42	(	(	PUNCT
ejde-38	71	43	the	the	DET
ejde-38	71	44	amount	amount	NOUN
ejde-38	71	45	the	the	DET
ejde-38	71	46	company	company	NOUN
ejde-38	71	47	would	would	AUX
ejde-38	71	48	charge	charge	VERB
ejde-38	71	49	to	to	PART
ejde-38	71	50	pick	pick	VERB
ejde-38	71	51	up	up	ADP
ejde-38	71	52	and	and	CCONJ
ejde-38	71	53	drop	drop	VERB
ejde-38	71	54	off	off	ADP
ejde-38	71	55	goods	good	NOUN
ejde-38	71	56	at	at	ADP
ejde-38	71	57	given	give	VERB
ejde-38	71	58	source	source	NOUN
ejde-38	71	59	and	and	CCONJ
ejde-38	71	60	target	target	NOUN
ejde-38	71	61	locations	location	NOUN
ejde-38	71	62	)	)	PUNCT
ejde-38	71	63	and	and	CCONJ
ejde-38	71	64	the	the	DET
ejde-38	71	65	dual	dual	ADJ
ejde-38	71	66	functional	functional	ADJ
ejde-38	71	67	would	would	AUX
ejde-38	71	68	be	be	AUX
ejde-38	71	69	the	the	DET
ejde-38	71	70	total	total	ADJ
ejde-38	71	71	price	price	NOUN
ejde-38	71	72	charged	charge	VERB
ejde-38	71	73	for	for	ADP
ejde-38	71	74	a	a	DET
ejde-38	71	75	given	give	VERB
ejde-38	71	76	distribution	distribution	NOUN
ejde-38	71	77	of	of	ADP
ejde-38	71	78	source	source	NOUN
ejde-38	71	79	and	and	CCONJ
ejde-38	71	80	target	target	NOUN
ejde-38	71	81	goods	good	NOUN
ejde-38	71	82	.	.	PUNCT
ejde-38	72	1	in	in	ADP
ejde-38	72	2	our	our	PRON
ejde-38	72	3	dual	dual	ADJ
ejde-38	72	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	72	5	with	with	ADP
ejde-38	72	6	storage	storage	NOUN
ejde-38	72	7	fee	fee	NOUN
ejde-38	72	8	(	(	PUNCT
ejde-38	72	9	see	see	INTJ
ejde-38	72	10	theorem	theorem	VERB
ejde-38	72	11	3.3	3.3	NUM
ejde-38	72	12	for	for	ADP
ejde-38	72	13	precise	precise	ADJ
ejde-38	72	14	statement	statement	NOUN
ejde-38	72	15	)	)	PUNCT
ejde-38	72	16	,	,	PUNCT
ejde-38	72	17	the	the	DET
ejde-38	72	18	dual	dual	ADJ
ejde-38	72	19	pair	pair	NOUN
ejde-38	72	20	(	(	PUNCT
ejde-38	72	21	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	72	22	)	)	PUNCT
ejde-38	72	23	again	again	ADV
ejde-38	72	24	represents	represent	VERB
ejde-38	72	25	a	a	DET
ejde-38	72	26	price	price	NOUN
ejde-38	72	27	schedule	schedule	NOUN
ejde-38	72	28	for	for	ADP
ejde-38	72	29	pickup	pickup	NOUN
ejde-38	72	30	and	and	CCONJ
ejde-38	72	31	drop	drop	VERB
ejde-38	72	32	off	off	ADP
ejde-38	72	33	,	,	PUNCT
ejde-38	72	34	but	but	CCONJ
ejde-38	72	35	the	the	DET
ejde-38	72	36	term	term	NOUN
ejde-38	72	37	f	f	PROPN
ejde-38	72	38	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	72	39	)	)	PUNCT
ejde-38	72	40	indicates	indicate	VERB
ejde-38	72	41	that	that	SCONJ
ejde-38	72	42	the	the	DET
ejde-38	72	43	third	third	ADJ
ejde-38	72	44	party	party	NOUN
ejde-38	72	45	company	company	NOUN
ejde-38	72	46	will	will	AUX
ejde-38	72	47	build	build	VERB
ejde-38	72	48	into	into	ADP
ejde-38	72	49	their	their	PRON
ejde-38	72	50	prices	price	NOUN
ejde-38	72	51	the	the	DET
ejde-38	72	52	added	add	VERB
ejde-38	72	53	step	step	NOUN
ejde-38	72	54	of	of	ADP
ejde-38	72	55	optimizing	optimize	VERB
ejde-38	72	56	how	how	SCONJ
ejde-38	72	57	to	to	PART
ejde-38	72	58	distribute	distribute	VERB
ejde-38	72	59	the	the	DET
ejde-38	72	60	target	target	NOUN
ejde-38	72	61	mass	mass	NOUN
ejde-38	72	62	,	,	PUNCT
ejde-38	72	63	accounting	account	VERB
ejde-38	72	64	for	for	ADP
ejde-38	72	65	the	the	DET
ejde-38	72	66	storage	storage	NOUN
ejde-38	72	67	fee	fee	NOUN
ejde-38	72	68	that	that	PRON
ejde-38	72	69	will	will	AUX
ejde-38	72	70	be	be	AUX
ejde-38	72	71	charged	charge	VERB
ejde-38	72	72	.	.	PUNCT
ejde-38	73	1	while	while	SCONJ
ejde-38	73	2	the	the	DET
ejde-38	73	3	classical	classical	ADJ
ejde-38	73	4	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	73	5	transport	transport	NOUN
ejde-38	73	6	problem	problem	NOUN
ejde-38	73	7	has	have	VERB
ejde-38	73	8	a	a	DET
ejde-38	73	9	well	well	ADV
ejde-38	73	10	-	-	PUNCT
ejde-38	73	11	known	know	VERB
ejde-38	73	12	canonical	canonical	ADJ
ejde-38	73	13	dual	dual	ADJ
ejde-38	73	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	73	15	,	,	PUNCT
ejde-38	73	16	as	as	ADP
ejde-38	73	17	a	a	DET
ejde-38	73	18	general	general	ADJ
ejde-38	73	19	optimization	optimization	NOUN
ejde-38	73	20	our	our	PRON
ejde-38	73	21	primal	primal	ADJ
ejde-38	73	22	problem	problem	NOUN
ejde-38	73	23	may	may	AUX
ejde-38	73	24	have	have	VERB
ejde-38	73	25	many	many	ADJ
ejde-38	73	26	possible	possible	ADJ
ejde-38	73	27	associated	associated	ADJ
ejde-38	73	28	dual	dual	ADJ
ejde-38	73	29	problems	problem	NOUN
ejde-38	73	30	;	;	PUNCT
ejde-38	73	31	this	this	DET
ejde-38	73	32	interpretation	interpretation	NOUN
ejde-38	73	33	in	in	ADP
ejde-38	73	34	terms	term	NOUN
ejde-38	73	35	of	of	ADP
ejde-38	73	36	shipping	shipping	NOUN
ejde-38	73	37	suggests	suggest	VERB
ejde-38	73	38	the	the	DET
ejde-38	73	39	particular	particular	ADJ
ejde-38	73	40	dual	dual	ADJ
ejde-38	73	41	problem	problem	NOUN
ejde-38	73	42	presented	present	VERB
ejde-38	73	43	here	here	ADV
ejde-38	73	44	represents	represent	VERB
ejde-38	73	45	a	a	DET
ejde-38	73	46	canonical	canonical	ADJ
ejde-38	73	47	choice	choice	NOUN
ejde-38	73	48	.	.	PUNCT
ejde-38	74	1	remark	remark	VERB
ejde-38	74	2	1.1	1.1	NUM
ejde-38	74	3	.	.	PUNCT
ejde-38	75	1	the	the	DET
ejde-38	75	2	minimization	minimization	NOUN
ejde-38	75	3	problem	problem	NOUN
ejde-38	75	4	with	with	ADP
ejde-38	75	5	storage	storage	NOUN
ejde-38	75	6	fees	fee	NOUN
ejde-38	75	7	has	have	VERB
ejde-38	75	8	potential	potential	ADJ
ejde-38	75	9	applications	application	NOUN
ejde-38	75	10	in	in	ADP
ejde-38	75	11	supervised	supervised	ADJ
ejde-38	75	12	data	datum	NOUN
ejde-38	75	13	clustering	cluster	VERB
ejde-38	75	14	.	.	PUNCT
ejde-38	76	1	if	if	SCONJ
ejde-38	76	2	µ	µ	NOUN
ejde-38	76	3	is	be	AUX
ejde-38	76	4	a	a	DET
ejde-38	76	5	distribution	distribution	NOUN
ejde-38	76	6	of	of	ADP
ejde-38	76	7	data	datum	NOUN
ejde-38	76	8	points	point	NOUN
ejde-38	76	9	known	know	VERB
ejde-38	76	10	to	to	PART
ejde-38	76	11	fall	fall	VERB
ejde-38	76	12	into	into	ADP
ejde-38	76	13	n	n	ADJ
ejde-38	76	14	clusters	cluster	NOUN
ejde-38	76	15	,	,	PUNCT
ejde-38	76	16	and	and	CCONJ
ejde-38	76	17	y1	y1	NOUN
ejde-38	76	18	,	,	PUNCT
ejde-38	76	19	.	.	PUNCT
ejde-38	76	20	.	.	PUNCT
ejde-38	77	1	.	.	PUNCT
ejde-38	78	1	,	,	PUNCT
ejde-38	78	2	yn	yn	PRON
ejde-38	78	3	are	be	AUX
ejde-38	78	4	representative	representative	ADJ
ejde-38	78	5	data	datum	NOUN
ejde-38	78	6	points	point	NOUN
ejde-38	78	7	from	from	ADP
ejde-38	78	8	each	each	DET
ejde-38	78	9	cluster	cluster	NOUN
ejde-38	78	10	,	,	PUNCT
ejde-38	78	11	solving	solve	VERB
ejde-38	78	12	the	the	DET
ejde-38	78	13	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	78	14	transport	transport	NOUN
ejde-38	78	15	problem	problem	NOUN
ejde-38	78	16	with	with	ADP
ejde-38	78	17	a	a	DET
ejde-38	78	18	storage	storage	NOUN
ejde-38	78	19	fee	fee	NOUN
ejde-38	78	20	is	be	AUX
ejde-38	78	21	a	a	DET
ejde-38	78	22	method	method	NOUN
ejde-38	78	23	of	of	ADP
ejde-38	78	24	clustering	cluster	VERB
ejde-38	78	25	the	the	DET
ejde-38	78	26	data	datum	NOUN
ejde-38	78	27	,	,	PUNCT
ejde-38	78	28	where	where	SCONJ
ejde-38	78	29	the	the	DET
ejde-38	78	30	size	size	NOUN
ejde-38	78	31	of	of	ADP
ejde-38	78	32	each	each	DET
ejde-38	78	33	cluster	cluster	NOUN
ejde-38	78	34	is	be	AUX
ejde-38	78	35	penalized	penalize	VERB
ejde-38	78	36	according	accord	VERB
ejde-38	78	37	to	to	ADP
ejde-38	78	38	the	the	DET
ejde-38	78	39	storage	storage	NOUN
ejde-38	78	40	4	4	NUM
ejde-38	78	41	m.	m.	NOUN
ejde-38	78	42	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	78	43	,	,	PUNCT
ejde-38	78	44	j.	j.	PROPN
ejde-38	78	45	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	78	46	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	78	47	fee	fee	NOUN
ejde-38	78	48	function	function	NOUN
ejde-38	78	49	f	f	PROPN
ejde-38	78	50	.	.	PUNCT
ejde-38	79	1	the	the	DET
ejde-38	79	2	theory	theory	NOUN
ejde-38	79	3	developed	develop	VERB
ejde-38	79	4	is	be	AUX
ejde-38	79	5	flexible	flexible	ADJ
ejde-38	79	6	enough	enough	ADV
ejde-38	79	7	to	to	PART
ejde-38	79	8	allow	allow	VERB
ejde-38	79	9	for	for	ADP
ejde-38	79	10	combining	combine	VERB
ejde-38	79	11	a	a	DET
ejde-38	79	12	convex	convex	NOUN
ejde-38	79	13	function	function	NOUN
ejde-38	79	14	to	to	PART
ejde-38	79	15	penalize	penalize	VERB
ejde-38	79	16	large	large	ADJ
ejde-38	79	17	cluster	cluster	NOUN
ejde-38	79	18	size	size	NOUN
ejde-38	79	19	,	,	PUNCT
ejde-38	79	20	with	with	ADP
ejde-38	79	21	a	a	DET
ejde-38	79	22	hard	hard	ADJ
ejde-38	79	23	size	size	NOUN
ejde-38	79	24	constraint	constraint	NOUN
ejde-38	79	25	(	(	PUNCT
ejde-38	79	26	f	f	PROPN
ejde-38	79	27	≡	≡	PROPN
ejde-38	79	28	∞	∞	PROPN
ejde-38	79	29	when	when	SCONJ
ejde-38	79	30	the	the	DET
ejde-38	79	31	capacity	capacity	NOUN
ejde-38	79	32	at	at	ADP
ejde-38	79	33	a	a	DET
ejde-38	79	34	point	point	NOUN
ejde-38	79	35	exceeds	exceed	VERB
ejde-38	79	36	a	a	DET
ejde-38	79	37	certain	certain	ADJ
ejde-38	79	38	threshold	threshold	NOUN
ejde-38	79	39	)	)	PUNCT
ejde-38	79	40	in	in	ADP
ejde-38	79	41	such	such	DET
ejde-38	79	42	a	a	DET
ejde-38	79	43	data	data	NOUN
ejde-38	79	44	clustering	clustering	NOUN
ejde-38	79	45	problem	problem	NOUN
ejde-38	79	46	.	.	PUNCT
ejde-38	80	1	as	as	ADP
ejde-38	80	2	a	a	DET
ejde-38	80	3	toy	toy	NOUN
ejde-38	80	4	example	example	NOUN
ejde-38	80	5	,	,	PUNCT
ejde-38	80	6	one	one	PRON
ejde-38	80	7	could	could	AUX
ejde-38	80	8	consider	consider	VERB
ejde-38	80	9	testing	test	VERB
ejde-38	80	10	whether	whether	SCONJ
ejde-38	80	11	a	a	DET
ejde-38	80	12	handwritten	handwritten	ADJ
ejde-38	80	13	document	document	NOUN
ejde-38	80	14	conforms	conform	VERB
ejde-38	80	15	well	well	ADV
ejde-38	80	16	to	to	ADP
ejde-38	80	17	benford	benford	PROPN
ejde-38	80	18	’s	’s	PART
ejde-38	80	19	law	law	NOUN
ejde-38	80	20	of	of	ADP
ejde-38	80	21	leading	lead	VERB
ejde-38	80	22	digits	digit	NOUN
ejde-38	80	23	.	.	PUNCT
ejde-38	81	1	it	it	PRON
ejde-38	81	2	is	be	AUX
ejde-38	81	3	empirically	empirically	ADV
ejde-38	81	4	observed	observe	VERB
ejde-38	81	5	that	that	SCONJ
ejde-38	81	6	the	the	DET
ejde-38	81	7	probability	probability	NOUN
ejde-38	81	8	the	the	DET
ejde-38	81	9	digit	digit	NOUN
ejde-38	81	10	d	d	PROPN
ejde-38	81	11	occurs	occur	VERB
ejde-38	81	12	as	as	ADP
ejde-38	81	13	a	a	DET
ejde-38	81	14	leading	lead	VERB
ejde-38	81	15	digit	digit	NOUN
ejde-38	81	16	in	in	ADP
ejde-38	81	17	a	a	DET
ejde-38	81	18	document	document	NOUN
ejde-38	81	19	tends	tend	VERB
ejde-38	81	20	to	to	PART
ejde-38	81	21	follow	follow	VERB
ejde-38	81	22	benford	benford	PROPN
ejde-38	81	23	’s	’s	PART
ejde-38	81	24	law	law	NOUN
ejde-38	81	25	:	:	PUNCT
ejde-38	82	1	p	p	X
ejde-38	82	2	(	(	PUNCT
ejde-38	82	3	d	d	NOUN
ejde-38	82	4	)	)	PUNCT
ejde-38	82	5	≈	≈	PROPN
ejde-38	82	6	log10(1	log10(1	ADJ
ejde-38	83	1	+	+	CCONJ
ejde-38	83	2	1	1	NUM
ejde-38	83	3	d	d	NOUN
ejde-38	83	4	)	)	PUNCT
ejde-38	83	5	,	,	PUNCT
ejde-38	84	1	d	d	NOUN
ejde-38	84	2	=	=	SYM
ejde-38	84	3	1	1	NUM
ejde-38	84	4	,	,	PUNCT
ejde-38	84	5	.	.	PUNCT
ejde-38	84	6	.	.	PUNCT
ejde-38	85	1	.	.	PUNCT
ejde-38	86	1	,	,	PUNCT
ejde-38	87	1	9	9	X
ejde-38	87	2	.	.	PUNCT
ejde-38	87	3	this	this	PRON
ejde-38	87	4	has	have	AUX
ejde-38	87	5	been	be	AUX
ejde-38	87	6	suggested	suggest	VERB
ejde-38	87	7	as	as	ADP
ejde-38	87	8	a	a	DET
ejde-38	87	9	potential	potential	ADJ
ejde-38	87	10	method	method	NOUN
ejde-38	87	11	to	to	PART
ejde-38	87	12	detect	detect	VERB
ejde-38	87	13	whether	whether	SCONJ
ejde-38	87	14	numerical	numerical	ADJ
ejde-38	87	15	figures	figure	NOUN
ejde-38	87	16	are	be	AUX
ejde-38	87	17	unnaturally	unnaturally	ADV
ejde-38	87	18	generated	generate	VERB
ejde-38	87	19	,	,	PUNCT
ejde-38	87	20	for	for	ADP
ejde-38	87	21	example	example	NOUN
ejde-38	87	22	in	in	ADP
ejde-38	87	23	accounting	accounting	NOUN
ejde-38	87	24	fraud	fraud	NOUN
ejde-38	87	25	or	or	CCONJ
ejde-38	87	26	fabrication	fabrication	NOUN
ejde-38	87	27	of	of	ADP
ejde-38	87	28	scientific	scientific	ADJ
ejde-38	87	29	data	datum	NOUN
ejde-38	87	30	.	.	PUNCT
ejde-38	88	1	now	now	ADV
ejde-38	88	2	consider	consider	VERB
ejde-38	88	3	a	a	DET
ejde-38	88	4	handwritten	handwritten	ADJ
ejde-38	88	5	document	document	NOUN
ejde-38	88	6	containing	contain	VERB
ejde-38	88	7	many	many	ADJ
ejde-38	88	8	numbers	number	NOUN
ejde-38	88	9	.	.	PUNCT
ejde-38	89	1	then	then	ADV
ejde-38	89	2	each	each	DET
ejde-38	89	3	leading	lead	VERB
ejde-38	89	4	digit	digit	NOUN
ejde-38	89	5	can	can	AUX
ejde-38	89	6	be	be	AUX
ejde-38	89	7	considered	consider	VERB
ejde-38	89	8	as	as	ADP
ejde-38	89	9	a	a	DET
ejde-38	89	10	grey	grey	ADJ
ejde-38	89	11	scale	scale	NOUN
ejde-38	89	12	image	image	NOUN
ejde-38	89	13	,	,	PUNCT
ejde-38	89	14	which	which	PRON
ejde-38	89	15	can	can	AUX
ejde-38	89	16	be	be	AUX
ejde-38	89	17	described	describe	VERB
ejde-38	89	18	as	as	ADP
ejde-38	89	19	a	a	DET
ejde-38	89	20	vector	vector	NOUN
ejde-38	89	21	in	in	ADP
ejde-38	89	22	some	some	DET
ejde-38	89	23	rn	rn	NOUN
ejde-38	89	24	,	,	PUNCT
ejde-38	89	25	suppose	suppose	VERB
ejde-38	89	26	the	the	DET
ejde-38	89	27	distribution	distribution	NOUN
ejde-38	89	28	µ	µ	NOUN
ejde-38	89	29	describes	describe	VERB
ejde-38	89	30	this	this	DET
ejde-38	89	31	collection	collection	NOUN
ejde-38	89	32	of	of	ADP
ejde-38	89	33	digits	digit	NOUN
ejde-38	89	34	.	.	PUNCT
ejde-38	90	1	let	let	VERB
ejde-38	90	2	y	y	PROPN
ejde-38	90	3	=	=	PUNCT
ejde-38	90	4	{	{	PUNCT
ejde-38	90	5	y1	y1	PROPN
ejde-38	90	6	,	,	PUNCT
ejde-38	90	7	.	.	PUNCT
ejde-38	90	8	.	.	PUNCT
ejde-38	91	1	.	.	PUNCT
ejde-38	92	1	,	,	PUNCT
ejde-38	92	2	y9	y9	PROPN
ejde-38	92	3	}	}	PUNCT
ejde-38	92	4	where	where	SCONJ
ejde-38	92	5	each	each	DET
ejde-38	92	6	yi	yi	NOUN
ejde-38	92	7	is	be	AUX
ejde-38	92	8	one	one	NUM
ejde-38	92	9	representative	representative	NOUN
ejde-38	92	10	for	for	ADP
ejde-38	92	11	the	the	DET
ejde-38	92	12	handwritten	handwritten	ADJ
ejde-38	92	13	digit	digit	NOUN
ejde-38	92	14	j.	j.	PROPN
ejde-38	92	15	finally	finally	ADV
ejde-38	92	16	suppose	suppose	VERB
ejde-38	92	17	some	some	DET
ejde-38	92	18	cost	cost	NOUN
ejde-38	92	19	function	function	NOUN
ejde-38	92	20	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	92	21	,	,	PUNCT
ejde-38	92	22	yj	yj	PROPN
ejde-38	92	23	)	)	PUNCT
ejde-38	92	24	is	be	AUX
ejde-38	92	25	given	give	VERB
ejde-38	92	26	which	which	PRON
ejde-38	92	27	is	be	AUX
ejde-38	92	28	a	a	DET
ejde-38	92	29	measure	measure	NOUN
ejde-38	92	30	of	of	ADP
ejde-38	92	31	affinity	affinity	NOUN
ejde-38	92	32	between	between	ADP
ejde-38	92	33	a	a	DET
ejde-38	92	34	handwritten	handwritten	ADJ
ejde-38	92	35	digit	digit	NOUN
ejde-38	92	36	x	x	PUNCT
ejde-38	92	37	and	and	CCONJ
ejde-38	92	38	the	the	DET
ejde-38	92	39	representative	representative	ADJ
ejde-38	92	40	digit	digit	NOUN
ejde-38	92	41	yj	yj	PROPN
ejde-38	92	42	.	.	PUNCT
ejde-38	93	1	now	now	ADV
ejde-38	93	2	define	define	VERB
ejde-38	93	3	the	the	DET
ejde-38	93	4	storage	storage	NOUN
ejde-38	93	5	fee	fee	NOUN
ejde-38	93	6	function	function	NOUN
ejde-38	93	7	f	f	PROPN
ejde-38	93	8	:	:	PUNCT
ejde-38	93	9	r9	r9	NOUN
ejde-38	93	10	→	→	SYM
ejde-38	93	11	r	r	NOUN
ejde-38	93	12	by	by	ADP
ejde-38	93	13	f	f	PROPN
ejde-38	93	14	(	(	PUNCT
ejde-38	93	15	λ	λ	NOUN
ejde-38	93	16	)	)	PUNCT
ejde-38	93	17	:	:	PUNCT
ejde-38	94	1	=	=	SYM
ejde-38	94	2	9∑	9∑	NUM
ejde-38	94	3	j=1	j=1	ADJ
ejde-38	94	4	f(λj	f(λj	NOUN
ejde-38	94	5	−	−	NOUN
ejde-38	94	6	log10(1	log10(1	ADJ
ejde-38	94	7	+	+	NUM
ejde-38	94	8	1	1	NUM
ejde-38	94	9	j	j	NOUN
ejde-38	94	10	)	)	PUNCT
ejde-38	94	11	)	)	PUNCT
ejde-38	94	12	,	,	PUNCT
ejde-38	94	13	where	where	SCONJ
ejde-38	94	14	f	f	X
ejde-38	94	15	:	:	PUNCT
ejde-38	94	16	r→	r→	PROPN
ejde-38	94	17	r	r	NOUN
ejde-38	94	18	is	be	AUX
ejde-38	94	19	a	a	DET
ejde-38	94	20	strictly	strictly	ADV
ejde-38	94	21	increasing	increase	VERB
ejde-38	94	22	,	,	PUNCT
ejde-38	94	23	convex	convex	NOUN
ejde-38	94	24	function	function	NOUN
ejde-38	94	25	with	with	ADP
ejde-38	94	26	f(0	f(0	NOUN
ejde-38	94	27	)	)	PUNCT
ejde-38	94	28	;	;	PUNCT
ejde-38	94	29	note	note	VERB
ejde-38	94	30	that	that	SCONJ
ejde-38	94	31	f	f	PROPN
ejde-38	94	32	is	be	AUX
ejde-38	94	33	a	a	DET
ejde-38	94	34	convex	convex	NOUN
ejde-38	94	35	function	function	NOUN
ejde-38	94	36	hence	hence	ADV
ejde-38	94	37	(	(	PUNCT
ejde-38	94	38	modulo	modulo	NOUN
ejde-38	94	39	conditions	condition	NOUN
ejde-38	94	40	on	on	ADP
ejde-38	94	41	c	c	NOUN
ejde-38	94	42	)	)	PUNCT
ejde-38	94	43	all	all	PRON
ejde-38	94	44	of	of	ADP
ejde-38	94	45	our	our	PRON
ejde-38	94	46	results	result	NOUN
ejde-38	94	47	in	in	ADP
ejde-38	94	48	this	this	DET
ejde-38	94	49	article	article	NOUN
ejde-38	94	50	will	will	AUX
ejde-38	94	51	be	be	AUX
ejde-38	94	52	applicable	applicable	ADJ
ejde-38	94	53	.	.	PUNCT
ejde-38	95	1	then	then	ADV
ejde-38	95	2	a	a	DET
ejde-38	95	3	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	95	4	in	in	ADP
ejde-38	95	5	(	(	PUNCT
ejde-38	95	6	1.3	1.3	NUM
ejde-38	95	7	)	)	PUNCT
ejde-38	95	8	with	with	ADP
ejde-38	95	9	this	this	DET
ejde-38	95	10	choice	choice	NOUN
ejde-38	95	11	of	of	ADP
ejde-38	95	12	f	f	PROPN
ejde-38	95	13	will	will	AUX
ejde-38	95	14	give	give	VERB
ejde-38	95	15	a	a	DET
ejde-38	95	16	clustering	clustering	NOUN
ejde-38	95	17	of	of	ADP
ejde-38	95	18	the	the	DET
ejde-38	95	19	leading	lead	VERB
ejde-38	95	20	digits	digit	NOUN
ejde-38	95	21	appearing	appear	VERB
ejde-38	95	22	in	in	ADP
ejde-38	95	23	the	the	DET
ejde-38	95	24	distribution	distribution	NOUN
ejde-38	95	25	µ	µ	NOUN
ejde-38	95	26	,	,	PUNCT
ejde-38	95	27	and	and	CCONJ
ejde-38	95	28	the	the	DET
ejde-38	95	29	value	value	NOUN
ejde-38	95	30	of	of	ADP
ejde-38	95	31	the	the	DET
ejde-38	95	32	functional	functional	ADJ
ejde-38	95	33	associated	associate	VERB
ejde-38	95	34	to	to	ADP
ejde-38	95	35	this	this	DET
ejde-38	95	36	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	95	37	can	can	AUX
ejde-38	95	38	represent	represent	VERB
ejde-38	95	39	a	a	DET
ejde-38	95	40	measure	measure	NOUN
ejde-38	95	41	of	of	ADP
ejde-38	95	42	divergence	divergence	NOUN
ejde-38	95	43	of	of	ADP
ejde-38	95	44	the	the	DET
ejde-38	95	45	document	document	NOUN
ejde-38	95	46	from	from	ADP
ejde-38	95	47	benford	benford	PROPN
ejde-38	95	48	’s	’s	PART
ejde-38	95	49	law	law	NOUN
ejde-38	95	50	.	.	PUNCT
ejde-38	96	1	notation	notation	NOUN
ejde-38	96	2	and	and	CCONJ
ejde-38	96	3	conventions	convention	NOUN
ejde-38	96	4	.	.	PUNCT
ejde-38	97	1	we	we	PRON
ejde-38	97	2	will	will	AUX
ejde-38	97	3	fix	fix	VERB
ejde-38	97	4	some	some	DET
ejde-38	97	5	notation	notation	NOUN
ejde-38	97	6	and	and	CCONJ
ejde-38	97	7	conventions	convention	NOUN
ejde-38	97	8	to	to	PART
ejde-38	97	9	be	be	AUX
ejde-38	97	10	used	use	VERB
ejde-38	97	11	in	in	ADP
ejde-38	97	12	the	the	DET
ejde-38	97	13	remainder	remainder	NOUN
ejde-38	97	14	of	of	ADP
ejde-38	97	15	the	the	DET
ejde-38	97	16	paper	paper	NOUN
ejde-38	97	17	.	.	PUNCT
ejde-38	98	1	we	we	PRON
ejde-38	98	2	fix	fix	VERB
ejde-38	98	3	positive	positive	ADJ
ejde-38	98	4	integers	integer	NOUN
ejde-38	98	5	n	n	PRON
ejde-38	98	6	and	and	CCONJ
ejde-38	98	7	n	n	PROPN
ejde-38	98	8	and	and	CCONJ
ejde-38	98	9	a	a	DET
ejde-38	98	10	collection	collection	NOUN
ejde-38	98	11	y	y	NOUN
ejde-38	98	12	:	:	PUNCT
ejde-38	98	13	=	=	SYM
ejde-38	98	14	{	{	PUNCT
ejde-38	98	15	yj}nj=1	yj}nj=1	PROPN
ejde-38	98	16	(	(	PUNCT
ejde-38	98	17	however	however	ADV
ejde-38	98	18	,	,	PUNCT
ejde-38	98	19	in	in	ADP
ejde-38	98	20	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	98	21	5.1	5.1	NUM
ejde-38	98	22	we	we	PRON
ejde-38	98	23	will	will	AUX
ejde-38	98	24	consider	consider	VERB
ejde-38	98	25	an	an	DET
ejde-38	98	26	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-38	98	27	bounded	bounded	ADJ
ejde-38	98	28	metric	metric	ADJ
ejde-38	98	29	space	space	NOUN
ejde-38	98	30	y	y	PROPN
ejde-38	98	31	,	,	PUNCT
ejde-38	98	32	not	not	PART
ejde-38	98	33	necessarily	necessarily	ADV
ejde-38	98	34	finite	finite	VERB
ejde-38	98	35	)	)	PUNCT
ejde-38	98	36	.	.	PUNCT
ejde-38	99	1	we	we	PRON
ejde-38	99	2	also	also	ADV
ejde-38	99	3	denote	denote	VERB
ejde-38	99	4	the	the	DET
ejde-38	99	5	standard	standard	ADJ
ejde-38	99	6	n	n	PRON
ejde-38	99	7	-simplex	-simplex	NOUN
ejde-38	99	8	by	by	ADP
ejde-38	99	9	λ	λ	PROPN
ejde-38	99	10	:	:	PUNCT
ejde-38	99	11	=	=	SYM
ejde-38	99	12	{	{	PUNCT
ejde-38	99	13	λ	λ	X
ejde-38	99	14	∈	∈	PROPN
ejde-38	99	15	rn	rn	PROPN
ejde-38	99	16	:	:	PUNCT
ejde-38	100	1	n∑	n∑	PROPN
ejde-38	100	2	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	100	3	λj	λj	PROPN
ejde-38	100	4	=	=	SYM
ejde-38	100	5	1	1	NUM
ejde-38	100	6	,	,	PUNCT
ejde-38	100	7	λj	λj	X
ejde-38	100	8	≥	≥	NOUN
ejde-38	100	9	0	0	NUM
ejde-38	100	10	}	}	PUNCT
ejde-38	100	11	,	,	PUNCT
ejde-38	100	12	and	and	CCONJ
ejde-38	100	13	given	give	VERB
ejde-38	100	14	a	a	DET
ejde-38	100	15	vector	vector	NOUN
ejde-38	100	16	λ	λ	X
ejde-38	100	17	∈	∈	NOUN
ejde-38	100	18	λ	λ	NOUN
ejde-38	100	19	we	we	PRON
ejde-38	100	20	write	write	VERB
ejde-38	100	21	νλ	νλ	INTJ
ejde-38	100	22	:	:	PUNCT
ejde-38	100	23	=	=	SYM
ejde-38	101	1	∑n	∑n	NOUN
ejde-38	101	2	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	101	3	λ	λ	PROPN
ejde-38	101	4	jδyj	jδyj	PROPN
ejde-38	101	5	.	.	PUNCT
ejde-38	102	1	we	we	PRON
ejde-38	102	2	reserve	reserve	VERB
ejde-38	102	3	the	the	DET
ejde-38	102	4	boldface	boldface	PROPN
ejde-38	102	5	notation	notation	NOUN
ejde-38	102	6	1	1	NUM
ejde-38	102	7	for	for	ADP
ejde-38	102	8	the	the	DET
ejde-38	102	9	vector	vector	NOUN
ejde-38	102	10	in	in	ADP
ejde-38	102	11	rn	rn	ADP
ejde-38	102	12	whose	whose	DET
ejde-38	102	13	components	component	NOUN
ejde-38	102	14	are	be	AUX
ejde-38	102	15	all	all	ADV
ejde-38	102	16	1	1	NUM
ejde-38	102	17	.	.	PUNCT
ejde-38	103	1	the	the	DET
ejde-38	103	2	space	space	NOUN
ejde-38	103	3	of	of	ADP
ejde-38	103	4	borel	borel	PROPN
ejde-38	103	5	probability	probability	NOUN
ejde-38	103	6	measures	measure	NOUN
ejde-38	103	7	on	on	ADP
ejde-38	103	8	a	a	DET
ejde-38	103	9	metric	metric	ADJ
ejde-38	103	10	space	space	NOUN
ejde-38	103	11	x	x	PRON
ejde-38	103	12	will	will	AUX
ejde-38	103	13	be	be	AUX
ejde-38	103	14	denoted	denote	VERB
ejde-38	103	15	p(x	p(x	NOUN
ejde-38	103	16	)	)	PUNCT
ejde-38	103	17	.	.	PUNCT
ejde-38	104	1	the	the	DET
ejde-38	104	2	subset	subset	NOUN
ejde-38	104	3	of	of	ADP
ejde-38	104	4	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	104	5	×	×	PROPN
ejde-38	104	6	y	y	PROPN
ejde-38	104	7	)	)	PUNCT
ejde-38	104	8	consisting	consist	VERB
ejde-38	104	9	of	of	ADP
ejde-38	104	10	measures	measure	NOUN
ejde-38	104	11	with	with	ADP
ejde-38	104	12	left	left	ADJ
ejde-38	104	13	and	and	CCONJ
ejde-38	104	14	right	right	ADJ
ejde-38	104	15	marginals	marginal	NOUN
ejde-38	104	16	equal	equal	ADJ
ejde-38	104	17	to	to	ADP
ejde-38	104	18	µ	µ	PRON
ejde-38	104	19	∈	∈	PROPN
ejde-38	104	20	p(x	p(x	NOUN
ejde-38	104	21	)	)	PUNCT
ejde-38	104	22	and	and	CCONJ
ejde-38	104	23	ν	ν	X
ejde-38	104	24	∈	∈	PROPN
ejde-38	104	25	p(y	p(y	PROPN
ejde-38	104	26	)	)	PUNCT
ejde-38	104	27	respectively	respectively	ADV
ejde-38	104	28	will	will	AUX
ejde-38	104	29	be	be	AUX
ejde-38	104	30	written	write	VERB
ejde-38	104	31	as	as	ADP
ejde-38	104	32	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	104	33	,	,	PUNCT
ejde-38	104	34	ν	ν	NOUN
ejde-38	104	35	)	)	PUNCT
ejde-38	104	36	,	,	PUNCT
ejde-38	104	37	and	and	CCONJ
ejde-38	104	38	π(µ	π(µ	PRON
ejde-38	104	39	)	)	PUNCT
ejde-38	104	40	will	will	AUX
ejde-38	104	41	be	be	AUX
ejde-38	104	42	the	the	DET
ejde-38	104	43	subset	subset	NOUN
ejde-38	104	44	of	of	ADP
ejde-38	104	45	p(x×y	p(x×y	NOUN
ejde-38	104	46	)	)	PUNCT
ejde-38	104	47	consisting	consist	VERB
ejde-38	104	48	of	of	ADP
ejde-38	104	49	measures	measure	NOUN
ejde-38	104	50	with	with	ADP
ejde-38	104	51	left	left	ADJ
ejde-38	104	52	marginal	marginal	ADJ
ejde-38	104	53	µ.	µ.	PROPN
ejde-38	104	54	projection	projection	NOUN
ejde-38	104	55	from	from	ADP
ejde-38	104	56	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	104	57	to	to	ADP
ejde-38	104	58	x	x	PROPN
ejde-38	104	59	and	and	CCONJ
ejde-38	104	60	y	y	PROPN
ejde-38	104	61	will	will	AUX
ejde-38	104	62	be	be	AUX
ejde-38	104	63	written	write	VERB
ejde-38	104	64	πx	πx	PRON
ejde-38	104	65	and	and	CCONJ
ejde-38	104	66	πy	πy	INTJ
ejde-38	104	67	.	.	PUNCT
ejde-38	105	1	we	we	PRON
ejde-38	105	2	will	will	AUX
ejde-38	105	3	write	write	VERB
ejde-38	105	4	cb(s	cb(	NOUN
ejde-38	105	5	)	)	PUNCT
ejde-38	105	6	for	for	ADP
ejde-38	105	7	the	the	DET
ejde-38	105	8	set	set	NOUN
ejde-38	105	9	of	of	ADP
ejde-38	105	10	bounded	bounded	ADJ
ejde-38	105	11	,	,	PUNCT
ejde-38	105	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	105	13	functions	function	NOUN
ejde-38	105	14	on	on	ADP
ejde-38	105	15	a	a	DET
ejde-38	105	16	metric	metric	ADJ
ejde-38	105	17	space	space	NOUN
ejde-38	105	18	s.	s.	PROPN
ejde-38	105	19	as	as	SCONJ
ejde-38	105	20	is	be	AUX
ejde-38	105	21	standard	standard	ADJ
ejde-38	105	22	practice	practice	NOUN
ejde-38	105	23	,	,	PUNCT
ejde-38	105	24	we	we	PRON
ejde-38	105	25	will	will	AUX
ejde-38	105	26	refer	refer	VERB
ejde-38	105	27	to	to	ADP
ejde-38	105	28	weak	weak	ADJ
ejde-38	105	29	∗	∗	NOUN
ejde-38	105	30	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	105	31	of	of	ADP
ejde-38	105	32	probability	probability	NOUN
ejde-38	105	33	measures	measure	NOUN
ejde-38	105	34	in	in	ADP
ejde-38	105	35	duality	duality	NOUN
ejde-38	105	36	with	with	ADP
ejde-38	105	37	cb(s	cb(	NOUN
ejde-38	105	38	)	)	PUNCT
ejde-38	105	39	as	as	ADP
ejde-38	105	40	“	"	PUNCT
ejde-38	105	41	weak	weak	ADJ
ejde-38	105	42	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	105	43	.	.	PUNCT
ejde-38	105	44	”	"	PUNCT
ejde-38	106	1	we	we	PRON
ejde-38	106	2	will	will	AUX
ejde-38	106	3	also	also	ADV
ejde-38	106	4	identify	identify	VERB
ejde-38	106	5	any	any	DET
ejde-38	106	6	real	real	ADV
ejde-38	106	7	valued	value	VERB
ejde-38	106	8	function	function	NOUN
ejde-38	106	9	on	on	ADP
ejde-38	106	10	y	y	PROPN
ejde-38	106	11	with	with	ADP
ejde-38	106	12	a	a	DET
ejde-38	106	13	vector	vector	NOUN
ejde-38	106	14	in	in	ADP
ejde-38	106	15	rn	rn	PROPN
ejde-38	106	16	in	in	ADP
ejde-38	106	17	the	the	DET
ejde-38	106	18	obvious	obvious	ADJ
ejde-38	106	19	way	way	NOUN
ejde-38	106	20	,	,	PUNCT
ejde-38	106	21	and	and	CCONJ
ejde-38	106	22	always	always	ADV
ejde-38	106	23	assume	assume	VERB
ejde-38	106	24	that	that	SCONJ
ejde-38	106	25	x	x	PRON
ejde-38	106	26	is	be	AUX
ejde-38	106	27	separable	separable	ADJ
ejde-38	106	28	.	.	PUNCT
ejde-38	107	1	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	108	1	an	an	DET
ejde-38	108	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	108	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	108	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	108	5	5	5	NUM
ejde-38	108	6	also	also	ADV
ejde-38	108	7	given	give	VERB
ejde-38	108	8	a	a	DET
ejde-38	108	9	convex	convex	NOUN
ejde-38	108	10	function	function	NOUN
ejde-38	108	11	f	f	PROPN
ejde-38	108	12	:	:	PUNCT
ejde-38	108	13	rn	rn	PROPN
ejde-38	108	14	→	→	SYM
ejde-38	108	15	r∪{∞	r∪{∞	PROPN
ejde-38	108	16	}	}	PUNCT
ejde-38	108	17	,	,	PUNCT
ejde-38	108	18	we	we	PRON
ejde-38	108	19	write	write	VERB
ejde-38	108	20	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	108	21	)	)	PUNCT
ejde-38	108	22	:	:	PUNCT
ejde-38	109	1	=	=	SYM
ejde-38	109	2	{	{	PUNCT
ejde-38	109	3	x	x	NOUN
ejde-38	109	4	:	:	PUNCT
ejde-38	109	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-38	109	6	)	)	PUNCT
ejde-38	109	7	<	<	X
ejde-38	109	8	∞	∞	PROPN
ejde-38	109	9	}	}	PUNCT
ejde-38	109	10	to	to	PART
ejde-38	109	11	denote	denote	VERB
ejde-38	109	12	its	its	PRON
ejde-38	109	13	effective	effective	ADJ
ejde-38	109	14	domain	domain	NOUN
ejde-38	109	15	.	.	PUNCT
ejde-38	110	1	the	the	DET
ejde-38	110	2	function	function	NOUN
ejde-38	110	3	f	f	PROPN
ejde-38	110	4	will	will	AUX
ejde-38	110	5	be	be	AUX
ejde-38	110	6	assumed	assume	VERB
ejde-38	110	7	to	to	PART
ejde-38	110	8	be	be	AUX
ejde-38	110	9	lower	low	ADJ
ejde-38	110	10	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	110	11	on	on	ADP
ejde-38	110	12	rn	rn	PROPN
ejde-38	110	13	for	for	ADP
ejde-38	110	14	section	section	NOUN
ejde-38	110	15	2	2	NUM
ejde-38	110	16	,	,	PUNCT
ejde-38	110	17	while	while	SCONJ
ejde-38	110	18	for	for	ADP
ejde-38	110	19	sections	section	NOUN
ejde-38	110	20	3	3	NUM
ejde-38	110	21	and	and	CCONJ
ejde-38	110	22	4	4	NUM
ejde-38	110	23	we	we	PRON
ejde-38	110	24	assume	assume	VERB
ejde-38	110	25	f	f	PROPN
ejde-38	110	26	is	be	AUX
ejde-38	110	27	a	a	DET
ejde-38	110	28	proper	proper	ADJ
ejde-38	110	29	,	,	PUNCT
ejde-38	110	30	closed	closed	ADJ
ejde-38	110	31	,	,	PUNCT
ejde-38	110	32	convex	convex	NOUN
ejde-38	110	33	function	function	NOUN
ejde-38	110	34	,	,	PUNCT
ejde-38	110	35	with	with	ADP
ejde-38	110	36	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	110	37	)	)	PUNCT
ejde-38	111	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	112	1	λ	λ	X
ejde-38	112	2	.	.	PUNCT
ejde-38	113	1	finally	finally	ADV
ejde-38	113	2	we	we	PRON
ejde-38	113	3	use	use	VERB
ejde-38	113	4	|·|	|·|	NOUN
ejde-38	113	5	to	to	PART
ejde-38	113	6	denote	denote	VERB
ejde-38	113	7	either	either	CCONJ
ejde-38	113	8	the	the	DET
ejde-38	113	9	euclidean	euclidean	ADJ
ejde-38	113	10	norm	norm	NOUN
ejde-38	113	11	of	of	ADP
ejde-38	113	12	a	a	DET
ejde-38	113	13	vector	vector	NOUN
ejde-38	113	14	,	,	PUNCT
ejde-38	113	15	or	or	CCONJ
ejde-38	113	16	the	the	DET
ejde-38	113	17	lebesgue	lebesgue	ADJ
ejde-38	113	18	measure	measure	NOUN
ejde-38	113	19	of	of	ADP
ejde-38	113	20	a	a	DET
ejde-38	113	21	set	set	NOUN
ejde-38	113	22	,	,	PUNCT
ejde-38	113	23	which	which	DET
ejde-38	113	24	usage	usage	NOUN
ejde-38	113	25	should	should	AUX
ejde-38	113	26	be	be	AUX
ejde-38	113	27	clear	clear	ADJ
ejde-38	113	28	to	to	ADP
ejde-38	113	29	the	the	DET
ejde-38	113	30	reader	reader	NOUN
ejde-38	113	31	from	from	ADP
ejde-38	113	32	context	context	NOUN
ejde-38	113	33	.	.	PUNCT
ejde-38	114	1	outline	outline	NOUN
ejde-38	114	2	.	.	PUNCT
ejde-38	115	1	in	in	ADP
ejde-38	115	2	section	section	NOUN
ejde-38	115	3	2	2	NUM
ejde-38	115	4	we	we	PRON
ejde-38	115	5	show	show	VERB
ejde-38	115	6	existence	existence	NOUN
ejde-38	115	7	of	of	ADP
ejde-38	115	8	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	115	9	for	for	ADP
ejde-38	115	10	the	the	DET
ejde-38	115	11	relaxed	relaxed	ADJ
ejde-38	115	12	problem	problem	NOUN
ejde-38	115	13	(	(	PUNCT
ejde-38	115	14	1.3	1.3	NUM
ejde-38	115	15	)	)	PUNCT
ejde-38	115	16	when	when	SCONJ
ejde-38	115	17	f	f	PROPN
ejde-38	115	18	and	and	CCONJ
ejde-38	115	19	c	c	PROPN
ejde-38	115	20	are	be	AUX
ejde-38	115	21	lower	low	ADJ
ejde-38	115	22	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	115	23	.	.	PUNCT
ejde-38	116	1	in	in	ADP
ejde-38	116	2	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	116	3	3	3	NUM
ejde-38	116	4	we	we	PRON
ejde-38	116	5	show	show	VERB
ejde-38	116	6	strong	strong	ADJ
ejde-38	116	7	duality	duality	NOUN
ejde-38	116	8	when	when	SCONJ
ejde-38	116	9	f	f	PROPN
ejde-38	116	10	is	be	AUX
ejde-38	116	11	convex	convex	NOUN
ejde-38	116	12	,	,	PUNCT
ejde-38	116	13	and	and	CCONJ
ejde-38	116	14	existence	existence	NOUN
ejde-38	116	15	of	of	ADP
ejde-38	116	16	dual	dual	ADJ
ejde-38	116	17	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	116	18	when	when	SCONJ
ejde-38	116	19	c	c	PROPN
ejde-38	116	20	is	be	AUX
ejde-38	116	21	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	116	22	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	116	23	and	and	CCONJ
ejde-38	116	24	bounded	bounded	ADJ
ejde-38	116	25	(	(	PUNCT
ejde-38	116	26	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	116	27	3.5	3.5	NUM
ejde-38	116	28	)	)	PUNCT
ejde-38	116	29	.	.	PUNCT
ejde-38	117	1	we	we	PRON
ejde-38	117	2	also	also	ADV
ejde-38	117	3	provide	provide	VERB
ejde-38	117	4	an	an	DET
ejde-38	117	5	estimate	estimate	NOUN
ejde-38	117	6	on	on	ADP
ejde-38	117	7	the	the	DET
ejde-38	117	8	duality	duality	NOUN
ejde-38	117	9	gap	gap	NOUN
ejde-38	117	10	when	when	SCONJ
ejde-38	117	11	f	f	PROPN
ejde-38	117	12	is	be	AUX
ejde-38	117	13	not	not	PART
ejde-38	117	14	convex	convex	ADJ
ejde-38	117	15	which	which	PRON
ejde-38	117	16	is	be	AUX
ejde-38	117	17	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	117	18	(	(	PUNCT
ejde-38	117	19	remark	remark	NOUN
ejde-38	117	20	3.6	3.6	NUM
ejde-38	117	21	and	and	CCONJ
ejde-38	117	22	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	117	23	3.7	3.7	NUM
ejde-38	117	24	)	)	PUNCT
ejde-38	117	25	.	.	PUNCT
ejde-38	118	1	in	in	ADP
ejde-38	118	2	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	118	3	3.1	3.1	NUM
ejde-38	118	4	we	we	PRON
ejde-38	118	5	show	show	VERB
ejde-38	118	6	some	some	DET
ejde-38	118	7	relationships	relationship	NOUN
ejde-38	118	8	between	between	ADP
ejde-38	118	9	our	our	PRON
ejde-38	118	10	dual	dual	ADJ
ejde-38	118	11	problem	problem	NOUN
ejde-38	118	12	and	and	CCONJ
ejde-38	118	13	the	the	DET
ejde-38	118	14	classical	classical	ADJ
ejde-38	118	15	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	118	16	dual	dual	ADJ
ejde-38	118	17	problem	problem	NOUN
ejde-38	118	18	.	.	PUNCT
ejde-38	119	1	in	in	ADP
ejde-38	119	2	section	section	NOUN
ejde-38	119	3	4	4	NUM
ejde-38	119	4	,	,	PUNCT
ejde-38	119	5	under	under	ADP
ejde-38	119	6	additional	additional	ADJ
ejde-38	119	7	assumptions	assumption	NOUN
ejde-38	119	8	on	on	ADP
ejde-38	119	9	c	c	PROPN
ejde-38	119	10	and	and	CCONJ
ejde-38	119	11	µ	µ	NOUN
ejde-38	119	12	we	we	PRON
ejde-38	119	13	show	show	VERB
ejde-38	119	14	the	the	DET
ejde-38	119	15	existence	existence	NOUN
ejde-38	119	16	of	of	ADP
ejde-38	119	17	solutions	solution	NOUN
ejde-38	119	18	of	of	ADP
ejde-38	119	19	the	the	DET
ejde-38	119	20	primal	primal	ADJ
ejde-38	119	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	119	22	exist	exist	VERB
ejde-38	119	23	in	in	ADP
ejde-38	119	24	the	the	DET
ejde-38	119	25	“	"	PUNCT
ejde-38	119	26	monge	monge	ADJ
ejde-38	119	27	”	"	PUNCT
ejde-38	119	28	sense	sense	NOUN
ejde-38	119	29	of	of	ADP
ejde-38	119	30	(	(	PUNCT
ejde-38	119	31	1.2	1.2	NUM
ejde-38	119	32	)	)	PUNCT
ejde-38	119	33	along	along	ADP
ejde-38	119	34	with	with	ADP
ejde-38	119	35	a	a	DET
ejde-38	119	36	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	119	37	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	119	38	of	of	ADP
ejde-38	119	39	dual	dual	ADJ
ejde-38	119	40	and	and	CCONJ
ejde-38	119	41	primal	primal	ADJ
ejde-38	119	42	extremizers	extremizer	NOUN
ejde-38	119	43	.	.	PUNCT
ejde-38	120	1	finally	finally	ADV
ejde-38	120	2	we	we	PRON
ejde-38	120	3	show	show	VERB
ejde-38	120	4	two	two	NUM
ejde-38	120	5	stability	stability	NOUN
ejde-38	120	6	results	result	NOUN
ejde-38	120	7	in	in	ADP
ejde-38	120	8	section	section	NOUN
ejde-38	120	9	5	5	NUM
ejde-38	120	10	:	:	PUNCT
ejde-38	120	11	the	the	DET
ejde-38	120	12	first	first	ADJ
ejde-38	120	13	for	for	ADP
ejde-38	120	14	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	120	15	under	under	ADP
ejde-38	120	16	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-38	120	17	of	of	ADP
ejde-38	120	18	the	the	DET
ejde-38	120	19	storage	storage	NOUN
ejde-38	120	20	fee	fee	NOUN
ejde-38	120	21	function	function	NOUN
ejde-38	120	22	,	,	PUNCT
ejde-38	120	23	and	and	CCONJ
ejde-38	120	24	the	the	DET
ejde-38	120	25	second	second	ADJ
ejde-38	120	26	a	a	DET
ejde-38	120	27	γ	γ	NOUN
ejde-38	120	28	-	-	PUNCT
ejde-38	120	29	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	120	30	result	result	NOUN
ejde-38	120	31	as	as	SCONJ
ejde-38	120	32	one	one	PRON
ejde-38	120	33	takes	take	VERB
ejde-38	120	34	a	a	DET
ejde-38	120	35	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	120	36	of	of	ADP
ejde-38	120	37	finite	finite	ADJ
ejde-38	120	38	target	target	NOUN
ejde-38	120	39	sets	set	NOUN
ejde-38	120	40	that	that	PRON
ejde-38	120	41	become	become	VERB
ejde-38	120	42	dense	dense	ADJ
ejde-38	120	43	in	in	ADP
ejde-38	120	44	some	some	DET
ejde-38	120	45	domain	domain	NOUN
ejde-38	120	46	.	.	PUNCT
ejde-38	121	1	appendix	appendix	NOUN
ejde-38	121	2	6	6	NUM
ejde-38	121	3	contains	contain	VERB
ejde-38	121	4	the	the	DET
ejde-38	121	5	proof	proof	NOUN
ejde-38	121	6	of	of	ADP
ejde-38	121	7	the	the	DET
ejde-38	121	8	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	121	9	duality	duality	NOUN
ejde-38	121	10	gap	gap	NOUN
ejde-38	121	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	121	12	3.7	3.7	NUM
ejde-38	121	13	while	while	SCONJ
ejde-38	121	14	appendix	appendix	VERB
ejde-38	121	15	7	7	NUM
ejde-38	121	16	presents	present	NOUN
ejde-38	121	17	an	an	DET
ejde-38	121	18	example	example	NOUN
ejde-38	121	19	where	where	SCONJ
ejde-38	121	20	a	a	DET
ejde-38	121	21	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	121	22	in	in	ADP
ejde-38	121	23	the	the	DET
ejde-38	121	24	classical	classical	ADJ
ejde-38	121	25	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	121	26	problem	problem	NOUN
ejde-38	121	27	is	be	AUX
ejde-38	121	28	not	not	PART
ejde-38	121	29	a	a	DET
ejde-38	121	30	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	121	31	in	in	ADP
ejde-38	121	32	our	our	PRON
ejde-38	121	33	dual	dual	ADJ
ejde-38	121	34	problem	problem	NOUN
ejde-38	121	35	.	.	PUNCT
ejde-38	122	1	2	2	X
ejde-38	122	2	.	.	X
ejde-38	122	3	existence	existence	NOUN
ejde-38	122	4	of	of	ADP
ejde-38	122	5	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	122	6	in	in	ADP
ejde-38	122	7	this	this	DET
ejde-38	122	8	section	section	NOUN
ejde-38	122	9	we	we	PRON
ejde-38	122	10	prove	prove	VERB
ejde-38	122	11	the	the	DET
ejde-38	122	12	existence	existence	NOUN
ejde-38	122	13	of	of	ADP
ejde-38	122	14	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	122	15	for	for	ADP
ejde-38	122	16	problem	problem	NOUN
ejde-38	122	17	(	(	PUNCT
ejde-38	122	18	1.3	1.3	NUM
ejde-38	122	19	)	)	PUNCT
ejde-38	122	20	.	.	PUNCT
ejde-38	123	1	first	first	ADV
ejde-38	123	2	we	we	PRON
ejde-38	123	3	recall	recall	VERB
ejde-38	123	4	some	some	DET
ejde-38	123	5	elementary	elementary	ADJ
ejde-38	123	6	definitions	definition	NOUN
ejde-38	123	7	and	and	CCONJ
ejde-38	123	8	results	result	NOUN
ejde-38	123	9	.	.	PUNCT
ejde-38	124	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	124	2	2.1	2.1	NUM
ejde-38	124	3	.	.	PUNCT
ejde-38	125	1	a	a	DET
ejde-38	125	2	collection	collection	NOUN
ejde-38	125	3	of	of	ADP
ejde-38	125	4	γ	γ	PROPN
ejde-38	125	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	125	6	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	125	7	)	)	PUNCT
ejde-38	125	8	is	be	AUX
ejde-38	125	9	said	say	VERB
ejde-38	125	10	to	to	PART
ejde-38	125	11	be	be	AUX
ejde-38	125	12	tight	tight	ADJ
ejde-38	125	13	if	if	SCONJ
ejde-38	125	14	for	for	ADP
ejde-38	125	15	any	any	DET
ejde-38	125	16	ε	ε	PROPN
ejde-38	125	17	>	>	X
ejde-38	125	18	0	0	PROPN
ejde-38	125	19	,	,	PUNCT
ejde-38	125	20	there	there	PRON
ejde-38	125	21	exists	exist	VERB
ejde-38	125	22	a	a	DET
ejde-38	125	23	compact	compact	ADJ
ejde-38	125	24	set	set	NOUN
ejde-38	125	25	k	k	PROPN
ejde-38	125	26	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	125	27	x	x	PUNCT
ejde-38	125	28	such	such	ADJ
ejde-38	125	29	that	that	SCONJ
ejde-38	125	30	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	125	31	)	)	PUNCT
ejde-38	125	32	>	>	X
ejde-38	125	33	1−	1−	NUM
ejde-38	125	34	ε	ε	PROPN
ejde-38	125	35	for	for	ADP
ejde-38	125	36	every	every	DET
ejde-38	125	37	µ	µ	PRON
ejde-38	125	38	∈	∈	PROPN
ejde-38	125	39	γ	γ	X
ejde-38	125	40	.	.	PUNCT
ejde-38	125	41	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	125	42	2.2	2.2	NUM
ejde-38	125	43	.	.	PUNCT
ejde-38	126	1	fix	fix	VERB
ejde-38	126	2	µ	µ	PRON
ejde-38	126	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	126	4	p(x	p(x	NOUN
ejde-38	126	5	)	)	PUNCT
ejde-38	126	6	,	,	PUNCT
ejde-38	126	7	then	then	ADV
ejde-38	126	8	π(µ	π(µ	NUM
ejde-38	126	9	)	)	PUNCT
ejde-38	126	10	is	be	AUX
ejde-38	126	11	tight	tight	ADJ
ejde-38	126	12	.	.	PUNCT
ejde-38	127	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	127	2	.	.	PUNCT
ejde-38	128	1	since	since	SCONJ
ejde-38	128	2	x	x	PRON
ejde-38	128	3	is	be	AUX
ejde-38	128	4	separable	separable	ADJ
ejde-38	128	5	,	,	PUNCT
ejde-38	128	6	the	the	DET
ejde-38	128	7	collection	collection	NOUN
ejde-38	128	8	{	{	PUNCT
ejde-38	128	9	µ	µ	NOUN
ejde-38	128	10	}	}	PUNCT
ejde-38	128	11	is	be	AUX
ejde-38	128	12	tight	tight	ADJ
ejde-38	128	13	.	.	PUNCT
ejde-38	129	1	now	now	ADV
ejde-38	129	2	let	let	VERB
ejde-38	129	3	ε	ε	PROPN
ejde-38	129	4	>	>	X
ejde-38	129	5	0	0	PUNCT
ejde-38	129	6	be	be	AUX
ejde-38	129	7	given	give	VERB
ejde-38	129	8	.	.	PUNCT
ejde-38	130	1	choose	choose	VERB
ejde-38	130	2	k	k	PROPN
ejde-38	130	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	130	4	x	x	SYM
ejde-38	130	5	,	,	PUNCT
ejde-38	130	6	compact	compact	ADJ
ejde-38	130	7	so	so	SCONJ
ejde-38	130	8	that	that	SCONJ
ejde-38	130	9	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	130	10	)	)	PUNCT
ejde-38	130	11	>	>	X
ejde-38	130	12	1−	1−	NUM
ejde-38	130	13	ε	ε	AUX
ejde-38	130	14	.	.	PUNCT
ejde-38	130	15	note	note	VERB
ejde-38	130	16	that	that	SCONJ
ejde-38	130	17	since	since	SCONJ
ejde-38	130	18	y	y	PROPN
ejde-38	130	19	is	be	AUX
ejde-38	130	20	finite	finite	ADJ
ejde-38	130	21	,	,	PUNCT
ejde-38	130	22	k	k	PROPN
ejde-38	130	23	×	×	PROPN
ejde-38	130	24	y	y	PROPN
ejde-38	130	25	is	be	AUX
ejde-38	130	26	also	also	ADV
ejde-38	130	27	compact	compact	ADJ
ejde-38	130	28	.	.	PUNCT
ejde-38	131	1	then	then	ADV
ejde-38	131	2	for	for	ADP
ejde-38	131	3	any	any	DET
ejde-38	131	4	γ	γ	X
ejde-38	131	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	131	6	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	131	7	)	)	PUNCT
ejde-38	131	8	,	,	PUNCT
ejde-38	131	9	we	we	PRON
ejde-38	131	10	find	find	VERB
ejde-38	131	11	γ(k	γ(k	PROPN
ejde-38	131	12	×	×	NOUN
ejde-38	131	13	y	y	NOUN
ejde-38	131	14	)	)	PUNCT
ejde-38	132	1	=	=	PUNCT
ejde-38	132	2	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	132	3	)	)	PUNCT
ejde-38	132	4	>	>	X
ejde-38	132	5	1−	1−	NUM
ejde-38	132	6	ε	ε	PROPN
ejde-38	132	7	,	,	PUNCT
ejde-38	132	8	hence	hence	ADV
ejde-38	132	9	π(µ	π(µ	NUM
ejde-38	132	10	)	)	PUNCT
ejde-38	132	11	is	be	AUX
ejde-38	132	12	tight	tight	ADJ
ejde-38	132	13	.	.	PUNCT
ejde-38	133	1	�	�	PROPN
ejde-38	133	2	as	as	ADP
ejde-38	133	3	a	a	DET
ejde-38	133	4	corollary	corollary	NOUN
ejde-38	133	5	we	we	PRON
ejde-38	133	6	see	see	VERB
ejde-38	133	7	that	that	SCONJ
ejde-38	133	8	π(µ	π(µ	ADV
ejde-38	133	9	)	)	PUNCT
ejde-38	133	10	is	be	AUX
ejde-38	133	11	relatively	relatively	ADV
ejde-38	133	12	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	133	13	compact	compact	ADJ
ejde-38	133	14	by	by	ADP
ejde-38	133	15	prokhorov	prokhorov	PROPN
ejde-38	133	16	’s	’s	PART
ejde-38	133	17	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	133	18	(	(	PUNCT
ejde-38	133	19	see	see	VERB
ejde-38	133	20	[	[	X
ejde-38	133	21	2	2	NUM
ejde-38	133	22	,	,	PUNCT
ejde-38	133	23	theorem	theorem	VERB
ejde-38	133	24	5.1	5.1	NUM
ejde-38	133	25	]	]	PUNCT
ejde-38	133	26	)	)	PUNCT
ejde-38	133	27	.	.	PUNCT
ejde-38	134	1	with	with	ADP
ejde-38	134	2	this	this	DET
ejde-38	134	3	compactness	compactness	NOUN
ejde-38	134	4	in	in	ADP
ejde-38	134	5	hand	hand	NOUN
ejde-38	134	6	,	,	PUNCT
ejde-38	134	7	existence	existence	NOUN
ejde-38	134	8	of	of	ADP
ejde-38	134	9	a	a	DET
ejde-38	134	10	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	134	11	follows	follow	VERB
ejde-38	134	12	easily	easily	ADV
ejde-38	134	13	.	.	PUNCT
ejde-38	135	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	135	2	2.3	2.3	NUM
ejde-38	135	3	.	.	PUNCT
ejde-38	136	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	136	2	c	c	X
ejde-38	136	3	(	(	PUNCT
ejde-38	136	4	·	·	PUNCT
ejde-38	136	5	,	,	PUNCT
ejde-38	136	6	yj	yj	PROPN
ejde-38	136	7	)	)	PUNCT
ejde-38	136	8	:	:	PUNCT
ejde-38	136	9	x	x	X
ejde-38	136	10	→	→	X
ejde-38	136	11	(	(	PUNCT
ejde-38	136	12	−∞,∞	−∞,∞	NOUN
ejde-38	136	13	]	]	X
ejde-38	136	14	is	be	AUX
ejde-38	136	15	lower	low	ADJ
ejde-38	136	16	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	136	17	for	for	ADP
ejde-38	136	18	each	each	DET
ejde-38	136	19	j	j	NOUN
ejde-38	136	20	,	,	PUNCT
ejde-38	136	21	there	there	PRON
ejde-38	136	22	exists	exist	VERB
ejde-38	136	23	some	some	DET
ejde-38	136	24	upper	upper	ADJ
ejde-38	136	25	semicontinuous	semicontinuous	NOUN
ejde-38	136	26	a	a	DET
ejde-38	136	27	∈	∈	PROPN
ejde-38	136	28	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	136	29	)	)	PUNCT
ejde-38	136	30	with	with	ADP
ejde-38	136	31	a	a	PRON
ejde-38	136	32	:	:	PUNCT
ejde-38	136	33	x	x	SYM
ejde-38	136	34	→	→	SYM
ejde-38	137	1	[	[	X
ejde-38	137	2	−∞,∞	−∞,∞	X
ejde-38	137	3	)	)	PUNCT
ejde-38	137	4	such	such	ADJ
ejde-38	137	5	that	that	DET
ejde-38	137	6	minj	minj	NOUN
ejde-38	137	7	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	137	8	,	,	PUNCT
ejde-38	137	9	yj	yj	PROPN
ejde-38	137	10	)	)	PUNCT
ejde-38	137	11	≥	≥	NOUN
ejde-38	137	12	a(x	a(x	PROPN
ejde-38	137	13	)	)	PUNCT
ejde-38	137	14	for	for	ADP
ejde-38	137	15	all	all	PRON
ejde-38	137	16	x	x	SYM
ejde-38	137	17	∈	∈	PROPN
ejde-38	137	18	x	x	NOUN
ejde-38	137	19	,	,	PUNCT
ejde-38	137	20	and	and	CCONJ
ejde-38	137	21	f	f	PROPN
ejde-38	137	22	is	be	AUX
ejde-38	137	23	lower	low	ADJ
ejde-38	137	24	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	137	25	.	.	PUNCT
ejde-38	138	1	then	then	ADV
ejde-38	138	2	there	there	PRON
ejde-38	138	3	exist	exist	VERB
ejde-38	138	4	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	138	5	of	of	ADP
ejde-38	138	6	the	the	DET
ejde-38	138	7	primal	primal	ADJ
ejde-38	138	8	problem	problem	NOUN
ejde-38	138	9	(	(	PUNCT
ejde-38	138	10	1.3	1.3	NUM
ejde-38	138	11	)	)	PUNCT
ejde-38	138	12	.	.	PUNCT
ejde-38	139	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	139	2	.	.	PUNCT
ejde-38	140	1	replacing	replace	VERB
ejde-38	140	2	each	each	DET
ejde-38	140	3	c	c	NOUN
ejde-38	140	4	(	(	PUNCT
ejde-38	140	5	·	·	PUNCT
ejde-38	140	6	,	,	PUNCT
ejde-38	140	7	yj	yj	PROPN
ejde-38	140	8	)	)	PUNCT
ejde-38	140	9	with	with	ADP
ejde-38	140	10	c	c	PROPN
ejde-38	140	11	(	(	PUNCT
ejde-38	140	12	·	·	PUNCT
ejde-38	140	13	,	,	PUNCT
ejde-38	140	14	yj	yj	PROPN
ejde-38	140	15	)	)	PUNCT
ejde-38	140	16	−	−	PROPN
ejde-38	140	17	a	a	PRON
ejde-38	140	18	,	,	PUNCT
ejde-38	140	19	we	we	PRON
ejde-38	140	20	may	may	AUX
ejde-38	140	21	assume	assume	VERB
ejde-38	140	22	c	c	X
ejde-38	140	23	(	(	PUNCT
ejde-38	140	24	·	·	PUNCT
ejde-38	140	25	,	,	PUNCT
ejde-38	140	26	yj	yj	PROPN
ejde-38	140	27	)	)	PUNCT
ejde-38	140	28	≥	≥	NOUN
ejde-38	140	29	0	0	NUM
ejde-38	140	30	and	and	CCONJ
ejde-38	140	31	is	be	AUX
ejde-38	140	32	lower	low	ADJ
ejde-38	140	33	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	140	34	for	for	SCONJ
ejde-38	140	35	each	each	DET
ejde-38	140	36	j.	j.	PROPN
ejde-38	140	37	let	let	VERB
ejde-38	140	38	{	{	PUNCT
ejde-38	140	39	(	(	PUNCT
ejde-38	140	40	γk	γk	NOUN
ejde-38	140	41	,	,	PUNCT
ejde-38	140	42	λk)}∞k=1	λk)}∞k=1	X
ejde-38	140	43	be	be	AUX
ejde-38	140	44	a	a	DET
ejde-38	140	45	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	140	46	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	140	47	for	for	ADP
ejde-38	140	48	(	(	PUNCT
ejde-38	140	49	1.3	1.3	NUM
ejde-38	140	50	):	):	PUNCT
ejde-38	140	51	that	that	PRON
ejde-38	140	52	is	be	AUX
ejde-38	140	53	a	a	DET
ejde-38	140	54	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	140	55	with	with	ADP
ejde-38	140	56	γk	γk	PROPN
ejde-38	140	57	∈	∈	PROPN
ejde-38	140	58	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	140	59	)	)	PUNCT
ejde-38	140	60	such	such	ADJ
ejde-38	140	61	that	that	DET
ejde-38	140	62	∫	∫	PROPN
ejde-38	140	63	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	140	64	c	c	PROPN
ejde-38	140	65	dγk	dγk	NOUN
ejde-38	140	66	+	+	CCONJ
ejde-38	141	1	f	f	X
ejde-38	141	2	(	(	PUNCT
ejde-38	141	3	λk	λk	NOUN
ejde-38	141	4	)	)	PUNCT
ejde-38	141	5	approaches	approach	VERB
ejde-38	141	6	the	the	DET
ejde-38	141	7	minimum	minimum	ADJ
ejde-38	141	8	value	value	NOUN
ejde-38	141	9	in	in	ADP
ejde-38	141	10	(	(	PUNCT
ejde-38	141	11	1.3	1.3	NUM
ejde-38	141	12	)	)	PUNCT
ejde-38	141	13	,	,	PUNCT
ejde-38	141	14	where	where	SCONJ
ejde-38	141	15	νλk	νλk	NOUN
ejde-38	141	16	is	be	AUX
ejde-38	141	17	the	the	DET
ejde-38	141	18	right	right	ADJ
ejde-38	141	19	marginal	marginal	NOUN
ejde-38	141	20	of	of	ADP
ejde-38	141	21	γk	γk	PROPN
ejde-38	141	22	.	.	PUNCT
ejde-38	142	1	by	by	ADP
ejde-38	142	2	the	the	DET
ejde-38	142	3	above	above	ADJ
ejde-38	142	4	remark	remark	NOUN
ejde-38	142	5	π(µ	π(µ	NUM
ejde-38	142	6	)	)	PUNCT
ejde-38	142	7	is	be	AUX
ejde-38	142	8	compact	compact	ADJ
ejde-38	143	1	and	and	CCONJ
ejde-38	143	2	so	so	ADV
ejde-38	143	3	there	there	PRON
ejde-38	143	4	is	be	VERB
ejde-38	143	5	a	a	DET
ejde-38	143	6	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	143	7	of	of	ADP
ejde-38	143	8	γk	γk	NOUN
ejde-38	143	9	,	,	PUNCT
ejde-38	143	10	which	which	PRON
ejde-38	143	11	we	we	PRON
ejde-38	143	12	do	do	AUX
ejde-38	143	13	not	not	PART
ejde-38	143	14	relabel	relabel	VERB
ejde-38	143	15	,	,	PUNCT
ejde-38	143	16	that	that	PRON
ejde-38	143	17	converges	converge	VERB
ejde-38	143	18	weakly	weakly	ADV
ejde-38	143	19	to	to	ADP
ejde-38	143	20	6	6	NUM
ejde-38	143	21	m.	m.	NOUN
ejde-38	143	22	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	143	23	,	,	PUNCT
ejde-38	143	24	j.	j.	PROPN
ejde-38	143	25	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	143	26	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	144	1	some	some	DET
ejde-38	144	2	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	144	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	144	4	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	144	5	)	)	PUNCT
ejde-38	144	6	.	.	PUNCT
ejde-38	145	1	we	we	PRON
ejde-38	145	2	will	will	AUX
ejde-38	145	3	show	show	VERB
ejde-38	145	4	that	that	DET
ejde-38	145	5	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	145	6	is	be	AUX
ejde-38	145	7	actually	actually	ADV
ejde-38	145	8	a	a	DET
ejde-38	145	9	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	145	10	.	.	PUNCT
ejde-38	146	1	let	let	VERB
ejde-38	146	2	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	146	3	be	be	AUX
ejde-38	146	4	the	the	DET
ejde-38	146	5	vector	vector	NOUN
ejde-38	146	6	in	in	ADP
ejde-38	146	7	rn	rn	PROPN
ejde-38	146	8	so	so	SCONJ
ejde-38	146	9	that	that	SCONJ
ejde-38	146	10	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	146	11	is	be	AUX
ejde-38	146	12	the	the	DET
ejde-38	146	13	right	right	ADJ
ejde-38	146	14	marginal	marginal	NOUN
ejde-38	146	15	of	of	ADP
ejde-38	146	16	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	146	17	.	.	PUNCT
ejde-38	147	1	for	for	ADP
ejde-38	147	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	147	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	147	4	cb(y	cb(y	NUM
ejde-38	147	5	)	)	PUNCT
ejde-38	148	1	=	=	SYM
ejde-38	148	2	rn	rn	PROPN
ejde-38	148	3	,	,	PUNCT
ejde-38	148	4	lim	lim	PROPN
ejde-38	148	5	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	148	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	149	1	y	y	PROPN
ejde-38	149	2	ϕdνλk	ϕdνλk	PROPN
ejde-38	149	3	=	=	PROPN
ejde-38	149	4	lim	lim	PROPN
ejde-38	149	5	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	149	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	149	7	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	149	8	(	(	PUNCT
ejde-38	149	9	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	149	10	◦	◦	NOUN
ejde-38	149	11	πy	πy	NOUN
ejde-38	149	12	)	)	PUNCT
ejde-38	149	13	dγk	dγk	PROPN
ejde-38	150	1	=	=	SYM
ejde-38	150	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	150	3	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	150	4	(	(	PUNCT
ejde-38	150	5	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	150	6	◦	◦	NOUN
ejde-38	150	7	πy	πy	NOUN
ejde-38	150	8	)	)	PUNCT
ejde-38	150	9	dγmin	dγmin	NOUN
ejde-38	150	10	=	=	SYM
ejde-38	150	11	∫	∫	PROPN
ejde-38	150	12	y	y	PROPN
ejde-38	150	13	ϕdνλmin	ϕdνλmin	PROPN
ejde-38	150	14	,	,	PUNCT
ejde-38	150	15	meaning	mean	VERB
ejde-38	150	16	νλk	νλk	NOUN
ejde-38	150	17	converges	converge	VERB
ejde-38	150	18	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	150	19	to	to	ADP
ejde-38	150	20	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	150	21	,	,	PUNCT
ejde-38	150	22	hence	hence	ADV
ejde-38	150	23	in	in	ADP
ejde-38	150	24	particular	particular	ADJ
ejde-38	150	25	since	since	SCONJ
ejde-38	150	26	1x×{yj	1x×{yj	NUM
ejde-38	150	27	}	}	PUNCT
ejde-38	150	28	∈	∈	PROPN
ejde-38	150	29	cb(x×	cb(x×	NOUN
ejde-38	150	30	y	y	PROPN
ejde-38	150	31	)	)	PUNCT
ejde-38	150	32	,	,	PUNCT
ejde-38	150	33	we	we	PRON
ejde-38	150	34	have	have	VERB
ejde-38	150	35	lim	lim	PROPN
ejde-38	150	36	k→∞	k→∞	NOUN
ejde-38	150	37	λjk	λjk	PROPN
ejde-38	151	1	=	=	PROPN
ejde-38	151	2	lim	lim	PROPN
ejde-38	151	3	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	151	4	γk(x	γk(x	X
ejde-38	151	5	×	×	PROPN
ejde-38	151	6	{	{	PUNCT
ejde-38	151	7	yj	yj	NOUN
ejde-38	151	8	}	}	PUNCT
ejde-38	151	9	)	)	PUNCT
ejde-38	152	1	=	=	SYM
ejde-38	152	2	γmin(x	γmin(x	PRON
ejde-38	152	3	×	×	NOUN
ejde-38	152	4	{	{	PUNCT
ejde-38	152	5	yj	yj	NOUN
ejde-38	152	6	}	}	PUNCT
ejde-38	152	7	)	)	PUNCT
ejde-38	152	8	=	=	SYM
ejde-38	152	9	λjmin	λjmin	NOUN
ejde-38	152	10	.	.	PUNCT
ejde-38	153	1	(	(	PUNCT
ejde-38	153	2	2.1	2.1	NUM
ejde-38	153	3	)	)	PUNCT
ejde-38	153	4	by	by	ADP
ejde-38	153	5	[	[	X
ejde-38	153	6	12	12	NUM
ejde-38	153	7	,	,	PUNCT
ejde-38	153	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	153	9	4.3	4.3	NUM
ejde-38	153	10	]	]	PUNCT
ejde-38	153	11	,	,	PUNCT
ejde-38	153	12	the	the	DET
ejde-38	153	13	functional	functional	ADJ
ejde-38	153	14	γ	γ	PROPN
ejde-38	153	15	7→	7→	NUM
ejde-38	153	16	∫	∫	NOUN
ejde-38	153	17	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	154	1	c	c	PROPN
ejde-38	154	2	dγ	dγ	NOUN
ejde-38	154	3	is	be	AUX
ejde-38	154	4	weakly	weakly	ADV
ejde-38	154	5	lower	low	ADJ
ejde-38	154	6	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	154	7	.	.	PUNCT
ejde-38	155	1	since	since	SCONJ
ejde-38	155	2	f	f	PROPN
ejde-38	155	3	is	be	AUX
ejde-38	155	4	lower	low	ADJ
ejde-38	155	5	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	155	6	,	,	PUNCT
ejde-38	155	7	we	we	PRON
ejde-38	155	8	thus	thus	ADV
ejde-38	155	9	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-38	155	10	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	155	11	c	c	PROPN
ejde-38	155	12	dγmin	dγmin	NOUN
ejde-38	155	13	+	+	CCONJ
ejde-38	155	14	f	f	X
ejde-38	155	15	(	(	PUNCT
ejde-38	155	16	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	155	17	)	)	PUNCT
ejde-38	155	18	≤	≤	PROPN
ejde-38	155	19	lim	lim	PROPN
ejde-38	155	20	inf	inf	PROPN
ejde-38	155	21	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	155	22	(	(	PUNCT
ejde-38	155	23	∫	∫	PROPN
ejde-38	155	24	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	155	25	c	c	PROPN
ejde-38	155	26	dγk	dγk	NOUN
ejde-38	155	27	+	+	CCONJ
ejde-38	155	28	f	f	X
ejde-38	155	29	(	(	PUNCT
ejde-38	155	30	λk	λk	NOUN
ejde-38	155	31	)	)	PUNCT
ejde-38	155	32	)	)	PUNCT
ejde-38	156	1	showing	show	VERB
ejde-38	156	2	(	(	PUNCT
ejde-38	156	3	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	156	4	,	,	PUNCT
ejde-38	156	5	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	156	6	)	)	PUNCT
ejde-38	156	7	is	be	AUX
ejde-38	156	8	a	a	DET
ejde-38	156	9	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	156	10	.	.	PUNCT
ejde-38	157	1	�	�	PROPN
ejde-38	157	2	3	3	NUM
ejde-38	157	3	.	.	PUNCT
ejde-38	158	1	dual	dual	ADJ
ejde-38	158	2	problem	problem	NOUN
ejde-38	158	3	our	our	PRON
ejde-38	158	4	first	first	ADJ
ejde-38	158	5	goal	goal	NOUN
ejde-38	158	6	in	in	ADP
ejde-38	158	7	this	this	DET
ejde-38	158	8	section	section	NOUN
ejde-38	158	9	will	will	AUX
ejde-38	158	10	be	be	AUX
ejde-38	158	11	to	to	PART
ejde-38	158	12	deduce	deduce	VERB
ejde-38	158	13	a	a	DET
ejde-38	158	14	dual	dual	ADJ
ejde-38	158	15	problem	problem	NOUN
ejde-38	158	16	associated	associate	VERB
ejde-38	158	17	to	to	ADP
ejde-38	158	18	our	our	PRON
ejde-38	158	19	primal	primal	ADJ
ejde-38	158	20	problem	problem	NOUN
ejde-38	158	21	(	(	PUNCT
ejde-38	158	22	1.3	1.3	NUM
ejde-38	158	23	)	)	PUNCT
ejde-38	158	24	.	.	PUNCT
ejde-38	159	1	for	for	ADP
ejde-38	159	2	the	the	DET
ejde-38	159	3	following	follow	VERB
ejde-38	159	4	sections	section	NOUN
ejde-38	159	5	3	3	NUM
ejde-38	159	6	and	and	CCONJ
ejde-38	159	7	4	4	NUM
ejde-38	159	8	,	,	PUNCT
ejde-38	159	9	we	we	PRON
ejde-38	159	10	will	will	AUX
ejde-38	159	11	assume	assume	VERB
ejde-38	159	12	that	that	SCONJ
ejde-38	159	13	f	f	PROPN
ejde-38	159	14	is	be	AUX
ejde-38	159	15	a	a	DET
ejde-38	159	16	proper	proper	ADJ
ejde-38	159	17	,	,	PUNCT
ejde-38	159	18	closed	closed	ADJ
ejde-38	159	19	,	,	PUNCT
ejde-38	159	20	convex	convex	NOUN
ejde-38	159	21	function	function	NOUN
ejde-38	159	22	,	,	PUNCT
ejde-38	159	23	with	with	ADP
ejde-38	159	24	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	159	25	)	)	PUNCT
ejde-38	160	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	160	2	λ	λ	X
ejde-38	160	3	.	.	PUNCT
ejde-38	160	4	strong	strong	ADJ
ejde-38	160	5	duality	duality	NOUN
ejde-38	160	6	.	.	PUNCT
ejde-38	161	1	to	to	PART
ejde-38	161	2	state	state	VERB
ejde-38	161	3	the	the	DET
ejde-38	161	4	dual	dual	ADJ
ejde-38	161	5	problem	problem	NOUN
ejde-38	161	6	,	,	PUNCT
ejde-38	161	7	we	we	PRON
ejde-38	161	8	first	first	ADV
ejde-38	161	9	recall	recall	VERB
ejde-38	161	10	a	a	DET
ejde-38	161	11	basic	basic	ADJ
ejde-38	161	12	concept	concept	NOUN
ejde-38	161	13	from	from	ADP
ejde-38	161	14	convex	convex	ADJ
ejde-38	161	15	analysis	analysis	NOUN
ejde-38	161	16	.	.	PUNCT
ejde-38	162	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	162	2	3.1	3.1	NUM
ejde-38	162	3	.	.	PUNCT
ejde-38	163	1	let	let	VERB
ejde-38	163	2	e	e	PRON
ejde-38	163	3	be	be	AUX
ejde-38	163	4	a	a	DET
ejde-38	163	5	banach	banach	NOUN
ejde-38	163	6	space	space	NOUN
ejde-38	163	7	.	.	PUNCT
ejde-38	164	1	if	if	SCONJ
ejde-38	164	2	g	g	NOUN
ejde-38	164	3	:	:	PUNCT
ejde-38	164	4	e	e	PROPN
ejde-38	164	5	→	→	SYM
ejde-38	164	6	r∪{∞	r∪{∞	PROPN
ejde-38	164	7	}	}	PUNCT
ejde-38	164	8	is	be	AUX
ejde-38	164	9	a	a	DET
ejde-38	164	10	proper	proper	ADJ
ejde-38	164	11	function	function	NOUN
ejde-38	164	12	(	(	PUNCT
ejde-38	164	13	i.e.	i.e.	X
ejde-38	164	14	,	,	PUNCT
ejde-38	164	15	it	it	PRON
ejde-38	164	16	is	be	AUX
ejde-38	164	17	not	not	PART
ejde-38	164	18	identically∞	identically∞	NOUN
ejde-38	164	19	)	)	PUNCT
ejde-38	164	20	,	,	PUNCT
ejde-38	164	21	its	its	PRON
ejde-38	164	22	legendre	legendre	PROPN
ejde-38	164	23	-	-	PUNCT
ejde-38	164	24	fenchel	fenchel	PROPN
ejde-38	164	25	transform	transform	NOUN
ejde-38	164	26	is	be	AUX
ejde-38	164	27	the	the	DET
ejde-38	164	28	(	(	PUNCT
ejde-38	164	29	proper	proper	ADJ
ejde-38	164	30	,	,	PUNCT
ejde-38	164	31	convex	convex	ADJ
ejde-38	164	32	)	)	PUNCT
ejde-38	164	33	function	function	NOUN
ejde-38	164	34	g∗	g∗	NOUN
ejde-38	164	35	:	:	PUNCT
ejde-38	164	36	e∗	e∗	PROPN
ejde-38	164	37	→	→	SYM
ejde-38	164	38	r	r	NOUN
ejde-38	164	39	∪	∪	X
ejde-38	164	40	{	{	PUNCT
ejde-38	164	41	∞	∞	NOUN
ejde-38	164	42	}	}	PUNCT
ejde-38	164	43	defined	define	VERB
ejde-38	164	44	for	for	ADP
ejde-38	164	45	any	any	DET
ejde-38	164	46	y	y	PROPN
ejde-38	164	47	∈	∈	PROPN
ejde-38	164	48	e∗	e∗	NOUN
ejde-38	164	49	by	by	ADP
ejde-38	164	50	g∗(y	g∗(y	PROPN
ejde-38	164	51	)	)	PUNCT
ejde-38	164	52	:	:	PUNCT
ejde-38	165	1	=	=	SYM
ejde-38	165	2	sup	sup	NOUN
ejde-38	165	3	x∈e	x∈e	PROPN
ejde-38	165	4	(	(	PUNCT
ejde-38	165	5	〈	〈	PROPN
ejde-38	165	6	y	y	PROPN
ejde-38	165	7	,	,	PUNCT
ejde-38	165	8	x	x	NOUN
ejde-38	165	9	〉	〉	NOUN
ejde-38	165	10	−	−	NOUN
ejde-38	165	11	f	f	PROPN
ejde-38	165	12	(	(	PUNCT
ejde-38	165	13	x	x	NOUN
ejde-38	165	14	)	)	PUNCT
ejde-38	165	15	)	)	PUNCT
ejde-38	165	16	,	,	PUNCT
ejde-38	165	17	where	where	SCONJ
ejde-38	165	18	〈	〈	PROPN
ejde-38	165	19	y	y	PRON
ejde-38	165	20	,	,	PUNCT
ejde-38	165	21	x	x	ADJ
ejde-38	165	22	〉	〉	NOUN
ejde-38	165	23	is	be	AUX
ejde-38	165	24	the	the	DET
ejde-38	165	25	duality	duality	NOUN
ejde-38	165	26	pairing	pair	VERB
ejde-38	165	27	between	between	ADP
ejde-38	165	28	elements	element	NOUN
ejde-38	165	29	of	of	ADP
ejde-38	165	30	e∗	e∗	PROPN
ejde-38	165	31	and	and	CCONJ
ejde-38	165	32	e.	e.	PROPN
ejde-38	165	33	if	if	SCONJ
ejde-38	165	34	e	e	PROPN
ejde-38	165	35	=	=	SYM
ejde-38	165	36	e∗	e∗	PROPN
ejde-38	165	37	=	=	SYM
ejde-38	165	38	rn	rn	PROPN
ejde-38	165	39	,	,	PUNCT
ejde-38	165	40	the	the	DET
ejde-38	165	41	legendre	legendre	PROPN
ejde-38	165	42	-	-	PUNCT
ejde-38	165	43	fenchel	fenchel	PROPN
ejde-38	165	44	transform	transform	NOUN
ejde-38	165	45	is	be	AUX
ejde-38	165	46	called	call	VERB
ejde-38	165	47	the	the	DET
ejde-38	165	48	legendre	legendre	PROPN
ejde-38	165	49	transform	transform	NOUN
ejde-38	165	50	.	.	PUNCT
ejde-38	166	1	since	since	SCONJ
ejde-38	166	2	λ	λ	PROPN
ejde-38	166	3	is	be	AUX
ejde-38	166	4	compact	compact	ADJ
ejde-38	166	5	,	,	PUNCT
ejde-38	166	6	we	we	PRON
ejde-38	166	7	see	see	VERB
ejde-38	166	8	that	that	SCONJ
ejde-38	166	9	f	f	PROPN
ejde-38	166	10	is	be	AUX
ejde-38	166	11	bounded	bound	VERB
ejde-38	166	12	from	from	ADP
ejde-38	166	13	below	below	ADP
ejde-38	166	14	everywhere	everywhere	ADV
ejde-38	166	15	,	,	PUNCT
ejde-38	166	16	as	as	SCONJ
ejde-38	166	17	any	any	DET
ejde-38	166	18	affine	affine	NOUN
ejde-38	166	19	function	function	NOUN
ejde-38	166	20	supporting	support	VERB
ejde-38	166	21	f	f	NOUN
ejde-38	166	22	from	from	ADP
ejde-38	166	23	below	below	ADV
ejde-38	166	24	will	will	AUX
ejde-38	166	25	be	be	AUX
ejde-38	166	26	bounded	bound	VERB
ejde-38	166	27	on	on	ADP
ejde-38	166	28	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	166	29	)	)	PUNCT
ejde-38	166	30	.	.	PUNCT
ejde-38	167	1	thus	thus	ADV
ejde-38	167	2	,	,	PUNCT
ejde-38	167	3	since	since	SCONJ
ejde-38	167	4	f	f	PROPN
ejde-38	167	5	is	be	AUX
ejde-38	167	6	proper	proper	ADJ
ejde-38	167	7	we	we	PRON
ejde-38	167	8	see	see	VERB
ejde-38	167	9	that	that	SCONJ
ejde-38	167	10	f	f	PROPN
ejde-38	167	11	∗	∗	NOUN
ejde-38	167	12	is	be	AUX
ejde-38	167	13	actually	actually	ADV
ejde-38	167	14	finitely	finitely	ADV
ejde-38	167	15	valued	value	VERB
ejde-38	167	16	everywhere	everywhere	ADV
ejde-38	167	17	on	on	ADP
ejde-38	167	18	rn	rn	PROPN
ejde-38	167	19	by	by	ADP
ejde-38	167	20	the	the	DET
ejde-38	167	21	definition	definition	NOUN
ejde-38	167	22	of	of	ADP
ejde-38	167	23	legendre	legendre	PROPN
ejde-38	167	24	transform	transform	PROPN
ejde-38	167	25	.	.	PUNCT
ejde-38	168	1	it	it	PRON
ejde-38	168	2	is	be	AUX
ejde-38	168	3	also	also	ADV
ejde-38	168	4	convenient	convenient	ADJ
ejde-38	168	5	at	at	ADP
ejde-38	168	6	this	this	DET
ejde-38	168	7	point	point	NOUN
ejde-38	168	8	to	to	PART
ejde-38	168	9	introduce	introduce	VERB
ejde-38	168	10	the	the	DET
ejde-38	168	11	notion	notion	NOUN
ejde-38	168	12	of	of	ADP
ejde-38	168	13	c	c	PROPN
ejde-38	168	14	and	and	CCONJ
ejde-38	168	15	c∗-transforms	c∗-transform	NOUN
ejde-38	168	16	,	,	PUNCT
ejde-38	168	17	and	and	CCONJ
ejde-38	168	18	c	c	NOUN
ejde-38	168	19	-	-	PUNCT
ejde-38	168	20	convexity	convexity	NOUN
ejde-38	168	21	.	.	PUNCT
ejde-38	169	1	note	note	VERB
ejde-38	169	2	carefully	carefully	ADV
ejde-38	169	3	that	that	SCONJ
ejde-38	169	4	,	,	PUNCT
ejde-38	169	5	since	since	SCONJ
ejde-38	169	6	we	we	PRON
ejde-38	169	7	are	be	AUX
ejde-38	169	8	in	in	ADP
ejde-38	169	9	the	the	DET
ejde-38	169	10	semi	semi	ADJ
ejde-38	169	11	-	-	ADJ
ejde-38	169	12	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	169	13	case	case	NOUN
ejde-38	169	14	the	the	DET
ejde-38	169	15	ctransform	ctransform	NOUN
ejde-38	169	16	of	of	ADP
ejde-38	169	17	a	a	DET
ejde-38	169	18	function	function	NOUN
ejde-38	169	19	defined	define	VERB
ejde-38	169	20	on	on	ADP
ejde-38	169	21	x	x	X
ejde-38	169	22	will	will	AUX
ejde-38	169	23	be	be	AUX
ejde-38	169	24	a	a	DET
ejde-38	169	25	vector	vector	NOUN
ejde-38	169	26	in	in	ADP
ejde-38	169	27	rn	rn	PROPN
ejde-38	169	28	,	,	PUNCT
ejde-38	169	29	while	while	SCONJ
ejde-38	169	30	the	the	DET
ejde-38	169	31	c∗-transform	c∗-transform	NOUN
ejde-38	169	32	of	of	ADP
ejde-38	169	33	a	a	DET
ejde-38	169	34	vector	vector	NOUN
ejde-38	169	35	in	in	ADP
ejde-38	169	36	rn	rn	PROPN
ejde-38	169	37	will	will	AUX
ejde-38	169	38	be	be	AUX
ejde-38	169	39	a	a	DET
ejde-38	169	40	function	function	NOUN
ejde-38	169	41	whose	whose	DET
ejde-38	169	42	domain	domain	NOUN
ejde-38	169	43	is	be	AUX
ejde-38	169	44	x.	x.	NOUN
ejde-38	169	45	definition	definition	NOUN
ejde-38	169	46	3.2	3.2	NUM
ejde-38	169	47	.	.	PUNCT
ejde-38	170	1	if	if	SCONJ
ejde-38	170	2	ϕ	ϕ	X
ejde-38	170	3	:	:	PUNCT
ejde-38	170	4	x	x	X
ejde-38	170	5	→	→	SYM
ejde-38	170	6	r	r	NOUN
ejde-38	170	7	∪	∪	X
ejde-38	170	8	{	{	PUNCT
ejde-38	170	9	∞	∞	NOUN
ejde-38	170	10	}	}	PUNCT
ejde-38	170	11	(	(	PUNCT
ejde-38	170	12	which	which	PRON
ejde-38	170	13	is	be	AUX
ejde-38	170	14	not	not	PART
ejde-38	170	15	identically	identically	ADV
ejde-38	170	16	∞	∞	NUM
ejde-38	170	17	)	)	PUNCT
ejde-38	170	18	and	and	CCONJ
ejde-38	170	19	ψ	ψ	X
ejde-38	170	20	∈	∈	PROPN
ejde-38	170	21	rn	rn	PROPN
ejde-38	170	22	,	,	PUNCT
ejde-38	170	23	their	their	PRON
ejde-38	170	24	cand	cand	NOUN
ejde-38	170	25	c∗-transforms	c∗-transform	NOUN
ejde-38	170	26	are	be	AUX
ejde-38	170	27	a	a	DET
ejde-38	170	28	vector	vector	NOUN
ejde-38	170	29	ϕc	ϕc	PROPN
ejde-38	170	30	∈	∈	PROPN
ejde-38	170	31	rn	rn	PROPN
ejde-38	170	32	and	and	CCONJ
ejde-38	170	33	a	a	DET
ejde-38	170	34	function	function	NOUN
ejde-38	170	35	ψc	ψc	ADP
ejde-38	170	36	∗	∗	NOUN
ejde-38	170	37	:	:	PUNCT
ejde-38	170	38	x	x	X
ejde-38	170	39	→	→	SYM
ejde-38	170	40	r∪{∞	r∪{∞	PROPN
ejde-38	170	41	}	}	PUNCT
ejde-38	170	42	respectively	respectively	ADV
ejde-38	170	43	,	,	PUNCT
ejde-38	170	44	defined	define	VERB
ejde-38	170	45	by	by	ADP
ejde-38	170	46	(	(	PUNCT
ejde-38	170	47	ϕc)j	ϕc)j	NOUN
ejde-38	170	48	:	:	PUNCT
ejde-38	170	49	=	=	NUM
ejde-38	170	50	sup	sup	NOUN
ejde-38	170	51	x∈x	x∈x	NOUN
ejde-38	170	52	(	(	PUNCT
ejde-38	170	53	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	170	54	,	,	PUNCT
ejde-38	170	55	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	170	56	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-38	170	57	)	)	PUNCT
ejde-38	170	58	)	)	PUNCT
ejde-38	170	59	,	,	PUNCT
ejde-38	170	60	(	(	PUNCT
ejde-38	170	61	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	170	62	∗	∗	NOUN
ejde-38	170	63	)	)	PUNCT
ejde-38	170	64	(	(	PUNCT
ejde-38	170	65	x	x	X
ejde-38	170	66	)	)	PUNCT
ejde-38	170	67	:	:	PUNCT
ejde-38	170	68	=	=	SYM
ejde-38	170	69	max	max	PROPN
ejde-38	170	70	1≤j≤n	1≤j≤n	NUM
ejde-38	170	71	(	(	PUNCT
ejde-38	170	72	−c(x	−c(x	PROPN
ejde-38	170	73	,	,	PUNCT
ejde-38	170	74	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	170	75	ψj	ψj	ADV
ejde-38	170	76	)	)	PUNCT
ejde-38	170	77	.	.	PUNCT
ejde-38	171	1	if	if	SCONJ
ejde-38	171	2	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-38	171	3	:	:	PUNCT
ejde-38	171	4	x	x	X
ejde-38	171	5	→	→	SYM
ejde-38	171	6	r	r	NOUN
ejde-38	171	7	∪	∪	X
ejde-38	171	8	{	{	PUNCT
ejde-38	171	9	∞	∞	NOUN
ejde-38	171	10	}	}	PUNCT
ejde-38	171	11	is	be	AUX
ejde-38	171	12	the	the	DET
ejde-38	171	13	c∗-transform	c∗-transform	NOUN
ejde-38	171	14	of	of	ADP
ejde-38	171	15	some	some	DET
ejde-38	171	16	vector	vector	NOUN
ejde-38	171	17	in	in	ADP
ejde-38	171	18	rn	rn	PROPN
ejde-38	171	19	,	,	PUNCT
ejde-38	171	20	we	we	PRON
ejde-38	171	21	say	say	VERB
ejde-38	171	22	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-38	171	23	is	be	AUX
ejde-38	171	24	a	a	DET
ejde-38	171	25	c	c	NOUN
ejde-38	171	26	-	-	PUNCT
ejde-38	171	27	convex	convex	ADJ
ejde-38	171	28	function	function	NOUN
ejde-38	171	29	.	.	PUNCT
ejde-38	172	1	a	a	DET
ejde-38	172	2	pair	pair	NOUN
ejde-38	172	3	(	(	PUNCT
ejde-38	172	4	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	172	5	)	)	PUNCT
ejde-38	172	6	with	with	ADP
ejde-38	172	7	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-38	172	8	:	:	PUNCT
ejde-38	172	9	x	x	X
ejde-38	172	10	→	→	SYM
ejde-38	172	11	r	r	NOUN
ejde-38	172	12	∪	∪	X
ejde-38	172	13	{	{	PUNCT
ejde-38	172	14	∞	∞	NOUN
ejde-38	172	15	}	}	PUNCT
ejde-38	172	16	and	and	CCONJ
ejde-38	172	17	ψ	ψ	X
ejde-38	172	18	∈	∈	PROPN
ejde-38	172	19	rn	rn	PROPN
ejde-38	172	20	is	be	AUX
ejde-38	172	21	is	be	AUX
ejde-38	172	22	called	call	VERB
ejde-38	172	23	a	a	DET
ejde-38	172	24	c	c	NOUN
ejde-38	172	25	-	-	PUNCT
ejde-38	172	26	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-38	172	27	pair	pair	NOUN
ejde-38	172	28	if	if	SCONJ
ejde-38	172	29	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-38	172	30	=	=	X
ejde-38	172	31	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	172	32	∗	∗	NOUN
ejde-38	172	33	and	and	CCONJ
ejde-38	172	34	ψ	ψ	X
ejde-38	172	35	=	=	VERB
ejde-38	172	36	ψc	ψc	PROPN
ejde-38	172	37	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	172	38	=	=	SYM
ejde-38	172	39	ϕc	ϕc	PROPN
ejde-38	172	40	.	.	PUNCT
ejde-38	172	41	ejde-2023/22	ejde-2023/22	X
ejde-38	173	1	an	an	DET
ejde-38	173	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	173	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	173	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	173	5	7	7	NUM
ejde-38	173	6	note	note	VERB
ejde-38	173	7	that	that	SCONJ
ejde-38	173	8	from	from	ADP
ejde-38	173	9	the	the	DET
ejde-38	173	10	definition	definition	NOUN
ejde-38	173	11	,	,	PUNCT
ejde-38	173	12	if	if	SCONJ
ejde-38	173	13	−ϕ	−ϕ	ADV
ejde-38	173	14	−	−	NOUN
ejde-38	173	15	ψ	ψ	X
ejde-38	173	16	≤	≤	NUM
ejde-38	173	17	c	c	NOUN
ejde-38	173	18	,	,	PUNCT
ejde-38	173	19	then	then	ADV
ejde-38	173	20	−ϕ(x	−ϕ(x	NOUN
ejde-38	173	21	)	)	PUNCT
ejde-38	173	22	≤	≤	NUM
ejde-38	173	23	−ψc∗(x	−ψc∗(x	NOUN
ejde-38	173	24	)	)	PUNCT
ejde-38	173	25	and	and	CCONJ
ejde-38	173	26	−ψj	−ψj	VERB
ejde-38	173	27	≤	≤	NUM
ejde-38	173	28	−(ϕc)j	−(ϕc)j	ADV
ejde-38	173	29	for	for	ADP
ejde-38	173	30	all	all	DET
ejde-38	173	31	x	x	SYM
ejde-38	173	32	∈	∈	PROPN
ejde-38	173	33	x	x	X
ejde-38	173	34	and	and	CCONJ
ejde-38	173	35	1	1	NUM
ejde-38	173	36	≤	≤	NUM
ejde-38	173	37	j	j	PROPN
ejde-38	173	38	≤	≤	ADJ
ejde-38	173	39	n	n	CCONJ
ejde-38	173	40	,	,	PUNCT
ejde-38	173	41	while	while	SCONJ
ejde-38	173	42	−ϕ−	−ϕ−	X
ejde-38	173	43	(	(	PUNCT
ejde-38	173	44	ϕc	ϕc	NOUN
ejde-38	173	45	)	)	PUNCT
ejde-38	173	46	≤	≤	NOUN
ejde-38	174	1	c	c	X
ejde-38	174	2	,	,	PUNCT
ejde-38	174	3	−(ψc	−(ψc	DET
ejde-38	174	4	∗	∗	NOUN
ejde-38	174	5	)	)	PUNCT
ejde-38	174	6	−	−	NOUN
ejde-38	175	1	ψ	ψ	NOUN
ejde-38	175	2	≤	≤	NOUN
ejde-38	175	3	c	c	NOUN
ejde-38	175	4	always	always	ADV
ejde-38	175	5	holds	hold	VERB
ejde-38	175	6	.	.	PUNCT
ejde-38	176	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	176	2	3.3	3.3	NUM
ejde-38	176	3	(	(	PUNCT
ejde-38	176	4	strong	strong	ADJ
ejde-38	176	5	duality	duality	NOUN
ejde-38	176	6	)	)	PUNCT
ejde-38	176	7	.	.	PUNCT
ejde-38	177	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	177	2	c	c	NOUN
ejde-38	177	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-38	177	4	the	the	DET
ejde-38	177	5	same	same	ADJ
ejde-38	177	6	conditions	condition	NOUN
ejde-38	177	7	as	as	SCONJ
ejde-38	177	8	theorem	theorem	VERB
ejde-38	177	9	2.3	2.3	NUM
ejde-38	177	10	and	and	CCONJ
ejde-38	177	11	f	f	PROPN
ejde-38	177	12	is	be	AUX
ejde-38	177	13	a	a	DET
ejde-38	177	14	proper	proper	ADJ
ejde-38	177	15	,	,	PUNCT
ejde-38	177	16	closed	closed	ADJ
ejde-38	177	17	,	,	PUNCT
ejde-38	177	18	convex	convex	NOUN
ejde-38	177	19	function	function	NOUN
ejde-38	177	20	,	,	PUNCT
ejde-38	177	21	with	with	ADP
ejde-38	177	22	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	177	23	)	)	PUNCT
ejde-38	178	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	178	2	λ	λ	PROPN
ejde-38	178	3	,	,	PUNCT
ejde-38	178	4	then	then	ADV
ejde-38	178	5	there	there	PRON
ejde-38	178	6	is	be	VERB
ejde-38	178	7	strong	strong	ADJ
ejde-38	178	8	duality	duality	NOUN
ejde-38	178	9	,	,	PUNCT
ejde-38	178	10	i.e.	i.e.	X
ejde-38	178	11	,	,	PUNCT
ejde-38	178	12	min	min	NOUN
ejde-38	178	13	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	178	14	,	,	PUNCT
ejde-38	178	15	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	178	16	)	)	PUNCT
ejde-38	178	17	∫	∫	PROPN
ejde-38	178	18	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	179	1	c	c	PROPN
ejde-38	179	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	179	3	+	+	X
ejde-38	179	4	f	f	X
ejde-38	179	5	(	(	PUNCT
ejde-38	179	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	179	7	)	)	PUNCT
ejde-38	179	8	=	=	SYM
ejde-38	179	9	sup	sup	NOUN
ejde-38	179	10	{	{	PUNCT
ejde-38	179	11	−	−	PROPN
ejde-38	179	12	∫	∫	PROPN
ejde-38	179	13	x	x	SYM
ejde-38	179	14	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	179	15	f	f	PROPN
ejde-38	179	16	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	179	17	)	)	PUNCT
ejde-38	179	18	:	:	PUNCT
ejde-38	179	19	(	(	PUNCT
ejde-38	179	20	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	179	21	)	)	PUNCT
ejde-38	179	22	∈	∈	PROPN
ejde-38	179	23	l1(µ)×	l1(µ)×	PROPN
ejde-38	179	24	rn	rn	PROPN
ejde-38	179	25	,	,	PUNCT
ejde-38	179	26	−	−	PROPN
ejde-38	179	27	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-38	179	28	ψj	ψj	ADV
ejde-38	179	29	≤	≤	ADJ
ejde-38	179	30	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	179	31	,	,	PUNCT
ejde-38	179	32	yj	yj	PROPN
ejde-38	179	33	)	)	PUNCT
ejde-38	179	34	,	,	PUNCT
ejde-38	179	35	∀yj	∀yj	PROPN
ejde-38	179	36	∈	∈	PROPN
ejde-38	179	37	y	y	PROPN
ejde-38	179	38	,	,	PUNCT
ejde-38	179	39	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	179	40	.	.	PUNCT
ejde-38	179	41	x	x	SYM
ejde-38	180	1	∈	∈	PROPN
ejde-38	180	2	x	x	PUNCT
ejde-38	180	3	}	}	PUNCT
ejde-38	180	4	.	.	PUNCT
ejde-38	181	1	(	(	PUNCT
ejde-38	181	2	3.1	3.1	NUM
ejde-38	181	3	)	)	PUNCT
ejde-38	181	4	moreover	moreover	ADV
ejde-38	181	5	,	,	PUNCT
ejde-38	181	6	it	it	PRON
ejde-38	181	7	is	be	AUX
ejde-38	181	8	possible	possible	ADJ
ejde-38	181	9	to	to	PART
ejde-38	181	10	replace	replace	VERB
ejde-38	181	11	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	181	12	)	)	PUNCT
ejde-38	181	13	by	by	ADP
ejde-38	181	14	cb(x	cb(x	NOUN
ejde-38	181	15	)	)	PUNCT
ejde-38	181	16	in	in	ADP
ejde-38	181	17	the	the	DET
ejde-38	181	18	right	right	ADJ
ejde-38	181	19	hand	hand	NOUN
ejde-38	181	20	side	side	NOUN
ejde-38	181	21	above	above	ADV
ejde-38	181	22	.	.	PUNCT
ejde-38	182	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	182	2	.	.	PUNCT
ejde-38	183	1	since	since	SCONJ
ejde-38	183	2	cb(x	cb(x	NUM
ejde-38	183	3	)	)	PUNCT
ejde-38	183	4	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	183	5	l1(µ	l1(µ	X
ejde-38	183	6	)	)	PUNCT
ejde-38	183	7	,	,	PUNCT
ejde-38	183	8	the	the	DET
ejde-38	183	9	supremum	supremum	NOUN
ejde-38	183	10	of	of	ADP
ejde-38	183	11	the	the	DET
ejde-38	183	12	dual	dual	ADJ
ejde-38	183	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	183	14	with	with	ADP
ejde-38	183	15	cb(x	cb(x	PUNCT
ejde-38	183	16	)	)	PUNCT
ejde-38	183	17	is	be	AUX
ejde-38	183	18	a	a	DET
ejde-38	183	19	lower	lower	ADV
ejde-38	183	20	bound	bind	VERB
ejde-38	183	21	for	for	ADP
ejde-38	183	22	the	the	DET
ejde-38	183	23	one	one	NOUN
ejde-38	183	24	with	with	ADP
ejde-38	183	25	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	183	26	)	)	PUNCT
ejde-38	183	27	.	.	PUNCT
ejde-38	184	1	on	on	ADP
ejde-38	184	2	the	the	DET
ejde-38	184	3	other	other	ADJ
ejde-38	184	4	hand	hand	NOUN
ejde-38	184	5	,	,	PUNCT
ejde-38	184	6	for	for	ADP
ejde-38	184	7	any	any	DET
ejde-38	184	8	γ	γ	X
ejde-38	184	9	∈	∈	PROPN
ejde-38	184	10	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	184	11	,	,	PUNCT
ejde-38	184	12	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	184	13	)	)	PUNCT
ejde-38	184	14	for	for	ADP
ejde-38	184	15	some	some	DET
ejde-38	184	16	λ	λ	PROPN
ejde-38	184	17	∈	∈	PROPN
ejde-38	184	18	λ	λ	X
ejde-38	184	19	and	and	CCONJ
ejde-38	184	20	(	(	PUNCT
ejde-38	184	21	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	184	22	)	)	PUNCT
ejde-38	184	23	∈	∈	PROPN
ejde-38	184	24	l1(µ)×rn	l1(µ)×rn	NOUN
ejde-38	184	25	which	which	PRON
ejde-38	184	26	is	be	AUX
ejde-38	184	27	admissible	admissible	ADJ
ejde-38	184	28	in	in	ADP
ejde-38	184	29	(	(	PUNCT
ejde-38	184	30	3.1	3.1	NUM
ejde-38	184	31	)	)	PUNCT
ejde-38	184	32	,	,	PUNCT
ejde-38	184	33	by	by	ADP
ejde-38	184	34	the	the	DET
ejde-38	184	35	definition	definition	NOUN
ejde-38	184	36	of	of	ADP
ejde-38	184	37	f	f	PROPN
ejde-38	184	38	∗	∗	NOUN
ejde-38	184	39	(	(	PUNCT
ejde-38	184	40	see	see	VERB
ejde-38	184	41	[	[	X
ejde-38	184	42	9	9	NUM
ejde-38	184	43	,	,	PUNCT
ejde-38	184	44	p.105	p.105	NUM
ejde-38	184	45	,	,	PUNCT
ejde-38	184	46	fenchel	fenchel	PROPN
ejde-38	184	47	’s	’s	PART
ejde-38	184	48	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	184	49	]	]	PUNCT
ejde-38	184	50	)	)	PUNCT
ejde-38	184	51	,	,	PUNCT
ejde-38	184	52	−	−	PROPN
ejde-38	184	53	∫	∫	PROPN
ejde-38	184	54	x	x	PROPN
ejde-38	184	55	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	184	56	f	f	PROPN
ejde-38	184	57	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	184	58	)	)	PUNCT
ejde-38	184	59	≤	≤	NOUN
ejde-38	185	1	−	−	ADP
ejde-38	185	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	185	3	x	x	PUNCT
ejde-38	185	4	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	185	5	〈	〈	PROPN
ejde-38	185	6	λ	λ	PROPN
ejde-38	185	7	,	,	PUNCT
ejde-38	185	8	ψ〉+	ψ〉+	PROPN
ejde-38	185	9	f	f	PROPN
ejde-38	185	10	(	(	PUNCT
ejde-38	185	11	λ	λ	NOUN
ejde-38	185	12	)	)	PUNCT
ejde-38	185	13	=	=	SYM
ejde-38	186	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	186	2	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	186	3	(	(	PUNCT
ejde-38	186	4	−ϕ(x)−	−ϕ(x)−	PROPN
ejde-38	186	5	ψ(y	ψ(y	PROPN
ejde-38	186	6	)	)	PUNCT
ejde-38	186	7	)	)	PUNCT
ejde-38	187	1	dγ(x	dγ(x	X
ejde-38	187	2	,	,	PUNCT
ejde-38	187	3	y	y	NOUN
ejde-38	187	4	)	)	PUNCT
ejde-38	188	1	+	+	CCONJ
ejde-38	188	2	f	f	X
ejde-38	188	3	(	(	PUNCT
ejde-38	188	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	188	5	)	)	PUNCT
ejde-38	188	6	≤	≤	NUM
ejde-38	188	7	∫	∫	PROPN
ejde-38	188	8	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	189	1	c	c	PROPN
ejde-38	189	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	189	3	+	+	X
ejde-38	189	4	f	f	X
ejde-38	189	5	(	(	PUNCT
ejde-38	189	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	189	7	)	)	PUNCT
ejde-38	189	8	.	.	PUNCT
ejde-38	190	1	thus	thus	ADV
ejde-38	190	2	it	it	PRON
ejde-38	190	3	is	be	AUX
ejde-38	190	4	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-38	190	5	to	to	PART
ejde-38	190	6	prove	prove	VERB
ejde-38	190	7	that	that	SCONJ
ejde-38	190	8	min	min	PROPN
ejde-38	190	9	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	190	10	,	,	PUNCT
ejde-38	190	11	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	190	12	)	)	PUNCT
ejde-38	190	13	∫	∫	PROPN
ejde-38	190	14	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	191	1	c	c	PROPN
ejde-38	191	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	191	3	+	+	X
ejde-38	191	4	f	f	X
ejde-38	191	5	(	(	PUNCT
ejde-38	191	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	191	7	)	)	PUNCT
ejde-38	191	8	≤	≤	NUM
ejde-38	191	9	sup	sup	NOUN
ejde-38	191	10	{	{	PUNCT
ejde-38	191	11	−	−	PROPN
ejde-38	191	12	∫	∫	PROPN
ejde-38	191	13	x	x	SYM
ejde-38	191	14	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	191	15	f	f	PROPN
ejde-38	191	16	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	191	17	)	)	PUNCT
ejde-38	191	18	:	:	PUNCT
ejde-38	191	19	(	(	PUNCT
ejde-38	191	20	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	191	21	)	)	PUNCT
ejde-38	191	22	∈	∈	PROPN
ejde-38	191	23	cb(x)×	cb(x)×	PROPN
ejde-38	192	1	rn	rn	PROPN
ejde-38	192	2	,	,	PUNCT
ejde-38	192	3	−	−	PROPN
ejde-38	192	4	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-38	192	5	ψj	ψj	ADV
ejde-38	192	6	≤	≤	ADJ
ejde-38	192	7	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	192	8	,	,	PUNCT
ejde-38	192	9	yj	yj	PROPN
ejde-38	192	10	)	)	PUNCT
ejde-38	192	11	,	,	PUNCT
ejde-38	192	12	∀(x	∀(x	PRON
ejde-38	192	13	,	,	PUNCT
ejde-38	192	14	yj	yj	PROPN
ejde-38	192	15	)	)	PUNCT
ejde-38	192	16	∈	∈	PROPN
ejde-38	192	17	x	x	SYM
ejde-38	192	18	×	×	NOUN
ejde-38	192	19	y	y	PROPN
ejde-38	192	20	}	}	PUNCT
ejde-38	192	21	.	.	PUNCT
ejde-38	193	1	(	(	PUNCT
ejde-38	193	2	3.2	3.2	NUM
ejde-38	193	3	)	)	PUNCT
ejde-38	193	4	first	first	ADV
ejde-38	193	5	assume	assume	VERB
ejde-38	193	6	x	x	PRON
ejde-38	193	7	is	be	AUX
ejde-38	193	8	compact	compact	ADJ
ejde-38	193	9	and	and	CCONJ
ejde-38	193	10	each	each	DET
ejde-38	193	11	c	c	PROPN
ejde-38	193	12	(	(	PUNCT
ejde-38	193	13	·	·	PUNCT
ejde-38	193	14	,	,	PUNCT
ejde-38	193	15	yj	yj	PROPN
ejde-38	193	16	)	)	PUNCT
ejde-38	193	17	is	be	AUX
ejde-38	193	18	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	193	19	;	;	PUNCT
ejde-38	193	20	by	by	ADP
ejde-38	193	21	subtracting	subtract	VERB
ejde-38	193	22	a	a	DET
ejde-38	193	23	constant	constant	ADJ
ejde-38	193	24	we	we	PRON
ejde-38	193	25	may	may	AUX
ejde-38	193	26	assume	assume	VERB
ejde-38	193	27	c	c	PROPN
ejde-38	193	28	≥	≥	PROPN
ejde-38	193	29	0	0	NUM
ejde-38	193	30	.	.	PUNCT
ejde-38	194	1	we	we	PRON
ejde-38	194	2	first	first	ADV
ejde-38	194	3	prove	prove	VERB
ejde-38	194	4	the	the	DET
ejde-38	194	5	duality	duality	NOUN
ejde-38	194	6	statement	statement	NOUN
ejde-38	194	7	with	with	ADP
ejde-38	194	8	cb(x	cb(x	NUM
ejde-38	194	9	)	)	PUNCT
ejde-38	194	10	in	in	ADP
ejde-38	194	11	place	place	NOUN
ejde-38	194	12	of	of	ADP
ejde-38	194	13	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	194	14	)	)	PUNCT
ejde-38	194	15	.	.	PUNCT
ejde-38	195	1	let	let	VERB
ejde-38	195	2	e	e	NOUN
ejde-38	195	3	=	=	PUNCT
ejde-38	195	4	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	195	5	×	×	NOUN
ejde-38	195	6	y	y	PROPN
ejde-38	195	7	)	)	PUNCT
ejde-38	196	1	=	=	PUNCT
ejde-38	196	2	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	196	3	×	×	PROPN
ejde-38	196	4	y	y	NOUN
ejde-38	196	5	)	)	PUNCT
ejde-38	196	6	(	(	PUNCT
ejde-38	196	7	by	by	ADP
ejde-38	196	8	compactness	compactness	NOUN
ejde-38	196	9	of	of	ADP
ejde-38	196	10	x	x	NOUN
ejde-38	196	11	)	)	PUNCT
ejde-38	196	12	and	and	CCONJ
ejde-38	196	13	note	note	VERB
ejde-38	196	14	its	its	PRON
ejde-38	196	15	dual	dual	ADJ
ejde-38	196	16	is	be	AUX
ejde-38	196	17	given	give	VERB
ejde-38	196	18	by	by	ADP
ejde-38	196	19	e∗	e∗	PROPN
ejde-38	196	20	=	=	SYM
ejde-38	196	21	m(x	m(x	PROPN
ejde-38	196	22	×y	×y	ADV
ejde-38	196	23	)	)	PUNCT
ejde-38	196	24	,	,	PUNCT
ejde-38	196	25	the	the	DET
ejde-38	196	26	space	space	NOUN
ejde-38	196	27	of	of	ADP
ejde-38	196	28	radon	radon	ADJ
ejde-38	196	29	measures	measure	NOUN
ejde-38	196	30	on	on	ADP
ejde-38	196	31	x	x	PUNCT
ejde-38	196	32	×y	×y	PRON
ejde-38	196	33	.	.	PUNCT
ejde-38	197	1	then	then	ADV
ejde-38	197	2	define	define	VERB
ejde-38	197	3	θ	θ	PROPN
ejde-38	197	4	,	,	PUNCT
ejde-38	197	5	ξ	ξ	PROPN
ejde-38	197	6	:	:	PUNCT
ejde-38	197	7	e	e	X
ejde-38	197	8	→	→	SYM
ejde-38	197	9	r	r	NOUN
ejde-38	197	10	∪	∪	X
ejde-38	197	11	{	{	PUNCT
ejde-38	197	12	∞	∞	NOUN
ejde-38	197	13	}	}	PUNCT
ejde-38	197	14	by	by	ADP
ejde-38	197	15	θ(u	θ(u	NOUN
ejde-38	197	16	)	)	PUNCT
ejde-38	197	17	:	:	PUNCT
ejde-38	198	1	=	=	SYM
ejde-38	198	2	{	{	PUNCT
ejde-38	198	3	0	0	NUM
ejde-38	198	4	,	,	PUNCT
ejde-38	198	5	if	if	SCONJ
ejde-38	198	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-38	198	7	,	,	PUNCT
ejde-38	198	8	y	y	NOUN
ejde-38	198	9	)	)	PUNCT
ejde-38	198	10	≥	≥	PROPN
ejde-38	198	11	−c(x	−c(x	PROPN
ejde-38	198	12	,	,	PUNCT
ejde-38	198	13	y	y	PROPN
ejde-38	198	14	)	)	PUNCT
ejde-38	198	15	,	,	PUNCT
ejde-38	198	16	∀(x	∀(x	X
ejde-38	198	17	,	,	PUNCT
ejde-38	198	18	y	y	NOUN
ejde-38	198	19	)	)	PUNCT
ejde-38	198	20	∈	∈	PROPN
ejde-38	198	21	x	x	SYM
ejde-38	198	22	×	×	NOUN
ejde-38	198	23	y	y	PROPN
ejde-38	198	24	∞	∞	PROPN
ejde-38	198	25	,	,	PUNCT
ejde-38	198	26	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	198	27	ξ(u	ξ(u	NOUN
ejde-38	198	28	)	)	PUNCT
ejde-38	198	29	:	:	PUNCT
ejde-38	199	1	=	=	PUNCT
ejde-38	199	2			PROPN
ejde-38	199	3	−	−	PROPN
ejde-38	199	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	199	5	x	x	INTJ
ejde-38	199	6	ϕdµ+	ϕdµ+	PUNCT
ejde-38	199	7	f	f	X
ejde-38	199	8	∗(−ψ	∗(−ψ	NOUN
ejde-38	199	9	)	)	PUNCT
ejde-38	199	10	,	,	PUNCT
ejde-38	199	11	∃(ϕ,ψ	∃(ϕ,ψ	PROPN
ejde-38	199	12	)	)	PUNCT
ejde-38	199	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	199	14	cb(x)×	cb(x)×	PROPN
ejde-38	199	15	rn	rn	PROPN
ejde-38	199	16	s.t	s.t	PROPN
ejde-38	199	17	.	.	PROPN
ejde-38	199	18	u(x	u(x	PROPN
ejde-38	199	19	,	,	PUNCT
ejde-38	199	20	yj	yj	PROPN
ejde-38	199	21	)	)	PUNCT
ejde-38	199	22	=	=	PUNCT
ejde-38	199	23	−ϕ(x)−	−ϕ(x)−	NOUN
ejde-38	199	24	ψj	ψj	ADV
ejde-38	199	25	,	,	PUNCT
ejde-38	199	26	∀(x	∀(x	X
ejde-38	199	27	,	,	PUNCT
ejde-38	199	28	yj	yj	PROPN
ejde-38	199	29	)	)	PUNCT
ejde-38	199	30	∈	∈	PROPN
ejde-38	199	31	x	x	SYM
ejde-38	199	32	×	×	PROPN
ejde-38	199	33	y	y	PROPN
ejde-38	199	34	,	,	PUNCT
ejde-38	199	35	∞	∞	PROPN
ejde-38	199	36	,	,	PUNCT
ejde-38	199	37	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	199	38	,	,	PUNCT
ejde-38	199	39	(	(	PUNCT
ejde-38	199	40	we	we	PRON
ejde-38	199	41	will	will	AUX
ejde-38	199	42	write	write	VERB
ejde-38	199	43	u	u	NOUN
ejde-38	199	44	=	=	NOUN
ejde-38	199	45	−ϕ	−ϕ	ADV
ejde-38	199	46	−	−	X
ejde-38	199	47	ψ	ψ	NOUN
ejde-38	199	48	as	as	ADP
ejde-38	199	49	shorthand	shorthand	NOUN
ejde-38	199	50	for	for	ADP
ejde-38	199	51	the	the	DET
ejde-38	199	52	condition	condition	NOUN
ejde-38	199	53	in	in	ADP
ejde-38	199	54	the	the	DET
ejde-38	199	55	first	first	ADJ
ejde-38	199	56	case	case	NOUN
ejde-38	199	57	of	of	ADP
ejde-38	199	58	ξ	ξ	PROPN
ejde-38	199	59	above	above	ADV
ejde-38	199	60	)	)	PUNCT
ejde-38	199	61	.	.	PUNCT
ejde-38	200	1	it	it	PRON
ejde-38	200	2	is	be	AUX
ejde-38	200	3	now	now	ADV
ejde-38	200	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-38	200	5	to	to	PART
ejde-38	200	6	check	check	VERB
ejde-38	200	7	that	that	PRON
ejde-38	200	8	ξ	ξ	PROPN
ejde-38	200	9	as	as	ADP
ejde-38	200	10	above	above	ADV
ejde-38	200	11	is	be	AUX
ejde-38	200	12	well	well	ADV
ejde-38	200	13	-	-	PUNCT
ejde-38	200	14	defined	define	VERB
ejde-38	200	15	.	.	PUNCT
ejde-38	201	1	indeed	indeed	ADV
ejde-38	201	2	,	,	PUNCT
ejde-38	201	3	if	if	SCONJ
ejde-38	201	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-38	201	5	,	,	PUNCT
ejde-38	201	6	yj	yj	PROPN
ejde-38	201	7	)	)	PUNCT
ejde-38	201	8	=	=	SYM
ejde-38	201	9	−ϕ1(x	−ϕ1(x	NOUN
ejde-38	201	10	)	)	PUNCT
ejde-38	201	11	−	−	NOUN
ejde-38	201	12	ψj1	ψj1	NOUN
ejde-38	201	13	=	=	SYM
ejde-38	201	14	−ϕ2(x	−ϕ2(x	NOUN
ejde-38	201	15	)	)	PUNCT
ejde-38	201	16	−	−	NOUN
ejde-38	201	17	ψj2	ψj2	NOUN
ejde-38	201	18	for	for	ADP
ejde-38	201	19	all	all	PRON
ejde-38	201	20	(	(	PUNCT
ejde-38	201	21	x	x	PROPN
ejde-38	201	22	,	,	PUNCT
ejde-38	201	23	yj	yj	PROPN
ejde-38	201	24	)	)	PUNCT
ejde-38	201	25	∈	∈	PROPN
ejde-38	201	26	x	x	SYM
ejde-38	201	27	×	×	PROPN
ejde-38	201	28	y	y	PROPN
ejde-38	201	29	,	,	PUNCT
ejde-38	201	30	we	we	PRON
ejde-38	201	31	can	can	AUX
ejde-38	201	32	see	see	VERB
ejde-38	201	33	8	8	NUM
ejde-38	201	34	m.	m.	NOUN
ejde-38	201	35	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	201	36	,	,	PUNCT
ejde-38	201	37	j.	j.	PROPN
ejde-38	201	38	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	201	39	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	202	1	there	there	PRON
ejde-38	202	2	exists	exist	VERB
ejde-38	202	3	some	some	DET
ejde-38	202	4	r	r	NOUN
ejde-38	202	5	∈	∈	NOUN
ejde-38	202	6	r	r	NOUN
ejde-38	202	7	such	such	ADJ
ejde-38	202	8	that	that	DET
ejde-38	202	9	ϕ1	ϕ1	NOUN
ejde-38	202	10	=	=	SYM
ejde-38	202	11	−r	−r	PROPN
ejde-38	202	12	+	+	CCONJ
ejde-38	202	13	ϕ2	ϕ2	ADV
ejde-38	202	14	,	,	PUNCT
ejde-38	202	15	and	and	CCONJ
ejde-38	202	16	ψ1	ψ1	ADJ
ejde-38	202	17	=	=	PUNCT
ejde-38	202	18	ψ2	ψ2	NOUN
ejde-38	202	19	+	+	CCONJ
ejde-38	202	20	r1	r1	NOUN
ejde-38	202	21	.	.	PUNCT
ejde-38	203	1	since	since	SCONJ
ejde-38	203	2	λ	λ	PROPN
ejde-38	203	3	is	be	AUX
ejde-38	203	4	contained	contain	VERB
ejde-38	203	5	in	in	ADP
ejde-38	203	6	a	a	DET
ejde-38	203	7	plane	plane	NOUN
ejde-38	203	8	orthogonal	orthogonal	NOUN
ejde-38	203	9	to	to	ADP
ejde-38	203	10	1	1	NUM
ejde-38	203	11	and	and	CCONJ
ejde-38	203	12	f	f	NOUN
ejde-38	203	13	=	=	SYM
ejde-38	203	14	∞	∞	PROPN
ejde-38	203	15	outside	outside	ADP
ejde-38	203	16	of	of	ADP
ejde-38	203	17	this	this	DET
ejde-38	203	18	plane	plane	NOUN
ejde-38	203	19	,	,	PUNCT
ejde-38	203	20	a	a	DET
ejde-38	203	21	direct	direct	ADJ
ejde-38	203	22	verification	verification	NOUN
ejde-38	203	23	of	of	ADP
ejde-38	203	24	the	the	DET
ejde-38	203	25	definition	definition	NOUN
ejde-38	203	26	implies	imply	VERB
ejde-38	203	27	that	that	SCONJ
ejde-38	203	28	for	for	ADP
ejde-38	203	29	any	any	DET
ejde-38	203	30	λ	λ	PROPN
ejde-38	203	31	∈	∈	PROPN
ejde-38	203	32	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	203	33	)	)	PUNCT
ejde-38	203	34	and	and	CCONJ
ejde-38	203	35	ψ	ψ	X
ejde-38	203	36	∈	∈	PROPN
ejde-38	203	37	rn	rn	PROPN
ejde-38	203	38	such	such	ADJ
ejde-38	203	39	that	that	SCONJ
ejde-38	203	40	〈	〈	PROPN
ejde-38	203	41	·	·	SYM
ejde-38	203	42	−λ	−λ	PROPN
ejde-38	203	43	,	,	PUNCT
ejde-38	203	44	ψ〉+f	ψ〉+f	X
ejde-38	203	45	(	(	PUNCT
ejde-38	203	46	λ	λ	NOUN
ejde-38	203	47	)	)	PUNCT
ejde-38	203	48	≤	≤	NUM
ejde-38	203	49	f	f	PROPN
ejde-38	203	50	on	on	ADP
ejde-38	203	51	rn	rn	PROPN
ejde-38	203	52	,	,	PUNCT
ejde-38	203	53	we	we	PRON
ejde-38	203	54	have	have	VERB
ejde-38	203	55	〈	〈	PROPN
ejde-38	203	56	·	·	SYM
ejde-38	203	57	−λ	−λ	VERB
ejde-38	203	58	,	,	PUNCT
ejde-38	203	59	ψ+r1〉+f	ψ+r1〉+f	PROPN
ejde-38	203	60	(	(	PUNCT
ejde-38	203	61	λ	λ	NOUN
ejde-38	203	62	)	)	PUNCT
ejde-38	203	63	≤	≤	NUM
ejde-38	203	64	f	f	PROPN
ejde-38	203	65	on	on	ADP
ejde-38	203	66	rn	rn	PROPN
ejde-38	203	67	for	for	ADP
ejde-38	203	68	any	any	DET
ejde-38	203	69	r	r	NOUN
ejde-38	203	70	∈	∈	NOUN
ejde-38	203	71	r	r	NOUN
ejde-38	203	72	as	as	ADV
ejde-38	203	73	well	well	ADV
ejde-38	203	74	.	.	PUNCT
ejde-38	204	1	since	since	SCONJ
ejde-38	204	2	f	f	PROPN
ejde-38	204	3	∗	∗	PROPN
ejde-38	204	4	is	be	AUX
ejde-38	204	5	finite	finite	ADJ
ejde-38	204	6	everywhere	everywhere	ADV
ejde-38	204	7	,	,	PUNCT
ejde-38	204	8	by	by	ADP
ejde-38	204	9	[	[	PUNCT
ejde-38	204	10	9	9	NUM
ejde-38	204	11	,	,	PUNCT
ejde-38	204	12	theorem	theorem	VERB
ejde-38	204	13	23.4	23.4	NUM
ejde-38	204	14	]	]	PUNCT
ejde-38	204	15	there	there	PRON
ejde-38	204	16	exists	exist	VERB
ejde-38	204	17	some	some	DET
ejde-38	204	18	λ	λ	NOUN
ejde-38	204	19	which	which	PRON
ejde-38	204	20	must	must	AUX
ejde-38	204	21	be	be	AUX
ejde-38	204	22	in	in	ADP
ejde-38	204	23	λ	λ	NOUN
ejde-38	204	24	,	,	PUNCT
ejde-38	204	25	such	such	ADJ
ejde-38	204	26	that	that	SCONJ
ejde-38	204	27	〈	〈	PROPN
ejde-38	204	28	·	·	PUNCT
ejde-38	204	29	−	−	PROPN
ejde-38	205	1	(	(	PUNCT
ejde-38	205	2	−ψ2	−ψ2	PROPN
ejde-38	205	3	)	)	PUNCT
ejde-38	205	4	,	,	PUNCT
ejde-38	205	5	λ〉+	λ〉+	PROPN
ejde-38	205	6	f	f	PROPN
ejde-38	205	7	∗(−ψ2	∗(−ψ2	NOUN
ejde-38	205	8	)	)	PUNCT
ejde-38	205	9	≤	≤	NUM
ejde-38	206	1	f	f	PROPN
ejde-38	206	2	∗	∗	NOUN
ejde-38	206	3	on	on	ADP
ejde-38	206	4	rn	rn	PROPN
ejde-38	206	5	.	.	PUNCT
ejde-38	207	1	hence	hence	ADV
ejde-38	207	2	by	by	ADP
ejde-38	207	3	[	[	X
ejde-38	207	4	9	9	NUM
ejde-38	207	5	,	,	PUNCT
ejde-38	207	6	theorem	theorem	VERB
ejde-38	207	7	23.5	23.5	NUM
ejde-38	207	8	]	]	PUNCT
ejde-38	207	9	,	,	PUNCT
ejde-38	207	10	f	f	PROPN
ejde-38	207	11	∗(−ψ1	∗(−ψ1	PROPN
ejde-38	207	12	)	)	PUNCT
ejde-38	208	1	=	=	SYM
ejde-38	208	2	f	f	PROPN
ejde-38	208	3	∗(−ψ2	∗(−ψ2	NOUN
ejde-38	208	4	−	−	PROPN
ejde-38	208	5	r1	r1	PROPN
ejde-38	208	6	)	)	PUNCT
ejde-38	208	7	=	=	PUNCT
ejde-38	208	8	−〈ψ2	−〈ψ2	PROPN
ejde-38	208	9	,	,	PUNCT
ejde-38	208	10	λ	λ	NOUN
ejde-38	208	11	〉	〉	NOUN
ejde-38	208	12	−	−	NOUN
ejde-38	209	1	r〈1	r〈1	NOUN
ejde-38	209	2	,	,	PUNCT
ejde-38	209	3	λ	λ	NOUN
ejde-38	209	4	〉	〉	NOUN
ejde-38	209	5	−	−	NOUN
ejde-38	209	6	f	f	PROPN
ejde-38	209	7	(	(	PUNCT
ejde-38	209	8	λ	λ	NOUN
ejde-38	209	9	)	)	PUNCT
ejde-38	209	10	=	=	SYM
ejde-38	210	1	−r	−r	PROPN
ejde-38	210	2	+	+	CCONJ
ejde-38	210	3	f	f	PROPN
ejde-38	210	4	∗(−ψ2	∗(−ψ2	NOUN
ejde-38	210	5	)	)	PUNCT
ejde-38	210	6	.	.	PUNCT
ejde-38	211	1	(	(	PUNCT
ejde-38	211	2	3.3	3.3	NUM
ejde-38	211	3	)	)	PUNCT
ejde-38	211	4	since	since	SCONJ
ejde-38	211	5	µ	µ	NOUN
ejde-38	211	6	is	be	AUX
ejde-38	211	7	a	a	DET
ejde-38	211	8	probability	probability	NOUN
ejde-38	211	9	measure	measure	NOUN
ejde-38	211	10	,	,	PUNCT
ejde-38	211	11	this	this	PRON
ejde-38	211	12	shows	show	VERB
ejde-38	211	13	ξ	ξ	PROPN
ejde-38	211	14	is	be	AUX
ejde-38	211	15	well	well	ADV
ejde-38	211	16	-	-	PUNCT
ejde-38	211	17	defined	define	VERB
ejde-38	211	18	.	.	PUNCT
ejde-38	212	1	it	it	PRON
ejde-38	212	2	is	be	AUX
ejde-38	212	3	immediate	immediate	ADJ
ejde-38	212	4	to	to	PART
ejde-38	212	5	see	see	VERB
ejde-38	212	6	that	that	SCONJ
ejde-38	212	7	θ	θ	PROPN
ejde-38	212	8	and	and	CCONJ
ejde-38	212	9	ξ	ξ	PROPN
ejde-38	212	10	are	be	AUX
ejde-38	212	11	convex	convex	ADJ
ejde-38	212	12	,	,	PUNCT
ejde-38	212	13	and	and	CCONJ
ejde-38	212	14	that	that	SCONJ
ejde-38	212	15	for	for	ADP
ejde-38	212	16	u	u	PROPN
ejde-38	212	17	≡	≡	PROPN
ejde-38	212	18	1	1	NUM
ejde-38	212	19	,	,	PUNCT
ejde-38	212	20	θ(u	θ(u	NUM
ejde-38	212	21	)	)	PUNCT
ejde-38	212	22	,	,	PUNCT
ejde-38	212	23	ξ(u	ξ(u	NOUN
ejde-38	212	24	)	)	PUNCT
ejde-38	212	25	<	<	X
ejde-38	212	26	∞	∞	NUM
ejde-38	212	27	and	and	CCONJ
ejde-38	212	28	θ	θ	PROPN
ejde-38	212	29	is	be	AUX
ejde-38	212	30	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	212	31	at	at	ADP
ejde-38	212	32	u.	u.	PROPN
ejde-38	212	33	we	we	PRON
ejde-38	212	34	now	now	ADV
ejde-38	212	35	compute	compute	VERB
ejde-38	212	36	θ∗(−γ	θ∗(−γ	PROPN
ejde-38	212	37	)	)	PUNCT
ejde-38	212	38	=	=	PUNCT
ejde-38	213	1	sup	sup	NOUN
ejde-38	213	2	u≥−c	u≥−c	PRON
ejde-38	213	3	(	(	PUNCT
ejde-38	213	4	−	−	PROPN
ejde-38	213	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	213	6	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	213	7	u	u	PROPN
ejde-38	213	8	dγ	dγ	NOUN
ejde-38	213	9	)	)	PUNCT
ejde-38	213	10	=	=	SYM
ejde-38	213	11	{	{	PUNCT
ejde-38	213	12	∫	∫	PROPN
ejde-38	213	13	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	213	14	c	c	PROPN
ejde-38	213	15	dγ	dγ	PROPN
ejde-38	213	16	,	,	PUNCT
ejde-38	213	17	γ	γ	X
ejde-38	213	18	≥	≥	PROPN
ejde-38	213	19	0	0	NUM
ejde-38	213	20	∞	∞	NOUN
ejde-38	213	21	,	,	PUNCT
ejde-38	213	22	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	213	23	and	and	CCONJ
ejde-38	213	24	ξ∗(γ	ξ∗(γ	NUM
ejde-38	213	25	)	)	PUNCT
ejde-38	213	26	=	=	SYM
ejde-38	213	27	sup	sup	NOUN
ejde-38	213	28	(	(	PUNCT
ejde-38	213	29	ϕ,ψ)∈cb(x)×rn	ϕ,ψ)∈cb(x)×rn	INTJ
ejde-38	213	30	(	(	PUNCT
ejde-38	213	31	∫	∫	PROPN
ejde-38	213	32	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	213	33	(	(	PUNCT
ejde-38	213	34	−ϕ(x)−	−ϕ(x)−	NOUN
ejde-38	213	35	ψ	ψ	NOUN
ejde-38	213	36	)	)	PUNCT
ejde-38	213	37	dγ	dγ	ADP
ejde-38	214	1	+	+	X
ejde-38	214	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	214	3	x	x	SYM
ejde-38	214	4	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	214	5	f	f	PROPN
ejde-38	214	6	∗(−ψ	∗(−ψ	NOUN
ejde-38	214	7	)	)	PUNCT
ejde-38	214	8	)	)	PUNCT
ejde-38	215	1	=	=	PRON
ejde-38	215	2	{	{	PUNCT
ejde-38	215	3	supψ	supψ	NOUN
ejde-38	215	4	(	(	PUNCT
ejde-38	215	5	〈	〈	PROPN
ejde-38	215	6	−ψ	−ψ	PROPN
ejde-38	215	7	,	,	PUNCT
ejde-38	215	8	λ	λ	NOUN
ejde-38	215	9	〉	〉	NOUN
ejde-38	215	10	−	−	NOUN
ejde-38	215	11	f	f	PROPN
ejde-38	215	12	∗(−ψ	∗(−ψ	NOUN
ejde-38	215	13	)	)	PUNCT
ejde-38	215	14	)	)	PUNCT
ejde-38	216	1	=	=	PUNCT
ejde-38	216	2	f	f	X
ejde-38	216	3	∗∗(λ	∗∗(λ	ADV
ejde-38	216	4	)	)	PUNCT
ejde-38	217	1	=	=	SYM
ejde-38	217	2	f	f	X
ejde-38	217	3	(	(	PUNCT
ejde-38	217	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	217	5	)	)	PUNCT
ejde-38	217	6	,	,	PUNCT
ejde-38	217	7	(	(	PUNCT
ejde-38	217	8	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	217	9	=	=	SYM
ejde-38	217	10	µ	µ	NOUN
ejde-38	217	11	,	,	PUNCT
ejde-38	217	12	(	(	PUNCT
ejde-38	217	13	πy	πy	NOUN
ejde-38	217	14	)	)	PUNCT
ejde-38	217	15	#	#	SYM
ejde-38	217	16	γ	γ	X
ejde-38	217	17	=	=	X
ejde-38	217	18	νλ	νλ	NOUN
ejde-38	217	19	∞	∞	PROPN
ejde-38	217	20	,	,	PUNCT
ejde-38	217	21	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	217	22	where	where	SCONJ
ejde-38	217	23	we	we	PRON
ejde-38	217	24	used	use	VERB
ejde-38	217	25	convexity	convexity	NOUN
ejde-38	217	26	of	of	ADP
ejde-38	217	27	f	f	PROPN
ejde-38	217	28	in	in	ADP
ejde-38	217	29	the	the	DET
ejde-38	217	30	last	last	ADJ
ejde-38	217	31	line	line	NOUN
ejde-38	217	32	above	above	ADV
ejde-38	217	33	.	.	PUNCT
ejde-38	218	1	next	next	ADV
ejde-38	218	2	we	we	PRON
ejde-38	218	3	find	find	VERB
ejde-38	218	4	(	(	PUNCT
ejde-38	218	5	where	where	SCONJ
ejde-38	218	6	by	by	ADP
ejde-38	218	7	an	an	DET
ejde-38	218	8	abuse	abuse	NOUN
ejde-38	218	9	of	of	ADP
ejde-38	218	10	notation	notation	NOUN
ejde-38	218	11	we	we	PRON
ejde-38	218	12	will	will	AUX
ejde-38	218	13	write	write	VERB
ejde-38	218	14	−ϕ−ψ	−ϕ−ψ	PROPN
ejde-38	218	15	≤	≤	PROPN
ejde-38	218	16	c	c	NOUN
ejde-38	218	17	to	to	PART
ejde-38	218	18	denote	denote	VERB
ejde-38	218	19	−ϕ(x)−	−ϕ(x)−	NOUN
ejde-38	218	20	ψj	ψj	ADV
ejde-38	218	21	≤	≤	ADJ
ejde-38	218	22	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	218	23	,	,	PUNCT
ejde-38	218	24	yj	yj	PROPN
ejde-38	218	25	)	)	PUNCT
ejde-38	218	26	for	for	ADP
ejde-38	218	27	all	all	PRON
ejde-38	218	28	x	x	SYM
ejde-38	218	29	∈	∈	PROPN
ejde-38	218	30	x	x	X
ejde-38	218	31	and	and	CCONJ
ejde-38	218	32	1	1	NUM
ejde-38	218	33	≤	≤	NUM
ejde-38	218	34	j	j	PROPN
ejde-38	218	35	≤	≤	PROPN
ejde-38	218	36	n	n	CCONJ
ejde-38	218	37	)	)	PUNCT
ejde-38	218	38	inf	inf	NOUN
ejde-38	218	39	z∈e	z∈e	NOUN
ejde-38	218	40	(	(	PUNCT
ejde-38	218	41	θ(z	θ(z	NOUN
ejde-38	218	42	)	)	PUNCT
ejde-38	218	43	+	+	CCONJ
ejde-38	218	44	ξ(z	ξ(z	NOUN
ejde-38	218	45	)	)	PUNCT
ejde-38	218	46	)	)	PUNCT
ejde-38	219	1	=	=	SYM
ejde-38	219	2	inf	inf	PROPN
ejde-38	219	3	ϕ̃+ψ̃≤c	ϕ̃+ψ̃≤c	PUNCT
ejde-38	219	4	(	(	PUNCT
ejde-38	219	5	−	−	PROPN
ejde-38	219	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	219	7	x	x	PROPN
ejde-38	220	1	ϕ̃	ϕ̃	PROPN
ejde-38	220	2	dµ+	dµ+	NOUN
ejde-38	220	3	f	f	PROPN
ejde-38	220	4	∗(−ψ̃	∗(−ψ̃	PROPN
ejde-38	220	5	)	)	PUNCT
ejde-38	220	6	)	)	PUNCT
ejde-38	221	1	=	=	PUNCT
ejde-38	221	2	−	−	NOUN
ejde-38	221	3	sup	sup	NOUN
ejde-38	221	4	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	PROPN
ejde-38	221	5	(	(	PUNCT
ejde-38	221	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	221	7	x	x	X
ejde-38	221	8	(	(	PUNCT
ejde-38	221	9	−ϕ	−ϕ	ADV
ejde-38	221	10	)	)	PUNCT
ejde-38	221	11	dµ−	dµ−	SYM
ejde-38	221	12	f	f	PROPN
ejde-38	221	13	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	221	14	)	)	PUNCT
ejde-38	221	15	)	)	PUNCT
ejde-38	221	16	.	.	PUNCT
ejde-38	222	1	hence	hence	ADV
ejde-38	222	2	by	by	ADP
ejde-38	222	3	the	the	DET
ejde-38	222	4	fenchel	fenchel	PROPN
ejde-38	222	5	-	-	PUNCT
ejde-38	222	6	rockafellar	rockafellar	ADJ
ejde-38	222	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	222	8	(	(	PUNCT
ejde-38	222	9	see	see	VERB
ejde-38	222	10	[	[	X
ejde-38	222	11	11	11	NUM
ejde-38	222	12	,	,	PUNCT
ejde-38	222	13	theorem	theorem	VERB
ejde-38	222	14	1.9	1.9	NUM
ejde-38	222	15	]	]	PUNCT
ejde-38	222	16	)	)	PUNCT
ejde-38	222	17	we	we	PRON
ejde-38	222	18	have	have	VERB
ejde-38	222	19	sup	sup	NOUN
ejde-38	222	20	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	222	21	(	(	PUNCT
ejde-38	222	22	−	−	PROPN
ejde-38	222	23	∫	∫	PROPN
ejde-38	222	24	x	x	SYM
ejde-38	222	25	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	222	26	f	f	PROPN
ejde-38	222	27	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	222	28	)	)	PUNCT
ejde-38	222	29	)	)	PUNCT
ejde-38	223	1	=	=	SYM
ejde-38	223	2	−	−	PROPN
ejde-38	223	3	inf	inf	PROPN
ejde-38	223	4	z∈e	z∈e	NOUN
ejde-38	223	5	(	(	PUNCT
ejde-38	223	6	θ(z	θ(z	NOUN
ejde-38	223	7	)	)	PUNCT
ejde-38	223	8	+	+	CCONJ
ejde-38	223	9	ξ(z	ξ(z	NOUN
ejde-38	223	10	)	)	PUNCT
ejde-38	223	11	)	)	PUNCT
ejde-38	224	1	=	=	SYM
ejde-38	224	2	min	min	NOUN
ejde-38	224	3	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	224	4	,	,	PUNCT
ejde-38	224	5	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	224	6	)	)	PUNCT
ejde-38	224	7	(	(	PUNCT
ejde-38	224	8	∫	∫	PROPN
ejde-38	224	9	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	224	10	c	c	PROPN
ejde-38	225	1	dγ	dγ	ADP
ejde-38	225	2	+	+	X
ejde-38	225	3	f	f	X
ejde-38	225	4	(	(	PUNCT
ejde-38	225	5	λ	λ	NOUN
ejde-38	225	6	)	)	PUNCT
ejde-38	225	7	)	)	PUNCT
ejde-38	225	8	proving	prove	VERB
ejde-38	225	9	(	(	PUNCT
ejde-38	225	10	3.2	3.2	NUM
ejde-38	225	11	)	)	PUNCT
ejde-38	225	12	in	in	ADP
ejde-38	225	13	this	this	DET
ejde-38	225	14	case	case	NOUN
ejde-38	225	15	.	.	PUNCT
ejde-38	226	1	next	next	ADJ
ejde-38	226	2	assume	assume	VERB
ejde-38	226	3	x	x	PUNCT
ejde-38	226	4	is	be	AUX
ejde-38	226	5	a	a	DET
ejde-38	226	6	general	general	ADJ
ejde-38	226	7	polish	polish	ADJ
ejde-38	226	8	space	space	NOUN
ejde-38	226	9	,	,	PUNCT
ejde-38	226	10	but	but	CCONJ
ejde-38	226	11	c	c	X
ejde-38	226	12	∈	∈	PROPN
ejde-38	226	13	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	226	14	×	×	PROPN
ejde-38	226	15	y	y	PROPN
ejde-38	226	16	)	)	PUNCT
ejde-38	226	17	is	be	AUX
ejde-38	226	18	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	226	19	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	226	20	;	;	PUNCT
ejde-38	226	21	again	again	ADV
ejde-38	226	22	we	we	PRON
ejde-38	226	23	may	may	AUX
ejde-38	226	24	assume	assume	VERB
ejde-38	226	25	c	c	PROPN
ejde-38	226	26	≥	≥	NOUN
ejde-38	226	27	0	0	NUM
ejde-38	226	28	.	.	PUNCT
ejde-38	227	1	fix	fix	VERB
ejde-38	227	2	ε	ε	PROPN
ejde-38	227	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	227	4	(	(	PUNCT
ejde-38	227	5	0	0	NUM
ejde-38	227	6	,	,	PUNCT
ejde-38	227	7	1	1	NUM
ejde-38	227	8	)	)	PUNCT
ejde-38	227	9	,	,	PUNCT
ejde-38	227	10	then	then	ADV
ejde-38	227	11	by	by	ADP
ejde-38	227	12	ulam	ulam	PROPN
ejde-38	227	13	’s	’s	PART
ejde-38	227	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	227	15	there	there	PRON
ejde-38	227	16	exists	exist	VERB
ejde-38	227	17	a	a	DET
ejde-38	227	18	compact	compact	ADJ
ejde-38	227	19	k	k	X
ejde-38	227	20	⊂	⊂	X
ejde-38	227	21	x	x	PUNCT
ejde-38	227	22	such	such	ADJ
ejde-38	227	23	that	that	SCONJ
ejde-38	227	24	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	227	25	)	)	PUNCT
ejde-38	227	26	>	>	X
ejde-38	227	27	1−ε	1−ε	NUM
ejde-38	227	28	>	>	X
ejde-38	227	29	0	0	X
ejde-38	227	30	.	.	PUNCT
ejde-38	228	1	let	let	VERB
ejde-38	228	2	us	we	PRON
ejde-38	228	3	define	define	VERB
ejde-38	228	4	µ̃	µ̃	PROPN
ejde-38	228	5	:	:	PUNCT
ejde-38	228	6	=	=	SYM
ejde-38	228	7	1kµ	1kµ	NOUN
ejde-38	228	8	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	228	9	)	)	PUNCT
ejde-38	228	10	,	,	PUNCT
ejde-38	228	11	then	then	ADV
ejde-38	228	12	by	by	ADP
ejde-38	228	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	228	14	2.3	2.3	NUM
ejde-38	228	15	there	there	PRON
ejde-38	228	16	is	be	VERB
ejde-38	228	17	a	a	DET
ejde-38	228	18	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	228	19	(	(	PUNCT
ejde-38	228	20	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	228	21	,	,	PUNCT
ejde-38	228	22	λ	λ	NOUN
ejde-38	228	23	)	)	PUNCT
ejde-38	228	24	of	of	ADP
ejde-38	228	25	(	(	PUNCT
ejde-38	228	26	1.3	1.3	NUM
ejde-38	228	27	)	)	PUNCT
ejde-38	228	28	with	with	ADP
ejde-38	228	29	µ̃	µ̃	PROPN
ejde-38	228	30	and	and	CCONJ
ejde-38	228	31	the	the	DET
ejde-38	228	32	restriction	restriction	NOUN
ejde-38	228	33	of	of	ADP
ejde-38	228	34	c	c	PROPN
ejde-38	228	35	to	to	ADP
ejde-38	228	36	k	k	PROPN
ejde-38	228	37	×	×	PROPN
ejde-38	228	38	y	y	PROPN
ejde-38	228	39	replacing	replace	VERB
ejde-38	228	40	µ	µ	PRON
ejde-38	228	41	and	and	CCONJ
ejde-38	228	42	c.	c.	NOUN
ejde-38	228	43	then	then	ADV
ejde-38	228	44	we	we	PRON
ejde-38	228	45	can	can	AUX
ejde-38	228	46	apply	apply	VERB
ejde-38	228	47	the	the	DET
ejde-38	228	48	first	first	ADJ
ejde-38	228	49	case	case	NOUN
ejde-38	228	50	above	above	ADV
ejde-38	228	51	to	to	PART
ejde-38	228	52	find	find	VERB
ejde-38	228	53	(	(	PUNCT
ejde-38	228	54	ϕ̃	ϕ̃	PROPN
ejde-38	228	55	,	,	PUNCT
ejde-38	228	56	ψ̃	ψ̃	PROPN
ejde-38	228	57	)	)	PUNCT
ejde-38	228	58	∈	∈	PROPN
ejde-38	228	59	cb(k)×	cb(k)×	PROPN
ejde-38	228	60	rn	rn	PROPN
ejde-38	228	61	,	,	PUNCT
ejde-38	228	62	admissible	admissible	ADJ
ejde-38	228	63	in	in	ADP
ejde-38	228	64	(	(	PUNCT
ejde-38	228	65	3.1	3.1	NUM
ejde-38	228	66	)	)	PUNCT
ejde-38	228	67	,	,	PUNCT
ejde-38	228	68	satisfying	satisfy	VERB
ejde-38	228	69	−	−	PROPN
ejde-38	228	70	∫	∫	PROPN
ejde-38	229	1	x	x	X
ejde-38	229	2	ϕ̃	ϕ̃	PROPN
ejde-38	229	3	dµ̃−	dµ̃−	NOUN
ejde-38	229	4	f	f	PROPN
ejde-38	229	5	∗(ψ̃	∗(ψ̃	NOUN
ejde-38	229	6	)	)	PUNCT
ejde-38	229	7	≥	≥	PROPN
ejde-38	229	8	∫	∫	PROPN
ejde-38	229	9	k×y	k×y	PROPN
ejde-38	229	10	c	c	NOUN
ejde-38	229	11	dγ̃	dγ̃	NOUN
ejde-38	230	1	+	+	X
ejde-38	230	2	f	f	X
ejde-38	230	3	(	(	PUNCT
ejde-38	230	4	λ)−	λ)−	PROPN
ejde-38	230	5	ε	ε	PROPN
ejde-38	230	6	≥	≥	NOUN
ejde-38	230	7	min	min	PROPN
ejde-38	230	8	λ	λ	X
ejde-38	230	9	f	f	X
ejde-38	230	10	−	−	PROPN
ejde-38	230	11	ε	ε	PROPN
ejde-38	230	12	=	=	SYM
ejde-38	230	13	−f	−f	PROPN
ejde-38	230	14	∗(0)−	∗(0)−	PROPN
ejde-38	230	15	ε	ε	PROPN
ejde-38	230	16	,	,	PUNCT
ejde-38	230	17	where	where	SCONJ
ejde-38	230	18	by	by	ADP
ejde-38	230	19	an	an	DET
ejde-38	230	20	abuse	abuse	NOUN
ejde-38	230	21	of	of	ADP
ejde-38	230	22	notation	notation	NOUN
ejde-38	230	23	we	we	PRON
ejde-38	230	24	identify	identify	VERB
ejde-38	230	25	the	the	DET
ejde-38	230	26	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	230	27	measure	measure	NOUN
ejde-38	230	28	(	(	PUNCT
ejde-38	230	29	πy	πy	NOUN
ejde-38	230	30	)	)	PUNCT
ejde-38	230	31	#	#	SYM
ejde-38	230	32	γ	γ	NOUN
ejde-38	230	33	with	with	ADP
ejde-38	230	34	its	its	PRON
ejde-38	230	35	vector	vector	NOUN
ejde-38	230	36	of	of	ADP
ejde-38	230	37	weights	weight	NOUN
ejde-38	230	38	in	in	ADP
ejde-38	230	39	λ	λ	NOUN
ejde-38	230	40	,	,	PUNCT
ejde-38	230	41	and	and	CCONJ
ejde-38	230	42	we	we	PRON
ejde-38	230	43	have	have	AUX
ejde-38	230	44	used	use	VERB
ejde-38	230	45	[	[	PUNCT
ejde-38	230	46	9	9	NUM
ejde-38	230	47	,	,	PUNCT
ejde-38	230	48	theorem	theorem	VERB
ejde-38	230	49	27.1	27.1	NUM
ejde-38	230	50	]	]	PUNCT
ejde-38	230	51	to	to	PART
ejde-38	230	52	obtain	obtain	VERB
ejde-38	230	53	the	the	DET
ejde-38	230	54	final	final	ADJ
ejde-38	230	55	ejde-2023/22	ejde-2023/22	NOUN
ejde-38	230	56	an	an	DET
ejde-38	230	57	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	230	58	transport	transport	NOUN
ejde-38	230	59	problem	problem	NOUN
ejde-38	230	60	9	9	NUM
ejde-38	230	61	equality	equality	NOUN
ejde-38	230	62	.	.	PUNCT
ejde-38	231	1	in	in	ADP
ejde-38	231	2	particular	particular	ADJ
ejde-38	231	3	,	,	PUNCT
ejde-38	231	4	this	this	PRON
ejde-38	231	5	shows	show	VERB
ejde-38	231	6	that	that	SCONJ
ejde-38	231	7	for	for	ADP
ejde-38	231	8	some	some	DET
ejde-38	231	9	x0	x0	PROPN
ejde-38	231	10	∈	∈	PROPN
ejde-38	232	1	k	k	NOUN
ejde-38	232	2	,	,	PUNCT
ejde-38	232	3	we	we	PRON
ejde-38	232	4	have	have	VERB
ejde-38	232	5	−ϕ̃(x0)−f	−ϕ̃(x0)−f	ADP
ejde-38	232	6	∗(ψ̃	∗(ψ̃	NOUN
ejde-38	232	7	)	)	PUNCT
ejde-38	232	8	≥	≥	NOUN
ejde-38	232	9	−f	−f	NOUN
ejde-38	232	10	∗(0)−1	∗(0)−1	NOUN
ejde-38	232	11	,	,	PUNCT
ejde-38	232	12	then	then	ADV
ejde-38	232	13	by	by	ADP
ejde-38	232	14	adding	add	VERB
ejde-38	232	15	a	a	DET
ejde-38	232	16	constant	constant	ADJ
ejde-38	232	17	to	to	ADP
ejde-38	232	18	ϕ̃	ϕ̃	PROPN
ejde-38	232	19	and	and	CCONJ
ejde-38	232	20	subtracting	subtract	VERB
ejde-38	232	21	the	the	DET
ejde-38	232	22	same	same	ADJ
ejde-38	232	23	multiple	multiple	NOUN
ejde-38	232	24	of	of	ADP
ejde-38	232	25	1	1	NUM
ejde-38	232	26	from	from	ADP
ejde-38	232	27	ψ̃	ψ̃	NOUN
ejde-38	232	28	,	,	PUNCT
ejde-38	232	29	by	by	ADP
ejde-38	232	30	(	(	PUNCT
ejde-38	232	31	3.3	3.3	NUM
ejde-38	232	32	)	)	PUNCT
ejde-38	232	33	we	we	PRON
ejde-38	232	34	may	may	AUX
ejde-38	232	35	assume	assume	VERB
ejde-38	232	36	min	min	NOUN
ejde-38	232	37	(	(	PUNCT
ejde-38	232	38	−	−	PROPN
ejde-38	232	39	ϕ̃(x0),−f	ϕ̃(x0),−f	NOUN
ejde-38	232	40	∗(ψ̃	∗(ψ̃	NOUN
ejde-38	232	41	)	)	PUNCT
ejde-38	232	42	)	)	PUNCT
ejde-38	232	43	≥	≥	X
ejde-38	233	1	−f	−f	PROPN
ejde-38	233	2	∗(0)+1	∗(0)+1	PROPN
ejde-38	233	3	2	2	NUM
ejde-38	233	4	.	.	PUNCT
ejde-38	234	1	then	then	ADV
ejde-38	234	2	for	for	ADP
ejde-38	234	3	any	any	DET
ejde-38	234	4	index	index	NOUN
ejde-38	234	5	j	j	PROPN
ejde-38	234	6	,	,	PUNCT
ejde-38	234	7	we	we	PRON
ejde-38	234	8	have	have	VERB
ejde-38	234	9	ψ̃j	ψ̃j	ADP
ejde-38	234	10	≥	≥	NOUN
ejde-38	234	11	−c(x0	−c(x0	PROPN
ejde-38	234	12	,	,	PUNCT
ejde-38	234	13	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	234	14	ϕ̃(x0	ϕ̃(x0	PROPN
ejde-38	234	15	)	)	PUNCT
ejde-38	234	16	≥	≥	NOUN
ejde-38	234	17	−	−	NOUN
ejde-38	234	18	sup	sup	NOUN
ejde-38	234	19	|c|−	|c|−	ADP
ejde-38	234	20	f∗(0)+1	f∗(0)+1	NOUN
ejde-38	234	21	2	2	NUM
ejde-38	234	22	.	.	PUNCT
ejde-38	235	1	on	on	ADP
ejde-38	235	2	the	the	DET
ejde-38	235	3	other	other	ADJ
ejde-38	235	4	hand	hand	NOUN
ejde-38	235	5	,	,	PUNCT
ejde-38	235	6	since	since	SCONJ
ejde-38	235	7	f	f	PROPN
ejde-38	235	8	is	be	AUX
ejde-38	235	9	proper	proper	ADJ
ejde-38	235	10	,	,	PUNCT
ejde-38	235	11	there	there	PRON
ejde-38	235	12	exists	exist	VERB
ejde-38	235	13	at	at	ADP
ejde-38	235	14	least	least	ADV
ejde-38	235	15	one	one	NUM
ejde-38	235	16	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	235	17	∈	∈	NOUN
ejde-38	235	18	λ	λ	NOUN
ejde-38	235	19	for	for	ADP
ejde-38	235	20	which	which	PRON
ejde-38	235	21	f	f	X
ejde-38	235	22	(	(	PUNCT
ejde-38	235	23	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	235	24	)	)	PUNCT
ejde-38	235	25	<	<	X
ejde-38	235	26	∞	∞	PROPN
ejde-38	235	27	,	,	PUNCT
ejde-38	235	28	thus	thus	ADV
ejde-38	235	29	we	we	PRON
ejde-38	235	30	have	have	VERB
ejde-38	235	31	f	f	PROPN
ejde-38	235	32	∗(rλ0	∗(rλ0	PROPN
ejde-38	235	33	)	)	PUNCT
ejde-38	235	34	≥	≥	NOUN
ejde-38	235	35	〈	〈	PROPN
ejde-38	235	36	rλ0	rλ0	NOUN
ejde-38	235	37	,	,	PUNCT
ejde-38	235	38	λ0	λ0	VERB
ejde-38	235	39	〉	〉	NOUN
ejde-38	236	1	−	−	PROPN
ejde-38	237	1	f	f	PROPN
ejde-38	238	1	(	(	PUNCT
ejde-38	238	2	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	238	3	)	)	PUNCT
ejde-38	238	4	→	→	SYM
ejde-38	238	5	∞	∞	NUM
ejde-38	238	6	as	as	ADP
ejde-38	238	7	r	r	NOUN
ejde-38	238	8	→	→	SYM
ejde-38	238	9	∞.	∞.	PROPN
ejde-38	238	10	since	since	SCONJ
ejde-38	238	11	f	f	PROPN
ejde-38	238	12	∗(ψ̃	∗(ψ̃	PROPN
ejde-38	238	13	)	)	PUNCT
ejde-38	238	14	is	be	AUX
ejde-38	238	15	bounded	bound	VERB
ejde-38	238	16	from	from	ADP
ejde-38	238	17	above	above	ADV
ejde-38	238	18	,	,	PUNCT
ejde-38	238	19	this	this	PRON
ejde-38	238	20	shows	show	VERB
ejde-38	238	21	that	that	SCONJ
ejde-38	238	22	〈	〈	PROPN
ejde-38	238	23	ψ̃	ψ̃	NOUN
ejde-38	238	24	,	,	PUNCT
ejde-38	238	25	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	238	26	〉	〉	NOUN
ejde-38	238	27	has	have	VERB
ejde-38	238	28	an	an	DET
ejde-38	238	29	upper	upper	ADJ
ejde-38	238	30	bound	bind	VERB
ejde-38	238	31	,	,	PUNCT
ejde-38	238	32	independent	independent	ADJ
ejde-38	238	33	of	of	ADP
ejde-38	238	34	ε	ε	PROPN
ejde-38	238	35	.	.	PUNCT
ejde-38	239	1	combined	combine	VERB
ejde-38	239	2	with	with	ADP
ejde-38	239	3	the	the	DET
ejde-38	239	4	previous	previous	ADJ
ejde-38	239	5	line	line	NOUN
ejde-38	239	6	,	,	PUNCT
ejde-38	239	7	there	there	PRON
ejde-38	239	8	exists	exist	VERB
ejde-38	239	9	some	some	DET
ejde-38	239	10	fixed	fix	VERB
ejde-38	239	11	index	index	NOUN
ejde-38	239	12	j	j	PROPN
ejde-38	239	13	and	and	CCONJ
ejde-38	239	14	m	m	PROPN
ejde-38	239	15	>	>	X
ejde-38	239	16	0	0	PUNCT
ejde-38	239	17	independent	independent	ADJ
ejde-38	239	18	of	of	ADP
ejde-38	239	19	ε	ε	PROPN
ejde-38	239	20	such	such	ADJ
ejde-38	239	21	that	that	SCONJ
ejde-38	239	22	|ψ̃j	|ψ̃j	PROPN
ejde-38	239	23	|	|	ADV
ejde-38	239	24	≤	≤	NUM
ejde-38	239	25	m	m	VERB
ejde-38	239	26	.	.	PUNCT
ejde-38	240	1	in	in	ADP
ejde-38	240	2	turn	turn	NOUN
ejde-38	240	3	,	,	PUNCT
ejde-38	240	4	this	this	PRON
ejde-38	240	5	shows	show	VERB
ejde-38	240	6	supx	supx	VERB
ejde-38	240	7	|ψ̃c	|ψ̃c	NOUN
ejde-38	240	8	∗	∗	VERB
ejde-38	240	9	|	|	ADV
ejde-38	240	10	≤	≤	NUM
ejde-38	240	11	supx×y	supx×y	NOUN
ejde-38	240	12	|c|	|c|	PROPN
ejde-38	241	1	+	+	X
ejde-38	241	2	m	m	NOUN
ejde-38	241	3	,	,	PUNCT
ejde-38	241	4	and	and	CCONJ
ejde-38	241	5	we	we	PRON
ejde-38	241	6	calculate	calculate	VERB
ejde-38	241	7	−	−	PROPN
ejde-38	241	8	∫	∫	PROPN
ejde-38	241	9	x	x	SYM
ejde-38	241	10	ψ̃c	ψ̃c	PROPN
ejde-38	241	11	∗	∗	ADP
ejde-38	241	12	dµ−	dµ−	NOUN
ejde-38	241	13	f	f	NOUN
ejde-38	241	14	∗(ψ̃	∗(ψ̃	PROPN
ejde-38	241	15	)	)	PUNCT
ejde-38	242	1	=	=	SYM
ejde-38	242	2	−µ(k	−µ(k	PROPN
ejde-38	242	3	)	)	PUNCT
ejde-38	242	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	243	1	k	k	PROPN
ejde-38	243	2	ψ̃c	ψ̃c	PROPN
ejde-38	243	3	∗	∗	NOUN
ejde-38	243	4	dµ̃−	dµ̃−	NOUN
ejde-38	243	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	243	6	x\k	x\k	PUNCT
ejde-38	244	1	ψ̃c	ψ̃c	PROPN
ejde-38	244	2	∗	∗	ADP
ejde-38	244	3	dµ−	dµ−	X
ejde-38	244	4	f	f	NOUN
ejde-38	244	5	∗(ψ̃	∗(ψ̃	PROPN
ejde-38	244	6	)	)	PUNCT
ejde-38	244	7	≥	≥	NOUN
ejde-38	244	8	−µ(k	−µ(k	PROPN
ejde-38	244	9	)	)	PUNCT
ejde-38	244	10	∫	∫	PROPN
ejde-38	245	1	k	k	PROPN
ejde-38	245	2	ϕ̃	ϕ̃	PROPN
ejde-38	245	3	dµ̃−	dµ̃−	NOUN
ejde-38	245	4	µ(x	µ(x	ADJ
ejde-38	245	5	\k	\k	NOUN
ejde-38	245	6	)	)	PUNCT
ejde-38	245	7	sup	sup	NOUN
ejde-38	245	8	x	x	SYM
ejde-38	245	9	|ψ̃c	|ψ̃c	NOUN
ejde-38	245	10	∗	∗	VERB
ejde-38	245	11	|	|	ADV
ejde-38	245	12	−	−	PROPN
ejde-38	245	13	f	f	PROPN
ejde-38	245	14	∗(ψ̃	∗(ψ̃	PROPN
ejde-38	245	15	)	)	PUNCT
ejde-38	245	16	≥	≥	NOUN
ejde-38	245	17	(	(	PUNCT
ejde-38	245	18	1−	1−	NUM
ejde-38	245	19	ε	ε	PROPN
ejde-38	245	20	)	)	PUNCT
ejde-38	245	21	(	(	PUNCT
ejde-38	245	22	∫	∫	PROPN
ejde-38	245	23	k×y	k×y	PROPN
ejde-38	245	24	c	c	NOUN
ejde-38	245	25	dγ̃	dγ̃	NOUN
ejde-38	246	1	+	+	X
ejde-38	246	2	f	f	X
ejde-38	246	3	(	(	PUNCT
ejde-38	246	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	246	5	)	)	PUNCT
ejde-38	246	6	)	)	PUNCT
ejde-38	246	7	−	−	ADP
ejde-38	246	8	ε(1	ε(1	ADV
ejde-38	246	9	+	+	NUM
ejde-38	246	10	sup	sup	NOUN
ejde-38	246	11	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	246	12	|c|+m	|c|+m	NOUN
ejde-38	246	13	+	+	CCONJ
ejde-38	246	14	f	f	PROPN
ejde-38	246	15	∗(0	∗(0	PROPN
ejde-38	246	16	)	)	PUNCT
ejde-38	247	1	+	+	CCONJ
ejde-38	247	2	1	1	NUM
ejde-38	247	3	2	2	NUM
ejde-38	247	4	)	)	PUNCT
ejde-38	247	5	.	.	PUNCT
ejde-38	248	1	(	(	PUNCT
ejde-38	248	2	3.4	3.4	NUM
ejde-38	248	3	)	)	PUNCT
ejde-38	248	4	now	now	ADV
ejde-38	248	5	define	define	VERB
ejde-38	248	6	γ	γ	X
ejde-38	248	7	:	:	PUNCT
ejde-38	248	8	=	=	SYM
ejde-38	248	9	µ(k)γ̃+	µ(k)γ̃+	PROPN
ejde-38	248	10	(	(	PUNCT
ejde-38	248	11	µ⊗νλ)1(x\k)×y	µ⊗νλ)1(x\k)×y	NUM
ejde-38	248	12	.	.	PUNCT
ejde-38	249	1	for	for	ADP
ejde-38	249	2	a	a	DET
ejde-38	249	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	249	4	x	x	X
ejde-38	249	5	and	and	CCONJ
ejde-38	249	6	b	b	X
ejde-38	249	7	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	249	8	y	y	PROPN
ejde-38	249	9	borel	borel	PROPN
ejde-38	249	10	we	we	PRON
ejde-38	249	11	have	have	VERB
ejde-38	249	12	γ(a×	γ(a×	PRON
ejde-38	249	13	y	y	PROPN
ejde-38	249	14	)	)	PUNCT
ejde-38	250	1	=	=	PUNCT
ejde-38	250	2	µ(k)γ̃(a×	µ(k)γ̃(a×	NOUN
ejde-38	250	3	y	y	NOUN
ejde-38	250	4	)	)	PUNCT
ejde-38	251	1	+	+	CCONJ
ejde-38	251	2	µ(a	µ(a	PROPN
ejde-38	251	3	\k	\k	NOUN
ejde-38	251	4	)	)	PUNCT
ejde-38	252	1	=	=	SYM
ejde-38	252	2	µ(a	µ(a	PROPN
ejde-38	252	3	∩k	∩k	NOUN
ejde-38	252	4	)	)	PUNCT
ejde-38	253	1	+	+	CCONJ
ejde-38	253	2	µ(a	µ(a	PROPN
ejde-38	253	3	\k	\k	NOUN
ejde-38	253	4	)	)	PUNCT
ejde-38	253	5	=	=	SYM
ejde-38	254	1	µ(a	µ(a	PROPN
ejde-38	254	2	)	)	PUNCT
ejde-38	254	3	,	,	PUNCT
ejde-38	254	4	γ(x	γ(x	NOUN
ejde-38	254	5	×b	×b	NOUN
ejde-38	254	6	)	)	PUNCT
ejde-38	254	7	=	=	PUNCT
ejde-38	254	8	µ(k)γ̃(x	µ(k)γ̃(x	NOUN
ejde-38	254	9	×b	×b	NOUN
ejde-38	254	10	)	)	PUNCT
ejde-38	255	1	+	+	CCONJ
ejde-38	255	2	µ(x	µ(x	ADJ
ejde-38	255	3	\k)νλ(b	\k)νλ(b	ADJ
ejde-38	255	4	)	)	PUNCT
ejde-38	255	5	=	=	SYM
ejde-38	256	1	µ(k)νλ(b	µ(k)νλ(b	NOUN
ejde-38	256	2	)	)	PUNCT
ejde-38	256	3	+	+	NOUN
ejde-38	256	4	µ(x	µ(x	VERB
ejde-38	256	5	\k)νλ(b	\k)νλ(b	ADJ
ejde-38	256	6	)	)	PUNCT
ejde-38	256	7	=	=	PUNCT
ejde-38	256	8	νλ(b	νλ(b	X
ejde-38	256	9	)	)	PUNCT
ejde-38	256	10	,	,	PUNCT
ejde-38	256	11	thus	thus	ADV
ejde-38	256	12	γ	γ	X
ejde-38	256	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	256	14	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	256	15	,	,	PUNCT
ejde-38	256	16	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	256	17	)	)	PUNCT
ejde-38	256	18	.	.	PUNCT
ejde-38	257	1	then∫	then∫	NOUN
ejde-38	257	2	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	258	1	c	c	PROPN
ejde-38	258	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	258	3	+	+	X
ejde-38	258	4	f	f	X
ejde-38	258	5	(	(	PUNCT
ejde-38	258	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	258	7	)	)	PUNCT
ejde-38	258	8	=	=	SYM
ejde-38	258	9	µ(k	µ(k	NOUN
ejde-38	258	10	)	)	PUNCT
ejde-38	258	11	∫	∫	PROPN
ejde-38	258	12	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	259	1	c	c	PROPN
ejde-38	259	2	dγ̃	dγ̃	PROPN
ejde-38	260	1	+	+	NUM
ejde-38	260	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	260	3	(	(	PUNCT
ejde-38	260	4	x\k)×y	x\k)×y	PROPN
ejde-38	260	5	c	c	PROPN
ejde-38	260	6	d(µ⊗	d(µ⊗	PROPN
ejde-38	260	7	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	260	8	)	)	PUNCT
ejde-38	261	1	+	+	CCONJ
ejde-38	261	2	f	f	X
ejde-38	261	3	(	(	PUNCT
ejde-38	261	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	261	5	)	)	PUNCT
ejde-38	261	6	≤	≤	NUM
ejde-38	261	7	∫	∫	PROPN
ejde-38	261	8	k×y	k×y	PROPN
ejde-38	261	9	c	c	NOUN
ejde-38	261	10	dγ̃	dγ̃	PROPN
ejde-38	262	1	+	+	X
ejde-38	262	2	f	f	X
ejde-38	262	3	(	(	PUNCT
ejde-38	262	4	λ	λ	X
ejde-38	262	5	)	)	PUNCT
ejde-38	262	6	+	+	CCONJ
ejde-38	262	7	µ(x	µ(x	ADJ
ejde-38	262	8	\k	\k	NOUN
ejde-38	262	9	)	)	PUNCT
ejde-38	262	10	sup	sup	NOUN
ejde-38	262	11	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	262	12	|c|	|c|	PROPN
ejde-38	262	13	≤	≤	NUM
ejde-38	262	14	∫	∫	PROPN
ejde-38	262	15	k×y	k×y	PROPN
ejde-38	262	16	c	c	NOUN
ejde-38	262	17	dγ̃	dγ̃	PROPN
ejde-38	263	1	+	+	X
ejde-38	263	2	f	f	X
ejde-38	263	3	(	(	PUNCT
ejde-38	263	4	λ	λ	X
ejde-38	263	5	)	)	PUNCT
ejde-38	263	6	+	+	NUM
ejde-38	263	7	ε	ε	PROPN
ejde-38	263	8	sup	sup	NOUN
ejde-38	263	9	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	263	10	|c|	|c|	PROPN
ejde-38	263	11	,	,	PUNCT
ejde-38	263	12	hence	hence	ADV
ejde-38	263	13	combining	combine	VERB
ejde-38	263	14	with	with	ADP
ejde-38	263	15	(	(	PUNCT
ejde-38	263	16	3.4	3.4	NUM
ejde-38	263	17	)	)	PUNCT
ejde-38	263	18	and	and	CCONJ
ejde-38	263	19	taking	take	VERB
ejde-38	263	20	ε→	ε→	NOUN
ejde-38	263	21	0	0	NUM
ejde-38	263	22	shows	show	NOUN
ejde-38	263	23	(	(	PUNCT
ejde-38	263	24	3.2	3.2	NUM
ejde-38	263	25	)	)	PUNCT
ejde-38	263	26	in	in	ADP
ejde-38	263	27	this	this	DET
ejde-38	263	28	case	case	NOUN
ejde-38	263	29	.	.	PUNCT
ejde-38	264	1	finally	finally	ADV
ejde-38	264	2	,	,	PUNCT
ejde-38	264	3	suppose	suppose	VERB
ejde-38	264	4	c	c	NOUN
ejde-38	264	5	is	be	AUX
ejde-38	264	6	lower	low	ADJ
ejde-38	264	7	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	264	8	,	,	PUNCT
ejde-38	264	9	considering	consider	VERB
ejde-38	264	10	c	c	X
ejde-38	264	11	−	−	PROPN
ejde-38	264	12	a	a	DET
ejde-38	264	13	we	we	PRON
ejde-38	264	14	can	can	AUX
ejde-38	264	15	assume	assume	VERB
ejde-38	264	16	c	c	PROPN
ejde-38	264	17	≥	≥	PROPN
ejde-38	264	18	0	0	NUM
ejde-38	264	19	.	.	PUNCT
ejde-38	265	1	by	by	ADP
ejde-38	265	2	[	[	X
ejde-38	265	3	4	4	NUM
ejde-38	265	4	,	,	PUNCT
ejde-38	265	5	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	265	6	1.34	1.34	NUM
ejde-38	265	7	]	]	PUNCT
ejde-38	265	8	,	,	PUNCT
ejde-38	265	9	c	c	PROPN
ejde-38	265	10	is	be	AUX
ejde-38	265	11	the	the	DET
ejde-38	265	12	limit	limit	NOUN
ejde-38	265	13	of	of	ADP
ejde-38	265	14	an	an	DET
ejde-38	265	15	increasing	increase	VERB
ejde-38	265	16	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	265	17	of	of	ADP
ejde-38	265	18	ck	ck	PROPN
ejde-38	265	19	∈	∈	PROPN
ejde-38	265	20	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	265	21	×	×	PROPN
ejde-38	265	22	y	y	PROPN
ejde-38	265	23	)	)	PUNCT
ejde-38	265	24	which	which	PRON
ejde-38	265	25	are	be	AUX
ejde-38	265	26	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	265	27	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	265	28	,	,	PUNCT
ejde-38	265	29	by	by	ADP
ejde-38	265	30	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	265	31	2.3	2.3	NUM
ejde-38	265	32	there	there	ADV
ejde-38	265	33	exist	exist	VERB
ejde-38	265	34	a	a	DET
ejde-38	265	35	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	265	36	of	of	ADP
ejde-38	265	37	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	265	38	(	(	PUNCT
ejde-38	265	39	γk	γk	NOUN
ejde-38	265	40	,	,	PUNCT
ejde-38	265	41	λk	λk	X
ejde-38	265	42	)	)	PUNCT
ejde-38	265	43	to	to	ADP
ejde-38	265	44	the	the	DET
ejde-38	265	45	associated	associated	ADJ
ejde-38	265	46	primal	primal	ADJ
ejde-38	265	47	problems	problem	NOUN
ejde-38	265	48	(	(	PUNCT
ejde-38	265	49	1.3	1.3	NUM
ejde-38	265	50	)	)	PUNCT
ejde-38	265	51	.	.	PUNCT
ejde-38	266	1	by	by	ADP
ejde-38	266	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	266	3	2.2	2.2	NUM
ejde-38	266	4	and	and	CCONJ
ejde-38	266	5	arguing	argue	VERB
ejde-38	266	6	as	as	ADP
ejde-38	266	7	in	in	ADP
ejde-38	266	8	(	(	PUNCT
ejde-38	266	9	2.1	2.1	NUM
ejde-38	266	10	)	)	PUNCT
ejde-38	266	11	,	,	PUNCT
ejde-38	266	12	we	we	PRON
ejde-38	266	13	extract	extract	VERB
ejde-38	266	14	a	a	DET
ejde-38	266	15	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	266	16	where	where	SCONJ
ejde-38	266	17	λk	λk	ADP
ejde-38	266	18	→	→	SYM
ejde-38	266	19	λ	λ	X
ejde-38	266	20	∈	∈	PROPN
ejde-38	266	21	λ	λ	PROPN
ejde-38	266	22	and	and	CCONJ
ejde-38	266	23	γk	γk	PROPN
ejde-38	266	24	converges	converge	VERB
ejde-38	266	25	weakly	weakly	ADV
ejde-38	266	26	to	to	ADP
ejde-38	266	27	γ	γ	PROPN
ejde-38	266	28	∈	∈	PROPN
ejde-38	266	29	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	266	30	,	,	PUNCT
ejde-38	266	31	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	266	32	)	)	PUNCT
ejde-38	266	33	.	.	PUNCT
ejde-38	267	1	arguing	argue	VERB
ejde-38	267	2	as	as	ADP
ejde-38	267	3	in	in	ADP
ejde-38	267	4	step	step	NOUN
ejde-38	267	5	3	3	NUM
ejde-38	267	6	of	of	ADP
ejde-38	267	7	the	the	DET
ejde-38	267	8	proof	proof	NOUN
ejde-38	267	9	of	of	ADP
ejde-38	267	10	[	[	X
ejde-38	267	11	11	11	NUM
ejde-38	267	12	,	,	PUNCT
ejde-38	267	13	theorem	theorem	VERB
ejde-38	267	14	1.3	1.3	NUM
ejde-38	267	15	]	]	PUNCT
ejde-38	267	16	and	and	CCONJ
ejde-38	267	17	using	use	VERB
ejde-38	267	18	the	the	DET
ejde-38	267	19	lower	low	ADJ
ejde-38	267	20	semicontinuity	semicontinuity	NOUN
ejde-38	267	21	of	of	ADP
ejde-38	267	22	f	f	PROPN
ejde-38	267	23	,	,	PUNCT
ejde-38	267	24	we	we	PRON
ejde-38	267	25	find	find	VERB
ejde-38	267	26	that	that	SCONJ
ejde-38	267	27	∫	∫	PROPN
ejde-38	267	28	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	267	29	c	c	PROPN
ejde-38	268	1	dγ	dγ	ADP
ejde-38	268	2	+	+	X
ejde-38	268	3	f	f	X
ejde-38	268	4	(	(	PUNCT
ejde-38	268	5	λ	λ	NOUN
ejde-38	268	6	)	)	PUNCT
ejde-38	268	7	≤	≤	PROPN
ejde-38	268	8	lim	lim	PROPN
ejde-38	268	9	infk→∞	infk→∞	PROPN
ejde-38	268	10	(	(	PUNCT
ejde-38	268	11	∫	∫	PROPN
ejde-38	268	12	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	268	13	ck	ck	PROPN
ejde-38	268	14	dγk	dγk	NOUN
ejde-38	269	1	+	+	CCONJ
ejde-38	269	2	f	f	X
ejde-38	269	3	(	(	PUNCT
ejde-38	269	4	λk	λk	NOUN
ejde-38	269	5	)	)	PUNCT
ejde-38	269	6	)	)	PUNCT
ejde-38	269	7	.	.	PUNCT
ejde-38	270	1	we	we	PRON
ejde-38	270	2	may	may	AUX
ejde-38	270	3	then	then	ADV
ejde-38	270	4	apply	apply	VERB
ejde-38	270	5	(	(	PUNCT
ejde-38	270	6	3.2	3.2	NUM
ejde-38	270	7	)	)	PUNCT
ejde-38	270	8	for	for	ADP
ejde-38	270	9	each	each	DET
ejde-38	270	10	ck	ck	PROPN
ejde-38	270	11	,	,	PUNCT
ejde-38	270	12	and	and	CCONJ
ejde-38	270	13	use	use	VERB
ejde-38	270	14	that	that	SCONJ
ejde-38	270	15	dual	dual	ADJ
ejde-38	270	16	pairs	pair	NOUN
ejde-38	270	17	admissible	admissible	ADJ
ejde-38	270	18	for	for	ADP
ejde-38	270	19	ck	ck	PROPN
ejde-38	270	20	are	be	AUX
ejde-38	270	21	admissible	admissible	ADJ
ejde-38	270	22	for	for	ADP
ejde-38	270	23	c	c	PROPN
ejde-38	270	24	(	(	PUNCT
ejde-38	270	25	since	since	SCONJ
ejde-38	270	26	ck	ck	INTJ
ejde-38	270	27	≤	≤	NUM
ejde-38	270	28	c	c	NOUN
ejde-38	270	29	)	)	PUNCT
ejde-38	270	30	to	to	PART
ejde-38	270	31	obtain	obtain	VERB
ejde-38	270	32	(	(	PUNCT
ejde-38	270	33	3.2	3.2	NUM
ejde-38	270	34	)	)	PUNCT
ejde-38	270	35	for	for	ADP
ejde-38	270	36	c	c	NOUN
ejde-38	270	37	,	,	PUNCT
ejde-38	270	38	finishing	finish	VERB
ejde-38	270	39	the	the	DET
ejde-38	270	40	proof	proof	NOUN
ejde-38	270	41	.	.	PUNCT
ejde-38	271	1	�	�	PROPN
ejde-38	271	2	we	we	PRON
ejde-38	271	3	will	will	AUX
ejde-38	271	4	now	now	ADV
ejde-38	271	5	show	show	VERB
ejde-38	271	6	the	the	DET
ejde-38	271	7	existence	existence	NOUN
ejde-38	271	8	of	of	ADP
ejde-38	271	9	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	271	10	for	for	ADP
ejde-38	271	11	the	the	DET
ejde-38	271	12	dual	dual	ADJ
ejde-38	271	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	271	14	(	(	PUNCT
ejde-38	271	15	3.1	3.1	NUM
ejde-38	271	16	)	)	PUNCT
ejde-38	271	17	.	.	PUNCT
ejde-38	272	1	as	as	ADP
ejde-38	272	2	in	in	ADP
ejde-38	272	3	the	the	DET
ejde-38	272	4	classical	classical	ADJ
ejde-38	272	5	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	272	6	transport	transport	NOUN
ejde-38	272	7	case	case	NOUN
ejde-38	272	8	(	(	PUNCT
ejde-38	272	9	see	see	VERB
ejde-38	272	10	,	,	PUNCT
ejde-38	272	11	for	for	ADP
ejde-38	272	12	example	example	NOUN
ejde-38	272	13	[	[	X
ejde-38	272	14	10	10	NUM
ejde-38	272	15	,	,	PUNCT
ejde-38	272	16	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	272	17	1.11	1.11	NUM
ejde-38	272	18	]	]	PUNCT
ejde-38	272	19	)	)	PUNCT
ejde-38	272	20	,	,	PUNCT
ejde-38	272	21	we	we	PRON
ejde-38	272	22	utilize	utilize	VERB
ejde-38	272	23	the	the	DET
ejde-38	272	24	cand	cand	NOUN
ejde-38	272	25	c∗-transforms	c∗-transform	NOUN
ejde-38	272	26	of	of	ADP
ejde-38	272	27	functions	function	NOUN
ejde-38	272	28	to	to	PART
ejde-38	272	29	obtain	obtain	VERB
ejde-38	272	30	compactness	compactness	NOUN
ejde-38	272	31	.	.	PUNCT
ejde-38	273	1	10	10	NUM
ejde-38	273	2	m.	m.	NOUN
ejde-38	273	3	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	273	4	,	,	PUNCT
ejde-38	273	5	j.	j.	PROPN
ejde-38	273	6	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	273	7	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	273	8	remark	remark	NOUN
ejde-38	273	9	3.4	3.4	NUM
ejde-38	273	10	.	.	PUNCT
ejde-38	274	1	it	it	PRON
ejde-38	274	2	turns	turn	VERB
ejde-38	274	3	out	out	ADP
ejde-38	274	4	a	a	DET
ejde-38	274	5	dual	dual	ADJ
ejde-38	274	6	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	274	7	pair	pair	NOUN
ejde-38	274	8	in	in	ADP
ejde-38	274	9	(	(	PUNCT
ejde-38	274	10	3.1	3.1	NUM
ejde-38	274	11	)	)	PUNCT
ejde-38	274	12	is	be	AUX
ejde-38	274	13	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	274	14	in	in	ADP
ejde-38	274	15	the	the	DET
ejde-38	274	16	classical	classical	ADJ
ejde-38	274	17	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	274	18	transport	transport	NOUN
ejde-38	274	19	problem	problem	NOUN
ejde-38	274	20	where	where	SCONJ
ejde-38	274	21	the	the	DET
ejde-38	274	22	target	target	NOUN
ejde-38	274	23	measure	measure	NOUN
ejde-38	274	24	is	be	AUX
ejde-38	274	25	the	the	DET
ejde-38	274	26	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	274	27	in	in	ADP
ejde-38	274	28	the	the	DET
ejde-38	274	29	primal	primal	ADJ
ejde-38	274	30	problem	problem	NOUN
ejde-38	274	31	(	(	PUNCT
ejde-38	274	32	1.3	1.3	NUM
ejde-38	274	33	)	)	PUNCT
ejde-38	274	34	.	.	PUNCT
ejde-38	275	1	however	however	ADV
ejde-38	275	2	this	this	DET
ejde-38	275	3	fact	fact	NOUN
ejde-38	275	4	is	be	AUX
ejde-38	275	5	not	not	PART
ejde-38	275	6	obvious	obvious	ADJ
ejde-38	275	7	because	because	SCONJ
ejde-38	275	8	of	of	ADP
ejde-38	275	9	the	the	DET
ejde-38	275	10	presence	presence	NOUN
ejde-38	275	11	of	of	ADP
ejde-38	275	12	the	the	DET
ejde-38	275	13	term	term	NOUN
ejde-38	275	14	−f	−f	PROPN
ejde-38	275	15	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	275	16	)	)	PUNCT
ejde-38	275	17	in	in	ADP
ejde-38	275	18	the	the	DET
ejde-38	275	19	dual	dual	ADJ
ejde-38	275	20	problem	problem	NOUN
ejde-38	275	21	,	,	PUNCT
ejde-38	275	22	we	we	PRON
ejde-38	275	23	will	will	AUX
ejde-38	275	24	obtain	obtain	VERB
ejde-38	275	25	this	this	PRON
ejde-38	275	26	as	as	ADP
ejde-38	275	27	a	a	DET
ejde-38	275	28	consequence	consequence	NOUN
ejde-38	275	29	of	of	ADP
ejde-38	275	30	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	275	31	3.10	3.10	NUM
ejde-38	275	32	in	in	ADP
ejde-38	275	33	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	275	34	3.1	3.1	NUM
ejde-38	275	35	below	below	ADV
ejde-38	275	36	.	.	PUNCT
ejde-38	276	1	we	we	PRON
ejde-38	276	2	also	also	ADV
ejde-38	276	3	warn	warn	VERB
ejde-38	276	4	the	the	DET
ejde-38	276	5	reader	reader	NOUN
ejde-38	276	6	,	,	PUNCT
ejde-38	276	7	a	a	DET
ejde-38	276	8	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	276	9	in	in	ADP
ejde-38	276	10	the	the	DET
ejde-38	276	11	classical	classical	ADJ
ejde-38	276	12	dual	dual	ADJ
ejde-38	276	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	276	14	(	(	PUNCT
ejde-38	276	15	3.5	3.5	NUM
ejde-38	276	16	)	)	PUNCT
ejde-38	276	17	between	between	ADP
ejde-38	276	18	µ	µ	NOUN
ejde-38	276	19	and	and	CCONJ
ejde-38	276	20	a	a	DET
ejde-38	276	21	minimizing	minimizing	NOUN
ejde-38	276	22	measure	measure	NOUN
ejde-38	276	23	νλ	νλ	INTJ
ejde-38	276	24	in	in	ADP
ejde-38	276	25	the	the	DET
ejde-38	276	26	primal	primal	ADJ
ejde-38	276	27	problem	problem	NOUN
ejde-38	276	28	may	may	AUX
ejde-38	276	29	not	not	PART
ejde-38	276	30	be	be	AUX
ejde-38	276	31	a	a	DET
ejde-38	276	32	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	276	33	in	in	ADP
ejde-38	276	34	our	our	PRON
ejde-38	276	35	dual	dual	ADJ
ejde-38	276	36	problem	problem	NOUN
ejde-38	276	37	3.1	3.1	NUM
ejde-38	276	38	,	,	PUNCT
ejde-38	276	39	as	as	SCONJ
ejde-38	276	40	illustrated	illustrate	VERB
ejde-38	276	41	in	in	ADP
ejde-38	276	42	example	example	NOUN
ejde-38	276	43	7.1	7.1	NUM
ejde-38	276	44	in	in	ADP
ejde-38	276	45	the	the	DET
ejde-38	276	46	appendix	appendix	NOUN
ejde-38	276	47	.	.	PUNCT
ejde-38	277	1	finally	finally	ADV
ejde-38	277	2	,	,	PUNCT
ejde-38	277	3	unlike	unlike	ADP
ejde-38	277	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	277	5	3.3	3.3	NUM
ejde-38	277	6	,	,	PUNCT
ejde-38	277	7	it	it	PRON
ejde-38	277	8	is	be	AUX
ejde-38	277	9	not	not	PART
ejde-38	277	10	clear	clear	ADJ
ejde-38	277	11	how	how	SCONJ
ejde-38	277	12	to	to	PART
ejde-38	277	13	extend	extend	VERB
ejde-38	277	14	existence	existence	NOUN
ejde-38	277	15	of	of	ADP
ejde-38	277	16	dual	dual	ADJ
ejde-38	277	17	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	277	18	to	to	ADP
ejde-38	277	19	more	more	ADV
ejde-38	277	20	general	general	ADJ
ejde-38	277	21	(	(	PUNCT
ejde-38	277	22	for	for	ADP
ejde-38	277	23	example	example	NOUN
ejde-38	277	24	,	,	PUNCT
ejde-38	277	25	lower	low	ADJ
ejde-38	277	26	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	277	27	)	)	PUNCT
ejde-38	277	28	c.	c.	NOUN
ejde-38	277	29	in	in	ADP
ejde-38	277	30	the	the	DET
ejde-38	277	31	classical	classical	ADJ
ejde-38	277	32	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	277	33	duality	duality	NOUN
ejde-38	277	34	one	one	PRON
ejde-38	277	35	can	can	AUX
ejde-38	277	36	use	use	VERB
ejde-38	277	37	an	an	DET
ejde-38	277	38	argument	argument	NOUN
ejde-38	277	39	based	base	VERB
ejde-38	277	40	on	on	ADP
ejde-38	277	41	c	c	ADJ
ejde-38	277	42	-	-	ADJ
ejde-38	277	43	cyclical	cyclical	ADJ
ejde-38	277	44	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-38	277	45	as	as	ADP
ejde-38	277	46	in	in	ADP
ejde-38	277	47	[	[	X
ejde-38	277	48	12	12	NUM
ejde-38	277	49	,	,	PUNCT
ejde-38	277	50	theorem	theorem	VERB
ejde-38	277	51	5.10	5.10	NUM
ejde-38	277	52	(	(	PUNCT
ejde-38	277	53	iii	iii	NOUN
ejde-38	277	54	)	)	PUNCT
ejde-38	277	55	]	]	PUNCT
ejde-38	277	56	,	,	PUNCT
ejde-38	277	57	however	however	ADV
ejde-38	277	58	this	this	DET
ejde-38	277	59	approach	approach	NOUN
ejde-38	277	60	fails	fail	VERB
ejde-38	277	61	as	as	SCONJ
ejde-38	277	62	there	there	PRON
ejde-38	277	63	is	be	VERB
ejde-38	277	64	a	a	DET
ejde-38	277	65	lack	lack	NOUN
ejde-38	277	66	of	of	ADP
ejde-38	277	67	information	information	NOUN
ejde-38	277	68	of	of	ADP
ejde-38	277	69	f	f	PROPN
ejde-38	277	70	and	and	CCONJ
ejde-38	277	71	f	f	PROPN
ejde-38	277	72	∗.	∗.	PROPN
ejde-38	277	73	additionally	additionally	ADV
ejde-38	277	74	,	,	PUNCT
ejde-38	277	75	for	for	ADP
ejde-38	277	76	more	more	ADJ
ejde-38	277	77	general	general	ADJ
ejde-38	277	78	c	c	NOUN
ejde-38	277	79	it	it	PRON
ejde-38	277	80	could	could	AUX
ejde-38	277	81	be	be	AUX
ejde-38	277	82	possible	possible	ADJ
ejde-38	277	83	that	that	SCONJ
ejde-38	277	84	the	the	DET
ejde-38	277	85	potential	potential	ADJ
ejde-38	277	86	function	function	NOUN
ejde-38	277	87	defined	define	VERB
ejde-38	277	88	on	on	ADP
ejde-38	277	89	y	y	PROPN
ejde-38	277	90	takes	take	VERB
ejde-38	277	91	the	the	DET
ejde-38	277	92	values	value	NOUN
ejde-38	277	93	∞	∞	NUM
ejde-38	277	94	in	in	ADP
ejde-38	277	95	the	the	DET
ejde-38	277	96	classical	classical	ADJ
ejde-38	277	97	dual	dual	ADJ
ejde-38	277	98	problem	problem	NOUN
ejde-38	277	99	,	,	PUNCT
ejde-38	277	100	which	which	PRON
ejde-38	277	101	corresponds	correspond	VERB
ejde-38	277	102	in	in	ADP
ejde-38	277	103	our	our	PRON
ejde-38	277	104	problem	problem	NOUN
ejde-38	277	105	to	to	ADP
ejde-38	277	106	ψ	ψ	X
ejde-38	277	107	having	have	VERB
ejde-38	277	108	components	component	NOUN
ejde-38	277	109	equal	equal	ADJ
ejde-38	277	110	to∞	to∞	PROPN
ejde-38	277	111	,	,	PUNCT
ejde-38	277	112	in	in	ADP
ejde-38	277	113	this	this	DET
ejde-38	277	114	case	case	NOUN
ejde-38	277	115	it	it	PRON
ejde-38	277	116	is	be	AUX
ejde-38	277	117	not	not	PART
ejde-38	277	118	clear	clear	ADJ
ejde-38	277	119	what	what	PRON
ejde-38	277	120	the	the	DET
ejde-38	277	121	meaning	meaning	NOUN
ejde-38	277	122	of	of	ADP
ejde-38	277	123	f	f	PROPN
ejde-38	277	124	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	277	125	)	)	PUNCT
ejde-38	277	126	should	should	AUX
ejde-38	277	127	be	be	AUX
ejde-38	277	128	.	.	PUNCT
ejde-38	278	1	we	we	PRON
ejde-38	278	2	hope	hope	VERB
ejde-38	278	3	to	to	PART
ejde-38	278	4	explore	explore	VERB
ejde-38	278	5	this	this	DET
ejde-38	278	6	question	question	NOUN
ejde-38	278	7	in	in	ADP
ejde-38	278	8	a	a	DET
ejde-38	278	9	future	future	ADJ
ejde-38	278	10	work	work	NOUN
ejde-38	278	11	.	.	PUNCT
ejde-38	279	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	279	2	3.5	3.5	NUM
ejde-38	279	3	.	.	PUNCT
ejde-38	280	1	(	(	PUNCT
ejde-38	280	2	1	1	X
ejde-38	280	3	)	)	PUNCT
ejde-38	280	4	if	if	SCONJ
ejde-38	280	5	c	c	X
ejde-38	280	6	(	(	PUNCT
ejde-38	280	7	·	·	PUNCT
ejde-38	280	8	,	,	PUNCT
ejde-38	280	9	yj	yj	PROPN
ejde-38	280	10	)	)	PUNCT
ejde-38	280	11	is	be	AUX
ejde-38	280	12	lower	low	ADJ
ejde-38	280	13	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	280	14	for	for	ADP
ejde-38	280	15	each	each	DET
ejde-38	280	16	j	j	PROPN
ejde-38	280	17	and	and	CCONJ
ejde-38	280	18	(	(	PUNCT
ejde-38	280	19	ϕ,ψ	ϕ,ψ	PROPN
ejde-38	280	20	)	)	PUNCT
ejde-38	280	21	∈	∈	PROPN
ejde-38	281	1	cb(x)×	cb(x)×	PROPN
ejde-38	281	2	rn	rn	PROPN
ejde-38	281	3	is	be	AUX
ejde-38	281	4	any	any	DET
ejde-38	281	5	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	281	6	pair	pair	NOUN
ejde-38	281	7	in	in	ADP
ejde-38	281	8	(	(	PUNCT
ejde-38	281	9	3.1	3.1	NUM
ejde-38	281	10	)	)	PUNCT
ejde-38	281	11	,	,	PUNCT
ejde-38	281	12	then	then	ADV
ejde-38	281	13	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	281	14	≡	≡	PROPN
ejde-38	281	15	ψc∗	ψc∗	NOUN
ejde-38	281	16	on	on	ADP
ejde-38	281	17	sptµ.	sptµ.	PROPN
ejde-38	281	18	(	(	PUNCT
ejde-38	281	19	2	2	NUM
ejde-38	281	20	)	)	PUNCT
ejde-38	281	21	if	if	SCONJ
ejde-38	281	22	c	c	X
ejde-38	281	23	(	(	PUNCT
ejde-38	281	24	·	·	PUNCT
ejde-38	281	25	,	,	PUNCT
ejde-38	281	26	yj	yj	PROPN
ejde-38	281	27	)	)	PUNCT
ejde-38	281	28	is	be	AUX
ejde-38	281	29	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	281	30	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	281	31	and	and	CCONJ
ejde-38	281	32	bounded	bound	VERB
ejde-38	281	33	for	for	ADP
ejde-38	281	34	each	each	DET
ejde-38	281	35	j	j	NOUN
ejde-38	281	36	,	,	PUNCT
ejde-38	281	37	then	then	ADV
ejde-38	281	38	there	there	PRON
ejde-38	281	39	exists	exist	VERB
ejde-38	281	40	at	at	ADP
ejde-38	281	41	least	least	ADV
ejde-38	281	42	one	one	NUM
ejde-38	281	43	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	281	44	in	in	ADP
ejde-38	281	45	cb(x	cb(x	ADJ
ejde-38	281	46	)	)	PUNCT
ejde-38	281	47	×	×	PROPN
ejde-38	281	48	rn	rn	NOUN
ejde-38	281	49	of	of	ADP
ejde-38	281	50	the	the	DET
ejde-38	281	51	dual	dual	ADJ
ejde-38	281	52	problem	problem	NOUN
ejde-38	281	53	(	(	PUNCT
ejde-38	281	54	3.1	3.1	NUM
ejde-38	281	55	)	)	PUNCT
ejde-38	281	56	that	that	PRON
ejde-38	281	57	is	be	AUX
ejde-38	281	58	a	a	DET
ejde-38	281	59	c	c	NOUN
ejde-38	281	60	-	-	PUNCT
ejde-38	281	61	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-38	281	62	pair	pair	NOUN
ejde-38	281	63	.	.	PUNCT
ejde-38	282	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	282	2	.	.	PUNCT
ejde-38	283	1	(	(	PUNCT
ejde-38	283	2	1	1	X
ejde-38	283	3	)	)	PUNCT
ejde-38	283	4	let	let	VERB
ejde-38	283	5	(	(	PUNCT
ejde-38	283	6	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	283	7	,	,	PUNCT
ejde-38	283	8	ψmax	ψmax	PROPN
ejde-38	283	9	)	)	PUNCT
ejde-38	283	10	be	be	AUX
ejde-38	283	11	a	a	DET
ejde-38	283	12	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	283	13	pair	pair	NOUN
ejde-38	283	14	.	.	PUNCT
ejde-38	284	1	recall	recall	VERB
ejde-38	284	2	that	that	SCONJ
ejde-38	284	3	−ϕmax	−ϕmax	NOUN
ejde-38	284	4	≤	≤	NUM
ejde-38	284	5	−ψc	−ψc	PROPN
ejde-38	284	6	∗	∗	NOUN
ejde-38	284	7	max	max	PROPN
ejde-38	284	8	on	on	ADP
ejde-38	284	9	x.	x.	NOUN
ejde-38	284	10	since	since	SCONJ
ejde-38	284	11	−ψc∗max	−ψc∗max	NOUN
ejde-38	284	12	can	can	AUX
ejde-38	284	13	be	be	AUX
ejde-38	284	14	written	write	VERB
ejde-38	284	15	as	as	ADP
ejde-38	284	16	a	a	DET
ejde-38	284	17	finite	finite	ADJ
ejde-38	284	18	minimum	minimum	NOUN
ejde-38	284	19	of	of	ADP
ejde-38	284	20	lower	low	ADJ
ejde-38	284	21	semicontinous	semicontinous	ADJ
ejde-38	284	22	functions	function	NOUN
ejde-38	284	23	,	,	PUNCT
ejde-38	284	24	it	it	PRON
ejde-38	284	25	is	be	AUX
ejde-38	284	26	also	also	ADV
ejde-38	284	27	lower	low	ADJ
ejde-38	284	28	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	284	29	,	,	PUNCT
ejde-38	284	30	then	then	ADV
ejde-38	284	31	the	the	DET
ejde-38	284	32	set	set	NOUN
ejde-38	284	33	{	{	PUNCT
ejde-38	284	34	−ϕmax	−ϕmax	NOUN
ejde-38	284	35	<	<	X
ejde-38	284	36	−ψc	−ψc	PROPN
ejde-38	284	37	∗	∗	PROPN
ejde-38	284	38	max	max	PROPN
ejde-38	284	39	}	}	PUNCT
ejde-38	284	40	is	be	AUX
ejde-38	284	41	open	open	ADJ
ejde-38	284	42	;	;	PUNCT
ejde-38	284	43	in	in	ADP
ejde-38	284	44	particular	particular	ADJ
ejde-38	284	45	if	if	SCONJ
ejde-38	284	46	the	the	DET
ejde-38	284	47	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	284	48	−ϕmax	−ϕmax	PUNCT
ejde-38	284	49	<	<	X
ejde-38	284	50	−ψc	−ψc	PROPN
ejde-38	284	51	∗	∗	NOUN
ejde-38	284	52	max	max	PROPN
ejde-38	284	53	is	be	AUX
ejde-38	284	54	strict	strict	ADJ
ejde-38	284	55	at	at	ADP
ejde-38	284	56	any	any	DET
ejde-38	284	57	point	point	NOUN
ejde-38	284	58	in	in	ADP
ejde-38	284	59	sptµ	sptµ	NOUN
ejde-38	284	60	,	,	PUNCT
ejde-38	284	61	it	it	PRON
ejde-38	284	62	holds	hold	VERB
ejde-38	284	63	on	on	ADP
ejde-38	284	64	a	a	DET
ejde-38	284	65	neighborhood	neighborhood	NOUN
ejde-38	284	66	relatively	relatively	ADV
ejde-38	284	67	open	open	ADJ
ejde-38	284	68	in	in	ADP
ejde-38	284	69	x.	x.	NOUN
ejde-38	284	70	then	then	ADV
ejde-38	284	71	we	we	PRON
ejde-38	284	72	would	would	AUX
ejde-38	284	73	have	have	VERB
ejde-38	284	74	−	−	PROPN
ejde-38	284	75	∫	∫	PROPN
ejde-38	285	1	x	x	PROPN
ejde-38	285	2	ϕmax	ϕmax	NOUN
ejde-38	285	3	dµ	dµ	ADJ
ejde-38	285	4	−	−	PROPN
ejde-38	285	5	f	f	PROPN
ejde-38	285	6	∗(ψmax	∗(ψmax	PROPN
ejde-38	285	7	)	)	PUNCT
ejde-38	285	8	<	<	X
ejde-38	286	1	−	−	PROPN
ejde-38	286	2	∫	∫	NOUN
ejde-38	286	3	x	x	SYM
ejde-38	286	4	ψc	ψc	VERB
ejde-38	286	5	∗	∗	PROPN
ejde-38	286	6	max	max	PROPN
ejde-38	286	7	dµ−	dµ−	PROPN
ejde-38	286	8	f	f	PROPN
ejde-38	286	9	∗(ψmax	∗(ψmax	PROPN
ejde-38	286	10	)	)	PUNCT
ejde-38	286	11	,	,	PUNCT
ejde-38	286	12	contradicting	contradict	VERB
ejde-38	286	13	that	that	SCONJ
ejde-38	286	14	(	(	PUNCT
ejde-38	286	15	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	286	16	,	,	PUNCT
ejde-38	286	17	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	286	18	)	)	PUNCT
ejde-38	286	19	is	be	AUX
ejde-38	286	20	a	a	DET
ejde-38	286	21	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	286	22	pair	pair	NOUN
ejde-38	286	23	.	.	PUNCT
ejde-38	287	1	thus	thus	ADV
ejde-38	287	2	we	we	PRON
ejde-38	287	3	must	must	AUX
ejde-38	287	4	have	have	AUX
ejde-38	287	5	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	287	6	≡	≡	PROPN
ejde-38	287	7	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	287	8	∗	∗	PROPN
ejde-38	287	9	max	max	PROPN
ejde-38	287	10	on	on	ADP
ejde-38	287	11	sptµ.	sptµ.	PROPN
ejde-38	287	12	(	(	PUNCT
ejde-38	287	13	2	2	X
ejde-38	287	14	)	)	PUNCT
ejde-38	287	15	suppose	suppose	VERB
ejde-38	287	16	c	c	X
ejde-38	287	17	(	(	PUNCT
ejde-38	287	18	·	·	PUNCT
ejde-38	287	19	,	,	PUNCT
ejde-38	287	20	yj	yj	PROPN
ejde-38	287	21	)	)	PUNCT
ejde-38	287	22	is	be	AUX
ejde-38	287	23	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	287	24	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	287	25	and	and	CCONJ
ejde-38	287	26	bounded	bound	VERB
ejde-38	287	27	for	for	ADP
ejde-38	287	28	each	each	DET
ejde-38	287	29	j	j	NOUN
ejde-38	287	30	and	and	CCONJ
ejde-38	287	31	let	let	VERB
ejde-38	287	32	(	(	PUNCT
ejde-38	287	33	ϕk	ϕk	ADV
ejde-38	287	34	,	,	PUNCT
ejde-38	287	35	ψk	ψk	VERB
ejde-38	287	36	)	)	PUNCT
ejde-38	287	37	∈	∈	PROPN
ejde-38	287	38	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	287	39	)	)	PUNCT
ejde-38	287	40	×	×	PROPN
ejde-38	287	41	rn	rn	NOUN
ejde-38	287	42	be	be	AUX
ejde-38	287	43	an	an	DET
ejde-38	287	44	admissible	admissible	ADJ
ejde-38	287	45	,	,	PUNCT
ejde-38	287	46	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	287	47	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	287	48	for	for	ADP
ejde-38	287	49	(	(	PUNCT
ejde-38	287	50	3.1	3.1	NUM
ejde-38	287	51	)	)	PUNCT
ejde-38	287	52	.	.	PUNCT
ejde-38	288	1	we	we	PRON
ejde-38	288	2	may	may	AUX
ejde-38	288	3	assume	assume	VERB
ejde-38	288	4	ϕk	ϕk	INTJ
ejde-38	288	5	=	=	VERB
ejde-38	288	6	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	288	7	∗	∗	NOUN
ejde-38	288	8	k	k	PROPN
ejde-38	288	9	and	and	CCONJ
ejde-38	288	10	ψk	ψk	VERB
ejde-38	288	11	=	=	VERB
ejde-38	288	12	ψc	ψc	VERB
ejde-38	288	13	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	288	14	k	k	PROPN
ejde-38	288	15	for	for	ADP
ejde-38	288	16	this	this	DET
ejde-38	288	17	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	288	18	as	as	ADP
ejde-38	288	19	−	−	PROPN
ejde-38	288	20	∫	∫	PROPN
ejde-38	288	21	x	x	INTJ
ejde-38	289	1	ϕk	ϕk	PROPN
ejde-38	289	2	dµ	dµ	ADJ
ejde-38	289	3	≤	≤	NUM
ejde-38	289	4	−	−	ADP
ejde-38	289	5	∫	∫	NOUN
ejde-38	289	6	x	x	X
ejde-38	289	7	ψc	ψc	VERB
ejde-38	289	8	∗	∗	NOUN
ejde-38	289	9	k	k	PROPN
ejde-38	289	10	dµ	dµ	PROPN
ejde-38	289	11	and	and	CCONJ
ejde-38	289	12	−f	−f	PROPN
ejde-38	289	13	∗(ψk	∗(ψk	NOUN
ejde-38	289	14	)	)	PUNCT
ejde-38	290	1	=	=	SYM
ejde-38	290	2	inf	inf	NOUN
ejde-38	290	3	λ∈dom(f	λ∈dom(f	PROPN
ejde-38	290	4	)	)	PUNCT
ejde-38	290	5	(	(	PUNCT
ejde-38	290	6	〈	〈	PROPN
ejde-38	290	7	λ,−ψk〉+	λ,−ψk〉+	X
ejde-38	290	8	f	f	X
ejde-38	290	9	(	(	PUNCT
ejde-38	290	10	λ	λ	NOUN
ejde-38	290	11	)	)	PUNCT
ejde-38	290	12	)	)	PUNCT
ejde-38	290	13	≤	≤	NUM
ejde-38	290	14	inf	inf	NOUN
ejde-38	290	15	λ∈dom(f	λ∈dom(f	PROPN
ejde-38	290	16	)	)	PUNCT
ejde-38	290	17	(	(	PUNCT
ejde-38	290	18	〈	〈	VERB
ejde-38	290	19	λ,−(ψc	λ,−(ψc	ADJ
ejde-38	290	20	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	290	21	k	k	PROPN
ejde-38	290	22	)	)	PUNCT
ejde-38	290	23	〉	〉	PROPN
ejde-38	290	24	+	+	PROPN
ejde-38	290	25	f	f	PROPN
ejde-38	290	26	(	(	PUNCT
ejde-38	290	27	λ	λ	NOUN
ejde-38	290	28	)	)	PUNCT
ejde-38	290	29	)	)	PUNCT
ejde-38	291	1	=	=	SYM
ejde-38	291	2	−f	−f	NOUN
ejde-38	291	3	∗(ψc	∗(ψc	NOUN
ejde-38	291	4	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	291	5	k	k	PROPN
ejde-38	291	6	)	)	PUNCT
ejde-38	291	7	,	,	PUNCT
ejde-38	291	8	using	use	VERB
ejde-38	291	9	that	that	SCONJ
ejde-38	291	10	λj	λj	PROPN
ejde-38	291	11	≥	≥	NOUN
ejde-38	291	12	0	0	NUM
ejde-38	291	13	for	for	ADP
ejde-38	291	14	all	all	DET
ejde-38	291	15	λ	λ	PROPN
ejde-38	291	16	∈	∈	PROPN
ejde-38	291	17	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	291	18	)	)	PUNCT
ejde-38	291	19	and	and	CCONJ
ejde-38	291	20	−ψk	−ψk	PROPN
ejde-38	291	21	≤	≤	NOUN
ejde-38	291	22	−ψc	−ψc	PROPN
ejde-38	291	23	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	291	24	k	k	PROPN
ejde-38	291	25	componentwise	componentwise	NOUN
ejde-38	291	26	;	;	PUNCT
ejde-38	291	27	in	in	ADP
ejde-38	291	28	particular	particular	ADJ
ejde-38	291	29	we	we	PRON
ejde-38	291	30	may	may	AUX
ejde-38	291	31	assume	assume	VERB
ejde-38	291	32	each	each	DET
ejde-38	291	33	ϕk	ϕk	PROPN
ejde-38	291	34	∈	∈	PROPN
ejde-38	291	35	cb(x	cb(x	NUM
ejde-38	291	36	)	)	PUNCT
ejde-38	291	37	.	.	PUNCT
ejde-38	292	1	since	since	SCONJ
ejde-38	292	2	(	(	PUNCT
ejde-38	292	3	ψk	ψk	INTJ
ejde-38	292	4	+	+	NUM
ejde-38	292	5	r1)c	r1)c	NOUN
ejde-38	292	6	∗	∗	NOUN
ejde-38	292	7	(	(	PUNCT
ejde-38	292	8	x	x	X
ejde-38	292	9	)	)	PUNCT
ejde-38	292	10	=	=	SYM
ejde-38	292	11	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	292	12	∗	∗	NOUN
ejde-38	292	13	k	k	PROPN
ejde-38	292	14	(	(	PUNCT
ejde-38	292	15	x	x	NOUN
ejde-38	292	16	)	)	PUNCT
ejde-38	292	17	−	−	NOUN
ejde-38	292	18	r	r	NOUN
ejde-38	292	19	for	for	ADP
ejde-38	292	20	any	any	DET
ejde-38	292	21	r	r	NOUN
ejde-38	292	22	,	,	PUNCT
ejde-38	292	23	the	the	DET
ejde-38	292	24	above	above	ADV
ejde-38	292	25	along	along	ADP
ejde-38	292	26	with	with	ADP
ejde-38	292	27	(	(	PUNCT
ejde-38	292	28	3.3	3.3	NUM
ejde-38	292	29	)	)	PUNCT
ejde-38	292	30	implies	imply	VERB
ejde-38	292	31	that	that	SCONJ
ejde-38	292	32	replacing	replace	VERB
ejde-38	292	33	ψk	ψk	ADP
ejde-38	292	34	by	by	ADP
ejde-38	292	35	(	(	PUNCT
ejde-38	292	36	ψk	ψk	NOUN
ejde-38	292	37	+	+	NUM
ejde-38	292	38	r1)c	r1)c	NOUN
ejde-38	292	39	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	292	40	and	and	CCONJ
ejde-38	292	41	taking	take	VERB
ejde-38	292	42	ϕk	ϕk	ADP
ejde-38	292	43	=	=	PUNCT
ejde-38	292	44	(	(	PUNCT
ejde-38	292	45	ψk	ψk	INTJ
ejde-38	292	46	+	+	CCONJ
ejde-38	292	47	r1)c	r1)c	NOUN
ejde-38	292	48	∗	∗	NOUN
ejde-38	292	49	does	do	AUX
ejde-38	292	50	not	not	PART
ejde-38	292	51	reduce	reduce	VERB
ejde-38	292	52	the	the	DET
ejde-38	292	53	values	value	NOUN
ejde-38	292	54	of	of	ADP
ejde-38	292	55	−	−	PROPN
ejde-38	292	56	∫	∫	PROPN
ejde-38	292	57	x	x	INTJ
ejde-38	293	1	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-38	293	2	dµ	dµ	ADJ
ejde-38	293	3	−	−	PROPN
ejde-38	293	4	f	f	PROPN
ejde-38	293	5	∗(ψk	∗(ψk	PROPN
ejde-38	293	6	)	)	PUNCT
ejde-38	293	7	for	for	ADP
ejde-38	293	8	each	each	DET
ejde-38	293	9	k	k	NOUN
ejde-38	293	10	,	,	PUNCT
ejde-38	293	11	hence	hence	ADV
ejde-38	293	12	we	we	PRON
ejde-38	293	13	may	may	AUX
ejde-38	293	14	assume	assume	VERB
ejde-38	293	15	ϕk(x0	ϕk(x0	PUNCT
ejde-38	293	16	)	)	PUNCT
ejde-38	294	1	=	=	SYM
ejde-38	294	2	0	0	NUM
ejde-38	294	3	for	for	ADP
ejde-38	294	4	all	all	DET
ejde-38	294	5	k	k	PROPN
ejde-38	294	6	,	,	PUNCT
ejde-38	294	7	for	for	ADP
ejde-38	294	8	some	some	DET
ejde-38	294	9	fixed	fix	VERB
ejde-38	294	10	x0	x0	PROPN
ejde-38	294	11	∈	∈	PROPN
ejde-38	294	12	x.	x.	NOUN
ejde-38	295	1	it	it	PRON
ejde-38	295	2	can	can	AUX
ejde-38	295	3	then	then	ADV
ejde-38	295	4	be	be	AUX
ejde-38	295	5	seen	see	VERB
ejde-38	295	6	that	that	SCONJ
ejde-38	295	7	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-38	295	8	and	and	CCONJ
ejde-38	295	9	uniform	uniform	ADJ
ejde-38	295	10	continuity	continuity	NOUN
ejde-38	295	11	of	of	ADP
ejde-38	295	12	the	the	DET
ejde-38	295	13	c	c	PROPN
ejde-38	295	14	(	(	PUNCT
ejde-38	295	15	·	·	PUNCT
ejde-38	295	16	,	,	PUNCT
ejde-38	295	17	yj	yj	PROPN
ejde-38	295	18	)	)	PUNCT
ejde-38	295	19	are	be	AUX
ejde-38	295	20	enough	enough	ADJ
ejde-38	295	21	to	to	PART
ejde-38	295	22	obtain	obtain	VERB
ejde-38	295	23	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-38	295	24	and	and	CCONJ
ejde-38	295	25	equicontinuity	equicontinuity	NOUN
ejde-38	295	26	of	of	ADP
ejde-38	295	27	{	{	PUNCT
ejde-38	295	28	ϕk}∞k=1	ϕk}∞k=1	X
ejde-38	295	29	as	as	ADP
ejde-38	295	30	in	in	ADP
ejde-38	295	31	the	the	DET
ejde-38	295	32	proof	proof	NOUN
ejde-38	295	33	of	of	ADP
ejde-38	295	34	[	[	X
ejde-38	295	35	10	10	NUM
ejde-38	295	36	,	,	PUNCT
ejde-38	295	37	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	295	38	1.11	1.11	NUM
ejde-38	295	39	]	]	PUNCT
ejde-38	295	40	hence	hence	ADV
ejde-38	295	41	we	we	PRON
ejde-38	295	42	can	can	AUX
ejde-38	295	43	conclude	conclude	VERB
ejde-38	295	44	existence	existence	NOUN
ejde-38	295	45	of	of	ADP
ejde-38	295	46	a	a	DET
ejde-38	295	47	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	295	48	,	,	PUNCT
ejde-38	295	49	that	that	SCONJ
ejde-38	295	50	we	we	PRON
ejde-38	295	51	do	do	AUX
ejde-38	295	52	not	not	PART
ejde-38	295	53	relabel	relabel	VERB
ejde-38	295	54	,	,	PUNCT
ejde-38	295	55	of	of	ADP
ejde-38	295	56	(	(	PUNCT
ejde-38	295	57	ϕk	ϕk	INTJ
ejde-38	295	58	,	,	PUNCT
ejde-38	295	59	ψk	ψk	VERB
ejde-38	295	60	)	)	PUNCT
ejde-38	295	61	that	that	PRON
ejde-38	295	62	converges	converge	VERB
ejde-38	295	63	(	(	PUNCT
ejde-38	295	64	ϕk	ϕk	ADV
ejde-38	295	65	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	295	66	on	on	ADP
ejde-38	295	67	x	x	PUNCT
ejde-38	295	68	and	and	CCONJ
ejde-38	295	69	ψk	ψk	VERB
ejde-38	295	70	in	in	ADP
ejde-38	295	71	rn	rn	PROPN
ejde-38	295	72	)	)	PUNCT
ejde-38	295	73	to	to	ADP
ejde-38	295	74	some	some	PRON
ejde-38	295	75	(	(	PUNCT
ejde-38	295	76	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	295	77	,	,	PUNCT
ejde-38	295	78	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	295	79	)	)	PUNCT
ejde-38	295	80	.	.	PUNCT
ejde-38	296	1	ejde-2023/22	ejde-2023/22	X
ejde-38	297	1	an	an	DET
ejde-38	297	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	297	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	297	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	297	5	11	11	NUM
ejde-38	297	6	since	since	SCONJ
ejde-38	297	7	−f	−f	ADJ
ejde-38	297	8	∗	∗	NOUN
ejde-38	297	9	is	be	AUX
ejde-38	297	10	a	a	DET
ejde-38	297	11	concave	concave	NOUN
ejde-38	297	12	function	function	NOUN
ejde-38	297	13	,	,	PUNCT
ejde-38	297	14	finite	finite	VERB
ejde-38	297	15	on	on	ADP
ejde-38	297	16	all	all	PRON
ejde-38	297	17	of	of	ADP
ejde-38	297	18	rn	rn	NOUN
ejde-38	297	19	by	by	ADP
ejde-38	297	20	compactness	compactness	NOUN
ejde-38	297	21	of	of	ADP
ejde-38	297	22	dom(f	dom(f	PROPN
ejde-38	297	23	)	)	PUNCT
ejde-38	297	24	,	,	PUNCT
ejde-38	297	25	it	it	PRON
ejde-38	297	26	is	be	AUX
ejde-38	297	27	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	297	28	on	on	ADP
ejde-38	297	29	rn	rn	PROPN
ejde-38	297	30	,	,	PUNCT
ejde-38	297	31	hence	hence	ADV
ejde-38	297	32	we	we	PRON
ejde-38	297	33	obtain	obtain	VERB
ejde-38	297	34	that	that	PRON
ejde-38	297	35	(	(	PUNCT
ejde-38	297	36	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	297	37	,	,	PUNCT
ejde-38	297	38	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	297	39	)	)	PUNCT
ejde-38	297	40	is	be	AUX
ejde-38	297	41	a	a	DET
ejde-38	297	42	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	297	43	in	in	ADP
ejde-38	297	44	(	(	PUNCT
ejde-38	297	45	3.1	3.1	NUM
ejde-38	297	46	)	)	PUNCT
ejde-38	297	47	.	.	PUNCT
ejde-38	298	1	we	we	PRON
ejde-38	298	2	can	can	AUX
ejde-38	298	3	replace	replace	VERB
ejde-38	298	4	the	the	DET
ejde-38	298	5	pair	pair	NOUN
ejde-38	298	6	by	by	ADP
ejde-38	298	7	(	(	PUNCT
ejde-38	298	8	ψc	ψc	PROPN
ejde-38	298	9	∗	∗	PROPN
ejde-38	298	10	max	max	PROPN
ejde-38	298	11	,	,	PUNCT
ejde-38	298	12	ψ	ψ	X
ejde-38	298	13	c∗c	c∗c	NUM
ejde-38	298	14	max	max	NOUN
ejde-38	298	15	)	)	PUNCT
ejde-38	298	16	which	which	PRON
ejde-38	298	17	only	only	ADV
ejde-38	298	18	increases	increase	VERB
ejde-38	298	19	the	the	DET
ejde-38	298	20	value	value	NOUN
ejde-38	298	21	of	of	ADP
ejde-38	298	22	the	the	DET
ejde-38	298	23	associated	associated	ADJ
ejde-38	298	24	functional	functional	ADJ
ejde-38	298	25	,	,	PUNCT
ejde-38	298	26	hence	hence	ADV
ejde-38	298	27	there	there	PRON
ejde-38	298	28	exists	exist	VERB
ejde-38	298	29	at	at	ADP
ejde-38	298	30	least	least	ADJ
ejde-38	298	31	one	one	NUM
ejde-38	298	32	c	c	NOUN
ejde-38	298	33	-	-	PUNCT
ejde-38	298	34	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-38	298	35	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	298	36	pair	pair	NOUN
ejde-38	298	37	.	.	PUNCT
ejde-38	299	1	�	�	PROPN
ejde-38	299	2	remark	remark	VERB
ejde-38	299	3	3.6	3.6	NUM
ejde-38	299	4	.	.	PUNCT
ejde-38	300	1	if	if	SCONJ
ejde-38	300	2	f	f	PROPN
ejde-38	300	3	is	be	AUX
ejde-38	300	4	lower	lower	ADV
ejde-38	300	5	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	300	6	but	but	CCONJ
ejde-38	300	7	not	not	PART
ejde-38	300	8	convex	convex	NOUN
ejde-38	300	9	,	,	PUNCT
ejde-38	300	10	we	we	PRON
ejde-38	300	11	may	may	AUX
ejde-38	300	12	not	not	PART
ejde-38	300	13	obtain	obtain	VERB
ejde-38	300	14	strong	strong	ADJ
ejde-38	300	15	duality	duality	NOUN
ejde-38	300	16	,	,	PUNCT
ejde-38	300	17	however	however	ADV
ejde-38	300	18	it	it	PRON
ejde-38	300	19	is	be	AUX
ejde-38	300	20	easy	easy	ADJ
ejde-38	300	21	to	to	PART
ejde-38	300	22	see	see	VERB
ejde-38	300	23	that	that	SCONJ
ejde-38	300	24	the	the	DET
ejde-38	300	25	duality	duality	NOUN
ejde-38	300	26	gap	gap	NOUN
ejde-38	300	27	is	be	AUX
ejde-38	300	28	bounded	bound	VERB
ejde-38	300	29	by	by	ADP
ejde-38	300	30	‖f	‖f	ADJ
ejde-38	300	31	−	−	PROPN
ejde-38	300	32	f	f	PROPN
ejde-38	300	33	∗∗‖l∞(dom(f	∗∗‖l∞(dom(f	PROPN
ejde-38	300	34	)	)	PUNCT
ejde-38	300	35	∪dom(f∗∗	∪dom(f∗∗	PROPN
ejde-38	300	36	)	)	PUNCT
ejde-38	300	37	)	)	PUNCT
ejde-38	300	38	,	,	PUNCT
ejde-38	300	39	when	when	SCONJ
ejde-38	300	40	the	the	DET
ejde-38	300	41	minimal	minimal	ADJ
ejde-38	300	42	value	value	NOUN
ejde-38	300	43	is	be	AUX
ejde-38	300	44	finite	finite	ADJ
ejde-38	300	45	and	and	CCONJ
ejde-38	300	46	c	c	NOUN
ejde-38	300	47	is	be	AUX
ejde-38	300	48	lower	low	ADJ
ejde-38	300	49	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	300	50	.	.	PUNCT
ejde-38	301	1	let	let	VERB
ejde-38	301	2	mf	mf	NOUN
ejde-38	301	3	and	and	CCONJ
ejde-38	301	4	mf∗∗	mf∗∗	NOUN
ejde-38	301	5	denote	denote	VERB
ejde-38	301	6	the	the	DET
ejde-38	301	7	minimal	minimal	ADJ
ejde-38	301	8	values	value	NOUN
ejde-38	301	9	in	in	ADP
ejde-38	301	10	(	(	PUNCT
ejde-38	301	11	1.3	1.3	NUM
ejde-38	301	12	)	)	PUNCT
ejde-38	301	13	with	with	ADP
ejde-38	301	14	storage	storage	NOUN
ejde-38	301	15	fee	fee	NOUN
ejde-38	301	16	functions	function	NOUN
ejde-38	301	17	f	f	PROPN
ejde-38	301	18	and	and	CCONJ
ejde-38	301	19	f	f	PROPN
ejde-38	301	20	∗∗	∗∗	PROPN
ejde-38	301	21	respectively	respectively	ADV
ejde-38	301	22	,	,	PUNCT
ejde-38	301	23	assume	assume	VERB
ejde-38	301	24	mf	mf	X
ejde-38	301	25	<	<	X
ejde-38	301	26	∞	∞	PROPN
ejde-38	301	27	,	,	PUNCT
ejde-38	301	28	and	and	CCONJ
ejde-38	301	29	mf	mf	NOUN
ejde-38	301	30	denote	denote	VERB
ejde-38	301	31	the	the	DET
ejde-38	301	32	supremum	supremum	NOUN
ejde-38	301	33	in	in	ADP
ejde-38	301	34	the	the	DET
ejde-38	301	35	dual	dual	ADJ
ejde-38	301	36	problem	problem	NOUN
ejde-38	301	37	(	(	PUNCT
ejde-38	301	38	3.1	3.1	NUM
ejde-38	301	39	)	)	PUNCT
ejde-38	301	40	associated	associate	VERB
ejde-38	301	41	to	to	ADP
ejde-38	301	42	f	f	PROPN
ejde-38	301	43	.	.	PUNCT
ejde-38	302	1	since	since	SCONJ
ejde-38	302	2	f	f	PROPN
ejde-38	302	3	∗∗	∗∗	PROPN
ejde-38	302	4	≤	≤	PROPN
ejde-38	302	5	f	f	NOUN
ejde-38	302	6	,	,	PUNCT
ejde-38	302	7	we	we	PRON
ejde-38	302	8	also	also	ADV
ejde-38	302	9	have	have	VERB
ejde-38	302	10	mf∗∗	mf∗∗	NOUN
ejde-38	302	11	<	<	X
ejde-38	302	12	∞.	∞.	PROPN
ejde-38	302	13	then	then	ADV
ejde-38	302	14	by	by	ADP
ejde-38	302	15	strong	strong	ADJ
ejde-38	302	16	duality	duality	NOUN
ejde-38	302	17	combined	combine	VERB
ejde-38	302	18	with	with	ADP
ejde-38	302	19	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	302	20	5.1	5.1	NUM
ejde-38	302	21	below	below	ADV
ejde-38	302	22	,	,	PUNCT
ejde-38	302	23	we	we	PRON
ejde-38	302	24	see	see	VERB
ejde-38	302	25	(	(	PUNCT
ejde-38	302	26	since	since	SCONJ
ejde-38	302	27	f	f	PROPN
ejde-38	302	28	∗	∗	NOUN
ejde-38	302	29	=	=	SYM
ejde-38	302	30	f	f	X
ejde-38	302	31	∗∗∗	∗∗∗	NOUN
ejde-38	302	32	)	)	PUNCT
ejde-38	302	33	0	0	NUM
ejde-38	302	34	≤	≤	NOUN
ejde-38	302	35	mf	mf	VERB
ejde-38	302	36	−mf	−mf	X
ejde-38	302	37	=	=	SYM
ejde-38	302	38	mf	mf	NOUN
ejde-38	302	39	−mf∗∗	−mf∗∗	NOUN
ejde-38	302	40	=	=	PUNCT
ejde-38	302	41	mf	mf	NOUN
ejde-38	302	42	−mf∗∗	−mf∗∗	NOUN
ejde-38	302	43	≤	≤	NOUN
ejde-38	302	44	‖f	‖f	ADP
ejde-38	302	45	−	−	PROPN
ejde-38	303	1	f	f	PROPN
ejde-38	303	2	∗∗‖l∞(dom(f	∗∗‖l∞(dom(f	PROPN
ejde-38	303	3	)	)	PUNCT
ejde-38	303	4	∪dom(f∗∗	∪dom(f∗∗	PROPN
ejde-38	303	5	)	)	PUNCT
ejde-38	303	6	)	)	PUNCT
ejde-38	303	7	.	.	PUNCT
ejde-38	304	1	this	this	DET
ejde-38	304	2	bound	bind	VERB
ejde-38	304	3	is	be	AUX
ejde-38	304	4	essentially	essentially	ADV
ejde-38	304	5	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	304	6	,	,	PUNCT
ejde-38	304	7	as	as	SCONJ
ejde-38	304	8	the	the	DET
ejde-38	304	9	following	follow	VERB
ejde-38	304	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	304	11	(	(	PUNCT
ejde-38	304	12	whose	whose	DET
ejde-38	304	13	proof	proof	NOUN
ejde-38	304	14	we	we	PRON
ejde-38	304	15	defer	defer	VERB
ejde-38	304	16	to	to	ADP
ejde-38	304	17	the	the	DET
ejde-38	304	18	appendix	appendix	NOUN
ejde-38	304	19	)	)	PUNCT
ejde-38	304	20	illustrates	illustrate	VERB
ejde-38	304	21	.	.	PUNCT
ejde-38	305	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	305	2	3.7	3.7	NUM
ejde-38	305	3	.	.	PUNCT
ejde-38	306	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	306	2	f	f	X
ejde-38	306	3	:	:	PUNCT
ejde-38	306	4	λ	λ	X
ejde-38	306	5	→	→	SYM
ejde-38	306	6	r	r	NOUN
ejde-38	306	7	is	be	AUX
ejde-38	306	8	l	l	NOUN
ejde-38	306	9	-	-	NOUN
ejde-38	306	10	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-38	306	11	.	.	PUNCT
ejde-38	307	1	then	then	ADV
ejde-38	307	2	for	for	SCONJ
ejde-38	307	3	each	each	DET
ejde-38	307	4	y	y	NOUN
ejde-38	307	5	=	=	PRON
ejde-38	307	6	{	{	PUNCT
ejde-38	307	7	yj}nj=1	yj}nj=1	PROPN
ejde-38	307	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	307	9	rn	rn	PROPN
ejde-38	307	10	satisfying	satisfy	VERB
ejde-38	307	11	mini	mini	ADJ
ejde-38	307	12	6	6	NUM
ejde-38	307	13	=	=	SYM
ejde-38	307	14	j	j	PROPN
ejde-38	307	15	|yi−yj	|yi−yj	NOUN
ejde-38	307	16	|	|	ADV
ejde-38	307	17	>	>	X
ejde-38	307	18	2	2	NUM
ejde-38	307	19	√	√	NUM
ejde-38	307	20	l	l	NOUN
ejde-38	307	21	,	,	PUNCT
ejde-38	307	22	there	there	PRON
ejde-38	307	23	exists	exist	VERB
ejde-38	307	24	a	a	DET
ejde-38	307	25	µ	µ	PROPN
ejde-38	307	26	∈	∈	PROPN
ejde-38	307	27	p(rn	p(rn	PROPN
ejde-38	307	28	)	)	PUNCT
ejde-38	307	29	such	such	ADJ
ejde-38	307	30	that	that	SCONJ
ejde-38	307	31	mf	mf	VERB
ejde-38	307	32	−mf	−mf	X
ejde-38	307	33	=	=	SYM
ejde-38	307	34	‖f	‖f	ADP
ejde-38	307	35	−	−	PROPN
ejde-38	307	36	f	f	X
ejde-38	307	37	∗∗‖l∞(λ	∗∗‖l∞(λ	NOUN
ejde-38	307	38	)	)	PUNCT
ejde-38	307	39	,	,	PUNCT
ejde-38	307	40	where	where	SCONJ
ejde-38	307	41	we	we	PRON
ejde-38	307	42	take	take	VERB
ejde-38	307	43	the	the	DET
ejde-38	307	44	cost	cost	NOUN
ejde-38	307	45	function	function	NOUN
ejde-38	307	46	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	307	47	,	,	PUNCT
ejde-38	307	48	y	y	NOUN
ejde-38	307	49	)	)	PUNCT
ejde-38	307	50	=	=	SYM
ejde-38	307	51	|x−	|x−	PROPN
ejde-38	307	52	y|2	y|2	PROPN
ejde-38	307	53	.	.	PROPN
ejde-38	307	54	3.1	3.1	NUM
ejde-38	307	55	.	.	PUNCT
ejde-38	308	1	relationship	relationship	NOUN
ejde-38	308	2	with	with	ADP
ejde-38	308	3	classical	classical	ADJ
ejde-38	308	4	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	308	5	duality	duality	NOUN
ejde-38	308	6	.	.	PUNCT
ejde-38	309	1	the	the	DET
ejde-38	309	2	dual	dual	ADJ
ejde-38	309	3	problem	problem	NOUN
ejde-38	309	4	(	(	PUNCT
ejde-38	309	5	3.1	3.1	NUM
ejde-38	309	6	)	)	PUNCT
ejde-38	309	7	bears	bear	VERB
ejde-38	309	8	many	many	ADJ
ejde-38	309	9	similarities	similarity	NOUN
ejde-38	309	10	to	to	PART
ejde-38	309	11	kantorovich	kantorovich	VERB
ejde-38	309	12	’s	’s	PART
ejde-38	309	13	dual	dual	ADJ
ejde-38	309	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	309	15	for	for	ADP
ejde-38	309	16	the	the	DET
ejde-38	309	17	classical	classical	ADJ
ejde-38	309	18	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	309	19	transport	transport	NOUN
ejde-38	309	20	problem	problem	NOUN
ejde-38	309	21	,	,	PUNCT
ejde-38	309	22	and	and	CCONJ
ejde-38	309	23	it	it	PRON
ejde-38	309	24	is	be	AUX
ejde-38	309	25	natural	natural	ADJ
ejde-38	309	26	to	to	PART
ejde-38	309	27	explore	explore	VERB
ejde-38	309	28	relationships	relationship	NOUN
ejde-38	309	29	between	between	ADP
ejde-38	309	30	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	309	31	of	of	ADP
ejde-38	309	32	the	the	DET
ejde-38	309	33	two	two	NUM
ejde-38	309	34	problems	problem	NOUN
ejde-38	309	35	;	;	PUNCT
ejde-38	309	36	we	we	PRON
ejde-38	309	37	do	do	VERB
ejde-38	309	38	so	so	ADV
ejde-38	309	39	in	in	ADP
ejde-38	309	40	this	this	DET
ejde-38	309	41	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	309	42	.	.	PUNCT
ejde-38	310	1	we	we	PRON
ejde-38	310	2	recall	recall	VERB
ejde-38	310	3	the	the	DET
ejde-38	310	4	classical	classical	ADJ
ejde-38	310	5	dual	dual	ADJ
ejde-38	310	6	problem	problem	NOUN
ejde-38	310	7	here	here	ADV
ejde-38	310	8	for	for	ADP
ejde-38	310	9	clarity	clarity	NOUN
ejde-38	310	10	.	.	PUNCT
ejde-38	311	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	311	2	3.8	3.8	NUM
ejde-38	311	3	(	(	PUNCT
ejde-38	311	4	[	[	X
ejde-38	311	5	11	11	NUM
ejde-38	311	6	,	,	PUNCT
ejde-38	311	7	theorem	theorem	VERB
ejde-38	311	8	1.3	1.3	NUM
ejde-38	311	9	]	]	PUNCT
ejde-38	311	10	)	)	PUNCT
ejde-38	311	11	.	.	PUNCT
ejde-38	312	1	if	if	SCONJ
ejde-38	312	2	µ	µ	NUM
ejde-38	312	3	,	,	PUNCT
ejde-38	312	4	ν	ν	NOUN
ejde-38	312	5	are	be	AUX
ejde-38	312	6	borel	borel	NOUN
ejde-38	312	7	probability	probability	NOUN
ejde-38	312	8	measures	measure	NOUN
ejde-38	312	9	on	on	ADP
ejde-38	312	10	x	x	PUNCT
ejde-38	312	11	and	and	CCONJ
ejde-38	312	12	y	y	PROPN
ejde-38	312	13	respectively	respectively	ADV
ejde-38	312	14	and	and	CCONJ
ejde-38	312	15	c	c	PROPN
ejde-38	312	16	a	a	DET
ejde-38	312	17	borel	borel	NOUN
ejde-38	312	18	measurable	measurable	ADJ
ejde-38	312	19	cost	cost	NOUN
ejde-38	312	20	on	on	ADP
ejde-38	312	21	x	x	SYM
ejde-38	312	22	×	×	PROPN
ejde-38	312	23	y	y	PROPN
ejde-38	312	24	,	,	PUNCT
ejde-38	312	25	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	312	26	’s	’s	PART
ejde-38	312	27	dual	dual	ADJ
ejde-38	312	28	problem	problem	NOUN
ejde-38	312	29	is	be	AUX
ejde-38	312	30	to	to	PART
ejde-38	312	31	find	find	VERB
ejde-38	312	32	sup	sup	NOUN
ejde-38	312	33	{	{	PUNCT
ejde-38	312	34	−	−	NUM
ejde-38	312	35	∫	∫	PROPN
ejde-38	312	36	x	x	SYM
ejde-38	312	37	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	312	38	∫	∫	PROPN
ejde-38	312	39	y	y	PROPN
ejde-38	312	40	ψdν	ψdν	NOUN
ejde-38	312	41	:	:	PUNCT
ejde-38	312	42	(	(	PUNCT
ejde-38	312	43	ϕ,ψ	ϕ,ψ	NOUN
ejde-38	312	44	)	)	PUNCT
ejde-38	312	45	∈	∈	PROPN
ejde-38	312	46	l1(µ)×	l1(µ)×	NOUN
ejde-38	312	47	l1(ν	l1(ν	PROPN
ejde-38	312	48	)	)	PUNCT
ejde-38	312	49	,	,	PUNCT
ejde-38	312	50	−	−	PROPN
ejde-38	312	51	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-38	312	52	ψ(y	ψ(y	PROPN
ejde-38	312	53	)	)	PUNCT
ejde-38	312	54	≤	≤	NOUN
ejde-38	312	55	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	312	56	,	,	PUNCT
ejde-38	312	57	y	y	PROPN
ejde-38	312	58	)	)	PUNCT
ejde-38	312	59	,	,	PUNCT
ejde-38	312	60	∀(x	∀(x	X
ejde-38	312	61	,	,	PUNCT
ejde-38	312	62	y	y	NOUN
ejde-38	312	63	)	)	PUNCT
ejde-38	312	64	∈	∈	PROPN
ejde-38	312	65	x	x	SYM
ejde-38	312	66	×	×	NOUN
ejde-38	312	67	y	y	PROPN
ejde-38	312	68	}	}	PUNCT
ejde-38	312	69	.	.	PUNCT
ejde-38	313	1	(	(	PUNCT
ejde-38	313	2	3.5	3.5	NUM
ejde-38	313	3	)	)	PUNCT
ejde-38	313	4	first	first	ADV
ejde-38	313	5	recall	recall	VERB
ejde-38	313	6	the	the	DET
ejde-38	313	7	definition	definition	NOUN
ejde-38	313	8	.	.	PUNCT
ejde-38	314	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	314	2	3.9	3.9	NUM
ejde-38	314	3	(	(	PUNCT
ejde-38	314	4	[	[	X
ejde-38	314	5	9	9	NUM
ejde-38	314	6	,	,	PUNCT
ejde-38	314	7	section	section	NOUN
ejde-38	314	8	23	23	NUM
ejde-38	314	9	]	]	PUNCT
ejde-38	314	10	)	)	PUNCT
ejde-38	314	11	.	.	PUNCT
ejde-38	315	1	if	if	SCONJ
ejde-38	315	2	f	f	PROPN
ejde-38	315	3	:	:	PUNCT
ejde-38	315	4	rn	rn	PROPN
ejde-38	315	5	→	→	SYM
ejde-38	315	6	r	r	NOUN
ejde-38	315	7	∪	∪	X
ejde-38	315	8	{	{	PUNCT
ejde-38	315	9	∞	∞	NOUN
ejde-38	315	10	}	}	PUNCT
ejde-38	315	11	is	be	AUX
ejde-38	315	12	a	a	DET
ejde-38	315	13	convex	convex	NOUN
ejde-38	315	14	function	function	NOUN
ejde-38	315	15	,	,	PUNCT
ejde-38	315	16	its	its	PRON
ejde-38	315	17	subdifferential	subdifferential	NOUN
ejde-38	315	18	at	at	ADP
ejde-38	315	19	a	a	DET
ejde-38	315	20	point	point	NOUN
ejde-38	315	21	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	315	22	∈	∈	NOUN
ejde-38	315	23	rn	rn	NOUN
ejde-38	315	24	is	be	AUX
ejde-38	315	25	defined	define	VERB
ejde-38	315	26	as	as	ADP
ejde-38	315	27	∂f	∂f	PROPN
ejde-38	315	28	(	(	PUNCT
ejde-38	315	29	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	315	30	)	)	PUNCT
ejde-38	315	31	:	:	PUNCT
ejde-38	315	32	=	=	SYM
ejde-38	315	33	{	{	PUNCT
ejde-38	315	34	ψ	ψ	X
ejde-38	315	35	∈	∈	PROPN
ejde-38	315	36	rn	rn	PROPN
ejde-38	315	37	:	:	PUNCT
ejde-38	315	38	f	f	PROPN
ejde-38	315	39	(	(	PUNCT
ejde-38	315	40	λ	λ	PROPN
ejde-38	315	41	)	)	PUNCT
ejde-38	315	42	≥	≥	NOUN
ejde-38	315	43	f	f	X
ejde-38	315	44	(	(	PUNCT
ejde-38	315	45	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	315	46	)	)	PUNCT
ejde-38	315	47	+	+	CCONJ
ejde-38	316	1	〈	〈	PROPN
ejde-38	316	2	λ−	λ−	PROPN
ejde-38	316	3	λ0	λ0	NOUN
ejde-38	316	4	,	,	PUNCT
ejde-38	316	5	ψ〉,∀λ	ψ〉,∀λ	NOUN
ejde-38	316	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	316	7	rn	rn	PROPN
ejde-38	316	8	}	}	PUNCT
ejde-38	316	9	.	.	PUNCT
ejde-38	317	1	next	next	ADV
ejde-38	317	2	,	,	PUNCT
ejde-38	317	3	we	we	PRON
ejde-38	317	4	prove	prove	VERB
ejde-38	317	5	a	a	DET
ejde-38	317	6	key	key	ADJ
ejde-38	317	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	317	8	.	.	PUNCT
ejde-38	318	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	318	2	3.10	3.10	NUM
ejde-38	318	3	.	.	PUNCT
ejde-38	318	4	suppose	suppose	VERB
ejde-38	318	5	c	c	NOUN
ejde-38	318	6	is	be	AUX
ejde-38	318	7	lower	low	ADJ
ejde-38	318	8	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	318	9	,	,	PUNCT
ejde-38	318	10	there	there	PRON
ejde-38	318	11	exists	exist	VERB
ejde-38	318	12	a	a	DET
ejde-38	318	13	real	real	ADV
ejde-38	318	14	valued	value	VERB
ejde-38	318	15	upper	upper	ADJ
ejde-38	318	16	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	318	17	function	function	NOUN
ejde-38	318	18	a	a	DET
ejde-38	318	19	∈	∈	NOUN
ejde-38	318	20	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	318	21	)	)	PUNCT
ejde-38	318	22	with	with	ADP
ejde-38	318	23	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	318	24	,	,	PUNCT
ejde-38	318	25	yj	yj	PROPN
ejde-38	318	26	)	)	PUNCT
ejde-38	318	27	≥	≥	NOUN
ejde-38	318	28	a(x	a(x	PROPN
ejde-38	318	29	)	)	PUNCT
ejde-38	318	30	for	for	ADP
ejde-38	318	31	all	all	DET
ejde-38	318	32	x	x	SYM
ejde-38	318	33	and	and	CCONJ
ejde-38	318	34	j	j	PROPN
ejde-38	318	35	,	,	PUNCT
ejde-38	318	36	and	and	CCONJ
ejde-38	318	37	(	(	PUNCT
ejde-38	318	38	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	318	39	,	,	PUNCT
ejde-38	318	40	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	318	41	)	)	PUNCT
ejde-38	318	42	∈	∈	PROPN
ejde-38	318	43	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	318	44	,	,	PUNCT
ejde-38	318	45	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	318	46	)	)	PUNCT
ejde-38	318	47	×	×	NOUN
ejde-38	318	48	λ	λ	NOUN
ejde-38	318	49	are	be	AUX
ejde-38	318	50	a	a	DET
ejde-38	318	51	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	318	52	pair	pair	NOUN
ejde-38	318	53	in	in	ADP
ejde-38	318	54	the	the	DET
ejde-38	318	55	primal	primal	ADJ
ejde-38	318	56	problem	problem	NOUN
ejde-38	318	57	(	(	PUNCT
ejde-38	318	58	1.3	1.3	NUM
ejde-38	318	59	)	)	PUNCT
ejde-38	318	60	.	.	PUNCT
ejde-38	319	1	then	then	ADV
ejde-38	319	2	if	if	SCONJ
ejde-38	319	3	there	there	PRON
ejde-38	319	4	exists	exist	VERB
ejde-38	319	5	a	a	DET
ejde-38	319	6	(	(	PUNCT
ejde-38	319	7	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	319	8	,	,	PUNCT
ejde-38	319	9	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	319	10	)	)	PUNCT
ejde-38	319	11	∈	∈	PROPN
ejde-38	319	12	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	319	13	)	)	PUNCT
ejde-38	319	14	×	×	PROPN
ejde-38	319	15	rn	rn	PROPN
ejde-38	319	16	which	which	PRON
ejde-38	319	17	is	be	AUX
ejde-38	319	18	a	a	DET
ejde-38	319	19	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	319	20	pair	pair	NOUN
ejde-38	319	21	in	in	ADP
ejde-38	319	22	the	the	DET
ejde-38	319	23	dual	dual	ADJ
ejde-38	319	24	problem	problem	NOUN
ejde-38	319	25	(	(	PUNCT
ejde-38	319	26	3.1	3.1	NUM
ejde-38	319	27	)	)	PUNCT
ejde-38	319	28	,	,	PUNCT
ejde-38	319	29	we	we	PRON
ejde-38	319	30	must	must	AUX
ejde-38	319	31	have	have	VERB
ejde-38	319	32	f	f	PROPN
ejde-38	319	33	(	(	PUNCT
ejde-38	319	34	λmax	λmax	NOUN
ejde-38	319	35	)	)	PUNCT
ejde-38	319	36	<	<	X
ejde-38	319	37	∞	∞	NOUN
ejde-38	319	38	and	and	CCONJ
ejde-38	319	39	−f	−f	PROPN
ejde-38	319	40	∗(ψmax	∗(ψmax	NUM
ejde-38	319	41	)	)	PUNCT
ejde-38	319	42	=	=	SYM
ejde-38	319	43	−〈λmin	−〈λmin	PROPN
ejde-38	319	44	,	,	PUNCT
ejde-38	319	45	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	319	46	f	f	X
ejde-38	319	47	(	(	PUNCT
ejde-38	319	48	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	319	49	)	)	PUNCT
ejde-38	319	50	or	or	CCONJ
ejde-38	319	51	equivalently	equivalently	ADV
ejde-38	319	52	by	by	ADP
ejde-38	319	53	[	[	PUNCT
ejde-38	319	54	9	9	NUM
ejde-38	319	55	,	,	PUNCT
ejde-38	319	56	theorem	theorem	VERB
ejde-38	319	57	23.5	23.5	NUM
ejde-38	319	58	]	]	PUNCT
ejde-38	319	59	,	,	PUNCT
ejde-38	319	60	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	319	61	∈	∈	PROPN
ejde-38	319	62	∂f	∂f	PROPN
ejde-38	319	63	(	(	PUNCT
ejde-38	319	64	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	319	65	)	)	PUNCT
ejde-38	319	66	.	.	PUNCT
ejde-38	320	1	12	12	NUM
ejde-38	320	2	m.	m.	NOUN
ejde-38	320	3	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	320	4	,	,	PUNCT
ejde-38	320	5	j.	j.	PROPN
ejde-38	320	6	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	320	7	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	320	8	proof	proof	NOUN
ejde-38	320	9	.	.	PUNCT
ejde-38	321	1	let	let	VERB
ejde-38	321	2	(	(	PUNCT
ejde-38	321	3	γmin	γmin	VERB
ejde-38	321	4	,	,	PUNCT
ejde-38	321	5	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	321	6	)	)	PUNCT
ejde-38	321	7	and	and	CCONJ
ejde-38	321	8	(	(	PUNCT
ejde-38	321	9	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	321	10	,	,	PUNCT
ejde-38	321	11	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	321	12	)	)	PUNCT
ejde-38	321	13	respectively	respectively	ADV
ejde-38	321	14	be	be	AUX
ejde-38	321	15	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	321	16	and	and	CCONJ
ejde-38	321	17	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	321	18	pairs	pair	NOUN
ejde-38	321	19	in	in	ADP
ejde-38	321	20	the	the	DET
ejde-38	321	21	primal	primal	ADJ
ejde-38	321	22	problem	problem	NOUN
ejde-38	321	23	(	(	PUNCT
ejde-38	321	24	1.3	1.3	NUM
ejde-38	321	25	)	)	PUNCT
ejde-38	321	26	and	and	CCONJ
ejde-38	321	27	dual	dual	ADJ
ejde-38	321	28	problem	problem	NOUN
ejde-38	321	29	(	(	PUNCT
ejde-38	321	30	3.1	3.1	NUM
ejde-38	321	31	)	)	PUNCT
ejde-38	321	32	.	.	PUNCT
ejde-38	322	1	by	by	ADP
ejde-38	322	2	definition	definition	NOUN
ejde-38	322	3	of	of	ADP
ejde-38	322	4	the	the	DET
ejde-38	322	5	legendre	legendre	PROPN
ejde-38	322	6	transform	transform	NOUN
ejde-38	322	7	,	,	PUNCT
ejde-38	322	8	we	we	PRON
ejde-38	322	9	have	have	VERB
ejde-38	322	10	−f	−f	NOUN
ejde-38	322	11	∗(ψmax	∗(ψmax	NUM
ejde-38	322	12	)	)	PUNCT
ejde-38	322	13	=	=	SYM
ejde-38	322	14	inf	inf	NOUN
ejde-38	322	15	λ∈λ	λ∈λ	NOUN
ejde-38	322	16	(	(	PUNCT
ejde-38	322	17	−〈λ	−〈λ	PROPN
ejde-38	322	18	,	,	PUNCT
ejde-38	322	19	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	322	20	f	f	X
ejde-38	322	21	(	(	PUNCT
ejde-38	322	22	λ	λ	NOUN
ejde-38	322	23	)	)	PUNCT
ejde-38	322	24	)	)	PUNCT
ejde-38	322	25	≤	≤	NUM
ejde-38	323	1	−〈λmin	−〈λmin	PROPN
ejde-38	323	2	,	,	PUNCT
ejde-38	323	3	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	323	4	f	f	X
ejde-38	323	5	(	(	PUNCT
ejde-38	323	6	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	323	7	)	)	PUNCT
ejde-38	323	8	.	.	PUNCT
ejde-38	324	1	for	for	ADP
ejde-38	324	2	the	the	DET
ejde-38	324	3	opposite	opposite	ADJ
ejde-38	324	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	324	5	,	,	PUNCT
ejde-38	324	6	using	use	VERB
ejde-38	324	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-38	324	8	3.3	3.3	NUM
ejde-38	324	9	we	we	PRON
ejde-38	324	10	have∫	have∫	VERB
ejde-38	324	11	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	324	12	c	c	PROPN
ejde-38	324	13	dγmin	dγmin	NOUN
ejde-38	324	14	+	+	CCONJ
ejde-38	324	15	f	f	X
ejde-38	324	16	(	(	PUNCT
ejde-38	324	17	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	324	18	)	)	PUNCT
ejde-38	324	19	=	=	SYM
ejde-38	324	20	sup	sup	NOUN
ejde-38	324	21	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	324	22	(	(	PUNCT
ejde-38	324	23	−	−	PROPN
ejde-38	324	24	∫	∫	PROPN
ejde-38	324	25	x	x	SYM
ejde-38	324	26	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	324	27	f	f	PROPN
ejde-38	324	28	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	324	29	)	)	PUNCT
ejde-38	324	30	)	)	PUNCT
ejde-38	325	1	=	=	SYM
ejde-38	325	2	sup	sup	NOUN
ejde-38	325	3	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	325	4	(	(	PUNCT
ejde-38	325	5	−	−	PROPN
ejde-38	325	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	325	7	x	x	SYM
ejde-38	325	8	ϕdµ+	ϕdµ+	PUNCT
ejde-38	325	9	inf	inf	PROPN
ejde-38	325	10	λ∈λ	λ∈λ	NOUN
ejde-38	325	11	(	(	PUNCT
ejde-38	325	12	−〈λ	−〈λ	PROPN
ejde-38	325	13	,	,	PUNCT
ejde-38	325	14	ψ〉+	ψ〉+	PROPN
ejde-38	325	15	f	f	PROPN
ejde-38	325	16	(	(	PUNCT
ejde-38	325	17	λ	λ	NOUN
ejde-38	325	18	)	)	PUNCT
ejde-38	325	19	)	)	PUNCT
ejde-38	325	20	)	)	PUNCT
ejde-38	326	1	≤	≤	NUM
ejde-38	326	2	sup	sup	NOUN
ejde-38	326	3	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	PROPN
ejde-38	326	4	(	(	PUNCT
ejde-38	326	5	−	−	PROPN
ejde-38	326	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	326	7	x	x	X
ejde-38	326	8	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	326	9	〈	〈	PROPN
ejde-38	326	10	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	326	11	,	,	PUNCT
ejde-38	326	12	ψ	ψ	PROPN
ejde-38	326	13	〉	〉	NOUN
ejde-38	326	14	)	)	PUNCT
ejde-38	327	1	+	+	CCONJ
ejde-38	327	2	f	f	X
ejde-38	327	3	(	(	PUNCT
ejde-38	327	4	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	327	5	)	)	PUNCT
ejde-38	327	6	≤	≤	NUM
ejde-38	327	7	∫	∫	PROPN
ejde-38	328	1	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	328	2	c	c	PROPN
ejde-38	328	3	dγmin	dγmin	NOUN
ejde-38	328	4	+	+	CCONJ
ejde-38	328	5	f	f	X
ejde-38	328	6	(	(	PUNCT
ejde-38	328	7	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	328	8	)	)	PUNCT
ejde-38	328	9	.	.	PUNCT
ejde-38	329	1	thus	thus	ADV
ejde-38	329	2	we	we	PRON
ejde-38	329	3	have	have	VERB
ejde-38	329	4	−	−	PROPN
ejde-38	329	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	330	1	x	x	SYM
ejde-38	331	1	ϕmax	ϕmax	X
ejde-38	331	2	dµ−	dµ−	SYM
ejde-38	331	3	f	f	NOUN
ejde-38	331	4	∗(ψmax	∗(ψmax	PROPN
ejde-38	331	5	)	)	PUNCT
ejde-38	331	6	=	=	SYM
ejde-38	331	7	sup	sup	NOUN
ejde-38	331	8	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	331	9	(	(	PUNCT
ejde-38	331	10	−	−	PROPN
ejde-38	331	11	∫	∫	PROPN
ejde-38	331	12	x	x	SYM
ejde-38	331	13	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	331	14	f	f	PROPN
ejde-38	331	15	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	331	16	)	)	PUNCT
ejde-38	331	17	)	)	PUNCT
ejde-38	332	1	=	=	SYM
ejde-38	332	2	sup	sup	NOUN
ejde-38	332	3	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	332	4	(	(	PUNCT
ejde-38	332	5	−	−	PROPN
ejde-38	332	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	332	7	x	x	X
ejde-38	332	8	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	332	9	〈	〈	PROPN
ejde-38	332	10	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	332	11	,	,	PUNCT
ejde-38	332	12	ψ〉+	ψ〉+	PROPN
ejde-38	332	13	f	f	PROPN
ejde-38	332	14	(	(	PUNCT
ejde-38	332	15	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	332	16	)	)	PUNCT
ejde-38	332	17	)	)	PUNCT
ejde-38	332	18	≥	≥	NOUN
ejde-38	333	1	−	−	NUM
ejde-38	333	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	333	3	x	x	X
ejde-38	333	4	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	333	5	dµ−	dµ−	PUNCT
ejde-38	333	6	〈	〈	NOUN
ejde-38	333	7	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	333	8	,	,	PUNCT
ejde-38	333	9	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	333	10	f	f	X
ejde-38	333	11	(	(	PUNCT
ejde-38	333	12	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	333	13	)	)	PUNCT
ejde-38	333	14	,	,	PUNCT
ejde-38	333	15	since	since	SCONJ
ejde-38	333	16	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	333	17	∈	∈	PROPN
ejde-38	333	18	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	333	19	)	)	PUNCT
ejde-38	333	20	,	,	PUNCT
ejde-38	333	21	this	this	PRON
ejde-38	333	22	yields	yield	VERB
ejde-38	333	23	−f	−f	PROPN
ejde-38	333	24	∗(ψmax	∗(ψmax	PROPN
ejde-38	333	25	)	)	PUNCT
ejde-38	333	26	=	=	SYM
ejde-38	333	27	−〈λmin	−〈λmin	PROPN
ejde-38	333	28	,	,	PUNCT
ejde-38	333	29	ψmax	ψmax	VERB
ejde-38	333	30	〉	〉	NOUN
ejde-38	333	31	+	+	CCONJ
ejde-38	333	32	f	f	PROPN
ejde-38	333	33	(	(	PUNCT
ejde-38	333	34	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	333	35	)	)	PUNCT
ejde-38	333	36	.	.	PUNCT
ejde-38	334	1	since	since	SCONJ
ejde-38	334	2	f	f	PROPN
ejde-38	334	3	∗	∗	PROPN
ejde-38	334	4	is	be	AUX
ejde-38	334	5	finite	finite	ADJ
ejde-38	334	6	everywhere	everywhere	ADV
ejde-38	334	7	,	,	PUNCT
ejde-38	334	8	we	we	PRON
ejde-38	334	9	have	have	VERB
ejde-38	334	10	f	f	PROPN
ejde-38	334	11	(	(	PUNCT
ejde-38	334	12	λmax	λmax	NOUN
ejde-38	334	13	)	)	PUNCT
ejde-38	335	1	<	<	X
ejde-38	335	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-38	335	3	�	�	PROPN
ejde-38	335	4	corollary	corollary	NOUN
ejde-38	335	5	3.11	3.11	NUM
ejde-38	335	6	.	.	PUNCT
ejde-38	336	1	assume	assume	VERB
ejde-38	336	2	the	the	DET
ejde-38	336	3	same	same	ADJ
ejde-38	336	4	conditions	condition	NOUN
ejde-38	336	5	on	on	ADP
ejde-38	336	6	c	c	PROPN
ejde-38	336	7	as	as	ADP
ejde-38	336	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	336	9	3.10	3.10	NUM
ejde-38	336	10	.	.	PUNCT
ejde-38	337	1	then	then	ADV
ejde-38	337	2	:	:	PUNCT
ejde-38	337	3	(	(	PUNCT
ejde-38	337	4	1	1	X
ejde-38	337	5	)	)	PUNCT
ejde-38	337	6	if	if	SCONJ
ejde-38	337	7	(	(	PUNCT
ejde-38	337	8	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	337	9	,	,	PUNCT
ejde-38	337	10	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	337	11	)	)	PUNCT
ejde-38	337	12	∈	∈	PROPN
ejde-38	337	13	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	337	14	,	,	PUNCT
ejde-38	337	15	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	337	16	)	)	PUNCT
ejde-38	337	17	×	×	PROPN
ejde-38	337	18	λ	λ	NOUN
ejde-38	337	19	are	be	AUX
ejde-38	337	20	a	a	DET
ejde-38	337	21	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	337	22	pair	pair	NOUN
ejde-38	337	23	in	in	ADP
ejde-38	337	24	the	the	DET
ejde-38	337	25	primal	primal	ADJ
ejde-38	337	26	problem	problem	NOUN
ejde-38	337	27	(	(	PUNCT
ejde-38	337	28	1.3	1.3	NUM
ejde-38	337	29	)	)	PUNCT
ejde-38	337	30	,	,	PUNCT
ejde-38	337	31	then	then	ADV
ejde-38	337	32	any	any	DET
ejde-38	337	33	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	337	34	of	of	ADP
ejde-38	337	35	(	(	PUNCT
ejde-38	337	36	3.1	3.1	NUM
ejde-38	337	37	)	)	PUNCT
ejde-38	337	38	is	be	AUX
ejde-38	337	39	a	a	DET
ejde-38	337	40	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	337	41	in	in	ADP
ejde-38	337	42	the	the	DET
ejde-38	337	43	classical	classical	ADJ
ejde-38	337	44	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	337	45	dual	dual	ADJ
ejde-38	337	46	problem	problem	NOUN
ejde-38	337	47	with	with	ADP
ejde-38	337	48	source	source	NOUN
ejde-38	337	49	measure	measure	NOUN
ejde-38	337	50	µ	µ	NOUN
ejde-38	337	51	and	and	CCONJ
ejde-38	337	52	target	target	NOUN
ejde-38	337	53	measure	measure	NOUN
ejde-38	337	54	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	337	55	.	.	PUNCT
ejde-38	338	1	(	(	PUNCT
ejde-38	338	2	2	2	X
ejde-38	338	3	)	)	PUNCT
ejde-38	338	4	if	if	SCONJ
ejde-38	338	5	there	there	PRON
ejde-38	338	6	is	be	VERB
ejde-38	338	7	a	a	DET
ejde-38	338	8	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	338	9	∈	∈	PROPN
ejde-38	338	10	λ	λ	NOUN
ejde-38	338	11	such	such	ADJ
ejde-38	338	12	that	that	PRON
ejde-38	338	13	(	(	PUNCT
ejde-38	338	14	ϕ̂max	ϕ̂max	NUM
ejde-38	338	15	,	,	PUNCT
ejde-38	338	16	ψ̂max	ψ̂max	PUNCT
ejde-38	338	17	)	)	PUNCT
ejde-38	338	18	is	be	AUX
ejde-38	338	19	a	a	DET
ejde-38	338	20	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	338	21	in	in	ADP
ejde-38	338	22	the	the	DET
ejde-38	338	23	classical	classical	ADJ
ejde-38	338	24	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	338	25	dual	dual	ADJ
ejde-38	338	26	problem	problem	NOUN
ejde-38	338	27	with	with	ADP
ejde-38	338	28	source	source	NOUN
ejde-38	338	29	measure	measure	NOUN
ejde-38	338	30	µ	µ	NOUN
ejde-38	338	31	and	and	CCONJ
ejde-38	338	32	target	target	NOUN
ejde-38	338	33	measure	measure	NOUN
ejde-38	338	34	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	338	35	and	and	CCONJ
ejde-38	338	36	ψ̂max	ψ̂max	PUNCT
ejde-38	338	37	∈	∈	PROPN
ejde-38	339	1	∂f	∂f	PROPN
ejde-38	339	2	(	(	PUNCT
ejde-38	339	3	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	339	4	)	)	PUNCT
ejde-38	339	5	,	,	PUNCT
ejde-38	339	6	then	then	ADV
ejde-38	339	7	(	(	PUNCT
ejde-38	339	8	ϕ̂max	ϕ̂max	ADV
ejde-38	339	9	,	,	PUNCT
ejde-38	339	10	ψ̂max	ψ̂max	PUNCT
ejde-38	339	11	)	)	PUNCT
ejde-38	339	12	is	be	AUX
ejde-38	339	13	also	also	ADV
ejde-38	339	14	a	a	DET
ejde-38	339	15	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	339	16	in	in	ADP
ejde-38	339	17	the	the	DET
ejde-38	339	18	dual	dual	ADJ
ejde-38	339	19	problem	problem	NOUN
ejde-38	339	20	(	(	PUNCT
ejde-38	339	21	3.1	3.1	NUM
ejde-38	339	22	)	)	PUNCT
ejde-38	339	23	.	.	PUNCT
ejde-38	340	1	moreover	moreover	ADV
ejde-38	340	2	,	,	PUNCT
ejde-38	340	3	if	if	SCONJ
ejde-38	340	4	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	340	5	is	be	AUX
ejde-38	340	6	a	a	DET
ejde-38	340	7	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	340	8	of	of	ADP
ejde-38	340	9	the	the	DET
ejde-38	340	10	classical	classical	ADJ
ejde-38	340	11	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	340	12	problem	problem	NOUN
ejde-38	340	13	(	(	PUNCT
ejde-38	340	14	1.4	1.4	NUM
ejde-38	340	15	)	)	PUNCT
ejde-38	340	16	between	between	ADP
ejde-38	340	17	µ	µ	NOUN
ejde-38	340	18	and	and	CCONJ
ejde-38	340	19	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	340	20	,	,	PUNCT
ejde-38	340	21	then	then	ADV
ejde-38	340	22	(	(	PUNCT
ejde-38	340	23	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	340	24	,	,	PUNCT
ejde-38	340	25	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	340	26	)	)	PUNCT
ejde-38	340	27	is	be	AUX
ejde-38	340	28	a	a	DET
ejde-38	340	29	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	340	30	in	in	ADP
ejde-38	340	31	(	(	PUNCT
ejde-38	340	32	1.3	1.3	NUM
ejde-38	340	33	)	)	PUNCT
ejde-38	340	34	.	.	PUNCT
ejde-38	341	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	341	2	.	.	PUNCT
ejde-38	342	1	(	(	PUNCT
ejde-38	342	2	1	1	X
ejde-38	342	3	)	)	PUNCT
ejde-38	342	4	let	let	VERB
ejde-38	342	5	(	(	PUNCT
ejde-38	342	6	γmin	γmin	VERB
ejde-38	342	7	,	,	PUNCT
ejde-38	342	8	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	342	9	)	)	PUNCT
ejde-38	342	10	∈	∈	PROPN
ejde-38	343	1	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	343	2	,	,	PUNCT
ejde-38	343	3	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	343	4	)	)	PUNCT
ejde-38	343	5	×	×	NOUN
ejde-38	343	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	343	7	be	be	AUX
ejde-38	343	8	a	a	DET
ejde-38	343	9	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	343	10	pair	pair	NOUN
ejde-38	343	11	in	in	ADP
ejde-38	343	12	the	the	DET
ejde-38	343	13	primal	primal	ADJ
ejde-38	343	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	343	15	(	(	PUNCT
ejde-38	343	16	1.3	1.3	NUM
ejde-38	343	17	)	)	PUNCT
ejde-38	343	18	and	and	CCONJ
ejde-38	343	19	(	(	PUNCT
ejde-38	343	20	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	343	21	,	,	PUNCT
ejde-38	343	22	ψmax	ψmax	PROPN
ejde-38	343	23	)	)	PUNCT
ejde-38	343	24	be	be	VERB
ejde-38	343	25	a	a	DET
ejde-38	343	26	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	343	27	of	of	ADP
ejde-38	343	28	(	(	PUNCT
ejde-38	343	29	3.1	3.1	NUM
ejde-38	343	30	)	)	PUNCT
ejde-38	343	31	.	.	PUNCT
ejde-38	344	1	then	then	ADV
ejde-38	344	2	by	by	ADP
ejde-38	344	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-38	344	4	3.3	3.3	NUM
ejde-38	344	5	and	and	CCONJ
ejde-38	344	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	344	7	3.10	3.10	NUM
ejde-38	344	8	,	,	PUNCT
ejde-38	344	9	∫	∫	PROPN
ejde-38	344	10	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	344	11	c	c	PROPN
ejde-38	344	12	dγmin+f	dγmin+f	PROPN
ejde-38	344	13	(	(	PUNCT
ejde-38	344	14	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	344	15	)	)	PUNCT
ejde-38	344	16	=	=	PUNCT
ejde-38	345	1	−	−	PROPN
ejde-38	345	2	∫	∫	NOUN
ejde-38	345	3	x	x	SYM
ejde-38	345	4	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	345	5	dµ−f	dµ−f	NOUN
ejde-38	345	6	∗(ψmax	∗(ψmax	X
ejde-38	345	7	)	)	PUNCT
ejde-38	345	8	=	=	PUNCT
ejde-38	346	1	−	−	PROPN
ejde-38	346	2	∫	∫	NOUN
ejde-38	346	3	x	x	SYM
ejde-38	346	4	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	346	5	dµ−	dµ−	PUNCT
ejde-38	346	6	〈	〈	NOUN
ejde-38	346	7	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	346	8	,	,	PUNCT
ejde-38	346	9	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	346	10	f	f	X
ejde-38	346	11	(	(	PUNCT
ejde-38	346	12	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	346	13	)	)	PUNCT
ejde-38	346	14	,	,	PUNCT
ejde-38	346	15	proving	prove	VERB
ejde-38	346	16	the	the	DET
ejde-38	346	17	first	first	ADJ
ejde-38	346	18	claim	claim	NOUN
ejde-38	346	19	.	.	PUNCT
ejde-38	347	1	(	(	PUNCT
ejde-38	347	2	2	2	X
ejde-38	347	3	)	)	PUNCT
ejde-38	347	4	now	now	ADV
ejde-38	347	5	suppose	suppose	VERB
ejde-38	347	6	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	347	7	∈	∈	PROPN
ejde-38	347	8	rn	rn	PROPN
ejde-38	347	9	and	and	CCONJ
ejde-38	347	10	(	(	PUNCT
ejde-38	347	11	ϕ̂max	ϕ̂max	ADV
ejde-38	347	12	,	,	PUNCT
ejde-38	347	13	ψ̂max	ψ̂max	NOUN
ejde-38	347	14	)	)	PUNCT
ejde-38	347	15	are	be	AUX
ejde-38	347	16	as	as	ADP
ejde-38	347	17	in	in	ADP
ejde-38	347	18	claim	claim	NOUN
ejde-38	347	19	(	(	PUNCT
ejde-38	347	20	2	2	NUM
ejde-38	347	21	)	)	PUNCT
ejde-38	347	22	above	above	ADV
ejde-38	347	23	;	;	PUNCT
ejde-38	347	24	by	by	ADP
ejde-38	347	25	[	[	X
ejde-38	347	26	12	12	NUM
ejde-38	347	27	,	,	PUNCT
ejde-38	347	28	theorem	theorem	VERB
ejde-38	347	29	4.1	4.1	NUM
ejde-38	347	30	]	]	PUNCT
ejde-38	347	31	there	there	PRON
ejde-38	347	32	exists	exist	VERB
ejde-38	347	33	γmin	γmin	VERB
ejde-38	347	34	∈	∈	PROPN
ejde-38	347	35	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	347	36	,	,	PUNCT
ejde-38	347	37	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	347	38	)	)	PUNCT
ejde-38	347	39	minimizing	minimizing	NOUN
ejde-38	347	40	(	(	PUNCT
ejde-38	347	41	1.4	1.4	NUM
ejde-38	347	42	)	)	PUNCT
ejde-38	347	43	.	.	PUNCT
ejde-38	348	1	by	by	ADP
ejde-38	348	2	[	[	X
ejde-38	348	3	12	12	NUM
ejde-38	348	4	,	,	PUNCT
ejde-38	348	5	theorem	theorem	VERB
ejde-38	348	6	5.10	5.10	NUM
ejde-38	348	7	(	(	PUNCT
ejde-38	348	8	i	i	NOUN
ejde-38	348	9	)	)	PUNCT
ejde-38	348	10	]	]	PUNCT
ejde-38	348	11	and	and	CCONJ
ejde-38	348	12	[	[	X
ejde-38	348	13	9	9	NUM
ejde-38	348	14	,	,	PUNCT
ejde-38	348	15	theorem	theorem	VERB
ejde-38	348	16	23.5],∫	23.5],∫	NUM
ejde-38	348	17	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	348	18	c	c	NOUN
ejde-38	348	19	dγmin	dγmin	NOUN
ejde-38	348	20	+	+	CCONJ
ejde-38	348	21	f	f	X
ejde-38	348	22	(	(	PUNCT
ejde-38	348	23	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	348	24	)	)	PUNCT
ejde-38	348	25	=	=	PUNCT
ejde-38	349	1	−	−	PROPN
ejde-38	349	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	349	3	x	x	X
ejde-38	349	4	ϕ̂max	ϕ̂max	PUNCT
ejde-38	349	5	dµ−	dµ−	PUNCT
ejde-38	349	6	〈	〈	NOUN
ejde-38	349	7	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	349	8	,	,	PUNCT
ejde-38	349	9	ψ̂max〉+	ψ̂max〉+	NOUN
ejde-38	349	10	f	f	PROPN
ejde-38	349	11	(	(	PUNCT
ejde-38	349	12	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	349	13	)	)	PUNCT
ejde-38	349	14	=	=	PUNCT
ejde-38	350	1	−	−	PROPN
ejde-38	350	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	350	3	x	x	X
ejde-38	350	4	ϕ̂max	ϕ̂max	PUNCT
ejde-38	350	5	dµ−	dµ−	SYM
ejde-38	350	6	f	f	NOUN
ejde-38	350	7	∗(ψ̂max	∗(ψ̂max	NUM
ejde-38	350	8	)	)	PUNCT
ejde-38	350	9	,	,	PUNCT
ejde-38	350	10	ejde-2023/22	ejde-2023/22	VERB
ejde-38	350	11	an	an	DET
ejde-38	350	12	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	350	13	transport	transport	NOUN
ejde-38	350	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	350	15	13	13	NUM
ejde-38	350	16	hence	hence	ADV
ejde-38	350	17	(	(	PUNCT
ejde-38	350	18	ϕ̂max	ϕ̂max	ADV
ejde-38	350	19	,	,	PUNCT
ejde-38	350	20	ψ̂max	ψ̂max	NOUN
ejde-38	350	21	)	)	PUNCT
ejde-38	350	22	maximizes	maximize	NOUN
ejde-38	350	23	(	(	PUNCT
ejde-38	350	24	3.1	3.1	NUM
ejde-38	350	25	)	)	PUNCT
ejde-38	350	26	.	.	PUNCT
ejde-38	351	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	351	2	3.3	3.3	NUM
ejde-38	351	3	then	then	ADV
ejde-38	351	4	shows	show	VERB
ejde-38	351	5	(	(	PUNCT
ejde-38	351	6	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	351	7	,	,	PUNCT
ejde-38	351	8	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	351	9	)	)	PUNCT
ejde-38	351	10	is	be	AUX
ejde-38	351	11	a	a	DET
ejde-38	351	12	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	351	13	in	in	ADP
ejde-38	351	14	(	(	PUNCT
ejde-38	351	15	1.3	1.3	NUM
ejde-38	351	16	)	)	PUNCT
ejde-38	351	17	.	.	PUNCT
ejde-38	352	1	�	�	PROPN
ejde-38	352	2	4	4	NUM
ejde-38	352	3	.	.	X
ejde-38	352	4	relationship	relationship	NOUN
ejde-38	352	5	between	between	ADP
ejde-38	352	6	dual	dual	ADJ
ejde-38	352	7	and	and	CCONJ
ejde-38	352	8	primal	primal	ADJ
ejde-38	352	9	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	352	10	in	in	ADP
ejde-38	352	11	this	this	DET
ejde-38	352	12	section	section	NOUN
ejde-38	352	13	we	we	PRON
ejde-38	352	14	work	work	VERB
ejde-38	352	15	towards	towards	ADP
ejde-38	352	16	a	a	DET
ejde-38	352	17	sharp	sharp	ADJ
ejde-38	352	18	first	first	ADJ
ejde-38	352	19	order	order	NOUN
ejde-38	352	20	condition	condition	NOUN
ejde-38	352	21	characterizing	characterize	VERB
ejde-38	352	22	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	352	23	in	in	ADP
ejde-38	352	24	(	(	PUNCT
ejde-38	352	25	3.1	3.1	NUM
ejde-38	352	26	)	)	PUNCT
ejde-38	352	27	and	and	CCONJ
ejde-38	352	28	(	(	PUNCT
ejde-38	352	29	1.3	1.3	NUM
ejde-38	352	30	)	)	PUNCT
ejde-38	352	31	,	,	PUNCT
ejde-38	352	32	along	along	ADP
ejde-38	352	33	with	with	ADP
ejde-38	352	34	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-38	352	35	of	of	ADP
ejde-38	352	36	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	352	37	under	under	ADP
ejde-38	352	38	some	some	DET
ejde-38	352	39	mild	mild	ADJ
ejde-38	352	40	conditions	condition	NOUN
ejde-38	352	41	.	.	PUNCT
ejde-38	353	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	353	2	4.1	4.1	NUM
ejde-38	353	3	.	.	PUNCT
ejde-38	354	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	354	2	c	c	NOUN
ejde-38	354	3	is	be	AUX
ejde-38	354	4	lower	low	ADJ
ejde-38	354	5	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	354	6	,	,	PUNCT
ejde-38	354	7	there	there	PRON
ejde-38	354	8	exists	exist	VERB
ejde-38	354	9	a	a	DET
ejde-38	354	10	real	real	ADV
ejde-38	354	11	valued	value	VERB
ejde-38	354	12	upper	upper	ADJ
ejde-38	354	13	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	354	14	function	function	NOUN
ejde-38	354	15	a	a	DET
ejde-38	354	16	∈	∈	NOUN
ejde-38	354	17	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	354	18	)	)	PUNCT
ejde-38	354	19	with	with	ADP
ejde-38	354	20	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	354	21	,	,	PUNCT
ejde-38	354	22	yj	yj	PROPN
ejde-38	354	23	)	)	PUNCT
ejde-38	354	24	≥	≥	NOUN
ejde-38	354	25	a(x	a(x	PROPN
ejde-38	354	26	)	)	PUNCT
ejde-38	354	27	for	for	ADP
ejde-38	354	28	all	all	DET
ejde-38	354	29	x	x	X
ejde-38	354	30	and	and	CCONJ
ejde-38	354	31	j.	j.	PROPN
ejde-38	354	32	also	also	ADV
ejde-38	354	33	let	let	VERB
ejde-38	354	34	(	(	PUNCT
ejde-38	354	35	γmin	γmin	VERB
ejde-38	354	36	,	,	PUNCT
ejde-38	354	37	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	354	38	)	)	PUNCT
ejde-38	354	39	∈	∈	PROPN
ejde-38	354	40	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	354	41	,	,	PUNCT
ejde-38	354	42	νλmin	νλmin	NOUN
ejde-38	354	43	)	)	PUNCT
ejde-38	354	44	×	×	NOUN
ejde-38	354	45	λ	λ	NOUN
ejde-38	354	46	and	and	CCONJ
ejde-38	355	1	(	(	PUNCT
ejde-38	355	2	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	355	3	,	,	PUNCT
ejde-38	355	4	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	355	5	)	)	PUNCT
ejde-38	355	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	355	7	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	355	8	)	)	PUNCT
ejde-38	355	9	×	×	PROPN
ejde-38	355	10	rn	rn	PROPN
ejde-38	355	11	be	be	AUX
ejde-38	355	12	extremizers	extremizer	NOUN
ejde-38	355	13	respectively	respectively	ADV
ejde-38	355	14	in	in	ADP
ejde-38	355	15	(	(	PUNCT
ejde-38	355	16	1.3	1.3	NUM
ejde-38	355	17	)	)	PUNCT
ejde-38	355	18	and	and	CCONJ
ejde-38	355	19	(	(	PUNCT
ejde-38	355	20	3.1	3.1	NUM
ejde-38	355	21	)	)	PUNCT
ejde-38	355	22	.	.	PUNCT
ejde-38	356	1	if	if	SCONJ
ejde-38	356	2	λjmin	λjmin	NOUN
ejde-38	356	3	>	>	X
ejde-38	356	4	0	0	PUNCT
ejde-38	356	5	for	for	ADP
ejde-38	356	6	some	some	DET
ejde-38	356	7	1	1	NUM
ejde-38	356	8	≤	≤	NUM
ejde-38	356	9	j	j	PROPN
ejde-38	356	10	≤	≤	PROPN
ejde-38	356	11	n	n	CCONJ
ejde-38	356	12	,	,	PUNCT
ejde-38	356	13	then	then	ADV
ejde-38	356	14	we	we	PRON
ejde-38	356	15	must	must	AUX
ejde-38	356	16	have	have	VERB
ejde-38	356	17	(	(	PUNCT
ejde-38	356	18	ψc	ψc	VERB
ejde-38	357	1	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	357	2	max	max	PROPN
ejde-38	357	3	)	)	PUNCT
ejde-38	357	4	j	j	PROPN
ejde-38	358	1	=	=	PUNCT
ejde-38	358	2	ψjmax	ψjmax	NOUN
ejde-38	358	3	for	for	ADP
ejde-38	358	4	that	that	DET
ejde-38	358	5	index	index	NOUN
ejde-38	358	6	j.	j.	PROPN
ejde-38	358	7	proof	proof	PROPN
ejde-38	358	8	.	.	PUNCT
ejde-38	359	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	359	2	λjmin	λjmin	X
ejde-38	359	3	>	>	X
ejde-38	359	4	0	0	PUNCT
ejde-38	360	1	for	for	ADP
ejde-38	360	2	some	some	DET
ejde-38	360	3	1	1	NUM
ejde-38	360	4	≤	≤	NUM
ejde-38	360	5	j	j	PROPN
ejde-38	360	6	≤	≤	PROPN
ejde-38	360	7	n	n	ADV
ejde-38	360	8	.	.	PUNCT
ejde-38	360	9	recall	recall	VERB
ejde-38	360	10	that	that	SCONJ
ejde-38	360	11	by	by	ADP
ejde-38	360	12	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	360	13	3.5	3.5	NUM
ejde-38	360	14	(	(	PUNCT
ejde-38	360	15	1	1	NUM
ejde-38	360	16	)	)	PUNCT
ejde-38	360	17	we	we	PRON
ejde-38	360	18	must	must	AUX
ejde-38	360	19	have	have	VERB
ejde-38	360	20	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	360	21	≡	≡	PROPN
ejde-38	360	22	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	360	23	∗	∗	PROPN
ejde-38	360	24	max	max	PROPN
ejde-38	360	25	on	on	ADP
ejde-38	360	26	sptµ	sptµ	NOUN
ejde-38	360	27	,	,	PUNCT
ejde-38	360	28	and	and	CCONJ
ejde-38	360	29	ψkmax	ψkmax	ADJ
ejde-38	360	30	≥	≥	NUM
ejde-38	360	31	(	(	PUNCT
ejde-38	360	32	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	360	33	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	360	34	max)k	max)k	NOUN
ejde-38	360	35	for	for	ADP
ejde-38	360	36	all	all	DET
ejde-38	360	37	1	1	NUM
ejde-38	360	38	≤	≤	NUM
ejde-38	360	39	k	k	NOUN
ejde-38	360	40	≤	≤	NUM
ejde-38	360	41	n	n	ADV
ejde-38	360	42	.	.	PUNCT
ejde-38	361	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	361	2	by	by	ADP
ejde-38	361	3	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-38	361	4	there	there	PRON
ejde-38	361	5	is	be	VERB
ejde-38	361	6	a	a	DET
ejde-38	361	7	strict	strict	ADJ
ejde-38	361	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	361	9	for	for	ADP
ejde-38	361	10	the	the	DET
ejde-38	361	11	index	index	NOUN
ejde-38	361	12	j.	j.	PROPN
ejde-38	361	13	since	since	SCONJ
ejde-38	361	14	(	(	PUNCT
ejde-38	361	15	ψc	ψc	PROPN
ejde-38	361	16	∗	∗	PROPN
ejde-38	361	17	max	max	PROPN
ejde-38	361	18	,	,	PUNCT
ejde-38	361	19	ψ	ψ	X
ejde-38	361	20	c∗c	c∗c	NUM
ejde-38	361	21	max	max	NOUN
ejde-38	361	22	)	)	PUNCT
ejde-38	361	23	is	be	AUX
ejde-38	361	24	also	also	ADV
ejde-38	361	25	a	a	DET
ejde-38	361	26	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	361	27	in	in	ADP
ejde-38	361	28	(	(	PUNCT
ejde-38	361	29	3.1	3.1	NUM
ejde-38	361	30	)	)	PUNCT
ejde-38	361	31	we	we	PRON
ejde-38	361	32	would	would	AUX
ejde-38	361	33	then	then	ADV
ejde-38	361	34	obtain	obtain	VERB
ejde-38	361	35	−f	−f	NOUN
ejde-38	361	36	∗(ψc	∗(ψc	ADJ
ejde-38	361	37	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	361	38	max	max	PROPN
ejde-38	361	39	)	)	PUNCT
ejde-38	362	1	=	=	PUNCT
ejde-38	362	2	−〈λmin	−〈λmin	PROPN
ejde-38	362	3	,	,	PUNCT
ejde-38	362	4	ψ	ψ	ADP
ejde-38	362	5	c∗c	c∗c	NUM
ejde-38	362	6	max〉+	max〉+	PROPN
ejde-38	362	7	f	f	PROPN
ejde-38	362	8	(	(	PUNCT
ejde-38	362	9	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	362	10	)	)	PUNCT
ejde-38	362	11	=	=	SYM
ejde-38	363	1	−	−	PROPN
ejde-38	363	2	∑	∑	PUNCT
ejde-38	363	3	k	k	PROPN
ejde-38	363	4	6	6	NUM
ejde-38	363	5	=	=	SYM
ejde-38	363	6	j	j	X
ejde-38	363	7	(	(	PUNCT
ejde-38	363	8	ψc	ψc	PROPN
ejde-38	363	9	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	363	10	max)kλkmin	max)kλkmin	PROPN
ejde-38	363	11	−	−	PROPN
ejde-38	363	12	(	(	PUNCT
ejde-38	363	13	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	363	14	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	363	15	max)jλjmin	max)jλjmin	PROPN
ejde-38	363	16	+	+	CCONJ
ejde-38	363	17	f	f	PROPN
ejde-38	363	18	(	(	PUNCT
ejde-38	363	19	λmin	λmin	PROPN
ejde-38	363	20	)	)	PUNCT
ejde-38	363	21	>	>	X
ejde-38	364	1	−	−	PROPN
ejde-38	364	2	∑	∑	PUNCT
ejde-38	364	3	k	k	PROPN
ejde-38	364	4	6	6	NUM
ejde-38	364	5	=	=	PROPN
ejde-38	364	6	j	j	PROPN
ejde-38	364	7	ψkmaxλ	ψkmaxλ	VERB
ejde-38	364	8	k	k	PROPN
ejde-38	364	9	min	min	PROPN
ejde-38	364	10	−	−	PROPN
ejde-38	364	11	ψjmaxλ	ψjmaxλ	VERB
ejde-38	364	12	j	j	PROPN
ejde-38	364	13	min	min	PROPN
ejde-38	365	1	+	+	CCONJ
ejde-38	365	2	f	f	X
ejde-38	365	3	(	(	PUNCT
ejde-38	365	4	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	365	5	)	)	PUNCT
ejde-38	365	6	=	=	PUNCT
ejde-38	365	7	−〈λmin	−〈λmin	PROPN
ejde-38	365	8	,	,	PUNCT
ejde-38	365	9	ψmax〉+	ψmax〉+	PROPN
ejde-38	365	10	f	f	X
ejde-38	365	11	(	(	PUNCT
ejde-38	365	12	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	365	13	)	)	PUNCT
ejde-38	365	14	=	=	SYM
ejde-38	365	15	−f	−f	PROPN
ejde-38	365	16	∗(ψmax	∗(ψmax	NUM
ejde-38	365	17	)	)	PUNCT
ejde-38	365	18	.	.	PUNCT
ejde-38	366	1	however	however	ADV
ejde-38	366	2	,	,	PUNCT
ejde-38	366	3	this	this	PRON
ejde-38	366	4	contradicts	contradict	VERB
ejde-38	366	5	that	that	SCONJ
ejde-38	366	6	(	(	PUNCT
ejde-38	366	7	ϕmax	ϕmax	ADV
ejde-38	366	8	,	,	PUNCT
ejde-38	366	9	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	366	10	)	)	PUNCT
ejde-38	366	11	is	be	AUX
ejde-38	366	12	a	a	DET
ejde-38	366	13	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	366	14	,	,	PUNCT
ejde-38	366	15	thus	thus	ADV
ejde-38	366	16	we	we	PRON
ejde-38	366	17	must	must	AUX
ejde-38	366	18	have	have	VERB
ejde-38	366	19	ψmax	ψmax	NOUN
ejde-38	366	20	=	=	PUNCT
ejde-38	366	21	(	(	PUNCT
ejde-38	366	22	ψc	ψc	PROPN
ejde-38	366	23	∗c	∗c	PROPN
ejde-38	366	24	max	max	PROPN
ejde-38	366	25	)	)	PUNCT
ejde-38	366	26	.	.	PUNCT
ejde-38	367	1	�	�	PROPN
ejde-38	367	2	next	next	ADV
ejde-38	367	3	we	we	PRON
ejde-38	367	4	aim	aim	VERB
ejde-38	367	5	to	to	PART
ejde-38	367	6	start	start	VERB
ejde-38	367	7	with	with	ADP
ejde-38	367	8	a	a	DET
ejde-38	367	9	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	367	10	in	in	ADP
ejde-38	367	11	the	the	DET
ejde-38	367	12	dual	dual	ADJ
ejde-38	367	13	problem	problem	NOUN
ejde-38	367	14	and	and	CCONJ
ejde-38	367	15	construct	construct	VERB
ejde-38	367	16	a	a	DET
ejde-38	367	17	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	367	18	in	in	ADP
ejde-38	367	19	the	the	DET
ejde-38	367	20	primal	primal	ADJ
ejde-38	367	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	367	22	.	.	PUNCT
ejde-38	368	1	to	to	PART
ejde-38	368	2	do	do	VERB
ejde-38	368	3	so	so	ADV
ejde-38	368	4	,	,	PUNCT
ejde-38	368	5	we	we	PRON
ejde-38	368	6	need	need	VERB
ejde-38	368	7	an	an	DET
ejde-38	368	8	assumption	assumption	NOUN
ejde-38	368	9	about	about	ADP
ejde-38	368	10	when	when	SCONJ
ejde-38	368	11	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	368	12	in	in	ADP
ejde-38	368	13	the	the	DET
ejde-38	368	14	classical	classical	ADJ
ejde-38	368	15	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	368	16	problem	problem	NOUN
ejde-38	368	17	(	(	PUNCT
ejde-38	368	18	1.4	1.4	NUM
ejde-38	368	19	)	)	PUNCT
ejde-38	368	20	can	can	AUX
ejde-38	368	21	be	be	AUX
ejde-38	368	22	written	write	VERB
ejde-38	368	23	as	as	ADP
ejde-38	368	24	solutions	solution	NOUN
ejde-38	368	25	to	to	ADP
ejde-38	368	26	the	the	DET
ejde-38	368	27	monge	monge	PROPN
ejde-38	368	28	problem	problem	NOUN
ejde-38	368	29	(	(	PUNCT
ejde-38	368	30	1.1	1.1	NUM
ejde-38	368	31	)	)	PUNCT
ejde-38	368	32	.	.	PUNCT
ejde-38	369	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	369	2	4.2	4.2	NUM
ejde-38	369	3	.	.	PUNCT
ejde-38	370	1	if	if	SCONJ
ejde-38	370	2	µ	µ	PRON
ejde-38	370	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	370	4	p(x	p(x	NOUN
ejde-38	370	5	)	)	PUNCT
ejde-38	370	6	,	,	PUNCT
ejde-38	370	7	we	we	PRON
ejde-38	370	8	say	say	VERB
ejde-38	370	9	the	the	DET
ejde-38	370	10	cost	cost	NOUN
ejde-38	370	11	function	function	NOUN
ejde-38	370	12	c	c	NOUN
ejde-38	370	13	satisfies	satisfy	VERB
ejde-38	370	14	the	the	DET
ejde-38	370	15	condition	condition	NOUN
ejde-38	370	16	(	(	PUNCT
ejde-38	370	17	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	370	18	)	)	PUNCT
ejde-38	370	19	if	if	SCONJ
ejde-38	370	20	for	for	ADP
ejde-38	370	21	each	each	DET
ejde-38	370	22	1	1	NUM
ejde-38	370	23	≤	≤	NUM
ejde-38	371	1	j	j	PROPN
ejde-38	371	2	≤	≤	PROPN
ejde-38	371	3	n	n	CCONJ
ejde-38	371	4	,	,	PUNCT
ejde-38	371	5	the	the	DET
ejde-38	371	6	function	function	NOUN
ejde-38	371	7	c	c	X
ejde-38	371	8	(	(	PUNCT
ejde-38	371	9	·	·	PUNCT
ejde-38	371	10	,	,	PUNCT
ejde-38	371	11	yj	yj	PROPN
ejde-38	371	12	)	)	PUNCT
ejde-38	371	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	371	14	l1(µ	l1(µ	PART
ejde-38	371	15	)	)	PUNCT
ejde-38	371	16	is	be	AUX
ejde-38	371	17	lower	low	ADJ
ejde-38	371	18	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	371	19	,	,	PUNCT
ejde-38	371	20	there	there	PRON
ejde-38	371	21	exists	exist	VERB
ejde-38	371	22	a	a	DET
ejde-38	371	23	real	real	ADV
ejde-38	371	24	valued	value	VERB
ejde-38	371	25	upper	upper	ADJ
ejde-38	371	26	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	371	27	function	function	NOUN
ejde-38	371	28	a	a	DET
ejde-38	371	29	∈	∈	NOUN
ejde-38	371	30	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	371	31	)	)	PUNCT
ejde-38	371	32	with	with	ADP
ejde-38	371	33	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	371	34	,	,	PUNCT
ejde-38	371	35	yj	yj	PROPN
ejde-38	371	36	)	)	PUNCT
ejde-38	371	37	≥	≥	NOUN
ejde-38	371	38	a(x	a(x	PROPN
ejde-38	371	39	)	)	PUNCT
ejde-38	371	40	for	for	ADP
ejde-38	371	41	all	all	DET
ejde-38	371	42	x	x	SYM
ejde-38	371	43	∈	∈	PROPN
ejde-38	371	44	x	x	NOUN
ejde-38	371	45	,	,	PUNCT
ejde-38	371	46	and	and	CCONJ
ejde-38	371	47	for	for	ADP
ejde-38	371	48	any	any	DET
ejde-38	371	49	u	u	NOUN
ejde-38	371	50	∈	∈	PROPN
ejde-38	371	51	r	r	NOUN
ejde-38	371	52	,	,	PUNCT
ejde-38	371	53	and	and	CCONJ
ejde-38	371	54	each	each	DET
ejde-38	371	55	j	j	PROPN
ejde-38	371	56	6=	6=	PROPN
ejde-38	372	1	k	k	PROPN
ejde-38	372	2	,	,	PUNCT
ejde-38	372	3	we	we	PRON
ejde-38	372	4	have	have	VERB
ejde-38	372	5	µ({x	µ({x	PRON
ejde-38	372	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	372	7	x	x	X
ejde-38	372	8	:	:	PUNCT
ejde-38	372	9	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	372	10	,	,	PUNCT
ejde-38	372	11	yj	yj	PROPN
ejde-38	372	12	)	)	PUNCT
ejde-38	372	13	=	=	SYM
ejde-38	372	14	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	372	15	,	,	PUNCT
ejde-38	372	16	yk	yk	PROPN
ejde-38	372	17	)	)	PUNCT
ejde-38	372	18	+	+	NUM
ejde-38	372	19	u	u	NOUN
ejde-38	372	20	}	}	PUNCT
ejde-38	372	21	)	)	PUNCT
ejde-38	373	1	=	=	SYM
ejde-38	373	2	0	0	X
ejde-38	373	3	.	.	PUNCT
ejde-38	374	1	(	(	PUNCT
ejde-38	374	2	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	374	3	)	)	PUNCT
ejde-38	374	4	remark	remark	VERB
ejde-38	374	5	4.3	4.3	NUM
ejde-38	374	6	.	.	PUNCT
ejde-38	375	1	if	if	SCONJ
ejde-38	375	2	c	c	PROPN
ejde-38	375	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	375	4	(	(	PUNCT
ejde-38	375	5	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	375	6	)	)	PUNCT
ejde-38	375	7	then	then	ADV
ejde-38	375	8	we	we	PRON
ejde-38	375	9	can	can	AUX
ejde-38	375	10	apply	apply	VERB
ejde-38	375	11	[	[	X
ejde-38	375	12	12	12	NUM
ejde-38	375	13	,	,	PUNCT
ejde-38	375	14	theorem	theorem	VERB
ejde-38	375	15	5.30	5.30	NUM
ejde-38	375	16	]	]	PUNCT
ejde-38	375	17	to	to	PART
ejde-38	375	18	find	find	VERB
ejde-38	375	19	the	the	DET
ejde-38	375	20	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	375	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	375	22	(	(	PUNCT
ejde-38	375	23	1.4	1.4	NUM
ejde-38	375	24	)	)	PUNCT
ejde-38	375	25	has	have	VERB
ejde-38	375	26	a	a	DET
ejde-38	375	27	unique	unique	ADJ
ejde-38	375	28	solution	solution	NOUN
ejde-38	375	29	for	for	ADP
ejde-38	375	30	any	any	DET
ejde-38	375	31	choice	choice	NOUN
ejde-38	375	32	of	of	ADP
ejde-38	375	33	ν	ν	X
ejde-38	375	34	=	=	SYM
ejde-38	375	35	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	375	36	,	,	PUNCT
ejde-38	375	37	λ	λ	PROPN
ejde-38	375	38	∈	∈	PROPN
ejde-38	375	39	λ	λ	PROPN
ejde-38	375	40	,	,	PUNCT
ejde-38	375	41	which	which	PRON
ejde-38	375	42	can	can	AUX
ejde-38	375	43	be	be	AUX
ejde-38	375	44	written	write	VERB
ejde-38	375	45	in	in	ADP
ejde-38	375	46	the	the	DET
ejde-38	375	47	form	form	NOUN
ejde-38	375	48	(	(	PUNCT
ejde-38	375	49	id×t	id×t	PROPN
ejde-38	375	50	)	)	PUNCT
ejde-38	375	51	#	#	SYM
ejde-38	375	52	µ	µ	NOUN
ejde-38	375	53	where	where	SCONJ
ejde-38	375	54	t	t	PROPN
ejde-38	375	55	is	be	AUX
ejde-38	375	56	a	a	DET
ejde-38	375	57	mapping	mapping	NOUN
ejde-38	375	58	defined	define	VERB
ejde-38	375	59	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	375	60	.	.	PROPN
ejde-38	375	61	,	,	PUNCT
ejde-38	375	62	that	that	PRON
ejde-38	375	63	is	be	AUX
ejde-38	375	64	in	in	ADP
ejde-38	375	65	turn	turn	NOUN
ejde-38	375	66	a	a	DET
ejde-38	375	67	solution	solution	NOUN
ejde-38	375	68	to	to	ADP
ejde-38	375	69	the	the	DET
ejde-38	375	70	monge	monge	PROPN
ejde-38	375	71	problem	problem	NOUN
ejde-38	375	72	(	(	PUNCT
ejde-38	375	73	1.1	1.1	NUM
ejde-38	375	74	)	)	PUNCT
ejde-38	375	75	.	.	PUNCT
ejde-38	376	1	in	in	ADP
ejde-38	376	2	particular	particular	ADJ
ejde-38	376	3	,	,	PUNCT
ejde-38	376	4	under	under	ADP
ejde-38	376	5	these	these	DET
ejde-38	376	6	conditions	condition	NOUN
ejde-38	376	7	,	,	PUNCT
ejde-38	376	8	a	a	DET
ejde-38	376	9	solution	solution	NOUN
ejde-38	376	10	γ	γ	X
ejde-38	376	11	of	of	ADP
ejde-38	376	12	(	(	PUNCT
ejde-38	376	13	1.4	1.4	NUM
ejde-38	376	14	)	)	PUNCT
ejde-38	376	15	must	must	AUX
ejde-38	376	16	be	be	AUX
ejde-38	376	17	supported	support	VERB
ejde-38	376	18	on	on	ADP
ejde-38	376	19	the	the	DET
ejde-38	376	20	graph	graph	NOUN
ejde-38	376	21	of	of	ADP
ejde-38	376	22	a	a	DET
ejde-38	376	23	mapping	mapping	NOUN
ejde-38	376	24	from	from	ADP
ejde-38	376	25	x	x	PUNCT
ejde-38	376	26	to	to	ADP
ejde-38	376	27	y	y	PRON
ejde-38	376	28	that	that	PRON
ejde-38	376	29	is	be	AUX
ejde-38	376	30	single	single	ADJ
ejde-38	376	31	valued	value	VERB
ejde-38	376	32	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	376	33	.	.	PUNCT
ejde-38	377	1	we	we	PRON
ejde-38	377	2	note	note	VERB
ejde-38	377	3	that	that	SCONJ
ejde-38	377	4	when	when	SCONJ
ejde-38	377	5	x	x	PRON
ejde-38	377	6	is	be	AUX
ejde-38	377	7	a	a	DET
ejde-38	377	8	subset	subset	NOUN
ejde-38	377	9	of	of	ADP
ejde-38	377	10	a	a	DET
ejde-38	377	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-38	377	12	riemannian	riemannian	NOUN
ejde-38	377	13	manifold	manifold	NOUN
ejde-38	377	14	and	and	CCONJ
ejde-38	377	15	µ	µ	NOUN
ejde-38	377	16	is	be	AUX
ejde-38	377	17	absolutely	absolutely	ADV
ejde-38	377	18	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	377	19	with	with	ADP
ejde-38	377	20	respect	respect	NOUN
ejde-38	377	21	to	to	ADP
ejde-38	377	22	the	the	DET
ejde-38	377	23	riemannian	riemannian	ADJ
ejde-38	377	24	volume	volume	NOUN
ejde-38	377	25	,	,	PUNCT
ejde-38	377	26	(	(	PUNCT
ejde-38	377	27	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	377	28	)	)	PUNCT
ejde-38	377	29	holds	hold	VERB
ejde-38	377	30	under	under	ADP
ejde-38	377	31	what	what	PRON
ejde-38	377	32	is	be	AUX
ejde-38	377	33	usually	usually	ADV
ejde-38	377	34	referred	refer	VERB
ejde-38	377	35	to	to	ADP
ejde-38	377	36	as	as	ADP
ejde-38	377	37	the	the	DET
ejde-38	377	38	“	"	PUNCT
ejde-38	377	39	twist	twist	NOUN
ejde-38	377	40	”	"	PUNCT
ejde-38	377	41	or	or	CCONJ
ejde-38	377	42	“	"	PUNCT
ejde-38	377	43	bi	bi	ADJ
ejde-38	377	44	-	-	ADJ
ejde-38	377	45	twist	twist	ADJ
ejde-38	377	46	”	"	PUNCT
ejde-38	377	47	condition	condition	NOUN
ejde-38	377	48	(	(	PUNCT
ejde-38	377	49	see	see	VERB
ejde-38	377	50	[	[	X
ejde-38	377	51	12	12	NUM
ejde-38	377	52	,	,	PUNCT
ejde-38	377	53	p.	p.	NOUN
ejde-38	377	54	234	234	NUM
ejde-38	377	55	]	]	PUNCT
ejde-38	377	56	)	)	PUNCT
ejde-38	377	57	.	.	PUNCT
ejde-38	378	1	14	14	NUM
ejde-38	378	2	m.	m.	NOUN
ejde-38	378	3	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	378	4	,	,	PUNCT
ejde-38	378	5	j.	j.	PROPN
ejde-38	378	6	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	378	7	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	378	8	now	now	ADV
ejde-38	378	9	let	let	VERB
ejde-38	378	10	ψ	ψ	ADP
ejde-38	378	11	∈	∈	PROPN
ejde-38	378	12	rn	rn	PROPN
ejde-38	378	13	and	and	CCONJ
ejde-38	378	14	define	define	VERB
ejde-38	378	15	λ	λ	PROPN
ejde-38	378	16	∈	∈	PROPN
ejde-38	378	17	rn	rn	PROPN
ejde-38	378	18	by	by	ADP
ejde-38	378	19	λj	λj	PROPN
ejde-38	378	20	=	=	PROPN
ejde-38	378	21	µ	µ	X
ejde-38	378	22	(	(	PUNCT
ejde-38	378	23	{	{	PUNCT
ejde-38	378	24	x	x	SYM
ejde-38	378	25	∈	∈	NOUN
ejde-38	378	26	x	x	X
ejde-38	378	27	:	:	PUNCT
ejde-38	378	28	ψc	ψc	VERB
ejde-38	378	29	∗	∗	NOUN
ejde-38	378	30	(	(	PUNCT
ejde-38	378	31	x	x	X
ejde-38	378	32	)	)	PUNCT
ejde-38	378	33	=	=	SYM
ejde-38	378	34	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	378	35	,	,	PUNCT
ejde-38	378	36	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	378	37	ψj	ψj	ADV
ejde-38	378	38	}	}	PUNCT
ejde-38	378	39	)	)	PUNCT
ejde-38	378	40	for	for	ADP
ejde-38	378	41	each	each	DET
ejde-38	378	42	j.	j.	PROPN
ejde-38	378	43	when	when	SCONJ
ejde-38	378	44	c	c	PROPN
ejde-38	378	45	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	378	46	(	(	PUNCT
ejde-38	378	47	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	378	48	)	)	PUNCT
ejde-38	378	49	,	,	PUNCT
ejde-38	378	50	it	it	PRON
ejde-38	378	51	is	be	AUX
ejde-38	378	52	clear	clear	ADJ
ejde-38	379	1	that	that	SCONJ
ejde-38	379	2	for	for	SCONJ
ejde-38	379	3	j1	j1	PROPN
ejde-38	379	4	6=	6=	ADP
ejde-38	379	5	j2	j2	PROPN
ejde-38	379	6	,	,	PUNCT
ejde-38	379	7	µ({x	µ({x	NOUN
ejde-38	379	8	∈	∈	PROPN
ejde-38	379	9	x	x	X
ejde-38	379	10	:	:	PUNCT
ejde-38	379	11	ψc	ψc	VERB
ejde-38	379	12	∗	∗	NOUN
ejde-38	379	13	(	(	PUNCT
ejde-38	379	14	x	x	X
ejde-38	379	15	)	)	PUNCT
ejde-38	379	16	=	=	SYM
ejde-38	379	17	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	379	18	,	,	PUNCT
ejde-38	379	19	yj1)−	yj1)−	NOUN
ejde-38	379	20	ψj1	ψj1	NOUN
ejde-38	379	21	}	}	PUNCT
ejde-38	379	22	∩	∩	NOUN
ejde-38	379	23	{	{	PUNCT
ejde-38	379	24	x	x	SYM
ejde-38	379	25	∈	∈	PROPN
ejde-38	379	26	x	x	X
ejde-38	379	27	:	:	PUNCT
ejde-38	379	28	ψc	ψc	VERB
ejde-38	379	29	∗	∗	NOUN
ejde-38	379	30	(	(	PUNCT
ejde-38	379	31	x	x	X
ejde-38	379	32	)	)	PUNCT
ejde-38	379	33	=	=	SYM
ejde-38	379	34	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	379	35	,	,	PUNCT
ejde-38	379	36	yj2)−	yj2)−	ADJ
ejde-38	379	37	ψj2	ψj2	NOUN
ejde-38	379	38	}	}	PUNCT
ejde-38	379	39	)	)	PUNCT
ejde-38	379	40	≤	≤	PUNCT
ejde-38	379	41	µ({x	µ({x	PROPN
ejde-38	379	42	∈	∈	PROPN
ejde-38	379	43	x	x	X
ejde-38	379	44	:	:	PUNCT
ejde-38	379	45	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	379	46	,	,	PUNCT
ejde-38	379	47	yj1)−	yj1)−	NOUN
ejde-38	379	48	ψj1	ψj1	NOUN
ejde-38	380	1	=	=	PUNCT
ejde-38	381	1	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	381	2	,	,	PUNCT
ejde-38	381	3	yj2)−	yj2)−	ADJ
ejde-38	381	4	ψj2	ψj2	NOUN
ejde-38	381	5	}	}	PUNCT
ejde-38	381	6	)	)	PUNCT
ejde-38	381	7	=	=	SYM
ejde-38	381	8	0	0	NUM
ejde-38	381	9	,	,	PUNCT
ejde-38	381	10	thus	thus	ADV
ejde-38	381	11	in	in	ADP
ejde-38	381	12	particular	particular	ADJ
ejde-38	381	13	λ	λ	X
ejde-38	381	14	∈	∈	PROPN
ejde-38	381	15	λ	λ	PROPN
ejde-38	381	16	,	,	PUNCT
ejde-38	381	17	and	and	CCONJ
ejde-38	381	18	for	for	ADP
ejde-38	381	19	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	381	20	.	.	PUNCT
ejde-38	382	1	x	x	X
ejde-38	382	2	there	there	PRON
ejde-38	382	3	is	be	VERB
ejde-38	382	4	a	a	DET
ejde-38	382	5	unique	unique	ADJ
ejde-38	382	6	index	index	NOUN
ejde-38	382	7	j	j	NOUN
ejde-38	382	8	such	such	ADJ
ejde-38	382	9	that	that	PRON
ejde-38	382	10	ψc	ψc	NOUN
ejde-38	382	11	∗	∗	NOUN
ejde-38	382	12	(	(	PUNCT
ejde-38	382	13	x	x	X
ejde-38	382	14	)	)	PUNCT
ejde-38	382	15	=	=	SYM
ejde-38	382	16	−c(x	−c(x	PROPN
ejde-38	382	17	,	,	PUNCT
ejde-38	382	18	yj	yj	PROPN
ejde-38	382	19	)	)	PUNCT
ejde-38	382	20	−	−	PROPN
ejde-38	382	21	ψj	ψj	ADV
ejde-38	382	22	.	.	PUNCT
ejde-38	383	1	defining	define	VERB
ejde-38	383	2	tψ	tψ	VERB
ejde-38	383	3	:	:	PUNCT
ejde-38	383	4	x	x	X
ejde-38	383	5	→	→	SYM
ejde-38	383	6	y	y	PROPN
ejde-38	383	7	by	by	ADP
ejde-38	383	8	tψ(x	tψ(x	NOUN
ejde-38	383	9	)	)	PUNCT
ejde-38	384	1	=	=	SYM
ejde-38	384	2	yj	yj	NOUN
ejde-38	384	3	whenever	whenever	SCONJ
ejde-38	384	4	j	j	PROPN
ejde-38	384	5	is	be	AUX
ejde-38	384	6	the	the	DET
ejde-38	384	7	unique	unique	ADJ
ejde-38	384	8	index	index	NOUN
ejde-38	384	9	associated	associate	VERB
ejde-38	384	10	to	to	ADP
ejde-38	384	11	x	x	PRON
ejde-38	384	12	,	,	PUNCT
ejde-38	384	13	it	it	PRON
ejde-38	384	14	is	be	AUX
ejde-38	384	15	clear	clear	ADJ
ejde-38	384	16	that	that	SCONJ
ejde-38	384	17	(	(	PUNCT
ejde-38	384	18	tψ)#µ	tψ)#µ	X
ejde-38	384	19	=	=	SYM
ejde-38	384	20	νλ	νλ	NOUN
ejde-38	384	21	,	,	PUNCT
ejde-38	384	22	hence	hence	ADV
ejde-38	384	23	by	by	ADP
ejde-38	384	24	[	[	X
ejde-38	384	25	12	12	NUM
ejde-38	384	26	,	,	PUNCT
ejde-38	384	27	remark	remark	NOUN
ejde-38	384	28	5.13	5.13	NUM
ejde-38	384	29	]	]	PUNCT
ejde-38	384	30	,	,	PUNCT
ejde-38	384	31	we	we	PRON
ejde-38	384	32	can	can	AUX
ejde-38	384	33	see	see	VERB
ejde-38	384	34	that	that	PRON
ejde-38	385	1	γλ	γλ	INTJ
ejde-38	385	2	:	:	PUNCT
ejde-38	385	3	=	=	SYM
ejde-38	385	4	(	(	PUNCT
ejde-38	385	5	id×tψ)#µ	id×tψ)#µ	NOUN
ejde-38	385	6	is	be	AUX
ejde-38	385	7	a	a	DET
ejde-38	385	8	solution	solution	NOUN
ejde-38	385	9	to	to	ADP
ejde-38	385	10	the	the	DET
ejde-38	385	11	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	385	12	problem	problem	NOUN
ejde-38	385	13	(	(	PUNCT
ejde-38	385	14	1.4	1.4	NUM
ejde-38	385	15	)	)	PUNCT
ejde-38	385	16	with	with	ADP
ejde-38	385	17	ν	ν	X
ejde-38	385	18	=	=	SYM
ejde-38	385	19	νλ	νλ	PROPN
ejde-38	385	20	.	.	PUNCT
ejde-38	385	21	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	385	22	4.4	4.4	NUM
ejde-38	385	23	.	.	PUNCT
ejde-38	386	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	386	2	c	c	NOUN
ejde-38	386	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	386	4	(	(	PUNCT
ejde-38	386	5	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	386	6	)	)	PUNCT
ejde-38	386	7	.	.	PUNCT
ejde-38	387	1	also	also	ADV
ejde-38	387	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	387	3	(	(	PUNCT
ejde-38	387	4	ϕ̂	ϕ̂	NUM
ejde-38	387	5	,	,	PUNCT
ejde-38	387	6	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	387	7	)	)	PUNCT
ejde-38	387	8	is	be	AUX
ejde-38	387	9	a	a	DET
ejde-38	387	10	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	387	11	pair	pair	NOUN
ejde-38	387	12	in	in	ADP
ejde-38	387	13	the	the	DET
ejde-38	387	14	dual	dual	ADJ
ejde-38	387	15	problem	problem	NOUN
ejde-38	387	16	(	(	PUNCT
ejde-38	387	17	3.1	3.1	NUM
ejde-38	387	18	)	)	PUNCT
ejde-38	387	19	,	,	PUNCT
ejde-38	387	20	define	define	VERB
ejde-38	387	21	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	387	22	∈	∈	PROPN
ejde-38	387	23	λ	λ	NOUN
ejde-38	387	24	by	by	ADP
ejde-38	387	25	λ̃j	λ̃j	NOUN
ejde-38	387	26	:	:	PUNCT
ejde-38	387	27	=	=	SYM
ejde-38	387	28	µ	µ	X
ejde-38	387	29	(	(	PUNCT
ejde-38	387	30	{	{	PUNCT
ejde-38	387	31	x	x	SYM
ejde-38	387	32	∈	∈	PROPN
ejde-38	387	33	x	x	X
ejde-38	387	34	:	:	PUNCT
ejde-38	387	35	ϕ̂(x	ϕ̂(x	NUM
ejde-38	387	36	)	)	PUNCT
ejde-38	387	37	=	=	SYM
ejde-38	387	38	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	387	39	,	,	PUNCT
ejde-38	387	40	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	387	41	ψ̂j	ψ̂j	PROPN
ejde-38	387	42	}	}	PUNCT
ejde-38	387	43	)	)	PUNCT
ejde-38	387	44	,	,	PUNCT
ejde-38	387	45	and	and	CCONJ
ejde-38	387	46	take	take	VERB
ejde-38	387	47	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	387	48	∈	∈	PROPN
ejde-38	387	49	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	387	50	,	,	PUNCT
ejde-38	387	51	νλ̃	νλ̃	NOUN
ejde-38	387	52	)	)	PUNCT
ejde-38	387	53	to	to	PART
ejde-38	387	54	be	be	AUX
ejde-38	387	55	the	the	DET
ejde-38	387	56	(	(	PUNCT
ejde-38	387	57	unique	unique	ADJ
ejde-38	387	58	)	)	PUNCT
ejde-38	387	59	solution	solution	NOUN
ejde-38	387	60	of	of	ADP
ejde-38	387	61	the	the	DET
ejde-38	387	62	classical	classical	ADJ
ejde-38	387	63	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	387	64	problem	problem	NOUN
ejde-38	387	65	(	(	PUNCT
ejde-38	387	66	1.4	1.4	NUM
ejde-38	387	67	)	)	PUNCT
ejde-38	387	68	with	with	ADP
ejde-38	387	69	ν	ν	X
ejde-38	387	70	=	=	SYM
ejde-38	387	71	νλ̃.	νλ̃.	PROPN
ejde-38	387	72	then	then	ADV
ejde-38	387	73	(	(	PUNCT
ejde-38	387	74	γmin	γmin	NOUN
ejde-38	387	75	,	,	PUNCT
ejde-38	387	76	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	387	77	)	)	PUNCT
ejde-38	387	78	is	be	AUX
ejde-38	387	79	a	a	DET
ejde-38	387	80	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	387	81	pair	pair	NOUN
ejde-38	387	82	in	in	ADP
ejde-38	387	83	the	the	DET
ejde-38	387	84	primal	primal	ADJ
ejde-38	387	85	problem	problem	NOUN
ejde-38	387	86	(	(	PUNCT
ejde-38	387	87	1.3	1.3	NUM
ejde-38	387	88	)	)	PUNCT
ejde-38	387	89	.	.	PUNCT
ejde-38	388	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	388	2	.	.	PUNCT
ejde-38	389	1	let	let	VERB
ejde-38	389	2	(	(	PUNCT
ejde-38	389	3	ϕ̂	ϕ̂	NUM
ejde-38	389	4	,	,	PUNCT
ejde-38	389	5	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	389	6	)	)	PUNCT
ejde-38	389	7	be	be	AUX
ejde-38	389	8	a	a	DET
ejde-38	389	9	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	389	10	pair	pair	NOUN
ejde-38	389	11	in	in	ADP
ejde-38	389	12	the	the	DET
ejde-38	389	13	dual	dual	ADJ
ejde-38	389	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	389	15	.	.	PUNCT
ejde-38	390	1	by	by	ADP
ejde-38	390	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	390	3	3.5	3.5	NUM
ejde-38	390	4	we	we	PRON
ejde-38	390	5	see	see	VERB
ejde-38	390	6	that	that	SCONJ
ejde-38	390	7	ϕ̂	ϕ̂	NUM
ejde-38	391	1	≡	≡	PROPN
ejde-38	391	2	ψ̂c∗	ψ̂c∗	PROPN
ejde-38	391	3	,	,	PUNCT
ejde-38	391	4	and	and	CCONJ
ejde-38	391	5	we	we	PRON
ejde-38	391	6	easily	easily	ADV
ejde-38	391	7	see	see	VERB
ejde-38	391	8	that	that	SCONJ
ejde-38	391	9	replacing	replace	VERB
ejde-38	391	10	ψ̂	ψ̂	ADV
ejde-38	391	11	with	with	ADP
ejde-38	391	12	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	391	13	∗c	∗c	NOUN
ejde-38	391	14	does	do	AUX
ejde-38	391	15	not	not	PART
ejde-38	391	16	change	change	VERB
ejde-38	391	17	the	the	DET
ejde-38	391	18	vector	vector	NOUN
ejde-38	391	19	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	391	20	,	,	PUNCT
ejde-38	391	21	so	so	SCONJ
ejde-38	391	22	we	we	PRON
ejde-38	391	23	make	make	VERB
ejde-38	391	24	this	this	DET
ejde-38	391	25	replacement	replacement	NOUN
ejde-38	391	26	.	.	PUNCT
ejde-38	392	1	since	since	SCONJ
ejde-38	392	2	−ϕ̂(x)−	−ϕ̂(x)−	PROPN
ejde-38	392	3	ψ̂j	ψ̂j	CCONJ
ejde-38	392	4	≤	≤	NUM
ejde-38	392	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	392	6	,	,	PUNCT
ejde-38	392	7	yj	yj	PROPN
ejde-38	392	8	)	)	PUNCT
ejde-38	392	9	for	for	ADP
ejde-38	392	10	all	all	DET
ejde-38	392	11	x	x	PROPN
ejde-38	392	12	,	,	PUNCT
ejde-38	392	13	j	j	PROPN
ejde-38	392	14	,	,	PUNCT
ejde-38	392	15	by	by	ADP
ejde-38	392	16	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	392	17	duality	duality	NOUN
ejde-38	392	18	in	in	ADP
ejde-38	392	19	the	the	DET
ejde-38	392	20	classical	classical	ADJ
ejde-38	392	21	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	392	22	transport	transport	NOUN
ejde-38	392	23	problem	problem	NOUN
ejde-38	392	24	[	[	X
ejde-38	392	25	11	11	NUM
ejde-38	392	26	,	,	PUNCT
ejde-38	392	27	theorem	theorem	VERB
ejde-38	392	28	1.3	1.3	NUM
ejde-38	392	29	]	]	PUNCT
ejde-38	392	30	,	,	PUNCT
ejde-38	392	31	we	we	PRON
ejde-38	392	32	have	have	VERB
ejde-38	392	33	for	for	ADP
ejde-38	392	34	any	any	DET
ejde-38	392	35	λ	λ	PROPN
ejde-38	392	36	∈	∈	PROPN
ejde-38	392	37	λ	λ	PROPN
ejde-38	392	38	that	that	DET
ejde-38	392	39	`	`	PUNCT
ejde-38	392	40	(	(	PUNCT
ejde-38	392	41	λ	λ	X
ejde-38	392	42	)	)	PUNCT
ejde-38	392	43	:	:	PUNCT
ejde-38	393	1	=	=	PUNCT
ejde-38	393	2	−	−	NUM
ejde-38	393	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	393	4	x	x	SYM
ejde-38	393	5	ϕ̂	ϕ̂	PUNCT
ejde-38	393	6	dµ−	dµ−	SYM
ejde-38	393	7	〈	〈	NOUN
ejde-38	393	8	λ	λ	PROPN
ejde-38	393	9	,	,	PUNCT
ejde-38	393	10	ψ̂	ψ̂	ADV
ejde-38	393	11	〉	〉	PROPN
ejde-38	393	12	≤	≤	NUM
ejde-38	393	13	min	min	PROPN
ejde-38	393	14	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	393	15	)	)	PUNCT
ejde-38	393	16	∫	∫	PROPN
ejde-38	394	1	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	394	2	c	c	PROPN
ejde-38	394	3	dγ	dγ	NOUN
ejde-38	394	4	=	=	NOUN
ejde-38	394	5	:	:	PUNCT
ejde-38	394	6	c(λ	c(λ	PROPN
ejde-38	394	7	)	)	PUNCT
ejde-38	394	8	<	<	X
ejde-38	394	9	∞	∞	PROPN
ejde-38	394	10	,	,	PUNCT
ejde-38	394	11	where	where	SCONJ
ejde-38	394	12	finiteness	finiteness	NOUN
ejde-38	394	13	comes	come	VERB
ejde-38	394	14	from	from	ADP
ejde-38	394	15	c	c	PROPN
ejde-38	394	16	(	(	PUNCT
ejde-38	394	17	·	·	PUNCT
ejde-38	394	18	,	,	PUNCT
ejde-38	394	19	yj	yj	PROPN
ejde-38	394	20	)	)	PUNCT
ejde-38	394	21	∈	∈	PROPN
ejde-38	394	22	l1(µ	l1(µ	NOUN
ejde-38	394	23	)	)	PUNCT
ejde-38	394	24	for	for	ADP
ejde-38	394	25	each	each	DET
ejde-38	394	26	j.	j.	PROPN
ejde-38	394	27	at	at	ADP
ejde-38	394	28	the	the	DET
ejde-38	394	29	same	same	ADJ
ejde-38	394	30	time	time	NOUN
ejde-38	394	31	by	by	ADP
ejde-38	394	32	strong	strong	ADJ
ejde-38	394	33	duality	duality	NOUN
ejde-38	394	34	,	,	PUNCT
ejde-38	394	35	theorem	theorem	VERB
ejde-38	394	36	3.3	3.3	NUM
ejde-38	394	37	,	,	PUNCT
ejde-38	394	38	inf	inf	NOUN
ejde-38	394	39	λ∈λ	λ∈λ	NOUN
ejde-38	395	1	[	[	X
ejde-38	395	2	f	f	X
ejde-38	395	3	(	(	PUNCT
ejde-38	395	4	λ	λ	X
ejde-38	395	5	)	)	PUNCT
ejde-38	395	6	+	+	NUM
ejde-38	395	7	`	`	PUNCT
ejde-38	395	8	(	(	PUNCT
ejde-38	395	9	λ	λ	NOUN
ejde-38	395	10	)	)	PUNCT
ejde-38	395	11	]	]	PUNCT
ejde-38	396	1	=	=	PUNCT
ejde-38	397	1	−	−	NUM
ejde-38	397	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	397	3	x	x	SYM
ejde-38	397	4	ϕ̂	ϕ̂	PROPN
ejde-38	397	5	dµ+	dµ+	PROPN
ejde-38	397	6	inf	inf	PROPN
ejde-38	397	7	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	398	1	[	[	X
ejde-38	398	2	f	f	X
ejde-38	398	3	(	(	PUNCT
ejde-38	398	4	λ)−	λ)−	PROPN
ejde-38	398	5	〈	〈	PROPN
ejde-38	398	6	λ	λ	PROPN
ejde-38	398	7	,	,	PUNCT
ejde-38	398	8	ψ̂	ψ̂	ADV
ejde-38	398	9	〉	〉	NOUN
ejde-38	398	10	]	]	PUNCT
ejde-38	398	11	=	=	PUNCT
ejde-38	398	12	−	−	NUM
ejde-38	398	13	∫	∫	PROPN
ejde-38	398	14	x	x	SYM
ejde-38	398	15	ϕ̂	ϕ̂	ADP
ejde-38	398	16	dµ−	dµ−	SYM
ejde-38	398	17	f	f	NOUN
ejde-38	398	18	∗(ψ̂	∗(ψ̂	PROPN
ejde-38	398	19	)	)	PUNCT
ejde-38	398	20	=	=	SYM
ejde-38	398	21	min	min	NOUN
ejde-38	398	22	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	398	23	,	,	PUNCT
ejde-38	398	24	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	398	25	)	)	PUNCT
ejde-38	398	26	(	(	PUNCT
ejde-38	398	27	∫	∫	PROPN
ejde-38	398	28	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	398	29	c	c	PROPN
ejde-38	399	1	dγ	dγ	ADP
ejde-38	399	2	+	+	X
ejde-38	399	3	f	f	X
ejde-38	399	4	(	(	PUNCT
ejde-38	399	5	λ	λ	NOUN
ejde-38	399	6	)	)	PUNCT
ejde-38	399	7	)	)	PUNCT
ejde-38	400	1	=	=	SYM
ejde-38	400	2	min	min	NOUN
ejde-38	400	3	λ∈λ	λ∈λ	NOUN
ejde-38	401	1	[	[	X
ejde-38	401	2	f	f	X
ejde-38	401	3	(	(	PUNCT
ejde-38	401	4	λ	λ	X
ejde-38	401	5	)	)	PUNCT
ejde-38	401	6	+	+	CCONJ
ejde-38	401	7	c(λ	c(λ	PROPN
ejde-38	401	8	)	)	PUNCT
ejde-38	401	9	]	]	PUNCT
ejde-38	401	10	.	.	PUNCT
ejde-38	402	1	thus	thus	ADV
ejde-38	402	2	we	we	PRON
ejde-38	402	3	obtain	obtain	VERB
ejde-38	402	4	that	that	DET
ejde-38	402	5	f	f	PROPN
ejde-38	402	6	+	+	CCONJ
ejde-38	402	7	`	`	PUNCT
ejde-38	402	8	≤	≤	NUM
ejde-38	402	9	f	f	PROPN
ejde-38	403	1	+	+	CCONJ
ejde-38	403	2	c	c	NOUN
ejde-38	403	3	pointwise	pointwise	VERB
ejde-38	403	4	everywhere	everywhere	ADV
ejde-38	403	5	on	on	ADP
ejde-38	403	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	403	7	,	,	PUNCT
ejde-38	403	8	and	and	CCONJ
ejde-38	403	9	the	the	DET
ejde-38	403	10	above	above	ADJ
ejde-38	403	11	calculation	calculation	NOUN
ejde-38	403	12	shows	show	VERB
ejde-38	403	13	that	that	SCONJ
ejde-38	403	14	f	f	PROPN
ejde-38	403	15	+	+	CCONJ
ejde-38	403	16	`	`	PUNCT
ejde-38	403	17	attains	attain	VERB
ejde-38	403	18	its	its	PRON
ejde-38	403	19	minimum	minimum	ADJ
ejde-38	403	20	value	value	NOUN
ejde-38	403	21	over	over	ADP
ejde-38	403	22	λ	λ	PROPN
ejde-38	403	23	,	,	PUNCT
ejde-38	403	24	at	at	ADP
ejde-38	403	25	the	the	DET
ejde-38	403	26	same	same	ADJ
ejde-38	403	27	point	point	NOUN
ejde-38	403	28	as	as	ADP
ejde-38	403	29	f	f	PROPN
ejde-38	403	30	+	+	PROPN
ejde-38	403	31	c	c	X
ejde-38	403	32	;	;	PUNCT
ejde-38	403	33	say	say	VERB
ejde-38	403	34	this	this	DET
ejde-38	403	35	point	point	NOUN
ejde-38	403	36	is	be	AUX
ejde-38	403	37	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	403	38	.	.	PUNCT
ejde-38	404	1	arguing	argue	VERB
ejde-38	404	2	as	as	ADP
ejde-38	404	3	in	in	ADP
ejde-38	404	4	the	the	DET
ejde-38	404	5	proof	proof	NOUN
ejde-38	404	6	of	of	ADP
ejde-38	404	7	[	[	X
ejde-38	404	8	10	10	NUM
ejde-38	404	9	,	,	PUNCT
ejde-38	404	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	404	11	7.19	7.19	NUM
ejde-38	404	12	]	]	PUNCT
ejde-38	404	13	(	(	PUNCT
ejde-38	404	14	which	which	PRON
ejde-38	404	15	can	can	AUX
ejde-38	404	16	be	be	AUX
ejde-38	404	17	carried	carry	VERB
ejde-38	404	18	out	out	ADP
ejde-38	404	19	under	under	ADP
ejde-38	404	20	the	the	DET
ejde-38	404	21	assumption	assumption	NOUN
ejde-38	404	22	(	(	PUNCT
ejde-38	404	23	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	404	24	)	)	PUNCT
ejde-38	404	25	,	,	PUNCT
ejde-38	404	26	note	note	VERB
ejde-38	404	27	the	the	DET
ejde-38	404	28	exact	exact	ADJ
ejde-38	404	29	form	form	NOUN
ejde-38	404	30	of	of	ADP
ejde-38	404	31	the	the	DET
ejde-38	404	32	cost	cost	NOUN
ejde-38	404	33	function	function	NOUN
ejde-38	404	34	is	be	AUX
ejde-38	404	35	immaterial	immaterial	ADJ
ejde-38	404	36	)	)	PUNCT
ejde-38	404	37	,	,	PUNCT
ejde-38	404	38	we	we	PRON
ejde-38	404	39	find	find	VERB
ejde-38	404	40	that	that	SCONJ
ejde-38	404	41	c	c	PROPN
ejde-38	404	42	is	be	AUX
ejde-38	404	43	strictly	strictly	ADV
ejde-38	404	44	convex	convex	ADJ
ejde-38	404	45	on	on	ADP
ejde-38	404	46	λ	λ	NOUN
ejde-38	404	47	.	.	PUNCT
ejde-38	405	1	by	by	ADP
ejde-38	405	2	remark	remark	NOUN
ejde-38	405	3	4.3	4.3	NUM
ejde-38	405	4	and	and	CCONJ
ejde-38	405	5	the	the	DET
ejde-38	405	6	choice	choice	NOUN
ejde-38	405	7	of	of	ADP
ejde-38	405	8	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	405	9	,	,	PUNCT
ejde-38	405	10	we	we	PRON
ejde-38	405	11	have	have	VERB
ejde-38	405	12	c(λ̃	c(λ̃	NOUN
ejde-38	405	13	)	)	PUNCT
ejde-38	405	14	=	=	SYM
ejde-38	406	1	`	`	PUNCT
ejde-38	406	2	(	(	PUNCT
ejde-38	406	3	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	406	4	)	)	PUNCT
ejde-38	406	5	,	,	PUNCT
ejde-38	406	6	hence	hence	ADV
ejde-38	406	7	for	for	ADP
ejde-38	406	8	any	any	DET
ejde-38	406	9	t	t	NOUN
ejde-38	406	10	∈	∈	PROPN
ejde-38	407	1	[	[	X
ejde-38	407	2	0	0	NUM
ejde-38	407	3	,	,	PUNCT
ejde-38	407	4	1	1	NUM
ejde-38	407	5	]	]	PUNCT
ejde-38	407	6	we	we	PRON
ejde-38	407	7	must	must	AUX
ejde-38	407	8	have	have	VERB
ejde-38	407	9	`	`	PUNCT
ejde-38	407	10	(	(	PUNCT
ejde-38	407	11	(	(	PUNCT
ejde-38	407	12	1−	1−	NUM
ejde-38	407	13	t)λmin	t)λmin	NOUN
ejde-38	407	14	+	+	CCONJ
ejde-38	407	15	tλ̃	tλ̃	NOUN
ejde-38	407	16	)	)	PUNCT
ejde-38	407	17	≤	≤	NOUN
ejde-38	407	18	c((1−	c((1−	NUM
ejde-38	407	19	t)λmin	t)λmin	NOUN
ejde-38	407	20	+	+	CCONJ
ejde-38	407	21	tλ̃	tλ̃	NUM
ejde-38	407	22	)	)	PUNCT
ejde-38	407	23	ejde-2023/22	ejde-2023/22	VERB
ejde-38	408	1	an	an	DET
ejde-38	408	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	408	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	408	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	408	5	15	15	NUM
ejde-38	408	6	≤	≤	NOUN
ejde-38	408	7	(	(	PUNCT
ejde-38	408	8	1−	1−	NUM
ejde-38	408	9	t)c(λmin	t)c(λmin	NOUN
ejde-38	408	10	)	)	PUNCT
ejde-38	408	11	+	+	CCONJ
ejde-38	408	12	tc(λ̃	tc(λ̃	ADJ
ejde-38	408	13	)	)	PUNCT
ejde-38	408	14	=	=	PUNCT
ejde-38	408	15	(	(	PUNCT
ejde-38	408	16	1−	1−	NUM
ejde-38	408	17	t)`(λmin	t)`(λmin	NOUN
ejde-38	408	18	)	)	PUNCT
ejde-38	408	19	+	+	NUM
ejde-38	408	20	t`(λ̃	t`(λ̃	NUM
ejde-38	408	21	)	)	PUNCT
ejde-38	408	22	=	=	SYM
ejde-38	409	1	`	`	PUNCT
ejde-38	409	2	(	(	PUNCT
ejde-38	409	3	(	(	PUNCT
ejde-38	409	4	1−	1−	NUM
ejde-38	409	5	t)λmin	t)λmin	NOUN
ejde-38	409	6	+	+	CCONJ
ejde-38	409	7	tλ̃	tλ̃	NUM
ejde-38	409	8	)	)	PUNCT
ejde-38	409	9	,	,	PUNCT
ejde-38	409	10	i.e.	i.e.	X
ejde-38	409	11	,	,	PUNCT
ejde-38	409	12	`	`	PUNCT
ejde-38	409	13	≡	≡	PROPN
ejde-38	409	14	c	c	PROPN
ejde-38	410	1	on	on	ADP
ejde-38	410	2	the	the	DET
ejde-38	410	3	segment	segment	NOUN
ejde-38	410	4	[	[	X
ejde-38	410	5	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	410	6	,	,	PUNCT
ejde-38	410	7	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	410	8	]	]	PUNCT
ejde-38	410	9	.	.	PUNCT
ejde-38	411	1	however	however	ADV
ejde-38	411	2	the	the	DET
ejde-38	411	3	only	only	ADJ
ejde-38	411	4	way	way	NOUN
ejde-38	411	5	for	for	SCONJ
ejde-38	411	6	the	the	DET
ejde-38	411	7	strictly	strictly	ADV
ejde-38	411	8	convex	convex	ADJ
ejde-38	411	9	function	function	NOUN
ejde-38	411	10	c	c	NOUN
ejde-38	411	11	to	to	PART
ejde-38	411	12	equal	equal	VERB
ejde-38	411	13	an	an	DET
ejde-38	411	14	affine	affine	NOUN
ejde-38	411	15	function	function	NOUN
ejde-38	411	16	on	on	ADP
ejde-38	411	17	[	[	X
ejde-38	411	18	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	411	19	,	,	PUNCT
ejde-38	411	20	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	411	21	]	]	PUNCT
ejde-38	411	22	is	be	AUX
ejde-38	411	23	if	if	SCONJ
ejde-38	411	24	λmin	λmin	NOUN
ejde-38	411	25	=	=	PUNCT
ejde-38	412	1	λ̃.	λ̃.	ADV
ejde-38	412	2	it	it	PRON
ejde-38	412	3	is	be	AUX
ejde-38	412	4	then	then	ADV
ejde-38	412	5	clear	clear	ADJ
ejde-38	412	6	that	that	SCONJ
ejde-38	412	7	(	(	PUNCT
ejde-38	412	8	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	412	9	,	,	PUNCT
ejde-38	412	10	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	412	11	)	)	PUNCT
ejde-38	412	12	is	be	AUX
ejde-38	412	13	a	a	DET
ejde-38	412	14	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	412	15	in	in	ADP
ejde-38	412	16	the	the	DET
ejde-38	412	17	primal	primal	ADJ
ejde-38	412	18	problem	problem	NOUN
ejde-38	412	19	(	(	PUNCT
ejde-38	412	20	1.3	1.3	NUM
ejde-38	412	21	)	)	PUNCT
ejde-38	412	22	.	.	PUNCT
ejde-38	413	1	�	�	PROPN
ejde-38	413	2	the	the	DET
ejde-38	413	3	strict	strict	ADJ
ejde-38	413	4	convexity	convexity	NOUN
ejde-38	413	5	of	of	ADP
ejde-38	413	6	c	c	PROPN
ejde-38	413	7	demonstrated	demonstrate	VERB
ejde-38	413	8	in	in	ADP
ejde-38	413	9	the	the	DET
ejde-38	413	10	above	above	ADJ
ejde-38	413	11	proof	proof	NOUN
ejde-38	413	12	immediately	immediately	ADV
ejde-38	413	13	yields	yield	VERB
ejde-38	413	14	the	the	DET
ejde-38	413	15	following	follow	VERB
ejde-38	413	16	corollary	corollary	NOUN
ejde-38	413	17	.	.	PUNCT
ejde-38	414	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	414	2	4.5	4.5	NUM
ejde-38	414	3	.	.	PUNCT
ejde-38	415	1	if	if	SCONJ
ejde-38	415	2	c	c	PROPN
ejde-38	415	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	415	4	(	(	PUNCT
ejde-38	415	5	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	415	6	)	)	PUNCT
ejde-38	415	7	,	,	PUNCT
ejde-38	415	8	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	415	9	in	in	ADP
ejde-38	415	10	the	the	DET
ejde-38	415	11	primal	primal	ADJ
ejde-38	415	12	problem	problem	NOUN
ejde-38	415	13	(	(	PUNCT
ejde-38	415	14	1.3	1.3	NUM
ejde-38	415	15	)	)	PUNCT
ejde-38	415	16	are	be	AUX
ejde-38	415	17	unique	unique	ADJ
ejde-38	415	18	.	.	PUNCT
ejde-38	416	1	using	use	VERB
ejde-38	416	2	the	the	DET
ejde-38	416	3	above	above	ADJ
ejde-38	416	4	properties	property	NOUN
ejde-38	416	5	of	of	ADP
ejde-38	416	6	dual	dual	ADJ
ejde-38	416	7	and	and	CCONJ
ejde-38	416	8	primal	primal	ADJ
ejde-38	416	9	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	416	10	,	,	PUNCT
ejde-38	416	11	we	we	PRON
ejde-38	416	12	obtain	obtain	VERB
ejde-38	416	13	a	a	DET
ejde-38	416	14	characterization	characterization	NOUN
ejde-38	416	15	for	for	ADP
ejde-38	416	16	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	416	17	in	in	ADP
ejde-38	416	18	both	both	DET
ejde-38	416	19	problems	problem	NOUN
ejde-38	416	20	.	.	PUNCT
ejde-38	417	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	417	2	4.6	4.6	NUM
ejde-38	417	3	.	.	PUNCT
ejde-38	418	1	assume	assume	VERB
ejde-38	418	2	c	c	NOUN
ejde-38	418	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	418	4	(	(	PUNCT
ejde-38	418	5	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	418	6	)	)	PUNCT
ejde-38	418	7	.	.	PUNCT
ejde-38	419	1	if	if	SCONJ
ejde-38	419	2	(	(	PUNCT
ejde-38	419	3	ϕ̂	ϕ̂	NUM
ejde-38	419	4	,	,	PUNCT
ejde-38	419	5	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	419	6	)	)	PUNCT
ejde-38	419	7	is	be	AUX
ejde-38	419	8	a	a	DET
ejde-38	419	9	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	419	10	pair	pair	NOUN
ejde-38	419	11	in	in	ADP
ejde-38	419	12	the	the	DET
ejde-38	419	13	dual	dual	ADJ
ejde-38	419	14	problem	problem	NOUN
ejde-38	419	15	(	(	PUNCT
ejde-38	419	16	3.1	3.1	NUM
ejde-38	419	17	)	)	PUNCT
ejde-38	419	18	and	and	CCONJ
ejde-38	419	19	(	(	PUNCT
ejde-38	419	20	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	419	21	,	,	PUNCT
ejde-38	419	22	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	419	23	)	)	PUNCT
ejde-38	419	24	is	be	AUX
ejde-38	419	25	a	a	DET
ejde-38	419	26	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	419	27	in	in	ADP
ejde-38	419	28	the	the	DET
ejde-38	419	29	primal	primal	ADJ
ejde-38	419	30	problem	problem	NOUN
ejde-38	419	31	(	(	PUNCT
ejde-38	419	32	1.3	1.3	NUM
ejde-38	419	33	)	)	PUNCT
ejde-38	419	34	,	,	PUNCT
ejde-38	419	35	ψ̂	ψ̂	PUNCT
ejde-38	419	36	and	and	CCONJ
ejde-38	419	37	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	419	38	satisfy	satisfy	VERB
ejde-38	419	39	the	the	DET
ejde-38	419	40	conditions	condition	NOUN
ejde-38	419	41	:	:	PUNCT
ejde-38	419	42	(	(	PUNCT
ejde-38	419	43	i	i	NOUN
ejde-38	419	44	)	)	PUNCT
ejde-38	419	45	ψ̂	ψ̂	PUNCT
ejde-38	420	1	∈	∈	PROPN
ejde-38	420	2	∂f	∂f	PROPN
ejde-38	420	3	(	(	PUNCT
ejde-38	420	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	420	5	)	)	PUNCT
ejde-38	420	6	(	(	PUNCT
ejde-38	420	7	ii	ii	NOUN
ejde-38	420	8	)	)	PUNCT
ejde-38	420	9	λ̃j	λ̃j	NOUN
ejde-38	420	10	=	=	SYM
ejde-38	420	11	µ	µ	X
ejde-38	420	12	(	(	PUNCT
ejde-38	420	13	{	{	PUNCT
ejde-38	420	14	x	x	SYM
ejde-38	420	15	∈	∈	NOUN
ejde-38	420	16	x	x	X
ejde-38	420	17	:	:	PUNCT
ejde-38	420	18	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	420	19	,	,	PUNCT
ejde-38	420	20	yj)−	yj)−	NOUN
ejde-38	420	21	ψ̂j	ψ̂j	PART
ejde-38	420	22	=	=	NOUN
ejde-38	420	23	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	420	24	∗	∗	NOUN
ejde-38	420	25	(	(	PUNCT
ejde-38	420	26	x	x	NOUN
ejde-38	420	27	)	)	PUNCT
ejde-38	420	28	}	}	PUNCT
ejde-38	420	29	)	)	PUNCT
ejde-38	420	30	.	.	PUNCT
ejde-38	421	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-38	421	2	,	,	PUNCT
ejde-38	421	3	if	if	SCONJ
ejde-38	421	4	λ̃j	λ̃j	X
ejde-38	421	5	>	>	X
ejde-38	421	6	0	0	PUNCT
ejde-38	422	1	for	for	ADP
ejde-38	422	2	some	some	DET
ejde-38	422	3	1	1	NUM
ejde-38	422	4	≤	≤	NUM
ejde-38	422	5	j	j	PROPN
ejde-38	422	6	≤	≤	PROPN
ejde-38	422	7	n	n	CCONJ
ejde-38	422	8	,	,	PUNCT
ejde-38	422	9	we	we	PRON
ejde-38	422	10	have	have	VERB
ejde-38	422	11	(	(	PUNCT
ejde-38	422	12	iii	iii	NOUN
ejde-38	422	13	)	)	PUNCT
ejde-38	422	14	ψ̂j	ψ̂j	NUM
ejde-38	422	15	=	=	PUNCT
ejde-38	422	16	(	(	PUNCT
ejde-38	422	17	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	422	18	∗c	∗c	NUM
ejde-38	422	19	)	)	PUNCT
ejde-38	422	20	j	j	PROPN
ejde-38	422	21	.	.	PUNCT
ejde-38	423	1	conversely	conversely	ADV
ejde-38	423	2	,	,	PUNCT
ejde-38	423	3	if	if	SCONJ
ejde-38	423	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	423	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	423	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	423	7	and	and	CCONJ
ejde-38	423	8	ψ̂	ψ̂	PUNCT
ejde-38	423	9	∈	∈	PROPN
ejde-38	423	10	rn	rn	PROPN
ejde-38	423	11	are	be	AUX
ejde-38	423	12	such	such	ADJ
ejde-38	423	13	that	that	SCONJ
ejde-38	423	14	conditions	condition	NOUN
ejde-38	423	15	(	(	PUNCT
ejde-38	423	16	i	i	NOUN
ejde-38	423	17	)	)	PUNCT
ejde-38	423	18	and	and	CCONJ
ejde-38	423	19	(	(	PUNCT
ejde-38	423	20	ii	ii	NOUN
ejde-38	423	21	)	)	PUNCT
ejde-38	423	22	hold	hold	VERB
ejde-38	423	23	,	,	PUNCT
ejde-38	423	24	then	then	ADV
ejde-38	423	25	defining	define	VERB
ejde-38	423	26	tψ̂	tψ̂	PROPN
ejde-38	423	27	as	as	ADP
ejde-38	423	28	in	in	ADP
ejde-38	423	29	remark	remark	NOUN
ejde-38	423	30	4.3	4.3	NUM
ejde-38	423	31	,	,	PUNCT
ejde-38	423	32	the	the	DET
ejde-38	423	33	pairs	pair	NOUN
ejde-38	423	34	(	(	PUNCT
ejde-38	423	35	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	423	36	∗	∗	NOUN
ejde-38	423	37	,	,	PUNCT
ejde-38	423	38	ψ̂	ψ̂	PROPN
ejde-38	423	39	)	)	PUNCT
ejde-38	423	40	and	and	CCONJ
ejde-38	423	41	(	(	PUNCT
ejde-38	423	42	(	(	PUNCT
ejde-38	423	43	id×tψ̂)#µ	id×tψ̂)#µ	NOUN
ejde-38	423	44	,	,	PUNCT
ejde-38	423	45	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	423	46	)	)	PUNCT
ejde-38	423	47	are	be	AUX
ejde-38	423	48	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	423	49	and	and	CCONJ
ejde-38	423	50	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	423	51	pairs	pair	NOUN
ejde-38	423	52	in	in	ADP
ejde-38	423	53	the	the	DET
ejde-38	423	54	dual	dual	ADJ
ejde-38	423	55	and	and	CCONJ
ejde-38	423	56	primal	primal	ADJ
ejde-38	423	57	problem	problem	NOUN
ejde-38	423	58	respectively	respectively	ADV
ejde-38	423	59	.	.	PUNCT
ejde-38	424	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	424	2	.	.	PUNCT
ejde-38	425	1	under	under	ADP
ejde-38	425	2	the	the	DET
ejde-38	425	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-38	425	4	above	above	ADP
ejde-38	425	5	“	"	PUNCT
ejde-38	425	6	conversely	conversely	ADV
ejde-38	425	7	”	"	PUNCT
ejde-38	425	8	,	,	PUNCT
ejde-38	425	9	conditions	condition	NOUN
ejde-38	425	10	(	(	PUNCT
ejde-38	425	11	i	i	NOUN
ejde-38	425	12	)	)	PUNCT
ejde-38	425	13	and	and	CCONJ
ejde-38	425	14	(	(	PUNCT
ejde-38	425	15	ii	ii	NOUN
ejde-38	425	16	)	)	PUNCT
ejde-38	425	17	follow	follow	VERB
ejde-38	425	18	from	from	ADP
ejde-38	425	19	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	425	20	3.10	3.10	NUM
ejde-38	425	21	,	,	PUNCT
ejde-38	425	22	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	425	23	4.4	4.4	NUM
ejde-38	425	24	,	,	PUNCT
ejde-38	425	25	and	and	CCONJ
ejde-38	425	26	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	425	27	4.5	4.5	NUM
ejde-38	425	28	.	.	PUNCT
ejde-38	426	1	condition	condition	NOUN
ejde-38	426	2	(	(	PUNCT
ejde-38	426	3	iii	iii	NOUN
ejde-38	426	4	)	)	PUNCT
ejde-38	426	5	follows	follow	VERB
ejde-38	426	6	from	from	ADP
ejde-38	426	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	426	8	4.1	4.1	NUM
ejde-38	426	9	.	.	PUNCT
ejde-38	427	1	now	now	ADV
ejde-38	427	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	427	3	ψ̂	ψ̂	ADV
ejde-38	427	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	427	5	rn	rn	PROPN
ejde-38	427	6	,	,	PUNCT
ejde-38	427	7	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	427	8	∈	∈	PROPN
ejde-38	427	9	λ	λ	X
ejde-38	427	10	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-38	427	11	(	(	PUNCT
ejde-38	427	12	i	i	NOUN
ejde-38	427	13	)	)	PUNCT
ejde-38	427	14	and	and	CCONJ
ejde-38	427	15	(	(	PUNCT
ejde-38	427	16	ii	ii	NOUN
ejde-38	427	17	)	)	PUNCT
ejde-38	427	18	.	.	PUNCT
ejde-38	428	1	then	then	ADV
ejde-38	428	2	sup	sup	VERB
ejde-38	428	3	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	PROPN
ejde-38	428	4	(	(	PUNCT
ejde-38	428	5	−	−	PROPN
ejde-38	428	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	428	7	x	x	SYM
ejde-38	428	8	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	428	9	f	f	PROPN
ejde-38	428	10	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	428	11	)	)	PUNCT
ejde-38	428	12	)	)	PUNCT
ejde-38	428	13	≥	≥	NOUN
ejde-38	429	1	−	−	NUM
ejde-38	429	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	429	3	x	x	X
ejde-38	429	4	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	429	5	∗	∗	NOUN
ejde-38	429	6	dµ−	dµ−	PUNCT
ejde-38	429	7	f	f	NOUN
ejde-38	429	8	∗(ψ̂	∗(ψ̂	PROPN
ejde-38	429	9	)	)	PUNCT
ejde-38	429	10	=	=	PUNCT
ejde-38	430	1	−	−	PROPN
ejde-38	430	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	430	3	x	x	X
ejde-38	430	4	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	430	5	∗	∗	NOUN
ejde-38	430	6	dµ−	dµ−	X
ejde-38	430	7	〈	〈	PROPN
ejde-38	430	8	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	430	9	,	,	PUNCT
ejde-38	430	10	ψ̂〉+	ψ̂〉+	PROPN
ejde-38	430	11	f	f	X
ejde-38	430	12	(	(	PUNCT
ejde-38	430	13	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	430	14	)	)	PUNCT
ejde-38	430	15	(	(	PUNCT
ejde-38	430	16	4.1	4.1	NUM
ejde-38	430	17	)	)	PUNCT
ejde-38	430	18	where	where	SCONJ
ejde-38	430	19	this	this	DET
ejde-38	430	20	last	last	ADJ
ejde-38	430	21	equality	equality	NOUN
ejde-38	430	22	follows	follow	VERB
ejde-38	430	23	from	from	ADP
ejde-38	430	24	condition	condition	NOUN
ejde-38	430	25	(	(	PUNCT
ejde-38	430	26	i	i	NOUN
ejde-38	430	27	)	)	PUNCT
ejde-38	430	28	and	and	CCONJ
ejde-38	430	29	[	[	X
ejde-38	430	30	9	9	NUM
ejde-38	430	31	,	,	PUNCT
ejde-38	430	32	theorem	theorem	VERB
ejde-38	430	33	23.5	23.5	NUM
ejde-38	430	34	]	]	PUNCT
ejde-38	430	35	.	.	PUNCT
ejde-38	431	1	let	let	VERB
ejde-38	431	2	tψ̂	tψ̂	PROPN
ejde-38	431	3	be	be	AUX
ejde-38	431	4	defined	define	VERB
ejde-38	431	5	as	as	ADP
ejde-38	431	6	in	in	ADP
ejde-38	431	7	remark	remark	NOUN
ejde-38	431	8	4.3	4.3	NUM
ejde-38	431	9	,	,	PUNCT
ejde-38	431	10	by	by	ADP
ejde-38	431	11	condition	condition	NOUN
ejde-38	431	12	(	(	PUNCT
ejde-38	431	13	ii	ii	NOUN
ejde-38	431	14	)	)	PUNCT
ejde-38	431	15	,	,	PUNCT
ejde-38	431	16	we	we	PRON
ejde-38	431	17	see	see	VERB
ejde-38	431	18	that	that	SCONJ
ejde-38	431	19	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	431	20	:	:	PUNCT
ejde-38	431	21	=	=	SYM
ejde-38	431	22	(	(	PUNCT
ejde-38	431	23	id×tψ̂)#µ	id×tψ̂)#µ	NOUN
ejde-38	431	24	is	be	AUX
ejde-38	431	25	a	a	DET
ejde-38	431	26	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	431	27	in	in	ADP
ejde-38	431	28	the	the	DET
ejde-38	431	29	classical	classical	ADJ
ejde-38	431	30	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	431	31	problem	problem	NOUN
ejde-38	431	32	(	(	PUNCT
ejde-38	431	33	1.4	1.4	NUM
ejde-38	431	34	)	)	PUNCT
ejde-38	431	35	with	with	ADP
ejde-38	431	36	ν	ν	X
ejde-38	431	37	=	=	PUNCT
ejde-38	431	38	νλ̃.	νλ̃.	PROPN
ejde-38	431	39	let	let	VERB
ejde-38	431	40	x	x	SYM
ejde-38	431	41	∈	∈	PROPN
ejde-38	431	42	x	x	AUX
ejde-38	431	43	be	be	AUX
ejde-38	431	44	such	such	ADJ
ejde-38	431	45	that	that	SCONJ
ejde-38	431	46	tψ̂(x	tψ̂(x	NOUN
ejde-38	431	47	)	)	PUNCT
ejde-38	431	48	is	be	AUX
ejde-38	431	49	well	well	ADV
ejde-38	431	50	-	-	PUNCT
ejde-38	431	51	defined	define	VERB
ejde-38	431	52	.	.	PUNCT
ejde-38	432	1	by	by	ADP
ejde-38	432	2	definition	definition	NOUN
ejde-38	432	3	,	,	PUNCT
ejde-38	432	4	this	this	PRON
ejde-38	432	5	means	mean	VERB
ejde-38	432	6	that	that	SCONJ
ejde-38	432	7	ψ̂c	ψ̂c	ADJ
ejde-38	432	8	∗	∗	NOUN
ejde-38	432	9	(	(	PUNCT
ejde-38	432	10	x	x	X
ejde-38	432	11	)	)	PUNCT
ejde-38	432	12	+	+	CCONJ
ejde-38	432	13	ψ̂j	ψ̂j	NUM
ejde-38	432	14	=	=	SYM
ejde-38	432	15	−c(x	−c(x	NOUN
ejde-38	432	16	,	,	PUNCT
ejde-38	432	17	yj	yj	PROPN
ejde-38	432	18	)	)	PUNCT
ejde-38	432	19	where	where	SCONJ
ejde-38	432	20	yj	yj	PROPN
ejde-38	432	21	=	=	PROPN
ejde-38	432	22	tψ̂(x	tψ̂(x	PROPN
ejde-38	432	23	)	)	PUNCT
ejde-38	432	24	.	.	PUNCT
ejde-38	433	1	since	since	SCONJ
ejde-38	433	2	(	(	PUNCT
ejde-38	433	3	see	see	AUX
ejde-38	433	4	remark	remark	NOUN
ejde-38	433	5	4.3	4.3	NUM
ejde-38	433	6	)	)	PUNCT
ejde-38	433	7	the	the	DET
ejde-38	433	8	set	set	NOUN
ejde-38	433	9	of	of	ADP
ejde-38	433	10	such	such	ADJ
ejde-38	433	11	x	x	NOUN
ejde-38	433	12	has	have	VERB
ejde-38	433	13	full	full	ADJ
ejde-38	433	14	µ	µ	PRON
ejde-38	433	15	measure	measure	NOUN
ejde-38	433	16	,	,	PUNCT
ejde-38	433	17	the	the	DET
ejde-38	433	18	union	union	NOUN
ejde-38	433	19	of	of	ADP
ejde-38	433	20	(	(	PUNCT
ejde-38	433	21	x	x	NOUN
ejde-38	433	22	,	,	PUNCT
ejde-38	433	23	tψ̂(x	tψ̂(x	NUM
ejde-38	433	24	)	)	PUNCT
ejde-38	433	25	)	)	PUNCT
ejde-38	433	26	over	over	ADP
ejde-38	433	27	such	such	ADJ
ejde-38	433	28	x	x	NOUN
ejde-38	433	29	has	have	VERB
ejde-38	433	30	full	full	ADJ
ejde-38	433	31	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	433	32	measure	measure	NOUN
ejde-38	433	33	.	.	PUNCT
ejde-38	434	1	thus	thus	ADV
ejde-38	434	2	by	by	ADP
ejde-38	434	3	[	[	X
ejde-38	434	4	12	12	NUM
ejde-38	434	5	,	,	PUNCT
ejde-38	434	6	theorem	theorem	VERB
ejde-38	434	7	5.10	5.10	NUM
ejde-38	434	8	and	and	CCONJ
ejde-38	434	9	remark	remark	NOUN
ejde-38	434	10	5.13	5.13	NUM
ejde-38	434	11	]	]	PUNCT
ejde-38	434	12	,	,	PUNCT
ejde-38	434	13	we	we	PRON
ejde-38	434	14	have	have	VERB
ejde-38	434	15	that	that	PRON
ejde-38	434	16	(	(	PUNCT
ejde-38	434	17	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	434	18	∗	∗	NOUN
ejde-38	434	19	,	,	PUNCT
ejde-38	434	20	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	434	21	)	)	PUNCT
ejde-38	434	22	is	be	AUX
ejde-38	434	23	a	a	DET
ejde-38	434	24	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	434	25	in	in	ADP
ejde-38	434	26	the	the	DET
ejde-38	434	27	classical	classical	ADJ
ejde-38	434	28	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	434	29	dual	dual	ADJ
ejde-38	434	30	problem	problem	NOUN
ejde-38	434	31	,	,	PUNCT
ejde-38	434	32	and	and	CCONJ
ejde-38	434	33	in	in	ADP
ejde-38	434	34	particular	particular	ADJ
ejde-38	434	35	−	−	PROPN
ejde-38	434	36	∫	∫	PROPN
ejde-38	434	37	x	x	X
ejde-38	434	38	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	434	39	∗	∗	NOUN
ejde-38	434	40	dµ	dµ	PROPN
ejde-38	434	41	−	−	PROPN
ejde-38	434	42	〈	〈	PROPN
ejde-38	434	43	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	434	44	,	,	PUNCT
ejde-38	434	45	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	434	46	〉	〉	NOUN
ejde-38	434	47	=	=	SYM
ejde-38	434	48	16	16	NUM
ejde-38	434	49	m.	m.	NOUN
ejde-38	434	50	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	434	51	,	,	PUNCT
ejde-38	434	52	j.	j.	PROPN
ejde-38	434	53	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	434	54	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	434	55	infγ∈π(µ,νλ̃	infγ∈π(µ,νλ̃	PROPN
ejde-38	434	56	)	)	PUNCT
ejde-38	434	57	(	(	PUNCT
ejde-38	434	58	∫	∫	PROPN
ejde-38	434	59	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	434	60	c	c	PROPN
ejde-38	434	61	dγ	dγ	PROPN
ejde-38	434	62	)	)	PUNCT
ejde-38	434	63	.	.	PUNCT
ejde-38	435	1	thus	thus	ADV
ejde-38	435	2	we	we	PRON
ejde-38	435	3	can	can	AUX
ejde-38	435	4	calculate	calculate	VERB
ejde-38	435	5	,	,	PUNCT
ejde-38	435	6	−	−	PROPN
ejde-38	435	7	∫	∫	PROPN
ejde-38	435	8	x	x	X
ejde-38	435	9	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	435	10	∗	∗	NOUN
ejde-38	435	11	dµ−	dµ−	X
ejde-38	435	12	〈	〈	PROPN
ejde-38	435	13	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	435	14	,	,	PUNCT
ejde-38	435	15	ψ̂〉+	ψ̂〉+	PROPN
ejde-38	435	16	f	f	X
ejde-38	435	17	(	(	PUNCT
ejde-38	435	18	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	435	19	)	)	PUNCT
ejde-38	435	20	=	=	SYM
ejde-38	435	21	inf	inf	PROPN
ejde-38	435	22	γ∈π(µ,νλ̃	γ∈π(µ,νλ̃	PROPN
ejde-38	435	23	)	)	PUNCT
ejde-38	435	24	(	(	PUNCT
ejde-38	435	25	∫	∫	PROPN
ejde-38	435	26	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	435	27	c	c	PROPN
ejde-38	435	28	dγ	dγ	PROPN
ejde-38	435	29	)	)	PUNCT
ejde-38	436	1	+	+	CCONJ
ejde-38	436	2	f	f	X
ejde-38	436	3	(	(	PUNCT
ejde-38	436	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	436	5	)	)	PUNCT
ejde-38	436	6	≥	≥	NOUN
ejde-38	436	7	inf	inf	PROPN
ejde-38	436	8	λ∈λ	λ∈λ	PROPN
ejde-38	436	9	,	,	PUNCT
ejde-38	436	10	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	436	11	)	)	PUNCT
ejde-38	436	12	(	(	PUNCT
ejde-38	436	13	∫	∫	PROPN
ejde-38	436	14	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	437	1	c	c	PROPN
ejde-38	437	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	437	3	+	+	X
ejde-38	437	4	f	f	X
ejde-38	437	5	(	(	PUNCT
ejde-38	437	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	437	7	)	)	PUNCT
ejde-38	437	8	)	)	PUNCT
ejde-38	437	9	≥	≥	PROPN
ejde-38	437	10	sup	sup	NOUN
ejde-38	437	11	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	PROPN
ejde-38	437	12	(	(	PUNCT
ejde-38	437	13	−	−	PROPN
ejde-38	437	14	∫	∫	PROPN
ejde-38	437	15	x	x	SYM
ejde-38	437	16	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	437	17	f	f	PROPN
ejde-38	437	18	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	437	19	)	)	PUNCT
ejde-38	437	20	)	)	PUNCT
ejde-38	437	21	.	.	PUNCT
ejde-38	438	1	combining	combine	VERB
ejde-38	438	2	this	this	PRON
ejde-38	438	3	with	with	ADP
ejde-38	438	4	(	(	PUNCT
ejde-38	438	5	4.1	4.1	NUM
ejde-38	438	6	)	)	PUNCT
ejde-38	438	7	,	,	PUNCT
ejde-38	438	8	we	we	PRON
ejde-38	438	9	have∫	have∫	VERB
ejde-38	438	10	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	438	11	cdγ̃	cdγ̃	PROPN
ejde-38	438	12	+	+	CCONJ
ejde-38	438	13	f	f	X
ejde-38	438	14	(	(	PUNCT
ejde-38	438	15	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	438	16	)	)	PUNCT
ejde-38	438	17	=	=	SYM
ejde-38	438	18	inf	inf	PROPN
ejde-38	438	19	γ∈π(µ,νλ̃	γ∈π(µ,νλ̃	PROPN
ejde-38	438	20	)	)	PUNCT
ejde-38	439	1	(	(	PUNCT
ejde-38	439	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	439	3	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	439	4	c	c	PROPN
ejde-38	439	5	dγ	dγ	PROPN
ejde-38	439	6	)	)	PUNCT
ejde-38	440	1	+	+	CCONJ
ejde-38	440	2	f	f	X
ejde-38	440	3	(	(	PUNCT
ejde-38	440	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	440	5	)	)	PUNCT
ejde-38	440	6	=	=	SYM
ejde-38	440	7	inf	inf	PROPN
ejde-38	440	8	λ∈λ	λ∈λ	NOUN
ejde-38	440	9	,	,	PUNCT
ejde-38	440	10	γ∈π(µ,νλ	γ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	440	11	)	)	PUNCT
ejde-38	440	12	(	(	PUNCT
ejde-38	440	13	∫	∫	PROPN
ejde-38	440	14	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	440	15	c	c	PROPN
ejde-38	441	1	dγ	dγ	ADP
ejde-38	441	2	+	+	X
ejde-38	441	3	f	f	X
ejde-38	441	4	(	(	PUNCT
ejde-38	441	5	λ	λ	NOUN
ejde-38	441	6	)	)	PUNCT
ejde-38	441	7	)	)	PUNCT
ejde-38	441	8	hence	hence	ADV
ejde-38	441	9	(	(	PUNCT
ejde-38	441	10	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	441	11	,	,	PUNCT
ejde-38	441	12	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	441	13	)	)	PUNCT
ejde-38	441	14	is	be	AUX
ejde-38	441	15	a	a	DET
ejde-38	441	16	minimizing	minimize	VERB
ejde-38	441	17	pair	pair	NOUN
ejde-38	441	18	in	in	ADP
ejde-38	441	19	the	the	DET
ejde-38	441	20	primal	primal	ADJ
ejde-38	441	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	441	22	.	.	PUNCT
ejde-38	442	1	the	the	DET
ejde-38	442	2	above	above	ADJ
ejde-38	442	3	calculations	calculation	NOUN
ejde-38	442	4	also	also	ADV
ejde-38	442	5	yield	yield	VERB
ejde-38	442	6	sup	sup	NOUN
ejde-38	442	7	−ϕ−ψ≤c	−ϕ−ψ≤c	NOUN
ejde-38	442	8	(	(	PUNCT
ejde-38	442	9	−	−	PROPN
ejde-38	442	10	∫	∫	PROPN
ejde-38	442	11	x	x	SYM
ejde-38	442	12	ϕdµ−	ϕdµ−	PROPN
ejde-38	442	13	f	f	PROPN
ejde-38	442	14	∗(ψ	∗(ψ	PROPN
ejde-38	442	15	)	)	PUNCT
ejde-38	442	16	)	)	PUNCT
ejde-38	443	1	=	=	PUNCT
ejde-38	444	1	−	−	PROPN
ejde-38	444	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	444	3	x	x	X
ejde-38	444	4	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	444	5	∗	∗	NOUN
ejde-38	444	6	dµ−	dµ−	PUNCT
ejde-38	444	7	f	f	NOUN
ejde-38	444	8	∗(ψ̂	∗(ψ̂	PROPN
ejde-38	444	9	)	)	PUNCT
ejde-38	444	10	,	,	PUNCT
ejde-38	444	11	thus	thus	ADV
ejde-38	444	12	(	(	PUNCT
ejde-38	444	13	ψ̂c	ψ̂c	X
ejde-38	444	14	∗	∗	NOUN
ejde-38	444	15	,	,	PUNCT
ejde-38	444	16	ψ̂	ψ̂	PRON
ejde-38	444	17	)	)	PUNCT
ejde-38	444	18	is	be	AUX
ejde-38	444	19	a	a	DET
ejde-38	444	20	maximizing	maximize	VERB
ejde-38	444	21	pair	pair	NOUN
ejde-38	444	22	in	in	ADP
ejde-38	444	23	the	the	DET
ejde-38	444	24	dual	dual	ADJ
ejde-38	444	25	problem	problem	NOUN
ejde-38	444	26	.	.	PUNCT
ejde-38	445	1	�	�	PROPN
ejde-38	445	2	5	5	NUM
ejde-38	445	3	.	.	PUNCT
ejde-38	445	4	stability	stability	NOUN
ejde-38	445	5	of	of	ADP
ejde-38	445	6	f	f	PROPN
ejde-38	445	7	in	in	ADP
ejde-38	445	8	this	this	DET
ejde-38	445	9	section	section	NOUN
ejde-38	445	10	we	we	PRON
ejde-38	445	11	show	show	VERB
ejde-38	445	12	two	two	NUM
ejde-38	445	13	kinds	kind	NOUN
ejde-38	445	14	of	of	ADP
ejde-38	445	15	stability	stability	NOUN
ejde-38	445	16	for	for	ADP
ejde-38	445	17	our	our	PRON
ejde-38	445	18	primal	primal	ADJ
ejde-38	445	19	problem	problem	NOUN
ejde-38	445	20	(	(	PUNCT
ejde-38	445	21	1.3	1.3	NUM
ejde-38	445	22	)	)	PUNCT
ejde-38	445	23	.	.	PUNCT
ejde-38	446	1	the	the	DET
ejde-38	446	2	first	first	ADJ
ejde-38	446	3	is	be	AUX
ejde-38	446	4	stability	stability	NOUN
ejde-38	446	5	of	of	ADP
ejde-38	446	6	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	446	7	under	under	ADP
ejde-38	446	8	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-38	446	9	of	of	ADP
ejde-38	446	10	the	the	DET
ejde-38	446	11	storage	storage	NOUN
ejde-38	446	12	fee	fee	NOUN
ejde-38	446	13	function	function	NOUN
ejde-38	446	14	f	f	PROPN
ejde-38	446	15	when	when	SCONJ
ejde-38	446	16	the	the	DET
ejde-38	446	17	finite	finite	ADJ
ejde-38	446	18	target	target	NOUN
ejde-38	446	19	set	set	VERB
ejde-38	446	20	y	y	PROPN
ejde-38	446	21	is	be	AUX
ejde-38	446	22	fixed	fix	VERB
ejde-38	446	23	.	.	PUNCT
ejde-38	447	1	the	the	DET
ejde-38	447	2	second	second	NOUN
ejde-38	447	3	is	be	AUX
ejde-38	447	4	γ	γ	NOUN
ejde-38	447	5	-	-	NOUN
ejde-38	447	6	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	447	7	of	of	ADP
ejde-38	447	8	a	a	DET
ejde-38	447	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	447	10	of	of	ADP
ejde-38	447	11	objective	objective	ADJ
ejde-38	447	12	functionals	functional	NOUN
ejde-38	447	13	obtained	obtain	VERB
ejde-38	447	14	when	when	SCONJ
ejde-38	447	15	one	one	PRON
ejde-38	447	16	takes	take	VERB
ejde-38	447	17	a	a	DET
ejde-38	447	18	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	447	19	of	of	ADP
ejde-38	447	20	target	target	NOUN
ejde-38	447	21	sets	set	VERB
ejde-38	447	22	yk	yk	PROPN
ejde-38	447	23	that	that	PRON
ejde-38	447	24	become	become	VERB
ejde-38	447	25	suitably	suitably	ADV
ejde-38	447	26	dense	dense	ADJ
ejde-38	447	27	in	in	ADP
ejde-38	447	28	some	some	DET
ejde-38	447	29	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	447	30	domain	domain	NOUN
ejde-38	447	31	y	y	PROPN
ejde-38	447	32	.	.	PUNCT
ejde-38	448	1	5.1	5.1	NUM
ejde-38	448	2	.	.	PUNCT
ejde-38	448	3	stability	stability	NOUN
ejde-38	448	4	for	for	ADP
ejde-38	448	5	a	a	DET
ejde-38	448	6	fixed	fix	VERB
ejde-38	448	7	finite	finite	ADJ
ejde-38	448	8	target	target	NOUN
ejde-38	448	9	.	.	PUNCT
ejde-38	449	1	first	first	ADV
ejde-38	449	2	we	we	PRON
ejde-38	449	3	estimate	estimate	VERB
ejde-38	449	4	the	the	DET
ejde-38	449	5	change	change	NOUN
ejde-38	449	6	in	in	ADP
ejde-38	449	7	the	the	DET
ejde-38	449	8	minimum	minimum	ADJ
ejde-38	449	9	value	value	NOUN
ejde-38	449	10	of	of	ADP
ejde-38	449	11	the	the	DET
ejde-38	449	12	problem	problem	NOUN
ejde-38	449	13	.	.	PUNCT
ejde-38	450	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	450	2	5.1	5.1	NUM
ejde-38	450	3	.	.	PUNCT
ejde-38	451	1	let	let	VERB
ejde-38	451	2	f1	f1	NOUN
ejde-38	451	3	and	and	CCONJ
ejde-38	451	4	f2	f2	PROPN
ejde-38	451	5	:	:	PUNCT
ejde-38	451	6	rn	rn	PROPN
ejde-38	451	7	→	→	SYM
ejde-38	451	8	r	r	NOUN
ejde-38	451	9	∪	∪	X
ejde-38	451	10	{	{	PUNCT
ejde-38	451	11	∞	∞	NOUN
ejde-38	451	12	}	}	PUNCT
ejde-38	451	13	be	be	AUX
ejde-38	451	14	lower	low	ADJ
ejde-38	451	15	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	451	16	and	and	CCONJ
ejde-38	451	17	proper	proper	ADJ
ejde-38	451	18	,	,	PUNCT
ejde-38	451	19	c	c	X
ejde-38	451	20	be	be	AUX
ejde-38	451	21	lower	lower	ADV
ejde-38	451	22	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	451	23	and	and	CCONJ
ejde-38	451	24	bounded	bound	VERB
ejde-38	451	25	,	,	PUNCT
ejde-38	451	26	and	and	CCONJ
ejde-38	451	27	write	write	VERB
ejde-38	451	28	mfi	mfi	PROPN
ejde-38	451	29	for	for	ADP
ejde-38	451	30	the	the	DET
ejde-38	451	31	minimum	minimum	ADJ
ejde-38	451	32	value	value	NOUN
ejde-38	451	33	attained	attain	VERB
ejde-38	451	34	in	in	ADP
ejde-38	451	35	(	(	PUNCT
ejde-38	451	36	1.3	1.3	NUM
ejde-38	451	37	)	)	PUNCT
ejde-38	451	38	with	with	ADP
ejde-38	451	39	some	some	DET
ejde-38	451	40	fixed	fix	VERB
ejde-38	451	41	measure	measure	NOUN
ejde-38	451	42	µ	µ	NOUN
ejde-38	451	43	and	and	CCONJ
ejde-38	451	44	the	the	DET
ejde-38	451	45	choice	choice	NOUN
ejde-38	451	46	f	f	NOUN
ejde-38	451	47	=	=	SYM
ejde-38	451	48	fi	fi	PROPN
ejde-38	451	49	,	,	PUNCT
ejde-38	451	50	i	i	NOUN
ejde-38	451	51	=	=	NOUN
ejde-38	451	52	1	1	NUM
ejde-38	451	53	or	or	CCONJ
ejde-38	451	54	i	i	PRON
ejde-38	451	55	=	=	NOUN
ejde-38	451	56	2	2	X
ejde-38	451	57	.	.	PUNCT
ejde-38	452	1	then	then	ADV
ejde-38	452	2	if	if	SCONJ
ejde-38	452	3	both	both	PRON
ejde-38	452	4	of	of	ADP
ejde-38	452	5	mfi	mfi	PROPN
ejde-38	452	6	are	be	AUX
ejde-38	452	7	finite	finite	ADJ
ejde-38	452	8	,	,	PUNCT
ejde-38	452	9	‖mf1	‖mf1	NOUN
ejde-38	452	10	−mf2	−mf2	NOUN
ejde-38	452	11	|	|	ADV
ejde-38	452	12	≤	≤	NUM
ejde-38	452	13	‖f1	‖f1	VERB
ejde-38	452	14	−	−	NOUN
ejde-38	452	15	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	NOUN
ejde-38	452	16	)	)	PUNCT
ejde-38	452	17	)	)	PUNCT
ejde-38	452	18	proof	proof	NOUN
ejde-38	452	19	.	.	PUNCT
ejde-38	453	1	let	let	VERB
ejde-38	453	2	the	the	DET
ejde-38	453	3	pair	pair	NOUN
ejde-38	453	4	(	(	PUNCT
ejde-38	453	5	γ̃2	γ̃2	PROPN
ejde-38	453	6	,	,	PUNCT
ejde-38	453	7	λ̃2	λ̃2	PROPN
ejde-38	453	8	)	)	PUNCT
ejde-38	453	9	achieve	achieve	VERB
ejde-38	453	10	the	the	DET
ejde-38	453	11	minimum	minimum	ADJ
ejde-38	453	12	value	value	NOUN
ejde-38	453	13	in	in	ADP
ejde-38	453	14	mf2	mf2	NOUN
ejde-38	453	15	,	,	PUNCT
ejde-38	453	16	which	which	PRON
ejde-38	453	17	exists	exist	VERB
ejde-38	453	18	by	by	ADP
ejde-38	453	19	theorem	theorem	ADJ
ejde-38	453	20	2.3	2.3	NUM
ejde-38	453	21	.	.	PUNCT
ejde-38	454	1	then	then	ADV
ejde-38	454	2	both	both	DET
ejde-38	454	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	454	4	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	454	5	cdγ̃2	cdγ̃2	NOUN
ejde-38	454	6	and	and	CCONJ
ejde-38	454	7	f2(λ̃2	f2(λ̃2	ADV
ejde-38	454	8	)	)	PUNCT
ejde-38	454	9	are	be	AUX
ejde-38	454	10	finite	finite	ADJ
ejde-38	454	11	.	.	PUNCT
ejde-38	455	1	if	if	SCONJ
ejde-38	455	2	f1(λ̃2	f1(λ̃2	NOUN
ejde-38	455	3	)	)	PUNCT
ejde-38	456	1	=	=	SYM
ejde-38	456	2	∞	∞	NOUN
ejde-38	456	3	we	we	PRON
ejde-38	456	4	have	have	AUX
ejde-38	456	5	‖f1	‖f1	VERB
ejde-38	456	6	−	−	NOUN
ejde-38	456	7	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	NOUN
ejde-38	456	8	)	)	PUNCT
ejde-38	456	9	)	)	PUNCT
ejde-38	457	1	=	=	SYM
ejde-38	457	2	∞	∞	PROPN
ejde-38	457	3	and	and	CCONJ
ejde-38	457	4	the	the	DET
ejde-38	457	5	desired	desire	VERB
ejde-38	457	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	457	7	is	be	AUX
ejde-38	457	8	trivial	trivial	ADJ
ejde-38	457	9	,	,	PUNCT
ejde-38	457	10	thus	thus	ADV
ejde-38	457	11	we	we	PRON
ejde-38	457	12	may	may	AUX
ejde-38	457	13	assume	assume	VERB
ejde-38	457	14	f1(λ̃2	f1(λ̃2	NOUN
ejde-38	457	15	)	)	PUNCT
ejde-38	457	16	is	be	AUX
ejde-38	457	17	finite	finite	PROPN
ejde-38	457	18	.	.	PUNCT
ejde-38	458	1	then	then	ADV
ejde-38	458	2	mf1	mf1	VERB
ejde-38	458	3	−mf2	−mf2	NOUN
ejde-38	458	4	≤	≤	NUM
ejde-38	458	5	(	(	PUNCT
ejde-38	458	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	458	7	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	458	8	cdγ̃2	cdγ̃2	VERB
ejde-38	458	9	+	+	X
ejde-38	458	10	f1(λ̃2	f1(λ̃2	NOUN
ejde-38	458	11	)	)	PUNCT
ejde-38	458	12	)	)	PUNCT
ejde-38	459	1	−	−	PROPN
ejde-38	459	2	(	(	PUNCT
ejde-38	459	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	459	4	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	459	5	cdγ̃2	cdγ̃2	VERB
ejde-38	459	6	+	+	X
ejde-38	459	7	f2(λ̃2	f2(λ̃2	ADV
ejde-38	459	8	)	)	PUNCT
ejde-38	459	9	)	)	PUNCT
ejde-38	460	1	=	=	PUNCT
ejde-38	460	2	f1(λ̃2)−	f1(λ̃2)−	ADJ
ejde-38	460	3	f2(λ̃2	f2(λ̃2	NOUN
ejde-38	460	4	)	)	PUNCT
ejde-38	460	5	≤	≤	NOUN
ejde-38	460	6	‖f1	‖f1	VERB
ejde-38	460	7	−	−	NOUN
ejde-38	460	8	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	f2‖l∞(dom(f1)∪dom(f2	NOUN
ejde-38	460	9	)	)	PUNCT
ejde-38	460	10	)	)	PUNCT
ejde-38	460	11	.	.	PUNCT
ejde-38	461	1	the	the	DET
ejde-38	461	2	same	same	ADJ
ejde-38	461	3	argument	argument	NOUN
ejde-38	461	4	reversing	reverse	VERB
ejde-38	461	5	the	the	DET
ejde-38	461	6	roles	role	NOUN
ejde-38	461	7	of	of	ADP
ejde-38	461	8	f1	f1	NOUN
ejde-38	461	9	and	and	CCONJ
ejde-38	461	10	f2	f2	PROPN
ejde-38	461	11	completes	complete	VERB
ejde-38	461	12	the	the	DET
ejde-38	461	13	proof	proof	NOUN
ejde-38	461	14	.	.	PUNCT
ejde-38	462	1	�	�	PROPN
ejde-38	462	2	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	462	3	an	an	DET
ejde-38	462	4	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	462	5	transport	transport	NOUN
ejde-38	462	6	problem	problem	NOUN
ejde-38	462	7	17	17	NUM
ejde-38	462	8	the	the	DET
ejde-38	462	9	above	above	ADJ
ejde-38	462	10	statement	statement	NOUN
ejde-38	462	11	shows	show	VERB
ejde-38	462	12	that	that	SCONJ
ejde-38	462	13	if	if	SCONJ
ejde-38	462	14	fk	fk	PRON
ejde-38	462	15	converges	converge	VERB
ejde-38	462	16	to	to	ADP
ejde-38	462	17	f	f	PROPN
ejde-38	462	18	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	462	19	,	,	PUNCT
ejde-38	462	20	then	then	ADV
ejde-38	462	21	mfk	mfk	PROPN
ejde-38	462	22	converges	converge	VERB
ejde-38	462	23	to	to	ADP
ejde-38	462	24	mf	mf	PRON
ejde-38	462	25	.	.	PUNCT
ejde-38	463	1	next	next	ADV
ejde-38	463	2	we	we	PRON
ejde-38	463	3	prove	prove	VERB
ejde-38	463	4	that	that	SCONJ
ejde-38	463	5	the	the	DET
ejde-38	463	6	minimizing	minimizing	NOUN
ejde-38	463	7	plans	plan	NOUN
ejde-38	463	8	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	463	9	converge	converge	VERB
ejde-38	463	10	to	to	ADP
ejde-38	463	11	a	a	DET
ejde-38	463	12	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	463	13	of	of	ADP
ejde-38	463	14	the	the	DET
ejde-38	463	15	original	original	ADJ
ejde-38	463	16	problem	problem	NOUN
ejde-38	463	17	.	.	PUNCT
ejde-38	464	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	464	2	5.2	5.2	NUM
ejde-38	464	3	.	.	PUNCT
ejde-38	465	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	465	2	c	c	NOUN
ejde-38	465	3	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	465	4	(	(	PUNCT
ejde-38	465	5	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	465	6	)	)	PUNCT
ejde-38	465	7	.	.	PUNCT
ejde-38	466	1	let	let	VERB
ejde-38	466	2	(	(	PUNCT
ejde-38	466	3	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	466	4	,	,	PUNCT
ejde-38	466	5	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	466	6	)	)	PUNCT
ejde-38	466	7	and	and	CCONJ
ejde-38	466	8	(	(	PUNCT
ejde-38	466	9	γ̃k	γ̃k	PROPN
ejde-38	466	10	,	,	PUNCT
ejde-38	466	11	λ̃k	λ̃k	NOUN
ejde-38	466	12	)	)	PUNCT
ejde-38	466	13	minimize	minimize	VERB
ejde-38	466	14	(	(	PUNCT
ejde-38	466	15	1.3	1.3	NUM
ejde-38	466	16	)	)	PUNCT
ejde-38	466	17	with	with	ADP
ejde-38	466	18	storage	storage	NOUN
ejde-38	466	19	fee	fee	NOUN
ejde-38	466	20	functions	function	NOUN
ejde-38	466	21	f	f	NOUN
ejde-38	466	22	and	and	CCONJ
ejde-38	466	23	fk	fk	INTJ
ejde-38	466	24	for	for	ADP
ejde-38	466	25	each	each	DET
ejde-38	466	26	k	k	PROPN
ejde-38	466	27	respectively	respectively	ADV
ejde-38	466	28	,	,	PUNCT
ejde-38	466	29	where	where	SCONJ
ejde-38	466	30	f	f	PROPN
ejde-38	466	31	,	,	PUNCT
ejde-38	466	32	fk	fk	INTJ
ejde-38	466	33	are	be	AUX
ejde-38	466	34	all	all	ADV
ejde-38	466	35	proper	proper	ADJ
ejde-38	466	36	,	,	PUNCT
ejde-38	466	37	convex	convex	NOUN
ejde-38	466	38	functions	function	NOUN
ejde-38	466	39	with	with	ADP
ejde-38	466	40	compact	compact	ADJ
ejde-38	466	41	essential	essential	ADJ
ejde-38	466	42	domains	domain	NOUN
ejde-38	466	43	contained	contain	VERB
ejde-38	466	44	in	in	ADP
ejde-38	466	45	λ	λ	PROPN
ejde-38	466	46	.	.	PUNCT
ejde-38	467	1	if	if	SCONJ
ejde-38	467	2	lim	lim	PROPN
ejde-38	467	3	k→∞	k→∞	NOUN
ejde-38	468	1	‖fk	‖fk	PROPN
ejde-38	468	2	−	−	PROPN
ejde-38	468	3	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	NOUN
ejde-38	468	4	)	)	PUNCT
ejde-38	468	5	)	)	PUNCT
ejde-38	469	1	=	=	PUNCT
ejde-38	469	2	0	0	NUM
ejde-38	469	3	,	,	PUNCT
ejde-38	469	4	then	then	ADV
ejde-38	469	5	λ̃k	λ̃k	AUX
ejde-38	469	6	converges	converge	NOUN
ejde-38	469	7	to	to	ADP
ejde-38	469	8	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	469	9	,	,	PUNCT
ejde-38	469	10	and	and	CCONJ
ejde-38	469	11	γ̃k	γ̃k	PROPN
ejde-38	469	12	converges	converge	VERB
ejde-38	469	13	weakly	weakly	ADV
ejde-38	469	14	to	to	ADP
ejde-38	469	15	γ̃.	γ̃.	PROPN
ejde-38	469	16	proof	proof	NOUN
ejde-38	469	17	.	.	PUNCT
ejde-38	470	1	let	let	VERB
ejde-38	470	2	cf	cf	INTJ
ejde-38	470	3	(	(	PUNCT
ejde-38	470	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	470	5	)	)	PUNCT
ejde-38	470	6	=	=	SYM
ejde-38	470	7	infγ∈π(µ,νλ	infγ∈π(µ,νλ	PROPN
ejde-38	470	8	)	)	PUNCT
ejde-38	470	9	∫	∫	PROPN
ejde-38	471	1	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	472	1	c	c	PROPN
ejde-38	472	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	472	3	+	+	X
ejde-38	472	4	f	f	X
ejde-38	472	5	(	(	PUNCT
ejde-38	472	6	λ	λ	NOUN
ejde-38	472	7	)	)	PUNCT
ejde-38	472	8	and	and	CCONJ
ejde-38	472	9	define	define	VERB
ejde-38	472	10	cfk(λ	cfk(λ	NOUN
ejde-38	472	11	)	)	PUNCT
ejde-38	472	12	analogously	analogously	ADV
ejde-38	472	13	.	.	PUNCT
ejde-38	473	1	by	by	ADP
ejde-38	473	2	the	the	DET
ejde-38	473	3	proof	proof	NOUN
ejde-38	473	4	of	of	ADP
ejde-38	473	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	473	6	4.4	4.4	NUM
ejde-38	473	7	and	and	CCONJ
ejde-38	473	8	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	473	9	4.5	4.5	NUM
ejde-38	473	10	,	,	PUNCT
ejde-38	473	11	we	we	PRON
ejde-38	473	12	see	see	VERB
ejde-38	473	13	that	that	PRON
ejde-38	473	14	cf	cf	NOUN
ejde-38	473	15	and	and	CCONJ
ejde-38	473	16	cfk	cfk	NOUN
ejde-38	473	17	are	be	AUX
ejde-38	473	18	strictly	strictly	ADV
ejde-38	473	19	convex	convex	ADJ
ejde-38	473	20	functions	function	NOUN
ejde-38	473	21	on	on	ADP
ejde-38	473	22	λ	λ	PROPN
ejde-38	473	23	each	each	PRON
ejde-38	473	24	of	of	ADP
ejde-38	473	25	which	which	PRON
ejde-38	473	26	have	have	VERB
ejde-38	473	27	unique	unique	ADJ
ejde-38	473	28	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	473	29	,	,	PUNCT
ejde-38	473	30	given	give	VERB
ejde-38	473	31	by	by	ADP
ejde-38	473	32	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	473	33	and	and	CCONJ
ejde-38	473	34	λ̃k	λ̃k	X
ejde-38	473	35	respectively	respectively	ADV
ejde-38	473	36	.	.	PUNCT
ejde-38	474	1	by	by	ADP
ejde-38	474	2	(	(	PUNCT
ejde-38	474	3	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	474	4	)	)	PUNCT
ejde-38	474	5	and	and	CCONJ
ejde-38	474	6	the	the	DET
ejde-38	474	7	properness	properness	NOUN
ejde-38	474	8	of	of	ADP
ejde-38	474	9	f	f	PROPN
ejde-38	474	10	and	and	CCONJ
ejde-38	474	11	fk	fk	INTJ
ejde-38	474	12	,	,	PUNCT
ejde-38	474	13	all	all	DET
ejde-38	474	14	cfk(λ̃k	cfk(λ̃k	NOUN
ejde-38	474	15	)	)	PUNCT
ejde-38	474	16	and	and	CCONJ
ejde-38	474	17	cf	cf	INTJ
ejde-38	474	18	(	(	PUNCT
ejde-38	474	19	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	474	20	)	)	PUNCT
ejde-38	474	21	are	be	AUX
ejde-38	474	22	finite	finite	ADJ
ejde-38	474	23	,	,	PUNCT
ejde-38	474	24	then	then	ADV
ejde-38	474	25	by	by	ADP
ejde-38	474	26	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	474	27	5.1,∣∣cf	5.1,∣∣cf	NUM
ejde-38	474	28	(	(	PUNCT
ejde-38	474	29	λ̃k)−	λ̃k)−	PROPN
ejde-38	474	30	cf	cf	NOUN
ejde-38	474	31	(	(	PUNCT
ejde-38	474	32	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	474	33	)	)	PUNCT
ejde-38	475	1	∣∣	∣∣	X
ejde-38	475	2	≤	≤	NUM
ejde-38	475	3	|cfk(λ̃k)−	|cfk(λ̃k)−	NOUN
ejde-38	475	4	cf	cf	NOUN
ejde-38	475	5	(	(	PUNCT
ejde-38	475	6	λ̃)|+	λ̃)|+	PUNCT
ejde-38	475	7	|cfk(λ̃k)−	|cfk(λ̃k)−	NOUN
ejde-38	475	8	cf	cf	NOUN
ejde-38	475	9	(	(	PUNCT
ejde-38	476	1	λ̃k)|	λ̃k)|	NOUN
ejde-38	476	2	=	=	PUNCT
ejde-38	476	3	|mfk	|mfk	PROPN
ejde-38	476	4	−mf	−mf	NOUN
ejde-38	476	5	|+	|+	X
ejde-38	476	6	|fk(λ̃k)−	|fk(λ̃k)−	PROPN
ejde-38	476	7	f	f	NOUN
ejde-38	476	8	(	(	PUNCT
ejde-38	476	9	λ̃k)|	λ̃k)|	ADP
ejde-38	476	10	≤	≤	NUM
ejde-38	476	11	2‖fk	2‖fk	NOUN
ejde-38	476	12	−	−	PROPN
ejde-38	476	13	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	NOUN
ejde-38	476	14	)	)	PUNCT
ejde-38	476	15	)	)	PUNCT
ejde-38	477	1	→	→	SYM
ejde-38	477	2	0	0	NUM
ejde-38	477	3	,	,	PUNCT
ejde-38	477	4	k	k	PROPN
ejde-38	477	5	→∞.	→∞.	PUNCT
ejde-38	477	6	by	by	ADP
ejde-38	477	7	the	the	DET
ejde-38	477	8	compactness	compactness	NOUN
ejde-38	477	9	of	of	ADP
ejde-38	477	10	λ	λ	PROPN
ejde-38	477	11	,	,	PUNCT
ejde-38	477	12	any	any	DET
ejde-38	477	13	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	477	14	of	of	ADP
ejde-38	477	15	{	{	PUNCT
ejde-38	477	16	λ̃k}∞k=1	λ̃k}∞k=1	PROPN
ejde-38	477	17	has	have	AUX
ejde-38	477	18	a	a	DET
ejde-38	477	19	convergent	convergent	NOUN
ejde-38	477	20	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	477	21	,	,	PUNCT
ejde-38	477	22	by	by	ADP
ejde-38	477	23	the	the	DET
ejde-38	477	24	above	above	ADJ
ejde-38	477	25	calculation	calculation	NOUN
ejde-38	477	26	and	and	CCONJ
ejde-38	477	27	strict	strict	ADJ
ejde-38	477	28	convexity	convexity	NOUN
ejde-38	477	29	of	of	ADP
ejde-38	477	30	cf	cf	NOUN
ejde-38	477	31	on	on	ADP
ejde-38	477	32	λ	λ	PROPN
ejde-38	477	33	all	all	PRON
ejde-38	477	34	of	of	ADP
ejde-38	477	35	these	these	DET
ejde-38	477	36	subsequential	subsequential	ADJ
ejde-38	477	37	limits	limit	NOUN
ejde-38	477	38	must	must	AUX
ejde-38	477	39	be	be	AUX
ejde-38	477	40	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	477	41	,	,	PUNCT
ejde-38	477	42	hence	hence	ADV
ejde-38	477	43	we	we	PRON
ejde-38	477	44	must	must	AUX
ejde-38	477	45	have	have	VERB
ejde-38	477	46	limk→∞	limk→∞	ADV
ejde-38	477	47	λ̃k	λ̃k	VERB
ejde-38	477	48	=	=	SYM
ejde-38	477	49	λ̃.	λ̃.	ADV
ejde-38	477	50	now	now	ADV
ejde-38	477	51	suppose	suppose	VERB
ejde-38	477	52	by	by	ADP
ejde-38	477	53	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-38	477	54	that	that	PRON
ejde-38	477	55	γ̃k	γ̃k	PROPN
ejde-38	477	56	does	do	AUX
ejde-38	477	57	not	not	PART
ejde-38	477	58	converge	converge	VERB
ejde-38	477	59	weakly	weakly	ADV
ejde-38	477	60	to	to	ADP
ejde-38	477	61	γ̃.	γ̃.	PROPN
ejde-38	477	62	since	since	SCONJ
ejde-38	477	63	π(µ	π(µ	NUM
ejde-38	477	64	)	)	PUNCT
ejde-38	477	65	is	be	AUX
ejde-38	477	66	weakly	weakly	ADV
ejde-38	477	67	compact	compact	ADJ
ejde-38	477	68	by	by	ADP
ejde-38	477	69	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	477	70	2.2	2.2	NUM
ejde-38	477	71	,	,	PUNCT
ejde-38	477	72	we	we	PRON
ejde-38	477	73	can	can	AUX
ejde-38	477	74	extract	extract	VERB
ejde-38	477	75	a	a	DET
ejde-38	477	76	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-38	477	77	(	(	PUNCT
ejde-38	477	78	which	which	PRON
ejde-38	477	79	we	we	PRON
ejde-38	477	80	do	do	AUX
ejde-38	477	81	not	not	PART
ejde-38	477	82	relabel	relabel	VERB
ejde-38	477	83	)	)	PUNCT
ejde-38	477	84	which	which	PRON
ejde-38	477	85	converges	converge	VERB
ejde-38	477	86	weakly	weakly	ADV
ejde-38	477	87	to	to	ADP
ejde-38	477	88	some	some	DET
ejde-38	477	89	limiting	limit	VERB
ejde-38	477	90	measure	measure	NOUN
ejde-38	477	91	that	that	PRON
ejde-38	477	92	is	be	AUX
ejde-38	477	93	not	not	PART
ejde-38	477	94	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	477	95	,	,	PUNCT
ejde-38	477	96	say	say	VERB
ejde-38	477	97	γ̂.	γ̂.	NOUN
ejde-38	477	98	by	by	ADP
ejde-38	477	99	the	the	DET
ejde-38	477	100	above	above	ADJ
ejde-38	477	101	paragraph	paragraph	NOUN
ejde-38	477	102	combined	combine	VERB
ejde-38	477	103	with	with	ADP
ejde-38	477	104	(	(	PUNCT
ejde-38	477	105	2.1	2.1	NUM
ejde-38	477	106	)	)	PUNCT
ejde-38	477	107	we	we	PRON
ejde-38	477	108	have	have	VERB
ejde-38	477	109	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	477	110	=	=	PUNCT
ejde-38	478	1	limk→∞	limk→∞	ADV
ejde-38	478	2	λ̃k	λ̃k	VERB
ejde-38	478	3	=	=	SYM
ejde-38	478	4	λ̂	λ̂	X
ejde-38	478	5	where	where	SCONJ
ejde-38	478	6	λ̂	λ̂	X
ejde-38	478	7	is	be	AUX
ejde-38	478	8	such	such	ADJ
ejde-38	478	9	that	that	SCONJ
ejde-38	478	10	the	the	DET
ejde-38	478	11	right	right	ADJ
ejde-38	478	12	marginal	marginal	NOUN
ejde-38	478	13	of	of	ADP
ejde-38	478	14	γ̂	γ̂	PROPN
ejde-38	478	15	is	be	AUX
ejde-38	478	16	νλ̂.	νλ̂.	NOUN
ejde-38	478	17	we	we	PRON
ejde-38	478	18	then	then	ADV
ejde-38	478	19	have∫	have∫	VERB
ejde-38	478	20	cdγ̂	cdγ̂	PROPN
ejde-38	478	21	+	+	NUM
ejde-38	478	22	f	f	X
ejde-38	478	23	(	(	PUNCT
ejde-38	478	24	λ̂	λ̂	X
ejde-38	478	25	)	)	PUNCT
ejde-38	478	26	=	=	SYM
ejde-38	479	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	479	2	cdγ̃k	cdγ̃k	PROPN
ejde-38	479	3	+	+	CCONJ
ejde-38	479	4	fk(λ̃k	fk(λ̃k	PROPN
ejde-38	479	5	)	)	PUNCT
ejde-38	480	1	+	+	CCONJ
ejde-38	480	2	(	(	PUNCT
ejde-38	480	3	f	f	X
ejde-38	480	4	(	(	PUNCT
ejde-38	480	5	λ̂)−	λ̂)−	X
ejde-38	480	6	f	f	PROPN
ejde-38	480	7	(	(	PUNCT
ejde-38	480	8	λ̃k	λ̃k	PROPN
ejde-38	480	9	)	)	PUNCT
ejde-38	480	10	)	)	PUNCT
ejde-38	481	1	+	+	CCONJ
ejde-38	481	2	(	(	PUNCT
ejde-38	481	3	f	f	X
ejde-38	481	4	(	(	PUNCT
ejde-38	481	5	λ̃k)−	λ̃k)−	PROPN
ejde-38	481	6	fk(λ̃k	fk(λ̃k	NOUN
ejde-38	481	7	)	)	PUNCT
ejde-38	481	8	)	)	PUNCT
ejde-38	482	1	+	+	CCONJ
ejde-38	482	2	(	(	PUNCT
ejde-38	482	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	482	4	cdγ̂	cdγ̂	PROPN
ejde-38	482	5	−	−	PROPN
ejde-38	482	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	482	7	cdγ̃k	cdγ̃k	PROPN
ejde-38	482	8	)	)	PUNCT
ejde-38	482	9	≤	≤	PUNCT
ejde-38	482	10	mfk	mfk	PROPN
ejde-38	483	1	+	+	CCONJ
ejde-38	483	2	(	(	PUNCT
ejde-38	483	3	f	f	X
ejde-38	483	4	(	(	PUNCT
ejde-38	483	5	λ̂)−	λ̂)−	X
ejde-38	483	6	f	f	PROPN
ejde-38	483	7	(	(	PUNCT
ejde-38	483	8	λ̃k	λ̃k	PROPN
ejde-38	483	9	)	)	PUNCT
ejde-38	483	10	)	)	PUNCT
ejde-38	484	1	+	+	CCONJ
ejde-38	484	2	‖fk	‖fk	NUM
ejde-38	484	3	−	−	NUM
ejde-38	484	4	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	f‖l∞(dom(fk)∪dom(f	NOUN
ejde-38	484	5	)	)	PUNCT
ejde-38	484	6	)	)	PUNCT
ejde-38	485	1	+	+	CCONJ
ejde-38	485	2	(	(	PUNCT
ejde-38	485	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	485	4	cdγ̂	cdγ̂	PROPN
ejde-38	485	5	−	−	PROPN
ejde-38	485	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	485	7	cdγ̃k	cdγ̃k	PROPN
ejde-38	485	8	)	)	PUNCT
ejde-38	485	9	.	.	PUNCT
ejde-38	486	1	letting	let	VERB
ejde-38	486	2	k	k	PRON
ejde-38	486	3	go	go	VERB
ejde-38	486	4	to	to	ADP
ejde-38	486	5	infinity	infinity	NOUN
ejde-38	486	6	we	we	PRON
ejde-38	486	7	see	see	VERB
ejde-38	486	8	that	that	PRON
ejde-38	486	9	∫	∫	PROPN
ejde-38	487	1	cdγ̂	cdγ̂	PROPN
ejde-38	487	2	+	+	PROPN
ejde-38	487	3	f	f	X
ejde-38	487	4	(	(	PUNCT
ejde-38	487	5	λ̂	λ̂	X
ejde-38	487	6	)	)	PUNCT
ejde-38	487	7	≤	≤	NOUN
ejde-38	487	8	mf	mf	X
ejde-38	487	9	by	by	ADP
ejde-38	487	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	487	11	5.1	5.1	NUM
ejde-38	487	12	,	,	PUNCT
ejde-38	487	13	the	the	DET
ejde-38	487	14	lower	low	ADJ
ejde-38	487	15	semicontinuity	semicontinuity	NOUN
ejde-38	487	16	of	of	ADP
ejde-38	487	17	f	f	PROPN
ejde-38	487	18	,	,	PUNCT
ejde-38	487	19	and	and	CCONJ
ejde-38	487	20	the	the	DET
ejde-38	487	21	fact	fact	NOUN
ejde-38	487	22	that	that	SCONJ
ejde-38	487	23	γ̃k	γ̃k	PROPN
ejde-38	487	24	converges	converge	VERB
ejde-38	487	25	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	487	26	to	to	ADP
ejde-38	487	27	γ̂.	γ̂.	NOUN
ejde-38	487	28	hence	hence	ADV
ejde-38	487	29	γ̂	γ̂	PUNCT
ejde-38	487	30	is	be	AUX
ejde-38	487	31	a	a	DET
ejde-38	487	32	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	487	33	and	and	CCONJ
ejde-38	487	34	by	by	ADP
ejde-38	487	35	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	487	36	4.5	4.5	NUM
ejde-38	487	37	we	we	PRON
ejde-38	487	38	see	see	VERB
ejde-38	487	39	that	that	PRON
ejde-38	487	40	γ̂	γ̂	PUNCT
ejde-38	488	1	=	=	PUNCT
ejde-38	488	2	γ̃	γ̃	PROPN
ejde-38	488	3	as	as	SCONJ
ejde-38	488	4	desired	desire	VERB
ejde-38	488	5	.	.	PUNCT
ejde-38	489	1	�	�	PROPN
ejde-38	489	2	γ	γ	NOUN
ejde-38	489	3	-	-	NOUN
ejde-38	489	4	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	489	5	.	.	PUNCT
ejde-38	490	1	we	we	PRON
ejde-38	490	2	now	now	ADV
ejde-38	490	3	turn	turn	VERB
ejde-38	490	4	to	to	ADP
ejde-38	490	5	γ	γ	NOUN
ejde-38	490	6	-	-	NOUN
ejde-38	490	7	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	490	8	.	.	PUNCT
ejde-38	491	1	for	for	ADP
ejde-38	491	2	this	this	DET
ejde-38	491	3	subsection	subsection	NOUN
ejde-38	491	4	,	,	PUNCT
ejde-38	491	5	we	we	PRON
ejde-38	491	6	assume	assume	VERB
ejde-38	491	7	(	(	PUNCT
ejde-38	491	8	x	x	NOUN
ejde-38	491	9	,	,	PUNCT
ejde-38	491	10	dx	dx	PROPN
ejde-38	491	11	)	)	PUNCT
ejde-38	491	12	is	be	AUX
ejde-38	491	13	a	a	DET
ejde-38	491	14	polish	polish	ADJ
ejde-38	491	15	space	space	NOUN
ejde-38	491	16	which	which	PRON
ejde-38	491	17	may	may	AUX
ejde-38	491	18	not	not	PART
ejde-38	491	19	be	be	AUX
ejde-38	491	20	compact	compact	ADJ
ejde-38	491	21	,	,	PUNCT
ejde-38	491	22	and	and	CCONJ
ejde-38	491	23	we	we	PRON
ejde-38	491	24	will	will	AUX
ejde-38	491	25	suppose	suppose	VERB
ejde-38	491	26	(	(	PUNCT
ejde-38	491	27	y	y	NOUN
ejde-38	491	28	,	,	PUNCT
ejde-38	491	29	dy	dy	NOUN
ejde-38	491	30	)	)	PUNCT
ejde-38	491	31	is	be	AUX
ejde-38	491	32	a	a	DET
ejde-38	491	33	bounded	bounded	ADJ
ejde-38	491	34	polish	polish	ADJ
ejde-38	491	35	space	space	NOUN
ejde-38	491	36	,	,	PUNCT
ejde-38	491	37	not	not	PART
ejde-38	491	38	necessarily	necessarily	ADV
ejde-38	491	39	finite	finite	VERB
ejde-38	491	40	.	.	PUNCT
ejde-38	492	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	492	2	5.3	5.3	NUM
ejde-38	492	3	.	.	PUNCT
ejde-38	493	1	recall	recall	VERB
ejde-38	493	2	that	that	SCONJ
ejde-38	493	3	if	if	SCONJ
ejde-38	493	4	ω	ω	PROPN
ejde-38	493	5	is	be	AUX
ejde-38	493	6	a	a	DET
ejde-38	493	7	first	first	ADJ
ejde-38	493	8	countable	countable	ADJ
ejde-38	493	9	topological	topological	ADJ
ejde-38	493	10	space	space	NOUN
ejde-38	493	11	and	and	CCONJ
ejde-38	493	12	gk	gk	PROPN
ejde-38	493	13	:	:	PUNCT
ejde-38	493	14	ω→	ω→	NUM
ejde-38	493	15	r∪{±∞	r∪{±∞	NOUN
ejde-38	493	16	}	}	PUNCT
ejde-38	493	17	is	be	AUX
ejde-38	493	18	a	a	DET
ejde-38	493	19	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	493	20	of	of	ADP
ejde-38	493	21	functions	function	NOUN
ejde-38	493	22	,	,	PUNCT
ejde-38	493	23	we	we	PRON
ejde-38	493	24	say	say	VERB
ejde-38	493	25	the	the	DET
ejde-38	493	26	gk	gk	PROPN
ejde-38	493	27	γ	γ	X
ejde-38	493	28	-	-	PUNCT
ejde-38	493	29	converge	converge	NOUN
ejde-38	493	30	to	to	ADP
ejde-38	493	31	g	g	PROPN
ejde-38	493	32	:	:	PUNCT
ejde-38	493	33	ω→	ω→	X
ejde-38	493	34	r∪{±∞	r∪{±∞	NOUN
ejde-38	493	35	}	}	PUNCT
ejde-38	493	36	if	if	SCONJ
ejde-38	493	37	(	(	PUNCT
ejde-38	493	38	1	1	X
ejde-38	493	39	)	)	PUNCT
ejde-38	493	40	g(ω	g(ω	NOUN
ejde-38	493	41	)	)	PUNCT
ejde-38	493	42	≤	≤	PROPN
ejde-38	493	43	lim	lim	PROPN
ejde-38	493	44	infk→∞gk(ωk	infk→∞gk(ωk	PROPN
ejde-38	493	45	)	)	PUNCT
ejde-38	493	46	whenever	whenever	SCONJ
ejde-38	493	47	limk→∞	limk→∞	ADV
ejde-38	493	48	ωk	ωk	ADP
ejde-38	493	49	=	=	PROPN
ejde-38	493	50	ω	ω	PROPN
ejde-38	493	51	.	.	PROPN
ejde-38	493	52	18	18	NUM
ejde-38	493	53	m.	m.	NOUN
ejde-38	493	54	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	493	55	,	,	PUNCT
ejde-38	493	56	j.	j.	PROPN
ejde-38	493	57	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	493	58	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	493	59	(	(	PUNCT
ejde-38	493	60	2	2	NUM
ejde-38	493	61	)	)	PUNCT
ejde-38	493	62	for	for	ADP
ejde-38	493	63	any	any	DET
ejde-38	493	64	ω	ω	PROPN
ejde-38	493	65	∈	∈	PROPN
ejde-38	493	66	ω	ω	NOUN
ejde-38	493	67	,	,	PUNCT
ejde-38	493	68	there	there	PRON
ejde-38	493	69	exists	exist	VERB
ejde-38	493	70	a	a	DET
ejde-38	493	71	recovery	recovery	NOUN
ejde-38	493	72	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	493	73	{	{	PUNCT
ejde-38	493	74	ωk}∞k=1	ωk}∞k=1	NUM
ejde-38	493	75	s.t	s.t	PROPN
ejde-38	493	76	.	.	PUNCT
ejde-38	494	1	limk→∞	limk→∞	NOUN
ejde-38	494	2	ωk	ωk	ADP
ejde-38	494	3	=	=	PROPN
ejde-38	494	4	ω	ω	PROPN
ejde-38	494	5	and	and	CCONJ
ejde-38	494	6	g(ω	g(ω	PROPN
ejde-38	494	7	)	)	PUNCT
ejde-38	494	8	≥	≥	PROPN
ejde-38	494	9	lim	lim	PROPN
ejde-38	494	10	supk→∞gk(ωk	supk→∞gk(ωk	PROPN
ejde-38	494	11	)	)	PUNCT
ejde-38	494	12	.	.	PUNCT
ejde-38	495	1	before	before	ADP
ejde-38	495	2	stating	state	VERB
ejde-38	495	3	our	our	PRON
ejde-38	495	4	second	second	ADJ
ejde-38	495	5	stability	stability	NOUN
ejde-38	495	6	result	result	NOUN
ejde-38	495	7	,	,	PUNCT
ejde-38	495	8	we	we	PRON
ejde-38	495	9	recall	recall	VERB
ejde-38	495	10	some	some	DET
ejde-38	495	11	classical	classical	ADJ
ejde-38	495	12	definitions	definition	NOUN
ejde-38	495	13	in	in	ADP
ejde-38	495	14	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	495	15	transport	transport	NOUN
ejde-38	495	16	theory	theory	NOUN
ejde-38	495	17	.	.	PUNCT
ejde-38	496	1	definition	definition	NOUN
ejde-38	496	2	5.4	5.4	NUM
ejde-38	496	3	.	.	PUNCT
ejde-38	497	1	if	if	SCONJ
ejde-38	497	2	(	(	PUNCT
ejde-38	497	3	x	x	NOUN
ejde-38	497	4	,	,	PUNCT
ejde-38	497	5	dx	dx	PROPN
ejde-38	497	6	)	)	PUNCT
ejde-38	497	7	is	be	AUX
ejde-38	497	8	a	a	DET
ejde-38	497	9	polish	polish	ADJ
ejde-38	497	10	space	space	NOUN
ejde-38	497	11	,	,	PUNCT
ejde-38	497	12	we	we	PRON
ejde-38	497	13	write	write	VERB
ejde-38	497	14	for	for	ADP
ejde-38	497	15	the	the	DET
ejde-38	497	16	set	set	NOUN
ejde-38	497	17	of	of	ADP
ejde-38	497	18	probability	probability	NOUN
ejde-38	497	19	measures	measure	NOUN
ejde-38	497	20	with	with	ADP
ejde-38	497	21	finite	finite	ADJ
ejde-38	497	22	moment	moment	NOUN
ejde-38	497	23	,	,	PUNCT
ejde-38	497	24	p1(x	p1(x	NOUN
ejde-38	497	25	)	)	PUNCT
ejde-38	497	26	:	:	PUNCT
ejde-38	498	1	=	=	SYM
ejde-38	498	2	{	{	PUNCT
ejde-38	498	3	µ	µ	X
ejde-38	498	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	498	5	p(x	p(x	NOUN
ejde-38	498	6	)	)	PUNCT
ejde-38	498	7	:	:	PUNCT
ejde-38	499	1	∃x0	∃x0	VERB
ejde-38	499	2	∈	∈	PROPN
ejde-38	499	3	x	x	PUNCT
ejde-38	499	4	with	with	ADP
ejde-38	499	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	499	6	x	x	SYM
ejde-38	499	7	dx(x	dx(x	ADV
ejde-38	499	8	,	,	PUNCT
ejde-38	499	9	x0	x0	PROPN
ejde-38	499	10	)	)	PUNCT
ejde-38	499	11	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	499	12	)	)	PUNCT
ejde-38	499	13	<	<	X
ejde-38	499	14	∞	∞	NUM
ejde-38	499	15	}	}	PUNCT
ejde-38	499	16	.	.	PUNCT
ejde-38	500	1	also	also	ADV
ejde-38	500	2	for	for	ADP
ejde-38	500	3	µ1	µ1	PROPN
ejde-38	500	4	,	,	PUNCT
ejde-38	500	5	µ2	µ2	PROPN
ejde-38	500	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	500	7	p1(x	p1(x	PROPN
ejde-38	500	8	)	)	PUNCT
ejde-38	500	9	,	,	PUNCT
ejde-38	500	10	we	we	PRON
ejde-38	500	11	write	write	VERB
ejde-38	500	12	w	w	PROPN
ejde-38	500	13	dx	dx	PROPN
ejde-38	500	14	1	1	NUM
ejde-38	500	15	(	(	PUNCT
ejde-38	500	16	µ1	µ1	PROPN
ejde-38	500	17	,	,	PUNCT
ejde-38	500	18	µ2	µ2	PROPN
ejde-38	500	19	)	)	PUNCT
ejde-38	500	20	:	:	PUNCT
ejde-38	501	1	=	=	NUM
ejde-38	501	2	inf	inf	PROPN
ejde-38	501	3	γ∈π(µ1,µ2	γ∈π(µ1,µ2	NOUN
ejde-38	501	4	)	)	PUNCT
ejde-38	501	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	501	6	x×x	x×x	PROPN
ejde-38	501	7	dx(x1	dx(x1	PROPN
ejde-38	501	8	,	,	PUNCT
ejde-38	501	9	x2	x2	ADJ
ejde-38	501	10	)	)	PUNCT
ejde-38	501	11	dγ(x1	dγ(x1	NOUN
ejde-38	501	12	,	,	PUNCT
ejde-38	501	13	x2	x2	PROPN
ejde-38	501	14	)	)	PUNCT
ejde-38	501	15	.	.	PUNCT
ejde-38	502	1	it	it	PRON
ejde-38	502	2	is	be	AUX
ejde-38	502	3	well	well	ADV
ejde-38	502	4	known	know	VERB
ejde-38	502	5	that	that	SCONJ
ejde-38	502	6	w	w	PROPN
ejde-38	502	7	dx	dx	PROPN
ejde-38	502	8	1	1	NUM
ejde-38	502	9	is	be	AUX
ejde-38	502	10	a	a	DET
ejde-38	502	11	metric	metric	NOUN
ejde-38	502	12	on	on	ADP
ejde-38	502	13	p1	p1	PROPN
ejde-38	502	14	(	(	PUNCT
ejde-38	502	15	see	see	VERB
ejde-38	502	16	[	[	X
ejde-38	502	17	12	12	NUM
ejde-38	502	18	,	,	PUNCT
ejde-38	502	19	chapter	chapter	NOUN
ejde-38	502	20	6	6	NUM
ejde-38	502	21	]	]	PUNCT
ejde-38	502	22	)	)	PUNCT
ejde-38	502	23	.	.	PUNCT
ejde-38	503	1	our	our	PRON
ejde-38	503	2	second	second	ADJ
ejde-38	503	3	stability	stability	NOUN
ejde-38	503	4	result	result	NOUN
ejde-38	503	5	is	be	AUX
ejde-38	503	6	as	as	SCONJ
ejde-38	503	7	follows	follow	NOUN
ejde-38	503	8	.	.	PUNCT
ejde-38	504	1	theorem	theorem	VERB
ejde-38	504	2	5.5	5.5	NUM
ejde-38	504	3	.	.	PUNCT
ejde-38	505	1	suppose	suppose	VERB
ejde-38	505	2	there	there	PRON
ejde-38	505	3	is	be	VERB
ejde-38	505	4	a	a	DET
ejde-38	505	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	505	6	of	of	ADP
ejde-38	505	7	cost	cost	NOUN
ejde-38	505	8	functions	function	NOUN
ejde-38	505	9	ck	ck	ADP
ejde-38	505	10	∈	∈	PROPN
ejde-38	505	11	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	505	12	×	×	PROPN
ejde-38	505	13	y	y	NOUN
ejde-38	505	14	)	)	PUNCT
ejde-38	505	15	converging	converge	VERB
ejde-38	505	16	uniformly	uniformly	ADV
ejde-38	505	17	to	to	ADP
ejde-38	505	18	some	some	PRON
ejde-38	505	19	c	c	NOUN
ejde-38	505	20	∈	∈	PROPN
ejde-38	505	21	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	505	22	×	×	PROPN
ejde-38	505	23	y	y	PROPN
ejde-38	505	24	)	)	PUNCT
ejde-38	505	25	,	,	PUNCT
ejde-38	505	26	and	and	CCONJ
ejde-38	505	27	f	f	X
ejde-38	505	28	:	:	PUNCT
ejde-38	505	29	p(y	p(y	PROPN
ejde-38	505	30	)	)	PUNCT
ejde-38	506	1	→	→	PUNCT
ejde-38	506	2	r	r	NOUN
ejde-38	506	3	∪	∪	NOUN
ejde-38	506	4	{	{	PUNCT
ejde-38	506	5	±∞	±∞	PROPN
ejde-38	506	6	}	}	PUNCT
ejde-38	506	7	is	be	AUX
ejde-38	506	8	sequentially	sequentially	ADV
ejde-38	506	9	weakly	weakly	ADV
ejde-38	506	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	506	11	.	.	PUNCT
ejde-38	507	1	also	also	ADV
ejde-38	507	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	507	3	for	for	ADP
ejde-38	507	4	each	each	DET
ejde-38	507	5	k	k	PROPN
ejde-38	507	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	507	7	n	n	CCONJ
ejde-38	507	8	,	,	PUNCT
ejde-38	507	9	the	the	DET
ejde-38	507	10	finite	finite	NOUN
ejde-38	507	11	set	set	VERB
ejde-38	507	12	yk	yk	PROPN
ejde-38	507	13	:	:	PUNCT
ejde-38	507	14	=	=	SYM
ejde-38	507	15	{	{	PUNCT
ejde-38	507	16	yk	yk	PROPN
ejde-38	507	17	,	,	PUNCT
ejde-38	507	18	j}nkj=1	j}nkj=1	PROPN
ejde-38	507	19	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	507	20	y	y	PROPN
ejde-38	507	21	is	be	AUX
ejde-38	507	22	an	an	DET
ejde-38	507	23	εk	εk	NOUN
ejde-38	507	24	-	-	PUNCT
ejde-38	507	25	net	net	NOUN
ejde-38	507	26	of	of	ADP
ejde-38	507	27	y	y	PROPN
ejde-38	507	28	(	(	PUNCT
ejde-38	507	29	i.e.	i.e.	X
ejde-38	507	30	,	,	PUNCT
ejde-38	507	31	for	for	ADP
ejde-38	507	32	any	any	DET
ejde-38	507	33	y	y	PROPN
ejde-38	507	34	∈	∈	PROPN
ejde-38	507	35	y	y	NOUN
ejde-38	507	36	there	there	PRON
ejde-38	507	37	is	be	VERB
ejde-38	507	38	a	a	DET
ejde-38	507	39	yk	yk	PROPN
ejde-38	507	40	,	,	PUNCT
ejde-38	507	41	j	j	PROPN
ejde-38	507	42	such	such	ADJ
ejde-38	507	43	that	that	SCONJ
ejde-38	507	44	dy	dy	PROPN
ejde-38	507	45	(	(	PUNCT
ejde-38	507	46	y	y	PROPN
ejde-38	507	47	,	,	PUNCT
ejde-38	507	48	yk	yk	PROPN
ejde-38	507	49	,	,	PUNCT
ejde-38	507	50	j	j	PROPN
ejde-38	507	51	)	)	PUNCT
ejde-38	507	52	<	<	X
ejde-38	507	53	εk	εk	NOUN
ejde-38	507	54	)	)	PUNCT
ejde-38	507	55	with	with	ADP
ejde-38	507	56	εk	εk	PROPN
ejde-38	507	57	↘	↘	PROPN
ejde-38	507	58	0	0	NUM
ejde-38	507	59	,	,	PUNCT
ejde-38	507	60	and	and	CCONJ
ejde-38	507	61	define	define	VERB
ejde-38	507	62	the	the	DET
ejde-38	507	63	sets	set	NOUN
ejde-38	507	64	πk(µ	πk(µ	NUM
ejde-38	507	65	)	)	PUNCT
ejde-38	507	66	:	:	PUNCT
ejde-38	508	1	=	=	X
ejde-38	508	2	{	{	PUNCT
ejde-38	508	3	γ	γ	X
ejde-38	508	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	508	5	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	508	6	)	)	PUNCT
ejde-38	508	7	:	:	PUNCT
ejde-38	508	8	spt((πy	spt((πy	NUM
ejde-38	508	9	)	)	PUNCT
ejde-38	508	10	#	#	SYM
ejde-38	508	11	γ	γ	NOUN
ejde-38	508	12	)	)	PUNCT
ejde-38	508	13	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	508	14	yk	yk	PROPN
ejde-38	508	15	}	}	PUNCT
ejde-38	508	16	.	.	PUNCT
ejde-38	509	1	also	also	ADV
ejde-38	509	2	define	define	VERB
ejde-38	509	3	the	the	DET
ejde-38	509	4	functionals	functional	NOUN
ejde-38	509	5	ck	ck	PROPN
ejde-38	509	6	,	,	PUNCT
ejde-38	509	7	c	c	NOUN
ejde-38	509	8	:	:	PUNCT
ejde-38	509	9	p(x	p(x	VERB
ejde-38	509	10	×	×	PROPN
ejde-38	509	11	y	y	PROPN
ejde-38	509	12	)	)	PUNCT
ejde-38	509	13	→	→	PUNCT
ejde-38	509	14	r	r	NOUN
ejde-38	509	15	∪	∪	NOUN
ejde-38	509	16	{	{	PUNCT
ejde-38	509	17	±∞	±∞	PROPN
ejde-38	509	18	}	}	PUNCT
ejde-38	509	19	by	by	ADP
ejde-38	509	20	ck(γ	ck(γ	ADJ
ejde-38	509	21	)	)	PUNCT
ejde-38	509	22	:	:	PUNCT
ejde-38	510	1	=	=	SYM
ejde-38	510	2	{	{	PUNCT
ejde-38	510	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	510	4	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	510	5	ck	ck	PROPN
ejde-38	510	6	dγ	dγ	ADP
ejde-38	510	7	+	+	CCONJ
ejde-38	510	8	f((πy	f((πy	NUM
ejde-38	510	9	)	)	PUNCT
ejde-38	510	10	#	#	SYM
ejde-38	510	11	γ	γ	NOUN
ejde-38	510	12	)	)	PUNCT
ejde-38	510	13	,	,	PUNCT
ejde-38	510	14	γ	γ	PROPN
ejde-38	510	15	∈	∈	PROPN
ejde-38	510	16	πk(µ	πk(µ	NUM
ejde-38	510	17	)	)	PUNCT
ejde-38	510	18	,	,	PUNCT
ejde-38	510	19	∞	∞	PROPN
ejde-38	510	20	,	,	PUNCT
ejde-38	510	21	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	510	22	c(γ	c(γ	PROPN
ejde-38	510	23	)	)	PUNCT
ejde-38	510	24	:	:	PUNCT
ejde-38	510	25	=	=	SYM
ejde-38	510	26	{	{	PUNCT
ejde-38	511	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	511	2	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	511	3	c	c	PROPN
ejde-38	511	4	dγ	dγ	ADP
ejde-38	511	5	+	+	CCONJ
ejde-38	511	6	f((πy	f((πy	NUM
ejde-38	511	7	)	)	PUNCT
ejde-38	511	8	#	#	SYM
ejde-38	511	9	γ	γ	NOUN
ejde-38	511	10	)	)	PUNCT
ejde-38	511	11	,	,	PUNCT
ejde-38	511	12	γ	γ	PROPN
ejde-38	511	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	511	14	π(µ	π(µ	PROPN
ejde-38	511	15	)	)	PUNCT
ejde-38	511	16	,	,	PUNCT
ejde-38	511	17	∞	∞	PROPN
ejde-38	511	18	,	,	PUNCT
ejde-38	511	19	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	511	20	then	then	ADV
ejde-38	511	21	(	(	PUNCT
ejde-38	511	22	1	1	X
ejde-38	511	23	)	)	PUNCT
ejde-38	511	24	ck	ck	PROPN
ejde-38	511	25	γ	γ	NOUN
ejde-38	511	26	-	-	PUNCT
ejde-38	511	27	converges	converge	NOUN
ejde-38	511	28	to	to	ADP
ejde-38	511	29	c	c	NOUN
ejde-38	511	30	,	,	PUNCT
ejde-38	511	31	where	where	SCONJ
ejde-38	511	32	the	the	DET
ejde-38	511	33	underlying	underlying	ADJ
ejde-38	511	34	topology	topology	NOUN
ejde-38	511	35	on	on	ADP
ejde-38	511	36	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	511	37	×	×	PROPN
ejde-38	511	38	y	y	PROPN
ejde-38	511	39	)	)	PUNCT
ejde-38	511	40	is	be	AUX
ejde-38	511	41	that	that	PRON
ejde-38	511	42	of	of	ADP
ejde-38	511	43	weak	weak	ADJ
ejde-38	511	44	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	511	45	of	of	ADP
ejde-38	511	46	measures	measure	NOUN
ejde-38	511	47	.	.	PUNCT
ejde-38	512	1	(	(	PUNCT
ejde-38	512	2	2	2	X
ejde-38	512	3	)	)	PUNCT
ejde-38	512	4	suppose	suppose	VERB
ejde-38	512	5	{	{	PUNCT
ejde-38	512	6	µk}∞k=1	µk}∞k=1	X
ejde-38	512	7	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	512	8	p1(x	p1(x	PROPN
ejde-38	512	9	)	)	PUNCT
ejde-38	512	10	converges	converge	NOUN
ejde-38	512	11	in	in	ADP
ejde-38	512	12	w	w	PROPN
ejde-38	512	13	dx	dx	PROPN
ejde-38	512	14	1	1	NUM
ejde-38	512	15	to	to	ADP
ejde-38	512	16	µ	µ	PRON
ejde-38	512	17	∈	∈	PROPN
ejde-38	512	18	p1(x	p1(x	NOUN
ejde-38	512	19	)	)	PUNCT
ejde-38	512	20	.	.	PUNCT
ejde-38	513	1	then	then	ADV
ejde-38	513	2	if	if	SCONJ
ejde-38	513	3	each	each	DET
ejde-38	513	4	πk(µ	πk(µ	NUM
ejde-38	513	5	)	)	PUNCT
ejde-38	513	6	is	be	AUX
ejde-38	513	7	replaced	replace	VERB
ejde-38	513	8	by	by	ADP
ejde-38	513	9	πk(µk	πk(µk	PROPN
ejde-38	513	10	)	)	PUNCT
ejde-38	513	11	in	in	ADP
ejde-38	513	12	the	the	DET
ejde-38	513	13	definition	definition	NOUN
ejde-38	513	14	of	of	ADP
ejde-38	513	15	ck	ck	PROPN
ejde-38	513	16	,	,	PUNCT
ejde-38	513	17	again	again	ADV
ejde-38	513	18	ck	ck	ADP
ejde-38	513	19	γ	γ	NOUN
ejde-38	513	20	-	-	PUNCT
ejde-38	513	21	converges	converge	NOUN
ejde-38	513	22	to	to	ADP
ejde-38	513	23	c.	c.	PROPN
ejde-38	513	24	remark	remark	PROPN
ejde-38	513	25	5.6	5.6	NUM
ejde-38	513	26	.	.	PUNCT
ejde-38	514	1	at	at	ADP
ejde-38	514	2	first	first	ADJ
ejde-38	514	3	glance	glance	NOUN
ejde-38	514	4	,	,	PUNCT
ejde-38	514	5	the	the	DET
ejde-38	514	6	condition	condition	NOUN
ejde-38	514	7	of	of	ADP
ejde-38	514	8	weak	weak	ADJ
ejde-38	514	9	continuity	continuity	NOUN
ejde-38	514	10	of	of	ADP
ejde-38	514	11	f	f	PROPN
ejde-38	514	12	may	may	AUX
ejde-38	514	13	seem	seem	VERB
ejde-38	514	14	restrictive	restrictive	ADJ
ejde-38	514	15	.	.	PUNCT
ejde-38	515	1	however	however	ADV
ejde-38	515	2	,	,	PUNCT
ejde-38	515	3	by	by	ADP
ejde-38	515	4	[	[	X
ejde-38	515	5	4	4	NUM
ejde-38	515	6	,	,	PUNCT
ejde-38	515	7	remark	remark	NOUN
ejde-38	515	8	1.25	1.25	NUM
ejde-38	515	9	and	and	CCONJ
ejde-38	515	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	515	11	1.28	1.28	NUM
ejde-38	515	12	]	]	PUNCT
ejde-38	515	13	,	,	PUNCT
ejde-38	515	14	if	if	SCONJ
ejde-38	515	15	ck	ck	PROPN
ejde-38	515	16	γ	γ	NOUN
ejde-38	515	17	-	-	PUNCT
ejde-38	515	18	converges	converge	NOUN
ejde-38	515	19	to	to	ADP
ejde-38	515	20	c	c	X
ejde-38	515	21	,	,	PUNCT
ejde-38	515	22	we	we	PRON
ejde-38	515	23	must	must	AUX
ejde-38	515	24	have	have	VERB
ejde-38	515	25	that	that	PRON
ejde-38	515	26	f	f	PROPN
ejde-38	515	27	is	be	AUX
ejde-38	515	28	weakly	weakly	ADV
ejde-38	515	29	lower	low	ADJ
ejde-38	515	30	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-38	515	31	.	.	PUNCT
ejde-38	516	1	at	at	ADP
ejde-38	516	2	the	the	DET
ejde-38	516	3	same	same	ADJ
ejde-38	516	4	time	time	NOUN
ejde-38	516	5	,	,	PUNCT
ejde-38	516	6	considering	consider	VERB
ejde-38	516	7	the	the	DET
ejde-38	516	8	example	example	NOUN
ejde-38	516	9	where	where	SCONJ
ejde-38	516	10	f	f	PROPN
ejde-38	516	11	is	be	AUX
ejde-38	516	12	0	0	NUM
ejde-38	516	13	for	for	ADP
ejde-38	516	14	some	some	DET
ejde-38	516	15	fixed	fix	VERB
ejde-38	516	16	measure	measure	NOUN
ejde-38	516	17	which	which	PRON
ejde-38	516	18	is	be	AUX
ejde-38	516	19	not	not	PART
ejde-38	516	20	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	516	21	,	,	PUNCT
ejde-38	516	22	and	and	CCONJ
ejde-38	516	23	1	1	NUM
ejde-38	516	24	otherwise	otherwise	ADV
ejde-38	516	25	shows	show	VERB
ejde-38	516	26	that	that	SCONJ
ejde-38	516	27	weak	weak	ADJ
ejde-38	516	28	lower	low	ADJ
ejde-38	516	29	semicontinuity	semicontinuity	NOUN
ejde-38	516	30	is	be	AUX
ejde-38	516	31	not	not	PART
ejde-38	516	32	enough	enough	ADJ
ejde-38	516	33	to	to	PART
ejde-38	516	34	produce	produce	VERB
ejde-38	516	35	a	a	DET
ejde-38	516	36	recovery	recovery	NOUN
ejde-38	516	37	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	516	38	to	to	PART
ejde-38	516	39	obtain	obtain	VERB
ejde-38	516	40	γ	γ	NOUN
ejde-38	516	41	-	-	NOUN
ejde-38	516	42	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	516	43	.	.	PUNCT
ejde-38	517	1	essentially	essentially	ADV
ejde-38	517	2	,	,	PUNCT
ejde-38	517	3	one	one	PRON
ejde-38	517	4	would	would	AUX
ejde-38	517	5	need	need	VERB
ejde-38	517	6	that	that	PRON
ejde-38	517	7	for	for	ADP
ejde-38	517	8	any	any	DET
ejde-38	517	9	measure	measure	NOUN
ejde-38	517	10	ν	ν	ADP
ejde-38	517	11	,	,	PUNCT
ejde-38	517	12	there	there	PRON
ejde-38	517	13	is	be	VERB
ejde-38	517	14	a	a	DET
ejde-38	517	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	517	16	of	of	ADP
ejde-38	517	17	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	517	18	measures	measure	NOUN
ejde-38	517	19	weakly	weakly	ADV
ejde-38	517	20	converging	converge	VERB
ejde-38	517	21	to	to	ADP
ejde-38	517	22	ν	ν	NOUN
ejde-38	517	23	along	along	ADP
ejde-38	517	24	which	which	PRON
ejde-38	517	25	f	f	PROPN
ejde-38	517	26	is	be	AUX
ejde-38	517	27	continuous	continuous	ADJ
ejde-38	517	28	,	,	PUNCT
ejde-38	517	29	which	which	PRON
ejde-38	517	30	is	be	AUX
ejde-38	517	31	not	not	PART
ejde-38	517	32	so	so	ADV
ejde-38	517	33	far	far	ADV
ejde-38	517	34	off	off	ADV
ejde-38	517	35	from	from	ADP
ejde-38	517	36	simply	simply	ADV
ejde-38	517	37	requiring	require	VERB
ejde-38	517	38	weak	weak	ADJ
ejde-38	517	39	continuity	continuity	NOUN
ejde-38	517	40	.	.	PUNCT
ejde-38	518	1	before	before	ADP
ejde-38	518	2	giving	give	VERB
ejde-38	518	3	the	the	DET
ejde-38	518	4	proof	proof	NOUN
ejde-38	518	5	,	,	PUNCT
ejde-38	518	6	we	we	PRON
ejde-38	518	7	recall	recall	VERB
ejde-38	518	8	a	a	DET
ejde-38	518	9	form	form	NOUN
ejde-38	518	10	of	of	ADP
ejde-38	518	11	disintegration	disintegration	NOUN
ejde-38	518	12	of	of	ADP
ejde-38	518	13	measures	measure	NOUN
ejde-38	518	14	which	which	PRON
ejde-38	518	15	follows	follow	VERB
ejde-38	518	16	from	from	ADP
ejde-38	518	17	[	[	X
ejde-38	518	18	7	7	NUM
ejde-38	518	19	,	,	PUNCT
ejde-38	518	20	chapter	chapter	NOUN
ejde-38	518	21	iii-70	iii-70	PROPN
ejde-38	518	22	and	and	CCONJ
ejde-38	518	23	72	72	NUM
ejde-38	518	24	]	]	PUNCT
ejde-38	518	25	.	.	PUNCT
ejde-38	519	1	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	520	1	an	an	DET
ejde-38	520	2	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	520	3	transport	transport	NOUN
ejde-38	520	4	problem	problem	NOUN
ejde-38	520	5	19	19	NUM
ejde-38	520	6	theorem	theorem	VERB
ejde-38	520	7	5.7	5.7	NUM
ejde-38	520	8	(	(	PUNCT
ejde-38	520	9	disintegration	disintegration	NOUN
ejde-38	520	10	of	of	ADP
ejde-38	520	11	measures	measure	NOUN
ejde-38	520	12	)	)	PUNCT
ejde-38	520	13	.	.	PUNCT
ejde-38	521	1	if	if	SCONJ
ejde-38	521	2	x1	x1	PROPN
ejde-38	521	3	,	,	PUNCT
ejde-38	521	4	x2	x2	PROPN
ejde-38	521	5	are	be	AUX
ejde-38	521	6	polish	polish	ADJ
ejde-38	521	7	spaces	space	NOUN
ejde-38	521	8	,	,	PUNCT
ejde-38	521	9	for	for	ADP
ejde-38	521	10	any	any	DET
ejde-38	521	11	ρ	ρ	PROPN
ejde-38	521	12	∈	∈	PROPN
ejde-38	521	13	p(x1	p(x1	ADJ
ejde-38	521	14	×x2	×x2	NOUN
ejde-38	521	15	)	)	PUNCT
ejde-38	521	16	there	there	PRON
ejde-38	521	17	is	be	VERB
ejde-38	521	18	a	a	DET
ejde-38	521	19	map	map	NOUN
ejde-38	521	20	x1	x1	NOUN
ejde-38	521	21	3	3	NUM
ejde-38	521	22	x	x	SYM
ejde-38	521	23	7→	7→	NUM
ejde-38	521	24	ρx	ρx	NOUN
ejde-38	521	25	∈	∈	PROPN
ejde-38	521	26	p(x2	p(x2	NOUN
ejde-38	521	27	)	)	PUNCT
ejde-38	521	28	,	,	PUNCT
ejde-38	521	29	defined	define	VERB
ejde-38	521	30	uniquely	uniquely	ADV
ejde-38	521	31	(	(	PUNCT
ejde-38	521	32	πx1)#ρa.e	πx1)#ρa.e	PROPN
ejde-38	521	33	.	.	PROPN
ejde-38	521	34	,	,	PUNCT
ejde-38	521	35	such	such	ADJ
ejde-38	521	36	that	that	SCONJ
ejde-38	521	37	for	for	ADP
ejde-38	521	38	any	any	DET
ejde-38	521	39	bounded	bounded	ADJ
ejde-38	521	40	or	or	CCONJ
ejde-38	521	41	nonnegative	nonnegative	PROPN
ejde-38	521	42	borel	borel	PROPN
ejde-38	521	43	function	function	PROPN
ejde-38	521	44	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	521	45	on	on	ADP
ejde-38	521	46	x1	x1	PROPN
ejde-38	521	47	×x2	×x2	PROPN
ejde-38	521	48	,	,	PUNCT
ejde-38	521	49	the	the	DET
ejde-38	521	50	map	map	NOUN
ejde-38	521	51	x1	x1	NOUN
ejde-38	521	52	3	3	NUM
ejde-38	521	53	x1	x1	NUM
ejde-38	521	54	7→	7→	NUM
ejde-38	521	55	∫	∫	PROPN
ejde-38	522	1	x2	x2	PROPN
ejde-38	522	2	ϕ(x1	ϕ(x1	PROPN
ejde-38	522	3	,	,	PUNCT
ejde-38	522	4	x2)dρx1(x2	x2)dρx1(x2	NOUN
ejde-38	522	5	)	)	PUNCT
ejde-38	522	6	is	be	AUX
ejde-38	522	7	borel	borel	PROPN
ejde-38	522	8	,	,	PUNCT
ejde-38	522	9	and∫	and∫	PROPN
ejde-38	522	10	x1×x2	x1×x2	PROPN
ejde-38	522	11	ϕdρ	ϕdρ	VERB
ejde-38	523	1	=	=	SYM
ejde-38	523	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	524	1	x1	x1	NUM
ejde-38	524	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	525	1	x2	x2	PROPN
ejde-38	525	2	ϕ(x1	ϕ(x1	PROPN
ejde-38	525	3	,	,	PUNCT
ejde-38	525	4	x2)dρx1(x2)d((πx1)#ρ)(x1	x2)dρx1(x2)d((πx1)#ρ)(x1	PROPN
ejde-38	525	5	)	)	PUNCT
ejde-38	525	6	.	.	PUNCT
ejde-38	526	1	proof	proof	NOUN
ejde-38	526	2	of	of	ADP
ejde-38	526	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-38	526	4	5.5	5.5	NUM
ejde-38	526	5	.	.	PUNCT
ejde-38	527	1	first	first	ADV
ejde-38	527	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	527	3	a	a	DET
ejde-38	527	4	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	527	5	γk	γk	ADP
ejde-38	527	6	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	527	7	converges	converge	NOUN
ejde-38	527	8	to	to	ADP
ejde-38	527	9	some	some	DET
ejde-38	527	10	γ	γ	PROPN
ejde-38	527	11	∈	∈	PROPN
ejde-38	527	12	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	527	13	×	×	PROPN
ejde-38	527	14	y	y	PROPN
ejde-38	527	15	)	)	PUNCT
ejde-38	527	16	.	.	PUNCT
ejde-38	528	1	if	if	SCONJ
ejde-38	528	2	(	(	PUNCT
ejde-38	528	3	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	528	4	6=	6=	ADP
ejde-38	528	5	µ	µ	NUM
ejde-38	528	6	,	,	PUNCT
ejde-38	528	7	since	since	SCONJ
ejde-38	528	8	the	the	DET
ejde-38	528	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	528	10	of	of	ADP
ejde-38	528	11	left	left	ADJ
ejde-38	528	12	marginals	marginal	NOUN
ejde-38	528	13	(	(	PUNCT
ejde-38	528	14	πx)#γk	πx)#γk	X
ejde-38	528	15	converge	converge	VERB
ejde-38	528	16	weakly	weakly	ADV
ejde-38	528	17	to	to	ADP
ejde-38	528	18	(	(	PUNCT
ejde-38	528	19	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	528	20	,	,	PUNCT
ejde-38	528	21	we	we	PRON
ejde-38	528	22	must	must	AUX
ejde-38	528	23	have	have	VERB
ejde-38	528	24	that	that	PRON
ejde-38	528	25	(	(	PUNCT
ejde-38	528	26	πx)#γk	πx)#γk	PROPN
ejde-38	528	27	6=	6=	ADP
ejde-38	528	28	µ	µ	X
ejde-38	528	29	(	(	PUNCT
ejde-38	528	30	or	or	CCONJ
ejde-38	528	31	6=	6=	NUM
ejde-38	528	32	µk	µk	NOUN
ejde-38	528	33	in	in	ADP
ejde-38	528	34	case	case	NOUN
ejde-38	528	35	(	(	PUNCT
ejde-38	528	36	2	2	NUM
ejde-38	528	37	)	)	PUNCT
ejde-38	528	38	)	)	PUNCT
ejde-38	528	39	for	for	ADP
ejde-38	528	40	all	all	PRON
ejde-38	528	41	k	k	ADV
ejde-38	528	42	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-38	528	43	large	large	ADJ
ejde-38	528	44	.	.	PUNCT
ejde-38	529	1	thus	thus	ADV
ejde-38	529	2	in	in	ADP
ejde-38	529	3	this	this	DET
ejde-38	529	4	case	case	NOUN
ejde-38	529	5	we	we	PRON
ejde-38	529	6	have	have	VERB
ejde-38	529	7	lim	lim	PROPN
ejde-38	529	8	inf	inf	PROPN
ejde-38	529	9	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	529	10	ck(γk	ck(γk	PROPN
ejde-38	529	11	)	)	PUNCT
ejde-38	530	1	=	=	NUM
ejde-38	530	2	∞	∞	NUM
ejde-38	530	3	≥	≥	X
ejde-38	530	4	c(γ	c(γ	NUM
ejde-38	530	5	)	)	PUNCT
ejde-38	530	6	.	.	PUNCT
ejde-38	531	1	if	if	SCONJ
ejde-38	531	2	(	(	PUNCT
ejde-38	531	3	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	531	4	=	=	SYM
ejde-38	531	5	µ	µ	NOUN
ejde-38	531	6	,	,	PUNCT
ejde-38	531	7	since	since	SCONJ
ejde-38	531	8	the	the	DET
ejde-38	531	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	531	10	of	of	ADP
ejde-38	531	11	right	right	ADJ
ejde-38	531	12	marginals	marginal	NOUN
ejde-38	531	13	(	(	PUNCT
ejde-38	531	14	πy	πy	NOUN
ejde-38	531	15	)	)	PUNCT
ejde-38	531	16	#	#	SYM
ejde-38	531	17	γk	γk	NOUN
ejde-38	531	18	converge	converge	VERB
ejde-38	531	19	weakly	weakly	ADV
ejde-38	531	20	to	to	ADP
ejde-38	531	21	(	(	PUNCT
ejde-38	531	22	πy	πy	X
ejde-38	531	23	)	)	PUNCT
ejde-38	531	24	#	#	SYM
ejde-38	531	25	γ	γ	PROPN
ejde-38	531	26	,	,	PUNCT
ejde-38	531	27	lim	lim	PROPN
ejde-38	531	28	inf	inf	PROPN
ejde-38	531	29	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	531	30	ck(γk	ck(γk	PROPN
ejde-38	531	31	)	)	PUNCT
ejde-38	531	32	=	=	PROPN
ejde-38	531	33	lim	lim	PROPN
ejde-38	531	34	inf	inf	PROPN
ejde-38	531	35	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	531	36	(	(	PUNCT
ejde-38	531	37	∫	∫	PROPN
ejde-38	531	38	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	531	39	ck	ck	PROPN
ejde-38	531	40	dγk	dγk	NOUN
ejde-38	531	41	+	+	CCONJ
ejde-38	531	42	f((πy	f((πy	NUM
ejde-38	531	43	)	)	PUNCT
ejde-38	531	44	#	#	SYM
ejde-38	531	45	γk	γk	NOUN
ejde-38	531	46	)	)	PUNCT
ejde-38	531	47	)	)	PUNCT
ejde-38	531	48	≥	≥	PROPN
ejde-38	531	49	∫	∫	PROPN
ejde-38	531	50	x×y	x×y	PUNCT
ejde-38	532	1	c	c	PROPN
ejde-38	532	2	dγ	dγ	ADP
ejde-38	532	3	+	+	CCONJ
ejde-38	532	4	f((πy	f((πy	NUM
ejde-38	532	5	)	)	PUNCT
ejde-38	532	6	#	#	SYM
ejde-38	532	7	γ	γ	NOUN
ejde-38	532	8	)	)	PUNCT
ejde-38	532	9	=	=	SYM
ejde-38	532	10	c(γ	c(γ	PROPN
ejde-38	532	11	)	)	PUNCT
ejde-38	532	12	.	.	PUNCT
ejde-38	533	1	next	next	ADV
ejde-38	533	2	we	we	PRON
ejde-38	533	3	fix	fix	VERB
ejde-38	533	4	a	a	DET
ejde-38	533	5	γ	γ	X
ejde-38	533	6	∈	∈	PROPN
ejde-38	533	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	533	8	×	×	PROPN
ejde-38	533	9	y	y	PROPN
ejde-38	533	10	)	)	PUNCT
ejde-38	533	11	,	,	PUNCT
ejde-38	533	12	we	we	PRON
ejde-38	533	13	aim	aim	VERB
ejde-38	533	14	to	to	PART
ejde-38	533	15	produce	produce	VERB
ejde-38	533	16	a	a	DET
ejde-38	533	17	recovery	recovery	NOUN
ejde-38	533	18	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	533	19	.	.	PUNCT
ejde-38	534	1	if	if	SCONJ
ejde-38	534	2	the	the	DET
ejde-38	534	3	left	leave	VERB
ejde-38	534	4	marginal	marginal	NOUN
ejde-38	534	5	of	of	ADP
ejde-38	534	6	γ	γ	PROPN
ejde-38	534	7	is	be	AUX
ejde-38	534	8	not	not	PART
ejde-38	534	9	µ	µ	NUM
ejde-38	534	10	,	,	PUNCT
ejde-38	534	11	we	we	PRON
ejde-38	534	12	have	have	VERB
ejde-38	534	13	c(γ	c(γ	PRON
ejde-38	534	14	)	)	PUNCT
ejde-38	535	1	=	=	SYM
ejde-38	535	2	∞	∞	PROPN
ejde-38	535	3	and	and	CCONJ
ejde-38	535	4	we	we	PRON
ejde-38	535	5	can	can	AUX
ejde-38	535	6	take	take	VERB
ejde-38	535	7	the	the	DET
ejde-38	535	8	constant	constant	ADJ
ejde-38	535	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	535	10	{	{	PUNCT
ejde-38	535	11	γ	γ	NOUN
ejde-38	535	12	}	}	PUNCT
ejde-38	535	13	as	as	ADP
ejde-38	535	14	the	the	DET
ejde-38	535	15	recovery	recovery	NOUN
ejde-38	535	16	sequence	sequence	NOUN
ejde-38	535	17	,	,	PUNCT
ejde-38	535	18	thus	thus	ADV
ejde-38	535	19	assume	assume	VERB
ejde-38	535	20	(	(	PUNCT
ejde-38	535	21	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	535	22	=	=	PUNCT
ejde-38	535	23	µ.	µ.	NOUN
ejde-38	535	24	for	for	ADP
ejde-38	535	25	each	each	DET
ejde-38	535	26	k	k	PROPN
ejde-38	535	27	∈	∈	PROPN
ejde-38	535	28	n	n	PRON
ejde-38	535	29	and	and	CCONJ
ejde-38	535	30	1	1	NUM
ejde-38	535	31	≤	≤	NUM
ejde-38	535	32	j	j	PROPN
ejde-38	535	33	≤	≤	PROPN
ejde-38	535	34	nk	nk	PROPN
ejde-38	535	35	,	,	PUNCT
ejde-38	535	36	we	we	PRON
ejde-38	535	37	define	define	VERB
ejde-38	535	38	k̃k	k̃k	PROPN
ejde-38	535	39	,	,	PUNCT
ejde-38	535	40	j	j	PROPN
ejde-38	535	41	as	as	ADP
ejde-38	535	42	the	the	DET
ejde-38	535	43	voronoi	voronoi	ADJ
ejde-38	535	44	cell	cell	NOUN
ejde-38	535	45	associated	associate	VERB
ejde-38	535	46	with	with	ADP
ejde-38	535	47	yk	yk	PROPN
ejde-38	535	48	,	,	PUNCT
ejde-38	535	49	j	j	PROPN
ejde-38	535	50	,	,	PUNCT
ejde-38	535	51	that	that	ADV
ejde-38	535	52	is	is	ADV
ejde-38	535	53	,	,	PUNCT
ejde-38	535	54	k̃k	k̃k	PROPN
ejde-38	535	55	,	,	PUNCT
ejde-38	535	56	j	j	NOUN
ejde-38	535	57	:	:	PUNCT
ejde-38	535	58	=	=	SYM
ejde-38	535	59	{	{	PUNCT
ejde-38	535	60	y	y	PROPN
ejde-38	535	61	∈	∈	PROPN
ejde-38	536	1	y	y	PROPN
ejde-38	536	2	:	:	PUNCT
ejde-38	536	3	dy	dy	X
ejde-38	536	4	(	(	PUNCT
ejde-38	536	5	y	y	PROPN
ejde-38	536	6	,	,	PUNCT
ejde-38	536	7	yk	yk	PROPN
ejde-38	536	8	,	,	PUNCT
ejde-38	536	9	j	j	PROPN
ejde-38	536	10	)	)	PUNCT
ejde-38	536	11	≤	≤	NOUN
ejde-38	536	12	min1≤i≤nk	min1≤i≤nk	NOUN
ejde-38	536	13	dy	dy	NOUN
ejde-38	536	14	(	(	PUNCT
ejde-38	536	15	y	y	PROPN
ejde-38	536	16	,	,	PUNCT
ejde-38	536	17	yk	yk	PROPN
ejde-38	536	18	,	,	PUNCT
ejde-38	536	19	i	i	NOUN
ejde-38	536	20	)	)	PUNCT
ejde-38	536	21	}	}	PUNCT
ejde-38	536	22	.	.	PUNCT
ejde-38	537	1	then	then	ADV
ejde-38	537	2	,	,	PUNCT
ejde-38	537	3	we	we	PRON
ejde-38	537	4	define	define	VERB
ejde-38	537	5	kk,1	kk,1	PROPN
ejde-38	537	6	:	:	PUNCT
ejde-38	537	7	=	=	SYM
ejde-38	537	8	k̃k,1	k̃k,1	PROPN
ejde-38	537	9	,	,	PUNCT
ejde-38	537	10	kk	kk	PROPN
ejde-38	537	11	,	,	PUNCT
ejde-38	537	12	j	j	NOUN
ejde-38	537	13	:	:	PUNCT
ejde-38	537	14	=	=	SYM
ejde-38	537	15	k̃k	k̃k	PROPN
ejde-38	537	16	,	,	PUNCT
ejde-38	537	17	j	j	PROPN
ejde-38	537	18	\	\	X
ejde-38	537	19	∪j−1	∪j−1	PROPN
ejde-38	537	20	i=1kk	i=1kk	PROPN
ejde-38	537	21	,	,	PUNCT
ejde-38	537	22	i	i	PRON
ejde-38	537	23	,	,	PUNCT
ejde-38	537	24	2	2	NUM
ejde-38	537	25	≤	≤	NUM
ejde-38	537	26	j	j	PROPN
ejde-38	537	27	≤	≤	PROPN
ejde-38	537	28	nk	nk	PROPN
ejde-38	537	29	,	,	PUNCT
ejde-38	537	30	and	and	CCONJ
ejde-38	537	31	the	the	DET
ejde-38	537	32	maps	map	NOUN
ejde-38	537	33	ϕk	ϕk	PRON
ejde-38	537	34	:	:	PUNCT
ejde-38	537	35	y	y	PROPN
ejde-38	537	36	→	→	SYM
ejde-38	537	37	yk	yk	PROPN
ejde-38	537	38	by	by	ADP
ejde-38	537	39	ϕk(x	ϕk(x	NOUN
ejde-38	537	40	)	)	PUNCT
ejde-38	537	41	:	:	PUNCT
ejde-38	537	42	=	=	SYM
ejde-38	537	43	yk	yk	PROPN
ejde-38	537	44	,	,	PUNCT
ejde-38	537	45	j	j	PROPN
ejde-38	537	46	whenever	whenever	SCONJ
ejde-38	537	47	x	x	SYM
ejde-38	537	48	∈	∈	PROPN
ejde-38	537	49	kk	kk	PROPN
ejde-38	537	50	,	,	PUNCT
ejde-38	537	51	j	j	PROPN
ejde-38	537	52	,	,	PUNCT
ejde-38	537	53	this	this	DET
ejde-38	537	54	map	map	NOUN
ejde-38	537	55	is	be	AUX
ejde-38	537	56	well	well	ADV
ejde-38	537	57	-	-	PUNCT
ejde-38	537	58	defined	define	VERB
ejde-38	537	59	by	by	ADP
ejde-38	537	60	the	the	DET
ejde-38	537	61	disjointness	disjointness	NOUN
ejde-38	537	62	of	of	ADP
ejde-38	537	63	the	the	DET
ejde-38	537	64	collection	collection	NOUN
ejde-38	537	65	{	{	PUNCT
ejde-38	537	66	kk	kk	PROPN
ejde-38	537	67	,	,	PUNCT
ejde-38	537	68	j}nkj=1	j}nkj=1	NOUN
ejde-38	537	69	for	for	ADP
ejde-38	537	70	each	each	DET
ejde-38	537	71	fixed	fix	VERB
ejde-38	537	72	k.	k.	PROPN
ejde-38	538	1	we	we	PRON
ejde-38	538	2	will	will	AUX
ejde-38	538	3	first	first	ADV
ejde-38	538	4	consider	consider	VERB
ejde-38	538	5	case	case	NOUN
ejde-38	538	6	(	(	PUNCT
ejde-38	538	7	1	1	NUM
ejde-38	538	8	)	)	PUNCT
ejde-38	538	9	.	.	PUNCT
ejde-38	539	1	define	define	VERB
ejde-38	539	2	γk	γk	NOUN
ejde-38	539	3	:	:	PUNCT
ejde-38	539	4	=	=	SYM
ejde-38	539	5	(	(	PUNCT
ejde-38	539	6	πx×(ϕk	πx×(ϕk	ADJ
ejde-38	539	7	◦	◦	NOUN
ejde-38	539	8	πy	πy	NOUN
ejde-38	539	9	)	)	PUNCT
ejde-38	539	10	)	)	PUNCT
ejde-38	539	11	#	#	SYM
ejde-38	539	12	γ	γ	PROPN
ejde-38	539	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	539	14	p(x×y	p(x×y	NOUN
ejde-38	539	15	)	)	PUNCT
ejde-38	539	16	.	.	PUNCT
ejde-38	540	1	then	then	ADV
ejde-38	540	2	(	(	PUNCT
ejde-38	540	3	πx)#γk	πx)#γk	PROPN
ejde-38	540	4	=	=	SYM
ejde-38	540	5	(	(	PUNCT
ejde-38	540	6	πx)#γ	πx)#γ	X
ejde-38	540	7	=	=	SYM
ejde-38	540	8	µ	µ	X
ejde-38	540	9	for	for	ADP
ejde-38	540	10	each	each	DET
ejde-38	540	11	k	k	NOUN
ejde-38	540	12	,	,	PUNCT
ejde-38	540	13	and	and	CCONJ
ejde-38	540	14	since	since	SCONJ
ejde-38	540	15	the	the	DET
ejde-38	540	16	range	range	NOUN
ejde-38	540	17	of	of	ADP
ejde-38	540	18	ϕk	ϕk	ADV
ejde-38	540	19	is	be	AUX
ejde-38	540	20	contained	contain	VERB
ejde-38	540	21	in	in	ADP
ejde-38	540	22	yk	yk	PROPN
ejde-38	540	23	,	,	PUNCT
ejde-38	540	24	it	it	PRON
ejde-38	540	25	is	be	AUX
ejde-38	540	26	clear	clear	ADJ
ejde-38	540	27	that	that	DET
ejde-38	540	28	spt((πy	spt((πy	NOUN
ejde-38	540	29	)	)	PUNCT
ejde-38	540	30	#	#	SYM
ejde-38	540	31	γk	γk	NOUN
ejde-38	540	32	)	)	PUNCT
ejde-38	540	33	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	541	1	yk	yk	PROPN
ejde-38	541	2	hence	hence	ADV
ejde-38	541	3	γk	γk	PROPN
ejde-38	541	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	541	5	πk(µ	πk(µ	NUM
ejde-38	541	6	)	)	PUNCT
ejde-38	541	7	.	.	PUNCT
ejde-38	542	1	now	now	ADV
ejde-38	542	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	542	3	ϕ	ϕ	X
ejde-38	542	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	542	5	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	542	6	×	×	PROPN
ejde-38	542	7	y	y	PROPN
ejde-38	542	8	)	)	PUNCT
ejde-38	542	9	is	be	AUX
ejde-38	542	10	l	l	NOUN
ejde-38	542	11	-	-	NOUN
ejde-38	542	12	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-38	542	13	for	for	ADP
ejde-38	542	14	some	some	DET
ejde-38	542	15	l	l	NOUN
ejde-38	542	16	>	>	X
ejde-38	542	17	0	0	NUM
ejde-38	542	18	,	,	PUNCT
ejde-38	542	19	and	and	CCONJ
ejde-38	542	20	fix	fix	VERB
ejde-38	542	21	y	y	PROPN
ejde-38	542	22	∈	∈	PROPN
ejde-38	542	23	y	y	PROPN
ejde-38	542	24	with	with	ADP
ejde-38	542	25	y	y	PROPN
ejde-38	542	26	∈	∈	PROPN
ejde-38	542	27	ki	ki	PROPN
ejde-38	542	28	,	,	PUNCT
ejde-38	542	29	j1(k	j1(k	PROPN
ejde-38	542	30	)	)	PUNCT
ejde-38	542	31	for	for	ADP
ejde-38	542	32	some	some	DET
ejde-38	542	33	index	index	NOUN
ejde-38	542	34	j1(k	j1(k	PROPN
ejde-38	542	35	)	)	PUNCT
ejde-38	542	36	.	.	PUNCT
ejde-38	543	1	since	since	SCONJ
ejde-38	543	2	yk	yk	PROPN
ejde-38	543	3	is	be	AUX
ejde-38	543	4	an	an	DET
ejde-38	543	5	εk	εk	ADJ
ejde-38	543	6	net	net	NOUN
ejde-38	543	7	of	of	ADP
ejde-38	543	8	y	y	PROPN
ejde-38	543	9	,	,	PUNCT
ejde-38	543	10	for	for	ADP
ejde-38	543	11	some	some	DET
ejde-38	543	12	yi	yi	NOUN
ejde-38	543	13	,	,	PUNCT
ejde-38	543	14	j2(k	j2(k	NOUN
ejde-38	543	15	)	)	PUNCT
ejde-38	543	16	∈	∈	PROPN
ejde-38	543	17	yk	yk	NOUN
ejde-38	543	18	we	we	PRON
ejde-38	543	19	have	have	AUX
ejde-38	543	20	dy	dy	NOUN
ejde-38	543	21	(	(	PUNCT
ejde-38	543	22	y	y	PROPN
ejde-38	543	23	,	,	PUNCT
ejde-38	543	24	yi	yi	PROPN
ejde-38	543	25	,	,	PUNCT
ejde-38	543	26	j2(k	j2(k	NOUN
ejde-38	543	27	)	)	PUNCT
ejde-38	543	28	)	)	PUNCT
ejde-38	543	29	≤	≤	NUM
ejde-38	543	30	εk	εk	NOUN
ejde-38	543	31	.	.	PUNCT
ejde-38	544	1	hence	hence	ADV
ejde-38	544	2	for	for	ADP
ejde-38	544	3	any	any	DET
ejde-38	544	4	x	x	SYM
ejde-38	544	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	544	6	x	x	SYM
ejde-38	544	7	,	,	PUNCT
ejde-38	544	8	|ϕ(x	|ϕ(x	PROPN
ejde-38	544	9	,	,	PUNCT
ejde-38	544	10	ϕk(y))−	ϕk(y))−	NOUN
ejde-38	544	11	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-38	544	12	,	,	PUNCT
ejde-38	544	13	y)|	y)|	PROPN
ejde-38	544	14	≤	≤	PROPN
ejde-38	544	15	ldy	ldy	NOUN
ejde-38	544	16	(	(	PUNCT
ejde-38	544	17	y	y	NOUN
ejde-38	544	18	,	,	PUNCT
ejde-38	544	19	ϕk(y	ϕk(y	NUM
ejde-38	544	20	)	)	PUNCT
ejde-38	544	21	)	)	PUNCT
ejde-38	545	1	=	=	SYM
ejde-38	545	2	ldy	ldy	NOUN
ejde-38	545	3	(	(	PUNCT
ejde-38	545	4	y	y	PROPN
ejde-38	545	5	,	,	PUNCT
ejde-38	545	6	yi	yi	PROPN
ejde-38	545	7	,	,	PUNCT
ejde-38	545	8	j1(k	j1(k	NOUN
ejde-38	545	9	)	)	PUNCT
ejde-38	545	10	)	)	PUNCT
ejde-38	545	11	≤	≤	PROPN
ejde-38	545	12	ldy	ldy	NOUN
ejde-38	545	13	(	(	PUNCT
ejde-38	545	14	y	y	PROPN
ejde-38	545	15	,	,	PUNCT
ejde-38	545	16	yi	yi	PROPN
ejde-38	545	17	,	,	PUNCT
ejde-38	545	18	j2(k	j2(k	NOUN
ejde-38	545	19	)	)	PUNCT
ejde-38	545	20	)	)	PUNCT
ejde-38	545	21	<	<	X
ejde-38	545	22	lεk	lεk	PROPN
ejde-38	545	23	,	,	PUNCT
ejde-38	545	24	(	(	PUNCT
ejde-38	545	25	5.1	5.1	NUM
ejde-38	545	26	)	)	PUNCT
ejde-38	545	27	which	which	PRON
ejde-38	545	28	proves	prove	VERB
ejde-38	545	29	limk→∞	limk→∞	ADJ
ejde-38	545	30	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-38	545	31	,	,	PUNCT
ejde-38	545	32	ϕk(y	ϕk(y	NOUN
ejde-38	545	33	)	)	PUNCT
ejde-38	545	34	)	)	PUNCT
ejde-38	546	1	=	=	SYM
ejde-38	546	2	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-38	546	3	,	,	PUNCT
ejde-38	546	4	y	y	NOUN
ejde-38	546	5	)	)	PUNCT
ejde-38	546	6	for	for	ADP
ejde-38	546	7	all	all	DET
ejde-38	546	8	(	(	PUNCT
ejde-38	546	9	x	x	NOUN
ejde-38	546	10	,	,	PUNCT
ejde-38	546	11	y	y	NOUN
ejde-38	546	12	)	)	PUNCT
ejde-38	546	13	∈	∈	PROPN
ejde-38	546	14	x	x	X
ejde-38	546	15	×	×	NOUN
ejde-38	546	16	y	y	PROPN
ejde-38	546	17	where	where	SCONJ
ejde-38	546	18	the	the	DET
ejde-38	546	19	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	546	20	is	be	AUX
ejde-38	546	21	uniform	uniform	ADJ
ejde-38	546	22	over	over	ADP
ejde-38	546	23	x	x	SYM
ejde-38	546	24	×	×	PROPN
ejde-38	546	25	y	y	PROPN
ejde-38	546	26	.	.	PUNCT
ejde-38	547	1	since	since	SCONJ
ejde-38	547	2	γ	γ	PROPN
ejde-38	547	3	is	be	AUX
ejde-38	547	4	a	a	DET
ejde-38	547	5	probability	probability	NOUN
ejde-38	547	6	measure	measure	NOUN
ejde-38	547	7	,	,	PUNCT
ejde-38	547	8	we	we	PRON
ejde-38	547	9	have	have	VERB
ejde-38	547	10	lim	lim	PROPN
ejde-38	547	11	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	547	12	∫	∫	PROPN
ejde-38	547	13	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	548	1	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-38	548	2	,	,	PUNCT
ejde-38	548	3	y	y	NOUN
ejde-38	548	4	)	)	PUNCT
ejde-38	548	5	dγk(x	dγk(x	PROPN
ejde-38	548	6	,	,	PUNCT
ejde-38	548	7	y	y	NOUN
ejde-38	548	8	)	)	PUNCT
ejde-38	549	1	=	=	SYM
ejde-38	549	2	lim	lim	PROPN
ejde-38	549	3	k→∞	k→∞	PROPN
ejde-38	549	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	549	5	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	549	6	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-38	549	7	,	,	PUNCT
ejde-38	549	8	ϕk(y	ϕk(y	NUM
ejde-38	549	9	)	)	PUNCT
ejde-38	549	10	)	)	PUNCT
ejde-38	550	1	dγ(x	dγ(x	X
ejde-38	550	2	,	,	PUNCT
ejde-38	550	3	y	y	NOUN
ejde-38	550	4	)	)	PUNCT
ejde-38	550	5	=	=	SYM
ejde-38	550	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	550	7	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	550	8	ϕdγ	ϕdγ	PROPN
ejde-38	550	9	.	.	PUNCT
ejde-38	551	1	as	as	SCONJ
ejde-38	551	2	it	it	PRON
ejde-38	551	3	is	be	AUX
ejde-38	551	4	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-38	551	5	to	to	PART
ejde-38	551	6	test	test	VERB
ejde-38	551	7	for	for	ADP
ejde-38	551	8	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	551	9	against	against	ADP
ejde-38	551	10	bounded	bound	VERB
ejde-38	551	11	,	,	PUNCT
ejde-38	551	12	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-38	551	13	functions	function	NOUN
ejde-38	551	14	(	(	PUNCT
ejde-38	551	15	see	see	VERB
ejde-38	551	16	[	[	X
ejde-38	551	17	3	3	NUM
ejde-38	551	18	,	,	PUNCT
ejde-38	551	19	remark	remark	NOUN
ejde-38	551	20	8.3.1	8.3.1	NUM
ejde-38	551	21	]	]	PUNCT
ejde-38	551	22	)	)	PUNCT
ejde-38	551	23	this	this	PRON
ejde-38	551	24	proves	prove	VERB
ejde-38	551	25	weak	weak	ADJ
ejde-38	551	26	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	551	27	of	of	ADP
ejde-38	551	28	γk	γk	NOUN
ejde-38	551	29	to	to	ADP
ejde-38	551	30	γ	γ	X
ejde-38	551	31	;	;	PUNCT
ejde-38	551	32	in	in	ADP
ejde-38	551	33	particular	particular	ADJ
ejde-38	551	34	it	it	PRON
ejde-38	551	35	also	also	ADV
ejde-38	551	36	proves	prove	VERB
ejde-38	551	37	weak	weak	ADJ
ejde-38	551	38	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	551	39	of	of	ADP
ejde-38	551	40	the	the	DET
ejde-38	551	41	(	(	PUNCT
ejde-38	551	42	πy	πy	NOUN
ejde-38	551	43	)	)	PUNCT
ejde-38	551	44	#	#	SYM
ejde-38	551	45	γk	γk	NOUN
ejde-38	551	46	to	to	ADP
ejde-38	551	47	(	(	PUNCT
ejde-38	551	48	πy	πy	NOUN
ejde-38	551	49	)	)	PUNCT
ejde-38	551	50	#	#	SYM
ejde-38	551	51	γ	γ	NOUN
ejde-38	551	52	.	.	PUNCT
ejde-38	552	1	thus	thus	ADV
ejde-38	552	2	the	the	DET
ejde-38	552	3	uniform	uniform	ADJ
ejde-38	552	4	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	552	5	of	of	ADP
ejde-38	552	6	the	the	DET
ejde-38	552	7	ck	ck	ADJ
ejde-38	552	8	and	and	CCONJ
ejde-38	552	9	weak	weak	ADJ
ejde-38	552	10	continuity	continuity	NOUN
ejde-38	552	11	of	of	ADP
ejde-38	552	12	f	f	PROPN
ejde-38	552	13	gives	give	VERB
ejde-38	552	14	that	that	DET
ejde-38	552	15	lim	lim	PROPN
ejde-38	552	16	sup	sup	PROPN
ejde-38	552	17	k→∞	k→∞	NUM
ejde-38	552	18	ck(γk	ck(γk	NOUN
ejde-38	552	19	)	)	PUNCT
ejde-38	553	1	=	=	SYM
ejde-38	553	2	lim	lim	PROPN
ejde-38	553	3	sup	sup	PROPN
ejde-38	553	4	k→∞	k→∞	NOUN
ejde-38	553	5	(	(	PUNCT
ejde-38	553	6	∫	∫	PROPN
ejde-38	553	7	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	553	8	ck	ck	PROPN
ejde-38	553	9	dγk	dγk	NOUN
ejde-38	553	10	+	+	CCONJ
ejde-38	553	11	f((πy	f((πy	NUM
ejde-38	553	12	)	)	PUNCT
ejde-38	553	13	#	#	SYM
ejde-38	553	14	γk	γk	NOUN
ejde-38	553	15	)	)	PUNCT
ejde-38	553	16	)	)	PUNCT
ejde-38	554	1	≤	≤	NUM
ejde-38	554	2	c(γ	c(γ	PROPN
ejde-38	554	3	)	)	PUNCT
ejde-38	554	4	.	.	PUNCT
ejde-38	555	1	20	20	NUM
ejde-38	555	2	m.	m.	NOUN
ejde-38	555	3	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	555	4	,	,	PUNCT
ejde-38	555	5	j.	j.	PROPN
ejde-38	555	6	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	555	7	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	555	8	now	now	ADV
ejde-38	555	9	we	we	PRON
ejde-38	555	10	consider	consider	VERB
ejde-38	555	11	case	case	NOUN
ejde-38	555	12	(	(	PUNCT
ejde-38	555	13	2	2	NUM
ejde-38	555	14	)	)	PUNCT
ejde-38	555	15	.	.	PUNCT
ejde-38	556	1	since	since	SCONJ
ejde-38	556	2	µ	µ	NOUN
ejde-38	556	3	and	and	CCONJ
ejde-38	556	4	all	all	PRON
ejde-38	556	5	µk	µk	NOUN
ejde-38	556	6	have	have	AUX
ejde-38	556	7	finite	finite	VERB
ejde-38	556	8	first	first	ADJ
ejde-38	556	9	moments	moment	NOUN
ejde-38	556	10	,	,	PUNCT
ejde-38	556	11	there	there	PRON
ejde-38	556	12	exist	exist	VERB
ejde-38	556	13	σk	σk	ADP
ejde-38	556	14	∈	∈	PROPN
ejde-38	556	15	π(µ	π(µ	NOUN
ejde-38	556	16	,	,	PUNCT
ejde-38	556	17	µk	µk	PROPN
ejde-38	556	18	)	)	PUNCT
ejde-38	556	19	which	which	PRON
ejde-38	556	20	achieve	achieve	VERB
ejde-38	556	21	the	the	DET
ejde-38	556	22	minimum	minimum	NOUN
ejde-38	556	23	in	in	ADP
ejde-38	556	24	the	the	DET
ejde-38	556	25	definition	definition	NOUN
ejde-38	556	26	of	of	ADP
ejde-38	556	27	w	w	PROPN
ejde-38	556	28	dx	dx	PROPN
ejde-38	556	29	1	1	NUM
ejde-38	556	30	(	(	PUNCT
ejde-38	556	31	µ	µ	NUM
ejde-38	556	32	,	,	PUNCT
ejde-38	556	33	µk	µk	NOUN
ejde-38	556	34	)	)	PUNCT
ejde-38	556	35	(	(	PUNCT
ejde-38	556	36	say	say	INTJ
ejde-38	556	37	,	,	PUNCT
ejde-38	556	38	by	by	ADP
ejde-38	556	39	[	[	X
ejde-38	556	40	12	12	NUM
ejde-38	556	41	,	,	PUNCT
ejde-38	556	42	theorem	theorem	VERB
ejde-38	556	43	4.1	4.1	NUM
ejde-38	556	44	]	]	PUNCT
ejde-38	556	45	)	)	PUNCT
ejde-38	556	46	.	.	PUNCT
ejde-38	557	1	it	it	PRON
ejde-38	557	2	is	be	AUX
ejde-38	557	3	clear	clear	ADJ
ejde-38	557	4	that	that	SCONJ
ejde-38	557	5	the	the	DET
ejde-38	557	6	unique	unique	ADJ
ejde-38	557	7	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	557	8	achieving	achieve	VERB
ejde-38	557	9	w	w	PROPN
ejde-38	557	10	dx	dx	PROPN
ejde-38	557	11	1	1	NUM
ejde-38	557	12	(	(	PUNCT
ejde-38	557	13	µ	µ	NUM
ejde-38	557	14	,	,	PUNCT
ejde-38	557	15	µ	µ	NOUN
ejde-38	557	16	)	)	PUNCT
ejde-38	557	17	=	=	SYM
ejde-38	557	18	0	0	NUM
ejde-38	557	19	is	be	AUX
ejde-38	557	20	(	(	PUNCT
ejde-38	557	21	id×	id×	ADJ
ejde-38	557	22	id)#µ	id)#µ	NOUN
ejde-38	557	23	,	,	PUNCT
ejde-38	557	24	while	while	SCONJ
ejde-38	557	25	for	for	ADP
ejde-38	557	26	some	some	DET
ejde-38	557	27	x0	x0	PROPN
ejde-38	557	28	∈	∈	PROPN
ejde-38	557	29	x	x	X
ejde-38	557	30	,	,	PUNCT
ejde-38	557	31	sup	sup	PROPN
ejde-38	557	32	k	k	PROPN
ejde-38	557	33	∫	∫	PROPN
ejde-38	557	34	x×x	x×x	PROPN
ejde-38	557	35	dx(x1	dx(x1	PROPN
ejde-38	557	36	,	,	PUNCT
ejde-38	557	37	x2	x2	ADJ
ejde-38	557	38	)	)	PUNCT
ejde-38	557	39	dσk(x1	dσk(x1	ADJ
ejde-38	557	40	,	,	PUNCT
ejde-38	557	41	x2	x2	NUM
ejde-38	557	42	)	)	PUNCT
ejde-38	557	43	≤	≤	NUM
ejde-38	557	44	sup	sup	NOUN
ejde-38	557	45	k	k	PROPN
ejde-38	557	46	∫	∫	PROPN
ejde-38	557	47	x	x	X
ejde-38	557	48	dx(x	dx(x	ADV
ejde-38	557	49	,	,	PUNCT
ejde-38	557	50	x0	x0	PROPN
ejde-38	557	51	)	)	PUNCT
ejde-38	557	52	dµk(x)+	dµk(x)+	PROPN
ejde-38	557	53	∫	∫	PROPN
ejde-38	557	54	x	x	SYM
ejde-38	557	55	dx(x	dx(x	ADV
ejde-38	557	56	,	,	PUNCT
ejde-38	557	57	x0	x0	PROPN
ejde-38	557	58	)	)	PUNCT
ejde-38	557	59	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	557	60	)	)	PUNCT
ejde-38	557	61	<	<	X
ejde-38	557	62	∞	∞	PROPN
ejde-38	557	63	,	,	PUNCT
ejde-38	557	64	hence	hence	ADV
ejde-38	557	65	by	by	ADP
ejde-38	557	66	[	[	X
ejde-38	557	67	12	12	NUM
ejde-38	557	68	,	,	PUNCT
ejde-38	557	69	theorem	theorem	VERB
ejde-38	557	70	5.20	5.20	NUM
ejde-38	557	71	]	]	PUNCT
ejde-38	557	72	we	we	PRON
ejde-38	557	73	see	see	VERB
ejde-38	557	74	σk	σk	INTJ
ejde-38	557	75	converges	converge	VERB
ejde-38	557	76	weakly	weakly	ADV
ejde-38	557	77	to	to	ADP
ejde-38	557	78	(	(	PUNCT
ejde-38	557	79	id×	id×	ADJ
ejde-38	557	80	id)#µ.	id)#µ.	NOUN
ejde-38	557	81	now	now	ADV
ejde-38	557	82	if	if	SCONJ
ejde-38	557	83	σxk	σxk	NOUN
ejde-38	557	84	and	and	CCONJ
ejde-38	557	85	γx	γx	NOUN
ejde-38	557	86	are	be	AUX
ejde-38	557	87	the	the	DET
ejde-38	557	88	disintegrations	disintegration	NOUN
ejde-38	557	89	of	of	ADP
ejde-38	557	90	σk	σk	NOUN
ejde-38	557	91	and	and	CCONJ
ejde-38	557	92	γ	γ	X
ejde-38	557	93	respectively	respectively	ADV
ejde-38	557	94	,	,	PUNCT
ejde-38	557	95	with	with	ADP
ejde-38	557	96	respect	respect	NOUN
ejde-38	557	97	to	to	ADP
ejde-38	557	98	their	their	PRON
ejde-38	557	99	left	left	ADJ
ejde-38	557	100	marginals	marginal	NOUN
ejde-38	557	101	(	(	PUNCT
ejde-38	557	102	both	both	DET
ejde-38	557	103	µ	µ	X
ejde-38	557	104	)	)	PUNCT
ejde-38	557	105	as	as	SCONJ
ejde-38	557	106	given	give	VERB
ejde-38	557	107	in	in	ADP
ejde-38	557	108	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	557	109	5.7	5.7	NUM
ejde-38	557	110	,	,	PUNCT
ejde-38	557	111	we	we	PRON
ejde-38	557	112	define	define	VERB
ejde-38	557	113	a	a	DET
ejde-38	557	114	linear	linear	ADJ
ejde-38	557	115	functional	functional	ADJ
ejde-38	557	116	γk	γk	NOUN
ejde-38	557	117	acting	act	VERB
ejde-38	557	118	on	on	ADP
ejde-38	557	119	bounded	bounded	PROPN
ejde-38	557	120	borel	borel	PROPN
ejde-38	557	121	functions	functions	PROPN
ejde-38	557	122	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	557	123	on	on	ADP
ejde-38	557	124	x	x	SYM
ejde-38	557	125	×	×	PROPN
ejde-38	557	126	y	y	PROPN
ejde-38	557	127	by	by	ADP
ejde-38	557	128	γk(ϕ	γk(ϕ	NOUN
ejde-38	557	129	)	)	PUNCT
ejde-38	557	130	:	:	PUNCT
ejde-38	558	1	=	=	SYM
ejde-38	558	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	558	3	x	x	SYM
ejde-38	558	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	559	1	y	y	PROPN
ejde-38	559	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	559	3	x	x	X
ejde-38	559	4	ϕ(z	ϕ(z	PROPN
ejde-38	559	5	,	,	PUNCT
ejde-38	559	6	y	y	NOUN
ejde-38	559	7	)	)	PUNCT
ejde-38	559	8	dσxk(z)d((ϕk)#γ	dσxk(z)d((ϕk)#γ	NUM
ejde-38	559	9	x)(y	x)(y	NUM
ejde-38	559	10	)	)	PUNCT
ejde-38	559	11	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	559	12	)	)	PUNCT
ejde-38	559	13	.	.	PUNCT
ejde-38	560	1	we	we	PRON
ejde-38	560	2	claim	claim	VERB
ejde-38	560	3	that	that	SCONJ
ejde-38	560	4	γk	γk	PROPN
ejde-38	560	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	560	6	p(x	p(x	PROPN
ejde-38	560	7	×	×	PROPN
ejde-38	560	8	y	y	PROPN
ejde-38	560	9	)	)	PUNCT
ejde-38	560	10	.	.	PUNCT
ejde-38	561	1	fix	fix	NOUN
ejde-38	561	2	ε	ε	PROPN
ejde-38	561	3	>	>	X
ejde-38	561	4	0	0	X
ejde-38	561	5	.	.	PUNCT
ejde-38	562	1	if	if	SCONJ
ejde-38	562	2	ψ	ψ	X
ejde-38	562	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	562	4	cb(y	cb(y	NUM
ejde-38	562	5	)	)	PUNCT
ejde-38	562	6	is	be	AUX
ejde-38	562	7	l	l	NOUN
ejde-38	562	8	-	-	NOUN
ejde-38	562	9	lipschitz	lipschitz	ADJ
ejde-38	562	10	,	,	PUNCT
ejde-38	562	11	by	by	ADP
ejde-38	562	12	(	(	PUNCT
ejde-38	562	13	5.1	5.1	NUM
ejde-38	562	14	)	)	PUNCT
ejde-38	562	15	we	we	PRON
ejde-38	562	16	have	have	VERB
ejde-38	562	17	∣∣	∣∣	VERB
ejde-38	562	18	∫	∫	PROPN
ejde-38	562	19	y	y	PROPN
ejde-38	562	20	ψd((ϕk	ψd((ϕk	PROPN
ejde-38	562	21	◦	◦	NOUN
ejde-38	562	22	πy	πy	NOUN
ejde-38	562	23	)	)	PUNCT
ejde-38	562	24	#	#	SYM
ejde-38	562	25	γ	γ	NOUN
ejde-38	562	26	)	)	PUNCT
ejde-38	562	27	−	−	PROPN
ejde-38	562	28	∫	∫	PROPN
ejde-38	562	29	y	y	PROPN
ejde-38	562	30	ψd((πy	ψd((πy	PROPN
ejde-38	562	31	)	)	PUNCT
ejde-38	562	32	#	#	SYM
ejde-38	562	33	γ	γ	NOUN
ejde-38	562	34	)	)	PUNCT
ejde-38	562	35	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-38	562	36	≤	≤	PROPN
ejde-38	562	37	lεk	lεk	VERB
ejde-38	562	38	,	,	PUNCT
ejde-38	562	39	and	and	CCONJ
ejde-38	562	40	again	again	ADV
ejde-38	562	41	by	by	ADP
ejde-38	562	42	[	[	X
ejde-38	562	43	3	3	NUM
ejde-38	562	44	,	,	PUNCT
ejde-38	562	45	remark	remark	NOUN
ejde-38	562	46	8.3.1	8.3.1	NUM
ejde-38	562	47	]	]	X
ejde-38	562	48	we	we	PRON
ejde-38	562	49	see	see	VERB
ejde-38	562	50	(	(	PUNCT
ejde-38	562	51	ϕk	ϕk	INTJ
ejde-38	562	52	◦	◦	NOUN
ejde-38	562	53	πy	πy	NOUN
ejde-38	562	54	)	)	PUNCT
ejde-38	562	55	#	#	SYM
ejde-38	562	56	γ	γ	NOUN
ejde-38	562	57	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	562	58	converges	converge	NOUN
ejde-38	562	59	to	to	ADP
ejde-38	562	60	(	(	PUNCT
ejde-38	562	61	πy	πy	X
ejde-38	562	62	)	)	PUNCT
ejde-38	562	63	#	#	SYM
ejde-38	562	64	γ	γ	NOUN
ejde-38	562	65	.	.	PUNCT
ejde-38	563	1	since	since	SCONJ
ejde-38	563	2	{	{	PUNCT
ejde-38	563	3	µk}∞i=1	µk}∞i=1	X
ejde-38	563	4	is	be	AUX
ejde-38	563	5	also	also	ADV
ejde-38	563	6	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	563	7	convergent	convergent	NOUN
ejde-38	563	8	,	,	PUNCT
ejde-38	563	9	for	for	ADP
ejde-38	563	10	any	any	DET
ejde-38	563	11	ε	ε	PROPN
ejde-38	563	12	>	>	X
ejde-38	563	13	0	0	PROPN
ejde-38	563	14	,	,	PUNCT
ejde-38	563	15	by	by	ADP
ejde-38	563	16	prokhorov	prokhorov	PROPN
ejde-38	563	17	’s	’s	PART
ejde-38	563	18	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	563	19	there	there	PRON
ejde-38	563	20	are	be	VERB
ejde-38	563	21	compact	compact	ADJ
ejde-38	563	22	sets	set	NOUN
ejde-38	563	23	k1	k1	PROPN
ejde-38	563	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	563	25	x	x	PROPN
ejde-38	563	26	and	and	CCONJ
ejde-38	563	27	k2	k2	PROPN
ejde-38	563	28	⊂	⊂	PROPN
ejde-38	563	29	y	y	PROPN
ejde-38	563	30	such	such	ADJ
ejde-38	563	31	that	that	SCONJ
ejde-38	563	32	µk(x	µk(x	PUNCT
ejde-38	563	33	\	\	PROPN
ejde-38	563	34	k1	k1	NOUN
ejde-38	563	35	)	)	PUNCT
ejde-38	563	36	<	<	X
ejde-38	563	37	ε	ε	PROPN
ejde-38	563	38	and	and	CCONJ
ejde-38	563	39	(	(	PUNCT
ejde-38	563	40	ϕk	ϕk	INTJ
ejde-38	563	41	◦	◦	NOUN
ejde-38	563	42	πy	πy	NOUN
ejde-38	563	43	)	)	PUNCT
ejde-38	563	44	#	#	SYM
ejde-38	563	45	γ(y	γ(y	PROPN
ejde-38	563	46	\	\	NOUN
ejde-38	563	47	k2	k2	PROPN
ejde-38	563	48	)	)	PUNCT
ejde-38	563	49	<	<	X
ejde-38	563	50	ε	ε	PROPN
ejde-38	563	51	for	for	ADP
ejde-38	563	52	all	all	DET
ejde-38	563	53	k.	k.	PROPN
ejde-38	564	1	then	then	ADV
ejde-38	564	2	,	,	PUNCT
ejde-38	564	3	if	if	SCONJ
ejde-38	564	4	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	564	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	564	6	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	564	7	×	×	PROPN
ejde-38	564	8	y	y	PROPN
ejde-38	564	9	)	)	PUNCT
ejde-38	564	10	is	be	AUX
ejde-38	564	11	identically	identically	ADV
ejde-38	564	12	zero	zero	NUM
ejde-38	564	13	on	on	ADP
ejde-38	564	14	the	the	DET
ejde-38	564	15	compact	compact	ADJ
ejde-38	564	16	set	set	NOUN
ejde-38	564	17	k	k	PROPN
ejde-38	564	18	:	:	PUNCT
ejde-38	564	19	=	=	NOUN
ejde-38	564	20	k1	k1	PROPN
ejde-38	564	21	×k2	×k2	PROPN
ejde-38	564	22	,	,	PUNCT
ejde-38	564	23	we	we	PRON
ejde-38	564	24	have	have	VERB
ejde-38	564	25	γk(ϕ	γk(ϕ	NOUN
ejde-38	564	26	)	)	PUNCT
ejde-38	564	27	≤	≤	NUM
ejde-38	564	28	sup	sup	NOUN
ejde-38	564	29	|ϕ|	|ϕ|	PROPN
ejde-38	564	30	∫	∫	PROPN
ejde-38	564	31	x	x	X
ejde-38	564	32	∫	∫	PROPN
ejde-38	565	1	y	y	PROPN
ejde-38	565	2	\k2	\k2	PROPN
ejde-38	566	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	567	1	x\k1	x\k1	PROPN
ejde-38	568	1	dσxk(z)d((ϕk)#γ	dσxk(z)d((ϕk)#γ	PRON
ejde-38	568	2	x)(y	x)(y	NUM
ejde-38	568	3	)	)	PUNCT
ejde-38	568	4	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	568	5	)	)	PUNCT
ejde-38	568	6	=	=	SYM
ejde-38	568	7	sup	sup	NUM
ejde-38	568	8	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-38	568	9	∫	∫	PROPN
ejde-38	568	10	x	x	PROPN
ejde-38	569	1	σxk(x	σxk(x	PROPN
ejde-38	569	2	\k1)γx(ϕ−1	\k1)γx(ϕ−1	PROPN
ejde-38	569	3	k	k	PROPN
ejde-38	569	4	(	(	PUNCT
ejde-38	569	5	y	y	PROPN
ejde-38	569	6	\k2	\k2	PROPN
ejde-38	569	7	)	)	PUNCT
ejde-38	569	8	)	)	PUNCT
ejde-38	569	9	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	569	10	)	)	PUNCT
ejde-38	569	11	≤	≤	NUM
ejde-38	569	12	sup	sup	NOUN
ejde-38	569	13	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-38	569	14	(	(	PUNCT
ejde-38	569	15	∫	∫	PROPN
ejde-38	569	16	x	x	PROPN
ejde-38	569	17	σxk(x	σxk(x	PROPN
ejde-38	569	18	\k1)2	\k1)2	NOUN
ejde-38	569	19	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	569	20	)	)	PUNCT
ejde-38	569	21	)	)	PUNCT
ejde-38	570	1	1/2(∫	1/2(∫	NUM
ejde-38	570	2	x	x	SYM
ejde-38	570	3	γx(ϕ−1	γx(ϕ−1	PROPN
ejde-38	570	4	k	k	PROPN
ejde-38	570	5	(	(	PUNCT
ejde-38	570	6	y	y	PROPN
ejde-38	570	7	\k2))2	\k2))2	NOUN
ejde-38	570	8	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	570	9	)	)	PUNCT
ejde-38	570	10	)	)	PUNCT
ejde-38	570	11	1/2	1/2	NUM
ejde-38	570	12	≤	≤	NUM
ejde-38	570	13	sup	sup	NOUN
ejde-38	570	14	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-38	570	15	(	(	PUNCT
ejde-38	570	16	∫	∫	PROPN
ejde-38	570	17	x	x	PROPN
ejde-38	570	18	σxk(x	σxk(x	PROPN
ejde-38	570	19	\k1	\k1	PROPN
ejde-38	570	20	)	)	PUNCT
ejde-38	570	21	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	570	22	)	)	PUNCT
ejde-38	570	23	)	)	PUNCT
ejde-38	571	1	1/2(∫	1/2(∫	NUM
ejde-38	571	2	x	x	SYM
ejde-38	571	3	γx(ϕ−1	γx(ϕ−1	PROPN
ejde-38	571	4	k	k	PROPN
ejde-38	571	5	(	(	PUNCT
ejde-38	571	6	y	y	PROPN
ejde-38	571	7	\k2	\k2	PROPN
ejde-38	571	8	)	)	PUNCT
ejde-38	571	9	)	)	PUNCT
ejde-38	571	10	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	571	11	)	)	PUNCT
ejde-38	571	12	)	)	PUNCT
ejde-38	571	13	1/2	1/2	NUM
ejde-38	571	14	=	=	NUM
ejde-38	571	15	sup	sup	NOUN
ejde-38	571	16	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-38	571	17	√	√	PROPN
ejde-38	571	18	σk(x	σk(x	NUM
ejde-38	571	19	×	×	PROPN
ejde-38	571	20	(	(	PUNCT
ejde-38	571	21	x	x	NOUN
ejde-38	571	22	\k1	\k1	PROPN
ejde-38	571	23	)	)	PUNCT
ejde-38	571	24	)	)	PUNCT
ejde-38	572	1	√	√	NUM
ejde-38	572	2	γ(x	γ(x	NOUN
ejde-38	572	3	×	×	NOUN
ejde-38	572	4	ϕ−1	ϕ−1	PROPN
ejde-38	572	5	k	k	PROPN
ejde-38	573	1	(	(	PUNCT
ejde-38	573	2	y	y	PROPN
ejde-38	573	3	\k2	\k2	PROPN
ejde-38	573	4	)	)	PUNCT
ejde-38	573	5	)	)	PUNCT
ejde-38	574	1	=	=	PUNCT
ejde-38	574	2	sup	sup	NUM
ejde-38	574	3	|ϕ|	|ϕ|	NOUN
ejde-38	574	4	√	√	PROPN
ejde-38	574	5	µk(x	µk(x	PUNCT
ejde-38	574	6	\k1	\k1	PROPN
ejde-38	574	7	)	)	PUNCT
ejde-38	574	8	√	√	PROPN
ejde-38	574	9	(	(	PUNCT
ejde-38	574	10	(	(	PUNCT
ejde-38	574	11	ϕk	ϕk	INTJ
ejde-38	574	12	◦	◦	NOUN
ejde-38	574	13	πy	πy	NOUN
ejde-38	574	14	)	)	PUNCT
ejde-38	574	15	#	#	SYM
ejde-38	574	16	γ)(y	γ)(y	PROPN
ejde-38	574	17	\k2	\k2	PROPN
ejde-38	574	18	)	)	PUNCT
ejde-38	574	19	≤	≤	NUM
ejde-38	574	20	ε	ε	PROPN
ejde-38	574	21	sup	sup	NOUN
ejde-38	574	22	|ϕ|	|ϕ|	PROPN
ejde-38	574	23	,	,	PUNCT
ejde-38	574	24	where	where	SCONJ
ejde-38	574	25	we	we	PRON
ejde-38	574	26	have	have	AUX
ejde-38	574	27	used	use	VERB
ejde-38	574	28	hölder	hölder	NOUN
ejde-38	574	29	’s	’s	PART
ejde-38	574	30	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	574	31	for	for	ADP
ejde-38	574	32	the	the	DET
ejde-38	574	33	third	third	ADJ
ejde-38	574	34	line	line	NOUN
ejde-38	574	35	,	,	PUNCT
ejde-38	574	36	and	and	CCONJ
ejde-38	574	37	that	that	SCONJ
ejde-38	574	38	σxk	σxk	NOUN
ejde-38	574	39	and	and	CCONJ
ejde-38	574	40	γx	γx	NOUN
ejde-38	574	41	are	be	AUX
ejde-38	574	42	probability	probability	NOUN
ejde-38	574	43	measures	measure	NOUN
ejde-38	574	44	to	to	PART
ejde-38	574	45	obtain	obtain	VERB
ejde-38	574	46	the	the	DET
ejde-38	574	47	inequality	inequality	NOUN
ejde-38	574	48	in	in	ADP
ejde-38	574	49	the	the	DET
ejde-38	574	50	fourth	fourth	ADJ
ejde-38	574	51	line	line	NOUN
ejde-38	574	52	.	.	PUNCT
ejde-38	575	1	hence	hence	ADV
ejde-38	575	2	by	by	ADP
ejde-38	575	3	[	[	X
ejde-38	575	4	3	3	NUM
ejde-38	575	5	,	,	PUNCT
ejde-38	575	6	theorem	theorem	VERB
ejde-38	575	7	7.10.6	7.10.6	NOUN
ejde-38	575	8	]	]	PUNCT
ejde-38	575	9	,	,	PUNCT
ejde-38	575	10	γk	γk	PROPN
ejde-38	575	11	is	be	AUX
ejde-38	575	12	a	a	DET
ejde-38	575	13	radon	radon	ADJ
ejde-38	575	14	measure	measure	NOUN
ejde-38	575	15	on	on	ADP
ejde-38	575	16	x	x	PUNCT
ejde-38	575	17	×y	×y	ADV
ejde-38	575	18	,	,	PUNCT
ejde-38	575	19	and	and	CCONJ
ejde-38	575	20	it	it	PRON
ejde-38	575	21	is	be	AUX
ejde-38	575	22	clear	clear	ADJ
ejde-38	575	23	that	that	SCONJ
ejde-38	575	24	γk	γk	PROPN
ejde-38	575	25	≥	≥	NOUN
ejde-38	575	26	0	0	NUM
ejde-38	575	27	with	with	ADP
ejde-38	575	28	γk(x	γk(x	PUNCT
ejde-38	575	29	×	×	PROPN
ejde-38	575	30	y	y	PROPN
ejde-38	575	31	)	)	PUNCT
ejde-38	575	32	=	=	SYM
ejde-38	575	33	1	1	NUM
ejde-38	575	34	,	,	PUNCT
ejde-38	575	35	hence	hence	ADV
ejde-38	575	36	the	the	DET
ejde-38	575	37	claim	claim	NOUN
ejde-38	575	38	is	be	AUX
ejde-38	575	39	proved	prove	VERB
ejde-38	575	40	.	.	PUNCT
ejde-38	576	1	next	next	ADV
ejde-38	576	2	,	,	PUNCT
ejde-38	576	3	for	for	ADP
ejde-38	576	4	any	any	DET
ejde-38	576	5	borel	borel	NOUN
ejde-38	576	6	ψ	ψ	PROPN
ejde-38	576	7	:	:	PUNCT
ejde-38	576	8	x	x	X
ejde-38	576	9	→	→	SYM
ejde-38	576	10	[	[	X
ejde-38	576	11	0,∞	0,∞	X
ejde-38	576	12	]	]	X
ejde-38	576	13	we	we	PRON
ejde-38	576	14	have	have	VERB
ejde-38	576	15	∫	∫	PROPN
ejde-38	576	16	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	576	17	ψ(x	ψ(x	PROPN
ejde-38	576	18	)	)	PUNCT
ejde-38	576	19	dγk(x	dγk(x	PROPN
ejde-38	576	20	,	,	PUNCT
ejde-38	576	21	y	y	NOUN
ejde-38	576	22	)	)	PUNCT
ejde-38	576	23	=	=	SYM
ejde-38	577	1	∫	∫	PUNCT
ejde-38	577	2	x	x	X
ejde-38	578	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	578	2	y	y	PROPN
ejde-38	578	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	578	4	x	x	SYM
ejde-38	578	5	ψ(z	ψ(z	PROPN
ejde-38	578	6	)	)	PUNCT
ejde-38	578	7	dσxk(z)d((ϕk)#γ	dσxk(z)d((ϕk)#γ	NUM
ejde-38	578	8	x)(y	x)(y	NUM
ejde-38	578	9	)	)	PUNCT
ejde-38	578	10	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	578	11	)	)	PUNCT
ejde-38	578	12	=	=	SYM
ejde-38	579	1	∫	∫	PUNCT
ejde-38	579	2	x	x	SYM
ejde-38	579	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	579	4	x	x	SYM
ejde-38	579	5	ψ(z	ψ(z	PROPN
ejde-38	579	6	)	)	PUNCT
ejde-38	579	7	dσxk(z	dσxk(z	NOUN
ejde-38	579	8	)	)	PUNCT
ejde-38	579	9	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	579	10	)	)	PUNCT
ejde-38	579	11	=	=	SYM
ejde-38	580	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	580	2	x×x	x×x	PROPN
ejde-38	580	3	ψ(x2	ψ(x2	NOUN
ejde-38	580	4	)	)	PUNCT
ejde-38	581	1	dσk(x1	dσk(x1	ADJ
ejde-38	581	2	,	,	PUNCT
ejde-38	581	3	x2	x2	PROPN
ejde-38	581	4	)	)	PUNCT
ejde-38	581	5	=	=	SYM
ejde-38	582	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	582	2	x	x	SYM
ejde-38	582	3	ψ(x	ψ(x	NOUN
ejde-38	582	4	)	)	PUNCT
ejde-38	582	5	dµk(x	dµk(x	PROPN
ejde-38	582	6	)	)	PUNCT
ejde-38	582	7	,	,	PUNCT
ejde-38	583	1	ejde-2023/22	ejde-2023/22	VERB
ejde-38	583	2	an	an	DET
ejde-38	583	3	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	583	4	transport	transport	NOUN
ejde-38	583	5	problem	problem	NOUN
ejde-38	583	6	21	21	NUM
ejde-38	583	7	hence	hence	ADV
ejde-38	583	8	the	the	DET
ejde-38	583	9	left	left	ADJ
ejde-38	583	10	marginal	marginal	NOUN
ejde-38	583	11	of	of	ADP
ejde-38	583	12	γk	γk	PROPN
ejde-38	583	13	is	be	AUX
ejde-38	583	14	µk	µk	PRON
ejde-38	584	1	and	and	CCONJ
ejde-38	584	2	we	we	PRON
ejde-38	584	3	have	have	VERB
ejde-38	584	4	γk	γk	PROPN
ejde-38	584	5	∈	∈	PROPN
ejde-38	584	6	πk(µk	πk(µk	PROPN
ejde-38	584	7	)	)	PUNCT
ejde-38	584	8	,	,	PUNCT
ejde-38	584	9	in	in	ADP
ejde-38	584	10	particular	particular	ADJ
ejde-38	584	11	ck(γk	ck(γk	NOUN
ejde-38	584	12	)	)	PUNCT
ejde-38	584	13	is	be	AUX
ejde-38	584	14	finite	finite	PROPN
ejde-38	584	15	.	.	PUNCT
ejde-38	585	1	finally	finally	ADV
ejde-38	585	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	585	3	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-38	585	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	585	5	cb(x	cb(x	VERB
ejde-38	585	6	×	×	PROPN
ejde-38	585	7	y	y	PROPN
ejde-38	585	8	)	)	PUNCT
ejde-38	585	9	is	be	AUX
ejde-38	585	10	l	l	NOUN
ejde-38	585	11	-	-	NOUN
ejde-38	585	12	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-38	585	13	.	.	PUNCT
ejde-38	586	1	then	then	ADV
ejde-38	586	2	by	by	ADP
ejde-38	586	3	(	(	PUNCT
ejde-38	586	4	5.1	5.1	NUM
ejde-38	586	5	)	)	PUNCT
ejde-38	586	6	,	,	PUNCT
ejde-38	586	7	∣∣	∣∣	X
ejde-38	586	8	∫	∫	PROPN
ejde-38	586	9	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	586	10	ϕdγk	ϕdγk	PROPN
ejde-38	586	11	−	−	PROPN
ejde-38	586	12	∫	∫	PROPN
ejde-38	586	13	x×y	x×y	PROPN
ejde-38	586	14	ϕdγ	ϕdγ	PROPN
ejde-38	586	15	∣∣	∣∣	X
ejde-38	586	16	≤	≤	X
ejde-38	586	17	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-38	586	18	∫	∫	PROPN
ejde-38	586	19	x	x	X
ejde-38	586	20	∫	∫	PROPN
ejde-38	586	21	y	y	PROPN
ejde-38	586	22	∫	∫	PROPN
ejde-38	586	23	x	x	X
ejde-38	586	24	ϕ(z	ϕ(z	PROPN
ejde-38	586	25	,	,	PUNCT
ejde-38	586	26	ϕk(y	ϕk(y	NUM
ejde-38	586	27	)	)	PUNCT
ejde-38	586	28	)	)	PUNCT
ejde-38	587	1	dσxk(z	dσxk(z	NOUN
ejde-38	587	2	)	)	PUNCT
ejde-38	587	3	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	587	4	)	)	PUNCT
ejde-38	587	5	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	587	6	)	)	PUNCT
ejde-38	587	7	−	−	NUM
ejde-38	588	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	588	2	x	x	X
ejde-38	589	1	∫	∫	PROPN
ejde-38	590	1	y	y	PROPN
ejde-38	590	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	590	3	x	x	X
ejde-38	590	4	ϕ(z	ϕ(z	PROPN
ejde-38	590	5	,	,	PUNCT
ejde-38	590	6	y	y	NOUN
ejde-38	590	7	)	)	PUNCT
ejde-38	590	8	dσxk(z	dσxk(z	PROPN
ejde-38	590	9	)	)	PUNCT
ejde-38	590	10	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	590	11	)	)	PUNCT
ejde-38	590	12	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	590	13	)	)	PUNCT
ejde-38	590	14	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-38	591	1	+	+	CCONJ
ejde-38	591	2	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-38	591	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	591	4	x	x	SYM
ejde-38	591	5	∫	∫	PROPN
ejde-38	592	1	y	y	PROPN
ejde-38	592	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	592	3	x	x	X
ejde-38	592	4	ϕ(z	ϕ(z	PROPN
ejde-38	592	5	,	,	PUNCT
ejde-38	592	6	y	y	NOUN
ejde-38	592	7	)	)	PUNCT
ejde-38	592	8	dσxk(z	dσxk(z	PROPN
ejde-38	592	9	)	)	PUNCT
ejde-38	592	10	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	592	11	)	)	PUNCT
ejde-38	593	1	dµ(x)−	dµ(x)−	NOUN
ejde-38	593	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	593	3	x	x	X
ejde-38	593	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	593	5	y	y	PROPN
ejde-38	593	6	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-38	593	7	,	,	PUNCT
ejde-38	593	8	y	y	NOUN
ejde-38	593	9	)	)	PUNCT
ejde-38	593	10	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	593	11	)	)	PUNCT
ejde-38	593	12	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	593	13	)	)	PUNCT
ejde-38	593	14	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-38	593	15	≤	≤	NUM
ejde-38	593	16	∫	∫	PROPN
ejde-38	593	17	x	x	SYM
ejde-38	593	18	∫	∫	PROPN
ejde-38	594	1	y	y	PROPN
ejde-38	594	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	594	3	x	x	X
ejde-38	594	4	|ϕ(z	|ϕ(z	PROPN
ejde-38	594	5	,	,	PUNCT
ejde-38	594	6	ϕk(y))−	ϕk(y))−	NOUN
ejde-38	594	7	ϕ(z	ϕ(z	NOUN
ejde-38	594	8	,	,	PUNCT
ejde-38	594	9	y)|	y)|	PROPN
ejde-38	594	10	dσxk(z	dσxk(z	PROPN
ejde-38	594	11	)	)	PUNCT
ejde-38	594	12	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	594	13	)	)	PUNCT
ejde-38	594	14	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	594	15	)	)	PUNCT
ejde-38	595	1	+	+	CCONJ
ejde-38	595	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	595	3	x	x	SYM
ejde-38	595	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	596	1	y	y	PROPN
ejde-38	596	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	596	3	x	x	X
ejde-38	596	4	|ϕ(z	|ϕ(z	PROPN
ejde-38	596	5	,	,	PUNCT
ejde-38	596	6	y)−	y)−	PROPN
ejde-38	596	7	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-38	596	8	,	,	PUNCT
ejde-38	596	9	y)|	y)|	PROPN
ejde-38	596	10	dσxk(z	dσxk(z	PROPN
ejde-38	596	11	)	)	PUNCT
ejde-38	596	12	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	596	13	)	)	PUNCT
ejde-38	596	14	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	596	15	)	)	PUNCT
ejde-38	596	16	≤	≤	NOUN
ejde-38	596	17	lεk	lεk	VERB
ejde-38	596	18	+	+	NOUN
ejde-38	596	19	l	l	NOUN
ejde-38	596	20	∫	∫	PROPN
ejde-38	597	1	x	x	SYM
ejde-38	597	2	∫	∫	PROPN
ejde-38	597	3	y	y	PROPN
ejde-38	597	4	∫	∫	PROPN
ejde-38	597	5	x	x	X
ejde-38	597	6	dx(z	dx(z	PROPN
ejde-38	597	7	,	,	PUNCT
ejde-38	597	8	x	x	X
ejde-38	597	9	)	)	PUNCT
ejde-38	597	10	dσxk(z	dσxk(z	PROPN
ejde-38	597	11	)	)	PUNCT
ejde-38	597	12	dγx(y	dγx(y	PROPN
ejde-38	597	13	)	)	PUNCT
ejde-38	597	14	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	597	15	)	)	PUNCT
ejde-38	597	16	=	=	SYM
ejde-38	598	1	l(εk	l(εk	PUNCT
ejde-38	598	2	+	+	NUM
ejde-38	598	3	∫	∫	PROPN
ejde-38	598	4	x×x	x×x	PROPN
ejde-38	598	5	dx(z	dx(z	PROPN
ejde-38	598	6	,	,	PUNCT
ejde-38	598	7	x	x	X
ejde-38	598	8	)	)	PUNCT
ejde-38	598	9	dσk(z	dσk(z	PROPN
ejde-38	598	10	,	,	PUNCT
ejde-38	598	11	x	x	NOUN
ejde-38	598	12	)	)	PUNCT
ejde-38	598	13	)	)	PUNCT
ejde-38	599	1	=	=	PUNCT
ejde-38	600	1	l(εk	l(εk	PUNCT
ejde-38	600	2	+	+	NOUN
ejde-38	600	3	w	w	PROPN
ejde-38	600	4	dx	dx	PROPN
ejde-38	600	5	1	1	NUM
ejde-38	600	6	(	(	PUNCT
ejde-38	600	7	µk	µk	NOUN
ejde-38	600	8	,	,	PUNCT
ejde-38	600	9	µ))→	µ))→	PROPN
ejde-38	600	10	0	0	NUM
ejde-38	600	11	as	as	SCONJ
ejde-38	600	12	k	k	PROPN
ejde-38	600	13	→∞.	→∞.	PUNCT
ejde-38	600	14	thus	thus	ADV
ejde-38	600	15	as	as	SCONJ
ejde-38	600	16	in	in	ADP
ejde-38	600	17	case	case	NOUN
ejde-38	600	18	(	(	PUNCT
ejde-38	600	19	1	1	NUM
ejde-38	600	20	)	)	PUNCT
ejde-38	600	21	,	,	PUNCT
ejde-38	600	22	we	we	PRON
ejde-38	600	23	see	see	VERB
ejde-38	600	24	γk	γk	ADP
ejde-38	600	25	weakly	weakly	ADJ
ejde-38	600	26	converges	converge	NOUN
ejde-38	600	27	to	to	ADP
ejde-38	600	28	γ	γ	PROPN
ejde-38	600	29	.	.	PUNCT
ejde-38	601	1	a	a	DET
ejde-38	601	2	similar	similar	ADJ
ejde-38	601	3	argument	argument	NOUN
ejde-38	601	4	yields	yield	VERB
ejde-38	601	5	lim	lim	PROPN
ejde-38	601	6	supk→∞	supk→∞	NOUN
ejde-38	601	7	ck(γk	ck(γk	PROPN
ejde-38	601	8	)	)	PUNCT
ejde-38	601	9	≤	≤	NUM
ejde-38	601	10	c(γ	c(γ	PROPN
ejde-38	601	11	)	)	PUNCT
ejde-38	601	12	.	.	PUNCT
ejde-38	602	1	this	this	PRON
ejde-38	602	2	completes	complete	VERB
ejde-38	602	3	the	the	DET
ejde-38	602	4	proof	proof	NOUN
ejde-38	602	5	of	of	ADP
ejde-38	602	6	γ	γ	NOUN
ejde-38	602	7	-	-	NOUN
ejde-38	602	8	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	602	9	in	in	ADP
ejde-38	602	10	both	both	DET
ejde-38	602	11	cases	case	NOUN
ejde-38	602	12	.	.	PUNCT
ejde-38	603	1	�	�	PROPN
ejde-38	603	2	6	6	NUM
ejde-38	603	3	.	.	PUNCT
ejde-38	604	1	appendix	appendix	ADJ
ejde-38	604	2	proof	proof	NOUN
ejde-38	604	3	of	of	ADP
ejde-38	604	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-38	604	5	3.7	3.7	NUM
ejde-38	604	6	.	.	PUNCT
ejde-38	605	1	let	let	VERB
ejde-38	605	2	us	we	PRON
ejde-38	605	3	write	write	VERB
ejde-38	605	4	r	r	NOUN
ejde-38	605	5	:	:	PUNCT
ejde-38	605	6	=	=	PUNCT
ejde-38	605	7	mini6	mini6	PROPN
ejde-38	605	8	=	=	PROPN
ejde-38	605	9	j	j	PROPN
ejde-38	605	10	|yi	|yi	NUM
ejde-38	605	11	−	−	PROPN
ejde-38	605	12	yj	yj	PROPN
ejde-38	605	13	|	|	ADV
ejde-38	605	14	.	.	PUNCT
ejde-38	606	1	let	let	VERB
ejde-38	606	2	λ∞	λ∞	PRON
ejde-38	606	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	606	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	606	5	be	be	AUX
ejde-38	606	6	such	such	ADJ
ejde-38	606	7	that	that	SCONJ
ejde-38	606	8	f	f	PROPN
ejde-38	606	9	(	(	PUNCT
ejde-38	606	10	λ∞)−	λ∞)−	PROPN
ejde-38	606	11	f	f	PROPN
ejde-38	606	12	∗∗(λ∞	∗∗(λ∞	X
ejde-38	606	13	)	)	PUNCT
ejde-38	606	14	=	=	NOUN
ejde-38	607	1	‖f	‖f	ADP
ejde-38	607	2	−	−	X
ejde-38	607	3	f	f	X
ejde-38	607	4	∗∗‖l∞(λ	∗∗‖l∞(λ	NOUN
ejde-38	607	5	)	)	PUNCT
ejde-38	607	6	,	,	PUNCT
ejde-38	607	7	and	and	CCONJ
ejde-38	607	8	define	define	VERB
ejde-38	607	9	µ	µ	X
ejde-38	607	10	=	=	SYM
ejde-38	607	11	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	607	12	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	607	13	λi∞1br	λi∞1br	PUNCT
ejde-38	607	14	4	4	NUM
ejde-38	607	15	(	(	PUNCT
ejde-38	607	16	yi)(x	yi)(x	PROPN
ejde-38	607	17	)	)	PUNCT
ejde-38	607	18	|br	|br	NUM
ejde-38	607	19	4	4	NUM
ejde-38	607	20	(	(	PUNCT
ejde-38	607	21	yi)|	yi)|	PROPN
ejde-38	607	22	dx	dx	PROPN
ejde-38	607	23	.	.	PUNCT
ejde-38	608	1	now	now	ADV
ejde-38	608	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	608	3	the	the	DET
ejde-38	608	4	pair	pair	NOUN
ejde-38	608	5	(	(	PUNCT
ejde-38	608	6	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	608	7	,	,	PUNCT
ejde-38	608	8	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	608	9	)	)	PUNCT
ejde-38	608	10	achieves	achieve	VERB
ejde-38	608	11	the	the	DET
ejde-38	608	12	minimum	minimum	NOUN
ejde-38	608	13	in	in	ADP
ejde-38	608	14	(	(	PUNCT
ejde-38	608	15	1.2	1.2	NUM
ejde-38	608	16	)	)	PUNCT
ejde-38	608	17	with	with	ADP
ejde-38	608	18	c(x	c(x	PROPN
ejde-38	608	19	,	,	PUNCT
ejde-38	608	20	y	y	NOUN
ejde-38	608	21	)	)	PUNCT
ejde-38	608	22	=	=	SYM
ejde-38	608	23	|x−	|x−	SYM
ejde-38	608	24	y|2	y|2	PROPN
ejde-38	608	25	,	,	PUNCT
ejde-38	608	26	storage	storage	NOUN
ejde-38	608	27	fee	fee	NOUN
ejde-38	608	28	function	function	NOUN
ejde-38	608	29	f	f	PROPN
ejde-38	608	30	,	,	PUNCT
ejde-38	608	31	and	and	CCONJ
ejde-38	608	32	this	this	DET
ejde-38	608	33	µ	µ	NUM
ejde-38	608	34	;	;	PUNCT
ejde-38	608	35	since	since	SCONJ
ejde-38	608	36	c	c	NOUN
ejde-38	608	37	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	608	38	(	(	PUNCT
ejde-38	608	39	µ-twist	µ-twist	NOUN
ejde-38	608	40	)	)	PUNCT
ejde-38	608	41	such	such	DET
ejde-38	608	42	a	a	DET
ejde-38	608	43	pair	pair	NOUN
ejde-38	608	44	exists	exist	VERB
ejde-38	608	45	by	by	ADP
ejde-38	608	46	theorem	theorem	ADJ
ejde-38	608	47	2.3	2.3	NUM
ejde-38	608	48	combined	combine	VERB
ejde-38	608	49	with	with	ADP
ejde-38	608	50	remark	remark	NOUN
ejde-38	608	51	4.3	4.3	NUM
ejde-38	608	52	.	.	PUNCT
ejde-38	609	1	we	we	PRON
ejde-38	609	2	claim	claim	VERB
ejde-38	609	3	that	that	SCONJ
ejde-38	609	4	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	609	5	=	=	PUNCT
ejde-38	609	6	λ∞.	λ∞.	PROPN
ejde-38	609	7	let	let	VERB
ejde-38	609	8	us	we	PRON
ejde-38	609	9	write	write	VERB
ejde-38	609	10	bi	bi	NOUN
ejde-38	609	11	:	:	PUNCT
ejde-38	609	12	=	=	SYM
ejde-38	609	13	br/4(yi	br/4(yi	NOUN
ejde-38	609	14	)	)	PUNCT
ejde-38	609	15	for	for	ADP
ejde-38	609	16	brevity	brevity	NOUN
ejde-38	609	17	,	,	PUNCT
ejde-38	609	18	clearly	clearly	ADV
ejde-38	609	19	the	the	DET
ejde-38	609	20	bi	bi	NOUN
ejde-38	609	21	are	be	AUX
ejde-38	609	22	disjoint	disjoint	NOUN
ejde-38	609	23	hence	hence	ADV
ejde-38	609	24	the	the	DET
ejde-38	609	25	map	map	NOUN
ejde-38	609	26	t	t	PROPN
ejde-38	609	27	defined	define	VERB
ejde-38	609	28	by	by	ADP
ejde-38	609	29	t	t	PROPN
ejde-38	609	30	(	(	PUNCT
ejde-38	609	31	x	x	NOUN
ejde-38	609	32	)	)	PUNCT
ejde-38	609	33	=	=	SYM
ejde-38	609	34	yi	yi	NOUN
ejde-38	609	35	whenever	whenever	SCONJ
ejde-38	609	36	x	x	SYM
ejde-38	609	37	∈	∈	PROPN
ejde-38	609	38	bi	bi	NOUN
ejde-38	609	39	is	be	AUX
ejde-38	609	40	well	well	ADV
ejde-38	609	41	-	-	PUNCT
ejde-38	609	42	defined	define	VERB
ejde-38	609	43	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	609	44	.	.	PUNCT
ejde-38	610	1	we	we	PRON
ejde-38	610	2	also	also	ADV
ejde-38	610	3	see	see	VERB
ejde-38	610	4	that	that	DET
ejde-38	610	5	t#µ	t#µ	NOUN
ejde-38	610	6	=	=	PUNCT
ejde-38	611	1	∑n	∑n	PROPN
ejde-38	611	2	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	611	3	λ	λ	PROPN
ejde-38	611	4	i	i	PRON
ejde-38	611	5	∞δyi	∞δyi	PROPN
ejde-38	611	6	.	.	PUNCT
ejde-38	612	1	let	let	VERB
ejde-38	612	2	us	we	PRON
ejde-38	612	3	also	also	ADV
ejde-38	612	4	write	write	VERB
ejde-38	612	5	l̃i	l̃i	NOUN
ejde-38	612	6	:	:	PUNCT
ejde-38	612	7	=	=	SYM
ejde-38	612	8	t̃−1({yi	t̃−1({yi	NOUN
ejde-38	612	9	}	}	PUNCT
ejde-38	612	10	)	)	PUNCT
ejde-38	612	11	which	which	PRON
ejde-38	612	12	form	form	VERB
ejde-38	612	13	a	a	DET
ejde-38	612	14	partition	partition	NOUN
ejde-38	612	15	up	up	ADP
ejde-38	612	16	to	to	ADP
ejde-38	612	17	sets	set	NOUN
ejde-38	612	18	of	of	ADP
ejde-38	612	19	µ-measure	µ-measure	NOUN
ejde-38	612	20	zero	zero	NUM
ejde-38	612	21	.	.	PUNCT
ejde-38	613	1	then	then	ADV
ejde-38	613	2	if	if	SCONJ
ejde-38	613	3	x	x	SYM
ejde-38	613	4	∈	∈	PROPN
ejde-38	613	5	bi	bi	NOUN
ejde-38	613	6	with	with	ADP
ejde-38	613	7	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	613	8	(	(	PUNCT
ejde-38	613	9	x	x	NOUN
ejde-38	613	10	)	)	PUNCT
ejde-38	613	11	=	=	SYM
ejde-38	613	12	yj	yj	PROPN
ejde-38	613	13	and	and	CCONJ
ejde-38	613	14	i	i	PROPN
ejde-38	613	15	6=	6=	PROPN
ejde-38	614	1	j	j	PROPN
ejde-38	614	2	,	,	PUNCT
ejde-38	614	3	we	we	PRON
ejde-38	614	4	see	see	VERB
ejde-38	614	5	|x	|x	NOUN
ejde-38	614	6	−	−	PROPN
ejde-38	614	7	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	614	8	(	(	PUNCT
ejde-38	614	9	x)|	x)|	PROPN
ejde-38	614	10	≥	≥	NUM
ejde-38	614	11	|t	|t	PROPN
ejde-38	614	12	(	(	PUNCT
ejde-38	614	13	x	x	X
ejde-38	614	14	)	)	PUNCT
ejde-38	614	15	−	−	PROPN
ejde-38	615	1	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	615	2	(	(	PUNCT
ejde-38	615	3	x)|	x)|	PROPN
ejde-38	615	4	−	−	PROPN
ejde-38	615	5	|x	|x	NOUN
ejde-38	615	6	−	−	PROPN
ejde-38	615	7	t	t	PROPN
ejde-38	615	8	(	(	PUNCT
ejde-38	615	9	x)|	x)|	PROPN
ejde-38	615	10	≥	≥	NUM
ejde-38	615	11	3r/4	3r/4	NUM
ejde-38	615	12	,	,	PUNCT
ejde-38	615	13	while	while	SCONJ
ejde-38	615	14	for	for	ADP
ejde-38	615	15	any	any	DET
ejde-38	615	16	j	j	NOUN
ejde-38	615	17	,	,	PUNCT
ejde-38	615	18	λ̃j	λ̃j	X
ejde-38	615	19	=	=	SYM
ejde-38	615	20	µ(l̃j	µ(l̃j	X
ejde-38	615	21	)	)	PUNCT
ejde-38	615	22	=	=	SYM
ejde-38	615	23	22	22	NUM
ejde-38	615	24	m.	m.	NOUN
ejde-38	615	25	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	615	26	,	,	PUNCT
ejde-38	615	27	j.	j.	PROPN
ejde-38	615	28	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	615	29	ejde-2023/22∑n	ejde-2023/22∑n	VERB
ejde-38	615	30	i=1	i=1	PRON
ejde-38	615	31	λi∞|bi∩l̃j	λi∞|bi∩l̃j	PROPN
ejde-38	615	32	|	|	ADV
ejde-38	615	33	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	615	34	.	.	PUNCT
ejde-38	616	1	hence∫	hence∫	NOUN
ejde-38	616	2	(	(	PUNCT
ejde-38	616	3	|x−	|x−	NOUN
ejde-38	616	4	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	616	5	(	(	PUNCT
ejde-38	616	6	x)|2	x)|2	PROPN
ejde-38	616	7	−	−	PROPN
ejde-38	616	8	|x−	|x−	PROPN
ejde-38	616	9	t	t	PROPN
ejde-38	616	10	(	(	PUNCT
ejde-38	616	11	x)|2	x)|2	PROPN
ejde-38	616	12	)	)	PUNCT
ejde-38	616	13	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	616	14	)	)	PUNCT
ejde-38	616	15	=	=	SYM
ejde-38	617	1	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	617	2	i=1	i=1	X
ejde-38	618	1	λi∞	λi∞	PROPN
ejde-38	618	2	|bi|	|bi|	PROPN
ejde-38	618	3	∑	∑	PROPN
ejde-38	618	4	j	j	PROPN
ejde-38	618	5	6	6	NUM
ejde-38	618	6	=	=	NOUN
ejde-38	618	7	i	i	PROPN
ejde-38	618	8	∫	∫	NOUN
ejde-38	618	9	bi∩l̃j	bi∩l̃j	PROPN
ejde-38	618	10	(	(	PUNCT
ejde-38	618	11	|x−	|x−	NOUN
ejde-38	618	12	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	618	13	(	(	PUNCT
ejde-38	618	14	x)|2	x)|2	PROPN
ejde-38	618	15	−	−	PROPN
ejde-38	618	16	|x−	|x−	PROPN
ejde-38	618	17	t	t	PROPN
ejde-38	618	18	(	(	PUNCT
ejde-38	618	19	x)|2)dx	x)|2)dx	X
ejde-38	618	20	≥	≥	PROPN
ejde-38	618	21	r2	r2	PROPN
ejde-38	618	22	2	2	NUM
ejde-38	618	23	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	618	24	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	618	25	∑	∑	PROPN
ejde-38	618	26	j	j	PROPN
ejde-38	618	27	6	6	NUM
ejde-38	618	28	=	=	NOUN
ejde-38	618	29	i	i	PRON
ejde-38	618	30	λi∞|bi	λi∞|bi	ADJ
ejde-38	618	31	∩	∩	ADJ
ejde-38	618	32	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	618	33	|	|	ADV
ejde-38	618	34	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	618	35	=	=	PUNCT
ejde-38	618	36	r2	r2	PROPN
ejde-38	618	37	2	2	NUM
ejde-38	618	38	(	(	PUNCT
ejde-38	618	39	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	618	40	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	618	41	n∑	n∑	PROPN
ejde-38	619	1	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	620	1	λi∞|bi	λi∞|bi	ADJ
ejde-38	620	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	620	3	l̃j	l̃j	VERB
ejde-38	620	4	|	|	ADV
ejde-38	620	5	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	620	6	−	−	PROPN
ejde-38	620	7	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	620	8	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	621	1	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	621	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	621	3	l̃i|	l̃i|	NOUN
ejde-38	621	4	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	621	5	)	)	PUNCT
ejde-38	622	1	=	=	SYM
ejde-38	622	2	r2	r2	PROPN
ejde-38	622	3	2	2	NUM
ejde-38	622	4	(	(	PUNCT
ejde-38	622	5	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	622	6	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	622	7	λ̃j	λ̃j	VERB
ejde-38	622	8	−	−	PROPN
ejde-38	622	9	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	622	10	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	623	1	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	623	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	623	3	l̃i|	l̃i|	NOUN
ejde-38	623	4	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	623	5	)	)	PUNCT
ejde-38	623	6	=	=	SYM
ejde-38	623	7	r2	r2	PROPN
ejde-38	623	8	2	2	NUM
ejde-38	623	9	(	(	PUNCT
ejde-38	623	10	1−	1−	NUM
ejde-38	623	11	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	623	12	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	624	1	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	624	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	624	3	l̃i|	l̃i|	NOUN
ejde-38	624	4	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	624	5	)	)	PUNCT
ejde-38	624	6	.	.	PUNCT
ejde-38	625	1	(	(	PUNCT
ejde-38	625	2	6.1	6.1	NUM
ejde-38	625	3	)	)	PUNCT
ejde-38	625	4	on	on	ADP
ejde-38	625	5	the	the	DET
ejde-38	625	6	other	other	ADJ
ejde-38	625	7	hand	hand	NOUN
ejde-38	625	8	,	,	PUNCT
ejde-38	625	9	|λ̃−	|λ̃−	NOUN
ejde-38	625	10	λ∞|1	λ∞|1	VERB
ejde-38	625	11	:	:	PUNCT
ejde-38	625	12	=	=	SYM
ejde-38	625	13	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	625	14	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	626	1	|λ̃j	|λ̃j	PUNCT
ejde-38	626	2	−	−	PUNCT
ejde-38	627	1	λj∞|	λj∞|	X
ejde-38	627	2	=	=	SYM
ejde-38	627	3	n∑	n∑	PROPN
ejde-38	627	4	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	627	5	∣∣∣	∣∣∣	PROPN
ejde-38	627	6	n∑	n∑	X
ejde-38	627	7	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	628	1	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	628	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	628	3	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	628	4	|	|	ADV
ejde-38	628	5	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	628	6	−	−	PROPN
ejde-38	628	7	λj∞	λj∞	PROPN
ejde-38	628	8	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-38	628	9	=	=	SYM
ejde-38	628	10	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	628	11	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	628	12	∣∣∣∑	∣∣∣∑	PROPN
ejde-38	629	1	i	i	PRON
ejde-38	629	2	6	6	NUM
ejde-38	629	3	=	=	SYM
ejde-38	629	4	j	j	X
ejde-38	629	5	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	629	6	∩	∩	ADJ
ejde-38	629	7	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	629	8	|	|	ADV
ejde-38	629	9	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	630	1	+	+	CCONJ
ejde-38	630	2	λj∞	λj∞	PROPN
ejde-38	630	3	(	(	PUNCT
ejde-38	630	4	|bj	|bj	X
ejde-38	630	5	∩	∩	ADJ
ejde-38	630	6	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	630	7	|	|	INTJ
ejde-38	631	1	|bj	|bj	INTJ
ejde-38	632	1	|	|	ADV
ejde-38	632	2	−	−	PROPN
ejde-38	632	3	1	1	NUM
ejde-38	632	4	)	)	PUNCT
ejde-38	632	5	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-38	632	6	≤	≤	NUM
ejde-38	632	7	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	632	8	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	632	9	∑	∑	PUNCT
ejde-38	632	10	i6	i6	NOUN
ejde-38	632	11	=	=	NOUN
ejde-38	632	12	j	j	NOUN
ejde-38	632	13	λi∞|bi	λi∞|bi	NOUN
ejde-38	632	14	∩	∩	ADJ
ejde-38	632	15	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	632	16	|	|	ADV
ejde-38	632	17	|bi|	|bi|	ADJ
ejde-38	633	1	+	+	CCONJ
ejde-38	633	2	n∑	n∑	ADJ
ejde-38	633	3	j=1	j=1	NOUN
ejde-38	633	4	λj∞	λj∞	PROPN
ejde-38	633	5	(	(	PUNCT
ejde-38	633	6	1−	1−	NUM
ejde-38	633	7	|bj	|bj	PROPN
ejde-38	633	8	∩	∩	ADJ
ejde-38	633	9	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	633	10	|	|	ADV
ejde-38	633	11	|bj	|bj	NOUN
ejde-38	633	12	|	|	ADV
ejde-38	633	13	)	)	PUNCT
ejde-38	634	1	=	=	PUNCT
ejde-38	635	1	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	635	2	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	635	3	n∑	n∑	PROPN
ejde-38	635	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-38	636	1	λi∞|bi	λi∞|bi	ADV
ejde-38	636	2	∩	∩	ADJ
ejde-38	636	3	l̃j	l̃j	NOUN
ejde-38	636	4	|	|	ADV
ejde-38	636	5	|bi|	|bi|	NUM
ejde-38	636	6	+	+	CCONJ
ejde-38	636	7	1−	1−	NUM
ejde-38	636	8	2	2	NUM
ejde-38	636	9	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	636	10	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	636	11	λj∞|bj	λj∞|bj	PROPN
ejde-38	637	1	∩	∩	ADJ
ejde-38	637	2	l̃j	l̃j	VERB
ejde-38	637	3	|	|	ADV
ejde-38	638	1	|bj	|bj	NOUN
ejde-38	639	1	|	|	NOUN
ejde-38	639	2	=	=	SYM
ejde-38	639	3	2	2	NUM
ejde-38	639	4	(	(	PUNCT
ejde-38	639	5	1−	1−	NUM
ejde-38	639	6	n∑	n∑	NOUN
ejde-38	639	7	j=1	j=1	PROPN
ejde-38	639	8	λj∞|bj	λj∞|bj	PROPN
ejde-38	640	1	∩	∩	ADJ
ejde-38	640	2	l̃j	l̃j	VERB
ejde-38	640	3	|	|	INTJ
ejde-38	640	4	|bj	|bj	NOUN
ejde-38	640	5	|	|	ADV
ejde-38	640	6	)	)	PUNCT
ejde-38	640	7	.	.	PUNCT
ejde-38	641	1	thus	thus	ADV
ejde-38	641	2	combining	combine	VERB
ejde-38	641	3	this	this	PRON
ejde-38	641	4	with	with	ADP
ejde-38	641	5	(	(	PUNCT
ejde-38	641	6	6.1	6.1	NUM
ejde-38	641	7	)	)	PUNCT
ejde-38	641	8	we	we	PRON
ejde-38	641	9	have	have	VERB
ejde-38	641	10	|λ̃−	|λ̃−	NOUN
ejde-38	641	11	λ∞|1	λ∞|1	VERB
ejde-38	641	12	≤	≤	ADV
ejde-38	641	13	4	4	NUM
ejde-38	641	14	r2	r2	PROPN
ejde-38	641	15	∫	∫	PROPN
ejde-38	641	16	(	(	PUNCT
ejde-38	641	17	|x−	|x−	NOUN
ejde-38	641	18	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	641	19	(	(	PUNCT
ejde-38	641	20	x)|2	x)|2	PROPN
ejde-38	641	21	−	−	PROPN
ejde-38	641	22	|x−	|x−	PROPN
ejde-38	641	23	t	t	PROPN
ejde-38	641	24	(	(	PUNCT
ejde-38	641	25	x)|2	x)|2	PROPN
ejde-38	641	26	)	)	PUNCT
ejde-38	641	27	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	641	28	)	)	PUNCT
ejde-38	641	29	≤	≤	NUM
ejde-38	641	30	4	4	NUM
ejde-38	641	31	r2	r2	NOUN
ejde-38	641	32	(	(	PUNCT
ejde-38	641	33	f	f	PROPN
ejde-38	641	34	(	(	PUNCT
ejde-38	641	35	λ∞)−	λ∞)−	PROPN
ejde-38	641	36	f	f	PROPN
ejde-38	641	37	(	(	PUNCT
ejde-38	641	38	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	641	39	)	)	PUNCT
ejde-38	641	40	)	)	PUNCT
ejde-38	642	1	≤	≤	NUM
ejde-38	642	2	4l	4l	NOUN
ejde-38	642	3	r2	r2	PROPN
ejde-38	642	4	|λ̃−	|λ̃−	PROPN
ejde-38	642	5	λ∞|	λ∞|	PROPN
ejde-38	642	6	≤	≤	X
ejde-38	642	7	|λ̃−	|λ̃−	PROPN
ejde-38	642	8	λ∞|	λ∞|	PROPN
ejde-38	642	9	.	.	PUNCT
ejde-38	643	1	(	(	PUNCT
ejde-38	643	2	6.2	6.2	NUM
ejde-38	643	3	)	)	PUNCT
ejde-38	643	4	in	in	ADP
ejde-38	643	5	turn	turn	NOUN
ejde-38	643	6	this	this	PRON
ejde-38	643	7	implies	imply	VERB
ejde-38	643	8	that	that	SCONJ
ejde-38	643	9	for	for	ADP
ejde-38	643	10	at	at	ADP
ejde-38	643	11	most	most	ADV
ejde-38	643	12	one	one	NUM
ejde-38	643	13	index	index	NOUN
ejde-38	643	14	i	i	PRON
ejde-38	643	15	,	,	PUNCT
ejde-38	643	16	we	we	PRON
ejde-38	643	17	can	can	AUX
ejde-38	643	18	have	have	AUX
ejde-38	643	19	|λ̃i	|λ̃i	VERB
ejde-38	643	20	−	−	PROPN
ejde-38	643	21	λi∞|	λi∞|	NOUN
ejde-38	643	22	6=	6=	ADP
ejde-38	643	23	0	0	NUM
ejde-38	643	24	.	.	PUNCT
ejde-38	644	1	however	however	ADV
ejde-38	644	2	,	,	PUNCT
ejde-38	644	3	since	since	SCONJ
ejde-38	644	4	1	1	NUM
ejde-38	644	5	=	=	SYM
ejde-38	644	6	∑	∑	PUNCT
ejde-38	644	7	i	i	PRON
ejde-38	644	8	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	644	9	i	i	PRON
ejde-38	644	10	=	=	PUNCT
ejde-38	644	11	∑	∑	PUNCT
ejde-38	644	12	i	i	PROPN
ejde-38	644	13	λ	λ	VERB
ejde-38	644	14	i	i	VERB
ejde-38	644	15	∞	∞	PROPN
ejde-38	644	16	,	,	PUNCT
ejde-38	644	17	this	this	PRON
ejde-38	644	18	actually	actually	ADV
ejde-38	644	19	implies	imply	VERB
ejde-38	644	20	λ̃	λ̃	PROPN
ejde-38	644	21	=	=	PRON
ejde-38	644	22	λ∞	λ∞	PROPN
ejde-38	644	23	as	as	SCONJ
ejde-38	644	24	claimed	claim	VERB
ejde-38	644	25	.	.	PUNCT
ejde-38	645	1	by	by	ADP
ejde-38	645	2	the	the	DET
ejde-38	645	3	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-38	645	4	in	in	ADP
ejde-38	645	5	remark	remark	NOUN
ejde-38	645	6	4.3	4.3	NUM
ejde-38	645	7	,	,	PUNCT
ejde-38	645	8	this	this	PRON
ejde-38	645	9	also	also	ADV
ejde-38	645	10	shows	show	VERB
ejde-38	645	11	t̃	t̃	PROPN
ejde-38	645	12	≡	≡	PROPN
ejde-38	645	13	t	t	PROPN
ejde-38	645	14	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-38	645	15	.	.	PUNCT
ejde-38	646	1	by	by	ADP
ejde-38	646	2	[	[	X
ejde-38	646	3	9	9	NUM
ejde-38	646	4	,	,	PUNCT
ejde-38	646	5	corollary	corollary	ADJ
ejde-38	646	6	13.3.3	13.3.3	NOUN
ejde-38	646	7	]	]	PUNCT
ejde-38	646	8	and	and	CCONJ
ejde-38	646	9	since	since	SCONJ
ejde-38	646	10	f	f	PROPN
ejde-38	646	11	∗∗∗	∗∗∗	NOUN
ejde-38	646	12	=	=	SYM
ejde-38	646	13	f	f	PROPN
ejde-38	646	14	∗	∗	NOUN
ejde-38	646	15	,	,	PUNCT
ejde-38	646	16	we	we	PRON
ejde-38	646	17	see	see	VERB
ejde-38	646	18	that	that	SCONJ
ejde-38	646	19	f	f	PROPN
ejde-38	646	20	∗∗	∗∗	PROPN
ejde-38	646	21	also	also	ADV
ejde-38	646	22	has	have	AUX
ejde-38	646	23	lipschitz	lipschitz	VERB
ejde-38	646	24	constant	constant	ADJ
ejde-38	646	25	l	l	NOUN
ejde-38	646	26	,	,	PUNCT
ejde-38	646	27	then	then	ADV
ejde-38	646	28	a	a	DET
ejde-38	646	29	calculation	calculation	NOUN
ejde-38	646	30	similar	similar	ADJ
ejde-38	646	31	to	to	ADP
ejde-38	646	32	(	(	PUNCT
ejde-38	646	33	6.2	6.2	NUM
ejde-38	646	34	)	)	PUNCT
ejde-38	646	35	with	with	ADP
ejde-38	646	36	f	f	PROPN
ejde-38	646	37	∗∗	∗∗	PROPN
ejde-38	646	38	replacing	replace	VERB
ejde-38	646	39	f	f	PROPN
ejde-38	646	40	shows	show	VERB
ejde-38	646	41	that	that	SCONJ
ejde-38	646	42	the	the	DET
ejde-38	646	43	ejde-2023/22	ejde-2023/22	NOUN
ejde-38	646	44	an	an	DET
ejde-38	646	45	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	646	46	transport	transport	NOUN
ejde-38	646	47	problem	problem	NOUN
ejde-38	646	48	23	23	NUM
ejde-38	646	49	pair	pair	NOUN
ejde-38	646	50	(	(	PUNCT
ejde-38	646	51	t	t	PROPN
ejde-38	646	52	,	,	PUNCT
ejde-38	646	53	λ∞	λ∞	NUM
ejde-38	646	54	)	)	PUNCT
ejde-38	646	55	minimizes	minimize	NOUN
ejde-38	646	56	(	(	PUNCT
ejde-38	646	57	1.2	1.2	NUM
ejde-38	646	58	)	)	PUNCT
ejde-38	646	59	with	with	ADP
ejde-38	646	60	storage	storage	NOUN
ejde-38	646	61	fee	fee	NOUN
ejde-38	646	62	function	function	NOUN
ejde-38	646	63	f	f	PROPN
ejde-38	646	64	∗∗.	∗∗.	PROPN
ejde-38	646	65	thus	thus	ADV
ejde-38	646	66	,	,	PUNCT
ejde-38	646	67	by	by	ADP
ejde-38	646	68	the	the	DET
ejde-38	646	69	strong	strong	ADJ
ejde-38	646	70	duality	duality	NOUN
ejde-38	646	71	theorem	theorem	VERB
ejde-38	646	72	3.3	3.3	NUM
ejde-38	646	73	we	we	PRON
ejde-38	646	74	have	have	VERB
ejde-38	646	75	mf	mf	X
ejde-38	646	76	−mf	−mf	X
ejde-38	646	77	=	=	PUNCT
ejde-38	646	78	mf	mf	NOUN
ejde-38	646	79	−mf∗∗	−mf∗∗	NOUN
ejde-38	646	80	=	=	SYM
ejde-38	646	81	f	f	PROPN
ejde-38	646	82	(	(	PUNCT
ejde-38	646	83	λ∞)−	λ∞)−	PROPN
ejde-38	646	84	f	f	PROPN
ejde-38	646	85	∗∗(λ∞	∗∗(λ∞	X
ejde-38	646	86	)	)	PUNCT
ejde-38	646	87	=	=	NOUN
ejde-38	647	1	‖f	‖f	ADP
ejde-38	647	2	−	−	X
ejde-38	647	3	f	f	X
ejde-38	647	4	∗∗‖l∞(λ	∗∗‖l∞(λ	NOUN
ejde-38	647	5	)	)	PUNCT
ejde-38	647	6	.	.	PUNCT
ejde-38	648	1	�	�	PROPN
ejde-38	648	2	7	7	NUM
ejde-38	648	3	.	.	PUNCT
ejde-38	649	1	classical	classical	ADJ
ejde-38	649	2	dual	dual	ADJ
ejde-38	649	3	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	649	4	may	may	AUX
ejde-38	649	5	not	not	PART
ejde-38	649	6	be	be	AUX
ejde-38	649	7	dual	dual	ADJ
ejde-38	649	8	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	649	9	example	example	NOUN
ejde-38	649	10	7.1	7.1	NUM
ejde-38	649	11	.	.	PUNCT
ejde-38	650	1	let	let	VERB
ejde-38	650	2	x	x	PUNCT
ejde-38	650	3	=	=	SYM
ejde-38	650	4	r	r	NOUN
ejde-38	650	5	,	,	PUNCT
ejde-38	650	6	n	n	NOUN
ejde-38	650	7	=	=	SYM
ejde-38	650	8	2	2	NUM
ejde-38	650	9	,	,	PUNCT
ejde-38	650	10	y1	y1	NOUN
ejde-38	650	11	=	=	SYM
ejde-38	650	12	−1	−1	NOUN
ejde-38	650	13	,	,	PUNCT
ejde-38	650	14	y2	y2	PROPN
ejde-38	650	15	=	=	SYM
ejde-38	650	16	1	1	NUM
ejde-38	650	17	,	,	PUNCT
ejde-38	650	18	µ	µ	X
ejde-38	650	19	=	=	SYM
ejde-38	650	20	1[−1,−1/2]∪[1/2,1](x)dx	1[−1,−1/2]∪[1/2,1](x)dx	NOUN
ejde-38	650	21	,	,	PUNCT
ejde-38	650	22	and	and	CCONJ
ejde-38	650	23	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	650	24	,	,	PUNCT
ejde-38	650	25	y	y	NOUN
ejde-38	650	26	)	)	PUNCT
ejde-38	650	27	=	=	PUNCT
ejde-38	651	1	|x−y|2/2	|x−y|2/2	PROPN
ejde-38	651	2	.	.	PUNCT
ejde-38	652	1	also	also	ADV
ejde-38	652	2	suppose	suppose	VERB
ejde-38	652	3	f	f	X
ejde-38	652	4	(	(	PUNCT
ejde-38	652	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	652	6	,	,	PUNCT
ejde-38	652	7	λ2	λ2	NOUN
ejde-38	652	8	)	)	PUNCT
ejde-38	652	9	=	=	SYM
ejde-38	652	10	f(λ1	f(λ1	NOUN
ejde-38	652	11	)	)	PUNCT
ejde-38	652	12	on	on	ADP
ejde-38	652	13	λ	λ	NOUN
ejde-38	652	14	,	,	PUNCT
ejde-38	652	15	where	where	SCONJ
ejde-38	652	16	f	f	PROPN
ejde-38	652	17	is	be	AUX
ejde-38	652	18	a	a	DET
ejde-38	652	19	smooth	smooth	ADJ
ejde-38	652	20	,	,	PUNCT
ejde-38	652	21	convex	convex	NOUN
ejde-38	652	22	function	function	NOUN
ejde-38	652	23	with	with	ADP
ejde-38	652	24	a	a	DET
ejde-38	652	25	strict	strict	ADJ
ejde-38	652	26	minimum	minimum	NOUN
ejde-38	652	27	at	at	ADP
ejde-38	652	28	1/2	1/2	NUM
ejde-38	652	29	,	,	PUNCT
ejde-38	652	30	satisfying	satisfy	VERB
ejde-38	652	31	f(1	f(1	PROPN
ejde-38	652	32	−	−	NUM
ejde-38	652	33	λ	λ	NOUN
ejde-38	652	34	)	)	PUNCT
ejde-38	652	35	=	=	SYM
ejde-38	652	36	f(λ	f(λ	NOUN
ejde-38	652	37	)	)	PUNCT
ejde-38	652	38	for	for	ADP
ejde-38	652	39	all	all	DET
ejde-38	652	40	λ	λ	X
ejde-38	652	41	∈	∈	PROPN
ejde-38	653	1	[	[	X
ejde-38	653	2	0	0	NUM
ejde-38	653	3	,	,	PUNCT
ejde-38	653	4	1	1	NUM
ejde-38	653	5	]	]	PUNCT
ejde-38	653	6	.	.	PUNCT
ejde-38	654	1	by	by	ADP
ejde-38	654	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-38	654	3	2.3	2.3	NUM
ejde-38	654	4	there	there	PRON
ejde-38	654	5	is	be	VERB
ejde-38	654	6	a	a	DET
ejde-38	654	7	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-38	654	8	(	(	PUNCT
ejde-38	654	9	γ	γ	X
ejde-38	654	10	,	,	PUNCT
ejde-38	654	11	λ	λ	NOUN
ejde-38	654	12	)	)	PUNCT
ejde-38	654	13	of	of	ADP
ejde-38	654	14	(	(	PUNCT
ejde-38	654	15	1.3	1.3	NUM
ejde-38	654	16	)	)	PUNCT
ejde-38	654	17	,	,	PUNCT
ejde-38	654	18	and	and	CCONJ
ejde-38	654	19	by	by	ADP
ejde-38	654	20	[	[	X
ejde-38	654	21	11	11	NUM
ejde-38	654	22	,	,	PUNCT
ejde-38	654	23	remark	remark	VERB
ejde-38	654	24	2.19	2.19	NUM
ejde-38	654	25	(	(	PUNCT
ejde-38	654	26	iv	iv	NUM
ejde-38	654	27	)	)	PUNCT
ejde-38	654	28	]	]	PUNCT
ejde-38	654	29	,	,	PUNCT
ejde-38	654	30	γ	γ	PROPN
ejde-38	654	31	must	must	AUX
ejde-38	654	32	be	be	AUX
ejde-38	654	33	given	give	VERB
ejde-38	654	34	by	by	ADP
ejde-38	654	35	(	(	PUNCT
ejde-38	654	36	id×tλ)#µ	id×tλ)#µ	NOUN
ejde-38	654	37	for	for	ADP
ejde-38	654	38	some	some	DET
ejde-38	654	39	increasing	increase	VERB
ejde-38	654	40	map	map	NOUN
ejde-38	654	41	tλ	tλ	ADP
ejde-38	654	42	:	:	PUNCT
ejde-38	654	43	r	r	NOUN
ejde-38	654	44	→	→	SYM
ejde-38	654	45	r	r	NOUN
ejde-38	654	46	,	,	PUNCT
ejde-38	654	47	defined	define	VERB
ejde-38	654	48	by	by	ADP
ejde-38	654	49	tλ(x	tλ(x	NOUN
ejde-38	654	50	)	)	PUNCT
ejde-38	654	51	=	=	PRON
ejde-38	654	52	{	{	PUNCT
ejde-38	654	53	−1	−1	NOUN
ejde-38	654	54	,	,	PUNCT
ejde-38	654	55	x	x	SYM
ejde-38	654	56	≤	≤	NUM
ejde-38	654	57	−1	−1	NOUN
ejde-38	655	1	+	+	CCONJ
ejde-38	655	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	655	3	,	,	PUNCT
ejde-38	655	4	1	1	NUM
ejde-38	655	5	,	,	PUNCT
ejde-38	655	6	x	x	X
ejde-38	655	7	>	>	X
ejde-38	655	8	−1	−1	NOUN
ejde-38	656	1	+	+	SYM
ejde-38	656	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	656	3	,	,	PUNCT
ejde-38	656	4	if	if	SCONJ
ejde-38	656	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	656	6	≤	≤	NOUN
ejde-38	656	7	1	1	NUM
ejde-38	656	8	2	2	NUM
ejde-38	656	9	,	,	PUNCT
ejde-38	656	10	and	and	CCONJ
ejde-38	656	11	tλ(x	tλ(x	ADP
ejde-38	656	12	)	)	PUNCT
ejde-38	657	1	=	=	PRON
ejde-38	657	2	{	{	PUNCT
ejde-38	657	3	−1	−1	NOUN
ejde-38	657	4	,	,	PUNCT
ejde-38	657	5	x	x	PUNCT
ejde-38	657	6	≤	≤	PROPN
ejde-38	657	7	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	657	8	,	,	PUNCT
ejde-38	657	9	1	1	NUM
ejde-38	657	10	,	,	PUNCT
ejde-38	657	11	x	x	X
ejde-38	657	12	>	>	X
ejde-38	657	13	λ1	λ1	PROPN
ejde-38	657	14	,	,	PUNCT
ejde-38	657	15	if	if	SCONJ
ejde-38	657	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-38	657	17	>	>	X
ejde-38	657	18	1	1	NUM
ejde-38	657	19	2	2	NUM
ejde-38	657	20	.	.	PUNCT
ejde-38	658	1	then	then	ADV
ejde-38	658	2	,	,	PUNCT
ejde-38	658	3	if	if	SCONJ
ejde-38	658	4	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	658	5	≤	≤	NOUN
ejde-38	658	6	1/2,∫	1/2,∫	NUM
ejde-38	658	7	r	r	NOUN
ejde-38	658	8	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	658	9	,	,	PUNCT
ejde-38	658	10	tλ(x	tλ(x	NOUN
ejde-38	658	11	)	)	PUNCT
ejde-38	658	12	)	)	PUNCT
ejde-38	658	13	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-38	658	14	)	)	PUNCT
ejde-38	659	1	+	+	CCONJ
ejde-38	659	2	f	f	X
ejde-38	659	3	(	(	PUNCT
ejde-38	659	4	λ	λ	NOUN
ejde-38	659	5	)	)	PUNCT
ejde-38	659	6	=	=	SYM
ejde-38	659	7	1	1	NUM
ejde-38	659	8	2	2	NUM
ejde-38	659	9	(	(	PUNCT
ejde-38	659	10	∫	∫	PROPN
ejde-38	659	11	−1+λ1	−1+λ1	PROPN
ejde-38	659	12	−1	−1	NOUN
ejde-38	659	13	(	(	PUNCT
ejde-38	659	14	x+	x+	PROPN
ejde-38	659	15	1)2dx+	1)2dx+	NUM
ejde-38	659	16	∫	∫	NOUN
ejde-38	659	17	−1/2	−1/2	ADJ
ejde-38	659	18	−1+λ1	−1+λ1	PROPN
ejde-38	659	19	(	(	PUNCT
ejde-38	659	20	x−	x−	PROPN
ejde-38	659	21	1)2dx+	1)2dx+	NUM
ejde-38	659	22	∫	∫	NOUN
ejde-38	659	23	1	1	NUM
ejde-38	659	24	1	1	NUM
ejde-38	659	25	2	2	NUM
ejde-38	659	26	(	(	PUNCT
ejde-38	659	27	x−	x−	PROPN
ejde-38	659	28	1)2dx	1)2dx	NUM
ejde-38	659	29	)	)	PUNCT
ejde-38	659	30	+	+	PUNCT
ejde-38	659	31	f(λ1	f(λ1	NOUN
ejde-38	659	32	)	)	PUNCT
ejde-38	659	33	=	=	SYM
ejde-38	659	34	f(λ1	f(λ1	NOUN
ejde-38	659	35	)	)	PUNCT
ejde-38	660	1	+	+	CCONJ
ejde-38	660	2	λ2	λ2	NOUN
ejde-38	660	3	1	1	NUM
ejde-38	660	4	3	3	NUM
ejde-38	660	5	−	−	NOUN
ejde-38	660	6	2λ1	2λ1	NUM
ejde-38	660	7	3	3	NUM
ejde-38	660	8	+	+	SYM
ejde-38	660	9	19	19	NUM
ejde-38	660	10	24	24	NUM
ejde-38	660	11	,	,	PUNCT
ejde-38	660	12	which	which	PRON
ejde-38	660	13	is	be	AUX
ejde-38	660	14	minimized	minimize	VERB
ejde-38	660	15	at	at	ADP
ejde-38	660	16	λ1	λ1	PROPN
ejde-38	660	17	=	=	SYM
ejde-38	660	18	1/2	1/2	NUM
ejde-38	660	19	.	.	PUNCT
ejde-38	661	1	by	by	ADP
ejde-38	661	2	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-38	661	3	the	the	DET
ejde-38	661	4	case	case	NOUN
ejde-38	661	5	λ1	λ1	VERB
ejde-38	661	6	≥	≥	NUM
ejde-38	661	7	1/2	1/2	NUM
ejde-38	661	8	has	have	VERB
ejde-38	661	9	a	a	DET
ejde-38	661	10	minimum	minimum	NOUN
ejde-38	661	11	when	when	SCONJ
ejde-38	661	12	λ1	λ1	ADJ
ejde-38	661	13	=	=	SYM
ejde-38	661	14	1/2	1/2	NUM
ejde-38	661	15	,	,	PUNCT
ejde-38	661	16	hence	hence	ADV
ejde-38	661	17	λ	λ	X
ejde-38	661	18	=	=	SYM
ejde-38	661	19	(	(	PUNCT
ejde-38	661	20	1/2	1/2	NUM
ejde-38	661	21	,	,	PUNCT
ejde-38	661	22	1/2	1/2	NUM
ejde-38	661	23	)	)	PUNCT
ejde-38	661	24	,	,	PUNCT
ejde-38	661	25	and	and	CCONJ
ejde-38	661	26	the	the	DET
ejde-38	661	27	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	661	28	map	map	NOUN
ejde-38	661	29	t	t	NOUN
ejde-38	661	30	:	:	PUNCT
ejde-38	661	31	=	=	SYM
ejde-38	661	32	t(1/2,1/2	t(1/2,1/2	NOUN
ejde-38	661	33	)	)	PUNCT
ejde-38	661	34	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-38	661	35	t	t	PROPN
ejde-38	661	36	(	(	PUNCT
ejde-38	661	37	[	[	X
ejde-38	661	38	−1,−1/2	−1,−1/2	X
ejde-38	661	39	]	]	X
ejde-38	661	40	)	)	PUNCT
ejde-38	662	1	=	=	SYM
ejde-38	662	2	−1	−1	NOUN
ejde-38	662	3	,	,	PUNCT
ejde-38	662	4	t	t	PROPN
ejde-38	662	5	(	(	PUNCT
ejde-38	662	6	[	[	X
ejde-38	662	7	1/2	1/2	NUM
ejde-38	662	8	,	,	PUNCT
ejde-38	662	9	1	1	NUM
ejde-38	662	10	]	]	PUNCT
ejde-38	662	11	)	)	PUNCT
ejde-38	662	12	=	=	SYM
ejde-38	663	1	1	1	X
ejde-38	663	2	.	.	X
ejde-38	663	3	for	for	ADP
ejde-38	663	4	ψ	ψ	X
ejde-38	663	5	:	:	PUNCT
ejde-38	663	6	=	=	SYM
ejde-38	663	7	(	(	PUNCT
ejde-38	663	8	ψ1	ψ1	NOUN
ejde-38	663	9	,	,	PUNCT
ejde-38	663	10	ψ2	ψ2	NOUN
ejde-38	663	11	)	)	PUNCT
ejde-38	663	12	∈	∈	NOUN
ejde-38	663	13	r2	r2	NOUN
ejde-38	663	14	,	,	PUNCT
ejde-38	663	15	let	let	VERB
ejde-38	663	16	ϕψ	ϕψ	ADP
ejde-38	663	17	:	:	PUNCT
ejde-38	663	18	=	=	SYM
ejde-38	663	19	max	max	PROPN
ejde-38	663	20	(	(	PUNCT
ejde-38	663	21	−	−	PROPN
ejde-38	663	22	|x+	|x+	PROPN
ejde-38	663	23	1|2	1|2	NUM
ejde-38	663	24	2	2	NUM
ejde-38	663	25	−	−	NOUN
ejde-38	663	26	ψ1,−|x−	ψ1,−|x−	PROPN
ejde-38	663	27	1|2	1|2	NUM
ejde-38	663	28	2	2	NUM
ejde-38	663	29	−	−	NOUN
ejde-38	663	30	ψ2	ψ2	NOUN
ejde-38	663	31	)	)	PUNCT
ejde-38	663	32	.	.	PUNCT
ejde-38	664	1	if	if	SCONJ
ejde-38	664	2	ψ2−ψ1	ψ2−ψ1	NUM
ejde-38	664	3	∈	∈	PROPN
ejde-38	664	4	[	[	X
ejde-38	664	5	−1	−1	NOUN
ejde-38	664	6	,	,	PUNCT
ejde-38	664	7	1	1	NUM
ejde-38	664	8	]	]	PUNCT
ejde-38	664	9	,	,	PUNCT
ejde-38	664	10	then	then	ADV
ejde-38	664	11	−	−	PROPN
ejde-38	664	12	|x+1|2	|x+1|2	NUM
ejde-38	664	13	2	2	NUM
ejde-38	664	14	−ψ1	−ψ1	PROPN
ejde-38	664	15	≥	≥	NOUN
ejde-38	664	16	−	−	NOUN
ejde-38	664	17	|x−1|2	|x−1|2	PROPN
ejde-38	664	18	2	2	NUM
ejde-38	664	19	−ψ2	−ψ2	VERB
ejde-38	664	20	on	on	ADP
ejde-38	664	21	[	[	X
ejde-38	664	22	−1,−1/2	−1,−1/2	X
ejde-38	664	23	]	]	PUNCT
ejde-38	664	24	and	and	CCONJ
ejde-38	664	25	vice	vice	ADV
ejde-38	664	26	versa	versa	ADV
ejde-38	664	27	on	on	ADP
ejde-38	664	28	[	[	X
ejde-38	664	29	1/2	1/2	NUM
ejde-38	664	30	,	,	PUNCT
ejde-38	664	31	1	1	NUM
ejde-38	664	32	]	]	PUNCT
ejde-38	664	33	.	.	PUNCT
ejde-38	665	1	thus	thus	ADV
ejde-38	665	2	−ϕψ(x)−	−ϕψ(x)−	PROPN
ejde-38	665	3	ψ1	ψ1	NOUN
ejde-38	665	4	=	=	SYM
ejde-38	665	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	665	6	,	,	PUNCT
ejde-38	665	7	t	t	PROPN
ejde-38	665	8	(	(	PUNCT
ejde-38	665	9	x	x	NOUN
ejde-38	665	10	)	)	PUNCT
ejde-38	665	11	)	)	PUNCT
ejde-38	665	12	,	,	PUNCT
ejde-38	665	13	∀x	∀x	VERB
ejde-38	665	14	∈	∈	PROPN
ejde-38	666	1	[	[	X
ejde-38	666	2	−1,−1	−1,−1	NOUN
ejde-38	666	3	2	2	NUM
ejde-38	666	4	]	]	PUNCT
ejde-38	666	5	,	,	PUNCT
ejde-38	666	6	−ϕψ(x)−	−ϕψ(x)−	PROPN
ejde-38	666	7	ψ2	ψ2	NOUN
ejde-38	666	8	=	=	SYM
ejde-38	666	9	c(x	c(x	NOUN
ejde-38	666	10	,	,	PUNCT
ejde-38	666	11	t	t	PROPN
ejde-38	666	12	(	(	PUNCT
ejde-38	666	13	x	x	NOUN
ejde-38	666	14	)	)	PUNCT
ejde-38	666	15	)	)	PUNCT
ejde-38	666	16	,	,	PUNCT
ejde-38	666	17	∀x	∀x	X
ejde-38	666	18	∈	∈	PROPN
ejde-38	666	19	[	[	PUNCT
ejde-38	666	20	1	1	NUM
ejde-38	666	21	2	2	NUM
ejde-38	666	22	,	,	PUNCT
ejde-38	666	23	1	1	NUM
ejde-38	666	24	]	]	PUNCT
ejde-38	666	25	,	,	PUNCT
ejde-38	666	26	and	and	CCONJ
ejde-38	666	27	by	by	ADP
ejde-38	666	28	[	[	X
ejde-38	666	29	12	12	NUM
ejde-38	666	30	,	,	PUNCT
ejde-38	666	31	remark	remark	NOUN
ejde-38	666	32	5.13	5.13	NUM
ejde-38	666	33	]	]	PUNCT
ejde-38	666	34	,	,	PUNCT
ejde-38	666	35	for	for	SCONJ
ejde-38	666	36	all	all	PRON
ejde-38	666	37	such	such	ADJ
ejde-38	666	38	ψ	ψ	ADP
ejde-38	666	39	the	the	DET
ejde-38	666	40	pair	pair	NOUN
ejde-38	666	41	(	(	PUNCT
ejde-38	666	42	ϕψ	ϕψ	INTJ
ejde-38	666	43	,	,	PUNCT
ejde-38	666	44	ψ	ψ	NOUN
ejde-38	666	45	)	)	PUNCT
ejde-38	666	46	is	be	AUX
ejde-38	666	47	a	a	DET
ejde-38	666	48	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-38	666	49	in	in	ADP
ejde-38	666	50	the	the	DET
ejde-38	666	51	classical	classical	ADJ
ejde-38	666	52	dual	dual	ADJ
ejde-38	666	53	problem	problem	NOUN
ejde-38	666	54	from	from	ADP
ejde-38	666	55	µ	µ	PRON
ejde-38	666	56	to	to	PART
ejde-38	666	57	1	1	NUM
ejde-38	666	58	2	2	NUM
ejde-38	666	59	(	(	PUNCT
ejde-38	666	60	δ−1	δ−1	PROPN
ejde-38	666	61	+	+	NUM
ejde-38	666	62	δ1	δ1	NOUN
ejde-38	666	63	)	)	PUNCT
ejde-38	666	64	(	(	PUNCT
ejde-38	666	65	identifying	identify	VERB
ejde-38	666	66	ψ	ψ	X
ejde-38	666	67	∈	∈	PROPN
ejde-38	666	68	r2	r2	PROPN
ejde-38	666	69	with	with	ADP
ejde-38	666	70	a	a	DET
ejde-38	666	71	function	function	NOUN
ejde-38	666	72	in	in	ADP
ejde-38	666	73	l1	l1	PROPN
ejde-38	666	74	(	(	PUNCT
ejde-38	666	75	1	1	NUM
ejde-38	666	76	2	2	NUM
ejde-38	666	77	(	(	PUNCT
ejde-38	666	78	δ−1	δ−1	PROPN
ejde-38	666	79	+	+	NUM
ejde-38	666	80	δ1	δ1	NOUN
ejde-38	666	81	)	)	PUNCT
ejde-38	666	82	)	)	PUNCT
ejde-38	666	83	)	)	PUNCT
ejde-38	666	84	.	.	PUNCT
ejde-38	667	1	by	by	ADP
ejde-38	667	2	the	the	DET
ejde-38	667	3	choice	choice	NOUN
ejde-38	667	4	of	of	ADP
ejde-38	667	5	f	f	PROPN
ejde-38	667	6	,	,	PUNCT
ejde-38	667	7	we	we	PRON
ejde-38	667	8	see	see	VERB
ejde-38	667	9	that	that	SCONJ
ejde-38	667	10	∂f	∂f	PROPN
ejde-38	667	11	(	(	PUNCT
ejde-38	667	12	1/2	1/2	NUM
ejde-38	667	13	,	,	PUNCT
ejde-38	667	14	1/2	1/2	NUM
ejde-38	667	15	)	)	PUNCT
ejde-38	667	16	=	=	PRON
ejde-38	667	17	{	{	PUNCT
ejde-38	667	18	(	(	PUNCT
ejde-38	667	19	r	r	NOUN
ejde-38	667	20	,	,	PUNCT
ejde-38	667	21	r	r	NOUN
ejde-38	667	22	)	)	PUNCT
ejde-38	667	23	:	:	PUNCT
ejde-38	667	24	r	r	NOUN
ejde-38	667	25	∈	∈	PROPN
ejde-38	667	26	r	r	NOUN
ejde-38	667	27	}	}	PUNCT
ejde-38	667	28	,	,	PUNCT
ejde-38	667	29	which	which	PRON
ejde-38	667	30	does	do	AUX
ejde-38	667	31	not	not	PART
ejde-38	667	32	contain	contain	VERB
ejde-38	667	33	all	all	DET
ejde-38	667	34	ψ	ψ	NOUN
ejde-38	667	35	as	as	ADV
ejde-38	667	36	above	above	ADV
ejde-38	667	37	.	.	PUNCT
ejde-38	668	1	hence	hence	ADV
ejde-38	668	2	by	by	ADP
ejde-38	668	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-38	668	4	3.10	3.10	NUM
ejde-38	668	5	,	,	PUNCT
ejde-38	668	6	not	not	PART
ejde-38	668	7	all	all	DET
ejde-38	668	8	classical	classical	ADJ
ejde-38	668	9	dual	dual	ADJ
ejde-38	668	10	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	668	11	are	be	AUX
ejde-38	668	12	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	668	13	in	in	ADP
ejde-38	668	14	(	(	PUNCT
ejde-38	668	15	3.1	3.1	NUM
ejde-38	668	16	)	)	PUNCT
ejde-38	668	17	.	.	PUNCT
ejde-38	669	1	24	24	NUM
ejde-38	669	2	m.	m.	NOUN
ejde-38	669	3	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	669	4	,	,	PUNCT
ejde-38	669	5	j.	j.	PROPN
ejde-38	669	6	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	669	7	ejde-2023/22	ejde-2023/22	PROPN
ejde-38	669	8	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-38	669	9	.	.	PUNCT
ejde-38	670	1	j.	j.	PROPN
ejde-38	670	2	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	670	3	was	be	AUX
ejde-38	670	4	supported	support	VERB
ejde-38	670	5	by	by	ADP
ejde-38	670	6	the	the	DET
ejde-38	670	7	national	national	PROPN
ejde-38	670	8	science	science	PROPN
ejde-38	670	9	foundation	foundation	PROPN
ejde-38	670	10	grants	grant	NOUN
ejde-38	670	11	dms-1700094	dms-1700094	NOUN
ejde-38	670	12	and	and	CCONJ
ejde-38	670	13	dms-2000128	dms-2000128	NOUN
ejde-38	670	14	.	.	PUNCT
ejde-38	671	1	part	part	NOUN
ejde-38	671	2	of	of	ADP
ejde-38	671	3	this	this	DET
ejde-38	671	4	research	research	NOUN
ejde-38	671	5	was	be	AUX
ejde-38	671	6	performed	perform	VERB
ejde-38	671	7	while	while	SCONJ
ejde-38	671	8	j.	j.	PROPN
ejde-38	671	9	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	671	10	was	be	AUX
ejde-38	671	11	visiting	visit	VERB
ejde-38	671	12	the	the	DET
ejde-38	671	13	institute	institute	NOUN
ejde-38	671	14	for	for	ADP
ejde-38	671	15	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-38	671	16	and	and	CCONJ
ejde-38	671	17	statistical	statistical	ADJ
ejde-38	671	18	innovation	innovation	NOUN
ejde-38	671	19	(	(	PUNCT
ejde-38	671	20	imsi	imsi	PROPN
ejde-38	671	21	)	)	PUNCT
ejde-38	671	22	,	,	PUNCT
ejde-38	671	23	while	while	SCONJ
ejde-38	671	24	supported	support	VERB
ejde-38	671	25	by	by	ADP
ejde-38	671	26	the	the	DET
ejde-38	671	27	national	national	PROPN
ejde-38	671	28	science	science	PROPN
ejde-38	671	29	foundation	foundation	PROPN
ejde-38	671	30	(	(	PUNCT
ejde-38	671	31	grant	grant	VERB
ejde-38	671	32	no	no	INTJ
ejde-38	671	33	.	.	NOUN
ejde-38	671	34	dms-1929348	dms-1929348	NOUN
ejde-38	671	35	)	)	PUNCT
ejde-38	671	36	.	.	PUNCT
ejde-38	672	1	m.	m.	NOUN
ejde-38	672	2	bansil	bansil	PROPN
ejde-38	672	3	was	be	AUX
ejde-38	672	4	supported	support	VERB
ejde-38	672	5	by	by	ADP
ejde-38	672	6	the	the	DET
ejde-38	672	7	national	national	PROPN
ejde-38	672	8	science	science	PROPN
ejde-38	672	9	foundation	foundation	PROPN
ejde-38	672	10	graduate	graduate	PROPN
ejde-38	672	11	research	research	NOUN
ejde-38	672	12	fellowship	fellowship	NOUN
ejde-38	672	13	under	under	ADP
ejde-38	672	14	grant	grant	PROPN
ejde-38	672	15	no	no	PROPN
ejde-38	672	16	.	.	PROPN
ejde-38	672	17	dge-1650604	dge-1650604	PROPN
ejde-38	672	18	.	.	PUNCT
ejde-38	673	1	references	reference	NOUN
ejde-38	673	2	[	[	X
ejde-38	673	3	1	1	NUM
ejde-38	673	4	]	]	PUNCT
ejde-38	673	5	mohit	mohit	NOUN
ejde-38	673	6	bansil	bansil	NOUN
ejde-38	673	7	,	,	PUNCT
ejde-38	673	8	jun	jun	PROPN
ejde-38	673	9	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	673	10	;	;	PUNCT
ejde-38	673	11	a	a	DET
ejde-38	673	12	newton	newton	PROPN
ejde-38	673	13	algorithm	algorithm	NOUN
ejde-38	673	14	for	for	ADP
ejde-38	673	15	semidiscrete	semidiscrete	ADJ
ejde-38	673	16	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	673	17	transport	transport	NOUN
ejde-38	673	18	with	with	ADP
ejde-38	673	19	storage	storage	NOUN
ejde-38	673	20	fees	fee	NOUN
ejde-38	673	21	,	,	PUNCT
ejde-38	673	22	siam	siam	PROPN
ejde-38	673	23	j.	j.	PROPN
ejde-38	673	24	optim	optim	PROPN
ejde-38	673	25	.	.	PROPN
ejde-38	674	1	31	31	NUM
ejde-38	674	2	(	(	PUNCT
ejde-38	674	3	2021	2021	NUM
ejde-38	674	4	)	)	PUNCT
ejde-38	674	5	,	,	PUNCT
ejde-38	675	1	no	no	INTJ
ejde-38	675	2	.	.	NOUN
ejde-38	675	3	4	4	NUM
ejde-38	675	4	,	,	PUNCT
ejde-38	675	5	2586–2613	2586–2613	NUM
ejde-38	675	6	.	.	PUNCT
ejde-38	676	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	676	2	4329988	4329988	NUM
ejde-38	676	3	[	[	X
ejde-38	676	4	2	2	NUM
ejde-38	676	5	]	]	X
ejde-38	676	6	patrick	patrick	PROPN
ejde-38	676	7	billingsley	billingsley	PROPN
ejde-38	676	8	;	;	PUNCT
ejde-38	676	9	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	676	10	of	of	ADP
ejde-38	676	11	probability	probability	NOUN
ejde-38	676	12	measures	measure	NOUN
ejde-38	676	13	,	,	PUNCT
ejde-38	676	14	second	second	ADJ
ejde-38	676	15	ed	ed	NOUN
ejde-38	676	16	.	.	PROPN
ejde-38	676	17	,	,	PUNCT
ejde-38	676	18	wiley	wiley	PROPN
ejde-38	676	19	series	series	PROPN
ejde-38	676	20	in	in	ADP
ejde-38	676	21	probability	probability	NOUN
ejde-38	676	22	and	and	CCONJ
ejde-38	676	23	statistics	statistic	NOUN
ejde-38	676	24	:	:	PUNCT
ejde-38	676	25	probability	probability	NOUN
ejde-38	676	26	and	and	CCONJ
ejde-38	676	27	statistics	statistic	NOUN
ejde-38	676	28	,	,	PUNCT
ejde-38	676	29	john	john	PROPN
ejde-38	676	30	wiley	wiley	PROPN
ejde-38	676	31	&	&	CCONJ
ejde-38	676	32	sons	sons	PROPN
ejde-38	676	33	,	,	PUNCT
ejde-38	676	34	inc	inc	PROPN
ejde-38	676	35	.	.	PROPN
ejde-38	676	36	,	,	PUNCT
ejde-38	676	37	new	new	PROPN
ejde-38	676	38	york	york	PROPN
ejde-38	676	39	,	,	PUNCT
ejde-38	676	40	1999	1999	NUM
ejde-38	676	41	,	,	PUNCT
ejde-38	676	42	a	a	DET
ejde-38	676	43	wiley	wiley	NOUN
ejde-38	676	44	-	-	PUNCT
ejde-38	676	45	interscience	interscience	NOUN
ejde-38	676	46	publication	publication	NOUN
ejde-38	676	47	.	.	PUNCT
ejde-38	677	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	677	2	1700749	1700749	PROPN
ejde-38	677	3	[	[	X
ejde-38	677	4	3	3	X
ejde-38	677	5	]	]	PUNCT
ejde-38	677	6	v.	v.	PROPN
ejde-38	677	7	i.	i.	PROPN
ejde-38	677	8	bogachev	bogachev	PROPN
ejde-38	677	9	;	;	PUNCT
ejde-38	677	10	measure	measure	NOUN
ejde-38	677	11	theory	theory	NOUN
ejde-38	677	12	.	.	PUNCT
ejde-38	678	1	vol	vol	NOUN
ejde-38	678	2	.	.	PUNCT
ejde-38	679	1	i	i	PRON
ejde-38	679	2	,	,	PUNCT
ejde-38	679	3	ii	ii	PROPN
ejde-38	679	4	,	,	PUNCT
ejde-38	679	5	springer	springer	NOUN
ejde-38	679	6	-	-	PUNCT
ejde-38	679	7	verlag	verlag	PROPN
ejde-38	679	8	,	,	PUNCT
ejde-38	679	9	berlin	berlin	PROPN
ejde-38	679	10	,	,	PUNCT
ejde-38	679	11	2007	2007	NUM
ejde-38	679	12	.	.	PUNCT
ejde-38	680	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	680	2	2267655	2267655	NUM
ejde-38	680	3	[	[	X
ejde-38	680	4	4	4	X
ejde-38	680	5	]	]	PUNCT
ejde-38	680	6	andrea	andrea	PROPN
ejde-38	680	7	braides	braide	NOUN
ejde-38	680	8	;	;	PUNCT
ejde-38	680	9	γ	γ	X
ejde-38	680	10	-	-	NOUN
ejde-38	680	11	convergence	convergence	NOUN
ejde-38	680	12	for	for	ADP
ejde-38	680	13	beginners	beginner	NOUN
ejde-38	680	14	,	,	PUNCT
ejde-38	680	15	oxford	oxford	PROPN
ejde-38	680	16	lecture	lecture	NOUN
ejde-38	680	17	series	series	NOUN
ejde-38	680	18	in	in	ADP
ejde-38	680	19	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-38	680	20	and	and	CCONJ
ejde-38	680	21	its	its	PRON
ejde-38	680	22	applications	application	NOUN
ejde-38	680	23	,	,	PUNCT
ejde-38	680	24	vol	vol	NOUN
ejde-38	680	25	.	.	PROPN
ejde-38	680	26	22	22	NUM
ejde-38	680	27	,	,	PUNCT
ejde-38	680	28	oxford	oxford	PROPN
ejde-38	680	29	university	university	PROPN
ejde-38	680	30	press	press	NOUN
ejde-38	680	31	,	,	PUNCT
ejde-38	680	32	oxford	oxford	PROPN
ejde-38	680	33	,	,	PUNCT
ejde-38	680	34	2002	2002	NUM
ejde-38	680	35	.	.	PUNCT
ejde-38	681	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	681	2	1968440	1968440	NUM
ejde-38	681	3	[	[	X
ejde-38	681	4	5	5	NUM
ejde-38	681	5	]	]	X
ejde-38	681	6	guillaume	guillaume	NOUN
ejde-38	681	7	carlier	carlier	NOUN
ejde-38	681	8	,	,	PUNCT
ejde-38	681	9	lina	lina	PROPN
ejde-38	681	10	mallozzi	mallozzi	PROPN
ejde-38	681	11	;	;	PUNCT
ejde-38	681	12	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	681	13	monopoly	monopoly	NOUN
ejde-38	681	14	pricing	pricing	NOUN
ejde-38	681	15	with	with	ADP
ejde-38	681	16	congestion	congestion	NOUN
ejde-38	681	17	and	and	CCONJ
ejde-38	681	18	random	random	ADJ
ejde-38	681	19	utility	utility	NOUN
ejde-38	681	20	via	via	ADP
ejde-38	681	21	partial	partial	ADJ
ejde-38	681	22	mass	mass	NOUN
ejde-38	681	23	transport	transport	NOUN
ejde-38	681	24	,	,	PUNCT
ejde-38	681	25	j.	j.	PROPN
ejde-38	681	26	math	math	PROPN
ejde-38	681	27	.	.	PUNCT
ejde-38	682	1	anal	anal	PROPN
ejde-38	682	2	.	.	PUNCT
ejde-38	683	1	appl	appl	PROPN
ejde-38	683	2	.	.	PUNCT
ejde-38	684	1	457	457	NUM
ejde-38	684	2	(	(	PUNCT
ejde-38	684	3	2018	2018	NUM
ejde-38	684	4	)	)	PUNCT
ejde-38	684	5	,	,	PUNCT
ejde-38	684	6	no	no	INTJ
ejde-38	684	7	.	.	NOUN
ejde-38	684	8	2	2	NUM
ejde-38	684	9	,	,	PUNCT
ejde-38	684	10	1218–1231	1218–1231	NUM
ejde-38	684	11	.	.	PUNCT
ejde-38	685	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	685	2	3705351	3705351	PROPN
ejde-38	685	3	[	[	X
ejde-38	685	4	6	6	NUM
ejde-38	685	5	]	]	PUNCT
ejde-38	685	6	gianluca	gianluca	PROPN
ejde-38	685	7	crippa	crippa	PROPN
ejde-38	685	8	,	,	PUNCT
ejde-38	685	9	chloé	chloé	NOUN
ejde-38	685	10	jimenez	jimenez	PROPN
ejde-38	685	11	,	,	PUNCT
ejde-38	685	12	aldo	aldo	PROPN
ejde-38	685	13	pratelli	pratelli	PROPN
ejde-38	685	14	;	;	PUNCT
ejde-38	685	15	optimum	optimum	ADJ
ejde-38	685	16	and	and	CCONJ
ejde-38	685	17	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-38	685	18	in	in	ADP
ejde-38	685	19	a	a	DET
ejde-38	685	20	transport	transport	NOUN
ejde-38	685	21	problem	problem	NOUN
ejde-38	685	22	with	with	ADP
ejde-38	685	23	queue	queue	NOUN
ejde-38	685	24	penalization	penalization	NOUN
ejde-38	685	25	effect	effect	NOUN
ejde-38	685	26	,	,	PUNCT
ejde-38	685	27	adv	adv	PROPN
ejde-38	685	28	.	.	PUNCT
ejde-38	685	29	calc	calc	PROPN
ejde-38	685	30	.	.	PUNCT
ejde-38	686	1	var	var	NOUN
ejde-38	686	2	.	.	PUNCT
ejde-38	687	1	2	2	NUM
ejde-38	687	2	(	(	PUNCT
ejde-38	687	3	2009	2009	NUM
ejde-38	687	4	)	)	PUNCT
ejde-38	687	5	,	,	PUNCT
ejde-38	687	6	no	no	INTJ
ejde-38	687	7	.	.	NOUN
ejde-38	687	8	3	3	NUM
ejde-38	687	9	,	,	PUNCT
ejde-38	687	10	207–246	207–246	NUM
ejde-38	687	11	.	.	PUNCT
ejde-38	688	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	688	2	2537021	2537021	NUM
ejde-38	688	3	[	[	X
ejde-38	688	4	7	7	X
ejde-38	688	5	]	]	X
ejde-38	688	6	claude	claude	PROPN
ejde-38	688	7	dellacherie	dellacherie	PROPN
ejde-38	688	8	,	,	PUNCT
ejde-38	688	9	paul	paul	PROPN
ejde-38	688	10	-	-	PUNCT
ejde-38	688	11	andré	andré	ADJ
ejde-38	688	12	meyer	meyer	PROPN
ejde-38	688	13	;	;	PUNCT
ejde-38	688	14	probabilities	probability	NOUN
ejde-38	688	15	and	and	CCONJ
ejde-38	688	16	potential	potential	ADJ
ejde-38	688	17	,	,	PUNCT
ejde-38	688	18	north	north	NOUN
ejde-38	688	19	-	-	PUNCT
ejde-38	688	20	holland	holland	PROPN
ejde-38	688	21	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-38	688	22	studies	study	NOUN
ejde-38	688	23	,	,	PUNCT
ejde-38	688	24	vol	vol	NOUN
ejde-38	688	25	.	.	PROPN
ejde-38	688	26	29	29	NUM
ejde-38	688	27	,	,	PUNCT
ejde-38	688	28	north	north	NOUN
ejde-38	688	29	-	-	PUNCT
ejde-38	688	30	holland	holland	PROPN
ejde-38	688	31	publishing	publishing	PROPN
ejde-38	688	32	co.	co.	PROPN
ejde-38	688	33	,	,	PUNCT
ejde-38	688	34	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-38	688	35	-	-	PUNCT
ejde-38	688	36	new	new	PROPN
ejde-38	688	37	york	york	PROPN
ejde-38	688	38	,	,	PUNCT
ejde-38	688	39	1978	1978	NUM
ejde-38	688	40	.	.	PUNCT
ejde-38	689	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	689	2	521810	521810	NUM
ejde-38	689	3	[	[	X
ejde-38	689	4	8	8	NUM
ejde-38	689	5	]	]	X
ejde-38	689	6	lina	lina	PROPN
ejde-38	689	7	mallozzi	mallozzi	PROPN
ejde-38	689	8	,	,	PUNCT
ejde-38	689	9	antonia	antonia	PROPN
ejde-38	689	10	passarelli	passarelli	PROPN
ejde-38	689	11	di	di	PROPN
ejde-38	689	12	napoli	napoli	PROPN
ejde-38	689	13	;	;	PUNCT
ejde-38	689	14	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	689	15	transport	transport	NOUN
ejde-38	689	16	and	and	CCONJ
ejde-38	689	17	a	a	DET
ejde-38	689	18	bilevel	bilevel	ADJ
ejde-38	689	19	locationallocation	locationallocation	NOUN
ejde-38	689	20	problem	problem	NOUN
ejde-38	689	21	,	,	PUNCT
ejde-38	689	22	j.	j.	PROPN
ejde-38	689	23	global	global	PROPN
ejde-38	689	24	optim	optim	PROPN
ejde-38	689	25	.	.	PUNCT
ejde-38	690	1	67	67	NUM
ejde-38	690	2	(	(	PUNCT
ejde-38	690	3	2017	2017	NUM
ejde-38	690	4	)	)	PUNCT
ejde-38	690	5	,	,	PUNCT
ejde-38	690	6	no	no	INTJ
ejde-38	690	7	.	.	NOUN
ejde-38	690	8	1	1	NUM
ejde-38	690	9	-	-	SYM
ejde-38	690	10	2	2	NUM
ejde-38	690	11	,	,	PUNCT
ejde-38	690	12	207–221	207–221	NUM
ejde-38	690	13	.	.	PUNCT
ejde-38	691	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	691	2	3596835	3596835	NUM
ejde-38	691	3	[	[	X
ejde-38	691	4	9	9	NUM
ejde-38	691	5	]	]	PUNCT
ejde-38	691	6	r.	r.	PROPN
ejde-38	691	7	tyrrell	tyrrell	PROPN
ejde-38	691	8	rockafellar	rockafellar	PROPN
ejde-38	691	9	;	;	PUNCT
ejde-38	691	10	convex	convex	NOUN
ejde-38	691	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-38	691	12	,	,	PUNCT
ejde-38	691	13	princeton	princeton	PROPN
ejde-38	691	14	university	university	PROPN
ejde-38	691	15	press	press	NOUN
ejde-38	691	16	,	,	PUNCT
ejde-38	691	17	1970	1970	NUM
ejde-38	691	18	.	.	PUNCT
ejde-38	692	1	[	[	X
ejde-38	692	2	10	10	NUM
ejde-38	692	3	]	]	X
ejde-38	692	4	filippo	filippo	PROPN
ejde-38	692	5	santambrogio	santambrogio	PROPN
ejde-38	692	6	;	;	PUNCT
ejde-38	692	7	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	692	8	transport	transport	NOUN
ejde-38	692	9	for	for	ADP
ejde-38	692	10	applied	apply	VERB
ejde-38	692	11	mathematicians	mathematician	NOUN
ejde-38	692	12	,	,	PUNCT
ejde-38	692	13	progress	progress	NOUN
ejde-38	692	14	in	in	ADP
ejde-38	692	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-38	692	16	differential	differential	ADJ
ejde-38	692	17	equations	equation	NOUN
ejde-38	692	18	and	and	CCONJ
ejde-38	692	19	their	their	PRON
ejde-38	692	20	applications	application	NOUN
ejde-38	692	21	,	,	PUNCT
ejde-38	692	22	vol	vol	NOUN
ejde-38	692	23	.	.	PROPN
ejde-38	692	24	87	87	NUM
ejde-38	692	25	,	,	PUNCT
ejde-38	692	26	birkhäuser	birkhäuser	NOUN
ejde-38	692	27	/	/	SYM
ejde-38	692	28	springer	springer	NOUN
ejde-38	692	29	,	,	PUNCT
ejde-38	692	30	cham	cham	NOUN
ejde-38	692	31	,	,	PUNCT
ejde-38	692	32	2015	2015	NUM
ejde-38	692	33	,	,	PUNCT
ejde-38	692	34	calculus	calculus	NOUN
ejde-38	692	35	of	of	ADP
ejde-38	692	36	variations	variation	NOUN
ejde-38	692	37	,	,	PUNCT
ejde-38	692	38	pdes	pde	NOUN
ejde-38	692	39	,	,	PUNCT
ejde-38	692	40	and	and	CCONJ
ejde-38	692	41	modeling	modeling	NOUN
ejde-38	692	42	.	.	PUNCT
ejde-38	693	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	693	2	3409718	3409718	NUM
ejde-38	693	3	[	[	X
ejde-38	693	4	11	11	NUM
ejde-38	693	5	]	]	X
ejde-38	693	6	cédric	cédric	PROPN
ejde-38	693	7	villani	villani	PROPN
ejde-38	693	8	;	;	PUNCT
ejde-38	693	9	topics	topic	NOUN
ejde-38	693	10	in	in	ADP
ejde-38	693	11	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	693	12	transportation	transportation	NOUN
ejde-38	693	13	,	,	PUNCT
ejde-38	693	14	graduate	graduate	NOUN
ejde-38	693	15	studies	study	NOUN
ejde-38	693	16	in	in	ADP
ejde-38	693	17	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-38	693	18	,	,	PUNCT
ejde-38	693	19	vol	vol	NOUN
ejde-38	693	20	.	.	PROPN
ejde-38	693	21	58	58	NUM
ejde-38	693	22	,	,	PUNCT
ejde-38	693	23	american	american	PROPN
ejde-38	693	24	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-38	693	25	society	society	NOUN
ejde-38	693	26	,	,	PUNCT
ejde-38	693	27	providence	providence	NOUN
ejde-38	693	28	,	,	PUNCT
ejde-38	693	29	ri	ri	PROPN
ejde-38	693	30	,	,	PUNCT
ejde-38	693	31	2003	2003	NUM
ejde-38	693	32	.	.	PUNCT
ejde-38	694	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	694	2	1964483	1964483	NUM
ejde-38	694	3	(	(	PUNCT
ejde-38	694	4	2004e:90003	2004e:90003	NUM
ejde-38	694	5	)	)	PUNCT
ejde-38	695	1	[	[	X
ejde-38	695	2	12	12	NUM
ejde-38	695	3	]	]	X
ejde-38	695	4	cédric	cédric	PROPN
ejde-38	695	5	villani	villani	PROPN
ejde-38	695	6	;	;	PUNCT
ejde-38	695	7	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	695	8	transport	transport	NOUN
ejde-38	695	9	:	:	PUNCT
ejde-38	695	10	old	old	ADJ
ejde-38	695	11	and	and	CCONJ
ejde-38	695	12	new	new	ADJ
ejde-38	695	13	,	,	PUNCT
ejde-38	695	14	grundlehren	grundlehren	PROPN
ejde-38	695	15	der	der	PROPN
ejde-38	695	16	mathematischen	mathematischen	PROPN
ejde-38	695	17	wissenschaften	wissenschaften	PROPN
ejde-38	695	18	[	[	X
ejde-38	695	19	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-38	695	20	principles	principle	NOUN
ejde-38	695	21	of	of	ADP
ejde-38	695	22	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-38	695	23	sciences	science	NOUN
ejde-38	695	24	]	]	PUNCT
ejde-38	695	25	,	,	PUNCT
ejde-38	695	26	vol	vol	NOUN
ejde-38	695	27	.	.	PROPN
ejde-38	695	28	338	338	NUM
ejde-38	695	29	,	,	PUNCT
ejde-38	695	30	springer	springer	NOUN
ejde-38	695	31	-	-	PUNCT
ejde-38	695	32	verlag	verlag	PROPN
ejde-38	695	33	,	,	PUNCT
ejde-38	695	34	berlin	berlin	PROPN
ejde-38	695	35	,	,	PUNCT
ejde-38	695	36	2009	2009	NUM
ejde-38	695	37	.	.	PUNCT
ejde-38	696	1	mr	mr	PROPN
ejde-38	696	2	2459454	2459454	NUM
ejde-38	696	3	(	(	PUNCT
ejde-38	696	4	2010f:49001	2010f:49001	NUM
ejde-38	696	5	)	)	PUNCT
ejde-38	696	6	mohit	mohit	NOUN
ejde-38	696	7	bansil	bansil	PROPN
ejde-38	696	8	department	department	PROPN
ejde-38	696	9	of	of	ADP
ejde-38	696	10	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-38	696	11	,	,	PUNCT
ejde-38	696	12	university	university	PROPN
ejde-38	696	13	of	of	ADP
ejde-38	696	14	california	california	PROPN
ejde-38	696	15	,	,	PUNCT
ejde-38	696	16	los	los	PROPN
ejde-38	696	17	angeles	angeles	PROPN
ejde-38	696	18	,	,	PUNCT
ejde-38	696	19	ca	ca	NOUN
ejde-38	696	20	90095	90095	NUM
ejde-38	696	21	,	,	PUNCT
ejde-38	696	22	usa	usa	PROPN
ejde-38	696	23	email	email	NOUN
ejde-38	696	24	address	address	NOUN
ejde-38	696	25	:	:	PUNCT
ejde-38	696	26	mbansil@math.ucla.edu	mbansil@math.ucla.edu	PROPN
ejde-38	696	27	jun	jun	PROPN
ejde-38	696	28	kitagawa	kitagawa	PROPN
ejde-38	696	29	department	department	PROPN
ejde-38	696	30	of	of	ADP
ejde-38	696	31	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-38	696	32	,	,	PUNCT
ejde-38	696	33	michigan	michigan	PROPN
ejde-38	696	34	state	state	PROPN
ejde-38	696	35	university	university	PROPN
ejde-38	696	36	,	,	PUNCT
ejde-38	696	37	619	619	NUM
ejde-38	696	38	red	red	ADJ
ejde-38	696	39	cedar	cedar	NOUN
ejde-38	696	40	road	road	NOUN
ejde-38	696	41	,	,	PUNCT
ejde-38	696	42	c212	c212	PROPN
ejde-38	696	43	wells	wells	PROPN
ejde-38	696	44	hall	hall	PROPN
ejde-38	696	45	,	,	PUNCT
ejde-38	696	46	east	east	PROPN
ejde-38	696	47	lansing	lansing	PROPN
ejde-38	696	48	,	,	PUNCT
ejde-38	696	49	mi	mi	PROPN
ejde-38	696	50	48824	48824	NUM
ejde-38	696	51	,	,	PUNCT
ejde-38	696	52	usa	usa	PROPN
ejde-38	696	53	email	email	NOUN
ejde-38	696	54	address	address	NOUN
ejde-38	696	55	:	:	PUNCT
ejde-38	696	56	kitagawa@math.msu.edu	kitagawa@math.msu.edu	PROPN
ejde-38	696	57	1	1	NUM
ejde-38	696	58	.	.	PUNCT
ejde-38	697	1	introduction	introduction	NOUN
ejde-38	697	2	semi	semi	ADJ
ejde-38	697	3	-	-	ADJ
ejde-38	697	4	discrete	discrete	ADJ
ejde-38	697	5	optimal	optimal	ADJ
ejde-38	697	6	transport	transport	NOUN
ejde-38	697	7	previous	previous	ADJ
ejde-38	697	8	results	result	NOUN
ejde-38	697	9	contributions	contribution	NOUN
ejde-38	697	10	of	of	ADP
ejde-38	697	11	this	this	DET
ejde-38	697	12	article	article	NOUN
ejde-38	697	13	notation	notation	NOUN
ejde-38	697	14	and	and	CCONJ
ejde-38	697	15	conventions	convention	NOUN
ejde-38	697	16	outline	outline	VERB
ejde-38	697	17	2	2	NUM
ejde-38	697	18	.	.	NOUN
ejde-38	698	1	existence	existence	NOUN
ejde-38	698	2	of	of	ADP
ejde-38	698	3	minimizers	minimizer	NOUN
ejde-38	698	4	3	3	X
ejde-38	698	5	.	.	PUNCT
ejde-38	698	6	dual	dual	ADJ
ejde-38	698	7	problem	problem	NOUN
ejde-38	698	8	strong	strong	ADJ
ejde-38	698	9	duality	duality	NOUN
ejde-38	698	10	3.1	3.1	NUM
ejde-38	698	11	.	.	PUNCT
ejde-38	699	1	relationship	relationship	NOUN
ejde-38	699	2	with	with	ADP
ejde-38	699	3	classical	classical	ADJ
ejde-38	699	4	kantorovich	kantorovich	PROPN
ejde-38	699	5	duality	duality	NOUN
ejde-38	699	6	4	4	NUM
ejde-38	699	7	.	.	PUNCT
ejde-38	699	8	relationship	relationship	NOUN
ejde-38	699	9	between	between	ADP
ejde-38	699	10	dual	dual	ADJ
ejde-38	699	11	and	and	CCONJ
ejde-38	699	12	primal	primal	ADJ
ejde-38	699	13	optimizers	optimizer	NOUN
ejde-38	699	14	5	5	NUM
ejde-38	699	15	.	.	PUNCT
ejde-38	699	16	stability	stability	NOUN
ejde-38	699	17	of	of	ADP
ejde-38	699	18	f	f	PROPN
ejde-38	699	19	5.1	5.1	NUM
ejde-38	699	20	.	.	PUNCT
ejde-38	700	1	stability	stability	NOUN
ejde-38	700	2	for	for	ADP
ejde-38	700	3	a	a	DET
ejde-38	700	4	fixed	fix	VERB
ejde-38	700	5	finite	finite	ADJ
ejde-38	700	6	target	target	PROPN
ejde-38	700	7	-convergence	-convergence	PROPN
ejde-38	700	8	6	6	NUM
ejde-38	700	9	.	.	PUNCT
ejde-38	700	10	appendix	appendix	NOUN
ejde-38	700	11	7	7	NUM
ejde-38	700	12	.	.	PUNCT
ejde-38	700	13	classical	classical	ADJ
ejde-38	700	14	dual	dual	ADJ
ejde-38	700	15	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	700	16	may	may	AUX
ejde-38	700	17	not	not	PART
ejde-38	700	18	be	be	AUX
ejde-38	700	19	dual	dual	ADJ
ejde-38	700	20	maximizers	maximizer	NOUN
ejde-38	700	21	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-38	700	22	references	reference	NOUN