id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-44	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-44	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-44	1	3	of	of	ADP
ejde-44	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-44	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-44	1	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1	7	monogrpah	monogrpah	PROPN
ejde-44	1	8	03	03	NUM
ejde-44	1	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1	10	2002	2002	NUM
ejde-44	1	11	.	.	PUNCT
ejde-44	2	1	issn	issn	PROPN
ejde-44	2	2	:	:	PUNCT
ejde-44	2	3	1072	1072	NUM
ejde-44	2	4	-	-	SYM
ejde-44	2	5	6691	6691	NUM
ejde-44	2	6	.	.	PUNCT
ejde-44	3	1	url	url	PROPN
ejde-44	3	2	:	:	PUNCT
ejde-44	3	3	http://ejde.math.swt.edu	http://ejde.math.swt.edu	PROPN
ejde-44	3	4	or	or	CCONJ
ejde-44	3	5	http://ejde.math.unt.edu	http://ejde.math.unt.edu	VERB
ejde-44	3	6	ftp	ftp	PROPN
ejde-44	3	7	ejde.math.swt.edu	ejde.math.swt.edu	PROPN
ejde-44	3	8	(	(	PUNCT
ejde-44	3	9	login	login	NOUN
ejde-44	3	10	:	:	PUNCT
ejde-44	3	11	ftp	ftp	ADJ
ejde-44	3	12	)	)	PUNCT
ejde-44	3	13	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	3	14	solutions	solution	NOUN
ejde-44	3	15	for	for	ADP
ejde-44	3	16	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	3	17	equations	equation	NOUN
ejde-44	3	18	∗	∗	PROPN
ejde-44	3	19	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	3	20	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	3	21	abstract	abstract	NOUN
ejde-44	3	22	we	we	PRON
ejde-44	3	23	study	study	VERB
ejde-44	3	24	the	the	DET
ejde-44	3	25	existence	existence	NOUN
ejde-44	3	26	and	and	CCONJ
ejde-44	3	27	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	3	28	of	of	ADP
ejde-44	3	29	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	3	30	solutions	solution	NOUN
ejde-44	3	31	for	for	ADP
ejde-44	3	32	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	3	33	equations	equation	NOUN
ejde-44	3	34	.	.	PUNCT
ejde-44	4	1	first	first	ADV
ejde-44	4	2	we	we	PRON
ejde-44	4	3	analyze	analyze	VERB
ejde-44	4	4	the	the	DET
ejde-44	4	5	one	one	NUM
ejde-44	4	6	-	-	PUNCT
ejde-44	4	7	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	4	8	case	case	NOUN
ejde-44	4	9	.	.	PUNCT
ejde-44	5	1	then	then	ADV
ejde-44	5	2	for	for	ADP
ejde-44	5	3	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-44	5	4	dimensions	dimension	NOUN
ejde-44	5	5	(	(	PUNCT
ejde-44	5	6	finite	finite	NOUN
ejde-44	5	7	or	or	CCONJ
ejde-44	5	8	not	not	PART
ejde-44	5	9	)	)	PUNCT
ejde-44	5	10	,	,	PUNCT
ejde-44	5	11	we	we	PRON
ejde-44	5	12	consider	consider	VERB
ejde-44	5	13	linear	linear	ADJ
ejde-44	5	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	5	15	operators	operator	NOUN
ejde-44	5	16	.	.	PUNCT
ejde-44	6	1	we	we	PRON
ejde-44	6	2	also	also	ADV
ejde-44	6	3	prove	prove	VERB
ejde-44	6	4	the	the	DET
ejde-44	6	5	same	same	ADJ
ejde-44	6	6	results	result	NOUN
ejde-44	6	7	for	for	ADP
ejde-44	6	8	non	non	ADJ
ejde-44	6	9	-	-	ADJ
ejde-44	6	10	linear	linear	ADJ
ejde-44	6	11	sub	sub	ADJ
ejde-44	6	12	-	-	ADJ
ejde-44	6	13	differential	differential	ADJ
ejde-44	6	14	operators	operator	NOUN
ejde-44	6	15	a	a	DET
ejde-44	6	16	=	=	SYM
ejde-44	6	17	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	6	18	where	where	SCONJ
ejde-44	6	19	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	6	20	is	be	AUX
ejde-44	6	21	convex	convex	NOUN
ejde-44	6	22	.	.	PUNCT
ejde-44	7	1	contents	content	NOUN
ejde-44	7	2	1	1	NUM
ejde-44	7	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-44	7	4	1	1	NUM
ejde-44	7	5	2	2	NUM
ejde-44	7	6	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	7	7	solutions	solution	NOUN
ejde-44	7	8	for	for	ADP
ejde-44	7	9	one	one	NUM
ejde-44	7	10	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	7	11	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	7	12	equations	equation	NOUN
ejde-44	7	13	2	2	NUM
ejde-44	7	14	2.1	2.1	NUM
ejde-44	7	15	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	7	16	.	.	PUNCT
ejde-44	7	17	.	.	PUNCT
ejde-44	7	18	.	.	PUNCT
ejde-44	7	19	.	.	PUNCT
ejde-44	7	20	.	.	PUNCT
ejde-44	7	21	.	.	PUNCT
ejde-44	7	22	.	.	PUNCT
ejde-44	7	23	.	.	PUNCT
ejde-44	7	24	.	.	PUNCT
ejde-44	7	25	.	.	PUNCT
ejde-44	7	26	.	.	PUNCT
ejde-44	7	27	.	.	PUNCT
ejde-44	7	28	.	.	PUNCT
ejde-44	7	29	.	.	PUNCT
ejde-44	7	30	.	.	PUNCT
ejde-44	7	31	.	.	PUNCT
ejde-44	7	32	.	.	PUNCT
ejde-44	7	33	.	.	PUNCT
ejde-44	7	34	.	.	PUNCT
ejde-44	7	35	.	.	PUNCT
ejde-44	7	36	.	.	PUNCT
ejde-44	7	37	.	.	PUNCT
ejde-44	7	38	.	.	PUNCT
ejde-44	7	39	.	.	PUNCT
ejde-44	7	40	.	.	PUNCT
ejde-44	7	41	.	.	PUNCT
ejde-44	7	42	.	.	PUNCT
ejde-44	7	43	.	.	PUNCT
ejde-44	7	44	.	.	PUNCT
ejde-44	8	1	.	.	PUNCT
ejde-44	9	1	2	2	NUM
ejde-44	9	2	2.2	2.2	NUM
ejde-44	9	3	existence	existence	NOUN
ejde-44	9	4	.	.	PUNCT
ejde-44	9	5	.	.	PUNCT
ejde-44	9	6	.	.	PUNCT
ejde-44	9	7	.	.	PUNCT
ejde-44	9	8	.	.	PUNCT
ejde-44	9	9	.	.	PUNCT
ejde-44	9	10	.	.	PUNCT
ejde-44	9	11	.	.	PUNCT
ejde-44	9	12	.	.	PUNCT
ejde-44	9	13	.	.	PUNCT
ejde-44	9	14	.	.	PUNCT
ejde-44	9	15	.	.	PUNCT
ejde-44	9	16	.	.	PUNCT
ejde-44	9	17	.	.	PUNCT
ejde-44	9	18	.	.	PUNCT
ejde-44	9	19	.	.	PUNCT
ejde-44	9	20	.	.	PUNCT
ejde-44	9	21	.	.	PUNCT
ejde-44	9	22	.	.	PUNCT
ejde-44	9	23	.	.	PUNCT
ejde-44	9	24	.	.	PUNCT
ejde-44	9	25	.	.	PUNCT
ejde-44	9	26	.	.	PUNCT
ejde-44	9	27	.	.	PUNCT
ejde-44	9	28	.	.	PUNCT
ejde-44	9	29	.	.	PUNCT
ejde-44	9	30	.	.	PUNCT
ejde-44	9	31	.	.	PUNCT
ejde-44	9	32	.	.	PUNCT
ejde-44	9	33	.	.	PUNCT
ejde-44	9	34	.	.	PUNCT
ejde-44	10	1	5	5	NUM
ejde-44	10	2	2.3	2.3	NUM
ejde-44	10	3	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	10	4	solutions	solution	NOUN
ejde-44	10	5	.	.	PUNCT
ejde-44	10	6	.	.	PUNCT
ejde-44	10	7	.	.	PUNCT
ejde-44	10	8	.	.	PUNCT
ejde-44	10	9	.	.	PUNCT
ejde-44	10	10	.	.	PUNCT
ejde-44	10	11	.	.	PUNCT
ejde-44	10	12	.	.	PUNCT
ejde-44	10	13	.	.	PUNCT
ejde-44	10	14	.	.	PUNCT
ejde-44	10	15	.	.	PUNCT
ejde-44	10	16	.	.	PUNCT
ejde-44	10	17	.	.	PUNCT
ejde-44	10	18	.	.	PUNCT
ejde-44	10	19	.	.	PUNCT
ejde-44	10	20	.	.	PUNCT
ejde-44	10	21	.	.	PUNCT
ejde-44	10	22	.	.	PUNCT
ejde-44	10	23	.	.	PUNCT
ejde-44	10	24	.	.	PUNCT
ejde-44	11	1	10	10	NUM
ejde-44	11	2	3	3	NUM
ejde-44	11	3	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	11	4	solutions	solution	NOUN
ejde-44	11	5	for	for	ADP
ejde-44	11	6	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	11	7	equations	equation	NOUN
ejde-44	11	8	on	on	ADP
ejde-44	11	9	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-44	11	10	spaces	space	VERB
ejde-44	11	11	16	16	NUM
ejde-44	11	12	3.1	3.1	NUM
ejde-44	11	13	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	11	14	.	.	PUNCT
ejde-44	11	15	.	.	PUNCT
ejde-44	11	16	.	.	PUNCT
ejde-44	11	17	.	.	PUNCT
ejde-44	11	18	.	.	PUNCT
ejde-44	11	19	.	.	PUNCT
ejde-44	11	20	.	.	PUNCT
ejde-44	11	21	.	.	PUNCT
ejde-44	11	22	.	.	PUNCT
ejde-44	11	23	.	.	PUNCT
ejde-44	11	24	.	.	PUNCT
ejde-44	11	25	.	.	PUNCT
ejde-44	11	26	.	.	PUNCT
ejde-44	11	27	.	.	PUNCT
ejde-44	11	28	.	.	PUNCT
ejde-44	11	29	.	.	PUNCT
ejde-44	11	30	.	.	PUNCT
ejde-44	11	31	.	.	PUNCT
ejde-44	11	32	.	.	PUNCT
ejde-44	11	33	.	.	PUNCT
ejde-44	11	34	.	.	PUNCT
ejde-44	11	35	.	.	PUNCT
ejde-44	11	36	.	.	PUNCT
ejde-44	11	37	.	.	PUNCT
ejde-44	11	38	.	.	PUNCT
ejde-44	11	39	.	.	PUNCT
ejde-44	11	40	.	.	PUNCT
ejde-44	11	41	.	.	PUNCT
ejde-44	11	42	.	.	PUNCT
ejde-44	11	43	.	.	PUNCT
ejde-44	12	1	17	17	NUM
ejde-44	12	2	3.2	3.2	NUM
ejde-44	12	3	existence	existence	NOUN
ejde-44	12	4	.	.	PUNCT
ejde-44	12	5	.	.	PUNCT
ejde-44	12	6	.	.	PUNCT
ejde-44	12	7	.	.	PUNCT
ejde-44	12	8	.	.	PUNCT
ejde-44	12	9	.	.	PUNCT
ejde-44	12	10	.	.	PUNCT
ejde-44	12	11	.	.	PUNCT
ejde-44	12	12	.	.	PUNCT
ejde-44	12	13	.	.	PUNCT
ejde-44	12	14	.	.	PUNCT
ejde-44	12	15	.	.	PUNCT
ejde-44	12	16	.	.	PUNCT
ejde-44	12	17	.	.	PUNCT
ejde-44	12	18	.	.	PUNCT
ejde-44	12	19	.	.	PUNCT
ejde-44	12	20	.	.	PUNCT
ejde-44	12	21	.	.	PUNCT
ejde-44	12	22	.	.	PUNCT
ejde-44	12	23	.	.	PUNCT
ejde-44	12	24	.	.	PUNCT
ejde-44	12	25	.	.	PUNCT
ejde-44	12	26	.	.	PUNCT
ejde-44	12	27	.	.	PUNCT
ejde-44	12	28	.	.	PUNCT
ejde-44	12	29	.	.	PUNCT
ejde-44	12	30	.	.	PUNCT
ejde-44	12	31	.	.	PUNCT
ejde-44	12	32	.	.	PUNCT
ejde-44	12	33	.	.	PUNCT
ejde-44	12	34	.	.	PUNCT
ejde-44	13	1	17	17	NUM
ejde-44	13	2	3.3	3.3	NUM
ejde-44	13	3	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	13	4	solutions	solution	NOUN
ejde-44	13	5	for	for	ADP
ejde-44	13	6	the	the	DET
ejde-44	13	7	heat	heat	NOUN
ejde-44	13	8	equation	equation	NOUN
ejde-44	13	9	.	.	PUNCT
ejde-44	13	10	.	.	PUNCT
ejde-44	13	11	.	.	PUNCT
ejde-44	13	12	.	.	PUNCT
ejde-44	13	13	.	.	PUNCT
ejde-44	13	14	.	.	PUNCT
ejde-44	13	15	.	.	PUNCT
ejde-44	13	16	.	.	PUNCT
ejde-44	13	17	.	.	PUNCT
ejde-44	13	18	.	.	PUNCT
ejde-44	13	19	.	.	PUNCT
ejde-44	13	20	.	.	PUNCT
ejde-44	13	21	.	.	PUNCT
ejde-44	13	22	.	.	PUNCT
ejde-44	14	1	31	31	NUM
ejde-44	14	2	3.4	3.4	NUM
ejde-44	14	3	non	non	ADJ
ejde-44	14	4	-	-	ADJ
ejde-44	14	5	linear	linear	ADJ
ejde-44	14	6	case	case	NOUN
ejde-44	14	7	.	.	PUNCT
ejde-44	14	8	.	.	PUNCT
ejde-44	14	9	.	.	PUNCT
ejde-44	14	10	.	.	PUNCT
ejde-44	14	11	.	.	PUNCT
ejde-44	14	12	.	.	PUNCT
ejde-44	14	13	.	.	PUNCT
ejde-44	14	14	.	.	PUNCT
ejde-44	14	15	.	.	PUNCT
ejde-44	14	16	.	.	PUNCT
ejde-44	14	17	.	.	PUNCT
ejde-44	14	18	.	.	PUNCT
ejde-44	14	19	.	.	PUNCT
ejde-44	14	20	.	.	PUNCT
ejde-44	14	21	.	.	PUNCT
ejde-44	14	22	.	.	PUNCT
ejde-44	14	23	.	.	PUNCT
ejde-44	14	24	.	.	PUNCT
ejde-44	14	25	.	.	PUNCT
ejde-44	14	26	.	.	PUNCT
ejde-44	14	27	.	.	PUNCT
ejde-44	14	28	.	.	PUNCT
ejde-44	14	29	.	.	PUNCT
ejde-44	14	30	.	.	PUNCT
ejde-44	14	31	.	.	PUNCT
ejde-44	14	32	.	.	PUNCT
ejde-44	14	33	.	.	PUNCT
ejde-44	14	34	.	.	PUNCT
ejde-44	15	1	34	34	NUM
ejde-44	15	2	1	1	NUM
ejde-44	15	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-44	15	4	many	many	ADJ
ejde-44	15	5	theoretical	theoretical	ADJ
ejde-44	15	6	and	and	CCONJ
ejde-44	15	7	numerical	numerical	ADJ
ejde-44	15	8	studies	study	NOUN
ejde-44	15	9	in	in	ADP
ejde-44	15	10	applied	applied	ADJ
ejde-44	15	11	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-44	15	12	focus	focus	NOUN
ejde-44	15	13	on	on	ADP
ejde-44	15	14	permanent	permanent	ADJ
ejde-44	15	15	regimes	regime	NOUN
ejde-44	15	16	for	for	ADP
ejde-44	15	17	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-44	15	18	or	or	CCONJ
ejde-44	15	19	partial	partial	ADJ
ejde-44	15	20	differential	differential	ADJ
ejde-44	15	21	equations	equation	NOUN
ejde-44	15	22	.	.	PUNCT
ejde-44	16	1	the	the	DET
ejde-44	16	2	main	main	ADJ
ejde-44	16	3	purpose	purpose	NOUN
ejde-44	16	4	of	of	ADP
ejde-44	16	5	this	this	DET
ejde-44	16	6	paper	paper	NOUN
ejde-44	16	7	is	be	AUX
ejde-44	16	8	to	to	PART
ejde-44	16	9	establish	establish	VERB
ejde-44	16	10	existence	existence	NOUN
ejde-44	16	11	and	and	CCONJ
ejde-44	16	12	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	16	13	results	result	NOUN
ejde-44	16	14	for	for	ADP
ejde-44	16	15	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	16	16	solutions	solution	NOUN
ejde-44	16	17	in	in	ADP
ejde-44	16	18	the	the	DET
ejde-44	16	19	general	general	ADJ
ejde-44	16	20	framework	framework	NOUN
ejde-44	16	21	of	of	ADP
ejde-44	16	22	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	16	23	equations	equation	NOUN
ejde-44	16	24	,	,	PUNCT
ejde-44	16	25	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	16	26	)	)	PUNCT
ejde-44	17	1	+	+	NOUN
ejde-44	17	2	ax(t	ax(t	X
ejde-44	17	3	)	)	PUNCT
ejde-44	17	4	=	=	SYM
ejde-44	17	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	17	6	)	)	PUNCT
ejde-44	17	7	,	,	PUNCT
ejde-44	17	8	t	t	PROPN
ejde-44	17	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	17	10	r	r	PROPN
ejde-44	17	11	,	,	PUNCT
ejde-44	17	12	(	(	PUNCT
ejde-44	17	13	1	1	X
ejde-44	17	14	)	)	PUNCT
ejde-44	17	15	∗mathematics	∗mathematic	NOUN
ejde-44	17	16	subject	subject	ADJ
ejde-44	17	17	classifications	classification	NOUN
ejde-44	17	18	:	:	PUNCT
ejde-44	17	19	34b05	34b05	NUM
ejde-44	17	20	,	,	PUNCT
ejde-44	17	21	34g10	34g10	NUM
ejde-44	17	22	,	,	PUNCT
ejde-44	17	23	34g20	34g20	NUM
ejde-44	17	24	.	.	PUNCT
ejde-44	18	1	key	key	ADJ
ejde-44	18	2	words	word	NOUN
ejde-44	18	3	:	:	PUNCT
ejde-44	18	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	18	5	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	18	6	operators	operator	NOUN
ejde-44	18	7	,	,	PUNCT
ejde-44	18	8	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	18	9	equations	equation	NOUN
ejde-44	18	10	,	,	PUNCT
ejde-44	18	11	hille	hille	PROPN
ejde-44	18	12	-	-	PUNCT
ejde-44	18	13	yosida	yosida	PROPN
ejde-44	18	14	’s	’s	PART
ejde-44	18	15	theory	theory	NOUN
ejde-44	18	16	.	.	PUNCT
ejde-44	19	1	c	c	X
ejde-44	19	2	©	©	PROPN
ejde-44	19	3	2002	2002	NUM
ejde-44	19	4	southwest	southwest	PROPN
ejde-44	19	5	texas	texas	PROPN
ejde-44	19	6	state	state	PROPN
ejde-44	19	7	university	university	PROPN
ejde-44	19	8	.	.	PUNCT
ejde-44	20	1	submitted	submit	VERB
ejde-44	20	2	may	may	PROPN
ejde-44	20	3	14	14	NUM
ejde-44	20	4	,	,	PUNCT
ejde-44	20	5	2002	2002	NUM
ejde-44	20	6	.	.	PUNCT
ejde-44	21	1	published	publish	VERB
ejde-44	21	2	august	august	PROPN
ejde-44	21	3	23	23	NUM
ejde-44	21	4	,	,	PUNCT
ejde-44	21	5	2002	2002	NUM
ejde-44	21	6	.	.	PUNCT
ejde-44	22	1	1	1	NUM
ejde-44	22	2	2	2	NUM
ejde-44	22	3	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	22	4	solutions	solution	NOUN
ejde-44	22	5	for	for	ADP
ejde-44	22	6	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	22	7	equations	equation	NOUN
ejde-44	22	8	by	by	ADP
ejde-44	22	9	using	use	VERB
ejde-44	22	10	the	the	DET
ejde-44	22	11	penalization	penalization	NOUN
ejde-44	22	12	method	method	NOUN
ejde-44	22	13	.	.	PUNCT
ejde-44	23	1	note	note	VERB
ejde-44	23	2	that	that	SCONJ
ejde-44	23	3	in	in	ADP
ejde-44	23	4	the	the	DET
ejde-44	23	5	linear	linear	ADJ
ejde-44	23	6	case	case	NOUN
ejde-44	23	7	a	a	DET
ejde-44	23	8	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	23	9	condition	condition	NOUN
ejde-44	23	10	for	for	ADP
ejde-44	23	11	the	the	DET
ejde-44	23	12	existence	existence	NOUN
ejde-44	23	13	is	be	AUX
ejde-44	23	14	〈	〈	PROPN
ejde-44	23	15	f	f	PROPN
ejde-44	23	16	〉	〉	NOUN
ejde-44	23	17	:	:	PUNCT
ejde-44	24	1	=	=	SYM
ejde-44	24	2	1	1	NUM
ejde-44	24	3	t	t	NOUN
ejde-44	24	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	24	5	t	t	PROPN
ejde-44	24	6	0	0	NUM
ejde-44	24	7	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	24	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	24	9	range(a	range(a	PROPN
ejde-44	24	10	)	)	PUNCT
ejde-44	24	11	.	.	PUNCT
ejde-44	25	1	(	(	PUNCT
ejde-44	25	2	2	2	X
ejde-44	25	3	)	)	PUNCT
ejde-44	25	4	unfortunately	unfortunately	ADV
ejde-44	25	5	,	,	PUNCT
ejde-44	25	6	this	this	DET
ejde-44	25	7	condition	condition	NOUN
ejde-44	25	8	is	be	AUX
ejde-44	25	9	not	not	PART
ejde-44	25	10	always	always	ADV
ejde-44	25	11	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	25	12	for	for	ADP
ejde-44	25	13	existence	existence	NOUN
ejde-44	25	14	;	;	PUNCT
ejde-44	25	15	see	see	VERB
ejde-44	25	16	the	the	DET
ejde-44	25	17	example	example	NOUN
ejde-44	25	18	of	of	ADP
ejde-44	25	19	the	the	DET
ejde-44	25	20	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-44	25	21	rotation	rotation	NOUN
ejde-44	25	22	of	of	ADP
ejde-44	25	23	r2	r2	PROPN
ejde-44	25	24	.	.	PUNCT
ejde-44	26	1	nevertheless	nevertheless	ADV
ejde-44	26	2	,	,	PUNCT
ejde-44	26	3	the	the	DET
ejde-44	26	4	condition	condition	NOUN
ejde-44	26	5	(	(	PUNCT
ejde-44	26	6	2	2	X
ejde-44	26	7	)	)	PUNCT
ejde-44	26	8	is	be	AUX
ejde-44	26	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	26	10	in	in	ADP
ejde-44	26	11	the	the	DET
ejde-44	26	12	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	26	13	case	case	NOUN
ejde-44	26	14	.	.	PUNCT
ejde-44	27	1	the	the	DET
ejde-44	27	2	key	key	ADJ
ejde-44	27	3	point	point	NOUN
ejde-44	27	4	consists	consist	VERB
ejde-44	27	5	of	of	ADP
ejde-44	27	6	considering	consider	VERB
ejde-44	27	7	first	first	ADV
ejde-44	27	8	the	the	DET
ejde-44	27	9	perturbed	perturb	VERB
ejde-44	27	10	equation	equation	NOUN
ejde-44	27	11	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	27	12	)	)	PUNCT
ejde-44	27	13	+	+	NUM
ejde-44	27	14	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	27	15	)	)	PUNCT
ejde-44	28	1	+	+	ADJ
ejde-44	28	2	axα(t	axα(t	X
ejde-44	28	3	)	)	PUNCT
ejde-44	28	4	=	=	SYM
ejde-44	28	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	28	6	)	)	PUNCT
ejde-44	28	7	,	,	PUNCT
ejde-44	28	8	t	t	PROPN
ejde-44	28	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	28	10	r	r	NOUN
ejde-44	28	11	,	,	PUNCT
ejde-44	28	12	where	where	SCONJ
ejde-44	28	13	α	α	NOUN
ejde-44	28	14	>	>	X
ejde-44	28	15	0	0	NUM
ejde-44	28	16	.	.	PUNCT
ejde-44	28	17	by	by	ADP
ejde-44	28	18	using	use	VERB
ejde-44	28	19	the	the	DET
ejde-44	28	20	banach	banach	NOUN
ejde-44	28	21	’s	’s	PART
ejde-44	28	22	fixed	fix	VERB
ejde-44	28	23	point	point	NOUN
ejde-44	28	24	theorem	theorem	VERB
ejde-44	28	25	we	we	PRON
ejde-44	28	26	deduce	deduce	VERB
ejde-44	28	27	the	the	DET
ejde-44	28	28	existence	existence	NOUN
ejde-44	28	29	and	and	CCONJ
ejde-44	28	30	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	28	31	of	of	ADP
ejde-44	28	32	the	the	DET
ejde-44	28	33	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	28	34	solutions	solution	NOUN
ejde-44	28	35	xα	xα	ADP
ejde-44	28	36	,	,	PUNCT
ejde-44	28	37	α	α	X
ejde-44	28	38	>	>	X
ejde-44	28	39	0	0	X
ejde-44	28	40	.	.	PUNCT
ejde-44	29	1	under	under	ADP
ejde-44	29	2	the	the	DET
ejde-44	29	3	assumption	assumption	NOUN
ejde-44	29	4	(	(	PUNCT
ejde-44	29	5	2	2	NUM
ejde-44	29	6	)	)	PUNCT
ejde-44	29	7	,	,	PUNCT
ejde-44	29	8	in	in	ADP
ejde-44	29	9	the	the	DET
ejde-44	29	10	linear	linear	ADJ
ejde-44	29	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	29	12	case	case	NOUN
ejde-44	29	13	we	we	PRON
ejde-44	29	14	show	show	VERB
ejde-44	29	15	that	that	SCONJ
ejde-44	29	16	(	(	PUNCT
ejde-44	29	17	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	29	18	is	be	AUX
ejde-44	29	19	a	a	DET
ejde-44	29	20	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-44	29	21	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	29	22	in	in	ADP
ejde-44	29	23	c1	c1	PROPN
ejde-44	29	24	.	.	PUNCT
ejde-44	30	1	then	then	ADV
ejde-44	30	2	by	by	ADP
ejde-44	30	3	passing	pass	VERB
ejde-44	30	4	to	to	ADP
ejde-44	30	5	the	the	DET
ejde-44	30	6	limit	limit	NOUN
ejde-44	30	7	for	for	ADP
ejde-44	30	8	α	α	NOUN
ejde-44	30	9	→	→	SYM
ejde-44	30	10	0	0	NUM
ejde-44	30	11	it	it	PRON
ejde-44	30	12	follows	follow	VERB
ejde-44	30	13	that	that	SCONJ
ejde-44	30	14	the	the	DET
ejde-44	30	15	limit	limit	NOUN
ejde-44	30	16	function	function	NOUN
ejde-44	30	17	is	be	AUX
ejde-44	30	18	a	a	DET
ejde-44	30	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	30	20	solution	solution	NOUN
ejde-44	30	21	for	for	ADP
ejde-44	30	22	(	(	PUNCT
ejde-44	30	23	1	1	NUM
ejde-44	30	24	)	)	PUNCT
ejde-44	30	25	.	.	PUNCT
ejde-44	31	1	these	these	DET
ejde-44	31	2	results	result	NOUN
ejde-44	31	3	have	have	AUX
ejde-44	31	4	been	be	AUX
ejde-44	31	5	announced	announce	VERB
ejde-44	31	6	in	in	ADP
ejde-44	31	7	[	[	X
ejde-44	31	8	2	2	NUM
ejde-44	31	9	]	]	PUNCT
ejde-44	31	10	.	.	PUNCT
ejde-44	32	1	the	the	DET
ejde-44	32	2	same	same	ADJ
ejde-44	32	3	approach	approach	NOUN
ejde-44	32	4	applies	apply	VERB
ejde-44	32	5	for	for	ADP
ejde-44	32	6	the	the	DET
ejde-44	32	7	study	study	NOUN
ejde-44	32	8	of	of	ADP
ejde-44	32	9	almost	almost	ADV
ejde-44	32	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	32	11	solutions	solution	NOUN
ejde-44	32	12	(	(	PUNCT
ejde-44	32	13	see	see	VERB
ejde-44	32	14	[	[	X
ejde-44	32	15	3	3	NUM
ejde-44	32	16	]	]	NUM
ejde-44	32	17	)	)	PUNCT
ejde-44	32	18	.	.	PUNCT
ejde-44	33	1	results	result	NOUN
ejde-44	33	2	concerning	concern	VERB
ejde-44	33	3	this	this	DET
ejde-44	33	4	topic	topic	NOUN
ejde-44	33	5	have	have	AUX
ejde-44	33	6	been	be	AUX
ejde-44	33	7	obtained	obtain	VERB
ejde-44	33	8	previously	previously	ADV
ejde-44	33	9	by	by	ADP
ejde-44	33	10	other	other	ADJ
ejde-44	33	11	authors	author	NOUN
ejde-44	33	12	using	use	VERB
ejde-44	33	13	different	different	ADJ
ejde-44	33	14	methods	method	NOUN
ejde-44	33	15	.	.	PUNCT
ejde-44	34	1	a	a	DET
ejde-44	34	2	similar	similar	ADJ
ejde-44	34	3	condition	condition	NOUN
ejde-44	34	4	(	(	PUNCT
ejde-44	34	5	2	2	X
ejde-44	34	6	)	)	PUNCT
ejde-44	34	7	has	have	AUX
ejde-44	34	8	been	be	AUX
ejde-44	34	9	investigated	investigate	VERB
ejde-44	34	10	in	in	ADP
ejde-44	34	11	[	[	X
ejde-44	34	12	5	5	NUM
ejde-44	34	13	]	]	PUNCT
ejde-44	34	14	when	when	SCONJ
ejde-44	34	15	studying	study	VERB
ejde-44	34	16	the	the	DET
ejde-44	34	17	range	range	NOUN
ejde-44	34	18	of	of	ADP
ejde-44	34	19	sums	sum	NOUN
ejde-44	34	20	of	of	ADP
ejde-44	34	21	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	34	22	operators	operator	NOUN
ejde-44	34	23	.	.	PUNCT
ejde-44	35	1	a	a	DET
ejde-44	35	2	different	different	ADJ
ejde-44	35	3	method	method	NOUN
ejde-44	35	4	consists	consist	VERB
ejde-44	35	5	of	of	ADP
ejde-44	35	6	applying	apply	VERB
ejde-44	35	7	fixed	fix	VERB
ejde-44	35	8	point	point	NOUN
ejde-44	35	9	techniques	technique	NOUN
ejde-44	35	10	,	,	PUNCT
ejde-44	35	11	see	see	VERB
ejde-44	35	12	for	for	ADP
ejde-44	35	13	example	example	NOUN
ejde-44	35	14	[	[	X
ejde-44	35	15	4	4	NUM
ejde-44	35	16	,	,	PUNCT
ejde-44	35	17	7	7	NUM
ejde-44	35	18	]	]	PUNCT
ejde-44	35	19	.	.	PUNCT
ejde-44	36	1	this	this	DET
ejde-44	36	2	article	article	NOUN
ejde-44	36	3	is	be	AUX
ejde-44	36	4	organized	organize	VERB
ejde-44	36	5	as	as	SCONJ
ejde-44	36	6	follows	follow	VERB
ejde-44	36	7	.	.	PUNCT
ejde-44	37	1	first	first	ADV
ejde-44	37	2	we	we	PRON
ejde-44	37	3	analyze	analyze	VERB
ejde-44	37	4	the	the	DET
ejde-44	37	5	one	one	NUM
ejde-44	37	6	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	37	7	case	case	NOUN
ejde-44	37	8	.	.	PUNCT
ejde-44	38	1	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	38	2	and	and	CCONJ
ejde-44	38	3	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	38	4	conditions	condition	NOUN
ejde-44	38	5	for	for	ADP
ejde-44	38	6	the	the	DET
ejde-44	38	7	existence	existence	NOUN
ejde-44	38	8	and	and	CCONJ
ejde-44	38	9	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	38	10	of	of	ADP
ejde-44	38	11	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	38	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	38	13	are	be	AUX
ejde-44	38	14	shown	show	VERB
ejde-44	38	15	.	.	PUNCT
ejde-44	39	1	results	result	NOUN
ejde-44	39	2	for	for	ADP
ejde-44	39	3	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	39	4	solutions	solution	NOUN
ejde-44	39	5	are	be	AUX
ejde-44	39	6	proved	prove	VERB
ejde-44	39	7	as	as	ADV
ejde-44	39	8	well	well	ADV
ejde-44	39	9	in	in	ADP
ejde-44	39	10	this	this	DET
ejde-44	39	11	case	case	NOUN
ejde-44	39	12	.	.	PUNCT
ejde-44	40	1	in	in	ADP
ejde-44	40	2	the	the	DET
ejde-44	40	3	next	next	ADJ
ejde-44	40	4	section	section	NOUN
ejde-44	40	5	we	we	PRON
ejde-44	40	6	show	show	VERB
ejde-44	40	7	that	that	SCONJ
ejde-44	40	8	the	the	DET
ejde-44	40	9	same	same	ADJ
ejde-44	40	10	existence	existence	NOUN
ejde-44	40	11	result	result	NOUN
ejde-44	40	12	holds	hold	VERB
ejde-44	40	13	for	for	ADP
ejde-44	40	14	linear	linear	ADJ
ejde-44	40	15	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	40	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	40	17	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	40	18	operators	operator	NOUN
ejde-44	40	19	on	on	ADP
ejde-44	40	20	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-44	40	21	spaces	space	NOUN
ejde-44	40	22	.	.	PUNCT
ejde-44	41	1	in	in	ADP
ejde-44	41	2	the	the	DET
ejde-44	41	3	last	last	ADJ
ejde-44	41	4	section	section	NOUN
ejde-44	41	5	the	the	DET
ejde-44	41	6	case	case	NOUN
ejde-44	41	7	of	of	ADP
ejde-44	41	8	non	non	ADJ
ejde-44	41	9	-	-	ADJ
ejde-44	41	10	linear	linear	ADJ
ejde-44	41	11	sub	sub	ADJ
ejde-44	41	12	-	-	ADJ
ejde-44	41	13	differential	differential	ADJ
ejde-44	41	14	operators	operator	NOUN
ejde-44	41	15	is	be	AUX
ejde-44	41	16	considered	consider	VERB
ejde-44	41	17	.	.	PUNCT
ejde-44	42	1	2	2	NUM
ejde-44	42	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	42	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	42	4	for	for	ADP
ejde-44	42	5	one	one	NUM
ejde-44	42	6	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	42	7	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	42	8	equations	equation	NOUN
ejde-44	42	9	to	to	PART
ejde-44	42	10	study	study	VERB
ejde-44	42	11	the	the	DET
ejde-44	42	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	42	13	solutions	solution	NOUN
ejde-44	42	14	for	for	ADP
ejde-44	42	15	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	42	16	equations	equation	NOUN
ejde-44	42	17	it	it	PRON
ejde-44	42	18	is	be	AUX
ejde-44	42	19	convenient	convenient	ADJ
ejde-44	42	20	to	to	PART
ejde-44	42	21	consider	consider	VERB
ejde-44	42	22	first	first	ADV
ejde-44	42	23	the	the	DET
ejde-44	42	24	one	one	NUM
ejde-44	42	25	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	42	26	case	case	NOUN
ejde-44	42	27	x′(t	x′(t	NOUN
ejde-44	42	28	)	)	PUNCT
ejde-44	43	1	+	+	CCONJ
ejde-44	43	2	g(x(t	g(x(t	PROPN
ejde-44	43	3	)	)	PUNCT
ejde-44	43	4	)	)	PUNCT
ejde-44	44	1	=	=	SYM
ejde-44	44	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	44	3	)	)	PUNCT
ejde-44	44	4	,	,	PUNCT
ejde-44	44	5	t	t	PROPN
ejde-44	44	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	44	7	r	r	PROPN
ejde-44	44	8	,	,	PUNCT
ejde-44	44	9	(	(	PUNCT
ejde-44	44	10	3	3	X
ejde-44	44	11	)	)	PUNCT
ejde-44	44	12	where	where	SCONJ
ejde-44	44	13	g	g	NOUN
ejde-44	44	14	:	:	PUNCT
ejde-44	44	15	r	r	NOUN
ejde-44	44	16	→	→	SYM
ejde-44	44	17	r	r	NOUN
ejde-44	44	18	is	be	AUX
ejde-44	44	19	increasing	increase	VERB
ejde-44	44	20	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-44	44	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	44	22	in	in	ADP
ejde-44	44	23	x	x	PROPN
ejde-44	44	24	and	and	CCONJ
ejde-44	44	25	f	f	NOUN
ejde-44	44	26	:	:	PUNCT
ejde-44	44	27	r	r	NOUN
ejde-44	44	28	→	→	SYM
ejde-44	44	29	r	r	NOUN
ejde-44	44	30	is	be	AUX
ejde-44	44	31	t	t	NOUN
ejde-44	44	32	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	44	33	and	and	CCONJ
ejde-44	44	34	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	44	35	in	in	ADP
ejde-44	44	36	t.	t.	NOUN
ejde-44	44	37	by	by	ADP
ejde-44	44	38	picard	picard	PROPN
ejde-44	44	39	’s	’s	PART
ejde-44	44	40	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	44	41	it	it	PRON
ejde-44	44	42	follows	follow	VERB
ejde-44	44	43	that	that	SCONJ
ejde-44	44	44	for	for	ADP
ejde-44	44	45	each	each	DET
ejde-44	44	46	initial	initial	ADJ
ejde-44	44	47	data	datum	NOUN
ejde-44	44	48	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	44	49	)	)	PUNCT
ejde-44	45	1	=	=	PUNCT
ejde-44	46	1	x0	x0	PROPN
ejde-44	46	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	46	3	r	r	NOUN
ejde-44	46	4	there	there	PRON
ejde-44	46	5	is	be	VERB
ejde-44	46	6	an	an	DET
ejde-44	46	7	unique	unique	ADJ
ejde-44	46	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	46	9	x	x	X
ejde-44	46	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	46	11	c1(r;r	c1(r;r	PROPN
ejde-44	46	12	)	)	PUNCT
ejde-44	46	13	for	for	ADP
ejde-44	46	14	(	(	PUNCT
ejde-44	46	15	3	3	NUM
ejde-44	46	16	)	)	PUNCT
ejde-44	46	17	.	.	PUNCT
ejde-44	47	1	we	we	PRON
ejde-44	47	2	are	be	AUX
ejde-44	47	3	looking	look	VERB
ejde-44	47	4	for	for	ADP
ejde-44	47	5	t	t	NOUN
ejde-44	47	6	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	47	7	solutions	solution	NOUN
ejde-44	47	8	.	.	PUNCT
ejde-44	48	1	let	let	VERB
ejde-44	48	2	us	we	PRON
ejde-44	48	3	start	start	VERB
ejde-44	48	4	by	by	ADP
ejde-44	48	5	the	the	DET
ejde-44	48	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	48	7	study	study	NOUN
ejde-44	48	8	.	.	PUNCT
ejde-44	49	1	2.1	2.1	NUM
ejde-44	49	2	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	49	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	49	4	2.1	2.1	NUM
ejde-44	49	5	assume	assume	VERB
ejde-44	49	6	that	that	SCONJ
ejde-44	49	7	g	g	PROPN
ejde-44	49	8	is	be	AUX
ejde-44	49	9	strictly	strictly	ADV
ejde-44	49	10	increasing	increase	VERB
ejde-44	49	11	and	and	CCONJ
ejde-44	49	12	f	f	PROPN
ejde-44	49	13	is	be	AUX
ejde-44	49	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	49	15	.	.	PUNCT
ejde-44	50	1	then	then	ADV
ejde-44	50	2	there	there	PRON
ejde-44	50	3	is	be	VERB
ejde-44	50	4	at	at	ADP
ejde-44	50	5	most	most	ADV
ejde-44	50	6	one	one	NUM
ejde-44	50	7	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	50	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	50	9	for	for	ADP
ejde-44	50	10	(	(	PUNCT
ejde-44	50	11	3	3	NUM
ejde-44	50	12	)	)	PUNCT
ejde-44	50	13	.	.	PUNCT
ejde-44	51	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	51	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	51	3	3	3	NUM
ejde-44	51	4	proof	proof	NOUN
ejde-44	51	5	let	let	VERB
ejde-44	51	6	x1	x1	NUM
ejde-44	51	7	,	,	PUNCT
ejde-44	51	8	x2	x2	PRON
ejde-44	51	9	be	be	VERB
ejde-44	51	10	two	two	NUM
ejde-44	51	11	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	51	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	51	13	for	for	ADP
ejde-44	51	14	(	(	PUNCT
ejde-44	51	15	3	3	NUM
ejde-44	51	16	)	)	PUNCT
ejde-44	51	17	.	.	PUNCT
ejde-44	52	1	by	by	ADP
ejde-44	52	2	taking	take	VERB
ejde-44	52	3	the	the	DET
ejde-44	52	4	difference	difference	NOUN
ejde-44	52	5	between	between	ADP
ejde-44	52	6	the	the	DET
ejde-44	52	7	two	two	NUM
ejde-44	52	8	equations	equation	NOUN
ejde-44	52	9	and	and	CCONJ
ejde-44	52	10	multiplying	multiply	VERB
ejde-44	52	11	by	by	ADP
ejde-44	52	12	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	52	13	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	52	14	)	)	PUNCT
ejde-44	52	15	we	we	PRON
ejde-44	52	16	get	get	VERB
ejde-44	52	17	1	1	NUM
ejde-44	52	18	2	2	NUM
ejde-44	52	19	d	d	NOUN
ejde-44	52	20	dt	dt	X
ejde-44	52	21	|x1(t)−	|x1(t)−	PROPN
ejde-44	52	22	x2(t)|2	x2(t)|2	PROPN
ejde-44	53	1	+	+	PUNCT
ejde-44	54	1	[	[	X
ejde-44	54	2	g(x1(t))−	g(x1(t))−	NOUN
ejde-44	54	3	g(x2(t))][x1(t)−	g(x2(t))][x1(t)−	PROPN
ejde-44	54	4	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	54	5	)	)	PUNCT
ejde-44	54	6	]	]	PUNCT
ejde-44	54	7	=	=	PUNCT
ejde-44	54	8	0	0	NUM
ejde-44	54	9	,	,	PUNCT
ejde-44	54	10	t	t	PROPN
ejde-44	54	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	54	12	r.	r.	PROPN
ejde-44	54	13	(	(	PUNCT
ejde-44	54	14	4	4	NUM
ejde-44	54	15	)	)	PUNCT
ejde-44	54	16	since	since	SCONJ
ejde-44	54	17	g	g	PROPN
ejde-44	54	18	is	be	AUX
ejde-44	54	19	increasing	increase	VERB
ejde-44	54	20	we	we	PRON
ejde-44	54	21	have	have	VERB
ejde-44	54	22	(	(	PUNCT
ejde-44	54	23	g(x1)−	g(x1)−	ADJ
ejde-44	54	24	g(x2))(x1−x2	g(x2))(x1−x2	NOUN
ejde-44	54	25	)	)	PUNCT
ejde-44	54	26	≥	≥	NOUN
ejde-44	54	27	0	0	NUM
ejde-44	54	28	for	for	ADP
ejde-44	54	29	all	all	DET
ejde-44	54	30	x1	x1	PROPN
ejde-44	54	31	,	,	PUNCT
ejde-44	54	32	x2	x2	PROPN
ejde-44	54	33	∈	∈	PROPN
ejde-44	54	34	r	r	NOUN
ejde-44	55	1	and	and	CCONJ
ejde-44	55	2	therefore	therefore	ADV
ejde-44	55	3	we	we	PRON
ejde-44	55	4	deduce	deduce	VERB
ejde-44	55	5	that	that	PRON
ejde-44	55	6	|x1(t)−x2(t)|	|x1(t)−x2(t)|	NOUN
ejde-44	55	7	is	be	AUX
ejde-44	55	8	decreasing	decrease	VERB
ejde-44	55	9	.	.	PUNCT
ejde-44	56	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	56	2	as	as	SCONJ
ejde-44	56	3	x1	x1	PROPN
ejde-44	56	4	and	and	CCONJ
ejde-44	56	5	x2	x2	PROPN
ejde-44	56	6	are	be	AUX
ejde-44	56	7	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	56	8	it	it	PRON
ejde-44	56	9	follows	follow	VERB
ejde-44	56	10	that	that	SCONJ
ejde-44	56	11	|x1(t)−	|x1(t)−	PROPN
ejde-44	56	12	x2(t)|	x2(t)|	PROPN
ejde-44	56	13	does	do	AUX
ejde-44	56	14	not	not	PART
ejde-44	56	15	depend	depend	VERB
ejde-44	56	16	on	on	ADP
ejde-44	56	17	t	t	PROPN
ejde-44	56	18	∈	∈	PROPN
ejde-44	56	19	r	r	NOUN
ejde-44	56	20	and	and	CCONJ
ejde-44	56	21	therefore	therefore	ADV
ejde-44	56	22	,	,	PUNCT
ejde-44	56	23	from	from	ADP
ejde-44	56	24	(	(	PUNCT
ejde-44	56	25	4	4	X
ejde-44	56	26	)	)	PUNCT
ejde-44	56	27	we	we	PRON
ejde-44	56	28	get	get	VERB
ejde-44	56	29	[	[	X
ejde-44	56	30	g(x1(t))−	g(x1(t))−	NOUN
ejde-44	56	31	g(x2(t))][x1(t)−	g(x2(t))][x1(t)−	PROPN
ejde-44	56	32	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	56	33	)	)	PUNCT
ejde-44	56	34	]	]	PUNCT
ejde-44	57	1	=	=	PUNCT
ejde-44	57	2	0	0	NUM
ejde-44	57	3	,	,	PUNCT
ejde-44	57	4	t	t	PROPN
ejde-44	57	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	57	6	r.	r.	PROPN
ejde-44	57	7	finally	finally	ADV
ejde-44	57	8	,	,	PUNCT
ejde-44	57	9	the	the	DET
ejde-44	57	10	strictly	strictly	ADV
ejde-44	57	11	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	57	12	of	of	ADP
ejde-44	57	13	g	g	PROPN
ejde-44	57	14	implies	imply	VERB
ejde-44	57	15	that	that	SCONJ
ejde-44	57	16	x1	x1	PROPN
ejde-44	57	17	=	=	SYM
ejde-44	57	18	x2	x2	PROPN
ejde-44	57	19	.	.	PUNCT
ejde-44	57	20	remark	remark	VERB
ejde-44	57	21	2.2	2.2	NUM
ejde-44	57	22	if	if	SCONJ
ejde-44	57	23	g	g	PROPN
ejde-44	57	24	is	be	AUX
ejde-44	57	25	only	only	ADV
ejde-44	57	26	increasing	increase	VERB
ejde-44	57	27	,	,	PUNCT
ejde-44	57	28	it	it	PRON
ejde-44	57	29	is	be	AUX
ejde-44	57	30	possible	possible	ADJ
ejde-44	57	31	that	that	SCONJ
ejde-44	57	32	(	(	PUNCT
ejde-44	57	33	3	3	X
ejde-44	57	34	)	)	PUNCT
ejde-44	57	35	has	have	VERB
ejde-44	57	36	several	several	ADJ
ejde-44	57	37	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	57	38	solutions	solution	NOUN
ejde-44	57	39	.	.	PUNCT
ejde-44	58	1	let	let	VERB
ejde-44	58	2	us	we	PRON
ejde-44	58	3	consider	consider	VERB
ejde-44	58	4	the	the	DET
ejde-44	58	5	function	function	NOUN
ejde-44	58	6	g(x	g(x	NOUN
ejde-44	58	7	)	)	PUNCT
ejde-44	58	8	=	=	PUNCT
ejde-44	59	1			PUNCT
ejde-44	59	2	x+	x+	ADJ
ejde-44	59	3	ε	ε	X
ejde-44	59	4	x	x	X
ejde-44	59	5	<	<	X
ejde-44	59	6	−ε	−ε	PROPN
ejde-44	59	7	,	,	PUNCT
ejde-44	59	8	0	0	NUM
ejde-44	59	9	x	x	SYM
ejde-44	59	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	60	1	[	[	X
ejde-44	60	2	−ε	−ε	NOUN
ejde-44	60	3	,	,	PUNCT
ejde-44	60	4	ε	ε	PROPN
ejde-44	60	5	]	]	PUNCT
ejde-44	60	6	,	,	PUNCT
ejde-44	60	7	x−	x−	PROPN
ejde-44	60	8	ε	ε	PROPN
ejde-44	60	9	x	x	PUNCT
ejde-44	60	10	>	>	X
ejde-44	60	11	ε	ε	PROPN
ejde-44	60	12	,	,	PUNCT
ejde-44	60	13	(	(	PUNCT
ejde-44	60	14	5	5	NUM
ejde-44	60	15	)	)	PUNCT
ejde-44	60	16	and	and	CCONJ
ejde-44	60	17	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	60	18	)	)	PUNCT
ejde-44	60	19	=	=	SYM
ejde-44	60	20	ε	ε	PROPN
ejde-44	60	21	2	2	NUM
ejde-44	60	22	cos	cos	ADP
ejde-44	60	23	t.	t.	NOUN
ejde-44	60	24	we	we	PRON
ejde-44	60	25	can	can	AUX
ejde-44	60	26	easily	easily	ADV
ejde-44	60	27	check	check	VERB
ejde-44	60	28	that	that	PRON
ejde-44	60	29	xλ(t	xλ(t	PRON
ejde-44	60	30	)	)	PUNCT
ejde-44	61	1	=	=	PUNCT
ejde-44	61	2	λ	λ	X
ejde-44	61	3	+	+	NUM
ejde-44	61	4	ε	ε	PROPN
ejde-44	61	5	2	2	NUM
ejde-44	61	6	sin	sin	NOUN
ejde-44	61	7	t	t	PROPN
ejde-44	61	8	are	be	AUX
ejde-44	61	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	61	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	61	11	for	for	ADP
ejde-44	61	12	(	(	PUNCT
ejde-44	61	13	3	3	NUM
ejde-44	61	14	)	)	PUNCT
ejde-44	61	15	for	for	ADP
ejde-44	61	16	λ	λ	PROPN
ejde-44	61	17	∈	∈	PROPN
ejde-44	62	1	[	[	X
ejde-44	62	2	−	−	X
ejde-44	62	3	ε2	ε2	ADV
ejde-44	62	4	,	,	PUNCT
ejde-44	62	5	ε	ε	PROPN
ejde-44	62	6	2	2	NUM
ejde-44	62	7	]	]	PUNCT
ejde-44	62	8	.	.	PUNCT
ejde-44	63	1	generally	generally	ADV
ejde-44	63	2	we	we	PRON
ejde-44	63	3	can	can	AUX
ejde-44	63	4	prove	prove	VERB
ejde-44	63	5	that	that	SCONJ
ejde-44	63	6	every	every	DET
ejde-44	63	7	two	two	NUM
ejde-44	63	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	63	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	63	10	differ	differ	VERB
ejde-44	63	11	by	by	ADP
ejde-44	63	12	a	a	DET
ejde-44	63	13	constant	constant	ADJ
ejde-44	63	14	.	.	PUNCT
ejde-44	64	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	64	2	2.3	2.3	NUM
ejde-44	64	3	let	let	VERB
ejde-44	64	4	g	g	NOUN
ejde-44	64	5	be	be	AUX
ejde-44	64	6	an	an	DET
ejde-44	64	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	64	8	function	function	NOUN
ejde-44	64	9	and	and	CCONJ
ejde-44	64	10	x1	x1	NUM
ejde-44	64	11	,	,	PUNCT
ejde-44	64	12	x2	x2	PROPN
ejde-44	64	13	two	two	NUM
ejde-44	64	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	64	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	64	16	of	of	ADP
ejde-44	64	17	(	(	PUNCT
ejde-44	64	18	3	3	NUM
ejde-44	64	19	)	)	PUNCT
ejde-44	64	20	.	.	PUNCT
ejde-44	65	1	then	then	ADV
ejde-44	65	2	there	there	PRON
ejde-44	65	3	is	be	VERB
ejde-44	65	4	a	a	DET
ejde-44	65	5	constant	constant	ADJ
ejde-44	65	6	c	c	NOUN
ejde-44	65	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	65	8	r	r	NOUN
ejde-44	65	9	such	such	ADJ
ejde-44	65	10	that	that	SCONJ
ejde-44	65	11	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	65	12	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	65	13	)	)	PUNCT
ejde-44	65	14	=	=	SYM
ejde-44	65	15	c	c	X
ejde-44	65	16	,	,	PUNCT
ejde-44	65	17	∀t	∀t	PROPN
ejde-44	65	18	∈	∈	PROPN
ejde-44	65	19	r.	r.	NOUN
ejde-44	65	20	proof	proof	NOUN
ejde-44	65	21	as	as	SCONJ
ejde-44	65	22	shown	show	VERB
ejde-44	65	23	before	before	SCONJ
ejde-44	65	24	there	there	PRON
ejde-44	65	25	is	be	VERB
ejde-44	65	26	a	a	DET
ejde-44	65	27	constant	constant	ADJ
ejde-44	65	28	c	c	NOUN
ejde-44	65	29	∈	∈	PROPN
ejde-44	65	30	r	r	NOUN
ejde-44	65	31	such	such	DET
ejde-44	65	32	that	that	DET
ejde-44	65	33	|x1(t)−x2(t)|	|x1(t)−x2(t)|	NOUN
ejde-44	65	34	=	=	SYM
ejde-44	65	35	c	c	NOUN
ejde-44	65	36	,	,	PUNCT
ejde-44	65	37	t	t	PROPN
ejde-44	65	38	∈	∈	PROPN
ejde-44	65	39	r.	r.	PROPN
ejde-44	65	40	moreover	moreover	ADV
ejde-44	65	41	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	65	42	)	)	PUNCT
ejde-44	65	43	−	−	PROPN
ejde-44	65	44	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	65	45	)	)	PUNCT
ejde-44	65	46	has	have	AUX
ejde-44	65	47	constant	constant	ADJ
ejde-44	65	48	sign	sign	NOUN
ejde-44	65	49	,	,	PUNCT
ejde-44	65	50	otherwise	otherwise	ADV
ejde-44	65	51	x1(t0	x1(t0	NUM
ejde-44	65	52	)	)	PUNCT
ejde-44	65	53	=	=	SYM
ejde-44	65	54	x2(t0	x2(t0	PROPN
ejde-44	65	55	)	)	PUNCT
ejde-44	65	56	for	for	ADP
ejde-44	65	57	some	some	DET
ejde-44	65	58	t0	t0	PROPN
ejde-44	65	59	∈	∈	NOUN
ejde-44	65	60	r	r	NOUN
ejde-44	65	61	and	and	CCONJ
ejde-44	65	62	it	it	PRON
ejde-44	65	63	follows	follow	VERB
ejde-44	65	64	that	that	PRON
ejde-44	65	65	|x1(t)−	|x1(t)−	PROPN
ejde-44	65	66	x2(t)|	x2(t)|	PUNCT
ejde-44	66	1	=	=	PROPN
ejde-44	66	2	|x1(t0)−	|x1(t0)−	PROPN
ejde-44	66	3	x2(t0)|	x2(t0)|	PUNCT
ejde-44	67	1	=	=	SYM
ejde-44	67	2	0	0	PROPN
ejde-44	67	3	,	,	PUNCT
ejde-44	67	4	t	t	PROPN
ejde-44	67	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	67	6	r	r	NOUN
ejde-44	67	7	or	or	CCONJ
ejde-44	67	8	x1	x1	NOUN
ejde-44	68	1	=	=	SYM
ejde-44	68	2	x2	x2	PROPN
ejde-44	68	3	.	.	PUNCT
ejde-44	69	1	finally	finally	ADV
ejde-44	69	2	we	we	PRON
ejde-44	69	3	find	find	VERB
ejde-44	69	4	that	that	SCONJ
ejde-44	69	5	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	69	6	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	69	7	)	)	PUNCT
ejde-44	69	8	=	=	SYM
ejde-44	69	9	sign(x1(0)−	sign(x1(0)−	NOUN
ejde-44	69	10	x2(0))c	x2(0))c	PROPN
ejde-44	69	11	,	,	PUNCT
ejde-44	69	12	t	t	PROPN
ejde-44	69	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	69	14	r.	r.	PROPN
ejde-44	69	15	before	before	ADP
ejde-44	69	16	analyzing	analyze	VERB
ejde-44	69	17	in	in	ADP
ejde-44	69	18	detail	detail	NOUN
ejde-44	69	19	the	the	DET
ejde-44	69	20	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	69	21	for	for	ADP
ejde-44	69	22	increasing	increase	VERB
ejde-44	69	23	functions	function	NOUN
ejde-44	69	24	,	,	PUNCT
ejde-44	69	25	let	let	VERB
ejde-44	69	26	us	we	PRON
ejde-44	69	27	define	define	VERB
ejde-44	69	28	the	the	DET
ejde-44	69	29	following	follow	VERB
ejde-44	69	30	sets	set	NOUN
ejde-44	69	31	.	.	PUNCT
ejde-44	70	1	o(y	o(y	X
ejde-44	70	2	)	)	PUNCT
ejde-44	71	1	=	=	PRON
ejde-44	71	2	{	{	PUNCT
ejde-44	71	3	{	{	PUNCT
ejde-44	71	4	x	x	SYM
ejde-44	71	5	∈	∈	NOUN
ejde-44	71	6	r	r	NOUN
ejde-44	71	7	:	:	PUNCT
ejde-44	71	8	x+	x+	PROPN
ejde-44	71	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	71	10	t	t	PROPN
ejde-44	71	11	0	0	NUM
ejde-44	71	12	(	(	PUNCT
ejde-44	71	13	f(s)−	f(s)−	PROPN
ejde-44	71	14	y)ds	y)ds	PROPN
ejde-44	71	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	71	16	g−1(y	g−1(y	PROPN
ejde-44	71	17	)	)	PUNCT
ejde-44	71	18	∀t	∀t	PROPN
ejde-44	71	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	71	20	r	r	NOUN
ejde-44	71	21	}	}	PUNCT
ejde-44	71	22	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	71	23	g−1(y	g−1(y	PROPN
ejde-44	71	24	)	)	PUNCT
ejde-44	71	25	,	,	PUNCT
ejde-44	71	26	y	y	PROPN
ejde-44	71	27	∈	∈	PROPN
ejde-44	71	28	g(r	g(r	PROPN
ejde-44	71	29	)	)	PUNCT
ejde-44	71	30	,	,	PUNCT
ejde-44	71	31	∅	∅	NOUN
ejde-44	71	32	,	,	PUNCT
ejde-44	71	33	y	y	PROPN
ejde-44	71	34	/∈	/∈	PUNCT
ejde-44	71	35	g(r	g(r	NOUN
ejde-44	71	36	)	)	PUNCT
ejde-44	71	37	.	.	PUNCT
ejde-44	72	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	72	2	2.4	2.4	NUM
ejde-44	72	3	let	let	VERB
ejde-44	72	4	g	g	NOUN
ejde-44	72	5	be	be	AUX
ejde-44	72	6	an	an	DET
ejde-44	72	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	72	8	function	function	NOUN
ejde-44	72	9	and	and	CCONJ
ejde-44	72	10	f	f	PROPN
ejde-44	72	11	periodic	periodic	NOUN
ejde-44	72	12	.	.	PUNCT
ejde-44	73	1	then	then	ADV
ejde-44	73	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	73	3	(	(	PUNCT
ejde-44	73	4	3	3	X
ejde-44	73	5	)	)	PUNCT
ejde-44	73	6	has	have	AUX
ejde-44	73	7	different	different	ADJ
ejde-44	73	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	73	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	73	10	if	if	SCONJ
ejde-44	73	11	and	and	CCONJ
ejde-44	73	12	only	only	ADV
ejde-44	73	13	if	if	SCONJ
ejde-44	73	14	int(o〈f	int(o〈f	NOUN
ejde-44	73	15	〉	〉	NUM
ejde-44	73	16	)	)	PUNCT
ejde-44	73	17	6=	6=	ADP
ejde-44	73	18	∅.	∅.	PRON
ejde-44	73	19	4	4	NUM
ejde-44	73	20	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	73	21	solutions	solution	NOUN
ejde-44	73	22	for	for	ADP
ejde-44	73	23	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	73	24	equations	equation	NOUN
ejde-44	73	25	proof	proof	NOUN
ejde-44	73	26	assume	assume	VERB
ejde-44	73	27	that	that	SCONJ
ejde-44	73	28	(	(	PUNCT
ejde-44	73	29	3	3	X
ejde-44	73	30	)	)	PUNCT
ejde-44	73	31	has	have	VERB
ejde-44	73	32	two	two	NUM
ejde-44	73	33	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	73	34	solutions	solution	NOUN
ejde-44	73	35	x1	x1	PROPN
ejde-44	73	36	6=	6=	NUM
ejde-44	73	37	x2	x2	PROPN
ejde-44	73	38	.	.	PUNCT
ejde-44	74	1	by	by	ADP
ejde-44	74	2	the	the	DET
ejde-44	74	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	74	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	74	5	we	we	PRON
ejde-44	74	6	have	have	VERB
ejde-44	74	7	x2	x2	VERB
ejde-44	74	8	−	−	PUNCT
ejde-44	75	1	x1	x1	PROPN
ejde-44	76	1	=	=	PUNCT
ejde-44	77	1	c	c	X
ejde-44	77	2	>	>	X
ejde-44	77	3	0	0	X
ejde-44	77	4	.	.	PUNCT
ejde-44	78	1	by	by	ADP
ejde-44	78	2	integration	integration	NOUN
ejde-44	78	3	on	on	ADP
ejde-44	78	4	[	[	X
ejde-44	78	5	0	0	NUM
ejde-44	78	6	,	,	PUNCT
ejde-44	78	7	t	t	X
ejde-44	78	8	]	]	PUNCT
ejde-44	78	9	one	one	NUM
ejde-44	78	10	gets∫	gets∫	NOUN
ejde-44	79	1	t	t	PROPN
ejde-44	79	2	0	0	NUM
ejde-44	79	3	g(x1(t))dt	g(x1(t))dt	PROPN
ejde-44	79	4	=	=	SYM
ejde-44	80	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	80	2	t	t	PROPN
ejde-44	80	3	0	0	NUM
ejde-44	81	1	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	81	2	=	=	SYM
ejde-44	81	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	81	4	t	t	PROPN
ejde-44	81	5	0	0	NUM
ejde-44	81	6	g(x2(t))dt	g(x2(t))dt	PROPN
ejde-44	81	7	.	.	PUNCT
ejde-44	82	1	(	(	PUNCT
ejde-44	82	2	6	6	NUM
ejde-44	82	3	)	)	PUNCT
ejde-44	82	4	since	since	SCONJ
ejde-44	82	5	g	g	PROPN
ejde-44	82	6	is	be	AUX
ejde-44	82	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	82	8	we	we	PRON
ejde-44	82	9	have	have	AUX
ejde-44	82	10	g(x1(t	g(x1(t	VERB
ejde-44	82	11	)	)	PUNCT
ejde-44	82	12	)	)	PUNCT
ejde-44	82	13	≤	≤	NUM
ejde-44	82	14	g(x2(t	g(x2(t	PROPN
ejde-44	82	15	)	)	PUNCT
ejde-44	82	16	)	)	PUNCT
ejde-44	82	17	,	,	PUNCT
ejde-44	82	18	t	t	PROPN
ejde-44	82	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	82	20	r	r	NOUN
ejde-44	82	21	and	and	CCONJ
ejde-44	82	22	therefore,∫	therefore,∫	ADJ
ejde-44	82	23	t	t	PROPN
ejde-44	82	24	0	0	NUM
ejde-44	82	25	g(x1(t))dt	g(x1(t))dt	PROPN
ejde-44	82	26	≤	≤	NUM
ejde-44	82	27	∫	∫	PROPN
ejde-44	82	28	t	t	PROPN
ejde-44	82	29	0	0	NUM
ejde-44	82	30	g(x2(t))dt	g(x2(t))dt	PROPN
ejde-44	82	31	.	.	PUNCT
ejde-44	83	1	(	(	PUNCT
ejde-44	83	2	7	7	NUM
ejde-44	83	3	)	)	PUNCT
ejde-44	83	4	from	from	ADP
ejde-44	83	5	(	(	PUNCT
ejde-44	83	6	6	6	NUM
ejde-44	83	7	)	)	PUNCT
ejde-44	83	8	and	and	CCONJ
ejde-44	83	9	(	(	PUNCT
ejde-44	83	10	7	7	X
ejde-44	83	11	)	)	PUNCT
ejde-44	83	12	we	we	PRON
ejde-44	83	13	deduce	deduce	VERB
ejde-44	83	14	that	that	SCONJ
ejde-44	83	15	g(x1(t	g(x1(t	VERB
ejde-44	83	16	)	)	PUNCT
ejde-44	83	17	)	)	PUNCT
ejde-44	84	1	=	=	SYM
ejde-44	84	2	g(x2(t	g(x2(t	PROPN
ejde-44	84	3	)	)	PUNCT
ejde-44	84	4	)	)	PUNCT
ejde-44	84	5	,	,	PUNCT
ejde-44	84	6	t	t	PROPN
ejde-44	84	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	84	8	r	r	NOUN
ejde-44	84	9	and	and	CCONJ
ejde-44	84	10	thus	thus	ADV
ejde-44	84	11	g	g	NOUN
ejde-44	84	12	is	be	AUX
ejde-44	84	13	constant	constant	ADJ
ejde-44	84	14	on	on	ADP
ejde-44	84	15	each	each	DET
ejde-44	84	16	interval	interval	NOUN
ejde-44	84	17	[	[	X
ejde-44	84	18	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	84	19	)	)	PUNCT
ejde-44	84	20	,	,	PUNCT
ejde-44	84	21	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	84	22	)	)	PUNCT
ejde-44	84	23	]	]	PUNCT
ejde-44	85	1	=	=	PUNCT
ejde-44	86	1	[	[	X
ejde-44	86	2	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	86	3	)	)	PUNCT
ejde-44	86	4	,	,	PUNCT
ejde-44	86	5	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	86	6	)	)	PUNCT
ejde-44	87	1	+	+	CCONJ
ejde-44	87	2	c	c	X
ejde-44	87	3	]	]	X
ejde-44	87	4	,	,	PUNCT
ejde-44	87	5	t	t	PROPN
ejde-44	87	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	87	7	r.	r.	PROPN
ejde-44	87	8	finally	finally	ADV
ejde-44	87	9	it	it	PRON
ejde-44	87	10	implies	imply	VERB
ejde-44	87	11	that	that	SCONJ
ejde-44	87	12	g	g	PROPN
ejde-44	87	13	is	be	AUX
ejde-44	87	14	constant	constant	ADJ
ejde-44	87	15	on	on	ADP
ejde-44	87	16	range(x1	range(x1	NOUN
ejde-44	87	17	)	)	PUNCT
ejde-44	88	1	+	+	CCONJ
ejde-44	89	1	[	[	X
ejde-44	89	2	0	0	NUM
ejde-44	89	3	,	,	PUNCT
ejde-44	89	4	c	c	NOUN
ejde-44	89	5	]	]	X
ejde-44	89	6	=	=	PUNCT
ejde-44	89	7	{	{	PUNCT
ejde-44	89	8	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	89	9	)	)	PUNCT
ejde-44	90	1	+	+	NOUN
ejde-44	90	2	y	y	PROPN
ejde-44	90	3	:	:	PUNCT
ejde-44	90	4	t	t	PROPN
ejde-44	90	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	91	1	[	[	X
ejde-44	91	2	0	0	NUM
ejde-44	91	3	,	,	PUNCT
ejde-44	91	4	t	t	X
ejde-44	91	5	]	]	PUNCT
ejde-44	91	6	,	,	PUNCT
ejde-44	91	7	y	y	PROPN
ejde-44	91	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	92	1	[	[	X
ejde-44	92	2	0	0	NUM
ejde-44	92	3	,	,	PUNCT
ejde-44	92	4	c	c	NOUN
ejde-44	92	5	]	]	PUNCT
ejde-44	92	6	}	}	PUNCT
ejde-44	92	7	and	and	CCONJ
ejde-44	92	8	this	this	DET
ejde-44	92	9	constant	constant	ADJ
ejde-44	92	10	is	be	AUX
ejde-44	92	11	exactly	exactly	ADV
ejde-44	92	12	the	the	DET
ejde-44	92	13	time	time	NOUN
ejde-44	92	14	average	average	NOUN
ejde-44	92	15	of	of	ADP
ejde-44	92	16	f	f	PROPN
ejde-44	92	17	:	:	PUNCT
ejde-44	92	18	g(x1(t	g(x1(t	ADJ
ejde-44	92	19	)	)	PUNCT
ejde-44	92	20	)	)	PUNCT
ejde-44	93	1	=	=	SYM
ejde-44	93	2	g(x2(t	g(x2(t	PROPN
ejde-44	93	3	)	)	PUNCT
ejde-44	93	4	)	)	PUNCT
ejde-44	94	1	=	=	PUNCT
ejde-44	94	2	〈	〈	PROPN
ejde-44	94	3	f	f	PROPN
ejde-44	94	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	94	5	,	,	PUNCT
ejde-44	94	6	t	t	PROPN
ejde-44	94	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	95	1	[	[	X
ejde-44	95	2	0	0	NUM
ejde-44	95	3	,	,	PUNCT
ejde-44	95	4	t	t	X
ejde-44	95	5	]	]	PUNCT
ejde-44	95	6	.	.	PUNCT
ejde-44	96	1	let	let	VERB
ejde-44	96	2	x	x	PRON
ejde-44	96	3	be	be	AUX
ejde-44	96	4	an	an	DET
ejde-44	96	5	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-44	96	6	real	real	ADJ
ejde-44	96	7	number	number	NOUN
ejde-44	96	8	in	in	ADP
ejde-44	96	9	]	]	X
ejde-44	96	10	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	96	11	)	)	PUNCT
ejde-44	96	12	,	,	PUNCT
ejde-44	96	13	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	96	14	)	)	PUNCT
ejde-44	97	1	+	+	CCONJ
ejde-44	98	1	c	c	X
ejde-44	98	2	[	[	X
ejde-44	98	3	.	.	PUNCT
ejde-44	99	1	then	then	ADV
ejde-44	99	2	x+	x+	NUM
ejde-44	99	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	99	4	t	t	PROPN
ejde-44	99	5	0	0	NUM
ejde-44	99	6	{	{	PUNCT
ejde-44	99	7	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	99	8	〈	〈	NOUN
ejde-44	99	9	f〉}ds	f〉}ds	NOUN
ejde-44	99	10	=	=	SYM
ejde-44	99	11	x−	x−	PROPN
ejde-44	99	12	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	99	13	)	)	PUNCT
ejde-44	100	1	+	+	CCONJ
ejde-44	100	2	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	100	3	)	)	PUNCT
ejde-44	101	1	+	+	CCONJ
ejde-44	102	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	102	2	t	t	PROPN
ejde-44	102	3	0	0	NUM
ejde-44	102	4	{	{	PUNCT
ejde-44	102	5	f(s)−	f(s)−	PROPN
ejde-44	102	6	g(x1(s))}ds	g(x1(s))}ds	PROPN
ejde-44	102	7	=	=	PROPN
ejde-44	102	8	x−	x−	PROPN
ejde-44	102	9	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	102	10	)	)	PUNCT
ejde-44	102	11	+	+	CCONJ
ejde-44	103	1	x1(t	x1(t	X
ejde-44	103	2	)	)	PUNCT
ejde-44	103	3	>	>	X
ejde-44	104	1	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	104	2	)	)	PUNCT
ejde-44	104	3	,	,	PUNCT
ejde-44	104	4	t	t	PROPN
ejde-44	104	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	104	6	r.	r.	PROPN
ejde-44	104	7	similarly	similarly	ADV
ejde-44	104	8	,	,	PUNCT
ejde-44	104	9	x+	x+	PROPN
ejde-44	104	10	∫	∫	PROPN
ejde-44	104	11	t	t	PROPN
ejde-44	104	12	0	0	NUM
ejde-44	104	13	{	{	PUNCT
ejde-44	104	14	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	104	15	〈	〈	NOUN
ejde-44	104	16	f〉}ds	f〉}ds	NOUN
ejde-44	104	17	=	=	SYM
ejde-44	104	18	x−	x−	PROPN
ejde-44	104	19	x2(0	x2(0	PROPN
ejde-44	104	20	)	)	PUNCT
ejde-44	105	1	+	+	CCONJ
ejde-44	105	2	x2(0	x2(0	PROPN
ejde-44	105	3	)	)	PUNCT
ejde-44	106	1	+	+	CCONJ
ejde-44	106	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	106	3	t	t	PROPN
ejde-44	106	4	0	0	NUM
ejde-44	106	5	{	{	PUNCT
ejde-44	106	6	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	106	7	g(x2(s))}ds	g(x2(s))}ds	X
ejde-44	106	8	=	=	SYM
ejde-44	106	9	x−	x−	PROPN
ejde-44	106	10	x2(0	x2(0	PROPN
ejde-44	106	11	)	)	PUNCT
ejde-44	107	1	+	+	CCONJ
ejde-44	108	1	x2(t	x2(t	X
ejde-44	108	2	)	)	PUNCT
ejde-44	108	3	<	<	X
ejde-44	108	4	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	108	5	)	)	PUNCT
ejde-44	108	6	,	,	PUNCT
ejde-44	108	7	t	t	PROPN
ejde-44	108	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	108	9	r.	r.	PROPN
ejde-44	108	10	therefore	therefore	ADV
ejde-44	108	11	,	,	PUNCT
ejde-44	108	12	x+	x+	ADJ
ejde-44	108	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	108	14	t	t	PROPN
ejde-44	108	15	0	0	NUM
ejde-44	108	16	{	{	PUNCT
ejde-44	108	17	f(s)−〈f〉}ds	f(s)−〈f〉}ds	NOUN
ejde-44	108	18	∈]x1(t	∈]x1(t	PROPN
ejde-44	108	19	)	)	PUNCT
ejde-44	108	20	,	,	PUNCT
ejde-44	108	21	x2(t)[⊂	x2(t)[⊂	PROPN
ejde-44	108	22	g−1(〈f	g−1(〈f	PROPN
ejde-44	108	23	〉	〉	PROPN
ejde-44	108	24	)	)	PUNCT
ejde-44	108	25	,	,	PUNCT
ejde-44	108	26	t	t	PROPN
ejde-44	108	27	∈	∈	PROPN
ejde-44	108	28	r	r	NOUN
ejde-44	108	29	which	which	PRON
ejde-44	108	30	implies	imply	VERB
ejde-44	108	31	that	that	SCONJ
ejde-44	108	32	x	x	PUNCT
ejde-44	108	33	∈	∈	PROPN
ejde-44	108	34	o〈f	o〈f	PROPN
ejde-44	108	35	〉	〉	PROPN
ejde-44	108	36	and	and	CCONJ
ejde-44	108	37	hence	hence	ADV
ejde-44	108	38	]	]	X
ejde-44	108	39	x1(0	x1(0	PROPN
ejde-44	108	40	)	)	PUNCT
ejde-44	108	41	,	,	PUNCT
ejde-44	108	42	x2(0)[⊂	x2(0)[⊂	PROPN
ejde-44	108	43	o〈f	o〈f	PROPN
ejde-44	108	44	〉	〉	PROPN
ejde-44	108	45	.	.	PUNCT
ejde-44	109	1	conversely	conversely	ADV
ejde-44	109	2	,	,	PUNCT
ejde-44	109	3	suppose	suppose	VERB
ejde-44	109	4	that	that	SCONJ
ejde-44	109	5	there	there	PRON
ejde-44	109	6	is	be	VERB
ejde-44	109	7	x	x	PUNCT
ejde-44	109	8	and	and	CCONJ
ejde-44	109	9	c	c	X
ejde-44	109	10	>	>	X
ejde-44	109	11	0	0	PUNCT
ejde-44	109	12	small	small	ADJ
ejde-44	109	13	enough	enough	ADV
ejde-44	109	14	such	such	ADJ
ejde-44	109	15	that	that	SCONJ
ejde-44	109	16	x	x	NOUN
ejde-44	109	17	,	,	PUNCT
ejde-44	109	18	x+c	x+c	PROPN
ejde-44	109	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	109	20	o〈f	o〈f	PROPN
ejde-44	109	21	〉	〉	PROPN
ejde-44	109	22	.	.	PUNCT
ejde-44	110	1	it	it	PRON
ejde-44	110	2	is	be	AUX
ejde-44	110	3	easy	easy	ADJ
ejde-44	110	4	to	to	PART
ejde-44	110	5	check	check	VERB
ejde-44	110	6	that	that	PRON
ejde-44	110	7	x1	x1	PROPN
ejde-44	110	8	,	,	PUNCT
ejde-44	110	9	x2	x2	PROPN
ejde-44	110	10	given	give	VERB
ejde-44	110	11	below	below	ADV
ejde-44	110	12	are	be	AUX
ejde-44	110	13	different	different	ADJ
ejde-44	110	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	110	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	110	16	for	for	ADP
ejde-44	110	17	(	(	PUNCT
ejde-44	110	18	3	3	NUM
ejde-44	110	19	):	):	PUNCT
ejde-44	110	20	x1(t	x1(t	PROPN
ejde-44	110	21	)	)	PUNCT
ejde-44	110	22	=	=	SYM
ejde-44	111	1	x+	x+	NUM
ejde-44	112	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	112	2	t	t	PROPN
ejde-44	112	3	0	0	NUM
ejde-44	112	4	{	{	PUNCT
ejde-44	112	5	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	112	6	〈	〈	PROPN
ejde-44	112	7	f〉}ds	f〉}ds	NOUN
ejde-44	112	8	,	,	PUNCT
ejde-44	112	9	t	t	NOUN
ejde-44	112	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	112	11	r	r	PROPN
ejde-44	112	12	,	,	PUNCT
ejde-44	112	13	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	112	14	)	)	PUNCT
ejde-44	112	15	=	=	PUNCT
ejde-44	112	16	x+	x+	PUNCT
ejde-44	112	17	c	c	X
ejde-44	113	1	+	+	CCONJ
ejde-44	113	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	113	3	t	t	PROPN
ejde-44	113	4	0	0	NUM
ejde-44	113	5	{	{	PUNCT
ejde-44	113	6	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	113	7	〈	〈	NOUN
ejde-44	113	8	f〉}ds	f〉}ds	NOUN
ejde-44	113	9	=	=	SYM
ejde-44	113	10	x1(t	x1(t	PUNCT
ejde-44	113	11	)	)	PUNCT
ejde-44	114	1	+	+	SYM
ejde-44	114	2	c	c	X
ejde-44	114	3	,	,	PUNCT
ejde-44	114	4	t	t	PROPN
ejde-44	114	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	114	6	r.	r.	PROPN
ejde-44	114	7	remark	remark	VERB
ejde-44	114	8	2.5	2.5	NUM
ejde-44	114	9	the	the	DET
ejde-44	114	10	condition	condition	NOUN
ejde-44	114	11	int(o〈f	int(o〈f	NOUN
ejde-44	114	12	〉	〉	NUM
ejde-44	114	13	)	)	PUNCT
ejde-44	114	14	6=	6=	ADP
ejde-44	114	15	∅	∅	NOUN
ejde-44	114	16	is	be	AUX
ejde-44	114	17	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	114	18	to	to	ADP
ejde-44	114	19	diam(g−1〈f	diam(g−1〈f	PROPN
ejde-44	114	20	〉	〉	NOUN
ejde-44	114	21	)	)	PUNCT
ejde-44	114	22	>	>	X
ejde-44	114	23	diam(range	diam(range	PROPN
ejde-44	114	24	∫	∫	PROPN
ejde-44	114	25	{	{	PUNCT
ejde-44	114	26	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	114	27	〈	〈	PROPN
ejde-44	114	28	f〉}dt	f〉}dt	PRON
ejde-44	114	29	)	)	PUNCT
ejde-44	114	30	.	.	PUNCT
ejde-44	115	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	115	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	115	3	5	5	NUM
ejde-44	115	4	example	example	NOUN
ejde-44	115	5	:	:	PUNCT
ejde-44	115	6	consider	consider	VERB
ejde-44	115	7	the	the	DET
ejde-44	115	8	equation	equation	NOUN
ejde-44	115	9	x′(t	x′(t	VERB
ejde-44	115	10	)	)	PUNCT
ejde-44	116	1	+	+	CCONJ
ejde-44	116	2	g(x(t	g(x(t	PROPN
ejde-44	116	3	)	)	PUNCT
ejde-44	116	4	)	)	PUNCT
ejde-44	117	1	=	=	PUNCT
ejde-44	117	2	η	η	PROPN
ejde-44	117	3	cos	cos	PROPN
ejde-44	117	4	t	t	PROPN
ejde-44	117	5	,	,	PUNCT
ejde-44	117	6	t	t	PROPN
ejde-44	117	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	117	8	r	r	NOUN
ejde-44	117	9	with	with	ADP
ejde-44	117	10	g	g	NOUN
ejde-44	117	11	given	give	VERB
ejde-44	117	12	in	in	ADP
ejde-44	117	13	remark	remark	NOUN
ejde-44	117	14	2.2	2.2	NUM
ejde-44	117	15	.	.	PUNCT
ejde-44	118	1	we	we	PRON
ejde-44	118	2	have	have	VERB
ejde-44	118	3	<	<	X
ejde-44	118	4	η	η	PROPN
ejde-44	118	5	cos	cos	PROPN
ejde-44	118	6	t	t	PROPN
ejde-44	118	7	>	>	X
ejde-44	118	8	=	=	SYM
ejde-44	118	9	0	0	NUM
ejde-44	118	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	118	11	g(r	g(r	PROPN
ejde-44	118	12	)	)	PUNCT
ejde-44	118	13	and	and	CCONJ
ejde-44	118	14	o(0	o(0	NOUN
ejde-44	118	15	)	)	PUNCT
ejde-44	118	16	=	=	PRON
ejde-44	119	1	{	{	PUNCT
ejde-44	119	2	x	x	PUNCT
ejde-44	119	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	4	r	r	NOUN
ejde-44	119	5	|x+	|x+	PROPN
ejde-44	119	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	119	7	t	t	PROPN
ejde-44	119	8	0	0	PROPN
ejde-44	119	9	η	η	PROPN
ejde-44	119	10	cos	cos	PROPN
ejde-44	119	11	s	s	PART
ejde-44	119	12	ds	ds	PROPN
ejde-44	119	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	14	g−1(0	g−1(0	NOUN
ejde-44	119	15	)	)	PUNCT
ejde-44	119	16	,	,	PUNCT
ejde-44	119	17	t	t	PROPN
ejde-44	119	18	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	19	r	r	X
ejde-44	119	20	}	}	PUNCT
ejde-44	119	21	(	(	PUNCT
ejde-44	119	22	8)	8)	NUM
ejde-44	119	23	=	=	SYM
ejde-44	119	24	{	{	PUNCT
ejde-44	119	25	x	x	PUNCT
ejde-44	119	26	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	27	r	r	NOUN
ejde-44	119	28	:	:	PUNCT
ejde-44	119	29	x+	x+	PROPN
ejde-44	119	30	η	η	PROPN
ejde-44	119	31	sin	sin	PROPN
ejde-44	119	32	t	t	PROPN
ejde-44	119	33	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	34	g−1(0	g−1(0	PROPN
ejde-44	119	35	)	)	PUNCT
ejde-44	119	36	,	,	PUNCT
ejde-44	119	37	t	t	PROPN
ejde-44	119	38	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	39	r	r	X
ejde-44	119	40	}	}	PUNCT
ejde-44	119	41	=	=	NOUN
ejde-44	119	42	{	{	PUNCT
ejde-44	119	43	x	x	SYM
ejde-44	119	44	∈	∈	PROPN
ejde-44	119	45	r	r	NOUN
ejde-44	119	46	:	:	PUNCT
ejde-44	119	47	−ε	−ε	PROPN
ejde-44	119	48	≤	≤	PROPN
ejde-44	119	49	x+	x+	PUNCT
ejde-44	119	50	η	η	PROPN
ejde-44	119	51	sin	sin	PROPN
ejde-44	119	52	t	t	PROPN
ejde-44	119	53	≤	≤	NUM
ejde-44	119	54	ε	ε	PROPN
ejde-44	119	55	,	,	PUNCT
ejde-44	119	56	t	t	PROPN
ejde-44	119	57	∈	∈	PROPN
ejde-44	120	1	r	r	NOUN
ejde-44	120	2	}	}	PUNCT
ejde-44	120	3	=	=	PUNCT
ejde-44	120	4			PUNCT
ejde-44	120	5	∅	∅	NOUN
ejde-44	120	6	|η|	|η|	PROPN
ejde-44	120	7	>	>	PUNCT
ejde-44	120	8	ε	ε	PROPN
ejde-44	120	9	,	,	PUNCT
ejde-44	120	10	{	{	PUNCT
ejde-44	120	11	0	0	NUM
ejde-44	120	12	}	}	PUNCT
ejde-44	120	13	|η|	|η|	PROPN
ejde-44	120	14	=	=	SYM
ejde-44	120	15	ε	ε	PROPN
ejde-44	120	16	,	,	PUNCT
ejde-44	120	17	[	[	X
ejde-44	120	18	|η|	|η|	PROPN
ejde-44	120	19	−	−	PROPN
ejde-44	120	20	ε	ε	PROPN
ejde-44	120	21	,	,	PUNCT
ejde-44	120	22	ε−	ε−	PROPN
ejde-44	120	23	|η|	|η|	NOUN
ejde-44	120	24	]	]	X
ejde-44	120	25	|η|	|η|	X
ejde-44	120	26	<	<	X
ejde-44	120	27	ε	ε	PROPN
ejde-44	120	28	.	.	PUNCT
ejde-44	121	1	(	(	PUNCT
ejde-44	121	2	9	9	NUM
ejde-44	121	3	)	)	PUNCT
ejde-44	121	4	therefore	therefore	ADV
ejde-44	121	5	,	,	PUNCT
ejde-44	121	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	121	7	does	do	AUX
ejde-44	121	8	not	not	PART
ejde-44	121	9	occur	occur	VERB
ejde-44	121	10	if	if	SCONJ
ejde-44	121	11	|η|	|η|	PROPN
ejde-44	121	12	<	<	X
ejde-44	121	13	ε	ε	PROPN
ejde-44	121	14	,	,	PUNCT
ejde-44	121	15	for	for	ADP
ejde-44	121	16	example	example	NOUN
ejde-44	121	17	if	if	SCONJ
ejde-44	121	18	η	η	PROPN
ejde-44	121	19	=	=	PROPN
ejde-44	121	20	ε/2	ε/2	PROPN
ejde-44	121	21	,	,	PUNCT
ejde-44	121	22	as	as	SCONJ
ejde-44	121	23	seen	see	VERB
ejde-44	121	24	before	before	ADV
ejde-44	121	25	in	in	ADP
ejde-44	121	26	remark	remark	NOUN
ejde-44	121	27	2.2	2.2	NUM
ejde-44	121	28	.	.	PUNCT
ejde-44	122	1	if	if	SCONJ
ejde-44	122	2	|η|	|η|	PROPN
ejde-44	122	3	≥	≥	AUX
ejde-44	122	4	ε	ε	VERB
ejde-44	122	5	there	there	PRON
ejde-44	122	6	is	be	VERB
ejde-44	122	7	an	an	DET
ejde-44	122	8	unique	unique	ADJ
ejde-44	122	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	122	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	122	11	.	.	PUNCT
ejde-44	123	1	in	in	ADP
ejde-44	123	2	the	the	DET
ejde-44	123	3	following	following	NOUN
ejde-44	123	4	we	we	PRON
ejde-44	123	5	suppose	suppose	VERB
ejde-44	123	6	that	that	SCONJ
ejde-44	123	7	g	g	PROPN
ejde-44	123	8	is	be	AUX
ejde-44	123	9	increasing	increase	VERB
ejde-44	123	10	and	and	CCONJ
ejde-44	123	11	we	we	PRON
ejde-44	123	12	establish	establish	VERB
ejde-44	123	13	an	an	DET
ejde-44	123	14	existence	existence	NOUN
ejde-44	123	15	result	result	NOUN
ejde-44	123	16	.	.	PUNCT
ejde-44	124	1	2.2	2.2	NUM
ejde-44	124	2	existence	existence	NOUN
ejde-44	124	3	to	to	PART
ejde-44	124	4	study	study	VERB
ejde-44	124	5	the	the	DET
ejde-44	124	6	existence	existence	NOUN
ejde-44	124	7	,	,	PUNCT
ejde-44	124	8	note	note	VERB
ejde-44	124	9	that	that	SCONJ
ejde-44	124	10	a	a	DET
ejde-44	124	11	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	124	12	condition	condition	NOUN
ejde-44	124	13	is	be	AUX
ejde-44	124	14	given	give	VERB
ejde-44	124	15	by	by	ADP
ejde-44	124	16	the	the	DET
ejde-44	124	17	following	follow	VERB
ejde-44	124	18	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	124	19	.	.	PUNCT
ejde-44	125	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	125	2	2.6	2.6	NUM
ejde-44	125	3	assume	assume	VERB
ejde-44	125	4	that	that	SCONJ
ejde-44	125	5	equation	equation	NOUN
ejde-44	125	6	(	(	PUNCT
ejde-44	125	7	3	3	X
ejde-44	125	8	)	)	PUNCT
ejde-44	125	9	has	have	VERB
ejde-44	125	10	t	t	NOUN
ejde-44	125	11	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	125	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	125	13	.	.	PUNCT
ejde-44	126	1	then	then	ADV
ejde-44	126	2	there	there	PRON
ejde-44	126	3	is	be	VERB
ejde-44	126	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	126	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	126	6	r	r	NOUN
ejde-44	126	7	such	such	ADJ
ejde-44	126	8	that	that	SCONJ
ejde-44	126	9	〈	〈	PROPN
ejde-44	126	10	f	f	PROPN
ejde-44	126	11	〉	〉	PROPN
ejde-44	126	12	:	:	PUNCT
ejde-44	127	1	=	=	SYM
ejde-44	127	2	1	1	NUM
ejde-44	127	3	t	t	NOUN
ejde-44	127	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	127	5	t	t	PROPN
ejde-44	127	6	0	0	NUM
ejde-44	127	7	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	127	8	=	=	PROPN
ejde-44	127	9	g(x0	g(x0	PROPN
ejde-44	127	10	)	)	PUNCT
ejde-44	127	11	.	.	PUNCT
ejde-44	128	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	128	2	integrating	integrate	VERB
ejde-44	128	3	on	on	ADP
ejde-44	128	4	a	a	DET
ejde-44	128	5	period	period	NOUN
ejde-44	128	6	interval	interval	NOUN
ejde-44	128	7	[	[	X
ejde-44	128	8	0	0	NUM
ejde-44	128	9	,	,	PUNCT
ejde-44	128	10	t	t	X
ejde-44	128	11	]	]	PUNCT
ejde-44	128	12	we	we	PRON
ejde-44	128	13	obtain	obtain	VERB
ejde-44	128	14	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	128	15	)	)	PUNCT
ejde-44	128	16	−	−	PROPN
ejde-44	128	17	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	128	18	)	)	PUNCT
ejde-44	129	1	+	+	CCONJ
ejde-44	129	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	129	3	t	t	PROPN
ejde-44	129	4	0	0	NUM
ejde-44	129	5	g(x(t))dt	g(x(t))dt	PROPN
ejde-44	129	6	=	=	SYM
ejde-44	129	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	129	8	t	t	PROPN
ejde-44	129	9	0	0	X
ejde-44	129	10	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	129	11	.	.	PUNCT
ejde-44	130	1	since	since	SCONJ
ejde-44	130	2	x	x	PRON
ejde-44	130	3	is	be	AUX
ejde-44	130	4	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	130	5	and	and	CCONJ
ejde-44	130	6	g	g	ADP
ejde-44	130	7	◦	◦	NOUN
ejde-44	130	8	x	x	PUNCT
ejde-44	130	9	is	be	AUX
ejde-44	130	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	130	11	we	we	PRON
ejde-44	130	12	get	get	AUX
ejde-44	130	13	tg(x(τ	tg(x(τ	VERB
ejde-44	130	14	)	)	PUNCT
ejde-44	130	15	)	)	PUNCT
ejde-44	131	1	=	=	SYM
ejde-44	131	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	131	3	t	t	PROPN
ejde-44	131	4	0	0	X
ejde-44	131	5	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	131	6	,	,	PUNCT
ejde-44	131	7	τ	τ	X
ejde-44	131	8	∈]0	∈]0	X
ejde-44	131	9	,	,	PUNCT
ejde-44	131	10	t	t	X
ejde-44	132	1	[	[	X
ejde-44	132	2	,	,	PUNCT
ejde-44	132	3	and	and	CCONJ
ejde-44	132	4	hence	hence	ADV
ejde-44	132	5	〈	〈	PROPN
ejde-44	132	6	f	f	PROPN
ejde-44	132	7	〉	〉	PROPN
ejde-44	132	8	:	:	PUNCT
ejde-44	133	1	=	=	SYM
ejde-44	133	2	1	1	NUM
ejde-44	133	3	t	t	NOUN
ejde-44	133	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	133	5	t	t	PROPN
ejde-44	133	6	0	0	NUM
ejde-44	133	7	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	133	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	133	9	range(g	range(g	PROPN
ejde-44	133	10	)	)	PUNCT
ejde-44	133	11	.	.	PUNCT
ejde-44	134	1	(	(	PUNCT
ejde-44	134	2	10	10	NUM
ejde-44	134	3	)	)	PUNCT
ejde-44	134	4	♦	♦	PROPN
ejde-44	134	5	in	in	ADP
ejde-44	134	6	the	the	DET
ejde-44	134	7	following	following	NOUN
ejde-44	134	8	we	we	PRON
ejde-44	134	9	will	will	AUX
ejde-44	134	10	show	show	VERB
ejde-44	134	11	that	that	SCONJ
ejde-44	134	12	this	this	DET
ejde-44	134	13	condition	condition	NOUN
ejde-44	134	14	is	be	AUX
ejde-44	134	15	also	also	ADV
ejde-44	134	16	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	134	17	for	for	ADP
ejde-44	134	18	the	the	DET
ejde-44	134	19	existence	existence	NOUN
ejde-44	134	20	of	of	ADP
ejde-44	134	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	134	22	solutions	solution	NOUN
ejde-44	134	23	.	.	PUNCT
ejde-44	135	1	we	we	PRON
ejde-44	135	2	will	will	AUX
ejde-44	135	3	prove	prove	VERB
ejde-44	135	4	this	this	DET
ejde-44	135	5	result	result	NOUN
ejde-44	135	6	in	in	ADP
ejde-44	135	7	several	several	ADJ
ejde-44	135	8	steps	step	NOUN
ejde-44	135	9	.	.	PUNCT
ejde-44	136	1	first	first	ADV
ejde-44	136	2	we	we	PRON
ejde-44	136	3	establish	establish	VERB
ejde-44	136	4	the	the	DET
ejde-44	136	5	existence	existence	NOUN
ejde-44	136	6	for	for	ADP
ejde-44	136	7	the	the	DET
ejde-44	136	8	equation	equation	NOUN
ejde-44	136	9	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	136	10	)	)	PUNCT
ejde-44	136	11	+	+	NUM
ejde-44	136	12	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	136	13	)	)	PUNCT
ejde-44	136	14	+	+	CCONJ
ejde-44	137	1	g(xα(t	g(xα(t	VERB
ejde-44	137	2	)	)	PUNCT
ejde-44	137	3	)	)	PUNCT
ejde-44	138	1	=	=	SYM
ejde-44	138	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	138	3	)	)	PUNCT
ejde-44	138	4	,	,	PUNCT
ejde-44	138	5	t	t	PROPN
ejde-44	138	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	138	7	r	r	PROPN
ejde-44	138	8	,	,	PUNCT
ejde-44	138	9	α	α	NOUN
ejde-44	138	10	>	>	X
ejde-44	138	11	0	0	NUM
ejde-44	138	12	.	.	PUNCT
ejde-44	139	1	(	(	PUNCT
ejde-44	139	2	11	11	NUM
ejde-44	139	3	)	)	PUNCT
ejde-44	139	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	139	5	2.7	2.7	NUM
ejde-44	139	6	suppose	suppose	VERB
ejde-44	139	7	that	that	SCONJ
ejde-44	139	8	g	g	PROPN
ejde-44	139	9	is	be	AUX
ejde-44	139	10	increasing	increase	VERB
ejde-44	139	11	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-44	139	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	139	13	and	and	CCONJ
ejde-44	139	14	f	f	PROPN
ejde-44	139	15	is	be	AUX
ejde-44	139	16	t	t	NOUN
ejde-44	139	17	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	139	18	and	and	CCONJ
ejde-44	139	19	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	139	20	.	.	PUNCT
ejde-44	140	1	then	then	ADV
ejde-44	140	2	for	for	ADP
ejde-44	140	3	every	every	DET
ejde-44	140	4	α	α	NOUN
ejde-44	140	5	>	>	X
ejde-44	140	6	0	0	PUNCT
ejde-44	141	1	the	the	DET
ejde-44	141	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	141	3	(	(	PUNCT
ejde-44	141	4	11	11	NUM
ejde-44	141	5	)	)	PUNCT
ejde-44	141	6	has	have	VERB
ejde-44	141	7	exactly	exactly	ADV
ejde-44	141	8	one	one	NUM
ejde-44	141	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	141	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	141	11	.	.	PUNCT
ejde-44	142	1	6	6	NUM
ejde-44	142	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	142	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	142	4	for	for	ADP
ejde-44	142	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	142	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	142	7	remark	remark	VERB
ejde-44	142	8	2.8	2.8	NUM
ejde-44	142	9	before	before	ADP
ejde-44	142	10	starting	start	VERB
ejde-44	142	11	the	the	DET
ejde-44	142	12	proof	proof	NOUN
ejde-44	142	13	let	let	VERB
ejde-44	142	14	us	we	PRON
ejde-44	142	15	observe	observe	VERB
ejde-44	142	16	that	that	SCONJ
ejde-44	142	17	(	(	PUNCT
ejde-44	142	18	11	11	NUM
ejde-44	142	19	)	)	PUNCT
ejde-44	142	20	reduces	reduce	VERB
ejde-44	142	21	to	to	ADP
ejde-44	142	22	an	an	DET
ejde-44	142	23	equation	equation	NOUN
ejde-44	142	24	of	of	ADP
ejde-44	142	25	type	type	NOUN
ejde-44	142	26	(	(	PUNCT
ejde-44	142	27	3	3	NUM
ejde-44	142	28	)	)	PUNCT
ejde-44	142	29	with	with	ADP
ejde-44	142	30	gα	gα	NOUN
ejde-44	142	31	=	=	PUNCT
ejde-44	142	32	α1r	α1r	NOUN
ejde-44	142	33	+	+	CCONJ
ejde-44	142	34	g.	g.	NOUN
ejde-44	142	35	since	since	SCONJ
ejde-44	142	36	g	g	PROPN
ejde-44	142	37	is	be	AUX
ejde-44	142	38	increasing	increase	VERB
ejde-44	142	39	,	,	PUNCT
ejde-44	142	40	is	be	AUX
ejde-44	142	41	clear	clear	ADJ
ejde-44	142	42	that	that	SCONJ
ejde-44	142	43	gα	gα	NOUN
ejde-44	142	44	is	be	AUX
ejde-44	142	45	strictly	strictly	ADV
ejde-44	142	46	increasing	increase	VERB
ejde-44	142	47	and	and	CCONJ
ejde-44	142	48	by	by	ADP
ejde-44	142	49	the	the	DET
ejde-44	142	50	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	142	51	2.1	2.1	NUM
ejde-44	142	52	we	we	PRON
ejde-44	142	53	deduce	deduce	VERB
ejde-44	142	54	that	that	SCONJ
ejde-44	142	55	the	the	DET
ejde-44	142	56	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	142	57	holds	hold	VERB
ejde-44	142	58	.	.	PUNCT
ejde-44	143	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	143	2	since	since	SCONJ
ejde-44	143	3	range(gα	range(gα	NOUN
ejde-44	143	4	)	)	PUNCT
ejde-44	143	5	=	=	SYM
ejde-44	143	6	r	r	NOUN
ejde-44	143	7	,	,	PUNCT
ejde-44	143	8	the	the	DET
ejde-44	143	9	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	143	10	condition	condition	NOUN
ejde-44	143	11	(	(	PUNCT
ejde-44	143	12	10	10	NUM
ejde-44	143	13	)	)	PUNCT
ejde-44	143	14	is	be	AUX
ejde-44	143	15	trivially	trivially	ADV
ejde-44	143	16	verified	verify	VERB
ejde-44	143	17	and	and	CCONJ
ejde-44	143	18	therefore	therefore	ADV
ejde-44	143	19	,	,	PUNCT
ejde-44	143	20	in	in	ADP
ejde-44	143	21	this	this	DET
ejde-44	143	22	case	case	NOUN
ejde-44	143	23	we	we	PRON
ejde-44	143	24	can	can	AUX
ejde-44	143	25	expect	expect	VERB
ejde-44	143	26	to	to	PART
ejde-44	143	27	prove	prove	VERB
ejde-44	143	28	existence	existence	NOUN
ejde-44	143	29	.	.	PUNCT
ejde-44	144	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	144	2	first	first	ADV
ejde-44	144	3	of	of	ADP
ejde-44	144	4	all	all	DET
ejde-44	144	5	remark	remark	NOUN
ejde-44	144	6	that	that	SCONJ
ejde-44	144	7	the	the	DET
ejde-44	144	8	existence	existence	NOUN
ejde-44	144	9	of	of	ADP
ejde-44	144	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	144	11	solutions	solution	NOUN
ejde-44	144	12	reduces	reduce	VERB
ejde-44	144	13	to	to	ADP
ejde-44	144	14	finding	find	VERB
ejde-44	144	15	x0	x0	PROPN
ejde-44	144	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	144	17	r	r	NOUN
ejde-44	144	18	such	such	ADJ
ejde-44	144	19	that	that	SCONJ
ejde-44	144	20	the	the	DET
ejde-44	144	21	solution	solution	NOUN
ejde-44	144	22	of	of	ADP
ejde-44	144	23	the	the	DET
ejde-44	144	24	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	144	25	problem	problem	NOUN
ejde-44	144	26	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	144	27	)	)	PUNCT
ejde-44	144	28	+	+	NUM
ejde-44	144	29	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	144	30	)	)	PUNCT
ejde-44	144	31	+	+	CCONJ
ejde-44	144	32	g(xα(t	g(xα(t	VERB
ejde-44	144	33	)	)	PUNCT
ejde-44	144	34	)	)	PUNCT
ejde-44	145	1	=	=	SYM
ejde-44	145	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	145	3	)	)	PUNCT
ejde-44	145	4	,	,	PUNCT
ejde-44	145	5	t	t	PROPN
ejde-44	145	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	146	1	[	[	X
ejde-44	146	2	0	0	NUM
ejde-44	146	3	,	,	PUNCT
ejde-44	146	4	t	t	X
ejde-44	146	5	]	]	PUNCT
ejde-44	146	6	,	,	PUNCT
ejde-44	146	7	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	146	8	)	)	PUNCT
ejde-44	146	9	=	=	PUNCT
ejde-44	146	10	x0	x0	PROPN
ejde-44	146	11	,	,	PUNCT
ejde-44	146	12	(	(	PUNCT
ejde-44	146	13	12	12	NUM
ejde-44	146	14	)	)	PUNCT
ejde-44	146	15	verifies	verifie	NOUN
ejde-44	146	16	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	146	17	;	;	PUNCT
ejde-44	146	18	0	0	NUM
ejde-44	146	19	,	,	PUNCT
ejde-44	146	20	x0	x0	PROPN
ejde-44	146	21	)	)	PUNCT
ejde-44	146	22	=	=	SYM
ejde-44	146	23	x0	x0	PROPN
ejde-44	146	24	.	.	PUNCT
ejde-44	147	1	here	here	ADV
ejde-44	147	2	we	we	PRON
ejde-44	147	3	denote	denote	VERB
ejde-44	147	4	by	by	ADP
ejde-44	147	5	x	x	X
ejde-44	147	6	(	(	PUNCT
ejde-44	147	7	·	·	PUNCT
ejde-44	147	8	;	;	PUNCT
ejde-44	147	9	0	0	NUM
ejde-44	147	10	,	,	PUNCT
ejde-44	147	11	x0	x0	PROPN
ejde-44	147	12	)	)	PUNCT
ejde-44	147	13	the	the	DET
ejde-44	147	14	solution	solution	NOUN
ejde-44	147	15	of	of	ADP
ejde-44	147	16	(	(	PUNCT
ejde-44	147	17	12	12	NUM
ejde-44	147	18	)	)	PUNCT
ejde-44	147	19	(	(	PUNCT
ejde-44	147	20	existence	existence	NOUN
ejde-44	147	21	and	and	CCONJ
ejde-44	147	22	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	147	23	assured	assure	VERB
ejde-44	147	24	by	by	ADP
ejde-44	147	25	picard	picard	PROPN
ejde-44	147	26	’s	’s	PART
ejde-44	147	27	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	147	28	)	)	PUNCT
ejde-44	147	29	.	.	PUNCT
ejde-44	148	1	we	we	PRON
ejde-44	148	2	define	define	VERB
ejde-44	148	3	the	the	DET
ejde-44	148	4	map	map	NOUN
ejde-44	148	5	s	s	VERB
ejde-44	148	6	:	:	PUNCT
ejde-44	148	7	r→	r→	PROPN
ejde-44	148	8	r	r	NOUN
ejde-44	148	9	given	give	VERB
ejde-44	148	10	by	by	ADP
ejde-44	148	11	s(x0	s(x0	ADV
ejde-44	148	12	)	)	PUNCT
ejde-44	149	1	=	=	VERB
ejde-44	149	2	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	149	3	;	;	PUNCT
ejde-44	149	4	0	0	NUM
ejde-44	149	5	,	,	PUNCT
ejde-44	149	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	149	7	)	)	PUNCT
ejde-44	149	8	,	,	PUNCT
ejde-44	149	9	x0	x0	PROPN
ejde-44	149	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	149	11	r.	r.	PROPN
ejde-44	149	12	(	(	PUNCT
ejde-44	149	13	13	13	NUM
ejde-44	149	14	)	)	PUNCT
ejde-44	149	15	we	we	PRON
ejde-44	149	16	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-44	149	17	the	the	DET
ejde-44	149	18	existence	existence	NOUN
ejde-44	149	19	and	and	CCONJ
ejde-44	149	20	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	149	21	of	of	ADP
ejde-44	149	22	the	the	DET
ejde-44	149	23	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	149	24	solution	solution	NOUN
ejde-44	149	25	of	of	ADP
ejde-44	149	26	(	(	PUNCT
ejde-44	149	27	12	12	NUM
ejde-44	149	28	)	)	PUNCT
ejde-44	149	29	by	by	ADP
ejde-44	149	30	showing	show	VERB
ejde-44	149	31	that	that	SCONJ
ejde-44	149	32	the	the	DET
ejde-44	149	33	banach	banach	NOUN
ejde-44	149	34	’s	’s	PART
ejde-44	149	35	fixed	fix	VERB
ejde-44	149	36	point	point	NOUN
ejde-44	149	37	theorem	theorem	ADJ
ejde-44	149	38	applies	applie	NOUN
ejde-44	149	39	.	.	PUNCT
ejde-44	150	1	let	let	VERB
ejde-44	150	2	us	we	PRON
ejde-44	150	3	consider	consider	VERB
ejde-44	150	4	two	two	NUM
ejde-44	150	5	solutions	solution	NOUN
ejde-44	150	6	of	of	ADP
ejde-44	150	7	(	(	PUNCT
ejde-44	150	8	12	12	NUM
ejde-44	150	9	)	)	PUNCT
ejde-44	150	10	corresponding	correspond	VERB
ejde-44	150	11	to	to	ADP
ejde-44	150	12	the	the	DET
ejde-44	150	13	initial	initial	ADJ
ejde-44	150	14	datas	data	NOUN
ejde-44	151	1	x1	x1	PROPN
ejde-44	151	2	0	0	PUNCT
ejde-44	152	1	and	and	CCONJ
ejde-44	152	2	x2	x2	PROPN
ejde-44	152	3	0	0	X
ejde-44	152	4	.	.	PUNCT
ejde-44	153	1	using	use	VERB
ejde-44	153	2	the	the	DET
ejde-44	153	3	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	153	4	of	of	ADP
ejde-44	153	5	g	g	NOUN
ejde-44	153	6	we	we	PRON
ejde-44	153	7	can	can	AUX
ejde-44	153	8	write	write	VERB
ejde-44	153	9	α|x(t	α|x(t	PROPN
ejde-44	153	10	;	;	PUNCT
ejde-44	153	11	0	0	NUM
ejde-44	153	12	,	,	PUNCT
ejde-44	153	13	x1	x1	PROPN
ejde-44	153	14	0)−	0)−	PUNCT
ejde-44	154	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	154	2	;	;	PUNCT
ejde-44	154	3	0	0	NUM
ejde-44	154	4	,	,	PUNCT
ejde-44	154	5	x2	x2	NOUN
ejde-44	154	6	0)|2	0)|2	NOUN
ejde-44	154	7	+	+	CCONJ
ejde-44	154	8	1	1	NUM
ejde-44	154	9	2	2	NUM
ejde-44	154	10	d	d	NOUN
ejde-44	154	11	dt	dt	PUNCT
ejde-44	154	12	|x(t	|x(t	PROPN
ejde-44	154	13	;	;	PUNCT
ejde-44	154	14	0	0	NUM
ejde-44	154	15	,	,	PUNCT
ejde-44	154	16	x1	x1	PROPN
ejde-44	154	17	0)−	0)−	PUNCT
ejde-44	155	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	155	2	;	;	PUNCT
ejde-44	155	3	0	0	NUM
ejde-44	155	4	,	,	PUNCT
ejde-44	155	5	x2	x2	PROPN
ejde-44	155	6	0)|2	0)|2	NOUN
ejde-44	155	7	≤	≤	NUM
ejde-44	155	8	0	0	NUM
ejde-44	155	9	,	,	PUNCT
ejde-44	155	10	which	which	PRON
ejde-44	155	11	implies	imply	VERB
ejde-44	155	12	1	1	NUM
ejde-44	155	13	2	2	NUM
ejde-44	155	14	d	d	NOUN
ejde-44	155	15	dt	dt	X
ejde-44	155	16	{	{	PUNCT
ejde-44	155	17	e2αt|x(t	e2αt|x(t	PROPN
ejde-44	155	18	;	;	PUNCT
ejde-44	155	19	0	0	NUM
ejde-44	155	20	,	,	PUNCT
ejde-44	155	21	x1	x1	PROPN
ejde-44	155	22	0)−	0)−	PUNCT
ejde-44	156	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	156	2	;	;	PUNCT
ejde-44	156	3	0	0	NUM
ejde-44	156	4	,	,	PUNCT
ejde-44	156	5	x2	x2	PROPN
ejde-44	156	6	0)|2	0)|2	NOUN
ejde-44	156	7	}	}	PUNCT
ejde-44	156	8	≤	≤	NUM
ejde-44	156	9	0	0	NUM
ejde-44	156	10	,	,	PUNCT
ejde-44	156	11	and	and	CCONJ
ejde-44	156	12	therefore	therefore	ADV
ejde-44	156	13	,	,	PUNCT
ejde-44	156	14	|s(x1	|s(x1	NOUN
ejde-44	156	15	0)−	0)−	NUM
ejde-44	156	16	s(x2	s(x2	NOUN
ejde-44	156	17	0)|	0)|	NOUN
ejde-44	156	18	=	=	PUNCT
ejde-44	156	19	|x(t	|x(t	PROPN
ejde-44	156	20	;	;	PUNCT
ejde-44	156	21	0	0	NUM
ejde-44	156	22	,	,	PUNCT
ejde-44	156	23	x1	x1	PROPN
ejde-44	156	24	0)−	0)−	PUNCT
ejde-44	157	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	157	2	;	;	PUNCT
ejde-44	157	3	0	0	NUM
ejde-44	157	4	,	,	PUNCT
ejde-44	157	5	x2	x2	NOUN
ejde-44	157	6	0)|	0)|	NOUN
ejde-44	157	7	≤	≤	NUM
ejde-44	157	8	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	157	9	|x1	|x1	ADP
ejde-44	157	10	0	0	NUM
ejde-44	158	1	−	−	PROPN
ejde-44	159	1	x2	x2	INTJ
ejde-44	159	2	0|	0|	PROPN
ejde-44	159	3	.	.	PUNCT
ejde-44	160	1	for	for	ADP
ejde-44	160	2	α	α	PROPN
ejde-44	160	3	>	>	X
ejde-44	160	4	0	0	NUM
ejde-44	161	1	s	s	NOUN
ejde-44	161	2	is	be	AUX
ejde-44	161	3	a	a	DET
ejde-44	161	4	contraction	contraction	NOUN
ejde-44	161	5	and	and	CCONJ
ejde-44	161	6	the	the	DET
ejde-44	161	7	banach	banach	NOUN
ejde-44	161	8	’s	’s	PART
ejde-44	161	9	fixed	fix	VERB
ejde-44	161	10	point	point	NOUN
ejde-44	161	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-44	161	12	applies	applie	NOUN
ejde-44	161	13	.	.	PUNCT
ejde-44	162	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	162	2	s(x0	s(x0	ADV
ejde-44	162	3	)	)	PUNCT
ejde-44	163	1	=	=	SYM
ejde-44	163	2	x0	x0	PROPN
ejde-44	163	3	for	for	ADP
ejde-44	163	4	an	an	DET
ejde-44	163	5	unique	unique	ADJ
ejde-44	163	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	163	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	163	8	r	r	NOUN
ejde-44	163	9	and	and	CCONJ
ejde-44	163	10	hence	hence	ADV
ejde-44	163	11	x	x	X
ejde-44	163	12	(	(	PUNCT
ejde-44	163	13	·	·	PUNCT
ejde-44	163	14	;	;	PUNCT
ejde-44	163	15	0	0	NUM
ejde-44	163	16	,	,	PUNCT
ejde-44	163	17	x0	x0	PROPN
ejde-44	163	18	)	)	PUNCT
ejde-44	163	19	is	be	AUX
ejde-44	163	20	a	a	DET
ejde-44	163	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	163	22	solution	solution	NOUN
ejde-44	163	23	of	of	ADP
ejde-44	163	24	(	(	PUNCT
ejde-44	163	25	3	3	NUM
ejde-44	163	26	)	)	PUNCT
ejde-44	163	27	.	.	PUNCT
ejde-44	164	1	♦	♦	PROPN
ejde-44	164	2	naturally	naturally	ADV
ejde-44	164	3	,	,	PUNCT
ejde-44	164	4	in	in	ADP
ejde-44	164	5	the	the	DET
ejde-44	164	6	following	follow	VERB
ejde-44	164	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	164	8	we	we	PRON
ejde-44	164	9	inquire	inquire	VERB
ejde-44	164	10	about	about	ADP
ejde-44	164	11	the	the	DET
ejde-44	164	12	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	164	13	of	of	ADP
ejde-44	164	14	(	(	PUNCT
ejde-44	164	15	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	164	16	to	to	ADP
ejde-44	164	17	a	a	DET
ejde-44	164	18	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	164	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	164	20	of	of	ADP
ejde-44	164	21	(	(	PUNCT
ejde-44	164	22	3	3	NUM
ejde-44	164	23	)	)	PUNCT
ejde-44	164	24	as	as	ADP
ejde-44	164	25	α	α	PROPN
ejde-44	164	26	→	→	SYM
ejde-44	164	27	0	0	NUM
ejde-44	164	28	.	.	PUNCT
ejde-44	165	1	in	in	ADP
ejde-44	165	2	view	view	NOUN
ejde-44	165	3	of	of	ADP
ejde-44	165	4	the	the	DET
ejde-44	165	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	165	6	2.6	2.6	NUM
ejde-44	165	7	this	this	DET
ejde-44	165	8	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	165	9	does	do	AUX
ejde-44	165	10	not	not	PART
ejde-44	165	11	hold	hold	VERB
ejde-44	165	12	if	if	SCONJ
ejde-44	165	13	(	(	PUNCT
ejde-44	165	14	10	10	NUM
ejde-44	165	15	)	)	PUNCT
ejde-44	165	16	is	be	AUX
ejde-44	165	17	not	not	PART
ejde-44	165	18	verified	verify	VERB
ejde-44	165	19	.	.	PUNCT
ejde-44	166	1	assume	assume	VERB
ejde-44	166	2	for	for	ADP
ejde-44	166	3	the	the	DET
ejde-44	166	4	moment	moment	NOUN
ejde-44	166	5	that	that	SCONJ
ejde-44	166	6	(	(	PUNCT
ejde-44	166	7	3	3	X
ejde-44	166	8	)	)	PUNCT
ejde-44	166	9	has	have	VERB
ejde-44	166	10	at	at	ADV
ejde-44	166	11	least	least	ADV
ejde-44	166	12	one	one	NUM
ejde-44	166	13	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	166	14	solution	solution	NOUN
ejde-44	166	15	.	.	PUNCT
ejde-44	167	1	in	in	ADP
ejde-44	167	2	this	this	DET
ejde-44	167	3	case	case	NOUN
ejde-44	167	4	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	167	5	holds	hold	VERB
ejde-44	167	6	.	.	PUNCT
ejde-44	168	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	168	2	2.9	2.9	NUM
ejde-44	168	3	if	if	SCONJ
ejde-44	168	4	equation	equation	NOUN
ejde-44	168	5	(	(	PUNCT
ejde-44	168	6	3	3	X
ejde-44	168	7	)	)	PUNCT
ejde-44	168	8	has	have	VERB
ejde-44	168	9	at	at	ADV
ejde-44	168	10	least	least	ADV
ejde-44	168	11	one	one	NUM
ejde-44	168	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	168	13	solution	solution	NOUN
ejde-44	168	14	,	,	PUNCT
ejde-44	168	15	then	then	ADV
ejde-44	168	16	(	(	PUNCT
ejde-44	168	17	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	168	18	is	be	AUX
ejde-44	168	19	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	168	20	in	in	ADP
ejde-44	168	21	c0(r;r	c0(r;r	PROPN
ejde-44	168	22	)	)	PUNCT
ejde-44	168	23	and	and	CCONJ
ejde-44	168	24	the	the	DET
ejde-44	168	25	limit	limit	NOUN
ejde-44	168	26	is	be	AUX
ejde-44	168	27	also	also	ADV
ejde-44	168	28	a	a	DET
ejde-44	168	29	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	168	30	solution	solution	NOUN
ejde-44	168	31	of	of	ADP
ejde-44	168	32	(	(	PUNCT
ejde-44	168	33	3	3	NUM
ejde-44	168	34	)	)	PUNCT
ejde-44	168	35	.	.	PUNCT
ejde-44	169	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	169	2	denote	denote	VERB
ejde-44	169	3	by	by	ADP
ejde-44	169	4	x	x	PUNCT
ejde-44	169	5	a	a	DET
ejde-44	169	6	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	169	7	solution	solution	NOUN
ejde-44	169	8	of	of	ADP
ejde-44	169	9	(	(	PUNCT
ejde-44	169	10	3	3	NUM
ejde-44	169	11	)	)	PUNCT
ejde-44	169	12	.	.	PUNCT
ejde-44	170	1	by	by	ADP
ejde-44	170	2	elementary	elementary	ADJ
ejde-44	170	3	calculations	calculation	NOUN
ejde-44	170	4	we	we	PRON
ejde-44	170	5	find	find	VERB
ejde-44	170	6	α|xα(t)−	α|xα(t)−	PRON
ejde-44	170	7	x(t)|2	x(t)|2	PUNCT
ejde-44	171	1	+	+	CCONJ
ejde-44	171	2	1	1	NUM
ejde-44	171	3	2	2	NUM
ejde-44	171	4	d	d	NOUN
ejde-44	171	5	dt	dt	NOUN
ejde-44	171	6	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	171	7	x(t)|2	x(t)|2	PROPN
ejde-44	171	8	≤	≤	PROPN
ejde-44	171	9	−αx(t)(xα(t)−	−αx(t)(xα(t)−	PROPN
ejde-44	171	10	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	171	11	)	)	PUNCT
ejde-44	171	12	)	)	PUNCT
ejde-44	171	13	,	,	PUNCT
ejde-44	171	14	t	t	PROPN
ejde-44	171	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	171	16	r	r	PROPN
ejde-44	171	17	,	,	PUNCT
ejde-44	171	18	(	(	PUNCT
ejde-44	171	19	17	17	NUM
ejde-44	171	20	)	)	PUNCT
ejde-44	171	21	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	171	22	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	171	23	7	7	NUM
ejde-44	171	24	which	which	PRON
ejde-44	171	25	can	can	AUX
ejde-44	171	26	be	be	AUX
ejde-44	171	27	also	also	ADV
ejde-44	171	28	written	write	VERB
ejde-44	171	29	as	as	ADP
ejde-44	171	30	1	1	NUM
ejde-44	171	31	2	2	NUM
ejde-44	171	32	d	d	NOUN
ejde-44	171	33	dt	dt	X
ejde-44	171	34	{	{	PUNCT
ejde-44	171	35	e2αt|xα(t)−	e2αt|xα(t)−	PROPN
ejde-44	171	36	x(t)|2	x(t)|2	PROPN
ejde-44	171	37	}	}	PUNCT
ejde-44	171	38	≤	≤	NUM
ejde-44	171	39	αeαt|x(t)|	αeαt|x(t)|	VERB
ejde-44	171	40	·	·	PUNCT
ejde-44	171	41	eαt|xα(t)−	eαt|xα(t)−	VERB
ejde-44	171	42	x(t)|	x(t)|	PROPN
ejde-44	171	43	,	,	PUNCT
ejde-44	171	44	t	t	PROPN
ejde-44	171	45	∈	∈	PROPN
ejde-44	171	46	r.	r.	PROPN
ejde-44	171	47	(	(	PUNCT
ejde-44	171	48	18	18	NUM
ejde-44	171	49	)	)	PUNCT
ejde-44	171	50	therefore	therefore	ADV
ejde-44	171	51	,	,	PUNCT
ejde-44	171	52	by	by	ADP
ejde-44	171	53	integration	integration	NOUN
ejde-44	171	54	on	on	ADP
ejde-44	171	55	[	[	X
ejde-44	171	56	0	0	NUM
ejde-44	171	57	,	,	PUNCT
ejde-44	171	58	t	t	PROPN
ejde-44	171	59	]	]	X
ejde-44	171	60	we	we	PRON
ejde-44	171	61	deduce	deduce	VERB
ejde-44	171	62	1	1	NUM
ejde-44	171	63	2	2	NUM
ejde-44	171	64	{	{	PUNCT
ejde-44	171	65	eαt|xα(t)−	eαt|xα(t)−	PROPN
ejde-44	171	66	x(t)|}2	x(t)|}2	PROPN
ejde-44	171	67	≤	≤	NOUN
ejde-44	171	68	1	1	NUM
ejde-44	171	69	2	2	NUM
ejde-44	171	70	|xα(0)−	|xα(0)−	PROPN
ejde-44	171	71	x(0)|2	x(0)|2	PROPN
ejde-44	171	72	+	+	CCONJ
ejde-44	171	73	∫	∫	PROPN
ejde-44	171	74	t	t	PROPN
ejde-44	171	75	0	0	NUM
ejde-44	171	76	αeαs|x(s)|	αeαs|x(s)|	PROPN
ejde-44	171	77	·	·	PUNCT
ejde-44	171	78	eαs|xα(s)−	eαs|xα(s)−	PROPN
ejde-44	171	79	x(s)|ds	x(s)|ds	PROPN
ejde-44	171	80	.	.	PUNCT
ejde-44	172	1	(	(	PUNCT
ejde-44	172	2	19	19	NUM
ejde-44	172	3	)	)	PUNCT
ejde-44	172	4	using	use	VERB
ejde-44	172	5	bellman	bellman	PROPN
ejde-44	172	6	’s	’s	PART
ejde-44	172	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-44	172	8	,	,	PUNCT
ejde-44	172	9	formula	formula	NOUN
ejde-44	172	10	(	(	PUNCT
ejde-44	172	11	19	19	NUM
ejde-44	172	12	)	)	PUNCT
ejde-44	172	13	gives	give	VERB
ejde-44	172	14	eαt|xα(t)−	eαt|xα(t)−	PROPN
ejde-44	172	15	x(t)|	x(t)|	ADP
ejde-44	172	16	≤	≤	NUM
ejde-44	173	1	|xα(0)−	|xα(0)−	PROPN
ejde-44	173	2	x(0)|+	x(0)|+	NUM
ejde-44	174	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	175	1	t	t	PROPN
ejde-44	175	2	0	0	NUM
ejde-44	175	3	αeαs|x(s)|ds	αeαs|x(s)|ds	PROPN
ejde-44	175	4	,	,	PUNCT
ejde-44	175	5	t	t	PROPN
ejde-44	175	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	175	7	r.	r.	PROPN
ejde-44	175	8	(	(	PUNCT
ejde-44	175	9	20	20	NUM
ejde-44	175	10	)	)	PUNCT
ejde-44	175	11	let	let	VERB
ejde-44	175	12	us	we	PRON
ejde-44	175	13	consider	consider	VERB
ejde-44	175	14	α	α	PRON
ejde-44	175	15	>	>	X
ejde-44	175	16	0	0	NUM
ejde-44	176	1	fixed	fix	VERB
ejde-44	176	2	for	for	ADP
ejde-44	176	3	the	the	DET
ejde-44	176	4	moment	moment	NOUN
ejde-44	176	5	.	.	PUNCT
ejde-44	177	1	since	since	SCONJ
ejde-44	177	2	x	x	PRON
ejde-44	177	3	is	be	AUX
ejde-44	177	4	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	177	5	and	and	CCONJ
ejde-44	177	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	177	7	,	,	PUNCT
ejde-44	177	8	it	it	PRON
ejde-44	177	9	is	be	AUX
ejde-44	177	10	also	also	ADV
ejde-44	177	11	bounded	bound	VERB
ejde-44	177	12	and	and	CCONJ
ejde-44	177	13	therefore	therefore	ADV
ejde-44	177	14	from	from	ADP
ejde-44	177	15	(	(	PUNCT
ejde-44	177	16	20	20	NUM
ejde-44	177	17	)	)	PUNCT
ejde-44	177	18	we	we	PRON
ejde-44	177	19	get	get	VERB
ejde-44	177	20	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	177	21	x(t)|	x(t)|	ADV
ejde-44	177	22	≤	≤	NUM
ejde-44	177	23	e−αt|xα(0)−	e−αt|xα(0)−	PROPN
ejde-44	177	24	x(0)|+	x(0)|+	PROPN
ejde-44	177	25	(	(	PUNCT
ejde-44	177	26	1−	1−	NUM
ejde-44	177	27	e−αt)‖x‖l∞(r	e−αt)‖x‖l∞(r	PROPN
ejde-44	177	28	)	)	PUNCT
ejde-44	177	29	,	,	PUNCT
ejde-44	177	30	t	t	PROPN
ejde-44	177	31	∈	∈	PROPN
ejde-44	177	32	r.	r.	PROPN
ejde-44	177	33	(	(	PUNCT
ejde-44	177	34	21	21	NUM
ejde-44	177	35	)	)	PUNCT
ejde-44	177	36	by	by	ADP
ejde-44	177	37	periodicity	periodicity	NOUN
ejde-44	177	38	we	we	PRON
ejde-44	177	39	have	have	VERB
ejde-44	177	40	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	178	1	x(t)|	x(t)|	NOUN
ejde-44	178	2	=	=	SYM
ejde-44	178	3	|xα(nt	|xα(nt	PROPN
ejde-44	179	1	+	+	X
ejde-44	179	2	t)−	t)−	PROPN
ejde-44	179	3	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	180	1	+	+	CCONJ
ejde-44	180	2	t)|	t)|	ADJ
ejde-44	180	3	≤	≤	NUM
ejde-44	181	1	e−α(nt+t)|xα(0)−	e−α(nt+t)|xα(0)−	PROPN
ejde-44	181	2	x(0)|+	x(0)|+	PROPN
ejde-44	182	1	(	(	PUNCT
ejde-44	182	2	1−	1−	NUM
ejde-44	182	3	e−α(nt+t))‖x‖l∞(r	e−α(nt+t))‖x‖l∞(r	PROPN
ejde-44	182	4	)	)	PUNCT
ejde-44	183	1	≤	≤	PUNCT
ejde-44	184	1	e−α(nt+t)|xα(0)−	e−α(nt+t)|xα(0)−	PROPN
ejde-44	184	2	x(0)|+	x(0)|+	PROPN
ejde-44	185	1	‖x‖l∞(r	‖x‖l∞(r	NOUN
ejde-44	185	2	)	)	PUNCT
ejde-44	185	3	,	,	PUNCT
ejde-44	185	4	t	t	PROPN
ejde-44	185	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	185	6	r	r	PROPN
ejde-44	185	7	,	,	PUNCT
ejde-44	185	8	n	n	PRON
ejde-44	185	9	≥	≥	NOUN
ejde-44	185	10	0	0	NUM
ejde-44	185	11	.	.	PUNCT
ejde-44	186	1	by	by	ADP
ejde-44	186	2	passing	pass	VERB
ejde-44	186	3	to	to	ADP
ejde-44	186	4	the	the	DET
ejde-44	186	5	limit	limit	NOUN
ejde-44	186	6	as	as	ADP
ejde-44	186	7	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	186	8	,	,	PUNCT
ejde-44	186	9	we	we	PRON
ejde-44	186	10	deduce	deduce	VERB
ejde-44	186	11	that	that	PRON
ejde-44	186	12	(	(	PUNCT
ejde-44	186	13	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	186	14	is	be	AUX
ejde-44	186	15	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	186	16	bounded	bound	VERB
ejde-44	186	17	in	in	ADP
ejde-44	186	18	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	186	19	):	):	PUNCT
ejde-44	186	20	|xα(t)|	|xα(t)|	PROPN
ejde-44	186	21	≤	≤	PROPN
ejde-44	186	22	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	186	23	x(t)|+	x(t)|+	PUNCT
ejde-44	187	1	|x(t)|	|x(t)|	ADP
ejde-44	187	2	≤	≤	NOUN
ejde-44	187	3	2‖x‖l∞(r	2‖x‖l∞(r	NUM
ejde-44	187	4	)	)	PUNCT
ejde-44	187	5	,	,	PUNCT
ejde-44	187	6	t	t	PROPN
ejde-44	187	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	187	8	r	r	PROPN
ejde-44	187	9	,	,	PUNCT
ejde-44	187	10	α	α	NOUN
ejde-44	187	11	>	>	X
ejde-44	187	12	0	0	NUM
ejde-44	187	13	.	.	PUNCT
ejde-44	188	1	the	the	DET
ejde-44	188	2	derivatives	derivative	NOUN
ejde-44	188	3	x′α	x′α	PROPN
ejde-44	188	4	are	be	AUX
ejde-44	188	5	also	also	ADV
ejde-44	188	6	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	188	7	bounded	bound	VERB
ejde-44	188	8	in	in	ADP
ejde-44	188	9	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	188	10	)	)	PUNCT
ejde-44	188	11	for	for	ADP
ejde-44	188	12	α→	α→	PROPN
ejde-44	188	13	0	0	NUM
ejde-44	188	14	:	:	PUNCT
ejde-44	188	15	|x′α(t)|	|x′α(t)|	ADP
ejde-44	188	16	=	=	SYM
ejde-44	188	17	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	188	18	αxα(t)−	αxα(t)−	PROPN
ejde-44	188	19	g(xα(t))|	g(xα(t))|	PROPN
ejde-44	188	20	≤	≤	PROPN
ejde-44	188	21	‖f‖l∞(r	‖f‖l∞(r	X
ejde-44	188	22	)	)	PUNCT
ejde-44	189	1	+	+	SYM
ejde-44	189	2	2α‖x‖l∞(r	2α‖x‖l∞(r	NUM
ejde-44	189	3	)	)	PUNCT
ejde-44	189	4	+	+	SYM
ejde-44	189	5	max{g(2‖x‖l∞(r)),−g(−2‖x‖l∞(r	max{g(2‖x‖l∞(r)),−g(−2‖x‖l∞(r	NOUN
ejde-44	189	6	)	)	PUNCT
ejde-44	189	7	)	)	PUNCT
ejde-44	189	8	}	}	PUNCT
ejde-44	189	9	.	.	PUNCT
ejde-44	190	1	the	the	DET
ejde-44	190	2	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	190	3	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	190	4	of	of	ADP
ejde-44	190	5	(	(	PUNCT
ejde-44	190	6	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	190	7	follows	follow	VERB
ejde-44	190	8	now	now	ADV
ejde-44	190	9	from	from	ADP
ejde-44	190	10	the	the	DET
ejde-44	190	11	arzela	arzela	PROPN
ejde-44	190	12	-	-	PUNCT
ejde-44	190	13	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-44	190	14	’s	’s	PART
ejde-44	190	15	theorem	theorem	PROPN
ejde-44	190	16	.	.	PROPN
ejde-44	191	1	denote	denote	VERB
ejde-44	191	2	by	by	ADP
ejde-44	191	3	u	u	PRON
ejde-44	191	4	the	the	DET
ejde-44	191	5	limit	limit	NOUN
ejde-44	191	6	of	of	ADP
ejde-44	191	7	(	(	PUNCT
ejde-44	191	8	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	191	9	as	as	ADP
ejde-44	191	10	α→	α→	PROPN
ejde-44	191	11	0	0	X
ejde-44	191	12	.	.	PUNCT
ejde-44	192	1	obviously	obviously	ADV
ejde-44	192	2	u	u	PROPN
ejde-44	192	3	is	be	AUX
ejde-44	192	4	also	also	ADV
ejde-44	192	5	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	192	6	u(0	u(0	NOUN
ejde-44	192	7	)	)	PUNCT
ejde-44	193	1	=	=	PROPN
ejde-44	193	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	193	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	193	4	xα(0	xα(0	X
ejde-44	193	5	)	)	PUNCT
ejde-44	194	1	=	=	PROPN
ejde-44	194	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	194	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	194	4	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	194	5	)	)	PUNCT
ejde-44	195	1	=	=	SYM
ejde-44	195	2	u(t	u(t	NOUN
ejde-44	195	3	)	)	PUNCT
ejde-44	195	4	.	.	PUNCT
ejde-44	196	1	to	to	PART
ejde-44	196	2	prove	prove	VERB
ejde-44	196	3	that	that	SCONJ
ejde-44	196	4	u	u	NOUN
ejde-44	196	5	verifies	verifie	NOUN
ejde-44	196	6	(	(	PUNCT
ejde-44	196	7	3	3	NUM
ejde-44	196	8	)	)	PUNCT
ejde-44	196	9	,	,	PUNCT
ejde-44	196	10	we	we	PRON
ejde-44	196	11	write	write	VERB
ejde-44	196	12	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	196	13	)	)	PUNCT
ejde-44	196	14	=	=	SYM
ejde-44	196	15	xα(0	xα(0	X
ejde-44	196	16	)	)	PUNCT
ejde-44	197	1	+	+	CCONJ
ejde-44	197	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	197	3	t	t	PROPN
ejde-44	197	4	0	0	NUM
ejde-44	197	5	{	{	PUNCT
ejde-44	197	6	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	197	7	g(xα(s))−	g(xα(s))−	NOUN
ejde-44	197	8	αxα(s)}ds	αxα(s)}ds	NOUN
ejde-44	197	9	,	,	PUNCT
ejde-44	197	10	t	t	PROPN
ejde-44	197	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	197	12	r.	r.	PROPN
ejde-44	197	13	since	since	SCONJ
ejde-44	197	14	the	the	DET
ejde-44	197	15	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	197	16	is	be	AUX
ejde-44	197	17	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	197	18	,	,	PUNCT
ejde-44	197	19	by	by	ADP
ejde-44	197	20	passing	pass	VERB
ejde-44	197	21	to	to	ADP
ejde-44	197	22	the	the	DET
ejde-44	197	23	limit	limit	NOUN
ejde-44	197	24	for	for	ADP
ejde-44	197	25	α→	α→	PROPN
ejde-44	197	26	0	0	NUM
ejde-44	197	27	we	we	PRON
ejde-44	197	28	obtain	obtain	VERB
ejde-44	197	29	u(t	u(t	NOUN
ejde-44	197	30	)	)	PUNCT
ejde-44	197	31	=	=	SYM
ejde-44	197	32	u(0	u(0	NOUN
ejde-44	197	33	)	)	PUNCT
ejde-44	198	1	+	+	CCONJ
ejde-44	199	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	199	2	t	t	PROPN
ejde-44	199	3	0	0	NUM
ejde-44	199	4	{	{	PUNCT
ejde-44	199	5	f(s)−	f(s)−	ADP
ejde-44	199	6	g(u(s))}ds	g(u(s))}ds	NOUN
ejde-44	199	7	,	,	PUNCT
ejde-44	199	8	8	8	NUM
ejde-44	199	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	199	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	199	11	for	for	ADP
ejde-44	199	12	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	199	13	equations	equation	NOUN
ejde-44	199	14	and	and	CCONJ
ejde-44	199	15	hence	hence	ADV
ejde-44	199	16	u	u	X
ejde-44	199	17	∈	∈	PROPN
ejde-44	199	18	c1(r;r	c1(r;r	PROPN
ejde-44	199	19	)	)	PUNCT
ejde-44	199	20	and	and	CCONJ
ejde-44	199	21	u′(t	u′(t	NOUN
ejde-44	199	22	)	)	PUNCT
ejde-44	200	1	+	+	CCONJ
ejde-44	200	2	g(u(t	g(u(t	PROPN
ejde-44	200	3	)	)	PUNCT
ejde-44	200	4	)	)	PUNCT
ejde-44	201	1	=	=	SYM
ejde-44	201	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	201	3	)	)	PUNCT
ejde-44	201	4	,	,	PUNCT
ejde-44	201	5	t	t	PROPN
ejde-44	201	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	201	7	r.	r.	PROPN
ejde-44	201	8	from	from	ADP
ejde-44	201	9	the	the	DET
ejde-44	201	10	previous	previous	ADJ
ejde-44	201	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	201	12	we	we	PRON
ejde-44	201	13	conclude	conclude	VERB
ejde-44	201	14	that	that	SCONJ
ejde-44	201	15	the	the	DET
ejde-44	201	16	existence	existence	NOUN
ejde-44	201	17	of	of	ADP
ejde-44	201	18	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	201	19	solutions	solution	NOUN
ejde-44	201	20	for	for	ADP
ejde-44	201	21	(	(	PUNCT
ejde-44	201	22	3	3	NUM
ejde-44	201	23	)	)	PUNCT
ejde-44	201	24	reduces	reduce	VERB
ejde-44	201	25	to	to	ADP
ejde-44	201	26	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	201	27	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	201	28	in	in	ADP
ejde-44	201	29	l∞(r	l∞(r	NOUN
ejde-44	201	30	)	)	PUNCT
ejde-44	201	31	for	for	ADP
ejde-44	201	32	(	(	PUNCT
ejde-44	201	33	xα)α>0	xα)α>0	NOUN
ejde-44	201	34	.	.	PUNCT
ejde-44	202	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	202	2	2.10	2.10	NUM
ejde-44	202	3	assume	assume	VERB
ejde-44	202	4	that	that	SCONJ
ejde-44	202	5	g	g	PROPN
ejde-44	202	6	is	be	AUX
ejde-44	202	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	202	8	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-44	202	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	202	10	and	and	CCONJ
ejde-44	202	11	f	f	PROPN
ejde-44	202	12	is	be	AUX
ejde-44	202	13	t	t	NOUN
ejde-44	202	14	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	202	15	and	and	CCONJ
ejde-44	202	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	202	17	.	.	PUNCT
ejde-44	203	1	then	then	ADV
ejde-44	203	2	the	the	DET
ejde-44	203	3	following	follow	VERB
ejde-44	203	4	statements	statement	NOUN
ejde-44	203	5	are	be	AUX
ejde-44	203	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	203	7	:	:	PUNCT
ejde-44	203	8	(	(	PUNCT
ejde-44	203	9	i	i	NOUN
ejde-44	203	10	)	)	PUNCT
ejde-44	203	11	equation	equation	NOUN
ejde-44	203	12	(	(	PUNCT
ejde-44	203	13	3	3	X
ejde-44	203	14	)	)	PUNCT
ejde-44	203	15	has	have	VERB
ejde-44	203	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	203	17	solutions	solution	NOUN
ejde-44	203	18	;	;	PUNCT
ejde-44	203	19	(	(	PUNCT
ejde-44	203	20	ii	ii	NOUN
ejde-44	203	21	)	)	PUNCT
ejde-44	203	22	the	the	DET
ejde-44	203	23	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	203	24	(	(	PUNCT
ejde-44	203	25	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	203	26	is	be	AUX
ejde-44	203	27	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	203	28	bounded	bound	VERB
ejde-44	203	29	in	in	ADP
ejde-44	203	30	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	203	31	)	)	PUNCT
ejde-44	203	32	.	.	PUNCT
ejde-44	204	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	204	2	,	,	PUNCT
ejde-44	204	3	in	in	ADP
ejde-44	204	4	this	this	DET
ejde-44	204	5	case	case	NOUN
ejde-44	204	6	(	(	PUNCT
ejde-44	204	7	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	204	8	is	be	AUX
ejde-44	204	9	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	204	10	in	in	ADP
ejde-44	204	11	c0(r;r	c0(r;r	PROPN
ejde-44	204	12	)	)	PUNCT
ejde-44	204	13	and	and	CCONJ
ejde-44	204	14	the	the	DET
ejde-44	204	15	limit	limit	NOUN
ejde-44	204	16	is	be	AUX
ejde-44	204	17	a	a	DET
ejde-44	204	18	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	204	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	204	20	for	for	ADP
ejde-44	204	21	(	(	PUNCT
ejde-44	204	22	3	3	NUM
ejde-44	204	23	)	)	PUNCT
ejde-44	204	24	.	.	PUNCT
ejde-44	205	1	note	note	VERB
ejde-44	205	2	that	that	SCONJ
ejde-44	205	3	generally	generally	ADV
ejde-44	205	4	we	we	PRON
ejde-44	205	5	can	can	AUX
ejde-44	205	6	not	not	PART
ejde-44	205	7	estimate	estimate	VERB
ejde-44	205	8	(	(	PUNCT
ejde-44	205	9	xα)α>0	xα)α>0	X
ejde-44	205	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	205	11	in	in	ADP
ejde-44	205	12	l∞(r	l∞(r	NOUN
ejde-44	205	13	)	)	PUNCT
ejde-44	205	14	.	.	PUNCT
ejde-44	206	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	206	2	,	,	PUNCT
ejde-44	206	3	by	by	ADP
ejde-44	206	4	standard	standard	ADJ
ejde-44	206	5	computations	computation	NOUN
ejde-44	206	6	we	we	PRON
ejde-44	206	7	obtain	obtain	VERB
ejde-44	206	8	α(xα(t)−	α(xα(t)−	PROPN
ejde-44	206	9	u)2	u)2	NOUN
ejde-44	206	10	+	+	CCONJ
ejde-44	206	11	1	1	NUM
ejde-44	206	12	2	2	NUM
ejde-44	206	13	d	d	NOUN
ejde-44	206	14	dt	dt	X
ejde-44	206	15	(	(	PUNCT
ejde-44	206	16	xα(t)−	xα(t)−	PROPN
ejde-44	206	17	u)2	u)2	PROPN
ejde-44	206	18	≤	≤	PUNCT
ejde-44	206	19	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	206	20	αu−	αu−	PUNCT
ejde-44	206	21	g(u)|	g(u)|	PROPN
ejde-44	206	22	·	·	PUNCT
ejde-44	206	23	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	206	24	u|	u|	PROPN
ejde-44	206	25	,	,	PUNCT
ejde-44	206	26	t	t	PROPN
ejde-44	206	27	,	,	PUNCT
ejde-44	206	28	u	u	PROPN
ejde-44	206	29	∈	∈	PROPN
ejde-44	206	30	r	r	NOUN
ejde-44	206	31	and	and	CCONJ
ejde-44	206	32	therefore	therefore	ADV
ejde-44	206	33	1	1	NUM
ejde-44	206	34	2	2	NUM
ejde-44	206	35	d	d	NOUN
ejde-44	206	36	dt	dt	X
ejde-44	206	37	{	{	PUNCT
ejde-44	206	38	e2αt(xα(t)−	e2αt(xα(t)−	PROPN
ejde-44	206	39	u)2	u)2	PROPN
ejde-44	206	40	}	}	PUNCT
ejde-44	206	41	≤	≤	NUM
ejde-44	206	42	eαt|f(t)−	eαt|f(t)−	PROPN
ejde-44	206	43	αu−	αu−	PUNCT
ejde-44	206	44	g(u)|	g(u)|	PROPN
ejde-44	206	45	·	·	PUNCT
ejde-44	206	46	eαt|xα(t)−	eαt|xα(t)−	PROPN
ejde-44	206	47	u|	u|	PROPN
ejde-44	206	48	,	,	PUNCT
ejde-44	206	49	t	t	PROPN
ejde-44	206	50	,	,	PUNCT
ejde-44	206	51	u	u	PROPN
ejde-44	206	52	∈	∈	PROPN
ejde-44	206	53	r.	r.	NOUN
ejde-44	206	54	integration	integration	NOUN
ejde-44	206	55	on	on	ADP
ejde-44	206	56	[	[	X
ejde-44	206	57	t	t	PROPN
ejde-44	206	58	,	,	PUNCT
ejde-44	206	59	t+	t+	VERB
ejde-44	206	60	h	h	NOUN
ejde-44	206	61	]	]	X
ejde-44	206	62	,	,	PUNCT
ejde-44	206	63	we	we	PRON
ejde-44	206	64	get	get	VERB
ejde-44	206	65	1	1	NUM
ejde-44	206	66	2	2	NUM
ejde-44	206	67	e2α(t+h)(xα(t+	e2α(t+h)(xα(t+	NOUN
ejde-44	207	1	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	207	2	u)2	u)2	PROPN
ejde-44	207	3	≤	≤	NUM
ejde-44	207	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	207	5	t+h	t+h	X
ejde-44	207	6	t	t	PROPN
ejde-44	207	7	e2αs|f(s)−	e2αs|f(s)−	CCONJ
ejde-44	207	8	αu−	αu−	PUNCT
ejde-44	207	9	g(u)|	g(u)|	PROPN
ejde-44	207	10	·	·	PUNCT
ejde-44	207	11	|xα(s)−	|xα(s)−	X
ejde-44	207	12	u|ds	u|ds	X
ejde-44	208	1	+	+	CCONJ
ejde-44	208	2	1	1	NUM
ejde-44	208	3	2	2	NUM
ejde-44	208	4	e2αt(xα(t)−	e2αt(xα(t)−	PROPN
ejde-44	208	5	u)2	u)2	NOUN
ejde-44	208	6	,	,	PUNCT
ejde-44	208	7	t	t	X
ejde-44	208	8	<	<	X
ejde-44	208	9	t+	t+	NOUN
ejde-44	208	10	h	h	NOUN
ejde-44	208	11	,	,	PUNCT
ejde-44	208	12	u	u	PROPN
ejde-44	208	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	208	14	r.	r.	PROPN
ejde-44	208	15	now	now	ADV
ejde-44	208	16	by	by	ADP
ejde-44	208	17	using	use	VERB
ejde-44	208	18	bellman	bellman	NOUN
ejde-44	208	19	’s	’s	PART
ejde-44	208	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-44	208	21	we	we	PRON
ejde-44	208	22	deduce	deduce	VERB
ejde-44	208	23	|xα(t+h)−u|	|xα(t+h)−u|	ADJ
ejde-44	209	1	≤	≤	PUNCT
ejde-44	209	2	e−αh|xα(t)−u|+	e−αh|xα(t)−u|+	PROPN
ejde-44	209	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	209	4	t+h	t+h	X
ejde-44	209	5	t	t	PROPN
ejde-44	209	6	e−α(t+h−s)|f(s)−αu−g(u)|ds	e−α(t+h−s)|f(s)−αu−g(u)|ds	PROPN
ejde-44	209	7	,	,	PUNCT
ejde-44	209	8	t	t	X
ejde-44	209	9	<	<	X
ejde-44	209	10	t+h	t+h	PROPN
ejde-44	209	11	.	.	PUNCT
ejde-44	210	1	since	since	SCONJ
ejde-44	210	2	xα	xα	PROPN
ejde-44	210	3	is	be	AUX
ejde-44	210	4	t	t	NOUN
ejde-44	210	5	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	210	6	,	,	PUNCT
ejde-44	210	7	by	by	ADP
ejde-44	210	8	taking	take	VERB
ejde-44	210	9	h	h	NOUN
ejde-44	210	10	=	=	SYM
ejde-44	211	1	t	t	NOUN
ejde-44	211	2	we	we	PRON
ejde-44	211	3	can	can	AUX
ejde-44	211	4	write	write	VERB
ejde-44	211	5	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	211	6	u|	u|	PROPN
ejde-44	211	7	≤	≤	NUM
ejde-44	211	8	1	1	NUM
ejde-44	211	9	1−	1−	NUM
ejde-44	211	10	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	211	11	∫	∫	PROPN
ejde-44	211	12	t	t	PROPN
ejde-44	211	13	0	0	NUM
ejde-44	211	14	e−α(t−s)|f(s)−	e−α(t−s)|f(s)−	PROPN
ejde-44	211	15	αu−	αu−	PUNCT
ejde-44	211	16	g(u)|ds	g(u)|ds	PROPN
ejde-44	211	17	,	,	PUNCT
ejde-44	211	18	t	t	PROPN
ejde-44	211	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	211	20	r	r	NOUN
ejde-44	211	21	,	,	PUNCT
ejde-44	211	22	and	and	CCONJ
ejde-44	211	23	thus	thus	ADV
ejde-44	211	24	for	for	ADP
ejde-44	211	25	u	u	NOUN
ejde-44	211	26	=	=	SYM
ejde-44	211	27	0	0	NUM
ejde-44	211	28	we	we	PRON
ejde-44	211	29	obtain	obtain	VERB
ejde-44	211	30	‖xα‖l∞(r	‖xα‖l∞(r	NOUN
ejde-44	211	31	)	)	PUNCT
ejde-44	211	32	≤	≤	NUM
ejde-44	211	33	1	1	NUM
ejde-44	211	34	1−	1−	NUM
ejde-44	211	35	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	211	36	∫	∫	PROPN
ejde-44	211	37	t	t	PROPN
ejde-44	211	38	0	0	NUM
ejde-44	211	39	|f(s)−	|f(s)−	NUM
ejde-44	211	40	g(0)|ds	g(0)|ds	NOUN
ejde-44	211	41	∼	∼	NOUN
ejde-44	211	42	o	o	NOUN
ejde-44	211	43	(	(	PUNCT
ejde-44	211	44	1	1	NUM
ejde-44	211	45	α	α	NOUN
ejde-44	211	46	)	)	PUNCT
ejde-44	211	47	,	,	PUNCT
ejde-44	211	48	α	α	X
ejde-44	211	49	>	>	X
ejde-44	211	50	0	0	X
ejde-44	211	51	.	.	PUNCT
ejde-44	212	1	now	now	ADV
ejde-44	212	2	we	we	PRON
ejde-44	212	3	can	can	AUX
ejde-44	212	4	state	state	VERB
ejde-44	212	5	our	our	PRON
ejde-44	212	6	main	main	ADJ
ejde-44	212	7	existence	existence	NOUN
ejde-44	212	8	result	result	NOUN
ejde-44	212	9	.	.	PUNCT
ejde-44	213	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	213	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	213	3	9	9	NUM
ejde-44	213	4	theorem	theorem	VERB
ejde-44	213	5	2.11	2.11	NUM
ejde-44	213	6	assume	assume	VERB
ejde-44	213	7	that	that	SCONJ
ejde-44	213	8	g	g	PROPN
ejde-44	213	9	is	be	AUX
ejde-44	213	10	increasing	increase	VERB
ejde-44	213	11	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-44	213	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	213	13	,	,	PUNCT
ejde-44	213	14	and	and	CCONJ
ejde-44	213	15	f	f	PROPN
ejde-44	213	16	is	be	AUX
ejde-44	213	17	t	t	NOUN
ejde-44	213	18	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	213	19	and	and	CCONJ
ejde-44	213	20	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	213	21	.	.	PUNCT
ejde-44	214	1	then	then	ADV
ejde-44	214	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	214	3	(	(	PUNCT
ejde-44	214	4	3	3	X
ejde-44	214	5	)	)	PUNCT
ejde-44	214	6	has	have	VERB
ejde-44	214	7	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	214	8	solutions	solution	NOUN
ejde-44	214	9	if	if	SCONJ
ejde-44	214	10	and	and	CCONJ
ejde-44	214	11	only	only	ADV
ejde-44	214	12	if	if	SCONJ
ejde-44	214	13	〈	〈	PROPN
ejde-44	214	14	f	f	PROPN
ejde-44	214	15	〉	〉	NOUN
ejde-44	214	16	:	:	PUNCT
ejde-44	214	17	=	=	SYM
ejde-44	214	18	1	1	NUM
ejde-44	214	19	t	t	NOUN
ejde-44	214	20	∫	∫	PROPN
ejde-44	214	21	t	t	PROPN
ejde-44	214	22	0	0	NUM
ejde-44	214	23	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	214	24	∈	∈	PROPN
ejde-44	214	25	range(g	range(g	PROPN
ejde-44	214	26	)	)	PUNCT
ejde-44	214	27	(	(	PUNCT
ejde-44	214	28	there	there	PRON
ejde-44	214	29	is	be	VERB
ejde-44	214	30	x0	x0	PROPN
ejde-44	214	31	∈	∈	PROPN
ejde-44	214	32	r	r	NOUN
ejde-44	214	33	such	such	ADJ
ejde-44	214	34	that	that	SCONJ
ejde-44	214	35	〈	〈	PROPN
ejde-44	214	36	f	f	PROPN
ejde-44	214	37	〉	〉	PROPN
ejde-44	214	38	=	=	SYM
ejde-44	214	39	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	214	40	)	)	PUNCT
ejde-44	214	41	)	)	PUNCT
ejde-44	214	42	.	.	PUNCT
ejde-44	215	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	215	2	in	in	ADP
ejde-44	215	3	this	this	DET
ejde-44	215	4	case	case	NOUN
ejde-44	215	5	we	we	PRON
ejde-44	215	6	have	have	VERB
ejde-44	215	7	the	the	DET
ejde-44	215	8	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	215	9	‖x‖l∞(r	‖x‖l∞(r	NOUN
ejde-44	215	10	)	)	PUNCT
ejde-44	215	11	≤	≤	NOUN
ejde-44	215	12	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	215	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	215	14	t	t	PROPN
ejde-44	215	15	0	0	PROPN
ejde-44	215	16	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	215	17	〈	〈	PROPN
ejde-44	215	18	f〉|dt	f〉|dt	NOUN
ejde-44	215	19	,	,	PUNCT
ejde-44	215	20	∀	∀	PUNCT
ejde-44	216	1	x0	x0	PROPN
ejde-44	216	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	216	3	g−1〈f	g−1〈f	PROPN
ejde-44	216	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	216	5	,	,	PUNCT
ejde-44	216	6	and	and	CCONJ
ejde-44	216	7	the	the	DET
ejde-44	216	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	216	9	is	be	AUX
ejde-44	216	10	unique	unique	ADJ
ejde-44	216	11	if	if	SCONJ
ejde-44	216	12	and	and	CCONJ
ejde-44	216	13	only	only	ADV
ejde-44	216	14	if	if	SCONJ
ejde-44	216	15	int(o〈f	int(o〈f	NOUN
ejde-44	216	16	〉	〉	NOUN
ejde-44	216	17	)	)	PUNCT
ejde-44	216	18	=	=	NOUN
ejde-44	216	19	∅	∅	NOUN
ejde-44	216	20	or	or	CCONJ
ejde-44	216	21	diam(g−1〈f	diam(g−1〈f	NOUN
ejde-44	216	22	〉	〉	NOUN
ejde-44	216	23	)	)	PUNCT
ejde-44	216	24	≤	≤	NOUN
ejde-44	216	25	diam(range	diam(range	PROPN
ejde-44	216	26	∫	∫	PROPN
ejde-44	216	27	{	{	PUNCT
ejde-44	216	28	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	216	29	〈	〈	PROPN
ejde-44	216	30	f〉}dt	f〉}dt	PRON
ejde-44	216	31	)	)	PUNCT
ejde-44	216	32	.	.	PUNCT
ejde-44	217	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	217	2	the	the	DET
ejde-44	217	3	condition	condition	NOUN
ejde-44	217	4	is	be	AUX
ejde-44	217	5	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	217	6	(	(	PUNCT
ejde-44	217	7	see	see	VERB
ejde-44	217	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	217	9	2.6	2.6	NUM
ejde-44	217	10	)	)	PUNCT
ejde-44	217	11	.	.	PUNCT
ejde-44	218	1	we	we	PRON
ejde-44	218	2	will	will	AUX
ejde-44	218	3	prove	prove	VERB
ejde-44	218	4	now	now	ADV
ejde-44	218	5	that	that	SCONJ
ejde-44	218	6	it	it	PRON
ejde-44	218	7	is	be	AUX
ejde-44	218	8	also	also	ADV
ejde-44	218	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	218	10	.	.	PUNCT
ejde-44	219	1	let	let	VERB
ejde-44	219	2	us	we	PRON
ejde-44	219	3	consider	consider	VERB
ejde-44	219	4	the	the	DET
ejde-44	219	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	219	6	of	of	ADP
ejde-44	219	7	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	219	8	solutions	solution	NOUN
ejde-44	219	9	(	(	PUNCT
ejde-44	219	10	xα)α>0	xα)α>0	NUM
ejde-44	219	11	of	of	ADP
ejde-44	219	12	(	(	PUNCT
ejde-44	219	13	11	11	NUM
ejde-44	219	14	)	)	PUNCT
ejde-44	219	15	.	.	PUNCT
ejde-44	220	1	accordingly	accordingly	ADV
ejde-44	220	2	to	to	ADP
ejde-44	220	3	the	the	DET
ejde-44	220	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	220	5	2.10	2.10	NUM
ejde-44	220	6	we	we	PRON
ejde-44	220	7	need	need	VERB
ejde-44	220	8	to	to	PART
ejde-44	220	9	prove	prove	VERB
ejde-44	220	10	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	220	11	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	220	12	in	in	ADP
ejde-44	220	13	l∞(r	l∞(r	NOUN
ejde-44	220	14	)	)	PUNCT
ejde-44	220	15	for	for	ADP
ejde-44	220	16	(	(	PUNCT
ejde-44	220	17	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	220	18	.	.	PUNCT
ejde-44	221	1	since	since	SCONJ
ejde-44	221	2	xα	xα	PROPN
ejde-44	221	3	is	be	AUX
ejde-44	221	4	t	t	NOUN
ejde-44	221	5	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	221	6	by	by	ADP
ejde-44	221	7	integration	integration	NOUN
ejde-44	221	8	on	on	ADP
ejde-44	221	9	[	[	X
ejde-44	221	10	0	0	NUM
ejde-44	221	11	,	,	PUNCT
ejde-44	221	12	t	t	X
ejde-44	221	13	]	]	PUNCT
ejde-44	221	14	we	we	PRON
ejde-44	221	15	get	get	VERB
ejde-44	221	16	∫	∫	PROPN
ejde-44	221	17	t	t	PROPN
ejde-44	221	18	0	0	NUM
ejde-44	221	19	{	{	PUNCT
ejde-44	221	20	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	221	21	)	)	PUNCT
ejde-44	222	1	+	+	NUM
ejde-44	222	2	g(xα(t))}dt	g(xα(t))}dt	NOUN
ejde-44	222	3	=	=	SYM
ejde-44	223	1	t	t	PROPN
ejde-44	223	2	〈	〈	PROPN
ejde-44	223	3	f	f	PROPN
ejde-44	223	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	223	5	,	,	PUNCT
ejde-44	223	6	α	α	X
ejde-44	223	7	>	>	X
ejde-44	223	8	0	0	NUM
ejde-44	223	9	.	.	PUNCT
ejde-44	224	1	using	use	VERB
ejde-44	224	2	the	the	DET
ejde-44	224	3	average	average	ADJ
ejde-44	224	4	formula	formula	NOUN
ejde-44	224	5	for	for	ADP
ejde-44	224	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	224	7	functions	function	NOUN
ejde-44	224	8	we	we	PRON
ejde-44	224	9	have∫	have∫	VERB
ejde-44	224	10	t	t	NOUN
ejde-44	224	11	0	0	PUNCT
ejde-44	224	12	{	{	PUNCT
ejde-44	224	13	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	224	14	)	)	PUNCT
ejde-44	225	1	+	+	NUM
ejde-44	226	1	g(xα(t))}dt	g(xα(t))}dt	NOUN
ejde-44	227	1	=	=	SYM
ejde-44	228	1	t{αxα(tα	t{αxα(tα	NOUN
ejde-44	228	2	)	)	PUNCT
ejde-44	229	1	+	+	SYM
ejde-44	229	2	g(xα(tα	g(xα(tα	NOUN
ejde-44	229	3	)	)	PUNCT
ejde-44	229	4	)	)	PUNCT
ejde-44	229	5	}	}	PUNCT
ejde-44	229	6	,	,	PUNCT
ejde-44	229	7	tα	tα	PROPN
ejde-44	229	8	∈]0	∈]0	NOUN
ejde-44	229	9	,	,	PUNCT
ejde-44	229	10	t	t	PROPN
ejde-44	230	1	[	[	X
ejde-44	230	2	,	,	PUNCT
ejde-44	230	3	α	α	X
ejde-44	230	4	>	>	X
ejde-44	230	5	0	0	NUM
ejde-44	230	6	.	.	PUNCT
ejde-44	231	1	by	by	ADP
ejde-44	231	2	the	the	DET
ejde-44	231	3	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	231	4	there	there	PRON
ejde-44	231	5	is	be	VERB
ejde-44	231	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	231	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	231	8	r	r	NOUN
ejde-44	231	9	such	such	ADJ
ejde-44	231	10	that	that	SCONJ
ejde-44	231	11	〈	〈	PROPN
ejde-44	231	12	f	f	PROPN
ejde-44	231	13	〉	〉	PROPN
ejde-44	231	14	=	=	SYM
ejde-44	231	15	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	231	16	)	)	PUNCT
ejde-44	231	17	and	and	CCONJ
ejde-44	231	18	thus	thus	ADV
ejde-44	231	19	αxα(tα	αxα(tα	NUM
ejde-44	231	20	)	)	PUNCT
ejde-44	231	21	+	+	NUM
ejde-44	231	22	g(xα(tα	g(xα(tα	NOUN
ejde-44	231	23	)	)	PUNCT
ejde-44	231	24	)	)	PUNCT
ejde-44	232	1	=	=	SYM
ejde-44	232	2	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	232	3	)	)	PUNCT
ejde-44	232	4	,	,	PUNCT
ejde-44	232	5	α	α	X
ejde-44	232	6	>	>	X
ejde-44	232	7	0	0	NUM
ejde-44	232	8	.	.	PUNCT
ejde-44	233	1	(	(	PUNCT
ejde-44	233	2	22	22	NUM
ejde-44	233	3	)	)	PUNCT
ejde-44	233	4	since	since	SCONJ
ejde-44	233	5	g	g	PROPN
ejde-44	233	6	is	be	AUX
ejde-44	233	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	233	8	,	,	PUNCT
ejde-44	233	9	we	we	PRON
ejde-44	233	10	deduce	deduce	VERB
ejde-44	233	11	αxα(tα)[x0	αxα(tα)[x0	ADJ
ejde-44	233	12	−	−	NOUN
ejde-44	233	13	xα(tα	xα(tα	NUM
ejde-44	233	14	)	)	PUNCT
ejde-44	233	15	]	]	PUNCT
ejde-44	234	1	=	=	PUNCT
ejde-44	235	1	[	[	X
ejde-44	235	2	g(x0)−	g(x0)−	NOUN
ejde-44	235	3	g(xα(tα))][x0	g(xα(tα))][x0	NOUN
ejde-44	235	4	−	−	PROPN
ejde-44	235	5	xα(tα	xα(tα	PROPN
ejde-44	235	6	)	)	PUNCT
ejde-44	235	7	]	]	PUNCT
ejde-44	235	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	235	9	0	0	NUM
ejde-44	235	10	,	,	PUNCT
ejde-44	235	11	α	α	NOUN
ejde-44	235	12	>	>	X
ejde-44	235	13	0	0	NUM
ejde-44	235	14	,	,	PUNCT
ejde-44	235	15	and	and	CCONJ
ejde-44	235	16	thus	thus	ADV
ejde-44	235	17	|xα(tα)|2	|xα(tα)|2	NOUN
ejde-44	235	18	≤	≤	NUM
ejde-44	235	19	xα(tα)x0	xα(tα)x0	PROPN
ejde-44	235	20	≤	≤	PROPN
ejde-44	235	21	|xα(tα)||x0|	|xα(tα)||x0|	PROPN
ejde-44	235	22	.	.	PUNCT
ejde-44	236	1	finally	finally	ADV
ejde-44	236	2	we	we	PRON
ejde-44	236	3	deduce	deduce	VERB
ejde-44	236	4	that	that	PRON
ejde-44	236	5	xα(tα	xα(tα	NUM
ejde-44	236	6	)	)	PUNCT
ejde-44	236	7	is	be	AUX
ejde-44	236	8	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	236	9	bounded	bound	VERB
ejde-44	236	10	in	in	ADP
ejde-44	236	11	r	r	NOUN
ejde-44	236	12	:	:	PUNCT
ejde-44	236	13	|xα(tα)|	|xα(tα)|	VERB
ejde-44	236	14	≤	≤	PROPN
ejde-44	236	15	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-44	236	16	,	,	PUNCT
ejde-44	236	17	∀	∀	X
ejde-44	236	18	α	α	X
ejde-44	236	19	>	>	X
ejde-44	236	20	0	0	X
ejde-44	236	21	.	.	PUNCT
ejde-44	237	1	now	now	ADV
ejde-44	237	2	we	we	PRON
ejde-44	237	3	can	can	AUX
ejde-44	237	4	easily	easily	ADV
ejde-44	237	5	find	find	VERB
ejde-44	237	6	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	237	7	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	237	8	in	in	ADP
ejde-44	237	9	l∞(r	l∞(r	NOUN
ejde-44	237	10	)	)	PUNCT
ejde-44	237	11	for	for	ADP
ejde-44	237	12	(	(	PUNCT
ejde-44	237	13	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	237	14	.	.	PUNCT
ejde-44	238	1	let	let	VERB
ejde-44	238	2	us	we	PRON
ejde-44	238	3	take	take	VERB
ejde-44	238	4	in	in	ADP
ejde-44	238	5	the	the	DET
ejde-44	238	6	previous	previous	ADJ
ejde-44	238	7	calculus	calculus	NOUN
ejde-44	238	8	u	u	NOUN
ejde-44	238	9	=	=	NOUN
ejde-44	238	10	xα(tα)and	xα(tα)and	NOUN
ejde-44	238	11	integrate	integrate	VERB
ejde-44	238	12	on	on	ADP
ejde-44	238	13	[	[	X
ejde-44	238	14	tα	tα	PROPN
ejde-44	238	15	,	,	PUNCT
ejde-44	238	16	t	t	PROPN
ejde-44	238	17	]	]	X
ejde-44	238	18	:	:	PUNCT
ejde-44	238	19	1	1	NUM
ejde-44	238	20	2	2	NUM
ejde-44	238	21	e2αt(xα(t)−xα(tα))2	e2αt(xα(t)−xα(tα))2	PROPN
ejde-44	238	22	≤	≤	NUM
ejde-44	238	23	∫	∫	PROPN
ejde-44	238	24	t	t	PROPN
ejde-44	238	25	tα	tα	PROPN
ejde-44	238	26	e2αs|f(s)−αxα(tα)−g(xα(tα))|·|xα(s)−xα(tα)|ds	e2αs|f(s)−αxα(tα)−g(xα(tα))|·|xα(s)−xα(tα)|ds	PROPN
ejde-44	238	27	.	.	PUNCT
ejde-44	239	1	by	by	ADP
ejde-44	239	2	using	use	VERB
ejde-44	239	3	bellman	bellman	NOUN
ejde-44	239	4	’s	’s	PART
ejde-44	239	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-44	239	6	we	we	PRON
ejde-44	239	7	get	get	VERB
ejde-44	239	8	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	239	9	xα(tα)|	xα(tα)|	PROPN
ejde-44	239	10	≤	≤	NUM
ejde-44	240	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	240	2	t	t	PROPN
ejde-44	240	3	tα	tα	PROPN
ejde-44	240	4	e−α(t−s)|f(s)−	e−α(t−s)|f(s)−	NOUN
ejde-44	241	1	αxα(tα)−	αxα(tα)−	PROPN
ejde-44	241	2	g(xα(tα))|ds	g(xα(tα))|ds	NOUN
ejde-44	241	3	,	,	PUNCT
ejde-44	241	4	t	t	PROPN
ejde-44	241	5	>	>	X
ejde-44	241	6	tα	tα	PROPN
ejde-44	241	7	,	,	PUNCT
ejde-44	241	8	10	10	NUM
ejde-44	241	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	241	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	241	11	for	for	ADP
ejde-44	241	12	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	241	13	equations	equation	NOUN
ejde-44	241	14	and	and	CCONJ
ejde-44	241	15	hence	hence	ADV
ejde-44	241	16	by	by	ADP
ejde-44	241	17	(	(	PUNCT
ejde-44	241	18	22	22	NUM
ejde-44	241	19	)	)	PUNCT
ejde-44	241	20	we	we	PRON
ejde-44	241	21	deduce	deduce	VERB
ejde-44	241	22	|xα(t)|	|xα(t)|	PROPN
ejde-44	241	23	≤	≤	PROPN
ejde-44	242	1	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	242	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	242	3	t	t	PROPN
ejde-44	242	4	0	0	NUM
ejde-44	242	5	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	242	6	αxα(tα)−	αxα(tα)−	PROPN
ejde-44	242	7	g(xα(tα))|dt	g(xα(tα))|dt	NOUN
ejde-44	243	1	=	=	SYM
ejde-44	243	2	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	243	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	243	4	t	t	PROPN
ejde-44	243	5	0	0	PROPN
ejde-44	243	6	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	243	7	〈	〈	PROPN
ejde-44	243	8	f〉|dt	f〉|dt	NOUN
ejde-44	243	9	,	,	PUNCT
ejde-44	243	10	t	t	PROPN
ejde-44	243	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	243	12	r	r	PROPN
ejde-44	243	13	,	,	PUNCT
ejde-44	243	14	α	α	NOUN
ejde-44	243	15	>	>	X
ejde-44	243	16	0	0	NUM
ejde-44	243	17	.	.	PUNCT
ejde-44	244	1	(	(	PUNCT
ejde-44	244	2	23	23	NUM
ejde-44	244	3	)	)	PUNCT
ejde-44	244	4	now	now	ADV
ejde-44	244	5	by	by	ADP
ejde-44	244	6	passing	pass	VERB
ejde-44	244	7	to	to	ADP
ejde-44	244	8	the	the	DET
ejde-44	244	9	limit	limit	NOUN
ejde-44	244	10	in	in	ADP
ejde-44	244	11	(	(	PUNCT
ejde-44	244	12	23	23	NUM
ejde-44	244	13	)	)	PUNCT
ejde-44	244	14	we	we	PRON
ejde-44	244	15	get	get	VERB
ejde-44	244	16	|x(t)|	|x(t)|	PROPN
ejde-44	244	17	≤	≤	NOUN
ejde-44	244	18	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	244	19	∫	∫	PROPN
ejde-44	244	20	t	t	PROPN
ejde-44	244	21	0	0	PROPN
ejde-44	244	22	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	244	23	〈	〈	PROPN
ejde-44	244	24	f〉|dt	f〉|dt	NOUN
ejde-44	244	25	,	,	PUNCT
ejde-44	245	1	t	t	PROPN
ejde-44	245	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	245	3	r	r	NOUN
ejde-44	245	4	,	,	PUNCT
ejde-44	245	5	∀	∀	PUNCT
ejde-44	246	1	x0	x0	PROPN
ejde-44	246	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	246	3	g−1〈f	g−1〈f	PROPN
ejde-44	246	4	〉	〉	NOUN
ejde-44	246	5	.	.	PUNCT
ejde-44	247	1	2.3	2.3	NUM
ejde-44	247	2	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	247	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	247	4	in	in	ADP
ejde-44	247	5	this	this	DET
ejde-44	247	6	part	part	NOUN
ejde-44	247	7	we	we	PRON
ejde-44	247	8	generalize	generalize	VERB
ejde-44	247	9	the	the	DET
ejde-44	247	10	previous	previous	ADJ
ejde-44	247	11	existence	existence	NOUN
ejde-44	247	12	results	result	NOUN
ejde-44	247	13	for	for	ADP
ejde-44	247	14	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	247	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	247	16	.	.	PUNCT
ejde-44	248	1	we	we	PRON
ejde-44	248	2	will	will	AUX
ejde-44	248	3	see	see	VERB
ejde-44	248	4	that	that	SCONJ
ejde-44	248	5	similar	similar	ADJ
ejde-44	248	6	results	result	NOUN
ejde-44	248	7	hold	hold	VERB
ejde-44	248	8	.	.	PUNCT
ejde-44	249	1	let	let	VERB
ejde-44	249	2	us	we	PRON
ejde-44	249	3	introduce	introduce	VERB
ejde-44	249	4	the	the	DET
ejde-44	249	5	concept	concept	NOUN
ejde-44	249	6	of	of	ADP
ejde-44	249	7	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	249	8	solutions	solution	NOUN
ejde-44	249	9	.	.	PUNCT
ejde-44	250	1	definition	definition	NOUN
ejde-44	250	2	2.12	2.12	NUM
ejde-44	250	3	we	we	PRON
ejde-44	250	4	say	say	VERB
ejde-44	250	5	that	that	SCONJ
ejde-44	250	6	x	x	PUNCT
ejde-44	250	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	250	8	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	250	9	,	,	PUNCT
ejde-44	250	10	t	t	X
ejde-44	250	11	]	]	PUNCT
ejde-44	250	12	;	;	PUNCT
ejde-44	250	13	r	r	X
ejde-44	250	14	)	)	PUNCT
ejde-44	250	15	is	be	AUX
ejde-44	250	16	a	a	DET
ejde-44	250	17	sub	sub	ADJ
ejde-44	250	18	-	-	ADJ
ejde-44	250	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	250	20	solution	solution	NOUN
ejde-44	250	21	for	for	ADP
ejde-44	250	22	(	(	PUNCT
ejde-44	250	23	3	3	X
ejde-44	250	24	)	)	PUNCT
ejde-44	250	25	if	if	SCONJ
ejde-44	250	26	x′(t	x′(t	VERB
ejde-44	250	27	)	)	PUNCT
ejde-44	251	1	+	+	CCONJ
ejde-44	251	2	g(x(t	g(x(t	PROPN
ejde-44	251	3	)	)	PUNCT
ejde-44	251	4	)	)	PUNCT
ejde-44	252	1	=	=	SYM
ejde-44	252	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	252	3	)	)	PUNCT
ejde-44	252	4	,	,	PUNCT
ejde-44	252	5	t	t	PROPN
ejde-44	252	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	253	1	[	[	X
ejde-44	253	2	0	0	NUM
ejde-44	253	3	,	,	PUNCT
ejde-44	253	4	t	t	X
ejde-44	253	5	]	]	PUNCT
ejde-44	253	6	,	,	PUNCT
ejde-44	253	7	and	and	CCONJ
ejde-44	253	8	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	253	9	)	)	PUNCT
ejde-44	253	10	≤	≤	NOUN
ejde-44	253	11	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	253	12	)	)	PUNCT
ejde-44	253	13	.	.	PUNCT
ejde-44	254	1	note	note	VERB
ejde-44	254	2	that	that	SCONJ
ejde-44	254	3	a	a	DET
ejde-44	254	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	254	5	condition	condition	NOUN
ejde-44	254	6	for	for	ADP
ejde-44	254	7	the	the	DET
ejde-44	254	8	existence	existence	NOUN
ejde-44	254	9	is	be	AUX
ejde-44	254	10	given	give	VERB
ejde-44	254	11	next	next	ADV
ejde-44	254	12	.	.	PUNCT
ejde-44	255	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	255	2	2.13	2.13	NUM
ejde-44	255	3	if	if	SCONJ
ejde-44	255	4	equation	equation	NOUN
ejde-44	255	5	(	(	PUNCT
ejde-44	255	6	3	3	X
ejde-44	255	7	)	)	PUNCT
ejde-44	255	8	has	have	VERB
ejde-44	255	9	sub	sub	ADJ
ejde-44	255	10	-	-	ADJ
ejde-44	255	11	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	255	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	255	13	,	,	PUNCT
ejde-44	255	14	then	then	ADV
ejde-44	255	15	there	there	PRON
ejde-44	255	16	is	be	VERB
ejde-44	255	17	x0	x0	PROPN
ejde-44	255	18	∈	∈	PROPN
ejde-44	255	19	r	r	NOUN
ejde-44	255	20	such	such	ADJ
ejde-44	255	21	that	that	DET
ejde-44	255	22	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	255	23	)	)	PUNCT
ejde-44	255	24	≤	≤	PUNCT
ejde-44	256	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	256	2	f	f	PROPN
ejde-44	256	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	256	4	.	.	PUNCT
ejde-44	257	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	257	2	let	let	VERB
ejde-44	257	3	x	x	PRON
ejde-44	257	4	be	be	AUX
ejde-44	257	5	a	a	DET
ejde-44	257	6	sub	sub	ADJ
ejde-44	257	7	-	-	ADJ
ejde-44	257	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	257	9	solution	solution	NOUN
ejde-44	257	10	of	of	ADP
ejde-44	257	11	(	(	PUNCT
ejde-44	257	12	3	3	NUM
ejde-44	257	13	)	)	PUNCT
ejde-44	257	14	.	.	PUNCT
ejde-44	258	1	by	by	ADP
ejde-44	258	2	integration	integration	NOUN
ejde-44	258	3	on	on	ADP
ejde-44	258	4	[	[	X
ejde-44	258	5	0	0	NUM
ejde-44	258	6	,	,	PUNCT
ejde-44	258	7	t	t	PROPN
ejde-44	258	8	]	]	PUNCT
ejde-44	258	9	we	we	PRON
ejde-44	258	10	find	find	VERB
ejde-44	258	11	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	258	12	)	)	PUNCT
ejde-44	258	13	−	−	PROPN
ejde-44	258	14	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	258	15	)	)	PUNCT
ejde-44	259	1	+	+	CCONJ
ejde-44	259	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	259	3	t	t	PROPN
ejde-44	259	4	0	0	NUM
ejde-44	259	5	g(x(t))dt	g(x(t))dt	PROPN
ejde-44	259	6	=	=	SYM
ejde-44	259	7	t	t	PROPN
ejde-44	259	8	〈	〈	PROPN
ejde-44	259	9	f	f	PROPN
ejde-44	259	10	〉	〉	PROPN
ejde-44	259	11	.	.	PUNCT
ejde-44	260	1	since	since	SCONJ
ejde-44	260	2	g	g	PROPN
ejde-44	260	3	◦	◦	NOUN
ejde-44	260	4	x	x	PUNCT
ejde-44	260	5	is	be	AUX
ejde-44	260	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	260	7	,	,	PUNCT
ejde-44	260	8	there	there	PRON
ejde-44	260	9	is	be	VERB
ejde-44	260	10	τ	τ	PROPN
ejde-44	260	11	∈]0	∈]0	X
ejde-44	260	12	,	,	PUNCT
ejde-44	260	13	t	t	PROPN
ejde-44	260	14	[	[	PUNCT
ejde-44	260	15	such	such	ADJ
ejde-44	260	16	that	that	DET
ejde-44	260	17	g(x(τ	g(x(τ	PROPN
ejde-44	260	18	)	)	PUNCT
ejde-44	260	19	)	)	PUNCT
ejde-44	261	1	=	=	PUNCT
ejde-44	262	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	262	2	f	f	NOUN
ejde-44	262	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	262	4	−	−	PROPN
ejde-44	262	5	1	1	NUM
ejde-44	262	6	t	t	NOUN
ejde-44	262	7	(	(	PUNCT
ejde-44	262	8	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	262	9	)	)	PUNCT
ejde-44	262	10	−	−	PROPN
ejde-44	262	11	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	262	12	)	)	PUNCT
ejde-44	262	13	)	)	PUNCT
ejde-44	263	1	≤	≤	PUNCT
ejde-44	264	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	264	2	f	f	PROPN
ejde-44	264	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	264	4	.	.	PUNCT
ejde-44	265	1	similarly	similarly	ADV
ejde-44	265	2	we	we	PRON
ejde-44	265	3	define	define	VERB
ejde-44	265	4	the	the	DET
ejde-44	265	5	notion	notion	NOUN
ejde-44	265	6	of	of	ADP
ejde-44	265	7	super	super	ADJ
ejde-44	265	8	-	-	ADJ
ejde-44	265	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	265	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	265	11	.	.	PUNCT
ejde-44	266	1	definition	definition	NOUN
ejde-44	266	2	2.14	2.14	NUM
ejde-44	266	3	we	we	PRON
ejde-44	266	4	say	say	VERB
ejde-44	266	5	that	that	SCONJ
ejde-44	266	6	y	y	PROPN
ejde-44	266	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	266	8	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	266	9	,	,	PUNCT
ejde-44	266	10	t	t	X
ejde-44	266	11	]	]	PUNCT
ejde-44	266	12	;	;	PUNCT
ejde-44	266	13	r	r	X
ejde-44	266	14	)	)	PUNCT
ejde-44	266	15	is	be	AUX
ejde-44	266	16	a	a	DET
ejde-44	266	17	super	super	ADJ
ejde-44	266	18	-	-	ADJ
ejde-44	266	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	266	20	solution	solution	NOUN
ejde-44	266	21	for	for	ADP
ejde-44	266	22	(	(	PUNCT
ejde-44	266	23	3	3	X
ejde-44	266	24	)	)	PUNCT
ejde-44	266	25	if	if	SCONJ
ejde-44	266	26	y′(t	y′(t	PROPN
ejde-44	266	27	)	)	PUNCT
ejde-44	267	1	+	+	CCONJ
ejde-44	267	2	g(y(t	g(y(t	PROPN
ejde-44	267	3	)	)	PUNCT
ejde-44	267	4	)	)	PUNCT
ejde-44	268	1	=	=	SYM
ejde-44	268	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	268	3	)	)	PUNCT
ejde-44	268	4	,	,	PUNCT
ejde-44	268	5	t[0	t[0	PROPN
ejde-44	268	6	,	,	PUNCT
ejde-44	268	7	t	t	X
ejde-44	268	8	]	]	PUNCT
ejde-44	268	9	,	,	PUNCT
ejde-44	268	10	and	and	CCONJ
ejde-44	268	11	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	268	12	)	)	PUNCT
ejde-44	268	13	≥	≥	NOUN
ejde-44	268	14	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	268	15	)	)	PUNCT
ejde-44	268	16	.	.	PUNCT
ejde-44	269	1	the	the	DET
ejde-44	269	2	analogous	analogous	ADJ
ejde-44	269	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	269	4	condition	condition	NOUN
ejde-44	269	5	holds	hold	VERB
ejde-44	269	6	.	.	PUNCT
ejde-44	270	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	270	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	270	3	11	11	NUM
ejde-44	270	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	270	5	2.15	2.15	NUM
ejde-44	270	6	if	if	SCONJ
ejde-44	270	7	equation	equation	NOUN
ejde-44	270	8	(	(	PUNCT
ejde-44	270	9	3	3	X
ejde-44	270	10	)	)	PUNCT
ejde-44	270	11	has	have	VERB
ejde-44	270	12	super	super	ADJ
ejde-44	270	13	-	-	ADJ
ejde-44	270	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	270	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	270	16	,	,	PUNCT
ejde-44	270	17	then	then	ADV
ejde-44	270	18	there	there	PRON
ejde-44	270	19	is	be	VERB
ejde-44	270	20	y0	y0	PROPN
ejde-44	270	21	∈	∈	NOUN
ejde-44	270	22	r	r	NOUN
ejde-44	270	23	such	such	ADJ
ejde-44	270	24	that	that	DET
ejde-44	270	25	g(y0	g(y0	NOUN
ejde-44	270	26	)	)	PUNCT
ejde-44	270	27	≥	≥	NOUN
ejde-44	270	28	〈	〈	PROPN
ejde-44	270	29	f	f	PROPN
ejde-44	270	30	〉	〉	PROPN
ejde-44	270	31	.	.	PUNCT
ejde-44	271	1	remark	remark	VERB
ejde-44	271	2	2.16	2.16	NUM
ejde-44	271	3	it	it	PRON
ejde-44	271	4	is	be	AUX
ejde-44	271	5	clear	clear	ADJ
ejde-44	271	6	that	that	SCONJ
ejde-44	271	7	x	x	PRON
ejde-44	271	8	is	be	AUX
ejde-44	271	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	271	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	271	11	for	for	ADP
ejde-44	271	12	(	(	PUNCT
ejde-44	271	13	3	3	X
ejde-44	271	14	)	)	PUNCT
ejde-44	272	1	if	if	SCONJ
ejde-44	272	2	and	and	CCONJ
ejde-44	272	3	only	only	ADV
ejde-44	272	4	if	if	SCONJ
ejde-44	272	5	is	be	AUX
ejde-44	272	6	in	in	ADP
ejde-44	272	7	the	the	DET
ejde-44	272	8	same	same	ADJ
ejde-44	272	9	time	time	NOUN
ejde-44	272	10	sub	sub	ADJ
ejde-44	272	11	-	-	ADJ
ejde-44	272	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	272	13	and	and	CCONJ
ejde-44	272	14	super	super	ADJ
ejde-44	272	15	-	-	ADJ
ejde-44	272	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	272	17	solution	solution	NOUN
ejde-44	272	18	.	.	PUNCT
ejde-44	273	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	273	2	there	there	PRON
ejde-44	273	3	are	be	VERB
ejde-44	273	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	273	5	,	,	PUNCT
ejde-44	273	6	y0	y0	NOUN
ejde-44	273	7	∈	∈	NOUN
ejde-44	273	8	r	r	NOUN
ejde-44	273	9	such	such	ADJ
ejde-44	273	10	that	that	DET
ejde-44	273	11	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	273	12	)	)	PUNCT
ejde-44	273	13	≤	≤	PUNCT
ejde-44	274	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	274	2	f	f	PROPN
ejde-44	274	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	274	4	≤	≤	NUM
ejde-44	274	5	g(y0	g(y0	NOUN
ejde-44	274	6	)	)	PUNCT
ejde-44	274	7	.	.	PUNCT
ejde-44	275	1	since	since	SCONJ
ejde-44	275	2	g	g	PROPN
ejde-44	275	3	is	be	AUX
ejde-44	275	4	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	275	5	,	,	PUNCT
ejde-44	275	6	we	we	PRON
ejde-44	275	7	deduce	deduce	VERB
ejde-44	275	8	that	that	SCONJ
ejde-44	275	9	〈	〈	PROPN
ejde-44	275	10	f	f	PROPN
ejde-44	275	11	〉	〉	PROPN
ejde-44	275	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	275	13	range(g	range(g	PROPN
ejde-44	275	14	)	)	PUNCT
ejde-44	275	15	which	which	PRON
ejde-44	275	16	is	be	AUX
ejde-44	275	17	exactly	exactly	ADV
ejde-44	275	18	the	the	DET
ejde-44	275	19	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	275	20	condition	condition	NOUN
ejde-44	275	21	given	give	VERB
ejde-44	275	22	by	by	ADP
ejde-44	275	23	the	the	DET
ejde-44	275	24	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	275	25	2.6	2.6	NUM
ejde-44	275	26	.	.	PUNCT
ejde-44	276	1	as	as	SCONJ
ejde-44	276	2	before	before	SCONJ
ejde-44	276	3	we	we	PRON
ejde-44	276	4	will	will	AUX
ejde-44	276	5	prove	prove	VERB
ejde-44	276	6	that	that	SCONJ
ejde-44	276	7	the	the	DET
ejde-44	276	8	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	276	9	condition	condition	NOUN
ejde-44	276	10	of	of	ADP
ejde-44	276	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	276	12	2.13	2.13	NUM
ejde-44	276	13	is	be	AUX
ejde-44	276	14	also	also	ADV
ejde-44	276	15	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	276	16	for	for	ADP
ejde-44	276	17	the	the	DET
ejde-44	276	18	existence	existence	NOUN
ejde-44	276	19	of	of	ADP
ejde-44	276	20	sub	sub	ADJ
ejde-44	276	21	-	-	ADJ
ejde-44	276	22	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	276	23	solutions	solution	NOUN
ejde-44	276	24	.	.	PUNCT
ejde-44	277	1	theorem	theorem	VERB
ejde-44	277	2	2.17	2.17	NUM
ejde-44	277	3	assume	assume	VERB
ejde-44	277	4	that	that	SCONJ
ejde-44	277	5	g	g	PROPN
ejde-44	277	6	is	be	AUX
ejde-44	277	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	277	8	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-44	277	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	277	10	and	and	CCONJ
ejde-44	277	11	f	f	PROPN
ejde-44	277	12	is	be	AUX
ejde-44	277	13	t	t	PROPN
ejde-44	277	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	277	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	277	16	.	.	PUNCT
ejde-44	278	1	then	then	ADV
ejde-44	278	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	278	3	(	(	PUNCT
ejde-44	278	4	3	3	X
ejde-44	278	5	)	)	PUNCT
ejde-44	278	6	has	have	VERB
ejde-44	278	7	sub	sub	ADJ
ejde-44	278	8	-	-	ADJ
ejde-44	278	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	278	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	278	11	if	if	SCONJ
ejde-44	279	1	and	and	CCONJ
ejde-44	279	2	only	only	ADV
ejde-44	279	3	if	if	SCONJ
ejde-44	279	4	there	there	PRON
ejde-44	279	5	is	be	VERB
ejde-44	279	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	279	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	279	8	r	r	NOUN
ejde-44	279	9	such	such	ADJ
ejde-44	279	10	that	that	DET
ejde-44	279	11	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	279	12	)	)	PUNCT
ejde-44	279	13	≤	≤	PUNCT
ejde-44	280	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	280	2	f	f	PROPN
ejde-44	280	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	280	4	.	.	PUNCT
ejde-44	281	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	281	2	the	the	DET
ejde-44	281	3	condition	condition	NOUN
ejde-44	281	4	is	be	AUX
ejde-44	281	5	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	281	6	(	(	PUNCT
ejde-44	281	7	see	see	VERB
ejde-44	281	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	281	9	2.13	2.13	NUM
ejde-44	281	10	)	)	PUNCT
ejde-44	281	11	.	.	PUNCT
ejde-44	282	1	let	let	VERB
ejde-44	282	2	us	we	PRON
ejde-44	282	3	prove	prove	VERB
ejde-44	282	4	now	now	ADV
ejde-44	282	5	that	that	SCONJ
ejde-44	282	6	it	it	PRON
ejde-44	282	7	is	be	AUX
ejde-44	282	8	also	also	ADV
ejde-44	282	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	282	10	.	.	PUNCT
ejde-44	283	1	consider	consider	VERB
ejde-44	283	2	z0	z0	PROPN
ejde-44	283	3	an	an	DET
ejde-44	283	4	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-44	283	5	initial	initial	ADJ
ejde-44	283	6	data	datum	NOUN
ejde-44	283	7	and	and	CCONJ
ejde-44	283	8	denote	denote	VERB
ejde-44	283	9	by	by	ADP
ejde-44	283	10	x	x	X
ejde-44	283	11	:	:	PUNCT
ejde-44	284	1	[	[	X
ejde-44	284	2	0,∞[→	0,∞[→	NOUN
ejde-44	284	3	r	r	NOUN
ejde-44	284	4	the	the	DET
ejde-44	284	5	solution	solution	NOUN
ejde-44	284	6	for	for	ADP
ejde-44	284	7	(	(	PUNCT
ejde-44	284	8	3	3	NUM
ejde-44	284	9	)	)	PUNCT
ejde-44	284	10	with	with	ADP
ejde-44	284	11	the	the	DET
ejde-44	284	12	initial	initial	ADJ
ejde-44	284	13	condition	condition	NOUN
ejde-44	284	14	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	284	15	)	)	PUNCT
ejde-44	284	16	=	=	SYM
ejde-44	284	17	z0	z0	PROPN
ejde-44	284	18	.	.	PUNCT
ejde-44	285	1	if	if	SCONJ
ejde-44	285	2	there	there	PRON
ejde-44	285	3	is	be	VERB
ejde-44	285	4	t0	t0	PROPN
ejde-44	285	5	≥	≥	NUM
ejde-44	285	6	0	0	NUM
ejde-44	285	7	such	such	ADJ
ejde-44	285	8	that	that	DET
ejde-44	285	9	x(t0	x(t0	NOUN
ejde-44	285	10	)	)	PUNCT
ejde-44	285	11	≤	≤	NUM
ejde-44	285	12	x(t0	x(t0	PROPN
ejde-44	286	1	+	+	CCONJ
ejde-44	286	2	t	t	PROPN
ejde-44	286	3	)	)	PUNCT
ejde-44	286	4	,	,	PUNCT
ejde-44	286	5	thus	thus	ADV
ejde-44	286	6	xt0(t	xt0(t	PROPN
ejde-44	286	7	)	)	PUNCT
ejde-44	287	1	:	:	PUNCT
ejde-44	287	2	=	=	SYM
ejde-44	287	3	x(t0	x(t0	PROPN
ejde-44	287	4	+	+	CCONJ
ejde-44	287	5	t	t	PROPN
ejde-44	287	6	)	)	PUNCT
ejde-44	287	7	,	,	PUNCT
ejde-44	287	8	t	t	PROPN
ejde-44	287	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	288	1	[	[	X
ejde-44	288	2	0	0	NUM
ejde-44	288	3	,	,	PUNCT
ejde-44	288	4	t	t	PROPN
ejde-44	288	5	]	]	PUNCT
ejde-44	288	6	is	be	AUX
ejde-44	288	7	a	a	DET
ejde-44	288	8	sub	sub	ADJ
ejde-44	288	9	-	-	ADJ
ejde-44	288	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	288	11	solution	solution	NOUN
ejde-44	288	12	.	.	PUNCT
ejde-44	289	1	suppose	suppose	VERB
ejde-44	289	2	now	now	ADV
ejde-44	289	3	that	that	SCONJ
ejde-44	289	4	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	289	5	)	)	PUNCT
ejde-44	289	6	>	>	X
ejde-44	289	7	x(t+t	x(t+t	PROPN
ejde-44	289	8	)	)	PUNCT
ejde-44	289	9	,	,	PUNCT
ejde-44	289	10	∀t	∀t	PROPN
ejde-44	289	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	289	12	r.	r.	NOUN
ejde-44	289	13	by	by	ADP
ejde-44	289	14	integration	integration	NOUN
ejde-44	289	15	on	on	ADP
ejde-44	289	16	[	[	X
ejde-44	289	17	nt	nt	INTJ
ejde-44	289	18	,	,	PUNCT
ejde-44	289	19	(	(	PUNCT
ejde-44	289	20	n+	n+	NUM
ejde-44	289	21	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	289	22	]	]	PUNCT
ejde-44	289	23	,	,	PUNCT
ejde-44	289	24	n	n	X
ejde-44	289	25	≥	≥	NOUN
ejde-44	289	26	0	0	NUM
ejde-44	289	27	we	we	PRON
ejde-44	289	28	get	get	VERB
ejde-44	289	29	x((n+	x((n+	PROPN
ejde-44	289	30	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	289	31	)	)	PUNCT
ejde-44	290	1	−	−	PROPN
ejde-44	290	2	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	290	3	)	)	PUNCT
ejde-44	291	1	+	+	CCONJ
ejde-44	291	2	∫	∫	AUX
ejde-44	291	3	t	t	NOUN
ejde-44	291	4	0	0	NUM
ejde-44	291	5	g(x(nt	g(x(nt	ADJ
ejde-44	291	6	+	+	CCONJ
ejde-44	291	7	t))dt	t))dt	PROPN
ejde-44	291	8	=	=	SYM
ejde-44	291	9	t	t	PROPN
ejde-44	291	10	〈	〈	PROPN
ejde-44	291	11	f	f	PROPN
ejde-44	291	12	〉	〉	PROPN
ejde-44	291	13	,	,	PUNCT
ejde-44	291	14	n	n	PRON
ejde-44	291	15	≥	≥	NOUN
ejde-44	291	16	0	0	NUM
ejde-44	291	17	.	.	PUNCT
ejde-44	292	1	using	use	VERB
ejde-44	292	2	the	the	DET
ejde-44	292	3	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	292	4	and	and	CCONJ
ejde-44	292	5	the	the	DET
ejde-44	292	6	average	average	ADJ
ejde-44	292	7	formula	formula	NOUN
ejde-44	292	8	we	we	PRON
ejde-44	292	9	have	have	VERB
ejde-44	292	10	g(x(nt	g(x(nt	NOUN
ejde-44	292	11	+	+	CCONJ
ejde-44	292	12	τn	τn	NOUN
ejde-44	292	13	)	)	PUNCT
ejde-44	292	14	)	)	PUNCT
ejde-44	293	1	=	=	PUNCT
ejde-44	294	1	〈	〈	NOUN
ejde-44	294	2	f〉+	f〉+	PROPN
ejde-44	294	3	1	1	NUM
ejde-44	294	4	t	t	NOUN
ejde-44	294	5	{	{	PUNCT
ejde-44	294	6	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	294	7	)	)	PUNCT
ejde-44	294	8	−	−	PROPN
ejde-44	294	9	x((n+	x((n+	PROPN
ejde-44	294	10	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	294	11	)	)	PUNCT
ejde-44	294	12	}	}	PUNCT
ejde-44	294	13	>	>	X
ejde-44	294	14	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	294	15	)	)	PUNCT
ejde-44	294	16	,	,	PUNCT
ejde-44	294	17	for	for	ADP
ejde-44	294	18	τn	τn	ADP
ejde-44	294	19	∈]0	∈]0	NOUN
ejde-44	294	20	,	,	PUNCT
ejde-44	294	21	t	t	X
ejde-44	294	22	[	[	PUNCT
ejde-44	294	23	and	and	CCONJ
ejde-44	294	24	n	n	PRON
ejde-44	294	25	≥	≥	NOUN
ejde-44	294	26	0	0	NUM
ejde-44	294	27	.	.	PUNCT
ejde-44	295	1	since	since	SCONJ
ejde-44	295	2	g	g	PROPN
ejde-44	295	3	is	be	AUX
ejde-44	295	4	increasing	increase	VERB
ejde-44	295	5	we	we	PRON
ejde-44	295	6	deduce	deduce	VERB
ejde-44	295	7	that	that	SCONJ
ejde-44	295	8	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	296	1	+	+	CCONJ
ejde-44	297	1	τn	τn	X
ejde-44	297	2	)	)	PUNCT
ejde-44	297	3	>	>	X
ejde-44	297	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	297	5	,	,	PUNCT
ejde-44	297	6	n	n	PRON
ejde-44	297	7	≥	≥	NOUN
ejde-44	297	8	0	0	NUM
ejde-44	297	9	.	.	PUNCT
ejde-44	298	1	we	we	PRON
ejde-44	298	2	have	have	VERB
ejde-44	298	3	also	also	ADV
ejde-44	298	4	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	299	1	+	+	CCONJ
ejde-44	299	2	τn	τn	NOUN
ejde-44	299	3	)	)	PUNCT
ejde-44	299	4	≤	≤	NUM
ejde-44	299	5	x((n	x((n	PUNCT
ejde-44	300	1	−	−	PROPN
ejde-44	301	1	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	301	2	+	+	CCONJ
ejde-44	301	3	τn	τn	NOUN
ejde-44	301	4	)	)	PUNCT
ejde-44	301	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	301	6	·	·	PUNCT
ejde-44	301	7	·	·	PUNCT
ejde-44	301	8	·	·	PUNCT
ejde-44	302	1	≤	≤	NUM
ejde-44	302	2	x(τn	x(τn	PROPN
ejde-44	302	3	)	)	PUNCT
ejde-44	302	4	≤	≤	NOUN
ejde-44	302	5	supt∈[0,t	supt∈[0,t	NOUN
ejde-44	302	6	]	]	PUNCT
ejde-44	303	1	|x(t)|	|x(t)|	PROPN
ejde-44	303	2	and	and	CCONJ
ejde-44	303	3	thus	thus	ADV
ejde-44	303	4	we	we	PRON
ejde-44	303	5	deduce	deduce	VERB
ejde-44	303	6	that	that	PRON
ejde-44	303	7	(	(	PUNCT
ejde-44	303	8	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	303	9	+	+	CCONJ
ejde-44	303	10	τn))n≥0	τn))n≥0	PUNCT
ejde-44	303	11	is	be	AUX
ejde-44	303	12	bounded	bound	VERB
ejde-44	303	13	:	:	PUNCT
ejde-44	303	14	|x(nt	|x(nt	PROPN
ejde-44	303	15	+	+	CCONJ
ejde-44	303	16	τn)|	τn)|	NOUN
ejde-44	303	17	≤	≤	ADJ
ejde-44	303	18	k	k	PROPN
ejde-44	303	19	,	,	PUNCT
ejde-44	303	20	n	n	PRON
ejde-44	303	21	≥	≥	NOUN
ejde-44	303	22	0	0	NUM
ejde-44	303	23	.	.	PUNCT
ejde-44	304	1	consider	consider	VERB
ejde-44	304	2	now	now	ADV
ejde-44	304	3	the	the	DET
ejde-44	304	4	functions	function	NOUN
ejde-44	304	5	xn	xn	PUNCT
ejde-44	304	6	:	:	PUNCT
ejde-44	305	1	[	[	X
ejde-44	305	2	0	0	NUM
ejde-44	305	3	,	,	PUNCT
ejde-44	305	4	t	t	X
ejde-44	305	5	]	]	PUNCT
ejde-44	305	6	→	→	SYM
ejde-44	305	7	r	r	NOUN
ejde-44	305	8	given	give	VERB
ejde-44	305	9	by	by	ADP
ejde-44	305	10	xn(t	xn(t	NOUN
ejde-44	305	11	)	)	PUNCT
ejde-44	306	1	=	=	PUNCT
ejde-44	307	1	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	307	2	+	+	NUM
ejde-44	307	3	t	t	PROPN
ejde-44	307	4	)	)	PUNCT
ejde-44	307	5	,	,	PUNCT
ejde-44	307	6	t	t	PROPN
ejde-44	307	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	308	1	[	[	X
ejde-44	308	2	0	0	NUM
ejde-44	308	3	,	,	PUNCT
ejde-44	308	4	t	t	X
ejde-44	308	5	]	]	PUNCT
ejde-44	308	6	.	.	PUNCT
ejde-44	309	1	by	by	ADP
ejde-44	309	2	a	a	DET
ejde-44	309	3	standard	standard	ADJ
ejde-44	309	4	computation	computation	NOUN
ejde-44	309	5	we	we	PRON
ejde-44	309	6	get	get	VERB
ejde-44	309	7	1	1	NUM
ejde-44	309	8	2	2	NUM
ejde-44	309	9	d	d	NOUN
ejde-44	309	10	dt	dt	X
ejde-44	309	11	|xn(t)|2	|xn(t)|2	NOUN
ejde-44	309	12	+	+	CCONJ
ejde-44	309	13	[	[	X
ejde-44	309	14	g(xn(t))−	g(xn(t))−	NOUN
ejde-44	309	15	g(0)]xn(t	g(0)]xn(t	NOUN
ejde-44	309	16	)	)	PUNCT
ejde-44	309	17	=	=	PUNCT
ejde-44	310	1	[	[	X
ejde-44	310	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	310	3	g(0)]xn(t	g(0)]xn(t	PROPN
ejde-44	310	4	)	)	PUNCT
ejde-44	310	5	,	,	PUNCT
ejde-44	310	6	t	t	PROPN
ejde-44	310	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	311	1	[	[	X
ejde-44	311	2	0	0	NUM
ejde-44	311	3	,	,	PUNCT
ejde-44	311	4	t	t	X
ejde-44	311	5	]	]	PUNCT
ejde-44	311	6	.	.	PUNCT
ejde-44	312	1	using	use	VERB
ejde-44	312	2	the	the	DET
ejde-44	312	3	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	312	4	of	of	ADP
ejde-44	312	5	g	g	NOUN
ejde-44	312	6	we	we	PRON
ejde-44	312	7	obtain	obtain	VERB
ejde-44	312	8	|xn(t)|	|xn(t)|	NOUN
ejde-44	312	9	≤	≤	NOUN
ejde-44	312	10	|xn(s)|+	|xn(s)|+	PUNCT
ejde-44	312	11	∫	∫	PROPN
ejde-44	312	12	t	t	PROPN
ejde-44	312	13	s	s	PART
ejde-44	312	14	|f(u)−	|f(u)−	PRON
ejde-44	312	15	g(0)|du	g(0)|du	ADJ
ejde-44	312	16	,	,	PUNCT
ejde-44	312	17	0	0	NUM
ejde-44	312	18	≤	≤	NUM
ejde-44	312	19	s	s	PART
ejde-44	312	20	≤	≤	NUM
ejde-44	312	21	t	t	NOUN
ejde-44	312	22	≤	≤	NUM
ejde-44	312	23	t.	t.	NOUN
ejde-44	312	24	12	12	NUM
ejde-44	312	25	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	312	26	solutions	solution	NOUN
ejde-44	312	27	for	for	ADP
ejde-44	312	28	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	312	29	equations	equation	NOUN
ejde-44	312	30	taking	take	VERB
ejde-44	312	31	s	s	PART
ejde-44	312	32	=	=	PUNCT
ejde-44	312	33	τn	τn	NOUN
ejde-44	312	34	∈]0	∈]0	NOUN
ejde-44	312	35	,	,	PUNCT
ejde-44	312	36	t	t	PROPN
ejde-44	312	37	[	[	PUNCT
ejde-44	312	38	we	we	PRON
ejde-44	312	39	can	can	AUX
ejde-44	312	40	write	write	VERB
ejde-44	312	41	|xn(t)|	|xn(t)|	NOUN
ejde-44	312	42	≤	≤	NUM
ejde-44	313	1	|xn(τn)|+	|xn(τn)|+	ADP
ejde-44	313	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	313	3	t	t	PROPN
ejde-44	313	4	τn	τn	ADP
ejde-44	313	5	|f(u)−	|f(u)−	PRON
ejde-44	313	6	g(0)|du	g(0)|du	VERB
ejde-44	313	7	≤	≤	PUNCT
ejde-44	314	1	k	k	PROPN
ejde-44	315	1	+	+	NUM
ejde-44	315	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	315	3	t	t	PROPN
ejde-44	315	4	0	0	NUM
ejde-44	315	5	|f(u)−	|f(u)−	PRON
ejde-44	315	6	g(0)|du	g(0)|du	PROPN
ejde-44	315	7	,	,	PUNCT
ejde-44	315	8	t	t	PROPN
ejde-44	315	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	316	1	[	[	X
ejde-44	316	2	τn	τn	NOUN
ejde-44	316	3	,	,	PUNCT
ejde-44	316	4	t	t	NOUN
ejde-44	316	5	]	]	PUNCT
ejde-44	316	6	.	.	PUNCT
ejde-44	317	1	for	for	ADP
ejde-44	317	2	t	t	PROPN
ejde-44	317	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	318	1	[	[	X
ejde-44	318	2	0	0	NUM
ejde-44	318	3	,	,	PUNCT
ejde-44	318	4	τn	τn	NOUN
ejde-44	318	5	]	]	X
ejde-44	318	6	,	,	PUNCT
ejde-44	318	7	n	n	PRON
ejde-44	318	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	318	9	1	1	NUM
ejde-44	318	10	we	we	PRON
ejde-44	318	11	have	have	AUX
ejde-44	318	12	|xn(t)|	|xn(t)|	VERB
ejde-44	318	13	=	=	SYM
ejde-44	318	14	|x(nt	|x(nt	PROPN
ejde-44	318	15	+	+	CCONJ
ejde-44	318	16	t)|	t)|	ADJ
ejde-44	318	17	≤	≤	NUM
ejde-44	318	18	|x((n−	|x((n−	NUM
ejde-44	318	19	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	318	20	+	+	CCONJ
ejde-44	318	21	τn−1)|+	τn−1)|+	PROPN
ejde-44	318	22	∫	∫	PROPN
ejde-44	319	1	nt+t	nt+t	CCONJ
ejde-44	319	2	(	(	PUNCT
ejde-44	319	3	n−1)t+τn−1	n−1)t+τn−1	PROPN
ejde-44	319	4	|f(u)−	|f(u)−	PROPN
ejde-44	319	5	g(0)|du	g(0)|du	VERB
ejde-44	319	6	≤	≤	PUNCT
ejde-44	319	7	k	k	PROPN
ejde-44	320	1	+	+	NUM
ejde-44	320	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	320	3	(	(	PUNCT
ejde-44	320	4	n+1)t	n+1)t	PROPN
ejde-44	320	5	(	(	PUNCT
ejde-44	320	6	n−1)t	n−1)t	PROPN
ejde-44	320	7	|f(u)−	|f(u)−	PROPN
ejde-44	320	8	g(0)|du	g(0)|du	VERB
ejde-44	320	9	≤	≤	PUNCT
ejde-44	321	1	k	k	X
ejde-44	322	1	+	+	CCONJ
ejde-44	322	2	2	2	NUM
ejde-44	322	3	∫	∫	NOUN
ejde-44	322	4	t	t	NOUN
ejde-44	322	5	0	0	NUM
ejde-44	322	6	|f(u)−	|f(u)−	PRON
ejde-44	322	7	g(0)|du	g(0)|du	X
ejde-44	322	8	.	.	PUNCT
ejde-44	323	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	323	2	,	,	PUNCT
ejde-44	323	3	the	the	DET
ejde-44	323	4	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	323	5	(	(	PUNCT
ejde-44	323	6	xn)n≥0	xn)n≥0	PROPN
ejde-44	323	7	is	be	AUX
ejde-44	323	8	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	323	9	bounded	bound	VERB
ejde-44	323	10	in	in	ADP
ejde-44	323	11	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	323	12	)	)	PUNCT
ejde-44	323	13	and	and	CCONJ
ejde-44	323	14	‖xn‖l∞(r	‖xn‖l∞(r	ADJ
ejde-44	323	15	)	)	PUNCT
ejde-44	323	16	≤	≤	PUNCT
ejde-44	324	1	k	k	X
ejde-44	325	1	+	+	CCONJ
ejde-44	325	2	2	2	NUM
ejde-44	325	3	∫	∫	NOUN
ejde-44	325	4	t	t	PROPN
ejde-44	325	5	0	0	NUM
ejde-44	325	6	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	325	7	g(0)|dt	g(0)|dt	NOUN
ejde-44	325	8	:	:	PUNCT
ejde-44	325	9	=	=	SYM
ejde-44	325	10	m.	m.	NOUN
ejde-44	325	11	moreover	moreover	ADV
ejde-44	325	12	,	,	PUNCT
ejde-44	325	13	(	(	PUNCT
ejde-44	325	14	x′n)n≥0	x′n)n≥0	X
ejde-44	325	15	is	be	AUX
ejde-44	325	16	also	also	ADV
ejde-44	325	17	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	325	18	bounded	bound	VERB
ejde-44	325	19	in	in	ADP
ejde-44	325	20	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	325	21	)	)	PUNCT
ejde-44	325	22	.	.	PUNCT
ejde-44	326	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	326	2	we	we	PRON
ejde-44	326	3	have	have	VERB
ejde-44	326	4	|x′n(t)|	|x′n(t)|	ADP
ejde-44	326	5	=	=	NOUN
ejde-44	326	6	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	326	7	g(xn(t))|	g(xn(t))|	PROPN
ejde-44	326	8	≤	≤	NOUN
ejde-44	326	9	‖f‖l∞(r	‖f‖l∞(r	X
ejde-44	326	10	)	)	PUNCT
ejde-44	326	11	+	+	CCONJ
ejde-44	326	12	max{g(m),−g(−m	max{g(m),−g(−m	NOUN
ejde-44	326	13	)	)	PUNCT
ejde-44	326	14	}	}	PUNCT
ejde-44	326	15	,	,	PUNCT
ejde-44	326	16	and	and	CCONJ
ejde-44	326	17	hence	hence	ADV
ejde-44	326	18	,	,	PUNCT
ejde-44	326	19	by	by	ADP
ejde-44	326	20	arzela	arzela	PROPN
ejde-44	326	21	-	-	PUNCT
ejde-44	326	22	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-44	326	23	’s	’s	PART
ejde-44	326	24	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	326	25	we	we	PRON
ejde-44	326	26	deduce	deduce	VERB
ejde-44	326	27	that	that	PRON
ejde-44	326	28	(	(	PUNCT
ejde-44	326	29	xn)n≥0	xn)n≥0	NOUN
ejde-44	326	30	converges	converge	VERB
ejde-44	326	31	in	in	ADP
ejde-44	326	32	c0([0	c0([0	PROPN
ejde-44	326	33	,	,	PUNCT
ejde-44	326	34	t	t	X
ejde-44	326	35	]	]	PUNCT
ejde-44	326	36	,	,	PUNCT
ejde-44	326	37	r	r	X
ejde-44	326	38	):	):	PUNCT
ejde-44	326	39	lim	lim	PROPN
ejde-44	326	40	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	326	41	xn(t	xn(t	PUNCT
ejde-44	326	42	)	)	PUNCT
ejde-44	327	1	=	=	SYM
ejde-44	327	2	u(t	u(t	NOUN
ejde-44	327	3	)	)	PUNCT
ejde-44	327	4	,	,	PUNCT
ejde-44	327	5	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	327	6	for	for	ADP
ejde-44	327	7	t	t	PROPN
ejde-44	327	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	328	1	[	[	X
ejde-44	328	2	0	0	NUM
ejde-44	328	3	,	,	PUNCT
ejde-44	328	4	t	t	X
ejde-44	328	5	]	]	PUNCT
ejde-44	328	6	.	.	PUNCT
ejde-44	329	1	as	as	ADP
ejde-44	329	2	usual	usual	ADJ
ejde-44	329	3	,	,	PUNCT
ejde-44	329	4	by	by	ADP
ejde-44	329	5	passing	pass	VERB
ejde-44	329	6	to	to	ADP
ejde-44	329	7	the	the	DET
ejde-44	329	8	limit	limit	NOUN
ejde-44	329	9	for	for	ADP
ejde-44	329	10	n	n	NOUN
ejde-44	329	11	→	→	SYM
ejde-44	329	12	∞	∞	NUM
ejde-44	329	13	we	we	PRON
ejde-44	329	14	find	find	VERB
ejde-44	329	15	that	that	SCONJ
ejde-44	329	16	u	u	NOUN
ejde-44	329	17	is	be	AUX
ejde-44	329	18	also	also	ADV
ejde-44	329	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	329	20	for	for	ADP
ejde-44	329	21	(	(	PUNCT
ejde-44	329	22	3	3	NUM
ejde-44	329	23	)	)	PUNCT
ejde-44	329	24	.	.	PUNCT
ejde-44	330	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	330	2	since	since	SCONJ
ejde-44	330	3	(	(	PUNCT
ejde-44	330	4	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	330	5	)	)	PUNCT
ejde-44	330	6	)	)	PUNCT
ejde-44	330	7	n≥0	n≥0	NOUN
ejde-44	330	8	is	be	AUX
ejde-44	330	9	decreasing	decrease	VERB
ejde-44	330	10	and	and	CCONJ
ejde-44	330	11	bounded	bound	VERB
ejde-44	330	12	,	,	PUNCT
ejde-44	330	13	it	it	PRON
ejde-44	330	14	is	be	AUX
ejde-44	330	15	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	330	16	and	and	CCONJ
ejde-44	330	17	we	we	PRON
ejde-44	330	18	can	can	AUX
ejde-44	330	19	prove	prove	VERB
ejde-44	330	20	that	that	SCONJ
ejde-44	330	21	u	u	NOUN
ejde-44	330	22	is	be	AUX
ejde-44	330	23	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	330	24	:	:	PUNCT
ejde-44	330	25	u(0	u(0	NOUN
ejde-44	330	26	)	)	PUNCT
ejde-44	331	1	=	=	PROPN
ejde-44	331	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	331	3	n→∞	n→∞	X
ejde-44	331	4	xn(0	xn(0	PROPN
ejde-44	331	5	)	)	PUNCT
ejde-44	332	1	=	=	PROPN
ejde-44	332	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	332	3	n→∞	n→∞	X
ejde-44	332	4	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	332	5	)	)	PUNCT
ejde-44	333	1	=	=	PROPN
ejde-44	333	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	333	3	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	333	4	x((n+	x((n+	PROPN
ejde-44	333	5	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	333	6	)	)	PUNCT
ejde-44	334	1	=	=	PROPN
ejde-44	334	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	334	3	n→∞	n→∞	X
ejde-44	334	4	xn(t	xn(t	PUNCT
ejde-44	334	5	)	)	PUNCT
ejde-44	335	1	=	=	SYM
ejde-44	335	2	u(t	u(t	NOUN
ejde-44	335	3	)	)	PUNCT
ejde-44	335	4	.	.	PUNCT
ejde-44	336	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	336	2	,	,	PUNCT
ejde-44	336	3	u	u	NOUN
ejde-44	336	4	is	be	AUX
ejde-44	336	5	a	a	DET
ejde-44	336	6	sub	sub	ADJ
ejde-44	336	7	-	-	ADJ
ejde-44	336	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	336	9	solution	solution	NOUN
ejde-44	336	10	for	for	ADP
ejde-44	336	11	(	(	PUNCT
ejde-44	336	12	3	3	NUM
ejde-44	336	13	)	)	PUNCT
ejde-44	336	14	.	.	PUNCT
ejde-44	337	1	an	an	DET
ejde-44	337	2	analogous	analogous	ADJ
ejde-44	337	3	result	result	NOUN
ejde-44	337	4	holds	hold	VERB
ejde-44	337	5	for	for	ADP
ejde-44	337	6	super	super	ADJ
ejde-44	337	7	-	-	ADJ
ejde-44	337	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	337	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	337	10	.	.	PUNCT
ejde-44	338	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	338	2	2.18	2.18	NUM
ejde-44	338	3	under	under	ADP
ejde-44	338	4	the	the	DET
ejde-44	338	5	same	same	ADJ
ejde-44	338	6	assumptions	assumption	NOUN
ejde-44	338	7	as	as	ADP
ejde-44	338	8	in	in	ADP
ejde-44	338	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	338	10	2.17	2.17	NUM
ejde-44	338	11	the	the	DET
ejde-44	338	12	equation	equation	NOUN
ejde-44	338	13	(	(	PUNCT
ejde-44	338	14	3	3	X
ejde-44	338	15	)	)	PUNCT
ejde-44	338	16	has	have	VERB
ejde-44	338	17	super	super	ADJ
ejde-44	338	18	-	-	ADJ
ejde-44	338	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	338	20	solutions	solution	NOUN
ejde-44	338	21	if	if	SCONJ
ejde-44	339	1	and	and	CCONJ
ejde-44	339	2	only	only	ADV
ejde-44	339	3	if	if	SCONJ
ejde-44	339	4	there	there	PRON
ejde-44	339	5	is	be	VERB
ejde-44	339	6	y0	y0	PROPN
ejde-44	339	7	∈	∈	NOUN
ejde-44	339	8	r	r	NOUN
ejde-44	339	9	such	such	ADJ
ejde-44	339	10	that	that	DET
ejde-44	339	11	g(y0	g(y0	NOUN
ejde-44	339	12	)	)	PUNCT
ejde-44	339	13	≥	≥	NOUN
ejde-44	340	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	340	2	f	f	X
ejde-44	340	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	340	4	.	.	PUNCT
ejde-44	341	1	we	we	PRON
ejde-44	341	2	state	state	VERB
ejde-44	341	3	now	now	ADV
ejde-44	341	4	a	a	DET
ejde-44	341	5	comparison	comparison	NOUN
ejde-44	341	6	result	result	NOUN
ejde-44	341	7	between	between	ADP
ejde-44	341	8	sub	sub	ADJ
ejde-44	341	9	-	-	ADJ
ejde-44	341	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	341	11	and	and	CCONJ
ejde-44	341	12	super	super	ADJ
ejde-44	341	13	-	-	ADJ
ejde-44	341	14	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	341	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	341	16	.	.	PUNCT
ejde-44	342	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	342	2	2.19	2.19	NUM
ejde-44	342	3	if	if	SCONJ
ejde-44	342	4	g	g	PROPN
ejde-44	342	5	is	be	AUX
ejde-44	342	6	increasing	increase	VERB
ejde-44	342	7	,	,	PUNCT
ejde-44	342	8	x	x	VERB
ejde-44	342	9	is	be	AUX
ejde-44	342	10	a	a	DET
ejde-44	342	11	sub	sub	ADJ
ejde-44	342	12	-	-	ADJ
ejde-44	342	13	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	342	14	solution	solution	NOUN
ejde-44	342	15	and	and	CCONJ
ejde-44	342	16	y	y	PROPN
ejde-44	342	17	is	be	AUX
ejde-44	342	18	a	a	DET
ejde-44	342	19	super	super	ADJ
ejde-44	342	20	-	-	ADJ
ejde-44	342	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	342	22	solution	solution	NOUN
ejde-44	342	23	we	we	PRON
ejde-44	342	24	have	have	VERB
ejde-44	342	25	x(t	x(t	NOUN
ejde-44	342	26	)	)	PUNCT
ejde-44	342	27	≤	≤	NUM
ejde-44	342	28	y(t	y(t	NUM
ejde-44	342	29	)	)	PUNCT
ejde-44	342	30	,	,	PUNCT
ejde-44	342	31	∀t	∀t	PROPN
ejde-44	342	32	∈	∈	PROPN
ejde-44	343	1	[	[	X
ejde-44	343	2	0	0	NUM
ejde-44	343	3	,	,	PUNCT
ejde-44	343	4	t	t	X
ejde-44	343	5	]	]	PUNCT
ejde-44	343	6	,	,	PUNCT
ejde-44	343	7	provided	provide	VERB
ejde-44	343	8	that	that	SCONJ
ejde-44	343	9	x	x	PRON
ejde-44	343	10	and	and	CCONJ
ejde-44	343	11	y	y	PROPN
ejde-44	343	12	are	be	AUX
ejde-44	343	13	not	not	PART
ejde-44	343	14	both	both	PRON
ejde-44	343	15	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	343	16	.	.	PUNCT
ejde-44	344	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	344	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	344	3	13	13	NUM
ejde-44	344	4	proof	proof	NOUN
ejde-44	344	5	both	both	CCONJ
ejde-44	344	6	x	x	SYM
ejde-44	344	7	and	and	CCONJ
ejde-44	344	8	y	y	PROPN
ejde-44	344	9	verify	verify	VERB
ejde-44	344	10	(	(	PUNCT
ejde-44	344	11	3	3	NUM
ejde-44	344	12	)	)	PUNCT
ejde-44	344	13	,	,	PUNCT
ejde-44	344	14	thus	thus	ADV
ejde-44	344	15	(	(	PUNCT
ejde-44	344	16	x−	x−	PROPN
ejde-44	344	17	y)′(t	y)′(t	PROPN
ejde-44	344	18	)	)	PUNCT
ejde-44	345	1	+	+	CCONJ
ejde-44	345	2	g(x(t))−	g(x(t))−	VERB
ejde-44	345	3	g(y(t	g(y(t	PROPN
ejde-44	345	4	)	)	PUNCT
ejde-44	345	5	)	)	PUNCT
ejde-44	346	1	=	=	PUNCT
ejde-44	346	2	0	0	NUM
ejde-44	346	3	,	,	PUNCT
ejde-44	346	4	t	t	PROPN
ejde-44	346	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	347	1	[	[	X
ejde-44	347	2	0	0	NUM
ejde-44	347	3	,	,	PUNCT
ejde-44	347	4	t	t	X
ejde-44	347	5	]	]	PUNCT
ejde-44	347	6	.	.	PUNCT
ejde-44	348	1	with	with	ADP
ejde-44	348	2	the	the	DET
ejde-44	348	3	notation	notation	NOUN
ejde-44	348	4	r(t	r(t	NOUN
ejde-44	348	5	)	)	PUNCT
ejde-44	348	6	=	=	PRON
ejde-44	348	7	{	{	PUNCT
ejde-44	348	8	g(x(t))−g(y(t	g(x(t))−g(y(t	NOUN
ejde-44	348	9	)	)	PUNCT
ejde-44	348	10	)	)	PUNCT
ejde-44	348	11	x(t)−y(t	x(t)−y(t	X
ejde-44	348	12	)	)	PUNCT
ejde-44	348	13	t	t	PROPN
ejde-44	348	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	349	1	[	[	X
ejde-44	349	2	0	0	NUM
ejde-44	349	3	,	,	PUNCT
ejde-44	349	4	t	t	X
ejde-44	349	5	]	]	PUNCT
ejde-44	349	6	,	,	PUNCT
ejde-44	349	7	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	349	8	)	)	PUNCT
ejde-44	349	9	6=	6=	ADP
ejde-44	349	10	y(t	y(t	NOUN
ejde-44	349	11	)	)	PUNCT
ejde-44	349	12	0	0	NUM
ejde-44	349	13	t	t	NOUN
ejde-44	349	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	350	1	[	[	X
ejde-44	350	2	0	0	NUM
ejde-44	350	3	,	,	PUNCT
ejde-44	350	4	t	t	X
ejde-44	350	5	]	]	PUNCT
ejde-44	350	6	,	,	PUNCT
ejde-44	350	7	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	350	8	)	)	PUNCT
ejde-44	350	9	=	=	SYM
ejde-44	350	10	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	350	11	)	)	PUNCT
ejde-44	350	12	,	,	PUNCT
ejde-44	350	13	(	(	PUNCT
ejde-44	350	14	24	24	NUM
ejde-44	350	15	)	)	PUNCT
ejde-44	350	16	we	we	PRON
ejde-44	350	17	can	can	AUX
ejde-44	350	18	write	write	VERB
ejde-44	350	19	g(x(t))−	g(x(t))−	NOUN
ejde-44	350	20	g(y(t	g(y(t	PROPN
ejde-44	350	21	)	)	PUNCT
ejde-44	350	22	)	)	PUNCT
ejde-44	351	1	=	=	SYM
ejde-44	352	1	r(t)(x(t)−	r(t)(x(t)−	PROPN
ejde-44	352	2	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	352	3	)	)	PUNCT
ejde-44	352	4	)	)	PUNCT
ejde-44	352	5	,	,	PUNCT
ejde-44	352	6	t	t	PROPN
ejde-44	352	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	353	1	[	[	X
ejde-44	353	2	0	0	NUM
ejde-44	353	3	,	,	PUNCT
ejde-44	353	4	t	t	NOUN
ejde-44	353	5	]	]	PUNCT
ejde-44	353	6	and	and	CCONJ
ejde-44	353	7	therefore	therefore	ADV
ejde-44	353	8	,	,	PUNCT
ejde-44	353	9	(	(	PUNCT
ejde-44	353	10	x−	x−	PROPN
ejde-44	353	11	y)′(t	y)′(t	PROPN
ejde-44	353	12	)	)	PUNCT
ejde-44	353	13	+	+	CCONJ
ejde-44	353	14	r(t)(x(t)−	r(t)(x(t)−	PROPN
ejde-44	353	15	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	353	16	)	)	PUNCT
ejde-44	353	17	)	)	PUNCT
ejde-44	354	1	=	=	PUNCT
ejde-44	354	2	0	0	NUM
ejde-44	354	3	,	,	PUNCT
ejde-44	354	4	t	t	PROPN
ejde-44	354	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	355	1	[	[	X
ejde-44	355	2	0	0	NUM
ejde-44	355	3	,	,	PUNCT
ejde-44	355	4	t	t	NOUN
ejde-44	355	5	]	]	PUNCT
ejde-44	355	6	which	which	PRON
ejde-44	355	7	implies	imply	VERB
ejde-44	355	8	x(t)−	x(t)−	PROPN
ejde-44	355	9	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	355	10	)	)	PUNCT
ejde-44	356	1	=	=	PRON
ejde-44	356	2	(	(	PUNCT
ejde-44	356	3	x(0)−	x(0)−	NUM
ejde-44	356	4	y(0))e−	y(0))e−	PROPN
ejde-44	356	5	∫	∫	PROPN
ejde-44	356	6	t	t	PROPN
ejde-44	356	7	0	0	NUM
ejde-44	356	8	r(s)ds	r(s)ds	NUM
ejde-44	356	9	.	.	PUNCT
ejde-44	357	1	(	(	PUNCT
ejde-44	357	2	25	25	NUM
ejde-44	357	3	)	)	PUNCT
ejde-44	357	4	now	now	ADV
ejde-44	357	5	it	it	PRON
ejde-44	357	6	is	be	AUX
ejde-44	357	7	clear	clear	ADJ
ejde-44	357	8	that	that	SCONJ
ejde-44	357	9	if	if	SCONJ
ejde-44	357	10	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	357	11	)	)	PUNCT
ejde-44	357	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	357	13	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	357	14	)	)	PUNCT
ejde-44	357	15	we	we	PRON
ejde-44	357	16	also	also	ADV
ejde-44	357	17	have	have	VERB
ejde-44	357	18	x(t	x(t	NOUN
ejde-44	357	19	)	)	PUNCT
ejde-44	357	20	≤	≤	NUM
ejde-44	357	21	y(t	y(t	NUM
ejde-44	357	22	)	)	PUNCT
ejde-44	357	23	,	,	PUNCT
ejde-44	357	24	t	t	PROPN
ejde-44	357	25	∈	∈	PROPN
ejde-44	358	1	[	[	X
ejde-44	358	2	0	0	NUM
ejde-44	358	3	,	,	PUNCT
ejde-44	358	4	t	t	X
ejde-44	358	5	]	]	PUNCT
ejde-44	358	6	.	.	PUNCT
ejde-44	358	7	suppose	suppose	VERB
ejde-44	358	8	now	now	ADV
ejde-44	358	9	that	that	SCONJ
ejde-44	358	10	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	358	11	)	)	PUNCT
ejde-44	358	12	>	>	X
ejde-44	358	13	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	358	14	)	)	PUNCT
ejde-44	358	15	.	.	PUNCT
ejde-44	359	1	taking	take	VERB
ejde-44	359	2	t	t	PROPN
ejde-44	359	3	=	=	SYM
ejde-44	359	4	t	t	PROPN
ejde-44	359	5	in	in	ADP
ejde-44	359	6	(	(	PUNCT
ejde-44	359	7	25	25	NUM
ejde-44	359	8	)	)	PUNCT
ejde-44	359	9	we	we	PRON
ejde-44	359	10	obtain	obtain	VERB
ejde-44	359	11	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	359	12	)	)	PUNCT
ejde-44	360	1	−	−	PROPN
ejde-44	360	2	y(t	y(t	NOUN
ejde-44	360	3	)	)	PUNCT
ejde-44	361	1	=	=	PUNCT
ejde-44	361	2	(	(	PUNCT
ejde-44	361	3	x(0)−	x(0)−	NUM
ejde-44	361	4	y(0))e−	y(0))e−	PROPN
ejde-44	361	5	∫	∫	PROPN
ejde-44	361	6	t	t	PROPN
ejde-44	361	7	0	0	NUM
ejde-44	361	8	r(t)dt	r(t)dt	PROPN
ejde-44	361	9	.	.	PUNCT
ejde-44	362	1	(	(	PUNCT
ejde-44	362	2	26	26	NUM
ejde-44	362	3	)	)	PUNCT
ejde-44	362	4	since	since	SCONJ
ejde-44	362	5	g	g	PROPN
ejde-44	362	6	is	be	AUX
ejde-44	362	7	increasing	increase	VERB
ejde-44	362	8	,	,	PUNCT
ejde-44	362	9	by	by	ADP
ejde-44	362	10	the	the	DET
ejde-44	362	11	definition	definition	NOUN
ejde-44	362	12	of	of	ADP
ejde-44	362	13	the	the	DET
ejde-44	362	14	function	function	NOUN
ejde-44	362	15	r	r	NOUN
ejde-44	362	16	we	we	PRON
ejde-44	362	17	have	have	VERB
ejde-44	362	18	r	r	NOUN
ejde-44	362	19	≥	≥	NOUN
ejde-44	362	20	0	0	NUM
ejde-44	362	21	.	.	PUNCT
ejde-44	363	1	two	two	NUM
ejde-44	363	2	cases	case	NOUN
ejde-44	363	3	are	be	AUX
ejde-44	363	4	possible	possible	ADJ
ejde-44	363	5	:	:	PUNCT
ejde-44	363	6	(	(	PUNCT
ejde-44	363	7	i	i	NOUN
ejde-44	363	8	)	)	PUNCT
ejde-44	363	9	either	either	CCONJ
ejde-44	363	10	∫	∫	PROPN
ejde-44	363	11	t	t	PROPN
ejde-44	363	12	0	0	NUM
ejde-44	363	13	r(t)dt	r(t)dt	X
ejde-44	363	14	>	>	X
ejde-44	363	15	0	0	NUM
ejde-44	363	16	,	,	PUNCT
ejde-44	363	17	(	(	PUNCT
ejde-44	363	18	ii	ii	NOUN
ejde-44	363	19	)	)	PUNCT
ejde-44	363	20	either	either	CCONJ
ejde-44	363	21	∫	∫	PROPN
ejde-44	363	22	t	t	PROPN
ejde-44	363	23	0	0	NUM
ejde-44	363	24	r(t)dt	r(t)dt	NOUN
ejde-44	363	25	=	=	NOUN
ejde-44	363	26	0	0	NUM
ejde-44	363	27	in	in	ADP
ejde-44	363	28	which	which	PRON
ejde-44	363	29	case	case	NOUN
ejde-44	363	30	r(t	r(t	NOUN
ejde-44	363	31	)	)	PUNCT
ejde-44	363	32	=	=	SYM
ejde-44	363	33	0	0	NUM
ejde-44	363	34	,	,	PUNCT
ejde-44	363	35	t	t	PROPN
ejde-44	363	36	∈	∈	PROPN
ejde-44	364	1	[	[	X
ejde-44	364	2	0	0	NUM
ejde-44	364	3	,	,	PUNCT
ejde-44	364	4	t	t	X
ejde-44	364	5	]	]	PUNCT
ejde-44	364	6	(	(	PUNCT
ejde-44	364	7	r	r	NOUN
ejde-44	364	8	vanishes	vanish	VERB
ejde-44	364	9	in	in	ADP
ejde-44	364	10	all	all	DET
ejde-44	364	11	points	point	NOUN
ejde-44	364	12	of	of	ADP
ejde-44	364	13	continuity	continuity	NOUN
ejde-44	364	14	t	t	NOUN
ejde-44	364	15	such	such	ADJ
ejde-44	364	16	that	that	SCONJ
ejde-44	364	17	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	364	18	)	)	PUNCT
ejde-44	364	19	6=	6=	ADP
ejde-44	364	20	y(t	y(t	NOUN
ejde-44	364	21	)	)	PUNCT
ejde-44	364	22	and	and	CCONJ
ejde-44	364	23	also	also	ADV
ejde-44	364	24	in	in	ADP
ejde-44	364	25	all	all	DET
ejde-44	364	26	points	point	NOUN
ejde-44	364	27	t	t	NOUN
ejde-44	364	28	with	with	ADP
ejde-44	364	29	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	364	30	)	)	PUNCT
ejde-44	364	31	=	=	SYM
ejde-44	365	1	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	365	2	)	)	PUNCT
ejde-44	365	3	by	by	ADP
ejde-44	365	4	the	the	DET
ejde-44	365	5	definition	definition	NOUN
ejde-44	365	6	)	)	PUNCT
ejde-44	365	7	.	.	PUNCT
ejde-44	366	1	let	let	VERB
ejde-44	366	2	us	we	PRON
ejde-44	366	3	analyse	analyse	VERB
ejde-44	366	4	the	the	DET
ejde-44	366	5	first	first	ADJ
ejde-44	366	6	case	case	NOUN
ejde-44	366	7	(	(	PUNCT
ejde-44	366	8	i	i	NOUN
ejde-44	366	9	)	)	PUNCT
ejde-44	366	10	.	.	PUNCT
ejde-44	367	1	by	by	ADP
ejde-44	367	2	(	(	PUNCT
ejde-44	367	3	26	26	NUM
ejde-44	367	4	)	)	PUNCT
ejde-44	367	5	we	we	PRON
ejde-44	367	6	deduce	deduce	VERB
ejde-44	367	7	that	that	SCONJ
ejde-44	367	8	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	367	9	)	)	PUNCT
ejde-44	368	1	−	−	PROPN
ejde-44	368	2	y(t	y(t	NOUN
ejde-44	368	3	)	)	PUNCT
ejde-44	369	1	<	<	X
ejde-44	369	2	x(0)−	x(0)−	PROPN
ejde-44	369	3	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	369	4	)	)	PUNCT
ejde-44	369	5	or	or	CCONJ
ejde-44	369	6	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	369	7	)	)	PUNCT
ejde-44	369	8	−	−	PROPN
ejde-44	369	9	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	369	10	)	)	PUNCT
ejde-44	370	1	<	<	X
ejde-44	370	2	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	370	3	)	)	PUNCT
ejde-44	371	1	−	−	PROPN
ejde-44	371	2	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	371	3	)	)	PUNCT
ejde-44	371	4	.	.	PUNCT
ejde-44	372	1	since	since	SCONJ
ejde-44	372	2	x	x	PROPN
ejde-44	372	3	is	be	AUX
ejde-44	372	4	sub	sub	ADJ
ejde-44	372	5	-	-	ADJ
ejde-44	372	6	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	372	7	we	we	PRON
ejde-44	372	8	have	have	VERB
ejde-44	372	9	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	372	10	)	)	PUNCT
ejde-44	372	11	≤	≤	NOUN
ejde-44	372	12	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	372	13	)	)	PUNCT
ejde-44	372	14	which	which	PRON
ejde-44	372	15	implies	imply	VERB
ejde-44	372	16	that	that	SCONJ
ejde-44	372	17	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	372	18	)	)	PUNCT
ejde-44	372	19	>	>	X
ejde-44	373	1	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	373	2	)	)	PUNCT
ejde-44	373	3	which	which	PRON
ejde-44	373	4	is	be	AUX
ejde-44	373	5	in	in	ADP
ejde-44	373	6	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-44	373	7	with	with	ADP
ejde-44	373	8	the	the	DET
ejde-44	373	9	super	super	NOUN
ejde-44	373	10	-	-	NOUN
ejde-44	373	11	periodicity	periodicity	NOUN
ejde-44	373	12	of	of	ADP
ejde-44	373	13	y	y	PROPN
ejde-44	373	14	(	(	PUNCT
ejde-44	373	15	y(t	y(t	PROPN
ejde-44	373	16	)	)	PUNCT
ejde-44	373	17	≤	≤	PROPN
ejde-44	373	18	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	373	19	)	)	PUNCT
ejde-44	373	20	)	)	PUNCT
ejde-44	373	21	.	.	PUNCT
ejde-44	374	1	in	in	ADP
ejde-44	374	2	the	the	DET
ejde-44	374	3	second	second	ADJ
ejde-44	374	4	case	case	NOUN
ejde-44	374	5	(	(	PUNCT
ejde-44	374	6	ii	ii	NOUN
ejde-44	374	7	)	)	PUNCT
ejde-44	374	8	we	we	PRON
ejde-44	374	9	have	have	VERB
ejde-44	374	10	g(x(t	g(x(t	PROPN
ejde-44	374	11	)	)	PUNCT
ejde-44	374	12	)	)	PUNCT
ejde-44	375	1	=	=	SYM
ejde-44	375	2	g(y(t	g(y(t	PROPN
ejde-44	375	3	)	)	PUNCT
ejde-44	375	4	)	)	PUNCT
ejde-44	375	5	,	,	PUNCT
ejde-44	375	6	t	t	PROPN
ejde-44	375	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	376	1	[	[	X
ejde-44	376	2	0	0	NUM
ejde-44	376	3	,	,	PUNCT
ejde-44	376	4	t	t	X
ejde-44	376	5	]	]	PUNCT
ejde-44	376	6	so	so	CCONJ
ejde-44	376	7	(	(	PUNCT
ejde-44	376	8	x−	x−	PROPN
ejde-44	376	9	y)′	y)′	PROPN
ejde-44	376	10	=	=	NOUN
ejde-44	376	11	0	0	NUM
ejde-44	377	1	and	and	CCONJ
ejde-44	377	2	therefore	therefore	ADV
ejde-44	377	3	there	there	PRON
ejde-44	377	4	is	be	VERB
ejde-44	377	5	a	a	DET
ejde-44	377	6	constant	constant	ADJ
ejde-44	377	7	c	c	NOUN
ejde-44	377	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	377	9	r	r	NOUN
ejde-44	377	10	such	such	ADJ
ejde-44	377	11	that	that	SCONJ
ejde-44	377	12	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	377	13	)	)	PUNCT
ejde-44	377	14	=	=	SYM
ejde-44	377	15	y(t	y(t	X
ejde-44	377	16	)	)	PUNCT
ejde-44	378	1	+	+	NOUN
ejde-44	378	2	c	c	X
ejde-44	378	3	,	,	PUNCT
ejde-44	378	4	t	t	PROPN
ejde-44	378	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	379	1	[	[	X
ejde-44	379	2	0	0	NUM
ejde-44	379	3	,	,	PUNCT
ejde-44	379	4	t	t	X
ejde-44	379	5	]	]	PUNCT
ejde-44	379	6	.	.	PUNCT
ejde-44	380	1	taking	take	VERB
ejde-44	380	2	t	t	NOUN
ejde-44	380	3	=	=	SYM
ejde-44	380	4	0	0	NUM
ejde-44	380	5	and	and	CCONJ
ejde-44	380	6	t	t	PROPN
ejde-44	380	7	=	=	SYM
ejde-44	380	8	t	t	X
ejde-44	380	9	we	we	PRON
ejde-44	380	10	obtain	obtain	VERB
ejde-44	380	11	0	0	NUM
ejde-44	380	12	≥	≥	NOUN
ejde-44	380	13	x(0)−	x(0)−	NUM
ejde-44	380	14	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	380	15	)	)	PUNCT
ejde-44	381	1	=	=	PUNCT
ejde-44	381	2	y(0)−	y(0)−	PROPN
ejde-44	381	3	y(t	y(t	NOUN
ejde-44	381	4	)	)	PUNCT
ejde-44	381	5	≥	≥	NOUN
ejde-44	381	6	0	0	NUM
ejde-44	381	7	,	,	PUNCT
ejde-44	381	8	and	and	CCONJ
ejde-44	381	9	thus	thus	ADV
ejde-44	381	10	x	x	X
ejde-44	381	11	and	and	CCONJ
ejde-44	381	12	y	y	PROPN
ejde-44	381	13	are	be	AUX
ejde-44	381	14	both	both	ADV
ejde-44	381	15	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	381	16	which	which	PRON
ejde-44	381	17	is	be	AUX
ejde-44	381	18	in	in	ADP
ejde-44	381	19	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-44	381	20	with	with	ADP
ejde-44	381	21	the	the	DET
ejde-44	381	22	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	381	23	.	.	PUNCT
ejde-44	382	1	in	in	ADP
ejde-44	382	2	the	the	DET
ejde-44	382	3	following	following	NOUN
ejde-44	382	4	we	we	PRON
ejde-44	382	5	will	will	AUX
ejde-44	382	6	see	see	VERB
ejde-44	382	7	how	how	SCONJ
ejde-44	382	8	it	it	PRON
ejde-44	382	9	is	be	AUX
ejde-44	382	10	possible	possible	ADJ
ejde-44	382	11	to	to	PART
ejde-44	382	12	retrieve	retrieve	VERB
ejde-44	382	13	the	the	DET
ejde-44	382	14	existence	existence	NOUN
ejde-44	382	15	result	result	NOUN
ejde-44	382	16	for	for	ADP
ejde-44	382	17	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	382	18	solutions	solution	NOUN
ejde-44	382	19	by	by	ADP
ejde-44	382	20	using	use	VERB
ejde-44	382	21	the	the	DET
ejde-44	382	22	method	method	NOUN
ejde-44	382	23	of	of	ADP
ejde-44	382	24	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	382	25	solutions	solution	NOUN
ejde-44	382	26	.	.	PUNCT
ejde-44	383	1	suppose	suppose	VERB
ejde-44	383	2	that	that	SCONJ
ejde-44	383	3	〈	〈	PROPN
ejde-44	383	4	f	f	PROPN
ejde-44	383	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	383	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	383	7	range(g	range(g	PROPN
ejde-44	383	8	)	)	PUNCT
ejde-44	383	9	.	.	PUNCT
ejde-44	384	1	obviously	obviously	ADV
ejde-44	384	2	both	both	DET
ejde-44	384	3	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	384	4	conditions	condition	NOUN
ejde-44	384	5	for	for	ADP
ejde-44	384	6	existence	existence	NOUN
ejde-44	384	7	of	of	ADP
ejde-44	384	8	sub(super)-periodic	sub(super)-periodic	ADJ
ejde-44	384	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	384	10	are	be	AUX
ejde-44	384	11	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-44	384	12	and	and	CCONJ
ejde-44	384	13	thus	thus	ADV
ejde-44	384	14	there	there	PRON
ejde-44	384	15	are	be	VERB
ejde-44	384	16	x0(y0	x0(y0	NOUN
ejde-44	384	17	)	)	PUNCT
ejde-44	384	18	sub(super)periodic	sub(super)periodic	NUM
ejde-44	384	19	solutions	solution	NOUN
ejde-44	384	20	.	.	PUNCT
ejde-44	385	1	if	if	SCONJ
ejde-44	385	2	y0	y0	PROPN
ejde-44	385	3	is	be	AUX
ejde-44	385	4	even	even	ADV
ejde-44	385	5	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	385	6	the	the	DET
ejde-44	385	7	proof	proof	NOUN
ejde-44	385	8	is	be	AUX
ejde-44	385	9	complete	complete	ADJ
ejde-44	385	10	.	.	PUNCT
ejde-44	386	1	assume	assume	VERB
ejde-44	386	2	that	that	SCONJ
ejde-44	386	3	y0	y0	PROPN
ejde-44	386	4	is	be	AUX
ejde-44	386	5	not	not	PART
ejde-44	386	6	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	386	7	(	(	PUNCT
ejde-44	386	8	y0(0	y0(0	PROPN
ejde-44	386	9	)	)	PUNCT
ejde-44	386	10	>	>	X
ejde-44	387	1	y0(t	y0(t	PROPN
ejde-44	387	2	)	)	PUNCT
ejde-44	387	3	)	)	PUNCT
ejde-44	387	4	.	.	PUNCT
ejde-44	388	1	denote	denote	VERB
ejde-44	388	2	by	by	ADP
ejde-44	388	3	m	m	PROPN
ejde-44	388	4	the	the	DET
ejde-44	388	5	set	set	NOUN
ejde-44	388	6	of	of	ADP
ejde-44	388	7	sub	sub	ADJ
ejde-44	388	8	-	-	ADJ
ejde-44	388	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	388	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	388	11	for	for	ADP
ejde-44	388	12	(	(	PUNCT
ejde-44	388	13	3	3	NUM
ejde-44	388	14	):	):	PUNCT
ejde-44	388	15	m	m	VERB
ejde-44	388	16	=	=	PUNCT
ejde-44	388	17	{	{	PUNCT
ejde-44	388	18	x	x	X
ejde-44	388	19	:	:	PUNCT
ejde-44	389	1	[	[	X
ejde-44	389	2	0	0	NUM
ejde-44	389	3	,	,	PUNCT
ejde-44	389	4	t	t	X
ejde-44	389	5	]	]	PUNCT
ejde-44	389	6	→	→	SYM
ejde-44	389	7	r	r	NOUN
ejde-44	389	8	:	:	PUNCT
ejde-44	389	9	x	x	PUNCT
ejde-44	389	10	sub	sub	ADJ
ejde-44	389	11	-	-	ADJ
ejde-44	389	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	389	13	solution	solution	NOUN
ejde-44	389	14	,	,	PUNCT
ejde-44	389	15	x0(t	x0(t	PROPN
ejde-44	389	16	)	)	PUNCT
ejde-44	389	17	≤	≤	NOUN
ejde-44	389	18	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	389	19	)	)	PUNCT
ejde-44	389	20	,	,	PUNCT
ejde-44	389	21	t	t	PROPN
ejde-44	389	22	∈	∈	PROPN
ejde-44	390	1	[	[	X
ejde-44	390	2	0	0	NUM
ejde-44	390	3	,	,	PUNCT
ejde-44	390	4	t	t	X
ejde-44	390	5	]	]	PUNCT
ejde-44	390	6	}	}	PUNCT
ejde-44	390	7	.	.	PUNCT
ejde-44	391	1	since	since	SCONJ
ejde-44	391	2	x0	x0	PROPN
ejde-44	391	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	391	4	m	m	VERB
ejde-44	391	5	we	we	PRON
ejde-44	391	6	have	have	VERB
ejde-44	391	7	m	m	PROPN
ejde-44	391	8	6=	6=	X
ejde-44	391	9	∅.	∅.	VERB
ejde-44	391	10	moreover	moreover	ADV
ejde-44	391	11	,	,	PUNCT
ejde-44	391	12	from	from	ADP
ejde-44	391	13	the	the	DET
ejde-44	391	14	comparison	comparison	NOUN
ejde-44	391	15	result	result	NOUN
ejde-44	391	16	since	since	SCONJ
ejde-44	391	17	y0	y0	PROPN
ejde-44	391	18	is	be	AUX
ejde-44	391	19	super	super	ADJ
ejde-44	391	20	-	-	ADJ
ejde-44	391	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	391	22	but	but	CCONJ
ejde-44	391	23	not	not	PART
ejde-44	391	24	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	391	25	we	we	PRON
ejde-44	391	26	have	have	VERB
ejde-44	391	27	x	x	NOUN
ejde-44	391	28	≤	≤	NOUN
ejde-44	391	29	y0	y0	NOUN
ejde-44	391	30	,	,	PUNCT
ejde-44	391	31	∀x	∀x	X
ejde-44	391	32	∈	∈	PROPN
ejde-44	391	33	m.	m.	NOUN
ejde-44	391	34	we	we	PRON
ejde-44	391	35	prove	prove	VERB
ejde-44	391	36	that	that	SCONJ
ejde-44	391	37	m	m	NOUN
ejde-44	391	38	contains	contain	VERB
ejde-44	391	39	a	a	DET
ejde-44	391	40	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	391	41	element	element	NOUN
ejde-44	391	42	in	in	ADP
ejde-44	391	43	respect	respect	NOUN
ejde-44	391	44	to	to	ADP
ejde-44	391	45	the	the	DET
ejde-44	391	46	order	order	NOUN
ejde-44	391	47	:	:	PUNCT
ejde-44	392	1	x1	x1	ADJ
ejde-44	392	2	≺	≺	NOUN
ejde-44	392	3	x2	x2	INTJ
ejde-44	392	4	(	(	PUNCT
ejde-44	392	5	if	if	SCONJ
ejde-44	392	6	and	and	CCONJ
ejde-44	392	7	only	only	ADV
ejde-44	392	8	if	if	SCONJ
ejde-44	392	9	)	)	PUNCT
ejde-44	392	10	x1(t	x1(t	X
ejde-44	392	11	)	)	PUNCT
ejde-44	392	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	392	13	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	392	14	)	)	PUNCT
ejde-44	392	15	,	,	PUNCT
ejde-44	392	16	t	t	PROPN
ejde-44	392	17	∈	∈	PROPN
ejde-44	393	1	[	[	X
ejde-44	393	2	0	0	NUM
ejde-44	393	3	,	,	PUNCT
ejde-44	393	4	t	t	X
ejde-44	393	5	]	]	PUNCT
ejde-44	393	6	.	.	PUNCT
ejde-44	394	1	14	14	NUM
ejde-44	394	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	394	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	394	4	for	for	ADP
ejde-44	394	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	394	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	394	7	finally	finally	ADV
ejde-44	394	8	we	we	PRON
ejde-44	394	9	show	show	VERB
ejde-44	394	10	that	that	SCONJ
ejde-44	394	11	this	this	DET
ejde-44	394	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	394	13	element	element	NOUN
ejde-44	394	14	is	be	AUX
ejde-44	394	15	even	even	ADV
ejde-44	394	16	a	a	DET
ejde-44	394	17	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	394	18	solution	solution	NOUN
ejde-44	394	19	for	for	ADP
ejde-44	394	20	(	(	PUNCT
ejde-44	394	21	3	3	NUM
ejde-44	394	22	)	)	PUNCT
ejde-44	394	23	since	since	SCONJ
ejde-44	394	24	otherwise	otherwise	ADV
ejde-44	394	25	it	it	PRON
ejde-44	394	26	would	would	AUX
ejde-44	394	27	be	be	AUX
ejde-44	394	28	possible	possible	ADJ
ejde-44	394	29	to	to	PART
ejde-44	394	30	construct	construct	VERB
ejde-44	394	31	a	a	DET
ejde-44	394	32	sub	sub	ADJ
ejde-44	394	33	-	-	ADJ
ejde-44	394	34	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	394	35	solution	solution	NOUN
ejde-44	394	36	greater	great	ADJ
ejde-44	394	37	than	than	ADP
ejde-44	394	38	the	the	DET
ejde-44	394	39	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	394	40	element	element	NOUN
ejde-44	394	41	.	.	PUNCT
ejde-44	395	1	we	we	PRON
ejde-44	395	2	state	state	VERB
ejde-44	395	3	now	now	ADV
ejde-44	395	4	the	the	DET
ejde-44	395	5	following	follow	VERB
ejde-44	395	6	generalization	generalization	NOUN
ejde-44	395	7	.	.	PUNCT
ejde-44	396	1	theorem	theorem	VERB
ejde-44	396	2	2.20	2.20	NUM
ejde-44	396	3	assume	assume	VERB
ejde-44	396	4	that	that	SCONJ
ejde-44	396	5	g	g	NOUN
ejde-44	396	6	:	:	PUNCT
ejde-44	396	7	r×r→	r×r→	X
ejde-44	396	8	r	r	NOUN
ejde-44	396	9	is	be	AUX
ejde-44	396	10	increasing	increase	VERB
ejde-44	396	11	lipschitz	lipschitz	ADJ
ejde-44	396	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	396	13	function	function	NOUN
ejde-44	396	14	in	in	ADP
ejde-44	396	15	x	x	PROPN
ejde-44	396	16	,	,	PUNCT
ejde-44	396	17	t	t	NOUN
ejde-44	396	18	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	396	19	and	and	CCONJ
ejde-44	396	20	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	396	21	in	in	ADP
ejde-44	396	22	t	t	PROPN
ejde-44	396	23	and	and	CCONJ
ejde-44	396	24	f	f	NOUN
ejde-44	396	25	:	:	PUNCT
ejde-44	396	26	r→	r→	PROPN
ejde-44	396	27	r	r	NOUN
ejde-44	396	28	is	be	AUX
ejde-44	396	29	t	t	NOUN
ejde-44	396	30	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	396	31	and	and	CCONJ
ejde-44	396	32	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	396	33	in	in	ADP
ejde-44	396	34	t.	t.	PROPN
ejde-44	396	35	then	then	ADV
ejde-44	396	36	the	the	DET
ejde-44	396	37	equation	equation	NOUN
ejde-44	396	38	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	396	39	)	)	PUNCT
ejde-44	397	1	+	+	CCONJ
ejde-44	397	2	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	397	3	,	,	PUNCT
ejde-44	397	4	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	397	5	)	)	PUNCT
ejde-44	397	6	)	)	PUNCT
ejde-44	398	1	=	=	SYM
ejde-44	398	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	398	3	)	)	PUNCT
ejde-44	398	4	,	,	PUNCT
ejde-44	398	5	t	t	PROPN
ejde-44	398	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	398	7	r	r	PROPN
ejde-44	398	8	,	,	PUNCT
ejde-44	398	9	(	(	PUNCT
ejde-44	398	10	27	27	NUM
ejde-44	398	11	)	)	PUNCT
ejde-44	398	12	has	have	VERB
ejde-44	398	13	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	398	14	solutions	solution	NOUN
ejde-44	398	15	if	if	SCONJ
ejde-44	398	16	and	and	CCONJ
ejde-44	398	17	only	only	ADV
ejde-44	398	18	if	if	SCONJ
ejde-44	398	19	there	there	PRON
ejde-44	398	20	is	be	VERB
ejde-44	398	21	x0	x0	PROPN
ejde-44	398	22	∈	∈	PROPN
ejde-44	398	23	r	r	NOUN
ejde-44	398	24	such	such	ADJ
ejde-44	398	25	that	that	SCONJ
ejde-44	398	26	〈	〈	PROPN
ejde-44	398	27	f	f	PROPN
ejde-44	398	28	〉	〉	PROPN
ejde-44	398	29	:	:	PUNCT
ejde-44	399	1	=	=	SYM
ejde-44	399	2	1	1	NUM
ejde-44	399	3	t	t	NOUN
ejde-44	399	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	399	5	t	t	PROPN
ejde-44	399	6	0	0	NUM
ejde-44	399	7	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	399	8	=	=	SYM
ejde-44	399	9	1	1	NUM
ejde-44	399	10	t	t	NOUN
ejde-44	399	11	∫	∫	PROPN
ejde-44	399	12	t	t	PROPN
ejde-44	399	13	0	0	NUM
ejde-44	400	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	400	2	,	,	PUNCT
ejde-44	400	3	x0)dt	x0)dt	PROPN
ejde-44	400	4	=	=	PROPN
ejde-44	400	5	g(x0	g(x0	PROPN
ejde-44	400	6	)	)	PUNCT
ejde-44	400	7	.	.	PUNCT
ejde-44	401	1	(	(	PUNCT
ejde-44	401	2	28	28	NUM
ejde-44	401	3	)	)	PUNCT
ejde-44	401	4	moreover	moreover	ADV
ejde-44	401	5	,	,	PUNCT
ejde-44	401	6	in	in	ADP
ejde-44	401	7	this	this	DET
ejde-44	401	8	case	case	NOUN
ejde-44	401	9	we	we	PRON
ejde-44	401	10	have	have	VERB
ejde-44	401	11	the	the	DET
ejde-44	401	12	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	401	13	‖x‖l∞(r	‖x‖l∞(r	NOUN
ejde-44	401	14	)	)	PUNCT
ejde-44	401	15	≤	≤	NOUN
ejde-44	401	16	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	401	17	∫	∫	PROPN
ejde-44	401	18	t	t	PROPN
ejde-44	401	19	0	0	PROPN
ejde-44	401	20	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	401	21	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	401	22	,	,	PUNCT
ejde-44	401	23	x0)|dt	x0)|dt	PROPN
ejde-44	401	24	,	,	PUNCT
ejde-44	401	25	∀	∀	PUNCT
ejde-44	402	1	x0	x0	PROPN
ejde-44	402	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	402	3	g−1〈f	g−1〈f	PROPN
ejde-44	402	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	402	5	.	.	PUNCT
ejde-44	403	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	403	2	consider	consider	VERB
ejde-44	403	3	the	the	DET
ejde-44	403	4	average	average	ADJ
ejde-44	403	5	function	function	NOUN
ejde-44	403	6	g	g	NOUN
ejde-44	403	7	:	:	PUNCT
ejde-44	403	8	r→	r→	PROPN
ejde-44	403	9	r	r	NOUN
ejde-44	403	10	given	give	VERB
ejde-44	403	11	by	by	ADP
ejde-44	403	12	g(x	g(x	NOUN
ejde-44	403	13	)	)	PUNCT
ejde-44	403	14	=	=	SYM
ejde-44	404	1	1	1	NUM
ejde-44	404	2	t	t	NOUN
ejde-44	404	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	404	4	t	t	PROPN
ejde-44	404	5	0	0	NUM
ejde-44	404	6	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	404	7	,	,	PUNCT
ejde-44	404	8	x)dt	x)dt	PROPN
ejde-44	404	9	,	,	PUNCT
ejde-44	404	10	x	x	PROPN
ejde-44	404	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	404	12	r.	r.	NOUN
ejde-44	404	13	it	it	PRON
ejde-44	404	14	is	be	AUX
ejde-44	404	15	easy	easy	ADJ
ejde-44	404	16	to	to	PART
ejde-44	404	17	check	check	VERB
ejde-44	404	18	that	that	PRON
ejde-44	404	19	g	g	PROPN
ejde-44	404	20	is	be	AUX
ejde-44	404	21	also	also	ADV
ejde-44	404	22	increasing	increase	VERB
ejde-44	404	23	and	and	CCONJ
ejde-44	404	24	lipschitz	lipschitz	VERB
ejde-44	404	25	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	404	26	with	with	ADP
ejde-44	404	27	the	the	DET
ejde-44	404	28	same	same	ADJ
ejde-44	404	29	constant	constant	NOUN
ejde-44	404	30	.	.	PUNCT
ejde-44	405	1	let	let	VERB
ejde-44	405	2	us	we	PRON
ejde-44	405	3	prove	prove	VERB
ejde-44	405	4	that	that	SCONJ
ejde-44	405	5	the	the	DET
ejde-44	405	6	condition	condition	NOUN
ejde-44	405	7	(	(	PUNCT
ejde-44	405	8	28	28	NUM
ejde-44	405	9	)	)	PUNCT
ejde-44	405	10	is	be	AUX
ejde-44	405	11	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	405	12	.	.	PUNCT
ejde-44	406	1	suppose	suppose	VERB
ejde-44	406	2	that	that	SCONJ
ejde-44	406	3	x	x	PRON
ejde-44	406	4	is	be	AUX
ejde-44	406	5	a	a	DET
ejde-44	406	6	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	406	7	solution	solution	NOUN
ejde-44	406	8	for	for	ADP
ejde-44	406	9	(	(	PUNCT
ejde-44	406	10	27	27	NUM
ejde-44	406	11	)	)	PUNCT
ejde-44	406	12	.	.	PUNCT
ejde-44	407	1	by	by	ADP
ejde-44	407	2	integration	integration	NOUN
ejde-44	407	3	on	on	ADP
ejde-44	407	4	[	[	X
ejde-44	407	5	0	0	NUM
ejde-44	407	6	,	,	PUNCT
ejde-44	407	7	t	t	X
ejde-44	407	8	]	]	PUNCT
ejde-44	407	9	we	we	PRON
ejde-44	407	10	get	get	VERB
ejde-44	407	11	1	1	NUM
ejde-44	407	12	t	t	NOUN
ejde-44	407	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	408	1	t	t	PROPN
ejde-44	408	2	0	0	NUM
ejde-44	408	3	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	408	4	,	,	PUNCT
ejde-44	408	5	x(t))dt	x(t))dt	PROPN
ejde-44	409	1	=	=	SYM
ejde-44	409	2	〈	〈	PROPN
ejde-44	409	3	f	f	PROPN
ejde-44	409	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	409	5	.	.	PUNCT
ejde-44	410	1	(	(	PUNCT
ejde-44	410	2	29	29	NUM
ejde-44	410	3	)	)	PUNCT
ejde-44	410	4	we	we	PRON
ejde-44	410	5	can	can	AUX
ejde-44	410	6	write	write	VERB
ejde-44	410	7	m	m	PRON
ejde-44	410	8	≤	≤	ADJ
ejde-44	410	9	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	410	10	)	)	PUNCT
ejde-44	410	11	≤m	≤m	NOUN
ejde-44	410	12	,	,	PUNCT
ejde-44	410	13	t	t	PROPN
ejde-44	410	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	411	1	[	[	X
ejde-44	411	2	0	0	NUM
ejde-44	411	3	,	,	PUNCT
ejde-44	411	4	t	t	X
ejde-44	411	5	]	]	PUNCT
ejde-44	411	6	,	,	PUNCT
ejde-44	411	7	and	and	CCONJ
ejde-44	411	8	thus	thus	ADV
ejde-44	411	9	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	411	10	,	,	PUNCT
ejde-44	411	11	m	m	NOUN
ejde-44	411	12	)	)	PUNCT
ejde-44	411	13	≤	≤	NUM
ejde-44	411	14	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	411	15	,	,	PUNCT
ejde-44	411	16	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	411	17	)	)	PUNCT
ejde-44	411	18	)	)	PUNCT
ejde-44	412	1	≤	≤	NUM
ejde-44	412	2	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	412	3	,	,	PUNCT
ejde-44	412	4	m	m	PROPN
ejde-44	412	5	)	)	PUNCT
ejde-44	412	6	,	,	PUNCT
ejde-44	412	7	t	t	PROPN
ejde-44	412	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	413	1	[	[	X
ejde-44	413	2	0	0	NUM
ejde-44	413	3	,	,	PUNCT
ejde-44	413	4	t	t	X
ejde-44	413	5	]	]	PUNCT
ejde-44	413	6	,	,	PUNCT
ejde-44	413	7	which	which	PRON
ejde-44	413	8	implies	imply	VERB
ejde-44	413	9	g(m	g(m	NOUN
ejde-44	413	10	)	)	PUNCT
ejde-44	413	11	=	=	SYM
ejde-44	413	12	1	1	NUM
ejde-44	413	13	t	t	NOUN
ejde-44	413	14	∫	∫	PROPN
ejde-44	413	15	t	t	PROPN
ejde-44	413	16	0	0	NUM
ejde-44	414	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	414	2	,	,	PUNCT
ejde-44	414	3	m)dt	m)dt	PROPN
ejde-44	414	4	≤	≤	ADV
ejde-44	414	5	1	1	NUM
ejde-44	415	1	t	t	NOUN
ejde-44	415	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	415	3	t	t	PROPN
ejde-44	415	4	0	0	NUM
ejde-44	416	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	416	2	,	,	PUNCT
ejde-44	416	3	x(t))dt	x(t))dt	PROPN
ejde-44	416	4	≤	≤	NUM
ejde-44	416	5	1	1	NUM
ejde-44	416	6	t	t	NOUN
ejde-44	416	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	416	8	t	t	PROPN
ejde-44	416	9	0	0	NUM
ejde-44	416	10	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	416	11	,	,	PUNCT
ejde-44	416	12	m)dt	m)dt	PROPN
ejde-44	416	13	=	=	PUNCT
ejde-44	416	14	g(m	g(m	PROPN
ejde-44	416	15	)	)	PUNCT
ejde-44	416	16	.	.	PUNCT
ejde-44	417	1	since	since	SCONJ
ejde-44	417	2	g	g	PROPN
ejde-44	417	3	is	be	AUX
ejde-44	417	4	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	417	5	it	it	PRON
ejde-44	417	6	follows	follow	VERB
ejde-44	417	7	that	that	SCONJ
ejde-44	417	8	there	there	PRON
ejde-44	417	9	is	be	VERB
ejde-44	417	10	x0	x0	PROPN
ejde-44	417	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	418	1	[	[	X
ejde-44	418	2	m	m	NOUN
ejde-44	418	3	,	,	PUNCT
ejde-44	418	4	m	m	VERB
ejde-44	418	5	]	]	PUNCT
ejde-44	418	6	such	such	ADJ
ejde-44	418	7	that	that	SCONJ
ejde-44	418	8	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	418	9	)	)	PUNCT
ejde-44	418	10	=	=	SYM
ejde-44	419	1	1	1	NUM
ejde-44	419	2	t	t	NOUN
ejde-44	419	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	419	4	t	t	PROPN
ejde-44	419	5	0	0	NUM
ejde-44	420	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	420	2	,	,	PUNCT
ejde-44	420	3	x(t))dt	x(t))dt	PROPN
ejde-44	420	4	and	and	CCONJ
ejde-44	420	5	from	from	ADP
ejde-44	420	6	(	(	PUNCT
ejde-44	420	7	29	29	NUM
ejde-44	420	8	)	)	PUNCT
ejde-44	420	9	we	we	PRON
ejde-44	420	10	deduce	deduce	VERB
ejde-44	420	11	that	that	SCONJ
ejde-44	420	12	〈	〈	PROPN
ejde-44	420	13	f	f	PROPN
ejde-44	420	14	〉	〉	PROPN
ejde-44	420	15	=	=	SYM
ejde-44	420	16	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	420	17	)	)	PUNCT
ejde-44	420	18	.	.	PUNCT
ejde-44	421	1	let	let	VERB
ejde-44	421	2	us	we	PRON
ejde-44	421	3	show	show	VERB
ejde-44	421	4	that	that	SCONJ
ejde-44	421	5	the	the	DET
ejde-44	421	6	condition	condition	NOUN
ejde-44	421	7	(	(	PUNCT
ejde-44	421	8	28	28	NUM
ejde-44	421	9	)	)	PUNCT
ejde-44	421	10	is	be	AUX
ejde-44	421	11	also	also	ADV
ejde-44	421	12	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	421	13	.	.	PUNCT
ejde-44	422	1	as	as	SCONJ
ejde-44	422	2	before	before	ADV
ejde-44	422	3	let	let	VERB
ejde-44	422	4	us	we	PRON
ejde-44	422	5	consider	consider	VERB
ejde-44	422	6	the	the	DET
ejde-44	422	7	unique	unique	ADJ
ejde-44	422	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	422	9	solution	solution	NOUN
ejde-44	422	10	for	for	ADP
ejde-44	422	11	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	422	12	)	)	PUNCT
ejde-44	422	13	+	+	NUM
ejde-44	422	14	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	422	15	)	)	PUNCT
ejde-44	423	1	+	+	CCONJ
ejde-44	423	2	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	423	3	,	,	PUNCT
ejde-44	423	4	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	423	5	)	)	PUNCT
ejde-44	423	6	)	)	PUNCT
ejde-44	424	1	=	=	SYM
ejde-44	424	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	424	3	)	)	PUNCT
ejde-44	424	4	,	,	PUNCT
ejde-44	424	5	t	t	PROPN
ejde-44	424	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	425	1	[	[	X
ejde-44	425	2	0	0	NUM
ejde-44	425	3	,	,	PUNCT
ejde-44	425	4	t	t	X
ejde-44	425	5	]	]	PUNCT
ejde-44	425	6	,	,	PUNCT
ejde-44	425	7	α	α	X
ejde-44	425	8	>	>	X
ejde-44	425	9	0	0	PROPN
ejde-44	425	10	,	,	PUNCT
ejde-44	425	11	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	425	12	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	425	13	15	15	NUM
ejde-44	425	14	(	(	PUNCT
ejde-44	425	15	existence	existence	NOUN
ejde-44	425	16	and	and	CCONJ
ejde-44	425	17	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	425	18	follow	follow	VERB
ejde-44	425	19	by	by	ADP
ejde-44	425	20	the	the	DET
ejde-44	425	21	banach	banach	NOUN
ejde-44	425	22	’s	’s	PART
ejde-44	425	23	fixed	fix	VERB
ejde-44	425	24	point	point	NOUN
ejde-44	425	25	theorem	theorem	VERB
ejde-44	425	26	exactly	exactly	ADV
ejde-44	425	27	as	as	ADP
ejde-44	425	28	before	before	ADV
ejde-44	425	29	)	)	PUNCT
ejde-44	425	30	.	.	PUNCT
ejde-44	426	1	all	all	PRON
ejde-44	426	2	we	we	PRON
ejde-44	426	3	need	need	VERB
ejde-44	426	4	to	to	PART
ejde-44	426	5	prove	prove	VERB
ejde-44	426	6	is	be	AUX
ejde-44	426	7	that	that	SCONJ
ejde-44	426	8	(	(	PUNCT
ejde-44	426	9	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	426	10	is	be	AUX
ejde-44	426	11	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	426	12	bounded	bound	VERB
ejde-44	426	13	in	in	ADP
ejde-44	426	14	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	426	15	)	)	PUNCT
ejde-44	426	16	(	(	PUNCT
ejde-44	426	17	then	then	ADV
ejde-44	426	18	(	(	PUNCT
ejde-44	426	19	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	426	20	is	be	AUX
ejde-44	426	21	also	also	ADV
ejde-44	426	22	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	426	23	bounded	bound	VERB
ejde-44	426	24	in	in	ADP
ejde-44	426	25	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	426	26	)	)	PUNCT
ejde-44	426	27	and	and	CCONJ
ejde-44	426	28	by	by	ADP
ejde-44	426	29	arzela	arzela	PROPN
ejde-44	426	30	-	-	PUNCT
ejde-44	426	31	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-44	426	32	’s	’s	PART
ejde-44	426	33	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	426	34	we	we	PRON
ejde-44	426	35	deduce	deduce	VERB
ejde-44	426	36	that	that	SCONJ
ejde-44	426	37	xα	xα	ADP
ejde-44	426	38	converges	converge	VERB
ejde-44	426	39	to	to	ADP
ejde-44	426	40	a	a	DET
ejde-44	426	41	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	426	42	solution	solution	NOUN
ejde-44	426	43	for	for	ADP
ejde-44	426	44	(	(	PUNCT
ejde-44	426	45	27	27	NUM
ejde-44	426	46	)	)	PUNCT
ejde-44	426	47	)	)	PUNCT
ejde-44	426	48	.	.	PUNCT
ejde-44	427	1	taking	take	VERB
ejde-44	427	2	the	the	DET
ejde-44	427	3	average	average	NOUN
ejde-44	427	4	on	on	ADP
ejde-44	427	5	[	[	X
ejde-44	427	6	0	0	NUM
ejde-44	427	7	,	,	PUNCT
ejde-44	427	8	t	t	X
ejde-44	427	9	]	]	PUNCT
ejde-44	427	10	we	we	PRON
ejde-44	427	11	get	get	VERB
ejde-44	427	12	1	1	NUM
ejde-44	427	13	t	t	NOUN
ejde-44	427	14	∫	∫	PROPN
ejde-44	427	15	t	t	PROPN
ejde-44	427	16	0	0	NUM
ejde-44	427	17	{	{	PUNCT
ejde-44	427	18	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	427	19	)	)	PUNCT
ejde-44	427	20	+	+	CCONJ
ejde-44	427	21	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	427	22	,	,	PUNCT
ejde-44	427	23	xα(t))}dt	xα(t))}dt	PUNCT
ejde-44	428	1	=	=	PUNCT
ejde-44	429	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	429	2	f	f	PROPN
ejde-44	429	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	429	4	=	=	SYM
ejde-44	429	5	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	429	6	)	)	PUNCT
ejde-44	429	7	,	,	PUNCT
ejde-44	429	8	α	α	X
ejde-44	429	9	>	>	X
ejde-44	429	10	0	0	NUM
ejde-44	429	11	.	.	PUNCT
ejde-44	430	1	as	as	SCONJ
ejde-44	430	2	before	before	SCONJ
ejde-44	430	3	we	we	PRON
ejde-44	430	4	can	can	AUX
ejde-44	430	5	write	write	VERB
ejde-44	430	6	αmα	αmα	NOUN
ejde-44	430	7	+	+	CCONJ
ejde-44	430	8	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	430	9	,	,	PUNCT
ejde-44	430	10	mα	mα	NOUN
ejde-44	430	11	)	)	PUNCT
ejde-44	430	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	430	13	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	430	14	)	)	PUNCT
ejde-44	431	1	+	+	CCONJ
ejde-44	432	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	432	2	,	,	PUNCT
ejde-44	432	3	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	432	4	)	)	PUNCT
ejde-44	432	5	)	)	PUNCT
ejde-44	433	1	≤	≤	NUM
ejde-44	433	2	αmα	αmα	NOUN
ejde-44	433	3	+	+	CCONJ
ejde-44	433	4	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	433	5	,	,	PUNCT
ejde-44	433	6	mα	mα	PROPN
ejde-44	433	7	)	)	PUNCT
ejde-44	433	8	,	,	PUNCT
ejde-44	433	9	t	t	PROPN
ejde-44	433	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	434	1	[	[	X
ejde-44	434	2	0	0	NUM
ejde-44	434	3	,	,	PUNCT
ejde-44	434	4	t	t	X
ejde-44	434	5	]	]	PUNCT
ejde-44	434	6	,	,	PUNCT
ejde-44	434	7	α	α	X
ejde-44	434	8	>	>	X
ejde-44	434	9	0	0	PROPN
ejde-44	434	10	,	,	PUNCT
ejde-44	434	11	where	where	SCONJ
ejde-44	434	12	mα	mα	DET
ejde-44	434	13	≤	≤	NOUN
ejde-44	434	14	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	434	15	)	)	PUNCT
ejde-44	434	16	≤mα	≤mα	PROPN
ejde-44	434	17	,	,	PUNCT
ejde-44	434	18	t	t	PROPN
ejde-44	434	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	435	1	[	[	X
ejde-44	435	2	0	0	NUM
ejde-44	435	3	,	,	PUNCT
ejde-44	435	4	t	t	X
ejde-44	435	5	]	]	PUNCT
ejde-44	435	6	,	,	PUNCT
ejde-44	435	7	α	α	X
ejde-44	435	8	>	>	X
ejde-44	435	9	0	0	NUM
ejde-44	435	10	,	,	PUNCT
ejde-44	435	11	and	and	CCONJ
ejde-44	435	12	hence	hence	ADV
ejde-44	435	13	αmα	αmα	VERB
ejde-44	435	14	+	+	NOUN
ejde-44	435	15	g(mα	g(mα	ADJ
ejde-44	435	16	)	)	PUNCT
ejde-44	435	17	≤	≤	NUM
ejde-44	436	1	1	1	NUM
ejde-44	436	2	t	t	NOUN
ejde-44	436	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	436	4	t	t	PROPN
ejde-44	436	5	0	0	NUM
ejde-44	436	6	{	{	PUNCT
ejde-44	436	7	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	436	8	)	)	PUNCT
ejde-44	436	9	+	+	CCONJ
ejde-44	436	10	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	436	11	,	,	PUNCT
ejde-44	436	12	xα(t))}dt	xα(t))}dt	PROPN
ejde-44	436	13	≤	≤	PUNCT
ejde-44	436	14	αmα	αmα	VERB
ejde-44	436	15	+	+	NOUN
ejde-44	436	16	g(mα	g(mα	X
ejde-44	436	17	)	)	PUNCT
ejde-44	436	18	,	,	PUNCT
ejde-44	436	19	α	α	X
ejde-44	436	20	>	>	X
ejde-44	436	21	0	0	X
ejde-44	436	22	.	.	PUNCT
ejde-44	437	1	finally	finally	ADV
ejde-44	437	2	we	we	PRON
ejde-44	437	3	get	get	VERB
ejde-44	437	4	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	437	5	)	)	PUNCT
ejde-44	437	6	=	=	SYM
ejde-44	437	7	1	1	NUM
ejde-44	437	8	t	t	NOUN
ejde-44	437	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	437	10	t	t	PROPN
ejde-44	437	11	0	0	NUM
ejde-44	437	12	{	{	PUNCT
ejde-44	437	13	αxα(t)+g(t	αxα(t)+g(t	PROPN
ejde-44	437	14	,	,	PUNCT
ejde-44	437	15	xα(t))}dt	xα(t))}dt	PUNCT
ejde-44	437	16	=	=	PROPN
ejde-44	437	17	αuα+g(uα	αuα+g(uα	NOUN
ejde-44	437	18	)	)	PUNCT
ejde-44	437	19	,	,	PUNCT
ejde-44	437	20	uα	uα	PROPN
ejde-44	437	21	∈]mα	∈]mα	PROPN
ejde-44	437	22	,	,	PUNCT
ejde-44	437	23	mα	mα	PROPN
ejde-44	438	1	[	[	X
ejde-44	438	2	,	,	PUNCT
ejde-44	438	3	α	α	X
ejde-44	438	4	>	>	X
ejde-44	438	5	0	0	NUM
ejde-44	438	6	.	.	PUNCT
ejde-44	439	1	(	(	PUNCT
ejde-44	439	2	30	30	NUM
ejde-44	439	3	)	)	PUNCT
ejde-44	439	4	multiplying	multiply	VERB
ejde-44	439	5	by	by	ADP
ejde-44	439	6	uα	uα	PROPN
ejde-44	439	7	−	−	PROPN
ejde-44	439	8	x0	x0	PROPN
ejde-44	439	9	we	we	PRON
ejde-44	439	10	obtain	obtain	VERB
ejde-44	439	11	αuα(uα	αuα(uα	NOUN
ejde-44	439	12	−	−	ADP
ejde-44	439	13	x0	x0	NUM
ejde-44	439	14	)	)	PUNCT
ejde-44	440	1	=	=	PUNCT
ejde-44	441	1	−(g(x0)−g(uα))(x0	−(g(x0)−g(uα))(x0	PROPN
ejde-44	441	2	−	−	PROPN
ejde-44	442	1	uα	uα	PROPN
ejde-44	442	2	)	)	PUNCT
ejde-44	442	3	,	,	PUNCT
ejde-44	442	4	α	α	X
ejde-44	442	5	>	>	X
ejde-44	442	6	0	0	X
ejde-44	442	7	.	.	PUNCT
ejde-44	443	1	since	since	SCONJ
ejde-44	443	2	g	g	PROPN
ejde-44	443	3	is	be	AUX
ejde-44	443	4	increasing	increase	VERB
ejde-44	443	5	we	we	PRON
ejde-44	443	6	deduce	deduce	VERB
ejde-44	443	7	that	that	PRON
ejde-44	443	8	|uα|2	|uα|2	PUNCT
ejde-44	444	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	444	2	uαx0	uαx0	NOUN
ejde-44	444	3	≤	≤	PUNCT
ejde-44	444	4	|uα|	|uα|	NUM
ejde-44	444	5	·	·	PUNCT
ejde-44	444	6	|x0|	|x0|	NOUN
ejde-44	444	7	,	,	PUNCT
ejde-44	444	8	α	α	PROPN
ejde-44	444	9	>	>	X
ejde-44	444	10	0	0	PUNCT
ejde-44	444	11	and	and	CCONJ
ejde-44	444	12	hence	hence	ADV
ejde-44	444	13	(	(	PUNCT
ejde-44	444	14	uα)α>0	uα)α>0	PROPN
ejde-44	444	15	is	be	AUX
ejde-44	444	16	bounded	bound	VERB
ejde-44	444	17	:	:	PUNCT
ejde-44	444	18	|uα|	|uα|	NUM
ejde-44	444	19	≤	≤	NUM
ejde-44	444	20	|x0|	|x0|	NOUN
ejde-44	444	21	,	,	PUNCT
ejde-44	444	22	α	α	PROPN
ejde-44	444	23	>	>	X
ejde-44	444	24	0	0	PROPN
ejde-44	444	25	.	.	PUNCT
ejde-44	445	1	now	now	ADV
ejde-44	445	2	using	use	VERB
ejde-44	445	3	(	(	PUNCT
ejde-44	445	4	30	30	NUM
ejde-44	445	5	)	)	PUNCT
ejde-44	445	6	it	it	PRON
ejde-44	445	7	follows	follow	VERB
ejde-44	445	8	1	1	NUM
ejde-44	445	9	t	t	NOUN
ejde-44	445	10	∫	∫	PROPN
ejde-44	445	11	t	t	PROPN
ejde-44	445	12	0	0	NUM
ejde-44	445	13	{	{	PUNCT
ejde-44	445	14	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	445	15	)	)	PUNCT
ejde-44	445	16	+	+	CCONJ
ejde-44	446	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	446	2	,	,	PUNCT
ejde-44	446	3	xα(t))}dt	xα(t))}dt	PUNCT
ejde-44	446	4	=	=	SYM
ejde-44	446	5	1	1	NUM
ejde-44	446	6	t	t	NOUN
ejde-44	446	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	446	8	t	t	PROPN
ejde-44	446	9	0	0	NUM
ejde-44	446	10	{	{	PUNCT
ejde-44	446	11	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	446	12	+	+	CCONJ
ejde-44	446	13	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	446	14	,	,	PUNCT
ejde-44	446	15	uα)}dt	uα)}dt	INTJ
ejde-44	446	16	,	,	PUNCT
ejde-44	446	17	and	and	CCONJ
ejde-44	446	18	thus	thus	ADV
ejde-44	446	19	there	there	PRON
ejde-44	446	20	is	be	VERB
ejde-44	446	21	tα	tα	VERB
ejde-44	446	22	∈]0	∈]0	NOUN
ejde-44	446	23	,	,	PUNCT
ejde-44	446	24	t	t	PROPN
ejde-44	446	25	[	[	PUNCT
ejde-44	446	26	such	such	ADJ
ejde-44	446	27	that	that	DET
ejde-44	446	28	αxα(tα	αxα(tα	NOUN
ejde-44	446	29	)	)	PUNCT
ejde-44	447	1	+	+	NUM
ejde-44	447	2	g(tα	g(tα	PROPN
ejde-44	447	3	,	,	PUNCT
ejde-44	447	4	xα(tα	xα(tα	NUM
ejde-44	447	5	)	)	PUNCT
ejde-44	447	6	)	)	PUNCT
ejde-44	448	1	=	=	PUNCT
ejde-44	448	2	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	448	3	+	+	CCONJ
ejde-44	448	4	g(tα	g(tα	PROPN
ejde-44	448	5	,	,	PUNCT
ejde-44	448	6	uα	uα	NOUN
ejde-44	448	7	)	)	PUNCT
ejde-44	448	8	,	,	PUNCT
ejde-44	448	9	α	α	X
ejde-44	448	10	>	>	X
ejde-44	448	11	0	0	X
ejde-44	448	12	.	.	PUNCT
ejde-44	449	1	since	since	SCONJ
ejde-44	449	2	α(xα(tα	α(xα(tα	NUM
ejde-44	449	3	)	)	PUNCT
ejde-44	449	4	−	−	PROPN
ejde-44	449	5	uα)2	uα)2	PROPN
ejde-44	449	6	=	=	SYM
ejde-44	449	7	−[g(tα	−[g(tα	PROPN
ejde-44	449	8	,	,	PUNCT
ejde-44	449	9	xα(tα	xα(tα	NUM
ejde-44	449	10	)	)	PUNCT
ejde-44	449	11	)	)	PUNCT
ejde-44	449	12	−	−	PROPN
ejde-44	449	13	g(tα	g(tα	PROPN
ejde-44	449	14	,	,	PUNCT
ejde-44	449	15	uα)][xα(tα	uα)][xα(tα	PROPN
ejde-44	449	16	)	)	PUNCT
ejde-44	449	17	−	−	PROPN
ejde-44	449	18	uα	uα	X
ejde-44	449	19	]	]	X
ejde-44	449	20	≤	≤	NUM
ejde-44	449	21	0	0	NUM
ejde-44	449	22	we	we	PRON
ejde-44	449	23	find	find	VERB
ejde-44	449	24	that	that	SCONJ
ejde-44	449	25	xα(tα	xα(tα	NUM
ejde-44	449	26	)	)	PUNCT
ejde-44	450	1	=	=	SYM
ejde-44	450	2	uα	uα	PROPN
ejde-44	450	3	,	,	PUNCT
ejde-44	450	4	α	α	NOUN
ejde-44	450	5	>	>	X
ejde-44	450	6	0	0	PUNCT
ejde-44	450	7	and	and	CCONJ
ejde-44	450	8	thus	thus	ADV
ejde-44	450	9	(	(	PUNCT
ejde-44	450	10	xα(tα))α>0	xα(tα))α>0	PROPN
ejde-44	450	11	is	be	AUX
ejde-44	450	12	also	also	ADV
ejde-44	450	13	bounded	bound	VERB
ejde-44	450	14	|xα(tα)|	|xα(tα)|	VERB
ejde-44	450	15	≤	≤	PROPN
ejde-44	450	16	|x0|	|x0|	PROPN
ejde-44	450	17	,	,	PUNCT
ejde-44	450	18	α	α	PROPN
ejde-44	450	19	>	>	X
ejde-44	450	20	0	0	X
ejde-44	450	21	.	.	PUNCT
ejde-44	451	1	now	now	ADV
ejde-44	451	2	by	by	ADP
ejde-44	451	3	standard	standard	ADJ
ejde-44	451	4	calculations	calculation	NOUN
ejde-44	451	5	we	we	PRON
ejde-44	451	6	can	can	AUX
ejde-44	451	7	write	write	VERB
ejde-44	451	8	1	1	NUM
ejde-44	451	9	2	2	NUM
ejde-44	451	10	d	d	NOUN
ejde-44	451	11	dt	dt	NOUN
ejde-44	451	12	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	451	13	xα(tα)|2	xα(tα)|2	PROPN
ejde-44	452	1	+	+	CCONJ
ejde-44	452	2	[	[	X
ejde-44	452	3	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	452	4	,	,	PUNCT
ejde-44	452	5	xα(t))−	xα(t))−	PROPN
ejde-44	452	6	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	452	7	,	,	PUNCT
ejde-44	452	8	xα(tα))][xα(t)−	xα(tα))][xα(t)−	PROPN
ejde-44	452	9	xα(tα	xα(tα	PROPN
ejde-44	452	10	)	)	PUNCT
ejde-44	452	11	]	]	PUNCT
ejde-44	453	1	≤	≤	NOUN
ejde-44	454	1	[	[	X
ejde-44	454	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	454	3	αxα(tα)−	αxα(tα)−	PROPN
ejde-44	454	4	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	454	5	,	,	PUNCT
ejde-44	454	6	xα(tα))][xα(t)−	xα(tα))][xα(t)−	PROPN
ejde-44	454	7	xα(tα	xα(tα	PROPN
ejde-44	454	8	)	)	PUNCT
ejde-44	454	9	]	]	PUNCT
ejde-44	454	10	,	,	PUNCT
ejde-44	454	11	t	t	PROPN
ejde-44	454	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	454	13	r	r	NOUN
ejde-44	454	14	,	,	PUNCT
ejde-44	454	15	16	16	NUM
ejde-44	454	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	454	17	solutions	solution	NOUN
ejde-44	454	18	for	for	ADP
ejde-44	454	19	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	454	20	equations	equation	NOUN
ejde-44	454	21	and	and	CCONJ
ejde-44	454	22	thus	thus	ADV
ejde-44	454	23	|xα(t)−	|xα(t)−	PROPN
ejde-44	454	24	xα(tα)|	xα(tα)|	PROPN
ejde-44	454	25	≤	≤	NUM
ejde-44	454	26	∫	∫	PROPN
ejde-44	454	27	t	t	PROPN
ejde-44	454	28	tα	tα	PROPN
ejde-44	454	29	|f(s)−	|f(s)−	NUM
ejde-44	454	30	αxα(tα)−	αxα(tα)−	PROPN
ejde-44	454	31	g(s	g(s	PROPN
ejde-44	454	32	,	,	PUNCT
ejde-44	454	33	xα(tα))|ds	xα(tα))|ds	PROPN
ejde-44	454	34	,	,	PUNCT
ejde-44	454	35	t	t	PROPN
ejde-44	454	36	>	>	X
ejde-44	454	37	tα	tα	PROPN
ejde-44	454	38	,	,	PUNCT
ejde-44	454	39	α	α	PROPN
ejde-44	454	40	>	>	X
ejde-44	454	41	0	0	PROPN
ejde-44	454	42	,	,	PUNCT
ejde-44	454	43	which	which	PRON
ejde-44	454	44	implies	imply	VERB
ejde-44	454	45	|xα(t)|	|xα(t)|	PROPN
ejde-44	454	46	≤	≤	PROPN
ejde-44	454	47	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	454	48	∫	∫	PROPN
ejde-44	454	49	t	t	PROPN
ejde-44	454	50	0	0	NUM
ejde-44	454	51	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	454	52	αxα(tα)−	αxα(tα)−	PUNCT
ejde-44	455	1	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	455	2	,	,	PUNCT
ejde-44	455	3	xα(tα))|dt	xα(tα))|dt	PRON
ejde-44	455	4	,	,	PUNCT
ejde-44	455	5	t	t	PROPN
ejde-44	455	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	456	1	[	[	X
ejde-44	456	2	0	0	NUM
ejde-44	456	3	,	,	PUNCT
ejde-44	456	4	t	t	X
ejde-44	456	5	]	]	PUNCT
ejde-44	456	6	,	,	PUNCT
ejde-44	456	7	α	α	X
ejde-44	456	8	>	>	X
ejde-44	456	9	0	0	NUM
ejde-44	456	10	.	.	PUNCT
ejde-44	456	11	(	(	PUNCT
ejde-44	456	12	31	31	NUM
ejde-44	456	13	)	)	PUNCT
ejde-44	456	14	since	since	SCONJ
ejde-44	456	15	(	(	PUNCT
ejde-44	456	16	xα(tα))α>0	xα(tα))α>0	PROPN
ejde-44	456	17	is	be	AUX
ejde-44	456	18	bounded	bound	VERB
ejde-44	456	19	we	we	PRON
ejde-44	456	20	have	have	VERB
ejde-44	456	21	uα	uα	PROPN
ejde-44	456	22	=	=	SYM
ejde-44	456	23	xα(tα)→	xα(tα)→	PROPN
ejde-44	456	24	x1	x1	PROPN
ejde-44	456	25	,	,	PUNCT
ejde-44	456	26	such	such	ADJ
ejde-44	456	27	that	that	SCONJ
ejde-44	456	28	g(x0	g(x0	NOUN
ejde-44	456	29	)	)	PUNCT
ejde-44	457	1	=	=	PROPN
ejde-44	457	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	457	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	457	4	{	{	PUNCT
ejde-44	457	5	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	457	6	+	+	NOUN
ejde-44	457	7	g(uα	g(uα	NOUN
ejde-44	457	8	)	)	PUNCT
ejde-44	457	9	}	}	PUNCT
ejde-44	457	10	=	=	SYM
ejde-44	457	11	g(x1	g(x1	NOUN
ejde-44	457	12	)	)	PUNCT
ejde-44	457	13	.	.	PUNCT
ejde-44	458	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	458	2	,	,	PUNCT
ejde-44	458	3	if	if	SCONJ
ejde-44	458	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	458	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	458	6	x1	x1	INTJ
ejde-44	458	7	we	we	PRON
ejde-44	458	8	have	have	VERB
ejde-44	458	9	0	0	NUM
ejde-44	458	10	≤	≤	NUM
ejde-44	458	11	1	1	NUM
ejde-44	458	12	t	t	NOUN
ejde-44	458	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	458	14	t	t	NOUN
ejde-44	458	15	0	0	NUM
ejde-44	459	1	[	[	X
ejde-44	459	2	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	459	3	,	,	PUNCT
ejde-44	459	4	x1)−	x1)−	PROPN
ejde-44	459	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	459	6	,	,	PUNCT
ejde-44	459	7	x0)]dt	x0)]dt	PROPN
ejde-44	459	8	=	=	SYM
ejde-44	459	9	g(x1)−g(x0	g(x1)−g(x0	PROPN
ejde-44	459	10	)	)	PUNCT
ejde-44	459	11	=	=	SYM
ejde-44	459	12	0	0	NUM
ejde-44	459	13	,	,	PUNCT
ejde-44	459	14	and	and	CCONJ
ejde-44	459	15	hence	hence	ADV
ejde-44	459	16	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	459	17	,	,	PUNCT
ejde-44	459	18	x1	x1	NUM
ejde-44	459	19	)	)	PUNCT
ejde-44	459	20	=	=	SYM
ejde-44	459	21	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	459	22	,	,	PUNCT
ejde-44	459	23	x0	x0	PROPN
ejde-44	459	24	)	)	PUNCT
ejde-44	459	25	for	for	ADP
ejde-44	459	26	all	all	DET
ejde-44	459	27	t	t	NOUN
ejde-44	459	28	∈	∈	PROPN
ejde-44	460	1	[	[	X
ejde-44	460	2	0	0	NUM
ejde-44	460	3	,	,	PUNCT
ejde-44	460	4	t	t	X
ejde-44	460	5	]	]	PUNCT
ejde-44	460	6	.	.	PUNCT
ejde-44	461	1	obviously	obviously	ADV
ejde-44	461	2	the	the	DET
ejde-44	461	3	same	same	ADJ
ejde-44	461	4	equalities	equality	NOUN
ejde-44	461	5	hold	hold	VERB
ejde-44	461	6	if	if	SCONJ
ejde-44	461	7	x0	x0	PROPN
ejde-44	461	8	>	>	X
ejde-44	462	1	x1	x1	PROPN
ejde-44	462	2	.	.	PUNCT
ejde-44	463	1	now	now	ADV
ejde-44	463	2	by	by	ADP
ejde-44	463	3	passing	pass	VERB
ejde-44	463	4	to	to	ADP
ejde-44	463	5	the	the	DET
ejde-44	463	6	limit	limit	NOUN
ejde-44	463	7	in	in	ADP
ejde-44	463	8	(	(	PUNCT
ejde-44	463	9	31	31	NUM
ejde-44	463	10	)	)	PUNCT
ejde-44	463	11	we	we	PRON
ejde-44	463	12	find	find	VERB
ejde-44	463	13	|x(t)|	|x(t)|	PROPN
ejde-44	463	14	≤	≤	NUM
ejde-44	463	15	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	463	16	∫	∫	PROPN
ejde-44	463	17	t	t	PROPN
ejde-44	463	18	0	0	PROPN
ejde-44	463	19	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	463	20	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	463	21	,	,	PUNCT
ejde-44	463	22	x1)|dt	x1)|dt	PROPN
ejde-44	463	23	(	(	PUNCT
ejde-44	463	24	32	32	NUM
ejde-44	463	25	)	)	PUNCT
ejde-44	463	26	=	=	PUNCT
ejde-44	464	1	|x0|+	|x0|+	X
ejde-44	464	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	464	3	t	t	PROPN
ejde-44	464	4	0	0	PROPN
ejde-44	464	5	|f(t)−	|f(t)−	PROPN
ejde-44	464	6	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	464	7	,	,	PUNCT
ejde-44	464	8	x0)|dt	x0)|dt	PROPN
ejde-44	464	9	,	,	PUNCT
ejde-44	464	10	t	t	PROPN
ejde-44	464	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	465	1	[	[	X
ejde-44	465	2	0	0	NUM
ejde-44	465	3	,	,	PUNCT
ejde-44	465	4	t	t	X
ejde-44	465	5	]	]	PUNCT
ejde-44	465	6	,	,	PUNCT
ejde-44	465	7	∀	∀	PUNCT
ejde-44	465	8	x0	x0	PROPN
ejde-44	465	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	465	10	g−1〈f	g−1〈f	PROPN
ejde-44	465	11	〉	〉	PROPN
ejde-44	465	12	,	,	PUNCT
ejde-44	465	13	and	and	CCONJ
ejde-44	465	14	therefore	therefore	ADV
ejde-44	465	15	(	(	PUNCT
ejde-44	465	16	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	465	17	is	be	AUX
ejde-44	465	18	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	465	19	bounded	bound	VERB
ejde-44	465	20	in	in	ADP
ejde-44	465	21	l∞(r	l∞(r	PROPN
ejde-44	465	22	)	)	PUNCT
ejde-44	465	23	.	.	PUNCT
ejde-44	466	1	3	3	NUM
ejde-44	466	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	466	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	466	4	for	for	ADP
ejde-44	466	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	466	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	466	7	on	on	ADP
ejde-44	466	8	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-44	466	9	spaces	space	NOUN
ejde-44	466	10	in	in	ADP
ejde-44	466	11	this	this	DET
ejde-44	466	12	section	section	NOUN
ejde-44	466	13	we	we	PRON
ejde-44	466	14	analyze	analyze	VERB
ejde-44	466	15	the	the	DET
ejde-44	466	16	existence	existence	NOUN
ejde-44	466	17	and	and	CCONJ
ejde-44	466	18	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	466	19	of	of	ADP
ejde-44	466	20	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	466	21	solutions	solution	NOUN
ejde-44	466	22	for	for	ADP
ejde-44	466	23	general	general	ADJ
ejde-44	466	24	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	466	25	equations	equation	NOUN
ejde-44	466	26	on	on	ADP
ejde-44	466	27	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-44	466	28	spaces	space	NOUN
ejde-44	466	29	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	466	30	)	)	PUNCT
ejde-44	467	1	+	+	NOUN
ejde-44	467	2	ax(t	ax(t	X
ejde-44	467	3	)	)	PUNCT
ejde-44	467	4	=	=	SYM
ejde-44	467	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	467	6	)	)	PUNCT
ejde-44	467	7	,	,	PUNCT
ejde-44	467	8	t	t	X
ejde-44	467	9	>	>	X
ejde-44	467	10	0	0	NUM
ejde-44	467	11	,	,	PUNCT
ejde-44	467	12	(	(	PUNCT
ejde-44	467	13	33	33	NUM
ejde-44	467	14	)	)	PUNCT
ejde-44	468	1	where	where	SCONJ
ejde-44	468	2	a	a	DET
ejde-44	468	3	:	:	PUNCT
ejde-44	468	4	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	468	5	)	)	PUNCT
ejde-44	468	6	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	468	7	h	h	PROPN
ejde-44	468	8	→	→	PUNCT
ejde-44	468	9	h	h	NOUN
ejde-44	468	10	is	be	AUX
ejde-44	468	11	a	a	DET
ejde-44	468	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	468	13	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	468	14	operator	operator	NOUN
ejde-44	468	15	on	on	ADP
ejde-44	468	16	a	a	DET
ejde-44	468	17	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	468	18	space	space	NOUN
ejde-44	468	19	h	h	NOUN
ejde-44	468	20	and	and	CCONJ
ejde-44	468	21	f	f	PROPN
ejde-44	468	22	∈	∈	PROPN
ejde-44	468	23	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	468	24	)	)	PUNCT
ejde-44	468	25	is	be	AUX
ejde-44	468	26	a	a	DET
ejde-44	468	27	t	t	NOUN
ejde-44	468	28	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	468	29	function	function	NOUN
ejde-44	468	30	.	.	PUNCT
ejde-44	469	1	as	as	SCONJ
ejde-44	469	2	known	know	VERB
ejde-44	469	3	by	by	ADP
ejde-44	469	4	the	the	DET
ejde-44	469	5	theory	theory	NOUN
ejde-44	469	6	of	of	ADP
ejde-44	469	7	hille	hille	PROPN
ejde-44	469	8	-	-	PUNCT
ejde-44	469	9	yosida	yosida	PROPN
ejde-44	469	10	,	,	PUNCT
ejde-44	469	11	for	for	ADP
ejde-44	469	12	every	every	DET
ejde-44	469	13	initial	initial	ADJ
ejde-44	469	14	data	datum	NOUN
ejde-44	469	15	x0	x0	PROPN
ejde-44	469	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	469	17	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	469	18	)	)	PUNCT
ejde-44	469	19	there	there	PRON
ejde-44	469	20	is	be	VERB
ejde-44	469	21	an	an	DET
ejde-44	469	22	unique	unique	ADJ
ejde-44	469	23	solution	solution	NOUN
ejde-44	469	24	x	x	X
ejde-44	469	25	∈	∈	PROPN
ejde-44	469	26	c1([0,+∞[;h	c1([0,+∞[;h	ADJ
ejde-44	469	27	)	)	PUNCT
ejde-44	469	28	∩	∩	NOUN
ejde-44	469	29	c([0,+∞	c([0,+∞	PROPN
ejde-44	469	30	[	[	X
ejde-44	469	31	;	;	PUNCT
ejde-44	469	32	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	469	33	)	)	PUNCT
ejde-44	469	34	)	)	PUNCT
ejde-44	469	35	for	for	ADP
ejde-44	469	36	(	(	PUNCT
ejde-44	469	37	33	33	NUM
ejde-44	469	38	)	)	PUNCT
ejde-44	469	39	,	,	PUNCT
ejde-44	469	40	see	see	VERB
ejde-44	469	41	[	[	X
ejde-44	469	42	6	6	NUM
ejde-44	469	43	,	,	PUNCT
ejde-44	469	44	p.	p.	NOUN
ejde-44	469	45	101	101	NUM
ejde-44	469	46	]	]	PUNCT
ejde-44	469	47	.	.	PUNCT
ejde-44	470	1	obviously	obviously	ADV
ejde-44	470	2	,	,	PUNCT
ejde-44	470	3	the	the	DET
ejde-44	470	4	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	470	5	problem	problem	NOUN
ejde-44	470	6	reduces	reduce	VERB
ejde-44	470	7	to	to	PART
ejde-44	470	8	find	find	VERB
ejde-44	470	9	x0	x0	PROPN
ejde-44	470	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	470	11	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	470	12	)	)	PUNCT
ejde-44	470	13	such	such	ADJ
ejde-44	470	14	that	that	SCONJ
ejde-44	470	15	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	470	16	)	)	PUNCT
ejde-44	471	1	=	=	PUNCT
ejde-44	471	2	x0	x0	PROPN
ejde-44	471	3	.	.	PUNCT
ejde-44	472	1	as	as	ADP
ejde-44	472	2	in	in	ADP
ejde-44	472	3	the	the	DET
ejde-44	472	4	one	one	NUM
ejde-44	472	5	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	472	6	case	case	NOUN
ejde-44	472	7	we	we	PRON
ejde-44	472	8	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-44	472	9	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	472	10	for	for	ADP
ejde-44	472	11	strictly	strictly	ADV
ejde-44	472	12	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	472	13	operators	operator	NOUN
ejde-44	472	14	.	.	PUNCT
ejde-44	473	1	we	we	PRON
ejde-44	473	2	state	state	VERB
ejde-44	473	3	also	also	ADV
ejde-44	473	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	473	5	and	and	CCONJ
ejde-44	473	6	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	473	7	condition	condition	NOUN
ejde-44	473	8	for	for	ADP
ejde-44	473	9	the	the	DET
ejde-44	473	10	existence	existence	NOUN
ejde-44	473	11	in	in	ADP
ejde-44	473	12	the	the	DET
ejde-44	473	13	linear	linear	ADJ
ejde-44	473	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	473	15	case	case	NOUN
ejde-44	473	16	.	.	PUNCT
ejde-44	474	1	finally	finally	ADV
ejde-44	474	2	the	the	DET
ejde-44	474	3	case	case	NOUN
ejde-44	474	4	of	of	ADP
ejde-44	474	5	non	non	ADJ
ejde-44	474	6	-	-	ADJ
ejde-44	474	7	linear	linear	ADJ
ejde-44	474	8	sub	sub	ADJ
ejde-44	474	9	-	-	ADJ
ejde-44	474	10	differential	differential	ADJ
ejde-44	474	11	operators	operator	NOUN
ejde-44	474	12	is	be	AUX
ejde-44	474	13	considered	consider	VERB
ejde-44	474	14	.	.	PUNCT
ejde-44	475	1	let	let	VERB
ejde-44	475	2	us	we	PRON
ejde-44	475	3	start	start	VERB
ejde-44	475	4	with	with	ADP
ejde-44	475	5	the	the	DET
ejde-44	475	6	definition	definition	NOUN
ejde-44	475	7	of	of	ADP
ejde-44	475	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	475	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	475	10	for	for	ADP
ejde-44	475	11	(	(	PUNCT
ejde-44	475	12	33	33	NUM
ejde-44	475	13	)	)	PUNCT
ejde-44	475	14	.	.	PUNCT
ejde-44	476	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	476	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	476	3	17	17	NUM
ejde-44	476	4	definition	definition	NOUN
ejde-44	476	5	3.1	3.1	NUM
ejde-44	476	6	let	let	VERB
ejde-44	476	7	a	a	DET
ejde-44	476	8	:	:	PUNCT
ejde-44	476	9	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	476	10	)	)	PUNCT
ejde-44	477	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	477	2	h	h	PROPN
ejde-44	477	3	→	→	PUNCT
ejde-44	477	4	h	h	NOUN
ejde-44	477	5	be	be	AUX
ejde-44	477	6	a	a	DET
ejde-44	477	7	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	477	8	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	477	9	operator	operator	NOUN
ejde-44	477	10	on	on	ADP
ejde-44	477	11	a	a	DET
ejde-44	477	12	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	477	13	space	space	NOUN
ejde-44	477	14	h	h	NOUN
ejde-44	477	15	and	and	CCONJ
ejde-44	477	16	f	f	PROPN
ejde-44	477	17	∈	∈	PROPN
ejde-44	477	18	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	477	19	)	)	PUNCT
ejde-44	477	20	a	a	DET
ejde-44	477	21	t	t	NOUN
ejde-44	477	22	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	477	23	function	function	NOUN
ejde-44	477	24	.	.	PUNCT
ejde-44	478	1	we	we	PRON
ejde-44	478	2	say	say	VERB
ejde-44	478	3	that	that	SCONJ
ejde-44	478	4	x	x	PUNCT
ejde-44	478	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	478	6	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	478	7	,	,	PUNCT
ejde-44	478	8	t	t	X
ejde-44	478	9	]	]	PUNCT
ejde-44	478	10	;	;	PUNCT
ejde-44	478	11	h	h	X
ejde-44	478	12	)	)	PUNCT
ejde-44	478	13	∩	∩	NOUN
ejde-44	478	14	c([0	c([0	NOUN
ejde-44	478	15	,	,	PUNCT
ejde-44	478	16	t	t	X
ejde-44	478	17	]	]	PUNCT
ejde-44	478	18	;	;	PUNCT
ejde-44	478	19	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	478	20	)	)	PUNCT
ejde-44	478	21	)	)	PUNCT
ejde-44	478	22	is	be	AUX
ejde-44	478	23	a	a	DET
ejde-44	478	24	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	478	25	solution	solution	NOUN
ejde-44	478	26	for	for	ADP
ejde-44	478	27	(	(	PUNCT
ejde-44	478	28	33	33	NUM
ejde-44	478	29	)	)	PUNCT
ejde-44	479	1	if	if	SCONJ
ejde-44	479	2	and	and	CCONJ
ejde-44	479	3	only	only	ADV
ejde-44	479	4	if	if	SCONJ
ejde-44	479	5	x′(t	x′(t	VERB
ejde-44	479	6	)	)	PUNCT
ejde-44	480	1	+	+	NOUN
ejde-44	480	2	ax(t	ax(t	X
ejde-44	480	3	)	)	PUNCT
ejde-44	480	4	=	=	SYM
ejde-44	480	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	480	6	)	)	PUNCT
ejde-44	480	7	,	,	PUNCT
ejde-44	480	8	t	t	PROPN
ejde-44	480	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	481	1	[	[	X
ejde-44	481	2	0	0	NUM
ejde-44	481	3	,	,	PUNCT
ejde-44	481	4	t	t	X
ejde-44	481	5	]	]	PUNCT
ejde-44	481	6	,	,	PUNCT
ejde-44	481	7	and	and	CCONJ
ejde-44	481	8	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	481	9	)	)	PUNCT
ejde-44	481	10	=	=	PROPN
ejde-44	481	11	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	481	12	)	)	PUNCT
ejde-44	481	13	.	.	PUNCT
ejde-44	482	1	3.1	3.1	NUM
ejde-44	482	2	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	482	3	generally	generally	ADV
ejde-44	482	4	the	the	DET
ejde-44	482	5	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	482	6	does	do	AUX
ejde-44	482	7	not	not	PART
ejde-44	482	8	hold	hold	VERB
ejde-44	482	9	(	(	PUNCT
ejde-44	482	10	see	see	VERB
ejde-44	482	11	the	the	DET
ejde-44	482	12	example	example	NOUN
ejde-44	482	13	in	in	ADP
ejde-44	482	14	the	the	DET
ejde-44	482	15	following	follow	VERB
ejde-44	482	16	paragraph	paragraph	NOUN
ejde-44	482	17	)	)	PUNCT
ejde-44	482	18	.	.	PUNCT
ejde-44	483	1	however	however	ADV
ejde-44	483	2	it	it	PRON
ejde-44	483	3	occurs	occur	VERB
ejde-44	483	4	under	under	ADP
ejde-44	483	5	the	the	DET
ejde-44	483	6	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	483	7	of	of	ADP
ejde-44	483	8	strictly	strictly	ADV
ejde-44	483	9	monotony	monotony	ADJ
ejde-44	483	10	.	.	PUNCT
ejde-44	484	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	484	2	3.2	3.2	NUM
ejde-44	484	3	assume	assume	VERB
ejde-44	484	4	that	that	SCONJ
ejde-44	484	5	a	a	PRON
ejde-44	484	6	is	be	AUX
ejde-44	484	7	strictly	strictly	ADV
ejde-44	484	8	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	484	9	(	(	PUNCT
ejde-44	484	10	(	(	PUNCT
ejde-44	484	11	ax1−ax2	ax1−ax2	NOUN
ejde-44	484	12	,	,	PUNCT
ejde-44	484	13	x1−x2	x1−x2	PROPN
ejde-44	484	14	)	)	PUNCT
ejde-44	484	15	=	=	SYM
ejde-44	484	16	0	0	NUM
ejde-44	484	17	implies	imply	VERB
ejde-44	484	18	x1	x1	PROPN
ejde-44	484	19	=	=	SYM
ejde-44	484	20	x2	x2	PROPN
ejde-44	484	21	)	)	PUNCT
ejde-44	484	22	.	.	PUNCT
ejde-44	485	1	then	then	ADV
ejde-44	485	2	(	(	PUNCT
ejde-44	485	3	33	33	NUM
ejde-44	485	4	)	)	PUNCT
ejde-44	485	5	has	have	VERB
ejde-44	485	6	at	at	ADP
ejde-44	485	7	most	most	ADV
ejde-44	485	8	one	one	NUM
ejde-44	485	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	485	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	485	11	.	.	PUNCT
ejde-44	486	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	486	2	let	let	VERB
ejde-44	486	3	x1	x1	PROPN
ejde-44	486	4	,	,	PUNCT
ejde-44	486	5	x2	x2	PRON
ejde-44	486	6	be	be	VERB
ejde-44	486	7	two	two	NUM
ejde-44	486	8	different	different	ADJ
ejde-44	486	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	486	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	486	11	.	.	PUNCT
ejde-44	487	1	by	by	ADP
ejde-44	487	2	taking	take	VERB
ejde-44	487	3	the	the	DET
ejde-44	487	4	difference	difference	NOUN
ejde-44	487	5	of	of	ADP
ejde-44	487	6	(	(	PUNCT
ejde-44	487	7	33	33	NUM
ejde-44	487	8	)	)	PUNCT
ejde-44	487	9	and	and	CCONJ
ejde-44	487	10	multiplying	multiply	VERB
ejde-44	487	11	both	both	DET
ejde-44	487	12	sides	side	NOUN
ejde-44	487	13	by	by	ADP
ejde-44	487	14	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	487	15	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	487	16	)	)	PUNCT
ejde-44	487	17	we	we	PRON
ejde-44	487	18	find	find	VERB
ejde-44	487	19	1	1	NUM
ejde-44	487	20	2	2	NUM
ejde-44	487	21	d	d	NOUN
ejde-44	487	22	dt	dt	X
ejde-44	487	23	‖x1(t)−	‖x1(t)−	PROPN
ejde-44	487	24	x2(t)‖2	x2(t)‖2	PROPN
ejde-44	487	25	+	+	CCONJ
ejde-44	487	26	(	(	PUNCT
ejde-44	487	27	ax1(t)−ax2(t	ax1(t)−ax2(t	PROPN
ejde-44	487	28	)	)	PUNCT
ejde-44	487	29	,	,	PUNCT
ejde-44	487	30	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	487	31	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	487	32	)	)	PUNCT
ejde-44	487	33	)	)	PUNCT
ejde-44	488	1	=	=	PUNCT
ejde-44	488	2	0	0	NUM
ejde-44	488	3	,	,	PUNCT
ejde-44	488	4	t	t	PROPN
ejde-44	488	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	489	1	[	[	X
ejde-44	489	2	0	0	NUM
ejde-44	489	3	,	,	PUNCT
ejde-44	489	4	t	t	X
ejde-44	489	5	]	]	PUNCT
ejde-44	489	6	.	.	PUNCT
ejde-44	490	1	by	by	ADP
ejde-44	490	2	the	the	DET
ejde-44	490	3	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	490	4	of	of	ADP
ejde-44	490	5	a	a	PRON
ejde-44	490	6	we	we	PRON
ejde-44	490	7	deduce	deduce	VERB
ejde-44	490	8	that	that	DET
ejde-44	490	9	‖x1	‖x1	NOUN
ejde-44	491	1	−	−	NOUN
ejde-44	491	2	x2‖2	x2‖2	NUM
ejde-44	491	3	is	be	AUX
ejde-44	491	4	decreasing	decrease	VERB
ejde-44	491	5	and	and	CCONJ
ejde-44	491	6	therefore	therefore	ADV
ejde-44	491	7	we	we	PRON
ejde-44	491	8	have	have	VERB
ejde-44	491	9	‖x1(0)−	‖x1(0)−	NUM
ejde-44	491	10	x2(0)‖	x2(0)‖	PRON
ejde-44	491	11	≥	≥	NOUN
ejde-44	491	12	‖x1(t)−	‖x1(t)−	PROPN
ejde-44	491	13	x2(t)‖	x2(t)‖	PROPN
ejde-44	491	14	≥	≥	PROPN
ejde-44	491	15	‖x1(t	‖x1(t	PROPN
ejde-44	491	16	)	)	PUNCT
ejde-44	491	17	−	−	PROPN
ejde-44	492	1	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	492	2	)	)	PUNCT
ejde-44	492	3	‖	‖	PROPN
ejde-44	492	4	,	,	PUNCT
ejde-44	492	5	t	t	PROPN
ejde-44	492	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	493	1	[	[	X
ejde-44	493	2	0	0	NUM
ejde-44	493	3	,	,	PUNCT
ejde-44	493	4	t	t	X
ejde-44	493	5	]	]	PUNCT
ejde-44	493	6	.	.	PUNCT
ejde-44	494	1	since	since	SCONJ
ejde-44	494	2	x1	x1	PROPN
ejde-44	494	3	and	and	CCONJ
ejde-44	494	4	x2	x2	PROPN
ejde-44	494	5	are	be	AUX
ejde-44	494	6	t	t	PROPN
ejde-44	494	7	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	494	8	we	we	PRON
ejde-44	494	9	have	have	VERB
ejde-44	494	10	‖x1(0)−	‖x1(0)−	NUM
ejde-44	494	11	x2(0)‖	x2(0)‖	NOUN
ejde-44	494	12	=	=	PUNCT
ejde-44	494	13	‖x1(t	‖x1(t	PROPN
ejde-44	494	14	)	)	PUNCT
ejde-44	495	1	−	−	PROPN
ejde-44	496	1	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	496	2	)	)	PUNCT
ejde-44	496	3	‖	‖	PROPN
ejde-44	496	4	,	,	PUNCT
ejde-44	496	5	which	which	PRON
ejde-44	496	6	implies	imply	VERB
ejde-44	496	7	that	that	SCONJ
ejde-44	496	8	‖x1(t)−	‖x1(t)−	PROPN
ejde-44	496	9	x2(t)‖	x2(t)‖	PROPN
ejde-44	496	10	is	be	AUX
ejde-44	496	11	constant	constant	ADJ
ejde-44	496	12	for	for	ADP
ejde-44	496	13	t	t	PROPN
ejde-44	496	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	497	1	[	[	X
ejde-44	497	2	0	0	NUM
ejde-44	497	3	,	,	PUNCT
ejde-44	497	4	t	t	NOUN
ejde-44	497	5	]	]	PUNCT
ejde-44	497	6	and	and	CCONJ
ejde-44	497	7	thus	thus	ADV
ejde-44	497	8	(	(	PUNCT
ejde-44	497	9	ax1(t)−ax2(t	ax1(t)−ax2(t	PROPN
ejde-44	497	10	)	)	PUNCT
ejde-44	497	11	,	,	PUNCT
ejde-44	497	12	x1(t)−	x1(t)−	PROPN
ejde-44	497	13	x2(t	x2(t	PROPN
ejde-44	497	14	)	)	PUNCT
ejde-44	497	15	)	)	PUNCT
ejde-44	498	1	=	=	PUNCT
ejde-44	498	2	0	0	NUM
ejde-44	498	3	,	,	PUNCT
ejde-44	498	4	t	t	PROPN
ejde-44	498	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	499	1	[	[	X
ejde-44	499	2	0	0	NUM
ejde-44	499	3	,	,	PUNCT
ejde-44	499	4	t	t	X
ejde-44	499	5	]	]	PUNCT
ejde-44	499	6	.	.	PUNCT
ejde-44	500	1	now	now	ADV
ejde-44	500	2	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	500	3	follows	follow	VERB
ejde-44	500	4	by	by	ADP
ejde-44	500	5	the	the	DET
ejde-44	500	6	strictly	strictly	ADV
ejde-44	500	7	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	500	8	of	of	ADP
ejde-44	500	9	a.	a.	NOUN
ejde-44	500	10	3.2	3.2	NUM
ejde-44	500	11	existence	existence	NOUN
ejde-44	500	12	in	in	ADP
ejde-44	500	13	this	this	DET
ejde-44	500	14	section	section	NOUN
ejde-44	500	15	we	we	PRON
ejde-44	500	16	establish	establish	VERB
ejde-44	500	17	existence	existence	NOUN
ejde-44	500	18	results	result	NOUN
ejde-44	500	19	.	.	PUNCT
ejde-44	501	1	in	in	ADP
ejde-44	501	2	the	the	DET
ejde-44	501	3	linear	linear	ADJ
ejde-44	501	4	case	case	NOUN
ejde-44	501	5	we	we	PRON
ejde-44	501	6	state	state	VERB
ejde-44	501	7	the	the	DET
ejde-44	501	8	following	follow	VERB
ejde-44	501	9	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	501	10	condition	condition	NOUN
ejde-44	501	11	.	.	PUNCT
ejde-44	502	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	502	2	3.3	3.3	NUM
ejde-44	502	3	let	let	VERB
ejde-44	502	4	a	a	DET
ejde-44	502	5	:	:	PUNCT
ejde-44	502	6	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	502	7	)	)	PUNCT
ejde-44	503	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	503	2	h	h	PROPN
ejde-44	503	3	→	→	PUNCT
ejde-44	503	4	h	h	NOUN
ejde-44	503	5	be	be	AUX
ejde-44	503	6	a	a	DET
ejde-44	503	7	linear	linear	ADJ
ejde-44	503	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	503	9	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	503	10	operator	operator	NOUN
ejde-44	503	11	and	and	CCONJ
ejde-44	503	12	f	f	PROPN
ejde-44	503	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	503	14	l1(]0	l1(]0	PROPN
ejde-44	503	15	,	,	PUNCT
ejde-44	503	16	t	t	X
ejde-44	504	1	[	[	X
ejde-44	504	2	;	;	PUNCT
ejde-44	504	3	h	h	X
ejde-44	504	4	)	)	PUNCT
ejde-44	504	5	a	a	DET
ejde-44	504	6	t	t	NOUN
ejde-44	504	7	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	504	8	function	function	NOUN
ejde-44	504	9	.	.	PUNCT
ejde-44	505	1	if	if	SCONJ
ejde-44	505	2	(	(	PUNCT
ejde-44	505	3	33	33	NUM
ejde-44	505	4	)	)	PUNCT
ejde-44	505	5	has	have	VERB
ejde-44	505	6	t	t	NOUN
ejde-44	505	7	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	505	8	solutions	solution	NOUN
ejde-44	505	9	,	,	PUNCT
ejde-44	505	10	then	then	ADV
ejde-44	505	11	the	the	DET
ejde-44	505	12	following	follow	VERB
ejde-44	505	13	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	505	14	condition	condition	NOUN
ejde-44	505	15	holds	hold	VERB
ejde-44	505	16	.	.	PUNCT
ejde-44	506	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	506	2	f	f	PROPN
ejde-44	506	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	506	4	:	:	PUNCT
ejde-44	507	1	=	=	SYM
ejde-44	507	2	1	1	NUM
ejde-44	507	3	t	t	NOUN
ejde-44	507	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	507	5	t	t	PROPN
ejde-44	507	6	0	0	NUM
ejde-44	507	7	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	507	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	507	9	range(a	range(a	PROPN
ejde-44	507	10	)	)	PUNCT
ejde-44	507	11	,	,	PUNCT
ejde-44	507	12	(	(	PUNCT
ejde-44	507	13	there	there	PRON
ejde-44	507	14	is	be	VERB
ejde-44	507	15	x0	x0	PROPN
ejde-44	507	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	507	17	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	507	18	)	)	PUNCT
ejde-44	508	1	such	such	ADJ
ejde-44	508	2	that	that	SCONJ
ejde-44	508	3	〈	〈	PROPN
ejde-44	508	4	f	f	PROPN
ejde-44	508	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	508	6	=	=	SYM
ejde-44	508	7	ax0	ax0	NOUN
ejde-44	508	8	)	)	PUNCT
ejde-44	508	9	.	.	PUNCT
ejde-44	509	1	18	18	NUM
ejde-44	509	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	509	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	509	4	for	for	ADP
ejde-44	509	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	509	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	509	7	proof	proof	NOUN
ejde-44	509	8	suppose	suppose	VERB
ejde-44	509	9	that	that	SCONJ
ejde-44	509	10	x	x	SYM
ejde-44	509	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	509	12	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	509	13	,	,	PUNCT
ejde-44	509	14	t	t	X
ejde-44	509	15	]	]	PUNCT
ejde-44	509	16	;	;	PUNCT
ejde-44	509	17	h)∩c([0	h)∩c([0	NUM
ejde-44	509	18	,	,	PUNCT
ejde-44	509	19	t	t	X
ejde-44	509	20	]	]	PUNCT
ejde-44	509	21	;	;	PUNCT
ejde-44	509	22	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	509	23	)	)	PUNCT
ejde-44	509	24	)	)	PUNCT
ejde-44	509	25	is	be	AUX
ejde-44	509	26	a	a	DET
ejde-44	509	27	t	t	NOUN
ejde-44	509	28	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	509	29	solution	solution	NOUN
ejde-44	509	30	for	for	ADP
ejde-44	509	31	(	(	PUNCT
ejde-44	509	32	33	33	NUM
ejde-44	509	33	)	)	PUNCT
ejde-44	509	34	.	.	PUNCT
ejde-44	510	1	let	let	VERB
ejde-44	510	2	us	we	PRON
ejde-44	510	3	consider	consider	VERB
ejde-44	510	4	the	the	DET
ejde-44	510	5	divisions	division	NOUN
ejde-44	510	6	∆n	∆n	NOUN
ejde-44	510	7	:	:	PUNCT
ejde-44	510	8	0	0	NUM
ejde-44	510	9	=	=	SYM
ejde-44	510	10	tn0	tn0	NOUN
ejde-44	510	11	<	<	X
ejde-44	510	12	tn1	tn1	X
ejde-44	510	13	<	<	X
ejde-44	510	14	·	·	PUNCT
ejde-44	510	15	·	·	PUNCT
ejde-44	510	16	·	·	PUNCT
ejde-44	510	17	<	<	X
ejde-44	510	18	tnn	tnn	PROPN
ejde-44	510	19	=	=	SYM
ejde-44	510	20	t	t	PROPN
ejde-44	510	21	such	such	ADJ
ejde-44	510	22	that	that	SCONJ
ejde-44	510	23	lim	lim	PROPN
ejde-44	510	24	n→∞	n→∞	PRON
ejde-44	510	25	max	max	PROPN
ejde-44	510	26	1≤i≤n	1≤i≤n	NUM
ejde-44	510	27	|tni	|tni	PROPN
ejde-44	510	28	−	−	X
ejde-44	510	29	tni−1|	tni−1|	X
ejde-44	511	1	=	=	SYM
ejde-44	511	2	0	0	PROPN
ejde-44	511	3	.	.	PUNCT
ejde-44	512	1	(	(	PUNCT
ejde-44	512	2	34	34	NUM
ejde-44	512	3	)	)	PUNCT
ejde-44	512	4	we	we	PRON
ejde-44	512	5	can	can	AUX
ejde-44	512	6	write	write	VERB
ejde-44	512	7	(	(	PUNCT
ejde-44	512	8	tni	tni	NOUN
ejde-44	512	9	−	−	PROPN
ejde-44	512	10	tni−1)x′(tni−1	tni−1)x′(tni−1	PROPN
ejde-44	512	11	)	)	PUNCT
ejde-44	513	1	+	+	CCONJ
ejde-44	513	2	(	(	PUNCT
ejde-44	513	3	tni	tni	NOUN
ejde-44	513	4	−	−	PROPN
ejde-44	513	5	tni−1)ax(tni−1	tni−1)ax(tni−1	PROPN
ejde-44	513	6	)	)	PUNCT
ejde-44	513	7	=	=	PUNCT
ejde-44	514	1	(	(	PUNCT
ejde-44	514	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	514	3	−	−	PROPN
ejde-44	514	4	tni−1)f(tni−1	tni−1)f(tni−1	PROPN
ejde-44	514	5	)	)	PUNCT
ejde-44	514	6	,	,	PUNCT
ejde-44	514	7	1	1	NUM
ejde-44	514	8	≤	≤	NUM
ejde-44	514	9	i	i	PRON
ejde-44	514	10	≤	≤	PROPN
ejde-44	514	11	n.	n.	NOUN
ejde-44	514	12	since	since	SCONJ
ejde-44	514	13	a	a	PRON
ejde-44	514	14	is	be	AUX
ejde-44	514	15	linear	linear	ADJ
ejde-44	514	16	we	we	PRON
ejde-44	514	17	deduce	deduce	VERB
ejde-44	515	1	1	1	NUM
ejde-44	515	2	t	t	NOUN
ejde-44	515	3	n∑	n∑	NOUN
ejde-44	515	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	516	1	(	(	PUNCT
ejde-44	516	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	516	3	−tni−1)x′(tni−1)+a	−tni−1)x′(tni−1)+a	PROPN
ejde-44	516	4	(	(	PUNCT
ejde-44	516	5	1	1	NUM
ejde-44	516	6	t	t	NOUN
ejde-44	516	7	n∑	n∑	X
ejde-44	516	8	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	517	1	(	(	PUNCT
ejde-44	517	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	517	3	−tni−1)x(tni−1	−tni−1)x(tni−1	PROPN
ejde-44	517	4	)	)	PUNCT
ejde-44	517	5	)	)	PUNCT
ejde-44	518	1	=	=	SYM
ejde-44	519	1	1	1	NUM
ejde-44	519	2	t	t	NUM
ejde-44	519	3	n∑	n∑	X
ejde-44	519	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	520	1	(	(	PUNCT
ejde-44	520	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	520	3	−tni−1)f(tni−1	−tni−1)f(tni−1	PROPN
ejde-44	520	4	)	)	PUNCT
ejde-44	520	5	,	,	PUNCT
ejde-44	520	6	and	and	CCONJ
ejde-44	520	7	hence	hence	ADV
ejde-44	520	8	[	[	PUNCT
ejde-44	520	9	1	1	NUM
ejde-44	520	10	t	t	NUM
ejde-44	520	11	n∑	n∑	X
ejde-44	520	12	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	521	1	(	(	PUNCT
ejde-44	521	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	521	3	−	−	PROPN
ejde-44	521	4	tni−1)x(tni−1	tni−1)x(tni−1	PROPN
ejde-44	521	5	)	)	PUNCT
ejde-44	521	6	)	)	PUNCT
ejde-44	521	7	,	,	PUNCT
ejde-44	522	1	1	1	NUM
ejde-44	522	2	t	t	NOUN
ejde-44	522	3	n∑	n∑	X
ejde-44	522	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	523	1	(	(	PUNCT
ejde-44	523	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	523	3	−	−	PROPN
ejde-44	523	4	tni−1)[f(tni−1)−	tni−1)[f(tni−1)−	NOUN
ejde-44	523	5	x′(tni−1	x′(tni−1	PROPN
ejde-44	523	6	)	)	PUNCT
ejde-44	523	7	]	]	PUNCT
ejde-44	523	8	]	]	PUNCT
ejde-44	523	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	523	10	a.	a.	NOUN
ejde-44	523	11	by	by	ADP
ejde-44	523	12	(	(	PUNCT
ejde-44	523	13	34	34	NUM
ejde-44	523	14	)	)	PUNCT
ejde-44	523	15	we	we	PRON
ejde-44	523	16	deduce	deduce	VERB
ejde-44	523	17	that	that	SCONJ
ejde-44	524	1	1	1	NUM
ejde-44	524	2	t	t	NOUN
ejde-44	524	3	n∑	n∑	NOUN
ejde-44	524	4	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	525	1	(	(	PUNCT
ejde-44	525	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	525	3	−	−	PROPN
ejde-44	526	1	tni−1)x(tni−1))→	tni−1)x(tni−1))→	NOUN
ejde-44	526	2	1	1	NUM
ejde-44	526	3	t	t	NOUN
ejde-44	526	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	526	5	t	t	PROPN
ejde-44	526	6	0	0	NUM
ejde-44	526	7	x(t)dt	x(t)dt	PROPN
ejde-44	526	8	,	,	PUNCT
ejde-44	526	9	and	and	CCONJ
ejde-44	526	10	1	1	NUM
ejde-44	526	11	t	t	NOUN
ejde-44	526	12	n∑	n∑	X
ejde-44	526	13	i=1	i=1	PROPN
ejde-44	527	1	(	(	PUNCT
ejde-44	527	2	tni	tni	NOUN
ejde-44	527	3	−	−	PROPN
ejde-44	527	4	tni−1)[f(tni−1)−	tni−1)[f(tni−1)−	NOUN
ejde-44	527	5	x′(tni−1	x′(tni−1	PROPN
ejde-44	527	6	)	)	PUNCT
ejde-44	527	7	]	]	PUNCT
ejde-44	528	1	→	→	SYM
ejde-44	528	2	1	1	NUM
ejde-44	528	3	t	t	NOUN
ejde-44	528	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	528	5	t	t	NOUN
ejde-44	528	6	0	0	NUM
ejde-44	529	1	[	[	X
ejde-44	529	2	f(t)−	f(t)−	X
ejde-44	529	3	x′(t)]dt	x′(t)]dt	PUNCT
ejde-44	529	4	=	=	SYM
ejde-44	529	5	1	1	NUM
ejde-44	529	6	t	t	NOUN
ejde-44	529	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	529	8	t	t	PROPN
ejde-44	529	9	0	0	NUM
ejde-44	530	1	f(t)dt−	f(t)dt−	PROPN
ejde-44	530	2	1	1	NUM
ejde-44	530	3	t	t	NOUN
ejde-44	530	4	x(t)|t0	x(t)|t0	NOUN
ejde-44	531	1	=	=	SYM
ejde-44	532	1	1	1	NUM
ejde-44	532	2	t	t	NOUN
ejde-44	532	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	532	4	t	t	PROPN
ejde-44	532	5	0	0	NUM
ejde-44	532	6	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	532	7	.	.	PUNCT
ejde-44	533	1	since	since	SCONJ
ejde-44	533	2	a	a	DET
ejde-44	533	3	is	be	AUX
ejde-44	533	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	533	5	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	533	6	graph(a	graph(a	NOUN
ejde-44	533	7	)	)	PUNCT
ejde-44	533	8	is	be	AUX
ejde-44	533	9	closed	close	VERB
ejde-44	533	10	and	and	CCONJ
ejde-44	533	11	therefore	therefore	ADV
ejde-44	533	12	[	[	PUNCT
ejde-44	533	13	1	1	NUM
ejde-44	533	14	t	t	NOUN
ejde-44	533	15	∫	∫	PROPN
ejde-44	533	16	t	t	PROPN
ejde-44	533	17	0	0	NUM
ejde-44	533	18	x(t)dt	x(t)dt	PROPN
ejde-44	533	19	,	,	PUNCT
ejde-44	533	20	1	1	NUM
ejde-44	533	21	t	t	NOUN
ejde-44	533	22	∫	∫	PROPN
ejde-44	533	23	t	t	PROPN
ejde-44	533	24	0	0	NUM
ejde-44	533	25	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	533	26	]	]	PUNCT
ejde-44	533	27	∈	∈	PROPN
ejde-44	533	28	a.	a.	NOUN
ejde-44	534	1	thus	thus	ADV
ejde-44	534	2	1	1	NUM
ejde-44	534	3	t	t	NOUN
ejde-44	534	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	534	5	t	t	PROPN
ejde-44	534	6	0	0	NUM
ejde-44	534	7	x(t)dt	x(t)dt	PROPN
ejde-44	534	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	534	9	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	534	10	)	)	PUNCT
ejde-44	534	11	and	and	CCONJ
ejde-44	534	12	〈	〈	PROPN
ejde-44	534	13	f	f	PROPN
ejde-44	534	14	〉	〉	PROPN
ejde-44	534	15	=	=	SYM
ejde-44	534	16	a	a	PROPN
ejde-44	534	17	(	(	PUNCT
ejde-44	534	18	1	1	NUM
ejde-44	534	19	t	t	NOUN
ejde-44	534	20	∫	∫	PROPN
ejde-44	534	21	t	t	PROPN
ejde-44	534	22	0	0	NUM
ejde-44	534	23	x(t)dt	x(t)dt	PROPN
ejde-44	534	24	)	)	PUNCT
ejde-44	534	25	.	.	PUNCT
ejde-44	535	1	generally	generally	ADV
ejde-44	535	2	the	the	DET
ejde-44	535	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	535	4	condition	condition	NOUN
ejde-44	535	5	is	be	AUX
ejde-44	535	6	not	not	PART
ejde-44	535	7	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	535	8	for	for	ADP
ejde-44	535	9	the	the	DET
ejde-44	535	10	existence	existence	NOUN
ejde-44	535	11	of	of	ADP
ejde-44	535	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	535	13	solutions	solution	NOUN
ejde-44	535	14	.	.	PUNCT
ejde-44	536	1	for	for	ADP
ejde-44	536	2	example	example	NOUN
ejde-44	536	3	let	let	VERB
ejde-44	536	4	us	we	PRON
ejde-44	536	5	analyse	analyse	VERB
ejde-44	536	6	the	the	DET
ejde-44	536	7	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	536	8	solutions	solution	NOUN
ejde-44	536	9	x	x	PUNCT
ejde-44	536	10	=	=	SYM
ejde-44	536	11	(	(	PUNCT
ejde-44	536	12	x1	x1	PROPN
ejde-44	536	13	,	,	PUNCT
ejde-44	536	14	x2	x2	ADJ
ejde-44	536	15	)	)	PUNCT
ejde-44	536	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	536	17	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	536	18	,	,	PUNCT
ejde-44	536	19	t	t	X
ejde-44	536	20	]	]	PUNCT
ejde-44	536	21	;	;	PUNCT
ejde-44	536	22	r2	r2	PROPN
ejde-44	536	23	)	)	PUNCT
ejde-44	536	24	for	for	ADP
ejde-44	536	25	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	536	26	)	)	PUNCT
ejde-44	537	1	+	+	NOUN
ejde-44	537	2	ax(t	ax(t	X
ejde-44	537	3	)	)	PUNCT
ejde-44	537	4	=	=	SYM
ejde-44	537	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	537	6	)	)	PUNCT
ejde-44	537	7	,	,	PUNCT
ejde-44	537	8	t	t	PROPN
ejde-44	537	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	538	1	[	[	X
ejde-44	538	2	0	0	NUM
ejde-44	538	3	,	,	PUNCT
ejde-44	538	4	t	t	X
ejde-44	538	5	]	]	PUNCT
ejde-44	538	6	,	,	PUNCT
ejde-44	538	7	(	(	PUNCT
ejde-44	538	8	35	35	NUM
ejde-44	538	9	)	)	PUNCT
ejde-44	538	10	where	where	SCONJ
ejde-44	538	11	a	a	DET
ejde-44	538	12	:	:	PUNCT
ejde-44	538	13	r2	r2	PROPN
ejde-44	538	14	→	→	SYM
ejde-44	538	15	r	r	NOUN
ejde-44	538	16	2	2	NUM
ejde-44	538	17	is	be	AUX
ejde-44	538	18	the	the	DET
ejde-44	538	19	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-44	538	20	rotation	rotation	NOUN
ejde-44	538	21	:	:	PUNCT
ejde-44	538	22	a(x1	a(x1	ADJ
ejde-44	538	23	,	,	PUNCT
ejde-44	538	24	x2	x2	PROPN
ejde-44	538	25	)	)	PUNCT
ejde-44	538	26	=	=	SYM
ejde-44	538	27	(	(	PUNCT
ejde-44	538	28	−x2	−x2	PROPN
ejde-44	538	29	,	,	PUNCT
ejde-44	538	30	x1	x1	PROPN
ejde-44	538	31	)	)	PUNCT
ejde-44	538	32	,	,	PUNCT
ejde-44	538	33	(	(	PUNCT
ejde-44	538	34	x1	x1	X
ejde-44	538	35	,	,	PUNCT
ejde-44	538	36	x2	x2	ADJ
ejde-44	538	37	)	)	PUNCT
ejde-44	538	38	∈	∈	PROPN
ejde-44	538	39	r2	r2	PROPN
ejde-44	538	40	,	,	PUNCT
ejde-44	538	41	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	538	42	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	538	43	19	19	NUM
ejde-44	538	44	and	and	CCONJ
ejde-44	538	45	f	f	NOUN
ejde-44	538	46	=	=	PUNCT
ejde-44	538	47	(	(	PUNCT
ejde-44	538	48	f1	f1	PROPN
ejde-44	538	49	,	,	PUNCT
ejde-44	538	50	f2	f2	PROPN
ejde-44	538	51	)	)	PUNCT
ejde-44	538	52	∈	∈	PROPN
ejde-44	538	53	l1(]0	l1(]0	PROPN
ejde-44	538	54	,	,	PUNCT
ejde-44	538	55	t	t	X
ejde-44	539	1	[	[	X
ejde-44	539	2	;	;	PUNCT
ejde-44	539	3	r2	r2	NOUN
ejde-44	539	4	)	)	PUNCT
ejde-44	539	5	is	be	AUX
ejde-44	539	6	t	t	NOUN
ejde-44	539	7	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	539	8	.	.	PUNCT
ejde-44	540	1	for	for	ADP
ejde-44	540	2	a	a	DET
ejde-44	540	3	given	give	VERB
ejde-44	540	4	initial	initial	ADJ
ejde-44	540	5	data	datum	NOUN
ejde-44	540	6	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	540	7	)	)	PUNCT
ejde-44	540	8	=	=	PUNCT
ejde-44	540	9	x0	x0	PROPN
ejde-44	540	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	540	11	r2	r2	NOUN
ejde-44	540	12	the	the	DET
ejde-44	540	13	solution	solution	NOUN
ejde-44	540	14	writes	write	VERB
ejde-44	540	15	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	540	16	)	)	PUNCT
ejde-44	540	17	=	=	PUNCT
ejde-44	541	1	e−tax0	e−tax0	NOUN
ejde-44	542	1	+	+	NUM
ejde-44	542	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	542	3	t	t	PROPN
ejde-44	542	4	0	0	NUM
ejde-44	542	5	e−(t−s)af(s)ds	e−(t−s)af(s)ds	PROPN
ejde-44	542	6	,	,	PUNCT
ejde-44	542	7	t	t	X
ejde-44	542	8	>	>	X
ejde-44	542	9	0	0	NUM
ejde-44	542	10	,	,	PUNCT
ejde-44	542	11	(	(	PUNCT
ejde-44	542	12	36	36	NUM
ejde-44	542	13	)	)	PUNCT
ejde-44	542	14	where	where	SCONJ
ejde-44	542	15	the	the	DET
ejde-44	542	16	semigroup	semigroup	PROPN
ejde-44	542	17	e−ta	e−ta	PROPN
ejde-44	542	18	is	be	AUX
ejde-44	542	19	given	give	VERB
ejde-44	542	20	by	by	ADP
ejde-44	542	21	e−ta	e−ta	PROPN
ejde-44	542	22	=	=	SYM
ejde-44	542	23	(	(	PUNCT
ejde-44	542	24	cos	cos	ADP
ejde-44	542	25	t	t	PROPN
ejde-44	542	26	sin	sin	NOUN
ejde-44	542	27	t	t	PROPN
ejde-44	542	28	−	−	PROPN
ejde-44	542	29	sin	sin	PROPN
ejde-44	542	30	t	t	PROPN
ejde-44	542	31	cos	cos	PROPN
ejde-44	542	32	t	t	PROPN
ejde-44	542	33	)	)	PUNCT
ejde-44	542	34	.	.	PUNCT
ejde-44	543	1	(	(	PUNCT
ejde-44	543	2	37	37	NUM
ejde-44	543	3	)	)	PUNCT
ejde-44	543	4	since	since	SCONJ
ejde-44	543	5	e−2πa	e−2πa	NOUN
ejde-44	543	6	=	=	SYM
ejde-44	543	7	1	1	NUM
ejde-44	543	8	we	we	PRON
ejde-44	543	9	deduce	deduce	VERB
ejde-44	543	10	that	that	SCONJ
ejde-44	543	11	the	the	DET
ejde-44	543	12	equation	equation	NOUN
ejde-44	543	13	(	(	PUNCT
ejde-44	543	14	35	35	NUM
ejde-44	543	15	)	)	PUNCT
ejde-44	543	16	has	have	VERB
ejde-44	543	17	2π	2π	NOUN
ejde-44	543	18	-	-	ADJ
ejde-44	543	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	543	20	solutions	solution	NOUN
ejde-44	543	21	if	if	SCONJ
ejde-44	543	22	and	and	CCONJ
ejde-44	543	23	only	only	ADV
ejde-44	543	24	if	if	SCONJ
ejde-44	543	25	∫	∫	PROPN
ejde-44	543	26	2π	2π	PROPN
ejde-44	543	27	0	0	PUNCT
ejde-44	544	1	etaf(t)dt	etaf(t)dt	NOUN
ejde-44	544	2	=	=	NOUN
ejde-44	544	3	0	0	PROPN
ejde-44	544	4	.	.	PUNCT
ejde-44	545	1	(	(	PUNCT
ejde-44	545	2	38	38	NUM
ejde-44	545	3	)	)	PUNCT
ejde-44	546	1	thus	thus	ADV
ejde-44	546	2	if	if	SCONJ
ejde-44	546	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	546	4	2π	2π	PROPN
ejde-44	546	5	0	0	NUM
ejde-44	546	6	{	{	PUNCT
ejde-44	546	7	f1(t	f1(t	PROPN
ejde-44	546	8	)	)	PUNCT
ejde-44	546	9	cos	cos	PROPN
ejde-44	546	10	t−	t−	PROPN
ejde-44	546	11	f2(t	f2(t	PROPN
ejde-44	546	12	)	)	PUNCT
ejde-44	546	13	sin	sin	NOUN
ejde-44	546	14	t}dt	t}dt	PROPN
ejde-44	546	15	6=	6=	SYM
ejde-44	546	16	0	0	NUM
ejde-44	546	17	or	or	CCONJ
ejde-44	546	18	∫	∫	PROPN
ejde-44	546	19	2π	2π	PROPN
ejde-44	546	20	0	0	NUM
ejde-44	546	21	{	{	PUNCT
ejde-44	546	22	f1(t	f1(t	PROPN
ejde-44	546	23	)	)	PUNCT
ejde-44	546	24	sin	sin	NOUN
ejde-44	546	25	t+	t+	VERB
ejde-44	546	26	f2(t	f2(t	NOUN
ejde-44	546	27	)	)	PUNCT
ejde-44	546	28	cos	cos	ADP
ejde-44	546	29	t}dt	t}dt	PROPN
ejde-44	546	30	6=	6=	SYM
ejde-44	546	31	0	0	NUM
ejde-44	546	32	equation	equation	NOUN
ejde-44	546	33	(	(	PUNCT
ejde-44	546	34	35	35	NUM
ejde-44	546	35	)	)	PUNCT
ejde-44	546	36	does	do	AUX
ejde-44	546	37	not	not	PART
ejde-44	546	38	have	have	VERB
ejde-44	546	39	any	any	DET
ejde-44	546	40	2π	2π	NOUN
ejde-44	546	41	-	-	ADJ
ejde-44	546	42	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	546	43	solution	solution	NOUN
ejde-44	546	44	and	and	CCONJ
ejde-44	546	45	the	the	DET
ejde-44	546	46	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	546	47	condition	condition	NOUN
ejde-44	546	48	still	still	ADV
ejde-44	546	49	holds	hold	VERB
ejde-44	546	50	because	because	SCONJ
ejde-44	546	51	range(a	range(a	ADJ
ejde-44	546	52	)	)	PUNCT
ejde-44	547	1	=	=	SYM
ejde-44	547	2	r	r	NOUN
ejde-44	547	3	2	2	NUM
ejde-44	547	4	.	.	PUNCT
ejde-44	548	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	548	2	if	if	SCONJ
ejde-44	548	3	(	(	PUNCT
ejde-44	548	4	38	38	NUM
ejde-44	548	5	)	)	PUNCT
ejde-44	548	6	is	be	AUX
ejde-44	548	7	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-44	548	8	then	then	ADV
ejde-44	548	9	every	every	DET
ejde-44	548	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	548	11	of	of	ADP
ejde-44	548	12	(	(	PUNCT
ejde-44	548	13	35	35	NUM
ejde-44	548	14	)	)	PUNCT
ejde-44	548	15	is	be	AUX
ejde-44	548	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	548	17	and	and	CCONJ
ejde-44	548	18	therefore	therefore	ADV
ejde-44	548	19	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	548	20	does	do	AUX
ejde-44	548	21	not	not	PART
ejde-44	548	22	occur	occur	VERB
ejde-44	548	23	(	(	PUNCT
ejde-44	548	24	the	the	DET
ejde-44	548	25	operator	operator	NOUN
ejde-44	548	26	a	a	PRON
ejde-44	548	27	is	be	AUX
ejde-44	548	28	not	not	PART
ejde-44	548	29	strictly	strictly	ADV
ejde-44	548	30	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	548	31	)	)	PUNCT
ejde-44	548	32	.	.	PUNCT
ejde-44	549	1	let	let	VERB
ejde-44	549	2	us	we	PRON
ejde-44	549	3	analyse	analyse	VERB
ejde-44	549	4	now	now	ADV
ejde-44	549	5	the	the	DET
ejde-44	549	6	existence	existence	NOUN
ejde-44	549	7	.	.	PUNCT
ejde-44	550	1	as	as	ADP
ejde-44	550	2	in	in	ADP
ejde-44	550	3	the	the	DET
ejde-44	550	4	one	one	NUM
ejde-44	550	5	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-44	550	6	case	case	NOUN
ejde-44	550	7	we	we	PRON
ejde-44	550	8	have	have	VERB
ejde-44	550	9	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	550	10	3.4	3.4	NUM
ejde-44	550	11	suppose	suppose	VERB
ejde-44	550	12	that	that	SCONJ
ejde-44	550	13	a	a	DET
ejde-44	550	14	:	:	PUNCT
ejde-44	550	15	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	550	16	)	)	PUNCT
ejde-44	550	17	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	550	18	h	h	PROPN
ejde-44	550	19	→	→	PUNCT
ejde-44	550	20	h	h	NOUN
ejde-44	550	21	is	be	AUX
ejde-44	550	22	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	550	23	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	550	24	and	and	CCONJ
ejde-44	550	25	f	f	PROPN
ejde-44	550	26	∈	∈	PROPN
ejde-44	550	27	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	550	28	)	)	PUNCT
ejde-44	550	29	is	be	AUX
ejde-44	550	30	t	t	NOUN
ejde-44	550	31	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	550	32	.	.	PUNCT
ejde-44	551	1	then	then	ADV
ejde-44	551	2	for	for	ADP
ejde-44	551	3	every	every	DET
ejde-44	551	4	α	α	NOUN
ejde-44	551	5	>	>	X
ejde-44	551	6	0	0	PUNCT
ejde-44	552	1	the	the	DET
ejde-44	552	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	552	3	αx(t	αx(t	NOUN
ejde-44	552	4	)	)	PUNCT
ejde-44	552	5	+	+	NUM
ejde-44	552	6	x′(t	x′(t	X
ejde-44	552	7	)	)	PUNCT
ejde-44	552	8	+	+	NOUN
ejde-44	552	9	ax(t	ax(t	X
ejde-44	552	10	)	)	PUNCT
ejde-44	552	11	=	=	SYM
ejde-44	552	12	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	552	13	)	)	PUNCT
ejde-44	552	14	,	,	PUNCT
ejde-44	552	15	t	t	PROPN
ejde-44	552	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	552	17	r	r	PROPN
ejde-44	552	18	,	,	PUNCT
ejde-44	552	19	(	(	PUNCT
ejde-44	552	20	39	39	NUM
ejde-44	552	21	)	)	PUNCT
ejde-44	552	22	has	have	VERB
ejde-44	552	23	an	an	DET
ejde-44	552	24	unique	unique	ADJ
ejde-44	552	25	t	t	NOUN
ejde-44	552	26	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	552	27	solution	solution	NOUN
ejde-44	552	28	in	in	ADP
ejde-44	552	29	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	552	30	)	)	PUNCT
ejde-44	552	31	∩	∩	ADJ
ejde-44	552	32	c(r;d(a	c(r;d(a	PROPN
ejde-44	552	33	)	)	PUNCT
ejde-44	552	34	)	)	PUNCT
ejde-44	552	35	.	.	PUNCT
ejde-44	553	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	553	2	since	since	SCONJ
ejde-44	553	3	α+a	α+a	NUM
ejde-44	553	4	is	be	AUX
ejde-44	553	5	strictly	strictly	ADV
ejde-44	553	6	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	553	7	the	the	DET
ejde-44	553	8	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	553	9	follows	follow	VERB
ejde-44	553	10	from	from	ADP
ejde-44	553	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	553	12	3.2	3.2	NUM
ejde-44	553	13	.	.	PUNCT
ejde-44	554	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	554	2	,	,	PUNCT
ejde-44	554	3	α‖x−	α‖x−	PRON
ejde-44	554	4	y‖2	y‖2	X
ejde-44	554	5	+	+	CCONJ
ejde-44	554	6	(	(	PUNCT
ejde-44	554	7	ax−ay	ax−ay	PROPN
ejde-44	554	8	,	,	PUNCT
ejde-44	554	9	x−	x−	PROPN
ejde-44	554	10	y	y	PROPN
ejde-44	554	11	)	)	PUNCT
ejde-44	554	12	=	=	SYM
ejde-44	555	1	0	0	NUM
ejde-44	555	2	,	,	PUNCT
ejde-44	555	3	x	x	PRON
ejde-44	555	4	,	,	PUNCT
ejde-44	555	5	y	y	PROPN
ejde-44	555	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	555	7	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	555	8	)	)	PUNCT
ejde-44	555	9	,	,	PUNCT
ejde-44	555	10	implies	imply	VERB
ejde-44	555	11	α‖x−	α‖x−	PRON
ejde-44	555	12	y‖2	y‖2	X
ejde-44	555	13	=	=	SYM
ejde-44	555	14	0	0	PROPN
ejde-44	555	15	and	and	CCONJ
ejde-44	555	16	hence	hence	ADV
ejde-44	555	17	x	x	PUNCT
ejde-44	555	18	=	=	PUNCT
ejde-44	555	19	y.	y.	NOUN
ejde-44	555	20	consider	consider	VERB
ejde-44	555	21	now	now	ADV
ejde-44	555	22	an	an	DET
ejde-44	555	23	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-44	555	24	initial	initial	ADJ
ejde-44	555	25	data	datum	NOUN
ejde-44	555	26	x0	x0	PROPN
ejde-44	555	27	∈	∈	PROPN
ejde-44	555	28	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	555	29	)	)	PUNCT
ejde-44	555	30	.	.	PUNCT
ejde-44	556	1	by	by	ADP
ejde-44	556	2	the	the	DET
ejde-44	556	3	hille	hille	PROPN
ejde-44	556	4	-	-	PUNCT
ejde-44	556	5	yosida	yosida	PROPN
ejde-44	556	6	’s	’s	PART
ejde-44	556	7	theorem	theorem	PROPN
ejde-44	556	8	,	,	PUNCT
ejde-44	556	9	there	there	PRON
ejde-44	556	10	is	be	VERB
ejde-44	556	11	x	x	PROPN
ejde-44	556	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	556	13	c1([0,+∞[;h	c1([0,+∞[;h	PROPN
ejde-44	556	14	)	)	PUNCT
ejde-44	556	15	∩	∩	ADJ
ejde-44	556	16	c([0,+∞[;d(a	c([0,+∞[;d(a	PROPN
ejde-44	556	17	)	)	PUNCT
ejde-44	556	18	)	)	PUNCT
ejde-44	556	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	556	20	for	for	ADP
ejde-44	556	21	(	(	PUNCT
ejde-44	556	22	39	39	NUM
ejde-44	556	23	)	)	PUNCT
ejde-44	556	24	.	.	PUNCT
ejde-44	557	1	denote	denote	VERB
ejde-44	557	2	by	by	ADP
ejde-44	557	3	(	(	PUNCT
ejde-44	557	4	xn)n≥0	xn)n≥0	VERB
ejde-44	557	5	the	the	DET
ejde-44	557	6	functions	function	NOUN
ejde-44	557	7	xn(t	xn(t	PUNCT
ejde-44	557	8	)	)	PUNCT
ejde-44	558	1	=	=	PUNCT
ejde-44	559	1	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	559	2	+	+	NUM
ejde-44	559	3	t	t	PROPN
ejde-44	559	4	)	)	PUNCT
ejde-44	559	5	,	,	PUNCT
ejde-44	559	6	t	t	PROPN
ejde-44	559	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	560	1	[	[	X
ejde-44	560	2	0	0	NUM
ejde-44	560	3	,	,	PUNCT
ejde-44	560	4	t	t	X
ejde-44	560	5	]	]	PUNCT
ejde-44	560	6	,	,	PUNCT
ejde-44	560	7	n	n	X
ejde-44	560	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	560	9	0	0	NUM
ejde-44	560	10	.	.	PUNCT
ejde-44	561	1	we	we	PRON
ejde-44	561	2	have	have	VERB
ejde-44	561	3	αxn+1(t	αxn+1(t	VERB
ejde-44	561	4	)	)	PUNCT
ejde-44	562	1	+	+	CCONJ
ejde-44	562	2	x′n+1(t	x′n+1(t	NUM
ejde-44	562	3	)	)	PUNCT
ejde-44	563	1	+	+	NOUN
ejde-44	563	2	axn+1(t	axn+1(t	NOUN
ejde-44	563	3	)	)	PUNCT
ejde-44	564	1	=	=	PRON
ejde-44	564	2	f((n+	f((n+	VERB
ejde-44	564	3	1)t	1)t	PROPN
ejde-44	564	4	+	+	PROPN
ejde-44	564	5	t	t	PROPN
ejde-44	564	6	)	)	PUNCT
ejde-44	564	7	,	,	PUNCT
ejde-44	564	8	t	t	PROPN
ejde-44	564	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	565	1	[	[	X
ejde-44	565	2	0	0	NUM
ejde-44	565	3	,	,	PUNCT
ejde-44	565	4	t	t	X
ejde-44	565	5	]	]	PUNCT
ejde-44	565	6	,	,	PUNCT
ejde-44	565	7	and	and	CCONJ
ejde-44	565	8	αxn(t	αxn(t	NUM
ejde-44	565	9	)	)	PUNCT
ejde-44	565	10	+	+	X
ejde-44	565	11	x′n(t	x′n(t	ADJ
ejde-44	565	12	)	)	PUNCT
ejde-44	566	1	+	+	VERB
ejde-44	566	2	axn(t	axn(t	NOUN
ejde-44	566	3	)	)	PUNCT
ejde-44	566	4	=	=	PUNCT
ejde-44	567	1	f(nt	f(nt	NUM
ejde-44	567	2	+	+	X
ejde-44	567	3	t	t	PROPN
ejde-44	567	4	)	)	PUNCT
ejde-44	567	5	,	,	PUNCT
ejde-44	567	6	t	t	PROPN
ejde-44	567	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	568	1	[	[	X
ejde-44	568	2	0	0	NUM
ejde-44	568	3	,	,	PUNCT
ejde-44	568	4	t	t	X
ejde-44	568	5	]	]	PUNCT
ejde-44	568	6	.	.	PUNCT
ejde-44	569	1	20	20	NUM
ejde-44	569	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	569	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	569	4	for	for	ADP
ejde-44	569	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	569	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	569	7	since	since	SCONJ
ejde-44	569	8	f	f	PROPN
ejde-44	569	9	is	be	AUX
ejde-44	569	10	t	t	NOUN
ejde-44	569	11	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	569	12	,	,	PUNCT
ejde-44	569	13	after	after	ADP
ejde-44	569	14	usual	usual	ADJ
ejde-44	569	15	computations	computation	NOUN
ejde-44	569	16	we	we	PRON
ejde-44	569	17	get	get	VERB
ejde-44	569	18	α‖xn+1(t)−	α‖xn+1(t)−	PROPN
ejde-44	569	19	xn(t)‖2	xn(t)‖2	NOUN
ejde-44	569	20	+	+	CCONJ
ejde-44	569	21	1	1	NUM
ejde-44	569	22	2	2	NUM
ejde-44	569	23	d	d	NOUN
ejde-44	569	24	dt	dt	X
ejde-44	569	25	‖xn+1(t)−	‖xn+1(t)−	PROPN
ejde-44	569	26	xn(t)‖2	xn(t)‖2	PROPN
ejde-44	569	27	+	+	ADJ
ejde-44	569	28	(	(	PUNCT
ejde-44	569	29	axn+1(t)−axn(t	axn+1(t)−axn(t	NUM
ejde-44	569	30	)	)	PUNCT
ejde-44	569	31	,	,	PUNCT
ejde-44	569	32	xn+1(t)−	xn+1(t)−	PROPN
ejde-44	569	33	xn(t	xn(t	NUM
ejde-44	569	34	)	)	PUNCT
ejde-44	569	35	)	)	PUNCT
ejde-44	570	1	=	=	PUNCT
ejde-44	570	2	0	0	NUM
ejde-44	570	3	,	,	PUNCT
ejde-44	570	4	t	t	PROPN
ejde-44	570	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	571	1	[	[	X
ejde-44	571	2	0	0	NUM
ejde-44	571	3	,	,	PUNCT
ejde-44	571	4	t	t	X
ejde-44	571	5	]	]	PUNCT
ejde-44	571	6	.	.	PUNCT
ejde-44	572	1	taking	take	VERB
ejde-44	572	2	into	into	ADP
ejde-44	572	3	account	account	NOUN
ejde-44	572	4	that	that	SCONJ
ejde-44	572	5	a	a	PRON
ejde-44	572	6	is	be	AUX
ejde-44	572	7	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	572	8	we	we	PRON
ejde-44	572	9	deduce	deduce	VERB
ejde-44	572	10	‖xn+1(t)−	‖xn+1(t)−	PUNCT
ejde-44	573	1	xn(t)‖	xn(t)‖	PROPN
ejde-44	573	2	≤	≤	NOUN
ejde-44	574	1	e−αt‖xn+1(0)−	e−αt‖xn+1(0)−	PRON
ejde-44	574	2	xn(0)‖	xn(0)‖	PROPN
ejde-44	574	3	,	,	PUNCT
ejde-44	574	4	t	t	PROPN
ejde-44	574	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	575	1	[	[	X
ejde-44	575	2	0	0	NUM
ejde-44	575	3	,	,	PUNCT
ejde-44	575	4	t	t	X
ejde-44	575	5	]	]	PUNCT
ejde-44	575	6	,	,	PUNCT
ejde-44	575	7	and	and	CCONJ
ejde-44	575	8	hence	hence	ADV
ejde-44	575	9	‖xn+1(0)−	‖xn+1(0)−	NOUN
ejde-44	575	10	xn(0)‖	xn(0)‖	PROPN
ejde-44	575	11	=	=	PUNCT
ejde-44	575	12	‖xn(t	‖xn(t	PROPN
ejde-44	575	13	)	)	PUNCT
ejde-44	575	14	−	−	PROPN
ejde-44	575	15	xn−1(t	xn−1(t	PROPN
ejde-44	575	16	)	)	PUNCT
ejde-44	576	1	‖	‖	PROPN
ejde-44	576	2	≤	≤	PROPN
ejde-44	576	3	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	576	4	‖xn(0)−	‖xn(0)−	ADJ
ejde-44	576	5	xn−1(0)‖	xn−1(0)‖	PROPN
ejde-44	576	6	≤	≤	PROPN
ejde-44	576	7	e−2αt	e−2αt	NOUN
ejde-44	576	8	‖xn−1(0)−	‖xn−1(0)−	PROPN
ejde-44	576	9	xn−2(0)‖	xn−2(0)‖	PROPN
ejde-44	576	10	≤	≤	PROPN
ejde-44	576	11	...	...	PUNCT
ejde-44	577	1	≤	≤	NUM
ejde-44	577	2	e−nαt	e−nαt	NOUN
ejde-44	577	3	‖x1(0)−	‖x1(0)−	NUM
ejde-44	577	4	x0(0)‖	x0(0)‖	PROPN
ejde-44	577	5	,	,	PUNCT
ejde-44	577	6	n	n	X
ejde-44	577	7	≥	≥	NOUN
ejde-44	577	8	0	0	NUM
ejde-44	577	9	.	.	PUNCT
ejde-44	578	1	(	(	PUNCT
ejde-44	578	2	40	40	NUM
ejde-44	578	3	)	)	PUNCT
ejde-44	578	4	finally	finally	ADV
ejde-44	578	5	we	we	PRON
ejde-44	578	6	get	get	VERB
ejde-44	578	7	the	the	DET
ejde-44	578	8	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	578	9	‖xn+1(t)−	‖xn+1(t)−	PROPN
ejde-44	578	10	xn(t)‖	xn(t)‖	PROPN
ejde-44	578	11	≤	≤	ADJ
ejde-44	578	12	e−α(nt+t)‖sα(t	e−α(nt+t)‖sα(t	NOUN
ejde-44	578	13	;	;	PUNCT
ejde-44	578	14	0	0	NUM
ejde-44	578	15	,	,	PUNCT
ejde-44	578	16	x0)−	x0)−	PROPN
ejde-44	578	17	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	578	18	,	,	PUNCT
ejde-44	578	19	t	t	PROPN
ejde-44	578	20	∈	∈	PROPN
ejde-44	579	1	[	[	X
ejde-44	579	2	0	0	NUM
ejde-44	579	3	,	,	PUNCT
ejde-44	579	4	t	t	X
ejde-44	579	5	]	]	PUNCT
ejde-44	579	6	,	,	PUNCT
ejde-44	579	7	n	n	X
ejde-44	579	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	579	9	0	0	NUM
ejde-44	579	10	.	.	PUNCT
ejde-44	580	1	here	here	ADV
ejde-44	580	2	sα(t	sα(t	NOUN
ejde-44	580	3	;	;	PUNCT
ejde-44	580	4	0	0	NUM
ejde-44	580	5	,	,	PUNCT
ejde-44	580	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	580	7	)	)	PUNCT
ejde-44	580	8	represents	represent	VERB
ejde-44	580	9	the	the	DET
ejde-44	580	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	580	11	of	of	ADP
ejde-44	580	12	(	(	PUNCT
ejde-44	580	13	39	39	NUM
ejde-44	580	14	)	)	PUNCT
ejde-44	580	15	for	for	ADP
ejde-44	580	16	the	the	DET
ejde-44	580	17	initial	initial	ADJ
ejde-44	580	18	data	datum	NOUN
ejde-44	580	19	x0	x0	PROPN
ejde-44	580	20	.	.	PUNCT
ejde-44	581	1	from	from	ADP
ejde-44	581	2	the	the	DET
ejde-44	581	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	581	4	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	581	5	it	it	PRON
ejde-44	581	6	is	be	AUX
ejde-44	581	7	clear	clear	ADJ
ejde-44	581	8	that	that	SCONJ
ejde-44	581	9	(	(	PUNCT
ejde-44	581	10	xn)n≥0	xn)n≥0	PROPN
ejde-44	581	11	is	be	AUX
ejde-44	581	12	convergent	convergent	NOUN
ejde-44	581	13	in	in	ADP
ejde-44	581	14	c0([0	c0([0	PROPN
ejde-44	581	15	,	,	PUNCT
ejde-44	581	16	t	t	X
ejde-44	581	17	]	]	PUNCT
ejde-44	581	18	;	;	PUNCT
ejde-44	581	19	h	h	NUM
ejde-44	581	20	):	):	PUNCT
ejde-44	581	21	xn(t	xn(t	NUM
ejde-44	581	22	)	)	PUNCT
ejde-44	581	23	=	=	SYM
ejde-44	582	1	x0(t	x0(t	PROPN
ejde-44	582	2	)	)	PUNCT
ejde-44	583	1	+	+	CCONJ
ejde-44	583	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-44	583	3	k=0	k=0	PROPN
ejde-44	583	4	(	(	PUNCT
ejde-44	583	5	xk+1(t)−	xk+1(t)−	PROPN
ejde-44	583	6	xk(t	xk(t	NUM
ejde-44	583	7	)	)	PUNCT
ejde-44	583	8	)	)	PUNCT
ejde-44	583	9	,	,	PUNCT
ejde-44	583	10	t	t	PROPN
ejde-44	583	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	584	1	[	[	X
ejde-44	584	2	0	0	NUM
ejde-44	584	3	,	,	PUNCT
ejde-44	584	4	t	t	X
ejde-44	584	5	]	]	PUNCT
ejde-44	584	6	,	,	PUNCT
ejde-44	584	7	where	where	SCONJ
ejde-44	584	8	∥∥	∥∥	X
ejde-44	584	9	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-44	584	10	k=0	k=0	PROPN
ejde-44	584	11	(	(	PUNCT
ejde-44	584	12	xk+1(t)−	xk+1(t)−	PROPN
ejde-44	584	13	xk(t	xk(t	NUM
ejde-44	584	14	)	)	PUNCT
ejde-44	584	15	)	)	PUNCT
ejde-44	584	16	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-44	584	17	≤	≤	ADJ
ejde-44	584	18	n−1∑	n−1∑	NUM
ejde-44	584	19	k=0	k=0	PROPN
ejde-44	584	20	‖xk+1(t)−	‖xk+1(t)−	PROPN
ejde-44	584	21	xk(t)‖	xk(t)‖	PROPN
ejde-44	585	1	≤	≤	ADV
ejde-44	585	2	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-44	585	3	k=0	k=0	PROPN
ejde-44	585	4	e−α(kt+t)‖sα(t	e−α(kt+t)‖sα(t	X
ejde-44	585	5	;	;	PUNCT
ejde-44	585	6	0	0	NUM
ejde-44	585	7	,	,	PUNCT
ejde-44	585	8	x0)−	x0)−	PROPN
ejde-44	585	9	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	585	10	≤	≤	PROPN
ejde-44	585	11	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	585	12	1−	1−	NUM
ejde-44	585	13	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	585	14	‖sα(t	‖sα(t	X
ejde-44	585	15	;	;	PUNCT
ejde-44	585	16	0	0	NUM
ejde-44	585	17	,	,	PUNCT
ejde-44	585	18	x0)−	x0)−	PROPN
ejde-44	585	19	x0‖.	x0‖.	PROPN
ejde-44	586	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	586	2	‖xn(t)‖	‖xn(t)‖	PROPN
ejde-44	586	3	≤	≤	PROPN
ejde-44	586	4	‖sα(t	‖sα(t	PROPN
ejde-44	586	5	;	;	PUNCT
ejde-44	586	6	0	0	NUM
ejde-44	586	7	,	,	PUNCT
ejde-44	586	8	x0)‖	x0)‖	PROPN
ejde-44	586	9	+	+	CCONJ
ejde-44	586	10	1	1	NUM
ejde-44	586	11	1−e−αt	1−e−αt	NUM
ejde-44	586	12	‖sα(t	‖sα(t	NUM
ejde-44	586	13	;	;	PUNCT
ejde-44	586	14	0	0	NUM
ejde-44	586	15	,	,	PUNCT
ejde-44	586	16	x0	x0	PROPN
ejde-44	586	17	)	)	PUNCT
ejde-44	586	18	−	−	PROPN
ejde-44	586	19	x0‖.	x0‖.	PROPN
ejde-44	586	20	denote	denote	VERB
ejde-44	586	21	by	by	ADP
ejde-44	586	22	xα	xα	INTJ
ejde-44	587	1	the	the	DET
ejde-44	587	2	limit	limit	NOUN
ejde-44	587	3	of	of	ADP
ejde-44	587	4	(	(	PUNCT
ejde-44	587	5	xn)n≥0	xn)n≥0	PROPN
ejde-44	587	6	as	as	ADP
ejde-44	587	7	n	n	PROPN
ejde-44	587	8	→	→	SYM
ejde-44	587	9	∞.	∞.	PROPN
ejde-44	587	10	we	we	PRON
ejde-44	587	11	should	should	AUX
ejde-44	587	12	note	note	VERB
ejde-44	587	13	that	that	SCONJ
ejde-44	587	14	without	without	ADP
ejde-44	587	15	any	any	DET
ejde-44	587	16	other	other	ADJ
ejde-44	587	17	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	587	18	(	(	PUNCT
ejde-44	587	19	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	587	20	is	be	AUX
ejde-44	587	21	not	not	PART
ejde-44	587	22	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	587	23	bounded	bound	VERB
ejde-44	587	24	in	in	ADP
ejde-44	587	25	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	587	26	,	,	PUNCT
ejde-44	587	27	t	t	X
ejde-44	588	1	[	[	X
ejde-44	588	2	;	;	PUNCT
ejde-44	588	3	h	h	X
ejde-44	588	4	)	)	PUNCT
ejde-44	588	5	.	.	PUNCT
ejde-44	589	1	we	we	PRON
ejde-44	589	2	have	have	AUX
ejde-44	589	3	only	only	ADV
ejde-44	589	4	estimate	estimate	VERB
ejde-44	589	5	in	in	ADP
ejde-44	589	6	o(1	o(1	NOUN
ejde-44	589	7	+	+	X
ejde-44	589	8	1	1	NUM
ejde-44	589	9	α	α	NOUN
ejde-44	589	10	)	)	PUNCT
ejde-44	589	11	,	,	PUNCT
ejde-44	589	12	‖xα‖l∞([0,t	‖xα‖l∞([0,t	PROPN
ejde-44	589	13	]	]	X
ejde-44	589	14	;	;	PUNCT
ejde-44	589	15	h	h	X
ejde-44	589	16	)	)	PUNCT
ejde-44	589	17	≤	≤	NUM
ejde-44	589	18	c	c	NOUN
ejde-44	589	19	(	(	PUNCT
ejde-44	589	20	1	1	NUM
ejde-44	589	21	+	+	NUM
ejde-44	589	22	1	1	NUM
ejde-44	589	23	1−	1−	NUM
ejde-44	589	24	e−αt	e−αt	NOUN
ejde-44	589	25	)	)	PUNCT
ejde-44	589	26	∼	∼	NOUN
ejde-44	589	27	o	o	NOUN
ejde-44	590	1	(	(	PUNCT
ejde-44	590	2	1	1	NUM
ejde-44	590	3	+	+	SYM
ejde-44	590	4	1	1	NUM
ejde-44	590	5	α	α	NOUN
ejde-44	590	6	)	)	PUNCT
ejde-44	590	7	.	.	PUNCT
ejde-44	591	1	the	the	DET
ejde-44	591	2	above	above	ADJ
ejde-44	591	3	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	591	4	leads	lead	VERB
ejde-44	591	5	immediately	immediately	ADV
ejde-44	591	6	to	to	ADP
ejde-44	591	7	the	the	DET
ejde-44	591	8	following	follow	VERB
ejde-44	591	9	statement	statement	NOUN
ejde-44	591	10	.	.	PUNCT
ejde-44	592	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	592	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	592	3	21	21	NUM
ejde-44	592	4	remark	remark	NOUN
ejde-44	592	5	3.5	3.5	NUM
ejde-44	592	6	the	the	DET
ejde-44	592	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	592	8	(	(	PUNCT
ejde-44	592	9	αxα)α>0	αxα)α>0	X
ejde-44	592	10	is	be	AUX
ejde-44	592	11	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	592	12	bounded	bound	VERB
ejde-44	592	13	in	in	ADP
ejde-44	592	14	l∞([0	l∞([0	PROPN
ejde-44	592	15	,	,	PUNCT
ejde-44	592	16	t	t	X
ejde-44	592	17	]	]	PUNCT
ejde-44	592	18	;	;	PUNCT
ejde-44	592	19	h	h	X
ejde-44	592	20	)	)	PUNCT
ejde-44	592	21	.	.	PUNCT
ejde-44	593	1	let	let	VERB
ejde-44	593	2	us	we	PRON
ejde-44	593	3	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-44	593	4	that	that	SCONJ
ejde-44	593	5	xα	xα	PROPN
ejde-44	593	6	is	be	AUX
ejde-44	593	7	t	t	NOUN
ejde-44	593	8	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	593	9	and	and	CCONJ
ejde-44	593	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	593	11	for	for	ADP
ejde-44	593	12	(	(	PUNCT
ejde-44	593	13	39	39	NUM
ejde-44	593	14	)	)	PUNCT
ejde-44	593	15	.	.	PUNCT
ejde-44	594	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	594	2	,	,	PUNCT
ejde-44	594	3	xα(0	xα(0	NOUN
ejde-44	594	4	)	)	PUNCT
ejde-44	594	5	=	=	VERB
ejde-44	594	6	lim	lim	PROPN
ejde-44	594	7	n→∞	n→∞	X
ejde-44	594	8	xn(0	xn(0	PROPN
ejde-44	594	9	)	)	PUNCT
ejde-44	595	1	=	=	PROPN
ejde-44	595	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	595	3	n→∞	n→∞	X
ejde-44	595	4	xn−1(t	xn−1(t	PROPN
ejde-44	595	5	)	)	PUNCT
ejde-44	596	1	=	=	SYM
ejde-44	596	2	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	596	3	)	)	PUNCT
ejde-44	596	4	.	.	PUNCT
ejde-44	597	1	now	now	ADV
ejde-44	597	2	let	let	VERB
ejde-44	597	3	us	we	PRON
ejde-44	597	4	show	show	VERB
ejde-44	597	5	that	that	SCONJ
ejde-44	597	6	(	(	PUNCT
ejde-44	597	7	x′n)n≥0	x′n)n≥0	X
ejde-44	597	8	is	be	AUX
ejde-44	597	9	also	also	ADV
ejde-44	597	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	597	11	bounded	bound	VERB
ejde-44	597	12	in	in	ADP
ejde-44	597	13	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	597	14	,	,	PUNCT
ejde-44	597	15	t	t	X
ejde-44	598	1	[	[	X
ejde-44	598	2	;	;	PUNCT
ejde-44	598	3	h	h	X
ejde-44	598	4	)	)	PUNCT
ejde-44	598	5	.	.	PUNCT
ejde-44	599	1	by	by	ADP
ejde-44	599	2	taking	take	VERB
ejde-44	599	3	the	the	DET
ejde-44	599	4	difference	difference	NOUN
ejde-44	599	5	between	between	ADP
ejde-44	599	6	the	the	DET
ejde-44	599	7	equations	equation	NOUN
ejde-44	599	8	(	(	PUNCT
ejde-44	599	9	39	39	NUM
ejde-44	599	10	)	)	PUNCT
ejde-44	599	11	at	at	ADP
ejde-44	599	12	the	the	DET
ejde-44	599	13	moments	moment	NOUN
ejde-44	599	14	t	t	PROPN
ejde-44	599	15	and	and	CCONJ
ejde-44	599	16	t+h	t+h	PROPN
ejde-44	599	17	we	we	PRON
ejde-44	599	18	have	have	VERB
ejde-44	599	19	α(x(t+h)−x(t))+x′(t+h)−x′(t)+ax(t+h)−ax(t	α(x(t+h)−x(t))+x′(t+h)−x′(t)+ax(t+h)−ax(t	NUM
ejde-44	599	20	)	)	PUNCT
ejde-44	599	21	=	=	SYM
ejde-44	599	22	f(t+h)−f(t	f(t+h)−f(t	PROPN
ejde-44	599	23	)	)	PUNCT
ejde-44	599	24	,	,	PUNCT
ejde-44	599	25	t	t	X
ejde-44	599	26	<	<	X
ejde-44	599	27	t+h	t+h	PROPN
ejde-44	599	28	.	.	PUNCT
ejde-44	600	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-44	600	2	by	by	ADP
ejde-44	600	3	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	600	4	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	600	5	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	600	6	)	)	PUNCT
ejde-44	600	7	we	we	PRON
ejde-44	600	8	obtain	obtain	VERB
ejde-44	600	9	α‖x(t+h)−x(t)‖2	α‖x(t+h)−x(t)‖2	NOUN
ejde-44	601	1	+	+	CCONJ
ejde-44	601	2	1	1	NUM
ejde-44	601	3	2	2	NUM
ejde-44	601	4	d	d	NOUN
ejde-44	601	5	dt	dt	NOUN
ejde-44	601	6	‖x(t+h)−x(t)‖2	‖x(t+h)−x(t)‖2	ADJ
ejde-44	601	7	≤	≤	NUM
ejde-44	601	8	‖f(t+h)−f(t)‖·‖x(t+h)−x(t)‖	‖f(t+h)−f(t)‖·‖x(t+h)−x(t)‖	NOUN
ejde-44	601	9	,	,	PUNCT
ejde-44	601	10	which	which	PRON
ejde-44	601	11	can	can	AUX
ejde-44	601	12	be	be	AUX
ejde-44	601	13	also	also	ADV
ejde-44	601	14	rewritten	rewrite	VERB
ejde-44	601	15	as	as	ADP
ejde-44	601	16	1	1	NUM
ejde-44	601	17	2	2	NUM
ejde-44	601	18	e2αt‖x(t+	e2αt‖x(t+	NUM
ejde-44	601	19	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	601	20	x(t)‖2	x(t)‖2	PROPN
ejde-44	601	21	≤	≤	PROPN
ejde-44	601	22	∫	∫	PROPN
ejde-44	601	23	t	t	PROPN
ejde-44	601	24	0	0	NUM
ejde-44	602	1	eαs‖f(s+	eαs‖f(s+	PROPN
ejde-44	602	2	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	602	3	f(s)‖	f(s)‖	PROPN
ejde-44	602	4	·	·	PUNCT
ejde-44	602	5	eαs‖x(s+	eαs‖x(s+	VERB
ejde-44	602	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	602	7	x(s)‖ds	x(s)‖ds	PROPN
ejde-44	603	1	+	+	CCONJ
ejde-44	603	2	1	1	NUM
ejde-44	603	3	2	2	NUM
ejde-44	603	4	‖x(h)−	‖x(h)−	NUM
ejde-44	603	5	x(0)‖2	x(0)‖2	NUM
ejde-44	603	6	,	,	PUNCT
ejde-44	603	7	t	t	X
ejde-44	603	8	<	<	X
ejde-44	603	9	t+	t+	PUNCT
ejde-44	603	10	h.	h.	NOUN
ejde-44	603	11	by	by	ADP
ejde-44	603	12	using	use	VERB
ejde-44	603	13	bellman	bellman	NOUN
ejde-44	603	14	’s	’s	PART
ejde-44	603	15	lemma	lemma	PROPN
ejde-44	603	16	we	we	PRON
ejde-44	603	17	conclude	conclude	VERB
ejde-44	603	18	that	that	SCONJ
ejde-44	603	19	1	1	NUM
ejde-44	603	20	h	h	NOUN
ejde-44	603	21	‖x(t+	‖x(t+	PROPN
ejde-44	603	22	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	603	23	x(t)‖	x(t)‖	PROPN
ejde-44	604	1	≤	≤	NUM
ejde-44	605	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	605	2	t	t	PROPN
ejde-44	605	3	0	0	NUM
ejde-44	605	4	e−α(t−s	e−α(t−s	PROPN
ejde-44	605	5	)	)	PUNCT
ejde-44	605	6	1	1	NUM
ejde-44	605	7	h	h	NOUN
ejde-44	605	8	‖f(s+	‖f(s+	ADJ
ejde-44	606	1	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	606	2	f(s)‖ds	f(s)‖d	VERB
ejde-44	606	3	+	+	PROPN
ejde-44	606	4	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	606	5	1	1	NUM
ejde-44	606	6	h	h	NOUN
ejde-44	606	7	‖x(h)−	‖x(h)−	PROPN
ejde-44	606	8	x(0)‖	x(0)‖	NOUN
ejde-44	606	9	,	,	PUNCT
ejde-44	606	10	0	0	NUM
ejde-44	606	11	≤	≤	NUM
ejde-44	606	12	t	t	NOUN
ejde-44	606	13	<	<	X
ejde-44	606	14	t+	t+	PUNCT
ejde-44	606	15	h.	h.	PROPN
ejde-44	606	16	(	(	PUNCT
ejde-44	606	17	41	41	NUM
ejde-44	606	18	)	)	PUNCT
ejde-44	606	19	by	by	ADP
ejde-44	606	20	passing	pass	VERB
ejde-44	606	21	to	to	ADP
ejde-44	606	22	the	the	DET
ejde-44	606	23	limit	limit	NOUN
ejde-44	606	24	for	for	ADP
ejde-44	606	25	h→	h→	NOUN
ejde-44	606	26	0	0	NUM
ejde-44	607	1	the	the	DET
ejde-44	607	2	previous	previous	ADJ
ejde-44	607	3	formula	formula	NOUN
ejde-44	607	4	yields	yield	NOUN
ejde-44	607	5	‖x′(t)‖	‖x′(t)‖	VERB
ejde-44	607	6	≤	≤	NUM
ejde-44	607	7	e−αt‖x′(0)‖+	e−αt‖x′(0)‖+	PROPN
ejde-44	607	8	∫	∫	PROPN
ejde-44	607	9	t	t	PROPN
ejde-44	607	10	0	0	NUM
ejde-44	607	11	e−α(t−s)‖f	e−α(t−s)‖f	NUM
ejde-44	607	12	′(s)‖ds	′(s)‖ds	ADJ
ejde-44	607	13	≤	≤	PUNCT
ejde-44	607	14	e−αt‖f(0)−	e−αt‖f(0)−	NOUN
ejde-44	607	15	αx0	αx0	NOUN
ejde-44	607	16	−ax0‖+	−ax0‖+	NOUN
ejde-44	607	17	1	1	NUM
ejde-44	607	18	α	α	NOUN
ejde-44	607	19	(	(	PUNCT
ejde-44	607	20	1−	1−	NUM
ejde-44	607	21	e−αt)‖f	e−αt)‖f	VERB
ejde-44	607	22	′‖l∞(]0,t	′‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	607	23	[	[	X
ejde-44	607	24	;	;	PUNCT
ejde-44	607	25	h	h	X
ejde-44	607	26	)	)	PUNCT
ejde-44	607	27	≤	≤	NOUN
ejde-44	607	28	‖f(0)−	‖f(0)−	PUNCT
ejde-44	607	29	αx0	αx0	NOUN
ejde-44	607	30	−ax0‖+	−ax0‖+	NOUN
ejde-44	607	31	1	1	NUM
ejde-44	607	32	α	α	NOUN
ejde-44	607	33	‖f	‖f	ADJ
ejde-44	607	34	′‖l∞(]0,t	′‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	608	1	[	[	X
ejde-44	608	2	;	;	PUNCT
ejde-44	608	3	h	h	X
ejde-44	608	4	)	)	PUNCT
ejde-44	608	5	<	<	X
ejde-44	609	1	+	+	PUNCT
ejde-44	609	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-44	609	3	therefore	therefore	ADV
ejde-44	609	4	(	(	PUNCT
ejde-44	609	5	x′n)n≥0	x′n)n≥0	X
ejde-44	609	6	is	be	AUX
ejde-44	609	7	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	609	8	bounded	bound	VERB
ejde-44	609	9	in	in	ADP
ejde-44	609	10	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	609	11	,	,	PUNCT
ejde-44	609	12	t	t	X
ejde-44	610	1	[	[	X
ejde-44	610	2	;	;	PUNCT
ejde-44	610	3	h	h	X
ejde-44	610	4	)	)	PUNCT
ejde-44	610	5	since	since	SCONJ
ejde-44	610	6	‖x′n‖l∞(]0,t	‖x′n‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	610	7	[	[	X
ejde-44	610	8	;	;	PUNCT
ejde-44	610	9	h	h	X
ejde-44	610	10	)	)	PUNCT
ejde-44	610	11	=	=	NOUN
ejde-44	610	12	‖x′(nt	‖x′(nt	NOUN
ejde-44	610	13	+	+	CCONJ
ejde-44	610	14	(	(	PUNCT
ejde-44	610	15	·	·	PUNCT
ejde-44	610	16	)	)	PUNCT
ejde-44	610	17	)	)	PUNCT
ejde-44	611	1	‖l∞(]0,t	‖l∞(]0,t	PROPN
ejde-44	612	1	[	[	X
ejde-44	612	2	;	;	PUNCT
ejde-44	612	3	h	h	X
ejde-44	612	4	)	)	PUNCT
ejde-44	612	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	612	6	‖x′‖l∞([0,+∞[;h	‖x′‖l∞([0,+∞[;h	NOUN
ejde-44	612	7	)	)	PUNCT
ejde-44	612	8	,	,	PUNCT
ejde-44	612	9	and	and	CCONJ
ejde-44	612	10	thus	thus	ADV
ejde-44	612	11	we	we	PRON
ejde-44	612	12	have	have	VERB
ejde-44	612	13	x′n(t	x′n(t	PROPN
ejde-44	612	14	)	)	PUNCT
ejde-44	612	15	⇀	⇀	PROPN
ejde-44	612	16	yα(t	yα(t	NOUN
ejde-44	612	17	)	)	PUNCT
ejde-44	612	18	,	,	PUNCT
ejde-44	612	19	t	t	PROPN
ejde-44	612	20	∈	∈	PROPN
ejde-44	613	1	[	[	X
ejde-44	613	2	0	0	NUM
ejde-44	613	3	,	,	PUNCT
ejde-44	613	4	t	t	X
ejde-44	613	5	]	]	PUNCT
ejde-44	613	6	.	.	PUNCT
ejde-44	614	1	we	we	PRON
ejde-44	614	2	can	can	AUX
ejde-44	614	3	write	write	VERB
ejde-44	614	4	(	(	PUNCT
ejde-44	614	5	xn(t	xn(t	NUM
ejde-44	614	6	)	)	PUNCT
ejde-44	614	7	,	,	PUNCT
ejde-44	614	8	z	z	X
ejde-44	614	9	)	)	PUNCT
ejde-44	614	10	=	=	SYM
ejde-44	614	11	(	(	PUNCT
ejde-44	614	12	xn(0	xn(0	PROPN
ejde-44	614	13	)	)	PUNCT
ejde-44	614	14	,	,	PUNCT
ejde-44	614	15	z	z	X
ejde-44	614	16	)	)	PUNCT
ejde-44	615	1	+	+	CCONJ
ejde-44	615	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	615	3	t	t	PROPN
ejde-44	615	4	0	0	NUM
ejde-44	615	5	(	(	PUNCT
ejde-44	615	6	x′n(s	x′n(s	PROPN
ejde-44	615	7	)	)	PUNCT
ejde-44	615	8	,	,	PUNCT
ejde-44	615	9	z)ds	z)ds	PROPN
ejde-44	615	10	,	,	PUNCT
ejde-44	615	11	z	z	PROPN
ejde-44	615	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	615	13	h	h	NOUN
ejde-44	615	14	,	,	PUNCT
ejde-44	615	15	t	t	PROPN
ejde-44	615	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	616	1	[	[	X
ejde-44	616	2	0	0	NUM
ejde-44	616	3	,	,	PUNCT
ejde-44	616	4	t	t	X
ejde-44	616	5	]	]	PUNCT
ejde-44	616	6	,	,	PUNCT
ejde-44	616	7	n	n	X
ejde-44	616	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	616	9	0	0	NUM
ejde-44	616	10	,	,	PUNCT
ejde-44	616	11	22	22	NUM
ejde-44	616	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	616	13	solutions	solution	NOUN
ejde-44	616	14	for	for	ADP
ejde-44	616	15	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	616	16	equations	equation	NOUN
ejde-44	616	17	and	and	CCONJ
ejde-44	616	18	by	by	ADP
ejde-44	616	19	passing	pass	VERB
ejde-44	616	20	to	to	ADP
ejde-44	616	21	the	the	DET
ejde-44	616	22	limit	limit	NOUN
ejde-44	616	23	for	for	ADP
ejde-44	616	24	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	616	25	we	we	PRON
ejde-44	616	26	deduce	deduce	VERB
ejde-44	616	27	(	(	PUNCT
ejde-44	616	28	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	616	29	)	)	PUNCT
ejde-44	616	30	,	,	PUNCT
ejde-44	616	31	z	z	X
ejde-44	616	32	)	)	PUNCT
ejde-44	616	33	=	=	SYM
ejde-44	616	34	(	(	PUNCT
ejde-44	616	35	xα(0	xα(0	NOUN
ejde-44	616	36	)	)	PUNCT
ejde-44	616	37	,	,	PUNCT
ejde-44	616	38	z	z	NOUN
ejde-44	616	39	)	)	PUNCT
ejde-44	617	1	+	+	CCONJ
ejde-44	617	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	617	3	t	t	PROPN
ejde-44	617	4	0	0	NUM
ejde-44	617	5	(	(	PUNCT
ejde-44	617	6	yα(s	yα(s	NUM
ejde-44	617	7	)	)	PUNCT
ejde-44	617	8	,	,	PUNCT
ejde-44	617	9	z)ds	z)ds	PROPN
ejde-44	617	10	,	,	PUNCT
ejde-44	617	11	z	z	PROPN
ejde-44	617	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	617	13	h	h	NOUN
ejde-44	617	14	,	,	PUNCT
ejde-44	617	15	t	t	PROPN
ejde-44	617	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	618	1	[	[	X
ejde-44	618	2	0	0	NUM
ejde-44	618	3	,	,	PUNCT
ejde-44	618	4	t	t	X
ejde-44	618	5	]	]	PUNCT
ejde-44	618	6	,	,	PUNCT
ejde-44	618	7	which	which	PRON
ejde-44	618	8	is	be	AUX
ejde-44	618	9	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	618	10	to	to	ADP
ejde-44	618	11	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	618	12	)	)	PUNCT
ejde-44	618	13	=	=	SYM
ejde-44	618	14	xα(0	xα(0	X
ejde-44	618	15	)	)	PUNCT
ejde-44	619	1	+	+	CCONJ
ejde-44	619	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	619	3	t	t	PROPN
ejde-44	619	4	0	0	NUM
ejde-44	619	5	yα(s)ds	yα(s)ds	NOUN
ejde-44	619	6	,	,	PUNCT
ejde-44	619	7	t	t	PROPN
ejde-44	619	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	620	1	[	[	X
ejde-44	620	2	0	0	NUM
ejde-44	620	3	,	,	PUNCT
ejde-44	620	4	t	t	X
ejde-44	620	5	]	]	PUNCT
ejde-44	620	6	.	.	PUNCT
ejde-44	621	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	621	2	xα	xα	INTJ
ejde-44	621	3	is	be	AUX
ejde-44	621	4	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-44	621	5	and	and	CCONJ
ejde-44	621	6	x′α	x′α	PUNCT
ejde-44	622	1	=	=	SYM
ejde-44	623	1	yα	yα	NOUN
ejde-44	623	2	.	.	PUNCT
ejde-44	624	1	finally	finally	ADV
ejde-44	624	2	we	we	PRON
ejde-44	624	3	can	can	AUX
ejde-44	624	4	write	write	VERB
ejde-44	624	5	x′n(t	x′n(t	PROPN
ejde-44	624	6	)	)	PUNCT
ejde-44	625	1	⇀	⇀	PRON
ejde-44	625	2	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	625	3	)	)	PUNCT
ejde-44	625	4	,	,	PUNCT
ejde-44	625	5	t	t	PROPN
ejde-44	625	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	626	1	[	[	X
ejde-44	626	2	0	0	NUM
ejde-44	626	3	,	,	PUNCT
ejde-44	626	4	t	t	X
ejde-44	626	5	]	]	PUNCT
ejde-44	626	6	.	.	PUNCT
ejde-44	627	1	let	let	VERB
ejde-44	627	2	us	we	PRON
ejde-44	627	3	show	show	VERB
ejde-44	627	4	that	that	SCONJ
ejde-44	627	5	xα	xα	PROPN
ejde-44	627	6	is	be	AUX
ejde-44	627	7	also	also	ADV
ejde-44	627	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	627	9	for	for	ADP
ejde-44	627	10	(	(	PUNCT
ejde-44	627	11	39	39	NUM
ejde-44	627	12	)	)	PUNCT
ejde-44	627	13	.	.	PUNCT
ejde-44	628	1	we	we	PRON
ejde-44	628	2	have	have	VERB
ejde-44	628	3	[	[	X
ejde-44	628	4	xn(t	xn(t	NUM
ejde-44	628	5	)	)	PUNCT
ejde-44	628	6	,	,	PUNCT
ejde-44	628	7	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	628	8	αxn(t)−	αxn(t)−	PROPN
ejde-44	628	9	x′n(t	x′n(t	PROPN
ejde-44	628	10	)	)	PUNCT
ejde-44	628	11	]	]	PUNCT
ejde-44	629	1	∈	∈	PROPN
ejde-44	629	2	a	a	PRON
ejde-44	629	3	,	,	PUNCT
ejde-44	629	4	n	n	X
ejde-44	629	5	≥	≥	NOUN
ejde-44	629	6	0	0	NUM
ejde-44	629	7	,	,	PUNCT
ejde-44	629	8	t	t	PROPN
ejde-44	629	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	630	1	[	[	X
ejde-44	630	2	0	0	NUM
ejde-44	630	3	,	,	PUNCT
ejde-44	630	4	t	t	X
ejde-44	630	5	]	]	PUNCT
ejde-44	630	6	.	.	PUNCT
ejde-44	631	1	since	since	SCONJ
ejde-44	631	2	xn(t	xn(t	NUM
ejde-44	631	3	)	)	PUNCT
ejde-44	631	4	→	→	SYM
ejde-44	631	5	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	631	6	)	)	PUNCT
ejde-44	631	7	,	,	PUNCT
ejde-44	631	8	x′n(t	x′n(t	PROPN
ejde-44	631	9	)	)	PUNCT
ejde-44	631	10	⇀	⇀	PRON
ejde-44	631	11	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	631	12	)	)	PUNCT
ejde-44	631	13	and	and	CCONJ
ejde-44	631	14	a	a	PRON
ejde-44	631	15	is	be	AUX
ejde-44	631	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	631	17	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	631	18	we	we	PRON
ejde-44	631	19	conclude	conclude	VERB
ejde-44	631	20	that	that	SCONJ
ejde-44	631	21	[	[	X
ejde-44	631	22	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	631	23	)	)	PUNCT
ejde-44	631	24	,	,	PUNCT
ejde-44	631	25	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	631	26	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	631	27	)	)	PUNCT
ejde-44	631	28	]	]	PUNCT
ejde-44	632	1	∈	∈	PROPN
ejde-44	632	2	a	a	PRON
ejde-44	632	3	,	,	PUNCT
ejde-44	632	4	t	t	PROPN
ejde-44	632	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	633	1	[	[	X
ejde-44	633	2	0	0	NUM
ejde-44	633	3	,	,	PUNCT
ejde-44	633	4	t	t	X
ejde-44	633	5	]	]	PUNCT
ejde-44	633	6	,	,	PUNCT
ejde-44	633	7	α	α	X
ejde-44	633	8	>	>	X
ejde-44	633	9	0	0	PROPN
ejde-44	633	10	,	,	PUNCT
ejde-44	633	11	which	which	PRON
ejde-44	633	12	means	mean	VERB
ejde-44	633	13	that	that	SCONJ
ejde-44	633	14	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	633	15	)	)	PUNCT
ejde-44	633	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	633	17	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	633	18	)	)	PUNCT
ejde-44	633	19	and	and	CCONJ
ejde-44	633	20	axα(t	axα(t	VERB
ejde-44	633	21	)	)	PUNCT
ejde-44	633	22	=	=	SYM
ejde-44	633	23	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	633	24	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	633	25	)	)	PUNCT
ejde-44	633	26	,	,	PUNCT
ejde-44	633	27	t	t	PROPN
ejde-44	633	28	∈	∈	PROPN
ejde-44	634	1	[	[	X
ejde-44	634	2	0	0	NUM
ejde-44	634	3	,	,	PUNCT
ejde-44	634	4	t	t	X
ejde-44	634	5	]	]	PUNCT
ejde-44	634	6	.	.	PUNCT
ejde-44	635	1	now	now	ADV
ejde-44	635	2	we	we	PRON
ejde-44	635	3	establish	establish	VERB
ejde-44	635	4	for	for	ADP
ejde-44	635	5	the	the	DET
ejde-44	635	6	linear	linear	ADJ
ejde-44	635	7	case	case	NOUN
ejde-44	635	8	the	the	DET
ejde-44	635	9	similar	similar	ADJ
ejde-44	635	10	result	result	NOUN
ejde-44	635	11	stated	state	VERB
ejde-44	635	12	in	in	ADP
ejde-44	635	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	635	14	2.10	2.10	NUM
ejde-44	635	15	.	.	PUNCT
ejde-44	636	1	before	before	SCONJ
ejde-44	636	2	let	let	VERB
ejde-44	636	3	us	we	PRON
ejde-44	636	4	recall	recall	VERB
ejde-44	636	5	a	a	DET
ejde-44	636	6	standard	standard	ADJ
ejde-44	636	7	result	result	NOUN
ejde-44	636	8	concerning	concern	VERB
ejde-44	636	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	636	10	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	636	11	operators	operator	NOUN
ejde-44	636	12	on	on	ADP
ejde-44	636	13	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	636	14	spaces	space	NOUN
ejde-44	636	15	proposition	proposition	VERB
ejde-44	636	16	3.6	3.6	NUM
ejde-44	636	17	assume	assume	VERB
ejde-44	636	18	that	that	SCONJ
ejde-44	636	19	a	a	PRON
ejde-44	636	20	is	be	AUX
ejde-44	636	21	a	a	DET
ejde-44	636	22	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	636	23	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	636	24	operator	operator	NOUN
ejde-44	636	25	(	(	PUNCT
ejde-44	636	26	linear	linear	ADJ
ejde-44	636	27	or	or	CCONJ
ejde-44	636	28	not	not	PART
ejde-44	636	29	)	)	PUNCT
ejde-44	636	30	and	and	CCONJ
ejde-44	636	31	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	636	32	+	+	CCONJ
ejde-44	636	33	auα	auα	NOUN
ejde-44	636	34	=	=	SYM
ejde-44	636	35	f	f	PROPN
ejde-44	636	36	,	,	PUNCT
ejde-44	636	37	uα	uα	PROPN
ejde-44	636	38	∈	∈	PROPN
ejde-44	636	39	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	636	40	)	)	PUNCT
ejde-44	636	41	,	,	PUNCT
ejde-44	636	42	f	f	PROPN
ejde-44	636	43	∈	∈	PROPN
ejde-44	636	44	h	h	NOUN
ejde-44	636	45	,	,	PUNCT
ejde-44	636	46	α	α	PROPN
ejde-44	636	47	>	>	X
ejde-44	636	48	0	0	PROPN
ejde-44	636	49	.	.	PUNCT
ejde-44	637	1	then	then	ADV
ejde-44	637	2	the	the	DET
ejde-44	637	3	following	follow	VERB
ejde-44	637	4	statements	statement	NOUN
ejde-44	637	5	are	be	AUX
ejde-44	637	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	637	7	:	:	PUNCT
ejde-44	637	8	(	(	PUNCT
ejde-44	637	9	i	i	NOUN
ejde-44	637	10	)	)	PUNCT
ejde-44	637	11	f	f	PROPN
ejde-44	638	1	∈	∈	PROPN
ejde-44	638	2	range(a	range(a	PROPN
ejde-44	638	3	)	)	PUNCT
ejde-44	638	4	;	;	PUNCT
ejde-44	638	5	(	(	PUNCT
ejde-44	638	6	ii	ii	NOUN
ejde-44	638	7	)	)	PUNCT
ejde-44	638	8	(	(	PUNCT
ejde-44	638	9	uα)α>0	uα)α>0	PROPN
ejde-44	638	10	is	be	AUX
ejde-44	638	11	bounded	bound	VERB
ejde-44	638	12	in	in	ADP
ejde-44	638	13	h.	h.	PROPN
ejde-44	638	14	moreover	moreover	ADV
ejde-44	638	15	,	,	PUNCT
ejde-44	638	16	in	in	ADP
ejde-44	638	17	this	this	DET
ejde-44	638	18	case	case	NOUN
ejde-44	638	19	(	(	PUNCT
ejde-44	638	20	uα)α>0	uα)α>0	NUM
ejde-44	638	21	is	be	AUX
ejde-44	638	22	convergent	convergent	NOUN
ejde-44	638	23	in	in	ADP
ejde-44	638	24	h	h	NOUN
ejde-44	638	25	to	to	ADP
ejde-44	638	26	the	the	DET
ejde-44	638	27	element	element	NOUN
ejde-44	638	28	of	of	ADP
ejde-44	638	29	minimal	minimal	ADJ
ejde-44	638	30	norm	norm	NOUN
ejde-44	638	31	in	in	ADP
ejde-44	638	32	a−1f	a−1f	PROPN
ejde-44	638	33	.	.	PUNCT
ejde-44	639	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	639	2	it	it	PRON
ejde-44	639	3	(	(	PUNCT
ejde-44	639	4	i	i	NOUN
ejde-44	639	5	)	)	PUNCT
ejde-44	639	6	→	→	SYM
ejde-44	639	7	(	(	PUNCT
ejde-44	639	8	ii	ii	NOUN
ejde-44	639	9	)	)	PUNCT
ejde-44	639	10	by	by	ADP
ejde-44	639	11	the	the	DET
ejde-44	639	12	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	639	13	there	there	PRON
ejde-44	639	14	is	be	VERB
ejde-44	639	15	u	u	PROPN
ejde-44	639	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	639	17	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	639	18	)	)	PUNCT
ejde-44	639	19	such	such	ADJ
ejde-44	639	20	that	that	SCONJ
ejde-44	639	21	f	f	PROPN
ejde-44	639	22	=	=	PUNCT
ejde-44	639	23	au	au	PROPN
ejde-44	639	24	.	.	PROPN
ejde-44	640	1	after	after	ADP
ejde-44	640	2	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	640	3	by	by	ADP
ejde-44	640	4	uα	uα	PROPN
ejde-44	640	5	−	−	PROPN
ejde-44	640	6	u	u	NOUN
ejde-44	640	7	we	we	PRON
ejde-44	640	8	get	get	VERB
ejde-44	640	9	α(uα	α(uα	NOUN
ejde-44	640	10	,	,	PUNCT
ejde-44	640	11	uα	uα	PROPN
ejde-44	640	12	−	−	PROPN
ejde-44	640	13	u	u	NOUN
ejde-44	640	14	)	)	PUNCT
ejde-44	641	1	+	+	CCONJ
ejde-44	641	2	(	(	PUNCT
ejde-44	641	3	auα	auα	PROPN
ejde-44	641	4	−au	−au	PROPN
ejde-44	641	5	,	,	PUNCT
ejde-44	641	6	uα	uα	PROPN
ejde-44	641	7	−	−	PROPN
ejde-44	641	8	u	u	NOUN
ejde-44	641	9	)	)	PUNCT
ejde-44	641	10	=	=	SYM
ejde-44	641	11	0	0	NUM
ejde-44	641	12	,	,	PUNCT
ejde-44	641	13	α	α	NOUN
ejde-44	641	14	>	>	X
ejde-44	641	15	0	0	X
ejde-44	641	16	.	.	PUNCT
ejde-44	642	1	taking	take	VERB
ejde-44	642	2	into	into	ADP
ejde-44	642	3	account	account	NOUN
ejde-44	642	4	that	that	SCONJ
ejde-44	642	5	a	a	PRON
ejde-44	642	6	is	be	AUX
ejde-44	642	7	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	642	8	we	we	PRON
ejde-44	642	9	deduce	deduce	VERB
ejde-44	642	10	‖uα‖2	‖uα‖2	ADJ
ejde-44	642	11	≤	≤	NOUN
ejde-44	642	12	(	(	PUNCT
ejde-44	642	13	uα	uα	PROPN
ejde-44	642	14	,	,	PUNCT
ejde-44	642	15	u	u	NOUN
ejde-44	642	16	)	)	PUNCT
ejde-44	642	17	≤	≤	NOUN
ejde-44	642	18	‖uα‖	‖uα‖	NOUN
ejde-44	642	19	·	·	PUNCT
ejde-44	643	1	‖u‖	‖u‖	PROPN
ejde-44	643	2	,	,	PUNCT
ejde-44	643	3	α	α	NOUN
ejde-44	643	4	>	>	X
ejde-44	643	5	0	0	NUM
ejde-44	643	6	,	,	PUNCT
ejde-44	643	7	and	and	CCONJ
ejde-44	643	8	hence	hence	ADV
ejde-44	643	9	‖uα‖	‖uα‖	ADJ
ejde-44	643	10	≤	≤	ADJ
ejde-44	643	11	‖u‖	‖u‖	PROPN
ejde-44	643	12	,	,	PUNCT
ejde-44	643	13	α	α	PROPN
ejde-44	643	14	>	>	X
ejde-44	643	15	0	0	PROPN
ejde-44	643	16	,	,	PUNCT
ejde-44	643	17	u	u	PROPN
ejde-44	643	18	∈	∈	PROPN
ejde-44	643	19	a−1f	a−1f	PRON
ejde-44	643	20	which	which	PRON
ejde-44	643	21	implies	imply	VERB
ejde-44	643	22	that	that	SCONJ
ejde-44	643	23	uα	uα	PROPN
ejde-44	643	24	⇀	⇀	PUNCT
ejde-44	643	25	u0	u0	ADJ
ejde-44	643	26	.	.	PUNCT
ejde-44	644	1	we	we	PRON
ejde-44	644	2	have	have	VERB
ejde-44	644	3	[	[	X
ejde-44	644	4	uα	uα	PROPN
ejde-44	644	5	,	,	PUNCT
ejde-44	644	6	f	f	PROPN
ejde-44	644	7	−	−	PROPN
ejde-44	644	8	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	644	9	]	]	X
ejde-44	644	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	644	11	a	a	PRON
ejde-44	644	12	,	,	PUNCT
ejde-44	644	13	α	α	X
ejde-44	644	14	>	>	X
ejde-44	644	15	0	0	PUNCT
ejde-44	645	1	and	and	CCONJ
ejde-44	645	2	since	since	SCONJ
ejde-44	645	3	a	a	PRON
ejde-44	645	4	is	be	AUX
ejde-44	645	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	645	6	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	645	7	,	,	PUNCT
ejde-44	645	8	by	by	ADP
ejde-44	645	9	passing	pass	VERB
ejde-44	645	10	to	to	ADP
ejde-44	645	11	the	the	DET
ejde-44	645	12	limit	limit	NOUN
ejde-44	645	13	for	for	ADP
ejde-44	645	14	α→	α→	PROPN
ejde-44	645	15	0	0	NUM
ejde-44	645	16	we	we	PRON
ejde-44	645	17	deduce	deduce	VERB
ejde-44	645	18	that	that	SCONJ
ejde-44	645	19	[	[	X
ejde-44	645	20	u0	u0	ADJ
ejde-44	645	21	,	,	PUNCT
ejde-44	645	22	f	f	PROPN
ejde-44	645	23	]	]	X
ejde-44	645	24	∈	∈	PROPN
ejde-44	645	25	a	a	DET
ejde-44	645	26	,	,	PUNCT
ejde-44	645	27	or	or	CCONJ
ejde-44	645	28	u0	u0	PROPN
ejde-44	645	29	∈	∈	PROPN
ejde-44	645	30	a−1f	a−1f	X
ejde-44	645	31	.	.	PUNCT
ejde-44	646	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	646	2	‖u0‖	‖u0‖	NOUN
ejde-44	646	3	=	=	SYM
ejde-44	646	4	‖w	‖w	NOUN
ejde-44	646	5	−	−	PROPN
ejde-44	646	6	lim	lim	PROPN
ejde-44	646	7	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	646	8	uα‖	uα‖	PROPN
ejde-44	646	9	≤	≤	PROPN
ejde-44	646	10	lim	lim	PROPN
ejde-44	646	11	inf	inf	PROPN
ejde-44	646	12	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	646	13	‖uα‖	‖uα‖	PROPN
ejde-44	646	14	≤	≤	NUM
ejde-44	647	1	lim	lim	PROPN
ejde-44	647	2	sup	sup	PROPN
ejde-44	647	3	α→0	α→0	NOUN
ejde-44	647	4	‖uα‖	‖uα‖	NOUN
ejde-44	647	5	≤	≤	ADJ
ejde-44	648	1	‖u‖	‖u‖	PROPN
ejde-44	648	2	,	,	PUNCT
ejde-44	648	3	∀u	∀u	NOUN
ejde-44	648	4	∈	∈	PROPN
ejde-44	648	5	a−1f	a−1f	PROPN
ejde-44	648	6	.	.	PROPN
ejde-44	648	7	in	in	ADP
ejde-44	648	8	particulat	particulat	ADJ
ejde-44	648	9	taking	take	VERB
ejde-44	648	10	u	u	NOUN
ejde-44	648	11	=	=	NOUN
ejde-44	648	12	u0	u0	PROPN
ejde-44	648	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	648	14	a−1f	a−1f	ADP
ejde-44	648	15	we	we	PRON
ejde-44	648	16	get	get	VERB
ejde-44	648	17	‖w	‖w	NOUN
ejde-44	648	18	−	−	PROPN
ejde-44	648	19	lim	lim	PROPN
ejde-44	648	20	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	648	21	uα‖	uα‖	PROPN
ejde-44	648	22	=	=	PROPN
ejde-44	648	23	lim	lim	PROPN
ejde-44	648	24	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	648	25	‖uα‖	‖uα‖	PROPN
ejde-44	648	26	,	,	PUNCT
ejde-44	648	27	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	648	28	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	648	29	23	23	NUM
ejde-44	648	30	and	and	CCONJ
ejde-44	648	31	hence	hence	ADV
ejde-44	648	32	,	,	PUNCT
ejde-44	648	33	since	since	SCONJ
ejde-44	648	34	any	any	DET
ejde-44	648	35	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	648	36	space	space	NOUN
ejde-44	648	37	is	be	AUX
ejde-44	648	38	strictly	strictly	ADV
ejde-44	648	39	convex	convex	ADJ
ejde-44	648	40	,	,	PUNCT
ejde-44	648	41	by	by	ADP
ejde-44	648	42	mazur	mazur	PROPN
ejde-44	648	43	’s	’s	PART
ejde-44	648	44	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	648	45	we	we	PRON
ejde-44	648	46	deduce	deduce	VERB
ejde-44	648	47	that	that	SCONJ
ejde-44	648	48	the	the	DET
ejde-44	648	49	convergence	convergence	NOUN
ejde-44	648	50	is	be	AUX
ejde-44	648	51	strong	strong	ADJ
ejde-44	648	52	uα	uα	PROPN
ejde-44	648	53	→	→	SYM
ejde-44	648	54	u0	u0	PROPN
ejde-44	648	55	∈	∈	PROPN
ejde-44	648	56	a−1f	a−1f	PROPN
ejde-44	648	57	,	,	PUNCT
ejde-44	648	58	α→	α→	PROPN
ejde-44	648	59	0	0	NUM
ejde-44	648	60	,	,	PUNCT
ejde-44	648	61	where	where	SCONJ
ejde-44	648	62	‖u0‖	‖u0‖	NOUN
ejde-44	648	63	=	=	SYM
ejde-44	648	64	infu∈a−1f	infu∈a−1f	NUM
ejde-44	648	65	‖u‖	‖u‖	PROPN
ejde-44	648	66	=	=	PUNCT
ejde-44	648	67	minu∈a−1f	minu∈a−1f	X
ejde-44	648	68	‖u‖.	‖u‖.	PUNCT
ejde-44	648	69	(	(	PUNCT
ejde-44	648	70	ii)→	ii)→	NOUN
ejde-44	648	71	(	(	PUNCT
ejde-44	648	72	i	i	NOUN
ejde-44	648	73	)	)	PUNCT
ejde-44	648	74	conversely	conversely	ADV
ejde-44	648	75	,	,	PUNCT
ejde-44	648	76	suppose	suppose	VERB
ejde-44	648	77	that	that	SCONJ
ejde-44	648	78	(	(	PUNCT
ejde-44	648	79	uα)α>0	uα)α>0	PROPN
ejde-44	648	80	is	be	AUX
ejde-44	648	81	bounded	bound	VERB
ejde-44	648	82	in	in	ADP
ejde-44	648	83	h.	h.	PROPN
ejde-44	648	84	therefore	therefore	ADV
ejde-44	648	85	uα	uα	PROPN
ejde-44	648	86	⇀	⇀	NUM
ejde-44	648	87	u	u	PROPN
ejde-44	648	88	in	in	ADP
ejde-44	648	89	h.	h.	PROPN
ejde-44	648	90	we	we	PRON
ejde-44	648	91	have	have	VERB
ejde-44	648	92	[	[	X
ejde-44	648	93	uα	uα	PROPN
ejde-44	648	94	,	,	PUNCT
ejde-44	648	95	f	f	PROPN
ejde-44	648	96	−	−	PROPN
ejde-44	648	97	αuα	αuα	NOUN
ejde-44	648	98	]	]	X
ejde-44	648	99	∈	∈	PROPN
ejde-44	649	1	a	a	PRON
ejde-44	649	2	,	,	PUNCT
ejde-44	649	3	α	α	X
ejde-44	649	4	>	>	X
ejde-44	649	5	0	0	PUNCT
ejde-44	650	1	and	and	CCONJ
ejde-44	650	2	since	since	SCONJ
ejde-44	650	3	a	a	PRON
ejde-44	650	4	is	be	AUX
ejde-44	650	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	650	6	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	650	7	by	by	ADP
ejde-44	650	8	passing	pass	VERB
ejde-44	650	9	to	to	ADP
ejde-44	650	10	the	the	DET
ejde-44	650	11	limit	limit	NOUN
ejde-44	650	12	for	for	ADP
ejde-44	650	13	α	α	NOUN
ejde-44	650	14	→	→	SYM
ejde-44	650	15	0	0	NUM
ejde-44	650	16	we	we	PRON
ejde-44	650	17	deduce	deduce	VERB
ejde-44	650	18	that	that	SCONJ
ejde-44	650	19	[	[	X
ejde-44	650	20	u	u	NOUN
ejde-44	650	21	,	,	PUNCT
ejde-44	650	22	f	f	PROPN
ejde-44	650	23	]	]	X
ejde-44	650	24	∈	∈	PROPN
ejde-44	650	25	a	a	DET
ejde-44	650	26	or	or	CCONJ
ejde-44	650	27	u	u	NOUN
ejde-44	650	28	∈	∈	PROPN
ejde-44	650	29	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	650	30	)	)	PUNCT
ejde-44	650	31	and	and	CCONJ
ejde-44	650	32	f	f	X
ejde-44	650	33	=	=	SYM
ejde-44	650	34	au	au	PROPN
ejde-44	650	35	.	.	X
ejde-44	650	36	theorem	theorem	VERB
ejde-44	650	37	3.7	3.7	NUM
ejde-44	650	38	assume	assume	VERB
ejde-44	650	39	that	that	SCONJ
ejde-44	650	40	a	a	DET
ejde-44	650	41	:	:	PUNCT
ejde-44	650	42	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	650	43	)	)	PUNCT
ejde-44	651	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	651	2	h	h	PROPN
ejde-44	651	3	→	→	PUNCT
ejde-44	651	4	h	h	NOUN
ejde-44	651	5	is	be	AUX
ejde-44	651	6	a	a	DET
ejde-44	651	7	linear	linear	ADJ
ejde-44	651	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	651	9	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	651	10	operator	operator	NOUN
ejde-44	651	11	on	on	ADP
ejde-44	651	12	a	a	DET
ejde-44	651	13	compact	compact	ADJ
ejde-44	651	14	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	651	15	space	space	NOUN
ejde-44	651	16	h	h	NOUN
ejde-44	651	17	and	and	CCONJ
ejde-44	651	18	f	f	PROPN
ejde-44	651	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	651	20	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	651	21	)	)	PUNCT
ejde-44	651	22	is	be	AUX
ejde-44	651	23	a	a	DET
ejde-44	651	24	t	t	NOUN
ejde-44	651	25	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	651	26	function	function	NOUN
ejde-44	651	27	.	.	PUNCT
ejde-44	652	1	then	then	ADV
ejde-44	652	2	the	the	DET
ejde-44	652	3	following	follow	VERB
ejde-44	652	4	statements	statement	NOUN
ejde-44	652	5	are	be	AUX
ejde-44	652	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	652	7	:	:	PUNCT
ejde-44	652	8	(	(	PUNCT
ejde-44	652	9	i	i	NOUN
ejde-44	652	10	)	)	PUNCT
ejde-44	652	11	equation	equation	NOUN
ejde-44	652	12	(	(	PUNCT
ejde-44	652	13	33	33	NUM
ejde-44	652	14	)	)	PUNCT
ejde-44	652	15	has	have	VERB
ejde-44	652	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	652	17	solutions	solution	NOUN
ejde-44	652	18	;	;	PUNCT
ejde-44	652	19	(	(	PUNCT
ejde-44	652	20	ii	ii	NOUN
ejde-44	652	21	)	)	PUNCT
ejde-44	652	22	the	the	DET
ejde-44	652	23	sequence	sequence	NOUN
ejde-44	652	24	of	of	ADP
ejde-44	652	25	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	652	26	solutions	solution	NOUN
ejde-44	652	27	for	for	ADP
ejde-44	652	28	(	(	PUNCT
ejde-44	652	29	39	39	NUM
ejde-44	652	30	)	)	PUNCT
ejde-44	652	31	is	be	AUX
ejde-44	652	32	bounded	bound	VERB
ejde-44	652	33	in	in	ADP
ejde-44	652	34	c1(r;h	c1(r;h	ADV
ejde-44	652	35	)	)	PUNCT
ejde-44	652	36	.	.	PUNCT
ejde-44	653	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	653	2	in	in	ADP
ejde-44	653	3	this	this	DET
ejde-44	653	4	case	case	NOUN
ejde-44	653	5	(	(	PUNCT
ejde-44	653	6	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	653	7	is	be	AUX
ejde-44	653	8	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	653	9	in	in	ADP
ejde-44	653	10	c0(r;h	c0(r;h	ADV
ejde-44	653	11	)	)	PUNCT
ejde-44	653	12	and	and	CCONJ
ejde-44	653	13	the	the	DET
ejde-44	653	14	limit	limit	NOUN
ejde-44	653	15	is	be	AUX
ejde-44	653	16	also	also	ADV
ejde-44	653	17	a	a	DET
ejde-44	653	18	t	t	NOUN
ejde-44	653	19	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	653	20	solution	solution	NOUN
ejde-44	653	21	for	for	ADP
ejde-44	653	22	(	(	PUNCT
ejde-44	653	23	33	33	NUM
ejde-44	653	24	)	)	PUNCT
ejde-44	653	25	.	.	PUNCT
ejde-44	654	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	654	2	(	(	PUNCT
ejde-44	654	3	i	i	NOUN
ejde-44	654	4	)	)	PUNCT
ejde-44	654	5	→	→	SYM
ejde-44	654	6	(	(	PUNCT
ejde-44	654	7	ii	ii	NOUN
ejde-44	654	8	)	)	PUNCT
ejde-44	654	9	denote	denote	NOUN
ejde-44	654	10	by	by	ADP
ejde-44	654	11	x	x	X
ejde-44	654	12	,	,	PUNCT
ejde-44	654	13	xα	xα	ADP
ejde-44	655	1	the	the	DET
ejde-44	655	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	655	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	655	4	for	for	ADP
ejde-44	655	5	(	(	PUNCT
ejde-44	655	6	33	33	NUM
ejde-44	655	7	)	)	PUNCT
ejde-44	655	8	and	and	CCONJ
ejde-44	655	9	(	(	PUNCT
ejde-44	655	10	39	39	NUM
ejde-44	655	11	)	)	PUNCT
ejde-44	655	12	.	.	PUNCT
ejde-44	656	1	by	by	ADP
ejde-44	656	2	taking	take	VERB
ejde-44	656	3	the	the	DET
ejde-44	656	4	difference	difference	NOUN
ejde-44	656	5	and	and	CCONJ
ejde-44	656	6	after	after	ADP
ejde-44	656	7	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	656	8	by	by	ADP
ejde-44	656	9	xα(t)−	xα(t)−	PROPN
ejde-44	656	10	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	656	11	)	)	PUNCT
ejde-44	656	12	we	we	PRON
ejde-44	656	13	get	get	VERB
ejde-44	656	14	:	:	PUNCT
ejde-44	656	15	α‖xα(t)−x(t)‖2	α‖xα(t)−x(t)‖2	PROPN
ejde-44	657	1	+	+	CCONJ
ejde-44	657	2	1	1	NUM
ejde-44	657	3	2	2	NUM
ejde-44	657	4	d	d	NOUN
ejde-44	657	5	dt	dt	X
ejde-44	657	6	‖xα(t)−x(t)‖2	‖xα(t)−x(t)‖2	PRON
ejde-44	657	7	≤	≤	PROPN
ejde-44	657	8	α‖x(t)‖	α‖x(t)‖	X
ejde-44	657	9	·	·	SYM
ejde-44	657	10	‖xα(t)−x(t)‖	‖xα(t)−x(t)‖	PROPN
ejde-44	657	11	,	,	PUNCT
ejde-44	657	12	t	t	PROPN
ejde-44	657	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	657	14	r.	r.	PROPN
ejde-44	657	15	(	(	PUNCT
ejde-44	657	16	42	42	NUM
ejde-44	657	17	)	)	PUNCT
ejde-44	657	18	finally	finally	ADV
ejde-44	657	19	,	,	PUNCT
ejde-44	657	20	after	after	ADP
ejde-44	657	21	integration	integration	NOUN
ejde-44	657	22	and	and	CCONJ
ejde-44	657	23	by	by	ADP
ejde-44	657	24	using	use	VERB
ejde-44	657	25	bellman	bellman	PROPN
ejde-44	657	26	’s	’s	PART
ejde-44	657	27	lemma	lemma	PROPN
ejde-44	657	28	,	,	PUNCT
ejde-44	657	29	formula	formula	NOUN
ejde-44	657	30	(	(	PUNCT
ejde-44	657	31	42	42	NUM
ejde-44	657	32	)	)	PUNCT
ejde-44	657	33	yields	yield	NOUN
ejde-44	657	34	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	657	35	x(t)‖	x(t)‖	NUM
ejde-44	658	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	658	2	e−αt‖xα(0)−	e−αt‖xα(0)−	PROPN
ejde-44	659	1	x(0)‖+	x(0)‖+	PROPN
ejde-44	659	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	659	3	t	t	NOUN
ejde-44	659	4	0	0	X
ejde-44	659	5	αe−α(t−s)‖x(s)‖ds	αe−α(t−s)‖x(s)‖ds	PROPN
ejde-44	659	6	≤	≤	NUM
ejde-44	659	7	e−αt‖xα(0)−	e−αt‖xα(0)−	PROPN
ejde-44	659	8	x(0)‖+	x(0)‖+	PROPN
ejde-44	659	9	(	(	PUNCT
ejde-44	659	10	1−	1−	NUM
ejde-44	659	11	e−αt)‖x‖l∞	e−αt)‖x‖l∞	NOUN
ejde-44	659	12	,	,	PUNCT
ejde-44	659	13	t	t	PROPN
ejde-44	659	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	659	15	r.	r.	PROPN
ejde-44	659	16	since	since	SCONJ
ejde-44	659	17	xα	xα	PROPN
ejde-44	660	1	and	and	CCONJ
ejde-44	660	2	x	x	PRON
ejde-44	660	3	are	be	AUX
ejde-44	660	4	t	t	NOUN
ejde-44	660	5	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	660	6	we	we	PRON
ejde-44	660	7	can	can	AUX
ejde-44	660	8	also	also	ADV
ejde-44	660	9	write	write	VERB
ejde-44	660	10	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	660	11	x(t)‖	x(t)‖	PUNCT
ejde-44	661	1	=	=	PUNCT
ejde-44	661	2	‖xα(nt	‖xα(nt	PROPN
ejde-44	661	3	+	+	CCONJ
ejde-44	662	1	t)−	t)−	PROPN
ejde-44	662	2	x(nt	x(nt	PROPN
ejde-44	662	3	+	+	NUM
ejde-44	662	4	t)‖	t)‖	NOUN
ejde-44	662	5	≤	≤	NUM
ejde-44	662	6	e−α(nt+t)‖xα(0)−	e−α(nt+t)‖xα(0)−	NUM
ejde-44	662	7	x(0)‖+	x(0)‖+	PROPN
ejde-44	662	8	(	(	PUNCT
ejde-44	662	9	1−	1−	NUM
ejde-44	662	10	e−α(nt+t))‖x‖l∞	e−α(nt+t))‖x‖l∞	NOUN
ejde-44	662	11	.	.	PUNCT
ejde-44	663	1	by	by	ADP
ejde-44	663	2	passing	pass	VERB
ejde-44	663	3	to	to	ADP
ejde-44	663	4	the	the	DET
ejde-44	663	5	limit	limit	NOUN
ejde-44	663	6	for	for	ADP
ejde-44	663	7	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	663	8	we	we	PRON
ejde-44	663	9	obtain	obtain	VERB
ejde-44	663	10	‖xα	‖xα	PUNCT
ejde-44	663	11	−	−	NOUN
ejde-44	663	12	x‖l∞	x‖l∞	SYM
ejde-44	663	13	≤	≤	X
ejde-44	663	14	‖x‖l∞	‖x‖l∞	NOUN
ejde-44	663	15	,	,	PUNCT
ejde-44	663	16	α	α	X
ejde-44	663	17	>	>	X
ejde-44	663	18	0	0	NUM
ejde-44	663	19	,	,	PUNCT
ejde-44	663	20	and	and	CCONJ
ejde-44	663	21	hence	hence	ADV
ejde-44	663	22	‖xα‖l∞	‖xα‖l∞	VERB
ejde-44	663	23	≤	≤	NUM
ejde-44	663	24	2‖x‖l∞	2‖x‖l∞	NUM
ejde-44	663	25	,	,	PUNCT
ejde-44	663	26	α	α	X
ejde-44	663	27	>	>	X
ejde-44	663	28	0	0	PROPN
ejde-44	663	29	.	.	PUNCT
ejde-44	664	1	since	since	SCONJ
ejde-44	664	2	a	a	PRON
ejde-44	664	3	is	be	AUX
ejde-44	664	4	linear	linear	ADJ
ejde-44	664	5	we	we	PRON
ejde-44	664	6	can	can	AUX
ejde-44	664	7	write	write	VERB
ejde-44	664	8	α	α	PROPN
ejde-44	664	9	h	h	NOUN
ejde-44	664	10	(	(	PUNCT
ejde-44	664	11	xα(t+	xα(t+	PROPN
ejde-44	664	12	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	664	13	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	664	14	)	)	PUNCT
ejde-44	664	15	)	)	PUNCT
ejde-44	665	1	+	+	CCONJ
ejde-44	665	2	1	1	NUM
ejde-44	665	3	h	h	NOUN
ejde-44	665	4	(	(	PUNCT
ejde-44	665	5	x′α(t+	x′α(t+	PROPN
ejde-44	665	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	665	7	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	665	8	)	)	PUNCT
ejde-44	665	9	)	)	PUNCT
ejde-44	666	1	+	+	CCONJ
ejde-44	666	2	1	1	NUM
ejde-44	666	3	h	h	NOUN
ejde-44	666	4	a(xα(t+	a(xα(t+	ADJ
ejde-44	666	5	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	666	6	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	666	7	)	)	PUNCT
ejde-44	666	8	)	)	PUNCT
ejde-44	667	1	=	=	SYM
ejde-44	667	2	1	1	NUM
ejde-44	667	3	h	h	NOUN
ejde-44	667	4	(	(	PUNCT
ejde-44	667	5	f(t+	f(t+	ADJ
ejde-44	667	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	667	7	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	667	8	)	)	PUNCT
ejde-44	667	9	)	)	PUNCT
ejde-44	667	10	,	,	PUNCT
ejde-44	667	11	t	t	X
ejde-44	667	12	<	<	X
ejde-44	667	13	t+	t+	PUNCT
ejde-44	667	14	h	h	NOUN
ejde-44	667	15	,	,	PUNCT
ejde-44	667	16	α	α	PROPN
ejde-44	667	17	>	>	X
ejde-44	667	18	0	0	PROPN
ejde-44	667	19	,	,	PUNCT
ejde-44	667	20	24	24	NUM
ejde-44	667	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	667	22	solutions	solution	NOUN
ejde-44	667	23	for	for	ADP
ejde-44	667	24	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	667	25	equations	equation	NOUN
ejde-44	667	26	and	and	CCONJ
ejde-44	667	27	for	for	ADP
ejde-44	667	28	t	t	NOUN
ejde-44	667	29	<	<	X
ejde-44	667	30	t+	t+	PUNCT
ejde-44	667	31	h	h	NOUN
ejde-44	667	32	,	,	PUNCT
ejde-44	667	33	1	1	NUM
ejde-44	667	34	h	h	NOUN
ejde-44	667	35	(	(	PUNCT
ejde-44	667	36	x′(t+	x′(t+	NOUN
ejde-44	667	37	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	667	38	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	667	39	)	)	PUNCT
ejde-44	667	40	)	)	PUNCT
ejde-44	668	1	+	+	CCONJ
ejde-44	668	2	1	1	NUM
ejde-44	668	3	h	h	NOUN
ejde-44	668	4	a(x(t+	a(x(t+	PROPN
ejde-44	668	5	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	668	6	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	668	7	)	)	PUNCT
ejde-44	668	8	)	)	PUNCT
ejde-44	669	1	=	=	SYM
ejde-44	669	2	1	1	NUM
ejde-44	669	3	h	h	NOUN
ejde-44	669	4	(	(	PUNCT
ejde-44	669	5	f(t+	f(t+	ADJ
ejde-44	669	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	669	7	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	669	8	)	)	PUNCT
ejde-44	669	9	)	)	PUNCT
ejde-44	669	10	.	.	PUNCT
ejde-44	670	1	for	for	ADP
ejde-44	670	2	every	every	DET
ejde-44	670	3	h	h	NOUN
ejde-44	670	4	>	>	X
ejde-44	670	5	0	0	PUNCT
ejde-44	670	6	denote	denote	NOUN
ejde-44	670	7	by	by	ADP
ejde-44	670	8	yα	yα	NOUN
ejde-44	670	9	,	,	PUNCT
ejde-44	670	10	h	h	NOUN
ejde-44	670	11	,	,	PUNCT
ejde-44	670	12	yh	yh	PROPN
ejde-44	670	13	and	and	CCONJ
ejde-44	670	14	gh	gh	PROPN
ejde-44	670	15	the	the	DET
ejde-44	670	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	670	17	functions	function	NOUN
ejde-44	670	18	:	:	PUNCT
ejde-44	670	19	yα	yα	NOUN
ejde-44	670	20	,	,	PUNCT
ejde-44	670	21	h(t	h(t	PROPN
ejde-44	670	22	)	)	PUNCT
ejde-44	670	23	=	=	SYM
ejde-44	670	24	1	1	NUM
ejde-44	670	25	h	h	NOUN
ejde-44	670	26	(	(	PUNCT
ejde-44	670	27	xα(t+	xα(t+	PROPN
ejde-44	670	28	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	670	29	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	670	30	)	)	PUNCT
ejde-44	670	31	)	)	PUNCT
ejde-44	670	32	,	,	PUNCT
ejde-44	670	33	t	t	PROPN
ejde-44	670	34	∈	∈	PROPN
ejde-44	670	35	r	r	PROPN
ejde-44	670	36	,	,	PUNCT
ejde-44	670	37	α	α	NOUN
ejde-44	670	38	>	>	X
ejde-44	670	39	0	0	NUM
ejde-44	670	40	,	,	PUNCT
ejde-44	670	41	yh(t	yh(t	NUM
ejde-44	670	42	)	)	PUNCT
ejde-44	670	43	=	=	SYM
ejde-44	670	44	1	1	NUM
ejde-44	670	45	h	h	NOUN
ejde-44	670	46	(	(	PUNCT
ejde-44	670	47	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	670	48	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	670	49	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	670	50	)	)	PUNCT
ejde-44	670	51	)	)	PUNCT
ejde-44	670	52	,	,	PUNCT
ejde-44	670	53	t	t	PROPN
ejde-44	670	54	∈	∈	PROPN
ejde-44	670	55	r	r	PROPN
ejde-44	670	56	,	,	PUNCT
ejde-44	670	57	gh(t	gh(t	NUM
ejde-44	670	58	)	)	PUNCT
ejde-44	670	59	=	=	SYM
ejde-44	670	60	1	1	NUM
ejde-44	670	61	h	h	NOUN
ejde-44	670	62	(	(	PUNCT
ejde-44	670	63	f(t+	f(t+	ADJ
ejde-44	670	64	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	670	65	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	670	66	)	)	PUNCT
ejde-44	670	67	)	)	PUNCT
ejde-44	670	68	,	,	PUNCT
ejde-44	670	69	t	t	PROPN
ejde-44	670	70	∈	∈	PROPN
ejde-44	670	71	r	r	NOUN
ejde-44	670	72	,	,	PUNCT
ejde-44	670	73	and	and	CCONJ
ejde-44	670	74	hence	hence	ADV
ejde-44	670	75	we	we	PRON
ejde-44	670	76	have	have	VERB
ejde-44	670	77	αyα	αyα	NOUN
ejde-44	670	78	,	,	PUNCT
ejde-44	670	79	h(t	h(t	PROPN
ejde-44	670	80	)	)	PUNCT
ejde-44	671	1	+	+	NUM
ejde-44	671	2	y′α	y′α	NOUN
ejde-44	671	3	,	,	PUNCT
ejde-44	671	4	h(t	h(t	PROPN
ejde-44	671	5	)	)	PUNCT
ejde-44	672	1	+	+	ADJ
ejde-44	672	2	ayα	ayα	ADJ
ejde-44	672	3	,	,	PUNCT
ejde-44	672	4	h(t	h(t	X
ejde-44	672	5	)	)	PUNCT
ejde-44	672	6	=	=	SYM
ejde-44	672	7	gh(t	gh(t	X
ejde-44	672	8	)	)	PUNCT
ejde-44	672	9	,	,	PUNCT
ejde-44	672	10	t	t	PROPN
ejde-44	672	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	672	12	r	r	NOUN
ejde-44	672	13	,	,	PUNCT
ejde-44	672	14	y′h(t	y′h(t	NOUN
ejde-44	672	15	)	)	PUNCT
ejde-44	673	1	+	+	NOUN
ejde-44	673	2	ayh(t	ayh(t	X
ejde-44	673	3	)	)	PUNCT
ejde-44	673	4	=	=	NOUN
ejde-44	674	1	gh(t	gh(t	X
ejde-44	674	2	)	)	PUNCT
ejde-44	674	3	,	,	PUNCT
ejde-44	674	4	t	t	PROPN
ejde-44	674	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	674	6	r.	r.	PROPN
ejde-44	674	7	by	by	ADP
ejde-44	674	8	the	the	DET
ejde-44	674	9	same	same	ADJ
ejde-44	674	10	computations	computation	NOUN
ejde-44	674	11	we	we	PRON
ejde-44	674	12	get	get	VERB
ejde-44	674	13	‖yα	‖yα	NUM
ejde-44	674	14	,	,	PUNCT
ejde-44	674	15	h(t)−	h(t)−	PROPN
ejde-44	674	16	yh(t)‖	yh(t)‖	PROPN
ejde-44	674	17	≤	≤	NOUN
ejde-44	674	18	e−αt‖yα	e−αt‖yα	NOUN
ejde-44	674	19	,	,	PUNCT
ejde-44	674	20	h(0)−	h(0)−	PROPN
ejde-44	675	1	yh(0)‖+	yh(0)‖+	PROPN
ejde-44	675	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	675	3	t	t	PROPN
ejde-44	675	4	0	0	NUM
ejde-44	676	1	αe−α(t−s)‖yh(s)‖ds	αe−α(t−s)‖yh(s)‖ds	X
ejde-44	676	2	.	.	PUNCT
ejde-44	676	3	now	now	ADV
ejde-44	676	4	by	by	ADP
ejde-44	676	5	passing	pass	VERB
ejde-44	676	6	to	to	ADP
ejde-44	676	7	the	the	DET
ejde-44	676	8	limit	limit	NOUN
ejde-44	676	9	for	for	ADP
ejde-44	676	10	h→	h→	NOUN
ejde-44	676	11	0	0	NUM
ejde-44	676	12	we	we	PRON
ejde-44	676	13	deduce	deduce	VERB
ejde-44	676	14	‖x′α(t)−	‖x′α(t)−	PROPN
ejde-44	676	15	x′(t)‖	x′(t)‖	PROPN
ejde-44	676	16	≤	≤	PROPN
ejde-44	676	17	e−αt‖x′α(0)−	e−αt‖x′α(0)−	NOUN
ejde-44	677	1	x′(0)‖+	x′(0)‖+	PROPN
ejde-44	677	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	678	1	t	t	PROPN
ejde-44	678	2	0	0	NUM
ejde-44	678	3	αe−α(t−s)‖x′(s)‖ds	αe−α(t−s)‖x′(s)‖ds	ADJ
ejde-44	678	4	≤	≤	NUM
ejde-44	678	5	e−αt‖x′α(0)−	e−αt‖x′α(0)−	NOUN
ejde-44	678	6	x′(0)‖+	x′(0)‖+	PROPN
ejde-44	679	1	(	(	PUNCT
ejde-44	679	2	1−	1−	NUM
ejde-44	679	3	e−αt)‖x′‖l∞	e−αt)‖x′‖l∞	NUM
ejde-44	679	4	,	,	PUNCT
ejde-44	679	5	t	t	PROPN
ejde-44	679	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	680	1	[	[	X
ejde-44	680	2	0	0	NUM
ejde-44	680	3	,	,	PUNCT
ejde-44	680	4	t	t	X
ejde-44	680	5	]	]	PUNCT
ejde-44	680	6	.	.	PUNCT
ejde-44	681	1	by	by	ADP
ejde-44	681	2	the	the	DET
ejde-44	681	3	periodicity	periodicity	NOUN
ejde-44	681	4	we	we	PRON
ejde-44	681	5	obtain	obtain	VERB
ejde-44	681	6	as	as	ADP
ejde-44	681	7	before	before	ADP
ejde-44	681	8	that	that	PRON
ejde-44	681	9	‖x′α(t)−	‖x′α(t)−	PROPN
ejde-44	681	10	x′(t)‖	x′(t)‖	PROPN
ejde-44	682	1	=	=	PRON
ejde-44	683	1	‖x′α(nt	‖x′α(nt	PROPN
ejde-44	684	1	+	+	CCONJ
ejde-44	684	2	t)−	t)−	PROPN
ejde-44	684	3	x′(nt	x′(nt	PROPN
ejde-44	685	1	+	+	NUM
ejde-44	685	2	t)‖	t)‖	NOUN
ejde-44	685	3	≤	≤	PUNCT
ejde-44	685	4	e−α(nt+t)‖x′α(0)−	e−α(nt+t)‖x′α(0)−	PROPN
ejde-44	685	5	x′(0)‖+	x′(0)‖+	PROPN
ejde-44	685	6	(	(	PUNCT
ejde-44	685	7	1−	1−	NUM
ejde-44	685	8	e−α(nt+t))‖x′‖l∞	e−α(nt+t))‖x′‖l∞	NOUN
ejde-44	685	9	,	,	PUNCT
ejde-44	685	10	and	and	CCONJ
ejde-44	685	11	hence	hence	ADV
ejde-44	685	12	by	by	ADP
ejde-44	685	13	passing	pass	VERB
ejde-44	685	14	to	to	ADP
ejde-44	685	15	the	the	DET
ejde-44	685	16	limit	limit	NOUN
ejde-44	685	17	for	for	ADP
ejde-44	685	18	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	685	19	we	we	PRON
ejde-44	685	20	conclude	conclude	VERB
ejde-44	685	21	that	that	DET
ejde-44	685	22	‖x′α	‖x′α	PROPN
ejde-44	686	1	−	−	PROPN
ejde-44	686	2	x′‖l∞	x′‖l∞	PROPN
ejde-44	687	1	≤	≤	NUM
ejde-44	687	2	‖x′‖l∞	‖x′‖l∞	PUNCT
ejde-44	687	3	,	,	PUNCT
ejde-44	687	4	α	α	X
ejde-44	687	5	>	>	X
ejde-44	687	6	0	0	PROPN
ejde-44	687	7	.	.	PUNCT
ejde-44	688	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	688	2	,	,	PUNCT
ejde-44	688	3	(	(	PUNCT
ejde-44	688	4	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	688	5	is	be	AUX
ejde-44	688	6	also	also	ADV
ejde-44	688	7	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	688	8	bounded	bound	VERB
ejde-44	688	9	in	in	ADP
ejde-44	688	10	l∞	l∞	PROPN
ejde-44	688	11	‖x′α‖l∞	‖x′α‖l∞	PROPN
ejde-44	688	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	688	13	2‖x′‖l∞	2‖x′‖l∞	NUM
ejde-44	688	14	,	,	PUNCT
ejde-44	688	15	α	α	X
ejde-44	688	16	>	>	X
ejde-44	688	17	0	0	X
ejde-44	688	18	.	.	PUNCT
ejde-44	689	1	conversely	conversely	ADV
ejde-44	689	2	,	,	PUNCT
ejde-44	689	3	the	the	DET
ejde-44	689	4	implication	implication	NOUN
ejde-44	689	5	(	(	PUNCT
ejde-44	689	6	ii	ii	NOUN
ejde-44	689	7	)	)	PUNCT
ejde-44	689	8	→	→	SYM
ejde-44	689	9	(	(	PUNCT
ejde-44	689	10	i	i	NOUN
ejde-44	689	11	)	)	PUNCT
ejde-44	689	12	follows	follow	VERB
ejde-44	689	13	by	by	ADP
ejde-44	689	14	using	use	VERB
ejde-44	689	15	arzela	arzela	PROPN
ejde-44	689	16	-	-	PUNCT
ejde-44	689	17	ascoli	ascoli	PROPN
ejde-44	689	18	’s	’s	PART
ejde-44	689	19	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	689	20	and	and	CCONJ
ejde-44	689	21	by	by	ADP
ejde-44	689	22	passing	pass	VERB
ejde-44	689	23	to	to	ADP
ejde-44	689	24	the	the	DET
ejde-44	689	25	limit	limit	NOUN
ejde-44	689	26	for	for	ADP
ejde-44	689	27	α→	α→	PROPN
ejde-44	689	28	0	0	NUM
ejde-44	689	29	in	in	ADP
ejde-44	689	30	(	(	PUNCT
ejde-44	689	31	39	39	NUM
ejde-44	689	32	)	)	PUNCT
ejde-44	689	33	.	.	PUNCT
ejde-44	690	1	let	let	VERB
ejde-44	690	2	us	we	PRON
ejde-44	690	3	continue	continue	VERB
ejde-44	690	4	the	the	DET
ejde-44	690	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-44	690	6	of	of	ADP
ejde-44	690	7	the	the	DET
ejde-44	690	8	previous	previous	ADJ
ejde-44	690	9	example	example	NOUN
ejde-44	690	10	.	.	PUNCT
ejde-44	691	1	the	the	DET
ejde-44	691	2	semigroup	semigroup	PROPN
ejde-44	691	3	associated	associate	VERB
ejde-44	691	4	to	to	ADP
ejde-44	691	5	the	the	DET
ejde-44	691	6	equation	equation	NOUN
ejde-44	691	7	(	(	PUNCT
ejde-44	691	8	39	39	NUM
ejde-44	691	9	)	)	PUNCT
ejde-44	691	10	is	be	AUX
ejde-44	691	11	given	give	VERB
ejde-44	691	12	by	by	ADP
ejde-44	691	13	e−t(α+a	e−t(α+a	NOUN
ejde-44	691	14	)	)	PUNCT
ejde-44	691	15	=	=	SYM
ejde-44	692	1	e−αte−ta	e−αte−ta	NOUN
ejde-44	692	2	=	=	PUNCT
ejde-44	693	1	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	693	2	(	(	PUNCT
ejde-44	693	3	cos	cos	PROPN
ejde-44	693	4	t	t	PROPN
ejde-44	693	5	,	,	PUNCT
ejde-44	693	6	sin	sin	NOUN
ejde-44	693	7	t	t	PROPN
ejde-44	693	8	−	−	PROPN
ejde-44	693	9	sin	sin	PROPN
ejde-44	693	10	t	t	PROPN
ejde-44	693	11	,	,	PUNCT
ejde-44	693	12	cos	cos	PROPN
ejde-44	693	13	t	t	PROPN
ejde-44	693	14	)	)	PUNCT
ejde-44	693	15	t	t	PROPN
ejde-44	693	16	∈	∈	PROPN
ejde-44	693	17	r	r	PROPN
ejde-44	693	18	,	,	PUNCT
ejde-44	693	19	α	α	NOUN
ejde-44	693	20	>	>	X
ejde-44	693	21	0	0	PROPN
ejde-44	693	22	,	,	PUNCT
ejde-44	693	23	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	693	24	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	693	25	25	25	NUM
ejde-44	693	26	and	and	CCONJ
ejde-44	693	27	the	the	DET
ejde-44	693	28	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	693	29	solution	solution	NOUN
ejde-44	693	30	for	for	ADP
ejde-44	693	31	equation	equation	NOUN
ejde-44	693	32	(	(	PUNCT
ejde-44	693	33	39	39	NUM
ejde-44	693	34	)	)	PUNCT
ejde-44	693	35	reads	read	VERB
ejde-44	693	36	xα(t	xα(t	NOUN
ejde-44	693	37	)	)	PUNCT
ejde-44	693	38	=	=	SYM
ejde-44	693	39	(	(	PUNCT
ejde-44	693	40	1−	1−	NUM
ejde-44	693	41	e−t	e−t	NOUN
ejde-44	693	42	(	(	PUNCT
ejde-44	693	43	α+a))−1	α+a))−1	NUM
ejde-44	693	44	∫	∫	PROPN
ejde-44	693	45	t	t	PROPN
ejde-44	693	46	0	0	PUNCT
ejde-44	694	1	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	694	2	+	+	CCONJ
ejde-44	694	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	694	4	t	t	PROPN
ejde-44	694	5	0	0	NUM
ejde-44	695	1	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	695	2	=	=	SYM
ejde-44	695	3	1−	1−	NUM
ejde-44	695	4	e−t	e−t	NOUN
ejde-44	695	5	(	(	PUNCT
ejde-44	695	6	α−a	α−a	NOUN
ejde-44	695	7	)	)	PUNCT
ejde-44	695	8	(	(	PUNCT
ejde-44	695	9	1−	1−	NUM
ejde-44	695	10	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	695	11	cost	cost	VERB
ejde-44	695	12	)	)	PUNCT
ejde-44	695	13	2	2	NUM
ejde-44	696	1	+	+	CCONJ
ejde-44	696	2	(	(	PUNCT
ejde-44	696	3	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	696	4	sint	sint	PROPN
ejde-44	696	5	)	)	PUNCT
ejde-44	696	6	2	2	NUM
ejde-44	696	7	∫	∫	NOUN
ejde-44	696	8	t	t	PROPN
ejde-44	696	9	0	0	NUM
ejde-44	697	1	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	697	2	+	+	CCONJ
ejde-44	697	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	697	4	t	t	PROPN
ejde-44	697	5	0	0	NUM
ejde-44	697	6	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	697	7	,	,	PUNCT
ejde-44	697	8	t	t	X
ejde-44	697	9	>	>	X
ejde-44	697	10	0	0	PROPN
ejde-44	697	11	,	,	PUNCT
ejde-44	697	12	α	α	NOUN
ejde-44	697	13	>	>	X
ejde-44	697	14	0	0	PROPN
ejde-44	697	15	.	.	PUNCT
ejde-44	698	1	as	as	SCONJ
ejde-44	698	2	we	we	PRON
ejde-44	698	3	have	have	AUX
ejde-44	698	4	seen	see	VERB
ejde-44	698	5	,	,	PUNCT
ejde-44	698	6	proving	prove	VERB
ejde-44	698	7	the	the	DET
ejde-44	698	8	existence	existence	NOUN
ejde-44	698	9	of	of	ADP
ejde-44	698	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	698	11	solutions	solution	NOUN
ejde-44	698	12	reduces	reduce	VERB
ejde-44	698	13	to	to	ADP
ejde-44	698	14	finding	find	VERB
ejde-44	698	15	uniform	uniform	NOUN
ejde-44	698	16	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	698	17	,	,	PUNCT
ejde-44	698	18	t	t	X
ejde-44	699	1	[	[	X
ejde-44	699	2	;	;	PUNCT
ejde-44	699	3	h	h	X
ejde-44	699	4	)	)	PUNCT
ejde-44	699	5	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	699	6	for	for	ADP
ejde-44	699	7	(	(	PUNCT
ejde-44	699	8	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	699	9	and	and	CCONJ
ejde-44	699	10	(	(	PUNCT
ejde-44	699	11	x′α)α>0	x′α)α>0	PROPN
ejde-44	699	12	.	.	PUNCT
ejde-44	700	1	since	since	SCONJ
ejde-44	700	2	a	a	PRON
ejde-44	700	3	is	be	AUX
ejde-44	700	4	linear	linear	NOUN
ejde-44	700	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-44	700	6	operator	operator	NOUN
ejde-44	700	7	(	(	PUNCT
ejde-44	700	8	‖a‖l(h;h	‖a‖l(h;h	PROPN
ejde-44	700	9	)	)	PUNCT
ejde-44	700	10	=	=	SYM
ejde-44	700	11	1	1	X
ejde-44	700	12	)	)	PUNCT
ejde-44	700	13	we	we	PRON
ejde-44	700	14	have	have	VERB
ejde-44	700	15	‖x′α‖l∞(]0,t	‖x′α‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	700	16	[	[	X
ejde-44	700	17	;	;	PUNCT
ejde-44	700	18	h	h	X
ejde-44	700	19	)	)	PUNCT
ejde-44	700	20	=	=	NOUN
ejde-44	701	1	‖f	‖f	ADP
ejde-44	701	2	−	−	PROPN
ejde-44	701	3	αxα	αxα	NOUN
ejde-44	701	4	−axα‖l∞(]0,t	−axα‖l∞(]0,t	PROPN
ejde-44	701	5	[	[	X
ejde-44	701	6	;	;	PUNCT
ejde-44	701	7	h	h	X
ejde-44	701	8	)	)	PUNCT
ejde-44	701	9	≤	≤	NOUN
ejde-44	702	1	‖f‖l∞(]0,t	‖f‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	702	2	[	[	X
ejde-44	702	3	;	;	PUNCT
ejde-44	702	4	h	h	X
ejde-44	702	5	)	)	PUNCT
ejde-44	703	1	+	+	CCONJ
ejde-44	703	2	(	(	PUNCT
ejde-44	703	3	α+	α+	PROPN
ejde-44	703	4	‖a‖l(h;h))‖xα‖l∞(]0,t	‖a‖l(h;h))‖xα‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	703	5	[	[	X
ejde-44	703	6	;	;	PUNCT
ejde-44	703	7	h	h	X
ejde-44	703	8	)	)	PUNCT
ejde-44	703	9	,	,	PUNCT
ejde-44	703	10	α	α	X
ejde-44	703	11	>	>	X
ejde-44	703	12	0	0	NUM
ejde-44	703	13	,	,	PUNCT
ejde-44	703	14	and	and	CCONJ
ejde-44	703	15	hence	hence	ADV
ejde-44	703	16	in	in	ADP
ejde-44	703	17	this	this	DET
ejde-44	703	18	case	case	NOUN
ejde-44	703	19	it	it	PRON
ejde-44	703	20	is	be	AUX
ejde-44	703	21	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	703	22	to	to	PART
ejde-44	703	23	find	find	VERB
ejde-44	703	24	only	only	ADJ
ejde-44	703	25	uniform	uniform	NOUN
ejde-44	703	26	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	703	27	,	,	PUNCT
ejde-44	703	28	t	t	X
ejde-44	704	1	[	[	X
ejde-44	704	2	;	;	PUNCT
ejde-44	704	3	h	h	X
ejde-44	704	4	)	)	PUNCT
ejde-44	704	5	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	704	6	for	for	ADP
ejde-44	704	7	(	(	PUNCT
ejde-44	704	8	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	704	9	or	or	CCONJ
ejde-44	704	10	uniform	uniform	ADJ
ejde-44	704	11	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	704	12	for	for	ADP
ejde-44	704	13	(	(	PUNCT
ejde-44	704	14	xα(0))α>0	xα(0))α>0	PROPN
ejde-44	704	15	in	in	ADP
ejde-44	704	16	h.	h.	PROPN
ejde-44	704	17	case	case	NOUN
ejde-44	704	18	1	1	NUM
ejde-44	704	19	:	:	PUNCT
ejde-44	704	20	t	t	PROPN
ejde-44	704	21	=	=	PUNCT
ejde-44	704	22	2nπ	2nπ	NOUN
ejde-44	704	23	,	,	PUNCT
ejde-44	704	24	n	n	X
ejde-44	704	25	≥	≥	NOUN
ejde-44	704	26	0	0	NUM
ejde-44	704	27	.	.	PUNCT
ejde-44	705	1	we	we	PRON
ejde-44	705	2	have	have	VERB
ejde-44	705	3	lim	lim	PROPN
ejde-44	705	4	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	705	5	xα(0	xα(0	PROPN
ejde-44	705	6	)	)	PUNCT
ejde-44	706	1	=	=	PROPN
ejde-44	706	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	706	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	706	4	1	1	NUM
ejde-44	706	5	1−	1−	NUM
ejde-44	706	6	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	707	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	707	2	t	t	PROPN
ejde-44	707	3	0	0	NUM
ejde-44	707	4	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	707	5	.	.	PUNCT
ejde-44	708	1	if	if	SCONJ
ejde-44	708	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	708	3	t	t	PROPN
ejde-44	708	4	0	0	NUM
ejde-44	708	5	e−(t−s)af(s)ds	e−(t−s)af(s)ds	PROPN
ejde-44	708	6	6=	6=	ADP
ejde-44	708	7	0	0	NUM
ejde-44	708	8	,	,	PUNCT
ejde-44	708	9	then	then	ADV
ejde-44	708	10	(	(	PUNCT
ejde-44	708	11	xα(0))α>0	xα(0))α>0	PROPN
ejde-44	708	12	is	be	AUX
ejde-44	708	13	not	not	PART
ejde-44	708	14	bounded	bound	VERB
ejde-44	708	15	.	.	PUNCT
ejde-44	709	1	in	in	ADP
ejde-44	709	2	fact	fact	NOUN
ejde-44	709	3	since	since	SCONJ
ejde-44	709	4	e−2nπa	e−2nπa	PROPN
ejde-44	709	5	=	=	SYM
ejde-44	709	6	1	1	NUM
ejde-44	709	7	it	it	PRON
ejde-44	709	8	is	be	AUX
ejde-44	709	9	easy	easy	ADJ
ejde-44	709	10	to	to	PART
ejde-44	709	11	check	check	VERB
ejde-44	709	12	that	that	DET
ejde-44	709	13	equation	equation	NOUN
ejde-44	709	14	(	(	PUNCT
ejde-44	709	15	35	35	NUM
ejde-44	709	16	)	)	PUNCT
ejde-44	709	17	does	do	AUX
ejde-44	709	18	not	not	PART
ejde-44	709	19	have	have	VERB
ejde-44	709	20	any	any	DET
ejde-44	709	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	709	22	solution	solution	NOUN
ejde-44	709	23	.	.	PUNCT
ejde-44	710	1	if	if	SCONJ
ejde-44	710	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	710	3	t	t	PROPN
ejde-44	710	4	0	0	PUNCT
ejde-44	710	5	e−(t−s)af(s)ds	e−(t−s)af(s)ds	PROPN
ejde-44	711	1	=	=	PUNCT
ejde-44	711	2	0	0	PUNCT
ejde-44	711	3	then	then	ADV
ejde-44	711	4	every	every	DET
ejde-44	711	5	solution	solution	NOUN
ejde-44	711	6	of	of	ADP
ejde-44	711	7	(	(	PUNCT
ejde-44	711	8	35	35	NUM
ejde-44	711	9	)	)	PUNCT
ejde-44	711	10	is	be	AUX
ejde-44	711	11	t	t	NOUN
ejde-44	711	12	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	711	13	and	and	CCONJ
ejde-44	711	14	(	(	PUNCT
ejde-44	711	15	xα(0))α>0	xα(0))α>0	PROPN
ejde-44	711	16	is	be	AUX
ejde-44	711	17	convergent	convergent	NOUN
ejde-44	711	18	for	for	ADP
ejde-44	711	19	α→	α→	PROPN
ejde-44	711	20	0	0	NUM
ejde-44	711	21	:	:	PUNCT
ejde-44	711	22	lim	lim	PROPN
ejde-44	711	23	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	711	24	xα(0	xα(0	X
ejde-44	711	25	)	)	PUNCT
ejde-44	712	1	=	=	PROPN
ejde-44	712	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	712	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	713	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	713	2	t	t	PROPN
ejde-44	713	3	0	0	NUM
ejde-44	713	4	(	(	PUNCT
ejde-44	713	5	e−α(t−s	e−α(t−s	PROPN
ejde-44	713	6	)	)	PUNCT
ejde-44	713	7	−	−	PROPN
ejde-44	713	8	1)e−(t−s)af(s)ds	1)e−(t−s)af(s)ds	NUM
ejde-44	713	9	1−	1−	NUM
ejde-44	713	10	e−αt	e−αt	NOUN
ejde-44	713	11	=	=	PUNCT
ejde-44	714	1	−	−	PROPN
ejde-44	714	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	714	3	t	t	PROPN
ejde-44	714	4	0	0	NUM
ejde-44	714	5	t	t	PROPN
ejde-44	714	6	−	−	PROPN
ejde-44	714	7	s	s	PROPN
ejde-44	714	8	t	t	NOUN
ejde-44	714	9	e−(t−s)af(s	e−(t−s)af(s	X
ejde-44	714	10	)	)	PUNCT
ejde-44	714	11	=	=	SYM
ejde-44	715	1	1	1	NUM
ejde-44	715	2	t	t	NOUN
ejde-44	715	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	715	4	t	t	PROPN
ejde-44	715	5	0	0	NUM
ejde-44	715	6	se−(t−s)af(s	se−(t−s)af(s	PROPN
ejde-44	715	7	)	)	PUNCT
ejde-44	715	8	.	.	PUNCT
ejde-44	716	1	case	case	NOUN
ejde-44	716	2	2	2	NUM
ejde-44	716	3	:	:	PUNCT
ejde-44	716	4	t	t	PROPN
ejde-44	716	5	6=	6=	ADP
ejde-44	716	6	2nπ	2nπ	NOUN
ejde-44	716	7	for	for	ADP
ejde-44	716	8	alln	alln	PROPN
ejde-44	716	9	≥	≥	NUM
ejde-44	716	10	0	0	NUM
ejde-44	716	11	.	.	PUNCT
ejde-44	717	1	in	in	ADP
ejde-44	717	2	this	this	DET
ejde-44	717	3	case	case	NOUN
ejde-44	717	4	(	(	PUNCT
ejde-44	717	5	1	1	NUM
ejde-44	717	6	−	−	PROPN
ejde-44	717	7	e−ta	e−ta	PROPN
ejde-44	717	8	)	)	PUNCT
ejde-44	717	9	is	be	AUX
ejde-44	717	10	invertible	invertible	ADJ
ejde-44	717	11	and	and	CCONJ
ejde-44	717	12	(	(	PUNCT
ejde-44	717	13	xα(0))α>0	xα(0))α>0	PROPN
ejde-44	717	14	converges	converge	VERB
ejde-44	717	15	to	to	ADP
ejde-44	717	16	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	717	17	)	)	PUNCT
ejde-44	717	18	where	where	SCONJ
ejde-44	717	19	x	x	PRON
ejde-44	717	20	is	be	AUX
ejde-44	717	21	the	the	DET
ejde-44	717	22	unique	unique	ADJ
ejde-44	717	23	t	t	NOUN
ejde-44	717	24	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	717	25	solution	solution	NOUN
ejde-44	717	26	of	of	ADP
ejde-44	717	27	(	(	PUNCT
ejde-44	717	28	35	35	NUM
ejde-44	717	29	):	):	PUNCT
ejde-44	717	30	lim	lim	PROPN
ejde-44	717	31	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	717	32	xα(0	xα(0	X
ejde-44	717	33	)	)	PUNCT
ejde-44	718	1	=	=	PROPN
ejde-44	718	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	718	3	α→0	α→0	PROPN
ejde-44	718	4	(	(	PUNCT
ejde-44	718	5	1−	1−	NUM
ejde-44	718	6	e−t	e−t	NOUN
ejde-44	718	7	(	(	PUNCT
ejde-44	718	8	α+a))−1	α+a))−1	NUM
ejde-44	718	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	718	10	t	t	PROPN
ejde-44	718	11	0	0	NUM
ejde-44	718	12	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	e−(t−s)(α+a)f(s)ds	PROPN
ejde-44	718	13	=	=	SYM
ejde-44	718	14	(	(	PUNCT
ejde-44	718	15	1−	1−	NUM
ejde-44	718	16	e−ta)−1	e−ta)−1	NOUN
ejde-44	718	17	∫	∫	PROPN
ejde-44	718	18	t	t	PROPN
ejde-44	718	19	0	0	PUNCT
ejde-44	718	20	e−(t−s)af(s)ds	e−(t−s)af(s)ds	PROPN
ejde-44	719	1	=	=	NOUN
ejde-44	719	2	1	1	NUM
ejde-44	719	3	2	2	NUM
ejde-44	719	4	sin(t2	sin(t2	NOUN
ejde-44	719	5	)	)	PUNCT
ejde-44	719	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	720	1	t	t	NOUN
ejde-44	720	2	0	0	NUM
ejde-44	720	3	e−(t+π	e−(t+π	PROPN
ejde-44	720	4	2	2	NUM
ejde-44	720	5	−s)af(s)ds	−s)af(s)ds	ADV
ejde-44	720	6	.	.	PUNCT
ejde-44	721	1	26	26	NUM
ejde-44	721	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	721	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	721	4	for	for	ADP
ejde-44	721	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	721	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	721	7	we	we	PRON
ejde-44	721	8	state	state	VERB
ejde-44	721	9	now	now	ADV
ejde-44	721	10	our	our	PRON
ejde-44	721	11	main	main	ADJ
ejde-44	721	12	result	result	NOUN
ejde-44	721	13	of	of	ADP
ejde-44	721	14	existence	existence	NOUN
ejde-44	721	15	in	in	ADP
ejde-44	721	16	the	the	DET
ejde-44	721	17	linear	linear	ADJ
ejde-44	721	18	and	and	CCONJ
ejde-44	721	19	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	721	20	case	case	NOUN
ejde-44	721	21	.	.	PUNCT
ejde-44	722	1	theorem	theorem	VERB
ejde-44	722	2	3.8	3.8	NUM
ejde-44	722	3	assume	assume	VERB
ejde-44	722	4	that	that	SCONJ
ejde-44	722	5	a	a	DET
ejde-44	722	6	:	:	PUNCT
ejde-44	722	7	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	722	8	)	)	PUNCT
ejde-44	723	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	723	2	h	h	PROPN
ejde-44	723	3	→	→	PUNCT
ejde-44	723	4	h	h	NOUN
ejde-44	723	5	is	be	AUX
ejde-44	723	6	a	a	DET
ejde-44	723	7	linear	linear	ADJ
ejde-44	723	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	723	9	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	723	10	and	and	CCONJ
ejde-44	723	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	723	12	operator	operator	NOUN
ejde-44	723	13	and	and	CCONJ
ejde-44	723	14	f	f	PROPN
ejde-44	723	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	723	16	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	723	17	,	,	PUNCT
ejde-44	723	18	t	t	X
ejde-44	723	19	]	]	PUNCT
ejde-44	723	20	;	;	PUNCT
ejde-44	723	21	h	h	X
ejde-44	723	22	)	)	PUNCT
ejde-44	723	23	is	be	AUX
ejde-44	723	24	a	a	DET
ejde-44	723	25	t	t	NOUN
ejde-44	723	26	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	723	27	function	function	NOUN
ejde-44	723	28	.	.	PUNCT
ejde-44	724	1	then	then	ADV
ejde-44	724	2	the	the	DET
ejde-44	724	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	724	4	and	and	CCONJ
ejde-44	724	5	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	724	6	condition	condition	NOUN
ejde-44	724	7	for	for	ADP
ejde-44	724	8	the	the	DET
ejde-44	724	9	existence	existence	NOUN
ejde-44	724	10	of	of	ADP
ejde-44	724	11	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	724	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	724	13	for	for	ADP
ejde-44	724	14	(	(	PUNCT
ejde-44	724	15	33	33	NUM
ejde-44	724	16	)	)	PUNCT
ejde-44	724	17	is	be	AUX
ejde-44	724	18	given	give	VERB
ejde-44	724	19	by	by	ADP
ejde-44	724	20	〈	〈	PROPN
ejde-44	724	21	f	f	PROPN
ejde-44	724	22	〉	〉	PROPN
ejde-44	724	23	:	:	PUNCT
ejde-44	724	24	=	=	SYM
ejde-44	724	25	1	1	NUM
ejde-44	724	26	t	t	NOUN
ejde-44	724	27	∫	∫	PROPN
ejde-44	724	28	t	t	PROPN
ejde-44	724	29	0	0	NUM
ejde-44	724	30	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	724	31	∈	∈	PROPN
ejde-44	724	32	range(a	range(a	PROPN
ejde-44	724	33	)	)	PUNCT
ejde-44	724	34	.	.	PUNCT
ejde-44	725	1	in	in	ADP
ejde-44	725	2	this	this	DET
ejde-44	725	3	case	case	NOUN
ejde-44	725	4	we	we	PRON
ejde-44	725	5	have	have	VERB
ejde-44	725	6	the	the	DET
ejde-44	725	7	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	725	8	:	:	PUNCT
ejde-44	726	1	‖x‖l∞(]0,t	‖x‖l∞(]0,t	PRON
ejde-44	726	2	[	[	X
ejde-44	726	3	;	;	PUNCT
ejde-44	726	4	h	h	X
ejde-44	726	5	)	)	PUNCT
ejde-44	726	6	≤	≤	NUM
ejde-44	727	1	‖a−1〈f〉‖+	‖a−1〈f〉‖+	NUM
ejde-44	727	2	√	√	NUM
ejde-44	727	3	t	t	PROPN
ejde-44	727	4	2	2	NUM
ejde-44	727	5	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	728	1	[	[	X
ejde-44	728	2	;	;	PUNCT
ejde-44	728	3	h	h	X
ejde-44	728	4	)	)	PUNCT
ejde-44	729	1	+	+	CCONJ
ejde-44	729	2	t	t	X
ejde-44	729	3	2	2	NUM
ejde-44	729	4	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	729	5	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	729	6	[	[	X
ejde-44	729	7	;	;	PUNCT
ejde-44	729	8	h	h	NOUN
ejde-44	729	9	)	)	PUNCT
ejde-44	729	10	,	,	PUNCT
ejde-44	729	11	and	and	CCONJ
ejde-44	729	12	‖x′‖l∞(]0,t	‖x′‖l∞(]0,t	PROPN
ejde-44	730	1	[	[	X
ejde-44	730	2	;	;	PUNCT
ejde-44	730	3	h	h	X
ejde-44	730	4	)	)	PUNCT
ejde-44	730	5	≤	≤	NUM
ejde-44	730	6	1√	1√	PROPN
ejde-44	730	7	t	t	PROPN
ejde-44	730	8	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	731	1	[	[	X
ejde-44	731	2	;	;	PUNCT
ejde-44	731	3	h	h	X
ejde-44	731	4	)	)	PUNCT
ejde-44	732	1	+	+	CCONJ
ejde-44	732	2	‖f	‖f	ADP
ejde-44	732	3	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	732	4	[	[	X
ejde-44	732	5	;	;	PUNCT
ejde-44	732	6	h	h	NOUN
ejde-44	732	7	)	)	PUNCT
ejde-44	732	8	,	,	PUNCT
ejde-44	732	9	and	and	CCONJ
ejde-44	732	10	the	the	DET
ejde-44	732	11	solution	solution	NOUN
ejde-44	732	12	is	be	AUX
ejde-44	732	13	unique	unique	ADJ
ejde-44	732	14	up	up	ADP
ejde-44	732	15	to	to	ADP
ejde-44	732	16	a	a	DET
ejde-44	732	17	constant	constant	ADJ
ejde-44	732	18	in	in	ADP
ejde-44	732	19	a−1(0	a−1(0	PROPN
ejde-44	732	20	)	)	PUNCT
ejde-44	732	21	.	.	PUNCT
ejde-44	733	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	733	2	the	the	DET
ejde-44	733	3	condition	condition	NOUN
ejde-44	733	4	is	be	AUX
ejde-44	733	5	necessary	necessary	ADJ
ejde-44	733	6	(	(	PUNCT
ejde-44	733	7	see	see	VERB
ejde-44	733	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	733	9	3.3	3.3	NUM
ejde-44	733	10	)	)	PUNCT
ejde-44	733	11	.	.	PUNCT
ejde-44	734	1	let	let	VERB
ejde-44	734	2	us	we	PRON
ejde-44	734	3	show	show	VERB
ejde-44	734	4	now	now	ADV
ejde-44	734	5	that	that	SCONJ
ejde-44	734	6	it	it	PRON
ejde-44	734	7	is	be	AUX
ejde-44	734	8	also	also	ADV
ejde-44	734	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	734	10	.	.	PUNCT
ejde-44	735	1	consider	consider	VERB
ejde-44	735	2	the	the	DET
ejde-44	735	3	t	t	NOUN
ejde-44	735	4	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	735	5	solutions	solution	NOUN
ejde-44	735	6	(	(	PUNCT
ejde-44	735	7	xα)α>0	xα)α>0	NOUN
ejde-44	735	8	for	for	ADP
ejde-44	735	9	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	735	10	)	)	PUNCT
ejde-44	735	11	+	+	NUM
ejde-44	735	12	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	735	13	)	)	PUNCT
ejde-44	736	1	+	+	ADJ
ejde-44	736	2	axα(t	axα(t	X
ejde-44	736	3	)	)	PUNCT
ejde-44	736	4	=	=	SYM
ejde-44	736	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	736	6	)	)	PUNCT
ejde-44	736	7	,	,	PUNCT
ejde-44	736	8	t	t	PROPN
ejde-44	736	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	737	1	[	[	X
ejde-44	737	2	0	0	NUM
ejde-44	737	3	,	,	PUNCT
ejde-44	737	4	t	t	X
ejde-44	737	5	]	]	PUNCT
ejde-44	737	6	,	,	PUNCT
ejde-44	737	7	α	α	X
ejde-44	737	8	>	>	X
ejde-44	737	9	0	0	PROPN
ejde-44	737	10	.	.	PUNCT
ejde-44	738	1	first	first	ADV
ejde-44	738	2	we	we	PRON
ejde-44	738	3	prove	prove	VERB
ejde-44	738	4	that	that	SCONJ
ejde-44	738	5	(	(	PUNCT
ejde-44	738	6	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	738	7	is	be	AUX
ejde-44	738	8	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	738	9	bounded	bound	VERB
ejde-44	738	10	in	in	ADP
ejde-44	738	11	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	738	12	,	,	PUNCT
ejde-44	738	13	t	t	X
ejde-44	738	14	]	]	PUNCT
ejde-44	738	15	;	;	PUNCT
ejde-44	738	16	h	h	X
ejde-44	738	17	)	)	PUNCT
ejde-44	738	18	.	.	PUNCT
ejde-44	739	1	let	let	VERB
ejde-44	739	2	us	we	PRON
ejde-44	739	3	multiply	multiply	VERB
ejde-44	739	4	by	by	ADP
ejde-44	739	5	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	739	6	)	)	PUNCT
ejde-44	739	7	and	and	CCONJ
ejde-44	739	8	integrate	integrate	VERB
ejde-44	739	9	on	on	ADP
ejde-44	739	10	a	a	DET
ejde-44	739	11	period:∫	period:∫	ADJ
ejde-44	739	12	t	t	NOUN
ejde-44	739	13	0	0	NUM
ejde-44	739	14	‖x′α(t)‖2dt+	‖x′α(t)‖2dt+	PROPN
ejde-44	739	15	∫	∫	PROPN
ejde-44	739	16	t	t	PROPN
ejde-44	739	17	0	0	NUM
ejde-44	739	18	α(xα(t	α(xα(t	NUM
ejde-44	739	19	)	)	PUNCT
ejde-44	739	20	,	,	PUNCT
ejde-44	739	21	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	739	22	)	)	PUNCT
ejde-44	739	23	)	)	PUNCT
ejde-44	740	1	+	+	CCONJ
ejde-44	740	2	(	(	PUNCT
ejde-44	740	3	axα(t	axα(t	VERB
ejde-44	740	4	)	)	PUNCT
ejde-44	740	5	,	,	PUNCT
ejde-44	740	6	x′α(t))dt	x′α(t))dt	PROPN
ejde-44	741	1	=	=	PUNCT
ejde-44	741	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	741	3	t	t	PROPN
ejde-44	741	4	0	0	NUM
ejde-44	741	5	(	(	PUNCT
ejde-44	741	6	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	741	7	)	)	PUNCT
ejde-44	741	8	,	,	PUNCT
ejde-44	741	9	x′α(t))dt	x′α(t))dt	PROPN
ejde-44	741	10	.	.	PUNCT
ejde-44	742	1	since	since	SCONJ
ejde-44	742	2	a	a	PRON
ejde-44	742	3	is	be	AUX
ejde-44	742	4	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	742	5	and	and	CCONJ
ejde-44	742	6	xα	xα	PROPN
ejde-44	742	7	is	be	AUX
ejde-44	742	8	t	t	PROPN
ejde-44	742	9	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	742	10	we	we	PRON
ejde-44	742	11	have∫	have∫	VERB
ejde-44	742	12	t	t	NOUN
ejde-44	742	13	0	0	NUM
ejde-44	742	14	α(xα(t	α(xα(t	NUM
ejde-44	742	15	)	)	PUNCT
ejde-44	742	16	,	,	PUNCT
ejde-44	742	17	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	742	18	)	)	PUNCT
ejde-44	742	19	)	)	PUNCT
ejde-44	743	1	+	+	CCONJ
ejde-44	743	2	(	(	PUNCT
ejde-44	743	3	axα(t	axα(t	VERB
ejde-44	743	4	)	)	PUNCT
ejde-44	743	5	,	,	PUNCT
ejde-44	743	6	x′α(t))dt	x′α(t))dt	PROPN
ejde-44	744	1	=	=	PUNCT
ejde-44	744	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	744	3	t	t	NOUN
ejde-44	744	4	0	0	NUM
ejde-44	745	1	α	α	NOUN
ejde-44	745	2	2	2	NUM
ejde-44	745	3	d	d	NOUN
ejde-44	745	4	dt	dt	NOUN
ejde-44	745	5	‖xα(t)‖2dt+	‖xα(t)‖2dt+	PUNCT
ejde-44	746	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	746	2	t	t	NOUN
ejde-44	746	3	0	0	NUM
ejde-44	746	4	1	1	NUM
ejde-44	746	5	2	2	NUM
ejde-44	746	6	d	d	NOUN
ejde-44	746	7	dt	dt	X
ejde-44	746	8	(	(	PUNCT
ejde-44	746	9	axα(t	axα(t	PROPN
ejde-44	746	10	)	)	PUNCT
ejde-44	746	11	,	,	PUNCT
ejde-44	746	12	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	746	13	=	=	NOUN
ejde-44	746	14	1	1	NUM
ejde-44	746	15	2	2	NUM
ejde-44	746	16	{	{	PUNCT
ejde-44	746	17	α‖xα(t)‖2	α‖xα(t)‖2	VERB
ejde-44	746	18	+	+	CCONJ
ejde-44	746	19	(	(	PUNCT
ejde-44	746	20	axα(t	axα(t	NOUN
ejde-44	746	21	)	)	PUNCT
ejde-44	746	22	,	,	PUNCT
ejde-44	746	23	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	746	24	)	)	PUNCT
ejde-44	746	25	)	)	PUNCT
ejde-44	746	26	}	}	PUNCT
ejde-44	746	27	|t0	|t0	NOUN
ejde-44	746	28	=	=	SYM
ejde-44	746	29	0	0	X
ejde-44	746	30	.	.	PUNCT
ejde-44	747	1	finally	finally	ADV
ejde-44	747	2	we	we	PRON
ejde-44	747	3	get	get	VERB
ejde-44	747	4	‖x′α‖2l2(]0,t	‖x′α‖2l2(]0,t	PROPN
ejde-44	747	5	[	[	X
ejde-44	747	6	;	;	PUNCT
ejde-44	747	7	h	h	X
ejde-44	747	8	)	)	PUNCT
ejde-44	747	9	≤	≤	NOUN
ejde-44	747	10	(	(	PUNCT
ejde-44	747	11	f	f	X
ejde-44	747	12	,	,	PUNCT
ejde-44	747	13	x′α)l2(]0,t	x′α)l2(]0,t	PROPN
ejde-44	748	1	[	[	X
ejde-44	748	2	;	;	PUNCT
ejde-44	748	3	h	h	X
ejde-44	748	4	)	)	PUNCT
ejde-44	748	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	748	6	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	749	1	[	[	X
ejde-44	749	2	;	;	PUNCT
ejde-44	749	3	h	h	X
ejde-44	749	4	)	)	PUNCT
ejde-44	749	5	·	·	PUNCT
ejde-44	750	1	‖x′α‖l2(]0,t	‖x′α‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	751	1	[	[	X
ejde-44	751	2	;	;	PUNCT
ejde-44	751	3	h	h	NOUN
ejde-44	751	4	)	)	PUNCT
ejde-44	751	5	,	,	PUNCT
ejde-44	751	6	and	and	CCONJ
ejde-44	751	7	hence	hence	ADV
ejde-44	751	8	‖x′α‖l2(]0,t	‖x′α‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	752	1	[	[	X
ejde-44	752	2	;	;	PUNCT
ejde-44	752	3	h	h	X
ejde-44	752	4	)	)	PUNCT
ejde-44	752	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	752	6	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	753	1	[	[	X
ejde-44	753	2	;	;	PUNCT
ejde-44	753	3	h	h	X
ejde-44	753	4	)	)	PUNCT
ejde-44	753	5	,	,	PUNCT
ejde-44	753	6	α	α	X
ejde-44	753	7	>	>	X
ejde-44	753	8	0	0	X
ejde-44	753	9	.	.	PUNCT
ejde-44	754	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	754	2	we	we	PRON
ejde-44	754	3	can	can	AUX
ejde-44	754	4	write	write	VERB
ejde-44	754	5	min	min	PROPN
ejde-44	754	6	t∈[0,t	t∈[0,t	PROPN
ejde-44	754	7	]	]	PUNCT
ejde-44	754	8	‖x′α(t)‖	‖x′α(t)‖	NOUN
ejde-44	754	9	≤	≤	NUM
ejde-44	754	10	1√	1√	PROPN
ejde-44	754	11	t	t	PROPN
ejde-44	754	12	‖x′α‖l2(]0,t	‖x′α‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	755	1	[	[	X
ejde-44	755	2	;	;	PUNCT
ejde-44	755	3	h	h	X
ejde-44	755	4	)	)	PUNCT
ejde-44	755	5	≤	≤	NUM
ejde-44	755	6	1√	1√	PROPN
ejde-44	755	7	t	t	PROPN
ejde-44	755	8	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	756	1	[	[	X
ejde-44	756	2	;	;	PUNCT
ejde-44	756	3	h	h	NOUN
ejde-44	756	4	)	)	PUNCT
ejde-44	756	5	.	.	PUNCT
ejde-44	757	1	(	(	PUNCT
ejde-44	757	2	43	43	X
ejde-44	757	3	)	)	PUNCT
ejde-44	757	4	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	757	5	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	757	6	27	27	NUM
ejde-44	757	7	as	as	SCONJ
ejde-44	757	8	seen	see	VERB
ejde-44	757	9	before	before	ADV
ejde-44	757	10	,	,	PUNCT
ejde-44	757	11	since	since	SCONJ
ejde-44	757	12	a	a	PRON
ejde-44	757	13	is	be	AUX
ejde-44	757	14	linear	linear	ADJ
ejde-44	757	15	we	we	PRON
ejde-44	757	16	can	can	AUX
ejde-44	757	17	write	write	VERB
ejde-44	757	18	α	α	PROPN
ejde-44	757	19	h	h	NOUN
ejde-44	757	20	(	(	PUNCT
ejde-44	757	21	xα(t+	xα(t+	PROPN
ejde-44	757	22	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	757	23	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	757	24	)	)	PUNCT
ejde-44	757	25	)	)	PUNCT
ejde-44	758	1	+	+	CCONJ
ejde-44	758	2	1	1	NUM
ejde-44	758	3	h	h	NOUN
ejde-44	758	4	(	(	PUNCT
ejde-44	758	5	x′α(t+	x′α(t+	PROPN
ejde-44	758	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	758	7	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	758	8	)	)	PUNCT
ejde-44	758	9	)	)	PUNCT
ejde-44	759	1	+	+	CCONJ
ejde-44	759	2	1	1	NUM
ejde-44	759	3	h	h	NOUN
ejde-44	759	4	a(xα(t+	a(xα(t+	ADJ
ejde-44	759	5	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	759	6	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	759	7	)	)	PUNCT
ejde-44	759	8	)	)	PUNCT
ejde-44	760	1	=	=	SYM
ejde-44	760	2	1	1	NUM
ejde-44	760	3	h	h	NOUN
ejde-44	760	4	(	(	PUNCT
ejde-44	760	5	f(t+	f(t+	ADJ
ejde-44	760	6	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	760	7	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	760	8	)	)	PUNCT
ejde-44	760	9	)	)	PUNCT
ejde-44	760	10	,	,	PUNCT
ejde-44	760	11	and	and	CCONJ
ejde-44	760	12	by	by	ADP
ejde-44	760	13	standard	standard	ADJ
ejde-44	760	14	calculations	calculation	NOUN
ejde-44	760	15	for	for	ADP
ejde-44	760	16	s	s	PRON
ejde-44	760	17	<	<	X
ejde-44	760	18	t	t	NOUN
ejde-44	760	19	and	and	CCONJ
ejde-44	760	20	h	h	NOUN
ejde-44	760	21	>	>	X
ejde-44	760	22	0	0	NUM
ejde-44	760	23	,	,	PUNCT
ejde-44	760	24	we	we	PRON
ejde-44	760	25	get	get	VERB
ejde-44	760	26	1	1	NUM
ejde-44	760	27	h	h	NOUN
ejde-44	760	28	‖xα(t+	‖xα(t+	ADJ
ejde-44	761	1	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	761	2	xα(t)‖	xα(t)‖	PROPN
ejde-44	761	3	≤	≤	PROPN
ejde-44	761	4	e−α(t−s	e−α(t−	VERB
ejde-44	761	5	)	)	PUNCT
ejde-44	761	6	1	1	NUM
ejde-44	761	7	h	h	NOUN
ejde-44	762	1	‖xα(s+	‖xα(s+	NOUN
ejde-44	763	1	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	764	1	xα(s)‖+	xα(s)‖+	PROPN
ejde-44	764	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	765	1	t	t	PROPN
ejde-44	765	2	s	s	PART
ejde-44	765	3	e−α(t−τ	e−α(t−τ	PROPN
ejde-44	765	4	)	)	PUNCT
ejde-44	765	5	1	1	NUM
ejde-44	765	6	h	h	NOUN
ejde-44	765	7	‖f(τ	‖f(τ	ADJ
ejde-44	765	8	+	+	CCONJ
ejde-44	765	9	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	765	10	f(t)‖dτ	f(t)‖dτ	PROPN
ejde-44	765	11	.	.	PUNCT
ejde-44	766	1	passing	pass	VERB
ejde-44	766	2	to	to	ADP
ejde-44	766	3	the	the	DET
ejde-44	766	4	limit	limit	NOUN
ejde-44	766	5	for	for	ADP
ejde-44	766	6	h→	h→	NOUN
ejde-44	766	7	0	0	NUM
ejde-44	766	8	we	we	PRON
ejde-44	766	9	deduce	deduce	VERB
ejde-44	766	10	‖x′α(t)‖	‖x′α(t)‖	NOUN
ejde-44	766	11	≤	≤	NUM
ejde-44	766	12	e−α(t−s)‖x′α(s)‖+	e−α(t−s)‖x′α(s)‖+	X
ejde-44	767	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	767	2	t	t	PROPN
ejde-44	767	3	s	s	PART
ejde-44	767	4	e−α(t−τ)‖f	e−α(t−τ)‖f	NUM
ejde-44	767	5	′(τ)‖dτ	′(τ)‖dτ	NOUN
ejde-44	767	6	≤	≤	NUM
ejde-44	767	7	‖x′α(s)‖+	‖x′α(s)‖+	NUM
ejde-44	767	8	∫	∫	PROPN
ejde-44	767	9	t	t	PROPN
ejde-44	767	10	s	s	PROPN
ejde-44	767	11	‖f	‖f	NOUN
ejde-44	767	12	′(τ)‖dτ	′(τ)‖dτ	NOUN
ejde-44	767	13	,	,	PUNCT
ejde-44	767	14	s	s	VERB
ejde-44	767	15	≤	≤	PROPN
ejde-44	767	16	t	t	PROPN
ejde-44	767	17	,	,	PUNCT
ejde-44	767	18	α	α	X
ejde-44	767	19	>	>	X
ejde-44	767	20	0	0	NUM
ejde-44	767	21	.	.	PUNCT
ejde-44	768	1	(	(	PUNCT
ejde-44	768	2	44	44	NUM
ejde-44	768	3	)	)	PUNCT
ejde-44	768	4	from	from	ADP
ejde-44	768	5	(	(	PUNCT
ejde-44	768	6	43	43	NUM
ejde-44	768	7	)	)	PUNCT
ejde-44	768	8	and	and	CCONJ
ejde-44	768	9	(	(	PUNCT
ejde-44	768	10	44	44	NUM
ejde-44	768	11	)	)	PUNCT
ejde-44	768	12	we	we	PRON
ejde-44	768	13	conclude	conclude	VERB
ejde-44	768	14	that	that	SCONJ
ejde-44	768	15	the	the	DET
ejde-44	768	16	functions	function	NOUN
ejde-44	768	17	(	(	PUNCT
ejde-44	768	18	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	768	19	are	be	AUX
ejde-44	768	20	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	768	21	bounded	bound	VERB
ejde-44	768	22	in	in	ADP
ejde-44	768	23	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	768	24	,	,	PUNCT
ejde-44	768	25	t	t	X
ejde-44	769	1	[	[	X
ejde-44	769	2	;	;	PUNCT
ejde-44	769	3	h	h	NUM
ejde-44	769	4	):	):	PUNCT
ejde-44	769	5	‖x′α‖l∞(]0,t	‖x′α‖l∞(]0,t	PROPN
ejde-44	770	1	[	[	X
ejde-44	770	2	;	;	PUNCT
ejde-44	770	3	h	h	X
ejde-44	770	4	)	)	PUNCT
ejde-44	770	5	≤	≤	NUM
ejde-44	770	6	1√	1√	PROPN
ejde-44	770	7	t	t	PROPN
ejde-44	770	8	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	771	1	[	[	X
ejde-44	771	2	;	;	PUNCT
ejde-44	771	3	h	h	X
ejde-44	771	4	)	)	PUNCT
ejde-44	772	1	+	+	CCONJ
ejde-44	772	2	‖f	‖f	ADP
ejde-44	772	3	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	772	4	[	[	X
ejde-44	772	5	;	;	PUNCT
ejde-44	772	6	h	h	X
ejde-44	772	7	)	)	PUNCT
ejde-44	772	8	,	,	PUNCT
ejde-44	772	9	α	α	X
ejde-44	772	10	>	>	X
ejde-44	772	11	0	0	X
ejde-44	772	12	.	.	PUNCT
ejde-44	773	1	as	as	SCONJ
ejde-44	773	2	shown	show	VERB
ejde-44	773	3	before	before	ADV
ejde-44	773	4	,	,	PUNCT
ejde-44	773	5	since	since	SCONJ
ejde-44	773	6	a	a	PRON
ejde-44	773	7	is	be	AUX
ejde-44	773	8	linear	linear	ADJ
ejde-44	773	9	and	and	CCONJ
ejde-44	773	10	xα	xα	INTJ
ejde-44	773	11	is	be	AUX
ejde-44	773	12	t	t	PROPN
ejde-44	773	13	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	773	14	we	we	PRON
ejde-44	773	15	have	have	VERB
ejde-44	773	16	also	also	ADV
ejde-44	773	17	α〈xα〉+a〈xα	α〈xα〉+a〈xα	NUM
ejde-44	773	18	〉	〉	NUM
ejde-44	773	19	=	=	SYM
ejde-44	773	20	〈	〈	PROPN
ejde-44	773	21	f	f	PROPN
ejde-44	773	22	〉	〉	PROPN
ejde-44	773	23	.	.	PUNCT
ejde-44	774	1	(	(	PUNCT
ejde-44	774	2	45	45	NUM
ejde-44	774	3	)	)	PUNCT
ejde-44	774	4	by	by	ADP
ejde-44	774	5	the	the	DET
ejde-44	774	6	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	774	7	there	there	PRON
ejde-44	774	8	is	be	VERB
ejde-44	774	9	x0	x0	PROPN
ejde-44	774	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	774	11	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	774	12	)	)	PUNCT
ejde-44	774	13	such	such	ADJ
ejde-44	774	14	that	that	SCONJ
ejde-44	774	15	〈	〈	PROPN
ejde-44	774	16	f	f	PROPN
ejde-44	774	17	〉	〉	NOUN
ejde-44	774	18	=	=	SYM
ejde-44	774	19	ax0	ax0	NOUN
ejde-44	774	20	and	and	CCONJ
ejde-44	774	21	hence	hence	ADV
ejde-44	774	22	‖〈xα〉‖	‖〈xα〉‖	X
ejde-44	774	23	=	=	SYM
ejde-44	774	24	‖(α+a)−1〈f〉‖	‖(α+a)−1〈f〉‖	PUNCT
ejde-44	774	25	=	=	SYM
ejde-44	774	26	‖(α+a)−1ax0‖	‖(α+a)−1ax0‖	PROPN
ejde-44	774	27	≤	≤	NOUN
ejde-44	774	28	‖x0‖	‖x0‖	NOUN
ejde-44	774	29	,	,	PUNCT
ejde-44	774	30	α	α	NOUN
ejde-44	774	31	>	>	X
ejde-44	774	32	0	0	X
ejde-44	774	33	.	.	PUNCT
ejde-44	775	1	now	now	ADV
ejde-44	775	2	it	it	PRON
ejde-44	775	3	is	be	AUX
ejde-44	775	4	easy	easy	ADJ
ejde-44	775	5	to	to	PART
ejde-44	775	6	check	check	VERB
ejde-44	775	7	that	that	PRON
ejde-44	775	8	(	(	PUNCT
ejde-44	775	9	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	775	10	is	be	AUX
ejde-44	775	11	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	775	12	bounded	bound	VERB
ejde-44	775	13	in	in	ADP
ejde-44	775	14	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	775	15	,	,	PUNCT
ejde-44	775	16	t	t	X
ejde-44	776	1	[	[	X
ejde-44	776	2	;	;	PUNCT
ejde-44	776	3	h	h	NUM
ejde-44	776	4	):	):	PUNCT
ejde-44	776	5	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	776	6	〈	〈	PROPN
ejde-44	776	7	xα〉‖	xα〉‖	PROPN
ejde-44	776	8	=	=	SYM
ejde-44	776	9	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-44	776	10	1	1	NUM
ejde-44	776	11	t	t	NOUN
ejde-44	776	12	∫	∫	PROPN
ejde-44	776	13	t	t	PROPN
ejde-44	776	14	0	0	NUM
ejde-44	776	15	(	(	PUNCT
ejde-44	776	16	xα(t)−	xα(t)−	PROPN
ejde-44	776	17	xα(s))ds	xα(s))ds	PROPN
ejde-44	776	18	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-44	777	1	=	=	SYM
ejde-44	777	2	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-44	777	3	1	1	NUM
ejde-44	777	4	t	t	NOUN
ejde-44	777	5	∫	∫	PROPN
ejde-44	777	6	t	t	PROPN
ejde-44	777	7	0	0	NUM
ejde-44	778	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	779	1	t	t	PROPN
ejde-44	779	2	s	s	PROPN
ejde-44	779	3	x′α(τ)dτds	x′α(τ)dτds	PROPN
ejde-44	779	4	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-44	779	5	≤	≤	NUM
ejde-44	780	1	√	√	NUM
ejde-44	780	2	t	t	PROPN
ejde-44	780	3	2	2	NUM
ejde-44	780	4	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	781	1	[	[	X
ejde-44	781	2	;	;	PUNCT
ejde-44	781	3	h	h	X
ejde-44	781	4	)	)	PUNCT
ejde-44	782	1	+	+	CCONJ
ejde-44	782	2	t	t	X
ejde-44	782	3	2	2	NUM
ejde-44	782	4	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	782	5	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	782	6	[	[	X
ejde-44	782	7	;	;	PUNCT
ejde-44	782	8	h	h	NOUN
ejde-44	782	9	)	)	PUNCT
ejde-44	782	10	,	,	PUNCT
ejde-44	782	11	and	and	CCONJ
ejde-44	782	12	thus	thus	ADV
ejde-44	782	13	‖xα‖l∞(]0,t	‖xα‖l∞(]0,t	VERB
ejde-44	783	1	[	[	X
ejde-44	783	2	;	;	PUNCT
ejde-44	783	3	h	h	X
ejde-44	783	4	)	)	PUNCT
ejde-44	783	5	≤	≤	NUM
ejde-44	783	6	‖〈xα〉‖+	‖〈xα〉‖+	NUM
ejde-44	784	1	√	√	NOUN
ejde-44	784	2	t	t	PROPN
ejde-44	784	3	2	2	NUM
ejde-44	784	4	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	785	1	[	[	X
ejde-44	785	2	;	;	PUNCT
ejde-44	785	3	h	h	X
ejde-44	785	4	)	)	PUNCT
ejde-44	786	1	+	+	CCONJ
ejde-44	786	2	t	t	X
ejde-44	786	3	2	2	NUM
ejde-44	786	4	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	786	5	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	786	6	[	[	X
ejde-44	786	7	;	;	PUNCT
ejde-44	786	8	h	h	X
ejde-44	786	9	)	)	PUNCT
ejde-44	786	10	≤	≤	NOUN
ejde-44	787	1	‖x0‖+	‖x0‖+	PROPN
ejde-44	787	2	√	√	ADP
ejde-44	787	3	t	t	PROPN
ejde-44	787	4	2	2	NUM
ejde-44	787	5	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	787	6	[	[	X
ejde-44	787	7	;	;	PUNCT
ejde-44	787	8	h	h	X
ejde-44	787	9	)	)	PUNCT
ejde-44	788	1	+	+	CCONJ
ejde-44	788	2	t	t	X
ejde-44	788	3	2	2	NUM
ejde-44	788	4	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	788	5	′‖l1(]0,t	′‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	788	6	[	[	X
ejde-44	788	7	;	;	PUNCT
ejde-44	788	8	h	h	NUM
ejde-44	788	9	)	)	PUNCT
ejde-44	788	10	.	.	PUNCT
ejde-44	789	1	28	28	NUM
ejde-44	789	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	789	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	789	4	for	for	ADP
ejde-44	789	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	789	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	789	7	now	now	ADV
ejde-44	789	8	we	we	PRON
ejde-44	789	9	can	can	AUX
ejde-44	789	10	prove	prove	VERB
ejde-44	789	11	that	that	SCONJ
ejde-44	789	12	(	(	PUNCT
ejde-44	789	13	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	789	14	is	be	AUX
ejde-44	789	15	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	789	16	in	in	ADP
ejde-44	789	17	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	789	18	,	,	PUNCT
ejde-44	789	19	t	t	X
ejde-44	789	20	]	]	PUNCT
ejde-44	789	21	;	;	PUNCT
ejde-44	789	22	h	h	X
ejde-44	789	23	)	)	PUNCT
ejde-44	789	24	.	.	PUNCT
ejde-44	790	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	790	2	,	,	PUNCT
ejde-44	790	3	by	by	ADP
ejde-44	790	4	taking	take	VERB
ejde-44	790	5	the	the	DET
ejde-44	790	6	difference	difference	NOUN
ejde-44	790	7	between	between	ADP
ejde-44	790	8	the	the	DET
ejde-44	790	9	equations	equation	NOUN
ejde-44	790	10	(	(	PUNCT
ejde-44	790	11	39	39	NUM
ejde-44	790	12	)	)	PUNCT
ejde-44	790	13	written	write	VERB
ejde-44	790	14	for	for	ADP
ejde-44	790	15	α	α	NOUN
ejde-44	790	16	,	,	PUNCT
ejde-44	790	17	β	β	X
ejde-44	790	18	>	>	X
ejde-44	790	19	0	0	NUM
ejde-44	790	20	,	,	PUNCT
ejde-44	790	21	after	after	ADP
ejde-44	790	22	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	790	23	by	by	ADP
ejde-44	790	24	x′α(t)−	x′α(t)−	PROPN
ejde-44	790	25	x′β(t	x′β(t	PROPN
ejde-44	790	26	)	)	PUNCT
ejde-44	790	27	and	and	CCONJ
ejde-44	790	28	integration	integration	NOUN
ejde-44	790	29	on	on	ADP
ejde-44	790	30	[	[	X
ejde-44	790	31	0	0	NUM
ejde-44	790	32	,	,	PUNCT
ejde-44	790	33	t	t	X
ejde-44	790	34	]	]	PUNCT
ejde-44	790	35	we	we	PRON
ejde-44	790	36	get∫	get∫	PROPN
ejde-44	790	37	t	t	PROPN
ejde-44	790	38	0	0	NUM
ejde-44	790	39	{	{	PUNCT
ejde-44	790	40	α(xα(t)−	α(xα(t)−	PROPN
ejde-44	790	41	xβ(t	xβ(t	NUM
ejde-44	790	42	)	)	PUNCT
ejde-44	790	43	,	,	PUNCT
ejde-44	790	44	x′α(t)−	x′α(t)−	PROPN
ejde-44	790	45	x′β(t	x′β(t	NOUN
ejde-44	790	46	)	)	PUNCT
ejde-44	790	47	)	)	PUNCT
ejde-44	791	1	+	+	ADP
ejde-44	791	2	‖x′α(t)−	‖x′α(t)−	X
ejde-44	791	3	x′β(t)‖2	x′β(t)‖2	X
ejde-44	792	1	+	+	CCONJ
ejde-44	792	2	(	(	PUNCT
ejde-44	792	3	a(xα(t)−	a(xα(t)−	PROPN
ejde-44	792	4	xβ(t	xβ(t	NUM
ejde-44	792	5	)	)	PUNCT
ejde-44	792	6	)	)	PUNCT
ejde-44	793	1	,	,	PUNCT
ejde-44	793	2	x′α(t)−	x′α(t)−	PROPN
ejde-44	793	3	x′β(t))}dt	x′β(t))}dt	PROPN
ejde-44	793	4	=	=	PUNCT
ejde-44	793	5	−(α−	−(α−	PROPN
ejde-44	793	6	β	β	X
ejde-44	793	7	)	)	PUNCT
ejde-44	793	8	∫	∫	PROPN
ejde-44	793	9	t	t	PROPN
ejde-44	793	10	0	0	NUM
ejde-44	793	11	(	(	PUNCT
ejde-44	793	12	xβ(t	xβ(t	NUM
ejde-44	793	13	)	)	PUNCT
ejde-44	793	14	,	,	PUNCT
ejde-44	793	15	x′α(t)−	x′α(t)−	PROPN
ejde-44	793	16	x′β(t))dt	x′β(t))dt	PROPN
ejde-44	793	17	.	.	PUNCT
ejde-44	794	1	since	since	SCONJ
ejde-44	794	2	a	a	PRON
ejde-44	794	3	is	be	AUX
ejde-44	794	4	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	794	5	,	,	PUNCT
ejde-44	794	6	xα	xα	PUNCT
ejde-44	794	7	and	and	CCONJ
ejde-44	794	8	xβ	xβ	PROPN
ejde-44	794	9	are	be	AUX
ejde-44	794	10	t	t	NOUN
ejde-44	794	11	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	794	12	and	and	CCONJ
ejde-44	794	13	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	794	14	bounded	bound	VERB
ejde-44	794	15	in	in	ADP
ejde-44	794	16	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	794	17	,	,	PUNCT
ejde-44	794	18	t	t	X
ejde-44	795	1	[	[	X
ejde-44	795	2	;	;	PUNCT
ejde-44	795	3	h	h	X
ejde-44	795	4	)	)	PUNCT
ejde-44	795	5	we	we	PRON
ejde-44	795	6	deduce	deduce	VERB
ejde-44	795	7	that	that	DET
ejde-44	795	8	‖x′α	‖x′α	NOUN
ejde-44	796	1	−	−	PROPN
ejde-44	796	2	x′β‖l2(]0,t	x′β‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	797	1	[	[	X
ejde-44	797	2	;	;	PUNCT
ejde-44	797	3	h	h	X
ejde-44	797	4	)	)	PUNCT
ejde-44	797	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	797	6	|α−	|α−	NOUN
ejde-44	797	7	β|	β|	NOUN
ejde-44	797	8	·	·	PUNCT
ejde-44	797	9	sup	sup	NOUN
ejde-44	797	10	γ>0	γ>0	ADJ
ejde-44	797	11	‖xγ‖l2(]0,t	‖xγ‖l2(]0,t	PUNCT
ejde-44	798	1	[	[	X
ejde-44	798	2	;	;	PUNCT
ejde-44	798	3	h	h	NOUN
ejde-44	798	4	)	)	PUNCT
ejde-44	798	5	,	,	PUNCT
ejde-44	798	6	or	or	CCONJ
ejde-44	798	7	‖x′α−x′β‖l∞(]0,t	‖x′α−x′β‖l∞(]0,t	ADJ
ejde-44	798	8	[	[	X
ejde-44	798	9	;	;	PUNCT
ejde-44	798	10	h	h	X
ejde-44	798	11	)	)	PUNCT
ejde-44	798	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	799	1	|α−	|α−	NOUN
ejde-44	799	2	β|√	β|√	NUM
ejde-44	800	1	t	t	X
ejde-44	800	2	·	·	PUNCT
ejde-44	800	3	sup	sup	NOUN
ejde-44	800	4	γ>0	γ>0	ADJ
ejde-44	800	5	‖xγ‖l2(]0,t	‖xγ‖l2(]0,t	PUNCT
ejde-44	801	1	[	[	X
ejde-44	801	2	;	;	PUNCT
ejde-44	801	3	h	h	X
ejde-44	801	4	)	)	PUNCT
ejde-44	801	5	+	+	CCONJ
ejde-44	801	6	|α−β|	|α−β|	PUNCT
ejde-44	801	7	·	·	PUNCT
ejde-44	801	8	sup	sup	PROPN
ejde-44	801	9	γ>0	γ>0	VERB
ejde-44	801	10	‖x′γ‖l1(]0,t	‖x′γ‖l1(]0,t	PROPN
ejde-44	801	11	[	[	X
ejde-44	801	12	;	;	PUNCT
ejde-44	801	13	h	h	NOUN
ejde-44	801	14	)	)	PUNCT
ejde-44	801	15	,	,	PUNCT
ejde-44	801	16	and	and	CCONJ
ejde-44	801	17	therefore	therefore	ADV
ejde-44	801	18	(	(	PUNCT
ejde-44	801	19	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	801	20	converges	converge	NOUN
ejde-44	801	21	in	in	ADP
ejde-44	801	22	c([0	c([0	NOUN
ejde-44	801	23	,	,	PUNCT
ejde-44	801	24	t	t	X
ejde-44	801	25	]	]	PUNCT
ejde-44	801	26	;	;	PUNCT
ejde-44	801	27	h	h	X
ejde-44	801	28	)	)	PUNCT
ejde-44	801	29	.	.	PUNCT
ejde-44	802	1	we	we	PRON
ejde-44	802	2	already	already	ADV
ejde-44	802	3	know	know	VERB
ejde-44	802	4	that	that	SCONJ
ejde-44	802	5	(	(	PUNCT
ejde-44	802	6	〈	〈	PROPN
ejde-44	802	7	xα〉)α>0	xα〉)α>0	NOUN
ejde-44	802	8	=	=	SYM
ejde-44	802	9	(	(	PUNCT
ejde-44	802	10	(	(	PUNCT
ejde-44	802	11	α+a)−1〈f〉)α>0	α+a)−1〈f〉)α>0	NOUN
ejde-44	802	12	is	be	AUX
ejde-44	802	13	bounded	bound	VERB
ejde-44	802	14	in	in	ADP
ejde-44	802	15	h	h	NOUN
ejde-44	802	16	and	and	CCONJ
ejde-44	802	17	by	by	ADP
ejde-44	802	18	the	the	DET
ejde-44	802	19	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	802	20	3.6	3.6	NUM
ejde-44	802	21	it	it	PRON
ejde-44	802	22	follows	follow	VERB
ejde-44	802	23	that	that	SCONJ
ejde-44	802	24	(	(	PUNCT
ejde-44	802	25	〈	〈	NOUN
ejde-44	802	26	xα〉)α>0	xα〉)α>0	PROPN
ejde-44	802	27	is	be	AUX
ejde-44	802	28	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	802	29	to	to	ADP
ejde-44	802	30	the	the	DET
ejde-44	802	31	element	element	NOUN
ejde-44	802	32	of	of	ADP
ejde-44	802	33	minimal	minimal	ADJ
ejde-44	802	34	norm	norm	NOUN
ejde-44	802	35	in	in	ADP
ejde-44	802	36	a−1〈f	a−1〈f	PROPN
ejde-44	802	37	〉	〉	NUM
ejde-44	802	38	.	.	PUNCT
ejde-44	803	1	we	we	PRON
ejde-44	803	2	have	have	VERB
ejde-44	803	3	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	803	4	)	)	PUNCT
ejde-44	803	5	=	=	SYM
ejde-44	803	6	xα(0	xα(0	X
ejde-44	803	7	)	)	PUNCT
ejde-44	804	1	+	+	CCONJ
ejde-44	804	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	804	3	t	t	PROPN
ejde-44	804	4	0	0	NUM
ejde-44	804	5	x′α(s)ds	x′α(s)ds	NUM
ejde-44	804	6	,	,	PUNCT
ejde-44	804	7	t	t	PROPN
ejde-44	804	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	804	9	r	r	PROPN
ejde-44	804	10	,	,	PUNCT
ejde-44	804	11	α	α	NOUN
ejde-44	804	12	>	>	X
ejde-44	804	13	0	0	NUM
ejde-44	804	14	.	.	PUNCT
ejde-44	804	15	by	by	ADP
ejde-44	804	16	taking	take	VERB
ejde-44	804	17	the	the	DET
ejde-44	804	18	average	average	NOUN
ejde-44	804	19	we	we	PRON
ejde-44	804	20	deduce	deduce	VERB
ejde-44	804	21	that	that	SCONJ
ejde-44	804	22	xα(0	xα(0	NOUN
ejde-44	804	23	)	)	PUNCT
ejde-44	804	24	=	=	PUNCT
ejde-44	805	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	805	2	xα〉−	xα〉−	PROPN
ejde-44	805	3	<	<	X
ejde-44	805	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	805	5	t	t	PROPN
ejde-44	805	6	0	0	NUM
ejde-44	805	7	x′α(s)ds	x′α(s)ds	PUNCT
ejde-44	805	8	>	>	PUNCT
ejde-44	805	9	and	and	CCONJ
ejde-44	805	10	therefore	therefore	ADV
ejde-44	805	11	,	,	PUNCT
ejde-44	805	12	since	since	SCONJ
ejde-44	805	13	(	(	PUNCT
ejde-44	805	14	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	805	15	is	be	AUX
ejde-44	805	16	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	805	17	convergent	convergent	NOUN
ejde-44	805	18	,	,	PUNCT
ejde-44	805	19	it	it	PRON
ejde-44	805	20	follows	follow	VERB
ejde-44	805	21	that	that	SCONJ
ejde-44	805	22	(	(	PUNCT
ejde-44	805	23	xα(0))α>0	xα(0))α>0	PROPN
ejde-44	805	24	is	be	AUX
ejde-44	805	25	also	also	ADV
ejde-44	805	26	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	805	27	.	.	PUNCT
ejde-44	806	1	finally	finally	ADV
ejde-44	806	2	we	we	PRON
ejde-44	806	3	conclude	conclude	VERB
ejde-44	806	4	that	that	PRON
ejde-44	806	5	(	(	PUNCT
ejde-44	806	6	xα)α>0	xα)α>0	PROPN
ejde-44	806	7	is	be	AUX
ejde-44	806	8	convergent	convergent	ADJ
ejde-44	806	9	in	in	ADP
ejde-44	806	10	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	806	11	,	,	PUNCT
ejde-44	806	12	t	t	X
ejde-44	806	13	]	]	PUNCT
ejde-44	806	14	;	;	PUNCT
ejde-44	806	15	h	h	X
ejde-44	806	16	)	)	PUNCT
ejde-44	806	17	to	to	ADP
ejde-44	806	18	the	the	DET
ejde-44	806	19	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	806	20	solution	solution	NOUN
ejde-44	806	21	x	x	PUNCT
ejde-44	806	22	for	for	ADP
ejde-44	806	23	(	(	PUNCT
ejde-44	806	24	33	33	NUM
ejde-44	806	25	)	)	PUNCT
ejde-44	806	26	such	such	ADJ
ejde-44	806	27	that	that	SCONJ
ejde-44	806	28	<	<	X
ejde-44	806	29	x	x	X
ejde-44	806	30	>	>	X
ejde-44	806	31	is	be	AUX
ejde-44	806	32	the	the	DET
ejde-44	806	33	element	element	NOUN
ejde-44	806	34	of	of	ADP
ejde-44	806	35	minimal	minimal	ADJ
ejde-44	806	36	norm	norm	NOUN
ejde-44	806	37	in	in	ADP
ejde-44	806	38	a−1〈f	a−1〈f	PROPN
ejde-44	806	39	〉	〉	PROPN
ejde-44	806	40	.	.	PUNCT
ejde-44	807	1	before	before	ADP
ejde-44	807	2	analyzing	analyze	VERB
ejde-44	807	3	the	the	DET
ejde-44	807	4	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	807	5	solution	solution	NOUN
ejde-44	807	6	for	for	ADP
ejde-44	807	7	the	the	DET
ejde-44	807	8	heat	heat	NOUN
ejde-44	807	9	equation	equation	NOUN
ejde-44	807	10	,	,	PUNCT
ejde-44	807	11	following	follow	VERB
ejde-44	807	12	an	an	DET
ejde-44	807	13	idea	idea	NOUN
ejde-44	807	14	of	of	ADP
ejde-44	807	15	[	[	X
ejde-44	807	16	7	7	NUM
ejde-44	807	17	]	]	PUNCT
ejde-44	807	18	,	,	PUNCT
ejde-44	807	19	let	let	VERB
ejde-44	807	20	us	we	PRON
ejde-44	807	21	state	state	VERB
ejde-44	807	22	the	the	DET
ejde-44	807	23	following	follow	VERB
ejde-44	807	24	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	807	25	.	.	PUNCT
ejde-44	808	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	808	2	3.9	3.9	NUM
ejde-44	808	3	assume	assume	VERB
ejde-44	808	4	that	that	SCONJ
ejde-44	808	5	a	a	DET
ejde-44	808	6	:	:	PUNCT
ejde-44	808	7	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	808	8	)	)	PUNCT
ejde-44	809	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	809	2	h	h	PROPN
ejde-44	809	3	→	→	PUNCT
ejde-44	809	4	h	h	NOUN
ejde-44	809	5	is	be	AUX
ejde-44	809	6	a	a	DET
ejde-44	809	7	linear	linear	ADJ
ejde-44	809	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	809	9	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	809	10	and	and	CCONJ
ejde-44	809	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	809	12	operator	operator	NOUN
ejde-44	809	13	and	and	CCONJ
ejde-44	809	14	f	f	PROPN
ejde-44	809	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	809	16	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-44	809	17	,	,	PUNCT
ejde-44	809	18	t	t	X
ejde-44	809	19	]	]	PUNCT
ejde-44	809	20	;	;	PUNCT
ejde-44	809	21	h	h	X
ejde-44	809	22	)	)	PUNCT
ejde-44	809	23	is	be	AUX
ejde-44	809	24	a	a	DET
ejde-44	809	25	t	t	NOUN
ejde-44	809	26	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	809	27	function	function	NOUN
ejde-44	809	28	.	.	PUNCT
ejde-44	810	1	then	then	ADV
ejde-44	810	2	for	for	ADP
ejde-44	810	3	every	every	DET
ejde-44	810	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	810	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	810	6	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	810	7	)	)	PUNCT
ejde-44	810	8	we	we	PRON
ejde-44	810	9	have	have	VERB
ejde-44	810	10	lim	lim	PROPN
ejde-44	810	11	t→∞	t→∞	ADP
ejde-44	810	12	1	1	NUM
ejde-44	810	13	t	t	NOUN
ejde-44	810	14	(	(	PUNCT
ejde-44	810	15	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	810	16	t	t	PROPN
ejde-44	810	17	;	;	PUNCT
ejde-44	810	18	0	0	NUM
ejde-44	810	19	,	,	PUNCT
ejde-44	810	20	x0)−	x0)−	X
ejde-44	810	21	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	810	22	;	;	PUNCT
ejde-44	810	23	0	0	NUM
ejde-44	810	24	,	,	PUNCT
ejde-44	810	25	x0	x0	PROPN
ejde-44	810	26	)	)	PUNCT
ejde-44	810	27	)	)	PUNCT
ejde-44	811	1	=	=	PUNCT
ejde-44	812	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	812	2	f	f	PROPN
ejde-44	812	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	812	4	−	−	PROPN
ejde-44	812	5	proj	proj	NOUN
ejde-44	812	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	812	7	)	)	PUNCT
ejde-44	813	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	813	2	f	f	PROPN
ejde-44	813	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	813	4	,	,	PUNCT
ejde-44	813	5	(	(	PUNCT
ejde-44	813	6	46	46	NUM
ejde-44	813	7	)	)	PUNCT
ejde-44	813	8	where	where	SCONJ
ejde-44	813	9	x	x	X
ejde-44	813	10	(	(	PUNCT
ejde-44	813	11	·	·	PUNCT
ejde-44	813	12	;	;	PUNCT
ejde-44	813	13	0	0	NUM
ejde-44	813	14	,	,	PUNCT
ejde-44	813	15	x0	x0	PROPN
ejde-44	813	16	)	)	PUNCT
ejde-44	813	17	represents	represent	VERB
ejde-44	813	18	the	the	DET
ejde-44	813	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	813	20	of	of	ADP
ejde-44	813	21	(	(	PUNCT
ejde-44	813	22	33	33	NUM
ejde-44	813	23	)	)	PUNCT
ejde-44	813	24	with	with	ADP
ejde-44	813	25	the	the	DET
ejde-44	813	26	initial	initial	ADJ
ejde-44	813	27	data	datum	NOUN
ejde-44	813	28	x0	x0	PROPN
ejde-44	813	29	and	and	CCONJ
ejde-44	813	30	r(a	r(a	PROPN
ejde-44	813	31	)	)	PUNCT
ejde-44	813	32	is	be	AUX
ejde-44	813	33	the	the	DET
ejde-44	813	34	range	range	NOUN
ejde-44	813	35	of	of	ADP
ejde-44	813	36	a.	a.	NOUN
ejde-44	813	37	remark	remark	NOUN
ejde-44	813	38	3.10	3.10	NUM
ejde-44	813	39	a	a	DET
ejde-44	813	40	being	be	AUX
ejde-44	813	41	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	813	42	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	813	43	,	,	PUNCT
ejde-44	813	44	a−1	a−1	PROPN
ejde-44	813	45	is	be	AUX
ejde-44	813	46	also	also	ADV
ejde-44	813	47	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	813	48	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	813	49	and	and	CCONJ
ejde-44	813	50	therefore	therefore	ADV
ejde-44	813	51	d(a−1	d(a−1	PROPN
ejde-44	813	52	)	)	PUNCT
ejde-44	813	53	=	=	SYM
ejde-44	814	1	r(a	r(a	X
ejde-44	814	2	)	)	PUNCT
ejde-44	814	3	is	be	AUX
ejde-44	814	4	convex	convex	PROPN
ejde-44	814	5	.	.	PUNCT
ejde-44	815	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	815	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	815	3	29	29	NUM
ejde-44	815	4	proof	proof	NOUN
ejde-44	815	5	of	of	ADP
ejde-44	815	6	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	815	7	3.9	3.9	NUM
ejde-44	815	8	.	.	PUNCT
ejde-44	816	1	consider	consider	VERB
ejde-44	816	2	x0	x0	PROPN
ejde-44	816	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	816	4	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	816	5	)	)	PUNCT
ejde-44	816	6	and	and	CCONJ
ejde-44	816	7	denote	denote	VERB
ejde-44	816	8	by	by	ADP
ejde-44	816	9	x	x	X
ejde-44	816	10	(	(	PUNCT
ejde-44	816	11	·	·	PUNCT
ejde-44	816	12	)	)	PUNCT
ejde-44	816	13	the	the	DET
ejde-44	816	14	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-44	816	15	solution	solution	NOUN
ejde-44	816	16	.	.	PUNCT
ejde-44	817	1	by	by	ADP
ejde-44	817	2	integration	integration	NOUN
ejde-44	817	3	on	on	ADP
ejde-44	817	4	[	[	X
ejde-44	817	5	t	t	PROPN
ejde-44	817	6	,	,	PUNCT
ejde-44	817	7	t+	t+	NOUN
ejde-44	817	8	t	t	NOUN
ejde-44	817	9	]	]	PUNCT
ejde-44	817	10	we	we	PRON
ejde-44	817	11	get	get	VERB
ejde-44	817	12	1	1	NUM
ejde-44	817	13	t	t	NOUN
ejde-44	817	14	(	(	PUNCT
ejde-44	817	15	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	817	16	t	t	PROPN
ejde-44	817	17	)	)	PUNCT
ejde-44	817	18	−	−	PROPN
ejde-44	817	19	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	817	20	)	)	PUNCT
ejde-44	817	21	)	)	PUNCT
ejde-44	818	1	+	+	ADP
ejde-44	818	2	a	a	DET
ejde-44	818	3	(	(	PUNCT
ejde-44	818	4	1	1	NUM
ejde-44	818	5	t	t	NOUN
ejde-44	818	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	818	7	t+t	t+t	PROPN
ejde-44	818	8	t	t	PROPN
ejde-44	818	9	x(s)ds	x(s)ds	PROPN
ejde-44	818	10	)	)	PUNCT
ejde-44	819	1	=	=	PUNCT
ejde-44	819	2	〈	〈	PROPN
ejde-44	819	3	f	f	PROPN
ejde-44	819	4	〉	〉	PROPN
ejde-44	819	5	.	.	PUNCT
ejde-44	820	1	(	(	PUNCT
ejde-44	820	2	47	47	NUM
ejde-44	820	3	)	)	PUNCT
ejde-44	820	4	for	for	ADP
ejde-44	820	5	each	each	DET
ejde-44	820	6	α	α	PROPN
ejde-44	820	7	>	>	X
ejde-44	820	8	0	0	PUNCT
ejde-44	820	9	consider	consider	VERB
ejde-44	820	10	xα	xα	ADP
ejde-44	820	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	820	12	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	820	13	)	)	PUNCT
ejde-44	820	14	such	such	ADJ
ejde-44	820	15	that	that	DET
ejde-44	820	16	αxα	αxα	NOUN
ejde-44	820	17	+	+	CCONJ
ejde-44	820	18	axα	axα	NOUN
ejde-44	820	19	=	=	SYM
ejde-44	820	20	〈	〈	PROPN
ejde-44	820	21	f	f	PROPN
ejde-44	820	22	〉	〉	PROPN
ejde-44	820	23	.	.	PUNCT
ejde-44	821	1	denoting	denote	VERB
ejde-44	821	2	by	by	ADP
ejde-44	821	3	y	y	PROPN
ejde-44	821	4	(	(	PUNCT
ejde-44	821	5	·	·	PUNCT
ejde-44	821	6	)	)	PUNCT
ejde-44	821	7	the	the	DET
ejde-44	821	8	function	function	NOUN
ejde-44	821	9	y(t	y(t	NUM
ejde-44	821	10	)	)	PUNCT
ejde-44	822	1	=	=	SYM
ejde-44	822	2	1	1	NUM
ejde-44	822	3	t	t	NOUN
ejde-44	822	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	822	5	t+t	t+t	PROPN
ejde-44	822	6	t	t	PROPN
ejde-44	822	7	x(s)ds	x(s)ds	PROPN
ejde-44	822	8	,	,	PUNCT
ejde-44	822	9	t	t	PROPN
ejde-44	822	10	≥	≥	NUM
ejde-44	822	11	0	0	NUM
ejde-44	822	12	,	,	PUNCT
ejde-44	822	13	equation	equation	NOUN
ejde-44	822	14	(	(	PUNCT
ejde-44	822	15	47	47	NUM
ejde-44	822	16	)	)	PUNCT
ejde-44	822	17	writes	write	VERB
ejde-44	822	18	y′(t	y′(t	PROPN
ejde-44	822	19	)	)	PUNCT
ejde-44	823	1	+	+	NOUN
ejde-44	823	2	ay(t	ay(t	X
ejde-44	823	3	)	)	PUNCT
ejde-44	824	1	=	=	SYM
ejde-44	824	2	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	825	1	+	+	NOUN
ejde-44	825	2	axα	axα	PROPN
ejde-44	825	3	,	,	PUNCT
ejde-44	825	4	t	t	PROPN
ejde-44	825	5	≥	≥	NUM
ejde-44	825	6	0	0	NUM
ejde-44	825	7	,	,	PUNCT
ejde-44	825	8	α	α	X
ejde-44	825	9	>	>	X
ejde-44	825	10	0	0	X
ejde-44	825	11	.	.	PUNCT
ejde-44	826	1	let	let	VERB
ejde-44	826	2	us	we	PRON
ejde-44	826	3	search	search	VERB
ejde-44	826	4	for	for	ADP
ejde-44	826	5	y	y	PROPN
ejde-44	826	6	of	of	ADP
ejde-44	826	7	the	the	DET
ejde-44	826	8	form	form	NOUN
ejde-44	826	9	y1	y1	NOUN
ejde-44	826	10	+	+	CCONJ
ejde-44	826	11	y2	y2	PROPN
ejde-44	826	12	where	where	SCONJ
ejde-44	826	13	y′1(t	y′1(t	X
ejde-44	826	14	)	)	PUNCT
ejde-44	827	1	+	+	ADJ
ejde-44	827	2	ay1(t	ay1(t	X
ejde-44	827	3	)	)	PUNCT
ejde-44	827	4	=	=	SYM
ejde-44	827	5	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	827	6	,	,	PUNCT
ejde-44	827	7	t	t	PROPN
ejde-44	827	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	827	9	0	0	NUM
ejde-44	827	10	,	,	PUNCT
ejde-44	827	11	with	with	ADP
ejde-44	827	12	the	the	DET
ejde-44	827	13	initial	initial	ADJ
ejde-44	827	14	condition	condition	NOUN
ejde-44	827	15	y1(0	y1(0	PROPN
ejde-44	827	16	)	)	PUNCT
ejde-44	828	1	=	=	SYM
ejde-44	828	2	0	0	NUM
ejde-44	828	3	and	and	CCONJ
ejde-44	828	4	y′2(t	y′2(t	PROPN
ejde-44	828	5	)	)	PUNCT
ejde-44	829	1	+	+	ADJ
ejde-44	829	2	ay2(t	ay2(t	NOUN
ejde-44	829	3	)	)	PUNCT
ejde-44	829	4	=	=	SYM
ejde-44	829	5	axα	axα	PROPN
ejde-44	829	6	,	,	PUNCT
ejde-44	829	7	t	t	PROPN
ejde-44	829	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	829	9	0	0	NUM
ejde-44	829	10	,	,	PUNCT
ejde-44	829	11	(	(	PUNCT
ejde-44	829	12	48	48	NUM
ejde-44	829	13	)	)	PUNCT
ejde-44	829	14	with	with	ADP
ejde-44	829	15	the	the	DET
ejde-44	829	16	initial	initial	ADJ
ejde-44	829	17	condition	condition	NOUN
ejde-44	829	18	y2(0	y2(0	PROPN
ejde-44	829	19	)	)	PUNCT
ejde-44	829	20	=	=	SYM
ejde-44	829	21	y(0	y(0	PROPN
ejde-44	829	22	)	)	PUNCT
ejde-44	829	23	=	=	SYM
ejde-44	830	1	1	1	NUM
ejde-44	830	2	t	t	NOUN
ejde-44	830	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	830	4	t	t	PROPN
ejde-44	830	5	0	0	NUM
ejde-44	830	6	x(t)dt	x(t)dt	PROPN
ejde-44	830	7	.	.	PUNCT
ejde-44	831	1	we	we	PRON
ejde-44	831	2	are	be	AUX
ejde-44	831	3	interested	interested	ADJ
ejde-44	831	4	on	on	ADP
ejde-44	831	5	the	the	DET
ejde-44	831	6	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-44	831	7	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-44	831	8	of	of	ADP
ejde-44	831	9	ay(t	ay(t	PUNCT
ejde-44	831	10	)	)	PUNCT
ejde-44	832	1	=	=	SYM
ejde-44	832	2	ay1(t	ay1(t	X
ejde-44	832	3	)	)	PUNCT
ejde-44	833	1	+	+	NOUN
ejde-44	833	2	ay2(t	ay2(t	NOUN
ejde-44	833	3	)	)	PUNCT
ejde-44	833	4	for	for	ADP
ejde-44	833	5	large	large	ADJ
ejde-44	833	6	t.	t.	NOUN
ejde-44	833	7	we	we	PRON
ejde-44	833	8	have	have	AUX
ejde-44	833	9	y1(t	y1(t	NOUN
ejde-44	833	10	)	)	PUNCT
ejde-44	833	11	=	=	PUNCT
ejde-44	833	12	e−tay1(0	e−tay1(0	X
ejde-44	833	13	)	)	PUNCT
ejde-44	834	1	+	+	CCONJ
ejde-44	834	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	834	3	t	t	NOUN
ejde-44	834	4	0	0	NUM
ejde-44	834	5	e−(t−s)aαxαds	e−(t−s)aαxαds	NOUN
ejde-44	834	6	=	=	SYM
ejde-44	834	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	834	8	t	t	NOUN
ejde-44	834	9	0	0	NUM
ejde-44	834	10	e−(t−s)aαxαds	e−(t−s)aαxαd	NOUN
ejde-44	834	11	,	,	PUNCT
ejde-44	834	12	and	and	CCONJ
ejde-44	834	13	therefore	therefore	ADV
ejde-44	834	14	,	,	PUNCT
ejde-44	834	15	ay1(t	ay1(t	PROPN
ejde-44	834	16	)	)	PUNCT
ejde-44	835	1	=	=	SYM
ejde-44	836	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	837	1	t	t	NOUN
ejde-44	837	2	0	0	NUM
ejde-44	837	3	ae−(t−s)aαxαds	ae−(t−s)aαxαds	PROPN
ejde-44	837	4	=	=	SYM
ejde-44	837	5	e−(t−s)aαxα	e−(t−s)aαxα	NUM
ejde-44	837	6	∣∣∣t	∣∣∣t	NOUN
ejde-44	837	7	0	0	NUM
ejde-44	838	1	=	=	SYM
ejde-44	838	2	(	(	PUNCT
ejde-44	838	3	1−	1−	NUM
ejde-44	838	4	e−ta)αxα	e−ta)αxα	NUM
ejde-44	838	5	.	.	PUNCT
ejde-44	839	1	by	by	ADP
ejde-44	839	2	the	the	DET
ejde-44	839	3	other	other	ADJ
ejde-44	839	4	hand	hand	NOUN
ejde-44	839	5	,	,	PUNCT
ejde-44	839	6	after	after	ADP
ejde-44	839	7	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	839	8	of	of	ADP
ejde-44	839	9	(	(	PUNCT
ejde-44	839	10	48	48	NUM
ejde-44	839	11	)	)	PUNCT
ejde-44	839	12	by	by	ADP
ejde-44	839	13	y′2(t	y′2(t	PROPN
ejde-44	839	14	)	)	PUNCT
ejde-44	839	15	=	=	SYM
ejde-44	840	1	(	(	PUNCT
ejde-44	840	2	y2(t)−	y2(t)−	PROPN
ejde-44	840	3	xα)′	xα)′	PROPN
ejde-44	840	4	we	we	PRON
ejde-44	840	5	get	get	VERB
ejde-44	840	6	‖y′2(t)‖2	‖y′2(t)‖2	VERB
ejde-44	840	7	+	+	CCONJ
ejde-44	840	8	(	(	PUNCT
ejde-44	840	9	a(y2(t)−	a(y2(t)−	PROPN
ejde-44	840	10	xα	xα	PROPN
ejde-44	840	11	)	)	PUNCT
ejde-44	840	12	,	,	PUNCT
ejde-44	840	13	(	(	PUNCT
ejde-44	840	14	y2(t)−	y2(t)−	PROPN
ejde-44	840	15	xα)′	xα)′	PROPN
ejde-44	840	16	)	)	PUNCT
ejde-44	840	17	=	=	SYM
ejde-44	841	1	0	0	NUM
ejde-44	841	2	,	,	PUNCT
ejde-44	841	3	t	t	PROPN
ejde-44	841	4	≥	≥	NUM
ejde-44	841	5	0	0	NUM
ejde-44	841	6	.	.	PUNCT
ejde-44	842	1	since	since	SCONJ
ejde-44	842	2	a	a	PRON
ejde-44	842	3	is	be	AUX
ejde-44	842	4	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	842	5	,	,	PUNCT
ejde-44	842	6	after	after	ADP
ejde-44	842	7	integration	integration	NOUN
ejde-44	842	8	on	on	ADP
ejde-44	842	9	[	[	X
ejde-44	842	10	0	0	NUM
ejde-44	842	11	,	,	PUNCT
ejde-44	842	12	t	t	PROPN
ejde-44	842	13	]	]	X
ejde-44	842	14	we	we	PRON
ejde-44	842	15	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-44	842	16	t	t	NOUN
ejde-44	842	17	0	0	NUM
ejde-44	843	1	‖y′2(s)‖2ds+	‖y′2(s)‖2ds+	PROPN
ejde-44	843	2	1	1	NUM
ejde-44	843	3	2	2	NUM
ejde-44	843	4	(	(	PUNCT
ejde-44	843	5	a(y2(t)−	a(y2(t)−	PROPN
ejde-44	843	6	xα	xα	PROPN
ejde-44	843	7	)	)	PUNCT
ejde-44	843	8	,	,	PUNCT
ejde-44	843	9	y2(t)−	y2(t)−	PROPN
ejde-44	843	10	xα	xα	PROPN
ejde-44	843	11	)	)	PUNCT
ejde-44	843	12	=	=	SYM
ejde-44	843	13	1	1	NUM
ejde-44	843	14	2	2	NUM
ejde-44	843	15	(	(	PUNCT
ejde-44	843	16	a(y2(0)−	a(y2(0)−	PROPN
ejde-44	843	17	xα	xα	PROPN
ejde-44	843	18	)	)	PUNCT
ejde-44	843	19	,	,	PUNCT
ejde-44	843	20	y2(0)−	y2(0)−	PROPN
ejde-44	843	21	xα	xα	ADJ
ejde-44	843	22	)	)	PUNCT
ejde-44	843	23	,	,	PUNCT
ejde-44	843	24	and	and	CCONJ
ejde-44	843	25	therefore	therefore	ADV
ejde-44	843	26	,	,	PUNCT
ejde-44	843	27	by	by	ADP
ejde-44	843	28	the	the	DET
ejde-44	843	29	monotony	monotony	NOUN
ejde-44	843	30	of	of	ADP
ejde-44	843	31	a	a	PRON
ejde-44	843	32	it	it	PRON
ejde-44	843	33	follows	follow	VERB
ejde-44	843	34	that∫	that∫	NOUN
ejde-44	843	35	∞	∞	PROPN
ejde-44	843	36	0	0	PUNCT
ejde-44	844	1	‖y′2(t)‖2dt	‖y′2(t)‖2dt	NUM
ejde-44	844	2	≤	≤	NUM
ejde-44	844	3	1	1	NUM
ejde-44	844	4	2	2	NUM
ejde-44	844	5	(	(	PUNCT
ejde-44	844	6	a(y2(0)−	a(y2(0)−	PROPN
ejde-44	844	7	xα	xα	PROPN
ejde-44	844	8	)	)	PUNCT
ejde-44	844	9	,	,	PUNCT
ejde-44	844	10	y2(0)−	y2(0)−	PROPN
ejde-44	844	11	xα	xα	PROPN
ejde-44	844	12	)	)	PUNCT
ejde-44	844	13	.	.	PUNCT
ejde-44	845	1	30	30	NUM
ejde-44	845	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	845	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	845	4	for	for	ADP
ejde-44	845	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	845	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	845	7	thus	thus	ADV
ejde-44	845	8	limt→∞	limt→∞	ADP
ejde-44	845	9	y′2(t	y′2(t	NOUN
ejde-44	845	10	)	)	PUNCT
ejde-44	845	11	=	=	SYM
ejde-44	845	12	0	0	NUM
ejde-44	845	13	and	and	CCONJ
ejde-44	845	14	by	by	ADP
ejde-44	845	15	passing	pass	VERB
ejde-44	845	16	to	to	ADP
ejde-44	845	17	the	the	DET
ejde-44	845	18	limit	limit	NOUN
ejde-44	845	19	in	in	ADP
ejde-44	845	20	(	(	PUNCT
ejde-44	845	21	48	48	NUM
ejde-44	845	22	)	)	PUNCT
ejde-44	845	23	we	we	PRON
ejde-44	845	24	deduce	deduce	VERB
ejde-44	845	25	that	that	SCONJ
ejde-44	845	26	limt→∞ay2(t	limt→∞ay2(t	PROPN
ejde-44	845	27	)	)	PUNCT
ejde-44	846	1	=	=	SYM
ejde-44	846	2	limt→∞(axα	limt→∞(axα	VERB
ejde-44	846	3	−	−	PROPN
ejde-44	846	4	y′2(t	y′2(t	NOUN
ejde-44	846	5	)	)	PUNCT
ejde-44	846	6	)	)	PUNCT
ejde-44	847	1	=	=	SYM
ejde-44	847	2	axα	axα	NOUN
ejde-44	847	3	.	.	PUNCT
ejde-44	848	1	finally	finally	ADV
ejde-44	848	2	we	we	PRON
ejde-44	848	3	find	find	VERB
ejde-44	848	4	that	that	SCONJ
ejde-44	848	5	lim	lim	PROPN
ejde-44	848	6	t→∞	t→∞	X
ejde-44	848	7	{	{	PUNCT
ejde-44	848	8	1	1	NUM
ejde-44	848	9	t	t	NOUN
ejde-44	848	10	(	(	PUNCT
ejde-44	848	11	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	848	12	t	t	PROPN
ejde-44	848	13	)	)	PUNCT
ejde-44	848	14	−	−	PROPN
ejde-44	849	1	x(t))−	x(t))−	NOUN
ejde-44	849	2	e−taαxα	e−taαxα	X
ejde-44	849	3	}	}	PUNCT
ejde-44	849	4	=	=	SYM
ejde-44	849	5	lim	lim	PROPN
ejde-44	849	6	t→∞	t→∞	PRON
ejde-44	849	7	{	{	PUNCT
ejde-44	849	8	y′(t)−	y′(t)−	PROPN
ejde-44	849	9	e−taαxα	e−taαxα	PROPN
ejde-44	849	10	}	}	PUNCT
ejde-44	849	11	=	=	SYM
ejde-44	849	12	lim	lim	PROPN
ejde-44	849	13	t→∞	t→∞	X
ejde-44	849	14	{	{	PUNCT
ejde-44	849	15	〈	〈	PROPN
ejde-44	849	16	f	f	PROPN
ejde-44	849	17	〉	〉	PROPN
ejde-44	849	18	−ay(t)−	−ay(t)−	PROPN
ejde-44	849	19	e−taαxα	e−taαxα	NOUN
ejde-44	849	20	}	}	PUNCT
ejde-44	849	21	=	=	SYM
ejde-44	849	22	lim	lim	PROPN
ejde-44	849	23	t→∞	t→∞	X
ejde-44	849	24	{	{	PUNCT
ejde-44	849	25	〈	〈	PROPN
ejde-44	849	26	f	f	X
ejde-44	849	27	〉	〉	PROPN
ejde-44	849	28	−ay1(t)−ay2(t)−	−ay1(t)−ay2(t)−	X
ejde-44	849	29	e−taαxα	e−taαxα	NOUN
ejde-44	849	30	}	}	PUNCT
ejde-44	849	31	=	=	SYM
ejde-44	849	32	〈	〈	PROPN
ejde-44	849	33	f	f	PROPN
ejde-44	849	34	〉	〉	PROPN
ejde-44	849	35	−	−	PROPN
ejde-44	849	36	αxα	αxα	NOUN
ejde-44	849	37	−axα	−axα	X
ejde-44	850	1	=	=	SYM
ejde-44	850	2	0	0	PROPN
ejde-44	850	3	,	,	PUNCT
ejde-44	850	4	α	α	NOUN
ejde-44	850	5	>	>	X
ejde-44	850	6	0	0	NUM
ejde-44	850	7	.	.	PUNCT
ejde-44	851	1	(	(	PUNCT
ejde-44	851	2	49	49	NUM
ejde-44	851	3	)	)	PUNCT
ejde-44	851	4	now	now	ADV
ejde-44	851	5	let	let	VERB
ejde-44	851	6	us	we	PRON
ejde-44	851	7	put	put	VERB
ejde-44	851	8	yα	yα	NOUN
ejde-44	851	9	=	=	PUNCT
ejde-44	851	10	axα	axα	NOUN
ejde-44	851	11	and	and	CCONJ
ejde-44	851	12	observe	observe	VERB
ejde-44	851	13	that	that	SCONJ
ejde-44	851	14	yα	yα	NOUN
ejde-44	851	15	+	+	CCONJ
ejde-44	851	16	αa−1yα	αa−1yα	NUM
ejde-44	851	17	=	=	PUNCT
ejde-44	851	18	axα	axα	NOUN
ejde-44	851	19	+	+	CCONJ
ejde-44	851	20	αxα	αxα	NOUN
ejde-44	851	21	=	=	SYM
ejde-44	851	22	〈	〈	PROPN
ejde-44	851	23	f	f	PROPN
ejde-44	851	24	〉	〉	PROPN
ejde-44	851	25	,	,	PUNCT
ejde-44	851	26	α	α	X
ejde-44	851	27	>	>	X
ejde-44	851	28	0	0	PROPN
ejde-44	851	29	.	.	PUNCT
ejde-44	852	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	852	2	,	,	PUNCT
ejde-44	852	3	lim	lim	PROPN
ejde-44	852	4	α	α	PROPN
ejde-44	852	5	↘	↘	PROPN
ejde-44	852	6	0	0	PROPN
ejde-44	852	7	yα	yα	NOUN
ejde-44	852	8	=	=	PROPN
ejde-44	853	1	lim	lim	PROPN
ejde-44	853	2	α	α	PROPN
ejde-44	853	3	↘	↘	PROPN
ejde-44	853	4	0	0	NUM
ejde-44	853	5	(	(	PUNCT
ejde-44	853	6	1	1	NUM
ejde-44	853	7	+	+	NUM
ejde-44	853	8	αa−1)−1〈f	αa−1)−1〈f	PROPN
ejde-44	853	9	〉	〉	NOUN
ejde-44	853	10	=	=	SYM
ejde-44	853	11	lim	lim	PROPN
ejde-44	853	12	α	α	PROPN
ejde-44	853	13	↘	↘	PROPN
ejde-44	853	14	0	0	PROPN
ejde-44	853	15	ja	ja	PROPN
ejde-44	853	16	−1	−1	NOUN
ejde-44	853	17	α	α	PROPN
ejde-44	853	18	〈	〈	PROPN
ejde-44	853	19	f	f	PROPN
ejde-44	853	20	〉	〉	PROPN
ejde-44	853	21	=	=	SYM
ejde-44	853	22	proj	proj	NOUN
ejde-44	853	23	d(a−1	d(a−1	NOUN
ejde-44	853	24	)	)	PUNCT
ejde-44	854	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	854	2	f	f	PROPN
ejde-44	854	3	〉	〉	NOUN
ejde-44	854	4	=	=	SYM
ejde-44	854	5	proj	proj	PROPN
ejde-44	854	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	854	7	)	)	PUNCT
ejde-44	855	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	855	2	f	f	X
ejde-44	855	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	855	4	,	,	PUNCT
ejde-44	855	5	and	and	CCONJ
ejde-44	855	6	it	it	PRON
ejde-44	855	7	follows	follow	VERB
ejde-44	855	8	that	that	SCONJ
ejde-44	855	9	lim	lim	PROPN
ejde-44	855	10	α	α	PROPN
ejde-44	855	11	↘	↘	PROPN
ejde-44	855	12	0	0	PROPN
ejde-44	855	13	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	855	14	=	=	SYM
ejde-44	855	15	lim	lim	PROPN
ejde-44	855	16	α	α	PROPN
ejde-44	855	17	↘	↘	PROPN
ejde-44	855	18	0	0	NUM
ejde-44	855	19	(	(	PUNCT
ejde-44	855	20	〈	〈	PROPN
ejde-44	855	21	f	f	PROPN
ejde-44	855	22	〉	〉	PROPN
ejde-44	855	23	−axα	−axα	PRON
ejde-44	855	24	)	)	PUNCT
ejde-44	856	1	=	=	PROPN
ejde-44	856	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	856	3	α	α	PROPN
ejde-44	856	4	↘	↘	PROPN
ejde-44	856	5	0	0	NUM
ejde-44	856	6	(	(	PUNCT
ejde-44	856	7	〈	〈	PROPN
ejde-44	856	8	f	f	PROPN
ejde-44	856	9	〉	〉	PROPN
ejde-44	856	10	−	−	PROPN
ejde-44	856	11	yα	yα	NOUN
ejde-44	856	12	)	)	PUNCT
ejde-44	856	13	=	=	PUNCT
ejde-44	857	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	857	2	f	f	PROPN
ejde-44	857	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	857	4	−	−	PROPN
ejde-44	857	5	proj	proj	NOUN
ejde-44	857	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	857	7	)	)	PUNCT
ejde-44	858	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	858	2	f	f	PROPN
ejde-44	858	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	858	4	.	.	PUNCT
ejde-44	859	1	since	since	SCONJ
ejde-44	859	2	graph(a	graph(a	NOUN
ejde-44	859	3	)	)	PUNCT
ejde-44	859	4	is	be	AUX
ejde-44	859	5	closed	close	VERB
ejde-44	859	6	and	and	CCONJ
ejde-44	859	7	[	[	X
ejde-44	859	8	αxα	αxα	ADJ
ejde-44	859	9	,	,	PUNCT
ejde-44	859	10	αyα	αyα	ADP
ejde-44	859	11	]	]	X
ejde-44	859	12	=	=	PUNCT
ejde-44	860	1	[	[	X
ejde-44	860	2	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	860	3	,	,	PUNCT
ejde-44	860	4	a(αxα	a(αxα	PROPN
ejde-44	860	5	)	)	PUNCT
ejde-44	860	6	]	]	PUNCT
ejde-44	861	1	∈	∈	PROPN
ejde-44	861	2	a	a	PRON
ejde-44	861	3	,	,	PUNCT
ejde-44	861	4	α	α	X
ejde-44	861	5	>	>	X
ejde-44	861	6	0	0	NUM
ejde-44	861	7	,	,	PUNCT
ejde-44	861	8	by	by	ADP
ejde-44	861	9	passing	pass	VERB
ejde-44	861	10	to	to	ADP
ejde-44	861	11	the	the	DET
ejde-44	861	12	limit	limit	NOUN
ejde-44	861	13	for	for	ADP
ejde-44	861	14	α	α	PROPN
ejde-44	861	15	↘	↘	PROPN
ejde-44	861	16	0	0	NUM
ejde-44	861	17	we	we	PRON
ejde-44	861	18	deduce	deduce	VERB
ejde-44	861	19	that	that	SCONJ
ejde-44	861	20	〈	〈	PROPN
ejde-44	861	21	f	f	PROPN
ejde-44	861	22	〉	〉	PROPN
ejde-44	861	23	−	−	PROPN
ejde-44	861	24	proj	proj	NOUN
ejde-44	861	25	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	861	26	)	)	PUNCT
ejde-44	862	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	862	2	f	f	PROPN
ejde-44	862	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	862	4	∈	∈	PROPN
ejde-44	862	5	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	862	6	)	)	PUNCT
ejde-44	862	7	and	and	CCONJ
ejde-44	862	8	a(〈f	a(〈f	ADP
ejde-44	862	9	〉	〉	NOUN
ejde-44	862	10	−	−	PROPN
ejde-44	862	11	proj	proj	NOUN
ejde-44	862	12	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	862	13	)	)	PUNCT
ejde-44	863	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	863	2	f	f	PROPN
ejde-44	863	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	863	4	)	)	PUNCT
ejde-44	863	5	=	=	NOUN
ejde-44	864	1	0	0	X
ejde-44	864	2	.	.	PUNCT
ejde-44	865	1	it	it	PRON
ejde-44	865	2	is	be	AUX
ejde-44	865	3	easy	easy	ADJ
ejde-44	865	4	to	to	PART
ejde-44	865	5	see	see	VERB
ejde-44	865	6	that	that	SCONJ
ejde-44	865	7	we	we	PRON
ejde-44	865	8	can	can	AUX
ejde-44	865	9	pass	pass	VERB
ejde-44	865	10	to	to	ADP
ejde-44	865	11	the	the	DET
ejde-44	865	12	limit	limit	NOUN
ejde-44	865	13	for	for	ADP
ejde-44	865	14	α	α	NOUN
ejde-44	865	15	↘	↘	PROPN
ejde-44	865	16	0	0	NUM
ejde-44	865	17	in	in	ADP
ejde-44	865	18	(	(	PUNCT
ejde-44	865	19	49	49	NUM
ejde-44	865	20	)	)	PUNCT
ejde-44	865	21	.	.	PUNCT
ejde-44	866	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	866	2	,	,	PUNCT
ejde-44	866	3	for	for	ADP
ejde-44	866	4	ε	ε	PROPN
ejde-44	866	5	>	>	X
ejde-44	866	6	0	0	PUNCT
ejde-44	866	7	let	let	VERB
ejde-44	866	8	us	we	PRON
ejde-44	866	9	consider	consider	VERB
ejde-44	866	10	αε	αε	ADP
ejde-44	866	11	>	>	X
ejde-44	866	12	0	0	NUM
ejde-44	866	13	such	such	ADJ
ejde-44	866	14	that	that	SCONJ
ejde-44	866	15	‖	‖	PROPN
ejde-44	866	16	limα	limα	PROPN
ejde-44	866	17	↘	↘	PROPN
ejde-44	866	18	0	0	PROPN
ejde-44	866	19	αxα−	αxα−	PROPN
ejde-44	866	20	αεxαε‖	αεxαε‖	X
ejde-44	866	21	<	<	X
ejde-44	866	22	ε	ε	PROPN
ejde-44	866	23	2	2	NUM
ejde-44	866	24	.	.	PUNCT
ejde-44	867	1	we	we	PRON
ejde-44	867	2	have∥∥	have∥∥	VERB
ejde-44	867	3	1	1	NUM
ejde-44	867	4	t	t	PROPN
ejde-44	867	5	(	(	PUNCT
ejde-44	867	6	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	867	7	t	t	NOUN
ejde-44	867	8	)	)	PUNCT
ejde-44	867	9	−	−	PROPN
ejde-44	868	1	x(t))−	x(t))−	PROPN
ejde-44	868	2	e−ta	e−ta	PROPN
ejde-44	868	3	lim	lim	PROPN
ejde-44	868	4	α	α	PROPN
ejde-44	868	5	↘	↘	PROPN
ejde-44	868	6	0	0	PROPN
ejde-44	868	7	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	868	8	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-44	868	9	≤	≤	X
ejde-44	868	10	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-44	868	11	1	1	NUM
ejde-44	868	12	t	t	NOUN
ejde-44	868	13	(	(	PUNCT
ejde-44	868	14	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	868	15	t	t	PROPN
ejde-44	868	16	)	)	PUNCT
ejde-44	868	17	−	−	PROPN
ejde-44	869	1	x(t))−	x(t))−	PROPN
ejde-44	870	1	e−taαεxαε	e−taαεxαε	PROPN
ejde-44	870	2	∥∥+	∥∥+	PROPN
ejde-44	870	3	∥∥e−taαεxαε	∥∥e−taαεxαε	PROPN
ejde-44	871	1	−	−	PROPN
ejde-44	871	2	e−ta	e−ta	PROPN
ejde-44	871	3	lim	lim	PROPN
ejde-44	871	4	α	α	PROPN
ejde-44	871	5	↘	↘	PROPN
ejde-44	871	6	0	0	PROPN
ejde-44	871	7	αxα	αxα	PROPN
ejde-44	871	8	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-44	871	9	≤	≤	X
ejde-44	871	10	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-44	871	11	1	1	NUM
ejde-44	871	12	t	t	NOUN
ejde-44	871	13	(	(	PUNCT
ejde-44	871	14	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	871	15	t	t	PROPN
ejde-44	871	16	)	)	PUNCT
ejde-44	871	17	−	−	PROPN
ejde-44	872	1	x(t))−	x(t))−	PROPN
ejde-44	873	1	e−taαεxαε	e−taαεxαε	PROPN
ejde-44	873	2	∥∥+	∥∥+	PROPN
ejde-44	873	3	‖αεxαε	‖αεxαε	NUM
ejde-44	873	4	−	−	PROPN
ejde-44	873	5	lim	lim	PROPN
ejde-44	873	6	α	α	PROPN
ejde-44	873	7	↘	↘	PROPN
ejde-44	873	8	0	0	PROPN
ejde-44	873	9	αxα‖	αxα‖	PROPN
ejde-44	873	10	≤	≤	NUM
ejde-44	873	11	ε	ε	PROPN
ejde-44	873	12	2	2	NUM
ejde-44	873	13	+	+	CCONJ
ejde-44	873	14	ε	ε	PROPN
ejde-44	873	15	2	2	NUM
ejde-44	873	16	=	=	SYM
ejde-44	873	17	ε	ε	PROPN
ejde-44	873	18	,	,	PUNCT
ejde-44	873	19	t	t	PROPN
ejde-44	873	20	≥	≥	PROPN
ejde-44	873	21	t(αε	t(αε	PROPN
ejde-44	873	22	,	,	PUNCT
ejde-44	873	23	ε	ε	PROPN
ejde-44	873	24	2	2	NUM
ejde-44	873	25	)	)	PUNCT
ejde-44	873	26	=	=	SYM
ejde-44	873	27	t(ε	t(ε	PROPN
ejde-44	873	28	)	)	PUNCT
ejde-44	873	29	,	,	PUNCT
ejde-44	873	30	and	and	CCONJ
ejde-44	873	31	thus	thus	ADV
ejde-44	873	32	lim	lim	PROPN
ejde-44	873	33	t→∞	t→∞	X
ejde-44	873	34	{	{	PUNCT
ejde-44	873	35	1	1	NUM
ejde-44	873	36	t	t	NOUN
ejde-44	873	37	(	(	PUNCT
ejde-44	873	38	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	873	39	t	t	NOUN
ejde-44	873	40	)	)	PUNCT
ejde-44	873	41	−	−	PROPN
ejde-44	874	1	x(t))−	x(t))−	PROPN
ejde-44	875	1	e−ta(〈f	e−ta(〈f	NOUN
ejde-44	875	2	〉	〉	PROPN
ejde-44	875	3	−	−	PROPN
ejde-44	875	4	proj	proj	NOUN
ejde-44	875	5	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	875	6	)	)	PUNCT
ejde-44	876	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	876	2	f	f	PROPN
ejde-44	876	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	876	4	)	)	PUNCT
ejde-44	876	5	}	}	PUNCT
ejde-44	877	1	=	=	SYM
ejde-44	877	2	0	0	X
ejde-44	877	3	.	.	PUNCT
ejde-44	878	1	but	but	CCONJ
ejde-44	878	2	e−ta(〈f	e−ta(〈f	PROPN
ejde-44	878	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	878	4	−	−	PROPN
ejde-44	878	5	proj	proj	NOUN
ejde-44	878	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	878	7	)	)	PUNCT
ejde-44	879	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	879	2	f	f	PROPN
ejde-44	879	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	879	4	)	)	PUNCT
ejde-44	879	5	does	do	AUX
ejde-44	879	6	not	not	PART
ejde-44	879	7	depend	depend	VERB
ejde-44	879	8	on	on	ADP
ejde-44	879	9	t	t	PROPN
ejde-44	879	10	≥	≥	NOUN
ejde-44	879	11	0	0	NUM
ejde-44	879	12	:	:	PUNCT
ejde-44	879	13	d	d	X
ejde-44	879	14	dt	dt	PUNCT
ejde-44	879	15	e−ta(〈f	e−ta(〈f	PROPN
ejde-44	879	16	〉	〉	PROPN
ejde-44	879	17	−	−	PROPN
ejde-44	879	18	proj	proj	NOUN
ejde-44	879	19	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	879	20	)	)	PUNCT
ejde-44	880	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	880	2	f	f	PROPN
ejde-44	880	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	880	4	)	)	PUNCT
ejde-44	880	5	=	=	SYM
ejde-44	881	1	−ae−ta(〈f	−ae−ta(〈f	NUM
ejde-44	881	2	〉	〉	PROPN
ejde-44	881	3	−	−	PROPN
ejde-44	881	4	proj	proj	NOUN
ejde-44	881	5	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	881	6	)	)	PUNCT
ejde-44	882	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	882	2	f	f	PROPN
ejde-44	882	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	882	4	)	)	PUNCT
ejde-44	882	5	=	=	SYM
ejde-44	883	1	−e−taa(〈f	−e−taa(〈f	PROPN
ejde-44	883	2	〉	〉	NOUN
ejde-44	883	3	−	−	PROPN
ejde-44	883	4	proj	proj	NOUN
ejde-44	883	5	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	883	6	)	)	PUNCT
ejde-44	884	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	884	2	f	f	PROPN
ejde-44	884	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	884	4	)	)	PUNCT
ejde-44	884	5	=	=	SYM
ejde-44	885	1	0	0	NUM
ejde-44	885	2	,	,	PUNCT
ejde-44	885	3	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	885	4	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	885	5	31	31	NUM
ejde-44	885	6	and	and	CCONJ
ejde-44	885	7	thus	thus	ADV
ejde-44	885	8	the	the	DET
ejde-44	885	9	previous	previous	ADJ
ejde-44	885	10	formula	formula	NOUN
ejde-44	885	11	reads	read	VERB
ejde-44	885	12	lim	lim	PROPN
ejde-44	885	13	t→∞	t→∞	ADP
ejde-44	885	14	1	1	NUM
ejde-44	885	15	t	t	NOUN
ejde-44	885	16	(	(	PUNCT
ejde-44	885	17	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	885	18	t	t	PROPN
ejde-44	885	19	)	)	PUNCT
ejde-44	885	20	−	−	PROPN
ejde-44	885	21	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	885	22	)	)	PUNCT
ejde-44	885	23	)	)	PUNCT
ejde-44	886	1	=	=	PUNCT
ejde-44	887	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	887	2	f	f	PROPN
ejde-44	887	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	887	4	−	−	PROPN
ejde-44	887	5	proj	proj	NOUN
ejde-44	887	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	887	7	)	)	PUNCT
ejde-44	888	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	888	2	f	f	PROPN
ejde-44	888	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	888	4	.	.	PUNCT
ejde-44	889	1	remark	remark	PROPN
ejde-44	889	2	3.11	3.11	NUM
ejde-44	889	3	under	under	ADP
ejde-44	889	4	the	the	DET
ejde-44	889	5	same	same	ADJ
ejde-44	889	6	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	889	7	as	as	ADP
ejde-44	889	8	above	above	ADV
ejde-44	889	9	we	we	PRON
ejde-44	889	10	can	can	AUX
ejde-44	889	11	easily	easily	ADV
ejde-44	889	12	check	check	VERB
ejde-44	889	13	that	that	DET
ejde-44	889	14	inf	inf	NOUN
ejde-44	889	15	x0∈d(a	x0∈d(a	PROPN
ejde-44	889	16	)	)	PUNCT
ejde-44	889	17	‖x(t	‖x(t	PUNCT
ejde-44	889	18	;	;	PUNCT
ejde-44	889	19	0	0	NUM
ejde-44	889	20	,	,	PUNCT
ejde-44	889	21	x0)−	x0)−	PROPN
ejde-44	889	22	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	889	23	t	t	PROPN
ejde-44	890	1	=	=	SYM
ejde-44	890	2	‖〈f	‖〈f	PROPN
ejde-44	890	3	〉	〉	NOUN
ejde-44	890	4	−	−	PROPN
ejde-44	890	5	proj	proj	NOUN
ejde-44	890	6	r(a	r(a	NOUN
ejde-44	890	7	)	)	PUNCT
ejde-44	891	1	〈	〈	NOUN
ejde-44	891	2	f〉‖	f〉‖	NOUN
ejde-44	891	3	=	=	PUNCT
ejde-44	891	4	dist(〈f	dist(〈f	VERB
ejde-44	891	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	891	6	,	,	PUNCT
ejde-44	891	7	r(a	r(a	PROPN
ejde-44	891	8	)	)	PUNCT
ejde-44	891	9	)	)	PUNCT
ejde-44	891	10	.	.	PUNCT
ejde-44	892	1	3.3	3.3	NUM
ejde-44	892	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	892	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	892	4	for	for	ADP
ejde-44	892	5	the	the	DET
ejde-44	892	6	heat	heat	NOUN
ejde-44	892	7	equation	equation	NOUN
ejde-44	892	8	let	let	VERB
ejde-44	892	9	ω	ω	PROPN
ejde-44	892	10	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	892	11	rd	rd	PROPN
ejde-44	892	12	,	,	PUNCT
ejde-44	892	13	d	d	X
ejde-44	892	14	≥	≥	NUM
ejde-44	892	15	1	1	NUM
ejde-44	892	16	,	,	PUNCT
ejde-44	892	17	be	be	AUX
ejde-44	892	18	an	an	DET
ejde-44	892	19	open	open	ADJ
ejde-44	892	20	bounded	bounded	ADJ
ejde-44	892	21	set	set	VERB
ejde-44	892	22	with	with	ADP
ejde-44	892	23	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	892	24	∈	∈	PROPN
ejde-44	892	25	c2	c2	PROPN
ejde-44	892	26	.	.	PUNCT
ejde-44	893	1	consider	consider	VERB
ejde-44	893	2	the	the	DET
ejde-44	893	3	heat	heat	NOUN
ejde-44	893	4	equation	equation	NOUN
ejde-44	893	5	∂u	∂u	PROPN
ejde-44	893	6	∂t	∂t	PROPN
ejde-44	893	7	(	(	PUNCT
ejde-44	893	8	t	t	PROPN
ejde-44	893	9	,	,	PUNCT
ejde-44	893	10	x)−∆u(t	x)−∆u(t	PROPN
ejde-44	893	11	,	,	PUNCT
ejde-44	893	12	x	x	X
ejde-44	893	13	)	)	PUNCT
ejde-44	893	14	=	=	SYM
ejde-44	894	1	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	894	2	,	,	PUNCT
ejde-44	894	3	x	x	NOUN
ejde-44	894	4	)	)	PUNCT
ejde-44	894	5	,	,	PUNCT
ejde-44	894	6	(	(	PUNCT
ejde-44	894	7	t	t	PROPN
ejde-44	894	8	,	,	PUNCT
ejde-44	894	9	x	x	NOUN
ejde-44	894	10	)	)	PUNCT
ejde-44	894	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	894	12	r×	r×	PROPN
ejde-44	894	13	ω	ω	PROPN
ejde-44	894	14	,	,	PUNCT
ejde-44	894	15	(	(	PUNCT
ejde-44	894	16	50	50	NUM
ejde-44	894	17	)	)	PUNCT
ejde-44	894	18	with	with	ADP
ejde-44	894	19	the	the	DET
ejde-44	894	20	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-44	894	21	boundary	boundary	PROPN
ejde-44	894	22	condition	condition	NOUN
ejde-44	894	23	u(t	u(t	NOUN
ejde-44	894	24	,	,	PUNCT
ejde-44	894	25	x	x	NOUN
ejde-44	894	26	)	)	PUNCT
ejde-44	894	27	=	=	SYM
ejde-44	894	28	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	894	29	,	,	PUNCT
ejde-44	894	30	x	x	NOUN
ejde-44	894	31	)	)	PUNCT
ejde-44	894	32	,	,	PUNCT
ejde-44	894	33	(	(	PUNCT
ejde-44	894	34	t	t	PROPN
ejde-44	894	35	,	,	PUNCT
ejde-44	894	36	x	x	NOUN
ejde-44	894	37	)	)	PUNCT
ejde-44	894	38	∈	∈	PROPN
ejde-44	894	39	r×	r×	NOUN
ejde-44	894	40	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	894	41	,	,	PUNCT
ejde-44	894	42	(	(	PUNCT
ejde-44	894	43	51	51	NUM
ejde-44	894	44	)	)	PUNCT
ejde-44	894	45	or	or	CCONJ
ejde-44	894	46	the	the	DET
ejde-44	894	47	neumann	neumann	PROPN
ejde-44	894	48	boundary	boundary	ADJ
ejde-44	894	49	condition	condition	NOUN
ejde-44	894	50	∂u	∂u	PROPN
ejde-44	894	51	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	894	52	(	(	PUNCT
ejde-44	894	53	t	t	PROPN
ejde-44	894	54	,	,	PUNCT
ejde-44	894	55	x	x	NOUN
ejde-44	894	56	)	)	PUNCT
ejde-44	894	57	=	=	SYM
ejde-44	894	58	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	894	59	,	,	PUNCT
ejde-44	894	60	x	x	NOUN
ejde-44	894	61	)	)	PUNCT
ejde-44	894	62	,	,	PUNCT
ejde-44	894	63	(	(	PUNCT
ejde-44	894	64	t	t	PROPN
ejde-44	894	65	,	,	PUNCT
ejde-44	894	66	x	x	NOUN
ejde-44	894	67	)	)	PUNCT
ejde-44	894	68	∈	∈	PROPN
ejde-44	894	69	r×	r×	NOUN
ejde-44	894	70	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	894	71	,	,	PUNCT
ejde-44	894	72	(	(	PUNCT
ejde-44	894	73	52	52	NUM
ejde-44	894	74	)	)	PUNCT
ejde-44	894	75	where	where	SCONJ
ejde-44	894	76	we	we	PRON
ejde-44	894	77	denote	denote	VERB
ejde-44	894	78	by	by	ADP
ejde-44	894	79	n(x	n(x	NOUN
ejde-44	894	80	)	)	PUNCT
ejde-44	894	81	the	the	DET
ejde-44	894	82	outward	outward	ADJ
ejde-44	894	83	normal	normal	ADJ
ejde-44	894	84	in	in	ADP
ejde-44	894	85	x	x	PUNCT
ejde-44	894	86	∈	∈	PROPN
ejde-44	894	87	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	894	88	.	.	PUNCT
ejde-44	894	89	theorem	theorem	VERB
ejde-44	894	90	3.12	3.12	NUM
ejde-44	894	91	assume	assume	VERB
ejde-44	894	92	that	that	SCONJ
ejde-44	894	93	f	f	PROPN
ejde-44	894	94	∈	∈	PROPN
ejde-44	894	95	c1(r;l2(ω	c1(r;l2(ω	PROPN
ejde-44	894	96	)	)	PUNCT
ejde-44	894	97	)	)	PUNCT
ejde-44	895	1	is	be	AUX
ejde-44	895	2	t	t	NOUN
ejde-44	895	3	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	895	4	and	and	CCONJ
ejde-44	895	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	895	6	,	,	PUNCT
ejde-44	895	7	x	x	X
ejde-44	895	8	)	)	PUNCT
ejde-44	895	9	=	=	SYM
ejde-44	895	10	∂u0	∂u0	NOUN
ejde-44	895	11	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	895	12	(	(	PUNCT
ejde-44	895	13	t	t	PROPN
ejde-44	895	14	,	,	PUNCT
ejde-44	895	15	x	x	NOUN
ejde-44	895	16	)	)	PUNCT
ejde-44	895	17	,	,	PUNCT
ejde-44	895	18	(	(	PUNCT
ejde-44	895	19	t	t	PROPN
ejde-44	895	20	,	,	PUNCT
ejde-44	895	21	x	x	NOUN
ejde-44	895	22	)	)	PUNCT
ejde-44	895	23	∈	∈	PROPN
ejde-44	895	24	r×∂ω	r×∂ω	NOUN
ejde-44	895	25	where	where	SCONJ
ejde-44	895	26	u0	u0	PROPN
ejde-44	895	27	∈	∈	PROPN
ejde-44	895	28	c1(r;h2(ω))∩c2(r;l2(ω	c1(r;h2(ω))∩c2(r;l2(ω	NOUN
ejde-44	895	29	)	)	PUNCT
ejde-44	895	30	)	)	PUNCT
ejde-44	895	31	is	be	AUX
ejde-44	895	32	t	t	PROPN
ejde-44	895	33	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	895	34	.	.	PUNCT
ejde-44	896	1	then	then	ADV
ejde-44	896	2	the	the	DET
ejde-44	896	3	heat	heat	NOUN
ejde-44	896	4	problem	problem	NOUN
ejde-44	896	5	(	(	PUNCT
ejde-44	896	6	50	50	NUM
ejde-44	896	7	)	)	PUNCT
ejde-44	896	8	,	,	PUNCT
ejde-44	896	9	(	(	PUNCT
ejde-44	896	10	52	52	NUM
ejde-44	896	11	)	)	PUNCT
ejde-44	896	12	has	have	VERB
ejde-44	896	13	t	t	X
ejde-44	896	14	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	896	15	solutions	solution	NOUN
ejde-44	896	16	u	u	NOUN
ejde-44	896	17	∈	∈	NOUN
ejde-44	896	18	c(r;h2(ω	c(r;h2(ω	PROPN
ejde-44	896	19	)	)	PUNCT
ejde-44	896	20	)	)	PUNCT
ejde-44	896	21	∩	∩	NOUN
ejde-44	896	22	c1(r;l2(ω	c1(r;l2(ω	ADJ
ejde-44	896	23	)	)	PUNCT
ejde-44	896	24	)	)	PUNCT
ejde-44	897	1	if	if	SCONJ
ejde-44	897	2	and	and	CCONJ
ejde-44	897	3	only	only	ADV
ejde-44	897	4	if∫	if∫	PROPN
ejde-44	897	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	897	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	897	7	t	t	PROPN
ejde-44	897	8	0	0	NUM
ejde-44	897	9	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	897	10	,	,	PUNCT
ejde-44	897	11	x)dtdσ	x)dtdσ	PUNCT
ejde-44	898	1	+	+	CCONJ
ejde-44	898	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	898	3	ω	ω	NUM
ejde-44	898	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	898	5	t	t	PROPN
ejde-44	898	6	0	0	NUM
ejde-44	898	7	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	898	8	,	,	PUNCT
ejde-44	898	9	x)dtdx	x)dtdx	PROPN
ejde-44	898	10	=	=	PUNCT
ejde-44	899	1	0	0	X
ejde-44	899	2	.	.	PUNCT
ejde-44	900	1	in	in	ADP
ejde-44	900	2	this	this	DET
ejde-44	900	3	case	case	NOUN
ejde-44	900	4	the	the	DET
ejde-44	900	5	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	900	6	solutions	solution	NOUN
ejde-44	900	7	satisfies	satisfy	VERB
ejde-44	900	8	the	the	DET
ejde-44	900	9	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	900	10	‖u′	‖u′	PUNCT
ejde-44	900	11	−	−	PUNCT
ejde-44	900	12	u′0‖l∞([0,t	u′0‖l∞([0,t	NOUN
ejde-44	900	13	]	]	X
ejde-44	900	14	;	;	PUNCT
ejde-44	900	15	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	900	16	)	)	PUNCT
ejde-44	900	17	)	)	PUNCT
ejde-44	900	18	≤	≤	NUM
ejde-44	900	19	1√	1√	PROPN
ejde-44	900	20	t	t	NOUN
ejde-44	900	21	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	900	22	−	−	PROPN
ejde-44	901	1	u′0	u′0	NOUN
ejde-44	902	1	+	+	X
ejde-44	902	2	∆u0‖l2(]0,t	∆u0‖l2(]0,t	NOUN
ejde-44	902	3	[	[	X
ejde-44	902	4	;	;	PUNCT
ejde-44	902	5	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	902	6	)	)	PUNCT
ejde-44	902	7	)	)	PUNCT
ejde-44	903	1	+	+	CCONJ
ejde-44	903	2	‖f	‖f	ADP
ejde-44	903	3	′	′	NUM
ejde-44	903	4	−	−	NOUN
ejde-44	903	5	u′′0	u′′0	ADP
ejde-44	903	6	+	+	NUM
ejde-44	903	7	∆u′0‖l1(]0,t	∆u′0‖l1(]0,t	NOUN
ejde-44	903	8	[	[	X
ejde-44	903	9	;	;	PUNCT
ejde-44	903	10	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	903	11	)	)	PUNCT
ejde-44	903	12	)	)	PUNCT
ejde-44	903	13	,	,	PUNCT
ejde-44	903	14	(	(	PUNCT
ejde-44	903	15	53	53	NUM
ejde-44	903	16	)	)	PUNCT
ejde-44	903	17	and	and	CCONJ
ejde-44	903	18	the	the	DET
ejde-44	903	19	solution	solution	NOUN
ejde-44	903	20	is	be	AUX
ejde-44	903	21	unique	unique	ADJ
ejde-44	903	22	up	up	ADP
ejde-44	903	23	to	to	ADP
ejde-44	903	24	a	a	DET
ejde-44	903	25	constant	constant	ADJ
ejde-44	903	26	.	.	PUNCT
ejde-44	904	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	904	2	let	let	VERB
ejde-44	904	3	us	we	PRON
ejde-44	904	4	search	search	VERB
ejde-44	904	5	for	for	ADP
ejde-44	904	6	solutions	solution	NOUN
ejde-44	904	7	u	u	NOUN
ejde-44	904	8	=	=	PUNCT
ejde-44	904	9	u0	u0	PROPN
ejde-44	905	1	+	+	X
ejde-44	905	2	v	v	ADP
ejde-44	905	3	where	where	SCONJ
ejde-44	905	4	∂v	∂v	PROPN
ejde-44	905	5	∂t	∂t	PROPN
ejde-44	905	6	(	(	PUNCT
ejde-44	905	7	t	t	PROPN
ejde-44	905	8	,	,	PUNCT
ejde-44	905	9	x)−∆v(t	x)−∆v(t	NUM
ejde-44	905	10	,	,	PUNCT
ejde-44	905	11	x	x	X
ejde-44	905	12	)	)	PUNCT
ejde-44	905	13	=	=	SYM
ejde-44	905	14	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	905	15	,	,	PUNCT
ejde-44	905	16	x)−	x)−	PROPN
ejde-44	905	17	∂u0	∂u0	NOUN
ejde-44	905	18	∂t	∂t	PROPN
ejde-44	905	19	(	(	PUNCT
ejde-44	905	20	t	t	PROPN
ejde-44	905	21	,	,	PUNCT
ejde-44	905	22	x	x	NOUN
ejde-44	905	23	)	)	PUNCT
ejde-44	905	24	+	+	CCONJ
ejde-44	905	25	∆u0(t	∆u0(t	PROPN
ejde-44	905	26	,	,	PUNCT
ejde-44	905	27	x	x	NOUN
ejde-44	905	28	)	)	PUNCT
ejde-44	905	29	,	,	PUNCT
ejde-44	905	30	(	(	PUNCT
ejde-44	905	31	t	t	PROPN
ejde-44	905	32	,	,	PUNCT
ejde-44	905	33	x	x	NOUN
ejde-44	905	34	)	)	PUNCT
ejde-44	905	35	∈	∈	PROPN
ejde-44	905	36	r×	r×	PROPN
ejde-44	905	37	ω	ω	PROPN
ejde-44	905	38	,	,	PUNCT
ejde-44	905	39	(	(	PUNCT
ejde-44	905	40	54	54	NUM
ejde-44	905	41	)	)	PUNCT
ejde-44	905	42	and	and	CCONJ
ejde-44	905	43	∂v	∂v	PROPN
ejde-44	905	44	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	905	45	(	(	PUNCT
ejde-44	905	46	t	t	PROPN
ejde-44	905	47	,	,	PUNCT
ejde-44	905	48	x	x	NOUN
ejde-44	905	49	)	)	PUNCT
ejde-44	905	50	=	=	SYM
ejde-44	905	51	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	905	52	,	,	PUNCT
ejde-44	905	53	x)−	x)−	PROPN
ejde-44	905	54	∂u0	∂u0	PROPN
ejde-44	905	55	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	905	56	(	(	PUNCT
ejde-44	905	57	t	t	PROPN
ejde-44	905	58	,	,	PUNCT
ejde-44	905	59	x	x	NOUN
ejde-44	905	60	)	)	PUNCT
ejde-44	905	61	=	=	SYM
ejde-44	905	62	0	0	NUM
ejde-44	905	63	,	,	PUNCT
ejde-44	905	64	(	(	PUNCT
ejde-44	905	65	t	t	PROPN
ejde-44	905	66	,	,	PUNCT
ejde-44	905	67	x	x	NOUN
ejde-44	905	68	)	)	PUNCT
ejde-44	905	69	∈	∈	PROPN
ejde-44	905	70	r×	r×	ADJ
ejde-44	905	71	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	905	72	.	.	PUNCT
ejde-44	906	1	(	(	PUNCT
ejde-44	906	2	55	55	NUM
ejde-44	906	3	)	)	PUNCT
ejde-44	906	4	32	32	NUM
ejde-44	906	5	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	906	6	solutions	solution	NOUN
ejde-44	906	7	for	for	ADP
ejde-44	906	8	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	906	9	equations	equation	NOUN
ejde-44	906	10	consider	consider	VERB
ejde-44	906	11	the	the	DET
ejde-44	906	12	operator	operator	NOUN
ejde-44	906	13	an	an	DET
ejde-44	906	14	:	:	PUNCT
ejde-44	906	15	d(an	d(an	PROPN
ejde-44	906	16	)	)	PUNCT
ejde-44	906	17	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	906	18	l2(ω)→	l2(ω)→	PROPN
ejde-44	906	19	l2(ω	l2(ω	ADV
ejde-44	906	20	)	)	PUNCT
ejde-44	906	21	given	give	VERB
ejde-44	906	22	as	as	ADP
ejde-44	906	23	anv	anv	NOUN
ejde-44	906	24	=	=	NOUN
ejde-44	906	25	−∆v	−∆v	NUM
ejde-44	906	26	with	with	ADP
ejde-44	906	27	domain	domain	NOUN
ejde-44	906	28	d(an	d(an	NOUN
ejde-44	906	29	)	)	PUNCT
ejde-44	907	1	=	=	PRON
ejde-44	907	2	{	{	PUNCT
ejde-44	907	3	v	v	NUM
ejde-44	907	4	∈	∈	PROPN
ejde-44	907	5	h2(ω	h2(ω	NOUN
ejde-44	907	6	)	)	PUNCT
ejde-44	907	7	:	:	PUNCT
ejde-44	908	1	∂v	∂v	PROPN
ejde-44	908	2	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	908	3	(	(	PUNCT
ejde-44	908	4	x	x	X
ejde-44	908	5	)	)	PUNCT
ejde-44	908	6	=	=	SYM
ejde-44	908	7	0	0	NUM
ejde-44	908	8	,	,	PUNCT
ejde-44	908	9	∀	∀	X
ejde-44	908	10	x	x	SYM
ejde-44	908	11	∈	∈	NOUN
ejde-44	908	12	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-44	908	13	}	}	PUNCT
ejde-44	908	14	.	.	PUNCT
ejde-44	909	1	the	the	DET
ejde-44	909	2	operator	operator	NOUN
ejde-44	909	3	an	an	PRON
ejde-44	909	4	is	be	AUX
ejde-44	909	5	linear	linear	ADJ
ejde-44	909	6	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	909	7	:	:	PUNCT
ejde-44	909	8	(	(	PUNCT
ejde-44	909	9	anv	anv	PROPN
ejde-44	909	10	,	,	PUNCT
ejde-44	909	11	v	v	NOUN
ejde-44	909	12	)	)	PUNCT
ejde-44	909	13	=	=	PUNCT
ejde-44	910	1	−	−	PROPN
ejde-44	910	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	910	3	ω	ω	NUM
ejde-44	910	4	∆v(x)v(x)dx	∆v(x)v(x)dx	PROPN
ejde-44	910	5	=	=	SYM
ejde-44	911	1	−	−	NUM
ejde-44	911	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	911	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	911	4	∂v	∂v	PROPN
ejde-44	911	5	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	911	6	(	(	PUNCT
ejde-44	911	7	x)v(x)dσ	x)v(x)dσ	PROPN
ejde-44	911	8	+	+	CCONJ
ejde-44	911	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	911	10	ω	ω	X
ejde-44	911	11	‖∇v(x)‖2dx	‖∇v(x)‖2dx	PROPN
ejde-44	911	12	=	=	SYM
ejde-44	911	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	911	14	ω	ω	PROPN
ejde-44	911	15	‖∇v(x)‖2dx	‖∇v(x)‖2dx	PROPN
ejde-44	911	16	≥	≥	NUM
ejde-44	911	17	0	0	NUM
ejde-44	911	18	,	,	PUNCT
ejde-44	911	19	∀	∀	X
ejde-44	911	20	v	v	ADP
ejde-44	911	21	∈	∈	PRON
ejde-44	911	22	d(an	d(an	PROPN
ejde-44	911	23	)	)	PUNCT
ejde-44	911	24	.	.	PUNCT
ejde-44	912	1	(	(	PUNCT
ejde-44	912	2	56	56	NUM
ejde-44	912	3	)	)	PUNCT
ejde-44	912	4	since	since	SCONJ
ejde-44	912	5	the	the	DET
ejde-44	912	6	equation	equation	NOUN
ejde-44	912	7	λv	λv	X
ejde-44	912	8	−	−	PROPN
ejde-44	913	1	∆v	∆v	PROPN
ejde-44	913	2	=	=	PUNCT
ejde-44	913	3	f	f	PROPN
ejde-44	913	4	has	have	VERB
ejde-44	913	5	unique	unique	ADJ
ejde-44	913	6	solution	solution	NOUN
ejde-44	913	7	in	in	ADP
ejde-44	913	8	d(an	d(an	PROPN
ejde-44	913	9	)	)	PUNCT
ejde-44	913	10	for	for	ADP
ejde-44	913	11	every	every	DET
ejde-44	913	12	f	f	PROPN
ejde-44	913	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	913	14	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-44	913	15	)	)	PUNCT
ejde-44	913	16	,	,	PUNCT
ejde-44	913	17	λ	λ	X
ejde-44	913	18	>	>	X
ejde-44	913	19	0	0	NUM
ejde-44	914	1	it	it	PRON
ejde-44	914	2	follows	follow	VERB
ejde-44	914	3	that	that	SCONJ
ejde-44	914	4	an	an	DET
ejde-44	914	5	is	be	AUX
ejde-44	914	6	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	914	7	(	(	PUNCT
ejde-44	914	8	see	see	VERB
ejde-44	914	9	[	[	X
ejde-44	914	10	6	6	NUM
ejde-44	914	11	]	]	NUM
ejde-44	914	12	)	)	PUNCT
ejde-44	914	13	.	.	PUNCT
ejde-44	915	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	915	2	,	,	PUNCT
ejde-44	915	3	it	it	PRON
ejde-44	915	4	is	be	AUX
ejde-44	915	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	915	6	(	(	PUNCT
ejde-44	915	7	anv1	anv1	NOUN
ejde-44	915	8	,	,	PUNCT
ejde-44	915	9	v2	v2	PROPN
ejde-44	915	10	)	)	PUNCT
ejde-44	915	11	=	=	SYM
ejde-44	916	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	916	2	ω	ω	PROPN
ejde-44	916	3	∇v1(x	∇v1(x	NUM
ejde-44	916	4	)	)	PUNCT
ejde-44	916	5	·	·	PUNCT
ejde-44	917	1	∇v2(x)dx	∇v2(x)dx	ADJ
ejde-44	917	2	=	=	SYM
ejde-44	917	3	(	(	PUNCT
ejde-44	917	4	v1	v1	PROPN
ejde-44	917	5	,	,	PUNCT
ejde-44	917	6	anv2	anv2	PROPN
ejde-44	917	7	)	)	PUNCT
ejde-44	917	8	,	,	PUNCT
ejde-44	917	9	∀	∀	X
ejde-44	917	10	v1	v1	NOUN
ejde-44	917	11	,	,	PUNCT
ejde-44	917	12	v2	v2	PROPN
ejde-44	917	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	917	14	d(an	d(an	PROPN
ejde-44	917	15	)	)	PUNCT
ejde-44	917	16	.	.	PUNCT
ejde-44	918	1	note	note	VERB
ejde-44	918	2	that	that	SCONJ
ejde-44	918	3	by	by	ADP
ejde-44	918	4	the	the	DET
ejde-44	918	5	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	918	6	the	the	DET
ejde-44	918	7	second	second	ADJ
ejde-44	918	8	member	member	NOUN
ejde-44	918	9	in	in	ADP
ejde-44	918	10	(	(	PUNCT
ejde-44	918	11	54	54	NUM
ejde-44	918	12	)	)	PUNCT
ejde-44	918	13	f	f	NOUN
ejde-44	919	1	−u′0	−u′0	PRON
ejde-44	919	2	+	+	NOUN
ejde-44	919	3	∆u0	∆u0	PROPN
ejde-44	919	4	belongs	belong	VERB
ejde-44	919	5	to	to	ADP
ejde-44	919	6	c1(r;l2(ω	c1(r;l2(ω	NOUN
ejde-44	919	7	)	)	PUNCT
ejde-44	919	8	)	)	PUNCT
ejde-44	919	9	.	.	PUNCT
ejde-44	920	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	920	2	the	the	DET
ejde-44	920	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-44	920	4	3.8	3.8	NUM
ejde-44	920	5	applies	apply	VERB
ejde-44	920	6	and	and	CCONJ
ejde-44	920	7	hence	hence	ADV
ejde-44	920	8	the	the	DET
ejde-44	920	9	problem	problem	NOUN
ejde-44	920	10	(	(	PUNCT
ejde-44	920	11	54	54	NUM
ejde-44	920	12	)	)	PUNCT
ejde-44	920	13	,	,	PUNCT
ejde-44	920	14	(	(	PUNCT
ejde-44	920	15	55	55	NUM
ejde-44	920	16	)	)	PUNCT
ejde-44	920	17	has	have	VERB
ejde-44	920	18	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	920	19	solutions	solution	NOUN
ejde-44	920	20	if	if	SCONJ
ejde-44	921	1	and	and	CCONJ
ejde-44	921	2	only	only	ADV
ejde-44	921	3	if	if	SCONJ
ejde-44	921	4	there	there	PRON
ejde-44	921	5	is	be	VERB
ejde-44	921	6	w	w	PROPN
ejde-44	921	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	921	8	d(an	d(an	NOUN
ejde-44	921	9	)	)	PUNCT
ejde-44	922	1	such	such	ADJ
ejde-44	922	2	that	that	DET
ejde-44	922	3	−∆w	−∆w	NUM
ejde-44	923	1	=	=	SYM
ejde-44	923	2	1	1	NUM
ejde-44	923	3	t	t	NOUN
ejde-44	923	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	923	5	t	t	PROPN
ejde-44	923	6	0	0	NUM
ejde-44	923	7	{	{	PUNCT
ejde-44	923	8	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	923	9	du0	du0	NOUN
ejde-44	923	10	dt	dt	X
ejde-44	923	11	(	(	PUNCT
ejde-44	923	12	t	t	PROPN
ejde-44	923	13	)	)	PUNCT
ejde-44	923	14	+	+	NOUN
ejde-44	923	15	∆u0(t)}dt	∆u0(t)}dt	ADV
ejde-44	923	16	.	.	PROPN
ejde-44	924	1	since	since	SCONJ
ejde-44	924	2	u0	u0	PROPN
ejde-44	924	3	is	be	AUX
ejde-44	924	4	t	t	NOUN
ejde-44	924	5	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	924	6	we	we	PRON
ejde-44	924	7	have	have	VERB
ejde-44	924	8	∫	∫	PROPN
ejde-44	924	9	t	t	PROPN
ejde-44	924	10	0	0	NUM
ejde-44	925	1	du0	du0	NOUN
ejde-44	925	2	dt	dt	X
ejde-44	925	3	(	(	PUNCT
ejde-44	926	1	t)dt	t)dt	PROPN
ejde-44	926	2	=	=	SYM
ejde-44	926	3	0	0	NUM
ejde-44	926	4	and	and	CCONJ
ejde-44	926	5	thus	thus	ADV
ejde-44	926	6	w	w	X
ejde-44	926	7	+	+	NUM
ejde-44	926	8	1	1	NUM
ejde-44	926	9	t	t	NOUN
ejde-44	926	10	∫	∫	PROPN
ejde-44	926	11	t	t	PROPN
ejde-44	926	12	0	0	NUM
ejde-44	927	1	u0(t)dt	u0(t)dt	PROPN
ejde-44	927	2	is	be	AUX
ejde-44	927	3	solution	solution	NOUN
ejde-44	927	4	for	for	ADP
ejde-44	927	5	the	the	DET
ejde-44	927	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-44	927	7	problem	problem	NOUN
ejde-44	927	8	−∆	−∆	PROPN
ejde-44	928	1	(	(	PUNCT
ejde-44	928	2	w	w	X
ejde-44	928	3	+	+	NUM
ejde-44	928	4	1	1	NUM
ejde-44	928	5	t	t	NOUN
ejde-44	928	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	928	7	t	t	PROPN
ejde-44	928	8	0	0	NUM
ejde-44	928	9	u0(t)dt	u0(t)dt	NOUN
ejde-44	928	10	)	)	PUNCT
ejde-44	928	11	=	=	SYM
ejde-44	929	1	1	1	NUM
ejde-44	929	2	t	t	NOUN
ejde-44	929	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	929	4	t	t	PROPN
ejde-44	929	5	0	0	NUM
ejde-44	929	6	f(t)dt	f(t)dt	PROPN
ejde-44	929	7	=	=	SYM
ejde-44	929	8	f	f	PROPN
ejde-44	929	9	,	,	PUNCT
ejde-44	929	10	with	with	ADP
ejde-44	929	11	the	the	DET
ejde-44	929	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-44	929	13	condition	condition	NOUN
ejde-44	929	14	∂	∂	NOUN
ejde-44	930	1	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	930	2	(	(	PUNCT
ejde-44	930	3	w	w	PROPN
ejde-44	930	4	+	+	NUM
ejde-44	930	5	1	1	NUM
ejde-44	930	6	t	t	NOUN
ejde-44	930	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	930	8	t	t	PROPN
ejde-44	930	9	0	0	NUM
ejde-44	930	10	u0(t)dt	u0(t)dt	NOUN
ejde-44	930	11	)	)	PUNCT
ejde-44	931	1	=	=	PUNCT
ejde-44	932	1	∂w	∂w	PROPN
ejde-44	933	1	∂n	∂n	NOUN
ejde-44	933	2	+	+	CCONJ
ejde-44	933	3	1	1	NUM
ejde-44	933	4	t	t	NOUN
ejde-44	933	5	∫	∫	PROPN
ejde-44	933	6	t	t	PROPN
ejde-44	933	7	0	0	NUM
ejde-44	933	8	∂u0	∂u0	PROPN
ejde-44	933	9	∂n	∂n	PROPN
ejde-44	933	10	(	(	PUNCT
ejde-44	933	11	t)dt	t)dt	PROPN
ejde-44	933	12	=	=	SYM
ejde-44	933	13	1	1	NUM
ejde-44	933	14	t	t	NOUN
ejde-44	933	15	∫	∫	PROPN
ejde-44	933	16	t	t	PROPN
ejde-44	933	17	0	0	NUM
ejde-44	933	18	g(t)dt	g(t)dt	PROPN
ejde-44	933	19	=	=	SYM
ejde-44	933	20	g.	g.	PROPN
ejde-44	933	21	as	as	SCONJ
ejde-44	933	22	known	know	VERB
ejde-44	933	23	from	from	ADP
ejde-44	933	24	the	the	DET
ejde-44	933	25	general	general	ADJ
ejde-44	933	26	theory	theory	NOUN
ejde-44	933	27	of	of	ADP
ejde-44	933	28	partial	partial	ADJ
ejde-44	933	29	differential	differential	ADJ
ejde-44	933	30	equations	equation	NOUN
ejde-44	933	31	(	(	PUNCT
ejde-44	933	32	see	see	VERB
ejde-44	933	33	[	[	X
ejde-44	933	34	6	6	NUM
ejde-44	933	35	]	]	PUNCT
ejde-44	933	36	)	)	PUNCT
ejde-44	933	37	this	this	DET
ejde-44	933	38	problem	problem	NOUN
ejde-44	933	39	has	have	VERB
ejde-44	933	40	solution	solution	NOUN
ejde-44	933	41	if	if	SCONJ
ejde-44	933	42	and	and	CCONJ
ejde-44	933	43	only	only	ADV
ejde-44	934	1	if	if	SCONJ
ejde-44	934	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	934	3	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-44	934	4	g(x)dσ	g(x)dσ	X
ejde-44	934	5	+	+	NUM
ejde-44	934	6	∫	∫	PROPN
ejde-44	934	7	ω	ω	NUM
ejde-44	934	8	f	f	X
ejde-44	934	9	(	(	PUNCT
ejde-44	934	10	x)dx	x)dx	PROPN
ejde-44	934	11	=	=	SYM
ejde-44	934	12	0	0	NUM
ejde-44	934	13	or∫	or∫	PROPN
ejde-44	934	14	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-44	934	15	∫	∫	PROPN
ejde-44	934	16	t	t	PROPN
ejde-44	934	17	0	0	NUM
ejde-44	934	18	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	934	19	,	,	PUNCT
ejde-44	934	20	x)dtdσ	x)dtdσ	PUNCT
ejde-44	935	1	+	+	CCONJ
ejde-44	935	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	935	3	ω	ω	NUM
ejde-44	935	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	935	5	t	t	PROPN
ejde-44	935	6	0	0	NUM
ejde-44	935	7	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	935	8	,	,	PUNCT
ejde-44	935	9	x)dtdx	x)dtdx	PROPN
ejde-44	935	10	=	=	PUNCT
ejde-44	936	1	0	0	X
ejde-44	936	2	.	.	PUNCT
ejde-44	937	1	the	the	DET
ejde-44	937	2	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	937	3	(	(	PUNCT
ejde-44	937	4	53	53	NUM
ejde-44	937	5	)	)	PUNCT
ejde-44	937	6	follows	follow	VERB
ejde-44	937	7	from	from	ADP
ejde-44	937	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-44	937	9	3.8	3.8	NUM
ejde-44	937	10	.	.	PUNCT
ejde-44	938	1	for	for	ADP
ejde-44	938	2	the	the	DET
ejde-44	938	3	heat	heat	NOUN
ejde-44	938	4	equation	equation	NOUN
ejde-44	938	5	with	with	ADP
ejde-44	938	6	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-44	938	7	boundary	boundary	PROPN
ejde-44	938	8	condition	condition	NOUN
ejde-44	938	9	we	we	PRON
ejde-44	938	10	have	have	VERB
ejde-44	938	11	the	the	DET
ejde-44	938	12	following	follow	VERB
ejde-44	938	13	existence	existence	NOUN
ejde-44	938	14	result	result	NOUN
ejde-44	938	15	.	.	PUNCT
ejde-44	939	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	939	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	939	3	33	33	NUM
ejde-44	939	4	theorem	theorem	VERB
ejde-44	939	5	3.13	3.13	NUM
ejde-44	939	6	assume	assume	VERB
ejde-44	939	7	that	that	SCONJ
ejde-44	939	8	f	f	PROPN
ejde-44	939	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	939	10	c1(r;l2(ω	c1(r;l2(ω	PROPN
ejde-44	939	11	)	)	PUNCT
ejde-44	939	12	)	)	PUNCT
ejde-44	940	1	is	be	AUX
ejde-44	940	2	t	t	NOUN
ejde-44	940	3	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	940	4	and	and	CCONJ
ejde-44	940	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-44	940	6	,	,	PUNCT
ejde-44	940	7	x	x	X
ejde-44	940	8	)	)	PUNCT
ejde-44	940	9	=	=	SYM
ejde-44	941	1	u0(t	u0(t	PROPN
ejde-44	941	2	,	,	PUNCT
ejde-44	941	3	x	x	X
ejde-44	941	4	)	)	PUNCT
ejde-44	941	5	,	,	PUNCT
ejde-44	941	6	(	(	PUNCT
ejde-44	941	7	t	t	PROPN
ejde-44	941	8	,	,	PUNCT
ejde-44	941	9	x	x	NOUN
ejde-44	941	10	)	)	PUNCT
ejde-44	941	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	941	12	r×∂ω	r×∂ω	NOUN
ejde-44	941	13	where	where	SCONJ
ejde-44	941	14	u0	u0	PROPN
ejde-44	941	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	941	16	c1(r;h2(ω))∩c2(r;l2(ω	c1(r;h2(ω))∩c2(r;l2(ω	NOUN
ejde-44	941	17	)	)	PUNCT
ejde-44	941	18	)	)	PUNCT
ejde-44	941	19	is	be	AUX
ejde-44	941	20	t	t	PROPN
ejde-44	941	21	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	941	22	.	.	PUNCT
ejde-44	942	1	then	then	ADV
ejde-44	942	2	the	the	DET
ejde-44	942	3	heat	heat	NOUN
ejde-44	942	4	problem	problem	NOUN
ejde-44	942	5	(	(	PUNCT
ejde-44	942	6	50	50	NUM
ejde-44	942	7	)	)	PUNCT
ejde-44	942	8	,	,	PUNCT
ejde-44	942	9	(	(	PUNCT
ejde-44	942	10	51	51	NUM
ejde-44	942	11	)	)	PUNCT
ejde-44	942	12	has	have	VERB
ejde-44	942	13	an	an	DET
ejde-44	942	14	unique	unique	ADJ
ejde-44	942	15	t	t	NOUN
ejde-44	942	16	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	942	17	solution	solution	NOUN
ejde-44	942	18	u	u	NOUN
ejde-44	942	19	in	in	ADP
ejde-44	942	20	c(r;h2(ω	c(r;h2(ω	ADV
ejde-44	942	21	)	)	PUNCT
ejde-44	942	22	)	)	PUNCT
ejde-44	942	23	∩	∩	NOUN
ejde-44	942	24	c1(r;l2(ω	c1(r;l2(ω	ADJ
ejde-44	942	25	)	)	PUNCT
ejde-44	942	26	)	)	PUNCT
ejde-44	943	1	and	and	CCONJ
ejde-44	943	2	there	there	PRON
ejde-44	943	3	is	be	VERB
ejde-44	943	4	a	a	DET
ejde-44	943	5	constant	constant	ADJ
ejde-44	943	6	c(ω	c(ω	NOUN
ejde-44	943	7	)	)	PUNCT
ejde-44	943	8	such	such	ADJ
ejde-44	943	9	that	that	SCONJ
ejde-44	943	10	‖u−	‖u−	PROPN
ejde-44	943	11	u0‖l∞([0,t	u0‖l∞([0,t	NOUN
ejde-44	943	12	]	]	X
ejde-44	943	13	;	;	PUNCT
ejde-44	943	14	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	943	15	)	)	PUNCT
ejde-44	943	16	)	)	PUNCT
ejde-44	943	17	≤	≤	NOUN
ejde-44	943	18	c(ω)‖f	c(ω)‖f	NOUN
ejde-44	943	19	+	+	CCONJ
ejde-44	943	20	∆u0‖l∞([0,t	∆u0‖l∞([0,t	NOUN
ejde-44	943	21	]	]	X
ejde-44	943	22	;	;	PUNCT
ejde-44	943	23	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	943	24	)	)	PUNCT
ejde-44	943	25	)	)	PUNCT
ejde-44	944	1	+	+	CCONJ
ejde-44	944	2	√	√	NUM
ejde-44	944	3	t	t	NOUN
ejde-44	944	4	2	2	NUM
ejde-44	944	5	‖f	‖f	ADP
ejde-44	944	6	−	−	PROPN
ejde-44	944	7	u′0	u′0	NOUN
ejde-44	945	1	+	+	X
ejde-44	945	2	∆u0‖l2(]0,t	∆u0‖l2(]0,t	NOUN
ejde-44	945	3	[	[	X
ejde-44	945	4	;	;	PUNCT
ejde-44	945	5	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	945	6	)	)	PUNCT
ejde-44	945	7	)	)	PUNCT
ejde-44	946	1	+	+	CCONJ
ejde-44	946	2	t	t	X
ejde-44	946	3	2	2	NUM
ejde-44	946	4	‖f	‖f	PRON
ejde-44	946	5	′	′	NUM
ejde-44	946	6	−	−	NOUN
ejde-44	946	7	u′′0	u′′0	ADP
ejde-44	946	8	+	+	NUM
ejde-44	946	9	∆u′0‖l1(]0,t	∆u′0‖l1(]0,t	NOUN
ejde-44	946	10	[	[	X
ejde-44	946	11	;	;	PUNCT
ejde-44	946	12	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	946	13	)	)	PUNCT
ejde-44	946	14	)	)	PUNCT
ejde-44	946	15	,	,	PUNCT
ejde-44	946	16	(	(	PUNCT
ejde-44	946	17	57	57	NUM
ejde-44	946	18	)	)	PUNCT
ejde-44	946	19	and	and	CCONJ
ejde-44	946	20	‖u′	‖u′	NUM
ejde-44	946	21	−	−	NOUN
ejde-44	947	1	u′0‖l∞([0,t	u′0‖l∞([0,t	NOUN
ejde-44	947	2	]	]	X
ejde-44	947	3	;	;	PUNCT
ejde-44	947	4	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	947	5	)	)	PUNCT
ejde-44	947	6	)	)	PUNCT
ejde-44	948	1	≤	≤	NUM
ejde-44	948	2	1√	1√	PROPN
ejde-44	948	3	t	t	NOUN
ejde-44	948	4	‖f	‖f	PUNCT
ejde-44	948	5	−	−	PROPN
ejde-44	949	1	u′0	u′0	NOUN
ejde-44	950	1	+	+	X
ejde-44	950	2	∆u0‖l2(]0,t	∆u0‖l2(]0,t	NOUN
ejde-44	950	3	[	[	X
ejde-44	950	4	;	;	PUNCT
ejde-44	950	5	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	950	6	)	)	PUNCT
ejde-44	950	7	)	)	PUNCT
ejde-44	951	1	+	+	ADP
ejde-44	951	2	‖f	‖f	ADP
ejde-44	951	3	′	′	NUM
ejde-44	951	4	−	−	NOUN
ejde-44	951	5	u′′0	u′′0	ADP
ejde-44	951	6	+	+	NUM
ejde-44	951	7	∆u′0‖l1(]0,t	∆u′0‖l1(]0,t	NOUN
ejde-44	951	8	[	[	X
ejde-44	951	9	;	;	PUNCT
ejde-44	951	10	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	951	11	)	)	PUNCT
ejde-44	951	12	)	)	PUNCT
ejde-44	951	13	.	.	PUNCT
ejde-44	952	1	(	(	PUNCT
ejde-44	952	2	58	58	X
ejde-44	952	3	)	)	PUNCT
ejde-44	952	4	proof	proof	NOUN
ejde-44	952	5	this	this	DET
ejde-44	952	6	time	time	NOUN
ejde-44	952	7	we	we	PRON
ejde-44	952	8	consider	consider	VERB
ejde-44	952	9	the	the	DET
ejde-44	952	10	operator	operator	NOUN
ejde-44	952	11	ad	ad	NOUN
ejde-44	952	12	:	:	PUNCT
ejde-44	952	13	d(ad	d(ad	PROPN
ejde-44	952	14	)	)	PUNCT
ejde-44	952	15	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	952	16	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-44	952	17	)	)	PUNCT
ejde-44	952	18	→	→	SYM
ejde-44	952	19	l2(ω	l2(ω	CCONJ
ejde-44	952	20	)	)	PUNCT
ejde-44	952	21	given	give	VERB
ejde-44	952	22	as	as	ADP
ejde-44	952	23	adv	adv	PROPN
ejde-44	952	24	=	=	NOUN
ejde-44	952	25	−∆v	−∆v	NUM
ejde-44	952	26	with	with	ADP
ejde-44	952	27	domain	domain	NOUN
ejde-44	952	28	d(ad	d(ad	NOUN
ejde-44	952	29	)	)	PUNCT
ejde-44	952	30	=	=	PRON
ejde-44	952	31	{	{	PUNCT
ejde-44	952	32	v	v	NUM
ejde-44	952	33	∈	∈	PROPN
ejde-44	952	34	h2(ω	h2(ω	NOUN
ejde-44	952	35	)	)	PUNCT
ejde-44	952	36	:	:	PUNCT
ejde-44	953	1	v(x	v(x	NOUN
ejde-44	953	2	)	)	PUNCT
ejde-44	953	3	=	=	SYM
ejde-44	953	4	0	0	NUM
ejde-44	953	5	,	,	PUNCT
ejde-44	953	6	∀x	∀x	VERB
ejde-44	953	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	953	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	953	9	}	}	PUNCT
ejde-44	953	10	,	,	PUNCT
ejde-44	953	11	as	as	SCONJ
ejde-44	953	12	before	before	SCONJ
ejde-44	953	13	ad	ad	NOUN
ejde-44	953	14	is	be	AUX
ejde-44	953	15	linear	linear	ADJ
ejde-44	953	16	,	,	PUNCT
ejde-44	953	17	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	953	18	and	and	CCONJ
ejde-44	953	19	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-44	953	20	and	and	CCONJ
ejde-44	953	21	thus	thus	ADV
ejde-44	953	22	our	our	PRON
ejde-44	953	23	problem	problem	NOUN
ejde-44	953	24	reduces	reduce	VERB
ejde-44	953	25	to	to	ADP
ejde-44	953	26	the	the	DET
ejde-44	953	27	existence	existence	NOUN
ejde-44	953	28	for	for	ADP
ejde-44	953	29	an	an	DET
ejde-44	953	30	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-44	953	31	equation	equation	NOUN
ejde-44	953	32	:	:	PUNCT
ejde-44	953	33	−∆w	−∆w	NOUN
ejde-44	954	1	=	=	SYM
ejde-44	954	2	1	1	NUM
ejde-44	954	3	t	t	NOUN
ejde-44	954	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	954	5	t	t	PROPN
ejde-44	954	6	0	0	NUM
ejde-44	954	7	{	{	PUNCT
ejde-44	954	8	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	954	9	)	)	PUNCT
ejde-44	954	10	+	+	PUNCT
ejde-44	954	11	∆u0(t)}dt	∆u0(t)}dt	ADV
ejde-44	954	12	,	,	PUNCT
ejde-44	954	13	with	with	ADP
ejde-44	954	14	homogenous	homogenous	ADJ
ejde-44	954	15	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-44	954	16	boundary	boundary	NOUN
ejde-44	954	17	condition	condition	NOUN
ejde-44	954	18	w	w	NOUN
ejde-44	954	19	=	=	NOUN
ejde-44	954	20	0	0	NUM
ejde-44	954	21	on	on	ADP
ejde-44	954	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-44	954	23	.	.	PUNCT
ejde-44	955	1	since	since	SCONJ
ejde-44	955	2	the	the	DET
ejde-44	955	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	955	4	problem	problem	NOUN
ejde-44	955	5	has	have	VERB
ejde-44	955	6	a	a	DET
ejde-44	955	7	unique	unique	ADJ
ejde-44	955	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	955	9	verifying	verify	VERB
ejde-44	955	10	‖w‖l2(ω	‖w‖l2(ω	NOUN
ejde-44	955	11	)	)	PUNCT
ejde-44	955	12	≤	≤	NUM
ejde-44	955	13	c(ω)‖	c(ω)‖	NOUN
ejde-44	956	1	1	1	NUM
ejde-44	956	2	t	t	NOUN
ejde-44	956	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	956	4	t	t	PROPN
ejde-44	956	5	0	0	NUM
ejde-44	956	6	{	{	PUNCT
ejde-44	956	7	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	956	8	)	)	PUNCT
ejde-44	956	9	+	+	CCONJ
ejde-44	956	10	∆u0(t)}dt‖l2(ω	∆u0(t)}dt‖l2(ω	ADV
ejde-44	956	11	)	)	PUNCT
ejde-44	956	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	956	13	c(ω)‖f	c(ω)‖f	NOUN
ejde-44	956	14	+	+	CCONJ
ejde-44	956	15	∆u0‖l∞([0,t	∆u0‖l∞([0,t	NOUN
ejde-44	956	16	]	]	X
ejde-44	956	17	;	;	PUNCT
ejde-44	956	18	l2(ω	l2(ω	NUM
ejde-44	956	19	)	)	PUNCT
ejde-44	956	20	)	)	PUNCT
ejde-44	957	1	,	,	PUNCT
ejde-44	957	2	(	(	PUNCT
ejde-44	957	3	59	59	NUM
ejde-44	957	4	)	)	PUNCT
ejde-44	957	5	we	we	PRON
ejde-44	957	6	prove	prove	VERB
ejde-44	957	7	the	the	DET
ejde-44	957	8	existence	existence	NOUN
ejde-44	957	9	for	for	ADP
ejde-44	957	10	(	(	PUNCT
ejde-44	957	11	50	50	NUM
ejde-44	957	12	)	)	PUNCT
ejde-44	957	13	,	,	PUNCT
ejde-44	957	14	(	(	PUNCT
ejde-44	957	15	51	51	NUM
ejde-44	957	16	)	)	PUNCT
ejde-44	957	17	.	.	PUNCT
ejde-44	958	1	here	here	ADV
ejde-44	958	2	we	we	PRON
ejde-44	958	3	denote	denote	VERB
ejde-44	958	4	by	by	ADP
ejde-44	958	5	c(ω	c(ω	NOUN
ejde-44	958	6	)	)	PUNCT
ejde-44	958	7	the	the	DET
ejde-44	958	8	poincaré	poincaré	NOUN
ejde-44	958	9	’s	’s	NOUN
ejde-44	958	10	constant,(∫	constant,(∫	PROPN
ejde-44	958	11	ω	ω	PROPN
ejde-44	958	12	|w(x)|2dx	|w(x)|2dx	PROPN
ejde-44	958	13	)	)	PUNCT
ejde-44	958	14	1/2	1/2	NUM
ejde-44	958	15	≤	≤	NUM
ejde-44	958	16	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-44	958	17	)	)	PUNCT
ejde-44	958	18	(	(	PUNCT
ejde-44	958	19	∫	∫	PROPN
ejde-44	958	20	ω	ω	PROPN
ejde-44	958	21	‖∇w(x)‖2dx	‖∇w(x)‖2dx	PROPN
ejde-44	958	22	)	)	PUNCT
ejde-44	958	23	1/2	1/2	NUM
ejde-44	958	24	,	,	PUNCT
ejde-44	958	25	∀w	∀w	PROPN
ejde-44	958	26	∈	∈	PROPN
ejde-44	958	27	h1	h1	NOUN
ejde-44	958	28	0	0	NUM
ejde-44	958	29	(	(	PUNCT
ejde-44	958	30	ω	ω	NOUN
ejde-44	958	31	)	)	PUNCT
ejde-44	958	32	.	.	PUNCT
ejde-44	959	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	959	2	in	in	ADP
ejde-44	959	3	this	this	DET
ejde-44	959	4	case	case	NOUN
ejde-44	959	5	the	the	DET
ejde-44	959	6	operator	operator	NOUN
ejde-44	959	7	ad	ad	NOUN
ejde-44	959	8	is	be	AUX
ejde-44	959	9	strictly	strictly	ADV
ejde-44	959	10	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	959	11	.	.	PUNCT
ejde-44	960	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	960	2	,	,	PUNCT
ejde-44	960	3	by	by	ADP
ejde-44	960	4	using	use	VERB
ejde-44	960	5	the	the	DET
ejde-44	960	6	poincaré	poincaré	ADJ
ejde-44	960	7	’s	’s	PART
ejde-44	960	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-44	960	9	,	,	PUNCT
ejde-44	960	10	for	for	ADP
ejde-44	960	11	each	each	DET
ejde-44	960	12	v	v	ADP
ejde-44	960	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	960	14	d(ad	d(ad	PROPN
ejde-44	960	15	)	)	PUNCT
ejde-44	960	16	,	,	PUNCT
ejde-44	960	17	we	we	PRON
ejde-44	960	18	have	have	VERB
ejde-44	960	19	have(∫	have(∫	NOUN
ejde-44	960	20	ω	ω	X
ejde-44	960	21	|v(x)|2dx	|v(x)|2dx	ADJ
ejde-44	960	22	)	)	PUNCT
ejde-44	960	23	1/2	1/2	NUM
ejde-44	960	24	≤	≤	NUM
ejde-44	960	25	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-44	960	26	)	)	PUNCT
ejde-44	960	27	(	(	PUNCT
ejde-44	960	28	∫	∫	PROPN
ejde-44	960	29	ω	ω	NUM
ejde-44	960	30	‖∇v(x)‖2dx	‖∇v(x)‖2dx	PROPN
ejde-44	960	31	)	)	PUNCT
ejde-44	960	32	1/2	1/2	NUM
ejde-44	960	33	=	=	SYM
ejde-44	960	34	c(ω)(adv	c(ω)(adv	PROPN
ejde-44	960	35	,	,	PUNCT
ejde-44	960	36	v)1/2	v)1/2	PROPN
ejde-44	960	37	.	.	PUNCT
ejde-44	961	1	hence	hence	ADV
ejde-44	961	2	if	if	SCONJ
ejde-44	961	3	(	(	PUNCT
ejde-44	961	4	adv	adv	NOUN
ejde-44	961	5	,	,	PUNCT
ejde-44	961	6	v	v	NOUN
ejde-44	961	7	)	)	PUNCT
ejde-44	961	8	=	=	SYM
ejde-44	961	9	0	0	NUM
ejde-44	961	10	we	we	PRON
ejde-44	961	11	deduce	deduce	VERB
ejde-44	961	12	that	that	PRON
ejde-44	961	13	v	v	NOUN
ejde-44	961	14	=	=	SYM
ejde-44	961	15	0	0	NUM
ejde-44	961	16	.	.	PUNCT
ejde-44	962	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	962	2	,	,	PUNCT
ejde-44	962	3	by	by	ADP
ejde-44	962	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	962	5	3.2	3.2	NUM
ejde-44	962	6	we	we	PRON
ejde-44	962	7	deduce	deduce	VERB
ejde-44	962	8	the	the	DET
ejde-44	962	9	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	962	10	of	of	ADP
ejde-44	962	11	the	the	DET
ejde-44	962	12	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	962	13	solution	solution	NOUN
ejde-44	962	14	for	for	ADP
ejde-44	962	15	(	(	PUNCT
ejde-44	962	16	50	50	NUM
ejde-44	962	17	)	)	PUNCT
ejde-44	962	18	,	,	PUNCT
ejde-44	962	19	(	(	PUNCT
ejde-44	962	20	51	51	NUM
ejde-44	962	21	)	)	PUNCT
ejde-44	962	22	.	.	PUNCT
ejde-44	963	1	the	the	DET
ejde-44	963	2	estimates	estimate	NOUN
ejde-44	963	3	of	of	ADP
ejde-44	963	4	the	the	DET
ejde-44	963	5	solution	solution	NOUN
ejde-44	963	6	follow	follow	VERB
ejde-44	963	7	immediately	immediately	ADV
ejde-44	963	8	from	from	ADP
ejde-44	963	9	(	(	PUNCT
ejde-44	963	10	59	59	NUM
ejde-44	963	11	)	)	PUNCT
ejde-44	963	12	and	and	CCONJ
ejde-44	963	13	theorem	theorem	VERB
ejde-44	963	14	3.8	3.8	NUM
ejde-44	963	15	.	.	PUNCT
ejde-44	964	1	34	34	NUM
ejde-44	964	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	964	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	964	4	for	for	ADP
ejde-44	964	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	964	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	964	7	3.4	3.4	NUM
ejde-44	964	8	non	non	ADJ
ejde-44	964	9	-	-	ADJ
ejde-44	964	10	linear	linear	ADJ
ejde-44	964	11	case	case	NOUN
ejde-44	964	12	throughout	throughout	ADP
ejde-44	964	13	this	this	DET
ejde-44	964	14	section	section	NOUN
ejde-44	964	15	we	we	PRON
ejde-44	964	16	will	will	AUX
ejde-44	964	17	consider	consider	VERB
ejde-44	964	18	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	964	19	equations	equation	NOUN
ejde-44	964	20	associated	associate	VERB
ejde-44	964	21	to	to	ADP
ejde-44	964	22	subdifferential	subdifferential	ADJ
ejde-44	964	23	operators	operator	NOUN
ejde-44	964	24	.	.	PUNCT
ejde-44	965	1	let	let	VERB
ejde-44	965	2	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	965	3	:	:	PUNCT
ejde-44	965	4	h	h	NOUN
ejde-44	965	5	→]−∞,+∞	→]−∞,+∞	X
ejde-44	965	6	]	]	PUNCT
ejde-44	965	7	be	be	VERB
ejde-44	965	8	a	a	DET
ejde-44	965	9	lower	lower	ADV
ejde-44	965	10	-	-	PUNCT
ejde-44	965	11	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	965	12	proper	proper	ADJ
ejde-44	965	13	convex	convex	NOUN
ejde-44	965	14	function	function	NOUN
ejde-44	965	15	on	on	ADP
ejde-44	965	16	a	a	DET
ejde-44	965	17	real	real	ADJ
ejde-44	965	18	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-44	965	19	space	space	PROPN
ejde-44	965	20	h.	h.	PROPN
ejde-44	965	21	denote	denote	VERB
ejde-44	965	22	by	by	ADP
ejde-44	965	23	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	965	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	966	1	h	h	NOUN
ejde-44	966	2	×	×	NOUN
ejde-44	966	3	h	h	NOUN
ejde-44	966	4	the	the	DET
ejde-44	966	5	subdifferential	subdifferential	NOUN
ejde-44	966	6	of	of	ADP
ejde-44	966	7	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	966	8	,	,	PUNCT
ejde-44	966	9	∂ϕ(x	∂ϕ(x	PROPN
ejde-44	966	10	)	)	PUNCT
ejde-44	966	11	=	=	PRON
ejde-44	966	12	{	{	PUNCT
ejde-44	966	13	y	y	PROPN
ejde-44	966	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	966	15	h	h	NOUN
ejde-44	966	16	;	;	PUNCT
ejde-44	966	17	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-44	966	18	ϕ(u	ϕ(u	PROPN
ejde-44	966	19	)	)	PUNCT
ejde-44	966	20	≤	≤	NOUN
ejde-44	966	21	(	(	PUNCT
ejde-44	966	22	y	y	PROPN
ejde-44	966	23	,	,	PUNCT
ejde-44	966	24	x−	x−	PROPN
ejde-44	966	25	u	u	PROPN
ejde-44	966	26	)	)	PUNCT
ejde-44	966	27	,	,	PUNCT
ejde-44	966	28	∀u	∀u	NOUN
ejde-44	966	29	∈	∈	NOUN
ejde-44	966	30	h	h	NOUN
ejde-44	966	31	}	}	PUNCT
ejde-44	966	32	,	,	PUNCT
ejde-44	966	33	(	(	PUNCT
ejde-44	966	34	60	60	NUM
ejde-44	966	35	)	)	PUNCT
ejde-44	966	36	and	and	CCONJ
ejde-44	966	37	denote	denote	VERB
ejde-44	966	38	by	by	ADP
ejde-44	966	39	d(ϕ	d(ϕ	NOUN
ejde-44	966	40	)	)	PUNCT
ejde-44	966	41	the	the	DET
ejde-44	966	42	effective	effective	ADJ
ejde-44	966	43	domain	domain	NOUN
ejde-44	966	44	of	of	ADP
ejde-44	966	45	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	966	46	:	:	PUNCT
ejde-44	966	47	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	966	48	)	)	PUNCT
ejde-44	966	49	=	=	PRON
ejde-44	967	1	{	{	PUNCT
ejde-44	967	2	x	x	PUNCT
ejde-44	967	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	967	4	h	h	NOUN
ejde-44	967	5	;	;	PUNCT
ejde-44	967	6	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-44	967	7	)	)	PUNCT
ejde-44	968	1	<	<	X
ejde-44	969	1	+	+	X
ejde-44	969	2	∞	∞	NUM
ejde-44	969	3	}	}	PUNCT
ejde-44	969	4	.	.	PUNCT
ejde-44	970	1	under	under	ADP
ejde-44	970	2	the	the	DET
ejde-44	970	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	970	4	assumptions	assumption	NOUN
ejde-44	970	5	on	on	ADP
ejde-44	970	6	ϕ	ϕ	X
ejde-44	970	7	we	we	PRON
ejde-44	970	8	recall	recall	VERB
ejde-44	970	9	that	that	SCONJ
ejde-44	970	10	a	a	DET
ejde-44	970	11	=	=	X
ejde-44	970	12	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	970	13	is	be	AUX
ejde-44	970	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	970	15	monotone	monotone	NOUN
ejde-44	970	16	in	in	ADP
ejde-44	970	17	h	h	PROPN
ejde-44	970	18	×h	×h	PROPN
ejde-44	970	19	and	and	CCONJ
ejde-44	970	20	d(a	d(a	PROPN
ejde-44	970	21	)	)	PUNCT
ejde-44	971	1	=	=	SYM
ejde-44	971	2	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	971	3	)	)	PUNCT
ejde-44	971	4	.	.	PUNCT
ejde-44	972	1	consider	consider	VERB
ejde-44	972	2	the	the	DET
ejde-44	972	3	equation	equation	NOUN
ejde-44	972	4	x′(t	x′(t	VERB
ejde-44	972	5	)	)	PUNCT
ejde-44	973	1	+	+	CCONJ
ejde-44	973	2	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	973	3	)	)	PUNCT
ejde-44	973	4	3	3	NUM
ejde-44	973	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	973	6	)	)	PUNCT
ejde-44	973	7	,	,	PUNCT
ejde-44	973	8	0	0	NUM
ejde-44	973	9	<	<	X
ejde-44	973	10	t	t	X
ejde-44	973	11	<	<	X
ejde-44	973	12	t.	t.	PROPN
ejde-44	973	13	(	(	PUNCT
ejde-44	973	14	61	61	NUM
ejde-44	973	15	)	)	PUNCT
ejde-44	973	16	we	we	PRON
ejde-44	973	17	say	say	VERB
ejde-44	973	18	that	that	SCONJ
ejde-44	973	19	x	x	PRON
ejde-44	973	20	is	be	AUX
ejde-44	973	21	solution	solution	NOUN
ejde-44	973	22	for	for	ADP
ejde-44	973	23	(	(	PUNCT
ejde-44	973	24	61	61	NUM
ejde-44	973	25	)	)	PUNCT
ejde-44	973	26	if	if	SCONJ
ejde-44	973	27	x	x	SYM
ejde-44	973	28	∈	∈	PROPN
ejde-44	973	29	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	973	30	,	,	PUNCT
ejde-44	973	31	t	t	X
ejde-44	973	32	]	]	PUNCT
ejde-44	973	33	;	;	PUNCT
ejde-44	973	34	h	h	X
ejde-44	973	35	)	)	PUNCT
ejde-44	973	36	,	,	PUNCT
ejde-44	973	37	x	x	PRON
ejde-44	973	38	is	be	AUX
ejde-44	973	39	absolutely	absolutely	ADV
ejde-44	973	40	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	973	41	on	on	ADP
ejde-44	973	42	every	every	DET
ejde-44	973	43	compact	compact	NOUN
ejde-44	973	44	of	of	ADP
ejde-44	973	45	]	]	X
ejde-44	973	46	0	0	NUM
ejde-44	973	47	,	,	PUNCT
ejde-44	973	48	t	t	X
ejde-44	973	49	[	[	PUNCT
ejde-44	973	50	(	(	PUNCT
ejde-44	973	51	and	and	CCONJ
ejde-44	973	52	therefore	therefore	ADV
ejde-44	973	53	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	973	54	.	.	PROPN
ejde-44	973	55	differentiable	differentiable	VERB
ejde-44	973	56	on	on	ADP
ejde-44	973	57	]	]	X
ejde-44	973	58	0	0	NUM
ejde-44	973	59	,	,	PUNCT
ejde-44	973	60	t	t	X
ejde-44	974	1	[	[	X
ejde-44	974	2	)	)	PUNCT
ejde-44	974	3	and	and	CCONJ
ejde-44	974	4	satisfies	satisfy	VERB
ejde-44	974	5	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	974	6	)	)	PUNCT
ejde-44	974	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	974	8	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	974	9	)	)	PUNCT
ejde-44	974	10	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	974	11	.	.	PROPN
ejde-44	975	1	on	on	ADP
ejde-44	975	2	]	]	X
ejde-44	975	3	0	0	NUM
ejde-44	975	4	,	,	PUNCT
ejde-44	975	5	t	t	NOUN
ejde-44	975	6	[	[	PUNCT
ejde-44	975	7	and	and	CCONJ
ejde-44	975	8	x′(t	x′(t	ADJ
ejde-44	975	9	)	)	PUNCT
ejde-44	976	1	+	+	CCONJ
ejde-44	976	2	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	976	3	)	)	PUNCT
ejde-44	976	4	3	3	NUM
ejde-44	976	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	976	6	)	)	PUNCT
ejde-44	976	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	976	8	.	.	PROPN
ejde-44	977	1	on	on	ADP
ejde-44	977	2	]	]	X
ejde-44	977	3	0	0	NUM
ejde-44	977	4	,	,	PUNCT
ejde-44	977	5	t	t	X
ejde-44	978	1	[	[	X
ejde-44	978	2	.	.	PUNCT
ejde-44	979	1	we	we	PRON
ejde-44	979	2	have	have	VERB
ejde-44	979	3	the	the	DET
ejde-44	979	4	following	follow	VERB
ejde-44	979	5	main	main	ADJ
ejde-44	979	6	result	result	NOUN
ejde-44	979	7	[	[	X
ejde-44	979	8	1	1	NUM
ejde-44	979	9	]	]	PUNCT
ejde-44	979	10	theorem	theorem	VERB
ejde-44	979	11	3.14	3.14	NUM
ejde-44	979	12	let	let	VERB
ejde-44	979	13	f	f	PRON
ejde-44	979	14	be	be	AUX
ejde-44	979	15	given	give	VERB
ejde-44	979	16	in	in	ADP
ejde-44	979	17	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	979	18	,	,	PUNCT
ejde-44	979	19	t	t	X
ejde-44	980	1	[	[	X
ejde-44	980	2	;	;	PUNCT
ejde-44	980	3	h	h	X
ejde-44	980	4	)	)	PUNCT
ejde-44	980	5	and	and	CCONJ
ejde-44	980	6	x0	x0	PROPN
ejde-44	980	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	980	8	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	980	9	)	)	PUNCT
ejde-44	980	10	.	.	PUNCT
ejde-44	981	1	then	then	ADV
ejde-44	981	2	the	the	DET
ejde-44	981	3	cauchy	cauchy	PROPN
ejde-44	981	4	problem	problem	NOUN
ejde-44	981	5	(	(	PUNCT
ejde-44	981	6	61	61	NUM
ejde-44	981	7	)	)	PUNCT
ejde-44	981	8	with	with	ADP
ejde-44	981	9	the	the	DET
ejde-44	981	10	initial	initial	ADJ
ejde-44	981	11	condition	condition	NOUN
ejde-44	981	12	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	981	13	)	)	PUNCT
ejde-44	982	1	=	=	PUNCT
ejde-44	982	2	x0	x0	PROPN
ejde-44	982	3	has	have	VERB
ejde-44	982	4	a	a	DET
ejde-44	982	5	unique	unique	ADJ
ejde-44	982	6	solution	solution	NOUN
ejde-44	982	7	x	x	X
ejde-44	982	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	982	9	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	982	10	,	,	PUNCT
ejde-44	982	11	t	t	X
ejde-44	982	12	]	]	PUNCT
ejde-44	982	13	;	;	PUNCT
ejde-44	982	14	h	h	X
ejde-44	982	15	)	)	PUNCT
ejde-44	982	16	which	which	PRON
ejde-44	982	17	satisfies	satisfy	VERB
ejde-44	982	18	:	:	PUNCT
ejde-44	982	19	x	x	SYM
ejde-44	982	20	∈w	∈w	PROPN
ejde-44	982	21	1,2(]δ	1,2(]δ	NUM
ejde-44	982	22	,	,	PUNCT
ejde-44	982	23	t	t	X
ejde-44	983	1	[	[	X
ejde-44	983	2	;	;	PUNCT
ejde-44	983	3	h	h	X
ejde-44	983	4	)	)	PUNCT
ejde-44	983	5	∀	∀	X
ejde-44	983	6	0	0	PUNCT
ejde-44	983	7	<	<	X
ejde-44	983	8	δ	δ	PROPN
ejde-44	983	9	<	<	X
ejde-44	983	10	t	t	PROPN
ejde-44	983	11	,	,	PUNCT
ejde-44	983	12	√	√	PROPN
ejde-44	983	13	t	t	PROPN
ejde-44	983	14	·	·	PUNCT
ejde-44	983	15	x′	x′	PUNCT
ejde-44	984	1	∈	∈	PROPN
ejde-44	984	2	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	984	3	,	,	PUNCT
ejde-44	984	4	t	t	X
ejde-44	985	1	[	[	X
ejde-44	985	2	;	;	PUNCT
ejde-44	985	3	h	h	X
ejde-44	985	4	)	)	PUNCT
ejde-44	985	5	,	,	PUNCT
ejde-44	985	6	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	985	7	◦	◦	NOUN
ejde-44	985	8	x	x	SYM
ejde-44	985	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	985	10	l1(0	l1(0	PROPN
ejde-44	985	11	,	,	PUNCT
ejde-44	985	12	t	t	PROPN
ejde-44	985	13	)	)	PUNCT
ejde-44	985	14	.	.	PUNCT
ejde-44	986	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	986	2	,	,	PUNCT
ejde-44	986	3	if	if	SCONJ
ejde-44	986	4	x0	x0	PROPN
ejde-44	986	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	986	6	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	986	7	)	)	PUNCT
ejde-44	986	8	then	then	ADV
ejde-44	986	9	x′	x′	PROPN
ejde-44	986	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	986	11	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	986	12	,	,	PUNCT
ejde-44	986	13	t	t	X
ejde-44	987	1	[	[	X
ejde-44	987	2	;	;	PUNCT
ejde-44	987	3	h	h	X
ejde-44	987	4	)	)	PUNCT
ejde-44	987	5	,	,	PUNCT
ejde-44	987	6	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	987	7	◦	◦	NOUN
ejde-44	987	8	x	x	SYM
ejde-44	987	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	987	10	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-44	987	11	,	,	PUNCT
ejde-44	987	12	t	t	PROPN
ejde-44	987	13	)	)	PUNCT
ejde-44	987	14	.	.	PUNCT
ejde-44	988	1	we	we	PRON
ejde-44	988	2	are	be	AUX
ejde-44	988	3	interested	interested	ADJ
ejde-44	988	4	in	in	ADP
ejde-44	988	5	finding	find	VERB
ejde-44	988	6	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	988	7	conditions	condition	NOUN
ejde-44	988	8	on	on	ADP
ejde-44	988	9	a	a	DET
ejde-44	988	10	=	=	SYM
ejde-44	988	11	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	988	12	and	and	CCONJ
ejde-44	988	13	f	f	PROPN
ejde-44	988	14	such	such	ADJ
ejde-44	988	15	that	that	DET
ejde-44	988	16	equation	equation	NOUN
ejde-44	988	17	(	(	PUNCT
ejde-44	988	18	61	61	NUM
ejde-44	988	19	)	)	PUNCT
ejde-44	988	20	has	have	VERB
ejde-44	988	21	unique	unique	ADJ
ejde-44	988	22	t	t	NOUN
ejde-44	988	23	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	988	24	solution	solution	NOUN
ejde-44	988	25	,	,	PUNCT
ejde-44	988	26	i.e.	i.e.	X
ejde-44	988	27	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	988	28	)	)	PUNCT
ejde-44	989	1	=	=	PROPN
ejde-44	989	2	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	989	3	)	)	PUNCT
ejde-44	989	4	.	.	PUNCT
ejde-44	990	1	obviously	obviously	ADV
ejde-44	990	2	,	,	PUNCT
ejde-44	990	3	if	if	SCONJ
ejde-44	990	4	such	such	DET
ejde-44	990	5	a	a	DET
ejde-44	990	6	solution	solution	NOUN
ejde-44	990	7	exists	exist	VERB
ejde-44	990	8	,	,	PUNCT
ejde-44	990	9	by	by	ADP
ejde-44	990	10	periodicity	periodicity	NOUN
ejde-44	990	11	we	we	PRON
ejde-44	990	12	deduce	deduce	VERB
ejde-44	990	13	that	that	SCONJ
ejde-44	990	14	it	it	PRON
ejde-44	990	15	is	be	AUX
ejde-44	990	16	absolutely	absolutely	ADV
ejde-44	990	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	990	18	on	on	ADP
ejde-44	990	19	[	[	X
ejde-44	990	20	0	0	NUM
ejde-44	990	21	,	,	PUNCT
ejde-44	990	22	t	t	NOUN
ejde-44	990	23	]	]	PUNCT
ejde-44	990	24	and	and	CCONJ
ejde-44	990	25	belongs	belong	VERB
ejde-44	990	26	to	to	ADP
ejde-44	990	27	w	w	PROPN
ejde-44	990	28	1,2(]0	1,2(]0	NUM
ejde-44	990	29	,	,	PUNCT
ejde-44	990	30	t	t	X
ejde-44	991	1	[	[	X
ejde-44	991	2	;	;	PUNCT
ejde-44	991	3	h	h	X
ejde-44	991	4	)	)	PUNCT
ejde-44	991	5	.	.	PUNCT
ejde-44	992	1	it	it	PRON
ejde-44	992	2	is	be	AUX
ejde-44	992	3	well	well	ADV
ejde-44	992	4	known	know	VERB
ejde-44	992	5	that	that	SCONJ
ejde-44	992	6	if	if	SCONJ
ejde-44	992	7	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	992	8	is	be	AUX
ejde-44	992	9	strictly	strictly	ADV
ejde-44	992	10	convex	convex	ADJ
ejde-44	992	11	then	then	ADV
ejde-44	992	12	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	992	13	is	be	AUX
ejde-44	992	14	strictly	strictly	ADV
ejde-44	992	15	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	992	16	and	and	CCONJ
ejde-44	992	17	therefore	therefore	ADV
ejde-44	992	18	the	the	DET
ejde-44	992	19	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	992	20	holds	hold	VERB
ejde-44	992	21	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	992	22	3.15	3.15	NUM
ejde-44	992	23	assume	assume	VERB
ejde-44	992	24	that	that	SCONJ
ejde-44	992	25	ϕ	ϕ	X
ejde-44	992	26	:	:	PUNCT
ejde-44	992	27	h	h	NOUN
ejde-44	993	1	→]−∞,+∞	→]−∞,+∞	X
ejde-44	993	2	]	]	X
ejde-44	993	3	is	be	AUX
ejde-44	993	4	a	a	DET
ejde-44	993	5	lower	lower	ADV
ejde-44	993	6	-	-	PUNCT
ejde-44	993	7	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	993	8	proper	proper	ADJ
ejde-44	993	9	,	,	PUNCT
ejde-44	993	10	strictly	strictly	ADV
ejde-44	993	11	convex	convex	VERB
ejde-44	993	12	function	function	NOUN
ejde-44	993	13	.	.	PUNCT
ejde-44	994	1	then	then	ADV
ejde-44	994	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	994	3	(	(	PUNCT
ejde-44	994	4	61	61	NUM
ejde-44	994	5	)	)	PUNCT
ejde-44	994	6	has	have	VERB
ejde-44	994	7	at	at	ADP
ejde-44	994	8	most	most	ADV
ejde-44	994	9	one	one	NUM
ejde-44	994	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	994	11	solution	solution	NOUN
ejde-44	994	12	.	.	PUNCT
ejde-44	995	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	995	2	by	by	ADP
ejde-44	995	3	using	use	VERB
ejde-44	995	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-44	995	5	3.2	3.2	NUM
ejde-44	995	6	it	it	PRON
ejde-44	995	7	is	be	AUX
ejde-44	995	8	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-44	995	9	to	to	PART
ejde-44	995	10	prove	prove	VERB
ejde-44	995	11	that	that	SCONJ
ejde-44	995	12	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	995	13	is	be	AUX
ejde-44	995	14	strictly	strictly	ADV
ejde-44	995	15	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	995	16	.	.	PUNCT
ejde-44	996	1	suppose	suppose	VERB
ejde-44	996	2	that	that	SCONJ
ejde-44	996	3	there	there	PRON
ejde-44	996	4	are	be	VERB
ejde-44	996	5	u1	u1	NOUN
ejde-44	996	6	,	,	PUNCT
ejde-44	996	7	u2	u2	PROPN
ejde-44	996	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	996	9	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	996	10	)	)	PUNCT
ejde-44	996	11	,	,	PUNCT
ejde-44	996	12	u1	u1	PROPN
ejde-44	996	13	6=	6=	PROPN
ejde-44	996	14	u2	u2	NOUN
ejde-44	996	15	such	such	ADJ
ejde-44	996	16	that	that	SCONJ
ejde-44	996	17	(	(	PUNCT
ejde-44	996	18	∂ϕ(u1)−	∂ϕ(u1)−	PROPN
ejde-44	996	19	∂ϕ(u2	∂ϕ(u2	PROPN
ejde-44	996	20	)	)	PUNCT
ejde-44	996	21	,	,	PUNCT
ejde-44	996	22	u1	u1	NOUN
ejde-44	996	23	−	−	PROPN
ejde-44	996	24	u2	u2	PROPN
ejde-44	996	25	)	)	PUNCT
ejde-44	996	26	=	=	SYM
ejde-44	997	1	0	0	X
ejde-44	997	2	.	.	PUNCT
ejde-44	998	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	998	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	998	3	35	35	NUM
ejde-44	998	4	we	we	PRON
ejde-44	998	5	have	have	AUX
ejde-44	998	6	ϕ(u2)−	ϕ(u2)−	VERB
ejde-44	998	7	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	998	8	)	)	PUNCT
ejde-44	998	9	≥	≥	NOUN
ejde-44	998	10	(	(	PUNCT
ejde-44	998	11	∂ϕ(u1	∂ϕ(u1	NOUN
ejde-44	998	12	)	)	PUNCT
ejde-44	998	13	,	,	PUNCT
ejde-44	998	14	u2	u2	PROPN
ejde-44	998	15	−	−	PROPN
ejde-44	998	16	u1	u1	NOUN
ejde-44	998	17	)	)	PUNCT
ejde-44	998	18	=	=	SYM
ejde-44	998	19	−(∂ϕ(u2	−(∂ϕ(u2	NOUN
ejde-44	998	20	)	)	PUNCT
ejde-44	998	21	,	,	PUNCT
ejde-44	998	22	u1	u1	VERB
ejde-44	998	23	−	−	PROPN
ejde-44	998	24	u2	u2	PROPN
ejde-44	998	25	)	)	PUNCT
ejde-44	998	26	≥	≥	NOUN
ejde-44	998	27	ϕ(u2)−	ϕ(u2)−	VERB
ejde-44	998	28	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	998	29	)	)	PUNCT
ejde-44	998	30	,	,	PUNCT
ejde-44	998	31	and	and	CCONJ
ejde-44	998	32	hence	hence	ADV
ejde-44	998	33	ϕ(u2)−	ϕ(u2)−	ADJ
ejde-44	998	34	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	998	35	)	)	PUNCT
ejde-44	998	36	=	=	PRON
ejde-44	998	37	(	(	PUNCT
ejde-44	998	38	∂ϕ(u1	∂ϕ(u1	NOUN
ejde-44	998	39	)	)	PUNCT
ejde-44	998	40	,	,	PUNCT
ejde-44	998	41	u2	u2	PROPN
ejde-44	998	42	−	−	PROPN
ejde-44	998	43	u1	u1	NOUN
ejde-44	998	44	)	)	PUNCT
ejde-44	998	45	.	.	PUNCT
ejde-44	999	1	we	we	PRON
ejde-44	999	2	can	can	AUX
ejde-44	999	3	also	also	ADV
ejde-44	999	4	write	write	VERB
ejde-44	999	5	for	for	ADP
ejde-44	999	6	λ	λ	NOUN
ejde-44	999	7	∈]0	∈]0	X
ejde-44	999	8	,	,	PUNCT
ejde-44	999	9	1	1	NUM
ejde-44	999	10	[	[	PUNCT
ejde-44	999	11	ϕ((1−	ϕ((1−	PUNCT
ejde-44	999	12	λ)u1	λ)u1	PROPN
ejde-44	999	13	+	+	CCONJ
ejde-44	999	14	λu2	λu2	NOUN
ejde-44	999	15	)	)	PUNCT
ejde-44	999	16	=	=	SYM
ejde-44	999	17	ϕ(u1	ϕ(u1	X
ejde-44	1000	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1000	2	λ(u2	λ(u2	ADJ
ejde-44	1000	3	−	−	PROPN
ejde-44	1000	4	u1	u1	NOUN
ejde-44	1000	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1000	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1000	7	≥	≥	NOUN
ejde-44	1000	8	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1000	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1001	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1001	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1001	3	∂ϕ(u1	∂ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1001	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1001	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1001	6	λ(u2	λ(u2	PRON
ejde-44	1001	7	−	−	PROPN
ejde-44	1001	8	u1	u1	NOUN
ejde-44	1001	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1001	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1002	1	=	=	SYM
ejde-44	1002	2	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1002	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1003	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1003	2	λ(∂ϕ(u1	λ(∂ϕ(u1	PROPN
ejde-44	1003	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1003	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1003	5	u2	u2	PROPN
ejde-44	1003	6	−	−	PROPN
ejde-44	1003	7	u1	u1	NOUN
ejde-44	1003	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1003	9	=	=	SYM
ejde-44	1003	10	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1003	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1004	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1004	2	λ(ϕ(u2)−	λ(ϕ(u2)−	ADJ
ejde-44	1004	3	ϕ(u1	ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1004	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1004	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1005	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1005	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1005	3	1−	1−	NUM
ejde-44	1005	4	λ)ϕ(u1	λ)ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1005	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1006	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1006	2	λϕ(u2	λϕ(u2	NOUN
ejde-44	1006	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1006	4	.	.	PUNCT
ejde-44	1007	1	since	since	SCONJ
ejde-44	1007	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	1007	3	is	be	AUX
ejde-44	1007	4	strictly	strictly	ADV
ejde-44	1007	5	convex	convex	ADJ
ejde-44	1007	6	we	we	PRON
ejde-44	1007	7	have	have	VERB
ejde-44	1007	8	also	also	ADV
ejde-44	1008	1	ϕ((1−	ϕ((1−	X
ejde-44	1008	2	λ)u1	λ)u1	PROPN
ejde-44	1008	3	+	+	CCONJ
ejde-44	1008	4	λu2	λu2	NOUN
ejde-44	1008	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1008	6	<	<	X
ejde-44	1008	7	(	(	PUNCT
ejde-44	1008	8	1−	1−	NUM
ejde-44	1008	9	λ)ϕ(u1	λ)ϕ(u1	NOUN
ejde-44	1008	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1009	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1009	2	λϕ(u2	λϕ(u2	NOUN
ejde-44	1009	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1009	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1009	5	which	which	PRON
ejde-44	1009	6	is	be	AUX
ejde-44	1009	7	in	in	ADP
ejde-44	1009	8	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-44	1009	9	with	with	ADP
ejde-44	1009	10	the	the	DET
ejde-44	1009	11	previous	previous	ADJ
ejde-44	1009	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-44	1009	13	.	.	PUNCT
ejde-44	1010	1	thus	thus	ADV
ejde-44	1010	2	u1	u1	VERB
ejde-44	1010	3	=	=	SYM
ejde-44	1010	4	u2	u2	PROPN
ejde-44	1010	5	and	and	CCONJ
ejde-44	1010	6	hence	hence	ADV
ejde-44	1010	7	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	1010	8	is	be	AUX
ejde-44	1010	9	strictly	strictly	ADV
ejde-44	1010	10	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	1010	11	.	.	PUNCT
ejde-44	1011	1	we	we	PRON
ejde-44	1011	2	state	state	VERB
ejde-44	1011	3	now	now	ADV
ejde-44	1011	4	the	the	DET
ejde-44	1011	5	result	result	NOUN
ejde-44	1011	6	concerning	concern	VERB
ejde-44	1011	7	the	the	DET
ejde-44	1011	8	existence	existence	NOUN
ejde-44	1011	9	of	of	ADP
ejde-44	1011	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1011	11	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1011	12	.	.	PUNCT
ejde-44	1012	1	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	1012	2	3.16	3.16	NUM
ejde-44	1012	3	suppose	suppose	VERB
ejde-44	1012	4	that	that	SCONJ
ejde-44	1012	5	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	1012	6	:	:	PUNCT
ejde-44	1012	7	h	h	NOUN
ejde-44	1012	8	→	→	X
ejde-44	1012	9	]	]	X
ejde-44	1012	10	−	−	PRON
ejde-44	1012	11	∞,+∞	∞,+∞	PROPN
ejde-44	1012	12	]	]	PUNCT
ejde-44	1012	13	is	be	AUX
ejde-44	1012	14	a	a	DET
ejde-44	1012	15	lower	lower	ADV
ejde-44	1012	16	-	-	PUNCT
ejde-44	1012	17	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	1012	18	proper	proper	ADJ
ejde-44	1012	19	convex	convex	NOUN
ejde-44	1012	20	function	function	NOUN
ejde-44	1012	21	and	and	CCONJ
ejde-44	1012	22	f	f	PROPN
ejde-44	1012	23	∈	∈	PROPN
ejde-44	1012	24	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	1012	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1012	26	t	t	X
ejde-44	1013	1	[	[	X
ejde-44	1013	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1013	3	h	h	X
ejde-44	1013	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1013	5	such	such	ADJ
ejde-44	1013	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1013	7	lim	lim	PROPN
ejde-44	1013	8	‖x‖→∞	‖x‖→∞	PROPN
ejde-44	1013	9	{	{	PUNCT
ejde-44	1013	10	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-44	1013	11	(	(	PUNCT
ejde-44	1013	12	x	x	NOUN
ejde-44	1013	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1013	14	〈	〈	PROPN
ejde-44	1013	15	f	f	PROPN
ejde-44	1013	16	〉	〉	PROPN
ejde-44	1013	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1013	18	}	}	PUNCT
ejde-44	1014	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1015	1	+	+	NOUN
ejde-44	1015	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1015	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1015	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1015	5	62	62	NUM
ejde-44	1015	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1015	7	and	and	CCONJ
ejde-44	1015	8	every	every	DET
ejde-44	1015	9	level	level	NOUN
ejde-44	1015	10	subset	subset	NOUN
ejde-44	1015	11	{	{	PUNCT
ejde-44	1015	12	x	x	SYM
ejde-44	1015	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	1015	14	h	h	NOUN
ejde-44	1015	15	;	;	PUNCT
ejde-44	1015	16	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-44	1015	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1016	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1016	2	‖x‖2	‖x‖2	ADJ
ejde-44	1016	3	≤	≤	NUM
ejde-44	1016	4	m	m	VERB
ejde-44	1016	5	}	}	PUNCT
ejde-44	1016	6	is	be	AUX
ejde-44	1016	7	compact	compact	ADJ
ejde-44	1016	8	.	.	PUNCT
ejde-44	1017	1	then	then	ADV
ejde-44	1017	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	1017	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1017	4	61	61	NUM
ejde-44	1017	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1017	6	has	have	VERB
ejde-44	1017	7	t	t	X
ejde-44	1017	8	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	1017	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1017	10	x	x	SYM
ejde-44	1017	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	1017	12	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	1017	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1017	14	t	t	X
ejde-44	1017	15	]	]	PUNCT
ejde-44	1017	16	;	;	PUNCT
ejde-44	1018	1	h	h	X
ejde-44	1018	2	)	)	PUNCT
ejde-44	1018	3	∩w	∩w	NOUN
ejde-44	1018	4	1,2(]0	1,2(]0	NUM
ejde-44	1018	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1018	6	t	t	X
ejde-44	1019	1	[	[	X
ejde-44	1019	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1019	3	h	h	X
ejde-44	1019	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1019	5	which	which	PRON
ejde-44	1019	6	satisfy	satisfy	VERB
ejde-44	1019	7	‖x′‖l2(]0,t	‖x′‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1020	1	[	[	X
ejde-44	1020	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1020	3	h	h	X
ejde-44	1020	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1020	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	1020	6	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1020	7	[	[	X
ejde-44	1020	8	;	;	PUNCT
ejde-44	1020	9	h	h	X
ejde-44	1020	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1020	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1020	12	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1020	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1020	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	1020	15	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	1020	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1020	17	∀	∀	PUNCT
ejde-44	1020	18	t	t	X
ejde-44	1020	19	∈	∈	PROPN
ejde-44	1021	1	[	[	X
ejde-44	1021	2	0	0	NUM
ejde-44	1021	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1021	4	t	t	X
ejde-44	1021	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1021	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1021	7	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	1021	8	◦	◦	NOUN
ejde-44	1021	9	x	x	SYM
ejde-44	1021	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	1021	11	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-44	1021	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1021	13	t	t	PROPN
ejde-44	1021	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1021	15	.	.	PUNCT
ejde-44	1022	1	before	before	ADP
ejde-44	1022	2	showing	show	VERB
ejde-44	1022	3	this	this	DET
ejde-44	1022	4	result	result	NOUN
ejde-44	1022	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1022	6	notice	notice	VERB
ejde-44	1022	7	that	that	SCONJ
ejde-44	1022	8	the	the	DET
ejde-44	1022	9	condition	condition	NOUN
ejde-44	1022	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1022	11	62	62	NUM
ejde-44	1022	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1022	13	implies	imply	VERB
ejde-44	1022	14	that	that	SCONJ
ejde-44	1022	15	the	the	DET
ejde-44	1022	16	lower	lower	ADV
ejde-44	1022	17	-	-	PUNCT
ejde-44	1022	18	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	1022	19	proper	proper	ADJ
ejde-44	1022	20	convex	convex	NOUN
ejde-44	1022	21	function	function	NOUN
ejde-44	1022	22	ψ	ψ	NOUN
ejde-44	1022	23	:	:	PUNCT
ejde-44	1022	24	h	h	NOUN
ejde-44	1022	25	→	→	PROPN
ejde-44	1022	26	]	]	X
ejde-44	1022	27	−	−	X
ejde-44	1022	28	∞,+∞	∞,+∞	VERB
ejde-44	1022	29	]	]	PUNCT
ejde-44	1022	30	given	give	VERB
ejde-44	1022	31	by	by	ADP
ejde-44	1022	32	ψ(x	ψ(x	NOUN
ejde-44	1022	33	)	)	PUNCT
ejde-44	1022	34	=	=	SYM
ejde-44	1022	35	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-44	1022	36	)	)	PUNCT
ejde-44	1023	1	−	−	PROPN
ejde-44	1023	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1023	3	x	x	X
ejde-44	1023	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1023	5	〈	〈	PROPN
ejde-44	1023	6	f	f	PROPN
ejde-44	1023	7	〉	〉	PROPN
ejde-44	1023	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1023	9	has	have	VERB
ejde-44	1023	10	a	a	DET
ejde-44	1023	11	minimum	minimum	ADJ
ejde-44	1023	12	point	point	NOUN
ejde-44	1023	13	x0	x0	PROPN
ejde-44	1023	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	1023	15	h	h	NOUN
ejde-44	1023	16	and	and	CCONJ
ejde-44	1023	17	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1023	18	〈	〈	PROPN
ejde-44	1023	19	f	f	PROPN
ejde-44	1023	20	〉	〉	PROPN
ejde-44	1023	21	∈	∈	PROPN
ejde-44	1023	22	range(∂ϕ	range(∂ϕ	NOUN
ejde-44	1023	23	)	)	PUNCT
ejde-44	1023	24	since	since	SCONJ
ejde-44	1023	25	0	0	NUM
ejde-44	1023	26	=	=	SYM
ejde-44	1023	27	∂ψ(x0	∂ψ(x0	PROPN
ejde-44	1023	28	)	)	PUNCT
ejde-44	1023	29	=	=	SYM
ejde-44	1024	1	∂ϕ(x0)−	∂ϕ(x0)−	PROPN
ejde-44	1025	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	1025	2	f	f	PROPN
ejde-44	1025	3	〉	〉	PROPN
ejde-44	1025	4	.	.	PUNCT
ejde-44	1026	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	1026	2	as	as	ADP
ejde-44	1026	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	1026	4	for	for	ADP
ejde-44	1026	5	every	every	DET
ejde-44	1026	6	α	α	NOUN
ejde-44	1026	7	>	>	X
ejde-44	1026	8	0	0	NUM
ejde-44	1027	1	we	we	PRON
ejde-44	1027	2	consider	consider	VERB
ejde-44	1027	3	the	the	DET
ejde-44	1027	4	unique	unique	ADJ
ejde-44	1027	5	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1027	6	solution	solution	NOUN
ejde-44	1027	7	xα	xα	ADP
ejde-44	1027	8	for	for	ADP
ejde-44	1027	9	αxα(t	αxα(t	NUM
ejde-44	1027	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	11	+	+	NUM
ejde-44	1027	12	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	1027	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	14	+	+	CCONJ
ejde-44	1027	15	∂ϕxα(t	∂ϕxα(t	VERB
ejde-44	1027	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	17	=	=	SYM
ejde-44	1027	18	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	1027	19	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	20	,	,	PUNCT
ejde-44	1027	21	0	0	NUM
ejde-44	1027	22	<	<	X
ejde-44	1027	23	t	t	X
ejde-44	1027	24	<	<	X
ejde-44	1027	25	t.	t.	PROPN
ejde-44	1027	26	(	(	PUNCT
ejde-44	1027	27	63	63	NUM
ejde-44	1027	28	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	29	(	(	PUNCT
ejde-44	1027	30	in	in	ADP
ejde-44	1027	31	order	order	NOUN
ejde-44	1027	32	to	to	PART
ejde-44	1027	33	prove	prove	VERB
ejde-44	1027	34	the	the	DET
ejde-44	1027	35	existence	existence	NOUN
ejde-44	1027	36	and	and	CCONJ
ejde-44	1027	37	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-44	1027	38	of	of	ADP
ejde-44	1027	39	the	the	DET
ejde-44	1027	40	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1027	41	solution	solution	NOUN
ejde-44	1027	42	for	for	ADP
ejde-44	1027	43	(	(	PUNCT
ejde-44	1027	44	63	63	NUM
ejde-44	1027	45	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	46	consider	consider	VERB
ejde-44	1027	47	the	the	DET
ejde-44	1027	48	application	application	NOUN
ejde-44	1027	49	sα	sα	ADV
ejde-44	1027	50	:	:	PUNCT
ejde-44	1027	51	d(∂ϕ)→	d(∂ϕ)→	PROPN
ejde-44	1027	52	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	1027	53	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	54	defined	define	VERB
ejde-44	1027	55	by	by	ADP
ejde-44	1027	56	sα(x0	sα(x0	PRON
ejde-44	1027	57	)	)	PUNCT
ejde-44	1027	58	=	=	SYM
ejde-44	1028	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1028	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1028	3	0	0	NUM
ejde-44	1028	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1028	5	x0	x0	PROPN
ejde-44	1028	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1028	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1028	8	36	36	NUM
ejde-44	1028	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1028	10	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1028	11	for	for	ADP
ejde-44	1028	12	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	1028	13	equations	equation	NOUN
ejde-44	1028	14	where	where	SCONJ
ejde-44	1028	15	x	x	X
ejde-44	1028	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1028	17	·	·	PUNCT
ejde-44	1028	18	;	;	PUNCT
ejde-44	1028	19	0	0	NUM
ejde-44	1028	20	,	,	PUNCT
ejde-44	1028	21	x0	x0	PROPN
ejde-44	1028	22	)	)	PUNCT
ejde-44	1028	23	denote	denote	VERB
ejde-44	1028	24	the	the	DET
ejde-44	1028	25	unique	unique	ADJ
ejde-44	1028	26	solution	solution	NOUN
ejde-44	1028	27	of	of	ADP
ejde-44	1028	28	(	(	PUNCT
ejde-44	1028	29	63	63	NUM
ejde-44	1028	30	)	)	PUNCT
ejde-44	1028	31	with	with	ADP
ejde-44	1028	32	the	the	DET
ejde-44	1028	33	initial	initial	ADJ
ejde-44	1028	34	condition	condition	NOUN
ejde-44	1028	35	x0	x0	PROPN
ejde-44	1028	36	and	and	CCONJ
ejde-44	1028	37	apply	apply	VERB
ejde-44	1028	38	the	the	DET
ejde-44	1028	39	banach	banach	NOUN
ejde-44	1028	40	’s	’s	PART
ejde-44	1028	41	fixed	fix	VERB
ejde-44	1028	42	point	point	NOUN
ejde-44	1028	43	theorem	theorem	VERB
ejde-44	1028	44	.	.	PUNCT
ejde-44	1029	1	by	by	ADP
ejde-44	1029	2	the	the	DET
ejde-44	1029	3	previous	previous	ADJ
ejde-44	1029	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	1029	5	it	it	PRON
ejde-44	1029	6	follows	follow	VERB
ejde-44	1029	7	that	that	SCONJ
ejde-44	1029	8	the	the	DET
ejde-44	1029	9	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1029	10	solution	solution	NOUN
ejde-44	1029	11	xα	xα	ADP
ejde-44	1029	12	is	be	AUX
ejde-44	1029	13	absolutely	absolutely	ADV
ejde-44	1029	14	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	1029	15	on	on	ADP
ejde-44	1029	16	[	[	X
ejde-44	1029	17	0	0	NUM
ejde-44	1029	18	,	,	PUNCT
ejde-44	1029	19	t	t	NOUN
ejde-44	1029	20	]	]	PUNCT
ejde-44	1029	21	and	and	CCONJ
ejde-44	1029	22	belongs	belong	VERB
ejde-44	1029	23	to	to	ADP
ejde-44	1029	24	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	1029	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1029	26	t	t	X
ejde-44	1029	27	]	]	PUNCT
ejde-44	1029	28	;	;	PUNCT
ejde-44	1029	29	h)∩w	h)∩w	PROPN
ejde-44	1029	30	1,2(]0	1,2(]0	NUM
ejde-44	1029	31	,	,	PUNCT
ejde-44	1029	32	t	t	X
ejde-44	1030	1	[	[	X
ejde-44	1030	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1030	3	h	h	NOUN
ejde-44	1030	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1030	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1030	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1031	1	first	first	ADV
ejde-44	1031	2	of	of	ADP
ejde-44	1031	3	all	all	PRON
ejde-44	1031	4	we	we	PRON
ejde-44	1031	5	will	will	AUX
ejde-44	1031	6	show	show	VERB
ejde-44	1031	7	that	that	SCONJ
ejde-44	1031	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1031	9	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	1031	10	is	be	AUX
ejde-44	1031	11	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	1031	12	bounded	bound	VERB
ejde-44	1031	13	in	in	ADP
ejde-44	1031	14	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	1031	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1031	16	t	t	X
ejde-44	1032	1	[	[	X
ejde-44	1032	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1032	3	h	h	X
ejde-44	1032	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1032	5	.	.	PUNCT
ejde-44	1033	1	indeed	indeed	ADV
ejde-44	1033	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1033	3	after	after	ADP
ejde-44	1033	4	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	1033	5	by	by	ADP
ejde-44	1033	6	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	1033	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1033	8	we	we	PRON
ejde-44	1033	9	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-44	1033	10	t	t	PROPN
ejde-44	1033	11	0	0	PUNCT
ejde-44	1033	12	‖x′α(t)‖2dt+	‖x′α(t)‖2dt+	PROPN
ejde-44	1034	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1034	2	t	t	PROPN
ejde-44	1034	3	0	0	NUM
ejde-44	1034	4	{	{	PUNCT
ejde-44	1034	5	α(xα(t	α(xα(t	NUM
ejde-44	1034	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1034	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1034	8	x′α(t))+(∂ϕxα(t	x′α(t))+(∂ϕxα(t	PROPN
ejde-44	1034	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1034	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1034	11	x′α(t))}dt	x′α(t))}dt	X
ejde-44	1034	12	=	=	SYM
ejde-44	1035	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1035	2	t	t	PROPN
ejde-44	1035	3	0	0	NUM
ejde-44	1035	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1035	5	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1035	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1035	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1035	8	x′α(t))dt	x′α(t))dt	PROPN
ejde-44	1035	9	.	.	PUNCT
ejde-44	1036	1	since	since	SCONJ
ejde-44	1036	2	xα	xα	PROPN
ejde-44	1036	3	is	be	AUX
ejde-44	1036	4	t	t	PROPN
ejde-44	1036	5	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	1036	6	we	we	PRON
ejde-44	1036	7	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1036	8	that∫	that∫	PROPN
ejde-44	1036	9	t	t	PROPN
ejde-44	1036	10	0	0	NUM
ejde-44	1036	11	{	{	PUNCT
ejde-44	1036	12	α(xα(t	α(xα(t	NUM
ejde-44	1036	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1036	14	,	,	PUNCT
ejde-44	1036	15	x′α(t	x′α(t	NOUN
ejde-44	1036	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1036	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1037	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1037	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1037	3	∂ϕxα(t	∂ϕxα(t	PROPN
ejde-44	1037	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1037	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1037	6	x′α(t))}dt	x′α(t))}dt	X
ejde-44	1037	7	=	=	SYM
ejde-44	1038	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1038	2	t	t	NOUN
ejde-44	1038	3	0	0	NUM
ejde-44	1039	1	d	d	NOUN
ejde-44	1039	2	dt	dt	X
ejde-44	1039	3	{	{	PUNCT
ejde-44	1039	4	α	α	NOUN
ejde-44	1039	5	2	2	NUM
ejde-44	1039	6	‖xα(t)‖2	‖xα(t)‖2	NUM
ejde-44	1039	7	+	+	CCONJ
ejde-44	1039	8	ϕ(xα(t))}dt	ϕ(xα(t))}dt	NOUN
ejde-44	1039	9	=	=	NOUN
ejde-44	1040	1	α	α	PRON
ejde-44	1040	2	2	2	NUM
ejde-44	1040	3	‖xα(t)‖2	‖xα(t)‖2	NUM
ejde-44	1040	4	+	+	CCONJ
ejde-44	1040	5	ϕ(xα(t))|t0	ϕ(xα(t))|t0	PROPN
ejde-44	1040	6	=	=	NOUN
ejde-44	1040	7	0	0	PROPN
ejde-44	1040	8	.	.	PUNCT
ejde-44	1041	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1041	2	64	64	NUM
ejde-44	1041	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1041	4	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1041	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1041	6	‖x′α‖2l2(]0,t	‖x′α‖2l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1042	1	[	[	X
ejde-44	1042	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1042	3	h	h	X
ejde-44	1042	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1042	5	≤	≤	NOUN
ejde-44	1042	6	(	(	PUNCT
ejde-44	1042	7	f	f	X
ejde-44	1042	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1042	9	x′α)l2(]0,t	x′α)l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1043	1	[	[	X
ejde-44	1043	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1043	3	h	h	X
ejde-44	1043	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1043	5	and	and	CCONJ
ejde-44	1043	6	thus	thus	ADV
ejde-44	1043	7	‖x′α‖l2(]0,t	‖x′α‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1043	8	[	[	X
ejde-44	1043	9	;	;	PUNCT
ejde-44	1043	10	h	h	X
ejde-44	1043	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1043	12	≤	≤	NOUN
ejde-44	1044	1	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1044	2	[	[	X
ejde-44	1044	3	;	;	PUNCT
ejde-44	1044	4	h	h	X
ejde-44	1044	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1044	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1044	7	α	α	X
ejde-44	1044	8	>	>	X
ejde-44	1044	9	0	0	X
ejde-44	1044	10	.	.	PUNCT
ejde-44	1045	1	before	before	ADP
ejde-44	1045	2	estimate	estimate	NOUN
ejde-44	1045	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1045	4	xα)α>0	xα)α>0	NOUN
ejde-44	1045	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1045	6	let	let	VERB
ejde-44	1045	7	us	we	PRON
ejde-44	1045	8	check	check	VERB
ejde-44	1045	9	that	that	PRON
ejde-44	1045	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1045	11	αxα)α>0	αxα)α>0	NUM
ejde-44	1045	12	is	be	AUX
ejde-44	1045	13	bounded	bound	VERB
ejde-44	1045	14	.	.	PUNCT
ejde-44	1046	1	by	by	ADP
ejde-44	1046	2	taking	take	VERB
ejde-44	1046	3	x0	x0	PROPN
ejde-44	1046	4	∈	∈	PROPN
ejde-44	1046	5	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	1046	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1046	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1046	8	after	after	ADP
ejde-44	1046	9	standard	standard	ADJ
ejde-44	1046	10	calculation	calculation	NOUN
ejde-44	1046	11	we	we	PRON
ejde-44	1046	12	find	find	VERB
ejde-44	1046	13	that	that	SCONJ
ejde-44	1046	14	‖xα(t)−x0‖	‖xα(t)−x0‖	PROPN
ejde-44	1046	15	≤	≤	PROPN
ejde-44	1047	1	e−αt‖xα(0)−x0‖+	e−αt‖xα(0)−x0‖+	NUM
ejde-44	1047	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1047	3	t	t	PROPN
ejde-44	1047	4	0	0	NUM
ejde-44	1047	5	e−α(t−s)‖f(s)−αx0−	e−α(t−s)‖f(s)−αx0−	PROPN
ejde-44	1047	6	∂ϕ(x0)‖	∂ϕ(x0)‖	NOUN
ejde-44	1047	7	ds	ds	NOUN
ejde-44	1047	8	.	.	PUNCT
ejde-44	1047	9	(	(	PUNCT
ejde-44	1047	10	65	65	NUM
ejde-44	1047	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1047	12	since	since	SCONJ
ejde-44	1047	13	xα	xα	INTJ
ejde-44	1047	14	is	be	AUX
ejde-44	1047	15	t	t	PROPN
ejde-44	1047	16	-periodic	-periodic	NOUN
ejde-44	1047	17	we	we	PRON
ejde-44	1047	18	can	can	AUX
ejde-44	1047	19	write	write	VERB
ejde-44	1047	20	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	1047	21	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	1048	1	=	=	PROPN
ejde-44	1048	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	1048	3	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	1048	4	‖xα(nt	‖xα(nt	PROPN
ejde-44	1049	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1050	1	t)−	t)−	PROPN
ejde-44	1050	2	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	1051	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	1051	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	1051	3	n→∞	n→∞	X
ejde-44	1051	4	{	{	PUNCT
ejde-44	1051	5	e−α(nt+t)‖xα(0)−	e−α(nt+t)‖xα(0)−	PROPN
ejde-44	1051	6	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	1052	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1053	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1054	1	nt+t	nt+t	CCONJ
ejde-44	1054	2	0	0	NUM
ejde-44	1054	3	e−α(nt+t−s)‖f(s)−	e−α(nt+t−s)‖f(s)−	PROPN
ejde-44	1054	4	αx0	αx0	NOUN
ejde-44	1054	5	−	−	NOUN
ejde-44	1054	6	∂ϕ(x0)‖	∂ϕ(x0)‖	NOUN
ejde-44	1054	7	ds	ds	NOUN
ejde-44	1054	8	}	}	PUNCT
ejde-44	1054	9	≤	≤	NUM
ejde-44	1054	10	1	1	NUM
ejde-44	1054	11	α	α	NOUN
ejde-44	1054	12	‖αx0	‖αx0	PROPN
ejde-44	1054	13	+	+	CCONJ
ejde-44	1054	14	∂ϕ(x0)‖+	∂ϕ(x0)‖+	NOUN
ejde-44	1054	15	lim	lim	PROPN
ejde-44	1054	16	n→∞	n→∞	NUM
ejde-44	1054	17	∫	∫	PROPN
ejde-44	1055	1	nt+t	nt+t	NOUN
ejde-44	1055	2	0	0	NUM
ejde-44	1055	3	e−α(nt+t−s)‖f(s)‖	e−α(nt+t−s)‖f(s)‖	SYM
ejde-44	1055	4	ds	ds	VERB
ejde-44	1055	5	≤	≤	NUM
ejde-44	1055	6	1	1	NUM
ejde-44	1055	7	α	α	NOUN
ejde-44	1055	8	‖αx0	‖αx0	NOUN
ejde-44	1055	9	+	+	CCONJ
ejde-44	1055	10	∂ϕ(x0)‖	∂ϕ(x0)‖	NOUN
ejde-44	1055	11	+	+	CCONJ
ejde-44	1055	12	lim	lim	PROPN
ejde-44	1055	13	n→∞	n→∞	PRON
ejde-44	1055	14	{	{	PUNCT
ejde-44	1055	15	[	[	PUNCT
ejde-44	1055	16	1	1	NUM
ejde-44	1055	17	+	+	NUM
ejde-44	1055	18	e−αt(e−α(n−1)t	e−αt(e−α(n−1)t	NOUN
ejde-44	1055	19	+	+	X
ejde-44	1055	20	·	·	PUNCT
ejde-44	1055	21	·	·	PUNCT
ejde-44	1055	22	·	·	PUNCT
ejde-44	1056	1	+	+	NUM
ejde-44	1056	2	e−αt	e−αt	NOUN
ejde-44	1056	3	+	+	CCONJ
ejde-44	1056	4	1	1	NUM
ejde-44	1056	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1056	6	]	]	PUNCT
ejde-44	1056	7	·	·	PUNCT
ejde-44	1056	8	‖f‖l1	‖f‖l1	NUM
ejde-44	1056	9	}	}	PUNCT
ejde-44	1056	10	=	=	SYM
ejde-44	1056	11	1	1	NUM
ejde-44	1056	12	α	α	NOUN
ejde-44	1056	13	‖αx0	‖αx0	PROPN
ejde-44	1056	14	+	+	CCONJ
ejde-44	1056	15	∂ϕ(x0)‖+	∂ϕ(x0)‖+	NOUN
ejde-44	1056	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1056	17	1	1	NUM
ejde-44	1056	18	+	+	NUM
ejde-44	1056	19	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	1056	20	1−	1−	NUM
ejde-44	1056	21	e−αt	e−αt	PROPN
ejde-44	1056	22	)	)	PUNCT
ejde-44	1056	23	·	·	PUNCT
ejde-44	1057	1	‖f‖l1(]0,t	‖f‖l1(]0,t	X
ejde-44	1058	1	[	[	X
ejde-44	1058	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1058	3	h	h	X
ejde-44	1058	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1058	5	≤	≤	NUM
ejde-44	1058	6	c1(x0	c1(x0	PROPN
ejde-44	1058	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1058	8	t	t	PROPN
ejde-44	1058	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1058	10	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1059	1	[	[	X
ejde-44	1059	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1059	3	h	h	X
ejde-44	1059	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1059	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1060	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1060	2	1	1	NUM
ejde-44	1060	3	+	+	SYM
ejde-44	1060	4	1	1	NUM
ejde-44	1060	5	α	α	NOUN
ejde-44	1060	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1060	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1060	8	0	0	NUM
ejde-44	1060	9	≤	≤	NUM
ejde-44	1060	10	t	t	PROPN
ejde-44	1060	11	≤	≤	PROPN
ejde-44	1060	12	t	t	PROPN
ejde-44	1060	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1060	14	α	α	X
ejde-44	1060	15	>	>	X
ejde-44	1060	16	0	0	PROPN
ejde-44	1060	17	.	.	PUNCT
ejde-44	1061	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	1061	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1061	3	37	37	NUM
ejde-44	1061	4	it	it	PRON
ejde-44	1061	5	follows	follow	VERB
ejde-44	1061	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1061	7	α‖xα(t)‖	α‖xα(t)‖	NOUN
ejde-44	1061	8	≤	≤	PUNCT
ejde-44	1061	9	c2(x0	c2(x0	PROPN
ejde-44	1061	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1061	11	t	t	PROPN
ejde-44	1061	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1061	13	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1062	1	[	[	X
ejde-44	1062	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1062	3	h	h	NOUN
ejde-44	1062	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1062	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1062	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1062	7	0	0	NUM
ejde-44	1062	8	≤	≤	NUM
ejde-44	1062	9	t	t	PROPN
ejde-44	1062	10	≤	≤	PROPN
ejde-44	1062	11	t	t	PROPN
ejde-44	1062	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1062	13	0	0	PUNCT
ejde-44	1062	14	<	<	X
ejde-44	1062	15	α	α	X
ejde-44	1062	16	<	<	X
ejde-44	1062	17	1	1	NUM
ejde-44	1062	18	.	.	PUNCT
ejde-44	1063	1	now	now	ADV
ejde-44	1063	2	we	we	PRON
ejde-44	1063	3	can	can	AUX
ejde-44	1063	4	estimate	estimate	VERB
ejde-44	1063	5	xα	xα	PROPN
ejde-44	1063	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1063	7	α	α	X
ejde-44	1063	8	>	>	X
ejde-44	1063	9	0	0	NUM
ejde-44	1063	10	.	.	PUNCT
ejde-44	1064	1	after	after	ADP
ejde-44	1064	2	multiplication	multiplication	NOUN
ejde-44	1064	3	by	by	ADP
ejde-44	1064	4	xα(t	xα(t	NOUN
ejde-44	1064	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1064	6	and	and	CCONJ
ejde-44	1064	7	integration	integration	NOUN
ejde-44	1064	8	on	on	ADP
ejde-44	1064	9	[	[	X
ejde-44	1064	10	0	0	NUM
ejde-44	1064	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1064	12	t	t	X
ejde-44	1064	13	]	]	PUNCT
ejde-44	1064	14	we	we	PRON
ejde-44	1064	15	obtain	obtain	VERB
ejde-44	1064	16	∫	∫	PROPN
ejde-44	1064	17	t	t	PROPN
ejde-44	1064	18	0	0	NUM
ejde-44	1064	19	α‖xα(t)‖2dt+	α‖xα(t)‖2dt+	NOUN
ejde-44	1064	20	∫	∫	PROPN
ejde-44	1064	21	t	t	NOUN
ejde-44	1064	22	0	0	NUM
ejde-44	1064	23	(	(	PUNCT
ejde-44	1064	24	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1064	25	)	)	PUNCT
ejde-44	1064	26	)	)	PUNCT
ejde-44	1064	27	,	,	PUNCT
ejde-44	1064	28	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1064	29	=	=	SYM
ejde-44	1065	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1065	2	t	t	PROPN
ejde-44	1065	3	0	0	NUM
ejde-44	1065	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1065	5	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1065	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1065	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1065	8	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1065	9	.	.	PUNCT
ejde-44	1066	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1066	2	66	66	NUM
ejde-44	1066	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1066	4	we	we	PRON
ejde-44	1066	5	have	have	VERB
ejde-44	1066	6	ϕ(x0	ϕ(x0	NOUN
ejde-44	1066	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1066	8	≥	≥	NOUN
ejde-44	1066	9	ϕ(xα(t	ϕ(xα(t	NUM
ejde-44	1066	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1066	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1067	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1067	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1067	3	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1067	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1067	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1067	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1067	7	x0	x0	PROPN
ejde-44	1067	8	−	−	NOUN
ejde-44	1067	9	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	1067	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1067	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1067	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1067	13	t	t	PROPN
ejde-44	1067	14	∈	∈	PROPN
ejde-44	1068	1	[	[	X
ejde-44	1068	2	0	0	NUM
ejde-44	1068	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1068	4	t	t	X
ejde-44	1068	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1068	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1068	7	α	α	X
ejde-44	1068	8	>	>	X
ejde-44	1068	9	0	0	NUM
ejde-44	1068	10	.	.	PUNCT
ejde-44	1069	1	thus	thus	ADV
ejde-44	1069	2	we	we	PRON
ejde-44	1069	3	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1069	4	that	that	PRON
ejde-44	1069	5	for	for	ADP
ejde-44	1069	6	α	α	PROPN
ejde-44	1069	7	>	>	X
ejde-44	1069	8	0	0	PROPN
ejde-44	1069	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1069	10	∫	∫	PROPN
ejde-44	1069	11	t	t	PROPN
ejde-44	1069	12	0	0	NUM
ejde-44	1069	13	(	(	PUNCT
ejde-44	1069	14	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1069	15	)	)	PUNCT
ejde-44	1069	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1069	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1069	18	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1069	19	≥	≥	PROPN
ejde-44	1069	20	∫	∫	PROPN
ejde-44	1069	21	t	t	PROPN
ejde-44	1069	22	0	0	NUM
ejde-44	1069	23	ϕ(xα(t))dt+	ϕ(xα(t))dt+	PROPN
ejde-44	1069	24	∫	∫	PROPN
ejde-44	1069	25	t	t	PROPN
ejde-44	1069	26	0	0	NUM
ejde-44	1069	27	{	{	PUNCT
ejde-44	1069	28	(	(	PUNCT
ejde-44	1069	29	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1069	30	)	)	PUNCT
ejde-44	1069	31	)	)	PUNCT
ejde-44	1069	32	,	,	PUNCT
ejde-44	1069	33	x0)−	x0)−	PROPN
ejde-44	1069	34	ϕ(x0)}dt	ϕ(x0)}dt	X
ejde-44	1069	35	.	.	PUNCT
ejde-44	1070	1	on	on	ADP
ejde-44	1070	2	the	the	DET
ejde-44	1070	3	other	other	ADJ
ejde-44	1070	4	hand	hand	NOUN
ejde-44	1070	5	for	for	ADP
ejde-44	1070	6	0	0	NUM
ejde-44	1070	7	<	<	X
ejde-44	1070	8	α	α	X
ejde-44	1070	9	<	<	X
ejde-44	1070	10	1	1	NUM
ejde-44	1070	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1070	12	∫	∫	PROPN
ejde-44	1070	13	t	t	PROPN
ejde-44	1070	14	0	0	NUM
ejde-44	1070	15	(	(	PUNCT
ejde-44	1070	16	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1070	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1070	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1070	19	,	,	PUNCT
ejde-44	1070	20	x0	x0	PROPN
ejde-44	1070	21	)	)	PUNCT
ejde-44	1070	22	dt	dt	PUNCT
ejde-44	1071	1	=	=	SYM
ejde-44	1071	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1071	3	t	t	PROPN
ejde-44	1071	4	0	0	NUM
ejde-44	1072	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1072	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1072	3	αxα(t)−	αxα(t)−	PROPN
ejde-44	1072	4	x′α(t	x′α(t	VERB
ejde-44	1072	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1072	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1072	7	x0	x0	PROPN
ejde-44	1072	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1072	9	dt	dt	X
ejde-44	1073	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1073	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1073	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	1073	4	t	t	PROPN
ejde-44	1073	5	0	0	PUNCT
ejde-44	1073	6	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	1073	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1073	8	dt	dt	PROPN
ejde-44	1073	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1073	10	x0	x0	PROPN
ejde-44	1073	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1074	1	−	−	NUM
ejde-44	1075	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1075	2	t	t	PROPN
ejde-44	1075	3	0	0	NUM
ejde-44	1075	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1075	5	αxα(t	αxα(t	PROPN
ejde-44	1075	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1075	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1075	8	x0	x0	PROPN
ejde-44	1075	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1075	10	dt	dt	X
ejde-44	1075	11	≥	≥	PROPN
ejde-44	1076	1	−c3(x0	−c3(x0	PROPN
ejde-44	1076	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1076	3	t	t	PROPN
ejde-44	1076	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1076	5	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1077	1	[	[	X
ejde-44	1077	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1077	3	h	h	NOUN
ejde-44	1077	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1077	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1077	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1078	1	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1078	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1078	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	1078	4	t	t	PROPN
ejde-44	1078	5	0	0	NUM
ejde-44	1078	6	(	(	PUNCT
ejde-44	1078	7	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1078	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1078	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1078	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1078	11	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1078	12	≥	≥	PROPN
ejde-44	1078	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	1078	14	t	t	PROPN
ejde-44	1078	15	0	0	NUM
ejde-44	1079	1	ϕ(xα(t))dt−	ϕ(xα(t))dt−	PROPN
ejde-44	1079	2	c4(x0	c4(x0	PROPN
ejde-44	1079	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1079	4	t	t	PROPN
ejde-44	1079	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1079	6	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1080	1	[	[	X
ejde-44	1080	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1080	3	h	h	NOUN
ejde-44	1080	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1080	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1080	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1081	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1081	2	67	67	X
ejde-44	1081	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1081	4	combining	combine	VERB
ejde-44	1081	5	(	(	PUNCT
ejde-44	1081	6	66	66	NUM
ejde-44	1081	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1081	8	and	and	CCONJ
ejde-44	1081	9	(	(	PUNCT
ejde-44	1081	10	67	67	NUM
ejde-44	1081	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1081	12	we	we	PRON
ejde-44	1081	13	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1081	14	that	that	DET
ejde-44	1081	15	∫	∫	PROPN
ejde-44	1082	1	t	t	NOUN
ejde-44	1082	2	0	0	NUM
ejde-44	1083	1	ϕ(xα(t))dt	ϕ(xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1083	2	≤	≤	NOUN
ejde-44	1083	3	c4	c4	NOUN
ejde-44	1083	4	+	+	CCONJ
ejde-44	1083	5	∫	∫	PROPN
ejde-44	1083	6	t	t	PROPN
ejde-44	1083	7	0	0	NUM
ejde-44	1083	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1083	9	∂ϕ(xα(t	∂ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1083	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1083	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1083	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1083	13	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1083	14	=	=	PROPN
ejde-44	1083	15	c4	c4	PROPN
ejde-44	1084	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1085	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1085	2	t	t	PROPN
ejde-44	1085	3	0	0	NUM
ejde-44	1085	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1085	5	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1085	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1085	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1086	1	xα(t))dt−	xα(t))dt−	PROPN
ejde-44	1086	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1086	3	t	t	PROPN
ejde-44	1086	4	0	0	NUM
ejde-44	1086	5	α‖xα(t)‖2dt	α‖xα(t)‖2dt	PROPN
ejde-44	1086	6	≤	≤	NOUN
ejde-44	1086	7	c4	c4	NOUN
ejde-44	1086	8	+	+	CCONJ
ejde-44	1086	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	1086	10	t	t	PROPN
ejde-44	1086	11	0	0	NUM
ejde-44	1086	12	(	(	PUNCT
ejde-44	1086	13	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1086	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1086	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1086	16	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1086	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1086	18	0	0	NUM
ejde-44	1086	19	<	<	X
ejde-44	1086	20	α	α	X
ejde-44	1086	21	<	<	X
ejde-44	1086	22	1	1	NUM
ejde-44	1086	23	.	.	PUNCT
ejde-44	1086	24	(	(	PUNCT
ejde-44	1086	25	68	68	NUM
ejde-44	1086	26	)	)	PUNCT
ejde-44	1086	27	38	38	NUM
ejde-44	1086	28	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1086	29	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1086	30	for	for	ADP
ejde-44	1086	31	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	1086	32	equations	equation	NOUN
ejde-44	1086	33	on	on	ADP
ejde-44	1086	34	the	the	DET
ejde-44	1086	35	other	other	ADJ
ejde-44	1086	36	hand	hand	NOUN
ejde-44	1086	37	we	we	PRON
ejde-44	1086	38	have∫	have∫	VERB
ejde-44	1086	39	t	t	NOUN
ejde-44	1086	40	0	0	NUM
ejde-44	1086	41	(	(	PUNCT
ejde-44	1086	42	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1086	43	)	)	PUNCT
ejde-44	1086	44	,	,	PUNCT
ejde-44	1086	45	xα(t))dt	xα(t))dt	PROPN
ejde-44	1086	46	=	=	SYM
ejde-44	1087	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1087	2	t	t	PROPN
ejde-44	1087	3	0	0	NUM
ejde-44	1088	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1088	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1088	3	〈	〈	PROPN
ejde-44	1088	4	f	f	PROPN
ejde-44	1088	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	1088	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1088	7	xα(t))dt+	xα(t))dt+	PROPN
ejde-44	1088	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1088	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	1088	10	t	t	PROPN
ejde-44	1088	11	0	0	NUM
ejde-44	1088	12	xα(t)dt	xα(t)dt	PROPN
ejde-44	1088	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1088	14	〈	〈	PROPN
ejde-44	1088	15	f	f	PROPN
ejde-44	1088	16	〉	〉	PROPN
ejde-44	1088	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1088	18	=	=	SYM
ejde-44	1089	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1089	2	t	t	PROPN
ejde-44	1089	3	0	0	NUM
ejde-44	1090	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1090	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1090	3	〈	〈	PROPN
ejde-44	1090	4	f	f	PROPN
ejde-44	1090	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	1090	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1090	7	xα(0	xα(0	PROPN
ejde-44	1090	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1091	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1091	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1091	3	t	t	PROPN
ejde-44	1091	4	0	0	NUM
ejde-44	1091	5	x′α(s	x′α(s	PROPN
ejde-44	1091	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1092	1	ds)dt+	ds)dt+	ADP
ejde-44	1092	2	t	t	PROPN
ejde-44	1092	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1092	4	〈	〈	PROPN
ejde-44	1092	5	xα	xα	PROPN
ejde-44	1092	6	〉	〉	PROPN
ejde-44	1092	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1092	8	〈	〈	PROPN
ejde-44	1092	9	f	f	PROPN
ejde-44	1092	10	〉	〉	PROPN
ejde-44	1092	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1093	1	=	=	SYM
ejde-44	1094	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1094	2	t	t	PROPN
ejde-44	1094	3	0	0	NUM
ejde-44	1095	1	(	(	PUNCT
ejde-44	1095	2	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1095	3	〈	〈	PROPN
ejde-44	1095	4	f	f	PROPN
ejde-44	1095	5	〉	〉	PROPN
ejde-44	1095	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1095	7	∫	∫	PROPN
ejde-44	1095	8	t	t	PROPN
ejde-44	1095	9	0	0	NUM
ejde-44	1095	10	x′α(s	x′α(s	PROPN
ejde-44	1095	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1096	1	ds)dt+	ds)dt+	ADP
ejde-44	1096	2	t	t	PROPN
ejde-44	1096	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1096	4	〈	〈	PROPN
ejde-44	1096	5	xα	xα	PROPN
ejde-44	1096	6	〉	〉	PROPN
ejde-44	1096	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1096	8	〈	〈	PROPN
ejde-44	1096	9	f	f	PROPN
ejde-44	1096	10	〉	〉	PROPN
ejde-44	1096	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1096	12	≤	≤	NUM
ejde-44	1097	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1097	2	t	t	PROPN
ejde-44	1097	3	0	0	NUM
ejde-44	1097	4	‖f(t)−	‖f(t)−	PROPN
ejde-44	1097	5	〈	〈	NOUN
ejde-44	1097	6	f〉‖	f〉‖	NOUN
ejde-44	1097	7	·	·	PUNCT
ejde-44	1097	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1097	9	∫	∫	PROPN
ejde-44	1097	10	t	t	PROPN
ejde-44	1097	11	0	0	NUM
ejde-44	1097	12	‖x′α(s)‖2	‖x′α(s)‖2	ADJ
ejde-44	1097	13	ds	ds	ADJ
ejde-44	1097	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1097	15	1/2	1/2	NUM
ejde-44	1097	16	·	·	PUNCT
ejde-44	1098	1	t1/2	t1/2	VERB
ejde-44	1098	2	dt+	dt+	NOUN
ejde-44	1098	3	t	t	NOUN
ejde-44	1098	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1098	5	〈	〈	PROPN
ejde-44	1098	6	xα	xα	PROPN
ejde-44	1098	7	〉	〉	PROPN
ejde-44	1098	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1098	9	〈	〈	PROPN
ejde-44	1098	10	f	f	PROPN
ejde-44	1098	11	〉	〉	PROPN
ejde-44	1098	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1098	13	≤	≤	NOUN
ejde-44	1098	14	‖f	‖f	PRON
ejde-44	1098	15	−	−	ADP
ejde-44	1099	1	〈	〈	PROPN
ejde-44	1099	2	f〉‖l2(]0,t	f〉‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1099	3	[	[	X
ejde-44	1099	4	;	;	PUNCT
ejde-44	1099	5	h	h	X
ejde-44	1099	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1099	7	·	·	PUNCT
ejde-44	1099	8	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1100	1	[	[	X
ejde-44	1100	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1100	3	h	h	X
ejde-44	1100	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1100	5	·	·	PUNCT
ejde-44	1100	6	t√	t√	NOUN
ejde-44	1100	7	2	2	NUM
ejde-44	1100	8	+	+	SYM
ejde-44	1100	9	t	t	PROPN
ejde-44	1100	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1100	11	〈	〈	PROPN
ejde-44	1100	12	xα	xα	PROPN
ejde-44	1100	13	〉	〉	PROPN
ejde-44	1100	14	,	,	PUNCT
ejde-44	1100	15	〈	〈	PROPN
ejde-44	1100	16	f	f	PROPN
ejde-44	1100	17	〉	〉	PROPN
ejde-44	1100	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1100	19	.	.	PUNCT
ejde-44	1101	1	finally	finally	ADV
ejde-44	1101	2	we	we	PRON
ejde-44	1101	3	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1101	4	that∫	that∫	PROPN
ejde-44	1101	5	t	t	NOUN
ejde-44	1101	6	0	0	NUM
ejde-44	1102	1	{	{	PUNCT
ejde-44	1102	2	ϕ(xα(t))−	ϕ(xα(t))−	PRON
ejde-44	1102	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1102	4	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	1102	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1102	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1102	7	〈	〈	PROPN
ejde-44	1102	8	f	f	PROPN
ejde-44	1102	9	〉	〉	PROPN
ejde-44	1102	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1102	11	}	}	PUNCT
ejde-44	1102	12	dt	dt	CCONJ
ejde-44	1102	13	≤	≤	NUM
ejde-44	1102	14	c5(x0	c5(x0	NOUN
ejde-44	1102	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1102	16	t	t	PROPN
ejde-44	1102	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1102	18	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1102	19	[	[	X
ejde-44	1102	20	;	;	PUNCT
ejde-44	1102	21	h	h	NOUN
ejde-44	1102	22	)	)	PUNCT
ejde-44	1102	23	)	)	PUNCT
ejde-44	1102	24	,	,	PUNCT
ejde-44	1103	1	0	0	NUM
ejde-44	1103	2	<	<	X
ejde-44	1103	3	α	α	X
ejde-44	1103	4	<	<	X
ejde-44	1103	5	1	1	NUM
ejde-44	1103	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1103	7	(	(	PUNCT
ejde-44	1103	8	69	69	NUM
ejde-44	1103	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1103	10	and	and	CCONJ
ejde-44	1103	11	thus	thus	ADV
ejde-44	1103	12	there	there	PRON
ejde-44	1103	13	is	be	VERB
ejde-44	1103	14	tα	tα	PRON
ejde-44	1103	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	1104	1	[	[	X
ejde-44	1104	2	0	0	NUM
ejde-44	1104	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1104	4	t	t	X
ejde-44	1104	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1105	1	such	such	ADJ
ejde-44	1105	2	that	that	SCONJ
ejde-44	1105	3	ϕ(xα(t))−	ϕ(xα(t))−	PROPN
ejde-44	1105	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1105	5	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	1105	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1105	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1105	8	〈	〈	PROPN
ejde-44	1105	9	f	f	PROPN
ejde-44	1105	10	〉	〉	PROPN
ejde-44	1105	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1105	12	≤	≤	PUNCT
ejde-44	1105	13	c5	c5	PROPN
ejde-44	1105	14	t	t	PROPN
ejde-44	1105	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1105	16	0	0	PUNCT
ejde-44	1105	17	<	<	X
ejde-44	1105	18	α	α	X
ejde-44	1105	19	<	<	X
ejde-44	1105	20	1	1	NUM
ejde-44	1105	21	.	.	PUNCT
ejde-44	1105	22	(	(	PUNCT
ejde-44	1105	23	70	70	NUM
ejde-44	1105	24	)	)	PUNCT
ejde-44	1105	25	from	from	ADP
ejde-44	1105	26	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	1105	27	(	(	PUNCT
ejde-44	1105	28	62	62	NUM
ejde-44	1105	29	)	)	PUNCT
ejde-44	1105	30	we	we	PRON
ejde-44	1105	31	get	get	VERB
ejde-44	1105	32	that	that	PRON
ejde-44	1105	33	(	(	PUNCT
ejde-44	1105	34	xα(tα))0	xα(tα))0	X
ejde-44	1105	35	<	<	X
ejde-44	1105	36	α<1	α<1	NOUN
ejde-44	1105	37	is	be	AUX
ejde-44	1105	38	bounded	bound	VERB
ejde-44	1105	39	and	and	CCONJ
ejde-44	1105	40	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1105	41	from	from	ADP
ejde-44	1105	42	(	(	PUNCT
ejde-44	1105	43	65	65	NUM
ejde-44	1105	44	)	)	PUNCT
ejde-44	1105	45	,	,	PUNCT
ejde-44	1105	46	for	for	ADP
ejde-44	1105	47	t	t	PROPN
ejde-44	1105	48	∈	∈	PROPN
ejde-44	1106	1	[	[	X
ejde-44	1106	2	tα	tα	PROPN
ejde-44	1106	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1106	4	tα	tα	PROPN
ejde-44	1106	5	+	+	X
ejde-44	1106	6	t	t	PROPN
ejde-44	1106	7	]	]	PUNCT
ejde-44	1106	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1106	9	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	1106	10	x0‖	x0‖	PROPN
ejde-44	1107	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	1108	1	e−α(t−tα)‖xα(tα)−	e−α(t−tα)‖xα(tα)−	PROPN
ejde-44	1108	2	x0‖+	x0‖+	SYM
ejde-44	1108	3	∫	∫	PROPN
ejde-44	1108	4	t	t	PROPN
ejde-44	1108	5	tα	tα	PROPN
ejde-44	1108	6	e−α(t−s)‖f(s)−	e−α(t−s)‖f(s)−	NOUN
ejde-44	1108	7	αx0	αx0	NOUN
ejde-44	1108	8	−	−	NOUN
ejde-44	1108	9	∂ϕ(x0)‖	∂ϕ(x0)‖	NOUN
ejde-44	1108	10	ds	ds	NOUN
ejde-44	1108	11	.	.	PUNCT
ejde-44	1109	1	we	we	PRON
ejde-44	1109	2	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1109	3	that	that	PRON
ejde-44	1109	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1109	5	xα)0	xα)0	PROPN
ejde-44	1109	6	<	<	X
ejde-44	1109	7	α<1	α<1	PROPN
ejde-44	1109	8	is	be	AUX
ejde-44	1109	9	bounded	bound	VERB
ejde-44	1109	10	in	in	ADP
ejde-44	1109	11	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	1109	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1109	13	t	t	X
ejde-44	1110	1	[	[	X
ejde-44	1110	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1110	3	h	h	X
ejde-44	1110	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1110	5	and	and	CCONJ
ejde-44	1110	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1110	7	there	there	PRON
ejde-44	1110	8	is	be	VERB
ejde-44	1110	9	x	x	X
ejde-44	1110	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	1110	11	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	1110	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1110	13	t	t	X
ejde-44	1111	1	[	[	X
ejde-44	1111	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1111	3	h	h	X
ejde-44	1111	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1111	5	such	such	ADJ
ejde-44	1111	6	that	that	PRON
ejde-44	1111	7	xα(t	xα(t	NUM
ejde-44	1111	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1111	9	⇀	⇀	SYM
ejde-44	1112	1	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1112	2	)	)	PUNCT
ejde-44	1112	3	when	when	SCONJ
ejde-44	1112	4	α	α	PROPN
ejde-44	1112	5	goes	go	VERB
ejde-44	1112	6	to	to	ADP
ejde-44	1112	7	0	0	NUM
ejde-44	1112	8	for	for	ADP
ejde-44	1112	9	t	t	PROPN
ejde-44	1112	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	1113	1	[	[	X
ejde-44	1113	2	0	0	NUM
ejde-44	1113	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1113	4	t	t	X
ejde-44	1113	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1113	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1114	1	moreover	moreover	ADV
ejde-44	1114	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1114	3	from	from	ADP
ejde-44	1114	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1114	5	70	70	X
ejde-44	1114	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1114	7	it	it	PRON
ejde-44	1114	8	follows	follow	VERB
ejde-44	1114	9	that	that	SCONJ
ejde-44	1114	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1114	11	ϕ(xα(tα)))0	ϕ(xα(tα)))0	X
ejde-44	1114	12	<	<	X
ejde-44	1114	13	α<1	α<1	NOUN
ejde-44	1114	14	is	be	AUX
ejde-44	1114	15	bounded	bound	VERB
ejde-44	1114	16	from	from	ADP
ejde-44	1114	17	above	above	ADV
ejde-44	1115	1	and	and	CCONJ
ejde-44	1115	2	we	we	PRON
ejde-44	1115	3	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1115	4	that	that	PRON
ejde-44	1115	5	ϕ(xα(t	ϕ(xα(t	VERB
ejde-44	1115	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1115	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1116	1	=	=	SYM
ejde-44	1116	2	ϕ(xα(tα	ϕ(xα(tα	NOUN
ejde-44	1116	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1116	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1117	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1117	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1117	3	t	t	PROPN
ejde-44	1117	4	tα	tα	PROPN
ejde-44	1117	5	(	(	PUNCT
ejde-44	1117	6	∂ϕ(xα(s	∂ϕ(xα(s	PROPN
ejde-44	1117	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1117	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1117	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1117	10	x′α(s	x′α(s	PROPN
ejde-44	1117	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1117	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1118	1	ds	ds	ADJ
ejde-44	1118	2	≤	≤	NUM
ejde-44	1118	3	ϕ(xα(tα	ϕ(xα(tα	NOUN
ejde-44	1118	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1118	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1119	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1119	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1119	3	t	t	PROPN
ejde-44	1119	4	tα	tα	PROPN
ejde-44	1119	5	(	(	PUNCT
ejde-44	1119	6	f(s)−	f(s)−	PROPN
ejde-44	1119	7	αxα(s)−	αxα(s)−	PROPN
ejde-44	1119	8	x′α(s	x′α(s	NOUN
ejde-44	1119	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1119	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1119	11	x′α(s	x′α(s	PROPN
ejde-44	1119	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1119	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1119	14	ds	ds	ADJ
ejde-44	1119	15	≤	≤	PROPN
ejde-44	1119	16	c6(x0	c6(x0	PROPN
ejde-44	1119	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1119	18	t	t	PROPN
ejde-44	1119	19	,	,	PUNCT
ejde-44	1119	20	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1120	1	[	[	X
ejde-44	1120	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1120	3	h	h	NOUN
ejde-44	1120	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1120	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1120	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1120	7	0	0	NUM
ejde-44	1120	8	<	<	X
ejde-44	1120	9	α	α	X
ejde-44	1120	10	<	<	X
ejde-44	1120	11	1	1	NUM
ejde-44	1120	12	.	.	PUNCT
ejde-44	1121	1	on	on	ADP
ejde-44	1121	2	the	the	DET
ejde-44	1121	3	other	other	ADJ
ejde-44	1121	4	hand	hand	NOUN
ejde-44	1121	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1121	6	by	by	ADP
ejde-44	1121	7	writing	write	VERB
ejde-44	1121	8	ϕ(xα(t	ϕ(xα(t	NOUN
ejde-44	1121	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1121	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1121	11	≥	≥	NOUN
ejde-44	1121	12	ϕ(x0	ϕ(x0	NOUN
ejde-44	1121	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1122	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1122	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1122	3	∂ϕ(x0	∂ϕ(x0	PROPN
ejde-44	1122	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1122	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1122	6	xα(t)−x0	xα(t)−x0	NUM
ejde-44	1122	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1122	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1122	9	0	0	NUM
ejde-44	1122	10	≤	≤	NUM
ejde-44	1122	11	t	t	PROPN
ejde-44	1122	12	≤	≤	PROPN
ejde-44	1122	13	t	t	PROPN
ejde-44	1122	14	,	,	PUNCT
ejde-44	1122	15	α	α	PROPN
ejde-44	1122	16	>	>	X
ejde-44	1122	17	0	0	PUNCT
ejde-44	1123	1	we	we	PRON
ejde-44	1123	2	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1123	3	that	that	PRON
ejde-44	1123	4	ϕ(xα(t	ϕ(xα(t	VERB
ejde-44	1123	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1123	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1123	7	is	be	AUX
ejde-44	1123	8	also	also	ADV
ejde-44	1123	9	bounded	bound	VERB
ejde-44	1123	10	from	from	ADP
ejde-44	1123	11	below	below	ADV
ejde-44	1123	12	so	so	SCONJ
ejde-44	1123	13	that	that	SCONJ
ejde-44	1123	14	finally	finally	ADV
ejde-44	1123	15	(	(	PUNCT
ejde-44	1123	16	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	1123	17	◦	◦	NOUN
ejde-44	1123	18	xα)0	xα)0	PROPN
ejde-44	1123	19	<	<	X
ejde-44	1123	20	α<1	α<1	PROPN
ejde-44	1123	21	is	be	AUX
ejde-44	1123	22	bounded	bound	VERB
ejde-44	1123	23	in	in	ADP
ejde-44	1123	24	l∞(]0	l∞(]0	PROPN
ejde-44	1123	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1123	26	t	t	X
ejde-44	1124	1	[	[	X
ejde-44	1124	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1124	3	h	h	X
ejde-44	1124	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1124	5	.	.	PUNCT
ejde-44	1125	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	1125	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1125	3	39	39	NUM
ejde-44	1125	4	now	now	ADV
ejde-44	1125	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1125	6	using	use	VERB
ejde-44	1125	7	the	the	DET
ejde-44	1125	8	second	second	ADJ
ejde-44	1125	9	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	1125	10	of	of	ADP
ejde-44	1125	11	the	the	DET
ejde-44	1125	12	theorem	theorem	NOUN
ejde-44	1125	13	(	(	PUNCT
ejde-44	1125	14	every	every	DET
ejde-44	1125	15	level	level	NOUN
ejde-44	1125	16	subset	subset	NOUN
ejde-44	1125	17	is	be	AUX
ejde-44	1125	18	compact	compact	ADJ
ejde-44	1125	19	)	)	PUNCT
ejde-44	1125	20	we	we	PRON
ejde-44	1125	21	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1125	22	that	that	PRON
ejde-44	1125	23	xα(0)→	xα(0)→	PUNCT
ejde-44	1126	1	x(0	x(0	PROPN
ejde-44	1126	2	)	)	PUNCT
ejde-44	1126	3	when	when	SCONJ
ejde-44	1126	4	α	α	PROPN
ejde-44	1126	5	goes	go	VERB
ejde-44	1126	6	to	to	ADP
ejde-44	1126	7	0	0	NUM
ejde-44	1126	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1126	9	at	at	ADP
ejde-44	1126	10	least	least	ADJ
ejde-44	1126	11	for	for	ADP
ejde-44	1126	12	a	a	DET
ejde-44	1126	13	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-44	1126	14	αn	αn	NOUN
ejde-44	1126	15	↘	↘	PROPN
ejde-44	1126	16	0	0	NUM
ejde-44	1126	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1126	18	.	.	PUNCT
ejde-44	1127	1	in	in	ADP
ejde-44	1127	2	fact	fact	NOUN
ejde-44	1127	3	we	we	PRON
ejde-44	1127	4	can	can	AUX
ejde-44	1127	5	easily	easily	ADV
ejde-44	1127	6	check	check	VERB
ejde-44	1127	7	that	that	PRON
ejde-44	1127	8	xα	xα	PROPN
ejde-44	1127	9	converges	converge	VERB
ejde-44	1127	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-44	1127	11	to	to	PART
ejde-44	1127	12	x	x	VERB
ejde-44	1127	13	on	on	ADP
ejde-44	1127	14	[	[	X
ejde-44	1127	15	0	0	NUM
ejde-44	1127	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1127	17	t	t	X
ejde-44	1127	18	]	]	PUNCT
ejde-44	1127	19	since	since	SCONJ
ejde-44	1127	20	‖xα(t)−	‖xα(t)−	PROPN
ejde-44	1127	21	xβ(t)‖	xβ(t)‖	PROPN
ejde-44	1127	22	≤	≤	PROPN
ejde-44	1127	23	‖xα(0)−	‖xα(0)−	ADJ
ejde-44	1127	24	xβ(0)‖+	xβ(0)‖+	PROPN
ejde-44	1127	25	|α−	|α−	PROPN
ejde-44	1127	26	β|	β|	PROPN
ejde-44	1127	27	·	·	PUNCT
ejde-44	1127	28	t	t	NOUN
ejde-44	1127	29	·	·	PUNCT
ejde-44	1127	30	sup	sup	NOUN
ejde-44	1127	31	0	0	NUM
ejde-44	1127	32	<	<	NOUN
ejde-44	1127	33	γ<1	γ<1	NOUN
ejde-44	1127	34	‖xγ‖l∞(]0,t	‖xγ‖l∞(]0,t	NOUN
ejde-44	1128	1	[	[	X
ejde-44	1128	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1128	3	h	h	X
ejde-44	1128	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1128	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1128	6	for	for	ADP
ejde-44	1128	7	0	0	NUM
ejde-44	1128	8	≤	≤	NUM
ejde-44	1128	9	t	t	PROPN
ejde-44	1128	10	≤	≤	PROPN
ejde-44	1128	11	t	t	PROPN
ejde-44	1128	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1128	13	0	0	PUNCT
ejde-44	1128	14	<	<	X
ejde-44	1128	15	α	α	X
ejde-44	1128	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1128	17	β	β	X
ejde-44	1128	18	<	<	X
ejde-44	1128	19	1	1	NUM
ejde-44	1128	20	.	.	PUNCT
ejde-44	1129	1	now	now	ADV
ejde-44	1129	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1129	3	since	since	SCONJ
ejde-44	1129	4	limα	limα	PROPN
ejde-44	1129	5	↘	↘	PROPN
ejde-44	1129	6	0	0	PROPN
ejde-44	1129	7	dxα	dxα	ADJ
ejde-44	1129	8	/	/	SYM
ejde-44	1129	9	dt	dt	NOUN
ejde-44	1129	10	=	=	PUNCT
ejde-44	1129	11	dx	dx	PROPN
ejde-44	1129	12	/	/	SYM
ejde-44	1129	13	dt	dt	NOUN
ejde-44	1129	14	in	in	ADP
ejde-44	1129	15	the	the	DET
ejde-44	1129	16	sense	sense	NOUN
ejde-44	1129	17	of	of	ADP
ejde-44	1129	18	h	h	NOUN
ejde-44	1129	19	-	-	PUNCT
ejde-44	1129	20	valued	value	VERB
ejde-44	1129	21	vectorial	vectorial	ADJ
ejde-44	1129	22	distribution	distribution	NOUN
ejde-44	1129	23	on	on	ADP
ejde-44	1129	24	]	]	X
ejde-44	1129	25	0	0	NUM
ejde-44	1129	26	,	,	PUNCT
ejde-44	1129	27	t	t	X
ejde-44	1129	28	[	[	PUNCT
ejde-44	1129	29	and	and	CCONJ
ejde-44	1129	30	(	(	PUNCT
ejde-44	1129	31	x′α)α>0	x′α)α>0	NUM
ejde-44	1129	32	is	be	AUX
ejde-44	1129	33	bounded	bound	VERB
ejde-44	1129	34	in	in	ADP
ejde-44	1129	35	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	1129	36	,	,	PUNCT
ejde-44	1129	37	t	t	X
ejde-44	1130	1	[	[	X
ejde-44	1130	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1130	3	h	h	X
ejde-44	1130	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1130	5	it	it	PRON
ejde-44	1130	6	follows	follow	VERB
ejde-44	1130	7	that	that	SCONJ
ejde-44	1130	8	x′	x′	PROPN
ejde-44	1130	9	belongs	belong	VERB
ejde-44	1130	10	to	to	ADP
ejde-44	1130	11	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	1130	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1130	13	t	t	X
ejde-44	1131	1	[	[	X
ejde-44	1131	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1131	3	h	h	X
ejde-44	1131	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1131	5	and	and	CCONJ
ejde-44	1131	6	in	in	ADP
ejde-44	1131	7	particular	particular	ADJ
ejde-44	1131	8	x	x	VERB
ejde-44	1131	9	is	be	AUX
ejde-44	1131	10	absolutely	absolutely	ADV
ejde-44	1131	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-44	1131	12	on	on	ADP
ejde-44	1131	13	every	every	DET
ejde-44	1131	14	compact	compact	NOUN
ejde-44	1131	15	of	of	ADP
ejde-44	1131	16	]	]	X
ejde-44	1131	17	0	0	NUM
ejde-44	1131	18	,	,	PUNCT
ejde-44	1131	19	t	t	X
ejde-44	1131	20	[	[	PUNCT
ejde-44	1131	21	and	and	CCONJ
ejde-44	1131	22	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1131	23	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1131	24	.	.	PROPN
ejde-44	1131	25	differentiable	differentiable	VERB
ejde-44	1131	26	on	on	ADP
ejde-44	1131	27	]	]	X
ejde-44	1131	28	0	0	NUM
ejde-44	1131	29	,	,	PUNCT
ejde-44	1131	30	t	t	X
ejde-44	1132	1	[	[	X
ejde-44	1132	2	.	.	PUNCT
ejde-44	1133	1	to	to	PART
ejde-44	1133	2	complete	complete	VERB
ejde-44	1133	3	the	the	DET
ejde-44	1133	4	proof	proof	NOUN
ejde-44	1133	5	we	we	PRON
ejde-44	1133	6	need	need	VERB
ejde-44	1133	7	to	to	PART
ejde-44	1133	8	show	show	VERB
ejde-44	1133	9	that	that	SCONJ
ejde-44	1133	10	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1133	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1133	12	∈	∈	PROPN
ejde-44	1133	13	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	1133	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1133	15	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1133	16	.	.	PROPN
ejde-44	1134	1	on	on	ADP
ejde-44	1134	2	]	]	X
ejde-44	1134	3	0	0	NUM
ejde-44	1134	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1134	5	t	t	NOUN
ejde-44	1134	6	[	[	PUNCT
ejde-44	1134	7	and	and	CCONJ
ejde-44	1134	8	x′(t	x′(t	ADJ
ejde-44	1134	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1135	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1135	2	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	1135	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1135	4	3	3	NUM
ejde-44	1135	5	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	1135	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1135	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1135	8	.	.	PROPN
ejde-44	1136	1	on	on	ADP
ejde-44	1136	2	]	]	X
ejde-44	1136	3	0	0	NUM
ejde-44	1136	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1136	5	t	t	X
ejde-44	1137	1	[	[	X
ejde-44	1137	2	.	.	PUNCT
ejde-44	1138	1	for	for	ADP
ejde-44	1138	2	arbitrarily	arbitrarily	ADV
ejde-44	1138	3	[	[	X
ejde-44	1138	4	u	u	NOUN
ejde-44	1138	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1138	6	v	v	NOUN
ejde-44	1138	7	]	]	X
ejde-44	1138	8	∈	∈	PROPN
ejde-44	1139	1	∂ϕ	∂ϕ	INTJ
ejde-44	1139	2	we	we	PRON
ejde-44	1139	3	have	have	VERB
ejde-44	1139	4	1	1	NUM
ejde-44	1139	5	2	2	NUM
ejde-44	1139	6	e2αt‖xα(t)−u‖2	e2αt‖xα(t)−u‖2	ADJ
ejde-44	1139	7	≤	≤	NUM
ejde-44	1139	8	1	1	NUM
ejde-44	1139	9	2	2	NUM
ejde-44	1139	10	e2αs‖xα(s)−u‖2	e2αs‖xα(s)−u‖2	NOUN
ejde-44	1140	1	+	+	NUM
ejde-44	1140	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1140	3	t	t	PROPN
ejde-44	1140	4	s	s	PART
ejde-44	1140	5	e2ατ	e2ατ	PUNCT
ejde-44	1140	6	(	(	PUNCT
ejde-44	1140	7	f(τ)−αu−	f(τ)−αu−	NOUN
ejde-44	1140	8	v	v	PROPN
ejde-44	1140	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1140	10	xα(τ)−u	xα(τ)−u	PROPN
ejde-44	1140	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1140	12	dτ	dτ	PROPN
ejde-44	1140	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1140	14	with	with	ADP
ejde-44	1140	15	0	0	NUM
ejde-44	1140	16	≤	≤	NUM
ejde-44	1140	17	s	s	PART
ejde-44	1140	18	≤	≤	NUM
ejde-44	1140	19	t	t	PROPN
ejde-44	1140	20	≤	≤	PROPN
ejde-44	1140	21	t	t	PROPN
ejde-44	1140	22	,	,	PUNCT
ejde-44	1140	23	α	α	X
ejde-44	1140	24	>	>	X
ejde-44	1140	25	0	0	X
ejde-44	1140	26	.	.	PUNCT
ejde-44	1141	1	passing	pass	VERB
ejde-44	1141	2	to	to	ADP
ejde-44	1141	3	the	the	DET
ejde-44	1141	4	limit	limit	NOUN
ejde-44	1141	5	for	for	ADP
ejde-44	1141	6	α	α	NOUN
ejde-44	1141	7	↘	↘	PROPN
ejde-44	1141	8	0	0	NUM
ejde-44	1141	9	we	we	PRON
ejde-44	1141	10	get	get	VERB
ejde-44	1141	11	1	1	NUM
ejde-44	1141	12	2	2	NUM
ejde-44	1141	13	‖x(t)−	‖x(t)−	PROPN
ejde-44	1141	14	u‖2	u‖2	PROPN
ejde-44	1141	15	≤	≤	ADJ
ejde-44	1142	1	1	1	NUM
ejde-44	1142	2	2	2	NUM
ejde-44	1142	3	‖x(s)−	‖x(s)−	PROPN
ejde-44	1142	4	u‖2	u‖2	PROPN
ejde-44	1143	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1143	2	∫	∫	PROPN
ejde-44	1143	3	t	t	PROPN
ejde-44	1143	4	s	s	PART
ejde-44	1143	5	(	(	PUNCT
ejde-44	1143	6	f(τ)−	f(τ)−	PROPN
ejde-44	1143	7	v	v	NOUN
ejde-44	1143	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1143	9	x(τ)−	x(τ)−	PROPN
ejde-44	1143	10	u	u	NOUN
ejde-44	1143	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1143	12	dτ	dτ	PROPN
ejde-44	1143	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1143	14	0	0	NUM
ejde-44	1143	15	≤	≤	NUM
ejde-44	1143	16	s	s	PART
ejde-44	1143	17	≤	≤	NUM
ejde-44	1143	18	t	t	NOUN
ejde-44	1143	19	≤	≤	NOUN
ejde-44	1143	20	t.	t.	NOUN
ejde-44	1143	21	thus	thus	ADV
ejde-44	1143	22	(	(	PUNCT
ejde-44	1143	23	x(t)−x(s	x(t)−x(s	X
ejde-44	1143	24	)	)	PUNCT
ejde-44	1143	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1143	26	x(s)−u	x(s)−u	PROPN
ejde-44	1143	27	)	)	PUNCT
ejde-44	1143	28	≤	≤	NUM
ejde-44	1144	1	1	1	NUM
ejde-44	1144	2	2	2	NUM
ejde-44	1144	3	‖x(t)−u‖2−	‖x(t)−u‖2−	NUM
ejde-44	1144	4	1	1	NUM
ejde-44	1144	5	2	2	NUM
ejde-44	1144	6	‖x(s)−u‖2	‖x(s)−u‖2	NUM
ejde-44	1144	7	≤	≤	NUM
ejde-44	1144	8	∫	∫	PROPN
ejde-44	1144	9	t	t	PROPN
ejde-44	1144	10	s	s	X
ejde-44	1144	11	(	(	PUNCT
ejde-44	1144	12	f(τ)−v	f(τ)−v	PROPN
ejde-44	1144	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1144	14	x(τ)−u	x(τ)−u	PROPN
ejde-44	1144	15	)	)	PUNCT
ejde-44	1144	16	dτ	dτ	NOUN
ejde-44	1144	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1144	18	for	for	ADP
ejde-44	1144	19	0	0	NUM
ejde-44	1144	20	≤	≤	NUM
ejde-44	1144	21	s	s	PART
ejde-44	1144	22	≤	≤	NUM
ejde-44	1144	23	t	t	NOUN
ejde-44	1144	24	≤	≤	NOUN
ejde-44	1144	25	t	t	PROPN
ejde-44	1144	26	.	.	PUNCT
ejde-44	1145	1	since	since	SCONJ
ejde-44	1145	2	x	x	PROPN
ejde-44	1145	3	is	be	AUX
ejde-44	1145	4	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1145	5	.	.	PROPN
ejde-44	1145	6	differentiable	differentiable	NOUN
ejde-44	1145	7	on	on	ADP
ejde-44	1145	8	]	]	X
ejde-44	1145	9	0	0	NUM
ejde-44	1145	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1145	11	t	t	PROPN
ejde-44	1145	12	[	[	PUNCT
ejde-44	1145	13	we	we	PRON
ejde-44	1145	14	find	find	VERB
ejde-44	1145	15	that	that	SCONJ
ejde-44	1145	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1145	17	x′(t	x′(t	PROPN
ejde-44	1145	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1145	19	,	,	PUNCT
ejde-44	1145	20	x(t)−	x(t)−	PROPN
ejde-44	1145	21	u	u	NOUN
ejde-44	1145	22	)	)	PUNCT
ejde-44	1145	23	=	=	PROPN
ejde-44	1145	24	lim	lim	PROPN
ejde-44	1145	25	s	s	PROPN
ejde-44	1145	26	↗	↗	PROPN
ejde-44	1145	27	t	t	PROPN
ejde-44	1145	28	1	1	NUM
ejde-44	1145	29	t−	t−	PROPN
ejde-44	1145	30	s	s	X
ejde-44	1145	31	(	(	PUNCT
ejde-44	1145	32	x(t)−	x(t)−	PROPN
ejde-44	1145	33	x(s	x(s	PROPN
ejde-44	1145	34	)	)	PUNCT
ejde-44	1145	35	,	,	PUNCT
ejde-44	1145	36	x(s)−	x(s)−	PROPN
ejde-44	1145	37	u	u	NOUN
ejde-44	1145	38	)	)	PUNCT
ejde-44	1145	39	≤	≤	PROPN
ejde-44	1145	40	lim	lim	PROPN
ejde-44	1145	41	s	s	PROPN
ejde-44	1145	42	↗	↗	PROPN
ejde-44	1145	43	t	t	PROPN
ejde-44	1145	44	1	1	NUM
ejde-44	1145	45	t−	t−	PROPN
ejde-44	1145	46	s	s	PART
ejde-44	1146	1	∫	∫	PROPN
ejde-44	1146	2	t	t	PROPN
ejde-44	1146	3	s	s	PART
ejde-44	1146	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1146	5	f(τ)−	f(τ)−	PROPN
ejde-44	1146	6	v	v	NOUN
ejde-44	1146	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1146	8	x(τ)−	x(τ)−	PROPN
ejde-44	1146	9	u	u	NOUN
ejde-44	1146	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1146	11	dτ	dτ	NOUN
ejde-44	1146	12	=	=	SYM
ejde-44	1146	13	(	(	PUNCT
ejde-44	1146	14	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1146	15	v	v	PROPN
ejde-44	1146	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1146	17	x(t)−	x(t)−	PROPN
ejde-44	1146	18	u	u	PROPN
ejde-44	1146	19	)	)	PUNCT
ejde-44	1146	20	,	,	PUNCT
ejde-44	1146	21	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1146	22	.	.	PROPN
ejde-44	1146	23	t	t	PROPN
ejde-44	1146	24	∈]0	∈]0	X
ejde-44	1146	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1146	26	t	t	X
ejde-44	1147	1	[	[	X
ejde-44	1147	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1147	3	∀	∀	PUNCT
ejde-44	1148	1	[	[	X
ejde-44	1148	2	u	u	NOUN
ejde-44	1148	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1148	4	v	v	NOUN
ejde-44	1148	5	]	]	X
ejde-44	1148	6	∈	∈	PROPN
ejde-44	1148	7	∂ϕ.	∂ϕ.	NOUN
ejde-44	1148	8	finally	finally	ADV
ejde-44	1148	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1148	10	since	since	SCONJ
ejde-44	1148	11	∂ϕ	∂ϕ	PROPN
ejde-44	1148	12	is	be	AUX
ejde-44	1148	13	maximal	maximal	ADJ
ejde-44	1148	14	monotone	monotone	ADJ
ejde-44	1148	15	and	and	CCONJ
ejde-44	1148	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1148	17	f(t)−x′(t)−v	f(t)−x′(t)−v	NOUN
ejde-44	1148	18	,	,	PUNCT
ejde-44	1148	19	x(t)−u	x(t)−u	PROPN
ejde-44	1148	20	)	)	PUNCT
ejde-44	1148	21	≥	≥	NOUN
ejde-44	1148	22	0	0	NUM
ejde-44	1148	23	for	for	ADP
ejde-44	1148	24	all	all	DET
ejde-44	1148	25	[	[	X
ejde-44	1148	26	u	u	NOUN
ejde-44	1148	27	,	,	PUNCT
ejde-44	1148	28	v	v	NOUN
ejde-44	1148	29	]	]	X
ejde-44	1148	30	∈	∈	PROPN
ejde-44	1148	31	∂ϕ	∂ϕ	INTJ
ejde-44	1148	32	we	we	PRON
ejde-44	1148	33	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1149	1	that	that	SCONJ
ejde-44	1149	2	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1149	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1149	4	∈	∈	PROPN
ejde-44	1149	5	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	1149	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1149	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1149	8	.	.	PROPN
ejde-44	1150	1	on	on	ADP
ejde-44	1150	2	]	]	X
ejde-44	1150	3	0	0	NUM
ejde-44	1150	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1150	5	t	t	NOUN
ejde-44	1150	6	[	[	PUNCT
ejde-44	1150	7	and	and	CCONJ
ejde-44	1150	8	x′(t	x′(t	ADJ
ejde-44	1150	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1150	10	+	+	ADJ
ejde-44	1150	11	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	1150	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1150	13	3	3	NUM
ejde-44	1150	14	f(t	f(t	NOUN
ejde-44	1150	15	)	)	PUNCT
ejde-44	1150	16	a.e	a.e	PROPN
ejde-44	1150	17	.	.	PROPN
ejde-44	1151	1	on	on	ADP
ejde-44	1151	2	]	]	X
ejde-44	1151	3	0	0	NUM
ejde-44	1151	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1151	5	t	t	X
ejde-44	1152	1	[	[	X
ejde-44	1152	2	.	.	PUNCT
ejde-44	1153	1	since	since	SCONJ
ejde-44	1153	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-44	1153	3	is	be	AUX
ejde-44	1153	4	lower	lower	ADV
ejde-44	1153	5	-	-	PUNCT
ejde-44	1153	6	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	1153	7	we	we	PRON
ejde-44	1153	8	also	also	ADV
ejde-44	1153	9	have	have	VERB
ejde-44	1153	10	ϕ(x(t	ϕ(x(t	PROPN
ejde-44	1153	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1153	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1154	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	1154	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	1154	3	α	α	PROPN
ejde-44	1154	4	↘	↘	PROPN
ejde-44	1154	5	0	0	PROPN
ejde-44	1154	6	inf	inf	PROPN
ejde-44	1154	7	ϕ(xα(t	ϕ(xα(t	PROPN
ejde-44	1154	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1154	9	)	)	PUNCT
ejde-44	1155	1	≤	≤	PROPN
ejde-44	1155	2	lim	lim	PROPN
ejde-44	1155	3	α	α	PROPN
ejde-44	1155	4	↘	↘	PROPN
ejde-44	1155	5	0	0	PROPN
ejde-44	1155	6	inf	inf	PROPN
ejde-44	1155	7	‖ϕ	‖ϕ	NOUN
ejde-44	1155	8	◦	◦	NOUN
ejde-44	1155	9	xα‖l∞	xα‖l∞	PROPN
ejde-44	1155	10	≤	≤	NUM
ejde-44	1155	11	sup	sup	NOUN
ejde-44	1155	12	0	0	NUM
ejde-44	1155	13	<	<	NOUN
ejde-44	1155	14	γ<1	γ<1	NOUN
ejde-44	1155	15	‖ϕ	‖ϕ	NOUN
ejde-44	1155	16	◦	◦	NOUN
ejde-44	1155	17	xγ‖l∞	xγ‖l∞	NOUN
ejde-44	1155	18	.	.	PUNCT
ejde-44	1156	1	as	as	ADP
ejde-44	1156	2	previous	previous	ADJ
ejde-44	1156	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1156	4	by	by	ADP
ejde-44	1156	5	writing	write	VERB
ejde-44	1156	6	ϕ(x(t	ϕ(x(t	PROPN
ejde-44	1156	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1156	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1156	9	≥	≥	NOUN
ejde-44	1156	10	ϕ(x0	ϕ(x0	NOUN
ejde-44	1156	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1157	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1157	3	∂ϕ(x0	∂ϕ(x0	PROPN
ejde-44	1157	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1157	6	x(t)−	x(t)−	PROPN
ejde-44	1157	7	x0	x0	PROPN
ejde-44	1157	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	9	≥	≥	PROPN
ejde-44	1157	10	ϕ(x0)−	ϕ(x0)−	PROPN
ejde-44	1157	11	‖∂ϕ(x0)‖	‖∂ϕ(x0)‖	PUNCT
ejde-44	1157	12	·	·	PUNCT
ejde-44	1157	13	(	(	PUNCT
ejde-44	1157	14	‖x0‖+	‖x0‖+	PROPN
ejde-44	1157	15	lim	lim	PROPN
ejde-44	1157	16	α	α	PROPN
ejde-44	1157	17	↘	↘	PROPN
ejde-44	1157	18	0	0	PROPN
ejde-44	1157	19	inf	inf	PROPN
ejde-44	1157	20	‖xα(t)‖	‖xα(t)‖	PROPN
ejde-44	1157	21	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	22	≥	≥	PROPN
ejde-44	1157	23	ϕ(x0)−	ϕ(x0)−	PROPN
ejde-44	1157	24	‖∂ϕ(x0)‖	‖∂ϕ(x0)‖	PUNCT
ejde-44	1157	25	·	·	PUNCT
ejde-44	1157	26	(	(	PUNCT
ejde-44	1157	27	‖x0‖+	‖x0‖+	PRON
ejde-44	1157	28	sup	sup	NOUN
ejde-44	1157	29	0	0	NUM
ejde-44	1157	30	<	<	NOUN
ejde-44	1157	31	γ<1	γ<1	NOUN
ejde-44	1157	32	‖xγ‖l∞	‖xγ‖l∞	NOUN
ejde-44	1157	33	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	34	,	,	PUNCT
ejde-44	1157	35	0	0	NUM
ejde-44	1157	36	≤	≤	NUM
ejde-44	1157	37	t	t	PROPN
ejde-44	1157	38	≤	≤	PROPN
ejde-44	1157	39	t	t	PROPN
ejde-44	1157	40	,	,	PUNCT
ejde-44	1157	41	we	we	PRON
ejde-44	1157	42	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1157	43	finally	finally	ADV
ejde-44	1157	44	that	that	PRON
ejde-44	1157	45	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	1157	46	◦	◦	NOUN
ejde-44	1157	47	x	x	SYM
ejde-44	1157	48	∈	∈	PROPN
ejde-44	1157	49	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-44	1157	50	,	,	PUNCT
ejde-44	1157	51	t	t	PROPN
ejde-44	1157	52	)	)	PUNCT
ejde-44	1157	53	.	.	PUNCT
ejde-44	1158	1	40	40	NUM
ejde-44	1158	2	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1158	3	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1158	4	for	for	ADP
ejde-44	1158	5	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	1158	6	equations	equation	NOUN
ejde-44	1158	7	remark	remark	VERB
ejde-44	1158	8	3.17	3.17	NUM
ejde-44	1158	9	if	if	SCONJ
ejde-44	1158	10	dimh	dimh	VERB
ejde-44	1158	11	<	<	X
ejde-44	1159	1	+	+	NOUN
ejde-44	1159	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1159	3	then	then	ADV
ejde-44	1159	4	the	the	DET
ejde-44	1159	5	level	level	NOUN
ejde-44	1159	6	subsets	subset	NOUN
ejde-44	1159	7	{	{	PUNCT
ejde-44	1159	8	x	x	SYM
ejde-44	1159	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	1159	10	h	h	NOUN
ejde-44	1159	11	;	;	PUNCT
ejde-44	1159	12	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-44	1159	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1160	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1160	2	‖x‖2	‖x‖2	ADJ
ejde-44	1160	3	≤	≤	NUM
ejde-44	1160	4	m	m	VERB
ejde-44	1160	5	}	}	PUNCT
ejde-44	1160	6	are	be	AUX
ejde-44	1160	7	compact	compact	ADJ
ejde-44	1160	8	as	as	ADP
ejde-44	1160	9	bounded	bounded	ADJ
ejde-44	1160	10	sets	set	NOUN
ejde-44	1160	11	.	.	PUNCT
ejde-44	1161	1	remark	remark	VERB
ejde-44	1161	2	3.18	3.18	NUM
ejde-44	1161	3	assume	assume	VERB
ejde-44	1161	4	that	that	SCONJ
ejde-44	1161	5	ϕ	ϕ	X
ejde-44	1161	6	:	:	PUNCT
ejde-44	1161	7	h	h	NOUN
ejde-44	1161	8	→	→	X
ejde-44	1161	9	]	]	X
ejde-44	1161	10	−	−	PRON
ejde-44	1161	11	∞,+∞	∞,+∞	PROPN
ejde-44	1161	12	]	]	PUNCT
ejde-44	1161	13	is	be	AUX
ejde-44	1161	14	a	a	DET
ejde-44	1161	15	lower	lower	ADV
ejde-44	1161	16	-	-	PUNCT
ejde-44	1161	17	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	1161	18	proper	proper	ADJ
ejde-44	1161	19	convex	convex	NOUN
ejde-44	1161	20	function	function	NOUN
ejde-44	1161	21	such	such	ADJ
ejde-44	1161	22	that	that	DET
ejde-44	1161	23	range(∂ϕ	range(∂ϕ	NOUN
ejde-44	1161	24	)	)	PUNCT
ejde-44	1162	1	=	=	SYM
ejde-44	1163	1	h	h	NOUN
ejde-44	1163	2	which	which	PRON
ejde-44	1163	3	is	be	AUX
ejde-44	1163	4	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	1163	5	to	to	ADP
ejde-44	1163	6	lim	lim	PROPN
ejde-44	1163	7	‖x‖→∞	‖x‖→∞	PROPN
ejde-44	1163	8	{	{	PUNCT
ejde-44	1163	9	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-44	1163	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1163	11	x	x	PROPN
ejde-44	1163	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1163	13	y	y	NOUN
ejde-44	1163	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1163	15	}	}	PUNCT
ejde-44	1164	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1165	1	+	+	NUM
ejde-44	1165	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1165	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1165	4	∀y	∀y	PROPN
ejde-44	1165	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	1165	6	h	h	NOUN
ejde-44	1165	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1165	8	see	see	VERB
ejde-44	1165	9	[	[	X
ejde-44	1165	10	4	4	NUM
ejde-44	1165	11	]	]	PUNCT
ejde-44	1165	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1165	13	pp.41	pp.41	PROPN
ejde-44	1165	14	.	.	PUNCT
ejde-44	1166	1	in	in	ADP
ejde-44	1166	2	particular	particular	ADJ
ejde-44	1166	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1166	4	by	by	ADP
ejde-44	1166	5	taking	take	VERB
ejde-44	1166	6	y	y	PROPN
ejde-44	1166	7	=	=	PUNCT
ejde-44	1166	8	〈	〈	PROPN
ejde-44	1166	9	f	f	PROPN
ejde-44	1166	10	〉	〉	NOUN
ejde-44	1166	11	we	we	PRON
ejde-44	1166	12	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1166	13	that	that	SCONJ
ejde-44	1166	14	the	the	DET
ejde-44	1166	15	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-44	1166	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1166	17	62	62	NUM
ejde-44	1166	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1166	19	is	be	AUX
ejde-44	1166	20	verified	verify	VERB
ejde-44	1166	21	.	.	PUNCT
ejde-44	1167	1	remark	remark	VERB
ejde-44	1167	2	3.19	3.19	NUM
ejde-44	1167	3	assume	assume	VERB
ejde-44	1167	4	that	that	SCONJ
ejde-44	1167	5	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	1167	6	is	be	AUX
ejde-44	1167	7	coercive	coercive	ADJ
ejde-44	1167	8	lim	lim	PROPN
ejde-44	1167	9	‖x‖→∞	‖x‖→∞	PROPN
ejde-44	1167	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1167	11	∂ϕ(x	∂ϕ(x	PROPN
ejde-44	1167	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1167	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1167	14	x−	x−	PROPN
ejde-44	1167	15	x0	x0	PROPN
ejde-44	1167	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1168	1	‖x‖	‖x‖	PROPN
ejde-44	1168	2	=	=	PUNCT
ejde-44	1169	1	+	+	NUM
ejde-44	1169	2	∞	∞	NOUN
ejde-44	1169	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1169	4	∀x0	∀x0	PROPN
ejde-44	1169	5	∈	∈	PROPN
ejde-44	1169	6	d(ϕ	d(ϕ	PROPN
ejde-44	1169	7	)	)	PUNCT
ejde-44	1169	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1169	9	which	which	PRON
ejde-44	1169	10	is	be	AUX
ejde-44	1169	11	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-44	1169	12	to	to	ADP
ejde-44	1169	13	lim‖x‖→∞	lim‖x‖→∞	PROPN
ejde-44	1169	14	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-44	1169	15	)	)	PUNCT
ejde-44	1170	1	‖x‖	‖x‖	PROPN
ejde-44	1170	2	=	=	PUNCT
ejde-44	1171	1	+	+	NUM
ejde-44	1171	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1171	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1171	4	see	see	VERB
ejde-44	1171	5	[	[	X
ejde-44	1171	6	4	4	NUM
ejde-44	1171	7	]	]	PUNCT
ejde-44	1171	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1171	9	pp.42	pp.42	NOUN
ejde-44	1171	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1171	11	.	.	PUNCT
ejde-44	1172	1	then	then	ADV
ejde-44	1172	2	range(ϕ	range(ϕ	VERB
ejde-44	1172	3	)	)	PUNCT
ejde-44	1172	4	=	=	SYM
ejde-44	1172	5	h	h	NOUN
ejde-44	1172	6	because	because	SCONJ
ejde-44	1172	7	the	the	DET
ejde-44	1172	8	previous	previous	ADJ
ejde-44	1172	9	condition	condition	NOUN
ejde-44	1172	10	is	be	AUX
ejde-44	1172	11	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-44	1172	12	:	:	PUNCT
ejde-44	1172	13	lim‖x‖→∞{ϕ(x)−	lim‖x‖→∞{ϕ(x)−	PROPN
ejde-44	1172	14	(	(	PUNCT
ejde-44	1172	15	x	x	X
ejde-44	1172	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1172	17	y	y	NOUN
ejde-44	1172	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1172	19	}	}	PUNCT
ejde-44	1172	20	=	=	PUNCT
ejde-44	1173	1	+	+	NUM
ejde-44	1173	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1173	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1173	4	for	for	ADP
ejde-44	1173	5	all	all	DET
ejde-44	1173	6	y	y	PROPN
ejde-44	1173	7	∈	∈	PROPN
ejde-44	1173	8	h	h	NOUN
ejde-44	1173	9	and	and	CCONJ
ejde-44	1173	10	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1173	11	(	(	PUNCT
ejde-44	1173	12	62	62	NUM
ejde-44	1173	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1173	14	is	be	AUX
ejde-44	1173	15	verified	verify	VERB
ejde-44	1173	16	.	.	PUNCT
ejde-44	1174	1	theorem	theorem	VERB
ejde-44	1174	2	3.20	3.20	NUM
ejde-44	1174	3	suppose	suppose	VERB
ejde-44	1174	4	that	that	SCONJ
ejde-44	1174	5	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-44	1174	6	:	:	PUNCT
ejde-44	1174	7	h	h	NOUN
ejde-44	1174	8	→	→	X
ejde-44	1174	9	]	]	X
ejde-44	1174	10	−	−	PRON
ejde-44	1174	11	∞,+∞	∞,+∞	PROPN
ejde-44	1174	12	]	]	PUNCT
ejde-44	1174	13	is	be	AUX
ejde-44	1174	14	a	a	DET
ejde-44	1174	15	lower	lower	ADV
ejde-44	1174	16	-	-	PUNCT
ejde-44	1174	17	semicontinuous	semicontinuous	ADJ
ejde-44	1174	18	proper	proper	ADJ
ejde-44	1174	19	convex	convex	NOUN
ejde-44	1174	20	function	function	NOUN
ejde-44	1174	21	and	and	CCONJ
ejde-44	1174	22	f	f	PROPN
ejde-44	1174	23	∈w	∈w	PROPN
ejde-44	1174	24	1,1(]0	1,1(]0	NUM
ejde-44	1174	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1174	26	t	t	X
ejde-44	1175	1	[	[	X
ejde-44	1175	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1175	3	h	h	X
ejde-44	1175	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1175	5	such	such	ADJ
ejde-44	1175	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1175	7	lim	lim	PROPN
ejde-44	1175	8	‖x‖→∞	‖x‖→∞	PROPN
ejde-44	1175	9	{	{	PUNCT
ejde-44	1175	10	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-44	1175	11	(	(	PUNCT
ejde-44	1175	12	x	x	NOUN
ejde-44	1175	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1175	14	〈	〈	PROPN
ejde-44	1175	15	f	f	PROPN
ejde-44	1175	16	〉	〉	PROPN
ejde-44	1175	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1175	18	}	}	PUNCT
ejde-44	1176	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1177	1	+	+	NOUN
ejde-44	1177	2	∞	∞	PROPN
ejde-44	1177	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1177	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1177	5	71	71	NUM
ejde-44	1177	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1177	7	and	and	CCONJ
ejde-44	1177	8	every	every	DET
ejde-44	1177	9	level	level	NOUN
ejde-44	1177	10	subset	subset	NOUN
ejde-44	1177	11	{	{	PUNCT
ejde-44	1177	12	x	x	SYM
ejde-44	1177	13	∈	∈	PROPN
ejde-44	1177	14	h	h	NOUN
ejde-44	1177	15	;	;	PUNCT
ejde-44	1177	16	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-44	1177	17	)	)	PUNCT
ejde-44	1177	18	+	+	CCONJ
ejde-44	1177	19	‖x‖2	‖x‖2	ADJ
ejde-44	1177	20	≤	≤	NUM
ejde-44	1177	21	m	m	VERB
ejde-44	1177	22	}	}	PUNCT
ejde-44	1177	23	is	be	AUX
ejde-44	1177	24	compact	compact	ADJ
ejde-44	1177	25	.	.	PUNCT
ejde-44	1178	1	then	then	ADV
ejde-44	1178	2	equation	equation	NOUN
ejde-44	1178	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1178	4	61	61	NUM
ejde-44	1178	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1178	6	has	have	VERB
ejde-44	1178	7	t	t	X
ejde-44	1178	8	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	1178	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1178	10	x	x	SYM
ejde-44	1178	11	∈	∈	PROPN
ejde-44	1178	12	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	1178	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1178	14	t	t	X
ejde-44	1178	15	]	]	PUNCT
ejde-44	1178	16	;	;	PUNCT
ejde-44	1178	17	h	h	X
ejde-44	1178	18	)	)	PUNCT
ejde-44	1178	19	∩w	∩w	NOUN
ejde-44	1178	20	1,∞(]0	1,∞(]0	NOUN
ejde-44	1178	21	,	,	PUNCT
ejde-44	1178	22	t	t	X
ejde-44	1179	1	[	[	X
ejde-44	1179	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1179	3	h	h	X
ejde-44	1179	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1179	5	which	which	PRON
ejde-44	1179	6	satisfy	satisfy	VERB
ejde-44	1179	7	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1179	8	)	)	PUNCT
ejde-44	1179	9	∈	∈	PROPN
ejde-44	1179	10	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	1179	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1179	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1179	13	∀	∀	X
ejde-44	1179	14	t	t	X
ejde-44	1179	15	∈	∈	PROPN
ejde-44	1180	1	[	[	X
ejde-44	1180	2	0	0	NUM
ejde-44	1180	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1180	4	t	t	X
ejde-44	1180	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1180	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1180	7	d+	d+	X
ejde-44	1180	8	dt	dt	ADP
ejde-44	1180	9	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1180	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1180	11	+	+	CCONJ
ejde-44	1180	12	(	(	PUNCT
ejde-44	1180	13	∂ϕx(t)−	∂ϕx(t)−	PROPN
ejde-44	1180	14	f(t	f(t	PROPN
ejde-44	1180	15	)	)	PUNCT
ejde-44	1180	16	)	)	PUNCT
ejde-44	1180	17	◦	◦	NOUN
ejde-44	1180	18	=	=	SYM
ejde-44	1180	19	0	0	NUM
ejde-44	1180	20	,	,	PUNCT
ejde-44	1180	21	∀	∀	X
ejde-44	1180	22	t	t	NOUN
ejde-44	1180	23	∈	∈	PROPN
ejde-44	1181	1	[	[	X
ejde-44	1181	2	0	0	NUM
ejde-44	1181	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1181	4	t	t	X
ejde-44	1181	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1181	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1181	7	where	where	SCONJ
ejde-44	1181	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1181	9	∂ϕ−	∂ϕ−	PROPN
ejde-44	1181	10	f	f	X
ejde-44	1181	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1181	12	◦	◦	NOUN
ejde-44	1181	13	denote	denote	VERB
ejde-44	1181	14	the	the	DET
ejde-44	1181	15	minimal	minimal	ADJ
ejde-44	1181	16	section	section	NOUN
ejde-44	1181	17	of	of	ADP
ejde-44	1181	18	∂ϕ−	∂ϕ−	PROPN
ejde-44	1181	19	f	f	PROPN
ejde-44	1181	20	.	.	PUNCT
ejde-44	1182	1	proof	proof	NOUN
ejde-44	1182	2	since	since	SCONJ
ejde-44	1182	3	w	w	PROPN
ejde-44	1182	4	1,1(]0	1,1(]0	NUM
ejde-44	1182	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1182	6	t	t	X
ejde-44	1183	1	[	[	X
ejde-44	1183	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1183	3	h	h	X
ejde-44	1183	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1184	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-44	1184	2	l2(]0	l2(]0	PROPN
ejde-44	1184	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1184	4	t	t	X
ejde-44	1185	1	[	[	X
ejde-44	1185	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1185	3	h	h	X
ejde-44	1185	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1185	5	the	the	DET
ejde-44	1185	6	previous	previous	ADJ
ejde-44	1185	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-44	1185	8	applies	applie	NOUN
ejde-44	1185	9	.	.	PUNCT
ejde-44	1186	1	consider	consider	VERB
ejde-44	1186	2	x	x	X
ejde-44	1186	3	∈	∈	PROPN
ejde-44	1186	4	c([0	c([0	PROPN
ejde-44	1186	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1186	6	t	t	X
ejde-44	1186	7	]	]	PUNCT
ejde-44	1186	8	;	;	PUNCT
ejde-44	1186	9	h)∩w	h)∩w	PROPN
ejde-44	1186	10	1,2(]0	1,2(]0	NUM
ejde-44	1186	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1186	12	t	t	X
ejde-44	1187	1	[	[	X
ejde-44	1187	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1187	3	h	h	X
ejde-44	1187	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1187	5	a	a	DET
ejde-44	1187	6	t	t	NOUN
ejde-44	1187	7	-periodic	-periodic	ADJ
ejde-44	1187	8	solution	solution	NOUN
ejde-44	1187	9	for	for	ADP
ejde-44	1187	10	(	(	PUNCT
ejde-44	1187	11	61	61	NUM
ejde-44	1187	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1187	13	.	.	PUNCT
ejde-44	1188	1	since	since	SCONJ
ejde-44	1188	2	‖x′‖l2(]0,t	‖x′‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1188	3	[	[	X
ejde-44	1188	4	;	;	PUNCT
ejde-44	1188	5	h	h	X
ejde-44	1188	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1188	7	≤	≤	NOUN
ejde-44	1188	8	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1188	9	[	[	X
ejde-44	1188	10	;	;	PUNCT
ejde-44	1188	11	h	h	X
ejde-44	1188	12	)	)	PUNCT
ejde-44	1188	13	it	it	PRON
ejde-44	1188	14	follows	follow	VERB
ejde-44	1188	15	that	that	SCONJ
ejde-44	1188	16	there	there	PRON
ejde-44	1188	17	is	be	VERB
ejde-44	1188	18	t	t	PROPN
ejde-44	1188	19	?	?	PUNCT
ejde-44	1188	20	∈]0	∈]0	ADJ
ejde-44	1188	21	,	,	PUNCT
ejde-44	1188	22	t	t	PROPN
ejde-44	1188	23	[	[	PUNCT
ejde-44	1188	24	such	such	ADJ
ejde-44	1188	25	that	that	SCONJ
ejde-44	1188	26	x	x	PRON
ejde-44	1188	27	is	be	AUX
ejde-44	1188	28	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-44	1188	29	in	in	ADP
ejde-44	1188	30	t	t	PROPN
ejde-44	1188	31	?	?	PUNCT
ejde-44	1188	32	and	and	CCONJ
ejde-44	1188	33	‖x′(t?)‖	‖x′(t?)‖	VERB
ejde-44	1188	34	≤	≤	NUM
ejde-44	1188	35	1√	1√	PROPN
ejde-44	1188	36	t	t	NOUN
ejde-44	1188	37	‖f‖l2(]0,t	‖f‖l2(]0,t	PROPN
ejde-44	1189	1	[	[	X
ejde-44	1189	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1189	3	h	h	NUM
ejde-44	1189	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1189	5	.	.	PUNCT
ejde-44	1190	1	by	by	ADP
ejde-44	1190	2	standard	standard	ADJ
ejde-44	1190	3	calculation	calculation	NOUN
ejde-44	1190	4	we	we	PRON
ejde-44	1190	5	find	find	VERB
ejde-44	1190	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1190	7	:	:	PUNCT
ejde-44	1190	8	‖	‖	PROPN
ejde-44	1190	9	1	1	NUM
ejde-44	1190	10	h	h	NOUN
ejde-44	1190	11	(	(	PUNCT
ejde-44	1190	12	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	1190	13	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1190	14	x(t))‖	x(t))‖	PROPN
ejde-44	1190	15	≤	≤	PROPN
ejde-44	1190	16	‖	‖	PROPN
ejde-44	1190	17	1	1	NUM
ejde-44	1190	18	h	h	NOUN
ejde-44	1190	19	(	(	PUNCT
ejde-44	1190	20	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1190	21	?	?	PUNCT
ejde-44	1191	1	+	+	CCONJ
ejde-44	1191	2	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1191	3	x(t?))‖+	x(t?))‖+	PROPN
ejde-44	1191	4	∫	∫	PROPN
ejde-44	1191	5	t	t	PROPN
ejde-44	1191	6	t	t	PROPN
ejde-44	1191	7	?	?	PUNCT
ejde-44	1192	1	‖	‖	PROPN
ejde-44	1192	2	1	1	NUM
ejde-44	1192	3	h	h	NOUN
ejde-44	1192	4	(	(	PUNCT
ejde-44	1192	5	f(τ	f(τ	PROPN
ejde-44	1192	6	+	+	CCONJ
ejde-44	1192	7	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1192	8	f(τ)‖	f(τ)‖	ADJ
ejde-44	1192	9	dτ	dτ	NOUN
ejde-44	1192	10	,	,	PUNCT
ejde-44	1192	11	and	and	CCONJ
ejde-44	1192	12	therefore	therefore	ADV
ejde-44	1192	13	sup0≤t≤t	sup0≤t≤t	ADJ
ejde-44	1192	14	,	,	PUNCT
ejde-44	1192	15	h>0	h>0	NOUN
ejde-44	1192	16	‖	‖	PROPN
ejde-44	1192	17	1	1	NUM
ejde-44	1192	18	h	h	NOUN
ejde-44	1192	19	(	(	PUNCT
ejde-44	1192	20	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1192	21	+	+	CCONJ
ejde-44	1192	22	h	h	NOUN
ejde-44	1192	23	)	)	PUNCT
ejde-44	1192	24	−	−	PROPN
ejde-44	1193	1	x(t))‖	x(t))‖	PROPN
ejde-44	1193	2	≤	≤	PROPN
ejde-44	1193	3	c	c	NOUN
ejde-44	1193	4	which	which	PRON
ejde-44	1193	5	implies	imply	VERB
ejde-44	1193	6	that	that	SCONJ
ejde-44	1194	1	x	x	PUNCT
ejde-44	1194	2	∈	∈	PROPN
ejde-44	1194	3	w	w	PROPN
ejde-44	1194	4	1,∞(]0	1,∞(]0	NOUN
ejde-44	1194	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1194	6	t	t	X
ejde-44	1195	1	[	[	X
ejde-44	1195	2	;	;	PUNCT
ejde-44	1195	3	h	h	X
ejde-44	1195	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1195	5	.	.	PUNCT
ejde-44	1196	1	making	make	VERB
ejde-44	1196	2	use	use	NOUN
ejde-44	1196	3	of	of	ADP
ejde-44	1196	4	the	the	DET
ejde-44	1196	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-44	1196	6	1	1	NUM
ejde-44	1196	7	h	h	NOUN
ejde-44	1196	8	(	(	PUNCT
ejde-44	1196	9	x(t+h)−x(t	x(t+h)−x(t	PROPN
ejde-44	1196	10	)	)	PUNCT
ejde-44	1196	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1196	12	x(t)−u	x(t)−u	PROPN
ejde-44	1196	13	)	)	PUNCT
ejde-44	1196	14	≤	≤	NOUN
ejde-44	1196	15	1	1	NUM
ejde-44	1196	16	h	h	NOUN
ejde-44	1196	17	∫	∫	NOUN
ejde-44	1196	18	t+h	t+h	X
ejde-44	1197	1	t	t	PROPN
ejde-44	1197	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1197	3	f(τ)−v	f(τ)−v	PROPN
ejde-44	1197	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1197	5	x(τ)−u	x(τ)−u	PROPN
ejde-44	1197	6	)	)	PUNCT
ejde-44	1197	7	dτ	dτ	NOUN
ejde-44	1197	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1197	9	0	0	NUM
ejde-44	1197	10	≤	≤	NOUN
ejde-44	1197	11	t	t	PROPN
ejde-44	1197	12	<	<	X
ejde-44	1197	13	t+h	t+h	PROPN
ejde-44	1197	14	≤	≤	PROPN
ejde-44	1197	15	t	t	PROPN
ejde-44	1197	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1197	17	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	1197	18	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1197	19	41	41	NUM
ejde-44	1197	20	which	which	PRON
ejde-44	1197	21	holds	hold	VERB
ejde-44	1197	22	for	for	ADP
ejde-44	1197	23	every	every	DET
ejde-44	1197	24	[	[	X
ejde-44	1197	25	u	u	NOUN
ejde-44	1197	26	,	,	PUNCT
ejde-44	1197	27	v	v	NOUN
ejde-44	1197	28	]	]	X
ejde-44	1197	29	∈	∈	PROPN
ejde-44	1197	30	∂ϕ	∂ϕ	INTJ
ejde-44	1197	31	we	we	PRON
ejde-44	1197	32	deduce	deduce	VERB
ejde-44	1197	33	that	that	SCONJ
ejde-44	1197	34	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1197	35	)	)	PUNCT
ejde-44	1197	36	∈	∈	PROPN
ejde-44	1197	37	d(∂ϕ	d(∂ϕ	PROPN
ejde-44	1197	38	)	)	PUNCT
ejde-44	1197	39	for	for	ADP
ejde-44	1197	40	all	all	DET
ejde-44	1197	41	t	t	NOUN
ejde-44	1197	42	∈	∈	PROPN
ejde-44	1198	1	[	[	X
ejde-44	1198	2	0	0	NUM
ejde-44	1198	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1198	4	t	t	NOUN
ejde-44	1198	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1198	6	and	and	CCONJ
ejde-44	1198	7	the	the	DET
ejde-44	1198	8	weak	weak	ADJ
ejde-44	1198	9	closure	closure	NOUN
ejde-44	1198	10	of	of	ADP
ejde-44	1198	11	the	the	DET
ejde-44	1198	12	set	set	NOUN
ejde-44	1198	13	{	{	PUNCT
ejde-44	1198	14	1	1	NUM
ejde-44	1198	15	h	h	NOUN
ejde-44	1198	16	(	(	PUNCT
ejde-44	1198	17	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1198	18	+	+	CCONJ
ejde-44	1198	19	h	h	NOUN
ejde-44	1198	20	)	)	PUNCT
ejde-44	1198	21	−	−	ADP
ejde-44	1198	22	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1198	23	)	)	PUNCT
ejde-44	1198	24	)	)	PUNCT
ejde-44	1198	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1198	26	h	h	NOUN
ejde-44	1198	27	>	>	X
ejde-44	1198	28	0	0	NUM
ejde-44	1198	29	}	}	PUNCT
ejde-44	1198	30	belongs	belong	VERB
ejde-44	1198	31	to	to	ADP
ejde-44	1198	32	f(t)−	f(t)−	PROPN
ejde-44	1198	33	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	1198	34	)	)	PUNCT
ejde-44	1198	35	,	,	PUNCT
ejde-44	1198	36	∀t	∀t	PROPN
ejde-44	1198	37	∈	∈	PROPN
ejde-44	1199	1	[	[	X
ejde-44	1199	2	0	0	NUM
ejde-44	1199	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1199	4	t	t	NOUN
ejde-44	1199	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1199	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1200	1	on	on	ADP
ejde-44	1200	2	the	the	DET
ejde-44	1200	3	other	other	ADJ
ejde-44	1200	4	hand	hand	NOUN
ejde-44	1200	5	by	by	ADP
ejde-44	1200	6	writing	write	VERB
ejde-44	1200	7	‖x(t+	‖x(t+	PROPN
ejde-44	1200	8	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1200	9	u‖	u‖	VERB
ejde-44	1200	10	≤	≤	PUNCT
ejde-44	1200	11	‖x(t)−	‖x(t)−	PROPN
ejde-44	1200	12	u‖+	u‖+	PROPN
ejde-44	1200	13	∫	∫	PROPN
ejde-44	1200	14	t+h	t+h	PROPN
ejde-44	1200	15	t	t	PROPN
ejde-44	1200	16	‖f(τ)−	‖f(τ)−	PROPN
ejde-44	1200	17	v‖	v‖	PROPN
ejde-44	1200	18	dτ	dτ	NOUN
ejde-44	1200	19	,	,	PUNCT
ejde-44	1200	20	0	0	NUM
ejde-44	1200	21	≤	≤	NUM
ejde-44	1200	22	t	t	NOUN
ejde-44	1200	23	<	<	X
ejde-44	1200	24	t+	t+	PUNCT
ejde-44	1200	25	h	h	NOUN
ejde-44	1200	26	≤	≤	PROPN
ejde-44	1200	27	t	t	PROPN
ejde-44	1200	28	,	,	PUNCT
ejde-44	1200	29	for	for	ADP
ejde-44	1200	30	u	u	NOUN
ejde-44	1200	31	=	=	SYM
ejde-44	1200	32	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1200	33	)	)	PUNCT
ejde-44	1200	34	and	and	CCONJ
ejde-44	1200	35	v	v	ADP
ejde-44	1200	36	∈	∈	PROPN
ejde-44	1200	37	∂ϕx(t	∂ϕx(t	PROPN
ejde-44	1200	38	)	)	PUNCT
ejde-44	1200	39	we	we	PRON
ejde-44	1200	40	find	find	VERB
ejde-44	1200	41	that	that	SCONJ
ejde-44	1200	42	‖(∂ϕx(t)−	‖(∂ϕx(t)−	PROPN
ejde-44	1200	43	f(t))	f(t))	PROPN
ejde-44	1200	44	◦	◦	NOUN
ejde-44	1200	45	‖	‖	ADJ
ejde-44	1200	46	≤	≤	NOUN
ejde-44	1201	1	‖w	‖w	VERB
ejde-44	1201	2	−	−	PROPN
ejde-44	1201	3	lim	lim	PROPN
ejde-44	1201	4	h	h	PROPN
ejde-44	1201	5	↘	↘	PROPN
ejde-44	1201	6	0	0	PROPN
ejde-44	1201	7	1	1	NUM
ejde-44	1201	8	h	h	NOUN
ejde-44	1201	9	(	(	PUNCT
ejde-44	1201	10	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	1201	11	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1201	12	x(t))‖	x(t))‖	PROPN
ejde-44	1201	13	≤	≤	PROPN
ejde-44	1201	14	lim	lim	PROPN
ejde-44	1201	15	sup	sup	PROPN
ejde-44	1201	16	h	h	PROPN
ejde-44	1201	17	↘	↘	PROPN
ejde-44	1201	18	0	0	PROPN
ejde-44	1201	19	‖	‖	PROPN
ejde-44	1201	20	1	1	NUM
ejde-44	1201	21	h	h	NOUN
ejde-44	1201	22	(	(	PUNCT
ejde-44	1201	23	x(t+	x(t+	PROPN
ejde-44	1201	24	h)−	h)−	PROPN
ejde-44	1201	25	x(t))‖	x(t))‖	PROPN
ejde-44	1201	26	≤	≤	PROPN
ejde-44	1201	27	‖(∂ϕx(t)−	‖(∂ϕx(t)−	PUNCT
ejde-44	1201	28	f(t))	f(t))	PROPN
ejde-44	1201	29	◦	◦	NOUN
ejde-44	1201	30	‖.	‖.	NOUN
ejde-44	1201	31	this	this	PRON
ejde-44	1201	32	shows	show	VERB
ejde-44	1201	33	that	that	SCONJ
ejde-44	1201	34	limh	limh	VERB
ejde-44	1201	35	↘	↘	PROPN
ejde-44	1201	36	0	0	NUM
ejde-44	1201	37	1	1	NUM
ejde-44	1201	38	h	h	NOUN
ejde-44	1201	39	(	(	PUNCT
ejde-44	1201	40	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1201	41	+	+	CCONJ
ejde-44	1201	42	h	h	NOUN
ejde-44	1201	43	)	)	PUNCT
ejde-44	1201	44	−	−	ADP
ejde-44	1201	45	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1201	46	)	)	PUNCT
ejde-44	1201	47	)	)	PUNCT
ejde-44	1202	1	=	=	PUNCT
ejde-44	1202	2	d+	d+	PUNCT
ejde-44	1202	3	dt	dt	ADP
ejde-44	1202	4	x(t	x(t	PROPN
ejde-44	1202	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1202	6	exists	exist	VERB
ejde-44	1202	7	for	for	ADP
ejde-44	1202	8	every	every	DET
ejde-44	1202	9	t	t	NOUN
ejde-44	1202	10	∈	∈	PROPN
ejde-44	1203	1	[	[	X
ejde-44	1203	2	0	0	NUM
ejde-44	1203	3	,	,	PUNCT
ejde-44	1203	4	t	t	NOUN
ejde-44	1203	5	]	]	PUNCT
ejde-44	1203	6	and	and	CCONJ
ejde-44	1203	7	coincides	coincide	VERB
ejde-44	1203	8	with	with	ADP
ejde-44	1203	9	−(∂ϕx(t)−	−(∂ϕx(t)−	PROPN
ejde-44	1203	10	f(t))	f(t))	PROPN
ejde-44	1203	11	◦	◦	NOUN
ejde-44	1203	12	.	.	PUNCT
ejde-44	1204	1	references	reference	NOUN
ejde-44	1204	2	[	[	X
ejde-44	1204	3	1	1	X
ejde-44	1204	4	]	]	X
ejde-44	1204	5	v.	v.	CCONJ
ejde-44	1204	6	barbu	barbu	PROPN
ejde-44	1204	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1204	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-44	1204	9	semigroups	semigroup	NOUN
ejde-44	1204	10	and	and	CCONJ
ejde-44	1204	11	differential	differential	ADJ
ejde-44	1204	12	equations	equation	NOUN
ejde-44	1204	13	in	in	ADP
ejde-44	1204	14	banach	banach	NOUN
ejde-44	1204	15	spaces	space	NOUN
ejde-44	1204	16	,	,	PUNCT
ejde-44	1204	17	noordhoff	noordhoff	NOUN
ejde-44	1204	18	(	(	PUNCT
ejde-44	1204	19	1976	1976	NUM
ejde-44	1204	20	)	)	PUNCT
ejde-44	1204	21	.	.	PUNCT
ejde-44	1205	1	[	[	X
ejde-44	1205	2	2	2	NUM
ejde-44	1205	3	]	]	PUNCT
ejde-44	1205	4	m.	m.	NOUN
ejde-44	1205	5	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1205	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1205	7	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1205	8	périodiques	périodiques	ADP
ejde-44	1205	9	des	des	X
ejde-44	1205	10	équations	équations	PROPN
ejde-44	1205	11	d’évolution	d’évolution	PROPN
ejde-44	1205	12	,	,	PUNCT
ejde-44	1205	13	c.	c.	PROPN
ejde-44	1205	14	r.	r.	PROPN
ejde-44	1205	15	acad	acad	PROPN
ejde-44	1205	16	.	.	PUNCT
ejde-44	1206	1	sci	sci	PROPN
ejde-44	1206	2	.	.	PROPN
ejde-44	1206	3	paris	paris	PROPN
ejde-44	1206	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1206	5	sér	sér	PROPN
ejde-44	1206	6	.	.	PUNCT
ejde-44	1207	1	i	i	PRON
ejde-44	1207	2	math	math	PROPN
ejde-44	1207	3	.	.	PUNCT
ejde-44	1208	1	t.332	t.332	NOUN
ejde-44	1208	2	,	,	PUNCT
ejde-44	1208	3	pp	pp	ADJ
ejde-44	1208	4	.	.	PUNCT
ejde-44	1209	1	1	1	NUM
ejde-44	1209	2	-	-	SYM
ejde-44	1209	3	4	4	NUM
ejde-44	1209	4	,	,	PUNCT
ejde-44	1209	5	équations	équations	PROPN
ejde-44	1209	6	dérivées	dérivées	PROPN
ejde-44	1209	7	partielles	partielle	NOUN
ejde-44	1209	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1209	9	(	(	PUNCT
ejde-44	1209	10	2001	2001	NUM
ejde-44	1209	11	)	)	PUNCT
ejde-44	1209	12	.	.	PUNCT
ejde-44	1210	1	[	[	X
ejde-44	1210	2	3	3	X
ejde-44	1210	3	]	]	PUNCT
ejde-44	1210	4	m.	m.	NOUN
ejde-44	1210	5	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1210	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1210	7	almost	almost	ADV
ejde-44	1210	8	periodic	periodic	ADJ
ejde-44	1210	9	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1210	10	for	for	ADP
ejde-44	1210	11	evolution	evolution	NOUN
ejde-44	1210	12	equations	equation	NOUN
ejde-44	1210	13	,	,	PUNCT
ejde-44	1210	14	article	article	NOUN
ejde-44	1210	15	in	in	ADP
ejde-44	1210	16	preparation	preparation	NOUN
ejde-44	1210	17	.	.	PUNCT
ejde-44	1211	1	[	[	X
ejde-44	1211	2	4	4	X
ejde-44	1211	3	]	]	X
ejde-44	1211	4	h.	h.	NOUN
ejde-44	1211	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-44	1211	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1211	7	opérateurs	opérateurs	PROPN
ejde-44	1211	8	maximaux	maximaux	PROPN
ejde-44	1211	9	monotones	monotone	NOUN
ejde-44	1211	10	et	et	NOUN
ejde-44	1211	11	semi	semi	NOUN
ejde-44	1211	12	-	-	AUX
ejde-44	1211	13	groupes	groupe	NOUN
ejde-44	1211	14	de	de	X
ejde-44	1211	15	contractions	contraction	NOUN
ejde-44	1211	16	dans	dan	NOUN
ejde-44	1211	17	les	les	X
ejde-44	1211	18	espaces	espaces	X
ejde-44	1211	19	de	de	X
ejde-44	1211	20	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-44	1211	21	,	,	PUNCT
ejde-44	1211	22	noth	noth	PROPN
ejde-44	1211	23	-	-	PUNCT
ejde-44	1211	24	holland	holland	PROPN
ejde-44	1211	25	,	,	PUNCT
ejde-44	1211	26	lecture	lecture	NOUN
ejde-44	1211	27	notes	note	VERB
ejde-44	1211	28	no	no	INTJ
ejde-44	1211	29	.	.	NOUN
ejde-44	1211	30	5	5	NUM
ejde-44	1211	31	(	(	PUNCT
ejde-44	1211	32	1972	1972	NUM
ejde-44	1211	33	)	)	PUNCT
ejde-44	1211	34	.	.	PUNCT
ejde-44	1212	1	[	[	X
ejde-44	1212	2	5	5	X
ejde-44	1212	3	]	]	PUNCT
ejde-44	1212	4	h.	h.	NOUN
ejde-44	1212	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-44	1212	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1212	7	a	a	DET
ejde-44	1212	8	haraux	haraux	ADJ
ejde-44	1212	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1212	10	image	image	NOUN
ejde-44	1212	11	d’une	d’une	ADJ
ejde-44	1212	12	somme	somme	NOUN
ejde-44	1212	13	d’opérateurs	d’opérateur	VERB
ejde-44	1212	14	monotones	monotone	NOUN
ejde-44	1212	15	et	et	NOUN
ejde-44	1212	16	applications	application	NOUN
ejde-44	1212	17	,	,	PUNCT
ejde-44	1212	18	israel	israel	PROPN
ejde-44	1212	19	j.	j.	PROPN
ejde-44	1212	20	math	math	PROPN
ejde-44	1212	21	.	.	PUNCT
ejde-44	1213	1	23	23	NUM
ejde-44	1213	2	(	(	PUNCT
ejde-44	1213	3	1976	1976	NUM
ejde-44	1213	4	)	)	PUNCT
ejde-44	1213	5	,	,	PUNCT
ejde-44	1213	6	2	2	NUM
ejde-44	1213	7	,	,	PUNCT
ejde-44	1213	8	pp	pp	ADJ
ejde-44	1213	9	.	.	PUNCT
ejde-44	1214	1	165	165	NUM
ejde-44	1214	2	-	-	SYM
ejde-44	1214	3	186	186	NUM
ejde-44	1214	4	.	.	PUNCT
ejde-44	1215	1	[	[	X
ejde-44	1215	2	6	6	NUM
ejde-44	1215	3	]	]	PUNCT
ejde-44	1215	4	h.	h.	NOUN
ejde-44	1215	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-44	1215	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1215	7	analyse	analyse	NOUN
ejde-44	1215	8	fonctionnelle	fonctionnelle	NOUN
ejde-44	1215	9	,	,	PUNCT
ejde-44	1215	10	masson	masson	PROPN
ejde-44	1215	11	,	,	PUNCT
ejde-44	1215	12	(	(	PUNCT
ejde-44	1215	13	1998	1998	NUM
ejde-44	1215	14	)	)	PUNCT
ejde-44	1215	15	.	.	PUNCT
ejde-44	1216	1	[	[	X
ejde-44	1216	2	7	7	X
ejde-44	1216	3	]	]	PUNCT
ejde-44	1216	4	a.	a.	NOUN
ejde-44	1216	5	haraux	haraux	PROPN
ejde-44	1216	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1216	7	équations	équations	PROPN
ejde-44	1216	8	d’évolution	d’évolution	NOUN
ejde-44	1216	9	non	non	NOUN
ejde-44	1216	10	linéaires	linéaire	NOUN
ejde-44	1216	11	:	:	PUNCT
ejde-44	1216	12	solutions	solution	NOUN
ejde-44	1216	13	bornées	bornée	NOUN
ejde-44	1216	14	périodiques	périodique	NOUN
ejde-44	1216	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1216	16	ann	ann	PROPN
ejde-44	1216	17	.	.	PROPN
ejde-44	1216	18	inst	inst	PROPN
ejde-44	1216	19	.	.	PUNCT
ejde-44	1217	1	fourier	fourier	PROPN
ejde-44	1217	2	28	28	NUM
ejde-44	1217	3	(	(	PUNCT
ejde-44	1217	4	1978	1978	NUM
ejde-44	1217	5	)	)	PUNCT
ejde-44	1217	6	,	,	PUNCT
ejde-44	1217	7	2	2	NUM
ejde-44	1217	8	,	,	PUNCT
ejde-44	1217	9	pp	pp	ADJ
ejde-44	1217	10	.	.	PUNCT
ejde-44	1218	1	202	202	NUM
ejde-44	1218	2	-	-	SYM
ejde-44	1218	3	220	220	NUM
ejde-44	1218	4	.	.	PUNCT
ejde-44	1219	1	mihai	mihai	PROPN
ejde-44	1219	2	bostan	bostan	PROPN
ejde-44	1219	3	université	université	PROPN
ejde-44	1219	4	de	de	X
ejde-44	1219	5	franche	franche	NOUN
ejde-44	1219	6	-	-	PUNCT
ejde-44	1219	7	comté	comté	NOUN
ejde-44	1219	8	16	16	NUM
ejde-44	1219	9	route	route	NOUN
ejde-44	1219	10	de	de	X
ejde-44	1219	11	gray	gray	ADJ
ejde-44	1219	12	f-25030	f-25030	PROPN
ejde-44	1219	13	besançon	besançon	PROPN
ejde-44	1219	14	cedex	cedex	NOUN
ejde-44	1219	15	,	,	PUNCT
ejde-44	1219	16	france	france	PROPN
ejde-44	1219	17	mbostan@math.univ-fcomte.fr	mbostan@math.univ-fcomte.fr	NOUN