id sid tid token lemma pos ejde-53 1 1 electronic electronic ADJ ejde-53 1 2 journal journal NOUN ejde-53 1 3 of of ADP ejde-53 1 4 differential differential ADJ ejde-53 1 5 equations equation NOUN ejde-53 1 6 , , PUNCT ejde-53 1 7 vol vol NOUN ejde-53 1 8 . . PUNCT ejde-53 1 9 2023 2023 NUM ejde-53 1 10 ( ( PUNCT ejde-53 1 11 2023 2023 NUM ejde-53 1 12 ) ) PUNCT ejde-53 1 13 , , PUNCT ejde-53 1 14 no no INTJ ejde-53 1 15 . . NOUN ejde-53 1 16 28 28 NUM ejde-53 1 17 , , PUNCT ejde-53 1 18 pp pp PROPN ejde-53 1 19 . . PUNCT ejde-53 2 1 1–14 1–14 PROPN ejde-53 2 2 . . PUNCT ejde-53 3 1 issn issn PROPN ejde-53 3 2 : : PUNCT ejde-53 3 3 1072 1072 NUM ejde-53 3 4 - - SYM ejde-53 3 5 6691 6691 NUM ejde-53 3 6 . . 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PUNCT ejde-53 5 1 this this DET ejde-53 5 2 article article NOUN ejde-53 5 3 concerns concern VERB ejde-53 5 4 the the DET ejde-53 5 5 existence existence NOUN ejde-53 5 6 of of ADP ejde-53 5 7 solutions solution NOUN ejde-53 5 8 to to ADP ejde-53 5 9 the the DET ejde-53 5 10 schrödingerpoisson schrödingerpoisson PROPN ejde-53 5 11 system system NOUN ejde-53 5 12 −∆pu+ −∆pu+ PROPN ejde-53 5 13 |u|p−2u+ |u|p−2u+ VERB ejde-53 5 14 λφu λφu X ejde-53 6 1 = = PRON ejde-53 6 2 |u|q−2u+ |u|q−2u+ PROPN ejde-53 6 3 h(x h(x PROPN ejde-53 6 4 ) ) PUNCT ejde-53 6 5 in in ADP ejde-53 6 6 r3 r3 PROPN ejde-53 6 7 , , PUNCT ejde-53 6 8 −∆φ −∆φ X ejde-53 6 9 = = PROPN ejde-53 6 10 u2 u2 PROPN ejde-53 6 11 in in ADP ejde-53 6 12 r3 r3 PROPN ejde-53 6 13 , , PUNCT ejde-53 6 14 where where SCONJ ejde-53 6 15 4/3 4/3 PRON ejde-53 6 16 < < X ejde-53 6 17 p p X ejde-53 6 18 < < X ejde-53 6 19 12/5 12/5 PROPN ejde-53 6 20 , , PUNCT ejde-53 6 21 p p X ejde-53 6 22 < < X ejde-53 6 23 q q X ejde-53 6 24 < < X ejde-53 6 25 p∗ p∗ NOUN ejde-53 6 26 = = PUNCT ejde-53 6 27 3p/(3 3p/(3 NUM ejde-53 6 28 − − PROPN ejde-53 6 29 p p NOUN ejde-53 6 30 ) ) PUNCT ejde-53 6 31 , , PUNCT ejde-53 6 32 ∆pu ∆pu NOUN ejde-53 6 33 = = SYM ejde-53 6 34 div(|∇u|p−2∇u div(|∇u|p−2∇u PROPN ejde-53 6 35 ) ) PUNCT ejde-53 6 36 , , PUNCT ejde-53 6 37 λ λ X ejde-53 6 38 > > X ejde-53 6 39 0 0 NUM ejde-53 6 40 , , PUNCT ejde-53 6 41 and and CCONJ ejde-53 6 42 h h NOUN ejde-53 6 43 6= 6= NOUN ejde-53 6 44 0 0 X ejde-53 6 45 . . 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PUNCT ejde-53 24 1 submitted submit VERB ejde-53 24 2 july july PROPN ejde-53 24 3 8 8 NUM ejde-53 24 4 , , PUNCT ejde-53 24 5 2022 2022 NUM ejde-53 24 6 . . PUNCT ejde-53 25 1 published publish VERB ejde-53 25 2 march march PROPN ejde-53 25 3 11 11 NUM ejde-53 25 4 , , PUNCT ejde-53 25 5 2023 2023 NUM ejde-53 25 6 . . PUNCT ejde-53 26 1 1 1 NUM ejde-53 26 2 2 2 NUM ejde-53 26 3 l. l. PROPN ejde-53 26 4 huang huang PROPN ejde-53 26 5 , , PUNCT ejde-53 26 6 j. j. PROPN ejde-53 26 7 su su PROPN ejde-53 26 8 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 26 9 the the DET ejde-53 26 10 existence existence NOUN ejde-53 26 11 of of ADP ejde-53 26 12 solutions solution NOUN ejde-53 26 13 to to ADP ejde-53 26 14 the the DET ejde-53 26 15 system system NOUN ejde-53 26 16 ( ( PUNCT ejde-53 26 17 1.3 1.3 NUM ejde-53 26 18 ) ) PUNCT ejde-53 26 19 has have AUX ejde-53 26 20 been be AUX ejde-53 26 21 discussed discuss VERB ejde-53 26 22 in in ADP ejde-53 26 23 [ [ X ejde-53 26 24 4 4 NUM ejde-53 26 25 ] ] PUNCT ejde-53 26 26 for for ADP ejde-53 26 27 q q PROPN ejde-53 26 28 ∈ ∈ PROPN ejde-53 26 29 ( ( PUNCT ejde-53 26 30 3 3 NUM ejde-53 26 31 , , PUNCT ejde-53 26 32 6 6 NUM ejde-53 26 33 ) ) PUNCT ejde-53 26 34 , , PUNCT ejde-53 26 35 in in ADP ejde-53 26 36 [ [ X ejde-53 26 37 9 9 NUM ejde-53 26 38 , , PUNCT ejde-53 26 39 10 10 NUM ejde-53 26 40 ] ] PUNCT ejde-53 26 41 for for ADP ejde-53 26 42 q q PROPN ejde-53 26 43 ∈ ∈ PROPN ejde-53 27 1 [ [ X ejde-53 27 2 4 4 NUM ejde-53 27 3 , , PUNCT ejde-53 27 4 6 6 NUM ejde-53 27 5 ) ) PUNCT ejde-53 27 6 , , PUNCT ejde-53 27 7 and and CCONJ ejde-53 27 8 in in ADP ejde-53 27 9 [ [ X ejde-53 27 10 2 2 NUM ejde-53 27 11 , , PUNCT ejde-53 27 12 3 3 NUM ejde-53 27 13 , , PUNCT ejde-53 27 14 21 21 NUM ejde-53 27 15 , , PUNCT ejde-53 27 16 25 25 NUM ejde-53 27 17 , , PUNCT ejde-53 27 18 31 31 NUM ejde-53 27 19 ] ] PUNCT ejde-53 27 20 for for ADP ejde-53 27 21 q q PROPN ejde-53 27 22 ∈ ∈ PROPN ejde-53 27 23 ( ( PUNCT ejde-53 27 24 2 2 NUM ejde-53 27 25 , , PUNCT ejde-53 27 26 6 6 NUM ejde-53 27 27 ) ) PUNCT ejde-53 27 28 or or CCONJ ejde-53 27 29 general general ADJ ejde-53 27 30 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-53 27 31 . . PUNCT ejde-53 28 1 for for ADP ejde-53 28 2 p p NOUN ejde-53 28 3 = = SYM ejde-53 28 4 2 2 NUM ejde-53 28 5 , , PUNCT ejde-53 28 6 the the DET ejde-53 28 7 system system NOUN ejde-53 28 8 ( ( PUNCT ejde-53 28 9 1.1 1.1 NUM ejde-53 28 10 ) ) PUNCT ejde-53 28 11 reduces reduce VERB ejde-53 28 12 to to ADP ejde-53 28 13 the the DET ejde-53 28 14 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 28 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 28 16 - - ADJ ejde-53 28 17 poisson poisson NOUN ejde-53 28 18 system system NOUN ejde-53 28 19 −∆u+ −∆u+ NOUN ejde-53 28 20 u+ u+ NOUN ejde-53 28 21 λφu λφu NOUN ejde-53 28 22 = = SYM ejde-53 28 23 |u|q−2u+ |u|q−2u+ PROPN ejde-53 28 24 h(x h(x PROPN ejde-53 28 25 ) ) PUNCT ejde-53 28 26 in in ADP ejde-53 28 27 r3 r3 PROPN ejde-53 28 28 , , PUNCT ejde-53 28 29 −∆φ −∆φ X ejde-53 29 1 = = PROPN ejde-53 29 2 u2 u2 PROPN ejde-53 29 3 in in ADP ejde-53 29 4 r3 r3 PROPN ejde-53 29 5 , , PUNCT ejde-53 29 6 ( ( PUNCT ejde-53 29 7 1.4 1.4 NUM ejde-53 29 8 ) ) PUNCT ejde-53 29 9 where where SCONJ ejde-53 29 10 λ λ X ejde-53 29 11 > > X ejde-53 29 12 0 0 NUM ejde-53 29 13 , , PUNCT ejde-53 29 14 q q PROPN ejde-53 29 15 ∈ ∈ PROPN ejde-53 29 16 ( ( PUNCT ejde-53 29 17 2 2 NUM ejde-53 29 18 , , PUNCT ejde-53 29 19 6 6 NUM ejde-53 29 20 ) ) PUNCT ejde-53 29 21 and and CCONJ ejde-53 29 22 h(x h(x PROPN ejde-53 29 23 ) ) PUNCT ejde-53 29 24 6≡ 6≡ NUM ejde-53 29 25 0 0 X ejde-53 29 26 . . PUNCT ejde-53 30 1 in in ADP ejde-53 30 2 [ [ X ejde-53 30 3 22 22 NUM ejde-53 30 4 ] ] PUNCT ejde-53 30 5 , , PUNCT ejde-53 30 6 salvatore salvatore PROPN ejde-53 30 7 obtained obtain VERB ejde-53 30 8 multiple multiple ADJ ejde-53 30 9 radial radial ADJ ejde-53 30 10 solutions solution NOUN ejde-53 30 11 to to ADP ejde-53 30 12 the the DET ejde-53 30 13 system system NOUN ejde-53 30 14 ( ( PUNCT ejde-53 30 15 1.4 1.4 NUM ejde-53 30 16 ) ) PUNCT ejde-53 30 17 for for ADP ejde-53 30 18 q q PROPN ejde-53 30 19 ∈ ∈ PROPN ejde-53 30 20 ( ( PUNCT ejde-53 30 21 4 4 NUM ejde-53 30 22 , , PUNCT ejde-53 30 23 6 6 NUM ejde-53 30 24 ) ) PUNCT ejde-53 30 25 and and CCONJ ejde-53 30 26 h h NOUN ejde-53 30 27 ∈ ∈ PROPN ejde-53 30 28 l2(r3 l2(r3 NOUN ejde-53 30 29 ) ) PUNCT ejde-53 30 30 being be AUX ejde-53 30 31 radial radial ADJ ejde-53 30 32 with with ADP ejde-53 30 33 small small ADJ ejde-53 30 34 l2 l2 NOUN ejde-53 30 35 - - PUNCT ejde-53 30 36 norm norm NOUN ejde-53 30 37 . . PUNCT ejde-53 31 1 in in ADP ejde-53 31 2 [ [ X ejde-53 31 3 16 16 NUM ejde-53 31 4 ] ] PUNCT ejde-53 31 5 , , PUNCT ejde-53 31 6 jiang jiang PROPN ejde-53 31 7 , , PUNCT ejde-53 31 8 wang wang PROPN ejde-53 31 9 and and CCONJ ejde-53 31 10 zhou zhou PROPN ejde-53 31 11 considered consider VERB ejde-53 31 12 the the DET ejde-53 31 13 system system NOUN ejde-53 31 14 ( ( PUNCT ejde-53 31 15 1.4 1.4 NUM ejde-53 31 16 ) ) PUNCT ejde-53 31 17 with with ADP ejde-53 31 18 h h NOUN ejde-53 31 19 ∈ ∈ PROPN ejde-53 31 20 c1(r3 c1(r3 NUM ejde-53 31 21 ) ) PUNCT ejde-53 31 22 ∩ ∩ ADJ ejde-53 31 23 l2(r3 l2(r3 X ejde-53 31 24 ) ) PUNCT ejde-53 31 25 being be AUX ejde-53 31 26 a a DET ejde-53 31 27 nonnegative nonnegative ADJ ejde-53 31 28 radial radial ADJ ejde-53 31 29 function function NOUN ejde-53 31 30 and and CCONJ ejde-53 31 31 satisfying satisfying NOUN ejde-53 31 32 ( ( PUNCT ejde-53 31 33 x,∇h x,∇h PROPN ejde-53 31 34 ) ) PUNCT ejde-53 31 35 ∈ ∈ PROPN ejde-53 31 36 l2(r3 l2(r3 NOUN ejde-53 31 37 ) ) PUNCT ejde-53 31 38 . . PUNCT ejde-53 32 1 applying apply VERB ejde-53 32 2 the the DET ejde-53 32 3 ekeland ekeland NOUN ejde-53 32 4 ’s ’s PART ejde-53 32 5 variational variational ADJ ejde-53 32 6 principle principle NOUN ejde-53 32 7 and and CCONJ ejde-53 32 8 the the DET ejde-53 32 9 mountain mountain NOUN ejde-53 32 10 pass pass NOUN ejde-53 32 11 theorem theorem NOUN ejde-53 32 12 , , PUNCT ejde-53 32 13 it it PRON ejde-53 32 14 was be AUX ejde-53 32 15 proved prove VERB ejde-53 32 16 in in ADP ejde-53 32 17 [ [ X ejde-53 32 18 16 16 NUM ejde-53 32 19 ] ] PUNCT ejde-53 32 20 that that SCONJ ejde-53 32 21 the the DET ejde-53 32 22 system system NOUN ejde-53 32 23 ( ( PUNCT ejde-53 32 24 1.4 1.4 NUM ejde-53 32 25 ) ) PUNCT ejde-53 32 26 admitted admit VERB ejde-53 32 27 two two NUM ejde-53 32 28 radial radial ADJ ejde-53 32 29 solutions solution NOUN ejde-53 32 30 for for ADP ejde-53 32 31 q q PROPN ejde-53 32 32 ∈ ∈ PROPN ejde-53 32 33 ( ( PUNCT ejde-53 32 34 2 2 NUM ejde-53 32 35 , , PUNCT ejde-53 32 36 6 6 NUM ejde-53 32 37 ) ) PUNCT ejde-53 32 38 with with ADP ejde-53 32 39 small small ADJ ejde-53 32 40 l2 l2 NOUN ejde-53 32 41 - - PUNCT ejde-53 32 42 norm norm NOUN ejde-53 32 43 |h|l2(r3 |h|l2(r3 NOUN ejde-53 32 44 ) ) PUNCT ejde-53 32 45 of of ADP ejde-53 32 46 h h NOUN ejde-53 32 47 and and CCONJ ejde-53 32 48 for for ADP ejde-53 32 49 q q PROPN ejde-53 32 50 ∈ ∈ PROPN ejde-53 32 51 ( ( PUNCT ejde-53 32 52 2 2 NUM ejde-53 32 53 , , PUNCT ejde-53 32 54 3 3 NUM ejde-53 32 55 ] ] PUNCT ejde-53 32 56 with with ADP ejde-53 32 57 λ λ PROPN ejde-53 32 58 > > X ejde-53 32 59 0 0 NUM ejde-53 32 60 also also ADV ejde-53 32 61 small small ADJ ejde-53 32 62 . . PUNCT ejde-53 33 1 for for ADP ejde-53 33 2 other other ADJ ejde-53 33 3 works work NOUN ejde-53 33 4 related relate VERB ejde-53 33 5 to to ADP ejde-53 33 6 the the DET ejde-53 33 7 system system NOUN ejde-53 33 8 ( ( PUNCT ejde-53 33 9 1.4 1.4 NUM ejde-53 33 10 ) ) PUNCT ejde-53 33 11 or or CCONJ ejde-53 33 12 to to ADP ejde-53 33 13 similar similar ADJ ejde-53 33 14 systems system NOUN ejde-53 33 15 involving involve VERB ejde-53 33 16 certain certain ADJ ejde-53 33 17 potentials potential NOUN ejde-53 33 18 , , PUNCT ejde-53 33 19 we we PRON ejde-53 33 20 refer refer VERB ejde-53 33 21 to to ADP ejde-53 33 22 [ [ X ejde-53 33 23 8 8 NUM ejde-53 33 24 , , PUNCT ejde-53 33 25 13 13 NUM ejde-53 33 26 , , PUNCT ejde-53 33 27 17 17 NUM ejde-53 33 28 , , PUNCT ejde-53 33 29 20 20 NUM ejde-53 33 30 , , PUNCT ejde-53 33 31 26 26 NUM ejde-53 33 32 , , PUNCT ejde-53 33 33 27 27 NUM ejde-53 33 34 , , PUNCT ejde-53 33 35 30 30 NUM ejde-53 33 36 , , PUNCT ejde-53 33 37 32 32 NUM ejde-53 33 38 , , PUNCT ejde-53 33 39 33 33 NUM ejde-53 33 40 ] ] PUNCT ejde-53 33 41 and and CCONJ ejde-53 33 42 the the DET ejde-53 33 43 references reference NOUN ejde-53 33 44 therein therein ADV ejde-53 33 45 . . PUNCT ejde-53 34 1 after after ADP ejde-53 34 2 an an DET ejde-53 34 3 accurate accurate ADJ ejde-53 34 4 bibliographic bibliographic ADJ ejde-53 34 5 review review NOUN ejde-53 34 6 , , PUNCT ejde-53 34 7 we we PRON ejde-53 34 8 see see VERB ejde-53 34 9 that that SCONJ ejde-53 34 10 it it PRON ejde-53 34 11 is be AUX ejde-53 34 12 open open ADJ ejde-53 34 13 question question NOUN ejde-53 34 14 the the DET ejde-53 34 15 existence existence NOUN ejde-53 34 16 of of ADP ejde-53 34 17 multiple multiple ADJ ejde-53 34 18 solutions solution NOUN ejde-53 34 19 to to ADP ejde-53 34 20 the the DET ejde-53 34 21 quasilinesr quasilinesr PROPN ejde-53 34 22 system system NOUN ejde-53 34 23 ( ( PUNCT ejde-53 34 24 1.1 1.1 NUM ejde-53 34 25 ) ) PUNCT ejde-53 34 26 with with ADP ejde-53 34 27 4/3 4/3 DET ejde-53 34 28 < < X ejde-53 34 29 p p X ejde-53 34 30 < < X ejde-53 34 31 12/5 12/5 PROPN ejde-53 34 32 and and CCONJ ejde-53 34 33 h h NOUN ejde-53 34 34 6= 6= PROPN ejde-53 34 35 0 0 X ejde-53 34 36 . . PUNCT ejde-53 34 37 inspired inspire VERB ejde-53 34 38 by by ADP ejde-53 34 39 this this DET ejde-53 34 40 fact fact NOUN ejde-53 34 41 , , PUNCT ejde-53 34 42 we we PRON ejde-53 34 43 aim aim VERB ejde-53 34 44 to to PART ejde-53 34 45 establish establish VERB ejde-53 34 46 the the DET ejde-53 34 47 existence existence NOUN ejde-53 34 48 of of ADP ejde-53 34 49 multiple multiple ADJ ejde-53 34 50 solutions solution NOUN ejde-53 34 51 to to ADP ejde-53 34 52 system system NOUN ejde-53 34 53 ( ( PUNCT ejde-53 34 54 1.1 1.1 NUM ejde-53 34 55 ) ) PUNCT ejde-53 34 56 . . PUNCT ejde-53 35 1 we we PRON ejde-53 35 2 use use VERB ejde-53 35 3 τ τ X ejde-53 35 4 ′ ′ NUM ejde-53 35 5 = = PUNCT ejde-53 35 6 τ τ PROPN ejde-53 35 7 τ−1 τ−1 PROPN ejde-53 35 8 to to PART ejde-53 35 9 denote denote VERB ejde-53 35 10 the the DET ejde-53 35 11 hölder hölder NOUN ejde-53 35 12 conjugate conjugate NOUN ejde-53 35 13 of of ADP ejde-53 35 14 τ τ PROPN ejde-53 35 15 > > X ejde-53 35 16 1 1 X ejde-53 35 17 . . PUNCT ejde-53 36 1 we we PRON ejde-53 36 2 impose impose VERB ejde-53 36 3 on on ADP ejde-53 36 4 h h NOUN ejde-53 36 5 the the DET ejde-53 36 6 following follow VERB ejde-53 36 7 assumption assumption NOUN ejde-53 36 8 . . PUNCT ejde-53 37 1 ( ( PUNCT ejde-53 37 2 h1 h1 PROPN ejde-53 37 3 ) ) PUNCT ejde-53 37 4 h h NOUN ejde-53 37 5 is be AUX ejde-53 37 6 a a DET ejde-53 37 7 nonzero nonzero ADJ ejde-53 37 8 radial radial ADJ ejde-53 37 9 function function NOUN ejde-53 37 10 and and CCONJ ejde-53 37 11 for for ADP ejde-53 37 12 ( ( PUNCT ejde-53 37 13 p∗)′ p∗)′ NUM ejde-53 37 14 ≤ ≤ PROPN ejde-53 37 15 s s PART ejde-53 37 16 ≤ ≤ PROPN ejde-53 37 17 p′ p′ NOUN ejde-53 37 18 , , PUNCT ejde-53 37 19 ( ( PUNCT ejde-53 37 20 i i NOUN ejde-53 37 21 ) ) PUNCT ejde-53 37 22 h h PROPN ejde-53 37 23 ∈ ∈ PROPN ejde-53 37 24 ls(r3 ls(r3 VERB ejde-53 37 25 ) ) PUNCT ejde-53 37 26 with with ADP ejde-53 37 27 the the DET ejde-53 37 28 ls ls ADJ ejde-53 37 29 - - PUNCT ejde-53 37 30 norm norm NOUN ejde-53 37 31 denoted denote VERB ejde-53 37 32 by by ADP ejde-53 37 33 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NOUN ejde-53 37 34 ) ) PUNCT ejde-53 37 35 ; ; PUNCT ejde-53 37 36 ( ( PUNCT ejde-53 37 37 ii ii NOUN ejde-53 37 38 ) ) PUNCT ejde-53 37 39 ( ( PUNCT ejde-53 37 40 x,∇h x,∇h PROPN ejde-53 37 41 ) ) PUNCT ejde-53 37 42 ∈ ∈ PROPN ejde-53 37 43 ls(r3 ls(r3 PROPN ejde-53 37 44 ) ) PUNCT ejde-53 37 45 where where SCONJ ejde-53 37 46 the the DET ejde-53 37 47 gradient gradient NOUN ejde-53 37 48 ∇h ∇h PROPN ejde-53 37 49 is be AUX ejde-53 37 50 in in ADP ejde-53 37 51 the the DET ejde-53 37 52 weak weak ADJ ejde-53 37 53 sense sense NOUN ejde-53 37 54 . . PUNCT ejde-53 38 1 we we PRON ejde-53 38 2 will will AUX ejde-53 38 3 prove prove VERB ejde-53 38 4 the the DET ejde-53 38 5 following follow VERB ejde-53 38 6 theorems theorem NOUN ejde-53 38 7 . . PUNCT ejde-53 39 1 theorem theorem VERB ejde-53 39 2 1.1 1.1 NUM ejde-53 39 3 . . PUNCT ejde-53 40 1 assume assume VERB ejde-53 40 2 that that SCONJ ejde-53 40 3 ( ( PUNCT ejde-53 40 4 h1 h1 PROPN ejde-53 40 5 ) ) PUNCT ejde-53 40 6 holds hold NOUN ejde-53 40 7 and and CCONJ ejde-53 40 8 6p 6p NUM ejde-53 40 9 p+2 p+2 PROPN ejde-53 40 10 < < X ejde-53 40 11 q q X ejde-53 40 12 < < X ejde-53 40 13 p∗. p∗. NOUN ejde-53 40 14 then then ADV ejde-53 40 15 there there PRON ejde-53 40 16 exists exist VERB ejde-53 40 17 λ λ PROPN ejde-53 40 18 > > X ejde-53 40 19 0 0 NUM ejde-53 40 20 such such ADJ ejde-53 40 21 that that PRON ejde-53 40 22 for for ADP ejde-53 40 23 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 40 24 ) ) PUNCT ejde-53 40 25 < < X ejde-53 41 1 λ λ X ejde-53 41 2 the the DET ejde-53 41 3 system system NOUN ejde-53 41 4 ( ( PUNCT ejde-53 41 5 1.1 1.1 NUM ejde-53 41 6 ) ) PUNCT ejde-53 41 7 admits admit VERB ejde-53 41 8 two two NUM ejde-53 41 9 solutions solution NOUN ejde-53 41 10 for for ADP ejde-53 41 11 any any DET ejde-53 41 12 λ λ PROPN ejde-53 41 13 > > X ejde-53 41 14 0 0 PROPN ejde-53 41 15 . . PUNCT ejde-53 42 1 theorem theorem VERB ejde-53 42 2 1.2 1.2 NUM ejde-53 42 3 . . PUNCT ejde-53 43 1 assume assume VERB ejde-53 43 2 that that SCONJ ejde-53 43 3 ( ( PUNCT ejde-53 43 4 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 43 5 ) ) PUNCT ejde-53 43 6 holds hold VERB ejde-53 43 7 and and CCONJ ejde-53 43 8 p p X ejde-53 43 9 < < X ejde-53 43 10 q q PROPN ejde-53 43 11 ≤ ≤ PROPN ejde-53 43 12 6p 6p NUM ejde-53 43 13 p+2 p+2 INTJ ejde-53 43 14 . . PUNCT ejde-53 44 1 there there PRON ejde-53 44 2 exist exist VERB ejde-53 44 3 λ λ PROPN ejde-53 44 4 > > X ejde-53 44 5 0 0 PUNCT ejde-53 45 1 and and CCONJ ejde-53 45 2 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 45 3 > > X ejde-53 45 4 0 0 PUNCT ejde-53 45 5 such such ADJ ejde-53 45 6 that that PRON ejde-53 45 7 for for ADP ejde-53 45 8 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 45 9 ) ) PUNCT ejde-53 45 10 < < X ejde-53 45 11 λ λ PROPN ejde-53 45 12 , , PUNCT ejde-53 45 13 system system NOUN ejde-53 45 14 ( ( PUNCT ejde-53 45 15 1.1 1.1 NUM ejde-53 45 16 ) ) PUNCT ejde-53 45 17 admits admit VERB ejde-53 45 18 two two NUM ejde-53 45 19 solutions solution NOUN ejde-53 45 20 for for ADP ejde-53 45 21 any any DET ejde-53 45 22 λ λ PROPN ejde-53 45 23 ∈ ∈ PROPN ejde-53 45 24 ( ( PUNCT ejde-53 45 25 0 0 NUM ejde-53 45 26 , , PUNCT ejde-53 45 27 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 45 28 ) ) PUNCT ejde-53 45 29 . . PUNCT ejde-53 46 1 remark remark VERB ejde-53 46 2 1.3 1.3 NUM ejde-53 46 3 . . PUNCT ejde-53 47 1 the the DET ejde-53 47 2 first first ADJ ejde-53 47 3 attempt attempt NOUN ejde-53 47 4 of of ADP ejde-53 47 5 the the DET ejde-53 47 6 study study NOUN ejde-53 47 7 on on ADP ejde-53 47 8 the the DET ejde-53 47 9 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 47 10 - - PUNCT ejde-53 47 11 poisson poisson NOUN ejde-53 47 12 system system NOUN ejde-53 47 13 ( ( PUNCT ejde-53 47 14 1.2 1.2 NUM ejde-53 47 15 ) ) PUNCT ejde-53 47 16 with with ADP ejde-53 47 17 p p NOUN ejde-53 47 18 - - PUNCT ejde-53 47 19 laplacian laplacian NOUN ejde-53 47 20 were be AUX ejde-53 47 21 made make VERB ejde-53 47 22 in in ADP ejde-53 47 23 [ [ X ejde-53 47 24 11 11 NUM ejde-53 47 25 ] ] PUNCT ejde-53 47 26 . . PUNCT ejde-53 48 1 now now ADV ejde-53 48 2 the the DET ejde-53 48 3 results result NOUN ejde-53 48 4 in in ADP ejde-53 48 5 theorems theorem NOUN ejde-53 48 6 1.1 1.1 NUM ejde-53 48 7 and and CCONJ ejde-53 48 8 1.2 1.2 NUM ejde-53 48 9 extend extend VERB ejde-53 48 10 the the DET ejde-53 48 11 results result NOUN ejde-53 48 12 in in ADP ejde-53 48 13 [ [ X ejde-53 48 14 16 16 NUM ejde-53 48 15 , , PUNCT ejde-53 48 16 22 22 NUM ejde-53 48 17 ] ] PUNCT ejde-53 48 18 from from ADP ejde-53 48 19 p p NOUN ejde-53 48 20 = = NOUN ejde-53 48 21 2 2 NUM ejde-53 48 22 to to ADP ejde-53 48 23 the the DET ejde-53 48 24 quasilinear quasilinear NOUN ejde-53 48 25 case case NOUN ejde-53 48 26 4/3 4/3 ADV ejde-53 48 27 < < X ejde-53 48 28 p p X ejde-53 48 29 < < X ejde-53 48 30 12/5 12/5 NUM ejde-53 48 31 . . PUNCT ejde-53 49 1 this this DET ejde-53 49 2 range range NOUN ejde-53 49 3 of of ADP ejde-53 49 4 p p NOUN ejde-53 49 5 was be AUX ejde-53 49 6 first first ADV ejde-53 49 7 determined determined ADJ ejde-53 49 8 in in ADP ejde-53 49 9 [ [ X ejde-53 49 10 11 11 NUM ejde-53 49 11 ] ] PUNCT ejde-53 49 12 . . PUNCT ejde-53 50 1 we we PRON ejde-53 50 2 observe observe VERB ejde-53 50 3 a a DET ejde-53 50 4 phenomenon phenomenon NOUN ejde-53 50 5 that that SCONJ ejde-53 50 6 the the DET ejde-53 50 7 solvability solvability NOUN ejde-53 50 8 of of ADP ejde-53 50 9 the the DET ejde-53 50 10 system system NOUN ejde-53 50 11 ( ( PUNCT ejde-53 50 12 1.1 1.1 NUM ejde-53 50 13 ) ) PUNCT ejde-53 50 14 can can AUX ejde-53 50 15 be be AUX ejde-53 50 16 considered consider VERB ejde-53 50 17 for for ADP ejde-53 50 18 a a DET ejde-53 50 19 large large ADJ ejde-53 50 20 class class NOUN ejde-53 50 21 of of ADP ejde-53 50 22 radial radial ADJ ejde-53 50 23 functions function NOUN ejde-53 50 24 h h NOUN ejde-53 50 25 satisfying satisfy VERB ejde-53 50 26 ( ( PUNCT ejde-53 50 27 h1 h1 PROPN ejde-53 50 28 ) ) PUNCT ejde-53 50 29 . . PUNCT ejde-53 51 1 in in ADP ejde-53 51 2 this this DET ejde-53 51 3 sense sense NOUN ejde-53 51 4 the the DET ejde-53 51 5 existence existence NOUN ejde-53 51 6 results result VERB ejde-53 51 7 in in ADP ejde-53 51 8 [ [ X ejde-53 51 9 16 16 NUM ejde-53 51 10 ] ] PUNCT ejde-53 51 11 may may AUX ejde-53 51 12 be be AUX ejde-53 51 13 extended extend VERB ejde-53 51 14 to to ADP ejde-53 51 15 the the DET ejde-53 51 16 case case NOUN ejde-53 51 17 that that SCONJ ejde-53 51 18 h h NOUN ejde-53 51 19 and and CCONJ ejde-53 51 20 ( ( PUNCT ejde-53 51 21 x,∇h x,∇h PROPN ejde-53 51 22 ) ) PUNCT ejde-53 51 23 belonging belong VERB ejde-53 51 24 to to ADP ejde-53 51 25 ls(r3 ls(r3 VERB ejde-53 51 26 ) ) PUNCT ejde-53 51 27 with with ADP ejde-53 51 28 6/5 6/5 NUM ejde-53 51 29 ≤ ≤ NOUN ejde-53 51 30 s s PART ejde-53 51 31 ≤ ≤ NUM ejde-53 51 32 2 2 NUM ejde-53 51 33 . . PUNCT ejde-53 51 34 notice notice VERB ejde-53 51 35 that that SCONJ ejde-53 51 36 for for ADP ejde-53 51 37 p p PRON ejde-53 51 38 6= 6= NUM ejde-53 51 39 2 2 NUM ejde-53 51 40 , , PUNCT ejde-53 51 41 it it PRON ejde-53 51 42 is be AUX ejde-53 51 43 difficult difficult ADJ ejde-53 51 44 to to PART ejde-53 51 45 prove prove VERB ejde-53 51 46 the the DET ejde-53 51 47 pohožaev pohožaev NOUN ejde-53 51 48 identity identity NOUN ejde-53 51 49 which which PRON ejde-53 51 50 is be AUX ejde-53 51 51 essential essential ADJ ejde-53 51 52 to to PART ejde-53 51 53 establish establish VERB ejde-53 51 54 the the DET ejde-53 51 55 boundedness boundedness NOUN ejde-53 51 56 of of ADP ejde-53 51 57 palais palais PROPN ejde-53 51 58 - - PUNCT ejde-53 51 59 smale smale ADJ ejde-53 51 60 sequences sequence NOUN ejde-53 51 61 for for ADP ejde-53 51 62 q q PROPN ejde-53 51 63 ∈ ∈ PROPN ejde-53 51 64 ( ( PUNCT ejde-53 51 65 3 3 NUM ejde-53 51 66 , , PUNCT ejde-53 51 67 6 6 NUM ejde-53 51 68 ) ) PUNCT ejde-53 51 69 in in ADP ejde-53 51 70 [ [ X ejde-53 51 71 16 16 NUM ejde-53 51 72 ] ] PUNCT ejde-53 51 73 . . PUNCT ejde-53 52 1 to to PART ejde-53 52 2 overcome overcome VERB ejde-53 52 3 this this DET ejde-53 52 4 difficulty difficulty NOUN ejde-53 52 5 , , PUNCT ejde-53 52 6 for for ADP ejde-53 52 7 6p/(p+ 6p/(p+ PROPN ejde-53 52 8 2 2 NUM ejde-53 52 9 ) ) PUNCT ejde-53 52 10 < < X ejde-53 52 11 q q X ejde-53 52 12 < < AUX ejde-53 52 13 p∗ p∗ NOUN ejde-53 52 14 we we PRON ejde-53 52 15 introduce introduce VERB ejde-53 52 16 an an DET ejde-53 52 17 auxiliary auxiliary ADJ ejde-53 52 18 functional functional ADJ ejde-53 52 19 and and CCONJ ejde-53 52 20 use use VERB ejde-53 52 21 an an DET ejde-53 52 22 indirect indirect ADJ ejde-53 52 23 method method NOUN ejde-53 52 24 to to PART ejde-53 52 25 do do VERB ejde-53 52 26 that that PRON ejde-53 52 27 : : PUNCT ejde-53 52 28 see see VERB ejde-53 52 29 our our PRON ejde-53 52 30 proof proof NOUN ejde-53 52 31 of of ADP ejde-53 52 32 lemma lemma PROPN ejde-53 52 33 4.3 4.3 NUM ejde-53 52 34 . . PUNCT ejde-53 53 1 it it PRON ejde-53 53 2 also also ADV ejde-53 53 3 should should AUX ejde-53 53 4 be be AUX ejde-53 53 5 pointed point VERB ejde-53 53 6 out out ADP ejde-53 53 7 that that SCONJ ejde-53 53 8 our our PRON ejde-53 53 9 method method NOUN ejde-53 53 10 is be AUX ejde-53 53 11 more more ADV ejde-53 53 12 applicable applicable ADJ ejde-53 53 13 . . PUNCT ejde-53 54 1 as as ADV ejde-53 54 2 far far ADV ejde-53 54 3 as as SCONJ ejde-53 54 4 we we PRON ejde-53 54 5 know know VERB ejde-53 54 6 , , PUNCT ejde-53 54 7 this this DET ejde-53 54 8 article article NOUN ejde-53 54 9 is be AUX ejde-53 54 10 the the DET ejde-53 54 11 first first ADJ ejde-53 54 12 attempt attempt NOUN ejde-53 54 13 to to PART ejde-53 54 14 study study VERB ejde-53 54 15 the the DET ejde-53 54 16 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 54 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 54 18 - - ADJ ejde-53 54 19 poisson poisson NOUN ejde-53 54 20 system system NOUN ejde-53 54 21 with with ADP ejde-53 54 22 p p NOUN ejde-53 54 23 - - PUNCT ejde-53 54 24 laplacian laplacian NOUN ejde-53 54 25 . . PUNCT ejde-53 55 1 the the DET ejde-53 55 2 proofs proof NOUN ejde-53 55 3 of of ADP ejde-53 55 4 the the DET ejde-53 55 5 main main ADJ ejde-53 55 6 results result NOUN ejde-53 55 7 will will AUX ejde-53 55 8 be be AUX ejde-53 55 9 obtained obtain VERB ejde-53 55 10 by by ADP ejde-53 55 11 exploiting exploit VERB ejde-53 55 12 suitable suitable ADJ ejde-53 55 13 variational variational ADJ ejde-53 55 14 methods method NOUN ejde-53 55 15 . . PUNCT ejde-53 56 1 in in ADP ejde-53 56 2 section section NOUN ejde-53 56 3 2 2 NUM ejde-53 56 4 , , PUNCT ejde-53 56 5 we we PRON ejde-53 56 6 give give VERB ejde-53 56 7 some some DET ejde-53 56 8 preliminary preliminary ADJ ejde-53 56 9 results result NOUN ejde-53 56 10 concerning concern VERB ejde-53 56 11 the the DET ejde-53 56 12 variational variational ADJ ejde-53 56 13 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 56 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 56 15 - - PUNCT ejde-53 56 16 poisson poisson NOUN ejde-53 56 17 systems system NOUN ejde-53 56 18 with with ADP ejde-53 56 19 p p NOUN ejde-53 56 20 - - PUNCT ejde-53 56 21 laplacian laplacian ADJ ejde-53 56 22 3 3 NUM ejde-53 56 23 structure structure NOUN ejde-53 56 24 for for ADP ejde-53 56 25 the the DET ejde-53 56 26 system system NOUN ejde-53 56 27 ( ( PUNCT ejde-53 56 28 1.1 1.1 NUM ejde-53 56 29 ) ) PUNCT ejde-53 56 30 . . PUNCT ejde-53 57 1 in in ADP ejde-53 57 2 section section NOUN ejde-53 57 3 3 3 NUM ejde-53 57 4 , , PUNCT ejde-53 57 5 with with ADP ejde-53 57 6 the the DET ejde-53 57 7 aid aid NOUN ejde-53 57 8 of of ADP ejde-53 57 9 the the DET ejde-53 57 10 ekeland ekeland NOUN ejde-53 57 11 ’s ’s PART ejde-53 57 12 variational variational ADJ ejde-53 57 13 principle principle NOUN ejde-53 57 14 [ [ X ejde-53 57 15 12 12 NUM ejde-53 57 16 ] ] PUNCT ejde-53 57 17 , , PUNCT ejde-53 57 18 we we PRON ejde-53 57 19 obtain obtain VERB ejde-53 57 20 by by ADP ejde-53 57 21 theorem theorem VERB ejde-53 57 22 3.3 3.3 NUM ejde-53 57 23 a a DET ejde-53 57 24 solution solution NOUN ejde-53 57 25 of of ADP ejde-53 57 26 ( ( PUNCT ejde-53 57 27 1.1 1.1 NUM ejde-53 57 28 ) ) PUNCT ejde-53 57 29 with with ADP ejde-53 57 30 negative negative ADJ ejde-53 57 31 energy energy NOUN ejde-53 57 32 for for ADP ejde-53 57 33 p p NOUN ejde-53 57 34 < < X ejde-53 57 35 q q X ejde-53 57 36 < < X ejde-53 57 37 p∗. p∗. NOUN ejde-53 57 38 in in ADP ejde-53 57 39 section section NOUN ejde-53 57 40 4 4 NUM ejde-53 57 41 we we PRON ejde-53 57 42 obtain obtain VERB ejde-53 57 43 a a DET ejde-53 57 44 solution solution NOUN ejde-53 57 45 of of ADP ejde-53 57 46 ( ( PUNCT ejde-53 57 47 1.1 1.1 NUM ejde-53 57 48 ) ) PUNCT ejde-53 57 49 with with ADP ejde-53 57 50 positive positive ADJ ejde-53 57 51 energy energy NOUN ejde-53 57 52 and and CCONJ ejde-53 57 53 discuss discuss VERB ejde-53 57 54 with with ADP ejde-53 57 55 two two NUM ejde-53 57 56 cases case NOUN ejde-53 57 57 of of ADP ejde-53 57 58 6p 6p NUM ejde-53 58 1 p+2 p+2 PROPN ejde-53 58 2 < < X ejde-53 58 3 q q X ejde-53 58 4 < < X ejde-53 58 5 p∗ p∗ NOUN ejde-53 58 6 and and CCONJ ejde-53 58 7 p p X ejde-53 58 8 < < X ejde-53 58 9 q q PROPN ejde-53 58 10 ≤ ≤ PROPN ejde-53 58 11 6p 6p NUM ejde-53 58 12 p+2 p+2 INTJ ejde-53 58 13 . . PUNCT ejde-53 59 1 in in ADP ejde-53 59 2 subsection subsection NOUN ejde-53 59 3 4.1 4.1 NUM ejde-53 59 4 , , PUNCT ejde-53 59 5 we we PRON ejde-53 59 6 use use VERB ejde-53 59 7 the the DET ejde-53 59 8 scaling scale VERB ejde-53 59 9 technique technique NOUN ejde-53 59 10 beginning begin VERB ejde-53 59 11 in in ADP ejde-53 59 12 [ [ X ejde-53 59 13 14 14 NUM ejde-53 59 14 ] ] PUNCT ejde-53 59 15 and and CCONJ ejde-53 59 16 developing develop VERB ejde-53 59 17 in in ADP ejde-53 59 18 [ [ X ejde-53 59 19 11 11 NUM ejde-53 59 20 ] ] PUNCT ejde-53 59 21 to to PART ejde-53 59 22 obtain obtain VERB ejde-53 59 23 the the DET ejde-53 59 24 boundedness boundedness NOUN ejde-53 59 25 of of ADP ejde-53 59 26 a a DET ejde-53 59 27 palais palais ADJ ejde-53 59 28 - - PUNCT ejde-53 59 29 smale smale ADJ ejde-53 59 30 sequence sequence NOUN ejde-53 59 31 for for ADP ejde-53 59 32 6p 6p NUM ejde-53 60 1 p+2 p+2 PROPN ejde-53 60 2 < < X ejde-53 60 3 q q X ejde-53 60 4 < < X ejde-53 60 5 p∗ p∗ NOUN ejde-53 60 6 and and CCONJ ejde-53 60 7 find find VERB ejde-53 60 8 a a DET ejde-53 60 9 positive positive ADJ ejde-53 60 10 energy energy NOUN ejde-53 60 11 solution solution NOUN ejde-53 60 12 by by ADP ejde-53 60 13 using use VERB ejde-53 60 14 the the DET ejde-53 60 15 mountain mountain NOUN ejde-53 60 16 pass pass NOUN ejde-53 60 17 theorem theorem NOUN ejde-53 60 18 [ [ X ejde-53 60 19 1 1 NUM ejde-53 60 20 ] ] PUNCT ejde-53 60 21 , , PUNCT ejde-53 60 22 see see VERB ejde-53 60 23 theorem theorem VERB ejde-53 60 24 4.1 4.1 NUM ejde-53 60 25 . . PUNCT ejde-53 61 1 in in ADP ejde-53 61 2 subsection subsection NOUN ejde-53 61 3 4.2 4.2 NUM ejde-53 61 4 , , PUNCT ejde-53 61 5 by by ADP ejde-53 61 6 using use VERB ejde-53 61 7 the the DET ejde-53 61 8 cut cut VERB ejde-53 61 9 - - PUNCT ejde-53 61 10 off off ADP ejde-53 61 11 technique technique NOUN ejde-53 61 12 as as ADP ejde-53 61 13 in in ADP ejde-53 61 14 [ [ X ejde-53 61 15 15 15 NUM ejde-53 61 16 ] ] PUNCT ejde-53 61 17 and and CCONJ ejde-53 61 18 combining combine VERB ejde-53 61 19 some some DET ejde-53 61 20 delicate delicate ADJ ejde-53 61 21 analysis analysis NOUN ejde-53 61 22 , , PUNCT ejde-53 61 23 we we PRON ejde-53 61 24 prove prove VERB ejde-53 61 25 a a DET ejde-53 61 26 positive positive ADJ ejde-53 61 27 energy energy NOUN ejde-53 61 28 solution solution NOUN ejde-53 61 29 of of ADP ejde-53 61 30 ( ( PUNCT ejde-53 61 31 1.1 1.1 NUM ejde-53 61 32 ) ) PUNCT ejde-53 61 33 with with ADP ejde-53 61 34 p p X ejde-53 61 35 < < X ejde-53 61 36 q q X ejde-53 61 37 ≤ ≤ PROPN ejde-53 61 38 6p 6p NUM ejde-53 61 39 p+2 p+2 PROPN ejde-53 61 40 and and CCONJ ejde-53 61 41 λ λ X ejde-53 61 42 > > X ejde-53 61 43 0 0 PUNCT ejde-53 61 44 small small ADJ ejde-53 61 45 , , PUNCT ejde-53 61 46 see see VERB ejde-53 61 47 theorem theorem VERB ejde-53 61 48 4.4 4.4 NUM ejde-53 61 49 . . PUNCT ejde-53 62 1 then then ADV ejde-53 62 2 theorems theorem VERB ejde-53 62 3 1.1 1.1 NUM ejde-53 62 4 and and CCONJ ejde-53 62 5 1.2 1.2 NUM ejde-53 62 6 will will AUX ejde-53 62 7 follow follow VERB ejde-53 62 8 from from ADP ejde-53 62 9 theorem theorem ADJ ejde-53 62 10 3.3 3.3 NUM ejde-53 62 11 , , PUNCT ejde-53 62 12 theorems theorem VERB ejde-53 62 13 4.1 4.1 NUM ejde-53 62 14 and and CCONJ ejde-53 62 15 4.4 4.4 NUM ejde-53 62 16 . . NOUN ejde-53 63 1 2 2 X ejde-53 63 2 . . NUM ejde-53 63 3 preliminaries preliminary NOUN ejde-53 63 4 in in ADP ejde-53 63 5 this this DET ejde-53 63 6 section section NOUN ejde-53 63 7 we we PRON ejde-53 63 8 give give VERB ejde-53 63 9 some some DET ejde-53 63 10 preliminary preliminary ADJ ejde-53 63 11 results result NOUN ejde-53 63 12 related relate VERB ejde-53 63 13 to to ADP ejde-53 63 14 the the DET ejde-53 63 15 variational variational ADJ ejde-53 63 16 structure structure NOUN ejde-53 63 17 of of ADP ejde-53 63 18 system system NOUN ejde-53 63 19 ( ( PUNCT ejde-53 63 20 1.1 1.1 NUM ejde-53 63 21 ) ) PUNCT ejde-53 63 22 . . PUNCT ejde-53 64 1 we we PRON ejde-53 64 2 will will AUX ejde-53 64 3 use use VERB ejde-53 64 4 the the DET ejde-53 64 5 following follow VERB ejde-53 64 6 function function NOUN ejde-53 64 7 spaces space NOUN ejde-53 64 8 . . PUNCT ejde-53 65 1 • • NUM ejde-53 65 2 ls(ω ls(ω NUM ejde-53 65 3 ) ) PUNCT ejde-53 65 4 , , PUNCT ejde-53 65 5 the the DET ejde-53 65 6 lebesgue lebesgue NOUN ejde-53 65 7 space space NOUN ejde-53 65 8 endowed endow VERB ejde-53 65 9 with with ADP ejde-53 65 10 the the DET ejde-53 65 11 norm norm NOUN ejde-53 65 12 |u|ls(ω |u|ls(ω NOUN ejde-53 65 13 ) ) PUNCT ejde-53 65 14 = = PUNCT ejde-53 66 1 ( ( PUNCT ejde-53 66 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 66 3 ω ω PROPN ejde-53 66 4 |u|s |u|s PROPN ejde-53 66 5 dx dx PROPN ejde-53 66 6 ) ) PUNCT ejde-53 66 7 1 1 X ejde-53 66 8 / / SYM ejde-53 66 9 s s PRON ejde-53 66 10 for for ADP ejde-53 66 11 1 1 NUM ejde-53 66 12 ≤ ≤ NUM ejde-53 66 13 s s PART ejde-53 66 14 < < X ejde-53 66 15 ∞. ∞. PROPN ejde-53 66 16 • • PROPN ejde-53 66 17 w w PROPN ejde-53 66 18 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 66 19 ) ) PUNCT ejde-53 66 20 , , PUNCT ejde-53 66 21 the the DET ejde-53 66 22 sobolev sobolev NOUN ejde-53 66 23 space space NOUN ejde-53 66 24 with with ADP ejde-53 66 25 the the DET ejde-53 66 26 norm norm NOUN ejde-53 66 27 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 66 28 = = PUNCT ejde-53 66 29 ( ( PUNCT ejde-53 66 30 ∫ ∫ PROPN ejde-53 66 31 r3 r3 PROPN ejde-53 66 32 |∇u|p |∇u|p NOUN ejde-53 67 1 + + CCONJ ejde-53 67 2 |u|p |u|p PROPN ejde-53 67 3 dx dx PROPN ejde-53 67 4 ) ) PUNCT ejde-53 67 5 1 1 X ejde-53 67 6 / / SYM ejde-53 67 7 p p NOUN ejde-53 67 8 , , PUNCT ejde-53 67 9 and and CCONJ ejde-53 67 10 w w PROPN ejde-53 67 11 1,p 1,p PROPN ejde-53 67 12 r r NOUN ejde-53 67 13 ( ( PUNCT ejde-53 67 14 r3 r3 PROPN ejde-53 67 15 ) ) PUNCT ejde-53 67 16 = = PRON ejde-53 67 17 { { PUNCT ejde-53 67 18 u u NOUN ejde-53 67 19 ∈w ∈w NOUN ejde-53 67 20 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 67 21 ) ) PUNCT ejde-53 68 1 : : PUNCT ejde-53 68 2 u(x u(x PROPN ejde-53 68 3 ) ) PUNCT ejde-53 68 4 = = SYM ejde-53 68 5 u(|x| u(|x| PROPN ejde-53 68 6 ) ) PUNCT ejde-53 68 7 } } PUNCT ejde-53 68 8 . . PUNCT ejde-53 69 1 • • NUM ejde-53 69 2 d1,2(r3 d1,2(r3 PROPN ejde-53 69 3 ) ) PUNCT ejde-53 69 4 , , PUNCT ejde-53 69 5 the the DET ejde-53 69 6 completion completion NOUN ejde-53 69 7 of of ADP ejde-53 69 8 c∞0 c∞0 PROPN ejde-53 69 9 ( ( PUNCT ejde-53 69 10 r3 r3 PROPN ejde-53 69 11 ) ) PUNCT ejde-53 69 12 with with ADP ejde-53 69 13 the the DET ejde-53 69 14 norm norm NOUN ejde-53 69 15 ‖u‖d ‖u‖d NOUN ejde-53 69 16 = = PUNCT ejde-53 69 17 ( ( PUNCT ejde-53 69 18 ∫ ∫ PROPN ejde-53 69 19 r3 r3 PROPN ejde-53 69 20 |∇u|2 |∇u|2 NOUN ejde-53 69 21 dx dx PROPN ejde-53 69 22 ) ) PUNCT ejde-53 69 23 1/2 1/2 NUM ejde-53 69 24 . . PUNCT ejde-53 70 1 it it PRON ejde-53 70 2 is be AUX ejde-53 70 3 a a DET ejde-53 70 4 hilbert hilbert NOUN ejde-53 70 5 space space NOUN ejde-53 70 6 with with ADP ejde-53 70 7 the the DET ejde-53 70 8 inner inner ADJ ejde-53 70 9 product product NOUN ejde-53 70 10 〈 〈 PROPN ejde-53 70 11 v v NOUN ejde-53 70 12 , , PUNCT ejde-53 70 13 w w NOUN ejde-53 71 1 〉 〉 NOUN ejde-53 71 2 = = SYM ejde-53 71 3 ∫ ∫ PROPN ejde-53 71 4 r3 r3 PROPN ejde-53 71 5 ∇v∇w ∇v∇w PROPN ejde-53 71 6 dx dx PROPN ejde-53 71 7 . . PUNCT ejde-53 72 1 it it PRON ejde-53 72 2 follows follow VERB ejde-53 72 3 from from ADP ejde-53 72 4 the the DET ejde-53 72 5 classical classical ADJ ejde-53 72 6 sobolev sobolev NOUN ejde-53 72 7 embedding embed VERB ejde-53 72 8 theorems theorem NOUN ejde-53 72 9 that that SCONJ ejde-53 72 10 w w NOUN ejde-53 72 11 1,p(r3 1,p(r3 X ejde-53 72 12 ) ) PUNCT ejde-53 72 13 ↪ ↪ PROPN ejde-53 72 14 → → SYM ejde-53 72 15 l`(r3 l`(r3 NOUN ejde-53 72 16 ) ) PUNCT ejde-53 72 17 are be AUX ejde-53 72 18 continuous continuous ADJ ejde-53 72 19 for for SCONJ ejde-53 72 20 all all DET ejde-53 72 21 ` ` PUNCT ejde-53 72 22 ∈ ∈ PROPN ejde-53 72 23 [ [ X ejde-53 72 24 p p X ejde-53 72 25 , , PUNCT ejde-53 72 26 p∗ p∗ PROPN ejde-53 72 27 ] ] PUNCT ejde-53 72 28 and and CCONJ ejde-53 72 29 d1,2(r3 d1,2(r3 PROPN ejde-53 72 30 ) ) PUNCT ejde-53 72 31 ↪ ↪ PROPN ejde-53 72 32 → → SYM ejde-53 72 33 l6(r3 l6(r3 NUM ejde-53 72 34 ) ) PUNCT ejde-53 72 35 is be AUX ejde-53 72 36 continuous continuous ADJ ejde-53 72 37 . . PUNCT ejde-53 73 1 restricted restrict VERB ejde-53 73 2 to to ADP ejde-53 73 3 the the DET ejde-53 73 4 radial radial ADJ ejde-53 73 5 case case NOUN ejde-53 73 6 , , PUNCT ejde-53 73 7 it it PRON ejde-53 73 8 holds hold VERB ejde-53 73 9 that that SCONJ ejde-53 73 10 the the DET ejde-53 73 11 embedding embed VERB ejde-53 73 12 w w PROPN ejde-53 73 13 1,p 1,p PROPN ejde-53 73 14 r r NOUN ejde-53 73 15 ( ( PUNCT ejde-53 73 16 r3 r3 PROPN ejde-53 73 17 ) ) PUNCT ejde-53 73 18 ↪ ↪ PROPN ejde-53 73 19 → → SYM ejde-53 73 20 l`(r3 l`(r3 NOUN ejde-53 73 21 ) ) PUNCT ejde-53 73 22 is be AUX ejde-53 73 23 compact compact ADJ ejde-53 73 24 for for ADP ejde-53 73 25 any any DET ejde-53 73 26 p p NOUN ejde-53 73 27 < < X ejde-53 73 28 ` ` PUNCT ejde-53 73 29 < < X ejde-53 73 30 p∗. p∗. NOUN ejde-53 73 31 see see VERB ejde-53 73 32 [ [ X ejde-53 73 33 19 19 NUM ejde-53 73 34 , , PUNCT ejde-53 73 35 theorem theorem VERB ejde-53 73 36 ii.1 ii.1 NOUN ejde-53 73 37 ] ] PUNCT ejde-53 73 38 or or CCONJ ejde-53 73 39 [ [ X ejde-53 73 40 23 23 NUM ejde-53 73 41 , , PUNCT ejde-53 73 42 theorem theorem VERB ejde-53 73 43 1 1 NUM ejde-53 73 44 ] ] PUNCT ejde-53 73 45 . . PUNCT ejde-53 74 1 we we PRON ejde-53 74 2 will will AUX ejde-53 74 3 use use VERB ejde-53 74 4 c c PROPN ejde-53 74 5 to to PART ejde-53 74 6 denote denote VERB ejde-53 74 7 various various ADJ ejde-53 74 8 positive positive ADJ ejde-53 74 9 constants constant NOUN ejde-53 74 10 . . PUNCT ejde-53 75 1 we we PRON ejde-53 75 2 will will AUX ejde-53 75 3 use use VERB ejde-53 75 4 the the DET ejde-53 75 5 following follow VERB ejde-53 75 6 elementary elementary ADJ ejde-53 75 7 inequality inequality NOUN ejde-53 75 8 ( ( PUNCT ejde-53 75 9 see see VERB ejde-53 75 10 [ [ X ejde-53 75 11 24 24 NUM ejde-53 75 12 , , PUNCT ejde-53 75 13 p240 p240 PROPN ejde-53 75 14 ] ] X ejde-53 75 15 ) ) PUNCT ejde-53 75 16 in in ADP ejde-53 75 17 later later ADJ ejde-53 75 18 arguments argument NOUN ejde-53 75 19 : : PUNCT ejde-53 75 20 there there PRON ejde-53 75 21 exists exist VERB ejde-53 75 22 cp cp INTJ ejde-53 75 23 > > X ejde-53 75 24 0 0 NUM ejde-53 75 25 such such ADJ ejde-53 75 26 that that PRON ejde-53 75 27 for for ADP ejde-53 75 28 all all DET ejde-53 75 29 ξ ξ PROPN ejde-53 75 30 , , PUNCT ejde-53 75 31 η η PROPN ejde-53 75 32 ∈ ∈ PROPN ejde-53 75 33 r3 r3 PROPN ejde-53 75 34 , , PUNCT ejde-53 75 35 we we PRON ejde-53 75 36 have have AUX ejde-53 75 37 ( ( PUNCT ejde-53 75 38 |ξ|p−2ξ |ξ|p−2ξ PROPN ejde-53 75 39 − − PROPN ejde-53 75 40 |η|p−2η |η|p−2η PROPN ejde-53 75 41 , , PUNCT ejde-53 75 42 ξ ξ PROPN ejde-53 75 43 − − PROPN ejde-53 75 44 η η PROPN ejde-53 75 45 ) ) PUNCT ejde-53 75 46 r3 r3 PROPN ejde-53 75 47 ≥ ≥ NUM ejde-53 75 48 cp|ξ cp|ξ NOUN ejde-53 75 49 − − PROPN ejde-53 75 50 η|p η|p PROPN ejde-53 75 51 for for ADP ejde-53 75 52 p p PRON ejde-53 75 53 ≥ ≥ NUM ejde-53 75 54 2 2 NUM ejde-53 75 55 , , PUNCT ejde-53 75 56 ( ( PUNCT ejde-53 75 57 |ξ|+ |ξ|+ ADV ejde-53 75 58 |η|)2−p(|ξ|p−2ξ |η|)2−p(|ξ|p−2ξ ADP ejde-53 75 59 − − PROPN ejde-53 75 60 |η|p−2η |η|p−2η PROPN ejde-53 75 61 , , PUNCT ejde-53 75 62 ξ ξ PROPN ejde-53 75 63 − − PROPN ejde-53 75 64 η η PROPN ejde-53 75 65 ) ) PUNCT ejde-53 75 66 r3 r3 PROPN ejde-53 75 67 ≥ ≥ NUM ejde-53 75 68 cp|ξ cp|ξ NOUN ejde-53 76 1 − − PROPN ejde-53 77 1 η|2 η|2 NOUN ejde-53 77 2 for for ADP ejde-53 77 3 1 1 NUM ejde-53 77 4 < < X ejde-53 77 5 p p X ejde-53 77 6 < < X ejde-53 77 7 2 2 NUM ejde-53 77 8 . . PUNCT ejde-53 77 9 ( ( PUNCT ejde-53 77 10 2.1 2.1 NUM ejde-53 77 11 ) ) PUNCT ejde-53 77 12 for for ADP ejde-53 77 13 each each DET ejde-53 77 14 fixed fix VERB ejde-53 77 15 u u NOUN ejde-53 77 16 ∈w ∈w NOUN ejde-53 77 17 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 77 18 ) ) PUNCT ejde-53 77 19 , , PUNCT ejde-53 77 20 we we PRON ejde-53 77 21 define define VERB ejde-53 77 22 a a DET ejde-53 77 23 linear linear ADJ ejde-53 77 24 functional functional ADJ ejde-53 78 1 k k NOUN ejde-53 78 2 : : PUNCT ejde-53 78 3 d1,2(r3)→ d1,2(r3)→ PROPN ejde-53 78 4 r r NOUN ejde-53 78 5 by by ADP ejde-53 78 6 k(v k(v PROPN ejde-53 78 7 ) ) PUNCT ejde-53 79 1 = = SYM ejde-53 79 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 79 3 r3 r3 PROPN ejde-53 79 4 u2v u2v PROPN ejde-53 79 5 dx dx PROPN ejde-53 79 6 . . PUNCT ejde-53 80 1 by by ADP ejde-53 80 2 the the DET ejde-53 80 3 hölder hölder NOUN ejde-53 80 4 and and CCONJ ejde-53 80 5 sobolev sobolev NOUN ejde-53 80 6 inequalities inequality NOUN ejde-53 80 7 , , PUNCT ejde-53 80 8 we we PRON ejde-53 80 9 have have VERB ejde-53 80 10 |k(v)| |k(v)| VERB ejde-53 80 11 ≤ ≤ NOUN ejde-53 80 12 ( ( PUNCT ejde-53 80 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 80 14 r3 r3 PROPN ejde-53 80 15 |u|12/5 |u|12/5 X ejde-53 80 16 dx dx PROPN ejde-53 80 17 ) ) PUNCT ejde-53 80 18 5/6(∫ 5/6(∫ NUM ejde-53 80 19 r3 r3 PROPN ejde-53 80 20 |v|6 |v|6 PROPN ejde-53 80 21 dx dx PROPN ejde-53 80 22 ) ) PUNCT ejde-53 80 23 1/6 1/6 PRON ejde-53 80 24 ≤ ≤ NUM ejde-53 80 25 c‖u‖2‖v‖d c‖u‖2‖v‖d NOUN ejde-53 80 26 . . PUNCT ejde-53 81 1 therefore therefore ADV ejde-53 81 2 k k PROPN ejde-53 81 3 is be AUX ejde-53 81 4 continuous continuous ADJ ejde-53 81 5 on on ADP ejde-53 81 6 d1,2(r3 d1,2(r3 NOUN ejde-53 81 7 ) ) PUNCT ejde-53 81 8 . . PUNCT ejde-53 82 1 by by ADP ejde-53 82 2 the the DET ejde-53 82 3 lax lax PROPN ejde-53 82 4 - - PUNCT ejde-53 82 5 milgram milgram NOUN ejde-53 82 6 theorem theorem NOUN ejde-53 82 7 , , PUNCT ejde-53 82 8 there there PRON ejde-53 82 9 exists exist VERB ejde-53 82 10 a a DET ejde-53 82 11 unique unique ADJ ejde-53 82 12 φu φu NOUN ejde-53 82 13 ∈ ∈ PROPN ejde-53 82 14 d1,2(r3 d1,2(r3 PROPN ejde-53 82 15 ) ) PUNCT ejde-53 82 16 satisfying satisfy VERB ejde-53 82 17 the the DET ejde-53 82 18 equation equation NOUN ejde-53 82 19 −∆φu −∆φu NOUN ejde-53 83 1 = = SYM ejde-53 83 2 u2 u2 PROPN ejde-53 83 3 . . PUNCT ejde-53 84 1 according accord VERB ejde-53 84 2 to to ADP ejde-53 84 3 [ [ X ejde-53 84 4 18 18 NUM ejde-53 84 5 , , PUNCT ejde-53 84 6 theorem theorem VERB ejde-53 84 7 6.21 6.21 NUM ejde-53 84 8 ] ] PUNCT ejde-53 84 9 , , PUNCT ejde-53 84 10 φu φu PROPN ejde-53 84 11 has have VERB ejde-53 84 12 the the DET ejde-53 84 13 explicit explicit ADJ ejde-53 84 14 expression expression NOUN ejde-53 84 15 φu(x φu(x NOUN ejde-53 84 16 ) ) PUNCT ejde-53 84 17 = = SYM ejde-53 85 1 1 1 NUM ejde-53 85 2 4π 4π NUM ejde-53 85 3 ∫ ∫ PROPN ejde-53 85 4 r3 r3 PROPN ejde-53 85 5 u2(y u2(y NOUN ejde-53 85 6 ) ) PUNCT ejde-53 85 7 |x−y|dy |x−y|dy PROPN ejde-53 85 8 ≥ ≥ NOUN ejde-53 85 9 0 0 NUM ejde-53 85 10 . . PUNCT ejde-53 86 1 it it PRON ejde-53 86 2 defines define VERB ejde-53 86 3 a a DET ejde-53 86 4 mapping mapping NOUN ejde-53 86 5 u u NOUN ejde-53 86 6 7→ 7→ NUM ejde-53 86 7 φu φu NOUN ejde-53 86 8 from from ADP ejde-53 86 9 w w PROPN ejde-53 86 10 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 86 11 ) ) PUNCT ejde-53 86 12 to to PART ejde-53 86 13 d1,2(r3 d1,2(r3 NOUN ejde-53 86 14 ) ) PUNCT ejde-53 86 15 such such ADJ ejde-53 86 16 that that SCONJ ejde-53 86 17 φu φu PROPN ejde-53 86 18 ≥ ≥ NOUN ejde-53 86 19 0 0 NUM ejde-53 86 20 solves solve NOUN ejde-53 86 21 uniquely uniquely ADV ejde-53 86 22 the the DET ejde-53 86 23 poisson poisson NOUN ejde-53 86 24 equation equation NOUN ejde-53 86 25 −∆φ −∆φ X ejde-53 87 1 = = PROPN ejde-53 87 2 u2 u2 PROPN ejde-53 87 3 for for ADP ejde-53 87 4 u u NOUN ejde-53 87 5 ∈w ∈w NOUN ejde-53 87 6 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 87 7 ) ) PUNCT ejde-53 87 8 . . PUNCT ejde-53 88 1 proposition proposition NOUN ejde-53 88 2 2.1 2.1 NUM ejde-53 88 3 ( ( PUNCT ejde-53 88 4 [ [ X ejde-53 88 5 11 11 NUM ejde-53 88 6 , , PUNCT ejde-53 88 7 proposition proposition NOUN ejde-53 88 8 2.1 2.1 NUM ejde-53 88 9 ] ] PUNCT ejde-53 88 10 ) ) PUNCT ejde-53 88 11 . . PUNCT ejde-53 89 1 the the DET ejde-53 89 2 mapping mapping NOUN ejde-53 89 3 u u NOUN ejde-53 89 4 7→ 7→ NUM ejde-53 89 5 φu φu NOUN ejde-53 89 6 enjoys enjoy VERB ejde-53 89 7 the the DET ejde-53 89 8 following follow VERB ejde-53 89 9 properties property NOUN ejde-53 89 10 . . PUNCT ejde-53 90 1 4 4 NUM ejde-53 90 2 l. l. PROPN ejde-53 90 3 huang huang PROPN ejde-53 90 4 , , PUNCT ejde-53 90 5 j. j. PROPN ejde-53 90 6 su su PROPN ejde-53 90 7 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 90 8 ( ( PUNCT ejde-53 90 9 i i NOUN ejde-53 90 10 ) ) PUNCT ejde-53 91 1 ‖φu‖d ‖φu‖d PROPN ejde-53 91 2 ≤ ≤ ADJ ejde-53 91 3 a‖u‖2 a‖u‖2 PROPN ejde-53 91 4 for for ADP ejde-53 91 5 all all DET ejde-53 91 6 u u NOUN ejde-53 91 7 ∈w ∈w NOUN ejde-53 91 8 1,p(r3 1,p(r3 NOUN ejde-53 91 9 ) ) PUNCT ejde-53 91 10 where where SCONJ ejde-53 91 11 a a DET ejde-53 91 12 > > X ejde-53 91 13 0 0 NUM ejde-53 91 14 is be AUX ejde-53 91 15 a a DET ejde-53 91 16 constant constant ADJ ejde-53 91 17 ; ; PUNCT ejde-53 91 18 ( ( PUNCT ejde-53 91 19 ii ii NOUN ejde-53 91 20 ) ) PUNCT ejde-53 91 21 if if SCONJ ejde-53 91 22 un un PROPN ejde-53 91 23 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 91 24 u u PROPN ejde-53 91 25 in in ADP ejde-53 91 26 w w PROPN ejde-53 91 27 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 91 28 ) ) PUNCT ejde-53 91 29 , , PUNCT ejde-53 91 30 then then ADV ejde-53 91 31 φun φun VERB ejde-53 91 32 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 91 33 φu φu NOUN ejde-53 91 34 in in ADP ejde-53 91 35 d1,2(r3 d1,2(r3 PROPN ejde-53 91 36 ) ) PUNCT ejde-53 91 37 ; ; PUNCT ejde-53 91 38 ( ( PUNCT ejde-53 91 39 iii iii X ejde-53 91 40 ) ) PUNCT ejde-53 91 41 if if SCONJ ejde-53 91 42 u u PRON ejde-53 91 43 ∈w ∈w VERB ejde-53 91 44 1,p 1,p PROPN ejde-53 91 45 r r NOUN ejde-53 91 46 ( ( PUNCT ejde-53 91 47 r3 r3 PROPN ejde-53 91 48 ) ) PUNCT ejde-53 91 49 then then ADV ejde-53 91 50 φu φu PROPN ejde-53 91 51 ∈ ∈ PROPN ejde-53 91 52 d1,2 d1,2 PROPN ejde-53 91 53 r r NOUN ejde-53 91 54 ( ( PUNCT ejde-53 91 55 r3 r3 PROPN ejde-53 91 56 ) ) PUNCT ejde-53 91 57 : : PUNCT ejde-53 92 1 = = SYM ejde-53 92 2 { { PUNCT ejde-53 92 3 φ φ PROPN ejde-53 92 4 ∈ ∈ PROPN ejde-53 92 5 d1,2(r3 d1,2(r3 PROPN ejde-53 92 6 ) ) PUNCT ejde-53 92 7 : : PUNCT ejde-53 92 8 φ(x φ(x X ejde-53 92 9 ) ) PUNCT ejde-53 92 10 = = SYM ejde-53 92 11 φ(|x| φ(|x| X ejde-53 92 12 ) ) PUNCT ejde-53 92 13 } } PUNCT ejde-53 92 14 . . PUNCT ejde-53 93 1 we we PRON ejde-53 93 2 note note VERB ejde-53 93 3 here here ADV ejde-53 93 4 that that SCONJ ejde-53 93 5 the the DET ejde-53 93 6 third third ADJ ejde-53 93 7 conclusion conclusion NOUN ejde-53 93 8 comes come VERB ejde-53 93 9 from from ADP ejde-53 93 10 a a DET ejde-53 93 11 fact fact NOUN ejde-53 93 12 that that SCONJ ejde-53 93 13 the the DET ejde-53 93 14 convolution convolution NOUN ejde-53 93 15 of of ADP ejde-53 93 16 two two NUM ejde-53 93 17 radial radial ADJ ejde-53 93 18 functions function NOUN ejde-53 93 19 is be AUX ejde-53 93 20 still still ADV ejde-53 93 21 radial radial ADJ ejde-53 93 22 . . PUNCT ejde-53 94 1 now now ADV ejde-53 94 2 we we PRON ejde-53 94 3 are be AUX ejde-53 94 4 ready ready ADJ ejde-53 94 5 to to PART ejde-53 94 6 establish establish VERB ejde-53 94 7 the the DET ejde-53 94 8 variational variational ADJ ejde-53 94 9 framework framework NOUN ejde-53 94 10 of of ADP ejde-53 94 11 ( ( PUNCT ejde-53 94 12 1.1 1.1 NUM ejde-53 94 13 ) ) PUNCT ejde-53 94 14 . . PUNCT ejde-53 95 1 for for ADP ejde-53 95 2 h h PROPN ejde-53 95 3 ∈ ∈ PROPN ejde-53 95 4 ls(r3 ls(r3 PROPN ejde-53 95 5 ) ) PUNCT ejde-53 95 6 with with ADP ejde-53 95 7 ( ( PUNCT ejde-53 95 8 p∗)′ p∗)′ NUM ejde-53 95 9 ≤ ≤ PROPN ejde-53 95 10 s s PART ejde-53 95 11 ≤ ≤ PROPN ejde-53 95 12 p′ p′ NOUN ejde-53 95 13 , , PUNCT ejde-53 95 14 arguing argue VERB ejde-53 95 15 as as ADP ejde-53 95 16 in in ADP ejde-53 95 17 [ [ X ejde-53 95 18 5 5 NUM ejde-53 95 19 , , PUNCT ejde-53 95 20 6 6 NUM ejde-53 95 21 ] ] PUNCT ejde-53 95 22 , , PUNCT ejde-53 95 23 by by ADP ejde-53 95 24 proposition proposition NOUN ejde-53 95 25 2.1 2.1 NUM ejde-53 95 26 and and CCONJ ejde-53 95 27 the the DET ejde-53 95 28 implicit implicit ADJ ejde-53 95 29 function function NOUN ejde-53 95 30 theorem theorem VERB ejde-53 95 31 , , PUNCT ejde-53 95 32 the the DET ejde-53 95 33 functional functional ADJ ejde-53 95 34 iλ(u iλ(u NOUN ejde-53 95 35 ) ) PUNCT ejde-53 95 36 = = SYM ejde-53 95 37 1 1 NUM ejde-53 95 38 p p NOUN ejde-53 95 39 ∫ ∫ PROPN ejde-53 95 40 r3 r3 PROPN ejde-53 95 41 ( ( PUNCT ejde-53 95 42 |∇u|p |∇u|p NOUN ejde-53 95 43 + + CCONJ ejde-53 95 44 |u|p |u|p NOUN ejde-53 95 45 ) ) PUNCT ejde-53 95 46 dx+ dx+ NOUN ejde-53 95 47 λ λ X ejde-53 95 48 4 4 NUM ejde-53 95 49 ∫ ∫ NOUN ejde-53 95 50 r3 r3 PROPN ejde-53 95 51 φuu φuu VERB ejde-53 95 52 2 2 NUM ejde-53 95 53 dx− dx− SYM ejde-53 95 54 1 1 NUM ejde-53 96 1 q q NOUN ejde-53 96 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 96 3 r3 r3 PROPN ejde-53 96 4 |u|q |u|q PROPN ejde-53 96 5 dx− dx− NUM ejde-53 96 6 ∫ ∫ PROPN ejde-53 96 7 r3 r3 PROPN ejde-53 96 8 h(x)u h(x)u PROPN ejde-53 96 9 dx dx PROPN ejde-53 96 10 is be AUX ejde-53 96 11 a a DET ejde-53 96 12 well well ADV ejde-53 96 13 - - PUNCT ejde-53 96 14 defined define VERB ejde-53 96 15 c1 c1 NOUN ejde-53 96 16 functional functional ADJ ejde-53 96 17 on on ADP ejde-53 96 18 w w PROPN ejde-53 96 19 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 96 20 ) ) PUNCT ejde-53 96 21 with with ADP ejde-53 96 22 derivative derivative ADJ ejde-53 96 23 〈 〈 PROPN ejde-53 96 24 i i PROPN ejde-53 96 25 ′λ(u ′λ(u NOUN ejde-53 96 26 ) ) PUNCT ejde-53 96 27 , , PUNCT ejde-53 96 28 v v NOUN ejde-53 96 29 〉 〉 NOUN ejde-53 96 30 = = SYM ejde-53 96 31 ∫ ∫ PROPN ejde-53 96 32 r3 r3 PROPN ejde-53 96 33 ( ( PUNCT ejde-53 96 34 |∇u|p−2∇u∇v |∇u|p−2∇u∇v NOUN ejde-53 96 35 + + CCONJ ejde-53 96 36 |u|p−2uv |u|p−2uv NOUN ejde-53 96 37 ) ) PUNCT ejde-53 96 38 dx+ dx+ NOUN ejde-53 96 39 λ λ PROPN ejde-53 96 40 ∫ ∫ PROPN ejde-53 96 41 r3 r3 PROPN ejde-53 96 42 φuuv φuuv PROPN ejde-53 96 43 dx dx PROPN ejde-53 97 1 − − PROPN ejde-53 97 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 97 3 r3 r3 PROPN ejde-53 97 4 |u|q−2uv |u|q−2uv PRON ejde-53 97 5 dx− dx− PROPN ejde-53 97 6 ∫ ∫ PROPN ejde-53 97 7 r3 r3 PROPN ejde-53 97 8 h(x)v h(x)v PROPN ejde-53 97 9 dx dx PROPN ejde-53 97 10 , , PUNCT ejde-53 97 11 ∀u ∀u NOUN ejde-53 97 12 , , PUNCT ejde-53 97 13 v v ADP ejde-53 97 14 ∈w ∈w NOUN ejde-53 97 15 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 97 16 ) ) PUNCT ejde-53 97 17 . . PUNCT ejde-53 98 1 furthermore furthermore ADV ejde-53 98 2 , , PUNCT ejde-53 98 3 u u PRON ejde-53 98 4 ∈w ∈w NOUN ejde-53 98 5 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 98 6 ) ) PUNCT ejde-53 98 7 is be AUX ejde-53 98 8 a a DET ejde-53 98 9 critical critical ADJ ejde-53 98 10 point point NOUN ejde-53 98 11 of of ADP ejde-53 98 12 iλ iλ NOUN ejde-53 98 13 if if SCONJ ejde-53 98 14 and and CCONJ ejde-53 98 15 only only ADV ejde-53 98 16 if if SCONJ ejde-53 98 17 the the DET ejde-53 98 18 couple couple NOUN ejde-53 98 19 ( ( PUNCT ejde-53 98 20 u u NOUN ejde-53 98 21 , , PUNCT ejde-53 98 22 φu φu NOUN ejde-53 98 23 ) ) PUNCT ejde-53 98 24 ∈ ∈ PROPN ejde-53 98 25 w w PROPN ejde-53 98 26 1,p(r3)×d1,2(r3 1,p(r3)×d1,2(r3 NUM ejde-53 98 27 ) ) PUNCT ejde-53 98 28 is be AUX ejde-53 98 29 a a DET ejde-53 98 30 solution solution NOUN ejde-53 98 31 of of ADP ejde-53 98 32 the the DET ejde-53 98 33 system system NOUN ejde-53 98 34 ( ( PUNCT ejde-53 98 35 1.1 1.1 NUM ejde-53 98 36 ) ) PUNCT ejde-53 98 37 . . PUNCT ejde-53 99 1 then then ADV ejde-53 99 2 we we PRON ejde-53 99 3 will will AUX ejde-53 99 4 prove prove VERB ejde-53 99 5 theorems theorem NOUN ejde-53 99 6 1.1 1.1 NUM ejde-53 99 7 and and CCONJ ejde-53 99 8 1.2 1.2 NUM ejde-53 99 9 by by ADP ejde-53 99 10 looking look VERB ejde-53 99 11 for for ADP ejde-53 99 12 critical critical ADJ ejde-53 99 13 points point NOUN ejde-53 99 14 of of ADP ejde-53 99 15 iλ iλ NOUN ejde-53 99 16 . . PUNCT ejde-53 100 1 the the DET ejde-53 100 2 following following ADJ ejde-53 100 3 result result NOUN ejde-53 100 4 is be AUX ejde-53 100 5 crucial crucial ADJ ejde-53 100 6 and and CCONJ ejde-53 100 7 can can AUX ejde-53 100 8 be be AUX ejde-53 100 9 proved prove VERB ejde-53 100 10 by by ADP ejde-53 100 11 applying apply VERB ejde-53 100 12 some some DET ejde-53 100 13 ideas idea NOUN ejde-53 100 14 from from ADP ejde-53 100 15 boccardo boccardo NOUN ejde-53 100 16 and and CCONJ ejde-53 100 17 murat murat NOUN ejde-53 101 1 [ [ X ejde-53 101 2 7 7 NUM ejde-53 101 3 ] ] PUNCT ejde-53 101 4 . . PUNCT ejde-53 102 1 we we PRON ejde-53 102 2 include include VERB ejde-53 102 3 the the DET ejde-53 102 4 proof proof NOUN ejde-53 102 5 for for ADP ejde-53 102 6 completeness completeness NOUN ejde-53 102 7 . . PUNCT ejde-53 103 1 lemma lemma PROPN ejde-53 103 2 2.2 2.2 NUM ejde-53 103 3 . . PUNCT ejde-53 104 1 let let VERB ejde-53 104 2 { { PUNCT ejde-53 104 3 un un ADJ ejde-53 104 4 } } PUNCT ejde-53 104 5 ⊂w ⊂w PROPN ejde-53 104 6 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 104 7 ) ) PUNCT ejde-53 104 8 be be AUX ejde-53 104 9 bounded bound VERB ejde-53 104 10 and and CCONJ ejde-53 104 11 satisfy satisfy VERB ejde-53 104 12 i i PRON ejde-53 104 13 ′λ(un)→ ′λ(un)→ ADV ejde-53 104 14 0 0 PUNCT ejde-53 104 15 as as ADP ejde-53 104 16 n→∞. n→∞. ADJ ejde-53 104 17 then then ADV ejde-53 104 18 , , PUNCT ejde-53 104 19 up up ADP ejde-53 104 20 to to ADP ejde-53 104 21 a a DET ejde-53 104 22 subsequence subsequence NOUN ejde-53 104 23 , , PUNCT ejde-53 104 24 there there PRON ejde-53 104 25 exists exist VERB ejde-53 104 26 u u PROPN ejde-53 104 27 ∈ ∈ PROPN ejde-53 104 28 w w PROPN ejde-53 104 29 1,p(r3 1,p(r3 NOUN ejde-53 104 30 ) ) PUNCT ejde-53 104 31 such such ADJ ejde-53 104 32 that that SCONJ ejde-53 104 33 ∇un(x ∇un(x ADJ ejde-53 104 34 ) ) PUNCT ejde-53 104 35 → → SYM ejde-53 104 36 ∇u(x ∇u(x NOUN ejde-53 104 37 ) ) PUNCT ejde-53 104 38 a.e a.e PROPN ejde-53 104 39 . . PROPN ejde-53 104 40 in in ADP ejde-53 104 41 r3 r3 PROPN ejde-53 104 42 . . PUNCT ejde-53 105 1 proof proof NOUN ejde-53 105 2 . . PUNCT ejde-53 106 1 since since SCONJ ejde-53 106 2 { { PUNCT ejde-53 106 3 un un VERB ejde-53 106 4 } } PUNCT ejde-53 106 5 is be AUX ejde-53 106 6 bounded bound VERB ejde-53 106 7 in in ADP ejde-53 106 8 w w PROPN ejde-53 106 9 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 106 10 ) ) PUNCT ejde-53 106 11 , , PUNCT ejde-53 106 12 up up ADP ejde-53 106 13 to to ADP ejde-53 106 14 a a DET ejde-53 106 15 subsequence subsequence NOUN ejde-53 106 16 , , PUNCT ejde-53 106 17 there there PRON ejde-53 106 18 exists exist VERB ejde-53 106 19 u u PROPN ejde-53 106 20 ∈ ∈ PROPN ejde-53 106 21 w w PROPN ejde-53 106 22 1,p(r3 1,p(r3 NOUN ejde-53 106 23 ) ) PUNCT ejde-53 106 24 such such ADJ ejde-53 106 25 that that SCONJ ejde-53 106 26 un un PROPN ejde-53 106 27 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 106 28 u u PROPN ejde-53 106 29 in in ADP ejde-53 106 30 w w PROPN ejde-53 106 31 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 106 32 ) ) PUNCT ejde-53 106 33 , , PUNCT ejde-53 106 34 un un PROPN ejde-53 106 35 → → SYM ejde-53 106 36 u u PROPN ejde-53 106 37 in in ADP ejde-53 106 38 l`loc(r3 l`loc(r3 NOUN ejde-53 106 39 ) ) PUNCT ejde-53 106 40 , , PUNCT ejde-53 106 41 p p PROPN ejde-53 106 42 ≤ ≤ X ejde-53 106 43 ` ` PUNCT ejde-53 106 44 < < X ejde-53 106 45 p∗ p∗ PROPN ejde-53 106 46 , , PUNCT ejde-53 106 47 un(x)→ un(x)→ PROPN ejde-53 106 48 u(x u(x NOUN ejde-53 106 49 ) ) PUNCT ejde-53 106 50 a.e a.e PROPN ejde-53 106 51 . . PROPN ejde-53 106 52 in in ADP ejde-53 106 53 r3 r3 PROPN ejde-53 106 54 . . PUNCT ejde-53 107 1 ( ( PUNCT ejde-53 107 2 2.2 2.2 NUM ejde-53 107 3 ) ) PUNCT ejde-53 107 4 we we PRON ejde-53 107 5 will will AUX ejde-53 107 6 prove prove VERB ejde-53 107 7 that that SCONJ ejde-53 107 8 ∇un(x)→ ∇un(x)→ PROPN ejde-53 107 9 ∇u(x ∇u(x NOUN ejde-53 107 10 ) ) PUNCT ejde-53 108 1 a.e a.e PROPN ejde-53 108 2 . . PROPN ejde-53 108 3 in in ADP ejde-53 108 4 r3 r3 PROPN ejde-53 108 5 . . PUNCT ejde-53 109 1 ( ( PUNCT ejde-53 109 2 2.3 2.3 NUM ejde-53 109 3 ) ) PUNCT ejde-53 109 4 let let VERB ejde-53 109 5 υ υ PRON ejde-53 109 6 ∈ ∈ PROPN ejde-53 109 7 c∞0 c∞0 PROPN ejde-53 109 8 ( ( PUNCT ejde-53 109 9 r3 r3 PROPN ejde-53 109 10 , , PUNCT ejde-53 109 11 [ [ X ejde-53 109 12 0 0 NUM ejde-53 109 13 , , PUNCT ejde-53 109 14 1 1 NUM ejde-53 109 15 ] ] PUNCT ejde-53 109 16 ) ) PUNCT ejde-53 109 17 satisfy satisfy VERB ejde-53 109 18 υ υ NOUN ejde-53 109 19 ∣∣ ∣∣ X ejde-53 109 20 br br NOUN ejde-53 109 21 = = SYM ejde-53 109 22 1 1 NUM ejde-53 109 23 and and CCONJ ejde-53 109 24 supt supt ADJ ejde-53 109 25 υ υ PROPN ejde-53 109 26 ⊂ ⊂ PROPN ejde-53 109 27 b2r b2r PROPN ejde-53 109 28 , , PUNCT ejde-53 109 29 where where SCONJ ejde-53 109 30 br br NOUN ejde-53 109 31 = = PRON ejde-53 109 32 { { PUNCT ejde-53 109 33 x x SYM ejde-53 109 34 ∈ ∈ PROPN ejde-53 109 35 r3 r3 PROPN ejde-53 109 36 : : PUNCT ejde-53 109 37 |x| |x| PROPN ejde-53 109 38 ≤ ≤ X ejde-53 109 39 r r NOUN ejde-53 109 40 } } PUNCT ejde-53 109 41 . . PUNCT ejde-53 110 1 since since SCONJ ejde-53 110 2 un un PROPN ejde-53 110 3 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 110 4 u u PROPN ejde-53 110 5 in in ADP ejde-53 110 6 w w PROPN ejde-53 110 7 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 110 8 ) ) PUNCT ejde-53 110 9 , , PUNCT ejde-53 110 10 it it PRON ejde-53 110 11 follows follow VERB ejde-53 110 12 that that SCONJ ejde-53 110 13 ( ( PUNCT ejde-53 110 14 un un PROPN ejde-53 110 15 − − PROPN ejde-53 110 16 u)υ u)υ VERB ejde-53 110 17 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 110 18 0 0 PUNCT ejde-53 111 1 in in ADP ejde-53 111 2 w w PROPN ejde-53 111 3 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 111 4 ) ) PUNCT ejde-53 111 5 . . PUNCT ejde-53 112 1 ( ( PUNCT ejde-53 112 2 2.4 2.4 NUM ejde-53 112 3 ) ) PUNCT ejde-53 112 4 then then ADV ejde-53 112 5 , , PUNCT ejde-53 112 6 by by ADP ejde-53 112 7 ( ( PUNCT ejde-53 112 8 2.2 2.2 NUM ejde-53 112 9 ) ) PUNCT ejde-53 112 10 and and CCONJ ejde-53 112 11 the the DET ejde-53 112 12 hölder hölder NOUN ejde-53 112 13 inequality inequality NOUN ejde-53 112 14 , , PUNCT ejde-53 112 15 as as ADP ejde-53 112 16 n→∞,∫ n→∞,∫ X ejde-53 112 17 r3 r3 PROPN ejde-53 112 18 ( ( PUNCT ejde-53 112 19 |un|`−2un |un|`−2un NOUN ejde-53 112 20 − − PROPN ejde-53 112 21 |u|`−2u |u|`−2u PROPN ejde-53 112 22 ) ) PUNCT ejde-53 113 1 [ [ X ejde-53 113 2 ( ( PUNCT ejde-53 113 3 un un PROPN ejde-53 113 4 − − PROPN ejde-53 113 5 u)υ u)υ PROPN ejde-53 113 6 ] ] PUNCT ejde-53 113 7 dx dx PROPN ejde-53 114 1 = = SYM ejde-53 114 2 o(1),∫ o(1),∫ PROPN ejde-53 114 3 r3 r3 PROPN ejde-53 114 4 [ [ PUNCT ejde-53 114 5 ( ( PUNCT ejde-53 114 6 |∇un|p−2∇un |∇un|p−2∇un NOUN ejde-53 114 7 − − NOUN ejde-53 114 8 |∇u|p−2∇u)∇υ |∇u|p−2∇u)∇υ NOUN ejde-53 114 9 ] ] PUNCT ejde-53 114 10 ( ( PUNCT ejde-53 114 11 un un PROPN ejde-53 114 12 − − PROPN ejde-53 114 13 u u PROPN ejde-53 114 14 ) ) PUNCT ejde-53 114 15 dx dx PROPN ejde-53 114 16 = = SYM ejde-53 114 17 o(1 o(1 PROPN ejde-53 114 18 ) ) PUNCT ejde-53 114 19 . . PUNCT ejde-53 115 1 ( ( PUNCT ejde-53 115 2 2.5 2.5 NUM ejde-53 115 3 ) ) PUNCT ejde-53 115 4 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 115 5 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 115 6 - - PUNCT ejde-53 115 7 poisson poisson NOUN ejde-53 115 8 systems system NOUN ejde-53 115 9 with with ADP ejde-53 115 10 p p NOUN ejde-53 115 11 - - PUNCT ejde-53 115 12 laplacian laplacian ADJ ejde-53 115 13 5 5 NUM ejde-53 115 14 using use VERB ejde-53 115 15 the the DET ejde-53 115 16 hölder hölder NOUN ejde-53 115 17 and and CCONJ ejde-53 115 18 sobolev sobolev NOUN ejde-53 115 19 inequalities inequality NOUN ejde-53 115 20 , , PUNCT ejde-53 115 21 we we PRON ejde-53 115 22 deduce deduce VERB ejde-53 115 23 by by ADP ejde-53 115 24 proposition proposition NOUN ejde-53 115 25 2.1(i 2.1(i NUM ejde-53 115 26 ) ) PUNCT ejde-53 115 27 and and CCONJ ejde-53 115 28 ( ( PUNCT ejde-53 115 29 2.2 2.2 NUM ejde-53 115 30 ) ) PUNCT ejde-53 115 31 that∫ that∫ NOUN ejde-53 115 32 r3 r3 PROPN ejde-53 115 33 ( ( PUNCT ejde-53 115 34 φunun φunun PROPN ejde-53 115 35 − − PROPN ejde-53 115 36 φuu)(un φuu)(un PROPN ejde-53 115 37 − − PROPN ejde-53 115 38 u)υ u)υ NOUN ejde-53 115 39 dx dx PROPN ejde-53 115 40 ≤ ≤ PROPN ejde-53 115 41 |φun |φun VERB ejde-53 115 42 |l6(b2r)|un(un |l6(b2r)|un(un NOUN ejde-53 115 43 − − PROPN ejde-53 115 44 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r PROPN ejde-53 115 45 ) ) PUNCT ejde-53 116 1 + + CCONJ ejde-53 116 2 |φu|l6(b2r)|u(un |φu|l6(b2r)|u(un PROPN ejde-53 116 3 − − PROPN ejde-53 116 4 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r NOUN ejde-53 116 5 ) ) PUNCT ejde-53 116 6 ≤ ≤ NUM ejde-53 116 7 c‖φun‖d|un(un c‖φun‖d|un(un PROPN ejde-53 116 8 − − PROPN ejde-53 116 9 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r PROPN ejde-53 116 10 ) ) PUNCT ejde-53 117 1 + + CCONJ ejde-53 117 2 c‖φu‖d|u(un c‖φu‖d|u(un PROPN ejde-53 117 3 − − PROPN ejde-53 117 4 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r NOUN ejde-53 117 5 ) ) PUNCT ejde-53 117 6 ≤ ≤ NOUN ejde-53 117 7 c‖un‖2|un(un c‖un‖2|un(un PROPN ejde-53 117 8 − − PROPN ejde-53 117 9 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r PROPN ejde-53 117 10 ) ) PUNCT ejde-53 118 1 + + CCONJ ejde-53 118 2 c‖u‖2|u(un c‖u‖2|u(un PROPN ejde-53 118 3 − − PROPN ejde-53 118 4 u)υ|l6/5(b2r u)υ|l6/5(b2r NOUN ejde-53 118 5 ) ) PUNCT ejde-53 118 6 ≤ ≤ NUM ejde-53 118 7 c c X ejde-53 118 8 ( ( PUNCT ejde-53 118 9 ‖un‖2|un|l12/5(b2r ‖un‖2|un|l12/5(b2r PROPN ejde-53 118 10 ) ) PUNCT ejde-53 118 11 + + NUM ejde-53 118 12 ‖u‖2|u|l12/5(b2r ‖u‖2|u|l12/5(b2r NUM ejde-53 118 13 ) ) PUNCT ejde-53 118 14 ) ) PUNCT ejde-53 119 1 |un |un ADP ejde-53 119 2 − − NOUN ejde-53 119 3 u|l12/5(b2r u|l12/5(b2r ADJ ejde-53 119 4 ) ) PUNCT ejde-53 119 5 = = SYM ejde-53 119 6 o(1 o(1 NOUN ejde-53 119 7 ) ) PUNCT ejde-53 119 8 . . PUNCT ejde-53 120 1 ( ( PUNCT ejde-53 120 2 2.6 2.6 NUM ejde-53 120 3 ) ) PUNCT ejde-53 120 4 by by ADP ejde-53 120 5 ( ( PUNCT ejde-53 120 6 2.4 2.4 NUM ejde-53 120 7 ) ) PUNCT ejde-53 120 8 and and CCONJ ejde-53 120 9 i i PRON ejde-53 120 10 ′λ(un)→ ′λ(un)→ ADV ejde-53 120 11 0 0 PUNCT ejde-53 121 1 in in ADP ejde-53 121 2 [ [ X ejde-53 121 3 w w PROPN ejde-53 121 4 1,p(r3)]∗ 1,p(r3)]∗ PROPN ejde-53 121 5 , , PUNCT ejde-53 121 6 we we PRON ejde-53 121 7 have have VERB ejde-53 121 8 that that PRON ejde-53 121 9 as as ADP ejde-53 121 10 n→∞ n→∞ NUM ejde-53 121 11 , , PUNCT ejde-53 121 12 〈 〈 PROPN ejde-53 121 13 i i PRON ejde-53 121 14 ′λ(un)− ′λ(un)− NOUN ejde-53 121 15 i i NOUN ejde-53 121 16 ′λ(u ′λ(u NOUN ejde-53 121 17 ) ) PUNCT ejde-53 121 18 , , PUNCT ejde-53 121 19 ( ( PUNCT ejde-53 121 20 un un PROPN ejde-53 121 21 − − PROPN ejde-53 121 22 u)υ u)υ PROPN ejde-53 121 23 〉 〉 NOUN ejde-53 121 24 = = SYM ejde-53 121 25 o(1 o(1 PROPN ejde-53 121 26 ) ) PUNCT ejde-53 121 27 . . PUNCT ejde-53 122 1 ( ( PUNCT ejde-53 122 2 2.7 2.7 NUM ejde-53 122 3 ) ) PUNCT ejde-53 122 4 it it PRON ejde-53 122 5 follows follow VERB ejde-53 122 6 from from ADP ejde-53 122 7 ( ( PUNCT ejde-53 122 8 2.5)–(2.7 2.5)–(2.7 NUM ejde-53 122 9 ) ) PUNCT ejde-53 123 1 that that SCONJ ejde-53 123 2 as as ADP ejde-53 123 3 n→∞,∫ n→∞,∫ X ejde-53 123 4 r3 r3 PROPN ejde-53 123 5 ( ( PUNCT ejde-53 123 6 |∇un|p−2∇un |∇un|p−2∇un NOUN ejde-53 123 7 − − NOUN ejde-53 123 8 |∇u|p−2∇u |∇u|p−2∇u NUM ejde-53 123 9 ) ) PUNCT ejde-53 123 10 ( ( PUNCT ejde-53 123 11 ∇un ∇un X ejde-53 123 12 −∇u)υ −∇u)υ PROPN ejde-53 123 13 dx dx PROPN ejde-53 123 14 = = SYM ejde-53 123 15 o(1 o(1 PROPN ejde-53 123 16 ) ) PUNCT ejde-53 123 17 . . PUNCT ejde-53 124 1 ( ( PUNCT ejde-53 124 2 2.8 2.8 NUM ejde-53 124 3 ) ) PUNCT ejde-53 124 4 set set VERB ejde-53 124 5 en en ADV ejde-53 124 6 : : PUNCT ejde-53 124 7 = = X ejde-53 124 8 ( ( PUNCT ejde-53 124 9 |∇un|p−2∇un |∇un|p−2∇un NOUN ejde-53 124 10 − − PROPN ejde-53 124 11 |∇u|p−2∇u,∇un |∇u|p−2∇u,∇un PROPN ejde-53 124 12 −∇u)r3 −∇u)r3 PROPN ejde-53 124 13 . . PUNCT ejde-53 125 1 then then ADV ejde-53 125 2 , , PUNCT ejde-53 125 3 as as ADP ejde-53 125 4 n→∞,∫ n→∞,∫ X ejde-53 125 5 br br X ejde-53 125 6 en en X ejde-53 125 7 dx dx PROPN ejde-53 125 8 = = SYM ejde-53 125 9 o(1 o(1 PROPN ejde-53 125 10 ) ) PUNCT ejde-53 125 11 . . PUNCT ejde-53 126 1 ( ( PUNCT ejde-53 126 2 2.9 2.9 NUM ejde-53 126 3 ) ) PUNCT ejde-53 126 4 by by ADP ejde-53 126 5 ( ( PUNCT ejde-53 126 6 2.1 2.1 NUM ejde-53 126 7 ) ) PUNCT ejde-53 126 8 and and CCONJ ejde-53 126 9 ( ( PUNCT ejde-53 126 10 2.9 2.9 NUM ejde-53 126 11 ) ) PUNCT ejde-53 126 12 , , PUNCT ejde-53 126 13 for for ADP ejde-53 126 14 2 2 NUM ejde-53 126 15 ≤ ≤ NOUN ejde-53 126 16 p p NOUN ejde-53 126 17 < < X ejde-53 126 18 12/5 12/5 NUM ejde-53 126 19 , , PUNCT ejde-53 126 20 we we PRON ejde-53 126 21 have have VERB ejde-53 126 22 c c PROPN ejde-53 126 23 ∫ ∫ PROPN ejde-53 126 24 br br PROPN ejde-53 126 25 |∇un |∇un VERB ejde-53 126 26 −∇u|p −∇u|p NOUN ejde-53 126 27 dx dx PROPN ejde-53 126 28 ≤ ≤ NUM ejde-53 127 1 ∫ ∫ PROPN ejde-53 127 2 br br PROPN ejde-53 127 3 en en X ejde-53 127 4 dx dx PROPN ejde-53 127 5 = = SYM ejde-53 127 6 o(1 o(1 PROPN ejde-53 127 7 ) ) PUNCT ejde-53 127 8 , , PUNCT ejde-53 127 9 ( ( PUNCT ejde-53 127 10 2.10 2.10 NUM ejde-53 127 11 ) ) PUNCT ejde-53 127 12 and and CCONJ ejde-53 127 13 for for ADP ejde-53 127 14 4/3 4/3 PRON ejde-53 127 15 < < X ejde-53 127 16 p p X ejde-53 127 17 < < X ejde-53 127 18 2 2 NUM ejde-53 127 19 , , PUNCT ejde-53 127 20 c c NOUN ejde-53 127 21 ∫ ∫ PROPN ejde-53 127 22 br br PROPN ejde-53 128 1 |∇un |∇un VERB ejde-53 128 2 −∇u|p −∇u|p NOUN ejde-53 128 3 dx dx PROPN ejde-53 128 4 ≤ ≤ NUM ejde-53 128 5 ∫ ∫ PROPN ejde-53 128 6 br br PROPN ejde-53 128 7 ep/2n ep/2n NOUN ejde-53 128 8 ( ( PUNCT ejde-53 128 9 |∇un|+ |∇un|+ ADV ejde-53 128 10 |∇u| |∇u| NUM ejde-53 128 11 ) ) PUNCT ejde-53 128 12 p(2−p p(2−p NOUN ejde-53 128 13 ) ) PUNCT ejde-53 128 14 2 2 NUM ejde-53 128 15 dx dx PROPN ejde-53 128 16 ≤ ≤ NUM ejde-53 128 17 ( ( PUNCT ejde-53 128 18 ∫ ∫ PROPN ejde-53 128 19 br br PROPN ejde-53 128 20 en en PROPN ejde-53 128 21 dx dx PROPN ejde-53 128 22 ) ) PUNCT ejde-53 129 1 p/2(∫ p/2(∫ X ejde-53 129 2 br br NOUN ejde-53 129 3 ( ( PUNCT ejde-53 129 4 |∇un|+ |∇un|+ NOUN ejde-53 129 5 |∇u|)p |∇u|)p X ejde-53 129 6 dx dx PROPN ejde-53 129 7 ) ) PUNCT ejde-53 129 8 2−p 2−p NUM ejde-53 129 9 2 2 NUM ejde-53 129 10 ≤ ≤ NOUN ejde-53 129 11 c c NOUN ejde-53 129 12 ( ( PUNCT ejde-53 129 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 129 14 br br PROPN ejde-53 129 15 en en PROPN ejde-53 129 16 dx dx PROPN ejde-53 129 17 ) ) PUNCT ejde-53 129 18 p/2 p/2 NOUN ejde-53 129 19 . . PUNCT ejde-53 130 1 ( ( PUNCT ejde-53 130 2 2.11 2.11 NUM ejde-53 130 3 ) ) PUNCT ejde-53 130 4 it it PRON ejde-53 130 5 follows follow VERB ejde-53 130 6 from from ADP ejde-53 130 7 ( ( PUNCT ejde-53 130 8 2.9)–(2.11 2.9)–(2.11 NOUN ejde-53 130 9 ) ) PUNCT ejde-53 130 10 that that SCONJ ejde-53 130 11 lim lim PROPN ejde-53 130 12 n→∞ n→∞ PRON ejde-53 130 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 130 14 br br PROPN ejde-53 131 1 |∇un |∇un VERB ejde-53 131 2 −∇u|p −∇u|p NOUN ejde-53 131 3 dx dx PROPN ejde-53 131 4 = = SYM ejde-53 131 5 0 0 PROPN ejde-53 131 6 . . PUNCT ejde-53 132 1 up up ADP ejde-53 132 2 to to ADP ejde-53 132 3 a a DET ejde-53 132 4 subsequence subsequence NOUN ejde-53 132 5 , , PUNCT ejde-53 132 6 we we PRON ejde-53 132 7 have have VERB ejde-53 132 8 ∇un(x ∇un(x NOUN ejde-53 132 9 ) ) PUNCT ejde-53 133 1 → → SYM ejde-53 133 2 ∇u(x ∇u(x NOUN ejde-53 133 3 ) ) PUNCT ejde-53 134 1 a.e a.e PROPN ejde-53 134 2 . . PROPN ejde-53 135 1 in in ADP ejde-53 135 2 br br PROPN ejde-53 135 3 . . PUNCT ejde-53 136 1 it it PRON ejde-53 136 2 follows follow VERB ejde-53 136 3 from from ADP ejde-53 136 4 the the DET ejde-53 136 5 arbitrariness arbitrariness NOUN ejde-53 136 6 of of ADP ejde-53 136 7 br br NOUN ejde-53 136 8 that that PRON ejde-53 136 9 ( ( PUNCT ejde-53 136 10 2.3 2.3 NUM ejde-53 136 11 ) ) PUNCT ejde-53 136 12 holds hold VERB ejde-53 136 13 . . PUNCT ejde-53 137 1 the the DET ejde-53 137 2 proof proof NOUN ejde-53 137 3 is be AUX ejde-53 137 4 complete complete ADJ ejde-53 137 5 . . PUNCT ejde-53 138 1 � � PROPN ejde-53 138 2 3 3 NUM ejde-53 138 3 . . PUNCT ejde-53 139 1 a a DET ejde-53 139 2 solution solution NOUN ejde-53 139 3 with with ADP ejde-53 139 4 negative negative ADJ ejde-53 139 5 energy energy NOUN ejde-53 139 6 in in ADP ejde-53 139 7 this this DET ejde-53 139 8 section section NOUN ejde-53 139 9 we we PRON ejde-53 139 10 find find VERB ejde-53 139 11 a a DET ejde-53 139 12 solution solution NOUN ejde-53 139 13 of of ADP ejde-53 139 14 ( ( PUNCT ejde-53 139 15 1.1 1.1 NUM ejde-53 139 16 ) ) PUNCT ejde-53 139 17 with with ADP ejde-53 139 18 negative negative ADJ ejde-53 139 19 energy energy NOUN ejde-53 139 20 for for ADP ejde-53 139 21 p p NOUN ejde-53 139 22 < < X ejde-53 139 23 q q X ejde-53 139 24 < < X ejde-53 139 25 p∗ p∗ PROPN ejde-53 139 26 , , PUNCT ejde-53 139 27 and and CCONJ ejde-53 139 28 h h NOUN ejde-53 139 29 satisfying satisfy VERB ejde-53 139 30 ( ( PUNCT ejde-53 139 31 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 139 32 ) ) PUNCT ejde-53 139 33 and and CCONJ ejde-53 139 34 small small ADJ ejde-53 139 35 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 139 36 ) ) PUNCT ejde-53 139 37 . . PUNCT ejde-53 140 1 lemma lemma PROPN ejde-53 140 2 3.1 3.1 NUM ejde-53 140 3 . . PUNCT ejde-53 140 4 assume assume VERB ejde-53 140 5 that that SCONJ ejde-53 140 6 h h PROPN ejde-53 140 7 ∈ ∈ PROPN ejde-53 140 8 ls(r3 ls(r3 VERB ejde-53 140 9 ) ) PUNCT ejde-53 140 10 with with ADP ejde-53 140 11 ( ( PUNCT ejde-53 140 12 p∗)′ p∗)′ NUM ejde-53 140 13 ≤ ≤ PROPN ejde-53 140 14 s s PART ejde-53 140 15 ≤ ≤ NOUN ejde-53 140 16 p′. p′. NOUN ejde-53 140 17 then then ADV ejde-53 140 18 there there PRON ejde-53 140 19 exist exist VERB ejde-53 140 20 ρ ρ PROPN ejde-53 140 21 > > X ejde-53 140 22 0 0 PROPN ejde-53 140 23 , , PUNCT ejde-53 140 24 λ λ X ejde-53 140 25 > > X ejde-53 140 26 0 0 PUNCT ejde-53 141 1 and and CCONJ ejde-53 141 2 α α X ejde-53 141 3 > > X ejde-53 141 4 0 0 NUM ejde-53 141 5 such such ADJ ejde-53 141 6 that that DET ejde-53 141 7 iλ(u iλ(u NUM ejde-53 141 8 ) ) PUNCT ejde-53 141 9 ≥ ≥ PROPN ejde-53 141 10 α α NOUN ejde-53 141 11 for for ADP ejde-53 141 12 u u PROPN ejde-53 141 13 ∈ ∈ PROPN ejde-53 141 14 w w PROPN ejde-53 141 15 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 141 16 ) ) PUNCT ejde-53 141 17 with with ADP ejde-53 141 18 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 141 19 = = SYM ejde-53 141 20 ρ ρ PROPN ejde-53 141 21 , , PUNCT ejde-53 141 22 λ λ X ejde-53 141 23 > > X ejde-53 141 24 0 0 NUM ejde-53 141 25 and and CCONJ ejde-53 141 26 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 141 27 ) ) PUNCT ejde-53 141 28 < < X ejde-53 141 29 λ λ X ejde-53 141 30 . . PROPN ejde-53 141 31 6 6 NUM ejde-53 141 32 l. l. PROPN ejde-53 141 33 huang huang PROPN ejde-53 141 34 , , PUNCT ejde-53 141 35 j. j. PROPN ejde-53 141 36 su su PROPN ejde-53 141 37 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 141 38 proof proof NOUN ejde-53 141 39 . . PUNCT ejde-53 142 1 for for ADP ejde-53 142 2 u u PROPN ejde-53 142 3 ∈ ∈ PROPN ejde-53 142 4 w w PROPN ejde-53 142 5 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 142 6 ) ) PUNCT ejde-53 142 7 and and CCONJ ejde-53 142 8 λ λ X ejde-53 142 9 > > X ejde-53 142 10 0 0 NUM ejde-53 142 11 , , PUNCT ejde-53 142 12 since since SCONJ ejde-53 142 13 φu φu PROPN ejde-53 142 14 ≥ ≥ NUM ejde-53 142 15 0 0 NUM ejde-53 142 16 , , PUNCT ejde-53 142 17 it it PRON ejde-53 142 18 follows follow VERB ejde-53 142 19 from from ADP ejde-53 142 20 hölder hölder NOUN ejde-53 142 21 and and CCONJ ejde-53 142 22 sobolev sobolev NOUN ejde-53 142 23 inequalities inequality NOUN ejde-53 142 24 that that PRON ejde-53 142 25 iλ(u iλ(u NUM ejde-53 142 26 ) ) PUNCT ejde-53 142 27 ≥ ≥ NOUN ejde-53 142 28 1 1 NUM ejde-53 142 29 p p NOUN ejde-53 142 30 ‖u‖p ‖u‖p NOUN ejde-53 142 31 − − PROPN ejde-53 142 32 1 1 NUM ejde-53 142 33 q q NOUN ejde-53 142 34 |u|qlq(r3 |u|qlq(r3 NOUN ejde-53 142 35 ) ) PUNCT ejde-53 142 36 − − PROPN ejde-53 142 37 |h|ls(r3)|u|ls′ |h|ls(r3)|u|ls′ PROPN ejde-53 142 38 ( ( PUNCT ejde-53 142 39 r3 r3 PROPN ejde-53 142 40 ) ) PUNCT ejde-53 142 41 ≥ ≥ NOUN ejde-53 142 42 1 1 NUM ejde-53 142 43 p p NOUN ejde-53 142 44 ‖u‖p ‖u‖p NOUN ejde-53 142 45 − − PROPN ejde-53 142 46 sqq sqq PROPN ejde-53 142 47 q q PROPN ejde-53 142 48 ‖u‖q ‖u‖q PROPN ejde-53 142 49 − − PROPN ejde-53 142 50 ss′ ss′ NOUN ejde-53 142 51 |h|ls(r3)‖u‖ |h|ls(r3)‖u‖ NOUN ejde-53 142 52 = = SYM ejde-53 142 53 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 142 54 ( ( PUNCT ejde-53 142 55 1 1 NUM ejde-53 142 56 p p NOUN ejde-53 142 57 ‖u‖p−1 ‖u‖p−1 VERB ejde-53 142 58 − − PROPN ejde-53 142 59 sqq sqq PROPN ejde-53 142 60 q q PROPN ejde-53 142 61 ‖u‖q−1 ‖u‖q−1 ADJ ejde-53 142 62 − − PROPN ejde-53 142 63 ss′ ss′ NUM ejde-53 142 64 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 142 65 ) ) PUNCT ejde-53 142 66 ) ) PUNCT ejde-53 142 67 , , PUNCT ejde-53 142 68 ( ( PUNCT ejde-53 142 69 3.1 3.1 NUM ejde-53 142 70 ) ) PUNCT ejde-53 142 71 where where SCONJ ejde-53 142 72 s s X ejde-53 142 73 ` ` PUNCT ejde-53 142 74 denotes denote VERB ejde-53 142 75 the the PRON ejde-53 142 76 embedding embed VERB ejde-53 142 77 constant constant NOUN ejde-53 142 78 of of ADP ejde-53 142 79 w w PROPN ejde-53 142 80 1,p(r3 1,p(r3 NUM ejde-53 142 81 ) ) PUNCT ejde-53 142 82 ↪ ↪ PROPN ejde-53 142 83 → → SYM ejde-53 142 84 l`(r3 l`(r3 NOUN ejde-53 142 85 ) ) PUNCT ejde-53 142 86 for for ADP ejde-53 142 87 p p NOUN ejde-53 142 88 ≤ ≤ PROPN ejde-53 142 89 ` ` PUNCT ejde-53 142 90 ≤ ≤ ADJ ejde-53 142 91 p∗. p∗. NOUN ejde-53 142 92 since since SCONJ ejde-53 142 93 q q PROPN ejde-53 142 94 > > X ejde-53 142 95 p p X ejde-53 142 96 , , PUNCT ejde-53 142 97 there there PRON ejde-53 142 98 exists exist VERB ejde-53 142 99 a a DET ejde-53 142 100 unique unique ADJ ejde-53 142 101 ρ ρ NOUN ejde-53 142 102 > > X ejde-53 142 103 0 0 NUM ejde-53 142 104 such such ADJ ejde-53 142 105 that that SCONJ ejde-53 142 106 the the DET ejde-53 142 107 function function NOUN ejde-53 142 108 f(t f(t NOUN ejde-53 142 109 ) ) PUNCT ejde-53 142 110 = = SYM ejde-53 142 111 1 1 NUM ejde-53 142 112 p p NOUN ejde-53 142 113 t t NOUN ejde-53 142 114 p−1−sqq p−1−sqq NOUN ejde-53 142 115 q q PROPN ejde-53 142 116 t t PROPN ejde-53 142 117 q−1 q−1 PROPN ejde-53 142 118 attains attain VERB ejde-53 142 119 its its PRON ejde-53 142 120 unique unique ADJ ejde-53 142 121 maximum maximum ADJ ejde-53 142 122 f(ρ f(ρ NOUN ejde-53 142 123 ) ) PUNCT ejde-53 142 124 = = SYM ejde-53 142 125 maxt≥0 maxt≥0 ADP ejde-53 142 126 f(t f(t PROPN ejde-53 142 127 ) ) PUNCT ejde-53 142 128 > > X ejde-53 143 1 0 0 X ejde-53 143 2 . . PUNCT ejde-53 144 1 take take VERB ejde-53 144 2 λ λ NOUN ejde-53 144 3 = = NOUN ejde-53 144 4 f(ρ)/ss′ f(ρ)/ss′ NOUN ejde-53 144 5 and and CCONJ ejde-53 144 6 α α NOUN ejde-53 144 7 = = SYM ejde-53 144 8 ρ ρ PROPN ejde-53 144 9 ( ( PUNCT ejde-53 144 10 f(ρ)− f(ρ)− PROPN ejde-53 144 11 ss′ ss′ NOUN ejde-53 144 12 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 144 13 ) ) PUNCT ejde-53 144 14 ) ) PUNCT ejde-53 144 15 . . PUNCT ejde-53 145 1 then then ADV ejde-53 145 2 by by ADP ejde-53 145 3 ( ( PUNCT ejde-53 145 4 3.1 3.1 NUM ejde-53 145 5 ) ) PUNCT ejde-53 145 6 we we PRON ejde-53 145 7 have have VERB ejde-53 145 8 that that PRON ejde-53 145 9 when when SCONJ ejde-53 145 10 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 145 11 ) ) PUNCT ejde-53 145 12 < < X ejde-53 145 13 λ λ PROPN ejde-53 145 14 , , PUNCT ejde-53 145 15 iλ(u iλ(u NUM ejde-53 145 16 ) ) PUNCT ejde-53 145 17 ≥ ≥ PROPN ejde-53 145 18 α α NOUN ejde-53 145 19 for for ADP ejde-53 145 20 any any DET ejde-53 145 21 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 145 22 = = SYM ejde-53 145 23 ρ ρ PROPN ejde-53 145 24 . . PUNCT ejde-53 145 25 � � PROPN ejde-53 145 26 next next ADV ejde-53 145 27 we we PRON ejde-53 145 28 work work VERB ejde-53 145 29 on on ADP ejde-53 145 30 the the DET ejde-53 145 31 sobolev sobolev NOUN ejde-53 145 32 space space PROPN ejde-53 145 33 w w PROPN ejde-53 145 34 1,p 1,p PROPN ejde-53 145 35 r r NOUN ejde-53 145 36 ( ( PUNCT ejde-53 145 37 r3 r3 PROPN ejde-53 145 38 ) ) PUNCT ejde-53 145 39 of of ADP ejde-53 145 40 radial radial ADJ ejde-53 145 41 functions function NOUN ejde-53 145 42 . . PUNCT ejde-53 146 1 lemma lemma PROPN ejde-53 146 2 3.2 3.2 NUM ejde-53 146 3 . . PUNCT ejde-53 147 1 assume assume VERB ejde-53 147 2 that that SCONJ ejde-53 147 3 h h NOUN ejde-53 147 4 satisfies satisfie NOUN ejde-53 147 5 ( ( PUNCT ejde-53 147 6 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 147 7 ) ) PUNCT ejde-53 147 8 . . PUNCT ejde-53 148 1 then then ADV ejde-53 148 2 each each DET ejde-53 148 3 bounded bounded ADJ ejde-53 148 4 sequence sequence NOUN ejde-53 148 5 { { PUNCT ejde-53 148 6 un un PROPN ejde-53 148 7 } } PUNCT ejde-53 148 8 ⊂ ⊂ PROPN ejde-53 148 9 w w PROPN ejde-53 148 10 1,p 1,p PROPN ejde-53 148 11 r r NOUN ejde-53 148 12 ( ( PUNCT ejde-53 148 13 r3 r3 PROPN ejde-53 148 14 ) ) PUNCT ejde-53 148 15 satisfying satisfy VERB ejde-53 148 16 i i PRON ejde-53 148 17 ′λ(un)→ ′λ(un)→ X ejde-53 148 18 0 0 PUNCT ejde-53 148 19 has have VERB ejde-53 148 20 a a DET ejde-53 148 21 strongly strongly ADV ejde-53 148 22 convergent convergent ADJ ejde-53 148 23 subsequence subsequence NOUN ejde-53 148 24 . . PUNCT ejde-53 149 1 proof proof NOUN ejde-53 149 2 . . PUNCT ejde-53 150 1 let let VERB ejde-53 150 2 { { PUNCT ejde-53 150 3 un un ADJ ejde-53 150 4 } } PUNCT ejde-53 150 5 ⊂ ⊂ PROPN ejde-53 150 6 w w PROPN ejde-53 150 7 1,p 1,p PROPN ejde-53 150 8 r r NOUN ejde-53 150 9 ( ( PUNCT ejde-53 150 10 r3 r3 PROPN ejde-53 150 11 ) ) PUNCT ejde-53 150 12 be be AUX ejde-53 150 13 bounded bound VERB ejde-53 150 14 . . PUNCT ejde-53 151 1 going go VERB ejde-53 151 2 if if SCONJ ejde-53 151 3 necessary necessary ADJ ejde-53 151 4 to to ADP ejde-53 151 5 a a DET ejde-53 151 6 subsequence subsequence NOUN ejde-53 151 7 , , PUNCT ejde-53 151 8 there there PRON ejde-53 151 9 exists exist VERB ejde-53 151 10 u u NOUN ejde-53 151 11 ∈w ∈w NOUN ejde-53 151 12 1,p 1,p PROPN ejde-53 151 13 r r NOUN ejde-53 151 14 ( ( PUNCT ejde-53 151 15 r3 r3 PROPN ejde-53 151 16 ) ) PUNCT ejde-53 151 17 such such ADJ ejde-53 151 18 that that SCONJ ejde-53 151 19 un un PROPN ejde-53 151 20 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 151 21 u u PROPN ejde-53 151 22 in in ADP ejde-53 151 23 w w PROPN ejde-53 151 24 1,p 1,p PROPN ejde-53 151 25 r r NOUN ejde-53 151 26 ( ( PUNCT ejde-53 151 27 r3 r3 PROPN ejde-53 151 28 ) ) PUNCT ejde-53 151 29 , , PUNCT ejde-53 151 30 un un PROPN ejde-53 151 31 → → SYM ejde-53 151 32 u u PROPN ejde-53 151 33 in in ADP ejde-53 151 34 lq(r3 lq(r3 NOUN ejde-53 151 35 ) ) PUNCT ejde-53 151 36 , , PUNCT ejde-53 152 1 p p X ejde-53 152 2 < < X ejde-53 152 3 q q X ejde-53 152 4 < < X ejde-53 152 5 p∗ p∗ PROPN ejde-53 152 6 , , PUNCT ejde-53 152 7 un(x)→ un(x)→ PROPN ejde-53 152 8 u(x u(x NOUN ejde-53 152 9 ) ) PUNCT ejde-53 152 10 a.e a.e PROPN ejde-53 152 11 . . PROPN ejde-53 152 12 in in ADP ejde-53 152 13 r3 r3 PROPN ejde-53 152 14 . . PUNCT ejde-53 153 1 ( ( PUNCT ejde-53 153 2 3.2 3.2 NUM ejde-53 153 3 ) ) PUNCT ejde-53 153 4 we we PRON ejde-53 153 5 will will AUX ejde-53 153 6 complete complete VERB ejde-53 153 7 the the DET ejde-53 153 8 proof proof NOUN ejde-53 153 9 by by ADP ejde-53 153 10 showing show VERB ejde-53 153 11 un un PROPN ejde-53 153 12 → → SYM ejde-53 153 13 u u PROPN ejde-53 153 14 in in ADP ejde-53 153 15 w w PROPN ejde-53 153 16 1,p 1,p PROPN ejde-53 153 17 r r NOUN ejde-53 153 18 ( ( PUNCT ejde-53 153 19 r3 r3 PROPN ejde-53 153 20 ) ) PUNCT ejde-53 153 21 . . PUNCT ejde-53 154 1 by by ADP ejde-53 154 2 i i PROPN ejde-53 154 3 ′λ(un ′λ(un PROPN ejde-53 154 4 ) ) PUNCT ejde-53 154 5 → → SYM ejde-53 154 6 0 0 NUM ejde-53 154 7 and and CCONJ ejde-53 154 8 ( ( PUNCT ejde-53 154 9 3.2 3.2 NUM ejde-53 154 10 ) ) PUNCT ejde-53 154 11 we we PRON ejde-53 154 12 obtain obtain VERB ejde-53 154 13 〈 〈 PROPN ejde-53 154 14 i i PRON ejde-53 154 15 ′λ(un)− ′λ(un)− NOUN ejde-53 154 16 i i NOUN ejde-53 154 17 ′λ(u ′λ(u NOUN ejde-53 154 18 ) ) PUNCT ejde-53 154 19 , , PUNCT ejde-53 154 20 un un PROPN ejde-53 154 21 − − PROPN ejde-53 154 22 u u PROPN ejde-53 154 23 〉 〉 PROPN ejde-53 154 24 → → SYM ejde-53 154 25 0 0 NUM ejde-53 154 26 , , PUNCT ejde-53 154 27 as as ADP ejde-53 154 28 n→∞. n→∞. PROPN ejde-53 154 29 ( ( PUNCT ejde-53 154 30 3.3 3.3 NUM ejde-53 154 31 ) ) PUNCT ejde-53 154 32 by by ADP ejde-53 154 33 proposition proposition NOUN ejde-53 154 34 2.1 2.1 NUM ejde-53 154 35 , , PUNCT ejde-53 154 36 the the DET ejde-53 154 37 boundedness boundedness NOUN ejde-53 154 38 of of ADP ejde-53 154 39 { { PUNCT ejde-53 154 40 un un PROPN ejde-53 154 41 } } PUNCT ejde-53 154 42 , , PUNCT ejde-53 154 43 the the DET ejde-53 154 44 hölder hölder NOUN ejde-53 154 45 inequality inequality NOUN ejde-53 154 46 and and CCONJ ejde-53 154 47 ( ( PUNCT ejde-53 154 48 3.2 3.2 NUM ejde-53 154 49 ) ) PUNCT ejde-53 154 50 , , PUNCT ejde-53 154 51 we we PRON ejde-53 154 52 obtain obtain VERB ejde-53 154 53 that that PRON ejde-53 154 54 , , PUNCT ejde-53 154 55 as as ADP ejde-53 154 56 n→∞,∫ n→∞,∫ X ejde-53 154 57 r3 r3 PROPN ejde-53 154 58 ( ( PUNCT ejde-53 154 59 φunun φunun PROPN ejde-53 154 60 − − PROPN ejde-53 154 61 φuu)(un φuu)(un PROPN ejde-53 154 62 − − PROPN ejde-53 154 63 u u NOUN ejde-53 154 64 ) ) PUNCT ejde-53 154 65 dx dx PROPN ejde-53 155 1 = = SYM ejde-53 155 2 o(1),∫ o(1),∫ PROPN ejde-53 155 3 r3 r3 PROPN ejde-53 155 4 ( ( PUNCT ejde-53 155 5 |un|q−2un |un|q−2un PROPN ejde-53 155 6 − − PROPN ejde-53 155 7 |u|q−2u)(un |u|q−2u)(un NOUN ejde-53 155 8 − − PROPN ejde-53 155 9 u u NOUN ejde-53 155 10 ) ) PUNCT ejde-53 155 11 dx dx PROPN ejde-53 155 12 = = SYM ejde-53 155 13 o(1 o(1 PROPN ejde-53 155 14 ) ) PUNCT ejde-53 155 15 . . PUNCT ejde-53 156 1 ( ( PUNCT ejde-53 156 2 3.4 3.4 NUM ejde-53 156 3 ) ) PUNCT ejde-53 156 4 it it PRON ejde-53 156 5 follows follow VERB ejde-53 156 6 from from ADP ejde-53 156 7 ( ( PUNCT ejde-53 156 8 3.3 3.3 NUM ejde-53 156 9 ) ) PUNCT ejde-53 156 10 and and CCONJ ejde-53 156 11 ( ( PUNCT ejde-53 156 12 3.4 3.4 NUM ejde-53 156 13 ) ) PUNCT ejde-53 156 14 that∫ that∫ NOUN ejde-53 156 15 r3 r3 PROPN ejde-53 156 16 en en X ejde-53 157 1 + + CCONJ ejde-53 157 2 ( ( PUNCT ejde-53 157 3 |un|p−2un |un|p−2un PROPN ejde-53 157 4 − − PROPN ejde-53 157 5 |u|p−2u)(un |u|p−2u)(un NOUN ejde-53 157 6 − − PROPN ejde-53 157 7 u u NOUN ejde-53 157 8 ) ) PUNCT ejde-53 157 9 dx dx PROPN ejde-53 157 10 = = SYM ejde-53 157 11 o(1 o(1 PROPN ejde-53 157 12 ) ) PUNCT ejde-53 157 13 . . PUNCT ejde-53 158 1 ( ( PUNCT ejde-53 158 2 3.5 3.5 NUM ejde-53 158 3 ) ) PUNCT ejde-53 158 4 for for ADP ejde-53 158 5 2 2 NUM ejde-53 158 6 ≤ ≤ NOUN ejde-53 158 7 p p NOUN ejde-53 158 8 < < X ejde-53 158 9 12/5 12/5 NUM ejde-53 158 10 , , PUNCT ejde-53 158 11 by by ADP ejde-53 158 12 ( ( PUNCT ejde-53 158 13 2.1 2.1 NUM ejde-53 158 14 ) ) PUNCT ejde-53 158 15 we we PRON ejde-53 158 16 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-53 158 17 r3 r3 PROPN ejde-53 158 18 en en ADP ejde-53 158 19 dx dx PROPN ejde-53 158 20 ≥ ≥ PROPN ejde-53 158 21 c c PROPN ejde-53 158 22 ∫ ∫ PROPN ejde-53 158 23 r3 r3 PROPN ejde-53 158 24 |∇un |∇un VERB ejde-53 158 25 −∇u|p −∇u|p PROPN ejde-53 158 26 dx,∫ dx,∫ PROPN ejde-53 158 27 r3 r3 PROPN ejde-53 158 28 ( ( PUNCT ejde-53 158 29 |un|p−2un |un|p−2un PROPN ejde-53 158 30 − − PROPN ejde-53 158 31 |u|p−2u)(un |u|p−2u)(un NOUN ejde-53 158 32 − − PROPN ejde-53 158 33 u u NOUN ejde-53 158 34 ) ) PUNCT ejde-53 158 35 dx dx PROPN ejde-53 158 36 ≥ ≥ PROPN ejde-53 158 37 c c PROPN ejde-53 158 38 ∫ ∫ PROPN ejde-53 158 39 r3 r3 INTJ ejde-53 158 40 |un |un ADV ejde-53 158 41 − − PROPN ejde-53 158 42 u|p u|p PROPN ejde-53 158 43 dx dx PROPN ejde-53 158 44 . . PUNCT ejde-53 159 1 ( ( PUNCT ejde-53 159 2 3.6 3.6 NUM ejde-53 159 3 ) ) PUNCT ejde-53 159 4 for for ADP ejde-53 159 5 4/3 4/3 PRON ejde-53 159 6 < < X ejde-53 159 7 p p X ejde-53 159 8 < < X ejde-53 159 9 2 2 NUM ejde-53 159 10 , , PUNCT ejde-53 159 11 from from ADP ejde-53 159 12 the the DET ejde-53 159 13 boundedness boundedness NOUN ejde-53 159 14 of of ADP ejde-53 159 15 { { PUNCT ejde-53 159 16 un un PROPN ejde-53 159 17 } } PUNCT ejde-53 159 18 and and CCONJ ejde-53 159 19 the the DET ejde-53 159 20 proof proof NOUN ejde-53 159 21 of of ADP ejde-53 159 22 ( ( PUNCT ejde-53 159 23 2.11 2.11 NUM ejde-53 159 24 ) ) PUNCT ejde-53 159 25 , , PUNCT ejde-53 159 26 we we PRON ejde-53 159 27 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-53 159 28 r3 r3 PROPN ejde-53 159 29 |∇(un |∇(un PROPN ejde-53 159 30 − − PROPN ejde-53 159 31 u)|p u)|p NOUN ejde-53 160 1 dx dx PROPN ejde-53 160 2 ≤ ≤ PROPN ejde-53 160 3 c c PROPN ejde-53 160 4 ( ( PUNCT ejde-53 160 5 ∫ ∫ PROPN ejde-53 160 6 r3 r3 PROPN ejde-53 160 7 en en ADP ejde-53 160 8 dx dx PROPN ejde-53 160 9 ) ) PUNCT ejde-53 160 10 p/2 p/2 NOUN ejde-53 160 11 , , PUNCT ejde-53 160 12 ( ( PUNCT ejde-53 160 13 3.7 3.7 NUM ejde-53 160 14 ) ) PUNCT ejde-53 160 15 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 160 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 160 17 - - PUNCT ejde-53 160 18 poisson poisson NOUN ejde-53 160 19 systems system NOUN ejde-53 160 20 with with ADP ejde-53 160 21 p p NOUN ejde-53 160 22 - - PUNCT ejde-53 160 23 laplacian laplacian NOUN ejde-53 160 24 7∫ 7∫ NUM ejde-53 160 25 r3 r3 PROPN ejde-53 160 26 |un |un AUX ejde-53 160 27 − − PUNCT ejde-53 160 28 u|p u|p NOUN ejde-53 160 29 dx dx PROPN ejde-53 160 30 ≤ ≤ PROPN ejde-53 160 31 c c PROPN ejde-53 160 32 ( ( PUNCT ejde-53 160 33 ∫ ∫ PROPN ejde-53 160 34 r3 r3 PROPN ejde-53 160 35 ( ( PUNCT ejde-53 160 36 |un|p−2un |un|p−2un PROPN ejde-53 160 37 − − PROPN ejde-53 160 38 |u|p−2u)(un |u|p−2u)(un NOUN ejde-53 160 39 − − PROPN ejde-53 160 40 u u NOUN ejde-53 160 41 ) ) PUNCT ejde-53 160 42 dx dx PROPN ejde-53 160 43 ) ) PUNCT ejde-53 160 44 p/2 p/2 NOUN ejde-53 160 45 . . PUNCT ejde-53 161 1 ( ( PUNCT ejde-53 161 2 3.8 3.8 NUM ejde-53 161 3 ) ) PUNCT ejde-53 161 4 it it PRON ejde-53 161 5 follows follow VERB ejde-53 161 6 from from ADP ejde-53 161 7 ( ( PUNCT ejde-53 161 8 3.5 3.5 NUM ejde-53 161 9 ) ) PUNCT ejde-53 161 10 , , PUNCT ejde-53 161 11 ( ( PUNCT ejde-53 161 12 3.6)–(3.8 3.6)–(3.8 NUM ejde-53 161 13 ) ) PUNCT ejde-53 162 1 that that SCONJ ejde-53 162 2 ‖un ‖un PROPN ejde-53 163 1 − − PROPN ejde-53 163 2 u‖ u‖ NOUN ejde-53 163 3 → → SYM ejde-53 163 4 0 0 NUM ejde-53 163 5 as as SCONJ ejde-53 163 6 n→∞. n→∞. PROPN ejde-53 163 7 � � PROPN ejde-53 163 8 theorem theorem VERB ejde-53 163 9 3.3 3.3 NUM ejde-53 163 10 . . PUNCT ejde-53 164 1 assume assume VERB ejde-53 164 2 that that SCONJ ejde-53 164 3 ( ( PUNCT ejde-53 164 4 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 164 5 ) ) PUNCT ejde-53 164 6 holds hold VERB ejde-53 164 7 and and CCONJ ejde-53 164 8 p p X ejde-53 164 9 < < X ejde-53 164 10 q q X ejde-53 164 11 < < X ejde-53 164 12 p∗. p∗. NOUN ejde-53 164 13 then then ADV ejde-53 164 14 iλ iλ PROPN ejde-53 164 15 has have VERB ejde-53 164 16 a a DET ejde-53 164 17 critical critical ADJ ejde-53 164 18 point point NOUN ejde-53 164 19 u∗ u∗ NOUN ejde-53 164 20 ∈ ∈ PROPN ejde-53 164 21 w w PROPN ejde-53 164 22 1,p 1,p PROPN ejde-53 164 23 r r NOUN ejde-53 164 24 ( ( PUNCT ejde-53 164 25 r3 r3 PROPN ejde-53 164 26 ) ) PUNCT ejde-53 164 27 with with ADP ejde-53 164 28 iλ(u∗ iλ(u∗ NOUN ejde-53 164 29 ) ) PUNCT ejde-53 164 30 < < X ejde-53 164 31 0 0 PUNCT ejde-53 164 32 for for SCONJ ejde-53 164 33 λ λ PROPN ejde-53 164 34 > > X ejde-53 164 35 0 0 NUM ejde-53 164 36 provided provide VERB ejde-53 164 37 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 164 38 ) ) PUNCT ejde-53 164 39 < < X ejde-53 164 40 λ λ X ejde-53 164 41 , , PUNCT ejde-53 164 42 where where SCONJ ejde-53 164 43 λ λ PROPN ejde-53 164 44 was be AUX ejde-53 164 45 given give VERB ejde-53 164 46 in in ADP ejde-53 164 47 lemma lemma PROPN ejde-53 164 48 3.1 3.1 NUM ejde-53 164 49 . . PUNCT ejde-53 165 1 proof proof NOUN ejde-53 165 2 . . PUNCT ejde-53 166 1 we we PRON ejde-53 166 2 first first ADV ejde-53 166 3 find find VERB ejde-53 166 4 a a DET ejde-53 166 5 function function NOUN ejde-53 166 6 w w PROPN ejde-53 166 7 ∈ ∈ PROPN ejde-53 166 8 w w PROPN ejde-53 166 9 1,p 1,p PROPN ejde-53 166 10 r r NOUN ejde-53 166 11 ( ( PUNCT ejde-53 166 12 r3 r3 PROPN ejde-53 166 13 ) ) PUNCT ejde-53 166 14 such such ADJ ejde-53 166 15 that that DET ejde-53 166 16 ∫ ∫ PROPN ejde-53 166 17 r3 r3 PROPN ejde-53 166 18 h(x)w(x h(x)w(x NOUN ejde-53 166 19 ) ) PUNCT ejde-53 166 20 dx dx PROPN ejde-53 166 21 > > X ejde-53 166 22 0 0 X ejde-53 166 23 . . PUNCT ejde-53 167 1 it it PRON ejde-53 167 2 follows follow VERB ejde-53 167 3 from from ADP ejde-53 167 4 h h PROPN ejde-53 167 5 ∈ ∈ PROPN ejde-53 167 6 ls(r3 ls(r3 PROPN ejde-53 167 7 ) ) PUNCT ejde-53 167 8 that that PRON ejde-53 167 9 |h|s−2h |h|s−2h PROPN ejde-53 167 10 ∈ ∈ PROPN ejde-53 167 11 ls′(r3 ls′(r3 PROPN ejde-53 167 12 ) ) PUNCT ejde-53 167 13 . . PUNCT ejde-53 168 1 then then ADV ejde-53 168 2 there there PRON ejde-53 168 3 exists exist VERB ejde-53 168 4 a a DET ejde-53 168 5 radial radial ADJ ejde-53 168 6 sequence sequence NOUN ejde-53 168 7 { { PUNCT ejde-53 168 8 hn hn PROPN ejde-53 168 9 } } PUNCT ejde-53 168 10 ⊂ ⊂ PROPN ejde-53 168 11 c∞0 c∞0 PROPN ejde-53 168 12 ( ( PUNCT ejde-53 168 13 r3 r3 PROPN ejde-53 168 14 ) ) PUNCT ejde-53 168 15 such such ADJ ejde-53 168 16 that that SCONJ ejde-53 168 17 hn hn PROPN ejde-53 168 18 → → PUNCT ejde-53 168 19 |h|s−2h |h|s−2h VERB ejde-53 168 20 strongly strongly ADV ejde-53 168 21 in in ADP ejde-53 168 22 ls ls PROPN ejde-53 168 23 ′ ′ PROPN ejde-53 168 24 ( ( PUNCT ejde-53 168 25 r3 r3 PROPN ejde-53 168 26 ) ) PUNCT ejde-53 168 27 since since SCONJ ejde-53 168 28 c∞0 c∞0 PROPN ejde-53 168 29 ( ( PUNCT ejde-53 168 30 r3 r3 PROPN ejde-53 168 31 ) ) PUNCT ejde-53 168 32 is be AUX ejde-53 168 33 dense dense ADJ ejde-53 168 34 in in ADP ejde-53 168 35 ls ls PROPN ejde-53 168 36 ′ ′ PROPN ejde-53 168 37 ( ( PUNCT ejde-53 168 38 r3 r3 PROPN ejde-53 168 39 ) ) PUNCT ejde-53 168 40 and and CCONJ ejde-53 168 41 h h NOUN ejde-53 168 42 is be AUX ejde-53 168 43 radial radial ADJ ejde-53 168 44 . . PUNCT ejde-53 169 1 therefore therefore ADV ejde-53 169 2 , , PUNCT ejde-53 169 3 there there PRON ejde-53 169 4 exists exist VERB ejde-53 169 5 n0 n0 PROPN ejde-53 169 6 ∈ ∈ PROPN ejde-53 169 7 n n PRON ejde-53 169 8 such such ADJ ejde-53 169 9 that∣∣hn0 that∣∣hn0 NOUN ejde-53 169 10 − − PROPN ejde-53 169 11 |h|s−2h |h|s−2h PROPN ejde-53 169 12 ∣∣ ∣∣ PROPN ejde-53 169 13 ls′ ls′ PROPN ejde-53 169 14 ( ( PUNCT ejde-53 169 15 r3 r3 PROPN ejde-53 169 16 ) ) PUNCT ejde-53 169 17 ≤ ≤ NOUN ejde-53 169 18 1 1 NUM ejde-53 169 19 2 2 NUM ejde-53 169 20 |h|s−1 |h|s−1 NUM ejde-53 169 21 ls(r3 ls(r3 NOUN ejde-53 169 22 ) ) PUNCT ejde-53 169 23 . . PUNCT ejde-53 170 1 by by ADP ejde-53 170 2 hölder hölder PROPN ejde-53 170 3 ’s ’s PART ejde-53 170 4 inequality inequality NOUN ejde-53 170 5 , , PUNCT ejde-53 170 6 we we PRON ejde-53 170 7 conclude conclude VERB ejde-53 170 8 that∫ that∫ PROPN ejde-53 170 9 r3 r3 PROPN ejde-53 170 10 h(x)hn0 h(x)hn0 X ejde-53 170 11 ( ( PUNCT ejde-53 170 12 x x X ejde-53 170 13 ) ) PUNCT ejde-53 170 14 dx dx PROPN ejde-53 170 15 ≥ ≥ PROPN ejde-53 170 16 −|h|ls(r3 −|h|ls(r3 NOUN ejde-53 170 17 ) ) PUNCT ejde-53 170 18 ∣∣hn0 ∣∣hn0 NOUN ejde-53 170 19 − − PROPN ejde-53 170 20 |h|s−2h |h|s−2h PROPN ejde-53 170 21 ∣∣ ∣∣ PROPN ejde-53 170 22 ls′ ls′ PROPN ejde-53 170 23 ( ( PUNCT ejde-53 170 24 r3 r3 PROPN ejde-53 170 25 ) ) PUNCT ejde-53 170 26 + + NUM ejde-53 170 27 |h|sls(r3 |h|sls(r3 NOUN ejde-53 170 28 ) ) PUNCT ejde-53 170 29 > > X ejde-53 171 1 0 0 X ejde-53 171 2 . . PUNCT ejde-53 172 1 it it PRON ejde-53 172 2 is be AUX ejde-53 172 3 clear clear ADJ ejde-53 172 4 that that SCONJ ejde-53 172 5 hn0 hn0 PROPN ejde-53 172 6 ∈w ∈w VERB ejde-53 172 7 1,p 1,p PROPN ejde-53 172 8 r r NOUN ejde-53 172 9 ( ( PUNCT ejde-53 172 10 r3 r3 PROPN ejde-53 172 11 ) ) PUNCT ejde-53 172 12 . . PUNCT ejde-53 173 1 taking take VERB ejde-53 173 2 w(x w(x NOUN ejde-53 173 3 ) ) PUNCT ejde-53 173 4 = = SYM ejde-53 173 5 hn0(x hn0(x PROPN ejde-53 173 6 ) ) PUNCT ejde-53 173 7 , , PUNCT ejde-53 173 8 we we PRON ejde-53 173 9 get get VERB ejde-53 173 10 ∫ ∫ PROPN ejde-53 173 11 r3 r3 PROPN ejde-53 173 12 h(x)w(x h(x)w(x NOUN ejde-53 173 13 ) ) PUNCT ejde-53 173 14 dx dx PROPN ejde-53 173 15 > > X ejde-53 173 16 0 0 X ejde-53 173 17 . . PUNCT ejde-53 174 1 now now ADV ejde-53 174 2 for for ADP ejde-53 174 3 t t PROPN ejde-53 174 4 > > X ejde-53 174 5 0 0 PUNCT ejde-53 175 1 small small ADJ ejde-53 175 2 enough enough ADV ejde-53 175 3 , , PUNCT ejde-53 175 4 we we PRON ejde-53 175 5 have have AUX ejde-53 175 6 iλ(tw iλ(tw ADV ejde-53 175 7 ) ) PUNCT ejde-53 176 1 = = PROPN ejde-53 176 2 tp tp AUX ejde-53 176 3 p p PROPN ejde-53 176 4 ‖w‖p ‖w‖p VERB ejde-53 176 5 + + CCONJ ejde-53 177 1 t4 t4 PROPN ejde-53 177 2 4 4 NUM ejde-53 177 3 λ λ PROPN ejde-53 177 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 177 5 r3 r3 PROPN ejde-53 177 6 φww φww PROPN ejde-53 177 7 2 2 NUM ejde-53 177 8 dx− dx− NUM ejde-53 177 9 tq tq ADP ejde-53 177 10 q q PRON ejde-53 177 11 ∫ ∫ PROPN ejde-53 177 12 r3 r3 PROPN ejde-53 177 13 |w|q |w|q PROPN ejde-53 177 14 dx− dx− PROPN ejde-53 177 15 t t PROPN ejde-53 177 16 ∫ ∫ PROPN ejde-53 177 17 r3 r3 PROPN ejde-53 177 18 hw hw PROPN ejde-53 177 19 dx dx PROPN ejde-53 177 20 < < X ejde-53 177 21 0 0 X ejde-53 177 22 . . PUNCT ejde-53 178 1 it it PRON ejde-53 178 2 follows follow VERB ejde-53 178 3 that that DET ejde-53 178 4 c∗ c∗ PROPN ejde-53 178 5 = = SYM ejde-53 178 6 inf inf PROPN ejde-53 178 7 u∈b̄ρ u∈b̄ρ X ejde-53 178 8 iλ(u iλ(u NUM ejde-53 178 9 ) ) PUNCT ejde-53 178 10 < < X ejde-53 178 11 0 0 NUM ejde-53 178 12 , , PUNCT ejde-53 178 13 where where SCONJ ejde-53 178 14 b̄ρ b̄ρ PROPN ejde-53 178 15 = = SYM ejde-53 178 16 { { PUNCT ejde-53 178 17 u u NOUN ejde-53 178 18 ∈w ∈w VERB ejde-53 178 19 1,p 1,p PROPN ejde-53 178 20 r r NOUN ejde-53 178 21 ( ( PUNCT ejde-53 178 22 r3 r3 PROPN ejde-53 178 23 ) ) PUNCT ejde-53 178 24 : : PUNCT ejde-53 179 1 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 179 2 ≤ ≤ NOUN ejde-53 179 3 ρ ρ PROPN ejde-53 179 4 } } PUNCT ejde-53 179 5 and and CCONJ ejde-53 179 6 ρ ρ PROPN ejde-53 179 7 is be AUX ejde-53 179 8 given give VERB ejde-53 179 9 by by ADP ejde-53 179 10 lemma lemma PROPN ejde-53 179 11 3.1 3.1 NUM ejde-53 179 12 . . PUNCT ejde-53 180 1 applying apply VERB ejde-53 180 2 the the DET ejde-53 180 3 ekeland ekeland NOUN ejde-53 180 4 variational variational ADJ ejde-53 180 5 principle principle NOUN ejde-53 180 6 [ [ X ejde-53 180 7 12 12 NUM ejde-53 180 8 ] ] PUNCT ejde-53 180 9 , , PUNCT ejde-53 180 10 we we PRON ejde-53 180 11 obtain obtain VERB ejde-53 180 12 a a DET ejde-53 180 13 sequence sequence NOUN ejde-53 180 14 { { PUNCT ejde-53 180 15 un un PROPN ejde-53 180 16 } } PUNCT ejde-53 180 17 ⊂ ⊂ NOUN ejde-53 180 18 b̄ρ b̄ρ PROPN ejde-53 180 19 satisfying satisfy VERB ejde-53 180 20 c∗ c∗ PROPN ejde-53 180 21 ≤ ≤ PROPN ejde-53 180 22 iλ(un iλ(un PROPN ejde-53 180 23 ) ) PUNCT ejde-53 180 24 ≤ ≤ NOUN ejde-53 181 1 c∗ c∗ NOUN ejde-53 182 1 + + CCONJ ejde-53 182 2 1 1 NUM ejde-53 182 3 n n NOUN ejde-53 182 4 , , PUNCT ejde-53 182 5 ( ( PUNCT ejde-53 182 6 3.9 3.9 NUM ejde-53 182 7 ) ) PUNCT ejde-53 182 8 iλ(v iλ(v NOUN ejde-53 182 9 ) ) PUNCT ejde-53 182 10 ≥ ≥ X ejde-53 183 1 iλ(un)− iλ(un)− NUM ejde-53 183 2 1 1 NUM ejde-53 183 3 n n NOUN ejde-53 183 4 ‖v ‖v NOUN ejde-53 183 5 − − NOUN ejde-53 184 1 un‖ un‖ NOUN ejde-53 184 2 for for ADP ejde-53 184 3 all all DET ejde-53 184 4 v v ADP ejde-53 184 5 ∈ ∈ PROPN ejde-53 184 6 b̄ρ b̄ρ PROPN ejde-53 184 7 . . PUNCT ejde-53 185 1 ( ( PUNCT ejde-53 185 2 3.10 3.10 NUM ejde-53 185 3 ) ) PUNCT ejde-53 185 4 it it PRON ejde-53 185 5 must must AUX ejde-53 185 6 be be AUX ejde-53 185 7 that that SCONJ ejde-53 185 8 ‖un‖ ‖un‖ DET ejde-53 185 9 < < X ejde-53 185 10 ρ ρ NOUN ejde-53 185 11 for for ADP ejde-53 185 12 all all PRON ejde-53 185 13 n n PRON ejde-53 185 14 ∈ ∈ PROPN ejde-53 185 15 n n ADV ejde-53 185 16 large large ADJ ejde-53 185 17 . . PUNCT ejde-53 186 1 otherwise otherwise ADV ejde-53 186 2 , , PUNCT ejde-53 186 3 we we PRON ejde-53 186 4 may may AUX ejde-53 186 5 assume assume VERB ejde-53 186 6 that that SCONJ ejde-53 186 7 ‖un‖ ‖un‖ DET ejde-53 186 8 = = SYM ejde-53 186 9 ρ ρ PROPN ejde-53 186 10 , , PUNCT ejde-53 186 11 up up ADP ejde-53 186 12 to to ADP ejde-53 186 13 a a DET ejde-53 186 14 subsequence subsequence NOUN ejde-53 186 15 . . PUNCT ejde-53 187 1 by by ADP ejde-53 187 2 lemma lemma PROPN ejde-53 187 3 3.1 3.1 NUM ejde-53 187 4 , , PUNCT ejde-53 187 5 we we PRON ejde-53 187 6 see see VERB ejde-53 187 7 that that SCONJ ejde-53 187 8 iλ(un iλ(un PROPN ejde-53 187 9 ) ) PUNCT ejde-53 187 10 ≥ ≥ PROPN ejde-53 187 11 α α X ejde-53 187 12 > > X ejde-53 187 13 0 0 PROPN ejde-53 187 14 . . PUNCT ejde-53 188 1 then then ADV ejde-53 188 2 there there PRON ejde-53 188 3 is be VERB ejde-53 188 4 a a DET ejde-53 188 5 contradiction contradiction NOUN ejde-53 188 6 by by ADP ejde-53 188 7 taking take VERB ejde-53 188 8 the the DET ejde-53 188 9 limit limit NOUN ejde-53 188 10 in in ADP ejde-53 188 11 ( ( PUNCT ejde-53 188 12 3.9 3.9 NUM ejde-53 188 13 ) ) PUNCT ejde-53 188 14 as as ADP ejde-53 188 15 n→∞. n→∞. ADV ejde-53 188 16 we we PRON ejde-53 188 17 can can AUX ejde-53 188 18 assume assume VERB ejde-53 188 19 that that SCONJ ejde-53 188 20 ‖un‖ ‖un‖ DET ejde-53 188 21 < < X ejde-53 188 22 ρ ρ NOUN ejde-53 188 23 for for ADP ejde-53 188 24 all all DET ejde-53 188 25 n n PRON ejde-53 188 26 ∈ ∈ PROPN ejde-53 188 27 n. n. NOUN ejde-53 188 28 now now ADV ejde-53 188 29 we we PRON ejde-53 188 30 show show VERB ejde-53 188 31 that that SCONJ ejde-53 188 32 i i PRON ejde-53 188 33 ′λ(un)→ ′λ(un)→ ADP ejde-53 188 34 0 0 X ejde-53 188 35 . . PUNCT ejde-53 189 1 for for ADP ejde-53 189 2 any any DET ejde-53 189 3 z z NOUN ejde-53 189 4 ∈w ∈w NOUN ejde-53 189 5 1,p 1,p PROPN ejde-53 189 6 r r NOUN ejde-53 189 7 ( ( PUNCT ejde-53 189 8 r3 r3 PROPN ejde-53 189 9 ) ) PUNCT ejde-53 189 10 with with ADP ejde-53 189 11 ‖z‖ ‖z‖ PROPN ejde-53 189 12 = = SYM ejde-53 189 13 1 1 NUM ejde-53 189 14 , , PUNCT ejde-53 189 15 we we PRON ejde-53 189 16 choose choose VERB ejde-53 189 17 sufficiently sufficiently ADV ejde-53 189 18 small small ADJ ejde-53 189 19 δ δ NOUN ejde-53 189 20 > > X ejde-53 189 21 0 0 NUM ejde-53 190 1 such such ADJ ejde-53 190 2 that that SCONJ ejde-53 190 3 ‖un ‖un PROPN ejde-53 190 4 + + CCONJ ejde-53 190 5 tz‖ tz‖ PROPN ejde-53 190 6 < < X ejde-53 190 7 ρ ρ NOUN ejde-53 190 8 for for ADP ejde-53 190 9 all all DET ejde-53 190 10 |t| |t| VERB ejde-53 190 11 < < X ejde-53 190 12 δ δ PROPN ejde-53 190 13 . . PUNCT ejde-53 191 1 by by ADP ejde-53 191 2 ( ( PUNCT ejde-53 191 3 3.10 3.10 NUM ejde-53 191 4 ) ) PUNCT ejde-53 191 5 , , PUNCT ejde-53 191 6 we we PRON ejde-53 191 7 have have VERB ejde-53 191 8 iλ(un iλ(un PROPN ejde-53 191 9 + + CCONJ ejde-53 191 10 tz)− tz)− PROPN ejde-53 191 11 iλ(un iλ(un PROPN ejde-53 191 12 ) ) PUNCT ejde-53 191 13 t t PROPN ejde-53 191 14 ≥ ≥ NOUN ejde-53 192 1 − − PROPN ejde-53 192 2 1 1 NUM ejde-53 192 3 n n NOUN ejde-53 192 4 . . PUNCT ejde-53 193 1 letting let VERB ejde-53 193 2 t t PROPN ejde-53 193 3 → → SYM ejde-53 193 4 0 0 NUM ejde-53 193 5 , , PUNCT ejde-53 193 6 we we PRON ejde-53 193 7 obtain obtain VERB ejde-53 193 8 〈 〈 PROPN ejde-53 193 9 i i PROPN ejde-53 193 10 ′λ(un ′λ(un PROPN ejde-53 193 11 ) ) PUNCT ejde-53 193 12 , , PUNCT ejde-53 193 13 z z PROPN ejde-53 193 14 〉 〉 PROPN ejde-53 193 15 ≥ ≥ NOUN ejde-53 193 16 −1 −1 NOUN ejde-53 193 17 / / SYM ejde-53 193 18 n. n. NOUN ejde-53 193 19 similarly similarly ADV ejde-53 193 20 , , PUNCT ejde-53 193 21 replacing replace VERB ejde-53 193 22 z z NOUN ejde-53 193 23 with with ADP ejde-53 193 24 −z −z NOUN ejde-53 193 25 in in ADP ejde-53 193 26 the the DET ejde-53 193 27 above above ADJ ejde-53 193 28 arguments argument NOUN ejde-53 193 29 , , PUNCT ejde-53 193 30 we we PRON ejde-53 193 31 obtain obtain VERB ejde-53 193 32 〈 〈 PROPN ejde-53 193 33 i i PROPN ejde-53 193 34 ′λ(un ′λ(un PROPN ejde-53 193 35 ) ) PUNCT ejde-53 193 36 , , PUNCT ejde-53 193 37 z z NOUN ejde-53 193 38 〉 〉 NOUN ejde-53 193 39 ≤ ≤ NUM ejde-53 193 40 1 1 NUM ejde-53 193 41 / / SYM ejde-53 193 42 n. n. NOUN ejde-53 193 43 then then ADV ejde-53 193 44 , , PUNCT ejde-53 193 45 we we PRON ejde-53 193 46 deduce deduce VERB ejde-53 193 47 that that SCONJ ejde-53 193 48 , , PUNCT ejde-53 193 49 for for ADP ejde-53 193 50 any any DET ejde-53 193 51 z z PROPN ejde-53 193 52 ∈ ∈ PROPN ejde-53 193 53 w w PROPN ejde-53 193 54 1,p 1,p PROPN ejde-53 193 55 r r NOUN ejde-53 193 56 ( ( PUNCT ejde-53 193 57 r3 r3 PROPN ejde-53 193 58 ) ) PUNCT ejde-53 193 59 with with ADP ejde-53 193 60 ‖z‖ ‖z‖ PROPN ejde-53 193 61 = = SYM ejde-53 193 62 1 1 NUM ejde-53 193 63 , , PUNCT ejde-53 193 64 〈 〈 PROPN ejde-53 193 65 i i PROPN ejde-53 193 66 ′λ(un ′λ(un PROPN ejde-53 193 67 ) ) PUNCT ejde-53 193 68 , , PUNCT ejde-53 193 69 z z PROPN ejde-53 193 70 〉 〉 NUM ejde-53 193 71 → → SYM ejde-53 193 72 0 0 NUM ejde-53 193 73 as as SCONJ ejde-53 193 74 n n PROPN ejde-53 193 75 → → SYM ejde-53 193 76 ∞. ∞. PROPN ejde-53 193 77 thus thus ADV ejde-53 193 78 { { PUNCT ejde-53 193 79 un un PROPN ejde-53 193 80 } } PUNCT ejde-53 193 81 is be AUX ejde-53 193 82 a a DET ejde-53 193 83 bounded bounded ADJ ejde-53 193 84 ( ( PUNCT ejde-53 193 85 ps)c∗ ps)c∗ PROPN ejde-53 193 86 sequence sequence NOUN ejde-53 193 87 of of ADP ejde-53 193 88 iλ iλ PROPN ejde-53 193 89 . . PUNCT ejde-53 194 1 finally finally ADV ejde-53 194 2 , , PUNCT ejde-53 194 3 by by ADP ejde-53 194 4 lemma lemma PROPN ejde-53 194 5 3.2 3.2 NUM ejde-53 194 6 , , PUNCT ejde-53 194 7 there there PRON ejde-53 194 8 exists exist VERB ejde-53 194 9 u∗ u∗ PROPN ejde-53 194 10 ∈ ∈ PROPN ejde-53 194 11 w w PROPN ejde-53 194 12 1,p 1,p PROPN ejde-53 194 13 r r NOUN ejde-53 194 14 ( ( PUNCT ejde-53 194 15 r3 r3 PROPN ejde-53 194 16 ) ) PUNCT ejde-53 194 17 such such ADJ ejde-53 194 18 that that DET ejde-53 194 19 iλ(u∗ iλ(u∗ NOUN ejde-53 194 20 ) ) PUNCT ejde-53 195 1 = = SYM ejde-53 195 2 c∗ c∗ NOUN ejde-53 195 3 < < X ejde-53 195 4 0 0 PUNCT ejde-53 196 1 and and CCONJ ejde-53 196 2 i i PRON ejde-53 196 3 ′λ(u∗ ′λ(u∗ VERB ejde-53 196 4 ) ) PUNCT ejde-53 197 1 = = SYM ejde-53 197 2 0 0 X ejde-53 197 3 . . PUNCT ejde-53 197 4 � � PROPN ejde-53 197 5 8 8 NUM ejde-53 197 6 l. l. PROPN ejde-53 197 7 huang huang PROPN ejde-53 197 8 , , PUNCT ejde-53 197 9 j. j. PROPN ejde-53 197 10 su su PROPN ejde-53 197 11 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 197 12 4 4 NUM ejde-53 197 13 . . PUNCT ejde-53 198 1 a a DET ejde-53 198 2 solution solution NOUN ejde-53 198 3 with with ADP ejde-53 198 4 positive positive ADJ ejde-53 198 5 energy energy NOUN ejde-53 198 6 in in ADP ejde-53 198 7 this this DET ejde-53 198 8 section section NOUN ejde-53 198 9 we we PRON ejde-53 198 10 find find VERB ejde-53 198 11 a a DET ejde-53 198 12 solution solution NOUN ejde-53 198 13 of of ADP ejde-53 198 14 ( ( PUNCT ejde-53 198 15 1.1 1.1 NUM ejde-53 198 16 ) ) PUNCT ejde-53 198 17 with with ADP ejde-53 198 18 positive positive ADJ ejde-53 198 19 energy energy NOUN ejde-53 198 20 . . PUNCT ejde-53 199 1 in in ADP ejde-53 199 2 subsection subsection NOUN ejde-53 199 3 4.1 4.1 NUM ejde-53 199 4 we we PRON ejde-53 199 5 consider consider VERB ejde-53 199 6 the the DET ejde-53 199 7 case case NOUN ejde-53 199 8 6p 6p NUM ejde-53 200 1 p+2 p+2 PROPN ejde-53 200 2 < < X ejde-53 200 3 q q X ejde-53 200 4 < < X ejde-53 200 5 p∗ p∗ NOUN ejde-53 200 6 and and CCONJ ejde-53 200 7 in in ADP ejde-53 200 8 subsection subsection NOUN ejde-53 200 9 4.2 4.2 NUM ejde-53 200 10 we we PRON ejde-53 200 11 consider consider VERB ejde-53 200 12 the the DET ejde-53 200 13 case case NOUN ejde-53 201 1 p p X ejde-53 201 2 < < X ejde-53 201 3 q q PROPN ejde-53 201 4 ≤ ≤ PROPN ejde-53 201 5 6p 6p NUM ejde-53 201 6 p+2 p+2 INTJ ejde-53 201 7 . . PUNCT ejde-53 202 1 we we PRON ejde-53 202 2 still still ADV ejde-53 202 3 work work VERB ejde-53 202 4 on on ADP ejde-53 202 5 w w PROPN ejde-53 202 6 1,p 1,p PROPN ejde-53 202 7 r r NOUN ejde-53 202 8 ( ( PUNCT ejde-53 202 9 r3 r3 PROPN ejde-53 202 10 ) ) PUNCT ejde-53 202 11 . . PUNCT ejde-53 203 1 4.1 4.1 NUM ejde-53 203 2 . . PUNCT ejde-53 203 3 case case NOUN ejde-53 203 4 6p 6p NUM ejde-53 204 1 p+2 p+2 PROPN ejde-53 204 2 < < X ejde-53 204 3 q q X ejde-53 204 4 < < X ejde-53 204 5 p∗. p∗. NOUN ejde-53 204 6 in in ADP ejde-53 204 7 this this DET ejde-53 204 8 subsection subsection NOUN ejde-53 204 9 we we PRON ejde-53 204 10 will will AUX ejde-53 204 11 prove prove VERB ejde-53 204 12 the the DET ejde-53 204 13 following follow VERB ejde-53 204 14 theorem theorem VERB ejde-53 204 15 . . PUNCT ejde-53 204 16 theorem theorem VERB ejde-53 204 17 4.1 4.1 NUM ejde-53 204 18 . . PUNCT ejde-53 205 1 assume assume VERB ejde-53 205 2 that that SCONJ ejde-53 205 3 ( ( PUNCT ejde-53 205 4 h1 h1 PROPN ejde-53 205 5 ) ) PUNCT ejde-53 205 6 holds hold NOUN ejde-53 205 7 and and CCONJ ejde-53 205 8 6p 6p NUM ejde-53 205 9 p+2 p+2 PROPN ejde-53 205 10 < < AUX ejde-53 205 11 q q X ejde-53 205 12 < < X ejde-53 205 13 p∗. p∗. NOUN ejde-53 205 14 then then ADV ejde-53 205 15 iλ iλ PROPN ejde-53 205 16 has have VERB ejde-53 205 17 a a DET ejde-53 205 18 critical critical ADJ ejde-53 205 19 point point NOUN ejde-53 205 20 u∗ u∗ NOUN ejde-53 205 21 ∈ ∈ PROPN ejde-53 205 22 w w PROPN ejde-53 205 23 1,p 1,p PROPN ejde-53 205 24 r r NOUN ejde-53 205 25 ( ( PUNCT ejde-53 205 26 r3 r3 PROPN ejde-53 205 27 ) ) PUNCT ejde-53 205 28 with with ADP ejde-53 205 29 iλ(u∗ iλ(u∗ NOUN ejde-53 205 30 ) ) PUNCT ejde-53 205 31 > > X ejde-53 205 32 0 0 PUNCT ejde-53 206 1 for for ADP ejde-53 206 2 λ λ PROPN ejde-53 206 3 > > X ejde-53 206 4 0 0 NUM ejde-53 206 5 provided provide VERB ejde-53 206 6 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 206 7 ) ) PUNCT ejde-53 206 8 < < X ejde-53 206 9 λ λ X ejde-53 206 10 , , PUNCT ejde-53 206 11 where where SCONJ ejde-53 206 12 λ λ PROPN ejde-53 206 13 was be AUX ejde-53 206 14 given give VERB ejde-53 206 15 in in ADP ejde-53 206 16 lemma lemma PROPN ejde-53 206 17 3.1 3.1 NUM ejde-53 206 18 . . PUNCT ejde-53 207 1 lemma lemma PROPN ejde-53 207 2 4.2 4.2 NUM ejde-53 207 3 . . PUNCT ejde-53 208 1 assume assume VERB ejde-53 208 2 that that SCONJ ejde-53 208 3 ( ( PUNCT ejde-53 208 4 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 208 5 ) ) PUNCT ejde-53 208 6 holds hold VERB ejde-53 208 7 and and CCONJ ejde-53 208 8 6p 6p NUM ejde-53 208 9 p+2 p+2 PROPN ejde-53 208 10 < < X ejde-53 208 11 q q X ejde-53 208 12 < < X ejde-53 208 13 p∗. p∗. NOUN ejde-53 208 14 ( ( PUNCT ejde-53 208 15 i i NOUN ejde-53 208 16 ) ) PUNCT ejde-53 208 17 there there PRON ejde-53 208 18 exist exist VERB ejde-53 208 19 ρ ρ PROPN ejde-53 208 20 > > X ejde-53 208 21 0 0 PROPN ejde-53 208 22 , , PUNCT ejde-53 208 23 λ λ X ejde-53 208 24 > > X ejde-53 208 25 0 0 PUNCT ejde-53 209 1 and and CCONJ ejde-53 209 2 α α X ejde-53 209 3 > > X ejde-53 209 4 0 0 NUM ejde-53 209 5 , , PUNCT ejde-53 209 6 such such ADJ ejde-53 209 7 that that PRON ejde-53 209 8 iλ(u iλ(u NUM ejde-53 209 9 ) ) PUNCT ejde-53 209 10 ≥ ≥ PROPN ejde-53 209 11 α α NOUN ejde-53 209 12 for for ADP ejde-53 209 13 u u NOUN ejde-53 209 14 ∈w ∈w NOUN ejde-53 209 15 1,p 1,p PROPN ejde-53 209 16 r r NOUN ejde-53 209 17 ( ( PUNCT ejde-53 209 18 r3 r3 PROPN ejde-53 209 19 ) ) PUNCT ejde-53 209 20 with with ADP ejde-53 209 21 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 209 22 = = SYM ejde-53 209 23 ρ ρ PROPN ejde-53 209 24 , , PUNCT ejde-53 209 25 λ λ X ejde-53 209 26 > > X ejde-53 209 27 0 0 NUM ejde-53 209 28 , , PUNCT ejde-53 209 29 and and CCONJ ejde-53 209 30 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 209 31 ) ) PUNCT ejde-53 209 32 < < X ejde-53 209 33 λ λ X ejde-53 209 34 . . PUNCT ejde-53 209 35 ( ( PUNCT ejde-53 209 36 ii ii NOUN ejde-53 209 37 ) ) PUNCT ejde-53 209 38 there there PRON ejde-53 209 39 exists exist VERB ejde-53 209 40 υ υ PROPN ejde-53 209 41 ∈w ∈w NOUN ejde-53 209 42 1,p 1,p PROPN ejde-53 209 43 r r NOUN ejde-53 209 44 ( ( PUNCT ejde-53 209 45 r3)\{0 r3)\{0 NOUN ejde-53 209 46 } } PUNCT ejde-53 209 47 such such ADJ ejde-53 209 48 that that SCONJ ejde-53 209 49 ‖υ‖ ‖υ‖ ADJ ejde-53 209 50 > > X ejde-53 209 51 ρ ρ PROPN ejde-53 209 52 and and CCONJ ejde-53 209 53 iλ(υ iλ(υ NUM ejde-53 209 54 ) ) PUNCT ejde-53 209 55 < < X ejde-53 210 1 0 0 X ejde-53 210 2 . . PUNCT ejde-53 210 3 proof proof NOUN ejde-53 210 4 . . PUNCT ejde-53 211 1 item item NOUN ejde-53 211 2 ( ( PUNCT ejde-53 211 3 i i NOUN ejde-53 211 4 ) ) PUNCT ejde-53 211 5 follows follow VERB ejde-53 211 6 from from ADP ejde-53 211 7 the the DET ejde-53 211 8 argument argument NOUN ejde-53 211 9 of of ADP ejde-53 211 10 the the DET ejde-53 211 11 proof proof NOUN ejde-53 211 12 of of ADP ejde-53 211 13 lemma lemma PROPN ejde-53 211 14 3.1 3.1 NUM ejde-53 211 15 . . PUNCT ejde-53 212 1 ( ( PUNCT ejde-53 212 2 ii ii NOUN ejde-53 212 3 ) ) PUNCT ejde-53 212 4 take take VERB ejde-53 212 5 any any DET ejde-53 212 6 fixed fix VERB ejde-53 212 7 u u NOUN ejde-53 212 8 ∈ ∈ PROPN ejde-53 212 9 w w PROPN ejde-53 212 10 1,p 1,p PROPN ejde-53 212 11 r r NOUN ejde-53 212 12 ( ( PUNCT ejde-53 212 13 r3)\{0 r3)\{0 NOUN ejde-53 212 14 } } PUNCT ejde-53 212 15 and and CCONJ ejde-53 212 16 define define VERB ejde-53 212 17 ut(x ut(x NOUN ejde-53 212 18 ) ) PUNCT ejde-53 213 1 = = SYM ejde-53 213 2 t t PROPN ejde-53 213 3 p+2 p+2 PRON ejde-53 213 4 4−pu(tx 4−pu(tx NUM ejde-53 213 5 ) ) PUNCT ejde-53 213 6 . . PUNCT ejde-53 214 1 then then ADV ejde-53 214 2 we we PRON ejde-53 214 3 have have VERB ejde-53 214 4 iλ(ut iλ(ut PROPN ejde-53 214 5 ) ) PUNCT ejde-53 215 1 = = VERB ejde-53 215 2 tβ1 tβ1 VERB ejde-53 215 3 p p DET ejde-53 215 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 215 5 r3 r3 PROPN ejde-53 215 6 |∇u|p |∇u|p NOUN ejde-53 215 7 dx+ dx+ NOUN ejde-53 216 1 tβ2 tβ2 NOUN ejde-53 216 2 p p PROPN ejde-53 216 3 ∫ ∫ PROPN ejde-53 216 4 r3 r3 PROPN ejde-53 216 5 |u|p |u|p PROPN ejde-53 216 6 dx+ dx+ NOUN ejde-53 216 7 tβ1 tβ1 NOUN ejde-53 216 8 4 4 NUM ejde-53 216 9 λ λ PROPN ejde-53 216 10 ∫ ∫ PROPN ejde-53 216 11 r3 r3 PROPN ejde-53 216 12 φuu φuu VERB ejde-53 216 13 2 2 NUM ejde-53 216 14 dx dx PROPN ejde-53 216 15 − − PROPN ejde-53 217 1 tβ3 tβ3 PROPN ejde-53 218 1 q q PROPN ejde-53 219 1 ∫ ∫ PROPN ejde-53 220 1 r3 r3 PROPN ejde-53 221 1 |u|q |u|q PROPN ejde-53 222 1 dx− dx− NUM ejde-53 222 2 tβ4 tβ4 PROPN ejde-53 222 3 ∫ ∫ PROPN ejde-53 222 4 r3 r3 PROPN ejde-53 222 5 h h NOUN ejde-53 222 6 ( ( PUNCT ejde-53 222 7 x x PROPN ejde-53 222 8 t t NOUN ejde-53 222 9 ) ) PUNCT ejde-53 222 10 u u PROPN ejde-53 222 11 dx dx PROPN ejde-53 222 12 , , PUNCT ejde-53 222 13 where where SCONJ ejde-53 222 14 β1 β1 PROPN ejde-53 222 15 = = PROPN ejde-53 223 1 9p− 9p− NUM ejde-53 223 2 12 12 NUM ejde-53 223 3 4− 4− NUM ejde-53 223 4 p p NOUN ejde-53 223 5 , , PUNCT ejde-53 223 6 β2 β2 NOUN ejde-53 223 7 = = NOUN ejde-53 223 8 p2 p2 PROPN ejde-53 223 9 + + CCONJ ejde-53 224 1 5p− 5p− NUM ejde-53 224 2 12 12 NUM ejde-53 224 3 4− 4− NUM ejde-53 224 4 p p NOUN ejde-53 224 5 , , PUNCT ejde-53 224 6 β3 β3 PROPN ejde-53 224 7 = = SYM ejde-53 224 8 ( ( PUNCT ejde-53 224 9 p+ p+ NOUN ejde-53 224 10 2)q 2)q NUM ejde-53 224 11 − − PROPN ejde-53 224 12 12 12 NUM ejde-53 224 13 + + SYM ejde-53 224 14 3p 3p NUM ejde-53 225 1 4− 4− NUM ejde-53 226 1 p p NOUN ejde-53 226 2 , , PUNCT ejde-53 226 3 β4 β4 PROPN ejde-53 226 4 = = PUNCT ejde-53 227 1 4p− 4p− NUM ejde-53 227 2 10 10 NUM ejde-53 227 3 4− 4− NUM ejde-53 227 4 p p NOUN ejde-53 227 5 . . PUNCT ejde-53 228 1 ( ( PUNCT ejde-53 228 2 4.1 4.1 NUM ejde-53 228 3 ) ) PUNCT ejde-53 228 4 it it PRON ejde-53 228 5 follows follow VERB ejde-53 228 6 from from ADP ejde-53 228 7 4/3 4/3 PRON ejde-53 228 8 < < X ejde-53 228 9 p p X ejde-53 228 10 < < X ejde-53 228 11 12/5 12/5 PROPN ejde-53 228 12 and and CCONJ ejde-53 228 13 6p 6p NUM ejde-53 229 1 p+2 p+2 PROPN ejde-53 229 2 < < X ejde-53 229 3 q q X ejde-53 229 4 that that PRON ejde-53 229 5 β3 β3 VERB ejde-53 229 6 > > X ejde-53 229 7 β1 β1 PROPN ejde-53 229 8 > > X ejde-53 229 9 β2 β2 PROPN ejde-53 229 10 , , PUNCT ejde-53 229 11 β3 β3 VERB ejde-53 229 12 > > X ejde-53 229 13 0 0 PUNCT ejde-53 230 1 and and CCONJ ejde-53 230 2 β4 β4 VERB ejde-53 230 3 < < X ejde-53 230 4 0 0 NUM ejde-53 230 5 . . PUNCT ejde-53 231 1 therefore therefore ADV ejde-53 231 2 there there PRON ejde-53 231 3 exists exist VERB ejde-53 231 4 t0 t0 PROPN ejde-53 231 5 > > X ejde-53 231 6 0 0 NUM ejde-53 231 7 such such ADJ ejde-53 231 8 that that SCONJ ejde-53 231 9 iλ(ut0 iλ(ut0 PRON ejde-53 231 10 ) ) PUNCT ejde-53 231 11 < < X ejde-53 231 12 0 0 X ejde-53 231 13 . . PUNCT ejde-53 232 1 the the DET ejde-53 232 2 conclusion conclusion NOUN ejde-53 232 3 ( ( PUNCT ejde-53 232 4 ii ii NOUN ejde-53 232 5 ) ) PUNCT ejde-53 232 6 follows follow VERB ejde-53 232 7 by by ADP ejde-53 232 8 taking take VERB ejde-53 232 9 υ υ NOUN ejde-53 233 1 = = NOUN ejde-53 233 2 ut0 ut0 PROPN ejde-53 233 3 . . PUNCT ejde-53 234 1 � � PROPN ejde-53 234 2 since since SCONJ ejde-53 234 3 iλ(0 iλ(0 PROPN ejde-53 234 4 ) ) PUNCT ejde-53 234 5 = = SYM ejde-53 234 6 0 0 NUM ejde-53 234 7 , , PUNCT ejde-53 234 8 by by ADP ejde-53 234 9 lemma lemma PROPN ejde-53 234 10 4.2 4.2 NUM ejde-53 234 11 , , PUNCT ejde-53 234 12 the the DET ejde-53 234 13 functional functional ADJ ejde-53 234 14 iλ iλ NOUN ejde-53 234 15 satisfies satisfy VERB ejde-53 234 16 the the DET ejde-53 234 17 hypotheses hypothesis NOUN ejde-53 234 18 of of ADP ejde-53 234 19 the the DET ejde-53 234 20 mountain mountain NOUN ejde-53 234 21 pass pass NOUN ejde-53 234 22 theorem theorem NOUN ejde-53 234 23 [ [ X ejde-53 234 24 1 1 NUM ejde-53 234 25 ] ] PUNCT ejde-53 234 26 and and CCONJ ejde-53 234 27 a a DET ejde-53 234 28 mountain mountain NOUN ejde-53 234 29 pass pass NOUN ejde-53 234 30 level level NOUN ejde-53 234 31 of of ADP ejde-53 234 32 iλ iλ NOUN ejde-53 234 33 can can AUX ejde-53 234 34 be be AUX ejde-53 234 35 defined define VERB ejde-53 234 36 as as ADP ejde-53 234 37 c c PROPN ejde-53 234 38 = = PROPN ejde-53 234 39 inf inf PROPN ejde-53 234 40 γ∈γ γ∈γ ADJ ejde-53 234 41 max max PROPN ejde-53 234 42 t∈[0,1 t∈[0,1 PROPN ejde-53 234 43 ] ] PUNCT ejde-53 234 44 iλ(γ(t iλ(γ(t NOUN ejde-53 234 45 ) ) PUNCT ejde-53 234 46 ) ) PUNCT ejde-53 234 47 > > X ejde-53 235 1 0 0 NUM ejde-53 235 2 , , PUNCT ejde-53 235 3 ( ( PUNCT ejde-53 235 4 4.2 4.2 NUM ejde-53 235 5 ) ) PUNCT ejde-53 235 6 where where SCONJ ejde-53 235 7 γ γ X ejde-53 235 8 = = PRON ejde-53 235 9 { { PUNCT ejde-53 235 10 γ γ X ejde-53 235 11 ∈ ∈ PROPN ejde-53 235 12 c([0 c([0 NOUN ejde-53 235 13 , , PUNCT ejde-53 235 14 1],w 1],w NUM ejde-53 235 15 1,p 1,p NOUN ejde-53 235 16 r r NOUN ejde-53 235 17 ( ( PUNCT ejde-53 235 18 r3 r3 PROPN ejde-53 235 19 ) ) PUNCT ejde-53 235 20 ) ) PUNCT ejde-53 235 21 : : PUNCT ejde-53 236 1 γ(0 γ(0 PROPN ejde-53 236 2 ) ) PUNCT ejde-53 236 3 = = SYM ejde-53 236 4 0 0 NUM ejde-53 236 5 and and CCONJ ejde-53 236 6 iλ(γ(1 iλ(γ(1 NOUN ejde-53 236 7 ) ) PUNCT ejde-53 236 8 ) ) PUNCT ejde-53 237 1 < < X ejde-53 237 2 0 0 NUM ejde-53 237 3 } } PUNCT ejde-53 237 4 . . PUNCT ejde-53 238 1 we we PRON ejde-53 238 2 define define VERB ejde-53 238 3 an an DET ejde-53 238 4 auxiliary auxiliary ADJ ejde-53 238 5 functional functional ADJ ejde-53 238 6 jλ jλ ADP ejde-53 238 7 : : PUNCT ejde-53 238 8 w w PROPN ejde-53 238 9 1,p 1,p PROPN ejde-53 238 10 r r NOUN ejde-53 238 11 ( ( PUNCT ejde-53 238 12 r3 r3 PROPN ejde-53 238 13 ) ) PUNCT ejde-53 238 14 → → SYM ejde-53 238 15 r r NOUN ejde-53 238 16 as as SCONJ ejde-53 238 17 follows follow VERB ejde-53 238 18 with with ADP ejde-53 238 19 the the DET ejde-53 238 20 numbers number NOUN ejde-53 238 21 βi βi PRON ejde-53 238 22 given give VERB ejde-53 238 23 by by ADP ejde-53 238 24 ( ( PUNCT ejde-53 238 25 4.1 4.1 NUM ejde-53 238 26 ): ): PUNCT ejde-53 238 27 jλ(u jλ(u NUM ejde-53 238 28 ) ) PUNCT ejde-53 239 1 = = SYM ejde-53 239 2 β1 β1 PROPN ejde-53 239 3 p p PROPN ejde-53 239 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 239 5 r3 r3 PROPN ejde-53 239 6 |∇u|p |∇u|p NOUN ejde-53 239 7 dx+ dx+ NOUN ejde-53 239 8 β2 β2 PROPN ejde-53 239 9 p p PROPN ejde-53 239 10 ∫ ∫ PROPN ejde-53 239 11 r3 r3 PROPN ejde-53 239 12 |u|p |u|p PROPN ejde-53 239 13 dx+ dx+ ADJ ejde-53 239 14 λβ1 λβ1 NOUN ejde-53 239 15 4 4 NUM ejde-53 239 16 ∫ ∫ NOUN ejde-53 239 17 r3 r3 PROPN ejde-53 239 18 φuu φuu VERB ejde-53 239 19 2 2 NUM ejde-53 239 20 dx− dx− PRON ejde-53 239 21 β3 β3 VERB ejde-53 239 22 q q NOUN ejde-53 239 23 ∫ ∫ PROPN ejde-53 239 24 r3 r3 PROPN ejde-53 240 1 |u|q |u|q PROPN ejde-53 240 2 dx dx PROPN ejde-53 241 1 − − PROPN ejde-53 242 1 β4 β4 PROPN ejde-53 242 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 242 3 r3 r3 PROPN ejde-53 242 4 hu hu PROPN ejde-53 242 5 dx+ dx+ PROPN ejde-53 242 6 ∫ ∫ PROPN ejde-53 242 7 r3 r3 PROPN ejde-53 242 8 ( ( PUNCT ejde-53 242 9 x,∇h(x))u x,∇h(x))u PROPN ejde-53 242 10 dx dx PROPN ejde-53 242 11 . . PUNCT ejde-53 243 1 lemma lemma PROPN ejde-53 243 2 4.3 4.3 NUM ejde-53 243 3 . . PUNCT ejde-53 244 1 assume assume VERB ejde-53 244 2 that that SCONJ ejde-53 244 3 ( ( PUNCT ejde-53 244 4 h1 h1 PROPN ejde-53 244 5 ) ) PUNCT ejde-53 244 6 holds hold NOUN ejde-53 244 7 and and CCONJ ejde-53 244 8 6p 6p NUM ejde-53 244 9 p+2 p+2 PROPN ejde-53 244 10 < < X ejde-53 244 11 q q X ejde-53 244 12 < < X ejde-53 244 13 p∗. p∗. NOUN ejde-53 244 14 there there PRON ejde-53 244 15 exists exist VERB ejde-53 244 16 a a DET ejde-53 244 17 bounded bounded ADJ ejde-53 244 18 sequence sequence NOUN ejde-53 244 19 { { PUNCT ejde-53 244 20 un un PROPN ejde-53 244 21 } } PUNCT ejde-53 244 22 ⊂w ⊂w PROPN ejde-53 244 23 1,p 1,p PROPN ejde-53 244 24 r r NOUN ejde-53 244 25 ( ( PUNCT ejde-53 244 26 r3 r3 PROPN ejde-53 244 27 ) ) PUNCT ejde-53 244 28 satisfying satisfy VERB ejde-53 244 29 iλ(un)→ iλ(un)→ PROPN ejde-53 244 30 c c NOUN ejde-53 244 31 , , PUNCT ejde-53 244 32 i i PRON ejde-53 244 33 ′λ(un)→ ′λ(un)→ X ejde-53 244 34 0 0 NUM ejde-53 244 35 , , PUNCT ejde-53 244 36 jλ(un)→ jλ(un)→ PROPN ejde-53 244 37 0 0 NUM ejde-53 244 38 . . PUNCT ejde-53 245 1 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 245 2 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 245 3 - - PUNCT ejde-53 245 4 poisson poisson NOUN ejde-53 245 5 systems system NOUN ejde-53 245 6 with with ADP ejde-53 245 7 p p NOUN ejde-53 245 8 - - PUNCT ejde-53 245 9 laplacian laplacian ADJ ejde-53 245 10 9 9 NUM ejde-53 245 11 proof proof NOUN ejde-53 245 12 . . PUNCT ejde-53 246 1 we we PRON ejde-53 246 2 follow follow VERB ejde-53 246 3 the the DET ejde-53 246 4 idea idea NOUN ejde-53 246 5 in in ADP ejde-53 246 6 jeanjean jeanjean PROPN ejde-53 246 7 [ [ X ejde-53 246 8 14 14 NUM ejde-53 246 9 ] ] PUNCT ejde-53 246 10 and and CCONJ ejde-53 246 11 modified modify VERB ejde-53 246 12 in in ADP ejde-53 246 13 [ [ X ejde-53 246 14 11 11 NUM ejde-53 246 15 ] ] PUNCT ejde-53 246 16 . . PUNCT ejde-53 247 1 define define VERB ejde-53 247 2 the the DET ejde-53 247 3 map map NOUN ejde-53 247 4 φ(σ φ(σ PROPN ejde-53 247 5 , , PUNCT ejde-53 247 6 v)(x v)(x NUM ejde-53 247 7 ) ) PUNCT ejde-53 247 8 = = PUNCT ejde-53 248 1 e e X ejde-53 248 2 p+2 p+2 PROPN ejde-53 248 3 4−pσv(eσx 4−pσv(eσx NUM ejde-53 248 4 ) ) PUNCT ejde-53 248 5 , , PUNCT ejde-53 248 6 σ σ PROPN ejde-53 248 7 ∈ ∈ PROPN ejde-53 248 8 r r NOUN ejde-53 248 9 , , PUNCT ejde-53 248 10 v v NOUN ejde-53 248 11 ∈w ∈w VERB ejde-53 248 12 1,p 1,p PROPN ejde-53 248 13 r r NOUN ejde-53 248 14 ( ( PUNCT ejde-53 248 15 r3 r3 PROPN ejde-53 248 16 ) ) PUNCT ejde-53 248 17 . . PUNCT ejde-53 249 1 a a DET ejde-53 249 2 simple simple ADJ ejde-53 249 3 computation computation NOUN ejde-53 249 4 shows show VERB ejde-53 249 5 that that SCONJ ejde-53 249 6 iλ(φ(σ iλ(φ(σ PROPN ejde-53 249 7 , , PUNCT ejde-53 249 8 v v NOUN ejde-53 249 9 ) ) PUNCT ejde-53 249 10 ) ) PUNCT ejde-53 250 1 = = PUNCT ejde-53 250 2 eβ1σ eβ1σ PROPN ejde-53 250 3 p p NOUN ejde-53 250 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 250 5 r3 r3 PROPN ejde-53 250 6 |∇v|p |∇v|p NOUN ejde-53 250 7 dx+ dx+ NOUN ejde-53 250 8 eβ2σ eβ2σ PROPN ejde-53 251 1 p p X ejde-53 251 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 251 3 r3 r3 PROPN ejde-53 251 4 |v|p |v|p PROPN ejde-53 251 5 dx+ dx+ NOUN ejde-53 251 6 λeβ1σ λeβ1σ ADP ejde-53 251 7 4 4 NUM ejde-53 251 8 ∫ ∫ NOUN ejde-53 251 9 r3 r3 PROPN ejde-53 251 10 φvv φvv NOUN ejde-53 251 11 2 2 NUM ejde-53 251 12 dx dx NOUN ejde-53 251 13 − − PROPN ejde-53 251 14 eβ3σ eβ3σ NOUN ejde-53 251 15 q q PROPN ejde-53 251 16 ∫ ∫ PROPN ejde-53 251 17 r3 r3 PROPN ejde-53 251 18 |v|q |v|q PROPN ejde-53 251 19 dx− dx− PROPN ejde-53 251 20 eβ4σ eβ4σ ADV ejde-53 251 21 ∫ ∫ PROPN ejde-53 251 22 r3 r3 PROPN ejde-53 251 23 h h NOUN ejde-53 251 24 ( ( PUNCT ejde-53 251 25 x x X ejde-53 251 26 eσ eσ PROPN ejde-53 251 27 ) ) PUNCT ejde-53 251 28 v v ADP ejde-53 251 29 dx dx PROPN ejde-53 251 30 , , PUNCT ejde-53 251 31 and and CCONJ ejde-53 251 32 iλ(φ(0 iλ(φ(0 NOUN ejde-53 251 33 , , PUNCT ejde-53 251 34 0 0 NUM ejde-53 251 35 ) ) PUNCT ejde-53 251 36 ) ) PUNCT ejde-53 252 1 = = PUNCT ejde-53 252 2 0 0 X ejde-53 252 3 . . PUNCT ejde-53 253 1 it it PRON ejde-53 253 2 is be AUX ejde-53 253 3 standard standard ADJ ejde-53 253 4 to to PART ejde-53 253 5 verify verify VERB ejde-53 253 6 that that PRON ejde-53 253 7 iλ iλ PROPN ejde-53 253 8 ◦ ◦ PROPN ejde-53 253 9 φ φ PROPN ejde-53 253 10 is be AUX ejde-53 253 11 continuously continuously ADV ejde-53 253 12 fréchetdifferentiable fréchetdifferentiable ADJ ejde-53 253 13 on on ADP ejde-53 253 14 r×w r×w ADJ ejde-53 253 15 1,p 1,p NOUN ejde-53 253 16 r r NOUN ejde-53 253 17 ( ( PUNCT ejde-53 253 18 r3 r3 PROPN ejde-53 253 19 ) ) PUNCT ejde-53 253 20 . . PUNCT ejde-53 254 1 we we PRON ejde-53 254 2 set set VERB ejde-53 254 3 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 254 4 = = PRON ejde-53 254 5 { { PUNCT ejde-53 254 6 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 254 7 ∈ ∈ PROPN ejde-53 254 8 c([0 c([0 PROPN ejde-53 254 9 , , PUNCT ejde-53 254 10 1],r×w 1],r×w PROPN ejde-53 254 11 1,p 1,p PROPN ejde-53 254 12 r r NOUN ejde-53 254 13 ( ( PUNCT ejde-53 254 14 r3 r3 PROPN ejde-53 254 15 ) ) PUNCT ejde-53 254 16 ) ) PUNCT ejde-53 254 17 : : PUNCT ejde-53 254 18 γ̄(0 γ̄(0 NUM ejde-53 254 19 ) ) PUNCT ejde-53 254 20 = = SYM ejde-53 254 21 ( ( PUNCT ejde-53 254 22 0 0 NUM ejde-53 254 23 , , PUNCT ejde-53 254 24 0 0 NUM ejde-53 254 25 ) ) PUNCT ejde-53 254 26 and and CCONJ ejde-53 254 27 ( ( PUNCT ejde-53 254 28 iλ iλ PROPN ejde-53 254 29 ◦ ◦ NOUN ejde-53 254 30 φ)(γ̄(1 φ)(γ̄(1 NOUN ejde-53 254 31 ) ) PUNCT ejde-53 254 32 ) ) PUNCT ejde-53 254 33 < < X ejde-53 254 34 0 0 PUNCT ejde-53 254 35 } } PUNCT ejde-53 254 36 , , PUNCT ejde-53 254 37 c̄ c̄ PROPN ejde-53 254 38 = = PUNCT ejde-53 254 39 inf inf NOUN ejde-53 255 1 γ̄∈γ̄ γ̄∈γ̄ NOUN ejde-53 255 2 sup sup NOUN ejde-53 255 3 t∈[0,1 t∈[0,1 NUM ejde-53 255 4 ] ] PUNCT ejde-53 255 5 ( ( PUNCT ejde-53 255 6 iλ iλ PROPN ejde-53 255 7 ◦ ◦ NOUN ejde-53 255 8 φ)(γ̄(t φ)(γ̄(t PROPN ejde-53 255 9 ) ) PUNCT ejde-53 255 10 ) ) PUNCT ejde-53 255 11 . . PUNCT ejde-53 256 1 ( ( PUNCT ejde-53 256 2 4.3 4.3 NUM ejde-53 256 3 ) ) PUNCT ejde-53 256 4 it it PRON ejde-53 256 5 can can AUX ejde-53 256 6 be be AUX ejde-53 256 7 proved prove VERB ejde-53 256 8 that that SCONJ ejde-53 256 9 γ γ PROPN ejde-53 256 10 = = SYM ejde-53 256 11 { { PUNCT ejde-53 256 12 φ φ PROPN ejde-53 256 13 ◦ ◦ PROPN ejde-53 256 14 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 256 15 : : PUNCT ejde-53 256 16 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 256 17 ∈ ∈ PROPN ejde-53 256 18 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 256 19 } } PUNCT ejde-53 256 20 . . PUNCT ejde-53 257 1 it it PRON ejde-53 257 2 follows follow VERB ejde-53 257 3 that that SCONJ ejde-53 257 4 c c PROPN ejde-53 257 5 = = PRON ejde-53 257 6 c̄. c̄. PUNCT ejde-53 257 7 let let VERB ejde-53 257 8 γ̄ γ̄ PROPN ejde-53 257 9 = = SYM ejde-53 257 10 ( ( PUNCT ejde-53 257 11 0 0 NUM ejde-53 257 12 , , PUNCT ejde-53 257 13 γ γ NOUN ejde-53 257 14 ) ) PUNCT ejde-53 257 15 . . PUNCT ejde-53 258 1 for for ADP ejde-53 258 2 each each DET ejde-53 258 3 ε ε PROPN ejde-53 258 4 ∈ ∈ PROPN ejde-53 258 5 ( ( PUNCT ejde-53 258 6 0 0 NUM ejde-53 258 7 , , PUNCT ejde-53 258 8 c2 c2 PROPN ejde-53 258 9 ) ) PUNCT ejde-53 258 10 , , PUNCT ejde-53 258 11 there there PRON ejde-53 258 12 exists exist VERB ejde-53 258 13 γ γ PROPN ejde-53 258 14 ∈ ∈ PROPN ejde-53 258 15 γ γ NOUN ejde-53 258 16 such such ADJ ejde-53 258 17 that that SCONJ ejde-53 258 18 sup(iλ sup(iλ PROPN ejde-53 258 19 ◦ ◦ NOUN ejde-53 258 20 φ)(0 φ)(0 NUM ejde-53 258 21 , , PUNCT ejde-53 258 22 γ γ NOUN ejde-53 258 23 ) ) PUNCT ejde-53 258 24 ≤ ≤ NUM ejde-53 258 25 c+ c+ VERB ejde-53 258 26 ε ε PROPN ejde-53 258 27 . . PUNCT ejde-53 259 1 then then ADV ejde-53 259 2 , , PUNCT ejde-53 259 3 by by ADP ejde-53 259 4 [ [ X ejde-53 259 5 28 28 NUM ejde-53 259 6 , , PUNCT ejde-53 259 7 theorem theorem VERB ejde-53 259 8 2.8 2.8 NUM ejde-53 259 9 ] ] PUNCT ejde-53 259 10 , , PUNCT ejde-53 259 11 there there PRON ejde-53 259 12 exists exist VERB ejde-53 259 13 ( ( PUNCT ejde-53 259 14 σ σ PROPN ejde-53 259 15 , , PUNCT ejde-53 259 16 v v NOUN ejde-53 259 17 ) ) PUNCT ejde-53 259 18 ∈ ∈ PROPN ejde-53 259 19 r×w r×w PROPN ejde-53 259 20 1,p 1,p NOUN ejde-53 259 21 r r NOUN ejde-53 259 22 ( ( PUNCT ejde-53 259 23 r3 r3 PROPN ejde-53 259 24 ) ) PUNCT ejde-53 259 25 such such ADJ ejde-53 259 26 that that SCONJ ejde-53 259 27 ( ( PUNCT ejde-53 259 28 a a X ejde-53 259 29 ) ) PUNCT ejde-53 259 30 c− c− NOUN ejde-53 259 31 2ε 2ε NOUN ejde-53 259 32 ≤ ≤ NOUN ejde-53 259 33 ( ( PUNCT ejde-53 259 34 iλ iλ NOUN ejde-53 259 35 ◦ ◦ NOUN ejde-53 259 36 φ)(σ φ)(σ PROPN ejde-53 259 37 , , PUNCT ejde-53 259 38 v v NOUN ejde-53 259 39 ) ) PUNCT ejde-53 259 40 ≤ ≤ NUM ejde-53 259 41 c+ c+ VERB ejde-53 259 42 2ε 2ε NUM ejde-53 259 43 , , PUNCT ejde-53 259 44 ( ( PUNCT ejde-53 259 45 b b NOUN ejde-53 259 46 ) ) PUNCT ejde-53 259 47 dist{(σ dist{(σ NOUN ejde-53 259 48 , , PUNCT ejde-53 259 49 v v NOUN ejde-53 259 50 ) ) PUNCT ejde-53 259 51 , , PUNCT ejde-53 259 52 ( ( PUNCT ejde-53 259 53 0 0 NUM ejde-53 259 54 , , PUNCT ejde-53 259 55 γ γ NOUN ejde-53 259 56 ) ) PUNCT ejde-53 259 57 } } PUNCT ejde-53 259 58 ≤ ≤ NUM ejde-53 259 59 2 2 NUM ejde-53 259 60 √ √ NUM ejde-53 259 61 ε ε PROPN ejde-53 259 62 , , PUNCT ejde-53 259 63 where where SCONJ ejde-53 259 64 dist{(σ dist{(σ NOUN ejde-53 259 65 , , PUNCT ejde-53 259 66 v v NOUN ejde-53 259 67 ) ) PUNCT ejde-53 259 68 , , PUNCT ejde-53 259 69 ( ( PUNCT ejde-53 259 70 ς ς PROPN ejde-53 259 71 , , PUNCT ejde-53 259 72 w w NOUN ejde-53 259 73 ) ) PUNCT ejde-53 259 74 } } PUNCT ejde-53 259 75 = = SYM ejde-53 259 76 ( ( PUNCT ejde-53 259 77 |σ |σ NOUN ejde-53 259 78 − − PROPN ejde-53 259 79 ς|2 ς|2 PROPN ejde-53 259 80 + + CCONJ ejde-53 259 81 ‖v ‖v PROPN ejde-53 259 82 − − PROPN ejde-53 260 1 w‖2)1/2 w‖2)1/2 PROPN ejde-53 260 2 , , PUNCT ejde-53 260 3 ( ( PUNCT ejde-53 260 4 c c X ejde-53 260 5 ) ) PUNCT ejde-53 260 6 ( ( PUNCT ejde-53 260 7 iλ iλ PROPN ejde-53 260 8 ◦ ◦ PROPN ejde-53 260 9 φ)′(σ φ)′(σ PROPN ejde-53 260 10 , , PUNCT ejde-53 260 11 v)→ v)→ ADV ejde-53 260 12 0 0 NUM ejde-53 260 13 in in ADP ejde-53 260 14 [ [ X ejde-53 260 15 r×w r×w ADJ ejde-53 260 16 1,p 1,p NOUN ejde-53 260 17 r r NOUN ejde-53 260 18 ( ( PUNCT ejde-53 260 19 r3)]∗. r3)]∗. PROPN ejde-53 260 20 therefore therefore ADV ejde-53 260 21 , , PUNCT ejde-53 260 22 there there PRON ejde-53 260 23 exists exist VERB ejde-53 260 24 a a DET ejde-53 260 25 sequence sequence NOUN ejde-53 260 26 { { PUNCT ejde-53 260 27 ( ( PUNCT ejde-53 260 28 σn σn PROPN ejde-53 260 29 , , PUNCT ejde-53 260 30 vn vn NOUN ejde-53 260 31 ) ) PUNCT ejde-53 260 32 } } PUNCT ejde-53 261 1 ⊂ ⊂ PRON ejde-53 262 1 r×w r×w ADJ ejde-53 262 2 1,p 1,p PROPN ejde-53 262 3 r r NOUN ejde-53 262 4 ( ( PUNCT ejde-53 262 5 r3 r3 PROPN ejde-53 262 6 ) ) PUNCT ejde-53 263 1 such such ADJ ejde-53 263 2 that that SCONJ ejde-53 263 3 as as ADP ejde-53 263 4 n→∞ n→∞ NUM ejde-53 263 5 , , PUNCT ejde-53 263 6 σn σn X ejde-53 263 7 → → SYM ejde-53 263 8 0 0 NUM ejde-53 263 9 , , PUNCT ejde-53 263 10 ( ( PUNCT ejde-53 263 11 iλ iλ PROPN ejde-53 263 12 ◦ ◦ NOUN ejde-53 263 13 φ)(σn φ)(σn NUM ejde-53 263 14 , , PUNCT ejde-53 263 15 vn)→ vn)→ ADP ejde-53 263 16 c c X ejde-53 263 17 , , PUNCT ejde-53 263 18 ( ( PUNCT ejde-53 263 19 iλ iλ NOUN ejde-53 263 20 ◦ ◦ NOUN ejde-53 263 21 φ)′(σn φ)′(σn NOUN ejde-53 263 22 , , PUNCT ejde-53 263 23 vn)→ vn)→ ADP ejde-53 263 24 0 0 NUM ejde-53 263 25 . . PUNCT ejde-53 263 26 for for ADP ejde-53 263 27 every every DET ejde-53 263 28 ( ( PUNCT ejde-53 263 29 ζ ζ NOUN ejde-53 263 30 , , PUNCT ejde-53 263 31 w w NOUN ejde-53 263 32 ) ) PUNCT ejde-53 263 33 ∈ ∈ PROPN ejde-53 263 34 r×w r×w PROPN ejde-53 263 35 1,p 1,p NOUN ejde-53 263 36 r r NOUN ejde-53 263 37 ( ( PUNCT ejde-53 263 38 r3 r3 PROPN ejde-53 263 39 ) ) PUNCT ejde-53 263 40 , , PUNCT ejde-53 263 41 it it PRON ejde-53 263 42 holds hold VERB ejde-53 263 43 〈 〈 PROPN ejde-53 263 44 ( ( PUNCT ejde-53 263 45 iλ iλ NOUN ejde-53 263 46 ◦ ◦ NOUN ejde-53 263 47 φ)′(σn φ)′(σn NOUN ejde-53 263 48 , , PUNCT ejde-53 263 49 vn vn NOUN ejde-53 263 50 ) ) PUNCT ejde-53 263 51 , , PUNCT ejde-53 263 52 ( ( PUNCT ejde-53 263 53 ζ ζ NOUN ejde-53 263 54 , , PUNCT ejde-53 263 55 w w NOUN ejde-53 263 56 ) ) PUNCT ejde-53 263 57 〉 〉 NOUN ejde-53 263 58 = = SYM ejde-53 264 1 〈 〈 PROPN ejde-53 264 2 i i PRON ejde-53 264 3 ′λ(φ(σn ′λ(φ(σn NOUN ejde-53 264 4 , , PUNCT ejde-53 264 5 vn)),φ(σn vn)),φ(σn PROPN ejde-53 264 6 , , PUNCT ejde-53 264 7 w)〉+ w)〉+ X ejde-53 264 8 jλ(φ(σn jλ(φ(σn PROPN ejde-53 264 9 , , PUNCT ejde-53 264 10 vn))ζ vn))ζ PROPN ejde-53 264 11 . . PUNCT ejde-53 265 1 taking take VERB ejde-53 265 2 un un PROPN ejde-53 265 3 = = PROPN ejde-53 265 4 φ(σn φ(σn PROPN ejde-53 265 5 , , PUNCT ejde-53 265 6 vn vn PROPN ejde-53 265 7 ) ) PUNCT ejde-53 265 8 , , PUNCT ejde-53 265 9 we we PRON ejde-53 265 10 have have VERB ejde-53 265 11 iλ(un)→ iλ(un)→ PROPN ejde-53 265 12 c c NOUN ejde-53 265 13 , , PUNCT ejde-53 265 14 i i PRON ejde-53 265 15 ′λ(un)→ ′λ(un)→ X ejde-53 265 16 0 0 NUM ejde-53 265 17 , , PUNCT ejde-53 265 18 jλ(un)→ jλ(un)→ PROPN ejde-53 265 19 0 0 NUM ejde-53 265 20 . . PUNCT ejde-53 266 1 ( ( PUNCT ejde-53 266 2 4.4 4.4 NUM ejde-53 266 3 ) ) PUNCT ejde-53 266 4 now now ADV ejde-53 266 5 we we PRON ejde-53 266 6 prove prove VERB ejde-53 266 7 that that SCONJ ejde-53 266 8 { { PUNCT ejde-53 266 9 un un PROPN ejde-53 266 10 } } PUNCT ejde-53 266 11 is be AUX ejde-53 266 12 bounded bound VERB ejde-53 266 13 in in ADP ejde-53 266 14 w w PROPN ejde-53 266 15 1,p 1,p PROPN ejde-53 266 16 r r NOUN ejde-53 266 17 ( ( PUNCT ejde-53 266 18 r3 r3 PROPN ejde-53 266 19 ) ) PUNCT ejde-53 266 20 . . PUNCT ejde-53 267 1 by by ADP ejde-53 267 2 ( ( PUNCT ejde-53 267 3 4.4 4.4 NUM ejde-53 267 4 ) ) PUNCT ejde-53 267 5 , , PUNCT ejde-53 267 6 for for ADP ejde-53 267 7 n n CCONJ ejde-53 267 8 large large ADJ ejde-53 267 9 enough enough ADV ejde-53 267 10 , , PUNCT ejde-53 267 11 c+ c+ VERB ejde-53 267 12 1 1 NUM ejde-53 267 13 ≥ ≥ NOUN ejde-53 267 14 iλ(un)− iλ(un)− PROPN ejde-53 267 15 1 1 NUM ejde-53 267 16 β3 β3 NOUN ejde-53 267 17 jλ(un jλ(un PROPN ejde-53 267 18 ) ) PUNCT ejde-53 268 1 = = SYM ejde-53 268 2 β3 β3 ADP ejde-53 268 3 − − PROPN ejde-53 268 4 β1 β1 PROPN ejde-53 268 5 pβ3 pβ3 PROPN ejde-53 268 6 ∫ ∫ PROPN ejde-53 268 7 r3 r3 PROPN ejde-53 268 8 |∇un|p |∇un|p PROPN ejde-53 268 9 dx+ dx+ NOUN ejde-53 268 10 β3 β3 VERB ejde-53 268 11 − − PROPN ejde-53 268 12 β2 β2 PROPN ejde-53 268 13 pβ3 pβ3 PROPN ejde-53 268 14 ∫ ∫ PROPN ejde-53 268 15 r3 r3 PROPN ejde-53 268 16 |un|p |un|p PUNCT ejde-53 268 17 dx+ dx+ NOUN ejde-53 268 18 λ(β3 λ(β3 PUNCT ejde-53 268 19 − − PROPN ejde-53 268 20 β1 β1 PROPN ejde-53 268 21 ) ) PUNCT ejde-53 268 22 4β3 4β3 NUM ejde-53 269 1 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 2 r3 r3 PROPN ejde-53 269 3 φunu φunu ADJ ejde-53 269 4 2 2 NUM ejde-53 269 5 n n NOUN ejde-53 269 6 dx dx PROPN ejde-53 269 7 − − PROPN ejde-53 269 8 β3 β3 PROPN ejde-53 269 9 − − PROPN ejde-53 269 10 β4 β4 PROPN ejde-53 269 11 β3 β3 PROPN ejde-53 269 12 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 13 r3 r3 PROPN ejde-53 269 14 hun hun NOUN ejde-53 269 15 dx− dx− PUNCT ejde-53 269 16 1 1 NUM ejde-53 269 17 β3 β3 VERB ejde-53 269 18 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 19 r3 r3 PROPN ejde-53 269 20 ( ( PUNCT ejde-53 269 21 x,∇h)un x,∇h)un PROPN ejde-53 269 22 dx dx PROPN ejde-53 269 23 ≥ ≥ PROPN ejde-53 269 24 β3 β3 VERB ejde-53 269 25 − − PROPN ejde-53 269 26 β1 β1 PROPN ejde-53 269 27 pβ3 pβ3 PROPN ejde-53 269 28 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 29 r3 r3 PROPN ejde-53 269 30 |∇un|p |∇un|p PROPN ejde-53 269 31 dx+ dx+ NOUN ejde-53 269 32 β3 β3 VERB ejde-53 269 33 − − PROPN ejde-53 269 34 β2 β2 PROPN ejde-53 269 35 pβ3 pβ3 PROPN ejde-53 269 36 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 37 r3 r3 PROPN ejde-53 269 38 |un|p |un|p PUNCT ejde-53 269 39 dx dx PROPN ejde-53 269 40 − − PROPN ejde-53 269 41 β3 β3 PROPN ejde-53 269 42 − − PROPN ejde-53 269 43 β4 β4 PROPN ejde-53 269 44 β3 β3 PROPN ejde-53 269 45 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 46 r3 r3 PROPN ejde-53 269 47 hun hun NOUN ejde-53 269 48 dx− dx− PUNCT ejde-53 269 49 1 1 NUM ejde-53 269 50 β3 β3 VERB ejde-53 269 51 ∫ ∫ PROPN ejde-53 269 52 r3 r3 PROPN ejde-53 269 53 ( ( PUNCT ejde-53 269 54 x,∇h)un x,∇h)un PROPN ejde-53 269 55 dx dx PROPN ejde-53 269 56 . . PUNCT ejde-53 270 1 it it PRON ejde-53 270 2 follows follow VERB ejde-53 270 3 that that SCONJ ejde-53 270 4 c+ c+ VERB ejde-53 270 5 1 1 NUM ejde-53 270 6 + + CCONJ ejde-53 270 7 β3 β3 ADJ ejde-53 270 8 − − PROPN ejde-53 270 9 β4 β4 PROPN ejde-53 270 10 β3 β3 PROPN ejde-53 270 11 ∫ ∫ PROPN ejde-53 270 12 r3 r3 PROPN ejde-53 270 13 hun hun PROPN ejde-53 270 14 dx+ dx+ PROPN ejde-53 270 15 1 1 NUM ejde-53 270 16 β3 β3 NOUN ejde-53 270 17 ∫ ∫ PROPN ejde-53 270 18 r3 r3 PROPN ejde-53 270 19 ( ( PUNCT ejde-53 270 20 x,∇h)un x,∇h)un PROPN ejde-53 270 21 dx dx PROPN ejde-53 270 22 ≥ ≥ PROPN ejde-53 270 23 β3 β3 VERB ejde-53 270 24 − − PROPN ejde-53 270 25 β1 β1 PROPN ejde-53 270 26 pβ3 pβ3 PROPN ejde-53 270 27 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 270 28 . . PUNCT ejde-53 271 1 ( ( PUNCT ejde-53 271 2 4.5 4.5 NUM ejde-53 271 3 ) ) PUNCT ejde-53 271 4 10 10 NUM ejde-53 271 5 l. l. PROPN ejde-53 271 6 huang huang PROPN ejde-53 271 7 , , PUNCT ejde-53 271 8 j. j. PROPN ejde-53 271 9 su su PROPN ejde-53 271 10 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 271 11 it it PRON ejde-53 271 12 is be AUX ejde-53 271 13 easy easy ADJ ejde-53 271 14 to to PART ejde-53 271 15 see see VERB ejde-53 271 16 that that PRON ejde-53 271 17 ∫ ∫ PROPN ejde-53 271 18 r3 r3 PROPN ejde-53 271 19 hun hun PROPN ejde-53 271 20 dx dx PROPN ejde-53 271 21 ≤ ≤ PROPN ejde-53 271 22 c‖un‖. c‖un‖. VERB ejde-53 271 23 we we PRON ejde-53 271 24 deduce deduce VERB ejde-53 271 25 from from ADP ejde-53 271 26 ( ( PUNCT ejde-53 271 27 h1 h1 PROPN ejde-53 271 28 ) ) PUNCT ejde-53 271 29 , , PUNCT ejde-53 271 30 the the DET ejde-53 271 31 hölder hölder NOUN ejde-53 271 32 and and CCONJ ejde-53 271 33 sobolev sobolev NOUN ejde-53 271 34 inequalities inequality NOUN ejde-53 271 35 that∣∣ that∣∣ PROPN ejde-53 271 36 ∫ ∫ PROPN ejde-53 271 37 r3 r3 PROPN ejde-53 271 38 ( ( PUNCT ejde-53 271 39 x,∇h)un x,∇h)un PROPN ejde-53 271 40 dx dx PROPN ejde-53 271 41 ∣∣ ∣∣ X ejde-53 271 42 ≤ ≤ PROPN ejde-53 271 43 ( ( PUNCT ejde-53 271 44 ∫ ∫ PROPN ejde-53 271 45 r3 r3 PROPN ejde-53 271 46 |(x,∇h)|s |(x,∇h)|s PROPN ejde-53 271 47 dx dx PROPN ejde-53 271 48 ) ) PUNCT ejde-53 271 49 1 1 NUM ejde-53 271 50 / / SYM ejde-53 271 51 s(∫ s(∫ NOUN ejde-53 271 52 r3 r3 PROPN ejde-53 271 53 |un|s |un|s PROPN ejde-53 272 1 ′ ′ NOUN ejde-53 272 2 dx dx PROPN ejde-53 272 3 ) ) PUNCT ejde-53 272 4 1 1 NUM ejde-53 272 5 / / SYM ejde-53 272 6 s′ s′ ADJ ejde-53 272 7 ≤ ≤ NOUN ejde-53 272 8 c‖un‖. c‖un‖. VERB ejde-53 272 9 therefore therefore ADV ejde-53 272 10 by by ADP ejde-53 272 11 ( ( PUNCT ejde-53 272 12 4.5 4.5 NUM ejde-53 272 13 ) ) PUNCT ejde-53 272 14 that that PRON ejde-53 272 15 { { PUNCT ejde-53 272 16 un un PROPN ejde-53 272 17 } } PUNCT ejde-53 272 18 is be AUX ejde-53 272 19 bounded bound VERB ejde-53 272 20 in in ADP ejde-53 272 21 w w PROPN ejde-53 272 22 1,p 1,p PROPN ejde-53 272 23 r r NOUN ejde-53 272 24 ( ( PUNCT ejde-53 272 25 r3 r3 PROPN ejde-53 272 26 ) ) PUNCT ejde-53 272 27 . . PUNCT ejde-53 273 1 � � PROPN ejde-53 273 2 proof proof NOUN ejde-53 273 3 of of ADP ejde-53 273 4 theorem theorem NOUN ejde-53 273 5 4.1 4.1 NUM ejde-53 273 6 . . PUNCT ejde-53 274 1 it it PRON ejde-53 274 2 follows follow VERB ejde-53 274 3 from from ADP ejde-53 274 4 lemmas lemmas PROPN ejde-53 274 5 4.2 4.2 NUM ejde-53 274 6 , , PUNCT ejde-53 274 7 4.3 4.3 NUM ejde-53 274 8 , , PUNCT ejde-53 274 9 and and CCONJ ejde-53 274 10 3.2 3.2 NUM ejde-53 274 11 . . PUNCT ejde-53 275 1 � � PROPN ejde-53 275 2 4.2 4.2 NUM ejde-53 275 3 . . PUNCT ejde-53 275 4 case case NOUN ejde-53 275 5 p p X ejde-53 275 6 < < X ejde-53 275 7 q q PROPN ejde-53 275 8 ≤ ≤ PROPN ejde-53 275 9 6p 6p NUM ejde-53 275 10 p+2 p+2 X ejde-53 275 11 . . PUNCT ejde-53 276 1 theorem theorem VERB ejde-53 276 2 4.4 4.4 NUM ejde-53 276 3 . . PUNCT ejde-53 277 1 assume assume VERB ejde-53 277 2 that that SCONJ ejde-53 277 3 ( ( PUNCT ejde-53 277 4 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 277 5 ) ) PUNCT ejde-53 277 6 holds hold VERB ejde-53 277 7 and and CCONJ ejde-53 277 8 p p X ejde-53 277 9 < < X ejde-53 277 10 q q PROPN ejde-53 277 11 ≤ ≤ PROPN ejde-53 277 12 6p 6p NUM ejde-53 277 13 p+2 p+2 INTJ ejde-53 277 14 . . PUNCT ejde-53 278 1 then then ADV ejde-53 278 2 there there PRON ejde-53 278 3 exists exist VERB ejde-53 278 4 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 278 5 > > X ejde-53 278 6 0 0 PUNCT ejde-53 279 1 such such ADJ ejde-53 279 2 that that SCONJ ejde-53 279 3 iλ iλ PROPN ejde-53 279 4 has have VERB ejde-53 279 5 a a DET ejde-53 279 6 critical critical ADJ ejde-53 279 7 point point NOUN ejde-53 279 8 u∗ u∗ NOUN ejde-53 279 9 ∈ ∈ PROPN ejde-53 279 10 w w PROPN ejde-53 279 11 1,p 1,p PROPN ejde-53 279 12 r r NOUN ejde-53 279 13 ( ( PUNCT ejde-53 279 14 r3 r3 PROPN ejde-53 279 15 ) ) PUNCT ejde-53 279 16 with with ADP ejde-53 279 17 iλ(u∗ iλ(u∗ NOUN ejde-53 279 18 ) ) PUNCT ejde-53 279 19 > > X ejde-53 279 20 0 0 PUNCT ejde-53 280 1 for for ADP ejde-53 280 2 each each DET ejde-53 280 3 λ λ PROPN ejde-53 280 4 ∈ ∈ PROPN ejde-53 280 5 ( ( PUNCT ejde-53 280 6 0 0 NUM ejde-53 280 7 , , PUNCT ejde-53 280 8 λ∗ λ∗ NOUN ejde-53 280 9 ) ) PUNCT ejde-53 280 10 provided provide VERB ejde-53 280 11 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NOUN ejde-53 280 12 ) ) PUNCT ejde-53 280 13 < < X ejde-53 281 1 λ λ X ejde-53 281 2 , , PUNCT ejde-53 281 3 where where SCONJ ejde-53 281 4 λ λ PROPN ejde-53 281 5 is be AUX ejde-53 281 6 given give VERB ejde-53 281 7 in in ADP ejde-53 281 8 lemma lemma PROPN ejde-53 281 9 3.1 3.1 NUM ejde-53 281 10 . . PUNCT ejde-53 282 1 we we PRON ejde-53 282 2 adopt adopt VERB ejde-53 282 3 some some DET ejde-53 282 4 techniques technique NOUN ejde-53 282 5 from from ADP ejde-53 282 6 [ [ X ejde-53 282 7 15 15 NUM ejde-53 282 8 ] ] PUNCT ejde-53 282 9 to to PART ejde-53 282 10 do do AUX ejde-53 282 11 the the DET ejde-53 282 12 proof proof NOUN ejde-53 282 13 . . PUNCT ejde-53 283 1 we we PRON ejde-53 283 2 introduce introduce VERB ejde-53 283 3 a a DET ejde-53 283 4 smooth smooth ADJ ejde-53 283 5 function function NOUN ejde-53 283 6 χ χ DET ejde-53 283 7 ∈ ∈ PROPN ejde-53 283 8 c∞(r+ c∞(r+ NOUN ejde-53 283 9 , , PUNCT ejde-53 283 10 [ [ X ejde-53 283 11 0 0 NUM ejde-53 283 12 , , PUNCT ejde-53 283 13 1 1 NUM ejde-53 283 14 ] ] PUNCT ejde-53 283 15 ) ) PUNCT ejde-53 283 16 which which PRON ejde-53 283 17 satisfies satisfy VERB ejde-53 283 18 χ(t χ(t NOUN ejde-53 283 19 ) ) PUNCT ejde-53 283 20 = = PUNCT ejde-53 284 1   NOUN ejde-53 284 2 1 1 NUM ejde-53 284 3 for for ADP ejde-53 284 4 t t PROPN ejde-53 284 5 ∈ ∈ PROPN ejde-53 285 1 [ [ X ejde-53 285 2 0 0 NUM ejde-53 285 3 , , PUNCT ejde-53 285 4 1 1 NUM ejde-53 285 5 2 2 NUM ejde-53 285 6 ] ] PUNCT ejde-53 285 7 , , PUNCT ejde-53 285 8 0 0 NUM ejde-53 285 9 for for ADP ejde-53 285 10 t t PROPN ejde-53 285 11 ≥ ≥ NUM ejde-53 285 12 1 1 NUM ejde-53 285 13 , , PUNCT ejde-53 285 14 ∈ ∈ PROPN ejde-53 286 1 [ [ X ejde-53 286 2 0 0 NUM ejde-53 286 3 , , PUNCT ejde-53 286 4 1 1 NUM ejde-53 286 5 ] ] PUNCT ejde-53 286 6 for for ADP ejde-53 286 7 t t PROPN ejde-53 286 8 ∈ ∈ PROPN ejde-53 286 9 ( ( PUNCT ejde-53 286 10 1 1 NUM ejde-53 286 11 2 2 NUM ejde-53 286 12 , , PUNCT ejde-53 286 13 1 1 NUM ejde-53 286 14 ) ) PUNCT ejde-53 286 15 , , PUNCT ejde-53 286 16 |χ′|∞ |χ′|∞ PROPN ejde-53 286 17 ≤ ≤ ADV ejde-53 286 18 4 4 NUM ejde-53 286 19 . . PUNCT ejde-53 287 1 we we PRON ejde-53 287 2 define define VERB ejde-53 287 3 a a DET ejde-53 287 4 penalized penalize VERB ejde-53 287 5 functional functional ADJ ejde-53 287 6 iλ iλ NOUN ejde-53 287 7 , , PUNCT ejde-53 287 8 m m VERB ejde-53 287 9 : : PUNCT ejde-53 287 10 w w PROPN ejde-53 287 11 1,p 1,p PROPN ejde-53 287 12 r r NOUN ejde-53 287 13 ( ( PUNCT ejde-53 287 14 r3)→ r3)→ NOUN ejde-53 287 15 r r NOUN ejde-53 287 16 as as ADP ejde-53 287 17 iλ iλ PROPN ejde-53 287 18 , , PUNCT ejde-53 287 19 m m PROPN ejde-53 287 20 ( ( PUNCT ejde-53 287 21 u u NOUN ejde-53 287 22 ) ) PUNCT ejde-53 287 23 = = SYM ejde-53 287 24 1 1 NUM ejde-53 287 25 p p NOUN ejde-53 287 26 ∫ ∫ PROPN ejde-53 287 27 r3 r3 PROPN ejde-53 287 28 ( ( PUNCT ejde-53 287 29 |∇u|p |∇u|p NOUN ejde-53 287 30 + + CCONJ ejde-53 287 31 |u|p |u|p NOUN ejde-53 287 32 ) ) PUNCT ejde-53 287 33 dx+ dx+ NOUN ejde-53 287 34 λ λ X ejde-53 287 35 4 4 NUM ejde-53 287 36 lm lm INTJ ejde-53 287 37 ( ( PUNCT ejde-53 287 38 u u NOUN ejde-53 287 39 ) ) PUNCT ejde-53 287 40 ∫ ∫ PROPN ejde-53 287 41 r3 r3 PROPN ejde-53 287 42 φuu φuu VERB ejde-53 287 43 2 2 NUM ejde-53 287 44 dx dx PROPN ejde-53 287 45 − − PROPN ejde-53 287 46 1 1 NUM ejde-53 287 47 q q PROPN ejde-53 287 48 ∫ ∫ PROPN ejde-53 287 49 r3 r3 PROPN ejde-53 287 50 |u|q |u|q PROPN ejde-53 287 51 dx− dx− NUM ejde-53 287 52 ∫ ∫ PROPN ejde-53 287 53 r3 r3 PROPN ejde-53 287 54 hu hu PROPN ejde-53 287 55 dx dx PROPN ejde-53 287 56 , , PUNCT ejde-53 287 57 ( ( PUNCT ejde-53 287 58 4.6 4.6 NUM ejde-53 287 59 ) ) PUNCT ejde-53 287 60 where where SCONJ ejde-53 287 61 m m VERB ejde-53 287 62 > > X ejde-53 287 63 0 0 PUNCT ejde-53 288 1 and and CCONJ ejde-53 288 2 lm lm INTJ ejde-53 288 3 ( ( PUNCT ejde-53 288 4 u u NOUN ejde-53 288 5 ) ) PUNCT ejde-53 288 6 = = SYM ejde-53 289 1 χ χ X ejde-53 289 2 ( ( PUNCT ejde-53 289 3 ‖u‖p ‖u‖p PROPN ejde-53 289 4 mp mp PROPN ejde-53 289 5 ) ) PUNCT ejde-53 289 6 . . PUNCT ejde-53 290 1 it it PRON ejde-53 290 2 is be AUX ejde-53 290 3 standard standard ADJ ejde-53 290 4 to to PART ejde-53 290 5 prove prove VERB ejde-53 290 6 that that SCONJ ejde-53 290 7 iλ iλ NOUN ejde-53 290 8 , , PUNCT ejde-53 290 9 m m VERB ejde-53 290 10 belongs belong VERB ejde-53 290 11 to to ADP ejde-53 290 12 c1 c1 PROPN ejde-53 290 13 , , PUNCT ejde-53 290 14 and and CCONJ ejde-53 290 15 for for ADP ejde-53 290 16 all all DET ejde-53 290 17 u u NOUN ejde-53 290 18 , , PUNCT ejde-53 290 19 v v NOUN ejde-53 290 20 ∈w ∈w VERB ejde-53 290 21 1,p 1,p PROPN ejde-53 290 22 r r NOUN ejde-53 290 23 ( ( PUNCT ejde-53 290 24 r3 r3 PROPN ejde-53 290 25 ) ) PUNCT ejde-53 290 26 , , PUNCT ejde-53 290 27 〈 〈 PROPN ejde-53 290 28 i i PRON ejde-53 290 29 ′λ ′λ PROPN ejde-53 290 30 , , PUNCT ejde-53 290 31 m m PROPN ejde-53 290 32 ( ( PUNCT ejde-53 290 33 u u NOUN ejde-53 290 34 ) ) PUNCT ejde-53 290 35 , , PUNCT ejde-53 290 36 v v NOUN ejde-53 290 37 〉 〉 NOUN ejde-53 290 38 = = SYM ejde-53 290 39 ( ( PUNCT ejde-53 290 40 1 1 NUM ejde-53 290 41 + + CCONJ ejde-53 290 42 aλ aλ PROPN ejde-53 290 43 , , PUNCT ejde-53 290 44 m m PROPN ejde-53 290 45 ( ( PUNCT ejde-53 290 46 u u NOUN ejde-53 290 47 ) ) PUNCT ejde-53 290 48 ) ) PUNCT ejde-53 291 1 ∫ ∫ PROPN ejde-53 291 2 r3 r3 PROPN ejde-53 291 3 ( ( PUNCT ejde-53 291 4 |∇u|p−2∇u∇v |∇u|p−2∇u∇v NOUN ejde-53 292 1 + + CCONJ ejde-53 293 1 |u|p−2uv |u|p−2uv X ejde-53 293 2 ) ) PUNCT ejde-53 293 3 dx dx PROPN ejde-53 293 4 + + CCONJ ejde-53 293 5 λlm λlm PROPN ejde-53 293 6 ( ( PUNCT ejde-53 293 7 u u NOUN ejde-53 293 8 ) ) PUNCT ejde-53 293 9 ∫ ∫ PROPN ejde-53 293 10 r3 r3 PROPN ejde-53 293 11 φuuv φuuv PROPN ejde-53 293 12 dx− dx− PROPN ejde-53 293 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 293 14 r3 r3 PROPN ejde-53 294 1 |u|q−2uv |u|q−2uv PRON ejde-53 294 2 dx− dx− PROPN ejde-53 294 3 ∫ ∫ PROPN ejde-53 294 4 r3 r3 PROPN ejde-53 294 5 hv hv PROPN ejde-53 294 6 dx dx PROPN ejde-53 294 7 , , PUNCT ejde-53 294 8 ( ( PUNCT ejde-53 294 9 4.7 4.7 NUM ejde-53 294 10 ) ) PUNCT ejde-53 294 11 where where SCONJ ejde-53 294 12 aλ aλ VERB ejde-53 294 13 , , PUNCT ejde-53 294 14 m m PROPN ejde-53 294 15 ( ( PUNCT ejde-53 294 16 u u NOUN ejde-53 294 17 ) ) PUNCT ejde-53 294 18 = = SYM ejde-53 294 19 pλ pλ NUM ejde-53 294 20 4mp 4mp ADJ ejde-53 294 21 χ′ χ′ PROPN ejde-53 294 22 ( ( PUNCT ejde-53 294 23 ‖u‖p ‖u‖p PROPN ejde-53 294 24 mp mp PROPN ejde-53 294 25 ) ) PUNCT ejde-53 294 26 ∫ ∫ PROPN ejde-53 294 27 r3 r3 PROPN ejde-53 294 28 φuu φuu VERB ejde-53 294 29 2 2 NUM ejde-53 294 30 dx dx PROPN ejde-53 294 31 . . PUNCT ejde-53 295 1 ( ( PUNCT ejde-53 295 2 4.8 4.8 NUM ejde-53 295 3 ) ) PUNCT ejde-53 295 4 from from ADP ejde-53 295 5 the the DET ejde-53 295 6 definition definition NOUN ejde-53 295 7 one one NOUN ejde-53 295 8 sees see VERB ejde-53 295 9 that that SCONJ ejde-53 295 10 if if SCONJ ejde-53 295 11 u u NOUN ejde-53 295 12 is be AUX ejde-53 295 13 a a DET ejde-53 295 14 critical critical ADJ ejde-53 295 15 point point NOUN ejde-53 295 16 of of ADP ejde-53 295 17 iλ iλ NOUN ejde-53 295 18 , , PUNCT ejde-53 295 19 m m VERB ejde-53 295 20 and and CCONJ ejde-53 295 21 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 295 22 ≤ ≤ NOUN ejde-53 295 23 m/2 m/2 NUM ejde-53 295 24 , , PUNCT ejde-53 295 25 then then ADV ejde-53 295 26 u u NOUN ejde-53 295 27 is be AUX ejde-53 295 28 a a DET ejde-53 295 29 critical critical ADJ ejde-53 295 30 point point NOUN ejde-53 295 31 of of ADP ejde-53 295 32 iλ iλ NOUN ejde-53 295 33 . . PUNCT ejde-53 296 1 we we PRON ejde-53 296 2 first first ADV ejde-53 296 3 verify verify VERB ejde-53 296 4 that that SCONJ ejde-53 296 5 the the DET ejde-53 296 6 penalized penalize VERB ejde-53 296 7 functional functional ADJ ejde-53 296 8 iλ iλ NOUN ejde-53 296 9 , , PUNCT ejde-53 296 10 m m VERB ejde-53 296 11 possesses possess VERB ejde-53 296 12 a a DET ejde-53 296 13 mountain mountain NOUN ejde-53 296 14 pass pass NOUN ejde-53 296 15 geometry geometry NOUN ejde-53 296 16 for for ADP ejde-53 296 17 each each DET ejde-53 296 18 m m NOUN ejde-53 296 19 > > X ejde-53 296 20 0 0 X ejde-53 296 21 . . PUNCT ejde-53 297 1 lemma lemma PROPN ejde-53 297 2 4.5 4.5 NUM ejde-53 297 3 . . PUNCT ejde-53 297 4 assume assume VERB ejde-53 297 5 that that SCONJ ejde-53 297 6 ( ( PUNCT ejde-53 297 7 h1)(i h1)(i NOUN ejde-53 297 8 ) ) PUNCT ejde-53 297 9 holds hold VERB ejde-53 297 10 and and CCONJ ejde-53 297 11 p p X ejde-53 297 12 < < X ejde-53 297 13 q q PROPN ejde-53 297 14 ≤ ≤ PROPN ejde-53 297 15 6p 6p NUM ejde-53 297 16 p+2 p+2 INTJ ejde-53 297 17 . . PUNCT ejde-53 298 1 for for ADP ejde-53 298 2 every every DET ejde-53 298 3 m m NOUN ejde-53 298 4 > > X ejde-53 298 5 0 0 NUM ejde-53 298 6 , , PUNCT ejde-53 298 7 ( ( PUNCT ejde-53 298 8 i i NOUN ejde-53 298 9 ) ) PUNCT ejde-53 298 10 there there PRON ejde-53 298 11 exist exist VERB ejde-53 298 12 ρ ρ PROPN ejde-53 298 13 > > X ejde-53 298 14 0 0 PROPN ejde-53 298 15 , , PUNCT ejde-53 298 16 λ λ X ejde-53 298 17 > > X ejde-53 298 18 0 0 PUNCT ejde-53 299 1 and and CCONJ ejde-53 299 2 α α X ejde-53 299 3 > > X ejde-53 299 4 0 0 NUM ejde-53 299 5 , , PUNCT ejde-53 299 6 such such ADJ ejde-53 299 7 that that SCONJ ejde-53 299 8 iλ iλ NOUN ejde-53 299 9 , , PUNCT ejde-53 299 10 m m PROPN ejde-53 299 11 ( ( PUNCT ejde-53 299 12 u u NOUN ejde-53 299 13 ) ) PUNCT ejde-53 299 14 ≥ ≥ PROPN ejde-53 299 15 α α NOUN ejde-53 299 16 for for ADP ejde-53 299 17 u u NOUN ejde-53 299 18 ∈w ∈w NOUN ejde-53 299 19 1,p 1,p PROPN ejde-53 299 20 r r NOUN ejde-53 299 21 ( ( PUNCT ejde-53 299 22 r3 r3 PROPN ejde-53 299 23 ) ) PUNCT ejde-53 299 24 with with ADP ejde-53 299 25 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-53 299 26 = = SYM ejde-53 299 27 ρ ρ PROPN ejde-53 299 28 , , PUNCT ejde-53 299 29 |h|ls(r3 |h|ls(r3 NUM ejde-53 299 30 ) ) PUNCT ejde-53 300 1 < < X ejde-53 300 2 λ λ X ejde-53 300 3 and and CCONJ ejde-53 300 4 λ λ X ejde-53 300 5 > > X ejde-53 300 6 0 0 NUM ejde-53 300 7 . . PUNCT ejde-53 300 8 ( ( PUNCT ejde-53 300 9 ii ii NOUN ejde-53 300 10 ) ) PUNCT ejde-53 300 11 there there PRON ejde-53 300 12 exists exist VERB ejde-53 300 13 ω ω PROPN ejde-53 300 14 ∈w ∈w PROPN ejde-53 300 15 1,p 1,p PROPN ejde-53 300 16 r r NOUN ejde-53 300 17 ( ( PUNCT ejde-53 300 18 r3)\{0 r3)\{0 NOUN ejde-53 300 19 } } PUNCT ejde-53 300 20 such such ADJ ejde-53 300 21 that that SCONJ ejde-53 300 22 ‖ω‖ ‖ω‖ PROPN ejde-53 300 23 > > X ejde-53 300 24 ρ ρ PROPN ejde-53 300 25 and and CCONJ ejde-53 300 26 iλ iλ NOUN ejde-53 300 27 , , PUNCT ejde-53 300 28 m m PROPN ejde-53 300 29 ( ( PUNCT ejde-53 300 30 ω ω NOUN ejde-53 300 31 ) ) PUNCT ejde-53 300 32 < < X ejde-53 300 33 0 0 X ejde-53 300 34 . . PUNCT ejde-53 300 35 proof proof NOUN ejde-53 300 36 . . PUNCT ejde-53 301 1 item item NOUN ejde-53 301 2 ( ( PUNCT ejde-53 301 3 i i NOUN ejde-53 301 4 ) ) PUNCT ejde-53 301 5 follows follow VERB ejde-53 301 6 from from ADP ejde-53 301 7 an an DET ejde-53 301 8 argument argument NOUN ejde-53 301 9 similar similar ADJ ejde-53 301 10 to to ADP ejde-53 301 11 the the DET ejde-53 301 12 one one NOUN ejde-53 301 13 in in ADP ejde-53 301 14 the the DET ejde-53 301 15 proof proof NOUN ejde-53 301 16 of of ADP ejde-53 301 17 lemma lemma PROPN ejde-53 301 18 3.1 3.1 NUM ejde-53 301 19 . . PUNCT ejde-53 302 1 ejde-2023/28 ejde-2023/28 NOUN ejde-53 302 2 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 302 3 - - PUNCT ejde-53 302 4 poisson poisson NOUN ejde-53 302 5 systems system NOUN ejde-53 302 6 with with ADP ejde-53 302 7 p p NOUN ejde-53 302 8 - - PUNCT ejde-53 302 9 laplacian laplacian ADJ ejde-53 302 10 11 11 NUM ejde-53 302 11 ( ( PUNCT ejde-53 302 12 ii ii NOUN ejde-53 302 13 ) ) PUNCT ejde-53 302 14 arguing argue VERB ejde-53 302 15 as as ADP ejde-53 302 16 in in ADP ejde-53 302 17 the the DET ejde-53 302 18 proof proof NOUN ejde-53 302 19 of of ADP ejde-53 302 20 theorem theorem ADJ ejde-53 302 21 3.3 3.3 NUM ejde-53 303 1 , , PUNCT ejde-53 303 2 we we PRON ejde-53 303 3 can can AUX ejde-53 303 4 choose choose VERB ejde-53 303 5 a a DET ejde-53 303 6 function function NOUN ejde-53 303 7 ω1 ω1 PROPN ejde-53 303 8 ∈ ∈ PROPN ejde-53 303 9 w w PROPN ejde-53 303 10 1,p 1,p PROPN ejde-53 303 11 r r NOUN ejde-53 303 12 ( ( PUNCT ejde-53 303 13 r3 r3 PROPN ejde-53 303 14 ) ) PUNCT ejde-53 303 15 such such ADJ ejde-53 303 16 that that SCONJ ejde-53 303 17 ‖ω1‖ ‖ω1‖ NOUN ejde-53 303 18 = = SYM ejde-53 303 19 1 1 NUM ejde-53 303 20 and and CCONJ ejde-53 303 21 ∫ ∫ PROPN ejde-53 303 22 r3 r3 PROPN ejde-53 303 23 h(x)ω1(x h(x)ω1(x NOUN ejde-53 303 24 ) ) PUNCT ejde-53 303 25 dx dx PROPN ejde-53 303 26 > > X ejde-53 303 27 0 0 X ejde-53 303 28 . . PUNCT ejde-53 304 1 for for ADP ejde-53 304 2 each each DET ejde-53 304 3 m m NOUN ejde-53 304 4 > > X ejde-53 304 5 0 0 NUM ejde-53 304 6 and and CCONJ ejde-53 304 7 t t PROPN ejde-53 304 8 ≥m ≥m NOUN ejde-53 304 9 , , PUNCT ejde-53 304 10 it it PRON ejde-53 304 11 follows follow VERB ejde-53 304 12 from from ADP ejde-53 304 13 the the DET ejde-53 304 14 definition definition NOUN ejde-53 304 15 of of ADP ejde-53 304 16 χ χ PRON ejde-53 304 17 that that ADV ejde-53 304 18 lm lm INTJ ejde-53 304 19 ( ( PUNCT ejde-53 304 20 tω1 tω1 NOUN ejde-53 304 21 ) ) PUNCT ejde-53 304 22 = = SYM ejde-53 304 23 0 0 X ejde-53 304 24 . . PUNCT ejde-53 305 1 thus thus ADV ejde-53 305 2 iλ iλ PROPN ejde-53 305 3 , , PUNCT ejde-53 305 4 m m PROPN ejde-53 305 5 ( ( PUNCT ejde-53 305 6 tω1 tω1 NOUN ejde-53 305 7 ) ) PUNCT ejde-53 305 8 = = SYM ejde-53 305 9 1 1 NUM ejde-53 305 10 p p NOUN ejde-53 305 11 tp tp ADP ejde-53 305 12 − − PROPN ejde-53 305 13 1 1 NUM ejde-53 305 14 q q NOUN ejde-53 305 15 tq tq INTJ ejde-53 305 16 ∫ ∫ PROPN ejde-53 305 17 r3 r3 PROPN ejde-53 306 1 |ω1|q |ω1|q NOUN ejde-53 306 2 dx− dx− NUM ejde-53 306 3 t t PROPN ejde-53 306 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 306 5 r3 r3 PROPN ejde-53 306 6 h(x)ω1 h(x)ω1 NOUN ejde-53 307 1 dx dx PROPN ejde-53 307 2 . . PUNCT ejde-53 308 1 since since SCONJ ejde-53 308 2 p p PRON ejde-53 308 3 < < X ejde-53 308 4 q q X ejde-53 308 5 , , PUNCT ejde-53 308 6 we we PRON ejde-53 308 7 take take VERB ejde-53 308 8 ω ω NOUN ejde-53 308 9 = = SYM ejde-53 308 10 tmω1 tmω1 PROPN ejde-53 308 11 and and CCONJ ejde-53 308 12 tm tm NOUN ejde-53 308 13 > > X ejde-53 308 14 m m VERB ejde-53 308 15 large large ADJ ejde-53 308 16 , , PUNCT ejde-53 308 17 so so SCONJ ejde-53 308 18 that that SCONJ ejde-53 308 19 ‖ω‖ ‖ω‖ PROPN ejde-53 308 20 > > X ejde-53 308 21 ρ ρ PROPN ejde-53 308 22 and and CCONJ ejde-53 308 23 iλ iλ NOUN ejde-53 308 24 , , PUNCT ejde-53 308 25 m m PROPN ejde-53 308 26 ( ( PUNCT ejde-53 308 27 ω ω NOUN ejde-53 308 28 ) ) PUNCT ejde-53 308 29 < < X ejde-53 308 30 0 0 X ejde-53 308 31 . . PUNCT ejde-53 309 1 this this PRON ejde-53 309 2 completes complete VERB ejde-53 309 3 the the DET ejde-53 309 4 proof proof NOUN ejde-53 309 5 . . PUNCT ejde-53 310 1 � � PROPN ejde-53 310 2 lemma lemma PROPN ejde-53 310 3 4.6 4.6 NUM ejde-53 310 4 . . PUNCT ejde-53 311 1 for for ADP ejde-53 311 2 m m PROPN ejde-53 311 3 > > X ejde-53 311 4 0 0 PUNCT ejde-53 311 5 and and CCONJ ejde-53 311 6 λ λ X ejde-53 311 7 > > X ejde-53 311 8 0 0 NUM ejde-53 311 9 fixed fix VERB ejde-53 311 10 , , PUNCT ejde-53 311 11 each each DET ejde-53 311 12 bounded bound VERB ejde-53 311 13 sequence sequence NOUN ejde-53 311 14 { { PUNCT ejde-53 311 15 un un PROPN ejde-53 311 16 } } PUNCT ejde-53 311 17 ⊂w ⊂w PROPN ejde-53 311 18 1,p 1,p PROPN ejde-53 311 19 r r NOUN ejde-53 311 20 ( ( PUNCT ejde-53 311 21 r3 r3 PROPN ejde-53 311 22 ) ) PUNCT ejde-53 311 23 satisfying satisfy VERB ejde-53 311 24 i i PRON ejde-53 311 25 ′λ ′λ PROPN ejde-53 311 26 , , PUNCT ejde-53 311 27 m m VERB ejde-53 311 28 ( ( PUNCT ejde-53 311 29 un)→ un)→ ADP ejde-53 311 30 0 0 NUM ejde-53 311 31 admits admit VERB ejde-53 311 32 a a DET ejde-53 311 33 strongly strongly ADV ejde-53 311 34 convergent convergent ADJ ejde-53 311 35 subsequence subsequence NOUN ejde-53 311 36 . . PUNCT ejde-53 312 1 proof proof NOUN ejde-53 312 2 . . PUNCT ejde-53 313 1 let let VERB ejde-53 313 2 { { PUNCT ejde-53 313 3 un un AUX ejde-53 313 4 } } PUNCT ejde-53 313 5 be be AUX ejde-53 313 6 bounded bound VERB ejde-53 313 7 in in ADP ejde-53 313 8 w w PROPN ejde-53 313 9 1,p 1,p PROPN ejde-53 313 10 r r NOUN ejde-53 313 11 ( ( PUNCT ejde-53 313 12 r3 r3 PROPN ejde-53 313 13 ) ) PUNCT ejde-53 313 14 . . PUNCT ejde-53 314 1 up up ADP ejde-53 314 2 to to ADP ejde-53 314 3 a a DET ejde-53 314 4 subsequence subsequence NOUN ejde-53 314 5 , , PUNCT ejde-53 314 6 there there PRON ejde-53 314 7 exists exist VERB ejde-53 314 8 u u PROPN ejde-53 314 9 ∈ ∈ PROPN ejde-53 314 10 w w PROPN ejde-53 314 11 1,p 1,p PROPN ejde-53 314 12 r r NOUN ejde-53 314 13 ( ( PUNCT ejde-53 314 14 r3 r3 PROPN ejde-53 314 15 ) ) PUNCT ejde-53 314 16 such such ADJ ejde-53 314 17 that that SCONJ ejde-53 314 18 un un PROPN ejde-53 314 19 ⇀ ⇀ PROPN ejde-53 314 20 u u PROPN ejde-53 314 21 in in ADP ejde-53 314 22 w w PROPN ejde-53 314 23 1,p 1,p PROPN ejde-53 314 24 r r NOUN ejde-53 314 25 ( ( PUNCT ejde-53 314 26 r3 r3 PROPN ejde-53 314 27 ) ) PUNCT ejde-53 314 28 , , PUNCT ejde-53 314 29 un un PROPN ejde-53 314 30 → → SYM ejde-53 314 31 u u PROPN ejde-53 314 32 in in ADP ejde-53 314 33 lq(r3 lq(r3 NOUN ejde-53 314 34 ) ) PUNCT ejde-53 314 35 for for ADP ejde-53 314 36 all all DET ejde-53 314 37 p p X ejde-53 314 38 < < X ejde-53 314 39 q q X ejde-53 314 40 < < X ejde-53 314 41 p∗ p∗ ADJ ejde-53 314 42 and and CCONJ ejde-53 314 43 un(x)→ un(x)→ PROPN ejde-53 314 44 u(x u(x NOUN ejde-53 314 45 ) ) PUNCT ejde-53 314 46 a.e a.e PROPN ejde-53 314 47 . . PROPN ejde-53 315 1 in in ADP ejde-53 315 2 r3 r3 PROPN ejde-53 315 3 . . PUNCT ejde-53 316 1 therefore therefore ADV ejde-53 316 2 〈 〈 PROPN ejde-53 316 3 i i PRON ejde-53 316 4 ′λ ′λ PROPN ejde-53 316 5 , , PUNCT ejde-53 316 6 m m VERB ejde-53 316 7 ( ( PUNCT ejde-53 316 8 un)− un)− X ejde-53 316 9 i i PRON ejde-53 316 10 ′λ ′λ PROPN ejde-53 316 11 , , PUNCT ejde-53 316 12 m m PROPN ejde-53 316 13 ( ( PUNCT ejde-53 316 14 u u NOUN ejde-53 316 15 ) ) PUNCT ejde-53 316 16 , , PUNCT ejde-53 316 17 un un PROPN ejde-53 316 18 − − PROPN ejde-53 316 19 u u PROPN ejde-53 316 20 〉 〉 PROPN ejde-53 316 21 → → SYM ejde-53 316 22 0 0 NUM ejde-53 316 23 , , PUNCT ejde-53 316 24 as as ADP ejde-53 316 25 n→∞. n→∞. PROPN ejde-53 316 26 ( ( PUNCT ejde-53 316 27 4.9 4.9 NUM ejde-53 316 28 ) ) PUNCT ejde-53 316 29 similar similar ADJ ejde-53 316 30 to to ADP ejde-53 316 31 ( ( PUNCT ejde-53 316 32 3.4 3.4 NUM ejde-53 316 33 ) ) PUNCT ejde-53 316 34 , , PUNCT ejde-53 316 35 we we PRON ejde-53 316 36 conclude conclude VERB ejde-53 316 37 that that SCONJ ejde-53 316 38 , , PUNCT ejde-53 316 39 as as SCONJ ejde-53 316 40 n→∞,∫ n→∞,∫ X ejde-53 316 41 r3 r3 PROPN ejde-53 316 42 φunun(un φunun(un PROPN ejde-53 316 43 − − PROPN ejde-53 316 44 u u NOUN ejde-53 316 45 ) ) PUNCT ejde-53 316 46 dx dx PROPN ejde-53 316 47 = = SYM ejde-53 316 48 o(1 o(1 PROPN ejde-53 316 49 ) ) PUNCT ejde-53 316 50 , , PUNCT ejde-53 316 51 ∫ ∫ PROPN ejde-53 316 52 r3 r3 PROPN ejde-53 316 53 φuu(un φuu(un NOUN ejde-53 316 54 − − PROPN ejde-53 316 55 u u PROPN ejde-53 316 56 ) ) PUNCT ejde-53 316 57 dx dx PROPN ejde-53 317 1 = = SYM ejde-53 317 2 o(1),∫ o(1),∫ PROPN ejde-53 317 3 r3 r3 PROPN ejde-53 317 4 ( ( PUNCT ejde-53 317 5 |un|q−2un |un|q−2un PROPN ejde-53 317 6 − − PROPN ejde-53 317 7 |u|q−2u)(un |u|q−2u)(un NOUN ejde-53 317 8 − − PROPN ejde-53 317 9 u u NOUN ejde-53 317 10 ) ) PUNCT ejde-53 317 11 dx dx PROPN ejde-53 317 12 = = SYM ejde-53 317 13 o(1 o(1 PROPN ejde-53 317 14 ) ) PUNCT ejde-53 317 15 . . PUNCT ejde-53 318 1 ( ( PUNCT ejde-53 318 2 4.10 4.10 NUM ejde-53 318 3 ) ) PUNCT ejde-53 318 4 we we PRON ejde-53 318 5 set set VERB ejde-53 318 6 [ [ X ejde-53 318 7 u u NOUN ejde-53 318 8 , , PUNCT ejde-53 318 9 v v NOUN ejde-53 318 10 ] ] X ejde-53 319 1 = = SYM ejde-53 319 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 319 3 r3 r3 PROPN ejde-53 319 4 ( ( PUNCT ejde-53 319 5 |∇u|p−2∇u∇v |∇u|p−2∇u∇v NOUN ejde-53 319 6 + + CCONJ ejde-53 319 7 |u|p−2uv |u|p−2uv PROPN ejde-53 319 8 ) ) PUNCT ejde-53 319 9 dx dx PROPN ejde-53 319 10 . . PROPN ejde-53 320 1 from from ADP ejde-53 320 2 ( ( PUNCT ejde-53 320 3 4.7 4.7 NUM ejde-53 320 4 ) ) PUNCT ejde-53 320 5 , , PUNCT ejde-53 320 6 ( ( PUNCT ejde-53 320 7 4.9 4.9 NUM ejde-53 320 8 ) ) PUNCT ejde-53 320 9 , , PUNCT ejde-53 320 10 and and CCONJ ejde-53 320 11 ( ( PUNCT ejde-53 320 12 4.10 4.10 NUM ejde-53 320 13 ) ) PUNCT ejde-53 320 14 , , PUNCT ejde-53 320 15 a a DET ejde-53 320 16 direct direct ADJ ejde-53 320 17 computation computation NOUN ejde-53 320 18 shows show VERB ejde-53 320 19 that that SCONJ ejde-53 320 20 , , PUNCT ejde-53 320 21 as as ADP ejde-53 320 22 n→∞ n→∞ NUM ejde-53 320 23 , , PUNCT ejde-53 320 24 ( ( PUNCT ejde-53 320 25 1 1 NUM ejde-53 320 26 + + CCONJ ejde-53 320 27 aλ aλ PROPN ejde-53 320 28 , , PUNCT ejde-53 320 29 m m PROPN ejde-53 320 30 ( ( PUNCT ejde-53 320 31 un un PROPN ejde-53 320 32 ) ) PUNCT ejde-53 320 33 ) ) PUNCT ejde-53 320 34 ( ( PUNCT ejde-53 320 35 [ [ X ejde-53 320 36 un un X ejde-53 320 37 , , PUNCT ejde-53 320 38 un un PROPN ejde-53 320 39 − − PROPN ejde-53 320 40 u]− u]− NOUN ejde-53 321 1 [ [ X ejde-53 321 2 u u NOUN ejde-53 321 3 , , PUNCT ejde-53 321 4 un un PROPN ejde-53 321 5 − − PROPN ejde-53 321 6 u u PROPN ejde-53 321 7 ] ] X ejde-53 321 8 ) ) PUNCT ejde-53 322 1 + + CCONJ ejde-53 322 2 ( ( PUNCT ejde-53 322 3 aλ aλ PROPN ejde-53 322 4 , , PUNCT ejde-53 322 5 m m VERB ejde-53 322 6 ( ( PUNCT ejde-53 322 7 un)− un)− NUM ejde-53 322 8 aλ aλ PROPN ejde-53 322 9 , , PUNCT ejde-53 322 10 m m VERB ejde-53 322 11 ( ( PUNCT ejde-53 322 12 u))[u u))[u PROPN ejde-53 322 13 , , PUNCT ejde-53 322 14 un un PROPN ejde-53 322 15 − − PROPN ejde-53 322 16 u u PROPN ejde-53 322 17 ] ] X ejde-53 322 18 = = SYM ejde-53 322 19 o(1 o(1 NOUN ejde-53 322 20 ) ) PUNCT ejde-53 322 21 . . PUNCT ejde-53 323 1 ( ( PUNCT ejde-53 323 2 4.11 4.11 NUM ejde-53 323 3 ) ) PUNCT ejde-53 323 4 by by ADP ejde-53 323 5 proposition proposition NOUN ejde-53 323 6 2.1(i 2.1(i NUM ejde-53 323 7 ) ) PUNCT ejde-53 323 8 , , PUNCT ejde-53 323 9 we we PRON ejde-53 323 10 have have VERB ejde-53 323 11 that that PRON ejde-53 323 12 for for ADP ejde-53 323 13 all all PRON ejde-53 323 14 n n PRON ejde-53 323 15 ∈ ∈ NOUN ejde-53 323 16 n,∫ n,∫ NOUN ejde-53 323 17 r3 r3 PROPN ejde-53 323 18 φunu φunu ADJ ejde-53 323 19 2 2 NUM ejde-53 323 20 n n NOUN ejde-53 323 21 dx dx NOUN ejde-53 324 1 = = SYM ejde-53 325 1 − − PROPN ejde-53 325 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 325 3 r3 r3 PROPN ejde-53 325 4 φun∆φun φun∆φun NOUN ejde-53 325 5 dx dx PROPN ejde-53 325 6 = = PROPN ejde-53 325 7 ‖φun‖2d ‖φun‖2d PROPN ejde-53 325 8 ≤ ≤ NUM ejde-53 325 9 a2‖un‖4 a2‖un‖4 NOUN ejde-53 325 10 . . PUNCT ejde-53 326 1 ( ( PUNCT ejde-53 326 2 4.12 4.12 NUM ejde-53 326 3 ) ) PUNCT ejde-53 326 4 notice notice NOUN ejde-53 326 5 that that SCONJ ejde-53 326 6 if if SCONJ ejde-53 326 7 ‖un‖ ‖un‖ DET ejde-53 326 8 ≥m ≥m NOUN ejde-53 326 9 then then ADV ejde-53 326 10 χ′ χ′ PROPN ejde-53 326 11 ( ( PUNCT ejde-53 326 12 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 326 13 mp mp PROPN ejde-53 326 14 ) ) PUNCT ejde-53 327 1 = = PUNCT ejde-53 328 1 0 0 X ejde-53 328 2 . . PUNCT ejde-53 329 1 it it PRON ejde-53 329 2 follows follow VERB ejde-53 329 3 from from ADP ejde-53 329 4 ( ( PUNCT ejde-53 329 5 4.8 4.8 NUM ejde-53 329 6 ) ) PUNCT ejde-53 329 7 and and CCONJ ejde-53 329 8 ( ( PUNCT ejde-53 329 9 4.12 4.12 NUM ejde-53 329 10 ) ) PUNCT ejde-53 329 11 that that PRON ejde-53 329 12 |aλ |aλ VERB ejde-53 329 13 , , PUNCT ejde-53 329 14 m m VERB ejde-53 329 15 ( ( PUNCT ejde-53 329 16 un)| un)| PROPN ejde-53 329 17 ≤ ≤ NUM ejde-53 329 18 pλ pλ NUM ejde-53 329 19 4mp 4mp X ejde-53 329 20 ∣∣χ′(‖un‖p ∣∣χ′(‖un‖p X ejde-53 329 21 mp mp NOUN ejde-53 329 22 ) ) PUNCT ejde-53 329 23 ∣∣ ∣∣ X ejde-53 330 1 ∣∣ ∣∣ X ejde-53 330 2 ∫ ∫ PROPN ejde-53 330 3 r3 r3 PROPN ejde-53 330 4 φunu φunu ADV ejde-53 330 5 2 2 NUM ejde-53 330 6 n n NUM ejde-53 330 7 dx dx X ejde-53 330 8 ∣∣ ∣∣ PROPN ejde-53 330 9 ≤ ≤ NUM ejde-53 330 10 pλa2m4−p pλa2m4−p VERB ejde-53 330 11 . . PUNCT ejde-53 331 1 ( ( PUNCT ejde-53 331 2 4.13 4.13 NUM ejde-53 331 3 ) ) PUNCT ejde-53 331 4 it it PRON ejde-53 331 5 can can AUX ejde-53 331 6 be be AUX ejde-53 331 7 shown show VERB ejde-53 331 8 in in ADP ejde-53 331 9 a a DET ejde-53 331 10 same same ADJ ejde-53 331 11 way way NOUN ejde-53 331 12 that that PRON ejde-53 331 13 |aλ |aλ VERB ejde-53 331 14 , , PUNCT ejde-53 331 15 m m VERB ejde-53 331 16 ( ( PUNCT ejde-53 331 17 u)| u)| NOUN ejde-53 331 18 is be AUX ejde-53 331 19 bounded bound VERB ejde-53 331 20 . . PUNCT ejde-53 332 1 by by ADP ejde-53 332 2 lemma lemma PROPN ejde-53 332 3 2.2 2.2 NUM ejde-53 332 4 , , PUNCT ejde-53 332 5 we we PRON ejde-53 332 6 have have VERB ejde-53 332 7 that that DET ejde-53 332 8 ∇un(x)→ ∇un(x)→ PROPN ejde-53 332 9 ∇u(x ∇u(x NOUN ejde-53 332 10 ) ) PUNCT ejde-53 333 1 a.e a.e PROPN ejde-53 333 2 . . PROPN ejde-53 333 3 in in ADP ejde-53 333 4 r3 r3 PROPN ejde-53 333 5 . . PUNCT ejde-53 334 1 combing comb VERB ejde-53 334 2 with with ADP ejde-53 334 3 un(x)→ un(x)→ PROPN ejde-53 334 4 u(x u(x NOUN ejde-53 334 5 ) ) PUNCT ejde-53 334 6 a.e a.e PROPN ejde-53 334 7 . . PROPN ejde-53 334 8 in in ADP ejde-53 334 9 r3 r3 PROPN ejde-53 334 10 , , PUNCT ejde-53 334 11 we we PRON ejde-53 334 12 deduce deduce VERB ejde-53 334 13 by by ADP ejde-53 334 14 [ [ X ejde-53 334 15 29 29 NUM ejde-53 334 16 , , PUNCT ejde-53 334 17 proposition proposition NOUN ejde-53 334 18 5.4.7 5.4.7 NUM ejde-53 334 19 ] ] PUNCT ejde-53 335 1 that that SCONJ ejde-53 335 2 [ [ X ejde-53 335 3 u u NOUN ejde-53 335 4 , , PUNCT ejde-53 335 5 un un PROPN ejde-53 335 6 − − PROPN ejde-53 335 7 u u PROPN ejde-53 335 8 ] ] X ejde-53 335 9 = = SYM ejde-53 335 10 o(1 o(1 NOUN ejde-53 335 11 ) ) PUNCT ejde-53 335 12 . . PUNCT ejde-53 336 1 ( ( PUNCT ejde-53 336 2 4.14 4.14 NUM ejde-53 336 3 ) ) PUNCT ejde-53 336 4 it it PRON ejde-53 336 5 follows follow VERB ejde-53 336 6 from from ADP ejde-53 336 7 ( ( PUNCT ejde-53 336 8 4.11 4.11 NUM ejde-53 336 9 ) ) PUNCT ejde-53 336 10 and and CCONJ ejde-53 336 11 ( ( PUNCT ejde-53 336 12 4.14 4.14 NUM ejde-53 336 13 ) ) PUNCT ejde-53 336 14 that that SCONJ ejde-53 337 1 [ [ X ejde-53 337 2 un un PROPN ejde-53 337 3 , , PUNCT ejde-53 337 4 un un PROPN ejde-53 337 5 − − PROPN ejde-53 337 6 u]− u]− NOUN ejde-53 338 1 [ [ X ejde-53 338 2 u u NOUN ejde-53 338 3 , , PUNCT ejde-53 338 4 un un PROPN ejde-53 338 5 − − PROPN ejde-53 338 6 u u PROPN ejde-53 338 7 ] ] X ejde-53 338 8 = = SYM ejde-53 338 9 o(1 o(1 NOUN ejde-53 338 10 ) ) PUNCT ejde-53 338 11 . . PUNCT ejde-53 339 1 ( ( PUNCT ejde-53 339 2 4.15 4.15 NUM ejde-53 339 3 ) ) PUNCT ejde-53 339 4 arguing argue VERB ejde-53 339 5 as as ADP ejde-53 339 6 in in ADP ejde-53 339 7 the the DET ejde-53 339 8 proof proof NOUN ejde-53 339 9 of of ADP ejde-53 339 10 lemma lemma PROPN ejde-53 339 11 3.2 3.2 NUM ejde-53 339 12 we we PRON ejde-53 339 13 obtain obtain VERB ejde-53 339 14 that that DET ejde-53 339 15 ‖un− ‖un− NOUN ejde-53 339 16 u‖ u‖ NOUN ejde-53 339 17 → → SYM ejde-53 339 18 0 0 NUM ejde-53 339 19 as as ADP ejde-53 339 20 n→∞. n→∞. PROPN ejde-53 339 21 � � PROPN ejde-53 339 22 12 12 NUM ejde-53 339 23 l. l. PROPN ejde-53 339 24 huang huang PROPN ejde-53 339 25 , , PUNCT ejde-53 339 26 j. j. PROPN ejde-53 339 27 su su PROPN ejde-53 339 28 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 339 29 by by ADP ejde-53 339 30 lemma lemma PROPN ejde-53 339 31 4.5 4.5 NUM ejde-53 339 32 , , PUNCT ejde-53 339 33 we we PRON ejde-53 339 34 can can AUX ejde-53 339 35 define define VERB ejde-53 339 36 the the DET ejde-53 339 37 following follow VERB ejde-53 339 38 mountain mountain NOUN ejde-53 339 39 pass pass NOUN ejde-53 339 40 level level NOUN ejde-53 339 41 of of ADP ejde-53 339 42 iλ iλ NOUN ejde-53 339 43 , , PUNCT ejde-53 339 44 m m VERB ejde-53 339 45 for for ADP ejde-53 339 46 each each DET ejde-53 339 47 m m NOUN ejde-53 339 48 > > X ejde-53 339 49 0 0 NUM ejde-53 339 50 , , PUNCT ejde-53 339 51 cm cm NOUN ejde-53 339 52 = = SYM ejde-53 339 53 inf inf PROPN ejde-53 339 54 γ∈γm γ∈γm PROPN ejde-53 339 55 sup sup PROPN ejde-53 339 56 t∈[0,1 t∈[0,1 NOUN ejde-53 339 57 ] ] X ejde-53 339 58 iλ iλ NOUN ejde-53 339 59 , , PUNCT ejde-53 339 60 m m VERB ejde-53 339 61 ( ( PUNCT ejde-53 339 62 γ(t γ(t NOUN ejde-53 339 63 ) ) PUNCT ejde-53 339 64 ) ) PUNCT ejde-53 339 65 > > X ejde-53 340 1 0 0 NUM ejde-53 340 2 , , PUNCT ejde-53 340 3 where where SCONJ ejde-53 340 4 γm γm ADJ ejde-53 340 5 : : PUNCT ejde-53 340 6 = = X ejde-53 340 7 { { PUNCT ejde-53 340 8 γ γ PROPN ejde-53 340 9 ∈ ∈ PROPN ejde-53 340 10 c([0 c([0 NOUN ejde-53 340 11 , , PUNCT ejde-53 340 12 1],w 1],w NUM ejde-53 340 13 1,p 1,p NOUN ejde-53 340 14 r r NOUN ejde-53 340 15 ( ( PUNCT ejde-53 340 16 r3 r3 PROPN ejde-53 340 17 ) ) PUNCT ejde-53 340 18 ) ) PUNCT ejde-53 340 19 : : PUNCT ejde-53 340 20 γ(0 γ(0 PROPN ejde-53 340 21 ) ) PUNCT ejde-53 340 22 = = SYM ejde-53 340 23 0 0 NUM ejde-53 340 24 , , PUNCT ejde-53 340 25 iλ iλ NOUN ejde-53 340 26 , , PUNCT ejde-53 340 27 m m PROPN ejde-53 340 28 ( ( PUNCT ejde-53 340 29 γ(1 γ(1 PROPN ejde-53 340 30 ) ) PUNCT ejde-53 340 31 ) ) PUNCT ejde-53 341 1 < < X ejde-53 341 2 0 0 PUNCT ejde-53 341 3 } } PUNCT ejde-53 341 4 . . PUNCT ejde-53 342 1 then then ADV ejde-53 342 2 , , PUNCT ejde-53 342 3 by by ADP ejde-53 342 4 the the DET ejde-53 342 5 mountain mountain NOUN ejde-53 342 6 pass pass NOUN ejde-53 342 7 theorem theorem NOUN ejde-53 342 8 [ [ X ejde-53 342 9 1 1 NUM ejde-53 342 10 ] ] PUNCT ejde-53 342 11 , , PUNCT ejde-53 342 12 there there PRON ejde-53 342 13 exists exist VERB ejde-53 342 14 { { PUNCT ejde-53 342 15 un un ADJ ejde-53 342 16 } } PUNCT ejde-53 342 17 ⊂w ⊂w PROPN ejde-53 342 18 1,p 1,p PROPN ejde-53 342 19 r r NOUN ejde-53 342 20 ( ( PUNCT ejde-53 342 21 r3 r3 PROPN ejde-53 342 22 ) ) PUNCT ejde-53 342 23 such such ADJ ejde-53 342 24 that that SCONJ ejde-53 342 25 iλ iλ NOUN ejde-53 342 26 , , PUNCT ejde-53 342 27 m m VERB ejde-53 342 28 ( ( PUNCT ejde-53 342 29 un)→ un)→ ADP ejde-53 342 30 cm cm NOUN ejde-53 342 31 , , PUNCT ejde-53 342 32 i i PRON ejde-53 342 33 ′λ ′λ PROPN ejde-53 342 34 , , PUNCT ejde-53 342 35 m m VERB ejde-53 342 36 ( ( PUNCT ejde-53 342 37 un)→ un)→ X ejde-53 342 38 0 0 NUM ejde-53 342 39 in in ADP ejde-53 342 40 [ [ X ejde-53 342 41 w w NOUN ejde-53 342 42 1,p 1,p PROPN ejde-53 342 43 r r NOUN ejde-53 342 44 ( ( PUNCT ejde-53 342 45 r3)]∗. r3)]∗. PROPN ejde-53 342 46 ( ( PUNCT ejde-53 342 47 4.16 4.16 NUM ejde-53 342 48 ) ) PUNCT ejde-53 342 49 next next ADV ejde-53 342 50 we we PRON ejde-53 342 51 prove prove VERB ejde-53 342 52 that that SCONJ ejde-53 342 53 { { PUNCT ejde-53 342 54 un un PROPN ejde-53 342 55 } } PUNCT ejde-53 342 56 is be AUX ejde-53 342 57 bounded bound VERB ejde-53 342 58 in in ADP ejde-53 342 59 w w PROPN ejde-53 342 60 1,p 1,p PROPN ejde-53 342 61 r r NOUN ejde-53 342 62 ( ( PUNCT ejde-53 342 63 r3 r3 PROPN ejde-53 342 64 ) ) PUNCT ejde-53 342 65 for for ADP ejde-53 342 66 large large ADJ ejde-53 342 67 m m NOUN ejde-53 342 68 and and CCONJ ejde-53 342 69 small small ADJ ejde-53 342 70 λ λ PROPN ejde-53 342 71 . . PUNCT ejde-53 343 1 lemma lemma PROPN ejde-53 343 2 4.7 4.7 NUM ejde-53 343 3 . . PUNCT ejde-53 344 1 there there PRON ejde-53 344 2 exist exist VERB ejde-53 344 3 m m VERB ejde-53 344 4 > > X ejde-53 344 5 0 0 PUNCT ejde-53 345 1 and and CCONJ ejde-53 345 2 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 345 3 > > X ejde-53 345 4 0 0 PUNCT ejde-53 345 5 such such ADJ ejde-53 345 6 that that PRON ejde-53 345 7 for for ADP ejde-53 345 8 all all DET ejde-53 345 9 λ λ X ejde-53 345 10 ∈ ∈ PROPN ejde-53 345 11 ( ( PUNCT ejde-53 345 12 0 0 NUM ejde-53 345 13 , , PUNCT ejde-53 345 14 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 345 15 ) ) PUNCT ejde-53 345 16 , , PUNCT ejde-53 345 17 the the DET ejde-53 345 18 sequence sequence NOUN ejde-53 345 19 { { PUNCT ejde-53 345 20 un un PROPN ejde-53 345 21 } } PUNCT ejde-53 345 22 given give VERB ejde-53 345 23 by by ADP ejde-53 345 24 ( ( PUNCT ejde-53 345 25 4.16 4.16 NUM ejde-53 345 26 ) ) PUNCT ejde-53 345 27 satisfies satisfy VERB ejde-53 345 28 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-53 345 29 ≤ ≤ NUM ejde-53 345 30 m m VERB ejde-53 345 31 2 2 NUM ejde-53 345 32 . . PUNCT ejde-53 346 1 ( ( PUNCT ejde-53 346 2 4.17 4.17 NUM ejde-53 346 3 ) ) PUNCT ejde-53 346 4 proof proof NOUN ejde-53 346 5 . . PUNCT ejde-53 347 1 first first ADV ejde-53 347 2 of of ADP ejde-53 347 3 all all PRON ejde-53 347 4 , , PUNCT ejde-53 347 5 from from ADP ejde-53 347 6 ( ( PUNCT ejde-53 347 7 4.6 4.6 NUM ejde-53 347 8 ) ) PUNCT ejde-53 347 9 , , PUNCT ejde-53 347 10 ( ( PUNCT ejde-53 347 11 4.7 4.7 NUM ejde-53 347 12 ) ) PUNCT ejde-53 347 13 and and CCONJ ejde-53 347 14 ( ( PUNCT ejde-53 347 15 4.16 4.16 NUM ejde-53 347 16 ) ) PUNCT ejde-53 347 17 we we PRON ejde-53 347 18 have have VERB ejde-53 347 19 cm cm NOUN ejde-53 348 1 + + CCONJ ejde-53 349 1 1 1 NUM ejde-53 350 1 + + NUM ejde-53 350 2 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-53 350 3 ≥ ≥ NUM ejde-53 350 4 iλ iλ NOUN ejde-53 350 5 , , PUNCT ejde-53 350 6 m m VERB ejde-53 350 7 ( ( PUNCT ejde-53 350 8 un)− un)− X ejde-53 350 9 1 1 NUM ejde-53 350 10 q q NOUN ejde-53 350 11 〈 〈 PROPN ejde-53 350 12 i i PRON ejde-53 350 13 ′λ ′λ PROPN ejde-53 350 14 , , PUNCT ejde-53 350 15 m m PROPN ejde-53 350 16 ( ( PUNCT ejde-53 350 17 un un PROPN ejde-53 350 18 ) ) PUNCT ejde-53 350 19 , , PUNCT ejde-53 350 20 un un PROPN ejde-53 350 21 〉 〉 NOUN ejde-53 350 22 = = SYM ejde-53 350 23 ( ( PUNCT ejde-53 350 24 1 1 NUM ejde-53 350 25 p p NOUN ejde-53 350 26 − − PROPN ejde-53 350 27 1 1 NUM ejde-53 350 28 q q NOUN ejde-53 350 29 ) ) PUNCT ejde-53 350 30 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 351 1 + + CCONJ ejde-53 351 2 ( ( PUNCT ejde-53 351 3 λ λ X ejde-53 351 4 4 4 NUM ejde-53 351 5 − − NOUN ejde-53 351 6 λ λ NOUN ejde-53 351 7 q q PROPN ejde-53 351 8 ) ) PUNCT ejde-53 351 9 lm lm INTJ ejde-53 351 10 ( ( PUNCT ejde-53 351 11 un un PROPN ejde-53 351 12 ) ) PUNCT ejde-53 351 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 351 14 r3 r3 PROPN ejde-53 351 15 φunu φunu ADJ ejde-53 351 16 2 2 NUM ejde-53 351 17 n n NOUN ejde-53 351 18 dx dx PROPN ejde-53 351 19 − − PROPN ejde-53 351 20 aλ aλ PROPN ejde-53 351 21 , , PUNCT ejde-53 351 22 m m PROPN ejde-53 351 23 ( ( PUNCT ejde-53 351 24 un un PROPN ejde-53 351 25 ) ) PUNCT ejde-53 352 1 q q NOUN ejde-53 352 2 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 352 3 − − PROPN ejde-53 352 4 q q NOUN ejde-53 353 1 − − PROPN ejde-53 353 2 1 1 NUM ejde-53 353 3 q q NOUN ejde-53 353 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 353 5 r3 r3 PROPN ejde-53 353 6 h(x)un h(x)un SYM ejde-53 353 7 dx dx PROPN ejde-53 353 8 . . PUNCT ejde-53 354 1 therefore,(1 therefore,(1 PROPN ejde-53 355 1 p p NOUN ejde-53 355 2 − − PROPN ejde-53 355 3 1 1 NUM ejde-53 355 4 q q NOUN ejde-53 355 5 ) ) PUNCT ejde-53 355 6 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 355 7 ≤ ≤ NOUN ejde-53 355 8 cm cm NOUN ejde-53 356 1 + + CCONJ ejde-53 356 2 1 1 NUM ejde-53 356 3 + + NUM ejde-53 356 4 ‖un‖+ ‖un‖+ NOUN ejde-53 356 5 ( ( PUNCT ejde-53 356 6 λ λ X ejde-53 356 7 q q X ejde-53 356 8 − − PROPN ejde-53 356 9 λ λ NOUN ejde-53 356 10 4 4 NUM ejde-53 356 11 ) ) PUNCT ejde-53 356 12 lm lm INTJ ejde-53 356 13 ( ( PUNCT ejde-53 356 14 un un PROPN ejde-53 356 15 ) ) PUNCT ejde-53 356 16 ∫ ∫ PROPN ejde-53 356 17 r3 r3 PROPN ejde-53 356 18 φunu φunu ADV ejde-53 356 19 2 2 NUM ejde-53 356 20 n n NUM ejde-53 356 21 dx dx PROPN ejde-53 357 1 + + CCONJ ejde-53 357 2 aλ aλ PROPN ejde-53 357 3 , , PUNCT ejde-53 357 4 m m PROPN ejde-53 357 5 ( ( PUNCT ejde-53 357 6 un un PROPN ejde-53 357 7 ) ) PUNCT ejde-53 357 8 q q X ejde-53 357 9 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 357 10 + + CCONJ ejde-53 357 11 q q NOUN ejde-53 357 12 − − PROPN ejde-53 357 13 1 1 NUM ejde-53 357 14 q q NOUN ejde-53 357 15 ∫ ∫ PROPN ejde-53 357 16 r3 r3 PROPN ejde-53 357 17 h(x)un h(x)un NUM ejde-53 357 18 dx dx PROPN ejde-53 357 19 . . PUNCT ejde-53 358 1 ( ( PUNCT ejde-53 358 2 4.18 4.18 NUM ejde-53 358 3 ) ) PUNCT ejde-53 358 4 we we PRON ejde-53 358 5 claim claim VERB ejde-53 358 6 that that SCONJ ejde-53 358 7 { { PUNCT ejde-53 358 8 un un PROPN ejde-53 358 9 } } PUNCT ejde-53 358 10 is be AUX ejde-53 358 11 bounded bound VERB ejde-53 358 12 . . PUNCT ejde-53 359 1 indeed indeed ADV ejde-53 359 2 , , PUNCT ejde-53 359 3 by by ADP ejde-53 359 4 definition definition NOUN ejde-53 359 5 , , PUNCT ejde-53 359 6 when when SCONJ ejde-53 359 7 ‖un‖ ‖un‖ DET ejde-53 359 8 ≥m ≥m NOUN ejde-53 359 9 , , PUNCT ejde-53 359 10 lm lm INTJ ejde-53 359 11 ( ( PUNCT ejde-53 359 12 un un PROPN ejde-53 359 13 ) ) PUNCT ejde-53 359 14 = = SYM ejde-53 359 15 0 0 NUM ejde-53 359 16 , , PUNCT ejde-53 359 17 χ′ χ′ PROPN ejde-53 359 18 ( ( PUNCT ejde-53 359 19 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 359 20 mp mp PROPN ejde-53 359 21 ) ) PUNCT ejde-53 359 22 = = SYM ejde-53 359 23 0 0 PUNCT ejde-53 360 1 and and CCONJ ejde-53 360 2 so so ADV ejde-53 360 3 ( ( PUNCT ejde-53 360 4 4.18 4.18 NUM ejde-53 360 5 ) ) PUNCT ejde-53 360 6 reads(1 reads(1 NOUN ejde-53 361 1 p p NOUN ejde-53 361 2 − − PROPN ejde-53 361 3 1 1 NUM ejde-53 361 4 q q NOUN ejde-53 361 5 ) ) PUNCT ejde-53 361 6 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 361 7 ≤ ≤ NOUN ejde-53 361 8 cm cm NOUN ejde-53 361 9 + + CCONJ ejde-53 361 10 1 1 NUM ejde-53 361 11 + + NUM ejde-53 361 12 ‖un‖+ ‖un‖+ NOUN ejde-53 361 13 q q NOUN ejde-53 362 1 − − NUM ejde-53 362 2 1 1 NUM ejde-53 362 3 q q NOUN ejde-53 362 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 362 5 r3 r3 PROPN ejde-53 362 6 h(x)un h(x)un SYM ejde-53 362 7 dx dx PROPN ejde-53 362 8 . . PUNCT ejde-53 363 1 thus thus ADV ejde-53 363 2 { { PUNCT ejde-53 363 3 un un PROPN ejde-53 363 4 } } PUNCT ejde-53 363 5 is be AUX ejde-53 363 6 bounded bound VERB ejde-53 363 7 . . PUNCT ejde-53 364 1 by by ADP ejde-53 364 2 using use VERB ejde-53 364 3 ( ( PUNCT ejde-53 364 4 4.12 4.12 NUM ejde-53 364 5 ) ) PUNCT ejde-53 364 6 , , PUNCT ejde-53 364 7 ( ( PUNCT ejde-53 364 8 4.13 4.13 NUM ejde-53 364 9 ) ) PUNCT ejde-53 364 10 , , PUNCT ejde-53 364 11 and and CCONJ ejde-53 364 12 hölder hölder PROPN ejde-53 364 13 ’s ’ VERB ejde-53 364 14 inequality,(λ inequality,(λ PROPN ejde-53 364 15 q q NOUN ejde-53 364 16 − − PROPN ejde-53 364 17 λ λ NOUN ejde-53 364 18 4 4 NUM ejde-53 364 19 ) ) PUNCT ejde-53 364 20 lm lm INTJ ejde-53 364 21 ( ( PUNCT ejde-53 364 22 un un PROPN ejde-53 364 23 ) ) PUNCT ejde-53 364 24 ∫ ∫ PROPN ejde-53 364 25 r3 r3 PROPN ejde-53 364 26 φunu φunu ADJ ejde-53 364 27 2 2 NUM ejde-53 364 28 n n NUM ejde-53 364 29 dx dx PROPN ejde-53 364 30 ≤ ≤ NUM ejde-53 364 31 ∣∣λ ∣∣λ PROPN ejde-53 364 32 q q NOUN ejde-53 364 33 − − PROPN ejde-53 364 34 λ λ PROPN ejde-53 364 35 4 4 NUM ejde-53 364 36 ∣∣lm ∣∣lm PROPN ejde-53 364 37 ( ( PUNCT ejde-53 364 38 un)a2‖un‖4 un)a2‖un‖4 PROPN ejde-53 364 39 ≤ ≤ NOUN ejde-53 364 40 λa2m4 λa2m4 PROPN ejde-53 364 41 , , PUNCT ejde-53 364 42 ( ( PUNCT ejde-53 364 43 4.19 4.19 NUM ejde-53 364 44 ) ) PUNCT ejde-53 364 45 aλ aλ PROPN ejde-53 364 46 , , PUNCT ejde-53 364 47 m m PROPN ejde-53 364 48 ( ( PUNCT ejde-53 364 49 un un PROPN ejde-53 364 50 ) ) PUNCT ejde-53 364 51 q q PROPN ejde-53 364 52 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 364 53 ≤ ≤ NUM ejde-53 364 54 |aλ |aλ NUM ejde-53 364 55 , , PUNCT ejde-53 364 56 m m VERB ejde-53 364 57 ( ( PUNCT ejde-53 364 58 un)|‖un‖p un)|‖un‖p ADJ ejde-53 364 59 ≤ ≤ ADJ ejde-53 364 60 pλa2m4−pmp pλa2m4−pmp NOUN ejde-53 365 1 = = SYM ejde-53 365 2 pλa2m4 pλa2m4 PROPN ejde-53 365 3 , , PUNCT ejde-53 365 4 ( ( PUNCT ejde-53 365 5 4.20 4.20 NUM ejde-53 365 6 ) ) PUNCT ejde-53 365 7 q q NOUN ejde-53 366 1 − − PROPN ejde-53 366 2 1 1 NUM ejde-53 366 3 q q NOUN ejde-53 366 4 ∫ ∫ PROPN ejde-53 366 5 r3 r3 PROPN ejde-53 366 6 h(x)un h(x)un SYM ejde-53 366 7 dx dx PROPN ejde-53 366 8 ≤ ≤ PROPN ejde-53 366 9 q q NOUN ejde-53 366 10 − − PROPN ejde-53 366 11 1 1 NUM ejde-53 366 12 q q NOUN ejde-53 366 13 ∫ ∫ PROPN ejde-53 366 14 r3 r3 PROPN ejde-53 366 15 |h(x)un| |h(x)un| NOUN ejde-53 366 16 dx dx PROPN ejde-53 366 17 ≤ ≤ PROPN ejde-53 366 18 |h|ls(r3)|un|ls′ |h|ls(r3)|un|ls′ X ejde-53 366 19 ( ( PUNCT ejde-53 366 20 r3 r3 PROPN ejde-53 366 21 ) ) PUNCT ejde-53 366 22 ≤ ≤ NOUN ejde-53 366 23 cλ‖un‖. cλ‖un‖. PUNCT ejde-53 366 24 ( ( PUNCT ejde-53 366 25 4.21 4.21 NUM ejde-53 366 26 ) ) PUNCT ejde-53 366 27 let let VERB ejde-53 366 28 ω1 ω1 PROPN ejde-53 366 29 be be AUX ejde-53 366 30 the the DET ejde-53 366 31 function function NOUN ejde-53 366 32 taken take VERB ejde-53 366 33 in in ADP ejde-53 366 34 the the DET ejde-53 366 35 proof proof NOUN ejde-53 366 36 of of ADP ejde-53 366 37 lemma lemma PROPN ejde-53 366 38 4.5(ii 4.5(ii PROPN ejde-53 366 39 ) ) PUNCT ejde-53 366 40 . . PUNCT ejde-53 367 1 by by ADP ejde-53 367 2 ( ( PUNCT ejde-53 367 3 4.6 4.6 NUM ejde-53 367 4 ) ) PUNCT ejde-53 367 5 , , PUNCT ejde-53 367 6 we we PRON ejde-53 367 7 have have VERB ejde-53 367 8 iλ iλ NOUN ejde-53 367 9 , , PUNCT ejde-53 367 10 m m PROPN ejde-53 367 11 ( ( PUNCT ejde-53 367 12 mω1 mω1 NOUN ejde-53 367 13 ) ) PUNCT ejde-53 367 14 ≤ ≤ NUM ejde-53 367 15 mp mp PROPN ejde-53 367 16 p p NOUN ejde-53 367 17 − − PROPN ejde-53 367 18 mq mq PROPN ejde-53 367 19 q q PROPN ejde-53 367 20 |ω1|qq |ω1|qq PROPN ejde-53 367 21 . . PUNCT ejde-53 368 1 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 368 2 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 368 3 - - PUNCT ejde-53 368 4 poisson poisson NOUN ejde-53 368 5 systems system NOUN ejde-53 368 6 with with ADP ejde-53 368 7 p p PROPN ejde-53 368 8 - - PUNCT ejde-53 368 9 laplacian laplacian ADJ ejde-53 368 10 13 13 NUM ejde-53 368 11 then then ADV ejde-53 368 12 there there PRON ejde-53 368 13 exists exist VERB ejde-53 368 14 m1 m1 PROPN ejde-53 368 15 > > X ejde-53 368 16 0 0 NUM ejde-53 368 17 such such ADJ ejde-53 368 18 that that SCONJ ejde-53 368 19 iλ iλ NOUN ejde-53 368 20 , , PUNCT ejde-53 368 21 m m PROPN ejde-53 368 22 ( ( PUNCT ejde-53 368 23 mω1 mω1 NOUN ejde-53 368 24 ) ) PUNCT ejde-53 368 25 < < X ejde-53 368 26 0 0 NUM ejde-53 368 27 for for ADP ejde-53 368 28 all all DET ejde-53 368 29 m m NOUN ejde-53 368 30 ≥m1 ≥m1 X ejde-53 368 31 . . PUNCT ejde-53 369 1 thus thus ADV ejde-53 369 2 cm cm NOUN ejde-53 369 3 ≤ ≤ NUM ejde-53 369 4 max max PROPN ejde-53 369 5 t∈[0,1 t∈[0,1 PROPN ejde-53 369 6 ] ] X ejde-53 369 7 iλ iλ NOUN ejde-53 369 8 , , PUNCT ejde-53 369 9 m m PROPN ejde-53 369 10 ( ( PUNCT ejde-53 369 11 tmω1 tmω1 PROPN ejde-53 369 12 ) ) PUNCT ejde-53 369 13 ≤ ≤ PUNCT ejde-53 370 1 max max PROPN ejde-53 370 2 t∈[0,1 t∈[0,1 PROPN ejde-53 370 3 ] ] X ejde-53 370 4 { { PUNCT ejde-53 370 5 1 1 NUM ejde-53 370 6 p p X ejde-53 370 7 ( ( PUNCT ejde-53 370 8 mt)p mt)p PROPN ejde-53 370 9 − − PROPN ejde-53 370 10 1 1 NUM ejde-53 370 11 q q NOUN ejde-53 370 12 ( ( PUNCT ejde-53 370 13 mt)q|ω1|qq mt)q|ω1|qq NOUN ejde-53 370 14 } } PUNCT ejde-53 370 15 + + CCONJ ejde-53 370 16 max max PROPN ejde-53 370 17 t∈[0,1 t∈[0,1 PROPN ejde-53 370 18 ] ] X ejde-53 370 19 λ λ X ejde-53 370 20 4 4 NUM ejde-53 370 21 ( ( PUNCT ejde-53 370 22 tm)4lm tm)4lm NOUN ejde-53 370 23 ( ( PUNCT ejde-53 370 24 tmω1 tmω1 PROPN ejde-53 370 25 ) ) PUNCT ejde-53 370 26 ∫ ∫ PROPN ejde-53 370 27 r3 r3 PROPN ejde-53 370 28 φω1ω φω1ω PROPN ejde-53 370 29 2 2 NUM ejde-53 370 30 1 1 NUM ejde-53 370 31 dx dx PROPN ejde-53 370 32 ≤ ≤ PROPN ejde-53 370 33 c c PROPN ejde-53 370 34 + + CCONJ ejde-53 370 35 λa2m4 λa2m4 PROPN ejde-53 370 36 . . PUNCT ejde-53 371 1 ( ( PUNCT ejde-53 371 2 4.22 4.22 NUM ejde-53 371 3 ) ) PUNCT ejde-53 371 4 it it PRON ejde-53 371 5 follows follow VERB ejde-53 371 6 from from ADP ejde-53 371 7 ( ( PUNCT ejde-53 371 8 4.18)–(4.22 4.18)–(4.22 NOUN ejde-53 371 9 ) ) PUNCT ejde-53 371 10 that that SCONJ ejde-53 371 11 , , PUNCT ejde-53 371 12 for for ADP ejde-53 371 13 all all DET ejde-53 371 14 m m PROPN ejde-53 371 15 ≥m1,(1 ≥m1,(1 NUM ejde-53 371 16 p p NOUN ejde-53 371 17 − − PROPN ejde-53 371 18 1 1 NUM ejde-53 371 19 q q NOUN ejde-53 371 20 ) ) PUNCT ejde-53 372 1 ‖un‖p ‖un‖p PROPN ejde-53 372 2 ≤ ≤ NOUN ejde-53 372 3 c c NOUN ejde-53 373 1 + + CCONJ ejde-53 373 2 1 1 NUM ejde-53 373 3 + + CCONJ ejde-53 373 4 ( ( PUNCT ejde-53 373 5 p+ p+ VERB ejde-53 373 6 2)λa2m4 2)λa2m4 NUM ejde-53 373 7 + + CCONJ ejde-53 373 8 ( ( PUNCT ejde-53 373 9 1 1 NUM ejde-53 373 10 + + CCONJ ejde-53 373 11 cλ)‖un‖. cλ)‖un‖. NOUN ejde-53 373 12 ( ( PUNCT ejde-53 373 13 4.23 4.23 NUM ejde-53 373 14 ) ) PUNCT ejde-53 373 15 take take VERB ejde-53 373 16 λ∗ λ∗ NOUN ejde-53 373 17 = = CCONJ ejde-53 373 18 ( ( PUNCT ejde-53 373 19 a2m4)−1 a2m4)−1 PROPN ejde-53 373 20 . . PUNCT ejde-53 374 1 then then ADV ejde-53 374 2 it it PRON ejde-53 374 3 follows follow VERB ejde-53 374 4 from from ADP ejde-53 374 5 ( ( PUNCT ejde-53 374 6 4.23 4.23 NUM ejde-53 374 7 ) ) PUNCT ejde-53 374 8 that that SCONJ ejde-53 374 9 ( ( PUNCT ejde-53 374 10 4.17 4.17 NUM ejde-53 374 11 ) ) PUNCT ejde-53 374 12 holds hold VERB ejde-53 374 13 for for ADP ejde-53 374 14 anym anym NOUN ejde-53 374 15 ≥m1 ≥m1 NOUN ejde-53 374 16 and and CCONJ ejde-53 374 17 λ λ X ejde-53 374 18 ∈ ∈ PROPN ejde-53 374 19 ( ( PUNCT ejde-53 374 20 0 0 NUM ejde-53 374 21 , , PUNCT ejde-53 374 22 λ∗ λ∗ PROPN ejde-53 374 23 ) ) PUNCT ejde-53 374 24 . . PUNCT ejde-53 375 1 the the DET ejde-53 375 2 proof proof NOUN ejde-53 375 3 is be AUX ejde-53 375 4 complete complete ADJ ejde-53 375 5 . . PUNCT ejde-53 376 1 � � PROPN ejde-53 376 2 proof proof NOUN ejde-53 376 3 of of ADP ejde-53 376 4 theorem theorem NOUN ejde-53 376 5 4.4 4.4 NUM ejde-53 376 6 . . PUNCT ejde-53 377 1 combining combine VERB ejde-53 377 2 lemmas lemmas PROPN ejde-53 377 3 4.5–4.7 4.5–4.7 NOUN ejde-53 377 4 and and CCONJ ejde-53 377 5 the the DET ejde-53 377 6 mountain mountain NOUN ejde-53 377 7 pass pass NOUN ejde-53 377 8 theorem theorem NOUN ejde-53 377 9 , , PUNCT ejde-53 377 10 for for ADP ejde-53 377 11 m m PROPN ejde-53 377 12 > > X ejde-53 377 13 0 0 PUNCT ejde-53 378 1 large large ADJ ejde-53 378 2 enough enough ADV ejde-53 378 3 and and CCONJ ejde-53 378 4 λ λ X ejde-53 378 5 > > X ejde-53 378 6 0 0 PUNCT ejde-53 378 7 small small ADJ ejde-53 378 8 , , PUNCT ejde-53 378 9 we we PRON ejde-53 378 10 can can AUX ejde-53 378 11 find find VERB ejde-53 378 12 a a DET ejde-53 378 13 critical critical ADJ ejde-53 378 14 point point NOUN ejde-53 378 15 u∗ u∗ ADJ ejde-53 378 16 for for ADP ejde-53 378 17 iλ iλ NOUN ejde-53 378 18 , , PUNCT ejde-53 378 19 m m VERB ejde-53 378 20 at at ADP ejde-53 378 21 the the DET ejde-53 378 22 level level NOUN ejde-53 378 23 cm cm NOUN ejde-53 378 24 > > X ejde-53 378 25 0 0 PUNCT ejde-53 379 1 with with ADP ejde-53 379 2 ‖u∗‖ ‖u∗‖ INTJ ejde-53 379 3 ≤ ≤ NUM ejde-53 379 4 m m VERB ejde-53 379 5 2 2 NUM ejde-53 379 6 . . PUNCT ejde-53 380 1 thus thus ADV ejde-53 380 2 u∗ u∗ ADV ejde-53 380 3 is be AUX ejde-53 380 4 a a DET ejde-53 380 5 critical critical ADJ ejde-53 380 6 point point NOUN ejde-53 380 7 for for ADP ejde-53 380 8 iλ iλ NOUN ejde-53 380 9 with with ADP ejde-53 380 10 iλ(u∗ iλ(u∗ NOUN ejde-53 380 11 ) ) PUNCT ejde-53 381 1 = = SYM ejde-53 381 2 cm cm NOUN ejde-53 381 3 > > X ejde-53 381 4 0 0 X ejde-53 381 5 . . PUNCT ejde-53 382 1 � � PROPN ejde-53 382 2 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-53 382 3 . . PUNCT ejde-53 383 1 this this DET ejde-53 383 2 research research NOUN ejde-53 383 3 was be AUX ejde-53 383 4 supported support VERB ejde-53 383 5 by by ADP ejde-53 383 6 nsfc(12271373,12171326 nsfc(12271373,12171326 NOUN ejde-53 383 7 ) ) PUNCT ejde-53 383 8 . . PUNCT ejde-53 384 1 the the DET ejde-53 384 2 authors author NOUN ejde-53 384 3 want want VERB ejde-53 384 4 to to PART ejde-53 384 5 express express VERB ejde-53 384 6 their their PRON ejde-53 384 7 gratitude gratitude NOUN ejde-53 384 8 to to ADP ejde-53 384 9 the the DET ejde-53 384 10 reviewers reviewer NOUN ejde-53 384 11 for for ADP ejde-53 384 12 careful careful ADJ ejde-53 384 13 reading reading NOUN ejde-53 384 14 and and CCONJ ejde-53 384 15 valuable valuable ADJ ejde-53 384 16 suggestions suggestion NOUN ejde-53 384 17 which which PRON ejde-53 384 18 led lead VERB ejde-53 384 19 to to ADP ejde-53 384 20 an an DET ejde-53 384 21 improvement improvement NOUN ejde-53 384 22 of of ADP ejde-53 384 23 the the DET ejde-53 384 24 original original ADJ ejde-53 384 25 manuscript manuscript NOUN ejde-53 384 26 . . PUNCT ejde-53 385 1 references reference NOUN ejde-53 385 2 [ [ X ejde-53 385 3 1 1 NUM ejde-53 385 4 ] ] PUNCT ejde-53 385 5 a. a. NOUN ejde-53 385 6 ambrosetti ambrosetti PROPN ejde-53 385 7 , , PUNCT ejde-53 385 8 p. p. NOUN ejde-53 385 9 h. h. PROPN ejde-53 385 10 rabinowitz rabinowitz PROPN ejde-53 385 11 ; ; PUNCT ejde-53 385 12 dual dual ADJ ejde-53 385 13 variational variational ADJ ejde-53 385 14 methods method NOUN ejde-53 385 15 in in ADP ejde-53 385 16 critical critical ADJ ejde-53 385 17 point point NOUN ejde-53 385 18 theory theory NOUN ejde-53 385 19 and and CCONJ ejde-53 385 20 applications application NOUN ejde-53 385 21 , , PUNCT ejde-53 385 22 j. j. PROPN ejde-53 385 23 funct funct PROPN ejde-53 385 24 . . PUNCT ejde-53 386 1 anal anal PROPN ejde-53 386 2 . . PROPN ejde-53 386 3 , , PUNCT ejde-53 386 4 14 14 NUM ejde-53 386 5 ( ( PUNCT ejde-53 386 6 1973 1973 NUM ejde-53 386 7 ) ) PUNCT ejde-53 386 8 , , PUNCT ejde-53 386 9 349–381 349–381 NUM ejde-53 386 10 . . PUNCT ejde-53 387 1 [ [ X ejde-53 387 2 2 2 NUM ejde-53 387 3 ] ] PUNCT ejde-53 387 4 a. a. NOUN ejde-53 387 5 azzollini azzollini PROPN ejde-53 387 6 ; ; PUNCT ejde-53 387 7 concentration concentration NOUN ejde-53 387 8 and and CCONJ ejde-53 387 9 compactness compactness NOUN ejde-53 387 10 in in ADP ejde-53 387 11 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 387 12 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 387 13 - - ADJ ejde-53 387 14 poisson poisson NOUN ejde-53 387 15 system system NOUN ejde-53 387 16 with with ADP ejde-53 387 17 a a DET ejde-53 387 18 general general ADJ ejde-53 387 19 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-53 387 20 , , PUNCT ejde-53 387 21 j. j. PROPN ejde-53 387 22 differential differential PROPN ejde-53 387 23 equations equation NOUN ejde-53 387 24 , , PUNCT ejde-53 387 25 249 249 NUM ejde-53 387 26 ( ( PUNCT ejde-53 387 27 2010 2010 NUM ejde-53 387 28 ) ) PUNCT ejde-53 387 29 , , PUNCT ejde-53 387 30 1746–1763 1746–1763 NUM ejde-53 387 31 . . PUNCT ejde-53 388 1 [ [ X ejde-53 388 2 3 3 NUM ejde-53 388 3 ] ] PUNCT ejde-53 388 4 a. a. NOUN ejde-53 388 5 azzollini azzollini PROPN ejde-53 388 6 , , PUNCT ejde-53 388 7 p. p. NOUN ejde-53 388 8 d’avenia d’avenia PROPN ejde-53 388 9 , , PUNCT ejde-53 388 10 a. a. NOUN ejde-53 388 11 pomponio pomponio NOUN ejde-53 388 12 ; ; PUNCT ejde-53 388 13 on on ADP ejde-53 388 14 the the DET ejde-53 388 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 388 16 - - PUNCT ejde-53 388 17 maxwell maxwell PROPN ejde-53 388 18 equations equation NOUN ejde-53 388 19 under under ADP ejde-53 388 20 the the DET ejde-53 388 21 effect effect NOUN ejde-53 388 22 of of ADP ejde-53 388 23 a a DET ejde-53 388 24 general general ADJ ejde-53 388 25 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 388 26 term term NOUN ejde-53 388 27 , , PUNCT ejde-53 388 28 ann ann PROPN ejde-53 388 29 . . PROPN ejde-53 388 30 inst inst PROPN ejde-53 388 31 . . PUNCT ejde-53 389 1 h. h. PROPN ejde-53 389 2 poincaré poincaré PROPN ejde-53 389 3 anal anal PROPN ejde-53 389 4 . . PUNCT ejde-53 390 1 non non PROPN ejde-53 390 2 linéaire linéaire PROPN ejde-53 390 3 , , PUNCT ejde-53 390 4 27 27 NUM ejde-53 390 5 ( ( PUNCT ejde-53 390 6 2010 2010 NUM ejde-53 390 7 ) ) PUNCT ejde-53 390 8 , , PUNCT ejde-53 390 9 779–791 779–791 NUM ejde-53 390 10 . . PUNCT ejde-53 391 1 [ [ X ejde-53 391 2 4 4 NUM ejde-53 391 3 ] ] PUNCT ejde-53 391 4 a. a. NOUN ejde-53 391 5 azzollini azzollini PROPN ejde-53 391 6 , , PUNCT ejde-53 391 7 a. a. NOUN ejde-53 391 8 pomponio pomponio NOUN ejde-53 391 9 ; ; PUNCT ejde-53 391 10 ground ground NOUN ejde-53 391 11 state state NOUN ejde-53 391 12 solutions solution NOUN ejde-53 391 13 for for ADP ejde-53 391 14 the the DET ejde-53 391 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 391 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 391 17 - - PUNCT ejde-53 391 18 maxwell maxwell PROPN ejde-53 391 19 equations equation NOUN ejde-53 391 20 , , PUNCT ejde-53 391 21 j. j. PROPN ejde-53 391 22 math math PROPN ejde-53 391 23 . . PUNCT ejde-53 392 1 anal anal PROPN ejde-53 392 2 . . PUNCT ejde-53 392 3 appl appl PROPN ejde-53 392 4 . . PROPN ejde-53 392 5 , , PUNCT ejde-53 392 6 345 345 NUM ejde-53 392 7 ( ( PUNCT ejde-53 392 8 2008 2008 NUM ejde-53 392 9 ) ) PUNCT ejde-53 392 10 , , PUNCT ejde-53 392 11 90–108 90–108 NUM ejde-53 392 12 . . PUNCT ejde-53 393 1 [ [ X ejde-53 393 2 5 5 X ejde-53 393 3 ] ] PUNCT ejde-53 393 4 v. v. PROPN ejde-53 393 5 benci benci PROPN ejde-53 393 6 , , PUNCT ejde-53 393 7 d. d. PROPN ejde-53 393 8 fortunato fortunato PROPN ejde-53 393 9 ; ; PUNCT ejde-53 393 10 an an DET ejde-53 393 11 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-53 393 12 problem problem NOUN ejde-53 393 13 for for ADP ejde-53 393 14 the the DET ejde-53 393 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 393 16 - - PUNCT ejde-53 393 17 maxwell maxwell PROPN ejde-53 393 18 equations equation NOUN ejde-53 393 19 , , PUNCT ejde-53 393 20 topol topol NOUN ejde-53 393 21 . . PUNCT ejde-53 394 1 methods method NOUN ejde-53 394 2 nonlinear nonlinear PROPN ejde-53 394 3 anal anal PROPN ejde-53 394 4 . . PUNCT ejde-53 394 5 , , PUNCT ejde-53 394 6 11 11 NUM ejde-53 394 7 ( ( PUNCT ejde-53 394 8 1998 1998 NUM ejde-53 394 9 ) ) PUNCT ejde-53 394 10 , , PUNCT ejde-53 394 11 283–293 283–293 NUM ejde-53 394 12 . . PUNCT ejde-53 395 1 [ [ X ejde-53 395 2 6 6 NUM ejde-53 395 3 ] ] PUNCT ejde-53 395 4 v. v. PROPN ejde-53 395 5 benci benci PROPN ejde-53 395 6 , , PUNCT ejde-53 395 7 d. d. PROPN ejde-53 395 8 fortunato fortunato PROPN ejde-53 395 9 ; ; PUNCT ejde-53 395 10 solitary solitary ADJ ejde-53 395 11 waves wave NOUN ejde-53 395 12 of of ADP ejde-53 395 13 the the DET ejde-53 395 14 nonlinear nonlinear PROPN ejde-53 395 15 klein klein PROPN ejde-53 395 16 - - PUNCT ejde-53 395 17 gordon gordon PROPN ejde-53 395 18 equation equation NOUN ejde-53 395 19 coupled couple VERB ejde-53 395 20 with with ADP ejde-53 395 21 the the DET ejde-53 395 22 maxwell maxwell PROPN ejde-53 395 23 equations equations PROPN ejde-53 395 24 , , PUNCT ejde-53 395 25 rev rev PROPN ejde-53 395 26 . . PROPN ejde-53 395 27 math math NOUN ejde-53 395 28 . . PUNCT ejde-53 396 1 phys phy NOUN ejde-53 396 2 . . PUNCT ejde-53 396 3 , , PUNCT ejde-53 396 4 14 14 NUM ejde-53 396 5 ( ( PUNCT ejde-53 396 6 2002 2002 NUM ejde-53 396 7 ) ) PUNCT ejde-53 396 8 , , PUNCT ejde-53 396 9 409–420 409–420 NUM ejde-53 396 10 . . PUNCT ejde-53 397 1 [ [ X ejde-53 397 2 7 7 X ejde-53 397 3 ] ] X ejde-53 397 4 l. l. PROPN ejde-53 397 5 boccardo boccardo PROPN ejde-53 397 6 , , PUNCT ejde-53 397 7 f. f. PROPN ejde-53 397 8 murat murat PROPN ejde-53 397 9 ; ; PUNCT ejde-53 397 10 almost almost ADV ejde-53 397 11 everywhere everywhere ADV ejde-53 397 12 convergence convergence NOUN ejde-53 397 13 of of ADP ejde-53 397 14 the the DET ejde-53 397 15 gradients gradient NOUN ejde-53 397 16 of of ADP ejde-53 397 17 solutions solution NOUN ejde-53 397 18 to to ADP ejde-53 397 19 elliptic elliptic ADJ ejde-53 397 20 and and CCONJ ejde-53 397 21 parabolic parabolic ADJ ejde-53 397 22 equations equation NOUN ejde-53 397 23 , , PUNCT ejde-53 397 24 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 397 25 anal anal NOUN ejde-53 397 26 . . PUNCT ejde-53 397 27 , , PUNCT ejde-53 397 28 19 19 NUM ejde-53 397 29 ( ( PUNCT ejde-53 397 30 1992 1992 NUM ejde-53 397 31 ) ) PUNCT ejde-53 397 32 , , PUNCT ejde-53 397 33 581–597 581–597 NUM ejde-53 397 34 . . PUNCT ejde-53 398 1 [ [ X ejde-53 398 2 8 8 NUM ejde-53 398 3 ] ] PUNCT ejde-53 398 4 s.-j s.-j PROPN ejde-53 398 5 . . PUNCT ejde-53 399 1 chen chen PROPN ejde-53 399 2 , , PUNCT ejde-53 399 3 c.-l c.-l PROPN ejde-53 399 4 . . PUNCT ejde-53 400 1 tang tang PROPN ejde-53 400 2 ; ; PUNCT ejde-53 400 3 multiple multiple ADJ ejde-53 400 4 solutions solution NOUN ejde-53 400 5 for for ADP ejde-53 400 6 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 400 7 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 400 8 - - PUNCT ejde-53 400 9 maxwell maxwell PROPN ejde-53 400 10 and and CCONJ ejde-53 400 11 klein klein PROPN ejde-53 400 12 - - PUNCT ejde-53 400 13 gordon gordon PROPN ejde-53 400 14 - - PUNCT ejde-53 400 15 maxwell maxwell PROPN ejde-53 400 16 equations equation NOUN ejde-53 400 17 on on ADP ejde-53 400 18 r3 r3 PROPN ejde-53 400 19 , , PUNCT ejde-53 400 20 nodea nodea ADJ ejde-53 400 21 nonlinear nonlinear PROPN ejde-53 400 22 differential differential PROPN ejde-53 400 23 equations equation NOUN ejde-53 400 24 appl appl PROPN ejde-53 400 25 . . PROPN ejde-53 400 26 , , PUNCT ejde-53 400 27 17 17 NUM ejde-53 400 28 ( ( PUNCT ejde-53 400 29 2010 2010 NUM ejde-53 400 30 ) ) PUNCT ejde-53 400 31 , , PUNCT ejde-53 400 32 559–574 559–574 NUM ejde-53 400 33 . . PUNCT ejde-53 401 1 [ [ X ejde-53 401 2 9 9 NUM ejde-53 401 3 ] ] PUNCT ejde-53 401 4 t. t. PROPN ejde-53 401 5 d’aprile d’aprile PROPN ejde-53 401 6 , , PUNCT ejde-53 401 7 d. d. PROPN ejde-53 401 8 mugnai mugnai PROPN ejde-53 401 9 ; ; PUNCT ejde-53 401 10 solitary solitary ADJ ejde-53 401 11 waves wave NOUN ejde-53 401 12 for for ADP ejde-53 401 13 nonlinear nonlinear PROPN ejde-53 401 14 klein klein PROPN ejde-53 401 15 - - PUNCT ejde-53 401 16 gordon gordon PROPN ejde-53 401 17 - - PUNCT ejde-53 401 18 maxwell maxwell PROPN ejde-53 401 19 and and CCONJ ejde-53 401 20 schrödingermaxwell schrödingermaxwell PROPN ejde-53 401 21 equations equation NOUN ejde-53 401 22 , , PUNCT ejde-53 401 23 proc proc NOUN ejde-53 401 24 . . PUNCT ejde-53 402 1 roy roy PROPN ejde-53 402 2 . . PROPN ejde-53 402 3 soc soc PROPN ejde-53 402 4 . . PUNCT ejde-53 403 1 edinburgh edinburgh PROPN ejde-53 403 2 sect sect PROPN ejde-53 403 3 . . PUNCT ejde-53 404 1 a a DET ejde-53 404 2 , , PUNCT ejde-53 404 3 134 134 NUM ejde-53 404 4 ( ( PUNCT ejde-53 404 5 2004 2004 NUM ejde-53 404 6 ) ) PUNCT ejde-53 404 7 , , PUNCT ejde-53 404 8 893–906 893–906 NUM ejde-53 404 9 . . PUNCT ejde-53 405 1 [ [ X ejde-53 405 2 10 10 NUM ejde-53 405 3 ] ] X ejde-53 405 4 p. p. NOUN ejde-53 405 5 d’avenia d’avenia PROPN ejde-53 405 6 ; ; PUNCT ejde-53 405 7 non non ADJ ejde-53 405 8 - - ADJ ejde-53 405 9 radially radially ADV ejde-53 405 10 symmetric symmetric ADJ ejde-53 405 11 solutions solution NOUN ejde-53 405 12 of of ADP ejde-53 405 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 405 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 405 15 equation equation NOUN ejde-53 405 16 coupled couple VERB ejde-53 405 17 with with ADP ejde-53 405 18 maxwell maxwell PROPN ejde-53 405 19 equations equations PROPN ejde-53 405 20 , , PUNCT ejde-53 405 21 adv adv PROPN ejde-53 405 22 . . PUNCT ejde-53 405 23 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 405 24 stud stud PROPN ejde-53 405 25 . . PUNCT ejde-53 405 26 , , PUNCT ejde-53 405 27 2 2 NUM ejde-53 405 28 ( ( PUNCT ejde-53 405 29 2002 2002 NUM ejde-53 405 30 ) ) PUNCT ejde-53 405 31 , , PUNCT ejde-53 405 32 177–192 177–192 NUM ejde-53 405 33 . . PUNCT ejde-53 406 1 [ [ X ejde-53 406 2 11 11 NUM ejde-53 406 3 ] ] X ejde-53 406 4 y. y. PROPN ejde-53 406 5 du du PROPN ejde-53 406 6 , , PUNCT ejde-53 406 7 j. j. PROPN ejde-53 406 8 su su PROPN ejde-53 406 9 , , PUNCT ejde-53 406 10 c. c. PROPN ejde-53 406 11 wang wang PROPN ejde-53 406 12 ; ; PUNCT ejde-53 406 13 the the DET ejde-53 406 14 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 406 15 - - PUNCT ejde-53 406 16 poisson poisson NOUN ejde-53 406 17 system system NOUN ejde-53 406 18 with with ADP ejde-53 406 19 p p NOUN ejde-53 406 20 - - PUNCT ejde-53 406 21 laplacian laplacian ADJ ejde-53 406 22 , , PUNCT ejde-53 406 23 appl appl PROPN ejde-53 406 24 . . PROPN ejde-53 406 25 math math PROPN ejde-53 406 26 . . PUNCT ejde-53 407 1 lett lett PROPN ejde-53 407 2 . . PROPN ejde-53 408 1 , , PUNCT ejde-53 408 2 120 120 NUM ejde-53 408 3 ( ( PUNCT ejde-53 408 4 2021 2021 NUM ejde-53 408 5 ) ) PUNCT ejde-53 408 6 , , PUNCT ejde-53 408 7 paper paper NOUN ejde-53 408 8 no no NOUN ejde-53 408 9 . . PROPN ejde-53 409 1 107286 107286 NUM ejde-53 409 2 , , PUNCT ejde-53 409 3 7 7 NUM ejde-53 409 4 pp pp NOUN ejde-53 409 5 . . PUNCT ejde-53 410 1 [ [ X ejde-53 410 2 12 12 NUM ejde-53 410 3 ] ] X ejde-53 410 4 i. i. NOUN ejde-53 410 5 ekeland ekeland NOUN ejde-53 410 6 ; ; PUNCT ejde-53 410 7 on on ADP ejde-53 410 8 the the DET ejde-53 410 9 variational variational ADJ ejde-53 410 10 principle principle NOUN ejde-53 410 11 , , PUNCT ejde-53 410 12 j. j. PROPN ejde-53 410 13 math math PROPN ejde-53 410 14 . . PUNCT ejde-53 411 1 anal anal PROPN ejde-53 411 2 . . PUNCT ejde-53 412 1 appl appl PROPN ejde-53 412 2 . . PROPN ejde-53 412 3 , , PUNCT ejde-53 412 4 47 47 NUM ejde-53 412 5 ( ( PUNCT ejde-53 412 6 1974 1974 NUM ejde-53 412 7 ) ) PUNCT ejde-53 412 8 , , PUNCT ejde-53 412 9 324–353 324–353 NUM ejde-53 412 10 . . PUNCT ejde-53 413 1 [ [ X ejde-53 413 2 13 13 NUM ejde-53 413 3 ] ] X ejde-53 413 4 l. l. PROPN ejde-53 413 5 -x -x PROPN ejde-53 413 6 . . PROPN ejde-53 413 7 huang huang PROPN ejde-53 413 8 , , PUNCT ejde-53 413 9 x. x. PUNCT ejde-53 414 1 -p -p PROPN ejde-53 414 2 . . PUNCT ejde-53 414 3 wu wu PROPN ejde-53 414 4 , , PUNCT ejde-53 414 5 c. c. PROPN ejde-53 414 6 -l -l PROPN ejde-53 414 7 . . PUNCT ejde-53 414 8 tang tang PROPN ejde-53 414 9 ; ; PUNCT ejde-53 414 10 multiple multiple ADJ ejde-53 414 11 positive positive ADJ ejde-53 414 12 solutions solution NOUN ejde-53 414 13 for for ADP ejde-53 414 14 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 414 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 414 16 - - PUNCT ejde-53 414 17 poisson poisson NOUN ejde-53 414 18 systems system NOUN ejde-53 414 19 with with ADP ejde-53 414 20 berestycki berestycki ADJ ejde-53 414 21 - - PUNCT ejde-53 414 22 lions lion NOUN ejde-53 414 23 type type NOUN ejde-53 414 24 conditions condition NOUN ejde-53 414 25 , , PUNCT ejde-53 414 26 electron electron NOUN ejde-53 414 27 . . PUNCT ejde-53 415 1 j. j. PROPN ejde-53 415 2 differential differential PROPN ejde-53 415 3 equations equation NOUN ejde-53 415 4 , , PUNCT ejde-53 415 5 2021 2021 NUM ejde-53 415 6 , , PUNCT ejde-53 415 7 paper paper NOUN ejde-53 415 8 no.1 no.1 NOUN ejde-53 415 9 , , PUNCT ejde-53 415 10 14 14 NUM ejde-53 415 11 pp pp NOUN ejde-53 415 12 . . PUNCT ejde-53 416 1 [ [ X ejde-53 416 2 14 14 NUM ejde-53 416 3 ] ] X ejde-53 417 1 l. l. PROPN ejde-53 417 2 jeanjean jeanjean PROPN ejde-53 417 3 ; ; PUNCT ejde-53 417 4 existence existence NOUN ejde-53 417 5 of of ADP ejde-53 417 6 solutions solution NOUN ejde-53 417 7 with with ADP ejde-53 417 8 prescribed prescribed ADJ ejde-53 417 9 norm norm NOUN ejde-53 417 10 for for ADP ejde-53 417 11 semilinear semilinear PROPN ejde-53 417 12 elliptic elliptic ADJ ejde-53 417 13 equations equation NOUN ejde-53 417 14 , , PUNCT ejde-53 417 15 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 417 16 anal anal NOUN ejde-53 417 17 . . PUNCT ejde-53 417 18 , , PUNCT ejde-53 417 19 28 28 NUM ejde-53 417 20 ( ( PUNCT ejde-53 417 21 1997 1997 NUM ejde-53 417 22 ) ) PUNCT ejde-53 417 23 , , PUNCT ejde-53 417 24 1633–1659 1633–1659 NUM ejde-53 417 25 . . PUNCT ejde-53 417 26 14 14 NUM ejde-53 417 27 l. l. PROPN ejde-53 417 28 huang huang PROPN ejde-53 417 29 , , PUNCT ejde-53 417 30 j. j. PROPN ejde-53 417 31 su su PROPN ejde-53 418 1 ejde-2023/28 ejde-2023/28 PROPN ejde-53 419 1 [ [ X ejde-53 419 2 15 15 NUM ejde-53 419 3 ] ] X ejde-53 419 4 l. l. PROPN ejde-53 419 5 jeanjean jeanjean PROPN ejde-53 419 6 , , PUNCT ejde-53 419 7 s. s. PROPN ejde-53 419 8 le le PROPN ejde-53 419 9 coz coz PROPN ejde-53 419 10 ; ; PUNCT ejde-53 419 11 an an DET ejde-53 419 12 existence existence NOUN ejde-53 419 13 and and CCONJ ejde-53 419 14 stability stability NOUN ejde-53 419 15 result result VERB ejde-53 419 16 for for ADP ejde-53 419 17 standing stand VERB ejde-53 419 18 waves wave NOUN ejde-53 419 19 of of ADP ejde-53 419 20 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 419 21 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 419 22 equations equation NOUN ejde-53 419 23 , , PUNCT ejde-53 419 24 adv adv PROPN ejde-53 419 25 . . PUNCT ejde-53 419 26 differential differential PROPN ejde-53 419 27 equations equation NOUN ejde-53 419 28 , , PUNCT ejde-53 419 29 11 11 NUM ejde-53 419 30 ( ( PUNCT ejde-53 419 31 2006 2006 NUM ejde-53 419 32 ) ) PUNCT ejde-53 419 33 , , PUNCT ejde-53 419 34 813–840 813–840 NUM ejde-53 419 35 . . PUNCT ejde-53 420 1 [ [ X ejde-53 420 2 16 16 NUM ejde-53 420 3 ] ] X ejde-53 420 4 y. y. PROPN ejde-53 420 5 jiang jiang PROPN ejde-53 420 6 , , PUNCT ejde-53 420 7 z. z. PROPN ejde-53 420 8 wang wang PROPN ejde-53 420 9 , , PUNCT ejde-53 420 10 h. h. PROPN ejde-53 420 11 -s -s PROPN ejde-53 420 12 . . PUNCT ejde-53 421 1 zhou zhou PROPN ejde-53 421 2 ; ; PUNCT ejde-53 421 3 multiple multiple ADJ ejde-53 421 4 solutions solution NOUN ejde-53 421 5 for for ADP ejde-53 421 6 a a DET ejde-53 421 7 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 421 8 schrödingermaxwell schrödingermaxwell NOUN ejde-53 421 9 system system NOUN ejde-53 421 10 in in ADP ejde-53 421 11 r3 r3 PROPN ejde-53 421 12 , , PUNCT ejde-53 421 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 421 14 anal anal NOUN ejde-53 421 15 . . PUNCT ejde-53 421 16 , , PUNCT ejde-53 421 17 83 83 NUM ejde-53 421 18 ( ( PUNCT ejde-53 421 19 2013 2013 NUM ejde-53 421 20 ) ) PUNCT ejde-53 421 21 , , PUNCT ejde-53 421 22 50–57 50–57 NUM ejde-53 421 23 . . PUNCT ejde-53 422 1 [ [ X ejde-53 422 2 17 17 NUM ejde-53 422 3 ] ] X ejde-53 422 4 s. s. PROPN ejde-53 422 5 khoutir khoutir PROPN ejde-53 422 6 , , PUNCT ejde-53 422 7 h. h. PROPN ejde-53 422 8 chen chen PROPN ejde-53 422 9 ; ; PUNCT ejde-53 422 10 multiple multiple ADJ ejde-53 422 11 nontrivial nontrivial ADJ ejde-53 422 12 solutions solution NOUN ejde-53 422 13 for for ADP ejde-53 422 14 a a DET ejde-53 422 15 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 422 16 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 422 17 - - ADJ ejde-53 422 18 poisson poisson NOUN ejde-53 422 19 system system NOUN ejde-53 422 20 in in ADP ejde-53 422 21 r3 r3 PROPN ejde-53 422 22 , , PUNCT ejde-53 422 23 electron electron NOUN ejde-53 422 24 . . PUNCT ejde-53 423 1 j. j. PROPN ejde-53 423 2 qual qual PROPN ejde-53 423 3 . . PROPN ejde-53 423 4 theory theory NOUN ejde-53 423 5 differ differ VERB ejde-53 423 6 . . PUNCT ejde-53 424 1 equ equ PROPN ejde-53 424 2 . . PROPN ejde-53 424 3 , , PUNCT ejde-53 424 4 2017 2017 NUM ejde-53 424 5 , , PUNCT ejde-53 424 6 paper paper NOUN ejde-53 424 7 no no NOUN ejde-53 424 8 . . PROPN ejde-53 424 9 28 28 NUM ejde-53 424 10 , , PUNCT ejde-53 424 11 17 17 NUM ejde-53 424 12 pp pp NOUN ejde-53 424 13 . . PUNCT ejde-53 425 1 [ [ X ejde-53 425 2 18 18 NUM ejde-53 425 3 ] ] X ejde-53 425 4 e. e. PROPN ejde-53 425 5 h. h. PROPN ejde-53 425 6 lieb lieb PROPN ejde-53 425 7 , , PUNCT ejde-53 425 8 m. m. NOUN ejde-53 425 9 loss loss NOUN ejde-53 425 10 ; ; PUNCT ejde-53 425 11 analysis analysis NOUN ejde-53 425 12 , , PUNCT ejde-53 425 13 american american PROPN ejde-53 425 14 mathematical mathematical ADJ ejde-53 425 15 society society NOUN ejde-53 425 16 , , PUNCT ejde-53 425 17 2001 2001 NUM ejde-53 425 18 . . PUNCT ejde-53 426 1 [ [ X ejde-53 426 2 19 19 NUM ejde-53 426 3 ] ] X ejde-53 426 4 p. p. NOUN ejde-53 426 5 l. l. PROPN ejde-53 426 6 lions lion NOUN ejde-53 426 7 ; ; PUNCT ejde-53 426 8 symétrie symétrie PROPN ejde-53 426 9 et et PROPN ejde-53 426 10 compacité compacité NOUN ejde-53 426 11 dans dans PROPN ejde-53 426 12 les les X ejde-53 426 13 espaces espaces X ejde-53 426 14 de de ADP ejde-53 426 15 sobolev sobolev PROPN ejde-53 426 16 , , PUNCT ejde-53 426 17 j. j. PROPN ejde-53 426 18 funct funct PROPN ejde-53 426 19 . . PUNCT ejde-53 427 1 anal anal PROPN ejde-53 427 2 . . PROPN ejde-53 427 3 , , PUNCT ejde-53 427 4 49 49 NUM ejde-53 427 5 ( ( PUNCT ejde-53 427 6 1982 1982 NUM ejde-53 427 7 ) ) PUNCT ejde-53 427 8 , , PUNCT ejde-53 427 9 315 315 NUM ejde-53 427 10 - - SYM ejde-53 427 11 334 334 NUM ejde-53 427 12 . . PUNCT ejde-53 428 1 [ [ X ejde-53 428 2 20 20 NUM ejde-53 428 3 ] ] X ejde-53 428 4 s. s. PROPN ejde-53 428 5 qu qu PROPN ejde-53 428 6 , , PUNCT ejde-53 428 7 x. x. VERB ejde-53 429 1 he he PRON ejde-53 429 2 ; ; PUNCT ejde-53 429 3 multiplicity multiplicity NOUN ejde-53 429 4 of of ADP ejde-53 429 5 high high ADJ ejde-53 429 6 energy energy NOUN ejde-53 429 7 solutions solution NOUN ejde-53 429 8 for for ADP ejde-53 429 9 fractional fractional ADJ ejde-53 429 10 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 429 11 - - PUNCT ejde-53 429 12 poisson poisson NOUN ejde-53 429 13 systems system NOUN ejde-53 429 14 with with ADP ejde-53 429 15 critical critical ADJ ejde-53 429 16 frequency frequency NOUN ejde-53 429 17 , , PUNCT ejde-53 429 18 electron electron NOUN ejde-53 429 19 . . PUNCT ejde-53 430 1 j. j. PROPN ejde-53 430 2 differential differential PROPN ejde-53 430 3 equations equation NOUN ejde-53 430 4 , , PUNCT ejde-53 430 5 2022 2022 NUM ejde-53 430 6 ( ( PUNCT ejde-53 430 7 2022 2022 NUM ejde-53 430 8 ) ) PUNCT ejde-53 430 9 , , PUNCT ejde-53 430 10 no no INTJ ejde-53 430 11 . . PROPN ejde-53 431 1 47 47 NUM ejde-53 431 2 , , PUNCT ejde-53 431 3 1–21 1–21 PROPN ejde-53 431 4 . . PUNCT ejde-53 432 1 [ [ X ejde-53 432 2 21 21 NUM ejde-53 432 3 ] ] X ejde-53 432 4 d. d. PROPN ejde-53 432 5 ruiz ruiz PROPN ejde-53 432 6 ; ; PUNCT ejde-53 432 7 the the DET ejde-53 432 8 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 432 9 - - PUNCT ejde-53 432 10 poisson poisson NOUN ejde-53 432 11 equation equation NOUN ejde-53 432 12 under under ADP ejde-53 432 13 the the DET ejde-53 432 14 effect effect NOUN ejde-53 432 15 of of ADP ejde-53 432 16 a a DET ejde-53 432 17 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 432 18 local local ADJ ejde-53 432 19 term term NOUN ejde-53 432 20 , , PUNCT ejde-53 432 21 j. j. PROPN ejde-53 432 22 funct funct PROPN ejde-53 432 23 . . PUNCT ejde-53 433 1 anal anal PROPN ejde-53 433 2 . . PROPN ejde-53 433 3 , , PUNCT ejde-53 433 4 237 237 NUM ejde-53 433 5 ( ( PUNCT ejde-53 433 6 2006 2006 NUM ejde-53 433 7 ) ) PUNCT ejde-53 433 8 , , PUNCT ejde-53 433 9 655 655 NUM ejde-53 433 10 - - SYM ejde-53 433 11 674 674 NUM ejde-53 433 12 . . PUNCT ejde-53 434 1 [ [ X ejde-53 434 2 22 22 NUM ejde-53 434 3 ] ] PUNCT ejde-53 434 4 a. a. NOUN ejde-53 434 5 salvatore salvatore NOUN ejde-53 434 6 ; ; PUNCT ejde-53 434 7 multiple multiple ADJ ejde-53 434 8 solitary solitary ADJ ejde-53 434 9 waves wave NOUN ejde-53 434 10 for for ADP ejde-53 434 11 a a DET ejde-53 434 12 non non ADJ ejde-53 434 13 - - ADJ ejde-53 434 14 homogeneous homogeneous ADJ ejde-53 434 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 434 16 - - PUNCT ejde-53 434 17 maxwell maxwell NOUN ejde-53 434 18 system system NOUN ejde-53 434 19 in in ADP ejde-53 434 20 r3 r3 PROPN ejde-53 434 21 , , PUNCT ejde-53 434 22 adv adv PROPN ejde-53 434 23 . . PUNCT ejde-53 434 24 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 434 25 stud stud PROPN ejde-53 434 26 . . PUNCT ejde-53 434 27 , , PUNCT ejde-53 434 28 6 6 NUM ejde-53 434 29 ( ( PUNCT ejde-53 434 30 2006 2006 NUM ejde-53 434 31 ) ) PUNCT ejde-53 434 32 , , PUNCT ejde-53 434 33 157–169 157–169 NUM ejde-53 434 34 . . PUNCT ejde-53 435 1 [ [ X ejde-53 435 2 23 23 NUM ejde-53 435 3 ] ] X ejde-53 435 4 j. j. PROPN ejde-53 435 5 su su PROPN ejde-53 435 6 , , PUNCT ejde-53 435 7 z. z. PROPN ejde-53 435 8 -q -q PROPN ejde-53 435 9 . . PROPN ejde-53 436 1 wang wang PROPN ejde-53 436 2 , , PUNCT ejde-53 436 3 m. m. PROPN ejde-53 436 4 willem willem PROPN ejde-53 436 5 ; ; PUNCT ejde-53 436 6 weighted weight VERB ejde-53 436 7 sobolev sobolev NOUN ejde-53 436 8 embedding embed VERB ejde-53 436 9 with with ADP ejde-53 436 10 unbounded unbounded ADJ ejde-53 436 11 and and CCONJ ejde-53 436 12 decaying decay VERB ejde-53 436 13 radial radial ADJ ejde-53 436 14 potential potential NOUN ejde-53 436 15 , , PUNCT ejde-53 436 16 j. j. PROPN ejde-53 436 17 differential differential PROPN ejde-53 436 18 equations equation NOUN ejde-53 436 19 , , PUNCT ejde-53 436 20 238 238 NUM ejde-53 436 21 ( ( PUNCT ejde-53 436 22 2007 2007 NUM ejde-53 436 23 ) ) PUNCT ejde-53 436 24 , , PUNCT ejde-53 436 25 201 201 NUM ejde-53 436 26 - - SYM ejde-53 436 27 219 219 NUM ejde-53 436 28 . . PUNCT ejde-53 437 1 [ [ X ejde-53 437 2 24 24 NUM ejde-53 437 3 ] ] X ejde-53 437 4 j. j. PROPN ejde-53 437 5 su su PROPN ejde-53 437 6 , , PUNCT ejde-53 437 7 z. z. PROPN ejde-53 437 8 -q -q PROPN ejde-53 437 9 . . PROPN ejde-53 438 1 wang wang PROPN ejde-53 438 2 ; ; PUNCT ejde-53 438 3 sobolev sobolev NOUN ejde-53 438 4 type type NOUN ejde-53 438 5 embedding embed VERB ejde-53 438 6 and and CCONJ ejde-53 438 7 quasilinear quasilinear VERB ejde-53 438 8 elliptic elliptic ADJ ejde-53 438 9 equations equation NOUN ejde-53 438 10 with with ADP ejde-53 438 11 radial radial ADJ ejde-53 438 12 potentials potential NOUN ejde-53 438 13 , , PUNCT ejde-53 438 14 j. j. PROPN ejde-53 438 15 differential differential PROPN ejde-53 438 16 equations equations PROPN ejde-53 438 17 , , PUNCT ejde-53 438 18 250 250 NUM ejde-53 438 19 ( ( PUNCT ejde-53 438 20 2011 2011 NUM ejde-53 438 21 ) ) PUNCT ejde-53 438 22 , , PUNCT ejde-53 438 23 223 223 NUM ejde-53 438 24 - - SYM ejde-53 438 25 242 242 NUM ejde-53 438 26 . . PUNCT ejde-53 439 1 [ [ X ejde-53 439 2 25 25 NUM ejde-53 439 3 ] ] PUNCT ejde-53 439 4 j. j. PROPN ejde-53 439 5 sun sun PROPN ejde-53 439 6 , , PUNCT ejde-53 439 7 s. s. PROPN ejde-53 439 8 ma ma PROPN ejde-53 439 9 ; ; PUNCT ejde-53 439 10 ground ground NOUN ejde-53 439 11 state state NOUN ejde-53 439 12 solutions solution NOUN ejde-53 439 13 for for ADP ejde-53 439 14 some some DET ejde-53 439 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 439 16 - - PUNCT ejde-53 439 17 poisson poisson NOUN ejde-53 439 18 systems system NOUN ejde-53 439 19 with with ADP ejde-53 439 20 periodic periodic ADJ ejde-53 439 21 potentials potential NOUN ejde-53 439 22 , , PUNCT ejde-53 439 23 j. j. PROPN ejde-53 439 24 differential differential PROPN ejde-53 439 25 equations equations PROPN ejde-53 439 26 , , PUNCT ejde-53 439 27 260 260 NUM ejde-53 439 28 ( ( PUNCT ejde-53 439 29 2016 2016 NUM ejde-53 439 30 ) ) PUNCT ejde-53 439 31 , , PUNCT ejde-53 439 32 2119–2149 2119–2149 NUM ejde-53 439 33 . . PUNCT ejde-53 440 1 [ [ X ejde-53 440 2 26 26 NUM ejde-53 440 3 ] ] X ejde-53 440 4 j. j. PROPN ejde-53 440 5 sun sun PROPN ejde-53 440 6 , , PUNCT ejde-53 440 7 t. t. PROPN ejde-53 440 8 f. f. PROPN ejde-53 440 9 wu wu PROPN ejde-53 440 10 , , PUNCT ejde-53 440 11 z. z. PROPN ejde-53 440 12 feng feng PROPN ejde-53 440 13 ; ; PUNCT ejde-53 440 14 multiplicity multiplicity NOUN ejde-53 440 15 of of ADP ejde-53 440 16 positive positive ADJ ejde-53 440 17 solutions solution NOUN ejde-53 440 18 for for ADP ejde-53 440 19 a a DET ejde-53 440 20 nonlinear nonlinear ADJ ejde-53 440 21 schrödingerpoisson schrödingerpoisson PROPN ejde-53 440 22 system system NOUN ejde-53 440 23 , , PUNCT ejde-53 440 24 j. j. PROPN ejde-53 440 25 differential differential PROPN ejde-53 440 26 equations equations PROPN ejde-53 440 27 , , PUNCT ejde-53 440 28 260 260 NUM ejde-53 440 29 ( ( PUNCT ejde-53 440 30 2016 2016 NUM ejde-53 440 31 ) ) PUNCT ejde-53 440 32 , , PUNCT ejde-53 440 33 586 586 NUM ejde-53 440 34 - - SYM ejde-53 440 35 627 627 NUM ejde-53 440 36 . . PUNCT ejde-53 441 1 [ [ X ejde-53 441 2 27 27 NUM ejde-53 441 3 ] ] PUNCT ejde-53 441 4 l. l. PROPN ejde-53 441 5 wang wang PROPN ejde-53 441 6 , , PUNCT ejde-53 441 7 s. s. PROPN ejde-53 441 8 ma ma PROPN ejde-53 441 9 , , PUNCT ejde-53 441 10 n. n. PROPN ejde-53 441 11 xu xu PROPN ejde-53 441 12 ; ; PUNCT ejde-53 441 13 multiple multiple ADJ ejde-53 441 14 solutions solution NOUN ejde-53 441 15 for for ADP ejde-53 441 16 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 441 17 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 441 18 - - PUNCT ejde-53 441 19 poisson poisson NOUN ejde-53 441 20 equations equation NOUN ejde-53 441 21 with with ADP ejde-53 441 22 sign sign NOUN ejde-53 441 23 - - PUNCT ejde-53 441 24 changing change VERB ejde-53 441 25 potential potential NOUN ejde-53 441 26 , , PUNCT ejde-53 441 27 acta acta PROPN ejde-53 441 28 math math PROPN ejde-53 441 29 . . PUNCT ejde-53 442 1 sci sci PROPN ejde-53 442 2 . . PUNCT ejde-53 442 3 ser ser PROPN ejde-53 442 4 . . PUNCT ejde-53 443 1 b b NUM ejde-53 443 2 , , PUNCT ejde-53 443 3 37 37 NUM ejde-53 443 4 ( ( PUNCT ejde-53 443 5 2017 2017 NUM ejde-53 443 6 ) ) PUNCT ejde-53 443 7 , , PUNCT ejde-53 443 8 555–572 555–572 NUM ejde-53 443 9 . . PUNCT ejde-53 444 1 [ [ X ejde-53 444 2 28 28 NUM ejde-53 444 3 ] ] X ejde-53 444 4 m. m. NOUN ejde-53 444 5 willem willem PROPN ejde-53 444 6 ; ; PUNCT ejde-53 444 7 minimax minimax NOUN ejde-53 444 8 theorems theorem NOUN ejde-53 444 9 , , PUNCT ejde-53 444 10 birkhäuser birkhäuser X ejde-53 444 11 boston boston PROPN ejde-53 444 12 , , PUNCT ejde-53 444 13 inc inc PROPN ejde-53 444 14 . . PROPN ejde-53 444 15 , , PUNCT ejde-53 444 16 boston boston PROPN ejde-53 444 17 , , PUNCT ejde-53 444 18 1996 1996 NUM ejde-53 444 19 . . PUNCT ejde-53 445 1 [ [ X ejde-53 445 2 29 29 NUM ejde-53 445 3 ] ] X ejde-53 445 4 m. m. NOUN ejde-53 445 5 willem willem PROPN ejde-53 445 6 ; ; PUNCT ejde-53 445 7 functional functional ADJ ejde-53 445 8 analysis analysis NOUN ejde-53 445 9 . . PUNCT ejde-53 446 1 fundamentals fundamental NOUN ejde-53 446 2 and and CCONJ ejde-53 446 3 applications application NOUN ejde-53 446 4 , , PUNCT ejde-53 446 5 birkhäuser birkhäuser NOUN ejde-53 446 6 / / SYM ejde-53 446 7 springer springer NOUN ejde-53 446 8 , , PUNCT ejde-53 446 9 new new PROPN ejde-53 446 10 york york PROPN ejde-53 446 11 , , PUNCT ejde-53 446 12 2013 2013 NUM ejde-53 446 13 . . PUNCT ejde-53 447 1 [ [ X ejde-53 447 2 30 30 NUM ejde-53 447 3 ] ] X ejde-53 447 4 y. y. NOUN ejde-53 447 5 ye ye PROPN ejde-53 447 6 ; ; PUNCT ejde-53 447 7 multiple multiple ADJ ejde-53 447 8 positive positive ADJ ejde-53 447 9 solutions solution NOUN ejde-53 447 10 for for ADP ejde-53 447 11 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 447 12 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 447 13 - - ADJ ejde-53 447 14 poisson poisson NOUN ejde-53 447 15 system system NOUN ejde-53 447 16 in in ADP ejde-53 447 17 r3 r3 PROPN ejde-53 447 18 , , PUNCT ejde-53 447 19 lith lith NOUN ejde-53 447 20 . . PUNCT ejde-53 448 1 math math NOUN ejde-53 448 2 . . PUNCT ejde-53 449 1 j. j. PROPN ejde-53 449 2 , , PUNCT ejde-53 449 3 60 60 NUM ejde-53 449 4 ( ( PUNCT ejde-53 449 5 2020 2020 NUM ejde-53 449 6 ) ) PUNCT ejde-53 449 7 , , PUNCT ejde-53 449 8 276–287 276–287 NUM ejde-53 449 9 . . PUNCT ejde-53 450 1 [ [ X ejde-53 450 2 31 31 NUM ejde-53 450 3 ] ] PUNCT ejde-53 450 4 l. l. PROPN ejde-53 450 5 -f -f PROPN ejde-53 450 6 . . PROPN ejde-53 450 7 yin yin PROPN ejde-53 450 8 , , PUNCT ejde-53 450 9 x. x. PUNCT ejde-53 451 1 -p -p PROPN ejde-53 451 2 . . PUNCT ejde-53 451 3 wu wu PROPN ejde-53 451 4 , , PUNCT ejde-53 451 5 c. c. PROPN ejde-53 451 6 -l -l PROPN ejde-53 451 7 . . PUNCT ejde-53 451 8 tang tang PROPN ejde-53 451 9 ; ; PUNCT ejde-53 451 10 ground ground NOUN ejde-53 451 11 state state NOUN ejde-53 451 12 solutions solution NOUN ejde-53 451 13 for for ADP ejde-53 451 14 an an DET ejde-53 451 15 asymptotically asymptotically ADV ejde-53 451 16 2 2 NUM ejde-53 451 17 - - PUNCT ejde-53 451 18 linear linear NOUN ejde-53 451 19 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 451 20 - - PUNCT ejde-53 451 21 poisson poisson NOUN ejde-53 451 22 system system NOUN ejde-53 451 23 , , PUNCT ejde-53 451 24 appl appl PROPN ejde-53 451 25 . . PROPN ejde-53 451 26 math math PROPN ejde-53 451 27 . . PUNCT ejde-53 452 1 lett lett PROPN ejde-53 452 2 . . PROPN ejde-53 452 3 , , PUNCT ejde-53 452 4 87 87 NUM ejde-53 452 5 ( ( PUNCT ejde-53 452 6 2019 2019 NUM ejde-53 452 7 ) ) PUNCT ejde-53 452 8 , , PUNCT ejde-53 452 9 7–12 7–12 PROPN ejde-53 452 10 . . PUNCT ejde-53 453 1 [ [ X ejde-53 453 2 32 32 NUM ejde-53 453 3 ] ] PUNCT ejde-53 453 4 j. j. PROPN ejde-53 453 5 zhang zhang PROPN ejde-53 453 6 , , PUNCT ejde-53 453 7 j. j. PROPN ejde-53 453 8 m. m. PROPN ejde-53 453 9 do do VERB ejde-53 453 10 ó ó NOUN ejde-53 453 11 , , PUNCT ejde-53 453 12 m. m. NOUN ejde-53 453 13 squassina squassina PROPN ejde-53 453 14 ; ; PUNCT ejde-53 453 15 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 453 16 - - PUNCT ejde-53 453 17 poisson poisson NOUN ejde-53 453 18 systems system NOUN ejde-53 453 19 with with ADP ejde-53 453 20 a a DET ejde-53 453 21 general general ADJ ejde-53 453 22 critical critical ADJ ejde-53 453 23 nonlinearity nonlinearity NOUN ejde-53 453 24 , , PUNCT ejde-53 453 25 commun commun PROPN ejde-53 453 26 . . PUNCT ejde-53 454 1 contemp contemp PROPN ejde-53 454 2 . . PUNCT ejde-53 455 1 math math NOUN ejde-53 455 2 . . PUNCT ejde-53 455 3 , , PUNCT ejde-53 455 4 19 19 NUM ejde-53 455 5 ( ( PUNCT ejde-53 455 6 2017 2017 NUM ejde-53 455 7 ) ) PUNCT ejde-53 455 8 , , PUNCT ejde-53 456 1 no no INTJ ejde-53 456 2 . . NOUN ejde-53 456 3 4 4 NUM ejde-53 456 4 , , PUNCT ejde-53 456 5 1650028 1650028 NUM ejde-53 456 6 , , PUNCT ejde-53 456 7 16 16 NUM ejde-53 456 8 pp pp NOUN ejde-53 456 9 . . PUNCT ejde-53 457 1 [ [ X ejde-53 457 2 33 33 NUM ejde-53 457 3 ] ] PUNCT ejde-53 457 4 q. q. PROPN ejde-53 457 5 zhang zhang PROPN ejde-53 457 6 , , PUNCT ejde-53 457 7 f. f. PROPN ejde-53 457 8 li li PROPN ejde-53 457 9 , , PUNCT ejde-53 457 10 z. z. PROPN ejde-53 457 11 liang liang PROPN ejde-53 457 12 ; ; PUNCT ejde-53 457 13 existence existence NOUN ejde-53 457 14 of of ADP ejde-53 457 15 multiple multiple ADJ ejde-53 457 16 positive positive ADJ ejde-53 457 17 solutions solution NOUN ejde-53 457 18 to to PART ejde-53 457 19 nonhomogeneous nonhomogeneous ADJ ejde-53 457 20 schrödinger schrödinger NOUN ejde-53 457 21 - - PUNCT ejde-53 457 22 poisson poisson NOUN ejde-53 457 23 system system NOUN ejde-53 457 24 , , PUNCT ejde-53 457 25 appl appl PROPN ejde-53 457 26 . . PROPN ejde-53 457 27 math math PROPN ejde-53 457 28 . . PUNCT ejde-53 458 1 comput comput NOUN ejde-53 458 2 . . PUNCT ejde-53 458 3 , , PUNCT ejde-53 458 4 259 259 NUM ejde-53 458 5 ( ( PUNCT ejde-53 458 6 2015 2015 NUM ejde-53 458 7 ) ) PUNCT ejde-53 458 8 , , PUNCT ejde-53 459 1 353–363 353–363 NUM ejde-53 459 2 . . PUNCT ejde-53 460 1 lanxin lanxin PROPN ejde-53 460 2 huang huang PROPN ejde-53 460 3 school school PROPN ejde-53 460 4 of of ADP ejde-53 460 5 mathematical mathematical ADJ ejde-53 460 6 sciences science NOUN ejde-53 460 7 , , PUNCT ejde-53 460 8 capital capital NOUN ejde-53 460 9 normal normal ADJ ejde-53 460 10 university university NOUN ejde-53 460 11 , , PUNCT ejde-53 460 12 beijing beijing PROPN ejde-53 460 13 100048 100048 NUM ejde-53 460 14 , , PUNCT ejde-53 460 15 china china PROPN ejde-53 460 16 email email NOUN ejde-53 460 17 address address NOUN ejde-53 460 18 : : PUNCT ejde-53 460 19 812419761@qq.com 812419761@qq.com NUM ejde-53 460 20 jiabao jiabao PROPN ejde-53 460 21 su su PROPN ejde-53 460 22 school school PROPN ejde-53 460 23 of of ADP ejde-53 460 24 mathematical mathematical ADJ ejde-53 460 25 sciences science NOUN ejde-53 460 26 , , PUNCT ejde-53 460 27 capital capital NOUN ejde-53 460 28 normal normal ADJ ejde-53 460 29 university university NOUN ejde-53 460 30 , , PUNCT ejde-53 460 31 beijing beijing PROPN ejde-53 460 32 100048 100048 NUM ejde-53 460 33 , , PUNCT ejde-53 460 34 china china PROPN ejde-53 460 35 email email NOUN ejde-53 460 36 address address NOUN ejde-53 460 37 : : PUNCT ejde-53 460 38 sujb@cnu.edu.cn sujb@cnu.edu.cn NOUN ejde-53 460 39 1 1 NUM ejde-53 460 40 . . PUNCT ejde-53 460 41 introduction introduction NOUN ejde-53 460 42 and and CCONJ ejde-53 460 43 statement statement NOUN ejde-53 460 44 of of ADP ejde-53 460 45 main main ADJ ejde-53 460 46 results result NOUN ejde-53 460 47 2 2 NUM ejde-53 460 48 . . PUNCT ejde-53 460 49 preliminaries preliminary NOUN ejde-53 460 50 3 3 NUM ejde-53 460 51 . . PUNCT ejde-53 460 52 a a DET ejde-53 460 53 solution solution NOUN ejde-53 460 54 with with ADP ejde-53 460 55 negative negative ADJ ejde-53 460 56 energy energy NOUN ejde-53 460 57 4 4 NUM ejde-53 460 58 . . PUNCT ejde-53 461 1 a a DET ejde-53 461 2 solution solution NOUN ejde-53 461 3 with with ADP ejde-53 461 4 positive positive ADJ ejde-53 461 5 energy energy NOUN ejde-53 461 6 4.1 4.1 NUM ejde-53 461 7 . . PUNCT ejde-53 462 1 case case NOUN ejde-53 462 2 6pp+2 6pp+2 NUM ejde-53 462 3 < < X ejde-53 462 4 q q X ejde-53 462 5 < < X ejde-53 462 6 p p X ejde-53 462 7 * * PROPN ejde-53 462 8 4.2 4.2 NUM ejde-53 462 9 . . PUNCT ejde-53 463 1 case case NOUN ejde-53 463 2 p p X ejde-53 463 3 < < X ejde-53 463 4 q q ADJ ejde-53 463 5 6pp+2 6pp+2 NUM ejde-53 463 6 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-53 463 7 references reference NOUN