id sid tid token lemma pos ejde-526 1 1 electronic electronic ADJ ejde-526 1 2 journal journal NOUN ejde-526 1 3 of of ADP ejde-526 1 4 differential differential ADJ ejde-526 1 5 equations equation NOUN ejde-526 1 6 , , PUNCT ejde-526 1 7 vol vol NOUN ejde-526 1 8 . . PUNCT ejde-526 1 9 2020 2020 NUM ejde-526 1 10 ( ( PUNCT ejde-526 1 11 2020 2020 NUM ejde-526 1 12 ) ) PUNCT ejde-526 1 13 , , PUNCT ejde-526 1 14 no no INTJ ejde-526 1 15 . . NOUN ejde-526 1 16 105 105 NUM ejde-526 1 17 , , PUNCT ejde-526 1 18 pp pp ADJ ejde-526 1 19 . . PUNCT ejde-526 2 1 1–15 1–15 NUM ejde-526 2 2 . . PUNCT ejde-526 3 1 issn issn PROPN ejde-526 3 2 : : PUNCT ejde-526 3 3 1072 1072 NUM ejde-526 3 4 - - SYM ejde-526 3 5 6691 6691 NUM ejde-526 3 6 . . PUNCT ejde-526 4 1 url url PROPN ejde-526 4 2 : : PUNCT ejde-526 4 3 http://ejde.math.txstate.edu http://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-526 4 4 or or CCONJ ejde-526 4 5 http://ejde.math.unt.edu http://ejde.math.unt.edu PROPN ejde-526 4 6 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 4 7 degenerate degenerate ADJ ejde-526 4 8 elliptic elliptic ADJ ejde-526 4 9 equations equation NOUN ejde-526 4 10 in in ADP ejde-526 4 11 weighted weight VERB ejde-526 4 12 sobolev sobolev PROPN ejde-526 4 13 spaces space NOUN ejde-526 4 14 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 4 15 benali benali PROPN ejde-526 4 16 , , PUNCT ejde-526 4 17 bennouna bennouna NOUN ejde-526 4 18 jaouad jaouad PROPN ejde-526 4 19 abstract abstract NOUN ejde-526 4 20 . . PUNCT ejde-526 5 1 we we PRON ejde-526 5 2 study study VERB ejde-526 5 3 the the DET ejde-526 5 4 existence existence NOUN ejde-526 5 5 of of ADP ejde-526 5 6 solutions solution NOUN ejde-526 5 7 for for ADP ejde-526 5 8 the the DET ejde-526 5 9 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 5 10 degenerated degenerate VERB ejde-526 5 11 elliptic elliptic ADJ ejde-526 5 12 problem problem NOUN ejde-526 5 13 − − PROPN ejde-526 5 14 div div PROPN ejde-526 5 15 a(x a(x NOUN ejde-526 5 16 , , PUNCT ejde-526 5 17 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 5 18 ) ) PUNCT ejde-526 6 1 = = SYM ejde-526 6 2 f f PROPN ejde-526 6 3 in in ADP ejde-526 6 4 ω ω PROPN ejde-526 6 5 , , PUNCT ejde-526 6 6 u u NOUN ejde-526 6 7 = = NOUN ejde-526 6 8 0 0 NUM ejde-526 6 9 on on ADP ejde-526 6 10 ∂ω ∂ω PROPN ejde-526 6 11 , , PUNCT ejde-526 6 12 where where SCONJ ejde-526 6 13 ω ω PROPN ejde-526 6 14 is be AUX ejde-526 6 15 a a DET ejde-526 6 16 bounded bounded ADJ ejde-526 6 17 open open ADJ ejde-526 6 18 set set NOUN ejde-526 6 19 in in ADP ejde-526 6 20 rn rn PROPN ejde-526 6 21 , , PUNCT ejde-526 6 22 n n PRON ejde-526 6 23 ≥ ≥ NOUN ejde-526 6 24 2 2 NUM ejde-526 6 25 , , PUNCT ejde-526 6 26 a a PRON ejde-526 6 27 is be AUX ejde-526 6 28 a a DET ejde-526 6 29 carathéodory carathéodory NOUN ejde-526 6 30 function function NOUN ejde-526 6 31 having have VERB ejde-526 6 32 degenerate degenerate ADJ ejde-526 6 33 coercivity coercivity NOUN ejde-526 6 34 a(x a(x NOUN ejde-526 6 35 , , PUNCT ejde-526 6 36 u,∇u)∇u u,∇u)∇u NUM ejde-526 6 37 ≥ ≥ NOUN ejde-526 6 38 ν(x)b(|u|)|∇u|p ν(x)b(|u|)|∇u|p NOUN ejde-526 6 39 , , PUNCT ejde-526 6 40 1 1 NUM ejde-526 6 41 < < X ejde-526 6 42 p p X ejde-526 6 43 < < X ejde-526 6 44 n n PROPN ejde-526 6 45 , , PUNCT ejde-526 6 46 ν ν X ejde-526 6 47 ( ( PUNCT ejde-526 6 48 · · PUNCT ejde-526 6 49 ) ) PUNCT ejde-526 6 50 is be AUX ejde-526 6 51 the the DET ejde-526 6 52 weight weight NOUN ejde-526 6 53 function function NOUN ejde-526 6 54 , , PUNCT ejde-526 6 55 b b NOUN ejde-526 6 56 is be AUX ejde-526 6 57 continuous continuous ADJ ejde-526 6 58 and and CCONJ ejde-526 6 59 f f PROPN ejde-526 6 60 ∈ ∈ PROPN ejde-526 6 61 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 6 62 ) ) PUNCT ejde-526 6 63 . . PUNCT ejde-526 7 1 1 1 X ejde-526 7 2 . . X ejde-526 7 3 introduction introduction NOUN ejde-526 7 4 in in ADP ejde-526 7 5 this this DET ejde-526 7 6 article article NOUN ejde-526 7 7 we we PRON ejde-526 7 8 prove prove VERB ejde-526 7 9 the the DET ejde-526 7 10 existence existence NOUN ejde-526 7 11 of of ADP ejde-526 7 12 solutions solution NOUN ejde-526 7 13 for for ADP ejde-526 7 14 some some DET ejde-526 7 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 7 16 elliptic elliptic ADJ ejde-526 7 17 equations equation NOUN ejde-526 7 18 with with ADP ejde-526 7 19 principal principal ADJ ejde-526 7 20 part part NOUN ejde-526 7 21 having have VERB ejde-526 7 22 degenerate degenerate ADJ ejde-526 7 23 coercivity coercivity NOUN ejde-526 7 24 . . PUNCT ejde-526 8 1 the the DET ejde-526 8 2 model model NOUN ejde-526 8 3 case case NOUN ejde-526 8 4 is be AUX ejde-526 8 5 −div −div NOUN ejde-526 8 6 ( ( PUNCT ejde-526 8 7 ν(·)|∇u|p−2∇u ν(·)|∇u|p−2∇u X ejde-526 8 8 ( ( PUNCT ejde-526 8 9 1− 1− NUM ejde-526 8 10 |u|)α |u|)α NUM ejde-526 8 11 ) ) PUNCT ejde-526 9 1 = = SYM ejde-526 9 2 f f PROPN ejde-526 9 3 in in ADP ejde-526 9 4 ω ω PROPN ejde-526 9 5 , , PUNCT ejde-526 9 6 u u NOUN ejde-526 9 7 = = NOUN ejde-526 9 8 0 0 NUM ejde-526 9 9 on on ADP ejde-526 9 10 ∂ω ∂ω PROPN ejde-526 9 11 , , PUNCT ejde-526 9 12 ( ( PUNCT ejde-526 9 13 1.1 1.1 NUM ejde-526 9 14 ) ) PUNCT ejde-526 9 15 with with ADP ejde-526 9 16 ω ω PROPN ejde-526 9 17 a a DET ejde-526 9 18 bounded bounded ADJ ejde-526 9 19 open open ADJ ejde-526 9 20 subset subset NOUN ejde-526 9 21 of of ADP ejde-526 9 22 rn rn PROPN ejde-526 9 23 , , PUNCT ejde-526 9 24 n n PRON ejde-526 9 25 ≥ ≥ NOUN ejde-526 9 26 2 2 NUM ejde-526 9 27 , , PUNCT ejde-526 9 28 p p X ejde-526 9 29 > > X ejde-526 9 30 1 1 NUM ejde-526 9 31 , , PUNCT ejde-526 9 32 α α PRON ejde-526 9 33 ≥ ≥ NOUN ejde-526 9 34 0 0 NUM ejde-526 9 35 , , PUNCT ejde-526 9 36 ν ν X ejde-526 9 37 ( ( PUNCT ejde-526 9 38 · · PUNCT ejde-526 9 39 ) ) PUNCT ejde-526 9 40 is be AUX ejde-526 9 41 weight weight NOUN ejde-526 9 42 function function NOUN ejde-526 9 43 defined define VERB ejde-526 9 44 on on ADP ejde-526 9 45 ω ω PROPN ejde-526 9 46 and and CCONJ ejde-526 9 47 f f PROPN ejde-526 9 48 a a DET ejde-526 9 49 measurable measurable ADJ ejde-526 9 50 function function NOUN ejde-526 9 51 on on ADP ejde-526 9 52 whose whose DET ejde-526 9 53 summability summability NOUN ejde-526 9 54 we we PRON ejde-526 9 55 will will AUX ejde-526 9 56 make make VERB ejde-526 9 57 different different ADJ ejde-526 9 58 assumptions assumption NOUN ejde-526 9 59 . . PUNCT ejde-526 10 1 it it PRON ejde-526 10 2 is be AUX ejde-526 10 3 clear clear ADJ ejde-526 10 4 from from ADP ejde-526 10 5 the the DET ejde-526 10 6 above above ADJ ejde-526 10 7 example example NOUN ejde-526 10 8 that that SCONJ ejde-526 10 9 the the DET ejde-526 10 10 differential differential ADJ ejde-526 10 11 operator operator NOUN ejde-526 10 12 is be AUX ejde-526 10 13 defined define VERB ejde-526 10 14 on on ADP ejde-526 10 15 w w PROPN ejde-526 10 16 1,p 1,p PROPN ejde-526 10 17 0 0 NUM ejde-526 10 18 ( ( PUNCT ejde-526 10 19 ω ω PROPN ejde-526 10 20 , , PUNCT ejde-526 10 21 ν ν NOUN ejde-526 10 22 ) ) PUNCT ejde-526 10 23 , , PUNCT ejde-526 10 24 but but CCONJ ejde-526 10 25 that that SCONJ ejde-526 10 26 it it PRON ejde-526 10 27 may may AUX ejde-526 10 28 not not PART ejde-526 10 29 be be AUX ejde-526 10 30 coercive coercive ADJ ejde-526 10 31 on on ADP ejde-526 10 32 the the DET ejde-526 10 33 same same ADJ ejde-526 10 34 space space NOUN ejde-526 10 35 as as ADP ejde-526 10 36 u u NOUN ejde-526 10 37 near near ADV ejde-526 10 38 to to ADP ejde-526 10 39 1 1 NUM ejde-526 10 40 . . PUNCT ejde-526 11 1 because because SCONJ ejde-526 11 2 of of ADP ejde-526 11 3 this this DET ejde-526 11 4 lack lack NOUN ejde-526 11 5 of of ADP ejde-526 11 6 coercivity coercivity NOUN ejde-526 11 7 , , PUNCT ejde-526 11 8 standard standard ADJ ejde-526 11 9 existence existence NOUN ejde-526 11 10 theorems theorem VERB ejde-526 11 11 for for ADP ejde-526 11 12 solutions solution NOUN ejde-526 11 13 of of ADP ejde-526 11 14 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 11 15 elliptic elliptic ADJ ejde-526 11 16 equations equation NOUN ejde-526 11 17 can can AUX ejde-526 11 18 not not PART ejde-526 11 19 be be AUX ejde-526 11 20 applied apply VERB ejde-526 11 21 . . PUNCT ejde-526 12 1 we we PRON ejde-526 12 2 consider consider VERB ejde-526 12 3 the the DET ejde-526 12 4 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 12 5 degenerate degenerate ADJ ejde-526 12 6 elliptic elliptic ADJ ejde-526 12 7 problem problem NOUN ejde-526 12 8 a(u a(u PROPN ejde-526 12 9 ) ) PUNCT ejde-526 13 1 = = SYM ejde-526 13 2 −div(a(x −div(a(x NOUN ejde-526 13 3 , , PUNCT ejde-526 13 4 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 13 5 ) ) PUNCT ejde-526 13 6 ) ) PUNCT ejde-526 14 1 = = SYM ejde-526 14 2 f f PROPN ejde-526 14 3 in in ADP ejde-526 14 4 ω ω PROPN ejde-526 14 5 , , PUNCT ejde-526 14 6 u u NOUN ejde-526 14 7 = = NOUN ejde-526 14 8 0 0 NUM ejde-526 14 9 on on ADP ejde-526 14 10 ∂ω ∂ω PROPN ejde-526 14 11 , , PUNCT ejde-526 14 12 where where SCONJ ejde-526 14 13 , , PUNCT ejde-526 14 14 ω ω PROPN ejde-526 14 15 is be AUX ejde-526 14 16 a a DET ejde-526 14 17 bounded bounded ADJ ejde-526 14 18 open open ADJ ejde-526 14 19 subset subset NOUN ejde-526 14 20 of of ADP ejde-526 14 21 rn rn PROPN ejde-526 14 22 , , PUNCT ejde-526 14 23 n n PRON ejde-526 14 24 ≥ ≥ NOUN ejde-526 14 25 2 2 NUM ejde-526 14 26 , , PUNCT ejde-526 14 27 1 1 NUM ejde-526 14 28 < < X ejde-526 14 29 p p X ejde-526 14 30 < < X ejde-526 14 31 n n NOUN ejde-526 14 32 , , PUNCT ejde-526 14 33 and and CCONJ ejde-526 14 34 a a DET ejde-526 14 35 : : PUNCT ejde-526 14 36 ω×r×rn ω×r×rn NUM ejde-526 14 37 → → SYM ejde-526 14 38 rn rn PROPN ejde-526 14 39 is be AUX ejde-526 14 40 a a DET ejde-526 14 41 carathéodory carathéodory NOUN ejde-526 14 42 function function NOUN ejde-526 14 43 , , PUNCT ejde-526 14 44 such such ADJ ejde-526 14 45 that that SCONJ ejde-526 14 46 the the DET ejde-526 14 47 following follow VERB ejde-526 14 48 assumption assumption NOUN ejde-526 14 49 holds hold VERB ejde-526 14 50 a(x a(x NOUN ejde-526 14 51 , , PUNCT ejde-526 14 52 s s NOUN ejde-526 14 53 , , PUNCT ejde-526 14 54 ξ).ξ ξ).ξ DET ejde-526 14 55 ≥ ≥ NOUN ejde-526 14 56 ν(x)b(|s|)|ξ|p ν(x)b(|s|)|ξ|p ADJ ejde-526 14 57 , , PUNCT ejde-526 14 58 for for ADP ejde-526 14 59 almost almost ADV ejde-526 14 60 every every PRON ejde-526 14 61 x x NOUN ejde-526 14 62 in in ADP ejde-526 14 63 ω ω NUM ejde-526 14 64 , , PUNCT ejde-526 14 65 for for ADP ejde-526 14 66 every every DET ejde-526 14 67 ( ( PUNCT ejde-526 14 68 s s PROPN ejde-526 14 69 , , PUNCT ejde-526 14 70 ξ ξ NOUN ejde-526 14 71 ) ) PUNCT ejde-526 14 72 ∈ ∈ PROPN ejde-526 14 73 r× r× PROPN ejde-526 14 74 rn rn PROPN ejde-526 14 75 , , PUNCT ejde-526 14 76 with with ADP ejde-526 14 77 b(|s| b(|s| NOUN ejde-526 14 78 ) ) PUNCT ejde-526 14 79 = = PUNCT ejde-526 14 80 1/(1− 1/(1− NUM ejde-526 14 81 |s|)α |s|)α ADP ejde-526 14 82 , , PUNCT ejde-526 14 83 ( ( PUNCT ejde-526 14 84 1.2 1.2 NUM ejde-526 14 85 ) ) PUNCT ejde-526 14 86 2010 2010 NUM ejde-526 14 87 mathematics mathematic NOUN ejde-526 14 88 subject subject NOUN ejde-526 14 89 classification classification NOUN ejde-526 14 90 . . PUNCT ejde-526 15 1 35j70 35j70 NUM ejde-526 15 2 , , PUNCT ejde-526 15 3 46e30 46e30 NUM ejde-526 15 4 , , PUNCT ejde-526 15 5 35j85 35j85 NUM ejde-526 15 6 . . PUNCT ejde-526 16 1 key key ADJ ejde-526 16 2 words word NOUN ejde-526 16 3 and and CCONJ ejde-526 16 4 phrases phrase NOUN ejde-526 16 5 . . PUNCT ejde-526 17 1 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 17 2 degenerated degenerated ADJ ejde-526 17 3 elliptic elliptic ADJ ejde-526 17 4 operators operator NOUN ejde-526 17 5 ; ; PUNCT ejde-526 17 6 weighted weight VERB ejde-526 17 7 sobolev sobolev ADJ ejde-526 17 8 space space NOUN ejde-526 17 9 ; ; PUNCT ejde-526 17 10 monotony monotony ADJ ejde-526 17 11 and and CCONJ ejde-526 17 12 rearrangement rearrangement ADJ ejde-526 17 13 methods method NOUN ejde-526 17 14 . . PUNCT ejde-526 18 1 c c X ejde-526 18 2 © © PROPN ejde-526 18 3 2020 2020 NUM ejde-526 18 4 texas texas PROPN ejde-526 18 5 state state PROPN ejde-526 18 6 university university PROPN ejde-526 18 7 . . PUNCT ejde-526 19 1 submitted submit VERB ejde-526 19 2 december december PROPN ejde-526 19 3 4 4 NUM ejde-526 19 4 , , PUNCT ejde-526 19 5 2019 2019 NUM ejde-526 19 6 . . PUNCT ejde-526 20 1 published publish VERB ejde-526 20 2 october october PROPN ejde-526 20 3 12 12 NUM ejde-526 20 4 , , PUNCT ejde-526 20 5 2020 2020 NUM ejde-526 20 6 . . PUNCT ejde-526 21 1 1 1 NUM ejde-526 21 2 2 2 NUM ejde-526 21 3 b. b. NOUN ejde-526 21 4 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 21 5 , , PUNCT ejde-526 21 6 j. j. PROPN ejde-526 21 7 bennouna bennouna PROPN ejde-526 21 8 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 22 1 under under ADP ejde-526 22 2 various various ADJ ejde-526 22 3 assumptions assumption NOUN ejde-526 22 4 on on ADP ejde-526 22 5 f f PROPN ejde-526 22 6 . . PUNCT ejde-526 23 1 as as SCONJ ejde-526 23 2 stated state VERB ejde-526 23 3 before before ADV ejde-526 23 4 , , PUNCT ejde-526 23 5 due due ADP ejde-526 23 6 to to ADP ejde-526 23 7 assumption assumption NOUN ejde-526 23 8 ( ( PUNCT ejde-526 23 9 1.2 1.2 NUM ejde-526 23 10 ) ) PUNCT ejde-526 23 11 , , PUNCT ejde-526 23 12 the the DET ejde-526 23 13 operator operator NOUN ejde-526 23 14 a a PRON ejde-526 23 15 may may AUX ejde-526 23 16 not not PART ejde-526 23 17 be be AUX ejde-526 23 18 coercive coercive ADJ ejde-526 23 19 on on ADP ejde-526 23 20 w w PROPN ejde-526 23 21 1,p 1,p PROPN ejde-526 23 22 0 0 NUM ejde-526 24 1 ( ( PUNCT ejde-526 24 2 ω ω PROPN ejde-526 24 3 , , PUNCT ejde-526 24 4 ν ν NOUN ejde-526 24 5 ) ) PUNCT ejde-526 24 6 , , PUNCT ejde-526 24 7 when when SCONJ ejde-526 24 8 the the DET ejde-526 24 9 solutions solution NOUN ejde-526 24 10 approach approach VERB ejde-526 24 11 the the DET ejde-526 24 12 critical critical ADJ ejde-526 24 13 values value NOUN ejde-526 24 14 ±1 ±1 VERB ejde-526 24 15 . . PUNCT ejde-526 25 1 to to PART ejde-526 25 2 overcome overcome VERB ejde-526 25 3 this this DET ejde-526 25 4 difficulties difficulty NOUN ejde-526 25 5 , , PUNCT ejde-526 25 6 we we PRON ejde-526 25 7 will will AUX ejde-526 25 8 reason reason VERB ejde-526 25 9 by by ADP ejde-526 25 10 approximation approximation NOUN ejde-526 25 11 , , PUNCT ejde-526 25 12 cutting cut VERB ejde-526 25 13 by by ADP ejde-526 25 14 means mean NOUN ejde-526 25 15 of of ADP ejde-526 25 16 truncatures truncature NOUN ejde-526 25 17 the the DET ejde-526 25 18 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-526 25 19 a(x a(x NOUN ejde-526 25 20 , , PUNCT ejde-526 25 21 s s X ejde-526 25 22 , , PUNCT ejde-526 25 23 ξ ξ NOUN ejde-526 25 24 ) ) PUNCT ejde-526 25 25 in in ADP ejde-526 25 26 order order NOUN ejde-526 25 27 to to PART ejde-526 25 28 get get VERB ejde-526 25 29 coercive coercive ADJ ejde-526 25 30 differential differential ADJ ejde-526 25 31 operator operator NOUN ejde-526 25 32 on on ADP ejde-526 25 33 w w PROPN ejde-526 25 34 1,p 1,p PROPN ejde-526 25 35 0 0 NUM ejde-526 25 36 ( ( PUNCT ejde-526 25 37 ω ω PROPN ejde-526 25 38 , , PUNCT ejde-526 25 39 ν ν NOUN ejde-526 25 40 ) ) PUNCT ejde-526 25 41 , , PUNCT ejde-526 25 42 and and CCONJ ejde-526 25 43 give give VERB ejde-526 25 44 a a DET ejde-526 25 45 sense sense NOUN ejde-526 25 46 to to ADP ejde-526 25 47 the the DET ejde-526 25 48 equation equation NOUN ejde-526 25 49 when when SCONJ ejde-526 25 50 the the DET ejde-526 25 51 solutions solution NOUN ejde-526 25 52 near near ADJ ejde-526 25 53 to to PART ejde-526 25 54 ±1 ±1 VERB ejde-526 25 55 and and CCONJ ejde-526 25 56 to to PART ejde-526 25 57 manage manage VERB ejde-526 25 58 the the DET ejde-526 25 59 set set NOUN ejde-526 25 60 { { PUNCT ejde-526 25 61 x x SYM ejde-526 25 62 ∈ ∈ PROPN ejde-526 25 63 ω ω NOUN ejde-526 25 64 : : PUNCT ejde-526 25 65 |u(x)| |u(x)| NOUN ejde-526 25 66 = = PUNCT ejde-526 25 67 1 1 NUM ejde-526 25 68 } } PUNCT ejde-526 25 69 . . PUNCT ejde-526 26 1 for for ADP ejde-526 26 2 the the DET ejde-526 26 3 case case NOUN ejde-526 26 4 ν ν X ejde-526 26 5 ( ( PUNCT ejde-526 26 6 · · PUNCT ejde-526 26 7 ) ) PUNCT ejde-526 26 8 being be AUX ejde-526 26 9 a a DET ejde-526 26 10 constant constant ADJ ejde-526 26 11 , , PUNCT ejde-526 26 12 the the DET ejde-526 26 13 existence existence NOUN ejde-526 26 14 of of ADP ejde-526 26 15 solutions solution NOUN ejde-526 26 16 to to ADP ejde-526 26 17 problem problem NOUN ejde-526 26 18 ( ( PUNCT ejde-526 26 19 1.1 1.1 NUM ejde-526 26 20 ) ) PUNCT ejde-526 26 21 is be AUX ejde-526 26 22 proved prove VERB ejde-526 26 23 in in ADP ejde-526 26 24 [ [ X ejde-526 26 25 11 11 NUM ejde-526 26 26 ] ] PUNCT ejde-526 26 27 , , PUNCT ejde-526 26 28 when when SCONJ ejde-526 26 29 f f PROPN ejde-526 26 30 a a DET ejde-526 26 31 measurable measurable ADJ ejde-526 26 32 function function NOUN ejde-526 26 33 on on ADP ejde-526 26 34 whose whose DET ejde-526 26 35 summability summability NOUN ejde-526 26 36 have have AUX ejde-526 26 37 make make VERB ejde-526 26 38 different different ADJ ejde-526 26 39 assumptions assumption NOUN ejde-526 26 40 , , PUNCT ejde-526 26 41 the the DET ejde-526 26 42 analogous analogous ADJ ejde-526 26 43 problems problem NOUN ejde-526 26 44 was be AUX ejde-526 26 45 treated treat VERB ejde-526 26 46 by by ADP ejde-526 26 47 many many ADJ ejde-526 26 48 other other ADJ ejde-526 26 49 authors author NOUN ejde-526 26 50 . . PUNCT ejde-526 27 1 see see VERB ejde-526 27 2 , , PUNCT ejde-526 27 3 for for ADP ejde-526 27 4 example example NOUN ejde-526 27 5 , , PUNCT ejde-526 27 6 [ [ X ejde-526 27 7 3 3 NUM ejde-526 27 8 , , PUNCT ejde-526 27 9 4 4 NUM ejde-526 27 10 , , PUNCT ejde-526 27 11 9 9 NUM ejde-526 27 12 , , PUNCT ejde-526 27 13 10 10 NUM ejde-526 27 14 , , PUNCT ejde-526 27 15 8 8 NUM ejde-526 27 16 ] ] PUNCT ejde-526 27 17 where where SCONJ ejde-526 27 18 problems problem NOUN ejde-526 27 19 such such ADJ ejde-526 27 20 as as ADP ejde-526 27 21 − − PROPN ejde-526 27 22 div div X ejde-526 27 23 ( ( PUNCT ejde-526 27 24 1 1 NUM ejde-526 27 25 ( ( PUNCT ejde-526 27 26 1± 1± NUM ejde-526 27 27 |u|)α |u|)α PROPN ejde-526 27 28 |∇u|p−2∇u |∇u|p−2∇u NUM ejde-526 27 29 ) ) PUNCT ejde-526 28 1 = = SYM ejde-526 28 2 f f X ejde-526 28 3 , , PUNCT ejde-526 28 4 are be AUX ejde-526 28 5 considered consider VERB ejde-526 28 6 . . PUNCT ejde-526 29 1 this this DET ejde-526 29 2 article article NOUN ejde-526 29 3 is be AUX ejde-526 29 4 organized organize VERB ejde-526 29 5 as as SCONJ ejde-526 29 6 follows follow VERB ejde-526 29 7 : : PUNCT ejde-526 29 8 in in ADP ejde-526 29 9 section section NOUN ejde-526 29 10 2 2 NUM ejde-526 29 11 , , PUNCT ejde-526 29 12 we we PRON ejde-526 29 13 recall recall VERB ejde-526 29 14 some some DET ejde-526 29 15 preliminaries preliminary NOUN ejde-526 29 16 on on ADP ejde-526 29 17 weighted weight VERB ejde-526 29 18 sobolev sobolev NOUN ejde-526 29 19 spaces space NOUN ejde-526 29 20 and and CCONJ ejde-526 29 21 properties property NOUN ejde-526 29 22 of of ADP ejde-526 29 23 rearrangement rearrangement NOUN ejde-526 29 24 . . PUNCT ejde-526 30 1 in in ADP ejde-526 30 2 section section NOUN ejde-526 30 3 3 3 NUM ejde-526 30 4 , , PUNCT ejde-526 30 5 we we PRON ejde-526 30 6 first first ADV ejde-526 30 7 prove prove VERB ejde-526 30 8 the the DET ejde-526 30 9 propositions proposition NOUN ejde-526 30 10 that that PRON ejde-526 30 11 we we PRON ejde-526 30 12 will will AUX ejde-526 30 13 use use VERB ejde-526 30 14 to to PART ejde-526 30 15 prove prove VERB ejde-526 30 16 some some DET ejde-526 30 17 a a DET ejde-526 30 18 priori priori ADJ ejde-526 30 19 estimates estimate NOUN ejde-526 30 20 of of ADP ejde-526 30 21 the the DET ejde-526 30 22 solutions solution NOUN ejde-526 30 23 , , PUNCT ejde-526 30 24 then then ADV ejde-526 30 25 we we PRON ejde-526 30 26 prove prove VERB ejde-526 30 27 the the DET ejde-526 30 28 existence existence NOUN ejde-526 30 29 of of ADP ejde-526 30 30 weak weak ADJ ejde-526 30 31 and and CCONJ ejde-526 30 32 entropy entropy NOUN ejde-526 30 33 solution solution NOUN ejde-526 30 34 with with ADP ejde-526 30 35 respect respect NOUN ejde-526 30 36 to to ADP ejde-526 30 37 the the DET ejde-526 30 38 summability summability NOUN ejde-526 30 39 of of ADP ejde-526 30 40 f f PROPN ejde-526 30 41 . . PUNCT ejde-526 31 1 2 2 X ejde-526 31 2 . . X ejde-526 31 3 preliminaries preliminary NOUN ejde-526 31 4 assumptions assumption NOUN ejde-526 31 5 . . PUNCT ejde-526 32 1 let let VERB ejde-526 32 2 b b NOUN ejde-526 32 3 : : PUNCT ejde-526 33 1 [ [ X ejde-526 33 2 0 0 NUM ejde-526 33 3 , , PUNCT ejde-526 33 4 l[→ l[→ X ejde-526 33 5 ( ( PUNCT ejde-526 33 6 0,∞ 0,∞ NOUN ejde-526 33 7 ) ) PUNCT ejde-526 33 8 , , PUNCT ejde-526 33 9 with with ADP ejde-526 33 10 l l PROPN ejde-526 33 11 > > X ejde-526 33 12 0 0 NUM ejde-526 33 13 , , PUNCT ejde-526 33 14 be be AUX ejde-526 33 15 a a DET ejde-526 33 16 continuous continuous ADJ ejde-526 33 17 function function NOUN ejde-526 33 18 such such ADJ ejde-526 33 19 that that SCONJ ejde-526 33 20 lim lim PROPN ejde-526 33 21 s→l− s→l− AUX ejde-526 33 22 b(s b( NOUN ejde-526 33 23 ) ) PUNCT ejde-526 34 1 = = PUNCT ejde-526 35 1 + + NUM ejde-526 35 2 ∞ ∞ NUM ejde-526 35 3 . . PUNCT ejde-526 36 1 ( ( PUNCT ejde-526 36 2 2.1 2.1 NUM ejde-526 36 3 ) ) PUNCT ejde-526 36 4 we we PRON ejde-526 36 5 define define VERB ejde-526 36 6 a(s a( NOUN ejde-526 36 7 ) ) PUNCT ejde-526 37 1 = = SYM ejde-526 37 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 37 3 s s PART ejde-526 37 4 0 0 NUM ejde-526 37 5 b(t b(t NOUN ejde-526 37 6 ) ) PUNCT ejde-526 37 7 1 1 NUM ejde-526 37 8 p−1 p−1 PROPN ejde-526 37 9 dt dt PROPN ejde-526 37 10 , , PUNCT ejde-526 37 11 for for ADP ejde-526 37 12 s s PROPN ejde-526 37 13 ∈ ∈ PROPN ejde-526 38 1 [ [ X ejde-526 38 2 0 0 NUM ejde-526 38 3 , , PUNCT ejde-526 38 4 l l NOUN ejde-526 38 5 ) ) PUNCT ejde-526 38 6 , , PUNCT ejde-526 38 7 a(l− a(l− ADV ejde-526 38 8 ) ) PUNCT ejde-526 38 9 = = SYM ejde-526 38 10 lim lim PROPN ejde-526 38 11 s→l− s→l− X ejde-526 38 12 ∫ ∫ PROPN ejde-526 38 13 s s PART ejde-526 38 14 0 0 NUM ejde-526 38 15 b(t b(t NOUN ejde-526 38 16 ) ) PUNCT ejde-526 38 17 1 1 NUM ejde-526 38 18 p−1 p−1 PROPN ejde-526 38 19 dt dt NOUN ejde-526 39 1 = = PUNCT ejde-526 39 2 + + NUM ejde-526 39 3 ∞. ∞. PROPN ejde-526 39 4 we we PRON ejde-526 39 5 study study VERB ejde-526 39 6 dirichlet dirichlet NOUN ejde-526 39 7 problems problem NOUN ejde-526 39 8 of of ADP ejde-526 39 9 the the DET ejde-526 39 10 form form NOUN ejde-526 39 11 −div −div NOUN ejde-526 39 12 a(x a(x NOUN ejde-526 39 13 , , PUNCT ejde-526 39 14 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 39 15 ) ) PUNCT ejde-526 40 1 = = SYM ejde-526 40 2 f f PROPN ejde-526 40 3 in in ADP ejde-526 40 4 ω ω PROPN ejde-526 40 5 , , PUNCT ejde-526 40 6 u u NOUN ejde-526 40 7 = = NOUN ejde-526 40 8 0 0 NUM ejde-526 40 9 on on ADP ejde-526 40 10 ∂ω ∂ω PROPN ejde-526 40 11 , , PUNCT ejde-526 40 12 ( ( PUNCT ejde-526 40 13 2.2 2.2 NUM ejde-526 40 14 ) ) PUNCT ejde-526 40 15 where where SCONJ ejde-526 40 16 ω ω PROPN ejde-526 40 17 is be AUX ejde-526 40 18 a a DET ejde-526 40 19 bounded bounded ADJ ejde-526 40 20 open open ADJ ejde-526 40 21 set set NOUN ejde-526 40 22 in in ADP ejde-526 40 23 rn rn PROPN ejde-526 40 24 , , PUNCT ejde-526 40 25 n n PRON ejde-526 40 26 ≥ ≥ NOUN ejde-526 40 27 2 2 NUM ejde-526 40 28 , , PUNCT ejde-526 40 29 1 1 NUM ejde-526 40 30 < < X ejde-526 40 31 p p X ejde-526 40 32 < < X ejde-526 40 33 n n NOUN ejde-526 40 34 , , PUNCT ejde-526 40 35 and and CCONJ ejde-526 40 36 a a DET ejde-526 40 37 : : PUNCT ejde-526 40 38 ω×(−l ω×(−l NOUN ejde-526 40 39 , , PUNCT ejde-526 40 40 l)×rn l)×rn PROPN ejde-526 40 41 → → SYM ejde-526 40 42 rn rn PROPN ejde-526 40 43 , , PUNCT ejde-526 40 44 is be AUX ejde-526 40 45 a a DET ejde-526 40 46 carathéodory carathéodory NOUN ejde-526 40 47 function function NOUN ejde-526 40 48 and and CCONJ ejde-526 40 49 ν ν X ejde-526 40 50 : : PUNCT ejde-526 40 51 ω→ ω→ X ejde-526 40 52 r+ r+ PUNCT ejde-526 40 53 satisfies satisfy VERB ejde-526 40 54 the the DET ejde-526 40 55 following follow VERB ejde-526 40 56 assumptions assumption NOUN ejde-526 40 57 : : PUNCT ejde-526 40 58 a(x a(x NOUN ejde-526 40 59 , , PUNCT ejde-526 40 60 s s X ejde-526 40 61 , , PUNCT ejde-526 40 62 ξ ξ NOUN ejde-526 40 63 ) ) PUNCT ejde-526 40 64 · · PUNCT ejde-526 41 1 ξ ξ PRON ejde-526 41 2 ≥ ≥ NOUN ejde-526 41 3 b(|s|)ν(x)|ξ|p b(|s|)ν(x)|ξ|p ADV ejde-526 41 4 , , PUNCT ejde-526 41 5 ν ν PROPN ejde-526 41 6 ∈ ∈ NOUN ejde-526 41 7 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 41 8 ) ) PUNCT ejde-526 41 9 , , PUNCT ejde-526 41 10 r r NOUN ejde-526 41 11 ≥ ≥ NOUN ejde-526 41 12 1 1 NUM ejde-526 41 13 , , PUNCT ejde-526 41 14 ν−1 ν−1 PROPN ejde-526 41 15 ∈ ∈ PROPN ejde-526 41 16 lt(ω lt(ω NOUN ejde-526 41 17 ) ) PUNCT ejde-526 41 18 , , PUNCT ejde-526 41 19 t t PROPN ejde-526 41 20 ≥ ≥ PROPN ejde-526 41 21 n n CCONJ ejde-526 41 22 , , PUNCT ejde-526 41 23 1 1 NUM ejde-526 41 24 + + SYM ejde-526 41 25 1 1 NUM ejde-526 41 26 t t NOUN ejde-526 41 27 < < X ejde-526 41 28 p p X ejde-526 41 29 < < X ejde-526 41 30 n(1 n(1 NOUN ejde-526 41 31 + + CCONJ ejde-526 41 32 1 1 NUM ejde-526 41 33 t t NOUN ejde-526 41 34 ) ) PUNCT ejde-526 41 35 . . PUNCT ejde-526 42 1 ( ( PUNCT ejde-526 42 2 2.3 2.3 NUM ejde-526 42 3 ) ) PUNCT ejde-526 42 4 for for ADP ejde-526 42 5 a.e a.e PROPN ejde-526 42 6 . . PUNCT ejde-526 42 7 x x SYM ejde-526 42 8 ∈ ∈ PROPN ejde-526 42 9 ω ω PROPN ejde-526 42 10 , , PUNCT ejde-526 42 11 for for ADP ejde-526 42 12 all all DET ejde-526 42 13 s s PART ejde-526 42 14 ∈ ∈ NOUN ejde-526 42 15 ( ( PUNCT ejde-526 42 16 −l −l NOUN ejde-526 42 17 , , PUNCT ejde-526 42 18 l l NOUN ejde-526 42 19 ) ) PUNCT ejde-526 42 20 and and CCONJ ejde-526 42 21 all all DET ejde-526 42 22 ξ ξ PROPN ejde-526 42 23 ∈ ∈ PROPN ejde-526 42 24 rn rn PROPN ejde-526 42 25 ; ; PUNCT ejde-526 42 26 |a(x |a(x PROPN ejde-526 42 27 , , PUNCT ejde-526 42 28 s s PART ejde-526 42 29 , , PUNCT ejde-526 42 30 ξ)| ξ)| ADJ ejde-526 42 31 ≤ ≤ ADJ ejde-526 42 32 ν(x)[h(x ν(x)[h(x NUM ejde-526 42 33 ) ) PUNCT ejde-526 43 1 + + CCONJ ejde-526 43 2 b(|s|)|ξ|p−1 b(|s|)|ξ|p−1 NOUN ejde-526 43 3 ] ] PUNCT ejde-526 43 4 , , PUNCT ejde-526 43 5 ( ( PUNCT ejde-526 43 6 2.4 2.4 NUM ejde-526 43 7 ) ) PUNCT ejde-526 43 8 for for ADP ejde-526 43 9 a.e a.e PROPN ejde-526 43 10 . . PUNCT ejde-526 43 11 x x SYM ejde-526 43 12 ∈ ∈ PROPN ejde-526 43 13 ω ω PROPN ejde-526 43 14 , , PUNCT ejde-526 43 15 for for ADP ejde-526 43 16 all all DET ejde-526 43 17 s s PART ejde-526 43 18 ∈ ∈ NOUN ejde-526 43 19 ( ( PUNCT ejde-526 43 20 −l −l NOUN ejde-526 43 21 , , PUNCT ejde-526 43 22 l l NOUN ejde-526 43 23 ) ) PUNCT ejde-526 43 24 , , PUNCT ejde-526 43 25 for for ADP ejde-526 43 26 all all DET ejde-526 43 27 ξ ξ PROPN ejde-526 43 28 ∈ ∈ PROPN ejde-526 43 29 rn rn PROPN ejde-526 43 30 , , PUNCT ejde-526 43 31 and and CCONJ ejde-526 43 32 h h NOUN ejde-526 43 33 ∈ ∈ PROPN ejde-526 44 1 lp′(ω lp′(ω PROPN ejde-526 44 2 , , PUNCT ejde-526 44 3 ν ν PROPN ejde-526 44 4 ) ) PUNCT ejde-526 44 5 ; ; PUNCT ejde-526 44 6 ( ( PUNCT ejde-526 44 7 a(x a(x NOUN ejde-526 44 8 , , PUNCT ejde-526 44 9 s s PROPN ejde-526 44 10 , , PUNCT ejde-526 44 11 ξ)− ξ)− PROPN ejde-526 44 12 a(x a(x PROPN ejde-526 44 13 , , PUNCT ejde-526 44 14 s s NOUN ejde-526 44 15 , , PUNCT ejde-526 44 16 ξ′ ξ′ NOUN ejde-526 44 17 ) ) PUNCT ejde-526 44 18 ) ) PUNCT ejde-526 44 19 · · PUNCT ejde-526 45 1 ( ( PUNCT ejde-526 45 2 ξ ξ X ejde-526 45 3 − − PROPN ejde-526 45 4 ξ′ ξ′ NOUN ejde-526 45 5 ) ) PUNCT ejde-526 45 6 > > X ejde-526 45 7 0 0 NUM ejde-526 45 8 , , PUNCT ejde-526 45 9 ( ( PUNCT ejde-526 45 10 2.5 2.5 NUM ejde-526 45 11 ) ) PUNCT ejde-526 45 12 for for ADP ejde-526 45 13 a.e a.e PROPN ejde-526 45 14 . . PUNCT ejde-526 45 15 x x SYM ejde-526 45 16 ∈ ∈ PROPN ejde-526 45 17 ω ω PROPN ejde-526 45 18 , , PUNCT ejde-526 45 19 for for ADP ejde-526 45 20 all all DET ejde-526 45 21 s s PART ejde-526 45 22 ∈ ∈ NOUN ejde-526 45 23 ( ( PUNCT ejde-526 45 24 −l −l NOUN ejde-526 45 25 , , PUNCT ejde-526 45 26 l l NOUN ejde-526 45 27 ) ) PUNCT ejde-526 45 28 and and CCONJ ejde-526 45 29 all all DET ejde-526 45 30 ξ ξ PROPN ejde-526 45 31 ∈ ∈ PROPN ejde-526 45 32 rn rn PROPN ejde-526 45 33 , , PUNCT ejde-526 45 34 ξ ξ PROPN ejde-526 45 35 6= 6= ADP ejde-526 45 36 ξ′. ξ′. ADP ejde-526 45 37 moreover moreover ADV ejde-526 45 38 , , PUNCT ejde-526 45 39 f f PROPN ejde-526 45 40 is be AUX ejde-526 45 41 a a DET ejde-526 45 42 measurable measurable ADJ ejde-526 45 43 function function NOUN ejde-526 45 44 on on ADP ejde-526 45 45 whose whose DET ejde-526 45 46 summability summability NOUN ejde-526 45 47 we we PRON ejde-526 45 48 will will AUX ejde-526 45 49 make make VERB ejde-526 45 50 several several ADJ ejde-526 45 51 assumptions assumption NOUN ejde-526 45 52 . . PUNCT ejde-526 46 1 for for ADP ejde-526 46 2 stating state VERB ejde-526 46 3 existence existence NOUN ejde-526 46 4 results result NOUN ejde-526 46 5 in in ADP ejde-526 46 6 the the DET ejde-526 46 7 next next ADJ ejde-526 46 8 section section NOUN ejde-526 46 9 , , PUNCT ejde-526 46 10 we we PRON ejde-526 46 11 need need VERB ejde-526 46 12 some some DET ejde-526 46 13 classes class NOUN ejde-526 46 14 of of ADP ejde-526 46 15 solutions solution NOUN ejde-526 46 16 . . PUNCT ejde-526 47 1 ejde-2020/105 ejde-2020/105 AUX ejde-526 48 1 degenerate degenerate ADJ ejde-526 48 2 elliptic elliptic ADJ ejde-526 48 3 equations equation NOUN ejde-526 48 4 3 3 NUM ejde-526 48 5 definition definition NOUN ejde-526 48 6 2.1 2.1 NUM ejde-526 48 7 . . PUNCT ejde-526 49 1 we we PRON ejde-526 49 2 say say VERB ejde-526 49 3 that that SCONJ ejde-526 49 4 u u PRON ejde-526 49 5 ∈w ∈w VERB ejde-526 49 6 1,p 1,p PROPN ejde-526 49 7 0 0 SYM ejde-526 49 8 ( ( PUNCT ejde-526 49 9 ω ω PROPN ejde-526 49 10 , , PUNCT ejde-526 49 11 ν ν X ejde-526 49 12 ) ) PUNCT ejde-526 49 13 is be AUX ejde-526 49 14 a a DET ejde-526 49 15 weak weak ADJ ejde-526 49 16 solution solution NOUN ejde-526 49 17 to to ADP ejde-526 49 18 problem problem NOUN ejde-526 49 19 ( ( PUNCT ejde-526 49 20 2.2 2.2 NUM ejde-526 49 21 ) ) PUNCT ejde-526 49 22 if∫ if∫ PROPN ejde-526 49 23 ω ω PROPN ejde-526 49 24 a(x a(x PROPN ejde-526 49 25 , , PUNCT ejde-526 49 26 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 49 27 ) ) PUNCT ejde-526 49 28 · · PUNCT ejde-526 50 1 ∇ϕdx ∇ϕdx ADV ejde-526 50 2 = = PUNCT ejde-526 50 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 50 4 ω ω PROPN ejde-526 50 5 fϕ fϕ PROPN ejde-526 50 6 dx dx PROPN ejde-526 50 7 , , PUNCT ejde-526 50 8 ∀ϕ ∀ϕ PROPN ejde-526 50 9 ∈w ∈w VERB ejde-526 50 10 1,p 1,p PROPN ejde-526 50 11 0 0 SYM ejde-526 50 12 ( ( PUNCT ejde-526 50 13 ω ω PROPN ejde-526 50 14 , , PUNCT ejde-526 50 15 ν ν NOUN ejde-526 50 16 ) ) PUNCT ejde-526 50 17 . . PUNCT ejde-526 51 1 ( ( PUNCT ejde-526 51 2 2.6 2.6 NUM ejde-526 51 3 ) ) PUNCT ejde-526 51 4 definition definition NOUN ejde-526 51 5 2.2 2.2 NUM ejde-526 51 6 . . PUNCT ejde-526 52 1 a a DET ejde-526 52 2 measurable measurable ADJ ejde-526 52 3 function function NOUN ejde-526 52 4 u u PROPN ejde-526 52 5 ∈ ∈ PROPN ejde-526 52 6 w w PROPN ejde-526 52 7 1,p 1,p PROPN ejde-526 52 8 0 0 NUM ejde-526 52 9 ( ( PUNCT ejde-526 52 10 ω ω PROPN ejde-526 52 11 , , PUNCT ejde-526 52 12 ν ν X ejde-526 52 13 ) ) PUNCT ejde-526 52 14 is be AUX ejde-526 52 15 an an DET ejde-526 52 16 entropy entropy NOUN ejde-526 52 17 solution solution NOUN ejde-526 52 18 to to ADP ejde-526 52 19 problem problem NOUN ejde-526 52 20 ( ( PUNCT ejde-526 52 21 2.2 2.2 NUM ejde-526 52 22 ) ) PUNCT ejde-526 52 23 if if SCONJ ejde-526 52 24 |u| |u| PRON ejde-526 52 25 ≤ ≤ X ejde-526 52 26 l l NOUN ejde-526 53 1 a.e a.e PROPN ejde-526 53 2 . . PROPN ejde-526 54 1 in in ADP ejde-526 54 2 ω ω PROPN ejde-526 54 3 ( ( PUNCT ejde-526 54 4 2.7 2.7 NUM ejde-526 54 5 ) ) PUNCT ejde-526 54 6 and and CCONJ ejde-526 54 7 for for ADP ejde-526 54 8 all all PRON ejde-526 54 9 0 0 NUM ejde-526 54 10 < < X ejde-526 54 11 k k X ejde-526 54 12 < < X ejde-526 54 13 l,∫ l,∫ PROPN ejde-526 54 14 ω ω X ejde-526 54 15 a(x a(x PROPN ejde-526 54 16 , , PUNCT ejde-526 54 17 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 54 18 ) ) PUNCT ejde-526 54 19 · · PUNCT ejde-526 55 1 ∇tk(u− ∇tk(u− DET ejde-526 55 2 ϕ ϕ NOUN ejde-526 55 3 ) ) PUNCT ejde-526 55 4 dx dx PROPN ejde-526 56 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 56 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 56 3 ω ω NUM ejde-526 56 4 ftk(u− ftk(u− PROPN ejde-526 56 5 ϕ ϕ PROPN ejde-526 56 6 ) ) PUNCT ejde-526 56 7 dx dx PROPN ejde-526 56 8 , , PUNCT ejde-526 56 9 ( ( PUNCT ejde-526 56 10 2.8 2.8 NUM ejde-526 56 11 ) ) PUNCT ejde-526 56 12 for for ADP ejde-526 56 13 any any DET ejde-526 56 14 ϕ ϕ PROPN ejde-526 56 15 ∈w ∈w PROPN ejde-526 56 16 1,p 1,p PROPN ejde-526 56 17 0 0 SYM ejde-526 56 18 ( ( PUNCT ejde-526 56 19 ω ω PROPN ejde-526 56 20 , , PUNCT ejde-526 56 21 ν ν NOUN ejde-526 56 22 ) ) PUNCT ejde-526 56 23 ∩ ∩ NOUN ejde-526 56 24 l∞(ω l∞(ω X ejde-526 56 25 ) ) PUNCT ejde-526 56 26 such such ADJ ejde-526 56 27 that that DET ejde-526 56 28 ‖ϕ‖l∞(ω ‖ϕ‖l∞(ω NOUN ejde-526 56 29 ) ) PUNCT ejde-526 56 30 < < X ejde-526 56 31 l l X ejde-526 57 1 − − PROPN ejde-526 57 2 k. k. PROPN ejde-526 57 3 weighted weight VERB ejde-526 57 4 sobolev sobolev NOUN ejde-526 57 5 spaces space VERB ejde-526 57 6 . . PUNCT ejde-526 58 1 let let VERB ejde-526 58 2 1 1 NUM ejde-526 58 3 ≤ ≤ NOUN ejde-526 58 4 p p X ejde-526 58 5 < < X ejde-526 58 6 n n NOUN ejde-526 58 7 , , PUNCT ejde-526 58 8 and and CCONJ ejde-526 58 9 ν ν X ejde-526 58 10 : : PUNCT ejde-526 58 11 ω→ ω→ PUNCT ejde-526 58 12 r r NOUN ejde-526 58 13 be be VERB ejde-526 58 14 a a DET ejde-526 58 15 weight weight NOUN ejde-526 58 16 function function NOUN ejde-526 58 17 , , PUNCT ejde-526 58 18 i.e. i.e. X ejde-526 58 19 a a DET ejde-526 58 20 function function NOUN ejde-526 58 21 which which PRON ejde-526 58 22 is be AUX ejde-526 58 23 measurable measurable ADJ ejde-526 58 24 and and CCONJ ejde-526 58 25 positive positive ADJ ejde-526 58 26 almost almost ADV ejde-526 58 27 everywhere everywhere ADV ejde-526 58 28 in in ADP ejde-526 58 29 ω ω PROPN ejde-526 58 30 . . PUNCT ejde-526 59 1 the the DET ejde-526 59 2 weighted weight VERB ejde-526 59 3 lebesgue lebesgue NOUN ejde-526 59 4 spaces space NOUN ejde-526 59 5 lp(ω lp(ω PROPN ejde-526 59 6 , , PUNCT ejde-526 59 7 ν ν NOUN ejde-526 59 8 ) ) PUNCT ejde-526 59 9 is be AUX ejde-526 59 10 defined define VERB ejde-526 59 11 as as ADP ejde-526 59 12 lp(ω lp(ω PROPN ejde-526 59 13 , , PUNCT ejde-526 59 14 ν ν NOUN ejde-526 59 15 ) ) PUNCT ejde-526 59 16 = = SYM ejde-526 60 1 { { PUNCT ejde-526 60 2 u u NOUN ejde-526 60 3 : : PUNCT ejde-526 60 4 measurable measurable ADJ ejde-526 60 5 , , PUNCT ejde-526 60 6 real real ADV ejde-526 60 7 - - PUNCT ejde-526 60 8 valued value VERB ejde-526 60 9 function function NOUN ejde-526 60 10 , , PUNCT ejde-526 60 11 ∫ ∫ PROPN ejde-526 60 12 ω ω PROPN ejde-526 60 13 ν(x)|u(x)|p ν(x)|u(x)|p PROPN ejde-526 60 14 dx dx PROPN ejde-526 60 15 < < X ejde-526 60 16 ∞ ∞ PROPN ejde-526 60 17 } } PUNCT ejde-526 60 18 . . PUNCT ejde-526 61 1 which which PRON ejde-526 61 2 is be AUX ejde-526 61 3 a a DET ejde-526 61 4 banach banach NOUN ejde-526 61 5 space space NOUN ejde-526 61 6 ( ( PUNCT ejde-526 61 7 uniformly uniformly ADV ejde-526 61 8 convex convex VERB ejde-526 61 9 and and CCONJ ejde-526 61 10 hence hence ADV ejde-526 61 11 reflexive reflexive VERB ejde-526 61 12 if if SCONJ ejde-526 61 13 p p NOUN ejde-526 61 14 > > X ejde-526 61 15 1 1 X ejde-526 61 16 ) ) PUNCT ejde-526 61 17 equipped equip VERB ejde-526 61 18 with with ADP ejde-526 61 19 the the DET ejde-526 61 20 norm norm NOUN ejde-526 61 21 ‖u‖lp(ω ‖u‖lp(ω PROPN ejde-526 61 22 , , PUNCT ejde-526 61 23 ν ν NOUN ejde-526 61 24 ) ) PUNCT ejde-526 61 25 = = SYM ejde-526 62 1 ( ( PUNCT ejde-526 62 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 62 3 ω ω PROPN ejde-526 62 4 ν(x)|u(x)|p ν(x)|u(x)|p PROPN ejde-526 62 5 dx dx PROPN ejde-526 62 6 ) ) PUNCT ejde-526 62 7 1 1 X ejde-526 62 8 / / SYM ejde-526 62 9 p p NOUN ejde-526 62 10 . . PUNCT ejde-526 63 1 by by ADP ejde-526 63 2 w w PROPN ejde-526 63 3 1,p(ω 1,p(ω PROPN ejde-526 63 4 , , PUNCT ejde-526 63 5 ν ν NOUN ejde-526 63 6 ) ) PUNCT ejde-526 63 7 we we PRON ejde-526 63 8 denote denote VERB ejde-526 63 9 the the DET ejde-526 63 10 completion completion NOUN ejde-526 63 11 of of ADP ejde-526 63 12 the the DET ejde-526 63 13 space space NOUN ejde-526 63 14 c1(ω c1(ω NOUN ejde-526 63 15 ) ) PUNCT ejde-526 63 16 with with ADP ejde-526 63 17 respect respect NOUN ejde-526 63 18 to to ADP ejde-526 63 19 the the DET ejde-526 63 20 norm norm NOUN ejde-526 63 21 ‖u‖w ‖u‖w NOUN ejde-526 63 22 1,p(ω 1,p(ω NUM ejde-526 63 23 , , PUNCT ejde-526 63 24 ν ν NOUN ejde-526 63 25 ) ) PUNCT ejde-526 64 1 = = SYM ejde-526 64 2 ‖u‖lp(ω ‖u‖lp(ω PROPN ejde-526 64 3 , , PUNCT ejde-526 64 4 ν ν NOUN ejde-526 64 5 ) ) PUNCT ejde-526 64 6 + + CCONJ ejde-526 64 7 ‖|∇u|‖lp(ω ‖|∇u|‖lp(ω PROPN ejde-526 64 8 , , PUNCT ejde-526 64 9 ν ν NOUN ejde-526 64 10 ) ) PUNCT ejde-526 64 11 . . PUNCT ejde-526 65 1 moreover moreover ADV ejde-526 65 2 we we PRON ejde-526 65 3 denote denote VERB ejde-526 65 4 by by ADP ejde-526 65 5 w w PROPN ejde-526 65 6 1,p 1,p PROPN ejde-526 65 7 0 0 NUM ejde-526 66 1 ( ( PUNCT ejde-526 66 2 ω ω PROPN ejde-526 66 3 , , PUNCT ejde-526 66 4 ν ν NOUN ejde-526 66 5 ) ) PUNCT ejde-526 66 6 the the DET ejde-526 66 7 closure closure NOUN ejde-526 66 8 of of ADP ejde-526 66 9 c1(ω c1(ω NOUN ejde-526 66 10 ) ) PUNCT ejde-526 66 11 in in ADP ejde-526 66 12 w w PROPN ejde-526 66 13 1,p(ω 1,p(ω NUM ejde-526 66 14 , , PUNCT ejde-526 66 15 ν ν NOUN ejde-526 66 16 ) ) PUNCT ejde-526 66 17 which which PRON ejde-526 66 18 is be AUX ejde-526 66 19 normed norme VERB ejde-526 66 20 by by ADP ejde-526 66 21 ‖u‖w ‖u‖w NOUN ejde-526 66 22 1,p 1,p PROPN ejde-526 66 23 0 0 SYM ejde-526 66 24 ( ( PUNCT ejde-526 66 25 ω ω NOUN ejde-526 66 26 , , PUNCT ejde-526 66 27 ν ν NOUN ejde-526 66 28 ) ) PUNCT ejde-526 67 1 = = SYM ejde-526 67 2 ‖|∇u|‖lp(ω ‖|∇u|‖lp(ω PROPN ejde-526 67 3 , , PUNCT ejde-526 67 4 ν ν NOUN ejde-526 67 5 ) ) PUNCT ejde-526 67 6 . . PUNCT ejde-526 68 1 we we PRON ejde-526 68 2 denote denote VERB ejde-526 68 3 by by ADP ejde-526 68 4 w−1,p′(ω w−1,p′(ω PROPN ejde-526 68 5 , , PUNCT ejde-526 68 6 1 1 NUM ejde-526 68 7 / / SYM ejde-526 68 8 ν ν NOUN ejde-526 68 9 ) ) PUNCT ejde-526 68 10 the the DET ejde-526 68 11 dual dual ADJ ejde-526 68 12 space space NOUN ejde-526 68 13 of of ADP ejde-526 68 14 w w PROPN ejde-526 68 15 1,p 1,p PROPN ejde-526 68 16 0 0 NUM ejde-526 68 17 ( ( PUNCT ejde-526 68 18 ω ω PROPN ejde-526 68 19 , , PUNCT ejde-526 68 20 ν ν NOUN ejde-526 68 21 ) ) PUNCT ejde-526 68 22 ; ; PUNCT ejde-526 68 23 for for SCONJ ejde-526 68 24 more more ADJ ejde-526 68 25 details detail NOUN ejde-526 68 26 see see VERB ejde-526 68 27 [ [ X ejde-526 68 28 16 16 NUM ejde-526 68 29 ] ] PUNCT ejde-526 68 30 . . PUNCT ejde-526 69 1 rearrangement rearrangement ADJ ejde-526 69 2 properties property NOUN ejde-526 69 3 . . PUNCT ejde-526 70 1 we we PRON ejde-526 70 2 recall recall VERB ejde-526 70 3 some some DET ejde-526 70 4 definitions definition NOUN ejde-526 70 5 about about ADP ejde-526 70 6 decreasing decrease VERB ejde-526 70 7 rearrangement rearrangement NOUN ejde-526 70 8 of of ADP ejde-526 70 9 functions function NOUN ejde-526 70 10 . . PUNCT ejde-526 71 1 let let VERB ejde-526 71 2 ω ω PRON ejde-526 71 3 be be AUX ejde-526 71 4 a a DET ejde-526 71 5 bounded bounded ADJ ejde-526 71 6 open open ADJ ejde-526 71 7 set set NOUN ejde-526 71 8 of of ADP ejde-526 71 9 rn rn PROPN ejde-526 71 10 and and CCONJ ejde-526 71 11 u u PRON ejde-526 71 12 : : PUNCT ejde-526 71 13 ω ω X ejde-526 71 14 → → SYM ejde-526 71 15 r r NOUN ejde-526 71 16 a a DET ejde-526 71 17 measurable measurable ADJ ejde-526 71 18 function function NOUN ejde-526 71 19 . . PUNCT ejde-526 72 1 definition definition NOUN ejde-526 72 2 2.3 2.3 NUM ejde-526 72 3 . . PUNCT ejde-526 73 1 the the DET ejde-526 73 2 distribution distribution NOUN ejde-526 73 3 function function NOUN ejde-526 73 4 of of ADP ejde-526 73 5 u u NOUN ejde-526 73 6 is be AUX ejde-526 73 7 defined define VERB ejde-526 73 8 as as ADP ejde-526 73 9 µu(t µu(t NOUN ejde-526 73 10 ) ) PUNCT ejde-526 73 11 = = PRON ejde-526 74 1 |{x |{x PUNCT ejde-526 74 2 ∈ ∈ PROPN ejde-526 74 3 ω ω NOUN ejde-526 74 4 : : PUNCT ejde-526 74 5 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 74 6 > > PUNCT ejde-526 74 7 t}| t}| PROPN ejde-526 74 8 , , PUNCT ejde-526 74 9 t t PROPN ejde-526 74 10 ≥ ≥ NUM ejde-526 74 11 0 0 NUM ejde-526 74 12 . . PUNCT ejde-526 75 1 the the DET ejde-526 75 2 function function NOUN ejde-526 75 3 µu µu AUX ejde-526 75 4 is be AUX ejde-526 75 5 decreasing decrease VERB ejde-526 75 6 and and CCONJ ejde-526 75 7 right right ADJ ejde-526 75 8 continuous continuous ADJ ejde-526 75 9 . . PUNCT ejde-526 76 1 definition definition NOUN ejde-526 76 2 2.4 2.4 NUM ejde-526 76 3 . . PUNCT ejde-526 77 1 the the DET ejde-526 77 2 decreasing decrease VERB ejde-526 77 3 rearrangement rearrangement NOUN ejde-526 77 4 of of ADP ejde-526 77 5 u u NOUN ejde-526 77 6 is be AUX ejde-526 77 7 defined define VERB ejde-526 77 8 as as ADP ejde-526 77 9 u∗(s u∗(s PROPN ejde-526 77 10 ) ) PUNCT ejde-526 78 1 : : PUNCT ejde-526 78 2 = = PUNCT ejde-526 78 3 sup{t sup{t PROPN ejde-526 78 4 ≥ ≥ NOUN ejde-526 78 5 0 0 NUM ejde-526 78 6 : : PUNCT ejde-526 78 7 µu(t µu(t NUM ejde-526 78 8 ) ) PUNCT ejde-526 78 9 > > X ejde-526 79 1 s s X ejde-526 79 2 } } PUNCT ejde-526 79 3 , , PUNCT ejde-526 79 4 s s VERB ejde-526 79 5 ≥ ≥ NOUN ejde-526 79 6 0 0 NUM ejde-526 79 7 . . PUNCT ejde-526 80 1 the the DET ejde-526 80 2 function function NOUN ejde-526 80 3 u∗ u∗ NOUN ejde-526 80 4 is be AUX ejde-526 80 5 the the DET ejde-526 80 6 generalized generalized ADJ ejde-526 80 7 inverse inverse NOUN ejde-526 80 8 of of ADP ejde-526 80 9 µu µu PROPN ejde-526 80 10 . . PUNCT ejde-526 81 1 we we PRON ejde-526 81 2 recall recall VERB ejde-526 81 3 that∫ that∫ PROPN ejde-526 81 4 ω ω PROPN ejde-526 82 1 |u|p |u|p NOUN ejde-526 82 2 dx dx PROPN ejde-526 83 1 = = PUNCT ejde-526 83 2 p p X ejde-526 83 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 84 1 + + PROPN ejde-526 84 2 ∞ ∞ NOUN ejde-526 84 3 0 0 NUM ejde-526 84 4 tp−1µu(t)dt tp−1µu(t)dt NOUN ejde-526 84 5 , , PUNCT ejde-526 84 6 for for ADP ejde-526 84 7 p p PRON ejde-526 84 8 ≥ ≥ NUM ejde-526 84 9 1 1 NUM ejde-526 84 10 . . PUNCT ejde-526 85 1 ( ( PUNCT ejde-526 85 2 2.9 2.9 NUM ejde-526 85 3 ) ) PUNCT ejde-526 85 4 then then ADV ejde-526 85 5 the the DET ejde-526 85 6 lp lp NOUN ejde-526 85 7 - - PUNCT ejde-526 85 8 norm norm NOUN ejde-526 85 9 , , PUNCT ejde-526 85 10 for for ADP ejde-526 85 11 1 1 NUM ejde-526 85 12 ≤ ≤ NOUN ejde-526 85 13 p p NOUN ejde-526 85 14 < < X ejde-526 85 15 + + NOUN ejde-526 85 16 ∞ ∞ PROPN ejde-526 85 17 , , PUNCT ejde-526 85 18 is be AUX ejde-526 85 19 invariant invariant ADJ ejde-526 85 20 with with ADP ejde-526 85 21 respect respect NOUN ejde-526 85 22 to to ADP ejde-526 85 23 rearrangement rearrangement NOUN ejde-526 85 24 , , PUNCT ejde-526 85 25 that that ADV ejde-526 85 26 is is ADV ejde-526 85 27 , , PUNCT ejde-526 85 28 ‖u‖lp(ω ‖u‖lp(ω PROPN ejde-526 85 29 ) ) PUNCT ejde-526 85 30 = = PUNCT ejde-526 86 1 ‖u∗‖lp[0,|ω| ‖u∗‖lp[0,|ω| ADP ejde-526 86 2 ] ] X ejde-526 86 3 . . PUNCT ejde-526 86 4 4 4 NUM ejde-526 86 5 b. b. PROPN ejde-526 86 6 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 86 7 , , PUNCT ejde-526 86 8 j. j. PROPN ejde-526 86 9 bennouna bennouna PROPN ejde-526 86 10 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 87 1 moreover moreover ADV ejde-526 87 2 , , PUNCT ejde-526 87 3 if if SCONJ ejde-526 87 4 u u PROPN ejde-526 87 5 ∈ ∈ PROPN ejde-526 87 6 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-526 87 7 ) ) PUNCT ejde-526 87 8 , , PUNCT ejde-526 87 9 by by ADP ejde-526 87 10 definition definition NOUN ejde-526 87 11 u∗(0 u∗(0 NOUN ejde-526 87 12 ) ) PUNCT ejde-526 87 13 = = SYM ejde-526 87 14 ess ess PROPN ejde-526 87 15 supω supω PROPN ejde-526 87 16 |u| |u| PROPN ejde-526 87 17 . . PUNCT ejde-526 88 1 for for ADP ejde-526 88 2 more more ADJ ejde-526 88 3 details detail NOUN ejde-526 88 4 about about ADP ejde-526 88 5 rearrangements rearrangement NOUN ejde-526 88 6 we we PRON ejde-526 88 7 refer refer VERB ejde-526 88 8 the the DET ejde-526 88 9 reader reader NOUN ejde-526 88 10 to to ADP ejde-526 88 11 [ [ X ejde-526 88 12 6 6 NUM ejde-526 88 13 , , PUNCT ejde-526 88 14 13 13 NUM ejde-526 88 15 , , PUNCT ejde-526 88 16 18 18 NUM ejde-526 88 17 ] ] PUNCT ejde-526 88 18 . . PUNCT ejde-526 89 1 we we PRON ejde-526 89 2 recall recall VERB ejde-526 89 3 that that SCONJ ejde-526 89 4 a a DET ejde-526 89 5 measurable measurable ADJ ejde-526 89 6 function function NOUN ejde-526 89 7 u u NOUN ejde-526 89 8 : : PUNCT ejde-526 89 9 ω→ ω→ PUNCT ejde-526 89 10 r r NOUN ejde-526 89 11 belongs belong VERB ejde-526 89 12 to to ADP ejde-526 89 13 the the DET ejde-526 89 14 marcinkiewicz marcinkiewicz ADJ ejde-526 89 15 space space NOUN ejde-526 89 16 mp(ω mp(ω PROPN ejde-526 89 17 ) ) PUNCT ejde-526 89 18 ( ( PUNCT ejde-526 89 19 or or CCONJ ejde-526 89 20 weak weak ADJ ejde-526 89 21 - - PUNCT ejde-526 89 22 lp lp NOUN ejde-526 89 23 ) ) PUNCT ejde-526 89 24 if if SCONJ ejde-526 89 25 the the DET ejde-526 89 26 distribution distribution NOUN ejde-526 89 27 function function NOUN ejde-526 89 28 µu µu ADP ejde-526 89 29 satisfies satisfie NOUN ejde-526 89 30 µu(t µu(t NOUN ejde-526 89 31 ) ) PUNCT ejde-526 89 32 ≤ ≤ NUM ejde-526 89 33 c c NOUN ejde-526 89 34 tr tr VERB ejde-526 89 35 , , PUNCT ejde-526 89 36 ∀t ∀t PROPN ejde-526 89 37 > > X ejde-526 89 38 0 0 NUM ejde-526 89 39 , , PUNCT ejde-526 89 40 for for ADP ejde-526 89 41 some some DET ejde-526 89 42 constant constant ADJ ejde-526 89 43 c. c. NOUN ejde-526 89 44 we we PRON ejde-526 89 45 observe observe VERB ejde-526 89 46 that that SCONJ ejde-526 89 47 the the DET ejde-526 89 48 above above ADJ ejde-526 89 49 condition condition NOUN ejde-526 89 50 is be AUX ejde-526 89 51 equivalent equivalent ADJ ejde-526 89 52 to to ADP ejde-526 89 53 u∗(s u∗(s PROPN ejde-526 89 54 ) ) PUNCT ejde-526 89 55 ≤ ≤ NOUN ejde-526 89 56 c c NOUN ejde-526 89 57 s1 s1 NOUN ejde-526 89 58 / / SYM ejde-526 89 59 r r NOUN ejde-526 89 60 , , PUNCT ejde-526 89 61 ∀s ∀s PROPN ejde-526 89 62 > > X ejde-526 89 63 0 0 PROPN ejde-526 89 64 , , PUNCT ejde-526 89 65 and and CCONJ ejde-526 89 66 we we PRON ejde-526 89 67 define define VERB ejde-526 89 68 ‖u‖mp(ω ‖u‖mp(ω PROPN ejde-526 89 69 ) ) PUNCT ejde-526 90 1 = = SYM ejde-526 90 2 sup sup NUM ejde-526 90 3 s>0 s>0 PROPN ejde-526 90 4 u∗(s)s u∗(s)s PROPN ejde-526 90 5 1 1 NUM ejde-526 90 6 / / SYM ejde-526 90 7 r. r. NOUN ejde-526 90 8 we we PRON ejde-526 90 9 observe observe VERB ejde-526 90 10 that that SCONJ ejde-526 90 11 the the DET ejde-526 90 12 marcinkiewicz marcinkiewicz ADJ ejde-526 90 13 spaces space NOUN ejde-526 90 14 are be AUX ejde-526 90 15 “ " PUNCT ejde-526 90 16 intermediate intermediate ADJ ejde-526 90 17 ” " PUNCT ejde-526 90 18 between between ADP ejde-526 90 19 lebesgue lebesgue PROPN ejde-526 90 20 spaces space NOUN ejde-526 90 21 . . PUNCT ejde-526 91 1 indeed indeed ADV ejde-526 91 2 , , PUNCT ejde-526 91 3 it it PRON ejde-526 91 4 is be AUX ejde-526 91 5 not not PART ejde-526 91 6 difficult difficult ADJ ejde-526 91 7 to to PART ejde-526 91 8 show show VERB ejde-526 91 9 that that PRON ejde-526 91 10 lp(ω lp(ω X ejde-526 91 11 ) ) PUNCT ejde-526 91 12 ⊂mp(ω ⊂mp(ω NOUN ejde-526 91 13 ) ) PUNCT ejde-526 91 14 ⊂ ⊂ PROPN ejde-526 91 15 lq(ω lq(ω PROPN ejde-526 91 16 ) ) PUNCT ejde-526 91 17 , , PUNCT ejde-526 91 18 for for ADP ejde-526 91 19 1 1 NUM ejde-526 91 20 ≤ ≤ NOUN ejde-526 91 21 q q NOUN ejde-526 91 22 < < X ejde-526 91 23 p. p. NOUN ejde-526 91 24 now now ADV ejde-526 91 25 , , PUNCT ejde-526 91 26 we we PRON ejde-526 91 27 give give VERB ejde-526 91 28 a a DET ejde-526 91 29 sense sense NOUN ejde-526 91 30 to to ADP ejde-526 91 31 the the DET ejde-526 91 32 gradient gradient NOUN ejde-526 91 33 of of ADP ejde-526 91 34 a a DET ejde-526 91 35 function function NOUN ejde-526 91 36 u u PROPN ejde-526 91 37 ∈ ∈ PROPN ejde-526 91 38 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 91 39 ) ) PUNCT ejde-526 91 40 such such ADJ ejde-526 91 41 that that SCONJ ejde-526 91 42 the the DET ejde-526 91 43 truncates truncate NOUN ejde-526 91 44 of of ADP ejde-526 91 45 u u NOUN ejde-526 91 46 are be AUX ejde-526 91 47 sobolev sobolev NOUN ejde-526 91 48 functions function NOUN ejde-526 91 49 . . PUNCT ejde-526 92 1 lemma lemma PROPN ejde-526 92 2 2.5 2.5 NUM ejde-526 92 3 ( ( PUNCT ejde-526 92 4 [ [ X ejde-526 92 5 7 7 NUM ejde-526 92 6 ] ] NUM ejde-526 92 7 ) ) PUNCT ejde-526 92 8 . . PUNCT ejde-526 93 1 for for ADP ejde-526 93 2 each each DET ejde-526 93 3 measurable measurable ADJ ejde-526 93 4 function function NOUN ejde-526 93 5 u u NOUN ejde-526 93 6 : : PUNCT ejde-526 93 7 ω→ ω→ PUNCT ejde-526 93 8 r r NOUN ejde-526 93 9 such such ADJ ejde-526 93 10 that that PRON ejde-526 93 11 for for ADP ejde-526 93 12 every every DET ejde-526 93 13 k k PROPN ejde-526 93 14 > > X ejde-526 93 15 0 0 PUNCT ejde-526 94 1 the the DET ejde-526 94 2 truncated truncated ADJ ejde-526 94 3 function function NOUN ejde-526 94 4 tk(u tk(u PUNCT ejde-526 94 5 ) ) PUNCT ejde-526 94 6 belong belong VERB ejde-526 94 7 to to ADP ejde-526 94 8 w w PROPN ejde-526 94 9 1,1 1,1 NUM ejde-526 94 10 loc loc X ejde-526 94 11 ( ( PUNCT ejde-526 94 12 ω ω NOUN ejde-526 94 13 ) ) PUNCT ejde-526 94 14 , , PUNCT ejde-526 94 15 there there PRON ejde-526 94 16 exists exist VERB ejde-526 94 17 a a DET ejde-526 94 18 unique unique ADJ ejde-526 94 19 measurable measurable ADJ ejde-526 94 20 function function NOUN ejde-526 94 21 v v ADP ejde-526 94 22 : : PUNCT ejde-526 94 23 ω→ ω→ PROPN ejde-526 94 24 rn rn PROPN ejde-526 94 25 such such ADJ ejde-526 94 26 that that SCONJ ejde-526 94 27 ∇tk(u ∇tk(u NOUN ejde-526 94 28 ) ) PUNCT ejde-526 94 29 = = SYM ejde-526 95 1 vχ|u| > X ejde-526 103 8 0 0 NUM ejde-526 103 9 and and CCONJ ejde-526 103 10 1 1 NUM ejde-526 103 11 ≤ ≤ NUM ejde-526 103 12 γ γ X ejde-526 103 13 < < X ejde-526 103 14 + + PROPN ejde-526 103 15 ∞. ∞. PROPN ejde-526 103 16 let let VERB ejde-526 103 17 ψ ψ PRON ejde-526 103 18 a a DET ejde-526 103 19 non non ADJ ejde-526 103 20 - - ADJ ejde-526 103 21 negative negative ADJ ejde-526 103 22 measurable measurable ADJ ejde-526 103 23 function function NOUN ejde-526 103 24 on on ADP ejde-526 103 25 ( ( PUNCT ejde-526 103 26 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-526 103 27 ) ) PUNCT ejde-526 103 28 . . PUNCT ejde-526 104 1 then then ADV ejde-526 104 2 the∫ the∫ ADJ ejde-526 104 3 + + ADJ ejde-526 104 4 ∞ ∞ NOUN ejde-526 104 5 0 0 NUM ejde-526 104 6 ( ( PUNCT ejde-526 104 7 t−λ t−λ NOUN ejde-526 104 8 ∫ ∫ PROPN ejde-526 104 9 t t PROPN ejde-526 104 10 0 0 NUM ejde-526 104 11 ψ(s)ds ψ(s)ds PART ejde-526 104 12 ) ) PUNCT ejde-526 104 13 γ γ PROPN ejde-526 104 14 dt dt X ejde-526 104 15 t t PROPN ejde-526 104 16 ≤ ≤ PROPN ejde-526 105 1 c c NOUN ejde-526 105 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 106 1 + + NUM ejde-526 106 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 106 3 0 0 NUM ejde-526 106 4 ( ( PUNCT ejde-526 106 5 t1−λψ(t))γ t1−λψ(t))γ PROPN ejde-526 106 6 dt dt PROPN ejde-526 106 7 t t PROPN ejde-526 106 8 , , PUNCT ejde-526 106 9 , , PUNCT ejde-526 106 10 ( ( PUNCT ejde-526 106 11 2.11)∫ 2.11)∫ NOUN ejde-526 107 1 + + NOUN ejde-526 107 2 ∞ ∞ NOUN ejde-526 107 3 0 0 NUM ejde-526 107 4 ( ( PUNCT ejde-526 107 5 tλ tλ ADP ejde-526 107 6 ∫ ∫ PROPN ejde-526 108 1 + + PROPN ejde-526 108 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 108 3 t t PROPN ejde-526 108 4 ψ(s)ds ψ(s)ds X ejde-526 108 5 ) ) PUNCT ejde-526 108 6 γ γ PROPN ejde-526 108 7 dt dt X ejde-526 108 8 t t PROPN ejde-526 108 9 ≤ ≤ PROPN ejde-526 108 10 c c NOUN ejde-526 108 11 ∫ ∫ PROPN ejde-526 109 1 + + NUM ejde-526 109 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 109 3 0 0 NUM ejde-526 110 1 ( ( PUNCT ejde-526 110 2 t1+λψ(t))γ t1+λψ(t))γ PROPN ejde-526 110 3 dt dt PROPN ejde-526 110 4 t t PROPN ejde-526 110 5 . . PUNCT ejde-526 111 1 ( ( PUNCT ejde-526 111 2 2.12 2.12 NUM ejde-526 111 3 ) ) PUNCT ejde-526 111 4 also also ADV ejde-526 111 5 we we PRON ejde-526 111 6 shall shall AUX ejde-526 111 7 need need VERB ejde-526 111 8 the the DET ejde-526 111 9 following follow VERB ejde-526 111 10 proposition proposition NOUN ejde-526 111 11 of of ADP ejde-526 111 12 weak weak ADJ ejde-526 111 13 approximation approximation NOUN ejde-526 111 14 ( ( PUNCT ejde-526 111 15 see see VERB ejde-526 111 16 [ [ X ejde-526 111 17 5 5 NUM ejde-526 111 18 ] ] PUNCT ejde-526 111 19 ) ) PUNCT ejde-526 111 20 . . PUNCT ejde-526 112 1 let let VERB ejde-526 112 2 u u PRON ejde-526 112 3 ∈w ∈w VERB ejde-526 112 4 1,p 1,p PROPN ejde-526 112 5 0 0 SYM ejde-526 112 6 ( ( PUNCT ejde-526 112 7 ω ω NOUN ejde-526 112 8 ) ) PUNCT ejde-526 112 9 , , PUNCT ejde-526 112 10 and and CCONJ ejde-526 112 11 for for ADP ejde-526 112 12 s s PROPN ejde-526 112 13 ∈ ∈ PROPN ejde-526 113 1 [ [ X ejde-526 113 2 0 0 NUM ejde-526 113 3 , , PUNCT ejde-526 113 4 |ω| |ω| ADP ejde-526 113 5 ] ] PUNCT ejde-526 113 6 , , PUNCT ejde-526 113 7 let let VERB ejde-526 113 8 g(s g( NOUN ejde-526 113 9 ) ) PUNCT ejde-526 113 10 be be AUX ejde-526 113 11 a a DET ejde-526 113 12 measurable measurable ADJ ejde-526 113 13 subset subset NOUN ejde-526 113 14 of of ADP ejde-526 113 15 ω ω NUM ejde-526 113 16 such such ADJ ejde-526 113 17 that that SCONJ ejde-526 113 18 |g(s)| |g(s)| PROPN ejde-526 113 19 = = SYM ejde-526 113 20 s s PART ejde-526 113 21 s1 s1 NOUN ejde-526 113 22 < < X ejde-526 113 23 s2 s2 PROPN ejde-526 113 24 ⇒ ⇒ PROPN ejde-526 113 25 g(s1 g(s1 PROPN ejde-526 113 26 ) ) PUNCT ejde-526 114 1 ⊂ ⊂ PROPN ejde-526 114 2 g(s2 g(s2 NOUN ejde-526 114 3 ) ) PUNCT ejde-526 114 4 g(s g(s NOUN ejde-526 114 5 ) ) PUNCT ejde-526 114 6 = = PRON ejde-526 115 1 { { PUNCT ejde-526 115 2 x x PUNCT ejde-526 115 3 ∈ ∈ NOUN ejde-526 115 4 ω ω NOUN ejde-526 115 5 : : PUNCT ejde-526 115 6 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 115 7 > > X ejde-526 115 8 t t PROPN ejde-526 115 9 } } PUNCT ejde-526 115 10 if if SCONJ ejde-526 115 11 s s PART ejde-526 115 12 = = SYM ejde-526 115 13 µ(t µ(t ADJ ejde-526 115 14 ) ) PUNCT ejde-526 115 15 . . PUNCT ejde-526 116 1 for for ADP ejde-526 116 2 a a DET ejde-526 116 3 given give VERB ejde-526 116 4 a a DET ejde-526 116 5 function function NOUN ejde-526 116 6 ϕ ϕ X ejde-526 116 7 ∈ ∈ PROPN ejde-526 116 8 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 116 9 ) ) PUNCT ejde-526 116 10 , , PUNCT ejde-526 116 11 we we PRON ejde-526 116 12 set set VERB ejde-526 116 13 φ(s φ(s NOUN ejde-526 116 14 ) ) PUNCT ejde-526 116 15 = = PUNCT ejde-526 117 1 d d X ejde-526 117 2 ds ds ADJ ejde-526 117 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 117 4 g(s g(s PROPN ejde-526 117 5 ) ) PUNCT ejde-526 117 6 ϕ(x ϕ(x PROPN ejde-526 117 7 ) ) PUNCT ejde-526 117 8 dx dx PROPN ejde-526 117 9 . . PUNCT ejde-526 117 10 ejde-2020/105 ejde-2020/105 AUX ejde-526 118 1 degenerate degenerate ADJ ejde-526 118 2 elliptic elliptic ADJ ejde-526 118 3 equations equation NOUN ejde-526 118 4 5 5 NUM ejde-526 118 5 lemma lemma PROPN ejde-526 118 6 2.8 2.8 NUM ejde-526 118 7 ( ( PUNCT ejde-526 118 8 [ [ X ejde-526 118 9 5 5 NUM ejde-526 118 10 ] ] PUNCT ejde-526 118 11 ) ) PUNCT ejde-526 118 12 . . PUNCT ejde-526 119 1 if if SCONJ ejde-526 119 2 ϕ ϕ PROPN ejde-526 119 3 ∈ ∈ PROPN ejde-526 119 4 lp(ω lp(ω PUNCT ejde-526 119 5 ) ) PUNCT ejde-526 119 6 with with ADP ejde-526 119 7 p p PROPN ejde-526 119 8 > > X ejde-526 119 9 1 1 NUM ejde-526 119 10 , , PUNCT ejde-526 119 11 then then ADV ejde-526 119 12 there there PRON ejde-526 119 13 exists exist VERB ejde-526 119 14 a a DET ejde-526 119 15 sequence sequence NOUN ejde-526 119 16 ( ( PUNCT ejde-526 119 17 ϕ(s))n ϕ(s))n NOUN ejde-526 119 18 , , PUNCT ejde-526 119 19 such such ADJ ejde-526 119 20 that that PRON ejde-526 119 21 ϕ∗n(s ϕ∗n(s PROPN ejde-526 119 22 ) ) PUNCT ejde-526 120 1 = = SYM ejde-526 120 2 ϕ∗(s ϕ∗(s PROPN ejde-526 120 3 ) ) PUNCT ejde-526 120 4 and and CCONJ ejde-526 120 5 ϕn ϕn VERB ejde-526 120 6 ⇀ ⇀ INTJ ejde-526 121 1 φ φ NUM ejde-526 121 2 weakly weakly ADJ ejde-526 121 3 in in ADP ejde-526 121 4 lp(0 lp(0 NOUN ejde-526 121 5 , , PUNCT ejde-526 121 6 |ω| |ω| NOUN ejde-526 121 7 ) ) PUNCT ejde-526 121 8 . . PUNCT ejde-526 122 1 3 3 X ejde-526 122 2 . . X ejde-526 122 3 main main ADJ ejde-526 122 4 result result NOUN ejde-526 122 5 the the DET ejde-526 122 6 following follow VERB ejde-526 122 7 proposition proposition NOUN ejde-526 122 8 gives give VERB ejde-526 122 9 a a DET ejde-526 122 10 sufficient sufficient ADJ ejde-526 122 11 condition condition NOUN ejde-526 122 12 for for ADP ejde-526 122 13 the the DET ejde-526 122 14 gradient gradient NOUN ejde-526 122 15 of of ADP ejde-526 122 16 a a DET ejde-526 122 17 function function NOUN ejde-526 122 18 to to PART ejde-526 122 19 belong belong VERB ejde-526 122 20 to to ADP ejde-526 122 21 some some DET ejde-526 122 22 marcinkiewicz marcinkiewicz ADJ ejde-526 122 23 space space NOUN ejde-526 122 24 , , PUNCT ejde-526 122 25 these these PRON ejde-526 122 26 are be AUX ejde-526 122 27 the the DET ejde-526 122 28 generalized generalized ADJ ejde-526 122 29 results result NOUN ejde-526 122 30 of of ADP ejde-526 122 31 [ [ X ejde-526 122 32 7 7 X ejde-526 122 33 ] ] PUNCT ejde-526 122 34 in in ADP ejde-526 122 35 the the DET ejde-526 122 36 weighted weight VERB ejde-526 122 37 sobolev sobolev NOUN ejde-526 122 38 spaces space VERB ejde-526 122 39 w w PROPN ejde-526 122 40 1,p 1,p PROPN ejde-526 122 41 0 0 SYM ejde-526 122 42 ( ( PUNCT ejde-526 122 43 ω ω PROPN ejde-526 122 44 , , PUNCT ejde-526 122 45 ν ν NOUN ejde-526 122 46 ) ) PUNCT ejde-526 122 47 . . PUNCT ejde-526 123 1 proposition proposition NOUN ejde-526 123 2 3.1 3.1 NUM ejde-526 123 3 . . PUNCT ejde-526 124 1 let let VERB ejde-526 124 2 1 1 NUM ejde-526 124 3 < < X ejde-526 124 4 p p X ejde-526 124 5 < < X ejde-526 124 6 n n NOUN ejde-526 124 7 , , PUNCT ejde-526 124 8 and and CCONJ ejde-526 124 9 u u PROPN ejde-526 124 10 ∈ ∈ PROPN ejde-526 124 11 t t PROPN ejde-526 124 12 1,p 1,p PROPN ejde-526 124 13 0 0 SYM ejde-526 125 1 ( ( PUNCT ejde-526 125 2 ω ω PROPN ejde-526 125 3 , , PUNCT ejde-526 125 4 ν ν NOUN ejde-526 125 5 ) ) PUNCT ejde-526 125 6 be be VERB ejde-526 125 7 such such ADJ ejde-526 125 8 that∫ that∫ NOUN ejde-526 125 9 { { PUNCT ejde-526 125 10 |u| > X ejde-526 126 7 0 0 X ejde-526 126 8 . . PUNCT ejde-526 127 1 then then ADV ejde-526 127 2 u u PROPN ejde-526 127 3 ∈ ∈ PROPN ejde-526 127 4 mp1(ω mp1(ω PROPN ejde-526 127 5 ) ) PUNCT ejde-526 127 6 where where SCONJ ejde-526 127 7 p1 p1 PROPN ejde-526 127 8 = = SYM ejde-526 127 9 p](1− p](1− X ejde-526 127 10 λ λ X ejde-526 127 11 / / SYM ejde-526 127 12 p p NOUN ejde-526 127 13 ) ) PUNCT ejde-526 127 14 . . PUNCT ejde-526 128 1 more more ADV ejde-526 128 2 precisely precisely ADV ejde-526 128 3 , , PUNCT ejde-526 128 4 there there PRON ejde-526 128 5 exists exist VERB ejde-526 128 6 a a DET ejde-526 128 7 c c NOUN ejde-526 128 8 such such ADJ ejde-526 128 9 that that SCONJ ejde-526 128 10 meas{|u| meas{|u| PROPN ejde-526 128 11 > > X ejde-526 129 1 k k X ejde-526 129 2 } } PUNCT ejde-526 129 3 = = PUNCT ejde-526 129 4 meas{x meas{x PROPN ejde-526 129 5 ∈ ∈ PROPN ejde-526 129 6 ω ω NOUN ejde-526 129 7 : : PUNCT ejde-526 129 8 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 129 9 > > PUNCT ejde-526 129 10 k k PROPN ejde-526 129 11 } } PUNCT ejde-526 129 12 ≤ ≤ NOUN ejde-526 129 13 ck−p1 ck−p1 ADV ejde-526 129 14 . . PUNCT ejde-526 130 1 proof proof NOUN ejde-526 130 2 . . PUNCT ejde-526 131 1 for for ADP ejde-526 131 2 k k PROPN ejde-526 131 3 > > X ejde-526 131 4 0 0 PROPN ejde-526 131 5 , , PUNCT ejde-526 131 6 from from ADP ejde-526 131 7 ( ( PUNCT ejde-526 131 8 2.3 2.3 NUM ejde-526 131 9 ) ) PUNCT ejde-526 131 10 , , PUNCT ejde-526 131 11 we we PRON ejde-526 131 12 have have VERB ejde-526 131 13 ‖tk(u)‖p ‖tk(u)‖p PROPN ejde-526 131 14 ] ] PUNCT ejde-526 131 15 ≤ ≤ NUM ejde-526 131 16 c1‖∇tk(u)‖lp(ν c1‖∇tk(u)‖lp(ν PROPN ejde-526 131 17 ) ) PUNCT ejde-526 131 18 ≤ ≤ NOUN ejde-526 131 19 c1kλ c1kλ PUNCT ejde-526 131 20 / / SYM ejde-526 132 1 p. p. NOUN ejde-526 132 2 for for ADP ejde-526 132 3 0 0 NUM ejde-526 132 4 < < X ejde-526 132 5 ε ε PROPN ejde-526 132 6 ≤ ≤ PROPN ejde-526 132 7 k k PROPN ejde-526 132 8 , , PUNCT ejde-526 132 9 we we PRON ejde-526 132 10 have have VERB ejde-526 132 11 { { PUNCT ejde-526 132 12 x x SYM ejde-526 132 13 ∈ ∈ PROPN ejde-526 132 14 ω ω NOUN ejde-526 132 15 : : PUNCT ejde-526 132 16 |u| |u| PROPN ejde-526 132 17 > > X ejde-526 132 18 ε ε PROPN ejde-526 132 19 } } PUNCT ejde-526 132 20 = = SYM ejde-526 132 21 { { PUNCT ejde-526 132 22 x x PUNCT ejde-526 132 23 ∈ ∈ NOUN ejde-526 132 24 ω ω NOUN ejde-526 132 25 : : PUNCT ejde-526 133 1 |tk(u)| |tk(u)| ADJ ejde-526 133 2 > > X ejde-526 133 3 ε ε PROPN ejde-526 133 4 } } PUNCT ejde-526 133 5 . . PUNCT ejde-526 134 1 hence hence ADV ejde-526 134 2 meas{|u| meas{|u| PROPN ejde-526 134 3 > > X ejde-526 134 4 ε ε PROPN ejde-526 134 5 } } PUNCT ejde-526 134 6 ≤ ≤ NOUN ejde-526 134 7 ( ( PUNCT ejde-526 134 8 ‖tk(u)‖p ‖tk(u)‖p PROPN ejde-526 134 9 ] ] PUNCT ejde-526 134 10 ε ε PROPN ejde-526 134 11 ) ) PUNCT ejde-526 135 1 p p X ejde-526 135 2 ] ] PUNCT ejde-526 135 3 ≤ ≤ NUM ejde-526 135 4 c1kλp c1kλp NUM ejde-526 135 5 ] ] X ejde-526 135 6 /pε−p /pε−p X ejde-526 135 7 ] ] PUNCT ejde-526 135 8 . . PUNCT ejde-526 136 1 setting set VERB ejde-526 136 2 ε ε PROPN ejde-526 136 3 = = SYM ejde-526 136 4 k k PROPN ejde-526 136 5 , , PUNCT ejde-526 136 6 we we PRON ejde-526 136 7 obtain obtain VERB ejde-526 136 8 meas{|u| meas{|u| PROPN ejde-526 136 9 > > X ejde-526 136 10 ε ε PROPN ejde-526 136 11 } } PUNCT ejde-526 136 12 ≤ ≤ NUM ejde-526 136 13 c1k−p1 c1k−p1 X ejde-526 136 14 , , PUNCT ejde-526 136 15 where where SCONJ ejde-526 136 16 p1 p1 PROPN ejde-526 136 17 = = SYM ejde-526 136 18 p](1− p](1− X ejde-526 136 19 λ λ X ejde-526 136 20 / / SYM ejde-526 136 21 p p NOUN ejde-526 136 22 ) ) PUNCT ejde-526 136 23 . . PUNCT ejde-526 137 1 � � PROPN ejde-526 137 2 proposition proposition NOUN ejde-526 137 3 3.2 3.2 NUM ejde-526 137 4 . . PUNCT ejde-526 138 1 let let VERB ejde-526 138 2 1 1 NUM ejde-526 138 3 < < X ejde-526 138 4 p p X ejde-526 138 5 < < X ejde-526 138 6 n n NOUN ejde-526 138 7 , , PUNCT ejde-526 138 8 and and CCONJ ejde-526 138 9 u u PROPN ejde-526 138 10 ∈ ∈ PROPN ejde-526 138 11 t t PROPN ejde-526 138 12 1,p 1,p PROPN ejde-526 138 13 0 0 SYM ejde-526 139 1 ( ( PUNCT ejde-526 139 2 ω ω PROPN ejde-526 139 3 , , PUNCT ejde-526 139 4 ν ν NOUN ejde-526 139 5 ) ) PUNCT ejde-526 139 6 be be VERB ejde-526 139 7 such such ADJ ejde-526 139 8 that∫ that∫ NOUN ejde-526 139 9 { { PUNCT ejde-526 139 10 |u| > X ejde-526 140 7 0 0 X ejde-526 140 8 . . PUNCT ejde-526 141 1 then then ADV ejde-526 141 2 ν1 ν1 PROPN ejde-526 141 3 / / SYM ejde-526 141 4 p∇u p∇u PROPN ejde-526 141 5 ∈mp2(ω ∈mp2(ω ADV ejde-526 141 6 ) ) PUNCT ejde-526 141 7 where where SCONJ ejde-526 141 8 p2 p2 PROPN ejde-526 141 9 = = SYM ejde-526 141 10 pp1/(λ+ pp1/(λ+ PROPN ejde-526 141 11 p1 p1 PROPN ejde-526 141 12 ) ) PUNCT ejde-526 141 13 . . PUNCT ejde-526 142 1 more more ADV ejde-526 142 2 precisely precisely ADV ejde-526 142 3 , , PUNCT ejde-526 142 4 there there PRON ejde-526 142 5 exists exist VERB ejde-526 142 6 a a DET ejde-526 142 7 c c NOUN ejde-526 142 8 such such ADJ ejde-526 142 9 that that DET ejde-526 142 10 meas{ν1 meas{ν1 NOUN ejde-526 142 11 / / SYM ejde-526 142 12 p|∇u| p|∇u| ADV ejde-526 142 13 > > X ejde-526 142 14 h h NOUN ejde-526 142 15 } } PUNCT ejde-526 142 16 ≤ ≤ PROPN ejde-526 142 17 ch−p2 ch−p2 NOUN ejde-526 142 18 . . PUNCT ejde-526 143 1 proof proof NOUN ejde-526 143 2 . . PUNCT ejde-526 144 1 for for SCONJ ejde-526 144 2 k k PROPN ejde-526 144 3 , , PUNCT ejde-526 144 4 h h PROPN ejde-526 144 5 > > X ejde-526 144 6 0 0 X ejde-526 144 7 . . PUNCT ejde-526 144 8 set set VERB ejde-526 144 9 φ(k φ(k PROPN ejde-526 144 10 , , PUNCT ejde-526 144 11 α α NOUN ejde-526 144 12 ) ) PUNCT ejde-526 144 13 = = PUNCT ejde-526 145 1 meas{ν(x)|∇u|p meas{ν(x)|∇u|p NOUN ejde-526 145 2 > > X ejde-526 145 3 α α PROPN ejde-526 145 4 , , PUNCT ejde-526 145 5 |u| |u| PROPN ejde-526 145 6 > > X ejde-526 145 7 k k X ejde-526 145 8 } } PUNCT ejde-526 145 9 . . PUNCT ejde-526 146 1 from from ADP ejde-526 146 2 proposition proposition NOUN ejde-526 146 3 3.1 3.1 NUM ejde-526 146 4 we we PRON ejde-526 146 5 have have VERB ejde-526 146 6 φ(k φ(k PROPN ejde-526 146 7 , , PUNCT ejde-526 146 8 0 0 NUM ejde-526 146 9 ) ) PUNCT ejde-526 146 10 ≤ ≤ NOUN ejde-526 146 11 c1k−p1 c1k−p1 X ejde-526 146 12 . . PUNCT ejde-526 147 1 using use VERB ejde-526 147 2 that that SCONJ ejde-526 147 3 the the DET ejde-526 147 4 function function NOUN ejde-526 147 5 α α PROPN ejde-526 147 6 7→ 7→ NUM ejde-526 147 7 φ(k φ(k PROPN ejde-526 147 8 , , PUNCT ejde-526 147 9 α α NOUN ejde-526 147 10 ) ) PUNCT ejde-526 147 11 is be AUX ejde-526 147 12 non non ADJ ejde-526 147 13 - - ADJ ejde-526 147 14 increasing increase VERB ejde-526 147 15 , , PUNCT ejde-526 147 16 for for ADP ejde-526 147 17 k k PROPN ejde-526 147 18 , , PUNCT ejde-526 147 19 λ λ X ejde-526 147 20 > > X ejde-526 147 21 0 0 NUM ejde-526 147 22 we we PRON ejde-526 147 23 obtain obtain VERB ejde-526 147 24 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 147 25 , , PUNCT ejde-526 147 26 α α NOUN ejde-526 147 27 ) ) PUNCT ejde-526 147 28 ≤ ≤ NOUN ejde-526 147 29 1 1 NUM ejde-526 147 30 α α NOUN ejde-526 147 31 ∫ ∫ NOUN ejde-526 147 32 α α NOUN ejde-526 147 33 0 0 PUNCT ejde-526 148 1 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 148 2 , , PUNCT ejde-526 148 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 148 4 = = PUNCT ejde-526 148 5 1 1 NUM ejde-526 149 1 α α NUM ejde-526 149 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 149 3 α α NOUN ejde-526 149 4 0 0 PUNCT ejde-526 150 1 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 150 2 , , PUNCT ejde-526 150 3 s s NOUN ejde-526 150 4 ) ) PUNCT ejde-526 151 1 + + CCONJ ejde-526 151 2 φ(k φ(k PROPN ejde-526 151 3 , , PUNCT ejde-526 151 4 0)− 0)− PUNCT ejde-526 151 5 φ(k φ(k PROPN ejde-526 151 6 , , PUNCT ejde-526 152 1 0)ds 0)ds PROPN ejde-526 152 2 ≤φ(k ≤φ(k PROPN ejde-526 152 3 , , PUNCT ejde-526 152 4 0 0 NUM ejde-526 152 5 ) ) PUNCT ejde-526 153 1 + + CCONJ ejde-526 153 2 1 1 NUM ejde-526 153 3 α α NUM ejde-526 153 4 ∫ ∫ NOUN ejde-526 154 1 α α NOUN ejde-526 154 2 0 0 PUNCT ejde-526 155 1 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 155 2 , , PUNCT ejde-526 155 3 s)− s)− PROPN ejde-526 155 4 φ(k φ(k PROPN ejde-526 155 5 , , PUNCT ejde-526 155 6 0)ds 0)ds PROPN ejde-526 156 1 ≤φ(k ≤φ(k PROPN ejde-526 156 2 , , PUNCT ejde-526 156 3 0 0 NUM ejde-526 156 4 ) ) PUNCT ejde-526 157 1 + + CCONJ ejde-526 157 2 1 1 NUM ejde-526 157 3 α α NUM ejde-526 157 4 ∫ ∫ NOUN ejde-526 158 1 α α NOUN ejde-526 158 2 0 0 PUNCT ejde-526 159 1 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 159 2 , , PUNCT ejde-526 159 3 s)− s)− PROPN ejde-526 159 4 φ(k φ(k PROPN ejde-526 159 5 , , PUNCT ejde-526 159 6 s)ds s)ds PROPN ejde-526 159 7 . . PUNCT ejde-526 159 8 ( ( PUNCT ejde-526 159 9 3.1 3.1 NUM ejde-526 159 10 ) ) PUNCT ejde-526 159 11 since since SCONJ ejde-526 159 12 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 159 13 , , PUNCT ejde-526 159 14 s)− s)− PROPN ejde-526 159 15 φ(k φ(k PROPN ejde-526 159 16 , , PUNCT ejde-526 159 17 s s PART ejde-526 159 18 ) ) PUNCT ejde-526 159 19 = = PUNCT ejde-526 160 1 meas{ν(x)|∇u|p meas{ν(x)|∇u|p NOUN ejde-526 160 2 > > X ejde-526 160 3 s s PROPN ejde-526 160 4 , , PUNCT ejde-526 160 5 |u| |u| X ejde-526 160 6 < < X ejde-526 160 7 k k X ejde-526 160 8 } } PUNCT ejde-526 160 9 we we PRON ejde-526 160 10 have have VERB ejde-526 160 11 1 1 NUM ejde-526 161 1 α α NUM ejde-526 161 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 161 3 α α NOUN ejde-526 161 4 0 0 PUNCT ejde-526 162 1 φ(0 φ(0 ADJ ejde-526 162 2 , , PUNCT ejde-526 162 3 s)− s)− PROPN ejde-526 162 4 φ(k φ(k PROPN ejde-526 162 5 , , PUNCT ejde-526 162 6 s)ds s)ds PROPN ejde-526 162 7 = = PUNCT ejde-526 162 8 1 1 NUM ejde-526 162 9 α α NUM ejde-526 162 10 ∫ ∫ NOUN ejde-526 163 1 |u| > X ejde-526 168 1 k k PROPN ejde-526 168 2 } } PUNCT ejde-526 168 3 ≤ ≤ NUM ejde-526 168 4 ch−pp1/(λ+p1 ch−pp1/(λ+p1 NOUN ejde-526 168 5 ) ) PUNCT ejde-526 168 6 � � PROPN ejde-526 168 7 3.1 3.1 NUM ejde-526 168 8 . . PUNCT ejde-526 169 1 a a DET ejde-526 169 2 priori priori ADJ ejde-526 169 3 estimate estimate NOUN ejde-526 169 4 . . PUNCT ejde-526 170 1 let let VERB ejde-526 170 2 ε ε PROPN ejde-526 170 3 be be AUX ejde-526 170 4 positive positive ADJ ejde-526 170 5 and and CCONJ ejde-526 170 6 sufficiently sufficiently ADV ejde-526 170 7 small small ADJ ejde-526 170 8 . . PUNCT ejde-526 171 1 we we PRON ejde-526 171 2 consider consider VERB ejde-526 171 3 the the DET ejde-526 171 4 problem problem NOUN ejde-526 171 5 −div −div NOUN ejde-526 171 6 aε(x aε(x X ejde-526 171 7 , , PUNCT ejde-526 171 8 uε,∇uε uε,∇uε NOUN ejde-526 171 9 ) ) PUNCT ejde-526 171 10 = = SYM ejde-526 171 11 fε fε NOUN ejde-526 171 12 in in ADP ejde-526 171 13 ω ω PROPN ejde-526 171 14 , , PUNCT ejde-526 171 15 uε uε X ejde-526 171 16 = = NOUN ejde-526 171 17 0 0 NUM ejde-526 171 18 on on ADP ejde-526 171 19 ∂ω ∂ω PROPN ejde-526 171 20 , , PUNCT ejde-526 171 21 ( ( PUNCT ejde-526 171 22 3.3 3.3 NUM ejde-526 171 23 ) ) PUNCT ejde-526 171 24 where where SCONJ ejde-526 171 25 aε(x aε(x NOUN ejde-526 171 26 , , PUNCT ejde-526 171 27 s s X ejde-526 171 28 , , PUNCT ejde-526 171 29 ξ ξ NOUN ejde-526 171 30 ) ) PUNCT ejde-526 171 31 = = SYM ejde-526 171 32 a(x a(x NOUN ejde-526 171 33 , , PUNCT ejde-526 171 34 tl−ε(s tl−ε(s NOUN ejde-526 171 35 ) ) PUNCT ejde-526 171 36 , , PUNCT ejde-526 171 37 ξ ξ X ejde-526 171 38 ) ) PUNCT ejde-526 171 39 , , PUNCT ejde-526 171 40 with with ADP ejde-526 171 41 x x PROPN ejde-526 171 42 ∈ ∈ PROPN ejde-526 171 43 ω ω PROPN ejde-526 171 44 , , PUNCT ejde-526 171 45 s s PROPN ejde-526 171 46 ∈ ∈ PROPN ejde-526 171 47 r r NOUN ejde-526 171 48 and and CCONJ ejde-526 171 49 ξ ξ PROPN ejde-526 171 50 ∈ ∈ PROPN ejde-526 171 51 rn rn PROPN ejde-526 171 52 and and CCONJ ejde-526 171 53 fε fε PROPN ejde-526 171 54 ∈ ∈ PROPN ejde-526 171 55 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-526 171 56 ) ) PUNCT ejde-526 171 57 . . PUNCT ejde-526 172 1 we we PRON ejde-526 172 2 use use VERB ejde-526 172 3 some some DET ejde-526 172 4 classical classical ADJ ejde-526 172 5 results result NOUN ejde-526 172 6 ( ( PUNCT ejde-526 172 7 see see VERB ejde-526 172 8 , , PUNCT ejde-526 172 9 for for ADP ejde-526 172 10 example example NOUN ejde-526 172 11 [ [ X ejde-526 172 12 1 1 NUM ejde-526 172 13 , , PUNCT ejde-526 172 14 2 2 NUM ejde-526 172 15 ] ] PUNCT ejde-526 172 16 ) ) PUNCT ejde-526 172 17 to to PART ejde-526 172 18 assure assure VERB ejde-526 172 19 that that DET ejde-526 172 20 problem problem NOUN ejde-526 172 21 ( ( PUNCT ejde-526 172 22 3.3 3.3 NUM ejde-526 172 23 ) ) PUNCT ejde-526 172 24 has have VERB ejde-526 172 25 at at ADV ejde-526 172 26 least least ADV ejde-526 172 27 one one NUM ejde-526 172 28 solution solution NOUN ejde-526 172 29 uε uε ADP ejde-526 172 30 ∈ ∈ PROPN ejde-526 172 31 w w PROPN ejde-526 172 32 1,p 1,p PROPN ejde-526 172 33 0 0 NUM ejde-526 172 34 ( ( PUNCT ejde-526 172 35 ω ω PROPN ejde-526 172 36 , , PUNCT ejde-526 172 37 ν ν NOUN ejde-526 172 38 ) ) PUNCT ejde-526 172 39 ∩ ∩ NOUN ejde-526 172 40 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-526 172 41 ) ) PUNCT ejde-526 172 42 . . PUNCT ejde-526 173 1 then then ADV ejde-526 173 2 , , PUNCT ejde-526 173 3 we we PRON ejde-526 173 4 define define VERB ejde-526 173 5 bε(t bε(t PUNCT ejde-526 173 6 ) ) PUNCT ejde-526 173 7 = = SYM ejde-526 173 8 b(tl−ε(t b(tl−ε(t PROPN ejde-526 173 9 ) ) PUNCT ejde-526 173 10 ) ) PUNCT ejde-526 173 11 for for ADP ejde-526 173 12 all all DET ejde-526 173 13 t t NOUN ejde-526 173 14 ∈ ∈ PROPN ejde-526 174 1 [ [ X ejde-526 174 2 0,+∞ 0,+∞ NUM ejde-526 174 3 ) ) PUNCT ejde-526 174 4 , , PUNCT ejde-526 174 5 and and CCONJ ejde-526 174 6 aε(s aε(s NUM ejde-526 174 7 ) ) PUNCT ejde-526 175 1 = = SYM ejde-526 176 1 ∫ ∫ PROPN ejde-526 176 2 s s PART ejde-526 176 3 0 0 NUM ejde-526 176 4 bε(r bε(r PROPN ejde-526 176 5 ) ) PUNCT ejde-526 176 6 1/(p−1)dr 1/(p−1)dr X ejde-526 176 7 . . PUNCT ejde-526 177 1 first first ADV ejde-526 177 2 , , PUNCT ejde-526 177 3 we we PRON ejde-526 177 4 prove prove VERB ejde-526 177 5 an an DET ejde-526 177 6 integral integral ADJ ejde-526 177 7 inequality inequality NOUN ejde-526 177 8 for for ADP ejde-526 177 9 weak weak ADJ ejde-526 177 10 solutions solution NOUN ejde-526 177 11 of of ADP ejde-526 177 12 problem problem NOUN ejde-526 177 13 ( ( PUNCT ejde-526 177 14 3.3 3.3 NUM ejde-526 177 15 ) ) PUNCT ejde-526 177 16 . . PUNCT ejde-526 178 1 proposition proposition NOUN ejde-526 178 2 3.3 3.3 NUM ejde-526 178 3 . . PUNCT ejde-526 179 1 let let VERB ejde-526 179 2 uε uε PART ejde-526 179 3 be be AUX ejde-526 179 4 a a DET ejde-526 179 5 weak weak ADJ ejde-526 179 6 solution solution NOUN ejde-526 179 7 of of ADP ejde-526 179 8 ( ( PUNCT ejde-526 179 9 3.3 3.3 NUM ejde-526 179 10 ) ) PUNCT ejde-526 179 11 . . PUNCT ejde-526 180 1 then then ADV ejde-526 180 2 aε(u aε(u PUNCT ejde-526 180 3 ∗ ∗ NOUN ejde-526 180 4 ε(s ε(s NOUN ejde-526 180 5 ) ) PUNCT ejde-526 180 6 ) ) PUNCT ejde-526 180 7 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 181 1 cn cn PROPN ejde-526 181 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 182 1 |ω| |ω| PROPN ejde-526 182 2 s s PART ejde-526 182 3 r−p r−p NOUN ejde-526 182 4 ′/n ′/n ADV ejde-526 182 5 ′ ′ NOUN ejde-526 183 1 [ [ X ejde-526 183 2 d(r)]p d(r)]p X ejde-526 183 3 ′/p ′/p PROPN ejde-526 183 4 ( ( PUNCT ejde-526 183 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 183 6 r r NOUN ejde-526 183 7 0 0 NUM ejde-526 183 8 f∗ε f∗ε NOUN ejde-526 183 9 ( ( PUNCT ejde-526 183 10 σ)dσ σ)dσ PROPN ejde-526 183 11 ) ) PUNCT ejde-526 183 12 p′/p p′/p PROPN ejde-526 183 13 dr dr PROPN ejde-526 183 14 , , PUNCT ejde-526 183 15 s s PART ejde-526 183 16 ∈ ∈ PROPN ejde-526 184 1 [ [ X ejde-526 184 2 0 0 NUM ejde-526 184 3 , , PUNCT ejde-526 184 4 |ω| |ω| ADP ejde-526 184 5 ] ] PUNCT ejde-526 184 6 , , PUNCT ejde-526 184 7 ( ( PUNCT ejde-526 184 8 3.4 3.4 NUM ejde-526 184 9 ) ) PUNCT ejde-526 185 1 where where SCONJ ejde-526 185 2 d d NOUN ejde-526 185 3 : : PUNCT ejde-526 186 1 [ [ X ejde-526 186 2 0 0 NUM ejde-526 186 3 , , PUNCT ejde-526 186 4 |ω|]→ |ω|]→ NUM ejde-526 186 5 r r NOUN ejde-526 186 6 is be AUX ejde-526 186 7 a a DET ejde-526 186 8 measurable measurable ADJ ejde-526 186 9 function function NOUN ejde-526 186 10 such such ADJ ejde-526 186 11 that∫ that∫ NOUN ejde-526 186 12 |uε|>y |uε|>y PROPN ejde-526 186 13 ν−t(x ν−t(x PROPN ejde-526 186 14 ) ) PUNCT ejde-526 186 15 dx dx PROPN ejde-526 187 1 = = SYM ejde-526 187 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 187 3 µ(y µ(y PROPN ejde-526 187 4 ) ) PUNCT ejde-526 187 5 0 0 NUM ejde-526 188 1 ( ( PUNCT ejde-526 188 2 d(r))t d(r))t PROPN ejde-526 188 3 dr dr PROPN ejde-526 188 4 . . PROPN ejde-526 188 5 proof proof PROPN ejde-526 188 6 . . PUNCT ejde-526 189 1 let let VERB ejde-526 189 2 φ φ PROPN ejde-526 189 3 = = PROPN ejde-526 190 1 th(uε th(uε VERB ejde-526 190 2 − − PROPN ejde-526 190 3 tθ(uε tθ(uε PROPN ejde-526 190 4 ) ) PUNCT ejde-526 190 5 ) ) PUNCT ejde-526 190 6 be be AUX ejde-526 190 7 a a DET ejde-526 190 8 test test NOUN ejde-526 190 9 function function NOUN ejde-526 190 10 in in ADP ejde-526 190 11 ( ( PUNCT ejde-526 190 12 3.3 3.3 NUM ejde-526 190 13 ) ) PUNCT ejde-526 190 14 . . PUNCT ejde-526 191 1 then then ADV ejde-526 191 2 we we PRON ejde-526 191 3 have have VERB ejde-526 191 4 1 1 NUM ejde-526 191 5 h h NOUN ejde-526 191 6 ∫ ∫ PROPN ejde-526 191 7 θ<|uε|≤θ+h θ<|uε|≤θ+h NOUN ejde-526 191 8 b(|uε|)ν(x)|∇uε|p b(|uε|)ν(x)|∇uε|p VERB ejde-526 191 9 dx dx PROPN ejde-526 191 10 ≤ ≤ NUM ejde-526 191 11 ∫ ∫ PROPN ejde-526 191 12 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 191 13 |f |f PROPN ejde-526 191 14 | | ADV ejde-526 191 15 dx dx PROPN ejde-526 191 16 applying apply VERB ejde-526 191 17 hardy hardy ADJ ejde-526 191 18 - - PUNCT ejde-526 191 19 littlewood littlewood NOUN ejde-526 191 20 inequality inequality NOUN ejde-526 191 21 and and CCONJ ejde-526 191 22 passing pass VERB ejde-526 191 23 to to ADP ejde-526 191 24 the the DET ejde-526 191 25 limit limit NOUN ejde-526 191 26 on on ADP ejde-526 191 27 h h NOUN ejde-526 191 28 to to ADP ejde-526 191 29 0 0 NUM ejde-526 191 30 , , PUNCT ejde-526 191 31 we we PRON ejde-526 191 32 obtain obtain VERB ejde-526 191 33 b(θ b(θ ADV ejde-526 191 34 ) ) PUNCT ejde-526 192 1 ( ( PUNCT ejde-526 192 2 − − PROPN ejde-526 192 3 d d X ejde-526 192 4 dθ dθ PROPN ejde-526 192 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 192 6 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 192 7 ν(x)|∇uε|p ν(x)|∇uε|p NOUN ejde-526 192 8 dx dx PROPN ejde-526 192 9 ) ) PUNCT ejde-526 193 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 193 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 194 1 µuε(θ µuε(θ PROPN ejde-526 194 2 ) ) PUNCT ejde-526 194 3 0 0 NUM ejde-526 195 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 195 2 ( ( PUNCT ejde-526 195 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 195 4 . . PUNCT ejde-526 195 5 ( ( PUNCT ejde-526 195 6 3.5 3.5 NUM ejde-526 195 7 ) ) PUNCT ejde-526 195 8 on on ADP ejde-526 195 9 the the DET ejde-526 195 10 other other ADJ ejde-526 195 11 hand hand NOUN ejde-526 195 12 by by ADP ejde-526 195 13 hölder hölder NOUN ejde-526 195 14 inequality inequality NOUN ejde-526 195 15 , , PUNCT ejde-526 195 16 we we PRON ejde-526 195 17 obtain obtain VERB ejde-526 195 18 − − PROPN ejde-526 196 1 d d PROPN ejde-526 196 2 dθ dθ PROPN ejde-526 196 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 196 4 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 196 5 |∇uε| |∇uε| PROPN ejde-526 196 6 dx dx PROPN ejde-526 196 7 ≤ ≤ NUM ejde-526 197 1 ( ( PUNCT ejde-526 197 2 − − PROPN ejde-526 197 3 d d X ejde-526 197 4 dθ dθ PROPN ejde-526 197 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 197 6 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 197 7 ν(x)|∇uε|p ν(x)|∇uε|p NOUN ejde-526 197 8 dx dx PROPN ejde-526 197 9 ) ) PUNCT ejde-526 197 10 1 1 X ejde-526 197 11 / / SYM ejde-526 197 12 p p NOUN ejde-526 197 13 × × NOUN ejde-526 197 14 ( ( PUNCT ejde-526 197 15 − − PROPN ejde-526 197 16 d d X ejde-526 198 1 dθ dθ PROPN ejde-526 198 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 198 3 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 198 4 ν−p ν−p PROPN ejde-526 198 5 ′/p(x ′/p(x PROPN ejde-526 198 6 ) ) PUNCT ejde-526 198 7 dx dx PROPN ejde-526 198 8 ) ) PUNCT ejde-526 198 9 1 1 NUM ejde-526 198 10 / / SYM ejde-526 198 11 p′ p′ NOUN ejde-526 198 12 ≤ ≤ NOUN ejde-526 198 13 ( ( PUNCT ejde-526 198 14 − − PROPN ejde-526 198 15 d d X ejde-526 198 16 dθ dθ PROPN ejde-526 198 17 ∫ ∫ PROPN ejde-526 198 18 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 198 19 ν(x)|∇uε|p ν(x)|∇uε|p NOUN ejde-526 198 20 dx dx PROPN ejde-526 198 21 ) ) PUNCT ejde-526 198 22 1 1 X ejde-526 198 23 / / SYM ejde-526 198 24 p p NOUN ejde-526 198 25 × × NOUN ejde-526 198 26 ( ( PUNCT ejde-526 198 27 − − PROPN ejde-526 198 28 d d X ejde-526 198 29 dθ dθ PROPN ejde-526 198 30 ∫ ∫ PROPN ejde-526 198 31 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 198 32 ν−t(x ν−t(x PROPN ejde-526 198 33 ) ) PUNCT ejde-526 198 34 dx dx PROPN ejde-526 198 35 ) ) PUNCT ejde-526 198 36 1 1 X ejde-526 198 37 / / SYM ejde-526 198 38 r1p r1p NOUN ejde-526 198 39 ′ ′ NUM ejde-526 198 40 ( ( PUNCT ejde-526 198 41 −µ′uε(θ −µ′uε(θ PROPN ejde-526 198 42 ) ) PUNCT ejde-526 198 43 ) ) PUNCT ejde-526 198 44 1 1 X ejde-526 198 45 / / SYM ejde-526 198 46 r2p r2p NOUN ejde-526 198 47 ′ ′ NUM ejde-526 198 48 . . PUNCT ejde-526 199 1 ( ( PUNCT ejde-526 199 2 3.6 3.6 NUM ejde-526 199 3 ) ) PUNCT ejde-526 199 4 where where SCONJ ejde-526 199 5 1 1 NUM ejde-526 199 6 / / SYM ejde-526 199 7 r1 r1 NOUN ejde-526 199 8 + + CCONJ ejde-526 199 9 1 1 NUM ejde-526 199 10 / / SYM ejde-526 199 11 r2 r2 NOUN ejde-526 199 12 = = SYM ejde-526 199 13 1 1 NUM ejde-526 199 14 and and CCONJ ejde-526 199 15 p′r1 p′r1 NOUN ejde-526 199 16 / / SYM ejde-526 199 17 p p NOUN ejde-526 199 18 = = PUNCT ejde-526 199 19 t. t. NOUN ejde-526 199 20 by by ADP ejde-526 199 21 lemma lemma PROPN ejde-526 199 22 2.8 2.8 NUM ejde-526 199 23 , , PUNCT ejde-526 199 24 since since SCONJ ejde-526 199 25 ν−1 ν−1 PROPN ejde-526 199 26 ∈ ∈ PROPN ejde-526 199 27 lt(ω lt(ω NOUN ejde-526 199 28 ) ) PUNCT ejde-526 199 29 , , PUNCT ejde-526 199 30 t t PROPN ejde-526 199 31 > > X ejde-526 199 32 1 1 NUM ejde-526 199 33 there there PRON ejde-526 199 34 exists exist VERB ejde-526 199 35 d d PROPN ejde-526 199 36 ∈ ∈ PROPN ejde-526 199 37 lt([0 lt([0 NOUN ejde-526 199 38 , , PUNCT ejde-526 199 39 |ω| |ω| ADP ejde-526 199 40 ] ] PUNCT ejde-526 199 41 ) ) PUNCT ejde-526 200 1 such such ADJ ejde-526 200 2 that that SCONJ ejde-526 200 3 − − PROPN ejde-526 201 1 d d X ejde-526 201 2 dθ dθ PROPN ejde-526 201 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 201 4 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 201 5 ν−t(x ν−t(x PROPN ejde-526 201 6 ) ) PUNCT ejde-526 201 7 dx dx PROPN ejde-526 201 8 = = PUNCT ejde-526 201 9 −µ′uε(θ)[d(µuε(θ −µ′uε(θ)[d(µuε(θ PROPN ejde-526 201 10 ) ) PUNCT ejde-526 201 11 ) ) PUNCT ejde-526 201 12 ] ] PUNCT ejde-526 202 1 t. t. X ejde-526 202 2 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 202 3 degenerate degenerate ADJ ejde-526 202 4 elliptic elliptic ADJ ejde-526 202 5 equations equation NOUN ejde-526 202 6 7 7 NUM ejde-526 202 7 then then ADV ejde-526 202 8 inequality inequality NOUN ejde-526 202 9 ( ( PUNCT ejde-526 202 10 3.6 3.6 NUM ejde-526 202 11 ) ) PUNCT ejde-526 202 12 , , PUNCT ejde-526 202 13 becomes become VERB ejde-526 202 14 − − PROPN ejde-526 203 1 d d X ejde-526 203 2 dθ dθ PROPN ejde-526 203 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 203 4 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 203 5 |∇uε| |∇uε| PROPN ejde-526 203 6 dx dx PROPN ejde-526 203 7 ≤ ≤ NUM ejde-526 204 1 ( ( PUNCT ejde-526 204 2 − − PROPN ejde-526 204 3 d d X ejde-526 204 4 dθ dθ PROPN ejde-526 204 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 204 6 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 204 7 ν(x)|∇uε|p ν(x)|∇uε|p NOUN ejde-526 204 8 dx dx PROPN ejde-526 204 9 ) ) PUNCT ejde-526 204 10 1 1 X ejde-526 204 11 / / SYM ejde-526 204 12 p p NOUN ejde-526 204 13 × × NOUN ejde-526 204 14 ( ( PUNCT ejde-526 204 15 ( ( PUNCT ejde-526 204 16 −µ′uε(θ −µ′uε(θ PROPN ejde-526 204 17 ) ) PUNCT ejde-526 204 18 ) ) PUNCT ejde-526 204 19 1 1 NUM ejde-526 204 20 / / SYM ejde-526 204 21 p′ p′ NOUN ejde-526 204 22 [ [ X ejde-526 204 23 d(µuε(θ d(µuε(θ NOUN ejde-526 204 24 ) ) PUNCT ejde-526 204 25 ) ) PUNCT ejde-526 204 26 ] ] PUNCT ejde-526 205 1 t t X ejde-526 205 2 / / SYM ejde-526 205 3 r1p r1p NOUN ejde-526 205 4 ′ ′ NUM ejde-526 205 5 ) ) PUNCT ejde-526 205 6 . . PUNCT ejde-526 206 1 ( ( PUNCT ejde-526 206 2 3.7 3.7 NUM ejde-526 206 3 ) ) PUNCT ejde-526 206 4 from from ADP ejde-526 206 5 isoperimetric isoperimetric ADJ ejde-526 206 6 inequality inequality NOUN ejde-526 206 7 and and CCONJ ejde-526 206 8 fleming fleming NOUN ejde-526 206 9 - - PUNCT ejde-526 206 10 rishel rishel PROPN ejde-526 206 11 formula formula NOUN ejde-526 206 12 ( ( PUNCT ejde-526 206 13 see see VERB ejde-526 206 14 [ [ X ejde-526 206 15 15 15 NUM ejde-526 206 16 ] ] NUM ejde-526 206 17 ) ) PUNCT ejde-526 206 18 , , PUNCT ejde-526 206 19 it it PRON ejde-526 206 20 follows follow VERB ejde-526 206 21 that that PRON ejde-526 206 22 cnb(θ cnb(θ PROPN ejde-526 206 23 ) ) PUNCT ejde-526 206 24 1 1 NUM ejde-526 206 25 / / SYM ejde-526 206 26 p(µuε(θ p(µuε(θ NOUN ejde-526 206 27 ) ) PUNCT ejde-526 206 28 ) ) PUNCT ejde-526 207 1 1 1 NUM ejde-526 207 2 / / SYM ejde-526 207 3 n n NOUN ejde-526 207 4 ′ ′ NOUN ejde-526 207 5 ≤ ≤ NUM ejde-526 207 6 ( ( PUNCT ejde-526 207 7 − − PROPN ejde-526 208 1 d d X ejde-526 208 2 dθ dθ PROPN ejde-526 208 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 208 4 |uε|>θ |uε|>θ PROPN ejde-526 208 5 ν(x)|∇uε|p ν(x)|∇uε|p NOUN ejde-526 208 6 dx dx PROPN ejde-526 208 7 ) ) PUNCT ejde-526 208 8 1 1 X ejde-526 208 9 / / SYM ejde-526 208 10 p p NOUN ejde-526 208 11 × × NOUN ejde-526 208 12 ( ( PUNCT ejde-526 208 13 ( ( PUNCT ejde-526 208 14 −µ′uε(θ −µ′uε(θ PROPN ejde-526 208 15 ) ) PUNCT ejde-526 208 16 ) ) PUNCT ejde-526 208 17 1 1 NUM ejde-526 208 18 / / SYM ejde-526 208 19 p′ p′ NOUN ejde-526 209 1 [ [ X ejde-526 209 2 d(µuε(θ d(µuε(θ NOUN ejde-526 209 3 ) ) PUNCT ejde-526 209 4 ) ) PUNCT ejde-526 209 5 ] ] PUNCT ejde-526 210 1 t t X ejde-526 210 2 / / SYM ejde-526 210 3 r1p r1p PROPN ejde-526 210 4 ′ ′ NUM ejde-526 210 5 b(θ)1 b(θ)1 PROPN ejde-526 210 6 / / SYM ejde-526 210 7 p p NOUN ejde-526 210 8 ) ) PUNCT ejde-526 210 9 , , PUNCT ejde-526 210 10 ( ( PUNCT ejde-526 210 11 3.8 3.8 NUM ejde-526 210 12 ) ) PUNCT ejde-526 210 13 which which PRON ejde-526 210 14 by by ADP ejde-526 210 15 ( ( PUNCT ejde-526 210 16 3.5 3.5 NUM ejde-526 210 17 ) ) PUNCT ejde-526 210 18 gives give VERB ejde-526 210 19 b(θ)1/(p−1 b(θ)1/(p−1 PROPN ejde-526 210 20 ) ) PUNCT ejde-526 210 21 ≤ ≤ PROPN ejde-526 211 1 cn cn PROPN ejde-526 211 2 ( ( PUNCT ejde-526 211 3 µuε(θ µuε(θ PROPN ejde-526 211 4 ) ) PUNCT ejde-526 211 5 ) ) PUNCT ejde-526 212 1 −p′/n −p′/n NUM ejde-526 212 2 ′(−µ′uε(θ))[d(µuε(θ ′(−µ′uε(θ))[d(µuε(θ PROPN ejde-526 212 3 ) ) PUNCT ejde-526 212 4 ) ) PUNCT ejde-526 212 5 ] ] PUNCT ejde-526 212 6 t t PROPN ejde-526 212 7 / / SYM ejde-526 212 8 r1 r1 PROPN ejde-526 212 9 ( ( PUNCT ejde-526 212 10 ∫ ∫ PROPN ejde-526 212 11 µuε(θ µuε(θ PROPN ejde-526 212 12 ) ) PUNCT ejde-526 212 13 0 0 NUM ejde-526 213 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 213 2 ( ( PUNCT ejde-526 213 3 s s NOUN ejde-526 213 4 ) ) PUNCT ejde-526 213 5 ds ds ADJ ejde-526 213 6 ) ) PUNCT ejde-526 213 7 p′/p p′/p NOUN ejde-526 214 1 integrating integrating NOUN ejde-526 214 2 between between ADP ejde-526 214 3 0 0 NUM ejde-526 214 4 and and CCONJ ejde-526 214 5 u∗(s u∗(s PROPN ejde-526 214 6 ) ) PUNCT ejde-526 214 7 we we PRON ejde-526 214 8 obtain obtain VERB ejde-526 214 9 a(u∗(s a(u∗(s NOUN ejde-526 214 10 ) ) PUNCT ejde-526 214 11 ) ) PUNCT ejde-526 215 1 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 216 1 cn cn PROPN ejde-526 216 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 216 3 u∗(s u∗(s PROPN ejde-526 216 4 ) ) PUNCT ejde-526 216 5 0 0 NUM ejde-526 217 1 [ [ PUNCT ejde-526 217 2 ( ( PUNCT ejde-526 217 3 µuε(θ µuε(θ PROPN ejde-526 217 4 ) ) PUNCT ejde-526 217 5 ) ) PUNCT ejde-526 217 6 −p′/n −p′/n NUM ejde-526 217 7 ′(−µ′uε(θ))[d(µuε(θ ′(−µ′uε(θ))[d(µuε(θ PROPN ejde-526 217 8 ) ) PUNCT ejde-526 217 9 ) ) PUNCT ejde-526 217 10 ] ] PUNCT ejde-526 217 11 t t PROPN ejde-526 217 12 / / SYM ejde-526 217 13 r1 r1 PROPN ejde-526 217 14 × × NOUN ejde-526 217 15 ( ( PUNCT ejde-526 217 16 ∫ ∫ PROPN ejde-526 217 17 µuε µuε X ejde-526 217 18 ( ( PUNCT ejde-526 217 19 θ θ NOUN ejde-526 217 20 ) ) PUNCT ejde-526 217 21 0 0 NUM ejde-526 218 1 f∗ε f∗ε NOUN ejde-526 218 2 ( ( PUNCT ejde-526 218 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 218 4 ) ) PUNCT ejde-526 218 5 p′/p p′/p PROPN ejde-526 218 6 ] ] X ejde-526 218 7 dθ dθ PROPN ejde-526 218 8 , , PUNCT ejde-526 218 9 ( ( PUNCT ejde-526 218 10 3.9 3.9 NUM ejde-526 218 11 ) ) PUNCT ejde-526 218 12 which which PRON ejde-526 218 13 gives give VERB ejde-526 218 14 the the DET ejde-526 218 15 results result NOUN ejde-526 218 16 . . PUNCT ejde-526 219 1 � � PROPN ejde-526 219 2 remark remark VERB ejde-526 219 3 3.4 3.4 NUM ejde-526 219 4 . . PUNCT ejde-526 220 1 since since SCONJ ejde-526 220 2 1 1 NUM ejde-526 220 3 + + SYM ejde-526 220 4 1 1 NUM ejde-526 220 5 t t NOUN ejde-526 220 6 < < X ejde-526 220 7 p p X ejde-526 220 8 < < X ejde-526 220 9 n(1 n(1 NOUN ejde-526 220 10 + + CCONJ ejde-526 220 11 1 1 NUM ejde-526 220 12 t t NOUN ejde-526 220 13 ) ) PUNCT ejde-526 220 14 , , PUNCT ejde-526 220 15 and and CCONJ ejde-526 220 16 t t PROPN ejde-526 220 17 ≥ ≥ NOUN ejde-526 220 18 n n CCONJ ejde-526 220 19 / / SYM ejde-526 220 20 p p NOUN ejde-526 220 21 , , PUNCT ejde-526 220 22 we we PRON ejde-526 220 23 have have VERB ejde-526 220 24 qp′/p qp′/p PROPN ejde-526 220 25 ≥ ≥ NUM ejde-526 220 26 1 1 NUM ejde-526 220 27 and and CCONJ ejde-526 220 28 q q NOUN ejde-526 220 29 / / SYM ejde-526 220 30 r′1 r′1 NOUN ejde-526 220 31 ≥ ≥ NOUN ejde-526 220 32 1 1 NUM ejde-526 220 33 , , PUNCT ejde-526 220 34 where where SCONJ ejde-526 220 35 r1 r1 PROPN ejde-526 220 36 = = SYM ejde-526 220 37 t(p t(p NOUN ejde-526 220 38 − − PROPN ejde-526 220 39 1 1 NUM ejde-526 220 40 ) ) PUNCT ejde-526 220 41 , , PUNCT ejde-526 220 42 which which PRON ejde-526 220 43 allows allow VERB ejde-526 220 44 us we PRON ejde-526 220 45 to to PART ejde-526 220 46 apply apply VERB ejde-526 220 47 the the DET ejde-526 220 48 proposition proposition NOUN ejde-526 220 49 2.11 2.11 NUM ejde-526 220 50 and and CCONJ ejde-526 220 51 proposition proposition NOUN ejde-526 220 52 2.12 2.12 NUM ejde-526 220 53 to to PART ejde-526 220 54 prove prove VERB ejde-526 220 55 estimation estimation NOUN ejde-526 220 56 ( ( PUNCT ejde-526 220 57 3.10 3.10 NUM ejde-526 220 58 ) ) PUNCT ejde-526 220 59 and and CCONJ ejde-526 220 60 ( ( PUNCT ejde-526 220 61 3.11 3.11 NUM ejde-526 220 62 ) ) PUNCT ejde-526 220 63 , , PUNCT ejde-526 220 64 below below ADV ejde-526 220 65 . . PUNCT ejde-526 221 1 proposition proposition NOUN ejde-526 221 2 3.5 3.5 NUM ejde-526 221 3 . . PUNCT ejde-526 222 1 let let VERB ejde-526 222 2 uε uε PART ejde-526 222 3 be be AUX ejde-526 222 4 a a DET ejde-526 222 5 solution solution NOUN ejde-526 222 6 of of ADP ejde-526 222 7 ( ( PUNCT ejde-526 222 8 3.3 3.3 NUM ejde-526 222 9 ) ) PUNCT ejde-526 222 10 . . PUNCT ejde-526 223 1 ( ( PUNCT ejde-526 223 2 a a X ejde-526 223 3 ) ) PUNCT ejde-526 223 4 if if SCONJ ejde-526 223 5 1 1 NUM ejde-526 223 6 < < X ejde-526 223 7 r r NOUN ejde-526 223 8 < < X ejde-526 223 9 tn/(tp−n tn/(tp−n NOUN ejde-526 223 10 ) ) PUNCT ejde-526 223 11 , , PUNCT ejde-526 223 12 then then ADV ejde-526 223 13 ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω NOUN ejde-526 223 14 ) ) PUNCT ejde-526 223 15 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 224 1 c‖f‖ c‖f‖ PROPN ejde-526 224 2 qp′/p qp′/p PROPN ejde-526 224 3 lr(ω lr(ω PROPN ejde-526 224 4 ) ) PUNCT ejde-526 224 5 ; ; PUNCT ejde-526 224 6 ( ( PUNCT ejde-526 224 7 3.10 3.10 NUM ejde-526 224 8 ) ) PUNCT ejde-526 224 9 where where SCONJ ejde-526 224 10 q q NOUN ejde-526 224 11 = = PUNCT ejde-526 224 12 rtn(p− rtn(p− VERB ejde-526 224 13 1)/(t(n 1)/(t(n NUM ejde-526 224 14 − − PROPN ejde-526 224 15 rp rp NOUN ejde-526 224 16 ) ) PUNCT ejde-526 224 17 + + NUM ejde-526 224 18 rn rn NOUN ejde-526 224 19 ) ) PUNCT ejde-526 224 20 . . PUNCT ejde-526 225 1 ( ( PUNCT ejde-526 225 2 b b X ejde-526 225 3 ) ) PUNCT ejde-526 225 4 if if SCONJ ejde-526 225 5 r r NOUN ejde-526 225 6 = = SYM ejde-526 225 7 1 1 NUM ejde-526 225 8 , , PUNCT ejde-526 225 9 then then ADV ejde-526 225 10 ‖aε(|uε|)‖mnt(p−1)/(n+t(n−p ‖aε(|uε|)‖mnt(p−1)/(n+t(n−p PROPN ejde-526 225 11 ) ) PUNCT ejde-526 225 12 ) ) PUNCT ejde-526 226 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 226 2 c‖f‖p c‖f‖p VERB ejde-526 226 3 ′/p ′/p PROPN ejde-526 226 4 l1(ω)‖d‖ l1(ω)‖d‖ PROPN ejde-526 226 5 p′/p p′/p X ejde-526 226 6 lt[0,|ω| lt[0,|ω| NOUN ejde-526 226 7 ] ] PUNCT ejde-526 226 8 . . PUNCT ejde-526 227 1 ( ( PUNCT ejde-526 227 2 3.11 3.11 NUM ejde-526 227 3 ) ) PUNCT ejde-526 227 4 proof proof NOUN ejde-526 227 5 . . PUNCT ejde-526 228 1 case case NOUN ejde-526 228 2 1 1 NUM ejde-526 228 3 < < X ejde-526 228 4 r r X ejde-526 228 5 < < X ejde-526 228 6 tn/(tp tn/(tp NUM ejde-526 228 7 − − PROPN ejde-526 228 8 n n CCONJ ejde-526 228 9 ) ) PUNCT ejde-526 228 10 . . PUNCT ejde-526 229 1 let let VERB ejde-526 229 2 us we PRON ejde-526 229 3 observe observe VERB ejde-526 229 4 that that SCONJ ejde-526 229 5 aε aε ADP ejde-526 229 6 being be AUX ejde-526 229 7 monotone monotone ADJ ejde-526 229 8 , , PUNCT ejde-526 229 9 by by ADP ejde-526 229 10 proposition proposition NOUN ejde-526 229 11 3.3 3.3 NUM ejde-526 229 12 , , PUNCT ejde-526 229 13 properties property NOUN ejde-526 229 14 of of ADP ejde-526 229 15 rearrangements rearrangement NOUN ejde-526 229 16 , , PUNCT ejde-526 229 17 ( ( PUNCT ejde-526 229 18 2.12 2.12 NUM ejde-526 229 19 ) ) PUNCT ejde-526 229 20 and and CCONJ ejde-526 229 21 ( ( PUNCT ejde-526 229 22 2.11 2.11 NUM ejde-526 229 23 ) ) PUNCT ejde-526 229 24 , , PUNCT ejde-526 229 25 we we PRON ejde-526 229 26 obtain obtain VERB ejde-526 229 27 ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω NOUN ejde-526 229 28 ) ) PUNCT ejde-526 229 29 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 230 1 cn cn PROPN ejde-526 230 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 231 1 + + PROPN ejde-526 231 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 231 3 0 0 NUM ejde-526 232 1 [ [ PUNCT ejde-526 232 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 232 3 |ω| |ω| PROPN ejde-526 232 4 s s PART ejde-526 232 5 r−p r−p NOUN ejde-526 232 6 ′/n ′/n ADV ejde-526 232 7 ′ ′ NOUN ejde-526 233 1 [ [ X ejde-526 233 2 d(r)]p d(r)]p X ejde-526 233 3 ′/p ′/p PROPN ejde-526 233 4 ( ( PUNCT ejde-526 233 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 233 6 r r NOUN ejde-526 233 7 0 0 NUM ejde-526 233 8 f∗(σ)dσ f∗(σ)dσ NOUN ejde-526 233 9 ) ) PUNCT ejde-526 233 10 p′/p p′/p PROPN ejde-526 234 1 dr dr PROPN ejde-526 234 2 ] ] X ejde-526 234 3 q q X ejde-526 234 4 ds ds ADJ ejde-526 234 5 ≤ ≤ NUM ejde-526 235 1 cn cn PROPN ejde-526 235 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 236 1 + + PROPN ejde-526 236 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 236 3 0 0 NUM ejde-526 237 1 [ [ PUNCT ejde-526 237 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 237 3 |ω| |ω| PROPN ejde-526 237 4 s s PART ejde-526 237 5 r− r− PROPN ejde-526 237 6 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 237 7 n′ n′ PROPN ejde-526 237 8 ( ( PUNCT ejde-526 237 9 ∫ ∫ PROPN ejde-526 237 10 r r NOUN ejde-526 237 11 0 0 NUM ejde-526 237 12 f∗(σ)dσ f∗(σ)dσ NOUN ejde-526 237 13 ) ) PUNCT ejde-526 238 1 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 238 2 p p PROPN ejde-526 238 3 dr dr PROPN ejde-526 238 4 ] ] PUNCT ejde-526 238 5 q q X ejde-526 238 6 r′1 r′1 X ejde-526 238 7 ds ds PROPN ejde-526 238 8 ≤ ≤ NUM ejde-526 239 1 cn cn PROPN ejde-526 239 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 240 1 + + PROPN ejde-526 240 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 240 3 0 0 PUNCT ejde-526 241 1 [ [ PUNCT ejde-526 241 2 s s X ejde-526 241 3 r′1 r′1 X ejde-526 241 4 q q PROPN ejde-526 241 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 241 6 |ω| |ω| PROPN ejde-526 241 7 s s PART ejde-526 241 8 r− r− PROPN ejde-526 241 9 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 241 10 n′ n′ PROPN ejde-526 241 11 ( ( PUNCT ejde-526 241 12 ∫ ∫ PROPN ejde-526 241 13 r r NOUN ejde-526 241 14 0 0 NUM ejde-526 241 15 f∗(σ)dσ f∗(σ)dσ NOUN ejde-526 241 16 ) ) PUNCT ejde-526 242 1 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 242 2 p p PROPN ejde-526 242 3 dr dr PROPN ejde-526 242 4 ] ] PUNCT ejde-526 242 5 q q X ejde-526 242 6 r′1 r′1 X ejde-526 242 7 ds ds PROPN ejde-526 242 8 s s PROPN ejde-526 242 9 ≤ ≤ NUM ejde-526 242 10 cn cn PROPN ejde-526 242 11 ∫ ∫ PROPN ejde-526 243 1 + + PROPN ejde-526 243 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 243 3 0 0 PUNCT ejde-526 244 1 [ [ PUNCT ejde-526 244 2 s s X ejde-526 244 3 ( ( PUNCT ejde-526 244 4 r′1+q r′1+q NOUN ejde-526 244 5 q q NOUN ejde-526 244 6 − − PROPN ejde-526 244 7 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 244 8 n′ n′ PROPN ejde-526 244 9 ) ) PUNCT ejde-526 245 1 p p X ejde-526 246 1 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 246 2 ∫ ∫ NOUN ejde-526 246 3 s s PART ejde-526 246 4 0 0 NUM ejde-526 246 5 f∗(σ)dσ f∗(σ)dσ NOUN ejde-526 246 6 ] ] PUNCT ejde-526 247 1 qp′ qp′ ADP ejde-526 247 2 p p X ejde-526 247 3 ds ds PROPN ejde-526 247 4 s s NOUN ejde-526 247 5 8 8 NUM ejde-526 247 6 b. b. PROPN ejde-526 247 7 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 247 8 , , PUNCT ejde-526 247 9 j. j. PROPN ejde-526 247 10 bennouna bennouna PROPN ejde-526 247 11 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 247 12 ≤ ≤ PROPN ejde-526 248 1 cn cn PROPN ejde-526 248 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 249 1 + + PROPN ejde-526 249 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 249 3 0 0 PUNCT ejde-526 250 1 [ [ PUNCT ejde-526 250 2 s s X ejde-526 250 3 ( ( PUNCT ejde-526 250 4 r′1+q r′1+q NOUN ejde-526 250 5 q q NOUN ejde-526 250 6 − − PROPN ejde-526 250 7 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 250 8 ′n ′n NOUN ejde-526 250 9 ) ) PUNCT ejde-526 251 1 p p X ejde-526 251 2 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 251 3 +1 +1 PROPN ejde-526 251 4 f∗(s f∗(s PROPN ejde-526 251 5 ) ) PUNCT ejde-526 251 6 ] ] PUNCT ejde-526 252 1 qp′ qp′ ADP ejde-526 252 2 p p X ejde-526 252 3 ds ds PROPN ejde-526 252 4 s s NOUN ejde-526 252 5 ≤ ≤ NUM ejde-526 252 6 cn cn PROPN ejde-526 252 7 ∫ ∫ PROPN ejde-526 253 1 + + PROPN ejde-526 253 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 253 3 0 0 PUNCT ejde-526 254 1 [ [ PUNCT ejde-526 254 2 s s X ejde-526 254 3 ( ( PUNCT ejde-526 254 4 r′1+q r′1+q NOUN ejde-526 254 5 q q NOUN ejde-526 254 6 − − PROPN ejde-526 254 7 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 254 8 n′ n′ PROPN ejde-526 254 9 ) ) PUNCT ejde-526 255 1 p p X ejde-526 255 2 p′r′1 p′r′1 PROPN ejde-526 255 3 +1− +1− PROPN ejde-526 255 4 p p X ejde-526 255 5 qp′ qp′ X ejde-526 255 6 f∗(s f∗(s PROPN ejde-526 255 7 ) ) PUNCT ejde-526 255 8 ] ] PUNCT ejde-526 256 1 qp′ qp′ ADP ejde-526 256 2 p p X ejde-526 256 3 ds ds NOUN ejde-526 256 4 , , PUNCT ejde-526 256 5 where where SCONJ ejde-526 256 6 qp′ qp′ ADP ejde-526 256 7 p p NOUN ejde-526 256 8 ≥ ≥ NOUN ejde-526 256 9 1 1 NUM ejde-526 256 10 , , PUNCT ejde-526 256 11 p′r1 p′r1 X ejde-526 256 12 p p PROPN ejde-526 256 13 = = PROPN ejde-526 256 14 t t PROPN ejde-526 256 15 , , PUNCT ejde-526 256 16 and and CCONJ ejde-526 256 17 cn cn X ejde-526 256 18 a a DET ejde-526 256 19 constant constant ADJ ejde-526 256 20 that that PRON ejde-526 256 21 vary vary VERB ejde-526 256 22 from from ADP ejde-526 256 23 line line NOUN ejde-526 256 24 to to ADP ejde-526 256 25 line line NOUN ejde-526 256 26 . . PUNCT ejde-526 257 1 since since SCONJ ejde-526 257 2 fε fε PROPN ejde-526 257 3 ∈mr(ω ∈mr(ω PROPN ejde-526 257 4 ) ) PUNCT ejde-526 257 5 we we PRON ejde-526 257 6 conclude conclude VERB ejde-526 257 7 that that DET ejde-526 257 8 ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω ‖(aε(|uε|))q‖l1(ω NOUN ejde-526 257 9 ) ) PUNCT ejde-526 257 10 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 258 1 cn cn PROPN ejde-526 258 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 259 1 + + PROPN ejde-526 259 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 259 3 0 0 NUM ejde-526 259 4 ( ( PUNCT ejde-526 259 5 f∗(s f∗(s PROPN ejde-526 259 6 ) ) PUNCT ejde-526 259 7 ) ) PUNCT ejde-526 259 8 −rq −rq NOUN ejde-526 259 9 ( ( PUNCT ejde-526 259 10 1 1 NUM ejde-526 259 11 r′1 r′1 NOUN ejde-526 259 12 − − PROPN ejde-526 259 13 p′ p′ NOUN ejde-526 259 14 n′+ n′+ NOUN ejde-526 259 15 p′ p′ PROPN ejde-526 259 16 p p NOUN ejde-526 259 17 ) ) PUNCT ejde-526 259 18 + + CCONJ ejde-526 259 19 qp′ qp′ ADV ejde-526 259 20 p p NOUN ejde-526 259 21 ds d VERB ejde-526 259 22 ≤ ≤ NUM ejde-526 259 23 cn‖f∗‖rlr([0,|ω| cn‖f∗‖rlr([0,|ω| PROPN ejde-526 259 24 ] ] PUNCT ejde-526 259 25 ) ) PUNCT ejde-526 259 26 . . PUNCT ejde-526 260 1 ( ( PUNCT ejde-526 260 2 3.12 3.12 NUM ejde-526 260 3 ) ) PUNCT ejde-526 260 4 where where SCONJ ejde-526 260 5 r r NOUN ejde-526 260 6 = = SYM ejde-526 260 7 −rq −rq NOUN ejde-526 260 8 ( ( PUNCT ejde-526 260 9 1 1 NUM ejde-526 260 10 r′1 r′1 NOUN ejde-526 260 11 − − PROPN ejde-526 260 12 p′ p′ NOUN ejde-526 260 13 n n NOUN ejde-526 260 14 ′ ′ NUM ejde-526 261 1 + + CCONJ ejde-526 261 2 p′ p′ NOUN ejde-526 261 3 p p NOUN ejde-526 261 4 ) ) PUNCT ejde-526 262 1 + + CCONJ ejde-526 262 2 qp′ qp′ ADV ejde-526 262 3 p p NOUN ejde-526 262 4 , , PUNCT ejde-526 262 5 q q X ejde-526 262 6 = = PUNCT ejde-526 262 7 rtn(p− rtn(p− VERB ejde-526 262 8 1 1 NUM ejde-526 262 9 ) ) PUNCT ejde-526 262 10 t(n t(n X ejde-526 262 11 − − PROPN ejde-526 262 12 rp rp NOUN ejde-526 262 13 ) ) PUNCT ejde-526 262 14 + + PROPN ejde-526 262 15 rn rn PROPN ejde-526 262 16 . . PUNCT ejde-526 263 1 case case NOUN ejde-526 263 2 r r NOUN ejde-526 263 3 = = SYM ejde-526 263 4 1 1 X ejde-526 263 5 . . PUNCT ejde-526 263 6 by by ADP ejde-526 263 7 proposition proposition NOUN ejde-526 263 8 3.3 3.3 NUM ejde-526 263 9 , , PUNCT ejde-526 263 10 and and CCONJ ejde-526 263 11 hölder hölder NOUN ejde-526 263 12 inequality inequality NOUN ejde-526 263 13 , , PUNCT ejde-526 263 14 we we PRON ejde-526 263 15 have have VERB ejde-526 263 16 aε(u∗(s aε(u∗(s NUM ejde-526 263 17 ) ) PUNCT ejde-526 263 18 ) ) PUNCT ejde-526 264 1 ≤ ≤ PROPN ejde-526 265 1 cn cn PROPN ejde-526 265 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 266 1 |ω| |ω| PROPN ejde-526 266 2 s s PART ejde-526 266 3 r−p r−p NOUN ejde-526 266 4 ′/n ′/n ADV ejde-526 266 5 ′ ′ NOUN ejde-526 267 1 [ [ X ejde-526 267 2 d(r)]p d(r)]p X ejde-526 267 3 ′/p ′/p PROPN ejde-526 267 4 ( ( PUNCT ejde-526 267 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 267 6 r r NOUN ejde-526 267 7 0 0 NUM ejde-526 267 8 f∗(σ)dσ f∗(σ)dσ NOUN ejde-526 267 9 ) ) PUNCT ejde-526 267 10 p′/p p′/p PROPN ejde-526 267 11 dr dr PROPN ejde-526 267 12 ≤ ≤ PROPN ejde-526 267 13 cn‖d‖lt[0,|ω| cn‖d‖lt[0,|ω| PRON ejde-526 267 14 ] ] X ejde-526 267 15 ( ( PUNCT ejde-526 267 16 ∫ ∫ PROPN ejde-526 267 17 |ω| |ω| PROPN ejde-526 267 18 s s PART ejde-526 267 19 r r NOUN ejde-526 267 20 − − PROPN ejde-526 267 21 p′t(p−1 p′t(p−1 NOUN ejde-526 267 22 ) ) PUNCT ejde-526 267 23 n′(tp−t−1 n′(tp−t−1 PROPN ejde-526 267 24 ) ) PUNCT ejde-526 267 25 ) ) PUNCT ejde-526 267 26 tp−t−1 tp−t−1 PROPN ejde-526 267 27 t(p−1 t(p−1 PROPN ejde-526 267 28 ) ) PUNCT ejde-526 267 29 ≤ ≤ NOUN ejde-526 267 30 cn‖d‖lt[0,|ω|]s cn‖d‖lt[0,|ω|]s ADP ejde-526 267 31 1− 1− NUM ejde-526 267 32 p′t(p−1 p′t(p−1 NOUN ejde-526 267 33 ) ) PUNCT ejde-526 267 34 n′(tp−t−1 n′(tp−t−1 PROPN ejde-526 267 35 ) ) PUNCT ejde-526 267 36 which which PRON ejde-526 267 37 implies imply VERB ejde-526 267 38 the the DET ejde-526 267 39 result result NOUN ejde-526 267 40 . . PUNCT ejde-526 268 1 � � PROPN ejde-526 268 2 remark remark VERB ejde-526 268 3 3.6 3.6 NUM ejde-526 268 4 . . PUNCT ejde-526 269 1 since since SCONJ ejde-526 269 2 p p X ejde-526 269 3 / / SYM ejde-526 269 4 n n NOUN ejde-526 269 5 < < X ejde-526 269 6 1 1 NUM ejde-526 269 7 + + SYM ejde-526 269 8 1 1 NUM ejde-526 269 9 t t NOUN ejde-526 269 10 , , PUNCT ejde-526 269 11 ( ( PUNCT ejde-526 269 12 see see VERB ejde-526 269 13 ( ( PUNCT ejde-526 269 14 2.3 2.3 NUM ejde-526 269 15 ) ) PUNCT ejde-526 269 16 ) ) PUNCT ejde-526 269 17 , , PUNCT ejde-526 269 18 we we PRON ejde-526 269 19 have have VERB ejde-526 269 20 ntp ntp NOUN ejde-526 269 21 nt(p− nt(p− NUM ejde-526 269 22 1)−n 1)−n NUM ejde-526 270 1 + + CCONJ ejde-526 270 2 tp tp X ejde-526 270 3 > > X ejde-526 270 4 1 1 X ejde-526 270 5 . . PUNCT ejde-526 270 6 proposition proposition NOUN ejde-526 270 7 3.7 3.7 NUM ejde-526 270 8 . . PUNCT ejde-526 271 1 let let VERB ejde-526 271 2 uε uε PART ejde-526 271 3 be be AUX ejde-526 271 4 a a DET ejde-526 271 5 solution solution NOUN ejde-526 271 6 of of ADP ejde-526 271 7 ( ( PUNCT ejde-526 271 8 3.3 3.3 NUM ejde-526 271 9 ) ) PUNCT ejde-526 271 10 . . PUNCT ejde-526 272 1 ( ( PUNCT ejde-526 272 2 a a X ejde-526 272 3 ) ) PUNCT ejde-526 272 4 if if SCONJ ejde-526 272 5 ntp ntp NOUN ejde-526 272 6 nt(p−1)−n+tp nt(p−1)−n+tp VERB ejde-526 272 7 < < X ejde-526 272 8 r r NOUN ejde-526 272 9 < < X ejde-526 272 10 tn tn NOUN ejde-526 272 11 tp−n tp−n NOUN ejde-526 272 12 , , PUNCT ejde-526 272 13 then then ADV ejde-526 272 14 ‖∇aε(|uε|)‖lp(ω ‖∇aε(|uε|)‖lp(ω INTJ ejde-526 272 15 , , PUNCT ejde-526 272 16 ν ν NOUN ejde-526 272 17 ) ) PUNCT ejde-526 272 18 ≤ ≤ NOUN ejde-526 272 19 c1 c1 NOUN ejde-526 272 20 . . PUNCT ejde-526 273 1 ( ( PUNCT ejde-526 273 2 3.13 3.13 NUM ejde-526 273 3 ) ) PUNCT ejde-526 273 4 ( ( PUNCT ejde-526 273 5 b b X ejde-526 273 6 ) ) PUNCT ejde-526 273 7 if if SCONJ ejde-526 273 8 max max PROPN ejde-526 273 9 ( ( PUNCT ejde-526 273 10 1 1 NUM ejde-526 273 11 , , PUNCT ejde-526 273 12 tnp tnp PROPN ejde-526 273 13 nt(p− nt(p− NUM ejde-526 273 14 1)p+ 1)p+ NUM ejde-526 273 15 pt−n pt−n NOUN ejde-526 273 16 ) ) PUNCT ejde-526 273 17 < < X ejde-526 273 18 r r X ejde-526 273 19 < < X ejde-526 273 20 tnp tnp PROPN ejde-526 273 21 nt(p− nt(p− NUM ejde-526 273 22 1 1 NUM ejde-526 273 23 ) ) PUNCT ejde-526 273 24 + + NUM ejde-526 273 25 pt−n pt−n NOUN ejde-526 273 26 , , PUNCT ejde-526 273 27 then then ADV ejde-526 273 28 ‖∇aε(|uε|)‖lβ(ω ‖∇aε(|uε|)‖lβ(ω NOUN ejde-526 273 29 , , PUNCT ejde-526 273 30 νβ νβ PROPN ejde-526 273 31 / / SYM ejde-526 273 32 p p NOUN ejde-526 273 33 ) ) PUNCT ejde-526 273 34 ≤ ≤ PROPN ejde-526 273 35 c2 c2 PROPN ejde-526 273 36 , , PUNCT ejde-526 273 37 ( ( PUNCT ejde-526 273 38 3.14 3.14 NUM ejde-526 273 39 ) ) PUNCT ejde-526 273 40 where where SCONJ ejde-526 273 41 β β X ejde-526 273 42 = = SYM ejde-526 273 43 rnt(p−1)p rnt(p−1)p NOUN ejde-526 273 44 rn+ntp−ptr rn+ntp−ptr NOUN ejde-526 273 45 . . PUNCT ejde-526 274 1 ( ( PUNCT ejde-526 274 2 c c X ejde-526 274 3 ) ) PUNCT ejde-526 274 4 if if SCONJ ejde-526 274 5 1 1 NUM ejde-526 274 6 ≤ ≤ NUM ejde-526 274 7 r r NOUN ejde-526 274 8 ≤ ≤ NUM ejde-526 274 9 max max NOUN ejde-526 274 10 ( ( PUNCT ejde-526 274 11 1 1 NUM ejde-526 274 12 , , PUNCT ejde-526 274 13 tnp tnp PROPN ejde-526 274 14 nt(p− nt(p− NUM ejde-526 274 15 1)p+ 1)p+ NUM ejde-526 274 16 pt−n pt−n NOUN ejde-526 274 17 ) ) PUNCT ejde-526 274 18 , , PUNCT ejde-526 274 19 then then ADV ejde-526 274 20 ‖ν1 ‖ν1 PROPN ejde-526 274 21 / / SYM ejde-526 274 22 p∇aε(|uε|)‖mβ(ω p∇aε(|uε|)‖mβ(ω PROPN ejde-526 274 23 ) ) PUNCT ejde-526 274 24 ≤ ≤ PROPN ejde-526 274 25 c3 c3 PROPN ejde-526 274 26 , , PUNCT ejde-526 274 27 ( ( PUNCT ejde-526 274 28 3.15 3.15 NUM ejde-526 274 29 ) ) PUNCT ejde-526 274 30 where where SCONJ ejde-526 274 31 β β X ejde-526 274 32 = = SYM ejde-526 274 33 rnt(p−1)p rnt(p−1)p NOUN ejde-526 274 34 rn+ntp−ptr rn+ntp−ptr NOUN ejde-526 274 35 . . PUNCT ejde-526 275 1 ejde-2020/105 ejde-2020/105 AUX ejde-526 276 1 degenerate degenerate ADJ ejde-526 276 2 elliptic elliptic ADJ ejde-526 276 3 equations equation NOUN ejde-526 276 4 9 9 NUM ejde-526 276 5 proof proof NOUN ejde-526 276 6 . . PUNCT ejde-526 277 1 let let VERB ejde-526 277 2 uε uε PROPN ejde-526 277 3 is be AUX ejde-526 277 4 a a DET ejde-526 277 5 solution solution NOUN ejde-526 277 6 of of ADP ejde-526 277 7 ( ( PUNCT ejde-526 277 8 3.3 3.3 NUM ejde-526 277 9 ) ) PUNCT ejde-526 277 10 , , PUNCT ejde-526 277 11 by by ADP ejde-526 277 12 the the DET ejde-526 277 13 definition definition NOUN ejde-526 277 14 of of ADP ejde-526 277 15 aε aε INTJ ejde-526 277 16 we we PRON ejde-526 277 17 can can AUX ejde-526 277 18 use use VERB ejde-526 277 19 as as ADP ejde-526 277 20 test test NOUN ejde-526 277 21 function function NOUN ejde-526 277 22 v v ADP ejde-526 277 23 = = SYM ejde-526 278 1 [ [ X ejde-526 278 2 th(aε(|uε|)− th(aε(|uε|)− NOUN ejde-526 278 3 tθ(aε(|uε| tθ(aε(|uε| ADJ ejde-526 278 4 ) ) PUNCT ejde-526 278 5 ] ] PUNCT ejde-526 278 6 sign(uε sign(uε VERB ejde-526 278 7 ) ) PUNCT ejde-526 278 8 and and CCONJ ejde-526 278 9 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 278 10 θ θ PROPN ejde-526 278 11 < < X ejde-526 278 12 aε(|uε|)≤θ+h aε(|uε|)≤θ+h PROPN ejde-526 278 13 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p PROPN ejde-526 278 14 dx dx PROPN ejde-526 278 15 ≤ ≤ NUM ejde-526 279 1 ∫ ∫ PROPN ejde-526 280 1 aε(|uε|)>θ aε(|uε|)>θ PROPN ejde-526 280 2 |fε| |fε| PROPN ejde-526 280 3 dx dx PROPN ejde-526 280 4 , , PUNCT ejde-526 280 5 ( ( PUNCT ejde-526 280 6 3.16 3.16 NUM ejde-526 280 7 ) ) PUNCT ejde-526 280 8 case case NOUN ejde-526 280 9 1 1 NUM ejde-526 280 10 : : PUNCT ejde-526 280 11 ntp ntp NOUN ejde-526 280 12 nt(p−1)−n+tp nt(p−1)−n+tp NOUN ejde-526 280 13 < < X ejde-526 280 14 r r NOUN ejde-526 280 15 < < X ejde-526 280 16 tn tn NOUN ejde-526 280 17 tp−n tp−n NOUN ejde-526 280 18 . . PUNCT ejde-526 281 1 passing pass VERB ejde-526 281 2 to to ADP ejde-526 281 3 the the DET ejde-526 281 4 limit limit NOUN ejde-526 281 5 in in ADP ejde-526 281 6 ( ( PUNCT ejde-526 281 7 3.16 3.16 NUM ejde-526 281 8 ) ) PUNCT ejde-526 281 9 , , PUNCT ejde-526 281 10 we we PRON ejde-526 281 11 obtain obtain VERB ejde-526 282 1 d d PROPN ejde-526 282 2 dθ dθ PROPN ejde-526 282 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 282 4 aε(|uε|)≤θ aε(|uε|)≤θ PROPN ejde-526 282 5 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p PROPN ejde-526 282 6 dx dx PROPN ejde-526 282 7 ≤ ≤ PROPN ejde-526 282 8 ∫ ∫ PROPN ejde-526 282 9 µε(θ µε(θ PUNCT ejde-526 282 10 ) ) PUNCT ejde-526 282 11 0 0 NUM ejde-526 283 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 283 2 ( ( PUNCT ejde-526 283 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 283 4 , , PUNCT ejde-526 283 5 ( ( PUNCT ejde-526 283 6 3.17 3.17 NUM ejde-526 283 7 ) ) PUNCT ejde-526 283 8 where where SCONJ ejde-526 283 9 we we PRON ejde-526 283 10 have have AUX ejde-526 283 11 denoted denote VERB ejde-526 283 12 with with ADP ejde-526 283 13 µε(θ µε(θ PUNCT ejde-526 283 14 ) ) PUNCT ejde-526 283 15 the the DET ejde-526 283 16 distribution distribution NOUN ejde-526 283 17 functions function NOUN ejde-526 283 18 of of ADP ejde-526 283 19 aε(|uε| aε(|uε| NOUN ejde-526 283 20 ) ) PUNCT ejde-526 283 21 . . PUNCT ejde-526 284 1 integrating integrate VERB ejde-526 284 2 ( ( PUNCT ejde-526 284 3 3.17 3.17 NUM ejde-526 284 4 ) ) PUNCT ejde-526 284 5 between between ADP ejde-526 284 6 0 0 NUM ejde-526 284 7 and and CCONJ ejde-526 284 8 + + NOUN ejde-526 284 9 ∞ ∞ NUM ejde-526 284 10 and and CCONJ ejde-526 284 11 using use VERB ejde-526 284 12 a a DET ejde-526 284 13 hölder hölder NOUN ejde-526 284 14 inequality inequality NOUN ejde-526 284 15 , , PUNCT ejde-526 284 16 we we PRON ejde-526 284 17 have∫ have∫ VERB ejde-526 284 18 ω ω PROPN ejde-526 284 19 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p PROPN ejde-526 285 1 dx dx PROPN ejde-526 285 2 ≤ ≤ NUM ejde-526 285 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 286 1 + + NUM ejde-526 286 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 286 3 0 0 NUM ejde-526 286 4 dθ dθ PROPN ejde-526 286 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 286 6 µε(θ µε(θ PROPN ejde-526 286 7 ) ) PUNCT ejde-526 286 8 0 0 NUM ejde-526 287 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 287 2 ( ( PUNCT ejde-526 287 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 287 4 = = SYM ejde-526 287 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 288 1 |ω| |ω| NUM ejde-526 288 2 0 0 NUM ejde-526 288 3 aε(u aε(u PUNCT ejde-526 288 4 ∗ ∗ NOUN ejde-526 288 5 ε(s))f ε(s))f ADP ejde-526 288 6 ∗ ∗ NOUN ejde-526 288 7 ε ε PROPN ejde-526 288 8 ( ( PUNCT ejde-526 288 9 s)ds s)ds PROPN ejde-526 288 10 ≤ ≤ PROPN ejde-526 288 11 ‖f‖lr(ω).‖aε(|uε|)‖lr′ ‖f‖lr(ω).‖aε(|uε|)‖lr′ NOUN ejde-526 288 12 ( ( PUNCT ejde-526 288 13 ω ω NOUN ejde-526 288 14 ) ) PUNCT ejde-526 288 15 . . PUNCT ejde-526 289 1 ( ( PUNCT ejde-526 289 2 3.18 3.18 NUM ejde-526 289 3 ) ) PUNCT ejde-526 289 4 we we PRON ejde-526 289 5 observe observe VERB ejde-526 289 6 that that SCONJ ejde-526 289 7 if if SCONJ ejde-526 289 8 r r NOUN ejde-526 289 9 is be AUX ejde-526 289 10 such such ADJ ejde-526 289 11 that that SCONJ ejde-526 289 12 nt not PART ejde-526 289 13 nt(p−1)−n+pt nt(p−1)−n+pt PROPN ejde-526 289 14 ≤ ≤ X ejde-526 290 1 r r NOUN ejde-526 290 2 < < X ejde-526 290 3 tn tn NOUN ejde-526 290 4 tp−n tp−n NOUN ejde-526 290 5 , , PUNCT ejde-526 290 6 by by ADP ejde-526 290 7 ( ( PUNCT ejde-526 290 8 3.10 3.10 NUM ejde-526 290 9 ) ) PUNCT ejde-526 290 10 the the DET ejde-526 290 11 righthand righthand NOUN ejde-526 290 12 side side NOUN ejde-526 290 13 of of ADP ejde-526 290 14 the the DET ejde-526 290 15 above above ADJ ejde-526 290 16 inequality inequality NOUN ejde-526 290 17 is be AUX ejde-526 290 18 controlled control VERB ejde-526 290 19 by by ADP ejde-526 290 20 a a DET ejde-526 290 21 constant constant ADJ ejde-526 290 22 depending depend VERB ejde-526 290 23 on on ADP ejde-526 290 24 the the DET ejde-526 290 25 norm norm NOUN ejde-526 290 26 of of ADP ejde-526 290 27 fε fε NOUN ejde-526 290 28 in in ADP ejde-526 290 29 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 290 30 ) ) PUNCT ejde-526 290 31 ; ; PUNCT ejde-526 290 32 so so CCONJ ejde-526 290 33 by by SCONJ ejde-526 290 34 ( ( PUNCT ejde-526 290 35 3.18 3.18 NUM ejde-526 290 36 ) ) PUNCT ejde-526 290 37 inequality inequality NOUN ejde-526 290 38 ( ( PUNCT ejde-526 290 39 3.13 3.13 NUM ejde-526 290 40 ) ) PUNCT ejde-526 290 41 follows follow VERB ejde-526 290 42 . . PUNCT ejde-526 291 1 case case NOUN ejde-526 291 2 2 2 NUM ejde-526 291 3 : : PUNCT ejde-526 291 4 max max PROPN ejde-526 291 5 ( ( PUNCT ejde-526 291 6 1 1 NUM ejde-526 291 7 , , PUNCT ejde-526 291 8 tnp tnp PROPN ejde-526 291 9 nt(p−1)p+pt−n nt(p−1)p+pt−n NUM ejde-526 291 10 ) ) PUNCT ejde-526 291 11 < < X ejde-526 291 12 r r X ejde-526 291 13 < < X ejde-526 291 14 tnp tnp PROPN ejde-526 291 15 nt(p−1)+pt−n nt(p−1)+pt−n PUNCT ejde-526 291 16 . . PUNCT ejde-526 292 1 applying apply VERB ejde-526 292 2 the the DET ejde-526 292 3 hölder hölder NOUN ejde-526 292 4 inequality inequality NOUN ejde-526 292 5 in in ADP ejde-526 292 6 ( ( PUNCT ejde-526 292 7 3.16 3.16 NUM ejde-526 292 8 ) ) PUNCT ejde-526 292 9 and and CCONJ ejde-526 292 10 reasoning reasoning NOUN ejde-526 292 11 as as ADP ejde-526 292 12 before before ADV ejde-526 292 13 , , PUNCT ejde-526 292 14 we we PRON ejde-526 292 15 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 292 16 ω ω PROPN ejde-526 292 17 |∇aε(|uε|)|βνβ |∇aε(|uε|)|βνβ PROPN ejde-526 292 18 / / SYM ejde-526 292 19 p(x p(x PROPN ejde-526 292 20 ) ) PUNCT ejde-526 292 21 dx dx PROPN ejde-526 292 22 ≤ ≤ NUM ejde-526 292 23 ∫ ∫ PROPN ejde-526 293 1 + + NUM ejde-526 293 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 293 3 0 0 NUM ejde-526 293 4 ( ( PUNCT ejde-526 293 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 293 6 µε(θ µε(θ PROPN ejde-526 293 7 ) ) PUNCT ejde-526 293 8 0 0 NUM ejde-526 294 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 294 2 ( ( PUNCT ejde-526 294 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 294 4 ) ) PUNCT ejde-526 294 5 β β X ejde-526 294 6 / / SYM ejde-526 294 7 p p X ejde-526 294 8 ( ( PUNCT ejde-526 294 9 −µ′ε(θ −µ′ε(θ PROPN ejde-526 294 10 ) ) PUNCT ejde-526 294 11 ) ) PUNCT ejde-526 295 1 1− 1− NUM ejde-526 295 2 βp βp NUM ejde-526 295 3 dθ dθ PROPN ejde-526 295 4 ≤ ≤ PROPN ejde-526 295 5 ( ( PUNCT ejde-526 295 6 ∫ ∫ PROPN ejde-526 296 1 + + NOUN ejde-526 296 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 296 3 0 0 NUM ejde-526 297 1 ( ( PUNCT ejde-526 297 2 1 1 NUM ejde-526 297 3 + + CCONJ ejde-526 297 4 θ)q(−µ′ε(θ))dθ θ)q(−µ′ε(θ))dθ PROPN ejde-526 297 5 ) ) PUNCT ejde-526 297 6 1− 1− NUM ejde-526 298 1 βp βp NUM ejde-526 298 2 × × NOUN ejde-526 298 3 ( ( PUNCT ejde-526 298 4 ∫ ∫ PROPN ejde-526 298 5 + + PROPN ejde-526 298 6 ∞ ∞ PROPN ejde-526 298 7 0 0 NUM ejde-526 298 8 ( ( PUNCT ejde-526 298 9 1 1 NUM ejde-526 298 10 + + X ejde-526 298 11 θ)q(1− θ)q(1− PROPN ejde-526 298 12 p p PROPN ejde-526 298 13 β β PROPN ejde-526 298 14 ) ) PUNCT ejde-526 298 15 ( ( PUNCT ejde-526 298 16 ∫ ∫ PROPN ejde-526 298 17 µε(θ µε(θ PROPN ejde-526 298 18 ) ) PUNCT ejde-526 298 19 0 0 NUM ejde-526 299 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 299 2 ( ( PUNCT ejde-526 299 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 299 4 ) ) PUNCT ejde-526 299 5 dθ dθ PROPN ejde-526 299 6 ) ) PUNCT ejde-526 299 7 β β X ejde-526 299 8 / / SYM ejde-526 299 9 p p NOUN ejde-526 299 10 . . PUNCT ejde-526 300 1 ( ( PUNCT ejde-526 300 2 3.19 3.19 NUM ejde-526 300 3 ) ) PUNCT ejde-526 300 4 by by ADP ejde-526 300 5 the the DET ejde-526 300 6 properties property NOUN ejde-526 300 7 of of ADP ejde-526 300 8 rearrangements rearrangement NOUN ejde-526 300 9 , , PUNCT ejde-526 300 10 we we PRON ejde-526 300 11 can can AUX ejde-526 300 12 write write VERB ejde-526 300 13 the the DET ejde-526 300 14 first first ADJ ejde-526 300 15 integral integral NOUN ejde-526 300 16 on on ADP ejde-526 300 17 the the DET ejde-526 300 18 righthand righthand NOUN ejde-526 300 19 side side NOUN ejde-526 300 20 of of ADP ejde-526 300 21 ( ( PUNCT ejde-526 300 22 3.19 3.19 NUM ejde-526 300 23 ) ) PUNCT ejde-526 300 24 as∫ as∫ NOUN ejde-526 300 25 + + NOUN ejde-526 300 26 ∞ ∞ NOUN ejde-526 300 27 0 0 NUM ejde-526 301 1 ( ( PUNCT ejde-526 301 2 1 1 NUM ejde-526 301 3 + + CCONJ ejde-526 301 4 θ)q(−µ′ε(θ))dθ θ)q(−µ′ε(θ))dθ PROPN ejde-526 301 5 = = PUNCT ejde-526 301 6 ∫ ∫ PROPN ejde-526 301 7 |ω| |ω| NUM ejde-526 301 8 0 0 NUM ejde-526 302 1 ( ( PUNCT ejde-526 302 2 1 1 NUM ejde-526 302 3 + + NOUN ejde-526 302 4 aε(u aε(u X ejde-526 302 5 ∗ ∗ NOUN ejde-526 302 6 ε ε PROPN ejde-526 302 7 ) ) PUNCT ejde-526 302 8 ) ) PUNCT ejde-526 302 9 qds qds PROPN ejde-526 302 10 , , PUNCT ejde-526 302 11 ( ( PUNCT ejde-526 302 12 3.20 3.20 NUM ejde-526 302 13 ) ) PUNCT ejde-526 302 14 and and CCONJ ejde-526 302 15 by by ADP ejde-526 302 16 ( ( PUNCT ejde-526 302 17 3.10 3.10 NUM ejde-526 302 18 ) ) PUNCT ejde-526 302 19 this this DET ejde-526 302 20 quantity quantity NOUN ejde-526 302 21 is be AUX ejde-526 302 22 bounded bound VERB ejde-526 302 23 by by ADP ejde-526 302 24 a a DET ejde-526 302 25 constant constant ADJ ejde-526 302 26 depending depend VERB ejde-526 302 27 on on ADP ejde-526 302 28 the the DET ejde-526 302 29 norm norm NOUN ejde-526 302 30 of of ADP ejde-526 302 31 fε fε NOUN ejde-526 302 32 in in ADP ejde-526 302 33 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 302 34 ) ) PUNCT ejde-526 302 35 . . PUNCT ejde-526 303 1 on on ADP ejde-526 303 2 the the DET ejde-526 303 3 other other ADJ ejde-526 303 4 hand hand NOUN ejde-526 303 5 , , PUNCT ejde-526 303 6 integrating integrate VERB ejde-526 303 7 by by ADP ejde-526 303 8 parts part NOUN ejde-526 303 9 the the DET ejde-526 303 10 second second ADJ ejde-526 303 11 integral integral ADJ ejde-526 303 12 on on ADP ejde-526 303 13 the the DET ejde-526 303 14 right right ADJ ejde-526 303 15 - - PUNCT ejde-526 303 16 hand hand NOUN ejde-526 303 17 side side NOUN ejde-526 303 18 of of ADP ejde-526 303 19 ( ( PUNCT ejde-526 303 20 3.19 3.19 NUM ejde-526 303 21 ) ) PUNCT ejde-526 303 22 we we PRON ejde-526 303 23 have∫ have∫ VERB ejde-526 304 1 + + ADJ ejde-526 304 2 ∞ ∞ NOUN ejde-526 304 3 0 0 NUM ejde-526 305 1 ( ( PUNCT ejde-526 305 2 1 1 NUM ejde-526 305 3 + + X ejde-526 305 4 θ)q(1− θ)q(1− PROPN ejde-526 305 5 p p PROPN ejde-526 305 6 β β PROPN ejde-526 305 7 ) ) PUNCT ejde-526 305 8 ( ( PUNCT ejde-526 305 9 ∫ ∫ PROPN ejde-526 305 10 µε(θ µε(θ PROPN ejde-526 305 11 ) ) PUNCT ejde-526 305 12 0 0 NUM ejde-526 306 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 306 2 ( ( PUNCT ejde-526 306 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 306 4 ) ) PUNCT ejde-526 306 5 dθ dθ PROPN ejde-526 306 6 ≤ ≤ PROPN ejde-526 306 7 c c PROPN ejde-526 306 8 ∫ ∫ PROPN ejde-526 307 1 |ω| |ω| NUM ejde-526 307 2 0 0 NUM ejde-526 307 3 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 307 4 ( ( PUNCT ejde-526 308 1 s)[(1 s)[(1 PROPN ejde-526 308 2 + + PROPN ejde-526 308 3 aε(u aε(u X ejde-526 308 4 ∗ ∗ NOUN ejde-526 308 5 ε ε PROPN ejde-526 308 6 ) ) PUNCT ejde-526 308 7 ) ) PUNCT ejde-526 308 8 ( ( PUNCT ejde-526 308 9 q(1− q(1− NOUN ejde-526 308 10 pβ pβ ADV ejde-526 308 11 ) ) PUNCT ejde-526 308 12 +1)]ds +1)]ds PROPN ejde-526 309 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 309 2 c‖fε‖lr(ω c‖fε‖lr(ω NOUN ejde-526 309 3 ) ) PUNCT ejde-526 309 4 [ [ PUNCT ejde-526 309 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 309 6 |ω| |ω| VERB ejde-526 309 7 0 0 NUM ejde-526 310 1 [ [ X ejde-526 310 2 ( ( PUNCT ejde-526 310 3 1 1 NUM ejde-526 310 4 + + NOUN ejde-526 310 5 aε(u aε(u NOUN ejde-526 310 6 ∗ ∗ NOUN ejde-526 310 7 ε ε PROPN ejde-526 310 8 ) ) PUNCT ejde-526 310 9 ) ) PUNCT ejde-526 311 1 q]ds q]ds ADV ejde-526 311 2 ] ] PUNCT ejde-526 311 3 1− 1− NUM ejde-526 311 4 1 1 NUM ejde-526 311 5 r r NOUN ejde-526 311 6 . . PUNCT ejde-526 312 1 ( ( PUNCT ejde-526 312 2 3.21 3.21 NUM ejde-526 312 3 ) ) PUNCT ejde-526 312 4 10 10 NUM ejde-526 312 5 b. b. PROPN ejde-526 312 6 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 312 7 , , PUNCT ejde-526 312 8 j. j. PROPN ejde-526 312 9 bennouna bennouna PROPN ejde-526 312 10 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 313 1 applying apply VERB ejde-526 313 2 again again ADV ejde-526 313 3 ( ( PUNCT ejde-526 313 4 3.10 3.10 NUM ejde-526 313 5 ) ) PUNCT ejde-526 313 6 , , PUNCT ejde-526 313 7 by by ADP ejde-526 313 8 ( ( PUNCT ejde-526 313 9 3.19 3.19 NUM ejde-526 313 10 ) ) PUNCT ejde-526 313 11 it it PRON ejde-526 313 12 follows follow VERB ejde-526 313 13 the the DET ejde-526 313 14 estimate estimate NOUN ejde-526 313 15 ( ( PUNCT ejde-526 313 16 3.14 3.14 NUM ejde-526 313 17 ) ) PUNCT ejde-526 313 18 . . PUNCT ejde-526 314 1 case case NOUN ejde-526 314 2 3 3 NUM ejde-526 314 3 : : SYM ejde-526 314 4 1 1 NUM ejde-526 314 5 ≤ ≤ NOUN ejde-526 314 6 r r NOUN ejde-526 314 7 ≤ ≤ NUM ejde-526 314 8 max max NOUN ejde-526 314 9 ( ( PUNCT ejde-526 314 10 1 1 NUM ejde-526 314 11 , , PUNCT ejde-526 314 12 tnp tnp PROPN ejde-526 314 13 nt(p−1)p+pt−n nt(p−1)p+pt−n NUM ejde-526 314 14 ) ) PUNCT ejde-526 314 15 . . PUNCT ejde-526 315 1 integrating integrate VERB ejde-526 315 2 inequality inequality NOUN ejde-526 315 3 ( ( PUNCT ejde-526 315 4 3.17 3.17 NUM ejde-526 315 5 ) ) PUNCT ejde-526 315 6 between between ADP ejde-526 315 7 0 0 NUM ejde-526 315 8 and and CCONJ ejde-526 315 9 k k NOUN ejde-526 315 10 , , PUNCT ejde-526 315 11 we we PRON ejde-526 315 12 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 315 13 aε(|uε|)≤k aε(|uε|)≤k PROPN ejde-526 315 14 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p NUM ejde-526 316 1 dx dx PROPN ejde-526 317 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 318 1 ∫ ∫ PROPN ejde-526 319 1 k k PROPN ejde-526 319 2 0 0 PROPN ejde-526 319 3 dθ dθ PROPN ejde-526 319 4 ∫ ∫ PROPN ejde-526 319 5 µε(θ µε(θ PROPN ejde-526 319 6 ) ) PUNCT ejde-526 319 7 0 0 NUM ejde-526 320 1 f∗ε f∗ε PROPN ejde-526 320 2 ( ( PUNCT ejde-526 320 3 s)ds s)ds PROPN ejde-526 320 4 . . PUNCT ejde-526 321 1 ( ( PUNCT ejde-526 321 2 3.22 3.22 NUM ejde-526 321 3 ) ) PUNCT ejde-526 321 4 if if SCONJ ejde-526 321 5 r r NOUN ejde-526 321 6 = = SYM ejde-526 321 7 1 1 NUM ejde-526 321 8 , , PUNCT ejde-526 321 9 from from ADP ejde-526 321 10 ( ( PUNCT ejde-526 321 11 3.22 3.22 NUM ejde-526 321 12 ) ) PUNCT ejde-526 321 13 we we PRON ejde-526 321 14 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 321 15 aε(|uε|)≤k aε(|uε|)≤k PROPN ejde-526 321 16 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p NUM ejde-526 321 17 dx dx PROPN ejde-526 321 18 ≤ ≤ PROPN ejde-526 321 19 k‖fε‖l1(ω k‖fε‖l1(ω PROPN ejde-526 321 20 ) ) PUNCT ejde-526 321 21 . . PUNCT ejde-526 322 1 by by ADP ejde-526 322 2 ( ( PUNCT ejde-526 322 3 3.11 3.11 NUM ejde-526 322 4 ) ) PUNCT ejde-526 322 5 and and CCONJ ejde-526 322 6 ( ( PUNCT ejde-526 322 7 2.3 2.3 NUM ejde-526 322 8 ) ) PUNCT ejde-526 322 9 we we PRON ejde-526 322 10 obtain obtain VERB ejde-526 322 11 the the DET ejde-526 322 12 assertion assertion NOUN ejde-526 322 13 . . PUNCT ejde-526 323 1 if if SCONJ ejde-526 323 2 1 1 NUM ejde-526 323 3 ≤ ≤ NOUN ejde-526 323 4 r r NOUN ejde-526 323 5 ≤ ≤ X ejde-526 323 6 max(1 max(1 NOUN ejde-526 323 7 , , PUNCT ejde-526 323 8 tnp tnp PROPN ejde-526 323 9 nt(p−1)p+pt−n nt(p−1)p+pt−n NUM ejde-526 323 10 ) ) PUNCT ejde-526 323 11 , , PUNCT ejde-526 323 12 then then ADV ejde-526 323 13 by by ADP ejde-526 323 14 ( ( PUNCT ejde-526 323 15 3.10 3.10 NUM ejde-526 323 16 ) ) PUNCT ejde-526 323 17 it it PRON ejde-526 323 18 follows follow VERB ejde-526 323 19 that that SCONJ ejde-526 323 20 aε(|uε| aε(|uε| PROPN ejde-526 323 21 ) ) PUNCT ejde-526 323 22 ∈ ∈ PROPN ejde-526 323 23 mq(ω mq(ω NOUN ejde-526 323 24 ) ) PUNCT ejde-526 323 25 , , PUNCT ejde-526 323 26 with with ADP ejde-526 323 27 q q NOUN ejde-526 323 28 = = SYM ejde-526 323 29 rnt(p−1 rnt(p−1 NOUN ejde-526 323 30 ) ) PUNCT ejde-526 323 31 tn+rn−ptr tn+rn−ptr NOUN ejde-526 323 32 ; ; PUNCT ejde-526 323 33 so so ADV ejde-526 323 34 we we PRON ejde-526 323 35 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 323 36 aε(|uε|)≤k aε(|uε|)≤k NOUN ejde-526 323 37 ν(x)|∇aε(|uε|)|p ν(x)|∇aε(|uε|)|p NUM ejde-526 323 38 dx dx PROPN ejde-526 323 39 ≤ ≤ PROPN ejde-526 323 40 ck1− ck1− VERB ejde-526 323 41 q q PUNCT ejde-526 323 42 r′ r′ PROPN ejde-526 323 43 by by ADP ejde-526 323 44 proposition proposition NOUN ejde-526 323 45 3.2 3.2 NUM ejde-526 323 46 , , PUNCT ejde-526 323 47 we we PRON ejde-526 323 48 conclude conclude VERB ejde-526 323 49 the the DET ejde-526 323 50 result result NOUN ejde-526 323 51 . . PUNCT ejde-526 324 1 � � PROPN ejde-526 324 2 replacing replace VERB ejde-526 324 3 ∇aε(|uε| ∇aε(|uε| VERB ejde-526 324 4 ) ) PUNCT ejde-526 324 5 by by ADP ejde-526 324 6 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 324 7 the the DET ejde-526 324 8 above above ADJ ejde-526 324 9 estimates estimate NOUN ejde-526 324 10 also also ADV ejde-526 324 11 hold hold VERB ejde-526 324 12 ; ; PUNCT ejde-526 324 13 furthermore furthermore ADV ejde-526 324 14 it it PRON ejde-526 324 15 follows follow VERB ejde-526 324 16 that that SCONJ ejde-526 324 17 ∫ ∫ PROPN ejde-526 324 18 ω ω PROPN ejde-526 324 19 ν(x)|∇uε|γ ν(x)|∇uε|γ PROPN ejde-526 324 20 dx dx PROPN ejde-526 324 21 ≤ ≤ PROPN ejde-526 324 22 c c X ejde-526 324 23 , , PUNCT ejde-526 324 24 with with ADP ejde-526 324 25 γ γ X ejde-526 324 26 < < X ejde-526 324 27 nt(p−1 nt(p−1 PROPN ejde-526 324 28 ) ) PUNCT ejde-526 324 29 tn+n−t tn+n−t NOUN ejde-526 324 30 , , PUNCT ejde-526 324 31 where where SCONJ ejde-526 324 32 c c NOUN ejde-526 324 33 is be AUX ejde-526 324 34 a a DET ejde-526 324 35 constant constant ADJ ejde-526 324 36 depending depend VERB ejde-526 324 37 on on ADP ejde-526 324 38 the the DET ejde-526 324 39 l1(ω l1(ω NOUN ejde-526 324 40 ) ) PUNCT ejde-526 324 41 norm norm NOUN ejde-526 324 42 of of ADP ejde-526 324 43 fε fε NOUN ejde-526 324 44 . . PUNCT ejde-526 325 1 using use VERB ejde-526 325 2 ( ( PUNCT ejde-526 325 3 3.5 3.5 NUM ejde-526 325 4 ) ) PUNCT ejde-526 325 5 , , PUNCT ejde-526 325 6 the the DET ejde-526 325 7 tk(uε tk(uε NOUN ejde-526 325 8 ) ) PUNCT ejde-526 325 9 are be AUX ejde-526 325 10 uniformly uniformly ADV ejde-526 325 11 bounded bound VERB ejde-526 325 12 in in ADP ejde-526 325 13 w w PROPN ejde-526 325 14 1,p 1,p PROPN ejde-526 325 15 0 0 NUM ejde-526 325 16 ( ( PUNCT ejde-526 325 17 ω ω PROPN ejde-526 325 18 , , PUNCT ejde-526 325 19 ν ν NOUN ejde-526 325 20 ) ) PUNCT ejde-526 325 21 for for ADP ejde-526 325 22 any any DET ejde-526 325 23 k k PROPN ejde-526 325 24 > > X ejde-526 325 25 0 0 X ejde-526 325 26 . . PUNCT ejde-526 326 1 hence hence ADV ejde-526 326 2 , , PUNCT ejde-526 326 3 there there PRON ejde-526 326 4 exists exist VERB ejde-526 326 5 a a DET ejde-526 326 6 function function NOUN ejde-526 326 7 u u NOUN ejde-526 326 8 ∈w ∈w NOUN ejde-526 326 9 1,γ 1,γ NUM ejde-526 326 10 0 0 NUM ejde-526 326 11 ( ( PUNCT ejde-526 326 12 ω ω PROPN ejde-526 326 13 , , PUNCT ejde-526 326 14 ν ν NOUN ejde-526 326 15 ) ) PUNCT ejde-526 326 16 such such ADJ ejde-526 326 17 that that SCONJ ejde-526 326 18 uε uε PROPN ejde-526 326 19 → → SYM ejde-526 326 20 u u X ejde-526 326 21 a.e a.e PROPN ejde-526 326 22 . . PROPN ejde-526 326 23 in in ADP ejde-526 326 24 ω ω NUM ejde-526 326 25 , , PUNCT ejde-526 326 26 ( ( PUNCT ejde-526 326 27 3.23 3.23 NUM ejde-526 326 28 ) ) PUNCT ejde-526 326 29 and and CCONJ ejde-526 326 30 , , PUNCT ejde-526 326 31 for for ADP ejde-526 326 32 any any PRON ejde-526 326 33 k k PROPN ejde-526 326 34 > > X ejde-526 326 35 0 0 PROPN ejde-526 326 36 , , PUNCT ejde-526 326 37 tk(uε tk(uε ADJ ejde-526 326 38 ) ) PUNCT ejde-526 326 39 ⇀ ⇀ NOUN ejde-526 326 40 tk(u tk(u NOUN ejde-526 326 41 ) ) PUNCT ejde-526 326 42 weakly weakly ADV ejde-526 326 43 in in ADP ejde-526 326 44 w w PROPN ejde-526 326 45 1,p 1,p PROPN ejde-526 326 46 0 0 NUM ejde-526 326 47 ( ( PUNCT ejde-526 326 48 ω ω PROPN ejde-526 326 49 , , PUNCT ejde-526 326 50 ν ν NOUN ejde-526 326 51 ) ) PUNCT ejde-526 326 52 . . PUNCT ejde-526 327 1 ( ( PUNCT ejde-526 327 2 3.24 3.24 NUM ejde-526 327 3 ) ) PUNCT ejde-526 327 4 remark remark NOUN ejde-526 327 5 3.8 3.8 NUM ejde-526 327 6 . . PUNCT ejde-526 328 1 choosing choose VERB ejde-526 328 2 k k PROPN ejde-526 328 3 > > X ejde-526 328 4 l l NOUN ejde-526 328 5 , , PUNCT ejde-526 328 6 we we PRON ejde-526 328 7 have have VERB ejde-526 328 8 uε uε VERB ejde-526 328 9 ⇀ ⇀ PUNCT ejde-526 328 10 u u NOUN ejde-526 328 11 weakly weakly ADV ejde-526 328 12 in in ADP ejde-526 328 13 w w PROPN ejde-526 328 14 1,p 1,p PROPN ejde-526 328 15 0 0 NUM ejde-526 328 16 ( ( PUNCT ejde-526 328 17 ω ω PROPN ejde-526 328 18 , , PUNCT ejde-526 328 19 ν ν NOUN ejde-526 328 20 ) ) PUNCT ejde-526 328 21 . . PUNCT ejde-526 329 1 ( ( PUNCT ejde-526 329 2 3.25 3.25 NUM ejde-526 329 3 ) ) PUNCT ejde-526 329 4 indeed indeed ADV ejde-526 329 5 , , PUNCT ejde-526 329 6 let let VERB ejde-526 329 7 us we PRON ejde-526 329 8 suppose suppose VERB ejde-526 329 9 f f PROPN ejde-526 329 10 ∈ ∈ PROPN ejde-526 329 11 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 329 12 ) ) PUNCT ejde-526 329 13 . . PUNCT ejde-526 330 1 using use VERB ejde-526 330 2 t2l(|uε| t2l(|uε| NUM ejde-526 330 3 ) ) PUNCT ejde-526 331 1 − − PROPN ejde-526 331 2 tl(|uε| tl(|uε| PROPN ejde-526 331 3 ) ) PUNCT ejde-526 332 1 as as ADP ejde-526 332 2 test test NOUN ejde-526 332 3 function function NOUN ejde-526 332 4 in in ADP ejde-526 332 5 ( ( PUNCT ejde-526 332 6 3.3 3.3 NUM ejde-526 332 7 ) ) PUNCT ejde-526 332 8 , , PUNCT ejde-526 332 9 by by ADP ejde-526 332 10 ( ( PUNCT ejde-526 332 11 2.3 2.3 NUM ejde-526 332 12 ) ) PUNCT ejde-526 332 13 we we PRON ejde-526 332 14 obtain obtain VERB ejde-526 332 15 b(l b(l PROPN ejde-526 333 1 − − ADP ejde-526 333 2 ε ε PROPN ejde-526 333 3 ) ) PUNCT ejde-526 333 4 ∫ ∫ PROPN ejde-526 333 5 ω ω PROPN ejde-526 333 6 ( ( PUNCT ejde-526 333 7 t2l(|uε|)− t2l(|uε|)− PROPN ejde-526 333 8 tl(|uε|))p tl(|uε|))p NOUN ejde-526 333 9 ] ] PUNCT ejde-526 333 10 dx dx PROPN ejde-526 333 11 ≤ ≤ PROPN ejde-526 333 12 l‖fε‖l1(ω l‖fε‖l1(ω PROPN ejde-526 333 13 ) ) PUNCT ejde-526 333 14 . . PUNCT ejde-526 334 1 letting let VERB ejde-526 334 2 ε→ ε→ PROPN ejde-526 334 3 0 0 NUM ejde-526 334 4 , , PUNCT ejde-526 334 5 from from ADP ejde-526 334 6 condition condition NOUN ejde-526 334 7 ( ( PUNCT ejde-526 334 8 2.1 2.1 NUM ejde-526 334 9 ) ) PUNCT ejde-526 334 10 , , PUNCT ejde-526 334 11 we we PRON ejde-526 334 12 conclude conclude VERB ejde-526 334 13 that that SCONJ ejde-526 334 14 , , PUNCT ejde-526 334 15 for for ADP ejde-526 334 16 almost almost ADV ejde-526 334 17 all all PRON ejde-526 334 18 x x NOUN ejde-526 334 19 in in ADP ejde-526 334 20 ω ω PROPN ejde-526 334 21 , , PUNCT ejde-526 334 22 |u| |u| ADV ejde-526 334 23 ≤ ≤ NOUN ejde-526 334 24 l l NOUN ejde-526 334 25 , , PUNCT ejde-526 334 26 which which PRON ejde-526 334 27 give give VERB ejde-526 334 28 the the DET ejde-526 334 29 result result NOUN ejde-526 334 30 by by ADP ejde-526 334 31 ( ( PUNCT ejde-526 334 32 3.24 3.24 NUM ejde-526 334 33 ) ) PUNCT ejde-526 334 34 . . PUNCT ejde-526 335 1 next next ADV ejde-526 335 2 we we PRON ejde-526 335 3 prove prove VERB ejde-526 335 4 a a DET ejde-526 335 5 lemma lemma PROPN ejde-526 335 6 needed need VERB ejde-526 335 7 for for ADP ejde-526 335 8 proving prove VERB ejde-526 335 9 the the DET ejde-526 335 10 existence existence NOUN ejde-526 335 11 result result VERB ejde-526 335 12 . . PUNCT ejde-526 336 1 lemma lemma PROPN ejde-526 336 2 3.9 3.9 NUM ejde-526 336 3 . . PUNCT ejde-526 337 1 let let VERB ejde-526 337 2 uε uε PART ejde-526 337 3 be be AUX ejde-526 337 4 a a DET ejde-526 337 5 weak weak ADJ ejde-526 337 6 solution solution NOUN ejde-526 337 7 to to ADP ejde-526 337 8 problem problem NOUN ejde-526 337 9 ( ( PUNCT ejde-526 337 10 3.3 3.3 NUM ejde-526 337 11 ) ) PUNCT ejde-526 337 12 . . PUNCT ejde-526 338 1 suppose suppose VERB ejde-526 338 2 f f PROPN ejde-526 338 3 ∈ ∈ PROPN ejde-526 338 4 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 338 5 ) ) PUNCT ejde-526 338 6 , , PUNCT ejde-526 338 7 and and CCONJ ejde-526 338 8 let let VERB ejde-526 338 9 fε fε PROPN ejde-526 338 10 ∈ ∈ PRON ejde-526 338 11 l∞(ω l∞(ω ADV ejde-526 338 12 ) ) PUNCT ejde-526 338 13 be be VERB ejde-526 338 14 such such ADJ ejde-526 338 15 that that SCONJ ejde-526 338 16 fε fε NOUN ejde-526 338 17 → → SYM ejde-526 338 18 f f PROPN ejde-526 338 19 in in ADP ejde-526 338 20 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 338 21 ) ) PUNCT ejde-526 338 22 . . PUNCT ejde-526 339 1 then then ADV ejde-526 339 2 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 339 3 → → SYM ejde-526 339 4 ∇u ∇u PROPN ejde-526 339 5 a.e a.e PROPN ejde-526 339 6 . . PROPN ejde-526 340 1 in in ADP ejde-526 340 2 { { PUNCT ejde-526 340 3 |u| |u| X ejde-526 340 4 < < X ejde-526 340 5 l l NOUN ejde-526 340 6 } } PUNCT ejde-526 340 7 . . PUNCT ejde-526 341 1 ejde-2020/105 ejde-2020/105 AUX ejde-526 342 1 degenerate degenerate ADJ ejde-526 342 2 elliptic elliptic ADJ ejde-526 342 3 equations equation NOUN ejde-526 342 4 11 11 NUM ejde-526 342 5 proof proof NOUN ejde-526 342 6 . . PUNCT ejde-526 343 1 we we PRON ejde-526 343 2 adapt adapt VERB ejde-526 343 3 the the DET ejde-526 343 4 proof[presented proof[presente VERB ejde-526 343 5 in in ADP ejde-526 343 6 [ [ X ejde-526 343 7 11 11 NUM ejde-526 343 8 ] ] PUNCT ejde-526 343 9 . . PUNCT ejde-526 344 1 by by ADP ejde-526 344 2 remark remark NOUN ejde-526 344 3 3.8 3.8 NUM ejde-526 344 4 , , PUNCT ejde-526 344 5 we we PRON ejde-526 344 6 have have VERB ejde-526 344 7 uε uε NOUN ejde-526 344 8 → → SYM ejde-526 344 9 u u NOUN ejde-526 344 10 in in ADP ejde-526 344 11 measure measure NOUN ejde-526 344 12 . . PUNCT ejde-526 345 1 we we PRON ejde-526 345 2 will will AUX ejde-526 345 3 prove prove VERB ejde-526 345 4 that that SCONJ ejde-526 345 5 uε uε PROPN ejde-526 345 6 → → SYM ejde-526 345 7 u u NOUN ejde-526 345 8 in in ADP ejde-526 345 9 measure measure NOUN ejde-526 345 10 on on ADP ejde-526 345 11 { { PUNCT ejde-526 345 12 |u| |u| X ejde-526 345 13 < < X ejde-526 345 14 m m NOUN ejde-526 345 15 } } PUNCT ejde-526 345 16 . . PUNCT ejde-526 346 1 let let VERB ejde-526 346 2 λ λ PRON ejde-526 346 3 > > X ejde-526 346 4 0 0 PROPN ejde-526 346 5 and and CCONJ ejde-526 346 6 η η PROPN ejde-526 346 7 > > X ejde-526 346 8 0 0 PUNCT ejde-526 347 1 for for ADP ejde-526 347 2 0 0 NUM ejde-526 347 3 < < X ejde-526 347 4 k k X ejde-526 347 5 < < X ejde-526 347 6 l l NOUN ejde-526 347 7 , , PUNCT ejde-526 347 8 and and CCONJ ejde-526 347 9 m m VERB ejde-526 347 10 > > X ejde-526 347 11 0 0 NUM ejde-526 347 12 , , PUNCT ejde-526 347 13 we we PRON ejde-526 347 14 set set VERB ejde-526 347 15 e1 e1 NOUN ejde-526 347 16 = = NOUN ejde-526 347 17 { { PUNCT ejde-526 347 18 |u| |u| X ejde-526 347 19 < < X ejde-526 347 20 l l NOUN ejde-526 347 21 } } PUNCT ejde-526 347 22 ∩ ∩ NOUN ejde-526 347 23 ( ( PUNCT ejde-526 347 24 { { PUNCT ejde-526 347 25 |∇uε| |∇uε| VERB ejde-526 347 26 > > X ejde-526 347 27 m m NOUN ejde-526 347 28 } } PUNCT ejde-526 347 29 ∪ ∪ ADJ ejde-526 347 30 { { PUNCT ejde-526 347 31 |∇u| |∇u| ADJ ejde-526 347 32 > > X ejde-526 347 33 m m NOUN ejde-526 347 34 } } PUNCT ejde-526 347 35 ∪ ∪ X ejde-526 347 36 { { PUNCT ejde-526 347 37 |uε| |uε| PROPN ejde-526 347 38 > > X ejde-526 347 39 k k X ejde-526 347 40 } } PUNCT ejde-526 347 41 ∪ ∪ X ejde-526 347 42 { { PUNCT ejde-526 347 43 |u| |u| X ejde-526 347 44 > > X ejde-526 347 45 k k NOUN ejde-526 347 46 } } PUNCT ejde-526 347 47 ) ) PUNCT ejde-526 347 48 , , PUNCT ejde-526 347 49 e2 e2 PROPN ejde-526 347 50 = = PRON ejde-526 347 51 { { PUNCT ejde-526 347 52 |u| |u| X ejde-526 347 53 < < X ejde-526 347 54 l l NOUN ejde-526 347 55 } } PUNCT ejde-526 347 56 ∩ ∩ NOUN ejde-526 347 57 { { PUNCT ejde-526 347 58 |uε |uε X ejde-526 347 59 − − PUNCT ejde-526 347 60 u| u| PROPN ejde-526 347 61 > > X ejde-526 347 62 η η NOUN ejde-526 347 63 } } PUNCT ejde-526 347 64 , , PUNCT ejde-526 347 65 e3 e3 NOUN ejde-526 347 66 = = NOUN ejde-526 347 67 { { PUNCT ejde-526 347 68 |uε |uε NUM ejde-526 347 69 − − NOUN ejde-526 347 70 u| u| PROPN ejde-526 347 71 ≤ ≤ PROPN ejde-526 347 72 η η PROPN ejde-526 347 73 , , PUNCT ejde-526 347 74 |∇uε| |∇uε| VERB ejde-526 347 75 ≤m ≤m NOUN ejde-526 347 76 , , PUNCT ejde-526 347 77 |∇u| |∇u| ADJ ejde-526 347 78 ≤m ≤m NOUN ejde-526 347 79 , , PUNCT ejde-526 347 80 |uε| |uε| VERB ejde-526 347 81 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 348 1 k k PROPN ejde-526 348 2 , , PUNCT ejde-526 348 3 |u| |u| ADV ejde-526 348 4 ≤ ≤ ADV ejde-526 349 1 k k X ejde-526 349 2 , , PUNCT ejde-526 349 3 |∇(uε |∇(uε NOUN ejde-526 349 4 − − PROPN ejde-526 350 1 u)| u)| NOUN ejde-526 350 2 ≥ ≥ NOUN ejde-526 350 3 λ λ PROPN ejde-526 350 4 } } PUNCT ejde-526 350 5 ∩ ∩ NOUN ejde-526 350 6 { { PUNCT ejde-526 350 7 |u| |u| X ejde-526 350 8 < < X ejde-526 350 9 l l NOUN ejde-526 350 10 } } PUNCT ejde-526 350 11 . . PUNCT ejde-526 351 1 observe observe VERB ejde-526 351 2 that that SCONJ ejde-526 351 3 { { PUNCT ejde-526 351 4 |u| |u| X ejde-526 351 5 < < X ejde-526 351 6 l l NOUN ejde-526 351 7 } } PUNCT ejde-526 351 8 ∩ ∩ NOUN ejde-526 351 9 { { PUNCT ejde-526 351 10 |∇uε| |∇uε| VERB ejde-526 351 11 ≥ ≥ NOUN ejde-526 351 12 λ λ NOUN ejde-526 351 13 } } PUNCT ejde-526 351 14 ⊂ ⊂ PROPN ejde-526 351 15 e1 e1 PROPN ejde-526 351 16 ∪ ∪ PROPN ejde-526 351 17 e2 e2 PROPN ejde-526 351 18 ∪ ∪ ADP ejde-526 351 19 e3 e3 NOUN ejde-526 351 20 . . PUNCT ejde-526 352 1 since since SCONJ ejde-526 352 2 uε uε NOUN ejde-526 352 3 and and CCONJ ejde-526 352 4 ∇uε ∇uε NOUN ejde-526 352 5 are be AUX ejde-526 352 6 bounded bound VERB ejde-526 352 7 in in ADP ejde-526 352 8 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 352 9 ) ) PUNCT ejde-526 352 10 , , PUNCT ejde-526 352 11 for for ADP ejde-526 352 12 any any DET ejde-526 352 13 σ σ NOUN ejde-526 352 14 > > X ejde-526 352 15 0 0 NUM ejde-526 353 1 we we PRON ejde-526 353 2 can can AUX ejde-526 353 3 fix fix VERB ejde-526 353 4 m m PRON ejde-526 353 5 and and CCONJ ejde-526 353 6 k k X ejde-526 353 7 < < X ejde-526 353 8 l l NOUN ejde-526 353 9 such such ADJ ejde-526 353 10 that that DET ejde-526 353 11 |e1| |e1| NOUN ejde-526 353 12 < < X ejde-526 353 13 σ/3 σ/3 X ejde-526 353 14 independently independently ADV ejde-526 353 15 of of ADP ejde-526 353 16 ε ε PROPN ejde-526 353 17 . . PUNCT ejde-526 354 1 by by ADP ejde-526 354 2 the the DET ejde-526 354 3 monotonicity monotonicity NOUN ejde-526 354 4 assumption assumption NOUN ejde-526 354 5 ( ( PUNCT ejde-526 354 6 2.5 2.5 NUM ejde-526 354 7 ) ) PUNCT ejde-526 354 8 , , PUNCT ejde-526 354 9 there there PRON ejde-526 354 10 exists exist VERB ejde-526 354 11 a a DET ejde-526 354 12 real real ADV ejde-526 354 13 valued value VERB ejde-526 354 14 function function NOUN ejde-526 354 15 γ γ NOUN ejde-526 354 16 such such ADJ ejde-526 354 17 that that SCONJ ejde-526 354 18 meas({x meas({x PROPN ejde-526 354 19 ∈ ∈ PROPN ejde-526 354 20 ω ω NOUN ejde-526 354 21 : : PUNCT ejde-526 354 22 γ(x γ(x NUM ejde-526 354 23 ) ) PUNCT ejde-526 354 24 = = SYM ejde-526 354 25 0 0 NUM ejde-526 354 26 } } PUNCT ejde-526 354 27 ) ) PUNCT ejde-526 355 1 = = SYM ejde-526 355 2 0 0 NUM ejde-526 355 3 , , PUNCT ejde-526 355 4 ( ( PUNCT ejde-526 355 5 a(x a(x NOUN ejde-526 355 6 , , PUNCT ejde-526 355 7 s s PROPN ejde-526 355 8 , , PUNCT ejde-526 355 9 ξ)− ξ)− PROPN ejde-526 355 10 a(x a(x PROPN ejde-526 355 11 , , PUNCT ejde-526 355 12 s s PART ejde-526 355 13 , , PUNCT ejde-526 355 14 ξ′))(ξ ξ′))(ξ AUX ejde-526 355 15 − − PROPN ejde-526 355 16 ξ′ ξ′ PROPN ejde-526 355 17 ) ) PUNCT ejde-526 355 18 ≥ ≥ NOUN ejde-526 355 19 γ(x γ(x NOUN ejde-526 355 20 ) ) PUNCT ejde-526 355 21 , , PUNCT ejde-526 355 22 for for ADP ejde-526 355 23 any any DET ejde-526 355 24 s s X ejde-526 355 25 ∈ ∈ PROPN ejde-526 355 26 ( ( PUNCT ejde-526 355 27 −l −l NOUN ejde-526 355 28 , , PUNCT ejde-526 355 29 l l NOUN ejde-526 355 30 ) ) PUNCT ejde-526 355 31 , , PUNCT ejde-526 355 32 ξ ξ PROPN ejde-526 355 33 , , PUNCT ejde-526 355 34 ξ′ ξ′ PROPN ejde-526 355 35 ∈ ∈ PROPN ejde-526 355 36 rn rn PROPN ejde-526 355 37 , , PUNCT ejde-526 355 38 |s| |s| VERB ejde-526 355 39 ≤ ≤ NUM ejde-526 355 40 k k NOUN ejde-526 355 41 , , PUNCT ejde-526 355 42 |ξ| |ξ| PROPN ejde-526 355 43 , , PUNCT ejde-526 355 44 |ξ′| |ξ′| ADJ ejde-526 355 45 ≤ ≤ NOUN ejde-526 355 46 m m VERB ejde-526 355 47 , , PUNCT ejde-526 355 48 and and CCONJ ejde-526 355 49 |ξ |ξ VERB ejde-526 355 50 − − NUM ejde-526 355 51 ξ′| ξ′| NUM ejde-526 355 52 ≥ ≥ NUM ejde-526 355 53 λ λ NOUN ejde-526 355 54 . . PUNCT ejde-526 356 1 denoting denote VERB ejde-526 356 2 by by ADP ejde-526 356 3 χη χη ADP ejde-526 356 4 the the DET ejde-526 356 5 characteristic characteristic ADJ ejde-526 356 6 function function NOUN ejde-526 356 7 of of ADP ejde-526 356 8 [ [ X ejde-526 356 9 0 0 NUM ejde-526 356 10 , , PUNCT ejde-526 356 11 η η PROPN ejde-526 356 12 ] ] X ejde-526 356 13 , , PUNCT ejde-526 356 14 we we PRON ejde-526 356 15 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 356 16 e3 e3 NOUN ejde-526 356 17 γ(x γ(x NOUN ejde-526 356 18 ) ) PUNCT ejde-526 356 19 dx dx PROPN ejde-526 357 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 357 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 357 3 e3 e3 X ejde-526 357 4 [ [ X ejde-526 357 5 aε(x aε(x X ejde-526 357 6 , , PUNCT ejde-526 357 7 uε,∇uε)− uε,∇uε)− NOUN ejde-526 357 8 aε(x aε(x NOUN ejde-526 357 9 , , PUNCT ejde-526 357 10 uε,∇u)](∇uε uε,∇u)](∇uε ADJ ejde-526 357 11 − − PROPN ejde-526 357 12 u u NOUN ejde-526 357 13 ) ) PUNCT ejde-526 357 14 dx dx PROPN ejde-526 357 15 ≤ ≤ NUM ejde-526 357 16 ∫ ∫ PROPN ejde-526 357 17 { { PUNCT ejde-526 357 18 |uε|≤k,|u|≤k |uε|≤k,|u|≤k NOUN ejde-526 357 19 } } PUNCT ejde-526 357 20 [ [ X ejde-526 357 21 ( ( PUNCT ejde-526 357 22 aε(x aε(x ADP ejde-526 357 23 , , PUNCT ejde-526 357 24 uε,∇uε)− uε,∇uε)− NOUN ejde-526 357 25 aε(x aε(x NOUN ejde-526 357 26 , , PUNCT ejde-526 357 27 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 357 28 ) ) PUNCT ejde-526 357 29 ) ) PUNCT ejde-526 357 30 ) ) PUNCT ejde-526 358 1 × × NOUN ejde-526 358 2 ( ( PUNCT ejde-526 358 3 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 358 4 − − PROPN ejde-526 358 5 tk(u))χη(|uε tk(u))χη(|uε NOUN ejde-526 358 6 − − PROPN ejde-526 358 7 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 358 8 ) ) PUNCT ejde-526 358 9 ] ] PUNCT ejde-526 358 10 dx dx PROPN ejde-526 358 11 ≤ ≤ NUM ejde-526 359 1 ∫ ∫ PROPN ejde-526 359 2 ω ω PROPN ejde-526 360 1 [ [ X ejde-526 360 2 ( ( PUNCT ejde-526 360 3 aε(x aε(x ADP ejde-526 360 4 , , PUNCT ejde-526 360 5 uε,∇uε)− uε,∇uε)− NOUN ejde-526 360 6 aε(x aε(x NOUN ejde-526 360 7 , , PUNCT ejde-526 360 8 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 360 9 ) ) PUNCT ejde-526 360 10 ) ) PUNCT ejde-526 360 11 ) ) PUNCT ejde-526 361 1 × × NOUN ejde-526 361 2 ( ( PUNCT ejde-526 361 3 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 361 4 − − PROPN ejde-526 361 5 tk(u))χη(|uε tk(u))χη(|uε NOUN ejde-526 361 6 − − PROPN ejde-526 361 7 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 361 8 ) ) PUNCT ejde-526 361 9 ] ] PUNCT ejde-526 361 10 dx dx PROPN ejde-526 361 11 ≤ ≤ NUM ejde-526 361 12 ∫ ∫ PROPN ejde-526 361 13 ω ω PROPN ejde-526 361 14 aε(x aε(x NOUN ejde-526 361 15 , , PUNCT ejde-526 361 16 uε,∇uε)(∇uε uε,∇uε)(∇uε ADJ ejde-526 361 17 − − PROPN ejde-526 361 18 tk(u))χη(|uε tk(u))χη(|uε NOUN ejde-526 361 19 − − PROPN ejde-526 361 20 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 361 21 ) ) PUNCT ejde-526 361 22 dx dx PROPN ejde-526 361 23 − − PROPN ejde-526 361 24 ∫ ∫ PROPN ejde-526 361 25 ω ω PROPN ejde-526 361 26 aε(x aε(x NOUN ejde-526 361 27 , , PUNCT ejde-526 361 28 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 361 29 ) ) PUNCT ejde-526 361 30 ) ) PUNCT ejde-526 361 31 · · PUNCT ejde-526 362 1 ( ( PUNCT ejde-526 362 2 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 362 3 − − PROPN ejde-526 362 4 tk(u))χη(|uε tk(u))χη(|uε NOUN ejde-526 362 5 − − PROPN ejde-526 362 6 tk(u)| tk(u)| NOUN ejde-526 362 7 ) ) PUNCT ejde-526 362 8 dx dx PROPN ejde-526 362 9 : : PUNCT ejde-526 363 1 = = PROPN ejde-526 363 2 j1 j1 PROPN ejde-526 363 3 − − PROPN ejde-526 363 4 j2 j2 PROPN ejde-526 363 5 . . PROPN ejde-526 364 1 for for ADP ejde-526 364 2 the the DET ejde-526 364 3 term term NOUN ejde-526 364 4 j1 j1 PROPN ejde-526 364 5 , , PUNCT ejde-526 364 6 using use VERB ejde-526 364 7 tη(uε tη(uε PROPN ejde-526 364 8 − − NOUN ejde-526 364 9 tk(u tk(u NUM ejde-526 364 10 ) ) PUNCT ejde-526 364 11 ) ) PUNCT ejde-526 364 12 , , PUNCT ejde-526 364 13 we we PRON ejde-526 364 14 have have VERB ejde-526 364 15 |j1| |j1| NOUN ejde-526 364 16 = = NOUN ejde-526 364 17 ∣∣∣ ∣∣∣ NOUN ejde-526 364 18 ∫ ∫ PROPN ejde-526 364 19 ω ω PROPN ejde-526 364 20 fεtη(|uε fεtη(|uε PROPN ejde-526 364 21 − − PROPN ejde-526 364 22 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 364 23 ) ) PUNCT ejde-526 364 24 dx dx PROPN ejde-526 364 25 ∣∣∣ ∣∣∣ ADJ ejde-526 364 26 ≤ ≤ X ejde-526 364 27 η‖f‖l1(ω η‖f‖l1(ω NOUN ejde-526 364 28 ) ) PUNCT ejde-526 364 29 . . PUNCT ejde-526 365 1 choosing choose VERB ejde-526 365 2 η η PROPN ejde-526 365 3 > > X ejde-526 365 4 0 0 NUM ejde-526 365 5 such such ADJ ejde-526 365 6 that that SCONJ ejde-526 365 7 k k PROPN ejde-526 365 8 + + NUM ejde-526 365 9 η η X ejde-526 365 10 < < X ejde-526 365 11 l l NOUN ejde-526 365 12 , , PUNCT ejde-526 365 13 there there PRON ejde-526 365 14 exists exist VERB ejde-526 365 15 ε0 ε0 PROPN ejde-526 365 16 > > X ejde-526 365 17 0 0 NUM ejde-526 365 18 such such ADJ ejde-526 365 19 that that PRON ejde-526 365 20 for for ADP ejde-526 365 21 all all DET ejde-526 365 22 ε ε PROPN ejde-526 365 23 < < X ejde-526 365 24 ε0 ε0 PROPN ejde-526 365 25 , , PUNCT ejde-526 365 26 aε(x aε(x NOUN ejde-526 365 27 , , PUNCT ejde-526 365 28 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 365 29 ) ) PUNCT ejde-526 365 30 ) ) PUNCT ejde-526 366 1 = = SYM ejde-526 366 2 a(x a(x NOUN ejde-526 366 3 , , PUNCT ejde-526 366 4 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 366 5 ) ) PUNCT ejde-526 366 6 ) ) PUNCT ejde-526 366 7 in in ADP ejde-526 366 8 { { PUNCT ejde-526 366 9 x x SYM ejde-526 366 10 ∈ ∈ PROPN ejde-526 366 11 ω ω NOUN ejde-526 366 12 : : PUNCT ejde-526 366 13 |uε |uε NUM ejde-526 366 14 − − PROPN ejde-526 366 15 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 366 16 ≤ ≤ PROPN ejde-526 366 17 η η PROPN ejde-526 366 18 } } PUNCT ejde-526 366 19 ; ; PUNCT ejde-526 366 20 and and CCONJ ejde-526 366 21 since since SCONJ ejde-526 366 22 { { PUNCT ejde-526 366 23 x x PUNCT ejde-526 366 24 ∈ ∈ PROPN ejde-526 366 25 ω ω NOUN ejde-526 366 26 : : PUNCT ejde-526 366 27 |uε |uε NUM ejde-526 366 28 − − PROPN ejde-526 366 29 tk(u)| tk(u)| NUM ejde-526 366 30 ≤ ≤ PROPN ejde-526 366 31 η η PROPN ejde-526 366 32 } } PUNCT ejde-526 366 33 ⊂ ⊂ PROPN ejde-526 366 34 { { PUNCT ejde-526 366 35 x x PUNCT ejde-526 366 36 ∈ ∈ PROPN ejde-526 366 37 ω ω NOUN ejde-526 366 38 : : PUNCT ejde-526 366 39 |uε| |uε| VERB ejde-526 366 40 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 367 1 k k PROPN ejde-526 367 2 + + CCONJ ejde-526 367 3 η η PROPN ejde-526 367 4 } } PUNCT ejde-526 367 5 we we PRON ejde-526 367 6 obtain obtain VERB ejde-526 367 7 j2 j2 NOUN ejde-526 367 8 = = SYM ejde-526 367 9 ∫ ∫ PROPN ejde-526 367 10 ω ω PROPN ejde-526 367 11 a(x a(x PROPN ejde-526 367 12 , , PUNCT ejde-526 367 13 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 367 14 ) ) PUNCT ejde-526 367 15 ) ) PUNCT ejde-526 367 16 · · PUNCT ejde-526 368 1 ∇tη(uε ∇tη(uε ADJ ejde-526 368 2 − − NOUN ejde-526 368 3 tk(u tk(u PUNCT ejde-526 368 4 ) ) PUNCT ejde-526 368 5 ) ) PUNCT ejde-526 368 6 dx dx PROPN ejde-526 369 1 = = SYM ejde-526 369 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 369 3 ω ω PROPN ejde-526 369 4 a(x a(x PROPN ejde-526 369 5 , , PUNCT ejde-526 369 6 tk+η(uε),∇tk(u tk+η(uε),∇tk(u NUM ejde-526 369 7 ) ) PUNCT ejde-526 369 8 ) ) PUNCT ejde-526 369 9 · · PUNCT ejde-526 370 1 ( ( PUNCT ejde-526 370 2 ∇tk+η(uε ∇tk+η(uε NUM ejde-526 370 3 − − NOUN ejde-526 370 4 tk(u)))χη(|uε tk(u)))χη(|uε NOUN ejde-526 370 5 − − PROPN ejde-526 370 6 tk(u)| tk(u)| NOUN ejde-526 370 7 ) ) PUNCT ejde-526 370 8 dx dx PROPN ejde-526 370 9 . . PROPN ejde-526 370 10 12 12 NUM ejde-526 370 11 b. b. PROPN ejde-526 370 12 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 370 13 , , PUNCT ejde-526 370 14 j. j. PROPN ejde-526 370 15 bennouna bennouna PROPN ejde-526 370 16 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 371 1 by by ADP ejde-526 371 2 ( ( PUNCT ejde-526 371 3 3.24 3.24 NUM ejde-526 371 4 ) ) PUNCT ejde-526 371 5 , , PUNCT ejde-526 371 6 it it PRON ejde-526 371 7 follows follow VERB ejde-526 371 8 that that SCONJ ejde-526 371 9 tk+η(uε tk+η(uε PROPN ejde-526 371 10 ) ) PUNCT ejde-526 371 11 ⇀ ⇀ NUM ejde-526 372 1 tk+η(u tk+η(u NOUN ejde-526 372 2 ) ) PUNCT ejde-526 372 3 weakly weakly ADV ejde-526 372 4 in in ADP ejde-526 372 5 w w PROPN ejde-526 372 6 1,p 1,p PROPN ejde-526 372 7 0 0 NUM ejde-526 372 8 ( ( PUNCT ejde-526 372 9 ω ω PROPN ejde-526 372 10 , , PUNCT ejde-526 372 11 ν ν NOUN ejde-526 372 12 ) ) PUNCT ejde-526 372 13 , , PUNCT ejde-526 372 14 on on ADP ejde-526 372 15 the the DET ejde-526 372 16 other other ADJ ejde-526 372 17 hand hand NOUN ejde-526 372 18 |a(x |a(x PROPN ejde-526 372 19 , , PUNCT ejde-526 372 20 tk+η(uε),∇tk(u))| tk+η(uε),∇tk(u))| X ejde-526 372 21 ≤ ≤ NOUN ejde-526 372 22 b(|tk+η(uε|))ν(x)|∇tk+η(u)|p−1 b(|tk+η(uε|))ν(x)|∇tk+η(u)|p−1 PUNCT ejde-526 372 23 using use VERB ejde-526 372 24 vitali vitali PROPN ejde-526 372 25 ’s ’s PART ejde-526 372 26 theorem theorem NOUN ejde-526 372 27 we we PRON ejde-526 372 28 have have VERB ejde-526 372 29 a(x a(x NOUN ejde-526 372 30 , , PUNCT ejde-526 372 31 tk+η(uε),∇tk(u))→ tk+η(uε),∇tk(u))→ ADJ ejde-526 372 32 a(x a(x PROPN ejde-526 372 33 , , PUNCT ejde-526 372 34 tk+η(u),∇tk(u tk+η(u),∇tk(u NOUN ejde-526 372 35 ) ) PUNCT ejde-526 372 36 ) ) PUNCT ejde-526 372 37 strongly strongly ADV ejde-526 372 38 in in ADP ejde-526 372 39 lp lp PROPN ejde-526 372 40 ′ ′ NUM ejde-526 372 41 ( ( PUNCT ejde-526 372 42 ω ω PROPN ejde-526 372 43 , , PUNCT ejde-526 372 44 ν−1/(p−1 ν−1/(p−1 NOUN ejde-526 372 45 ) ) PUNCT ejde-526 372 46 ) ) PUNCT ejde-526 372 47 . . PUNCT ejde-526 373 1 letting let VERB ejde-526 373 2 ε ε PROPN ejde-526 373 3 and and CCONJ ejde-526 373 4 η η PROPN ejde-526 373 5 tend tend VERB ejde-526 373 6 to to ADP ejde-526 373 7 0 0 NUM ejde-526 373 8 respectively respectively ADV ejde-526 373 9 in in ADP ejde-526 373 10 j2 j2 PROPN ejde-526 373 11 , , PUNCT ejde-526 373 12 we we PRON ejde-526 373 13 obtain obtain VERB ejde-526 373 14 lim lim PROPN ejde-526 373 15 ε→0 ε→0 PROPN ejde-526 373 16 ∫ ∫ PROPN ejde-526 373 17 ω ω PROPN ejde-526 373 18 a(x a(x PROPN ejde-526 373 19 , , PUNCT ejde-526 373 20 uε,∇tk(u uε,∇tk(u NOUN ejde-526 373 21 ) ) PUNCT ejde-526 373 22 ) ) PUNCT ejde-526 373 23 · · PUNCT ejde-526 374 1 ∇tη(uε ∇tη(uε ADJ ejde-526 374 2 − − NOUN ejde-526 374 3 tk(u tk(u PUNCT ejde-526 374 4 ) ) PUNCT ejde-526 374 5 ) ) PUNCT ejde-526 374 6 dx dx PROPN ejde-526 375 1 = = SYM ejde-526 375 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 375 3 ω ω PROPN ejde-526 375 4 a(x a(x PROPN ejde-526 375 5 , , PUNCT ejde-526 375 6 tk+η(u),∇tk(u tk+η(u),∇tk(u NOUN ejde-526 375 7 ) ) PUNCT ejde-526 375 8 ) ) PUNCT ejde-526 375 9 · · PUNCT ejde-526 376 1 ( ( PUNCT ejde-526 376 2 ∇tk+η(u− ∇tk+η(u− INTJ ejde-526 376 3 tk(u)))χη(|uε tk(u)))χη(|uε NOUN ejde-526 376 4 − − PROPN ejde-526 376 5 tk(u)| tk(u)| NOUN ejde-526 376 6 ) ) PUNCT ejde-526 376 7 dx dx PROPN ejde-526 376 8 , , PUNCT ejde-526 376 9 and and CCONJ ejde-526 376 10 lim lim PROPN ejde-526 376 11 η→0 η→0 PROPN ejde-526 376 12 ∫ ∫ PROPN ejde-526 376 13 ω ω PROPN ejde-526 376 14 a(x a(x PROPN ejde-526 376 15 , , PUNCT ejde-526 376 16 tk+η(u),∇tk(u tk+η(u),∇tk(u NOUN ejde-526 376 17 ) ) PUNCT ejde-526 376 18 ) ) PUNCT ejde-526 376 19 · · PUNCT ejde-526 377 1 ( ( PUNCT ejde-526 377 2 ∇tk+η(u− ∇tk+η(u− INTJ ejde-526 377 3 tk(u)))χη(|uε tk(u)))χη(|uε NOUN ejde-526 377 4 − − PROPN ejde-526 377 5 tk(u)| tk(u)| NOUN ejde-526 377 6 ) ) PUNCT ejde-526 377 7 dx dx PROPN ejde-526 377 8 = = SYM ejde-526 377 9 0 0 PROPN ejde-526 377 10 . . PUNCT ejde-526 378 1 for for ADP ejde-526 378 2 η η PROPN ejde-526 378 3 small small ADJ ejde-526 378 4 enough enough ADV ejde-526 378 5 η‖f‖l1(ω η‖f‖l1(ω NOUN ejde-526 378 6 ) ) PUNCT ejde-526 378 7 < < X ejde-526 378 8 δ/2 δ/2 NUM ejde-526 378 9 , , PUNCT ejde-526 378 10 by by ADP ejde-526 378 11 kolmogorov kolmogorov PROPN ejde-526 378 12 theorem theorem PROPN ejde-526 378 13 , , PUNCT ejde-526 378 14 we we PRON ejde-526 378 15 have have VERB ejde-526 378 16 |e3| |e3| NOUN ejde-526 378 17 < < X ejde-526 378 18 σ σ PROPN ejde-526 378 19 independently independently ADV ejde-526 378 20 of of ADP ejde-526 378 21 ε ε PROPN ejde-526 378 22 . . PUNCT ejde-526 379 1 fix fix PROPN ejde-526 379 2 η η PROPN ejde-526 379 3 , , PUNCT ejde-526 379 4 by by ADP ejde-526 379 5 the the DET ejde-526 379 6 fact fact NOUN ejde-526 379 7 that that SCONJ ejde-526 379 8 uε uε PROPN ejde-526 379 9 → → SYM ejde-526 379 10 u u PROPN ejde-526 379 11 in in ADP ejde-526 379 12 measure measure NOUN ejde-526 379 13 , , PUNCT ejde-526 379 14 we we PRON ejde-526 379 15 choose choose VERB ejde-526 379 16 ε1 ε1 VERB ejde-526 379 17 such such ADJ ejde-526 379 18 that that SCONJ ejde-526 379 19 |e2| |e2| ADJ ejde-526 379 20 < < X ejde-526 379 21 η η PROPN ejde-526 379 22 for for ADP ejde-526 379 23 ε ε PROPN ejde-526 379 24 ≤ ≤ PROPN ejde-526 379 25 ε1 ε1 PROPN ejde-526 379 26 . . PUNCT ejde-526 380 1 this this PRON ejde-526 380 2 implies imply VERB ejde-526 380 3 that that SCONJ ejde-526 380 4 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 380 5 → → SYM ejde-526 380 6 ∇u ∇u NOUN ejde-526 380 7 in in ADP ejde-526 380 8 measure measure NOUN ejde-526 380 9 in in ADP ejde-526 380 10 { { PUNCT ejde-526 380 11 |u| |u| X ejde-526 380 12 < < X ejde-526 380 13 l l NOUN ejde-526 380 14 } } PUNCT ejde-526 380 15 , , PUNCT ejde-526 380 16 consequently consequently ADV ejde-526 380 17 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 380 18 → → SYM ejde-526 380 19 ∇u ∇u PROPN ejde-526 380 20 a.e a.e PROPN ejde-526 380 21 . . PROPN ejde-526 381 1 in in ADP ejde-526 381 2 { { PUNCT ejde-526 381 3 |u| |u| X ejde-526 381 4 < < X ejde-526 381 5 l l NOUN ejde-526 381 6 } } PUNCT ejde-526 381 7 . . PUNCT ejde-526 382 1 � � PROPN ejde-526 382 2 we we PRON ejde-526 382 3 observe observe VERB ejde-526 382 4 that that SCONJ ejde-526 382 5 since since SCONJ ejde-526 382 6 uε uε PROPN ejde-526 382 7 → → SYM ejde-526 382 8 u u X ejde-526 382 9 a.e a.e PROPN ejde-526 382 10 . . PROPN ejde-526 382 11 in in ADP ejde-526 382 12 ω ω PROPN ejde-526 382 13 ( ( PUNCT ejde-526 382 14 see see PROPN ejde-526 382 15 ( ( PUNCT ejde-526 382 16 3.23 3.23 NUM ejde-526 382 17 ) ) PUNCT ejde-526 382 18 ) ) PUNCT ejde-526 382 19 , , PUNCT ejde-526 382 20 we we PRON ejde-526 382 21 have have VERB ejde-526 382 22 { { PUNCT ejde-526 382 23 x x SYM ejde-526 382 24 ∈ ∈ PROPN ejde-526 382 25 ω ω NOUN ejde-526 382 26 : : PUNCT ejde-526 383 1 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 383 2 = = PUNCT ejde-526 383 3 l l NOUN ejde-526 383 4 } } PUNCT ejde-526 383 5 = = SYM ejde-526 383 6 { { PUNCT ejde-526 383 7 x x PUNCT ejde-526 383 8 ∈ ∈ NOUN ejde-526 383 9 ω ω NOUN ejde-526 383 10 : : PUNCT ejde-526 383 11 lim lim PROPN ejde-526 383 12 ε→0 ε→0 PROPN ejde-526 383 13 ∫ ∫ PROPN ejde-526 383 14 |uε(x)| |uε(x)| PROPN ejde-526 383 15 0 0 NUM ejde-526 383 16 bε(t bε(t NOUN ejde-526 383 17 ) ) PUNCT ejde-526 383 18 ≥ ≥ NOUN ejde-526 383 19 ∫ ∫ PROPN ejde-526 383 20 l l NOUN ejde-526 383 21 0 0 NUM ejde-526 383 22 b(t b(t NOUN ejde-526 383 23 ) ) PUNCT ejde-526 383 24 dt dt PUNCT ejde-526 383 25 } } PUNCT ejde-526 383 26 . . PUNCT ejde-526 384 1 ( ( PUNCT ejde-526 384 2 3.26 3.26 NUM ejde-526 384 3 ) ) PUNCT ejde-526 384 4 theorem theorem VERB ejde-526 384 5 3.10 3.10 NUM ejde-526 384 6 . . PUNCT ejde-526 385 1 let let VERB ejde-526 385 2 f f PRON ejde-526 385 3 be be AUX ejde-526 385 4 a a DET ejde-526 385 5 function function NOUN ejde-526 385 6 in in ADP ejde-526 385 7 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 385 8 ) ) PUNCT ejde-526 385 9 , , PUNCT ejde-526 385 10 with with ADP ejde-526 385 11 r r NOUN ejde-526 385 12 > > SYM ejde-526 385 13 tn/(tp−n tn/(tp−n NOUN ejde-526 385 14 ) ) PUNCT ejde-526 385 15 . . PUNCT ejde-526 386 1 assume assume VERB ejde-526 386 2 that that SCONJ ejde-526 386 3 ( ( PUNCT ejde-526 386 4 2.1)–(2.5 2.1)–(2.5 ADJ ejde-526 386 5 ) ) PUNCT ejde-526 386 6 hold hold NOUN ejde-526 386 7 . . PUNCT ejde-526 387 1 then then ADV ejde-526 387 2 there there PRON ejde-526 387 3 exists exist VERB ejde-526 387 4 a a DET ejde-526 387 5 weak weak ADJ ejde-526 387 6 solution solution NOUN ejde-526 387 7 u u NOUN ejde-526 387 8 ∈w ∈w VERB ejde-526 387 9 1,p 1,p PROPN ejde-526 387 10 0 0 SYM ejde-526 387 11 ( ( PUNCT ejde-526 387 12 ω ω PROPN ejde-526 387 13 , , PUNCT ejde-526 387 14 ν ν NOUN ejde-526 387 15 ) ) PUNCT ejde-526 387 16 of of ADP ejde-526 387 17 problem problem NOUN ejde-526 387 18 ( ( PUNCT ejde-526 387 19 2.2 2.2 NUM ejde-526 387 20 ) ) PUNCT ejde-526 387 21 such such ADJ ejde-526 387 22 that that DET ejde-526 387 23 ‖u‖l∞(ω ‖u‖l∞(ω NOUN ejde-526 387 24 ) ) PUNCT ejde-526 387 25 < < X ejde-526 387 26 l. l. PROPN ejde-526 387 27 proof proof NOUN ejde-526 387 28 . . PUNCT ejde-526 388 1 for for ADP ejde-526 388 2 fε fε NOUN ejde-526 388 3 = = SYM ejde-526 388 4 f f PROPN ejde-526 388 5 with with ADP ejde-526 388 6 ε ε PROPN ejde-526 388 7 > > X ejde-526 388 8 0 0 PROPN ejde-526 388 9 . . PUNCT ejde-526 389 1 by by ADP ejde-526 389 2 classical classical ADJ ejde-526 389 3 results result NOUN ejde-526 389 4 see see VERB ejde-526 389 5 for for ADP ejde-526 389 6 example example NOUN ejde-526 389 7 [ [ X ejde-526 389 8 2 2 NUM ejde-526 389 9 , , PUNCT ejde-526 389 10 1 1 NUM ejde-526 389 11 ] ] PUNCT ejde-526 389 12 ) ) PUNCT ejde-526 389 13 there there PRON ejde-526 389 14 exists exist VERB ejde-526 389 15 a a DET ejde-526 389 16 solution solution NOUN ejde-526 389 17 uε uε ADP ejde-526 389 18 ∈ ∈ PROPN ejde-526 389 19 w w PROPN ejde-526 389 20 1,p 1,p PROPN ejde-526 389 21 0 0 NUM ejde-526 389 22 ( ( PUNCT ejde-526 389 23 ω ω PROPN ejde-526 389 24 , , PUNCT ejde-526 389 25 ν ν NOUN ejde-526 389 26 ) ) PUNCT ejde-526 389 27 of of ADP ejde-526 389 28 the the DET ejde-526 389 29 approximated approximated ADJ ejde-526 389 30 problem problem NOUN ejde-526 389 31 ( ( PUNCT ejde-526 389 32 2.2 2.2 NUM ejde-526 389 33 ) ) PUNCT ejde-526 389 34 . . PUNCT ejde-526 390 1 estimate estimate NOUN ejde-526 390 2 ( ( PUNCT ejde-526 390 3 3.4 3.4 NUM ejde-526 390 4 ) ) PUNCT ejde-526 390 5 implies imply VERB ejde-526 390 6 aε(‖uε‖l∞ aε(‖uε‖l∞ NOUN ejde-526 390 7 ) ) PUNCT ejde-526 390 8 ≤ ≤ NOUN ejde-526 390 9 c(f c(f PROPN ejde-526 390 10 ) ) PUNCT ejde-526 391 1 = = PUNCT ejde-526 391 2 cn cn PROPN ejde-526 391 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 391 4 |ω| |ω| CCONJ ejde-526 391 5 0 0 NUM ejde-526 391 6 r−p r−p NOUN ejde-526 391 7 ′/n ′/n ADV ejde-526 391 8 ′ ′ NOUN ejde-526 392 1 [ [ X ejde-526 392 2 d(r)]p d(r)]p X ejde-526 392 3 ′/p ′/p PROPN ejde-526 392 4 ( ( PUNCT ejde-526 392 5 ∫ ∫ PROPN ejde-526 392 6 r r NOUN ejde-526 392 7 0 0 NUM ejde-526 392 8 f∗ε f∗ε NOUN ejde-526 392 9 ( ( PUNCT ejde-526 392 10 σ)dσ σ)dσ PROPN ejde-526 392 11 ) ) PUNCT ejde-526 392 12 p′/p p′/p PROPN ejde-526 393 1 dr dr PROPN ejde-526 393 2 . . PROPN ejde-526 393 3 ( ( PUNCT ejde-526 393 4 3.27 3.27 NUM ejde-526 393 5 ) ) PUNCT ejde-526 393 6 since since SCONJ ejde-526 393 7 a a PRON ejde-526 393 8 is be AUX ejde-526 393 9 bijective bijective ADJ ejde-526 393 10 in in ADP ejde-526 393 11 [ [ X ejde-526 393 12 0 0 NUM ejde-526 393 13 , , PUNCT ejde-526 393 14 l l NOUN ejde-526 393 15 ) ) PUNCT ejde-526 393 16 , , PUNCT ejde-526 393 17 we we PRON ejde-526 393 18 can can AUX ejde-526 393 19 take take VERB ejde-526 393 20 b b NOUN ejde-526 393 21 = = PUNCT ejde-526 393 22 a−1(c(f a−1(c(f NOUN ejde-526 393 23 ) ) PUNCT ejde-526 393 24 ) ) PUNCT ejde-526 394 1 and and CCONJ ejde-526 394 2 then then ADV ejde-526 394 3 we we PRON ejde-526 394 4 choose choose VERB ejde-526 394 5 ε0 ε0 PROPN ejde-526 394 6 > > X ejde-526 394 7 0 0 NUM ejde-526 394 8 such such ADJ ejde-526 394 9 that that SCONJ ejde-526 394 10 b(s b( NOUN ejde-526 394 11 ) ) PUNCT ejde-526 394 12 ≤ ≤ NUM ejde-526 394 13 b(l− b(l− ADJ ejde-526 394 14 ε ε PROPN ejde-526 394 15 ) ) PUNCT ejde-526 394 16 for for ADP ejde-526 394 17 any any DET ejde-526 394 18 s s X ejde-526 394 19 ∈ ∈ NOUN ejde-526 395 1 [ [ X ejde-526 395 2 0 0 NUM ejde-526 395 3 , , PUNCT ejde-526 395 4 b b NOUN ejde-526 395 5 ] ] PUNCT ejde-526 395 6 . . PUNCT ejde-526 396 1 by by ADP ejde-526 396 2 definition definition NOUN ejde-526 396 3 of of ADP ejde-526 396 4 bε bε NOUN ejde-526 396 5 and and CCONJ ejde-526 396 6 aε aε INTJ ejde-526 396 7 we we PRON ejde-526 396 8 have have VERB ejde-526 396 9 , , PUNCT ejde-526 396 10 for for ADP ejde-526 396 11 any any DET ejde-526 396 12 ε ε PROPN ejde-526 396 13 < < X ejde-526 396 14 ε0 ε0 PROPN ejde-526 396 15 , , PUNCT ejde-526 396 16 aε(s aε(s NUM ejde-526 396 17 ) ) PUNCT ejde-526 397 1 = = SYM ejde-526 397 2 a(s a(s PROPN ejde-526 397 3 ) ) PUNCT ejde-526 397 4 , , PUNCT ejde-526 397 5 s s VERB ejde-526 397 6 ∈ ∈ PROPN ejde-526 398 1 [ [ X ejde-526 398 2 0 0 NUM ejde-526 398 3 , , PUNCT ejde-526 398 4 b b NOUN ejde-526 398 5 ] ] X ejde-526 398 6 . . PUNCT ejde-526 399 1 moreover moreover ADV ejde-526 399 2 , , PUNCT ejde-526 399 3 being be AUX ejde-526 399 4 aε aε AUX ejde-526 399 5 increasing increase VERB ejde-526 399 6 , , PUNCT ejde-526 399 7 it it PRON ejde-526 399 8 follows follow VERB ejde-526 399 9 that that SCONJ ejde-526 399 10 , , PUNCT ejde-526 399 11 for for ADP ejde-526 399 12 any any DET ejde-526 399 13 ε ε PROPN ejde-526 399 14 < < X ejde-526 399 15 ε0 ε0 PROPN ejde-526 399 16 , , PUNCT ejde-526 399 17 aε(s aε(s NUM ejde-526 399 18 ) ) PUNCT ejde-526 399 19 ≤ ≤ NUM ejde-526 399 20 c(f)⇔ c(f)⇔ PROPN ejde-526 399 21 s s PART ejde-526 399 22 ∈ ∈ NOUN ejde-526 400 1 [ [ X ejde-526 400 2 0 0 NUM ejde-526 400 3 , , PUNCT ejde-526 400 4 b b NOUN ejde-526 400 5 ] ] X ejde-526 400 6 , , PUNCT ejde-526 400 7 so so CCONJ ejde-526 400 8 by by ADP ejde-526 400 9 ( ( PUNCT ejde-526 400 10 3.27 3.27 NUM ejde-526 400 11 ) ) PUNCT ejde-526 400 12 we we PRON ejde-526 400 13 obtain obtain VERB ejde-526 400 14 ‖uε‖l∞ ‖uε‖l∞ NOUN ejde-526 400 15 ≤ ≤ NOUN ejde-526 400 16 b b PROPN ejde-526 400 17 < < X ejde-526 400 18 l. l. PROPN ejde-526 400 19 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 400 20 degenerate degenerate ADJ ejde-526 400 21 elliptic elliptic ADJ ejde-526 400 22 equations equation NOUN ejde-526 400 23 13 13 NUM ejde-526 400 24 by by ADP ejde-526 400 25 ( ( PUNCT ejde-526 400 26 2.3 2.3 NUM ejde-526 400 27 ) ) PUNCT ejde-526 400 28 and and CCONJ ejde-526 400 29 lemma lemma PROPN ejde-526 400 30 3.9 3.9 NUM ejde-526 400 31 , , PUNCT ejde-526 400 32 we we PRON ejde-526 400 33 have have VERB ejde-526 400 34 aε(x aε(x NOUN ejde-526 400 35 , , PUNCT ejde-526 400 36 uε1(x),∇uε1(x))→ uε1(x),∇uε1(x))→ ADJ ejde-526 400 37 a(x a(x PROPN ejde-526 400 38 , , PUNCT ejde-526 400 39 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 400 40 ) ) PUNCT ejde-526 400 41 strongly strongly ADV ejde-526 400 42 in in ADP ejde-526 400 43 lp lp PROPN ejde-526 401 1 ′ ′ NUM ejde-526 401 2 ( ( PUNCT ejde-526 401 3 ω ω PROPN ejde-526 401 4 , , PUNCT ejde-526 401 5 ν−1/(p−1 ν−1/(p−1 NOUN ejde-526 401 6 ) ) PUNCT ejde-526 401 7 ) ) PUNCT ejde-526 401 8 , , PUNCT ejde-526 401 9 fε fε PROPN ejde-526 401 10 → → SYM ejde-526 401 11 f f X ejde-526 401 12 strongly strongly ADV ejde-526 401 13 in in ADP ejde-526 401 14 l∞(ω l∞(ω ADJ ejde-526 401 15 ) ) PUNCT ejde-526 401 16 . . PUNCT ejde-526 402 1 passing pass VERB ejde-526 402 2 to to ADP ejde-526 402 3 the the DET ejde-526 402 4 limit limit NOUN ejde-526 402 5 in in ADP ejde-526 402 6 the the DET ejde-526 402 7 weak weak ADJ ejde-526 402 8 formulation formulation NOUN ejde-526 402 9 of of ADP ejde-526 402 10 problem problem NOUN ejde-526 402 11 ( ( PUNCT ejde-526 402 12 3.3 3.3 NUM ejde-526 402 13 ) ) PUNCT ejde-526 402 14 , , PUNCT ejde-526 402 15 we we PRON ejde-526 402 16 conclude conclude VERB ejde-526 402 17 that that SCONJ ejde-526 402 18 u u NOUN ejde-526 402 19 is be AUX ejde-526 402 20 a a DET ejde-526 402 21 weak weak ADJ ejde-526 402 22 solution solution NOUN ejde-526 402 23 of of ADP ejde-526 402 24 ( ( PUNCT ejde-526 402 25 2.2 2.2 NUM ejde-526 402 26 ) ) PUNCT ejde-526 402 27 , , PUNCT ejde-526 402 28 which which PRON ejde-526 402 29 satisfies satisfy VERB ejde-526 402 30 ‖u‖l∞(ω ‖u‖l∞(ω NOUN ejde-526 402 31 ) ) PUNCT ejde-526 402 32 < < X ejde-526 402 33 l. l. PROPN ejde-526 402 34 � � PROPN ejde-526 402 35 theorem theorem VERB ejde-526 402 36 3.11 3.11 NUM ejde-526 402 37 . . PUNCT ejde-526 403 1 let let VERB ejde-526 403 2 f f PROPN ejde-526 403 3 ∈ ∈ PROPN ejde-526 403 4 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 403 5 ) ) PUNCT ejde-526 403 6 , , PUNCT ejde-526 403 7 with with ADP ejde-526 403 8 ntp ntp NOUN ejde-526 403 9 nt(p−1)−n+tp nt(p−1)−n+tp NOUN ejde-526 403 10 < < X ejde-526 403 11 r r NOUN ejde-526 403 12 < < X ejde-526 403 13 tn tn NOUN ejde-526 403 14 tp−n tp−n NOUN ejde-526 403 15 . . PUNCT ejde-526 404 1 under under ADP ejde-526 404 2 hypothesis hypothesis NOUN ejde-526 404 3 ( ( PUNCT ejde-526 404 4 2.1)-(2.5 2.1)-(2.5 NUM ejde-526 404 5 ) ) PUNCT ejde-526 404 6 , , PUNCT ejde-526 404 7 there there PRON ejde-526 404 8 exists exist VERB ejde-526 404 9 a a DET ejde-526 404 10 weak weak ADJ ejde-526 404 11 solution solution NOUN ejde-526 404 12 u u NOUN ejde-526 404 13 ∈ ∈ PROPN ejde-526 404 14 w w PROPN ejde-526 404 15 1,p 1,p PROPN ejde-526 404 16 0 0 NUM ejde-526 404 17 ( ( PUNCT ejde-526 404 18 ω ω PROPN ejde-526 404 19 , , PUNCT ejde-526 404 20 ν ν NOUN ejde-526 404 21 ) ) PUNCT ejde-526 404 22 of of ADP ejde-526 404 23 problem problem NOUN ejde-526 404 24 ( ( PUNCT ejde-526 404 25 2.2 2.2 NUM ejde-526 404 26 ) ) PUNCT ejde-526 404 27 , , PUNCT ejde-526 404 28 such such ADJ ejde-526 404 29 that that SCONJ ejde-526 404 30 meas({x meas({x PROPN ejde-526 404 31 ∈ ∈ PROPN ejde-526 404 32 ω ω NOUN ejde-526 404 33 : : PUNCT ejde-526 404 34 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 404 35 = = SYM ejde-526 404 36 l l NOUN ejde-526 404 37 } } PUNCT ejde-526 404 38 ) ) PUNCT ejde-526 404 39 = = SYM ejde-526 405 1 0 0 X ejde-526 405 2 . . PUNCT ejde-526 405 3 proof proof NOUN ejde-526 405 4 . . PUNCT ejde-526 406 1 let let VERB ejde-526 406 2 uε uε PRON ejde-526 406 3 ∈w ∈w VERB ejde-526 406 4 1,p 1,p PROPN ejde-526 406 5 0 0 SYM ejde-526 406 6 ( ( PUNCT ejde-526 406 7 ω ω PROPN ejde-526 406 8 , , PUNCT ejde-526 406 9 ν ν NOUN ejde-526 406 10 ) ) PUNCT ejde-526 406 11 be be AUX ejde-526 406 12 a a DET ejde-526 406 13 weak weak ADJ ejde-526 406 14 solution solution NOUN ejde-526 406 15 to to ADP ejde-526 406 16 the the DET ejde-526 406 17 approximated approximated ADJ ejde-526 406 18 problem problem NOUN ejde-526 406 19 ( ( PUNCT ejde-526 406 20 3.3 3.3 NUM ejde-526 406 21 ) ) PUNCT ejde-526 406 22 . . PUNCT ejde-526 407 1 by by ADP ejde-526 407 2 remark remark NOUN ejde-526 407 3 ( ( PUNCT ejde-526 407 4 3.8 3.8 NUM ejde-526 407 5 ) ) PUNCT ejde-526 407 6 , , PUNCT ejde-526 407 7 we we PRON ejde-526 407 8 have have VERB ejde-526 407 9 uε uε NOUN ejde-526 407 10 → → SYM ejde-526 407 11 u u X ejde-526 407 12 a.e a.e PROPN ejde-526 407 13 . . PROPN ejde-526 408 1 in in ADP ejde-526 408 2 ω ω PROPN ejde-526 408 3 , , PUNCT ejde-526 408 4 since since SCONJ ejde-526 408 5 a(l− a(l− ADV ejde-526 408 6 ) ) PUNCT ejde-526 409 1 = = PUNCT ejde-526 410 1 + + NUM ejde-526 410 2 ∞ ∞ PROPN ejde-526 410 3 , , PUNCT ejde-526 410 4 ( ( PUNCT ejde-526 410 5 3.26 3.26 NUM ejde-526 410 6 ) ) PUNCT ejde-526 410 7 implies imply VERB ejde-526 410 8 that that DET ejde-526 410 9 aε(|uε|)→ aε(|uε|)→ ADP ejde-526 410 10 a(|u| a(|u| PROPN ejde-526 410 11 ) ) PUNCT ejde-526 410 12 a.e a.e PROPN ejde-526 410 13 . . PROPN ejde-526 410 14 in in ADP ejde-526 410 15 ω ω PROPN ejde-526 410 16 . . PUNCT ejde-526 411 1 ( ( PUNCT ejde-526 411 2 3.28 3.28 NUM ejde-526 411 3 ) ) PUNCT ejde-526 411 4 by by ADP ejde-526 411 5 ( ( PUNCT ejde-526 411 6 3.13 3.13 NUM ejde-526 411 7 ) ) PUNCT ejde-526 411 8 and and CCONJ ejde-526 411 9 ( ( PUNCT ejde-526 411 10 3.28 3.28 NUM ejde-526 411 11 ) ) PUNCT ejde-526 411 12 , , PUNCT ejde-526 411 13 we we PRON ejde-526 411 14 obtain obtain VERB ejde-526 411 15 aε(|uε|)→ aε(|uε|)→ X ejde-526 411 16 a(|u| a(|u| PROPN ejde-526 411 17 ) ) PUNCT ejde-526 411 18 weakly weakly ADV ejde-526 411 19 in in ADP ejde-526 411 20 w w PROPN ejde-526 411 21 1,p 1,p PROPN ejde-526 411 22 0 0 NUM ejde-526 411 23 ( ( PUNCT ejde-526 411 24 ω ω PROPN ejde-526 411 25 , , PUNCT ejde-526 411 26 ν ν NOUN ejde-526 411 27 ) ) PUNCT ejde-526 411 28 , , PUNCT ejde-526 411 29 ( ( PUNCT ejde-526 411 30 3.29 3.29 NUM ejde-526 411 31 ) ) PUNCT ejde-526 411 32 since since SCONJ ejde-526 411 33 a(|u| a(|u| PROPN ejde-526 411 34 ) ) PUNCT ejde-526 411 35 is be AUX ejde-526 411 36 bounded bound VERB ejde-526 411 37 in in ADP ejde-526 411 38 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 411 39 ) ) PUNCT ejde-526 411 40 and and CCONJ ejde-526 412 1 meas({x meas({x NUM ejde-526 412 2 ∈ ∈ NOUN ejde-526 412 3 ω ω NOUN ejde-526 412 4 : : PUNCT ejde-526 412 5 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 412 6 = = SYM ejde-526 412 7 l l NOUN ejde-526 412 8 } } PUNCT ejde-526 412 9 ) ) PUNCT ejde-526 412 10 = = SYM ejde-526 412 11 0 0 NUM ejde-526 412 12 , , PUNCT ejde-526 412 13 by by ADP ejde-526 412 14 ( ( PUNCT ejde-526 412 15 2.3 2.3 NUM ejde-526 412 16 ) ) PUNCT ejde-526 412 17 we we PRON ejde-526 412 18 have have VERB ejde-526 412 19 aε(x aε(x NOUN ejde-526 412 20 , , PUNCT ejde-526 412 21 uε,∇uε)→ uε,∇uε)→ ADP ejde-526 412 22 a(x a(x PROPN ejde-526 412 23 , , PUNCT ejde-526 412 24 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 412 25 ) ) PUNCT ejde-526 412 26 a.e a.e PROPN ejde-526 412 27 . . PROPN ejde-526 412 28 ω ω PROPN ejde-526 412 29 . . PUNCT ejde-526 413 1 on on ADP ejde-526 413 2 the the DET ejde-526 413 3 other other ADJ ejde-526 413 4 hand hand NOUN ejde-526 413 5 by by ADP ejde-526 413 6 ( ( PUNCT ejde-526 413 7 2.3 2.3 NUM ejde-526 413 8 ) ) PUNCT ejde-526 413 9 and and CCONJ ejde-526 413 10 ( ( PUNCT ejde-526 413 11 3.13 3.13 NUM ejde-526 413 12 ) ) PUNCT ejde-526 413 13 |aε(x |aε(x PROPN ejde-526 413 14 , , PUNCT ejde-526 413 15 uε,∇uε)| uε,∇uε)| PROPN ejde-526 413 16 is be AUX ejde-526 413 17 bounded bound VERB ejde-526 413 18 in in ADP ejde-526 413 19 lp lp PROPN ejde-526 413 20 ′ ′ NUM ejde-526 413 21 ( ( PUNCT ejde-526 413 22 ω ω PROPN ejde-526 413 23 , , PUNCT ejde-526 413 24 ν−1/(p−1 ν−1/(p−1 NOUN ejde-526 413 25 ) ) PUNCT ejde-526 413 26 ) ) PUNCT ejde-526 413 27 ; ; PUNCT ejde-526 413 28 passing pass VERB ejde-526 413 29 to to ADP ejde-526 413 30 the the DET ejde-526 413 31 limit limit NOUN ejde-526 413 32 in in ADP ejde-526 413 33 the the DET ejde-526 413 34 weak weak ADJ ejde-526 413 35 formulation formulation NOUN ejde-526 413 36 ( ( PUNCT ejde-526 413 37 3.3 3.3 NUM ejde-526 413 38 ) ) PUNCT ejde-526 413 39 , , PUNCT ejde-526 413 40 we we PRON ejde-526 413 41 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 413 42 ω ω X ejde-526 413 43 a(x a(x PROPN ejde-526 413 44 , , PUNCT ejde-526 413 45 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 413 46 ) ) PUNCT ejde-526 413 47 · · PUNCT ejde-526 414 1 ∇ϕdx ∇ϕdx ADV ejde-526 414 2 = = PUNCT ejde-526 414 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 414 4 ω ω PROPN ejde-526 414 5 fϕ fϕ PROPN ejde-526 414 6 dx dx PROPN ejde-526 414 7 , , PUNCT ejde-526 414 8 for for ADP ejde-526 414 9 all all DET ejde-526 414 10 ϕ ϕ NOUN ejde-526 414 11 ∈w ∈w PROPN ejde-526 414 12 1,p 1,p PROPN ejde-526 414 13 0 0 SYM ejde-526 414 14 ( ( PUNCT ejde-526 414 15 ω ω PROPN ejde-526 414 16 , , PUNCT ejde-526 414 17 ν ν NOUN ejde-526 414 18 ) ) PUNCT ejde-526 414 19 . . PUNCT ejde-526 415 1 � � PROPN ejde-526 415 2 theorem theorem VERB ejde-526 415 3 3.12 3.12 NUM ejde-526 415 4 . . PUNCT ejde-526 416 1 let let VERB ejde-526 416 2 f f PROPN ejde-526 416 3 ∈ ∈ PROPN ejde-526 416 4 lr(ω lr(ω NOUN ejde-526 416 5 ) ) PUNCT ejde-526 416 6 , , PUNCT ejde-526 416 7 with with ADP ejde-526 416 8 1 1 NUM ejde-526 416 9 ≤ ≤ NOUN ejde-526 416 10 r r NOUN ejde-526 416 11 < < X ejde-526 416 12 ntp ntp NOUN ejde-526 416 13 nt(p−1)−n+tp nt(p−1)−n+tp NOUN ejde-526 416 14 . . PUNCT ejde-526 417 1 under under ADP ejde-526 417 2 hypothesis hypothesis NOUN ejde-526 417 3 ( ( PUNCT ejde-526 417 4 2.1 2.1 NUM ejde-526 417 5 ) ) PUNCT ejde-526 417 6 − − PROPN ejde-526 417 7 ( ( PUNCT ejde-526 417 8 2.5 2.5 NUM ejde-526 417 9 ) ) PUNCT ejde-526 417 10 , , PUNCT ejde-526 417 11 there there PRON ejde-526 417 12 exists exist VERB ejde-526 417 13 a a DET ejde-526 417 14 solution solution NOUN ejde-526 417 15 u u NOUN ejde-526 417 16 ∈ ∈ PROPN ejde-526 417 17 w w PROPN ejde-526 417 18 1,p 1,p PROPN ejde-526 417 19 0 0 NUM ejde-526 417 20 ( ( PUNCT ejde-526 417 21 ω ω PROPN ejde-526 417 22 , , PUNCT ejde-526 417 23 ν ν NOUN ejde-526 417 24 ) ) PUNCT ejde-526 417 25 of of ADP ejde-526 417 26 problem problem NOUN ejde-526 417 27 ( ( PUNCT ejde-526 417 28 2.2 2.2 NUM ejde-526 417 29 ) ) PUNCT ejde-526 417 30 , , PUNCT ejde-526 417 31 in in ADP ejde-526 417 32 the the DET ejde-526 417 33 sense sense NOUN ejde-526 417 34 of of ADP ejde-526 417 35 definition definition NOUN ejde-526 417 36 ( ( PUNCT ejde-526 417 37 2.2 2.2 NUM ejde-526 417 38 ) ) PUNCT ejde-526 417 39 such such ADJ ejde-526 417 40 that that SCONJ ejde-526 417 41 meas({x meas({x PROPN ejde-526 417 42 ∈ ∈ PROPN ejde-526 417 43 ω ω NOUN ejde-526 417 44 : : PUNCT ejde-526 417 45 |u(x)| |u(x)| PROPN ejde-526 417 46 = = SYM ejde-526 417 47 l l NOUN ejde-526 417 48 } } PUNCT ejde-526 417 49 ) ) PUNCT ejde-526 418 1 = = SYM ejde-526 418 2 0 0 X ejde-526 418 3 . . PUNCT ejde-526 418 4 proof proof NOUN ejde-526 418 5 . . PUNCT ejde-526 419 1 let let VERB ejde-526 419 2 uε uε PART ejde-526 419 3 be be AUX ejde-526 419 4 a a DET ejde-526 419 5 weak weak ADJ ejde-526 419 6 solution solution NOUN ejde-526 419 7 of of ADP ejde-526 419 8 the the DET ejde-526 419 9 approximate approximate ADJ ejde-526 419 10 problem problem NOUN ejde-526 419 11 ( ( PUNCT ejde-526 419 12 3.3 3.3 NUM ejde-526 419 13 ) ) PUNCT ejde-526 419 14 , , PUNCT ejde-526 419 15 by by ADP ejde-526 419 16 passing pass VERB ejde-526 419 17 to to ADP ejde-526 419 18 the the DET ejde-526 419 19 limit limit NOUN ejde-526 419 20 we we PRON ejde-526 419 21 can can AUX ejde-526 419 22 show show VERB ejde-526 419 23 that that SCONJ ejde-526 419 24 |u| |u| ADP ejde-526 419 25 < < X ejde-526 419 26 l l X ejde-526 419 27 a.e a.e PROPN ejde-526 419 28 . . PROPN ejde-526 420 1 in in ADP ejde-526 420 2 ω ω PROPN ejde-526 420 3 . . PUNCT ejde-526 421 1 take take VERB ejde-526 421 2 tk(uε tk(uε ADJ ejde-526 421 3 − − PROPN ejde-526 421 4 ϕ ϕ NOUN ejde-526 421 5 ) ) PUNCT ejde-526 421 6 , , PUNCT ejde-526 421 7 with with ADP ejde-526 421 8 ϕ ϕ PROPN ejde-526 421 9 ∈ ∈ PROPN ejde-526 421 10 w w PROPN ejde-526 421 11 1,p 1,p PROPN ejde-526 421 12 0 0 NUM ejde-526 421 13 ( ( PUNCT ejde-526 421 14 ω ω PROPN ejde-526 421 15 , , PUNCT ejde-526 421 16 ν ν NOUN ejde-526 421 17 ) ) PUNCT ejde-526 421 18 ∩ ∩ NOUN ejde-526 421 19 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-526 421 20 ) ) PUNCT ejde-526 421 21 as as ADP ejde-526 421 22 test test NOUN ejde-526 421 23 function function NOUN ejde-526 421 24 in in ADP ejde-526 421 25 ( ( PUNCT ejde-526 421 26 3.3 3.3 NUM ejde-526 421 27 ) ) PUNCT ejde-526 421 28 we we PRON ejde-526 421 29 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 421 30 |uε−ϕ|≤k |uε−ϕ|≤k PROPN ejde-526 421 31 a(x a(x PROPN ejde-526 421 32 , , PUNCT ejde-526 421 33 tl−ε(uε),∇uε tl−ε(uε),∇uε NOUN ejde-526 421 34 ) ) PUNCT ejde-526 421 35 · · PUNCT ejde-526 422 1 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 422 2 dx dx PROPN ejde-526 422 3 − − PROPN ejde-526 422 4 ∫ ∫ PROPN ejde-526 422 5 |uε−ϕ|≤k |uε−ϕ|≤k PROPN ejde-526 422 6 a(x a(x PROPN ejde-526 422 7 , , PUNCT ejde-526 422 8 tl−ε(uε),∇uε tl−ε(uε),∇uε NOUN ejde-526 422 9 ) ) PUNCT ejde-526 422 10 · · PUNCT ejde-526 423 1 ∇ϕdx ∇ϕdx ADV ejde-526 423 2 = = PUNCT ejde-526 423 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 423 4 ω ω PROPN ejde-526 423 5 fεtk(uε fεtk(uε VERB ejde-526 423 6 − − PROPN ejde-526 423 7 ϕ ϕ PROPN ejde-526 423 8 ) ) PUNCT ejde-526 423 9 dx dx PROPN ejde-526 423 10 . . PUNCT ejde-526 424 1 ( ( PUNCT ejde-526 424 2 3.30 3.30 NUM ejde-526 424 3 ) ) PUNCT ejde-526 424 4 since since SCONJ ejde-526 424 5 { { PUNCT ejde-526 424 6 |uε |uε NUM ejde-526 424 7 − − PROPN ejde-526 424 8 ϕ| ϕ| PROPN ejde-526 424 9 } } PUNCT ejde-526 424 10 ⊆ ⊆ NUM ejde-526 424 11 { { PUNCT ejde-526 424 12 |uε| |uε| PROPN ejde-526 424 13 ≤ ≤ PUNCT ejde-526 425 1 k k X ejde-526 425 2 + + PUNCT ejde-526 425 3 ‖ϕ‖l∞(ω ‖ϕ‖l∞(ω X ejde-526 425 4 ) ) PUNCT ejde-526 425 5 = = PUNCT ejde-526 426 1 m m VERB ejde-526 426 2 } } PUNCT ejde-526 426 3 , , PUNCT ejde-526 426 4 for for ADP ejde-526 426 5 1 1 NUM ejde-526 426 6 < < X ejde-526 426 7 k k X ejde-526 426 8 < < X ejde-526 426 9 l l NOUN ejde-526 426 10 and and CCONJ ejde-526 426 11 ‖ϕ‖l∞(ω ‖ϕ‖l∞(ω ADP ejde-526 426 12 ) ) PUNCT ejde-526 426 13 < < X ejde-526 426 14 l l X ejde-526 427 1 − − X ejde-526 427 2 k k NOUN ejde-526 427 3 , , PUNCT ejde-526 427 4 we we PRON ejde-526 427 5 obtain obtain VERB ejde-526 427 6 m m PRON ejde-526 427 7 < < X ejde-526 427 8 l l NOUN ejde-526 427 9 and and CCONJ ejde-526 427 10 consequently consequently ADV ejde-526 427 11 |a(x |a(x PROPN ejde-526 427 12 , , PUNCT ejde-526 427 13 tm tm PROPN ejde-526 427 14 ( ( PUNCT ejde-526 427 15 uε),∇tm uε),∇tm X ejde-526 427 16 ( ( PUNCT ejde-526 427 17 uε))| uε))| PROPN ejde-526 427 18 is be AUX ejde-526 427 19 bounded bound VERB ejde-526 427 20 in in ADP ejde-526 427 21 lp lp PROPN ejde-526 427 22 ′ ′ NUM ejde-526 427 23 ( ( PUNCT ejde-526 427 24 ω ω PROPN ejde-526 427 25 , , PUNCT ejde-526 427 26 ν−1/(p−1 ν−1/(p−1 NOUN ejde-526 427 27 ) ) PUNCT ejde-526 427 28 ) ) PUNCT ejde-526 427 29 , , PUNCT ejde-526 427 30 and and CCONJ ejde-526 427 31 lim lim PROPN ejde-526 427 32 ε→0 ε→0 PROPN ejde-526 427 33 ∫ ∫ PROPN ejde-526 427 34 |uε−ϕ|≤k |uε−ϕ|≤k PROPN ejde-526 427 35 a(x a(x PROPN ejde-526 427 36 , , PUNCT ejde-526 427 37 tl−ε(uε),∇uε tl−ε(uε),∇uε NOUN ejde-526 427 38 ) ) PUNCT ejde-526 427 39 · · PUNCT ejde-526 428 1 ∇ϕdx ∇ϕdx ADV ejde-526 428 2 = = PUNCT ejde-526 428 3 ∫ ∫ PROPN ejde-526 428 4 |u−ϕ|≤k |u−ϕ|≤k X ejde-526 428 5 a(x a(x PROPN ejde-526 428 6 , , PUNCT ejde-526 428 7 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 428 8 ) ) PUNCT ejde-526 428 9 · · PUNCT ejde-526 429 1 ∇ϕdx ∇ϕdx ADV ejde-526 429 2 . . PUNCT ejde-526 430 1 ( ( PUNCT ejde-526 430 2 3.31 3.31 NUM ejde-526 430 3 ) ) PUNCT ejde-526 430 4 14 14 NUM ejde-526 430 5 b. b. PROPN ejde-526 430 6 aharrouch aharrouch PROPN ejde-526 430 7 , , PUNCT ejde-526 430 8 j. j. PROPN ejde-526 430 9 bennouna bennouna PROPN ejde-526 430 10 ejde-2020/105 ejde-2020/105 PROPN ejde-526 431 1 moreover moreover ADV ejde-526 431 2 since since SCONJ ejde-526 431 3 fε fε NOUN ejde-526 431 4 strongly strongly ADV ejde-526 431 5 convergent convergent ADJ ejde-526 431 6 to to ADP ejde-526 431 7 f f PROPN ejde-526 431 8 in in ADP ejde-526 431 9 l1(ω l1(ω PROPN ejde-526 431 10 ) ) PUNCT ejde-526 431 11 , , PUNCT ejde-526 431 12 and and CCONJ ejde-526 431 13 tk(uε tk(uε VERB ejde-526 431 14 − − PROPN ejde-526 431 15 ϕ ϕ NOUN ejde-526 431 16 ) ) PUNCT ejde-526 431 17 weakly weakly ADJ ejde-526 431 18 * * PUNCT ejde-526 431 19 convergent convergent NOUN ejde-526 431 20 to to ADP ejde-526 431 21 tk(u− tk(u− NUM ejde-526 431 22 ϕ ϕ NOUN ejde-526 431 23 ) ) PUNCT ejde-526 431 24 in in ADP ejde-526 431 25 l∞(ω l∞(ω ADJ ejde-526 431 26 ) ) PUNCT ejde-526 431 27 , , PUNCT ejde-526 431 28 we we PRON ejde-526 431 29 have have VERB ejde-526 431 30 lim lim PROPN ejde-526 431 31 ε→0 ε→0 PROPN ejde-526 431 32 ∫ ∫ PROPN ejde-526 431 33 ω ω PROPN ejde-526 431 34 fεtk(uε fεtk(uε VERB ejde-526 431 35 − − PROPN ejde-526 431 36 ϕ ϕ NOUN ejde-526 431 37 ) ) PUNCT ejde-526 431 38 dx dx PROPN ejde-526 432 1 = = SYM ejde-526 432 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 432 3 ω ω NUM ejde-526 432 4 ftk(u− ftk(u− PROPN ejde-526 432 5 ϕ ϕ PROPN ejde-526 432 6 ) ) PUNCT ejde-526 432 7 dx dx PROPN ejde-526 432 8 . . PUNCT ejde-526 433 1 ( ( PUNCT ejde-526 433 2 3.32 3.32 NUM ejde-526 433 3 ) ) PUNCT ejde-526 433 4 on on ADP ejde-526 433 5 the the DET ejde-526 433 6 other other ADJ ejde-526 433 7 hand hand NOUN ejde-526 433 8 a(x a(x NOUN ejde-526 433 9 , , PUNCT ejde-526 433 10 tl−ε(uε),∇uε tl−ε(uε),∇uε NOUN ejde-526 433 11 ) ) PUNCT ejde-526 433 12 · · PUNCT ejde-526 434 1 ∇uε ∇uε ADJ ejde-526 434 2 being be AUX ejde-526 434 3 non non ADJ ejde-526 434 4 - - ADJ ejde-526 434 5 negative negative ADJ ejde-526 434 6 , , PUNCT ejde-526 434 7 and and CCONJ ejde-526 434 8 almost almost ADV ejde-526 434 9 everywhere everywhere ADV ejde-526 434 10 convergent convergent NOUN ejde-526 434 11 to to ADP ejde-526 434 12 a(x a(x NOUN ejde-526 434 13 , , PUNCT ejde-526 434 14 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 434 15 ) ) PUNCT ejde-526 434 16 · · PUNCT ejde-526 435 1 ∇u ∇u ADJ ejde-526 435 2 , , PUNCT ejde-526 435 3 by by ADP ejde-526 435 4 fatou fatou NOUN ejde-526 435 5 ’s ’s PART ejde-526 435 6 lemma lemma PROPN ejde-526 435 7 we we PRON ejde-526 435 8 conclude conclude VERB ejde-526 435 9 that that SCONJ ejde-526 435 10 lim lim PROPN ejde-526 435 11 inf inf PROPN ejde-526 435 12 ε→0 ε→0 NOUN ejde-526 435 13 ∫ ∫ PROPN ejde-526 435 14 |uε−ϕ|≤k |uε−ϕ|≤k PROPN ejde-526 435 15 a(x a(x PROPN ejde-526 435 16 , , PUNCT ejde-526 435 17 tl−ε(uε),∇uε)·∇uε tl−ε(uε),∇uε)·∇uε VERB ejde-526 435 18 dx dx PROPN ejde-526 435 19 ≤ ≤ NUM ejde-526 435 20 ∫ ∫ PROPN ejde-526 435 21 |u−ϕ|≤k |u−ϕ|≤k X ejde-526 435 22 a(x a(x PROPN ejde-526 435 23 , , PUNCT ejde-526 435 24 u,∇u)·∇u u,∇u)·∇u PROPN ejde-526 435 25 dx dx PROPN ejde-526 435 26 . . PUNCT ejde-526 436 1 ( ( PUNCT ejde-526 436 2 3.33 3.33 NUM ejde-526 436 3 ) ) PUNCT ejde-526 436 4 combining combine VERB ejde-526 436 5 ( ( PUNCT ejde-526 436 6 3.31 3.31 NUM ejde-526 436 7 ) ) PUNCT ejde-526 436 8 , , PUNCT ejde-526 436 9 ( ( PUNCT ejde-526 436 10 3.32 3.32 NUM ejde-526 436 11 ) ) PUNCT ejde-526 436 12 and and CCONJ ejde-526 436 13 ( ( PUNCT ejde-526 436 14 3.33 3.33 NUM ejde-526 436 15 ) ) PUNCT ejde-526 436 16 we we PRON ejde-526 436 17 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-526 436 18 ω ω NUM ejde-526 436 19 a(x a(x PROPN ejde-526 436 20 , , PUNCT ejde-526 436 21 u,∇u u,∇u PROPN ejde-526 436 22 ) ) PUNCT ejde-526 436 23 · · PUNCT ejde-526 437 1 ∇tk(u− ∇tk(u− DET ejde-526 437 2 ϕ ϕ NOUN ejde-526 437 3 ) ) PUNCT ejde-526 437 4 dx dx PROPN ejde-526 438 1 ≤ ≤ NUM ejde-526 438 2 ∫ ∫ PROPN ejde-526 438 3 ω ω NUM ejde-526 438 4 ftk(u− ftk(u− PROPN ejde-526 438 5 ϕ ϕ PROPN ejde-526 438 6 ) ) PUNCT ejde-526 438 7 dx dx PROPN ejde-526 438 8 , , PUNCT ejde-526 438 9 for for ADP ejde-526 438 10 all all DET ejde-526 438 11 ϕ ϕ NOUN ejde-526 438 12 ∈w ∈w PROPN ejde-526 438 13 1,p 1,p PROPN ejde-526 438 14 0 0 SYM ejde-526 438 15 ( ( PUNCT ejde-526 438 16 ω ω PROPN ejde-526 438 17 , , PUNCT ejde-526 438 18 ν ν NOUN ejde-526 438 19 ) ) PUNCT ejde-526 438 20 . . PUNCT ejde-526 439 1 � � PROPN ejde-526 439 2 references reference NOUN ejde-526 439 3 [ [ X ejde-526 439 4 1 1 NUM ejde-526 439 5 ] ] PUNCT ejde-526 439 6 l. l. PROPN ejde-526 439 7 aharouch aharouch PROPN ejde-526 439 8 , , PUNCT ejde-526 439 9 y. y. PROPN ejde-526 439 10 akdim akdim PROPN ejde-526 439 11 , , PUNCT ejde-526 439 12 e. e. PROPN ejde-526 439 13 azroul azroul PROPN ejde-526 439 14 ; ; PUNCT ejde-526 439 15 quasilinear quasilinear NOUN ejde-526 439 16 degenerate degenerate ADJ ejde-526 439 17 elliptic elliptic ADJ ejde-526 439 18 unilateral unilateral ADJ ejde-526 439 19 problems problem NOUN ejde-526 439 20 , , PUNCT ejde-526 439 21 abstract abstract ADJ ejde-526 439 22 and and CCONJ ejde-526 439 23 applied apply VERB ejde-526 439 24 analysis analysis NOUN ejde-526 439 25 , , PUNCT ejde-526 439 26 1 1 NUM ejde-526 439 27 ( ( PUNCT ejde-526 439 28 2005 2005 NUM ejde-526 439 29 ) ) PUNCT ejde-526 439 30 11–31 11–31 NUM ejde-526 439 31 . . PUNCT ejde-526 440 1 [ [ X ejde-526 440 2 2 2 X ejde-526 440 3 ] ] X ejde-526 440 4 y. y. PROPN ejde-526 440 5 akdim akdim PROPN ejde-526 440 6 , , PUNCT ejde-526 440 7 e. e. PROPN ejde-526 440 8 azroul azroul PROPN ejde-526 440 9 , , PUNCT ejde-526 440 10 a. a. NOUN ejde-526 440 11 benkirane benkirane NOUN ejde-526 440 12 ; ; PUNCT ejde-526 440 13 existence existence NOUN ejde-526 440 14 of of ADP ejde-526 440 15 solutions solution NOUN ejde-526 440 16 for for ADP ejde-526 440 17 quasilinear quasilinear NOUN ejde-526 440 18 degenerate degenerate ADJ ejde-526 440 19 elliptic elliptic ADJ ejde-526 440 20 equations equation NOUN ejde-526 440 21 , , PUNCT ejde-526 440 22 electronic electronic ADJ ejde-526 440 23 j. j. PROPN ejde-526 440 24 diff diff PROPN ejde-526 440 25 . . PUNCT ejde-526 441 1 equ equ PROPN ejde-526 441 2 . . PROPN ejde-526 441 3 , , PUNCT ejde-526 441 4 2001 2001 NUM ejde-526 441 5 ( ( PUNCT ejde-526 441 6 2001 2001 NUM ejde-526 441 7 ) ) PUNCT ejde-526 442 1 no no INTJ ejde-526 442 2 . . NOUN ejde-526 442 3 71 71 NUM ejde-526 442 4 , , PUNCT ejde-526 442 5 1–19 1–19 NOUN ejde-526 443 1 [ [ X ejde-526 443 2 3 3 NUM ejde-526 443 3 ] ] PUNCT ejde-526 443 4 a. a. NOUN ejde-526 443 5 alvino alvino PROPN ejde-526 443 6 , , PUNCT ejde-526 443 7 l. l. PROPN ejde-526 443 8 boccardo boccardo PROPN ejde-526 443 9 , , PUNCT ejde-526 443 10 v. v. ADP ejde-526 443 11 ferone ferone PROPN ejde-526 443 12 , , PUNCT ejde-526 443 13 l. l. PROPN ejde-526 443 14 orsina orsina PROPN ejde-526 443 15 , , PUNCT ejde-526 443 16 g. g. PROPN ejde-526 443 17 trombetti trombetti PROPN ejde-526 443 18 ; ; PUNCT ejde-526 443 19 existence existence NOUN ejde-526 443 20 results result VERB ejde-526 443 21 for for ADP ejde-526 443 22 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 443 23 elliptic elliptic ADJ ejde-526 443 24 equations equation NOUN ejde-526 443 25 with with ADP ejde-526 443 26 degenerate degenerate ADJ ejde-526 443 27 coercivity coercivity NOUN ejde-526 443 28 , , PUNCT ejde-526 443 29 ann ann PROPN ejde-526 443 30 . . PROPN ejde-526 443 31 mat mat PROPN ejde-526 443 32 . . PUNCT ejde-526 443 33 pura pura NOUN ejde-526 443 34 appl appl PROPN ejde-526 443 35 . . PROPN ejde-526 443 36 , , PUNCT ejde-526 443 37 ( ( PUNCT ejde-526 443 38 4 4 X ejde-526 443 39 ) ) PUNCT ejde-526 443 40 182 182 NUM ejde-526 443 41 ( ( PUNCT ejde-526 443 42 1 1 NUM ejde-526 443 43 ) ) PUNCT ejde-526 443 44 ( ( PUNCT ejde-526 443 45 2003 2003 NUM ejde-526 443 46 ) ) PUNCT ejde-526 443 47 53–79 53–79 NUM ejde-526 443 48 . . PUNCT ejde-526 444 1 [ [ X ejde-526 444 2 4 4 NUM ejde-526 444 3 ] ] PUNCT ejde-526 444 4 a. a. NOUN ejde-526 444 5 alvino alvino NOUN ejde-526 444 6 , , PUNCT ejde-526 444 7 v. v. ADP ejde-526 444 8 ferone ferone PROPN ejde-526 444 9 , , PUNCT ejde-526 444 10 g. g. PROPN ejde-526 444 11 trombetti trombetti PROPN ejde-526 444 12 ; ; PUNCT ejde-526 444 13 a a DET ejde-526 444 14 priori priori ADJ ejde-526 444 15 estimates estimate NOUN ejde-526 444 16 for for ADP ejde-526 444 17 a a DET ejde-526 444 18 class class NOUN ejde-526 444 19 of of ADP ejde-526 444 20 non non ADJ ejde-526 444 21 - - ADJ ejde-526 444 22 uniformly uniformly ADJ ejde-526 444 23 elliptic elliptic ADJ ejde-526 444 24 equations equation NOUN ejde-526 444 25 , , PUNCT ejde-526 444 26 atti atti PROPN ejde-526 444 27 semin semin PROPN ejde-526 444 28 . . PUNCT ejde-526 445 1 mat mat PROPN ejde-526 445 2 . . PROPN ejde-526 445 3 fis fis PROPN ejde-526 445 4 . . PUNCT ejde-526 446 1 univ univ PROPN ejde-526 446 2 . . PUNCT ejde-526 447 1 modena modena PROPN ejde-526 447 2 , , PUNCT ejde-526 447 3 46 46 NUM ejde-526 447 4 ( ( PUNCT ejde-526 447 5 suppl suppl PROPN ejde-526 447 6 . . PUNCT ejde-526 447 7 ) ) PUNCT ejde-526 448 1 ( ( PUNCT ejde-526 448 2 1998 1998 NUM ejde-526 448 3 ) ) PUNCT ejde-526 449 1 381–391 381–391 NUM ejde-526 449 2 . . PUNCT ejde-526 450 1 [ [ X ejde-526 450 2 5 5 NUM ejde-526 450 3 ] ] PUNCT ejde-526 450 4 a. a. NOUN ejde-526 450 5 alvino alvino NOUN ejde-526 450 6 and and CCONJ ejde-526 450 7 trombetti trombetti NUM ejde-526 450 8 ; ; PUNCT ejde-526 450 9 sulle sulle PROPN ejde-526 450 10 migliori migliori PROPN ejde-526 450 11 costanti costanti PROPN ejde-526 450 12 di di PROPN ejde-526 450 13 maggiorazione maggiorazione PROPN ejde-526 450 14 per per ADP ejde-526 450 15 una una PROPN ejde-526 450 16 classe classe PROPN ejde-526 450 17 di di PROPN ejde-526 450 18 equazioni equazioni PROPN ejde-526 450 19 ellittiche ellittiche PROPN ejde-526 450 20 degeneri degeneri PROPN ejde-526 450 21 . . PUNCT ejde-526 451 1 ricerche ricerche PROPN ejde-526 451 2 mat mat PROPN ejde-526 451 3 . . PROPN ejde-526 451 4 , , PUNCT ejde-526 451 5 1978 1978 NUM ejde-526 451 6 , , PUNCT ejde-526 451 7 27 27 NUM ejde-526 451 8 , , PUNCT ejde-526 451 9 413–428 413–428 NUM ejde-526 451 10 . . PUNCT ejde-526 452 1 [ [ X ejde-526 452 2 6 6 NUM ejde-526 452 3 ] ] PUNCT ejde-526 452 4 c. c. NOUN ejde-526 452 5 bandle bandle NOUN ejde-526 452 6 ; ; PUNCT ejde-526 452 7 isoperimetric isoperimetric ADJ ejde-526 452 8 inequalities inequality NOUN ejde-526 452 9 and and CCONJ ejde-526 452 10 applications application NOUN ejde-526 452 11 , , PUNCT ejde-526 452 12 in in ADP ejde-526 452 13 : : PUNCT ejde-526 452 14 monographs monograph NOUN ejde-526 452 15 and and CCONJ ejde-526 452 16 studies study NOUN ejde-526 452 17 in in ADP ejde-526 452 18 math math NOUN ejde-526 452 19 . . PUNCT ejde-526 452 20 , , PUNCT ejde-526 452 21 pitman pitman PROPN ejde-526 452 22 , , PUNCT ejde-526 452 23 london london PROPN ejde-526 452 24 ; ; PUNCT ejde-526 452 25 1980 1980 NUM ejde-526 452 26 . . PUNCT ejde-526 453 1 [ [ X ejde-526 453 2 7 7 NUM ejde-526 453 3 ] ] X ejde-526 453 4 ph ph PROPN ejde-526 453 5 . . PROPN ejde-526 453 6 benilan benilan PROPN ejde-526 453 7 , , PUNCT ejde-526 453 8 l. l. PROPN ejde-526 453 9 boccardo boccardo PROPN ejde-526 453 10 , , PUNCT ejde-526 453 11 t. t. NOUN ejde-526 453 12 gallouet gallouet NOUN ejde-526 453 13 , , PUNCT ejde-526 453 14 r. r. PROPN ejde-526 453 15 gariepy gariepy PROPN ejde-526 453 16 , , PUNCT ejde-526 453 17 m. m. NOUN ejde-526 453 18 pierre pierre PROPN ejde-526 453 19 , , PUNCT ejde-526 453 20 j. j. PROPN ejde-526 453 21 l. l. PROPN ejde-526 453 22 vazquez vazquez PROPN ejde-526 453 23 ; ; PUNCT ejde-526 453 24 an an DET ejde-526 453 25 l1 l1 NOUN ejde-526 453 26 - - PUNCT ejde-526 453 27 theory theory NOUN ejde-526 453 28 of of ADP ejde-526 453 29 existence existence NOUN ejde-526 453 30 and and CCONJ ejde-526 453 31 uniqueness uniqueness NOUN ejde-526 453 32 of of ADP ejde-526 453 33 solutions solution NOUN ejde-526 453 34 of of ADP ejde-526 453 35 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 453 36 elliptic elliptic ADJ ejde-526 453 37 equations equation NOUN ejde-526 453 38 , , PUNCT ejde-526 453 39 ann ann PROPN ejde-526 453 40 . . PROPN ejde-526 453 41 scuola scuola PROPN ejde-526 453 42 norm norm NOUN ejde-526 453 43 . . PUNCT ejde-526 453 44 sup sup NOUN ejde-526 453 45 . . PUNCT ejde-526 453 46 pisa pisa PROPN ejde-526 453 47 cl cl PROPN ejde-526 453 48 . . PUNCT ejde-526 454 1 sci sci PROPN ejde-526 454 2 . . PUNCT ejde-526 455 1 ; ; PUNCT ejde-526 456 1 4 4 NUM ejde-526 456 2 ( ( PUNCT ejde-526 456 3 1995 1995 NUM ejde-526 456 4 ) ) PUNCT ejde-526 456 5 , , PUNCT ejde-526 456 6 241 241 NUM ejde-526 456 7 - - SYM ejde-526 456 8 273 273 NUM ejde-526 456 9 . . PUNCT ejde-526 457 1 [ [ X ejde-526 457 2 8 8 NUM ejde-526 457 3 ] ] PUNCT ejde-526 457 4 a. a. NOUN ejde-526 457 5 benkirane benkirane PROPN ejde-526 457 6 , , PUNCT ejde-526 457 7 j. j. PROPN ejde-526 457 8 bennouna bennouna PROPN ejde-526 457 9 ; ; PUNCT ejde-526 457 10 existence existence NOUN ejde-526 457 11 of of ADP ejde-526 457 12 solutions solution NOUN ejde-526 457 13 for for ADP ejde-526 457 14 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 457 15 elliptic elliptic ADJ ejde-526 457 16 degenerate degenerate ADJ ejde-526 457 17 equations equation NOUN ejde-526 457 18 , , PUNCT ejde-526 457 19 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 457 20 analysis analysis NOUN ejde-526 457 21 , , PUNCT ejde-526 457 22 54 54 NUM ejde-526 457 23 ( ( PUNCT ejde-526 457 24 2003 2003 NUM ejde-526 457 25 ) ) PUNCT ejde-526 457 26 9–37 9–37 NOUN ejde-526 457 27 . . PUNCT ejde-526 458 1 [ [ X ejde-526 458 2 9 9 NUM ejde-526 458 3 ] ] X ejde-526 458 4 d. d. PROPN ejde-526 458 5 blanchard blanchard PROPN ejde-526 458 6 , , PUNCT ejde-526 458 7 o. o. NOUN ejde-526 458 8 guibé guibé NOUN ejde-526 458 9 ; ; PUNCT ejde-526 458 10 infinite infinite ADJ ejde-526 458 11 valued value VERB ejde-526 458 12 solutions solution NOUN ejde-526 458 13 of of ADP ejde-526 458 14 non non ADJ ejde-526 458 15 - - ADJ ejde-526 458 16 uniformly uniformly ADJ ejde-526 458 17 elliptic elliptic ADJ ejde-526 458 18 problems problem NOUN ejde-526 458 19 , , PUNCT ejde-526 458 20 anal anal PROPN ejde-526 458 21 . . PUNCT ejde-526 459 1 appl appl PROPN ejde-526 459 2 . . PROPN ejde-526 459 3 , , PUNCT ejde-526 459 4 2(3 2(3 NUM ejde-526 459 5 ) ) PUNCT ejde-526 459 6 ( ( PUNCT ejde-526 459 7 2004 2004 NUM ejde-526 459 8 ) ) PUNCT ejde-526 459 9 227–246 227–246 NUM ejde-526 459 10 . . PUNCT ejde-526 460 1 [ [ X ejde-526 460 2 10 10 NUM ejde-526 460 3 ] ] X ejde-526 460 4 l. l. PROPN ejde-526 460 5 boccardo boccardo PROPN ejde-526 460 6 , , PUNCT ejde-526 460 7 a. a. PROPN ejde-526 460 8 dall’aglio dall’aglio PROPN ejde-526 460 9 , , PUNCT ejde-526 460 10 l. l. PROPN ejde-526 460 11 orsina orsina PROPN ejde-526 460 12 ; ; PUNCT ejde-526 460 13 existence existence NOUN ejde-526 460 14 and and CCONJ ejde-526 460 15 regularity regularity NOUN ejde-526 460 16 results result NOUN ejde-526 460 17 for for ADP ejde-526 460 18 some some DET ejde-526 460 19 degenerate degenerate ADJ ejde-526 460 20 elliptic elliptic ADJ ejde-526 460 21 equations equation NOUN ejde-526 460 22 , , PUNCT ejde-526 460 23 atti atti PROPN ejde-526 460 24 . . PROPN ejde-526 460 25 semin semin PROPN ejde-526 460 26 . . PUNCT ejde-526 461 1 mat mat PROPN ejde-526 461 2 . . PROPN ejde-526 461 3 fis fis PROPN ejde-526 461 4 . . PUNCT ejde-526 462 1 univ univ PROPN ejde-526 462 2 . . PUNCT ejde-526 463 1 modena modena PROPN ejde-526 463 2 , , PUNCT ejde-526 463 3 46(suppl 46(suppl NUM ejde-526 463 4 . . PUNCT ejde-526 463 5 ) ) PUNCT ejde-526 464 1 ( ( PUNCT ejde-526 464 2 1998 1998 NUM ejde-526 464 3 ) ) PUNCT ejde-526 464 4 51–81 51–81 NUM ejde-526 464 5 . . PUNCT ejde-526 465 1 [ [ X ejde-526 465 2 11 11 NUM ejde-526 465 3 ] ] X ejde-526 465 4 f. f. PROPN ejde-526 465 5 della della PROPN ejde-526 465 6 pietra pietra PROPN ejde-526 465 7 , , PUNCT ejde-526 465 8 g. g. PROPN ejde-526 465 9 di di PROPN ejde-526 465 10 blasio blasio PROPN ejde-526 465 11 ; ; PUNCT ejde-526 465 12 existence existence NOUN ejde-526 465 13 results result VERB ejde-526 465 14 for for ADP ejde-526 465 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 465 16 elliptic elliptic ADJ ejde-526 465 17 problems problem NOUN ejde-526 465 18 with with ADP ejde-526 465 19 unbounded unbounded ADJ ejde-526 465 20 coefficients coefficient NOUN ejde-526 465 21 , , PUNCT ejde-526 465 22 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 465 23 analysis analysis NOUN ejde-526 465 24 , , PUNCT ejde-526 465 25 71 71 NUM ejde-526 465 26 ( ( PUNCT ejde-526 465 27 2009 2009 NUM ejde-526 465 28 ) ) PUNCT ejde-526 465 29 72–87 72–87 NUM ejde-526 465 30 . . PUNCT ejde-526 466 1 [ [ X ejde-526 466 2 12 12 NUM ejde-526 466 3 ] ] X ejde-526 466 4 r. r. PROPN ejde-526 466 5 di di PROPN ejde-526 466 6 nardo nardo PROPN ejde-526 466 7 , , PUNCT ejde-526 466 8 f. f. PROPN ejde-526 466 9 feo feo PROPN ejde-526 466 10 ; ; PUNCT ejde-526 466 11 existence existence NOUN ejde-526 466 12 and and CCONJ ejde-526 466 13 uniqueness uniqueness NOUN ejde-526 466 14 for for ADP ejde-526 466 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 466 16 anisotropic anisotropic NOUN ejde-526 466 17 elliptic elliptic ADJ ejde-526 466 18 equations equation NOUN ejde-526 466 19 , , PUNCT ejde-526 466 20 arch arch NOUN ejde-526 466 21 . . PUNCT ejde-526 467 1 math math NOUN ejde-526 467 2 . . PUNCT ejde-526 468 1 , , PUNCT ejde-526 468 2 102 102 NUM ejde-526 468 3 ( ( PUNCT ejde-526 468 4 2014 2014 NUM ejde-526 468 5 ) ) PUNCT ejde-526 468 6 , , PUNCT ejde-526 468 7 141–153 141–153 NUM ejde-526 468 8 . . PUNCT ejde-526 469 1 [ [ X ejde-526 469 2 13 13 NUM ejde-526 469 3 ] ] X ejde-526 469 4 g. g. PROPN ejde-526 469 5 h. h. PROPN ejde-526 469 6 hardy hardy PROPN ejde-526 469 7 , , PUNCT ejde-526 469 8 j. j. PROPN ejde-526 469 9 l. l. PROPN ejde-526 469 10 littlewood littlewood PROPN ejde-526 469 11 , , PUNCT ejde-526 469 12 g. g. PROPN ejde-526 469 13 polya polya PROPN ejde-526 469 14 ; ; PUNCT ejde-526 469 15 inequalities inequality NOUN ejde-526 469 16 , , PUNCT ejde-526 469 17 cambridge cambridge PROPN ejde-526 469 18 univ univ PROPN ejde-526 469 19 . . PUNCT ejde-526 470 1 press press PROPN ejde-526 470 2 ; ; PUNCT ejde-526 470 3 1964 1964 NUM ejde-526 470 4 . . PUNCT ejde-526 471 1 [ [ X ejde-526 471 2 14 14 NUM ejde-526 471 3 ] ] X ejde-526 471 4 j.-l j.-l ADJ ejde-526 471 5 . . PUNCT ejde-526 472 1 lions lion NOUN ejde-526 472 2 ; ; PUNCT ejde-526 472 3 quelques quelque NOUN ejde-526 472 4 méthodes méthodes PROPN ejde-526 472 5 de de PROPN ejde-526 472 6 réesolution réesolution PROPN ejde-526 472 7 des des PROPN ejde-526 472 8 problèmes problèmes PROPN ejde-526 472 9 aux aux PROPN ejde-526 472 10 limites limites X ejde-526 472 11 non non X ejde-526 472 12 linéaires linéaire NOUN ejde-526 472 13 , , PUNCT ejde-526 472 14 dunod dunod PROPN ejde-526 472 15 et et NOUN ejde-526 472 16 gauthier gauthier PROPN ejde-526 472 17 - - PUNCT ejde-526 472 18 villars villars PROPN ejde-526 472 19 , , PUNCT ejde-526 472 20 paris paris PROPN ejde-526 472 21 , , PUNCT ejde-526 472 22 1984 1984 NUM ejde-526 472 23 . . PUNCT ejde-526 473 1 [ [ X ejde-526 473 2 15 15 NUM ejde-526 473 3 ] ] X ejde-526 473 4 j. j. PROPN ejde-526 473 5 mossino mossino PROPN ejde-526 473 6 ; ; PUNCT ejde-526 473 7 inégalities inégalitie NOUN ejde-526 473 8 isopérimètriques isopérimètrique NOUN ejde-526 473 9 et et NOUN ejde-526 473 10 applications application NOUN ejde-526 473 11 en en ADP ejde-526 473 12 physique physique NOUN ejde-526 473 13 , , PUNCT ejde-526 473 14 collection collection NOUN ejde-526 473 15 travaux travaux PROPN ejde-526 473 16 en en PROPN ejde-526 473 17 cours cours PROPN ejde-526 473 18 , , PUNCT ejde-526 473 19 herman herman PROPN ejde-526 473 20 , , PUNCT ejde-526 473 21 paris paris PROPN ejde-526 473 22 ; ; PUNCT ejde-526 473 23 1984 1984 NUM ejde-526 473 24 . . PUNCT ejde-526 474 1 [ [ X ejde-526 474 2 16 16 NUM ejde-526 474 3 ] ] PUNCT ejde-526 474 4 m. m. NOUN ejde-526 474 5 k. k. PROPN ejde-526 474 6 w w PROPN ejde-526 474 7 murthy murthy PROPN ejde-526 474 8 , , PUNCT ejde-526 474 9 g. g. PROPN ejde-526 474 10 stampacchia stampacchia PROPN ejde-526 474 11 ; ; PUNCT ejde-526 474 12 boundary boundary ADJ ejde-526 474 13 value value NOUN ejde-526 474 14 problems problem NOUN ejde-526 474 15 for for ADP ejde-526 474 16 some some DET ejde-526 474 17 degenerate degenerate ADJ ejde-526 474 18 elliptic elliptic ADJ ejde-526 474 19 operators operator NOUN ejde-526 474 20 , , PUNCT ejde-526 474 21 ann ann PROPN ejde-526 474 22 . . PROPN ejde-526 474 23 mat mat PROPN ejde-526 474 24 . . PUNCT ejde-526 474 25 pura pura NOUN ejde-526 474 26 appl appl PROPN ejde-526 474 27 . . PUNCT ejde-526 474 28 ; ; PUNCT ejde-526 474 29 80 80 NUM ejde-526 474 30 ( ( PUNCT ejde-526 474 31 1968 1968 NUM ejde-526 474 32 ) ) PUNCT ejde-526 474 33 , , PUNCT ejde-526 474 34 1–122 1–122 NUM ejde-526 474 35 . . PUNCT ejde-526 475 1 [ [ X ejde-526 475 2 17 17 NUM ejde-526 475 3 ] ] PUNCT ejde-526 475 4 a. a. NOUN ejde-526 475 5 porretta porretta PROPN ejde-526 475 6 , , PUNCT ejde-526 475 7 s. s. PROPN ejde-526 475 8 segura segura PROPN ejde-526 475 9 de de PROPN ejde-526 475 10 leon leon PROPN ejde-526 475 11 ; ; PUNCT ejde-526 475 12 nonlinear nonlinear ADJ ejde-526 475 13 elliptic elliptic ADJ ejde-526 475 14 equations equation NOUN ejde-526 475 15 having have VERB ejde-526 475 16 a a DET ejde-526 475 17 gradient gradient ADJ ejde-526 475 18 term term NOUN ejde-526 475 19 with with ADP ejde-526 475 20 natural natural ADJ ejde-526 475 21 growth growth NOUN ejde-526 475 22 , , PUNCT ejde-526 475 23 j. j. PROPN ejde-526 475 24 math math PROPN ejde-526 475 25 . . PUNCT ejde-526 476 1 pures pure NOUN ejde-526 476 2 appl appl PROPN ejde-526 476 3 . . PUNCT ejde-526 476 4 ; ; PUNCT ejde-526 476 5 85 85 NUM ejde-526 476 6 ( ( PUNCT ejde-526 476 7 2006 2006 NUM ejde-526 476 8 ) ) PUNCT ejde-526 476 9 465–492 465–492 NUM ejde-526 476 10 . . PUNCT ejde-526 477 1 [ [ X ejde-526 477 2 18 18 NUM ejde-526 477 3 ] ] X ejde-526 477 4 g. g. PROPN ejde-526 477 5 talenti talenti PROPN ejde-526 477 6 ; ; PUNCT ejde-526 477 7 linear linear PROPN ejde-526 477 8 elliptic elliptic ADJ ejde-526 477 9 p.d.e p.d.e NOUN ejde-526 477 10 . . PUNCT ejde-526 477 11 ’s ’s PART ejde-526 477 12 : : PUNCT ejde-526 477 13 level level NOUN ejde-526 477 14 sets set NOUN ejde-526 477 15 , , PUNCT ejde-526 477 16 rearrangements rearrangement NOUN ejde-526 477 17 and and CCONJ ejde-526 477 18 a a DET ejde-526 477 19 priori priori ADJ ejde-526 477 20 estimates estimate NOUN ejde-526 477 21 of of ADP ejde-526 477 22 solutions solution NOUN ejde-526 477 23 , , PUNCT ejde-526 477 24 boll boll NOUN ejde-526 477 25 . . PUNCT ejde-526 478 1 unione unione PROPN ejde-526 478 2 mat mat PROPN ejde-526 478 3 . . PUNCT ejde-526 478 4 ital ital PROPN ejde-526 478 5 . . PUNCT ejde-526 478 6 , , PUNCT ejde-526 478 7 b b X ejde-526 478 8 ( ( PUNCT ejde-526 478 9 6 6 NUM ejde-526 478 10 ) ) SYM ejde-526 478 11 4 4 NUM ejde-526 478 12 ( ( PUNCT ejde-526 478 13 1985 1985 NUM ejde-526 478 14 ) ) PUNCT ejde-526 479 1 917–949 917–949 NUM ejde-526 479 2 . . PUNCT ejde-526 480 1 ejde-2020/105 ejde-2020/105 AUX ejde-526 481 1 degenerate degenerate ADJ ejde-526 481 2 elliptic elliptic ADJ ejde-526 481 3 equations equation NOUN ejde-526 481 4 15 15 NUM ejde-526 481 5 aharrouch aharrouch ADJ ejde-526 481 6 benali benali PROPN ejde-526 481 7 sidi sidi NOUN ejde-526 481 8 mohamed mohamed PROPN ejde-526 481 9 ben ben PROPN ejde-526 481 10 abdellah abdellah PROPN ejde-526 481 11 university university PROPN ejde-526 481 12 , , PUNCT ejde-526 481 13 faculty faculty NOUN ejde-526 481 14 of of ADP ejde-526 481 15 sciences sciences PROPN ejde-526 481 16 dhar dhar PROPN ejde-526 481 17 el el PROPN ejde-526 481 18 mahraz mahraz PROPN ejde-526 481 19 , , PUNCT ejde-526 481 20 laboratory laboratory NOUN ejde-526 481 21 lama lama PROPN ejde-526 481 22 , , PUNCT ejde-526 481 23 department department NOUN ejde-526 481 24 of of ADP ejde-526 481 25 mathematics mathematics PROPN ejde-526 481 26 , , PUNCT ejde-526 481 27 p.o p.o PROPN ejde-526 481 28 . . PROPN ejde-526 481 29 box box PROPN ejde-526 481 30 1796 1796 NUM ejde-526 481 31 atlas atlas PROPN ejde-526 481 32 fez fez PROPN ejde-526 481 33 , , PUNCT ejde-526 481 34 morocco morocco PROPN ejde-526 481 35 email email NOUN ejde-526 481 36 address address NOUN ejde-526 481 37 : : PUNCT ejde-526 481 38 bnaliaharrouch@gmail.com bnaliaharrouch@gmail.com X ejde-526 481 39 bennouna bennouna PROPN ejde-526 481 40 jaouad jaouad PROPN ejde-526 481 41 sidi sidi PROPN ejde-526 481 42 mohamed mohamed PROPN ejde-526 481 43 ben ben PROPN ejde-526 481 44 abdellah abdellah PROPN ejde-526 481 45 university university PROPN ejde-526 481 46 , , PUNCT ejde-526 481 47 faculty faculty NOUN ejde-526 481 48 of of ADP ejde-526 481 49 sciences sciences PROPN ejde-526 481 50 dhar dhar PROPN ejde-526 481 51 el el PROPN ejde-526 481 52 mahraz mahraz PROPN ejde-526 481 53 , , PUNCT ejde-526 481 54 laboratory laboratory NOUN ejde-526 481 55 lama lama PROPN ejde-526 481 56 , , PUNCT ejde-526 481 57 department department NOUN ejde-526 481 58 of of ADP ejde-526 481 59 mathematics mathematics PROPN ejde-526 481 60 , , PUNCT ejde-526 481 61 p.o p.o PROPN ejde-526 481 62 . . PROPN ejde-526 481 63 box box PROPN ejde-526 481 64 1796 1796 NUM ejde-526 481 65 atlas atlas PROPN ejde-526 481 66 fez fez PROPN ejde-526 481 67 , , PUNCT ejde-526 481 68 morocco morocco PROPN ejde-526 481 69 email email NOUN ejde-526 481 70 address address NOUN ejde-526 481 71 : : PUNCT ejde-526 482 1 jbennouna@hotmail.com jbennouna@hotmail.com X ejde-526 483 1 1 1 X ejde-526 483 2 . . PUNCT ejde-526 483 3 introduction introduction NOUN ejde-526 483 4 2 2 NUM ejde-526 483 5 . . PUNCT ejde-526 483 6 preliminaries preliminary NOUN ejde-526 483 7 assumptions assumption NOUN ejde-526 483 8 weighted weight VERB ejde-526 483 9 sobolev sobolev NOUN ejde-526 483 10 spaces space NOUN ejde-526 483 11 rearrangement rearrangement ADJ ejde-526 483 12 properties property NOUN ejde-526 483 13 3 3 NUM ejde-526 483 14 . . PUNCT ejde-526 483 15 main main ADJ ejde-526 483 16 result result NOUN ejde-526 483 17 3.1 3.1 NUM ejde-526 483 18 . . PUNCT ejde-526 484 1 a a DET ejde-526 484 2 priori priori ADJ ejde-526 484 3 estimate estimate NOUN ejde-526 484 4 references reference NOUN