id sid tid token lemma pos ejde-41 1 1 electronic electronic ADJ ejde-41 1 2 journal journal NOUN ejde-41 1 3 of of ADP ejde-41 1 4 differential differential ADJ ejde-41 1 5 equations equation NOUN ejde-41 1 6 , , PUNCT ejde-41 1 7 vol vol NOUN ejde-41 1 8 . . PUNCT ejde-41 1 9 2023 2023 NUM ejde-41 1 10 ( ( PUNCT ejde-41 1 11 2023 2023 NUM ejde-41 1 12 ) ) PUNCT ejde-41 1 13 , , PUNCT ejde-41 1 14 no no INTJ ejde-41 1 15 . . NOUN ejde-41 1 16 24 24 NUM ejde-41 1 17 , , PUNCT ejde-41 1 18 pp pp PROPN ejde-41 1 19 . . PUNCT ejde-41 2 1 1–23 1–23 PROPN ejde-41 2 2 . . PUNCT ejde-41 3 1 issn issn PROPN ejde-41 3 2 : : PUNCT ejde-41 3 3 1072 1072 NUM ejde-41 3 4 - - SYM ejde-41 3 5 6691 6691 NUM ejde-41 3 6 . . PUNCT ejde-41 4 1 url url PROPN ejde-41 4 2 : : PUNCT ejde-41 4 3 https://ejde.math.txstate.edu https://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-41 4 4 or or CCONJ ejde-41 4 5 https://ejde.math.unt.edu https://ejde.math.unt.edu PROPN ejde-41 4 6 blow blow NOUN ejde-41 4 7 - - PUNCT ejde-41 4 8 up up ADP ejde-41 4 9 criteria criterion NOUN ejde-41 4 10 and and CCONJ ejde-41 4 11 instability instability NOUN ejde-41 4 12 of of ADP ejde-41 4 13 standing standing ADJ ejde-41 4 14 waves wave NOUN ejde-41 4 15 for for ADP ejde-41 4 16 the the DET ejde-41 4 17 fractional fractional ADJ ejde-41 4 18 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 4 19 poisson poisson NOUN ejde-41 4 20 equation equation PROPN ejde-41 4 21 yichun yichun PROPN ejde-41 4 22 mo mo PROPN ejde-41 4 23 , , PUNCT ejde-41 4 24 min min PROPN ejde-41 4 25 zhu zhu PROPN ejde-41 4 26 , , PUNCT ejde-41 4 27 binhua binhua PROPN ejde-41 4 28 feng feng PROPN ejde-41 4 29 abstract abstract PROPN ejde-41 4 30 . . PUNCT ejde-41 5 1 in in ADP ejde-41 5 2 this this DET ejde-41 5 3 article article NOUN ejde-41 5 4 , , PUNCT ejde-41 5 5 we we PRON ejde-41 5 6 consider consider VERB ejde-41 5 7 blow blow NOUN ejde-41 5 8 - - PUNCT ejde-41 5 9 up up ADP ejde-41 5 10 criteria criterion NOUN ejde-41 5 11 and and CCONJ ejde-41 5 12 instability instability NOUN ejde-41 5 13 of of ADP ejde-41 5 14 standing standing ADJ ejde-41 5 15 waves wave NOUN ejde-41 5 16 for for ADP ejde-41 5 17 the the DET ejde-41 5 18 fractional fractional ADJ ejde-41 5 19 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 5 20 - - PUNCT ejde-41 5 21 poisson poisson NOUN ejde-41 5 22 equation equation NOUN ejde-41 5 23 . . PUNCT ejde-41 6 1 by by ADP ejde-41 6 2 using use VERB ejde-41 6 3 the the DET ejde-41 6 4 localized localized ADJ ejde-41 6 5 virial virial ADJ ejde-41 6 6 estimates estimate NOUN ejde-41 6 7 , , PUNCT ejde-41 6 8 we we PRON ejde-41 6 9 establish establish VERB ejde-41 6 10 the the DET ejde-41 6 11 blow blow NOUN ejde-41 6 12 - - PUNCT ejde-41 6 13 up up ADP ejde-41 6 14 criteria criterion NOUN ejde-41 6 15 for for ADP ejde-41 6 16 non non ADJ ejde-41 6 17 - - ADJ ejde-41 6 18 radial radial ADJ ejde-41 6 19 solutions solution NOUN ejde-41 6 20 in in ADP ejde-41 6 21 both both DET ejde-41 6 22 mass mass ADV ejde-41 6 23 - - PUNCT ejde-41 6 24 critical critical ADJ ejde-41 6 25 and and CCONJ ejde-41 6 26 mass mass ADJ ejde-41 6 27 - - PUNCT ejde-41 6 28 supercritical supercritical ADJ ejde-41 6 29 cases case NOUN ejde-41 6 30 . . PUNCT ejde-41 7 1 based base VERB ejde-41 7 2 on on ADP ejde-41 7 3 these these DET ejde-41 7 4 blow blow NOUN ejde-41 7 5 - - PUNCT ejde-41 7 6 up up ADP ejde-41 7 7 criteria criterion NOUN ejde-41 7 8 and and CCONJ ejde-41 7 9 three three NUM ejde-41 7 10 variational variational ADJ ejde-41 7 11 characterizations characterization NOUN ejde-41 7 12 of of ADP ejde-41 7 13 the the DET ejde-41 7 14 ground ground NOUN ejde-41 7 15 state state NOUN ejde-41 7 16 , , PUNCT ejde-41 7 17 we we PRON ejde-41 7 18 prove prove VERB ejde-41 7 19 that that SCONJ ejde-41 7 20 the the DET ejde-41 7 21 standing stand VERB ejde-41 7 22 waves wave NOUN ejde-41 7 23 are be AUX ejde-41 7 24 strongly strongly ADV ejde-41 7 25 unstable unstable ADJ ejde-41 7 26 . . PUNCT ejde-41 8 1 these these PRON ejde-41 8 2 obtained obtain VERB ejde-41 8 3 results result NOUN ejde-41 8 4 extend extend VERB ejde-41 8 5 the the DET ejde-41 8 6 corresponding corresponding ADJ ejde-41 8 7 ones one NOUN ejde-41 8 8 presented present VERB ejde-41 8 9 in in ADP ejde-41 8 10 the the DET ejde-41 8 11 literature literature NOUN ejde-41 8 12 . . PUNCT ejde-41 9 1 1 1 X ejde-41 9 2 . . X ejde-41 9 3 introduction introduction NOUN ejde-41 9 4 in in ADP ejde-41 9 5 recent recent ADJ ejde-41 9 6 years year NOUN ejde-41 9 7 , , PUNCT ejde-41 9 8 there there PRON ejde-41 9 9 has have AUX ejde-41 9 10 been be AUX ejde-41 9 11 a a DET ejde-41 9 12 great great ADJ ejde-41 9 13 deal deal NOUN ejde-41 9 14 of of ADP ejde-41 9 15 interest interest NOUN ejde-41 9 16 in in ADP ejde-41 9 17 using use VERB ejde-41 9 18 fractional fractional ADJ ejde-41 9 19 laplacians laplacian NOUN ejde-41 9 20 to to PART ejde-41 9 21 model model VERB ejde-41 9 22 physical physical ADJ ejde-41 9 23 phenomena phenomenon NOUN ejde-41 9 24 . . PUNCT ejde-41 10 1 by by ADP ejde-41 10 2 extending extend VERB ejde-41 10 3 the the DET ejde-41 10 4 feynman feynman PROPN ejde-41 10 5 path path NOUN ejde-41 10 6 integral integral ADJ ejde-41 10 7 from from ADP ejde-41 10 8 the the DET ejde-41 10 9 brownian brownian NOUN ejde-41 10 10 - - PUNCT ejde-41 10 11 like like ADJ ejde-41 10 12 to to ADP ejde-41 10 13 the the DET ejde-41 10 14 lévy lévy ADV ejde-41 10 15 - - PUNCT ejde-41 10 16 like like ADJ ejde-41 10 17 quantum quantum ADJ ejde-41 10 18 mechanical mechanical ADJ ejde-41 10 19 paths path NOUN ejde-41 10 20 , , PUNCT ejde-41 10 21 laskin laskin NOUN ejde-41 10 22 [ [ X ejde-41 10 23 23 23 NUM ejde-41 10 24 , , PUNCT ejde-41 10 25 24 24 NUM ejde-41 10 26 ] ] PUNCT ejde-41 10 27 used use VERB ejde-41 10 28 the the DET ejde-41 10 29 theory theory NOUN ejde-41 10 30 of of ADP ejde-41 10 31 functionals functional NOUN ejde-41 10 32 over over ADP ejde-41 10 33 functional functional ADJ ejde-41 10 34 measure measure NOUN ejde-41 10 35 generated generate VERB ejde-41 10 36 by by ADP ejde-41 10 37 the the DET ejde-41 10 38 lévy lévy NUM ejde-41 10 39 stochastic stochastic ADJ ejde-41 10 40 process process NOUN ejde-41 10 41 to to PART ejde-41 10 42 introduce introduce VERB ejde-41 10 43 the the DET ejde-41 10 44 fractional fractional ADJ ejde-41 10 45 nonlinear nonlinear NOUN ejde-41 10 46 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 10 47 equation equation NOUN ejde-41 10 48 ( ( PUNCT ejde-41 10 49 nls nls NOUN ejde-41 10 50 ) ) PUNCT ejde-41 10 51 i∂tψ i∂tψ NOUN ejde-41 10 52 − − PROPN ejde-41 10 53 ( ( PUNCT ejde-41 10 54 −∆)sψ −∆)sψ NOUN ejde-41 10 55 + + X ejde-41 10 56 f(ψ f(ψ NOUN ejde-41 10 57 ) ) PUNCT ejde-41 10 58 = = SYM ejde-41 10 59 0 0 NUM ejde-41 10 60 , , PUNCT ejde-41 10 61 ( ( PUNCT ejde-41 10 62 1.1 1.1 NUM ejde-41 10 63 ) ) PUNCT ejde-41 10 64 where where SCONJ ejde-41 10 65 i2 i2 PROPN ejde-41 10 66 = = SYM ejde-41 10 67 −1 −1 NOUN ejde-41 10 68 , , PUNCT ejde-41 10 69 0 0 PUNCT ejde-41 10 70 < < X ejde-41 10 71 s s X ejde-41 10 72 < < X ejde-41 10 73 1 1 NUM ejde-41 10 74 and and CCONJ ejde-41 10 75 f(ψ f(ψ NOUN ejde-41 10 76 ) ) PUNCT ejde-41 10 77 is be AUX ejde-41 10 78 the the DET ejde-41 10 79 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-41 10 80 . . PUNCT ejde-41 11 1 the the DET ejde-41 11 2 fractional fractional ADJ ejde-41 11 3 differential differential NOUN ejde-41 11 4 operator operator NOUN ejde-41 11 5 ( ( PUNCT ejde-41 11 6 −∆)s −∆)s PROPN ejde-41 11 7 is be AUX ejde-41 11 8 defined define VERB ejde-41 11 9 by by ADP ejde-41 11 10 ( ( PUNCT ejde-41 11 11 −∆)sψ −∆)sψ NOUN ejde-41 11 12 = = SYM ejde-41 11 13 f−1[|ξ|2sf(ψ f−1[|ξ|2sf(ψ NOUN ejde-41 11 14 ) ) PUNCT ejde-41 11 15 ] ] PUNCT ejde-41 11 16 , , PUNCT ejde-41 11 17 where where SCONJ ejde-41 11 18 f f PROPN ejde-41 11 19 and and CCONJ ejde-41 11 20 f−1 f−1 PROPN ejde-41 11 21 are be AUX ejde-41 11 22 the the DET ejde-41 11 23 fourier fourier NOUN ejde-41 11 24 transform transform NOUN ejde-41 11 25 and and CCONJ ejde-41 11 26 inverse inverse NOUN ejde-41 11 27 fourier fourier NOUN ejde-41 11 28 transform transform NOUN ejde-41 11 29 , , PUNCT ejde-41 11 30 respectively respectively ADV ejde-41 11 31 . . PUNCT ejde-41 12 1 the the DET ejde-41 12 2 fractional fractional ADJ ejde-41 12 3 nls nls NOUN ejde-41 12 4 also also ADV ejde-41 12 5 appears appear VERB ejde-41 12 6 in in ADP ejde-41 12 7 the the DET ejde-41 12 8 continuum continuum ADJ ejde-41 12 9 limit limit NOUN ejde-41 12 10 of of ADP ejde-41 12 11 discrete discrete ADJ ejde-41 12 12 models model NOUN ejde-41 12 13 with with ADP ejde-41 12 14 long long ADJ ejde-41 12 15 - - PUNCT ejde-41 12 16 range range NOUN ejde-41 12 17 interactions interaction NOUN ejde-41 12 18 ( ( PUNCT ejde-41 12 19 see see VERB ejde-41 12 20 [ [ X ejde-41 12 21 22 22 NUM ejde-41 12 22 ] ] PUNCT ejde-41 12 23 ) ) PUNCT ejde-41 12 24 and and CCONJ ejde-41 12 25 in in ADP ejde-41 12 26 the the DET ejde-41 12 27 description description NOUN ejde-41 12 28 of of ADP ejde-41 12 29 bonson bonson NOUN ejde-41 12 30 stars star NOUN ejde-41 12 31 as as ADV ejde-41 12 32 well well ADV ejde-41 12 33 as as ADP ejde-41 12 34 in in ADP ejde-41 12 35 water water NOUN ejde-41 12 36 wave wave NOUN ejde-41 12 37 dynamics dynamic NOUN ejde-41 12 38 ( ( PUNCT ejde-41 12 39 see see VERB ejde-41 12 40 [ [ X ejde-41 12 41 15 15 NUM ejde-41 12 42 ] ] NUM ejde-41 12 43 ) ) PUNCT ejde-41 12 44 . . PUNCT ejde-41 13 1 recently recently ADV ejde-41 13 2 , , PUNCT ejde-41 13 3 an an DET ejde-41 13 4 optical optical ADJ ejde-41 13 5 realization realization NOUN ejde-41 13 6 of of ADP ejde-41 13 7 the the DET ejde-41 13 8 fractional fractional ADJ ejde-41 13 9 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 13 10 equation equation NOUN ejde-41 13 11 was be AUX ejde-41 13 12 proposed propose VERB ejde-41 13 13 by by ADP ejde-41 13 14 longhi longhi PROPN ejde-41 14 1 [ [ X ejde-41 14 2 28 28 NUM ejde-41 14 3 ] ] PUNCT ejde-41 14 4 . . PUNCT ejde-41 15 1 in in ADP ejde-41 15 2 this this DET ejde-41 15 3 article article NOUN ejde-41 15 4 , , PUNCT ejde-41 15 5 we we PRON ejde-41 15 6 consider consider VERB ejde-41 15 7 the the DET ejde-41 15 8 blow blow VERB ejde-41 15 9 - - PUNCT ejde-41 15 10 up up ADP ejde-41 15 11 criteria criterion NOUN ejde-41 15 12 and and CCONJ ejde-41 15 13 the the DET ejde-41 15 14 strong strong ADJ ejde-41 15 15 instability instability NOUN ejde-41 15 16 of of ADP ejde-41 15 17 standing standing ADJ ejde-41 15 18 waves wave NOUN ejde-41 15 19 for for ADP ejde-41 15 20 the the DET ejde-41 15 21 fractional fractional ADJ ejde-41 15 22 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 15 23 - - PUNCT ejde-41 15 24 poisson poisson NOUN ejde-41 15 25 equation equation NOUN ejde-41 15 26 i∂tψ i∂tψ PRON ejde-41 15 27 − − PROPN ejde-41 15 28 ( ( PUNCT ejde-41 15 29 −∆)sψ −∆)sψ PROPN ejde-41 15 30 − − PROPN ejde-41 15 31 φψ φψ VERB ejde-41 15 32 + + CCONJ ejde-41 15 33 |ψ|pψ |ψ|pψ ADJ ejde-41 15 34 = = SYM ejde-41 15 35 0 0 NUM ejde-41 15 36 , , PUNCT ejde-41 15 37 ( ( PUNCT ejde-41 15 38 t t PROPN ejde-41 15 39 , , PUNCT ejde-41 15 40 x x NOUN ejde-41 15 41 ) ) PUNCT ejde-41 15 42 ∈ ∈ PROPN ejde-41 16 1 [ [ X ejde-41 16 2 0 0 NUM ejde-41 16 3 , , PUNCT ejde-41 16 4 t t PROPN ejde-41 16 5 ∗)× ∗)× NUM ejde-41 16 6 r3 r3 PROPN ejde-41 16 7 , , PUNCT ejde-41 16 8 ( ( PUNCT ejde-41 16 9 −∆)rφ −∆)rφ NOUN ejde-41 16 10 = = SYM ejde-41 16 11 |ψ|2 |ψ|2 NOUN ejde-41 16 12 , , PUNCT ejde-41 16 13 ( ( PUNCT ejde-41 16 14 1.2 1.2 NUM ejde-41 16 15 ) ) PUNCT ejde-41 16 16 2020 2020 NUM ejde-41 16 17 mathematics mathematic NOUN ejde-41 16 18 subject subject ADJ ejde-41 16 19 classification classification NOUN ejde-41 16 20 . . PUNCT ejde-41 17 1 35j60 35j60 NUM ejde-41 17 2 , , PUNCT ejde-41 17 3 35q55 35q55 NUM ejde-41 17 4 , , PUNCT ejde-41 17 5 35j20 35j20 NUM ejde-41 17 6 . . PUNCT ejde-41 18 1 key key ADJ ejde-41 18 2 words word NOUN ejde-41 18 3 and and CCONJ ejde-41 18 4 phrases phrase NOUN ejde-41 18 5 . . PUNCT ejde-41 19 1 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 19 2 - - PUNCT ejde-41 19 3 poisson poisson NOUN ejde-41 19 4 equation equation NOUN ejde-41 19 5 ; ; PUNCT ejde-41 19 6 blow blow NOUN ejde-41 19 7 - - PUNCT ejde-41 19 8 up up ADP ejde-41 19 9 criteria criterion NOUN ejde-41 19 10 ; ; PUNCT ejde-41 19 11 strong strong ADJ ejde-41 19 12 instability instability NOUN ejde-41 19 13 ; ; PUNCT ejde-41 19 14 standing stand VERB ejde-41 19 15 waves wave NOUN ejde-41 19 16 ; ; PUNCT ejde-41 19 17 well well ADV ejde-41 19 18 - - PUNCT ejde-41 19 19 posedness posedness NOUN ejde-41 19 20 . . PUNCT ejde-41 20 1 © © ADP ejde-41 20 2 2023 2023 NUM ejde-41 20 3 . . PUNCT ejde-41 21 1 this this DET ejde-41 21 2 work work NOUN ejde-41 21 3 is be AUX ejde-41 21 4 licensed license VERB ejde-41 21 5 under under ADP ejde-41 21 6 a a DET ejde-41 21 7 cc cc NOUN ejde-41 21 8 by by ADP ejde-41 21 9 4.0 4.0 NUM ejde-41 21 10 license license NOUN ejde-41 21 11 . . PUNCT ejde-41 22 1 submitted submit VERB ejde-41 22 2 october october PROPN ejde-41 22 3 28 28 NUM ejde-41 22 4 , , PUNCT ejde-41 22 5 2022 2022 NUM ejde-41 22 6 . . PUNCT ejde-41 23 1 published publish VERB ejde-41 23 2 march march PROPN ejde-41 23 3 6 6 NUM ejde-41 23 4 , , PUNCT ejde-41 23 5 2023 2023 NUM ejde-41 23 6 . . PUNCT ejde-41 24 1 1 1 NUM ejde-41 24 2 2 2 NUM ejde-41 24 3 y. y. PROPN ejde-41 24 4 mo mo PROPN ejde-41 24 5 , , PUNCT ejde-41 24 6 m. m. PROPN ejde-41 24 7 zhu zhu PROPN ejde-41 24 8 , , PUNCT ejde-41 24 9 b. b. PROPN ejde-41 24 10 feng feng PROPN ejde-41 24 11 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 24 12 where where SCONJ ejde-41 24 13 ψ ψ X ejde-41 24 14 : : PUNCT ejde-41 25 1 [ [ X ejde-41 25 2 0 0 NUM ejde-41 25 3 , , PUNCT ejde-41 25 4 t t PROPN ejde-41 25 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 25 6 ) ) PUNCT ejde-41 25 7 × × PROPN ejde-41 25 8 r3 r3 PROPN ejde-41 25 9 → → SYM ejde-41 25 10 c c PROPN ejde-41 25 11 is be AUX ejde-41 25 12 the the DET ejde-41 25 13 complex complex ADJ ejde-41 25 14 valued value VERB ejde-41 25 15 function function NOUN ejde-41 25 16 , , PUNCT ejde-41 25 17 s s AUX ejde-41 25 18 , , PUNCT ejde-41 25 19 r r NOUN ejde-41 25 20 ∈ ∈ PROPN ejde-41 25 21 ( ( PUNCT ejde-41 25 22 0 0 NUM ejde-41 25 23 , , PUNCT ejde-41 25 24 1 1 NUM ejde-41 25 25 ) ) PUNCT ejde-41 25 26 , , PUNCT ejde-41 25 27 and and CCONJ ejde-41 25 28 0 0 NUM ejde-41 25 29 < < X ejde-41 25 30 t t PROPN ejde-41 25 31 ∗ ∗ NOUN ejde-41 25 32 ≤ ≤ NUM ejde-41 25 33 ∞ ∞ PROPN ejde-41 25 34 , , PUNCT ejde-41 25 35 0 0 PUNCT ejde-41 25 36 < < X ejde-41 25 37 p p X ejde-41 25 38 < < X ejde-41 25 39 4s 4s NUM ejde-41 25 40 3−2s 3−2s NUM ejde-41 25 41 . . PUNCT ejde-41 26 1 under under ADP ejde-41 26 2 this this DET ejde-41 26 3 assumption assumption NOUN ejde-41 26 4 , , PUNCT ejde-41 26 5 φ φ PROPN ejde-41 26 6 can can AUX ejde-41 26 7 be be AUX ejde-41 26 8 expressed express VERB ejde-41 26 9 as as ADP ejde-41 26 10 φ(x φ(x NOUN ejde-41 26 11 ) ) PUNCT ejde-41 26 12 = = PUNCT ejde-41 26 13 cr cr PROPN ejde-41 26 14 ∫ ∫ PROPN ejde-41 26 15 r3 r3 PROPN ejde-41 26 16 |ψ(y)|2 |ψ(y)|2 NUM ejde-41 26 17 |x− |x− PROPN ejde-41 26 18 y|3−2r y|3−2r PROPN ejde-41 26 19 dy dy PROPN ejde-41 26 20 , , PUNCT ejde-41 26 21 ( ( PUNCT ejde-41 26 22 1.3 1.3 NUM ejde-41 26 23 ) ) PUNCT ejde-41 26 24 which which PRON ejde-41 26 25 is be AUX ejde-41 26 26 called call VERB ejde-41 26 27 the the DET ejde-41 26 28 r r NOUN ejde-41 26 29 - - PUNCT ejde-41 26 30 riesz riesz NOUN ejde-41 26 31 potential potential NOUN ejde-41 26 32 , , PUNCT ejde-41 26 33 where where SCONJ ejde-41 26 34 cr cr PROPN ejde-41 26 35 = = PUNCT ejde-41 26 36 π−3/22−2r π−3/22−2r PROPN ejde-41 26 37 γ γ X ejde-41 26 38 ( ( PUNCT ejde-41 26 39 3 3 NUM ejde-41 26 40 2 2 NUM ejde-41 26 41 − − NOUN ejde-41 26 42 2r 2r NUM ejde-41 26 43 ) ) PUNCT ejde-41 26 44 γ(r γ(r PROPN ejde-41 26 45 ) ) PUNCT ejde-41 26 46 . . PUNCT ejde-41 27 1 in in ADP ejde-41 27 2 ( ( PUNCT ejde-41 27 3 1.3 1.3 NUM ejde-41 27 4 ) ) PUNCT ejde-41 27 5 , , PUNCT ejde-41 27 6 and and CCONJ ejde-41 27 7 in in ADP ejde-41 27 8 the the DET ejde-41 27 9 sequel sequel NOUN ejde-41 27 10 , , PUNCT ejde-41 27 11 in in ADP ejde-41 27 12 we we PRON ejde-41 27 13 often often ADV ejde-41 27 14 omit omit VERB ejde-41 27 15 the the DET ejde-41 27 16 constant constant ADJ ejde-41 27 17 cr cr NOUN ejde-41 27 18 for for ADP ejde-41 27 19 convenience convenience NOUN ejde-41 27 20 of of ADP ejde-41 27 21 notation notation NOUN ejde-41 27 22 . . PUNCT ejde-41 28 1 substituting substitute VERB ejde-41 28 2 φ φ PROPN ejde-41 28 3 into into ADP ejde-41 28 4 ( ( PUNCT ejde-41 28 5 1.2 1.2 NUM ejde-41 28 6 ) ) PUNCT ejde-41 28 7 leads lead VERB ejde-41 28 8 to to ADP ejde-41 28 9 the the DET ejde-41 28 10 fractional fractional ADJ ejde-41 28 11 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 28 12 equation equation NOUN ejde-41 28 13 i∂tψ i∂tψ PRON ejde-41 29 1 − − PROPN ejde-41 30 1 ( ( PUNCT ejde-41 30 2 −∆)sψ −∆)sψ PROPN ejde-41 30 3 − − PROPN ejde-41 30 4 ( ( PUNCT ejde-41 30 5 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 30 6 ) ) PUNCT ejde-41 30 7 ∗ ∗ VERB ejde-41 30 8 |ψ|2)ψ |ψ|2)ψ ADP ejde-41 30 9 + + CCONJ ejde-41 30 10 |ψ|pψ |ψ|pψ ADJ ejde-41 30 11 = = SYM ejde-41 30 12 0 0 NUM ejde-41 30 13 , , PUNCT ejde-41 30 14 ( ( PUNCT ejde-41 30 15 t t PROPN ejde-41 30 16 , , PUNCT ejde-41 30 17 x x NOUN ejde-41 30 18 ) ) PUNCT ejde-41 30 19 ∈ ∈ PROPN ejde-41 31 1 [ [ X ejde-41 31 2 0 0 NUM ejde-41 31 3 , , PUNCT ejde-41 31 4 t t PROPN ejde-41 31 5 ∗)× ∗)× NUM ejde-41 31 6 r3 r3 PROPN ejde-41 31 7 , , PUNCT ejde-41 31 8 ψ(0 ψ(0 PROPN ejde-41 31 9 , , PUNCT ejde-41 31 10 x x NOUN ejde-41 31 11 ) ) PUNCT ejde-41 31 12 = = SYM ejde-41 31 13 ψ0(x ψ0(x NUM ejde-41 31 14 ) ) PUNCT ejde-41 31 15 , , PUNCT ejde-41 31 16 ( ( PUNCT ejde-41 31 17 1.4 1.4 NUM ejde-41 31 18 ) ) PUNCT ejde-41 31 19 where where SCONJ ejde-41 31 20 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 31 21 ∈ ∈ PROPN ejde-41 31 22 hs hs PROPN ejde-41 31 23 . . PROPN ejde-41 31 24 for for ADP ejde-41 31 25 the the DET ejde-41 31 26 classical classical ADJ ejde-41 31 27 nls nls NOUN ejde-41 31 28 , , PUNCT ejde-41 31 29 i.e. i.e. X ejde-41 31 30 , , PUNCT ejde-41 31 31 s s NOUN ejde-41 31 32 = = SYM ejde-41 31 33 1 1 NUM ejde-41 31 34 , , PUNCT ejde-41 31 35 we we PRON ejde-41 31 36 have have VERB ejde-41 31 37 the the DET ejde-41 31 38 variance variance NOUN ejde-41 31 39 - - ADJ ejde-41 31 40 virial virial ADJ ejde-41 31 41 law law NOUN ejde-41 31 42 1 1 NUM ejde-41 31 43 2 2 NUM ejde-41 31 44 d d NOUN ejde-41 31 45 dt dt X ejde-41 31 46 ∫ ∫ PROPN ejde-41 31 47 r3 r3 PROPN ejde-41 31 48 |x|2|ψ(t |x|2|ψ(t PROPN ejde-41 31 49 , , PUNCT ejde-41 31 50 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 31 51 dx dx PROPN ejde-41 31 52 = = SYM ejde-41 31 53 2 2 NUM ejde-41 31 54 i i NOUN ejde-41 31 55 m m VERB ejde-41 31 56 ∫ ∫ PROPN ejde-41 31 57 r3 r3 PROPN ejde-41 31 58 ψ̄(t ψ̄(t NOUN ejde-41 31 59 , , PUNCT ejde-41 31 60 x)x x)x PUNCT ejde-41 31 61 · · PUNCT ejde-41 31 62 ∇ψ(t ∇ψ(t NOUN ejde-41 31 63 , , PUNCT ejde-41 31 64 x x X ejde-41 31 65 ) ) PUNCT ejde-41 31 66 dx dx PROPN ejde-41 31 67 , , PUNCT ejde-41 31 68 ( ( PUNCT ejde-41 31 69 1.5 1.5 NUM ejde-41 31 70 ) ) PUNCT ejde-41 31 71 provided provide VERB ejde-41 31 72 that that SCONJ ejde-41 31 73 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 31 74 ∈ ∈ PROPN ejde-41 31 75 σ σ NOUN ejde-41 32 1 : : PUNCT ejde-41 32 2 = = SYM ejde-41 32 3 { { PUNCT ejde-41 32 4 v v NUM ejde-41 32 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 32 6 h1 h1 NOUN ejde-41 32 7 : : PUNCT ejde-41 32 8 xv xv PROPN ejde-41 32 9 ∈ ∈ PROPN ejde-41 32 10 l2 l2 PROPN ejde-41 32 11 } } PUNCT ejde-41 32 12 , , PUNCT ejde-41 32 13 where where SCONJ ejde-41 32 14 i i PRON ejde-41 32 15 m m VERB ejde-41 32 16 denotes denote VERB ejde-41 32 17 the the DET ejde-41 32 18 imaginary imaginary ADJ ejde-41 32 19 part part NOUN ejde-41 32 20 . . PUNCT ejde-41 33 1 by by ADP ejde-41 33 2 using use VERB ejde-41 33 3 ( ( PUNCT ejde-41 33 4 1.5 1.5 NUM ejde-41 33 5 ) ) PUNCT ejde-41 33 6 and and CCONJ ejde-41 33 7 the the DET ejde-41 33 8 virial virial ADJ ejde-41 33 9 identity identity NOUN ejde-41 33 10 , , PUNCT ejde-41 33 11 we we PRON ejde-41 33 12 can can AUX ejde-41 33 13 obtain obtain VERB ejde-41 33 14 the the DET ejde-41 33 15 blow blow VERB ejde-41 33 16 - - PUNCT ejde-41 33 17 up up ADP ejde-41 33 18 results result NOUN ejde-41 33 19 for for ADP ejde-41 33 20 the the DET ejde-41 33 21 classical classical ADJ ejde-41 33 22 nls nls NOUN ejde-41 33 23 with with ADP ejde-41 33 24 negative negative ADJ ejde-41 33 25 energy energy NOUN ejde-41 33 26 e(ψ0 e(ψ0 NOUN ejde-41 33 27 ) ) PUNCT ejde-41 33 28 < < X ejde-41 33 29 0 0 PUNCT ejde-41 34 1 and and CCONJ ejde-41 34 2 finite finite ADJ ejde-41 34 3 variance variance NOUN ejde-41 34 4 [ [ X ejde-41 34 5 5 5 NUM ejde-41 34 6 ] ] PUNCT ejde-41 34 7 . . PUNCT ejde-41 35 1 however however ADV ejde-41 35 2 , , PUNCT ejde-41 35 3 this this DET ejde-41 35 4 argument argument NOUN ejde-41 35 5 breaks break VERB ejde-41 35 6 down down ADP ejde-41 35 7 for for ADP ejde-41 35 8 0 0 NUM ejde-41 35 9 < < X ejde-41 35 10 s s X ejde-41 35 11 < < X ejde-41 35 12 1 1 NUM ejde-41 35 13 , , PUNCT ejde-41 35 14 since since SCONJ ejde-41 35 15 identity identity NOUN ejde-41 35 16 ( ( PUNCT ejde-41 35 17 1.5 1.5 NUM ejde-41 35 18 ) ) PUNCT ejde-41 35 19 fails fail VERB ejde-41 35 20 in in ADP ejde-41 35 21 this this DET ejde-41 35 22 case case NOUN ejde-41 35 23 by by ADP ejde-41 35 24 the the DET ejde-41 35 25 dimensional dimensional ADJ ejde-41 35 26 analysis analysis NOUN ejde-41 35 27 . . PUNCT ejde-41 36 1 it it PRON ejde-41 36 2 turns turn VERB ejde-41 36 3 out out ADP ejde-41 36 4 that that SCONJ ejde-41 36 5 the the DET ejde-41 36 6 suitable suitable ADJ ejde-41 36 7 generalization generalization NOUN ejde-41 36 8 of of ADP ejde-41 36 9 the the DET ejde-41 36 10 variance variance NOUN ejde-41 36 11 for for ADP ejde-41 36 12 the the DET ejde-41 36 13 fractional fractional ADJ ejde-41 36 14 nls nls NOUN ejde-41 36 15 is be AUX ejde-41 36 16 v(s)[ψ(t v(s)[ψ(t NUM ejde-41 36 17 ) ) PUNCT ejde-41 36 18 ] ] PUNCT ejde-41 37 1 : : PUNCT ejde-41 37 2 = = SYM ejde-41 37 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 37 4 r3 r3 PROPN ejde-41 37 5 ψ̄(t ψ̄(t NOUN ejde-41 37 6 , , PUNCT ejde-41 37 7 x)x x)x PUNCT ejde-41 37 8 · · PUNCT ejde-41 37 9 ( ( PUNCT ejde-41 37 10 −∆)1−sxψ(t −∆)1−sxψ(t PROPN ejde-41 37 11 , , PUNCT ejde-41 37 12 x x NOUN ejde-41 37 13 ) ) PUNCT ejde-41 37 14 dx dx PROPN ejde-41 37 15 = = SYM ejde-41 37 16 ‖x(−∆ ‖x(−∆ PROPN ejde-41 37 17 ) ) PUNCT ejde-41 37 18 1−s 1−s PROPN ejde-41 37 19 2 2 NUM ejde-41 37 20 ψ(t)‖2l2 ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 37 21 . . PUNCT ejde-41 38 1 ( ( PUNCT ejde-41 38 2 1.6 1.6 NUM ejde-41 38 3 ) ) PUNCT ejde-41 38 4 given give VERB ejde-41 38 5 any any DET ejde-41 38 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 38 7 regular regular ADJ ejde-41 38 8 and and CCONJ ejde-41 38 9 spatially spatially ADV ejde-41 38 10 localized localize VERB ejde-41 38 11 solution solution NOUN ejde-41 38 12 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 38 13 ) ) PUNCT ejde-41 38 14 of of ADP ejde-41 38 15 the the DET ejde-41 38 16 free free ADJ ejde-41 38 17 fractional fractional ADJ ejde-41 38 18 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 38 19 equation equation NOUN ejde-41 38 20 i∂tψ i∂tψ PART ejde-41 38 21 = = SYM ejde-41 38 22 ( ( PUNCT ejde-41 38 23 −∆)sψ −∆)sψ PROPN ejde-41 38 24 , , PUNCT ejde-41 38 25 a a DET ejde-41 38 26 calculation calculation NOUN ejde-41 38 27 yields yield VERB ejde-41 38 28 1 1 NUM ejde-41 38 29 2 2 NUM ejde-41 38 30 d d NOUN ejde-41 38 31 dt dt NOUN ejde-41 38 32 v(s)[ψ(t v(s)[ψ(t PROPN ejde-41 38 33 ) ) PUNCT ejde-41 38 34 ] ] PUNCT ejde-41 39 1 : : PUNCT ejde-41 39 2 = = SYM ejde-41 39 3 2 2 NUM ejde-41 39 4 i i NOUN ejde-41 39 5 m m VERB ejde-41 39 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 39 7 r3 r3 PROPN ejde-41 39 8 ψ̄(t ψ̄(t NOUN ejde-41 39 9 , , PUNCT ejde-41 39 10 x)x x)x PUNCT ejde-41 39 11 · · PUNCT ejde-41 39 12 ∇ψ(t ∇ψ(t NOUN ejde-41 39 13 , , PUNCT ejde-41 39 14 x x X ejde-41 39 15 ) ) PUNCT ejde-41 39 16 dx dx PROPN ejde-41 39 17 . . PUNCT ejde-41 39 18 ( ( PUNCT ejde-41 39 19 1.7 1.7 NUM ejde-41 39 20 ) ) PUNCT ejde-41 39 21 this this DET ejde-41 39 22 idea idea NOUN ejde-41 39 23 has have AUX ejde-41 39 24 been be AUX ejde-41 39 25 successfully successfully ADV ejde-41 39 26 applied apply VERB ejde-41 39 27 to to PART ejde-41 39 28 prove prove VERB ejde-41 39 29 the the DET ejde-41 39 30 blow blow VERB ejde-41 39 31 - - PUNCT ejde-41 39 32 up up ADP ejde-41 39 33 results result NOUN ejde-41 39 34 for for ADP ejde-41 39 35 ( ( PUNCT ejde-41 39 36 1.1 1.1 NUM ejde-41 39 37 ) ) PUNCT ejde-41 39 38 with with ADP ejde-41 39 39 radial radial ADJ ejde-41 39 40 solutions solution NOUN ejde-41 39 41 and and CCONJ ejde-41 39 42 the the DET ejde-41 39 43 hartree hartree ADJ ejde-41 39 44 - - PUNCT ejde-41 39 45 type type NOUN ejde-41 39 46 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-41 39 47 ( ( PUNCT ejde-41 39 48 |x|−γ |x|−γ X ejde-41 39 49 ∗ ∗ VERB ejde-41 39 50 |ψ|2)ψ |ψ|2)ψ ADP ejde-41 39 51 with with ADP ejde-41 39 52 γ γ PROPN ejde-41 39 53 ≥ ≥ NOUN ejde-41 39 54 1 1 NUM ejde-41 39 55 in in ADP ejde-41 39 56 [ [ X ejde-41 39 57 6 6 NUM ejde-41 39 58 , , PUNCT ejde-41 39 59 43 43 NUM ejde-41 39 60 ] ] PUNCT ejde-41 39 61 . . PUNCT ejde-41 40 1 but but CCONJ ejde-41 40 2 this this DET ejde-41 40 3 method method NOUN ejde-41 40 4 can can AUX ejde-41 40 5 not not PART ejde-41 40 6 work work VERB ejde-41 40 7 due due ADP ejde-41 40 8 to to ADP ejde-41 40 9 the the DET ejde-41 40 10 nontrivial nontrivial ADJ ejde-41 40 11 error error NOUN ejde-41 40 12 terms term NOUN ejde-41 40 13 which which PRON ejde-41 40 14 seem seem VERB ejde-41 40 15 very very ADV ejde-41 40 16 hard hard ADJ ejde-41 40 17 to to PART ejde-41 40 18 control control VERB ejde-41 40 19 for for ADP ejde-41 40 20 the the DET ejde-41 40 21 local local ADJ ejde-41 40 22 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-41 40 23 |ψ|pψ |ψ|pψ ADJ ejde-41 40 24 . . PUNCT ejde-41 41 1 boulenger bouleng ADJ ejde-41 41 2 et et PROPN ejde-41 41 3 al al PROPN ejde-41 41 4 . . PUNCT ejde-41 42 1 [ [ X ejde-41 42 2 3 3 NUM ejde-41 42 3 ] ] PUNCT ejde-41 42 4 applied apply VERB ejde-41 42 5 the the DET ejde-41 42 6 balakrishman balakrishman NOUN ejde-41 42 7 ’s ’s PART ejde-41 42 8 formula formula NOUN ejde-41 42 9 ( ( PUNCT ejde-41 42 10 −∆)s −∆)s SYM ejde-41 42 11 = = PROPN ejde-41 42 12 sinπs sinπs PROPN ejde-41 43 1 π π PROPN ejde-41 43 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 43 3 ∞ ∞ NUM ejde-41 43 4 0 0 NUM ejde-41 43 5 ms−1 ms−1 PROPN ejde-41 43 6 −∆ −∆ NOUN ejde-41 43 7 −∆ −∆ NOUN ejde-41 44 1 + + PROPN ejde-41 44 2 m m VERB ejde-41 44 3 dm dm NOUN ejde-41 44 4 , , PUNCT ejde-41 44 5 ( ( PUNCT ejde-41 44 6 1.8 1.8 NUM ejde-41 44 7 ) ) PUNCT ejde-41 44 8 and and CCONJ ejde-41 44 9 obtained obtain VERB ejde-41 44 10 the the DET ejde-41 44 11 differential differential ADJ ejde-41 44 12 estimate estimate NOUN ejde-41 44 13 d d X ejde-41 44 14 dt dt X ejde-41 45 1 ( ( PUNCT ejde-41 45 2 i i NOUN ejde-41 45 3 m m VERB ejde-41 45 4 ∫ ∫ PROPN ejde-41 45 5 r3 r3 PROPN ejde-41 45 6 ψ̄(t)∇ϕr ψ̄(t)∇ϕr NOUN ejde-41 45 7 · · PUNCT ejde-41 45 8 ∇ψ(t ∇ψ(t PROPN ejde-41 45 9 ) ) PUNCT ejde-41 45 10 dx dx PROPN ejde-41 45 11 ) ) PUNCT ejde-41 45 12 ≤ ≤ ADV ejde-41 46 1 12pe(ψ0)− 12pe(ψ0)− NUM ejde-41 46 2 2δ‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 2δ‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 NUM ejde-41 47 1 + + CCONJ ejde-41 47 2 ◦ ◦ VERB ejde-41 47 3 r(1)(1 r(1)(1 PRON ejde-41 47 4 + + CCONJ ejde-41 47 5 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖p ‖(−∆)s/2ψ(t)‖p PROPN ejde-41 47 6 / / SYM ejde-41 47 7 s+l2 s+l2 PROPN ejde-41 47 8 ) ) PUNCT ejde-41 47 9 , , PUNCT ejde-41 47 10 where where SCONJ ejde-41 47 11 δ δ PROPN ejde-41 47 12 = = PUNCT ejde-41 47 13 3p 3p NUM ejde-41 47 14 − − PROPN ejde-41 48 1 2s 2s X ejde-41 48 2 . . PUNCT ejde-41 49 1 with with ADP ejde-41 49 2 the the DET ejde-41 49 3 help help NOUN ejde-41 49 4 of of ADP ejde-41 49 5 this this DET ejde-41 49 6 key key ADJ ejde-41 49 7 estimate estimate NOUN ejde-41 49 8 , , PUNCT ejde-41 49 9 they they PRON ejde-41 49 10 proved prove VERB ejde-41 49 11 the the DET ejde-41 49 12 existence existence NOUN ejde-41 49 13 of of ADP ejde-41 49 14 radial radial ADJ ejde-41 49 15 blow blow NOUN ejde-41 49 16 - - PUNCT ejde-41 49 17 up up ADP ejde-41 49 18 hs hs NOUN ejde-41 49 19 solutions solution NOUN ejde-41 49 20 by by ADP ejde-41 49 21 applying apply VERB ejde-41 49 22 the the DET ejde-41 49 23 comparison comparison NOUN ejde-41 49 24 theory theory NOUN ejde-41 49 25 . . PUNCT ejde-41 50 1 however however ADV ejde-41 50 2 , , PUNCT ejde-41 50 3 to to ADP ejde-41 50 4 the the DET ejde-41 50 5 best good ADJ ejde-41 50 6 of of ADP ejde-41 50 7 our our PRON ejde-41 50 8 knowledge knowledge NOUN ejde-41 50 9 , , PUNCT ejde-41 50 10 there there PRON ejde-41 50 11 are be VERB ejde-41 50 12 no no DET ejde-41 50 13 any any DET ejde-41 50 14 blow blow NOUN ejde-41 50 15 - - PUNCT ejde-41 50 16 up up ADP ejde-41 50 17 results result NOUN ejde-41 50 18 for for ADP ejde-41 50 19 ( ( PUNCT ejde-41 50 20 1.4 1.4 NUM ejde-41 50 21 ) ) PUNCT ejde-41 50 22 so so ADV ejde-41 50 23 far far ADV ejde-41 50 24 . . PUNCT ejde-41 51 1 in in ADP ejde-41 51 2 particular particular ADJ ejde-41 51 3 , , PUNCT ejde-41 51 4 equation equation NOUN ejde-41 51 5 ( ( PUNCT ejde-41 51 6 1.4 1.4 NUM ejde-41 51 7 ) ) PUNCT ejde-41 51 8 includes include VERB ejde-41 51 9 two two NUM ejde-41 51 10 classical classical ADJ ejde-41 51 11 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 51 12 , , PUNCT ejde-41 51 13 i.e. i.e. X ejde-41 51 14 , , PUNCT ejde-41 51 15 power power NOUN ejde-41 51 16 - - PUNCT ejde-41 51 17 type type NOUN ejde-41 51 18 |ψ|pψ |ψ|pψ ADJ ejde-41 51 19 and and CCONJ ejde-41 51 20 hartree hartree ADJ ejde-41 51 21 - - PUNCT ejde-41 51 22 type type NOUN ejde-41 51 23 ( ( PUNCT ejde-41 51 24 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 51 25 ) ) PUNCT ejde-41 51 26 ∗ ∗ NOUN ejde-41 51 27 |ψ|2)ψ |ψ|2)ψ NUM ejde-41 51 28 . . PUNCT ejde-41 52 1 the the DET ejde-41 52 2 study study NOUN ejde-41 52 3 of of ADP ejde-41 52 4 blow blow NOUN ejde-41 52 5 - - PUNCT ejde-41 52 6 up up NOUN ejde-41 52 7 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 52 8 blow blow VERB ejde-41 52 9 - - PUNCT ejde-41 52 10 up up ADP ejde-41 52 11 criteria criterion NOUN ejde-41 52 12 and and CCONJ ejde-41 52 13 instability instability NOUN ejde-41 52 14 of of ADP ejde-41 52 15 standing standing ADJ ejde-41 52 16 waves wave NOUN ejde-41 52 17 3 3 NUM ejde-41 52 18 solutions solution NOUN ejde-41 52 19 for for ADP ejde-41 52 20 ( ( PUNCT ejde-41 52 21 1.4 1.4 NUM ejde-41 52 22 ) ) PUNCT ejde-41 52 23 is be AUX ejde-41 52 24 of of ADP ejde-41 52 25 particular particular ADJ ejde-41 52 26 challenge challenge NOUN ejde-41 52 27 , , PUNCT ejde-41 52 28 because because SCONJ ejde-41 52 29 the the DET ejde-41 52 30 methods method NOUN ejde-41 52 31 for for ADP ejde-41 52 32 proving prove VERB ejde-41 52 33 blowup blowup ADJ ejde-41 52 34 results result NOUN ejde-41 52 35 of of ADP ejde-41 52 36 ( ( PUNCT ejde-41 52 37 1.1 1.1 NUM ejde-41 52 38 ) ) PUNCT ejde-41 52 39 with with ADP ejde-41 52 40 power power NOUN ejde-41 52 41 - - PUNCT ejde-41 52 42 type type NOUN ejde-41 52 43 |ψ|pψ |ψ|pψ ADJ ejde-41 52 44 or or CCONJ ejde-41 52 45 hartree hartree ADJ ejde-41 52 46 - - PUNCT ejde-41 52 47 type type NOUN ejde-41 52 48 ( ( PUNCT ejde-41 52 49 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 52 50 ) ) PUNCT ejde-41 52 51 ∗ ∗ NOUN ejde-41 52 52 |ψ|2)ψ |ψ|2)ψ ADJ ejde-41 52 53 are be AUX ejde-41 52 54 usually usually ADV ejde-41 52 55 different different ADJ ejde-41 52 56 , , PUNCT ejde-41 52 57 so so SCONJ ejde-41 52 58 we we PRON ejde-41 52 59 should should AUX ejde-41 52 60 develop develop VERB ejde-41 52 61 a a DET ejde-41 52 62 new new ADJ ejde-41 52 63 method method NOUN ejde-41 52 64 when when SCONJ ejde-41 52 65 both both DET ejde-41 52 66 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 52 67 appear appear VERB ejde-41 52 68 simultaneously simultaneously ADV ejde-41 52 69 . . PUNCT ejde-41 53 1 inspired inspire VERB ejde-41 53 2 by by ADP ejde-41 53 3 the the DET ejde-41 53 4 ideas idea NOUN ejde-41 53 5 in in ADP ejde-41 53 6 [ [ X ejde-41 53 7 9 9 NUM ejde-41 53 8 ] ] PUNCT ejde-41 53 9 , , PUNCT ejde-41 53 10 we we PRON ejde-41 53 11 study study VERB ejde-41 53 12 the the DET ejde-41 53 13 blow blow NOUN ejde-41 53 14 - - PUNCT ejde-41 53 15 up up ADP ejde-41 53 16 criteria criterion NOUN ejde-41 53 17 for for ADP ejde-41 53 18 ( ( PUNCT ejde-41 53 19 1.4 1.4 NUM ejde-41 53 20 ) ) PUNCT ejde-41 53 21 . . PUNCT ejde-41 54 1 the the DET ejde-41 54 2 difficulty difficulty NOUN ejde-41 54 3 is be AUX ejde-41 54 4 the the DET ejde-41 54 5 presence presence NOUN ejde-41 54 6 of of ADP ejde-41 54 7 the the DET ejde-41 54 8 fractional fractional ADJ ejde-41 54 9 order order NOUN ejde-41 54 10 laplacian laplacian X ejde-41 54 11 ( ( PUNCT ejde-41 54 12 −∆)s −∆)s NOUN ejde-41 54 13 . . NOUN ejde-41 55 1 when when SCONJ ejde-41 55 2 s s VERB ejde-41 55 3 = = SYM ejde-41 55 4 1 1 NUM ejde-41 55 5 , , PUNCT ejde-41 55 6 we we PRON ejde-41 55 7 have have VERB ejde-41 55 8 1 1 NUM ejde-41 55 9 2 2 NUM ejde-41 55 10 d d NOUN ejde-41 55 11 dt dt X ejde-41 55 12 ∫ ∫ PROPN ejde-41 55 13 r3 r3 PROPN ejde-41 55 14 ϕ(x)|ψ(t ϕ(x)|ψ(t PROPN ejde-41 55 15 , , PUNCT ejde-41 55 16 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 55 17 dx dx PROPN ejde-41 55 18 = = SYM ejde-41 55 19 2 2 NUM ejde-41 55 20 i i NOUN ejde-41 55 21 m m VERB ejde-41 55 22 ∫ ∫ PROPN ejde-41 55 23 r3 r3 PROPN ejde-41 55 24 ψ̄(t ψ̄(t PROPN ejde-41 55 25 , , PUNCT ejde-41 55 26 x)∇ϕ(x x)∇ϕ(x PROPN ejde-41 55 27 ) ) PUNCT ejde-41 55 28 · · PUNCT ejde-41 55 29 ∇ψ(t ∇ψ(t NOUN ejde-41 55 30 , , PUNCT ejde-41 55 31 x x X ejde-41 55 32 ) ) PUNCT ejde-41 55 33 dx dx PROPN ejde-41 55 34 . . PUNCT ejde-41 56 1 ( ( PUNCT ejde-41 56 2 1.9 1.9 NUM ejde-41 56 3 ) ) PUNCT ejde-41 56 4 using use VERB ejde-41 56 5 this this DET ejde-41 56 6 identity identity NOUN ejde-41 56 7 , , PUNCT ejde-41 56 8 du du PROPN ejde-41 56 9 et et PROPN ejde-41 56 10 al al PROPN ejde-41 56 11 . . PUNCT ejde-41 57 1 [ [ X ejde-41 57 2 9 9 NUM ejde-41 57 3 ] ] PUNCT ejde-41 57 4 derived derive VERB ejde-41 57 5 an an DET ejde-41 57 6 l2 l2 NOUN ejde-41 57 7 - - PUNCT ejde-41 57 8 estimate estimate NOUN ejde-41 57 9 in in ADP ejde-41 57 10 the the DET ejde-41 57 11 exterior exterior ADJ ejde-41 57 12 ball ball NOUN ejde-41 57 13 . . PUNCT ejde-41 58 1 thanks thank NOUN ejde-41 58 2 to to ADP ejde-41 58 3 this this DET ejde-41 58 4 l2 l2 NOUN ejde-41 58 5 - - PUNCT ejde-41 58 6 estimate estimate NOUN ejde-41 58 7 and and CCONJ ejde-41 58 8 the the DET ejde-41 58 9 virial virial ADJ ejde-41 58 10 estimates estimate NOUN ejde-41 58 11 , , PUNCT ejde-41 58 12 they they PRON ejde-41 58 13 established establish VERB ejde-41 58 14 the the DET ejde-41 58 15 blow blow VERB ejde-41 58 16 - - PUNCT ejde-41 58 17 up up ADP ejde-41 58 18 criteria criterion NOUN ejde-41 58 19 for for ADP ejde-41 58 20 the the DET ejde-41 58 21 classical classical ADJ ejde-41 58 22 nls nls NOUN ejde-41 58 23 . . PUNCT ejde-41 59 1 in in ADP ejde-41 59 2 the the DET ejde-41 59 3 case case NOUN ejde-41 59 4 s s X ejde-41 59 5 ∈ ∈ NOUN ejde-41 59 6 ( ( PUNCT ejde-41 59 7 1 1 NUM ejde-41 59 8 2 2 NUM ejde-41 59 9 , , PUNCT ejde-41 59 10 1 1 NUM ejde-41 59 11 ) ) PUNCT ejde-41 59 12 , , PUNCT ejde-41 59 13 the the DET ejde-41 59 14 identity identity NOUN ejde-41 59 15 ( ( PUNCT ejde-41 59 16 1.9 1.9 NUM ejde-41 59 17 ) ) PUNCT ejde-41 59 18 does do AUX ejde-41 59 19 not not PART ejde-41 59 20 hold hold VERB ejde-41 59 21 . . PUNCT ejde-41 60 1 however however ADV ejde-41 60 2 , , PUNCT ejde-41 60 3 by by ADP ejde-41 60 4 exploiting exploit VERB ejde-41 60 5 the the DET ejde-41 60 6 idea idea NOUN ejde-41 60 7 in in ADP ejde-41 60 8 [ [ X ejde-41 60 9 3 3 NUM ejde-41 60 10 ] ] PUNCT ejde-41 60 11 and and CCONJ ejde-41 60 12 the the DET ejde-41 60 13 use use NOUN ejde-41 60 14 of of ADP ejde-41 60 15 the the DET ejde-41 60 16 balakrishman balakrishman NOUN ejde-41 60 17 ’s ’s PART ejde-41 60 18 formula formula NOUN ejde-41 60 19 ( ( PUNCT ejde-41 60 20 1.8 1.8 NUM ejde-41 60 21 ) ) PUNCT ejde-41 60 22 , , PUNCT ejde-41 60 23 we we PRON ejde-41 60 24 can can AUX ejde-41 60 25 obtain obtain VERB ejde-41 60 26 the the DET ejde-41 60 27 time time NOUN ejde-41 60 28 derivative derivative ADJ ejde-41 60 29 of of ADP ejde-41 60 30 the the DET ejde-41 60 31 virial virial ADJ ejde-41 60 32 action action NOUN ejde-41 60 33 . . PUNCT ejde-41 61 1 thus thus ADV ejde-41 61 2 , , PUNCT ejde-41 61 3 we we PRON ejde-41 61 4 can can AUX ejde-41 61 5 obtain obtain VERB ejde-41 61 6 the the DET ejde-41 61 7 blow blow VERB ejde-41 61 8 - - PUNCT ejde-41 61 9 up up ADP ejde-41 61 10 criteria criterion NOUN ejde-41 61 11 for for ADP ejde-41 61 12 ( ( PUNCT ejde-41 61 13 1.4 1.4 NUM ejde-41 61 14 ) ) PUNCT ejde-41 61 15 . . PUNCT ejde-41 62 1 theorem theorem VERB ejde-41 62 2 1.1 1.1 NUM ejde-41 62 3 . . PUNCT ejde-41 63 1 let let VERB ejde-41 63 2 s s PRON ejde-41 63 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 63 4 ( ( PUNCT ejde-41 63 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 63 6 , , PUNCT ejde-41 63 7 1 1 NUM ejde-41 63 8 ) ) PUNCT ejde-41 63 9 and and CCONJ ejde-41 63 10 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 63 11 ∈ ∈ PROPN ejde-41 63 12 hs hs X ejde-41 63 13 be be AUX ejde-41 63 14 the the DET ejde-41 63 15 corresponding corresponding ADJ ejde-41 63 16 ( ( PUNCT ejde-41 63 17 not not PART ejde-41 63 18 necessary necessary ADJ ejde-41 63 19 radial radial ADJ ejde-41 63 20 ) ) PUNCT ejde-41 63 21 solution solution NOUN ejde-41 63 22 to to ADP ejde-41 63 23 ( ( PUNCT ejde-41 63 24 1.4 1.4 NUM ejde-41 63 25 ) ) PUNCT ejde-41 63 26 on on ADP ejde-41 63 27 the the DET ejde-41 63 28 maximal maximal ADJ ejde-41 63 29 time time NOUN ejde-41 63 30 interval interval NOUN ejde-41 64 1 [ [ X ejde-41 64 2 0 0 NUM ejde-41 64 3 , , PUNCT ejde-41 64 4 t t PROPN ejde-41 64 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 64 6 ) ) PUNCT ejde-41 64 7 . . PUNCT ejde-41 65 1 if if SCONJ ejde-41 65 2 there there PRON ejde-41 65 3 exists exist VERB ejde-41 65 4 δ δ PROPN ejde-41 65 5 > > X ejde-41 65 6 0 0 NUM ejde-41 65 7 such such ADJ ejde-41 65 8 that that DET ejde-41 65 9 sup sup NOUN ejde-41 65 10 t∈[0,t∗ t∈[0,t∗ NOUN ejde-41 65 11 ) ) PUNCT ejde-41 65 12 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 65 13 ) ) PUNCT ejde-41 65 14 ) ) PUNCT ejde-41 65 15 ≤ ≤ NOUN ejde-41 66 1 −δ −δ ADP ejde-41 66 2 < < X ejde-41 66 3 0 0 NUM ejde-41 66 4 , , PUNCT ejde-41 66 5 ( ( PUNCT ejde-41 66 6 1.10 1.10 NUM ejde-41 66 7 ) ) PUNCT ejde-41 66 8 where where SCONJ ejde-41 66 9 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 66 10 ) ) PUNCT ejde-41 66 11 ) ) PUNCT ejde-41 66 12 is be AUX ejde-41 66 13 defined define VERB ejde-41 66 14 by by ADP ejde-41 66 15 ( ( PUNCT ejde-41 66 16 1.14 1.14 NUM ejde-41 66 17 ) ) PUNCT ejde-41 66 18 . . PUNCT ejde-41 67 1 then then ADV ejde-41 67 2 one one NUM ejde-41 67 3 of of ADP ejde-41 67 4 the the DET ejde-41 67 5 following following ADJ ejde-41 67 6 statements statement NOUN ejde-41 67 7 is be AUX ejde-41 67 8 true true ADJ ejde-41 67 9 : : PUNCT ejde-41 67 10 • • NUM ejde-41 67 11 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 67 12 ) ) PUNCT ejde-41 67 13 blows blow VERB ejde-41 67 14 up up ADP ejde-41 67 15 in in ADP ejde-41 67 16 finite finite ADJ ejde-41 67 17 time time NOUN ejde-41 67 18 , , PUNCT ejde-41 67 19 i.e. i.e. X ejde-41 67 20 t t NOUN ejde-41 67 21 ∗ ∗ NOUN ejde-41 67 22 < < X ejde-41 67 23 + + NOUN ejde-41 67 24 ∞ ∞ PROPN ejde-41 67 25 ; ; PUNCT ejde-41 67 26 or or CCONJ ejde-41 67 27 • • ADP ejde-41 67 28 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 67 29 ) ) PUNCT ejde-41 67 30 blows blow VERB ejde-41 67 31 up up ADP ejde-41 67 32 in in ADP ejde-41 67 33 infinite infinite ADJ ejde-41 67 34 time time NOUN ejde-41 67 35 and and CCONJ ejde-41 67 36 there there PRON ejde-41 67 37 exists exist VERB ejde-41 67 38 a a DET ejde-41 67 39 time time NOUN ejde-41 67 40 sequence sequence NOUN ejde-41 67 41 ( ( PUNCT ejde-41 67 42 tn)n≥1 tn)n≥1 VERB ejde-41 67 43 such such ADJ ejde-41 67 44 that that PRON ejde-41 67 45 tn tn PROPN ejde-41 67 46 → → SYM ejde-41 67 47 + + NOUN ejde-41 67 48 ∞ ∞ PROPN ejde-41 67 49 and and CCONJ ejde-41 67 50 lim lim PROPN ejde-41 67 51 n→∞ n→∞ X ejde-41 68 1 ‖(−∆)s/2ψ(tn)‖l2 ‖(−∆)s/2ψ(tn)‖l2 PROPN ejde-41 68 2 = = PROPN ejde-41 68 3 ∞. ∞. PROPN ejde-41 68 4 ( ( PUNCT ejde-41 68 5 1.11 1.11 NUM ejde-41 68 6 ) ) PUNCT ejde-41 68 7 based base VERB ejde-41 68 8 on on ADP ejde-41 68 9 the the DET ejde-41 68 10 blow blow NOUN ejde-41 68 11 - - PUNCT ejde-41 68 12 up up ADP ejde-41 68 13 criterion criterion NOUN ejde-41 68 14 ( ( PUNCT ejde-41 68 15 1.10 1.10 NUM ejde-41 68 16 ) ) PUNCT ejde-41 68 17 , , PUNCT ejde-41 68 18 we we PRON ejde-41 68 19 will will AUX ejde-41 68 20 study study VERB ejde-41 68 21 the the DET ejde-41 68 22 strong strong ADJ ejde-41 68 23 instability instability NOUN ejde-41 68 24 of of ADP ejde-41 68 25 standing standing ADJ ejde-41 68 26 waves wave NOUN ejde-41 68 27 of of ADP ejde-41 68 28 ( ( PUNCT ejde-41 68 29 1.4 1.4 NUM ejde-41 68 30 ) ) PUNCT ejde-41 68 31 . . PUNCT ejde-41 69 1 the the DET ejde-41 69 2 standing stand VERB ejde-41 69 3 waves wave NOUN ejde-41 69 4 of of ADP ejde-41 69 5 ( ( PUNCT ejde-41 69 6 1.4 1.4 NUM ejde-41 69 7 ) ) PUNCT ejde-41 69 8 are be AUX ejde-41 69 9 solutions solution NOUN ejde-41 69 10 of of ADP ejde-41 69 11 the the DET ejde-41 69 12 form form NOUN ejde-41 69 13 eiωtu eiωtu NOUN ejde-41 69 14 , , PUNCT ejde-41 69 15 where where SCONJ ejde-41 69 16 ω ω PROPN ejde-41 69 17 ∈ ∈ PROPN ejde-41 69 18 r r NOUN ejde-41 69 19 is be AUX ejde-41 69 20 a a DET ejde-41 69 21 frequency frequency NOUN ejde-41 69 22 and and CCONJ ejde-41 69 23 u u NOUN ejde-41 69 24 ∈ ∈ PROPN ejde-41 69 25 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 69 26 } } PUNCT ejde-41 69 27 is be AUX ejde-41 69 28 a a DET ejde-41 69 29 nontrivial nontrivial ADJ ejde-41 69 30 solution solution NOUN ejde-41 69 31 to to ADP ejde-41 69 32 the the DET ejde-41 69 33 elliptic elliptic ADJ ejde-41 69 34 equation equation NOUN ejde-41 69 35 ( ( PUNCT ejde-41 69 36 −∆)su+ −∆)su+ NOUN ejde-41 69 37 ωu+ ωu+ NOUN ejde-41 69 38 ( ( PUNCT ejde-41 69 39 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 69 40 ) ) PUNCT ejde-41 69 41 ∗ ∗ NOUN ejde-41 69 42 |u|2)u− |u|2)u− PROPN ejde-41 69 43 |u|pu |u|pu PROPN ejde-41 69 44 = = NOUN ejde-41 69 45 0 0 PROPN ejde-41 69 46 . . PUNCT ejde-41 70 1 ( ( PUNCT ejde-41 70 2 1.12 1.12 NUM ejde-41 70 3 ) ) PUNCT ejde-41 70 4 note note NOUN ejde-41 70 5 that that SCONJ ejde-41 70 6 ( ( PUNCT ejde-41 70 7 1.12 1.12 NUM ejde-41 70 8 ) ) PUNCT ejde-41 70 9 can can AUX ejde-41 70 10 be be AUX ejde-41 70 11 written write VERB ejde-41 70 12 as as ADP ejde-41 70 13 s′ω(u s′ω(u NOUN ejde-41 70 14 ) ) PUNCT ejde-41 70 15 = = SYM ejde-41 71 1 0 0 NUM ejde-41 71 2 , , PUNCT ejde-41 71 3 where where SCONJ ejde-41 71 4 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 71 5 ) ) PUNCT ejde-41 71 6 : : PUNCT ejde-41 72 1 = = SYM ejde-41 72 2 1 1 NUM ejde-41 72 3 2 2 NUM ejde-41 72 4 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-41 72 5 ḣs ḣs PROPN ejde-41 72 6 + + CCONJ ejde-41 72 7 ω ω PROPN ejde-41 72 8 2 2 NUM ejde-41 72 9 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 NOUN ejde-41 72 10 + + CCONJ ejde-41 72 11 1 1 NUM ejde-41 72 12 4 4 NUM ejde-41 72 13 ∫ ∫ NOUN ejde-41 72 14 r3 r3 PROPN ejde-41 72 15 ( ( PUNCT ejde-41 72 16 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 72 17 ) ) PUNCT ejde-41 72 18 ∗ ∗ NOUN ejde-41 72 19 |u|2)|u|2dx |u|2)|u|2dx NUM ejde-41 72 20 − − NUM ejde-41 72 21 1 1 NUM ejde-41 72 22 p+ p+ NOUN ejde-41 72 23 2 2 NUM ejde-41 72 24 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 72 25 lp+2 lp+2 X ejde-41 72 26 ( ( PUNCT ejde-41 72 27 1.13 1.13 NUM ejde-41 72 28 ) ) PUNCT ejde-41 72 29 is be AUX ejde-41 72 30 the the DET ejde-41 72 31 action action NOUN ejde-41 72 32 functional functional ADJ ejde-41 72 33 . . PUNCT ejde-41 73 1 then then ADV ejde-41 73 2 we we PRON ejde-41 73 3 define define VERB ejde-41 73 4 q(u q(u PUNCT ejde-41 73 5 ) ) PUNCT ejde-41 73 6 : : PUNCT ejde-41 74 1 = = PUNCT ejde-41 74 2 ∂λsω(uλ)|λ=1 ∂λsω(uλ)|λ=1 PROPN ejde-41 74 3 = = PUNCT ejde-41 74 4 s‖u‖2 s‖u‖2 PROPN ejde-41 74 5 ḣs ḣs NOUN ejde-41 74 6 + + CCONJ ejde-41 74 7 3− 3− NUM ejde-41 74 8 2r 2r NUM ejde-41 74 9 4 4 NUM ejde-41 74 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 74 11 r3 r3 PROPN ejde-41 74 12 ( ( PUNCT ejde-41 74 13 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 74 14 ) ) PUNCT ejde-41 74 15 ∗ ∗ NOUN ejde-41 74 16 |u|2)|u|2dx− |u|2)|u|2dx− X ejde-41 75 1 3p 3p NUM ejde-41 76 1 2(p+ 2(p+ NUM ejde-41 76 2 2 2 NUM ejde-41 76 3 ) ) PUNCT ejde-41 76 4 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 76 5 lp+2 lp+2 X ejde-41 76 6 ( ( PUNCT ejde-41 76 7 1.14 1.14 NUM ejde-41 76 8 ) ) PUNCT ejde-41 76 9 4 4 NUM ejde-41 76 10 y. y. PROPN ejde-41 76 11 mo mo PROPN ejde-41 76 12 , , PUNCT ejde-41 76 13 m. m. PROPN ejde-41 76 14 zhu zhu PROPN ejde-41 76 15 , , PUNCT ejde-41 76 16 b. b. PROPN ejde-41 76 17 feng feng PROPN ejde-41 76 18 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 76 19 with with ADP ejde-41 76 20 uλ(x uλ(x NUM ejde-41 76 21 ) ) PUNCT ejde-41 76 22 : : PUNCT ejde-41 76 23 = = PUNCT ejde-41 76 24 λ3/2u(λx λ3/2u(λx X ejde-41 76 25 ) ) PUNCT ejde-41 76 26 and and CCONJ ejde-41 76 27 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 76 28 ) ) PUNCT ejde-41 76 29 : : PUNCT ejde-41 76 30 = = SYM ejde-41 76 31 ( ( PUNCT ejde-41 76 32 s+ s+ X ejde-41 76 33 r)〈s′ω(u r)〈s′ω(u PROPN ejde-41 76 34 ) ) PUNCT ejde-41 76 35 , , PUNCT ejde-41 76 36 u u NOUN ejde-41 76 37 〉 〉 NOUN ejde-41 76 38 − − NOUN ejde-41 76 39 iω(u iω(u NUM ejde-41 76 40 ) ) PUNCT ejde-41 76 41 = = SYM ejde-41 77 1 4s+ 4s+ NUM ejde-41 78 1 2r 2r NUM ejde-41 78 2 − − NOUN ejde-41 78 3 3 3 NUM ejde-41 78 4 2 2 NUM ejde-41 78 5 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-41 78 6 ḣs ḣs NOUN ejde-41 78 7 + + CCONJ ejde-41 78 8 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 79 1 2r 2r NUM ejde-41 79 2 − − NOUN ejde-41 79 3 3 3 NUM ejde-41 79 4 ) ) PUNCT ejde-41 79 5 2 2 NUM ejde-41 79 6 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 NOUN ejde-41 79 7 + + CCONJ ejde-41 79 8 4s+ 4s+ NUM ejde-41 80 1 2r 2r NUM ejde-41 80 2 − − NOUN ejde-41 80 3 3 3 NUM ejde-41 80 4 4 4 NUM ejde-41 80 5 ∫ ∫ NOUN ejde-41 80 6 r3 r3 PROPN ejde-41 80 7 ( ( PUNCT ejde-41 80 8 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 80 9 ) ) PUNCT ejde-41 80 10 ∗ ∗ NOUN ejde-41 80 11 |u|2)|u|2dx |u|2)|u|2dx NUM ejde-41 80 12 − − PROPN ejde-41 80 13 ( ( PUNCT ejde-41 80 14 s+ s+ NUM ejde-41 80 15 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 80 16 2)− 2)− NUM ejde-41 80 17 3 3 NUM ejde-41 80 18 p+ p+ NOUN ejde-41 80 19 2 2 NUM ejde-41 80 20 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 80 21 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 80 22 , , PUNCT ejde-41 80 23 ( ( PUNCT ejde-41 80 24 1.15 1.15 NUM ejde-41 80 25 ) ) PUNCT ejde-41 80 26 where where SCONJ ejde-41 80 27 iω(u iω(u X ejde-41 80 28 ) ) PUNCT ejde-41 80 29 denotes denote VERB ejde-41 80 30 the the DET ejde-41 80 31 pohozaev pohozaev NOUN ejde-41 80 32 identity identity NOUN ejde-41 80 33 related relate VERB ejde-41 80 34 to to ADP ejde-41 80 35 ( ( PUNCT ejde-41 80 36 1.12 1.12 NUM ejde-41 80 37 ) ) PUNCT ejde-41 80 38 , , PUNCT ejde-41 80 39 see see VERB ejde-41 80 40 ( ( PUNCT ejde-41 80 41 2.3 2.3 NUM ejde-41 80 42 ) ) PUNCT ejde-41 80 43 . . PUNCT ejde-41 81 1 the the DET ejde-41 81 2 usual usual ADJ ejde-41 81 3 strategy strategy NOUN ejde-41 81 4 to to PART ejde-41 81 5 show show VERB ejde-41 81 6 the the DET ejde-41 81 7 strong strong ADJ ejde-41 81 8 instability instability NOUN ejde-41 81 9 of of ADP ejde-41 81 10 standing standing ADJ ejde-41 81 11 waves wave NOUN ejde-41 81 12 of of ADP ejde-41 81 13 the the DET ejde-41 81 14 classical classical ADJ ejde-41 81 15 nls nls NOUN ejde-41 81 16 ( ( PUNCT ejde-41 81 17 s=1 s=1 NOUN ejde-41 81 18 ) ) PUNCT ejde-41 81 19 is be AUX ejde-41 81 20 to to PART ejde-41 81 21 establish establish VERB ejde-41 81 22 the the DET ejde-41 81 23 finite finite ADJ ejde-41 81 24 time time NOUN ejde-41 81 25 blow blow NOUN ejde-41 81 26 - - PUNCT ejde-41 81 27 up up NOUN ejde-41 81 28 by by ADP ejde-41 81 29 using use VERB ejde-41 81 30 the the DET ejde-41 81 31 variational variational ADJ ejde-41 81 32 characterization characterization NOUN ejde-41 81 33 of of ADP ejde-41 81 34 ground ground NOUN ejde-41 81 35 states state NOUN ejde-41 81 36 as as ADP ejde-41 81 37 minimizers minimizer NOUN ejde-41 81 38 of of ADP ejde-41 81 39 the the DET ejde-41 81 40 action action NOUN ejde-41 81 41 functional functional ADJ ejde-41 81 42 and and CCONJ ejde-41 81 43 the the DET ejde-41 81 44 virial virial ADJ ejde-41 81 45 identity identity NOUN ejde-41 81 46 . . PUNCT ejde-41 82 1 more more ADV ejde-41 82 2 specifically specifically ADV ejde-41 82 3 , , PUNCT ejde-41 82 4 the the DET ejde-41 82 5 variational variational ADJ ejde-41 82 6 characterization characterization NOUN ejde-41 82 7 of of ADP ejde-41 82 8 ground ground NOUN ejde-41 82 9 states state NOUN ejde-41 82 10 by by ADP ejde-41 82 11 the the DET ejde-41 82 12 manifold manifold ADJ ejde-41 82 13 n n NOUN ejde-41 82 14 : : PUNCT ejde-41 82 15 = = SYM ejde-41 82 16 { { PUNCT ejde-41 82 17 v v NUM ejde-41 82 18 ∈ ∈ PRON ejde-41 82 19 h1\{0 h1\{0 PROPN ejde-41 82 20 } } PUNCT ejde-41 82 21 , , PUNCT ejde-41 82 22 q(v q(v NOUN ejde-41 82 23 ) ) PUNCT ejde-41 82 24 = = SYM ejde-41 83 1 0 0 X ejde-41 83 2 } } PUNCT ejde-41 83 3 can can AUX ejde-41 83 4 imply imply VERB ejde-41 83 5 the the DET ejde-41 83 6 key key ADJ ejde-41 83 7 estimate estimate NOUN ejde-41 83 8 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 83 9 ) ) PUNCT ejde-41 83 10 ) ) PUNCT ejde-41 84 1 ≤ ≤ NUM ejde-41 84 2 2(sω(ψ0 2(sω(ψ0 NUM ejde-41 84 3 ) ) PUNCT ejde-41 84 4 − − NOUN ejde-41 84 5 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 84 6 ) ) PUNCT ejde-41 84 7 ) ) PUNCT ejde-41 84 8 , , PUNCT ejde-41 84 9 where where SCONJ ejde-41 84 10 u u NOUN ejde-41 84 11 is be AUX ejde-41 84 12 the the DET ejde-41 84 13 ground ground NOUN ejde-41 84 14 state state NOUN ejde-41 84 15 solution solution NOUN ejde-41 84 16 . . PUNCT ejde-41 85 1 then then ADV ejde-41 85 2 , , PUNCT ejde-41 85 3 it it PRON ejde-41 85 4 follows follow VERB ejde-41 85 5 from from ADP ejde-41 85 6 the the DET ejde-41 85 7 virial virial ADJ ejde-41 85 8 identity identity NOUN ejde-41 85 9 and and CCONJ ejde-41 85 10 the the DET ejde-41 85 11 choice choice NOUN ejde-41 85 12 of of ADP ejde-41 85 13 initial initial ADJ ejde-41 85 14 data datum NOUN ejde-41 85 15 ψ0 ψ0 ADV ejde-41 85 16 that that SCONJ ejde-41 85 17 d2 d2 PROPN ejde-41 85 18 dt2 dt2 PROPN ejde-41 85 19 ‖xψ(t)‖2l2 ‖xψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 85 20 = = SYM ejde-41 85 21 8q(ψ(t 8q(ψ(t NUM ejde-41 85 22 ) ) PUNCT ejde-41 85 23 ) ) PUNCT ejde-41 85 24 ≤ ≤ NOUN ejde-41 85 25 16(sω(ψ0)− 16(sω(ψ0)− NUM ejde-41 85 26 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 85 27 ) ) PUNCT ejde-41 85 28 ) ) PUNCT ejde-41 86 1 < < X ejde-41 86 2 0 0 NUM ejde-41 86 3 , , PUNCT ejde-41 86 4 for for ADP ejde-41 86 5 t t PROPN ejde-41 86 6 ∈ ∈ PROPN ejde-41 87 1 [ [ X ejde-41 87 2 0 0 NUM ejde-41 87 3 , , PUNCT ejde-41 87 4 t t PROPN ejde-41 87 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 87 6 ) ) PUNCT ejde-41 87 7 . . PUNCT ejde-41 88 1 this this PRON ejde-41 88 2 implies imply VERB ejde-41 88 3 that that SCONJ ejde-41 88 4 the the DET ejde-41 88 5 solution solution NOUN ejde-41 88 6 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 88 7 ) ) PUNCT ejde-41 88 8 blows blow VERB ejde-41 88 9 up up ADP ejde-41 88 10 in in ADP ejde-41 88 11 a a DET ejde-41 88 12 finite finite ADJ ejde-41 88 13 time time NOUN ejde-41 88 14 . . PUNCT ejde-41 89 1 thus thus ADV ejde-41 89 2 , , PUNCT ejde-41 89 3 we we PRON ejde-41 89 4 can can AUX ejde-41 89 5 prove prove VERB ejde-41 89 6 the the DET ejde-41 89 7 strong strong ADJ ejde-41 89 8 instability instability NOUN ejde-41 89 9 of of ADP ejde-41 89 10 ground ground NOUN ejde-41 89 11 state state NOUN ejde-41 89 12 standing stand VERB ejde-41 89 13 waves wave NOUN ejde-41 89 14 [ [ X ejde-41 89 15 5 5 NUM ejde-41 89 16 , , PUNCT ejde-41 89 17 26 26 NUM ejde-41 89 18 , , PUNCT ejde-41 89 19 31 31 NUM ejde-41 89 20 , , PUNCT ejde-41 89 21 32 32 NUM ejde-41 89 22 , , PUNCT ejde-41 89 23 33 33 NUM ejde-41 89 24 , , PUNCT ejde-41 89 25 37 37 NUM ejde-41 89 26 ] ] PUNCT ejde-41 89 27 . . PUNCT ejde-41 90 1 however however ADV ejde-41 90 2 , , PUNCT ejde-41 90 3 in in ADP ejde-41 90 4 many many ADJ ejde-41 90 5 cases case NOUN ejde-41 90 6 , , PUNCT ejde-41 90 7 it it PRON ejde-41 90 8 is be AUX ejde-41 90 9 hard hard ADJ ejde-41 90 10 to to PART ejde-41 90 11 obtain obtain VERB ejde-41 90 12 the the DET ejde-41 90 13 variational variational ADJ ejde-41 90 14 characterization characterization NOUN ejde-41 90 15 of of ADP ejde-41 90 16 ground ground NOUN ejde-41 90 17 states state NOUN ejde-41 90 18 by by ADP ejde-41 90 19 the the DET ejde-41 90 20 manifoldn manifoldn NOUN ejde-41 90 21 . . PUNCT ejde-41 91 1 but but CCONJ ejde-41 91 2 we we PRON ejde-41 91 3 can can AUX ejde-41 91 4 obtain obtain VERB ejde-41 91 5 the the DET ejde-41 91 6 variational variational ADJ ejde-41 91 7 characterization characterization NOUN ejde-41 91 8 of of ADP ejde-41 91 9 ground ground NOUN ejde-41 91 10 states state NOUN ejde-41 91 11 by by ADP ejde-41 91 12 the the DET ejde-41 91 13 nehari nehari NOUN ejde-41 91 14 manifold manifold ADJ ejde-41 91 15 and and CCONJ ejde-41 91 16 obtain obtain VERB ejde-41 91 17 the the DET ejde-41 91 18 key key ADJ ejde-41 91 19 estimate estimate NOUN ejde-41 91 20 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 91 21 ) ) PUNCT ejde-41 91 22 ) ) PUNCT ejde-41 92 1 ≤ ≤ NUM ejde-41 92 2 2(sω(ψ0)− 2(sω(ψ0)− NUM ejde-41 92 3 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 92 4 ) ) PUNCT ejde-41 92 5 ) ) PUNCT ejde-41 93 1 [ [ X ejde-41 93 2 16 16 NUM ejde-41 93 3 , , PUNCT ejde-41 93 4 17 17 NUM ejde-41 93 5 , , PUNCT ejde-41 93 6 18 18 NUM ejde-41 93 7 , , PUNCT ejde-41 93 8 27 27 NUM ejde-41 93 9 , , PUNCT ejde-41 93 10 19 19 NUM ejde-41 93 11 , , PUNCT ejde-41 93 12 29 29 NUM ejde-41 93 13 , , PUNCT ejde-41 93 14 30 30 NUM ejde-41 93 15 , , PUNCT ejde-41 93 16 34 34 NUM ejde-41 93 17 , , PUNCT ejde-41 93 18 38 38 NUM ejde-41 93 19 , , PUNCT ejde-41 93 20 41 41 NUM ejde-41 93 21 ] ] PUNCT ejde-41 93 22 . . PUNCT ejde-41 94 1 when when SCONJ ejde-41 94 2 s s VERB ejde-41 94 3 = = SYM ejde-41 94 4 r r NOUN ejde-41 94 5 = = SYM ejde-41 94 6 1 1 NUM ejde-41 94 7 and and CCONJ ejde-41 94 8 p p NOUN ejde-41 94 9 ∈ ∈ PROPN ejde-41 94 10 { { PUNCT ejde-41 94 11 2/3 2/3 NUM ejde-41 94 12 } } PUNCT ejde-41 94 13 ∪ ∪ NOUN ejde-41 95 1 ( ( PUNCT ejde-41 96 1 1 1 NUM ejde-41 96 2 , , PUNCT ejde-41 96 3 4/3 4/3 NUM ejde-41 96 4 ) ) PUNCT ejde-41 96 5 , , PUNCT ejde-41 96 6 bellazzini bellazzini NOUN ejde-41 96 7 and and CCONJ ejde-41 96 8 siciliano siciliano X ejde-41 97 1 [ [ X ejde-41 97 2 1 1 X ejde-41 97 3 ] ] PUNCT ejde-41 97 4 proved prove VERB ejde-41 97 5 the the DET ejde-41 97 6 existence existence NOUN ejde-41 97 7 of of ADP ejde-41 97 8 orbitally orbitally ADV ejde-41 97 9 stable stable ADJ ejde-41 97 10 standing standing ADJ ejde-41 97 11 waves wave NOUN ejde-41 97 12 for for ADP ejde-41 97 13 ( ( PUNCT ejde-41 97 14 1.4 1.4 NUM ejde-41 97 15 ) ) PUNCT ejde-41 97 16 . . PUNCT ejde-41 98 1 kikuchi kikuchi PROPN ejde-41 99 1 [ [ X ejde-41 99 2 25 25 NUM ejde-41 99 3 ] ] PUNCT ejde-41 99 4 showed show VERB ejde-41 99 5 the the DET ejde-41 99 6 existence existence NOUN ejde-41 99 7 of of ADP ejde-41 99 8 standing standing ADJ ejde-41 99 9 waves wave NOUN ejde-41 99 10 for for ADP ejde-41 99 11 ( ( PUNCT ejde-41 99 12 1.4 1.4 NUM ejde-41 99 13 ) ) PUNCT ejde-41 99 14 with with ADP ejde-41 99 15 s s NOUN ejde-41 99 16 = = NOUN ejde-41 99 17 r r NOUN ejde-41 99 18 = = SYM ejde-41 99 19 1 1 NUM ejde-41 99 20 and and CCONJ ejde-41 99 21 0 0 NUM ejde-41 99 22 < < X ejde-41 99 23 p p X ejde-41 99 24 < < X ejde-41 99 25 4 4 NUM ejde-41 99 26 and and CCONJ ejde-41 99 27 proved prove VERB ejde-41 99 28 that that SCONJ ejde-41 99 29 the the DET ejde-41 99 30 standing stand VERB ejde-41 99 31 wave wave NOUN ejde-41 99 32 eiωtu eiωtu PROPN ejde-41 99 33 is be AUX ejde-41 99 34 strongly strongly ADV ejde-41 99 35 unstable unstable ADJ ejde-41 99 36 for for ADP ejde-41 99 37 all all DET ejde-41 99 38 ω ω NOUN ejde-41 99 39 > > X ejde-41 99 40 0 0 PUNCT ejde-41 99 41 when when SCONJ ejde-41 99 42 2 2 NUM ejde-41 99 43 ≤ ≤ NOUN ejde-41 99 44 p p X ejde-41 99 45 < < X ejde-41 99 46 4 4 NUM ejde-41 99 47 . . PUNCT ejde-41 99 48 when when SCONJ ejde-41 99 49 4/3 4/3 DET ejde-41 99 50 < < X ejde-41 99 51 p p X ejde-41 99 52 < < X ejde-41 99 53 2 2 NUM ejde-41 99 54 , , PUNCT ejde-41 99 55 it it PRON ejde-41 99 56 shows show VERB ejde-41 99 57 that that SCONJ ejde-41 99 58 there there PRON ejde-41 99 59 exists exist VERB ejde-41 99 60 ω̄ ω̄ ADP ejde-41 99 61 > > X ejde-41 99 62 0 0 NUM ejde-41 99 63 such such ADJ ejde-41 99 64 that that SCONJ ejde-41 99 65 the the DET ejde-41 99 66 standing stand VERB ejde-41 99 67 wave wave NOUN ejde-41 99 68 eiωtu eiωtu PROPN ejde-41 99 69 is be AUX ejde-41 99 70 strongly strongly ADV ejde-41 99 71 unstable unstable ADJ ejde-41 99 72 for for ADP ejde-41 99 73 all all DET ejde-41 99 74 ω ω NUM ejde-41 99 75 > > X ejde-41 99 76 ω̄. ω̄. PUNCT ejde-41 99 77 in in ADP ejde-41 99 78 the the DET ejde-41 99 79 l2 l2 NOUN ejde-41 99 80 - - PUNCT ejde-41 99 81 supercritical supercritical ADJ ejde-41 99 82 case case NOUN ejde-41 99 83 , , PUNCT ejde-41 99 84 i.e. i.e. X ejde-41 99 85 , , PUNCT ejde-41 99 86 4/3 4/3 PRON ejde-41 99 87 < < X ejde-41 99 88 p p X ejde-41 99 89 < < X ejde-41 99 90 4 4 NUM ejde-41 99 91 , , PUNCT ejde-41 99 92 bellazzini bellazzini PROPN ejde-41 99 93 et et PROPN ejde-41 99 94 al al PROPN ejde-41 99 95 . . PUNCT ejde-41 100 1 [ [ X ejde-41 100 2 2 2 X ejde-41 100 3 ] ] PUNCT ejde-41 100 4 improved improve VERB ejde-41 100 5 the the DET ejde-41 100 6 result result NOUN ejde-41 100 7 of of ADP ejde-41 100 8 kikuchi kikuchi PROPN ejde-41 100 9 and and CCONJ ejde-41 100 10 proved prove VERB ejde-41 100 11 that that SCONJ ejde-41 100 12 the the DET ejde-41 100 13 standing stand VERB ejde-41 100 14 wave wave NOUN ejde-41 100 15 eiωtu eiωtu PROPN ejde-41 100 16 is be AUX ejde-41 100 17 strongly strongly ADV ejde-41 100 18 unstable unstable ADJ ejde-41 100 19 for for ADP ejde-41 100 20 all all DET ejde-41 100 21 ω ω NOUN ejde-41 100 22 > > X ejde-41 100 23 0 0 NUM ejde-41 100 24 . . PUNCT ejde-41 101 1 when when SCONJ ejde-41 101 2 4/3 4/3 DET ejde-41 101 3 ≤ ≤ NOUN ejde-41 101 4 p p X ejde-41 101 5 < < X ejde-41 101 6 4 4 NUM ejde-41 101 7 , , PUNCT ejde-41 101 8 feng feng PROPN ejde-41 101 9 et et PROPN ejde-41 101 10 al al PROPN ejde-41 101 11 . . PUNCT ejde-41 102 1 [ [ X ejde-41 102 2 13 13 NUM ejde-41 102 3 ] ] PUNCT ejde-41 102 4 proved prove VERB ejde-41 102 5 that that SCONJ ejde-41 102 6 the the DET ejde-41 102 7 standing stand VERB ejde-41 102 8 wave wave NOUN ejde-41 102 9 eiωtu eiωtu PROPN ejde-41 102 10 is be AUX ejde-41 102 11 strongly strongly ADV ejde-41 102 12 unstable unstable ADJ ejde-41 102 13 for for ADP ejde-41 102 14 all all DET ejde-41 102 15 ω ω NOUN ejde-41 102 16 > > X ejde-41 102 17 0 0 PROPN ejde-41 102 18 . . PUNCT ejde-41 103 1 equation equation NOUN ejde-41 103 2 ( ( PUNCT ejde-41 103 3 1.4 1.4 NUM ejde-41 103 4 ) ) PUNCT ejde-41 103 5 with with ADP ejde-41 103 6 p p NOUN ejde-41 103 7 = = SYM ejde-41 103 8 4s/3 4s/3 NUM ejde-41 103 9 is be AUX ejde-41 103 10 a a DET ejde-41 103 11 class class NOUN ejde-41 103 12 of of ADP ejde-41 103 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 103 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 103 15 equations equation NOUN ejde-41 103 16 with with ADP ejde-41 103 17 combined combined ADJ ejde-41 103 18 l2 l2 NOUN ejde-41 103 19 - - PUNCT ejde-41 103 20 critical critical ADJ ejde-41 103 21 and and CCONJ ejde-41 103 22 l2 l2 NOUN ejde-41 103 23 - - PUNCT ejde-41 103 24 subcritical subcritical ADJ ejde-41 103 25 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 103 26 . . PUNCT ejde-41 104 1 when when SCONJ ejde-41 104 2 we we PRON ejde-41 104 3 try try VERB ejde-41 104 4 to to PART ejde-41 104 5 study study VERB ejde-41 104 6 the the DET ejde-41 104 7 variational variational ADJ ejde-41 104 8 characterization characterization NOUN ejde-41 104 9 of of ADP ejde-41 104 10 ground ground NOUN ejde-41 104 11 states state NOUN ejde-41 104 12 by by ADP ejde-41 104 13 the the DET ejde-41 104 14 manifold manifold ADJ ejde-41 104 15 n n NOUN ejde-41 104 16 , , PUNCT ejde-41 104 17 it it PRON ejde-41 104 18 is be AUX ejde-41 104 19 hard hard ADJ ejde-41 104 20 to to PART ejde-41 104 21 obtain obtain VERB ejde-41 104 22 s′ω(u s′ω(u NOUN ejde-41 104 23 ) ) PUNCT ejde-41 104 24 = = SYM ejde-41 105 1 0 0 NUM ejde-41 105 2 , , PUNCT ejde-41 105 3 see see VERB ejde-41 105 4 lemma lemma PROPN ejde-41 105 5 5.4 5.4 NUM ejde-41 105 6 . . PUNCT ejde-41 106 1 moreover moreover ADV ejde-41 106 2 , , PUNCT ejde-41 106 3 we we PRON ejde-41 106 4 find find VERB ejde-41 106 5 that that SCONJ ejde-41 106 6 the the DET ejde-41 106 7 usual usual ADJ ejde-41 106 8 nehari nehari NOUN ejde-41 106 9 manifold manifold NOUN ejde-41 106 10 is be AUX ejde-41 106 11 not not PART ejde-41 106 12 a a DET ejde-41 106 13 good good ADJ ejde-41 106 14 choice choice NOUN ejde-41 106 15 in in ADP ejde-41 106 16 this this DET ejde-41 106 17 case case NOUN ejde-41 106 18 . . PUNCT ejde-41 107 1 fortunately fortunately ADV ejde-41 107 2 , , PUNCT ejde-41 107 3 we we PRON ejde-41 107 4 can can AUX ejde-41 107 5 obtain obtain VERB ejde-41 107 6 the the DET ejde-41 107 7 variational variational ADJ ejde-41 107 8 characterization characterization NOUN ejde-41 107 9 of of ADP ejde-41 107 10 ground ground NOUN ejde-41 107 11 states state NOUN ejde-41 107 12 by by ADP ejde-41 107 13 the the DET ejde-41 107 14 nehari nehari NOUN ejde-41 107 15 - - PUNCT ejde-41 107 16 pohozaev pohozaev NOUN ejde-41 107 17 manifold manifold ADJ ejde-41 107 18 n1 n1 NOUN ejde-41 107 19 : : PUNCT ejde-41 107 20 = = SYM ejde-41 107 21 { { PUNCT ejde-41 107 22 u u NOUN ejde-41 107 23 ∈ ∈ PROPN ejde-41 107 24 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 107 25 } } PUNCT ejde-41 107 26 , , PUNCT ejde-41 107 27 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 107 28 ) ) PUNCT ejde-41 107 29 = = SYM ejde-41 107 30 0 0 NUM ejde-41 107 31 } } PUNCT ejde-41 107 32 . . PUNCT ejde-41 108 1 based base VERB ejde-41 108 2 on on ADP ejde-41 108 3 this this DET ejde-41 108 4 variational variational ADJ ejde-41 108 5 characterization characterization NOUN ejde-41 108 6 and and CCONJ ejde-41 108 7 a a DET ejde-41 108 8 theoretical theoretical ADJ ejde-41 108 9 analysis analysis NOUN ejde-41 108 10 , , PUNCT ejde-41 108 11 we we PRON ejde-41 108 12 can can AUX ejde-41 108 13 obtain obtain VERB ejde-41 108 14 the the DET ejde-41 108 15 strong strong ADJ ejde-41 108 16 instability instability NOUN ejde-41 108 17 of of ADP ejde-41 108 18 standing standing ADJ ejde-41 108 19 waves wave NOUN ejde-41 108 20 for for ADP ejde-41 108 21 ( ( PUNCT ejde-41 108 22 1.4 1.4 NUM ejde-41 108 23 ) ) PUNCT ejde-41 108 24 . . PUNCT ejde-41 109 1 theorem theorem VERB ejde-41 109 2 1.2 1.2 NUM ejde-41 109 3 . . PUNCT ejde-41 110 1 let let VERB ejde-41 110 2 ω ω PROPN ejde-41 110 3 > > X ejde-41 110 4 0 0 NUM ejde-41 110 5 , , PUNCT ejde-41 110 6 s s NOUN ejde-41 110 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 110 8 ( ( PUNCT ejde-41 110 9 1/2 1/2 NUM ejde-41 110 10 , , PUNCT ejde-41 110 11 1 1 NUM ejde-41 110 12 ) ) PUNCT ejde-41 110 13 , , PUNCT ejde-41 110 14 2s 2s PROPN ejde-41 110 15 + + X ejde-41 110 16 2r 2r NUM ejde-41 110 17 > > X ejde-41 110 18 3 3 NUM ejde-41 110 19 , , PUNCT ejde-41 110 20 4s/3 4s/3 NUM ejde-41 110 21 ≤ ≤ NOUN ejde-41 111 1 p p X ejde-41 111 2 < < X ejde-41 111 3 4s/(3 4s/(3 NUM ejde-41 111 4 − − NUM ejde-41 111 5 2s 2s NUM ejde-41 111 6 ) ) PUNCT ejde-41 111 7 and and CCONJ ejde-41 111 8 u u PRON ejde-41 111 9 be be VERB ejde-41 111 10 the the DET ejde-41 111 11 ground ground NOUN ejde-41 111 12 state state NOUN ejde-41 111 13 related relate VERB ejde-41 111 14 to to ADP ejde-41 111 15 ( ( PUNCT ejde-41 111 16 1.12 1.12 NUM ejde-41 111 17 ) ) PUNCT ejde-41 111 18 . . PUNCT ejde-41 112 1 then then ADV ejde-41 112 2 the the DET ejde-41 112 3 standing standing ADJ ejde-41 112 4 wave wave PROPN ejde-41 112 5 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 112 6 , , PUNCT ejde-41 112 7 x x NOUN ejde-41 112 8 ) ) PUNCT ejde-41 112 9 = = SYM ejde-41 112 10 eiωtu(x eiωtu(x PROPN ejde-41 112 11 ) ) PUNCT ejde-41 112 12 is be AUX ejde-41 112 13 strongly strongly ADV ejde-41 112 14 unstable unstable ADJ ejde-41 112 15 in in ADP ejde-41 112 16 the the DET ejde-41 112 17 following follow VERB ejde-41 112 18 sense sense NOUN ejde-41 112 19 : : PUNCT ejde-41 112 20 there there PRON ejde-41 112 21 exists exist VERB ejde-41 112 22 { { PUNCT ejde-41 112 23 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 112 24 } } PUNCT ejde-41 112 25 ⊂ ⊂ PROPN ejde-41 112 26 hs hs PROPN ejde-41 112 27 such such ADJ ejde-41 112 28 that that DET ejde-41 112 29 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 112 30 → → SYM ejde-41 112 31 u u PROPN ejde-41 112 32 in in ADP ejde-41 112 33 hs hs PROPN ejde-41 112 34 as as ADP ejde-41 112 35 n→∞ n→∞ NUM ejde-41 112 36 and and CCONJ ejde-41 112 37 the the DET ejde-41 112 38 corresponding corresponding ADJ ejde-41 112 39 solution solution NOUN ejde-41 112 40 ψn ψn X ejde-41 112 41 of of ADP ejde-41 112 42 ( ( PUNCT ejde-41 112 43 1.4 1.4 NUM ejde-41 112 44 ) ) PUNCT ejde-41 112 45 with with ADP ejde-41 112 46 initial initial ADJ ejde-41 112 47 data datum NOUN ejde-41 112 48 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 112 49 blows blow VERB ejde-41 112 50 up up ADP ejde-41 112 51 in in ADP ejde-41 112 52 finite finite ADJ ejde-41 112 53 time time NOUN ejde-41 112 54 or or CCONJ ejde-41 112 55 infinite infinite ADJ ejde-41 112 56 time time NOUN ejde-41 112 57 for for ADP ejde-41 112 58 any any DET ejde-41 112 59 n n PRON ejde-41 112 60 ≥ ≥ NOUN ejde-41 112 61 1 1 NUM ejde-41 112 62 . . PUNCT ejde-41 113 1 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 113 2 blow blow VERB ejde-41 113 3 - - PUNCT ejde-41 113 4 up up ADP ejde-41 113 5 criteria criterion NOUN ejde-41 113 6 and and CCONJ ejde-41 113 7 instability instability NOUN ejde-41 113 8 of of ADP ejde-41 113 9 standing standing ADJ ejde-41 113 10 waves wave NOUN ejde-41 113 11 5 5 NUM ejde-41 113 12 this this DET ejde-41 113 13 article article NOUN ejde-41 113 14 is be AUX ejde-41 113 15 organized organize VERB ejde-41 113 16 as as SCONJ ejde-41 113 17 follows follow VERB ejde-41 113 18 . . PUNCT ejde-41 114 1 in in ADP ejde-41 114 2 section section NOUN ejde-41 114 3 2 2 NUM ejde-41 114 4 , , PUNCT ejde-41 114 5 we we PRON ejde-41 114 6 present present VERB ejde-41 114 7 some some DET ejde-41 114 8 useful useful ADJ ejde-41 114 9 lemmas lemma NOUN ejde-41 114 10 such such ADJ ejde-41 114 11 as as ADP ejde-41 114 12 the the DET ejde-41 114 13 local local ADJ ejde-41 114 14 well well ADJ ejde-41 114 15 - - PUNCT ejde-41 114 16 posedness posedness NOUN ejde-41 114 17 theory theory NOUN ejde-41 114 18 of of ADP ejde-41 114 19 ( ( PUNCT ejde-41 114 20 1.4 1.4 NUM ejde-41 114 21 ) ) PUNCT ejde-41 114 22 , , PUNCT ejde-41 114 23 brezis brezis NOUN ejde-41 114 24 - - PUNCT ejde-41 114 25 lieb lieb PROPN ejde-41 114 26 ’s ’s PART ejde-41 114 27 lemma lemma PROPN ejde-41 114 28 , , PUNCT ejde-41 114 29 and and CCONJ ejde-41 114 30 the the DET ejde-41 114 31 compactness compactness NOUN ejde-41 114 32 lemma lemma PROPN ejde-41 114 33 . . PUNCT ejde-41 115 1 in in ADP ejde-41 115 2 section section NOUN ejde-41 115 3 3 3 NUM ejde-41 115 4 , , PUNCT ejde-41 115 5 we we PRON ejde-41 115 6 prove prove VERB ejde-41 115 7 the the DET ejde-41 115 8 localized localize VERB ejde-41 115 9 virial virial ADJ ejde-41 115 10 estimates estimate NOUN ejde-41 115 11 related relate VERB ejde-41 115 12 to to ADP ejde-41 115 13 ( ( PUNCT ejde-41 115 14 1.4 1.4 NUM ejde-41 115 15 ) ) PUNCT ejde-41 115 16 . . PUNCT ejde-41 116 1 in in ADP ejde-41 116 2 sections section NOUN ejde-41 116 3 4 4 NUM ejde-41 116 4 and and CCONJ ejde-41 116 5 5 5 NUM ejde-41 116 6 , , PUNCT ejde-41 116 7 we we PRON ejde-41 116 8 prove prove VERB ejde-41 116 9 theorems theorem NOUN ejde-41 116 10 1.1 1.1 NUM ejde-41 116 11 and and CCONJ ejde-41 116 12 1.2 1.2 NUM ejde-41 116 13 , , PUNCT ejde-41 116 14 respectively respectively ADV ejde-41 116 15 . . PUNCT ejde-41 117 1 2 2 X ejde-41 117 2 . . X ejde-41 117 3 preliminary preliminary ADJ ejde-41 117 4 lemmas lemma NOUN ejde-41 117 5 in in ADP ejde-41 117 6 this this DET ejde-41 117 7 section section NOUN ejde-41 117 8 , , PUNCT ejde-41 117 9 we we PRON ejde-41 117 10 recall recall VERB ejde-41 117 11 some some DET ejde-41 117 12 preliminary preliminary ADJ ejde-41 117 13 results result NOUN ejde-41 117 14 that that PRON ejde-41 117 15 will will AUX ejde-41 117 16 be be AUX ejde-41 117 17 used use VERB ejde-41 117 18 later later ADV ejde-41 117 19 . . PUNCT ejde-41 118 1 firstly firstly ADV ejde-41 118 2 , , PUNCT ejde-41 118 3 let let VERB ejde-41 118 4 us we PRON ejde-41 118 5 recall recall VERB ejde-41 118 6 the the DET ejde-41 118 7 local local ADJ ejde-41 118 8 theory theory NOUN ejde-41 118 9 for for ADP ejde-41 118 10 the the DET ejde-41 118 11 cauchy cauchy ADJ ejde-41 118 12 problem problem NOUN ejde-41 118 13 ( ( PUNCT ejde-41 118 14 1.4 1.4 NUM ejde-41 118 15 ) ) PUNCT ejde-41 118 16 . . PUNCT ejde-41 119 1 the the DET ejde-41 119 2 local local ADJ ejde-41 119 3 well well NOUN ejde-41 119 4 - - PUNCT ejde-41 119 5 posedness posedness NOUN ejde-41 119 6 for for ADP ejde-41 119 7 the the DET ejde-41 119 8 fractional fractional ADJ ejde-41 119 9 nls nls NOUN ejde-41 119 10 in in ADP ejde-41 119 11 the the DET ejde-41 119 12 energy energy NOUN ejde-41 119 13 space space NOUN ejde-41 119 14 hs hs PROPN ejde-41 119 15 was be AUX ejde-41 119 16 studied study VERB ejde-41 119 17 by by ADP ejde-41 119 18 hong hong PROPN ejde-41 119 19 and and CCONJ ejde-41 119 20 sire sire NOUN ejde-41 119 21 in in ADP ejde-41 119 22 [ [ X ejde-41 119 23 20 20 NUM ejde-41 119 24 ] ] PUNCT ejde-41 119 25 . . PUNCT ejde-41 120 1 the the DET ejde-41 120 2 proof proof NOUN ejde-41 120 3 is be AUX ejde-41 120 4 based base VERB ejde-41 120 5 on on ADP ejde-41 120 6 strichartz strichartz PROPN ejde-41 120 7 ’s ’s PART ejde-41 120 8 estimates estimate NOUN ejde-41 120 9 and and CCONJ ejde-41 120 10 the the DET ejde-41 120 11 contraction contraction NOUN ejde-41 120 12 mapping mapping NOUN ejde-41 120 13 argument argument NOUN ejde-41 120 14 . . PUNCT ejde-41 121 1 note note VERB ejde-41 121 2 that that SCONJ ejde-41 121 3 for for ADP ejde-41 121 4 non non ADJ ejde-41 121 5 - - ADJ ejde-41 121 6 radial radial ADJ ejde-41 121 7 data datum NOUN ejde-41 121 8 , , PUNCT ejde-41 121 9 strichartz strichartz PROPN ejde-41 121 10 ’s ’s PART ejde-41 121 11 estimates estimate NOUN ejde-41 121 12 have have VERB ejde-41 121 13 a a DET ejde-41 121 14 loss loss NOUN ejde-41 121 15 of of ADP ejde-41 121 16 derivatives derivative NOUN ejde-41 121 17 . . PUNCT ejde-41 122 1 fortunately fortunately ADV ejde-41 122 2 , , PUNCT ejde-41 122 3 this this DET ejde-41 122 4 loss loss NOUN ejde-41 122 5 of of ADP ejde-41 122 6 derivatives derivative NOUN ejde-41 122 7 can can AUX ejde-41 122 8 be be AUX ejde-41 122 9 compensated compensate VERB ejde-41 122 10 by by ADP ejde-41 122 11 using use VERB ejde-41 122 12 the the DET ejde-41 122 13 sobolev sobolev NOUN ejde-41 122 14 embedding embed VERB ejde-41 122 15 . . PUNCT ejde-41 123 1 however however ADV ejde-41 123 2 , , PUNCT ejde-41 123 3 it it PRON ejde-41 123 4 leads lead VERB ejde-41 123 5 to to ADP ejde-41 123 6 a a DET ejde-41 123 7 weak weak ADJ ejde-41 123 8 local local ADJ ejde-41 123 9 well well NOUN ejde-41 123 10 - - PUNCT ejde-41 123 11 posedness posedness NOUN ejde-41 123 12 in in ADP ejde-41 123 13 the the DET ejde-41 123 14 energy energy NOUN ejde-41 123 15 space space NOUN ejde-41 123 16 compared compare VERB ejde-41 123 17 to to ADP ejde-41 123 18 the the DET ejde-41 123 19 classical classical ADJ ejde-41 123 20 nonlinear nonlinear NOUN ejde-41 123 21 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 123 22 equation equation NOUN ejde-41 123 23 . . PUNCT ejde-41 124 1 we we PRON ejde-41 124 2 refer refer VERB ejde-41 124 3 the the DET ejde-41 124 4 reader reader NOUN ejde-41 124 5 to to ADP ejde-41 124 6 [ [ X ejde-41 124 7 7 7 NUM ejde-41 124 8 , , PUNCT ejde-41 124 9 20 20 NUM ejde-41 124 10 ] ] PUNCT ejde-41 124 11 for for ADP ejde-41 124 12 more more ADJ ejde-41 124 13 details detail NOUN ejde-41 124 14 . . PUNCT ejde-41 125 1 we we PRON ejde-41 125 2 can can AUX ejde-41 125 3 remove remove VERB ejde-41 125 4 the the DET ejde-41 125 5 loss loss NOUN ejde-41 125 6 of of ADP ejde-41 125 7 derivatives derivative NOUN ejde-41 125 8 in in ADP ejde-41 125 9 strichartz strichartz NOUN ejde-41 125 10 ’s ’s PART ejde-41 125 11 estimates estimate NOUN ejde-41 125 12 by by ADP ejde-41 125 13 considering consider VERB ejde-41 125 14 radially radially ADV ejde-41 125 15 symmetric symmetric ADJ ejde-41 125 16 data datum NOUN ejde-41 125 17 . . PUNCT ejde-41 126 1 however however ADV ejde-41 126 2 , , PUNCT ejde-41 126 3 it it PRON ejde-41 126 4 needs need VERB ejde-41 126 5 a a DET ejde-41 126 6 restriction restriction NOUN ejde-41 126 7 on on ADP ejde-41 126 8 the the DET ejde-41 126 9 validity validity NOUN ejde-41 126 10 of of ADP ejde-41 126 11 s s PROPN ejde-41 126 12 , , PUNCT ejde-41 126 13 namely namely ADV ejde-41 126 14 3 3 NUM ejde-41 126 15 5 5 NUM ejde-41 126 16 ≤ ≤ NOUN ejde-41 126 17 s s PART ejde-41 126 18 < < X ejde-41 126 19 1 1 NUM ejde-41 126 20 . . PUNCT ejde-41 126 21 proposition proposition NOUN ejde-41 126 22 2.1 2.1 NUM ejde-41 126 23 . . PUNCT ejde-41 127 1 let let VERB ejde-41 127 2 3/5 3/5 NUM ejde-41 127 3 ≤ ≤ NOUN ejde-41 127 4 s s PART ejde-41 127 5 < < X ejde-41 127 6 1 1 NUM ejde-41 127 7 , , PUNCT ejde-41 127 8 0 0 PUNCT ejde-41 127 9 < < X ejde-41 128 1 p p X ejde-41 128 2 < < X ejde-41 128 3 4s 4s NUM ejde-41 128 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 128 5 and and CCONJ ejde-41 128 6 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 128 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 128 8 hs hs PROPN ejde-41 128 9 be be AUX ejde-41 128 10 radial radial ADJ ejde-41 128 11 . . PUNCT ejde-41 129 1 then then ADV ejde-41 129 2 there there PRON ejde-41 129 3 exists exist VERB ejde-41 129 4 t t PROPN ejde-41 129 5 = = SYM ejde-41 129 6 t t PROPN ejde-41 129 7 ( ( PUNCT ejde-41 129 8 ‖ψ0‖hs ‖ψ0‖h NOUN ejde-41 129 9 ) ) PUNCT ejde-41 129 10 such such ADJ ejde-41 129 11 that that SCONJ ejde-41 129 12 ( ( PUNCT ejde-41 129 13 1.4 1.4 NUM ejde-41 129 14 ) ) PUNCT ejde-41 129 15 admits admit VERB ejde-41 129 16 a a DET ejde-41 129 17 unique unique ADJ ejde-41 129 18 solution solution NOUN ejde-41 129 19 ψ ψ ADP ejde-41 129 20 ∈ ∈ PROPN ejde-41 129 21 c([0 c([0 NOUN ejde-41 129 22 , , PUNCT ejde-41 129 23 t t X ejde-41 129 24 ] ] PUNCT ejde-41 129 25 , , PUNCT ejde-41 129 26 hs hs PROPN ejde-41 129 27 ) ) PUNCT ejde-41 129 28 . . PUNCT ejde-41 130 1 let let VERB ejde-41 130 2 [ [ X ejde-41 130 3 0 0 NUM ejde-41 130 4 , , PUNCT ejde-41 130 5 t t PROPN ejde-41 130 6 ∗ ∗ NOUN ejde-41 130 7 ) ) PUNCT ejde-41 130 8 be be VERB ejde-41 130 9 the the DET ejde-41 130 10 maximal maximal ADJ ejde-41 130 11 time time NOUN ejde-41 130 12 interval interval NOUN ejde-41 130 13 on on ADP ejde-41 130 14 which which PRON ejde-41 130 15 the the DET ejde-41 130 16 solution solution NOUN ejde-41 130 17 ψ ψ NOUN ejde-41 130 18 is be AUX ejde-41 130 19 well well ADV ejde-41 130 20 - - PUNCT ejde-41 130 21 defined define VERB ejde-41 130 22 . . PUNCT ejde-41 131 1 if if SCONJ ejde-41 131 2 t t PROPN ejde-41 131 3 ∗ ∗ VERB ejde-41 131 4 < < X ejde-41 131 5 ∞ ∞ PROPN ejde-41 131 6 , , PUNCT ejde-41 131 7 then then ADV ejde-41 131 8 ‖ψ(t)‖ḣs ‖ψ(t)‖ḣs PROPN ejde-41 131 9 → → SYM ejde-41 131 10 ∞ ∞ PROPN ejde-41 131 11 as as ADP ejde-41 131 12 t t PROPN ejde-41 131 13 ↑ ↑ PROPN ejde-41 131 14 t t PROPN ejde-41 131 15 ∗. ∗. PROPN ejde-41 131 16 moreover moreover ADV ejde-41 131 17 , , PUNCT ejde-41 131 18 for for ADP ejde-41 131 19 all all PRON ejde-41 131 20 0 0 NUM ejde-41 131 21 ≤ ≤ NOUN ejde-41 131 22 t t PROPN ejde-41 131 23 < < X ejde-41 131 24 t t PROPN ejde-41 131 25 ∗ ∗ NOUN ejde-41 131 26 , , PUNCT ejde-41 131 27 the the DET ejde-41 131 28 solution solution NOUN ejde-41 131 29 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 131 30 ) ) PUNCT ejde-41 131 31 satisfies satisfy VERB ejde-41 131 32 the the DET ejde-41 131 33 following follow VERB ejde-41 131 34 conservation conservation NOUN ejde-41 131 35 of of ADP ejde-41 131 36 mass mass NOUN ejde-41 131 37 and and CCONJ ejde-41 131 38 energy energy NOUN ejde-41 131 39 ‖ψ(t)‖l2 ‖ψ(t)‖l2 PROPN ejde-41 131 40 = = SYM ejde-41 131 41 ‖ψ0‖l2 ‖ψ0‖l2 PROPN ejde-41 131 42 , , PUNCT ejde-41 131 43 e(ψ(t e(ψ(t PROPN ejde-41 131 44 ) ) PUNCT ejde-41 131 45 ) ) PUNCT ejde-41 132 1 = = SYM ejde-41 132 2 e(ψ0 e(ψ0 NOUN ejde-41 132 3 ) ) PUNCT ejde-41 132 4 , , PUNCT ejde-41 132 5 where where SCONJ ejde-41 132 6 e(ψ(t e(ψ(t PROPN ejde-41 132 7 ) ) PUNCT ejde-41 132 8 ) ) PUNCT ejde-41 133 1 = = SYM ejde-41 133 2 1 1 NUM ejde-41 133 3 2 2 NUM ejde-41 133 4 ‖ψ(t)‖2 ‖ψ(t)‖2 NOUN ejde-41 133 5 ḣs ḣs NOUN ejde-41 133 6 + + CCONJ ejde-41 133 7 1 1 NUM ejde-41 133 8 4 4 NUM ejde-41 133 9 ∫ ∫ NOUN ejde-41 133 10 r3 r3 PROPN ejde-41 133 11 ( ( PUNCT ejde-41 133 12 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 133 13 ) ) PUNCT ejde-41 133 14 ∗ ∗ NOUN ejde-41 133 15 |ψ(t)|2)(x)|ψ(t |ψ(t)|2)(x)|ψ(t PROPN ejde-41 133 16 , , PUNCT ejde-41 133 17 x)|2dx x)|2dx PROPN ejde-41 134 1 − − PROPN ejde-41 134 2 1 1 NUM ejde-41 134 3 p+ p+ NOUN ejde-41 134 4 2 2 NUM ejde-41 134 5 ‖ψ(t)‖p+2 ‖ψ(t)‖p+2 ADJ ejde-41 134 6 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 134 7 . . PUNCT ejde-41 135 1 ( ( PUNCT ejde-41 135 2 2.1 2.1 NUM ejde-41 135 3 ) ) PUNCT ejde-41 135 4 in in ADP ejde-41 135 5 this this DET ejde-41 135 6 article article NOUN ejde-41 135 7 , , PUNCT ejde-41 135 8 we we PRON ejde-41 135 9 use use VERB ejde-41 135 10 the the DET ejde-41 135 11 so so ADV ejde-41 135 12 called call VERB ejde-41 135 13 brezis brezis PROPN ejde-41 135 14 - - PUNCT ejde-41 135 15 lieb lieb PROPN ejde-41 135 16 ’s ’s PART ejde-41 135 17 lemma lemma PROPN ejde-41 136 1 [ [ X ejde-41 136 2 4 4 NUM ejde-41 136 3 ] ] PUNCT ejde-41 136 4 . . PUNCT ejde-41 137 1 lemma lemma PROPN ejde-41 137 2 2.2 2.2 NUM ejde-41 137 3 . . PUNCT ejde-41 138 1 let let VERB ejde-41 138 2 0 0 PUNCT ejde-41 138 3 < < X ejde-41 138 4 p p X ejde-41 138 5 < < X ejde-41 138 6 ∞. ∞. PROPN ejde-41 138 7 suppose suppose VERB ejde-41 138 8 that that SCONJ ejde-41 138 9 un un PROPN ejde-41 138 10 → → SYM ejde-41 138 11 u u PROPN ejde-41 138 12 almost almost ADV ejde-41 138 13 everywhere everywhere ADV ejde-41 138 14 and and CCONJ ejde-41 138 15 { { PUNCT ejde-41 138 16 un un PROPN ejde-41 138 17 } } PUNCT ejde-41 138 18 is be AUX ejde-41 138 19 a a DET ejde-41 138 20 bounded bounded ADJ ejde-41 138 21 sequence sequence NOUN ejde-41 138 22 in in ADP ejde-41 138 23 lp lp NOUN ejde-41 138 24 . . PUNCT ejde-41 139 1 then then ADV ejde-41 139 2 lim lim PROPN ejde-41 139 3 n→∞ n→∞ X ejde-41 139 4 ( ( PUNCT ejde-41 139 5 ‖un‖plp ‖un‖plp NOUN ejde-41 139 6 − − PROPN ejde-41 140 1 ‖un ‖un PROPN ejde-41 140 2 − − PROPN ejde-41 140 3 u‖plp u‖plp NOUN ejde-41 140 4 − − PROPN ejde-41 140 5 ‖u‖plp ‖u‖plp NOUN ejde-41 140 6 ) ) PUNCT ejde-41 141 1 = = SYM ejde-41 141 2 0 0 X ejde-41 141 3 . . PUNCT ejde-41 142 1 lemma lemma PROPN ejde-41 142 2 2.3 2.3 NUM ejde-41 142 3 ( ( PUNCT ejde-41 142 4 [ [ X ejde-41 142 5 40 40 NUM ejde-41 142 6 ] ] PUNCT ejde-41 142 7 ) ) PUNCT ejde-41 142 8 . . PUNCT ejde-41 143 1 let let VERB ejde-41 143 2 u u PRON ejde-41 143 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 143 4 hs hs PROPN ejde-41 143 5 and and CCONJ ejde-41 143 6 2s+ 2s+ NUM ejde-41 143 7 2r 2r NUM ejde-41 143 8 > > X ejde-41 143 9 3 3 X ejde-41 143 10 . . PUNCT ejde-41 143 11 suppose suppose VERB ejde-41 143 12 that that SCONJ ejde-41 143 13 un un PROPN ejde-41 143 14 ⇀ ⇀ PROPN ejde-41 143 15 u u PROPN ejde-41 143 16 in in ADP ejde-41 143 17 hs hs PROPN ejde-41 143 18 and and CCONJ ejde-41 143 19 un un PROPN ejde-41 143 20 → → SYM ejde-41 143 21 u u X ejde-41 143 22 a.e a.e PROPN ejde-41 143 23 . . PROPN ejde-41 143 24 in in ADP ejde-41 143 25 r3 r3 PROPN ejde-41 143 26 . . PUNCT ejde-41 144 1 then∫ then∫ PROPN ejde-41 144 2 r3 r3 PROPN ejde-41 144 3 ( ( PUNCT ejde-41 144 4 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 144 5 ) ) PUNCT ejde-41 144 6 ∗ ∗ NOUN ejde-41 144 7 |un|2)|un|2dx |un|2)|un|2dx NOUN ejde-41 144 8 = = SYM ejde-41 144 9 ∫ ∫ PROPN ejde-41 144 10 r3 r3 PROPN ejde-41 144 11 ( ( PUNCT ejde-41 144 12 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 144 13 ) ) PUNCT ejde-41 144 14 ∗ ∗ NOUN ejde-41 144 15 |un |un ADP ejde-41 144 16 − − PUNCT ejde-41 144 17 u|2)|un u|2)|un ADJ ejde-41 144 18 − − PROPN ejde-41 144 19 u|2dx u|2dx ADJ ejde-41 144 20 + + NUM ejde-41 144 21 ∫ ∫ PROPN ejde-41 144 22 r3 r3 PROPN ejde-41 144 23 ( ( PUNCT ejde-41 144 24 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 144 25 ) ) PUNCT ejde-41 144 26 ∗ ∗ NOUN ejde-41 144 27 |u|2)|u|2dx+ |u|2)|u|2dx+ VERB ejde-41 144 28 ◦ ◦ NOUN ejde-41 144 29 ( ( PUNCT ejde-41 144 30 1 1 NUM ejde-41 144 31 ) ) PUNCT ejde-41 144 32 . . PUNCT ejde-41 145 1 the the DET ejde-41 145 2 following follow VERB ejde-41 145 3 compactness compactness NOUN ejde-41 145 4 lemma lemma PROPN ejde-41 145 5 is be AUX ejde-41 145 6 vital vital ADJ ejde-41 145 7 in in ADP ejde-41 145 8 our our PRON ejde-41 145 9 discussions discussion NOUN ejde-41 145 10 [ [ X ejde-41 145 11 8 8 NUM ejde-41 145 12 , , PUNCT ejde-41 145 13 10 10 NUM ejde-41 145 14 ] ] PUNCT ejde-41 145 15 . . PUNCT ejde-41 146 1 6 6 NUM ejde-41 146 2 y. y. PROPN ejde-41 146 3 mo mo PROPN ejde-41 146 4 , , PUNCT ejde-41 146 5 m. m. PROPN ejde-41 146 6 zhu zhu PROPN ejde-41 146 7 , , PUNCT ejde-41 146 8 b. b. PROPN ejde-41 146 9 feng feng PROPN ejde-41 146 10 ejde-2023/24 ejde-2023/24 CCONJ ejde-41 146 11 lemma lemma PROPN ejde-41 146 12 2.4 2.4 NUM ejde-41 146 13 . . PUNCT ejde-41 147 1 let let VERB ejde-41 147 2 0 0 PUNCT ejde-41 147 3 < < X ejde-41 148 1 p p X ejde-41 148 2 < < X ejde-41 148 3 4s 4s NUM ejde-41 148 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 148 5 and and CCONJ ejde-41 148 6 { { PUNCT ejde-41 148 7 un un PROPN ejde-41 148 8 } } PUNCT ejde-41 148 9 be be AUX ejde-41 148 10 a a DET ejde-41 148 11 bounded bounded ADJ ejde-41 148 12 sequence sequence NOUN ejde-41 148 13 in in ADP ejde-41 148 14 hs hs PROPN ejde-41 148 15 such such ADJ ejde-41 148 16 that that SCONJ ejde-41 148 17 lim lim PROPN ejde-41 148 18 sup sup VERB ejde-41 148 19 n→∞ n→∞ NUM ejde-41 148 20 ‖un‖ḣs ‖un‖ḣs PUNCT ejde-41 148 21 ≤m ≤m NOUN ejde-41 148 22 , , PUNCT ejde-41 148 23 lim lim PROPN ejde-41 148 24 inf inf PROPN ejde-41 148 25 n→∞ n→∞ NUM ejde-41 148 26 ‖un‖lp+2 ‖un‖lp+2 PUNCT ejde-41 148 27 ≥ ≥ NOUN ejde-41 148 28 m. m. NOUN ejde-41 148 29 then then ADV ejde-41 148 30 there there PRON ejde-41 148 31 exist exist VERB ejde-41 148 32 a a DET ejde-41 148 33 sequence sequence NOUN ejde-41 148 34 ( ( PUNCT ejde-41 148 35 xn)n≥1 xn)n≥1 NOUN ejde-41 148 36 in in ADP ejde-41 148 37 r3 r3 PROPN ejde-41 148 38 and and CCONJ ejde-41 148 39 u u PROPN ejde-41 148 40 ∈ ∈ PROPN ejde-41 148 41 hs hs PROPN ejde-41 148 42 \ \ PROPN ejde-41 148 43 { { PUNCT ejde-41 148 44 0 0 NUM ejde-41 148 45 } } PUNCT ejde-41 148 46 such such DET ejde-41 148 47 that that SCONJ ejde-41 148 48 up up ADP ejde-41 148 49 to to ADP ejde-41 148 50 a a DET ejde-41 148 51 subsequence subsequence NOUN ejde-41 148 52 , , PUNCT ejde-41 148 53 un(·+ un(·+ PROPN ejde-41 148 54 xn xn PUNCT ejde-41 148 55 ) ) PUNCT ejde-41 149 1 ⇀ ⇀ NUM ejde-41 150 1 u u NOUN ejde-41 150 2 weakly weakly ADJ ejde-41 150 3 in in ADP ejde-41 150 4 hs hs PROPN ejde-41 150 5 . . PUNCT ejde-41 151 1 finally finally ADV ejde-41 151 2 , , PUNCT ejde-41 151 3 we we PRON ejde-41 151 4 recall recall VERB ejde-41 151 5 the the DET ejde-41 151 6 pohozaev pohozaev NOUN ejde-41 151 7 identity identity NOUN ejde-41 151 8 related relate VERB ejde-41 151 9 to to ADP ejde-41 151 10 ( ( PUNCT ejde-41 151 11 1.12 1.12 NUM ejde-41 151 12 ) ) PUNCT ejde-41 152 1 [ [ X ejde-41 152 2 40 40 NUM ejde-41 152 3 ] ] PUNCT ejde-41 152 4 . . PUNCT ejde-41 153 1 lemma lemma PROPN ejde-41 153 2 2.5 2.5 NUM ejde-41 153 3 . . PUNCT ejde-41 154 1 if if SCONJ ejde-41 154 2 u u PROPN ejde-41 154 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 154 4 hs hs PROPN ejde-41 154 5 satisfies satisfy VERB ejde-41 154 6 equation equation NOUN ejde-41 154 7 ( ( PUNCT ejde-41 154 8 1.12 1.12 NUM ejde-41 154 9 ) ) PUNCT ejde-41 154 10 , , PUNCT ejde-41 154 11 then then ADV ejde-41 154 12 it it PRON ejde-41 154 13 holds hold VERB ejde-41 154 14 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-41 154 15 ḣs ḣs PROPN ejde-41 154 16 + + CCONJ ejde-41 154 17 ω‖u‖2l2 ω‖u‖2l2 PROPN ejde-41 154 18 + + CCONJ ejde-41 154 19 ∫ ∫ PROPN ejde-41 154 20 r3 r3 PROPN ejde-41 154 21 ( ( PUNCT ejde-41 154 22 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 154 23 ) ) PUNCT ejde-41 154 24 ∗ ∗ NOUN ejde-41 154 25 |u|2)|u|2dx− |u|2)|u|2dx− PUNCT ejde-41 155 1 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 155 2 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 155 3 = = SYM ejde-41 155 4 0 0 NUM ejde-41 155 5 ( ( PUNCT ejde-41 155 6 2.2 2.2 NUM ejde-41 155 7 ) ) PUNCT ejde-41 155 8 and and CCONJ ejde-41 155 9 iω(u iω(u NUM ejde-41 155 10 ) ) PUNCT ejde-41 155 11 : : PUNCT ejde-41 156 1 = = SYM ejde-41 156 2 3− 3− NUM ejde-41 156 3 2s 2s NUM ejde-41 156 4 2 2 NUM ejde-41 156 5 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-41 156 6 ḣs ḣs PROPN ejde-41 156 7 + + CCONJ ejde-41 156 8 3ω 3ω PROPN ejde-41 156 9 2 2 NUM ejde-41 156 10 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 NOUN ejde-41 156 11 + + CCONJ ejde-41 156 12 2r 2r NUM ejde-41 157 1 + + CCONJ ejde-41 157 2 3 3 NUM ejde-41 157 3 4 4 NUM ejde-41 157 4 ∫ ∫ NOUN ejde-41 157 5 r3 r3 PROPN ejde-41 157 6 ( ( PUNCT ejde-41 157 7 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 157 8 ) ) PUNCT ejde-41 157 9 ∗ ∗ NOUN ejde-41 157 10 |u|2)|u|2dx |u|2)|u|2dx NUM ejde-41 157 11 − − PROPN ejde-41 157 12 3 3 NUM ejde-41 157 13 p+ p+ NOUN ejde-41 157 14 2 2 NUM ejde-41 157 15 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 157 16 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 157 17 = = SYM ejde-41 157 18 0 0 X ejde-41 157 19 . . PUNCT ejde-41 158 1 ( ( PUNCT ejde-41 158 2 2.3 2.3 NUM ejde-41 158 3 ) ) PUNCT ejde-41 158 4 3 3 NUM ejde-41 158 5 . . PUNCT ejde-41 158 6 localized localize VERB ejde-41 158 7 virial virial ADJ ejde-41 158 8 estimates estimate NOUN ejde-41 158 9 in in ADP ejde-41 158 10 this this DET ejde-41 158 11 section section NOUN ejde-41 158 12 , , PUNCT ejde-41 158 13 we we PRON ejde-41 158 14 prove prove VERB ejde-41 158 15 some some DET ejde-41 158 16 localized localized ADJ ejde-41 158 17 virial virial ADJ ejde-41 158 18 estimates estimate NOUN ejde-41 158 19 related relate VERB ejde-41 158 20 to to ADP ejde-41 158 21 ( ( PUNCT ejde-41 158 22 1.4 1.4 NUM ejde-41 158 23 ) ) PUNCT ejde-41 158 24 . . PUNCT ejde-41 159 1 let let VERB ejde-41 159 2 us we PRON ejde-41 159 3 recall recall VERB ejde-41 159 4 some some DET ejde-41 159 5 useful useful ADJ ejde-41 159 6 results result NOUN ejde-41 159 7 in in ADP ejde-41 159 8 [ [ X ejde-41 159 9 3 3 NUM ejde-41 159 10 ] ] PUNCT ejde-41 159 11 . . PUNCT ejde-41 160 1 lemma lemma PROPN ejde-41 160 2 3.1 3.1 NUM ejde-41 160 3 ( ( PUNCT ejde-41 160 4 [ [ X ejde-41 160 5 3 3 NUM ejde-41 160 6 ] ] PUNCT ejde-41 160 7 ) ) PUNCT ejde-41 160 8 . . PUNCT ejde-41 161 1 suppose suppose VERB ejde-41 161 2 ϕ ϕ X ejde-41 161 3 : : PUNCT ejde-41 161 4 r3 r3 PROPN ejde-41 161 5 → → SYM ejde-41 161 6 r r NOUN ejde-41 161 7 is be AUX ejde-41 161 8 such such ADJ ejde-41 161 9 that that SCONJ ejde-41 161 10 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 161 11 ∈ ∈ PROPN ejde-41 161 12 w w NOUN ejde-41 161 13 1,∞. 1,∞. NUM ejde-41 161 14 then then ADV ejde-41 161 15 for for ADP ejde-41 161 16 all all PRON ejde-41 161 17 u u PROPN ejde-41 161 18 ∈ ∈ PROPN ejde-41 161 19 h1/2 h1/2 NOUN ejde-41 161 20 , , PUNCT ejde-41 161 21 it it PRON ejde-41 161 22 holds∣∣ holds∣∣ VERB ejde-41 161 23 ∫ ∫ PROPN ejde-41 161 24 r3 r3 PROPN ejde-41 161 25 u(x)∇ϕ(x u(x)∇ϕ(x PROPN ejde-41 161 26 ) ) PUNCT ejde-41 161 27 · · PUNCT ejde-41 161 28 ∇u(x)dx ∇u(x)dx NOUN ejde-41 161 29 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 161 30 ≤ ≤ NUM ejde-41 161 31 c‖∇ϕ‖w c‖∇ϕ‖w PROPN ejde-41 161 32 1,∞ 1,∞ NUM ejde-41 161 33 ( ( PUNCT ejde-41 161 34 ‖|∇|1/2u‖2l2 ‖|∇|1/2u‖2l2 PROPN ejde-41 161 35 + + NUM ejde-41 161 36 ‖u‖l2‖|∇|1/2u‖l2 ‖u‖l2‖|∇|1/2u‖l2 X ejde-41 161 37 ) ) PUNCT ejde-41 161 38 for for ADP ejde-41 161 39 some some DET ejde-41 161 40 constant constant ADJ ejde-41 161 41 c c NOUN ejde-41 161 42 > > X ejde-41 161 43 0 0 X ejde-41 161 44 . . PUNCT ejde-41 161 45 to to PART ejde-41 161 46 study study VERB ejde-41 161 47 the the DET ejde-41 161 48 localized localize VERB ejde-41 161 49 virial virial ADJ ejde-41 161 50 estimates estimate NOUN ejde-41 161 51 for for ADP ejde-41 161 52 ( ( PUNCT ejde-41 161 53 1.4 1.4 NUM ejde-41 161 54 ) ) PUNCT ejde-41 161 55 , , PUNCT ejde-41 161 56 we we PRON ejde-41 161 57 introduce introduce VERB ejde-41 161 58 the the DET ejde-41 161 59 auxiliary auxiliary ADJ ejde-41 161 60 function function NOUN ejde-41 161 61 um(x um(x PUNCT ejde-41 161 62 ) ) PUNCT ejde-41 161 63 : : PUNCT ejde-41 162 1 = = NOUN ejde-41 162 2 cs cs PROPN ejde-41 162 3 1 1 NUM ejde-41 162 4 −∆ −∆ NOUN ejde-41 162 5 + + NOUN ejde-41 162 6 m m NOUN ejde-41 162 7 u(x u(x NOUN ejde-41 162 8 ) ) PUNCT ejde-41 162 9 = = SYM ejde-41 163 1 csf−1 csf−1 X ejde-41 163 2 ( ( PUNCT ejde-41 163 3 û(ξ û(ξ ADJ ejde-41 163 4 ) ) PUNCT ejde-41 163 5 |ξ|2 |ξ|2 PROPN ejde-41 163 6 + + PROPN ejde-41 163 7 m m NOUN ejde-41 163 8 ) ) PUNCT ejde-41 163 9 , , PUNCT ejde-41 163 10 m m VERB ejde-41 163 11 > > X ejde-41 163 12 0 0 NUM ejde-41 163 13 , , PUNCT ejde-41 163 14 ( ( PUNCT ejde-41 163 15 3.1 3.1 NUM ejde-41 163 16 ) ) PUNCT ejde-41 163 17 where where SCONJ ejde-41 163 18 cs cs X ejde-41 163 19 : : PUNCT ejde-41 163 20 = = SYM ejde-41 163 21 √ √ PROPN ejde-41 163 22 sinπs sinπs PROPN ejde-41 163 23 π π PROPN ejde-41 163 24 . . PUNCT ejde-41 164 1 lemma lemma PROPN ejde-41 164 2 3.2 3.2 NUM ejde-41 164 3 ( ( PUNCT ejde-41 164 4 [ [ X ejde-41 164 5 3 3 NUM ejde-41 164 6 ] ] NUM ejde-41 164 7 ) ) PUNCT ejde-41 164 8 . . PUNCT ejde-41 165 1 let let VERB ejde-41 165 2 s s PRON ejde-41 165 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 165 4 ( ( PUNCT ejde-41 165 5 0 0 NUM ejde-41 165 6 , , PUNCT ejde-41 165 7 1 1 NUM ejde-41 165 8 ) ) PUNCT ejde-41 165 9 and and CCONJ ejde-41 165 10 ϕ ϕ X ejde-41 165 11 : : PUNCT ejde-41 165 12 r3 r3 PROPN ejde-41 165 13 → → SYM ejde-41 165 14 r r NOUN ejde-41 165 15 with with ADP ejde-41 165 16 ∆ϕ ∆ϕ PROPN ejde-41 165 17 ∈ ∈ NOUN ejde-41 165 18 w w NOUN ejde-41 165 19 2,∞. 2,∞. NOUN ejde-41 165 20 then then ADV ejde-41 165 21 for for ADP ejde-41 165 22 all all DET ejde-41 165 23 u u PROPN ejde-41 165 24 ∈ ∈ NOUN ejde-41 165 25 l2 l2 NOUN ejde-41 165 26 it it PRON ejde-41 165 27 holds∣∣ holds∣∣ VERB ejde-41 165 28 ∫ ∫ PROPN ejde-41 166 1 ∞ ∞ PROPN ejde-41 166 2 0 0 NUM ejde-41 167 1 ms ms PROPN ejde-41 167 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 167 3 r3 r3 PROPN ejde-41 167 4 ( ( PUNCT ejde-41 167 5 ∆2ϕ)|um|2 ∆2ϕ)|um|2 NOUN ejde-41 167 6 dx dx PROPN ejde-41 167 7 dm dm PROPN ejde-41 167 8 ∣∣ ∣∣ X ejde-41 167 9 ≤ ≤ PUNCT ejde-41 168 1 c‖∆2ϕ‖sl∞‖∆ϕ‖1−sl∞ c‖∆2ϕ‖sl∞‖∆ϕ‖1−sl∞ CCONJ ejde-41 168 2 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-41 168 3 2 2 NUM ejde-41 168 4 l2 l2 NOUN ejde-41 168 5 for for ADP ejde-41 168 6 some some DET ejde-41 168 7 constant constant ADJ ejde-41 168 8 c c NOUN ejde-41 168 9 > > X ejde-41 168 10 0 0 PUNCT ejde-41 169 1 dependent dependent ADJ ejde-41 169 2 only only ADV ejde-41 169 3 on on ADP ejde-41 169 4 s. s. PROPN ejde-41 169 5 we we PRON ejde-41 169 6 refer refer VERB ejde-41 169 7 the the DET ejde-41 169 8 reader reader NOUN ejde-41 169 9 to to ADP ejde-41 169 10 [ [ X ejde-41 169 11 3 3 NUM ejde-41 169 12 , , PUNCT ejde-41 169 13 appendix appendix VERB ejde-41 169 14 a a PRON ejde-41 169 15 ] ] PUNCT ejde-41 169 16 for for ADP ejde-41 169 17 the the DET ejde-41 169 18 proof proof NOUN ejde-41 169 19 of of ADP ejde-41 169 20 lemmas lemmas PROPN ejde-41 169 21 3.1 3.1 NUM ejde-41 169 22 and and CCONJ ejde-41 169 23 3.2 3.2 NUM ejde-41 169 24 . . PUNCT ejde-41 170 1 given give VERB ejde-41 170 2 that that SCONJ ejde-41 170 3 sinπs sinπs PROPN ejde-41 170 4 π π PROPN ejde-41 170 5 ∫ ∫ PROPN ejde-41 170 6 ∞ ∞ PROPN ejde-41 170 7 0 0 NUM ejde-41 171 1 ms ms NOUN ejde-41 171 2 ( ( PUNCT ejde-41 171 3 |ξ|2 |ξ|2 PROPN ejde-41 171 4 + + PROPN ejde-41 171 5 m)2 m)2 PROPN ejde-41 171 6 dm dm NOUN ejde-41 171 7 = = PUNCT ejde-41 171 8 s|ξ|2s−2 s|ξ|2s−2 NOUN ejde-41 171 9 , , PUNCT ejde-41 171 10 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 171 11 blow blow NOUN ejde-41 171 12 - - PUNCT ejde-41 171 13 up up ADP ejde-41 171 14 criteria criterion NOUN ejde-41 171 15 and and CCONJ ejde-41 171 16 instability instability NOUN ejde-41 171 17 of of ADP ejde-41 171 18 standing standing ADJ ejde-41 171 19 waves wave NOUN ejde-41 171 20 7 7 NUM ejde-41 171 21 plancherel plancherel NOUN ejde-41 171 22 ’s ’s PART ejde-41 171 23 and and CCONJ ejde-41 171 24 fubini fubini NOUN ejde-41 171 25 ’s ’s PART ejde-41 171 26 theorems theorem NOUN ejde-41 171 27 imply imply VERB ejde-41 171 28 that∫ that∫ PROPN ejde-41 171 29 ∞ ∞ NOUN ejde-41 171 30 0 0 NUM ejde-41 172 1 ms ms PROPN ejde-41 172 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 172 3 r3 r3 PROPN ejde-41 172 4 |∇um|2 |∇um|2 NOUN ejde-41 172 5 dx dx PROPN ejde-41 172 6 dm dm PROPN ejde-41 172 7 = = PUNCT ejde-41 172 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 172 9 r3 r3 PROPN ejde-41 172 10 ( ( PUNCT ejde-41 172 11 sinπs sinπs PROPN ejde-41 172 12 π π PROPN ejde-41 172 13 ∫ ∫ PROPN ejde-41 172 14 ∞ ∞ NUM ejde-41 172 15 0 0 NUM ejde-41 173 1 ms ms PROPN ejde-41 173 2 dm dm PROPN ejde-41 173 3 ( ( PUNCT ejde-41 173 4 |ξ|2 |ξ|2 PROPN ejde-41 173 5 + + PROPN ejde-41 173 6 m)2 m)2 NOUN ejde-41 173 7 ) ) PUNCT ejde-41 173 8 |ξ|2|û(ξ)|2dξ |ξ|2|û(ξ)|2dξ ADV ejde-41 173 9 = = SYM ejde-41 173 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 173 11 r3 r3 PROPN ejde-41 173 12 ( ( PUNCT ejde-41 173 13 s|ξ|2s−2)|ξ|2|û(ξ)|2dξ s|ξ|2s−2)|ξ|2|û(ξ)|2dξ X ejde-41 173 14 = = X ejde-41 173 15 s‖(−∆)s/2u‖2l2 s‖(−∆)s/2u‖2l2 PROPN ejde-41 173 16 ( ( PUNCT ejde-41 173 17 3.2 3.2 NUM ejde-41 173 18 ) ) PUNCT ejde-41 173 19 for for ADP ejde-41 173 20 any any DET ejde-41 173 21 u u PROPN ejde-41 173 22 ∈ ∈ PROPN ejde-41 173 23 ḣs ḣs PROPN ejde-41 173 24 . . PUNCT ejde-41 174 1 lemma lemma PROPN ejde-41 174 2 3.3 3.3 NUM ejde-41 174 3 . . PUNCT ejde-41 175 1 let let VERB ejde-41 175 2 s s PRON ejde-41 175 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 175 4 ( ( PUNCT ejde-41 175 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 175 6 , , PUNCT ejde-41 175 7 1 1 NUM ejde-41 175 8 ) ) PUNCT ejde-41 175 9 and and CCONJ ejde-41 175 10 ϕ ϕ X ejde-41 175 11 : : PUNCT ejde-41 175 12 r3 r3 PROPN ejde-41 175 13 → → SYM ejde-41 175 14 r r NOUN ejde-41 175 15 be be VERB ejde-41 175 16 such such ADJ ejde-41 175 17 that that SCONJ ejde-41 175 18 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 175 19 ∈w ∈w VERB ejde-41 175 20 1,∞. 1,∞. NUM ejde-41 175 21 then then ADV ejde-41 175 22 for for ADP ejde-41 175 23 any any DET ejde-41 175 24 u u PROPN ejde-41 175 25 ∈ ∈ NOUN ejde-41 175 26 l2 l2 NOUN ejde-41 175 27 it it PRON ejde-41 175 28 holds∣∣∣ holds∣∣∣ X ejde-41 175 29 ∫ ∫ PROPN ejde-41 176 1 ∞ ∞ NOUN ejde-41 176 2 0 0 NUM ejde-41 177 1 ms ms PROPN ejde-41 177 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 177 3 r3 r3 PROPN ejde-41 177 4 ( ( PUNCT ejde-41 177 5 ∆ϕ)|um|2 ∆ϕ)|um|2 NOUN ejde-41 177 6 dx dx PROPN ejde-41 177 7 dm dm X ejde-41 177 8 ∣∣∣ ∣∣∣ ADJ ejde-41 177 9 ≤ ≤ NUM ejde-41 177 10 c‖∆ϕ‖2s−1 c‖∆ϕ‖2s−1 NOUN ejde-41 177 11 l∞ l∞ NOUN ejde-41 177 12 ‖∇ϕ‖ ‖∇ϕ‖ NOUN ejde-41 177 13 2−2s 2−2s NUM ejde-41 177 14 l∞ l∞ NOUN ejde-41 177 15 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-41 177 16 2 2 NUM ejde-41 177 17 l2 l2 NOUN ejde-41 177 18 for for ADP ejde-41 177 19 some some DET ejde-41 177 20 constant constant ADJ ejde-41 177 21 c c NOUN ejde-41 177 22 > > X ejde-41 177 23 0 0 PUNCT ejde-41 178 1 dependent dependent ADJ ejde-41 178 2 only only ADV ejde-41 178 3 on on ADP ejde-41 178 4 s. s. PROPN ejde-41 178 5 proof proof PROPN ejde-41 178 6 . . PUNCT ejde-41 179 1 the the DET ejde-41 179 2 idea idea NOUN ejde-41 179 3 is be AUX ejde-41 179 4 essentially essentially ADV ejde-41 179 5 similar similar ADJ ejde-41 179 6 to to ADP ejde-41 179 7 [ [ X ejde-41 179 8 3 3 NUM ejde-41 179 9 , , PUNCT ejde-41 179 10 lemma lemma PROPN ejde-41 179 11 a.2 a.2 ADV ejde-41 179 12 ] ] PUNCT ejde-41 179 13 . . PUNCT ejde-41 180 1 for for ADP ejde-41 180 2 the the DET ejde-41 180 3 reader reader NOUN ejde-41 180 4 ’s ’s PART ejde-41 180 5 convenience convenience NOUN ejde-41 180 6 , , PUNCT ejde-41 180 7 we we PRON ejde-41 180 8 just just ADV ejde-41 180 9 present present VERB ejde-41 180 10 the the DET ejde-41 180 11 outline outline NOUN ejde-41 180 12 of of ADP ejde-41 180 13 our our PRON ejde-41 180 14 proof proof NOUN ejde-41 180 15 . . PUNCT ejde-41 181 1 splitting split VERB ejde-41 181 2 m m NOUN ejde-41 181 3 - - ADJ ejde-41 181 4 integral integral ADJ ejde-41 181 5 into into ADP ejde-41 181 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 181 7 ρ ρ PROPN ejde-41 181 8 0 0 PROPN ejde-41 181 9 . . PUNCT ejde-41 181 10 . . PUNCT ejde-41 182 1 . . PUNCT ejde-41 183 1 and and CCONJ ejde-41 183 2 ∫∞ ∫∞ PROPN ejde-41 183 3 ρ ρ PROPN ejde-41 183 4 . . PUNCT ejde-41 183 5 . . PUNCT ejde-41 183 6 . . PUNCT ejde-41 184 1 with with ADP ejde-41 184 2 ρ ρ PROPN ejde-41 184 3 > > X ejde-41 184 4 0 0 PUNCT ejde-41 184 5 to to PART ejde-41 184 6 be be AUX ejde-41 184 7 chosen choose VERB ejde-41 184 8 later later ADV ejde-41 184 9 . . PUNCT ejde-41 185 1 for for ADP ejde-41 185 2 the the DET ejde-41 185 3 first first ADJ ejde-41 185 4 term term NOUN ejde-41 185 5 , , PUNCT ejde-41 185 6 we we PRON ejde-41 185 7 use use VERB ejde-41 185 8 integration integration NOUN ejde-41 185 9 by by ADP ejde-41 185 10 parts part NOUN ejde-41 185 11 and and CCONJ ejde-41 185 12 hölder hölder NOUN ejde-41 185 13 ’s ’s PART ejde-41 185 14 inequality inequality NOUN ejde-41 185 15 to to ADP ejde-41 185 16 have∣∣∣ have∣∣∣ ADJ ejde-41 185 17 ∫ ∫ PROPN ejde-41 185 18 ρ ρ PROPN ejde-41 185 19 0 0 PROPN ejde-41 186 1 ms ms PROPN ejde-41 186 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 186 3 r3 r3 PROPN ejde-41 186 4 ( ( PUNCT ejde-41 186 5 ∆ϕ)|um|2 ∆ϕ)|um|2 NOUN ejde-41 186 6 dx dx PROPN ejde-41 186 7 dm dm VERB ejde-41 186 8 ∣∣∣ ∣∣∣ ADJ ejde-41 186 9 = = SYM ejde-41 186 10 ∣∣∣ ∣∣∣ NOUN ejde-41 186 11 ∫ ∫ PROPN ejde-41 186 12 ρ ρ PROPN ejde-41 186 13 0 0 PROPN ejde-41 187 1 ms ms PROPN ejde-41 187 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 187 3 r3 r3 PROPN ejde-41 187 4 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 187 5 · · PUNCT ejde-41 187 6 ( ( PUNCT ejde-41 187 7 ∇umum ∇umum NUM ejde-41 187 8 + + NUM ejde-41 187 9 um∇um um∇um NUM ejde-41 187 10 ) ) PUNCT ejde-41 187 11 dx dx PROPN ejde-41 188 1 dm dm VERB ejde-41 188 2 ∣∣∣ ∣∣∣ NOUN ejde-41 188 3 = = SYM ejde-41 188 4 ‖∇ϕ‖l∞ ‖∇ϕ‖l∞ NUM ejde-41 188 5 ∫ ∫ PROPN ejde-41 188 6 ρ ρ PROPN ejde-41 188 7 0 0 PUNCT ejde-41 189 1 ms‖∇um‖l2‖um‖l2 ms‖∇um‖l2‖um‖l2 ADJ ejde-41 189 2 dm dm PROPN ejde-41 189 3 = = PUNCT ejde-41 189 4 ‖∇ϕ‖l∞‖u‖2l2 ‖∇ϕ‖l∞‖u‖2l2 PROPN ejde-41 190 1 ( ( PUNCT ejde-41 190 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 190 3 ρ ρ PROPN ejde-41 190 4 0 0 PUNCT ejde-41 191 1 ms−3/2 ms−3/2 ADJ ejde-41 191 2 dm dm PROPN ejde-41 191 3 ) ) PUNCT ejde-41 191 4 ≤ ≤ NOUN ejde-41 191 5 cρs−1/2‖∇ϕ‖l∞‖u‖2l2 cρs−1/2‖∇ϕ‖l∞‖u‖2l2 PROPN ejde-41 191 6 . . PUNCT ejde-41 192 1 here here ADV ejde-41 192 2 we we PRON ejde-41 192 3 use use VERB ejde-41 192 4 the the DET ejde-41 192 5 fact fact NOUN ejde-41 192 6 ‖∇um‖l2 ‖∇um‖l2 NUM ejde-41 192 7 ≤ ≤ NUM ejde-41 192 8 cm−1/2‖u‖l2 cm−1/2‖u‖l2 X ejde-41 192 9 and and CCONJ ejde-41 192 10 ‖um‖l2 ‖um‖l2 VERB ejde-41 192 11 ≤ ≤ PROPN ejde-41 192 12 cm−1‖u‖l2 cm−1‖u‖l2 ADJ ejde-41 192 13 which which PRON ejde-41 192 14 follows follow VERB ejde-41 192 15 from from ADP ejde-41 192 16 the the DET ejde-41 192 17 definition definition NOUN ejde-41 192 18 of of ADP ejde-41 192 19 um um INTJ ejde-41 192 20 . . PUNCT ejde-41 193 1 for for ADP ejde-41 193 2 the the DET ejde-41 193 3 second second ADJ ejde-41 193 4 term term NOUN ejde-41 193 5 , , PUNCT ejde-41 193 6 we we PRON ejde-41 193 7 have∣∣∣ have∣∣∣ PUNCT ejde-41 193 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 193 9 ∞ ∞ PROPN ejde-41 193 10 ρ ρ PROPN ejde-41 193 11 ms ms PROPN ejde-41 193 12 ∫ ∫ PROPN ejde-41 193 13 r3 r3 PROPN ejde-41 193 14 ( ( PUNCT ejde-41 193 15 ∆ϕ)|um|2 ∆ϕ)|um|2 NOUN ejde-41 193 16 dx dx PROPN ejde-41 193 17 dm dm X ejde-41 193 18 ∣∣∣ ∣∣∣ NOUN ejde-41 193 19 ≤ ≤ ADV ejde-41 194 1 c‖∆ϕ‖l∞(∫ c‖∆ϕ‖l∞(∫ PROPN ejde-41 194 2 ∞ ∞ NUM ejde-41 194 3 ρ ρ NUM ejde-41 195 1 ms‖um‖2l2 ms‖um‖2l2 INTJ ejde-41 195 2 dm dm X ejde-41 195 3 ) ) PUNCT ejde-41 195 4 ≤ ≤ NOUN ejde-41 196 1 c‖∆ϕ‖l∞‖u‖2l2 c‖∆ϕ‖l∞‖u‖2l2 PROPN ejde-41 196 2 ( ( PUNCT ejde-41 196 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 196 4 ∞ ∞ PROPN ejde-41 196 5 ρ ρ PROPN ejde-41 196 6 ms−2 ms−2 PROPN ejde-41 196 7 dm dm PROPN ejde-41 196 8 ) ) PUNCT ejde-41 196 9 ≤ ≤ NOUN ejde-41 196 10 cρs−1‖∆ϕ‖l∞‖u‖2l2 cρs−1‖∆ϕ‖l∞‖u‖2l2 VERB ejde-41 196 11 . . PUNCT ejde-41 197 1 combining combine VERB ejde-41 197 2 two two NUM ejde-41 197 3 terms term NOUN ejde-41 197 4 yields∣∣∣ yields∣∣∣ PROPN ejde-41 197 5 ∫ ∫ PROPN ejde-41 197 6 ∞ ∞ PROPN ejde-41 197 7 0 0 NUM ejde-41 197 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 197 9 r3 r3 PROPN ejde-41 197 10 ( ( PUNCT ejde-41 197 11 ∆ϕ)|um|2 ∆ϕ)|um|2 NOUN ejde-41 197 12 dx dx PROPN ejde-41 197 13 dm dm X ejde-41 197 14 ∣∣∣ ∣∣∣ ADJ ejde-41 197 15 ≤ ≤ NUM ejde-41 197 16 c(ρs−1/2‖∇ϕ‖l∞ c(ρs−1/2‖∇ϕ‖l∞ NOUN ejde-41 197 17 + + CCONJ ejde-41 197 18 ρs−1‖∆ϕ‖l∞ ρs−1‖∆ϕ‖l∞ X ejde-41 197 19 ) ) PUNCT ejde-41 197 20 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 PROPN ejde-41 197 21 for for ADP ejde-41 197 22 arbitrary arbitrary ADJ ejde-41 197 23 ρ ρ PROPN ejde-41 197 24 > > X ejde-41 197 25 0 0 X ejde-41 197 26 . . PUNCT ejde-41 198 1 minimizing minimize VERB ejde-41 198 2 the the DET ejde-41 198 3 right right ADJ ejde-41 198 4 hand hand NOUN ejde-41 198 5 side side NOUN ejde-41 198 6 with with ADP ejde-41 198 7 respect respect NOUN ejde-41 198 8 to to ADP ejde-41 198 9 ρ ρ NUM ejde-41 198 10 , , PUNCT ejde-41 198 11 i.e. i.e. X ejde-41 198 12 choosing choose VERB ejde-41 198 13 ρ ρ PROPN ejde-41 198 14 = = SYM ejde-41 198 15 ( ( PUNCT ejde-41 198 16 ( ( PUNCT ejde-41 198 17 1−s)‖∆ϕ‖l∞ 1−s)‖∆ϕ‖l∞ PROPN ejde-41 198 18 ( ( PUNCT ejde-41 198 19 s−1/2)‖∇ϕ‖l∞ s−1/2)‖∇ϕ‖l∞ NOUN ejde-41 198 20 ) ) PUNCT ejde-41 198 21 2 2 NUM ejde-41 198 22 , , PUNCT ejde-41 198 23 we we PRON ejde-41 198 24 obtain obtain VERB ejde-41 198 25 the the DET ejde-41 198 26 desired desire VERB ejde-41 198 27 result result NOUN ejde-41 198 28 . . PUNCT ejde-41 199 1 � � PROPN ejde-41 199 2 by by ADP ejde-41 199 3 the the DET ejde-41 199 4 same same ADJ ejde-41 199 5 argument argument NOUN ejde-41 199 6 as as ADP ejde-41 199 7 in in ADP ejde-41 199 8 lemma lemma PROPN ejde-41 199 9 3.3 3.3 NUM ejde-41 199 10 and and CCONJ ejde-41 199 11 lemma lemma PROPN ejde-41 199 12 3.1 3.1 NUM ejde-41 199 13 , , PUNCT ejde-41 199 14 we we PRON ejde-41 199 15 obtain obtain VERB ejde-41 199 16 the the DET ejde-41 199 17 following follow VERB ejde-41 199 18 result result NOUN ejde-41 199 19 . . PUNCT ejde-41 200 1 lemma lemma PROPN ejde-41 200 2 3.4 3.4 NUM ejde-41 200 3 . . PUNCT ejde-41 201 1 let let VERB ejde-41 201 2 s s PRON ejde-41 201 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 201 4 ( ( PUNCT ejde-41 201 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 201 6 , , PUNCT ejde-41 201 7 1 1 NUM ejde-41 201 8 ) ) PUNCT ejde-41 201 9 and and CCONJ ejde-41 201 10 ϕ ϕ X ejde-41 201 11 : : PUNCT ejde-41 201 12 r3 r3 PROPN ejde-41 201 13 → → SYM ejde-41 201 14 r r NOUN ejde-41 201 15 be be VERB ejde-41 201 16 such such ADJ ejde-41 201 17 that that SCONJ ejde-41 201 18 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 201 19 ∈w ∈w VERB ejde-41 201 20 1,∞. 1,∞. NUM ejde-41 201 21 then then ADV ejde-41 201 22 for for SCONJ ejde-41 201 23 any any DET ejde-41 201 24 u u PROPN ejde-41 201 25 ∈ ∈ PROPN ejde-41 201 26 h1/2 h1/2 VERB ejde-41 201 27 we we PRON ejde-41 201 28 have∣∣∣ have∣∣∣ PUNCT ejde-41 201 29 ∫ ∫ PROPN ejde-41 201 30 ∞ ∞ PROPN ejde-41 201 31 0 0 NUM ejde-41 201 32 ∫ ∫ PROPN ejde-41 201 33 r3 r3 PROPN ejde-41 201 34 um∇ϕ um∇ϕ PROPN ejde-41 201 35 · · PUNCT ejde-41 202 1 ∇um ∇um ADJ ejde-41 202 2 dx dx PROPN ejde-41 202 3 dm dm PROPN ejde-41 202 4 ∣∣∣ ∣∣∣ ADJ ejde-41 202 5 ≤ ≤ NUM ejde-41 202 6 c‖∇ϕ‖w c‖∇ϕ‖w PROPN ejde-41 202 7 1,∞‖u‖2h1/2 1,∞‖u‖2h1/2 NUM ejde-41 202 8 for for ADP ejde-41 202 9 some some DET ejde-41 202 10 constant constant ADJ ejde-41 202 11 c c NOUN ejde-41 202 12 > > X ejde-41 202 13 0 0 NUM ejde-41 202 14 . . NOUN ejde-41 202 15 8 8 NUM ejde-41 202 16 y. y. PROPN ejde-41 202 17 mo mo PROPN ejde-41 202 18 , , PUNCT ejde-41 202 19 m. m. PROPN ejde-41 202 20 zhu zhu PROPN ejde-41 202 21 , , PUNCT ejde-41 202 22 b. b. PROPN ejde-41 202 23 feng feng PROPN ejde-41 203 1 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 203 2 let let VERB ejde-41 203 3 1/2 1/2 NUM ejde-41 203 4 < < X ejde-41 203 5 s s X ejde-41 203 6 < < X ejde-41 203 7 1 1 NUM ejde-41 203 8 and and CCONJ ejde-41 203 9 ϕ ϕ ADJ ejde-41 203 10 : : PUNCT ejde-41 203 11 r3 r3 PROPN ejde-41 203 12 → → SYM ejde-41 203 13 r r NOUN ejde-41 203 14 be be AUX ejde-41 203 15 such such ADJ ejde-41 203 16 that that SCONJ ejde-41 203 17 ϕ ϕ PROPN ejde-41 203 18 ∈ ∈ PROPN ejde-41 203 19 w w NOUN ejde-41 203 20 2,∞. 2,∞. NOUN ejde-41 203 21 assume assume VERB ejde-41 203 22 that that SCONJ ejde-41 203 23 ψ ψ ADP ejde-41 203 24 ∈ ∈ PROPN ejde-41 203 25 c([0 c([0 NOUN ejde-41 203 26 , , PUNCT ejde-41 203 27 t t PROPN ejde-41 203 28 ∗ ∗ NOUN ejde-41 203 29 ) ) PUNCT ejde-41 203 30 , , PUNCT ejde-41 203 31 hs hs X ejde-41 203 32 ) ) PUNCT ejde-41 203 33 is be AUX ejde-41 203 34 a a DET ejde-41 203 35 solution solution NOUN ejde-41 203 36 to to ADP ejde-41 203 37 ( ( PUNCT ejde-41 203 38 1.4 1.4 NUM ejde-41 203 39 ) ) PUNCT ejde-41 203 40 . . PUNCT ejde-41 204 1 we we PRON ejde-41 204 2 define define VERB ejde-41 204 3 the the DET ejde-41 204 4 localized localize VERB ejde-41 204 5 virial virial ADJ ejde-41 204 6 action action NOUN ejde-41 204 7 of of ADP ejde-41 204 8 ψ ψ PRON ejde-41 204 9 associated associate VERB ejde-41 204 10 to to ADP ejde-41 204 11 ϕ ϕ NOUN ejde-41 204 12 by by ADP ejde-41 204 13 vϕ[ψ(t vϕ[ψ(t PROPN ejde-41 204 14 ) ) PUNCT ejde-41 204 15 ] ] PUNCT ejde-41 205 1 : : PUNCT ejde-41 205 2 = = SYM ejde-41 205 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 205 4 r3 r3 PROPN ejde-41 205 5 ϕ(x)|ψ(t ϕ(x)|ψ(t PROPN ejde-41 205 6 , , PUNCT ejde-41 205 7 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 205 8 dx dx PROPN ejde-41 205 9 . . PUNCT ejde-41 206 1 lemma lemma PROPN ejde-41 206 2 3.5 3.5 NUM ejde-41 206 3 ( ( PUNCT ejde-41 206 4 virial virial ADJ ejde-41 206 5 identity identity NOUN ejde-41 206 6 ) ) PUNCT ejde-41 206 7 . . PUNCT ejde-41 207 1 let let VERB ejde-41 207 2 s s PRON ejde-41 207 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 207 4 ( ( PUNCT ejde-41 207 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 207 6 , , PUNCT ejde-41 207 7 1 1 NUM ejde-41 207 8 ) ) PUNCT ejde-41 207 9 and and CCONJ ejde-41 207 10 ϕ ϕ X ejde-41 207 11 : : PUNCT ejde-41 207 12 r3 r3 PROPN ejde-41 207 13 → → SYM ejde-41 207 14 r r NOUN ejde-41 207 15 be be AUX ejde-41 207 16 such such ADJ ejde-41 207 17 that that SCONJ ejde-41 207 18 ϕ ϕ PROPN ejde-41 207 19 ∈ ∈ PROPN ejde-41 207 20 w w NOUN ejde-41 207 21 2,∞. 2,∞. NOUN ejde-41 207 22 assume assume VERB ejde-41 207 23 that that SCONJ ejde-41 207 24 ψ ψ ADP ejde-41 207 25 ∈ ∈ PROPN ejde-41 207 26 c([0 c([0 NOUN ejde-41 207 27 , , PUNCT ejde-41 207 28 t t PROPN ejde-41 207 29 ∗ ∗ NOUN ejde-41 207 30 ) ) PUNCT ejde-41 207 31 , , PUNCT ejde-41 207 32 hs hs X ejde-41 207 33 ) ) PUNCT ejde-41 207 34 is be AUX ejde-41 207 35 a a DET ejde-41 207 36 solution solution NOUN ejde-41 207 37 to to ADP ejde-41 207 38 ( ( PUNCT ejde-41 207 39 1.4 1.4 NUM ejde-41 207 40 ) ) PUNCT ejde-41 207 41 . . PUNCT ejde-41 208 1 then then ADV ejde-41 208 2 for for ADP ejde-41 208 3 any any DET ejde-41 208 4 t t NOUN ejde-41 208 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 208 6 [ [ X ejde-41 208 7 0 0 NUM ejde-41 208 8 , , PUNCT ejde-41 208 9 t t PROPN ejde-41 208 10 ∗ ∗ NOUN ejde-41 208 11 ) ) PUNCT ejde-41 209 1 we we PRON ejde-41 209 2 have have VERB ejde-41 209 3 d d NOUN ejde-41 209 4 dt dt NOUN ejde-41 209 5 vϕ[ψ(t vϕ[ψ(t PROPN ejde-41 209 6 ) ) PUNCT ejde-41 209 7 ] ] PUNCT ejde-41 210 1 = = PUNCT ejde-41 211 1 −i −i ADJ ejde-41 211 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 211 3 ∞ ∞ NOUN ejde-41 211 4 0 0 NUM ejde-41 212 1 ms ms PROPN ejde-41 212 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 212 3 r3 r3 PROPN ejde-41 212 4 ( ( PUNCT ejde-41 212 5 ∆ϕ)|ψm(t)|2 ∆ϕ)|ψm(t)|2 PROPN ejde-41 212 6 dx dx PROPN ejde-41 212 7 dm− dm− NUM ejde-41 212 8 2i 2i NUM ejde-41 212 9 ∫ ∫ PROPN ejde-41 212 10 ∞ ∞ NOUN ejde-41 212 11 0 0 NUM ejde-41 213 1 ms ms PROPN ejde-41 213 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 213 3 r3 r3 PROPN ejde-41 213 4 ψm(t)∇ϕ ψm(t)∇ϕ ADV ejde-41 213 5 · · PUNCT ejde-41 213 6 ∇ψm(t ∇ψm(t SYM ejde-41 213 7 ) ) PUNCT ejde-41 213 8 dx dx PROPN ejde-41 213 9 dm dm INTJ ejde-41 213 10 , , PUNCT ejde-41 213 11 where where SCONJ ejde-41 213 12 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 213 13 ) ) PUNCT ejde-41 213 14 = = SYM ejde-41 214 1 cs(−∆ cs(−∆ PROPN ejde-41 214 2 + + NOUN ejde-41 214 3 m)−1ψ(t m)−1ψ(t X ejde-41 214 4 ) ) PUNCT ejde-41 214 5 . . PUNCT ejde-41 215 1 proof proof NOUN ejde-41 215 2 . . PUNCT ejde-41 216 1 it it PRON ejde-41 216 2 suffices suffice VERB ejde-41 216 3 to to PART ejde-41 216 4 prove prove VERB ejde-41 216 5 lemma lemma PROPN ejde-41 216 6 3.5 3.5 NUM ejde-41 216 7 for for ADP ejde-41 216 8 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 216 9 ) ) PUNCT ejde-41 216 10 ∈ ∈ PROPN ejde-41 216 11 c∞0 c∞0 PROPN ejde-41 216 12 ( ( PUNCT ejde-41 216 13 r3 r3 PROPN ejde-41 216 14 ) ) PUNCT ejde-41 216 15 . . PUNCT ejde-41 217 1 the the DET ejde-41 217 2 general general ADJ ejde-41 217 3 case case NOUN ejde-41 217 4 follows follow VERB ejde-41 217 5 by by ADP ejde-41 217 6 an an DET ejde-41 217 7 approximation approximation NOUN ejde-41 217 8 argument argument NOUN ejde-41 217 9 . . PUNCT ejde-41 218 1 we we PRON ejde-41 218 2 write write VERB ejde-41 218 3 vϕ[ψ(t vϕ[ψ(t PROPN ejde-41 218 4 ) ) PUNCT ejde-41 218 5 ] ] PUNCT ejde-41 219 1 = = PUNCT ejde-41 219 2 〈 〈 PROPN ejde-41 219 3 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 219 4 ) ) PUNCT ejde-41 219 5 , , PUNCT ejde-41 219 6 ϕψ(t ϕψ(t X ejde-41 219 7 ) ) PUNCT ejde-41 219 8 〉 〉 PROPN ejde-41 219 9 , , PUNCT ejde-41 219 10 where where SCONJ ejde-41 219 11 〈 〈 PROPN ejde-41 219 12 · · SYM ejde-41 219 13 , , PUNCT ejde-41 219 14 · · PUNCT ejde-41 219 15 〉 〉 PROPN ejde-41 219 16 is be AUX ejde-41 219 17 the the DET ejde-41 219 18 scalar scalar ADJ ejde-41 219 19 product product NOUN ejde-41 219 20 in in ADP ejde-41 219 21 l2 l2 NOUN ejde-41 219 22 . . PUNCT ejde-41 220 1 since since SCONJ ejde-41 220 2 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 220 3 ) ) PUNCT ejde-41 220 4 satisfies satisfie NOUN ejde-41 220 5 ( ( PUNCT ejde-41 220 6 1.4 1.4 NUM ejde-41 220 7 ) ) PUNCT ejde-41 220 8 , , PUNCT ejde-41 220 9 it it PRON ejde-41 220 10 is be AUX ejde-41 220 11 easy easy ADJ ejde-41 220 12 to to PART ejde-41 220 13 see see VERB ejde-41 220 14 that that PRON ejde-41 220 15 d d PROPN ejde-41 220 16 dt dt X ejde-41 220 17 vϕ[ψ(t vϕ[ψ(t PROPN ejde-41 220 18 ) ) PUNCT ejde-41 220 19 ] ] PUNCT ejde-41 221 1 = = SYM ejde-41 221 2 i〈ψ(t i〈ψ(t X ejde-41 221 3 ) ) PUNCT ejde-41 221 4 , , PUNCT ejde-41 221 5 [ [ X ejde-41 221 6 ( ( PUNCT ejde-41 221 7 −∆)s −∆)s NOUN ejde-41 221 8 , , PUNCT ejde-41 221 9 ϕ]ψ(t ϕ]ψ(t PROPN ejde-41 221 10 ) ) PUNCT ejde-41 221 11 〉 〉 PROPN ejde-41 221 12 , , PUNCT ejde-41 221 13 where where SCONJ ejde-41 221 14 [ [ X ejde-41 221 15 x x X ejde-41 221 16 , , PUNCT ejde-41 221 17 y y PROPN ejde-41 221 18 ] ] PUNCT ejde-41 221 19 = = PUNCT ejde-41 222 1 xy xy PROPN ejde-41 222 2 −y −y NOUN ejde-41 222 3 x x VERB ejde-41 222 4 is be AUX ejde-41 222 5 the the DET ejde-41 222 6 commutator commutator NOUN ejde-41 222 7 of of ADP ejde-41 222 8 x x PROPN ejde-41 222 9 and and CCONJ ejde-41 222 10 y y PROPN ejde-41 222 11 . . PUNCT ejde-41 223 1 to to PART ejde-41 223 2 study study VERB ejde-41 223 3 [ [ X ejde-41 223 4 ( ( PUNCT ejde-41 223 5 −∆)s −∆)s PROPN ejde-41 223 6 , , PUNCT ejde-41 223 7 ϕ ϕ NOUN ejde-41 223 8 ] ] X ejde-41 223 9 , , PUNCT ejde-41 223 10 we we PRON ejde-41 223 11 recall recall VERB ejde-41 223 12 the the DET ejde-41 223 13 balakrishman balakrishman NOUN ejde-41 223 14 ’s ’s PART ejde-41 223 15 formula formula NOUN ejde-41 223 16 ( ( PUNCT ejde-41 223 17 −∆)s −∆)s SYM ejde-41 223 18 = = PROPN ejde-41 223 19 sinπs sinπs PROPN ejde-41 224 1 π π PROPN ejde-41 224 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 224 3 ∞ ∞ NUM ejde-41 224 4 0 0 NUM ejde-41 224 5 ms−1 ms−1 PROPN ejde-41 224 6 −∆ −∆ NOUN ejde-41 224 7 −∆ −∆ NOUN ejde-41 224 8 + + PROPN ejde-41 224 9 m m VERB ejde-41 224 10 dm dm ADJ ejde-41 224 11 . . PUNCT ejde-41 225 1 using use VERB ejde-41 225 2 the the DET ejde-41 225 3 fact fact NOUN ejde-41 225 4 that that SCONJ ejde-41 225 5 for for ADP ejde-41 225 6 operators operator NOUN ejde-41 225 7 a a DET ejde-41 225 8 ≥ ≥ NOUN ejde-41 225 9 0 0 NUM ejde-41 225 10 , , PUNCT ejde-41 225 11 b b NOUN ejde-41 225 12 with with ADP ejde-41 225 13 m m PROPN ejde-41 225 14 > > X ejde-41 225 15 0 0 PUNCT ejde-41 225 16 being be AUX ejde-41 225 17 any any DET ejde-41 225 18 positive positive ADJ ejde-41 225 19 real real ADJ ejde-41 225 20 number number NOUN ejde-41 225 21 [ [ PUNCT ejde-41 225 22 a a PRON ejde-41 225 23 a+m a+m NUM ejde-41 225 24 , , PUNCT ejde-41 225 25 b b X ejde-41 225 26 ] ] X ejde-41 225 27 = = PUNCT ejde-41 225 28 [ [ PUNCT ejde-41 225 29 1− 1− NUM ejde-41 225 30 m m NOUN ejde-41 225 31 a+m a+m NUM ejde-41 225 32 , , PUNCT ejde-41 225 33 b b X ejde-41 225 34 ] ] X ejde-41 225 35 = = SYM ejde-41 225 36 −m −m NOUN ejde-41 225 37 [ [ PUNCT ejde-41 225 38 1 1 NUM ejde-41 225 39 a+m a+m NUM ejde-41 225 40 , , PUNCT ejde-41 225 41 b b X ejde-41 225 42 ] ] X ejde-41 226 1 = = PUNCT ejde-41 226 2 m m VERB ejde-41 226 3 1 1 NUM ejde-41 226 4 a+m a+m NUM ejde-41 226 5 [ [ X ejde-41 226 6 a a X ejde-41 226 7 , , PUNCT ejde-41 226 8 b b NOUN ejde-41 226 9 ] ] X ejde-41 226 10 1 1 NUM ejde-41 226 11 a+m a+m NUM ejde-41 226 12 . . PUNCT ejde-41 227 1 and and CCONJ ejde-41 227 2 letting let VERB ejde-41 227 3 a a DET ejde-41 227 4 = = X ejde-41 227 5 ( ( PUNCT ejde-41 227 6 −∆)s −∆)s PROPN ejde-41 227 7 , , PUNCT ejde-41 227 8 b b X ejde-41 227 9 = = SYM ejde-41 227 10 ϕ ϕ PROPN ejde-41 227 11 and and CCONJ ejde-41 227 12 using use VERB ejde-41 227 13 the the DET ejde-41 227 14 balakrishman balakrishman NOUN ejde-41 227 15 ’s ’s PART ejde-41 227 16 formula formula NOUN ejde-41 227 17 , , PUNCT ejde-41 227 18 we we PRON ejde-41 227 19 have have VERB ejde-41 227 20 [ [ X ejde-41 227 21 ( ( PUNCT ejde-41 227 22 −∆)s −∆)s PROPN ejde-41 227 23 , , PUNCT ejde-41 227 24 ϕ ϕ X ejde-41 227 25 ] ] X ejde-41 227 26 = = SYM ejde-41 228 1 sinπs sinπs PROPN ejde-41 228 2 π π PROPN ejde-41 228 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 228 4 ∞ ∞ NUM ejde-41 228 5 0 0 NUM ejde-41 229 1 ms ms NOUN ejde-41 229 2 [ [ PUNCT ejde-41 229 3 −∆ −∆ X ejde-41 229 4 −∆ −∆ NOUN ejde-41 229 5 + + PROPN ejde-41 229 6 m m PROPN ejde-41 229 7 , , PUNCT ejde-41 229 8 ϕ ϕ X ejde-41 229 9 ] ] X ejde-41 229 10 dm dm PROPN ejde-41 229 11 = = SYM ejde-41 229 12 sinπs sinπs PROPN ejde-41 230 1 π π PROPN ejde-41 230 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 230 3 ∞ ∞ PROPN ejde-41 230 4 0 0 NUM ejde-41 231 1 ms ms NOUN ejde-41 231 2 1 1 NUM ejde-41 231 3 −∆ −∆ NOUN ejde-41 231 4 + + NOUN ejde-41 231 5 m m PROPN ejde-41 231 6 [ [ X ejde-41 231 7 −∆ −∆ X ejde-41 231 8 , , PUNCT ejde-41 231 9 ϕ ϕ X ejde-41 231 10 ] ] X ejde-41 231 11 1 1 NUM ejde-41 231 12 −∆ −∆ NOUN ejde-41 231 13 + + ADJ ejde-41 231 14 m m VERB ejde-41 231 15 dm dm ADJ ejde-41 231 16 . . PUNCT ejde-41 232 1 thus thus ADV ejde-41 232 2 we we PRON ejde-41 232 3 obtain obtain VERB ejde-41 232 4 〈 〈 PROPN ejde-41 232 5 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 232 6 ) ) PUNCT ejde-41 232 7 , , PUNCT ejde-41 232 8 [ [ X ejde-41 232 9 ( ( PUNCT ejde-41 232 10 −∆)s −∆)s NOUN ejde-41 232 11 , , PUNCT ejde-41 232 12 ϕ]ψ(t ϕ]ψ(t NOUN ejde-41 232 13 ) ) PUNCT ejde-41 232 14 〉 〉 NOUN ejde-41 232 15 = = SYM ejde-41 232 16 〈 〈 PROPN ejde-41 232 17 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 232 18 ) ) PUNCT ejde-41 232 19 , , PUNCT ejde-41 232 20 ( ( PUNCT ejde-41 232 21 sinπs sinπs PROPN ejde-41 232 22 π π PROPN ejde-41 232 23 ∫ ∫ PROPN ejde-41 232 24 ∞ ∞ PROPN ejde-41 232 25 0 0 NUM ejde-41 233 1 ms ms NOUN ejde-41 233 2 1 1 NUM ejde-41 233 3 −∆ −∆ NOUN ejde-41 233 4 + + NOUN ejde-41 233 5 m m PROPN ejde-41 233 6 [ [ X ejde-41 233 7 −∆ −∆ X ejde-41 233 8 , , PUNCT ejde-41 233 9 ϕ ϕ X ejde-41 233 10 ] ] X ejde-41 233 11 1 1 NUM ejde-41 233 12 −∆ −∆ NOUN ejde-41 233 13 + + NOUN ejde-41 233 14 m m VERB ejde-41 233 15 dm dm NOUN ejde-41 233 16 ) ) PUNCT ejde-41 233 17 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 233 18 ) ) PUNCT ejde-41 233 19 〉 〉 NOUN ejde-41 233 20 = = PUNCT ejde-41 234 1 c2s c2s PROPN ejde-41 234 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 234 3 ∞ ∞ PROPN ejde-41 234 4 0 0 NUM ejde-41 234 5 ms〈ψ(t ms〈ψ(t PROPN ejde-41 234 6 ) ) PUNCT ejde-41 234 7 , , PUNCT ejde-41 234 8 1 1 NUM ejde-41 234 9 −∆ −∆ NOUN ejde-41 234 10 + + NOUN ejde-41 234 11 m m PROPN ejde-41 234 12 [ [ X ejde-41 234 13 −∆ −∆ X ejde-41 234 14 , , PUNCT ejde-41 234 15 ϕ ϕ X ejde-41 234 16 ] ] X ejde-41 234 17 1 1 NUM ejde-41 234 18 −∆ −∆ NOUN ejde-41 234 19 + + NOUN ejde-41 234 20 m m VERB ejde-41 234 21 ψ(t ψ(t ADJ ejde-41 234 22 ) ) PUNCT ejde-41 234 23 〉 〉 PROPN ejde-41 235 1 dm dm NOUN ejde-41 235 2 = = SYM ejde-41 235 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 235 4 ∞ ∞ NOUN ejde-41 235 5 0 0 PUNCT ejde-41 236 1 ms〈cs(−∆ ms〈cs(−∆ PROPN ejde-41 236 2 + + NOUN ejde-41 236 3 m)−1ψ(t m)−1ψ(t X ejde-41 236 4 ) ) PUNCT ejde-41 236 5 , , PUNCT ejde-41 236 6 [ [ X ejde-41 236 7 −∆ −∆ ADP ejde-41 236 8 , , PUNCT ejde-41 236 9 ϕ]cs(−∆ ϕ]cs(−∆ NOUN ejde-41 236 10 + + NOUN ejde-41 236 11 m)−1ψ(t m)−1ψ(t X ejde-41 236 12 ) ) PUNCT ejde-41 236 13 〉 〉 PROPN ejde-41 236 14 dm dm PROPN ejde-41 236 15 = = SYM ejde-41 236 16 ∫ ∫ PROPN ejde-41 236 17 ∞ ∞ NOUN ejde-41 236 18 0 0 NUM ejde-41 237 1 ms ms PROPN ejde-41 237 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 237 3 r3 r3 PROPN ejde-41 237 4 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 237 5 ) ) PUNCT ejde-41 238 1 ( ( PUNCT ejde-41 238 2 −∆ϕψm(t)− −∆ϕψm(t)− NOUN ejde-41 238 3 2∇ϕ 2∇ϕ NUM ejde-41 238 4 · · PUNCT ejde-41 238 5 ∇ψm(t ∇ψm(t NUM ejde-41 238 6 ) ) PUNCT ejde-41 238 7 ) ) PUNCT ejde-41 239 1 dx dx PROPN ejde-41 239 2 dm dm PROPN ejde-41 239 3 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 239 4 blow blow VERB ejde-41 239 5 - - PUNCT ejde-41 239 6 up up ADP ejde-41 239 7 criteria criterion NOUN ejde-41 239 8 and and CCONJ ejde-41 239 9 instability instability NOUN ejde-41 239 10 of of ADP ejde-41 239 11 standing standing ADJ ejde-41 239 12 waves wave NOUN ejde-41 239 13 9 9 NUM ejde-41 239 14 = = SYM ejde-41 239 15 ∫ ∫ PROPN ejde-41 239 16 ∞ ∞ NOUN ejde-41 239 17 0 0 NUM ejde-41 240 1 ms ms PROPN ejde-41 240 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 240 3 r3 r3 PROPN ejde-41 240 4 ( ( PUNCT ejde-41 240 5 ( ( PUNCT ejde-41 240 6 −∆ϕ)|ψm(t)|2 −∆ϕ)|ψm(t)|2 PROPN ejde-41 240 7 − − PROPN ejde-41 240 8 2ψm(t)∇ϕ 2ψm(t)∇ϕ NUM ejde-41 240 9 · · PUNCT ejde-41 240 10 ∇um(t ∇um(t NOUN ejde-41 240 11 ) ) PUNCT ejde-41 240 12 ) ) PUNCT ejde-41 240 13 dx dx PROPN ejde-41 240 14 dm dm PROPN ejde-41 240 15 . . PUNCT ejde-41 240 16 � � PROPN ejde-41 241 1 a a DET ejde-41 241 2 direct direct ADJ ejde-41 241 3 consequence consequence NOUN ejde-41 241 4 of of ADP ejde-41 241 5 lemmas lemmas PROPN ejde-41 241 6 3.3 3.3 NUM ejde-41 241 7 and and CCONJ ejde-41 241 8 3.4 3.4 NUM ejde-41 241 9 is be AUX ejde-41 241 10 the the DET ejde-41 241 11 following follow VERB ejde-41 241 12 estimate estimate NOUN ejde-41 241 13 . . PUNCT ejde-41 242 1 lemma lemma PROPN ejde-41 242 2 3.6 3.6 NUM ejde-41 242 3 . . PUNCT ejde-41 243 1 let let VERB ejde-41 243 2 s s PRON ejde-41 243 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 243 4 ( ( PUNCT ejde-41 243 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 243 6 , , PUNCT ejde-41 243 7 1 1 NUM ejde-41 243 8 ) ) PUNCT ejde-41 243 9 and and CCONJ ejde-41 243 10 ϕ ϕ X ejde-41 243 11 : : PUNCT ejde-41 243 12 r3 r3 PROPN ejde-41 243 13 → → SYM ejde-41 243 14 r r NOUN ejde-41 243 15 be be AUX ejde-41 243 16 such such ADJ ejde-41 243 17 that that SCONJ ejde-41 243 18 ϕ ϕ PROPN ejde-41 243 19 ∈ ∈ PROPN ejde-41 243 20 w w NOUN ejde-41 243 21 2,∞. 2,∞. NOUN ejde-41 243 22 assume assume VERB ejde-41 243 23 that that SCONJ ejde-41 243 24 ψ ψ ADP ejde-41 243 25 ∈ ∈ PROPN ejde-41 243 26 c([0 c([0 NOUN ejde-41 243 27 , , PUNCT ejde-41 243 28 t t PROPN ejde-41 243 29 ∗ ∗ NOUN ejde-41 243 30 ) ) PUNCT ejde-41 243 31 , , PUNCT ejde-41 243 32 hs hs X ejde-41 243 33 ) ) PUNCT ejde-41 243 34 is be AUX ejde-41 243 35 a a DET ejde-41 243 36 solution solution NOUN ejde-41 243 37 to to ADP ejde-41 243 38 ( ( PUNCT ejde-41 243 39 1.4 1.4 NUM ejde-41 243 40 ) ) PUNCT ejde-41 243 41 . . PUNCT ejde-41 244 1 then then ADV ejde-41 244 2 for for ADP ejde-41 244 3 any any DET ejde-41 244 4 t t NOUN ejde-41 244 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 244 6 [ [ X ejde-41 244 7 0 0 NUM ejde-41 244 8 , , PUNCT ejde-41 244 9 t t PROPN ejde-41 244 10 ∗ ∗ NOUN ejde-41 244 11 ) ) PUNCT ejde-41 245 1 we we PRON ejde-41 245 2 have∣∣ have∣∣ VERB ejde-41 245 3 d d NOUN ejde-41 245 4 dt dt X ejde-41 245 5 vϕ[ψ(t vϕ[ψ(t PROPN ejde-41 245 6 ) ) PUNCT ejde-41 245 7 ] ] PUNCT ejde-41 246 1 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 246 2 ≤ ≤ NUM ejde-41 246 3 c‖∇ϕ‖w c‖∇ϕ‖w PROPN ejde-41 246 4 1,∞‖ψ(t)‖2hs 1,∞‖ψ(t)‖2hs NUM ejde-41 246 5 for for ADP ejde-41 246 6 some some DET ejde-41 246 7 constant constant ADJ ejde-41 246 8 c c NOUN ejde-41 246 9 > > X ejde-41 246 10 0 0 PUNCT ejde-41 246 11 dependent dependent ADJ ejde-41 246 12 only only ADV ejde-41 246 13 on on ADP ejde-41 246 14 s. s. PROPN ejde-41 246 15 we we PRON ejde-41 246 16 next next ADV ejde-41 246 17 define define VERB ejde-41 246 18 the the DET ejde-41 246 19 localized localized ADJ ejde-41 246 20 morawetz morawetz NOUN ejde-41 246 21 action action NOUN ejde-41 246 22 of of ADP ejde-41 246 23 ψ ψ PRON ejde-41 246 24 associated associate VERB ejde-41 246 25 to to ADP ejde-41 246 26 ϕ ϕ NOUN ejde-41 246 27 by by ADP ejde-41 246 28 mϕ[ψ(t mϕ[ψ(t PROPN ejde-41 246 29 ) ) PUNCT ejde-41 246 30 ] ] PUNCT ejde-41 246 31 : : PUNCT ejde-41 246 32 = = SYM ejde-41 246 33 2 2 NUM ejde-41 246 34 i i NOUN ejde-41 246 35 m m VERB ejde-41 246 36 ∫ ∫ PROPN ejde-41 246 37 r3 r3 PROPN ejde-41 246 38 ψ̄(t ψ̄(t PROPN ejde-41 246 39 , , PUNCT ejde-41 246 40 x)∇ϕ(x x)∇ϕ(x PROPN ejde-41 246 41 ) ) PUNCT ejde-41 246 42 · · PUNCT ejde-41 246 43 ∇ψ(t ∇ψ(t NOUN ejde-41 246 44 , , PUNCT ejde-41 246 45 x)dx x)dx PROPN ejde-41 246 46 . . PUNCT ejde-41 246 47 ( ( PUNCT ejde-41 246 48 3.3 3.3 NUM ejde-41 246 49 ) ) PUNCT ejde-41 246 50 by by ADP ejde-41 246 51 lemma lemma PROPN ejde-41 246 52 3.1 3.1 NUM ejde-41 246 53 , , PUNCT ejde-41 246 54 we we PRON ejde-41 246 55 obtain obtain VERB ejde-41 246 56 the the DET ejde-41 246 57 bound bind VERB ejde-41 246 58 |mϕ[ψ(t)]| |mϕ[ψ(t)]| ADJ ejde-41 246 59 ≤ ≤ NOUN ejde-41 246 60 c c X ejde-41 246 61 ( ( PUNCT ejde-41 246 62 ‖∇ϕ‖l∞ ‖∇ϕ‖l∞ NOUN ejde-41 246 63 , , PUNCT ejde-41 246 64 ‖∆ϕ‖l∞ ‖∆ϕ‖l∞ INTJ ejde-41 246 65 ) ) PUNCT ejde-41 246 66 ‖ψ(t)‖2h1/2 ‖ψ(t)‖2h1/2 PROPN ejde-41 246 67 . . PUNCT ejde-41 247 1 hence hence ADV ejde-41 247 2 the the DET ejde-41 247 3 quantity quantity NOUN ejde-41 247 4 mϕ[ψ(t mϕ[ψ(t PROPN ejde-41 247 5 ) ) PUNCT ejde-41 247 6 ] ] PUNCT ejde-41 247 7 is be AUX ejde-41 247 8 well well ADV ejde-41 247 9 - - PUNCT ejde-41 247 10 defined define VERB ejde-41 247 11 , , PUNCT ejde-41 247 12 given give VERB ejde-41 247 13 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 247 14 ) ) PUNCT ejde-41 247 15 ∈ ∈ NOUN ejde-41 247 16 hs(r3 hs(r3 NUM ejde-41 247 17 ) ) PUNCT ejde-41 247 18 with with ADP ejde-41 247 19 s s PROPN ejde-41 247 20 > > X ejde-41 247 21 1/2 1/2 NUM ejde-41 247 22 . . PUNCT ejde-41 248 1 lemma lemma PROPN ejde-41 248 2 3.7 3.7 NUM ejde-41 248 3 ( ( PUNCT ejde-41 248 4 morawetz morawetz NOUN ejde-41 248 5 identity identity NOUN ejde-41 248 6 ) ) PUNCT ejde-41 248 7 . . PUNCT ejde-41 249 1 let let VERB ejde-41 249 2 s s PRON ejde-41 249 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 249 4 ( ( PUNCT ejde-41 249 5 1/2 1/2 NUM ejde-41 249 6 , , PUNCT ejde-41 249 7 1 1 NUM ejde-41 249 8 ) ) PUNCT ejde-41 249 9 and and CCONJ ejde-41 249 10 ϕ ϕ X ejde-41 249 11 : : PUNCT ejde-41 249 12 r3 r3 PROPN ejde-41 249 13 → → SYM ejde-41 249 14 r r NOUN ejde-41 249 15 be be VERB ejde-41 249 16 such such ADJ ejde-41 249 17 that that SCONJ ejde-41 249 18 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 249 19 ∈w ∈w VERB ejde-41 249 20 3,∞. 3,∞. PROPN ejde-41 249 21 assume assume VERB ejde-41 249 22 that that SCONJ ejde-41 249 23 ψ ψ ADP ejde-41 249 24 ∈ ∈ PROPN ejde-41 249 25 c([0 c([0 NOUN ejde-41 249 26 , , PUNCT ejde-41 249 27 t t PROPN ejde-41 249 28 ∗ ∗ NOUN ejde-41 249 29 ) ) PUNCT ejde-41 249 30 , , PUNCT ejde-41 249 31 hs hs X ejde-41 249 32 ) ) PUNCT ejde-41 249 33 is be AUX ejde-41 249 34 a a DET ejde-41 249 35 solution solution NOUN ejde-41 249 36 to to ADP ejde-41 249 37 ( ( PUNCT ejde-41 249 38 1.4 1.4 NUM ejde-41 249 39 ) ) PUNCT ejde-41 249 40 . . PUNCT ejde-41 250 1 then then ADV ejde-41 250 2 for for ADP ejde-41 250 3 each each DET ejde-41 250 4 t t NOUN ejde-41 250 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 251 1 [ [ X ejde-41 251 2 0 0 NUM ejde-41 251 3 , , PUNCT ejde-41 251 4 t t PROPN ejde-41 251 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 251 6 ) ) PUNCT ejde-41 251 7 we we PRON ejde-41 251 8 have have VERB ejde-41 251 9 d d PROPN ejde-41 251 10 dt dt PUNCT ejde-41 251 11 mϕ[ψ(t mϕ[ψ(t PROPN ejde-41 251 12 ) ) PUNCT ejde-41 251 13 ] ] PUNCT ejde-41 252 1 = = PUNCT ejde-41 252 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 253 1 ∞ ∞ PROPN ejde-41 253 2 0 0 NUM ejde-41 254 1 ms ms PROPN ejde-41 254 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 254 3 r3 r3 PROPN ejde-41 254 4 { { PUNCT ejde-41 254 5 4∂kψm(t)(∂2 4∂kψm(t)(∂2 X ejde-41 254 6 klϕ)∂lψm(t)− klϕ)∂lψm(t)− X ejde-41 254 7 ( ( PUNCT ejde-41 254 8 ∆2ϕ)|ψm(t)|2 ∆2ϕ)|ψm(t)|2 NOUN ejde-41 254 9 } } PUNCT ejde-41 254 10 dx dx PROPN ejde-41 254 11 dm dm INTJ ejde-41 254 12 + + CCONJ ejde-41 254 13 ( ( PUNCT ejde-41 254 14 3− 3− NUM ejde-41 254 15 2r 2r NUM ejde-41 254 16 ) ) PUNCT ejde-41 254 17 ∫ ∫ PROPN ejde-41 255 1 r3 r3 PROPN ejde-41 255 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 255 3 r3 r3 PROPN ejde-41 255 4 |u(t |u(t PROPN ejde-41 255 5 , , PUNCT ejde-41 255 6 x)|2|u(t x)|2|u(t PROPN ejde-41 255 7 , , PUNCT ejde-41 255 8 y)|2(x− y)|2(x− PROPN ejde-41 255 9 y y PROPN ejde-41 255 10 ) ) PUNCT ejde-41 255 11 · · PUNCT ejde-41 255 12 ( ( PUNCT ejde-41 255 13 ∇ϕ(x)−∇ϕ(y ∇ϕ(x)−∇ϕ(y NOUN ejde-41 255 14 ) ) PUNCT ejde-41 255 15 ) ) PUNCT ejde-41 255 16 |x− |x− PROPN ejde-41 256 1 y|5−2r y|5−2r PROPN ejde-41 256 2 dx dx PROPN ejde-41 256 3 dy dy VERB ejde-41 256 4 − − PROPN ejde-41 256 5 2p 2p PROPN ejde-41 256 6 p+ p+ VERB ejde-41 256 7 2 2 NUM ejde-41 256 8 ∫ ∫ NOUN ejde-41 256 9 r3 r3 PROPN ejde-41 256 10 ∆ϕ|ψ(t)|p+2 ∆ϕ|ψ(t)|p+2 ADP ejde-41 256 11 dx dx PROPN ejde-41 256 12 , , PUNCT ejde-41 256 13 ( ( PUNCT ejde-41 256 14 3.4 3.4 NUM ejde-41 256 15 ) ) PUNCT ejde-41 256 16 where where SCONJ ejde-41 256 17 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 256 18 ) ) PUNCT ejde-41 256 19 = = SYM ejde-41 257 1 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 257 2 , , PUNCT ejde-41 257 3 x x PRON ejde-41 257 4 ) ) PUNCT ejde-41 257 5 is be AUX ejde-41 257 6 defined define VERB ejde-41 257 7 in in ADP ejde-41 257 8 ( ( PUNCT ejde-41 257 9 3.1 3.1 NUM ejde-41 257 10 ) ) PUNCT ejde-41 257 11 . . PUNCT ejde-41 258 1 proof proof NOUN ejde-41 258 2 . . PUNCT ejde-41 259 1 integration integration NOUN ejde-41 259 2 by by ADP ejde-41 259 3 parts part NOUN ejde-41 259 4 yields yield NOUN ejde-41 259 5 〈 〈 PROPN ejde-41 259 6 u(t u(t NOUN ejde-41 259 7 ) ) PUNCT ejde-41 259 8 , , PUNCT ejde-41 260 1 [ [ X ejde-41 260 2 −(|x|−(3−2r −(|x|−(3−2r NOUN ejde-41 260 3 ) ) PUNCT ejde-41 260 4 ∗ ∗ NOUN ejde-41 260 5 |u(t)|2 |u(t)|2 NOUN ejde-41 260 6 ) ) PUNCT ejde-41 260 7 , , PUNCT ejde-41 260 8 iγϕ]u(t iγϕ]u(t NOUN ejde-41 260 9 ) ) PUNCT ejde-41 260 10 〉 〉 NOUN ejde-41 260 11 = = PUNCT ejde-41 260 12 −〈u(t −〈u(t NUM ejde-41 260 13 ) ) PUNCT ejde-41 260 14 , , PUNCT ejde-41 260 15 [ [ X ejde-41 260 16 ( ( PUNCT ejde-41 260 17 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 260 18 ) ) PUNCT ejde-41 260 19 ∗ ∗ NOUN ejde-41 260 20 |u(t)|2),∇ϕ |u(t)|2),∇ϕ X ejde-41 260 21 · · PUNCT ejde-41 260 22 ∇+∇ ∇+∇ NOUN ejde-41 260 23 · · PUNCT ejde-41 260 24 ∇ϕ]u(t ∇ϕ]u(t X ejde-41 260 25 ) ) PUNCT ejde-41 260 26 〉 〉 NOUN ejde-41 260 27 = = SYM ejde-41 260 28 2 2 NUM ejde-41 260 29 ∫ ∫ NOUN ejde-41 260 30 r3 r3 PROPN ejde-41 260 31 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 260 32 · · PUNCT ejde-41 260 33 ∇(|x|−(3−2r ∇(|x|−(3−2r NUM ejde-41 260 34 ) ) PUNCT ejde-41 260 35 ∗ ∗ NOUN ejde-41 260 36 |u(t)|2)|u(t)|2dx |u(t)|2)|u(t)|2dx NOUN ejde-41 260 37 = = SYM ejde-41 260 38 −(3− −(3− NOUN ejde-41 260 39 2r 2r NUM ejde-41 260 40 ) ) PUNCT ejde-41 261 1 ∫ ∫ PROPN ejde-41 261 2 r3 r3 PROPN ejde-41 261 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 261 4 r3 r3 PROPN ejde-41 261 5 |u(t |u(t PROPN ejde-41 261 6 , , PUNCT ejde-41 261 7 x)|2|u(t x)|2|u(t PROPN ejde-41 261 8 , , PUNCT ejde-41 261 9 y)|2(x− y)|2(x− PROPN ejde-41 261 10 y y PROPN ejde-41 261 11 ) ) PUNCT ejde-41 261 12 · · PUNCT ejde-41 261 13 ( ( PUNCT ejde-41 261 14 ∇ϕ(x)−∇ϕ(y ∇ϕ(x)−∇ϕ(y NOUN ejde-41 261 15 ) ) PUNCT ejde-41 261 16 ) ) PUNCT ejde-41 261 17 |x− |x− PROPN ejde-41 262 1 y|5−2r y|5−2r PROPN ejde-41 262 2 dx dx PROPN ejde-41 262 3 dy dy PROPN ejde-41 262 4 . . PUNCT ejde-41 263 1 the the DET ejde-41 263 2 rest rest NOUN ejde-41 263 3 proof proof NOUN ejde-41 263 4 is be AUX ejde-41 263 5 similar similar ADJ ejde-41 263 6 to to ADP ejde-41 263 7 [ [ X ejde-41 263 8 3 3 NUM ejde-41 263 9 , , PUNCT ejde-41 263 10 lemma lemma PROPN ejde-41 263 11 2.1 2.1 NUM ejde-41 263 12 ] ] PUNCT ejde-41 263 13 , , PUNCT ejde-41 263 14 so so SCONJ ejde-41 263 15 we we PRON ejde-41 263 16 omit omit VERB ejde-41 263 17 the the DET ejde-41 263 18 details detail NOUN ejde-41 263 19 . . PUNCT ejde-41 264 1 � � PROPN ejde-41 264 2 10 10 NUM ejde-41 264 3 y. y. PROPN ejde-41 264 4 mo mo PROPN ejde-41 264 5 , , PUNCT ejde-41 264 6 m. m. PROPN ejde-41 264 7 zhu zhu PROPN ejde-41 264 8 , , PUNCT ejde-41 264 9 b. b. PROPN ejde-41 264 10 feng feng PROPN ejde-41 264 11 ejde-2023/24 ejde-2023/24 VERB ejde-41 264 12 4 4 NUM ejde-41 264 13 . . PUNCT ejde-41 264 14 blow blow NOUN ejde-41 264 15 - - PUNCT ejde-41 264 16 up up ADP ejde-41 264 17 criteria criterion NOUN ejde-41 264 18 for for ADP ejde-41 264 19 ( ( PUNCT ejde-41 264 20 1.4 1.4 NUM ejde-41 264 21 ) ) PUNCT ejde-41 264 22 lemma lemma PROPN ejde-41 264 23 4.1 4.1 NUM ejde-41 264 24 . . PUNCT ejde-41 265 1 let let VERB ejde-41 265 2 η η PROPN ejde-41 265 3 > > X ejde-41 265 4 0 0 PROPN ejde-41 265 5 , , PUNCT ejde-41 265 6 r r NOUN ejde-41 265 7 > > X ejde-41 265 8 1 1 NUM ejde-41 265 9 and and CCONJ ejde-41 265 10 the the DET ejde-41 265 11 solution solution NOUN ejde-41 265 12 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 265 13 ) ) PUNCT ejde-41 265 14 of of ADP ejde-41 265 15 ( ( PUNCT ejde-41 265 16 1.4 1.4 NUM ejde-41 265 17 ) ) PUNCT ejde-41 265 18 satisfy satisfy NOUN ejde-41 265 19 c1 c1 NOUN ejde-41 265 20 : : PUNCT ejde-41 265 21 = = SYM ejde-41 265 22 sup sup NOUN ejde-41 265 23 t∈[0,+∞ t∈[0,+∞ NOUN ejde-41 265 24 ) ) PUNCT ejde-41 265 25 ‖ψ(t)‖hs ‖ψ(t)‖hs PUNCT ejde-41 266 1 < < X ejde-41 266 2 ∞. ∞. PROPN ejde-41 266 3 ( ( PUNCT ejde-41 266 4 4.1 4.1 NUM ejde-41 266 5 ) ) PUNCT ejde-41 266 6 then then ADV ejde-41 266 7 there there PRON ejde-41 266 8 exists exist VERB ejde-41 266 9 a a DET ejde-41 266 10 constant constant ADJ ejde-41 266 11 c c NOUN ejde-41 266 12 > > X ejde-41 266 13 0 0 PROPN ejde-41 266 14 independent independent ADJ ejde-41 266 15 of of ADP ejde-41 266 16 r r NOUN ejde-41 266 17 and and CCONJ ejde-41 266 18 c1 c1 PROPN ejde-41 266 19 such such ADJ ejde-41 266 20 that∫ that∫ NOUN ejde-41 266 21 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 266 22 |ψ(t |ψ(t PROPN ejde-41 266 23 , , PUNCT ejde-41 266 24 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 266 25 dx dx PROPN ejde-41 266 26 ≤ ≤ PROPN ejde-41 266 27 η η PROPN ejde-41 266 28 + + PROPN ejde-41 266 29 or(1 or(1 NOUN ejde-41 266 30 ) ) PUNCT ejde-41 266 31 for for ADP ejde-41 266 32 all all DET ejde-41 266 33 t t NOUN ejde-41 266 34 ∈ ∈ PROPN ejde-41 267 1 [ [ X ejde-41 267 2 0 0 NUM ejde-41 267 3 , , PUNCT ejde-41 267 4 t0 t0 PROPN ejde-41 267 5 ] ] PUNCT ejde-41 267 6 with with ADP ejde-41 267 7 t0 t0 NOUN ejde-41 267 8 : : PUNCT ejde-41 268 1 = = SYM ejde-41 268 2 ηr ηr ADP ejde-41 268 3 cc2 cc2 PROPN ejde-41 268 4 1 1 NUM ejde-41 268 5 . . PUNCT ejde-41 269 1 proof proof NOUN ejde-41 269 2 . . PUNCT ejde-41 270 1 let let VERB ejde-41 270 2 us we PRON ejde-41 270 3 now now ADV ejde-41 270 4 introduce introduce VERB ejde-41 270 5 θ θ NOUN ejde-41 270 6 : : PUNCT ejde-41 271 1 [ [ X ejde-41 271 2 0,∞)→ 0,∞)→ NOUN ejde-41 271 3 [ [ X ejde-41 271 4 0 0 NUM ejde-41 271 5 , , PUNCT ejde-41 271 6 1 1 NUM ejde-41 271 7 ] ] PUNCT ejde-41 271 8 a a DET ejde-41 271 9 smooth smooth ADJ ejde-41 271 10 function function NOUN ejde-41 271 11 satisfying satisfy VERB ejde-41 271 12 θ(r θ(r NOUN ejde-41 271 13 ) ) PUNCT ejde-41 271 14 = = PRON ejde-41 271 15 { { PUNCT ejde-41 271 16 0 0 NUM ejde-41 271 17 if if SCONJ ejde-41 271 18 0 0 NUM ejde-41 271 19 ≤ ≤ NUM ejde-41 271 20 r r NOUN ejde-41 271 21 ≤ ≤ NUM ejde-41 271 22 1/2 1/2 NUM ejde-41 271 23 , , PUNCT ejde-41 271 24 1 1 NUM ejde-41 271 25 if if SCONJ ejde-41 271 26 r r NOUN ejde-41 271 27 ≥ ≥ NOUN ejde-41 271 28 1 1 NUM ejde-41 271 29 . . PUNCT ejde-41 272 1 for for ADP ejde-41 272 2 r r NOUN ejde-41 272 3 > > SYM ejde-41 272 4 1 1 NUM ejde-41 272 5 , , PUNCT ejde-41 272 6 we we PRON ejde-41 272 7 denote denote VERB ejde-41 272 8 the the DET ejde-41 272 9 radial radial ADJ ejde-41 272 10 function function NOUN ejde-41 272 11 φr(x φr(x NOUN ejde-41 272 12 ) ) PUNCT ejde-41 272 13 : : PUNCT ejde-41 272 14 = = PUNCT ejde-41 272 15 θ(r θ(r X ejde-41 272 16 / / SYM ejde-41 272 17 r r NOUN ejde-41 272 18 ) ) PUNCT ejde-41 272 19 , , PUNCT ejde-41 273 1 r r NOUN ejde-41 273 2 = = SYM ejde-41 273 3 |x| |x| PROPN ejde-41 273 4 . . PUNCT ejde-41 274 1 we we PRON ejde-41 274 2 have have VERB ejde-41 274 3 ∇φr(x ∇φr(x PRON ejde-41 274 4 ) ) PUNCT ejde-41 274 5 = = PUNCT ejde-41 275 1 x x SYM ejde-41 275 2 rr rr NOUN ejde-41 275 3 θ′(r θ′(r ADV ejde-41 275 4 / / SYM ejde-41 275 5 r r NOUN ejde-41 275 6 ) ) PUNCT ejde-41 275 7 , , PUNCT ejde-41 275 8 ∆φr(x ∆φr(x NUM ejde-41 275 9 ) ) PUNCT ejde-41 276 1 = = SYM ejde-41 276 2 1 1 NUM ejde-41 276 3 r2 r2 NOUN ejde-41 276 4 θ′′(r θ′′(r NOUN ejde-41 276 5 / / SYM ejde-41 276 6 r r NOUN ejde-41 276 7 ) ) PUNCT ejde-41 276 8 + + CCONJ ejde-41 276 9 2 2 NUM ejde-41 276 10 rr rr NOUN ejde-41 276 11 θ′(r θ′(r PROPN ejde-41 276 12 / / SYM ejde-41 276 13 r r NOUN ejde-41 276 14 ) ) PUNCT ejde-41 276 15 . . PUNCT ejde-41 277 1 in in ADP ejde-41 277 2 particular particular ADJ ejde-41 277 3 , , PUNCT ejde-41 277 4 we we PRON ejde-41 277 5 have have VERB ejde-41 277 6 ‖∇φr‖w ‖∇φr‖w PROPN ejde-41 277 7 1,∞ 1,∞ NUM ejde-41 277 8 ∼ ∼ NOUN ejde-41 277 9 ‖∇φr‖l∞ ‖∇φr‖l∞ NOUN ejde-41 277 10 + + CCONJ ejde-41 277 11 ‖∆φr‖l∞ ‖∆φr‖l∞ PROPN ejde-41 277 12 ≤ ≤ NUM ejde-41 277 13 cr−1 cr−1 PROPN ejde-41 277 14 . . PUNCT ejde-41 278 1 ( ( PUNCT ejde-41 278 2 4.2 4.2 NUM ejde-41 278 3 ) ) PUNCT ejde-41 278 4 we we PRON ejde-41 278 5 define define VERB ejde-41 278 6 the the DET ejde-41 278 7 localized localize VERB ejde-41 278 8 virial virial ADJ ejde-41 278 9 potential potential NOUN ejde-41 278 10 as as ADP ejde-41 278 11 vφr vφr NOUN ejde-41 278 12 [ [ X ejde-41 278 13 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 278 14 ) ) PUNCT ejde-41 278 15 ] ] PUNCT ejde-41 279 1 : : PUNCT ejde-41 279 2 = = SYM ejde-41 279 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 279 4 r3 r3 PROPN ejde-41 279 5 φr(x)|ψ(t φr(x)|ψ(t PROPN ejde-41 279 6 , , PUNCT ejde-41 279 7 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 279 8 dx dx PROPN ejde-41 279 9 . . PUNCT ejde-41 280 1 we we PRON ejde-41 280 2 have have VERB ejde-41 280 3 vφr vφr NOUN ejde-41 280 4 [ [ X ejde-41 280 5 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 280 6 ) ) PUNCT ejde-41 280 7 ] ] PUNCT ejde-41 281 1 = = PUNCT ejde-41 281 2 vφr vφr X ejde-41 282 1 [ [ X ejde-41 282 2 ψ0 ψ0 X ejde-41 282 3 ] ] X ejde-41 283 1 + + NUM ejde-41 284 1 ∫ ∫ PROPN ejde-41 284 2 t t NOUN ejde-41 284 3 0 0 NUM ejde-41 284 4 d d NOUN ejde-41 284 5 dτ dτ NOUN ejde-41 284 6 vφr vφr NOUN ejde-41 284 7 [ [ X ejde-41 284 8 ψ(τ)]dτ ψ(τ)]dτ ADJ ejde-41 284 9 ≤ ≤ ADJ ejde-41 284 10 vφr vφr NOUN ejde-41 285 1 [ [ X ejde-41 285 2 ψ0 ψ0 X ejde-41 285 3 ] ] X ejde-41 285 4 + + CCONJ ejde-41 285 5 ( ( PUNCT ejde-41 285 6 sup sup NOUN ejde-41 285 7 τ∈[0,t τ∈[0,t PROPN ejde-41 285 8 ] ] PUNCT ejde-41 285 9 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 286 1 d d X ejde-41 286 2 dτ dτ NOUN ejde-41 286 3 vφr vφr NOUN ejde-41 286 4 [ [ X ejde-41 286 5 ψ(τ ψ(τ X ejde-41 286 6 ) ) PUNCT ejde-41 286 7 ] ] PUNCT ejde-41 286 8 ∣∣)t ∣∣)t PROPN ejde-41 286 9 . . PUNCT ejde-41 287 1 by by ADP ejde-41 287 2 lemma lemma PROPN ejde-41 287 3 3.6 3.6 NUM ejde-41 287 4 , , PUNCT ejde-41 287 5 ( ( PUNCT ejde-41 287 6 4.1 4.1 NUM ejde-41 287 7 ) ) PUNCT ejde-41 287 8 and and CCONJ ejde-41 287 9 ( ( PUNCT ejde-41 287 10 4.2 4.2 NUM ejde-41 287 11 ) ) PUNCT ejde-41 287 12 , , PUNCT ejde-41 287 13 we we PRON ejde-41 287 14 obtain obtain VERB ejde-41 287 15 sup sup NOUN ejde-41 287 16 τ∈[0,t τ∈[0,t NOUN ejde-41 287 17 ] ] PUNCT ejde-41 287 18 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 288 1 d d X ejde-41 288 2 dτ dτ NOUN ejde-41 288 3 vφr vφr NOUN ejde-41 288 4 [ [ X ejde-41 288 5 ψ(τ ψ(τ X ejde-41 288 6 ) ) PUNCT ejde-41 288 7 ] ] PUNCT ejde-41 289 1 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 289 2 ≤ ≤ NUM ejde-41 289 3 c‖∇φr‖w c‖∇φr‖w NOUN ejde-41 289 4 1,∞ 1,∞ NUM ejde-41 289 5 sup sup NOUN ejde-41 289 6 τ∈[0,t τ∈[0,t PROPN ejde-41 289 7 ] ] X ejde-41 289 8 ‖ψ(τ)‖2hs ‖ψ(τ)‖2hs PROPN ejde-41 289 9 ≤ ≤ NUM ejde-41 289 10 cc2 cc2 PROPN ejde-41 289 11 1r 1r NUM ejde-41 289 12 −1 −1 NOUN ejde-41 289 13 , , PUNCT ejde-41 289 14 for for ADP ejde-41 289 15 some some DET ejde-41 289 16 constant constant ADJ ejde-41 289 17 c c NOUN ejde-41 289 18 > > X ejde-41 289 19 0 0 PROPN ejde-41 289 20 independent independent ADJ ejde-41 289 21 of of ADP ejde-41 289 22 r r NOUN ejde-41 289 23 and and CCONJ ejde-41 289 24 c1 c1 PROPN ejde-41 289 25 . . PUNCT ejde-41 290 1 therefore therefore ADV ejde-41 290 2 , , PUNCT ejde-41 290 3 vφr vφr X ejde-41 290 4 [ [ X ejde-41 290 5 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 290 6 ) ) PUNCT ejde-41 290 7 ] ] PUNCT ejde-41 290 8 ≤ ≤ NUM ejde-41 290 9 vφr vφr NOUN ejde-41 291 1 [ [ X ejde-41 291 2 ψ0 ψ0 X ejde-41 291 3 ] ] X ejde-41 292 1 + + CCONJ ejde-41 292 2 cc2 cc2 PROPN ejde-41 292 3 1r 1r NUM ejde-41 292 4 −1 −1 NOUN ejde-41 292 5 t t PROPN ejde-41 292 6 , , PUNCT ejde-41 292 7 for for ADP ejde-41 292 8 all all DET ejde-41 292 9 t t PROPN ejde-41 292 10 ≥ ≥ NOUN ejde-41 292 11 0 0 NUM ejde-41 292 12 . . PUNCT ejde-41 293 1 by by ADP ejde-41 293 2 the the DET ejde-41 293 3 choice choice NOUN ejde-41 293 4 of of ADP ejde-41 293 5 θ θ PROPN ejde-41 293 6 and and CCONJ ejde-41 293 7 the the DET ejde-41 293 8 conservation conservation NOUN ejde-41 293 9 of of ADP ejde-41 293 10 mass mass PROPN ejde-41 293 11 , , PUNCT ejde-41 293 12 we we PRON ejde-41 293 13 have have VERB ejde-41 293 14 vφr vφr NOUN ejde-41 294 1 [ [ X ejde-41 294 2 ψ0 ψ0 X ejde-41 294 3 ] ] X ejde-41 294 4 = = SYM ejde-41 294 5 ∫ ∫ PROPN ejde-41 294 6 r3 r3 PROPN ejde-41 294 7 φr(x)|ψ0(x)|2 φr(x)|ψ0(x)|2 PROPN ejde-41 294 8 dx dx PROPN ejde-41 294 9 ≤ ≤ NUM ejde-41 294 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 294 11 |x|>r/2 |x|>r/2 PUNCT ejde-41 295 1 |ψ0(x)|2 |ψ0(x)|2 PROPN ejde-41 295 2 dx→ dx→ NOUN ejde-41 295 3 0 0 NUM ejde-41 295 4 , , PUNCT ejde-41 295 5 as as ADP ejde-41 295 6 r→∞ r→∞ PRON ejde-41 295 7 or or CCONJ ejde-41 295 8 vφr vφr X ejde-41 296 1 [ [ X ejde-41 296 2 ψ0 ψ0 X ejde-41 296 3 ] ] X ejde-41 296 4 = = PUNCT ejde-41 296 5 or(1 or(1 NOUN ejde-41 296 6 ) ) PUNCT ejde-41 296 7 . . PUNCT ejde-41 297 1 on on ADP ejde-41 297 2 the the DET ejde-41 297 3 other other ADJ ejde-41 297 4 hand,∫ hand,∫ PROPN ejde-41 297 5 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 297 6 |ψ(t |ψ(t PROPN ejde-41 297 7 , , PUNCT ejde-41 297 8 x)|2 x)|2 PROPN ejde-41 297 9 dx dx PROPN ejde-41 297 10 ≤ ≤ PROPN ejde-41 297 11 vφr vφr NOUN ejde-41 297 12 [ [ X ejde-41 297 13 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 297 14 ) ) PUNCT ejde-41 297 15 ] ] PUNCT ejde-41 297 16 . . PUNCT ejde-41 298 1 combing comb VERB ejde-41 298 2 the the DET ejde-41 298 3 above above ADJ ejde-41 298 4 estimates estimate NOUN ejde-41 298 5 , , PUNCT ejde-41 298 6 we we PRON ejde-41 298 7 arrive arrive VERB ejde-41 298 8 at at ADP ejde-41 298 9 the the DET ejde-41 298 10 desired desire VERB ejde-41 298 11 result result NOUN ejde-41 298 12 . . PUNCT ejde-41 299 1 � � PROPN ejde-41 299 2 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 299 3 blow blow VERB ejde-41 299 4 - - PUNCT ejde-41 299 5 up up ADP ejde-41 299 6 criteria criterion NOUN ejde-41 299 7 and and CCONJ ejde-41 299 8 instability instability NOUN ejde-41 299 9 of of ADP ejde-41 299 10 standing standing ADJ ejde-41 299 11 waves wave NOUN ejde-41 299 12 11 11 NUM ejde-41 299 13 proof proof NOUN ejde-41 299 14 of of ADP ejde-41 299 15 theorem theorem ADJ ejde-41 299 16 1.1 1.1 NUM ejde-41 299 17 . . PUNCT ejde-41 300 1 if if SCONJ ejde-41 300 2 t t PROPN ejde-41 300 3 ∗ ∗ VERB ejde-41 300 4 < < X ejde-41 300 5 + + NOUN ejde-41 300 6 ∞ ∞ PROPN ejde-41 300 7 , , PUNCT ejde-41 300 8 then then ADV ejde-41 300 9 the the DET ejde-41 300 10 proof proof NOUN ejde-41 300 11 is be AUX ejde-41 300 12 done do VERB ejde-41 300 13 . . PUNCT ejde-41 301 1 if if SCONJ ejde-41 301 2 t t PROPN ejde-41 301 3 ∗ ∗ NOUN ejde-41 301 4 = = PUNCT ejde-41 302 1 + + NUM ejde-41 302 2 ∞ ∞ PROPN ejde-41 302 3 , , PUNCT ejde-41 302 4 then then ADV ejde-41 302 5 we we PRON ejde-41 302 6 need need VERB ejde-41 302 7 to to PART ejde-41 302 8 show show VERB ejde-41 302 9 ( ( PUNCT ejde-41 302 10 1.11 1.11 NUM ejde-41 302 11 ) ) PUNCT ejde-41 302 12 . . PUNCT ejde-41 303 1 let let VERB ejde-41 303 2 ϕ ϕ NOUN ejde-41 303 3 : : PUNCT ejde-41 303 4 r3 r3 PROPN ejde-41 303 5 → → SYM ejde-41 303 6 r r NOUN ejde-41 303 7 be be VERB ejde-41 303 8 such such ADJ ejde-41 303 9 that that SCONJ ejde-41 303 10 ∇ϕ ∇ϕ PROPN ejde-41 303 11 ∈ ∈ PROPN ejde-41 303 12 w w ADP ejde-41 303 13 3,∞. 3,∞. NOUN ejde-41 303 14 in in ADP ejde-41 303 15 addition addition NOUN ejde-41 303 16 , , PUNCT ejde-41 303 17 we we PRON ejde-41 303 18 assume assume VERB ejde-41 303 19 that that SCONJ ejde-41 303 20 ϕ ϕ NOUN ejde-41 303 21 = = SYM ejde-41 303 22 ϕ(r ϕ(r PROPN ejde-41 303 23 ) ) PUNCT ejde-41 303 24 is be AUX ejde-41 303 25 radial radial ADJ ejde-41 303 26 and and CCONJ ejde-41 303 27 satisfies satisfie NOUN ejde-41 303 28 ϕ(r ϕ(r PROPN ejde-41 303 29 ) ) PUNCT ejde-41 304 1 = = PRON ejde-41 304 2 { { PUNCT ejde-41 304 3 r2 r2 PROPN ejde-41 304 4 2 2 NUM ejde-41 304 5 for for ADP ejde-41 304 6 r r NOUN ejde-41 304 7 ≤ ≤ NUM ejde-41 304 8 1 1 NUM ejde-41 304 9 , , PUNCT ejde-41 304 10 const const ADJ ejde-41 304 11 . . PUNCT ejde-41 305 1 for for ADP ejde-41 305 2 r r NOUN ejde-41 305 3 ≥ ≥ NUM ejde-41 305 4 10 10 NUM ejde-41 305 5 , , PUNCT ejde-41 305 6 and and CCONJ ejde-41 305 7 ϕ′′(r ϕ′′(r ADJ ejde-41 305 8 ) ) PUNCT ejde-41 305 9 ≤ ≤ NOUN ejde-41 305 10 1 1 NUM ejde-41 305 11 for for ADP ejde-41 305 12 r r NOUN ejde-41 305 13 ≥ ≥ NOUN ejde-41 305 14 0 0 NUM ejde-41 305 15 . . PUNCT ejde-41 306 1 given give VERB ejde-41 306 2 r r NOUN ejde-41 306 3 > > PUNCT ejde-41 306 4 0 0 NUM ejde-41 306 5 , , PUNCT ejde-41 306 6 we we PRON ejde-41 306 7 define define VERB ejde-41 306 8 the the DET ejde-41 306 9 rescaled rescaled ADJ ejde-41 306 10 function function NOUN ejde-41 306 11 ϕr ϕr X ejde-41 306 12 : : PUNCT ejde-41 306 13 r3 r3 PROPN ejde-41 306 14 → → SYM ejde-41 306 15 r r NOUN ejde-41 306 16 by by ADP ejde-41 306 17 ϕr(r ϕr(r PUNCT ejde-41 306 18 ) ) PUNCT ejde-41 306 19 : : PUNCT ejde-41 307 1 = = SYM ejde-41 307 2 r2ϕ r2ϕ NOUN ejde-41 307 3 ( ( PUNCT ejde-41 307 4 x x SYM ejde-41 307 5 r r NOUN ejde-41 307 6 ) ) PUNCT ejde-41 307 7 . . PUNCT ejde-41 308 1 ( ( PUNCT ejde-41 308 2 4.3 4.3 NUM ejde-41 308 3 ) ) PUNCT ejde-41 308 4 we we PRON ejde-41 308 5 readily readily ADV ejde-41 308 6 verify verify VERB ejde-41 308 7 the the DET ejde-41 308 8 inequalities inequality NOUN ejde-41 308 9 1− 1− NUM ejde-41 308 10 ϕ′′r(r ϕ′′r(r NOUN ejde-41 308 11 ) ) PUNCT ejde-41 308 12 ≥ ≥ NOUN ejde-41 308 13 0 0 NUM ejde-41 308 14 , , PUNCT ejde-41 308 15 1− 1− NUM ejde-41 308 16 ϕ′r(r ϕ′r(r NOUN ejde-41 308 17 ) ) PUNCT ejde-41 308 18 r r NOUN ejde-41 308 19 ≥ ≥ NOUN ejde-41 308 20 0 0 NUM ejde-41 308 21 , , PUNCT ejde-41 308 22 3−∆ϕr(x 3−∆ϕr(x NUM ejde-41 308 23 ) ) PUNCT ejde-41 308 24 ≥ ≥ NOUN ejde-41 308 25 0 0 NUM ejde-41 308 26 , , PUNCT ejde-41 308 27 for for ADP ejde-41 308 28 all all DET ejde-41 308 29 r r NOUN ejde-41 308 30 ≥ ≥ NOUN ejde-41 308 31 0 0 NUM ejde-41 308 32 and and CCONJ ejde-41 308 33 all all DET ejde-41 308 34 x x SYM ejde-41 308 35 ∈ ∈ PROPN ejde-41 308 36 r3 r3 PROPN ejde-41 308 37 . . PUNCT ejde-41 309 1 it it PRON ejde-41 309 2 is be AUX ejde-41 309 3 easy easy ADJ ejde-41 309 4 to to PART ejde-41 309 5 see see VERB ejde-41 309 6 that that DET ejde-41 309 7 ‖∇kϕr‖l∞ ‖∇kϕr‖l∞ PROPN ejde-41 309 8 ≤ ≤ PUNCT ejde-41 309 9 r2−k r2−k PROPN ejde-41 309 10 , , PUNCT ejde-41 309 11 k k PROPN ejde-41 309 12 = = PUNCT ejde-41 309 13 0 0 PROPN ejde-41 309 14 , , PUNCT ejde-41 309 15 . . PUNCT ejde-41 309 16 . . PUNCT ejde-41 310 1 . . PUNCT ejde-41 311 1 , , PUNCT ejde-41 311 2 4 4 NUM ejde-41 311 3 , , PUNCT ejde-41 311 4 and and CCONJ ejde-41 311 5 supt(∇kϕr supt(∇kϕr PROPN ejde-41 311 6 ) ) PUNCT ejde-41 311 7 ⊂ ⊂ PROPN ejde-41 311 8 { { PUNCT ejde-41 311 9 { { PUNCT ejde-41 311 10 |x| |x| PROPN ejde-41 311 11 ≤ ≤ NOUN ejde-41 311 12 10r 10r NOUN ejde-41 311 13 } } PUNCT ejde-41 311 14 for for ADP ejde-41 311 15 k k PROPN ejde-41 311 16 = = SYM ejde-41 311 17 1 1 NUM ejde-41 311 18 , , PUNCT ejde-41 311 19 2 2 NUM ejde-41 311 20 , , PUNCT ejde-41 311 21 { { PUNCT ejde-41 311 22 r r NOUN ejde-41 311 23 ≤ ≤ NUM ejde-41 311 24 |x| |x| PROPN ejde-41 311 25 ≤ ≤ NOUN ejde-41 311 26 10r 10r NOUN ejde-41 311 27 } } PUNCT ejde-41 311 28 for for ADP ejde-41 311 29 k k PROPN ejde-41 311 30 = = SYM ejde-41 311 31 3 3 NUM ejde-41 311 32 , , PUNCT ejde-41 311 33 4 4 NUM ejde-41 311 34 . . PUNCT ejde-41 311 35 applying apply VERB ejde-41 311 36 lemma lemma PROPN ejde-41 311 37 3.7 3.7 NUM ejde-41 311 38 , , PUNCT ejde-41 311 39 we we PRON ejde-41 311 40 have have VERB ejde-41 311 41 d d NOUN ejde-41 311 42 dt dt ADP ejde-41 311 43 mϕr mϕr NOUN ejde-41 312 1 [ [ X ejde-41 312 2 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 312 3 ) ) PUNCT ejde-41 312 4 ] ] PUNCT ejde-41 313 1 = = PUNCT ejde-41 313 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 314 1 ∞ ∞ PROPN ejde-41 314 2 0 0 NUM ejde-41 315 1 ms ms PROPN ejde-41 315 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 315 3 r3 r3 PROPN ejde-41 315 4 { { PUNCT ejde-41 315 5 4∂kψm(t)(∂2 4∂kψm(t)(∂2 X ejde-41 315 6 klϕr)∂lψm(t)− klϕr)∂lψm(t)− PROPN ejde-41 315 7 ( ( PUNCT ejde-41 315 8 ∆2ϕr)|ψm(t)|2 ∆2ϕr)|ψm(t)|2 PROPN ejde-41 315 9 } } PUNCT ejde-41 315 10 dx dx PROPN ejde-41 316 1 dm dm NUM ejde-41 316 2 − − PROPN ejde-41 316 3 2p 2p NUM ejde-41 316 4 p+ p+ VERB ejde-41 316 5 2 2 NUM ejde-41 316 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 316 7 r3 r3 PROPN ejde-41 316 8 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 VERB ejde-41 316 9 dx dx PROPN ejde-41 317 1 + + X ejde-41 317 2 ( ( PUNCT ejde-41 317 3 3− 3− NUM ejde-41 317 4 2r 2r NUM ejde-41 317 5 ) ) PUNCT ejde-41 317 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 317 7 r3 r3 PROPN ejde-41 317 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 317 9 r3 r3 PROPN ejde-41 317 10 |ψ(t |ψ(t PROPN ejde-41 317 11 , , PUNCT ejde-41 317 12 x)|2|ψ(t x)|2|ψ(t PROPN ejde-41 317 13 , , PUNCT ejde-41 317 14 y)|2(x− y)|2(x− PROPN ejde-41 317 15 y y PROPN ejde-41 317 16 ) ) PUNCT ejde-41 317 17 · · PUNCT ejde-41 317 18 ( ( PUNCT ejde-41 317 19 ∇ϕr(x)−∇ϕr(y ∇ϕr(x)−∇ϕr(y NUM ejde-41 317 20 ) ) PUNCT ejde-41 317 21 ) ) PUNCT ejde-41 317 22 |x− |x− PROPN ejde-41 318 1 y|5−2r y|5−2r PROPN ejde-41 318 2 dx dx PROPN ejde-41 318 3 dy dy PROPN ejde-41 318 4 , , PUNCT ejde-41 318 5 ( ( PUNCT ejde-41 318 6 4.4 4.4 NUM ejde-41 318 7 ) ) PUNCT ejde-41 318 8 where where SCONJ ejde-41 318 9 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 318 10 ) ) PUNCT ejde-41 318 11 = = SYM ejde-41 318 12 ψm(t ψm(t NOUN ejde-41 318 13 , , PUNCT ejde-41 318 14 x x PRON ejde-41 318 15 ) ) PUNCT ejde-41 318 16 is be AUX ejde-41 318 17 defined define VERB ejde-41 318 18 in in ADP ejde-41 318 19 ( ( PUNCT ejde-41 318 20 3.1 3.1 NUM ejde-41 318 21 ) ) PUNCT ejde-41 318 22 . . PUNCT ejde-41 319 1 since since SCONJ ejde-41 319 2 supt(∆2ϕr supt(∆2ϕr PROPN ejde-41 319 3 ) ) PUNCT ejde-41 319 4 ⊂ ⊂ PRON ejde-41 319 5 { { PUNCT ejde-41 319 6 |x| |x| PROPN ejde-41 319 7 ≥ ≥ PRON ejde-41 319 8 r r NOUN ejde-41 319 9 } } PUNCT ejde-41 319 10 , , PUNCT ejde-41 319 11 by by ADP ejde-41 319 12 lemma lemma PROPN ejde-41 319 13 3.2 3.2 NUM ejde-41 319 14 , , PUNCT ejde-41 319 15 we we PRON ejde-41 319 16 have∣∣∣ have∣∣∣ PUNCT ejde-41 319 17 ∫ ∫ PROPN ejde-41 320 1 ∞ ∞ PROPN ejde-41 320 2 0 0 NUM ejde-41 321 1 ms ms PROPN ejde-41 321 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 321 3 r3 r3 PROPN ejde-41 321 4 ( ( PUNCT ejde-41 321 5 ∆2ϕr)|ψm(t)|2 ∆2ϕr)|ψm(t)|2 ADP ejde-41 321 6 dx dx PROPN ejde-41 321 7 dm dm PROPN ejde-41 321 8 ∣∣∣ ∣∣∣ VERB ejde-41 321 9 ≤ ≤ NOUN ejde-41 321 10 c‖∆2ϕr‖sl∞‖∆ϕr‖1−sl∞ c‖∆2ϕr‖sl∞‖∆ϕr‖1−sl∞ NUM ejde-41 321 11 ‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r ‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r NOUN ejde-41 321 12 ) ) PUNCT ejde-41 321 13 ≤ ≤ NUM ejde-41 321 14 cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r NOUN ejde-41 321 15 ) ) PUNCT ejde-41 321 16 . . PUNCT ejde-41 322 1 ( ( PUNCT ejde-41 322 2 4.5 4.5 NUM ejde-41 322 3 ) ) PUNCT ejde-41 322 4 since since SCONJ ejde-41 322 5 ϕr ϕr NOUN ejde-41 322 6 is be AUX ejde-41 322 7 radial radial ADJ ejde-41 322 8 , , PUNCT ejde-41 322 9 we we PRON ejde-41 322 10 use use VERB ejde-41 322 11 ∂2 ∂2 PROPN ejde-41 322 12 jk jk PROPN ejde-41 322 13 = = PUNCT ejde-41 322 14 ( ( PUNCT ejde-41 322 15 δjk δjk NOUN ejde-41 322 16 r r NOUN ejde-41 322 17 − − PROPN ejde-41 322 18 xjxk xjxk PROPN ejde-41 322 19 r3 r3 PROPN ejde-41 322 20 ) ) PUNCT ejde-41 323 1 ∂r ∂r PROPN ejde-41 324 1 + + NUM ejde-41 324 2 xjxk xjxk PROPN ejde-41 324 3 r2 r2 PROPN ejde-41 324 4 ∂2 ∂2 PROPN ejde-41 324 5 r r NOUN ejde-41 324 6 to to PART ejde-41 324 7 deduce deduce VERB ejde-41 324 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 324 9 ∞ ∞ NOUN ejde-41 324 10 0 0 NUM ejde-41 325 1 ms ms PROPN ejde-41 325 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 325 3 r3 r3 PROPN ejde-41 325 4 ∂kψm(t)(∂2 ∂kψm(t)(∂2 PUNCT ejde-41 325 5 jkϕr)∂lψm(t jkϕr)∂lψm(t PROPN ejde-41 325 6 ) ) PUNCT ejde-41 326 1 dx dx PROPN ejde-41 326 2 dm dm PROPN ejde-41 326 3 = = SYM ejde-41 326 4 ∫ ∫ PROPN ejde-41 327 1 ∞ ∞ NOUN ejde-41 327 2 0 0 NUM ejde-41 328 1 ms ms PROPN ejde-41 328 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 328 3 r3 r3 PROPN ejde-41 328 4 ϕ′r ϕ′r PRON ejde-41 328 5 r r NOUN ejde-41 328 6 |∇ψm(t)|2 |∇ψm(t)|2 NUM ejde-41 328 7 dx dx PROPN ejde-41 328 8 dm dm NOUN ejde-41 328 9 + + CCONJ ejde-41 328 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 328 11 ∞ ∞ NOUN ejde-41 328 12 0 0 NUM ejde-41 329 1 ms ms PROPN ejde-41 329 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 329 3 r3 r3 PROPN ejde-41 329 4 ( ( PUNCT ejde-41 329 5 ϕ′′r ϕ′′r PROPN ejde-41 329 6 r2 r2 PROPN ejde-41 329 7 − − PROPN ejde-41 329 8 ϕ′r ϕ′r PROPN ejde-41 329 9 r3 r3 PROPN ejde-41 329 10 ) ) PUNCT ejde-41 329 11 |x |x PROPN ejde-41 329 12 · · PUNCT ejde-41 329 13 ∇ψm(t)|2 ∇ψm(t)|2 VERB ejde-41 329 14 dx dx PROPN ejde-41 329 15 dm dm PROPN ejde-41 329 16 . . PROPN ejde-41 329 17 12 12 NUM ejde-41 329 18 y. y. PROPN ejde-41 329 19 mo mo PROPN ejde-41 329 20 , , PUNCT ejde-41 329 21 m. m. PROPN ejde-41 329 22 zhu zhu PROPN ejde-41 329 23 , , PUNCT ejde-41 329 24 b. b. PROPN ejde-41 329 25 feng feng PROPN ejde-41 329 26 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 329 27 using use VERB ejde-41 329 28 ( ( PUNCT ejde-41 329 29 3.2 3.2 NUM ejde-41 329 30 ) ) PUNCT ejde-41 329 31 leads lead VERB ejde-41 329 32 to∫ to∫ NOUN ejde-41 329 33 ∞ ∞ NUM ejde-41 329 34 0 0 NUM ejde-41 330 1 ms ms PROPN ejde-41 330 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 330 3 r3 r3 PROPN ejde-41 330 4 ϕ′r ϕ′r PRON ejde-41 330 5 r r NOUN ejde-41 330 6 |∇ψm(t)|2 |∇ψm(t)|2 NUM ejde-41 330 7 dx dx PROPN ejde-41 330 8 dm dm PROPN ejde-41 330 9 = = PUNCT ejde-41 330 10 s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 331 1 + + CCONJ ejde-41 331 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 332 1 ∞ ∞ NOUN ejde-41 332 2 0 0 NUM ejde-41 333 1 ms ms PROPN ejde-41 333 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 333 3 r3 r3 PROPN ejde-41 333 4 ( ( PUNCT ejde-41 333 5 ϕ′r ϕ′r NOUN ejde-41 333 6 r r NOUN ejde-41 333 7 − − PROPN ejde-41 333 8 1 1 NUM ejde-41 333 9 ) ) PUNCT ejde-41 333 10 |∇ψm(t)|2 |∇ψm(t)|2 PROPN ejde-41 333 11 dx dx PROPN ejde-41 333 12 dm dm NUM ejde-41 333 13 . . PUNCT ejde-41 334 1 since since SCONJ ejde-41 334 2 ϕ′′r ϕ′′r PROPN ejde-41 334 3 ≤ ≤ NUM ejde-41 334 4 1 1 NUM ejde-41 334 5 , , PUNCT ejde-41 334 6 the the DET ejde-41 334 7 cauchy cauchy PROPN ejde-41 334 8 - - PUNCT ejde-41 334 9 schwarz schwarz PROPN ejde-41 334 10 inequality inequality PROPN ejde-41 334 11 implies∫ implies∫ VERB ejde-41 334 12 ∞ ∞ PROPN ejde-41 334 13 0 0 NUM ejde-41 335 1 ms ms PROPN ejde-41 335 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 335 3 r3 r3 PROPN ejde-41 335 4 ( ( PUNCT ejde-41 335 5 ϕ′r ϕ′r NOUN ejde-41 335 6 r r NOUN ejde-41 335 7 − − PROPN ejde-41 335 8 1 1 NUM ejde-41 335 9 ) ) PUNCT ejde-41 335 10 |∇ψm(t)|2 |∇ψm(t)|2 PROPN ejde-41 335 11 dx dx PROPN ejde-41 335 12 dm dm NOUN ejde-41 335 13 + + CCONJ ejde-41 335 14 ∫ ∫ PROPN ejde-41 335 15 ∞ ∞ NOUN ejde-41 335 16 0 0 NUM ejde-41 336 1 ms ms PROPN ejde-41 336 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 336 3 r3 r3 PROPN ejde-41 336 4 ( ( PUNCT ejde-41 336 5 ϕ′′r ϕ′′r PROPN ejde-41 336 6 − − PROPN ejde-41 336 7 ϕ′r ϕ′r ADJ ejde-41 336 8 r r NOUN ejde-41 336 9 ) ) PUNCT ejde-41 336 10 |x |x NOUN ejde-41 336 11 · · PUNCT ejde-41 336 12 ∇ψm(t)|2 ∇ψm(t)|2 PROPN ejde-41 336 13 r2 r2 PROPN ejde-41 336 14 dx dx PROPN ejde-41 336 15 dm dm PROPN ejde-41 336 16 ≤ ≤ NUM ejde-41 336 17 0 0 NUM ejde-41 336 18 . . PUNCT ejde-41 337 1 thus thus ADV ejde-41 337 2 , , PUNCT ejde-41 337 3 we we PRON ejde-41 337 4 have have VERB ejde-41 337 5 4 4 NUM ejde-41 337 6 ∫ ∫ NOUN ejde-41 337 7 ∞ ∞ NOUN ejde-41 337 8 0 0 NUM ejde-41 338 1 ms ms PROPN ejde-41 338 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 338 3 r3 r3 PROPN ejde-41 338 4 ∂kψm(t)(∂2 ∂kψm(t)(∂2 PUNCT ejde-41 338 5 jkϕr)∂lψm(t jkϕr)∂lψm(t PROPN ejde-41 338 6 ) ) PUNCT ejde-41 338 7 dx dx PROPN ejde-41 338 8 dm dm PROPN ejde-41 338 9 ≤ ≤ NUM ejde-41 338 10 4s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 4s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 NUM ejde-41 338 11 . . PUNCT ejde-41 339 1 ( ( PUNCT ejde-41 339 2 4.6 4.6 NUM ejde-41 339 3 ) ) PUNCT ejde-41 339 4 note note NOUN ejde-41 339 5 that that SCONJ ejde-41 339 6 − − PROPN ejde-41 339 7 2p 2p NUM ejde-41 339 8 p+ p+ VERB ejde-41 339 9 2 2 NUM ejde-41 339 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 339 11 r3 r3 PROPN ejde-41 339 12 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 NOUN ejde-41 339 13 dx dx PROPN ejde-41 340 1 = = PROPN ejde-41 340 2 − − PROPN ejde-41 340 3 6p 6p PROPN ejde-41 340 4 p+ p+ VERB ejde-41 340 5 2 2 NUM ejde-41 340 6 ‖ψ(t)‖p+2 ‖ψ(t)‖p+2 ADJ ejde-41 340 7 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 340 8 + + NUM ejde-41 340 9 2p 2p NUM ejde-41 340 10 p+ p+ VERB ejde-41 340 11 2 2 NUM ejde-41 340 12 ∫ ∫ PROPN ejde-41 340 13 r3 r3 PROPN ejde-41 340 14 ( ( PUNCT ejde-41 340 15 3−∆ϕr)|ψ(t)|p+2 3−∆ϕr)|ψ(t)|p+2 NUM ejde-41 340 16 dx dx PROPN ejde-41 340 17 . . PUNCT ejde-41 341 1 since since SCONJ ejde-41 341 2 supt(3−∆ϕr supt(3−∆ϕr NOUN ejde-41 341 3 ) ) PUNCT ejde-41 341 4 ⊂ ⊂ PRON ejde-41 341 5 { { PUNCT ejde-41 341 6 |x| |x| PROPN ejde-41 341 7 ≥ ≥ PRON ejde-41 341 8 r r NOUN ejde-41 341 9 } } PUNCT ejde-41 341 10 and and CCONJ ejde-41 341 11 ‖3−∆ϕr‖l∞ ‖3−∆ϕr‖l∞ ADJ ejde-41 341 12 ≤ ≤ NOUN ejde-41 341 13 c c X ejde-41 341 14 , , PUNCT ejde-41 341 15 we we PRON ejde-41 341 16 have∫ have∫ VERB ejde-41 341 17 r3 r3 PROPN ejde-41 341 18 ( ( PUNCT ejde-41 341 19 3−∆ϕr)|ψ(t)|p+2 3−∆ϕr)|ψ(t)|p+2 NUM ejde-41 341 20 dx dx PROPN ejde-41 342 1 ≤ ≤ PROPN ejde-41 342 2 c c PROPN ejde-41 342 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 342 4 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 342 5 |ψ(t)|p+2 |ψ(t)|p+2 PROPN ejde-41 342 6 dx dx PROPN ejde-41 342 7 ≤ ≤ PROPN ejde-41 342 8 c‖ψ(t)‖ c‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 342 9 3p 3p NUM ejde-41 342 10 2s 2s NOUN ejde-41 342 11 l l NOUN ejde-41 342 12 6 6 NUM ejde-41 342 13 3−2s 3−2s NUM ejde-41 342 14 ( ( PUNCT ejde-41 342 15 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 342 16 ) ) PUNCT ejde-41 342 17 ‖ψ‖ ‖ψ‖ PROPN ejde-41 342 18 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 342 19 2s 2s PROPN ejde-41 342 20 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 342 21 ) ) PUNCT ejde-41 342 22 ≤ ≤ NUM ejde-41 342 23 c‖ψ(t)‖ c‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 342 24 3p 3p NUM ejde-41 342 25 2s 2s PROPN ejde-41 342 26 hs‖ψ(t)‖ hs‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 342 27 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 342 28 2s 2s PROPN ejde-41 342 29 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 342 30 ) ) PUNCT ejde-41 342 31 ≤ ≤ PROPN ejde-41 342 32 cc cc VERB ejde-41 342 33 3p 3p NUM ejde-41 342 34 2s 2s NUM ejde-41 342 35 1 1 NUM ejde-41 342 36 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 342 37 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 342 38 2s 2s PROPN ejde-41 342 39 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 342 40 ) ) PUNCT ejde-41 342 41 . . PUNCT ejde-41 343 1 thus thus ADV ejde-41 343 2 we we PRON ejde-41 343 3 obtain obtain VERB ejde-41 343 4 − − PROPN ejde-41 343 5 2p 2p NUM ejde-41 343 6 p+ p+ VERB ejde-41 343 7 2 2 NUM ejde-41 343 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 343 9 r3 r3 PROPN ejde-41 343 10 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 ∆ϕr|ψ(t)|p+2 VERB ejde-41 343 11 dx dx PROPN ejde-41 343 12 ≤ ≤ PROPN ejde-41 343 13 − − PROPN ejde-41 343 14 6p 6p PROPN ejde-41 343 15 p+ p+ VERB ejde-41 343 16 2 2 NUM ejde-41 343 17 ‖ψ(t)‖p+2 ‖ψ(t)‖p+2 ADJ ejde-41 343 18 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 343 19 + + CCONJ ejde-41 343 20 cc cc NOUN ejde-41 343 21 3p 3p NUM ejde-41 343 22 2s 2s NUM ejde-41 343 23 1 1 NUM ejde-41 343 24 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 343 25 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 343 26 2s 2s PROPN ejde-41 343 27 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 343 28 ) ) PUNCT ejde-41 343 29 . . PUNCT ejde-41 344 1 ( ( PUNCT ejde-41 344 2 4.7 4.7 NUM ejde-41 344 3 ) ) PUNCT ejde-41 344 4 we we PRON ejde-41 344 5 denote denote VERB ejde-41 344 6 the the DET ejde-41 344 7 last last ADJ ejde-41 344 8 term term NOUN ejde-41 344 9 in in ADP ejde-41 344 10 ( ( PUNCT ejde-41 344 11 4.4 4.4 NUM ejde-41 344 12 ) ) PUNCT ejde-41 344 13 by by ADP ejde-41 344 14 t t PROPN ejde-41 344 15 . . PUNCT ejde-41 345 1 we we PRON ejde-41 345 2 have have VERB ejde-41 345 3 t t NOUN ejde-41 345 4 = = SYM ejde-41 345 5 ( ( PUNCT ejde-41 345 6 3− 3− NUM ejde-41 345 7 2r 2r NUM ejde-41 345 8 ) ) PUNCT ejde-41 346 1 ∫ ∫ PROPN ejde-41 346 2 r3 r3 PROPN ejde-41 346 3 ∫ ∫ PROPN ejde-41 346 4 r3 r3 PROPN ejde-41 346 5 ( ( PUNCT ejde-41 346 6 x− x− PROPN ejde-41 346 7 y y PROPN ejde-41 346 8 ) ) PUNCT ejde-41 346 9 · · PUNCT ejde-41 346 10 ( ( PUNCT ejde-41 346 11 ∇ϕr(x)−∇ϕr(y ∇ϕr(x)−∇ϕr(y NUM ejde-41 346 12 ) ) PUNCT ejde-41 346 13 ) ) PUNCT ejde-41 347 1 |ψ(t |ψ(t PROPN ejde-41 347 2 , , PUNCT ejde-41 347 3 x)|2|ψ(t x)|2|ψ(t PRON ejde-41 347 4 , , PUNCT ejde-41 347 5 y)|2 y)|2 X ejde-41 347 6 |x− |x− PROPN ejde-41 348 1 y|5−2r y|5−2r PROPN ejde-41 348 2 dx dx PROPN ejde-41 348 3 dy dy PROPN ejde-41 348 4 . . PUNCT ejde-41 349 1 by by ADP ejde-41 349 2 using use VERB ejde-41 349 3 supt(|x− supt(|x− PROPN ejde-41 349 4 y|2 y|2 PROPN ejde-41 349 5 − − PROPN ejde-41 349 6 ( ( PUNCT ejde-41 349 7 x− x− PROPN ejde-41 349 8 y y PROPN ejde-41 349 9 ) ) PUNCT ejde-41 349 10 · · PUNCT ejde-41 349 11 ( ( PUNCT ejde-41 349 12 ∇ϕr(x)−∇ϕr(y ∇ϕr(x)−∇ϕr(y NUM ejde-41 349 13 ) ) PUNCT ejde-41 349 14 ) ) PUNCT ejde-41 349 15 ) ) PUNCT ejde-41 350 1 ⊂ ⊂ PRON ejde-41 350 2 { { PUNCT ejde-41 350 3 |x| |x| PROPN ejde-41 350 4 ≥ ≥ NUM ejde-41 350 5 r r NOUN ejde-41 350 6 } } PUNCT ejde-41 350 7 ∪ ∪ NOUN ejde-41 350 8 { { PUNCT ejde-41 350 9 |y| |y| ADJ ejde-41 350 10 ≥ ≥ NOUN ejde-41 350 11 r r NOUN ejde-41 350 12 } } PUNCT ejde-41 350 13 , , PUNCT ejde-41 350 14 in in ADP ejde-41 350 15 the the DET ejde-41 350 16 region region NOUN ejde-41 350 17 { { PUNCT ejde-41 350 18 |x| |x| PROPN ejde-41 350 19 ≥ ≥ NOUN ejde-41 350 20 r r NOUN ejde-41 350 21 } } PUNCT ejde-41 350 22 we we PRON ejde-41 350 23 obtain∣∣ obtain∣∣ NOUN ejde-41 350 24 |x− |x− PROPN ejde-41 350 25 y|2 y|2 PROPN ejde-41 351 1 − − PROPN ejde-41 351 2 ( ( PUNCT ejde-41 351 3 x− x− PROPN ejde-41 351 4 y y PROPN ejde-41 351 5 ) ) PUNCT ejde-41 351 6 · · PUNCT ejde-41 351 7 ( ( PUNCT ejde-41 351 8 ∇ϕr(x)−∇ϕr(y ∇ϕr(x)−∇ϕr(y NUM ejde-41 351 9 ) ) PUNCT ejde-41 351 10 ) ) PUNCT ejde-41 352 1 ∣∣ ∣∣ NUM ejde-41 352 2 ≤ ≤ NUM ejde-41 352 3 c|x− c|x− PROPN ejde-41 352 4 y|2 y|2 PROPN ejde-41 352 5 . . PUNCT ejde-41 352 6 thus thus ADV ejde-41 352 7 , , PUNCT ejde-41 352 8 we we PRON ejde-41 352 9 obtain∣∣∣ obtain∣∣∣ VERB ejde-41 352 10 ∫ ∫ PROPN ejde-41 353 1 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 353 2 ∫ ∫ PROPN ejde-41 353 3 r3 r3 PROPN ejde-41 354 1 [ [ X ejde-41 354 2 |x− |x− PROPN ejde-41 354 3 y|2 y|2 PROPN ejde-41 355 1 − − PROPN ejde-41 355 2 ( ( PUNCT ejde-41 355 3 x− x− PROPN ejde-41 355 4 y y PROPN ejde-41 355 5 ) ) PUNCT ejde-41 355 6 · · PUNCT ejde-41 355 7 ( ( PUNCT ejde-41 355 8 ∇ϕr(x)−∇ϕr(y ∇ϕr(x)−∇ϕr(y NUM ejde-41 355 9 ) ) PUNCT ejde-41 355 10 ) ) PUNCT ejde-41 355 11 ] ] PUNCT ejde-41 356 1 |u(t |u(t PROPN ejde-41 356 2 , , PUNCT ejde-41 356 3 x)|2|ψ(t x)|2|ψ(t PROPN ejde-41 356 4 , , PUNCT ejde-41 356 5 y)|2p2 y)|2p2 PROPN ejde-41 356 6 |x− |x− PROPN ejde-41 356 7 y|5−2r y|5−2r PROPN ejde-41 356 8 dx dx PROPN ejde-41 356 9 dy dy VERB ejde-41 356 10 ∣∣∣ ∣∣∣ NOUN ejde-41 356 11 ≤ ≤ PROPN ejde-41 356 12 c c PROPN ejde-41 356 13 ∫ ∫ PROPN ejde-41 356 14 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 356 15 ( ( PUNCT ejde-41 356 16 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 356 17 ) ) PUNCT ejde-41 356 18 ∗ ∗ NOUN ejde-41 356 19 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 PROPN ejde-41 356 20 dx dx PROPN ejde-41 356 21 . . PUNCT ejde-41 357 1 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 357 2 blow blow VERB ejde-41 357 3 - - PUNCT ejde-41 357 4 up up ADP ejde-41 357 5 criteria criterion NOUN ejde-41 357 6 and and CCONJ ejde-41 357 7 instability instability NOUN ejde-41 357 8 of of ADP ejde-41 357 9 standing standing ADJ ejde-41 357 10 waves wave NOUN ejde-41 357 11 13 13 NUM ejde-41 357 12 to to PART ejde-41 357 13 estimate estimate VERB ejde-41 357 14 this this DET ejde-41 357 15 term term NOUN ejde-41 357 16 , , PUNCT ejde-41 357 17 we we PRON ejde-41 357 18 deduce deduce VERB ejde-41 357 19 from from ADP ejde-41 357 20 the the DET ejde-41 357 21 sobolev sobolev NOUN ejde-41 357 22 embedding embed VERB ejde-41 357 23 that that DET ejde-41 357 24 ‖ψ(t)‖2 ‖ψ(t)‖2 ADJ ejde-41 358 1 l l NOUN ejde-41 358 2 12 12 NUM ejde-41 358 3 3 3 NUM ejde-41 358 4 + + SYM ejde-41 358 5 2r 2r NUM ejde-41 358 6 ≤ ≤ NUM ejde-41 358 7 c‖ψ(t)‖ c‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 358 8 4s+2r−3 4s+2r−3 NOUN ejde-41 358 9 2s 2s NUM ejde-41 358 10 l2 l2 NOUN ejde-41 358 11 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 358 12 3−2r 3−2r NUM ejde-41 358 13 2s 2s NOUN ejde-41 358 14 l l NOUN ejde-41 358 15 6 6 NUM ejde-41 358 16 3−2s 3−2s NUM ejde-41 358 17 ≤ ≤ NUM ejde-41 358 18 c‖(−∆)s/2ψ(t)‖ c‖(−∆)s/2ψ(t)‖ PROPN ejde-41 358 19 3−2r 3−2r NUM ejde-41 358 20 2s 2s NOUN ejde-41 358 21 l2 l2 NOUN ejde-41 358 22 . . PUNCT ejde-41 359 1 ( ( PUNCT ejde-41 359 2 4.8 4.8 NUM ejde-41 359 3 ) ) PUNCT ejde-41 359 4 thus thus ADV ejde-41 359 5 , , PUNCT ejde-41 359 6 it it PRON ejde-41 359 7 follows follow VERB ejde-41 359 8 from from ADP ejde-41 359 9 the the DET ejde-41 359 10 hardy hardy ADJ ejde-41 359 11 - - PUNCT ejde-41 359 12 littlewood littlewood NOUN ejde-41 359 13 - - PUNCT ejde-41 359 14 sobolev sobolev NOUN ejde-41 359 15 inequality inequality NOUN ejde-41 359 16 and and CCONJ ejde-41 359 17 the the DET ejde-41 359 18 conservation conservation NOUN ejde-41 359 19 of of ADP ejde-41 359 20 mass mass PROPN ejde-41 359 21 that∫ that∫ NOUN ejde-41 359 22 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 359 23 ( ( PUNCT ejde-41 359 24 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 359 25 ) ) PUNCT ejde-41 359 26 ∗ ∗ NOUN ejde-41 359 27 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 NOUN ejde-41 359 28 dx dx PROPN ejde-41 359 29 ≤ ≤ NUM ejde-41 360 1 c‖|x|−(3−2r c‖|x|−(3−2r PROPN ejde-41 360 2 ) ) PUNCT ejde-41 360 3 ∗ ∗ NOUN ejde-41 360 4 |ψ(t)|2‖ |ψ(t)|2‖ PUNCT ejde-41 360 5 l l NOUN ejde-41 360 6 6 6 NUM ejde-41 360 7 3−2r 3−2r NUM ejde-41 360 8 ( ( PUNCT ejde-41 360 9 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 360 10 ) ) PUNCT ejde-41 360 11 ‖|ψ(t)|2‖ ‖|ψ(t)|2‖ PROPN ejde-41 361 1 l l NOUN ejde-41 362 1 6 6 NUM ejde-41 362 2 3 3 NUM ejde-41 362 3 + + SYM ejde-41 362 4 2r 2r NUM ejde-41 362 5 ( ( PUNCT ejde-41 362 6 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 362 7 ) ) PUNCT ejde-41 362 8 ≤ ≤ NOUN ejde-41 362 9 c‖ψ(t)‖2 c‖ψ(t)‖2 NOUN ejde-41 362 10 l l NOUN ejde-41 362 11 12 12 NUM ejde-41 362 12 3 3 NUM ejde-41 362 13 + + SYM ejde-41 362 14 2r 2r NUM ejde-41 362 15 ‖ψ(t)‖2 ‖ψ(t)‖2 PUNCT ejde-41 363 1 l l NOUN ejde-41 363 2 12 12 NUM ejde-41 363 3 3 3 NUM ejde-41 363 4 + + SYM ejde-41 363 5 2r 2r NUM ejde-41 363 6 ( ( PUNCT ejde-41 363 7 |x|≥r |x|≥r PROPN ejde-41 363 8 ) ) PUNCT ejde-41 363 9 ≤ ≤ NUM ejde-41 363 10 c‖ψ(t)‖ c‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 363 11 3−2r 3−2r PROPN ejde-41 363 12 s s PART ejde-41 363 13 hs hs PROPN ejde-41 363 14 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ PROPN ejde-41 363 15 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 363 16 2s 2s NUM ejde-41 363 17 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 363 18 ) ) PUNCT ejde-41 363 19 ≤ ≤ NOUN ejde-41 363 20 cc cc ADP ejde-41 363 21 3−2r 3−2r NUM ejde-41 363 22 s s NOUN ejde-41 363 23 1 1 NUM ejde-41 363 24 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 363 25 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 363 26 2s 2s NUM ejde-41 363 27 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 363 28 ) ) PUNCT ejde-41 363 29 . . PUNCT ejde-41 364 1 we we PRON ejde-41 364 2 can can AUX ejde-41 364 3 derive derive VERB ejde-41 364 4 an an DET ejde-41 364 5 estimate estimate NOUN ejde-41 364 6 in in ADP ejde-41 364 7 the the DET ejde-41 364 8 region region NOUN ejde-41 364 9 { { PUNCT ejde-41 364 10 |y| |y| ADJ ejde-41 364 11 ≥ ≥ NOUN ejde-41 364 12 r r NOUN ejde-41 364 13 } } PUNCT ejde-41 364 14 too too ADV ejde-41 364 15 . . PUNCT ejde-41 365 1 similarly similarly ADV ejde-41 365 2 , , PUNCT ejde-41 365 3 we we PRON ejde-41 365 4 can can AUX ejde-41 365 5 obtain obtain VERB ejde-41 365 6 t t NOUN ejde-41 365 7 ≤ ≤ NUM ejde-41 365 8 ( ( PUNCT ejde-41 365 9 3− 3− NUM ejde-41 365 10 2r 2r NUM ejde-41 365 11 ) ) PUNCT ejde-41 365 12 ∫ ∫ PROPN ejde-41 365 13 r3 r3 PROPN ejde-41 365 14 ( ( PUNCT ejde-41 365 15 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 365 16 ) ) PUNCT ejde-41 365 17 ∗ ∗ NOUN ejde-41 365 18 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 |ψ(t)|2)|ψ(t)|2 NOUN ejde-41 365 19 dx+ dx+ NOUN ejde-41 365 20 cc cc ADP ejde-41 365 21 3−2r 3−2r PROPN ejde-41 365 22 s s NOUN ejde-41 365 23 1 1 NUM ejde-41 365 24 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 365 25 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 365 26 2s 2s NUM ejde-41 365 27 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 365 28 ) ) PUNCT ejde-41 365 29 . . PUNCT ejde-41 366 1 ( ( PUNCT ejde-41 366 2 4.9 4.9 NUM ejde-41 366 3 ) ) PUNCT ejde-41 366 4 by by ADP ejde-41 366 5 using use VERB ejde-41 366 6 ( ( PUNCT ejde-41 366 7 4.5)–(4.9 4.5)–(4.9 NOUN ejde-41 366 8 ) ) PUNCT ejde-41 366 9 , , PUNCT ejde-41 366 10 we we PRON ejde-41 366 11 obtain obtain VERB ejde-41 366 12 d d X ejde-41 366 13 dt dt X ejde-41 366 14 mϕr mϕr NOUN ejde-41 367 1 [ [ X ejde-41 367 2 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 367 3 ) ) PUNCT ejde-41 367 4 ] ] PUNCT ejde-41 368 1 ≤ ≤ NUM ejde-41 368 2 4s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 4s‖(−∆)s/2ψ(t)‖2l2 NOUN ejde-41 368 3 + + CCONJ ejde-41 368 4 cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r NOUN ejde-41 368 5 ) ) PUNCT ejde-41 368 6 + + CCONJ ejde-41 368 7 ( ( PUNCT ejde-41 368 8 3− 3− NUM ejde-41 368 9 2r 2r NUM ejde-41 368 10 ) ) PUNCT ejde-41 368 11 ∫ ∫ PROPN ejde-41 368 12 r3 r3 PROPN ejde-41 368 13 ( ( PUNCT ejde-41 368 14 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 368 15 ) ) PUNCT ejde-41 368 16 ∗ ∗ NOUN ejde-41 368 17 |ψ(t)|2)|u(t)|2 |ψ(t)|2)|u(t)|2 NOUN ejde-41 368 18 dx− dx− NUM ejde-41 368 19 6p 6p PROPN ejde-41 368 20 p+ p+ PART ejde-41 368 21 2 2 NUM ejde-41 368 22 ‖ψ(t)‖p+2 ‖ψ(t)‖p+2 ADJ ejde-41 368 23 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 368 24 + + CCONJ ejde-41 368 25 cc cc NOUN ejde-41 368 26 3p 3p NUM ejde-41 368 27 2s 2s NUM ejde-41 368 28 1 1 NUM ejde-41 368 29 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 368 30 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 368 31 2s 2s PROPN ejde-41 368 32 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 368 33 ) ) PUNCT ejde-41 369 1 + + CCONJ ejde-41 369 2 cc cc PROPN ejde-41 369 3 3−2r 3−2r NUM ejde-41 369 4 s s NOUN ejde-41 369 5 1 1 NUM ejde-41 369 6 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 369 7 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 369 8 2s 2s NUM ejde-41 369 9 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 369 10 ) ) PUNCT ejde-41 369 11 ≤ ≤ NUM ejde-41 369 12 4q(ψ(t 4q(ψ(t NUM ejde-41 369 13 ) ) PUNCT ejde-41 369 14 ) ) PUNCT ejde-41 370 1 + + CCONJ ejde-41 370 2 cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r cr−2s‖ψ(t)‖2l2(|x|≥r NOUN ejde-41 370 3 ) ) PUNCT ejde-41 371 1 + + NUM ejde-41 371 2 cc cc X ejde-41 371 3 3p 3p NUM ejde-41 371 4 2s 2s NUM ejde-41 371 5 1 1 NUM ejde-41 371 6 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 371 7 4s−(3−2s)p 4s−(3−2s)p NOUN ejde-41 371 8 2s 2s PROPN ejde-41 371 9 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 371 10 ) ) PUNCT ejde-41 372 1 + + CCONJ ejde-41 372 2 cc cc PROPN ejde-41 372 3 3−2r 3−2r NUM ejde-41 372 4 s s NOUN ejde-41 372 5 1 1 NUM ejde-41 372 6 ‖ψ(t)‖ ‖ψ(t)‖ NOUN ejde-41 372 7 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 372 8 2s 2s NUM ejde-41 372 9 l2(|x|≥r l2(|x|≥r PROPN ejde-41 372 10 ) ) PUNCT ejde-41 372 11 . . PUNCT ejde-41 373 1 ( ( PUNCT ejde-41 373 2 4.10 4.10 NUM ejde-41 373 3 ) ) PUNCT ejde-41 373 4 by by ADP ejde-41 373 5 lemma lemma PROPN ejde-41 373 6 4.1 4.1 NUM ejde-41 373 7 , , PUNCT ejde-41 373 8 we we PRON ejde-41 373 9 see see VERB ejde-41 373 10 that that PRON ejde-41 373 11 for for ADP ejde-41 373 12 any any DET ejde-41 373 13 η η PROPN ejde-41 373 14 > > X ejde-41 373 15 0 0 PROPN ejde-41 373 16 and and CCONJ ejde-41 373 17 any any DET ejde-41 373 18 r r NOUN ejde-41 373 19 > > X ejde-41 373 20 1 1 NUM ejde-41 373 21 , , PUNCT ejde-41 373 22 there there PRON ejde-41 373 23 exists exist VERB ejde-41 373 24 c c NOUN ejde-41 373 25 > > X ejde-41 373 26 0 0 PROPN ejde-41 373 27 independent independent ADJ ejde-41 373 28 of of ADP ejde-41 373 29 r r NOUN ejde-41 373 30 and and CCONJ ejde-41 373 31 c1 c1 PROPN ejde-41 373 32 such such ADJ ejde-41 373 33 that that PRON ejde-41 373 34 for for ADP ejde-41 373 35 any any DET ejde-41 373 36 t t NOUN ejde-41 373 37 ∈ ∈ PROPN ejde-41 374 1 [ [ X ejde-41 374 2 0 0 NUM ejde-41 374 3 , , PUNCT ejde-41 374 4 t0 t0 PROPN ejde-41 374 5 ] ] PUNCT ejde-41 374 6 with with ADP ejde-41 374 7 t0 t0 PROPN ejde-41 374 8 = = SYM ejde-41 374 9 ηr ηr PROPN ejde-41 374 10 cc2 cc2 PROPN ejde-41 374 11 1 1 NUM ejde-41 374 12 , , PUNCT ejde-41 374 13 we we PRON ejde-41 374 14 have have VERB ejde-41 374 15 d d NOUN ejde-41 374 16 dt dt ADP ejde-41 374 17 mϕr mϕr NOUN ejde-41 374 18 [ [ X ejde-41 374 19 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 374 20 ) ) PUNCT ejde-41 374 21 ] ] PUNCT ejde-41 374 22 ≤ ≤ NUM ejde-41 374 23 4q(ψ(t 4q(ψ(t NUM ejde-41 374 24 ) ) PUNCT ejde-41 374 25 ) ) PUNCT ejde-41 375 1 + + CCONJ ejde-41 375 2 cr−2s(η cr−2s(η PRON ejde-41 375 3 + + CCONJ ejde-41 375 4 or(1))2 or(1))2 VERB ejde-41 375 5 + + CCONJ ejde-41 375 6 cc cc NOUN ejde-41 375 7 3p 3p NUM ejde-41 375 8 2s 2s NUM ejde-41 375 9 1 1 NUM ejde-41 375 10 ( ( PUNCT ejde-41 375 11 η η PROPN ejde-41 375 12 + + PROPN ejde-41 375 13 or(1 or(1 NOUN ejde-41 375 14 ) ) PUNCT ejde-41 375 15 ) ) PUNCT ejde-41 375 16 4s−p(3−2s 4s−p(3−2s NOUN ejde-41 375 17 ) ) PUNCT ejde-41 376 1 2s 2s PROPN ejde-41 376 2 + + CCONJ ejde-41 376 3 cc cc PROPN ejde-41 376 4 3−2r 3−2r NUM ejde-41 376 5 s s NOUN ejde-41 376 6 1 1 NUM ejde-41 376 7 ( ( PUNCT ejde-41 376 8 η η PROPN ejde-41 376 9 + + PROPN ejde-41 376 10 or(1 or(1 NOUN ejde-41 376 11 ) ) PUNCT ejde-41 376 12 ) ) PUNCT ejde-41 376 13 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 377 1 2s 2s NOUN ejde-41 377 2 ≤ ≤ NUM ejde-41 377 3 −4δ −4δ PROPN ejde-41 377 4 + + CCONJ ejde-41 377 5 cr−2s(η2 cr−2s(η2 PROPN ejde-41 377 6 + + CCONJ ejde-41 377 7 or(1 or(1 NOUN ejde-41 377 8 ) ) PUNCT ejde-41 377 9 ) ) PUNCT ejde-41 378 1 + + CCONJ ejde-41 378 2 cc cc X ejde-41 378 3 3p 3p NUM ejde-41 378 4 2s 2s NUM ejde-41 378 5 1 1 NUM ejde-41 378 6 ( ( PUNCT ejde-41 378 7 η η PROPN ejde-41 378 8 4s−p(3−2s 4s−p(3−2s NOUN ejde-41 378 9 ) ) PUNCT ejde-41 379 1 2s 2s PROPN ejde-41 379 2 + + CCONJ ejde-41 379 3 or(1 or(1 NOUN ejde-41 379 4 ) ) PUNCT ejde-41 379 5 ) ) PUNCT ejde-41 380 1 + + CCONJ ejde-41 380 2 cc cc VERB ejde-41 380 3 3−2r 3−2r NUM ejde-41 380 4 s s NOUN ejde-41 380 5 1 1 NUM ejde-41 380 6 ( ( PUNCT ejde-41 380 7 η η PROPN ejde-41 380 8 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 380 9 2s 2s NOUN ejde-41 380 10 + + X ejde-41 380 11 or(1 or(1 NOUN ejde-41 380 12 ) ) PUNCT ejde-41 380 13 ) ) PUNCT ejde-41 380 14 . . PUNCT ejde-41 381 1 we we PRON ejde-41 381 2 first first ADV ejde-41 381 3 choose choose VERB ejde-41 381 4 η η PROPN ejde-41 381 5 > > X ejde-41 381 6 0 0 PUNCT ejde-41 382 1 small small ADJ ejde-41 382 2 enough enough ADV ejde-41 382 3 so so SCONJ ejde-41 382 4 that that SCONJ ejde-41 382 5 cc cc VERB ejde-41 382 6 3p 3p NUM ejde-41 382 7 2s 2s NUM ejde-41 382 8 1 1 NUM ejde-41 382 9 η η NOUN ejde-41 382 10 4s−p(3−2s 4s−p(3−2s NOUN ejde-41 382 11 ) ) PUNCT ejde-41 383 1 2s 2s PROPN ejde-41 383 2 + + CCONJ ejde-41 383 3 cc cc PROPN ejde-41 383 4 3−2r 3−2r NUM ejde-41 383 5 s s NOUN ejde-41 383 6 1 1 NUM ejde-41 383 7 η η NOUN ejde-41 383 8 4s+2r−3 4s+2r−3 NOUN ejde-41 383 9 2s 2s NOUN ejde-41 383 10 = = SYM ejde-41 383 11 −3δ −3δ PROPN ejde-41 383 12 > > PUNCT ejde-41 383 13 0 0 X ejde-41 383 14 . . PUNCT ejde-41 384 1 we we PRON ejde-41 384 2 next next ADV ejde-41 384 3 choose choose VERB ejde-41 384 4 r r NOUN ejde-41 384 5 > > SYM ejde-41 384 6 1 1 NUM ejde-41 384 7 large large ADJ ejde-41 384 8 enough enough ADV ejde-41 384 9 so so SCONJ ejde-41 384 10 that that SCONJ ejde-41 384 11 d d NOUN ejde-41 384 12 dt dt X ejde-41 384 13 mϕr mϕr NOUN ejde-41 384 14 [ [ X ejde-41 384 15 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 384 16 ) ) PUNCT ejde-41 384 17 ] ] PUNCT ejde-41 384 18 ≤ ≤ NUM ejde-41 384 19 −δ −δ ADP ejde-41 384 20 < < X ejde-41 384 21 0 0 NUM ejde-41 384 22 ( ( PUNCT ejde-41 384 23 4.11 4.11 NUM ejde-41 384 24 ) ) PUNCT ejde-41 384 25 14 14 NUM ejde-41 384 26 y. y. PROPN ejde-41 384 27 mo mo PROPN ejde-41 384 28 , , PUNCT ejde-41 384 29 m. m. PROPN ejde-41 384 30 zhu zhu PROPN ejde-41 384 31 , , PUNCT ejde-41 384 32 b. b. PROPN ejde-41 384 33 feng feng PROPN ejde-41 384 34 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 384 35 for for ADP ejde-41 384 36 any any DET ejde-41 384 37 t t NOUN ejde-41 384 38 ∈ ∈ PROPN ejde-41 385 1 [ [ X ejde-41 385 2 0 0 NUM ejde-41 385 3 , , PUNCT ejde-41 385 4 t0 t0 PROPN ejde-41 385 5 ] ] PUNCT ejde-41 385 6 with with ADP ejde-41 385 7 t0 t0 PROPN ejde-41 385 8 = = SYM ejde-41 385 9 ηr ηr PROPN ejde-41 385 10 cc2 cc2 PROPN ejde-41 385 11 1 1 NUM ejde-41 385 12 . . PUNCT ejde-41 386 1 note note VERB ejde-41 386 2 that that SCONJ ejde-41 386 3 η η PROPN ejde-41 386 4 > > X ejde-41 386 5 0 0 NUM ejde-41 386 6 is be AUX ejde-41 386 7 fixed fix VERB ejde-41 386 8 , , PUNCT ejde-41 386 9 so so SCONJ ejde-41 386 10 we we PRON ejde-41 386 11 can can AUX ejde-41 386 12 choose choose VERB ejde-41 386 13 r r NOUN ejde-41 386 14 > > SYM ejde-41 386 15 1 1 NUM ejde-41 386 16 large large ADJ ejde-41 386 17 enough enough ADV ejde-41 386 18 such such ADJ ejde-41 386 19 that that SCONJ ejde-41 386 20 t0 t0 PROPN ejde-41 386 21 is be AUX ejde-41 386 22 as as ADV ejde-41 386 23 large large ADJ ejde-41 386 24 as as SCONJ ejde-41 386 25 we we PRON ejde-41 386 26 want want VERB ejde-41 386 27 . . PUNCT ejde-41 387 1 from from ADP ejde-41 387 2 ( ( PUNCT ejde-41 387 3 4.11 4.11 NUM ejde-41 387 4 ) ) PUNCT ejde-41 387 5 it it PRON ejde-41 387 6 follows follow VERB ejde-41 387 7 that that DET ejde-41 387 8 mϕr mϕr NOUN ejde-41 387 9 [ [ X ejde-41 387 10 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 387 11 ) ) PUNCT ejde-41 387 12 ] ] PUNCT ejde-41 388 1 ≤ ≤ NUM ejde-41 388 2 −δt −δt NOUN ejde-41 388 3 , , PUNCT ejde-41 388 4 for for ADP ejde-41 388 5 all all DET ejde-41 388 6 t t NOUN ejde-41 388 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 388 8 [ [ X ejde-41 388 9 t0 t0 PROPN ejde-41 388 10 , , PUNCT ejde-41 388 11 t0 t0 PROPN ejde-41 388 12 ] ] PUNCT ejde-41 388 13 with with ADP ejde-41 388 14 some some DET ejde-41 388 15 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 388 16 large large ADJ ejde-41 388 17 t0 t0 PROPN ejde-41 388 18 ∈ ∈ PROPN ejde-41 388 19 [ [ X ejde-41 388 20 0 0 NUM ejde-41 388 21 , , PUNCT ejde-41 388 22 t0 t0 PROPN ejde-41 388 23 ] ] PUNCT ejde-41 388 24 . . PUNCT ejde-41 389 1 on on ADP ejde-41 389 2 the the DET ejde-41 389 3 other other ADJ ejde-41 389 4 hand hand NOUN ejde-41 389 5 , , PUNCT ejde-41 389 6 by by ADP ejde-41 389 7 lemma lemma PROPN ejde-41 389 8 3.1 3.1 NUM ejde-41 389 9 and and CCONJ ejde-41 389 10 the the DET ejde-41 389 11 conservation conservation NOUN ejde-41 389 12 of of ADP ejde-41 389 13 mass mass PROPN ejde-41 389 14 , , PUNCT ejde-41 389 15 we we PRON ejde-41 389 16 have have VERB ejde-41 389 17 for for ADP ejde-41 389 18 any any DET ejde-41 389 19 t t NOUN ejde-41 389 20 ∈ ∈ PROPN ejde-41 390 1 [ [ X ejde-41 390 2 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-41 390 3 ) ) PUNCT ejde-41 390 4 , , PUNCT ejde-41 390 5 |mϕr |mϕr ADP ejde-41 390 6 [ [ X ejde-41 390 7 ψ(t)]| ψ(t)]| PRON ejde-41 390 8 ≤ ≤ NUM ejde-41 390 9 cc(ϕr cc(ϕr PROPN ejde-41 390 10 ) ) PUNCT ejde-41 390 11 ( ( PUNCT ejde-41 391 1 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 391 2 + + CCONJ ejde-41 391 3 ‖ψ(t)‖l2‖|∇|1/2ψ(t)‖l2 ‖ψ(t)‖l2‖|∇|1/2ψ(t)‖l2 ADJ ejde-41 391 4 ) ) PUNCT ejde-41 391 5 ≤ ≤ NUM ejde-41 391 6 cc(ϕr cc(ϕr PROPN ejde-41 391 7 ) ) PUNCT ejde-41 391 8 ( ( PUNCT ejde-41 391 9 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 391 10 + + NUM ejde-41 391 11 ‖ψ(t)‖2l2 ‖ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 391 12 ) ) PUNCT ejde-41 391 13 ≤ ≤ NOUN ejde-41 391 14 cc(ϕr cc(ϕr PROPN ejde-41 391 15 ) ) PUNCT ejde-41 391 16 ( ( PUNCT ejde-41 391 17 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 ‖|∇|1/2ψ(t)‖2l2 PROPN ejde-41 392 1 + + NUM ejde-41 392 2 1 1 NUM ejde-41 392 3 ) ) PUNCT ejde-41 392 4 . . PUNCT ejde-41 393 1 by by ADP ejde-41 393 2 interpolating interpolate VERB ejde-41 393 3 between between ADP ejde-41 393 4 l2 l2 NOUN ejde-41 393 5 and and CCONJ ejde-41 393 6 ḣs ḣs PROPN ejde-41 393 7 , , PUNCT ejde-41 393 8 we we PRON ejde-41 393 9 obtain obtain VERB ejde-41 393 10 for for ADP ejde-41 393 11 any any DET ejde-41 393 12 t t NOUN ejde-41 393 13 ∈ ∈ PROPN ejde-41 393 14 [ [ X ejde-41 393 15 t0 t0 PROPN ejde-41 393 16 , , PUNCT ejde-41 393 17 t0 t0 PROPN ejde-41 393 18 ] ] PUNCT ejde-41 393 19 δt δt ADP ejde-41 393 20 ≤ ≤ NOUN ejde-41 393 21 −mϕr −mϕr NOUN ejde-41 393 22 [ [ X ejde-41 393 23 ψ(t ψ(t X ejde-41 393 24 ) ) PUNCT ejde-41 393 25 ] ] PUNCT ejde-41 394 1 = = PUNCT ejde-41 394 2 |mϕr |mϕr ADV ejde-41 394 3 [ [ X ejde-41 394 4 ψ(t)]| ψ(t)]| PRON ejde-41 394 5 ≤ ≤ NUM ejde-41 394 6 cc(ϕr cc(ϕr PROPN ejde-41 394 7 ) ) PUNCT ejde-41 394 8 ( ( PUNCT ejde-41 394 9 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖ ‖(−∆)s/2ψ(t)‖ PROPN ejde-41 394 10 1 1 NUM ejde-41 394 11 s s NOUN ejde-41 394 12 l2 l2 NOUN ejde-41 394 13 + + CCONJ ejde-41 394 14 1 1 NUM ejde-41 394 15 ) ) PUNCT ejde-41 394 16 . . PUNCT ejde-41 395 1 this this PRON ejde-41 395 2 implies imply VERB ejde-41 395 3 that that SCONJ ejde-41 395 4 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖l2 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖l2 PROPN ejde-41 395 5 ≥ ≥ NOUN ejde-41 395 6 cts ct NOUN ejde-41 395 7 ( ( PUNCT ejde-41 395 8 4.12 4.12 NUM ejde-41 395 9 ) ) PUNCT ejde-41 395 10 for for ADP ejde-41 395 11 all all DET ejde-41 395 12 t t NOUN ejde-41 395 13 ∈ ∈ PROPN ejde-41 396 1 [ [ X ejde-41 396 2 t1 t1 NOUN ejde-41 396 3 , , PUNCT ejde-41 396 4 t0 t0 PROPN ejde-41 396 5 ] ] PUNCT ejde-41 396 6 with with ADP ejde-41 396 7 some some DET ejde-41 396 8 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 396 9 large large ADJ ejde-41 396 10 t1 t1 NOUN ejde-41 396 11 ∈ ∈ PROPN ejde-41 396 12 [ [ X ejde-41 396 13 t0 t0 PROPN ejde-41 396 14 , , PUNCT ejde-41 396 15 t0 t0 PROPN ejde-41 396 16 ] ] PUNCT ejde-41 396 17 . . PUNCT ejde-41 397 1 taking take VERB ejde-41 397 2 t t PRON ejde-41 397 3 close close ADV ejde-41 397 4 to to ADP ejde-41 397 5 t0 t0 NOUN ejde-41 397 6 = = SYM ejde-41 397 7 ηr ηr PROPN ejde-41 397 8 cc2 cc2 PROPN ejde-41 397 9 1 1 NUM ejde-41 397 10 , , PUNCT ejde-41 397 11 we we PRON ejde-41 397 12 see see VERB ejde-41 397 13 that that PRON ejde-41 397 14 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖l2 ‖(−∆)s/2ψ(t)‖l2 VERB ejde-41 397 15 →∞ →∞ X ejde-41 397 16 as as ADP ejde-41 397 17 r→∞. r→∞. PUNCT ejde-41 397 18 taking take VERB ejde-41 397 19 r r PRON ejde-41 397 20 > > SYM ejde-41 397 21 1 1 NUM ejde-41 397 22 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 397 23 large large ADJ ejde-41 397 24 , , PUNCT ejde-41 397 25 we we PRON ejde-41 397 26 have have VERB ejde-41 397 27 a a DET ejde-41 397 28 contradiction contradiction NOUN ejde-41 397 29 with with ADP ejde-41 397 30 ( ( PUNCT ejde-41 397 31 4.1 4.1 NUM ejde-41 397 32 ) ) PUNCT ejde-41 397 33 . . PUNCT ejde-41 398 1 the the DET ejde-41 398 2 proof proof NOUN ejde-41 398 3 is be AUX ejde-41 398 4 complete complete ADJ ejde-41 398 5 . . PUNCT ejde-41 399 1 � � PROPN ejde-41 399 2 5 5 NUM ejde-41 399 3 . . PUNCT ejde-41 399 4 strong strong ADJ ejde-41 399 5 instability instability NOUN ejde-41 399 6 of of ADP ejde-41 399 7 standing standing ADJ ejde-41 399 8 waves wave NOUN ejde-41 399 9 in in ADP ejde-41 399 10 this this DET ejde-41 399 11 section section NOUN ejde-41 399 12 , , PUNCT ejde-41 399 13 we we PRON ejde-41 399 14 prove prove VERB ejde-41 399 15 theorem theorem ADJ ejde-41 399 16 1.2 1.2 NUM ejde-41 399 17 . . PUNCT ejde-41 400 1 let let VERB ejde-41 400 2 us we PRON ejde-41 400 3 start start VERB ejde-41 400 4 with with ADP ejde-41 400 5 the the DET ejde-41 400 6 following follow VERB ejde-41 400 7 characterization characterization NOUN ejde-41 400 8 of of ADP ejde-41 400 9 the the DET ejde-41 400 10 ground ground NOUN ejde-41 400 11 state state NOUN ejde-41 400 12 related relate VERB ejde-41 400 13 to to ADP ejde-41 400 14 ( ( PUNCT ejde-41 400 15 1.12 1.12 NUM ejde-41 400 16 ) ) PUNCT ejde-41 400 17 . . PUNCT ejde-41 401 1 proposition proposition NOUN ejde-41 401 2 5.1 5.1 NUM ejde-41 401 3 . . PUNCT ejde-41 402 1 let let VERB ejde-41 402 2 ω ω PROPN ejde-41 402 3 > > X ejde-41 402 4 0 0 PROPN ejde-41 402 5 , , PUNCT ejde-41 402 6 2s 2s PROPN ejde-41 402 7 + + X ejde-41 402 8 2r 2r NUM ejde-41 402 9 > > SYM ejde-41 402 10 3 3 NUM ejde-41 402 11 and and CCONJ ejde-41 402 12 4s 4s NUM ejde-41 402 13 3 3 NUM ejde-41 402 14 ≤ ≤ NOUN ejde-41 403 1 p p NOUN ejde-41 403 2 < < X ejde-41 403 3 4s 4s NUM ejde-41 403 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 403 5 . . PUNCT ejde-41 404 1 then then ADV ejde-41 404 2 u u PROPN ejde-41 404 3 is be AUX ejde-41 404 4 the the DET ejde-41 404 5 ground ground NOUN ejde-41 404 6 state state NOUN ejde-41 404 7 related relate VERB ejde-41 404 8 to to ADP ejde-41 404 9 ( ( PUNCT ejde-41 404 10 1.12 1.12 NUM ejde-41 404 11 ) ) PUNCT ejde-41 404 12 if if SCONJ ejde-41 404 13 and and CCONJ ejde-41 404 14 only only ADV ejde-41 404 15 if if SCONJ ejde-41 404 16 u u PRON ejde-41 404 17 solves solve VERB ejde-41 404 18 the the DET ejde-41 404 19 minimization minimization NOUN ejde-41 404 20 problem problem NOUN ejde-41 404 21 d(ω d(ω PROPN ejde-41 404 22 ) ) PUNCT ejde-41 404 23 = = SYM ejde-41 404 24 inf{sω(v inf{sω(v PROPN ejde-41 404 25 ) ) PUNCT ejde-41 404 26 : : PUNCT ejde-41 405 1 v v X ejde-41 405 2 ∈ ∈ PROPN ejde-41 405 3 hs\{0},kω(v hs\{0},kω(v NOUN ejde-41 405 4 ) ) PUNCT ejde-41 405 5 = = PUNCT ejde-41 405 6 0 0 NUM ejde-41 405 7 } } PUNCT ejde-41 405 8 . . PUNCT ejde-41 406 1 ( ( PUNCT ejde-41 406 2 5.1 5.1 NUM ejde-41 406 3 ) ) PUNCT ejde-41 406 4 to to PART ejde-41 406 5 solve solve VERB ejde-41 406 6 this this DET ejde-41 406 7 minimization minimization NOUN ejde-41 406 8 problem problem NOUN ejde-41 406 9 , , PUNCT ejde-41 406 10 we we PRON ejde-41 406 11 consider consider VERB ejde-41 406 12 the the DET ejde-41 406 13 minimization minimization NOUN ejde-41 406 14 problem problem NOUN ejde-41 406 15 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 406 16 ) ) PUNCT ejde-41 407 1 = = SYM ejde-41 407 2 inf{s̃ω(v inf{s̃ω(v PROPN ejde-41 407 3 ) ) PUNCT ejde-41 407 4 : : PUNCT ejde-41 407 5 v v X ejde-41 407 6 ∈ ∈ PROPN ejde-41 407 7 hs\{0},kω(v hs\{0},kω(v NOUN ejde-41 407 8 ) ) PUNCT ejde-41 407 9 ≤ ≤ NOUN ejde-41 407 10 0 0 NUM ejde-41 407 11 } } PUNCT ejde-41 407 12 , , PUNCT ejde-41 407 13 ( ( PUNCT ejde-41 407 14 5.2 5.2 NUM ejde-41 407 15 ) ) PUNCT ejde-41 407 16 where where SCONJ ejde-41 407 17 s̃ω(v s̃ω(v PROPN ejde-41 407 18 ) ) PUNCT ejde-41 407 19 : : PUNCT ejde-41 408 1 = = PUNCT ejde-41 408 2 sω(v)− sω(v)− PROPN ejde-41 408 3 kω(v kω(v PROPN ejde-41 408 4 ) ) PUNCT ejde-41 408 5 4s+ 4s+ NUM ejde-41 409 1 2r 2r NUM ejde-41 409 2 − − NOUN ejde-41 409 3 3 3 NUM ejde-41 409 4 = = SYM ejde-41 409 5 ωs ωs ADP ejde-41 409 6 4s+ 4s+ NUM ejde-41 409 7 2r 2r NUM ejde-41 410 1 − − NOUN ejde-41 410 2 3 3 NUM ejde-41 410 3 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 411 1 + + CCONJ ejde-41 411 2 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 412 1 r)− r)− PROPN ejde-41 412 2 2s 2s PROPN ejde-41 412 3 ( ( PUNCT ejde-41 412 4 p+ p+ PROPN ejde-41 412 5 2)(4s+ 2)(4s+ NUM ejde-41 412 6 2r 2r NUM ejde-41 412 7 − − NOUN ejde-41 412 8 3 3 X ejde-41 412 9 ) ) PUNCT ejde-41 412 10 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 VERB ejde-41 412 11 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 412 12 . . PUNCT ejde-41 413 1 ( ( PUNCT ejde-41 413 2 5.3 5.3 NUM ejde-41 413 3 ) ) PUNCT ejde-41 413 4 if if SCONJ ejde-41 413 5 kω(v kω(v NOUN ejde-41 413 6 ) ) PUNCT ejde-41 413 7 < < X ejde-41 413 8 0 0 NUM ejde-41 413 9 , , PUNCT ejde-41 413 10 then then ADV ejde-41 413 11 kω(λv kω(λv PROPN ejde-41 413 12 ) ) PUNCT ejde-41 414 1 = = SYM ejde-41 415 1 4s+ 4s+ NUM ejde-41 416 1 2r 2r NUM ejde-41 416 2 − − NOUN ejde-41 416 3 3 3 NUM ejde-41 416 4 2 2 NUM ejde-41 416 5 λ2‖v‖2 λ2‖v‖2 NOUN ejde-41 416 6 ḣs ḣs NOUN ejde-41 416 7 + + CCONJ ejde-41 416 8 4s+ 4s+ NUM ejde-41 417 1 2r 2r NUM ejde-41 417 2 − − NOUN ejde-41 417 3 3 3 NUM ejde-41 417 4 4 4 NUM ejde-41 417 5 λ4 λ4 ADJ ejde-41 417 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 417 7 r3 r3 PROPN ejde-41 417 8 ( ( PUNCT ejde-41 417 9 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 417 10 ) ) PUNCT ejde-41 417 11 ∗ ∗ NOUN ejde-41 417 12 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx ADJ ejde-41 417 13 + + NUM ejde-41 417 14 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 418 1 2r 2r NUM ejde-41 418 2 − − NOUN ejde-41 418 3 3 3 NUM ejde-41 418 4 ) ) PUNCT ejde-41 418 5 2 2 NUM ejde-41 419 1 λ2‖v‖2l2 λ2‖v‖2l2 PROPN ejde-41 419 2 − − PROPN ejde-41 419 3 ( ( PUNCT ejde-41 419 4 s+ s+ NUM ejde-41 419 5 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 419 6 2)− 2)− NUM ejde-41 419 7 3 3 NUM ejde-41 419 8 p+ p+ NOUN ejde-41 419 9 2 2 NUM ejde-41 419 10 λp+2‖v‖p+2 λp+2‖v‖p+2 NOUN ejde-41 419 11 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 419 12 > > X ejde-41 419 13 0 0 NUM ejde-41 419 14 , , PUNCT ejde-41 419 15 for for ADP ejde-41 419 16 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 419 17 small small ADJ ejde-41 419 18 λ λ X ejde-41 419 19 > > X ejde-41 419 20 0 0 NUM ejde-41 419 21 . . PUNCT ejde-41 420 1 thus thus ADV ejde-41 420 2 , , PUNCT ejde-41 420 3 there there PRON ejde-41 420 4 exists exist VERB ejde-41 420 5 λ0 λ0 NOUN ejde-41 420 6 ∈ ∈ NOUN ejde-41 420 7 ( ( PUNCT ejde-41 420 8 0 0 NUM ejde-41 420 9 , , PUNCT ejde-41 420 10 1 1 NUM ejde-41 420 11 ) ) PUNCT ejde-41 420 12 such such ADJ ejde-41 420 13 that that SCONJ ejde-41 420 14 kω(λ0v kω(λ0v NOUN ejde-41 420 15 ) ) PUNCT ejde-41 421 1 = = PUNCT ejde-41 421 2 0 0 X ejde-41 421 3 . . PUNCT ejde-41 422 1 it it PRON ejde-41 422 2 follows follow VERB ejde-41 422 3 that that SCONJ ejde-41 422 4 s̃ω(λ0v s̃ω(λ0v PROPN ejde-41 422 5 ) ) PUNCT ejde-41 422 6 = = PUNCT ejde-41 422 7 ωs ωs ADP ejde-41 422 8 4s+ 4s+ NUM ejde-41 422 9 2r 2r NUM ejde-41 422 10 − − NOUN ejde-41 422 11 3 3 NUM ejde-41 422 12 λ2 λ2 NOUN ejde-41 422 13 0‖v‖2l2 0‖v‖2l2 NUM ejde-41 423 1 + + CCONJ ejde-41 423 2 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 423 3 r)− r)− PROPN ejde-41 423 4 2s 2s PROPN ejde-41 423 5 ( ( PUNCT ejde-41 423 6 p+ p+ PROPN ejde-41 423 7 2)(4s+ 2)(4s+ NUM ejde-41 423 8 2r 2r NUM ejde-41 424 1 − − NOUN ejde-41 424 2 3 3 X ejde-41 424 3 ) ) PUNCT ejde-41 424 4 λp+2 λp+2 NOUN ejde-41 424 5 0 0 PUNCT ejde-41 425 1 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 ADJ ejde-41 425 2 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 425 3 < < X ejde-41 425 4 s̃ω(v s̃ω(v PROPN ejde-41 425 5 ) ) PUNCT ejde-41 425 6 , , PUNCT ejde-41 425 7 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 425 8 blow blow VERB ejde-41 425 9 - - PUNCT ejde-41 425 10 up up ADP ejde-41 425 11 criteria criterion NOUN ejde-41 425 12 and and CCONJ ejde-41 425 13 instability instability NOUN ejde-41 425 14 of of ADP ejde-41 425 15 standing standing ADJ ejde-41 425 16 waves wave NOUN ejde-41 425 17 15 15 NUM ejde-41 425 18 this this PRON ejde-41 425 19 implies imply VERB ejde-41 425 20 that that SCONJ ejde-41 425 21 d̃(ω d̃(ω NOUN ejde-41 425 22 ) ) PUNCT ejde-41 426 1 = = SYM ejde-41 426 2 inf{s̃ω(v inf{s̃ω(v PROPN ejde-41 426 3 ) ) PUNCT ejde-41 426 4 : : PUNCT ejde-41 426 5 v v X ejde-41 426 6 ∈ ∈ PROPN ejde-41 426 7 hs\{0},kω(v hs\{0},kω(v NOUN ejde-41 426 8 ) ) PUNCT ejde-41 426 9 = = PUNCT ejde-41 426 10 0 0 NUM ejde-41 426 11 } } PUNCT ejde-41 426 12 . . PUNCT ejde-41 427 1 ( ( PUNCT ejde-41 427 2 5.4 5.4 NUM ejde-41 427 3 ) ) PUNCT ejde-41 427 4 in in ADP ejde-41 427 5 following follow VERB ejde-41 427 6 lemma lemma PROPN ejde-41 427 7 , , PUNCT ejde-41 427 8 we we PRON ejde-41 427 9 will will AUX ejde-41 427 10 solve solve VERB ejde-41 427 11 the the DET ejde-41 427 12 minimizing minimizing NOUN ejde-41 427 13 problem problem NOUN ejde-41 427 14 ( ( PUNCT ejde-41 427 15 5.2 5.2 NUM ejde-41 427 16 ) ) PUNCT ejde-41 427 17 . . PUNCT ejde-41 428 1 lemma lemma PROPN ejde-41 428 2 5.2 5.2 NUM ejde-41 428 3 . . PUNCT ejde-41 429 1 let let VERB ejde-41 429 2 ω ω PROPN ejde-41 429 3 > > X ejde-41 429 4 0 0 PROPN ejde-41 429 5 , , PUNCT ejde-41 429 6 2s 2s PROPN ejde-41 429 7 + + X ejde-41 429 8 2r 2r NUM ejde-41 429 9 > > SYM ejde-41 429 10 3 3 NUM ejde-41 429 11 and and CCONJ ejde-41 429 12 4s 4s NUM ejde-41 429 13 3 3 NUM ejde-41 429 14 ≤ ≤ NOUN ejde-41 429 15 p p NOUN ejde-41 429 16 < < X ejde-41 429 17 4s 4s NUM ejde-41 429 18 3−2s 3−2s NUM ejde-41 429 19 . . PUNCT ejde-41 430 1 then then ADV ejde-41 430 2 there there PRON ejde-41 430 3 exists exist VERB ejde-41 430 4 u u NOUN ejde-41 430 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 430 6 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 430 7 } } PUNCT ejde-41 430 8 , , PUNCT ejde-41 430 9 such such ADJ ejde-41 430 10 that that PRON ejde-41 430 11 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 430 12 ) ) PUNCT ejde-41 430 13 = = SYM ejde-41 430 14 0 0 NUM ejde-41 430 15 and and CCONJ ejde-41 430 16 s̃ω(u s̃ω(u VERB ejde-41 430 17 ) ) PUNCT ejde-41 430 18 = = SYM ejde-41 430 19 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 430 20 ) ) PUNCT ejde-41 430 21 . . PUNCT ejde-41 431 1 proof proof NOUN ejde-41 431 2 . . PUNCT ejde-41 432 1 we we PRON ejde-41 432 2 first first ADV ejde-41 432 3 show show VERB ejde-41 432 4 that that SCONJ ejde-41 432 5 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 432 6 ) ) PUNCT ejde-41 432 7 > > X ejde-41 433 1 0 0 X ejde-41 433 2 . . PUNCT ejde-41 433 3 from from ADP ejde-41 433 4 kω(v kω(v PROPN ejde-41 433 5 ) ) PUNCT ejde-41 433 6 ≤ ≤ NOUN ejde-41 433 7 0 0 NUM ejde-41 433 8 , , PUNCT ejde-41 433 9 we we PRON ejde-41 433 10 have have VERB ejde-41 433 11 4s+ 4s+ NUM ejde-41 433 12 2r 2r NUM ejde-41 434 1 − − NOUN ejde-41 434 2 3 3 NUM ejde-41 434 3 2 2 NUM ejde-41 434 4 ‖v‖2 ‖v‖2 NOUN ejde-41 434 5 ḣs ḣs NOUN ejde-41 434 6 + + NUM ejde-41 434 7 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 434 8 2r 2r NUM ejde-41 434 9 − − NOUN ejde-41 434 10 3 3 NUM ejde-41 434 11 ) ) PUNCT ejde-41 434 12 2 2 NUM ejde-41 434 13 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 435 1 + + CCONJ ejde-41 435 2 4s+ 4s+ NUM ejde-41 435 3 2r 2r NUM ejde-41 435 4 − − NOUN ejde-41 435 5 3 3 NUM ejde-41 435 6 4 4 NUM ejde-41 435 7 ∫ ∫ NOUN ejde-41 435 8 r3 r3 PROPN ejde-41 435 9 ( ( PUNCT ejde-41 435 10 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 435 11 ) ) PUNCT ejde-41 435 12 ∗ ∗ NOUN ejde-41 435 13 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx ADJ ejde-41 435 14 ≤ ≤ NOUN ejde-41 435 15 ( ( PUNCT ejde-41 435 16 s+ s+ NUM ejde-41 435 17 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 435 18 2)− 2)− NUM ejde-41 435 19 3 3 NUM ejde-41 435 20 p+ p+ NOUN ejde-41 435 21 2 2 NUM ejde-41 435 22 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 ADJ ejde-41 435 23 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 435 24 , , PUNCT ejde-41 435 25 which which PRON ejde-41 435 26 implies imply VERB ejde-41 435 27 1 1 NUM ejde-41 435 28 2 2 NUM ejde-41 435 29 hω(v hω(v X ejde-41 435 30 ) ) PUNCT ejde-41 435 31 ≤ ≤ NOUN ejde-41 435 32 ( ( PUNCT ejde-41 435 33 s+ s+ NUM ejde-41 435 34 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 435 35 2)− 2)− NUM ejde-41 435 36 3 3 NUM ejde-41 435 37 ( ( PUNCT ejde-41 435 38 p+ p+ NOUN ejde-41 435 39 2)(2s+ 2)(2s+ NOUN ejde-41 435 40 2r 2r NUM ejde-41 435 41 − − NOUN ejde-41 435 42 3 3 NUM ejde-41 435 43 ) ) PUNCT ejde-41 435 44 hω(v hω(v X ejde-41 435 45 ) ) PUNCT ejde-41 436 1 p p X ejde-41 436 2 2 2 NUM ejde-41 436 3 +1 +1 PROPN ejde-41 436 4 , , PUNCT ejde-41 436 5 where where SCONJ ejde-41 436 6 hω(v hω(v ADJ ejde-41 436 7 ) ) PUNCT ejde-41 436 8 = = SYM ejde-41 436 9 ‖v‖2 ‖v‖2 NOUN ejde-41 436 10 ḣs ḣs NOUN ejde-41 436 11 + + CCONJ ejde-41 436 12 ω‖v‖2l2 ω‖v‖2l2 PROPN ejde-41 436 13 . . PUNCT ejde-41 437 1 thus thus ADV ejde-41 437 2 , , PUNCT ejde-41 437 3 there there PRON ejde-41 437 4 exists exist VERB ejde-41 437 5 c0 c0 PROPN ejde-41 437 6 > > X ejde-41 437 7 0 0 NUM ejde-41 437 8 such such ADJ ejde-41 437 9 that that SCONJ ejde-41 437 10 hω(v hω(v ADV ejde-41 437 11 ) ) PUNCT ejde-41 437 12 > > X ejde-41 438 1 c0 c0 PROPN ejde-41 438 2 for for ADP ejde-41 438 3 all all DET ejde-41 438 4 kω(v kω(v NOUN ejde-41 438 5 ) ) PUNCT ejde-41 438 6 ≤ ≤ NOUN ejde-41 438 7 0 0 NUM ejde-41 438 8 . . PUNCT ejde-41 439 1 this this PRON ejde-41 439 2 implies imply VERB ejde-41 439 3 that that SCONJ ejde-41 439 4 there there PRON ejde-41 439 5 exists exist VERB ejde-41 439 6 c1 c1 PROPN ejde-41 439 7 > > X ejde-41 439 8 0 0 PUNCT ejde-41 440 1 such such ADJ ejde-41 440 2 that that DET ejde-41 440 3 s̃ω(v s̃ω(v PROPN ejde-41 440 4 ) ) PUNCT ejde-41 440 5 ≥ ≥ NOUN ejde-41 440 6 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 441 1 r)− r)− PROPN ejde-41 441 2 2s 2s NUM ejde-41 441 3 2(4s+ 2(4s+ NUM ejde-41 441 4 2r 2r NUM ejde-41 441 5 − − NOUN ejde-41 441 6 3 3 NUM ejde-41 441 7 ) ) PUNCT ejde-41 441 8 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 PROPN ejde-41 441 9 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 441 10 ≥ ≥ NOUN ejde-41 441 11 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 442 1 r)− r)− PROPN ejde-41 442 2 2s 2s PROPN ejde-41 442 3 ( ( PUNCT ejde-41 442 4 p+ p+ PROPN ejde-41 442 5 2)(4s+ 2)(4s+ NUM ejde-41 442 6 2r 2r NUM ejde-41 442 7 − − NOUN ejde-41 442 8 3 3 NUM ejde-41 442 9 ) ) PUNCT ejde-41 442 10 ( ( PUNCT ejde-41 442 11 2s+ 2s+ NUM ejde-41 442 12 2r 2r NUM ejde-41 442 13 − − NOUN ejde-41 442 14 3 3 NUM ejde-41 442 15 ) ) PUNCT ejde-41 442 16 ( ( PUNCT ejde-41 442 17 s+ s+ NUM ejde-41 442 18 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 442 19 2)− 2)− NUM ejde-41 442 20 3 3 NUM ejde-41 442 21 hω(v hω(v X ejde-41 442 22 ) ) PUNCT ejde-41 442 23 ≥ ≥ PROPN ejde-41 442 24 c1 c1 NOUN ejde-41 442 25 . . PUNCT ejde-41 443 1 taking take VERB ejde-41 443 2 the the DET ejde-41 443 3 infimum infimum NOUN ejde-41 443 4 over over ADP ejde-41 443 5 v v NOUN ejde-41 443 6 , , PUNCT ejde-41 443 7 we we PRON ejde-41 443 8 obtain obtain VERB ejde-41 443 9 d̃(ω d̃(ω NOUN ejde-41 443 10 ) ) PUNCT ejde-41 443 11 > > X ejde-41 444 1 0 0 X ejde-41 444 2 . . PUNCT ejde-41 445 1 we we PRON ejde-41 445 2 now now ADV ejde-41 445 3 show show VERB ejde-41 445 4 that that SCONJ ejde-41 445 5 the the DET ejde-41 445 6 minimizing minimizing NOUN ejde-41 445 7 problem problem NOUN ejde-41 445 8 ( ( PUNCT ejde-41 445 9 5.2 5.2 NUM ejde-41 445 10 ) ) PUNCT ejde-41 445 11 attains attain VERB ejde-41 445 12 its its PRON ejde-41 445 13 minimum minimum NOUN ejde-41 445 14 . . PUNCT ejde-41 446 1 let let AUX ejde-41 446 2 { { PUNCT ejde-41 446 3 vn vn PART ejde-41 446 4 } } PUNCT ejde-41 446 5 be be AUX ejde-41 446 6 a a DET ejde-41 446 7 minimizing minimize VERB ejde-41 446 8 sequence sequence NOUN ejde-41 446 9 for for ADP ejde-41 446 10 ( ( PUNCT ejde-41 446 11 5.2 5.2 NUM ejde-41 446 12 ) ) PUNCT ejde-41 446 13 , , PUNCT ejde-41 446 14 i.e. i.e. X ejde-41 446 15 , , PUNCT ejde-41 446 16 { { PUNCT ejde-41 446 17 vn vn NOUN ejde-41 446 18 } } PUNCT ejde-41 446 19 ⊆ ⊆ NUM ejde-41 446 20 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 446 21 } } PUNCT ejde-41 446 22 , , PUNCT ejde-41 446 23 kω(vn kω(vn PROPN ejde-41 446 24 ) ) PUNCT ejde-41 446 25 ≤ ≤ NOUN ejde-41 446 26 0 0 NUM ejde-41 446 27 and and CCONJ ejde-41 446 28 s̃ω(vn)→ s̃ω(vn)→ PROPN ejde-41 446 29 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 446 30 ) ) PUNCT ejde-41 446 31 as as ADP ejde-41 446 32 n→∞. n→∞. ADJ ejde-41 446 33 thus thus ADV ejde-41 446 34 , , PUNCT ejde-41 446 35 there there PRON ejde-41 446 36 exists exist VERB ejde-41 446 37 c c NOUN ejde-41 446 38 > > X ejde-41 446 39 0 0 NUM ejde-41 447 1 such such ADJ ejde-41 447 2 that that SCONJ ejde-41 447 3 ‖vn‖2l2 ‖vn‖2l2 PROPN ejde-41 447 4 + + CCONJ ejde-41 447 5 ‖vn‖p+2 ‖vn‖p+2 CCONJ ejde-41 447 6 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 447 7 ≤ ≤ ADJ ejde-41 447 8 c. c. NOUN ejde-41 447 9 ( ( PUNCT ejde-41 447 10 5.5 5.5 NUM ejde-41 447 11 ) ) PUNCT ejde-41 447 12 this this PRON ejde-41 447 13 , , PUNCT ejde-41 447 14 together together ADV ejde-41 447 15 with with ADP ejde-41 447 16 kω(vn kω(vn PROPN ejde-41 447 17 ) ) PUNCT ejde-41 447 18 ≤ ≤ NOUN ejde-41 447 19 0 0 NUM ejde-41 447 20 implies imply VERB ejde-41 447 21 that that SCONJ ejde-41 447 22 { { PUNCT ejde-41 447 23 vn vn NOUN ejde-41 447 24 } } PUNCT ejde-41 447 25 is be AUX ejde-41 447 26 bounded bound VERB ejde-41 447 27 in in ADP ejde-41 447 28 hs hs PROPN ejde-41 447 29 . . PUNCT ejde-41 448 1 it it PRON ejde-41 448 2 follows follow VERB ejde-41 448 3 from from ADP ejde-41 448 4 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 448 5 ) ) PUNCT ejde-41 448 6 > > X ejde-41 448 7 0 0 PUNCT ejde-41 449 1 that that SCONJ ejde-41 449 2 lim lim PROPN ejde-41 449 3 infn→∞ infn→∞ PROPN ejde-41 449 4 ‖vn‖p+2 ‖vn‖p+2 CCONJ ejde-41 450 1 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 450 2 > > X ejde-41 450 3 0 0 X ejde-41 450 4 . . PUNCT ejde-41 451 1 therefore therefore ADV ejde-41 451 2 , , PUNCT ejde-41 451 3 applying apply VERB ejde-41 451 4 lemma lemma PROPN ejde-41 451 5 2.4 2.4 NUM ejde-41 451 6 , , PUNCT ejde-41 451 7 there there PRON ejde-41 451 8 exists exist VERB ejde-41 451 9 a a DET ejde-41 451 10 subsequence subsequence NOUN ejde-41 451 11 , , PUNCT ejde-41 451 12 still still ADV ejde-41 451 13 denoted denote VERB ejde-41 451 14 by by ADP ejde-41 451 15 { { PUNCT ejde-41 451 16 vn vn NOUN ejde-41 451 17 } } PUNCT ejde-41 451 18 and and CCONJ ejde-41 451 19 u u PROPN ejde-41 451 20 ∈ ∈ PROPN ejde-41 451 21 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 451 22 } } PUNCT ejde-41 451 23 such such ADJ ejde-41 451 24 that that DET ejde-41 451 25 un un PROPN ejde-41 451 26 : : PUNCT ejde-41 451 27 = = PRON ejde-41 451 28 τxn τxn VERB ejde-41 451 29 vn vn NOUN ejde-41 451 30 ⇀ ⇀ NUM ejde-41 451 31 u u NOUN ejde-41 451 32 6= 6= NUM ejde-41 451 33 0 0 NUM ejde-41 451 34 weakly weakly ADJ ejde-41 451 35 in in ADP ejde-41 451 36 hs hs PRON ejde-41 451 37 for for ADP ejde-41 451 38 some some DET ejde-41 451 39 { { PUNCT ejde-41 451 40 xn xn NOUN ejde-41 451 41 } } PUNCT ejde-41 451 42 ⊆ ⊆ NUM ejde-41 451 43 r3 r3 NOUN ejde-41 451 44 . . PUNCT ejde-41 452 1 we we PRON ejde-41 452 2 deduce deduce VERB ejde-41 452 3 from from ADP ejde-41 452 4 brezis brezis NOUN ejde-41 452 5 - - PUNCT ejde-41 452 6 lieb lieb PROPN ejde-41 452 7 ’s ’s PART ejde-41 452 8 lemma lemma PROPN ejde-41 452 9 ( ( PUNCT ejde-41 452 10 lemma lemma PROPN ejde-41 452 11 2.2 2.2 NUM ejde-41 452 12 ) ) PUNCT ejde-41 452 13 and and CCONJ ejde-41 452 14 lemma lemma PROPN ejde-41 452 15 2.3 2.3 NUM ejde-41 452 16 that that PRON ejde-41 452 17 kω(un)−kω(un kω(un)−kω(un PROPN ejde-41 452 18 − − PROPN ejde-41 452 19 u)−kω(u)→ u)−kω(u)→ PROPN ejde-41 452 20 0 0 NUM ejde-41 452 21 , , PUNCT ejde-41 452 22 ( ( PUNCT ejde-41 452 23 5.6 5.6 NUM ejde-41 452 24 ) ) PUNCT ejde-41 452 25 s̃ω(un)− s̃ω(un)− PUNCT ejde-41 452 26 s̃ω(un s̃ω(un X ejde-41 452 27 − − PROPN ejde-41 452 28 u)− u)− PROPN ejde-41 452 29 s̃ω(u)→ s̃ω(u)→ PROPN ejde-41 452 30 0 0 NUM ejde-41 452 31 . . PUNCT ejde-41 453 1 ( ( PUNCT ejde-41 453 2 5.7 5.7 NUM ejde-41 453 3 ) ) PUNCT ejde-41 453 4 now now ADV ejde-41 453 5 , , PUNCT ejde-41 453 6 we we PRON ejde-41 453 7 claim claim VERB ejde-41 453 8 that that SCONJ ejde-41 453 9 kω(u kω(u X ejde-41 453 10 ) ) PUNCT ejde-41 453 11 ≤ ≤ NOUN ejde-41 453 12 0 0 NUM ejde-41 453 13 . . PUNCT ejde-41 454 1 if if SCONJ ejde-41 454 2 not not PART ejde-41 454 3 , , PUNCT ejde-41 454 4 it it PRON ejde-41 454 5 follows follow VERB ejde-41 454 6 from from ADP ejde-41 454 7 ( ( PUNCT ejde-41 454 8 5.6 5.6 NUM ejde-41 454 9 ) ) PUNCT ejde-41 454 10 and and CCONJ ejde-41 454 11 kω(un kω(un PROPN ejde-41 454 12 ) ) PUNCT ejde-41 454 13 ≤ ≤ NOUN ejde-41 454 14 0 0 NUM ejde-41 455 1 that that SCONJ ejde-41 455 2 kω(un kω(un PROPN ejde-41 455 3 − − PROPN ejde-41 455 4 u u NOUN ejde-41 455 5 ) ) PUNCT ejde-41 455 6 ≤ ≤ NOUN ejde-41 455 7 0 0 NUM ejde-41 455 8 for for ADP ejde-41 455 9 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 455 10 large large ADJ ejde-41 455 11 n. n. NOUN ejde-41 455 12 thus thus ADV ejde-41 455 13 , , PUNCT ejde-41 455 14 by by ADP ejde-41 455 15 the the DET ejde-41 455 16 definition definition NOUN ejde-41 455 17 of of ADP ejde-41 455 18 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 455 19 ) ) PUNCT ejde-41 455 20 , , PUNCT ejde-41 455 21 it it PRON ejde-41 455 22 follows follow VERB ejde-41 455 23 that that SCONJ ejde-41 455 24 s̃ω(un s̃ω(un PROPN ejde-41 455 25 − − PROPN ejde-41 455 26 u u NOUN ejde-41 455 27 ) ) PUNCT ejde-41 455 28 ≥ ≥ NOUN ejde-41 455 29 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 455 30 ) ) PUNCT ejde-41 455 31 , , PUNCT ejde-41 455 32 which which PRON ejde-41 455 33 , , PUNCT ejde-41 455 34 together together ADV ejde-41 455 35 with with ADP ejde-41 455 36 s̃ω(un)→ s̃ω(un)→ PROPN ejde-41 455 37 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 455 38 ) ) PUNCT ejde-41 455 39 , , PUNCT ejde-41 455 40 implies imply VERB ejde-41 455 41 that that SCONJ ejde-41 455 42 s̃ω(u s̃ω(u NOUN ejde-41 455 43 ) ) PUNCT ejde-41 455 44 ≤ ≤ NOUN ejde-41 455 45 0 0 NUM ejde-41 455 46 , , PUNCT ejde-41 455 47 which which PRON ejde-41 455 48 is be AUX ejde-41 455 49 a a DET ejde-41 455 50 contradiction contradiction NOUN ejde-41 455 51 with with ADP ejde-41 455 52 s̃ω(u s̃ω(u NOUN ejde-41 455 53 ) ) PUNCT ejde-41 455 54 > > X ejde-41 456 1 0 0 X ejde-41 456 2 . . PUNCT ejde-41 456 3 we we PRON ejde-41 456 4 thus thus ADV ejde-41 456 5 obtain obtain VERB ejde-41 456 6 kω(u kω(u NOUN ejde-41 456 7 ) ) PUNCT ejde-41 456 8 ≤ ≤ NUM ejde-41 456 9 0 0 NUM ejde-41 456 10 . . PUNCT ejde-41 457 1 16 16 NUM ejde-41 457 2 y. y. PROPN ejde-41 457 3 mo mo PROPN ejde-41 457 4 , , PUNCT ejde-41 457 5 m. m. PROPN ejde-41 457 6 zhu zhu PROPN ejde-41 457 7 , , PUNCT ejde-41 457 8 b. b. PROPN ejde-41 457 9 feng feng PROPN ejde-41 457 10 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 457 11 furthermore furthermore ADV ejde-41 457 12 , , PUNCT ejde-41 457 13 we we PRON ejde-41 457 14 deduce deduce VERB ejde-41 457 15 from from ADP ejde-41 457 16 the the DET ejde-41 457 17 definition definition NOUN ejde-41 457 18 of of ADP ejde-41 457 19 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 457 20 ) ) PUNCT ejde-41 457 21 and and CCONJ ejde-41 457 22 the the DET ejde-41 457 23 weak weak ADJ ejde-41 457 24 lower low ADJ ejde-41 457 25 semicontinuity semicontinuity NOUN ejde-41 457 26 of of ADP ejde-41 457 27 norm norm NOUN ejde-41 457 28 that that SCONJ ejde-41 457 29 d̃(ω d̃(ω NOUN ejde-41 457 30 ) ) PUNCT ejde-41 457 31 ≤ ≤ NUM ejde-41 457 32 s̃ω(u s̃ω(u NOUN ejde-41 457 33 ) ) PUNCT ejde-41 457 34 ≤ ≤ NOUN ejde-41 457 35 lim lim PROPN ejde-41 457 36 inf inf PROPN ejde-41 457 37 n→∞ n→∞ X ejde-41 457 38 s̃ω(un s̃ω(un NOUN ejde-41 457 39 ) ) PUNCT ejde-41 457 40 = = SYM ejde-41 457 41 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 457 42 ) ) PUNCT ejde-41 457 43 . . PUNCT ejde-41 458 1 this this DET ejde-41 458 2 yields yield NOUN ejde-41 458 3 s̃ω(u s̃ω(u VERB ejde-41 458 4 ) ) PUNCT ejde-41 458 5 = = SYM ejde-41 458 6 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 458 7 ) ) PUNCT ejde-41 458 8 . . PUNCT ejde-41 459 1 finally finally ADV ejde-41 459 2 , , PUNCT ejde-41 459 3 we we PRON ejde-41 459 4 show show VERB ejde-41 459 5 that that SCONJ ejde-41 459 6 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 459 7 ) ) PUNCT ejde-41 459 8 = = SYM ejde-41 459 9 0 0 X ejde-41 459 10 . . PUNCT ejde-41 459 11 suppose suppose VERB ejde-41 459 12 that that SCONJ ejde-41 459 13 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 459 14 ) ) PUNCT ejde-41 459 15 < < X ejde-41 459 16 0 0 PUNCT ejde-41 459 17 and and CCONJ ejde-41 459 18 set set VERB ejde-41 459 19 kω(uλ kω(uλ PROPN ejde-41 459 20 ) ) PUNCT ejde-41 460 1 = = SYM ejde-41 461 1 4s+ 4s+ NUM ejde-41 462 1 2r 2r NUM ejde-41 462 2 − − NOUN ejde-41 462 3 3 3 NUM ejde-41 462 4 2 2 NUM ejde-41 462 5 λ2s‖u‖2 λ2s‖u‖2 NOUN ejde-41 462 6 ḣs ḣs NOUN ejde-41 462 7 + + NUM ejde-41 462 8 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 463 1 2r 2r NUM ejde-41 463 2 − − NOUN ejde-41 463 3 3 3 NUM ejde-41 463 4 ) ) PUNCT ejde-41 463 5 2 2 NUM ejde-41 463 6 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 NOUN ejde-41 463 7 + + CCONJ ejde-41 463 8 4s+ 4s+ NUM ejde-41 464 1 2r 2r NUM ejde-41 464 2 − − NOUN ejde-41 464 3 3 3 NUM ejde-41 464 4 4 4 NUM ejde-41 464 5 λ3−2r λ3−2r PROPN ejde-41 464 6 ∫ ∫ PROPN ejde-41 464 7 r3 r3 PROPN ejde-41 464 8 ( ( PUNCT ejde-41 464 9 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 464 10 ) ) PUNCT ejde-41 464 11 ∗ ∗ NOUN ejde-41 464 12 |u|2)|u|2dx |u|2)|u|2dx NUM ejde-41 464 13 − − PROPN ejde-41 464 14 ( ( PUNCT ejde-41 464 15 s+ s+ NUM ejde-41 464 16 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 464 17 2)− 2)− NUM ejde-41 464 18 3 3 NUM ejde-41 464 19 p+ p+ NOUN ejde-41 464 20 2 2 NUM ejde-41 464 21 λ λ NOUN ejde-41 464 22 3p 3p NUM ejde-41 464 23 2 2 NUM ejde-41 464 24 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 464 25 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 464 26 > > X ejde-41 464 27 0 0 PUNCT ejde-41 464 28 for for ADP ejde-41 464 29 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 464 30 small small ADJ ejde-41 464 31 λ λ X ejde-41 464 32 > > X ejde-41 464 33 0 0 NUM ejde-41 464 34 . . PUNCT ejde-41 465 1 then then ADV ejde-41 465 2 there there PRON ejde-41 465 3 exists exist VERB ejde-41 465 4 λ0 λ0 NOUN ejde-41 465 5 ∈ ∈ NOUN ejde-41 465 6 ( ( PUNCT ejde-41 465 7 0 0 NUM ejde-41 465 8 , , PUNCT ejde-41 465 9 1 1 NUM ejde-41 465 10 ) ) PUNCT ejde-41 465 11 such such ADJ ejde-41 465 12 that that PRON ejde-41 465 13 kω(uλ0 kω(uλ0 PUNCT ejde-41 465 14 ) ) PUNCT ejde-41 465 15 = = SYM ejde-41 466 1 0 0 X ejde-41 466 2 . . PUNCT ejde-41 467 1 it it PRON ejde-41 467 2 follows follow VERB ejde-41 467 3 that that SCONJ ejde-41 467 4 s̃ω(uλ0 s̃ω(uλ0 NOUN ejde-41 467 5 ) ) PUNCT ejde-41 467 6 = = SYM ejde-41 467 7 ωs ωs ADP ejde-41 467 8 4s+ 4s+ NUM ejde-41 467 9 2r 2r NUM ejde-41 467 10 − − NOUN ejde-41 467 11 3 3 NUM ejde-41 467 12 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 NOUN ejde-41 467 13 + + CCONJ ejde-41 467 14 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 468 1 r)− r)− PROPN ejde-41 468 2 2s 2s PROPN ejde-41 468 3 ( ( PUNCT ejde-41 468 4 p+ p+ PROPN ejde-41 468 5 2)(4s+ 2)(4s+ NUM ejde-41 468 6 2r 2r NUM ejde-41 468 7 − − NOUN ejde-41 468 8 3 3 X ejde-41 468 9 ) ) PUNCT ejde-41 468 10 λ λ NOUN ejde-41 468 11 3p 3p NUM ejde-41 468 12 2 2 NUM ejde-41 468 13 0 0 NUM ejde-41 469 1 ‖u‖ ‖u‖ PRON ejde-41 469 2 p+2 p+2 PROPN ejde-41 469 3 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 469 4 < < X ejde-41 469 5 s̃ω(u s̃ω(u NOUN ejde-41 469 6 ) ) PUNCT ejde-41 469 7 = = SYM ejde-41 469 8 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 469 9 ) ) PUNCT ejde-41 469 10 , , PUNCT ejde-41 469 11 which which PRON ejde-41 469 12 contradicts contradict VERB ejde-41 469 13 the the DET ejde-41 469 14 definition definition NOUN ejde-41 469 15 of of ADP ejde-41 469 16 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 469 17 ) ) PUNCT ejde-41 469 18 . . PUNCT ejde-41 470 1 hence hence ADV ejde-41 470 2 , , PUNCT ejde-41 470 3 we we PRON ejde-41 470 4 have have VERB ejde-41 470 5 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 470 6 ) ) PUNCT ejde-41 470 7 = = SYM ejde-41 470 8 0 0 X ejde-41 470 9 . . X ejde-41 470 10 � � PROPN ejde-41 470 11 from from ADP ejde-41 470 12 d(ω d(ω PROPN ejde-41 470 13 ) ) PUNCT ejde-41 470 14 = = SYM ejde-41 470 15 d̃(ω d̃(ω PROPN ejde-41 470 16 ) ) PUNCT ejde-41 470 17 and and CCONJ ejde-41 470 18 the the DET ejde-41 470 19 above above ADJ ejde-41 470 20 lemma lemma PROPN ejde-41 470 21 , , PUNCT ejde-41 470 22 we we PRON ejde-41 470 23 can can AUX ejde-41 470 24 obtain obtain VERB ejde-41 470 25 the the DET ejde-41 470 26 existence existence NOUN ejde-41 470 27 of of ADP ejde-41 470 28 minimization minimization NOUN ejde-41 470 29 problem problem NOUN ejde-41 470 30 ( ( PUNCT ejde-41 470 31 5.1 5.1 NUM ejde-41 470 32 ) ) PUNCT ejde-41 470 33 . . PUNCT ejde-41 471 1 lemma lemma PROPN ejde-41 471 2 5.3 5.3 NUM ejde-41 471 3 . . PUNCT ejde-41 472 1 let let VERB ejde-41 472 2 ω ω PROPN ejde-41 472 3 > > X ejde-41 472 4 0 0 PROPN ejde-41 472 5 , , PUNCT ejde-41 472 6 2s 2s PROPN ejde-41 472 7 + + X ejde-41 472 8 2r 2r NUM ejde-41 472 9 > > SYM ejde-41 472 10 3 3 NUM ejde-41 472 11 and and CCONJ ejde-41 472 12 4s 4s NUM ejde-41 472 13 3 3 NUM ejde-41 472 14 ≤ ≤ NOUN ejde-41 473 1 p p NOUN ejde-41 473 2 < < X ejde-41 473 3 4s 4s NUM ejde-41 473 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 473 5 . . PUNCT ejde-41 474 1 then then ADV ejde-41 474 2 there there PRON ejde-41 474 3 exists exist VERB ejde-41 474 4 u u NOUN ejde-41 474 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 474 6 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 474 7 } } PUNCT ejde-41 474 8 such such ADJ ejde-41 474 9 that that SCONJ ejde-41 474 10 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 474 11 ) ) PUNCT ejde-41 474 12 = = SYM ejde-41 474 13 0 0 NUM ejde-41 474 14 and and CCONJ ejde-41 474 15 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 474 16 ) ) PUNCT ejde-41 474 17 = = SYM ejde-41 474 18 d(ω d(ω PROPN ejde-41 474 19 ) ) PUNCT ejde-41 474 20 . . PUNCT ejde-41 475 1 lemma lemma PROPN ejde-41 475 2 5.4 5.4 NUM ejde-41 475 3 . . PUNCT ejde-41 476 1 let let VERB ejde-41 476 2 ω ω PROPN ejde-41 476 3 > > X ejde-41 476 4 0 0 PROPN ejde-41 476 5 , , PUNCT ejde-41 476 6 2s 2s PROPN ejde-41 476 7 + + X ejde-41 476 8 2r 2r NUM ejde-41 476 9 > > X ejde-41 476 10 3 3 NUM ejde-41 476 11 , , PUNCT ejde-41 476 12 and and CCONJ ejde-41 476 13 4s 4s NUM ejde-41 476 14 3 3 NUM ejde-41 476 15 ≤ ≤ NOUN ejde-41 476 16 p p NOUN ejde-41 476 17 < < X ejde-41 476 18 4s 4s NUM ejde-41 476 19 3−2s 3−2s NUM ejde-41 476 20 . . PUNCT ejde-41 477 1 assume assume VERB ejde-41 477 2 that that SCONJ ejde-41 477 3 u u PROPN ejde-41 477 4 ∈ ∈ PROPN ejde-41 477 5 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 477 6 } } PUNCT ejde-41 477 7 is be AUX ejde-41 477 8 a a DET ejde-41 477 9 solution solution NOUN ejde-41 477 10 of of ADP ejde-41 477 11 the the DET ejde-41 477 12 minimizing minimizing NOUN ejde-41 477 13 problem problem NOUN ejde-41 477 14 ( ( PUNCT ejde-41 477 15 5.1 5.1 NUM ejde-41 477 16 ) ) PUNCT ejde-41 477 17 , , PUNCT ejde-41 477 18 i.e. i.e. X ejde-41 477 19 , , PUNCT ejde-41 477 20 such such ADJ ejde-41 477 21 that that PRON ejde-41 477 22 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 477 23 ) ) PUNCT ejde-41 477 24 = = SYM ejde-41 477 25 0 0 NUM ejde-41 477 26 and and CCONJ ejde-41 477 27 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 477 28 ) ) PUNCT ejde-41 477 29 = = SYM ejde-41 477 30 d(ω d(ω PROPN ejde-41 477 31 ) ) PUNCT ejde-41 477 32 . . PUNCT ejde-41 478 1 then then ADV ejde-41 478 2 s′ω(u s′ω(u VERB ejde-41 478 3 ) ) PUNCT ejde-41 479 1 = = SYM ejde-41 479 2 0 0 X ejde-41 479 3 . . PUNCT ejde-41 480 1 proof proof NOUN ejde-41 480 2 . . PUNCT ejde-41 481 1 we we PRON ejde-41 481 2 firstly firstly ADV ejde-41 481 3 prove prove VERB ejde-41 481 4 k k PROPN ejde-41 481 5 ′ω(u ′ω(u PROPN ejde-41 481 6 ) ) PUNCT ejde-41 481 7 6= 6= ADP ejde-41 481 8 0 0 X ejde-41 481 9 . . PUNCT ejde-41 482 1 if if SCONJ ejde-41 482 2 k k PROPN ejde-41 482 3 ′ω(u ′ω(u PROPN ejde-41 482 4 ) ) PUNCT ejde-41 482 5 = = SYM ejde-41 482 6 0 0 NUM ejde-41 482 7 , , PUNCT ejde-41 482 8 then then ADV ejde-41 482 9 we we PRON ejde-41 482 10 have have VERB ejde-41 482 11 ( ( PUNCT ejde-41 482 12 4s+ 4s+ NUM ejde-41 482 13 2r 2r NUM ejde-41 483 1 − − NOUN ejde-41 483 2 3)(−∆)su+ 3)(−∆)su+ NUM ejde-41 483 3 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 483 4 2r 2r NUM ejde-41 484 1 − − PROPN ejde-41 484 2 3)u+ 3)u+ NUM ejde-41 484 3 ( ( PUNCT ejde-41 484 4 4s+ 4s+ NUM ejde-41 484 5 2r 2r NUM ejde-41 485 1 − − PROPN ejde-41 486 1 3)(|x|−(3−2r 3)(|x|−(3−2r NUM ejde-41 486 2 ) ) PUNCT ejde-41 486 3 ∗ ∗ VERB ejde-41 486 4 |u|2)u |u|2)u NUM ejde-41 486 5 − − PROPN ejde-41 486 6 ( ( PUNCT ejde-41 486 7 ( ( PUNCT ejde-41 486 8 s+ s+ X ejde-41 486 9 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 486 10 2)− 2)− NUM ejde-41 486 11 3)|u|pu 3)|u|pu NUM ejde-41 486 12 = = SYM ejde-41 486 13 0 0 NUM ejde-41 486 14 . . PUNCT ejde-41 486 15 ( ( PUNCT ejde-41 486 16 5.8 5.8 NUM ejde-41 486 17 ) ) PUNCT ejde-41 486 18 then then ADV ejde-41 486 19 a+b a+b X ejde-41 486 20 + + CCONJ ejde-41 486 21 c c NOUN ejde-41 486 22 −d −d NOUN ejde-41 486 23 = = SYM ejde-41 486 24 d(ω d(ω PROPN ejde-41 486 25 ) ) PUNCT ejde-41 486 26 , , PUNCT ejde-41 486 27 ( ( PUNCT ejde-41 486 28 4s+ 4s+ NUM ejde-41 486 29 2r 2r NUM ejde-41 487 1 − − PROPN ejde-41 487 2 3)a+ 3)a+ NUM ejde-41 487 3 ( ( PUNCT ejde-41 487 4 2s+ 2s+ NUM ejde-41 487 5 2r 2r NUM ejde-41 487 6 − − NOUN ejde-41 487 7 3)b 3)b NUM ejde-41 487 8 + + CCONJ ejde-41 487 9 ( ( PUNCT ejde-41 487 10 4s+ 4s+ NUM ejde-41 487 11 2r 2r NUM ejde-41 487 12 − − NUM ejde-41 487 13 3)c 3)c NOUN ejde-41 487 14 − − PROPN ejde-41 487 15 ( ( PUNCT ejde-41 487 16 ( ( PUNCT ejde-41 487 17 s+ s+ X ejde-41 487 18 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 487 19 2)− 2)− NUM ejde-41 487 20 3)d 3)d NUM ejde-41 487 21 = = SYM ejde-41 487 22 0 0 NUM ejde-41 487 23 , , PUNCT ejde-41 487 24 2(4s+ 2(4s+ NUM ejde-41 487 25 2r 2r NUM ejde-41 488 1 − − PROPN ejde-41 488 2 3)a+ 3)a+ NUM ejde-41 488 3 2(2s+ 2(2s+ NUM ejde-41 488 4 2r 2r NUM ejde-41 489 1 − − NOUN ejde-41 489 2 3)b 3)b NUM ejde-41 490 1 + + CCONJ ejde-41 491 1 4(4s+ 4(4s+ NUM ejde-41 491 2 2r 2r NUM ejde-41 491 3 − − NUM ejde-41 491 4 3)c 3)c NOUN ejde-41 491 5 − − PROPN ejde-41 491 6 ( ( PUNCT ejde-41 491 7 p+ p+ PROPN ejde-41 491 8 2)((s+ 2)((s+ PROPN ejde-41 491 9 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 491 10 2)− 2)− NUM ejde-41 491 11 3)d 3)d NUM ejde-41 491 12 = = SYM ejde-41 491 13 0 0 NUM ejde-41 491 14 , , PUNCT ejde-41 491 15 ( ( PUNCT ejde-41 491 16 3− 3− NUM ejde-41 491 17 2s)(4s+ 2s)(4s+ NUM ejde-41 492 1 2r 2r NUM ejde-41 493 1 − − PROPN ejde-41 493 2 3)a+ 3)a+ NUM ejde-41 493 3 3(2s+ 3(2s+ NUM ejde-41 493 4 2r 2r NUM ejde-41 493 5 − − ADP ejde-41 493 6 3)b 3)b NUM ejde-41 494 1 + + CCONJ ejde-41 494 2 ( ( PUNCT ejde-41 494 3 4s+ 4s+ NUM ejde-41 494 4 2r 2r NUM ejde-41 494 5 − − ADP ejde-41 494 6 3)(3 3)(3 NUM ejde-41 494 7 + + CCONJ ejde-41 494 8 2r)c 2r)c NUM ejde-41 494 9 − − NUM ejde-41 495 1 3((s+ 3((s+ NUM ejde-41 495 2 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 495 3 2)− 2)− NUM ejde-41 495 4 3)d 3)d NUM ejde-41 495 5 = = SYM ejde-41 495 6 0 0 NUM ejde-41 495 7 , , PUNCT ejde-41 495 8 ( ( PUNCT ejde-41 495 9 5.9 5.9 NUM ejde-41 495 10 ) ) PUNCT ejde-41 495 11 where where SCONJ ejde-41 495 12 a a DET ejde-41 495 13 = = SYM ejde-41 495 14 1 1 NUM ejde-41 495 15 2 2 NUM ejde-41 495 16 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-41 495 17 ḣs ḣs PROPN ejde-41 495 18 , , PUNCT ejde-41 495 19 b b X ejde-41 495 20 = = SYM ejde-41 495 21 ω ω PROPN ejde-41 495 22 2 2 NUM ejde-41 495 23 ‖u‖2l2 ‖u‖2l2 PROPN ejde-41 495 24 , , PUNCT ejde-41 495 25 c c NOUN ejde-41 495 26 = = SYM ejde-41 495 27 1 1 NUM ejde-41 495 28 4 4 NUM ejde-41 495 29 ∫ ∫ NOUN ejde-41 495 30 r3 r3 PROPN ejde-41 495 31 ( ( PUNCT ejde-41 495 32 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 495 33 ) ) PUNCT ejde-41 495 34 ∗ ∗ NOUN ejde-41 495 35 |u|2)(x)|u(x)|2dx |u|2)(x)|u(x)|2dx PROPN ejde-41 495 36 , , PUNCT ejde-41 495 37 d d SYM ejde-41 495 38 = = SYM ejde-41 495 39 1 1 NUM ejde-41 495 40 p+ p+ NOUN ejde-41 495 41 2 2 NUM ejde-41 495 42 ‖u‖p+2 ‖u‖p+2 ADV ejde-41 495 43 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 495 44 . . PUNCT ejde-41 496 1 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 496 2 blow blow VERB ejde-41 496 3 - - PUNCT ejde-41 496 4 up up ADP ejde-41 496 5 criteria criterion NOUN ejde-41 496 6 and and CCONJ ejde-41 496 7 instability instability NOUN ejde-41 496 8 of of ADP ejde-41 496 9 standing standing ADJ ejde-41 496 10 waves wave NOUN ejde-41 496 11 17 17 NUM ejde-41 496 12 the the DET ejde-41 496 13 first first ADJ ejde-41 496 14 equation equation NOUN ejde-41 496 15 comes come VERB ejde-41 496 16 from from ADP ejde-41 496 17 the the DET ejde-41 496 18 fact fact NOUN ejde-41 496 19 that that SCONJ ejde-41 496 20 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 496 21 ) ) PUNCT ejde-41 496 22 = = SYM ejde-41 496 23 d(ω d(ω PROPN ejde-41 496 24 ) ) PUNCT ejde-41 496 25 . . PUNCT ejde-41 497 1 the the DET ejde-41 497 2 second second ADJ ejde-41 497 3 one one NUM ejde-41 497 4 holds hold VERB ejde-41 497 5 since since SCONJ ejde-41 497 6 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 497 7 ) ) PUNCT ejde-41 497 8 = = SYM ejde-41 498 1 0 0 X ejde-41 498 2 . . PUNCT ejde-41 499 1 the the DET ejde-41 499 2 third third ADJ ejde-41 499 3 one one NOUN ejde-41 499 4 follows follow VERB ejde-41 499 5 by by ADP ejde-41 499 6 multiplying multiply VERB ejde-41 499 7 ( ( PUNCT ejde-41 499 8 5.8 5.8 NUM ejde-41 499 9 ) ) PUNCT ejde-41 499 10 by by ADP ejde-41 499 11 u u NOUN ejde-41 499 12 and and CCONJ ejde-41 499 13 integrating integrate VERB ejde-41 499 14 both both DET ejde-41 499 15 sides side NOUN ejde-41 499 16 . . PUNCT ejde-41 500 1 the the DET ejde-41 500 2 fourth fourth ADJ ejde-41 500 3 one one NOUN ejde-41 500 4 is be AUX ejde-41 500 5 derived derive VERB ejde-41 500 6 by by ADP ejde-41 500 7 applying apply VERB ejde-41 500 8 the the DET ejde-41 500 9 pohozaev pohozaev NOUN ejde-41 500 10 equality equality NOUN ejde-41 500 11 to to ADP ejde-41 500 12 ( ( PUNCT ejde-41 500 13 5.8 5.8 NUM ejde-41 500 14 ) ) PUNCT ejde-41 500 15 . . PUNCT ejde-41 501 1 after after ADP ejde-41 501 2 a a DET ejde-41 501 3 direct direct ADJ ejde-41 501 4 calculations calculation NOUN ejde-41 501 5 , , PUNCT ejde-41 501 6 we we PRON ejde-41 501 7 have have VERB ejde-41 501 8 sa sa NOUN ejde-41 501 9 = = SYM ejde-41 501 10 tc tc PROPN ejde-41 501 11 , , PUNCT ejde-41 501 12 c c NOUN ejde-41 501 13 = = PUNCT ejde-41 501 14 p((s+ p((s+ ADJ ejde-41 501 15 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 501 16 2)− 2)− NUM ejde-41 501 17 3)d 3)d NUM ejde-41 501 18 2(4s+ 2(4s+ NUM ejde-41 501 19 2r 2r NUM ejde-41 501 20 − − NOUN ejde-41 501 21 3 3 NUM ejde-41 501 22 ) ) PUNCT ejde-41 501 23 , , PUNCT ejde-41 501 24 ( ( PUNCT ejde-41 501 25 2s+ 2s+ NUM ejde-41 501 26 2r 2r NUM ejde-41 501 27 − − ADP ejde-41 501 28 3)b 3)b NUM ejde-41 502 1 + + CCONJ ejde-41 502 2 ( ( PUNCT ejde-41 502 3 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 502 4 r)− r)− PROPN ejde-41 502 5 2s)((s+ 2s)((s+ NUM ejde-41 502 6 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 502 7 2)− 2)− NUM ejde-41 502 8 3 3 NUM ejde-41 502 9 ) ) PUNCT ejde-41 502 10 2s 2s PROPN ejde-41 503 1 d d NOUN ejde-41 503 2 = = SYM ejde-41 503 3 0 0 PROPN ejde-41 503 4 . . PUNCT ejde-41 504 1 these these DET ejde-41 504 2 a a DET ejde-41 504 3 = = SYM ejde-41 504 4 b b NOUN ejde-41 504 5 = = SYM ejde-41 504 6 c c NOUN ejde-41 504 7 = = SYM ejde-41 505 1 d d NOUN ejde-41 505 2 = = SYM ejde-41 505 3 0 0 NUM ejde-41 505 4 which which PRON ejde-41 505 5 is be AUX ejde-41 505 6 a a DET ejde-41 505 7 contradiction contradiction NOUN ejde-41 505 8 with with ADP ejde-41 505 9 a a DET ejde-41 505 10 , , PUNCT ejde-41 505 11 b b NOUN ejde-41 505 12 , , PUNCT ejde-41 505 13 c c X ejde-41 505 14 , , PUNCT ejde-41 505 15 d d X ejde-41 505 16 > > X ejde-41 505 17 0 0 NUM ejde-41 505 18 . . PUNCT ejde-41 506 1 thus thus ADV ejde-41 506 2 , , PUNCT ejde-41 506 3 k k PROPN ejde-41 506 4 ′ω(u ′ω(u PROPN ejde-41 506 5 ) ) PUNCT ejde-41 506 6 6= 6= ADP ejde-41 506 7 0 0 NUM ejde-41 506 8 . . PUNCT ejde-41 506 9 next next ADV ejde-41 506 10 , , PUNCT ejde-41 506 11 applying apply VERB ejde-41 506 12 the the DET ejde-41 506 13 lagrange lagrange NOUN ejde-41 506 14 multiplier multipli ADJ ejde-41 506 15 rule rule NOUN ejde-41 506 16 , , PUNCT ejde-41 506 17 there there PRON ejde-41 506 18 exists exist VERB ejde-41 506 19 µ µ PRON ejde-41 506 20 ∈ ∈ NOUN ejde-41 506 21 r r NOUN ejde-41 506 22 such such ADJ ejde-41 506 23 that that SCONJ ejde-41 506 24 s′ω(u)+ s′ω(u)+ PRON ejde-41 506 25 µk µk PROPN ejde-41 506 26 ′ω(u ′ω(u NOUN ejde-41 506 27 ) ) PUNCT ejde-41 506 28 = = SYM ejde-41 507 1 0 0 X ejde-41 507 2 . . PUNCT ejde-41 508 1 we we PRON ejde-41 508 2 claim claim VERB ejde-41 508 3 that that SCONJ ejde-41 508 4 µ µ X ejde-41 508 5 = = SYM ejde-41 508 6 0 0 NUM ejde-41 508 7 . . PUNCT ejde-41 509 1 as as ADP ejde-41 509 2 above above ADV ejde-41 509 3 , , PUNCT ejde-41 509 4 the the DET ejde-41 509 5 equation equation NOUN ejde-41 509 6 s′ω(u s′ω(u NOUN ejde-41 509 7 ) ) PUNCT ejde-41 510 1 + + CCONJ ejde-41 510 2 µk µk NOUN ejde-41 510 3 ′ω(u ′ω(u NOUN ejde-41 510 4 ) ) PUNCT ejde-41 510 5 = = SYM ejde-41 510 6 0 0 PUNCT ejde-41 510 7 can can AUX ejde-41 510 8 be be AUX ejde-41 510 9 written write VERB ejde-41 510 10 as as ADP ejde-41 510 11 ( ( PUNCT ejde-41 510 12 −∆)su+ −∆)su+ NOUN ejde-41 510 13 ωu+ ωu+ NOUN ejde-41 510 14 ( ( PUNCT ejde-41 510 15 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 510 16 ) ) PUNCT ejde-41 510 17 ∗ ∗ NOUN ejde-41 510 18 |u|2)u− |u|2)u− PROPN ejde-41 510 19 |u|pu |u|pu PROPN ejde-41 510 20 + + CCONJ ejde-41 510 21 µ µ X ejde-41 510 22 [ [ PUNCT ejde-41 510 23 ( ( PUNCT ejde-41 510 24 4s+ 4s+ NUM ejde-41 510 25 2r 2r NUM ejde-41 510 26 − − PROPN ejde-41 510 27 3)(|x|−(3−2r 3)(|x|−(3−2r NUM ejde-41 510 28 ) ) PUNCT ejde-41 510 29 ∗ ∗ NOUN ejde-41 510 30 |u|2)u+ |u|2)u+ PROPN ejde-41 510 31 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 511 1 2r 2r NUM ejde-41 511 2 − − NUM ejde-41 511 3 3)u 3)u NUM ejde-41 511 4 + + CCONJ ejde-41 511 5 ( ( PUNCT ejde-41 511 6 4s+ 4s+ NUM ejde-41 511 7 2r 2r NUM ejde-41 511 8 − − PROPN ejde-41 511 9 3)(−∆)su− 3)(−∆)su− PROPN ejde-41 511 10 ( ( PUNCT ejde-41 511 11 ( ( PUNCT ejde-41 511 12 s+ s+ X ejde-41 511 13 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 511 14 2)− 2)− NUM ejde-41 511 15 3)|u|pu 3)|u|pu NUM ejde-41 511 16 ] ] PUNCT ejde-41 511 17 = = PUNCT ejde-41 511 18 0 0 X ejde-41 511 19 . . PUNCT ejde-41 511 20 ( ( PUNCT ejde-41 511 21 5.10 5.10 NUM ejde-41 511 22 ) ) PUNCT ejde-41 511 23 by by ADP ejde-41 511 24 the the DET ejde-41 511 25 same same ADJ ejde-41 511 26 argument argument NOUN ejde-41 511 27 as as ADP ejde-41 511 28 in in ADP ejde-41 511 29 ( ( PUNCT ejde-41 511 30 5.9 5.9 NUM ejde-41 511 31 ) ) PUNCT ejde-41 511 32 , , PUNCT ejde-41 511 33 we we PRON ejde-41 511 34 have have VERB ejde-41 511 35 a+b a+b NUM ejde-41 511 36 + + CCONJ ejde-41 511 37 c c NOUN ejde-41 511 38 −d −d NOUN ejde-41 511 39 = = SYM ejde-41 511 40 d(ω d(ω PROPN ejde-41 511 41 ) ) PUNCT ejde-41 511 42 , , PUNCT ejde-41 511 43 ( ( PUNCT ejde-41 511 44 4s+ 4s+ NUM ejde-41 512 1 2r 2r NUM ejde-41 513 1 − − PROPN ejde-41 513 2 3)a+ 3)a+ NUM ejde-41 513 3 ( ( PUNCT ejde-41 513 4 2s+ 2s+ NUM ejde-41 513 5 2r 2r NUM ejde-41 513 6 − − NOUN ejde-41 513 7 3)b 3)b NUM ejde-41 513 8 + + CCONJ ejde-41 513 9 ( ( PUNCT ejde-41 513 10 4s+ 4s+ NUM ejde-41 513 11 2r 2r NUM ejde-41 513 12 − − NUM ejde-41 513 13 3)c 3)c NOUN ejde-41 513 14 − − PROPN ejde-41 513 15 ( ( PUNCT ejde-41 513 16 ( ( PUNCT ejde-41 513 17 s+ s+ X ejde-41 513 18 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 513 19 2)− 2)− NUM ejde-41 513 20 3)d 3)d NUM ejde-41 513 21 = = SYM ejde-41 513 22 0 0 NUM ejde-41 513 23 , , PUNCT ejde-41 513 24 2(µ(4s+ 2(µ(4s+ NUM ejde-41 513 25 2r 2r NUM ejde-41 513 26 − − NOUN ejde-41 513 27 3 3 NUM ejde-41 513 28 ) ) PUNCT ejde-41 513 29 + + CCONJ ejde-41 513 30 1)a+ 1)a+ NUM ejde-41 513 31 2(µ(2s+ 2(µ(2s+ NUM ejde-41 513 32 2r 2r NUM ejde-41 513 33 − − NOUN ejde-41 513 34 3 3 NUM ejde-41 513 35 ) ) PUNCT ejde-41 513 36 + + NUM ejde-41 513 37 1)b 1)b NUM ejde-41 513 38 +4(µ(4s+ +4(µ(4s+ ADJ ejde-41 513 39 2r 2r NUM ejde-41 513 40 − − NOUN ejde-41 513 41 3 3 NUM ejde-41 513 42 ) ) PUNCT ejde-41 513 43 + + CCONJ ejde-41 514 1 1)c 1)c NUM ejde-41 514 2 − − NOUN ejde-41 514 3 ( ( PUNCT ejde-41 514 4 p+ p+ PROPN ejde-41 514 5 2)(µ((s+ 2)(µ((s+ PROPN ejde-41 514 6 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 514 7 2)− 2)− NUM ejde-41 514 8 3 3 NUM ejde-41 514 9 ) ) PUNCT ejde-41 514 10 + + NUM ejde-41 514 11 1)d 1)d NUM ejde-41 514 12 = = SYM ejde-41 514 13 0 0 NUM ejde-41 514 14 , , PUNCT ejde-41 514 15 ( ( PUNCT ejde-41 514 16 3− 3− NUM ejde-41 514 17 2s)(µ(4s+ 2s)(µ(4s+ NUM ejde-41 514 18 2r 2r NUM ejde-41 514 19 − − NOUN ejde-41 514 20 3 3 NUM ejde-41 514 21 ) ) PUNCT ejde-41 514 22 + + CCONJ ejde-41 514 23 1)a+ 1)a+ NUM ejde-41 514 24 3(µ(2s+ 3(µ(2s+ NUM ejde-41 514 25 2r 2r NUM ejde-41 514 26 − − NOUN ejde-41 514 27 3 3 NUM ejde-41 514 28 ) ) PUNCT ejde-41 514 29 + + NUM ejde-41 514 30 1)b 1)b NUM ejde-41 514 31 + + SYM ejde-41 514 32 ( ( PUNCT ejde-41 514 33 µ(4s+ µ(4s+ ADJ ejde-41 514 34 2r 2r NUM ejde-41 514 35 − − NOUN ejde-41 514 36 3 3 NUM ejde-41 514 37 ) ) PUNCT ejde-41 514 38 + + CCONJ ejde-41 514 39 1)(3 1)(3 NUM ejde-41 515 1 + + CCONJ ejde-41 515 2 2r)c 2r)c NUM ejde-41 515 3 − − NUM ejde-41 515 4 3(µ((s+ 3(µ((s+ PROPN ejde-41 515 5 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 515 6 2)− 2)− NUM ejde-41 515 7 3 3 NUM ejde-41 515 8 ) ) PUNCT ejde-41 515 9 + + NUM ejde-41 516 1 1)d 1)d NUM ejde-41 516 2 = = SYM ejde-41 516 3 0 0 X ejde-41 516 4 . . PUNCT ejde-41 517 1 we we PRON ejde-41 517 2 now now ADV ejde-41 517 3 deal deal VERB ejde-41 517 4 with with ADP ejde-41 517 5 the the DET ejde-41 517 6 above above ADJ ejde-41 517 7 system system NOUN ejde-41 517 8 . . PUNCT ejde-41 518 1 consider consider VERB ejde-41 518 2 a a DET ejde-41 518 3 , , PUNCT ejde-41 518 4 b b NOUN ejde-41 518 5 , , PUNCT ejde-41 518 6 c c NOUN ejde-41 518 7 , , PUNCT ejde-41 518 8 d d NOUN ejde-41 518 9 as as ADP ejde-41 518 10 unknown unknown ADJ ejde-41 518 11 quantities quantity NOUN ejde-41 518 12 , , PUNCT ejde-41 518 13 and and CCONJ ejde-41 518 14 denote denote VERB ejde-41 518 15 the the DET ejde-41 518 16 coefficient coefficient NOUN ejde-41 518 17 matrix matrix NOUN ejde-41 518 18 by by ADP ejde-41 518 19 m m PROPN ejde-41 518 20 . . PUNCT ejde-41 519 1 computing compute VERB ejde-41 519 2 its its PRON ejde-41 519 3 determinant determinant ADJ ejde-41 519 4 , , PUNCT ejde-41 519 5 we we PRON ejde-41 519 6 have have VERB ejde-41 519 7 detm detm NOUN ejde-41 519 8 = = PUNCT ejde-41 519 9 −4sµp(s+ −4sµp(s+ PROPN ejde-41 519 10 r)(1 r)(1 NOUN ejde-41 520 1 + + CCONJ ejde-41 520 2 µ(4s+ µ(4s+ ADJ ejde-41 520 3 2r 2r NUM ejde-41 520 4 − − PROPN ejde-41 520 5 3))((p− 3))((p− NUM ejde-41 520 6 2)s+ 2)s+ NUM ejde-41 520 7 pr pr NOUN ejde-41 520 8 ) ) PUNCT ejde-41 520 9 . . PUNCT ejde-41 521 1 note note VERB ejde-41 521 2 that that DET ejde-41 521 3 detm detm NOUN ejde-41 521 4 = = NOUN ejde-41 521 5 0 0 NUM ejde-41 521 6 ⇐ ⇐ ADJ ejde-41 521 7 ⇒ ⇒ NOUN ejde-41 521 8 µ µ X ejde-41 521 9 = = SYM ejde-41 521 10 0 0 NUM ejde-41 521 11 , , PUNCT ejde-41 521 12 p p NOUN ejde-41 521 13 = = NOUN ejde-41 521 14 0 0 NUM ejde-41 521 15 , , PUNCT ejde-41 521 16 µ µ X ejde-41 521 17 = = SYM ejde-41 521 18 − − PROPN ejde-41 521 19 1 1 NUM ejde-41 521 20 4s+ 4s+ NUM ejde-41 521 21 2r 2r NUM ejde-41 521 22 − − NOUN ejde-41 521 23 3 3 NUM ejde-41 521 24 , , PUNCT ejde-41 521 25 ( ( PUNCT ejde-41 521 26 p− p− NOUN ejde-41 521 27 2)s+ 2)s+ NUM ejde-41 521 28 pr pr NOUN ejde-41 521 29 = = NOUN ejde-41 521 30 0 0 NUM ejde-41 521 31 . . PUNCT ejde-41 522 1 because because SCONJ ejde-41 522 2 of of ADP ejde-41 522 3 2s 2s NUM ejde-41 522 4 + + CCONJ ejde-41 522 5 2r 2r NUM ejde-41 522 6 > > SYM ejde-41 522 7 3 3 NUM ejde-41 522 8 and and CCONJ ejde-41 522 9 4s 4s NUM ejde-41 522 10 3 3 NUM ejde-41 522 11 ≤ ≤ NOUN ejde-41 522 12 p p NOUN ejde-41 522 13 < < X ejde-41 522 14 4s 4s NUM ejde-41 522 15 3−2s 3−2s NUM ejde-41 522 16 , , PUNCT ejde-41 522 17 it it PRON ejde-41 522 18 follows follow VERB ejde-41 522 19 that that SCONJ ejde-41 522 20 ( ( PUNCT ejde-41 522 21 p p X ejde-41 522 22 − − PROPN ejde-41 522 23 2)s 2)s NOUN ejde-41 522 24 + + CCONJ ejde-41 522 25 pr pr X ejde-41 522 26 > > X ejde-41 522 27 0 0 X ejde-41 522 28 . . PUNCT ejde-41 523 1 we we PRON ejde-41 523 2 will will AUX ejde-41 523 3 show show VERB ejde-41 523 4 that that SCONJ ejde-41 523 5 µ µ NOUN ejde-41 523 6 must must AUX ejde-41 523 7 be be AUX ejde-41 523 8 equal equal ADJ ejde-41 523 9 to to ADP ejde-41 523 10 zero zero NUM ejde-41 523 11 by by ADP ejde-41 523 12 excluding exclude VERB ejde-41 523 13 the the DET ejde-41 523 14 other other ADJ ejde-41 523 15 possibilities possibility NOUN ejde-41 523 16 : : PUNCT ejde-41 523 17 ( ( PUNCT ejde-41 523 18 1 1 X ejde-41 523 19 ) ) PUNCT ejde-41 523 20 if if SCONJ ejde-41 523 21 µ µ PRON ejde-41 523 22 6= 6= NUM ejde-41 523 23 0 0 NUM ejde-41 523 24 , , PUNCT ejde-41 523 25 µ µ X ejde-41 523 26 6= 6= NUM ejde-41 523 27 − − PROPN ejde-41 523 28 1 1 NUM ejde-41 523 29 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 523 30 , , PUNCT ejde-41 523 31 then then ADV ejde-41 523 32 detm detm VERB ejde-41 523 33 6= 6= ADP ejde-41 523 34 0 0 NUM ejde-41 523 35 , , PUNCT ejde-41 523 36 and and CCONJ ejde-41 523 37 hence hence ADV ejde-41 523 38 the the DET ejde-41 523 39 linear linear ADJ ejde-41 523 40 system system NOUN ejde-41 523 41 has have VERB ejde-41 523 42 a a DET ejde-41 523 43 unique unique ADJ ejde-41 523 44 solution solution NOUN ejde-41 523 45 ( ( PUNCT ejde-41 523 46 depending depend VERB ejde-41 523 47 on on ADP ejde-41 523 48 the the DET ejde-41 523 49 parameters parameter NOUN ejde-41 523 50 µ µ ADP ejde-41 523 51 , , PUNCT ejde-41 523 52 p p X ejde-41 523 53 , , PUNCT ejde-41 523 54 d(ω d(ω PROPN ejde-41 523 55 ) ) PUNCT ejde-41 523 56 ) ) PUNCT ejde-41 523 57 . . PUNCT ejde-41 524 1 applying apply VERB ejde-41 524 2 cramer cramer PROPN ejde-41 524 3 ’s ’s PART ejde-41 524 4 rule rule NOUN ejde-41 524 5 , , PUNCT ejde-41 524 6 we we PRON ejde-41 524 7 obtain obtain VERB ejde-41 524 8 d d ADP ejde-41 524 9 = = SYM ejde-41 524 10 −d(ω)(4s+ −d(ω)(4s+ PROPN ejde-41 525 1 2r 2r NUM ejde-41 526 1 − − PUNCT ejde-41 526 2 3)(2s+ 3)(2s+ NUM ejde-41 527 1 2r 2r NUM ejde-41 527 2 − − NOUN ejde-41 527 3 3 3 NUM ejde-41 527 4 ) ) PUNCT ejde-41 527 5 p(s+ p(s+ NOUN ejde-41 527 6 r)((p− r)((p− VERB ejde-41 527 7 2)s+ 2)s+ NUM ejde-41 527 8 pr pr NOUN ejde-41 527 9 ) ) PUNCT ejde-41 527 10 < < X ejde-41 527 11 0 0 NUM ejde-41 527 12 , , PUNCT ejde-41 527 13 which which PRON ejde-41 527 14 contradicts contradict VERB ejde-41 527 15 d d PROPN ejde-41 527 16 > > X ejde-41 527 17 0 0 NUM ejde-41 527 18 . . PUNCT ejde-41 528 1 ( ( PUNCT ejde-41 528 2 2 2 X ejde-41 528 3 ) ) PUNCT ejde-41 528 4 if if SCONJ ejde-41 528 5 µ µ X ejde-41 528 6 = = SYM ejde-41 528 7 − − PROPN ejde-41 528 8 1 1 NUM ejde-41 528 9 4s+2r−3 4s+2r−3 NUM ejde-41 528 10 , , PUNCT ejde-41 528 11 then then ADV ejde-41 528 12 the the DET ejde-41 528 13 third third ADJ ejde-41 528 14 equation equation NOUN ejde-41 528 15 reads read VERB ejde-41 528 16 4sb 4sb NOUN ejde-41 529 1 + + CCONJ ejde-41 529 2 ( ( PUNCT ejde-41 529 3 p+ p+ PROPN ejde-41 529 4 2)(s(p− 2)(s(p− NUM ejde-41 529 5 2 2 NUM ejde-41 529 6 ) ) PUNCT ejde-41 529 7 + + NUM ejde-41 529 8 pr)d pr)d NOUN ejde-41 529 9 = = SYM ejde-41 529 10 0 0 NUM ejde-41 529 11 , , PUNCT ejde-41 529 12 which which PRON ejde-41 529 13 contradicts contradict VERB ejde-41 529 14 b b PROPN ejde-41 529 15 , , PUNCT ejde-41 529 16 d d X ejde-41 529 17 > > X ejde-41 529 18 0 0 NUM ejde-41 529 19 . . PUNCT ejde-41 530 1 thus thus ADV ejde-41 530 2 , , PUNCT ejde-41 530 3 µ µ X ejde-41 530 4 = = SYM ejde-41 530 5 0 0 NUM ejde-41 530 6 and and CCONJ ejde-41 530 7 s′ω(u s′ω(u NOUN ejde-41 530 8 ) ) PUNCT ejde-41 530 9 = = SYM ejde-41 530 10 0 0 X ejde-41 530 11 . . PUNCT ejde-41 530 12 � � PROPN ejde-41 530 13 18 18 NUM ejde-41 530 14 y. y. PROPN ejde-41 530 15 mo mo PROPN ejde-41 530 16 , , PUNCT ejde-41 530 17 m. m. PROPN ejde-41 530 18 zhu zhu PROPN ejde-41 530 19 , , PUNCT ejde-41 530 20 b. b. PROPN ejde-41 530 21 feng feng PROPN ejde-41 530 22 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 530 23 we we PRON ejde-41 530 24 now now ADV ejde-41 530 25 denote denote VERB ejde-41 530 26 the the DET ejde-41 530 27 set set NOUN ejde-41 530 28 of of ADP ejde-41 530 29 all all DET ejde-41 530 30 minimizers minimizer NOUN ejde-41 530 31 of of ADP ejde-41 530 32 ( ( PUNCT ejde-41 530 33 5.1 5.1 NUM ejde-41 530 34 ) ) PUNCT ejde-41 530 35 by by ADP ejde-41 530 36 mω mω NOUN ejde-41 530 37 = = SYM ejde-41 530 38 { { PUNCT ejde-41 530 39 u u NOUN ejde-41 530 40 ∈ ∈ PROPN ejde-41 530 41 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 530 42 } } PUNCT ejde-41 530 43 : : PUNCT ejde-41 530 44 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 530 45 ) ) PUNCT ejde-41 530 46 = = SYM ejde-41 530 47 d(ω d(ω PROPN ejde-41 530 48 ) ) PUNCT ejde-41 530 49 , , PUNCT ejde-41 530 50 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 530 51 ) ) PUNCT ejde-41 530 52 = = PUNCT ejde-41 530 53 0 0 NUM ejde-41 530 54 } } PUNCT ejde-41 530 55 . . PUNCT ejde-41 531 1 lemma lemma PROPN ejde-41 531 2 5.5 5.5 NUM ejde-41 531 3 . . PUNCT ejde-41 532 1 mω mω PROPN ejde-41 532 2 ⊆ ⊆ NUM ejde-41 532 3 gω gω PROPN ejde-41 532 4 . . PUNCT ejde-41 533 1 proof proof NOUN ejde-41 533 2 . . PUNCT ejde-41 534 1 let let VERB ejde-41 534 2 u u PRON ejde-41 534 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 534 4 mω mω NOUN ejde-41 534 5 . . PUNCT ejde-41 535 1 it it PRON ejde-41 535 2 follows follow VERB ejde-41 535 3 from from ADP ejde-41 535 4 lemma lemma PROPN ejde-41 535 5 5.4 5.4 NUM ejde-41 535 6 that that DET ejde-41 535 7 s′ω(u s′ω(u NOUN ejde-41 535 8 ) ) PUNCT ejde-41 535 9 = = SYM ejde-41 536 1 0 0 X ejde-41 536 2 . . PUNCT ejde-41 537 1 in in ADP ejde-41 537 2 particular particular ADJ ejde-41 537 3 , , PUNCT ejde-41 537 4 we we PRON ejde-41 537 5 have have VERB ejde-41 537 6 u u NOUN ejde-41 537 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 537 8 aω aω PROPN ejde-41 537 9 . . PUNCT ejde-41 537 10 to to PART ejde-41 537 11 prove prove VERB ejde-41 537 12 u u PRON ejde-41 537 13 ∈ ∈ PROPN ejde-41 537 14 gω gω PROPN ejde-41 537 15 , , PUNCT ejde-41 537 16 it it PRON ejde-41 537 17 remains remain VERB ejde-41 537 18 to to PART ejde-41 537 19 show show VERB ejde-41 537 20 that that SCONJ ejde-41 537 21 sω(u sω(u NOUN ejde-41 537 22 ) ) PUNCT ejde-41 537 23 ≤ ≤ NUM ejde-41 537 24 sω(v sω(v NOUN ejde-41 537 25 ) ) PUNCT ejde-41 537 26 for for ADP ejde-41 537 27 all all DET ejde-41 537 28 v v ADP ejde-41 537 29 ∈ ∈ PROPN ejde-41 537 30 aω aω PROPN ejde-41 537 31 . . PUNCT ejde-41 537 32 to to PART ejde-41 537 33 see see VERB ejde-41 537 34 this this PRON ejde-41 537 35 , , PUNCT ejde-41 537 36 we we PRON ejde-41 537 37 notice notice VERB ejde-41 537 38 that that SCONJ ejde-41 537 39 kω(v kω(v PROPN ejde-41 537 40 ) ) PUNCT ejde-41 537 41 = = SYM ejde-41 537 42 ( ( PUNCT ejde-41 537 43 s+ s+ PUNCT ejde-41 537 44 r)〈s′ω(v r)〈s′ω(v PROPN ejde-41 537 45 ) ) PUNCT ejde-41 537 46 , , PUNCT ejde-41 537 47 v v NOUN ejde-41 537 48 〉 〉 NOUN ejde-41 537 49 − − NOUN ejde-41 537 50 iω(v iω(v NOUN ejde-41 537 51 ) ) PUNCT ejde-41 537 52 = = SYM ejde-41 537 53 0 0 NUM ejde-41 537 54 for for SCONJ ejde-41 537 55 all all DET ejde-41 537 56 v v ADP ejde-41 537 57 ∈ ∈ PROPN ejde-41 537 58 aω aω NOUN ejde-41 537 59 , , PUNCT ejde-41 537 60 where where SCONJ ejde-41 537 61 iω(v iω(v NOUN ejde-41 537 62 ) ) PUNCT ejde-41 537 63 is be AUX ejde-41 537 64 defined define VERB ejde-41 537 65 by by ADP ejde-41 537 66 ( ( PUNCT ejde-41 537 67 2.3 2.3 NUM ejde-41 537 68 ) ) PUNCT ejde-41 537 69 . . PUNCT ejde-41 538 1 by by ADP ejde-41 538 2 definition definition NOUN ejde-41 538 3 of of ADP ejde-41 538 4 d(ω d(ω PROPN ejde-41 538 5 ) ) PUNCT ejde-41 538 6 , , PUNCT ejde-41 538 7 we we PRON ejde-41 538 8 have have VERB ejde-41 538 9 sω(u sω(u ADV ejde-41 538 10 ) ) PUNCT ejde-41 538 11 ≤ ≤ NUM ejde-41 538 12 sω(v sω(v NOUN ejde-41 538 13 ) ) PUNCT ejde-41 538 14 . . PUNCT ejde-41 539 1 thus thus ADV ejde-41 539 2 , , PUNCT ejde-41 539 3 u u PROPN ejde-41 539 4 ∈ ∈ PROPN ejde-41 539 5 gω gω PROPN ejde-41 539 6 . . PUNCT ejde-41 539 7 � � PROPN ejde-41 539 8 lemma lemma PROPN ejde-41 539 9 5.6 5.6 NUM ejde-41 539 10 . . PUNCT ejde-41 540 1 gω gω PROPN ejde-41 540 2 ⊂mω ⊂mω NOUN ejde-41 540 3 . . PUNCT ejde-41 541 1 proof proof NOUN ejde-41 541 2 . . PUNCT ejde-41 542 1 let let VERB ejde-41 542 2 u u PRON ejde-41 542 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 542 4 gω gω PROPN ejde-41 542 5 . . PUNCT ejde-41 543 1 since since SCONJ ejde-41 543 2 mω mω NOUN ejde-41 543 3 is be AUX ejde-41 543 4 not not PART ejde-41 543 5 empty empty ADJ ejde-41 543 6 , , PUNCT ejde-41 543 7 we we PRON ejde-41 543 8 take take VERB ejde-41 543 9 v v NUM ejde-41 543 10 ∈ ∈ PROPN ejde-41 543 11 mω mω NOUN ejde-41 543 12 . . PUNCT ejde-41 544 1 by by ADP ejde-41 544 2 lemma lemma PROPN ejde-41 544 3 5.5 5.5 NUM ejde-41 544 4 , , PUNCT ejde-41 544 5 v v NOUN ejde-41 544 6 ∈ ∈ PROPN ejde-41 544 7 gω gω PROPN ejde-41 544 8 . . PUNCT ejde-41 545 1 in in ADP ejde-41 545 2 particular particular ADJ ejde-41 545 3 , , PUNCT ejde-41 545 4 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 545 5 ) ) PUNCT ejde-41 545 6 = = SYM ejde-41 545 7 sω(v sω(v NOUN ejde-41 545 8 ) ) PUNCT ejde-41 545 9 . . PUNCT ejde-41 546 1 since since SCONJ ejde-41 546 2 v v ADP ejde-41 546 3 ∈mω ∈mω NOUN ejde-41 546 4 , , PUNCT ejde-41 546 5 we we PRON ejde-41 546 6 obtain obtain VERB ejde-41 546 7 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 546 8 ) ) PUNCT ejde-41 546 9 = = SYM ejde-41 546 10 sω(v sω(v X ejde-41 546 11 ) ) PUNCT ejde-41 546 12 = = SYM ejde-41 546 13 d(ω d(ω PROPN ejde-41 546 14 ) ) PUNCT ejde-41 546 15 . . PUNCT ejde-41 547 1 it it PRON ejde-41 547 2 remains remain VERB ejde-41 547 3 to to PART ejde-41 547 4 show show VERB ejde-41 547 5 that that PRON ejde-41 547 6 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 547 7 ) ) PUNCT ejde-41 547 8 = = SYM ejde-41 548 1 0 0 X ejde-41 548 2 . . PUNCT ejde-41 549 1 since since SCONJ ejde-41 549 2 u u PROPN ejde-41 549 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 549 4 aω aω PROPN ejde-41 549 5 , , PUNCT ejde-41 549 6 we we PRON ejde-41 549 7 have have AUX ejde-41 549 8 s′ω(u s′ω(u VERB ejde-41 549 9 ) ) PUNCT ejde-41 550 1 = = SYM ejde-41 550 2 0 0 NUM ejde-41 550 3 and and CCONJ ejde-41 550 4 iω(u iω(u NUM ejde-41 550 5 ) ) PUNCT ejde-41 551 1 = = SYM ejde-41 551 2 0 0 NUM ejde-41 551 3 , , PUNCT ejde-41 551 4 hence hence ADV ejde-41 551 5 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 551 6 ) ) PUNCT ejde-41 551 7 = = SYM ejde-41 551 8 ( ( PUNCT ejde-41 551 9 s+ s+ X ejde-41 551 10 r)〈s′ω(u r)〈s′ω(u PROPN ejde-41 551 11 ) ) PUNCT ejde-41 551 12 , , PUNCT ejde-41 551 13 u u NOUN ejde-41 551 14 〉 〉 NOUN ejde-41 551 15 − − NOUN ejde-41 551 16 iω(u iω(u NUM ejde-41 551 17 ) ) PUNCT ejde-41 551 18 = = SYM ejde-41 552 1 0 0 X ejde-41 552 2 . . PUNCT ejde-41 553 1 therefore therefore ADV ejde-41 553 2 , , PUNCT ejde-41 553 3 u u PROPN ejde-41 553 4 ∈mω ∈mω PROPN ejde-41 553 5 . . PUNCT ejde-41 553 6 � � PROPN ejde-41 553 7 proof proof NOUN ejde-41 553 8 of of ADP ejde-41 553 9 proposition proposition NOUN ejde-41 553 10 5.1 5.1 NUM ejde-41 553 11 . . PUNCT ejde-41 554 1 it it PRON ejde-41 554 2 follows follow VERB ejde-41 554 3 immediately immediately ADV ejde-41 554 4 from from ADP ejde-41 554 5 lemmas lemmas PROPN ejde-41 554 6 5.3 5.3 NUM ejde-41 554 7 , , PUNCT ejde-41 554 8 5.5 5.5 NUM ejde-41 554 9 , , PUNCT ejde-41 554 10 and and CCONJ ejde-41 554 11 5.6 5.6 NUM ejde-41 554 12 . . PUNCT ejde-41 554 13 � � PROPN ejde-41 554 14 when when SCONJ ejde-41 554 15 4s 4s NUM ejde-41 554 16 3 3 NUM ejde-41 554 17 ≤ ≤ NOUN ejde-41 555 1 p p NOUN ejde-41 555 2 < < X ejde-41 555 3 4s 4s NUM ejde-41 555 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 555 5 , , PUNCT ejde-41 555 6 to to PART ejde-41 555 7 study study VERB ejde-41 555 8 the the DET ejde-41 555 9 strong strong ADJ ejde-41 555 10 instability instability NOUN ejde-41 555 11 of of ADP ejde-41 555 12 standing standing ADJ ejde-41 555 13 waves wave NOUN ejde-41 555 14 for for ADP ejde-41 555 15 ( ( PUNCT ejde-41 555 16 1.4 1.4 NUM ejde-41 555 17 ) ) PUNCT ejde-41 555 18 , , PUNCT ejde-41 555 19 we we PRON ejde-41 555 20 need need VERB ejde-41 555 21 to to PART ejde-41 555 22 establish establish VERB ejde-41 555 23 the the DET ejde-41 555 24 following follow VERB ejde-41 555 25 characterization characterization NOUN ejde-41 555 26 of of ADP ejde-41 555 27 the the DET ejde-41 555 28 ground ground NOUN ejde-41 555 29 state state NOUN ejde-41 555 30 related relate VERB ejde-41 555 31 to to ADP ejde-41 555 32 ( ( PUNCT ejde-41 555 33 1.12 1.12 NUM ejde-41 555 34 ) ) PUNCT ejde-41 555 35 . . PUNCT ejde-41 556 1 lemma lemma PROPN ejde-41 556 2 5.7 5.7 NUM ejde-41 556 3 . . PUNCT ejde-41 557 1 let let VERB ejde-41 557 2 ω ω PROPN ejde-41 557 3 > > X ejde-41 557 4 0 0 PROPN ejde-41 557 5 , , PUNCT ejde-41 557 6 2s 2s PROPN ejde-41 557 7 + + X ejde-41 557 8 2r 2r NUM ejde-41 557 9 > > X ejde-41 557 10 3 3 NUM ejde-41 557 11 , , PUNCT ejde-41 558 1 4s 4s NUM ejde-41 558 2 3 3 NUM ejde-41 558 3 ≤ ≤ NOUN ejde-41 559 1 p p NOUN ejde-41 559 2 < < X ejde-41 559 3 4s 4s NUM ejde-41 559 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 559 5 , , PUNCT ejde-41 559 6 and and CCONJ ejde-41 559 7 u u PRON ejde-41 559 8 be be VERB ejde-41 559 9 the the DET ejde-41 559 10 ground ground NOUN ejde-41 559 11 state state NOUN ejde-41 559 12 related relate VERB ejde-41 559 13 to to ADP ejde-41 559 14 ( ( PUNCT ejde-41 559 15 1.12 1.12 NUM ejde-41 559 16 ) ) PUNCT ejde-41 559 17 . . PUNCT ejde-41 560 1 then then ADV ejde-41 560 2 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 560 3 ) ) PUNCT ejde-41 560 4 = = SYM ejde-41 560 5 inf{sω(v inf{sω(v PROPN ejde-41 560 6 ) ) PUNCT ejde-41 560 7 : : PUNCT ejde-41 560 8 v v X ejde-41 560 9 ∈ ∈ PROPN ejde-41 560 10 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 560 11 } } PUNCT ejde-41 560 12 , , PUNCT ejde-41 560 13 q(v q(v NOUN ejde-41 560 14 ) ) PUNCT ejde-41 560 15 = = PUNCT ejde-41 561 1 0 0 NUM ejde-41 561 2 } } PUNCT ejde-41 561 3 . . PUNCT ejde-41 562 1 ( ( PUNCT ejde-41 562 2 5.11 5.11 NUM ejde-41 562 3 ) ) PUNCT ejde-41 562 4 proof proof NOUN ejde-41 562 5 . . PUNCT ejde-41 563 1 firstly firstly ADV ejde-41 563 2 , , PUNCT ejde-41 563 3 we we PRON ejde-41 563 4 claim claim VERB ejde-41 563 5 that that SCONJ ejde-41 563 6 the the DET ejde-41 563 7 minimizing minimizing NOUN ejde-41 563 8 problem problem NOUN ejde-41 563 9 in in ADP ejde-41 563 10 ( ( PUNCT ejde-41 563 11 5.11 5.11 NUM ejde-41 563 12 ) ) PUNCT ejde-41 563 13 is be AUX ejde-41 563 14 well well ADV ejde-41 563 15 - - PUNCT ejde-41 563 16 defined define VERB ejde-41 563 17 . . PUNCT ejde-41 564 1 let let VERB ejde-41 564 2 v v NUM ejde-41 564 3 ∈ ∈ NOUN ejde-41 564 4 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 564 5 } } PUNCT ejde-41 564 6 and and CCONJ ejde-41 564 7 q(v q(v NOUN ejde-41 564 8 ) ) PUNCT ejde-41 565 1 = = SYM ejde-41 566 1 0 0 X ejde-41 566 2 . . PUNCT ejde-41 567 1 if if SCONJ ejde-41 567 2 p p NOUN ejde-41 567 3 = = NOUN ejde-41 567 4 4s 4s NUM ejde-41 567 5 3 3 NUM ejde-41 567 6 , , PUNCT ejde-41 567 7 then then ADV ejde-41 567 8 sω(v sω(v NUM ejde-41 567 9 ) ) PUNCT ejde-41 567 10 = = SYM ejde-41 567 11 sω(v)− sω(v)− NOUN ejde-41 567 12 1 1 NUM ejde-41 567 13 2s 2s PROPN ejde-41 567 14 q(v q(v NOUN ejde-41 567 15 ) ) PUNCT ejde-41 568 1 = = PUNCT ejde-41 568 2 ω ω NUM ejde-41 568 3 2 2 NUM ejde-41 568 4 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 568 5 + + NUM ejde-41 568 6 2s+ 2s+ NUM ejde-41 568 7 2r 2r NUM ejde-41 568 8 − − NOUN ejde-41 568 9 3 3 NUM ejde-41 568 10 8s 8s NUM ejde-41 568 11 ∫ ∫ PROPN ejde-41 568 12 r3 r3 PROPN ejde-41 568 13 ( ( PUNCT ejde-41 568 14 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 568 15 ) ) PUNCT ejde-41 568 16 ∗ ∗ NOUN ejde-41 568 17 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx X ejde-41 568 18 > > X ejde-41 568 19 0 0 NUM ejde-41 568 20 . . PUNCT ejde-41 568 21 ( ( PUNCT ejde-41 568 22 5.12 5.12 NUM ejde-41 568 23 ) ) PUNCT ejde-41 568 24 and and CCONJ ejde-41 568 25 if if SCONJ ejde-41 568 26 4s 4s NUM ejde-41 568 27 3 3 NUM ejde-41 568 28 < < X ejde-41 568 29 p p X ejde-41 568 30 < < X ejde-41 568 31 4s 4s NUM ejde-41 568 32 3−2s 3−2s NUM ejde-41 568 33 , , PUNCT ejde-41 568 34 then then ADV ejde-41 568 35 sω(v sω(v NUM ejde-41 568 36 ) ) PUNCT ejde-41 568 37 = = SYM ejde-41 568 38 sω(v)− sω(v)− PROPN ejde-41 568 39 2 2 NUM ejde-41 568 40 3p 3p NUM ejde-41 568 41 q(v q(v NOUN ejde-41 568 42 ) ) PUNCT ejde-41 568 43 = = SYM ejde-41 569 1 3p− 3p− PROPN ejde-41 569 2 4s 4s NUM ejde-41 569 3 6p 6p NUM ejde-41 569 4 ‖v‖2 ‖v‖2 NOUN ejde-41 569 5 ḣs ḣs NOUN ejde-41 569 6 + + CCONJ ejde-41 569 7 ω ω NUM ejde-41 569 8 2 2 NUM ejde-41 569 9 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 569 10 + + NUM ejde-41 569 11 3p+ 3p+ NUM ejde-41 569 12 4t− 4t− PROPN ejde-41 569 13 6 6 NUM ejde-41 569 14 12p 12p NUM ejde-41 569 15 ∫ ∫ PROPN ejde-41 569 16 r3 r3 PROPN ejde-41 569 17 ( ( PUNCT ejde-41 569 18 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 569 19 ) ) PUNCT ejde-41 569 20 ∗ ∗ NOUN ejde-41 569 21 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx X ejde-41 569 22 > > X ejde-41 569 23 0 0 NUM ejde-41 569 24 . . PUNCT ejde-41 570 1 ( ( PUNCT ejde-41 570 2 5.13 5.13 NUM ejde-41 570 3 ) ) PUNCT ejde-41 570 4 thus thus ADV ejde-41 570 5 we we PRON ejde-41 570 6 denote denote VERB ejde-41 570 7 d d X ejde-41 570 8 : : PUNCT ejde-41 570 9 = = SYM ejde-41 570 10 inf{sω(v inf{sω(v PROPN ejde-41 570 11 ) ) PUNCT ejde-41 570 12 : : PUNCT ejde-41 571 1 v v X ejde-41 571 2 ∈ ∈ PROPN ejde-41 571 3 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 571 4 } } PUNCT ejde-41 571 5 , , PUNCT ejde-41 571 6 q(v q(v NOUN ejde-41 571 7 ) ) PUNCT ejde-41 571 8 = = PUNCT ejde-41 571 9 0 0 NUM ejde-41 571 10 } } PUNCT ejde-41 571 11 . . PUNCT ejde-41 572 1 firstly firstly ADV ejde-41 572 2 , , PUNCT ejde-41 572 3 we we PRON ejde-41 572 4 deduce deduce VERB ejde-41 572 5 from from ADP ejde-41 572 6 ( ( PUNCT ejde-41 572 7 2.2 2.2 NUM ejde-41 572 8 ) ) PUNCT ejde-41 572 9 and and CCONJ ejde-41 572 10 ( ( PUNCT ejde-41 572 11 2.3 2.3 NUM ejde-41 572 12 ) ) PUNCT ejde-41 573 1 that that PRON ejde-41 573 2 kω(u kω(u PUNCT ejde-41 573 3 ) ) PUNCT ejde-41 573 4 = = PUNCT ejde-41 573 5 q(u q(u X ejde-41 573 6 ) ) PUNCT ejde-41 573 7 = = SYM ejde-41 573 8 0 0 X ejde-41 573 9 . . PUNCT ejde-41 573 10 by by ADP ejde-41 573 11 the the DET ejde-41 573 12 definition definition NOUN ejde-41 573 13 of of ADP ejde-41 573 14 d d PROPN ejde-41 573 15 , , PUNCT ejde-41 573 16 we we PRON ejde-41 573 17 have have VERB ejde-41 573 18 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 573 19 ) ) PUNCT ejde-41 573 20 ≥ ≥ PROPN ejde-41 574 1 d. d. PROPN ejde-41 574 2 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 574 3 blow blow VERB ejde-41 574 4 - - PUNCT ejde-41 574 5 up up ADP ejde-41 574 6 criteria criterion NOUN ejde-41 574 7 and and CCONJ ejde-41 574 8 instability instability NOUN ejde-41 574 9 of of ADP ejde-41 574 10 standing standing ADJ ejde-41 574 11 waves wave NOUN ejde-41 574 12 19 19 NUM ejde-41 574 13 let let VERB ejde-41 574 14 v v ADP ejde-41 574 15 ∈ ∈ PROPN ejde-41 574 16 hs\{0 hs\{0 PROPN ejde-41 574 17 } } PUNCT ejde-41 574 18 be be VERB ejde-41 574 19 such such ADJ ejde-41 574 20 that that DET ejde-41 574 21 q(v q(v NOUN ejde-41 574 22 ) ) PUNCT ejde-41 574 23 = = PUNCT ejde-41 575 1 0 0 X ejde-41 575 2 . . PUNCT ejde-41 576 1 if if SCONJ ejde-41 576 2 kω(v kω(v PROPN ejde-41 576 3 ) ) PUNCT ejde-41 576 4 = = SYM ejde-41 576 5 0 0 NUM ejde-41 576 6 , , PUNCT ejde-41 576 7 then then ADV ejde-41 576 8 it it PRON ejde-41 576 9 follows follow VERB ejde-41 576 10 from from ADP ejde-41 576 11 proposition proposition NOUN ejde-41 576 12 5.1 5.1 NUM ejde-41 576 13 that that PRON ejde-41 576 14 sω(v sω(v X ejde-41 576 15 ) ) PUNCT ejde-41 576 16 ≥ ≥ NOUN ejde-41 576 17 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 576 18 ) ) PUNCT ejde-41 576 19 . . PUNCT ejde-41 577 1 if if SCONJ ejde-41 577 2 kω(v kω(v NOUN ejde-41 577 3 ) ) PUNCT ejde-41 577 4 6= 6= ADP ejde-41 577 5 0 0 NUM ejde-41 577 6 , , PUNCT ejde-41 577 7 we we PRON ejde-41 577 8 notice notice VERB ejde-41 577 9 that that SCONJ ejde-41 577 10 kω(vλ kω(vλ NOUN ejde-41 577 11 ) ) PUNCT ejde-41 578 1 = = SYM ejde-41 579 1 4s+ 4s+ NUM ejde-41 580 1 2r 2r NUM ejde-41 580 2 − − NOUN ejde-41 580 3 3 3 NUM ejde-41 580 4 2 2 NUM ejde-41 580 5 λ2s‖v‖2 λ2s‖v‖2 NOUN ejde-41 580 6 ḣs ḣs NOUN ejde-41 580 7 + + NUM ejde-41 580 8 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 581 1 2r 2r NUM ejde-41 581 2 − − NOUN ejde-41 581 3 3 3 NUM ejde-41 581 4 ) ) PUNCT ejde-41 581 5 2 2 NUM ejde-41 581 6 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 582 1 + + CCONJ ejde-41 582 2 4s+ 4s+ NUM ejde-41 582 3 2r 2r NUM ejde-41 582 4 − − NOUN ejde-41 582 5 3 3 NUM ejde-41 582 6 4 4 NUM ejde-41 582 7 λ3−2r λ3−2r PROPN ejde-41 582 8 ∫ ∫ PROPN ejde-41 582 9 r3 r3 PROPN ejde-41 582 10 ( ( PUNCT ejde-41 582 11 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 582 12 ) ) PUNCT ejde-41 582 13 ∗ ∗ VERB ejde-41 582 14 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx ADJ ejde-41 582 15 − − PROPN ejde-41 582 16 ( ( PUNCT ejde-41 582 17 s+ s+ NUM ejde-41 582 18 r)(p+ r)(p+ PROPN ejde-41 582 19 2)− 2)− NUM ejde-41 582 20 3 3 NUM ejde-41 582 21 p+ p+ NOUN ejde-41 582 22 2 2 NUM ejde-41 582 23 λ λ NOUN ejde-41 582 24 3p 3p NUM ejde-41 582 25 2 2 NUM ejde-41 582 26 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 ADJ ejde-41 582 27 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 582 28 , , PUNCT ejde-41 582 29 where where SCONJ ejde-41 582 30 vλ(x vλ(x VERB ejde-41 582 31 ) ) PUNCT ejde-41 582 32 : : PUNCT ejde-41 583 1 = = NOUN ejde-41 583 2 λ3/2v(λx λ3/2v(λx NOUN ejde-41 583 3 ) ) PUNCT ejde-41 583 4 . . PUNCT ejde-41 584 1 when when SCONJ ejde-41 584 2 4s 4s NUM ejde-41 584 3 3 3 NUM ejde-41 584 4 < < X ejde-41 584 5 p p X ejde-41 584 6 < < X ejde-41 584 7 4s 4s NUM ejde-41 584 8 3−2s 3−2s NUM ejde-41 584 9 , , PUNCT ejde-41 584 10 we we PRON ejde-41 584 11 have have VERB ejde-41 584 12 lim lim PROPN ejde-41 584 13 λ→0 λ→0 PROPN ejde-41 584 14 kω(vλ kω(vλ PROPN ejde-41 584 15 ) ) PUNCT ejde-41 585 1 = = SYM ejde-41 585 2 ω(2s+ ω(2s+ NOUN ejde-41 585 3 2r 2r NUM ejde-41 585 4 − − NOUN ejde-41 585 5 3 3 NUM ejde-41 585 6 ) ) PUNCT ejde-41 585 7 2 2 NUM ejde-41 585 8 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 585 9 > > X ejde-41 585 10 0 0 NUM ejde-41 585 11 , , PUNCT ejde-41 585 12 and and CCONJ ejde-41 585 13 lim lim PROPN ejde-41 585 14 λ→∞ λ→∞ NUM ejde-41 585 15 kω(vλ kω(vλ PROPN ejde-41 585 16 ) ) PUNCT ejde-41 585 17 < < X ejde-41 585 18 0 0 X ejde-41 585 19 . . PUNCT ejde-41 585 20 ( ( PUNCT ejde-41 585 21 5.14 5.14 NUM ejde-41 585 22 ) ) PUNCT ejde-41 585 23 when when SCONJ ejde-41 585 24 p p PROPN ejde-41 585 25 = = PROPN ejde-41 585 26 4s/3 4s/3 NUM ejde-41 585 27 , , PUNCT ejde-41 585 28 it it PRON ejde-41 585 29 follows follow VERB ejde-41 585 30 from from ADP ejde-41 585 31 q(v q(v PROPN ejde-41 585 32 ) ) PUNCT ejde-41 586 1 = = PUNCT ejde-41 586 2 0 0 NUM ejde-41 586 3 that that SCONJ ejde-41 586 4 s‖v‖2 s‖v‖2 AUX ejde-41 586 5 ḣs ḣs PROPN ejde-41 586 6 < < X ejde-41 586 7 3p 3p NUM ejde-41 586 8 2(p+ 2(p+ NUM ejde-41 586 9 2 2 NUM ejde-41 586 10 ) ) PUNCT ejde-41 586 11 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 PROPN ejde-41 586 12 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 586 13 , , PUNCT ejde-41 586 14 which which PRON ejde-41 586 15 implies imply VERB ejde-41 586 16 that that SCONJ ejde-41 586 17 ( ( PUNCT ejde-41 586 18 5.14 5.14 NUM ejde-41 586 19 ) ) PUNCT ejde-41 586 20 holds hold VERB ejde-41 586 21 . . PUNCT ejde-41 587 1 thus thus ADV ejde-41 587 2 , , PUNCT ejde-41 587 3 there there PRON ejde-41 587 4 exists exist VERB ejde-41 587 5 λ0 λ0 NOUN ejde-41 587 6 > > X ejde-41 587 7 0 0 NUM ejde-41 587 8 such such ADJ ejde-41 587 9 that that SCONJ ejde-41 587 10 kω(vλ0 kω(vλ0 PROPN ejde-41 587 11 ) ) PUNCT ejde-41 588 1 = = PUNCT ejde-41 588 2 0 0 X ejde-41 588 3 . . PUNCT ejde-41 589 1 this this PRON ejde-41 589 2 implies imply VERB ejde-41 589 3 that that SCONJ ejde-41 589 4 sω(vλ0 sω(vλ0 NOUN ejde-41 589 5 ) ) PUNCT ejde-41 589 6 ≥ ≥ NOUN ejde-41 589 7 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 589 8 ) ) PUNCT ejde-41 589 9 . . PUNCT ejde-41 590 1 on on ADP ejde-41 590 2 the the DET ejde-41 590 3 other other ADJ ejde-41 590 4 hand hand NOUN ejde-41 590 5 , , PUNCT ejde-41 590 6 by by ADP ejde-41 590 7 some some DET ejde-41 590 8 basic basic ADJ ejde-41 590 9 calculations calculation NOUN ejde-41 590 10 , , PUNCT ejde-41 590 11 we we PRON ejde-41 590 12 have have VERB ejde-41 590 13 ∂λsω(vλ ∂λsω(vλ X ejde-41 590 14 ) ) PUNCT ejde-41 591 1 = = SYM ejde-41 591 2 sλ2s−1‖v‖2 sλ2s−1‖v‖2 NUM ejde-41 591 3 ḣs ḣs PROPN ejde-41 591 4 + + CCONJ ejde-41 591 5 3− 3− NUM ejde-41 591 6 2r 2r NUM ejde-41 591 7 4 4 NUM ejde-41 591 8 λ2−2r λ2−2r PROPN ejde-41 591 9 ∫ ∫ PROPN ejde-41 591 10 r3 r3 PROPN ejde-41 591 11 ( ( PUNCT ejde-41 591 12 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 591 13 ) ) PUNCT ejde-41 591 14 ∗ ∗ VERB ejde-41 591 15 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx X ejde-41 591 16 − − X ejde-41 591 17 λ λ SYM ejde-41 591 18 3p 3p NUM ejde-41 591 19 2 2 NUM ejde-41 591 20 −1 −1 NOUN ejde-41 591 21 p+ p+ VERB ejde-41 591 22 2 2 NUM ejde-41 591 23 3p 3p NUM ejde-41 591 24 2 2 NUM ejde-41 591 25 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 ADJ ejde-41 591 26 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 591 27 = = PUNCT ejde-41 591 28 q(vλ q(vλ NOUN ejde-41 591 29 ) ) PUNCT ejde-41 592 1 λ λ NOUN ejde-41 592 2 . . PUNCT ejde-41 593 1 next next ADV ejde-41 593 2 , , PUNCT ejde-41 593 3 we we PRON ejde-41 593 4 define define VERB ejde-41 593 5 f(λ f(λ NOUN ejde-41 593 6 ) ) PUNCT ejde-41 593 7 : : PUNCT ejde-41 593 8 = = SYM ejde-41 593 9 q(vλ q(vλ NOUN ejde-41 593 10 ) ) PUNCT ejde-41 593 11 = = SYM ejde-41 593 12 sλ2s‖v‖2 sλ2s‖v‖2 NOUN ejde-41 593 13 ḣs ḣs NOUN ejde-41 593 14 + + CCONJ ejde-41 593 15 3− 3− NUM ejde-41 593 16 2r 2r NUM ejde-41 593 17 4 4 NUM ejde-41 593 18 λ3−2r λ3−2r PROPN ejde-41 593 19 ∫ ∫ PROPN ejde-41 593 20 r3 r3 PROPN ejde-41 593 21 ( ( PUNCT ejde-41 593 22 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 593 23 ) ) PUNCT ejde-41 593 24 ∗ ∗ NOUN ejde-41 593 25 |v|2)|v|2dx− |v|2)|v|2dx− PUNCT ejde-41 594 1 λ λ NOUN ejde-41 594 2 3p 3p NUM ejde-41 594 3 2 2 NUM ejde-41 594 4 p+ p+ NOUN ejde-41 594 5 2 2 NUM ejde-41 594 6 3p 3p NUM ejde-41 594 7 2 2 NUM ejde-41 594 8 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 VERB ejde-41 594 9 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 594 10 . . PUNCT ejde-41 595 1 when when SCONJ ejde-41 595 2 p p NOUN ejde-41 595 3 = = NOUN ejde-41 595 4 4s 4s NUM ejde-41 595 5 3 3 NUM ejde-41 595 6 , , PUNCT ejde-41 595 7 it it PRON ejde-41 595 8 follows follow VERB ejde-41 595 9 from from ADP ejde-41 595 10 q(v q(v PROPN ejde-41 595 11 ) ) PUNCT ejde-41 596 1 = = PUNCT ejde-41 596 2 0 0 NUM ejde-41 596 3 that that SCONJ ejde-41 596 4 s‖v‖2 s‖v‖2 AUX ejde-41 596 5 ḣs ḣs PROPN ejde-41 596 6 < < X ejde-41 596 7 3p 3p NUM ejde-41 596 8 2(p+2)‖v‖ 2(p+2)‖v‖ NUM ejde-41 597 1 p+2 p+2 PRON ejde-41 597 2 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 597 3 . . PUNCT ejde-41 598 1 thus thus ADV ejde-41 598 2 , , PUNCT ejde-41 598 3 it it PRON ejde-41 598 4 is be AUX ejde-41 598 5 easy easy ADJ ejde-41 598 6 to to PART ejde-41 598 7 see see VERB ejde-41 598 8 that that SCONJ ejde-41 598 9 the the DET ejde-41 598 10 equation equation NOUN ejde-41 598 11 f(λ f(λ NOUN ejde-41 598 12 ) ) PUNCT ejde-41 598 13 = = SYM ejde-41 598 14 0 0 NUM ejde-41 598 15 admits admit VERB ejde-41 598 16 a a DET ejde-41 598 17 unique unique ADJ ejde-41 598 18 positive positive ADJ ejde-41 598 19 solution solution NOUN ejde-41 598 20 λ λ X ejde-41 598 21 = = NOUN ejde-41 598 22 1 1 X ejde-41 598 23 . . PUNCT ejde-41 599 1 when when SCONJ ejde-41 599 2 4s 4s NUM ejde-41 599 3 3 3 NUM ejde-41 599 4 < < X ejde-41 599 5 p p X ejde-41 599 6 < < X ejde-41 599 7 4s 4s NUM ejde-41 599 8 3−2s 3−2s NUM ejde-41 599 9 , , PUNCT ejde-41 599 10 assume assume VERB ejde-41 599 11 that that SCONJ ejde-41 599 12 there there PRON ejde-41 599 13 exists exist VERB ejde-41 599 14 λ1 λ1 PROPN ejde-41 599 15 6= 6= NUM ejde-41 599 16 1 1 NUM ejde-41 599 17 such such ADJ ejde-41 599 18 that that DET ejde-41 599 19 f(λ1 f(λ1 NOUN ejde-41 599 20 ) ) PUNCT ejde-41 599 21 = = SYM ejde-41 600 1 0 0 X ejde-41 600 2 . . PUNCT ejde-41 601 1 it it PRON ejde-41 601 2 easily easily ADV ejde-41 601 3 follows follow VERB ejde-41 601 4 that that SCONJ ejde-41 601 5 3− 3− NUM ejde-41 601 6 2r 2r NUM ejde-41 601 7 4 4 NUM ejde-41 601 8 ∫ ∫ NOUN ejde-41 601 9 r3 r3 PROPN ejde-41 601 10 ( ( PUNCT ejde-41 601 11 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 601 12 ) ) PUNCT ejde-41 601 13 ∗ ∗ NOUN ejde-41 601 14 |v|2)|v|2dx(λ2s |v|2)|v|2dx(λ2s NOUN ejde-41 601 15 1 1 NUM ejde-41 601 16 − − PROPN ejde-41 601 17 λ3−2r λ3−2r NOUN ejde-41 601 18 1 1 NUM ejde-41 601 19 ) ) PUNCT ejde-41 601 20 = = PUNCT ejde-41 602 1 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 ADV ejde-41 602 2 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 602 3 p+ p+ AUX ejde-41 602 4 2 2 NUM ejde-41 602 5 3p 3p NUM ejde-41 602 6 2 2 NUM ejde-41 602 7 ( ( PUNCT ejde-41 602 8 λ2s λ2s NOUN ejde-41 602 9 1 1 NUM ejde-41 602 10 − − NOUN ejde-41 602 11 λ λ NOUN ejde-41 602 12 3p 3p NUM ejde-41 602 13 2 2 NUM ejde-41 602 14 1 1 NUM ejde-41 602 15 ) ) PUNCT ejde-41 602 16 . . PUNCT ejde-41 603 1 if if SCONJ ejde-41 603 2 λ1 λ1 PROPN ejde-41 603 3 > > X ejde-41 603 4 1 1 NUM ejde-41 603 5 , , PUNCT ejde-41 603 6 then then ADV ejde-41 603 7 λ2s λ2s X ejde-41 603 8 1 1 NUM ejde-41 603 9 − − NOUN ejde-41 603 10 λ3−2r λ3−2r NOUN ejde-41 603 11 1 1 NUM ejde-41 603 12 > > SYM ejde-41 603 13 0 0 PUNCT ejde-41 604 1 and and CCONJ ejde-41 604 2 λ2s λ2s X ejde-41 604 3 1 1 NUM ejde-41 604 4 − − NOUN ejde-41 604 5 λ λ NOUN ejde-41 604 6 3p 3p NUM ejde-41 604 7 2 2 NUM ejde-41 604 8 1 1 NUM ejde-41 604 9 < < X ejde-41 604 10 0 0 NUM ejde-41 604 11 , , PUNCT ejde-41 604 12 which which PRON ejde-41 604 13 is be AUX ejde-41 604 14 a a DET ejde-41 604 15 contradiction contradiction NOUN ejde-41 604 16 . . PUNCT ejde-41 605 1 if if SCONJ ejde-41 605 2 λ1 λ1 PROPN ejde-41 605 3 < < X ejde-41 605 4 1 1 NUM ejde-41 605 5 , , PUNCT ejde-41 605 6 then then ADV ejde-41 605 7 λ2s λ2s X ejde-41 605 8 1 1 NUM ejde-41 605 9 −λ3−2r −λ3−2r NOUN ejde-41 605 10 1 1 NUM ejde-41 605 11 < < X ejde-41 605 12 0 0 NUM ejde-41 606 1 and and CCONJ ejde-41 606 2 λ2s λ2s ADJ ejde-41 606 3 1 1 NUM ejde-41 606 4 −λ −λ PROPN ejde-41 606 5 3p 3p NUM ejde-41 606 6 2 2 NUM ejde-41 606 7 1 1 NUM ejde-41 606 8 > > SYM ejde-41 606 9 0 0 NUM ejde-41 606 10 , , PUNCT ejde-41 606 11 which which PRON ejde-41 606 12 is be AUX ejde-41 606 13 a a DET ejde-41 606 14 contradiction contradiction NOUN ejde-41 606 15 . . PUNCT ejde-41 607 1 therefore therefore ADV ejde-41 607 2 , , PUNCT ejde-41 607 3 the the DET ejde-41 607 4 equation equation NOUN ejde-41 607 5 f(λ f(λ NOUN ejde-41 607 6 ) ) PUNCT ejde-41 607 7 = = SYM ejde-41 607 8 0 0 NUM ejde-41 607 9 admits admit VERB ejde-41 607 10 a a DET ejde-41 607 11 unique unique ADJ ejde-41 607 12 positive positive ADJ ejde-41 607 13 solution solution NOUN ejde-41 607 14 λ λ X ejde-41 607 15 = = SYM ejde-41 607 16 1 1 NUM ejde-41 607 17 . . PUNCT ejde-41 607 18 therefore therefore ADV ejde-41 607 19 , , PUNCT ejde-41 607 20 ∂λsω(vλ ∂λsω(vλ X ejde-41 607 21 ) ) PUNCT ejde-41 607 22 > > X ejde-41 607 23 0 0 NUM ejde-41 607 24 , , PUNCT ejde-41 607 25 for for ADP ejde-41 607 26 all all DET ejde-41 607 27 λ λ X ejde-41 607 28 ∈ ∈ PROPN ejde-41 607 29 ( ( PUNCT ejde-41 607 30 0 0 NUM ejde-41 607 31 , , PUNCT ejde-41 607 32 1 1 NUM ejde-41 607 33 ) ) PUNCT ejde-41 607 34 , , PUNCT ejde-41 607 35 ∂λsω(vλ ∂λsω(vλ X ejde-41 607 36 ) ) PUNCT ejde-41 607 37 < < X ejde-41 607 38 0 0 NUM ejde-41 607 39 , , PUNCT ejde-41 607 40 for for ADP ejde-41 607 41 all all DET ejde-41 607 42 λ λ X ejde-41 607 43 ∈ ∈ PROPN ejde-41 607 44 ( ( PUNCT ejde-41 607 45 1,∞ 1,∞ NUM ejde-41 607 46 ) ) PUNCT ejde-41 607 47 . . PUNCT ejde-41 608 1 20 20 NUM ejde-41 608 2 y. y. PROPN ejde-41 608 3 mo mo PROPN ejde-41 608 4 , , PUNCT ejde-41 608 5 m. m. PROPN ejde-41 608 6 zhu zhu PROPN ejde-41 608 7 , , PUNCT ejde-41 608 8 b. b. PROPN ejde-41 608 9 feng feng PROPN ejde-41 608 10 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 608 11 we we PRON ejde-41 608 12 thus thus ADV ejde-41 608 13 obtain obtain VERB ejde-41 608 14 that that DET ejde-41 608 15 sω(vλ sω(vλ NOUN ejde-41 608 16 ) ) PUNCT ejde-41 608 17 < < X ejde-41 608 18 sω(v sω(v PROPN ejde-41 608 19 ) ) PUNCT ejde-41 608 20 for for ADP ejde-41 608 21 any any DET ejde-41 608 22 λ λ PROPN ejde-41 608 23 > > X ejde-41 608 24 0 0 PUNCT ejde-41 608 25 and and CCONJ ejde-41 608 26 λ λ X ejde-41 608 27 6= 6= NOUN ejde-41 608 28 1 1 NUM ejde-41 608 29 . . PUNCT ejde-41 609 1 in in ADP ejde-41 609 2 particular particular ADJ ejde-41 609 3 , , PUNCT ejde-41 609 4 we we PRON ejde-41 609 5 have have VERB ejde-41 609 6 sω(vλ0 sω(vλ0 NOUN ejde-41 609 7 ) ) PUNCT ejde-41 609 8 ≤ ≤ NOUN ejde-41 609 9 sω(v sω(v NOUN ejde-41 609 10 ) ) PUNCT ejde-41 609 11 . . PUNCT ejde-41 610 1 thus thus ADV ejde-41 610 2 , , PUNCT ejde-41 610 3 sω(u sω(u ADJ ejde-41 610 4 ) ) PUNCT ejde-41 610 5 ≤ ≤ NUM ejde-41 610 6 sω(vλ0 sω(vλ0 NOUN ejde-41 610 7 ) ) PUNCT ejde-41 610 8 ≤ ≤ NUM ejde-41 610 9 sω(v sω(v NOUN ejde-41 610 10 ) ) PUNCT ejde-41 610 11 for for ADP ejde-41 610 12 all all PRON ejde-41 610 13 v v ADP ejde-41 610 14 ∈ ∈ NOUN ejde-41 610 15 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 610 16 } } PUNCT ejde-41 610 17 and and CCONJ ejde-41 610 18 q(v q(v NOUN ejde-41 610 19 ) ) PUNCT ejde-41 611 1 = = SYM ejde-41 611 2 0 0 X ejde-41 611 3 . . PUNCT ejde-41 612 1 taking take VERB ejde-41 612 2 the the DET ejde-41 612 3 infimum infimum NOUN ejde-41 612 4 over over ADP ejde-41 612 5 v v NOUN ejde-41 612 6 , , PUNCT ejde-41 612 7 we we PRON ejde-41 612 8 have have VERB ejde-41 612 9 sω(u sω(u PRON ejde-41 612 10 ) ) PUNCT ejde-41 613 1 ≤ ≤ NUM ejde-41 613 2 d. d. PROPN ejde-41 613 3 this this PRON ejde-41 613 4 completes complete VERB ejde-41 613 5 the the DET ejde-41 613 6 proof proof NOUN ejde-41 613 7 . . PUNCT ejde-41 614 1 � � PROPN ejde-41 614 2 to to PART ejde-41 614 3 obtain obtain VERB ejde-41 614 4 the the DET ejde-41 614 5 key key ADJ ejde-41 614 6 estimate estimate NOUN ejde-41 614 7 ( ( PUNCT ejde-41 614 8 5.19 5.19 NUM ejde-41 614 9 ) ) PUNCT ejde-41 614 10 , , PUNCT ejde-41 614 11 we we PRON ejde-41 614 12 need need VERB ejde-41 614 13 establish establish VERB ejde-41 614 14 the the DET ejde-41 614 15 following follow VERB ejde-41 614 16 variational variational ADJ ejde-41 614 17 characterization characterization NOUN ejde-41 614 18 of of ADP ejde-41 614 19 the the DET ejde-41 614 20 ground ground NOUN ejde-41 614 21 states state NOUN ejde-41 614 22 to to ADP ejde-41 614 23 ( ( PUNCT ejde-41 614 24 1.12 1.12 NUM ejde-41 614 25 ) ) PUNCT ejde-41 614 26 . . PUNCT ejde-41 615 1 firstly firstly ADV ejde-41 615 2 , , PUNCT ejde-41 615 3 when when SCONJ ejde-41 615 4 p p NOUN ejde-41 615 5 = = NOUN ejde-41 615 6 4s 4s NUM ejde-41 615 7 3 3 NUM ejde-41 615 8 , , PUNCT ejde-41 615 9 we we PRON ejde-41 615 10 define define VERB ejde-41 615 11 s1 s1 NOUN ejde-41 615 12 ω(v ω(v NOUN ejde-41 615 13 ) ) PUNCT ejde-41 615 14 : : PUNCT ejde-41 615 15 = = SYM ejde-41 615 16 sω(v)− sω(v)− PROPN ejde-41 615 17 1 1 NUM ejde-41 615 18 2s 2s PROPN ejde-41 615 19 q(v q(v NOUN ejde-41 615 20 ) ) PUNCT ejde-41 616 1 = = PUNCT ejde-41 616 2 ω ω NUM ejde-41 616 3 2 2 NUM ejde-41 616 4 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 616 5 + + NUM ejde-41 616 6 2s+ 2s+ NUM ejde-41 616 7 2r 2r NUM ejde-41 616 8 − − NOUN ejde-41 616 9 3 3 NUM ejde-41 616 10 8s 8s NUM ejde-41 616 11 ∫ ∫ PROPN ejde-41 616 12 r3 r3 PROPN ejde-41 616 13 ( ( PUNCT ejde-41 616 14 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 616 15 ) ) PUNCT ejde-41 616 16 ∗ ∗ NOUN ejde-41 616 17 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx NUM ejde-41 616 18 . . PUNCT ejde-41 617 1 ( ( PUNCT ejde-41 617 2 5.15 5.15 NUM ejde-41 617 3 ) ) PUNCT ejde-41 617 4 when when SCONJ ejde-41 617 5 4s 4s NUM ejde-41 617 6 3 3 NUM ejde-41 617 7 < < X ejde-41 617 8 p p X ejde-41 617 9 < < X ejde-41 617 10 4s 4s NUM ejde-41 617 11 3−2s 3−2s NUM ejde-41 617 12 , , PUNCT ejde-41 617 13 we we PRON ejde-41 617 14 define define VERB ejde-41 617 15 s2 s2 NOUN ejde-41 617 16 ω(v ω(v NOUN ejde-41 617 17 ) ) PUNCT ejde-41 617 18 : : PUNCT ejde-41 617 19 = = SYM ejde-41 617 20 sω(v)− sω(v)− PROPN ejde-41 617 21 2 2 NUM ejde-41 617 22 3p 3p NUM ejde-41 617 23 q(v q(v NOUN ejde-41 617 24 ) ) PUNCT ejde-41 617 25 = = SYM ejde-41 618 1 3p− 3p− PROPN ejde-41 618 2 4s 4s NUM ejde-41 618 3 6p 6p NUM ejde-41 618 4 ‖v‖2 ‖v‖2 NOUN ejde-41 618 5 ḣs ḣs NOUN ejde-41 618 6 + + CCONJ ejde-41 618 7 ω ω NUM ejde-41 618 8 2 2 NUM ejde-41 618 9 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 618 10 + + NUM ejde-41 618 11 3p+ 3p+ NUM ejde-41 618 12 4t− 4t− PROPN ejde-41 618 13 6 6 NUM ejde-41 618 14 12p 12p NUM ejde-41 618 15 ∫ ∫ PROPN ejde-41 618 16 r3 r3 PROPN ejde-41 618 17 ( ( PUNCT ejde-41 618 18 |x|−(3−2r |x|−(3−2r PROPN ejde-41 618 19 ) ) PUNCT ejde-41 618 20 ∗ ∗ NOUN ejde-41 618 21 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx NUM ejde-41 618 22 . . PUNCT ejde-41 619 1 ( ( PUNCT ejde-41 619 2 5.16 5.16 NUM ejde-41 619 3 ) ) PUNCT ejde-41 619 4 lemma lemma PROPN ejde-41 619 5 5.8 5.8 NUM ejde-41 619 6 . . PUNCT ejde-41 620 1 let let VERB ejde-41 620 2 ω ω PROPN ejde-41 620 3 > > X ejde-41 620 4 0 0 PROPN ejde-41 620 5 , , PUNCT ejde-41 620 6 2s 2s PROPN ejde-41 620 7 + + X ejde-41 620 8 2r 2r NUM ejde-41 620 9 > > X ejde-41 620 10 3 3 NUM ejde-41 620 11 , , PUNCT ejde-41 621 1 4s 4s NUM ejde-41 621 2 3 3 NUM ejde-41 621 3 ≤ ≤ NOUN ejde-41 622 1 p p NOUN ejde-41 622 2 < < X ejde-41 622 3 4s 4s NUM ejde-41 622 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 622 5 , , PUNCT ejde-41 622 6 and and CCONJ ejde-41 622 7 u u PRON ejde-41 622 8 be be VERB ejde-41 622 9 the the DET ejde-41 622 10 ground ground NOUN ejde-41 622 11 state state NOUN ejde-41 622 12 related relate VERB ejde-41 622 13 to to ADP ejde-41 622 14 ( ( PUNCT ejde-41 622 15 1.12 1.12 NUM ejde-41 622 16 ) ) PUNCT ejde-41 622 17 . . PUNCT ejde-41 623 1 then then ADV ejde-41 623 2 for for ADP ejde-41 623 3 k k PROPN ejde-41 623 4 = = SYM ejde-41 623 5 1 1 NUM ejde-41 623 6 , , PUNCT ejde-41 623 7 2 2 NUM ejde-41 623 8 we we PRON ejde-41 623 9 have have VERB ejde-41 623 10 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 623 11 ) ) PUNCT ejde-41 623 12 = = SYM ejde-41 623 13 skω(u skω(u PROPN ejde-41 623 14 ) ) PUNCT ejde-41 623 15 = = SYM ejde-41 623 16 inf{skω(v inf{skω(v PROPN ejde-41 623 17 ) ) PUNCT ejde-41 623 18 : : PUNCT ejde-41 623 19 v v X ejde-41 623 20 ∈ ∈ PROPN ejde-41 623 21 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 623 22 } } PUNCT ejde-41 623 23 , , PUNCT ejde-41 623 24 q(v q(v NOUN ejde-41 623 25 ) ) PUNCT ejde-41 623 26 ≤ ≤ NOUN ejde-41 623 27 0 0 NUM ejde-41 623 28 } } PUNCT ejde-41 623 29 . . PUNCT ejde-41 624 1 ( ( PUNCT ejde-41 624 2 5.17 5.17 NUM ejde-41 624 3 ) ) PUNCT ejde-41 624 4 proof proof NOUN ejde-41 624 5 . . PUNCT ejde-41 625 1 we we PRON ejde-41 625 2 only only ADV ejde-41 625 3 prove prove VERB ejde-41 625 4 the the DET ejde-41 625 5 case case NOUN ejde-41 625 6 k k NOUN ejde-41 625 7 = = SYM ejde-41 625 8 1 1 X ejde-41 625 9 . . PUNCT ejde-41 626 1 the the DET ejde-41 626 2 proof proof NOUN ejde-41 626 3 of of ADP ejde-41 626 4 the the DET ejde-41 626 5 case case NOUN ejde-41 626 6 k k NOUN ejde-41 626 7 = = SYM ejde-41 626 8 2 2 NUM ejde-41 626 9 is be AUX ejde-41 626 10 similar similar ADJ ejde-41 626 11 . . PUNCT ejde-41 627 1 we we PRON ejde-41 627 2 denote denote VERB ejde-41 627 3 d1(ω d1(ω NOUN ejde-41 627 4 ) ) PUNCT ejde-41 627 5 = = SYM ejde-41 627 6 inf{skω(v inf{skω(v PROPN ejde-41 627 7 ) ) PUNCT ejde-41 627 8 : : PUNCT ejde-41 627 9 v v X ejde-41 627 10 ∈ ∈ PROPN ejde-41 627 11 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 627 12 } } PUNCT ejde-41 627 13 , , PUNCT ejde-41 627 14 q(v q(v NOUN ejde-41 627 15 ) ) PUNCT ejde-41 627 16 ≤ ≤ NOUN ejde-41 627 17 0 0 NUM ejde-41 627 18 } } PUNCT ejde-41 627 19 . . PUNCT ejde-41 628 1 since since SCONJ ejde-41 628 2 u u NOUN ejde-41 628 3 is be AUX ejde-41 628 4 the the DET ejde-41 628 5 ground ground NOUN ejde-41 628 6 state state NOUN ejde-41 628 7 related relate VERB ejde-41 628 8 to to ADP ejde-41 628 9 ( ( PUNCT ejde-41 628 10 1.12 1.12 NUM ejde-41 628 11 ) ) PUNCT ejde-41 628 12 , , PUNCT ejde-41 628 13 q(u q(u ADJ ejde-41 628 14 ) ) PUNCT ejde-41 628 15 = = SYM ejde-41 628 16 0 0 X ejde-41 628 17 . . PUNCT ejde-41 629 1 it it PRON ejde-41 629 2 follows follow VERB ejde-41 629 3 from from ADP ejde-41 629 4 the the DET ejde-41 629 5 definition definition NOUN ejde-41 629 6 of of ADP ejde-41 629 7 d1(ω d1(ω NOUN ejde-41 629 8 ) ) PUNCT ejde-41 629 9 that that SCONJ ejde-41 629 10 s1 s1 PROPN ejde-41 629 11 ω(u ω(u PROPN ejde-41 629 12 ) ) PUNCT ejde-41 629 13 ≥ ≥ NOUN ejde-41 629 14 d1(ω d1(ω NOUN ejde-41 629 15 ) ) PUNCT ejde-41 629 16 . . PUNCT ejde-41 630 1 ( ( PUNCT ejde-41 630 2 5.18 5.18 NUM ejde-41 630 3 ) ) PUNCT ejde-41 630 4 let let VERB ejde-41 630 5 v v NUM ejde-41 630 6 ∈ ∈ NOUN ejde-41 630 7 hs\{0 hs\{0 NOUN ejde-41 630 8 } } PUNCT ejde-41 630 9 and and CCONJ ejde-41 630 10 q(v q(v NOUN ejde-41 630 11 ) ) PUNCT ejde-41 630 12 ≤ ≤ NOUN ejde-41 630 13 0 0 NUM ejde-41 630 14 . . PUNCT ejde-41 631 1 if if SCONJ ejde-41 631 2 q(v q(v NOUN ejde-41 631 3 ) ) PUNCT ejde-41 632 1 = = SYM ejde-41 632 2 0 0 NUM ejde-41 632 3 , , PUNCT ejde-41 632 4 then then ADV ejde-41 632 5 from from ADP ejde-41 632 6 lemma lemma PROPN ejde-41 632 7 5.7 5.7 NUM ejde-41 632 8 it it PRON ejde-41 632 9 follows follow VERB ejde-41 632 10 that that SCONJ ejde-41 632 11 s1 s1 NOUN ejde-41 632 12 ω(v ω(v NOUN ejde-41 632 13 ) ) PUNCT ejde-41 632 14 = = SYM ejde-41 632 15 sω(v)− sω(v)− NOUN ejde-41 632 16 1 1 NUM ejde-41 632 17 2s 2s PROPN ejde-41 632 18 q(v q(v NOUN ejde-41 632 19 ) ) PUNCT ejde-41 632 20 = = SYM ejde-41 632 21 sω(v sω(v X ejde-41 632 22 ) ) PUNCT ejde-41 632 23 ≥ ≥ NOUN ejde-41 632 24 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 632 25 ) ) PUNCT ejde-41 633 1 = = SYM ejde-41 633 2 s1 s1 PROPN ejde-41 633 3 ω(u ω(u PROPN ejde-41 633 4 ) ) PUNCT ejde-41 633 5 . . PUNCT ejde-41 634 1 if if SCONJ ejde-41 634 2 q(v q(v NOUN ejde-41 634 3 ) ) PUNCT ejde-41 634 4 < < X ejde-41 634 5 0 0 NUM ejde-41 634 6 , , PUNCT ejde-41 634 7 we we PRON ejde-41 634 8 note note VERB ejde-41 634 9 that that SCONJ ejde-41 634 10 q(vλ q(vλ NOUN ejde-41 634 11 ) ) PUNCT ejde-41 635 1 = = SYM ejde-41 635 2 λ2s‖v‖2 λ2s‖v‖2 NOUN ejde-41 635 3 ḣs ḣs PROPN ejde-41 635 4 + + CCONJ ejde-41 635 5 λ3−2r λ3−2r PROPN ejde-41 635 6 4 4 NUM ejde-41 635 7 ∫ ∫ NOUN ejde-41 635 8 r3 r3 PROPN ejde-41 635 9 ( ( PUNCT ejde-41 635 10 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 635 11 ) ) PUNCT ejde-41 635 12 ∗ ∗ NOUN ejde-41 635 13 |v|2)|v|2dx− |v|2)|v|2dx− PUNCT ejde-41 636 1 λ λ NOUN ejde-41 636 2 3p 3p NUM ejde-41 636 3 2 2 NUM ejde-41 636 4 p+ p+ NOUN ejde-41 636 5 2 2 NUM ejde-41 636 6 3p 3p NUM ejde-41 636 7 2 2 NUM ejde-41 636 8 ‖v‖p+2 ‖v‖p+2 VERB ejde-41 636 9 lp+2 lp+2 VERB ejde-41 636 10 > > X ejde-41 636 11 0 0 PUNCT ejde-41 636 12 for for ADP ejde-41 636 13 sufficiently sufficiently ADV ejde-41 636 14 small small ADJ ejde-41 636 15 λ λ X ejde-41 636 16 > > X ejde-41 636 17 0 0 NUM ejde-41 636 18 , , PUNCT ejde-41 636 19 so so SCONJ ejde-41 636 20 there there PRON ejde-41 636 21 exists exist VERB ejde-41 636 22 λ0 λ0 NOUN ejde-41 636 23 ∈ ∈ NOUN ejde-41 636 24 ( ( PUNCT ejde-41 636 25 0 0 NUM ejde-41 636 26 , , PUNCT ejde-41 636 27 1 1 NUM ejde-41 636 28 ) ) PUNCT ejde-41 636 29 such such ADJ ejde-41 636 30 that that SCONJ ejde-41 636 31 q(vλ0 q(vλ0 NOUN ejde-41 636 32 ) ) PUNCT ejde-41 636 33 = = SYM ejde-41 637 1 0 0 X ejde-41 637 2 . . PUNCT ejde-41 638 1 we we PRON ejde-41 638 2 thus thus ADV ejde-41 638 3 have have VERB ejde-41 638 4 s1 s1 NOUN ejde-41 638 5 ω(v ω(v NOUN ejde-41 638 6 ) ) PUNCT ejde-41 638 7 = = SYM ejde-41 638 8 ω ω NUM ejde-41 638 9 2 2 NUM ejde-41 638 10 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 639 1 + + NUM ejde-41 639 2 2s+ 2s+ NUM ejde-41 639 3 2r 2r NUM ejde-41 639 4 − − NOUN ejde-41 639 5 3 3 NUM ejde-41 639 6 8s 8s NUM ejde-41 639 7 ∫ ∫ PROPN ejde-41 639 8 r3 r3 PROPN ejde-41 639 9 ( ( PUNCT ejde-41 639 10 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 639 11 ) ) PUNCT ejde-41 639 12 ∗ ∗ NOUN ejde-41 639 13 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx X ejde-41 639 14 ≥ ≥ NOUN ejde-41 639 15 ω ω NUM ejde-41 639 16 2 2 NUM ejde-41 640 1 ‖v‖2l2 ‖v‖2l2 NOUN ejde-41 641 1 + + NUM ejde-41 641 2 2s+ 2s+ NUM ejde-41 641 3 2r 2r NUM ejde-41 641 4 − − NOUN ejde-41 641 5 3 3 NUM ejde-41 641 6 8s 8s PROPN ejde-41 641 7 λ3−2r λ3−2r NOUN ejde-41 641 8 0 0 NUM ejde-41 641 9 ∫ ∫ PROPN ejde-41 641 10 r3 r3 PROPN ejde-41 641 11 ( ( PUNCT ejde-41 641 12 |x|−(3−2r |x|−(3−2r NOUN ejde-41 641 13 ) ) PUNCT ejde-41 641 14 ∗ ∗ VERB ejde-41 641 15 |v|2)|v|2dx |v|2)|v|2dx ADJ ejde-41 641 16 = = SYM ejde-41 641 17 s1 s1 PROPN ejde-41 641 18 ω(vλ0 ω(vλ0 NUM ejde-41 641 19 ) ) PUNCT ejde-41 641 20 = = SYM ejde-41 641 21 sω(vλ0 sω(vλ0 NOUN ejde-41 641 22 ) ) PUNCT ejde-41 641 23 ≥ ≥ NOUN ejde-41 641 24 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 641 25 ) ) PUNCT ejde-41 641 26 = = SYM ejde-41 642 1 s1 s1 PROPN ejde-41 642 2 ω(u ω(u PROPN ejde-41 642 3 ) ) PUNCT ejde-41 642 4 . . PUNCT ejde-41 643 1 this this PRON ejde-41 643 2 implies imply VERB ejde-41 643 3 that that SCONJ ejde-41 643 4 d1(ω d1(ω NOUN ejde-41 643 5 ) ) PUNCT ejde-41 643 6 ≥ ≥ NOUN ejde-41 643 7 s1 s1 PROPN ejde-41 643 8 ω(u ω(u PROPN ejde-41 643 9 ) ) PUNCT ejde-41 643 10 . . PUNCT ejde-41 644 1 this this PRON ejde-41 644 2 , , PUNCT ejde-41 644 3 together together ADV ejde-41 644 4 with with ADP ejde-41 644 5 ( ( PUNCT ejde-41 644 6 5.18 5.18 NUM ejde-41 644 7 ) ) PUNCT ejde-41 644 8 implies imply VERB ejde-41 644 9 that that SCONJ ejde-41 644 10 s1 s1 PROPN ejde-41 644 11 ω(u ω(u PROPN ejde-41 644 12 ) ) PUNCT ejde-41 644 13 = = SYM ejde-41 644 14 d1(ω d1(ω NOUN ejde-41 644 15 ) ) PUNCT ejde-41 644 16 . . PUNCT ejde-41 645 1 � � PROPN ejde-41 645 2 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 645 3 blow blow VERB ejde-41 645 4 - - PUNCT ejde-41 645 5 up up ADP ejde-41 645 6 criteria criterion NOUN ejde-41 645 7 and and CCONJ ejde-41 645 8 instability instability NOUN ejde-41 645 9 of of ADP ejde-41 645 10 standing standing ADJ ejde-41 645 11 waves wave NOUN ejde-41 645 12 21 21 NUM ejde-41 645 13 let let VERB ejde-41 645 14 u u PRON ejde-41 645 15 be be AUX ejde-41 645 16 the the DET ejde-41 645 17 ground ground NOUN ejde-41 645 18 state state NOUN ejde-41 645 19 related relate VERB ejde-41 645 20 to to ADP ejde-41 645 21 ( ( PUNCT ejde-41 645 22 1.12 1.12 NUM ejde-41 645 23 ) ) PUNCT ejde-41 645 24 . . PUNCT ejde-41 646 1 we we PRON ejde-41 646 2 define define VERB ejde-41 646 3 bω bω NOUN ejde-41 646 4 = = PRON ejde-41 646 5 { { PUNCT ejde-41 646 6 v v NUM ejde-41 646 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 646 8 hs hs PROPN ejde-41 646 9 \ \ PROPN ejde-41 646 10 { { PUNCT ejde-41 646 11 0 0 NUM ejde-41 646 12 } } PUNCT ejde-41 646 13 : : PUNCT ejde-41 646 14 sω(v sω(v X ejde-41 646 15 ) ) PUNCT ejde-41 646 16 < < X ejde-41 646 17 sω(u sω(u NOUN ejde-41 646 18 ) ) PUNCT ejde-41 646 19 , , PUNCT ejde-41 646 20 q(v q(v NOUN ejde-41 646 21 ) ) PUNCT ejde-41 646 22 < < X ejde-41 646 23 0 0 NUM ejde-41 646 24 } } PUNCT ejde-41 646 25 . . PUNCT ejde-41 647 1 lemma lemma PROPN ejde-41 647 2 5.9 5.9 NUM ejde-41 647 3 . . PUNCT ejde-41 648 1 let let VERB ejde-41 648 2 ω ω PROPN ejde-41 648 3 > > X ejde-41 648 4 0 0 PROPN ejde-41 648 5 , , PUNCT ejde-41 648 6 2s+ 2s+ NUM ejde-41 648 7 2r 2r NUM ejde-41 648 8 > > X ejde-41 648 9 3 3 NUM ejde-41 648 10 , , PUNCT ejde-41 648 11 and and CCONJ ejde-41 648 12 u u PRON ejde-41 648 13 be be VERB ejde-41 648 14 the the DET ejde-41 648 15 ground ground NOUN ejde-41 648 16 state state NOUN ejde-41 648 17 related relate VERB ejde-41 648 18 to to ADP ejde-41 648 19 ( ( PUNCT ejde-41 648 20 1.12 1.12 NUM ejde-41 648 21 ) ) PUNCT ejde-41 648 22 . . PUNCT ejde-41 649 1 if if SCONJ ejde-41 649 2 4s 4s NUM ejde-41 649 3 3 3 NUM ejde-41 649 4 ≤ ≤ NOUN ejde-41 650 1 p p NOUN ejde-41 650 2 < < X ejde-41 650 3 4s 4s NUM ejde-41 650 4 3−2s 3−2s NUM ejde-41 650 5 , , PUNCT ejde-41 650 6 then then ADV ejde-41 650 7 the the DET ejde-41 650 8 set set NOUN ejde-41 650 9 bω bω NOUN ejde-41 650 10 is be AUX ejde-41 650 11 invariant invariant ADJ ejde-41 650 12 under under ADP ejde-41 650 13 the the DET ejde-41 650 14 flow flow NOUN ejde-41 650 15 of of ADP ejde-41 650 16 ( ( PUNCT ejde-41 650 17 1.4 1.4 NUM ejde-41 650 18 ) ) PUNCT ejde-41 650 19 . . PUNCT ejde-41 651 1 that that PRON ejde-41 651 2 is be AUX ejde-41 651 3 , , PUNCT ejde-41 651 4 if if SCONJ ejde-41 651 5 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 651 6 ∈ ∈ PROPN ejde-41 651 7 bω bω NOUN ejde-41 651 8 , , PUNCT ejde-41 651 9 then then ADV ejde-41 651 10 the the DET ejde-41 651 11 solution solution NOUN ejde-41 651 12 ψ(t ψ(t PROPN ejde-41 651 13 ) ) PUNCT ejde-41 651 14 to to ADP ejde-41 651 15 ( ( PUNCT ejde-41 651 16 1.4 1.4 NUM ejde-41 651 17 ) ) PUNCT ejde-41 651 18 with with ADP ejde-41 651 19 initial initial ADJ ejde-41 651 20 data datum NOUN ejde-41 651 21 ψ0 ψ0 ADV ejde-41 651 22 belongs belong VERB ejde-41 651 23 to to ADP ejde-41 651 24 bω bω PROPN ejde-41 651 25 and and CCONJ ejde-41 651 26 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 651 27 ) ) PUNCT ejde-41 651 28 ) ) PUNCT ejde-41 651 29 ≤ ≤ NOUN ejde-41 651 30 2s(s(ψ0)− 2s(s(ψ0)− NUM ejde-41 651 31 s(u s(u PROPN ejde-41 651 32 ) ) PUNCT ejde-41 651 33 ) ) PUNCT ejde-41 652 1 ( ( PUNCT ejde-41 652 2 5.19 5.19 NUM ejde-41 652 3 ) ) PUNCT ejde-41 652 4 for for ADP ejde-41 652 5 any any DET ejde-41 652 6 t t NOUN ejde-41 652 7 ∈ ∈ PROPN ejde-41 653 1 [ [ X ejde-41 653 2 0 0 NUM ejde-41 653 3 , , PUNCT ejde-41 653 4 t t PROPN ejde-41 653 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 653 6 ) ) PUNCT ejde-41 653 7 . . PUNCT ejde-41 654 1 proof proof NOUN ejde-41 654 2 . . PUNCT ejde-41 655 1 let let VERB ejde-41 655 2 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 655 3 ∈ ∈ PROPN ejde-41 655 4 bω bω NOUN ejde-41 655 5 , , PUNCT ejde-41 655 6 by by ADP ejde-41 655 7 proposition proposition NOUN ejde-41 655 8 2.1 2.1 NUM ejde-41 655 9 , , PUNCT ejde-41 655 10 we we PRON ejde-41 655 11 see see VERB ejde-41 655 12 that that SCONJ ejde-41 655 13 there there PRON ejde-41 655 14 exists exist VERB ejde-41 655 15 a a DET ejde-41 655 16 unique unique ADJ ejde-41 655 17 solution solution NOUN ejde-41 655 18 ψ ψ ADP ejde-41 655 19 ∈ ∈ PROPN ejde-41 655 20 c([0 c([0 NOUN ejde-41 655 21 , , PUNCT ejde-41 655 22 t t PROPN ejde-41 655 23 ∗ ∗ NOUN ejde-41 655 24 ) ) PUNCT ejde-41 655 25 , , PUNCT ejde-41 655 26 hs hs PROPN ejde-41 655 27 ) ) PUNCT ejde-41 655 28 with with ADP ejde-41 655 29 initial initial ADJ ejde-41 655 30 data datum NOUN ejde-41 655 31 ψ0 ψ0 PROPN ejde-41 655 32 . . PUNCT ejde-41 656 1 we we PRON ejde-41 656 2 deduce deduce VERB ejde-41 656 3 from from ADP ejde-41 656 4 the the DET ejde-41 656 5 conservations conservation NOUN ejde-41 656 6 of of ADP ejde-41 656 7 mass mass NOUN ejde-41 656 8 and and CCONJ ejde-41 656 9 energy energy NOUN ejde-41 656 10 that that PRON ejde-41 656 11 sω(ψ(t sω(ψ(t VERB ejde-41 656 12 ) ) PUNCT ejde-41 656 13 ) ) PUNCT ejde-41 657 1 = = SYM ejde-41 657 2 sω(ψ0 sω(ψ0 PROPN ejde-41 657 3 ) ) PUNCT ejde-41 657 4 < < X ejde-41 657 5 sω(u sω(u PRON ejde-41 657 6 ) ) PUNCT ejde-41 657 7 ( ( PUNCT ejde-41 657 8 5.20 5.20 NUM ejde-41 657 9 ) ) PUNCT ejde-41 657 10 for for ADP ejde-41 657 11 any any DET ejde-41 657 12 t t NOUN ejde-41 657 13 ∈ ∈ PROPN ejde-41 658 1 [ [ X ejde-41 658 2 0 0 NUM ejde-41 658 3 , , PUNCT ejde-41 658 4 t t PROPN ejde-41 658 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 658 6 ) ) PUNCT ejde-41 658 7 . . PUNCT ejde-41 659 1 in in ADP ejde-41 659 2 addition addition NOUN ejde-41 659 3 , , PUNCT ejde-41 659 4 by by ADP ejde-41 659 5 the the DET ejde-41 659 6 continuity continuity NOUN ejde-41 659 7 of of ADP ejde-41 659 8 the the DET ejde-41 659 9 function function NOUN ejde-41 659 10 t t PROPN ejde-41 659 11 7→ 7→ NUM ejde-41 659 12 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 659 13 ) ) PUNCT ejde-41 659 14 ) ) PUNCT ejde-41 659 15 and and CCONJ ejde-41 659 16 lemma lemma PROPN ejde-41 659 17 5.7 5.7 NUM ejde-41 659 18 , , PUNCT ejde-41 659 19 if if SCONJ ejde-41 659 20 there there PRON ejde-41 659 21 exists exist VERB ejde-41 659 22 t0 t0 PROPN ejde-41 659 23 ∈ ∈ PROPN ejde-41 660 1 [ [ X ejde-41 660 2 0 0 NUM ejde-41 660 3 , , PUNCT ejde-41 660 4 t t PROPN ejde-41 660 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 660 6 ) ) PUNCT ejde-41 660 7 such such ADJ ejde-41 660 8 that that DET ejde-41 660 9 q(ψ(t0 q(ψ(t0 NOUN ejde-41 660 10 ) ) PUNCT ejde-41 660 11 ) ) PUNCT ejde-41 661 1 = = SYM ejde-41 661 2 0 0 NUM ejde-41 661 3 , , PUNCT ejde-41 661 4 then then ADV ejde-41 661 5 sω(ψ(t0 sω(ψ(t0 NOUN ejde-41 661 6 ) ) PUNCT ejde-41 661 7 ) ) PUNCT ejde-41 661 8 ≥ ≥ NOUN ejde-41 661 9 sω(u sω(u PUNCT ejde-41 661 10 ) ) PUNCT ejde-41 661 11 , , PUNCT ejde-41 661 12 which which PRON ejde-41 661 13 contradicts contradict VERB ejde-41 661 14 ( ( PUNCT ejde-41 661 15 5.20 5.20 NUM ejde-41 661 16 ) ) PUNCT ejde-41 661 17 . . PUNCT ejde-41 662 1 therefore therefore ADV ejde-41 662 2 , , PUNCT ejde-41 662 3 we we PRON ejde-41 662 4 have have VERB ejde-41 662 5 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 662 6 ) ) PUNCT ejde-41 662 7 ) ) PUNCT ejde-41 663 1 < < X ejde-41 663 2 0 0 NUM ejde-41 664 1 for for ADP ejde-41 664 2 any any DET ejde-41 664 3 t t NOUN ejde-41 664 4 ∈ ∈ PROPN ejde-41 665 1 [ [ X ejde-41 665 2 0 0 NUM ejde-41 665 3 , , PUNCT ejde-41 665 4 t t PROPN ejde-41 665 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 665 6 ) ) PUNCT ejde-41 665 7 . . PUNCT ejde-41 666 1 this this PRON ejde-41 666 2 , , PUNCT ejde-41 666 3 together together ADV ejde-41 666 4 with with ADP ejde-41 666 5 lemma lemma PROPN ejde-41 666 6 5.8 5.8 NUM ejde-41 666 7 implies imply VERB ejde-41 666 8 that that SCONJ ejde-41 666 9 sω(u sω(u X ejde-41 666 10 ) ) PUNCT ejde-41 666 11 ≤ ≤ NUM ejde-41 666 12 s1 s1 NOUN ejde-41 666 13 ω(ψ(t ω(ψ(t PROPN ejde-41 666 14 ) ) PUNCT ejde-41 666 15 ) ) PUNCT ejde-41 667 1 = = PUNCT ejde-41 668 1 sω(ψ(t))− sω(ψ(t))− PRON ejde-41 668 2 1 1 NUM ejde-41 668 3 2s 2s NUM ejde-41 668 4 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 668 5 ) ) PUNCT ejde-41 668 6 ) ) PUNCT ejde-41 669 1 = = SYM ejde-41 669 2 sω(ψ0)− sω(ψ0)− NOUN ejde-41 669 3 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 669 4 ) ) PUNCT ejde-41 669 5 ) ) PUNCT ejde-41 670 1 2s 2s NUM ejde-41 670 2 , , PUNCT ejde-41 670 3 sω(u sω(u NUM ejde-41 670 4 ) ) PUNCT ejde-41 670 5 ≤ ≤ NUM ejde-41 670 6 s2 s2 NOUN ejde-41 670 7 ω(ψ(t ω(ψ(t PROPN ejde-41 670 8 ) ) PUNCT ejde-41 670 9 ) ) PUNCT ejde-41 671 1 = = PUNCT ejde-41 672 1 sω(ψ(t))− sω(ψ(t))− NUM ejde-41 672 2 2 2 NUM ejde-41 672 3 3p 3p NUM ejde-41 672 4 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 672 5 ) ) PUNCT ejde-41 672 6 ) ) PUNCT ejde-41 673 1 < < X ejde-41 673 2 sω(ψ0)− sω(ψ0)− PROPN ejde-41 673 3 q(ψ(t q(ψ(t PROPN ejde-41 673 4 ) ) PUNCT ejde-41 673 5 ) ) PUNCT ejde-41 674 1 2s 2s PROPN ejde-41 674 2 for for ADP ejde-41 674 3 all all DET ejde-41 674 4 t t NOUN ejde-41 674 5 ∈ ∈ PROPN ejde-41 675 1 [ [ X ejde-41 675 2 0 0 NUM ejde-41 675 3 , , PUNCT ejde-41 675 4 t t PROPN ejde-41 675 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 675 6 ) ) PUNCT ejde-41 675 7 . . PUNCT ejde-41 676 1 this this PRON ejde-41 676 2 completes complete VERB ejde-41 676 3 the the DET ejde-41 676 4 proof proof NOUN ejde-41 676 5 . . PUNCT ejde-41 677 1 � � PROPN ejde-41 677 2 proof proof NOUN ejde-41 677 3 of of ADP ejde-41 677 4 theorem theorem ADJ ejde-41 677 5 1.2 1.2 NUM ejde-41 677 6 . . PUNCT ejde-41 678 1 let let VERB ejde-41 678 2 u u PRON ejde-41 678 3 be be AUX ejde-41 678 4 the the DET ejde-41 678 5 ground ground NOUN ejde-41 678 6 state state NOUN ejde-41 678 7 related relate VERB ejde-41 678 8 to to ADP ejde-41 678 9 ( ( PUNCT ejde-41 678 10 1.12 1.12 NUM ejde-41 678 11 ) ) PUNCT ejde-41 678 12 and and CCONJ ejde-41 678 13 { { PUNCT ejde-41 678 14 λn λn NOUN ejde-41 678 15 } } PUNCT ejde-41 678 16 ⊆ ⊆ NUM ejde-41 678 17 r+ r+ NOUN ejde-41 678 18 be be AUX ejde-41 678 19 such such ADJ ejde-41 678 20 that that SCONJ ejde-41 678 21 λn λn NOUN ejde-41 678 22 > > X ejde-41 678 23 1 1 NUM ejde-41 678 24 and and CCONJ ejde-41 678 25 limn→∞ limn→∞ PRON ejde-41 678 26 λn λn X ejde-41 678 27 = = SYM ejde-41 678 28 1 1 X ejde-41 678 29 . . PUNCT ejde-41 679 1 we we PRON ejde-41 679 2 take take VERB ejde-41 679 3 the the DET ejde-41 679 4 initial initial ADJ ejde-41 679 5 data datum NOUN ejde-41 679 6 ψ0,n(x ψ0,n(x NOUN ejde-41 679 7 ) ) PUNCT ejde-41 679 8 : : PUNCT ejde-41 680 1 = = PUNCT ejde-41 680 2 λ3/2 λ3/2 VERB ejde-41 680 3 n n PRON ejde-41 680 4 u(λnx u(λnx PROPN ejde-41 680 5 ) ) PUNCT ejde-41 680 6 . . PUNCT ejde-41 681 1 therefore therefore ADV ejde-41 681 2 , , PUNCT ejde-41 681 3 lim lim PROPN ejde-41 681 4 n→∞ n→∞ NUM ejde-41 681 5 ‖ψ0,n‖l2 ‖ψ0,n‖l2 X ejde-41 681 6 = = VERB ejde-41 681 7 lim lim PROPN ejde-41 681 8 n→∞ n→∞ X ejde-41 681 9 ‖u‖l2 ‖u‖l2 NUM ejde-41 681 10 = = SYM ejde-41 681 11 ‖u‖l2 ‖u‖l2 PROPN ejde-41 681 12 , , PUNCT ejde-41 681 13 lim lim PROPN ejde-41 681 14 n→∞ n→∞ X ejde-41 681 15 ‖ψ0,n‖ḣs ‖ψ0,n‖ḣs X ejde-41 681 16 = = SYM ejde-41 681 17 lim lim PROPN ejde-41 681 18 n→∞ n→∞ X ejde-41 682 1 λsn‖u‖ḣs λsn‖u‖ḣs ADJ ejde-41 682 2 = = SYM ejde-41 682 3 ‖u‖ḣs ‖u‖ḣs NOUN ejde-41 682 4 . . PUNCT ejde-41 683 1 thus thus ADV ejde-41 683 2 , , PUNCT ejde-41 683 3 we we PRON ejde-41 683 4 deduce deduce VERB ejde-41 683 5 from from ADP ejde-41 683 6 brezis brezis NOUN ejde-41 683 7 - - PUNCT ejde-41 683 8 lieb lieb PROPN ejde-41 683 9 ’s ’s PART ejde-41 683 10 lemma lemma PROPN ejde-41 683 11 ( ( PUNCT ejde-41 683 12 lemma lemma PROPN ejde-41 683 13 2.2 2.2 NUM ejde-41 683 14 ) ) PUNCT ejde-41 683 15 that that PRON ejde-41 683 16 ψ0,n ψ0,n VERB ejde-41 683 17 → → SYM ejde-41 683 18 u u PROPN ejde-41 683 19 in in ADP ejde-41 683 20 hs hs PROPN ejde-41 683 21 as as ADP ejde-41 683 22 n→∞. n→∞. NUM ejde-41 683 23 by by ADP ejde-41 683 24 lemma lemma PROPN ejde-41 683 25 5.7 5.7 NUM ejde-41 683 26 , , PUNCT ejde-41 683 27 we we PRON ejde-41 683 28 have have VERB ejde-41 683 29 sω(ψ0,n sω(ψ0,n ADJ ejde-41 683 30 ) ) PUNCT ejde-41 683 31 < < X ejde-41 683 32 sω(u sω(u NOUN ejde-41 683 33 ) ) PUNCT ejde-41 683 34 , , PUNCT ejde-41 683 35 q(ψ0,n q(ψ0,n X ejde-41 683 36 ) ) PUNCT ejde-41 683 37 < < X ejde-41 683 38 0 0 NUM ejde-41 683 39 for for ADP ejde-41 683 40 all all DET ejde-41 683 41 n n PRON ejde-41 683 42 ≥ ≥ NOUN ejde-41 683 43 1 1 NUM ejde-41 683 44 . . PUNCT ejde-41 684 1 thus thus ADV ejde-41 684 2 , , PUNCT ejde-41 684 3 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 684 4 ∈ ∈ NOUN ejde-41 684 5 bω bω NOUN ejde-41 684 6 . . PUNCT ejde-41 685 1 let let VERB ejde-41 685 2 ψn ψn PRON ejde-41 685 3 be be AUX ejde-41 685 4 the the DET ejde-41 685 5 maximal maximal ADJ ejde-41 685 6 solution solution NOUN ejde-41 685 7 of of ADP ejde-41 685 8 ( ( PUNCT ejde-41 685 9 1.4 1.4 NUM ejde-41 685 10 ) ) PUNCT ejde-41 685 11 with with ADP ejde-41 685 12 the the DET ejde-41 685 13 initial initial ADJ ejde-41 685 14 data datum NOUN ejde-41 685 15 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 685 16 . . PUNCT ejde-41 686 1 we we PRON ejde-41 686 2 deduce deduce VERB ejde-41 686 3 from from ADP ejde-41 686 4 lemma lemma PROPN ejde-41 686 5 5.9 5.9 NUM ejde-41 686 6 that that PRON ejde-41 686 7 ψn(t ψn(t PUNCT ejde-41 686 8 ) ) PUNCT ejde-41 686 9 ∈ ∈ PROPN ejde-41 686 10 bω bω NOUN ejde-41 686 11 for for ADP ejde-41 686 12 all all DET ejde-41 686 13 t t NOUN ejde-41 686 14 ∈ ∈ PROPN ejde-41 687 1 [ [ X ejde-41 687 2 0 0 NUM ejde-41 687 3 , , PUNCT ejde-41 687 4 t t PROPN ejde-41 687 5 ∗ ∗ NOUN ejde-41 687 6 ) ) PUNCT ejde-41 687 7 and and CCONJ ejde-41 687 8 q(ψn(t q(ψn(t NUM ejde-41 687 9 ) ) PUNCT ejde-41 687 10 ) ) PUNCT ejde-41 687 11 ≤ ≤ NOUN ejde-41 687 12 2s(s(ψ0,n)− 2s(s(ψ0,n)− NUM ejde-41 687 13 s(u s(u PROPN ejde-41 687 14 ) ) PUNCT ejde-41 687 15 ) ) PUNCT ejde-41 688 1 < < X ejde-41 688 2 0 0 X ejde-41 688 3 . . PUNCT ejde-41 689 1 thus thus ADV ejde-41 689 2 , , PUNCT ejde-41 689 3 applying apply VERB ejde-41 689 4 theorem theorem NOUN ejde-41 689 5 1.1 1.1 NUM ejde-41 689 6 , , PUNCT ejde-41 689 7 we we PRON ejde-41 689 8 obtain obtain VERB ejde-41 689 9 that that SCONJ ejde-41 689 10 the the DET ejde-41 689 11 solution solution NOUN ejde-41 689 12 ψn(t ψn(t PUNCT ejde-41 689 13 ) ) PUNCT ejde-41 689 14 of of ADP ejde-41 689 15 ( ( PUNCT ejde-41 689 16 1.4 1.4 NUM ejde-41 689 17 ) ) PUNCT ejde-41 689 18 with with ADP ejde-41 689 19 initial initial ADJ ejde-41 689 20 data datum NOUN ejde-41 689 21 ψ0,n ψ0,n PROPN ejde-41 689 22 blows blow VERB ejde-41 689 23 up up ADP ejde-41 689 24 in in ADP ejde-41 689 25 finite finite NOUN ejde-41 689 26 or or CCONJ ejde-41 689 27 infinite infinite ADJ ejde-41 689 28 time time NOUN ejde-41 689 29 for for ADP ejde-41 689 30 any any DET ejde-41 689 31 n n PRON ejde-41 689 32 ≥ ≥ NOUN ejde-41 689 33 1 1 NUM ejde-41 689 34 . . PUNCT ejde-41 689 35 � � NOUN ejde-41 689 36 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-41 689 37 . . PUNCT ejde-41 690 1 this this DET ejde-41 690 2 research research NOUN ejde-41 690 3 was be AUX ejde-41 690 4 supported support VERB ejde-41 690 5 by by ADP ejde-41 690 6 the the DET ejde-41 690 7 outstanding outstanding ADJ ejde-41 690 8 youth youth NOUN ejde-41 690 9 science science NOUN ejde-41 690 10 fund fund NOUN ejde-41 690 11 of of ADP ejde-41 690 12 gansu gansu PROPN ejde-41 690 13 province province PROPN ejde-41 690 14 ( ( PUNCT ejde-41 690 15 no no INTJ ejde-41 690 16 . . PUNCT ejde-41 691 1 20jr10r 20jr10r PRON ejde-41 692 1 a111 a111 NUM ejde-41 692 2 ) ) PUNCT ejde-41 692 3 , , PUNCT ejde-41 692 4 by by ADP ejde-41 692 5 the the DET ejde-41 692 6 department department PROPN ejde-41 692 7 of of ADP ejde-41 692 8 education education NOUN ejde-41 692 9 of of ADP ejde-41 692 10 gansu gansu PROPN ejde-41 692 11 province province PROPN ejde-41 692 12 : : PUNCT ejde-41 692 13 youth youth NOUN ejde-41 692 14 doctoral doctoral ADJ ejde-41 692 15 fund fund NOUN ejde-41 692 16 project project NOUN ejde-41 692 17 ( ( PUNCT ejde-41 692 18 no no INTJ ejde-41 692 19 . . NOUN ejde-41 692 20 2022qb-031 2022qb-031 NUM ejde-41 692 21 ) ) PUNCT ejde-41 692 22 , , PUNCT ejde-41 692 23 and and CCONJ ejde-41 692 24 by by ADP ejde-41 692 25 nwnu nwnu NOUN ejde-41 692 26 - - PUNCT ejde-41 692 27 lkzd2022 lkzd2022 PROPN ejde-41 692 28 - - PUNCT ejde-41 692 29 03 03 NUM ejde-41 692 30 and and CCONJ ejde-41 692 31 nwnu nwnu PROPN ejde-41 692 32 - - PUNCT ejde-41 692 33 lkqn2019 lkqn2019 PROPN ejde-41 692 34 - - PUNCT ejde-41 692 35 7 7 NUM ejde-41 692 36 . . NUM ejde-41 692 37 22 22 NUM ejde-41 692 38 y. y. PROPN ejde-41 692 39 mo mo PROPN ejde-41 692 40 , , PUNCT ejde-41 692 41 m. m. PROPN ejde-41 692 42 zhu zhu PROPN ejde-41 692 43 , , PUNCT ejde-41 692 44 b. b. PROPN ejde-41 692 45 feng feng PROPN ejde-41 692 46 ejde-2023/24 ejde-2023/24 PROPN ejde-41 692 47 references reference VERB ejde-41 692 48 [ [ X ejde-41 692 49 1 1 NUM ejde-41 692 50 ] ] PUNCT ejde-41 692 51 j. j. PROPN ejde-41 692 52 bellazzini bellazzini PROPN ejde-41 692 53 , , PUNCT ejde-41 692 54 g. g. PROPN ejde-41 692 55 siciliano siciliano PROPN ejde-41 692 56 ; ; PUNCT ejde-41 692 57 stable stable ADJ ejde-41 692 58 standing stand VERB ejde-41 692 59 waves wave NOUN ejde-41 692 60 for for ADP ejde-41 692 61 a a DET ejde-41 692 62 class class NOUN ejde-41 692 63 of of ADP ejde-41 692 64 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 692 65 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 692 66 - - PUNCT ejde-41 692 67 poisson poisson NOUN ejde-41 692 68 equations equation NOUN ejde-41 692 69 , , PUNCT ejde-41 692 70 z. z. PROPN ejde-41 692 71 angew angew PROPN ejde-41 692 72 . . PUNCT ejde-41 693 1 math math NOUN ejde-41 693 2 . . PUNCT ejde-41 694 1 phys phy NOUN ejde-41 694 2 . . PUNCT ejde-41 695 1 ( ( PUNCT ejde-41 695 2 2011 2011 NUM ejde-41 695 3 ) ) PUNCT ejde-41 695 4 , , PUNCT ejde-41 695 5 267–280 267–280 NUM ejde-41 695 6 . . PUNCT ejde-41 696 1 [ [ X ejde-41 696 2 2 2 X ejde-41 696 3 ] ] PUNCT ejde-41 696 4 j. j. PROPN ejde-41 696 5 bellazzini bellazzini PROPN ejde-41 696 6 , , PUNCT ejde-41 696 7 l. l. PROPN ejde-41 696 8 jeanjean jeanjean PROPN ejde-41 696 9 , , PUNCT ejde-41 696 10 t. t. PROPN ejde-41 696 11 luo luo PROPN ejde-41 696 12 ; ; PUNCT ejde-41 696 13 existence existence NOUN ejde-41 696 14 and and CCONJ ejde-41 696 15 instability instability NOUN ejde-41 696 16 of of ADP ejde-41 696 17 standing standing ADJ ejde-41 696 18 waves wave NOUN ejde-41 696 19 with with ADP ejde-41 696 20 prescribed prescribed ADJ ejde-41 696 21 norm norm NOUN ejde-41 696 22 for for ADP ejde-41 696 23 a a DET ejde-41 696 24 class class NOUN ejde-41 696 25 of of ADP ejde-41 696 26 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 696 27 - - PUNCT ejde-41 696 28 poisson poisson NOUN ejde-41 696 29 equations equation NOUN ejde-41 696 30 , , PUNCT ejde-41 696 31 proc proc NOUN ejde-41 696 32 . . PUNCT ejde-41 697 1 lond lond PROPN ejde-41 697 2 . . PUNCT ejde-41 698 1 math math NOUN ejde-41 698 2 . . PUNCT ejde-41 699 1 soc soc PROPN ejde-41 699 2 . . PUNCT ejde-41 699 3 , , PUNCT ejde-41 699 4 107 107 NUM ejde-41 699 5 ( ( PUNCT ejde-41 699 6 2013 2013 NUM ejde-41 699 7 ) ) PUNCT ejde-41 699 8 , , PUNCT ejde-41 699 9 303 303 NUM ejde-41 699 10 – – PUNCT ejde-41 699 11 339 339 NUM ejde-41 699 12 . . PUNCT ejde-41 700 1 [ [ X ejde-41 700 2 3 3 X ejde-41 700 3 ] ] PUNCT ejde-41 700 4 t. t. NOUN ejde-41 700 5 boulenger boulenger NOUN ejde-41 700 6 , , PUNCT ejde-41 700 7 d. d. PROPN ejde-41 700 8 himmelsbach himmelsbach PROPN ejde-41 700 9 , , PUNCT ejde-41 700 10 e. e. PROPN ejde-41 700 11 lenzmann lenzmann PROPN ejde-41 700 12 ; ; PUNCT ejde-41 700 13 blowup blowup VERB ejde-41 700 14 for for ADP ejde-41 700 15 fractional fractional ADJ ejde-41 700 16 nls nls NOUN ejde-41 700 17 , , PUNCT ejde-41 700 18 j. j. PROPN ejde-41 700 19 funct funct PROPN ejde-41 700 20 . . PUNCT ejde-41 701 1 anal anal PROPN ejde-41 701 2 . . PROPN ejde-41 701 3 , , PUNCT ejde-41 701 4 271 271 NUM ejde-41 701 5 ( ( PUNCT ejde-41 701 6 2016 2016 NUM ejde-41 701 7 ) ) PUNCT ejde-41 701 8 , , PUNCT ejde-41 701 9 2569–2603 2569–2603 NUM ejde-41 701 10 . . PUNCT ejde-41 702 1 [ [ X ejde-41 702 2 4 4 X ejde-41 702 3 ] ] PUNCT ejde-41 702 4 h. h. PROPN ejde-41 702 5 brézis brézis PROPN ejde-41 702 6 , , PUNCT ejde-41 702 7 e. e. PROPN ejde-41 702 8 h. h. PROPN ejde-41 702 9 lieb lieb PROPN ejde-41 702 10 ; ; PUNCT ejde-41 702 11 a a DET ejde-41 702 12 relation relation NOUN ejde-41 702 13 between between ADP ejde-41 702 14 pointwise pointwise ADJ ejde-41 702 15 convergence convergence NOUN ejde-41 702 16 of of ADP ejde-41 702 17 functions function NOUN ejde-41 702 18 and and CCONJ ejde-41 702 19 convergence convergence NOUN ejde-41 702 20 of of ADP ejde-41 702 21 functionals functional NOUN ejde-41 702 22 , , PUNCT ejde-41 702 23 proc proc NOUN ejde-41 702 24 . . PUNCT ejde-41 703 1 amer amer PROPN ejde-41 703 2 . . PUNCT ejde-41 703 3 math math PROPN ejde-41 703 4 . . PUNCT ejde-41 704 1 soc soc PROPN ejde-41 704 2 . . PUNCT ejde-41 704 3 , , PUNCT ejde-41 704 4 88 88 NUM ejde-41 704 5 ( ( PUNCT ejde-41 704 6 1983 1983 NUM ejde-41 704 7 ) ) PUNCT ejde-41 704 8 , , PUNCT ejde-41 704 9 486–490 486–490 NUM ejde-41 704 10 . . PUNCT ejde-41 705 1 [ [ X ejde-41 705 2 5 5 X ejde-41 705 3 ] ] PUNCT ejde-41 705 4 t. t. PROPN ejde-41 705 5 cazenave cazenave PROPN ejde-41 705 6 ; ; PUNCT ejde-41 705 7 semilinear semilinear PROPN ejde-41 705 8 schrödinger schrödinger PROPN ejde-41 705 9 equations equation NOUN ejde-41 705 10 , , PUNCT ejde-41 705 11 courant courant ADJ ejde-41 705 12 lecture lecture NOUN ejde-41 705 13 notes note NOUN ejde-41 705 14 in in ADP ejde-41 705 15 mathematics mathematic NOUN ejde-41 705 16 vol vol NOUN ejde-41 705 17 . . PROPN ejde-41 706 1 10 10 NUM ejde-41 706 2 , , PUNCT ejde-41 706 3 new new PROPN ejde-41 706 4 york york PROPN ejde-41 706 5 university university PROPN ejde-41 706 6 , , PUNCT ejde-41 706 7 courant courant PROPN ejde-41 706 8 institute institute PROPN ejde-41 706 9 of of ADP ejde-41 706 10 mathematical mathematical PROPN ejde-41 706 11 sciences sciences PROPN ejde-41 706 12 , , PUNCT ejde-41 706 13 new new PROPN ejde-41 706 14 york york PROPN ejde-41 706 15 ; ; PUNCT ejde-41 706 16 american american PROPN ejde-41 706 17 mathematical mathematical PROPN ejde-41 706 18 society society NOUN ejde-41 706 19 , , PUNCT ejde-41 706 20 providence providence NOUN ejde-41 706 21 , , PUNCT ejde-41 706 22 ri ri PROPN ejde-41 706 23 , , PUNCT ejde-41 706 24 2003 2003 NUM ejde-41 706 25 . . PUNCT ejde-41 707 1 [ [ X ejde-41 707 2 6 6 NUM ejde-41 707 3 ] ] X ejde-41 707 4 y. y. PROPN ejde-41 707 5 cho cho PROPN ejde-41 707 6 , , PUNCT ejde-41 707 7 g. g. PROPN ejde-41 707 8 hwang hwang PROPN ejde-41 707 9 , , PUNCT ejde-41 707 10 s. s. PROPN ejde-41 707 11 kwon kwon PROPN ejde-41 707 12 , , PUNCT ejde-41 707 13 s. s. PROPN ejde-41 707 14 lee lee PROPN ejde-41 707 15 ; ; PUNCT ejde-41 707 16 on on ADP ejde-41 707 17 finite finite ADJ ejde-41 707 18 time time NOUN ejde-41 707 19 blow blow NOUN ejde-41 707 20 - - PUNCT ejde-41 707 21 up up NOUN ejde-41 707 22 for for ADP ejde-41 707 23 the the DET ejde-41 707 24 mass mass ADJ ejde-41 707 25 - - PUNCT ejde-41 707 26 critical critical ADJ ejde-41 707 27 hartree hartree ADJ ejde-41 707 28 equations equation NOUN ejde-41 707 29 , , PUNCT ejde-41 707 30 proc proc NOUN ejde-41 707 31 . . PUNCT ejde-41 708 1 roy roy PROPN ejde-41 708 2 . . PROPN ejde-41 708 3 soc soc PROPN ejde-41 708 4 . . PUNCT ejde-41 709 1 edinburgh edinburgh PROPN ejde-41 709 2 sect sect PROPN ejde-41 709 3 . . PUNCT ejde-41 710 1 a a DET ejde-41 710 2 , , PUNCT ejde-41 710 3 145 145 NUM ejde-41 710 4 ( ( PUNCT ejde-41 710 5 2015 2015 NUM ejde-41 710 6 ) ) PUNCT ejde-41 710 7 , , PUNCT ejde-41 711 1 467–479 467–479 NUM ejde-41 711 2 . . PUNCT ejde-41 712 1 [ [ X ejde-41 712 2 7 7 X ejde-41 712 3 ] ] X ejde-41 712 4 v. v. PROPN ejde-41 712 5 d. d. PROPN ejde-41 712 6 dinh dinh PROPN ejde-41 712 7 ; ; PUNCT ejde-41 712 8 well well NOUN ejde-41 712 9 - - PUNCT ejde-41 712 10 posedness posedness NOUN ejde-41 712 11 of of ADP ejde-41 712 12 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 712 13 fractional fractional ADJ ejde-41 712 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 712 15 and and CCONJ ejde-41 712 16 wave wave NOUN ejde-41 712 17 equations equation NOUN ejde-41 712 18 in in ADP ejde-41 712 19 sobolev sobolev NOUN ejde-41 712 20 spaces space NOUN ejde-41 712 21 , , PUNCT ejde-41 712 22 int int NOUN ejde-41 712 23 . . PUNCT ejde-41 713 1 j. j. PROPN ejde-41 713 2 appl appl PROPN ejde-41 713 3 . . PROPN ejde-41 713 4 math math PROPN ejde-41 713 5 . . PUNCT ejde-41 713 6 , , PUNCT ejde-41 713 7 31 31 NUM ejde-41 713 8 ( ( PUNCT ejde-41 713 9 2018 2018 NUM ejde-41 713 10 ) ) PUNCT ejde-41 713 11 , , PUNCT ejde-41 713 12 483–525 483–525 NUM ejde-41 713 13 . . PUNCT ejde-41 714 1 [ [ X ejde-41 714 2 8 8 NUM ejde-41 714 3 ] ] X ejde-41 714 4 v. v. PROPN ejde-41 714 5 d. d. PROPN ejde-41 714 6 dinh dinh PROPN ejde-41 714 7 , , PUNCT ejde-41 714 8 b. b. PROPN ejde-41 714 9 feng feng PROPN ejde-41 714 10 ; ; PUNCT ejde-41 714 11 on on ADP ejde-41 714 12 fractional fractional ADJ ejde-41 714 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 714 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 714 15 equation equation NOUN ejde-41 714 16 with with ADP ejde-41 714 17 combined combined ADJ ejde-41 714 18 power power NOUN ejde-41 714 19 - - PUNCT ejde-41 714 20 type type NOUN ejde-41 714 21 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 714 22 , , PUNCT ejde-41 714 23 discrete discrete ADJ ejde-41 714 24 contin contin NOUN ejde-41 714 25 . . PUNCT ejde-41 715 1 dyn dyn NOUN ejde-41 715 2 . . PUNCT ejde-41 716 1 syst syst PROPN ejde-41 716 2 . . PROPN ejde-41 716 3 , , PUNCT ejde-41 716 4 29 29 NUM ejde-41 716 5 ( ( PUNCT ejde-41 716 6 2019 2019 NUM ejde-41 716 7 ) ) PUNCT ejde-41 716 8 , , PUNCT ejde-41 716 9 4565–4612 4565–4612 NOUN ejde-41 716 10 . . PUNCT ejde-41 717 1 [ [ X ejde-41 717 2 9 9 NUM ejde-41 717 3 ] ] X ejde-41 717 4 d. d. PROPN ejde-41 717 5 du du PROPN ejde-41 717 6 , , PUNCT ejde-41 717 7 y. y. PROPN ejde-41 717 8 wu wu PROPN ejde-41 717 9 , , PUNCT ejde-41 717 10 k. k. PROPN ejde-41 717 11 zhang zhang PROPN ejde-41 717 12 ; ; PUNCT ejde-41 717 13 on on ADP ejde-41 717 14 blow blow NOUN ejde-41 717 15 - - PUNCT ejde-41 717 16 up up ADP ejde-41 717 17 criterion criterion NOUN ejde-41 717 18 for for ADP ejde-41 717 19 the the DET ejde-41 717 20 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 717 21 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 717 22 equation equation NOUN ejde-41 717 23 , , PUNCT ejde-41 717 24 discrete discrete ADJ ejde-41 717 25 contin contin NOUN ejde-41 717 26 . . PUNCT ejde-41 718 1 dyn dyn NOUN ejde-41 718 2 . . PUNCT ejde-41 719 1 syst syst PROPN ejde-41 719 2 . . PROPN ejde-41 719 3 , , PUNCT ejde-41 719 4 36 36 NUM ejde-41 719 5 ( ( PUNCT ejde-41 719 6 2016 2016 NUM ejde-41 719 7 ) ) PUNCT ejde-41 719 8 , , PUNCT ejde-41 719 9 3639–3650 3639–3650 PROPN ejde-41 719 10 . . PUNCT ejde-41 720 1 [ [ X ejde-41 720 2 10 10 NUM ejde-41 720 3 ] ] PUNCT ejde-41 720 4 b. b. PROPN ejde-41 720 5 feng feng PROPN ejde-41 720 6 ; ; PUNCT ejde-41 720 7 on on ADP ejde-41 720 8 the the DET ejde-41 720 9 blow blow NOUN ejde-41 720 10 - - PUNCT ejde-41 720 11 up up ADP ejde-41 720 12 solutions solution NOUN ejde-41 720 13 for for ADP ejde-41 720 14 the the DET ejde-41 720 15 fractional fractional ADJ ejde-41 720 16 nonlinear nonlinear PROPN ejde-41 720 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 720 18 equation equation NOUN ejde-41 720 19 with with ADP ejde-41 720 20 combined combined ADJ ejde-41 720 21 power power NOUN ejde-41 720 22 - - PUNCT ejde-41 720 23 type type NOUN ejde-41 720 24 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 720 25 , , PUNCT ejde-41 720 26 commun commun PROPN ejde-41 720 27 . . PUNCT ejde-41 721 1 pure pure ADJ ejde-41 721 2 appl appl PROPN ejde-41 721 3 . . PUNCT ejde-41 722 1 anal anal PROPN ejde-41 722 2 . . PROPN ejde-41 722 3 , , PUNCT ejde-41 722 4 17 17 NUM ejde-41 722 5 ( ( PUNCT ejde-41 722 6 2018 2018 NUM ejde-41 722 7 ) ) PUNCT ejde-41 722 8 , , PUNCT ejde-41 722 9 1785–1804 1785–1804 NUM ejde-41 722 10 [ [ X ejde-41 722 11 11 11 NUM ejde-41 722 12 ] ] PUNCT ejde-41 722 13 b. b. PROPN ejde-41 722 14 feng feng PROPN ejde-41 722 15 ; ; PUNCT ejde-41 722 16 on on ADP ejde-41 722 17 the the DET ejde-41 722 18 blow blow NOUN ejde-41 722 19 - - PUNCT ejde-41 722 20 up up ADP ejde-41 722 21 solutions solution NOUN ejde-41 722 22 for for ADP ejde-41 722 23 the the DET ejde-41 722 24 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 722 25 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 722 26 equation equation NOUN ejde-41 722 27 with with ADP ejde-41 722 28 combined combined ADJ ejde-41 722 29 power power NOUN ejde-41 722 30 - - PUNCT ejde-41 722 31 type type NOUN ejde-41 722 32 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 722 33 , , PUNCT ejde-41 722 34 j. j. PROPN ejde-41 722 35 evol evol PROPN ejde-41 722 36 . . PUNCT ejde-41 723 1 equ equ PROPN ejde-41 723 2 . . PROPN ejde-41 723 3 , , PUNCT ejde-41 723 4 18 18 NUM ejde-41 723 5 ( ( PUNCT ejde-41 723 6 2018 2018 NUM ejde-41 723 7 ) ) PUNCT ejde-41 723 8 , , PUNCT ejde-41 723 9 203–220 203–220 NUM ejde-41 723 10 . . PUNCT ejde-41 724 1 [ [ X ejde-41 724 2 12 12 NUM ejde-41 724 3 ] ] PUNCT ejde-41 724 4 b. b. PROPN ejde-41 724 5 feng feng PROPN ejde-41 724 6 , , PUNCT ejde-41 724 7 r. r. PROPN ejde-41 724 8 chen chen PROPN ejde-41 724 9 , , PUNCT ejde-41 724 10 j. j. PROPN ejde-41 724 11 liu liu PROPN ejde-41 724 12 ; ; PUNCT ejde-41 724 13 blow blow NOUN ejde-41 724 14 - - PUNCT ejde-41 724 15 up up ADP ejde-41 724 16 criteria criterion NOUN ejde-41 724 17 and and CCONJ ejde-41 724 18 instability instability NOUN ejde-41 724 19 of of ADP ejde-41 724 20 normalized normalize VERB ejde-41 724 21 standing standing NOUN ejde-41 724 22 waves wave NOUN ejde-41 724 23 for for ADP ejde-41 724 24 the the DET ejde-41 724 25 fractional fractional ADJ ejde-41 724 26 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 724 27 - - PUNCT ejde-41 724 28 choquard choquard NOUN ejde-41 724 29 equation equation NOUN ejde-41 724 30 , , PUNCT ejde-41 724 31 adv adv PROPN ejde-41 724 32 . . PUNCT ejde-41 724 33 nonlinear nonlinear PROPN ejde-41 724 34 anal anal PROPN ejde-41 724 35 . . PUNCT ejde-41 724 36 , , PUNCT ejde-41 724 37 10 10 NUM ejde-41 724 38 ( ( PUNCT ejde-41 724 39 2021 2021 NUM ejde-41 724 40 ) ) PUNCT ejde-41 724 41 , , PUNCT ejde-41 724 42 311–330 311–330 NUM ejde-41 724 43 . . PUNCT ejde-41 725 1 [ [ X ejde-41 725 2 13 13 NUM ejde-41 725 3 ] ] PUNCT ejde-41 725 4 b. b. PROPN ejde-41 725 5 feng feng PROPN ejde-41 725 6 , , PUNCT ejde-41 725 7 r. r. PROPN ejde-41 725 8 chen chen PROPN ejde-41 725 9 , , PUNCT ejde-41 725 10 q. q. PROPN ejde-41 725 11 wang wang PROPN ejde-41 725 12 ; ; PUNCT ejde-41 725 13 instability instability NOUN ejde-41 725 14 of of ADP ejde-41 725 15 standing stand VERB ejde-41 725 16 waves wave NOUN ejde-41 725 17 for for ADP ejde-41 725 18 the the DET ejde-41 725 19 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 725 20 schrödingerpoisson schrödingerpoisson PROPN ejde-41 725 21 equation equation NOUN ejde-41 725 22 in in ADP ejde-41 725 23 the the DET ejde-41 725 24 l2 l2 NOUN ejde-41 725 25 - - PUNCT ejde-41 725 26 critical critical ADJ ejde-41 725 27 case case NOUN ejde-41 725 28 , , PUNCT ejde-41 725 29 j. j. PROPN ejde-41 725 30 dynam dynam PROPN ejde-41 725 31 . . PUNCT ejde-41 726 1 differential differential ADJ ejde-41 726 2 equations equation NOUN ejde-41 726 3 , , PUNCT ejde-41 726 4 32 32 NUM ejde-41 726 5 ( ( PUNCT ejde-41 726 6 2020 2020 NUM ejde-41 726 7 ) ) PUNCT ejde-41 726 8 , , PUNCT ejde-41 726 9 1357 1357 NUM ejde-41 726 10 – – PUNCT ejde-41 726 11 1370 1370 NUM ejde-41 726 12 . . PUNCT ejde-41 727 1 [ [ X ejde-41 727 2 14 14 NUM ejde-41 727 3 ] ] PUNCT ejde-41 727 4 b. b. PROPN ejde-41 727 5 feng feng PROPN ejde-41 727 6 , , PUNCT ejde-41 727 7 q. q. PROPN ejde-41 727 8 wang wang PROPN ejde-41 727 9 ; ; PUNCT ejde-41 727 10 strong strong ADJ ejde-41 727 11 instability instability NOUN ejde-41 727 12 of of ADP ejde-41 727 13 standing standing ADJ ejde-41 727 14 waves wave NOUN ejde-41 727 15 for for ADP ejde-41 727 16 the the DET ejde-41 727 17 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 727 18 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 727 19 equation equation NOUN ejde-41 727 20 in in ADP ejde-41 727 21 trapped trap VERB ejde-41 727 22 dipolar dipolar ADJ ejde-41 727 23 quantum quantum NOUN ejde-41 727 24 gases gas NOUN ejde-41 727 25 , , PUNCT ejde-41 727 26 j. j. PROPN ejde-41 727 27 dynam dynam PROPN ejde-41 727 28 . . PUNCT ejde-41 728 1 differential differential ADJ ejde-41 728 2 equations equation NOUN ejde-41 728 3 , , PUNCT ejde-41 728 4 33 33 NUM ejde-41 728 5 ( ( PUNCT ejde-41 728 6 2021 2021 NUM ejde-41 728 7 ) ) PUNCT ejde-41 728 8 , , PUNCT ejde-41 728 9 1989–2008 1989–2008 NOUN ejde-41 728 10 . . PUNCT ejde-41 729 1 [ [ X ejde-41 729 2 15 15 NUM ejde-41 729 3 ] ] X ejde-41 729 4 j. j. PROPN ejde-41 729 5 fröhlich fröhlich PROPN ejde-41 729 6 , , PUNCT ejde-41 729 7 g. g. PROPN ejde-41 729 8 jonsson jonsson PROPN ejde-41 729 9 , , PUNCT ejde-41 729 10 e. e. PROPN ejde-41 729 11 lenzmann lenzmann PROPN ejde-41 729 12 ; ; PUNCT ejde-41 729 13 boson boson NOUN ejde-41 729 14 stars star NOUN ejde-41 729 15 as as ADP ejde-41 729 16 solitary solitary ADJ ejde-41 729 17 waves wave NOUN ejde-41 729 18 , , PUNCT ejde-41 729 19 comm comm NOUN ejde-41 729 20 . . PUNCT ejde-41 729 21 math math NOUN ejde-41 729 22 . . PUNCT ejde-41 730 1 phys phy NOUN ejde-41 730 2 . . PUNCT ejde-41 730 3 , , PUNCT ejde-41 730 4 274 274 NUM ejde-41 730 5 ( ( PUNCT ejde-41 730 6 2007 2007 NUM ejde-41 730 7 ) ) PUNCT ejde-41 730 8 , , PUNCT ejde-41 730 9 1–30 1–30 NOUN ejde-41 730 10 . . PUNCT ejde-41 731 1 [ [ X ejde-41 731 2 16 16 NUM ejde-41 731 3 ] ] X ejde-41 731 4 r. r. PROPN ejde-41 731 5 fukuizumi fukuizumi PROPN ejde-41 731 6 ; ; PUNCT ejde-41 731 7 stability stability NOUN ejde-41 731 8 and and CCONJ ejde-41 731 9 instability instability NOUN ejde-41 731 10 of of ADP ejde-41 731 11 standing standing ADJ ejde-41 731 12 waves wave NOUN ejde-41 731 13 for for ADP ejde-41 731 14 the the DET ejde-41 731 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 731 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 731 17 equation equation NOUN ejde-41 731 18 with with ADP ejde-41 731 19 harmonic harmonic ADJ ejde-41 731 20 potential potential NOUN ejde-41 731 21 , , PUNCT ejde-41 731 22 discrete discrete ADJ ejde-41 731 23 contin contin NOUN ejde-41 731 24 . . PUNCT ejde-41 732 1 dyn dyn NOUN ejde-41 732 2 . . PUNCT ejde-41 733 1 syst syst PROPN ejde-41 733 2 . . PROPN ejde-41 733 3 , , PUNCT ejde-41 733 4 7 7 NUM ejde-41 733 5 ( ( PUNCT ejde-41 733 6 2001 2001 NUM ejde-41 733 7 ) ) PUNCT ejde-41 733 8 , , PUNCT ejde-41 733 9 525–544 525–544 NUM ejde-41 733 10 . . PUNCT ejde-41 734 1 [ [ X ejde-41 734 2 17 17 NUM ejde-41 734 3 ] ] X ejde-41 734 4 r. r. PROPN ejde-41 734 5 fukuizumi fukuizumi PROPN ejde-41 734 6 , , PUNCT ejde-41 734 7 m. m. NOUN ejde-41 734 8 ohta ohta NOUN ejde-41 734 9 ; ; PUNCT ejde-41 734 10 instability instability NOUN ejde-41 734 11 of of ADP ejde-41 734 12 standing standing ADJ ejde-41 734 13 waves wave NOUN ejde-41 734 14 for for ADP ejde-41 734 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 734 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 734 17 equations equation NOUN ejde-41 734 18 with with ADP ejde-41 734 19 potentials potential NOUN ejde-41 734 20 , , PUNCT ejde-41 734 21 differential differential ADJ ejde-41 734 22 integral integral ADJ ejde-41 734 23 equations equation NOUN ejde-41 734 24 , , PUNCT ejde-41 734 25 16 16 NUM ejde-41 734 26 ( ( PUNCT ejde-41 734 27 2003 2003 NUM ejde-41 734 28 ) ) PUNCT ejde-41 734 29 , , PUNCT ejde-41 734 30 691 691 NUM ejde-41 734 31 - - SYM ejde-41 734 32 706 706 NUM ejde-41 734 33 . . PUNCT ejde-41 735 1 [ [ X ejde-41 735 2 18 18 NUM ejde-41 735 3 ] ] X ejde-41 735 4 n. n. PROPN ejde-41 735 5 fukaya fukaya PROPN ejde-41 735 6 , , PUNCT ejde-41 735 7 m. m. NOUN ejde-41 735 8 ohta ohta PROPN ejde-41 735 9 ; ; PUNCT ejde-41 735 10 strong strong ADJ ejde-41 735 11 instability instability NOUN ejde-41 735 12 of of ADP ejde-41 735 13 standing standing ADJ ejde-41 735 14 waves wave NOUN ejde-41 735 15 for for ADP ejde-41 735 16 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 735 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 735 18 equations equation NOUN ejde-41 735 19 with with ADP ejde-41 735 20 attractive attractive ADJ ejde-41 735 21 inverse inverse NOUN ejde-41 735 22 power power NOUN ejde-41 735 23 potential potential NOUN ejde-41 735 24 , , PUNCT ejde-41 735 25 osaka osaka PROPN ejde-41 735 26 j. j. PROPN ejde-41 735 27 math math PROPN ejde-41 735 28 . . PUNCT ejde-41 735 29 , , PUNCT ejde-41 735 30 56 56 NUM ejde-41 735 31 ( ( PUNCT ejde-41 735 32 2019 2019 NUM ejde-41 735 33 ) ) PUNCT ejde-41 735 34 , , PUNCT ejde-41 735 35 713–726 713–726 NUM ejde-41 735 36 . . PUNCT ejde-41 736 1 [ [ X ejde-41 736 2 19 19 NUM ejde-41 736 3 ] ] X ejde-41 736 4 n. n. PROPN ejde-41 736 5 fukaya fukaya PROPN ejde-41 736 6 , , PUNCT ejde-41 736 7 m. m. NOUN ejde-41 736 8 ohta ohta PROPN ejde-41 736 9 ; ; PUNCT ejde-41 736 10 strong strong ADJ ejde-41 736 11 instability instability NOUN ejde-41 736 12 of of ADP ejde-41 736 13 standing standing ADJ ejde-41 736 14 waves wave NOUN ejde-41 736 15 with with ADP ejde-41 736 16 negative negative ADJ ejde-41 736 17 energy energy NOUN ejde-41 736 18 for for ADP ejde-41 736 19 double double ADJ ejde-41 736 20 power power NOUN ejde-41 736 21 nonlinear nonlinear PROPN ejde-41 736 22 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 736 23 equations equation NOUN ejde-41 736 24 , , PUNCT ejde-41 736 25 sut sut PROPN ejde-41 736 26 j. j. PROPN ejde-41 736 27 math math PROPN ejde-41 736 28 . . PROPN ejde-41 736 29 , , PUNCT ejde-41 736 30 54 54 NUM ejde-41 736 31 ( ( PUNCT ejde-41 736 32 2018 2018 NUM ejde-41 736 33 ) ) PUNCT ejde-41 736 34 , , PUNCT ejde-41 736 35 131–143 131–143 NUM ejde-41 736 36 . . PUNCT ejde-41 737 1 [ [ X ejde-41 737 2 20 20 NUM ejde-41 737 3 ] ] X ejde-41 737 4 y. y. PROPN ejde-41 737 5 hong hong PROPN ejde-41 737 6 , , PUNCT ejde-41 737 7 y. y. NOUN ejde-41 737 8 sire sire NOUN ejde-41 737 9 ; ; PUNCT ejde-41 737 10 on on ADP ejde-41 737 11 fractional fractional ADJ ejde-41 737 12 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 737 13 equations equation NOUN ejde-41 737 14 in in ADP ejde-41 737 15 sobolev sobolev NOUN ejde-41 737 16 spaces space NOUN ejde-41 737 17 , , PUNCT ejde-41 737 18 comm comm NOUN ejde-41 737 19 . . PUNCT ejde-41 738 1 pure pure ADJ ejde-41 738 2 appl appl PROPN ejde-41 738 3 . . PUNCT ejde-41 739 1 anal anal PROPN ejde-41 739 2 . . PROPN ejde-41 739 3 , , PUNCT ejde-41 739 4 14 14 NUM ejde-41 739 5 ( ( PUNCT ejde-41 739 6 2015 2015 NUM ejde-41 739 7 ) ) PUNCT ejde-41 739 8 , , PUNCT ejde-41 739 9 2265–2282 2265–2282 NUM ejde-41 739 10 . . PUNCT ejde-41 740 1 [ [ X ejde-41 740 2 21 21 NUM ejde-41 740 3 ] ] X ejde-41 740 4 l. l. PROPN ejde-41 740 5 jeanjean jeanjean PROPN ejde-41 740 6 , , PUNCT ejde-41 740 7 t. t. PROPN ejde-41 740 8 luo luo PROPN ejde-41 740 9 ; ; PUNCT ejde-41 740 10 sharp sharp ADJ ejde-41 740 11 nonexistence nonexistence NOUN ejde-41 740 12 results result NOUN ejde-41 740 13 of of ADP ejde-41 740 14 prescribed prescribed ADJ ejde-41 740 15 l2 l2 NOUN ejde-41 740 16 - - PUNCT ejde-41 740 17 norm norm NOUN ejde-41 740 18 solutions solution NOUN ejde-41 740 19 for for ADP ejde-41 740 20 some some DET ejde-41 740 21 class class NOUN ejde-41 740 22 of of ADP ejde-41 740 23 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 740 24 - - NOUN ejde-41 740 25 poisson poisson NOUN ejde-41 740 26 and and CCONJ ejde-41 740 27 quasi quasi ADJ ejde-41 740 28 - - ADJ ejde-41 740 29 linear linear ADJ ejde-41 740 30 equations equation NOUN ejde-41 740 31 , , PUNCT ejde-41 740 32 z. z. PROPN ejde-41 740 33 angew angew PROPN ejde-41 740 34 . . PUNCT ejde-41 741 1 math math NOUN ejde-41 741 2 . . PUNCT ejde-41 742 1 phys phy NOUN ejde-41 742 2 . . PUNCT ejde-41 742 3 , , PUNCT ejde-41 742 4 64 64 NUM ejde-41 742 5 ( ( PUNCT ejde-41 742 6 2013 2013 NUM ejde-41 742 7 ) ) PUNCT ejde-41 742 8 , , PUNCT ejde-41 742 9 937–954 937–954 NUM ejde-41 742 10 . . PUNCT ejde-41 743 1 [ [ X ejde-41 743 2 22 22 NUM ejde-41 743 3 ] ] PUNCT ejde-41 743 4 k. k. PROPN ejde-41 743 5 kirkpatrick kirkpatrick PROPN ejde-41 743 6 , , PUNCT ejde-41 743 7 e. e. PROPN ejde-41 743 8 lenzmann lenzmann PROPN ejde-41 743 9 , , PUNCT ejde-41 743 10 g. g. PROPN ejde-41 743 11 staffilani staffilani PROPN ejde-41 743 12 ; ; PUNCT ejde-41 743 13 on on ADP ejde-41 743 14 the the DET ejde-41 743 15 continuum continuum ADJ ejde-41 743 16 limit limit NOUN ejde-41 743 17 for for ADP ejde-41 743 18 discrete discrete ADJ ejde-41 743 19 nls nls NOUN ejde-41 743 20 with with ADP ejde-41 743 21 long long ADJ ejde-41 743 22 - - PUNCT ejde-41 743 23 range range NOUN ejde-41 743 24 lattice lattice NOUN ejde-41 743 25 interactions interaction NOUN ejde-41 743 26 , , PUNCT ejde-41 743 27 comm comm NOUN ejde-41 743 28 . . PUNCT ejde-41 743 29 math math NOUN ejde-41 743 30 . . PUNCT ejde-41 744 1 phys phy NOUN ejde-41 744 2 . . PUNCT ejde-41 744 3 , , PUNCT ejde-41 744 4 317 317 NUM ejde-41 744 5 ( ( PUNCT ejde-41 744 6 2013 2013 NUM ejde-41 744 7 ) ) PUNCT ejde-41 744 8 , , PUNCT ejde-41 744 9 563–591 563–591 NUM ejde-41 744 10 . . PUNCT ejde-41 745 1 [ [ X ejde-41 745 2 23 23 NUM ejde-41 745 3 ] ] X ejde-41 745 4 n. n. PROPN ejde-41 745 5 laskin laskin PROPN ejde-41 745 6 ; ; PUNCT ejde-41 745 7 fractional fractional ADJ ejde-41 745 8 quantum quantum ADJ ejde-41 745 9 mechanics mechanic NOUN ejde-41 745 10 and and CCONJ ejde-41 745 11 lèvy lèvy PROPN ejde-41 745 12 path path NOUN ejde-41 745 13 integrals integral NOUN ejde-41 745 14 , , PUNCT ejde-41 745 15 phys phy NOUN ejde-41 745 16 . . PUNCT ejde-41 746 1 lett lett PROPN ejde-41 746 2 . . PUNCT ejde-41 747 1 a a PRON ejde-41 747 2 , , PUNCT ejde-41 747 3 268 268 NUM ejde-41 747 4 ( ( PUNCT ejde-41 747 5 2000 2000 NUM ejde-41 747 6 ) ) PUNCT ejde-41 747 7 , , PUNCT ejde-41 747 8 298–304 298–304 NUM ejde-41 747 9 . . PUNCT ejde-41 748 1 [ [ X ejde-41 748 2 24 24 NUM ejde-41 748 3 ] ] X ejde-41 748 4 n. n. NOUN ejde-41 748 5 laskin laskin PROPN ejde-41 748 6 ; ; PUNCT ejde-41 748 7 fractional fractional PROPN ejde-41 748 8 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 748 9 equations equation NOUN ejde-41 748 10 , , PUNCT ejde-41 748 11 physics physics NOUN ejde-41 748 12 review review PROPN ejde-41 748 13 e e PROPN ejde-41 748 14 , , PUNCT ejde-41 748 15 66 66 NUM ejde-41 748 16 ( ( PUNCT ejde-41 748 17 2002 2002 NUM ejde-41 748 18 ) ) PUNCT ejde-41 748 19 , , PUNCT ejde-41 748 20 056108 056108 NUM ejde-41 748 21 . . PUNCT ejde-41 749 1 [ [ X ejde-41 749 2 25 25 NUM ejde-41 749 3 ] ] X ejde-41 749 4 h. h. PROPN ejde-41 749 5 kikuchi kikuchi PROPN ejde-41 749 6 ; ; PUNCT ejde-41 749 7 existence existence NOUN ejde-41 749 8 and and CCONJ ejde-41 749 9 stability stability NOUN ejde-41 749 10 of of ADP ejde-41 749 11 standing stand VERB ejde-41 749 12 waves wave NOUN ejde-41 749 13 for for ADP ejde-41 749 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 749 15 - - PUNCT ejde-41 749 16 poisson poisson ADJ ejde-41 749 17 - - PUNCT ejde-41 749 18 slater slater NOUN ejde-41 749 19 equation equation NOUN ejde-41 749 20 , , PUNCT ejde-41 749 21 adv adv PROPN ejde-41 749 22 . . PUNCT ejde-41 749 23 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 749 24 stud stud PROPN ejde-41 749 25 . . PUNCT ejde-41 749 26 , , PUNCT ejde-41 749 27 7 7 NUM ejde-41 749 28 ( ( PUNCT ejde-41 749 29 2007 2007 NUM ejde-41 749 30 ) ) PUNCT ejde-41 749 31 , , PUNCT ejde-41 749 32 403–437 403–437 NUM ejde-41 749 33 . . PUNCT ejde-41 750 1 [ [ X ejde-41 750 2 26 26 NUM ejde-41 750 3 ] ] X ejde-41 750 4 s. s. PROPN ejde-41 750 5 le le PROPN ejde-41 750 6 coz coz PROPN ejde-41 750 7 ; ; PUNCT ejde-41 750 8 a a DET ejde-41 750 9 note note NOUN ejde-41 750 10 on on ADP ejde-41 750 11 berestycki berestycki ADJ ejde-41 750 12 - - PUNCT ejde-41 750 13 cazenave cazenave PROPN ejde-41 750 14 ’s ’s PART ejde-41 750 15 classical classical ADJ ejde-41 750 16 instability instability NOUN ejde-41 750 17 result result NOUN ejde-41 750 18 for for ADP ejde-41 750 19 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 750 20 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 750 21 equations equation NOUN ejde-41 750 22 , , PUNCT ejde-41 750 23 adv adv PROPN ejde-41 750 24 . . PUNCT ejde-41 750 25 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 750 26 stud stud PROPN ejde-41 750 27 . . PUNCT ejde-41 750 28 , , PUNCT ejde-41 750 29 8 8 NUM ejde-41 750 30 ( ( PUNCT ejde-41 750 31 2008 2008 NUM ejde-41 750 32 ) ) PUNCT ejde-41 750 33 , , PUNCT ejde-41 750 34 455–463 455–463 NUM ejde-41 750 35 . . PUNCT ejde-41 751 1 ejde-2023/24 ejde-2023/24 NOUN ejde-41 751 2 blow blow VERB ejde-41 751 3 - - PUNCT ejde-41 751 4 up up ADP ejde-41 751 5 criteria criterion NOUN ejde-41 751 6 and and CCONJ ejde-41 751 7 instability instability NOUN ejde-41 751 8 of of ADP ejde-41 751 9 standing standing ADJ ejde-41 751 10 waves wave NOUN ejde-41 751 11 23 23 NUM ejde-41 752 1 [ [ X ejde-41 752 2 27 27 NUM ejde-41 752 3 ] ] PUNCT ejde-41 752 4 x. x. NOUN ejde-41 752 5 lin lin PROPN ejde-41 752 6 , , PUNCT ejde-41 752 7 s. s. PROPN ejde-41 752 8 zheng zheng PROPN ejde-41 752 9 ; ; PUNCT ejde-41 752 10 mixed mixed ADJ ejde-41 752 11 local local ADJ ejde-41 752 12 and and CCONJ ejde-41 752 13 nonlocal nonlocal ADJ ejde-41 752 14 schrodinger schrodinger NOUN ejde-41 752 15 - - PUNCT ejde-41 752 16 poisson poisson NOUN ejde-41 752 17 type type NOUN ejde-41 752 18 system system NOUN ejde-41 752 19 involving involve VERB ejde-41 752 20 variable variable ADJ ejde-41 752 21 exponents exponent NOUN ejde-41 752 22 , , PUNCT ejde-41 752 23 electron electron NOUN ejde-41 752 24 . . PUNCT ejde-41 753 1 j. j. PROPN ejde-41 753 2 differential differential PROPN ejde-41 753 3 equations equation NOUN ejde-41 753 4 , , PUNCT ejde-41 753 5 2022 2022 NUM ejde-41 753 6 ( ( PUNCT ejde-41 753 7 2022 2022 NUM ejde-41 753 8 ) ) PUNCT ejde-41 753 9 , , PUNCT ejde-41 753 10 no no INTJ ejde-41 753 11 . . PROPN ejde-41 753 12 81 81 NUM ejde-41 753 13 , , PUNCT ejde-41 753 14 1–17 1–17 PROPN ejde-41 753 15 . . PUNCT ejde-41 754 1 [ [ X ejde-41 754 2 28 28 NUM ejde-41 754 3 ] ] X ejde-41 754 4 s. s. PROPN ejde-41 754 5 longhi longhi PROPN ejde-41 754 6 ; ; PUNCT ejde-41 754 7 fractional fractional ADJ ejde-41 754 8 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 754 9 equation equation NOUN ejde-41 754 10 in in ADP ejde-41 754 11 optics optic NOUN ejde-41 754 12 , , PUNCT ejde-41 754 13 opt opt PROPN ejde-41 754 14 . . PUNCT ejde-41 755 1 lett lett PROPN ejde-41 755 2 . . PROPN ejde-41 755 3 , , PUNCT ejde-41 755 4 40 40 NUM ejde-41 755 5 ( ( PUNCT ejde-41 755 6 2015 2015 NUM ejde-41 755 7 ) ) PUNCT ejde-41 755 8 , , PUNCT ejde-41 755 9 1117–1120 1117–1120 NUM ejde-41 755 10 . . PUNCT ejde-41 756 1 [ [ X ejde-41 756 2 29 29 NUM ejde-41 756 3 ] ] X ejde-41 756 4 m. m. NOUN ejde-41 756 5 ohta ohta NOUN ejde-41 756 6 ; ; PUNCT ejde-41 756 7 strong strong ADJ ejde-41 756 8 instability instability NOUN ejde-41 756 9 of of ADP ejde-41 756 10 standing standing ADJ ejde-41 756 11 waves wave NOUN ejde-41 756 12 for for ADP ejde-41 756 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 756 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 756 15 equations equation NOUN ejde-41 756 16 with with ADP ejde-41 756 17 harmonic harmonic ADJ ejde-41 756 18 potential potential NOUN ejde-41 756 19 , , PUNCT ejde-41 756 20 funkcial funkcial ADJ ejde-41 756 21 . . PUNCT ejde-41 756 22 ekvac ekvac PROPN ejde-41 756 23 . . PUNCT ejde-41 756 24 , , PUNCT ejde-41 756 25 61 61 NUM ejde-41 756 26 ( ( PUNCT ejde-41 756 27 2018 2018 NUM ejde-41 756 28 ) ) PUNCT ejde-41 756 29 , , PUNCT ejde-41 756 30 135–143 135–143 NUM ejde-41 756 31 . . PUNCT ejde-41 757 1 [ [ X ejde-41 757 2 30 30 NUM ejde-41 757 3 ] ] X ejde-41 757 4 m. m. NOUN ejde-41 757 5 ohta ohta NOUN ejde-41 757 6 ; ; PUNCT ejde-41 757 7 strong strong ADJ ejde-41 757 8 instability instability NOUN ejde-41 757 9 of of ADP ejde-41 757 10 standing standing ADJ ejde-41 757 11 waves wave NOUN ejde-41 757 12 for for ADP ejde-41 757 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 757 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 757 15 equations equation NOUN ejde-41 757 16 with with ADP ejde-41 757 17 a a DET ejde-41 757 18 partial partial ADJ ejde-41 757 19 confinement confinement NOUN ejde-41 757 20 , , PUNCT ejde-41 757 21 comm comm NOUN ejde-41 757 22 . . PUNCT ejde-41 758 1 pure pure ADJ ejde-41 758 2 appl appl PROPN ejde-41 758 3 . . PUNCT ejde-41 759 1 anal anal PROPN ejde-41 759 2 . . PROPN ejde-41 759 3 , , PUNCT ejde-41 759 4 17 17 NUM ejde-41 759 5 ( ( PUNCT ejde-41 759 6 2018 2018 NUM ejde-41 759 7 ) ) PUNCT ejde-41 759 8 , , PUNCT ejde-41 759 9 1671–1680 1671–1680 NUM ejde-41 759 10 . . PUNCT ejde-41 760 1 [ [ X ejde-41 760 2 31 31 NUM ejde-41 760 3 ] ] PUNCT ejde-41 760 4 m. m. NOUN ejde-41 760 5 ohta ohta NOUN ejde-41 760 6 ; ; PUNCT ejde-41 760 7 stability stability NOUN ejde-41 760 8 of of ADP ejde-41 760 9 standing stand VERB ejde-41 760 10 waves wave NOUN ejde-41 760 11 for for ADP ejde-41 760 12 the the DET ejde-41 760 13 generalized generalize VERB ejde-41 760 14 davey davey NOUN ejde-41 760 15 - - PUNCT ejde-41 760 16 stewartson stewartson NOUN ejde-41 760 17 system system NOUN ejde-41 760 18 , , PUNCT ejde-41 760 19 j. j. PROPN ejde-41 760 20 dynam dynam PROPN ejde-41 760 21 . . PUNCT ejde-41 761 1 differential differential ADJ ejde-41 761 2 equations equation NOUN ejde-41 761 3 , , PUNCT ejde-41 761 4 6 6 NUM ejde-41 761 5 ( ( PUNCT ejde-41 761 6 1994 1994 NUM ejde-41 761 7 ) ) PUNCT ejde-41 761 8 , , PUNCT ejde-41 761 9 325–334 325–334 NUM ejde-41 761 10 . . PUNCT ejde-41 762 1 [ [ X ejde-41 762 2 32 32 NUM ejde-41 762 3 ] ] PUNCT ejde-41 762 4 m. m. NOUN ejde-41 762 5 ohta ohta NOUN ejde-41 762 6 ; ; PUNCT ejde-41 762 7 stability stability NOUN ejde-41 762 8 and and CCONJ ejde-41 762 9 instability instability NOUN ejde-41 762 10 of of ADP ejde-41 762 11 standing standing ADJ ejde-41 762 12 waves wave NOUN ejde-41 762 13 for for ADP ejde-41 762 14 the the DET ejde-41 762 15 generalized generalize VERB ejde-41 762 16 davey davey NOUN ejde-41 762 17 - - PUNCT ejde-41 762 18 stewartson stewartson NOUN ejde-41 762 19 system system NOUN ejde-41 762 20 , , PUNCT ejde-41 762 21 differential differential ADJ ejde-41 762 22 integral integral ADJ ejde-41 762 23 equations equation NOUN ejde-41 762 24 , , PUNCT ejde-41 762 25 8 8 NUM ejde-41 762 26 ( ( PUNCT ejde-41 762 27 1995 1995 NUM ejde-41 762 28 ) ) PUNCT ejde-41 762 29 , , PUNCT ejde-41 762 30 1775–1788 1775–1788 NUM ejde-41 762 31 . . PUNCT ejde-41 763 1 [ [ X ejde-41 763 2 33 33 NUM ejde-41 763 3 ] ] PUNCT ejde-41 763 4 c. c. PROPN ejde-41 763 5 peng peng PROPN ejde-41 763 6 , , PUNCT ejde-41 763 7 q. q. PROPN ejde-41 763 8 shi shi PROPN ejde-41 763 9 ; ; PUNCT ejde-41 763 10 stability stability NOUN ejde-41 763 11 of of ADP ejde-41 763 12 standing standing ADJ ejde-41 763 13 wave wave NOUN ejde-41 763 14 for for ADP ejde-41 763 15 the the DET ejde-41 763 16 fractional fractional ADJ ejde-41 763 17 nonlinear nonlinear PROPN ejde-41 763 18 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 763 19 equation equation NOUN ejde-41 763 20 , , PUNCT ejde-41 763 21 j. j. PROPN ejde-41 763 22 math math PROPN ejde-41 763 23 . . PUNCT ejde-41 764 1 phys phy NOUN ejde-41 764 2 . . PUNCT ejde-41 764 3 , , PUNCT ejde-41 764 4 59 59 NUM ejde-41 764 5 ( ( PUNCT ejde-41 764 6 2018 2018 NUM ejde-41 764 7 ) ) PUNCT ejde-41 764 8 , , PUNCT ejde-41 764 9 011508 011508 NUM ejde-41 764 10 . . PUNCT ejde-41 765 1 [ [ X ejde-41 765 2 34 34 NUM ejde-41 765 3 ] ] X ejde-41 765 4 s. s. PROPN ejde-41 765 5 qu qu PROPN ejde-41 765 6 , , PUNCT ejde-41 765 7 x. x. VERB ejde-41 765 8 he he PRON ejde-41 765 9 ; ; PUNCT ejde-41 765 10 multiplicity multiplicity NOUN ejde-41 765 11 of of ADP ejde-41 765 12 high high ADJ ejde-41 765 13 energy energy NOUN ejde-41 765 14 solutions solution NOUN ejde-41 765 15 for for ADP ejde-41 765 16 fractional fractional ADJ ejde-41 765 17 schrodinger schrodinger NOUN ejde-41 765 18 - - PUNCT ejde-41 765 19 poisson poisson NOUN ejde-41 765 20 systems system NOUN ejde-41 765 21 with with ADP ejde-41 765 22 critical critical ADJ ejde-41 765 23 frequency frequency NOUN ejde-41 765 24 , , PUNCT ejde-41 765 25 electron electron NOUN ejde-41 765 26 . . PUNCT ejde-41 766 1 j. j. PROPN ejde-41 766 2 differential differential PROPN ejde-41 766 3 equations equation NOUN ejde-41 766 4 , , PUNCT ejde-41 766 5 2022 2022 NUM ejde-41 766 6 ( ( PUNCT ejde-41 766 7 2022 2022 NUM ejde-41 766 8 ) ) PUNCT ejde-41 766 9 , , PUNCT ejde-41 766 10 no no INTJ ejde-41 766 11 . . PROPN ejde-41 767 1 47 47 NUM ejde-41 767 2 , , PUNCT ejde-41 767 3 1–21 1–21 PROPN ejde-41 767 4 . . PUNCT ejde-41 768 1 [ [ X ejde-41 768 2 35 35 NUM ejde-41 768 3 ] ] X ejde-41 768 4 t. t. PROPN ejde-41 768 5 saanouni saanouni PROPN ejde-41 768 6 ; ; PUNCT ejde-41 768 7 strong strong ADJ ejde-41 768 8 instability instability NOUN ejde-41 768 9 of of ADP ejde-41 768 10 standing standing ADJ ejde-41 768 11 waves wave NOUN ejde-41 768 12 for for ADP ejde-41 768 13 the the DET ejde-41 768 14 fractional fractional ADJ ejde-41 768 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 768 16 equation equation NOUN ejde-41 768 17 , , PUNCT ejde-41 768 18 j. j. PROPN ejde-41 768 19 math math PROPN ejde-41 768 20 . . PUNCT ejde-41 769 1 phys phy NOUN ejde-41 769 2 . . PUNCT ejde-41 769 3 , , PUNCT ejde-41 769 4 59 59 NUM ejde-41 769 5 ( ( PUNCT ejde-41 769 6 2018 2018 NUM ejde-41 769 7 ) ) PUNCT ejde-41 769 8 , , PUNCT ejde-41 769 9 081509 081509 NUM ejde-41 769 10 . . PUNCT ejde-41 770 1 [ [ X ejde-41 770 2 36 36 NUM ejde-41 770 3 ] ] PUNCT ejde-41 770 4 t. t. PROPN ejde-41 770 5 saanouni saanouni PROPN ejde-41 770 6 ; ; PUNCT ejde-41 770 7 remarks remark NOUN ejde-41 770 8 on on ADP ejde-41 770 9 the the DET ejde-41 770 10 inhomogeneous inhomogeneous ADJ ejde-41 770 11 fractional fractional ADJ ejde-41 770 12 nonlinear nonlinear NOUN ejde-41 770 13 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 770 14 equation equation NOUN ejde-41 770 15 , , PUNCT ejde-41 770 16 j. j. PROPN ejde-41 770 17 math math PROPN ejde-41 770 18 . . PUNCT ejde-41 771 1 phys phy NOUN ejde-41 771 2 . . PUNCT ejde-41 771 3 , , PUNCT ejde-41 771 4 57 57 NUM ejde-41 771 5 ( ( PUNCT ejde-41 771 6 2016 2016 NUM ejde-41 771 7 ) ) PUNCT ejde-41 771 8 , , PUNCT ejde-41 771 9 081503 081503 NUM ejde-41 771 10 . . PUNCT ejde-41 772 1 [ [ X ejde-41 772 2 37 37 NUM ejde-41 772 3 ] ] PUNCT ejde-41 772 4 q. q. PROPN ejde-41 772 5 shi shi PROPN ejde-41 772 6 , , PUNCT ejde-41 772 7 c. c. PROPN ejde-41 772 8 peng peng PROPN ejde-41 772 9 , , PUNCT ejde-41 772 10 q. q. PROPN ejde-41 772 11 wang wang PROPN ejde-41 772 12 ; ; PUNCT ejde-41 772 13 blowup blowup VERB ejde-41 772 14 results result NOUN ejde-41 772 15 for for ADP ejde-41 772 16 the the DET ejde-41 772 17 fractional fractional ADJ ejde-41 772 18 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 772 19 equation equation NOUN ejde-41 772 20 without without ADP ejde-41 772 21 gauge gauge NOUN ejde-41 772 22 invariance invariance NOUN ejde-41 772 23 , , PUNCT ejde-41 772 24 discrete discrete ADJ ejde-41 772 25 contin contin NOUN ejde-41 772 26 . . PUNCT ejde-41 773 1 dyn dyn NOUN ejde-41 773 2 . . PUNCT ejde-41 774 1 syst syst PROPN ejde-41 774 2 . . PUNCT ejde-41 775 1 ser ser PROPN ejde-41 775 2 . . PUNCT ejde-41 776 1 b b NUM ejde-41 776 2 , , PUNCT ejde-41 776 3 27 27 NUM ejde-41 776 4 ( ( PUNCT ejde-41 776 5 2022 2022 NUM ejde-41 776 6 ) ) PUNCT ejde-41 776 7 , , PUNCT ejde-41 776 8 6009–6022 6009–6022 NOUN ejde-41 776 9 . . PUNCT ejde-41 777 1 [ [ X ejde-41 777 2 38 38 NUM ejde-41 777 3 ] ] PUNCT ejde-41 777 4 j. j. PROPN ejde-41 777 5 sun sun PROPN ejde-41 777 6 , , PUNCT ejde-41 777 7 t. t. PROPN ejde-41 777 8 f. f. PROPN ejde-41 777 9 wu wu PROPN ejde-41 777 10 , , PUNCT ejde-41 777 11 z. z. PROPN ejde-41 777 12 feng feng PROPN ejde-41 777 13 ; ; PUNCT ejde-41 777 14 multiplicity multiplicity NOUN ejde-41 777 15 of of ADP ejde-41 777 16 positive positive ADJ ejde-41 777 17 solutions solution NOUN ejde-41 777 18 for for ADP ejde-41 777 19 a a DET ejde-41 777 20 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 777 21 schrödingerpoisson schrödingerpoisson PROPN ejde-41 777 22 system system NOUN ejde-41 777 23 , , PUNCT ejde-41 777 24 j. j. PROPN ejde-41 777 25 differential differential PROPN ejde-41 777 26 equations equations PROPN ejde-41 777 27 , , PUNCT ejde-41 777 28 260 260 NUM ejde-41 777 29 ( ( PUNCT ejde-41 777 30 2016 2016 NUM ejde-41 777 31 ) ) PUNCT ejde-41 777 32 , , PUNCT ejde-41 777 33 586–627 586–627 NUM ejde-41 777 34 . . PUNCT ejde-41 778 1 [ [ X ejde-41 778 2 39 39 NUM ejde-41 778 3 ] ] PUNCT ejde-41 778 4 t. t. PROPN ejde-41 778 5 tao tao PROPN ejde-41 778 6 , , PUNCT ejde-41 778 7 m. m. NOUN ejde-41 778 8 visan visan PROPN ejde-41 778 9 , , PUNCT ejde-41 778 10 x. x. PROPN ejde-41 778 11 zhang zhang PROPN ejde-41 778 12 ; ; PUNCT ejde-41 778 13 the the DET ejde-41 778 14 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 778 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 778 16 equation equation NOUN ejde-41 778 17 with with ADP ejde-41 778 18 combined combined ADJ ejde-41 778 19 power power NOUN ejde-41 778 20 - - PUNCT ejde-41 778 21 type type NOUN ejde-41 778 22 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 778 23 , , PUNCT ejde-41 778 24 comm comm NOUN ejde-41 778 25 . . PUNCT ejde-41 779 1 partial partial ADJ ejde-41 779 2 differential differential NOUN ejde-41 779 3 equations equation NOUN ejde-41 779 4 , , PUNCT ejde-41 779 5 32 32 NUM ejde-41 779 6 ( ( PUNCT ejde-41 779 7 2007 2007 NUM ejde-41 779 8 ) ) PUNCT ejde-41 779 9 , , PUNCT ejde-41 779 10 1281–1343 1281–1343 NUM ejde-41 779 11 . . PUNCT ejde-41 780 1 [ [ X ejde-41 780 2 40 40 NUM ejde-41 780 3 ] ] PUNCT ejde-41 780 4 k. k. PROPN ejde-41 780 5 teng teng PROPN ejde-41 780 6 ; ; PUNCT ejde-41 780 7 existence existence NOUN ejde-41 780 8 of of ADP ejde-41 780 9 ground ground NOUN ejde-41 780 10 state state NOUN ejde-41 780 11 solutions solution NOUN ejde-41 780 12 for for ADP ejde-41 780 13 the the DET ejde-41 780 14 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 780 15 fractional fractional ADJ ejde-41 780 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 780 17 - - PUNCT ejde-41 780 18 poisson poisson NOUN ejde-41 780 19 system system NOUN ejde-41 780 20 with with ADP ejde-41 780 21 critical critical ADJ ejde-41 780 22 sobolev sobolev NOUN ejde-41 780 23 exponent exponent NOUN ejde-41 780 24 , , PUNCT ejde-41 780 25 j. j. PROPN ejde-41 780 26 differential differential PROPN ejde-41 780 27 equations equations PROPN ejde-41 780 28 , , PUNCT ejde-41 780 29 261 261 NUM ejde-41 780 30 ( ( PUNCT ejde-41 780 31 2016 2016 NUM ejde-41 780 32 ) ) PUNCT ejde-41 780 33 , , PUNCT ejde-41 780 34 3061–3106 3061–3106 NUM ejde-41 780 35 . . PUNCT ejde-41 781 1 [ [ X ejde-41 781 2 41 41 NUM ejde-41 781 3 ] ] PUNCT ejde-41 781 4 j. j. PROPN ejde-41 781 5 zhang zhang PROPN ejde-41 781 6 ; ; PUNCT ejde-41 781 7 sharp sharp ADJ ejde-41 781 8 threshold threshold NOUN ejde-41 781 9 for for ADP ejde-41 781 10 blowup blowup ADJ ejde-41 781 11 and and CCONJ ejde-41 781 12 global global ADJ ejde-41 781 13 existence existence NOUN ejde-41 781 14 in in ADP ejde-41 781 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 781 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 781 17 equations equation NOUN ejde-41 781 18 under under ADP ejde-41 781 19 a a DET ejde-41 781 20 harmonic harmonic ADJ ejde-41 781 21 potential potential NOUN ejde-41 781 22 , , PUNCT ejde-41 781 23 comm comm NOUN ejde-41 781 24 . . PUNCT ejde-41 782 1 partial partial ADJ ejde-41 782 2 differential differential NOUN ejde-41 782 3 equations equation NOUN ejde-41 782 4 , , PUNCT ejde-41 782 5 30 30 NUM ejde-41 782 6 ( ( PUNCT ejde-41 782 7 2007 2007 NUM ejde-41 782 8 ) ) PUNCT ejde-41 782 9 , , PUNCT ejde-41 782 10 1429–1443 1429–1443 NUM ejde-41 782 11 . . PUNCT ejde-41 783 1 [ [ X ejde-41 783 2 42 42 NUM ejde-41 783 3 ] ] PUNCT ejde-41 783 4 s. s. PROPN ejde-41 783 5 zhu zhu PROPN ejde-41 783 6 ; ; PUNCT ejde-41 783 7 on on ADP ejde-41 783 8 the the DET ejde-41 783 9 davey davey NOUN ejde-41 783 10 - - PUNCT ejde-41 783 11 stewartson stewartson NOUN ejde-41 783 12 system system NOUN ejde-41 783 13 with with ADP ejde-41 783 14 competing compete VERB ejde-41 783 15 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-41 783 16 , , PUNCT ejde-41 783 17 j. j. PROPN ejde-41 783 18 math math PROPN ejde-41 783 19 . . PUNCT ejde-41 784 1 phys phy NOUN ejde-41 784 2 . . PUNCT ejde-41 784 3 , , PUNCT ejde-41 784 4 57 57 NUM ejde-41 784 5 ( ( PUNCT ejde-41 784 6 2016 2016 NUM ejde-41 784 7 ) ) PUNCT ejde-41 784 8 , , PUNCT ejde-41 784 9 031501 031501 NUM ejde-41 784 10 . . PUNCT ejde-41 785 1 [ [ X ejde-41 785 2 43 43 NUM ejde-41 785 3 ] ] PUNCT ejde-41 785 4 s. s. PROPN ejde-41 785 5 zhu zhu PROPN ejde-41 785 6 ; ; PUNCT ejde-41 785 7 on on ADP ejde-41 785 8 the the DET ejde-41 785 9 blow blow NOUN ejde-41 785 10 - - PUNCT ejde-41 785 11 up up ADP ejde-41 785 12 solutions solution NOUN ejde-41 785 13 for for ADP ejde-41 785 14 the the DET ejde-41 785 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-41 785 16 fractional fractional PROPN ejde-41 785 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-41 785 18 equation equation NOUN ejde-41 785 19 , , PUNCT ejde-41 785 20 j. j. PROPN ejde-41 785 21 differential differential PROPN ejde-41 785 22 equations equations PROPN ejde-41 785 23 , , PUNCT ejde-41 785 24 261 261 NUM ejde-41 785 25 ( ( PUNCT ejde-41 785 26 2016 2016 NUM ejde-41 785 27 ) ) PUNCT ejde-41 785 28 , , PUNCT ejde-41 785 29 1506–1531 1506–1531 NUM ejde-41 785 30 . . PUNCT ejde-41 786 1 yichun yichun PROPN ejde-41 786 2 mo mo PROPN ejde-41 786 3 department department PROPN ejde-41 786 4 of of ADP ejde-41 786 5 mathematics mathematics PROPN ejde-41 786 6 , , PUNCT ejde-41 786 7 northwest northwest PROPN ejde-41 786 8 normal normal ADJ ejde-41 786 9 university university NOUN ejde-41 786 10 , , PUNCT ejde-41 786 11 lanzhou lanzhou PROPN ejde-41 786 12 730070 730070 NUM ejde-41 786 13 , , PUNCT ejde-41 786 14 china china PROPN ejde-41 786 15 email email NOUN ejde-41 786 16 address address PROPN ejde-41 786 17 : : PUNCT ejde-41 787 1 sg25888@163.com sg25888@163.com X ejde-41 787 2 min min PROPN ejde-41 787 3 zhu zhu PROPN ejde-41 787 4 ( ( PUNCT ejde-41 787 5 corresponding corresponding ADJ ejde-41 787 6 author author NOUN ejde-41 787 7 ) ) PUNCT ejde-41 787 8 department department NOUN ejde-41 787 9 of of ADP ejde-41 787 10 mathematics mathematics PROPN ejde-41 787 11 , , PUNCT ejde-41 787 12 nanjing nanjing PROPN ejde-41 787 13 forestry forestry PROPN ejde-41 787 14 university university PROPN ejde-41 787 15 , , PUNCT ejde-41 787 16 nanjing nanjing PROPN ejde-41 787 17 , , PUNCT ejde-41 787 18 jiangsu jiangsu PROPN ejde-41 787 19 210037 210037 NUM ejde-41 787 20 , , PUNCT ejde-41 787 21 china china PROPN ejde-41 787 22 email email NOUN ejde-41 787 23 address address NOUN ejde-41 787 24 : : PUNCT ejde-41 787 25 zhumin@njfu.edu.cn zhumin@njfu.edu.cn PROPN ejde-41 787 26 binhua binhua PROPN ejde-41 787 27 feng feng PROPN ejde-41 787 28 ( ( PUNCT ejde-41 787 29 corresponding correspond VERB ejde-41 787 30 author author NOUN ejde-41 787 31 ) ) PUNCT ejde-41 787 32 department department NOUN ejde-41 787 33 of of ADP ejde-41 787 34 mathematics mathematic NOUN ejde-41 787 35 , , PUNCT ejde-41 787 36 northwest northwest PROPN ejde-41 787 37 normal normal ADJ ejde-41 787 38 university university NOUN ejde-41 787 39 , , PUNCT ejde-41 787 40 lanzhou lanzhou PROPN ejde-41 787 41 730070 730070 NUM ejde-41 787 42 , , PUNCT ejde-41 787 43 china china PROPN ejde-41 787 44 email email NOUN ejde-41 787 45 address address NOUN ejde-41 787 46 : : PUNCT ejde-41 787 47 binhuaf@nwnu.edu.cn binhuaf@nwnu.edu.cn NOUN ejde-41 787 48 1 1 NUM ejde-41 787 49 . . PUNCT ejde-41 787 50 introduction introduction NOUN ejde-41 787 51 2 2 NUM ejde-41 787 52 . . PUNCT ejde-41 787 53 preliminary preliminary ADJ ejde-41 787 54 lemmas lemmas PROPN ejde-41 787 55 3 3 NUM ejde-41 787 56 . . PUNCT ejde-41 787 57 localized localize VERB ejde-41 787 58 virial virial ADJ ejde-41 787 59 estimates estimate NOUN ejde-41 787 60 4 4 NUM ejde-41 787 61 . . X ejde-41 787 62 blow blow NOUN ejde-41 787 63 - - PUNCT ejde-41 787 64 up up ADP ejde-41 787 65 criteria criterion NOUN ejde-41 787 66 for for ADP ejde-41 787 67 ( ( PUNCT ejde-41 787 68 ? ? PUNCT ejde-41 787 69 ? ? PUNCT ejde-41 787 70 ) ) PUNCT ejde-41 788 1 5 5 X ejde-41 788 2 . . X ejde-41 788 3 strong strong ADJ ejde-41 788 4 instability instability NOUN ejde-41 788 5 of of ADP ejde-41 788 6 standing standing ADJ ejde-41 788 7 waves wave NOUN ejde-41 788 8 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-41 788 9 references reference NOUN