id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-531	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-531	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-531	1	3	of	of	ADP
ejde-531	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-531	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-531	1	6	,	,	PUNCT
ejde-531	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-531	1	8	.	.	PUNCT
ejde-531	1	9	2020	2020	NUM
ejde-531	1	10	(	(	PUNCT
ejde-531	1	11	2020	2020	NUM
ejde-531	1	12	)	)	PUNCT
ejde-531	1	13	,	,	PUNCT
ejde-531	1	14	no	no	INTJ
ejde-531	1	15	.	.	NOUN
ejde-531	1	16	107	107	NUM
ejde-531	1	17	,	,	PUNCT
ejde-531	1	18	pp	pp	PROPN
ejde-531	1	19	.	.	PUNCT
ejde-531	2	1	1–16	1–16	PROPN
ejde-531	2	2	.	.	PUNCT
ejde-531	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-531	3	2	:	:	PUNCT
ejde-531	3	3	1072	1072	NUM
ejde-531	3	4	-	-	SYM
ejde-531	3	5	6691	6691	NUM
ejde-531	3	6	.	.	PUNCT
ejde-531	4	1	url	url	PROPN
ejde-531	4	2	:	:	PUNCT
ejde-531	4	3	http://ejde.math.txstate.edu	http://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-531	4	4	or	or	CCONJ
ejde-531	4	5	http://ejde.math.unt.edu	http://ejde.math.unt.edu	VERB
ejde-531	4	6	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	4	7	problem	problem	NOUN
ejde-531	4	8	for	for	ADP
ejde-531	4	9	second	second	ADJ
ejde-531	4	10	-	-	PUNCT
ejde-531	4	11	order	order	NOUN
ejde-531	4	12	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	4	13	differential	differential	NOUN
ejde-531	4	14	equations	equation	NOUN
ejde-531	4	15	giovanni	giovanni	PROPN
ejde-531	4	16	dore	dore	PROPN
ejde-531	4	17	abstract	abstract	PROPN
ejde-531	4	18	.	.	PUNCT
ejde-531	5	1	we	we	PRON
ejde-531	5	2	study	study	VERB
ejde-531	5	3	the	the	DET
ejde-531	5	4	well	well	NOUN
ejde-531	5	5	-	-	PUNCT
ejde-531	5	6	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	5	7	in	in	ADP
ejde-531	5	8	the	the	DET
ejde-531	5	9	space	space	NOUN
ejde-531	5	10	of	of	ADP
ejde-531	5	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	5	12	functions	function	NOUN
ejde-531	5	13	of	of	ADP
ejde-531	5	14	the	the	DET
ejde-531	5	15	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	5	16	boundary	boundary	PROPN
ejde-531	5	17	value	value	NOUN
ejde-531	5	18	problem	problem	NOUN
ejde-531	5	19	for	for	ADP
ejde-531	5	20	a	a	DET
ejde-531	5	21	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-531	5	22	linear	linear	ADJ
ejde-531	5	23	secondorder	secondorder	NOUN
ejde-531	5	24	differential	differential	NOUN
ejde-531	5	25	equation	equation	NOUN
ejde-531	5	26	u′′	u′′	PROPN
ejde-531	5	27	+	+	CCONJ
ejde-531	5	28	au	au	X
ejde-531	5	29	=	=	ADJ
ejde-531	5	30	0	0	PROPN
ejde-531	5	31	,	,	PUNCT
ejde-531	5	32	where	where	SCONJ
ejde-531	5	33	a	a	PRON
ejde-531	5	34	is	be	AUX
ejde-531	5	35	a	a	DET
ejde-531	5	36	linear	linear	NOUN
ejde-531	5	37	closed	close	VERB
ejde-531	5	38	densely	densely	ADV
ejde-531	5	39	defined	define	VERB
ejde-531	5	40	operator	operator	NOUN
ejde-531	5	41	in	in	ADP
ejde-531	5	42	a	a	DET
ejde-531	5	43	banach	banach	NOUN
ejde-531	5	44	space	space	NOUN
ejde-531	5	45	.	.	PUNCT
ejde-531	6	1	we	we	PRON
ejde-531	6	2	give	give	VERB
ejde-531	6	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	6	4	conditions	condition	NOUN
ejde-531	6	5	for	for	ADP
ejde-531	6	6	the	the	DET
ejde-531	6	7	wellposedness	wellposedness	NOUN
ejde-531	6	8	,	,	PUNCT
ejde-531	6	9	in	in	ADP
ejde-531	6	10	terms	term	NOUN
ejde-531	6	11	of	of	ADP
ejde-531	6	12	the	the	DET
ejde-531	6	13	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	6	14	operator	operator	NOUN
ejde-531	6	15	of	of	ADP
ejde-531	6	16	a.	a.	NOUN
ejde-531	6	17	in	in	ADP
ejde-531	6	18	particular	particular	ADJ
ejde-531	6	19	we	we	PRON
ejde-531	6	20	obtain	obtain	VERB
ejde-531	6	21	an	an	DET
ejde-531	6	22	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	6	23	on	on	ADP
ejde-531	6	24	the	the	DET
ejde-531	6	25	norm	norm	NOUN
ejde-531	6	26	of	of	ADP
ejde-531	6	27	the	the	DET
ejde-531	6	28	resolvent	resolvent	NOUN
ejde-531	6	29	at	at	ADP
ejde-531	6	30	the	the	DET
ejde-531	6	31	points	point	NOUN
ejde-531	6	32	k2	k2	NOUN
ejde-531	6	33	,	,	PUNCT
ejde-531	6	34	where	where	SCONJ
ejde-531	6	35	k	k	PROPN
ejde-531	6	36	is	be	AUX
ejde-531	6	37	a	a	DET
ejde-531	6	38	positive	positive	ADJ
ejde-531	6	39	integer	integer	NOUN
ejde-531	6	40	,	,	PUNCT
ejde-531	6	41	and	and	CCONJ
ejde-531	6	42	we	we	PRON
ejde-531	6	43	show	show	VERB
ejde-531	6	44	that	that	SCONJ
ejde-531	6	45	this	this	DET
ejde-531	6	46	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	6	47	is	be	AUX
ejde-531	6	48	the	the	DET
ejde-531	6	49	best	good	ADJ
ejde-531	6	50	possible	possible	ADJ
ejde-531	6	51	one	one	NUM
ejde-531	6	52	,	,	PUNCT
ejde-531	6	53	but	but	CCONJ
ejde-531	6	54	it	it	PRON
ejde-531	6	55	is	be	AUX
ejde-531	6	56	not	not	PART
ejde-531	6	57	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-531	6	58	for	for	ADP
ejde-531	6	59	the	the	DET
ejde-531	6	60	well	well	NOUN
ejde-531	6	61	-	-	PUNCT
ejde-531	6	62	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	6	63	of	of	ADP
ejde-531	6	64	the	the	DET
ejde-531	6	65	problem	problem	NOUN
ejde-531	6	66	.	.	PUNCT
ejde-531	7	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	7	2	we	we	PRON
ejde-531	7	3	characterize	characterize	VERB
ejde-531	7	4	the	the	DET
ejde-531	7	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	7	6	operators	operator	NOUN
ejde-531	7	7	for	for	ADP
ejde-531	7	8	which	which	PRON
ejde-531	7	9	the	the	DET
ejde-531	7	10	problem	problem	NOUN
ejde-531	7	11	is	be	AUX
ejde-531	7	12	well	well	ADV
ejde-531	7	13	-	-	PUNCT
ejde-531	7	14	posed	pose	VERB
ejde-531	7	15	.	.	PUNCT
ejde-531	8	1	1	1	X
ejde-531	8	2	.	.	X
ejde-531	8	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-531	8	4	we	we	PRON
ejde-531	8	5	consider	consider	VERB
ejde-531	8	6	the	the	DET
ejde-531	8	7	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	8	8	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	8	9	value	value	NOUN
ejde-531	8	10	problem	problem	NOUN
ejde-531	8	11	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	8	12	)	)	PUNCT
ejde-531	8	13	+	+	NOUN
ejde-531	8	14	au(t	au(t	NUM
ejde-531	8	15	)	)	PUNCT
ejde-531	9	1	=	=	SYM
ejde-531	9	2	0	0	NUM
ejde-531	9	3	,	,	PUNCT
ejde-531	9	4	t	t	PROPN
ejde-531	9	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	10	1	[	[	X
ejde-531	10	2	0	0	NUM
ejde-531	10	3	,	,	PUNCT
ejde-531	10	4	π	π	NOUN
ejde-531	10	5	]	]	X
ejde-531	10	6	,	,	PUNCT
ejde-531	10	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	10	8	)	)	PUNCT
ejde-531	10	9	=	=	SYM
ejde-531	10	10	x0	x0	PROPN
ejde-531	10	11	,	,	PUNCT
ejde-531	10	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	10	13	)	)	PUNCT
ejde-531	10	14	=	=	PRON
ejde-531	11	1	xπ	xπ	NOUN
ejde-531	11	2	.	.	PUNCT
ejde-531	12	1	where	where	SCONJ
ejde-531	12	2	a	a	PRON
ejde-531	12	3	is	be	AUX
ejde-531	12	4	a	a	DET
ejde-531	12	5	linear	linear	NOUN
ejde-531	12	6	closed	close	VERB
ejde-531	12	7	densely	densely	ADV
ejde-531	12	8	defined	define	VERB
ejde-531	12	9	operator	operator	NOUN
ejde-531	12	10	in	in	ADP
ejde-531	12	11	a	a	DET
ejde-531	12	12	(	(	PUNCT
ejde-531	12	13	real	real	ADJ
ejde-531	12	14	or	or	CCONJ
ejde-531	12	15	complex	complex	ADJ
ejde-531	12	16	)	)	PUNCT
ejde-531	12	17	banach	banach	NOUN
ejde-531	12	18	space	space	NOUN
ejde-531	12	19	.	.	PUNCT
ejde-531	13	1	we	we	PRON
ejde-531	13	2	are	be	AUX
ejde-531	13	3	interested	interested	ADJ
ejde-531	13	4	in	in	ADP
ejde-531	13	5	the	the	DET
ejde-531	13	6	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	13	7	well	well	ADJ
ejde-531	13	8	-	-	PUNCT
ejde-531	13	9	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	13	10	of	of	ADP
ejde-531	13	11	the	the	DET
ejde-531	13	12	problem	problem	NOUN
ejde-531	13	13	in	in	ADP
ejde-531	13	14	the	the	DET
ejde-531	13	15	sense	sense	NOUN
ejde-531	13	16	of	of	ADP
ejde-531	13	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	13	18	functions	function	NOUN
ejde-531	13	19	,	,	PUNCT
ejde-531	13	20	that	that	PRON
ejde-531	13	21	is	is	ADV
ejde-531	13	22	we	we	PRON
ejde-531	13	23	ask	ask	VERB
ejde-531	13	24	that	that	SCONJ
ejde-531	13	25	for	for	ADP
ejde-531	13	26	every	every	DET
ejde-531	13	27	x0	x0	PROPN
ejde-531	13	28	,	,	PUNCT
ejde-531	13	29	xπ	xπ	ADP
ejde-531	13	30	in	in	ADP
ejde-531	13	31	the	the	DET
ejde-531	13	32	domain	domain	NOUN
ejde-531	13	33	of	of	ADP
ejde-531	13	34	a	a	PRON
ejde-531	13	35	there	there	PRON
ejde-531	13	36	exists	exist	VERB
ejde-531	13	37	a	a	DET
ejde-531	13	38	unique	unique	ADJ
ejde-531	13	39	solution	solution	NOUN
ejde-531	13	40	u	u	NOUN
ejde-531	13	41	such	such	ADJ
ejde-531	13	42	that	that	SCONJ
ejde-531	13	43	au	au	ADV
ejde-531	13	44	and	and	CCONJ
ejde-531	13	45	u′′	u′′	PROPN
ejde-531	13	46	are	be	AUX
ejde-531	13	47	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	13	48	;	;	PUNCT
ejde-531	13	49	moreover	moreover	ADV
ejde-531	13	50	we	we	PRON
ejde-531	13	51	require	require	VERB
ejde-531	13	52	that	that	SCONJ
ejde-531	13	53	the	the	DET
ejde-531	13	54	solution	solution	NOUN
ejde-531	13	55	depends	depend	VERB
ejde-531	13	56	continuously	continuously	ADV
ejde-531	13	57	on	on	ADP
ejde-531	13	58	the	the	DET
ejde-531	13	59	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	13	60	values	value	NOUN
ejde-531	13	61	.	.	PUNCT
ejde-531	14	1	unlike	unlike	ADP
ejde-531	14	2	most	most	ADJ
ejde-531	14	3	of	of	ADP
ejde-531	14	4	the	the	DET
ejde-531	14	5	articles	article	NOUN
ejde-531	14	6	about	about	ADP
ejde-531	14	7	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	14	8	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	14	9	problems	problem	NOUN
ejde-531	14	10	,	,	PUNCT
ejde-531	14	11	we	we	PRON
ejde-531	14	12	do	do	AUX
ejde-531	14	13	not	not	PART
ejde-531	14	14	suppose	suppose	VERB
ejde-531	14	15	that	that	SCONJ
ejde-531	14	16	−a	−a	NOUN
ejde-531	14	17	is	be	AUX
ejde-531	14	18	a	a	DET
ejde-531	14	19	positive	positive	ADJ
ejde-531	14	20	operator	operator	NOUN
ejde-531	14	21	.	.	PUNCT
ejde-531	15	1	we	we	PRON
ejde-531	15	2	give	give	VERB
ejde-531	15	3	some	some	DET
ejde-531	15	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	15	5	conditions	condition	NOUN
ejde-531	15	6	for	for	ADP
ejde-531	15	7	the	the	DET
ejde-531	15	8	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	15	9	well	well	ADV
ejde-531	15	10	-	-	PUNCT
ejde-531	15	11	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	15	12	in	in	ADP
ejde-531	15	13	terms	term	NOUN
ejde-531	15	14	of	of	ADP
ejde-531	15	15	the	the	DET
ejde-531	15	16	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	15	17	operator	operator	NOUN
ejde-531	15	18	of	of	ADP
ejde-531	15	19	a	a	PRON
ejde-531	15	20	,	,	PUNCT
ejde-531	15	21	in	in	ADP
ejde-531	15	22	particular	particular	ADJ
ejde-531	15	23	we	we	PRON
ejde-531	15	24	prove	prove	VERB
ejde-531	15	25	that	that	SCONJ
ejde-531	15	26	if	if	SCONJ
ejde-531	15	27	the	the	DET
ejde-531	15	28	problem	problem	NOUN
ejde-531	15	29	is	be	AUX
ejde-531	15	30	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	15	31	well	well	ADV
ejde-531	15	32	-	-	PUNCT
ejde-531	15	33	posed	pose	VERB
ejde-531	15	34	then	then	ADV
ejde-531	15	35	k2	k2	PROPN
ejde-531	15	36	belongs	belong	VERB
ejde-531	15	37	to	to	ADP
ejde-531	15	38	the	the	DET
ejde-531	15	39	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	15	40	set	set	NOUN
ejde-531	15	41	of	of	ADP
ejde-531	15	42	a	a	PRON
ejde-531	15	43	for	for	ADP
ejde-531	15	44	every	every	DET
ejde-531	15	45	positive	positive	ADJ
ejde-531	15	46	integer	integer	NOUN
ejde-531	15	47	k	k	PROPN
ejde-531	15	48	and	and	CCONJ
ejde-531	16	1	(	(	PUNCT
ejde-531	16	2	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	16	3	−	−	PROPN
ejde-531	16	4	a)−1	a)−1	NOUN
ejde-531	16	5	has	have	VERB
ejde-531	16	6	norm	norm	NOUN
ejde-531	16	7	bounded	bound	VERB
ejde-531	16	8	by	by	ADP
ejde-531	16	9	c	c	PROPN
ejde-531	16	10	/	/	SYM
ejde-531	16	11	k	k	PROPN
ejde-531	16	12	for	for	ADP
ejde-531	16	13	a	a	DET
ejde-531	16	14	suitable	suitable	ADJ
ejde-531	16	15	c	c	NOUN
ejde-531	16	16	∈	∈	PROPN
ejde-531	16	17	r+	r+	NOUN
ejde-531	16	18	.	.	PUNCT
ejde-531	17	1	we	we	PRON
ejde-531	17	2	give	give	VERB
ejde-531	17	3	examples	example	NOUN
ejde-531	17	4	showing	show	VERB
ejde-531	17	5	that	that	SCONJ
ejde-531	17	6	this	this	PRON
ejde-531	17	7	is	be	AUX
ejde-531	17	8	the	the	DET
ejde-531	17	9	best	well	ADV
ejde-531	17	10	possible	possible	ADJ
ejde-531	17	11	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	17	12	of	of	ADP
ejde-531	17	13	the	the	DET
ejde-531	17	14	resolvent	resolvent	NOUN
ejde-531	17	15	,	,	PUNCT
ejde-531	17	16	but	but	CCONJ
ejde-531	17	17	it	it	PRON
ejde-531	17	18	is	be	AUX
ejde-531	17	19	not	not	PART
ejde-531	17	20	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-531	17	21	for	for	ADP
ejde-531	17	22	the	the	DET
ejde-531	17	23	well	well	NOUN
ejde-531	17	24	-	-	PUNCT
ejde-531	17	25	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	17	26	.	.	PUNCT
ejde-531	18	1	finally	finally	ADV
ejde-531	18	2	we	we	PRON
ejde-531	18	3	show	show	VERB
ejde-531	18	4	that	that	SCONJ
ejde-531	18	5	if	if	SCONJ
ejde-531	18	6	a	a	PRON
ejde-531	18	7	is	be	AUX
ejde-531	18	8	bounded	bound	VERB
ejde-531	18	9	then	then	ADV
ejde-531	18	10	there	there	PRON
ejde-531	18	11	is	be	VERB
ejde-531	18	12	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	18	13	well	well	ADJ
ejde-531	18	14	-	-	PUNCT
ejde-531	18	15	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	18	16	if	if	SCONJ
ejde-531	18	17	and	and	CCONJ
ejde-531	18	18	only	only	ADV
ejde-531	18	19	if	if	SCONJ
ejde-531	18	20	k2	k2	PROPN
ejde-531	18	21	belongs	belong	VERB
ejde-531	18	22	to	to	ADP
ejde-531	18	23	the	the	DET
ejde-531	18	24	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	18	25	set	set	NOUN
ejde-531	18	26	of	of	ADP
ejde-531	18	27	a	a	PRON
ejde-531	18	28	for	for	ADP
ejde-531	18	29	every	every	DET
ejde-531	18	30	positive	positive	ADJ
ejde-531	18	31	integer	integer	NOUN
ejde-531	18	32	k.	k.	PROPN
ejde-531	19	1	the	the	DET
ejde-531	19	2	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	19	3	problem	problem	NOUN
ejde-531	19	4	for	for	ADP
ejde-531	19	5	an	an	DET
ejde-531	19	6	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	19	7	second	second	ADJ
ejde-531	19	8	order	order	NOUN
ejde-531	19	9	equation	equation	NOUN
ejde-531	19	10	(	(	PUNCT
ejde-531	19	11	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-531	19	12	or	or	CCONJ
ejde-531	19	13	non	non	ADJ
ejde-531	19	14	-	-	ADJ
ejde-531	19	15	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-531	19	16	)	)	PUNCT
ejde-531	19	17	has	have	AUX
ejde-531	19	18	been	be	AUX
ejde-531	19	19	studied	study	VERB
ejde-531	19	20	in	in	ADP
ejde-531	19	21	various	various	ADJ
ejde-531	19	22	papers	paper	NOUN
ejde-531	19	23	.	.	PUNCT
ejde-531	20	1	usually	usually	ADV
ejde-531	20	2	it	it	PRON
ejde-531	20	3	is	be	AUX
ejde-531	20	4	supposed	suppose	VERB
ejde-531	20	5	that	that	SCONJ
ejde-531	20	6	2010	2010	NUM
ejde-531	20	7	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-531	20	8	subject	subject	ADJ
ejde-531	20	9	classification	classification	NOUN
ejde-531	20	10	.	.	PUNCT
ejde-531	21	1	34g10	34g10	NUM
ejde-531	21	2	.	.	PUNCT
ejde-531	22	1	key	key	ADJ
ejde-531	22	2	words	word	NOUN
ejde-531	22	3	and	and	CCONJ
ejde-531	22	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-531	22	5	.	.	PUNCT
ejde-531	23	1	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	23	2	value	value	NOUN
ejde-531	23	3	problem	problem	NOUN
ejde-531	23	4	;	;	PUNCT
ejde-531	23	5	differential	differential	ADJ
ejde-531	23	6	equations	equation	NOUN
ejde-531	23	7	in	in	ADP
ejde-531	23	8	banach	banach	NOUN
ejde-531	23	9	spaces	space	NOUN
ejde-531	23	10	.	.	PUNCT
ejde-531	24	1	c	c	X
ejde-531	24	2	©	©	PROPN
ejde-531	24	3	2020	2020	NUM
ejde-531	24	4	texas	texas	PROPN
ejde-531	24	5	state	state	PROPN
ejde-531	24	6	university	university	PROPN
ejde-531	24	7	.	.	PUNCT
ejde-531	25	1	submitted	submit	VERB
ejde-531	25	2	august	august	PROPN
ejde-531	25	3	19	19	NUM
ejde-531	25	4	,	,	PUNCT
ejde-531	25	5	2018	2018	NUM
ejde-531	25	6	.	.	PUNCT
ejde-531	26	1	published	publish	VERB
ejde-531	26	2	october	october	PROPN
ejde-531	26	3	29	29	NUM
ejde-531	26	4	,	,	PUNCT
ejde-531	26	5	2020	2020	NUM
ejde-531	26	6	.	.	PUNCT
ejde-531	27	1	1	1	NUM
ejde-531	27	2	2	2	NUM
ejde-531	27	3	g.	g.	NOUN
ejde-531	27	4	dore	dore	PROPN
ejde-531	27	5	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	27	6	−a	−a	NOUN
ejde-531	27	7	is	be	AUX
ejde-531	27	8	a	a	DET
ejde-531	27	9	positive	positive	ADJ
ejde-531	27	10	operator	operator	NOUN
ejde-531	27	11	,	,	PUNCT
ejde-531	27	12	we	we	PRON
ejde-531	27	13	refer	refer	VERB
ejde-531	27	14	to	to	ADP
ejde-531	27	15	section	section	NOUN
ejde-531	27	16	4	4	NUM
ejde-531	27	17	of	of	ADP
ejde-531	27	18	the	the	DET
ejde-531	27	19	review	review	NOUN
ejde-531	27	20	paper	paper	NOUN
ejde-531	27	21	[	[	X
ejde-531	27	22	2	2	NUM
ejde-531	27	23	]	]	PUNCT
ejde-531	27	24	,	,	PUNCT
ejde-531	27	25	and	and	CCONJ
ejde-531	27	26	the	the	DET
ejde-531	27	27	articles	article	NOUN
ejde-531	27	28	quoted	quote	VERB
ejde-531	27	29	therein	therein	ADV
ejde-531	27	30	.	.	PUNCT
ejde-531	28	1	in	in	ADP
ejde-531	28	2	[	[	X
ejde-531	28	3	1	1	NUM
ejde-531	28	4	]	]	PUNCT
ejde-531	28	5	and	and	CCONJ
ejde-531	28	6	[	[	X
ejde-531	28	7	3	3	NUM
ejde-531	28	8	]	]	X
ejde-531	28	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-531	28	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	28	11	in	in	ADP
ejde-531	28	12	the	the	DET
ejde-531	28	13	lp	lp	ADJ
ejde-531	28	14	sense	sense	NOUN
ejde-531	28	15	for	for	ADP
ejde-531	28	16	the	the	DET
ejde-531	28	17	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	28	18	problem	problem	NOUN
ejde-531	28	19	for	for	ADP
ejde-531	28	20	the	the	DET
ejde-531	28	21	non	non	ADJ
ejde-531	28	22	-	-	ADJ
ejde-531	28	23	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-531	28	24	equation	equation	NOUN
ejde-531	28	25	u′′	u′′	PROPN
ejde-531	28	26	+	+	PROPN
ejde-531	28	27	au	au	NOUN
ejde-531	28	28	=	=	SYM
ejde-531	28	29	f	f	PROPN
ejde-531	28	30	is	be	AUX
ejde-531	28	31	characterized	characterize	VERB
ejde-531	28	32	.	.	PUNCT
ejde-531	29	1	in	in	ADP
ejde-531	29	2	[	[	X
ejde-531	29	3	3	3	X
ejde-531	29	4	]	]	X
ejde-531	29	5	it	it	PRON
ejde-531	29	6	is	be	AUX
ejde-531	29	7	supposed	suppose	VERB
ejde-531	29	8	that	that	SCONJ
ejde-531	29	9	a	a	DET
ejde-531	29	10	=	=	SYM
ejde-531	29	11	−b2	−b2	PROPN
ejde-531	29	12	,	,	PUNCT
ejde-531	29	13	where	where	SCONJ
ejde-531	29	14	b	b	NOUN
ejde-531	29	15	is	be	AUX
ejde-531	29	16	the	the	DET
ejde-531	29	17	generator	generator	NOUN
ejde-531	29	18	of	of	ADP
ejde-531	29	19	an	an	DET
ejde-531	29	20	exponentially	exponentially	ADV
ejde-531	29	21	stable	stable	ADJ
ejde-531	29	22	analytic	analytic	ADJ
ejde-531	29	23	semigroup	semigroup	NOUN
ejde-531	29	24	.	.	PUNCT
ejde-531	30	1	they	they	PRON
ejde-531	30	2	prove	prove	VERB
ejde-531	30	3	(	(	PUNCT
ejde-531	30	4	see	see	VERB
ejde-531	30	5	corollary	corollary	ADJ
ejde-531	30	6	3.4	3.4	NUM
ejde-531	30	7	)	)	PUNCT
ejde-531	30	8	that	that	PRON
ejde-531	30	9	,	,	PUNCT
ejde-531	30	10	if	if	SCONJ
ejde-531	30	11	there	there	PRON
ejde-531	30	12	is	be	VERB
ejde-531	30	13	maximal	maximal	ADJ
ejde-531	30	14	lp	lp	ADJ
ejde-531	30	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	30	16	for	for	ADP
ejde-531	30	17	the	the	DET
ejde-531	30	18	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-531	30	19	problem	problem	NOUN
ejde-531	30	20	for	for	ADP
ejde-531	30	21	the	the	DET
ejde-531	30	22	first	first	ADJ
ejde-531	30	23	order	order	NOUN
ejde-531	30	24	equation	equation	NOUN
ejde-531	30	25	u′	u′	PRON
ejde-531	30	26	−	−	PROPN
ejde-531	30	27	bu	bu	PROPN
ejde-531	30	28	=	=	SYM
ejde-531	30	29	f	f	PROPN
ejde-531	30	30	,	,	PUNCT
ejde-531	30	31	then	then	ADV
ejde-531	30	32	there	there	PRON
ejde-531	30	33	is	be	VERB
ejde-531	30	34	maximal	maximal	ADJ
ejde-531	30	35	lp	lp	ADJ
ejde-531	30	36	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	30	37	for	for	ADP
ejde-531	30	38	the	the	DET
ejde-531	30	39	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	30	40	problem	problem	NOUN
ejde-531	30	41	.	.	PUNCT
ejde-531	31	1	in	in	ADP
ejde-531	31	2	umd	umd	PROPN
ejde-531	31	3	spaces	space	VERB
ejde-531	31	4	the	the	DET
ejde-531	31	5	converse	converse	PROPN
ejde-531	31	6	implication	implication	NOUN
ejde-531	31	7	holds	hold	VERB
ejde-531	31	8	.	.	PUNCT
ejde-531	32	1	in	in	ADP
ejde-531	32	2	[	[	X
ejde-531	32	3	1	1	NUM
ejde-531	32	4	,	,	PUNCT
ejde-531	32	5	theorem	theorem	VERB
ejde-531	32	6	6.3	6.3	NUM
ejde-531	32	7	]	]	PUNCT
ejde-531	32	8	the	the	DET
ejde-531	32	9	authors	author	NOUN
ejde-531	32	10	prove	prove	VERB
ejde-531	32	11	that	that	SCONJ
ejde-531	32	12	if	if	SCONJ
ejde-531	32	13	a	a	PRON
ejde-531	32	14	is	be	AUX
ejde-531	32	15	an	an	DET
ejde-531	32	16	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-531	32	17	closed	closed	ADJ
ejde-531	32	18	operator	operator	NOUN
ejde-531	32	19	in	in	ADP
ejde-531	32	20	a	a	DET
ejde-531	32	21	umd	umd	ADJ
ejde-531	32	22	space	space	NOUN
ejde-531	32	23	,	,	PUNCT
ejde-531	32	24	then	then	ADV
ejde-531	32	25	there	there	PRON
ejde-531	32	26	is	be	VERB
ejde-531	32	27	maximal	maximal	ADJ
ejde-531	32	28	lp	lp	ADJ
ejde-531	32	29	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	32	30	for	for	ADP
ejde-531	32	31	the	the	DET
ejde-531	32	32	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	32	33	problem	problem	NOUN
ejde-531	32	34	if	if	SCONJ
ejde-531	32	35	and	and	CCONJ
ejde-531	32	36	only	only	ADV
ejde-531	32	37	if	if	SCONJ
ejde-531	32	38	k2	k2	PROPN
ejde-531	32	39	belongs	belong	VERB
ejde-531	32	40	to	to	ADP
ejde-531	32	41	the	the	DET
ejde-531	32	42	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	32	43	set	set	NOUN
ejde-531	32	44	of	of	ADP
ejde-531	32	45	a	a	PRON
ejde-531	32	46	for	for	ADP
ejde-531	32	47	every	every	DET
ejde-531	32	48	positive	positive	ADJ
ejde-531	32	49	integer	integer	NOUN
ejde-531	32	50	k	k	PROPN
ejde-531	32	51	and	and	CCONJ
ejde-531	32	52	{	{	PUNCT
ejde-531	32	53	k2(k2i	k2(k2i	VERB
ejde-531	32	54	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	32	55	∣∣	∣∣	X
ejde-531	32	56	k	k	PROPN
ejde-531	32	57	∈	∈	PROPN
ejde-531	32	58	n	n	CCONJ
ejde-531	32	59	}	}	PUNCT
ejde-531	32	60	is	be	AUX
ejde-531	32	61	r	r	NOUN
ejde-531	32	62	-	-	PUNCT
ejde-531	32	63	bounded	bound	VERB
ejde-531	32	64	.	.	PUNCT
ejde-531	33	1	we	we	PRON
ejde-531	33	2	recall	recall	VERB
ejde-531	33	3	also	also	ADV
ejde-531	33	4	[	[	X
ejde-531	33	5	6	6	NUM
ejde-531	33	6	]	]	PUNCT
ejde-531	33	7	and	and	CCONJ
ejde-531	33	8	[	[	X
ejde-531	33	9	5	5	NUM
ejde-531	33	10	]	]	PUNCT
ejde-531	33	11	where	where	SCONJ
ejde-531	33	12	the	the	DET
ejde-531	33	13	existence	existence	NOUN
ejde-531	33	14	of	of	ADP
ejde-531	33	15	solutions	solution	NOUN
ejde-531	33	16	of	of	ADP
ejde-531	33	17	the	the	DET
ejde-531	33	18	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	33	19	problem	problem	NOUN
ejde-531	33	20	for	for	ADP
ejde-531	33	21	particular	particular	ADJ
ejde-531	33	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	33	23	values	value	NOUN
ejde-531	33	24	is	be	AUX
ejde-531	33	25	studied	study	VERB
ejde-531	33	26	under	under	ADP
ejde-531	33	27	the	the	DET
ejde-531	33	28	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-531	33	29	that	that	PRON
ejde-531	33	30	a	a	PRON
ejde-531	33	31	is	be	AUX
ejde-531	33	32	a	a	DET
ejde-531	33	33	positive	positive	ADJ
ejde-531	33	34	self	self	NOUN
ejde-531	33	35	-	-	PUNCT
ejde-531	33	36	adjoint	adjoint	NOUN
ejde-531	33	37	operator	operator	NOUN
ejde-531	33	38	in	in	ADP
ejde-531	33	39	a	a	DET
ejde-531	33	40	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-531	33	41	space	space	NOUN
ejde-531	33	42	.	.	PUNCT
ejde-531	34	1	this	this	DET
ejde-531	34	2	paper	paper	NOUN
ejde-531	34	3	is	be	AUX
ejde-531	34	4	organized	organize	VERB
ejde-531	34	5	as	as	SCONJ
ejde-531	34	6	follows	follow	VERB
ejde-531	34	7	.	.	PUNCT
ejde-531	35	1	in	in	ADP
ejde-531	35	2	section	section	NOUN
ejde-531	35	3	2	2	NUM
ejde-531	35	4	we	we	PRON
ejde-531	35	5	show	show	VERB
ejde-531	35	6	that	that	SCONJ
ejde-531	35	7	the	the	DET
ejde-531	35	8	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	35	9	well	well	ADJ
ejde-531	35	10	-	-	PUNCT
ejde-531	35	11	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	35	12	of	of	ADP
ejde-531	35	13	the	the	DET
ejde-531	35	14	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	35	15	problem	problem	NOUN
ejde-531	35	16	is	be	AUX
ejde-531	35	17	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-531	35	18	to	to	ADP
ejde-531	35	19	the	the	DET
ejde-531	35	20	existence	existence	NOUN
ejde-531	35	21	of	of	ADP
ejde-531	35	22	a	a	DET
ejde-531	35	23	suitable	suitable	ADJ
ejde-531	35	24	strongly	strongly	ADV
ejde-531	35	25	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	35	26	operator	operator	NOUN
ejde-531	35	27	valued	value	VERB
ejde-531	35	28	function	function	NOUN
ejde-531	35	29	.	.	PUNCT
ejde-531	36	1	in	in	ADP
ejde-531	36	2	section	section	NOUN
ejde-531	36	3	3	3	NUM
ejde-531	36	4	we	we	PRON
ejde-531	36	5	give	give	VERB
ejde-531	36	6	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	36	7	conditions	condition	NOUN
ejde-531	36	8	for	for	ADP
ejde-531	36	9	the	the	DET
ejde-531	36	10	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	36	11	well	well	ADJ
ejde-531	36	12	-	-	PUNCT
ejde-531	36	13	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	36	14	.	.	PUNCT
ejde-531	37	1	section	section	NOUN
ejde-531	37	2	4	4	NUM
ejde-531	37	3	contains	contain	VERB
ejde-531	37	4	two	two	NUM
ejde-531	37	5	examples	example	NOUN
ejde-531	37	6	showing	show	VERB
ejde-531	37	7	that	that	SCONJ
ejde-531	37	8	the	the	DET
ejde-531	37	9	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	37	10	on	on	ADP
ejde-531	37	11	the	the	DET
ejde-531	37	12	norm	norm	NOUN
ejde-531	37	13	of	of	ADP
ejde-531	37	14	the	the	DET
ejde-531	37	15	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	37	16	operator	operator	NOUN
ejde-531	37	17	of	of	ADP
ejde-531	37	18	a	a	PRON
ejde-531	37	19	obtained	obtain	VERB
ejde-531	37	20	in	in	ADP
ejde-531	37	21	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	37	22	3.1	3.1	NUM
ejde-531	37	23	is	be	AUX
ejde-531	37	24	the	the	DET
ejde-531	37	25	best	good	ADJ
ejde-531	37	26	possible	possible	ADJ
ejde-531	37	27	one	one	NUM
ejde-531	37	28	,	,	PUNCT
ejde-531	37	29	but	but	CCONJ
ejde-531	37	30	it	it	PRON
ejde-531	37	31	is	be	AUX
ejde-531	37	32	not	not	PART
ejde-531	37	33	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-531	37	34	to	to	PART
ejde-531	37	35	ensure	ensure	VERB
ejde-531	37	36	the	the	DET
ejde-531	37	37	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	37	38	well	well	NOUN
ejde-531	37	39	-	-	PUNCT
ejde-531	37	40	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	37	41	.	.	PUNCT
ejde-531	38	1	in	in	ADP
ejde-531	38	2	section	section	NOUN
ejde-531	38	3	5	5	NUM
ejde-531	38	4	we	we	PRON
ejde-531	38	5	characterize	characterize	VERB
ejde-531	38	6	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	38	7	well	well	ADV
ejde-531	38	8	-	-	PUNCT
ejde-531	38	9	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	38	10	in	in	ADP
ejde-531	38	11	case	case	NOUN
ejde-531	38	12	a	a	PRON
ejde-531	38	13	is	be	AUX
ejde-531	38	14	a	a	DET
ejde-531	38	15	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	38	16	operator	operator	NOUN
ejde-531	38	17	.	.	PUNCT
ejde-531	39	1	2	2	X
ejde-531	39	2	.	.	X
ejde-531	39	3	well	well	ADV
ejde-531	39	4	-	-	PUNCT
ejde-531	39	5	posed	pose	VERB
ejde-531	39	6	problems	problem	NOUN
ejde-531	39	7	in	in	ADP
ejde-531	39	8	what	what	PRON
ejde-531	39	9	follows	follow	VERB
ejde-531	39	10	x	x	PRON
ejde-531	39	11	will	will	AUX
ejde-531	39	12	be	be	AUX
ejde-531	39	13	a	a	DET
ejde-531	39	14	banach	banach	NOUN
ejde-531	39	15	space	space	NOUN
ejde-531	39	16	over	over	ADP
ejde-531	39	17	the	the	DET
ejde-531	39	18	field	field	NOUN
ejde-531	39	19	k	k	PROPN
ejde-531	39	20	(	(	PUNCT
ejde-531	39	21	real	real	ADJ
ejde-531	39	22	or	or	CCONJ
ejde-531	39	23	complex	complex	ADJ
ejde-531	39	24	numbers	number	NOUN
ejde-531	39	25	)	)	PUNCT
ejde-531	39	26	and	and	CCONJ
ejde-531	39	27	a	a	DET
ejde-531	39	28	a	a	DET
ejde-531	39	29	closed	closed	ADJ
ejde-531	39	30	linear	linear	ADJ
ejde-531	39	31	operator	operator	NOUN
ejde-531	39	32	from	from	ADP
ejde-531	39	33	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	39	34	)	)	PUNCT
ejde-531	40	1	⊆	⊆	NUM
ejde-531	40	2	x	x	X
ejde-531	40	3	to	to	ADP
ejde-531	40	4	x	x	PUNCT
ejde-531	40	5	with	with	ADP
ejde-531	40	6	dense	dense	ADJ
ejde-531	40	7	domain	domain	NOUN
ejde-531	40	8	;	;	PUNCT
ejde-531	40	9	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	40	10	)	)	PUNCT
ejde-531	40	11	will	will	AUX
ejde-531	40	12	denote	denote	VERB
ejde-531	40	13	the	the	DET
ejde-531	40	14	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	40	15	set	set	NOUN
ejde-531	40	16	of	of	ADP
ejde-531	40	17	a.	a.	NOUN
ejde-531	40	18	we	we	PRON
ejde-531	40	19	denote	denote	VERB
ejde-531	40	20	with	with	ADP
ejde-531	40	21	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	40	22	)	)	PUNCT
ejde-531	40	23	the	the	DET
ejde-531	40	24	space	space	NOUN
ejde-531	40	25	of	of	ADP
ejde-531	40	26	linear	linear	PROPN
ejde-531	40	27	bounded	bounded	PROPN
ejde-531	40	28	operators	operator	NOUN
ejde-531	40	29	in	in	ADP
ejde-531	40	30	x.	x.	PROPN
ejde-531	40	31	finally	finally	ADV
ejde-531	40	32	n	n	PRON
ejde-531	40	33	will	will	AUX
ejde-531	40	34	denote	denote	VERB
ejde-531	40	35	the	the	DET
ejde-531	40	36	set	set	NOUN
ejde-531	40	37	of	of	ADP
ejde-531	40	38	positive	positive	ADJ
ejde-531	40	39	integers	integer	NOUN
ejde-531	40	40	and	and	CCONJ
ejde-531	40	41	n0	n0	NUM
ejde-531	40	42	the	the	DET
ejde-531	40	43	set	set	NOUN
ejde-531	40	44	of	of	ADP
ejde-531	40	45	non	non	ADJ
ejde-531	40	46	-	-	ADJ
ejde-531	40	47	negative	negative	ADJ
ejde-531	40	48	integers	integer	NOUN
ejde-531	40	49	.	.	PUNCT
ejde-531	41	1	we	we	PRON
ejde-531	41	2	study	study	VERB
ejde-531	41	3	the	the	DET
ejde-531	41	4	second	second	ADJ
ejde-531	41	5	-	-	PUNCT
ejde-531	41	6	order	order	NOUN
ejde-531	41	7	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	41	8	differential	differential	NOUN
ejde-531	41	9	equation	equation	NOUN
ejde-531	41	10	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	41	11	)	)	PUNCT
ejde-531	41	12	+	+	NOUN
ejde-531	41	13	au(t	au(t	NUM
ejde-531	41	14	)	)	PUNCT
ejde-531	42	1	=	=	SYM
ejde-531	42	2	0	0	NUM
ejde-531	42	3	,	,	PUNCT
ejde-531	42	4	t	t	PROPN
ejde-531	42	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	43	1	[	[	X
ejde-531	43	2	0	0	NUM
ejde-531	43	3	,	,	PUNCT
ejde-531	43	4	π	π	PROPN
ejde-531	43	5	]	]	X
ejde-531	43	6	,	,	PUNCT
ejde-531	43	7	(	(	PUNCT
ejde-531	43	8	2.1	2.1	NUM
ejde-531	43	9	)	)	PUNCT
ejde-531	43	10	and	and	CCONJ
ejde-531	43	11	the	the	DET
ejde-531	43	12	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	43	13	boundary	boundary	PROPN
ejde-531	43	14	value	value	NOUN
ejde-531	43	15	problem	problem	NOUN
ejde-531	43	16	for	for	ADP
ejde-531	43	17	this	this	DET
ejde-531	43	18	equation	equation	NOUN
ejde-531	43	19	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	43	20	)	)	PUNCT
ejde-531	43	21	+	+	NOUN
ejde-531	43	22	au(t	au(t	NUM
ejde-531	43	23	)	)	PUNCT
ejde-531	43	24	=	=	SYM
ejde-531	43	25	0	0	NUM
ejde-531	43	26	,	,	PUNCT
ejde-531	43	27	t	t	PROPN
ejde-531	43	28	∈	∈	PROPN
ejde-531	44	1	[	[	X
ejde-531	44	2	0	0	NUM
ejde-531	44	3	,	,	PUNCT
ejde-531	44	4	π	π	NOUN
ejde-531	44	5	]	]	X
ejde-531	44	6	,	,	PUNCT
ejde-531	44	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	44	8	)	)	PUNCT
ejde-531	44	9	=	=	SYM
ejde-531	44	10	x0	x0	PROPN
ejde-531	44	11	,	,	PUNCT
ejde-531	44	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	44	13	)	)	PUNCT
ejde-531	44	14	=	=	SYM
ejde-531	45	1	xπ	xπ	NOUN
ejde-531	45	2	.	.	PUNCT
ejde-531	46	1	(	(	PUNCT
ejde-531	46	2	2.2	2.2	NUM
ejde-531	46	3	)	)	PUNCT
ejde-531	46	4	we	we	PRON
ejde-531	46	5	call	call	VERB
ejde-531	46	6	solution	solution	NOUN
ejde-531	46	7	of	of	ADP
ejde-531	46	8	equation	equation	NOUN
ejde-531	46	9	(	(	PUNCT
ejde-531	46	10	2.1	2.1	NUM
ejde-531	46	11	)	)	PUNCT
ejde-531	46	12	a	a	DET
ejde-531	46	13	function	function	NOUN
ejde-531	46	14	v	v	NOUN
ejde-531	46	15	:	:	PUNCT
ejde-531	47	1	[	[	X
ejde-531	47	2	0	0	NUM
ejde-531	47	3	,	,	PUNCT
ejde-531	47	4	π]→	π]→	X
ejde-531	47	5	x	x	PUNCT
ejde-531	47	6	such	such	ADJ
ejde-531	47	7	that	that	SCONJ
ejde-531	47	8	(	(	PUNCT
ejde-531	47	9	1	1	X
ejde-531	47	10	)	)	PUNCT
ejde-531	47	11	v	v	NOUN
ejde-531	47	12	∈	∈	PROPN
ejde-531	47	13	c2	c2	PROPN
ejde-531	47	14	(	(	PUNCT
ejde-531	47	15	[	[	X
ejde-531	47	16	0	0	NUM
ejde-531	47	17	,	,	PUNCT
ejde-531	47	18	π	π	PROPN
ejde-531	47	19	]	]	X
ejde-531	47	20	,	,	PUNCT
ejde-531	47	21	x	x	SYM
ejde-531	47	22	)	)	PUNCT
ejde-531	47	23	∩	∩	NOUN
ejde-531	47	24	c	c	X
ejde-531	47	25	(	(	PUNCT
ejde-531	47	26	[	[	X
ejde-531	47	27	0	0	NUM
ejde-531	47	28	,	,	PUNCT
ejde-531	47	29	π],d(a	π],d(a	NOUN
ejde-531	47	30	)	)	PUNCT
ejde-531	47	31	)	)	PUNCT
ejde-531	47	32	;	;	PUNCT
ejde-531	47	33	(	(	PUNCT
ejde-531	47	34	2	2	X
ejde-531	47	35	)	)	PUNCT
ejde-531	47	36	for	for	ADP
ejde-531	47	37	all	all	DET
ejde-531	47	38	t	t	NOUN
ejde-531	47	39	∈	∈	PROPN
ejde-531	48	1	[	[	X
ejde-531	48	2	0	0	NUM
ejde-531	48	3	,	,	PUNCT
ejde-531	48	4	π	π	NOUN
ejde-531	48	5	]	]	X
ejde-531	48	6	,	,	PUNCT
ejde-531	48	7	v′′(t	v′′(t	NOUN
ejde-531	48	8	)	)	PUNCT
ejde-531	48	9	+	+	NOUN
ejde-531	48	10	av(t	av(t	NOUN
ejde-531	48	11	)	)	PUNCT
ejde-531	48	12	=	=	SYM
ejde-531	49	1	0	0	X
ejde-531	49	2	.	.	PUNCT
ejde-531	50	1	we	we	PRON
ejde-531	50	2	call	call	VERB
ejde-531	50	3	solution	solution	NOUN
ejde-531	50	4	of	of	ADP
ejde-531	50	5	problem	problem	NOUN
ejde-531	50	6	(	(	PUNCT
ejde-531	50	7	2.2	2.2	NUM
ejde-531	50	8	)	)	PUNCT
ejde-531	50	9	a	a	DET
ejde-531	50	10	solution	solution	NOUN
ejde-531	50	11	v	v	NOUN
ejde-531	50	12	of	of	ADP
ejde-531	50	13	equation	equation	NOUN
ejde-531	50	14	(	(	PUNCT
ejde-531	50	15	2.1	2.1	NUM
ejde-531	50	16	)	)	PUNCT
ejde-531	50	17	such	such	ADJ
ejde-531	50	18	that	that	DET
ejde-531	50	19	v(0	v(0	NOUN
ejde-531	50	20	)	)	PUNCT
ejde-531	51	1	=	=	SYM
ejde-531	51	2	x0	x0	PROPN
ejde-531	51	3	and	and	CCONJ
ejde-531	51	4	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	51	5	)	)	PUNCT
ejde-531	52	1	=	=	PUNCT
ejde-531	53	1	xπ	xπ	NOUN
ejde-531	53	2	.	.	PUNCT
ejde-531	54	1	obviously	obviously	ADV
ejde-531	54	2	a	a	DET
ejde-531	54	3	solution	solution	NOUN
ejde-531	54	4	of	of	ADP
ejde-531	54	5	this	this	DET
ejde-531	54	6	problem	problem	NOUN
ejde-531	54	7	can	can	AUX
ejde-531	54	8	exist	exist	VERB
ejde-531	54	9	only	only	ADV
ejde-531	54	10	if	if	SCONJ
ejde-531	54	11	x0	x0	PROPN
ejde-531	54	12	,	,	PUNCT
ejde-531	54	13	xπ	xπ	ADP
ejde-531	54	14	∈	∈	PROPN
ejde-531	54	15	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	54	16	)	)	PUNCT
ejde-531	54	17	.	.	PUNCT
ejde-531	55	1	we	we	PRON
ejde-531	55	2	say	say	VERB
ejde-531	55	3	that	that	DET
ejde-531	55	4	problem	problem	NOUN
ejde-531	55	5	(	(	PUNCT
ejde-531	55	6	2.2	2.2	NUM
ejde-531	55	7	)	)	PUNCT
ejde-531	55	8	is	be	AUX
ejde-531	55	9	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	55	10	well	well	ADV
ejde-531	55	11	-	-	PUNCT
ejde-531	55	12	posed	pose	VERB
ejde-531	55	13	if	if	SCONJ
ejde-531	55	14	(	(	PUNCT
ejde-531	55	15	1	1	X
ejde-531	55	16	)	)	PUNCT
ejde-531	55	17	for	for	ADP
ejde-531	55	18	all	all	DET
ejde-531	55	19	x0	x0	PROPN
ejde-531	55	20	,	,	PUNCT
ejde-531	55	21	xπ	xπ	ADP
ejde-531	55	22	∈	∈	PROPN
ejde-531	55	23	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	55	24	)	)	PUNCT
ejde-531	55	25	,	,	PUNCT
ejde-531	55	26	problem	problem	NOUN
ejde-531	55	27	(	(	PUNCT
ejde-531	55	28	2.2	2.2	NUM
ejde-531	55	29	)	)	PUNCT
ejde-531	55	30	has	have	VERB
ejde-531	55	31	solution	solution	NOUN
ejde-531	55	32	;	;	PUNCT
ejde-531	55	33	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	56	1	dirichlet	dirichlet	NOUN
ejde-531	56	2	problem	problem	NOUN
ejde-531	56	3	for	for	ADP
ejde-531	56	4	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	56	5	differential	differential	ADJ
ejde-531	56	6	equations	equation	NOUN
ejde-531	56	7	3	3	NUM
ejde-531	56	8	(	(	PUNCT
ejde-531	56	9	2	2	NUM
ejde-531	56	10	)	)	PUNCT
ejde-531	56	11	there	there	PRON
ejde-531	56	12	exists	exist	VERB
ejde-531	56	13	c	c	PROPN
ejde-531	56	14	∈	∈	PROPN
ejde-531	56	15	r+	r+	NOUN
ejde-531	56	16	such	such	ADJ
ejde-531	56	17	that	that	SCONJ
ejde-531	56	18	for	for	ADP
ejde-531	56	19	any	any	DET
ejde-531	56	20	solution	solution	NOUN
ejde-531	56	21	v	v	ADP
ejde-531	56	22	of	of	ADP
ejde-531	56	23	equation	equation	NOUN
ejde-531	56	24	(	(	PUNCT
ejde-531	56	25	2.1	2.1	NUM
ejde-531	56	26	)	)	PUNCT
ejde-531	56	27	we	we	PRON
ejde-531	56	28	have	have	AUX
ejde-531	56	29	sup	sup	NOUN
ejde-531	56	30	t∈[0,π	t∈[0,π	ADJ
ejde-531	56	31	]	]	X
ejde-531	56	32	‖v(t)‖	‖v(t)‖	NOUN
ejde-531	56	33	≤	≤	NUM
ejde-531	56	34	c	c	X
ejde-531	56	35	(	(	PUNCT
ejde-531	56	36	‖v(0)‖+	‖v(0)‖+	PROPN
ejde-531	56	37	‖v(π)‖	‖v(π)‖	NUM
ejde-531	56	38	)	)	PUNCT
ejde-531	56	39	.	.	PUNCT
ejde-531	57	1	condition	condition	NOUN
ejde-531	57	2	(	(	PUNCT
ejde-531	57	3	2	2	NUM
ejde-531	57	4	)	)	PUNCT
ejde-531	57	5	implies	imply	VERB
ejde-531	57	6	the	the	DET
ejde-531	57	7	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-531	57	8	of	of	ADP
ejde-531	57	9	the	the	DET
ejde-531	57	10	solution	solution	NOUN
ejde-531	57	11	of	of	ADP
ejde-531	57	12	problem	problem	NOUN
ejde-531	57	13	(	(	PUNCT
ejde-531	57	14	2.2	2.2	NUM
ejde-531	57	15	)	)	PUNCT
ejde-531	57	16	.	.	PUNCT
ejde-531	58	1	theorem	theorem	VERB
ejde-531	58	2	2.1	2.1	NUM
ejde-531	58	3	.	.	PUNCT
ejde-531	59	1	let	let	VERB
ejde-531	59	2	x	x	PRON
ejde-531	59	3	be	be	AUX
ejde-531	59	4	a	a	DET
ejde-531	59	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	59	6	space	space	NOUN
ejde-531	59	7	and	and	CCONJ
ejde-531	59	8	a	a	DET
ejde-531	59	9	be	be	AUX
ejde-531	59	10	a	a	DET
ejde-531	59	11	linear	linear	NOUN
ejde-531	59	12	closed	close	VERB
ejde-531	59	13	densely	densely	ADV
ejde-531	59	14	defined	define	VERB
ejde-531	59	15	operator	operator	NOUN
ejde-531	59	16	in	in	ADP
ejde-531	59	17	x.	x.	PROPN
ejde-531	59	18	problem	problem	NOUN
ejde-531	59	19	(	(	PUNCT
ejde-531	59	20	2.2	2.2	NUM
ejde-531	59	21	)	)	PUNCT
ejde-531	59	22	is	be	AUX
ejde-531	59	23	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	59	24	well	well	ADV
ejde-531	59	25	-	-	PUNCT
ejde-531	59	26	posed	pose	VERB
ejde-531	59	27	if	if	SCONJ
ejde-531	59	28	and	and	CCONJ
ejde-531	59	29	only	only	ADV
ejde-531	59	30	if	if	SCONJ
ejde-531	59	31	there	there	PRON
ejde-531	59	32	exists	exist	VERB
ejde-531	59	33	s	s	PART
ejde-531	59	34	:	:	PUNCT
ejde-531	59	35	[	[	X
ejde-531	59	36	0	0	NUM
ejde-531	59	37	,	,	PUNCT
ejde-531	59	38	π]→	π]→	X
ejde-531	59	39	l(x	l(x	NOUN
ejde-531	59	40	)	)	PUNCT
ejde-531	59	41	such	such	ADJ
ejde-531	59	42	that	that	SCONJ
ejde-531	59	43	:	:	PUNCT
ejde-531	59	44	(	(	PUNCT
ejde-531	59	45	1	1	X
ejde-531	59	46	)	)	PUNCT
ejde-531	59	47	for	for	ADP
ejde-531	59	48	all	all	PRON
ejde-531	59	49	x	x	SYM
ejde-531	59	50	∈	∈	PROPN
ejde-531	59	51	x	x	NOUN
ejde-531	59	52	,	,	PUNCT
ejde-531	59	53	the	the	DET
ejde-531	59	54	function	function	NOUN
ejde-531	59	55	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	59	56	is	be	AUX
ejde-531	59	57	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	59	58	;	;	PUNCT
ejde-531	59	59	(	(	PUNCT
ejde-531	59	60	2	2	X
ejde-531	59	61	)	)	PUNCT
ejde-531	59	62	for	for	ADP
ejde-531	59	63	all	all	PRON
ejde-531	59	64	x	x	SYM
ejde-531	59	65	∈	∈	PROPN
ejde-531	59	66	x	x	NOUN
ejde-531	59	67	,	,	PUNCT
ejde-531	59	68	we	we	PRON
ejde-531	59	69	have	have	VERB
ejde-531	59	70	s(0)x	s(0)x	NOUN
ejde-531	59	71	=	=	SYM
ejde-531	59	72	0	0	NUM
ejde-531	59	73	,	,	PUNCT
ejde-531	59	74	s(π)x	s(π)x	NOUN
ejde-531	59	75	=	=	SYM
ejde-531	60	1	x	x	X
ejde-531	60	2	;	;	PUNCT
ejde-531	60	3	(	(	PUNCT
ejde-531	60	4	3	3	X
ejde-531	60	5	)	)	PUNCT
ejde-531	60	6	for	for	ADP
ejde-531	60	7	all	all	DET
ejde-531	60	8	x	x	PROPN
ejde-531	60	9	∈	∈	PROPN
ejde-531	60	10	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	60	11	)	)	PUNCT
ejde-531	60	12	,	,	PUNCT
ejde-531	60	13	the	the	DET
ejde-531	60	14	function	function	NOUN
ejde-531	60	15	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	60	16	is	be	AUX
ejde-531	60	17	solution	solution	NOUN
ejde-531	60	18	of	of	ADP
ejde-531	60	19	equation	equation	NOUN
ejde-531	60	20	(	(	PUNCT
ejde-531	60	21	2.1	2.1	NUM
ejde-531	60	22	)	)	PUNCT
ejde-531	60	23	;	;	PUNCT
ejde-531	60	24	(	(	PUNCT
ejde-531	60	25	4	4	X
ejde-531	60	26	)	)	PUNCT
ejde-531	60	27	if	if	SCONJ
ejde-531	60	28	v	v	X
ejde-531	60	29	:	:	PUNCT
ejde-531	60	30	[	[	X
ejde-531	60	31	0	0	NUM
ejde-531	60	32	,	,	PUNCT
ejde-531	60	33	π]→	π]→	X
ejde-531	60	34	x	x	X
ejde-531	60	35	is	be	AUX
ejde-531	60	36	solution	solution	NOUN
ejde-531	60	37	of	of	ADP
ejde-531	60	38	equation	equation	NOUN
ejde-531	60	39	(	(	PUNCT
ejde-531	60	40	2.1	2.1	NUM
ejde-531	60	41	)	)	PUNCT
ejde-531	60	42	,	,	PUNCT
ejde-531	60	43	then	then	ADV
ejde-531	60	44	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	60	45	)	)	PUNCT
ejde-531	60	46	=	=	SYM
ejde-531	60	47	s(t)v(π	s(t)v(π	PROPN
ejde-531	60	48	)	)	PUNCT
ejde-531	60	49	+	+	CCONJ
ejde-531	60	50	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	60	51	−	−	PROPN
ejde-531	60	52	t)v(0	t)v(0	PROPN
ejde-531	60	53	)	)	PUNCT
ejde-531	60	54	.	.	PUNCT
ejde-531	61	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	61	2	.	.	PUNCT
ejde-531	62	1	suppose	suppose	VERB
ejde-531	62	2	that	that	SCONJ
ejde-531	62	3	problem	problem	NOUN
ejde-531	62	4	(	(	PUNCT
ejde-531	62	5	2.2	2.2	NUM
ejde-531	62	6	)	)	PUNCT
ejde-531	62	7	is	be	AUX
ejde-531	62	8	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	62	9	well	well	ADV
ejde-531	62	10	-	-	PUNCT
ejde-531	62	11	posed	pose	VERB
ejde-531	62	12	.	.	PUNCT
ejde-531	63	1	if	if	SCONJ
ejde-531	63	2	x	x	PROPN
ejde-531	63	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	63	4	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	63	5	)	)	PUNCT
ejde-531	63	6	,	,	PUNCT
ejde-531	63	7	let	let	VERB
ejde-531	63	8	v	v	PART
ejde-531	63	9	be	be	AUX
ejde-531	63	10	the	the	DET
ejde-531	63	11	unique	unique	ADJ
ejde-531	63	12	solution	solution	NOUN
ejde-531	63	13	of	of	ADP
ejde-531	63	14	the	the	DET
ejde-531	63	15	problem	problem	NOUN
ejde-531	63	16	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	63	17	)	)	PUNCT
ejde-531	63	18	+	+	NOUN
ejde-531	63	19	au(t	au(t	NUM
ejde-531	63	20	)	)	PUNCT
ejde-531	63	21	=	=	SYM
ejde-531	63	22	0	0	NUM
ejde-531	63	23	,	,	PUNCT
ejde-531	63	24	t	t	PROPN
ejde-531	63	25	∈	∈	PROPN
ejde-531	64	1	[	[	X
ejde-531	64	2	0	0	NUM
ejde-531	64	3	,	,	PUNCT
ejde-531	64	4	π	π	NOUN
ejde-531	64	5	]	]	X
ejde-531	64	6	,	,	PUNCT
ejde-531	64	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	64	8	)	)	PUNCT
ejde-531	64	9	=	=	SYM
ejde-531	64	10	0	0	NUM
ejde-531	64	11	,	,	PUNCT
ejde-531	64	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	64	13	)	)	PUNCT
ejde-531	65	1	=	=	PUNCT
ejde-531	66	1	x	x	X
ejde-531	66	2	;	;	PUNCT
ejde-531	66	3	for	for	ADP
ejde-531	66	4	t	t	PROPN
ejde-531	66	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	67	1	[	[	X
ejde-531	67	2	0	0	NUM
ejde-531	67	3	,	,	PUNCT
ejde-531	67	4	π	π	X
ejde-531	67	5	]	]	X
ejde-531	67	6	put	put	VERB
ejde-531	67	7	s̃(t)x	s̃(t)x	NOUN
ejde-531	67	8	=	=	SYM
ejde-531	67	9	v(t	v(t	NUM
ejde-531	67	10	)	)	PUNCT
ejde-531	67	11	.	.	PUNCT
ejde-531	68	1	then	then	ADV
ejde-531	68	2	s̃(t	s̃(t	PROPN
ejde-531	68	3	)	)	PUNCT
ejde-531	68	4	is	be	AUX
ejde-531	68	5	a	a	DET
ejde-531	68	6	linear	linear	ADJ
ejde-531	68	7	operator	operator	NOUN
ejde-531	68	8	from	from	ADP
ejde-531	68	9	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	68	10	)	)	PUNCT
ejde-531	68	11	to	to	ADP
ejde-531	68	12	x	x	PROPN
ejde-531	68	13	and	and	CCONJ
ejde-531	68	14	,	,	PUNCT
ejde-531	68	15	because	because	SCONJ
ejde-531	68	16	of	of	ADP
ejde-531	68	17	the	the	DET
ejde-531	68	18	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	68	19	well	well	ADJ
ejde-531	68	20	-	-	PUNCT
ejde-531	68	21	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	68	22	,	,	PUNCT
ejde-531	68	23	there	there	PRON
ejde-531	68	24	exists	exist	VERB
ejde-531	68	25	c	c	PROPN
ejde-531	68	26	∈	∈	PROPN
ejde-531	68	27	r+	r+	PUNCT
ejde-531	68	28	such	such	ADJ
ejde-531	68	29	that∥∥s̃(t)x	that∥∥s̃(t)x	PROPN
ejde-531	68	30	∥∥	∥∥	PRON
ejde-531	68	31	≤	≤	PROPN
ejde-531	68	32	c‖x‖	c‖x‖	NOUN
ejde-531	68	33	,	,	PUNCT
ejde-531	68	34	for	for	ADP
ejde-531	68	35	every	every	DET
ejde-531	68	36	x	x	PROPN
ejde-531	68	37	∈	∈	PROPN
ejde-531	68	38	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	68	39	)	)	PUNCT
ejde-531	68	40	.	.	PUNCT
ejde-531	69	1	since	since	SCONJ
ejde-531	69	2	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	69	3	)	)	PUNCT
ejde-531	69	4	is	be	AUX
ejde-531	69	5	dense	dense	ADJ
ejde-531	69	6	in	in	ADP
ejde-531	69	7	x	x	NOUN
ejde-531	69	8	,	,	PUNCT
ejde-531	69	9	s̃(t	s̃(t	PROPN
ejde-531	69	10	)	)	PUNCT
ejde-531	69	11	can	can	AUX
ejde-531	69	12	be	be	AUX
ejde-531	69	13	extended	extend	VERB
ejde-531	69	14	to	to	ADP
ejde-531	69	15	a	a	DET
ejde-531	69	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	69	17	linear	linear	ADJ
ejde-531	69	18	operator	operator	NOUN
ejde-531	69	19	s(t	s(t	PROPN
ejde-531	69	20	)	)	PUNCT
ejde-531	69	21	from	from	ADP
ejde-531	69	22	x	x	PRON
ejde-531	69	23	to	to	ADP
ejde-531	69	24	x	x	PROPN
ejde-531	69	25	and	and	CCONJ
ejde-531	69	26	∥∥s(t	∥∥s(t	X
ejde-531	69	27	)	)	PUNCT
ejde-531	70	1	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-531	70	2	≤	≤	ADJ
ejde-531	70	3	c.	c.	NOUN
ejde-531	70	4	obviously	obviously	ADV
ejde-531	70	5	s	s	VERB
ejde-531	70	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-531	70	7	conditions	condition	NOUN
ejde-531	70	8	(	(	PUNCT
ejde-531	70	9	2	2	NUM
ejde-531	70	10	)	)	PUNCT
ejde-531	70	11	and	and	CCONJ
ejde-531	70	12	(	(	PUNCT
ejde-531	70	13	3	3	NUM
ejde-531	70	14	)	)	PUNCT
ejde-531	70	15	.	.	PUNCT
ejde-531	71	1	if	if	SCONJ
ejde-531	71	2	v	v	NOUN
ejde-531	71	3	is	be	AUX
ejde-531	71	4	solution	solution	NOUN
ejde-531	71	5	of	of	ADP
ejde-531	71	6	equation	equation	NOUN
ejde-531	71	7	(	(	PUNCT
ejde-531	71	8	2.1	2.1	NUM
ejde-531	71	9	)	)	PUNCT
ejde-531	71	10	then	then	ADV
ejde-531	71	11	it	it	PRON
ejde-531	71	12	is	be	AUX
ejde-531	71	13	solution	solution	NOUN
ejde-531	71	14	of	of	ADP
ejde-531	71	15	the	the	DET
ejde-531	71	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	71	17	problem	problem	NOUN
ejde-531	71	18	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	71	19	)	)	PUNCT
ejde-531	71	20	+	+	NOUN
ejde-531	71	21	au(t	au(t	NUM
ejde-531	71	22	)	)	PUNCT
ejde-531	71	23	=	=	SYM
ejde-531	71	24	0	0	NUM
ejde-531	71	25	,	,	PUNCT
ejde-531	71	26	t	t	PROPN
ejde-531	71	27	∈	∈	PROPN
ejde-531	72	1	[	[	X
ejde-531	72	2	0	0	NUM
ejde-531	72	3	,	,	PUNCT
ejde-531	72	4	π	π	NOUN
ejde-531	72	5	]	]	X
ejde-531	72	6	,	,	PUNCT
ejde-531	72	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	72	8	)	)	PUNCT
ejde-531	72	9	=	=	SYM
ejde-531	72	10	v(0	v(0	PROPN
ejde-531	72	11	)	)	PUNCT
ejde-531	72	12	,	,	PUNCT
ejde-531	72	13	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	72	14	)	)	PUNCT
ejde-531	72	15	=	=	SYM
ejde-531	72	16	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	72	17	)	)	PUNCT
ejde-531	72	18	.	.	PUNCT
ejde-531	73	1	the	the	DET
ejde-531	73	2	function	function	NOUN
ejde-531	73	3	t	t	PROPN
ejde-531	73	4	7→	7→	NUM
ejde-531	73	5	s(t)v(π	s(t)v(π	NOUN
ejde-531	73	6	)	)	PUNCT
ejde-531	74	1	+	+	CCONJ
ejde-531	74	2	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	74	3	−	−	PROPN
ejde-531	74	4	t)v(0	t)v(0	PROPN
ejde-531	74	5	)	)	PUNCT
ejde-531	74	6	is	be	AUX
ejde-531	74	7	solution	solution	NOUN
ejde-531	74	8	of	of	ADP
ejde-531	74	9	the	the	DET
ejde-531	74	10	same	same	ADJ
ejde-531	74	11	problem	problem	NOUN
ejde-531	74	12	,	,	PUNCT
ejde-531	74	13	hence	hence	ADV
ejde-531	74	14	,	,	PUNCT
ejde-531	74	15	by	by	ADP
ejde-531	74	16	the	the	DET
ejde-531	74	17	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-531	74	18	of	of	ADP
ejde-531	74	19	the	the	DET
ejde-531	74	20	solution	solution	NOUN
ejde-531	74	21	,	,	PUNCT
ejde-531	74	22	we	we	PRON
ejde-531	74	23	have	have	VERB
ejde-531	74	24	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	74	25	)	)	PUNCT
ejde-531	74	26	=	=	SYM
ejde-531	74	27	s(t)v(π	s(t)v(π	NOUN
ejde-531	74	28	)	)	PUNCT
ejde-531	74	29	+	+	CCONJ
ejde-531	74	30	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	74	31	−	−	PROPN
ejde-531	74	32	t)v(0	t)v(0	PROPN
ejde-531	74	33	)	)	PUNCT
ejde-531	74	34	.	.	PUNCT
ejde-531	75	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	75	2	(	(	PUNCT
ejde-531	75	3	4	4	X
ejde-531	75	4	)	)	PUNCT
ejde-531	75	5	is	be	AUX
ejde-531	75	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	75	7	.	.	PUNCT
ejde-531	76	1	if	if	SCONJ
ejde-531	76	2	x	x	PROPN
ejde-531	76	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	76	4	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	76	5	)	)	PUNCT
ejde-531	76	6	the	the	DET
ejde-531	76	7	function	function	NOUN
ejde-531	76	8	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	76	9	is	be	AUX
ejde-531	76	10	solution	solution	NOUN
ejde-531	76	11	of	of	ADP
ejde-531	76	12	equation	equation	NOUN
ejde-531	76	13	(	(	PUNCT
ejde-531	76	14	2.1	2.1	NUM
ejde-531	76	15	)	)	PUNCT
ejde-531	76	16	,	,	PUNCT
ejde-531	76	17	hence	hence	ADV
ejde-531	76	18	it	it	PRON
ejde-531	76	19	is	be	AUX
ejde-531	76	20	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	76	21	.	.	PUNCT
ejde-531	77	1	if	if	SCONJ
ejde-531	77	2	x	x	SYM
ejde-531	77	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	77	4	x	x	VERB
ejde-531	77	5	there	there	PRON
ejde-531	77	6	is	be	VERB
ejde-531	77	7	a	a	DET
ejde-531	77	8	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	77	9	(	(	PUNCT
ejde-531	77	10	xn)n∈n	xn)n∈n	NUM
ejde-531	77	11	in	in	ADP
ejde-531	77	12	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	77	13	)	)	PUNCT
ejde-531	77	14	converging	converge	VERB
ejde-531	77	15	to	to	PART
ejde-531	77	16	x.	x.	VERB
ejde-531	77	17	the	the	DET
ejde-531	77	18	functions	function	NOUN
ejde-531	77	19	s(·)xn	s(·)xn	NOUN
ejde-531	77	20	are	be	AUX
ejde-531	77	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	77	22	and	and	CCONJ
ejde-531	77	23	sup	sup	NOUN
ejde-531	77	24	t∈[0,π	t∈[0,π	NOUN
ejde-531	77	25	]	]	PUNCT
ejde-531	77	26	∥∥s(t)xn	∥∥s(t)xn	NOUN
ejde-531	77	27	−	−	PROPN
ejde-531	77	28	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	77	29	∥∥	∥∥	X
ejde-531	77	30	≤	≤	ADV
ejde-531	77	31	c‖xn	c‖xn	PROPN
ejde-531	77	32	−	−	PROPN
ejde-531	77	33	x‖	x‖	PROPN
ejde-531	77	34	−−−−→	−−−−→	X
ejde-531	77	35	n→∞	n→∞	X
ejde-531	77	36	0	0	NUM
ejde-531	77	37	.	.	PUNCT
ejde-531	78	1	since	since	SCONJ
ejde-531	78	2	it	it	PRON
ejde-531	78	3	is	be	AUX
ejde-531	78	4	the	the	DET
ejde-531	78	5	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	78	6	limit	limit	NOUN
ejde-531	78	7	of	of	ADP
ejde-531	78	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	78	9	functions	function	NOUN
ejde-531	78	10	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	78	11	is	be	AUX
ejde-531	78	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	78	13	.	.	PUNCT
ejde-531	79	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	79	2	condition	condition	NOUN
ejde-531	79	3	(	(	PUNCT
ejde-531	79	4	1	1	X
ejde-531	79	5	)	)	PUNCT
ejde-531	79	6	is	be	AUX
ejde-531	79	7	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	79	8	.	.	PUNCT
ejde-531	80	1	conversely	conversely	ADV
ejde-531	80	2	suppose	suppose	VERB
ejde-531	80	3	that	that	SCONJ
ejde-531	80	4	there	there	PRON
ejde-531	80	5	exists	exist	VERB
ejde-531	80	6	s	s	PART
ejde-531	80	7	satisfying	satisfy	VERB
ejde-531	80	8	conditions	condition	NOUN
ejde-531	80	9	(	(	PUNCT
ejde-531	80	10	1)–(4	1)–(4	NUM
ejde-531	80	11	)	)	PUNCT
ejde-531	80	12	.	.	PUNCT
ejde-531	81	1	since	since	SCONJ
ejde-531	81	2	,	,	PUNCT
ejde-531	81	3	for	for	ADP
ejde-531	81	4	all	all	DET
ejde-531	81	5	x	x	SYM
ejde-531	81	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	81	7	x	x	NOUN
ejde-531	81	8	,	,	PUNCT
ejde-531	81	9	the	the	DET
ejde-531	81	10	function	function	NOUN
ejde-531	81	11	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	81	12	is	be	AUX
ejde-531	81	13	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	81	14	,	,	PUNCT
ejde-531	81	15	it	it	PRON
ejde-531	81	16	is	be	AUX
ejde-531	81	17	bounded	bound	VERB
ejde-531	81	18	,	,	PUNCT
ejde-531	81	19	hence	hence	ADV
ejde-531	81	20	by	by	ADP
ejde-531	81	21	the	the	DET
ejde-531	81	22	uniform	uniform	PROPN
ejde-531	81	23	boundedness	boundedness	PROPN
ejde-531	81	24	principle	principle	NOUN
ejde-531	81	25	{	{	PUNCT
ejde-531	81	26	s(t	s(t	PROPN
ejde-531	81	27	)	)	PUNCT
ejde-531	81	28	∣∣	∣∣	NUM
ejde-531	81	29	t	t	PROPN
ejde-531	81	30	∈	∈	PROPN
ejde-531	82	1	[	[	X
ejde-531	82	2	0	0	NUM
ejde-531	82	3	,	,	PUNCT
ejde-531	82	4	π	π	X
ejde-531	82	5	]	]	PUNCT
ejde-531	82	6	}	}	PUNCT
ejde-531	82	7	is	be	AUX
ejde-531	82	8	bounded	bound	VERB
ejde-531	82	9	,	,	PUNCT
ejde-531	82	10	therefore	therefore	ADV
ejde-531	82	11	there	there	PRON
ejde-531	82	12	exists	exist	VERB
ejde-531	82	13	c	c	PROPN
ejde-531	82	14	∈	∈	PROPN
ejde-531	82	15	r+	r+	NOUN
ejde-531	82	16	such	such	ADJ
ejde-531	82	17	that	that	PRON
ejde-531	82	18	∥∥s(t	∥∥s(t	X
ejde-531	82	19	)	)	PUNCT
ejde-531	82	20	∥∥	∥∥	X
ejde-531	83	1	≤	≤	NOUN
ejde-531	83	2	c	c	X
ejde-531	83	3	,	,	PUNCT
ejde-531	83	4	for	for	ADP
ejde-531	83	5	all	all	DET
ejde-531	83	6	t	t	NOUN
ejde-531	83	7	∈	∈	PROPN
ejde-531	84	1	[	[	X
ejde-531	84	2	0	0	NUM
ejde-531	84	3	,	,	PUNCT
ejde-531	84	4	π	π	NOUN
ejde-531	84	5	]	]	X
ejde-531	84	6	.	.	PROPN
ejde-531	84	7	4	4	NUM
ejde-531	84	8	g.	g.	PROPN
ejde-531	84	9	dore	dore	PROPN
ejde-531	84	10	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	84	11	if	if	SCONJ
ejde-531	84	12	x0	x0	PROPN
ejde-531	84	13	,	,	PUNCT
ejde-531	84	14	xπ	xπ	ADP
ejde-531	84	15	∈	∈	PROPN
ejde-531	84	16	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	84	17	)	)	PUNCT
ejde-531	85	1	,	,	PUNCT
ejde-531	85	2	let	let	VERB
ejde-531	85	3	v	v	NOUN
ejde-531	85	4	:	:	PUNCT
ejde-531	85	5	[	[	X
ejde-531	85	6	0	0	NUM
ejde-531	85	7	,	,	PUNCT
ejde-531	85	8	π]→	π]→	X
ejde-531	85	9	x	x	X
ejde-531	85	10	,	,	PUNCT
ejde-531	85	11	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	85	12	)	)	PUNCT
ejde-531	85	13	=	=	PUNCT
ejde-531	85	14	s(t)xπ	s(t)xπ	NOUN
ejde-531	85	15	+	+	CCONJ
ejde-531	85	16	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	85	17	−	−	PROPN
ejde-531	85	18	t)x0	t)x0	PROPN
ejde-531	85	19	.	.	PUNCT
ejde-531	86	1	by	by	ADP
ejde-531	86	2	(	(	PUNCT
ejde-531	86	3	3	3	X
ejde-531	86	4	)	)	PUNCT
ejde-531	86	5	v	v	NOUN
ejde-531	86	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	86	7	c2	c2	PROPN
ejde-531	86	8	(	(	PUNCT
ejde-531	86	9	[	[	X
ejde-531	86	10	0	0	NUM
ejde-531	86	11	,	,	PUNCT
ejde-531	86	12	π	π	PROPN
ejde-531	86	13	]	]	X
ejde-531	86	14	,	,	PUNCT
ejde-531	86	15	x	x	SYM
ejde-531	86	16	)	)	PUNCT
ejde-531	86	17	∩	∩	NOUN
ejde-531	86	18	c	c	X
ejde-531	86	19	(	(	PUNCT
ejde-531	86	20	[	[	X
ejde-531	86	21	0	0	NUM
ejde-531	86	22	,	,	PUNCT
ejde-531	86	23	π],d(a	π],d(a	NOUN
ejde-531	86	24	)	)	PUNCT
ejde-531	86	25	)	)	PUNCT
ejde-531	86	26	,	,	PUNCT
ejde-531	86	27	and	and	CCONJ
ejde-531	86	28	for	for	ADP
ejde-531	86	29	all	all	DET
ejde-531	86	30	t	t	NOUN
ejde-531	86	31	∈	∈	PROPN
ejde-531	86	32	[	[	X
ejde-531	86	33	0	0	NUM
ejde-531	86	34	,	,	PUNCT
ejde-531	86	35	π	π	PROPN
ejde-531	86	36	]	]	X
ejde-531	86	37	we	we	PRON
ejde-531	86	38	have	have	AUX
ejde-531	86	39	v′′(t	v′′(t	VERB
ejde-531	86	40	)	)	PUNCT
ejde-531	86	41	+	+	NOUN
ejde-531	86	42	av(t	av(t	NOUN
ejde-531	86	43	)	)	PUNCT
ejde-531	86	44	=	=	PUNCT
ejde-531	86	45	s′′(t)xπ	s′′(t)xπ	NOUN
ejde-531	86	46	+	+	CCONJ
ejde-531	86	47	s′′(π	s′′(π	VERB
ejde-531	86	48	−	−	PROPN
ejde-531	86	49	t)x0	t)x0	PROPN
ejde-531	87	1	+	+	PROPN
ejde-531	87	2	as(t)xπ	as(t)xπ	NOUN
ejde-531	87	3	+	+	NOUN
ejde-531	87	4	as(π	as(π	VERB
ejde-531	87	5	−	−	PROPN
ejde-531	87	6	t)x0	t)x0	PROPN
ejde-531	87	7	=	=	SYM
ejde-531	87	8	0	0	NUM
ejde-531	87	9	;	;	PUNCT
ejde-531	87	10	moreover	moreover	ADV
ejde-531	87	11	,	,	PUNCT
ejde-531	87	12	by	by	ADP
ejde-531	87	13	(	(	PUNCT
ejde-531	87	14	2	2	X
ejde-531	87	15	)	)	PUNCT
ejde-531	87	16	v(0	v(0	NOUN
ejde-531	87	17	)	)	PUNCT
ejde-531	87	18	=	=	NOUN
ejde-531	87	19	s(0)xπ	s(0)xπ	NOUN
ejde-531	87	20	+	+	CCONJ
ejde-531	87	21	s(π)x0	s(π)x0	ADJ
ejde-531	87	22	=	=	SYM
ejde-531	87	23	x0	x0	PROPN
ejde-531	87	24	,	,	PUNCT
ejde-531	87	25	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	87	26	)	)	PUNCT
ejde-531	87	27	=	=	SYM
ejde-531	87	28	s(π)xπ	s(π)xπ	NOUN
ejde-531	87	29	+	+	CCONJ
ejde-531	87	30	s(0)x0	s(0)x0	NOUN
ejde-531	87	31	=	=	SYM
ejde-531	87	32	xπ	xπ	NOUN
ejde-531	87	33	.	.	PUNCT
ejde-531	88	1	hence	hence	ADV
ejde-531	88	2	problem	problem	NOUN
ejde-531	88	3	(	(	PUNCT
ejde-531	88	4	2.2	2.2	NUM
ejde-531	88	5	)	)	PUNCT
ejde-531	88	6	has	have	VERB
ejde-531	88	7	solution	solution	NOUN
ejde-531	88	8	.	.	PUNCT
ejde-531	89	1	from	from	ADP
ejde-531	89	2	(	(	PUNCT
ejde-531	89	3	4	4	NUM
ejde-531	89	4	)	)	PUNCT
ejde-531	89	5	and	and	CCONJ
ejde-531	89	6	the	the	DET
ejde-531	89	7	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	89	8	∥∥s(t	∥∥s(t	ADJ
ejde-531	89	9	)	)	PUNCT
ejde-531	89	10	∥∥	∥∥	X
ejde-531	89	11	≤	≤	PROPN
ejde-531	89	12	c	c	NOUN
ejde-531	89	13	it	it	PRON
ejde-531	89	14	follows	follow	VERB
ejde-531	89	15	that	that	SCONJ
ejde-531	89	16	if	if	SCONJ
ejde-531	89	17	v	v	NOUN
ejde-531	89	18	is	be	AUX
ejde-531	89	19	solution	solution	NOUN
ejde-531	89	20	of	of	ADP
ejde-531	89	21	equation	equation	NOUN
ejde-531	89	22	(	(	PUNCT
ejde-531	89	23	2.1	2.1	NUM
ejde-531	89	24	)	)	PUNCT
ejde-531	89	25	then	then	ADV
ejde-531	89	26	‖v(t)‖	‖v(t)‖	PUNCT
ejde-531	89	27	=	=	SYM
ejde-531	89	28	∥∥s(t)v(0	∥∥s(t)v(0	X
ejde-531	89	29	)	)	PUNCT
ejde-531	90	1	+	+	CCONJ
ejde-531	90	2	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	90	3	−	−	PROPN
ejde-531	90	4	t)v(0	t)v(0	PROPN
ejde-531	90	5	)	)	PUNCT
ejde-531	90	6	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-531	90	7	≤	≤	ADV
ejde-531	90	8	∥∥s(t	∥∥s(t	ADJ
ejde-531	90	9	)	)	PUNCT
ejde-531	90	10	∥∥	∥∥	PRON
ejde-531	90	11	‖v(0)‖+	‖v(0)‖+	PROPN
ejde-531	90	12	∥∥s(π	∥∥s(π	NOUN
ejde-531	90	13	−	−	PROPN
ejde-531	90	14	t	t	PROPN
ejde-531	90	15	)	)	PUNCT
ejde-531	90	16	∥∥	∥∥	X
ejde-531	90	17	‖v(π)‖	‖v(π)‖	X
ejde-531	90	18	≤	≤	NUM
ejde-531	90	19	c	c	X
ejde-531	90	20	(	(	PUNCT
ejde-531	90	21	‖v(0)‖+	‖v(0)‖+	PROPN
ejde-531	90	22	‖v(π)‖	‖v(π)‖	NUM
ejde-531	90	23	)	)	PUNCT
ejde-531	90	24	.	.	PUNCT
ejde-531	91	1	hence	hence	ADV
ejde-531	91	2	problem	problem	NOUN
ejde-531	91	3	(	(	PUNCT
ejde-531	91	4	2.2	2.2	NUM
ejde-531	91	5	)	)	PUNCT
ejde-531	91	6	is	be	AUX
ejde-531	91	7	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	91	8	well	well	ADV
ejde-531	91	9	-	-	PUNCT
ejde-531	91	10	posed	pose	VERB
ejde-531	91	11	.	.	PUNCT
ejde-531	92	1	�	�	PROPN
ejde-531	92	2	theorem	theorem	VERB
ejde-531	92	3	2.2	2.2	NUM
ejde-531	92	4	.	.	PUNCT
ejde-531	93	1	let	let	VERB
ejde-531	93	2	x	x	PRON
ejde-531	93	3	be	be	AUX
ejde-531	93	4	a	a	DET
ejde-531	93	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	93	6	space	space	NOUN
ejde-531	93	7	and	and	CCONJ
ejde-531	93	8	a	a	DET
ejde-531	93	9	be	be	AUX
ejde-531	93	10	a	a	DET
ejde-531	93	11	linear	linear	NOUN
ejde-531	93	12	closed	close	VERB
ejde-531	93	13	densely	densely	ADV
ejde-531	93	14	defined	define	VERB
ejde-531	93	15	operator	operator	NOUN
ejde-531	93	16	in	in	ADP
ejde-531	93	17	x.	x.	NOUN
ejde-531	93	18	if	if	SCONJ
ejde-531	93	19	problem	problem	NOUN
ejde-531	93	20	(	(	PUNCT
ejde-531	93	21	2.2	2.2	NUM
ejde-531	93	22	)	)	PUNCT
ejde-531	93	23	is	be	AUX
ejde-531	93	24	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	93	25	well	well	ADV
ejde-531	93	26	-	-	PUNCT
ejde-531	93	27	posed	pose	VERB
ejde-531	93	28	,	,	PUNCT
ejde-531	93	29	then	then	ADV
ejde-531	93	30	,	,	PUNCT
ejde-531	93	31	for	for	ADP
ejde-531	93	32	all	all	DET
ejde-531	93	33	m	m	NOUN
ejde-531	93	34	∈	∈	NOUN
ejde-531	93	35	n	n	PRON
ejde-531	93	36	\	\	NOUN
ejde-531	93	37	{	{	PUNCT
ejde-531	93	38	1	1	NUM
ejde-531	93	39	}	}	PUNCT
ejde-531	93	40	,	,	PUNCT
ejde-531	93	41	the	the	DET
ejde-531	93	42	same	same	ADJ
ejde-531	93	43	problem	problem	NOUN
ejde-531	93	44	is	be	AUX
ejde-531	93	45	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	93	46	well	well	ADV
ejde-531	93	47	-	-	PUNCT
ejde-531	93	48	posed	pose	VERB
ejde-531	93	49	for	for	ADP
ejde-531	93	50	the	the	DET
ejde-531	93	51	operator	operator	NOUN
ejde-531	93	52	m−2a	m−2a	ADJ
ejde-531	93	53	.	.	PUNCT
ejde-531	94	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	94	2	.	.	PUNCT
ejde-531	95	1	let	let	VERB
ejde-531	95	2	s	s	PRON
ejde-531	95	3	be	be	AUX
ejde-531	95	4	the	the	DET
ejde-531	95	5	strongly	strongly	ADV
ejde-531	95	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	95	7	operator	operator	NOUN
ejde-531	95	8	valued	value	VERB
ejde-531	95	9	function	function	NOUN
ejde-531	95	10	whose	whose	DET
ejde-531	95	11	existence	existence	NOUN
ejde-531	95	12	is	be	AUX
ejde-531	95	13	guaranteed	guarantee	VERB
ejde-531	95	14	by	by	ADP
ejde-531	95	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	95	16	2.1	2.1	NUM
ejde-531	95	17	.	.	PUNCT
ejde-531	96	1	let	let	VERB
ejde-531	96	2	t	t	NOUN
ejde-531	96	3	:	:	PUNCT
ejde-531	97	1	[	[	X
ejde-531	97	2	0	0	NUM
ejde-531	97	3	,	,	PUNCT
ejde-531	97	4	π	π	X
ejde-531	97	5	]	]	X
ejde-531	97	6	→	→	SYM
ejde-531	97	7	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	97	8	)	)	PUNCT
ejde-531	97	9	defined	define	VERB
ejde-531	97	10	as	as	SCONJ
ejde-531	97	11	follows	follow	VERB
ejde-531	97	12	.	.	PUNCT
ejde-531	98	1	if	if	SCONJ
ejde-531	98	2	m	m	NOUN
ejde-531	98	3	is	be	AUX
ejde-531	98	4	even	even	ADV
ejde-531	98	5	t	t	PROPN
ejde-531	98	6	(	(	PUNCT
ejde-531	98	7	t	t	PROPN
ejde-531	98	8	)	)	PUNCT
ejde-531	98	9	=	=	SYM
ejde-531	98	10	m/2∑	m/2∑	X
ejde-531	98	11	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	98	12	(	(	PUNCT
ejde-531	98	13	s	s	X
ejde-531	98	14	(	(	PUNCT
ejde-531	98	15	(	(	PUNCT
ejde-531	98	16	2j	2j	NUM
ejde-531	98	17	−	−	PROPN
ejde-531	98	18	1)π	1)π	NUM
ejde-531	98	19	+	+	SYM
ejde-531	98	20	t	t	PROPN
ejde-531	98	21	m	m	PROPN
ejde-531	98	22	)	)	PUNCT
ejde-531	99	1	−	−	PROPN
ejde-531	99	2	s	s	X
ejde-531	99	3	(	(	PUNCT
ejde-531	99	4	(	(	PUNCT
ejde-531	99	5	2j	2j	NUM
ejde-531	99	6	−	−	PROPN
ejde-531	99	7	1)π	1)π	NUM
ejde-531	99	8	−	−	PROPN
ejde-531	99	9	t	t	PROPN
ejde-531	99	10	m	m	PROPN
ejde-531	99	11	)	)	PUNCT
ejde-531	99	12	)	)	PUNCT
ejde-531	99	13	,	,	PUNCT
ejde-531	99	14	(	(	PUNCT
ejde-531	99	15	2.3	2.3	NUM
ejde-531	99	16	)	)	PUNCT
ejde-531	99	17	if	if	SCONJ
ejde-531	99	18	m	m	NOUN
ejde-531	99	19	is	be	AUX
ejde-531	99	20	odd	odd	ADJ
ejde-531	99	21	t	t	PROPN
ejde-531	99	22	(	(	PUNCT
ejde-531	99	23	t	t	PROPN
ejde-531	99	24	)	)	PUNCT
ejde-531	99	25	=	=	SYM
ejde-531	100	1	(	(	PUNCT
ejde-531	100	2	m−1)/2∑	m−1)/2∑	INTJ
ejde-531	100	3	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	100	4	(	(	PUNCT
ejde-531	100	5	s	s	X
ejde-531	100	6	(	(	PUNCT
ejde-531	100	7	2jπ	2jπ	ADJ
ejde-531	100	8	+	+	PROPN
ejde-531	100	9	t	t	PROPN
ejde-531	100	10	m	m	NOUN
ejde-531	100	11	)	)	PUNCT
ejde-531	101	1	−	−	PROPN
ejde-531	101	2	s	s	PART
ejde-531	101	3	(	(	PUNCT
ejde-531	101	4	2jπ	2jπ	ADJ
ejde-531	101	5	−	−	PROPN
ejde-531	101	6	t	t	PROPN
ejde-531	101	7	m	m	PROPN
ejde-531	101	8	)	)	PUNCT
ejde-531	101	9	)	)	PUNCT
ejde-531	102	1	+	+	CCONJ
ejde-531	102	2	s	s	X
ejde-531	102	3	(	(	PUNCT
ejde-531	102	4	t	t	PROPN
ejde-531	102	5	m	m	PROPN
ejde-531	102	6	)	)	PUNCT
ejde-531	102	7	.	.	PUNCT
ejde-531	103	1	(	(	PUNCT
ejde-531	103	2	2.4	2.4	NUM
ejde-531	103	3	)	)	PUNCT
ejde-531	103	4	it	it	PRON
ejde-531	103	5	is	be	AUX
ejde-531	103	6	easy	easy	ADJ
ejde-531	103	7	to	to	PART
ejde-531	103	8	verify	verify	VERB
ejde-531	103	9	that	that	SCONJ
ejde-531	103	10	t	t	PROPN
ejde-531	103	11	satisfies	satisfy	VERB
ejde-531	103	12	conditions	condition	NOUN
ejde-531	103	13	(	(	PUNCT
ejde-531	103	14	1)–(3	1)–(3	NUM
ejde-531	103	15	)	)	PUNCT
ejde-531	103	16	of	of	ADP
ejde-531	103	17	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	103	18	2.1	2.1	NUM
ejde-531	103	19	with	with	ADP
ejde-531	103	20	respect	respect	NOUN
ejde-531	103	21	to	to	ADP
ejde-531	103	22	the	the	DET
ejde-531	103	23	operator	operator	NOUN
ejde-531	103	24	m−2a	m−2a	NOUN
ejde-531	103	25	.	.	PUNCT
ejde-531	104	1	to	to	PART
ejde-531	104	2	prove	prove	VERB
ejde-531	104	3	that	that	SCONJ
ejde-531	104	4	also	also	ADV
ejde-531	104	5	condition	condition	NOUN
ejde-531	104	6	(	(	PUNCT
ejde-531	104	7	4	4	NUM
ejde-531	104	8	)	)	PUNCT
ejde-531	104	9	is	be	AUX
ejde-531	104	10	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	104	11	it	it	PRON
ejde-531	104	12	is	be	AUX
ejde-531	104	13	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-531	104	14	to	to	PART
ejde-531	104	15	show	show	VERB
ejde-531	104	16	that	that	SCONJ
ejde-531	104	17	the	the	DET
ejde-531	104	18	unique	unique	ADJ
ejde-531	104	19	solution	solution	NOUN
ejde-531	104	20	of	of	ADP
ejde-531	104	21	the	the	DET
ejde-531	104	22	problem	problem	NOUN
ejde-531	104	23	u′′(t	u′′(t	VERB
ejde-531	104	24	)	)	PUNCT
ejde-531	105	1	+	+	CCONJ
ejde-531	105	2	1	1	NUM
ejde-531	105	3	m2	m2	NOUN
ejde-531	105	4	au(t	au(t	NUM
ejde-531	105	5	)	)	PUNCT
ejde-531	106	1	=	=	SYM
ejde-531	106	2	0	0	NUM
ejde-531	106	3	,	,	PUNCT
ejde-531	106	4	t	t	PROPN
ejde-531	106	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	107	1	[	[	X
ejde-531	107	2	0	0	NUM
ejde-531	107	3	,	,	PUNCT
ejde-531	107	4	π	π	NOUN
ejde-531	107	5	]	]	X
ejde-531	107	6	,	,	PUNCT
ejde-531	107	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	107	8	)	)	PUNCT
ejde-531	107	9	=	=	SYM
ejde-531	107	10	0	0	NUM
ejde-531	107	11	,	,	PUNCT
ejde-531	107	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	107	13	)	)	PUNCT
ejde-531	107	14	=	=	SYM
ejde-531	107	15	0	0	NUM
ejde-531	107	16	,	,	PUNCT
ejde-531	107	17	is	be	AUX
ejde-531	107	18	the	the	DET
ejde-531	107	19	identically	identically	ADV
ejde-531	107	20	zero	zero	NUM
ejde-531	107	21	function	function	NOUN
ejde-531	107	22	.	.	PUNCT
ejde-531	108	1	suppose	suppose	VERB
ejde-531	108	2	that	that	SCONJ
ejde-531	108	3	v	v	PROPN
ejde-531	108	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	108	5	c2	c2	PROPN
ejde-531	108	6	(	(	PUNCT
ejde-531	108	7	[	[	X
ejde-531	108	8	0	0	NUM
ejde-531	108	9	,	,	PUNCT
ejde-531	108	10	π	π	PROPN
ejde-531	108	11	]	]	X
ejde-531	108	12	,	,	PUNCT
ejde-531	108	13	x	x	SYM
ejde-531	108	14	)	)	PUNCT
ejde-531	108	15	∩	∩	NOUN
ejde-531	108	16	c	c	X
ejde-531	108	17	(	(	PUNCT
ejde-531	108	18	[	[	X
ejde-531	108	19	0	0	NUM
ejde-531	108	20	,	,	PUNCT
ejde-531	108	21	π],d(a	π],d(a	NOUN
ejde-531	108	22	)	)	PUNCT
ejde-531	108	23	)	)	PUNCT
ejde-531	108	24	is	be	AUX
ejde-531	108	25	solution	solution	NOUN
ejde-531	108	26	of	of	ADP
ejde-531	108	27	this	this	DET
ejde-531	108	28	problem	problem	NOUN
ejde-531	108	29	.	.	PUNCT
ejde-531	109	1	let	let	VERB
ejde-531	109	2	w	w	X
ejde-531	109	3	:	:	PUNCT
ejde-531	109	4	r	r	NOUN
ejde-531	109	5	→	→	PUNCT
ejde-531	109	6	x	x	SYM
ejde-531	109	7	be	be	AUX
ejde-531	109	8	the	the	DET
ejde-531	109	9	2π	2π	NOUN
ejde-531	109	10	-	-	ADJ
ejde-531	109	11	periodic	periodic	ADJ
ejde-531	109	12	repetition	repetition	NOUN
ejde-531	109	13	of	of	ADP
ejde-531	109	14	the	the	DET
ejde-531	109	15	odd	odd	ADJ
ejde-531	109	16	extension	extension	NOUN
ejde-531	109	17	of	of	ADP
ejde-531	109	18	v.	v.	PROPN
ejde-531	109	19	since	since	SCONJ
ejde-531	109	20	v(0	v(0	PROPN
ejde-531	109	21	)	)	PUNCT
ejde-531	109	22	=	=	SYM
ejde-531	109	23	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	109	24	)	)	PUNCT
ejde-531	110	1	=	=	SYM
ejde-531	110	2	0	0	NUM
ejde-531	110	3	,	,	PUNCT
ejde-531	110	4	w	w	PROPN
ejde-531	110	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	110	6	c1(r	c1(r	PROPN
ejde-531	110	7	,	,	PUNCT
ejde-531	110	8	x	x	NOUN
ejde-531	110	9	)	)	PUNCT
ejde-531	110	10	∩	∩	NOUN
ejde-531	110	11	c(r	c(r	NOUN
ejde-531	110	12	,	,	PUNCT
ejde-531	110	13	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	110	14	)	)	PUNCT
ejde-531	110	15	)	)	PUNCT
ejde-531	110	16	.	.	PUNCT
ejde-531	111	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	111	2	w	w	NOUN
ejde-531	111	3	is	be	AUX
ejde-531	111	4	twice	twice	ADV
ejde-531	111	5	continuously	continuously	ADV
ejde-531	111	6	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-531	111	7	in	in	ADP
ejde-531	111	8	r	r	NOUN
ejde-531	111	9	\	\	PUNCT
ejde-531	111	10	{	{	PUNCT
ejde-531	111	11	jπ	jπ	PROPN
ejde-531	111	12	|	|	ADV
ejde-531	111	13	j	j	PROPN
ejde-531	111	14	∈	∈	PROPN
ejde-531	111	15	z	z	PROPN
ejde-531	111	16	}	}	PUNCT
ejde-531	111	17	,	,	PUNCT
ejde-531	111	18	with	with	ADP
ejde-531	111	19	second	second	ADJ
ejde-531	111	20	derivative	derivative	ADJ
ejde-531	111	21	equal	equal	ADJ
ejde-531	111	22	to	to	ADP
ejde-531	111	23	−m−2aw	−m−2aw	PROPN
ejde-531	111	24	.	.	PUNCT
ejde-531	112	1	in	in	ADP
ejde-531	112	2	the	the	DET
ejde-531	112	3	points	point	NOUN
ejde-531	112	4	jπ	jπ	ADP
ejde-531	112	5	the	the	DET
ejde-531	112	6	second	second	ADJ
ejde-531	112	7	derivative	derivative	NOUN
ejde-531	112	8	from	from	ADP
ejde-531	112	9	the	the	DET
ejde-531	112	10	left	left	NOUN
ejde-531	112	11	and	and	CCONJ
ejde-531	112	12	the	the	DET
ejde-531	112	13	second	second	ADJ
ejde-531	112	14	derivative	derivative	NOUN
ejde-531	112	15	from	from	ADP
ejde-531	112	16	the	the	DET
ejde-531	112	17	right	right	NOUN
ejde-531	112	18	are	be	AUX
ejde-531	112	19	both	both	ADV
ejde-531	112	20	equal	equal	ADJ
ejde-531	112	21	to	to	ADP
ejde-531	112	22	−m−2aw(jπ	−m−2aw(jπ	NUM
ejde-531	112	23	)	)	PUNCT
ejde-531	112	24	=	=	SYM
ejde-531	112	25	0	0	NUM
ejde-531	112	26	,	,	PUNCT
ejde-531	112	27	hence	hence	ADV
ejde-531	112	28	w	w	NOUN
ejde-531	112	29	is	be	AUX
ejde-531	112	30	twice	twice	ADV
ejde-531	112	31	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-531	112	32	also	also	ADV
ejde-531	112	33	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	112	34	dirichlet	dirichlet	ADJ
ejde-531	112	35	problem	problem	NOUN
ejde-531	112	36	for	for	ADP
ejde-531	112	37	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	112	38	differential	differential	ADJ
ejde-531	112	39	equations	equation	NOUN
ejde-531	112	40	5	5	NUM
ejde-531	112	41	at	at	ADP
ejde-531	112	42	these	these	DET
ejde-531	112	43	points	point	NOUN
ejde-531	112	44	and	and	CCONJ
ejde-531	112	45	w	w	NOUN
ejde-531	112	46	∈	∈	PROPN
ejde-531	112	47	c2(r	c2(r	PROPN
ejde-531	112	48	,	,	PUNCT
ejde-531	112	49	x	x	NOUN
ejde-531	112	50	)	)	PUNCT
ejde-531	112	51	∩	∩	NOUN
ejde-531	112	52	c(r	c(r	NOUN
ejde-531	112	53	,	,	PUNCT
ejde-531	112	54	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	112	55	)	)	PUNCT
ejde-531	112	56	)	)	PUNCT
ejde-531	112	57	.	.	PUNCT
ejde-531	113	1	let	let	VERB
ejde-531	113	2	z	z	NOUN
ejde-531	113	3	:	:	PUNCT
ejde-531	114	1	[	[	X
ejde-531	114	2	0	0	NUM
ejde-531	114	3	,	,	PUNCT
ejde-531	114	4	π	π	X
ejde-531	114	5	]	]	X
ejde-531	114	6	→	→	PUNCT
ejde-531	114	7	x	x	AUX
ejde-531	114	8	be	be	AUX
ejde-531	114	9	defined	define	VERB
ejde-531	114	10	by	by	ADP
ejde-531	114	11	z(t	z(t	NOUN
ejde-531	114	12	)	)	PUNCT
ejde-531	114	13	=	=	SYM
ejde-531	114	14	w(mt	w(mt	NOUN
ejde-531	114	15	)	)	PUNCT
ejde-531	114	16	.	.	PUNCT
ejde-531	115	1	then	then	ADV
ejde-531	115	2	z	z	PROPN
ejde-531	115	3	is	be	AUX
ejde-531	115	4	solution	solution	NOUN
ejde-531	115	5	of	of	ADP
ejde-531	115	6	the	the	DET
ejde-531	115	7	problem	problem	NOUN
ejde-531	115	8	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	115	9	)	)	PUNCT
ejde-531	115	10	+	+	NOUN
ejde-531	115	11	au(t	au(t	NUM
ejde-531	115	12	)	)	PUNCT
ejde-531	116	1	=	=	SYM
ejde-531	116	2	0	0	NUM
ejde-531	116	3	,	,	PUNCT
ejde-531	116	4	t	t	PROPN
ejde-531	116	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	117	1	[	[	X
ejde-531	117	2	0	0	NUM
ejde-531	117	3	,	,	PUNCT
ejde-531	117	4	π	π	NOUN
ejde-531	117	5	]	]	X
ejde-531	117	6	,	,	PUNCT
ejde-531	117	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	117	8	)	)	PUNCT
ejde-531	117	9	=	=	SYM
ejde-531	117	10	0	0	NUM
ejde-531	117	11	,	,	PUNCT
ejde-531	117	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	117	13	)	)	PUNCT
ejde-531	117	14	=	=	SYM
ejde-531	117	15	0	0	NUM
ejde-531	117	16	;	;	PUNCT
ejde-531	117	17	hence	hence	ADV
ejde-531	117	18	it	it	PRON
ejde-531	117	19	is	be	AUX
ejde-531	117	20	identically	identically	ADV
ejde-531	117	21	zero	zero	NUM
ejde-531	117	22	.	.	PUNCT
ejde-531	118	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	118	2	v	v	VERB
ejde-531	118	3	=	=	SYM
ejde-531	118	4	0	0	PROPN
ejde-531	118	5	.	.	PUNCT
ejde-531	118	6	�	�	PROPN
ejde-531	119	1	3	3	NUM
ejde-531	119	2	.	.	NOUN
ejde-531	119	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	119	4	conditions	condition	NOUN
ejde-531	119	5	in	in	ADP
ejde-531	119	6	this	this	DET
ejde-531	119	7	section	section	NOUN
ejde-531	119	8	we	we	PRON
ejde-531	119	9	give	give	VERB
ejde-531	119	10	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	119	11	conditions	condition	NOUN
ejde-531	119	12	for	for	ADP
ejde-531	119	13	the	the	DET
ejde-531	119	14	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	119	15	well	well	ADJ
ejde-531	119	16	-	-	PUNCT
ejde-531	119	17	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	119	18	of	of	ADP
ejde-531	119	19	problem	problem	NOUN
ejde-531	119	20	(	(	PUNCT
ejde-531	119	21	2.2	2.2	NUM
ejde-531	119	22	)	)	PUNCT
ejde-531	119	23	in	in	ADP
ejde-531	119	24	terms	term	NOUN
ejde-531	119	25	of	of	ADP
ejde-531	119	26	the	the	DET
ejde-531	119	27	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	119	28	operator	operator	NOUN
ejde-531	119	29	of	of	ADP
ejde-531	119	30	a.	a.	NOUN
ejde-531	119	31	first	first	ADV
ejde-531	119	32	of	of	ADP
ejde-531	119	33	all	all	PRON
ejde-531	119	34	we	we	PRON
ejde-531	119	35	have	have	VERB
ejde-531	119	36	a	a	DET
ejde-531	119	37	condition	condition	NOUN
ejde-531	119	38	on	on	ADP
ejde-531	119	39	the	the	DET
ejde-531	119	40	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	119	41	set	set	NOUN
ejde-531	119	42	and	and	CCONJ
ejde-531	119	43	an	an	DET
ejde-531	119	44	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	119	45	of	of	ADP
ejde-531	119	46	the	the	DET
ejde-531	119	47	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-531	119	48	operator	operator	NOUN
ejde-531	119	49	of	of	ADP
ejde-531	119	50	a.	a.	NOUN
ejde-531	119	51	theorem	theorem	PROPN
ejde-531	119	52	3.1	3.1	NUM
ejde-531	119	53	.	.	PUNCT
ejde-531	120	1	let	let	VERB
ejde-531	120	2	x	x	PRON
ejde-531	120	3	be	be	AUX
ejde-531	120	4	a	a	DET
ejde-531	120	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	120	6	space	space	NOUN
ejde-531	120	7	and	and	CCONJ
ejde-531	120	8	a	a	DET
ejde-531	120	9	be	be	AUX
ejde-531	120	10	a	a	DET
ejde-531	120	11	linear	linear	NOUN
ejde-531	120	12	closed	close	VERB
ejde-531	120	13	densely	densely	ADV
ejde-531	120	14	defined	define	VERB
ejde-531	120	15	operator	operator	NOUN
ejde-531	120	16	in	in	ADP
ejde-531	120	17	x	x	SYM
ejde-531	120	18	such	such	ADJ
ejde-531	120	19	that	that	DET
ejde-531	120	20	problem	problem	NOUN
ejde-531	120	21	(	(	PUNCT
ejde-531	120	22	2.2	2.2	NUM
ejde-531	120	23	)	)	PUNCT
ejde-531	120	24	is	be	AUX
ejde-531	120	25	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	120	26	well	well	ADV
ejde-531	120	27	-	-	PUNCT
ejde-531	120	28	posed	pose	VERB
ejde-531	120	29	.	.	PUNCT
ejde-531	121	1	then	then	ADV
ejde-531	121	2	for	for	ADP
ejde-531	121	3	all	all	DET
ejde-531	121	4	k	k	PROPN
ejde-531	121	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	121	6	n	n	CCONJ
ejde-531	121	7	,	,	PUNCT
ejde-531	121	8	k2	k2	PROPN
ejde-531	121	9	∈	∈	PROPN
ejde-531	121	10	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	121	11	)	)	PUNCT
ejde-531	121	12	and	and	CCONJ
ejde-531	121	13	there	there	PRON
ejde-531	121	14	exists	exist	VERB
ejde-531	121	15	c	c	PROPN
ejde-531	121	16	∈	∈	PROPN
ejde-531	121	17	r+	r+	NOUN
ejde-531	121	18	such	such	ADJ
ejde-531	121	19	that	that	SCONJ
ejde-531	121	20	,	,	PUNCT
ejde-531	121	21	for	for	ADP
ejde-531	121	22	all	all	DET
ejde-531	121	23	k	k	PROPN
ejde-531	121	24	∈	∈	PROPN
ejde-531	121	25	n,∥∥(k2i	n,∥∥(k2i	ADJ
ejde-531	121	26	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	121	27	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	121	28	≤	≤	PROPN
ejde-531	121	29	c	c	X
ejde-531	121	30	k	k	PROPN
ejde-531	121	31	.	.	PUNCT
ejde-531	122	1	(	(	PUNCT
ejde-531	122	2	3.1	3.1	NUM
ejde-531	122	3	)	)	PUNCT
ejde-531	122	4	the	the	DET
ejde-531	122	5	fact	fact	NOUN
ejde-531	122	6	that	that	SCONJ
ejde-531	122	7	k2	k2	PROPN
ejde-531	122	8	does	do	AUX
ejde-531	122	9	not	not	PART
ejde-531	122	10	belongs	belong	VERB
ejde-531	122	11	to	to	ADP
ejde-531	122	12	the	the	DET
ejde-531	122	13	point	point	NOUN
ejde-531	122	14	spectrum	spectrum	NOUN
ejde-531	122	15	of	of	ADP
ejde-531	122	16	a	a	PRON
ejde-531	122	17	is	be	AUX
ejde-531	122	18	a	a	DET
ejde-531	122	19	particular	particular	ADJ
ejde-531	122	20	case	case	NOUN
ejde-531	122	21	of	of	ADP
ejde-531	122	22	[	[	X
ejde-531	122	23	4	4	NUM
ejde-531	122	24	,	,	PUNCT
ejde-531	122	25	theorem	theorem	VERB
ejde-531	122	26	1	1	NUM
ejde-531	122	27	]	]	PUNCT
ejde-531	122	28	.	.	PUNCT
ejde-531	123	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	123	2	.	.	PUNCT
ejde-531	124	1	let	let	VERB
ejde-531	124	2	s	s	PRON
ejde-531	124	3	be	be	AUX
ejde-531	124	4	the	the	DET
ejde-531	124	5	operator	operator	NOUN
ejde-531	124	6	valued	value	VERB
ejde-531	124	7	function	function	NOUN
ejde-531	124	8	whose	whose	DET
ejde-531	124	9	existence	existence	NOUN
ejde-531	124	10	is	be	AUX
ejde-531	124	11	guaranteed	guarantee	VERB
ejde-531	124	12	by	by	ADP
ejde-531	124	13	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	124	14	2.1	2.1	NUM
ejde-531	124	15	and	and	CCONJ
ejde-531	124	16	c	c	NOUN
ejde-531	124	17	=	=	SYM
ejde-531	124	18	supt∈[0,π	supt∈[0,π	X
ejde-531	124	19	]	]	X
ejde-531	124	20	∥∥s(t	∥∥s(t	X
ejde-531	124	21	)	)	PUNCT
ejde-531	124	22	∥∥.	∥∥.	NUM
ejde-531	124	23	for	for	ADP
ejde-531	124	24	k	k	PROPN
ejde-531	124	25	∈	∈	PROPN
ejde-531	124	26	n	n	CCONJ
ejde-531	124	27	the	the	DET
ejde-531	124	28	operator	operator	NOUN
ejde-531	125	1	k2i	k2i	ADJ
ejde-531	125	2	−	−	PROPN
ejde-531	125	3	a	a	PRON
ejde-531	125	4	is	be	AUX
ejde-531	125	5	injective	injective	ADJ
ejde-531	125	6	.	.	PUNCT
ejde-531	126	1	indeed	indeed	ADV
ejde-531	126	2	if	if	SCONJ
ejde-531	126	3	x	x	PROPN
ejde-531	126	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	126	5	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	126	6	)	)	PUNCT
ejde-531	126	7	is	be	AUX
ejde-531	126	8	such	such	ADJ
ejde-531	126	9	that	that	SCONJ
ejde-531	126	10	k2x	k2x	PROPN
ejde-531	126	11	=	=	SYM
ejde-531	126	12	ax	ax	NOUN
ejde-531	126	13	,	,	PUNCT
ejde-531	126	14	it	it	PRON
ejde-531	126	15	is	be	AUX
ejde-531	126	16	easy	easy	ADJ
ejde-531	126	17	to	to	PART
ejde-531	126	18	check	check	VERB
ejde-531	126	19	that	that	SCONJ
ejde-531	126	20	the	the	DET
ejde-531	126	21	function	function	NOUN
ejde-531	126	22	t	t	PROPN
ejde-531	126	23	7→	7→	NUM
ejde-531	126	24	sin(kt)x	sin(kt)x	PROPN
ejde-531	126	25	is	be	AUX
ejde-531	126	26	solution	solution	NOUN
ejde-531	126	27	of	of	ADP
ejde-531	126	28	the	the	DET
ejde-531	126	29	problem	problem	NOUN
ejde-531	126	30	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	126	31	)	)	PUNCT
ejde-531	127	1	+	+	NOUN
ejde-531	127	2	au(t	au(t	NUM
ejde-531	127	3	)	)	PUNCT
ejde-531	128	1	=	=	SYM
ejde-531	128	2	0	0	NUM
ejde-531	128	3	,	,	PUNCT
ejde-531	128	4	t	t	PROPN
ejde-531	128	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	129	1	[	[	X
ejde-531	129	2	0	0	NUM
ejde-531	129	3	,	,	PUNCT
ejde-531	129	4	π	π	NOUN
ejde-531	129	5	]	]	X
ejde-531	129	6	,	,	PUNCT
ejde-531	129	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	129	8	)	)	PUNCT
ejde-531	129	9	=	=	SYM
ejde-531	129	10	0	0	NUM
ejde-531	129	11	,	,	PUNCT
ejde-531	129	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	129	13	)	)	PUNCT
ejde-531	129	14	=	=	SYM
ejde-531	130	1	0	0	NUM
ejde-531	130	2	.	.	PUNCT
ejde-531	131	1	the	the	DET
ejde-531	131	2	unique	unique	ADJ
ejde-531	131	3	solution	solution	NOUN
ejde-531	131	4	of	of	ADP
ejde-531	131	5	this	this	DET
ejde-531	131	6	problem	problem	NOUN
ejde-531	131	7	is	be	AUX
ejde-531	131	8	the	the	DET
ejde-531	131	9	identically	identically	ADV
ejde-531	131	10	zero	zero	NUM
ejde-531	131	11	function	function	NOUN
ejde-531	131	12	,	,	PUNCT
ejde-531	131	13	hence	hence	ADV
ejde-531	131	14	x	x	PUNCT
ejde-531	131	15	=	=	NOUN
ejde-531	131	16	0	0	X
ejde-531	131	17	.	.	PUNCT
ejde-531	132	1	for	for	ADP
ejde-531	132	2	k	k	PROPN
ejde-531	132	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	132	4	n	n	PROPN
ejde-531	132	5	and	and	CCONJ
ejde-531	132	6	x	x	PUNCT
ejde-531	132	7	∈	∈	NOUN
ejde-531	132	8	x	x	PUNCT
ejde-531	132	9	let	let	VERB
ejde-531	132	10	rkx	rkx	NOUN
ejde-531	132	11	=	=	PUNCT
ejde-531	132	12	(	(	PUNCT
ejde-531	132	13	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	132	14	k	k	X
ejde-531	132	15	∫	∫	PROPN
ejde-531	132	16	π	π	PROPN
ejde-531	132	17	0	0	PUNCT
ejde-531	132	18	sin(ks)s(s)x	sin(ks)s(s)x	NOUN
ejde-531	132	19	ds	ds	VERB
ejde-531	132	20	.	.	PUNCT
ejde-531	133	1	in	in	ADP
ejde-531	133	2	this	this	DET
ejde-531	133	3	way	way	NOUN
ejde-531	133	4	an	an	DET
ejde-531	133	5	operator	operator	NOUN
ejde-531	133	6	rk	rk	NOUN
ejde-531	133	7	∈	∈	PROPN
ejde-531	133	8	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	133	9	)	)	PUNCT
ejde-531	133	10	is	be	AUX
ejde-531	133	11	defined	define	VERB
ejde-531	133	12	;	;	PUNCT
ejde-531	134	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	134	2	‖rkx‖	‖rkx‖	ADJ
ejde-531	134	3	≤	≤	ADV
ejde-531	134	4	1	1	NUM
ejde-531	134	5	k	k	NOUN
ejde-531	134	6	∫	∫	PROPN
ejde-531	135	1	π	π	NOUN
ejde-531	135	2	0	0	NUM
ejde-531	136	1	|	|	ADV
ejde-531	136	2	sin(ks)|	sin(ks)|	VERB
ejde-531	136	3	∥∥s(s)x	∥∥s(s)x	ADV
ejde-531	136	4	∥∥	∥∥	PRON
ejde-531	136	5	ds	ds	ADJ
ejde-531	136	6	≤	≤	NUM
ejde-531	136	7	1	1	NUM
ejde-531	136	8	k	k	NOUN
ejde-531	136	9	∫	∫	PROPN
ejde-531	137	1	π	π	NOUN
ejde-531	137	2	0	0	PUNCT
ejde-531	138	1	|	|	ADV
ejde-531	138	2	sin(ks)|c‖x‖	sin(ks)|c‖x‖	ADJ
ejde-531	138	3	ds	ds	ADJ
ejde-531	138	4	=	=	SYM
ejde-531	138	5	2c	2c	NOUN
ejde-531	138	6	k	k	PROPN
ejde-531	138	7	‖x‖	‖x‖	PROPN
ejde-531	138	8	,	,	PUNCT
ejde-531	138	9	hence	hence	ADV
ejde-531	138	10	‖rk‖	‖rk‖	VERB
ejde-531	138	11	≤	≤	NOUN
ejde-531	138	12	2c	2c	NUM
ejde-531	138	13	/	/	SYM
ejde-531	138	14	k.	k.	NOUN
ejde-531	138	15	for	for	ADP
ejde-531	138	16	all	all	DET
ejde-531	138	17	x	x	PROPN
ejde-531	138	18	∈	∈	PROPN
ejde-531	138	19	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	138	20	)	)	PUNCT
ejde-531	138	21	we	we	PRON
ejde-531	138	22	have	have	VERB
ejde-531	138	23	arkx	arkx	NOUN
ejde-531	138	24	=	=	SYM
ejde-531	138	25	(	(	PUNCT
ejde-531	138	26	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	138	27	k	k	X
ejde-531	138	28	∫	∫	PROPN
ejde-531	138	29	π	π	PROPN
ejde-531	138	30	0	0	NUM
ejde-531	138	31	sin(ks)as(s)x	sin(ks)as(s)x	NOUN
ejde-531	138	32	ds	ds	NOUN
ejde-531	138	33	=	=	SYM
ejde-531	138	34	(	(	PUNCT
ejde-531	138	35	−1)k	−1)k	PROPN
ejde-531	138	36	k	k	PROPN
ejde-531	138	37	∫	∫	PROPN
ejde-531	139	1	π	π	PROPN
ejde-531	139	2	0	0	NUM
ejde-531	139	3	sin(ks)s′′(s)x	sin(ks)s′′(s)x	ADJ
ejde-531	139	4	ds	ds	NOUN
ejde-531	139	5	=	=	SYM
ejde-531	139	6	(	(	PUNCT
ejde-531	139	7	−1)k	−1)k	PROPN
ejde-531	139	8	k	k	X
ejde-531	140	1	[	[	PUNCT
ejde-531	140	2	sin(ks)s′(s)x	sin(ks)s′(s)x	NOUN
ejde-531	140	3	]	]	X
ejde-531	140	4	π	π	X
ejde-531	140	5	0	0	PUNCT
ejde-531	140	6	−	−	PROPN
ejde-531	140	7	(	(	PUNCT
ejde-531	140	8	−1)k	−1)k	PROPN
ejde-531	140	9	∫	∫	PROPN
ejde-531	140	10	π	π	PROPN
ejde-531	140	11	0	0	PUNCT
ejde-531	140	12	cos(ks)s′(s)x	cos(ks)s′(s)x	ADV
ejde-531	140	13	ds	ds	ADJ
ejde-531	140	14	=	=	SYM
ejde-531	140	15	−(−1)k	−(−1)k	NUM
ejde-531	140	16	[	[	PUNCT
ejde-531	140	17	cos(ks)s(s)x	cos(ks)s(s)x	PROPN
ejde-531	140	18	]	]	X
ejde-531	140	19	π	π	X
ejde-531	140	20	0	0	PUNCT
ejde-531	140	21	−	−	PROPN
ejde-531	140	22	(	(	PUNCT
ejde-531	140	23	−1)kk	−1)kk	PROPN
ejde-531	140	24	∫	∫	PROPN
ejde-531	140	25	π	π	NOUN
ejde-531	140	26	0	0	PUNCT
ejde-531	141	1	sin(ks)s(s)x	sin(ks)s(s)x	NOUN
ejde-531	141	2	ds	ds	ADJ
ejde-531	141	3	=	=	ADJ
ejde-531	141	4	−x+	−x+	NOUN
ejde-531	141	5	k2rkx	k2rkx	NOUN
ejde-531	141	6	.	.	PUNCT
ejde-531	142	1	6	6	NUM
ejde-531	142	2	g.	g.	PROPN
ejde-531	142	3	dore	dore	PROPN
ejde-531	142	4	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	142	5	if	if	SCONJ
ejde-531	142	6	x	x	SYM
ejde-531	142	7	∈	∈	NOUN
ejde-531	142	8	x	x	X
ejde-531	142	9	let	let	VERB
ejde-531	142	10	(	(	PUNCT
ejde-531	142	11	xn)n∈n	xn)n∈n	NUM
ejde-531	142	12	be	be	AUX
ejde-531	142	13	a	a	DET
ejde-531	142	14	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	142	15	in	in	ADP
ejde-531	142	16	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	142	17	)	)	PUNCT
ejde-531	142	18	converging	converge	VERB
ejde-531	142	19	to	to	ADP
ejde-531	142	20	x.	x.	VERB
ejde-531	142	21	then	then	ADV
ejde-531	142	22	rkxn	rkxn	PROPN
ejde-531	142	23	→	→	SYM
ejde-531	142	24	rkx	rkx	NOUN
ejde-531	142	25	and	and	CCONJ
ejde-531	142	26	arkxn	arkxn	ADV
ejde-531	142	27	→	→	SYM
ejde-531	142	28	−x	−x	NOUN
ejde-531	142	29	+	+	CCONJ
ejde-531	142	30	k2rkx	k2rkx	NOUN
ejde-531	142	31	.	.	PUNCT
ejde-531	143	1	since	since	SCONJ
ejde-531	143	2	a	a	PRON
ejde-531	143	3	is	be	AUX
ejde-531	143	4	closed	close	VERB
ejde-531	143	5	this	this	PRON
ejde-531	143	6	proves	prove	VERB
ejde-531	143	7	that	that	SCONJ
ejde-531	143	8	rkx	rkx	PROPN
ejde-531	143	9	∈	∈	PROPN
ejde-531	143	10	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	143	11	)	)	PUNCT
ejde-531	143	12	and	and	CCONJ
ejde-531	143	13	arkx	arkx	NOUN
ejde-531	143	14	=	=	SYM
ejde-531	143	15	−x+	−x+	ADP
ejde-531	143	16	k2rkx	k2rkx	PROPN
ejde-531	143	17	.	.	PUNCT
ejde-531	144	1	hence	hence	ADV
ejde-531	144	2	,	,	PUNCT
ejde-531	144	3	for	for	ADP
ejde-531	144	4	all	all	DET
ejde-531	144	5	x	x	SYM
ejde-531	144	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	144	7	x	x	NOUN
ejde-531	144	8	,	,	PUNCT
ejde-531	144	9	we	we	PRON
ejde-531	144	10	have	have	VERB
ejde-531	144	11	(	(	PUNCT
ejde-531	144	12	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	144	13	−a)rkx	−a)rkx	X
ejde-531	145	1	=	=	PUNCT
ejde-531	145	2	x.	x.	NOUN
ejde-531	145	3	therefore	therefore	ADV
ejde-531	145	4	rk	rk	PROPN
ejde-531	145	5	is	be	AUX
ejde-531	145	6	a	a	DET
ejde-531	145	7	right	right	ADJ
ejde-531	145	8	inverse	inverse	NOUN
ejde-531	145	9	of	of	ADP
ejde-531	145	10	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	145	11	−a	−a	NOUN
ejde-531	145	12	.	.	PUNCT
ejde-531	146	1	to	to	PART
ejde-531	146	2	prove	prove	VERB
ejde-531	146	3	that	that	SCONJ
ejde-531	146	4	it	it	PRON
ejde-531	146	5	is	be	AUX
ejde-531	146	6	also	also	ADV
ejde-531	146	7	a	a	DET
ejde-531	146	8	left	left	ADJ
ejde-531	146	9	inverse	inverse	NOUN
ejde-531	146	10	,	,	PUNCT
ejde-531	146	11	observe	observe	VERB
ejde-531	146	12	that	that	SCONJ
ejde-531	146	13	if	if	SCONJ
ejde-531	146	14	x	x	PROPN
ejde-531	146	15	∈	∈	PROPN
ejde-531	146	16	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	146	17	)	)	PUNCT
ejde-531	146	18	then	then	ADV
ejde-531	146	19	(	(	PUNCT
ejde-531	146	20	k2i	k2i	ADJ
ejde-531	146	21	−a)rk(k2	−a)rk(k2	VERB
ejde-531	146	22	−a)x	−a)x	NOUN
ejde-531	146	23	=	=	SYM
ejde-531	146	24	(	(	PUNCT
ejde-531	146	25	k2i	k2i	ADJ
ejde-531	146	26	−a)x	−a)x	NOUN
ejde-531	146	27	,	,	PUNCT
ejde-531	146	28	hence	hence	ADV
ejde-531	146	29	rk(k2	rk(k2	ADJ
ejde-531	146	30	−a)x	−a)x	NOUN
ejde-531	146	31	=	=	PUNCT
ejde-531	146	32	x	x	X
ejde-531	146	33	since	since	SCONJ
ejde-531	146	34	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	146	35	−a	−a	NOUN
ejde-531	146	36	is	be	AUX
ejde-531	146	37	injective	injective	ADJ
ejde-531	146	38	.	.	PUNCT
ejde-531	147	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	147	2	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	147	3	−a	−a	NOUN
ejde-531	147	4	is	be	AUX
ejde-531	147	5	invertible	invertible	ADJ
ejde-531	147	6	and	and	CCONJ
ejde-531	147	7	(	(	PUNCT
ejde-531	147	8	k2i	k2i	ADJ
ejde-531	147	9	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	147	10	=	=	NOUN
ejde-531	147	11	rk	rk	NOUN
ejde-531	147	12	.	.	PUNCT
ejde-531	148	1	this	this	PRON
ejde-531	148	2	proves	prove	VERB
ejde-531	148	3	the	the	DET
ejde-531	148	4	theorem	theorem	PROPN
ejde-531	148	5	.	.	PROPN
ejde-531	148	6	�	�	PROPN
ejde-531	148	7	to	to	PART
ejde-531	148	8	prove	prove	VERB
ejde-531	148	9	another	another	DET
ejde-531	148	10	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	148	11	condition	condition	NOUN
ejde-531	148	12	,	,	PUNCT
ejde-531	148	13	we	we	PRON
ejde-531	148	14	need	need	VERB
ejde-531	148	15	a	a	DET
ejde-531	148	16	result	result	NOUN
ejde-531	148	17	about	about	ADP
ejde-531	148	18	fourier	fouri	ADJ
ejde-531	148	19	series	series	NOUN
ejde-531	148	20	.	.	PUNCT
ejde-531	149	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	149	2	3.2	3.2	NUM
ejde-531	149	3	.	.	PUNCT
ejde-531	150	1	the	the	DET
ejde-531	150	2	series	series	NOUN
ejde-531	150	3	of	of	ADP
ejde-531	150	4	functions	function	NOUN
ejde-531	150	5	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	150	6	k=1	k=1	X
ejde-531	151	1	(	(	PUNCT
ejde-531	151	2	(	(	PUNCT
ejde-531	151	3	−1)k+1	−1)k+1	PROPN
ejde-531	151	4	/	/	SYM
ejde-531	151	5	k	k	NOUN
ejde-531	151	6	)	)	PUNCT
ejde-531	151	7	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	151	8	)	)	PUNCT
ejde-531	151	9	converges	converge	VERB
ejde-531	151	10	pointwise	pointwise	VERB
ejde-531	151	11	for	for	ADP
ejde-531	151	12	t	t	PROPN
ejde-531	151	13	∈	∈	PROPN
ejde-531	152	1	[	[	X
ejde-531	152	2	0	0	NUM
ejde-531	152	3	,	,	PUNCT
ejde-531	152	4	π	π	PROPN
ejde-531	152	5	]	]	X
ejde-531	152	6	,	,	PUNCT
ejde-531	152	7	the	the	DET
ejde-531	152	8	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	152	9	of	of	ADP
ejde-531	152	10	partial	partial	ADJ
ejde-531	152	11	sums	sum	NOUN
ejde-531	152	12	is	be	AUX
ejde-531	152	13	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	152	14	bounded	bound	VERB
ejde-531	152	15	and	and	CCONJ
ejde-531	152	16	∞∑	∞∑	ADJ
ejde-531	152	17	k=1	k=1	X
ejde-531	152	18	(	(	PUNCT
ejde-531	152	19	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	152	20	k	k	NOUN
ejde-531	152	21	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	152	22	)	)	PUNCT
ejde-531	152	23	=	=	PUNCT
ejde-531	153	1			PUNCT
ejde-531	153	2	1	1	NUM
ejde-531	153	3	2	2	NUM
ejde-531	153	4	t	t	NOUN
ejde-531	153	5	,	,	PUNCT
ejde-531	153	6	if	if	SCONJ
ejde-531	153	7	0	0	NUM
ejde-531	153	8	≤	≤	NUM
ejde-531	153	9	t	t	NOUN
ejde-531	153	10	<	<	X
ejde-531	153	11	π	π	PROPN
ejde-531	153	12	,	,	PUNCT
ejde-531	153	13	0	0	PUNCT
ejde-531	153	14	if	if	SCONJ
ejde-531	153	15	t	t	NOUN
ejde-531	153	16	=	=	SYM
ejde-531	153	17	π	π	PROPN
ejde-531	153	18	.	.	PUNCT
ejde-531	154	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	154	2	.	.	PUNCT
ejde-531	155	1	we	we	PRON
ejde-531	155	2	have	have	VERB
ejde-531	155	3	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	155	4	k=1	k=1	X
ejde-531	155	5	(	(	PUNCT
ejde-531	155	6	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	155	7	k	k	NOUN
ejde-531	155	8	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	155	9	)	)	PUNCT
ejde-531	155	10	=	=	PUNCT
ejde-531	156	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	156	2	k=1	k=1	NOUN
ejde-531	156	3	1	1	NUM
ejde-531	156	4	k	k	X
ejde-531	156	5	sin	sin	NOUN
ejde-531	156	6	(	(	PUNCT
ejde-531	156	7	k(π	k(π	PROPN
ejde-531	156	8	−	−	PROPN
ejde-531	156	9	t	t	PROPN
ejde-531	156	10	)	)	PUNCT
ejde-531	156	11	)	)	PUNCT
ejde-531	156	12	and	and	CCONJ
ejde-531	156	13	the	the	DET
ejde-531	156	14	convergence	convergence	NOUN
ejde-531	156	15	of	of	ADP
ejde-531	156	16	this	this	DET
ejde-531	156	17	series	series	NOUN
ejde-531	156	18	is	be	AUX
ejde-531	156	19	proved	prove	VERB
ejde-531	156	20	in	in	ADP
ejde-531	156	21	[	[	X
ejde-531	156	22	9	9	NUM
ejde-531	156	23	,	,	PUNCT
ejde-531	156	24	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	156	25	i	i	PROPN
ejde-531	156	26	,	,	PUNCT
ejde-531	156	27	(	(	PUNCT
ejde-531	156	28	2.8	2.8	NUM
ejde-531	156	29	)	)	PUNCT
ejde-531	156	30	]	]	PUNCT
ejde-531	156	31	;	;	PUNCT
ejde-531	156	32	the	the	DET
ejde-531	156	33	uniform	uniform	NOUN
ejde-531	156	34	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-531	156	35	of	of	ADP
ejde-531	156	36	the	the	DET
ejde-531	156	37	partial	partial	ADJ
ejde-531	156	38	sums	sum	NOUN
ejde-531	156	39	of	of	ADP
ejde-531	156	40	this	this	DET
ejde-531	156	41	series	series	NOUN
ejde-531	156	42	is	be	AUX
ejde-531	156	43	proved	prove	VERB
ejde-531	156	44	in	in	ADP
ejde-531	156	45	[	[	X
ejde-531	156	46	9	9	NUM
ejde-531	156	47	,	,	PUNCT
ejde-531	156	48	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	156	49	ii	ii	PROPN
ejde-531	156	50	,	,	PUNCT
ejde-531	156	51	section	section	NOUN
ejde-531	156	52	9	9	NUM
ejde-531	156	53	]	]	PUNCT
ejde-531	156	54	.	.	PUNCT
ejde-531	157	1	�	�	PROPN
ejde-531	157	2	theorem	theorem	VERB
ejde-531	157	3	3.3	3.3	NUM
ejde-531	157	4	.	.	PUNCT
ejde-531	158	1	let	let	VERB
ejde-531	158	2	x	x	PRON
ejde-531	158	3	be	be	AUX
ejde-531	158	4	a	a	DET
ejde-531	158	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	158	6	space	space	NOUN
ejde-531	158	7	and	and	CCONJ
ejde-531	158	8	a	a	DET
ejde-531	158	9	be	be	AUX
ejde-531	158	10	a	a	DET
ejde-531	158	11	linear	linear	NOUN
ejde-531	158	12	closed	close	VERB
ejde-531	158	13	densely	densely	ADV
ejde-531	158	14	defined	define	VERB
ejde-531	158	15	operator	operator	NOUN
ejde-531	158	16	in	in	ADP
ejde-531	158	17	x	x	SYM
ejde-531	158	18	such	such	ADJ
ejde-531	158	19	that	that	DET
ejde-531	158	20	problem	problem	NOUN
ejde-531	158	21	(	(	PUNCT
ejde-531	158	22	2.2	2.2	NUM
ejde-531	158	23	)	)	PUNCT
ejde-531	158	24	is	be	AUX
ejde-531	158	25	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	158	26	well	well	ADV
ejde-531	158	27	-	-	PUNCT
ejde-531	158	28	posed	pose	VERB
ejde-531	158	29	.	.	PUNCT
ejde-531	159	1	then	then	ADV
ejde-531	159	2	for	for	ADP
ejde-531	159	3	all	all	DET
ejde-531	159	4	m	m	NOUN
ejde-531	159	5	∈	∈	NOUN
ejde-531	159	6	n	n	CCONJ
ejde-531	159	7	the	the	DET
ejde-531	159	8	series	series	NOUN
ejde-531	159	9	∑∞	∑∞	PROPN
ejde-531	159	10	k=1	k=1	X
ejde-531	159	11	(	(	PUNCT
ejde-531	159	12	(	(	PUNCT
ejde-531	159	13	mk)2i	mk)2i	X
ejde-531	159	14	−a	−a	ADJ
ejde-531	159	15	)	)	PUNCT
ejde-531	159	16	−1	−1	NOUN
ejde-531	159	17	converges	converge	NOUN
ejde-531	159	18	in	in	ADP
ejde-531	159	19	operator	operator	NOUN
ejde-531	159	20	norm	norm	NOUN
ejde-531	159	21	.	.	PUNCT
ejde-531	160	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	160	2	,	,	PUNCT
ejde-531	160	3	if	if	SCONJ
ejde-531	160	4	s	s	VERB
ejde-531	160	5	is	be	AUX
ejde-531	160	6	the	the	DET
ejde-531	160	7	operator	operator	NOUN
ejde-531	160	8	valued	value	VERB
ejde-531	160	9	function	function	NOUN
ejde-531	160	10	introduced	introduce	VERB
ejde-531	160	11	in	in	ADP
ejde-531	160	12	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	160	13	2.1	2.1	NUM
ejde-531	160	14	,	,	PUNCT
ejde-531	160	15	then	then	ADV
ejde-531	160	16	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	160	17	k=1	k=1	PUNCT
ejde-531	161	1	(	(	PUNCT
ejde-531	161	2	k2i	k2i	ADV
ejde-531	161	3	−a	−a	NOUN
ejde-531	161	4	)	)	PUNCT
ejde-531	161	5	−1	−1	NOUN
ejde-531	161	6	x	x	SYM
ejde-531	161	7	=	=	NOUN
ejde-531	161	8	1	1	NUM
ejde-531	161	9	2	2	NUM
ejde-531	161	10	∫	∫	NOUN
ejde-531	161	11	π	π	NOUN
ejde-531	161	12	0	0	PUNCT
ejde-531	161	13	ts(t)x	ts(t)x	NUM
ejde-531	161	14	dt	dt	NOUN
ejde-531	161	15	and	and	CCONJ
ejde-531	161	16	,	,	PUNCT
ejde-531	161	17	for	for	ADP
ejde-531	161	18	m	m	PROPN
ejde-531	161	19	∈	∈	PROPN
ejde-531	161	20	n	n	PRON
ejde-531	161	21	\	\	NOUN
ejde-531	161	22	{	{	PUNCT
ejde-531	161	23	1	1	NUM
ejde-531	161	24	}	}	PUNCT
ejde-531	161	25	,	,	PUNCT
ejde-531	161	26	∞∑	∞∑	ADJ
ejde-531	161	27	k=1	k=1	X
ejde-531	161	28	(	(	PUNCT
ejde-531	161	29	(	(	PUNCT
ejde-531	161	30	mk)2i−a	mk)2i−a	ADJ
ejde-531	161	31	)	)	PUNCT
ejde-531	161	32	−1	−1	NOUN
ejde-531	161	33	x	x	SYM
ejde-531	162	1	=	=	NOUN
ejde-531	162	2	1	1	NUM
ejde-531	162	3	2	2	NUM
ejde-531	162	4	∫	∫	NOUN
ejde-531	162	5	π	π	X
ejde-531	162	6	0	0	PUNCT
ejde-531	162	7	ts(t)x	ts(t)x	PROPN
ejde-531	162	8	dt−	dt−	NUM
ejde-531	162	9	(	(	PUNCT
ejde-531	162	10	m−	m−	PROPN
ejde-531	162	11	2j	2j	AUX
ejde-531	162	12	+	+	CCONJ
ejde-531	162	13	1)π	1)π	NUM
ejde-531	162	14	2	2	NUM
ejde-531	162	15	m	m	NOUN
ejde-531	162	16	[	[	X
ejde-531	162	17	m/2]∑	m/2]∑	VERB
ejde-531	162	18	j=1	j=1	ADJ
ejde-531	162	19	∫	∫	PROPN
ejde-531	162	20	(	(	PUNCT
ejde-531	162	21	m−2j+2)π	m−2j+2)π	PROPN
ejde-531	162	22	/	/	SYM
ejde-531	162	23	m	m	PROPN
ejde-531	162	24	(	(	PUNCT
ejde-531	162	25	m−2j)π	m−2j)π	PROPN
ejde-531	162	26	/	/	SYM
ejde-531	162	27	m	m	PROPN
ejde-531	162	28	s(t)x	s(t)x	ADJ
ejde-531	162	29	dt	dt	NOUN
ejde-531	162	30	proof	proof	NOUN
ejde-531	162	31	.	.	PUNCT
ejde-531	163	1	from	from	ADP
ejde-531	163	2	the	the	DET
ejde-531	163	3	proof	proof	NOUN
ejde-531	163	4	of	of	ADP
ejde-531	163	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	163	6	3.1	3.1	NUM
ejde-531	163	7	we	we	PRON
ejde-531	163	8	know	know	VERB
ejde-531	163	9	that	that	SCONJ
ejde-531	163	10	for	for	ADP
ejde-531	163	11	all	all	DET
ejde-531	163	12	k	k	PROPN
ejde-531	163	13	∈	∈	PROPN
ejde-531	163	14	n	n	PRON
ejde-531	163	15	and	and	CCONJ
ejde-531	163	16	for	for	ADP
ejde-531	163	17	all	all	DET
ejde-531	163	18	x	x	SYM
ejde-531	163	19	∈	∈	NOUN
ejde-531	163	20	x	x	X
ejde-531	163	21	(	(	PUNCT
ejde-531	163	22	k2i	k2i	ADV
ejde-531	163	23	−a)−1x	−a)−1x	ADP
ejde-531	163	24	=	=	PUNCT
ejde-531	163	25	(	(	PUNCT
ejde-531	163	26	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	163	27	k	k	X
ejde-531	163	28	∫	∫	PROPN
ejde-531	163	29	π	π	PROPN
ejde-531	163	30	0	0	NUM
ejde-531	163	31	sin(kt)s(t)x	sin(kt)s(t)x	PROPN
ejde-531	163	32	dt	dt	NOUN
ejde-531	163	33	,	,	PUNCT
ejde-531	163	34	then	then	ADV
ejde-531	163	35	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	163	36	k∑	k∑	PROPN
ejde-531	164	1	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	164	2	(	(	PUNCT
ejde-531	164	3	j2i	j2i	PROPN
ejde-531	164	4	−a	−a	ADJ
ejde-531	164	5	)	)	PUNCT
ejde-531	164	6	−1	−1	NOUN
ejde-531	164	7	x−	x−	PROPN
ejde-531	164	8	1	1	NUM
ejde-531	164	9	2	2	NUM
ejde-531	164	10	∫	∫	NOUN
ejde-531	164	11	π	π	NOUN
ejde-531	164	12	0	0	PUNCT
ejde-531	164	13	ts(t)x	ts(t)x	PROPN
ejde-531	164	14	dt	dt	NOUN
ejde-531	164	15	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	164	16	=	=	PUNCT
ejde-531	164	17	∥∥∥∫	∥∥∥∫	PROPN
ejde-531	164	18	π	π	PROPN
ejde-531	164	19	0	0	PUNCT
ejde-531	164	20	k∑	k∑	NOUN
ejde-531	165	1	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	165	2	(	(	PUNCT
ejde-531	165	3	−1)j+1	−1)j+1	ADP
ejde-531	165	4	j	j	PROPN
ejde-531	165	5	sin(jt)s(t)x	sin(jt)s(t)x	X
ejde-531	165	6	dt−	dt−	CCONJ
ejde-531	165	7	1	1	NUM
ejde-531	165	8	2	2	NUM
ejde-531	165	9	∫	∫	NOUN
ejde-531	165	10	π	π	NOUN
ejde-531	165	11	0	0	PUNCT
ejde-531	165	12	ts(t)x	ts(t)x	PROPN
ejde-531	165	13	dt	dt	PRON
ejde-531	165	14	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	165	15	ejde-2020/107	ejde-2020/107	ADP
ejde-531	165	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	165	17	problem	problem	NOUN
ejde-531	165	18	for	for	ADP
ejde-531	165	19	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	165	20	differential	differential	ADJ
ejde-531	165	21	equations	equation	NOUN
ejde-531	165	22	7	7	NUM
ejde-531	165	23	≤	≤	NUM
ejde-531	165	24	∫	∫	PROPN
ejde-531	165	25	π	π	NOUN
ejde-531	165	26	0	0	NUM
ejde-531	165	27	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	165	28	(	(	PUNCT
ejde-531	165	29	k∑	k∑	VERB
ejde-531	165	30	j=1	j=1	PROPN
ejde-531	165	31	(	(	PUNCT
ejde-531	165	32	−1)j+1	−1)j+1	PROPN
ejde-531	165	33	j	j	PROPN
ejde-531	165	34	sin(jt)−	sin(jt)−	PROPN
ejde-531	165	35	1	1	NUM
ejde-531	165	36	2	2	NUM
ejde-531	165	37	t	t	NOUN
ejde-531	165	38	)	)	PUNCT
ejde-531	166	1	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	166	2	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	166	3	dt	dt	X
ejde-531	167	1	≤	≤	NUM
ejde-531	167	2	∫	∫	PROPN
ejde-531	167	3	π	π	X
ejde-531	167	4	0	0	NUM
ejde-531	167	5	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-531	167	6	k∑	k∑	ADJ
ejde-531	167	7	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	167	8	(	(	PUNCT
ejde-531	167	9	−1)j+1	−1)j+1	PROPN
ejde-531	167	10	j	j	PROPN
ejde-531	167	11	sin(jt)−	sin(jt)−	PROPN
ejde-531	167	12	1	1	NUM
ejde-531	167	13	2	2	NUM
ejde-531	167	14	t	t	NOUN
ejde-531	167	15	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-531	167	16	dt	dt	X
ejde-531	167	17	c‖x‖.	c‖x‖.	PROPN
ejde-531	167	18	by	by	ADP
ejde-531	167	19	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	167	20	3.2	3.2	NUM
ejde-531	167	21	the	the	DET
ejde-531	167	22	series	series	NOUN
ejde-531	167	23	∑∞	∑∞	PROPN
ejde-531	167	24	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	167	25	(	(	PUNCT
ejde-531	167	26	(	(	PUNCT
ejde-531	167	27	−1)j+1	−1)j+1	PROPN
ejde-531	167	28	/	/	SYM
ejde-531	167	29	j	j	NOUN
ejde-531	167	30	)	)	PUNCT
ejde-531	167	31	sin(jt	sin(jt	NOUN
ejde-531	167	32	)	)	PUNCT
ejde-531	167	33	converges	converge	VERB
ejde-531	167	34	pointwise	pointwise	VERB
ejde-531	167	35	to	to	ADP
ejde-531	167	36	t/2	t/2	NUM
ejde-531	167	37	and	and	CCONJ
ejde-531	167	38	the	the	DET
ejde-531	167	39	partial	partial	ADJ
ejde-531	167	40	sums	sum	NOUN
ejde-531	167	41	are	be	AUX
ejde-531	167	42	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	167	43	bounded	bound	VERB
ejde-531	167	44	.	.	PUNCT
ejde-531	168	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	168	2	,	,	PUNCT
ejde-531	168	3	by	by	ADP
ejde-531	168	4	the	the	DET
ejde-531	168	5	dominated	dominate	VERB
ejde-531	168	6	convergence	convergence	NOUN
ejde-531	168	7	theorem	theorem	VERB
ejde-531	168	8	,	,	PUNCT
ejde-531	168	9	the	the	DET
ejde-531	168	10	integral	integral	ADJ
ejde-531	168	11	tends	tend	VERB
ejde-531	168	12	to	to	ADP
ejde-531	168	13	0	0	NUM
ejde-531	168	14	as	as	SCONJ
ejde-531	168	15	k	k	PROPN
ejde-531	168	16	tends	tend	VERB
ejde-531	168	17	to∞.	to∞.	PROPN
ejde-531	168	18	this	this	PRON
ejde-531	168	19	proves	prove	VERB
ejde-531	168	20	the	the	DET
ejde-531	168	21	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	168	22	if	if	SCONJ
ejde-531	168	23	m	m	VERB
ejde-531	168	24	=	=	NOUN
ejde-531	168	25	1	1	X
ejde-531	168	26	.	.	PUNCT
ejde-531	168	27	by	by	ADP
ejde-531	168	28	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	168	29	2.2	2.2	NUM
ejde-531	168	30	the	the	DET
ejde-531	168	31	same	same	ADJ
ejde-531	168	32	is	be	AUX
ejde-531	168	33	true	true	ADJ
ejde-531	168	34	for	for	ADP
ejde-531	168	35	the	the	DET
ejde-531	168	36	operator	operator	NOUN
ejde-531	168	37	m−2a	m−2a	NOUN
ejde-531	168	38	.	.	PUNCT
ejde-531	169	1	since	since	SCONJ
ejde-531	169	2	(	(	PUNCT
ejde-531	169	3	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	169	4	−m−2a	−m−2a	NOUN
ejde-531	169	5	)	)	PUNCT
ejde-531	169	6	−1	−1	NOUN
ejde-531	169	7	=	=	SYM
ejde-531	169	8	m2	m2	PROPN
ejde-531	169	9	(	(	PUNCT
ejde-531	169	10	(	(	PUNCT
ejde-531	169	11	mk)2i	mk)2i	X
ejde-531	169	12	−a	−a	ADJ
ejde-531	169	13	)	)	PUNCT
ejde-531	169	14	−1	−1	NOUN
ejde-531	169	15	,	,	PUNCT
ejde-531	169	16	the	the	DET
ejde-531	169	17	series	series	NOUN
ejde-531	169	18	∑∞	∑∞	X
ejde-531	169	19	k=1	k=1	X
ejde-531	170	1	(	(	PUNCT
ejde-531	170	2	(	(	PUNCT
ejde-531	170	3	mk)2i	mk)2i	ADJ
ejde-531	170	4	−	−	PROPN
ejde-531	170	5	a	a	DET
ejde-531	170	6	)	)	PUNCT
ejde-531	170	7	−1	−1	NOUN
ejde-531	170	8	converges	converge	NOUN
ejde-531	170	9	in	in	ADP
ejde-531	170	10	operator	operator	NOUN
ejde-531	170	11	norm	norm	NOUN
ejde-531	170	12	.	.	PUNCT
ejde-531	171	1	the	the	DET
ejde-531	171	2	expression	expression	NOUN
ejde-531	171	3	of	of	ADP
ejde-531	171	4	the	the	DET
ejde-531	171	5	sum	sum	NOUN
ejde-531	171	6	of	of	ADP
ejde-531	171	7	the	the	DET
ejde-531	171	8	series	series	NOUN
ejde-531	171	9	can	can	AUX
ejde-531	171	10	easily	easily	ADV
ejde-531	171	11	be	be	AUX
ejde-531	171	12	obtained	obtain	VERB
ejde-531	171	13	from	from	ADP
ejde-531	171	14	what	what	PRON
ejde-531	171	15	we	we	PRON
ejde-531	171	16	have	have	AUX
ejde-531	171	17	just	just	ADV
ejde-531	171	18	proved	prove	VERB
ejde-531	171	19	and	and	CCONJ
ejde-531	171	20	equalities	equality	NOUN
ejde-531	171	21	(	(	PUNCT
ejde-531	171	22	2.3	2.3	NUM
ejde-531	171	23	)	)	PUNCT
ejde-531	171	24	and	and	CCONJ
ejde-531	171	25	(	(	PUNCT
ejde-531	171	26	2.4	2.4	NUM
ejde-531	171	27	)	)	PUNCT
ejde-531	171	28	.	.	PUNCT
ejde-531	172	1	�	�	PROPN
ejde-531	172	2	4	4	NUM
ejde-531	172	3	.	.	PUNCT
ejde-531	172	4	examples	example	NOUN
ejde-531	172	5	in	in	ADP
ejde-531	172	6	this	this	DET
ejde-531	172	7	section	section	NOUN
ejde-531	172	8	we	we	PRON
ejde-531	172	9	see	see	VERB
ejde-531	172	10	two	two	NUM
ejde-531	172	11	examples	example	NOUN
ejde-531	172	12	showing	show	VERB
ejde-531	172	13	that	that	SCONJ
ejde-531	172	14	the	the	DET
ejde-531	172	15	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	172	16	of	of	ADP
ejde-531	172	17	the	the	DET
ejde-531	172	18	resolvent	resolvent	NOUN
ejde-531	172	19	stated	state	VERB
ejde-531	172	20	in	in	ADP
ejde-531	172	21	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	172	22	3.1	3.1	NUM
ejde-531	172	23	can	can	AUX
ejde-531	172	24	not	not	PART
ejde-531	172	25	be	be	AUX
ejde-531	172	26	improved	improve	VERB
ejde-531	172	27	but	but	CCONJ
ejde-531	172	28	it	it	PRON
ejde-531	172	29	is	be	AUX
ejde-531	172	30	not	not	PART
ejde-531	172	31	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-531	172	32	to	to	PART
ejde-531	172	33	guarantee	guarantee	VERB
ejde-531	172	34	the	the	DET
ejde-531	172	35	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	172	36	well	well	NOUN
ejde-531	172	37	-	-	PUNCT
ejde-531	172	38	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	172	39	.	.	PUNCT
ejde-531	173	1	for	for	ADP
ejde-531	173	2	the	the	DET
ejde-531	173	3	first	first	ADJ
ejde-531	173	4	example	example	NOUN
ejde-531	173	5	we	we	PRON
ejde-531	173	6	need	need	VERB
ejde-531	173	7	two	two	NUM
ejde-531	173	8	lemmas	lemmas	ADJ
ejde-531	173	9	.	.	PUNCT
ejde-531	174	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	174	2	4.1	4.1	NUM
ejde-531	174	3	.	.	PUNCT
ejde-531	175	1	let	let	VERB
ejde-531	175	2	k	k	NOUN
ejde-531	175	3	:	:	PUNCT
ejde-531	176	1	[	[	X
ejde-531	176	2	0	0	NUM
ejde-531	176	3	,	,	PUNCT
ejde-531	176	4	π]2	π]2	PROPN
ejde-531	176	5	→	→	SYM
ejde-531	176	6	r	r	NOUN
ejde-531	176	7	be	be	VERB
ejde-531	176	8	such	such	ADJ
ejde-531	176	9	that	that	SCONJ
ejde-531	176	10	k(t	k(t	PROPN
ejde-531	176	11	,	,	PUNCT
ejde-531	176	12	s	s	PART
ejde-531	176	13	)	)	PUNCT
ejde-531	176	14	=	=	SYM
ejde-531	176	15	{	{	PUNCT
ejde-531	176	16	(	(	PUNCT
ejde-531	176	17	t−π)s	t−π)s	PROPN
ejde-531	176	18	π	π	X
ejde-531	176	19	,	,	PUNCT
ejde-531	176	20	if	if	SCONJ
ejde-531	176	21	s	s	VERB
ejde-531	176	22	≤	≤	X
ejde-531	176	23	t	t	PROPN
ejde-531	176	24	,	,	PUNCT
ejde-531	176	25	t(s−π	t(s−π	NOUN
ejde-531	176	26	)	)	PUNCT
ejde-531	176	27	π	π	PROPN
ejde-531	176	28	,	,	PUNCT
ejde-531	176	29	if	if	SCONJ
ejde-531	176	30	s	s	VERB
ejde-531	176	31	>	>	X
ejde-531	176	32	t.	t.	PROPN
ejde-531	176	33	(	(	PUNCT
ejde-531	176	34	1	1	NUM
ejde-531	176	35	)	)	PUNCT
ejde-531	176	36	if	if	SCONJ
ejde-531	176	37	f	f	PROPN
ejde-531	176	38	∈	∈	PROPN
ejde-531	176	39	c	c	PROPN
ejde-531	176	40	(	(	PUNCT
ejde-531	176	41	[	[	X
ejde-531	176	42	0	0	NUM
ejde-531	176	43	,	,	PUNCT
ejde-531	176	44	π	π	PROPN
ejde-531	176	45	]	]	X
ejde-531	176	46	,	,	PUNCT
ejde-531	176	47	x	x	X
ejde-531	176	48	)	)	PUNCT
ejde-531	176	49	then	then	ADV
ejde-531	176	50	the	the	DET
ejde-531	176	51	function	function	NOUN
ejde-531	176	52	z	z	NOUN
ejde-531	176	53	:	:	PUNCT
ejde-531	177	1	[	[	X
ejde-531	177	2	0	0	NUM
ejde-531	177	3	,	,	PUNCT
ejde-531	177	4	π]→	π]→	X
ejde-531	177	5	x	x	PUNCT
ejde-531	177	6	such	such	ADJ
ejde-531	177	7	that	that	SCONJ
ejde-531	177	8	z(t	z(t	NOUN
ejde-531	177	9	)	)	PUNCT
ejde-531	177	10	=	=	SYM
ejde-531	178	1	∫	∫	PROPN
ejde-531	178	2	π	π	NOUN
ejde-531	178	3	0	0	PUNCT
ejde-531	178	4	k(t	k(t	NOUN
ejde-531	178	5	,	,	PUNCT
ejde-531	178	6	s)f(s	s)f(	NOUN
ejde-531	178	7	)	)	PUNCT
ejde-531	178	8	ds	ds	NOUN
ejde-531	178	9	belongs	belong	VERB
ejde-531	178	10	to	to	ADP
ejde-531	178	11	c2	c2	PROPN
ejde-531	178	12	(	(	PUNCT
ejde-531	178	13	[	[	X
ejde-531	178	14	0	0	NUM
ejde-531	178	15	,	,	PUNCT
ejde-531	178	16	π	π	PROPN
ejde-531	178	17	]	]	X
ejde-531	178	18	,	,	PUNCT
ejde-531	178	19	x	x	SYM
ejde-531	178	20	)	)	PUNCT
ejde-531	178	21	,	,	PUNCT
ejde-531	178	22	with	with	ADP
ejde-531	178	23	z′′	z′′	PROPN
ejde-531	178	24	=	=	SYM
ejde-531	178	25	f	f	PROPN
ejde-531	178	26	and	and	CCONJ
ejde-531	178	27	z(0	z(0	NOUN
ejde-531	178	28	)	)	PUNCT
ejde-531	178	29	=	=	PUNCT
ejde-531	178	30	z(π	z(π	X
ejde-531	178	31	)	)	PUNCT
ejde-531	178	32	=	=	SYM
ejde-531	179	1	0	0	X
ejde-531	179	2	.	.	PUNCT
ejde-531	180	1	(	(	PUNCT
ejde-531	180	2	2	2	X
ejde-531	180	3	)	)	PUNCT
ejde-531	180	4	if	if	SCONJ
ejde-531	180	5	z	z	PROPN
ejde-531	180	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	180	7	c2	c2	PROPN
ejde-531	180	8	(	(	PUNCT
ejde-531	180	9	[	[	X
ejde-531	180	10	0	0	NUM
ejde-531	180	11	,	,	PUNCT
ejde-531	180	12	π	π	PROPN
ejde-531	180	13	]	]	X
ejde-531	180	14	,	,	PUNCT
ejde-531	180	15	x	x	SYM
ejde-531	180	16	)	)	PUNCT
ejde-531	180	17	,	,	PUNCT
ejde-531	180	18	with	with	ADP
ejde-531	180	19	z(0	z(0	ADV
ejde-531	180	20	)	)	PUNCT
ejde-531	180	21	=	=	PUNCT
ejde-531	180	22	z(π	z(π	X
ejde-531	180	23	)	)	PUNCT
ejde-531	180	24	=	=	SYM
ejde-531	180	25	0	0	PUNCT
ejde-531	181	1	then	then	ADV
ejde-531	181	2	,	,	PUNCT
ejde-531	181	3	for	for	ADP
ejde-531	181	4	all	all	DET
ejde-531	181	5	t	t	NOUN
ejde-531	181	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	182	1	[	[	X
ejde-531	182	2	0	0	NUM
ejde-531	182	3	,	,	PUNCT
ejde-531	182	4	π	π	PROPN
ejde-531	182	5	]	]	X
ejde-531	182	6	,	,	PUNCT
ejde-531	182	7	we	we	PRON
ejde-531	182	8	have	have	VERB
ejde-531	182	9	z(t	z(t	NOUN
ejde-531	182	10	)	)	PUNCT
ejde-531	183	1	=	=	SYM
ejde-531	184	1	∫	∫	PROPN
ejde-531	184	2	π	π	NOUN
ejde-531	184	3	0	0	PUNCT
ejde-531	184	4	k(t	k(t	NOUN
ejde-531	184	5	,	,	PUNCT
ejde-531	184	6	s)z′′(s	s)z′′(s	NOUN
ejde-531	184	7	)	)	PUNCT
ejde-531	184	8	ds	ds	X
ejde-531	184	9	.	.	PUNCT
ejde-531	185	1	the	the	DET
ejde-531	185	2	proof	proof	NOUN
ejde-531	185	3	of	of	ADP
ejde-531	185	4	the	the	DET
ejde-531	185	5	above	above	ADJ
ejde-531	185	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	185	7	is	be	AUX
ejde-531	185	8	an	an	DET
ejde-531	185	9	easy	easy	ADJ
ejde-531	185	10	consequence	consequence	NOUN
ejde-531	185	11	of	of	ADP
ejde-531	185	12	the	the	DET
ejde-531	185	13	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-531	185	14	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	185	15	of	of	ADP
ejde-531	185	16	calculus	calculus	NOUN
ejde-531	185	17	.	.	PUNCT
ejde-531	186	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	186	2	4.2	4.2	NUM
ejde-531	186	3	.	.	PUNCT
ejde-531	187	1	let	let	VERB
ejde-531	187	2	(	(	PUNCT
ejde-531	187	3	vk)k∈n	vk)k∈n	ADV
ejde-531	187	4	be	be	AUX
ejde-531	187	5	a	a	DET
ejde-531	187	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	187	7	in	in	ADP
ejde-531	187	8	c2	c2	PROPN
ejde-531	187	9	(	(	PUNCT
ejde-531	187	10	[	[	X
ejde-531	187	11	0	0	NUM
ejde-531	187	12	,	,	PUNCT
ejde-531	187	13	π	π	PROPN
ejde-531	187	14	]	]	X
ejde-531	187	15	,	,	PUNCT
ejde-531	187	16	x	x	NOUN
ejde-531	187	17	)	)	PUNCT
ejde-531	187	18	such	such	ADJ
ejde-531	187	19	that	that	SCONJ
ejde-531	187	20	(	(	PUNCT
ejde-531	187	21	1	1	NUM
ejde-531	187	22	)	)	PUNCT
ejde-531	187	23	(	(	PUNCT
ejde-531	187	24	vk)k∈n	vk)k∈n	PRON
ejde-531	187	25	converges	converge	VERB
ejde-531	187	26	pointwise	pointwise	VERB
ejde-531	187	27	to	to	ADP
ejde-531	187	28	v	v	NUM
ejde-531	187	29	∈	∈	NOUN
ejde-531	187	30	c	c	NOUN
ejde-531	187	31	(	(	PUNCT
ejde-531	187	32	[	[	X
ejde-531	187	33	0	0	NUM
ejde-531	187	34	,	,	PUNCT
ejde-531	187	35	π	π	PROPN
ejde-531	187	36	]	]	X
ejde-531	187	37	,	,	PUNCT
ejde-531	187	38	x	x	NOUN
ejde-531	187	39	)	)	PUNCT
ejde-531	187	40	;	;	PUNCT
ejde-531	187	41	(	(	PUNCT
ejde-531	187	42	2	2	X
ejde-531	187	43	)	)	PUNCT
ejde-531	187	44	(	(	PUNCT
ejde-531	187	45	v′′k	v′′k	PROPN
ejde-531	187	46	)	)	PUNCT
ejde-531	187	47	k∈n	k∈n	PROPN
ejde-531	187	48	converges	converge	VERB
ejde-531	187	49	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	187	50	to	to	ADP
ejde-531	187	51	w	w	PROPN
ejde-531	187	52	∈	∈	PROPN
ejde-531	187	53	c	c	NOUN
ejde-531	187	54	(	(	PUNCT
ejde-531	188	1	[	[	X
ejde-531	188	2	0	0	NUM
ejde-531	188	3	,	,	PUNCT
ejde-531	188	4	π	π	PROPN
ejde-531	188	5	]	]	X
ejde-531	188	6	,	,	PUNCT
ejde-531	188	7	x	x	NOUN
ejde-531	188	8	)	)	PUNCT
ejde-531	188	9	.	.	PUNCT
ejde-531	189	1	then	then	ADV
ejde-531	189	2	v	v	X
ejde-531	189	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	189	4	c2	c2	PROPN
ejde-531	189	5	(	(	PUNCT
ejde-531	189	6	[	[	X
ejde-531	189	7	0	0	NUM
ejde-531	189	8	,	,	PUNCT
ejde-531	189	9	π	π	PROPN
ejde-531	189	10	]	]	X
ejde-531	189	11	,	,	PUNCT
ejde-531	189	12	x	x	NOUN
ejde-531	189	13	)	)	PUNCT
ejde-531	189	14	and	and	CCONJ
ejde-531	189	15	v′′	v′′	NOUN
ejde-531	189	16	=	=	SYM
ejde-531	189	17	w.	w.	NOUN
ejde-531	189	18	proof	proof	NOUN
ejde-531	189	19	.	.	PUNCT
ejde-531	190	1	let	let	VERB
ejde-531	190	2	zk	zk	PRON
ejde-531	190	3	:	:	PUNCT
ejde-531	191	1	[	[	X
ejde-531	191	2	0	0	NUM
ejde-531	191	3	,	,	PUNCT
ejde-531	191	4	π]→	π]→	X
ejde-531	191	5	x	x	X
ejde-531	191	6	,	,	PUNCT
ejde-531	191	7	zk(t	zk(t	NOUN
ejde-531	191	8	)	)	PUNCT
ejde-531	191	9	=	=	SYM
ejde-531	191	10	vk(t)−	vk(t)−	PROPN
ejde-531	191	11	π	π	PROPN
ejde-531	191	12	−	−	PROPN
ejde-531	192	1	t	t	PROPN
ejde-531	192	2	π	π	X
ejde-531	192	3	vk(0)−	vk(0)−	NOUN
ejde-531	192	4	t	t	PROPN
ejde-531	192	5	π	π	PROPN
ejde-531	192	6	vk(π	vk(π	NUM
ejde-531	192	7	)	)	PUNCT
ejde-531	192	8	.	.	PUNCT
ejde-531	193	1	we	we	PRON
ejde-531	193	2	have	have	VERB
ejde-531	193	3	zk(0	zk(0	NOUN
ejde-531	193	4	)	)	PUNCT
ejde-531	193	5	=	=	SYM
ejde-531	193	6	zk(π	zk(π	NUM
ejde-531	193	7	)	)	PUNCT
ejde-531	193	8	=	=	SYM
ejde-531	193	9	0	0	NUM
ejde-531	193	10	and	and	CCONJ
ejde-531	193	11	z′′k	z′′k	PROPN
ejde-531	193	12	=	=	SYM
ejde-531	193	13	v′′k	v′′k	PROPN
ejde-531	193	14	.	.	PUNCT
ejde-531	194	1	hence	hence	ADV
ejde-531	194	2	,	,	PUNCT
ejde-531	194	3	by	by	ADP
ejde-531	194	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	194	5	4.1	4.1	NUM
ejde-531	194	6	,	,	PUNCT
ejde-531	194	7	for	for	ADP
ejde-531	194	8	all	all	DET
ejde-531	194	9	t	t	NOUN
ejde-531	194	10	∈	∈	PROPN
ejde-531	195	1	[	[	X
ejde-531	195	2	0	0	NUM
ejde-531	195	3	,	,	PUNCT
ejde-531	195	4	π	π	PROPN
ejde-531	195	5	]	]	X
ejde-531	195	6	,	,	PUNCT
ejde-531	195	7	we	we	PRON
ejde-531	195	8	have	have	VERB
ejde-531	195	9	vk(t	vk(t	NOUN
ejde-531	195	10	)	)	PUNCT
ejde-531	195	11	=	=	SYM
ejde-531	195	12	zk(t	zk(t	NOUN
ejde-531	195	13	)	)	PUNCT
ejde-531	196	1	+	+	CCONJ
ejde-531	197	1	π	π	PROPN
ejde-531	197	2	−	−	PROPN
ejde-531	198	1	t	t	PROPN
ejde-531	198	2	π	π	X
ejde-531	198	3	vk(0	vk(0	PROPN
ejde-531	198	4	)	)	PUNCT
ejde-531	198	5	+	+	NUM
ejde-531	198	6	t	t	PROPN
ejde-531	198	7	π	π	NOUN
ejde-531	198	8	vk(π	vk(π	NUM
ejde-531	198	9	)	)	PUNCT
ejde-531	198	10	8	8	NUM
ejde-531	198	11	g.	g.	PROPN
ejde-531	198	12	dore	dore	PROPN
ejde-531	198	13	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	199	1	=	=	SYM
ejde-531	199	2	∫	∫	PROPN
ejde-531	199	3	π	π	PROPN
ejde-531	199	4	0	0	PUNCT
ejde-531	199	5	k(t	k(t	PROPN
ejde-531	199	6	,	,	PUNCT
ejde-531	199	7	s)v′′k	s)v′′k	NOUN
ejde-531	199	8	(	(	PUNCT
ejde-531	199	9	s	s	NOUN
ejde-531	199	10	)	)	PUNCT
ejde-531	199	11	ds+	ds+	NOUN
ejde-531	200	1	π	π	PROPN
ejde-531	200	2	−	−	PROPN
ejde-531	201	1	t	t	PROPN
ejde-531	202	1	π	π	X
ejde-531	202	2	vk(0	vk(0	PROPN
ejde-531	202	3	)	)	PUNCT
ejde-531	202	4	+	+	NUM
ejde-531	202	5	t	t	PROPN
ejde-531	202	6	π	π	NOUN
ejde-531	202	7	vk(π	vk(π	NUM
ejde-531	202	8	)	)	PUNCT
ejde-531	202	9	.	.	PUNCT
ejde-531	203	1	by	by	ADP
ejde-531	203	2	(	(	PUNCT
ejde-531	203	3	2	2	X
ejde-531	203	4	)	)	PUNCT
ejde-531	203	5	we	we	PRON
ejde-531	203	6	can	can	AUX
ejde-531	203	7	pass	pass	VERB
ejde-531	203	8	to	to	ADP
ejde-531	203	9	the	the	DET
ejde-531	203	10	limit	limit	NOUN
ejde-531	203	11	under	under	ADP
ejde-531	203	12	the	the	DET
ejde-531	203	13	integral	integral	ADJ
ejde-531	203	14	sign	sign	NOUN
ejde-531	203	15	,	,	PUNCT
ejde-531	203	16	hence	hence	ADV
ejde-531	203	17	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	203	18	)	)	PUNCT
ejde-531	203	19	=	=	SYM
ejde-531	204	1	∫	∫	PROPN
ejde-531	204	2	π	π	NOUN
ejde-531	204	3	0	0	PUNCT
ejde-531	204	4	k(t	k(t	PROPN
ejde-531	204	5	,	,	PUNCT
ejde-531	204	6	s)w(s	s)w(s	ADJ
ejde-531	204	7	)	)	PUNCT
ejde-531	204	8	ds+	ds+	PROPN
ejde-531	205	1	π	π	PROPN
ejde-531	205	2	−	−	PROPN
ejde-531	206	1	t	t	PROPN
ejde-531	206	2	π	π	X
ejde-531	206	3	v(0	v(0	PROPN
ejde-531	206	4	)	)	PUNCT
ejde-531	207	1	+	+	NUM
ejde-531	207	2	t	t	PROPN
ejde-531	207	3	π	π	PROPN
ejde-531	207	4	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	207	5	)	)	PUNCT
ejde-531	207	6	.	.	PUNCT
ejde-531	208	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	208	2	,	,	PUNCT
ejde-531	208	3	by	by	ADP
ejde-531	208	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	208	5	4.1	4.1	NUM
ejde-531	208	6	,	,	PUNCT
ejde-531	208	7	v	v	NOUN
ejde-531	208	8	is	be	AUX
ejde-531	208	9	twice	twice	ADV
ejde-531	208	10	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-531	208	11	and	and	CCONJ
ejde-531	208	12	v′′	v′′	NOUN
ejde-531	208	13	=	=	SYM
ejde-531	208	14	w.	w.	PROPN
ejde-531	208	15	�	�	PROPN
ejde-531	208	16	example	example	NOUN
ejde-531	208	17	4.3	4.3	NUM
ejde-531	208	18	.	.	PUNCT
ejde-531	209	1	let	let	VERB
ejde-531	209	2	x	x	PUNCT
ejde-531	209	3	=	=	PUNCT
ejde-531	209	4	`	`	PUNCT
ejde-531	209	5	p(n	p(n	PROPN
ejde-531	209	6	,	,	PUNCT
ejde-531	209	7	k	k	NOUN
ejde-531	209	8	)	)	PUNCT
ejde-531	209	9	,	,	PUNCT
ejde-531	209	10	with	with	ADP
ejde-531	209	11	1	1	NUM
ejde-531	209	12	≤	≤	NOUN
ejde-531	209	13	p	p	NOUN
ejde-531	209	14	<	<	AUX
ejde-531	209	15	∞.	∞.	PROPN
ejde-531	209	16	choose	choose	VERB
ejde-531	209	17	α	α	PRON
ejde-531	209	18	such	such	ADJ
ejde-531	209	19	that	that	SCONJ
ejde-531	209	20	0	0	NUM
ejde-531	209	21	<	<	X
ejde-531	209	22	α	α	X
ejde-531	209	23	<	<	X
ejde-531	209	24	1	1	NUM
ejde-531	209	25	and	and	CCONJ
ejde-531	209	26	let	let	VERB
ejde-531	209	27	a	a	PRON
ejde-531	209	28	be	be	AUX
ejde-531	209	29	the	the	DET
ejde-531	209	30	operator	operator	NOUN
ejde-531	209	31	in	in	ADP
ejde-531	209	32	x	x	PUNCT
ejde-531	209	33	defined	define	VERB
ejde-531	209	34	by	by	ADP
ejde-531	209	35	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	209	36	)	)	PUNCT
ejde-531	210	1	=	=	PRON
ejde-531	210	2	{	{	PUNCT
ejde-531	210	3	x	x	PUNCT
ejde-531	210	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	210	5	x	x	X
ejde-531	210	6	∣∣	∣∣	X
ejde-531	210	7	(	(	PUNCT
ejde-531	210	8	n2xn)n∈n	n2xn)n∈n	ADV
ejde-531	210	9	∈	∈	PROPN
ejde-531	210	10	x	x	PUNCT
ejde-531	210	11	}	}	PUNCT
ejde-531	210	12	,	,	PUNCT
ejde-531	210	13	(	(	PUNCT
ejde-531	210	14	ax)n	ax)n	PROPN
ejde-531	210	15	=	=	PUNCT
ejde-531	210	16	(	(	PUNCT
ejde-531	210	17	n−	n−	NOUN
ejde-531	210	18	α)2xn	α)2xn	ADJ
ejde-531	210	19	.	.	PUNCT
ejde-531	211	1	the	the	DET
ejde-531	211	2	operator	operator	NOUN
ejde-531	211	3	a	a	PRON
ejde-531	211	4	is	be	AUX
ejde-531	211	5	linear	linear	ADJ
ejde-531	211	6	,	,	PUNCT
ejde-531	211	7	it	it	PRON
ejde-531	211	8	is	be	AUX
ejde-531	211	9	easy	easy	ADJ
ejde-531	211	10	to	to	PART
ejde-531	211	11	prove	prove	VERB
ejde-531	211	12	that	that	SCONJ
ejde-531	211	13	it	it	PRON
ejde-531	211	14	is	be	AUX
ejde-531	211	15	closed	close	VERB
ejde-531	211	16	and	and	CCONJ
ejde-531	211	17	has	have	VERB
ejde-531	211	18	dense	dense	ADJ
ejde-531	211	19	domain	domain	NOUN
ejde-531	211	20	,	,	PUNCT
ejde-531	211	21	since	since	SCONJ
ejde-531	211	22	the	the	DET
ejde-531	211	23	domain	domain	NOUN
ejde-531	211	24	contains	contain	VERB
ejde-531	211	25	the	the	DET
ejde-531	211	26	eventually	eventually	ADV
ejde-531	211	27	zero	zero	NUM
ejde-531	211	28	sequences	sequence	NOUN
ejde-531	211	29	.	.	PUNCT
ejde-531	212	1	for	for	ADP
ejde-531	212	2	t	t	PROPN
ejde-531	212	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	213	1	[	[	X
ejde-531	213	2	0	0	NUM
ejde-531	213	3	,	,	PUNCT
ejde-531	213	4	π	π	X
ejde-531	213	5	]	]	X
ejde-531	213	6	let	let	VERB
ejde-531	213	7	s(t	s(t	PROPN
ejde-531	213	8	)	)	PUNCT
ejde-531	213	9	:	:	PUNCT
ejde-531	214	1	x	x	X
ejde-531	214	2	→	→	SYM
ejde-531	214	3	x	x	SYM
ejde-531	214	4	,	,	PUNCT
ejde-531	214	5	(	(	PUNCT
ejde-531	214	6	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	214	7	)	)	PUNCT
ejde-531	214	8	n	n	NOUN
ejde-531	214	9	=	=	PUNCT
ejde-531	214	10	sin	sin	NOUN
ejde-531	214	11	(	(	PUNCT
ejde-531	214	12	(	(	PUNCT
ejde-531	214	13	n−	n−	NOUN
ejde-531	214	14	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	214	15	)	)	PUNCT
ejde-531	214	16	sin	sin	NOUN
ejde-531	214	17	(	(	PUNCT
ejde-531	214	18	(	(	PUNCT
ejde-531	214	19	n−	n−	NOUN
ejde-531	214	20	α)π	α)π	X
ejde-531	214	21	)	)	PUNCT
ejde-531	214	22	xn	xn	PROPN
ejde-531	214	23	.	.	PUNCT
ejde-531	215	1	we	we	PRON
ejde-531	215	2	prove	prove	VERB
ejde-531	215	3	that	that	SCONJ
ejde-531	215	4	s	s	VERB
ejde-531	215	5	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-531	215	6	conditions	condition	NOUN
ejde-531	215	7	(	(	PUNCT
ejde-531	215	8	1)–(4	1)–(4	NUM
ejde-531	215	9	)	)	PUNCT
ejde-531	215	10	of	of	ADP
ejde-531	215	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	215	12	2.1	2.1	NUM
ejde-531	215	13	,	,	PUNCT
ejde-531	215	14	hence	hence	ADV
ejde-531	215	15	the	the	DET
ejde-531	215	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	215	17	problem	problem	NOUN
ejde-531	215	18	for	for	ADP
ejde-531	215	19	the	the	DET
ejde-531	215	20	operator	operator	NOUN
ejde-531	215	21	a	a	PRON
ejde-531	215	22	is	be	AUX
ejde-531	215	23	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	215	24	well	well	ADV
ejde-531	215	25	-	-	PUNCT
ejde-531	215	26	posed	pose	VERB
ejde-531	215	27	.	.	PUNCT
ejde-531	216	1	since	since	SCONJ
ejde-531	216	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	216	3	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	216	4	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-531	216	5	sin	sin	NOUN
ejde-531	216	6	(	(	PUNCT
ejde-531	216	7	(	(	PUNCT
ejde-531	216	8	n−	n−	NOUN
ejde-531	216	9	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	216	10	)	)	PUNCT
ejde-531	216	11	sin	sin	NOUN
ejde-531	216	12	(	(	PUNCT
ejde-531	216	13	(	(	PUNCT
ejde-531	216	14	n−	n−	NOUN
ejde-531	216	15	α)π	α)π	NOUN
ejde-531	216	16	)	)	PUNCT
ejde-531	216	17	xn∣∣∣p	xn∣∣∣p	AUX
ejde-531	216	18	≤	≤	NOUN
ejde-531	216	19	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	216	20	n=1	n=1	ADP
ejde-531	216	21	1	1	NUM
ejde-531	216	22	(	(	PUNCT
ejde-531	216	23	sin(απ	sin(απ	NOUN
ejde-531	216	24	)	)	PUNCT
ejde-531	216	25	)	)	PUNCT
ejde-531	217	1	p	p	NOUN
ejde-531	217	2	|xn|p	|xn|p	NOUN
ejde-531	217	3	,	,	PUNCT
ejde-531	217	4	s(t	s(t	PROPN
ejde-531	217	5	)	)	PUNCT
ejde-531	217	6	∈	∈	PROPN
ejde-531	217	7	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	217	8	)	)	PUNCT
ejde-531	217	9	with	with	ADP
ejde-531	217	10	∥∥s(t	∥∥s(t	ADJ
ejde-531	217	11	)	)	PUNCT
ejde-531	217	12	∥∥	∥∥	X
ejde-531	217	13	≤	≤	X
ejde-531	217	14	(	(	PUNCT
ejde-531	217	15	sin(απ	sin(απ	ADJ
ejde-531	217	16	)	)	PUNCT
ejde-531	217	17	)	)	PUNCT
ejde-531	217	18	−1	−1	NOUN
ejde-531	217	19	.	.	PUNCT
ejde-531	218	1	(	(	PUNCT
ejde-531	218	2	4.1	4.1	NUM
ejde-531	218	3	)	)	PUNCT
ejde-531	218	4	a	a	DET
ejde-531	218	5	similar	similar	ADJ
ejde-531	218	6	argument	argument	NOUN
ejde-531	218	7	shows	show	VERB
ejde-531	218	8	that	that	SCONJ
ejde-531	218	9	if	if	SCONJ
ejde-531	218	10	x	x	PROPN
ejde-531	218	11	∈	∈	PROPN
ejde-531	218	12	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	218	13	)	)	PUNCT
ejde-531	218	14	then	then	ADV
ejde-531	218	15	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	218	16	∈	∈	PROPN
ejde-531	218	17	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	218	18	)	)	PUNCT
ejde-531	218	19	.	.	PUNCT
ejde-531	219	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	219	2	we	we	PRON
ejde-531	219	3	have	have	VERB
ejde-531	219	4	as(t)x	as(t)x	PROPN
ejde-531	219	5	=	=	PUNCT
ejde-531	220	1	s(t)ax	s(t)ax	PROPN
ejde-531	220	2	.	.	PUNCT
ejde-531	221	1	the	the	DET
ejde-531	221	2	function	function	NOUN
ejde-531	221	3	(	(	PUNCT
ejde-531	221	4	s(·)x	s(·)x	NOUN
ejde-531	221	5	)	)	PUNCT
ejde-531	221	6	n	n	CCONJ
ejde-531	221	7	is	be	AUX
ejde-531	221	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	221	9	,	,	PUNCT
ejde-531	221	10	for	for	ADP
ejde-531	221	11	every	every	DET
ejde-531	221	12	x	x	SYM
ejde-531	221	13	∈	∈	PROPN
ejde-531	221	14	x	x	X
ejde-531	221	15	and	and	CCONJ
ejde-531	221	16	n	n	PRON
ejde-531	221	17	∈	∈	PROPN
ejde-531	221	18	n	n	CCONJ
ejde-531	221	19	;	;	PUNCT
ejde-531	221	20	therefore	therefore	ADV
ejde-531	221	21	if	if	SCONJ
ejde-531	221	22	x	x	PRON
ejde-531	221	23	is	be	AUX
ejde-531	221	24	an	an	DET
ejde-531	221	25	eventually	eventually	ADV
ejde-531	221	26	zero	zero	NUM
ejde-531	221	27	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	221	28	then	then	ADV
ejde-531	221	29	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	221	30	is	be	AUX
ejde-531	221	31	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	221	32	.	.	PUNCT
ejde-531	222	1	if	if	SCONJ
ejde-531	222	2	x	x	SYM
ejde-531	222	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	222	4	x	x	X
ejde-531	222	5	then	then	ADV
ejde-531	222	6	it	it	PRON
ejde-531	222	7	is	be	AUX
ejde-531	222	8	the	the	DET
ejde-531	222	9	limit	limit	NOUN
ejde-531	222	10	of	of	ADP
ejde-531	222	11	a	a	DET
ejde-531	222	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	222	13	of	of	ADP
ejde-531	222	14	eventually	eventually	ADV
ejde-531	222	15	zero	zero	NUM
ejde-531	222	16	elements	element	NOUN
ejde-531	222	17	of	of	ADP
ejde-531	222	18	x	x	NOUN
ejde-531	222	19	,	,	PUNCT
ejde-531	222	20	hence	hence	ADV
ejde-531	222	21	,	,	PUNCT
ejde-531	222	22	by	by	ADP
ejde-531	222	23	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	222	24	(	(	PUNCT
ejde-531	222	25	4.1	4.1	NUM
ejde-531	222	26	)	)	PUNCT
ejde-531	222	27	,	,	PUNCT
ejde-531	222	28	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	222	29	is	be	AUX
ejde-531	222	30	the	the	DET
ejde-531	222	31	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	222	32	limit	limit	NOUN
ejde-531	222	33	of	of	ADP
ejde-531	222	34	a	a	DET
ejde-531	222	35	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	222	36	of	of	ADP
ejde-531	222	37	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	222	38	functions	function	NOUN
ejde-531	222	39	,	,	PUNCT
ejde-531	222	40	therefore	therefore	ADV
ejde-531	222	41	it	it	PRON
ejde-531	222	42	is	be	AUX
ejde-531	222	43	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	222	44	.	.	PUNCT
ejde-531	223	1	this	this	PRON
ejde-531	223	2	proves	prove	VERB
ejde-531	223	3	(	(	PUNCT
ejde-531	223	4	1	1	NUM
ejde-531	223	5	)	)	PUNCT
ejde-531	223	6	.	.	PUNCT
ejde-531	224	1	property	property	NOUN
ejde-531	224	2	(	(	PUNCT
ejde-531	224	3	2	2	X
ejde-531	224	4	)	)	PUNCT
ejde-531	224	5	is	be	AUX
ejde-531	224	6	obvious	obvious	ADJ
ejde-531	224	7	.	.	PUNCT
ejde-531	225	1	the	the	DET
ejde-531	225	2	function	function	NOUN
ejde-531	225	3	(	(	PUNCT
ejde-531	225	4	s(·)x	s(·)x	NOUN
ejde-531	225	5	)	)	PUNCT
ejde-531	225	6	n	n	PRON
ejde-531	225	7	is	be	AUX
ejde-531	225	8	of	of	ADP
ejde-531	225	9	class	class	NOUN
ejde-531	225	10	c2	c2	PROPN
ejde-531	225	11	,	,	PUNCT
ejde-531	225	12	for	for	ADP
ejde-531	225	13	every	every	DET
ejde-531	225	14	x	x	SYM
ejde-531	225	15	∈	∈	PROPN
ejde-531	225	16	x	x	X
ejde-531	225	17	and	and	CCONJ
ejde-531	225	18	n	n	CCONJ
ejde-531	225	19	∈	∈	PROPN
ejde-531	225	20	n	n	CCONJ
ejde-531	225	21	,	,	PUNCT
ejde-531	225	22	and	and	CCONJ
ejde-531	225	23	d2	d2	PROPN
ejde-531	225	24	dt2	dt2	PROPN
ejde-531	225	25	(	(	PUNCT
ejde-531	225	26	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	225	27	)	)	PUNCT
ejde-531	225	28	n	n	PROPN
ejde-531	225	29	=	=	SYM
ejde-531	225	30	d2	d2	PROPN
ejde-531	225	31	dt2	dt2	PROPN
ejde-531	225	32	(	(	PUNCT
ejde-531	225	33	sin	sin	NOUN
ejde-531	225	34	(	(	PUNCT
ejde-531	225	35	(	(	PUNCT
ejde-531	225	36	n−	n−	NOUN
ejde-531	225	37	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	225	38	)	)	PUNCT
ejde-531	225	39	sin	sin	NOUN
ejde-531	225	40	(	(	PUNCT
ejde-531	225	41	(	(	PUNCT
ejde-531	225	42	n−	n−	NOUN
ejde-531	225	43	α)π	α)π	X
ejde-531	225	44	)	)	PUNCT
ejde-531	226	1	xn	xn	X
ejde-531	226	2	)	)	PUNCT
ejde-531	227	1	=	=	PRON
ejde-531	227	2	−(n−	−(n−	ADJ
ejde-531	227	3	α)2	α)2	NOUN
ejde-531	227	4	sin	sin	NOUN
ejde-531	227	5	(	(	PUNCT
ejde-531	227	6	(	(	PUNCT
ejde-531	227	7	n−	n−	NOUN
ejde-531	227	8	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	227	9	)	)	PUNCT
ejde-531	227	10	sin	sin	NOUN
ejde-531	227	11	(	(	PUNCT
ejde-531	227	12	(	(	PUNCT
ejde-531	227	13	n−	n−	NOUN
ejde-531	227	14	α)π	α)π	X
ejde-531	227	15	)	)	PUNCT
ejde-531	227	16	xn	xn	PROPN
ejde-531	227	17	.	.	PUNCT
ejde-531	228	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	228	2	if	if	SCONJ
ejde-531	228	3	x	x	PROPN
ejde-531	228	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	228	5	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	228	6	)	)	PUNCT
ejde-531	228	7	then	then	ADV
ejde-531	228	8	d2	d2	PROPN
ejde-531	228	9	dt2	dt2	PROPN
ejde-531	228	10	(	(	PUNCT
ejde-531	228	11	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	228	12	)	)	PUNCT
ejde-531	228	13	n	n	PROPN
ejde-531	228	14	=	=	SYM
ejde-531	228	15	−	−	PROPN
ejde-531	228	16	(	(	PUNCT
ejde-531	228	17	as(t)x	as(t)x	PROPN
ejde-531	228	18	)	)	PUNCT
ejde-531	229	1	n	n	CCONJ
ejde-531	229	2	.	.	PUNCT
ejde-531	230	1	hence	hence	ADV
ejde-531	230	2	if	if	SCONJ
ejde-531	230	3	x	x	PRON
ejde-531	230	4	is	be	AUX
ejde-531	230	5	eventually	eventually	ADV
ejde-531	230	6	zero	zero	NUM
ejde-531	230	7	then	then	ADV
ejde-531	230	8	s(·)x	s(·)x	PROPN
ejde-531	230	9	is	be	AUX
ejde-531	230	10	solution	solution	NOUN
ejde-531	230	11	of	of	ADP
ejde-531	230	12	equation	equation	NOUN
ejde-531	230	13	(	(	PUNCT
ejde-531	230	14	2.1	2.1	NUM
ejde-531	230	15	)	)	PUNCT
ejde-531	230	16	.	.	PUNCT
ejde-531	231	1	now	now	ADV
ejde-531	231	2	let	let	VERB
ejde-531	231	3	x	x	PROPN
ejde-531	231	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	231	5	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	231	6	)	)	PUNCT
ejde-531	231	7	and	and	CCONJ
ejde-531	231	8	,	,	PUNCT
ejde-531	231	9	for	for	ADP
ejde-531	231	10	m	m	PROPN
ejde-531	231	11	∈	∈	PROPN
ejde-531	231	12	n	n	CCONJ
ejde-531	231	13	,	,	PUNCT
ejde-531	231	14	let	let	VERB
ejde-531	231	15	x(m	x(m	PROPN
ejde-531	232	1	)	)	PUNCT
ejde-531	232	2	∈	∈	PROPN
ejde-531	232	3	x	x	PUNCT
ejde-531	232	4	such	such	ADJ
ejde-531	232	5	that	that	SCONJ
ejde-531	232	6	(	(	PUNCT
ejde-531	232	7	x(m	x(m	PROPN
ejde-531	232	8	)	)	PUNCT
ejde-531	232	9	)	)	PUNCT
ejde-531	233	1	n	n	NOUN
ejde-531	233	2	=	=	PRON
ejde-531	233	3	{	{	PUNCT
ejde-531	233	4	xn	xn	PROPN
ejde-531	233	5	,	,	PUNCT
ejde-531	233	6	for	for	ADP
ejde-531	233	7	n	n	PRON
ejde-531	233	8	≤	≤	NOUN
ejde-531	233	9	m	m	PROPN
ejde-531	233	10	,	,	PUNCT
ejde-531	233	11	0	0	NUM
ejde-531	233	12	,	,	PUNCT
ejde-531	233	13	for	for	ADP
ejde-531	233	14	n	n	X
ejde-531	233	15	>	>	X
ejde-531	233	16	m	m	VERB
ejde-531	233	17	.	.	PUNCT
ejde-531	234	1	we	we	PRON
ejde-531	234	2	have	have	VERB
ejde-531	234	3	sup	sup	NOUN
ejde-531	234	4	t∈[0,π	t∈[0,π	SYM
ejde-531	234	5	]	]	X
ejde-531	234	6	∥∥s(t)x(m	∥∥s(t)x(m	NOUN
ejde-531	234	7	)	)	PUNCT
ejde-531	234	8	−	−	PROPN
ejde-531	235	1	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	235	2	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-531	235	3	≤	≤	NUM
ejde-531	235	4	sup	sup	X
ejde-531	235	5	t∈[0,π	t∈[0,π	NOUN
ejde-531	235	6	]	]	X
ejde-531	235	7	∥∥s(t	∥∥s(t	ADJ
ejde-531	235	8	)	)	PUNCT
ejde-531	235	9	∥∥∥∥x(m	∥∥∥∥x(m	ADJ
ejde-531	235	10	)	)	PUNCT
ejde-531	235	11	−	−	PROPN
ejde-531	235	12	x	x	SYM
ejde-531	235	13	∥∥	∥∥	X
ejde-531	235	14	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	235	15	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	235	16	problem	problem	NOUN
ejde-531	235	17	for	for	ADP
ejde-531	235	18	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	235	19	differential	differential	ADJ
ejde-531	235	20	equations	equation	NOUN
ejde-531	235	21	9	9	NUM
ejde-531	235	22	≤	≤	NUM
ejde-531	235	23	1	1	NUM
ejde-531	235	24	sin(απ	sin(απ	NOUN
ejde-531	235	25	)	)	PUNCT
ejde-531	235	26	(	(	PUNCT
ejde-531	235	27	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	235	28	n	n	CCONJ
ejde-531	235	29	=	=	NOUN
ejde-531	235	30	m+1	m+1	NUM
ejde-531	235	31	|xn|p	|xn|p	NOUN
ejde-531	235	32	)	)	PUNCT
ejde-531	235	33	1	1	X
ejde-531	235	34	/	/	SYM
ejde-531	235	35	p	p	X
ejde-531	235	36	−−−−→	−−−−→	X
ejde-531	235	37	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-531	235	38	0	0	NUM
ejde-531	235	39	,	,	PUNCT
ejde-531	235	40	and	and	CCONJ
ejde-531	235	41	sup	sup	NUM
ejde-531	235	42	t∈[0,π	t∈[0,π	ADJ
ejde-531	235	43	]	]	X
ejde-531	235	44	∥∥s(t)ax(m	∥∥s(t)ax(m	PROPN
ejde-531	235	45	)	)	PUNCT
ejde-531	235	46	−	−	PROPN
ejde-531	236	1	s(t)ax	s(t)ax	ADV
ejde-531	236	2	∥∥	∥∥	PRON
ejde-531	236	3	≤	≤	PROPN
ejde-531	236	4	sup	sup	NOUN
ejde-531	236	5	t∈[0,π	t∈[0,π	NOUN
ejde-531	236	6	]	]	X
ejde-531	236	7	∥∥s(t	∥∥s(t	ADJ
ejde-531	236	8	)	)	PUNCT
ejde-531	236	9	∥∥	∥∥	X
ejde-531	236	10	∥∥ax(m	∥∥ax(m	PROPN
ejde-531	236	11	)	)	PUNCT
ejde-531	236	12	−ax	−ax	NOUN
ejde-531	236	13	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	236	14	≤	≤	ADV
ejde-531	236	15	1	1	NUM
ejde-531	236	16	sin(απ	sin(απ	NOUN
ejde-531	236	17	)	)	PUNCT
ejde-531	236	18	(	(	PUNCT
ejde-531	236	19	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	236	20	n	n	X
ejde-531	236	21	=	=	SYM
ejde-531	236	22	m+1	m+1	X
ejde-531	236	23	(	(	PUNCT
ejde-531	236	24	n−	n−	NOUN
ejde-531	236	25	α)2p|xn|p	α)2p|xn|p	NOUN
ejde-531	236	26	)	)	PUNCT
ejde-531	236	27	1	1	X
ejde-531	236	28	/	/	SYM
ejde-531	236	29	p	p	X
ejde-531	236	30	−−−−→	−−−−→	X
ejde-531	236	31	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-531	236	32	0	0	NUM
ejde-531	236	33	.	.	PUNCT
ejde-531	237	1	hence	hence	ADV
ejde-531	237	2	the	the	DET
ejde-531	237	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	237	4	of	of	ADP
ejde-531	237	5	functions	function	NOUN
ejde-531	237	6	s(·)x(m	s(·)x(m	NOUN
ejde-531	237	7	)	)	PUNCT
ejde-531	237	8	converges	converge	VERB
ejde-531	237	9	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	237	10	to	to	PART
ejde-531	237	11	s(·)x	s(·)x	VERB
ejde-531	237	12	and	and	CCONJ
ejde-531	237	13	the	the	DET
ejde-531	237	14	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	237	15	s′′(·)x(m	s′′(·)x(m	NOUN
ejde-531	237	16	)	)	PUNCT
ejde-531	237	17	=	=	SYM
ejde-531	238	1	−as(·)x(m	−as(·)x(m	ADJ
ejde-531	238	2	)	)	PUNCT
ejde-531	238	3	=	=	SYM
ejde-531	238	4	−s(·)ax(m	−s(·)ax(m	NOUN
ejde-531	238	5	)	)	PUNCT
ejde-531	238	6	converges	converge	VERB
ejde-531	238	7	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	238	8	to	to	ADP
ejde-531	238	9	the	the	DET
ejde-531	238	10	function	function	NOUN
ejde-531	238	11	−s(·)ax	−s(·)ax	PROPN
ejde-531	238	12	=	=	PUNCT
ejde-531	238	13	−as(·)x	−as(·)x	X
ejde-531	238	14	.	.	PUNCT
ejde-531	239	1	by	by	ADP
ejde-531	239	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	239	3	4.2	4.2	NUM
ejde-531	239	4	s(·)x	s(·)x	NOUN
ejde-531	239	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	239	6	c2	c2	PROPN
ejde-531	239	7	(	(	PUNCT
ejde-531	239	8	[	[	X
ejde-531	239	9	0	0	NUM
ejde-531	239	10	,	,	PUNCT
ejde-531	239	11	π	π	PROPN
ejde-531	239	12	]	]	X
ejde-531	239	13	,	,	PUNCT
ejde-531	239	14	x	x	SYM
ejde-531	239	15	)	)	PUNCT
ejde-531	239	16	and	and	CCONJ
ejde-531	239	17	s′′(·)x	s′′(·)x	PROPN
ejde-531	239	18	=	=	SYM
ejde-531	239	19	−as(·)x	−as(·)x	X
ejde-531	239	20	.	.	PUNCT
ejde-531	240	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	240	2	(	(	PUNCT
ejde-531	240	3	3	3	X
ejde-531	240	4	)	)	PUNCT
ejde-531	240	5	is	be	AUX
ejde-531	240	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	240	7	.	.	PUNCT
ejde-531	241	1	if	if	SCONJ
ejde-531	241	2	v	v	X
ejde-531	241	3	:	:	PUNCT
ejde-531	241	4	[	[	X
ejde-531	241	5	0	0	NUM
ejde-531	241	6	,	,	PUNCT
ejde-531	241	7	π]→	π]→	X
ejde-531	241	8	x	x	X
ejde-531	241	9	is	be	AUX
ejde-531	241	10	solution	solution	NOUN
ejde-531	241	11	of	of	ADP
ejde-531	241	12	equation	equation	NOUN
ejde-531	241	13	(	(	PUNCT
ejde-531	241	14	2.1	2.1	NUM
ejde-531	241	15	)	)	PUNCT
ejde-531	241	16	,	,	PUNCT
ejde-531	241	17	then	then	ADV
ejde-531	241	18	for	for	ADP
ejde-531	241	19	all	all	DET
ejde-531	241	20	n	n	PRON
ejde-531	241	21	∈	∈	NOUN
ejde-531	241	22	n	n	CCONJ
ejde-531	241	23	we	we	PRON
ejde-531	241	24	have	have	VERB
ejde-531	241	25	v′′n(t	v′′n(t	PROPN
ejde-531	241	26	)	)	PUNCT
ejde-531	242	1	+	+	CCONJ
ejde-531	242	2	(	(	PUNCT
ejde-531	242	3	n−	n−	NOUN
ejde-531	242	4	α)2vn(t	α)2vn(t	NOUN
ejde-531	242	5	)	)	PUNCT
ejde-531	242	6	=	=	SYM
ejde-531	242	7	0	0	NUM
ejde-531	242	8	.	.	PUNCT
ejde-531	243	1	the	the	DET
ejde-531	243	2	functions	function	NOUN
ejde-531	243	3	t	t	PROPN
ejde-531	243	4	7→	7→	NUM
ejde-531	243	5	sin	sin	NOUN
ejde-531	243	6	(	(	PUNCT
ejde-531	243	7	(	(	PUNCT
ejde-531	243	8	n	n	CCONJ
ejde-531	243	9	−	−	PROPN
ejde-531	243	10	α)t	α)t	NOUN
ejde-531	243	11	)	)	PUNCT
ejde-531	243	12	and	and	CCONJ
ejde-531	243	13	t	t	PROPN
ejde-531	243	14	7→	7→	NUM
ejde-531	243	15	sin	sin	NOUN
ejde-531	243	16	(	(	PUNCT
ejde-531	243	17	(	(	PUNCT
ejde-531	243	18	n	n	CCONJ
ejde-531	243	19	−	−	PROPN
ejde-531	243	20	α)(π	α)(π	NUM
ejde-531	243	21	−	−	PROPN
ejde-531	243	22	t	t	PROPN
ejde-531	243	23	)	)	PUNCT
ejde-531	243	24	)	)	PUNCT
ejde-531	243	25	are	be	AUX
ejde-531	243	26	two	two	NUM
ejde-531	243	27	linearly	linearly	ADV
ejde-531	243	28	independent	independent	ADJ
ejde-531	243	29	solutions	solution	NOUN
ejde-531	243	30	of	of	ADP
ejde-531	243	31	this	this	DET
ejde-531	243	32	equation	equation	NOUN
ejde-531	243	33	,	,	PUNCT
ejde-531	243	34	therefore	therefore	ADV
ejde-531	243	35	there	there	PRON
ejde-531	243	36	exist	exist	VERB
ejde-531	243	37	c1	c1	NOUN
ejde-531	243	38	,	,	PUNCT
ejde-531	243	39	c2	c2	PROPN
ejde-531	243	40	∈	∈	PROPN
ejde-531	244	1	k	k	PROPN
ejde-531	244	2	such	such	ADJ
ejde-531	244	3	that	that	PRON
ejde-531	244	4	vn(t	vn(t	PUNCT
ejde-531	244	5	)	)	PUNCT
ejde-531	244	6	=	=	SYM
ejde-531	244	7	c1	c1	NOUN
ejde-531	244	8	sin	sin	NOUN
ejde-531	244	9	(	(	PUNCT
ejde-531	244	10	(	(	PUNCT
ejde-531	244	11	n−	n−	NOUN
ejde-531	244	12	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	244	13	)	)	PUNCT
ejde-531	245	1	+	+	CCONJ
ejde-531	245	2	c2	c2	PROPN
ejde-531	245	3	sin	sin	NOUN
ejde-531	245	4	(	(	PUNCT
ejde-531	245	5	(	(	PUNCT
ejde-531	245	6	n−	n−	NOUN
ejde-531	245	7	α)(π	α)(π	NUM
ejde-531	245	8	−	−	PROPN
ejde-531	245	9	t	t	PROPN
ejde-531	245	10	)	)	PUNCT
ejde-531	245	11	)	)	PUNCT
ejde-531	245	12	.	.	PUNCT
ejde-531	246	1	by	by	ADP
ejde-531	246	2	putting	put	VERB
ejde-531	246	3	t	t	X
ejde-531	246	4	=	=	PUNCT
ejde-531	246	5	π	π	PROPN
ejde-531	246	6	or	or	CCONJ
ejde-531	246	7	t	t	PROPN
ejde-531	246	8	=	=	SYM
ejde-531	246	9	0	0	NUM
ejde-531	246	10	in	in	ADP
ejde-531	246	11	this	this	DET
ejde-531	246	12	equality	equality	NOUN
ejde-531	246	13	we	we	PRON
ejde-531	246	14	get	get	VERB
ejde-531	246	15	c1	c1	PROPN
ejde-531	246	16	=	=	PROPN
ejde-531	246	17	vn(π	vn(π	X
ejde-531	246	18	)	)	PUNCT
ejde-531	246	19	sin	sin	NOUN
ejde-531	246	20	(	(	PUNCT
ejde-531	246	21	(	(	PUNCT
ejde-531	246	22	n−	n−	NOUN
ejde-531	246	23	α)π	α)π	X
ejde-531	246	24	)	)	PUNCT
ejde-531	246	25	,	,	PUNCT
ejde-531	246	26	c2	c2	PROPN
ejde-531	246	27	=	=	SYM
ejde-531	246	28	vn(0	vn(0	PROPN
ejde-531	246	29	)	)	PUNCT
ejde-531	246	30	sin((n−	sin((n−	PROPN
ejde-531	246	31	α)π	α)π	NUM
ejde-531	246	32	)	)	PUNCT
ejde-531	246	33	,	,	PUNCT
ejde-531	246	34	hence	hence	ADV
ejde-531	246	35	vn(t	vn(t	PUNCT
ejde-531	246	36	)	)	PUNCT
ejde-531	247	1	=	=	VERB
ejde-531	247	2	sin	sin	NOUN
ejde-531	247	3	(	(	PUNCT
ejde-531	247	4	(	(	PUNCT
ejde-531	247	5	n−	n−	NOUN
ejde-531	247	6	α)(π	α)(π	NUM
ejde-531	247	7	−	−	PROPN
ejde-531	247	8	t	t	PROPN
ejde-531	247	9	)	)	PUNCT
ejde-531	247	10	)	)	PUNCT
ejde-531	247	11	sin	sin	NOUN
ejde-531	247	12	(	(	PUNCT
ejde-531	247	13	(	(	PUNCT
ejde-531	247	14	n−	n−	NOUN
ejde-531	247	15	α)π	α)π	X
ejde-531	247	16	)	)	PUNCT
ejde-531	247	17	vn(0	vn(0	NOUN
ejde-531	247	18	)	)	PUNCT
ejde-531	247	19	+	+	CCONJ
ejde-531	247	20	sin	sin	NOUN
ejde-531	247	21	(	(	PUNCT
ejde-531	247	22	(	(	PUNCT
ejde-531	247	23	n−	n−	NOUN
ejde-531	247	24	α)t	α)t	ADJ
ejde-531	247	25	)	)	PUNCT
ejde-531	247	26	sin	sin	NOUN
ejde-531	247	27	(	(	PUNCT
ejde-531	247	28	(	(	PUNCT
ejde-531	247	29	n−	n−	NOUN
ejde-531	247	30	α)π	α)π	X
ejde-531	247	31	)	)	PUNCT
ejde-531	247	32	vn(π	vn(π	NOUN
ejde-531	247	33	)	)	PUNCT
ejde-531	247	34	,	,	PUNCT
ejde-531	247	35	that	that	PRON
ejde-531	247	36	is	be	AUX
ejde-531	247	37	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	247	38	)	)	PUNCT
ejde-531	247	39	=	=	PUNCT
ejde-531	248	1	s(π	s(π	PROPN
ejde-531	248	2	−	−	PROPN
ejde-531	248	3	t)v(0	t)v(0	PROPN
ejde-531	248	4	)	)	PUNCT
ejde-531	248	5	+	+	NUM
ejde-531	248	6	s(t)v(π	s(t)v(π	NOUN
ejde-531	248	7	)	)	PUNCT
ejde-531	248	8	.	.	PUNCT
ejde-531	249	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	249	2	(	(	PUNCT
ejde-531	249	3	4	4	X
ejde-531	249	4	)	)	PUNCT
ejde-531	249	5	is	be	AUX
ejde-531	249	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	249	7	.	.	PUNCT
ejde-531	250	1	if	if	SCONJ
ejde-531	250	2	k	k	PROPN
ejde-531	250	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	250	4	n	n	CCONJ
ejde-531	250	5	it	it	PRON
ejde-531	250	6	is	be	AUX
ejde-531	250	7	easy	easy	ADJ
ejde-531	250	8	to	to	PART
ejde-531	250	9	check	check	VERB
ejde-531	250	10	that	that	SCONJ
ejde-531	251	1	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	251	2	−	−	NOUN
ejde-531	251	3	a	a	PRON
ejde-531	251	4	is	be	AUX
ejde-531	251	5	invertible	invertible	ADJ
ejde-531	251	6	and	and	CCONJ
ejde-531	251	7	,	,	PUNCT
ejde-531	251	8	for	for	ADP
ejde-531	251	9	all	all	DET
ejde-531	251	10	x	x	SYM
ejde-531	251	11	∈	∈	PROPN
ejde-531	251	12	x	x	NOUN
ejde-531	251	13	,	,	PUNCT
ejde-531	251	14	for	for	ADP
ejde-531	251	15	all	all	DET
ejde-531	251	16	n	n	DET
ejde-531	251	17	∈	∈	PROPN
ejde-531	251	18	n	n	CCONJ
ejde-531	251	19	,	,	PUNCT
ejde-531	251	20	(	(	PUNCT
ejde-531	251	21	(	(	PUNCT
ejde-531	251	22	k2	k2	X
ejde-531	251	23	−a)−1x	−a)−1x	NOUN
ejde-531	251	24	)	)	PUNCT
ejde-531	252	1	n	n	NOUN
ejde-531	252	2	=	=	SYM
ejde-531	252	3	1	1	NUM
ejde-531	252	4	k2	k2	NOUN
ejde-531	252	5	−	−	PROPN
ejde-531	252	6	(	(	PUNCT
ejde-531	252	7	n−	n−	NOUN
ejde-531	252	8	α)2	α)2	PROPN
ejde-531	252	9	xn	xn	PROPN
ejde-531	252	10	.	.	PUNCT
ejde-531	253	1	if	if	SCONJ
ejde-531	253	2	we	we	PRON
ejde-531	253	3	denote	denote	VERB
ejde-531	253	4	with	with	ADP
ejde-531	253	5	ek	ek	PROPN
ejde-531	253	6	the	the	DET
ejde-531	253	7	k	k	PROPN
ejde-531	253	8	-	-	PUNCT
ejde-531	253	9	th	th	VERB
ejde-531	253	10	element	element	NOUN
ejde-531	253	11	of	of	ADP
ejde-531	253	12	the	the	DET
ejde-531	253	13	canonical	canonical	ADJ
ejde-531	253	14	basis	basis	NOUN
ejde-531	253	15	of	of	ADP
ejde-531	253	16	x	x	PRON
ejde-531	253	17	,	,	PUNCT
ejde-531	253	18	we	we	PRON
ejde-531	253	19	have∥∥(k2	have∥∥(k2	VERB
ejde-531	253	20	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	253	21	∥∥	∥∥	X
ejde-531	253	22	≥	≥	NOUN
ejde-531	253	23	∥∥(k2	∥∥(k2	NOUN
ejde-531	253	24	−a)−1ek	−a)−1ek	SYM
ejde-531	253	25	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	254	1	=	=	SYM
ejde-531	254	2	1	1	NUM
ejde-531	254	3	k2	k2	NOUN
ejde-531	254	4	−	−	PROPN
ejde-531	254	5	(	(	PUNCT
ejde-531	254	6	k	k	NOUN
ejde-531	254	7	−	−	PROPN
ejde-531	254	8	α)2	α)2	NOUN
ejde-531	254	9	=	=	SYM
ejde-531	254	10	1	1	NUM
ejde-531	254	11	2kα−	2kα−	NUM
ejde-531	254	12	α2	α2	ADJ
ejde-531	254	13	≥	≥	NOUN
ejde-531	254	14	1	1	NUM
ejde-531	254	15	2kα	2kα	NOUN
ejde-531	254	16	.	.	PUNCT
ejde-531	255	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	255	2	estimate	estimate	VERB
ejde-531	255	3	(	(	PUNCT
ejde-531	255	4	3.1	3.1	NUM
ejde-531	255	5	)	)	PUNCT
ejde-531	255	6	is	be	AUX
ejde-531	255	7	the	the	DET
ejde-531	255	8	best	good	ADJ
ejde-531	255	9	possible	possible	ADJ
ejde-531	255	10	one	one	NUM
ejde-531	255	11	with	with	ADP
ejde-531	255	12	respect	respect	NOUN
ejde-531	255	13	to	to	ADP
ejde-531	255	14	the	the	DET
ejde-531	255	15	dependence	dependence	NOUN
ejde-531	255	16	on	on	ADP
ejde-531	255	17	k.	k.	PROPN
ejde-531	256	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	256	2	the	the	DET
ejde-531	256	3	best	well	ADV
ejde-531	256	4	constant	constant	ADJ
ejde-531	256	5	c	c	NOUN
ejde-531	256	6	can	can	AUX
ejde-531	256	7	be	be	AUX
ejde-531	256	8	arbitrarily	arbitrarily	ADV
ejde-531	256	9	large	large	ADJ
ejde-531	256	10	.	.	PUNCT
ejde-531	257	1	the	the	DET
ejde-531	257	2	next	next	ADJ
ejde-531	257	3	example	example	NOUN
ejde-531	257	4	is	be	AUX
ejde-531	257	5	based	base	VERB
ejde-531	257	6	on	on	ADP
ejde-531	257	7	the	the	DET
ejde-531	257	8	results	result	NOUN
ejde-531	257	9	of	of	ADP
ejde-531	257	10	[	[	X
ejde-531	257	11	8	8	NUM
ejde-531	257	12	]	]	PUNCT
ejde-531	257	13	.	.	PUNCT
ejde-531	258	1	we	we	PRON
ejde-531	258	2	recall	recall	VERB
ejde-531	258	3	some	some	DET
ejde-531	258	4	facts	fact	NOUN
ejde-531	258	5	from	from	ADP
ejde-531	258	6	that	that	DET
ejde-531	258	7	article	article	NOUN
ejde-531	258	8	.	.	PUNCT
ejde-531	259	1	let	let	VERB
ejde-531	259	2	x	x	PRON
ejde-531	259	3	be	be	AUX
ejde-531	259	4	a	a	DET
ejde-531	259	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	259	6	space	space	NOUN
ejde-531	259	7	and	and	CCONJ
ejde-531	259	8	(	(	PUNCT
ejde-531	259	9	yn)n∈n	yn)n∈n	NUM
ejde-531	259	10	be	be	AUX
ejde-531	259	11	a	a	DET
ejde-531	259	12	basis	basis	NOUN
ejde-531	259	13	of	of	ADP
ejde-531	259	14	x.	x.	NOUN
ejde-531	259	15	we	we	PRON
ejde-531	259	16	denote	denote	VERB
ejde-531	259	17	with	with	ADP
ejde-531	259	18	pn	pn	PROPN
ejde-531	259	19	the	the	DET
ejde-531	259	20	n	n	CCONJ
ejde-531	259	21	-	-	PUNCT
ejde-531	259	22	th	th	X
ejde-531	259	23	projection	projection	NOUN
ejde-531	259	24	operator	operator	NOUN
ejde-531	259	25	associated	associate	VERB
ejde-531	259	26	with	with	ADP
ejde-531	259	27	this	this	DET
ejde-531	259	28	basis	basis	NOUN
ejde-531	259	29	,	,	PUNCT
ejde-531	259	30	i.e.	i.e.	X
ejde-531	259	31	pn	pn	PROPN
ejde-531	259	32	∈	∈	PROPN
ejde-531	259	33	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	259	34	)	)	PUNCT
ejde-531	259	35	is	be	AUX
ejde-531	259	36	such	such	ADJ
ejde-531	259	37	that	that	SCONJ
ejde-531	259	38	,	,	PUNCT
ejde-531	259	39	for	for	ADP
ejde-531	259	40	all	all	DET
ejde-531	259	41	x	x	SYM
ejde-531	259	42	∈	∈	PROPN
ejde-531	259	43	x	x	X
ejde-531	259	44	,	,	PUNCT
ejde-531	259	45	we	we	PRON
ejde-531	259	46	have	have	VERB
ejde-531	259	47	x	x	NOUN
ejde-531	259	48	=	=	PUNCT
ejde-531	259	49	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	259	50	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	259	51	pn(x)yn	pn(x)yn	NOUN
ejde-531	259	52	.	.	PUNCT
ejde-531	260	1	by	by	ADP
ejde-531	260	2	the	the	DET
ejde-531	260	3	uniform	uniform	PROPN
ejde-531	260	4	boundedness	boundedness	PROPN
ejde-531	260	5	principle	principle	NOUN
ejde-531	260	6	m0	m0	NOUN
ejde-531	260	7	=	=	SYM
ejde-531	260	8	supn∈n	supn∈n	PROPN
ejde-531	260	9	∥∥∑n	∥∥∑n	NOUN
ejde-531	260	10	k=1	k=1	X
ejde-531	260	11	pn	pn	X
ejde-531	260	12	∥∥	∥∥	X
ejde-531	260	13	<	<	X
ejde-531	260	14	∞.	∞.	PROPN
ejde-531	260	15	10	10	NUM
ejde-531	260	16	g.	g.	PROPN
ejde-531	260	17	dore	dore	PROPN
ejde-531	260	18	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	261	1	we	we	PRON
ejde-531	261	2	associate	associate	VERB
ejde-531	261	3	with	with	ADP
ejde-531	261	4	every	every	DET
ejde-531	261	5	scalar	scalar	ADJ
ejde-531	261	6	valued	value	VERB
ejde-531	261	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	261	8	a	a	X
ejde-531	261	9	=	=	PUNCT
ejde-531	261	10	(	(	PUNCT
ejde-531	261	11	an)n∈n	an)n∈n	X
ejde-531	261	12	a	a	DET
ejde-531	261	13	linear	linear	ADJ
ejde-531	261	14	operator	operator	NOUN
ejde-531	261	15	a	a	DET
ejde-531	261	16	in	in	ADP
ejde-531	261	17	x	x	PUNCT
ejde-531	261	18	defined	define	VERB
ejde-531	261	19	by	by	ADP
ejde-531	261	20	d(a	d(a	PROPN
ejde-531	261	21	)	)	PUNCT
ejde-531	262	1	=	=	PRON
ejde-531	262	2	{	{	PUNCT
ejde-531	262	3	x	x	PUNCT
ejde-531	262	4	∈	∈	NOUN
ejde-531	262	5	x	x	X
ejde-531	262	6	∣∣	∣∣	NUM
ejde-531	263	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	263	2	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	263	3	anpn(x)yn	anpn(x)yn	VERB
ejde-531	263	4	is	be	AUX
ejde-531	263	5	convergent	convergent	ADJ
ejde-531	263	6	}	}	PUNCT
ejde-531	263	7	,	,	PUNCT
ejde-531	263	8	ax	ax	NOUN
ejde-531	263	9	=	=	NOUN
ejde-531	263	10	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	263	11	n=1	n=1	NUM
ejde-531	263	12	anpn(x)yn	anpn(x)yn	VERB
ejde-531	263	13	.	.	PUNCT
ejde-531	264	1	let	let	VERB
ejde-531	264	2	a	a	DET
ejde-531	264	3	be	be	AUX
ejde-531	264	4	a	a	DET
ejde-531	264	5	scalar	scalar	ADJ
ejde-531	264	6	valued	value	VERB
ejde-531	264	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	264	8	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	264	9	;	;	PUNCT
ejde-531	264	10	we	we	PRON
ejde-531	264	11	set	set	VERB
ejde-531	264	12	‖a‖∞	‖a‖∞	NOUN
ejde-531	264	13	=	=	SYM
ejde-531	264	14	supn∈n	supn∈n	PROPN
ejde-531	264	15	|an|	|an|	PROPN
ejde-531	264	16	and	and	CCONJ
ejde-531	264	17	v	v	NOUN
ejde-531	264	18	(	(	PUNCT
ejde-531	264	19	a	a	NOUN
ejde-531	264	20	)	)	PUNCT
ejde-531	265	1	=	=	NOUN
ejde-531	265	2	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	265	3	n=1	n=1	PUNCT
ejde-531	265	4	|an+1	|an+1	PROPN
ejde-531	265	5	−	−	NOUN
ejde-531	266	1	an|	an|	PROPN
ejde-531	266	2	.	.	PUNCT
ejde-531	267	1	we	we	PRON
ejde-531	267	2	denote	denote	VERB
ejde-531	267	3	with	with	ADP
ejde-531	267	4	bv	bv	PROPN
ejde-531	267	5	the	the	DET
ejde-531	267	6	space	space	NOUN
ejde-531	267	7	of	of	ADP
ejde-531	267	8	the	the	DET
ejde-531	267	9	sequences	sequence	NOUN
ejde-531	267	10	of	of	ADP
ejde-531	267	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	267	12	variation	variation	NOUN
ejde-531	267	13	,	,	PUNCT
ejde-531	267	14	i.e.	i.e.	X
ejde-531	267	15	such	such	ADJ
ejde-531	267	16	that	that	DET
ejde-531	267	17	v	v	NOUN
ejde-531	267	18	(	(	PUNCT
ejde-531	267	19	a	a	NOUN
ejde-531	267	20	)	)	PUNCT
ejde-531	268	1	<	<	X
ejde-531	268	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-531	268	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	268	4	4.4	4.4	NUM
ejde-531	268	5	(	(	PUNCT
ejde-531	268	6	[	[	X
ejde-531	268	7	8	8	NUM
ejde-531	268	8	,	,	PUNCT
ejde-531	268	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	268	10	2.4	2.4	NUM
ejde-531	268	11	]	]	PUNCT
ejde-531	268	12	)	)	PUNCT
ejde-531	268	13	.	.	PUNCT
ejde-531	269	1	let	let	VERB
ejde-531	269	2	a	a	PRON
ejde-531	269	3	be	be	AUX
ejde-531	269	4	a	a	DET
ejde-531	269	5	scalar	scalar	ADJ
ejde-531	269	6	valued	value	VERB
ejde-531	269	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	269	8	.	.	PUNCT
ejde-531	270	1	then	then	ADV
ejde-531	270	2	the	the	DET
ejde-531	270	3	operator	operator	NOUN
ejde-531	270	4	a	a	DET
ejde-531	270	5	associated	associate	VERB
ejde-531	270	6	with	with	ADP
ejde-531	270	7	a	a	PRON
ejde-531	270	8	is	be	AUX
ejde-531	270	9	densely	densely	ADV
ejde-531	270	10	defined	define	VERB
ejde-531	270	11	and	and	CCONJ
ejde-531	270	12	closed	closed	ADJ
ejde-531	270	13	.	.	PUNCT
ejde-531	271	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	271	2	if	if	SCONJ
ejde-531	271	3	a	a	DET
ejde-531	271	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	271	5	bv	bv	NOUN
ejde-531	271	6	,	,	PUNCT
ejde-531	271	7	then	then	ADV
ejde-531	271	8	a	a	DET
ejde-531	271	9	∈	∈	NOUN
ejde-531	271	10	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	271	11	)	)	PUNCT
ejde-531	271	12	,	,	PUNCT
ejde-531	271	13	with	with	ADP
ejde-531	271	14	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	271	15	≤m0	≤m0	NOUN
ejde-531	271	16	(	(	PUNCT
ejde-531	271	17	‖a‖∞	‖a‖∞	ADP
ejde-531	271	18	+	+	NUM
ejde-531	271	19	v	v	NOUN
ejde-531	271	20	(	(	PUNCT
ejde-531	271	21	a	a	NOUN
ejde-531	271	22	)	)	PUNCT
ejde-531	271	23	)	)	PUNCT
ejde-531	271	24	.	.	PUNCT
ejde-531	272	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	272	2	4.5	4.5	NUM
ejde-531	272	3	(	(	PUNCT
ejde-531	272	4	[	[	NOUN
ejde-531	272	5	8	8	NUM
ejde-531	272	6	,	,	PUNCT
ejde-531	272	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	272	8	2.5	2.5	NUM
ejde-531	272	9	]	]	PUNCT
ejde-531	272	10	)	)	PUNCT
ejde-531	272	11	.	.	PUNCT
ejde-531	273	1	let	let	VERB
ejde-531	273	2	a	a	PRON
ejde-531	273	3	be	be	AUX
ejde-531	273	4	a	a	DET
ejde-531	273	5	scalar	scalar	ADJ
ejde-531	273	6	valued	value	VERB
ejde-531	273	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	273	8	,	,	PUNCT
ejde-531	273	9	a	a	PRON
ejde-531	273	10	be	be	AUX
ejde-531	273	11	the	the	DET
ejde-531	273	12	operator	operator	NOUN
ejde-531	273	13	associated	associate	VERB
ejde-531	273	14	with	with	ADP
ejde-531	273	15	a	a	DET
ejde-531	273	16	and	and	CCONJ
ejde-531	273	17	λ	λ	PROPN
ejde-531	273	18	∈	∈	PROPN
ejde-531	273	19	k	k	X
ejde-531	273	20	\	\	PROPN
ejde-531	273	21	{	{	PUNCT
ejde-531	273	22	an	an	DET
ejde-531	273	23	|n	|n	NOUN
ejde-531	273	24	∈	∈	PROPN
ejde-531	273	25	n	n	CCONJ
ejde-531	273	26	}	}	PUNCT
ejde-531	273	27	.	.	PUNCT
ejde-531	274	1	then	then	ADV
ejde-531	274	2	λi	λi	ADP
ejde-531	274	3	−	−	PROPN
ejde-531	274	4	a	a	PRON
ejde-531	274	5	is	be	AUX
ejde-531	274	6	one	one	NUM
ejde-531	274	7	-	-	PUNCT
ejde-531	274	8	to	to	ADP
ejde-531	274	9	-	-	PUNCT
ejde-531	274	10	one	one	NUM
ejde-531	274	11	and	and	CCONJ
ejde-531	274	12	(	(	PUNCT
ejde-531	274	13	λi	λi	INTJ
ejde-531	274	14	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	274	15	is	be	AUX
ejde-531	274	16	the	the	DET
ejde-531	274	17	operator	operator	NOUN
ejde-531	274	18	associated	associate	VERB
ejde-531	274	19	with	with	ADP
ejde-531	274	20	the	the	DET
ejde-531	274	21	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	274	22	(	(	PUNCT
ejde-531	274	23	(	(	PUNCT
ejde-531	274	24	λ−	λ−	PROPN
ejde-531	274	25	an)−1	an)−1	PROPN
ejde-531	274	26	)	)	PUNCT
ejde-531	274	27	n∈n	n∈n	PROPN
ejde-531	274	28	.	.	PUNCT
ejde-531	275	1	in	in	ADP
ejde-531	275	2	particular	particular	ADJ
ejde-531	275	3	λ	λ	PROPN
ejde-531	275	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	275	5	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	275	6	)	)	PUNCT
ejde-531	275	7	if	if	SCONJ
ejde-531	275	8	and	and	CCONJ
ejde-531	275	9	only	only	ADV
ejde-531	275	10	if	if	SCONJ
ejde-531	275	11	for	for	ADP
ejde-531	275	12	all	all	DET
ejde-531	275	13	x	x	SYM
ejde-531	275	14	∈	∈	NOUN
ejde-531	275	15	x	x	X
ejde-531	275	16	the	the	DET
ejde-531	275	17	series	series	PROPN
ejde-531	275	18	∑∞	∑∞	X
ejde-531	275	19	n=1(λ−	n=1(λ−	PROPN
ejde-531	275	20	an)−1pn(x)yn	an)−1pn(x)yn	PROPN
ejde-531	275	21	is	be	AUX
ejde-531	275	22	convergent	convergent	ADJ
ejde-531	275	23	.	.	PUNCT
ejde-531	276	1	we	we	PRON
ejde-531	276	2	say	say	VERB
ejde-531	276	3	that	that	SCONJ
ejde-531	276	4	the	the	DET
ejde-531	276	5	basis	basis	NOUN
ejde-531	276	6	(	(	PUNCT
ejde-531	276	7	yn)n∈n	yn)n∈n	NUM
ejde-531	276	8	of	of	ADP
ejde-531	276	9	the	the	DET
ejde-531	276	10	banach	banach	NOUN
ejde-531	276	11	space	space	NOUN
ejde-531	276	12	x	x	PRON
ejde-531	276	13	is	be	AUX
ejde-531	276	14	unconditional	unconditional	ADJ
ejde-531	276	15	if	if	SCONJ
ejde-531	276	16	,	,	PUNCT
ejde-531	276	17	for	for	ADP
ejde-531	276	18	all	all	DET
ejde-531	276	19	x	x	SYM
ejde-531	276	20	∈	∈	PROPN
ejde-531	276	21	x	x	NOUN
ejde-531	276	22	,	,	PUNCT
ejde-531	276	23	the	the	DET
ejde-531	276	24	series	series	NOUN
ejde-531	276	25	∑∞	∑∞	PROPN
ejde-531	276	26	n=1	n=1	ADP
ejde-531	276	27	pn(x)yn	pn(x)yn	NOUN
ejde-531	276	28	is	be	AUX
ejde-531	276	29	unconditionally	unconditionally	ADV
ejde-531	276	30	convergent	convergent	ADJ
ejde-531	276	31	.	.	PUNCT
ejde-531	277	1	otherwise	otherwise	ADV
ejde-531	277	2	we	we	PRON
ejde-531	277	3	say	say	VERB
ejde-531	277	4	that	that	SCONJ
ejde-531	277	5	the	the	DET
ejde-531	277	6	basis	basis	NOUN
ejde-531	277	7	is	be	AUX
ejde-531	277	8	conditional	conditional	ADJ
ejde-531	277	9	(	(	PUNCT
ejde-531	277	10	see	see	VERB
ejde-531	277	11	[	[	X
ejde-531	277	12	7	7	NUM
ejde-531	277	13	,	,	PUNCT
ejde-531	277	14	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	277	15	ii	ii	PROPN
ejde-531	277	16	,	,	PUNCT
ejde-531	277	17	definition	definition	NOUN
ejde-531	277	18	14.1	14.1	NUM
ejde-531	277	19	]	]	PUNCT
ejde-531	277	20	)	)	PUNCT
ejde-531	277	21	.	.	PUNCT
ejde-531	278	1	every	every	DET
ejde-531	278	2	banach	banach	NOUN
ejde-531	278	3	space	space	NOUN
ejde-531	278	4	with	with	ADP
ejde-531	278	5	a	a	DET
ejde-531	278	6	basis	basis	NOUN
ejde-531	278	7	has	have	VERB
ejde-531	278	8	an	an	DET
ejde-531	278	9	unconditional	unconditional	ADJ
ejde-531	278	10	basis	basis	NOUN
ejde-531	278	11	(	(	PUNCT
ejde-531	278	12	see	see	VERB
ejde-531	278	13	[	[	X
ejde-531	278	14	7	7	NUM
ejde-531	278	15	,	,	PUNCT
ejde-531	278	16	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	278	17	ii	ii	PROPN
ejde-531	278	18	,	,	PUNCT
ejde-531	278	19	theorem	theorem	VERB
ejde-531	278	20	23.2	23.2	NUM
ejde-531	278	21	]	]	PUNCT
ejde-531	278	22	)	)	PUNCT
ejde-531	278	23	.	.	PUNCT
ejde-531	279	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	279	2	4.6	4.6	NUM
ejde-531	279	3	(	(	PUNCT
ejde-531	279	4	[	[	X
ejde-531	279	5	7	7	NUM
ejde-531	279	6	,	,	PUNCT
ejde-531	279	7	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	279	8	ii	ii	PROPN
ejde-531	279	9	,	,	PUNCT
ejde-531	279	10	theorem	theorem	VERB
ejde-531	279	11	16.1	16.1	NUM
ejde-531	279	12	,	,	PUNCT
ejde-531	279	13	1⇔	1⇔	NUM
ejde-531	279	14	8	8	NUM
ejde-531	279	15	]	]	PUNCT
ejde-531	279	16	)	)	PUNCT
ejde-531	279	17	.	.	PUNCT
ejde-531	280	1	let	let	VERB
ejde-531	280	2	(	(	PUNCT
ejde-531	280	3	yn)n∈n	yn)n∈n	NUM
ejde-531	280	4	be	be	AUX
ejde-531	280	5	a	a	DET
ejde-531	280	6	conditional	conditional	ADJ
ejde-531	280	7	basis	basis	NOUN
ejde-531	280	8	of	of	ADP
ejde-531	280	9	the	the	DET
ejde-531	280	10	space	space	NOUN
ejde-531	280	11	x.	x.	NOUN
ejde-531	281	1	then	then	ADV
ejde-531	281	2	there	there	PRON
ejde-531	281	3	exists	exist	VERB
ejde-531	281	4	x	x	X
ejde-531	281	5	∈	∈	PROPN
ejde-531	281	6	x	x	X
ejde-531	281	7	and	and	CCONJ
ejde-531	281	8	a	a	DET
ejde-531	281	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	281	10	(	(	PUNCT
ejde-531	281	11	εn)n∈n	εn)n∈n	NUM
ejde-531	281	12	in	in	ADP
ejde-531	281	13	{	{	PUNCT
ejde-531	281	14	−1	−1	NOUN
ejde-531	281	15	,	,	PUNCT
ejde-531	281	16	1	1	NUM
ejde-531	281	17	}	}	PUNCT
ejde-531	281	18	such	such	ADJ
ejde-531	281	19	that	that	SCONJ
ejde-531	281	20	sup	sup	NOUN
ejde-531	281	21	n∈n	n∈n	ADJ
ejde-531	281	22	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	281	23	n∑	n∑	PRON
ejde-531	281	24	j=1	j=1	PROPN
ejde-531	281	25	εjpj(x	εjpj(x	PROPN
ejde-531	281	26	)	)	PUNCT
ejde-531	281	27	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	282	1	=	=	SYM
ejde-531	282	2	∞	∞	PROPN
ejde-531	282	3	.	.	PUNCT
ejde-531	283	1	example	example	NOUN
ejde-531	283	2	4.7	4.7	NUM
ejde-531	283	3	.	.	PUNCT
ejde-531	284	1	let	let	VERB
ejde-531	284	2	x	x	PRON
ejde-531	284	3	be	be	AUX
ejde-531	284	4	a	a	DET
ejde-531	284	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	284	6	space	space	NOUN
ejde-531	284	7	with	with	ADP
ejde-531	284	8	a	a	DET
ejde-531	284	9	conditional	conditional	ADJ
ejde-531	284	10	basis	basis	NOUN
ejde-531	284	11	(	(	PUNCT
ejde-531	284	12	yn)n∈n	yn)n∈n	NUM
ejde-531	284	13	and	and	CCONJ
ejde-531	284	14	let	let	VERB
ejde-531	284	15	pn	pn	PART
ejde-531	284	16	be	be	AUX
ejde-531	284	17	the	the	DET
ejde-531	284	18	n	n	CCONJ
ejde-531	284	19	-	-	PUNCT
ejde-531	284	20	th	th	X
ejde-531	284	21	projection	projection	NOUN
ejde-531	284	22	operator	operator	NOUN
ejde-531	284	23	associated	associate	VERB
ejde-531	284	24	with	with	ADP
ejde-531	284	25	this	this	DET
ejde-531	284	26	basis	basis	NOUN
ejde-531	284	27	.	.	PUNCT
ejde-531	285	1	let	let	VERB
ejde-531	285	2	(	(	PUNCT
ejde-531	285	3	`	`	PUNCT
ejde-531	285	4	n)n∈n	n)n∈n	PROPN
ejde-531	285	5	be	be	AUX
ejde-531	285	6	a	a	DET
ejde-531	285	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	285	8	of	of	ADP
ejde-531	285	9	non	non	ADJ
ejde-531	285	10	-	-	ADJ
ejde-531	285	11	negative	negative	ADJ
ejde-531	285	12	integers	integer	NOUN
ejde-531	285	13	,	,	PUNCT
ejde-531	285	14	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-531	285	15	and	and	CCONJ
ejde-531	285	16	such	such	ADJ
ejde-531	285	17	that	that	SCONJ
ejde-531	285	18	`	`	PUNCT
ejde-531	285	19	1	1	NUM
ejde-531	285	20	=	=	SYM
ejde-531	285	21	0	0	NUM
ejde-531	285	22	and	and	CCONJ
ejde-531	285	23	`	`	PUNCT
ejde-531	285	24	n+1	n+1	NUM
ejde-531	285	25	−	−	PROPN
ejde-531	285	26	`	`	PUNCT
ejde-531	285	27	n	n	X
ejde-531	285	28	∈	∈	PROPN
ejde-531	285	29	{	{	PUNCT
ejde-531	285	30	0	0	NUM
ejde-531	285	31	,	,	PUNCT
ejde-531	285	32	1	1	NUM
ejde-531	285	33	}	}	PUNCT
ejde-531	285	34	.	.	PUNCT
ejde-531	286	1	set	set	VERB
ejde-531	286	2	an	an	PRON
ejde-531	286	3	=	=	X
ejde-531	286	4	(	(	PUNCT
ejde-531	286	5	2`n	2`n	NUM
ejde-531	286	6	+	+	NUM
ejde-531	286	7	1	1	NUM
ejde-531	286	8	2	2	NUM
ejde-531	286	9	)	)	PUNCT
ejde-531	286	10	2	2	NUM
ejde-531	286	11	and	and	CCONJ
ejde-531	286	12	let	let	VERB
ejde-531	286	13	a	a	PRON
ejde-531	286	14	be	be	AUX
ejde-531	286	15	the	the	DET
ejde-531	286	16	operator	operator	NOUN
ejde-531	286	17	associated	associate	VERB
ejde-531	286	18	with	with	ADP
ejde-531	286	19	the	the	DET
ejde-531	286	20	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	286	21	(	(	PUNCT
ejde-531	286	22	an)n∈n	an)n∈n	NUM
ejde-531	286	23	.	.	PUNCT
ejde-531	287	1	by	by	ADP
ejde-531	287	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	287	3	4.4	4.4	NUM
ejde-531	287	4	,	,	PUNCT
ejde-531	287	5	a	a	PRON
ejde-531	287	6	is	be	AUX
ejde-531	287	7	closed	closed	ADJ
ejde-531	287	8	and	and	CCONJ
ejde-531	287	9	densely	densely	ADV
ejde-531	287	10	defined	define	VERB
ejde-531	287	11	.	.	PUNCT
ejde-531	288	1	we	we	PRON
ejde-531	288	2	prove	prove	VERB
ejde-531	288	3	that	that	SCONJ
ejde-531	288	4	a	a	DET
ejde-531	288	5	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-531	288	6	the	the	DET
ejde-531	288	7	conditions	condition	NOUN
ejde-531	288	8	of	of	ADP
ejde-531	288	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	288	10	3.1	3.1	NUM
ejde-531	288	11	.	.	PUNCT
ejde-531	289	1	let	let	VERB
ejde-531	289	2	k	k	PROPN
ejde-531	289	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	289	4	n.	n.	NOUN
ejde-531	289	5	for	for	ADP
ejde-531	289	6	every	every	DET
ejde-531	289	7	n	n	CCONJ
ejde-531	289	8	∈	∈	NOUN
ejde-531	290	1	n	n	CCONJ
ejde-531	290	2	we	we	PRON
ejde-531	290	3	have	have	VERB
ejde-531	290	4	an	an	DET
ejde-531	290	5	6=	6=	X
ejde-531	290	6	k2	k2	ADJ
ejde-531	290	7	,	,	PUNCT
ejde-531	290	8	hence	hence	ADV
ejde-531	290	9	,	,	PUNCT
ejde-531	290	10	by	by	ADP
ejde-531	290	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	290	12	4.5	4.5	NUM
ejde-531	290	13	,	,	PUNCT
ejde-531	290	14	(	(	PUNCT
ejde-531	290	15	k2i	k2i	ADV
ejde-531	290	16	−	−	PROPN
ejde-531	290	17	a	a	PRON
ejde-531	290	18	)	)	PUNCT
ejde-531	290	19	is	be	AUX
ejde-531	290	20	one	one	NUM
ejde-531	290	21	-	-	PUNCT
ejde-531	290	22	to	to	ADP
ejde-531	290	23	-	-	PUNCT
ejde-531	290	24	one	one	NUM
ejde-531	290	25	and	and	CCONJ
ejde-531	290	26	,	,	PUNCT
ejde-531	290	27	if	if	SCONJ
ejde-531	290	28	we	we	PRON
ejde-531	290	29	set	set	VERB
ejde-531	290	30	bn	bn	NOUN
ejde-531	290	31	=	=	SYM
ejde-531	290	32	1/(k2−an	1/(k2−an	NUM
ejde-531	290	33	)	)	PUNCT
ejde-531	290	34	,	,	PUNCT
ejde-531	290	35	then	then	ADV
ejde-531	290	36	(	(	PUNCT
ejde-531	290	37	k2i−a)−1	k2i−a)−1	NOUN
ejde-531	290	38	is	be	AUX
ejde-531	290	39	the	the	DET
ejde-531	290	40	operator	operator	NOUN
ejde-531	290	41	associated	associate	VERB
ejde-531	290	42	with	with	ADP
ejde-531	290	43	the	the	DET
ejde-531	290	44	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	290	45	(	(	PUNCT
ejde-531	290	46	bn)n∈n	bn)n∈n	PROPN
ejde-531	290	47	.	.	PUNCT
ejde-531	291	1	for	for	ADP
ejde-531	291	2	every	every	DET
ejde-531	291	3	`	`	PUNCT
ejde-531	291	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	291	5	n	n	ADV
ejde-531	291	6	we	we	PRON
ejde-531	291	7	have∣∣∣k2	have∣∣∣k2	VERB
ejde-531	291	8	−	−	PROPN
ejde-531	291	9	(	(	PUNCT
ejde-531	291	10	2`+	2`+	NUM
ejde-531	291	11	1	1	NUM
ejde-531	291	12	2	2	NUM
ejde-531	291	13	)	)	PUNCT
ejde-531	291	14	2∣∣∣	2∣∣∣	NUM
ejde-531	291	15	≥	≥	NOUN
ejde-531	291	16	∣∣∣k2	∣∣∣k2	NUM
ejde-531	291	17	−	−	PROPN
ejde-531	291	18	(	(	PUNCT
ejde-531	291	19	k	k	NOUN
ejde-531	291	20	−	−	PROPN
ejde-531	291	21	1	1	NUM
ejde-531	291	22	2	2	NUM
ejde-531	291	23	)	)	PUNCT
ejde-531	291	24	2∣∣∣	2∣∣∣	PROPN
ejde-531	291	25	=	=	SYM
ejde-531	291	26	k	k	NOUN
ejde-531	291	27	−	−	PROPN
ejde-531	291	28	1	1	NUM
ejde-531	291	29	4	4	NUM
ejde-531	291	30	,	,	PUNCT
ejde-531	291	31	hence	hence	ADV
ejde-531	291	32	‖b‖∞	‖b‖∞	PROPN
ejde-531	291	33	=	=	SYM
ejde-531	291	34	1	1	NUM
ejde-531	291	35	infn∈n	infn∈n	PROPN
ejde-531	291	36	|k2	|k2	NOUN
ejde-531	291	37	−	−	PROPN
ejde-531	291	38	an|	an|	PROPN
ejde-531	291	39	≤	≤	NUM
ejde-531	291	40	1	1	NUM
ejde-531	291	41	k	k	NOUN
ejde-531	291	42	−	−	PROPN
ejde-531	292	1	(	(	PUNCT
ejde-531	292	2	1/4	1/4	NUM
ejde-531	292	3	)	)	PUNCT
ejde-531	292	4	.	.	PUNCT
ejde-531	293	1	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	294	1	dirichlet	dirichlet	ADJ
ejde-531	294	2	problem	problem	NOUN
ejde-531	294	3	for	for	ADP
ejde-531	294	4	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	294	5	differential	differential	ADJ
ejde-531	294	6	equations	equation	NOUN
ejde-531	294	7	11	11	NUM
ejde-531	294	8	let	let	VERB
ejde-531	294	9	n	n	NOUN
ejde-531	294	10	=	=	PUNCT
ejde-531	294	11	max{n	max{n	NUM
ejde-531	294	12	∈	∈	PROPN
ejde-531	294	13	n	n	CCONJ
ejde-531	294	14	|	|	ADV
ejde-531	294	15	2`n	2`n	NUM
ejde-531	294	16	<	<	X
ejde-531	294	17	k	k	X
ejde-531	294	18	}	}	PUNCT
ejde-531	294	19	;	;	PUNCT
ejde-531	294	20	the	the	DET
ejde-531	294	21	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	294	22	bn	bn	NOUN
ejde-531	294	23	is	be	AUX
ejde-531	294	24	positive	positive	ADJ
ejde-531	294	25	and	and	CCONJ
ejde-531	294	26	non	non	ADJ
ejde-531	294	27	-	-	ADJ
ejde-531	294	28	decreasing	decrease	VERB
ejde-531	294	29	for	for	ADP
ejde-531	294	30	1	1	NUM
ejde-531	294	31	≤	≤	NOUN
ejde-531	294	32	n	n	PRON
ejde-531	294	33	≤	≤	NOUN
ejde-531	294	34	n	n	CCONJ
ejde-531	294	35	while	while	NOUN
ejde-531	294	36	is	be	AUX
ejde-531	294	37	negative	negative	ADJ
ejde-531	294	38	and	and	CCONJ
ejde-531	294	39	non	non	ADJ
ejde-531	294	40	-	-	ADJ
ejde-531	294	41	decreasing	decrease	VERB
ejde-531	294	42	for	for	ADP
ejde-531	294	43	n	n	PRON
ejde-531	294	44	≥	≥	NOUN
ejde-531	294	45	n+	n+	ADP
ejde-531	295	1	1	1	X
ejde-531	295	2	.	.	X
ejde-531	295	3	hence	hence	ADV
ejde-531	295	4	v	v	NOUN
ejde-531	295	5	(	(	PUNCT
ejde-531	295	6	b	b	NOUN
ejde-531	295	7	)	)	PUNCT
ejde-531	295	8	=	=	NOUN
ejde-531	296	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	296	2	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	296	3	|bn+1	|bn+1	VERB
ejde-531	296	4	−	−	PROPN
ejde-531	296	5	bn|	bn|	NOUN
ejde-531	296	6	=	=	PUNCT
ejde-531	296	7	n−1∑	n−1∑	PROPN
ejde-531	296	8	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	296	9	(	(	PUNCT
ejde-531	296	10	bn+1	bn+1	NOUN
ejde-531	296	11	−	−	PROPN
ejde-531	296	12	bn	bn	NOUN
ejde-531	296	13	)	)	PUNCT
ejde-531	297	1	+	+	CCONJ
ejde-531	297	2	bn	bn	NUM
ejde-531	297	3	−	−	NOUN
ejde-531	297	4	bn+1	bn+1	NOUN
ejde-531	297	5	+	+	CCONJ
ejde-531	297	6	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	297	7	n	n	CCONJ
ejde-531	297	8	=	=	SYM
ejde-531	297	9	n+1	n+1	PROPN
ejde-531	297	10	(	(	PUNCT
ejde-531	297	11	bn+1	bn+1	NOUN
ejde-531	297	12	−	−	PROPN
ejde-531	297	13	bn	bn	NOUN
ejde-531	297	14	)	)	PUNCT
ejde-531	297	15	=	=	SYM
ejde-531	298	1	bn	bn	NUM
ejde-531	298	2	−	−	PROPN
ejde-531	298	3	b1	b1	NOUN
ejde-531	298	4	+	+	CCONJ
ejde-531	298	5	bn	bn	NOUN
ejde-531	298	6	−	−	PROPN
ejde-531	298	7	bn+1	bn+1	NOUN
ejde-531	299	1	+	+	CCONJ
ejde-531	299	2	lim	lim	PROPN
ejde-531	299	3	n→∞	n→∞	NUM
ejde-531	299	4	bn	bn	ADP
ejde-531	299	5	−	−	PROPN
ejde-531	299	6	bn+1	bn+1	PROPN
ejde-531	299	7	≤	≤	NUM
ejde-531	299	8	2bn	2bn	NOUN
ejde-531	299	9	−	−	PROPN
ejde-531	299	10	2bn+1	2bn+1	NUM
ejde-531	299	11	≤	≤	NUM
ejde-531	299	12	4	4	NUM
ejde-531	299	13	k	k	NOUN
ejde-531	299	14	−	−	PROPN
ejde-531	300	1	(	(	PUNCT
ejde-531	300	2	1/4	1/4	NUM
ejde-531	300	3	)	)	PUNCT
ejde-531	300	4	.	.	PUNCT
ejde-531	301	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	301	2	,	,	PUNCT
ejde-531	301	3	by	by	ADP
ejde-531	301	4	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-531	301	5	4.4	4.4	NUM
ejde-531	301	6	and	and	CCONJ
ejde-531	301	7	4.5	4.5	NUM
ejde-531	301	8	,	,	PUNCT
ejde-531	301	9	k	k	PROPN
ejde-531	301	10	∈	∈	PROPN
ejde-531	301	11	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	301	12	)	)	PUNCT
ejde-531	301	13	and	and	CCONJ
ejde-531	301	14	there	there	PRON
ejde-531	301	15	exists	exist	VERB
ejde-531	301	16	c	c	PROPN
ejde-531	301	17	∈	∈	PROPN
ejde-531	301	18	r+	r+	NOUN
ejde-531	301	19	such	such	ADJ
ejde-531	301	20	that∥∥(k2i	that∥∥(k2i	NUM
ejde-531	301	21	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	301	22	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	301	23	≤	≤	PROPN
ejde-531	301	24	c	c	X
ejde-531	301	25	/	/	SYM
ejde-531	301	26	k.	k.	PROPN
ejde-531	302	1	now	now	ADV
ejde-531	302	2	we	we	PRON
ejde-531	302	3	prove	prove	VERB
ejde-531	302	4	that	that	SCONJ
ejde-531	302	5	a	a	DET
ejde-531	302	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-531	302	7	the	the	DET
ejde-531	302	8	condition	condition	NOUN
ejde-531	302	9	of	of	ADP
ejde-531	302	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	302	11	3.3	3.3	NUM
ejde-531	302	12	with	with	ADP
ejde-531	302	13	m	m	PROPN
ejde-531	302	14	=	=	SYM
ejde-531	302	15	1	1	NUM
ejde-531	302	16	,	,	PUNCT
ejde-531	302	17	that	that	PRON
ejde-531	302	18	is	be	AUX
ejde-531	302	19	the	the	DET
ejde-531	302	20	series	series	NOUN
ejde-531	302	21	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	302	22	k=1(k2i	k=1(k2i	X
ejde-531	302	23	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	302	24	converges	converge	NOUN
ejde-531	302	25	in	in	ADP
ejde-531	302	26	operator	operator	NOUN
ejde-531	302	27	norm	norm	NOUN
ejde-531	302	28	.	.	PUNCT
ejde-531	303	1	first	first	ADV
ejde-531	303	2	of	of	ADP
ejde-531	303	3	all	all	PRON
ejde-531	303	4	for	for	ADP
ejde-531	303	5	all	all	PRON
ejde-531	303	6	k	k	PROPN
ejde-531	303	7	∈	∈	PROPN
ejde-531	303	8	n	n	PRON
ejde-531	303	9	and	and	CCONJ
ejde-531	303	10	all	all	PRON
ejde-531	303	11	n	n	PRON
ejde-531	303	12	∈	∈	PROPN
ejde-531	303	13	n0	n0	NOUN
ejde-531	303	14	we	we	PRON
ejde-531	303	15	have	have	VERB
ejde-531	303	16	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	303	17	j	j	PROPN
ejde-531	303	18	=	=	PROPN
ejde-531	303	19	k	k	PROPN
ejde-531	303	20	1	1	NUM
ejde-531	303	21	j2	j2	PROPN
ejde-531	303	22	−	−	PROPN
ejde-531	303	23	(	(	PUNCT
ejde-531	303	24	n+	n+	X
ejde-531	303	25	(	(	PUNCT
ejde-531	303	26	1/2	1/2	NUM
ejde-531	303	27	)	)	PUNCT
ejde-531	303	28	)	)	PUNCT
ejde-531	303	29	2	2	X
ejde-531	303	30	=	=	SYM
ejde-531	303	31	lim	lim	PROPN
ejde-531	303	32	p→∞	p→∞	ADV
ejde-531	304	1	p∑	p∑	PROPN
ejde-531	305	1	j	j	PROPN
ejde-531	305	2	=	=	PROPN
ejde-531	305	3	k	k	PROPN
ejde-531	305	4	1	1	NUM
ejde-531	305	5	j2	j2	PROPN
ejde-531	305	6	−	−	PROPN
ejde-531	305	7	(	(	PUNCT
ejde-531	305	8	n+	n+	X
ejde-531	305	9	(	(	PUNCT
ejde-531	305	10	1/2	1/2	NUM
ejde-531	305	11	)	)	PUNCT
ejde-531	305	12	)	)	PUNCT
ejde-531	305	13	2	2	NUM
ejde-531	305	14	=	=	SYM
ejde-531	305	15	1	1	NUM
ejde-531	305	16	2n+	2n+	NUM
ejde-531	305	17	1	1	NUM
ejde-531	305	18	lim	lim	PROPN
ejde-531	305	19	p→∞	p→∞	ADV
ejde-531	305	20	p∑	p∑	PROPN
ejde-531	306	1	j	j	PROPN
ejde-531	306	2	=	=	PROPN
ejde-531	306	3	k	k	PROPN
ejde-531	306	4	(	(	PUNCT
ejde-531	306	5	1	1	NUM
ejde-531	306	6	j	j	NOUN
ejde-531	306	7	−	−	PROPN
ejde-531	306	8	n−	n−	PROPN
ejde-531	306	9	(	(	PUNCT
ejde-531	306	10	1/2	1/2	NUM
ejde-531	306	11	)	)	PUNCT
ejde-531	306	12	−	−	PROPN
ejde-531	306	13	1	1	NUM
ejde-531	306	14	j	j	PROPN
ejde-531	306	15	+	+	CCONJ
ejde-531	306	16	n+	n+	INTJ
ejde-531	306	17	(	(	PUNCT
ejde-531	306	18	1/2	1/2	NUM
ejde-531	306	19	)	)	PUNCT
ejde-531	306	20	)	)	PUNCT
ejde-531	307	1	=	=	SYM
ejde-531	307	2	1	1	NUM
ejde-531	307	3	2n+	2n+	NUM
ejde-531	307	4	1	1	NUM
ejde-531	307	5	lim	lim	PROPN
ejde-531	307	6	p→∞	p→∞	PROPN
ejde-531	307	7	(	(	PUNCT
ejde-531	307	8	p−n∑	p−n∑	NOUN
ejde-531	307	9	`	`	PUNCT
ejde-531	307	10	=	=	NOUN
ejde-531	307	11	k−n	k−n	PROPN
ejde-531	307	12	1	1	NUM
ejde-531	307	13	`	`	PUNCT
ejde-531	307	14	−	−	PROPN
ejde-531	307	15	(	(	PUNCT
ejde-531	307	16	1/2	1/2	NUM
ejde-531	307	17	)	)	PUNCT
ejde-531	307	18	−	−	PROPN
ejde-531	307	19	p+n+1∑	p+n+1∑	PROPN
ejde-531	307	20	`	`	PUNCT
ejde-531	307	21	=	=	NOUN
ejde-531	307	22	k+n+1	k+n+1	NOUN
ejde-531	307	23	1	1	NUM
ejde-531	307	24	`	`	PUNCT
ejde-531	307	25	−	−	PROPN
ejde-531	307	26	(	(	PUNCT
ejde-531	307	27	1/2	1/2	NUM
ejde-531	307	28	)	)	PUNCT
ejde-531	307	29	)	)	PUNCT
ejde-531	307	30	=	=	SYM
ejde-531	308	1	1	1	NUM
ejde-531	308	2	2n+	2n+	NUM
ejde-531	308	3	1	1	NUM
ejde-531	308	4	lim	lim	PROPN
ejde-531	308	5	p→∞	p→∞	PROPN
ejde-531	308	6	(	(	PUNCT
ejde-531	308	7	k+n∑	k+n∑	PROPN
ejde-531	308	8	`	`	PUNCT
ejde-531	308	9	=	=	NOUN
ejde-531	308	10	k−n	k−n	PROPN
ejde-531	308	11	1	1	NUM
ejde-531	308	12	`	`	PUNCT
ejde-531	308	13	−	−	PROPN
ejde-531	308	14	(	(	PUNCT
ejde-531	308	15	1/2	1/2	NUM
ejde-531	308	16	)	)	PUNCT
ejde-531	308	17	−	−	PROPN
ejde-531	308	18	p+n+1∑	p+n+1∑	PROPN
ejde-531	308	19	`	`	PUNCT
ejde-531	308	20	=	=	SYM
ejde-531	308	21	p−n+1	p−n+1	VERB
ejde-531	308	22	1	1	NUM
ejde-531	308	23	`	`	PUNCT
ejde-531	308	24	−	−	PROPN
ejde-531	308	25	(	(	PUNCT
ejde-531	308	26	1/2	1/2	NUM
ejde-531	308	27	)	)	PUNCT
ejde-531	308	28	)	)	PUNCT
ejde-531	309	1	=	=	SYM
ejde-531	310	1	1	1	NUM
ejde-531	310	2	2n+	2n+	NUM
ejde-531	310	3	1	1	NUM
ejde-531	310	4	k+n∑	k+n∑	PROPN
ejde-531	310	5	`	`	PUNCT
ejde-531	310	6	=	=	NOUN
ejde-531	310	7	k−n	k−n	PROPN
ejde-531	310	8	1	1	NUM
ejde-531	310	9	`	`	PUNCT
ejde-531	310	10	−	−	PROPN
ejde-531	310	11	(	(	PUNCT
ejde-531	310	12	1/2	1/2	NUM
ejde-531	310	13	)	)	PUNCT
ejde-531	310	14	.	.	PUNCT
ejde-531	311	1	hence	hence	ADV
ejde-531	311	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	311	3	j	j	PROPN
ejde-531	311	4	=	=	PROPN
ejde-531	311	5	k	k	PROPN
ejde-531	311	6	1	1	NUM
ejde-531	311	7	j2	j2	PROPN
ejde-531	311	8	−	−	PROPN
ejde-531	311	9	(	(	PUNCT
ejde-531	311	10	n+	n+	X
ejde-531	311	11	(	(	PUNCT
ejde-531	311	12	1/2	1/2	NUM
ejde-531	311	13	)	)	PUNCT
ejde-531	311	14	)	)	PUNCT
ejde-531	311	15	2	2	NUM
ejde-531	311	16	=	=	SYM
ejde-531	311	17	1	1	NUM
ejde-531	311	18	2n+	2n+	NUM
ejde-531	311	19	1	1	NUM
ejde-531	311	20	k+n∑	k+n∑	PROPN
ejde-531	311	21	`	`	PUNCT
ejde-531	311	22	=	=	NOUN
ejde-531	311	23	k−n	k−n	PROPN
ejde-531	311	24	1	1	NUM
ejde-531	311	25	`	`	PUNCT
ejde-531	311	26	−	−	PROPN
ejde-531	311	27	(	(	PUNCT
ejde-531	311	28	1/2	1/2	NUM
ejde-531	311	29	)	)	PUNCT
ejde-531	311	30	;	;	PUNCT
ejde-531	311	31	(	(	PUNCT
ejde-531	311	32	4.2	4.2	NUM
ejde-531	311	33	)	)	PUNCT
ejde-531	311	34	in	in	ADP
ejde-531	311	35	particular	particular	ADJ
ejde-531	311	36	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	311	37	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	311	38	1	1	NUM
ejde-531	311	39	j2	j2	NOUN
ejde-531	311	40	−	−	PROPN
ejde-531	311	41	(	(	PUNCT
ejde-531	311	42	n+	n+	X
ejde-531	311	43	(	(	PUNCT
ejde-531	311	44	1/2	1/2	NUM
ejde-531	311	45	)	)	PUNCT
ejde-531	311	46	)	)	PUNCT
ejde-531	311	47	2	2	NUM
ejde-531	311	48	=	=	SYM
ejde-531	311	49	1	1	NUM
ejde-531	311	50	2n+	2n+	NUM
ejde-531	311	51	1	1	NUM
ejde-531	311	52	1+n∑	1+n∑	NUM
ejde-531	311	53	`	`	PUNCT
ejde-531	311	54	=	=	SYM
ejde-531	311	55	1−n	1−n	NUM
ejde-531	311	56	1	1	NUM
ejde-531	311	57	`	`	PUNCT
ejde-531	311	58	−	−	PROPN
ejde-531	311	59	(	(	PUNCT
ejde-531	311	60	1/2	1/2	NUM
ejde-531	311	61	)	)	PUNCT
ejde-531	311	62	=	=	SYM
ejde-531	311	63	2	2	NUM
ejde-531	311	64	(	(	PUNCT
ejde-531	311	65	2n+	2n+	NUM
ejde-531	311	66	1)2	1)2	NUM
ejde-531	311	67	,	,	PUNCT
ejde-531	311	68	where	where	SCONJ
ejde-531	311	69	the	the	DET
ejde-531	311	70	last	last	ADJ
ejde-531	311	71	equality	equality	NOUN
ejde-531	311	72	can	can	AUX
ejde-531	311	73	be	be	AUX
ejde-531	311	74	easily	easily	ADV
ejde-531	311	75	proved	prove	VERB
ejde-531	311	76	by	by	ADP
ejde-531	311	77	induction	induction	NOUN
ejde-531	311	78	on	on	ADP
ejde-531	311	79	n.	n.	PROPN
ejde-531	311	80	therefore	therefore	ADV
ejde-531	311	81	,	,	PUNCT
ejde-531	311	82	for	for	ADP
ejde-531	311	83	all	all	DET
ejde-531	311	84	n	n	DET
ejde-531	311	85	∈	∈	PROPN
ejde-531	311	86	n	n	CCONJ
ejde-531	311	87	,	,	PUNCT
ejde-531	311	88	we	we	PRON
ejde-531	311	89	have	have	VERB
ejde-531	311	90	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	311	91	j=1	j=1	ADJ
ejde-531	311	92	1	1	NUM
ejde-531	311	93	j2	j2	NOUN
ejde-531	311	94	−	−	PROPN
ejde-531	311	95	(	(	PUNCT
ejde-531	311	96	2`n	2`n	NUM
ejde-531	311	97	+	+	CCONJ
ejde-531	311	98	(	(	PUNCT
ejde-531	311	99	1/2	1/2	NUM
ejde-531	311	100	)	)	PUNCT
ejde-531	311	101	)	)	PUNCT
ejde-531	311	102	2	2	NUM
ejde-531	311	103	=	=	SYM
ejde-531	311	104	2	2	NUM
ejde-531	311	105	(	(	PUNCT
ejde-531	311	106	4`n	4`n	NUM
ejde-531	311	107	+	+	CCONJ
ejde-531	311	108	1)2	1)2	NUM
ejde-531	311	109	.	.	PUNCT
ejde-531	312	1	let	let	VERB
ejde-531	312	2	b	b	X
ejde-531	312	3	be	be	AUX
ejde-531	312	4	the	the	DET
ejde-531	312	5	operator	operator	NOUN
ejde-531	312	6	in	in	ADP
ejde-531	312	7	x	x	PUNCT
ejde-531	312	8	associated	associate	VERB
ejde-531	312	9	with	with	ADP
ejde-531	312	10	the	the	DET
ejde-531	312	11	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	312	12	(	(	PUNCT
ejde-531	312	13	2/	2/	NUM
ejde-531	312	14	(	(	PUNCT
ejde-531	312	15	4`n	4`n	NUM
ejde-531	313	1	+	+	CCONJ
ejde-531	313	2	1	1	NUM
ejde-531	313	3	)	)	SYM
ejde-531	313	4	2	2	NUM
ejde-531	313	5	)	)	PUNCT
ejde-531	313	6	n∈n	n∈n	NOUN
ejde-531	313	7	.	.	PUNCT
ejde-531	314	1	this	this	DET
ejde-531	314	2	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	314	3	is	be	AUX
ejde-531	314	4	non	non	ADJ
ejde-531	314	5	-	-	ADJ
ejde-531	314	6	negative	negative	ADJ
ejde-531	314	7	and	and	CCONJ
ejde-531	314	8	decreasing	decrease	VERB
ejde-531	314	9	,	,	PUNCT
ejde-531	314	10	hence	hence	ADV
ejde-531	314	11	it	it	PRON
ejde-531	314	12	is	be	AUX
ejde-531	314	13	bounded	bound	VERB
ejde-531	314	14	and	and	CCONJ
ejde-531	314	15	has	have	AUX
ejde-531	314	16	bounded	bound	VERB
ejde-531	314	17	12	12	NUM
ejde-531	314	18	g.	g.	PROPN
ejde-531	314	19	dore	dore	PROPN
ejde-531	314	20	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	314	21	variation	variation	NOUN
ejde-531	314	22	,	,	PUNCT
ejde-531	314	23	therefore	therefore	ADV
ejde-531	314	24	,	,	PUNCT
ejde-531	314	25	by	by	ADP
ejde-531	314	26	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	314	27	4.4	4.4	NUM
ejde-531	314	28	,	,	PUNCT
ejde-531	314	29	b	b	PROPN
ejde-531	314	30	is	be	AUX
ejde-531	314	31	bounded	bound	VERB
ejde-531	314	32	.	.	PUNCT
ejde-531	315	1	we	we	PRON
ejde-531	315	2	prove	prove	VERB
ejde-531	315	3	that	that	SCONJ
ejde-531	315	4	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	315	5	k=1	k=1	X
ejde-531	316	1	(	(	PUNCT
ejde-531	316	2	k2i	k2i	ADJ
ejde-531	316	3	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	316	4	=	=	SYM
ejde-531	316	5	b	b	PROPN
ejde-531	316	6	.	.	PUNCT
ejde-531	317	1	the	the	DET
ejde-531	317	2	operator	operator	NOUN
ejde-531	317	3	b	b	NOUN
ejde-531	317	4	−	−	NOUN
ejde-531	317	5	∑k−1	∑k−1	X
ejde-531	317	6	j=1	j=1	PROPN
ejde-531	317	7	(	(	PUNCT
ejde-531	317	8	j2i	j2i	PROPN
ejde-531	317	9	−	−	PROPN
ejde-531	317	10	a)−1	a)−1	NOUN
ejde-531	317	11	is	be	AUX
ejde-531	317	12	associated	associate	VERB
ejde-531	317	13	with	with	ADP
ejde-531	317	14	the	the	DET
ejde-531	317	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	317	16	whose	whose	DET
ejde-531	317	17	n	n	NUM
ejde-531	317	18	-	-	PUNCT
ejde-531	317	19	th	th	VERB
ejde-531	317	20	term	term	NOUN
ejde-531	317	21	,	,	PUNCT
ejde-531	317	22	taking	take	VERB
ejde-531	317	23	into	into	ADP
ejde-531	317	24	account	account	NOUN
ejde-531	317	25	(	(	PUNCT
ejde-531	317	26	4.2	4.2	NUM
ejde-531	317	27	)	)	PUNCT
ejde-531	317	28	,	,	PUNCT
ejde-531	317	29	is	be	AUX
ejde-531	317	30	2	2	NUM
ejde-531	317	31	(	(	PUNCT
ejde-531	317	32	4`n	4`n	NUM
ejde-531	318	1	+	+	CCONJ
ejde-531	318	2	1	1	NUM
ejde-531	318	3	)	)	SYM
ejde-531	318	4	2	2	NUM
ejde-531	318	5	−	−	NOUN
ejde-531	318	6	k−1∑	k−1∑	PROPN
ejde-531	318	7	j=1	j=1	PROPN
ejde-531	318	8	1	1	NUM
ejde-531	318	9	j2	j2	PROPN
ejde-531	318	10	−	−	PROPN
ejde-531	318	11	(	(	PUNCT
ejde-531	318	12	2`n	2`n	NUM
ejde-531	318	13	+	+	CCONJ
ejde-531	318	14	(	(	PUNCT
ejde-531	318	15	1/2	1/2	NUM
ejde-531	318	16	)	)	PUNCT
ejde-531	318	17	)	)	PUNCT
ejde-531	318	18	2	2	X
ejde-531	318	19	=	=	SYM
ejde-531	318	20	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	318	21	j	j	PROPN
ejde-531	318	22	=	=	PROPN
ejde-531	318	23	k	k	PROPN
ejde-531	318	24	1	1	NUM
ejde-531	318	25	j2	j2	PROPN
ejde-531	318	26	−	−	PROPN
ejde-531	318	27	(	(	PUNCT
ejde-531	318	28	2`n	2`n	NUM
ejde-531	318	29	+	+	CCONJ
ejde-531	318	30	(	(	PUNCT
ejde-531	318	31	1/2	1/2	NUM
ejde-531	318	32	)	)	PUNCT
ejde-531	318	33	)	)	PUNCT
ejde-531	318	34	2	2	NUM
ejde-531	319	1	=	=	SYM
ejde-531	319	2	1	1	NUM
ejde-531	319	3	4`n	4`n	NUM
ejde-531	319	4	+	+	SYM
ejde-531	319	5	1	1	NUM
ejde-531	319	6	k+2`n∑	k+2`n∑	NOUN
ejde-531	319	7	j	j	PROPN
ejde-531	319	8	=	=	NOUN
ejde-531	319	9	k−2`n	k−2`n	PROPN
ejde-531	319	10	1	1	NUM
ejde-531	319	11	j	j	NOUN
ejde-531	319	12	−	−	PROPN
ejde-531	319	13	(	(	PUNCT
ejde-531	319	14	1/2	1/2	NUM
ejde-531	319	15	)	)	PUNCT
ejde-531	319	16	,	,	PUNCT
ejde-531	319	17	if	if	SCONJ
ejde-531	319	18	we	we	PRON
ejde-531	319	19	put	put	VERB
ejde-531	319	20	ck	ck	PROPN
ejde-531	319	21	,	,	PUNCT
ejde-531	319	22	`	`	PUNCT
ejde-531	319	23	=	=	NOUN
ejde-531	319	24	1	1	NUM
ejde-531	319	25	2`+	2`+	NUM
ejde-531	319	26	1	1	NUM
ejde-531	319	27	k+∑̀	k+∑̀	PROPN
ejde-531	319	28	j	j	PROPN
ejde-531	319	29	=	=	PROPN
ejde-531	319	30	k−	k−	PROPN
ejde-531	319	31	`	`	PUNCT
ejde-531	319	32	1	1	NUM
ejde-531	319	33	j	j	NOUN
ejde-531	319	34	−	−	PROPN
ejde-531	319	35	(	(	PUNCT
ejde-531	319	36	1/2	1/2	NUM
ejde-531	319	37	)	)	PUNCT
ejde-531	319	38	,	,	PUNCT
ejde-531	319	39	we	we	PRON
ejde-531	319	40	have	have	VERB
ejde-531	319	41	to	to	PART
ejde-531	319	42	prove	prove	VERB
ejde-531	319	43	that	that	SCONJ
ejde-531	319	44	the	the	DET
ejde-531	319	45	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	319	46	(	(	PUNCT
ejde-531	319	47	ck,2`n)n∈n	ck,2`n)n∈n	PROPN
ejde-531	319	48	has	have	AUX
ejde-531	319	49	least	least	ADJ
ejde-531	319	50	upper	upper	ADJ
ejde-531	319	51	bound	bind	VERB
ejde-531	319	52	and	and	CCONJ
ejde-531	319	53	variation	variation	NOUN
ejde-531	319	54	converging	converge	VERB
ejde-531	319	55	to	to	ADP
ejde-531	319	56	0	0	NUM
ejde-531	319	57	as	as	ADP
ejde-531	319	58	k	k	PROPN
ejde-531	319	59	→	→	PROPN
ejde-531	319	60	0	0	X
ejde-531	319	61	.	.	PUNCT
ejde-531	320	1	obviously	obviously	ADV
ejde-531	320	2	sup	sup	NOUN
ejde-531	320	3	n∈n	n∈n	ADV
ejde-531	320	4	|ck,2`n	|ck,2`n	ADP
ejde-531	320	5	|	|	ADV
ejde-531	320	6	≤	≤	NUM
ejde-531	320	7	sup	sup	NOUN
ejde-531	320	8	`	`	PUNCT
ejde-531	320	9	∈n0	∈n0	VERB
ejde-531	320	10	|ck,`|	|ck,`|	PROPN
ejde-531	320	11	.	.	PUNCT
ejde-531	321	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	321	2	,	,	PUNCT
ejde-531	321	3	since	since	SCONJ
ejde-531	321	4	`	`	PUNCT
ejde-531	321	5	n+1−	n+1−	PROPN
ejde-531	321	6	`	`	PUNCT
ejde-531	321	7	n	n	X
ejde-531	321	8	∈	∈	PROPN
ejde-531	321	9	{	{	PUNCT
ejde-531	321	10	0	0	NUM
ejde-531	321	11	,	,	PUNCT
ejde-531	321	12	1	1	X
ejde-531	321	13	}	}	PUNCT
ejde-531	321	14	each	each	DET
ejde-531	321	15	difference	difference	NOUN
ejde-531	321	16	ck,2`n+1	ck,2`n+1	NOUN
ejde-531	321	17	−ck,2`n	−ck,2`n	VERB
ejde-531	321	18	either	either	CCONJ
ejde-531	321	19	is	be	AUX
ejde-531	321	20	null	null	ADJ
ejde-531	321	21	or	or	CCONJ
ejde-531	321	22	is	be	AUX
ejde-531	321	23	equal	equal	ADJ
ejde-531	321	24	to	to	PART
ejde-531	321	25	ck,2`+2	ck,2`+2	VERB
ejde-531	321	26	−	−	PROPN
ejde-531	321	27	ck,2	ck,2	PROPN
ejde-531	321	28	`	`	PUNCT
ejde-531	321	29	for	for	ADP
ejde-531	321	30	a	a	DET
ejde-531	321	31	suitable	suitable	ADJ
ejde-531	321	32	`	`	PUNCT
ejde-531	321	33	∈	∈	PROPN
ejde-531	321	34	n0	n0	PROPN
ejde-531	321	35	.	.	PUNCT
ejde-531	322	1	hence	hence	ADV
ejde-531	322	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	322	3	n=1	n=1	PROPN
ejde-531	322	4	|ck,2`n+1	|ck,2`n+1	PROPN
ejde-531	322	5	−	−	PROPN
ejde-531	322	6	ck,2`n	ck,2`n	PROPN
ejde-531	322	7	|	|	ADV
ejde-531	322	8	≤	≤	VERB
ejde-531	323	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	323	2	`	`	PUNCT
ejde-531	323	3	=	=	SYM
ejde-531	323	4	0	0	NUM
ejde-531	323	5	|ck,2`+2	|ck,2`+2	ADJ
ejde-531	323	6	−	−	PROPN
ejde-531	323	7	ck,2`|	ck,2`|	NOUN
ejde-531	323	8	≤	≤	NOUN
ejde-531	324	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	324	2	`	`	PUNCT
ejde-531	324	3	=	=	SYM
ejde-531	324	4	0	0	NUM
ejde-531	324	5	|ck,`+1	|ck,`+1	NUM
ejde-531	324	6	−	−	PROPN
ejde-531	324	7	ck,`|	ck,`|	NOUN
ejde-531	324	8	.	.	PUNCT
ejde-531	325	1	for	for	ADP
ejde-531	325	2	all	all	DET
ejde-531	325	3	k	k	PROPN
ejde-531	325	4	∈	∈	PROPN
ejde-531	325	5	n	n	NOUN
ejde-531	325	6	and	and	CCONJ
ejde-531	325	7	`	`	PUNCT
ejde-531	325	8	∈	∈	PROPN
ejde-531	325	9	n0	n0	NOUN
ejde-531	325	10	we	we	PRON
ejde-531	325	11	have	have	VERB
ejde-531	325	12	ck	ck	PRON
ejde-531	325	13	,	,	PUNCT
ejde-531	325	14	`	`	PUNCT
ejde-531	325	15	>	>	X
ejde-531	326	1	0	0	X
ejde-531	326	2	.	.	PUNCT
ejde-531	327	1	indeed	indeed	ADV
ejde-531	327	2	,	,	PUNCT
ejde-531	327	3	if	if	SCONJ
ejde-531	327	4	`	`	PUNCT
ejde-531	327	5	<	<	X
ejde-531	327	6	k	k	X
ejde-531	327	7	then	then	ADV
ejde-531	327	8	ck	ck	PROPN
ejde-531	327	9	,	,	PUNCT
ejde-531	327	10	`	`	PUNCT
ejde-531	327	11	>	>	X
ejde-531	327	12	0	0	NUM
ejde-531	327	13	,	,	PUNCT
ejde-531	327	14	since	since	SCONJ
ejde-531	327	15	each	each	DET
ejde-531	327	16	term	term	NOUN
ejde-531	327	17	in	in	ADP
ejde-531	327	18	the	the	DET
ejde-531	327	19	sum	sum	NOUN
ejde-531	327	20	is	be	AUX
ejde-531	327	21	positive	positive	ADJ
ejde-531	327	22	.	.	PUNCT
ejde-531	328	1	if	if	SCONJ
ejde-531	328	2	`	`	PUNCT
ejde-531	328	3	≥	≥	AUX
ejde-531	328	4	k	k	X
ejde-531	328	5	then	then	ADV
ejde-531	328	6	k+∑̀	k+∑̀	PROPN
ejde-531	328	7	j	j	PROPN
ejde-531	328	8	=	=	PROPN
ejde-531	328	9	k−	k−	PROPN
ejde-531	328	10	`	`	PUNCT
ejde-531	328	11	1	1	NUM
ejde-531	328	12	j	j	NOUN
ejde-531	328	13	−	−	PROPN
ejde-531	328	14	(	(	PUNCT
ejde-531	328	15	1/2	1/2	NUM
ejde-531	328	16	)	)	PUNCT
ejde-531	328	17	=	=	PUNCT
ejde-531	329	1	`	`	PUNCT
ejde-531	329	2	−k+1∑	−k+1∑	PROPN
ejde-531	329	3	j	j	PROPN
ejde-531	329	4	=	=	SYM
ejde-531	329	5	k−	k−	PROPN
ejde-531	329	6	`	`	PUNCT
ejde-531	329	7	1	1	NUM
ejde-531	329	8	j	j	NOUN
ejde-531	329	9	−	−	PROPN
ejde-531	329	10	(	(	PUNCT
ejde-531	329	11	1/2	1/2	NUM
ejde-531	329	12	)	)	PUNCT
ejde-531	329	13	+	+	CCONJ
ejde-531	329	14	k+∑̀	k+∑̀	PROPN
ejde-531	329	15	j=`−k+2	j=`−k+2	NUM
ejde-531	329	16	1	1	NUM
ejde-531	329	17	j	j	NOUN
ejde-531	329	18	−	−	PROPN
ejde-531	329	19	(	(	PUNCT
ejde-531	329	20	1/2	1/2	NUM
ejde-531	329	21	)	)	PUNCT
ejde-531	329	22	=	=	SYM
ejde-531	330	1	k+∑̀	k+∑̀	PROPN
ejde-531	330	2	j=`−k+2	j=`−k+2	NUM
ejde-531	330	3	1	1	NUM
ejde-531	330	4	j	j	NOUN
ejde-531	330	5	−	−	PROPN
ejde-531	330	6	(	(	PUNCT
ejde-531	330	7	1/2	1/2	NUM
ejde-531	330	8	)	)	PUNCT
ejde-531	330	9	>	>	X
ejde-531	330	10	0	0	PUNCT
ejde-531	330	11	.	.	PUNCT
ejde-531	331	1	if	if	SCONJ
ejde-531	331	2	we	we	PRON
ejde-531	331	3	put	put	VERB
ejde-531	331	4	ck	ck	PROPN
ejde-531	331	5	,	,	PUNCT
ejde-531	331	6	j	j	PROPN
ejde-531	331	7	=	=	SYM
ejde-531	331	8	1/	1/	NUM
ejde-531	331	9	(	(	PUNCT
ejde-531	331	10	k	k	PROPN
ejde-531	332	1	+	+	CCONJ
ejde-531	332	2	j	j	PROPN
ejde-531	332	3	−	−	PROPN
ejde-531	332	4	(	(	PUNCT
ejde-531	332	5	1/2	1/2	NUM
ejde-531	332	6	)	)	PUNCT
ejde-531	332	7	)	)	PUNCT
ejde-531	333	1	,	,	PUNCT
ejde-531	333	2	we	we	PRON
ejde-531	333	3	have	have	VERB
ejde-531	333	4	ck,−j	ck,−j	PROPN
ejde-531	333	5	+	+	CCONJ
ejde-531	333	6	ck	ck	PROPN
ejde-531	333	7	,	,	PUNCT
ejde-531	333	8	j	j	PROPN
ejde-531	333	9	=	=	SYM
ejde-531	333	10	2k	2k	PROPN
ejde-531	334	1	−	−	NOUN
ejde-531	334	2	1	1	NUM
ejde-531	334	3	(	(	PUNCT
ejde-531	334	4	k	k	NOUN
ejde-531	334	5	−	−	PROPN
ejde-531	334	6	(	(	PUNCT
ejde-531	334	7	1/2	1/2	NUM
ejde-531	334	8	)	)	PUNCT
ejde-531	334	9	)	)	PUNCT
ejde-531	335	1	2	2	NUM
ejde-531	335	2	−	−	PROPN
ejde-531	335	3	j2	j2	NOUN
ejde-531	335	4	hence	hence	ADV
ejde-531	335	5	it	it	PRON
ejde-531	335	6	is	be	AUX
ejde-531	335	7	easy	easy	ADJ
ejde-531	335	8	to	to	PART
ejde-531	335	9	prove	prove	VERB
ejde-531	336	1	that	that	SCONJ
ejde-531	336	2	2ck,0	2ck,0	NOUN
ejde-531	336	3	<	<	X
ejde-531	336	4	ck,−1	ck,−1	NOUN
ejde-531	336	5	+	+	CCONJ
ejde-531	336	6	ck,1	ck,1	NOUN
ejde-531	336	7	<	<	X
ejde-531	336	8	ck,−2	ck,−2	NOUN
ejde-531	336	9	+	+	CCONJ
ejde-531	336	10	ck,2	ck,2	PROPN
ejde-531	336	11	<	<	X
ejde-531	336	12	·	·	PUNCT
ejde-531	336	13	·	·	PUNCT
ejde-531	336	14	·	·	PUNCT
ejde-531	336	15	<	<	X
ejde-531	336	16	ck,−k+1	ck,−k+1	PRON
ejde-531	337	1	+	+	CCONJ
ejde-531	337	2	ck	ck	PROPN
ejde-531	337	3	,	,	PUNCT
ejde-531	337	4	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	337	5	and	and	CCONJ
ejde-531	337	6	,	,	PUNCT
ejde-531	337	7	if	if	SCONJ
ejde-531	337	8	k	k	PROPN
ejde-531	337	9	≤	≤	PROPN
ejde-531	337	10	j	j	PROPN
ejde-531	337	11	,	,	PUNCT
ejde-531	337	12	ck,−j	ck,−j	PROPN
ejde-531	337	13	+	+	CCONJ
ejde-531	337	14	ck	ck	PROPN
ejde-531	337	15	,	,	PUNCT
ejde-531	337	16	j	j	X
ejde-531	337	17	<	<	X
ejde-531	337	18	0	0	X
ejde-531	337	19	.	.	PUNCT
ejde-531	338	1	we	we	PRON
ejde-531	338	2	observe	observe	VERB
ejde-531	338	3	that	that	SCONJ
ejde-531	338	4	ck	ck	ADV
ejde-531	338	5	,	,	PUNCT
ejde-531	338	6	`	`	PUNCT
ejde-531	338	7	is	be	AUX
ejde-531	338	8	the	the	DET
ejde-531	338	9	mean	mean	NOUN
ejde-531	338	10	of	of	ADP
ejde-531	338	11	ck,−	ck,−	PROPN
ejde-531	338	12	`	`	PUNCT
ejde-531	338	13	,	,	PUNCT
ejde-531	338	14	ck,−`+1	ck,−`+1	PROPN
ejde-531	338	15	,	,	PUNCT
ejde-531	338	16	.	.	PUNCT
ejde-531	338	17	.	.	PUNCT
ejde-531	338	18	.	.	PUNCT
ejde-531	339	1	,	,	PUNCT
ejde-531	339	2	ck,`−−	ck,`−−	NOUN
ejde-531	339	3	,	,	PUNCT
ejde-531	339	4	ck	ck	ADJ
ejde-531	339	5	,	,	PUNCT
ejde-531	339	6	`	`	PUNCT
ejde-531	339	7	and	and	CCONJ
ejde-531	339	8	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	339	9	is	be	AUX
ejde-531	339	10	the	the	DET
ejde-531	339	11	mean	mean	NOUN
ejde-531	339	12	of	of	ADP
ejde-531	339	13	the	the	DET
ejde-531	339	14	same	same	ADJ
ejde-531	339	15	numbers	number	NOUN
ejde-531	339	16	plus	plus	CCONJ
ejde-531	339	17	ck,−`−1	ck,−`−1	NOUN
ejde-531	339	18	and	and	CCONJ
ejde-531	339	19	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	339	20	.	.	PUNCT
ejde-531	340	1	if	if	SCONJ
ejde-531	340	2	`	`	PUNCT
ejde-531	340	3	+	+	NOUN
ejde-531	340	4	1	1	NUM
ejde-531	340	5	<	<	X
ejde-531	340	6	k	k	NOUN
ejde-531	340	7	the	the	DET
ejde-531	340	8	mean	mean	NOUN
ejde-531	340	9	of	of	ADP
ejde-531	340	10	ck,−`−1	ck,−`−1	NOUN
ejde-531	340	11	and	and	CCONJ
ejde-531	340	12	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	340	13	is	be	AUX
ejde-531	340	14	greater	great	ADJ
ejde-531	340	15	then	then	ADV
ejde-531	340	16	the	the	DET
ejde-531	340	17	mean	mean	NOUN
ejde-531	340	18	of	of	ADP
ejde-531	340	19	ck,−	ck,−	PROPN
ejde-531	340	20	`	`	PUNCT
ejde-531	340	21	,	,	PUNCT
ejde-531	340	22	.	.	PUNCT
ejde-531	340	23	.	.	PUNCT
ejde-531	341	1	.	.	PUNCT
ejde-531	342	1	,	,	PUNCT
ejde-531	342	2	ck	ck	INTJ
ejde-531	342	3	,	,	PUNCT
ejde-531	342	4	`	`	PUNCT
ejde-531	342	5	,	,	PUNCT
ejde-531	342	6	hence	hence	ADV
ejde-531	342	7	ck,`+1	ck,`+1	X
ejde-531	342	8	>	>	X
ejde-531	342	9	ck	ck	PROPN
ejde-531	342	10	,	,	PUNCT
ejde-531	342	11	`	`	PUNCT
ejde-531	342	12	.	.	PUNCT
ejde-531	343	1	if	if	SCONJ
ejde-531	343	2	`	`	PUNCT
ejde-531	343	3	+1	+1	PRON
ejde-531	343	4	≥	≥	X
ejde-531	343	5	k	k	NOUN
ejde-531	343	6	the	the	DET
ejde-531	343	7	mean	mean	NOUN
ejde-531	343	8	of	of	ADP
ejde-531	343	9	ck,−`−1	ck,−`−1	NOUN
ejde-531	343	10	and	and	CCONJ
ejde-531	343	11	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	343	12	is	be	AUX
ejde-531	343	13	negative	negative	ADJ
ejde-531	343	14	,	,	PUNCT
ejde-531	343	15	while	while	SCONJ
ejde-531	343	16	the	the	DET
ejde-531	343	17	mean	mean	NOUN
ejde-531	343	18	of	of	ADP
ejde-531	343	19	ck,−	ck,−	PROPN
ejde-531	343	20	`	`	PUNCT
ejde-531	343	21	,	,	PUNCT
ejde-531	343	22	.	.	PUNCT
ejde-531	343	23	.	.	PUNCT
ejde-531	344	1	.	.	PUNCT
ejde-531	345	1	,	,	PUNCT
ejde-531	345	2	ck	ck	INTJ
ejde-531	345	3	,	,	PUNCT
ejde-531	345	4	`	`	PUNCT
ejde-531	345	5	is	be	AUX
ejde-531	345	6	positive	positive	ADJ
ejde-531	345	7	,	,	PUNCT
ejde-531	345	8	hence	hence	ADV
ejde-531	345	9	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	345	10	<	<	X
ejde-531	345	11	ck	ck	PROPN
ejde-531	345	12	,	,	PUNCT
ejde-531	345	13	`	`	PUNCT
ejde-531	345	14	.	.	PUNCT
ejde-531	346	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	346	2	sup{ck	sup{ck	NOUN
ejde-531	346	3	,	,	PUNCT
ejde-531	346	4	`	`	PUNCT
ejde-531	346	5	|	|	ADV
ejde-531	346	6	`	`	PUNCT
ejde-531	346	7	∈	∈	PROPN
ejde-531	346	8	n0	n0	PROPN
ejde-531	346	9	}	}	PUNCT
ejde-531	346	10	=	=	SYM
ejde-531	346	11	ck	ck	PROPN
ejde-531	346	12	,	,	PUNCT
ejde-531	346	13	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	346	14	.	.	PUNCT
ejde-531	347	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	347	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	347	3	`	`	PUNCT
ejde-531	347	4	=	=	SYM
ejde-531	347	5	0	0	NUM
ejde-531	347	6	|ck,`+1	|ck,`+1	NUM
ejde-531	347	7	−	−	NOUN
ejde-531	347	8	ck,`|	ck,`|	NOUN
ejde-531	347	9	=	=	SYM
ejde-531	347	10	k−2∑	k−2∑	NOUN
ejde-531	347	11	`	`	PUNCT
ejde-531	347	12	=	=	SYM
ejde-531	347	13	0	0	NUM
ejde-531	347	14	(	(	PUNCT
ejde-531	347	15	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	347	16	−	−	PROPN
ejde-531	347	17	ck	ck	PROPN
ejde-531	347	18	,	,	PUNCT
ejde-531	347	19	`	`	PUNCT
ejde-531	347	20	)	)	PUNCT
ejde-531	348	1	+	+	CCONJ
ejde-531	348	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	348	3	`	`	PUNCT
ejde-531	348	4	=	=	PRON
ejde-531	348	5	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	348	6	(	(	PUNCT
ejde-531	348	7	ck	ck	PROPN
ejde-531	348	8	,	,	PUNCT
ejde-531	348	9	`	`	PUNCT
ejde-531	348	10	−	−	PROPN
ejde-531	348	11	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	348	12	)	)	PUNCT
ejde-531	348	13	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	348	14	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	348	15	problem	problem	NOUN
ejde-531	348	16	for	for	ADP
ejde-531	348	17	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	348	18	differential	differential	ADJ
ejde-531	348	19	equations	equation	NOUN
ejde-531	348	20	13	13	NUM
ejde-531	348	21	=	=	SYM
ejde-531	348	22	ck	ck	PROPN
ejde-531	348	23	,	,	PUNCT
ejde-531	348	24	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	348	25	−	−	PROPN
ejde-531	348	26	ck,0	ck,0	PROPN
ejde-531	348	27	+	+	CCONJ
ejde-531	348	28	ck	ck	PROPN
ejde-531	348	29	,	,	PUNCT
ejde-531	348	30	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	348	31	−	−	PROPN
ejde-531	349	1	lim	lim	PROPN
ejde-531	349	2	`	`	PUNCT
ejde-531	349	3	→∞	→∞	X
ejde-531	349	4	ck,`+1	ck,`+1	NOUN
ejde-531	349	5	<	<	X
ejde-531	349	6	2ck	2ck	ADJ
ejde-531	349	7	,	,	PUNCT
ejde-531	349	8	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	349	9	.	.	PUNCT
ejde-531	350	1	since	since	SCONJ
ejde-531	350	2	ck	ck	PROPN
ejde-531	350	3	,	,	PUNCT
ejde-531	350	4	k−1	k−1	PROPN
ejde-531	350	5	=	=	PROPN
ejde-531	350	6	1	1	NUM
ejde-531	350	7	2k	2k	NUM
ejde-531	350	8	−	−	NUM
ejde-531	350	9	1	1	NUM
ejde-531	350	10	2k−1∑	2k−1∑	NOUN
ejde-531	350	11	j=1	j=1	NOUN
ejde-531	350	12	1	1	NUM
ejde-531	350	13	j	j	NOUN
ejde-531	350	14	−	−	PROPN
ejde-531	350	15	(	(	PUNCT
ejde-531	350	16	1/2	1/2	NUM
ejde-531	350	17	)	)	PUNCT
ejde-531	350	18	≤	≤	NUM
ejde-531	350	19	1	1	NUM
ejde-531	350	20	2k	2k	NUM
ejde-531	350	21	−	−	NOUN
ejde-531	350	22	1	1	NUM
ejde-531	350	23	(	(	PUNCT
ejde-531	350	24	2	2	NUM
ejde-531	350	25	+	+	NUM
ejde-531	350	26	∫	∫	PROPN
ejde-531	350	27	2k−1	2k−1	NUM
ejde-531	350	28	1	1	NUM
ejde-531	350	29	1	1	NUM
ejde-531	350	30	x−	x−	PROPN
ejde-531	350	31	(	(	PUNCT
ejde-531	350	32	1/2	1/2	NUM
ejde-531	350	33	)	)	PUNCT
ejde-531	350	34	dx	dx	PROPN
ejde-531	350	35	)	)	PUNCT
ejde-531	351	1	=	=	PUNCT
ejde-531	351	2	1	1	NUM
ejde-531	351	3	2k	2k	NUM
ejde-531	351	4	−	−	NOUN
ejde-531	351	5	1	1	NUM
ejde-531	351	6	(	(	PUNCT
ejde-531	351	7	2	2	NUM
ejde-531	351	8	+	+	NOUN
ejde-531	351	9	log(4k	log(4k	NOUN
ejde-531	351	10	−	−	PROPN
ejde-531	351	11	3	3	NUM
ejde-531	351	12	)	)	PUNCT
ejde-531	351	13	)	)	PUNCT
ejde-531	351	14	−−−−→	−−−−→	X
ejde-531	351	15	k→∞	k→∞	X
ejde-531	351	16	0	0	NUM
ejde-531	351	17	,	,	PUNCT
ejde-531	351	18	the	the	DET
ejde-531	351	19	statement	statement	NOUN
ejde-531	351	20	about	about	ADP
ejde-531	351	21	the	the	DET
ejde-531	351	22	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	351	23	(	(	PUNCT
ejde-531	351	24	ck,`n)n∈n	ck,`n)n∈n	NOUN
ejde-531	351	25	is	be	AUX
ejde-531	351	26	proved	prove	VERB
ejde-531	351	27	.	.	PUNCT
ejde-531	352	1	let	let	VERB
ejde-531	352	2	v	v	NOUN
ejde-531	352	3	:	:	PUNCT
ejde-531	352	4	[	[	X
ejde-531	352	5	0	0	NUM
ejde-531	352	6	,	,	PUNCT
ejde-531	352	7	π]→	π]→	X
ejde-531	352	8	x	x	PUNCT
ejde-531	352	9	be	be	AUX
ejde-531	352	10	a	a	DET
ejde-531	352	11	solution	solution	NOUN
ejde-531	352	12	of	of	ADP
ejde-531	352	13	equation	equation	NOUN
ejde-531	352	14	(	(	PUNCT
ejde-531	352	15	2.1	2.1	NUM
ejde-531	352	16	)	)	PUNCT
ejde-531	352	17	.	.	PUNCT
ejde-531	353	1	then	then	ADV
ejde-531	353	2	for	for	ADP
ejde-531	353	3	all	all	DET
ejde-531	353	4	n	n	PRON
ejde-531	353	5	∈	∈	NOUN
ejde-531	353	6	n	n	CCONJ
ejde-531	353	7	we	we	PRON
ejde-531	353	8	have	have	VERB
ejde-531	353	9	d2	d2	PROPN
ejde-531	353	10	dt2	dt2	PROPN
ejde-531	353	11	pn	pn	PROPN
ejde-531	353	12	(	(	PUNCT
ejde-531	353	13	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	353	14	)	)	PUNCT
ejde-531	353	15	)	)	PUNCT
ejde-531	354	1	=	=	SYM
ejde-531	354	2	pn	pn	PROPN
ejde-531	354	3	(	(	PUNCT
ejde-531	354	4	v′′(t	v′′(t	NOUN
ejde-531	354	5	)	)	PUNCT
ejde-531	354	6	)	)	PUNCT
ejde-531	355	1	=	=	SYM
ejde-531	355	2	−pn	−pn	PROPN
ejde-531	355	3	(	(	PUNCT
ejde-531	355	4	av(t	av(t	NOUN
ejde-531	355	5	)	)	PUNCT
ejde-531	355	6	)	)	PUNCT
ejde-531	356	1	=	=	PUNCT
ejde-531	356	2	−anpn	−anpn	PROPN
ejde-531	356	3	(	(	PUNCT
ejde-531	356	4	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	356	5	)	)	PUNCT
ejde-531	356	6	)	)	PUNCT
ejde-531	356	7	.	.	PUNCT
ejde-531	357	1	hence	hence	ADV
ejde-531	357	2	the	the	DET
ejde-531	357	3	function	function	NOUN
ejde-531	357	4	pn	pn	PROPN
ejde-531	357	5	◦	◦	NOUN
ejde-531	357	6	v	v	NOUN
ejde-531	357	7	is	be	AUX
ejde-531	357	8	solution	solution	NOUN
ejde-531	357	9	of	of	ADP
ejde-531	357	10	the	the	DET
ejde-531	357	11	equation	equation	NOUN
ejde-531	357	12	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	357	13	)	)	PUNCT
ejde-531	357	14	+	+	CCONJ
ejde-531	357	15	anu(t	anu(t	PROPN
ejde-531	357	16	)	)	PUNCT
ejde-531	357	17	=	=	SYM
ejde-531	357	18	0	0	NUM
ejde-531	357	19	,	,	PUNCT
ejde-531	357	20	that	that	PRON
ejde-531	357	21	is	be	AUX
ejde-531	357	22	u′′(t	u′′(t	VERB
ejde-531	357	23	)	)	PUNCT
ejde-531	358	1	+	+	CCONJ
ejde-531	358	2	(	(	PUNCT
ejde-531	358	3	2`n	2`n	NUM
ejde-531	358	4	+	+	CCONJ
ejde-531	358	5	(	(	PUNCT
ejde-531	358	6	1/2	1/2	NUM
ejde-531	358	7	)	)	PUNCT
ejde-531	358	8	)	)	PUNCT
ejde-531	358	9	2	2	NUM
ejde-531	358	10	u(t	u(t	NOUN
ejde-531	358	11	)	)	PUNCT
ejde-531	358	12	=	=	SYM
ejde-531	359	1	0	0	X
ejde-531	359	2	.	.	PUNCT
ejde-531	360	1	hence	hence	ADV
ejde-531	360	2	there	there	ADV
ejde-531	360	3	exist	exist	VERB
ejde-531	360	4	c1	c1	NOUN
ejde-531	360	5	,	,	PUNCT
ejde-531	360	6	c2	c2	PROPN
ejde-531	360	7	∈	∈	PROPN
ejde-531	361	1	k	k	PROPN
ejde-531	362	1	such	such	ADJ
ejde-531	362	2	that	that	DET
ejde-531	362	3	pn	pn	PROPN
ejde-531	362	4	(	(	PUNCT
ejde-531	362	5	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	362	6	)	)	PUNCT
ejde-531	362	7	)	)	PUNCT
ejde-531	363	1	=	=	SYM
ejde-531	363	2	c1	c1	PROPN
ejde-531	363	3	sin	sin	NOUN
ejde-531	363	4	(	(	PUNCT
ejde-531	363	5	(	(	PUNCT
ejde-531	363	6	2`n	2`n	NUM
ejde-531	363	7	+	+	NUM
ejde-531	363	8	1	1	NUM
ejde-531	363	9	2	2	NUM
ejde-531	363	10	)	)	PUNCT
ejde-531	363	11	(	(	PUNCT
ejde-531	363	12	π	π	PROPN
ejde-531	363	13	−	−	PROPN
ejde-531	363	14	t	t	PROPN
ejde-531	363	15	)	)	PUNCT
ejde-531	363	16	)	)	PUNCT
ejde-531	364	1	+	+	CCONJ
ejde-531	364	2	c2	c2	PROPN
ejde-531	364	3	sin	sin	NOUN
ejde-531	364	4	(	(	PUNCT
ejde-531	364	5	(	(	PUNCT
ejde-531	364	6	2`n	2`n	NUM
ejde-531	364	7	+	+	NUM
ejde-531	364	8	1	1	NUM
ejde-531	364	9	2	2	NUM
ejde-531	364	10	)	)	PUNCT
ejde-531	364	11	t	t	PROPN
ejde-531	364	12	)	)	PUNCT
ejde-531	364	13	.	.	PUNCT
ejde-531	365	1	obviously	obviously	ADV
ejde-531	365	2	we	we	PRON
ejde-531	365	3	have	have	VERB
ejde-531	365	4	c1	c1	PROPN
ejde-531	365	5	=	=	SYM
ejde-531	366	1	pn	pn	PROPN
ejde-531	366	2	(	(	PUNCT
ejde-531	366	3	v(0	v(0	PROPN
ejde-531	366	4	)	)	PUNCT
ejde-531	366	5	)	)	PUNCT
ejde-531	367	1	,	,	PUNCT
ejde-531	367	2	c2	c2	PROPN
ejde-531	367	3	=	=	SYM
ejde-531	367	4	pn	pn	PROPN
ejde-531	367	5	(	(	PUNCT
ejde-531	367	6	v(π	v(π	PROPN
ejde-531	367	7	)	)	PUNCT
ejde-531	367	8	)	)	PUNCT
ejde-531	367	9	.	.	PUNCT
ejde-531	368	1	now	now	ADV
ejde-531	368	2	we	we	PRON
ejde-531	368	3	choose	choose	VERB
ejde-531	368	4	a	a	DET
ejde-531	368	5	particular	particular	ADJ
ejde-531	368	6	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	368	7	(	(	PUNCT
ejde-531	368	8	`	`	PUNCT
ejde-531	368	9	n)n∈n	n)n∈n	PROPN
ejde-531	368	10	.	.	PUNCT
ejde-531	369	1	by	by	ADP
ejde-531	369	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	369	3	4.6	4.6	NUM
ejde-531	369	4	,	,	PUNCT
ejde-531	369	5	there	there	PRON
ejde-531	369	6	exist	exist	VERB
ejde-531	369	7	x	x	X
ejde-531	369	8	∈	∈	PROPN
ejde-531	369	9	x	x	X
ejde-531	369	10	and	and	CCONJ
ejde-531	369	11	a	a	DET
ejde-531	369	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	369	13	(	(	PUNCT
ejde-531	369	14	εn)n∈n	εn)n∈n	NUM
ejde-531	369	15	,	,	PUNCT
ejde-531	369	16	in	in	ADP
ejde-531	369	17	{	{	PUNCT
ejde-531	369	18	−1	−1	NOUN
ejde-531	369	19	,	,	PUNCT
ejde-531	369	20	1	1	NUM
ejde-531	369	21	}	}	PUNCT
ejde-531	369	22	such	such	ADJ
ejde-531	369	23	that	that	SCONJ
ejde-531	369	24	sup	sup	NOUN
ejde-531	369	25	n∈n	n∈n	NOUN
ejde-531	369	26	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	370	1	n∑	n∑	INTJ
ejde-531	370	2	k=1	k=1	PROPN
ejde-531	370	3	εkpk(x	εkpk(x	PROPN
ejde-531	370	4	)	)	PUNCT
ejde-531	370	5	∥∥∥	∥∥∥	PROPN
ejde-531	371	1	=	=	SYM
ejde-531	371	2	∞	∞	PROPN
ejde-531	371	3	.	.	PUNCT
ejde-531	372	1	the	the	DET
ejde-531	372	2	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	372	3	(	(	PUNCT
ejde-531	372	4	εn)n∈n	εn)n∈n	NOUN
ejde-531	372	5	can	can	AUX
ejde-531	372	6	be	be	AUX
ejde-531	372	7	chosen	choose	VERB
ejde-531	372	8	such	such	ADJ
ejde-531	372	9	that	that	DET
ejde-531	372	10	ε1	ε1	PROPN
ejde-531	372	11	=	=	SYM
ejde-531	372	12	1	1	X
ejde-531	372	13	.	.	PUNCT
ejde-531	373	1	we	we	PRON
ejde-531	373	2	put	put	VERB
ejde-531	373	3	ε0	ε0	NOUN
ejde-531	373	4	=	=	SYM
ejde-531	373	5	1	1	NUM
ejde-531	373	6	and	and	CCONJ
ejde-531	373	7	,	,	PUNCT
ejde-531	373	8	for	for	ADP
ejde-531	373	9	n	n	PRON
ejde-531	373	10	∈	∈	PROPN
ejde-531	373	11	n	n	CCONJ
ejde-531	373	12	,	,	PUNCT
ejde-531	373	13	`	`	PUNCT
ejde-531	373	14	n	n	X
ejde-531	373	15	=	=	SYM
ejde-531	373	16	(	(	PUNCT
ejde-531	373	17	1/2	1/2	NUM
ejde-531	373	18	)	)	PUNCT
ejde-531	373	19	∑n	∑n	PROPN
ejde-531	373	20	k=1	k=1	PROPN
ejde-531	373	21	|εk−εk−1|	|εk−εk−1|	PROPN
ejde-531	373	22	.	.	PUNCT
ejde-531	374	1	in	in	ADP
ejde-531	374	2	this	this	DET
ejde-531	374	3	way	way	NOUN
ejde-531	374	4	we	we	PRON
ejde-531	374	5	have	have	AUX
ejde-531	374	6	defined	define	VERB
ejde-531	374	7	a	a	DET
ejde-531	374	8	non	non	ADJ
ejde-531	374	9	-	-	ADJ
ejde-531	374	10	decreasing	decrease	VERB
ejde-531	374	11	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	374	12	of	of	ADP
ejde-531	374	13	integer	integer	NOUN
ejde-531	374	14	numbers	number	NOUN
ejde-531	374	15	,	,	PUNCT
ejde-531	374	16	with	with	ADP
ejde-531	374	17	`	`	PUNCT
ejde-531	374	18	1	1	NUM
ejde-531	374	19	=	=	SYM
ejde-531	374	20	0	0	NUM
ejde-531	374	21	and	and	CCONJ
ejde-531	374	22	`	`	PUNCT
ejde-531	374	23	n+1−	n+1−	PROPN
ejde-531	374	24	`	`	PUNCT
ejde-531	374	25	n	n	X
ejde-531	374	26	∈	∈	PROPN
ejde-531	374	27	{	{	PUNCT
ejde-531	374	28	0	0	NUM
ejde-531	374	29	,	,	PUNCT
ejde-531	374	30	1	1	NUM
ejde-531	374	31	}	}	PUNCT
ejde-531	374	32	.	.	PUNCT
ejde-531	375	1	since	since	SCONJ
ejde-531	375	2	the	the	DET
ejde-531	375	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	375	4	(	(	PUNCT
ejde-531	375	5	εn)n∈n	εn)n∈n	NOUN
ejde-531	375	6	must	must	AUX
ejde-531	375	7	have	have	VERB
ejde-531	375	8	an	an	DET
ejde-531	375	9	infinite	infinite	ADJ
ejde-531	375	10	number	number	NOUN
ejde-531	375	11	of	of	ADP
ejde-531	375	12	changes	change	NOUN
ejde-531	375	13	of	of	ADP
ejde-531	375	14	sign	sign	NOUN
ejde-531	375	15	,	,	PUNCT
ejde-531	375	16	the	the	DET
ejde-531	375	17	sequence	sequence	NOUN
ejde-531	375	18	`	`	PUNCT
ejde-531	375	19	n	n	X
ejde-531	375	20	is	be	AUX
ejde-531	375	21	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-531	375	22	.	.	PUNCT
ejde-531	376	1	moreover	moreover	ADV
ejde-531	376	2	it	it	PRON
ejde-531	376	3	is	be	AUX
ejde-531	376	4	easy	easy	ADJ
ejde-531	376	5	to	to	PART
ejde-531	376	6	show	show	VERB
ejde-531	376	7	,	,	PUNCT
ejde-531	376	8	by	by	ADP
ejde-531	376	9	induction	induction	NOUN
ejde-531	376	10	,	,	PUNCT
ejde-531	376	11	that	that	SCONJ
ejde-531	376	12	,	,	PUNCT
ejde-531	376	13	for	for	ADP
ejde-531	376	14	all	all	DET
ejde-531	376	15	n	n	PRON
ejde-531	376	16	∈	∈	PROPN
ejde-531	376	17	n	n	CCONJ
ejde-531	376	18	,	,	PUNCT
ejde-531	376	19	we	we	PRON
ejde-531	376	20	have	have	VERB
ejde-531	376	21	(	(	PUNCT
ejde-531	376	22	−1)`n	−1)`n	NOUN
ejde-531	376	23	=	=	SYM
ejde-531	376	24	εn	εn	ADJ
ejde-531	376	25	.	.	PUNCT
ejde-531	377	1	if	if	SCONJ
ejde-531	377	2	v	v	NOUN
ejde-531	377	3	is	be	AUX
ejde-531	377	4	solution	solution	NOUN
ejde-531	377	5	of	of	ADP
ejde-531	377	6	the	the	DET
ejde-531	377	7	problem	problem	NOUN
ejde-531	377	8	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	377	9	)	)	PUNCT
ejde-531	378	1	+	+	NOUN
ejde-531	378	2	au(t	au(t	NUM
ejde-531	378	3	)	)	PUNCT
ejde-531	378	4	=	=	SYM
ejde-531	378	5	0	0	NUM
ejde-531	378	6	,	,	PUNCT
ejde-531	378	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	378	8	)	)	PUNCT
ejde-531	378	9	=	=	SYM
ejde-531	378	10	0	0	NUM
ejde-531	378	11	,	,	PUNCT
ejde-531	378	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	378	13	)	)	PUNCT
ejde-531	379	1	=	=	SYM
ejde-531	380	1	x	x	X
ejde-531	380	2	,	,	PUNCT
ejde-531	380	3	(	(	PUNCT
ejde-531	380	4	4.3	4.3	NUM
ejde-531	380	5	)	)	PUNCT
ejde-531	380	6	then	then	ADV
ejde-531	380	7	pn	pn	PROPN
ejde-531	380	8	(	(	PUNCT
ejde-531	380	9	v(t	v(t	PROPN
ejde-531	380	10	)	)	PUNCT
ejde-531	380	11	)	)	PUNCT
ejde-531	381	1	=	=	PUNCT
ejde-531	381	2	sin	sin	NOUN
ejde-531	381	3	(	(	PUNCT
ejde-531	381	4	(	(	PUNCT
ejde-531	381	5	2`n	2`n	NUM
ejde-531	381	6	+	+	NUM
ejde-531	381	7	1	1	NUM
ejde-531	381	8	2	2	NUM
ejde-531	381	9	)	)	PUNCT
ejde-531	381	10	t	t	NOUN
ejde-531	381	11	)	)	PUNCT
ejde-531	381	12	pn(x	pn(x	ADP
ejde-531	381	13	)	)	PUNCT
ejde-531	381	14	,	,	PUNCT
ejde-531	381	15	hence	hence	ADV
ejde-531	381	16	pn	pn	PROPN
ejde-531	381	17	(	(	PUNCT
ejde-531	381	18	v	v	NOUN
ejde-531	381	19	(	(	PUNCT
ejde-531	381	20	π	π	PROPN
ejde-531	381	21	2	2	NUM
ejde-531	381	22	)	)	PUNCT
ejde-531	381	23	)	)	PUNCT
ejde-531	381	24	=	=	PRON
ejde-531	381	25	sin	sin	NOUN
ejde-531	381	26	(	(	PUNCT
ejde-531	381	27	`	`	PUNCT
ejde-531	381	28	nπ	nπ	NOUN
ejde-531	381	29	+	+	CCONJ
ejde-531	381	30	π	π	PROPN
ejde-531	381	31	4	4	NUM
ejde-531	381	32	)	)	PUNCT
ejde-531	381	33	pn(x	pn(x	PUNCT
ejde-531	381	34	)	)	PUNCT
ejde-531	381	35	=	=	SYM
ejde-531	381	36	(	(	PUNCT
ejde-531	381	37	−1)`n√	−1)`n√	NOUN
ejde-531	381	38	2	2	NUM
ejde-531	381	39	pn(x	pn(x	X
ejde-531	381	40	)	)	PUNCT
ejde-531	381	41	=	=	SYM
ejde-531	381	42	εn√	εn√	ADP
ejde-531	381	43	2	2	NUM
ejde-531	381	44	pn(x	pn(x	X
ejde-531	381	45	)	)	PUNCT
ejde-531	381	46	.	.	PUNCT
ejde-531	382	1	since	since	SCONJ
ejde-531	382	2	the	the	DET
ejde-531	382	3	series	series	NOUN
ejde-531	382	4	∑∞	∑∞	X
ejde-531	382	5	k=1	k=1	X
ejde-531	382	6	εkpk(x	εkpk(x	PROPN
ejde-531	382	7	)	)	PUNCT
ejde-531	382	8	does	do	AUX
ejde-531	382	9	n’t	not	PART
ejde-531	382	10	converge	converge	VERB
ejde-531	382	11	,	,	PUNCT
ejde-531	382	12	problem	problem	NOUN
ejde-531	382	13	(	(	PUNCT
ejde-531	382	14	4.3	4.3	NUM
ejde-531	382	15	)	)	PUNCT
ejde-531	382	16	does	do	AUX
ejde-531	382	17	n’t	not	PART
ejde-531	382	18	have	have	VERB
ejde-531	382	19	solution	solution	NOUN
ejde-531	382	20	.	.	PUNCT
ejde-531	383	1	14	14	NUM
ejde-531	383	2	g.	g.	PROPN
ejde-531	383	3	dore	dore	PROPN
ejde-531	383	4	ejde-2020/107	ejde-2020/107	ADP
ejde-531	383	5	5	5	X
ejde-531	383	6	.	.	PUNCT
ejde-531	383	7	bounded	bound	VERB
ejde-531	383	8	operators	operator	NOUN
ejde-531	383	9	if	if	SCONJ
ejde-531	383	10	the	the	DET
ejde-531	383	11	operator	operator	NOUN
ejde-531	383	12	a	a	PRON
ejde-531	383	13	is	be	AUX
ejde-531	383	14	bounded	bound	VERB
ejde-531	383	15	there	there	PRON
ejde-531	383	16	is	be	VERB
ejde-531	383	17	a	a	DET
ejde-531	383	18	simple	simple	ADJ
ejde-531	383	19	characterization	characterization	NOUN
ejde-531	383	20	of	of	ADP
ejde-531	383	21	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	383	22	wellposedness	wellposedness	NOUN
ejde-531	383	23	of	of	ADP
ejde-531	383	24	the	the	DET
ejde-531	383	25	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-531	383	26	problem	problem	NOUN
ejde-531	383	27	.	.	PUNCT
ejde-531	384	1	for	for	ADP
ejde-531	384	2	the	the	DET
ejde-531	384	3	proof	proof	NOUN
ejde-531	384	4	of	of	ADP
ejde-531	384	5	the	the	DET
ejde-531	384	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	384	7	we	we	PRON
ejde-531	384	8	need	need	VERB
ejde-531	384	9	a	a	DET
ejde-531	384	10	result	result	NOUN
ejde-531	384	11	about	about	ADP
ejde-531	384	12	fourier	fouri	ADJ
ejde-531	384	13	series	series	NOUN
ejde-531	384	14	.	.	PUNCT
ejde-531	385	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	385	2	5.1	5.1	NUM
ejde-531	385	3	.	.	PUNCT
ejde-531	386	1	the	the	DET
ejde-531	386	2	series	series	NOUN
ejde-531	386	3	of	of	ADP
ejde-531	386	4	functions	function	NOUN
ejde-531	386	5	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	386	6	k=1	k=1	X
ejde-531	387	1	(	(	PUNCT
ejde-531	387	2	(	(	PUNCT
ejde-531	387	3	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	387	4	/	/	SYM
ejde-531	387	5	k3	k3	ADJ
ejde-531	387	6	)	)	PUNCT
ejde-531	387	7	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	387	8	)	)	PUNCT
ejde-531	387	9	converges	converge	VERB
ejde-531	387	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	387	11	for	for	ADP
ejde-531	387	12	t	t	PROPN
ejde-531	387	13	∈	∈	PROPN
ejde-531	388	1	[	[	X
ejde-531	388	2	0	0	NUM
ejde-531	388	3	,	,	PUNCT
ejde-531	388	4	π	π	NOUN
ejde-531	388	5	]	]	PUNCT
ejde-531	388	6	and	and	CCONJ
ejde-531	388	7	2	2	NUM
ejde-531	388	8	π	π	NOUN
ejde-531	388	9	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	388	10	k=1	k=1	X
ejde-531	388	11	(	(	PUNCT
ejde-531	388	12	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	388	13	k3	k3	ADJ
ejde-531	388	14	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	388	15	)	)	PUNCT
ejde-531	388	16	=	=	PUNCT
ejde-531	389	1	π	π	X
ejde-531	389	2	6	6	NUM
ejde-531	389	3	t−	t−	PROPN
ejde-531	389	4	1	1	NUM
ejde-531	389	5	6π	6π	NOUN
ejde-531	389	6	t3	t3	NOUN
ejde-531	389	7	.	.	PUNCT
ejde-531	390	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	390	2	.	.	PUNCT
ejde-531	391	1	the	the	DET
ejde-531	391	2	uniform	uniform	ADJ
ejde-531	391	3	convergence	convergence	NOUN
ejde-531	391	4	of	of	ADP
ejde-531	391	5	the	the	DET
ejde-531	391	6	series	series	NOUN
ejde-531	391	7	is	be	AUX
ejde-531	391	8	obvious	obvious	ADJ
ejde-531	391	9	,	,	PUNCT
ejde-531	391	10	since	since	SCONJ
ejde-531	391	11	it	it	PRON
ejde-531	391	12	is	be	AUX
ejde-531	391	13	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	391	14	estimated	estimate	VERB
ejde-531	391	15	by	by	ADP
ejde-531	391	16	the	the	DET
ejde-531	391	17	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-531	391	18	series	series	NOUN
ejde-531	391	19	of	of	ADP
ejde-531	391	20	exponent	exponent	PROPN
ejde-531	391	21	3	3	X
ejde-531	391	22	.	.	PUNCT
ejde-531	392	1	let	let	VERB
ejde-531	392	2	f	f	NOUN
ejde-531	392	3	:	:	PUNCT
ejde-531	393	1	[	[	X
ejde-531	393	2	−π	−π	ADV
ejde-531	393	3	,	,	PUNCT
ejde-531	393	4	π]→	π]→	X
ejde-531	393	5	r	r	NOUN
ejde-531	393	6	,	,	PUNCT
ejde-531	393	7	f(t	f(t	PROPN
ejde-531	393	8	)	)	PUNCT
ejde-531	393	9	=	=	PUNCT
ejde-531	394	1	π	π	NOUN
ejde-531	394	2	6	6	NUM
ejde-531	394	3	t−	t−	PROPN
ejde-531	394	4	1	1	NUM
ejde-531	394	5	6π	6π	NOUN
ejde-531	394	6	t3	t3	NOUN
ejde-531	394	7	.	.	PUNCT
ejde-531	395	1	it	it	PRON
ejde-531	395	2	is	be	AUX
ejde-531	395	3	easy	easy	ADJ
ejde-531	395	4	to	to	PART
ejde-531	395	5	show	show	VERB
ejde-531	395	6	that	that	SCONJ
ejde-531	395	7	,	,	PUNCT
ejde-531	395	8	for	for	ADP
ejde-531	395	9	all	all	DET
ejde-531	395	10	k	k	PROPN
ejde-531	395	11	∈	∈	PROPN
ejde-531	395	12	n	n	CCONJ
ejde-531	395	13	,	,	PUNCT
ejde-531	395	14	we	we	PRON
ejde-531	395	15	have∫	have∫	VERB
ejde-531	395	16	π	π	NOUN
ejde-531	395	17	0	0	PUNCT
ejde-531	395	18	f(t	f(t	NOUN
ejde-531	395	19	)	)	PUNCT
ejde-531	395	20	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	395	21	)	)	PUNCT
ejde-531	395	22	dt	dt	NOUN
ejde-531	396	1	=	=	PUNCT
ejde-531	396	2	(	(	PUNCT
ejde-531	396	3	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	396	4	k3	k3	VERB
ejde-531	396	5	.	.	PUNCT
ejde-531	397	1	hence	hence	ADV
ejde-531	397	2	the	the	DET
ejde-531	397	3	fourier	fourier	ADJ
ejde-531	397	4	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-531	397	5	of	of	ADP
ejde-531	397	6	the	the	DET
ejde-531	397	7	odd	odd	ADJ
ejde-531	397	8	function	function	NOUN
ejde-531	397	9	f	f	PROPN
ejde-531	397	10	are	be	AUX
ejde-531	397	11	equal	equal	ADJ
ejde-531	397	12	to	to	ADP
ejde-531	397	13	2(−1)k+1/(πk3	2(−1)k+1/(πk3	NUM
ejde-531	397	14	)	)	PUNCT
ejde-531	397	15	(	(	PUNCT
ejde-531	397	16	see	see	VERB
ejde-531	397	17	[	[	X
ejde-531	397	18	9	9	NUM
ejde-531	397	19	]	]	SYM
ejde-531	397	20	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	397	21	i	i	PROPN
ejde-531	397	22	,	,	PUNCT
ejde-531	397	23	(	(	PUNCT
ejde-531	397	24	4.8	4.8	NUM
ejde-531	397	25	)	)	PUNCT
ejde-531	397	26	)	)	PUNCT
ejde-531	397	27	.	.	PUNCT
ejde-531	398	1	since	since	SCONJ
ejde-531	398	2	f	f	PROPN
ejde-531	398	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	398	4	c1	c1	PROPN
ejde-531	398	5	(	(	PUNCT
ejde-531	398	6	[	[	X
ejde-531	398	7	−π	−π	ADJ
ejde-531	398	8	,	,	PUNCT
ejde-531	398	9	π],r	π],r	PROPN
ejde-531	398	10	)	)	PUNCT
ejde-531	398	11	and	and	CCONJ
ejde-531	398	12	its	its	PRON
ejde-531	398	13	2π	2π	NOUN
ejde-531	398	14	-	-	ADJ
ejde-531	398	15	periodic	periodic	ADJ
ejde-531	398	16	repetition	repetition	NOUN
ejde-531	398	17	has	have	VERB
ejde-531	398	18	the	the	DET
ejde-531	398	19	same	same	ADJ
ejde-531	398	20	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	398	21	,	,	PUNCT
ejde-531	398	22	by	by	ADP
ejde-531	398	23	[	[	PUNCT
ejde-531	398	24	9	9	NUM
ejde-531	398	25	,	,	PUNCT
ejde-531	398	26	chapter	chapter	NOUN
ejde-531	398	27	ii	ii	PROPN
ejde-531	398	28	,	,	PUNCT
ejde-531	398	29	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	398	30	(	(	PUNCT
ejde-531	398	31	8.1	8.1	NUM
ejde-531	398	32	)	)	PUNCT
ejde-531	398	33	]	]	PUNCT
ejde-531	399	1	its	its	PRON
ejde-531	399	2	fourier	fourier	NOUN
ejde-531	399	3	series	series	NOUN
ejde-531	399	4	converges	converge	VERB
ejde-531	399	5	to	to	ADP
ejde-531	399	6	f	f	PROPN
ejde-531	399	7	.	.	PUNCT
ejde-531	400	1	�	�	PROPN
ejde-531	400	2	theorem	theorem	VERB
ejde-531	400	3	5.2	5.2	NUM
ejde-531	400	4	.	.	PUNCT
ejde-531	401	1	let	let	VERB
ejde-531	401	2	x	x	PRON
ejde-531	401	3	be	be	AUX
ejde-531	401	4	a	a	DET
ejde-531	401	5	banach	banach	NOUN
ejde-531	401	6	space	space	NOUN
ejde-531	401	7	and	and	CCONJ
ejde-531	401	8	a	a	DET
ejde-531	401	9	∈	∈	NOUN
ejde-531	401	10	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	401	11	)	)	PUNCT
ejde-531	401	12	.	.	PUNCT
ejde-531	402	1	problem	problem	NOUN
ejde-531	402	2	(	(	PUNCT
ejde-531	402	3	2.2	2.2	NUM
ejde-531	402	4	)	)	PUNCT
ejde-531	402	5	is	be	AUX
ejde-531	402	6	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	402	7	well	well	ADV
ejde-531	402	8	-	-	PUNCT
ejde-531	402	9	posed	pose	VERB
ejde-531	402	10	if	if	SCONJ
ejde-531	402	11	and	and	CCONJ
ejde-531	402	12	only	only	ADV
ejde-531	402	13	if	if	SCONJ
ejde-531	402	14	{	{	PUNCT
ejde-531	402	15	k2	k2	PROPN
ejde-531	402	16	|	|	NOUN
ejde-531	402	17	k	k	PROPN
ejde-531	402	18	∈	∈	PROPN
ejde-531	402	19	n	n	CCONJ
ejde-531	402	20	}	}	PUNCT
ejde-531	402	21	⊆	⊆	NUM
ejde-531	402	22	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	402	23	)	)	PUNCT
ejde-531	402	24	.	.	PUNCT
ejde-531	403	1	proof	proof	NOUN
ejde-531	403	2	.	.	PUNCT
ejde-531	404	1	the	the	DET
ejde-531	404	2	necessity	necessity	NOUN
ejde-531	404	3	of	of	ADP
ejde-531	404	4	the	the	DET
ejde-531	404	5	condition	condition	NOUN
ejde-531	404	6	is	be	AUX
ejde-531	404	7	a	a	DET
ejde-531	404	8	consequence	consequence	NOUN
ejde-531	404	9	of	of	ADP
ejde-531	404	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-531	404	11	3.1	3.1	NUM
ejde-531	404	12	.	.	PUNCT
ejde-531	405	1	we	we	PRON
ejde-531	405	2	prove	prove	VERB
ejde-531	405	3	that	that	SCONJ
ejde-531	405	4	,	,	PUNCT
ejde-531	405	5	if	if	SCONJ
ejde-531	405	6	{	{	PUNCT
ejde-531	405	7	k2	k2	PROPN
ejde-531	405	8	|	|	NOUN
ejde-531	405	9	k	k	PROPN
ejde-531	405	10	∈	∈	PROPN
ejde-531	405	11	n	n	CCONJ
ejde-531	405	12	}	}	PUNCT
ejde-531	405	13	⊆	⊆	NUM
ejde-531	405	14	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	405	15	)	)	PUNCT
ejde-531	405	16	,	,	PUNCT
ejde-531	405	17	there	there	PRON
ejde-531	405	18	exists	exist	VERB
ejde-531	405	19	s	s	PART
ejde-531	405	20	:	:	PUNCT
ejde-531	405	21	[	[	X
ejde-531	405	22	0	0	NUM
ejde-531	405	23	,	,	PUNCT
ejde-531	405	24	π]→	π]→	X
ejde-531	405	25	x	x	PUNCT
ejde-531	405	26	that	that	SCONJ
ejde-531	405	27	satisfies	satisfy	VERB
ejde-531	405	28	conditions	condition	NOUN
ejde-531	405	29	(	(	PUNCT
ejde-531	405	30	1)–(4	1)–(4	NUM
ejde-531	405	31	)	)	PUNCT
ejde-531	405	32	of	of	ADP
ejde-531	405	33	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	405	34	2.1	2.1	NUM
ejde-531	405	35	;	;	PUNCT
ejde-531	405	36	hence	hence	ADV
ejde-531	405	37	problem	problem	NOUN
ejde-531	405	38	(	(	PUNCT
ejde-531	405	39	2.2	2.2	NUM
ejde-531	405	40	)	)	PUNCT
ejde-531	405	41	is	be	AUX
ejde-531	405	42	uniformity	uniformity	NOUN
ejde-531	405	43	well	well	ADV
ejde-531	405	44	-	-	PUNCT
ejde-531	405	45	posed	pose	VERB
ejde-531	405	46	.	.	PUNCT
ejde-531	406	1	it	it	PRON
ejde-531	406	2	is	be	AUX
ejde-531	406	3	well	well	ADV
ejde-531	406	4	known	know	VERB
ejde-531	406	5	that	that	SCONJ
ejde-531	406	6	if	if	SCONJ
ejde-531	406	7	λ	λ	PROPN
ejde-531	406	8	∈	∈	PROPN
ejde-531	406	9	k	k	PROPN
ejde-531	406	10	is	be	AUX
ejde-531	406	11	such	such	ADJ
ejde-531	406	12	that	that	SCONJ
ejde-531	406	13	|λ|	|λ|	PROPN
ejde-531	406	14	>	>	X
ejde-531	406	15	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	406	16	then	then	ADV
ejde-531	406	17	λ	λ	PROPN
ejde-531	406	18	∈	∈	PROPN
ejde-531	406	19	ρ(a	ρ(a	PROPN
ejde-531	406	20	)	)	PUNCT
ejde-531	406	21	and	and	CCONJ
ejde-531	406	22	(	(	PUNCT
ejde-531	406	23	λi	λi	INTJ
ejde-531	406	24	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	406	25	=	=	SYM
ejde-531	406	26	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-531	407	1	n=0	n=0	NUM
ejde-531	407	2	λ	λ	PROPN
ejde-531	407	3	−n−1an	−n−1an	NOUN
ejde-531	407	4	,	,	PUNCT
ejde-531	407	5	hence∥∥(λi	hence∥∥(λi	PROPN
ejde-531	407	6	−a)−1	−a)−1	VERB
ejde-531	407	7	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	407	8	≤	≤	NOUN
ejde-531	407	9	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	407	10	n=0	n=0	NUM
ejde-531	407	11	|λ|−n−1‖a‖n	|λ|−n−1‖a‖n	SYM
ejde-531	407	12	=	=	SYM
ejde-531	407	13	1	1	NUM
ejde-531	407	14	|λ|	|λ|	PROPN
ejde-531	407	15	−	−	PROPN
ejde-531	407	16	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	407	17	.	.	PUNCT
ejde-531	408	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	408	2	there	there	PRON
ejde-531	408	3	exists	exist	VERB
ejde-531	408	4	m	m	VERB
ejde-531	408	5	∈	∈	NOUN
ejde-531	408	6	r+	r+	NOUN
ejde-531	408	7	such	such	ADJ
ejde-531	408	8	that	that	SCONJ
ejde-531	408	9	,	,	PUNCT
ejde-531	408	10	for	for	ADP
ejde-531	408	11	all	all	DET
ejde-531	408	12	k	k	PROPN
ejde-531	408	13	∈	∈	PROPN
ejde-531	408	14	n	n	CCONJ
ejde-531	408	15	,	,	PUNCT
ejde-531	408	16	we	we	PRON
ejde-531	408	17	have∥∥(k2i	have∥∥(k2i	VERB
ejde-531	408	18	−a)−1	−a)−1	VERB
ejde-531	408	19	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	408	20	≤	≤	PROPN
ejde-531	408	21	m	m	PROPN
ejde-531	408	22	k2	k2	PROPN
ejde-531	408	23	.	.	PUNCT
ejde-531	409	1	for	for	ADP
ejde-531	409	2	t	t	PROPN
ejde-531	409	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	410	1	[	[	X
ejde-531	410	2	0	0	NUM
ejde-531	410	3	,	,	PUNCT
ejde-531	410	4	π	π	X
ejde-531	410	5	]	]	X
ejde-531	410	6	and	and	CCONJ
ejde-531	410	7	x	x	SYM
ejde-531	410	8	∈	∈	NOUN
ejde-531	410	9	x	x	PUNCT
ejde-531	410	10	put	put	VERB
ejde-531	410	11	s(t)x	s(t)x	PROPN
ejde-531	410	12	=	=	PUNCT
ejde-531	410	13	2	2	NUM
ejde-531	410	14	π	π	PROPN
ejde-531	410	15	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	410	16	k=1	k=1	X
ejde-531	410	17	(	(	PUNCT
ejde-531	410	18	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	410	19	k3	k3	ADJ
ejde-531	410	20	sin(kt	sin(kt	NOUN
ejde-531	410	21	)	)	PUNCT
ejde-531	410	22	(	(	PUNCT
ejde-531	411	1	k2i	k2i	PROPN
ejde-531	411	2	−a)−1a2x+	−a)−1a2x+	INTJ
ejde-531	411	3	(	(	PUNCT
ejde-531	411	4	π	π	PROPN
ejde-531	411	5	6	6	NUM
ejde-531	411	6	t−	t−	PROPN
ejde-531	411	7	1	1	NUM
ejde-531	411	8	6π	6π	NOUN
ejde-531	411	9	t3	t3	NOUN
ejde-531	411	10	)	)	PUNCT
ejde-531	411	11	ax+	ax+	PROPN
ejde-531	412	1	t	t	PROPN
ejde-531	412	2	π	π	PROPN
ejde-531	412	3	x	x	X
ejde-531	412	4	.	.	PUNCT
ejde-531	413	1	we	we	PRON
ejde-531	413	2	have∥∥s(t)x	have∥∥s(t)x	VERB
ejde-531	413	3	∥∥	∥∥	PUNCT
ejde-531	413	4	≤	≤	NUM
ejde-531	413	5	2	2	NUM
ejde-531	413	6	π	π	NOUN
ejde-531	413	7	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	413	8	k=1	k=1	ADP
ejde-531	413	9	1	1	NUM
ejde-531	413	10	k3	k3	VERB
ejde-531	413	11	|	|	ADV
ejde-531	413	12	sin(kt)|	sin(kt)|	NOUN
ejde-531	413	13	∥∥(k2i	∥∥(k2i	NUM
ejde-531	413	14	−a)−1	−a)−1	NOUN
ejde-531	413	15	∥∥	∥∥	X
ejde-531	413	16	‖a‖2‖x‖+	‖a‖2‖x‖+	PRON
ejde-531	413	17	(	(	PUNCT
ejde-531	413	18	π	π	PROPN
ejde-531	413	19	6	6	NUM
ejde-531	413	20	t−	t−	PROPN
ejde-531	413	21	1	1	NUM
ejde-531	413	22	6π	6π	NOUN
ejde-531	413	23	t3	t3	NOUN
ejde-531	413	24	)	)	PUNCT
ejde-531	414	1	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	415	1	‖x‖+	‖x‖+	NUM
ejde-531	415	2	t	t	X
ejde-531	415	3	π	π	PROPN
ejde-531	415	4	‖x‖	‖x‖	PROPN
ejde-531	415	5	≤	≤	ADV
ejde-531	415	6	2	2	NUM
ejde-531	415	7	π	π	PROPN
ejde-531	415	8	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	415	9	k=1	k=1	PUNCT
ejde-531	415	10	m	m	VERB
ejde-531	415	11	k5	k5	PROPN
ejde-531	415	12	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	415	13	‖x‖+	‖x‖+	NUM
ejde-531	415	14	π2	π2	ADV
ejde-531	415	15	6	6	NUM
ejde-531	415	16	‖a‖	‖a‖	PROPN
ejde-531	415	17	‖x‖+	‖x‖+	NUM
ejde-531	415	18	‖x‖	‖x‖	PROPN
ejde-531	415	19	=	=	SYM
ejde-531	415	20	c‖x‖	c‖x‖	PROPN
ejde-531	415	21	.	.	PUNCT
ejde-531	416	1	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	417	1	dirichlet	dirichlet	ADJ
ejde-531	417	2	problem	problem	NOUN
ejde-531	417	3	for	for	ADP
ejde-531	417	4	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	417	5	differential	differential	ADJ
ejde-531	417	6	equations	equation	NOUN
ejde-531	417	7	15	15	NUM
ejde-531	417	8	hence	hence	ADV
ejde-531	417	9	s(t	s(t	NUM
ejde-531	417	10	)	)	PUNCT
ejde-531	417	11	∈	∈	PROPN
ejde-531	417	12	l(x	l(x	PROPN
ejde-531	417	13	)	)	PUNCT
ejde-531	417	14	.	.	PUNCT
ejde-531	418	1	this	this	DET
ejde-531	418	2	estimate	estimate	NOUN
ejde-531	418	3	shows	show	VERB
ejde-531	418	4	also	also	ADV
ejde-531	418	5	that	that	SCONJ
ejde-531	418	6	the	the	DET
ejde-531	418	7	series	series	NOUN
ejde-531	418	8	is	be	AUX
ejde-531	418	9	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	418	10	convergent	convergent	NOUN
ejde-531	418	11	,	,	PUNCT
ejde-531	418	12	therefore	therefore	ADV
ejde-531	418	13	the	the	DET
ejde-531	418	14	function	function	NOUN
ejde-531	418	15	s(·)x	s(·)x	PRON
ejde-531	418	16	is	be	AUX
ejde-531	418	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	418	18	.	.	PUNCT
ejde-531	419	1	hence	hence	ADV
ejde-531	419	2	(	(	PUNCT
ejde-531	419	3	1	1	X
ejde-531	419	4	)	)	PUNCT
ejde-531	419	5	is	be	AUX
ejde-531	419	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	419	7	.	.	PUNCT
ejde-531	420	1	obviously	obviously	ADV
ejde-531	420	2	(	(	PUNCT
ejde-531	420	3	2	2	X
ejde-531	420	4	)	)	PUNCT
ejde-531	420	5	is	be	AUX
ejde-531	420	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	420	7	.	.	PUNCT
ejde-531	421	1	it	it	PRON
ejde-531	421	2	is	be	AUX
ejde-531	421	3	easy	easy	ADJ
ejde-531	421	4	to	to	PART
ejde-531	421	5	check	check	VERB
ejde-531	421	6	that	that	SCONJ
ejde-531	421	7	the	the	DET
ejde-531	421	8	series	series	NOUN
ejde-531	421	9	of	of	ADP
ejde-531	421	10	first	first	ADJ
ejde-531	421	11	and	and	CCONJ
ejde-531	421	12	second	second	ADJ
ejde-531	421	13	derivatives	derivative	NOUN
ejde-531	421	14	are	be	AUX
ejde-531	421	15	uniformly	uniformly	ADV
ejde-531	421	16	convergent	convergent	ADJ
ejde-531	421	17	,	,	PUNCT
ejde-531	421	18	hence	hence	ADV
ejde-531	421	19	s(·)x	s(·)x	PUNCT
ejde-531	421	20	∈	∈	PROPN
ejde-531	421	21	c2	c2	PROPN
ejde-531	421	22	(	(	PUNCT
ejde-531	421	23	[	[	X
ejde-531	421	24	0	0	NUM
ejde-531	421	25	,	,	PUNCT
ejde-531	421	26	π	π	PROPN
ejde-531	421	27	]	]	X
ejde-531	421	28	,	,	PUNCT
ejde-531	421	29	x	x	SYM
ejde-531	421	30	)	)	PUNCT
ejde-531	421	31	and	and	CCONJ
ejde-531	421	32	,	,	PUNCT
ejde-531	421	33	for	for	ADP
ejde-531	421	34	all	all	DET
ejde-531	421	35	t	t	NOUN
ejde-531	421	36	∈	∈	PROPN
ejde-531	422	1	[	[	X
ejde-531	422	2	0	0	NUM
ejde-531	422	3	,	,	PUNCT
ejde-531	422	4	π	π	NOUN
ejde-531	422	5	]	]	X
ejde-531	422	6	,	,	PUNCT
ejde-531	422	7	s′′(t	s′′(t	NOUN
ejde-531	422	8	)	)	PUNCT
ejde-531	422	9	+	+	ADJ
ejde-531	422	10	as(t	as(t	NUM
ejde-531	422	11	)	)	PUNCT
ejde-531	422	12	=	=	SYM
ejde-531	422	13	2	2	NUM
ejde-531	422	14	π	π	X
ejde-531	422	15	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	422	16	k=1	k=1	X
ejde-531	422	17	(	(	PUNCT
ejde-531	422	18	−1)k	−1)k	PROPN
ejde-531	422	19	k3	k3	VERB
ejde-531	422	20	sin(kt)k2(k2i	sin(kt)k2(k2i	VERB
ejde-531	422	21	−a)−1a2x−	−a)−1a2x−	PROPN
ejde-531	422	22	t	t	NOUN
ejde-531	422	23	π	π	X
ejde-531	422	24	ax	ax	NOUN
ejde-531	423	1	+	+	CCONJ
ejde-531	423	2	2	2	NUM
ejde-531	423	3	π	π	NOUN
ejde-531	423	4	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	423	5	k=1	k=1	X
ejde-531	423	6	(	(	PUNCT
ejde-531	423	7	−1)k+1	−1)k+1	VERB
ejde-531	423	8	k3	k3	VERB
ejde-531	423	9	sin(kt)a(k2i	sin(kt)a(k2i	VERB
ejde-531	423	10	−a)−1a2x+	−a)−1a2x+	PROPN
ejde-531	423	11	(	(	PUNCT
ejde-531	423	12	π	π	PROPN
ejde-531	423	13	6	6	NUM
ejde-531	423	14	t−	t−	PROPN
ejde-531	423	15	1	1	NUM
ejde-531	423	16	6π	6π	NOUN
ejde-531	423	17	t3	t3	NOUN
ejde-531	423	18	)	)	PUNCT
ejde-531	424	1	a2x+	a2x+	INTJ
ejde-531	424	2	t	t	NOUN
ejde-531	425	1	π	π	X
ejde-531	425	2	ax	ax	NOUN
ejde-531	425	3	=	=	SYM
ejde-531	425	4	2	2	NUM
ejde-531	425	5	π	π	PROPN
ejde-531	425	6	∞∑	∞∑	NUM
ejde-531	425	7	k=1	k=1	X
ejde-531	425	8	(	(	PUNCT
ejde-531	425	9	−1)k	−1)k	PROPN
ejde-531	425	10	k3	k3	VERB
ejde-531	425	11	sin(kt)a2x+	sin(kt)a2x+	X
ejde-531	425	12	(	(	PUNCT
ejde-531	425	13	π	π	PROPN
ejde-531	425	14	6	6	NUM
ejde-531	425	15	t−	t−	PROPN
ejde-531	425	16	1	1	NUM
ejde-531	425	17	6π	6π	NOUN
ejde-531	425	18	t3	t3	NOUN
ejde-531	425	19	)	)	PUNCT
ejde-531	425	20	a2x	a2x	PROPN
ejde-531	426	1	=	=	SYM
ejde-531	426	2	0	0	NUM
ejde-531	426	3	,	,	PUNCT
ejde-531	426	4	the	the	DET
ejde-531	426	5	last	last	ADJ
ejde-531	426	6	equality	equality	NOUN
ejde-531	426	7	follows	follow	VERB
ejde-531	426	8	from	from	ADP
ejde-531	426	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-531	426	10	5.1	5.1	NUM
ejde-531	426	11	.	.	PUNCT
ejde-531	427	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	427	2	condition	condition	NOUN
ejde-531	427	3	(	(	PUNCT
ejde-531	427	4	3	3	X
ejde-531	427	5	)	)	PUNCT
ejde-531	427	6	is	be	AUX
ejde-531	427	7	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	427	8	.	.	PUNCT
ejde-531	428	1	to	to	PART
ejde-531	428	2	prove	prove	VERB
ejde-531	428	3	(	(	PUNCT
ejde-531	428	4	4	4	X
ejde-531	428	5	)	)	PUNCT
ejde-531	428	6	we	we	PRON
ejde-531	428	7	first	first	ADV
ejde-531	428	8	show	show	VERB
ejde-531	428	9	the	the	DET
ejde-531	428	10	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-531	428	11	of	of	ADP
ejde-531	428	12	the	the	DET
ejde-531	428	13	solution	solution	NOUN
ejde-531	428	14	of	of	ADP
ejde-531	428	15	problem	problem	NOUN
ejde-531	428	16	(	(	PUNCT
ejde-531	428	17	2.2	2.2	NUM
ejde-531	428	18	)	)	PUNCT
ejde-531	428	19	.	.	PUNCT
ejde-531	429	1	let	let	VERB
ejde-531	429	2	v	v	X
ejde-531	429	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	429	4	c2	c2	PROPN
ejde-531	429	5	(	(	PUNCT
ejde-531	429	6	[	[	X
ejde-531	429	7	0	0	NUM
ejde-531	429	8	,	,	PUNCT
ejde-531	429	9	π	π	PROPN
ejde-531	429	10	]	]	X
ejde-531	429	11	,	,	PUNCT
ejde-531	429	12	x	x	X
ejde-531	429	13	)	)	PUNCT
ejde-531	429	14	be	be	AUX
ejde-531	429	15	a	a	DET
ejde-531	429	16	solution	solution	NOUN
ejde-531	429	17	of	of	ADP
ejde-531	429	18	u′′(t	u′′(t	NOUN
ejde-531	429	19	)	)	PUNCT
ejde-531	429	20	+	+	NOUN
ejde-531	429	21	au(t	au(t	NUM
ejde-531	429	22	)	)	PUNCT
ejde-531	429	23	=	=	SYM
ejde-531	429	24	0	0	NUM
ejde-531	429	25	,	,	PUNCT
ejde-531	429	26	t	t	PROPN
ejde-531	429	27	∈	∈	PROPN
ejde-531	430	1	[	[	X
ejde-531	430	2	0	0	NUM
ejde-531	430	3	,	,	PUNCT
ejde-531	430	4	π	π	NOUN
ejde-531	430	5	]	]	X
ejde-531	430	6	,	,	PUNCT
ejde-531	430	7	u(0	u(0	PROPN
ejde-531	430	8	)	)	PUNCT
ejde-531	430	9	=	=	SYM
ejde-531	430	10	0	0	NUM
ejde-531	430	11	,	,	PUNCT
ejde-531	430	12	u(π	u(π	PROPN
ejde-531	430	13	)	)	PUNCT
ejde-531	430	14	=	=	SYM
ejde-531	430	15	0	0	X
ejde-531	430	16	.	.	PUNCT
ejde-531	431	1	for	for	SCONJ
ejde-531	431	2	k	k	PROPN
ejde-531	431	3	∈	∈	PROPN
ejde-531	431	4	n	n	CCONJ
ejde-531	431	5	let	let	VERB
ejde-531	431	6	ak	ak	PROPN
ejde-531	431	7	=	=	PROPN
ejde-531	431	8	∫	∫	PROPN
ejde-531	431	9	π	π	PROPN
ejde-531	431	10	0	0	NUM
ejde-531	431	11	sin(kt)v(t	sin(kt)v(t	NOUN
ejde-531	431	12	)	)	PUNCT
ejde-531	431	13	dt	dt	NOUN
ejde-531	431	14	.	.	PUNCT
ejde-531	432	1	then	then	ADV
ejde-531	432	2	aak	aak	PROPN
ejde-531	433	1	=	=	SYM
ejde-531	433	2	∫	∫	PROPN
ejde-531	433	3	π	π	PROPN
ejde-531	433	4	0	0	NUM
ejde-531	433	5	sin(kt)av(t	sin(kt)av(t	X
ejde-531	433	6	)	)	PUNCT
ejde-531	433	7	dt	dt	NOUN
ejde-531	434	1	=	=	PUNCT
ejde-531	434	2	−	−	PROPN
ejde-531	434	3	∫	∫	PROPN
ejde-531	434	4	π	π	NOUN
ejde-531	434	5	0	0	SYM
ejde-531	434	6	sin(kt)v′′(t	sin(kt)v′′(t	ADJ
ejde-531	434	7	)	)	PUNCT
ejde-531	434	8	dt	dt	NOUN
ejde-531	434	9	=	=	SYM
ejde-531	435	1	−	−	PROPN
ejde-531	435	2	[	[	PUNCT
ejde-531	435	3	sin(kt)v′(t	sin(kt)v′(t	NOUN
ejde-531	435	4	)	)	PUNCT
ejde-531	435	5	]	]	PUNCT
ejde-531	436	1	π	π	X
ejde-531	436	2	0	0	PUNCT
ejde-531	437	1	+	+	NUM
ejde-531	437	2	∫	∫	PROPN
ejde-531	437	3	π	π	NOUN
ejde-531	437	4	0	0	NUM
ejde-531	437	5	k	k	PROPN
ejde-531	437	6	cos(kt)v′(t	cos(kt)v′(t	PROPN
ejde-531	437	7	)	)	PUNCT
ejde-531	437	8	dt	dt	X
ejde-531	438	1	=	=	PUNCT
ejde-531	438	2	[	[	PUNCT
ejde-531	438	3	k	k	X
ejde-531	438	4	cos(kt)v(t	cos(kt)v(t	PROPN
ejde-531	438	5	)	)	PUNCT
ejde-531	438	6	]	]	PUNCT
ejde-531	439	1	π	π	X
ejde-531	439	2	0	0	PUNCT
ejde-531	440	1	+	+	NUM
ejde-531	440	2	∫	∫	PROPN
ejde-531	440	3	π	π	PROPN
ejde-531	440	4	0	0	NUM
ejde-531	440	5	k2	k2	PROPN
ejde-531	440	6	sin(kt)v(t	sin(kt)v(t	PROPN
ejde-531	440	7	)	)	PUNCT
ejde-531	440	8	dt	dt	NOUN
ejde-531	441	1	=	=	SYM
ejde-531	441	2	k2ak	k2ak	PROPN
ejde-531	441	3	.	.	PUNCT
ejde-531	442	1	hence	hence	ADV
ejde-531	442	2	(	(	PUNCT
ejde-531	442	3	k2i−a)ak	k2i−a)ak	X
ejde-531	442	4	=	=	SYM
ejde-531	442	5	0	0	X
ejde-531	442	6	.	.	PUNCT
ejde-531	443	1	since	since	SCONJ
ejde-531	443	2	k2i−a	k2i−a	PROPN
ejde-531	443	3	is	be	AUX
ejde-531	443	4	injective	injective	ADJ
ejde-531	443	5	,	,	PUNCT
ejde-531	443	6	this	this	PRON
ejde-531	443	7	proves	prove	VERB
ejde-531	443	8	that	that	SCONJ
ejde-531	443	9	ak	ak	PROPN
ejde-531	443	10	=	=	ADJ
ejde-531	443	11	0	0	PROPN
ejde-531	443	12	.	.	PUNCT
ejde-531	444	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	444	2	all	all	DET
ejde-531	444	3	the	the	DET
ejde-531	444	4	fourier	fourier	ADJ
ejde-531	444	5	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-531	444	6	of	of	ADP
ejde-531	444	7	the	the	DET
ejde-531	444	8	2π	2π	NOUN
ejde-531	444	9	-	-	ADJ
ejde-531	444	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-531	444	11	repetition	repetition	NOUN
ejde-531	444	12	of	of	ADP
ejde-531	444	13	the	the	DET
ejde-531	444	14	odd	odd	ADJ
ejde-531	444	15	extension	extension	NOUN
ejde-531	444	16	of	of	ADP
ejde-531	444	17	v	v	NOUN
ejde-531	444	18	are	be	AUX
ejde-531	444	19	null	null	ADJ
ejde-531	444	20	,	,	PUNCT
ejde-531	444	21	hence	hence	ADV
ejde-531	444	22	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	444	23	)	)	PUNCT
ejde-531	444	24	=	=	SYM
ejde-531	444	25	0	0	NUM
ejde-531	444	26	for	for	ADP
ejde-531	444	27	a.e	a.e	PROPN
ejde-531	444	28	.	.	PROPN
ejde-531	444	29	t.	t.	PROPN
ejde-531	444	30	since	since	SCONJ
ejde-531	444	31	v	v	NUM
ejde-531	444	32	is	be	AUX
ejde-531	444	33	continuous	continuous	ADJ
ejde-531	444	34	v(t	v(t	NOUN
ejde-531	444	35	)	)	PUNCT
ejde-531	444	36	=	=	SYM
ejde-531	444	37	0	0	NUM
ejde-531	444	38	for	for	ADP
ejde-531	444	39	all	all	DET
ejde-531	444	40	t.	t.	NOUN
ejde-531	444	41	if	if	SCONJ
ejde-531	444	42	x0	x0	PROPN
ejde-531	444	43	,	,	PUNCT
ejde-531	444	44	xπ	xπ	PROPN
ejde-531	444	45	∈	∈	PROPN
ejde-531	444	46	x	x	PRON
ejde-531	444	47	,	,	PUNCT
ejde-531	444	48	then	then	ADV
ejde-531	444	49	the	the	DET
ejde-531	444	50	function	function	NOUN
ejde-531	444	51	t	t	PROPN
ejde-531	444	52	7→	7→	NUM
ejde-531	444	53	s(π	s(π	VERB
ejde-531	444	54	−	−	PROPN
ejde-531	444	55	t)x0	t)x0	PROPN
ejde-531	445	1	+	+	CCONJ
ejde-531	445	2	s(t)xπ	s(t)xπ	PRON
ejde-531	445	3	is	be	AUX
ejde-531	445	4	solution	solution	NOUN
ejde-531	445	5	of	of	ADP
ejde-531	445	6	problem	problem	NOUN
ejde-531	445	7	(	(	PUNCT
ejde-531	445	8	2.2	2.2	NUM
ejde-531	445	9	)	)	PUNCT
ejde-531	445	10	,	,	PUNCT
ejde-531	445	11	but	but	CCONJ
ejde-531	445	12	the	the	DET
ejde-531	445	13	solution	solution	NOUN
ejde-531	445	14	is	be	AUX
ejde-531	445	15	unique	unique	ADJ
ejde-531	445	16	,	,	PUNCT
ejde-531	445	17	hence	hence	ADV
ejde-531	445	18	every	every	DET
ejde-531	445	19	solution	solution	NOUN
ejde-531	445	20	of	of	ADP
ejde-531	445	21	problem	problem	NOUN
ejde-531	445	22	(	(	PUNCT
ejde-531	445	23	2.2	2.2	NUM
ejde-531	445	24	)	)	PUNCT
ejde-531	445	25	coincides	coincide	VERB
ejde-531	445	26	with	with	ADP
ejde-531	445	27	that	that	DET
ejde-531	445	28	function	function	NOUN
ejde-531	445	29	.	.	PUNCT
ejde-531	446	1	therefore	therefore	ADV
ejde-531	446	2	(	(	PUNCT
ejde-531	446	3	4	4	X
ejde-531	446	4	)	)	PUNCT
ejde-531	446	5	is	be	AUX
ejde-531	446	6	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-531	446	7	.	.	PUNCT
ejde-531	447	1	�	�	NOUN
ejde-531	447	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-531	447	3	.	.	PUNCT
ejde-531	448	1	the	the	DET
ejde-531	448	2	author	author	NOUN
ejde-531	448	3	wants	want	VERB
ejde-531	448	4	to	to	PART
ejde-531	448	5	thank	thank	VERB
ejde-531	448	6	alberto	alberto	PROPN
ejde-531	448	7	venni	venni	VERB
ejde-531	448	8	for	for	ADP
ejde-531	448	9	the	the	DET
ejde-531	448	10	useful	useful	ADJ
ejde-531	448	11	discussions	discussion	NOUN
ejde-531	448	12	about	about	ADP
ejde-531	448	13	this	this	DET
ejde-531	448	14	article	article	NOUN
ejde-531	448	15	.	.	PUNCT
ejde-531	449	1	references	reference	NOUN
ejde-531	449	2	[	[	X
ejde-531	449	3	1	1	NUM
ejde-531	449	4	]	]	PUNCT
ejde-531	449	5	w.	w.	PROPN
ejde-531	449	6	arendt	arendt	PROPN
ejde-531	449	7	,	,	PUNCT
ejde-531	449	8	s.	s.	PROPN
ejde-531	449	9	bu	bu	PROPN
ejde-531	449	10	;	;	PUNCT
ejde-531	449	11	the	the	DET
ejde-531	449	12	operator	operator	NOUN
ejde-531	449	13	-	-	PUNCT
ejde-531	449	14	valued	value	VERB
ejde-531	449	15	marcinkiewicz	marcinkiewicz	NOUN
ejde-531	449	16	multiplier	multipli	ADJ
ejde-531	449	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-531	449	18	and	and	CCONJ
ejde-531	449	19	maximal	maximal	ADJ
ejde-531	449	20	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	449	21	,	,	PUNCT
ejde-531	449	22	math	math	NOUN
ejde-531	449	23	.	.	PUNCT
ejde-531	450	1	z.	z.	PROPN
ejde-531	450	2	,	,	PUNCT
ejde-531	450	3	240	240	NUM
ejde-531	450	4	(	(	PUNCT
ejde-531	450	5	2002	2002	NUM
ejde-531	450	6	)	)	PUNCT
ejde-531	450	7	,	,	PUNCT
ejde-531	450	8	311–343	311–343	NUM
ejde-531	450	9	.	.	PUNCT
ejde-531	451	1	16	16	NUM
ejde-531	451	2	g.	g.	PROPN
ejde-531	451	3	dore	dore	PROPN
ejde-531	451	4	ejde-2020/107	ejde-2020/107	PUNCT
ejde-531	452	1	[	[	X
ejde-531	452	2	2	2	NUM
ejde-531	452	3	]	]	PUNCT
ejde-531	452	4	a.	a.	NOUN
ejde-531	452	5	ashyralyev	ashyralyev	PROPN
ejde-531	452	6	,	,	PUNCT
ejde-531	452	7	j.	j.	PROPN
ejde-531	452	8	pastor	pastor	PROPN
ejde-531	452	9	,	,	PUNCT
ejde-531	452	10	s.	s.	PROPN
ejde-531	452	11	piskarev	piskarev	PROPN
ejde-531	452	12	,	,	PUNCT
ejde-531	452	13	h.	h.	PROPN
ejde-531	452	14	a.	a.	PROPN
ejde-531	452	15	yurtsever	yurtsever	PROPN
ejde-531	452	16	;	;	PUNCT
ejde-531	452	17	second	second	ADJ
ejde-531	452	18	order	order	NOUN
ejde-531	452	19	equations	equation	NOUN
ejde-531	452	20	in	in	ADP
ejde-531	452	21	functional	functional	ADJ
ejde-531	452	22	spaces	space	NOUN
ejde-531	452	23	:	:	PUNCT
ejde-531	452	24	qualitative	qualitative	ADJ
ejde-531	452	25	and	and	CCONJ
ejde-531	452	26	discrete	discrete	ADJ
ejde-531	452	27	well	well	ADJ
ejde-531	452	28	-	-	PUNCT
ejde-531	452	29	posedness	posedness	NOUN
ejde-531	452	30	,	,	PUNCT
ejde-531	452	31	abstr	abstr	PROPN
ejde-531	452	32	.	.	PUNCT
ejde-531	453	1	appl	appl	PROPN
ejde-531	453	2	.	.	PUNCT
ejde-531	454	1	anal	anal	PROPN
ejde-531	454	2	.	.	PROPN
ejde-531	454	3	,	,	PUNCT
ejde-531	454	4	2015	2015	NUM
ejde-531	454	5	,	,	PUNCT
ejde-531	454	6	art	art	NOUN
ejde-531	454	7	.	.	PUNCT
ejde-531	455	1	i	i	PRON
ejde-531	455	2	d	d	PROPN
ejde-531	455	3	948321	948321	NUM
ejde-531	455	4	,	,	PUNCT
ejde-531	455	5	63	63	NUM
ejde-531	455	6	pp	pp	NOUN
ejde-531	455	7	.	.	PUNCT
ejde-531	456	1	[	[	X
ejde-531	456	2	3	3	NUM
ejde-531	456	3	]	]	X
ejde-531	456	4	ph	ph	PROPN
ejde-531	456	5	.	.	PROPN
ejde-531	456	6	clément	clément	PROPN
ejde-531	456	7	,	,	PUNCT
ejde-531	456	8	s.	s.	PROPN
ejde-531	456	9	guerre	guerre	PROPN
ejde-531	456	10	-	-	PUNCT
ejde-531	456	11	delabrière	delabrière	PROPN
ejde-531	456	12	;	;	PUNCT
ejde-531	456	13	on	on	ADP
ejde-531	456	14	the	the	DET
ejde-531	456	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-531	456	16	of	of	ADP
ejde-531	456	17	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	456	18	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-531	456	19	problems	problem	NOUN
ejde-531	456	20	and	and	CCONJ
ejde-531	456	21	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	456	22	value	value	NOUN
ejde-531	456	23	problems	problem	NOUN
ejde-531	456	24	,	,	PUNCT
ejde-531	456	25	atti	atti	PROPN
ejde-531	456	26	accad	accad	PROPN
ejde-531	456	27	.	.	PUNCT
ejde-531	457	1	naz	naz	PROPN
ejde-531	457	2	.	.	PUNCT
ejde-531	457	3	lincei	lincei	NOUN
ejde-531	457	4	cl	cl	PROPN
ejde-531	457	5	.	.	PUNCT
ejde-531	458	1	sci	sci	PROPN
ejde-531	458	2	.	.	PROPN
ejde-531	458	3	fis	fis	PROPN
ejde-531	458	4	.	.	PUNCT
ejde-531	458	5	mat	mat	PROPN
ejde-531	458	6	.	.	PUNCT
ejde-531	458	7	natur	natur	PROPN
ejde-531	458	8	.	.	PUNCT
ejde-531	459	1	rend	rend	VERB
ejde-531	459	2	.	.	PUNCT
ejde-531	460	1	lincei	lincei	NOUN
ejde-531	460	2	(	(	PUNCT
ejde-531	460	3	9	9	NUM
ejde-531	460	4	)	)	PUNCT
ejde-531	460	5	mat	mat	NOUN
ejde-531	460	6	.	.	PUNCT
ejde-531	460	7	appl	appl	PROPN
ejde-531	460	8	.	.	PROPN
ejde-531	460	9	,	,	PUNCT
ejde-531	460	10	9	9	NUM
ejde-531	460	11	(	(	PUNCT
ejde-531	460	12	1998	1998	NUM
ejde-531	460	13	)	)	PUNCT
ejde-531	460	14	,	,	PUNCT
ejde-531	460	15	245–266	245–266	NUM
ejde-531	460	16	.	.	PUNCT
ejde-531	461	1	[	[	X
ejde-531	461	2	4	4	X
ejde-531	461	3	]	]	X
ejde-531	461	4	d.	d.	PROPN
ejde-531	461	5	r.	r.	PROPN
ejde-531	461	6	dunninger	dunninger	PROPN
ejde-531	461	7	,	,	PUNCT
ejde-531	461	8	h.	h.	PROPN
ejde-531	461	9	a.	a.	PROPN
ejde-531	461	10	levine	levine	PROPN
ejde-531	461	11	;	;	PUNCT
ejde-531	461	12	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-531	461	13	criteria	criterion	NOUN
ejde-531	461	14	for	for	ADP
ejde-531	461	15	solutions	solution	NOUN
ejde-531	461	16	to	to	ADP
ejde-531	461	17	abstract	abstract	ADJ
ejde-531	461	18	boundary	boundary	ADJ
ejde-531	461	19	value	value	NOUN
ejde-531	461	20	problems	problem	NOUN
ejde-531	461	21	,	,	PUNCT
ejde-531	461	22	j.	j.	PROPN
ejde-531	461	23	differential	differential	PROPN
ejde-531	461	24	equations	equations	PROPN
ejde-531	461	25	,	,	PUNCT
ejde-531	461	26	22	22	NUM
ejde-531	461	27	(	(	PUNCT
ejde-531	461	28	1976	1976	NUM
ejde-531	461	29	)	)	PUNCT
ejde-531	461	30	,	,	PUNCT
ejde-531	461	31	368–378	368–378	NUM
ejde-531	461	32	.	.	PUNCT
ejde-531	462	1	[	[	X
ejde-531	462	2	5	5	NUM
ejde-531	462	3	]	]	PUNCT
ejde-531	462	4	c.	c.	PROPN
ejde-531	462	5	g.	g.	PROPN
ejde-531	462	6	gal	gal	PROPN
ejde-531	462	7	,	,	PUNCT
ejde-531	462	8	n.	n.	PROPN
ejde-531	462	9	j.	j.	PROPN
ejde-531	462	10	gal	gal	PROPN
ejde-531	462	11	;	;	PUNCT
ejde-531	462	12	a	a	DET
ejde-531	462	13	spectral	spectral	ADJ
ejde-531	462	14	approach	approach	NOUN
ejde-531	462	15	to	to	ADP
ejde-531	462	16	ill	ill	ADV
ejde-531	462	17	-	-	PUNCT
ejde-531	462	18	posed	pose	VERB
ejde-531	462	19	problems	problem	NOUN
ejde-531	462	20	for	for	ADP
ejde-531	462	21	wave	wave	NOUN
ejde-531	462	22	equations	equation	NOUN
ejde-531	462	23	,	,	PUNCT
ejde-531	462	24	ann	ann	PROPN
ejde-531	462	25	.	.	PROPN
ejde-531	462	26	mat	mat	PROPN
ejde-531	462	27	.	.	PROPN
ejde-531	462	28	,	,	PUNCT
ejde-531	462	29	187	187	NUM
ejde-531	462	30	(	(	PUNCT
ejde-531	462	31	2008	2008	NUM
ejde-531	462	32	)	)	PUNCT
ejde-531	462	33	,	,	PUNCT
ejde-531	462	34	705–717	705–717	NUM
ejde-531	462	35	.	.	PUNCT
ejde-531	463	1	[	[	X
ejde-531	463	2	6	6	NUM
ejde-531	463	3	]	]	PUNCT
ejde-531	463	4	h.	h.	PROPN
ejde-531	463	5	a.	a.	PROPN
ejde-531	463	6	levine	levine	PROPN
ejde-531	463	7	,	,	PUNCT
ejde-531	463	8	s.	s.	PROPN
ejde-531	463	9	vessella	vessella	PROPN
ejde-531	463	10	;	;	PUNCT
ejde-531	463	11	stabilization	stabilization	NOUN
ejde-531	463	12	and	and	CCONJ
ejde-531	463	13	regularization	regularization	NOUN
ejde-531	463	14	for	for	ADP
ejde-531	463	15	solutions	solution	NOUN
ejde-531	463	16	of	of	ADP
ejde-531	463	17	an	an	DET
ejde-531	463	18	ill	ill	ADV
ejde-531	463	19	-	-	PUNCT
ejde-531	463	20	posed	pose	VERB
ejde-531	463	21	problem	problem	NOUN
ejde-531	463	22	for	for	ADP
ejde-531	463	23	the	the	DET
ejde-531	463	24	wave	wave	NOUN
ejde-531	463	25	equation	equation	NOUN
ejde-531	463	26	,	,	PUNCT
ejde-531	463	27	math	math	NOUN
ejde-531	463	28	.	.	PUNCT
ejde-531	464	1	methods	method	NOUN
ejde-531	464	2	appl	appl	PROPN
ejde-531	464	3	.	.	PUNCT
ejde-531	465	1	sci	sci	PROPN
ejde-531	465	2	.	.	PROPN
ejde-531	465	3	,	,	PUNCT
ejde-531	465	4	7	7	NUM
ejde-531	465	5	(	(	PUNCT
ejde-531	465	6	1985	1985	NUM
ejde-531	465	7	)	)	PUNCT
ejde-531	465	8	,	,	PUNCT
ejde-531	465	9	202–209	202–209	NUM
ejde-531	465	10	.	.	PUNCT
ejde-531	466	1	[	[	X
ejde-531	466	2	7	7	NUM
ejde-531	466	3	]	]	X
ejde-531	466	4	i.	i.	NOUN
ejde-531	466	5	singer	singer	NOUN
ejde-531	466	6	;	;	PUNCT
ejde-531	466	7	bases	basis	NOUN
ejde-531	466	8	in	in	ADP
ejde-531	466	9	banach	banach	NOUN
ejde-531	466	10	spaces	space	NOUN
ejde-531	466	11	,	,	PUNCT
ejde-531	466	12	i	i	PRON
ejde-531	466	13	,	,	PUNCT
ejde-531	466	14	springer	springer	NOUN
ejde-531	466	15	-	-	PUNCT
ejde-531	466	16	verlag	verlag	PROPN
ejde-531	466	17	,	,	PUNCT
ejde-531	466	18	berlin	berlin	PROPN
ejde-531	466	19	heidelberg	heidelberg	PROPN
ejde-531	466	20	,	,	PUNCT
ejde-531	466	21	new	new	PROPN
ejde-531	466	22	york	york	PROPN
ejde-531	466	23	,	,	PUNCT
ejde-531	466	24	1970	1970	NUM
ejde-531	466	25	.	.	PUNCT
ejde-531	467	1	[	[	X
ejde-531	467	2	8	8	NUM
ejde-531	467	3	]	]	PUNCT
ejde-531	467	4	a.	a.	NOUN
ejde-531	467	5	venni	venni	PROPN
ejde-531	467	6	;	;	PUNCT
ejde-531	467	7	a	a	DET
ejde-531	467	8	counterexample	counterexample	NOUN
ejde-531	467	9	concerning	concern	VERB
ejde-531	467	10	imaginary	imaginary	ADJ
ejde-531	467	11	powers	power	NOUN
ejde-531	467	12	of	of	ADP
ejde-531	467	13	linear	linear	PROPN
ejde-531	467	14	operators	operator	NOUN
ejde-531	467	15	,	,	PUNCT
ejde-531	467	16	in	in	ADP
ejde-531	467	17	:	:	PUNCT
ejde-531	467	18	h.	h.	PROPN
ejde-531	467	19	komatsu	komatsu	PROPN
ejde-531	467	20	(	(	PUNCT
ejde-531	467	21	ed	ed	NOUN
ejde-531	467	22	.	.	PUNCT
ejde-531	467	23	)	)	PUNCT
ejde-531	468	1	functional	functional	ADJ
ejde-531	468	2	analysis	analysis	NOUN
ejde-531	468	3	and	and	CCONJ
ejde-531	468	4	related	related	ADJ
ejde-531	468	5	topics	topic	NOUN
ejde-531	468	6	,	,	PUNCT
ejde-531	468	7	1991	1991	NUM
ejde-531	468	8	(	(	PUNCT
ejde-531	468	9	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-531	468	10	,	,	PUNCT
ejde-531	468	11	kyoto	kyoto	NOUN
ejde-531	468	12	1991	1991	NUM
ejde-531	468	13	)	)	PUNCT
ejde-531	468	14	,	,	PUNCT
ejde-531	468	15	lecture	lecture	NOUN
ejde-531	468	16	notes	note	NOUN
ejde-531	468	17	in	in	ADP
ejde-531	468	18	math	math	NOUN
ejde-531	468	19	.	.	PUNCT
ejde-531	468	20	,	,	PUNCT
ejde-531	468	21	1540	1540	NUM
ejde-531	468	22	,	,	PUNCT
ejde-531	468	23	springer	springer	NOUN
ejde-531	468	24	,	,	PUNCT
ejde-531	468	25	berlin	berlin	PROPN
ejde-531	468	26	,	,	PUNCT
ejde-531	468	27	1993	1993	NUM
ejde-531	468	28	,	,	PUNCT
ejde-531	468	29	381–387	381–387	NUM
ejde-531	468	30	.	.	PUNCT
ejde-531	469	1	[	[	X
ejde-531	469	2	9	9	NUM
ejde-531	469	3	]	]	PUNCT
ejde-531	469	4	a.	a.	NOUN
ejde-531	469	5	zygmund	zygmund	NOUN
ejde-531	469	6	;	;	PUNCT
ejde-531	469	7	trigonometric	trigonometric	ADJ
ejde-531	469	8	series	series	NOUN
ejde-531	469	9	,	,	PUNCT
ejde-531	469	10	vol	vol	NOUN
ejde-531	469	11	.	.	PUNCT
ejde-531	470	1	i	i	PRON
ejde-531	470	2	,	,	PUNCT
ejde-531	470	3	2nd	2nd	PROPN
ejde-531	470	4	edition	edition	PROPN
ejde-531	470	5	,	,	PUNCT
ejde-531	470	6	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-531	470	7	university	university	PROPN
ejde-531	470	8	press	press	NOUN
ejde-531	470	9	,	,	PUNCT
ejde-531	470	10	new	new	PROPN
ejde-531	470	11	york	york	PROPN
ejde-531	470	12	,	,	PUNCT
ejde-531	470	13	1959	1959	NUM
ejde-531	470	14	.	.	PUNCT
ejde-531	471	1	giovanni	giovanni	PROPN
ejde-531	471	2	dore	dore	PROPN
ejde-531	471	3	department	department	PROPN
ejde-531	471	4	of	of	ADP
ejde-531	471	5	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-531	471	6	,	,	PUNCT
ejde-531	471	7	university	university	NOUN
ejde-531	471	8	of	of	ADP
ejde-531	471	9	bologna	bologna	NOUN
ejde-531	471	10	,	,	PUNCT
ejde-531	471	11	piazza	piazza	NOUN
ejde-531	471	12	di	di	NOUN
ejde-531	471	13	porta	porta	PROPN
ejde-531	471	14	san	san	PROPN
ejde-531	471	15	donato	donato	PROPN
ejde-531	471	16	5	5	NUM
ejde-531	471	17	,	,	PUNCT
ejde-531	471	18	i-40126	i-40126	PROPN
ejde-531	471	19	,	,	PUNCT
ejde-531	471	20	bologna	bologna	PROPN
ejde-531	471	21	,	,	PUNCT
ejde-531	471	22	italy	italy	PROPN
ejde-531	471	23	email	email	NOUN
ejde-531	471	24	address	address	NOUN
ejde-531	471	25	:	:	PUNCT
ejde-531	471	26	giovanni.dore@unibo.it	giovanni.dore@unibo.it	PROPN
ejde-531	471	27	1	1	NUM
ejde-531	471	28	.	.	PUNCT
ejde-531	471	29	introduction	introduction	NOUN
ejde-531	471	30	2	2	NUM
ejde-531	471	31	.	.	PUNCT
ejde-531	471	32	well	well	ADV
ejde-531	471	33	-	-	PUNCT
ejde-531	471	34	posed	pose	VERB
ejde-531	471	35	problems	problem	NOUN
ejde-531	471	36	3	3	NUM
ejde-531	471	37	.	.	NOUN
ejde-531	471	38	necessary	necessary	ADJ
ejde-531	471	39	conditions	condition	NOUN
ejde-531	471	40	4	4	NUM
ejde-531	471	41	.	.	PUNCT
ejde-531	471	42	examples	example	NOUN
ejde-531	471	43	5	5	NUM
ejde-531	471	44	.	.	PUNCT
ejde-531	472	1	bounded	bounded	ADJ
ejde-531	472	2	operators	operator	NOUN
ejde-531	472	3	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-531	472	4	references	reference	NOUN