id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-599	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-599	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-599	1	3	of	of	ADP
ejde-599	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-599	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-599	1	6	,	,	PUNCT
ejde-599	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-599	1	8	.	.	NOUN
ejde-599	1	9	2024	2024	NUM
ejde-599	1	10	(	(	PUNCT
ejde-599	1	11	2024	2024	NUM
ejde-599	1	12	)	)	PUNCT
ejde-599	1	13	,	,	PUNCT
ejde-599	1	14	no	no	INTJ
ejde-599	1	15	.	.	NOUN
ejde-599	1	16	09	09	NUM
ejde-599	1	17	,	,	PUNCT
ejde-599	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-599	1	19	.	.	PUNCT
ejde-599	2	1	1–8	1–8	X
ejde-599	2	2	.	.	PUNCT
ejde-599	2	3	issn	issn	PROPN
ejde-599	2	4	:	:	PUNCT
ejde-599	2	5	1072	1072	NUM
ejde-599	2	6	-	-	SYM
ejde-599	2	7	6691	6691	NUM
ejde-599	2	8	.	.	PUNCT
ejde-599	3	1	url	url	PROPN
ejde-599	3	2	:	:	PUNCT
ejde-599	3	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-599	3	4	,	,	PUNCT
ejde-599	3	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-599	3	6	doi	doi	PROPN
ejde-599	3	7	:	:	PUNCT
ejde-599	3	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-599	3	9	/	/	SYM
ejde-599	3	10	ejde.2024.09	ejde.2024.09	ADJ
ejde-599	3	11	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	3	12	and	and	CCONJ
ejde-599	3	13	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	3	14	condition	condition	NOUN
ejde-599	3	15	for	for	ADP
ejde-599	3	16	existence	existence	NOUN
ejde-599	3	17	for	for	ADP
ejde-599	3	18	a	a	DET
ejde-599	3	19	case	case	NOUN
ejde-599	3	20	of	of	ADP
ejde-599	3	21	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	3	22	of	of	ADP
ejde-599	3	23	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	3	24	two	two	NUM
ejde-599	3	25	philip	philip	PROPN
ejde-599	3	26	korman	korman	PROPN
ejde-599	3	27	abstract	abstract	PROPN
ejde-599	3	28	.	.	PUNCT
ejde-599	4	1	we	we	PRON
ejde-599	4	2	establish	establish	VERB
ejde-599	4	3	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	4	4	and	and	CCONJ
ejde-599	4	5	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	4	6	condition	condition	NOUN
ejde-599	4	7	for	for	ADP
ejde-599	4	8	existence	existence	NOUN
ejde-599	4	9	of	of	ADP
ejde-599	4	10	solutions	solution	NOUN
ejde-599	4	11	for	for	ADP
ejde-599	4	12	a	a	DET
ejde-599	4	13	class	class	NOUN
ejde-599	4	14	of	of	ADP
ejde-599	4	15	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	4	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-599	4	17	problems	problem	NOUN
ejde-599	4	18	with	with	ADP
ejde-599	4	19	the	the	DET
ejde-599	4	20	linear	linear	ADJ
ejde-599	4	21	part	part	NOUN
ejde-599	4	22	at	at	ADP
ejde-599	4	23	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	4	24	at	at	ADP
ejde-599	4	25	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	4	26	of	of	ADP
ejde-599	4	27	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	4	28	two	two	NUM
ejde-599	4	29	.	.	PUNCT
ejde-599	5	1	the	the	DET
ejde-599	5	2	result	result	NOUN
ejde-599	5	3	is	be	AUX
ejde-599	5	4	applied	apply	VERB
ejde-599	5	5	to	to	PART
ejde-599	5	6	give	give	VERB
ejde-599	5	7	a	a	DET
ejde-599	5	8	condition	condition	NOUN
ejde-599	5	9	for	for	ADP
ejde-599	5	10	unboundness	unboundness	NOUN
ejde-599	5	11	of	of	ADP
ejde-599	5	12	all	all	DET
ejde-599	5	13	solutions	solution	NOUN
ejde-599	5	14	of	of	ADP
ejde-599	5	15	the	the	DET
ejde-599	5	16	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-599	5	17	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	5	18	heat	heat	NOUN
ejde-599	5	19	equation	equation	NOUN
ejde-599	5	20	.	.	PUNCT
ejde-599	6	1	1	1	X
ejde-599	6	2	.	.	X
ejde-599	6	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-599	6	4	the	the	DET
ejde-599	6	5	study	study	NOUN
ejde-599	6	6	of	of	ADP
ejde-599	6	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-599	6	8	problems	problem	NOUN
ejde-599	6	9	at	at	ADP
ejde-599	6	10	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	6	11	was	be	AUX
ejde-599	6	12	initiated	initiate	VERB
ejde-599	6	13	by	by	ADP
ejde-599	6	14	the	the	DET
ejde-599	6	15	classical	classical	ADJ
ejde-599	6	16	paper	paper	NOUN
ejde-599	6	17	of	of	ADP
ejde-599	6	18	landesman	landesman	NOUN
ejde-599	6	19	and	and	CCONJ
ejde-599	6	20	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	6	21	[	[	X
ejde-599	6	22	8	8	NUM
ejde-599	6	23	]	]	PUNCT
ejde-599	6	24	.	.	PUNCT
ejde-599	7	1	on	on	ADP
ejde-599	7	2	a	a	DET
ejde-599	7	3	bounded	bounded	ADJ
ejde-599	7	4	smooth	smooth	ADJ
ejde-599	7	5	domain	domain	NOUN
ejde-599	7	6	d	d	X
ejde-599	7	7	⊂	⊂	PROPN
ejde-599	7	8	rn	rn	PROPN
ejde-599	7	9	consider	consider	VERB
ejde-599	7	10	the	the	DET
ejde-599	7	11	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-599	7	12	problem	problem	NOUN
ejde-599	7	13	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-599	7	14	λku+	λku+	PROPN
ejde-599	7	15	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	7	16	)	)	PUNCT
ejde-599	7	17	=	=	SYM
ejde-599	7	18	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	7	19	)	)	PUNCT
ejde-599	7	20	for	for	ADP
ejde-599	7	21	x	x	SYM
ejde-599	7	22	∈	∈	PROPN
ejde-599	7	23	d	d	NOUN
ejde-599	7	24	,	,	PUNCT
ejde-599	7	25	u	u	NOUN
ejde-599	7	26	=	=	NOUN
ejde-599	7	27	0	0	NUM
ejde-599	7	28	on	on	ADP
ejde-599	7	29	∂d	∂d	PROPN
ejde-599	7	30	.	.	PUNCT
ejde-599	8	1	(	(	PUNCT
ejde-599	8	2	1.1	1.1	NUM
ejde-599	8	3	)	)	PUNCT
ejde-599	8	4	here	here	ADV
ejde-599	8	5	λk	λk	ADV
ejde-599	8	6	is	be	AUX
ejde-599	8	7	an	an	DET
ejde-599	8	8	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	8	9	of	of	ADP
ejde-599	8	10	the	the	DET
ejde-599	8	11	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-599	8	12	∆	∆	PROPN
ejde-599	8	13	on	on	ADP
ejde-599	8	14	d	d	PROPN
ejde-599	8	15	with	with	ADP
ejde-599	8	16	zero	zero	NUM
ejde-599	8	17	boundary	boundary	ADJ
ejde-599	8	18	condition	condition	NOUN
ejde-599	8	19	,	,	PUNCT
ejde-599	8	20	so	so	SCONJ
ejde-599	8	21	that	that	SCONJ
ejde-599	8	22	the	the	DET
ejde-599	8	23	problem	problem	NOUN
ejde-599	8	24	is	be	AUX
ejde-599	8	25	at	at	ADP
ejde-599	8	26	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	8	27	.	.	PUNCT
ejde-599	9	1	the	the	DET
ejde-599	9	2	function	function	NOUN
ejde-599	9	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	9	4	)	)	PUNCT
ejde-599	9	5	∈	∈	PROPN
ejde-599	9	6	l2(d	l2(d	PROPN
ejde-599	9	7	)	)	PUNCT
ejde-599	9	8	is	be	AUX
ejde-599	9	9	given	give	VERB
ejde-599	9	10	.	.	PUNCT
ejde-599	10	1	for	for	ADP
ejde-599	10	2	the	the	DET
ejde-599	10	3	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-599	10	4	term	term	NOUN
ejde-599	10	5	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	10	6	)	)	PUNCT
ejde-599	10	7	it	it	PRON
ejde-599	10	8	is	be	AUX
ejde-599	10	9	assumed	assume	VERB
ejde-599	10	10	that	that	SCONJ
ejde-599	10	11	the	the	DET
ejde-599	10	12	limits	limit	NOUN
ejde-599	10	13	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	10	14	)	)	PUNCT
ejde-599	10	15	and	and	CCONJ
ejde-599	10	16	g(−∞	g(−∞	NOUN
ejde-599	10	17	)	)	PUNCT
ejde-599	10	18	exist	exist	VERB
ejde-599	10	19	and	and	CCONJ
ejde-599	10	20	g(−∞	g(−∞	NOUN
ejde-599	10	21	)	)	PUNCT
ejde-599	10	22	<	<	X
ejde-599	10	23	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	10	24	)	)	PUNCT
ejde-599	10	25	<	<	X
ejde-599	10	26	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	10	27	)	)	PUNCT
ejde-599	10	28	,	,	PUNCT
ejde-599	10	29	for	for	ADP
ejde-599	10	30	all	all	DET
ejde-599	10	31	u	u	NOUN
ejde-599	10	32	∈	∈	PROPN
ejde-599	10	33	(	(	PUNCT
ejde-599	10	34	−∞,∞	−∞,∞	NOUN
ejde-599	10	35	)	)	PUNCT
ejde-599	10	36	.	.	PUNCT
ejde-599	11	1	(	(	PUNCT
ejde-599	11	2	1.2	1.2	NUM
ejde-599	11	3	)	)	PUNCT
ejde-599	11	4	let	let	VERB
ejde-599	11	5	us	we	PRON
ejde-599	11	6	recall	recall	VERB
ejde-599	11	7	the	the	DET
ejde-599	11	8	classical	classical	ADJ
ejde-599	11	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	11	10	of	of	ADP
ejde-599	11	11	landesman	landesman	NOUN
ejde-599	11	12	and	and	CCONJ
ejde-599	11	13	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	12	1	[	[	X
ejde-599	12	2	8	8	NUM
ejde-599	12	3	]	]	PUNCT
ejde-599	12	4	in	in	ADP
ejde-599	12	5	the	the	DET
ejde-599	12	6	form	form	NOUN
ejde-599	12	7	of	of	ADP
ejde-599	12	8	s.a	s.a	PROPN
ejde-599	12	9	.	.	PROPN
ejde-599	12	10	williams	williams	PROPN
ejde-599	13	1	[	[	X
ejde-599	13	2	14	14	NUM
ejde-599	13	3	]	]	X
ejde-599	13	4	(	(	PUNCT
ejde-599	13	5	both	both	CCONJ
ejde-599	13	6	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	13	7	and	and	CCONJ
ejde-599	13	8	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	13	9	conditions	condition	NOUN
ejde-599	13	10	can	can	AUX
ejde-599	13	11	be	be	AUX
ejde-599	13	12	separately	separately	ADV
ejde-599	13	13	generalized	generalize	VERB
ejde-599	13	14	,	,	PUNCT
ejde-599	13	15	see	see	VERB
ejde-599	13	16	[	[	X
ejde-599	13	17	8	8	NUM
ejde-599	13	18	]	]	NUM
ejde-599	13	19	)	)	PUNCT
ejde-599	13	20	.	.	PUNCT
ejde-599	14	1	theorem	theorem	VERB
ejde-599	14	2	1.1	1.1	NUM
ejde-599	14	3	(	(	PUNCT
ejde-599	14	4	[	[	X
ejde-599	14	5	8	8	NUM
ejde-599	14	6	,	,	PUNCT
ejde-599	14	7	14	14	NUM
ejde-599	14	8	]	]	PUNCT
ejde-599	14	9	)	)	PUNCT
ejde-599	14	10	.	.	PUNCT
ejde-599	15	1	assume	assume	VERB
ejde-599	15	2	that	that	SCONJ
ejde-599	15	3	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	15	4	)	)	PUNCT
ejde-599	15	5	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-599	15	6	(	(	PUNCT
ejde-599	15	7	1.2	1.2	NUM
ejde-599	15	8	)	)	PUNCT
ejde-599	15	9	,	,	PUNCT
ejde-599	15	10	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	15	11	)	)	PUNCT
ejde-599	15	12	∈	∈	PROPN
ejde-599	15	13	l2(d	l2(d	PROPN
ejde-599	15	14	)	)	PUNCT
ejde-599	15	15	,	,	PUNCT
ejde-599	15	16	while	while	SCONJ
ejde-599	15	17	for	for	ADP
ejde-599	15	18	any	any	DET
ejde-599	15	19	w(x	w(x	NOUN
ejde-599	15	20	)	)	PUNCT
ejde-599	15	21	6=	6=	ADP
ejde-599	15	22	0	0	NUM
ejde-599	15	23	belonging	belong	VERB
ejde-599	15	24	to	to	ADP
ejde-599	15	25	the	the	DET
ejde-599	15	26	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	15	27	of	of	ADP
ejde-599	15	28	λk,∫	λk,∫	X
ejde-599	15	29	d	d	NOUN
ejde-599	15	30	f(x)w(x	f(x)w(x	NUM
ejde-599	15	31	)	)	PUNCT
ejde-599	15	32	dx	dx	PROPN
ejde-599	15	33	<	<	X
ejde-599	15	34	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	15	35	)	)	PUNCT
ejde-599	15	36	∫	∫	PROPN
ejde-599	15	37	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	15	38	w	w	PROPN
ejde-599	15	39	dx+	dx+	PROPN
ejde-599	15	40	g(−∞	g(−∞	PROPN
ejde-599	15	41	)	)	PUNCT
ejde-599	15	42	∫	∫	PROPN
ejde-599	16	1	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	16	2	w	w	PROPN
ejde-599	16	3	dx	dx	PROPN
ejde-599	16	4	.	.	PUNCT
ejde-599	17	1	(	(	PUNCT
ejde-599	17	2	1.3	1.3	NUM
ejde-599	17	3	)	)	PUNCT
ejde-599	17	4	then	then	ADV
ejde-599	17	5	problem	problem	NOUN
ejde-599	17	6	(	(	PUNCT
ejde-599	17	7	1.1	1.1	NUM
ejde-599	17	8	)	)	PUNCT
ejde-599	17	9	has	have	VERB
ejde-599	17	10	a	a	DET
ejde-599	17	11	solution	solution	NOUN
ejde-599	17	12	u(x	u(x	NOUN
ejde-599	17	13	)	)	PUNCT
ejde-599	17	14	∈	∈	PROPN
ejde-599	17	15	w	w	PROPN
ejde-599	17	16	2,2(d	2,2(d	NUM
ejde-599	17	17	)	)	PUNCT
ejde-599	17	18	∩w	∩w	NOUN
ejde-599	18	1	1,2	1,2	NUM
ejde-599	18	2	0	0	NUM
ejde-599	18	3	(	(	PUNCT
ejde-599	18	4	d	d	NOUN
ejde-599	18	5	)	)	PUNCT
ejde-599	18	6	.	.	PUNCT
ejde-599	19	1	condition	condition	NOUN
ejde-599	19	2	(	(	PUNCT
ejde-599	19	3	1.3	1.3	NUM
ejde-599	19	4	)	)	PUNCT
ejde-599	19	5	is	be	AUX
ejde-599	19	6	also	also	ADV
ejde-599	19	7	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	19	8	for	for	ADP
ejde-599	19	9	the	the	DET
ejde-599	19	10	existence	existence	NOUN
ejde-599	19	11	of	of	ADP
ejde-599	19	12	solutions	solution	NOUN
ejde-599	19	13	.	.	PUNCT
ejde-599	20	1	originally	originally	ADV
ejde-599	20	2	landesman	landesman	NOUN
ejde-599	20	3	and	and	CCONJ
ejde-599	20	4	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	21	1	[	[	X
ejde-599	21	2	8	8	NUM
ejde-599	21	3	]	]	PUNCT
ejde-599	21	4	assumed	assume	VERB
ejde-599	21	5	additionally	additionally	ADV
ejde-599	21	6	that	that	SCONJ
ejde-599	21	7	the	the	DET
ejde-599	21	8	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	21	9	λk	λk	NOUN
ejde-599	21	10	is	be	AUX
ejde-599	21	11	simple	simple	ADJ
ejde-599	21	12	.	.	PUNCT
ejde-599	22	1	soon	soon	ADV
ejde-599	22	2	,	,	PUNCT
ejde-599	22	3	williams	williams	PROPN
ejde-599	23	1	[	[	X
ejde-599	23	2	14	14	NUM
ejde-599	23	3	]	]	PUNCT
ejde-599	23	4	produced	produce	VERB
ejde-599	23	5	the	the	DET
ejde-599	23	6	more	more	ADV
ejde-599	23	7	general	general	ADJ
ejde-599	23	8	statement	statement	NOUN
ejde-599	23	9	given	give	VERB
ejde-599	23	10	above	above	ADV
ejde-599	23	11	.	.	PUNCT
ejde-599	24	1	however	however	ADV
ejde-599	24	2	,	,	PUNCT
ejde-599	24	3	no	no	DET
ejde-599	24	4	examples	example	NOUN
ejde-599	24	5	for	for	ADP
ejde-599	24	6	multiple	multiple	ADJ
ejde-599	24	7	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	24	8	were	be	AUX
ejde-599	24	9	known	know	VERB
ejde-599	24	10	for	for	ADP
ejde-599	24	11	a	a	DET
ejde-599	24	12	while	while	NOUN
ejde-599	24	13	,	,	PUNCT
ejde-599	24	14	until	until	SCONJ
ejde-599	24	15	we	we	PRON
ejde-599	24	16	2020	2020	NUM
ejde-599	24	17	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-599	24	18	subject	subject	ADJ
ejde-599	24	19	classification	classification	NOUN
ejde-599	24	20	.	.	PUNCT
ejde-599	25	1	35j25	35j25	X
ejde-599	25	2	.	.	PUNCT
ejde-599	26	1	key	key	ADJ
ejde-599	26	2	words	word	NOUN
ejde-599	26	3	and	and	CCONJ
ejde-599	26	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-599	26	5	.	.	PUNCT
ejde-599	27	1	existence	existence	NOUN
ejde-599	27	2	of	of	ADP
ejde-599	27	3	solutions	solution	NOUN
ejde-599	27	4	;	;	PUNCT
ejde-599	27	5	landesman	landesman	ADJ
ejde-599	27	6	-	-	PUNCT
ejde-599	27	7	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	27	8	condition	condition	NOUN
ejde-599	27	9	;	;	PUNCT
ejde-599	27	10	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	27	11	.	.	PUNCT
ejde-599	28	1	©	©	PROPN
ejde-599	28	2	2024	2024	NUM
ejde-599	28	3	.	.	PUNCT
ejde-599	29	1	this	this	DET
ejde-599	29	2	work	work	NOUN
ejde-599	29	3	is	be	AUX
ejde-599	29	4	licensed	license	VERB
ejde-599	29	5	under	under	ADP
ejde-599	29	6	a	a	DET
ejde-599	29	7	cc	cc	NOUN
ejde-599	29	8	by	by	ADP
ejde-599	29	9	4.0	4.0	NUM
ejde-599	29	10	license	license	NOUN
ejde-599	29	11	.	.	PUNCT
ejde-599	30	1	submitted	submit	VERB
ejde-599	30	2	december	december	PROPN
ejde-599	30	3	22	22	NUM
ejde-599	30	4	,	,	PUNCT
ejde-599	30	5	2023	2023	NUM
ejde-599	30	6	.	.	PUNCT
ejde-599	31	1	published	publish	VERB
ejde-599	31	2	january	january	PROPN
ejde-599	31	3	24	24	NUM
ejde-599	31	4	,	,	PUNCT
ejde-599	31	5	2024	2024	NUM
ejde-599	31	6	.	.	PUNCT
ejde-599	31	7	1	1	NUM
ejde-599	31	8	2	2	NUM
ejde-599	31	9	p.	p.	NOUN
ejde-599	31	10	korman	korman	PROPN
ejde-599	31	11	ejde-2024/09	ejde-2024/09	PROPN
ejde-599	31	12	observed	observe	VERB
ejde-599	31	13	in	in	ADP
ejde-599	31	14	[	[	X
ejde-599	31	15	5	5	NUM
ejde-599	31	16	]	]	PUNCT
ejde-599	31	17	that	that	SCONJ
ejde-599	31	18	another	another	DET
ejde-599	31	19	classical	classical	ADJ
ejde-599	31	20	result	result	NOUN
ejde-599	31	21	of	of	ADP
ejde-599	31	22	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	31	23	and	and	CCONJ
ejde-599	31	24	leach	leach	NOUN
ejde-599	31	25	[	[	X
ejde-599	31	26	9	9	NUM
ejde-599	31	27	]	]	PUNCT
ejde-599	31	28	on	on	ADP
ejde-599	31	29	periodic	periodic	ADJ
ejde-599	31	30	solutions	solution	NOUN
ejde-599	31	31	of	of	ADP
ejde-599	31	32	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	31	33	harmonic	harmonic	PROPN
ejde-599	31	34	oscillator	oscillator	NOUN
ejde-599	31	35	provides	provide	VERB
ejde-599	31	36	an	an	DET
ejde-599	31	37	example	example	NOUN
ejde-599	31	38	to	to	ADP
ejde-599	31	39	theorem	theorem	VERB
ejde-599	31	40	1.1	1.1	NUM
ejde-599	31	41	in	in	ADP
ejde-599	31	42	case	case	NOUN
ejde-599	31	43	of	of	ADP
ejde-599	31	44	double	double	ADJ
ejde-599	31	45	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	31	46	(	(	PUNCT
ejde-599	31	47	giving	give	VERB
ejde-599	31	48	incidentally	incidentally	ADV
ejde-599	31	49	another	another	DET
ejde-599	31	50	proof	proof	NOUN
ejde-599	31	51	of	of	ADP
ejde-599	31	52	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	31	53	-	-	PUNCT
ejde-599	31	54	leach	leach	NOUN
ejde-599	31	55	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	31	56	,	,	PUNCT
ejde-599	31	57	in	in	ADP
ejde-599	31	58	addition	addition	NOUN
ejde-599	31	59	to	to	ADP
ejde-599	31	60	a	a	DET
ejde-599	31	61	number	number	NOUN
ejde-599	31	62	of	of	ADP
ejde-599	31	63	other	other	ADJ
ejde-599	31	64	known	know	VERB
ejde-599	31	65	proofs	proof	NOUN
ejde-599	31	66	,	,	PUNCT
ejde-599	31	67	see	see	VERB
ejde-599	31	68	e.g.	e.g.	ADV
ejde-599	31	69	,	,	PUNCT
ejde-599	31	70	[	[	X
ejde-599	31	71	3	3	NUM
ejde-599	31	72	,	,	PUNCT
ejde-599	31	73	5	5	NUM
ejde-599	31	74	]	]	NUM
ejde-599	31	75	)	)	PUNCT
ejde-599	31	76	.	.	PUNCT
ejde-599	32	1	we	we	PRON
ejde-599	32	2	showed	show	VERB
ejde-599	32	3	in	in	ADP
ejde-599	32	4	[	[	X
ejde-599	32	5	5	5	NUM
ejde-599	32	6	]	]	PUNCT
ejde-599	32	7	that	that	SCONJ
ejde-599	32	8	while	while	SCONJ
ejde-599	32	9	the	the	DET
ejde-599	32	10	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	32	11	condition	condition	NOUN
ejde-599	32	12	of	of	ADP
ejde-599	32	13	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	32	14	-	-	PUNCT
ejde-599	32	15	leach	leach	NOUN
ejde-599	32	16	result	result	NOUN
ejde-599	32	17	is	be	AUX
ejde-599	32	18	easy	easy	ADJ
ejde-599	32	19	to	to	PART
ejde-599	32	20	prove	prove	VERB
ejde-599	32	21	,	,	PUNCT
ejde-599	32	22	the	the	DET
ejde-599	32	23	sufficiency	sufficiency	NOUN
ejde-599	32	24	part	part	NOUN
ejde-599	32	25	follows	follow	VERB
ejde-599	32	26	by	by	ADP
ejde-599	32	27	verifying	verify	VERB
ejde-599	32	28	the	the	DET
ejde-599	32	29	condition	condition	NOUN
ejde-599	32	30	(	(	PUNCT
ejde-599	32	31	1.3	1.3	NUM
ejde-599	32	32	)	)	PUNCT
ejde-599	32	33	,	,	PUNCT
ejde-599	32	34	and	and	CCONJ
ejde-599	32	35	applying	apply	VERB
ejde-599	32	36	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	32	37	1.1	1.1	NUM
ejde-599	32	38	.	.	PUNCT
ejde-599	33	1	in	in	ADP
ejde-599	33	2	this	this	DET
ejde-599	33	3	article	article	NOUN
ejde-599	33	4	we	we	PRON
ejde-599	33	5	prove	prove	VERB
ejde-599	33	6	a	a	DET
ejde-599	33	7	similar	similar	ADJ
ejde-599	33	8	result	result	NOUN
ejde-599	33	9	for	for	ADP
ejde-599	33	10	a	a	DET
ejde-599	33	11	disc	disc	NOUN
ejde-599	33	12	in	in	ADP
ejde-599	33	13	r2	r2	NOUN
ejde-599	33	14	,	,	PUNCT
ejde-599	33	15	thus	thus	ADV
ejde-599	33	16	providing	provide	VERB
ejde-599	33	17	the	the	DET
ejde-599	33	18	first	first	ADJ
ejde-599	33	19	pde	pde	NOUN
ejde-599	33	20	example	example	NOUN
ejde-599	33	21	for	for	ADP
ejde-599	33	22	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	33	23	1.1	1.1	NUM
ejde-599	33	24	in	in	ADP
ejde-599	33	25	case	case	NOUN
ejde-599	33	26	of	of	ADP
ejde-599	33	27	a	a	DET
ejde-599	33	28	multiple	multiple	ADJ
ejde-599	33	29	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-599	33	30	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	33	31	.	.	PUNCT
ejde-599	34	1	even	even	ADV
ejde-599	34	2	for	for	ADP
ejde-599	34	3	simple	simple	ADJ
ejde-599	34	4	domains	domain	NOUN
ejde-599	34	5	the	the	DET
ejde-599	34	6	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	34	7	of	of	ADP
ejde-599	34	8	a	a	DET
ejde-599	34	9	multiple	multiple	ADJ
ejde-599	34	10	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	34	11	can	can	AUX
ejde-599	34	12	be	be	AUX
ejde-599	34	13	very	very	ADV
ejde-599	34	14	complicated	complicated	ADJ
ejde-599	34	15	,	,	PUNCT
ejde-599	34	16	and	and	CCONJ
ejde-599	34	17	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	34	18	of	of	ADP
ejde-599	34	19	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	34	20	may	may	AUX
ejde-599	34	21	vary	vary	VERB
ejde-599	34	22	in	in	ADP
ejde-599	34	23	non	non	ADJ
ejde-599	34	24	-	-	ADJ
ejde-599	34	25	obvious	obvious	ADJ
ejde-599	34	26	ways	way	NOUN
ejde-599	34	27	.	.	PUNCT
ejde-599	35	1	so	so	ADV
ejde-599	35	2	that	that	SCONJ
ejde-599	35	3	verifying	verify	VERB
ejde-599	35	4	the	the	DET
ejde-599	35	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-599	35	6	(	(	PUNCT
ejde-599	35	7	1.3	1.3	NUM
ejde-599	35	8	)	)	PUNCT
ejde-599	35	9	for	for	ADP
ejde-599	35	10	any	any	DET
ejde-599	35	11	element	element	NOUN
ejde-599	35	12	w(x	w(x	NOUN
ejde-599	35	13	)	)	PUNCT
ejde-599	35	14	of	of	ADP
ejde-599	35	15	the	the	DET
ejde-599	35	16	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	35	17	appears	appear	VERB
ejde-599	35	18	to	to	PART
ejde-599	35	19	be	be	AUX
ejde-599	35	20	very	very	ADV
ejde-599	35	21	challenging	challenging	ADJ
ejde-599	35	22	for	for	ADP
ejde-599	35	23	other	other	ADJ
ejde-599	35	24	domains	domain	NOUN
ejde-599	35	25	(	(	PUNCT
ejde-599	35	26	the	the	DET
ejde-599	35	27	integrals	integral	NOUN
ejde-599	35	28	∫	∫	VERB
ejde-599	35	29	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	35	30	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	35	31	)	)	PUNCT
ejde-599	35	32	dx	dx	PROPN
ejde-599	35	33	and	and	CCONJ
ejde-599	35	34	∫	∫	PROPN
ejde-599	35	35	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	35	36	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	35	37	)	)	PUNCT
ejde-599	35	38	dx	dx	PROPN
ejde-599	35	39	are	be	AUX
ejde-599	35	40	unlikely	unlikely	ADJ
ejde-599	35	41	to	to	PART
ejde-599	35	42	remain	remain	VERB
ejde-599	35	43	constant	constant	ADJ
ejde-599	35	44	over	over	ADP
ejde-599	35	45	an	an	DET
ejde-599	35	46	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	35	47	)	)	PUNCT
ejde-599	35	48	.	.	PUNCT
ejde-599	36	1	example	example	NOUN
ejde-599	37	1	1.2	1.2	NUM
ejde-599	37	2	.	.	PUNCT
ejde-599	38	1	let	let	VERB
ejde-599	38	2	d	d	NOUN
ejde-599	38	3	=	=	SYM
ejde-599	38	4	(	(	PUNCT
ejde-599	38	5	0	0	NUM
ejde-599	38	6	,	,	PUNCT
ejde-599	38	7	π)×	π)×	X
ejde-599	38	8	(	(	PUNCT
ejde-599	38	9	0	0	NUM
ejde-599	38	10	,	,	PUNCT
ejde-599	38	11	π	π	NOUN
ejde-599	38	12	)	)	PUNCT
ejde-599	38	13	in	in	ADP
ejde-599	38	14	r2	r2	PROPN
ejde-599	38	15	.	.	PUNCT
ejde-599	39	1	the	the	DET
ejde-599	39	2	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	39	3	of	of	ADP
ejde-599	39	4	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-599	39	5	λu	λu	X
ejde-599	39	6	=	=	SYM
ejde-599	39	7	0	0	PROPN
ejde-599	39	8	,	,	PUNCT
ejde-599	39	9	in	in	ADP
ejde-599	39	10	d	d	PROPN
ejde-599	39	11	u	u	NOUN
ejde-599	39	12	=	=	NOUN
ejde-599	39	13	0	0	NUM
ejde-599	39	14	on	on	ADP
ejde-599	39	15	∂d	∂d	PROPN
ejde-599	39	16	are	be	AUX
ejde-599	39	17	λnm	λnm	X
ejde-599	39	18	=	=	SYM
ejde-599	39	19	n2	n2	PROPN
ejde-599	39	20	+	+	PROPN
ejde-599	39	21	m2	m2	PROPN
ejde-599	39	22	with	with	ADP
ejde-599	39	23	positive	positive	ADJ
ejde-599	39	24	integers	integer	NOUN
ejde-599	39	25	n	n	PRON
ejde-599	39	26	and	and	CCONJ
ejde-599	39	27	m	m	PROPN
ejde-599	39	28	,	,	PUNCT
ejde-599	39	29	corresponding	correspond	VERB
ejde-599	39	30	to	to	ADP
ejde-599	39	31	the	the	DET
ejde-599	39	32	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	39	33	sinnx	sinnx	PROPN
ejde-599	39	34	sinmy	sinmy	PROPN
ejde-599	39	35	,	,	PUNCT
ejde-599	39	36	see	see	VERB
ejde-599	39	37	e.g.	e.g.	ADV
ejde-599	39	38	,	,	PUNCT
ejde-599	39	39	[	[	X
ejde-599	39	40	11	11	NUM
ejde-599	39	41	]	]	PUNCT
ejde-599	39	42	.	.	PUNCT
ejde-599	40	1	these	these	DET
ejde-599	40	2	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	40	3	are	be	AUX
ejde-599	40	4	obtained	obtain	VERB
ejde-599	40	5	by	by	ADP
ejde-599	40	6	separation	separation	NOUN
ejde-599	40	7	of	of	ADP
ejde-599	40	8	variables	variable	NOUN
ejde-599	40	9	,	,	PUNCT
ejde-599	40	10	and	and	CCONJ
ejde-599	40	11	there	there	PRON
ejde-599	40	12	are	be	VERB
ejde-599	40	13	no	no	DET
ejde-599	40	14	other	other	ADJ
ejde-599	40	15	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	40	16	since	since	SCONJ
ejde-599	40	17	these	these	DET
ejde-599	40	18	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	40	19	form	form	VERB
ejde-599	40	20	a	a	DET
ejde-599	40	21	complete	complete	ADJ
ejde-599	40	22	set	set	NOUN
ejde-599	40	23	in	in	ADP
ejde-599	40	24	l2(d	l2(d	PROPN
ejde-599	40	25	)	)	PUNCT
ejde-599	40	26	.	.	PUNCT
ejde-599	41	1	the	the	DET
ejde-599	41	2	principal	principal	ADJ
ejde-599	41	3	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	41	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-599	41	5	=	=	SYM
ejde-599	41	6	2	2	NUM
ejde-599	41	7	is	be	AUX
ejde-599	41	8	simple	simple	ADJ
ejde-599	41	9	,	,	PUNCT
ejde-599	41	10	with	with	ADP
ejde-599	41	11	the	the	DET
ejde-599	41	12	corresponding	correspond	VERB
ejde-599	41	13	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-599	41	14	sinx	sinx	PROPN
ejde-599	41	15	sin	sin	NOUN
ejde-599	41	16	y	y	PROPN
ejde-599	41	17	>	>	X
ejde-599	41	18	0	0	PROPN
ejde-599	41	19	.	.	PUNCT
ejde-599	42	1	the	the	DET
ejde-599	42	2	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	42	3	λ2	λ2	NOUN
ejde-599	42	4	=	=	SYM
ejde-599	42	5	5	5	NUM
ejde-599	42	6	=	=	SYM
ejde-599	42	7	12	12	NUM
ejde-599	42	8	+	+	NUM
ejde-599	42	9	22	22	NUM
ejde-599	42	10	has	have	VERB
ejde-599	42	11	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	42	12	two	two	NUM
ejde-599	42	13	,	,	PUNCT
ejde-599	42	14	with	with	ADP
ejde-599	42	15	the	the	DET
ejde-599	42	16	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	42	17	spanned	span	VERB
ejde-599	42	18	by	by	ADP
ejde-599	42	19	sinx	sinx	PROPN
ejde-599	42	20	sin	sin	PROPN
ejde-599	42	21	2y	2y	NUM
ejde-599	42	22	,	,	PUNCT
ejde-599	42	23	sin	sin	VERB
ejde-599	42	24	2x	2x	NUM
ejde-599	42	25	sin	sin	NOUN
ejde-599	42	26	y.	y.	NOUN
ejde-599	42	27	the	the	DET
ejde-599	42	28	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	42	29	λ3	λ3	PROPN
ejde-599	42	30	=	=	PROPN
ejde-599	42	31	8	8	NUM
ejde-599	42	32	=	=	SYM
ejde-599	42	33	22	22	NUM
ejde-599	43	1	+	+	CCONJ
ejde-599	43	2	22	22	NUM
ejde-599	43	3	is	be	AUX
ejde-599	43	4	simple	simple	ADJ
ejde-599	43	5	,	,	PUNCT
ejde-599	43	6	with	with	SCONJ
ejde-599	43	7	the	the	DET
ejde-599	43	8	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	43	9	spanned	span	VERB
ejde-599	43	10	by	by	ADP
ejde-599	43	11	sin	sin	NOUN
ejde-599	43	12	2x	2x	NUM
ejde-599	43	13	sin	sin	NOUN
ejde-599	43	14	2y	2y	NUM
ejde-599	43	15	.	.	PUNCT
ejde-599	44	1	the	the	DET
ejde-599	44	2	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-599	44	3	50	50	NUM
ejde-599	44	4	=	=	SYM
ejde-599	44	5	12	12	NUM
ejde-599	44	6	+	+	NUM
ejde-599	44	7	72	72	NUM
ejde-599	44	8	=	=	SYM
ejde-599	44	9	52	52	NUM
ejde-599	44	10	+	+	NUM
ejde-599	44	11	52	52	NUM
ejde-599	44	12	is	be	AUX
ejde-599	44	13	triple	triple	ADJ
ejde-599	44	14	,	,	PUNCT
ejde-599	44	15	with	with	SCONJ
ejde-599	44	16	the	the	DET
ejde-599	44	17	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	44	18	spanned	span	VERB
ejde-599	44	19	by	by	ADP
ejde-599	44	20	sinx	sinx	PROPN
ejde-599	44	21	sin	sin	PROPN
ejde-599	44	22	7y	7y	NOUN
ejde-599	44	23	,	,	PUNCT
ejde-599	44	24	sin	sin	NOUN
ejde-599	44	25	7x	7x	NUM
ejde-599	44	26	sin	sin	NOUN
ejde-599	44	27	y	y	NOUN
ejde-599	44	28	,	,	PUNCT
ejde-599	44	29	sin	sin	NOUN
ejde-599	44	30	5x	5x	NUM
ejde-599	44	31	sin	sin	NOUN
ejde-599	44	32	5y	5y	NOUN
ejde-599	44	33	.	.	PUNCT
ejde-599	45	1	the	the	DET
ejde-599	45	2	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	45	3	65	65	NUM
ejde-599	45	4	=	=	SYM
ejde-599	45	5	12	12	NUM
ejde-599	45	6	+	+	CCONJ
ejde-599	45	7	82	82	NUM
ejde-599	45	8	=	=	SYM
ejde-599	45	9	42	42	NUM
ejde-599	45	10	+	+	SYM
ejde-599	45	11	72	72	NUM
ejde-599	45	12	is	be	AUX
ejde-599	45	13	quadruple	quadruple	NOUN
ejde-599	45	14	,	,	PUNCT
ejde-599	45	15	the	the	DET
ejde-599	45	16	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	45	17	325	325	NUM
ejde-599	45	18	=	=	SYM
ejde-599	45	19	12	12	NUM
ejde-599	45	20	+	+	NUM
ejde-599	45	21	182	182	NUM
ejde-599	45	22	=	=	SYM
ejde-599	45	23	62	62	NUM
ejde-599	45	24	+	+	NUM
ejde-599	45	25	172	172	NUM
ejde-599	45	26	=	=	SYM
ejde-599	45	27	102	102	NUM
ejde-599	45	28	+	+	SYM
ejde-599	45	29	152	152	NUM
ejde-599	45	30	has	have	VERB
ejde-599	45	31	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	45	32	six	six	NUM
ejde-599	45	33	,	,	PUNCT
ejde-599	45	34	and	and	CCONJ
ejde-599	45	35	so	so	ADV
ejde-599	45	36	on	on	ADV
ejde-599	45	37	.	.	PUNCT
ejde-599	46	1	it	it	PRON
ejde-599	46	2	is	be	AUX
ejde-599	46	3	natural	natural	ADJ
ejde-599	46	4	to	to	PART
ejde-599	46	5	ask	ask	VERB
ejde-599	46	6	if	if	SCONJ
ejde-599	46	7	there	there	PRON
ejde-599	46	8	is	be	VERB
ejde-599	46	9	an	an	DET
ejde-599	46	10	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	46	11	of	of	ADP
ejde-599	46	12	any	any	DET
ejde-599	46	13	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	46	14	.	.	PUNCT
ejde-599	47	1	in	in	ADP
ejde-599	47	2	number	number	NOUN
ejde-599	47	3	theoretic	theoretic	NOUN
ejde-599	47	4	terms	term	NOUN
ejde-599	47	5	the	the	DET
ejde-599	47	6	possible	possible	ADJ
ejde-599	47	7	conjecture	conjecture	NOUN
ejde-599	47	8	is	be	AUX
ejde-599	47	9	:	:	PUNCT
ejde-599	47	10	for	for	ADP
ejde-599	47	11	any	any	DET
ejde-599	47	12	even	even	ADV
ejde-599	47	13	integer	integer	NOUN
ejde-599	47	14	2	2	NUM
ejde-599	47	15	m	m	NOUN
ejde-599	47	16	one	one	NUM
ejde-599	47	17	can	can	AUX
ejde-599	47	18	find	find	VERB
ejde-599	47	19	an	an	DET
ejde-599	47	20	integer	integer	NOUN
ejde-599	47	21	n	n	CCONJ
ejde-599	47	22	that	that	PRON
ejde-599	47	23	can	can	AUX
ejde-599	47	24	be	be	AUX
ejde-599	47	25	represented	represent	VERB
ejde-599	47	26	as	as	ADP
ejde-599	47	27	n	n	NOUN
ejde-599	47	28	=	=	PUNCT
ejde-599	47	29	p2	p2	PROPN
ejde-599	47	30	+	+	CCONJ
ejde-599	47	31	q2	q2	NOUN
ejde-599	47	32	,	,	PUNCT
ejde-599	47	33	with	with	ADP
ejde-599	47	34	integers	integer	NOUN
ejde-599	47	35	p	p	PROPN
ejde-599	47	36	6=	6=	PROPN
ejde-599	47	37	q	q	X
ejde-599	47	38	,	,	PUNCT
ejde-599	47	39	in	in	ADP
ejde-599	47	40	exactly	exactly	ADV
ejde-599	47	41	m	m	VERB
ejde-599	47	42	different	different	ADJ
ejde-599	47	43	ways	way	NOUN
ejde-599	47	44	,	,	PUNCT
ejde-599	47	45	while	while	SCONJ
ejde-599	47	46	for	for	ADP
ejde-599	47	47	any	any	DET
ejde-599	47	48	odd	odd	ADJ
ejde-599	47	49	integer	integer	NOUN
ejde-599	47	50	2m+	2m+	NUM
ejde-599	47	51	1	1	NUM
ejde-599	47	52	one	one	NOUN
ejde-599	47	53	can	can	AUX
ejde-599	47	54	find	find	VERB
ejde-599	47	55	an	an	DET
ejde-599	47	56	integer	integer	NOUN
ejde-599	47	57	m	m	NOUN
ejde-599	47	58	that	that	PRON
ejde-599	47	59	can	can	AUX
ejde-599	47	60	be	be	AUX
ejde-599	47	61	represented	represent	VERB
ejde-599	47	62	as	as	ADP
ejde-599	47	63	m	m	NOUN
ejde-599	47	64	=	=	PUNCT
ejde-599	47	65	p2	p2	PROPN
ejde-599	47	66	+	+	CCONJ
ejde-599	47	67	q2	q2	NOUN
ejde-599	47	68	,	,	PUNCT
ejde-599	47	69	with	with	ADP
ejde-599	47	70	integers	integer	NOUN
ejde-599	47	71	p	p	PROPN
ejde-599	47	72	6=	6=	PROPN
ejde-599	47	73	q	q	X
ejde-599	47	74	,	,	PUNCT
ejde-599	47	75	in	in	ADP
ejde-599	47	76	exactly	exactly	ADV
ejde-599	47	77	m	m	VERB
ejde-599	47	78	different	different	ADJ
ejde-599	47	79	ways	way	NOUN
ejde-599	47	80	,	,	PUNCT
ejde-599	47	81	and	and	CCONJ
ejde-599	47	82	in	in	ADP
ejde-599	47	83	addition	addition	NOUN
ejde-599	47	84	,	,	PUNCT
ejde-599	47	85	m	m	VERB
ejde-599	47	86	=	=	VERB
ejde-599	47	87	r2	r2	PROPN
ejde-599	47	88	+	+	CCONJ
ejde-599	47	89	r2	r2	NOUN
ejde-599	47	90	for	for	ADP
ejde-599	47	91	some	some	DET
ejde-599	47	92	integer	integer	NOUN
ejde-599	48	1	r	r	NOUN
ejde-599	48	2	>	>	X
ejde-599	48	3	0	0	NUM
ejde-599	48	4	.	.	PUNCT
ejde-599	49	1	by	by	ADP
ejde-599	49	2	contrast	contrast	NOUN
ejde-599	49	3	,	,	PUNCT
ejde-599	49	4	for	for	ADP
ejde-599	49	5	a	a	DET
ejde-599	49	6	disc	disc	NOUN
ejde-599	49	7	da	da	NOUN
ejde-599	49	8	:	:	PUNCT
ejde-599	49	9	x2+y2	x2+y2	PROPN
ejde-599	49	10	<	<	X
ejde-599	49	11	a2	a2	PROPN
ejde-599	49	12	in	in	ADP
ejde-599	49	13	r2	r2	PROPN
ejde-599	49	14	,	,	PUNCT
ejde-599	49	15	we	we	PRON
ejde-599	49	16	show	show	VERB
ejde-599	49	17	that	that	SCONJ
ejde-599	49	18	all	all	DET
ejde-599	49	19	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	49	20	of	of	ADP
ejde-599	49	21	the	the	DET
ejde-599	49	22	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-599	49	23	have	have	VERB
ejde-599	49	24	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	49	25	two	two	NUM
ejde-599	49	26	,	,	PUNCT
ejde-599	49	27	except	except	SCONJ
ejde-599	49	28	for	for	ADP
ejde-599	49	29	the	the	DET
ejde-599	49	30	principal	principal	ADJ
ejde-599	49	31	one	one	NOUN
ejde-599	49	32	(	(	PUNCT
ejde-599	49	33	which	which	PRON
ejde-599	49	34	is	be	AUX
ejde-599	49	35	simple	simple	ADJ
ejde-599	49	36	)	)	PUNCT
ejde-599	49	37	,	,	PUNCT
ejde-599	49	38	and	and	CCONJ
ejde-599	50	1	that	that	SCONJ
ejde-599	50	2	the	the	DET
ejde-599	50	3	integrals	integral	NOUN
ejde-599	50	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	50	5	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	50	6	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	50	7	,	,	PUNCT
ejde-599	50	8	y	y	PROPN
ejde-599	50	9	)	)	PUNCT
ejde-599	50	10	dx	dx	PROPN
ejde-599	50	11	dy	dy	PROPN
ejde-599	50	12	and	and	CCONJ
ejde-599	50	13	∫	∫	PROPN
ejde-599	50	14	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	50	15	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	50	16	,	,	PUNCT
ejde-599	50	17	y	y	PROPN
ejde-599	50	18	)	)	PUNCT
ejde-599	50	19	dx	dx	PROPN
ejde-599	50	20	dy	dy	NOUN
ejde-599	50	21	remain	remain	VERB
ejde-599	50	22	constant	constant	ADJ
ejde-599	50	23	over	over	ADP
ejde-599	50	24	the	the	DET
ejde-599	50	25	entire	entire	ADJ
ejde-599	50	26	eigenspaces	eigenspace	NOUN
ejde-599	50	27	,	,	PUNCT
ejde-599	50	28	and	and	CCONJ
ejde-599	50	29	can	can	AUX
ejde-599	50	30	be	be	AUX
ejde-599	50	31	explicitly	explicitly	ADV
ejde-599	50	32	calculated	calculate	VERB
ejde-599	50	33	.	.	PUNCT
ejde-599	51	1	we	we	PRON
ejde-599	51	2	present	present	VERB
ejde-599	51	3	a	a	DET
ejde-599	51	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	51	5	and	and	CCONJ
ejde-599	51	6	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	51	7	condition	condition	NOUN
ejde-599	51	8	for	for	ADP
ejde-599	51	9	the	the	DET
ejde-599	51	10	existence	existence	NOUN
ejde-599	51	11	of	of	ADP
ejde-599	51	12	solutions	solution	NOUN
ejde-599	51	13	of	of	ADP
ejde-599	51	14	the	the	DET
ejde-599	51	15	problem	problem	NOUN
ejde-599	51	16	(	(	PUNCT
ejde-599	51	17	1.1	1.1	NUM
ejde-599	51	18	)	)	PUNCT
ejde-599	51	19	on	on	ADP
ejde-599	51	20	da	da	PROPN
ejde-599	51	21	,	,	PUNCT
ejde-599	51	22	for	for	ADP
ejde-599	51	23	this	this	DET
ejde-599	51	24	case	case	NOUN
ejde-599	51	25	of	of	ADP
ejde-599	51	26	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	51	27	at	at	ADP
ejde-599	51	28	a	a	DET
ejde-599	51	29	double	double	ADJ
ejde-599	51	30	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	51	31	.	.	PUNCT
ejde-599	52	1	we	we	PRON
ejde-599	52	2	prove	prove	VERB
ejde-599	52	3	the	the	DET
ejde-599	52	4	necessity	necessity	NOUN
ejde-599	52	5	part	part	NOUN
ejde-599	52	6	directly	directly	ADV
ejde-599	52	7	,	,	PUNCT
ejde-599	52	8	while	while	SCONJ
ejde-599	52	9	sufficiency	sufficiency	NOUN
ejde-599	52	10	is	be	AUX
ejde-599	52	11	derived	derive	VERB
ejde-599	52	12	by	by	ADP
ejde-599	52	13	verifying	verify	VERB
ejde-599	52	14	the	the	DET
ejde-599	52	15	conditions	condition	NOUN
ejde-599	52	16	of	of	ADP
ejde-599	52	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	52	18	1.1	1.1	NUM
ejde-599	52	19	.	.	PUNCT
ejde-599	53	1	our	our	PRON
ejde-599	53	2	result	result	NOUN
ejde-599	53	3	can	can	AUX
ejde-599	53	4	be	be	AUX
ejde-599	53	5	seen	see	VERB
ejde-599	53	6	as	as	ADP
ejde-599	53	7	a	a	DET
ejde-599	53	8	pde	pde	NOUN
ejde-599	53	9	analog	analog	NOUN
ejde-599	53	10	of	of	ADP
ejde-599	53	11	the	the	DET
ejde-599	53	12	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	53	13	-	-	PUNCT
ejde-599	53	14	leach	leach	NOUN
ejde-599	53	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	53	16	.	.	PUNCT
ejde-599	54	1	as	as	ADP
ejde-599	54	2	an	an	DET
ejde-599	54	3	application	application	NOUN
ejde-599	54	4	,	,	PUNCT
ejde-599	54	5	we	we	PRON
ejde-599	54	6	give	give	VERB
ejde-599	54	7	a	a	DET
ejde-599	54	8	condition	condition	NOUN
ejde-599	54	9	for	for	ADP
ejde-599	54	10	unboundness	unboundness	NOUN
ejde-599	54	11	of	of	ADP
ejde-599	54	12	all	all	DET
ejde-599	54	13	solutions	solution	NOUN
ejde-599	54	14	of	of	ADP
ejde-599	54	15	the	the	DET
ejde-599	54	16	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-599	54	17	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	54	18	heat	heat	NOUN
ejde-599	54	19	equation	equation	NOUN
ejde-599	54	20	.	.	PUNCT
ejde-599	55	1	by	by	ADP
ejde-599	55	2	contrast	contrast	NOUN
ejde-599	55	3	,	,	PUNCT
ejde-599	55	4	for	for	ADP
ejde-599	55	5	a	a	DET
ejde-599	55	6	disc	disc	NOUN
ejde-599	55	7	da	da	NOUN
ejde-599	55	8	:	:	PUNCT
ejde-599	56	1	x2	x2	PROPN
ejde-599	57	1	+	+	CCONJ
ejde-599	57	2	y2	y2	NOUN
ejde-599	57	3	<	<	X
ejde-599	57	4	a2	a2	PROPN
ejde-599	57	5	in	in	ADP
ejde-599	57	6	r2	r2	PROPN
ejde-599	57	7	,	,	PUNCT
ejde-599	57	8	we	we	PRON
ejde-599	57	9	show	show	VERB
ejde-599	57	10	that	that	SCONJ
ejde-599	57	11	all	all	DET
ejde-599	57	12	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	57	13	of	of	ADP
ejde-599	57	14	the	the	DET
ejde-599	57	15	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-599	57	16	have	have	VERB
ejde-599	57	17	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	57	18	two	two	NUM
ejde-599	57	19	,	,	PUNCT
ejde-599	57	20	except	except	SCONJ
ejde-599	57	21	for	for	ADP
ejde-599	57	22	the	the	DET
ejde-599	57	23	principal	principal	ADJ
ejde-599	57	24	one	one	NOUN
ejde-599	57	25	(	(	PUNCT
ejde-599	57	26	which	which	PRON
ejde-599	57	27	is	be	AUX
ejde-599	57	28	simple	simple	ADJ
ejde-599	57	29	)	)	PUNCT
ejde-599	57	30	,	,	PUNCT
ejde-599	57	31	and	and	CCONJ
ejde-599	58	1	that	that	SCONJ
ejde-599	58	2	the	the	DET
ejde-599	58	3	integrals	integral	NOUN
ejde-599	58	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	58	5	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	58	6	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	58	7	,	,	PUNCT
ejde-599	58	8	y	y	PROPN
ejde-599	58	9	)	)	PUNCT
ejde-599	58	10	dx	dx	PROPN
ejde-599	58	11	dy	dy	PROPN
ejde-599	58	12	and	and	CCONJ
ejde-599	58	13	∫	∫	PROPN
ejde-599	58	14	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	58	15	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	58	16	,	,	PUNCT
ejde-599	58	17	y	y	PROPN
ejde-599	58	18	)	)	PUNCT
ejde-599	58	19	dx	dx	PROPN
ejde-599	58	20	dy	dy	NOUN
ejde-599	58	21	remain	remain	VERB
ejde-599	58	22	constant	constant	ADJ
ejde-599	58	23	over	over	ADP
ejde-599	58	24	the	the	DET
ejde-599	58	25	entire	entire	ADJ
ejde-599	58	26	eigenspaces	eigenspace	NOUN
ejde-599	58	27	,	,	PUNCT
ejde-599	58	28	and	and	CCONJ
ejde-599	58	29	can	can	AUX
ejde-599	58	30	be	be	AUX
ejde-599	58	31	explicitly	explicitly	ADV
ejde-599	58	32	calculated	calculate	VERB
ejde-599	58	33	.	.	PUNCT
ejde-599	59	1	we	we	PRON
ejde-599	59	2	present	present	VERB
ejde-599	59	3	a	a	DET
ejde-599	59	4	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	59	5	and	and	CCONJ
ejde-599	59	6	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	59	7	condition	condition	NOUN
ejde-599	59	8	for	for	ADP
ejde-599	59	9	the	the	DET
ejde-599	59	10	existence	existence	NOUN
ejde-599	59	11	of	of	ADP
ejde-599	59	12	solutions	solution	NOUN
ejde-599	59	13	of	of	ADP
ejde-599	59	14	the	the	DET
ejde-599	59	15	problem	problem	NOUN
ejde-599	59	16	(	(	PUNCT
ejde-599	59	17	1.1	1.1	NUM
ejde-599	59	18	)	)	PUNCT
ejde-599	59	19	on	on	ADP
ejde-599	59	20	da	da	PROPN
ejde-599	59	21	,	,	PUNCT
ejde-599	59	22	for	for	ADP
ejde-599	59	23	this	this	DET
ejde-599	59	24	case	case	NOUN
ejde-599	59	25	of	of	ADP
ejde-599	59	26	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	59	27	at	at	ADP
ejde-599	59	28	a	a	DET
ejde-599	59	29	double	double	ADJ
ejde-599	59	30	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	59	31	.	.	PUNCT
ejde-599	60	1	we	we	PRON
ejde-599	60	2	prove	prove	VERB
ejde-599	60	3	the	the	DET
ejde-599	60	4	necessity	necessity	NOUN
ejde-599	60	5	part	part	NOUN
ejde-599	60	6	directly	directly	ADV
ejde-599	60	7	,	,	PUNCT
ejde-599	60	8	while	while	SCONJ
ejde-599	60	9	sufficiency	sufficiency	NOUN
ejde-599	60	10	is	be	AUX
ejde-599	60	11	derived	derive	VERB
ejde-599	60	12	by	by	ADP
ejde-599	60	13	verifying	verify	VERB
ejde-599	60	14	the	the	DET
ejde-599	60	15	conditions	condition	NOUN
ejde-599	60	16	ejde-2024/09	ejde-2024/09	VERB
ejde-599	60	17	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	60	18	and	and	CCONJ
ejde-599	60	19	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	60	20	condition	condition	NOUN
ejde-599	60	21	3	3	NUM
ejde-599	60	22	of	of	ADP
ejde-599	60	23	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	60	24	1.1	1.1	NUM
ejde-599	60	25	.	.	PUNCT
ejde-599	61	1	our	our	PRON
ejde-599	61	2	result	result	NOUN
ejde-599	61	3	can	can	AUX
ejde-599	61	4	be	be	AUX
ejde-599	61	5	seen	see	VERB
ejde-599	61	6	as	as	ADP
ejde-599	61	7	a	a	DET
ejde-599	61	8	pde	pde	NOUN
ejde-599	61	9	analog	analog	NOUN
ejde-599	61	10	of	of	ADP
ejde-599	61	11	the	the	DET
ejde-599	61	12	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	61	13	-	-	PUNCT
ejde-599	61	14	leach	leach	NOUN
ejde-599	61	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	61	16	.	.	PUNCT
ejde-599	62	1	as	as	ADP
ejde-599	62	2	an	an	DET
ejde-599	62	3	application	application	NOUN
ejde-599	62	4	,	,	PUNCT
ejde-599	62	5	we	we	PRON
ejde-599	62	6	give	give	VERB
ejde-599	62	7	a	a	DET
ejde-599	62	8	condition	condition	NOUN
ejde-599	62	9	for	for	ADP
ejde-599	62	10	unboundness	unboundness	NOUN
ejde-599	62	11	of	of	ADP
ejde-599	62	12	all	all	DET
ejde-599	62	13	solutions	solution	NOUN
ejde-599	62	14	of	of	ADP
ejde-599	62	15	the	the	DET
ejde-599	62	16	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-599	62	17	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	62	18	heat	heat	NOUN
ejde-599	62	19	equation	equation	NOUN
ejde-599	62	20	.	.	PUNCT
ejde-599	63	1	radial	radial	ADJ
ejde-599	63	2	solutions	solution	NOUN
ejde-599	63	3	on	on	ADP
ejde-599	63	4	balls	ball	NOUN
ejde-599	63	5	in	in	ADP
ejde-599	63	6	rn	rn	PROPN
ejde-599	63	7	were	be	AUX
ejde-599	63	8	studied	study	VERB
ejde-599	63	9	extensively	extensively	ADV
ejde-599	63	10	,	,	PUNCT
ejde-599	63	11	see	see	VERB
ejde-599	63	12	e.g.	e.g.	ADV
ejde-599	63	13	,	,	PUNCT
ejde-599	63	14	korman	korman	PROPN
ejde-599	64	1	[	[	X
ejde-599	64	2	4	4	X
ejde-599	64	3	]	]	PUNCT
ejde-599	64	4	or	or	CCONJ
ejde-599	64	5	ouyang	ouyang	NOUN
ejde-599	64	6	and	and	CCONJ
ejde-599	64	7	shi	shi	NOUN
ejde-599	65	1	[	[	X
ejde-599	65	2	10	10	NUM
ejde-599	65	3	]	]	PUNCT
ejde-599	65	4	,	,	PUNCT
ejde-599	65	5	stimulated	stimulate	VERB
ejde-599	65	6	by	by	ADP
ejde-599	65	7	the	the	DET
ejde-599	65	8	classical	classical	ADJ
ejde-599	65	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	65	10	of	of	ADP
ejde-599	65	11	gidas	gidas	PROPN
ejde-599	65	12	,	,	PUNCT
ejde-599	65	13	ni	ni	PROPN
ejde-599	65	14	and	and	CCONJ
ejde-599	65	15	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-599	66	1	[	[	X
ejde-599	66	2	2	2	X
ejde-599	66	3	]	]	PUNCT
ejde-599	66	4	which	which	PRON
ejde-599	66	5	asserts	assert	VERB
ejde-599	66	6	that	that	SCONJ
ejde-599	66	7	any	any	DET
ejde-599	66	8	positive	positive	ADJ
ejde-599	66	9	solution	solution	NOUN
ejde-599	66	10	of	of	ADP
ejde-599	66	11	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-599	66	12	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-599	66	13	problem	problem	NOUN
ejde-599	66	14	on	on	ADP
ejde-599	66	15	a	a	DET
ejde-599	66	16	ball	ball	NOUN
ejde-599	66	17	is	be	AUX
ejde-599	66	18	necessarily	necessarily	ADV
ejde-599	66	19	radially	radially	ADV
ejde-599	66	20	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-599	66	21	.	.	PUNCT
ejde-599	67	1	our	our	PRON
ejde-599	67	2	result	result	NOUN
ejde-599	67	3	suggests	suggest	VERB
ejde-599	67	4	that	that	SCONJ
ejde-599	67	5	ball	ball	NOUN
ejde-599	67	6	may	may	AUX
ejde-599	67	7	be	be	AUX
ejde-599	67	8	a	a	DET
ejde-599	67	9	special	special	ADJ
ejde-599	67	10	domain	domain	NOUN
ejde-599	67	11	even	even	ADV
ejde-599	67	12	when	when	SCONJ
ejde-599	67	13	studying	study	VERB
ejde-599	67	14	sign	sign	NOUN
ejde-599	67	15	-	-	PUNCT
ejde-599	67	16	changing	change	VERB
ejde-599	67	17	non	non	ADJ
ejde-599	67	18	-	-	ADJ
ejde-599	67	19	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-599	67	20	solutions	solution	NOUN
ejde-599	67	21	.	.	PUNCT
ejde-599	68	1	previously	previously	ADV
ejde-599	68	2	,	,	PUNCT
ejde-599	68	3	korman	korman	PROPN
ejde-599	68	4	and	and	CCONJ
ejde-599	68	5	schmidt	schmidt	PROPN
ejde-599	68	6	[	[	X
ejde-599	68	7	6	6	NUM
ejde-599	68	8	]	]	PUNCT
ejde-599	68	9	studied	study	VERB
ejde-599	68	10	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	68	11	at	at	ADP
ejde-599	68	12	the	the	DET
ejde-599	68	13	principal	principal	ADJ
ejde-599	68	14	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	68	15	on	on	ADP
ejde-599	68	16	b.	b.	PROPN
ejde-599	68	17	they	they	PRON
ejde-599	68	18	constructed	construct	VERB
ejde-599	68	19	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	68	20	)	)	PUNCT
ejde-599	68	21	for	for	ADP
ejde-599	68	22	which	which	PRON
ejde-599	68	23	the	the	DET
ejde-599	68	24	problem	problem	NOUN
ejde-599	68	25	has	have	VERB
ejde-599	68	26	infinitely	infinitely	ADV
ejde-599	68	27	many	many	ADJ
ejde-599	68	28	solutions	solution	NOUN
ejde-599	68	29	for	for	ADP
ejde-599	68	30	any	any	DET
ejde-599	68	31	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	68	32	,	,	PUNCT
ejde-599	68	33	y	y	NOUN
ejde-599	68	34	)	)	PUNCT
ejde-599	68	35	∈	∈	PROPN
ejde-599	68	36	l2(da	l2(da	PROPN
ejde-599	68	37	)	)	PUNCT
ejde-599	68	38	.	.	PUNCT
ejde-599	69	1	2	2	X
ejde-599	69	2	.	.	X
ejde-599	69	3	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	69	4	for	for	ADP
ejde-599	69	5	a	a	DET
ejde-599	69	6	two	two	NUM
ejde-599	69	7	-	-	PUNCT
ejde-599	69	8	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-599	69	9	disc	disc	NOUN
ejde-599	69	10	remarkably	remarkably	ADV
ejde-599	69	11	,	,	PUNCT
ejde-599	69	12	the	the	DET
ejde-599	69	13	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	69	14	of	of	ADP
ejde-599	69	15	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-599	69	16	on	on	ADP
ejde-599	69	17	a	a	DET
ejde-599	69	18	disc	disc	NOUN
ejde-599	69	19	da	da	NOUN
ejde-599	69	20	:	:	PUNCT
ejde-599	70	1	x2	x2	PROPN
ejde-599	71	1	+	+	CCONJ
ejde-599	71	2	y2	y2	NOUN
ejde-599	71	3	<	<	X
ejde-599	71	4	a2	a2	PROPN
ejde-599	71	5	in	in	ADP
ejde-599	71	6	two	two	NUM
ejde-599	71	7	dimensions	dimension	NOUN
ejde-599	71	8	all	all	PRON
ejde-599	71	9	have	have	VERB
ejde-599	71	10	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	71	11	two	two	NUM
ejde-599	71	12	,	,	PUNCT
ejde-599	71	13	except	except	SCONJ
ejde-599	71	14	for	for	ADP
ejde-599	71	15	the	the	DET
ejde-599	71	16	principal	principal	ADJ
ejde-599	71	17	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	71	18	,	,	PUNCT
ejde-599	71	19	which	which	PRON
ejde-599	71	20	is	be	AUX
ejde-599	71	21	simple	simple	ADJ
ejde-599	71	22	.	.	PUNCT
ejde-599	72	1	recall	recall	PROPN
ejde-599	72	2	(	(	PUNCT
ejde-599	72	3	see	see	VERB
ejde-599	72	4	e.g.	e.g.	ADV
ejde-599	72	5	[	[	X
ejde-599	72	6	11	11	NUM
ejde-599	72	7	]	]	PUNCT
ejde-599	72	8	,	,	PUNCT
ejde-599	72	9	p.	p.	NOUN
ejde-599	72	10	251	251	NUM
ejde-599	72	11	)	)	PUNCT
ejde-599	72	12	that	that	SCONJ
ejde-599	72	13	the	the	DET
ejde-599	72	14	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	72	15	of	of	ADP
ejde-599	72	16	the	the	DET
ejde-599	72	17	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-599	72	18	on	on	ADP
ejde-599	72	19	da	da	PROPN
ejde-599	72	20	with	with	ADP
ejde-599	72	21	zero	zero	NUM
ejde-599	72	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-599	72	23	condition	condition	NOUN
ejde-599	72	24	are	be	AUX
ejde-599	72	25	λn	λn	NOUN
ejde-599	72	26	,	,	PUNCT
ejde-599	72	27	m	m	VERB
ejde-599	72	28	=	=	ADJ
ejde-599	72	29	α2	α2	PROPN
ejde-599	72	30	n	n	SYM
ejde-599	72	31	,	,	PUNCT
ejde-599	72	32	m	m	PROPN
ejde-599	72	33	a2	a2	PROPN
ejde-599	72	34	(	(	PUNCT
ejde-599	72	35	n	n	NOUN
ejde-599	72	36	=	=	SYM
ejde-599	72	37	0	0	NUM
ejde-599	72	38	,	,	PUNCT
ejde-599	72	39	1	1	NUM
ejde-599	72	40	,	,	PUNCT
ejde-599	72	41	2	2	NUM
ejde-599	72	42	,	,	PUNCT
ejde-599	72	43	.	.	PUNCT
ejde-599	72	44	.	.	PUNCT
ejde-599	72	45	.	.	PUNCT
ejde-599	73	1	;	;	PUNCT
ejde-599	73	2	m	m	VERB
ejde-599	73	3	=	=	SYM
ejde-599	73	4	1	1	NUM
ejde-599	73	5	,	,	PUNCT
ejde-599	73	6	2	2	NUM
ejde-599	73	7	,	,	PUNCT
ejde-599	73	8	.	.	PUNCT
ejde-599	73	9	.	.	PUNCT
ejde-599	73	10	.	.	PUNCT
ejde-599	73	11	)	)	PUNCT
ejde-599	73	12	,	,	PUNCT
ejde-599	73	13	with	with	SCONJ
ejde-599	73	14	the	the	DET
ejde-599	73	15	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-599	73	16	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	73	17	jn	jn	PROPN
ejde-599	73	18	(	(	PUNCT
ejde-599	73	19	αn	αn	PROPN
ejde-599	73	20	,	,	PUNCT
ejde-599	73	21	m	m	VERB
ejde-599	73	22	a	a	DET
ejde-599	73	23	r	r	NOUN
ejde-599	73	24	)	)	PUNCT
ejde-599	73	25	(	(	PUNCT
ejde-599	73	26	a	a	DET
ejde-599	73	27	cosnθ	cosnθ	NOUN
ejde-599	73	28	+	+	PROPN
ejde-599	73	29	b	b	NOUN
ejde-599	73	30	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	73	31	)	)	PUNCT
ejde-599	73	32	,	,	PUNCT
ejde-599	73	33	(	(	PUNCT
ejde-599	73	34	2.1	2.1	NUM
ejde-599	73	35	)	)	PUNCT
ejde-599	73	36	where	where	SCONJ
ejde-599	73	37	αn	αn	NOUN
ejde-599	73	38	,	,	PUNCT
ejde-599	73	39	m	m	VERB
ejde-599	73	40	is	be	AUX
ejde-599	73	41	the	the	DET
ejde-599	73	42	m	m	PROPN
ejde-599	73	43	-	-	PUNCT
ejde-599	73	44	th	th	VERB
ejde-599	73	45	root	root	NOUN
ejde-599	73	46	of	of	ADP
ejde-599	73	47	jn(t	jn(t	NOUN
ejde-599	73	48	)	)	PUNCT
ejde-599	73	49	,	,	PUNCT
ejde-599	73	50	the	the	DET
ejde-599	73	51	n	n	CCONJ
ejde-599	73	52	-	-	PUNCT
ejde-599	73	53	th	th	VERB
ejde-599	73	54	bessel	bessel	NOUN
ejde-599	73	55	function	function	NOUN
ejde-599	73	56	of	of	ADP
ejde-599	73	57	the	the	DET
ejde-599	73	58	first	first	ADJ
ejde-599	73	59	kind	kind	NOUN
ejde-599	73	60	,	,	PUNCT
ejde-599	74	1	r	r	NOUN
ejde-599	74	2	=	=	PUNCT
ejde-599	74	3	√	√	NUM
ejde-599	74	4	x2	x2	NOUN
ejde-599	75	1	+	+	CCONJ
ejde-599	75	2	y2	y2	PROPN
ejde-599	75	3	(	(	PUNCT
ejde-599	75	4	a	a	PRON
ejde-599	75	5	and	and	CCONJ
ejde-599	75	6	b	b	NOUN
ejde-599	75	7	are	be	AUX
ejde-599	75	8	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-599	75	9	constants	constant	NOUN
ejde-599	75	10	;	;	PUNCT
ejde-599	75	11	αn	αn	X
ejde-599	75	12	,	,	PUNCT
ejde-599	75	13	m	m	VERB
ejde-599	75	14	are	be	AUX
ejde-599	75	15	all	all	ADV
ejde-599	75	16	positive	positive	ADJ
ejde-599	75	17	)	)	PUNCT
ejde-599	75	18	.	.	PUNCT
ejde-599	76	1	there	there	PRON
ejde-599	76	2	are	be	VERB
ejde-599	76	3	no	no	DET
ejde-599	76	4	other	other	ADJ
ejde-599	76	5	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-599	76	6	,	,	PUNCT
ejde-599	76	7	since	since	SCONJ
ejde-599	76	8	the	the	DET
ejde-599	76	9	ones	one	NOUN
ejde-599	76	10	given	give	VERB
ejde-599	76	11	above	above	ADP
ejde-599	76	12	form	form	VERB
ejde-599	76	13	a	a	DET
ejde-599	76	14	complete	complete	ADJ
ejde-599	76	15	set	set	NOUN
ejde-599	76	16	in	in	ADP
ejde-599	76	17	l2(da	l2(da	PROPN
ejde-599	76	18	)	)	PUNCT
ejde-599	76	19	.	.	PUNCT
ejde-599	77	1	the	the	DET
ejde-599	77	2	principal	principal	ADJ
ejde-599	77	3	eigenpair	eigenpair	NOUN
ejde-599	77	4	is	be	AUX
ejde-599	77	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-599	77	6	=	=	SYM
ejde-599	77	7	α2	α2	PROPN
ejde-599	77	8	0,1	0,1	NUM
ejde-599	77	9	a2	a2	PROPN
ejde-599	77	10	≈	≈	PROPN
ejde-599	77	11	5.78	5.78	NUM
ejde-599	77	12	a2	a2	PROPN
ejde-599	77	13	,	,	PUNCT
ejde-599	77	14	ϕ1(r	ϕ1(r	PROPN
ejde-599	77	15	)	)	PUNCT
ejde-599	77	16	=	=	SYM
ejde-599	77	17	j0	j0	PROPN
ejde-599	77	18	(	(	PUNCT
ejde-599	77	19	α0,1	α0,1	NOUN
ejde-599	77	20	a	a	DET
ejde-599	77	21	r	r	NOUN
ejde-599	77	22	)	)	PUNCT
ejde-599	77	23	.	.	PUNCT
ejde-599	78	1	one	one	NUM
ejde-599	78	2	calculates	calculate	VERB
ejde-599	78	3	λ2	λ2	NOUN
ejde-599	78	4	=	=	SYM
ejde-599	78	5	α2	α2	PROPN
ejde-599	78	6	1,1	1,1	NUM
ejde-599	78	7	a2	a2	PROPN
ejde-599	78	8	≈	≈	PROPN
ejde-599	78	9	14.62	14.62	NUM
ejde-599	78	10	a2	a2	PROPN
ejde-599	78	11	,	,	PUNCT
ejde-599	78	12	with	with	ADP
ejde-599	78	13	α1,1	α1,1	PROPN
ejde-599	78	14	≈	≈	PROPN
ejde-599	78	15	3.83	3.83	NUM
ejde-599	78	16	,	,	PUNCT
ejde-599	78	17	and	and	CCONJ
ejde-599	78	18	ϕ2	ϕ2	ADV
ejde-599	78	19	=	=	SYM
ejde-599	78	20	j1	j1	PROPN
ejde-599	78	21	(	(	PUNCT
ejde-599	78	22	α1,1	α1,1	PROPN
ejde-599	78	23	a	a	DET
ejde-599	78	24	r)(a	r)(a	NOUN
ejde-599	78	25	cos	cos	ADP
ejde-599	78	26	θ	θ	PROPN
ejde-599	78	27	+	+	SYM
ejde-599	78	28	b	b	PROPN
ejde-599	78	29	sin	sin	NOUN
ejde-599	78	30	θ	θ	NOUN
ejde-599	78	31	)	)	PUNCT
ejde-599	78	32	,	,	PUNCT
ejde-599	78	33	and	and	CCONJ
ejde-599	78	34	so	so	ADV
ejde-599	78	35	on	on	ADV
ejde-599	78	36	,	,	PUNCT
ejde-599	78	37	see	see	VERB
ejde-599	78	38	the	the	DET
ejde-599	78	39	example	example	NOUN
ejde-599	78	40	below	below	ADV
ejde-599	78	41	.	.	PUNCT
ejde-599	79	1	the	the	DET
ejde-599	79	2	principal	principal	ADJ
ejde-599	79	3	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	79	4	is	be	AUX
ejde-599	79	5	simple	simple	ADJ
ejde-599	79	6	,	,	PUNCT
ejde-599	79	7	while	while	SCONJ
ejde-599	79	8	all	all	DET
ejde-599	79	9	other	other	ADJ
ejde-599	79	10	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	79	11	have	have	VERB
ejde-599	79	12	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	79	13	two	two	NUM
ejde-599	79	14	,	,	PUNCT
ejde-599	79	15	because	because	SCONJ
ejde-599	79	16	any	any	DET
ejde-599	79	17	two	two	NUM
ejde-599	79	18	bessel	bessel	NOUN
ejde-599	79	19	functions	function	NOUN
ejde-599	79	20	with	with	ADP
ejde-599	79	21	indices	index	NOUN
ejde-599	79	22	different	different	ADJ
ejde-599	79	23	by	by	ADP
ejde-599	79	24	an	an	DET
ejde-599	79	25	integer	integer	NOUN
ejde-599	79	26	do	do	AUX
ejde-599	79	27	not	not	PART
ejde-599	79	28	have	have	VERB
ejde-599	79	29	any	any	DET
ejde-599	79	30	roots	root	NOUN
ejde-599	79	31	in	in	ADP
ejde-599	79	32	common	common	ADJ
ejde-599	79	33	,	,	PUNCT
ejde-599	79	34	see	see	VERB
ejde-599	79	35	g.n	g.n	PROPN
ejde-599	79	36	.	.	PROPN
ejde-599	79	37	watson	watson	PROPN
ejde-599	80	1	[	[	X
ejde-599	80	2	13	13	NUM
ejde-599	80	3	,	,	PUNCT
ejde-599	80	4	p.	p.	NOUN
ejde-599	80	5	484	484	NUM
ejde-599	80	6	]	]	PUNCT
ejde-599	80	7	for	for	ADP
ejde-599	80	8	the	the	DET
ejde-599	80	9	following	follow	VERB
ejde-599	80	10	result	result	NOUN
ejde-599	80	11	.	.	PUNCT
ejde-599	81	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	81	2	2.1	2.1	NUM
ejde-599	81	3	.	.	PUNCT
ejde-599	82	1	for	for	ADP
ejde-599	82	2	any	any	DET
ejde-599	82	3	integers	integer	NOUN
ejde-599	82	4	n	n	PRON
ejde-599	82	5	≥	≥	NOUN
ejde-599	82	6	0	0	NUM
ejde-599	82	7	and	and	CCONJ
ejde-599	82	8	m	m	PROPN
ejde-599	82	9	≥	≥	NOUN
ejde-599	82	10	1	1	NUM
ejde-599	82	11	,	,	PUNCT
ejde-599	82	12	the	the	DET
ejde-599	82	13	functions	function	NOUN
ejde-599	82	14	jn(t	jn(t	NOUN
ejde-599	82	15	)	)	PUNCT
ejde-599	82	16	and	and	CCONJ
ejde-599	82	17	jn+m(t	jn+m(t	NOUN
ejde-599	82	18	)	)	PUNCT
ejde-599	82	19	have	have	VERB
ejde-599	82	20	no	no	DET
ejde-599	82	21	common	common	ADJ
ejde-599	82	22	zeros	zero	NOUN
ejde-599	82	23	other	other	ADJ
ejde-599	82	24	than	than	ADP
ejde-599	82	25	the	the	DET
ejde-599	82	26	one	one	NUM
ejde-599	82	27	at	at	ADP
ejde-599	82	28	x	x	X
ejde-599	82	29	=	=	NOUN
ejde-599	82	30	0	0	PROPN
ejde-599	82	31	.	.	PUNCT
ejde-599	83	1	this	this	DET
ejde-599	83	2	result	result	NOUN
ejde-599	83	3	was	be	AUX
ejde-599	83	4	apparently	apparently	ADV
ejde-599	83	5	once	once	ADV
ejde-599	83	6	a	a	DET
ejde-599	83	7	long	long	ADJ
ejde-599	83	8	standing	standing	NOUN
ejde-599	83	9	conjecture	conjecture	NOUN
ejde-599	83	10	(	(	PUNCT
ejde-599	83	11	published	publish	VERB
ejde-599	83	12	in	in	ADP
ejde-599	83	13	1866	1866	NUM
ejde-599	83	14	)	)	PUNCT
ejde-599	83	15	,	,	PUNCT
ejde-599	83	16	known	know	VERB
ejde-599	83	17	in	in	ADP
ejde-599	83	18	the	the	DET
ejde-599	83	19	19	19	NUM
ejde-599	83	20	-	-	PUNCT
ejde-599	83	21	th	th	NUM
ejde-599	83	22	century	century	NOUN
ejde-599	83	23	as	as	ADP
ejde-599	83	24	bourget	bourget	NOUN
ejde-599	83	25	’s	’s	PART
ejde-599	83	26	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-599	83	27	(	(	PUNCT
ejde-599	83	28	after	after	ADP
ejde-599	83	29	a	a	DET
ejde-599	83	30	19th	19th	ADJ
ejde-599	83	31	-	-	PUNCT
ejde-599	83	32	century	century	NOUN
ejde-599	83	33	french	french	ADJ
ejde-599	83	34	mathematician	mathematician	NOUN
ejde-599	83	35	)	)	PUNCT
ejde-599	83	36	,	,	PUNCT
ejde-599	83	37	until	until	SCONJ
ejde-599	83	38	it	it	PRON
ejde-599	83	39	was	be	AUX
ejde-599	83	40	proved	prove	VERB
ejde-599	83	41	in	in	ADP
ejde-599	83	42	1929	1929	NUM
ejde-599	83	43	by	by	ADP
ejde-599	83	44	siegel	siegel	NOUN
ejde-599	83	45	,	,	PUNCT
ejde-599	83	46	see	see	VERB
ejde-599	83	47	[	[	X
ejde-599	83	48	13	13	NUM
ejde-599	83	49	]	]	PUNCT
ejde-599	83	50	,	,	PUNCT
ejde-599	83	51	and	and	CCONJ
ejde-599	83	52	a	a	DET
ejde-599	83	53	very	very	ADV
ejde-599	83	54	informative	informative	ADJ
ejde-599	83	55	wikipedia	wikipedia	PROPN
ejde-599	83	56	article	article	NOUN
ejde-599	83	57	on	on	ADP
ejde-599	83	58	the	the	DET
ejde-599	83	59	bessel	bessel	ADJ
ejde-599	83	60	functions	function	NOUN
ejde-599	83	61	.	.	PUNCT
ejde-599	84	1	the	the	DET
ejde-599	84	2	name	name	NOUN
ejde-599	84	3	“	"	PUNCT
ejde-599	84	4	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-599	84	5	”	"	PUNCT
ejde-599	84	6	suggests	suggest	VERB
ejde-599	84	7	that	that	SCONJ
ejde-599	84	8	it	it	PRON
ejde-599	84	9	was	be	AUX
ejde-599	84	10	used	use	VERB
ejde-599	84	11	to	to	PART
ejde-599	84	12	prove	prove	VERB
ejde-599	84	13	other	other	ADJ
ejde-599	84	14	results	result	NOUN
ejde-599	84	15	.	.	PUNCT
ejde-599	85	1	it	it	PRON
ejde-599	85	2	immediately	immediately	ADV
ejde-599	85	3	implies	imply	VERB
ejde-599	85	4	the	the	DET
ejde-599	85	5	following	following	ADJ
ejde-599	85	6	result	result	NOUN
ejde-599	85	7	that	that	SCONJ
ejde-599	85	8	we	we	PRON
ejde-599	85	9	need	need	VERB
ejde-599	85	10	.	.	PUNCT
ejde-599	86	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	86	2	2.2	2.2	NUM
ejde-599	86	3	.	.	PUNCT
ejde-599	87	1	for	for	ADP
ejde-599	87	2	the	the	DET
ejde-599	87	3	disc	disc	NOUN
ejde-599	87	4	da	da	PROPN
ejde-599	87	5	,	,	PUNCT
ejde-599	87	6	all	all	PRON
ejde-599	87	7	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	87	8	,	,	PUNCT
ejde-599	87	9	other	other	ADJ
ejde-599	87	10	than	than	ADP
ejde-599	87	11	the	the	DET
ejde-599	87	12	principal	principal	ADJ
ejde-599	87	13	one	one	NOUN
ejde-599	87	14	,	,	PUNCT
ejde-599	87	15	have	have	VERB
ejde-599	87	16	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	87	17	two	two	NUM
ejde-599	87	18	.	.	PUNCT
ejde-599	88	1	proof	proof	NOUN
ejde-599	88	2	.	.	PUNCT
ejde-599	89	1	by	by	ADP
ejde-599	89	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	89	3	2.1	2.1	NUM
ejde-599	89	4	,	,	PUNCT
ejde-599	89	5	all	all	PRON
ejde-599	89	6	αn	αn	VERB
ejde-599	89	7	,	,	PUNCT
ejde-599	89	8	m	m	VERB
ejde-599	89	9	are	be	AUX
ejde-599	89	10	different	different	ADJ
ejde-599	89	11	,	,	PUNCT
ejde-599	89	12	and	and	CCONJ
ejde-599	89	13	hence	hence	ADV
ejde-599	89	14	the	the	DET
ejde-599	89	15	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	89	16	of	of	ADP
ejde-599	89	17	λn	λn	NOUN
ejde-599	89	18	,	,	PUNCT
ejde-599	89	19	m	m	VERB
ejde-599	89	20	is	be	AUX
ejde-599	89	21	two	two	NUM
ejde-599	89	22	-	-	PUNCT
ejde-599	89	23	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-599	89	24	,	,	PUNCT
ejde-599	89	25	and	and	CCONJ
ejde-599	89	26	is	be	AUX
ejde-599	89	27	given	give	VERB
ejde-599	89	28	by	by	ADP
ejde-599	89	29	(	(	PUNCT
ejde-599	89	30	2.1	2.1	NUM
ejde-599	89	31	)	)	PUNCT
ejde-599	89	32	.	.	PUNCT
ejde-599	90	1	�	�	PROPN
ejde-599	90	2	it	it	PRON
ejde-599	90	3	turns	turn	VERB
ejde-599	90	4	out	out	ADP
ejde-599	90	5	that	that	SCONJ
ejde-599	90	6	for	for	ADP
ejde-599	90	7	any	any	DET
ejde-599	90	8	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	90	9	λk	λk	ADP
ejde-599	90	10	,	,	PUNCT
ejde-599	90	11	k	k	PROPN
ejde-599	90	12	≥	≥	NUM
ejde-599	90	13	2	2	NUM
ejde-599	90	14	,	,	PUNCT
ejde-599	90	15	both	both	DET
ejde-599	90	16	integrals	integral	NOUN
ejde-599	90	17	∫	∫	PROPN
ejde-599	90	18	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	90	19	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	90	20	,	,	PUNCT
ejde-599	90	21	y	y	PROPN
ejde-599	90	22	)	)	PUNCT
ejde-599	90	23	dx	dx	PROPN
ejde-599	90	24	dy	dy	PROPN
ejde-599	90	25	and	and	CCONJ
ejde-599	90	26	∫	∫	PROPN
ejde-599	90	27	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	90	28	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	90	29	,	,	PUNCT
ejde-599	90	30	y	y	PROPN
ejde-599	90	31	)	)	PUNCT
ejde-599	91	1	dx	dx	PROPN
ejde-599	91	2	dy	dy	NOUN
ejde-599	91	3	on	on	ADP
ejde-599	91	4	da	da	PROPN
ejde-599	91	5	(	(	PUNCT
ejde-599	91	6	appearing	appear	VERB
ejde-599	91	7	in	in	ADP
ejde-599	91	8	(	(	PUNCT
ejde-599	91	9	1.3	1.3	NUM
ejde-599	91	10	)	)	PUNCT
ejde-599	91	11	)	)	PUNCT
ejde-599	91	12	remain	remain	VERB
ejde-599	91	13	constant	constant	ADJ
ejde-599	91	14	for	for	ADP
ejde-599	91	15	all	all	DET
ejde-599	91	16	w(x	w(x	PROPN
ejde-599	91	17	,	,	PUNCT
ejde-599	91	18	y	y	NOUN
ejde-599	91	19	)	)	PUNCT
ejde-599	91	20	in	in	ADP
ejde-599	91	21	the	the	DET
ejde-599	91	22	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	91	23	of	of	ADP
ejde-599	91	24	λk	λk	PROPN
ejde-599	91	25	(	(	PUNCT
ejde-599	91	26	with	with	ADP
ejde-599	91	27	a2+b2	a2+b2	NOUN
ejde-599	91	28	=	=	SYM
ejde-599	91	29	1	1	NUM
ejde-599	91	30	)	)	PUNCT
ejde-599	91	31	,	,	PUNCT
ejde-599	91	32	and	and	CCONJ
ejde-599	91	33	both	both	DET
ejde-599	91	34	integrals	integral	NOUN
ejde-599	91	35	can	can	AUX
ejde-599	91	36	be	be	AUX
ejde-599	91	37	easily	easily	ADV
ejde-599	91	38	calculated	calculate	VERB
ejde-599	91	39	.	.	PUNCT
ejde-599	92	1	4	4	NUM
ejde-599	92	2	p.	p.	NOUN
ejde-599	92	3	korman	korman	PROPN
ejde-599	92	4	ejde-2024/09	ejde-2024/09	PROPN
ejde-599	92	5	let	let	VERB
ejde-599	92	6	pn	pn	VERB
ejde-599	92	7	,	,	PUNCT
ejde-599	92	8	m	m	VERB
ejde-599	92	9	denote	denote	VERB
ejde-599	92	10	the	the	DET
ejde-599	92	11	subset	subset	NOUN
ejde-599	92	12	of	of	ADP
ejde-599	92	13	(	(	PUNCT
ejde-599	92	14	0	0	NUM
ejde-599	92	15	,	,	PUNCT
ejde-599	92	16	a	a	NOUN
ejde-599	92	17	)	)	PUNCT
ejde-599	92	18	where	where	SCONJ
ejde-599	92	19	jn	jn	PROPN
ejde-599	92	20	(	(	PUNCT
ejde-599	92	21	αn	αn	PROPN
ejde-599	92	22	,	,	PUNCT
ejde-599	92	23	m	m	VERB
ejde-599	92	24	a	a	DET
ejde-599	92	25	r	r	NOUN
ejde-599	92	26	)	)	PUNCT
ejde-599	92	27	>	>	X
ejde-599	92	28	0	0	NUM
ejde-599	92	29	,	,	PUNCT
ejde-599	92	30	and	and	CCONJ
ejde-599	92	31	nn	nn	PROPN
ejde-599	92	32	,	,	PUNCT
ejde-599	92	33	m	m	VERB
ejde-599	92	34	the	the	DET
ejde-599	92	35	subset	subset	NOUN
ejde-599	92	36	of	of	ADP
ejde-599	92	37	(	(	PUNCT
ejde-599	92	38	0	0	NUM
ejde-599	92	39	,	,	PUNCT
ejde-599	92	40	a	a	NOUN
ejde-599	92	41	)	)	PUNCT
ejde-599	92	42	where	where	SCONJ
ejde-599	92	43	jn	jn	PROPN
ejde-599	92	44	(	(	PUNCT
ejde-599	92	45	αn	αn	PROPN
ejde-599	92	46	,	,	PUNCT
ejde-599	92	47	m	m	VERB
ejde-599	92	48	a	a	DET
ejde-599	92	49	r	r	NOUN
ejde-599	92	50	)	)	PUNCT
ejde-599	92	51	<	<	X
ejde-599	92	52	0	0	X
ejde-599	92	53	.	.	PUNCT
ejde-599	93	1	the	the	DET
ejde-599	93	2	quantity	quantity	NOUN
ejde-599	93	3	jn	jn	PROPN
ejde-599	93	4	,	,	PUNCT
ejde-599	93	5	m	m	VERB
ejde-599	93	6	=	=	SYM
ejde-599	93	7	2	2	NUM
ejde-599	93	8	∫	∫	NOUN
ejde-599	93	9	pn	pn	PROPN
ejde-599	93	10	,	,	PUNCT
ejde-599	93	11	m	m	VERB
ejde-599	93	12	jn	jn	PROPN
ejde-599	93	13	(	(	PUNCT
ejde-599	93	14	αn	αn	PROPN
ejde-599	93	15	,	,	PUNCT
ejde-599	93	16	m	m	VERB
ejde-599	93	17	a	a	DET
ejde-599	93	18	r	r	NOUN
ejde-599	93	19	)	)	PUNCT
ejde-599	93	20	r	r	NOUN
ejde-599	93	21	dr	dr	NOUN
ejde-599	93	22	−	−	PROPN
ejde-599	93	23	2	2	NUM
ejde-599	93	24	∫	∫	PROPN
ejde-599	93	25	nn	nn	PROPN
ejde-599	93	26	,	,	PUNCT
ejde-599	93	27	m	m	VERB
ejde-599	93	28	jn	jn	PROPN
ejde-599	93	29	(	(	PUNCT
ejde-599	93	30	αn	αn	PROPN
ejde-599	93	31	,	,	PUNCT
ejde-599	93	32	m	m	VERB
ejde-599	93	33	a	a	DET
ejde-599	93	34	r	r	NOUN
ejde-599	93	35	)	)	PUNCT
ejde-599	93	36	r	r	NOUN
ejde-599	93	37	dr	dr	PROPN
ejde-599	93	38	.	.	PUNCT
ejde-599	94	1	(	(	PUNCT
ejde-599	94	2	2.2	2.2	NUM
ejde-599	94	3	)	)	PUNCT
ejde-599	94	4	can	can	AUX
ejde-599	94	5	be	be	AUX
ejde-599	94	6	easily	easily	ADV
ejde-599	94	7	calculated	calculate	VERB
ejde-599	94	8	using	use	VERB
ejde-599	94	9	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-599	94	10	for	for	ADP
ejde-599	94	11	each	each	DET
ejde-599	94	12	pair	pair	NOUN
ejde-599	94	13	of	of	ADP
ejde-599	94	14	n	n	NUM
ejde-599	94	15	and	and	CCONJ
ejde-599	94	16	m.	m.	NOUN
ejde-599	94	17	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	94	18	2.3	2.3	NUM
ejde-599	94	19	.	.	PUNCT
ejde-599	95	1	let	let	AUX
ejde-599	95	2	w	w	NOUN
ejde-599	95	3	=	=	PUNCT
ejde-599	95	4	jn(αn	jn(αn	NOUN
ejde-599	95	5	,	,	PUNCT
ejde-599	95	6	mr)(a	mr)(a	NOUN
ejde-599	95	7	cosnθ	cosnθ	PROPN
ejde-599	95	8	+	+	CCONJ
ejde-599	95	9	b	b	X
ejde-599	95	10	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	95	11	)	)	PUNCT
ejde-599	95	12	be	be	VERB
ejde-599	95	13	any	any	DET
ejde-599	95	14	element	element	NOUN
ejde-599	95	15	of	of	ADP
ejde-599	95	16	the	the	DET
ejde-599	95	17	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	95	18	of	of	ADP
ejde-599	95	19	the	the	DET
ejde-599	95	20	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-599	95	21	α2	α2	PROPN
ejde-599	95	22	n	n	CCONJ
ejde-599	95	23	,	,	PUNCT
ejde-599	95	24	m	m	PROPN
ejde-599	95	25	/	/	SYM
ejde-599	95	26	a	a	DET
ejde-599	95	27	2	2	NUM
ejde-599	95	28	>	>	SYM
ejde-599	95	29	λ1	λ1	PROPN
ejde-599	95	30	,	,	PUNCT
ejde-599	95	31	normalized	normalize	VERB
ejde-599	95	32	so	so	SCONJ
ejde-599	96	1	that	that	SCONJ
ejde-599	96	2	a2	a2	PROPN
ejde-599	96	3	+	+	NOUN
ejde-599	96	4	b2	b2	NOUN
ejde-599	96	5	=	=	SYM
ejde-599	96	6	1	1	X
ejde-599	96	7	.	.	PUNCT
ejde-599	96	8	then	then	ADV
ejde-599	96	9	on	on	ADP
ejde-599	96	10	da	da	PROPN
ejde-599	96	11	∫	∫	PROPN
ejde-599	96	12	w>0	w>0	VERB
ejde-599	96	13	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	96	14	,	,	PUNCT
ejde-599	96	15	θ	θ	NOUN
ejde-599	96	16	)	)	PUNCT
ejde-599	96	17	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	96	18	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	96	19	=	=	SYM
ejde-599	96	20	jn	jn	PROPN
ejde-599	96	21	,	,	PUNCT
ejde-599	96	22	m	m	VERB
ejde-599	96	23	,	,	PUNCT
ejde-599	96	24	∫	∫	PROPN
ejde-599	96	25	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	96	26	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	96	27	,	,	PUNCT
ejde-599	96	28	θ	θ	NOUN
ejde-599	96	29	)	)	PUNCT
ejde-599	96	30	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	96	31	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	96	32	=	=	SYM
ejde-599	96	33	−jn	−jn	PROPN
ejde-599	96	34	,	,	PUNCT
ejde-599	96	35	m	m	NOUN
ejde-599	96	36	.	.	PUNCT
ejde-599	97	1	proof	proof	NOUN
ejde-599	97	2	.	.	PUNCT
ejde-599	98	1	write	write	VERB
ejde-599	98	2	a	a	DET
ejde-599	98	3	cosnθ	cosnθ	NOUN
ejde-599	99	1	+	+	PROPN
ejde-599	99	2	b	b	NOUN
ejde-599	99	3	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	99	4	=	=	SYM
ejde-599	99	5	√	√	PROPN
ejde-599	99	6	a2	a2	PROPN
ejde-599	99	7	+	+	NOUN
ejde-599	99	8	b2	b2	NOUN
ejde-599	99	9	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	99	10	−	−	PROPN
ejde-599	99	11	δ	δ	PROPN
ejde-599	99	12	)	)	PUNCT
ejde-599	99	13	=	=	NOUN
ejde-599	99	14	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	99	15	−	−	PROPN
ejde-599	99	16	δ	δ	PROPN
ejde-599	99	17	)	)	PUNCT
ejde-599	99	18	,	,	PUNCT
ejde-599	99	19	for	for	ADP
ejde-599	99	20	some	some	DET
ejde-599	99	21	δ	δ	PROPN
ejde-599	99	22	.	.	PUNCT
ejde-599	100	1	then	then	ADV
ejde-599	100	2	w	w	PROPN
ejde-599	100	3	=	=	PUNCT
ejde-599	100	4	jn(αn	jn(αn	PROPN
ejde-599	100	5	,	,	PUNCT
ejde-599	100	6	mr	mr	PROPN
ejde-599	100	7	)	)	PUNCT
ejde-599	100	8	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	100	9	−	−	PROPN
ejde-599	100	10	δ	δ	PROPN
ejde-599	100	11	)	)	PUNCT
ejde-599	100	12	.	.	PUNCT
ejde-599	101	1	(	(	PUNCT
ejde-599	101	2	2.3	2.3	NUM
ejde-599	101	3	)	)	PUNCT
ejde-599	101	4	let	let	VERB
ejde-599	101	5	p	p	PRON
ejde-599	101	6	denote	denote	VERB
ejde-599	101	7	the	the	DET
ejde-599	101	8	set	set	NOUN
ejde-599	101	9	of	of	ADP
ejde-599	101	10	θ	θ	PROPN
ejde-599	101	11	∈	∈	PROPN
ejde-599	101	12	(	(	PUNCT
ejde-599	101	13	0	0	NUM
ejde-599	101	14	,	,	PUNCT
ejde-599	101	15	2π	2π	NOUN
ejde-599	101	16	)	)	PUNCT
ejde-599	101	17	where	where	SCONJ
ejde-599	101	18	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	101	19	−	−	PROPN
ejde-599	101	20	δ	δ	PROPN
ejde-599	101	21	)	)	PUNCT
ejde-599	101	22	>	>	X
ejde-599	101	23	0	0	NUM
ejde-599	101	24	,	,	PUNCT
ejde-599	101	25	and	and	CCONJ
ejde-599	101	26	n	n	DET
ejde-599	101	27	the	the	DET
ejde-599	101	28	set	set	NOUN
ejde-599	101	29	of	of	ADP
ejde-599	101	30	θ	θ	PROPN
ejde-599	101	31	∈	∈	PROPN
ejde-599	101	32	(	(	PUNCT
ejde-599	101	33	0	0	NUM
ejde-599	101	34	,	,	PUNCT
ejde-599	101	35	2π	2π	NOUN
ejde-599	101	36	)	)	PUNCT
ejde-599	101	37	where	where	SCONJ
ejde-599	101	38	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	101	39	−	−	PROPN
ejde-599	101	40	δ	δ	PROPN
ejde-599	101	41	)	)	PUNCT
ejde-599	101	42	<	<	X
ejde-599	101	43	0	0	X
ejde-599	101	44	.	.	PUNCT
ejde-599	102	1	it	it	PRON
ejde-599	102	2	is	be	AUX
ejde-599	102	3	easy	easy	ADJ
ejde-599	102	4	to	to	PART
ejde-599	102	5	show	show	VERB
ejde-599	102	6	that∫	that∫	NOUN
ejde-599	102	7	p	p	NOUN
ejde-599	102	8	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	102	9	−	−	PROPN
ejde-599	102	10	δ	δ	PROPN
ejde-599	102	11	)	)	PUNCT
ejde-599	102	12	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	102	13	=	=	SYM
ejde-599	102	14	2	2	NUM
ejde-599	102	15	,	,	PUNCT
ejde-599	102	16	∫	∫	PROPN
ejde-599	102	17	n	n	PART
ejde-599	102	18	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	102	19	−	−	PROPN
ejde-599	102	20	δ	δ	PROPN
ejde-599	102	21	)	)	PUNCT
ejde-599	102	22	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	102	23	=	=	PROPN
ejde-599	102	24	−2	−2	PROPN
ejde-599	102	25	.	.	PUNCT
ejde-599	103	1	(	(	PUNCT
ejde-599	103	2	2.4	2.4	NUM
ejde-599	103	3	)	)	PUNCT
ejde-599	103	4	then	then	ADV
ejde-599	103	5	,	,	PUNCT
ejde-599	103	6	in	in	ADP
ejde-599	103	7	view	view	NOUN
ejde-599	103	8	of	of	ADP
ejde-599	103	9	(	(	PUNCT
ejde-599	103	10	2.3	2.3	NUM
ejde-599	103	11	)	)	PUNCT
ejde-599	103	12	,	,	PUNCT
ejde-599	103	13	(	(	PUNCT
ejde-599	103	14	2.2	2.2	NUM
ejde-599	103	15	)	)	PUNCT
ejde-599	103	16	and	and	CCONJ
ejde-599	103	17	(	(	PUNCT
ejde-599	103	18	2.4)∫	2.4)∫	NUM
ejde-599	103	19	w>0	w>0	VERB
ejde-599	103	20	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	103	21	,	,	PUNCT
ejde-599	103	22	θ	θ	NOUN
ejde-599	103	23	)	)	PUNCT
ejde-599	103	24	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	103	25	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	103	26	=	=	SYM
ejde-599	103	27	∫	∫	PROPN
ejde-599	103	28	pn	pn	PROPN
ejde-599	103	29	,	,	PUNCT
ejde-599	103	30	m×p	m×p	PROPN
ejde-599	103	31	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	103	32	,	,	PUNCT
ejde-599	103	33	θ	θ	NOUN
ejde-599	103	34	)	)	PUNCT
ejde-599	103	35	rdr	rdr	PROPN
ejde-599	103	36	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	103	37	+	+	CCONJ
ejde-599	103	38	∫	∫	PROPN
ejde-599	103	39	nn	nn	PROPN
ejde-599	103	40	,	,	PUNCT
ejde-599	103	41	m×n	m×n	PROPN
ejde-599	103	42	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	103	43	,	,	PUNCT
ejde-599	103	44	θ	θ	NOUN
ejde-599	103	45	)	)	PUNCT
ejde-599	103	46	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	104	1	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	105	1	=	=	SYM
ejde-599	106	1	∫	∫	PROPN
ejde-599	107	1	pn	pn	PROPN
ejde-599	107	2	,	,	PUNCT
ejde-599	107	3	m	m	VERB
ejde-599	107	4	jn	jn	PROPN
ejde-599	107	5	(	(	PUNCT
ejde-599	107	6	αn	αn	VERB
ejde-599	107	7	,	,	PUNCT
ejde-599	107	8	m	m	VERB
ejde-599	107	9	a	a	DET
ejde-599	107	10	r)r	r)r	NOUN
ejde-599	107	11	dr	dr	PROPN
ejde-599	107	12	∫	∫	PROPN
ejde-599	108	1	p	p	PROPN
ejde-599	108	2	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	108	3	−	−	PROPN
ejde-599	108	4	δ	δ	PROPN
ejde-599	108	5	)	)	PUNCT
ejde-599	108	6	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	108	7	+	+	CCONJ
ejde-599	108	8	∫	∫	PROPN
ejde-599	108	9	nn	nn	PROPN
ejde-599	108	10	,	,	PUNCT
ejde-599	108	11	m	m	VERB
ejde-599	108	12	jn	jn	PROPN
ejde-599	108	13	(	(	PUNCT
ejde-599	108	14	αn	αn	VERB
ejde-599	108	15	,	,	PUNCT
ejde-599	108	16	m	m	VERB
ejde-599	108	17	a	a	DET
ejde-599	108	18	r)r	r)r	NOUN
ejde-599	109	1	dr	dr	PROPN
ejde-599	109	2	∫	∫	PROPN
ejde-599	109	3	n	n	PROPN
ejde-599	109	4	cos(nθ	cos(nθ	NOUN
ejde-599	109	5	−	−	PROPN
ejde-599	109	6	δ	δ	PROPN
ejde-599	109	7	)	)	PUNCT
ejde-599	109	8	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	109	9	=	=	SYM
ejde-599	109	10	jn	jn	PROPN
ejde-599	109	11	,	,	PUNCT
ejde-599	109	12	m	m	VERB
ejde-599	109	13	,	,	PUNCT
ejde-599	109	14	and	and	CCONJ
ejde-599	109	15	similarly∫	similarly∫	ADJ
ejde-599	109	16	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	109	17	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	109	18	,	,	PUNCT
ejde-599	109	19	θ	θ	NOUN
ejde-599	109	20	)	)	PUNCT
ejde-599	109	21	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	109	22	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	110	1	=	=	PROPN
ejde-599	110	2	∫	∫	PROPN
ejde-599	110	3	pn	pn	PROPN
ejde-599	110	4	,	,	PUNCT
ejde-599	110	5	m×n	m×n	PROPN
ejde-599	110	6	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	110	7	,	,	PUNCT
ejde-599	110	8	θ	θ	NOUN
ejde-599	110	9	)	)	PUNCT
ejde-599	110	10	rdr	rdr	PROPN
ejde-599	110	11	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	110	12	+	+	CCONJ
ejde-599	110	13	∫	∫	PROPN
ejde-599	110	14	nn	nn	PROPN
ejde-599	110	15	,	,	PUNCT
ejde-599	110	16	m×p	m×p	PROPN
ejde-599	110	17	w(r	w(r	PROPN
ejde-599	110	18	,	,	PUNCT
ejde-599	110	19	θ	θ	NOUN
ejde-599	110	20	)	)	PUNCT
ejde-599	110	21	rdr	rdr	NOUN
ejde-599	110	22	dθ	dθ	PROPN
ejde-599	110	23	=	=	SYM
ejde-599	110	24	−jn	−jn	PROPN
ejde-599	110	25	,	,	PUNCT
ejde-599	110	26	m	m	PRON
ejde-599	110	27	,	,	PUNCT
ejde-599	110	28	completing	complete	VERB
ejde-599	110	29	the	the	DET
ejde-599	110	30	proof	proof	NOUN
ejde-599	110	31	.	.	PUNCT
ejde-599	111	1	�	�	PROPN
ejde-599	111	2	we	we	PRON
ejde-599	111	3	now	now	ADV
ejde-599	111	4	consider	consider	VERB
ejde-599	111	5	the	the	DET
ejde-599	111	6	problem	problem	NOUN
ejde-599	111	7	(	(	PUNCT
ejde-599	111	8	here	here	ADV
ejde-599	111	9	u	u	X
ejde-599	111	10	=	=	SYM
ejde-599	111	11	u(x	u(x	PROPN
ejde-599	111	12	,	,	PUNCT
ejde-599	111	13	y	y	NOUN
ejde-599	111	14	)	)	PUNCT
ejde-599	111	15	)	)	PUNCT
ejde-599	112	1	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-599	112	2	λku+	λku+	PROPN
ejde-599	112	3	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	112	4	)	)	PUNCT
ejde-599	113	1	=	=	SYM
ejde-599	113	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	113	3	,	,	PUNCT
ejde-599	113	4	y	y	PROPN
ejde-599	113	5	)	)	PUNCT
ejde-599	113	6	,	,	PUNCT
ejde-599	113	7	for	for	ADP
ejde-599	113	8	(	(	PUNCT
ejde-599	113	9	x	x	NOUN
ejde-599	113	10	,	,	PUNCT
ejde-599	113	11	y	y	NOUN
ejde-599	113	12	)	)	PUNCT
ejde-599	113	13	∈	∈	PROPN
ejde-599	113	14	da	da	X
ejde-599	113	15	,	,	PUNCT
ejde-599	113	16	u	u	NOUN
ejde-599	113	17	=	=	NOUN
ejde-599	113	18	0	0	NUM
ejde-599	113	19	on	on	ADP
ejde-599	113	20	∂da	∂da	PROPN
ejde-599	113	21	,	,	PUNCT
ejde-599	113	22	(	(	PUNCT
ejde-599	113	23	2.5	2.5	NUM
ejde-599	113	24	)	)	PUNCT
ejde-599	113	25	ejde-2024/09	ejde-2024/09	NOUN
ejde-599	113	26	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	113	27	and	and	CCONJ
ejde-599	113	28	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	113	29	condition	condition	NOUN
ejde-599	113	30	5	5	NUM
ejde-599	113	31	with	with	ADP
ejde-599	113	32	the	the	DET
ejde-599	113	33	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-599	113	34	λk	λk	X
ejde-599	113	35	=	=	SYM
ejde-599	113	36	α2	α2	PROPN
ejde-599	113	37	n	n	CCONJ
ejde-599	113	38	,	,	PUNCT
ejde-599	113	39	m	m	PROPN
ejde-599	113	40	a2	a2	PROPN
ejde-599	113	41	>	>	X
ejde-599	113	42	λ1	λ1	PROPN
ejde-599	113	43	for	for	ADP
ejde-599	113	44	some	some	DET
ejde-599	113	45	n	n	NOUN
ejde-599	113	46	and	and	CCONJ
ejde-599	113	47	m	m	PROPN
ejde-599	113	48	,	,	PUNCT
ejde-599	113	49	corresponding	correspond	VERB
ejde-599	113	50	to	to	ADP
ejde-599	113	51	the	the	DET
ejde-599	113	52	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	113	53	jn	jn	PROPN
ejde-599	113	54	(	(	PUNCT
ejde-599	113	55	αn	αn	PROPN
ejde-599	113	56	,	,	PUNCT
ejde-599	113	57	m	m	VERB
ejde-599	113	58	a	a	DET
ejde-599	113	59	r)(a	r)(a	NOUN
ejde-599	113	60	cosnθ	cosnθ	NOUN
ejde-599	113	61	+	+	PROPN
ejde-599	113	62	b	b	NOUN
ejde-599	113	63	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	113	64	)	)	PUNCT
ejde-599	113	65	.	.	PUNCT
ejde-599	114	1	let	let	VERB
ejde-599	114	2	us	we	PRON
ejde-599	114	3	denote	denote	VERB
ejde-599	115	1	ϕk	ϕk	NOUN
ejde-599	116	1	=	=	SYM
ejde-599	116	2	jn	jn	PROPN
ejde-599	116	3	(	(	PUNCT
ejde-599	116	4	αn	αn	PROPN
ejde-599	116	5	,	,	PUNCT
ejde-599	116	6	m	m	VERB
ejde-599	116	7	a	a	DET
ejde-599	116	8	r	r	NOUN
ejde-599	116	9	)	)	PUNCT
ejde-599	116	10	cosnθ	cosnθ	NOUN
ejde-599	116	11	,	,	PUNCT
ejde-599	116	12	ψk	ψk	VERB
ejde-599	116	13	=	=	SYM
ejde-599	116	14	jn	jn	PROPN
ejde-599	116	15	(	(	PUNCT
ejde-599	116	16	αn	αn	PROPN
ejde-599	116	17	,	,	PUNCT
ejde-599	116	18	m	m	VERB
ejde-599	116	19	a	a	DET
ejde-599	116	20	r	r	NOUN
ejde-599	116	21	)	)	PUNCT
ejde-599	116	22	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	116	23	,	,	PUNCT
ejde-599	116	24	ak(f	ak(f	PUNCT
ejde-599	116	25	)	)	PUNCT
ejde-599	116	26	=	=	SYM
ejde-599	116	27	ak	ak	PROPN
ejde-599	116	28	=	=	PROPN
ejde-599	116	29	∫	∫	PROPN
ejde-599	116	30	da	da	PROPN
ejde-599	116	31	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	116	32	,	,	PUNCT
ejde-599	116	33	y)ϕk	y)ϕk	PROPN
ejde-599	116	34	dx	dx	PROPN
ejde-599	116	35	dy	dy	NOUN
ejde-599	116	36	,	,	PUNCT
ejde-599	116	37	bk(f	bk(f	X
ejde-599	116	38	)	)	PUNCT
ejde-599	116	39	=	=	PUNCT
ejde-599	116	40	bk	bk	NOUN
ejde-599	116	41	=	=	SYM
ejde-599	116	42	∫	∫	PROPN
ejde-599	116	43	da	da	PROPN
ejde-599	116	44	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	116	45	,	,	PUNCT
ejde-599	116	46	y)ψk	y)ψk	PROPN
ejde-599	116	47	dx	dx	PROPN
ejde-599	116	48	dy	dy	NOUN
ejde-599	116	49	.	.	PUNCT
ejde-599	117	1	(	(	PUNCT
ejde-599	117	2	2.6	2.6	NUM
ejde-599	117	3	)	)	PUNCT
ejde-599	117	4	the	the	DET
ejde-599	117	5	numbers	number	NOUN
ejde-599	117	6	ak	ak	PROPN
ejde-599	117	7	and	and	CCONJ
ejde-599	117	8	bk	bk	PRON
ejde-599	117	9	can	can	AUX
ejde-599	117	10	be	be	AUX
ejde-599	117	11	easily	easily	ADV
ejde-599	117	12	approximated	approximate	VERB
ejde-599	117	13	by	by	ADP
ejde-599	117	14	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-599	117	15	for	for	ADP
ejde-599	117	16	any	any	DET
ejde-599	117	17	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	117	18	,	,	PUNCT
ejde-599	117	19	y	y	PROPN
ejde-599	117	20	)	)	PUNCT
ejde-599	117	21	and	and	CCONJ
ejde-599	117	22	k.	k.	PROPN
ejde-599	117	23	theorem	theorem	VERB
ejde-599	117	24	2.4	2.4	NUM
ejde-599	117	25	.	.	PUNCT
ejde-599	118	1	assume	assume	VERB
ejde-599	118	2	that	that	SCONJ
ejde-599	118	3	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	118	4	)	)	PUNCT
ejde-599	118	5	satisfies	satisfy	VERB
ejde-599	118	6	the	the	DET
ejde-599	118	7	condition	condition	NOUN
ejde-599	118	8	(	(	PUNCT
ejde-599	118	9	1.2	1.2	NUM
ejde-599	118	10	)	)	PUNCT
ejde-599	118	11	.	.	PUNCT
ejde-599	119	1	then	then	ADV
ejde-599	119	2	the	the	DET
ejde-599	119	3	condition√	condition√	PROPN
ejde-599	119	4	a2	a2	PROPN
ejde-599	119	5	k	k	PROPN
ejde-599	119	6	+	+	PROPN
ejde-599	119	7	b2	b2	NOUN
ejde-599	119	8	k	k	X
ejde-599	119	9	<	<	X
ejde-599	119	10	jn	jn	PROPN
ejde-599	119	11	,	,	PUNCT
ejde-599	119	12	m(g(∞)−	m(g(∞)−	VERB
ejde-599	119	13	g(−∞	g(−∞	NOUN
ejde-599	119	14	)	)	PUNCT
ejde-599	119	15	)	)	PUNCT
ejde-599	119	16	(	(	PUNCT
ejde-599	119	17	2.7	2.7	NUM
ejde-599	119	18	)	)	PUNCT
ejde-599	119	19	is	be	AUX
ejde-599	119	20	both	both	PRON
ejde-599	119	21	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	119	22	and	and	CCONJ
ejde-599	119	23	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	119	24	for	for	ADP
ejde-599	119	25	the	the	DET
ejde-599	119	26	existence	existence	NOUN
ejde-599	119	27	of	of	ADP
ejde-599	119	28	solution	solution	NOUN
ejde-599	119	29	u(x	u(x	NOUN
ejde-599	119	30	,	,	PUNCT
ejde-599	119	31	y	y	NOUN
ejde-599	119	32	)	)	PUNCT
ejde-599	119	33	∈	∈	PROPN
ejde-599	119	34	w	w	NOUN
ejde-599	119	35	2,2(da	2,2(da	NOUN
ejde-599	119	36	)	)	PUNCT
ejde-599	119	37	∩	∩	NOUN
ejde-599	119	38	w	w	ADP
ejde-599	119	39	1,2	1,2	NUM
ejde-599	119	40	0	0	NUM
ejde-599	119	41	(	(	PUNCT
ejde-599	119	42	da	da	NOUN
ejde-599	119	43	)	)	PUNCT
ejde-599	119	44	of	of	ADP
ejde-599	119	45	(	(	PUNCT
ejde-599	119	46	2.5	2.5	NUM
ejde-599	119	47	)	)	PUNCT
ejde-599	119	48	.	.	PUNCT
ejde-599	120	1	(	(	PUNCT
ejde-599	120	2	the	the	DET
ejde-599	120	3	projection	projection	NOUN
ejde-599	120	4	of	of	ADP
ejde-599	120	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	120	6	,	,	PUNCT
ejde-599	120	7	y	y	NOUN
ejde-599	120	8	)	)	PUNCT
ejde-599	120	9	on	on	ADP
ejde-599	120	10	the	the	DET
ejde-599	120	11	kernel	kernel	NOUN
ejde-599	120	12	is	be	AUX
ejde-599	120	13	small	small	ADJ
ejde-599	120	14	enough	enough	ADV
ejde-599	120	15	.	.	PUNCT
ejde-599	120	16	)	)	PUNCT
ejde-599	121	1	proof	proof	NOUN
ejde-599	121	2	.	.	PUNCT
ejde-599	122	1	(	(	PUNCT
ejde-599	122	2	i	i	NOUN
ejde-599	122	3	)	)	PUNCT
ejde-599	122	4	necessity	necessity	NOUN
ejde-599	122	5	.	.	PUNCT
ejde-599	123	1	multiply	multiply	ADV
ejde-599	123	2	(	(	PUNCT
ejde-599	123	3	2.5	2.5	NUM
ejde-599	123	4	)	)	PUNCT
ejde-599	123	5	by	by	ADP
ejde-599	123	6	ϕk	ϕk	ADV
ejde-599	123	7	and	and	CCONJ
ejde-599	123	8	ψk	ψk	VERB
ejde-599	123	9	respectively	respectively	ADV
ejde-599	123	10	and	and	CCONJ
ejde-599	123	11	integrate	integrate	VERB
ejde-599	123	12	ak	ak	PROPN
ejde-599	123	13	=	=	PROPN
ejde-599	123	14	∫	∫	PROPN
ejde-599	124	1	da	da	PROPN
ejde-599	124	2	g(u)ϕk	g(u)ϕk	PROPN
ejde-599	124	3	dx	dx	PROPN
ejde-599	124	4	dy	dy	NOUN
ejde-599	124	5	,	,	PUNCT
ejde-599	124	6	bk	bk	PROPN
ejde-599	124	7	=	=	SYM
ejde-599	124	8	∫	∫	PROPN
ejde-599	124	9	da	da	PROPN
ejde-599	124	10	g(u)ψk	g(u)ψk	PROPN
ejde-599	124	11	dx	dx	PROPN
ejde-599	124	12	dy	dy	NOUN
ejde-599	124	13	.	.	PUNCT
ejde-599	125	1	(	(	PUNCT
ejde-599	125	2	2.8	2.8	NUM
ejde-599	125	3	)	)	PUNCT
ejde-599	125	4	multiply	multiply	ADP
ejde-599	125	5	the	the	DET
ejde-599	125	6	first	first	ADJ
ejde-599	125	7	equation	equation	NOUN
ejde-599	125	8	in	in	ADP
ejde-599	125	9	(	(	PUNCT
ejde-599	125	10	2.8	2.8	NUM
ejde-599	125	11	)	)	PUNCT
ejde-599	125	12	by	by	ADP
ejde-599	125	13	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	125	14	a2	a2	PROPN
ejde-599	125	15	k+b	k+b	PROPN
ejde-599	125	16	2	2	NUM
ejde-599	125	17	k	k	NOUN
ejde-599	125	18	,	,	PUNCT
ejde-599	125	19	the	the	DET
ejde-599	125	20	second	second	ADJ
ejde-599	125	21	equation	equation	NOUN
ejde-599	125	22	by	by	ADP
ejde-599	125	23	bk√	bk√	NOUN
ejde-599	125	24	a2	a2	PROPN
ejde-599	125	25	k+b	k+b	NUM
ejde-599	125	26	2	2	NUM
ejde-599	125	27	k	k	NOUN
ejde-599	125	28	,	,	PUNCT
ejde-599	125	29	and	and	CCONJ
ejde-599	125	30	add	add	VERB
ejde-599	125	31	the	the	DET
ejde-599	125	32	results	result	NOUN
ejde-599	125	33	.	.	PUNCT
ejde-599	126	1	denoting	denote	VERB
ejde-599	126	2	wk	wk	X
ejde-599	126	3	=	=	SYM
ejde-599	126	4	jn	jn	PROPN
ejde-599	126	5	(	(	PUNCT
ejde-599	126	6	αn	αn	VERB
ejde-599	126	7	,	,	PUNCT
ejde-599	126	8	m	m	VERB
ejde-599	126	9	a	a	DET
ejde-599	126	10	r	r	NOUN
ejde-599	126	11	)	)	PUNCT
ejde-599	126	12	(	(	PUNCT
ejde-599	127	1	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	127	2	a2	a2	PROPN
ejde-599	127	3	k	k	PROPN
ejde-599	127	4	+	+	PROPN
ejde-599	127	5	b2	b2	PROPN
ejde-599	127	6	k	k	PROPN
ejde-599	127	7	cosnθ	cosnθ	PROPN
ejde-599	127	8	+	+	CCONJ
ejde-599	127	9	bk√	bk√	NOUN
ejde-599	127	10	a2	a2	PROPN
ejde-599	127	11	k	k	PROPN
ejde-599	128	1	+	+	PROPN
ejde-599	128	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	128	3	k	k	PROPN
ejde-599	128	4	sinnθ	sinnθ	PROPN
ejde-599	128	5	)	)	PUNCT
ejde-599	128	6	,	,	PUNCT
ejde-599	128	7	and	and	CCONJ
ejde-599	128	8	using	use	VERB
ejde-599	128	9	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	128	10	2.3	2.3	NUM
ejde-599	128	11	,	,	PUNCT
ejde-599	128	12	we	we	PRON
ejde-599	128	13	obtain√	obtain√	VERB
ejde-599	129	1	a2	a2	PROPN
ejde-599	129	2	k	k	PROPN
ejde-599	129	3	+	+	PROPN
ejde-599	129	4	b2	b2	NOUN
ejde-599	130	1	k	k	X
ejde-599	130	2	=	=	SYM
ejde-599	130	3	∫	∫	PROPN
ejde-599	130	4	b	b	X
ejde-599	130	5	g(u)wk	g(u)wk	VERB
ejde-599	130	6	dx	dx	PROPN
ejde-599	130	7	dy	dy	X
ejde-599	130	8	<	<	X
ejde-599	130	9	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	130	10	)	)	PUNCT
ejde-599	130	11	∫	∫	PROPN
ejde-599	130	12	wk>0	wk>0	NOUN
ejde-599	130	13	wk	wk	INTJ
ejde-599	130	14	dx	dx	PROPN
ejde-599	130	15	dy	dy	PROPN
ejde-599	130	16	+	+	CCONJ
ejde-599	130	17	g(−∞	g(−∞	PROPN
ejde-599	130	18	)	)	PUNCT
ejde-599	130	19	∫	∫	PROPN
ejde-599	131	1	wk<0	wk<0	PROPN
ejde-599	131	2	wk	wk	NUM
ejde-599	131	3	dx	dx	PROPN
ejde-599	131	4	dy	dy	PROPN
ejde-599	131	5	=	=	SYM
ejde-599	131	6	jn	jn	PROPN
ejde-599	131	7	,	,	PUNCT
ejde-599	131	8	m(g(∞)−	m(g(∞)−	VERB
ejde-599	131	9	g(−∞	g(−∞	PROPN
ejde-599	131	10	)	)	PUNCT
ejde-599	131	11	)	)	PUNCT
ejde-599	131	12	.	.	PUNCT
ejde-599	132	1	(	(	PUNCT
ejde-599	132	2	ii	ii	NOUN
ejde-599	132	3	)	)	PUNCT
ejde-599	132	4	sufficiency	sufficiency	NOUN
ejde-599	132	5	.	.	PUNCT
ejde-599	133	1	assuming	assume	VERB
ejde-599	133	2	that	that	SCONJ
ejde-599	133	3	(	(	PUNCT
ejde-599	133	4	2.7	2.7	NUM
ejde-599	133	5	)	)	PUNCT
ejde-599	133	6	holds	hold	VERB
ejde-599	133	7	,	,	PUNCT
ejde-599	133	8	we	we	PRON
ejde-599	133	9	shall	shall	AUX
ejde-599	133	10	verify	verify	VERB
ejde-599	133	11	the	the	DET
ejde-599	133	12	condition	condition	NOUN
ejde-599	133	13	(	(	PUNCT
ejde-599	133	14	1.3	1.3	NUM
ejde-599	133	15	)	)	PUNCT
ejde-599	133	16	of	of	ADP
ejde-599	133	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	133	18	1.1	1.1	NUM
ejde-599	133	19	.	.	PUNCT
ejde-599	134	1	assuming	assume	VERB
ejde-599	134	2	that	that	SCONJ
ejde-599	134	3	λk	λk	ADP
ejde-599	134	4	=	=	PUNCT
ejde-599	134	5	α2	α2	PROPN
ejde-599	134	6	n	n	CCONJ
ejde-599	134	7	,	,	PUNCT
ejde-599	134	8	m	m	PROPN
ejde-599	134	9	a2	a2	PROPN
ejde-599	134	10	,	,	PUNCT
ejde-599	134	11	let	let	VERB
ejde-599	134	12	w(x	w(x	PRON
ejde-599	134	13	,	,	PUNCT
ejde-599	134	14	y	y	PROPN
ejde-599	134	15	)	)	PUNCT
ejde-599	135	1	=	=	SYM
ejde-599	135	2	jn	jn	PROPN
ejde-599	135	3	(	(	PUNCT
ejde-599	135	4	αn	αn	PROPN
ejde-599	135	5	,	,	PUNCT
ejde-599	135	6	m	m	VERB
ejde-599	135	7	a	a	DET
ejde-599	135	8	r	r	NOUN
ejde-599	135	9	)	)	PUNCT
ejde-599	135	10	(	(	PUNCT
ejde-599	135	11	a	a	DET
ejde-599	135	12	cosnθ	cosnθ	NOUN
ejde-599	135	13	+	+	PROPN
ejde-599	135	14	b	b	NOUN
ejde-599	135	15	sinnθ	sinnθ	NOUN
ejde-599	135	16	)	)	PUNCT
ejde-599	135	17	be	be	VERB
ejde-599	135	18	any	any	DET
ejde-599	135	19	element	element	NOUN
ejde-599	135	20	of	of	ADP
ejde-599	135	21	its	its	PRON
ejde-599	135	22	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	135	23	.	.	PUNCT
ejde-599	136	1	by	by	ADP
ejde-599	136	2	scaling	scale	VERB
ejde-599	136	3	w	w	ADP
ejde-599	136	4	in	in	ADP
ejde-599	136	5	(	(	PUNCT
ejde-599	136	6	1.3	1.3	NUM
ejde-599	136	7	)	)	PUNCT
ejde-599	136	8	,	,	PUNCT
ejde-599	136	9	we	we	PRON
ejde-599	136	10	may	may	AUX
ejde-599	136	11	assume	assume	VERB
ejde-599	136	12	that	that	SCONJ
ejde-599	136	13	a2	a2	PROPN
ejde-599	136	14	+	+	PROPN
ejde-599	136	15	b2	b2	NOUN
ejde-599	136	16	=	=	SYM
ejde-599	136	17	1	1	NUM
ejde-599	136	18	.	.	NUM
ejde-599	136	19	6	6	NUM
ejde-599	136	20	p.	p.	NOUN
ejde-599	136	21	korman	korman	PROPN
ejde-599	136	22	ejde-2024/09	ejde-2024/09	PROPN
ejde-599	136	23	in	in	ADP
ejde-599	136	24	view	view	NOUN
ejde-599	136	25	of	of	ADP
ejde-599	136	26	proposition	proposition	NOUN
ejde-599	136	27	2.3	2.3	NUM
ejde-599	136	28	and	and	CCONJ
ejde-599	136	29	(	(	PUNCT
ejde-599	136	30	2.6	2.6	NUM
ejde-599	136	31	)	)	PUNCT
ejde-599	136	32	,	,	PUNCT
ejde-599	136	33	the	the	DET
ejde-599	136	34	condition	condition	NOUN
ejde-599	136	35	(	(	PUNCT
ejde-599	136	36	1.3	1.3	NUM
ejde-599	136	37	)	)	PUNCT
ejde-599	136	38	of	of	ADP
ejde-599	136	39	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	136	40	1.1	1.1	NUM
ejde-599	136	41	that	that	PRON
ejde-599	136	42	we	we	PRON
ejde-599	136	43	need	need	VERB
ejde-599	136	44	to	to	PART
ejde-599	136	45	verify	verify	VERB
ejde-599	136	46	takes	take	VERB
ejde-599	136	47	the	the	DET
ejde-599	136	48	form∫	form∫	PROPN
ejde-599	136	49	da	da	PROPN
ejde-599	136	50	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	136	51	,	,	PUNCT
ejde-599	136	52	y)w(x	y)w(x	PROPN
ejde-599	136	53	,	,	PUNCT
ejde-599	136	54	y	y	PROPN
ejde-599	136	55	)	)	PUNCT
ejde-599	136	56	dx	dx	PROPN
ejde-599	136	57	dy	dy	NOUN
ejde-599	136	58	=	=	PROPN
ejde-599	136	59	aak	aak	PROPN
ejde-599	137	1	+	+	NOUN
ejde-599	137	2	bbk	bbk	PROPN
ejde-599	137	3	<	<	X
ejde-599	137	4	jn	jn	PROPN
ejde-599	137	5	,	,	PUNCT
ejde-599	137	6	m(g(∞)−	m(g(∞)−	VERB
ejde-599	137	7	g(−∞	g(−∞	NOUN
ejde-599	137	8	)	)	PUNCT
ejde-599	137	9	)	)	PUNCT
ejde-599	137	10	=	=	SYM
ejde-599	137	11	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	137	12	)	)	PUNCT
ejde-599	137	13	∫	∫	PROPN
ejde-599	138	1	w>0	w>0	PROPN
ejde-599	138	2	w	w	PROPN
ejde-599	138	3	dxdy	dxdy	PROPN
ejde-599	138	4	+	+	CCONJ
ejde-599	138	5	g(−∞	g(−∞	PROPN
ejde-599	138	6	)	)	PUNCT
ejde-599	138	7	∫	∫	PROPN
ejde-599	138	8	w<0	w<0	PROPN
ejde-599	138	9	w	w	PROPN
ejde-599	138	10	dxdy	dxdy	PROPN
ejde-599	138	11	.	.	PUNCT
ejde-599	139	1	since	since	SCONJ
ejde-599	139	2	aak	aak	PROPN
ejde-599	139	3	+	+	CCONJ
ejde-599	139	4	bbk	bbk	PROPN
ejde-599	139	5	≤	≤	ADJ
ejde-599	139	6	√	√	NUM
ejde-599	139	7	a2	a2	PROPN
ejde-599	139	8	k	k	PROPN
ejde-599	140	1	+	+	PROPN
ejde-599	140	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	140	3	k	k	PROPN
ejde-599	140	4	by	by	ADP
ejde-599	140	5	cauchy	cauchy	PROPN
ejde-599	140	6	-	-	PUNCT
ejde-599	140	7	schwarz	schwarz	PROPN
ejde-599	140	8	,	,	PUNCT
ejde-599	140	9	the	the	DET
ejde-599	140	10	last	last	ADJ
ejde-599	140	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-599	140	12	holds	hold	VERB
ejde-599	140	13	by	by	ADP
ejde-599	140	14	(	(	PUNCT
ejde-599	140	15	2.7	2.7	NUM
ejde-599	140	16	)	)	PUNCT
ejde-599	140	17	.	.	PUNCT
ejde-599	141	1	by	by	ADP
ejde-599	141	2	theorem	theorem	VERB
ejde-599	141	3	1.1	1.1	NUM
ejde-599	141	4	the	the	DET
ejde-599	141	5	problem	problem	NOUN
ejde-599	141	6	(	(	PUNCT
ejde-599	141	7	2.5	2.5	NUM
ejde-599	141	8	)	)	PUNCT
ejde-599	141	9	has	have	VERB
ejde-599	141	10	a	a	DET
ejde-599	141	11	solution	solution	NOUN
ejde-599	141	12	.	.	PUNCT
ejde-599	142	1	�	�	PROPN
ejde-599	142	2	example	example	VERB
ejde-599	142	3	2.5	2.5	NUM
ejde-599	142	4	.	.	PUNCT
ejde-599	143	1	consider	consider	VERB
ejde-599	143	2	the	the	DET
ejde-599	143	3	unit	unit	NOUN
ejde-599	143	4	disc	disc	VERB
ejde-599	143	5	x2	x2	PROPN
ejde-599	144	1	+	+	CCONJ
ejde-599	144	2	y2	y2	NOUN
ejde-599	144	3	<	<	X
ejde-599	144	4	1	1	NUM
ejde-599	144	5	,	,	PUNCT
ejde-599	145	1	a	a	PRON
ejde-599	145	2	=	=	ADJ
ejde-599	145	3	1	1	X
ejde-599	145	4	.	.	X
ejde-599	145	5	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-599	145	6	readily	readily	ADV
ejde-599	145	7	returns	return	VERB
ejde-599	145	8	zeroes	zero	NOUN
ejde-599	145	9	of	of	ADP
ejde-599	145	10	the	the	DET
ejde-599	145	11	bessel	bessel	NOUN
ejde-599	145	12	functions	function	NOUN
ejde-599	145	13	α0,1	α0,1	PROPN
ejde-599	146	1	≈	≈	PROPN
ejde-599	146	2	2.40483	2.40483	NUM
ejde-599	146	3	,	,	PUNCT
ejde-599	146	4	α0,2	α0,2	PROPN
ejde-599	146	5	≈	≈	PROPN
ejde-599	146	6	5.52008	5.52008	NUM
ejde-599	146	7	,	,	PUNCT
ejde-599	146	8	α0,3	α0,3	PROPN
ejde-599	146	9	≈	≈	PROPN
ejde-599	146	10	8.65373	8.65373	NUM
ejde-599	146	11	,	,	PUNCT
ejde-599	146	12	.	.	PUNCT
ejde-599	146	13	.	.	PUNCT
ejde-599	146	14	.	.	PUNCT
ejde-599	147	1	α1,1	α1,1	PROPN
ejde-599	148	1	≈	≈	PROPN
ejde-599	148	2	3.83171	3.83171	NUM
ejde-599	148	3	,	,	PUNCT
ejde-599	148	4	α1,2	α1,2	PROPN
ejde-599	148	5	≈	≈	PROPN
ejde-599	148	6	7.01559	7.01559	NUM
ejde-599	148	7	,	,	PUNCT
ejde-599	148	8	.	.	PUNCT
ejde-599	148	9	.	.	PUNCT
ejde-599	148	10	.	.	PUNCT
ejde-599	149	1	α2,1	α2,1	PROPN
ejde-599	149	2	≈	≈	PROPN
ejde-599	149	3	5.13562	5.13562	NUM
ejde-599	149	4	,	,	PUNCT
ejde-599	149	5	α2,2	α2,2	PROPN
ejde-599	150	1	≈	≈	PROPN
ejde-599	150	2	8.41724	8.41724	NUM
ejde-599	150	3	,	,	PUNCT
ejde-599	150	4	.	.	PUNCT
ejde-599	150	5	.	.	PUNCT
ejde-599	150	6	.	.	PUNCT
ejde-599	151	1	α3,1	α3,1	PROPN
ejde-599	151	2	≈	≈	PROPN
ejde-599	151	3	6.38016	6.38016	NUM
ejde-599	151	4	,	,	PUNCT
ejde-599	151	5	α3,2	α3,2	PROPN
ejde-599	151	6	≈	≈	PROPN
ejde-599	151	7	9.76102	9.76102	NUM
ejde-599	151	8	,	,	PUNCT
ejde-599	151	9	.	.	PUNCT
ejde-599	151	10	.	.	PUNCT
ejde-599	151	11	.	.	PUNCT
ejde-599	151	12	.	.	PUNCT
ejde-599	152	1	the	the	DET
ejde-599	152	2	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-599	152	3	are	be	AUX
ejde-599	152	4	λ1	λ1	ADJ
ejde-599	152	5	=	=	SYM
ejde-599	152	6	α2	α2	NOUN
ejde-599	152	7	0,1	0,1	NUM
ejde-599	152	8	,	,	PUNCT
ejde-599	152	9	λ2	λ2	NOUN
ejde-599	152	10	=	=	SYM
ejde-599	152	11	α2	α2	NOUN
ejde-599	152	12	1,1	1,1	NUM
ejde-599	152	13	,	,	PUNCT
ejde-599	152	14	λ3	λ3	PROPN
ejde-599	152	15	=	=	SYM
ejde-599	152	16	α2	α2	PROPN
ejde-599	152	17	2,1	2,1	NUM
ejde-599	152	18	,	,	PUNCT
ejde-599	152	19	λ4	λ4	PROPN
ejde-599	152	20	=	=	SYM
ejde-599	152	21	α2	α2	NOUN
ejde-599	152	22	0,2	0,2	NUM
ejde-599	152	23	,	,	PUNCT
ejde-599	152	24	λ5	λ5	NOUN
ejde-599	152	25	=	=	SYM
ejde-599	152	26	α2	α2	NOUN
ejde-599	152	27	3,1	3,1	NUM
ejde-599	152	28	,	,	PUNCT
ejde-599	152	29	λ6	λ6	NOUN
ejde-599	152	30	=	=	SYM
ejde-599	152	31	α2	α2	PROPN
ejde-599	152	32	1,2	1,2	NUM
ejde-599	152	33	,	,	PUNCT
ejde-599	152	34	and	and	CCONJ
ejde-599	152	35	so	so	ADV
ejde-599	152	36	on	on	ADV
ejde-599	152	37	.	.	PUNCT
ejde-599	153	1	let	let	VERB
ejde-599	153	2	us	we	PRON
ejde-599	153	3	consider	consider	VERB
ejde-599	153	4	a	a	DET
ejde-599	153	5	case	case	NOUN
ejde-599	153	6	of	of	ADP
ejde-599	153	7	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	153	8	at	at	ADP
ejde-599	153	9	the	the	DET
ejde-599	153	10	sixth	sixth	ADJ
ejde-599	153	11	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	153	12	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-599	153	13	λ6u+	λ6u+	PROPN
ejde-599	153	14	u√	u√	PROPN
ejde-599	153	15	u2	u2	NOUN
ejde-599	153	16	+	+	CCONJ
ejde-599	153	17	1	1	NUM
ejde-599	153	18	=	=	SYM
ejde-599	153	19	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	153	20	,	,	PUNCT
ejde-599	153	21	y	y	PROPN
ejde-599	153	22	)	)	PUNCT
ejde-599	153	23	,	,	PUNCT
ejde-599	153	24	for	for	ADP
ejde-599	153	25	x2	x2	PROPN
ejde-599	154	1	+	+	CCONJ
ejde-599	155	1	y2	y2	NOUN
ejde-599	155	2	<	<	X
ejde-599	155	3	1	1	NUM
ejde-599	155	4	,	,	PUNCT
ejde-599	155	5	u	u	NOUN
ejde-599	155	6	=	=	PROPN
ejde-599	155	7	0	0	NUM
ejde-599	155	8	,	,	PUNCT
ejde-599	155	9	on	on	ADP
ejde-599	155	10	x2	x2	PROPN
ejde-599	156	1	+	+	CCONJ
ejde-599	156	2	y2	y2	NOUN
ejde-599	156	3	=	=	SYM
ejde-599	156	4	1	1	X
ejde-599	156	5	.	.	PUNCT
ejde-599	157	1	(	(	PUNCT
ejde-599	157	2	2.9	2.9	NUM
ejde-599	157	3	)	)	PUNCT
ejde-599	157	4	by	by	ADP
ejde-599	157	5	above	above	ADV
ejde-599	157	6	,	,	PUNCT
ejde-599	157	7	the	the	DET
ejde-599	157	8	eigenspace	eigenspace	NOUN
ejde-599	157	9	of	of	ADP
ejde-599	157	10	λ6	λ6	PROPN
ejde-599	157	11	is	be	AUX
ejde-599	157	12	j1(α1,2r)(a	j1(α1,2r)(a	PROPN
ejde-599	157	13	cos	cos	ADP
ejde-599	157	14	θ+b	θ+b	PROPN
ejde-599	157	15	sin	sin	PROPN
ejde-599	157	16	θ	θ	PROPN
ejde-599	157	17	)	)	PUNCT
ejde-599	157	18	,	,	PUNCT
ejde-599	157	19	with	with	ADP
ejde-599	157	20	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-599	157	21	numbers	number	NOUN
ejde-599	157	22	a	a	PRON
ejde-599	157	23	and	and	CCONJ
ejde-599	157	24	b.	b.	VERB
ejde-599	157	25	the	the	DET
ejde-599	157	26	graph	graph	NOUN
ejde-599	157	27	of	of	ADP
ejde-599	157	28	j1(α	j1(α	PROPN
ejde-599	157	29	1,2	1,2	NUM
ejde-599	157	30	r	r	NOUN
ejde-599	157	31	)	)	PUNCT
ejde-599	157	32	on	on	ADP
ejde-599	157	33	(	(	PUNCT
ejde-599	157	34	0	0	NUM
ejde-599	157	35	,	,	PUNCT
ejde-599	157	36	1	1	NUM
ejde-599	157	37	)	)	PUNCT
ejde-599	157	38	has	have	VERB
ejde-599	157	39	one	one	NUM
ejde-599	157	40	root	root	NOUN
ejde-599	157	41	r0	r0	NOUN
ejde-599	157	42	=	=	SYM
ejde-599	157	43	α1,1	α1,1	PROPN
ejde-599	157	44	α1,2	α1,2	NOUN
ejde-599	157	45	,	,	PUNCT
ejde-599	157	46	and	and	CCONJ
ejde-599	157	47	it	it	PRON
ejde-599	157	48	is	be	AUX
ejde-599	157	49	positive	positive	ADJ
ejde-599	157	50	on	on	ADP
ejde-599	157	51	p1,2	p1,2	PROPN
ejde-599	157	52	=	=	SYM
ejde-599	157	53	(	(	PUNCT
ejde-599	157	54	0	0	NUM
ejde-599	157	55	,	,	PUNCT
ejde-599	157	56	r0	r0	NOUN
ejde-599	157	57	)	)	PUNCT
ejde-599	157	58	,	,	PUNCT
ejde-599	157	59	and	and	CCONJ
ejde-599	157	60	negative	negative	ADJ
ejde-599	157	61	on	on	ADP
ejde-599	157	62	n1,2	n1,2	PROPN
ejde-599	157	63	=	=	SYM
ejde-599	157	64	(	(	PUNCT
ejde-599	157	65	r0	r0	NOUN
ejde-599	157	66	,	,	PUNCT
ejde-599	157	67	1	1	NUM
ejde-599	157	68	)	)	PUNCT
ejde-599	157	69	,	,	PUNCT
ejde-599	157	70	see	see	VERB
ejde-599	157	71	figure	figure	NOUN
ejde-599	157	72	1	1	NUM
ejde-599	157	73	.	.	PUNCT
ejde-599	158	1	by	by	ADP
ejde-599	158	2	(	(	PUNCT
ejde-599	158	3	2.2	2.2	NUM
ejde-599	158	4	)	)	PUNCT
ejde-599	158	5	,	,	PUNCT
ejde-599	158	6	using	use	VERB
ejde-599	158	7	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-599	158	8	j1,2	j1,2	PROPN
ejde-599	158	9	=	=	PROPN
ejde-599	158	10	2	2	NUM
ejde-599	158	11	∫	∫	NOUN
ejde-599	158	12	r0	r0	NOUN
ejde-599	158	13	0	0	PROPN
ejde-599	158	14	j1(α1,2r)r	j1(α1,2r)r	PROPN
ejde-599	158	15	dr	dr	PROPN
ejde-599	158	16	−	−	PROPN
ejde-599	158	17	2	2	NUM
ejde-599	158	18	∫	∫	PROPN
ejde-599	158	19	1	1	NUM
ejde-599	158	20	r0	r0	NOUN
ejde-599	158	21	jn(α1,2r)r	jn(α1,2r)r	PROPN
ejde-599	158	22	dr	dr	PROPN
ejde-599	158	23	≈	≈	PROPN
ejde-599	158	24	0.260759	0.260759	NUM
ejde-599	158	25	.	.	PUNCT
ejde-599	159	1	for	for	ADP
ejde-599	159	2	any	any	DET
ejde-599	159	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	159	4	,	,	PUNCT
ejde-599	159	5	y	y	PROPN
ejde-599	159	6	)	)	PUNCT
ejde-599	159	7	,	,	PUNCT
ejde-599	159	8	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-599	159	9	can	can	AUX
ejde-599	159	10	also	also	ADV
ejde-599	159	11	easily	easily	ADV
ejde-599	159	12	compute	compute	VERB
ejde-599	159	13	highly	highly	ADV
ejde-599	159	14	accurate	accurate	ADJ
ejde-599	159	15	approximation	approximation	NOUN
ejde-599	159	16	of	of	ADP
ejde-599	159	17	the	the	DET
ejde-599	159	18	integrals	integral	NOUN
ejde-599	159	19	a6	a6	NOUN
ejde-599	159	20	=	=	SYM
ejde-599	159	21	∫	∫	PROPN
ejde-599	159	22	x2+y2<1	x2+y2<1	PROPN
ejde-599	160	1	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	160	2	,	,	PUNCT
ejde-599	160	3	y)j1	y)j1	PROPN
ejde-599	160	4	(	(	PUNCT
ejde-599	160	5	α1,2	α1,2	ADJ
ejde-599	160	6	a	a	DET
ejde-599	160	7	r	r	NOUN
ejde-599	160	8	)	)	PUNCT
ejde-599	160	9	cos	cos	ADP
ejde-599	160	10	θ	θ	PROPN
ejde-599	160	11	dx	dx	PROPN
ejde-599	160	12	dy	dy	PROPN
ejde-599	160	13	,	,	PUNCT
ejde-599	160	14	b6	b6	NOUN
ejde-599	160	15	=	=	SYM
ejde-599	160	16	∫	∫	PROPN
ejde-599	160	17	x2+y2<1	x2+y2<1	PROPN
ejde-599	161	1	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	161	2	,	,	PUNCT
ejde-599	161	3	y)j1	y)j1	PROPN
ejde-599	161	4	(	(	PUNCT
ejde-599	161	5	α1,2	α1,2	ADJ
ejde-599	161	6	a	a	DET
ejde-599	161	7	r	r	NOUN
ejde-599	161	8	)	)	PUNCT
ejde-599	161	9	sin	sin	NOUN
ejde-599	161	10	θ	θ	PROPN
ejde-599	161	11	dx	dx	PROPN
ejde-599	161	12	dy	dy	NOUN
ejde-599	161	13	.	.	PUNCT
ejde-599	162	1	(	(	PUNCT
ejde-599	162	2	here	here	ADV
ejde-599	162	3	x	x	X
ejde-599	162	4	=	=	SYM
ejde-599	162	5	r	r	NOUN
ejde-599	162	6	cos	cos	PROPN
ejde-599	162	7	θ	θ	PROPN
ejde-599	162	8	,	,	PUNCT
ejde-599	162	9	y	y	NOUN
ejde-599	162	10	=	=	PUNCT
ejde-599	162	11	r	r	NOUN
ejde-599	162	12	sin	sin	NOUN
ejde-599	162	13	θ	θ	NOUN
ejde-599	162	14	,	,	PUNCT
ejde-599	162	15	and	and	CCONJ
ejde-599	162	16	dx	dx	PROPN
ejde-599	162	17	dy	dy	NOUN
ejde-599	162	18	=	=	NOUN
ejde-599	162	19	r	r	NOUN
ejde-599	162	20	drdθ	drdθ	NOUN
ejde-599	162	21	.	.	PUNCT
ejde-599	162	22	)	)	PUNCT
ejde-599	162	23	since	since	SCONJ
ejde-599	162	24	g(∞	g(∞	PROPN
ejde-599	162	25	)	)	PUNCT
ejde-599	162	26	=	=	SYM
ejde-599	162	27	1	1	NUM
ejde-599	162	28	and	and	CCONJ
ejde-599	162	29	g(−∞	g(−∞	NOUN
ejde-599	162	30	)	)	PUNCT
ejde-599	162	31	=	=	SYM
ejde-599	162	32	−1	−1	NOUN
ejde-599	162	33	,	,	PUNCT
ejde-599	162	34	it	it	PRON
ejde-599	162	35	follows	follow	VERB
ejde-599	162	36	by	by	ADP
ejde-599	162	37	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	162	38	2.4	2.4	NUM
ejde-599	162	39	that	that	DET
ejde-599	162	40	problem	problem	NOUN
ejde-599	162	41	(	(	PUNCT
ejde-599	162	42	2.9	2.9	NUM
ejde-599	162	43	)	)	PUNCT
ejde-599	162	44	has	have	VERB
ejde-599	162	45	a	a	DET
ejde-599	162	46	solution	solution	NOUN
ejde-599	162	47	if	if	SCONJ
ejde-599	162	48	and	and	CCONJ
ejde-599	162	49	only	only	ADV
ejde-599	162	50	if√	if√	NUM
ejde-599	162	51	a2	a2	PROPN
ejde-599	162	52	6	6	NUM
ejde-599	163	1	+	+	NOUN
ejde-599	163	2	b2	b2	NOUN
ejde-599	163	3	6	6	NUM
ejde-599	163	4	<	<	X
ejde-599	163	5	2j1,2	2j1,2	NUM
ejde-599	163	6	.	.	PUNCT
ejde-599	164	1	we	we	PRON
ejde-599	164	2	now	now	ADV
ejde-599	164	3	consider	consider	VERB
ejde-599	164	4	an	an	DET
ejde-599	164	5	application	application	NOUN
ejde-599	164	6	to	to	ADP
ejde-599	164	7	the	the	DET
ejde-599	164	8	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-599	164	9	heat	heat	NOUN
ejde-599	164	10	equation	equation	NOUN
ejde-599	164	11	on	on	ADP
ejde-599	164	12	a	a	DET
ejde-599	164	13	disc	disc	NOUN
ejde-599	164	14	da	da	NOUN
ejde-599	164	15	:	:	PUNCT
ejde-599	165	1	x2	x2	PROPN
ejde-599	166	1	+	+	CCONJ
ejde-599	166	2	y2	y2	NOUN
ejde-599	166	3	<	<	X
ejde-599	166	4	a2	a2	PROPN
ejde-599	166	5	(	(	PUNCT
ejde-599	166	6	here	here	ADV
ejde-599	166	7	u	u	X
ejde-599	166	8	=	=	SYM
ejde-599	166	9	u(x	u(x	PROPN
ejde-599	166	10	,	,	PUNCT
ejde-599	166	11	y	y	PROPN
ejde-599	166	12	,	,	PUNCT
ejde-599	166	13	t	t	PROPN
ejde-599	166	14	)	)	PUNCT
ejde-599	166	15	)	)	PUNCT
ejde-599	166	16	ut	ut	PROPN
ejde-599	167	1	=	=	PUNCT
ejde-599	167	2	∆u+	∆u+	PROPN
ejde-599	167	3	λku+	λku+	PROPN
ejde-599	167	4	g(u)−	g(u)−	PROPN
ejde-599	167	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	167	6	,	,	PUNCT
ejde-599	167	7	y	y	PROPN
ejde-599	167	8	)	)	PUNCT
ejde-599	167	9	,	,	PUNCT
ejde-599	167	10	for	for	ADP
ejde-599	167	11	(	(	PUNCT
ejde-599	167	12	x	x	NOUN
ejde-599	167	13	,	,	PUNCT
ejde-599	167	14	y	y	NOUN
ejde-599	167	15	)	)	PUNCT
ejde-599	167	16	∈	∈	PROPN
ejde-599	167	17	da	da	PROPN
ejde-599	167	18	,	,	PUNCT
ejde-599	167	19	t	t	PROPN
ejde-599	167	20	>	>	X
ejde-599	167	21	0	0	PUNCT
ejde-599	168	1	u(x	u(x	PROPN
ejde-599	168	2	,	,	PUNCT
ejde-599	168	3	y	y	PROPN
ejde-599	168	4	,	,	PUNCT
ejde-599	168	5	t	t	PROPN
ejde-599	168	6	)	)	PUNCT
ejde-599	168	7	=	=	SYM
ejde-599	168	8	0	0	NUM
ejde-599	168	9	,	,	PUNCT
ejde-599	168	10	for	for	ADP
ejde-599	168	11	(	(	PUNCT
ejde-599	168	12	x	x	NOUN
ejde-599	168	13	,	,	PUNCT
ejde-599	168	14	y	y	NOUN
ejde-599	168	15	)	)	PUNCT
ejde-599	168	16	on	on	ADP
ejde-599	168	17	∂da	∂da	PROPN
ejde-599	168	18	,	,	PUNCT
ejde-599	168	19	t	t	PROPN
ejde-599	168	20	>	>	X
ejde-599	168	21	0	0	PUNCT
ejde-599	169	1	u(x	u(x	PROPN
ejde-599	169	2	,	,	PUNCT
ejde-599	169	3	y	y	NOUN
ejde-599	169	4	,	,	PUNCT
ejde-599	169	5	0	0	NUM
ejde-599	169	6	)	)	PUNCT
ejde-599	169	7	=	=	SYM
ejde-599	169	8	u0(x	u0(x	PROPN
ejde-599	169	9	,	,	PUNCT
ejde-599	169	10	y	y	PROPN
ejde-599	169	11	)	)	PUNCT
ejde-599	169	12	,	,	PUNCT
ejde-599	169	13	(	(	PUNCT
ejde-599	169	14	2.10	2.10	NUM
ejde-599	169	15	)	)	PUNCT
ejde-599	169	16	ejde-2024/09	ejde-2024/09	NOUN
ejde-599	169	17	necessary	necessary	ADJ
ejde-599	169	18	and	and	CCONJ
ejde-599	169	19	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	169	20	condition	condition	NOUN
ejde-599	169	21	7	7	NUM
ejde-599	169	22	figure	figure	NOUN
ejde-599	169	23	1	1	NUM
ejde-599	169	24	.	.	PUNCT
ejde-599	169	25	graph	graph	NOUN
ejde-599	169	26	of	of	ADP
ejde-599	169	27	j1(α	j1(α	PROPN
ejde-599	169	28	1,2	1,2	NUM
ejde-599	169	29	r	r	NOUN
ejde-599	169	30	)	)	PUNCT
ejde-599	169	31	on	on	ADP
ejde-599	169	32	the	the	DET
ejde-599	169	33	interval	interval	NOUN
ejde-599	169	34	(	(	PUNCT
ejde-599	169	35	0	0	NUM
ejde-599	169	36	,	,	PUNCT
ejde-599	169	37	1	1	NUM
ejde-599	169	38	)	)	PUNCT
ejde-599	169	39	with	with	ADP
ejde-599	169	40	given	give	VERB
ejde-599	169	41	functions	function	NOUN
ejde-599	169	42	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	169	43	,	,	PUNCT
ejde-599	169	44	y	y	PROPN
ejde-599	169	45	)	)	PUNCT
ejde-599	169	46	and	and	CCONJ
ejde-599	169	47	u0(x	u0(x	SYM
ejde-599	169	48	,	,	PUNCT
ejde-599	169	49	y	y	NOUN
ejde-599	169	50	)	)	PUNCT
ejde-599	169	51	,	,	PUNCT
ejde-599	169	52	and	and	CCONJ
ejde-599	169	53	g(u	g(u	X
ejde-599	169	54	)	)	PUNCT
ejde-599	169	55	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-599	169	56	(	(	PUNCT
ejde-599	169	57	1.2	1.2	NUM
ejde-599	169	58	)	)	PUNCT
ejde-599	169	59	.	.	PUNCT
ejde-599	170	1	here	here	ADV
ejde-599	170	2	λk	λk	ADV
ejde-599	170	3	,	,	PUNCT
ejde-599	170	4	k	k	PROPN
ejde-599	170	5	≥	≥	NUM
ejde-599	170	6	2	2	NUM
ejde-599	170	7	,	,	PUNCT
ejde-599	170	8	is	be	AUX
ejde-599	170	9	a	a	DET
ejde-599	170	10	double	double	ADJ
ejde-599	170	11	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-599	170	12	of	of	ADP
ejde-599	170	13	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-599	170	14	,	,	PUNCT
ejde-599	170	15	as	as	ADP
ejde-599	170	16	above	above	ADV
ejde-599	170	17	.	.	PUNCT
ejde-599	171	1	steady	steady	ADJ
ejde-599	171	2	states	state	NOUN
ejde-599	171	3	for	for	ADP
ejde-599	171	4	this	this	DET
ejde-599	171	5	equation	equation	NOUN
ejde-599	171	6	satisfy	satisfy	VERB
ejde-599	171	7	the	the	DET
ejde-599	171	8	equation	equation	NOUN
ejde-599	171	9	(	(	PUNCT
ejde-599	171	10	2.5	2.5	NUM
ejde-599	171	11	)	)	PUNCT
ejde-599	171	12	.	.	PUNCT
ejde-599	172	1	by	by	ADP
ejde-599	172	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-599	172	3	2.4	2.4	NUM
ejde-599	172	4	,	,	PUNCT
ejde-599	172	5	no	no	DET
ejde-599	172	6	steady	steady	ADJ
ejde-599	172	7	states	state	NOUN
ejde-599	172	8	exist	exist	VERB
ejde-599	172	9	if√	if√	X
ejde-599	173	1	a2	a2	PROPN
ejde-599	173	2	k	k	PROPN
ejde-599	174	1	+	+	PROPN
ejde-599	174	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	174	3	k	k	PROPN
ejde-599	174	4	>	>	X
ejde-599	174	5	jn	jn	PROPN
ejde-599	174	6	,	,	PUNCT
ejde-599	174	7	m(g(∞)−	m(g(∞)−	VERB
ejde-599	174	8	g(−∞	g(−∞	PROPN
ejde-599	174	9	)	)	PUNCT
ejde-599	174	10	)	)	PUNCT
ejde-599	174	11	.	.	PUNCT
ejde-599	175	1	(	(	PUNCT
ejde-599	175	2	2.11	2.11	NUM
ejde-599	175	3	)	)	PUNCT
ejde-599	175	4	denote	denote	NOUN
ejde-599	175	5	wk	wk	INTJ
ejde-599	175	6	=	=	SYM
ejde-599	175	7	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	175	8	a2	a2	PROPN
ejde-599	175	9	k+b	k+b	PUNCT
ejde-599	175	10	2	2	NUM
ejde-599	176	1	k	k	NOUN
ejde-599	176	2	ϕk	ϕk	PROPN
ejde-599	176	3	+	+	NUM
ejde-599	176	4	bk√	bk√	NOUN
ejde-599	176	5	a2	a2	PROPN
ejde-599	176	6	k+b	k+b	NUM
ejde-599	176	7	2	2	NUM
ejde-599	176	8	k	k	NOUN
ejde-599	176	9	ψk	ψk	VERB
ejde-599	176	10	,	,	PUNCT
ejde-599	176	11	as	as	ADP
ejde-599	176	12	above	above	ADV
ejde-599	176	13	.	.	PUNCT
ejde-599	177	1	recall	recall	VERB
ejde-599	177	2	that	that	DET
ejde-599	177	3	ak	ak	PROPN
ejde-599	177	4	=	=	PROPN
ejde-599	177	5	∫	∫	PROPN
ejde-599	177	6	da	da	PROPN
ejde-599	177	7	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	177	8	,	,	PUNCT
ejde-599	177	9	y)ϕk	y)ϕk	PROPN
ejde-599	177	10	dx	dx	PROPN
ejde-599	177	11	dy	dy	PROPN
ejde-599	177	12	,	,	PUNCT
ejde-599	177	13	bk	bk	PROPN
ejde-599	177	14	=	=	SYM
ejde-599	177	15	∫	∫	PROPN
ejde-599	177	16	da	da	PROPN
ejde-599	177	17	f(x	f(x	PROPN
ejde-599	177	18	,	,	PUNCT
ejde-599	177	19	y)ψk	y)ψk	PROPN
ejde-599	177	20	dx	dx	PROPN
ejde-599	177	21	dy	dy	PROPN
ejde-599	177	22	.	.	PUNCT
ejde-599	177	23	theorem	theorem	VERB
ejde-599	177	24	2.6	2.6	NUM
ejde-599	177	25	.	.	PUNCT
ejde-599	178	1	assume	assume	VERB
ejde-599	178	2	that	that	SCONJ
ejde-599	178	3	g(u	g(u	PROPN
ejde-599	178	4	)	)	PUNCT
ejde-599	178	5	satisfies	satisfy	VERB
ejde-599	178	6	the	the	DET
ejde-599	178	7	condition	condition	NOUN
ejde-599	178	8	(	(	PUNCT
ejde-599	178	9	1.2	1.2	NUM
ejde-599	178	10	)	)	PUNCT
ejde-599	178	11	,	,	PUNCT
ejde-599	178	12	and	and	CCONJ
ejde-599	178	13	that	that	SCONJ
ejde-599	178	14	(	(	PUNCT
ejde-599	178	15	2.11	2.11	NUM
ejde-599	178	16	)	)	PUNCT
ejde-599	178	17	holds	hold	VERB
ejde-599	178	18	.	.	PUNCT
ejde-599	179	1	then	then	ADV
ejde-599	179	2	solution	solution	NOUN
ejde-599	179	3	of	of	ADP
ejde-599	179	4	(	(	PUNCT
ejde-599	179	5	2.10	2.10	NUM
ejde-599	179	6	)	)	PUNCT
ejde-599	179	7	is	be	AUX
ejde-599	179	8	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-599	179	9	for	for	ADP
ejde-599	179	10	any	any	DET
ejde-599	179	11	initial	initial	ADJ
ejde-599	179	12	data	datum	NOUN
ejde-599	179	13	u0(x	u0(x	NOUN
ejde-599	179	14	,	,	PUNCT
ejde-599	179	15	y	y	NOUN
ejde-599	179	16	)	)	PUNCT
ejde-599	179	17	.	.	PUNCT
ejde-599	180	1	in	in	ADP
ejde-599	180	2	fact	fact	NOUN
ejde-599	180	3	,	,	PUNCT
ejde-599	180	4	defining	define	VERB
ejde-599	180	5	h(t	h(t	PROPN
ejde-599	180	6	)	)	PUNCT
ejde-599	181	1	=	=	SYM
ejde-599	181	2	∫	∫	PROPN
ejde-599	181	3	da	da	PROPN
ejde-599	181	4	u(x	u(x	PROPN
ejde-599	181	5	,	,	PUNCT
ejde-599	181	6	y	y	PRON
ejde-599	181	7	,	,	PUNCT
ejde-599	181	8	t)wk	t)wk	PROPN
ejde-599	181	9	dx	dx	PROPN
ejde-599	181	10	dy	dy	PROPN
ejde-599	181	11	,	,	PUNCT
ejde-599	181	12	one	one	NUM
ejde-599	181	13	has	have	VERB
ejde-599	181	14	h(t)→	h(t)→	NOUN
ejde-599	181	15	−∞	−∞	ADP
ejde-599	181	16	as	as	ADP
ejde-599	181	17	t→∞.	t→∞.	NOUN
ejde-599	181	18	proof	proof	NOUN
ejde-599	181	19	.	.	PUNCT
ejde-599	182	1	multiply	multiply	ADV
ejde-599	182	2	(	(	PUNCT
ejde-599	182	3	2.10	2.10	NUM
ejde-599	182	4	)	)	PUNCT
ejde-599	182	5	by	by	ADP
ejde-599	182	6	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	182	7	a2	a2	PROPN
ejde-599	182	8	k+b	k+b	PUNCT
ejde-599	182	9	2	2	NUM
ejde-599	182	10	k	k	NOUN
ejde-599	182	11	ϕk	ϕk	ADV
ejde-599	182	12	and	and	CCONJ
ejde-599	182	13	integrate	integrate	VERB
ejde-599	182	14	both	both	DET
ejde-599	182	15	sides	side	NOUN
ejde-599	182	16	over	over	ADP
ejde-599	182	17	da	da	PROPN
ejde-599	182	18	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	182	19	a2	a2	PROPN
ejde-599	182	20	k	k	PROPN
ejde-599	183	1	+	+	PROPN
ejde-599	183	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	183	3	k	k	PROPN
ejde-599	183	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	183	5	da	da	PROPN
ejde-599	183	6	utϕk	utϕk	PROPN
ejde-599	183	7	dx	dx	PROPN
ejde-599	183	8	dy	dy	X
ejde-599	183	9	=	=	SYM
ejde-599	183	10	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	183	11	a2	a2	PROPN
ejde-599	183	12	k	k	PROPN
ejde-599	184	1	+	+	PROPN
ejde-599	184	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	184	3	k	k	PROPN
ejde-599	184	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	184	5	da	da	PROPN
ejde-599	184	6	g(u)ϕk	g(u)ϕk	PROPN
ejde-599	184	7	dx	dx	PROPN
ejde-599	184	8	dy	dy	PROPN
ejde-599	184	9	−	−	PROPN
ejde-599	184	10	a2	a2	PROPN
ejde-599	184	11	k√	k√	NOUN
ejde-599	184	12	a2	a2	PROPN
ejde-599	184	13	k	k	PROPN
ejde-599	184	14	+	+	PROPN
ejde-599	184	15	b2	b2	PROPN
ejde-599	184	16	k	k	X
ejde-599	184	17	.	.	PUNCT
ejde-599	185	1	multiply	multiply	ADV
ejde-599	185	2	(	(	PUNCT
ejde-599	185	3	2.10	2.10	NUM
ejde-599	185	4	)	)	PUNCT
ejde-599	185	5	by	by	ADP
ejde-599	185	6	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	185	7	a2	a2	PROPN
ejde-599	185	8	k+b	k+b	PROPN
ejde-599	185	9	2	2	NUM
ejde-599	185	10	k	k	NOUN
ejde-599	185	11	ψk	ψk	VERB
ejde-599	185	12	,	,	PUNCT
ejde-599	185	13	and	and	CCONJ
ejde-599	185	14	integrate	integrate	VERB
ejde-599	185	15	over	over	ADP
ejde-599	185	16	ba	ba	PROPN
ejde-599	185	17	,	,	PUNCT
ejde-599	185	18	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	185	19	a2	a2	PROPN
ejde-599	185	20	k	k	PROPN
ejde-599	186	1	+	+	PROPN
ejde-599	186	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	186	3	k	k	PROPN
ejde-599	186	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	186	5	da	da	PROPN
ejde-599	186	6	utψk	utψk	PROPN
ejde-599	186	7	dx	dx	PROPN
ejde-599	186	8	dy	dy	X
ejde-599	186	9	=	=	SYM
ejde-599	186	10	ak√	ak√	PROPN
ejde-599	186	11	a2	a2	PROPN
ejde-599	186	12	k	k	PROPN
ejde-599	187	1	+	+	PROPN
ejde-599	187	2	b2	b2	PROPN
ejde-599	187	3	k	k	PROPN
ejde-599	187	4	∫	∫	PROPN
ejde-599	187	5	da	da	PROPN
ejde-599	187	6	g(u)ψk	g(u)ψk	PROPN
ejde-599	187	7	dx	dx	PROPN
ejde-599	187	8	dy	dy	NOUN
ejde-599	187	9	−	−	PROPN
ejde-599	187	10	b2	b2	NOUN
ejde-599	187	11	k√	k√	NOUN
ejde-599	187	12	a2	a2	PROPN
ejde-599	187	13	k	k	PROPN
ejde-599	187	14	+	+	PROPN
ejde-599	187	15	b2	b2	PROPN
ejde-599	187	16	k	k	X
ejde-599	187	17	.	.	PUNCT
ejde-599	187	18	add	add	VERB
ejde-599	187	19	the	the	DET
ejde-599	187	20	results	result	NOUN
ejde-599	187	21	,	,	PUNCT
ejde-599	187	22	to	to	PART
ejde-599	187	23	obtain	obtain	VERB
ejde-599	187	24	h	h	PROPN
ejde-599	187	25	′(t	′(t	NOUN
ejde-599	187	26	)	)	PUNCT
ejde-599	188	1	=	=	SYM
ejde-599	188	2	∫	∫	PROPN
ejde-599	188	3	da	da	PROPN
ejde-599	188	4	g(u)wk	g(u)wk	PROPN
ejde-599	188	5	dx	dx	PROPN
ejde-599	188	6	dy	dy	NOUN
ejde-599	188	7	−	−	PROPN
ejde-599	188	8	√	√	PROPN
ejde-599	188	9	a2	a2	PROPN
ejde-599	188	10	k	k	PROPN
ejde-599	189	1	+	+	PROPN
ejde-599	189	2	b2	b2	NOUN
ejde-599	189	3	k	k	X
ejde-599	189	4	<	<	X
ejde-599	189	5	−ε	−ε	PROPN
ejde-599	189	6	,	,	PUNCT
ejde-599	189	7	for	for	ADP
ejde-599	189	8	some	some	DET
ejde-599	189	9	ε	ε	PROPN
ejde-599	189	10	>	>	X
ejde-599	189	11	0	0	PROPN
ejde-599	189	12	,	,	PUNCT
ejde-599	189	13	by	by	ADP
ejde-599	189	14	estimating	estimate	VERB
ejde-599	189	15	the	the	DET
ejde-599	189	16	integral	integral	ADJ
ejde-599	189	17	∫	∫	PROPN
ejde-599	189	18	da	da	PROPN
ejde-599	189	19	g(u)wk	g(u)wk	PROPN
ejde-599	189	20	dx	dx	PROPN
ejde-599	189	21	dy	dy	NOUN
ejde-599	189	22	as	as	ADP
ejde-599	189	23	in	in	ADP
ejde-599	189	24	part	part	NOUN
ejde-599	189	25	(	(	PUNCT
ejde-599	189	26	i	i	NOUN
ejde-599	189	27	)	)	PUNCT
ejde-599	189	28	of	of	ADP
ejde-599	189	29	theorem	theorem	ADJ
ejde-599	189	30	1.2	1.2	NUM
ejde-599	189	31	,	,	PUNCT
ejde-599	189	32	and	and	CCONJ
ejde-599	189	33	using	use	VERB
ejde-599	189	34	(	(	PUNCT
ejde-599	189	35	2.11	2.11	NUM
ejde-599	189	36	)	)	PUNCT
ejde-599	189	37	.	.	PUNCT
ejde-599	190	1	then	then	ADV
ejde-599	190	2	h(t	h(t	PROPN
ejde-599	190	3	)	)	PUNCT
ejde-599	191	1	<	<	X
ejde-599	191	2	h(0)−	h(0)−	PROPN
ejde-599	191	3	εt	εt	PROPN
ejde-599	191	4	,	,	PUNCT
ejde-599	191	5	concluding	conclude	VERB
ejde-599	191	6	the	the	DET
ejde-599	191	7	proof	proof	NOUN
ejde-599	191	8	.	.	PUNCT
ejde-599	192	1	�	�	PROPN
ejde-599	192	2	in	in	ADP
ejde-599	192	3	the	the	DET
ejde-599	192	4	ode	ode	ADJ
ejde-599	192	5	context	context	NOUN
ejde-599	192	6	related	relate	VERB
ejde-599	192	7	results	result	NOUN
ejde-599	192	8	on	on	ADP
ejde-599	192	9	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-599	192	10	solutions	solution	NOUN
ejde-599	192	11	were	be	AUX
ejde-599	192	12	given	give	VERB
ejde-599	192	13	by	by	ADP
ejde-599	192	14	seifert	seifert	NOUN
ejde-599	193	1	[	[	X
ejde-599	193	2	12	12	NUM
ejde-599	193	3	]	]	PUNCT
ejde-599	193	4	,	,	PUNCT
ejde-599	193	5	alonso	alonso	NOUN
ejde-599	193	6	and	and	CCONJ
ejde-599	193	7	ortega	ortega	NOUN
ejde-599	194	1	[	[	X
ejde-599	194	2	1	1	NUM
ejde-599	194	3	]	]	PUNCT
ejde-599	194	4	,	,	PUNCT
ejde-599	194	5	and	and	CCONJ
ejde-599	194	6	korman	korman	NOUN
ejde-599	195	1	[	[	X
ejde-599	195	2	7	7	NUM
ejde-599	195	3	]	]	PUNCT
ejde-599	195	4	.	.	PUNCT
ejde-599	196	1	8	8	NUM
ejde-599	196	2	p.	p.	NOUN
ejde-599	196	3	korman	korman	PROPN
ejde-599	196	4	ejde-2024/09	ejde-2024/09	PROPN
ejde-599	196	5	references	reference	NOUN
ejde-599	196	6	[	[	X
ejde-599	196	7	1	1	NUM
ejde-599	196	8	]	]	PUNCT
ejde-599	196	9	j.	j.	PROPN
ejde-599	196	10	m.	m.	PROPN
ejde-599	196	11	alonso	alonso	PROPN
ejde-599	196	12	,	,	PUNCT
ejde-599	196	13	r.	r.	PROPN
ejde-599	196	14	ortega	ortega	PROPN
ejde-599	196	15	;	;	PUNCT
ejde-599	196	16	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-599	196	17	solutions	solution	NOUN
ejde-599	196	18	of	of	ADP
ejde-599	196	19	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-599	196	20	equations	equation	NOUN
ejde-599	196	21	at	at	ADP
ejde-599	196	22	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	196	23	,	,	PUNCT
ejde-599	196	24	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-599	196	25	,	,	PUNCT
ejde-599	196	26	9	9	NUM
ejde-599	196	27	(	(	PUNCT
ejde-599	196	28	1996	1996	NUM
ejde-599	196	29	)	)	PUNCT
ejde-599	197	1	no	no	INTJ
ejde-599	197	2	.	.	NOUN
ejde-599	197	3	5	5	NUM
ejde-599	197	4	,	,	PUNCT
ejde-599	197	5	1099	1099	NUM
ejde-599	197	6	-	-	SYM
ejde-599	197	7	1111	1111	NUM
ejde-599	197	8	.	.	PUNCT
ejde-599	198	1	[	[	X
ejde-599	198	2	2	2	NUM
ejde-599	198	3	]	]	X
ejde-599	198	4	b.	b.	PROPN
ejde-599	198	5	gidas	gidas	PROPN
ejde-599	198	6	,	,	PUNCT
ejde-599	198	7	w.-m	w.-m	PROPN
ejde-599	198	8	.	.	PUNCT
ejde-599	199	1	ni	ni	PROPN
ejde-599	199	2	,	,	PUNCT
ejde-599	199	3	l.	l.	PROPN
ejde-599	199	4	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-599	199	5	;	;	PUNCT
ejde-599	199	6	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-599	199	7	and	and	CCONJ
ejde-599	199	8	related	relate	VERB
ejde-599	199	9	properties	property	NOUN
ejde-599	199	10	via	via	ADP
ejde-599	199	11	the	the	DET
ejde-599	199	12	maximum	maximum	ADJ
ejde-599	199	13	principle	principle	NOUN
ejde-599	199	14	,	,	PUNCT
ejde-599	199	15	commun	commun	PROPN
ejde-599	199	16	.	.	PUNCT
ejde-599	199	17	math	math	NOUN
ejde-599	199	18	.	.	PUNCT
ejde-599	200	1	phys	phy	NOUN
ejde-599	200	2	.	.	PUNCT
ejde-599	200	3	,	,	PUNCT
ejde-599	200	4	68	68	NUM
ejde-599	200	5	(	(	PUNCT
ejde-599	200	6	1979	1979	NUM
ejde-599	200	7	)	)	PUNCT
ejde-599	200	8	,	,	PUNCT
ejde-599	200	9	209	209	NUM
ejde-599	200	10	-	-	SYM
ejde-599	200	11	243	243	NUM
ejde-599	200	12	.	.	PUNCT
ejde-599	201	1	[	[	X
ejde-599	201	2	3	3	X
ejde-599	201	3	]	]	PUNCT
ejde-599	201	4	s.	s.	PROPN
ejde-599	201	5	p.	p.	PROPN
ejde-599	201	6	hastings	hastings	PROPN
ejde-599	201	7	,	,	PUNCT
ejde-599	201	8	j.	j.	PROPN
ejde-599	201	9	b.	b.	PROPN
ejde-599	201	10	mcleod	mcleod	PROPN
ejde-599	201	11	;	;	PUNCT
ejde-599	201	12	short	short	ADJ
ejde-599	201	13	proofs	proof	NOUN
ejde-599	201	14	of	of	ADP
ejde-599	201	15	results	result	NOUN
ejde-599	201	16	by	by	ADP
ejde-599	201	17	landesman	landesman	NOUN
ejde-599	201	18	,	,	PUNCT
ejde-599	201	19	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	201	20	,	,	PUNCT
ejde-599	201	21	and	and	CCONJ
ejde-599	201	22	leach	leach	NOUN
ejde-599	201	23	on	on	ADP
ejde-599	201	24	problems	problem	NOUN
ejde-599	201	25	related	relate	VERB
ejde-599	201	26	to	to	ADP
ejde-599	201	27	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	201	28	,	,	PUNCT
ejde-599	201	29	differential	differential	ADJ
ejde-599	201	30	integral	integral	ADJ
ejde-599	201	31	equations	equation	NOUN
ejde-599	201	32	,	,	PUNCT
ejde-599	201	33	24	24	NUM
ejde-599	201	34	(	(	PUNCT
ejde-599	201	35	2011	2011	NUM
ejde-599	201	36	)	)	PUNCT
ejde-599	202	1	no	no	INTJ
ejde-599	202	2	.	.	NOUN
ejde-599	203	1	5	5	NUM
ejde-599	203	2	-	-	SYM
ejde-599	203	3	6	6	NUM
ejde-599	203	4	,	,	PUNCT
ejde-599	203	5	435	435	NUM
ejde-599	203	6	-	-	SYM
ejde-599	203	7	441	441	NUM
ejde-599	203	8	.	.	PUNCT
ejde-599	204	1	[	[	X
ejde-599	204	2	4	4	X
ejde-599	204	3	]	]	X
ejde-599	204	4	p.	p.	NOUN
ejde-599	204	5	korman	korman	PROPN
ejde-599	204	6	;	;	PUNCT
ejde-599	204	7	global	global	ADJ
ejde-599	204	8	solution	solution	NOUN
ejde-599	204	9	curves	curve	NOUN
ejde-599	204	10	for	for	ADP
ejde-599	204	11	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-599	204	12	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-599	204	13	equations	equation	NOUN
ejde-599	204	14	,	,	PUNCT
ejde-599	204	15	world	world	NOUN
ejde-599	204	16	scientific	scientific	PROPN
ejde-599	204	17	,	,	PUNCT
ejde-599	204	18	hackensack	hackensack	PROPN
ejde-599	204	19	,	,	PUNCT
ejde-599	204	20	nj	nj	PROPN
ejde-599	204	21	2012	2012	NUM
ejde-599	204	22	.	.	PUNCT
ejde-599	205	1	[	[	X
ejde-599	205	2	5	5	X
ejde-599	205	3	]	]	PUNCT
ejde-599	205	4	p.	p.	NOUN
ejde-599	205	5	korman	korman	PROPN
ejde-599	205	6	;	;	PUNCT
ejde-599	205	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-599	205	8	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-599	205	9	equations	equation	NOUN
ejde-599	205	10	and	and	CCONJ
ejde-599	205	11	systems	system	NOUN
ejde-599	205	12	with	with	ADP
ejde-599	205	13	linear	linear	ADJ
ejde-599	205	14	part	part	NOUN
ejde-599	205	15	at	at	ADP
ejde-599	205	16	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	205	17	,	,	PUNCT
ejde-599	205	18	electron	electron	NOUN
ejde-599	205	19	.	.	PUNCT
ejde-599	206	1	j.	j.	PROPN
ejde-599	206	2	differential	differential	PROPN
ejde-599	206	3	equations	equation	NOUN
ejde-599	206	4	,	,	PUNCT
ejde-599	206	5	2016	2016	NUM
ejde-599	206	6	(	(	PUNCT
ejde-599	206	7	2016	2016	NUM
ejde-599	206	8	)	)	PUNCT
ejde-599	207	1	no	no	INTJ
ejde-599	207	2	.	.	NOUN
ejde-599	207	3	67	67	NUM
ejde-599	207	4	.	.	PUNCT
ejde-599	208	1	[	[	X
ejde-599	208	2	6	6	NUM
ejde-599	208	3	]	]	PUNCT
ejde-599	208	4	p.	p.	PROPN
ejde-599	208	5	korman	korman	PROPN
ejde-599	208	6	,	,	PUNCT
ejde-599	208	7	d.s	d.s	PROPN
ejde-599	208	8	.	.	PROPN
ejde-599	208	9	schmidt	schmidt	PROPN
ejde-599	208	10	;	;	PUNCT
ejde-599	208	11	infinitely	infinitely	ADV
ejde-599	208	12	many	many	ADJ
ejde-599	208	13	solutions	solution	NOUN
ejde-599	208	14	and	and	CCONJ
ejde-599	208	15	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-599	208	16	for	for	ADP
ejde-599	208	17	resonant	resonant	ADJ
ejde-599	208	18	oscillatory	oscillatory	ADJ
ejde-599	208	19	problems	problem	NOUN
ejde-599	208	20	,	,	PUNCT
ejde-599	208	21	special	special	ADJ
ejde-599	208	22	issue	issue	NOUN
ejde-599	208	23	in	in	ADP
ejde-599	208	24	honor	honor	NOUN
ejde-599	208	25	of	of	ADP
ejde-599	208	26	alan	alan	PROPN
ejde-599	208	27	c.	c.	PROPN
ejde-599	208	28	lazer	lazer	PROPN
ejde-599	208	29	,	,	PUNCT
ejde-599	208	30	electron	electron	NOUN
ejde-599	208	31	.	.	PUNCT
ejde-599	209	1	j.	j.	PROPN
ejde-599	209	2	diff	diff	PROPN
ejde-599	209	3	.	.	PUNCT
ejde-599	210	1	equ	equ	PROPN
ejde-599	210	2	.	.	PROPN
ejde-599	210	3	,	,	PUNCT
ejde-599	210	4	special	special	ADJ
ejde-599	210	5	issue	issue	NOUN
ejde-599	210	6	01	01	NUM
ejde-599	210	7	(	(	PUNCT
ejde-599	210	8	2021	2021	NUM
ejde-599	210	9	)	)	PUNCT
ejde-599	210	10	,	,	PUNCT
ejde-599	210	11	301	301	NUM
ejde-599	210	12	-	-	SYM
ejde-599	210	13	313	313	NUM
ejde-599	210	14	.	.	PUNCT
ejde-599	211	1	[	[	X
ejde-599	211	2	7	7	X
ejde-599	211	3	]	]	X
ejde-599	211	4	p.	p.	NOUN
ejde-599	211	5	korman	korman	PROPN
ejde-599	211	6	;	;	PUNCT
ejde-599	211	7	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-599	211	8	solutions	solution	NOUN
ejde-599	211	9	of	of	ADP
ejde-599	211	10	periodic	periodic	ADJ
ejde-599	211	11	systems	system	NOUN
ejde-599	211	12	,	,	PUNCT
ejde-599	211	13	arxiv	arxiv	NOUN
ejde-599	211	14	2303.12919	2303.12919	NUM
ejde-599	211	15	.	.	PUNCT
ejde-599	212	1	[	[	X
ejde-599	212	2	8	8	NUM
ejde-599	212	3	]	]	X
ejde-599	212	4	e.	e.	PROPN
ejde-599	212	5	m.	m.	PROPN
ejde-599	212	6	landesman	landesman	PROPN
ejde-599	212	7	,	,	PUNCT
ejde-599	212	8	a.	a.	NOUN
ejde-599	212	9	c.	c.	PROPN
ejde-599	212	10	lazer	lazer	NOUN
ejde-599	212	11	;	;	PUNCT
ejde-599	212	12	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-599	212	13	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-599	212	14	of	of	ADP
ejde-599	212	15	linear	linear	PROPN
ejde-599	212	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-599	212	17	boundary	boundary	ADJ
ejde-599	212	18	value	value	NOUN
ejde-599	212	19	problems	problem	NOUN
ejde-599	212	20	at	at	ADP
ejde-599	212	21	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	212	22	,	,	PUNCT
ejde-599	212	23	j.	j.	PROPN
ejde-599	212	24	math	math	PROPN
ejde-599	212	25	.	.	PUNCT
ejde-599	213	1	mech	mech	PROPN
ejde-599	213	2	.	.	PROPN
ejde-599	213	3	,	,	PUNCT
ejde-599	213	4	19	19	NUM
ejde-599	213	5	(	(	PUNCT
ejde-599	213	6	1970	1970	NUM
ejde-599	213	7	)	)	PUNCT
ejde-599	213	8	,	,	PUNCT
ejde-599	213	9	609	609	NUM
ejde-599	213	10	-	-	SYM
ejde-599	213	11	623	623	NUM
ejde-599	213	12	.	.	PUNCT
ejde-599	214	1	[	[	X
ejde-599	214	2	9	9	NUM
ejde-599	214	3	]	]	SYM
ejde-599	214	4	a.	a.	NOUN
ejde-599	214	5	c.	c.	PROPN
ejde-599	214	6	lazer	lazer	PROPN
ejde-599	214	7	,	,	PUNCT
ejde-599	214	8	d.	d.	PROPN
ejde-599	214	9	e.	e.	PROPN
ejde-599	214	10	leach	leach	PROPN
ejde-599	214	11	;	;	PUNCT
ejde-599	214	12	bounded	bound	VERB
ejde-599	214	13	perturbations	perturbation	NOUN
ejde-599	214	14	of	of	ADP
ejde-599	214	15	forced	force	VERB
ejde-599	214	16	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-599	214	17	oscillators	oscillator	NOUN
ejde-599	214	18	at	at	ADP
ejde-599	214	19	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	214	20	,	,	PUNCT
ejde-599	214	21	ann	ann	PROPN
ejde-599	214	22	.	.	PROPN
ejde-599	214	23	mat	mat	PROPN
ejde-599	214	24	.	.	PUNCT
ejde-599	214	25	pura	pura	NOUN
ejde-599	214	26	appl	appl	PROPN
ejde-599	214	27	.	.	PROPN
ejde-599	214	28	,	,	PUNCT
ejde-599	214	29	82	82	NUM
ejde-599	214	30	(	(	PUNCT
ejde-599	214	31	1969	1969	NUM
ejde-599	214	32	)	)	PUNCT
ejde-599	214	33	(	(	PUNCT
ejde-599	214	34	4	4	NUM
ejde-599	214	35	)	)	PUNCT
ejde-599	214	36	,	,	PUNCT
ejde-599	214	37	49	49	NUM
ejde-599	214	38	-	-	SYM
ejde-599	214	39	68	68	NUM
ejde-599	214	40	.	.	PUNCT
ejde-599	215	1	[	[	X
ejde-599	215	2	10	10	NUM
ejde-599	215	3	]	]	PUNCT
ejde-599	215	4	t.	t.	PROPN
ejde-599	215	5	ouyang	ouyang	PROPN
ejde-599	215	6	,	,	PUNCT
ejde-599	215	7	j.	j.	PROPN
ejde-599	215	8	shi	shi	PROPN
ejde-599	215	9	;	;	PUNCT
ejde-599	215	10	exact	exact	ADJ
ejde-599	215	11	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-599	215	12	of	of	ADP
ejde-599	215	13	positive	positive	ADJ
ejde-599	215	14	solutions	solution	NOUN
ejde-599	215	15	for	for	ADP
ejde-599	215	16	a	a	DET
ejde-599	215	17	class	class	NOUN
ejde-599	215	18	of	of	ADP
ejde-599	215	19	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-599	215	20	problems	problem	NOUN
ejde-599	215	21	,	,	PUNCT
ejde-599	215	22	ii	ii	PROPN
ejde-599	215	23	,	,	PUNCT
ejde-599	215	24	j.	j.	PROPN
ejde-599	215	25	differential	differential	PROPN
ejde-599	215	26	equations	equation	NOUN
ejde-599	215	27	158	158	NUM
ejde-599	215	28	(	(	PUNCT
ejde-599	215	29	1999	1999	NUM
ejde-599	215	30	)	)	PUNCT
ejde-599	215	31	,	,	PUNCT
ejde-599	215	32	no	no	INTJ
ejde-599	215	33	.	.	NOUN
ejde-599	215	34	1	1	NUM
ejde-599	215	35	,	,	PUNCT
ejde-599	215	36	94	94	NUM
ejde-599	215	37	-	-	SYM
ejde-599	215	38	151	151	NUM
ejde-599	215	39	..	..	PUNCT
ejde-599	216	1	[	[	X
ejde-599	216	2	11	11	NUM
ejde-599	216	3	]	]	X
ejde-599	216	4	y.	y.	PROPN
ejde-599	216	5	pinchover	pinchover	PROPN
ejde-599	216	6	,	,	PUNCT
ejde-599	216	7	j.	j.	PROPN
ejde-599	216	8	rubinstein	rubinstein	PROPN
ejde-599	216	9	;	;	PUNCT
ejde-599	216	10	an	an	DET
ejde-599	216	11	introduction	introduction	NOUN
ejde-599	216	12	to	to	ADP
ejde-599	216	13	partial	partial	ADJ
ejde-599	216	14	differential	differential	NOUN
ejde-599	216	15	equations	equation	NOUN
ejde-599	216	16	.	.	PUNCT
ejde-599	217	1	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-599	217	2	university	university	PROPN
ejde-599	217	3	press	press	PROPN
ejde-599	217	4	,	,	PUNCT
ejde-599	217	5	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-599	217	6	,	,	PUNCT
ejde-599	217	7	2005	2005	NUM
ejde-599	217	8	.	.	PUNCT
ejde-599	218	1	[	[	X
ejde-599	218	2	12	12	NUM
ejde-599	218	3	]	]	X
ejde-599	218	4	g.	g.	PROPN
ejde-599	218	5	seifert	seifert	PROPN
ejde-599	218	6	;	;	PUNCT
ejde-599	218	7	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	218	8	in	in	ADP
ejde-599	218	9	undamped	undampe	VERB
ejde-599	218	10	second	second	ADJ
ejde-599	218	11	-	-	PUNCT
ejde-599	218	12	order	order	NOUN
ejde-599	218	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-599	218	14	equations	equation	NOUN
ejde-599	218	15	with	with	ADP
ejde-599	218	16	periodic	periodic	ADJ
ejde-599	218	17	forcing	forcing	NOUN
ejde-599	218	18	,	,	PUNCT
ejde-599	218	19	quart	quart	NOUN
ejde-599	218	20	.	.	PUNCT
ejde-599	219	1	appl	appl	PROPN
ejde-599	219	2	.	.	PROPN
ejde-599	219	3	math	math	PROPN
ejde-599	219	4	.	.	PUNCT
ejde-599	220	1	48	48	NUM
ejde-599	220	2	(	(	PUNCT
ejde-599	220	3	1990	1990	NUM
ejde-599	220	4	)	)	PUNCT
ejde-599	220	5	no	no	INTJ
ejde-599	220	6	.	.	NOUN
ejde-599	221	1	3	3	NUM
ejde-599	221	2	,	,	PUNCT
ejde-599	221	3	527	527	NUM
ejde-599	221	4	-	-	SYM
ejde-599	221	5	530	530	NUM
ejde-599	221	6	.	.	PUNCT
ejde-599	222	1	[	[	X
ejde-599	222	2	13	13	NUM
ejde-599	222	3	]	]	X
ejde-599	222	4	g.	g.	PROPN
ejde-599	222	5	n.	n.	PROPN
ejde-599	222	6	watson	watson	PROPN
ejde-599	222	7	;	;	PUNCT
ejde-599	222	8	a	a	DET
ejde-599	222	9	treatise	treatise	NOUN
ejde-599	222	10	on	on	ADP
ejde-599	222	11	the	the	DET
ejde-599	222	12	theory	theory	NOUN
ejde-599	222	13	of	of	ADP
ejde-599	222	14	bessel	bessel	NOUN
ejde-599	222	15	functions	function	NOUN
ejde-599	222	16	,	,	PUNCT
ejde-599	222	17	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-599	222	18	university	university	PROPN
ejde-599	222	19	press	press	PROPN
ejde-599	222	20	,	,	PUNCT
ejde-599	222	21	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-599	222	22	,	,	PUNCT
ejde-599	222	23	1995	1995	NUM
ejde-599	222	24	.	.	PUNCT
ejde-599	223	1	[	[	X
ejde-599	223	2	14	14	NUM
ejde-599	223	3	]	]	X
ejde-599	223	4	s.	s.	PROPN
ejde-599	223	5	a.	a.	PROPN
ejde-599	223	6	williams	williams	PROPN
ejde-599	223	7	;	;	PUNCT
ejde-599	223	8	a	a	DET
ejde-599	223	9	sharp	sharp	ADJ
ejde-599	223	10	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-599	223	11	condition	condition	NOUN
ejde-599	223	12	for	for	ADP
ejde-599	223	13	solution	solution	NOUN
ejde-599	223	14	of	of	ADP
ejde-599	223	15	a	a	DET
ejde-599	223	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-599	223	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-599	223	18	boundary	boundary	ADJ
ejde-599	223	19	value	value	NOUN
ejde-599	223	20	problem	problem	NOUN
ejde-599	223	21	,	,	PUNCT
ejde-599	223	22	j.	j.	PROPN
ejde-599	223	23	differential	differential	PROPN
ejde-599	223	24	equations	equations	PROPN
ejde-599	223	25	,	,	PUNCT
ejde-599	223	26	8	8	NUM
ejde-599	223	27	(	(	PUNCT
ejde-599	223	28	1970	1970	NUM
ejde-599	223	29	)	)	PUNCT
ejde-599	223	30	,	,	PUNCT
ejde-599	223	31	580	580	NUM
ejde-599	223	32	-	-	SYM
ejde-599	223	33	586	586	NUM
ejde-599	223	34	.	.	PUNCT
ejde-599	224	1	philip	philip	PROPN
ejde-599	224	2	korman	korman	PROPN
ejde-599	224	3	department	department	PROPN
ejde-599	224	4	of	of	ADP
ejde-599	224	5	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-599	224	6	sciences	sciences	PROPN
ejde-599	224	7	,	,	PUNCT
ejde-599	224	8	university	university	NOUN
ejde-599	224	9	of	of	ADP
ejde-599	224	10	cincinnati	cincinnati	PROPN
ejde-599	224	11	,	,	PUNCT
ejde-599	224	12	cincinnati	cincinnati	PROPN
ejde-599	224	13	oh	oh	NUM
ejde-599	224	14	452210025	452210025	NUM
ejde-599	224	15	,	,	PUNCT
ejde-599	224	16	usa	usa	PROPN
ejde-599	224	17	email	email	NOUN
ejde-599	224	18	address	address	NOUN
ejde-599	224	19	:	:	PUNCT
ejde-599	224	20	kormanp@ucmail.edu	kormanp@ucmail.edu	PROPN
ejde-599	225	1	1	1	X
ejde-599	225	2	.	.	PUNCT
ejde-599	225	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-599	225	4	2	2	NUM
ejde-599	225	5	.	.	X
ejde-599	225	6	resonance	resonance	NOUN
ejde-599	225	7	for	for	ADP
ejde-599	225	8	a	a	DET
ejde-599	225	9	two	two	NUM
ejde-599	225	10	-	-	PUNCT
ejde-599	225	11	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-599	225	12	disc	disc	NOUN
ejde-599	225	13	references	reference	NOUN