id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-615	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-615	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-615	1	3	of	of	ADP
ejde-615	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-615	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-615	1	6	,	,	PUNCT
ejde-615	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-615	1	8	.	.	NOUN
ejde-615	1	9	2024	2024	NUM
ejde-615	1	10	(	(	PUNCT
ejde-615	1	11	2024	2024	NUM
ejde-615	1	12	)	)	PUNCT
ejde-615	1	13	,	,	PUNCT
ejde-615	1	14	no	no	INTJ
ejde-615	1	15	.	.	NOUN
ejde-615	1	16	20	20	NUM
ejde-615	1	17	,	,	PUNCT
ejde-615	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-615	1	19	.	.	PUNCT
ejde-615	2	1	1–17	1–17	NOUN
ejde-615	2	2	.	.	PUNCT
ejde-615	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-615	3	2	:	:	PUNCT
ejde-615	3	3	1072	1072	NUM
ejde-615	3	4	-	-	SYM
ejde-615	3	5	6691	6691	NUM
ejde-615	3	6	.	.	PUNCT
ejde-615	4	1	url	url	PROPN
ejde-615	4	2	:	:	PUNCT
ejde-615	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-615	4	4	,	,	PUNCT
ejde-615	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-615	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-615	4	7	:	:	PUNCT
ejde-615	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-615	4	9	/	/	SYM
ejde-615	4	10	ejde.2024.20	ejde.2024.20	NOUN
ejde-615	4	11	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	4	12	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	4	13	for	for	ADP
ejde-615	4	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	4	15	difference	difference	NOUN
ejde-615	4	16	equations	equation	NOUN
ejde-615	4	17	of	of	ADP
ejde-615	4	18	order	order	NOUN
ejde-615	4	19	2	2	NUM
ejde-615	4	20	<	<	X
ejde-615	4	21	α	α	X
ejde-615	4	22	<	<	X
ejde-615	4	23	3	3	NUM
ejde-615	4	24	on	on	ADP
ejde-615	4	25	umd	umd	PROPN
ejde-615	4	26	spaces	space	NOUN
ejde-615	4	27	jichao	jichao	PROPN
ejde-615	4	28	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	4	29	,	,	PUNCT
ejde-615	4	30	shangquan	shangquan	PROPN
ejde-615	4	31	bu	bu	PROPN
ejde-615	4	32	abstract	abstract	PROPN
ejde-615	4	33	.	.	PUNCT
ejde-615	5	1	in	in	ADP
ejde-615	5	2	this	this	DET
ejde-615	5	3	article	article	NOUN
ejde-615	5	4	,	,	PUNCT
ejde-615	5	5	we	we	PRON
ejde-615	5	6	study	study	VERB
ejde-615	5	7	the	the	DET
ejde-615	5	8	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	5	9	-	-	PUNCT
ejde-615	5	10	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	5	11	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	5	12	for	for	ADP
ejde-615	5	13	the	the	DET
ejde-615	5	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	5	15	difference	difference	NOUN
ejde-615	5	16	equation	equation	NOUN
ejde-615	5	17	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	5	18	)	)	PUNCT
ejde-615	5	19	=	=	SYM
ejde-615	5	20	tu(n	tu(n	PROPN
ejde-615	5	21	)	)	PUNCT
ejde-615	6	1	+	+	CCONJ
ejde-615	6	2	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	6	3	)	)	PUNCT
ejde-615	6	4	,	,	PUNCT
ejde-615	6	5	(	(	PUNCT
ejde-615	6	6	n	n	CCONJ
ejde-615	6	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	6	8	n0	n0	NUM
ejde-615	6	9	)	)	PUNCT
ejde-615	6	10	.	.	PUNCT
ejde-615	7	1	we	we	PRON
ejde-615	7	2	introduce	introduce	VERB
ejde-615	7	3	the	the	DET
ejde-615	7	4	notion	notion	NOUN
ejde-615	7	5	of	of	ADP
ejde-615	7	6	α	α	NOUN
ejde-615	7	7	-	-	ADJ
ejde-615	7	8	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	7	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	7	10	of	of	ADP
ejde-615	7	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	7	12	linear	linear	PROPN
ejde-615	7	13	operators	operator	NOUN
ejde-615	7	14	defined	define	VERB
ejde-615	7	15	by	by	ADP
ejde-615	7	16	the	the	DET
ejde-615	7	17	parameters	parameter	NOUN
ejde-615	7	18	t	t	PROPN
ejde-615	7	19	and	and	CCONJ
ejde-615	7	20	α	α	PRON
ejde-615	7	21	,	,	PUNCT
ejde-615	7	22	which	which	PRON
ejde-615	7	23	gives	give	VERB
ejde-615	7	24	an	an	DET
ejde-615	7	25	explicit	explicit	ADJ
ejde-615	7	26	representation	representation	NOUN
ejde-615	7	27	of	of	ADP
ejde-615	7	28	the	the	DET
ejde-615	7	29	solution	solution	NOUN
ejde-615	7	30	.	.	PUNCT
ejde-615	8	1	using	use	VERB
ejde-615	8	2	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	8	3	’s	’s	PART
ejde-615	8	4	operator	operator	NOUN
ejde-615	8	5	-	-	PUNCT
ejde-615	8	6	valued	value	VERB
ejde-615	8	7	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	8	8	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	8	9	theorems	theorem	NOUN
ejde-615	8	10	on	on	ADP
ejde-615	8	11	ℓp(z;x	ℓp(z;x	NOUN
ejde-615	8	12	)	)	PUNCT
ejde-615	8	13	,	,	PUNCT
ejde-615	8	14	we	we	PRON
ejde-615	8	15	give	give	VERB
ejde-615	8	16	a	a	DET
ejde-615	8	17	characterization	characterization	NOUN
ejde-615	8	18	of	of	ADP
ejde-615	8	19	the	the	DET
ejde-615	8	20	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	8	21	-	-	PUNCT
ejde-615	8	22	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	8	23	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	8	24	for	for	ADP
ejde-615	8	25	1	1	NUM
ejde-615	8	26	<	<	X
ejde-615	8	27	p	p	X
ejde-615	8	28	<	<	X
ejde-615	8	29	∞	∞	PROPN
ejde-615	8	30	and	and	CCONJ
ejde-615	8	31	x	x	X
ejde-615	8	32	is	be	AUX
ejde-615	8	33	a	a	DET
ejde-615	8	34	umd	umd	ADJ
ejde-615	8	35	space	space	NOUN
ejde-615	8	36	.	.	PUNCT
ejde-615	9	1	1	1	X
ejde-615	9	2	.	.	X
ejde-615	9	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-615	9	4	in	in	ADP
ejde-615	9	5	this	this	DET
ejde-615	9	6	article	article	NOUN
ejde-615	9	7	,	,	PUNCT
ejde-615	9	8	we	we	PRON
ejde-615	9	9	study	study	VERB
ejde-615	9	10	the	the	DET
ejde-615	9	11	unique	unique	ADJ
ejde-615	9	12	representation	representation	NOUN
ejde-615	9	13	of	of	ADP
ejde-615	9	14	solutions	solution	NOUN
ejde-615	9	15	and	and	CCONJ
ejde-615	9	16	the	the	DET
ejde-615	9	17	ℓpmaximal	ℓpmaximal	ADJ
ejde-615	9	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	9	19	for	for	ADP
ejde-615	9	20	the	the	DET
ejde-615	9	21	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	9	22	difference	difference	NOUN
ejde-615	9	23	equation	equation	NOUN
ejde-615	9	24	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	9	25	)	)	PUNCT
ejde-615	9	26	=	=	SYM
ejde-615	9	27	tu(n	tu(n	PROPN
ejde-615	9	28	)	)	PUNCT
ejde-615	10	1	+	+	CCONJ
ejde-615	10	2	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	10	3	)	)	PUNCT
ejde-615	10	4	,	,	PUNCT
ejde-615	10	5	(	(	PUNCT
ejde-615	10	6	n	n	CCONJ
ejde-615	10	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	10	8	n0	n0	PROPN
ejde-615	10	9	)	)	PUNCT
ejde-615	10	10	(	(	PUNCT
ejde-615	10	11	1.1	1.1	NUM
ejde-615	10	12	)	)	PUNCT
ejde-615	10	13	with	with	ADP
ejde-615	10	14	the	the	DET
ejde-615	10	15	initial	initial	ADJ
ejde-615	10	16	conditions	condition	NOUN
ejde-615	10	17	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	10	18	)	)	PUNCT
ejde-615	10	19	=	=	SYM
ejde-615	11	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	11	2	)	)	PUNCT
ejde-615	11	3	=	=	SYM
ejde-615	11	4	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	11	5	)	)	PUNCT
ejde-615	11	6	=	=	SYM
ejde-615	11	7	0	0	NUM
ejde-615	11	8	,	,	PUNCT
ejde-615	11	9	where	where	SCONJ
ejde-615	11	10	t	t	PROPN
ejde-615	11	11	is	be	AUX
ejde-615	11	12	a	a	DET
ejde-615	11	13	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	11	14	linear	linear	ADJ
ejde-615	11	15	operator	operator	NOUN
ejde-615	11	16	defined	define	VERB
ejde-615	11	17	on	on	ADP
ejde-615	11	18	a	a	DET
ejde-615	11	19	banach	banach	NOUN
ejde-615	11	20	space	space	NOUN
ejde-615	11	21	x	x	NOUN
ejde-615	11	22	,	,	PUNCT
ejde-615	11	23	f	f	X
ejde-615	11	24	:	:	PUNCT
ejde-615	11	25	n0	n0	X
ejde-615	11	26	→	→	PUNCT
ejde-615	11	27	x	x	X
ejde-615	11	28	is	be	AUX
ejde-615	11	29	an	an	DET
ejde-615	11	30	x	x	ADV
ejde-615	11	31	-	-	PUNCT
ejde-615	11	32	valued	value	VERB
ejde-615	11	33	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	11	34	,	,	PUNCT
ejde-615	11	35	2	2	NUM
ejde-615	11	36	<	<	X
ejde-615	11	37	α	α	X
ejde-615	11	38	<	<	X
ejde-615	11	39	3	3	NUM
ejde-615	11	40	and	and	CCONJ
ejde-615	11	41	1	1	NUM
ejde-615	11	42	<	<	X
ejde-615	11	43	p	p	X
ejde-615	11	44	<	<	X
ejde-615	11	45	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	11	46	here	here	ADV
ejde-615	11	47	we	we	PRON
ejde-615	11	48	denote	denote	VERB
ejde-615	11	49	by	by	ADP
ejde-615	11	50	n0	n0	ADP
ejde-615	11	51	the	the	DET
ejde-615	11	52	set	set	NOUN
ejde-615	11	53	of	of	ADP
ejde-615	11	54	non	non	ADJ
ejde-615	11	55	-	-	ADJ
ejde-615	11	56	negative	negative	ADJ
ejde-615	11	57	integers	integer	NOUN
ejde-615	11	58	,	,	PUNCT
ejde-615	11	59	the	the	DET
ejde-615	11	60	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	11	61	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	11	62	operator	operator	NOUN
ejde-615	11	63	∆α	∆α	PROPN
ejde-615	11	64	corresponds	correspond	VERB
ejde-615	11	65	to	to	ADP
ejde-615	11	66	sampling	sample	VERB
ejde-615	11	67	,	,	PUNCT
ejde-615	11	68	by	by	ADP
ejde-615	11	69	means	mean	NOUN
ejde-615	11	70	of	of	ADP
ejde-615	11	71	the	the	DET
ejde-615	11	72	poisson	poisson	NOUN
ejde-615	11	73	distribution	distribution	NOUN
ejde-615	11	74	,	,	PUNCT
ejde-615	11	75	of	of	ADP
ejde-615	11	76	the	the	DET
ejde-615	11	77	riemann	riemann	PROPN
ejde-615	11	78	-	-	PUNCT
ejde-615	11	79	liouville	liouville	VERB
ejde-615	11	80	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	11	81	derivative	derivative	NOUN
ejde-615	11	82	[	[	X
ejde-615	11	83	17	17	NUM
ejde-615	11	84	]	]	PUNCT
ejde-615	11	85	(	(	PUNCT
ejde-615	11	86	see	see	VERB
ejde-615	11	87	the	the	DET
ejde-615	11	88	precise	precise	ADJ
ejde-615	11	89	definition	definition	NOUN
ejde-615	11	90	in	in	ADP
ejde-615	11	91	the	the	DET
ejde-615	11	92	second	second	ADJ
ejde-615	11	93	section	section	NOUN
ejde-615	11	94	)	)	PUNCT
ejde-615	11	95	.	.	PUNCT
ejde-615	12	1	the	the	DET
ejde-615	12	2	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	12	3	difference	difference	NOUN
ejde-615	12	4	equation	equation	NOUN
ejde-615	12	5	(	(	PUNCT
ejde-615	12	6	1.1	1.1	NUM
ejde-615	12	7	)	)	PUNCT
ejde-615	12	8	is	be	AUX
ejde-615	12	9	the	the	DET
ejde-615	12	10	counterparts	counterpart	NOUN
ejde-615	12	11	of	of	ADP
ejde-615	12	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	12	13	differential	differential	ADJ
ejde-615	12	14	equations	equation	NOUN
ejde-615	12	15	in	in	ADP
ejde-615	12	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	12	17	time	time	NOUN
ejde-615	12	18	which	which	PRON
ejde-615	12	19	arises	arise	VERB
ejde-615	12	20	as	as	ADP
ejde-615	12	21	models	model	NOUN
ejde-615	12	22	for	for	ADP
ejde-615	12	23	several	several	ADJ
ejde-615	12	24	biological	biological	ADJ
ejde-615	12	25	and	and	CCONJ
ejde-615	12	26	physical	physical	ADJ
ejde-615	12	27	applications	application	NOUN
ejde-615	12	28	.	.	PUNCT
ejde-615	13	1	much	much	ADJ
ejde-615	13	2	literature	literature	NOUN
ejde-615	13	3	have	have	AUX
ejde-615	13	4	been	be	AUX
ejde-615	13	5	devoted	devote	VERB
ejde-615	13	6	to	to	ADP
ejde-615	13	7	such	such	ADJ
ejde-615	13	8	problems	problem	NOUN
ejde-615	13	9	[	[	X
ejde-615	13	10	2	2	NUM
ejde-615	13	11	,	,	PUNCT
ejde-615	13	12	6	6	NUM
ejde-615	13	13	]	]	PUNCT
ejde-615	13	14	.	.	PUNCT
ejde-615	14	1	for	for	ADP
ejde-615	14	2	instance	instance	NOUN
ejde-615	14	3	,	,	PUNCT
ejde-615	14	4	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	14	5	studied	study	VERB
ejde-615	14	6	the	the	DET
ejde-615	14	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	14	8	-	-	PUNCT
ejde-615	14	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	14	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	14	11	for	for	ADP
ejde-615	14	12	(	(	PUNCT
ejde-615	14	13	1.1	1.1	NUM
ejde-615	14	14	)	)	PUNCT
ejde-615	14	15	with	with	ADP
ejde-615	14	16	the	the	DET
ejde-615	14	17	initial	initial	ADJ
ejde-615	14	18	condition	condition	NOUN
ejde-615	14	19	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	14	20	)	)	PUNCT
ejde-615	15	1	=	=	PUNCT
ejde-615	15	2	0	0	PUNCT
ejde-615	15	3	when	when	SCONJ
ejde-615	15	4	α	α	NOUN
ejde-615	15	5	=	=	SYM
ejde-615	15	6	1	1	NUM
ejde-615	15	7	,	,	PUNCT
ejde-615	15	8	and	and	CCONJ
ejde-615	15	9	t	t	PROPN
ejde-615	15	10	substitutes	substitute	NOUN
ejde-615	15	11	for	for	ADP
ejde-615	15	12	t−i	t−i	NOUN
ejde-615	15	13	.	.	PUNCT
ejde-615	16	1	he	he	PRON
ejde-615	16	2	established	establish	VERB
ejde-615	16	3	the	the	DET
ejde-615	16	4	following	following	ADJ
ejde-615	16	5	result	result	NOUN
ejde-615	16	6	:	:	PUNCT
ejde-615	16	7	when	when	SCONJ
ejde-615	16	8	the	the	DET
ejde-615	16	9	underlying	underlying	ADJ
ejde-615	16	10	banach	banach	NOUN
ejde-615	16	11	space	space	NOUN
ejde-615	16	12	x	x	PUNCT
ejde-615	16	13	is	be	AUX
ejde-615	16	14	a	a	DET
ejde-615	16	15	umd	umd	ADJ
ejde-615	16	16	space	space	NOUN
ejde-615	16	17	and	and	CCONJ
ejde-615	16	18	1	1	NUM
ejde-615	16	19	<	<	X
ejde-615	16	20	p	p	X
ejde-615	16	21	<	<	X
ejde-615	16	22	∞	∞	PROPN
ejde-615	16	23	,	,	PUNCT
ejde-615	16	24	equation	equation	NOUN
ejde-615	16	25	(	(	PUNCT
ejde-615	16	26	1.1	1.1	NUM
ejde-615	16	27	)	)	PUNCT
ejde-615	16	28	has	have	VERB
ejde-615	16	29	the	the	DET
ejde-615	16	30	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	16	31	-	-	PUNCT
ejde-615	16	32	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	16	33	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	16	34	if	if	SCONJ
ejde-615	16	35	and	and	CCONJ
ejde-615	16	36	only	only	ADV
ejde-615	16	37	if	if	SCONJ
ejde-615	16	38	{	{	PUNCT
ejde-615	16	39	z	z	NOUN
ejde-615	16	40	:	:	PUNCT
ejde-615	16	41	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	16	42	=	=	SYM
ejde-615	16	43	1	1	NUM
ejde-615	16	44	,	,	PUNCT
ejde-615	16	45	z	z	NOUN
ejde-615	16	46	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	16	47	1	1	NUM
ejde-615	16	48	}	}	PUNCT
ejde-615	16	49	⊂	⊂	X
ejde-615	16	50	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	16	51	)	)	PUNCT
ejde-615	16	52	and	and	CCONJ
ejde-615	16	53	the	the	DET
ejde-615	16	54	set	set	NOUN
ejde-615	16	55	{	{	PUNCT
ejde-615	16	56	(	(	PUNCT
ejde-615	16	57	z	z	NOUN
ejde-615	16	58	−	−	PROPN
ejde-615	16	59	1)(z	1)(z	NUM
ejde-615	16	60	−	−	PROPN
ejde-615	16	61	t	t	NOUN
ejde-615	16	62	)	)	PUNCT
ejde-615	16	63	−1	−1	NOUN
ejde-615	16	64	:	:	PUNCT
ejde-615	16	65	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	16	66	=	=	SYM
ejde-615	16	67	1	1	NUM
ejde-615	16	68	,	,	PUNCT
ejde-615	16	69	z	z	NOUN
ejde-615	16	70	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	16	71	1	1	NUM
ejde-615	16	72	}	}	PUNCT
ejde-615	16	73	is	be	AUX
ejde-615	16	74	rademacher	rademacher	ADV
ejde-615	16	75	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	16	76	(	(	PUNCT
ejde-615	16	77	r	r	NOUN
ejde-615	16	78	-	-	PUNCT
ejde-615	16	79	bounded	bound	VERB
ejde-615	16	80	)	)	PUNCT
ejde-615	17	1	[	[	X
ejde-615	17	2	7	7	NUM
ejde-615	17	3	]	]	PUNCT
ejde-615	17	4	.	.	PUNCT
ejde-615	18	1	2020	2020	NUM
ejde-615	18	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-615	18	3	subject	subject	ADJ
ejde-615	18	4	classification	classification	NOUN
ejde-615	18	5	.	.	PUNCT
ejde-615	19	1	47a10	47a10	NUM
ejde-615	19	2	,	,	PUNCT
ejde-615	19	3	35r11	35r11	NUM
ejde-615	19	4	,	,	PUNCT
ejde-615	19	5	35r20	35r20	NUM
ejde-615	19	6	,	,	PUNCT
ejde-615	19	7	43a22	43a22	NUM
ejde-615	19	8	.	.	PUNCT
ejde-615	20	1	key	key	ADJ
ejde-615	20	2	words	word	NOUN
ejde-615	20	3	and	and	CCONJ
ejde-615	20	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-615	20	5	.	.	PUNCT
ejde-615	21	1	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	21	2	difference	difference	NOUN
ejde-615	21	3	equation	equation	NOUN
ejde-615	21	4	;	;	PUNCT
ejde-615	21	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	21	6	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	21	7	;	;	PUNCT
ejde-615	21	8	umd	umd	ADJ
ejde-615	21	9	space	space	NOUN
ejde-615	21	10	;	;	PUNCT
ejde-615	21	11	r	r	X
ejde-615	21	12	-	-	PUNCT
ejde-615	21	13	bounded	bound	VERB
ejde-615	21	14	.	.	PUNCT
ejde-615	22	1	©	©	PROPN
ejde-615	22	2	2024	2024	NUM
ejde-615	22	3	.	.	PUNCT
ejde-615	23	1	this	this	DET
ejde-615	23	2	work	work	NOUN
ejde-615	23	3	is	be	AUX
ejde-615	23	4	licensed	license	VERB
ejde-615	23	5	under	under	ADP
ejde-615	23	6	a	a	DET
ejde-615	23	7	cc	cc	NOUN
ejde-615	23	8	by	by	ADP
ejde-615	23	9	4.0	4.0	NUM
ejde-615	23	10	license	license	NOUN
ejde-615	23	11	.	.	PUNCT
ejde-615	24	1	submitted	submit	VERB
ejde-615	24	2	march	march	PROPN
ejde-615	24	3	12	12	NUM
ejde-615	24	4	,	,	PUNCT
ejde-615	24	5	2023	2023	NUM
ejde-615	24	6	.	.	PUNCT
ejde-615	25	1	published	publish	VERB
ejde-615	25	2	february	february	PROPN
ejde-615	25	3	26	26	NUM
ejde-615	25	4	,	,	PUNCT
ejde-615	25	5	2024	2024	NUM
ejde-615	25	6	.	.	PUNCT
ejde-615	25	7	1	1	NUM
ejde-615	25	8	2	2	NUM
ejde-615	25	9	j.	j.	PROPN
ejde-615	25	10	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	25	11	,	,	PUNCT
ejde-615	25	12	s.	s.	PROPN
ejde-615	25	13	bu	bu	PROPN
ejde-615	25	14	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	25	15	later	later	ADV
ejde-615	25	16	,	,	PUNCT
ejde-615	25	17	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	25	18	further	far	ADV
ejde-615	25	19	considered	consider	VERB
ejde-615	25	20	the	the	DET
ejde-615	25	21	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	25	22	-	-	PUNCT
ejde-615	25	23	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	25	24	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	25	25	for	for	ADP
ejde-615	25	26	(	(	PUNCT
ejde-615	25	27	1.1	1.1	NUM
ejde-615	25	28	)	)	PUNCT
ejde-615	25	29	with	with	ADP
ejde-615	25	30	the	the	DET
ejde-615	25	31	initial	initial	ADJ
ejde-615	25	32	condition	condition	NOUN
ejde-615	25	33	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	25	34	)	)	PUNCT
ejde-615	26	1	=	=	PUNCT
ejde-615	26	2	0	0	PUNCT
ejde-615	26	3	when	when	SCONJ
ejde-615	26	4	0	0	NUM
ejde-615	26	5	<	<	X
ejde-615	26	6	α	α	X
ejde-615	26	7	≤	≤	NUM
ejde-615	26	8	1	1	NUM
ejde-615	26	9	,	,	PUNCT
ejde-615	26	10	and	and	CCONJ
ejde-615	26	11	proved	prove	VERB
ejde-615	26	12	that	that	SCONJ
ejde-615	26	13	when	when	SCONJ
ejde-615	26	14	the	the	DET
ejde-615	26	15	underlying	underlying	ADJ
ejde-615	26	16	banach	banach	NOUN
ejde-615	26	17	space	space	NOUN
ejde-615	26	18	x	x	PUNCT
ejde-615	26	19	is	be	AUX
ejde-615	26	20	a	a	DET
ejde-615	26	21	umd	umd	ADJ
ejde-615	26	22	space	space	NOUN
ejde-615	26	23	,	,	PUNCT
ejde-615	26	24	1	1	NUM
ejde-615	26	25	<	<	X
ejde-615	26	26	p	p	X
ejde-615	26	27	<	<	X
ejde-615	26	28	∞	∞	PROPN
ejde-615	26	29	and	and	CCONJ
ejde-615	26	30	{	{	PUNCT
ejde-615	26	31	z1−α(z−	z1−α(z−	PROPN
ejde-615	26	32	1)α	1)α	NUM
ejde-615	26	33	:	:	PUNCT
ejde-615	26	34	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	26	35	=	=	SYM
ejde-615	26	36	1	1	NUM
ejde-615	26	37	,	,	PUNCT
ejde-615	26	38	z	z	NOUN
ejde-615	26	39	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	26	40	1	1	NUM
ejde-615	26	41	}	}	PUNCT
ejde-615	26	42	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	26	43	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	26	44	)	)	PUNCT
ejde-615	26	45	,	,	PUNCT
ejde-615	26	46	then	then	ADV
ejde-615	26	47	(	(	PUNCT
ejde-615	26	48	1.1	1.1	NUM
ejde-615	26	49	)	)	PUNCT
ejde-615	26	50	has	have	VERB
ejde-615	26	51	the	the	DET
ejde-615	26	52	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	26	53	-	-	PUNCT
ejde-615	26	54	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	26	55	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	26	56	if	if	SCONJ
ejde-615	26	57	and	and	CCONJ
ejde-615	26	58	only	only	ADV
ejde-615	26	59	if	if	SCONJ
ejde-615	26	60	the	the	DET
ejde-615	26	61	set	set	NOUN
ejde-615	26	62	{	{	PUNCT
ejde-615	26	63	z1−α(z	z1−α(z	PROPN
ejde-615	26	64	−	−	PROPN
ejde-615	26	65	1)α[z1−α(z	1)α[z1−α(z	NUM
ejde-615	27	1	−	−	PROPN
ejde-615	27	2	1)α	1)α	NUM
ejde-615	27	3	−	−	PROPN
ejde-615	28	1	t	t	NOUN
ejde-615	28	2	]	]	X
ejde-615	28	3	−1	−1	NOUN
ejde-615	28	4	:	:	PUNCT
ejde-615	28	5	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	28	6	=	=	SYM
ejde-615	28	7	1	1	NUM
ejde-615	28	8	,	,	PUNCT
ejde-615	28	9	z	z	NOUN
ejde-615	28	10	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	28	11	1	1	NUM
ejde-615	28	12	}	}	PUNCT
ejde-615	28	13	is	be	AUX
ejde-615	28	14	r	r	NOUN
ejde-615	28	15	-	-	PUNCT
ejde-615	28	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	28	17	[	[	X
ejde-615	28	18	18	18	NUM
ejde-615	28	19	]	]	PUNCT
ejde-615	28	20	.	.	PUNCT
ejde-615	29	1	in	in	ADP
ejde-615	29	2	the	the	DET
ejde-615	29	3	case	case	NOUN
ejde-615	29	4	1	1	NUM
ejde-615	29	5	<	<	X
ejde-615	29	6	α	α	PROPN
ejde-615	29	7	≤	≤	NUM
ejde-615	29	8	2	2	NUM
ejde-615	29	9	,	,	PUNCT
ejde-615	29	10	1	1	NUM
ejde-615	29	11	<	<	X
ejde-615	29	12	p	p	X
ejde-615	29	13	<	<	X
ejde-615	29	14	∞	∞	PROPN
ejde-615	29	15	and	and	CCONJ
ejde-615	29	16	x	x	X
ejde-615	29	17	is	be	AUX
ejde-615	29	18	a	a	DET
ejde-615	29	19	umd	umd	ADJ
ejde-615	29	20	space	space	NOUN
ejde-615	29	21	,	,	PUNCT
ejde-615	29	22	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	29	23	and	and	CCONJ
ejde-615	29	24	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	29	25	showed	show	VERB
ejde-615	29	26	that	that	SCONJ
ejde-615	29	27	(	(	PUNCT
ejde-615	29	28	1.1	1.1	NUM
ejde-615	29	29	)	)	PUNCT
ejde-615	29	30	with	with	ADP
ejde-615	29	31	the	the	DET
ejde-615	29	32	initial	initial	ADJ
ejde-615	29	33	conditions	condition	NOUN
ejde-615	29	34	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	29	35	)	)	PUNCT
ejde-615	29	36	=	=	SYM
ejde-615	30	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	30	2	)	)	PUNCT
ejde-615	30	3	=	=	SYM
ejde-615	30	4	0	0	NUM
ejde-615	30	5	,	,	PUNCT
ejde-615	30	6	has	have	VERB
ejde-615	30	7	the	the	DET
ejde-615	30	8	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	30	9	-	-	PUNCT
ejde-615	30	10	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	30	11	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	30	12	if	if	SCONJ
ejde-615	30	13	and	and	CCONJ
ejde-615	30	14	only	only	ADV
ejde-615	30	15	if	if	SCONJ
ejde-615	30	16	{	{	PUNCT
ejde-615	30	17	z2−α(z	z2−α(z	NOUN
ejde-615	30	18	−	−	PROPN
ejde-615	30	19	1)α	1)α	NUM
ejde-615	30	20	:	:	PUNCT
ejde-615	30	21	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	30	22	=	=	SYM
ejde-615	30	23	1	1	NUM
ejde-615	30	24	,	,	PUNCT
ejde-615	31	1	z	z	NOUN
ejde-615	31	2	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	31	3	1	1	NUM
ejde-615	31	4	}	}	PUNCT
ejde-615	31	5	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	31	6	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	31	7	)	)	PUNCT
ejde-615	31	8	,	,	PUNCT
ejde-615	31	9	and	and	CCONJ
ejde-615	31	10	the	the	DET
ejde-615	31	11	set	set	NOUN
ejde-615	31	12	{	{	PUNCT
ejde-615	31	13	z2−α(z	z2−α(z	NOUN
ejde-615	31	14	−	−	PROPN
ejde-615	31	15	1)α[z2−α(z	1)α[z2−α(z	NUM
ejde-615	31	16	−	−	PROPN
ejde-615	31	17	1)α	1)α	NUM
ejde-615	31	18	−	−	PROPN
ejde-615	31	19	t	t	NOUN
ejde-615	31	20	]	]	X
ejde-615	31	21	−1	−1	NOUN
ejde-615	31	22	:	:	PUNCT
ejde-615	31	23	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	31	24	=	=	SYM
ejde-615	31	25	1	1	NUM
ejde-615	31	26	,	,	PUNCT
ejde-615	31	27	z	z	NOUN
ejde-615	31	28	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	31	29	1	1	NUM
ejde-615	31	30	}	}	PUNCT
ejde-615	31	31	is	be	AUX
ejde-615	31	32	r	r	NOUN
ejde-615	31	33	-	-	PUNCT
ejde-615	31	34	bounded	bound	VERB
ejde-615	31	35	[	[	X
ejde-615	31	36	19	19	NUM
ejde-615	31	37	]	]	PUNCT
ejde-615	31	38	.	.	PUNCT
ejde-615	32	1	see	see	VERB
ejde-615	32	2	[	[	X
ejde-615	32	3	6	6	NUM
ejde-615	32	4	,	,	PUNCT
ejde-615	32	5	15	15	NUM
ejde-615	32	6	]	]	PUNCT
ejde-615	32	7	,	,	PUNCT
ejde-615	33	1	[	[	X
ejde-615	33	2	17]-[21	17]-[21	X
ejde-615	33	3	]	]	X
ejde-615	33	4	for	for	ADP
ejde-615	33	5	further	further	ADJ
ejde-615	33	6	results	result	NOUN
ejde-615	33	7	on	on	ADP
ejde-615	33	8	the	the	DET
ejde-615	33	9	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-615	33	10	quasi	quasi	ADJ
ejde-615	33	11	-	-	ADJ
ejde-615	33	12	linear	linear	ADJ
ejde-615	33	13	equations	equation	NOUN
ejde-615	33	14	.	.	PUNCT
ejde-615	34	1	the	the	DET
ejde-615	34	2	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	34	3	difference	difference	NOUN
ejde-615	34	4	equation	equation	NOUN
ejde-615	34	5	(	(	PUNCT
ejde-615	34	6	1.1	1.1	NUM
ejde-615	34	7	)	)	PUNCT
ejde-615	34	8	when	when	SCONJ
ejde-615	34	9	0	0	NUM
ejde-615	34	10	<	<	X
ejde-615	34	11	α	α	X
ejde-615	34	12	<	<	X
ejde-615	34	13	2	2	NUM
ejde-615	34	14	was	be	AUX
ejde-615	34	15	studied	study	VERB
ejde-615	34	16	in	in	ADP
ejde-615	34	17	[	[	X
ejde-615	34	18	18	18	NUM
ejde-615	34	19	,	,	PUNCT
ejde-615	34	20	19	19	NUM
ejde-615	34	21	]	]	PUNCT
ejde-615	34	22	.	.	PUNCT
ejde-615	35	1	meanwhile	meanwhile	ADV
ejde-615	35	2	,	,	PUNCT
ejde-615	35	3	when	when	SCONJ
ejde-615	35	4	2	2	NUM
ejde-615	35	5	<	<	X
ejde-615	35	6	α	α	X
ejde-615	35	7	<	<	X
ejde-615	35	8	3	3	NUM
ejde-615	35	9	,	,	PUNCT
ejde-615	35	10	the	the	DET
ejde-615	35	11	existence	existence	NOUN
ejde-615	35	12	and	and	CCONJ
ejde-615	35	13	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-615	35	14	of	of	ADP
ejde-615	35	15	solution	solution	NOUN
ejde-615	35	16	of	of	ADP
ejde-615	35	17	(	(	PUNCT
ejde-615	35	18	1.1	1.1	NUM
ejde-615	35	19	)	)	PUNCT
ejde-615	35	20	,	,	PUNCT
ejde-615	35	21	as	as	ADV
ejde-615	35	22	well	well	ADV
ejde-615	35	23	as	as	ADP
ejde-615	35	24	the	the	DET
ejde-615	35	25	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	35	26	-	-	PUNCT
ejde-615	35	27	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	35	28	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	35	29	for	for	ADP
ejde-615	35	30	(	(	PUNCT
ejde-615	35	31	1.1	1.1	NUM
ejde-615	35	32	)	)	PUNCT
ejde-615	35	33	,	,	PUNCT
ejde-615	35	34	are	be	AUX
ejde-615	35	35	open	open	ADJ
ejde-615	35	36	topics	topic	NOUN
ejde-615	35	37	that	that	PRON
ejde-615	35	38	deserve	deserve	VERB
ejde-615	35	39	to	to	PART
ejde-615	35	40	be	be	AUX
ejde-615	35	41	investigated	investigate	VERB
ejde-615	35	42	,	,	PUNCT
ejde-615	35	43	the	the	DET
ejde-615	35	44	objective	objective	NOUN
ejde-615	35	45	of	of	ADP
ejde-615	35	46	this	this	DET
ejde-615	35	47	paper	paper	NOUN
ejde-615	35	48	is	be	AUX
ejde-615	35	49	to	to	PART
ejde-615	35	50	solve	solve	VERB
ejde-615	35	51	this	this	DET
ejde-615	35	52	problem	problem	NOUN
ejde-615	35	53	.	.	PUNCT
ejde-615	36	1	when	when	SCONJ
ejde-615	36	2	2	2	NUM
ejde-615	36	3	<	<	X
ejde-615	36	4	α	α	X
ejde-615	36	5	<	<	X
ejde-615	36	6	3	3	NUM
ejde-615	36	7	,	,	PUNCT
ejde-615	36	8	we	we	PRON
ejde-615	36	9	first	first	ADV
ejde-615	36	10	introduce	introduce	VERB
ejde-615	36	11	a	a	DET
ejde-615	36	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	36	13	of	of	ADP
ejde-615	36	14	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	36	15	linear	linear	PROPN
ejde-615	36	16	operators	operator	NOUN
ejde-615	36	17	pα(n	pα(n	NOUN
ejde-615	36	18	)	)	PUNCT
ejde-615	36	19	defined	define	VERB
ejde-615	36	20	by	by	ADP
ejde-615	36	21	the	the	DET
ejde-615	36	22	parameters	parameter	NOUN
ejde-615	36	23	t	t	PROPN
ejde-615	36	24	and	and	CCONJ
ejde-615	36	25	α	α	PRON
ejde-615	36	26	,	,	PUNCT
ejde-615	36	27	that	that	SCONJ
ejde-615	36	28	we	we	PRON
ejde-615	36	29	call	call	VERB
ejde-615	36	30	α	α	DET
ejde-615	36	31	-	-	ADJ
ejde-615	36	32	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	36	33	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	36	34	,	,	PUNCT
ejde-615	36	35	which	which	PRON
ejde-615	36	36	will	will	AUX
ejde-615	36	37	give	give	VERB
ejde-615	36	38	an	an	DET
ejde-615	36	39	explicit	explicit	ADJ
ejde-615	36	40	representation	representation	NOUN
ejde-615	36	41	of	of	ADP
ejde-615	36	42	solution	solution	NOUN
ejde-615	36	43	for	for	ADP
ejde-615	36	44	(	(	PUNCT
ejde-615	36	45	1.1	1.1	NUM
ejde-615	36	46	)	)	PUNCT
ejde-615	36	47	.	.	PUNCT
ejde-615	37	1	precisely	precisely	ADV
ejde-615	37	2	,	,	PUNCT
ejde-615	37	3	the	the	DET
ejde-615	37	4	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	37	5	(	(	PUNCT
ejde-615	37	6	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	37	7	is	be	AUX
ejde-615	37	8	defined	define	VERB
ejde-615	37	9	by	by	ADP
ejde-615	37	10	pα(0	pα(0	NOUN
ejde-615	37	11	)	)	PUNCT
ejde-615	37	12	=	=	SYM
ejde-615	37	13	pα(1	pα(1	PROPN
ejde-615	37	14	)	)	PUNCT
ejde-615	37	15	=	=	PUNCT
ejde-615	37	16	pα(2	pα(2	PROPN
ejde-615	37	17	)	)	PUNCT
ejde-615	38	1	=	=	NOUN
ejde-615	38	2	i	i	PROPN
ejde-615	38	3	,	,	PUNCT
ejde-615	38	4	and	and	CCONJ
ejde-615	38	5	pα(n+	pα(n+	PROPN
ejde-615	38	6	3)−	3)−	NUM
ejde-615	38	7	2pα(n+	2pα(n+	NUM
ejde-615	38	8	2	2	NUM
ejde-615	38	9	)	)	PUNCT
ejde-615	38	10	+	+	CCONJ
ejde-615	38	11	pα(n+	pα(n+	NOUN
ejde-615	38	12	1	1	X
ejde-615	38	13	)	)	PUNCT
ejde-615	38	14	=	=	SYM
ejde-615	38	15	t	t	PROPN
ejde-615	38	16	(	(	PUNCT
ejde-615	38	17	kα−2	kα−2	PROPN
ejde-615	38	18	∗	∗	PROPN
ejde-615	38	19	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	38	20	)	)	PUNCT
ejde-615	39	1	+	+	CCONJ
ejde-615	39	2	kα−2(n+	kα−2(n+	NOUN
ejde-615	39	3	3)i	3)i	NUM
ejde-615	39	4	+	+	CCONJ
ejde-615	39	5	(	(	PUNCT
ejde-615	39	6	1−	1−	NUM
ejde-615	39	7	α)kα−2(n+	α)kα−2(n+	NOUN
ejde-615	39	8	2)i	2)i	NUM
ejde-615	39	9	+	+	CCONJ
ejde-615	39	10	(	(	PUNCT
ejde-615	39	11	α−	α−	ADP
ejde-615	39	12	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	39	13	2	2	NUM
ejde-615	39	14	)	)	PUNCT
ejde-615	39	15	2	2	NUM
ejde-615	39	16	kα−2(n+	kα−2(n+	NOUN
ejde-615	39	17	1)i	1)i	NOUN
ejde-615	39	18	for	for	ADP
ejde-615	39	19	n	n	PRON
ejde-615	39	20	∈	∈	PROPN
ejde-615	39	21	n0	n0	PROPN
ejde-615	39	22	,	,	PUNCT
ejde-615	39	23	where	where	SCONJ
ejde-615	39	24	kα−2	kα−2	NOUN
ejde-615	39	25	is	be	AUX
ejde-615	39	26	defined	define	VERB
ejde-615	39	27	by	by	ADP
ejde-615	39	28	(	(	PUNCT
ejde-615	39	29	2.4	2.4	NUM
ejde-615	39	30	)	)	PUNCT
ejde-615	39	31	.	.	PUNCT
ejde-615	40	1	we	we	PRON
ejde-615	40	2	show	show	VERB
ejde-615	40	3	that	that	SCONJ
ejde-615	40	4	when	when	SCONJ
ejde-615	40	5	f	f	PROPN
ejde-615	40	6	:	:	PUNCT
ejde-615	40	7	n0	n0	PROPN
ejde-615	40	8	→	→	PUNCT
ejde-615	40	9	x	x	X
ejde-615	40	10	is	be	AUX
ejde-615	40	11	given	give	VERB
ejde-615	40	12	,	,	PUNCT
ejde-615	40	13	the	the	DET
ejde-615	40	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	40	15	differential	differential	ADJ
ejde-615	40	16	equation	equation	NOUN
ejde-615	40	17	(	(	PUNCT
ejde-615	40	18	1.1	1.1	NUM
ejde-615	40	19	)	)	PUNCT
ejde-615	40	20	has	have	VERB
ejde-615	40	21	a	a	DET
ejde-615	40	22	unique	unique	ADJ
ejde-615	40	23	solution	solution	NOUN
ejde-615	40	24	u	u	NOUN
ejde-615	40	25	:	:	PUNCT
ejde-615	40	26	n0	n0	X
ejde-615	40	27	→	→	SYM
ejde-615	40	28	x	x	PUNCT
ejde-615	40	29	given	give	VERB
ejde-615	40	30	by	by	ADP
ejde-615	40	31	u(n	u(n	NOUN
ejde-615	40	32	)	)	PUNCT
ejde-615	40	33	=	=	PUNCT
ejde-615	41	1	(	(	PUNCT
ejde-615	41	2	hα	hα	ADP
ejde-615	41	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	41	4	pα	pα	NOUN
ejde-615	41	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	41	6	f)(n−	f)(n−	NOUN
ejde-615	41	7	3	3	NUM
ejde-615	41	8	)	)	PUNCT
ejde-615	41	9	for	for	ADP
ejde-615	41	10	n	n	X
ejde-615	41	11	≥	≥	NUM
ejde-615	41	12	3	3	NUM
ejde-615	41	13	,	,	PUNCT
ejde-615	41	14	where	where	SCONJ
ejde-615	41	15	the	the	DET
ejde-615	41	16	function	function	NOUN
ejde-615	41	17	hα	hα	ADP
ejde-615	41	18	:	:	PUNCT
ejde-615	41	19	n0	n0	X
ejde-615	41	20	→	→	SYM
ejde-615	41	21	r	r	NOUN
ejde-615	41	22	is	be	AUX
ejde-615	41	23	defined	define	VERB
ejde-615	41	24	by	by	ADP
ejde-615	41	25	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	41	26	3	3	NUM
ejde-615	41	27	)	)	PUNCT
ejde-615	41	28	=	=	PUNCT
ejde-615	42	1	−(1−	−(1−	ADP
ejde-615	42	2	α)hα(n+	α)hα(n+	NOUN
ejde-615	42	3	2)−	2)−	NUM
ejde-615	42	4	(	(	PUNCT
ejde-615	42	5	α−	α−	ADP
ejde-615	42	6	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	42	7	2)hα(n+	2)hα(n+	NOUN
ejde-615	42	8	1)/2	1)/2	NUM
ejde-615	42	9	for	for	ADP
ejde-615	42	10	n	n	DET
ejde-615	42	11	∈	∈	PROPN
ejde-615	42	12	n0	n0	PROPN
ejde-615	42	13	,	,	PUNCT
ejde-615	42	14	and	and	CCONJ
ejde-615	42	15	hα(0	hα(0	NOUN
ejde-615	42	16	)	)	PUNCT
ejde-615	42	17	=	=	SYM
ejde-615	42	18	1	1	NUM
ejde-615	42	19	,	,	PUNCT
ejde-615	42	20	hα(1	hα(1	PROPN
ejde-615	42	21	)	)	PUNCT
ejde-615	42	22	=	=	PUNCT
ejde-615	43	1	α	α	PRON
ejde-615	43	2	−	−	NOUN
ejde-615	43	3	1	1	NUM
ejde-615	43	4	,	,	PUNCT
ejde-615	43	5	hα(2	hα(2	PROPN
ejde-615	43	6	)	)	PUNCT
ejde-615	43	7	=	=	PROPN
ejde-615	44	1	α(α	α(α	PROPN
ejde-615	44	2	−	−	PROPN
ejde-615	45	1	1)/2	1)/2	NUM
ejde-615	45	2	.	.	PUNCT
ejde-615	46	1	we	we	PRON
ejde-615	46	2	notice	notice	VERB
ejde-615	46	3	that	that	SCONJ
ejde-615	46	4	similar	similar	ADJ
ejde-615	46	5	α	α	NOUN
ejde-615	46	6	-	-	ADJ
ejde-615	46	7	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	46	8	sequences	sequence	NOUN
ejde-615	46	9	have	have	AUX
ejde-615	46	10	been	be	AUX
ejde-615	46	11	used	use	VERB
ejde-615	46	12	in	in	ADP
ejde-615	46	13	the	the	DET
ejde-615	46	14	representation	representation	NOUN
ejde-615	46	15	of	of	ADP
ejde-615	46	16	solutions	solution	NOUN
ejde-615	46	17	of	of	ADP
ejde-615	46	18	(	(	PUNCT
ejde-615	46	19	1.1	1.1	NUM
ejde-615	46	20	)	)	PUNCT
ejde-615	46	21	when	when	SCONJ
ejde-615	46	22	0	0	NUM
ejde-615	46	23	<	<	X
ejde-615	46	24	α	α	X
ejde-615	46	25	≤	≤	ADV
ejde-615	46	26	2	2	NUM
ejde-615	46	27	in	in	ADP
ejde-615	46	28	[	[	X
ejde-615	46	29	18	18	NUM
ejde-615	46	30	,	,	PUNCT
ejde-615	46	31	19	19	NUM
ejde-615	46	32	]	]	PUNCT
ejde-615	46	33	.	.	PUNCT
ejde-615	47	1	concerning	concern	VERB
ejde-615	47	2	the	the	DET
ejde-615	47	3	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	47	4	-	-	PUNCT
ejde-615	47	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	47	6	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	47	7	for	for	ADP
ejde-615	47	8	(	(	PUNCT
ejde-615	47	9	1.1	1.1	NUM
ejde-615	47	10	)	)	PUNCT
ejde-615	47	11	,	,	PUNCT
ejde-615	47	12	we	we	PRON
ejde-615	47	13	show	show	VERB
ejde-615	47	14	that	that	SCONJ
ejde-615	47	15	when	when	SCONJ
ejde-615	47	16	x	x	PRON
ejde-615	47	17	is	be	AUX
ejde-615	47	18	a	a	DET
ejde-615	47	19	umd	umd	ADJ
ejde-615	47	20	space	space	NOUN
ejde-615	47	21	,	,	PUNCT
ejde-615	47	22	1	1	NUM
ejde-615	47	23	<	<	X
ejde-615	47	24	p	p	X
ejde-615	47	25	<	<	X
ejde-615	47	26	∞	∞	PROPN
ejde-615	47	27	and	and	CCONJ
ejde-615	47	28	{	{	PUNCT
ejde-615	47	29	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	47	30	−	−	PROPN
ejde-615	47	31	1)α	1)α	NUM
ejde-615	47	32	:	:	PUNCT
ejde-615	47	33	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	47	34	=	=	SYM
ejde-615	47	35	1	1	NUM
ejde-615	47	36	,	,	PUNCT
ejde-615	47	37	z	z	PROPN
ejde-615	47	38	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	47	39	±1	±1	VERB
ejde-615	47	40	}	}	PUNCT
ejde-615	47	41	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	47	42	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	47	43	)	)	PUNCT
ejde-615	47	44	,	,	PUNCT
ejde-615	47	45	then	then	ADV
ejde-615	47	46	(	(	PUNCT
ejde-615	47	47	1.1	1.1	NUM
ejde-615	47	48	)	)	PUNCT
ejde-615	47	49	has	have	VERB
ejde-615	47	50	the	the	DET
ejde-615	47	51	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	47	52	-	-	PUNCT
ejde-615	47	53	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	47	54	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	47	55	if	if	SCONJ
ejde-615	47	56	and	and	CCONJ
ejde-615	47	57	only	only	ADV
ejde-615	47	58	if	if	SCONJ
ejde-615	47	59	the	the	DET
ejde-615	47	60	set	set	NOUN
ejde-615	47	61	{	{	PUNCT
ejde-615	47	62	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	47	63	−	−	PROPN
ejde-615	47	64	1)α[z3−α(z	1)α[z3−α(z	NUM
ejde-615	47	65	−	−	PROPN
ejde-615	47	66	1)α	1)α	NUM
ejde-615	47	67	−	−	PROPN
ejde-615	47	68	t	t	NOUN
ejde-615	47	69	]	]	X
ejde-615	47	70	−1	−1	NOUN
ejde-615	47	71	:	:	PUNCT
ejde-615	47	72	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	47	73	=	=	SYM
ejde-615	47	74	1	1	NUM
ejde-615	47	75	,	,	PUNCT
ejde-615	47	76	z	z	PROPN
ejde-615	47	77	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	47	78	±1	±1	VERB
ejde-615	47	79	}	}	PUNCT
ejde-615	47	80	(	(	PUNCT
ejde-615	47	81	1.2	1.2	NUM
ejde-615	47	82	)	)	PUNCT
ejde-615	47	83	is	be	AUX
ejde-615	47	84	r	r	NOUN
ejde-615	47	85	-	-	PUNCT
ejde-615	47	86	bounded	bound	VERB
ejde-615	47	87	.	.	PUNCT
ejde-615	48	1	our	our	PRON
ejde-615	48	2	main	main	ADJ
ejde-615	48	3	tool	tool	NOUN
ejde-615	48	4	is	be	AUX
ejde-615	48	5	the	the	DET
ejde-615	48	6	operator	operator	NOUN
ejde-615	48	7	-	-	PUNCT
ejde-615	48	8	valued	value	VERB
ejde-615	48	9	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	48	10	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	48	11	theorems	theorem	NOUN
ejde-615	48	12	on	on	ADP
ejde-615	48	13	ℓp(z;x	ℓp(z;x	NOUN
ejde-615	48	14	)	)	PUNCT
ejde-615	48	15	by	by	ADP
ejde-615	48	16	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	48	17	[	[	X
ejde-615	48	18	7	7	NUM
ejde-615	48	19	]	]	PUNCT
ejde-615	48	20	,	,	PUNCT
ejde-615	48	21	we	we	PRON
ejde-615	48	22	will	will	AUX
ejde-615	48	23	transform	transform	VERB
ejde-615	48	24	the	the	DET
ejde-615	48	25	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	48	26	-	-	PUNCT
ejde-615	48	27	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	48	28	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	48	29	for	for	ADP
ejde-615	48	30	(	(	PUNCT
ejde-615	48	31	1.1	1.1	NUM
ejde-615	48	32	)	)	PUNCT
ejde-615	48	33	to	to	ADP
ejde-615	48	34	an	an	DET
ejde-615	48	35	operator	operator	NOUN
ejde-615	48	36	-	-	PUNCT
ejde-615	48	37	valued	value	VERB
ejde-615	48	38	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	48	39	multiplier	multipli	ADJ
ejde-615	48	40	problem	problem	NOUN
ejde-615	48	41	on	on	ADP
ejde-615	48	42	ℓp(z;x	ℓp(z;x	NOUN
ejde-615	48	43	)	)	PUNCT
ejde-615	48	44	.	.	PUNCT
ejde-615	49	1	it	it	PRON
ejde-615	49	2	is	be	AUX
ejde-615	49	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	49	4	that	that	SCONJ
ejde-615	49	5	the	the	DET
ejde-615	49	6	r	r	NOUN
ejde-615	49	7	-	-	PUNCT
ejde-615	49	8	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-615	49	9	of	of	ADP
ejde-615	49	10	the	the	DET
ejde-615	49	11	set	set	NOUN
ejde-615	49	12	(	(	PUNCT
ejde-615	49	13	1.2	1.2	NUM
ejde-615	49	14	)	)	PUNCT
ejde-615	49	15	does	do	AUX
ejde-615	49	16	not	not	PART
ejde-615	49	17	depend	depend	VERB
ejde-615	49	18	on	on	ADP
ejde-615	49	19	the	the	DET
ejde-615	49	20	space	space	NOUN
ejde-615	49	21	parameter	parameter	NOUN
ejde-615	49	22	p.	p.	NOUN
ejde-615	50	1	thus	thus	ADV
ejde-615	50	2	when	when	SCONJ
ejde-615	50	3	x	x	PRON
ejde-615	50	4	is	be	AUX
ejde-615	50	5	a	a	DET
ejde-615	50	6	umd	umd	ADJ
ejde-615	50	7	space	space	NOUN
ejde-615	50	8	and	and	CCONJ
ejde-615	50	9	{	{	PUNCT
ejde-615	50	10	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	51	1	−	−	PROPN
ejde-615	51	2	1)α	1)α	NUM
ejde-615	51	3	:	:	PUNCT
ejde-615	51	4	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	51	5	=	=	SYM
ejde-615	51	6	1	1	NUM
ejde-615	51	7	,	,	PUNCT
ejde-615	51	8	z	z	PROPN
ejde-615	51	9	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	51	10	±1	±1	VERB
ejde-615	51	11	}	}	PUNCT
ejde-615	51	12	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	51	13	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	51	14	)	)	PUNCT
ejde-615	51	15	,	,	PUNCT
ejde-615	51	16	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	51	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	51	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	51	19	for	for	ADP
ejde-615	51	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	51	21	difference	difference	NOUN
ejde-615	51	22	equations	equation	NOUN
ejde-615	51	23	3	3	NUM
ejde-615	51	24	if	if	SCONJ
ejde-615	51	25	(	(	PUNCT
ejde-615	51	26	1.1	1.1	NUM
ejde-615	51	27	)	)	PUNCT
ejde-615	51	28	has	have	VERB
ejde-615	51	29	the	the	DET
ejde-615	51	30	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	51	31	-	-	PUNCT
ejde-615	51	32	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	51	33	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	51	34	for	for	ADP
ejde-615	51	35	some	some	PRON
ejde-615	51	36	1	1	NUM
ejde-615	51	37	<	<	X
ejde-615	51	38	p	p	X
ejde-615	51	39	<	<	X
ejde-615	51	40	∞	∞	PROPN
ejde-615	51	41	,	,	PUNCT
ejde-615	51	42	then	then	ADV
ejde-615	51	43	(	(	PUNCT
ejde-615	51	44	1.1	1.1	NUM
ejde-615	51	45	)	)	PUNCT
ejde-615	51	46	has	have	VERB
ejde-615	51	47	the	the	DET
ejde-615	51	48	ℓpmaximal	ℓpmaximal	ADJ
ejde-615	51	49	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	51	50	for	for	ADP
ejde-615	51	51	all	all	PRON
ejde-615	51	52	1	1	NUM
ejde-615	51	53	<	<	X
ejde-615	51	54	p	p	X
ejde-615	51	55	<	<	X
ejde-615	51	56	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	51	57	since	since	SCONJ
ejde-615	51	58	every	every	DET
ejde-615	51	59	norm	norm	NOUN
ejde-615	51	60	bounded	bound	VERB
ejde-615	51	61	subset	subset	NOUN
ejde-615	51	62	of	of	ADP
ejde-615	51	63	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	51	64	)	)	PUNCT
ejde-615	51	65	is	be	AUX
ejde-615	51	66	actually	actually	ADV
ejde-615	51	67	r	r	NOUN
ejde-615	51	68	-	-	PUNCT
ejde-615	51	69	bounded	bound	VERB
ejde-615	51	70	when	when	SCONJ
ejde-615	51	71	x	x	PRON
ejde-615	51	72	is	be	AUX
ejde-615	51	73	a	a	DET
ejde-615	51	74	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-615	51	75	space	space	NOUN
ejde-615	51	76	,	,	PUNCT
ejde-615	51	77	we	we	PRON
ejde-615	51	78	deduce	deduce	VERB
ejde-615	51	79	that	that	SCONJ
ejde-615	51	80	if	if	SCONJ
ejde-615	51	81	x	x	PRON
ejde-615	51	82	is	be	AUX
ejde-615	51	83	a	a	DET
ejde-615	51	84	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-615	51	85	space	space	NOUN
ejde-615	51	86	,	,	PUNCT
ejde-615	51	87	1	1	NUM
ejde-615	51	88	<	<	X
ejde-615	51	89	p	p	X
ejde-615	51	90	<	<	X
ejde-615	51	91	∞	∞	PROPN
ejde-615	51	92	,	,	PUNCT
ejde-615	51	93	and	and	CCONJ
ejde-615	51	94	{	{	PUNCT
ejde-615	51	95	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	51	96	−	−	PROPN
ejde-615	51	97	1)α	1)α	NUM
ejde-615	51	98	:	:	PUNCT
ejde-615	51	99	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	51	100	=	=	SYM
ejde-615	51	101	1	1	NUM
ejde-615	51	102	,	,	PUNCT
ejde-615	51	103	z	z	PROPN
ejde-615	51	104	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	51	105	±1	±1	VERB
ejde-615	51	106	}	}	PUNCT
ejde-615	51	107	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	51	108	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	51	109	)	)	PUNCT
ejde-615	51	110	,	,	PUNCT
ejde-615	51	111	then	then	ADV
ejde-615	51	112	(	(	PUNCT
ejde-615	51	113	1.1	1.1	NUM
ejde-615	51	114	)	)	PUNCT
ejde-615	51	115	has	have	VERB
ejde-615	51	116	the	the	DET
ejde-615	51	117	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	51	118	-	-	PUNCT
ejde-615	51	119	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	51	120	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	51	121	if	if	SCONJ
ejde-615	51	122	and	and	CCONJ
ejde-615	51	123	only	only	ADV
ejde-615	51	124	if	if	SCONJ
ejde-615	51	125	the	the	DET
ejde-615	51	126	set	set	NOUN
ejde-615	51	127	(	(	PUNCT
ejde-615	51	128	1.2	1.2	NUM
ejde-615	51	129	)	)	PUNCT
ejde-615	51	130	is	be	AUX
ejde-615	51	131	norm	norm	NOUN
ejde-615	51	132	bounded	bound	VERB
ejde-615	51	133	.	.	PUNCT
ejde-615	52	1	concerning	concern	VERB
ejde-615	52	2	applications	application	NOUN
ejde-615	52	3	of	of	ADP
ejde-615	52	4	the	the	DET
ejde-615	52	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	52	6	difference	difference	NOUN
ejde-615	52	7	equation	equation	NOUN
ejde-615	52	8	(	(	PUNCT
ejde-615	52	9	1.1	1.1	NUM
ejde-615	52	10	)	)	PUNCT
ejde-615	52	11	,	,	PUNCT
ejde-615	52	12	it	it	PRON
ejde-615	52	13	has	have	AUX
ejde-615	52	14	been	be	AUX
ejde-615	52	15	considered	consider	VERB
ejde-615	52	16	as	as	ADP
ejde-615	52	17	a	a	DET
ejde-615	52	18	time	time	NOUN
ejde-615	52	19	-	-	PUNCT
ejde-615	52	20	stepping	step	VERB
ejde-615	52	21	scheme	scheme	NOUN
ejde-615	52	22	in	in	ADP
ejde-615	52	23	many	many	ADJ
ejde-615	52	24	fields	field	NOUN
ejde-615	52	25	of	of	ADP
ejde-615	52	26	sciences	science	NOUN
ejde-615	52	27	such	such	ADJ
ejde-615	52	28	as	as	ADP
ejde-615	52	29	linear	linear	PROPN
ejde-615	52	30	viscoelasticity	viscoelasticity	NOUN
ejde-615	52	31	theory	theory	NOUN
ejde-615	52	32	for	for	ADP
ejde-615	52	33	describing	describe	VERB
ejde-615	52	34	the	the	DET
ejde-615	52	35	behavior	behavior	NOUN
ejde-615	52	36	of	of	ADP
ejde-615	52	37	polymeric	polymeric	ADJ
ejde-615	52	38	materials	material	NOUN
ejde-615	52	39	,	,	PUNCT
ejde-615	52	40	see	see	VERB
ejde-615	52	41	[	[	X
ejde-615	52	42	14	14	NUM
ejde-615	52	43	]	]	X
ejde-615	53	1	[	[	X
ejde-615	53	2	22	22	NUM
ejde-615	53	3	]	]	PUNCT
ejde-615	53	4	.	.	PUNCT
ejde-615	54	1	our	our	PRON
ejde-615	54	2	results	result	NOUN
ejde-615	54	3	also	also	ADV
ejde-615	54	4	reveal	reveal	VERB
ejde-615	54	5	a	a	DET
ejde-615	54	6	close	close	ADJ
ejde-615	54	7	relation	relation	NOUN
ejde-615	54	8	between	between	ADP
ejde-615	54	9	time	time	NOUN
ejde-615	54	10	-	-	PUNCT
ejde-615	54	11	stepping	step	VERB
ejde-615	54	12	scheme	scheme	NOUN
ejde-615	54	13	and	and	CCONJ
ejde-615	54	14	linear	linear	ADJ
ejde-615	54	15	viscoelasticity	viscoelasticity	NOUN
ejde-615	54	16	theory	theory	NOUN
ejde-615	54	17	,	,	PUNCT
ejde-615	54	18	which	which	PRON
ejde-615	54	19	are	be	AUX
ejde-615	54	20	supported	support	VERB
ejde-615	54	21	and	and	CCONJ
ejde-615	54	22	coincident	coincident	ADJ
ejde-615	54	23	with	with	ADP
ejde-615	54	24	very	very	ADV
ejde-615	54	25	recent	recent	ADJ
ejde-615	54	26	research	research	NOUN
ejde-615	54	27	in	in	ADP
ejde-615	54	28	mechanical	mechanical	ADJ
ejde-615	54	29	engineering	engineering	NOUN
ejde-615	54	30	[	[	X
ejde-615	54	31	9	9	NUM
ejde-615	54	32	]	]	PUNCT
ejde-615	54	33	.	.	PUNCT
ejde-615	55	1	in	in	ADP
ejde-615	55	2	terms	term	NOUN
ejde-615	55	3	of	of	ADP
ejde-615	55	4	time	time	NOUN
ejde-615	55	5	-	-	PUNCT
ejde-615	55	6	stepping	step	VERB
ejde-615	55	7	scheme	scheme	NOUN
ejde-615	55	8	,	,	PUNCT
ejde-615	55	9	the	the	DET
ejde-615	55	10	connection	connection	NOUN
ejde-615	55	11	stated	state	VERB
ejde-615	55	12	in	in	ADP
ejde-615	55	13	our	our	PRON
ejde-615	55	14	paper	paper	NOUN
ejde-615	55	15	can	can	AUX
ejde-615	55	16	be	be	AUX
ejde-615	55	17	interpreted	interpret	VERB
ejde-615	55	18	as	as	ADP
ejde-615	55	19	a	a	DET
ejde-615	55	20	methodology	methodology	NOUN
ejde-615	55	21	to	to	PART
ejde-615	55	22	identify	identify	VERB
ejde-615	55	23	the	the	DET
ejde-615	55	24	desired	desire	VERB
ejde-615	55	25	(	(	PUNCT
ejde-615	55	26	and	and	CCONJ
ejde-615	55	27	probably	probably	ADV
ejde-615	55	28	best	good	ADJ
ejde-615	55	29	)	)	PUNCT
ejde-615	55	30	time	time	NOUN
ejde-615	55	31	stepping	step	VERB
ejde-615	55	32	scheme	scheme	NOUN
ejde-615	55	33	in	in	ADP
ejde-615	55	34	terms	term	NOUN
ejde-615	55	35	not	not	PART
ejde-615	55	36	only	only	ADV
ejde-615	55	37	of	of	ADP
ejde-615	55	38	the	the	DET
ejde-615	55	39	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-615	55	40	model	model	NOUN
ejde-615	55	41	but	but	CCONJ
ejde-615	55	42	also	also	ADV
ejde-615	55	43	of	of	ADP
ejde-615	55	44	the	the	DET
ejde-615	55	45	characteristics	characteristic	NOUN
ejde-615	55	46	of	of	ADP
ejde-615	55	47	the	the	DET
ejde-615	55	48	real	real	ADJ
ejde-615	55	49	material	material	NOUN
ejde-615	55	50	that	that	PRON
ejde-615	55	51	it	it	PRON
ejde-615	55	52	models	model	VERB
ejde-615	55	53	.	.	PUNCT
ejde-615	56	1	this	this	DET
ejde-615	56	2	article	article	NOUN
ejde-615	56	3	is	be	AUX
ejde-615	56	4	organized	organize	VERB
ejde-615	56	5	as	as	SCONJ
ejde-615	56	6	follows	follow	VERB
ejde-615	56	7	:	:	PUNCT
ejde-615	56	8	in	in	ADP
ejde-615	56	9	section	section	NOUN
ejde-615	56	10	2	2	NUM
ejde-615	56	11	,	,	PUNCT
ejde-615	56	12	we	we	PRON
ejde-615	56	13	recall	recall	VERB
ejde-615	56	14	some	some	DET
ejde-615	56	15	basic	basic	ADJ
ejde-615	56	16	concepts	concept	NOUN
ejde-615	56	17	on	on	ADP
ejde-615	56	18	umd	umd	PROPN
ejde-615	56	19	spaces	space	NOUN
ejde-615	56	20	,	,	PUNCT
ejde-615	56	21	r	r	NOUN
ejde-615	56	22	-	-	PUNCT
ejde-615	56	23	boundedness	boundedness	ADJ
ejde-615	56	24	,	,	PUNCT
ejde-615	56	25	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	56	26	difference	difference	NOUN
ejde-615	56	27	operators	operator	NOUN
ejde-615	56	28	,	,	PUNCT
ejde-615	56	29	the	the	DET
ejde-615	56	30	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	56	31	time	time	NOUN
ejde-615	56	32	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	56	33	transform	transform	NOUN
ejde-615	56	34	and	and	CCONJ
ejde-615	56	35	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	56	36	’s	’s	PART
ejde-615	56	37	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	56	38	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	56	39	theorems	theorem	NOUN
ejde-615	56	40	for	for	ADP
ejde-615	56	41	operator	operator	NOUN
ejde-615	56	42	-	-	PUNCT
ejde-615	56	43	valued	value	VERB
ejde-615	56	44	symbols	symbol	NOUN
ejde-615	56	45	on	on	ADP
ejde-615	56	46	umd	umd	PROPN
ejde-615	56	47	spaces	space	NOUN
ejde-615	56	48	.	.	PUNCT
ejde-615	57	1	section	section	NOUN
ejde-615	57	2	3	3	NUM
ejde-615	57	3	is	be	AUX
ejde-615	57	4	devoted	devote	VERB
ejde-615	57	5	to	to	ADP
ejde-615	57	6	the	the	DET
ejde-615	57	7	study	study	NOUN
ejde-615	57	8	of	of	ADP
ejde-615	57	9	the	the	DET
ejde-615	57	10	α	α	NOUN
ejde-615	57	11	-	-	ADJ
ejde-615	57	12	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	57	13	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	57	14	defined	define	VERB
ejde-615	57	15	by	by	ADP
ejde-615	57	16	t	t	PROPN
ejde-615	57	17	and	and	CCONJ
ejde-615	57	18	α	α	NOUN
ejde-615	57	19	,	,	PUNCT
ejde-615	57	20	which	which	PRON
ejde-615	57	21	gives	give	VERB
ejde-615	57	22	a	a	DET
ejde-615	57	23	representation	representation	NOUN
ejde-615	57	24	of	of	ADP
ejde-615	57	25	solution	solution	NOUN
ejde-615	57	26	for	for	ADP
ejde-615	57	27	(	(	PUNCT
ejde-615	57	28	1.1	1.1	NUM
ejde-615	57	29	)	)	PUNCT
ejde-615	57	30	.	.	PUNCT
ejde-615	58	1	in	in	ADP
ejde-615	58	2	the	the	DET
ejde-615	58	3	last	last	ADJ
ejde-615	58	4	section	section	NOUN
ejde-615	58	5	,	,	PUNCT
ejde-615	58	6	we	we	PRON
ejde-615	58	7	give	give	VERB
ejde-615	58	8	a	a	DET
ejde-615	58	9	characterization	characterization	NOUN
ejde-615	58	10	of	of	ADP
ejde-615	58	11	the	the	DET
ejde-615	58	12	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	58	13	-	-	PUNCT
ejde-615	58	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	58	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	58	16	of	of	ADP
ejde-615	58	17	(	(	PUNCT
ejde-615	58	18	1.1	1.1	NUM
ejde-615	58	19	)	)	PUNCT
ejde-615	58	20	when	when	SCONJ
ejde-615	58	21	1	1	NUM
ejde-615	58	22	<	<	X
ejde-615	58	23	p	p	X
ejde-615	58	24	<	<	X
ejde-615	58	25	∞	∞	PROPN
ejde-615	58	26	and	and	CCONJ
ejde-615	58	27	x	x	X
ejde-615	58	28	is	be	AUX
ejde-615	58	29	a	a	DET
ejde-615	58	30	umd	umd	ADJ
ejde-615	58	31	space	space	NOUN
ejde-615	58	32	.	.	PUNCT
ejde-615	59	1	2	2	X
ejde-615	59	2	.	.	X
ejde-615	59	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-615	59	4	in	in	ADP
ejde-615	59	5	this	this	DET
ejde-615	59	6	section	section	NOUN
ejde-615	59	7	,	,	PUNCT
ejde-615	59	8	we	we	PRON
ejde-615	59	9	briefly	briefly	ADV
ejde-615	59	10	recall	recall	VERB
ejde-615	59	11	some	some	DET
ejde-615	59	12	basic	basic	ADJ
ejde-615	59	13	notions	notion	NOUN
ejde-615	59	14	about	about	ADP
ejde-615	59	15	umd	umd	PROPN
ejde-615	59	16	spaces	space	NOUN
ejde-615	59	17	,	,	PUNCT
ejde-615	59	18	rboundedness	rboundedness	NOUN
ejde-615	59	19	,	,	PUNCT
ejde-615	59	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	59	21	difference	difference	NOUN
ejde-615	59	22	operators	operator	NOUN
ejde-615	59	23	,	,	PUNCT
ejde-615	59	24	the	the	DET
ejde-615	59	25	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	59	26	time	time	NOUN
ejde-615	59	27	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	59	28	transform	transform	NOUN
ejde-615	59	29	and	and	CCONJ
ejde-615	59	30	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	59	31	’s	’s	PART
ejde-615	59	32	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	59	33	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	59	34	theorems	theorem	NOUN
ejde-615	59	35	,	,	PUNCT
ejde-615	59	36	which	which	PRON
ejde-615	59	37	will	will	AUX
ejde-615	59	38	be	be	AUX
ejde-615	59	39	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-615	59	40	in	in	ADP
ejde-615	59	41	our	our	PRON
ejde-615	59	42	investigation	investigation	NOUN
ejde-615	59	43	.	.	PUNCT
ejde-615	60	1	let	let	VERB
ejde-615	60	2	x	x	PRON
ejde-615	60	3	be	be	AUX
ejde-615	60	4	a	a	DET
ejde-615	60	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	60	6	space	space	NOUN
ejde-615	60	7	.	.	PUNCT
ejde-615	61	1	we	we	PRON
ejde-615	61	2	denote	denote	VERB
ejde-615	61	3	by	by	ADP
ejde-615	61	4	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	61	5	)	)	PUNCT
ejde-615	61	6	the	the	PRON
ejde-615	61	7	of	of	ADP
ejde-615	61	8	all	all	DET
ejde-615	61	9	x	x	ADJ
ejde-615	61	10	-	-	VERB
ejde-615	61	11	valued	value	VERB
ejde-615	61	12	sequences	sequence	NOUN
ejde-615	61	13	u	u	NOUN
ejde-615	61	14	:	:	PUNCT
ejde-615	61	15	n0	n0	PROPN
ejde-615	61	16	→	→	SYM
ejde-615	61	17	x.	x.	NOUN
ejde-615	61	18	similarly	similarly	ADV
ejde-615	61	19	we	we	PRON
ejde-615	61	20	denote	denote	VERB
ejde-615	61	21	by	by	ADP
ejde-615	61	22	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	61	23	)	)	PUNCT
ejde-615	62	1	the	the	DET
ejde-615	62	2	set	set	NOUN
ejde-615	62	3	consisting	consist	VERB
ejde-615	62	4	of	of	ADP
ejde-615	62	5	all	all	DET
ejde-615	62	6	x	x	ADJ
ejde-615	62	7	-	-	VERB
ejde-615	62	8	valued	value	VERB
ejde-615	62	9	sequences	sequence	NOUN
ejde-615	62	10	u	u	NOUN
ejde-615	62	11	:	:	PUNCT
ejde-615	62	12	z	z	PROPN
ejde-615	62	13	→	→	SYM
ejde-615	62	14	x.	x.	NOUN
ejde-615	62	15	the	the	DET
ejde-615	62	16	forward	forward	PROPN
ejde-615	62	17	euler	euler	NOUN
ejde-615	62	18	operator	operator	NOUN
ejde-615	62	19	∆	∆	PROPN
ejde-615	62	20	:	:	PUNCT
ejde-615	62	21	s(n0;x	s(n0;x	NUM
ejde-615	62	22	)	)	PUNCT
ejde-615	62	23	→	→	SYM
ejde-615	62	24	s(n0;x	s(n0;x	NUM
ejde-615	62	25	)	)	PUNCT
ejde-615	62	26	is	be	AUX
ejde-615	62	27	defined	define	VERB
ejde-615	62	28	as	as	ADP
ejde-615	62	29	∆u(n	∆u(n	NOUN
ejde-615	62	30	)	)	PUNCT
ejde-615	62	31	:	:	PUNCT
ejde-615	63	1	=	=	PUNCT
ejde-615	63	2	u(n+	u(n+	PROPN
ejde-615	63	3	1)−	1)−	PROPN
ejde-615	63	4	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	63	5	)	)	PUNCT
ejde-615	63	6	where	where	SCONJ
ejde-615	63	7	n	n	X
ejde-615	63	8	∈	∈	PROPN
ejde-615	63	9	n0	n0	PROPN
ejde-615	63	10	.	.	PUNCT
ejde-615	64	1	for	for	ADP
ejde-615	64	2	every	every	DET
ejde-615	64	3	m	m	PROPN
ejde-615	64	4	∈	∈	NOUN
ejde-615	64	5	n	n	CCONJ
ejde-615	64	6	,	,	PUNCT
ejde-615	64	7	we	we	PRON
ejde-615	64	8	define	define	VERB
ejde-615	64	9	recursively	recursively	ADV
ejde-615	64	10	the	the	DET
ejde-615	64	11	m	m	NOUN
ejde-615	64	12	-	-	PUNCT
ejde-615	64	13	th	th	VERB
ejde-615	64	14	order	order	NOUN
ejde-615	64	15	forward	forward	ADJ
ejde-615	64	16	difference	difference	NOUN
ejde-615	64	17	operator	operator	NOUN
ejde-615	64	18	∆m	∆m	PROPN
ejde-615	64	19	:	:	PUNCT
ejde-615	64	20	s(n0;x	s(n0;x	NUM
ejde-615	64	21	)	)	PUNCT
ejde-615	64	22	→	→	SYM
ejde-615	64	23	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	64	24	)	)	PUNCT
ejde-615	64	25	by	by	ADP
ejde-615	64	26	∆m	∆m	PROPN
ejde-615	64	27	=	=	PROPN
ejde-615	64	28	∆m−1∆.	∆m−1∆.	PROPN
ejde-615	64	29	let	let	VERB
ejde-615	64	30	f	f	PROPN
ejde-615	64	31	∈	∈	PROPN
ejde-615	64	32	s(n0;c	s(n0;c	PRON
ejde-615	64	33	)	)	PUNCT
ejde-615	64	34	and	and	CCONJ
ejde-615	64	35	g	g	PROPN
ejde-615	64	36	∈	∈	PROPN
ejde-615	64	37	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	64	38	)	)	PUNCT
ejde-615	64	39	.	.	PUNCT
ejde-615	65	1	the	the	DET
ejde-615	65	2	finite	finite	PROPN
ejde-615	65	3	convolution	convolution	NOUN
ejde-615	65	4	f	f	PROPN
ejde-615	65	5	∗	∗	VERB
ejde-615	65	6	g	g	PROPN
ejde-615	65	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	65	8	s(n0;x	s(n0;x	X
ejde-615	65	9	)	)	PUNCT
ejde-615	65	10	is	be	AUX
ejde-615	65	11	defined	define	VERB
ejde-615	65	12	by	by	ADP
ejde-615	65	13	(	(	PUNCT
ejde-615	65	14	f	f	PROPN
ejde-615	65	15	∗	∗	PROPN
ejde-615	65	16	g)(n	g)(n	PROPN
ejde-615	65	17	)	)	PUNCT
ejde-615	65	18	:	:	PUNCT
ejde-615	66	1	=	=	SYM
ejde-615	66	2	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	66	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	66	4	f(n−	f(n−	X
ejde-615	66	5	j)g(j	j)g(j	NOUN
ejde-615	66	6	)	)	PUNCT
ejde-615	66	7	(	(	PUNCT
ejde-615	66	8	2.1	2.1	NUM
ejde-615	66	9	)	)	PUNCT
ejde-615	66	10	for	for	ADP
ejde-615	66	11	n	n	DET
ejde-615	66	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	66	13	n0	n0	PROPN
ejde-615	66	14	.	.	PUNCT
ejde-615	67	1	it	it	PRON
ejde-615	67	2	is	be	AUX
ejde-615	67	3	easy	easy	ADJ
ejde-615	67	4	to	to	PART
ejde-615	67	5	verify	verify	VERB
ejde-615	67	6	that	that	SCONJ
ejde-615	67	7	if	if	SCONJ
ejde-615	67	8	h	h	PROPN
ejde-615	67	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	67	10	s(n0;c	s(n0;c	PRON
ejde-615	67	11	)	)	PUNCT
ejde-615	67	12	,	,	PUNCT
ejde-615	67	13	then	then	ADV
ejde-615	67	14	(	(	PUNCT
ejde-615	67	15	f	f	PROPN
ejde-615	67	16	∗	∗	NOUN
ejde-615	67	17	h	h	PROPN
ejde-615	67	18	∗	∗	NOUN
ejde-615	67	19	g)(n	g)(n	PROPN
ejde-615	67	20	)	)	PUNCT
ejde-615	67	21	=	=	PRON
ejde-615	68	1	(	(	PUNCT
ejde-615	68	2	(	(	PUNCT
ejde-615	68	3	f	f	PROPN
ejde-615	68	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	68	5	h	h	NOUN
ejde-615	68	6	)	)	PUNCT
ejde-615	68	7	∗	∗	NOUN
ejde-615	68	8	g)(n	g)(n	PROPN
ejde-615	68	9	)	)	PUNCT
ejde-615	69	1	=	=	PUNCT
ejde-615	69	2	(	(	PUNCT
ejde-615	69	3	f	f	NOUN
ejde-615	69	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	69	5	(	(	PUNCT
ejde-615	69	6	h	h	NOUN
ejde-615	69	7	∗	∗	NOUN
ejde-615	69	8	g))(n	g))(n	PROPN
ejde-615	69	9	)	)	PUNCT
ejde-615	69	10	=	=	PUNCT
ejde-615	70	1	∑	∑	PUNCT
ejde-615	70	2	i+j+k	i+j+k	PROPN
ejde-615	70	3	=	=	NOUN
ejde-615	70	4	n	n	PRON
ejde-615	70	5	f(i)h(j)g(k	f(i)h(j)g(k	NOUN
ejde-615	70	6	)	)	PUNCT
ejde-615	70	7	(	(	PUNCT
ejde-615	70	8	2.2	2.2	NUM
ejde-615	70	9	)	)	PUNCT
ejde-615	70	10	for	for	ADP
ejde-615	70	11	n	n	DET
ejde-615	70	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	70	13	n0	n0	PROPN
ejde-615	70	14	.	.	PUNCT
ejde-615	71	1	the	the	DET
ejde-615	71	2	following	follow	VERB
ejde-615	71	3	definition	definition	NOUN
ejde-615	71	4	of	of	ADP
ejde-615	71	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	71	6	sum	sum	NOUN
ejde-615	71	7	,	,	PUNCT
ejde-615	71	8	used	use	VERB
ejde-615	71	9	the	the	DET
ejde-615	71	10	previous	previous	ADJ
ejde-615	71	11	works	work	NOUN
ejde-615	71	12	(	(	PUNCT
ejde-615	71	13	see	see	VERB
ejde-615	71	14	[	[	X
ejde-615	71	15	1	1	NUM
ejde-615	71	16	,	,	PUNCT
ejde-615	71	17	4	4	NUM
ejde-615	71	18	,	,	PUNCT
ejde-615	71	19	5	5	NUM
ejde-615	71	20	,	,	PUNCT
ejde-615	71	21	12	12	NUM
ejde-615	71	22	]	]	PUNCT
ejde-615	71	23	)	)	PUNCT
ejde-615	71	24	,	,	PUNCT
ejde-615	71	25	was	be	AUX
ejde-615	71	26	formally	formally	ADV
ejde-615	71	27	presented	present	VERB
ejde-615	71	28	by	by	ADP
ejde-615	71	29	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	71	30	in	in	ADP
ejde-615	71	31	[	[	X
ejde-615	71	32	17	17	NUM
ejde-615	71	33	]	]	PUNCT
ejde-615	71	34	.	.	PUNCT
ejde-615	72	1	let	let	VERB
ejde-615	72	2	0	0	PUNCT
ejde-615	72	3	<	<	X
ejde-615	72	4	β	β	X
ejde-615	72	5	≤	≤	NUM
ejde-615	72	6	1	1	NUM
ejde-615	72	7	and	and	CCONJ
ejde-615	72	8	u	u	PROPN
ejde-615	72	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	72	10	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	72	11	)	)	PUNCT
ejde-615	72	12	4	4	NUM
ejde-615	72	13	j.	j.	PROPN
ejde-615	72	14	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	72	15	,	,	PUNCT
ejde-615	72	16	s.	s.	PROPN
ejde-615	72	17	bu	bu	PROPN
ejde-615	72	18	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	72	19	be	be	AUX
ejde-615	72	20	given	give	VERB
ejde-615	72	21	.	.	PUNCT
ejde-615	73	1	the	the	DET
ejde-615	73	2	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	73	3	sum	sum	NOUN
ejde-615	73	4	of	of	ADP
ejde-615	73	5	u	u	NOUN
ejde-615	73	6	of	of	ADP
ejde-615	73	7	order	order	NOUN
ejde-615	73	8	β	β	X
ejde-615	73	9	is	be	AUX
ejde-615	73	10	defined	define	VERB
ejde-615	73	11	by	by	ADP
ejde-615	73	12	∆−βu(n	∆−βu(n	NOUN
ejde-615	73	13	)	)	PUNCT
ejde-615	73	14	:	:	PUNCT
ejde-615	74	1	=	=	SYM
ejde-615	74	2	(	(	PUNCT
ejde-615	74	3	kβ	kβ	NOUN
ejde-615	74	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	74	5	u)(n	u)(n	PROPN
ejde-615	74	6	)	)	PUNCT
ejde-615	74	7	=	=	SYM
ejde-615	74	8	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	74	9	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	74	10	kβ(n−	kβ(n−	PROPN
ejde-615	74	11	j)u(j	j)u(j	PROPN
ejde-615	74	12	)	)	PUNCT
ejde-615	74	13	(	(	PUNCT
ejde-615	74	14	2.3	2.3	NUM
ejde-615	74	15	)	)	PUNCT
ejde-615	74	16	for	for	ADP
ejde-615	74	17	n	n	DET
ejde-615	74	18	∈	∈	PROPN
ejde-615	74	19	n0	n0	PROPN
ejde-615	74	20	,	,	PUNCT
ejde-615	74	21	where	where	SCONJ
ejde-615	74	22	kβ(j	kβ(j	PUNCT
ejde-615	74	23	)	)	PUNCT
ejde-615	74	24	:	:	PUNCT
ejde-615	74	25	=	=	PUNCT
ejde-615	74	26	γ(β	γ(β	PROPN
ejde-615	74	27	+	+	NUM
ejde-615	74	28	j	j	PROPN
ejde-615	74	29	)	)	PUNCT
ejde-615	74	30	γ(β)γ(j	γ(β)γ(j	NOUN
ejde-615	74	31	+	+	CCONJ
ejde-615	74	32	1	1	NUM
ejde-615	74	33	)	)	PUNCT
ejde-615	74	34	(	(	PUNCT
ejde-615	74	35	2.4	2.4	NUM
ejde-615	74	36	)	)	PUNCT
ejde-615	74	37	for	for	ADP
ejde-615	74	38	j	j	PROPN
ejde-615	74	39	∈	∈	PROPN
ejde-615	74	40	n0	n0	PROPN
ejde-615	74	41	,	,	PUNCT
ejde-615	74	42	where	where	SCONJ
ejde-615	74	43	γ	γ	PROPN
ejde-615	74	44	is	be	AUX
ejde-615	74	45	the	the	DET
ejde-615	74	46	gamma	gamma	PROPN
ejde-615	74	47	function	function	NOUN
ejde-615	74	48	.	.	PUNCT
ejde-615	75	1	it	it	PRON
ejde-615	75	2	is	be	AUX
ejde-615	75	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	75	4	that	that	SCONJ
ejde-615	75	5	kβ(0	kβ(0	NOUN
ejde-615	75	6	)	)	PUNCT
ejde-615	75	7	=	=	SYM
ejde-615	75	8	1	1	NUM
ejde-615	75	9	,	,	PUNCT
ejde-615	75	10	kβ(1	kβ(1	PROPN
ejde-615	75	11	)	)	PUNCT
ejde-615	75	12	=	=	SYM
ejde-615	75	13	β	β	X
ejde-615	75	14	,	,	PUNCT
ejde-615	75	15	kβ(n	kβ(n	NOUN
ejde-615	75	16	)	)	PUNCT
ejde-615	76	1	=	=	PRON
ejde-615	77	1	β(β	β(β	PUNCT
ejde-615	77	2	+	+	NOUN
ejde-615	77	3	1	1	NUM
ejde-615	77	4	)	)	PUNCT
ejde-615	77	5	,	,	PUNCT
ejde-615	77	6	.	.	PUNCT
ejde-615	77	7	.	.	PUNCT
ejde-615	77	8	.	.	PUNCT
ejde-615	78	1	,	,	PUNCT
ejde-615	78	2	(	(	PUNCT
ejde-615	78	3	β	β	X
ejde-615	78	4	+	+	NUM
ejde-615	78	5	n−	n−	NOUN
ejde-615	78	6	1)/n	1)/n	NUM
ejde-615	78	7	!	!	PUNCT
ejde-615	78	8	(	(	PUNCT
ejde-615	78	9	2.5	2.5	NUM
ejde-615	78	10	)	)	PUNCT
ejde-615	78	11	for	for	ADP
ejde-615	78	12	n	n	X
ejde-615	78	13	≥	≥	NUM
ejde-615	78	14	2	2	NUM
ejde-615	78	15	.	.	PUNCT
ejde-615	79	1	definition	definition	NOUN
ejde-615	79	2	2.1	2.1	NUM
ejde-615	79	3	.	.	PUNCT
ejde-615	80	1	let	let	VERB
ejde-615	80	2	α	α	PRON
ejde-615	80	3	>	>	X
ejde-615	80	4	0	0	PROPN
ejde-615	80	5	,	,	PUNCT
ejde-615	80	6	α	α	NOUN
ejde-615	80	7	/∈	/∈	PUNCT
ejde-615	81	1	n	n	CCONJ
ejde-615	81	2	and	and	CCONJ
ejde-615	81	3	u	u	PROPN
ejde-615	81	4	∈	∈	PROPN
ejde-615	81	5	s(n0;x	s(n0;x	PRON
ejde-615	81	6	)	)	PUNCT
ejde-615	81	7	be	be	AUX
ejde-615	81	8	given	give	VERB
ejde-615	81	9	.	.	PUNCT
ejde-615	82	1	the	the	DET
ejde-615	82	2	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	82	3	difference	difference	NOUN
ejde-615	82	4	operator	operator	NOUN
ejde-615	82	5	of	of	ADP
ejde-615	82	6	order	order	NOUN
ejde-615	82	7	α	α	NOUN
ejde-615	82	8	of	of	ADP
ejde-615	82	9	u	u	NOUN
ejde-615	82	10	is	be	AUX
ejde-615	82	11	defined	define	VERB
ejde-615	82	12	by	by	ADP
ejde-615	82	13	∆αu(n	∆αu(n	PROPN
ejde-615	82	14	)	)	PUNCT
ejde-615	82	15	:	:	PUNCT
ejde-615	82	16	=	=	SYM
ejde-615	82	17	∆m∆−(m−α)u(n	∆m∆−(m−α)u(n	PROPN
ejde-615	82	18	)	)	PUNCT
ejde-615	82	19	(	(	PUNCT
ejde-615	82	20	2.6	2.6	NUM
ejde-615	82	21	)	)	PUNCT
ejde-615	82	22	for	for	ADP
ejde-615	82	23	n	n	DET
ejde-615	82	24	∈	∈	PROPN
ejde-615	82	25	n0	n0	PROPN
ejde-615	82	26	,	,	PUNCT
ejde-615	82	27	where	where	SCONJ
ejde-615	82	28	m	m	PROPN
ejde-615	82	29	∈	∈	NOUN
ejde-615	82	30	n	n	PRON
ejde-615	82	31	is	be	AUX
ejde-615	82	32	the	the	DET
ejde-615	82	33	unique	unique	ADJ
ejde-615	82	34	integer	integer	NOUN
ejde-615	82	35	m	m	VERB
ejde-615	82	36	satisfying	satisfy	VERB
ejde-615	82	37	m	m	VERB
ejde-615	82	38	−	−	PROPN
ejde-615	82	39	1	1	NUM
ejde-615	82	40	<	<	X
ejde-615	82	41	α	α	X
ejde-615	82	42	<	<	X
ejde-615	82	43	m.	m.	NOUN
ejde-615	82	44	for	for	ADP
ejde-615	82	45	more	more	ADJ
ejde-615	82	46	information	information	NOUN
ejde-615	82	47	about	about	ADP
ejde-615	82	48	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	82	49	difference	difference	NOUN
ejde-615	82	50	operators	operator	NOUN
ejde-615	82	51	,	,	PUNCT
ejde-615	82	52	we	we	PRON
ejde-615	82	53	refer	refer	VERB
ejde-615	82	54	the	the	DET
ejde-615	82	55	readers	reader	NOUN
ejde-615	82	56	to	to	ADP
ejde-615	82	57	[	[	X
ejde-615	82	58	11	11	NUM
ejde-615	82	59	]	]	PUNCT
ejde-615	82	60	remark	remark	NOUN
ejde-615	82	61	2.2	2.2	NUM
ejde-615	82	62	.	.	PUNCT
ejde-615	83	1	we	we	PRON
ejde-615	83	2	notice	notice	VERB
ejde-615	83	3	that	that	SCONJ
ejde-615	83	4	when	when	SCONJ
ejde-615	83	5	0	0	NUM
ejde-615	83	6	<	<	X
ejde-615	83	7	β	β	X
ejde-615	83	8	≤	≤	NUM
ejde-615	83	9	1	1	NUM
ejde-615	83	10	and	and	CCONJ
ejde-615	83	11	u	u	PROPN
ejde-615	83	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	83	13	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	83	14	)	)	PUNCT
ejde-615	83	15	,	,	PUNCT
ejde-615	83	16	the	the	DET
ejde-615	83	17	value	value	NOUN
ejde-615	83	18	of	of	ADP
ejde-615	83	19	∆−βu(n	∆−βu(n	NOUN
ejde-615	83	20	)	)	PUNCT
ejde-615	83	21	defined	define	VERB
ejde-615	83	22	by	by	ADP
ejde-615	83	23	(	(	PUNCT
ejde-615	83	24	2.3	2.3	NUM
ejde-615	83	25	)	)	PUNCT
ejde-615	83	26	depends	depend	VERB
ejde-615	83	27	on	on	ADP
ejde-615	83	28	all	all	DET
ejde-615	83	29	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	83	30	)	)	PUNCT
ejde-615	83	31	when	when	SCONJ
ejde-615	83	32	0	0	NUM
ejde-615	83	33	≤	≤	NUM
ejde-615	83	34	k	k	X
ejde-615	83	35	≤	≤	PROPN
ejde-615	83	36	n.	n.	NOUN
ejde-615	83	37	if	if	SCONJ
ejde-615	83	38	v	v	PROPN
ejde-615	83	39	∈	∈	PROPN
ejde-615	83	40	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	83	41	)	)	PUNCT
ejde-615	83	42	and	and	CCONJ
ejde-615	83	43	k	k	PROPN
ejde-615	83	44	≥	≥	NUM
ejde-615	83	45	1	1	NUM
ejde-615	83	46	are	be	AUX
ejde-615	83	47	given	give	VERB
ejde-615	83	48	,	,	PUNCT
ejde-615	83	49	we	we	PRON
ejde-615	83	50	let	let	VERB
ejde-615	83	51	u	u	PRON
ejde-615	83	52	∈	∈	PROPN
ejde-615	83	53	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	83	54	)	)	PUNCT
ejde-615	83	55	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-615	83	56	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	83	57	)	)	PUNCT
ejde-615	83	58	=	=	SYM
ejde-615	83	59	v(n−	v(n−	PROPN
ejde-615	83	60	k	k	NOUN
ejde-615	83	61	)	)	PUNCT
ejde-615	83	62	for	for	ADP
ejde-615	83	63	n	n	NUM
ejde-615	83	64	≥	≥	NOUN
ejde-615	83	65	k.	k.	PROPN
ejde-615	83	66	then	then	ADV
ejde-615	83	67	∆−βu(n	∆−βu(n	PROPN
ejde-615	83	68	)	)	PUNCT
ejde-615	84	1	=	=	SYM
ejde-615	84	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	84	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	84	4	kβ(j)u(n−	kβ(j)u(n−	PROPN
ejde-615	84	5	j	j	PROPN
ejde-615	84	6	)	)	PUNCT
ejde-615	85	1	=	=	SYM
ejde-615	85	2	∆−βv(n−	∆−βv(n−	PROPN
ejde-615	85	3	k	k	PROPN
ejde-615	85	4	)	)	PUNCT
ejde-615	86	1	+	+	CCONJ
ejde-615	86	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	86	3	j	j	X
ejde-615	86	4	=	=	NOUN
ejde-615	86	5	n−k+1	n−k+1	PART
ejde-615	86	6	kβ(j)u(n−	kβ(j)u(n−	PROPN
ejde-615	86	7	j	j	PROPN
ejde-615	86	8	)	)	PUNCT
ejde-615	86	9	for	for	ADP
ejde-615	86	10	n	n	DET
ejde-615	86	11	≥	≥	NOUN
ejde-615	86	12	k.	k.	PUNCT
ejde-615	87	1	thus	thus	ADV
ejde-615	87	2	the	the	DET
ejde-615	87	3	equality	equality	NOUN
ejde-615	87	4	∆−βu(n	∆−βu(n	NOUN
ejde-615	87	5	)	)	PUNCT
ejde-615	88	1	=	=	SYM
ejde-615	88	2	∆−βv(n−	∆−βv(n−	PROPN
ejde-615	88	3	k	k	PROPN
ejde-615	88	4	)	)	PUNCT
ejde-615	88	5	(	(	PUNCT
ejde-615	88	6	2.7	2.7	NUM
ejde-615	88	7	)	)	PUNCT
ejde-615	88	8	is	be	AUX
ejde-615	88	9	not	not	PART
ejde-615	88	10	necessarily	necessarily	ADV
ejde-615	88	11	true	true	ADJ
ejde-615	88	12	when	when	SCONJ
ejde-615	88	13	n	n	X
ejde-615	88	14	≥	≥	NOUN
ejde-615	88	15	k.	k.	VERB
ejde-615	89	1	meanwhile	meanwhile	ADV
ejde-615	89	2	if	if	SCONJ
ejde-615	89	3	u(j	u(j	PROPN
ejde-615	89	4	)	)	PUNCT
ejde-615	90	1	=	=	SYM
ejde-615	90	2	0	0	NUM
ejde-615	90	3	where	where	SCONJ
ejde-615	90	4	0	0	NUM
ejde-615	90	5	≤	≤	NUM
ejde-615	90	6	j	j	PROPN
ejde-615	90	7	≤	≤	PROPN
ejde-615	91	1	k	k	NOUN
ejde-615	92	1	−	−	PROPN
ejde-615	92	2	1	1	NUM
ejde-615	92	3	,	,	PUNCT
ejde-615	92	4	then	then	ADV
ejde-615	92	5	(	(	PUNCT
ejde-615	92	6	2.7	2.7	NUM
ejde-615	92	7	)	)	PUNCT
ejde-615	92	8	is	be	AUX
ejde-615	92	9	true	true	ADJ
ejde-615	92	10	.	.	PUNCT
ejde-615	93	1	similarly	similarly	ADV
ejde-615	93	2	,	,	PUNCT
ejde-615	93	3	let	let	VERB
ejde-615	93	4	α	α	PRON
ejde-615	93	5	>	>	X
ejde-615	93	6	0	0	PROPN
ejde-615	93	7	,	,	PUNCT
ejde-615	93	8	α	α	NOUN
ejde-615	93	9	/∈	/∈	PUNCT
ejde-615	94	1	n	n	CCONJ
ejde-615	94	2	,	,	PUNCT
ejde-615	94	3	if	if	SCONJ
ejde-615	94	4	v	v	NUM
ejde-615	94	5	∈	∈	PROPN
ejde-615	94	6	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	94	7	)	)	PUNCT
ejde-615	94	8	and	and	CCONJ
ejde-615	94	9	k	k	PROPN
ejde-615	94	10	≥	≥	NUM
ejde-615	94	11	1	1	NUM
ejde-615	94	12	are	be	AUX
ejde-615	94	13	given	give	VERB
ejde-615	94	14	,	,	PUNCT
ejde-615	94	15	we	we	PRON
ejde-615	94	16	let	let	VERB
ejde-615	94	17	u	u	PRON
ejde-615	94	18	∈	∈	PROPN
ejde-615	94	19	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	94	20	)	)	PUNCT
ejde-615	94	21	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-615	94	22	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	94	23	)	)	PUNCT
ejde-615	94	24	=	=	SYM
ejde-615	94	25	v(n−	v(n−	PROPN
ejde-615	94	26	k	k	NOUN
ejde-615	94	27	)	)	PUNCT
ejde-615	94	28	for	for	ADP
ejde-615	94	29	n	n	NUM
ejde-615	94	30	≥	≥	NOUN
ejde-615	94	31	k	k	NOUN
ejde-615	94	32	,	,	PUNCT
ejde-615	94	33	then	then	ADV
ejde-615	94	34	the	the	DET
ejde-615	94	35	equality	equality	NOUN
ejde-615	94	36	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	94	37	)	)	PUNCT
ejde-615	94	38	=	=	PUNCT
ejde-615	95	1	∆αv(n−	∆αv(n−	NUM
ejde-615	95	2	k	k	NOUN
ejde-615	95	3	)	)	PUNCT
ejde-615	95	4	(	(	PUNCT
ejde-615	95	5	2.8	2.8	NUM
ejde-615	95	6	)	)	PUNCT
ejde-615	95	7	is	be	AUX
ejde-615	95	8	not	not	PART
ejde-615	95	9	necessarily	necessarily	ADV
ejde-615	95	10	true	true	ADJ
ejde-615	95	11	when	when	SCONJ
ejde-615	95	12	n	n	X
ejde-615	95	13	≥	≥	NOUN
ejde-615	95	14	k.	k.	PROPN
ejde-615	96	1	but	but	CCONJ
ejde-615	96	2	if	if	SCONJ
ejde-615	96	3	u(j	u(j	PROPN
ejde-615	96	4	)	)	PUNCT
ejde-615	97	1	=	=	SYM
ejde-615	97	2	0	0	NUM
ejde-615	98	1	for	for	ADP
ejde-615	98	2	0	0	NUM
ejde-615	98	3	≤	≤	NUM
ejde-615	98	4	j	j	PROPN
ejde-615	98	5	≤	≤	PROPN
ejde-615	99	1	k	k	NOUN
ejde-615	100	1	−	−	PROPN
ejde-615	100	2	1	1	NUM
ejde-615	100	3	,	,	PUNCT
ejde-615	100	4	then	then	ADV
ejde-615	100	5	(	(	PUNCT
ejde-615	100	6	2.8	2.8	NUM
ejde-615	100	7	)	)	PUNCT
ejde-615	100	8	is	be	AUX
ejde-615	100	9	true	true	ADJ
ejde-615	100	10	.	.	PUNCT
ejde-615	101	1	this	this	PRON
ejde-615	101	2	is	be	AUX
ejde-615	101	3	the	the	DET
ejde-615	101	4	main	main	ADJ
ejde-615	101	5	reason	reason	NOUN
ejde-615	101	6	that	that	PRON
ejde-615	101	7	we	we	PRON
ejde-615	101	8	only	only	ADV
ejde-615	101	9	consider	consider	VERB
ejde-615	101	10	the	the	DET
ejde-615	101	11	equation	equation	NOUN
ejde-615	101	12	(	(	PUNCT
ejde-615	101	13	1.1	1.1	NUM
ejde-615	101	14	)	)	PUNCT
ejde-615	101	15	with	with	ADP
ejde-615	101	16	the	the	DET
ejde-615	101	17	simpler	simple	ADJ
ejde-615	101	18	initial	initial	ADJ
ejde-615	101	19	conditions	condition	NOUN
ejde-615	101	20	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	101	21	)	)	PUNCT
ejde-615	101	22	=	=	SYM
ejde-615	102	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	102	2	)	)	PUNCT
ejde-615	102	3	=	=	SYM
ejde-615	102	4	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	102	5	)	)	PUNCT
ejde-615	102	6	=	=	SYM
ejde-615	102	7	0	0	NUM
ejde-615	102	8	,	,	PUNCT
ejde-615	102	9	instead	instead	ADV
ejde-615	102	10	of	of	ADP
ejde-615	102	11	the	the	DET
ejde-615	102	12	general	general	ADJ
ejde-615	102	13	initial	initial	ADJ
ejde-615	102	14	conditions	condition	NOUN
ejde-615	102	15	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	102	16	)	)	PUNCT
ejde-615	102	17	=	=	SYM
ejde-615	103	1	x0	x0	PROPN
ejde-615	103	2	,	,	PUNCT
ejde-615	103	3	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	103	4	)	)	PUNCT
ejde-615	103	5	=	=	SYM
ejde-615	103	6	x1	x1	PROPN
ejde-615	103	7	and	and	CCONJ
ejde-615	103	8	u(2	u(2	ADJ
ejde-615	103	9	)	)	PUNCT
ejde-615	103	10	=	=	SYM
ejde-615	104	1	x2	x2	PROPN
ejde-615	104	2	.	.	PUNCT
ejde-615	105	1	let	let	VERB
ejde-615	105	2	u	u	PRON
ejde-615	105	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	105	4	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	105	5	)	)	PUNCT
ejde-615	105	6	.	.	PUNCT
ejde-615	106	1	the	the	DET
ejde-615	106	2	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	106	3	time	time	NOUN
ejde-615	106	4	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	106	5	transform	transform	NOUN
ejde-615	106	6	of	of	ADP
ejde-615	106	7	u	u	NOUN
ejde-615	106	8	is	be	AUX
ejde-615	106	9	û(z	û(z	ADP
ejde-615	106	10	)	)	PUNCT
ejde-615	106	11	:	:	PUNCT
ejde-615	107	1	=	=	NOUN
ejde-615	107	2	∞∑	∞∑	NUM
ejde-615	107	3	j=−∞	j=−∞	NUM
ejde-615	107	4	z−ju(j	z−ju(j	NOUN
ejde-615	107	5	)	)	PUNCT
ejde-615	107	6	for	for	ADP
ejde-615	107	7	all	all	DET
ejde-615	107	8	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	107	9	=	=	SYM
ejde-615	107	10	1	1	NUM
ejde-615	107	11	,	,	PUNCT
ejde-615	107	12	whenever	whenever	SCONJ
ejde-615	107	13	it	it	PRON
ejde-615	107	14	exists	exist	VERB
ejde-615	107	15	.	.	PUNCT
ejde-615	108	1	we	we	PRON
ejde-615	108	2	notice	notice	VERB
ejde-615	108	3	that	that	SCONJ
ejde-615	108	4	the	the	DET
ejde-615	108	5	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	108	6	transform	transform	NOUN
ejde-615	108	7	of	of	ADP
ejde-615	108	8	û	û	NUM
ejde-615	108	9	is	be	AUX
ejde-615	108	10	sometimes	sometimes	ADV
ejde-615	108	11	also	also	ADV
ejde-615	108	12	denoted	denote	VERB
ejde-615	108	13	by	by	ADP
ejde-615	108	14	f(u	f(u	PROPN
ejde-615	108	15	)	)	PUNCT
ejde-615	108	16	.	.	PUNCT
ejde-615	109	1	it	it	PRON
ejde-615	109	2	is	be	AUX
ejde-615	109	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	109	4	that	that	SCONJ
ejde-615	109	5	if	if	SCONJ
ejde-615	109	6	f	f	PROPN
ejde-615	109	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	109	8	s(n0;c	s(n0;c	DET
ejde-615	109	9	)	)	PUNCT
ejde-615	109	10	and	and	CCONJ
ejde-615	109	11	g	g	PROPN
ejde-615	109	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	109	13	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	109	14	)	)	PUNCT
ejde-615	109	15	,	,	PUNCT
ejde-615	109	16	then	then	ADV
ejde-615	109	17	(	(	PUNCT
ejde-615	109	18	̂f	̂f	NOUN
ejde-615	109	19	∗	∗	PROPN
ejde-615	109	20	g)(z	g)(z	PUNCT
ejde-615	109	21	)	)	PUNCT
ejde-615	109	22	=	=	SYM
ejde-615	110	1	f̂(z)ĝ(z	f̂(z)ĝ(z	PROPN
ejde-615	110	2	)	)	PUNCT
ejde-615	110	3	(	(	PUNCT
ejde-615	110	4	2.9	2.9	NUM
ejde-615	110	5	)	)	PUNCT
ejde-615	110	6	when	when	SCONJ
ejde-615	110	7	both	both	DET
ejde-615	110	8	sides	side	NOUN
ejde-615	110	9	are	be	AUX
ejde-615	110	10	well	well	ADV
ejde-615	110	11	defined	define	VERB
ejde-615	110	12	for	for	ADP
ejde-615	110	13	all	all	DET
ejde-615	110	14	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	110	15	=	=	SYM
ejde-615	110	16	1	1	X
ejde-615	110	17	.	.	X
ejde-615	111	1	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	111	2	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	111	3	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	111	4	for	for	ADP
ejde-615	111	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	111	6	difference	difference	NOUN
ejde-615	111	7	equations	equation	NOUN
ejde-615	111	8	5	5	NUM
ejde-615	111	9	let	let	VERB
ejde-615	111	10	0	0	NUM
ejde-615	111	11	<	<	X
ejde-615	111	12	α	α	PROPN
ejde-615	111	13	≤	≤	NUM
ejde-615	111	14	1	1	NUM
ejde-615	111	15	and	and	CCONJ
ejde-615	111	16	let	let	VERB
ejde-615	111	17	kα	kα	PRON
ejde-615	111	18	be	be	AUX
ejde-615	111	19	defined	define	VERB
ejde-615	111	20	by	by	ADP
ejde-615	111	21	(	(	PUNCT
ejde-615	111	22	2.4	2.4	NUM
ejde-615	111	23	)	)	PUNCT
ejde-615	111	24	.	.	PUNCT
ejde-615	112	1	it	it	PRON
ejde-615	112	2	follows	follow	VERB
ejde-615	112	3	from	from	ADP
ejde-615	112	4	(	(	PUNCT
ejde-615	112	5	2.5	2.5	NUM
ejde-615	112	6	)	)	PUNCT
ejde-615	112	7	that	that	PRON
ejde-615	112	8	the	the	DET
ejde-615	112	9	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	112	10	transform	transform	NOUN
ejde-615	112	11	of	of	ADP
ejde-615	112	12	kα	kα	PROPN
ejde-615	112	13	is	be	AUX
ejde-615	112	14	given	give	VERB
ejde-615	112	15	by	by	ADP
ejde-615	112	16	k̂α(z	k̂α(z	PROPN
ejde-615	112	17	)	)	PUNCT
ejde-615	113	1	=	=	SYM
ejde-615	113	2	zα	zα	PROPN
ejde-615	113	3	(	(	PUNCT
ejde-615	113	4	z	z	NOUN
ejde-615	113	5	−	−	PROPN
ejde-615	113	6	1)α	1)α	NUM
ejde-615	113	7	(	(	PUNCT
ejde-615	113	8	2.10	2.10	NUM
ejde-615	113	9	)	)	PUNCT
ejde-615	113	10	for	for	ADP
ejde-615	113	11	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	113	12	=	=	SYM
ejde-615	113	13	1	1	NUM
ejde-615	113	14	and	and	CCONJ
ejde-615	113	15	z	z	PROPN
ejde-615	113	16	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	113	17	1	1	NUM
ejde-615	113	18	.	.	PUNCT
ejde-615	114	1	this	this	PRON
ejde-615	114	2	implies	imply	VERB
ejde-615	114	3	that	that	SCONJ
ejde-615	114	4	if	if	SCONJ
ejde-615	114	5	0	0	NUM
ejde-615	114	6	<	<	X
ejde-615	114	7	α	α	X
ejde-615	114	8	,	,	PUNCT
ejde-615	114	9	β	β	X
ejde-615	114	10	<	<	X
ejde-615	114	11	1	1	NUM
ejde-615	114	12	and	and	CCONJ
ejde-615	114	13	α+	α+	PUNCT
ejde-615	114	14	β	β	X
ejde-615	114	15	=	=	SYM
ejde-615	114	16	1	1	NUM
ejde-615	114	17	,	,	PUNCT
ejde-615	114	18	then	then	ADV
ejde-615	114	19	kα	kα	PROPN
ejde-615	114	20	∗	∗	NOUN
ejde-615	114	21	kβ	kβ	NOUN
ejde-615	114	22	=	=	SYM
ejde-615	114	23	k1	k1	NOUN
ejde-615	114	24	(	(	PUNCT
ejde-615	114	25	2.11	2.11	NUM
ejde-615	114	26	)	)	PUNCT
ejde-615	114	27	by	by	ADP
ejde-615	114	28	(	(	PUNCT
ejde-615	114	29	2.9	2.9	NUM
ejde-615	114	30	)	)	PUNCT
ejde-615	114	31	.	.	PUNCT
ejde-615	115	1	we	we	PRON
ejde-615	115	2	say	say	VERB
ejde-615	115	3	that	that	SCONJ
ejde-615	115	4	a	a	DET
ejde-615	115	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	115	6	space	space	NOUN
ejde-615	115	7	x	x	PUNCT
ejde-615	115	8	is	be	AUX
ejde-615	115	9	a	a	DET
ejde-615	115	10	umd	umd	ADJ
ejde-615	115	11	space	space	NOUN
ejde-615	115	12	if	if	SCONJ
ejde-615	115	13	for	for	ADP
ejde-615	115	14	all	all	DET
ejde-615	115	15	1	1	NUM
ejde-615	115	16	<	<	X
ejde-615	115	17	p	p	X
ejde-615	115	18	<	<	X
ejde-615	115	19	∞	∞	PROPN
ejde-615	115	20	,	,	PUNCT
ejde-615	115	21	there	there	PRON
ejde-615	115	22	exists	exist	VERB
ejde-615	115	23	a	a	DET
ejde-615	115	24	constant	constant	ADJ
ejde-615	115	25	c	c	NOUN
ejde-615	115	26	>	>	X
ejde-615	115	27	0	0	PUNCT
ejde-615	116	1	(	(	PUNCT
ejde-615	116	2	depending	depend	VERB
ejde-615	116	3	only	only	ADV
ejde-615	116	4	on	on	ADP
ejde-615	116	5	p	p	NOUN
ejde-615	116	6	and	and	CCONJ
ejde-615	116	7	x	x	NOUN
ejde-615	116	8	)	)	PUNCT
ejde-615	116	9	such	such	ADJ
ejde-615	116	10	that	that	PRON
ejde-615	116	11	for	for	ADP
ejde-615	116	12	any	any	DET
ejde-615	116	13	martingale	martingale	NOUN
ejde-615	116	14	(	(	PUNCT
ejde-615	116	15	gn)n≥0	gn)n≥0	X
ejde-615	116	16	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	116	17	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-615	116	18	,	,	PUNCT
ejde-615	116	19	σ	σ	NOUN
ejde-615	116	20	,	,	PUNCT
ejde-615	116	21	µ;x	µ;x	NUM
ejde-615	116	22	)	)	PUNCT
ejde-615	116	23	and	and	CCONJ
ejde-615	116	24	all	all	DET
ejde-615	116	25	scalars	scalar	VERB
ejde-615	116	26	|εn|	|εn|	PROPN
ejde-615	117	1	=	=	SYM
ejde-615	118	1	1	1	NUM
ejde-615	118	2	,	,	PUNCT
ejde-615	118	3	n	n	NOUN
ejde-615	118	4	=	=	SYM
ejde-615	118	5	1	1	NUM
ejde-615	118	6	,	,	PUNCT
ejde-615	118	7	2	2	NUM
ejde-615	118	8	.	.	PUNCT
ejde-615	118	9	.	.	PUNCT
ejde-615	119	1	.	.	PUNCT
ejde-615	120	1	,	,	PUNCT
ejde-615	120	2	n	n	X
ejde-615	120	3	,	,	PUNCT
ejde-615	120	4	the	the	DET
ejde-615	120	5	following	follow	VERB
ejde-615	120	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-615	120	7	holds:∥∥g0	holds:∥∥g0	PROPN
ejde-615	120	8	+	+	CCONJ
ejde-615	120	9	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	120	10	n=1	n=1	ADP
ejde-615	120	11	εn(gn	εn(gn	VERB
ejde-615	120	12	−	−	PROPN
ejde-615	120	13	gn−1	gn−1	PROPN
ejde-615	120	14	)	)	PUNCT
ejde-615	120	15	∥∥	∥∥	X
ejde-615	120	16	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-615	120	17	,	,	PUNCT
ejde-615	120	18	σ,µ;x	σ,µ;x	NOUN
ejde-615	120	19	)	)	PUNCT
ejde-615	120	20	≤	≤	PUNCT
ejde-615	121	1	c	c	X
ejde-615	121	2	∥∥gn∥∥	∥∥gn∥∥	PROPN
ejde-615	121	3	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-615	121	4	,	,	PUNCT
ejde-615	121	5	σ,µ;x	σ,µ;x	PUNCT
ejde-615	121	6	)	)	PUNCT
ejde-615	121	7	.	.	PUNCT
ejde-615	122	1	it	it	PRON
ejde-615	122	2	is	be	AUX
ejde-615	122	3	well	well	ADV
ejde-615	122	4	known	know	VERB
ejde-615	122	5	that	that	SCONJ
ejde-615	122	6	lp	lp	NOUN
ejde-615	122	7	-	-	PUNCT
ejde-615	122	8	spaces	space	NOUN
ejde-615	122	9	,	,	PUNCT
ejde-615	122	10	schatten	schatten	ADJ
ejde-615	122	11	class	class	NOUN
ejde-615	122	12	sp	sp	NOUN
ejde-615	122	13	,	,	PUNCT
ejde-615	122	14	and	and	CCONJ
ejde-615	122	15	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-615	122	16	spaces	space	VERB
ejde-615	122	17	wm	wm	PROPN
ejde-615	122	18	,	,	PUNCT
ejde-615	122	19	p	p	PROPN
ejde-615	122	20	are	be	AUX
ejde-615	122	21	umd	umd	PROPN
ejde-615	122	22	spaces	space	NOUN
ejde-615	122	23	when	when	SCONJ
ejde-615	122	24	1	1	NUM
ejde-615	122	25	<	<	X
ejde-615	122	26	p	p	X
ejde-615	122	27	<	<	X
ejde-615	122	28	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	122	29	umd	umd	NOUN
ejde-615	122	30	spaces	space	NOUN
ejde-615	122	31	have	have	AUX
ejde-615	122	32	played	play	VERB
ejde-615	122	33	very	very	ADV
ejde-615	122	34	important	important	ADJ
ejde-615	122	35	part	part	NOUN
ejde-615	122	36	in	in	ADP
ejde-615	122	37	vector	vector	NOUN
ejde-615	122	38	-	-	PUNCT
ejde-615	122	39	valued	value	VERB
ejde-615	122	40	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-615	122	41	analysis	analysis	NOUN
ejde-615	122	42	and	and	CCONJ
ejde-615	122	43	probability	probability	NOUN
ejde-615	122	44	theory	theory	NOUN
ejde-615	122	45	,	,	PUNCT
ejde-615	122	46	see	see	VERB
ejde-615	122	47	[	[	X
ejde-615	122	48	8	8	NUM
ejde-615	122	49	]	]	PUNCT
ejde-615	122	50	.	.	PUNCT
ejde-615	123	1	let	let	VERB
ejde-615	123	2	x	x	PRON
ejde-615	123	3	be	be	AUX
ejde-615	123	4	a	a	DET
ejde-615	123	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	123	6	space	space	NOUN
ejde-615	123	7	,	,	PUNCT
ejde-615	123	8	we	we	PRON
ejde-615	123	9	denote	denote	VERB
ejde-615	123	10	by	by	ADP
ejde-615	123	11	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	123	12	)	)	PUNCT
ejde-615	123	13	the	the	DET
ejde-615	123	14	space	space	NOUN
ejde-615	123	15	of	of	ADP
ejde-615	123	16	all	all	DET
ejde-615	123	17	bounded	bound	VERB
ejde-615	123	18	linear	linear	PROPN
ejde-615	123	19	operators	operator	NOUN
ejde-615	123	20	on	on	ADP
ejde-615	123	21	x.	x.	NOUN
ejde-615	123	22	let	let	VERB
ejde-615	123	23	rj	rj	PROPN
ejde-615	123	24	be	be	AUX
ejde-615	123	25	the	the	DET
ejde-615	123	26	j	j	PROPN
ejde-615	123	27	-	-	PUNCT
ejde-615	123	28	th	th	VERB
ejde-615	123	29	rademacher	rademacher	ADJ
ejde-615	123	30	function	function	NOUN
ejde-615	123	31	defined	define	VERB
ejde-615	123	32	on	on	ADP
ejde-615	123	33	[	[	X
ejde-615	123	34	0	0	NUM
ejde-615	123	35	,	,	PUNCT
ejde-615	123	36	1	1	NUM
ejde-615	123	37	]	]	PUNCT
ejde-615	123	38	by	by	ADP
ejde-615	123	39	rj(t	rj(t	ADJ
ejde-615	123	40	)	)	PUNCT
ejde-615	123	41	=	=	SYM
ejde-615	123	42	sgn(sin(2jt	sgn(sin(2jt	PROPN
ejde-615	123	43	)	)	PUNCT
ejde-615	123	44	)	)	PUNCT
ejde-615	124	1	whenever	whenever	SCONJ
ejde-615	124	2	j	j	PROPN
ejde-615	124	3	≥	≥	NUM
ejde-615	124	4	1	1	NUM
ejde-615	124	5	.	.	PUNCT
ejde-615	124	6	definition	definition	NOUN
ejde-615	124	7	2.3	2.3	NUM
ejde-615	124	8	.	.	PUNCT
ejde-615	125	1	let	let	VERB
ejde-615	125	2	x	x	PRON
ejde-615	125	3	be	be	AUX
ejde-615	125	4	a	a	DET
ejde-615	125	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	125	6	spaces	space	NOUN
ejde-615	125	7	.	.	PUNCT
ejde-615	126	1	a	a	DET
ejde-615	126	2	set	set	NOUN
ejde-615	126	3	w	w	PROPN
ejde-615	126	4	⊂	⊂	NOUN
ejde-615	126	5	b(x	b(x	PROPN
ejde-615	126	6	)	)	PUNCT
ejde-615	126	7	is	be	AUX
ejde-615	126	8	said	say	VERB
ejde-615	126	9	to	to	PART
ejde-615	126	10	be	be	AUX
ejde-615	126	11	rademacher	rademacher	ADV
ejde-615	126	12	bounded	bound	VERB
ejde-615	126	13	[	[	X
ejde-615	126	14	10	10	NUM
ejde-615	126	15	,	,	PUNCT
ejde-615	126	16	13	13	NUM
ejde-615	126	17	]	]	PUNCT
ejde-615	126	18	,	,	PUNCT
ejde-615	126	19	if	if	SCONJ
ejde-615	126	20	there	there	PRON
ejde-615	126	21	exists	exist	VERB
ejde-615	126	22	c	c	PROPN
ejde-615	126	23	≥	≥	NUM
ejde-615	126	24	0	0	NUM
ejde-615	126	25	such	such	ADJ
ejde-615	126	26	that∥∥	that∥∥	PROPN
ejde-615	126	27	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	127	1	j=1	j=1	PROPN
ejde-615	127	2	rjtjxj	rjtjxj	VERB
ejde-615	127	3	∥∥	∥∥	X
ejde-615	127	4	l1([0,1];x	l1([0,1];x	NOUN
ejde-615	127	5	)	)	PUNCT
ejde-615	127	6	≤	≤	PUNCT
ejde-615	128	1	c	c	X
ejde-615	128	2	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-615	128	3	n∑	n∑	X
ejde-615	128	4	j=1	j=1	PROPN
ejde-615	128	5	rjxj	rjxj	VERB
ejde-615	128	6	∥∥	∥∥	X
ejde-615	128	7	l1([0,1];x	l1([0,1];x	NOUN
ejde-615	128	8	)	)	PUNCT
ejde-615	128	9	for	for	ADP
ejde-615	128	10	all	all	DET
ejde-615	128	11	t1	t1	NOUN
ejde-615	128	12	,	,	PUNCT
ejde-615	128	13	t2	t2	NOUN
ejde-615	128	14	,	,	PUNCT
ejde-615	128	15	.	.	PUNCT
ejde-615	128	16	.	.	PUNCT
ejde-615	129	1	.	.	PUNCT
ejde-615	130	1	,	,	PUNCT
ejde-615	130	2	tn	tn	PROPN
ejde-615	130	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	131	1	w	w	PROPN
ejde-615	131	2	,	,	PUNCT
ejde-615	131	3	x1	x1	PROPN
ejde-615	131	4	,	,	PUNCT
ejde-615	131	5	x2	x2	PROPN
ejde-615	131	6	,	,	PUNCT
ejde-615	131	7	.	.	PUNCT
ejde-615	131	8	.	.	PUNCT
ejde-615	131	9	.	.	PUNCT
ejde-615	132	1	,	,	PUNCT
ejde-615	132	2	xn	xn	PUNCT
ejde-615	132	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	132	4	x	x	X
ejde-615	132	5	and	and	CCONJ
ejde-615	132	6	n	n	CCONJ
ejde-615	132	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	132	8	n.	n.	NOUN
ejde-615	132	9	remark	remark	NOUN
ejde-615	132	10	2.4	2.4	NUM
ejde-615	132	11	.	.	PUNCT
ejde-615	133	1	it	it	PRON
ejde-615	133	2	is	be	AUX
ejde-615	133	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	133	4	that	that	SCONJ
ejde-615	133	5	if	if	SCONJ
ejde-615	133	6	w1,w2	w1,w2	PROPN
ejde-615	133	7	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	133	8	b(x	b(x	PROPN
ejde-615	133	9	)	)	PUNCT
ejde-615	133	10	are	be	AUX
ejde-615	133	11	r	r	NOUN
ejde-615	133	12	-	-	PUNCT
ejde-615	133	13	bounded	bound	VERB
ejde-615	133	14	sets	set	NOUN
ejde-615	133	15	,	,	PUNCT
ejde-615	133	16	then	then	ADV
ejde-615	133	17	w1w2	w1w2	ADP
ejde-615	133	18	:	:	PUNCT
ejde-615	133	19	=	=	SYM
ejde-615	133	20	{	{	PUNCT
ejde-615	133	21	st	st	PROPN
ejde-615	133	22	:	:	PUNCT
ejde-615	133	23	s	s	VERB
ejde-615	133	24	∈	∈	PROPN
ejde-615	133	25	w1,t	w1,t	PROPN
ejde-615	133	26	∈	∈	PROPN
ejde-615	133	27	w2	w2	NOUN
ejde-615	133	28	}	}	PUNCT
ejde-615	133	29	and	and	CCONJ
ejde-615	133	30	w1	w1	NOUN
ejde-615	133	31	+	+	PROPN
ejde-615	133	32	w2	w2	NOUN
ejde-615	133	33	:	:	PUNCT
ejde-615	133	34	=	=	X
ejde-615	133	35	{	{	PUNCT
ejde-615	133	36	s	s	X
ejde-615	133	37	+	+	X
ejde-615	133	38	t	t	NOUN
ejde-615	133	39	:	:	PUNCT
ejde-615	133	40	s	s	PROPN
ejde-615	133	41	∈	∈	PROPN
ejde-615	133	42	w1	w1	NOUN
ejde-615	133	43	,	,	PUNCT
ejde-615	133	44	t	t	PROPN
ejde-615	133	45	∈	∈	PROPN
ejde-615	133	46	w2	w2	NOUN
ejde-615	133	47	}	}	PUNCT
ejde-615	133	48	are	be	AUX
ejde-615	133	49	still	still	ADV
ejde-615	133	50	r	r	NOUN
ejde-615	133	51	-	-	PUNCT
ejde-615	133	52	bounded	bound	VERB
ejde-615	133	53	.	.	PUNCT
ejde-615	134	1	it	it	PRON
ejde-615	134	2	is	be	AUX
ejde-615	134	3	easy	easy	ADJ
ejde-615	134	4	to	to	PART
ejde-615	134	5	see	see	VERB
ejde-615	134	6	that	that	SCONJ
ejde-615	134	7	if	if	SCONJ
ejde-615	134	8	w	w	NOUN
ejde-615	134	9	is	be	AUX
ejde-615	134	10	a	a	DET
ejde-615	134	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	134	12	subset	subset	NOUN
ejde-615	134	13	of	of	ADP
ejde-615	134	14	the	the	DET
ejde-615	134	15	complex	complex	ADJ
ejde-615	134	16	plane	plane	NOUN
ejde-615	134	17	,	,	PUNCT
ejde-615	134	18	then	then	ADV
ejde-615	134	19	the	the	DET
ejde-615	134	20	set	set	NOUN
ejde-615	134	21	{	{	PUNCT
ejde-615	134	22	µi	µi	X
ejde-615	134	23	:	:	PUNCT
ejde-615	134	24	µ	µ	X
ejde-615	134	25	∈	∈	PROPN
ejde-615	134	26	w	w	PROPN
ejde-615	134	27	}	}	PUNCT
ejde-615	134	28	is	be	AUX
ejde-615	134	29	also	also	ADV
ejde-615	134	30	r	r	NOUN
ejde-615	134	31	-	-	PUNCT
ejde-615	134	32	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	134	33	,	,	PUNCT
ejde-615	134	34	where	where	SCONJ
ejde-615	134	35	i	i	PRON
ejde-615	134	36	stands	stand	VERB
ejde-615	134	37	for	for	ADP
ejde-615	134	38	the	the	DET
ejde-615	134	39	identity	identity	NOUN
ejde-615	134	40	operator	operator	NOUN
ejde-615	134	41	.	.	PUNCT
ejde-615	135	1	this	this	PRON
ejde-615	135	2	follows	follow	VERB
ejde-615	135	3	easily	easily	ADV
ejde-615	135	4	from	from	ADP
ejde-615	135	5	the	the	DET
ejde-615	135	6	kahane	kahane	NOUN
ejde-615	135	7	’s	’s	PART
ejde-615	135	8	contraction	contraction	NOUN
ejde-615	135	9	principle	principle	NOUN
ejde-615	135	10	[	[	X
ejde-615	135	11	16	16	NUM
ejde-615	135	12	]	]	PUNCT
ejde-615	135	13	.	.	PUNCT
ejde-615	136	1	let	let	VERB
ejde-615	136	2	x	x	PRON
ejde-615	136	3	be	be	AUX
ejde-615	136	4	a	a	DET
ejde-615	136	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	136	6	space	space	NOUN
ejde-615	136	7	and	and	CCONJ
ejde-615	136	8	let	let	VERB
ejde-615	136	9	g	g	NOUN
ejde-615	136	10	:	:	PUNCT
ejde-615	136	11	(	(	PUNCT
ejde-615	136	12	−π	−π	ADV
ejde-615	136	13	,	,	PUNCT
ejde-615	136	14	0	0	NUM
ejde-615	136	15	)	)	PUNCT
ejde-615	136	16	∪	∪	NOUN
ejde-615	136	17	(	(	PUNCT
ejde-615	136	18	0	0	NUM
ejde-615	136	19	,	,	PUNCT
ejde-615	136	20	π	π	NOUN
ejde-615	136	21	)	)	PUNCT
ejde-615	136	22	→	→	SYM
ejde-615	136	23	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	136	24	)	)	PUNCT
ejde-615	136	25	be	be	AUX
ejde-615	136	26	bounded	bound	VERB
ejde-615	136	27	and	and	CCONJ
ejde-615	136	28	measurable	measurable	ADJ
ejde-615	136	29	.	.	PUNCT
ejde-615	137	1	let	let	VERB
ejde-615	137	2	f	f	PROPN
ejde-615	137	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	137	4	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	137	5	)	)	PUNCT
ejde-615	137	6	with	with	ADP
ejde-615	137	7	finite	finite	ADJ
ejde-615	137	8	support	support	NOUN
ejde-615	137	9	,	,	PUNCT
ejde-615	137	10	i.e.	i.e.	X
ejde-615	137	11	,	,	PUNCT
ejde-615	137	12	the	the	DET
ejde-615	137	13	set	set	NOUN
ejde-615	137	14	{	{	PUNCT
ejde-615	137	15	n	n	NOUN
ejde-615	137	16	∈	∈	PROPN
ejde-615	137	17	z	z	NOUN
ejde-615	137	18	:	:	PUNCT
ejde-615	137	19	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	137	20	)	)	PUNCT
ejde-615	137	21	̸=	̸=	NOUN
ejde-615	137	22	0	0	NUM
ejde-615	137	23	}	}	PUNCT
ejde-615	137	24	is	be	AUX
ejde-615	137	25	finite	finite	ADJ
ejde-615	137	26	.	.	PUNCT
ejde-615	138	1	then	then	ADV
ejde-615	138	2	the	the	DET
ejde-615	138	3	function	function	NOUN
ejde-615	138	4	t	t	PROPN
ejde-615	138	5	→	→	SYM
ejde-615	138	6	g(t)(ff)(eit	g(t)(ff)(eit	PROPN
ejde-615	138	7	)	)	PUNCT
ejde-615	138	8	defined	define	VERB
ejde-615	138	9	on	on	ADP
ejde-615	138	10	(	(	PUNCT
ejde-615	138	11	−π	−π	INTJ
ejde-615	138	12	,	,	PUNCT
ejde-615	138	13	0	0	NUM
ejde-615	138	14	)	)	PUNCT
ejde-615	138	15	∪	∪	NOUN
ejde-615	138	16	(	(	PUNCT
ejde-615	138	17	0	0	NUM
ejde-615	138	18	,	,	PUNCT
ejde-615	138	19	π	π	X
ejde-615	138	20	)	)	PUNCT
ejde-615	138	21	is	be	AUX
ejde-615	138	22	bounded	bound	VERB
ejde-615	138	23	and	and	CCONJ
ejde-615	138	24	measurable	measurable	ADJ
ejde-615	138	25	.	.	PUNCT
ejde-615	139	1	thus	thus	ADV
ejde-615	139	2	its	its	PRON
ejde-615	139	3	inverse	inverse	NOUN
ejde-615	139	4	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	139	5	transform	transform	VERB
ejde-615	139	6	f−1	f−1	PROPN
ejde-615	139	7	[	[	PUNCT
ejde-615	139	8	g(·)(ff)(ei	g(·)(ff)(ei	NOUN
ejde-615	139	9	·	·	PUNCT
ejde-615	139	10	)	)	PUNCT
ejde-615	139	11	]	]	PUNCT
ejde-615	139	12	(	(	PUNCT
ejde-615	139	13	n	n	CCONJ
ejde-615	139	14	)	)	PUNCT
ejde-615	139	15	=	=	SYM
ejde-615	139	16	1	1	NUM
ejde-615	139	17	2π	2π	NUM
ejde-615	139	18	∫	∫	PROPN
ejde-615	140	1	2π	2π	PROPN
ejde-615	140	2	0	0	NUM
ejde-615	141	1	g(t)(ff)(eit)eintdt	g(t)(ff)(eit)eintdt	VERB
ejde-615	141	2	makes	make	VERB
ejde-615	141	3	sense	sense	NOUN
ejde-615	141	4	for	for	SCONJ
ejde-615	141	5	all	all	DET
ejde-615	141	6	n	n	PRON
ejde-615	141	7	∈	∈	NOUN
ejde-615	141	8	z.	z.	PROPN
ejde-615	141	9	let	let	VERB
ejde-615	141	10	1	1	NUM
ejde-615	141	11	≤	≤	NOUN
ejde-615	142	1	p	p	X
ejde-615	142	2	<	<	X
ejde-615	142	3	∞	∞	PROPN
ejde-615	142	4	be	be	AUX
ejde-615	142	5	given	give	VERB
ejde-615	142	6	.	.	PUNCT
ejde-615	143	1	we	we	PRON
ejde-615	143	2	say	say	VERB
ejde-615	143	3	that	that	SCONJ
ejde-615	143	4	g	g	PROPN
ejde-615	143	5	is	be	AUX
ejde-615	143	6	an	an	DET
ejde-615	143	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	143	8	-	-	PUNCT
ejde-615	143	9	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	143	10	multiplier	multipli	ADJ
ejde-615	143	11	if	if	SCONJ
ejde-615	143	12	there	there	PRON
ejde-615	143	13	exists	exist	VERB
ejde-615	143	14	a	a	DET
ejde-615	143	15	constant	constant	ADJ
ejde-615	143	16	c	c	NOUN
ejde-615	143	17	>	>	X
ejde-615	143	18	0	0	PUNCT
ejde-615	143	19	independent	independent	ADJ
ejde-615	143	20	from	from	ADP
ejde-615	143	21	f	f	PROPN
ejde-615	143	22	such	such	ADJ
ejde-615	143	23	that(∑	that(∑	PROPN
ejde-615	143	24	n∈z	n∈z	DET
ejde-615	143	25	∣∣f−1	∣∣f−1	NOUN
ejde-615	143	26	[	[	PUNCT
ejde-615	143	27	g(·)(ff)(ei	g(·)(ff)(ei	NOUN
ejde-615	143	28	·	·	PUNCT
ejde-615	143	29	)	)	PUNCT
ejde-615	143	30	]	]	PUNCT
ejde-615	143	31	(	(	PUNCT
ejde-615	143	32	n	n	CCONJ
ejde-615	143	33	)	)	PUNCT
ejde-615	143	34	∣∣p)1	∣∣p)1	PROPN
ejde-615	143	35	/	/	SYM
ejde-615	143	36	p	p	NOUN
ejde-615	143	37	≤	≤	NOUN
ejde-615	143	38	c	c	NOUN
ejde-615	143	39	(	(	PUNCT
ejde-615	143	40	∑	∑	PROPN
ejde-615	143	41	n∈z	n∈z	DET
ejde-615	143	42	|f(n)|p	|f(n)|p	PROPN
ejde-615	143	43	)	)	PUNCT
ejde-615	143	44	1	1	X
ejde-615	143	45	/	/	SYM
ejde-615	143	46	p	p	NOUN
ejde-615	143	47	for	for	ADP
ejde-615	143	48	all	all	DET
ejde-615	143	49	f	f	PROPN
ejde-615	143	50	∈	∈	PROPN
ejde-615	143	51	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	143	52	)	)	PUNCT
ejde-615	143	53	with	with	ADP
ejde-615	143	54	finite	finite	ADJ
ejde-615	143	55	support	support	NOUN
ejde-615	143	56	.	.	PUNCT
ejde-615	144	1	in	in	ADP
ejde-615	144	2	this	this	DET
ejde-615	144	3	case	case	NOUN
ejde-615	144	4	,	,	PUNCT
ejde-615	144	5	there	there	PRON
ejde-615	144	6	exists	exist	VERB
ejde-615	144	7	a	a	DET
ejde-615	144	8	unique	unique	ADJ
ejde-615	144	9	bounded	bound	VERB
ejde-615	144	10	linear	linear	ADJ
ejde-615	144	11	operator	operator	NOUN
ejde-615	144	12	tg	tg	PROPN
ejde-615	144	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	144	14	b(ℓp(z;x	b(ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	144	15	)	)	PUNCT
ejde-615	144	16	)	)	PUNCT
ejde-615	144	17	such	such	ADJ
ejde-615	144	18	that	that	SCONJ
ejde-615	144	19	g(t)(ff)(eit	g(t)(ff)(eit	PROPN
ejde-615	144	20	)	)	PUNCT
ejde-615	144	21	=	=	SYM
ejde-615	144	22	f(tgf)(e	f(tgf)(e	NOUN
ejde-615	144	23	it	it	PRON
ejde-615	144	24	)	)	PUNCT
ejde-615	144	25	(	(	PUNCT
ejde-615	144	26	2.12	2.12	NUM
ejde-615	144	27	)	)	PUNCT
ejde-615	144	28	6	6	NUM
ejde-615	144	29	j.	j.	PROPN
ejde-615	144	30	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	144	31	,	,	PUNCT
ejde-615	144	32	s.	s.	PROPN
ejde-615	144	33	bu	bu	PROPN
ejde-615	144	34	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	144	35	for	for	ADP
ejde-615	144	36	t	t	PROPN
ejde-615	144	37	∈	∈	PROPN
ejde-615	144	38	(	(	PUNCT
ejde-615	144	39	−π	−π	PROPN
ejde-615	144	40	,	,	PUNCT
ejde-615	144	41	0	0	NUM
ejde-615	144	42	)	)	PUNCT
ejde-615	144	43	∪	∪	NOUN
ejde-615	144	44	(	(	PUNCT
ejde-615	144	45	0	0	NUM
ejde-615	144	46	,	,	PUNCT
ejde-615	144	47	π	π	NOUN
ejde-615	144	48	)	)	PUNCT
ejde-615	144	49	and	and	CCONJ
ejde-615	144	50	f	f	PROPN
ejde-615	144	51	∈	∈	PROPN
ejde-615	144	52	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	144	53	)	)	PUNCT
ejde-615	144	54	with	with	ADP
ejde-615	144	55	finite	finite	ADJ
ejde-615	144	56	support	support	NOUN
ejde-615	144	57	.	.	PUNCT
ejde-615	145	1	here	here	ADV
ejde-615	145	2	we	we	PRON
ejde-615	145	3	used	use	VERB
ejde-615	145	4	the	the	DET
ejde-615	145	5	fact	fact	NOUN
ejde-615	145	6	that	that	SCONJ
ejde-615	145	7	the	the	DET
ejde-615	145	8	set	set	NOUN
ejde-615	145	9	of	of	ADP
ejde-615	145	10	all	all	DET
ejde-615	145	11	elements	element	NOUN
ejde-615	145	12	f	f	PROPN
ejde-615	145	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	145	14	s(z;x	s(z;x	PROPN
ejde-615	145	15	)	)	PUNCT
ejde-615	145	16	with	with	ADP
ejde-615	145	17	finite	finite	ADJ
ejde-615	145	18	support	support	NOUN
ejde-615	145	19	is	be	AUX
ejde-615	145	20	dense	dense	ADJ
ejde-615	145	21	in	in	ADP
ejde-615	145	22	ℓp(z;x	ℓp(z;x	NOUN
ejde-615	145	23	)	)	PUNCT
ejde-615	145	24	.	.	PUNCT
ejde-615	146	1	we	we	PRON
ejde-615	146	2	recall	recall	VERB
ejde-615	146	3	two	two	NUM
ejde-615	146	4	results	result	NOUN
ejde-615	146	5	obtained	obtain	VERB
ejde-615	146	6	by	by	ADP
ejde-615	146	7	blunck	blunck	NOUN
ejde-615	146	8	[	[	X
ejde-615	146	9	7	7	NUM
ejde-615	146	10	]	]	X
ejde-615	146	11	concerning	concern	VERB
ejde-615	146	12	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	146	13	-	-	PUNCT
ejde-615	146	14	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	146	15	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	146	16	which	which	PRON
ejde-615	146	17	will	will	AUX
ejde-615	146	18	be	be	AUX
ejde-615	146	19	fundamental	fundamental	ADJ
ejde-615	146	20	in	in	ADP
ejde-615	146	21	our	our	PRON
ejde-615	146	22	investigation	investigation	NOUN
ejde-615	146	23	.	.	PUNCT
ejde-615	147	1	theorem	theorem	VERB
ejde-615	147	2	2.5	2.5	NUM
ejde-615	147	3	.	.	PUNCT
ejde-615	148	1	let	let	VERB
ejde-615	148	2	x	x	PRON
ejde-615	148	3	be	be	AUX
ejde-615	148	4	a	a	DET
ejde-615	148	5	umd	umd	ADJ
ejde-615	148	6	space	space	NOUN
ejde-615	148	7	and	and	CCONJ
ejde-615	148	8	let	let	VERB
ejde-615	148	9	1	1	NUM
ejde-615	148	10	<	<	X
ejde-615	148	11	p	p	X
ejde-615	148	12	<	<	X
ejde-615	148	13	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	148	14	assume	assume	VERB
ejde-615	148	15	that	that	SCONJ
ejde-615	148	16	g	g	NOUN
ejde-615	148	17	:	:	PUNCT
ejde-615	148	18	(	(	PUNCT
ejde-615	148	19	−π	−π	ADV
ejde-615	148	20	,	,	PUNCT
ejde-615	148	21	0	0	NUM
ejde-615	148	22	)	)	PUNCT
ejde-615	148	23	∪	∪	NOUN
ejde-615	148	24	(	(	PUNCT
ejde-615	148	25	0	0	NUM
ejde-615	148	26	,	,	PUNCT
ejde-615	148	27	π	π	NOUN
ejde-615	148	28	)	)	PUNCT
ejde-615	148	29	→	→	SYM
ejde-615	148	30	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	148	31	)	)	PUNCT
ejde-615	148	32	is	be	AUX
ejde-615	148	33	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-615	148	34	and	and	CCONJ
ejde-615	148	35	the	the	DET
ejde-615	148	36	sets	set	NOUN
ejde-615	148	37	{	{	PUNCT
ejde-615	148	38	g(t	g(t	PROPN
ejde-615	148	39	)	)	PUNCT
ejde-615	148	40	:	:	PUNCT
ejde-615	148	41	t	t	PROPN
ejde-615	148	42	∈	∈	PROPN
ejde-615	148	43	(	(	PUNCT
ejde-615	148	44	−π	−π	PROPN
ejde-615	148	45	,	,	PUNCT
ejde-615	148	46	0	0	NUM
ejde-615	148	47	)	)	PUNCT
ejde-615	148	48	∪	∪	NOUN
ejde-615	148	49	(	(	PUNCT
ejde-615	148	50	0	0	NUM
ejde-615	148	51	,	,	PUNCT
ejde-615	148	52	π	π	NOUN
ejde-615	148	53	)	)	PUNCT
ejde-615	148	54	}	}	PUNCT
ejde-615	148	55	,	,	PUNCT
ejde-615	148	56	{	{	PUNCT
ejde-615	148	57	(	(	PUNCT
ejde-615	148	58	eit	eit	NOUN
ejde-615	148	59	−	−	PROPN
ejde-615	148	60	1)(eit	1)(eit	PROPN
ejde-615	148	61	+	+	CCONJ
ejde-615	148	62	1)g′(t	1)g′(t	NOUN
ejde-615	148	63	)	)	PUNCT
ejde-615	148	64	:	:	PUNCT
ejde-615	149	1	t	t	PROPN
ejde-615	149	2	∈	∈	PROPN
ejde-615	149	3	(	(	PUNCT
ejde-615	149	4	−π	−π	PROPN
ejde-615	149	5	,	,	PUNCT
ejde-615	149	6	0	0	NUM
ejde-615	149	7	)	)	PUNCT
ejde-615	149	8	∪	∪	NOUN
ejde-615	149	9	(	(	PUNCT
ejde-615	149	10	0	0	NUM
ejde-615	149	11	,	,	PUNCT
ejde-615	149	12	π	π	NOUN
ejde-615	149	13	)	)	PUNCT
ejde-615	149	14	}	}	PUNCT
ejde-615	149	15	are	be	AUX
ejde-615	149	16	r	r	NOUN
ejde-615	149	17	-	-	PUNCT
ejde-615	149	18	bounded	bound	VERB
ejde-615	149	19	.	.	PUNCT
ejde-615	150	1	then	then	ADV
ejde-615	150	2	g	g	PROPN
ejde-615	150	3	is	be	AUX
ejde-615	150	4	an	an	DET
ejde-615	150	5	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	150	6	-	-	PUNCT
ejde-615	150	7	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	150	8	multiplier	multipli	ADJ
ejde-615	150	9	.	.	PUNCT
ejde-615	151	1	theorem	theorem	VERB
ejde-615	151	2	2.6	2.6	NUM
ejde-615	151	3	.	.	PUNCT
ejde-615	152	1	let	let	VERB
ejde-615	152	2	x	x	PRON
ejde-615	152	3	be	be	AUX
ejde-615	152	4	a	a	DET
ejde-615	152	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	152	6	space	space	NOUN
ejde-615	152	7	and	and	CCONJ
ejde-615	153	1	1	1	NUM
ejde-615	153	2	≤	≤	NOUN
ejde-615	154	1	p	p	NOUN
ejde-615	154	2	<	<	X
ejde-615	154	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	154	4	let	let	VERB
ejde-615	154	5	g	g	NOUN
ejde-615	154	6	:	:	PUNCT
ejde-615	154	7	(	(	PUNCT
ejde-615	154	8	−π	−π	ADV
ejde-615	154	9	,	,	PUNCT
ejde-615	154	10	0)∪(0	0)∪(0	PROPN
ejde-615	154	11	,	,	PUNCT
ejde-615	154	12	π	π	NOUN
ejde-615	154	13	)	)	PUNCT
ejde-615	154	14	→	→	SYM
ejde-615	154	15	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	154	16	)	)	PUNCT
ejde-615	154	17	be	be	AUX
ejde-615	154	18	continuous	continuous	ADJ
ejde-615	154	19	and	and	CCONJ
ejde-615	154	20	bounded	bound	VERB
ejde-615	154	21	.	.	PUNCT
ejde-615	155	1	assume	assume	VERB
ejde-615	155	2	that	that	SCONJ
ejde-615	155	3	g	g	PROPN
ejde-615	155	4	is	be	AUX
ejde-615	155	5	an	an	DET
ejde-615	155	6	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	155	7	-	-	PUNCT
ejde-615	155	8	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	155	9	multiplier	multiplier	NOUN
ejde-615	155	10	.	.	PUNCT
ejde-615	156	1	then	then	ADV
ejde-615	156	2	the	the	DET
ejde-615	156	3	set	set	NOUN
ejde-615	156	4	{	{	PUNCT
ejde-615	156	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-615	156	6	)	)	PUNCT
ejde-615	156	7	:	:	PUNCT
ejde-615	156	8	t	t	PROPN
ejde-615	156	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	156	10	(	(	PUNCT
ejde-615	156	11	−π	−π	PROPN
ejde-615	156	12	,	,	PUNCT
ejde-615	156	13	0	0	NUM
ejde-615	156	14	)	)	PUNCT
ejde-615	156	15	∪	∪	NOUN
ejde-615	156	16	(	(	PUNCT
ejde-615	156	17	0	0	NUM
ejde-615	156	18	,	,	PUNCT
ejde-615	156	19	π	π	NOUN
ejde-615	156	20	)	)	PUNCT
ejde-615	156	21	}	}	PUNCT
ejde-615	156	22	is	be	AUX
ejde-615	156	23	r	r	NOUN
ejde-615	156	24	-	-	PUNCT
ejde-615	156	25	bounded	bound	VERB
ejde-615	156	26	.	.	PUNCT
ejde-615	157	1	3	3	X
ejde-615	157	2	.	.	X
ejde-615	157	3	representation	representation	NOUN
ejde-615	157	4	of	of	ADP
ejde-615	157	5	solutions	solution	NOUN
ejde-615	157	6	in	in	ADP
ejde-615	157	7	this	this	DET
ejde-615	157	8	section	section	NOUN
ejde-615	157	9	,	,	PUNCT
ejde-615	157	10	we	we	PRON
ejde-615	157	11	introduce	introduce	VERB
ejde-615	157	12	a	a	DET
ejde-615	157	13	special	special	ADJ
ejde-615	157	14	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	157	15	of	of	ADP
ejde-615	157	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	157	17	operators	operator	NOUN
ejde-615	157	18	,	,	PUNCT
ejde-615	157	19	called	call	VERB
ejde-615	157	20	α	α	PRON
ejde-615	157	21	-	-	ADJ
ejde-615	157	22	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	157	23	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	157	24	,	,	PUNCT
ejde-615	157	25	which	which	PRON
ejde-615	157	26	will	will	AUX
ejde-615	157	27	give	give	VERB
ejde-615	157	28	an	an	DET
ejde-615	157	29	explicit	explicit	ADJ
ejde-615	157	30	representation	representation	NOUN
ejde-615	157	31	of	of	ADP
ejde-615	157	32	the	the	DET
ejde-615	157	33	solution	solution	NOUN
ejde-615	157	34	for	for	ADP
ejde-615	157	35	the	the	DET
ejde-615	157	36	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	157	37	difference	difference	NOUN
ejde-615	157	38	equation	equation	NOUN
ejde-615	157	39	(	(	PUNCT
ejde-615	157	40	1.1	1.1	NUM
ejde-615	157	41	)	)	PUNCT
ejde-615	157	42	.	.	PUNCT
ejde-615	158	1	3.1	3.1	NUM
ejde-615	158	2	.	.	PUNCT
ejde-615	159	1	α	α	X
ejde-615	159	2	-	-	ADJ
ejde-615	159	3	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	159	4	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	159	5	(	(	PUNCT
ejde-615	159	6	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	159	7	.	.	PUNCT
ejde-615	160	1	we	we	PRON
ejde-615	160	2	notice	notice	VERB
ejde-615	160	3	that	that	SCONJ
ejde-615	160	4	the	the	DET
ejde-615	160	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	160	6	difference	difference	NOUN
ejde-615	160	7	equation	equation	NOUN
ejde-615	160	8	(	(	PUNCT
ejde-615	160	9	1.1	1.1	NUM
ejde-615	160	10	)	)	PUNCT
ejde-615	160	11	in	in	ADP
ejde-615	160	12	the	the	DET
ejde-615	160	13	case	case	NOUN
ejde-615	160	14	0	0	PUNCT
ejde-615	160	15	<	<	X
ejde-615	160	16	α	α	PROPN
ejde-615	160	17	≤	≤	NUM
ejde-615	160	18	1	1	NUM
ejde-615	160	19	with	with	ADP
ejde-615	160	20	the	the	DET
ejde-615	160	21	initial	initial	ADJ
ejde-615	160	22	condition	condition	NOUN
ejde-615	160	23	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	160	24	)	)	PUNCT
ejde-615	160	25	=	=	SYM
ejde-615	160	26	0	0	NUM
ejde-615	160	27	was	be	AUX
ejde-615	160	28	previously	previously	ADV
ejde-615	160	29	studied	study	VERB
ejde-615	160	30	by	by	ADP
ejde-615	160	31	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	160	32	[	[	X
ejde-615	160	33	18	18	NUM
ejde-615	160	34	]	]	PUNCT
ejde-615	160	35	.	.	PUNCT
ejde-615	161	1	later	later	ADV
ejde-615	161	2	,	,	PUNCT
ejde-615	161	3	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	161	4	and	and	CCONJ
ejde-615	161	5	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	161	6	-	-	PUNCT
ejde-615	161	7	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	162	1	[	[	X
ejde-615	162	2	19	19	NUM
ejde-615	162	3	]	]	PUNCT
ejde-615	162	4	further	far	ADV
ejde-615	162	5	studied	study	VERB
ejde-615	162	6	the	the	DET
ejde-615	162	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	162	8	difference	difference	NOUN
ejde-615	162	9	equation	equation	NOUN
ejde-615	162	10	(	(	PUNCT
ejde-615	162	11	1.1	1.1	NUM
ejde-615	162	12	)	)	PUNCT
ejde-615	162	13	in	in	ADP
ejde-615	162	14	the	the	DET
ejde-615	162	15	case	case	NOUN
ejde-615	162	16	1	1	NUM
ejde-615	162	17	<	<	X
ejde-615	162	18	α	α	X
ejde-615	162	19	<	<	X
ejde-615	162	20	2	2	NUM
ejde-615	162	21	with	with	ADP
ejde-615	162	22	initial	initial	ADJ
ejde-615	162	23	conditions	condition	NOUN
ejde-615	162	24	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	162	25	)	)	PUNCT
ejde-615	162	26	=	=	SYM
ejde-615	163	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	163	2	)	)	PUNCT
ejde-615	163	3	=	=	SYM
ejde-615	164	1	0	0	X
ejde-615	164	2	.	.	PUNCT
ejde-615	165	1	we	we	PRON
ejde-615	165	2	will	will	AUX
ejde-615	165	3	introduce	introduce	VERB
ejde-615	165	4	a	a	DET
ejde-615	165	5	similar	similar	ADJ
ejde-615	165	6	α	α	NOUN
ejde-615	165	7	-	-	ADJ
ejde-615	165	8	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	165	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	165	10	used	use	VERB
ejde-615	165	11	in	in	ADP
ejde-615	165	12	[	[	X
ejde-615	165	13	18	18	NUM
ejde-615	165	14	,	,	PUNCT
ejde-615	165	15	19	19	NUM
ejde-615	165	16	]	]	PUNCT
ejde-615	165	17	.	.	PUNCT
ejde-615	166	1	definition	definition	NOUN
ejde-615	166	2	3.1	3.1	NUM
ejde-615	166	3	.	.	PUNCT
ejde-615	167	1	let	let	VERB
ejde-615	167	2	x	x	PRON
ejde-615	167	3	be	be	AUX
ejde-615	167	4	a	a	DET
ejde-615	167	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	167	6	space	space	NOUN
ejde-615	167	7	,	,	PUNCT
ejde-615	167	8	t	t	PROPN
ejde-615	167	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	167	10	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	167	11	)	)	PUNCT
ejde-615	167	12	and	and	CCONJ
ejde-615	167	13	let	let	VERB
ejde-615	167	14	2	2	NUM
ejde-615	167	15	<	<	X
ejde-615	167	16	α	α	X
ejde-615	167	17	<	<	X
ejde-615	167	18	3	3	NUM
ejde-615	167	19	.	.	PUNCT
ejde-615	168	1	we	we	PRON
ejde-615	168	2	let	let	VERB
ejde-615	168	3	(	(	PUNCT
ejde-615	168	4	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	168	5	⊂	⊂	PRON
ejde-615	168	6	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	168	7	)	)	PUNCT
ejde-615	168	8	determined	determine	VERB
ejde-615	168	9	by	by	ADP
ejde-615	168	10	:	:	PUNCT
ejde-615	168	11	(	(	PUNCT
ejde-615	168	12	i	i	NOUN
ejde-615	168	13	)	)	PUNCT
ejde-615	168	14	pα(0	pα(0	NOUN
ejde-615	168	15	)	)	PUNCT
ejde-615	168	16	=	=	SYM
ejde-615	168	17	pα(1	pα(1	PROPN
ejde-615	168	18	)	)	PUNCT
ejde-615	168	19	=	=	PUNCT
ejde-615	168	20	pα(2	pα(2	PROPN
ejde-615	168	21	)	)	PUNCT
ejde-615	168	22	=	=	SYM
ejde-615	169	1	i	i	PROPN
ejde-615	169	2	;	;	PUNCT
ejde-615	169	3	(	(	PUNCT
ejde-615	169	4	ii	ii	NOUN
ejde-615	169	5	)	)	PUNCT
ejde-615	169	6	pα(n+	pα(n+	PROPN
ejde-615	170	1	3)−	3)−	NUM
ejde-615	170	2	2pα(n+	2pα(n+	NUM
ejde-615	170	3	2	2	NUM
ejde-615	170	4	)	)	PUNCT
ejde-615	170	5	+	+	CCONJ
ejde-615	170	6	pα(n+	pα(n+	NOUN
ejde-615	170	7	1	1	X
ejde-615	170	8	)	)	PUNCT
ejde-615	170	9	=	=	SYM
ejde-615	170	10	t	t	PROPN
ejde-615	170	11	(	(	PUNCT
ejde-615	170	12	pα	pα	INTJ
ejde-615	170	13	∗	∗	PROPN
ejde-615	170	14	kα−2)(n	kα−2)(n	PROPN
ejde-615	170	15	)	)	PUNCT
ejde-615	171	1	+	+	CCONJ
ejde-615	171	2	kα−2(n+	kα−2(n+	NOUN
ejde-615	171	3	3)i	3)i	NUM
ejde-615	171	4	+	+	CCONJ
ejde-615	171	5	(	(	PUNCT
ejde-615	171	6	1−	1−	NUM
ejde-615	171	7	α)kα−2(n+	α)kα−2(n+	NOUN
ejde-615	171	8	2)i	2)i	NUM
ejde-615	171	9	+	+	CCONJ
ejde-615	171	10	(	(	PUNCT
ejde-615	171	11	α−1)(α−2	α−1)(α−2	NOUN
ejde-615	171	12	)	)	PUNCT
ejde-615	171	13	2	2	NUM
ejde-615	171	14	kα−2(n+	kα−2(n+	NOUN
ejde-615	171	15	1)i	1)i	NOUN
ejde-615	171	16	for	for	ADP
ejde-615	171	17	n	n	PRON
ejde-615	171	18	∈	∈	PROPN
ejde-615	171	19	n0	n0	PROPN
ejde-615	171	20	.	.	PUNCT
ejde-615	172	1	(	(	PUNCT
ejde-615	172	2	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	172	3	is	be	AUX
ejde-615	172	4	called	call	VERB
ejde-615	172	5	the	the	DET
ejde-615	172	6	α	α	NOUN
ejde-615	172	7	-	-	ADJ
ejde-615	172	8	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	172	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	172	10	generated	generate	VERB
ejde-615	172	11	by	by	ADP
ejde-615	172	12	t	t	PROPN
ejde-615	172	13	.	.	PUNCT
ejde-615	173	1	remark	remark	PROPN
ejde-615	173	2	3.2	3.2	NUM
ejde-615	173	3	.	.	PUNCT
ejde-615	174	1	let	let	VERB
ejde-615	174	2	2	2	NUM
ejde-615	174	3	<	<	X
ejde-615	174	4	α	α	X
ejde-615	174	5	<	<	X
ejde-615	174	6	3	3	NUM
ejde-615	174	7	and	and	CCONJ
ejde-615	174	8	assume	assume	VERB
ejde-615	174	9	that	that	SCONJ
ejde-615	174	10	z3−α(z	z3−α(z	PRON
ejde-615	174	11	−	−	NUM
ejde-615	174	12	1)α	1)α	NUM
ejde-615	174	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	174	14	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	174	15	)	)	PUNCT
ejde-615	174	16	for	for	ADP
ejde-615	174	17	all	all	DET
ejde-615	174	18	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	174	19	=	=	SYM
ejde-615	174	20	1	1	NUM
ejde-615	174	21	,	,	PUNCT
ejde-615	174	22	z	z	PROPN
ejde-615	174	23	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	174	24	±1	±1	VERB
ejde-615	174	25	.	.	PUNCT
ejde-615	175	1	then	then	ADV
ejde-615	175	2	the	the	DET
ejde-615	175	3	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	175	4	transform	transform	NOUN
ejde-615	175	5	of	of	ADP
ejde-615	175	6	pα	pα	NOUN
ejde-615	175	7	is	be	AUX
ejde-615	175	8	p̂α(z	p̂α(z	PROPN
ejde-615	175	9	)	)	PUNCT
ejde-615	176	1	=	=	PUNCT
ejde-615	176	2	[	[	PUNCT
ejde-615	176	3	z3	z3	PROPN
ejde-615	176	4	+	+	CCONJ
ejde-615	176	5	(	(	PUNCT
ejde-615	176	6	1−	1−	NUM
ejde-615	176	7	α)z2	α)z2	NOUN
ejde-615	176	8	+	+	CCONJ
ejde-615	176	9	(	(	PUNCT
ejde-615	176	10	α−	α−	ADP
ejde-615	176	11	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	176	12	2	2	NUM
ejde-615	176	13	)	)	PUNCT
ejde-615	176	14	2	2	NUM
ejde-615	176	15	z	z	NOUN
ejde-615	176	16	]	]	X
ejde-615	176	17	[	[	PUNCT
ejde-615	176	18	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	176	19	−	−	PROPN
ejde-615	176	20	1)α	1)α	NUM
ejde-615	177	1	−	−	PROPN
ejde-615	178	1	t	t	X
ejde-615	178	2	]	]	X
ejde-615	178	3	−1	−1	NOUN
ejde-615	178	4	(	(	PUNCT
ejde-615	178	5	3.1	3.1	NUM
ejde-615	178	6	)	)	PUNCT
ejde-615	178	7	for	for	ADP
ejde-615	178	8	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	178	9	=	=	SYM
ejde-615	178	10	1	1	NUM
ejde-615	178	11	,	,	PUNCT
ejde-615	178	12	z	z	PROPN
ejde-615	178	13	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	178	14	±1	±1	VERB
ejde-615	178	15	.	.	PUNCT
ejde-615	179	1	indeed	indeed	ADV
ejde-615	179	2	,	,	PUNCT
ejde-615	179	3	taking	take	VERB
ejde-615	179	4	the	the	DET
ejde-615	179	5	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	179	6	transform	transform	NOUN
ejde-615	179	7	on	on	ADP
ejde-615	179	8	both	both	DET
ejde-615	179	9	sides	side	NOUN
ejde-615	179	10	of	of	ADP
ejde-615	179	11	(	(	PUNCT
ejde-615	179	12	ii	ii	NOUN
ejde-615	179	13	)	)	PUNCT
ejde-615	179	14	in	in	ADP
ejde-615	179	15	definition	definition	NOUN
ejde-615	179	16	3.1	3.1	NUM
ejde-615	179	17	and	and	CCONJ
ejde-615	179	18	using	use	VERB
ejde-615	179	19	(	(	PUNCT
ejde-615	179	20	2.5	2.5	NUM
ejde-615	179	21	)	)	PUNCT
ejde-615	179	22	and	and	CCONJ
ejde-615	179	23	(	(	PUNCT
ejde-615	179	24	2.9	2.9	NUM
ejde-615	179	25	)	)	PUNCT
ejde-615	179	26	,	,	PUNCT
ejde-615	179	27	we	we	PRON
ejde-615	179	28	obtain	obtain	VERB
ejde-615	179	29	z3p̂α(z)−	z3p̂α(z)−	NUM
ejde-615	179	30	z3	z3	PROPN
ejde-615	179	31	−	−	PROPN
ejde-615	179	32	z2	z2	PROPN
ejde-615	179	33	−	−	PROPN
ejde-615	180	1	z	z	NOUN
ejde-615	181	1	−	−	PROPN
ejde-615	182	1	2	2	NUM
ejde-615	183	1	[	[	PUNCT
ejde-615	183	2	z2p̂α(z)−	z2p̂α(z)−	NUM
ejde-615	183	3	z2	z2	NOUN
ejde-615	183	4	−	−	PROPN
ejde-615	183	5	z	z	NOUN
ejde-615	183	6	]	]	PUNCT
ejde-615	184	1	+	+	CCONJ
ejde-615	184	2	zp̂α(z)−	zp̂α(z)−	PROPN
ejde-615	184	3	z	z	PROPN
ejde-615	184	4	=	=	SYM
ejde-615	184	5	t	t	PROPN
ejde-615	184	6	p̂α(z)k̂	p̂α(z)k̂	X
ejde-615	184	7	α−2(z	α−2(z	NUM
ejde-615	184	8	)	)	PUNCT
ejde-615	185	1	+	+	CCONJ
ejde-615	185	2	z3k̂α−2(z)−	z3k̂α−2(z)−	PRON
ejde-615	185	3	z3	z3	NOUN
ejde-615	185	4	−	−	NOUN
ejde-615	185	5	z2(α−	z2(α−	NOUN
ejde-615	185	6	2)−	2)−	NUM
ejde-615	185	7	(	(	PUNCT
ejde-615	185	8	α−	α−	ADP
ejde-615	185	9	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	185	10	2	2	NUM
ejde-615	185	11	)	)	PUNCT
ejde-615	185	12	2	2	NUM
ejde-615	185	13	z	z	NOUN
ejde-615	185	14	+	+	CCONJ
ejde-615	185	15	(	(	PUNCT
ejde-615	185	16	1−	1−	NUM
ejde-615	185	17	α	α	NOUN
ejde-615	185	18	)	)	PUNCT
ejde-615	185	19	[	[	PUNCT
ejde-615	185	20	z2k̂α−2(z)−	z2k̂α−2(z)−	PROPN
ejde-615	185	21	z2	z2	PROPN
ejde-615	185	22	−	−	PROPN
ejde-615	185	23	z(α−	z(α−	PROPN
ejde-615	185	24	2	2	NUM
ejde-615	185	25	)	)	PUNCT
ejde-615	185	26	]	]	PUNCT
ejde-615	186	1	+	+	CCONJ
ejde-615	186	2	(	(	PUNCT
ejde-615	186	3	α−	α−	ADP
ejde-615	186	4	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	186	5	2	2	NUM
ejde-615	186	6	)	)	PUNCT
ejde-615	186	7	2	2	NUM
ejde-615	186	8	[	[	PUNCT
ejde-615	186	9	zk̂α−2(z)−	zk̂α−2(z)−	NOUN
ejde-615	186	10	z	z	PROPN
ejde-615	186	11	]	]	PUNCT
ejde-615	186	12	for	for	ADP
ejde-615	186	13	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	186	14	=	=	SYM
ejde-615	186	15	1	1	NUM
ejde-615	186	16	,	,	PUNCT
ejde-615	186	17	z	z	PROPN
ejde-615	186	18	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	186	19	±1	±1	VERB
ejde-615	186	20	.	.	PUNCT
ejde-615	187	1	this	this	PRON
ejde-615	187	2	implies	imply	VERB
ejde-615	187	3	that	that	SCONJ
ejde-615	187	4	[	[	PUNCT
ejde-615	187	5	z3	z3	NOUN
ejde-615	187	6	−	−	PROPN
ejde-615	187	7	2z2	2z2	NUM
ejde-615	188	1	+	+	CCONJ
ejde-615	188	2	z	z	NOUN
ejde-615	188	3	−	−	PROPN
ejde-615	188	4	t	t	NOUN
ejde-615	188	5	k̂α−2(z	k̂α−2(z	NOUN
ejde-615	188	6	)	)	PUNCT
ejde-615	188	7	]	]	PUNCT
ejde-615	189	1	p̂α(z	p̂α(z	X
ejde-615	189	2	)	)	PUNCT
ejde-615	189	3	=	=	PUNCT
ejde-615	190	1	[	[	PUNCT
ejde-615	190	2	z3	z3	PROPN
ejde-615	190	3	+	+	CCONJ
ejde-615	190	4	(	(	PUNCT
ejde-615	190	5	1−	1−	NUM
ejde-615	190	6	α)z2	α)z2	NOUN
ejde-615	190	7	+	+	CCONJ
ejde-615	190	8	(	(	PUNCT
ejde-615	190	9	α−	α−	ADP
ejde-615	190	10	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	190	11	2	2	NUM
ejde-615	190	12	)	)	PUNCT
ejde-615	190	13	2	2	NUM
ejde-615	190	14	z	z	NOUN
ejde-615	190	15	]	]	PUNCT
ejde-615	190	16	k̂α−2(z	k̂α−2(z	NOUN
ejde-615	190	17	)	)	PUNCT
ejde-615	190	18	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	190	19	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	190	20	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	190	21	for	for	ADP
ejde-615	190	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	190	23	difference	difference	NOUN
ejde-615	190	24	equations	equation	NOUN
ejde-615	190	25	7	7	NUM
ejde-615	190	26	for	for	ADP
ejde-615	190	27	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	190	28	=	=	SYM
ejde-615	190	29	1	1	NUM
ejde-615	190	30	,	,	PUNCT
ejde-615	190	31	z	z	PROPN
ejde-615	190	32	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	190	33	±1	±1	VERB
ejde-615	190	34	.	.	PUNCT
ejde-615	191	1	it	it	PRON
ejde-615	191	2	follows	follow	VERB
ejde-615	191	3	from	from	ADP
ejde-615	191	4	(	(	PUNCT
ejde-615	191	5	2.10	2.10	NUM
ejde-615	191	6	)	)	PUNCT
ejde-615	191	7	that	that	PRON
ejde-615	191	8	p̂α(z	p̂α(z	NOUN
ejde-615	191	9	)	)	PUNCT
ejde-615	192	1	=	=	PUNCT
ejde-615	192	2	[	[	PUNCT
ejde-615	192	3	z3	z3	PROPN
ejde-615	192	4	+	+	CCONJ
ejde-615	192	5	(	(	PUNCT
ejde-615	192	6	1−	1−	NUM
ejde-615	192	7	α)z2	α)z2	NOUN
ejde-615	192	8	+	+	CCONJ
ejde-615	192	9	(	(	PUNCT
ejde-615	192	10	α−	α−	ADP
ejde-615	192	11	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	192	12	2	2	NUM
ejde-615	192	13	)	)	PUNCT
ejde-615	192	14	2	2	NUM
ejde-615	192	15	z	z	NOUN
ejde-615	192	16	]	]	X
ejde-615	192	17	[	[	PUNCT
ejde-615	192	18	z3−α(z	z3−α(z	NOUN
ejde-615	192	19	−	−	PROPN
ejde-615	192	20	1)α	1)α	NUM
ejde-615	193	1	−	−	PROPN
ejde-615	194	1	t	t	X
ejde-615	194	2	]	]	X
ejde-615	194	3	−1	−1	NOUN
ejde-615	194	4	(	(	PUNCT
ejde-615	194	5	3.2	3.2	NUM
ejde-615	194	6	)	)	PUNCT
ejde-615	194	7	for	for	ADP
ejde-615	194	8	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	194	9	=	=	SYM
ejde-615	194	10	1	1	NUM
ejde-615	194	11	,	,	PUNCT
ejde-615	194	12	z	z	PROPN
ejde-615	194	13	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	194	14	±1	±1	VERB
ejde-615	194	15	.	.	PUNCT
ejde-615	195	1	for	for	ADP
ejde-615	195	2	the	the	DET
ejde-615	195	3	proof	proof	NOUN
ejde-615	195	4	of	of	ADP
ejde-615	195	5	the	the	DET
ejde-615	195	6	main	main	ADJ
ejde-615	195	7	result	result	NOUN
ejde-615	195	8	of	of	ADP
ejde-615	195	9	this	this	DET
ejde-615	195	10	section	section	NOUN
ejde-615	195	11	,	,	PUNCT
ejde-615	195	12	we	we	PRON
ejde-615	195	13	need	need	VERB
ejde-615	195	14	the	the	DET
ejde-615	195	15	following	follow	VERB
ejde-615	195	16	results	result	NOUN
ejde-615	195	17	.	.	PUNCT
ejde-615	196	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	196	2	3.3	3.3	NUM
ejde-615	196	3	.	.	PUNCT
ejde-615	197	1	let	let	VERB
ejde-615	197	2	2	2	NUM
ejde-615	197	3	<	<	X
ejde-615	197	4	α	α	X
ejde-615	197	5	<	<	X
ejde-615	197	6	3	3	NUM
ejde-615	197	7	,	,	PUNCT
ejde-615	197	8	b	b	PROPN
ejde-615	197	9	:	:	PUNCT
ejde-615	197	10	n0	n0	PROPN
ejde-615	197	11	→	→	SYM
ejde-615	197	12	c	c	PROPN
ejde-615	197	13	,	,	PUNCT
ejde-615	197	14	and	and	CCONJ
ejde-615	197	15	p	p	X
ejde-615	197	16	:	:	PUNCT
ejde-615	197	17	n0	n0	NUM
ejde-615	197	18	→	→	SYM
ejde-615	197	19	x	x	X
ejde-615	197	20	,	,	PUNCT
ejde-615	197	21	where	where	SCONJ
ejde-615	197	22	x	x	PRON
ejde-615	197	23	is	be	AUX
ejde-615	197	24	a	a	DET
ejde-615	197	25	banach	banach	NOUN
ejde-615	197	26	space	space	NOUN
ejde-615	197	27	.	.	PUNCT
ejde-615	198	1	then	then	ADV
ejde-615	198	2	∆α(b	∆α(b	NOUN
ejde-615	198	3	∗	∗	VERB
ejde-615	198	4	p	p	NOUN
ejde-615	198	5	)	)	PUNCT
ejde-615	198	6	(	(	PUNCT
ejde-615	198	7	n	n	CCONJ
ejde-615	198	8	)	)	PUNCT
ejde-615	198	9	=	=	SYM
ejde-615	198	10	(	(	PUNCT
ejde-615	198	11	b	b	NOUN
ejde-615	198	12	∗∆αp	∗∆αp	NOUN
ejde-615	198	13	)	)	PUNCT
ejde-615	198	14	(	(	PUNCT
ejde-615	198	15	n	n	CCONJ
ejde-615	198	16	)	)	PUNCT
ejde-615	199	1	+	+	NUM
ejde-615	199	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	199	3	3)p	3)p	NUM
ejde-615	199	4	(	(	PUNCT
ejde-615	199	5	0	0	NUM
ejde-615	199	6	)	)	PUNCT
ejde-615	200	1	+	+	SYM
ejde-615	200	2	b(n+	b(n+	NOUN
ejde-615	200	3	2	2	NUM
ejde-615	200	4	)	)	PUNCT
ejde-615	200	5	[	[	PUNCT
ejde-615	200	6	p	p	X
ejde-615	200	7	(	(	PUNCT
ejde-615	200	8	1)−	1)−	PROPN
ejde-615	200	9	αp	αp	NOUN
ejde-615	200	10	(	(	PUNCT
ejde-615	200	11	0	0	NUM
ejde-615	200	12	)	)	PUNCT
ejde-615	200	13	]	]	PUNCT
ejde-615	201	1	+	+	CCONJ
ejde-615	201	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	201	3	1	1	NUM
ejde-615	201	4	)	)	PUNCT
ejde-615	201	5	[	[	PUNCT
ejde-615	201	6	p	p	X
ejde-615	201	7	(	(	PUNCT
ejde-615	201	8	2)−	2)−	NUM
ejde-615	201	9	αp	αp	NOUN
ejde-615	201	10	(	(	PUNCT
ejde-615	201	11	1	1	NUM
ejde-615	201	12	)	)	PUNCT
ejde-615	201	13	+	+	CCONJ
ejde-615	201	14	α(α−	α(α−	NUM
ejde-615	201	15	1	1	NUM
ejde-615	201	16	)	)	PUNCT
ejde-615	201	17	2	2	NUM
ejde-615	201	18	p	p	NOUN
ejde-615	201	19	(	(	PUNCT
ejde-615	201	20	0	0	NUM
ejde-615	201	21	)	)	PUNCT
ejde-615	201	22	]	]	PUNCT
ejde-615	201	23	.	.	PUNCT
ejde-615	202	1	proof	proof	NOUN
ejde-615	202	2	.	.	PUNCT
ejde-615	203	1	by	by	ADP
ejde-615	203	2	(	(	PUNCT
ejde-615	203	3	2.1)-(2.3	2.1)-(2.3	NUM
ejde-615	203	4	)	)	PUNCT
ejde-615	203	5	and	and	CCONJ
ejde-615	203	6	(	(	PUNCT
ejde-615	203	7	2.6	2.6	NUM
ejde-615	203	8	)	)	PUNCT
ejde-615	203	9	,	,	PUNCT
ejde-615	203	10	we	we	PRON
ejde-615	203	11	have	have	VERB
ejde-615	203	12	∆α(b	∆α(b	NOUN
ejde-615	203	13	∗	∗	NOUN
ejde-615	203	14	p	p	NOUN
ejde-615	203	15	)	)	PUNCT
ejde-615	203	16	(	(	PUNCT
ejde-615	203	17	n	n	CCONJ
ejde-615	203	18	)	)	PUNCT
ejde-615	203	19	=	=	SYM
ejde-615	204	1	∆3∆−(3−α)(b	∆3∆−(3−α)(b	ADJ
ejde-615	204	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	204	3	p	p	NOUN
ejde-615	204	4	)	)	PUNCT
ejde-615	204	5	(	(	PUNCT
ejde-615	204	6	n	n	CCONJ
ejde-615	204	7	)	)	PUNCT
ejde-615	204	8	=	=	SYM
ejde-615	205	1	∆−(3−α)(b	∆−(3−α)(b	ADJ
ejde-615	205	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	205	3	p	p	NOUN
ejde-615	205	4	)	)	PUNCT
ejde-615	205	5	(	(	PUNCT
ejde-615	205	6	n+	n+	NUM
ejde-615	205	7	3)−	3)−	NUM
ejde-615	205	8	3∆−(3−α)(b	3∆−(3−α)(b	NUM
ejde-615	205	9	∗	∗	NOUN
ejde-615	205	10	p	p	NOUN
ejde-615	205	11	)	)	PUNCT
ejde-615	205	12	(	(	PUNCT
ejde-615	205	13	n+	n+	NUM
ejde-615	205	14	2	2	X
ejde-615	205	15	)	)	PUNCT
ejde-615	205	16	+	+	CCONJ
ejde-615	205	17	3∆−(3−α)(b	3∆−(3−α)(b	NUM
ejde-615	205	18	∗	∗	NOUN
ejde-615	205	19	p	p	NOUN
ejde-615	205	20	)	)	PUNCT
ejde-615	205	21	(	(	PUNCT
ejde-615	205	22	n+	n+	NUM
ejde-615	205	23	1)−∆−(3−α)(b	1)−∆−(3−α)(b	NUM
ejde-615	205	24	∗	∗	NOUN
ejde-615	205	25	p	p	NOUN
ejde-615	205	26	)	)	PUNCT
ejde-615	205	27	(	(	PUNCT
ejde-615	205	28	n	n	CCONJ
ejde-615	205	29	)	)	PUNCT
ejde-615	206	1	=	=	SYM
ejde-615	206	2	(	(	PUNCT
ejde-615	206	3	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	206	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	5	b	b	NOUN
ejde-615	206	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	7	p	p	NOUN
ejde-615	206	8	)	)	PUNCT
ejde-615	206	9	(	(	PUNCT
ejde-615	206	10	n+	n+	NUM
ejde-615	206	11	3)−	3)−	NUM
ejde-615	206	12	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	206	13	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	14	b	b	PROPN
ejde-615	206	15	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	16	p	p	NOUN
ejde-615	206	17	)	)	PUNCT
ejde-615	206	18	(	(	PUNCT
ejde-615	206	19	n+	n+	NUM
ejde-615	206	20	2	2	NUM
ejde-615	206	21	)	)	PUNCT
ejde-615	206	22	+	+	NUM
ejde-615	206	23	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	206	24	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	25	b	b	NOUN
ejde-615	206	26	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	27	p	p	NOUN
ejde-615	206	28	)	)	PUNCT
ejde-615	206	29	(	(	PUNCT
ejde-615	206	30	n+	n+	NUM
ejde-615	206	31	1)−	1)−	NUM
ejde-615	206	32	(	(	PUNCT
ejde-615	206	33	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	206	34	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	35	b	b	NOUN
ejde-615	206	36	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	37	p	p	NOUN
ejde-615	206	38	)	)	PUNCT
ejde-615	206	39	(	(	PUNCT
ejde-615	206	40	n	n	CCONJ
ejde-615	206	41	)	)	PUNCT
ejde-615	206	42	=	=	SYM
ejde-615	206	43	n+3∑	n+3∑	PROPN
ejde-615	206	44	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	206	45	b(j)(k3−α	b(j)(k3−α	PROPN
ejde-615	206	46	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	47	p	p	NOUN
ejde-615	206	48	)	)	PUNCT
ejde-615	206	49	(	(	PUNCT
ejde-615	206	50	n+	n+	X
ejde-615	206	51	3−	3−	NUM
ejde-615	206	52	j)−	j)−	PROPN
ejde-615	206	53	3	3	NUM
ejde-615	206	54	n+2∑	n+2∑	PROPN
ejde-615	206	55	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	206	56	b(j)(k3−α	b(j)(k3−α	PROPN
ejde-615	206	57	∗	∗	NOUN
ejde-615	206	58	p	p	NOUN
ejde-615	206	59	)	)	PUNCT
ejde-615	206	60	(	(	PUNCT
ejde-615	206	61	n+	n+	NUM
ejde-615	206	62	2−	2−	NUM
ejde-615	206	63	j	j	NOUN
ejde-615	206	64	)	)	PUNCT
ejde-615	207	1	+	+	CCONJ
ejde-615	207	2	3	3	NUM
ejde-615	207	3	n+1∑	n+1∑	ADP
ejde-615	207	4	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	207	5	b(j)(k3−α	b(j)(k3−α	PROPN
ejde-615	207	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	207	7	p	p	NOUN
ejde-615	207	8	)	)	PUNCT
ejde-615	207	9	(	(	PUNCT
ejde-615	207	10	n+	n+	NUM
ejde-615	207	11	1−	1−	NUM
ejde-615	207	12	j)−	j)−	PROPN
ejde-615	207	13	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	207	14	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	207	15	b(j)(k3−α	b(j)(k3−α	PROPN
ejde-615	207	16	∗	∗	NOUN
ejde-615	207	17	p	p	NOUN
ejde-615	207	18	)	)	PUNCT
ejde-615	207	19	(	(	PUNCT
ejde-615	207	20	n−	n−	PROPN
ejde-615	207	21	j	j	NOUN
ejde-615	207	22	)	)	PUNCT
ejde-615	207	23	for	for	ADP
ejde-615	207	24	n	n	PRON
ejde-615	207	25	∈	∈	PROPN
ejde-615	207	26	n0	n0	PROPN
ejde-615	207	27	.	.	PUNCT
ejde-615	208	1	it	it	PRON
ejde-615	208	2	follows	follow	VERB
ejde-615	208	3	that	that	SCONJ
ejde-615	208	4	∆α(b	∆α(b	NOUN
ejde-615	208	5	∗	∗	VERB
ejde-615	208	6	p	p	NOUN
ejde-615	208	7	)	)	PUNCT
ejde-615	208	8	(	(	PUNCT
ejde-615	208	9	n	n	CCONJ
ejde-615	208	10	)	)	PUNCT
ejde-615	208	11	=	=	SYM
ejde-615	208	12	n∑	n∑	X
ejde-615	208	13	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	208	14	b(j	b(j	X
ejde-615	208	15	)	)	PUNCT
ejde-615	208	16	[	[	PUNCT
ejde-615	208	17	(	(	PUNCT
ejde-615	208	18	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	208	19	∗	∗	VERB
ejde-615	208	20	p	p	NOUN
ejde-615	208	21	)	)	PUNCT
ejde-615	208	22	(	(	PUNCT
ejde-615	208	23	n+	n+	X
ejde-615	208	24	3−	3−	NUM
ejde-615	208	25	j)−	j)−	PROPN
ejde-615	208	26	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	208	27	∗	∗	NOUN
ejde-615	208	28	p	p	NOUN
ejde-615	208	29	)	)	PUNCT
ejde-615	208	30	(	(	PUNCT
ejde-615	208	31	n+	n+	NUM
ejde-615	208	32	2−	2−	NUM
ejde-615	208	33	j	j	NOUN
ejde-615	208	34	)	)	PUNCT
ejde-615	209	1	+	+	NUM
ejde-615	210	1	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	210	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	210	3	p	p	NOUN
ejde-615	210	4	)	)	PUNCT
ejde-615	210	5	(	(	PUNCT
ejde-615	210	6	n+	n+	NUM
ejde-615	210	7	1−	1−	NUM
ejde-615	210	8	j)−	j)−	PROPN
ejde-615	210	9	(	(	PUNCT
ejde-615	210	10	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	210	11	∗	∗	VERB
ejde-615	210	12	p	p	NOUN
ejde-615	210	13	)	)	PUNCT
ejde-615	210	14	(	(	PUNCT
ejde-615	210	15	n−	n−	PROPN
ejde-615	210	16	j	j	NOUN
ejde-615	210	17	)	)	PUNCT
ejde-615	210	18	]	]	PUNCT
ejde-615	211	1	+	+	CCONJ
ejde-615	211	2	b(n+	b(n+	X
ejde-615	211	3	1)(k3−α	1)(k3−α	NUM
ejde-615	211	4	∗	∗	PROPN
ejde-615	211	5	p	p	NOUN
ejde-615	211	6	)	)	PUNCT
ejde-615	211	7	(	(	PUNCT
ejde-615	211	8	2	2	NUM
ejde-615	211	9	)	)	PUNCT
ejde-615	212	1	+	+	NUM
ejde-615	212	2	b(n+	b(n+	NOUN
ejde-615	212	3	2)(k3−α	2)(k3−α	NUM
ejde-615	212	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	212	5	p	p	NOUN
ejde-615	212	6	)	)	PUNCT
ejde-615	212	7	(	(	PUNCT
ejde-615	212	8	1	1	X
ejde-615	212	9	)	)	PUNCT
ejde-615	213	1	+	+	NUM
ejde-615	213	2	b(n+	b(n+	X
ejde-615	214	1	3)(k3−α	3)(k3−α	NUM
ejde-615	214	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	214	3	p	p	NOUN
ejde-615	214	4	)	)	PUNCT
ejde-615	215	1	(	(	PUNCT
ejde-615	215	2	0)−	0)−	NUM
ejde-615	215	3	3b(n+	3b(n+	NUM
ejde-615	215	4	1)(k3−α	1)(k3−α	NUM
ejde-615	215	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	215	6	p	p	NOUN
ejde-615	215	7	)	)	PUNCT
ejde-615	215	8	(	(	PUNCT
ejde-615	215	9	1	1	NUM
ejde-615	215	10	)	)	PUNCT
ejde-615	215	11	−	−	PROPN
ejde-615	216	1	3b(n+	3b(n+	PROPN
ejde-615	216	2	2)(k3−α	2)(k3−α	PROPN
ejde-615	216	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	216	4	p	p	NOUN
ejde-615	216	5	)	)	PUNCT
ejde-615	216	6	(	(	PUNCT
ejde-615	216	7	0	0	NUM
ejde-615	216	8	)	)	PUNCT
ejde-615	217	1	+	+	CCONJ
ejde-615	217	2	3b(n+	3b(n+	NUM
ejde-615	217	3	1)(k3−α	1)(k3−α	NUM
ejde-615	217	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	217	5	p	p	NOUN
ejde-615	217	6	)	)	PUNCT
ejde-615	217	7	(	(	PUNCT
ejde-615	217	8	0	0	NUM
ejde-615	217	9	)	)	PUNCT
ejde-615	217	10	=	=	SYM
ejde-615	217	11	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	217	12	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	217	13	b(j)∆3(k3−α	b(j)∆3(k3−α	PROPN
ejde-615	217	14	∗	∗	NOUN
ejde-615	217	15	p	p	NOUN
ejde-615	217	16	)	)	PUNCT
ejde-615	217	17	(	(	PUNCT
ejde-615	217	18	n−	n−	PROPN
ejde-615	217	19	j	j	NOUN
ejde-615	217	20	)	)	PUNCT
ejde-615	218	1	+	+	SYM
ejde-615	218	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	218	3	1	1	X
ejde-615	218	4	)	)	PUNCT
ejde-615	218	5	[	[	PUNCT
ejde-615	218	6	k3−α(0)p	k3−α(0)p	X
ejde-615	218	7	(	(	PUNCT
ejde-615	218	8	2	2	NUM
ejde-615	218	9	)	)	PUNCT
ejde-615	218	10	+	+	CCONJ
ejde-615	218	11	k3−α(1)p	k3−α(1)p	PROPN
ejde-615	218	12	(	(	PUNCT
ejde-615	218	13	1	1	X
ejde-615	218	14	)	)	PUNCT
ejde-615	218	15	+	+	CCONJ
ejde-615	219	1	k3−α(2)p	k3−α(2)p	X
ejde-615	219	2	(	(	PUNCT
ejde-615	219	3	0	0	NUM
ejde-615	219	4	)	)	PUNCT
ejde-615	219	5	]	]	PUNCT
ejde-615	220	1	+	+	CCONJ
ejde-615	220	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	220	3	2	2	NUM
ejde-615	220	4	)	)	PUNCT
ejde-615	220	5	[	[	PUNCT
ejde-615	220	6	k3−α(0)p	k3−α(0)p	X
ejde-615	220	7	(	(	PUNCT
ejde-615	220	8	1	1	NUM
ejde-615	220	9	)	)	PUNCT
ejde-615	220	10	+	+	CCONJ
ejde-615	220	11	k3−α(1)p	k3−α(1)p	PROPN
ejde-615	220	12	(	(	PUNCT
ejde-615	220	13	0	0	NUM
ejde-615	220	14	)	)	PUNCT
ejde-615	220	15	]	]	PUNCT
ejde-615	221	1	+	+	CCONJ
ejde-615	221	2	b(n+	b(n+	SYM
ejde-615	221	3	3)k3−α(0)p	3)k3−α(0)p	NUM
ejde-615	221	4	(	(	PUNCT
ejde-615	221	5	0)−	0)−	NUM
ejde-615	221	6	3b(n+	3b(n+	NUM
ejde-615	221	7	1	1	NUM
ejde-615	221	8	)	)	PUNCT
ejde-615	221	9	[	[	PUNCT
ejde-615	221	10	k3−α(0)p	k3−α(0)p	X
ejde-615	221	11	(	(	PUNCT
ejde-615	221	12	1	1	NUM
ejde-615	221	13	)	)	PUNCT
ejde-615	221	14	+	+	CCONJ
ejde-615	221	15	k3−α(1)p	k3−α(1)p	PROPN
ejde-615	221	16	(	(	PUNCT
ejde-615	221	17	0	0	NUM
ejde-615	221	18	)	)	PUNCT
ejde-615	221	19	]	]	PUNCT
ejde-615	222	1	−	−	PROPN
ejde-615	222	2	3b(n+	3b(n+	NUM
ejde-615	222	3	2)k3−α(0)p	2)k3−α(0)p	NUM
ejde-615	222	4	(	(	PUNCT
ejde-615	222	5	0	0	NUM
ejde-615	222	6	)	)	PUNCT
ejde-615	223	1	+	+	CCONJ
ejde-615	223	2	3b(n+	3b(n+	NUM
ejde-615	223	3	1)k3−α(0)p	1)k3−α(0)p	NUM
ejde-615	223	4	(	(	PUNCT
ejde-615	223	5	0	0	NUM
ejde-615	223	6	)	)	PUNCT
ejde-615	223	7	=	=	PRON
ejde-615	223	8	(	(	PUNCT
ejde-615	223	9	∆αp	∆αp	PROPN
ejde-615	223	10	∗	∗	NOUN
ejde-615	223	11	b)(n	b)(n	PROPN
ejde-615	223	12	)	)	PUNCT
ejde-615	224	1	+	+	NUM
ejde-615	224	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	224	3	3)p	3)p	NUM
ejde-615	224	4	(	(	PUNCT
ejde-615	224	5	0	0	NUM
ejde-615	224	6	)	)	PUNCT
ejde-615	225	1	+	+	SYM
ejde-615	225	2	b(n+	b(n+	NOUN
ejde-615	225	3	2	2	NUM
ejde-615	225	4	)	)	PUNCT
ejde-615	225	5	[	[	PUNCT
ejde-615	225	6	p	p	X
ejde-615	225	7	(	(	PUNCT
ejde-615	225	8	1)−	1)−	PROPN
ejde-615	225	9	αp	αp	NOUN
ejde-615	225	10	(	(	PUNCT
ejde-615	225	11	0	0	NUM
ejde-615	225	12	)	)	PUNCT
ejde-615	225	13	]	]	PUNCT
ejde-615	225	14	8	8	NUM
ejde-615	225	15	j.	j.	PROPN
ejde-615	225	16	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	225	17	,	,	PUNCT
ejde-615	225	18	s.	s.	PROPN
ejde-615	225	19	bu	bu	PROPN
ejde-615	225	20	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	226	1	+	+	PUNCT
ejde-615	226	2	b(n+	b(n+	NUM
ejde-615	226	3	1	1	NUM
ejde-615	226	4	)	)	PUNCT
ejde-615	226	5	[	[	PUNCT
ejde-615	226	6	p	p	X
ejde-615	226	7	(	(	PUNCT
ejde-615	226	8	2)−	2)−	NUM
ejde-615	226	9	αp	αp	NOUN
ejde-615	226	10	(	(	PUNCT
ejde-615	226	11	1	1	NUM
ejde-615	226	12	)	)	PUNCT
ejde-615	226	13	+	+	CCONJ
ejde-615	226	14	α(α−	α(α−	NUM
ejde-615	226	15	1	1	NUM
ejde-615	226	16	)	)	PUNCT
ejde-615	226	17	2	2	NUM
ejde-615	226	18	p	p	NOUN
ejde-615	226	19	(	(	PUNCT
ejde-615	226	20	0	0	NUM
ejde-615	226	21	)	)	PUNCT
ejde-615	226	22	]	]	PUNCT
ejde-615	226	23	where	where	SCONJ
ejde-615	226	24	n	n	X
ejde-615	226	25	∈	∈	PROPN
ejde-615	226	26	n0	n0	PROPN
ejde-615	226	27	.	.	PUNCT
ejde-615	227	1	this	this	PRON
ejde-615	227	2	completes	complete	VERB
ejde-615	227	3	the	the	DET
ejde-615	227	4	proof	proof	NOUN
ejde-615	227	5	.	.	PUNCT
ejde-615	228	1	□	□	PUNCT
ejde-615	228	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	228	3	3.4	3.4	NUM
ejde-615	228	4	.	.	PUNCT
ejde-615	229	1	let	let	VERB
ejde-615	229	2	x	x	PRON
ejde-615	229	3	be	be	AUX
ejde-615	229	4	a	a	DET
ejde-615	229	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	229	6	space	space	NOUN
ejde-615	229	7	,	,	PUNCT
ejde-615	229	8	t	t	PROPN
ejde-615	229	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	229	10	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	229	11	)	)	PUNCT
ejde-615	229	12	,	,	PUNCT
ejde-615	229	13	2	2	NUM
ejde-615	229	14	<	<	X
ejde-615	229	15	α	α	X
ejde-615	229	16	<	<	X
ejde-615	229	17	3	3	NUM
ejde-615	229	18	and	and	CCONJ
ejde-615	229	19	let	let	VERB
ejde-615	229	20	(	(	PUNCT
ejde-615	229	21	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	229	22	be	be	AUX
ejde-615	229	23	the	the	DET
ejde-615	229	24	α	α	NOUN
ejde-615	229	25	-	-	ADJ
ejde-615	229	26	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	229	27	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	229	28	given	give	VERB
ejde-615	229	29	by	by	ADP
ejde-615	229	30	definition	definition	NOUN
ejde-615	229	31	3.1	3.1	NUM
ejde-615	229	32	.	.	PUNCT
ejde-615	230	1	then	then	ADV
ejde-615	230	2	∆αpα(n	∆αpα(n	VERB
ejde-615	230	3	)	)	PUNCT
ejde-615	230	4	=	=	SYM
ejde-615	230	5	tpα(n	tpα(n	X
ejde-615	230	6	)	)	PUNCT
ejde-615	230	7	=	=	SYM
ejde-615	231	1	t	t	NOUN
ejde-615	231	2	where	where	SCONJ
ejde-615	231	3	0	0	NUM
ejde-615	231	4	≤	≤	NUM
ejde-615	231	5	n	n	CCONJ
ejde-615	231	6	≤	≤	NOUN
ejde-615	231	7	2	2	NUM
ejde-615	231	8	.	.	PUNCT
ejde-615	232	1	proof	proof	NOUN
ejde-615	232	2	.	.	PUNCT
ejde-615	233	1	by	by	ADP
ejde-615	233	2	(	(	PUNCT
ejde-615	233	3	2.1	2.1	NUM
ejde-615	233	4	)	)	PUNCT
ejde-615	233	5	,	,	PUNCT
ejde-615	233	6	(	(	PUNCT
ejde-615	233	7	2.3	2.3	NUM
ejde-615	233	8	)	)	PUNCT
ejde-615	233	9	and	and	CCONJ
ejde-615	233	10	(	(	PUNCT
ejde-615	233	11	2.6	2.6	NUM
ejde-615	233	12	)	)	PUNCT
ejde-615	233	13	,	,	PUNCT
ejde-615	233	14	we	we	PRON
ejde-615	233	15	have	have	VERB
ejde-615	233	16	∆αpα(0	∆αpα(0	NOUN
ejde-615	233	17	)	)	PUNCT
ejde-615	233	18	=	=	SYM
ejde-615	233	19	∆3∆−(3−α)pα(0	∆3∆−(3−α)pα(0	ADJ
ejde-615	233	20	)	)	PUNCT
ejde-615	233	21	=	=	PRON
ejde-615	233	22	∆−(3−α)pα(3)−	∆−(3−α)pα(3)−	PROPN
ejde-615	234	1	3∆−(3−α)pα(2	3∆−(3−α)pα(2	NUM
ejde-615	234	2	)	)	PUNCT
ejde-615	235	1	+	+	CCONJ
ejde-615	235	2	3∆−(3−α)pα(1)−∆−(3−α)pα(0	3∆−(3−α)pα(1)−∆−(3−α)pα(0	NUM
ejde-615	235	3	)	)	PUNCT
ejde-615	235	4	=	=	NOUN
ejde-615	235	5	(	(	PUNCT
ejde-615	235	6	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	235	7	∗	∗	VERB
ejde-615	235	8	pα)(3)−	pα)(3)−	PROPN
ejde-615	235	9	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	235	10	∗	∗	NOUN
ejde-615	235	11	pα)(2	pα)(2	NOUN
ejde-615	235	12	)	)	PUNCT
ejde-615	235	13	+	+	NUM
ejde-615	235	14	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	235	15	∗	∗	NOUN
ejde-615	235	16	pα)(1)−	pα)(1)−	NOUN
ejde-615	235	17	(	(	PUNCT
ejde-615	235	18	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	235	19	∗	∗	NOUN
ejde-615	235	20	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	235	21	)	)	PUNCT
ejde-615	235	22	=	=	PUNCT
ejde-615	235	23	3∑	3∑	PROPN
ejde-615	235	24	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	235	25	k3−α(3−	k3−α(3−	ADP
ejde-615	235	26	j)pα(j)−	j)pα(j)−	PROPN
ejde-615	235	27	3	3	NUM
ejde-615	235	28	2∑	2∑	NUM
ejde-615	235	29	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	235	30	k3−α(2−	k3−α(2−	NOUN
ejde-615	235	31	j)pα(j	j)pα(j	NOUN
ejde-615	235	32	)	)	PUNCT
ejde-615	236	1	+	+	CCONJ
ejde-615	236	2	3	3	NUM
ejde-615	236	3	1∑	1∑	NUM
ejde-615	236	4	j=0	j=0	X
ejde-615	236	5	k3−α(1−	k3−α(1−	PROPN
ejde-615	236	6	j)pα(j)−	j)pα(j)−	PROPN
ejde-615	236	7	k3−α(0)pα(0	k3−α(0)pα(0	NOUN
ejde-615	236	8	)	)	PUNCT
ejde-615	236	9	=	=	SYM
ejde-615	236	10	pα(3	pα(3	PROPN
ejde-615	236	11	)	)	PUNCT
ejde-615	236	12	+	+	NUM
ejde-615	237	1	k3−α(1)i	k3−α(1)i	ADJ
ejde-615	237	2	−	−	NOUN
ejde-615	237	3	2k3−α(2)i	2k3−α(2)i	NUM
ejde-615	238	1	+	+	CCONJ
ejde-615	238	2	k3−α(3)i	k3−α(3)i	PROPN
ejde-615	238	3	−	−	PROPN
ejde-615	238	4	i.	i.	NOUN
ejde-615	238	5	(	(	PUNCT
ejde-615	238	6	3.3	3.3	NUM
ejde-615	238	7	)	)	PUNCT
ejde-615	238	8	it	it	PRON
ejde-615	238	9	follows	follow	VERB
ejde-615	238	10	from	from	ADP
ejde-615	238	11	definition	definition	NOUN
ejde-615	238	12	3.1	3.1	NUM
ejde-615	238	13	that	that	DET
ejde-615	238	14	pα(3	pα(3	NOUN
ejde-615	238	15	)	)	PUNCT
ejde-615	238	16	=	=	PUNCT
ejde-615	239	1	i	i	PRON
ejde-615	239	2	+	+	PROPN
ejde-615	239	3	t	t	PROPN
ejde-615	239	4	(	(	PUNCT
ejde-615	239	5	kα−2	kα−2	NOUN
ejde-615	239	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	239	7	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	239	8	)	)	PUNCT
ejde-615	240	1	+	+	CCONJ
ejde-615	240	2	kα−2(3)i	kα−2(3)i	NOUN
ejde-615	240	3	+	+	CCONJ
ejde-615	240	4	(	(	PUNCT
ejde-615	240	5	1−	1−	NUM
ejde-615	240	6	α)kα−2(2)i	α)kα−2(2)i	NOUN
ejde-615	241	1	+	+	CCONJ
ejde-615	241	2	(	(	PUNCT
ejde-615	241	3	α−	α−	ADP
ejde-615	241	4	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	241	5	2	2	NUM
ejde-615	241	6	)	)	PUNCT
ejde-615	241	7	2	2	NUM
ejde-615	241	8	kα−2(1)i	kα−2(1)i	X
ejde-615	241	9	.	.	PUNCT
ejde-615	242	1	(	(	PUNCT
ejde-615	242	2	3.4	3.4	NUM
ejde-615	242	3	)	)	PUNCT
ejde-615	242	4	therefore	therefore	ADV
ejde-615	242	5	,	,	PUNCT
ejde-615	242	6	(	(	PUNCT
ejde-615	242	7	3.3	3.3	NUM
ejde-615	242	8	)	)	PUNCT
ejde-615	242	9	and	and	CCONJ
ejde-615	242	10	(	(	PUNCT
ejde-615	242	11	3.4	3.4	NUM
ejde-615	242	12	)	)	PUNCT
ejde-615	242	13	imply	imply	VERB
ejde-615	242	14	that	that	SCONJ
ejde-615	242	15	∆αpα(0	∆αpα(0	NOUN
ejde-615	242	16	)	)	PUNCT
ejde-615	243	1	=	=	PUNCT
ejde-615	244	1	i	i	PRON
ejde-615	244	2	+	+	PROPN
ejde-615	244	3	t	t	PROPN
ejde-615	244	4	(	(	PUNCT
ejde-615	244	5	kα−2	kα−2	NOUN
ejde-615	244	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	244	7	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	244	8	)	)	PUNCT
ejde-615	245	1	+	+	CCONJ
ejde-615	245	2	kα−2(3)i	kα−2(3)i	NOUN
ejde-615	245	3	+	+	CCONJ
ejde-615	245	4	(	(	PUNCT
ejde-615	245	5	1−	1−	NUM
ejde-615	245	6	α)kα−2(2)i	α)kα−2(2)i	NOUN
ejde-615	245	7	+	+	CCONJ
ejde-615	245	8	(	(	PUNCT
ejde-615	245	9	α−	α−	ADP
ejde-615	245	10	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	245	11	2	2	NUM
ejde-615	245	12	)	)	PUNCT
ejde-615	245	13	2	2	NUM
ejde-615	245	14	kα−2(1)i	kα−2(1)i	PROPN
ejde-615	245	15	+	+	X
ejde-615	245	16	k3−α(1)i	k3−α(1)i	PROPN
ejde-615	245	17	−	−	NOUN
ejde-615	246	1	2k3−α(2)i	2k3−α(2)i	NUM
ejde-615	247	1	+	+	CCONJ
ejde-615	247	2	k3−α(3)i	k3−α(3)i	PROPN
ejde-615	247	3	−	−	NOUN
ejde-615	248	1	i	i	PRON
ejde-615	248	2	=	=	SYM
ejde-615	248	3	t	t	PROPN
ejde-615	248	4	(	(	PUNCT
ejde-615	248	5	kα−2	kα−2	NOUN
ejde-615	248	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	248	7	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	248	8	)	)	PUNCT
ejde-615	248	9	=	=	SYM
ejde-615	248	10	tpα(0	tpα(0	NOUN
ejde-615	248	11	)	)	PUNCT
ejde-615	249	1	=	=	PUNCT
ejde-615	250	1	t.	t.	NOUN
ejde-615	250	2	we	we	PRON
ejde-615	250	3	have	have	VERB
ejde-615	250	4	pα(4	pα(4	NOUN
ejde-615	250	5	)	)	PUNCT
ejde-615	250	6	=	=	SYM
ejde-615	251	1	2pα(3)−	2pα(3)−	NUM
ejde-615	252	1	i	i	PRON
ejde-615	252	2	+	+	X
ejde-615	252	3	t	t	PROPN
ejde-615	252	4	(	(	PUNCT
ejde-615	252	5	kα−2	kα−2	PROPN
ejde-615	252	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	252	7	pα)(1	pα)(1	NOUN
ejde-615	252	8	)	)	PUNCT
ejde-615	253	1	+	+	NUM
ejde-615	253	2	kα−2(4)i	kα−2(4)i	NOUN
ejde-615	253	3	+	+	CCONJ
ejde-615	253	4	(	(	PUNCT
ejde-615	253	5	1−	1−	NUM
ejde-615	253	6	α)kα−2(3)i	α)kα−2(3)i	NOUN
ejde-615	253	7	+	+	CCONJ
ejde-615	253	8	(	(	PUNCT
ejde-615	253	9	α−	α−	ADP
ejde-615	253	10	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	253	11	2	2	NUM
ejde-615	253	12	)	)	PUNCT
ejde-615	253	13	2	2	NUM
ejde-615	253	14	kα−2(2)i	kα−2(2)i	NOUN
ejde-615	253	15	.	.	PUNCT
ejde-615	254	1	(	(	PUNCT
ejde-615	254	2	3.5	3.5	NUM
ejde-615	254	3	)	)	PUNCT
ejde-615	254	4	ejde-2024/20	ejde-2024/20	NOUN
ejde-615	254	5	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	254	6	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	254	7	for	for	ADP
ejde-615	254	8	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	254	9	difference	difference	NOUN
ejde-615	254	10	equations	equation	NOUN
ejde-615	254	11	9	9	NUM
ejde-615	254	12	applying	apply	VERB
ejde-615	254	13	(	(	PUNCT
ejde-615	254	14	2.1	2.1	NUM
ejde-615	254	15	)	)	PUNCT
ejde-615	254	16	,	,	PUNCT
ejde-615	254	17	(	(	PUNCT
ejde-615	254	18	2.3	2.3	NUM
ejde-615	254	19	)	)	PUNCT
ejde-615	254	20	and	and	CCONJ
ejde-615	254	21	(	(	PUNCT
ejde-615	254	22	2.6	2.6	NUM
ejde-615	254	23	)	)	PUNCT
ejde-615	254	24	again	again	ADV
ejde-615	254	25	,	,	PUNCT
ejde-615	254	26	we	we	PRON
ejde-615	254	27	have	have	VERB
ejde-615	254	28	∆αpα(1	∆αpα(1	NOUN
ejde-615	254	29	)	)	PUNCT
ejde-615	254	30	=	=	SYM
ejde-615	254	31	∆3∆−(3−α)pα(1	∆3∆−(3−α)pα(1	PROPN
ejde-615	254	32	)	)	PUNCT
ejde-615	254	33	=	=	PUNCT
ejde-615	255	1	∆−(3−α)pα(4)−	∆−(3−α)pα(4)−	PROPN
ejde-615	255	2	3∆−(3−α)pα(3	3∆−(3−α)pα(3	NUM
ejde-615	255	3	)	)	PUNCT
ejde-615	255	4	+	+	NUM
ejde-615	255	5	3∆−(3−α)pα(2)−∆−(3−α)pα(1	3∆−(3−α)pα(2)−∆−(3−α)pα(1	X
ejde-615	255	6	)	)	PUNCT
ejde-615	255	7	=	=	SYM
ejde-615	256	1	(	(	PUNCT
ejde-615	256	2	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	256	3	∗	∗	VERB
ejde-615	256	4	pα)(4)−	pα)(4)−	NOUN
ejde-615	256	5	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	256	6	∗	∗	NOUN
ejde-615	256	7	pα)(3	pα)(3	NOUN
ejde-615	256	8	)	)	PUNCT
ejde-615	257	1	+	+	NUM
ejde-615	257	2	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	257	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	257	4	pα)(2)−	pα)(2)−	PROPN
ejde-615	257	5	(	(	PUNCT
ejde-615	257	6	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	257	7	∗	∗	NOUN
ejde-615	257	8	pα)(1	pα)(1	NOUN
ejde-615	257	9	)	)	PUNCT
ejde-615	257	10	=	=	SYM
ejde-615	257	11	4∑	4∑	NUM
ejde-615	257	12	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	257	13	k3−α(4−	k3−α(4−	PROPN
ejde-615	257	14	j)pα(j)−	j)pα(j)−	PROPN
ejde-615	257	15	3	3	NUM
ejde-615	257	16	3∑	3∑	PROPN
ejde-615	257	17	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	257	18	k3−α(3−	k3−α(3−	ADV
ejde-615	257	19	j)pα(j	j)pα(j	NOUN
ejde-615	257	20	)	)	PUNCT
ejde-615	258	1	+	+	CCONJ
ejde-615	258	2	3	3	NUM
ejde-615	258	3	2∑	2∑	NUM
ejde-615	258	4	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	258	5	k3−α(2−	k3−α(2−	NOUN
ejde-615	258	6	j)pα(j)−	j)pα(j)−	PROPN
ejde-615	258	7	1∑	1∑	PROPN
ejde-615	258	8	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	258	9	k3−α(1−	k3−α(1−	PROPN
ejde-615	258	10	j)pα(j	j)pα(j	NOUN
ejde-615	258	11	)	)	PUNCT
ejde-615	258	12	=	=	PUNCT
ejde-615	258	13	pα(4)−	pα(4)−	NOUN
ejde-615	258	14	αpα(3	αpα(3	NOUN
ejde-615	258	15	)	)	PUNCT
ejde-615	259	1	+	+	CCONJ
ejde-615	259	2	k3−α(2)i	k3−α(2)i	ADP
ejde-615	259	3	−	−	NUM
ejde-615	259	4	2k3−α(3)i	2k3−α(3)i	NUM
ejde-615	259	5	+	+	SYM
ejde-615	259	6	k3−α(4)i	k3−α(4)i	NOUN
ejde-615	259	7	+	+	CCONJ
ejde-615	259	8	(	(	PUNCT
ejde-615	259	9	α−	α−	ADP
ejde-615	259	10	1)i	1)i	NUM
ejde-615	259	11	.	.	PUNCT
ejde-615	260	1	(	(	PUNCT
ejde-615	260	2	3.6	3.6	NUM
ejde-615	260	3	)	)	PUNCT
ejde-615	260	4	by	by	ADP
ejde-615	260	5	using	use	VERB
ejde-615	260	6	(	(	PUNCT
ejde-615	260	7	3.4	3.4	NUM
ejde-615	260	8	)	)	PUNCT
ejde-615	260	9	,	,	PUNCT
ejde-615	260	10	(	(	PUNCT
ejde-615	260	11	3.5	3.5	NUM
ejde-615	260	12	)	)	PUNCT
ejde-615	260	13	and	and	CCONJ
ejde-615	260	14	(	(	PUNCT
ejde-615	260	15	3.6	3.6	NUM
ejde-615	260	16	)	)	PUNCT
ejde-615	260	17	,	,	PUNCT
ejde-615	260	18	we	we	PRON
ejde-615	260	19	deduce	deduce	VERB
ejde-615	260	20	that	that	SCONJ
ejde-615	260	21	∆αpα(1	∆αpα(1	NOUN
ejde-615	260	22	)	)	PUNCT
ejde-615	261	1	=	=	SYM
ejde-615	261	2	t	t	PROPN
ejde-615	261	3	+	+	NUM
ejde-615	261	4	kα−2(4)i	kα−2(4)i	NOUN
ejde-615	261	5	+	+	CCONJ
ejde-615	261	6	(	(	PUNCT
ejde-615	261	7	3−	3−	NUM
ejde-615	261	8	2α)kα−2(3)i	2α)kα−2(3)i	NUM
ejde-615	261	9	+	+	CCONJ
ejde-615	261	10	3(α−	3(α−	NUM
ejde-615	261	11	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	261	12	2	2	NUM
ejde-615	261	13	)	)	PUNCT
ejde-615	261	14	2	2	NUM
ejde-615	261	15	kα−2(2)i	kα−2(2)i	NOUN
ejde-615	261	16	−	−	PROPN
ejde-615	262	1	(	(	PUNCT
ejde-615	262	2	α−	α−	ADP
ejde-615	262	3	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	262	4	2)2	2)2	NUM
ejde-615	262	5	2	2	NUM
ejde-615	262	6	kα−2(1)i	kα−2(1)i	NOUN
ejde-615	262	7	+	+	CCONJ
ejde-615	263	1	k3−α(2)i	k3−α(2)i	ADP
ejde-615	263	2	−	−	PROPN
ejde-615	263	3	2k3−α(3)i	2k3−α(3)i	NUM
ejde-615	263	4	+	+	NUM
ejde-615	263	5	k3−α(4)i	k3−α(4)i	NOUN
ejde-615	263	6	=	=	PUNCT
ejde-615	264	1	t.	t.	NOUN
ejde-615	264	2	we	we	PRON
ejde-615	264	3	have	have	VERB
ejde-615	264	4	pα(5	pα(5	NOUN
ejde-615	264	5	)	)	PUNCT
ejde-615	264	6	=	=	PUNCT
ejde-615	265	1	2pα(4)−	2pα(4)−	NUM
ejde-615	265	2	pα(3	pα(3	NOUN
ejde-615	265	3	)	)	PUNCT
ejde-615	265	4	+	+	NUM
ejde-615	265	5	t	t	PROPN
ejde-615	265	6	(	(	PUNCT
ejde-615	265	7	kα−2	kα−2	NOUN
ejde-615	265	8	∗	∗	PROPN
ejde-615	265	9	pα)(2	pα)(2	X
ejde-615	265	10	)	)	PUNCT
ejde-615	266	1	+	+	CCONJ
ejde-615	266	2	kα−2(5)i	kα−2(5)i	PROPN
ejde-615	266	3	+	+	CCONJ
ejde-615	266	4	(	(	PUNCT
ejde-615	266	5	1−	1−	NUM
ejde-615	266	6	α)kα−2(4)i	α)kα−2(4)i	X
ejde-615	267	1	+	+	X
ejde-615	267	2	(	(	PUNCT
ejde-615	267	3	α−	α−	ADP
ejde-615	267	4	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	267	5	2	2	NUM
ejde-615	267	6	)	)	PUNCT
ejde-615	267	7	2	2	NUM
ejde-615	267	8	kα−2(3)i	kα−2(3)i	NOUN
ejde-615	267	9	.	.	PUNCT
ejde-615	268	1	(	(	PUNCT
ejde-615	268	2	3.7	3.7	NUM
ejde-615	268	3	)	)	PUNCT
ejde-615	268	4	a	a	DET
ejde-615	268	5	similar	similar	ADJ
ejde-615	268	6	argument	argument	NOUN
ejde-615	268	7	used	use	VERB
ejde-615	268	8	in	in	ADP
ejde-615	268	9	(	(	PUNCT
ejde-615	268	10	3.6	3.6	NUM
ejde-615	268	11	)	)	PUNCT
ejde-615	268	12	shows	show	VERB
ejde-615	268	13	that	that	SCONJ
ejde-615	268	14	∆αpα(2	∆αpα(2	NOUN
ejde-615	268	15	)	)	PUNCT
ejde-615	268	16	=	=	SYM
ejde-615	268	17	pα(5)−	pα(5)−	NOUN
ejde-615	268	18	αpα(4	αpα(4	NOUN
ejde-615	268	19	)	)	PUNCT
ejde-615	269	1	+	+	CCONJ
ejde-615	270	1	α(α−	α(α−	NOUN
ejde-615	270	2	1	1	NUM
ejde-615	270	3	)	)	PUNCT
ejde-615	270	4	2	2	NUM
ejde-615	270	5	pα(3	pα(3	NOUN
ejde-615	270	6	)	)	PUNCT
ejde-615	270	7	+	+	CCONJ
ejde-615	270	8	k3−α(5)i	k3−α(5)i	PROPN
ejde-615	270	9	−	−	NUM
ejde-615	270	10	2k3−α(4)i	2k3−α(4)i	NUM
ejde-615	270	11	+	+	PUNCT
ejde-615	270	12	k3−α(3)i	k3−α(3)i	PROPN
ejde-615	270	13	−	−	PROPN
ejde-615	271	1	k3−α(2)i	k3−α(2)i	NOUN
ejde-615	271	2	+	+	NOUN
ejde-615	271	3	2k3−α(1)i	2k3−α(1)i	NUM
ejde-615	271	4	−	−	NOUN
ejde-615	272	1	k3−α(0)i	k3−α(0)i	NOUN
ejde-615	272	2	.	.	PUNCT
ejde-615	273	1	(	(	PUNCT
ejde-615	273	2	3.8	3.8	NUM
ejde-615	273	3	)	)	PUNCT
ejde-615	273	4	by	by	ADP
ejde-615	273	5	using	use	VERB
ejde-615	273	6	(	(	PUNCT
ejde-615	273	7	3.4	3.4	NUM
ejde-615	273	8	)	)	PUNCT
ejde-615	273	9	,	,	PUNCT
ejde-615	273	10	(	(	PUNCT
ejde-615	273	11	3.5	3.5	NUM
ejde-615	273	12	)	)	PUNCT
ejde-615	273	13	,	,	PUNCT
ejde-615	273	14	(	(	PUNCT
ejde-615	273	15	3.7	3.7	NUM
ejde-615	273	16	)	)	PUNCT
ejde-615	273	17	,	,	PUNCT
ejde-615	273	18	and	and	CCONJ
ejde-615	273	19	(	(	PUNCT
ejde-615	273	20	3.8	3.8	NUM
ejde-615	273	21	)	)	PUNCT
ejde-615	273	22	,	,	PUNCT
ejde-615	273	23	we	we	PRON
ejde-615	273	24	deduce	deduce	VERB
ejde-615	273	25	that	that	DET
ejde-615	273	26	∆αpα(2	∆αpα(2	NOUN
ejde-615	273	27	)	)	PUNCT
ejde-615	273	28	=	=	SYM
ejde-615	273	29	t	t	NOUN
ejde-615	273	30	+	+	CCONJ
ejde-615	273	31	α(α−	α(α−	PROPN
ejde-615	273	32	3	3	NUM
ejde-615	273	33	)	)	PUNCT
ejde-615	273	34	2	2	NUM
ejde-615	274	1	i	i	NOUN
ejde-615	274	2	+	+	X
ejde-615	274	3	kα−2(5)i	kα−2(5)i	PROPN
ejde-615	274	4	+	+	CCONJ
ejde-615	274	5	(	(	PUNCT
ejde-615	274	6	3−	3−	PROPN
ejde-615	274	7	2α)kα−2(4)i	2α)kα−2(4)i	NUM
ejde-615	274	8	+	+	CCONJ
ejde-615	274	9	(	(	PUNCT
ejde-615	274	10	α−	α−	ADP
ejde-615	274	11	2)(2α−	2)(2α−	NUM
ejde-615	274	12	3)kα−2(3)i	3)kα−2(3)i	NUM
ejde-615	274	13	+	+	CCONJ
ejde-615	274	14	(	(	PUNCT
ejde-615	274	15	2−	2−	NUM
ejde-615	274	16	α)(1−	α)(1−	NUM
ejde-615	274	17	α)(5−	α)(5−	NUM
ejde-615	274	18	2α	2α	NOUN
ejde-615	274	19	)	)	PUNCT
ejde-615	274	20	2	2	NUM
ejde-615	274	21	kα−2(2)i	kα−2(2)i	NOUN
ejde-615	274	22	−	−	PROPN
ejde-615	275	1	(	(	PUNCT
ejde-615	275	2	α−	α−	ADP
ejde-615	275	3	1)(3−	1)(3−	NUM
ejde-615	275	4	α)(α−	α)(α−	PRON
ejde-615	275	5	2)2	2)2	NUM
ejde-615	275	6	4	4	NUM
ejde-615	275	7	kα−2(1)i	kα−2(1)i	NOUN
ejde-615	275	8	+	+	CCONJ
ejde-615	275	9	k3−α(5)i	k3−α(5)i	PROPN
ejde-615	275	10	−	−	PROPN
ejde-615	275	11	2k3−α(4)i	2k3−α(4)i	NUM
ejde-615	276	1	+	+	PUNCT
ejde-615	276	2	k3−α(3)i	k3−α(3)i	PROPN
ejde-615	276	3	−	−	PROPN
ejde-615	277	1	k3−α(2)i	k3−α(2)i	NOUN
ejde-615	277	2	+	+	NOUN
ejde-615	277	3	2k3−α(1)i	2k3−α(1)i	NUM
ejde-615	277	4	=	=	NOUN
ejde-615	277	5	t.	t.	NOUN
ejde-615	277	6	this	this	PRON
ejde-615	277	7	completes	complete	VERB
ejde-615	277	8	the	the	DET
ejde-615	277	9	proof	proof	NOUN
ejde-615	277	10	.	.	PUNCT
ejde-615	278	1	□	□	PUNCT
ejde-615	278	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	278	3	3.5	3.5	NUM
ejde-615	278	4	.	.	PUNCT
ejde-615	279	1	let	let	VERB
ejde-615	279	2	x	x	PRON
ejde-615	279	3	be	be	AUX
ejde-615	279	4	a	a	DET
ejde-615	279	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	279	6	space	space	NOUN
ejde-615	279	7	,	,	PUNCT
ejde-615	279	8	t	t	PROPN
ejde-615	279	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	279	10	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	279	11	)	)	PUNCT
ejde-615	279	12	,	,	PUNCT
ejde-615	279	13	2	2	NUM
ejde-615	279	14	<	<	X
ejde-615	279	15	α	α	X
ejde-615	279	16	<	<	X
ejde-615	279	17	3	3	NUM
ejde-615	279	18	and	and	CCONJ
ejde-615	279	19	let	let	VERB
ejde-615	279	20	(	(	PUNCT
ejde-615	279	21	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	279	22	be	be	AUX
ejde-615	279	23	the	the	DET
ejde-615	279	24	α	α	NOUN
ejde-615	279	25	-	-	ADJ
ejde-615	279	26	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	279	27	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	279	28	given	give	VERB
ejde-615	279	29	by	by	ADP
ejde-615	279	30	definition	definition	NOUN
ejde-615	279	31	3.1	3.1	NUM
ejde-615	279	32	.	.	PUNCT
ejde-615	280	1	then	then	ADV
ejde-615	280	2	∆αpα(n	∆αpα(n	VERB
ejde-615	280	3	)	)	PUNCT
ejde-615	280	4	=	=	SYM
ejde-615	280	5	tpα(n	tpα(n	NOUN
ejde-615	280	6	)	)	PUNCT
ejde-615	280	7	for	for	ADP
ejde-615	280	8	all	all	DET
ejde-615	280	9	n	n	PRON
ejde-615	280	10	∈	∈	PROPN
ejde-615	280	11	n0	n0	PROPN
ejde-615	280	12	.	.	PUNCT
ejde-615	281	1	proof	proof	NOUN
ejde-615	281	2	.	.	PUNCT
ejde-615	282	1	first	first	ADV
ejde-615	282	2	note	note	VERB
ejde-615	282	3	that	that	SCONJ
ejde-615	282	4	∆αkα−2(n	∆αkα−2(n	NOUN
ejde-615	282	5	)	)	PUNCT
ejde-615	282	6	=	=	SYM
ejde-615	282	7	∆3∆−(3−α)kα−2(n	∆3∆−(3−α)kα−2(n	ADJ
ejde-615	282	8	)	)	PUNCT
ejde-615	282	9	=	=	SYM
ejde-615	282	10	∆3(k3−α	∆3(k3−α	PROPN
ejde-615	282	11	∗	∗	NOUN
ejde-615	282	12	kα−2)(n	kα−2)(n	PROPN
ejde-615	282	13	)	)	PUNCT
ejde-615	283	1	=	=	SYM
ejde-615	283	2	∆3k1(n	∆3k1(n	PROPN
ejde-615	283	3	)	)	PUNCT
ejde-615	283	4	=	=	SYM
ejde-615	283	5	0	0	NUM
ejde-615	283	6	(	(	PUNCT
ejde-615	283	7	3.9	3.9	NUM
ejde-615	283	8	)	)	PUNCT
ejde-615	283	9	10	10	NUM
ejde-615	283	10	j.	j.	PROPN
ejde-615	283	11	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	283	12	,	,	PUNCT
ejde-615	283	13	s.	s.	PROPN
ejde-615	283	14	bu	bu	PROPN
ejde-615	283	15	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	283	16	where	where	SCONJ
ejde-615	283	17	n	n	PROPN
ejde-615	283	18	∈	∈	PROPN
ejde-615	283	19	n0	n0	PROPN
ejde-615	283	20	.	.	PUNCT
ejde-615	284	1	by	by	ADP
ejde-615	284	2	(	(	PUNCT
ejde-615	284	3	ii	ii	NOUN
ejde-615	284	4	)	)	PUNCT
ejde-615	284	5	of	of	ADP
ejde-615	284	6	definition	definition	NOUN
ejde-615	284	7	3.1	3.1	NUM
ejde-615	284	8	,	,	PUNCT
ejde-615	284	9	we	we	PRON
ejde-615	284	10	obtain	obtain	VERB
ejde-615	284	11	n∑	n∑	DET
ejde-615	284	12	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	284	13	k3−α(j)pα(n+	k3−α(j)pα(n+	PROPN
ejde-615	284	14	3−	3−	NUM
ejde-615	284	15	j)−	j)−	PROPN
ejde-615	284	16	2	2	NUM
ejde-615	284	17	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	284	18	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	284	19	k3−α(j)pα(n+	k3−α(j)pα(n+	PROPN
ejde-615	284	20	2−	2−	NUM
ejde-615	284	21	j	j	NOUN
ejde-615	284	22	)	)	PUNCT
ejde-615	285	1	+	+	CCONJ
ejde-615	285	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	285	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	285	4	k3−α(j)pα(n+	k3−α(j)pα(n+	PROPN
ejde-615	286	1	1−	1−	NUM
ejde-615	286	2	j	j	PROPN
ejde-615	286	3	)	)	PUNCT
ejde-615	287	1	=	=	SYM
ejde-615	287	2	t	t	PROPN
ejde-615	287	3	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	287	4	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	288	1	k3−α(j)(kα−2	k3−α(j)(kα−2	PROPN
ejde-615	288	2	∗	∗	VERB
ejde-615	288	3	pα)(n−	pα)(n−	PROPN
ejde-615	288	4	j	j	PROPN
ejde-615	288	5	)	)	PUNCT
ejde-615	289	1	+	+	CCONJ
ejde-615	289	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	289	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	289	4	k3−α(j)kα−2(n+	k3−α(j)kα−2(n+	VERB
ejde-615	289	5	3−	3−	PROPN
ejde-615	289	6	j)i	j)i	NOUN
ejde-615	289	7	+	+	CCONJ
ejde-615	289	8	(	(	PUNCT
ejde-615	289	9	1−	1−	NUM
ejde-615	289	10	α	α	NOUN
ejde-615	289	11	)	)	PUNCT
ejde-615	289	12	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	289	13	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	289	14	kα−2(n+	kα−2(n+	PROPN
ejde-615	289	15	2−	2−	NUM
ejde-615	289	16	j)k3−α(j)i	j)k3−α(j)i	PROPN
ejde-615	289	17	+	+	CCONJ
ejde-615	289	18	(	(	PUNCT
ejde-615	289	19	α−	α−	ADP
ejde-615	289	20	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	289	21	2	2	NUM
ejde-615	289	22	)	)	PUNCT
ejde-615	289	23	2	2	NUM
ejde-615	289	24	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	289	25	j=0	j=0	VERB
ejde-615	289	26	kα−2(n+	kα−2(n+	PROPN
ejde-615	289	27	1−	1−	NUM
ejde-615	289	28	j)k3−α(j)i	j)k3−α(j)i	PROPN
ejde-615	289	29	where	where	SCONJ
ejde-615	289	30	n	n	PROPN
ejde-615	289	31	∈	∈	PROPN
ejde-615	289	32	n0	n0	PROPN
ejde-615	289	33	.	.	PUNCT
ejde-615	290	1	this	this	PRON
ejde-615	290	2	implies	imply	VERB
ejde-615	290	3	that	that	SCONJ
ejde-615	290	4	∆−(3−α)pα(n+	∆−(3−α)pα(n+	PROPN
ejde-615	291	1	3)−	3)−	NUM
ejde-615	291	2	2∆−(3−α)pα(n+	2∆−(3−α)pα(n+	NOUN
ejde-615	291	3	2	2	NUM
ejde-615	291	4	)	)	PUNCT
ejde-615	291	5	+	+	CCONJ
ejde-615	292	1	∆−(3−α)pα(n+	∆−(3−α)pα(n+	PROPN
ejde-615	292	2	1	1	NUM
ejde-615	292	3	)	)	PUNCT
ejde-615	292	4	−	−	PROPN
ejde-615	292	5	pα(2)k	pα(2)k	PART
ejde-615	292	6	3−α(n+	3−α(n+	NOUN
ejde-615	292	7	1)−	1)−	NUM
ejde-615	292	8	pα(1)k	pα(1)k	PROPN
ejde-615	292	9	3−α(n+	3−α(n+	PROPN
ejde-615	292	10	2	2	NUM
ejde-615	292	11	)	)	PUNCT
ejde-615	292	12	−	−	PROPN
ejde-615	292	13	k3−α(n+	k3−α(n+	PROPN
ejde-615	292	14	3)pα(0	3)pα(0	NUM
ejde-615	292	15	)	)	PUNCT
ejde-615	293	1	+	+	CCONJ
ejde-615	293	2	2k3−α(n+	2k3−α(n+	NUM
ejde-615	293	3	1)pα(1	1)pα(1	NUM
ejde-615	293	4	)	)	PUNCT
ejde-615	294	1	+	+	CCONJ
ejde-615	294	2	2k3−α(n+	2k3−α(n+	NUM
ejde-615	294	3	2)pα(0)−	2)pα(0)−	NUM
ejde-615	294	4	k3−α(n+	k3−α(n+	NOUN
ejde-615	294	5	1)pα(0	1)pα(0	NUM
ejde-615	294	6	)	)	PUNCT
ejde-615	295	1	=	=	NOUN
ejde-615	295	2	t∆−(3−α)(kα−2	t∆−(3−α)(kα−2	NOUN
ejde-615	295	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	295	4	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	295	5	)	)	PUNCT
ejde-615	296	1	+	+	NUM
ejde-615	296	2	∆−(3−α)kα−2(n+	∆−(3−α)kα−2(n+	PROPN
ejde-615	296	3	3)i	3)i	NUM
ejde-615	296	4	+	+	CCONJ
ejde-615	296	5	(	(	PUNCT
ejde-615	296	6	1−	1−	NUM
ejde-615	296	7	α)∆−(3−α)kα−2(n+	α)∆−(3−α)kα−2(n+	NUM
ejde-615	296	8	2)i	2)i	NUM
ejde-615	296	9	+	+	CCONJ
ejde-615	296	10	(	(	PUNCT
ejde-615	296	11	α−	α−	ADP
ejde-615	296	12	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	296	13	2	2	NUM
ejde-615	296	14	)	)	PUNCT
ejde-615	296	15	2	2	NUM
ejde-615	296	16	∆−(3−α)kα−2(n+	∆−(3−α)kα−2(n+	NOUN
ejde-615	296	17	1)i	1)i	NUM
ejde-615	296	18	−	−	PROPN
ejde-615	296	19	kα−2(0)k3−α(n+	kα−2(0)k3−α(n+	NOUN
ejde-615	297	1	3)i	3)i	NUM
ejde-615	297	2	−	−	NOUN
ejde-615	297	3	kα−2(1)k3−α(n+	kα−2(1)k3−α(n+	NOUN
ejde-615	297	4	2)i	2)i	NUM
ejde-615	297	5	−	−	PROPN
ejde-615	297	6	kα−2(2)k3−α(n+	kα−2(2)k3−α(n+	NOUN
ejde-615	297	7	1)i	1)i	NUM
ejde-615	297	8	−	−	PROPN
ejde-615	298	1	(	(	PUNCT
ejde-615	298	2	1−	1−	NUM
ejde-615	298	3	α)kα−2(1)k3−α(n+	α)kα−2(1)k3−α(n+	PROPN
ejde-615	298	4	1)i	1)i	NUM
ejde-615	298	5	−	−	PROPN
ejde-615	298	6	(	(	PUNCT
ejde-615	298	7	1−	1−	NUM
ejde-615	298	8	α)kα−2(0)k3−α(n+	α)kα−2(0)k3−α(n+	NOUN
ejde-615	298	9	2)i	2)i	NUM
ejde-615	298	10	−	−	PROPN
ejde-615	299	1	(	(	PUNCT
ejde-615	299	2	α−	α−	ADP
ejde-615	299	3	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	299	4	2	2	NUM
ejde-615	299	5	)	)	PUNCT
ejde-615	299	6	2	2	NUM
ejde-615	299	7	kα−2(0)k3−α(n+	kα−2(0)k3−α(n+	NOUN
ejde-615	299	8	1)i	1)i	NUM
ejde-615	299	9	for	for	ADP
ejde-615	299	10	n	n	DET
ejde-615	299	11	∈	∈	PROPN
ejde-615	299	12	n0	n0	PROPN
ejde-615	299	13	.	.	PUNCT
ejde-615	300	1	thus	thus	ADV
ejde-615	300	2	∆−(3−α)pα(n+	∆−(3−α)pα(n+	PROPN
ejde-615	301	1	3)−	3)−	NUM
ejde-615	301	2	2∆−(3−α)pα(n+	2∆−(3−α)pα(n+	NOUN
ejde-615	301	3	2	2	NUM
ejde-615	301	4	)	)	PUNCT
ejde-615	301	5	+	+	CCONJ
ejde-615	301	6	∆−(3−α)pα(n+	∆−(3−α)pα(n+	PROPN
ejde-615	301	7	1	1	NUM
ejde-615	301	8	)	)	PUNCT
ejde-615	301	9	=	=	NOUN
ejde-615	301	10	t∆−(3−α)(kα−2	t∆−(3−α)(kα−2	NOUN
ejde-615	301	11	∗	∗	NOUN
ejde-615	301	12	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	301	13	)	)	PUNCT
ejde-615	302	1	+	+	NUM
ejde-615	302	2	∆−(3−α)kα−2(n+	∆−(3−α)kα−2(n+	PROPN
ejde-615	302	3	3	3	NUM
ejde-615	302	4	)	)	PUNCT
ejde-615	302	5	+	+	CCONJ
ejde-615	302	6	(	(	PUNCT
ejde-615	302	7	1−	1−	NUM
ejde-615	302	8	α)∆−(3−α)kα−2(n+	α)∆−(3−α)kα−2(n+	NUM
ejde-615	302	9	2	2	NUM
ejde-615	302	10	)	)	PUNCT
ejde-615	302	11	+	+	CCONJ
ejde-615	302	12	(	(	PUNCT
ejde-615	302	13	α−	α−	ADP
ejde-615	302	14	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	302	15	2	2	NUM
ejde-615	302	16	)	)	PUNCT
ejde-615	302	17	2	2	NUM
ejde-615	302	18	∆−(3−α)kα−2(n+	∆−(3−α)kα−2(n+	PROPN
ejde-615	302	19	1	1	NUM
ejde-615	302	20	)	)	PUNCT
ejde-615	302	21	for	for	ADP
ejde-615	302	22	n	n	DET
ejde-615	302	23	∈	∈	PROPN
ejde-615	302	24	n0	n0	PROPN
ejde-615	302	25	.	.	PUNCT
ejde-615	302	26	consequently	consequently	ADV
ejde-615	302	27	∆αpα(n+	∆αpα(n+	VERB
ejde-615	302	28	3)−	3)−	NUM
ejde-615	302	29	2∆αpα(n+	2∆αpα(n+	NUM
ejde-615	302	30	2	2	NUM
ejde-615	302	31	)	)	PUNCT
ejde-615	302	32	+	+	CCONJ
ejde-615	302	33	∆αpα(n+	∆αpα(n+	NOUN
ejde-615	302	34	1	1	NUM
ejde-615	302	35	)	)	PUNCT
ejde-615	302	36	=	=	SYM
ejde-615	302	37	t∆α(pα	t∆α(pα	PROPN
ejde-615	302	38	∗	∗	NOUN
ejde-615	302	39	kα−2)(n	kα−2)(n	PROPN
ejde-615	302	40	)	)	PUNCT
ejde-615	302	41	by	by	ADP
ejde-615	302	42	(	(	PUNCT
ejde-615	302	43	3.9	3.9	NUM
ejde-615	302	44	)	)	PUNCT
ejde-615	302	45	for	for	ADP
ejde-615	302	46	n	n	DET
ejde-615	302	47	∈	∈	PROPN
ejde-615	302	48	n0	n0	PROPN
ejde-615	302	49	.	.	PUNCT
ejde-615	303	1	it	it	PRON
ejde-615	303	2	follows	follow	VERB
ejde-615	303	3	from	from	ADP
ejde-615	303	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	303	5	3.3	3.3	NUM
ejde-615	303	6	that	that	PRON
ejde-615	303	7	∆α(kα−2	∆α(kα−2	VERB
ejde-615	303	8	∗	∗	PROPN
ejde-615	303	9	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	303	10	)	)	PUNCT
ejde-615	304	1	=	=	PUNCT
ejde-615	304	2	(	(	PUNCT
ejde-615	304	3	∆αkα−2	∆αkα−2	NOUN
ejde-615	304	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	304	5	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	304	6	)	)	PUNCT
ejde-615	305	1	+	+	CCONJ
ejde-615	305	2	kα−2(0)pα(n+	kα−2(0)pα(n+	PROPN
ejde-615	305	3	3	3	NUM
ejde-615	305	4	)	)	PUNCT
ejde-615	306	1	+	+	CCONJ
ejde-615	306	2	[	[	PUNCT
ejde-615	306	3	kα−2(1)−	kα−2(1)−	NOUN
ejde-615	306	4	αkα−2(0	αkα−2(0	NOUN
ejde-615	306	5	)	)	PUNCT
ejde-615	306	6	]	]	PUNCT
ejde-615	307	1	pα(n+	pα(n+	PROPN
ejde-615	307	2	2	2	X
ejde-615	307	3	)	)	PUNCT
ejde-615	307	4	+	+	CCONJ
ejde-615	307	5	[	[	PUNCT
ejde-615	307	6	kα−2(2)−	kα−2(2)−	ADJ
ejde-615	307	7	αkα−2(1	αkα−2(1	NOUN
ejde-615	307	8	)	)	PUNCT
ejde-615	308	1	+	+	CCONJ
ejde-615	309	1	α(α−	α(α−	NOUN
ejde-615	309	2	1	1	NUM
ejde-615	309	3	)	)	SYM
ejde-615	309	4	2	2	NUM
ejde-615	309	5	kα−2(0	kα−2(0	NOUN
ejde-615	309	6	)	)	PUNCT
ejde-615	309	7	]	]	PUNCT
ejde-615	309	8	pα(n+	pα(n+	PROPN
ejde-615	309	9	1	1	X
ejde-615	309	10	)	)	PUNCT
ejde-615	309	11	=	=	PUNCT
ejde-615	309	12	pα(n+	pα(n+	X
ejde-615	309	13	3)−	3)−	NUM
ejde-615	309	14	2pα(n+	2pα(n+	NUM
ejde-615	309	15	2	2	NUM
ejde-615	309	16	)	)	PUNCT
ejde-615	309	17	+	+	CCONJ
ejde-615	309	18	pα(n+	pα(n+	NOUN
ejde-615	309	19	1	1	X
ejde-615	309	20	)	)	PUNCT
ejde-615	309	21	ejde-2024/20	ejde-2024/20	NOUN
ejde-615	309	22	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	309	23	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	309	24	for	for	ADP
ejde-615	309	25	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	309	26	difference	difference	NOUN
ejde-615	309	27	equations	equation	NOUN
ejde-615	309	28	11	11	NUM
ejde-615	309	29	for	for	ADP
ejde-615	309	30	n	n	DET
ejde-615	309	31	∈	∈	PROPN
ejde-615	309	32	n0	n0	PROPN
ejde-615	309	33	.	.	PUNCT
ejde-615	310	1	we	we	PRON
ejde-615	310	2	conclude	conclude	VERB
ejde-615	310	3	that	that	SCONJ
ejde-615	310	4	∆2∆αpα(n+	∆2∆αpα(n+	PROPN
ejde-615	310	5	1	1	NUM
ejde-615	310	6	)	)	PUNCT
ejde-615	310	7	=	=	SYM
ejde-615	310	8	∆2tpα(n+	∆2tpα(n+	NOUN
ejde-615	310	9	1	1	NUM
ejde-615	310	10	)	)	PUNCT
ejde-615	310	11	for	for	ADP
ejde-615	310	12	n	n	DET
ejde-615	310	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	310	14	n0	n0	PROPN
ejde-615	310	15	.	.	PUNCT
ejde-615	311	1	the	the	DET
ejde-615	311	2	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-615	311	3	follows	follow	VERB
ejde-615	311	4	easily	easily	ADV
ejde-615	311	5	from	from	ADP
ejde-615	311	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	311	7	3.4	3.4	NUM
ejde-615	311	8	.	.	PUNCT
ejde-615	312	1	the	the	DET
ejde-615	312	2	proof	proof	NOUN
ejde-615	312	3	is	be	AUX
ejde-615	312	4	complete	complete	ADJ
ejde-615	312	5	.	.	PUNCT
ejde-615	313	1	□	□	PUNCT
ejde-615	313	2	3.2	3.2	NUM
ejde-615	313	3	.	.	PUNCT
ejde-615	313	4	formula	formula	NOUN
ejde-615	313	5	of	of	ADP
ejde-615	313	6	solution	solution	NOUN
ejde-615	313	7	.	.	PUNCT
ejde-615	314	1	with	with	ADP
ejde-615	314	2	the	the	DET
ejde-615	314	3	help	help	NOUN
ejde-615	314	4	of	of	ADP
ejde-615	314	5	the	the	DET
ejde-615	314	6	α	α	NOUN
ejde-615	314	7	-	-	ADJ
ejde-615	314	8	resolvent	resolvent	ADJ
ejde-615	314	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	314	10	(	(	PUNCT
ejde-615	314	11	pα(n))n∈n0	pα(n))n∈n0	NOUN
ejde-615	314	12	,	,	PUNCT
ejde-615	314	13	we	we	PRON
ejde-615	314	14	are	be	AUX
ejde-615	314	15	able	able	ADJ
ejde-615	314	16	to	to	PART
ejde-615	314	17	give	give	VERB
ejde-615	314	18	the	the	DET
ejde-615	314	19	exact	exact	ADJ
ejde-615	314	20	expression	expression	NOUN
ejde-615	314	21	of	of	ADP
ejde-615	314	22	the	the	DET
ejde-615	314	23	solution	solution	NOUN
ejde-615	314	24	of	of	ADP
ejde-615	314	25	(	(	PUNCT
ejde-615	314	26	1.1	1.1	NUM
ejde-615	314	27	)	)	PUNCT
ejde-615	314	28	.	.	PUNCT
ejde-615	315	1	definition	definition	NOUN
ejde-615	315	2	3.6	3.6	NUM
ejde-615	315	3	.	.	PUNCT
ejde-615	316	1	for	for	ADP
ejde-615	316	2	2	2	NUM
ejde-615	316	3	<	<	X
ejde-615	316	4	α	α	X
ejde-615	316	5	<	<	X
ejde-615	316	6	3	3	NUM
ejde-615	316	7	,	,	PUNCT
ejde-615	316	8	we	we	PRON
ejde-615	316	9	define	define	VERB
ejde-615	316	10	the	the	DET
ejde-615	316	11	function	function	NOUN
ejde-615	316	12	hα	hα	ADP
ejde-615	316	13	:	:	PUNCT
ejde-615	316	14	n0	n0	X
ejde-615	316	15	→	→	SYM
ejde-615	316	16	r	r	NOUN
ejde-615	316	17	by	by	ADP
ejde-615	316	18	hα(0	hα(0	NOUN
ejde-615	316	19	)	)	PUNCT
ejde-615	316	20	=	=	SYM
ejde-615	316	21	1	1	NUM
ejde-615	316	22	,	,	PUNCT
ejde-615	316	23	hα(1	hα(1	PROPN
ejde-615	316	24	)	)	PUNCT
ejde-615	316	25	=	=	PUNCT
ejde-615	316	26	α−	α−	ADP
ejde-615	316	27	1	1	NUM
ejde-615	316	28	,	,	PUNCT
ejde-615	316	29	hα(2	hα(2	PROPN
ejde-615	316	30	)	)	PUNCT
ejde-615	316	31	=	=	SYM
ejde-615	316	32	α(α−1	α(α−1	X
ejde-615	316	33	)	)	PUNCT
ejde-615	316	34	2	2	NUM
ejde-615	316	35	,	,	PUNCT
ejde-615	316	36	and	and	CCONJ
ejde-615	316	37	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	316	38	3	3	X
ejde-615	316	39	)	)	PUNCT
ejde-615	317	1	+	+	CCONJ
ejde-615	317	2	(	(	PUNCT
ejde-615	317	3	1−	1−	NUM
ejde-615	317	4	α)hα(n+	α)hα(n+	NOUN
ejde-615	317	5	2	2	NUM
ejde-615	317	6	)	)	PUNCT
ejde-615	317	7	+	+	CCONJ
ejde-615	317	8	(	(	PUNCT
ejde-615	317	9	α−	α−	ADP
ejde-615	317	10	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	317	11	2	2	NUM
ejde-615	317	12	)	)	PUNCT
ejde-615	317	13	2	2	NUM
ejde-615	317	14	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	317	15	1	1	NUM
ejde-615	317	16	)	)	PUNCT
ejde-615	317	17	=	=	SYM
ejde-615	317	18	0	0	PUNCT
ejde-615	317	19	(	(	PUNCT
ejde-615	317	20	3.10	3.10	NUM
ejde-615	317	21	)	)	PUNCT
ejde-615	317	22	for	for	ADP
ejde-615	317	23	n	n	PRON
ejde-615	317	24	≥	≥	NOUN
ejde-615	317	25	0	0	NUM
ejde-615	317	26	.	.	PUNCT
ejde-615	317	27	remark	remark	VERB
ejde-615	317	28	3.7	3.7	NUM
ejde-615	317	29	.	.	PUNCT
ejde-615	318	1	let	let	VERB
ejde-615	318	2	(	(	PUNCT
ejde-615	318	3	hα(n))n∈n0	hα(n))n∈n0	VERB
ejde-615	318	4	be	be	AUX
ejde-615	318	5	defined	define	VERB
ejde-615	318	6	by	by	ADP
ejde-615	318	7	(	(	PUNCT
ejde-615	318	8	3.10	3.10	NUM
ejde-615	318	9	)	)	PUNCT
ejde-615	318	10	.	.	PUNCT
ejde-615	319	1	then	then	ADV
ejde-615	319	2	the	the	DET
ejde-615	319	3	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	319	4	transform	transform	NOUN
ejde-615	319	5	of	of	ADP
ejde-615	319	6	hα	hα	ADP
ejde-615	319	7	is	be	AUX
ejde-615	319	8	ĥα(z	ĥα(z	NOUN
ejde-615	319	9	)	)	PUNCT
ejde-615	319	10	=	=	SYM
ejde-615	319	11	z3	z3	PROPN
ejde-615	319	12	z3	z3	PROPN
ejde-615	319	13	+	+	CCONJ
ejde-615	319	14	(	(	PUNCT
ejde-615	319	15	1−	1−	NUM
ejde-615	319	16	α)z2	α)z2	NOUN
ejde-615	319	17	+	+	CCONJ
ejde-615	319	18	(	(	PUNCT
ejde-615	319	19	α−1)(α−2	α−1)(α−2	NOUN
ejde-615	319	20	)	)	PUNCT
ejde-615	319	21	2	2	NUM
ejde-615	319	22	z	z	NOUN
ejde-615	319	23	.	.	PUNCT
ejde-615	320	1	(	(	PUNCT
ejde-615	320	2	3.11	3.11	NUM
ejde-615	320	3	)	)	PUNCT
ejde-615	320	4	indeed	indeed	ADV
ejde-615	320	5	,	,	PUNCT
ejde-615	320	6	taking	take	VERB
ejde-615	320	7	the	the	DET
ejde-615	320	8	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	320	9	transform	transform	NOUN
ejde-615	320	10	on	on	ADP
ejde-615	320	11	both	both	DET
ejde-615	320	12	sides	side	NOUN
ejde-615	320	13	of	of	ADP
ejde-615	320	14	(	(	PUNCT
ejde-615	320	15	3.10	3.10	NUM
ejde-615	320	16	)	)	PUNCT
ejde-615	320	17	,	,	PUNCT
ejde-615	320	18	we	we	PRON
ejde-615	320	19	have	have	VERB
ejde-615	320	20	z3ĥα(z)−	z3ĥα(z)−	NUM
ejde-615	320	21	z3	z3	PROPN
ejde-615	320	22	−	−	PROPN
ejde-615	320	23	(	(	PUNCT
ejde-615	320	24	α−	α−	ADP
ejde-615	320	25	1)z2	1)z2	NUM
ejde-615	320	26	−	−	PROPN
ejde-615	320	27	α(α−	α(α−	PROPN
ejde-615	320	28	1	1	NUM
ejde-615	320	29	)	)	PUNCT
ejde-615	320	30	2	2	NUM
ejde-615	320	31	z	z	NOUN
ejde-615	320	32	+	+	CCONJ
ejde-615	320	33	(	(	PUNCT
ejde-615	320	34	1−	1−	NUM
ejde-615	320	35	α	α	NOUN
ejde-615	320	36	)	)	PUNCT
ejde-615	320	37	[	[	PUNCT
ejde-615	320	38	z2ĥα(z)−	z2ĥα(z)−	PROPN
ejde-615	320	39	z2	z2	NOUN
ejde-615	320	40	−	−	PROPN
ejde-615	321	1	(	(	PUNCT
ejde-615	321	2	α−	α−	ADP
ejde-615	321	3	1)z	1)z	NUM
ejde-615	321	4	]	]	PUNCT
ejde-615	322	1	+	+	CCONJ
ejde-615	322	2	(	(	PUNCT
ejde-615	322	3	α−	α−	ADP
ejde-615	322	4	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	322	5	2	2	NUM
ejde-615	322	6	)	)	PUNCT
ejde-615	322	7	2	2	NUM
ejde-615	322	8	[	[	PUNCT
ejde-615	322	9	zĥα(z)−	zĥα(z)−	X
ejde-615	322	10	z	z	NOUN
ejde-615	322	11	]	]	PUNCT
ejde-615	323	1	=	=	PUNCT
ejde-615	323	2	0	0	PUNCT
ejde-615	323	3	when	when	SCONJ
ejde-615	323	4	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	323	5	=	=	SYM
ejde-615	323	6	1	1	NUM
ejde-615	323	7	,	,	PUNCT
ejde-615	323	8	which	which	PRON
ejde-615	323	9	implies	imply	VERB
ejde-615	323	10	that	that	SCONJ
ejde-615	323	11	[	[	PUNCT
ejde-615	323	12	z3	z3	NOUN
ejde-615	323	13	+	+	CCONJ
ejde-615	323	14	(	(	PUNCT
ejde-615	323	15	1−	1−	NUM
ejde-615	323	16	α)z2	α)z2	NOUN
ejde-615	323	17	+	+	CCONJ
ejde-615	323	18	(	(	PUNCT
ejde-615	323	19	α−	α−	ADP
ejde-615	323	20	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	323	21	2	2	NUM
ejde-615	323	22	)	)	PUNCT
ejde-615	323	23	2	2	NUM
ejde-615	323	24	z	z	NOUN
ejde-615	323	25	]	]	PUNCT
ejde-615	323	26	ĥα(z	ĥα(z	NOUN
ejde-615	323	27	)	)	PUNCT
ejde-615	323	28	=	=	SYM
ejde-615	323	29	z3	z3	NOUN
ejde-615	323	30	(	(	PUNCT
ejde-615	323	31	3.12	3.12	NUM
ejde-615	323	32	)	)	PUNCT
ejde-615	323	33	for	for	ADP
ejde-615	323	34	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	323	35	=	=	SYM
ejde-615	323	36	1	1	X
ejde-615	323	37	.	.	PUNCT
ejde-615	324	1	thus	thus	ADV
ejde-615	324	2	(	(	PUNCT
ejde-615	324	3	3.11	3.11	NUM
ejde-615	324	4	)	)	PUNCT
ejde-615	324	5	holds	hold	VERB
ejde-615	324	6	for	for	ADP
ejde-615	324	7	all	all	DET
ejde-615	324	8	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	324	9	=	=	SYM
ejde-615	324	10	1	1	X
ejde-615	324	11	.	.	PUNCT
ejde-615	325	1	now	now	ADV
ejde-615	325	2	we	we	PRON
ejde-615	325	3	are	be	AUX
ejde-615	325	4	ready	ready	ADJ
ejde-615	325	5	to	to	PART
ejde-615	325	6	state	state	VERB
ejde-615	325	7	the	the	DET
ejde-615	325	8	main	main	ADJ
ejde-615	325	9	result	result	NOUN
ejde-615	325	10	of	of	ADP
ejde-615	325	11	this	this	DET
ejde-615	325	12	section	section	NOUN
ejde-615	325	13	.	.	PUNCT
ejde-615	326	1	theorem	theorem	VERB
ejde-615	326	2	3.8	3.8	NUM
ejde-615	326	3	.	.	PUNCT
ejde-615	327	1	let	let	VERB
ejde-615	327	2	x	x	PRON
ejde-615	327	3	be	be	AUX
ejde-615	327	4	a	a	DET
ejde-615	327	5	banach	banach	NOUN
ejde-615	327	6	space	space	NOUN
ejde-615	327	7	,	,	PUNCT
ejde-615	327	8	t	t	PROPN
ejde-615	327	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	327	10	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	327	11	)	)	PUNCT
ejde-615	327	12	,	,	PUNCT
ejde-615	327	13	2	2	NUM
ejde-615	327	14	<	<	X
ejde-615	327	15	α	α	X
ejde-615	327	16	<	<	X
ejde-615	327	17	3	3	NUM
ejde-615	327	18	and	and	CCONJ
ejde-615	327	19	let	let	VERB
ejde-615	327	20	f	f	PROPN
ejde-615	327	21	∈	∈	PROPN
ejde-615	327	22	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	327	23	)	)	PUNCT
ejde-615	327	24	be	be	AUX
ejde-615	327	25	given	give	VERB
ejde-615	327	26	.	.	PUNCT
ejde-615	328	1	then	then	ADV
ejde-615	328	2	(	(	PUNCT
ejde-615	328	3	1.1	1.1	NUM
ejde-615	328	4	)	)	PUNCT
ejde-615	328	5	has	have	VERB
ejde-615	328	6	a	a	DET
ejde-615	328	7	unique	unique	ADJ
ejde-615	328	8	solution	solution	NOUN
ejde-615	328	9	u	u	NOUN
ejde-615	328	10	∈	∈	PROPN
ejde-615	328	11	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	328	12	)	)	PUNCT
ejde-615	328	13	defined	define	VERB
ejde-615	328	14	by	by	ADP
ejde-615	328	15	u(0	u(0	PROPN
ejde-615	328	16	)	)	PUNCT
ejde-615	328	17	=	=	SYM
ejde-615	329	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	329	2	)	)	PUNCT
ejde-615	329	3	=	=	SYM
ejde-615	329	4	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	329	5	)	)	PUNCT
ejde-615	329	6	=	=	SYM
ejde-615	329	7	0	0	NUM
ejde-615	329	8	,	,	PUNCT
ejde-615	329	9	and	and	CCONJ
ejde-615	329	10	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	329	11	)	)	PUNCT
ejde-615	329	12	=	=	NOUN
ejde-615	329	13	(	(	PUNCT
ejde-615	329	14	hα	hα	ADP
ejde-615	329	15	∗	∗	NOUN
ejde-615	329	16	pα	pα	NOUN
ejde-615	329	17	∗	∗	NOUN
ejde-615	329	18	f)(n−	f)(n−	NOUN
ejde-615	329	19	3	3	NUM
ejde-615	329	20	)	)	PUNCT
ejde-615	329	21	(	(	PUNCT
ejde-615	329	22	3.13	3.13	NUM
ejde-615	329	23	)	)	PUNCT
ejde-615	329	24	for	for	ADP
ejde-615	329	25	n	n	X
ejde-615	329	26	≥	≥	NUM
ejde-615	329	27	3	3	NUM
ejde-615	329	28	.	.	PUNCT
ejde-615	329	29	proof	proof	NOUN
ejde-615	329	30	.	.	PUNCT
ejde-615	330	1	let	let	VERB
ejde-615	330	2	u	u	PRON
ejde-615	330	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	330	4	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	330	5	)	)	PUNCT
ejde-615	330	6	.	.	PUNCT
ejde-615	331	1	by	by	ADP
ejde-615	331	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	331	3	3.3	3.3	NUM
ejde-615	331	4	,	,	PUNCT
ejde-615	331	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	331	6	3.5	3.5	NUM
ejde-615	331	7	and	and	CCONJ
ejde-615	331	8	definition	definition	NOUN
ejde-615	331	9	3.6	3.6	NUM
ejde-615	331	10	,	,	PUNCT
ejde-615	331	11	we	we	PRON
ejde-615	331	12	have	have	VERB
ejde-615	331	13	∆α	∆α	PROPN
ejde-615	331	14	(	(	PUNCT
ejde-615	331	15	hα	hα	ADP
ejde-615	331	16	∗	∗	NOUN
ejde-615	331	17	pα	pα	NOUN
ejde-615	331	18	)	)	PUNCT
ejde-615	331	19	(	(	PUNCT
ejde-615	331	20	n	n	CCONJ
ejde-615	331	21	)	)	PUNCT
ejde-615	331	22	=	=	SYM
ejde-615	331	23	(	(	PUNCT
ejde-615	331	24	hα	hα	ADP
ejde-615	331	25	∗∆αpα)(n	∗∆αpα)(n	PROPN
ejde-615	331	26	)	)	PUNCT
ejde-615	332	1	+	+	NUM
ejde-615	332	2	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	333	1	3)pα(0	3)pα(0	NUM
ejde-615	333	2	)	)	PUNCT
ejde-615	334	1	+	+	CCONJ
ejde-615	334	2	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	334	3	2	2	X
ejde-615	334	4	)	)	PUNCT
ejde-615	334	5	[	[	PUNCT
ejde-615	334	6	pα(1)−	pα(1)−	NOUN
ejde-615	334	7	αpα(0	αpα(0	NOUN
ejde-615	334	8	)	)	PUNCT
ejde-615	334	9	]	]	PUNCT
ejde-615	335	1	+	+	CCONJ
ejde-615	335	2	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	335	3	1	1	X
ejde-615	335	4	)	)	PUNCT
ejde-615	335	5	[	[	PUNCT
ejde-615	335	6	pα(2)−	pα(2)−	ADJ
ejde-615	335	7	αpα(1	αpα(1	NOUN
ejde-615	335	8	)	)	PUNCT
ejde-615	336	1	+	+	CCONJ
ejde-615	336	2	α(α−	α(α−	NOUN
ejde-615	336	3	1	1	NUM
ejde-615	336	4	)	)	SYM
ejde-615	336	5	2	2	NUM
ejde-615	336	6	pα(0	pα(0	NOUN
ejde-615	336	7	)	)	PUNCT
ejde-615	336	8	]	]	PUNCT
ejde-615	337	1	=	=	PUNCT
ejde-615	337	2	(	(	PUNCT
ejde-615	337	3	thα	thα	INTJ
ejde-615	337	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	337	5	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	337	6	)	)	PUNCT
ejde-615	338	1	+	+	CCONJ
ejde-615	338	2	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	338	3	3	3	X
ejde-615	338	4	)	)	PUNCT
ejde-615	338	5	+	+	CCONJ
ejde-615	338	6	(	(	PUNCT
ejde-615	338	7	1−	1−	NUM
ejde-615	338	8	α)hα(n+	α)hα(n+	NOUN
ejde-615	338	9	2	2	NUM
ejde-615	338	10	)	)	PUNCT
ejde-615	338	11	+	+	CCONJ
ejde-615	338	12	(	(	PUNCT
ejde-615	338	13	α−	α−	ADP
ejde-615	338	14	1)(α−	1)(α−	NUM
ejde-615	338	15	2	2	NUM
ejde-615	338	16	)	)	PUNCT
ejde-615	338	17	2	2	NUM
ejde-615	338	18	hα(n+	hα(n+	NOUN
ejde-615	338	19	1	1	NUM
ejde-615	338	20	)	)	PUNCT
ejde-615	338	21	=	=	SYM
ejde-615	338	22	t	t	PROPN
ejde-615	338	23	(	(	PUNCT
ejde-615	338	24	hα	hα	ADP
ejde-615	338	25	∗	∗	NOUN
ejde-615	338	26	pα)(n	pα)(n	PROPN
ejde-615	338	27	)	)	PUNCT
ejde-615	338	28	(	(	PUNCT
ejde-615	338	29	3.14	3.14	NUM
ejde-615	338	30	)	)	PUNCT
ejde-615	338	31	12	12	NUM
ejde-615	338	32	j.	j.	PROPN
ejde-615	338	33	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	338	34	,	,	PUNCT
ejde-615	338	35	s.	s.	PROPN
ejde-615	338	36	bu	bu	PROPN
ejde-615	338	37	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	338	38	for	for	ADP
ejde-615	338	39	n	n	DET
ejde-615	338	40	∈	∈	PROPN
ejde-615	338	41	n0	n0	PROPN
ejde-615	338	42	.	.	PUNCT
ejde-615	339	1	we	we	PRON
ejde-615	339	2	deduce	deduce	VERB
ejde-615	339	3	from	from	ADP
ejde-615	339	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	339	5	3.3	3.3	NUM
ejde-615	339	6	,	,	PUNCT
ejde-615	339	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-615	339	8	3.5	3.5	NUM
ejde-615	339	9	and	and	CCONJ
ejde-615	339	10	(	(	PUNCT
ejde-615	339	11	3.14	3.14	NUM
ejde-615	339	12	)	)	PUNCT
ejde-615	339	13	that	that	PRON
ejde-615	339	14	∆α	∆α	PROPN
ejde-615	339	15	(	(	PUNCT
ejde-615	339	16	hα	hα	ADP
ejde-615	339	17	∗	∗	NOUN
ejde-615	339	18	pα	pα	NOUN
ejde-615	339	19	∗	∗	PROPN
ejde-615	339	20	f	f	PROPN
ejde-615	339	21	)	)	PUNCT
ejde-615	339	22	(	(	PUNCT
ejde-615	339	23	n	n	CCONJ
ejde-615	339	24	)	)	PUNCT
ejde-615	339	25	=	=	SYM
ejde-615	339	26	(	(	PUNCT
ejde-615	339	27	∆α(hα	∆α(hα	NOUN
ejde-615	339	28	∗	∗	NOUN
ejde-615	339	29	pα	pα	NOUN
ejde-615	339	30	)	)	PUNCT
ejde-615	339	31	∗	∗	NOUN
ejde-615	339	32	f)(n	f)(n	PROPN
ejde-615	339	33	)	)	PUNCT
ejde-615	340	1	+	+	CCONJ
ejde-615	340	2	(	(	PUNCT
ejde-615	340	3	hα	hα	ADP
ejde-615	340	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	5	pα)(0)f(n+	pα)(0)f(n+	PROPN
ejde-615	340	6	3	3	NUM
ejde-615	340	7	)	)	PUNCT
ejde-615	340	8	+	+	CCONJ
ejde-615	340	9	[	[	PUNCT
ejde-615	340	10	(	(	PUNCT
ejde-615	340	11	hα	hα	ADP
ejde-615	340	12	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	13	pα)(1)−	pα)(1)−	PROPN
ejde-615	340	14	α(hα	α(hα	NUM
ejde-615	340	15	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	16	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	340	17	)	)	PUNCT
ejde-615	340	18	]	]	PUNCT
ejde-615	340	19	f(n+	f(n+	X
ejde-615	340	20	2	2	X
ejde-615	340	21	)	)	PUNCT
ejde-615	340	22	+	+	CCONJ
ejde-615	340	23	[	[	PUNCT
ejde-615	340	24	(	(	PUNCT
ejde-615	340	25	hα	hα	ADP
ejde-615	340	26	∗	∗	X
ejde-615	340	27	pα)(2)−	pα)(2)−	PROPN
ejde-615	340	28	α(hα	α(hα	PROPN
ejde-615	340	29	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	30	pα)(1	pα)(1	NOUN
ejde-615	340	31	)	)	PUNCT
ejde-615	340	32	+	+	CCONJ
ejde-615	340	33	α(α−	α(α−	NOUN
ejde-615	340	34	1	1	NUM
ejde-615	340	35	)	)	PUNCT
ejde-615	340	36	2	2	NUM
ejde-615	340	37	(	(	PUNCT
ejde-615	340	38	hα	hα	ADP
ejde-615	340	39	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	40	pα)(0	pα)(0	NUM
ejde-615	340	41	)	)	PUNCT
ejde-615	340	42	]	]	PUNCT
ejde-615	340	43	f(n+	f(n+	X
ejde-615	340	44	1	1	X
ejde-615	340	45	)	)	PUNCT
ejde-615	340	46	=	=	PRON
ejde-615	340	47	(	(	PUNCT
ejde-615	340	48	∆α(hα	∆α(hα	NOUN
ejde-615	340	49	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	50	pα	pα	NOUN
ejde-615	340	51	)	)	PUNCT
ejde-615	340	52	∗	∗	PROPN
ejde-615	340	53	f	f	PROPN
ejde-615	340	54	)	)	PUNCT
ejde-615	340	55	(	(	PUNCT
ejde-615	340	56	n	n	CCONJ
ejde-615	340	57	)	)	PUNCT
ejde-615	340	58	+	+	CCONJ
ejde-615	340	59	f(n+	f(n+	X
ejde-615	340	60	3	3	NUM
ejde-615	340	61	)	)	PUNCT
ejde-615	340	62	=	=	SYM
ejde-615	340	63	t	t	PROPN
ejde-615	340	64	(	(	PUNCT
ejde-615	340	65	pα	pα	INTJ
ejde-615	340	66	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	67	hα	hα	ADP
ejde-615	340	68	∗	∗	NOUN
ejde-615	340	69	f)(n	f)(n	PROPN
ejde-615	340	70	)	)	PUNCT
ejde-615	340	71	+	+	CCONJ
ejde-615	340	72	f(n+	f(n+	X
ejde-615	340	73	3	3	NUM
ejde-615	340	74	)	)	PUNCT
ejde-615	340	75	(	(	PUNCT
ejde-615	340	76	3.15	3.15	NUM
ejde-615	340	77	)	)	PUNCT
ejde-615	340	78	where	where	SCONJ
ejde-615	340	79	n	n	X
ejde-615	340	80	∈	∈	PROPN
ejde-615	340	81	n0	n0	PROPN
ejde-615	340	82	.	.	PUNCT
ejde-615	341	1	we	we	PRON
ejde-615	341	2	claim	claim	VERB
ejde-615	341	3	that	that	SCONJ
ejde-615	341	4	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	341	5	)	)	PUNCT
ejde-615	342	1	=	=	SYM
ejde-615	342	2	∆α(pα	∆α(pα	PROPN
ejde-615	342	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	342	4	hα	hα	ADP
ejde-615	342	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	342	6	f)(n−	f)(n−	NOUN
ejde-615	342	7	3	3	NUM
ejde-615	342	8	)	)	PUNCT
ejde-615	342	9	(	(	PUNCT
ejde-615	342	10	3.16	3.16	NUM
ejde-615	342	11	)	)	PUNCT
ejde-615	342	12	where	where	SCONJ
ejde-615	342	13	n	n	PRON
ejde-615	342	14	≥	≥	NOUN
ejde-615	342	15	3	3	NUM
ejde-615	342	16	.	.	PUNCT
ejde-615	343	1	indeed	indeed	ADV
ejde-615	343	2	,	,	PUNCT
ejde-615	343	3	since	since	SCONJ
ejde-615	343	4	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	343	5	)	)	PUNCT
ejde-615	343	6	=	=	SYM
ejde-615	343	7	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	343	8	)	)	PUNCT
ejde-615	343	9	=	=	SYM
ejde-615	343	10	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	343	11	)	)	PUNCT
ejde-615	343	12	=	=	SYM
ejde-615	343	13	0	0	NUM
ejde-615	343	14	,	,	PUNCT
ejde-615	343	15	we	we	PRON
ejde-615	343	16	have	have	VERB
ejde-615	343	17	∆−(3−α)u(n	∆−(3−α)u(n	NOUN
ejde-615	343	18	)	)	PUNCT
ejde-615	343	19	=	=	PUNCT
ejde-615	344	1	(	(	PUNCT
ejde-615	344	2	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	344	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	344	4	u)(n	u)(n	PROPN
ejde-615	344	5	)	)	PUNCT
ejde-615	345	1	=	=	SYM
ejde-615	345	2	n∑	n∑	NOUN
ejde-615	345	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	345	4	k3−α(j)u(n−	k3−α(j)u(n−	PROPN
ejde-615	345	5	j	j	PROPN
ejde-615	345	6	)	)	PUNCT
ejde-615	345	7	=	=	PUNCT
ejde-615	345	8	n−3∑	n−3∑	PROPN
ejde-615	345	9	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	345	10	k3−α(j)(hα	k3−α(j)(hα	PROPN
ejde-615	345	11	∗	∗	NOUN
ejde-615	345	12	pα	pα	NOUN
ejde-615	345	13	∗	∗	NOUN
ejde-615	345	14	f)(n−	f)(n−	VERB
ejde-615	345	15	3−	3−	PROPN
ejde-615	345	16	j	j	NOUN
ejde-615	345	17	)	)	PUNCT
ejde-615	346	1	=	=	VERB
ejde-615	346	2	∆−(3−α)(hα	∆−(3−α)(hα	ADV
ejde-615	346	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	346	4	pα	pα	NOUN
ejde-615	346	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	346	6	f)(n−	f)(n−	NOUN
ejde-615	346	7	3	3	NUM
ejde-615	346	8	)	)	PUNCT
ejde-615	346	9	for	for	ADP
ejde-615	346	10	n	n	X
ejde-615	346	11	≥	≥	NUM
ejde-615	346	12	3	3	NUM
ejde-615	346	13	,	,	PUNCT
ejde-615	346	14	which	which	PRON
ejde-615	346	15	clearly	clearly	ADV
ejde-615	346	16	implies	imply	VERB
ejde-615	346	17	that	that	SCONJ
ejde-615	346	18	(	(	PUNCT
ejde-615	346	19	3.16	3.16	NUM
ejde-615	346	20	)	)	PUNCT
ejde-615	346	21	is	be	AUX
ejde-615	346	22	true	true	ADJ
ejde-615	346	23	as	as	ADP
ejde-615	346	24	∆α	∆α	PROPN
ejde-615	346	25	=	=	SYM
ejde-615	346	26	∆3∆−(3−α	∆3∆−(3−α	PROPN
ejde-615	346	27	)	)	PUNCT
ejde-615	346	28	by	by	ADP
ejde-615	346	29	(	(	PUNCT
ejde-615	346	30	2.6	2.6	NUM
ejde-615	346	31	)	)	PUNCT
ejde-615	346	32	.	.	PUNCT
ejde-615	347	1	it	it	PRON
ejde-615	347	2	follows	follow	VERB
ejde-615	347	3	from	from	ADP
ejde-615	347	4	(	(	PUNCT
ejde-615	347	5	3.15	3.15	NUM
ejde-615	347	6	)	)	PUNCT
ejde-615	347	7	and	and	CCONJ
ejde-615	347	8	(	(	PUNCT
ejde-615	347	9	3.16	3.16	NUM
ejde-615	347	10	)	)	PUNCT
ejde-615	347	11	that	that	DET
ejde-615	347	12	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	347	13	)	)	PUNCT
ejde-615	347	14	=	=	SYM
ejde-615	348	1	tu(n	tu(n	PROPN
ejde-615	348	2	)	)	PUNCT
ejde-615	349	1	+	+	CCONJ
ejde-615	349	2	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	349	3	)	)	PUNCT
ejde-615	349	4	(	(	PUNCT
ejde-615	349	5	3.17	3.17	NUM
ejde-615	349	6	)	)	PUNCT
ejde-615	349	7	for	for	ADP
ejde-615	349	8	n	n	X
ejde-615	349	9	≥	≥	NOUN
ejde-615	349	10	3	3	NUM
ejde-615	349	11	.	.	PUNCT
ejde-615	350	1	now	now	ADV
ejde-615	350	2	we	we	PRON
ejde-615	350	3	are	be	AUX
ejde-615	350	4	going	go	VERB
ejde-615	350	5	to	to	PART
ejde-615	350	6	show	show	VERB
ejde-615	350	7	that	that	SCONJ
ejde-615	350	8	equality	equality	NOUN
ejde-615	350	9	(	(	PUNCT
ejde-615	350	10	3.17	3.17	NUM
ejde-615	350	11	)	)	PUNCT
ejde-615	350	12	remains	remain	VERB
ejde-615	350	13	valid	valid	ADJ
ejde-615	350	14	when	when	SCONJ
ejde-615	350	15	0	0	NUM
ejde-615	350	16	≤	≤	NUM
ejde-615	350	17	n	n	CCONJ
ejde-615	350	18	≤	≤	NOUN
ejde-615	350	19	2	2	NUM
ejde-615	350	20	.	.	PUNCT
ejde-615	351	1	indeed	indeed	ADV
ejde-615	351	2	,	,	PUNCT
ejde-615	351	3	it	it	PRON
ejde-615	351	4	follows	follow	VERB
ejde-615	351	5	from	from	ADP
ejde-615	351	6	(	(	PUNCT
ejde-615	351	7	3.13	3.13	NUM
ejde-615	351	8	)	)	PUNCT
ejde-615	351	9	that	that	SCONJ
ejde-615	351	10	u(3	u(3	NOUN
ejde-615	351	11	)	)	PUNCT
ejde-615	351	12	=	=	PUNCT
ejde-615	352	1	(	(	PUNCT
ejde-615	352	2	hα	hα	ADP
ejde-615	352	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	352	4	pα	pα	NOUN
ejde-615	352	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	352	6	f)(0	f)(0	NUM
ejde-615	352	7	)	)	PUNCT
ejde-615	353	1	=	=	NOUN
ejde-615	353	2	(	(	PUNCT
ejde-615	353	3	hα	hα	ADP
ejde-615	353	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	353	5	pα)(0)f(0	pα)(0)f(0	NOUN
ejde-615	353	6	)	)	PUNCT
ejde-615	353	7	=	=	SYM
ejde-615	353	8	hα(0)pα(0)f(0	hα(0)pα(0)f(0	NOUN
ejde-615	353	9	)	)	PUNCT
ejde-615	353	10	=	=	SYM
ejde-615	353	11	f(0	f(0	NOUN
ejde-615	353	12	)	)	PUNCT
ejde-615	353	13	;	;	PUNCT
ejde-615	353	14	(	(	PUNCT
ejde-615	353	15	3.18	3.18	NUM
ejde-615	353	16	)	)	PUNCT
ejde-615	353	17	u(4	u(4	PROPN
ejde-615	353	18	)	)	PUNCT
ejde-615	353	19	=	=	PUNCT
ejde-615	353	20	(	(	PUNCT
ejde-615	353	21	hα	hα	ADP
ejde-615	353	22	∗	∗	NOUN
ejde-615	353	23	pα	pα	NOUN
ejde-615	353	24	∗	∗	NOUN
ejde-615	353	25	f)(1	f)(1	X
ejde-615	353	26	)	)	PUNCT
ejde-615	353	27	=	=	SYM
ejde-615	353	28	(	(	PUNCT
ejde-615	353	29	hα	hα	ADP
ejde-615	353	30	∗	∗	NOUN
ejde-615	353	31	pα)(1)f(0	pα)(1)f(0	PROPN
ejde-615	353	32	)	)	PUNCT
ejde-615	354	1	+	+	CCONJ
ejde-615	354	2	(	(	PUNCT
ejde-615	354	3	hα	hα	ADP
ejde-615	354	4	∗	∗	X
ejde-615	354	5	pα)(0)f(1	pα)(0)f(1	X
ejde-615	354	6	)	)	PUNCT
ejde-615	355	1	=	=	SYM
ejde-615	355	2	[	[	PUNCT
ejde-615	355	3	hα(1)pα(0	hα(1)pα(0	NOUN
ejde-615	355	4	)	)	PUNCT
ejde-615	355	5	+	+	NUM
ejde-615	355	6	hα(0)pα(1	hα(0)pα(1	PROPN
ejde-615	355	7	)	)	PUNCT
ejde-615	355	8	]	]	PUNCT
ejde-615	356	1	f(0	f(0	NOUN
ejde-615	356	2	)	)	PUNCT
ejde-615	357	1	+	+	SYM
ejde-615	357	2	hα(0)pα(0)f(1	hα(0)pα(0)f(1	NOUN
ejde-615	357	3	)	)	PUNCT
ejde-615	357	4	=	=	SYM
ejde-615	357	5	αf(0	αf(0	PROPN
ejde-615	357	6	)	)	PUNCT
ejde-615	357	7	+	+	CCONJ
ejde-615	357	8	f(1	f(1	NOUN
ejde-615	357	9	)	)	PUNCT
ejde-615	357	10	;	;	PUNCT
ejde-615	357	11	(	(	PUNCT
ejde-615	357	12	3.19	3.19	NUM
ejde-615	357	13	)	)	PUNCT
ejde-615	357	14	u(5	u(5	NOUN
ejde-615	357	15	)	)	PUNCT
ejde-615	357	16	=	=	PUNCT
ejde-615	358	1	(	(	PUNCT
ejde-615	358	2	hα	hα	ADP
ejde-615	358	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	358	4	pα	pα	NOUN
ejde-615	358	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	358	6	f)(2	f)(2	NOUN
ejde-615	358	7	)	)	PUNCT
ejde-615	358	8	=	=	NOUN
ejde-615	359	1	(	(	PUNCT
ejde-615	359	2	hα	hα	ADP
ejde-615	359	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	359	4	pα)(2)f(0	pα)(2)f(0	NOUN
ejde-615	359	5	)	)	PUNCT
ejde-615	360	1	+	+	CCONJ
ejde-615	360	2	(	(	PUNCT
ejde-615	360	3	hα	hα	ADP
ejde-615	360	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	360	5	pα)(1)f(1	pα)(1)f(1	NOUN
ejde-615	360	6	)	)	PUNCT
ejde-615	361	1	+	+	CCONJ
ejde-615	361	2	(	(	PUNCT
ejde-615	361	3	hα	hα	ADP
ejde-615	361	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	361	5	pα)(0)f(2	pα)(0)f(2	X
ejde-615	361	6	)	)	PUNCT
ejde-615	361	7	=	=	VERB
ejde-615	362	1	[	[	PUNCT
ejde-615	362	2	hα(2)pα(0	hα(2)pα(0	NOUN
ejde-615	362	3	)	)	PUNCT
ejde-615	362	4	+	+	SYM
ejde-615	362	5	hα(1)pα(1	hα(1)pα(1	NOUN
ejde-615	362	6	)	)	PUNCT
ejde-615	363	1	+	+	X
ejde-615	363	2	hα(0)pα(2	hα(0)pα(2	NOUN
ejde-615	363	3	)	)	PUNCT
ejde-615	363	4	]	]	PUNCT
ejde-615	364	1	f(0	f(0	NOUN
ejde-615	364	2	)	)	PUNCT
ejde-615	365	1	+	+	CCONJ
ejde-615	365	2	[	[	PUNCT
ejde-615	365	3	hα(1)pα(0	hα(1)pα(0	NOUN
ejde-615	365	4	)	)	PUNCT
ejde-615	365	5	+	+	NUM
ejde-615	365	6	hα(0)pα(1	hα(0)pα(1	PROPN
ejde-615	365	7	)	)	PUNCT
ejde-615	365	8	]	]	PUNCT
ejde-615	366	1	f(1	f(1	X
ejde-615	366	2	)	)	PUNCT
ejde-615	367	1	+	+	SYM
ejde-615	367	2	hα(0)pα(0)f(2	hα(0)pα(0)f(2	NOUN
ejde-615	367	3	)	)	PUNCT
ejde-615	367	4	=	=	PUNCT
ejde-615	368	1	α(α+	α(α+	NUM
ejde-615	368	2	1	1	NUM
ejde-615	368	3	)	)	SYM
ejde-615	368	4	2	2	NUM
ejde-615	368	5	f(0	f(0	NOUN
ejde-615	368	6	)	)	PUNCT
ejde-615	369	1	+	+	SYM
ejde-615	369	2	αf(1	αf(1	NOUN
ejde-615	369	3	)	)	PUNCT
ejde-615	369	4	+	+	NOUN
ejde-615	369	5	f(2	f(2	PROPN
ejde-615	369	6	)	)	PUNCT
ejde-615	369	7	.	.	PUNCT
ejde-615	370	1	(	(	PUNCT
ejde-615	370	2	3.20	3.20	NUM
ejde-615	370	3	)	)	PUNCT
ejde-615	370	4	on	on	ADP
ejde-615	370	5	the	the	DET
ejde-615	370	6	other	other	ADJ
ejde-615	370	7	hand	hand	NOUN
ejde-615	370	8	,	,	PUNCT
ejde-615	370	9	using	use	VERB
ejde-615	370	10	the	the	DET
ejde-615	370	11	conditions	condition	NOUN
ejde-615	370	12	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	370	13	)	)	PUNCT
ejde-615	370	14	=	=	SYM
ejde-615	370	15	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	370	16	)	)	PUNCT
ejde-615	370	17	=	=	SYM
ejde-615	370	18	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	370	19	)	)	PUNCT
ejde-615	370	20	=	=	SYM
ejde-615	370	21	0	0	NUM
ejde-615	371	1	and	and	CCONJ
ejde-615	371	2	(	(	PUNCT
ejde-615	371	3	3.18)-(3.20	3.18)-(3.20	NUM
ejde-615	371	4	)	)	PUNCT
ejde-615	371	5	,	,	PUNCT
ejde-615	371	6	we	we	PRON
ejde-615	371	7	have	have	VERB
ejde-615	371	8	∆αu(0	∆αu(0	NOUN
ejde-615	371	9	)	)	PUNCT
ejde-615	371	10	=	=	SYM
ejde-615	371	11	∆3∆−(3−α)u(0	∆3∆−(3−α)u(0	PROPN
ejde-615	371	12	)	)	PUNCT
ejde-615	371	13	=	=	PUNCT
ejde-615	372	1	(	(	PUNCT
ejde-615	372	2	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	372	3	∗	∗	VERB
ejde-615	372	4	u)(3	u)(3	NUM
ejde-615	372	5	)	)	PUNCT
ejde-615	372	6	=	=	SYM
ejde-615	372	7	k3−α(0)u(3	k3−α(0)u(3	PROPN
ejde-615	372	8	)	)	PUNCT
ejde-615	372	9	=	=	SYM
ejde-615	372	10	u(3	u(3	PROPN
ejde-615	372	11	)	)	PUNCT
ejde-615	372	12	=	=	SYM
ejde-615	372	13	f(0	f(0	NOUN
ejde-615	372	14	)	)	PUNCT
ejde-615	372	15	;	;	PUNCT
ejde-615	372	16	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	372	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	372	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	372	19	for	for	ADP
ejde-615	372	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	372	21	difference	difference	NOUN
ejde-615	372	22	equations	equation	NOUN
ejde-615	372	23	13	13	NUM
ejde-615	372	24	∆αu(1	∆αu(1	NOUN
ejde-615	372	25	)	)	PUNCT
ejde-615	372	26	=	=	SYM
ejde-615	372	27	∆3∆−(3−α)u(1	∆3∆−(3−α)u(1	NOUN
ejde-615	372	28	)	)	PUNCT
ejde-615	372	29	=	=	PUNCT
ejde-615	372	30	(	(	PUNCT
ejde-615	372	31	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	372	32	∗	∗	VERB
ejde-615	372	33	u)(4)−	u)(4)−	PUNCT
ejde-615	373	1	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	373	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	373	3	u)(3	u)(3	NUM
ejde-615	373	4	)	)	PUNCT
ejde-615	373	5	=	=	SYM
ejde-615	373	6	k3−α(0)u(4	k3−α(0)u(4	PROPN
ejde-615	373	7	)	)	PUNCT
ejde-615	373	8	+	+	NUM
ejde-615	373	9	k3−α(1)u(3)−	k3−α(1)u(3)−	PROPN
ejde-615	373	10	3k3−α(0)u(3	3k3−α(0)u(3	NUM
ejde-615	373	11	)	)	PUNCT
ejde-615	373	12	=	=	PUNCT
ejde-615	374	1	u(4)−	u(4)−	PROPN
ejde-615	374	2	αu(3	αu(3	PROPN
ejde-615	374	3	)	)	PUNCT
ejde-615	375	1	=	=	PUNCT
ejde-615	375	2	f(1	f(1	PROPN
ejde-615	375	3	)	)	PUNCT
ejde-615	375	4	;	;	PUNCT
ejde-615	375	5	∆αu(2	∆αu(2	NOUN
ejde-615	375	6	)	)	PUNCT
ejde-615	375	7	=	=	SYM
ejde-615	375	8	∆3∆−(3−α)u(2	∆3∆−(3−α)u(2	X
ejde-615	375	9	)	)	PUNCT
ejde-615	375	10	=	=	SYM
ejde-615	375	11	(	(	PUNCT
ejde-615	375	12	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	375	13	∗	∗	NOUN
ejde-615	375	14	u)(5)−	u)(5)−	X
ejde-615	375	15	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	375	16	∗	∗	NOUN
ejde-615	375	17	u)(4	u)(4	NUM
ejde-615	375	18	)	)	PUNCT
ejde-615	376	1	+	+	CCONJ
ejde-615	376	2	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	376	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	376	4	u)(3	u)(3	NUM
ejde-615	376	5	)	)	PUNCT
ejde-615	376	6	=	=	SYM
ejde-615	376	7	k3−α(0)u(5	k3−α(0)u(5	NOUN
ejde-615	376	8	)	)	PUNCT
ejde-615	376	9	+	+	NUM
ejde-615	376	10	k3−α(1)u(4	k3−α(1)u(4	NOUN
ejde-615	376	11	)	)	PUNCT
ejde-615	376	12	+	+	CCONJ
ejde-615	376	13	k3−α(2)u(3	k3−α(2)u(3	PROPN
ejde-615	376	14	)	)	PUNCT
ejde-615	376	15	−	−	PROPN
ejde-615	377	1	3k3−α(0)u(4)−	3k3−α(0)u(4)−	NUM
ejde-615	377	2	3k3−α(1)u(3	3k3−α(1)u(3	NUM
ejde-615	377	3	)	)	PUNCT
ejde-615	378	1	+	+	CCONJ
ejde-615	378	2	3k3−α(0)u(3	3k3−α(0)u(3	NUM
ejde-615	378	3	)	)	PUNCT
ejde-615	378	4	=	=	SYM
ejde-615	378	5	u(5)−	u(5)−	PROPN
ejde-615	378	6	αu(4	αu(4	NOUN
ejde-615	378	7	)	)	PUNCT
ejde-615	379	1	+	+	NOUN
ejde-615	379	2	α(α−	α(α−	NOUN
ejde-615	379	3	1	1	NUM
ejde-615	379	4	)	)	PUNCT
ejde-615	379	5	2	2	NUM
ejde-615	379	6	u(3	u(3	NOUN
ejde-615	379	7	)	)	PUNCT
ejde-615	379	8	=	=	PUNCT
ejde-615	380	1	f(2	f(2	PROPN
ejde-615	380	2	)	)	PUNCT
ejde-615	380	3	.	.	PUNCT
ejde-615	381	1	thus	thus	ADV
ejde-615	381	2	∆αu(n	∆αu(n	PROPN
ejde-615	381	3	)	)	PUNCT
ejde-615	381	4	=	=	SYM
ejde-615	381	5	tu(n	tu(n	NOUN
ejde-615	381	6	)	)	PUNCT
ejde-615	381	7	+	+	CCONJ
ejde-615	381	8	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	381	9	)	)	PUNCT
ejde-615	381	10	where	where	SCONJ
ejde-615	381	11	0	0	NUM
ejde-615	381	12	≤	≤	NUM
ejde-615	381	13	n	n	CCONJ
ejde-615	381	14	≤	≤	NUM
ejde-615	381	15	2	2	NUM
ejde-615	381	16	as	as	ADP
ejde-615	381	17	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	381	18	)	)	PUNCT
ejde-615	381	19	=	=	SYM
ejde-615	382	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	382	2	)	)	PUNCT
ejde-615	382	3	=	=	SYM
ejde-615	382	4	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	382	5	)	)	PUNCT
ejde-615	382	6	=	=	SYM
ejde-615	383	1	0	0	X
ejde-615	383	2	.	.	PUNCT
ejde-615	384	1	we	we	PRON
ejde-615	384	2	have	have	AUX
ejde-615	384	3	shown	show	VERB
ejde-615	384	4	that	that	SCONJ
ejde-615	384	5	u	u	PROPN
ejde-615	384	6	∈	∈	PROPN
ejde-615	384	7	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	384	8	)	)	PUNCT
ejde-615	384	9	given	give	VERB
ejde-615	384	10	by	by	ADP
ejde-615	384	11	(	(	PUNCT
ejde-615	384	12	3.13	3.13	NUM
ejde-615	384	13	)	)	PUNCT
ejde-615	384	14	is	be	AUX
ejde-615	384	15	a	a	DET
ejde-615	384	16	solution	solution	NOUN
ejde-615	384	17	of	of	ADP
ejde-615	384	18	(	(	PUNCT
ejde-615	384	19	1.1	1.1	NUM
ejde-615	384	20	)	)	PUNCT
ejde-615	384	21	.	.	PUNCT
ejde-615	385	1	it	it	PRON
ejde-615	385	2	remains	remain	VERB
ejde-615	385	3	to	to	PART
ejde-615	385	4	show	show	VERB
ejde-615	385	5	that	that	SCONJ
ejde-615	385	6	the	the	DET
ejde-615	385	7	solution	solution	NOUN
ejde-615	385	8	is	be	AUX
ejde-615	385	9	unique	unique	ADJ
ejde-615	385	10	.	.	PUNCT
ejde-615	386	1	it	it	PRON
ejde-615	386	2	is	be	AUX
ejde-615	386	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	386	4	that	that	SCONJ
ejde-615	386	5	we	we	PRON
ejde-615	386	6	only	only	ADV
ejde-615	386	7	need	need	VERB
ejde-615	386	8	to	to	PART
ejde-615	386	9	show	show	VERB
ejde-615	386	10	that	that	SCONJ
ejde-615	386	11	0	0	NUM
ejde-615	386	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	386	13	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	386	14	)	)	PUNCT
ejde-615	386	15	is	be	AUX
ejde-615	386	16	the	the	DET
ejde-615	386	17	unique	unique	ADJ
ejde-615	386	18	solution	solution	NOUN
ejde-615	386	19	of	of	ADP
ejde-615	386	20	the	the	DET
ejde-615	386	21	equation	equation	NOUN
ejde-615	386	22	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	386	23	)	)	PUNCT
ejde-615	386	24	=	=	SYM
ejde-615	387	1	tu(n	tu(n	NOUN
ejde-615	387	2	)	)	PUNCT
ejde-615	387	3	,	,	PUNCT
ejde-615	387	4	(	(	PUNCT
ejde-615	387	5	n	n	CCONJ
ejde-615	387	6	∈	∈	PROPN
ejde-615	387	7	n0	n0	NUM
ejde-615	387	8	)	)	PUNCT
ejde-615	387	9	;	;	PUNCT
ejde-615	387	10	u(0	u(0	PROPN
ejde-615	387	11	)	)	PUNCT
ejde-615	387	12	=	=	SYM
ejde-615	387	13	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	387	14	)	)	PUNCT
ejde-615	387	15	=	=	SYM
ejde-615	387	16	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	387	17	)	)	PUNCT
ejde-615	387	18	=	=	SYM
ejde-615	388	1	0	0	X
ejde-615	388	2	.	.	PUNCT
ejde-615	389	1	(	(	PUNCT
ejde-615	389	2	3.21	3.21	NUM
ejde-615	389	3	)	)	PUNCT
ejde-615	389	4	let	let	VERB
ejde-615	389	5	u	u	PRON
ejde-615	389	6	∈	∈	PROPN
ejde-615	389	7	s(n0;x	s(n0;x	X
ejde-615	389	8	)	)	PUNCT
ejde-615	389	9	be	be	VERB
ejde-615	389	10	a	a	DET
ejde-615	389	11	solution	solution	NOUN
ejde-615	389	12	of	of	ADP
ejde-615	389	13	(	(	PUNCT
ejde-615	389	14	3.21	3.21	NUM
ejde-615	389	15	)	)	PUNCT
ejde-615	389	16	.	.	PUNCT
ejde-615	390	1	we	we	PRON
ejde-615	390	2	first	first	ADV
ejde-615	390	3	show	show	VERB
ejde-615	390	4	that	that	SCONJ
ejde-615	390	5	u(3	u(3	NOUN
ejde-615	390	6	)	)	PUNCT
ejde-615	390	7	=	=	SYM
ejde-615	391	1	0	0	X
ejde-615	391	2	.	.	PUNCT
ejde-615	392	1	the	the	DET
ejde-615	392	2	identity	identity	NOUN
ejde-615	392	3	∆αu(0	∆αu(0	NOUN
ejde-615	392	4	)	)	PUNCT
ejde-615	392	5	=	=	SYM
ejde-615	392	6	tu(0	tu(0	NOUN
ejde-615	392	7	)	)	PUNCT
ejde-615	392	8	implies	imply	VERB
ejde-615	392	9	that	that	DET
ejde-615	392	10	∆αu(0	∆αu(0	NOUN
ejde-615	392	11	)	)	PUNCT
ejde-615	392	12	=	=	SYM
ejde-615	392	13	0	0	NUM
ejde-615	392	14	,	,	PUNCT
ejde-615	392	15	or	or	CCONJ
ejde-615	392	16	,	,	PUNCT
ejde-615	392	17	equivalently	equivalently	ADV
ejde-615	392	18	,	,	PUNCT
ejde-615	392	19	∆3∆−(3−α)u(0	∆3∆−(3−α)u(0	NOUN
ejde-615	392	20	)	)	PUNCT
ejde-615	392	21	=	=	SYM
ejde-615	392	22	∆−(3−α)u(3)−	∆−(3−α)u(3)−	NOUN
ejde-615	392	23	3∆−(3−α)u(2	3∆−(3−α)u(2	ADV
ejde-615	392	24	)	)	PUNCT
ejde-615	392	25	+	+	CCONJ
ejde-615	392	26	3∆−(3−α)u(1	3∆−(3−α)u(1	NUM
ejde-615	392	27	)	)	PUNCT
ejde-615	392	28	+	+	NUM
ejde-615	392	29	∆α−3u(0	∆α−3u(0	NOUN
ejde-615	392	30	)	)	PUNCT
ejde-615	392	31	=	=	PUNCT
ejde-615	393	1	(	(	PUNCT
ejde-615	393	2	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	393	3	∗	∗	VERB
ejde-615	393	4	u)(3)−	u)(3)−	NOUN
ejde-615	394	1	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	394	2	∗	∗	NOUN
ejde-615	394	3	u)(2	u)(2	NUM
ejde-615	394	4	)	)	PUNCT
ejde-615	395	1	+	+	CCONJ
ejde-615	395	2	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	395	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	395	4	u)(1	u)(1	PUNCT
ejde-615	395	5	)	)	PUNCT
ejde-615	396	1	+	+	CCONJ
ejde-615	396	2	(	(	PUNCT
ejde-615	396	3	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	396	4	∗	∗	NOUN
ejde-615	396	5	u)(0	u)(0	NOUN
ejde-615	396	6	)	)	PUNCT
ejde-615	396	7	=	=	SYM
ejde-615	396	8	k3−α(0)u(3	k3−α(0)u(3	PROPN
ejde-615	396	9	)	)	PUNCT
ejde-615	396	10	=	=	SYM
ejde-615	396	11	u(3	u(3	PROPN
ejde-615	396	12	)	)	PUNCT
ejde-615	396	13	=	=	SYM
ejde-615	396	14	0	0	PUNCT
ejde-615	396	15	as	as	ADP
ejde-615	396	16	u(0	u(0	NOUN
ejde-615	396	17	)	)	PUNCT
ejde-615	396	18	=	=	SYM
ejde-615	396	19	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	396	20	)	)	PUNCT
ejde-615	396	21	=	=	SYM
ejde-615	396	22	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	396	23	)	)	PUNCT
ejde-615	396	24	=	=	SYM
ejde-615	396	25	0	0	NUM
ejde-615	396	26	by	by	ADP
ejde-615	396	27	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	396	28	.	.	PUNCT
ejde-615	397	1	assume	assume	VERB
ejde-615	397	2	that	that	SCONJ
ejde-615	397	3	u(n	u(n	NOUN
ejde-615	397	4	)	)	PUNCT
ejde-615	397	5	=	=	SYM
ejde-615	397	6	0	0	NUM
ejde-615	397	7	for	for	ADP
ejde-615	397	8	all	all	DET
ejde-615	397	9	3	3	NUM
ejde-615	397	10	≤	≤	NUM
ejde-615	397	11	n	n	PRON
ejde-615	397	12	≤	≤	NOUN
ejde-615	397	13	k	k	NOUN
ejde-615	397	14	for	for	ADP
ejde-615	397	15	some	some	DET
ejde-615	397	16	k	k	PROPN
ejde-615	397	17	≥	≥	NUM
ejde-615	397	18	3	3	NUM
ejde-615	397	19	.	.	PUNCT
ejde-615	398	1	we	we	PRON
ejde-615	398	2	are	be	AUX
ejde-615	398	3	going	go	VERB
ejde-615	398	4	to	to	PART
ejde-615	398	5	show	show	VERB
ejde-615	398	6	that	that	SCONJ
ejde-615	398	7	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	398	8	+	+	CCONJ
ejde-615	398	9	1	1	NUM
ejde-615	398	10	)	)	PUNCT
ejde-615	398	11	=	=	SYM
ejde-615	399	1	0	0	X
ejde-615	399	2	.	.	PUNCT
ejde-615	400	1	since	since	SCONJ
ejde-615	400	2	k	k	PROPN
ejde-615	400	3	−	−	PROPN
ejde-615	400	4	2	2	NUM
ejde-615	400	5	<	<	X
ejde-615	400	6	k	k	X
ejde-615	400	7	,	,	PUNCT
ejde-615	400	8	we	we	PRON
ejde-615	400	9	have	have	VERB
ejde-615	400	10	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	400	11	−	−	NOUN
ejde-615	400	12	2	2	NUM
ejde-615	400	13	)	)	PUNCT
ejde-615	400	14	=	=	SYM
ejde-615	400	15	0	0	NUM
ejde-615	400	16	by	by	ADP
ejde-615	400	17	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	400	18	.	.	PUNCT
ejde-615	401	1	thus	thus	ADV
ejde-615	401	2	∆αu(k	∆αu(k	VERB
ejde-615	401	3	−	−	PRON
ejde-615	401	4	2	2	NUM
ejde-615	401	5	)	)	PUNCT
ejde-615	401	6	=	=	PUNCT
ejde-615	401	7	tu(k	tu(k	ADJ
ejde-615	402	1	−	−	NOUN
ejde-615	402	2	2	2	X
ejde-615	402	3	)	)	PUNCT
ejde-615	402	4	=	=	SYM
ejde-615	402	5	0	0	NUM
ejde-615	402	6	,	,	PUNCT
ejde-615	402	7	or	or	CCONJ
ejde-615	402	8	,	,	PUNCT
ejde-615	402	9	equivalently	equivalently	ADV
ejde-615	402	10	,	,	PUNCT
ejde-615	402	11	∆3∆−(3−α)u(k	∆3∆−(3−α)u(k	ADJ
ejde-615	402	12	−	−	NOUN
ejde-615	402	13	2	2	NUM
ejde-615	402	14	)	)	PUNCT
ejde-615	402	15	=	=	VERB
ejde-615	403	1	∆−(3−α)u(k	∆−(3−α)u(k	VERB
ejde-615	403	2	+	+	PROPN
ejde-615	404	1	1)−	1)−	NUM
ejde-615	404	2	3∆−(3−α)u(k	3∆−(3−α)u(k	NUM
ejde-615	404	3	)	)	PUNCT
ejde-615	405	1	+	+	CCONJ
ejde-615	406	1	3∆−(3−α)u(k	3∆−(3−α)u(k	NUM
ejde-615	406	2	−	−	NOUN
ejde-615	406	3	1	1	NUM
ejde-615	406	4	)	)	PUNCT
ejde-615	406	5	+	+	CCONJ
ejde-615	406	6	∆−(3−α)u(k	∆−(3−α)u(k	ADJ
ejde-615	406	7	−	−	PROPN
ejde-615	406	8	2	2	NUM
ejde-615	406	9	)	)	PUNCT
ejde-615	406	10	=	=	SYM
ejde-615	406	11	(	(	PUNCT
ejde-615	406	12	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	406	13	∗	∗	VERB
ejde-615	406	14	u)(k	u)(k	NUM
ejde-615	406	15	+	+	PROPN
ejde-615	406	16	1)−	1)−	PROPN
ejde-615	406	17	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	406	18	∗	∗	NOUN
ejde-615	406	19	u)(k	u)(k	NUM
ejde-615	406	20	)	)	PUNCT
ejde-615	407	1	+	+	CCONJ
ejde-615	407	2	3(k3−α	3(k3−α	NUM
ejde-615	407	3	∗	∗	NOUN
ejde-615	407	4	u)(k	u)(k	NUM
ejde-615	407	5	−	−	PROPN
ejde-615	407	6	1	1	NUM
ejde-615	407	7	)	)	PUNCT
ejde-615	407	8	+	+	CCONJ
ejde-615	407	9	(	(	PUNCT
ejde-615	407	10	k3−α	k3−α	PROPN
ejde-615	407	11	∗	∗	VERB
ejde-615	407	12	u)(k	u)(k	PROPN
ejde-615	407	13	−	−	PROPN
ejde-615	407	14	2	2	NUM
ejde-615	407	15	)	)	PUNCT
ejde-615	407	16	=	=	VERB
ejde-615	407	17	k3−α(0)u(k	k3−α(0)u(k	NOUN
ejde-615	408	1	+	+	CCONJ
ejde-615	408	2	1	1	X
ejde-615	408	3	)	)	PUNCT
ejde-615	408	4	=	=	VERB
ejde-615	409	1	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	409	2	+	+	CCONJ
ejde-615	409	3	1	1	X
ejde-615	409	4	)	)	PUNCT
ejde-615	409	5	=	=	SYM
ejde-615	409	6	0	0	PUNCT
ejde-615	409	7	as	as	ADP
ejde-615	409	8	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	409	9	−	−	PROPN
ejde-615	409	10	2	2	NUM
ejde-615	409	11	)	)	PUNCT
ejde-615	409	12	=	=	SYM
ejde-615	410	1	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	410	2	−	−	NOUN
ejde-615	410	3	1	1	NUM
ejde-615	410	4	)	)	PUNCT
ejde-615	410	5	=	=	SYM
ejde-615	410	6	u(k	u(k	PROPN
ejde-615	410	7	)	)	PUNCT
ejde-615	410	8	=	=	SYM
ejde-615	410	9	0	0	NUM
ejde-615	410	10	by	by	ADP
ejde-615	410	11	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	410	12	.	.	PUNCT
ejde-615	411	1	consequently	consequently	ADV
ejde-615	411	2	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	411	3	)	)	PUNCT
ejde-615	411	4	=	=	SYM
ejde-615	411	5	0	0	NUM
ejde-615	411	6	for	for	ADP
ejde-615	411	7	all	all	PRON
ejde-615	411	8	n	n	PRON
ejde-615	411	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	411	10	n0	n0	PROPN
ejde-615	411	11	.	.	PUNCT
ejde-615	412	1	this	this	PRON
ejde-615	412	2	concludes	conclude	VERB
ejde-615	412	3	the	the	DET
ejde-615	412	4	proof	proof	NOUN
ejde-615	412	5	.	.	PUNCT
ejde-615	413	1	□	□	PUNCT
ejde-615	413	2	4	4	X
ejde-615	413	3	.	.	X
ejde-615	413	4	characterization	characterization	NOUN
ejde-615	413	5	of	of	ADP
ejde-615	413	6	the	the	DET
ejde-615	413	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	413	8	-	-	PUNCT
ejde-615	413	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	413	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	413	11	let	let	VERB
ejde-615	413	12	t	t	PROPN
ejde-615	413	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	413	14	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	413	15	)	)	PUNCT
ejde-615	413	16	,	,	PUNCT
ejde-615	413	17	where	where	SCONJ
ejde-615	413	18	x	x	PRON
ejde-615	413	19	is	be	AUX
ejde-615	413	20	a	a	DET
ejde-615	413	21	banach	banach	NOUN
ejde-615	413	22	space	space	NOUN
ejde-615	413	23	.	.	PUNCT
ejde-615	414	1	let	let	VERB
ejde-615	414	2	f	f	NOUN
ejde-615	414	3	:	:	PUNCT
ejde-615	414	4	n0	n0	X
ejde-615	414	5	→	→	PUNCT
ejde-615	414	6	x	x	X
ejde-615	414	7	be	be	AUX
ejde-615	414	8	an	an	DET
ejde-615	414	9	x	x	ADV
ejde-615	414	10	-	-	PUNCT
ejde-615	414	11	valued	value	VERB
ejde-615	414	12	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	414	13	and	and	CCONJ
ejde-615	414	14	1	1	NUM
ejde-615	414	15	<	<	X
ejde-615	414	16	p	p	X
ejde-615	414	17	<	<	X
ejde-615	414	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	414	19	in	in	ADP
ejde-615	414	20	this	this	DET
ejde-615	414	21	section	section	NOUN
ejde-615	414	22	,	,	PUNCT
ejde-615	414	23	we	we	PRON
ejde-615	414	24	will	will	AUX
ejde-615	414	25	study	study	VERB
ejde-615	414	26	the	the	DET
ejde-615	414	27	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	414	28	-	-	PUNCT
ejde-615	414	29	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	414	30	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	414	31	for	for	ADP
ejde-615	414	32	the	the	DET
ejde-615	414	33	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	414	34	time	time	NOUN
ejde-615	414	35	evolution	evolution	NOUN
ejde-615	414	36	equation	equation	NOUN
ejde-615	414	37	of	of	ADP
ejde-615	414	38	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	414	39	order	order	NOUN
ejde-615	414	40	∆αu(n	∆αu(n	NOUN
ejde-615	414	41	)	)	PUNCT
ejde-615	414	42	=	=	SYM
ejde-615	415	1	tu(n	tu(n	PROPN
ejde-615	415	2	)	)	PUNCT
ejde-615	416	1	+	+	CCONJ
ejde-615	416	2	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	416	3	)	)	PUNCT
ejde-615	416	4	,	,	PUNCT
ejde-615	416	5	(	(	PUNCT
ejde-615	416	6	n	n	CCONJ
ejde-615	416	7	∈	∈	PROPN
ejde-615	416	8	n0	n0	NUM
ejde-615	416	9	)	)	PUNCT
ejde-615	416	10	;	;	PUNCT
ejde-615	417	1	u(0	u(0	PROPN
ejde-615	417	2	)	)	PUNCT
ejde-615	417	3	=	=	SYM
ejde-615	417	4	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	417	5	)	)	PUNCT
ejde-615	417	6	=	=	SYM
ejde-615	417	7	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	417	8	)	)	PUNCT
ejde-615	417	9	=	=	SYM
ejde-615	417	10	0	0	NUM
ejde-615	417	11	,	,	PUNCT
ejde-615	417	12	(	(	PUNCT
ejde-615	417	13	4.1	4.1	NUM
ejde-615	417	14	)	)	PUNCT
ejde-615	417	15	where	where	SCONJ
ejde-615	417	16	2	2	NUM
ejde-615	417	17	<	<	X
ejde-615	417	18	α	α	X
ejde-615	417	19	<	<	X
ejde-615	417	20	3	3	NUM
ejde-615	417	21	is	be	AUX
ejde-615	417	22	given	give	VERB
ejde-615	417	23	.	.	PUNCT
ejde-615	418	1	for	for	ADP
ejde-615	418	2	all	all	DET
ejde-615	418	3	f	f	PROPN
ejde-615	418	4	∈	∈	PROPN
ejde-615	418	5	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	418	6	)	)	PUNCT
ejde-615	418	7	,	,	PUNCT
ejde-615	418	8	the	the	DET
ejde-615	418	9	unique	unique	ADJ
ejde-615	418	10	solution	solution	NOUN
ejde-615	418	11	u	u	NOUN
ejde-615	418	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	418	13	s(n0;x	s(n0;x	NOUN
ejde-615	418	14	)	)	PUNCT
ejde-615	418	15	of	of	ADP
ejde-615	418	16	(	(	PUNCT
ejde-615	418	17	4.1	4.1	NUM
ejde-615	418	18	)	)	PUNCT
ejde-615	418	19	is	be	AUX
ejde-615	418	20	given	give	VERB
ejde-615	418	21	by	by	ADP
ejde-615	418	22	u(0	u(0	PROPN
ejde-615	418	23	)	)	PUNCT
ejde-615	418	24	=	=	SYM
ejde-615	419	1	u(1	u(1	PROPN
ejde-615	419	2	)	)	PUNCT
ejde-615	419	3	=	=	SYM
ejde-615	419	4	u(2	u(2	PROPN
ejde-615	419	5	)	)	PUNCT
ejde-615	419	6	=	=	SYM
ejde-615	419	7	0	0	NUM
ejde-615	419	8	,	,	PUNCT
ejde-615	419	9	and	and	CCONJ
ejde-615	419	10	u(n	u(n	PROPN
ejde-615	419	11	)	)	PUNCT
ejde-615	419	12	=	=	PRON
ejde-615	419	13	(	(	PUNCT
ejde-615	419	14	pα	pα	INTJ
ejde-615	419	15	∗	∗	NOUN
ejde-615	419	16	hα	hα	ADP
ejde-615	419	17	∗	∗	NOUN
ejde-615	419	18	f	f	PROPN
ejde-615	419	19	)	)	PUNCT
ejde-615	419	20	(	(	PUNCT
ejde-615	419	21	n−	n−	NOUN
ejde-615	419	22	3	3	NUM
ejde-615	419	23	)	)	PUNCT
ejde-615	419	24	,	,	PUNCT
ejde-615	419	25	(	(	PUNCT
ejde-615	419	26	4.2	4.2	NUM
ejde-615	419	27	)	)	PUNCT
ejde-615	419	28	14	14	NUM
ejde-615	419	29	j.	j.	PROPN
ejde-615	419	30	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	419	31	,	,	PUNCT
ejde-615	419	32	s.	s.	PROPN
ejde-615	419	33	bu	bu	PROPN
ejde-615	419	34	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	419	35	for	for	ADP
ejde-615	419	36	n	n	PROPN
ejde-615	419	37	≥	≥	NOUN
ejde-615	419	38	3	3	NUM
ejde-615	419	39	by	by	ADP
ejde-615	419	40	theorem	theorem	NOUN
ejde-615	419	41	3.8	3.8	NUM
ejde-615	419	42	.	.	PUNCT
ejde-615	420	1	this	this	PRON
ejde-615	420	2	means	mean	VERB
ejde-615	420	3	that	that	DET
ejde-615	420	4	∆αu(0	∆αu(0	NOUN
ejde-615	420	5	)	)	PUNCT
ejde-615	420	6	=	=	SYM
ejde-615	420	7	∆αu(1	∆αu(1	NOUN
ejde-615	420	8	)	)	PUNCT
ejde-615	420	9	=	=	SYM
ejde-615	420	10	∆αu(2	∆αu(2	NOUN
ejde-615	420	11	)	)	PUNCT
ejde-615	420	12	=	=	SYM
ejde-615	420	13	0	0	NUM
ejde-615	420	14	,	,	PUNCT
ejde-615	420	15	and	and	CCONJ
ejde-615	420	16	∆αu(n	∆αu(n	PROPN
ejde-615	420	17	)	)	PUNCT
ejde-615	421	1	=	=	SYM
ejde-615	421	2	t	t	PROPN
ejde-615	421	3	(	(	PUNCT
ejde-615	421	4	pα	pα	INTJ
ejde-615	421	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	421	6	hα	hα	ADP
ejde-615	421	7	∗	∗	NOUN
ejde-615	421	8	f	f	PROPN
ejde-615	421	9	)	)	PUNCT
ejde-615	421	10	(	(	PUNCT
ejde-615	421	11	n−	n−	NOUN
ejde-615	421	12	3	3	NUM
ejde-615	421	13	)	)	PUNCT
ejde-615	421	14	+	+	NUM
ejde-615	421	15	f(n	f(n	PROPN
ejde-615	421	16	)	)	PUNCT
ejde-615	421	17	(	(	PUNCT
ejde-615	421	18	4.3	4.3	NUM
ejde-615	421	19	)	)	PUNCT
ejde-615	421	20	for	for	ADP
ejde-615	421	21	n	n	X
ejde-615	421	22	≥	≥	NOUN
ejde-615	421	23	3	3	NUM
ejde-615	421	24	.	.	PUNCT
ejde-615	422	1	now	now	ADV
ejde-615	422	2	we	we	PRON
ejde-615	422	3	introduce	introduce	VERB
ejde-615	422	4	the	the	DET
ejde-615	422	5	following	follow	VERB
ejde-615	422	6	definition	definition	NOUN
ejde-615	422	7	concerning	concern	VERB
ejde-615	422	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	422	9	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	422	10	,	,	PUNCT
ejde-615	422	11	which	which	PRON
ejde-615	422	12	is	be	AUX
ejde-615	422	13	motivated	motivate	VERB
ejde-615	422	14	by	by	ADP
ejde-615	422	15	the	the	DET
ejde-615	422	16	case	case	NOUN
ejde-615	422	17	α	α	X
ejde-615	422	18	=	=	SYM
ejde-615	422	19	1	1	NUM
ejde-615	422	20	and	and	CCONJ
ejde-615	422	21	α	α	NOUN
ejde-615	422	22	=	=	SYM
ejde-615	422	23	2	2	NUM
ejde-615	422	24	,	,	PUNCT
ejde-615	422	25	see	see	VERB
ejde-615	422	26	for	for	ADP
ejde-615	422	27	instance	instance	NOUN
ejde-615	422	28	[	[	X
ejde-615	422	29	7	7	NUM
ejde-615	422	30	]	]	PUNCT
ejde-615	422	31	.	.	PUNCT
ejde-615	423	1	definition	definition	NOUN
ejde-615	423	2	4.1	4.1	NUM
ejde-615	423	3	.	.	PUNCT
ejde-615	424	1	let	let	VERB
ejde-615	424	2	1	1	NUM
ejde-615	424	3	<	<	X
ejde-615	424	4	p	p	X
ejde-615	424	5	<	<	X
ejde-615	424	6	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	424	7	we	we	PRON
ejde-615	424	8	say	say	VERB
ejde-615	424	9	that	that	SCONJ
ejde-615	424	10	(	(	PUNCT
ejde-615	424	11	4.1	4.1	NUM
ejde-615	424	12	)	)	PUNCT
ejde-615	424	13	has	have	VERB
ejde-615	424	14	the	the	DET
ejde-615	424	15	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	424	16	-	-	PUNCT
ejde-615	424	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	424	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	424	19	if	if	SCONJ
ejde-615	424	20	(	(	PUNCT
ejde-615	424	21	rαf)(n	rαf)(n	NOUN
ejde-615	424	22	)	)	PUNCT
ejde-615	424	23	:	:	PUNCT
ejde-615	425	1	=	=	SYM
ejde-615	425	2	t	t	PROPN
ejde-615	425	3	(	(	PUNCT
ejde-615	425	4	pα	pα	INTJ
ejde-615	425	5	∗	∗	NOUN
ejde-615	425	6	hα	hα	ADP
ejde-615	425	7	∗	∗	NOUN
ejde-615	425	8	f)(n	f)(n	PROPN
ejde-615	425	9	)	)	PUNCT
ejde-615	425	10	=	=	SYM
ejde-615	426	1	t	t	PROPN
ejde-615	426	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-615	426	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-615	426	4	(	(	PUNCT
ejde-615	426	5	pα	pα	INTJ
ejde-615	426	6	∗	∗	VERB
ejde-615	426	7	hα)(n−	hα)(n−	PROPN
ejde-615	426	8	j)f(j	j)f(j	NOUN
ejde-615	426	9	)	)	PUNCT
ejde-615	426	10	,	,	PUNCT
ejde-615	426	11	(	(	PUNCT
ejde-615	426	12	n	n	CCONJ
ejde-615	426	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	426	14	n0	n0	PROPN
ejde-615	426	15	)	)	PUNCT
ejde-615	426	16	(	(	PUNCT
ejde-615	426	17	4.4	4.4	NUM
ejde-615	426	18	)	)	PUNCT
ejde-615	426	19	defines	define	VERB
ejde-615	426	20	a	a	DET
ejde-615	426	21	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	426	22	linear	linear	ADJ
ejde-615	426	23	operator	operator	NOUN
ejde-615	426	24	rα	rα	CCONJ
ejde-615	426	25	∈	∈	PROPN
ejde-615	426	26	b(ℓp(n0;x	b(ℓp(n0;x	NOUN
ejde-615	426	27	)	)	PUNCT
ejde-615	426	28	)	)	PUNCT
ejde-615	426	29	.	.	PUNCT
ejde-615	427	1	it	it	PRON
ejde-615	427	2	is	be	AUX
ejde-615	427	3	clear	clear	ADJ
ejde-615	427	4	that	that	SCONJ
ejde-615	427	5	(	(	PUNCT
ejde-615	427	6	4.1	4.1	NUM
ejde-615	427	7	)	)	PUNCT
ejde-615	427	8	has	have	VERB
ejde-615	427	9	the	the	DET
ejde-615	427	10	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	427	11	-	-	PUNCT
ejde-615	427	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	427	13	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	427	14	if	if	SCONJ
ejde-615	427	15	and	and	CCONJ
ejde-615	427	16	only	only	ADV
ejde-615	427	17	if	if	SCONJ
ejde-615	427	18	for	for	ADP
ejde-615	427	19	all	all	DET
ejde-615	427	20	f	f	PROPN
ejde-615	427	21	∈	∈	PROPN
ejde-615	427	22	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	427	23	)	)	PUNCT
ejde-615	427	24	,	,	PUNCT
ejde-615	427	25	the	the	DET
ejde-615	427	26	unique	unique	ADJ
ejde-615	427	27	solution	solution	NOUN
ejde-615	427	28	u	u	NOUN
ejde-615	427	29	of	of	ADP
ejde-615	427	30	(	(	PUNCT
ejde-615	427	31	4.1	4.1	NUM
ejde-615	427	32	)	)	PUNCT
ejde-615	427	33	given	give	VERB
ejde-615	427	34	by	by	ADP
ejde-615	427	35	(	(	PUNCT
ejde-615	427	36	4.2	4.2	NUM
ejde-615	427	37	)	)	PUNCT
ejde-615	427	38	satisfies	satisfy	VERB
ejde-615	427	39	∆αu	∆αu	VERB
ejde-615	427	40	∈	∈	PROPN
ejde-615	427	41	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	427	42	)	)	PUNCT
ejde-615	427	43	by	by	ADP
ejde-615	427	44	(	(	PUNCT
ejde-615	427	45	4.3	4.3	NUM
ejde-615	427	46	)	)	PUNCT
ejde-615	427	47	.	.	PUNCT
ejde-615	428	1	we	we	PRON
ejde-615	428	2	say	say	VERB
ejde-615	428	3	that	that	SCONJ
ejde-615	428	4	t	t	PROPN
ejde-615	428	5	∈	∈	PROPN
ejde-615	428	6	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	428	7	)	)	PUNCT
ejde-615	428	8	satisfies	satisfy	VERB
ejde-615	428	9	the	the	DET
ejde-615	428	10	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	428	11	(	(	PUNCT
ejde-615	428	12	cα	cα	NOUN
ejde-615	428	13	)	)	PUNCT
ejde-615	428	14	if	if	SCONJ
ejde-615	428	15	z3−α(z	z3−α(z	PROPN
ejde-615	428	16	−	−	PROPN
ejde-615	428	17	1)α	1)α	NUM
ejde-615	428	18	∈	∈	PROPN
ejde-615	428	19	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	428	20	)	)	PUNCT
ejde-615	428	21	for	for	ADP
ejde-615	428	22	all	all	DET
ejde-615	428	23	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	428	24	=	=	SYM
ejde-615	428	25	1	1	NUM
ejde-615	428	26	,	,	PUNCT
ejde-615	428	27	z	z	PROPN
ejde-615	428	28	̸=	̸=	PROPN
ejde-615	428	29	±1	±1	VERB
ejde-615	428	30	.	.	PUNCT
ejde-615	429	1	now	now	ADV
ejde-615	429	2	we	we	PRON
ejde-615	429	3	are	be	AUX
ejde-615	429	4	ready	ready	ADJ
ejde-615	429	5	to	to	PART
ejde-615	429	6	state	state	VERB
ejde-615	429	7	the	the	DET
ejde-615	429	8	main	main	ADJ
ejde-615	429	9	result	result	NOUN
ejde-615	429	10	of	of	ADP
ejde-615	429	11	this	this	DET
ejde-615	429	12	section	section	NOUN
ejde-615	429	13	.	.	PUNCT
ejde-615	430	1	theorem	theorem	VERB
ejde-615	430	2	4.2	4.2	NUM
ejde-615	430	3	.	.	PUNCT
ejde-615	431	1	let	let	VERB
ejde-615	431	2	x	x	PRON
ejde-615	431	3	be	be	AUX
ejde-615	431	4	a	a	DET
ejde-615	431	5	umd	umd	ADJ
ejde-615	431	6	space	space	NOUN
ejde-615	431	7	,	,	PUNCT
ejde-615	431	8	2	2	NUM
ejde-615	431	9	<	<	X
ejde-615	431	10	α	α	X
ejde-615	431	11	<	<	X
ejde-615	431	12	3	3	NUM
ejde-615	431	13	and	and	CCONJ
ejde-615	431	14	let	let	VERB
ejde-615	431	15	1	1	NUM
ejde-615	431	16	<	<	X
ejde-615	431	17	p	p	X
ejde-615	431	18	<	<	X
ejde-615	431	19	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	431	20	assume	assume	VERB
ejde-615	431	21	that	that	SCONJ
ejde-615	431	22	t	t	PROPN
ejde-615	431	23	∈	∈	PROPN
ejde-615	431	24	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	431	25	)	)	PUNCT
ejde-615	431	26	satisfies	satisfy	VERB
ejde-615	431	27	the	the	DET
ejde-615	431	28	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	431	29	(	(	PUNCT
ejde-615	431	30	cα	cα	NOUN
ejde-615	431	31	)	)	PUNCT
ejde-615	431	32	.	.	PUNCT
ejde-615	432	1	then	then	ADV
ejde-615	432	2	the	the	DET
ejde-615	432	3	following	follow	VERB
ejde-615	432	4	statements	statement	NOUN
ejde-615	432	5	are	be	AUX
ejde-615	432	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-615	432	7	:	:	PUNCT
ejde-615	432	8	(	(	PUNCT
ejde-615	432	9	i	i	NOUN
ejde-615	432	10	)	)	PUNCT
ejde-615	432	11	equation(4.1	equation(4.1	NOUN
ejde-615	432	12	)	)	PUNCT
ejde-615	432	13	has	have	AUX
ejde-615	432	14	the	the	DET
ejde-615	432	15	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	432	16	-	-	PUNCT
ejde-615	432	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	432	18	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	432	19	;	;	PUNCT
ejde-615	432	20	(	(	PUNCT
ejde-615	432	21	ii	ii	NOUN
ejde-615	432	22	)	)	PUNCT
ejde-615	432	23	the	the	DET
ejde-615	432	24	set	set	NOUN
ejde-615	432	25	{	{	PUNCT
ejde-615	432	26	e(3−α)it(eit	e(3−α)it(eit	NUM
ejde-615	432	27	−	−	PROPN
ejde-615	432	28	1)α	1)α	NUM
ejde-615	432	29	[	[	PUNCT
ejde-615	432	30	e(3−α)it(eit	e(3−α)it(eit	NUM
ejde-615	432	31	−	−	PROPN
ejde-615	432	32	1)α	1)α	NUM
ejde-615	432	33	−	−	PROPN
ejde-615	432	34	t	t	NOUN
ejde-615	432	35	]	]	X
ejde-615	432	36	−1	−1	NOUN
ejde-615	432	37	:	:	PUNCT
ejde-615	432	38	t	t	PROPN
ejde-615	432	39	∈	∈	PROPN
ejde-615	432	40	(	(	PUNCT
ejde-615	432	41	−π	−π	PROPN
ejde-615	432	42	,	,	PUNCT
ejde-615	432	43	0	0	NUM
ejde-615	432	44	)	)	PUNCT
ejde-615	432	45	∪	∪	NOUN
ejde-615	432	46	(	(	PUNCT
ejde-615	432	47	0	0	NUM
ejde-615	432	48	,	,	PUNCT
ejde-615	432	49	π	π	NOUN
ejde-615	432	50	)	)	PUNCT
ejde-615	432	51	}	}	PUNCT
ejde-615	432	52	(	(	PUNCT
ejde-615	432	53	4.5	4.5	NUM
ejde-615	432	54	)	)	PUNCT
ejde-615	432	55	is	be	AUX
ejde-615	432	56	r	r	NOUN
ejde-615	432	57	-	-	PUNCT
ejde-615	432	58	bounded	bound	VERB
ejde-615	432	59	.	.	PUNCT
ejde-615	433	1	proof	proof	NOUN
ejde-615	433	2	.	.	PUNCT
ejde-615	434	1	(	(	PUNCT
ejde-615	434	2	ii	ii	NOUN
ejde-615	434	3	)	)	PUNCT
ejde-615	434	4	implies	imply	VERB
ejde-615	434	5	(	(	PUNCT
ejde-615	434	6	i	i	NOUN
ejde-615	434	7	)	)	PUNCT
ejde-615	434	8	.	.	PUNCT
ejde-615	435	1	assume	assume	VERB
ejde-615	435	2	that	that	SCONJ
ejde-615	435	3	the	the	DET
ejde-615	435	4	set	set	NOUN
ejde-615	435	5	(	(	PUNCT
ejde-615	435	6	4.5	4.5	NUM
ejde-615	435	7	)	)	PUNCT
ejde-615	435	8	is	be	AUX
ejde-615	435	9	r	r	NOUN
ejde-615	435	10	-	-	PUNCT
ejde-615	435	11	bounded	bound	VERB
ejde-615	435	12	.	.	PUNCT
ejde-615	436	1	we	we	PRON
ejde-615	436	2	are	be	AUX
ejde-615	436	3	going	go	VERB
ejde-615	436	4	to	to	PART
ejde-615	436	5	show	show	VERB
ejde-615	436	6	that	that	SCONJ
ejde-615	436	7	(	(	PUNCT
ejde-615	436	8	4.1	4.1	NUM
ejde-615	436	9	)	)	PUNCT
ejde-615	436	10	has	have	VERB
ejde-615	436	11	the	the	DET
ejde-615	436	12	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	436	13	-	-	PUNCT
ejde-615	436	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	436	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	436	16	.	.	PUNCT
ejde-615	437	1	let	let	VERB
ejde-615	437	2	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	437	3	)	)	PUNCT
ejde-615	437	4	=	=	SYM
ejde-615	437	5	e3it(1−	e3it(1−	PROPN
ejde-615	437	6	e−it)α	e−it)α	PROPN
ejde-615	437	7	,	,	PUNCT
ejde-615	437	8	g(t	g(t	PROPN
ejde-615	437	9	)	)	PUNCT
ejde-615	437	10	=	=	SYM
ejde-615	437	11	gα(t	gα(t	X
ejde-615	437	12	)	)	PUNCT
ejde-615	437	13	[	[	PUNCT
ejde-615	437	14	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	437	15	t	t	PROPN
ejde-615	437	16	]	]	X
ejde-615	437	17	−1	−1	NOUN
ejde-615	437	18	for	for	ADP
ejde-615	437	19	t	t	PROPN
ejde-615	437	20	∈	∈	PROPN
ejde-615	437	21	(	(	PUNCT
ejde-615	437	22	−π	−π	PROPN
ejde-615	437	23	,	,	PUNCT
ejde-615	437	24	0	0	NUM
ejde-615	437	25	)	)	PUNCT
ejde-615	437	26	∪	∪	NOUN
ejde-615	437	27	(	(	PUNCT
ejde-615	437	28	0	0	NUM
ejde-615	437	29	,	,	PUNCT
ejde-615	437	30	π	π	NOUN
ejde-615	437	31	)	)	PUNCT
ejde-615	437	32	.	.	PUNCT
ejde-615	438	1	then	then	ADV
ejde-615	438	2	g′α(t	g′α(t	VERB
ejde-615	438	3	)	)	PUNCT
ejde-615	438	4	=	=	SYM
ejde-615	439	1	3igα(t	3igα(t	NUM
ejde-615	439	2	)	)	PUNCT
ejde-615	439	3	+	+	NUM
ejde-615	439	4	αigα(t	αigα(t	NUM
ejde-615	439	5	)	)	PUNCT
ejde-615	439	6	eit	eit	NOUN
ejde-615	439	7	−	−	PROPN
ejde-615	439	8	1	1	NUM
ejde-615	439	9	=	=	SYM
ejde-615	439	10	(	(	PUNCT
ejde-615	439	11	3i+	3i+	NUM
ejde-615	439	12	αi	αi	VERB
ejde-615	440	1	eit	eit	INTJ
ejde-615	440	2	−	−	PROPN
ejde-615	440	3	1	1	NUM
ejde-615	440	4	)	)	PUNCT
ejde-615	440	5	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	440	6	)	)	PUNCT
ejde-615	440	7	g′(t	g′(t	NOUN
ejde-615	440	8	)	)	PUNCT
ejde-615	440	9	=	=	SYM
ejde-615	440	10	g′α(t	g′α(t	NOUN
ejde-615	440	11	)	)	PUNCT
ejde-615	440	12	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	440	13	)	)	PUNCT
ejde-615	440	14	g(t)−	g(t)−	PROPN
ejde-615	440	15	g′α(t	g′α(t	PROPN
ejde-615	440	16	)	)	PUNCT
ejde-615	440	17	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	440	18	)	)	PUNCT
ejde-615	440	19	g2(t	g2(t	NOUN
ejde-615	440	20	)	)	PUNCT
ejde-615	440	21	=	=	SYM
ejde-615	441	1	(	(	PUNCT
ejde-615	441	2	3i+	3i+	NUM
ejde-615	441	3	αi	αi	VERB
ejde-615	441	4	eit	eit	INTJ
ejde-615	442	1	−	−	PROPN
ejde-615	442	2	1	1	NUM
ejde-615	442	3	)	)	PUNCT
ejde-615	442	4	(	(	PUNCT
ejde-615	442	5	g(t)−g2(t	g(t)−g2(t	NOUN
ejde-615	442	6	)	)	PUNCT
ejde-615	442	7	)	)	PUNCT
ejde-615	443	1	for	for	ADP
ejde-615	443	2	t	t	PROPN
ejde-615	443	3	∈	∈	PROPN
ejde-615	443	4	(	(	PUNCT
ejde-615	443	5	−π	−π	PROPN
ejde-615	443	6	,	,	PUNCT
ejde-615	443	7	0	0	NUM
ejde-615	443	8	)	)	PUNCT
ejde-615	443	9	∪	∪	NOUN
ejde-615	443	10	(	(	PUNCT
ejde-615	443	11	0	0	NUM
ejde-615	443	12	,	,	PUNCT
ejde-615	443	13	π	π	NOUN
ejde-615	443	14	)	)	PUNCT
ejde-615	443	15	.	.	PUNCT
ejde-615	444	1	thus	thus	ADV
ejde-615	444	2	the	the	DET
ejde-615	444	3	sets	set	NOUN
ejde-615	444	4	{	{	PUNCT
ejde-615	444	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-615	444	6	)	)	PUNCT
ejde-615	444	7	:	:	PUNCT
ejde-615	444	8	t	t	PROPN
ejde-615	444	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	444	10	(	(	PUNCT
ejde-615	444	11	−π	−π	PROPN
ejde-615	444	12	,	,	PUNCT
ejde-615	444	13	0	0	NUM
ejde-615	444	14	)	)	PUNCT
ejde-615	444	15	∪	∪	NOUN
ejde-615	444	16	(	(	PUNCT
ejde-615	444	17	0	0	NUM
ejde-615	444	18	,	,	PUNCT
ejde-615	444	19	π	π	NOUN
ejde-615	444	20	)	)	PUNCT
ejde-615	444	21	}	}	PUNCT
ejde-615	444	22	,	,	PUNCT
ejde-615	444	23	{	{	PUNCT
ejde-615	444	24	(	(	PUNCT
ejde-615	444	25	eit	eit	NOUN
ejde-615	444	26	−	−	PROPN
ejde-615	444	27	1)(eit	1)(eit	PROPN
ejde-615	444	28	+	+	CCONJ
ejde-615	444	29	1)g′(t	1)g′(t	NOUN
ejde-615	444	30	)	)	PUNCT
ejde-615	444	31	:	:	PUNCT
ejde-615	445	1	t	t	PROPN
ejde-615	445	2	∈	∈	PROPN
ejde-615	445	3	(	(	PUNCT
ejde-615	445	4	−π	−π	PROPN
ejde-615	445	5	,	,	PUNCT
ejde-615	445	6	0	0	NUM
ejde-615	445	7	)	)	PUNCT
ejde-615	445	8	∪	∪	NOUN
ejde-615	445	9	(	(	PUNCT
ejde-615	445	10	0	0	NUM
ejde-615	445	11	,	,	PUNCT
ejde-615	445	12	π	π	NOUN
ejde-615	445	13	)	)	PUNCT
ejde-615	445	14	}	}	PUNCT
ejde-615	445	15	are	be	AUX
ejde-615	445	16	r	r	NOUN
ejde-615	445	17	-	-	PUNCT
ejde-615	445	18	bounded	bound	VERB
ejde-615	445	19	by	by	ADP
ejde-615	445	20	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	445	21	and	and	CCONJ
ejde-615	445	22	remark	remark	NOUN
ejde-615	445	23	2.4	2.4	NUM
ejde-615	445	24	.	.	PUNCT
ejde-615	446	1	using	use	VERB
ejde-615	446	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-615	446	3	2.5	2.5	NUM
ejde-615	446	4	,	,	PUNCT
ejde-615	446	5	there	there	PRON
ejde-615	446	6	exists	exist	VERB
ejde-615	446	7	an	an	DET
ejde-615	446	8	operator	operator	NOUN
ejde-615	446	9	tα	tα	PROPN
ejde-615	446	10	∈	∈	PROPN
ejde-615	446	11	b(ℓp(z;x	b(ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	446	12	)	)	PUNCT
ejde-615	446	13	)	)	PUNCT
ejde-615	447	1	such	such	ADJ
ejde-615	447	2	that	that	PRON
ejde-615	447	3	t̂αf(e	t̂αf(e	ADP
ejde-615	447	4	it	it	PRON
ejde-615	447	5	)	)	PUNCT
ejde-615	448	1	=	=	SYM
ejde-615	448	2	g(t)f̂(eit	g(t)f̂(eit	NOUN
ejde-615	448	3	)	)	PUNCT
ejde-615	448	4	(	(	PUNCT
ejde-615	448	5	4.6	4.6	NUM
ejde-615	448	6	)	)	PUNCT
ejde-615	448	7	when	when	SCONJ
ejde-615	448	8	t	t	PROPN
ejde-615	448	9	∈	∈	PROPN
ejde-615	448	10	(	(	PUNCT
ejde-615	448	11	−π	−π	PROPN
ejde-615	448	12	,	,	PUNCT
ejde-615	448	13	0)∪(0	0)∪(0	PROPN
ejde-615	448	14	,	,	PUNCT
ejde-615	448	15	π	π	PROPN
ejde-615	448	16	)	)	PUNCT
ejde-615	448	17	for	for	ADP
ejde-615	448	18	all	all	DET
ejde-615	448	19	f	f	PROPN
ejde-615	448	20	∈	∈	PROPN
ejde-615	448	21	ℓp(z;x	ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	448	22	)	)	PUNCT
ejde-615	448	23	with	with	ADP
ejde-615	448	24	finite	finite	ADJ
ejde-615	448	25	support	support	NOUN
ejde-615	448	26	.	.	PUNCT
ejde-615	449	1	the	the	DET
ejde-615	449	2	trivial	trivial	ADJ
ejde-615	449	3	identity	identity	NOUN
ejde-615	449	4	t	t	NOUN
ejde-615	449	5	[	[	PUNCT
ejde-615	449	6	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	449	7	t	t	PROPN
ejde-615	449	8	]	]	X
ejde-615	449	9	−1	−1	NOUN
ejde-615	449	10	=	=	SYM
ejde-615	449	11	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	449	12	)	)	PUNCT
ejde-615	449	13	[	[	PUNCT
ejde-615	449	14	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	449	15	t	t	PROPN
ejde-615	449	16	]	]	X
ejde-615	449	17	−1	−1	NOUN
ejde-615	450	1	−	−	NOUN
ejde-615	451	1	i	i	PRON
ejde-615	451	2	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	451	3	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	451	4	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	451	5	for	for	ADP
ejde-615	451	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	451	7	difference	difference	NOUN
ejde-615	451	8	equations	equation	NOUN
ejde-615	451	9	15	15	NUM
ejde-615	451	10	for	for	ADP
ejde-615	451	11	t	t	PROPN
ejde-615	451	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	451	13	(	(	PUNCT
ejde-615	451	14	−π	−π	PROPN
ejde-615	451	15	,	,	PUNCT
ejde-615	451	16	0	0	NUM
ejde-615	451	17	)	)	PUNCT
ejde-615	451	18	∪	∪	NOUN
ejde-615	451	19	(	(	PUNCT
ejde-615	451	20	0	0	NUM
ejde-615	451	21	,	,	PUNCT
ejde-615	451	22	π	π	NOUN
ejde-615	451	23	)	)	PUNCT
ejde-615	451	24	together	together	ADV
ejde-615	451	25	with	with	ADP
ejde-615	451	26	(	(	PUNCT
ejde-615	451	27	4.6	4.6	NUM
ejde-615	451	28	)	)	PUNCT
ejde-615	451	29	implies	imply	VERB
ejde-615	451	30	that	that	SCONJ
ejde-615	451	31	t	t	PROPN
ejde-615	451	32	[	[	PUNCT
ejde-615	451	33	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	451	34	t	t	PROPN
ejde-615	451	35	]	]	X
ejde-615	451	36	−1	−1	NOUN
ejde-615	451	37	f̂(eit	f̂(eit	ADJ
ejde-615	451	38	)	)	PUNCT
ejde-615	451	39	=	=	SYM
ejde-615	451	40	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	451	41	)	)	PUNCT
ejde-615	451	42	[	[	PUNCT
ejde-615	451	43	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	451	44	t	t	PROPN
ejde-615	451	45	]	]	PUNCT
ejde-615	451	46	−1	−1	NOUN
ejde-615	451	47	f̂(eit)−	f̂(eit)−	PROPN
ejde-615	451	48	f̂(eit	f̂(eit	PROPN
ejde-615	451	49	)	)	PUNCT
ejde-615	451	50	=	=	SYM
ejde-615	451	51	g(t)f̂(eit)−	g(t)f̂(eit)−	PROPN
ejde-615	451	52	f̂(eit	f̂(eit	PROPN
ejde-615	451	53	)	)	PUNCT
ejde-615	451	54	=	=	PUNCT
ejde-615	452	1	t̂αf(e	t̂αf(e	PROPN
ejde-615	452	2	it)−	it)−	X
ejde-615	452	3	f̂(eit	f̂(eit	PROPN
ejde-615	452	4	)	)	PUNCT
ejde-615	452	5	(	(	PUNCT
ejde-615	452	6	4.7	4.7	NUM
ejde-615	452	7	)	)	PUNCT
ejde-615	452	8	when	when	SCONJ
ejde-615	452	9	t	t	PROPN
ejde-615	452	10	∈	∈	PROPN
ejde-615	452	11	(	(	PUNCT
ejde-615	452	12	−π	−π	PROPN
ejde-615	452	13	,	,	PUNCT
ejde-615	452	14	0	0	NUM
ejde-615	452	15	)	)	PUNCT
ejde-615	452	16	∪	∪	NOUN
ejde-615	452	17	(	(	PUNCT
ejde-615	452	18	0	0	NUM
ejde-615	452	19	,	,	PUNCT
ejde-615	452	20	π	π	NOUN
ejde-615	452	21	)	)	PUNCT
ejde-615	452	22	for	for	ADP
ejde-615	452	23	all	all	DET
ejde-615	452	24	f	f	PROPN
ejde-615	452	25	∈	∈	PROPN
ejde-615	452	26	ℓp(z;x	ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	452	27	)	)	PUNCT
ejde-615	452	28	with	with	ADP
ejde-615	452	29	finite	finite	ADJ
ejde-615	452	30	support	support	NOUN
ejde-615	452	31	.	.	PUNCT
ejde-615	453	1	it	it	PRON
ejde-615	453	2	follows	follow	VERB
ejde-615	453	3	from	from	ADP
ejde-615	453	4	remark	remark	NOUN
ejde-615	453	5	3.2	3.2	NUM
ejde-615	453	6	and	and	CCONJ
ejde-615	453	7	remark	remark	VERB
ejde-615	453	8	3.7	3.7	NUM
ejde-615	453	9	that	that	PRON
ejde-615	453	10	p̂α	p̂α	PROPN
ejde-615	453	11	∗	∗	NOUN
ejde-615	453	12	hα(e	hα(e	X
ejde-615	453	13	it	it	PRON
ejde-615	453	14	)	)	PUNCT
ejde-615	453	15	=	=	PUNCT
ejde-615	453	16	e3it	e3it	PUNCT
ejde-615	453	17	[	[	PUNCT
ejde-615	453	18	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	453	19	t	t	PROPN
ejde-615	453	20	]	]	X
ejde-615	453	21	−1	−1	NOUN
ejde-615	453	22	(	(	PUNCT
ejde-615	453	23	4.8	4.8	NUM
ejde-615	453	24	)	)	PUNCT
ejde-615	453	25	for	for	ADP
ejde-615	453	26	t	t	PROPN
ejde-615	453	27	∈	∈	PROPN
ejde-615	453	28	(	(	PUNCT
ejde-615	453	29	−π	−π	PROPN
ejde-615	453	30	,	,	PUNCT
ejde-615	453	31	0	0	NUM
ejde-615	453	32	)	)	PUNCT
ejde-615	453	33	∪	∪	NOUN
ejde-615	453	34	(	(	PUNCT
ejde-615	453	35	0	0	NUM
ejde-615	453	36	,	,	PUNCT
ejde-615	453	37	π	π	NOUN
ejde-615	453	38	)	)	PUNCT
ejde-615	453	39	.	.	PUNCT
ejde-615	454	1	this	this	PRON
ejde-615	454	2	together	together	ADV
ejde-615	454	3	with	with	ADP
ejde-615	454	4	(	(	PUNCT
ejde-615	454	5	4.8	4.8	NUM
ejde-615	454	6	)	)	PUNCT
ejde-615	454	7	implies	imply	VERB
ejde-615	454	8	that	that	SCONJ
ejde-615	454	9	r̂αf(e	r̂αf(e	VERB
ejde-615	454	10	it	it	PRON
ejde-615	454	11	)	)	PUNCT
ejde-615	454	12	=	=	PUNCT
ejde-615	455	1	e3itt	e3itt	NOUN
ejde-615	455	2	[	[	PUNCT
ejde-615	455	3	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	455	4	t	t	PROPN
ejde-615	455	5	]	]	X
ejde-615	455	6	−1	−1	NOUN
ejde-615	455	7	f̂(eit	f̂(eit	PROPN
ejde-615	455	8	)	)	PUNCT
ejde-615	455	9	when	when	SCONJ
ejde-615	455	10	t	t	PROPN
ejde-615	455	11	∈	∈	PROPN
ejde-615	455	12	(	(	PUNCT
ejde-615	455	13	−π	−π	PROPN
ejde-615	455	14	,	,	PUNCT
ejde-615	455	15	0	0	NUM
ejde-615	455	16	)	)	PUNCT
ejde-615	455	17	∪	∪	NOUN
ejde-615	455	18	(	(	PUNCT
ejde-615	455	19	0	0	NUM
ejde-615	455	20	,	,	PUNCT
ejde-615	455	21	π	π	NOUN
ejde-615	455	22	)	)	PUNCT
ejde-615	455	23	for	for	ADP
ejde-615	455	24	all	all	DET
ejde-615	455	25	f	f	PROPN
ejde-615	455	26	∈	∈	PROPN
ejde-615	455	27	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	455	28	)	)	PUNCT
ejde-615	455	29	with	with	ADP
ejde-615	455	30	finite	finite	ADJ
ejde-615	455	31	support	support	NOUN
ejde-615	455	32	.	.	PUNCT
ejde-615	456	1	hence	hence	ADV
ejde-615	456	2	rα	rα	ADJ
ejde-615	456	3	is	be	AUX
ejde-615	456	4	a	a	DET
ejde-615	456	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	456	6	and	and	CCONJ
ejde-615	456	7	linear	linear	ADJ
ejde-615	456	8	operator	operator	NOUN
ejde-615	456	9	on	on	ADP
ejde-615	456	10	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	456	11	)	)	PUNCT
ejde-615	456	12	by	by	ADP
ejde-615	456	13	(	(	PUNCT
ejde-615	456	14	4.7	4.7	NUM
ejde-615	456	15	)	)	PUNCT
ejde-615	456	16	.	.	PUNCT
ejde-615	457	1	here	here	ADV
ejde-615	457	2	we	we	PRON
ejde-615	457	3	have	have	AUX
ejde-615	457	4	used	use	VERB
ejde-615	457	5	the	the	DET
ejde-615	457	6	fact	fact	NOUN
ejde-615	457	7	that	that	SCONJ
ejde-615	457	8	the	the	DET
ejde-615	457	9	set	set	NOUN
ejde-615	457	10	of	of	ADP
ejde-615	457	11	all	all	DET
ejde-615	457	12	f	f	PROPN
ejde-615	457	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	457	14	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	457	15	)	)	PUNCT
ejde-615	457	16	with	with	ADP
ejde-615	457	17	finite	finite	ADJ
ejde-615	457	18	support	support	NOUN
ejde-615	457	19	is	be	AUX
ejde-615	457	20	dense	dense	ADJ
ejde-615	457	21	in	in	ADP
ejde-615	457	22	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	457	23	)	)	PUNCT
ejde-615	457	24	.	.	PUNCT
ejde-615	458	1	we	we	PRON
ejde-615	458	2	have	have	AUX
ejde-615	458	3	shown	show	VERB
ejde-615	458	4	that	that	SCONJ
ejde-615	458	5	(	(	PUNCT
ejde-615	458	6	4.1	4.1	NUM
ejde-615	458	7	)	)	PUNCT
ejde-615	458	8	has	have	VERB
ejde-615	458	9	the	the	DET
ejde-615	458	10	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	458	11	-	-	PUNCT
ejde-615	458	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	458	13	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	458	14	.	.	PUNCT
ejde-615	459	1	hence	hence	ADV
ejde-615	459	2	(	(	PUNCT
ejde-615	459	3	ii	ii	NOUN
ejde-615	459	4	)	)	PUNCT
ejde-615	459	5	implies	imply	VERB
ejde-615	459	6	(	(	PUNCT
ejde-615	459	7	i	i	NOUN
ejde-615	459	8	)	)	PUNCT
ejde-615	459	9	.	.	PUNCT
ejde-615	460	1	(	(	PUNCT
ejde-615	460	2	i)implies	i)implie	NOUN
ejde-615	460	3	(	(	PUNCT
ejde-615	460	4	ii	ii	NOUN
ejde-615	460	5	)	)	PUNCT
ejde-615	460	6	.	.	PUNCT
ejde-615	461	1	assume	assume	VERB
ejde-615	461	2	that	that	SCONJ
ejde-615	461	3	(	(	PUNCT
ejde-615	461	4	i	i	NOUN
ejde-615	461	5	)	)	PUNCT
ejde-615	461	6	holds	hold	VERB
ejde-615	461	7	.	.	PUNCT
ejde-615	462	1	then	then	ADV
ejde-615	462	2	(	(	PUNCT
ejde-615	462	3	rαf)(n	rαf)(n	PROPN
ejde-615	462	4	)	)	PUNCT
ejde-615	462	5	=	=	PRON
ejde-615	462	6	{	{	PUNCT
ejde-615	462	7	t	t	PROPN
ejde-615	462	8	(	(	PUNCT
ejde-615	462	9	pα	pα	INTJ
ejde-615	462	10	∗	∗	NOUN
ejde-615	462	11	hα	hα	ADP
ejde-615	462	12	∗	∗	NOUN
ejde-615	462	13	f)(n	f)(n	PROPN
ejde-615	462	14	)	)	PUNCT
ejde-615	462	15	,	,	PUNCT
ejde-615	462	16	n	n	X
ejde-615	462	17	≥	≥	NOUN
ejde-615	462	18	3	3	NUM
ejde-615	462	19	,	,	PUNCT
ejde-615	462	20	0	0	NUM
ejde-615	462	21	,	,	PUNCT
ejde-615	462	22	otherwise	otherwise	ADV
ejde-615	462	23	.	.	PUNCT
ejde-615	463	1	(	(	PUNCT
ejde-615	463	2	4.9	4.9	NUM
ejde-615	463	3	)	)	PUNCT
ejde-615	463	4	defines	define	VERB
ejde-615	463	5	a	a	DET
ejde-615	463	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	463	7	linear	linear	ADJ
ejde-615	463	8	operator	operator	NOUN
ejde-615	463	9	rα	rα	CCONJ
ejde-615	463	10	∈	∈	PROPN
ejde-615	463	11	b(ℓp(n0;x	b(ℓp(n0;x	NOUN
ejde-615	463	12	)	)	PUNCT
ejde-615	463	13	)	)	PUNCT
ejde-615	463	14	.	.	PUNCT
ejde-615	464	1	it	it	PRON
ejde-615	464	2	follows	follow	VERB
ejde-615	464	3	from	from	ADP
ejde-615	464	4	(	(	PUNCT
ejde-615	464	5	4.8	4.8	NUM
ejde-615	464	6	)	)	PUNCT
ejde-615	464	7	that	that	SCONJ
ejde-615	464	8	r̂αf(e	r̂αf(e	VERB
ejde-615	464	9	it	it	PRON
ejde-615	464	10	)	)	PUNCT
ejde-615	464	11	=	=	PUNCT
ejde-615	465	1	e3itt	e3itt	NOUN
ejde-615	465	2	[	[	PUNCT
ejde-615	465	3	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	465	4	t	t	PROPN
ejde-615	465	5	]	]	X
ejde-615	465	6	−1	−1	NOUN
ejde-615	465	7	f̂(eit	f̂(eit	PROPN
ejde-615	465	8	)	)	PUNCT
ejde-615	465	9	(	(	PUNCT
ejde-615	465	10	4.10	4.10	NUM
ejde-615	465	11	)	)	PUNCT
ejde-615	465	12	when	when	SCONJ
ejde-615	465	13	t	t	PROPN
ejde-615	465	14	∈	∈	PROPN
ejde-615	465	15	(	(	PUNCT
ejde-615	465	16	−π	−π	PROPN
ejde-615	465	17	,	,	PUNCT
ejde-615	465	18	0	0	NUM
ejde-615	465	19	)	)	PUNCT
ejde-615	465	20	∪	∪	NOUN
ejde-615	465	21	(	(	PUNCT
ejde-615	465	22	0	0	NUM
ejde-615	465	23	,	,	PUNCT
ejde-615	465	24	π	π	NOUN
ejde-615	465	25	)	)	PUNCT
ejde-615	465	26	for	for	ADP
ejde-615	465	27	all	all	DET
ejde-615	465	28	f	f	PROPN
ejde-615	465	29	∈	∈	PROPN
ejde-615	465	30	ℓp(n0;x	ℓp(n0;x	PROPN
ejde-615	465	31	)	)	PUNCT
ejde-615	465	32	with	with	ADP
ejde-615	465	33	finite	finite	ADJ
ejde-615	465	34	support	support	NOUN
ejde-615	465	35	.	.	PUNCT
ejde-615	466	1	since	since	SCONJ
ejde-615	466	2	it	it	PRON
ejde-615	466	3	is	be	AUX
ejde-615	466	4	clear	clear	ADJ
ejde-615	466	5	that	that	SCONJ
ejde-615	466	6	rα	rα	ADJ
ejde-615	466	7	is	be	AUX
ejde-615	466	8	a	a	DET
ejde-615	466	9	convolution	convolution	NOUN
ejde-615	466	10	operator	operator	NOUN
ejde-615	466	11	,	,	PUNCT
ejde-615	466	12	rα	rα	X
ejde-615	466	13	is	be	AUX
ejde-615	466	14	translation	translation	NOUN
ejde-615	466	15	invariant	invariant	ADJ
ejde-615	466	16	on	on	ADP
ejde-615	466	17	ℓp(z;x	ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	466	18	)	)	PUNCT
ejde-615	466	19	.	.	PUNCT
ejde-615	467	1	thus	thus	ADV
ejde-615	467	2	rα	rα	ADV
ejde-615	467	3	extends	extend	VERB
ejde-615	467	4	to	to	ADP
ejde-615	467	5	a	a	DET
ejde-615	467	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	467	7	linear	linear	ADJ
ejde-615	467	8	operator	operator	NOUN
ejde-615	467	9	on	on	ADP
ejde-615	467	10	ℓp(z;x	ℓp(z;x	PROPN
ejde-615	467	11	)	)	PUNCT
ejde-615	467	12	.	.	PUNCT
ejde-615	468	1	in	in	ADP
ejde-615	468	2	other	other	ADJ
ejde-615	468	3	words	word	NOUN
ejde-615	468	4	,	,	PUNCT
ejde-615	468	5	the	the	DET
ejde-615	468	6	function	function	NOUN
ejde-615	468	7	t	t	PROPN
ejde-615	468	8	→	→	SYM
ejde-615	468	9	e3itt	e3itt	X
ejde-615	468	10	[	[	PUNCT
ejde-615	468	11	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	468	12	)	)	PUNCT
ejde-615	468	13	−	−	PROPN
ejde-615	468	14	t	t	NOUN
ejde-615	468	15	]	]	PUNCT
ejde-615	468	16	−1	−1	NOUN
ejde-615	468	17	defined	define	VERB
ejde-615	468	18	on	on	ADP
ejde-615	468	19	(	(	PUNCT
ejde-615	468	20	−π	−π	INTJ
ejde-615	468	21	,	,	PUNCT
ejde-615	468	22	0	0	NUM
ejde-615	468	23	)	)	PUNCT
ejde-615	468	24	∪	∪	NOUN
ejde-615	468	25	(	(	PUNCT
ejde-615	468	26	0	0	NUM
ejde-615	468	27	,	,	PUNCT
ejde-615	468	28	π	π	X
ejde-615	468	29	)	)	PUNCT
ejde-615	468	30	is	be	AUX
ejde-615	468	31	an	an	DET
ejde-615	468	32	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	468	33	-	-	PUNCT
ejde-615	468	34	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	468	35	multiplier	multipli	ADJ
ejde-615	468	36	by	by	ADP
ejde-615	468	37	(	(	PUNCT
ejde-615	468	38	2.12	2.12	NUM
ejde-615	468	39	)	)	PUNCT
ejde-615	468	40	.	.	PUNCT
ejde-615	469	1	hence	hence	ADV
ejde-615	469	2	the	the	DET
ejde-615	469	3	set	set	NOUN
ejde-615	469	4	{	{	PUNCT
ejde-615	469	5	e3itt	e3itt	X
ejde-615	469	6	[	[	PUNCT
ejde-615	469	7	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	469	8	t	t	PROPN
ejde-615	469	9	]	]	X
ejde-615	469	10	−1	−1	NOUN
ejde-615	469	11	:	:	PUNCT
ejde-615	469	12	t	t	PROPN
ejde-615	469	13	∈	∈	PROPN
ejde-615	469	14	(	(	PUNCT
ejde-615	469	15	−π	−π	PROPN
ejde-615	469	16	,	,	PUNCT
ejde-615	469	17	0	0	NUM
ejde-615	469	18	)	)	PUNCT
ejde-615	469	19	∪	∪	NOUN
ejde-615	469	20	(	(	PUNCT
ejde-615	469	21	0	0	NUM
ejde-615	469	22	,	,	PUNCT
ejde-615	469	23	π	π	NOUN
ejde-615	469	24	)	)	PUNCT
ejde-615	469	25	}	}	PUNCT
ejde-615	469	26	is	be	AUX
ejde-615	469	27	r	r	NOUN
ejde-615	469	28	-	-	PUNCT
ejde-615	469	29	bounded	bound	VERB
ejde-615	469	30	by	by	ADP
ejde-615	469	31	theorem	theorem	NOUN
ejde-615	469	32	2.6	2.6	NUM
ejde-615	469	33	.	.	PUNCT
ejde-615	470	1	the	the	DET
ejde-615	470	2	trivial	trivial	ADJ
ejde-615	470	3	equality	equality	NOUN
ejde-615	470	4	t	t	PROPN
ejde-615	470	5	[	[	PUNCT
ejde-615	470	6	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	470	7	t	t	PROPN
ejde-615	470	8	]	]	X
ejde-615	470	9	−1	−1	NOUN
ejde-615	470	10	+	+	CCONJ
ejde-615	470	11	i	i	NOUN
ejde-615	470	12	=	=	SYM
ejde-615	470	13	gα(t	gα(t	X
ejde-615	470	14	)	)	PUNCT
ejde-615	470	15	[	[	PUNCT
ejde-615	470	16	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	470	17	t	t	PROPN
ejde-615	470	18	]	]	X
ejde-615	470	19	−1	−1	NOUN
ejde-615	470	20	for	for	ADP
ejde-615	470	21	t	t	PROPN
ejde-615	470	22	∈	∈	PROPN
ejde-615	470	23	(	(	PUNCT
ejde-615	470	24	−π	−π	PROPN
ejde-615	470	25	,	,	PUNCT
ejde-615	470	26	0	0	NUM
ejde-615	470	27	)	)	PUNCT
ejde-615	470	28	∪	∪	NOUN
ejde-615	470	29	(	(	PUNCT
ejde-615	470	30	0	0	NUM
ejde-615	470	31	,	,	PUNCT
ejde-615	470	32	π	π	NOUN
ejde-615	470	33	)	)	PUNCT
ejde-615	470	34	implies	imply	VERB
ejde-615	470	35	that	that	SCONJ
ejde-615	470	36	the	the	DET
ejde-615	470	37	set	set	NOUN
ejde-615	470	38	{	{	PUNCT
ejde-615	470	39	gα(t	gα(t	NOUN
ejde-615	470	40	)	)	PUNCT
ejde-615	470	41	[	[	PUNCT
ejde-615	470	42	gα(t)−	gα(t)−	PROPN
ejde-615	470	43	t	t	PROPN
ejde-615	470	44	]	]	X
ejde-615	470	45	−1	−1	NOUN
ejde-615	470	46	:	:	PUNCT
ejde-615	470	47	t	t	PROPN
ejde-615	470	48	∈	∈	PROPN
ejde-615	470	49	(	(	PUNCT
ejde-615	470	50	−π	−π	PROPN
ejde-615	470	51	,	,	PUNCT
ejde-615	470	52	0	0	NUM
ejde-615	470	53	)	)	PUNCT
ejde-615	470	54	∪	∪	NOUN
ejde-615	470	55	(	(	PUNCT
ejde-615	470	56	0	0	NUM
ejde-615	470	57	,	,	PUNCT
ejde-615	470	58	π	π	NOUN
ejde-615	470	59	)	)	PUNCT
ejde-615	470	60	}	}	PUNCT
ejde-615	470	61	is	be	AUX
ejde-615	470	62	r	r	NOUN
ejde-615	470	63	-	-	PUNCT
ejde-615	470	64	bounded	bound	VERB
ejde-615	470	65	.	.	PUNCT
ejde-615	471	1	this	this	PRON
ejde-615	471	2	completes	complete	VERB
ejde-615	471	3	the	the	DET
ejde-615	471	4	proof	proof	NOUN
ejde-615	471	5	.	.	PUNCT
ejde-615	472	1	□	□	PUNCT
ejde-615	472	2	since	since	SCONJ
ejde-615	472	3	the	the	DET
ejde-615	472	4	second	second	ADJ
ejde-615	472	5	condition	condition	NOUN
ejde-615	472	6	in	in	ADP
ejde-615	472	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-615	472	8	4.2	4.2	NUM
ejde-615	472	9	does	do	AUX
ejde-615	472	10	not	not	PART
ejde-615	472	11	depend	depend	VERB
ejde-615	472	12	on	on	ADP
ejde-615	472	13	the	the	DET
ejde-615	472	14	parameter	parameter	NOUN
ejde-615	472	15	1	1	NUM
ejde-615	472	16	<	<	X
ejde-615	472	17	p	p	X
ejde-615	472	18	<	<	X
ejde-615	472	19	∞	∞	PROPN
ejde-615	472	20	,	,	PUNCT
ejde-615	472	21	we	we	PRON
ejde-615	472	22	have	have	VERB
ejde-615	472	23	the	the	DET
ejde-615	472	24	following	follow	VERB
ejde-615	472	25	immediate	immediate	ADJ
ejde-615	472	26	consequence	consequence	NOUN
ejde-615	472	27	.	.	PUNCT
ejde-615	473	1	corollary	corollary	NOUN
ejde-615	473	2	4.3	4.3	NUM
ejde-615	473	3	.	.	PUNCT
ejde-615	474	1	let	let	AUX
ejde-615	474	2	x	x	PRON
ejde-615	474	3	be	be	AUX
ejde-615	474	4	a	a	DET
ejde-615	474	5	umd	umd	ADJ
ejde-615	474	6	space	space	NOUN
ejde-615	474	7	,	,	PUNCT
ejde-615	474	8	2	2	NUM
ejde-615	474	9	<	<	X
ejde-615	474	10	α	α	X
ejde-615	474	11	<	<	X
ejde-615	474	12	3	3	NUM
ejde-615	474	13	and	and	CCONJ
ejde-615	474	14	let	let	VERB
ejde-615	474	15	t	t	PROPN
ejde-615	474	16	∈	∈	NOUN
ejde-615	474	17	b(x	b(x	NOUN
ejde-615	474	18	)	)	PUNCT
ejde-615	474	19	satisfy	satisfy	VERB
ejde-615	474	20	the	the	DET
ejde-615	474	21	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	474	22	(	(	PUNCT
ejde-615	474	23	cα	cα	NOUN
ejde-615	474	24	)	)	PUNCT
ejde-615	474	25	.	.	PUNCT
ejde-615	475	1	if	if	SCONJ
ejde-615	475	2	(	(	PUNCT
ejde-615	475	3	4.1	4.1	NUM
ejde-615	475	4	)	)	PUNCT
ejde-615	475	5	has	have	VERB
ejde-615	475	6	the	the	DET
ejde-615	475	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	475	8	-	-	PUNCT
ejde-615	475	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	475	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	475	11	for	for	ADP
ejde-615	475	12	some	some	PRON
ejde-615	475	13	1	1	NUM
ejde-615	475	14	<	<	X
ejde-615	475	15	p	p	X
ejde-615	475	16	<	<	X
ejde-615	475	17	∞	∞	PROPN
ejde-615	475	18	,	,	PUNCT
ejde-615	475	19	then	then	ADV
ejde-615	475	20	it	it	PRON
ejde-615	475	21	has	have	VERB
ejde-615	475	22	the	the	DET
ejde-615	475	23	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	475	24	-	-	PUNCT
ejde-615	475	25	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	475	26	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	475	27	for	for	SCONJ
ejde-615	475	28	all	all	PRON
ejde-615	475	29	1	1	NUM
ejde-615	475	30	<	<	X
ejde-615	475	31	p	p	X
ejde-615	475	32	<	<	X
ejde-615	475	33	∞.	∞.	PROPN
ejde-615	475	34	let	let	VERB
ejde-615	475	35	h	h	PRON
ejde-615	475	36	be	be	AUX
ejde-615	475	37	a	a	DET
ejde-615	475	38	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-615	475	39	space	space	NOUN
ejde-615	475	40	,	,	PUNCT
ejde-615	475	41	then	then	ADV
ejde-615	475	42	each	each	DET
ejde-615	475	43	bounded	bound	VERB
ejde-615	475	44	subset	subset	VERB
ejde-615	475	45	w	w	PROPN
ejde-615	475	46	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	475	47	b(h	b(h	PROPN
ejde-615	475	48	)	)	PUNCT
ejde-615	475	49	is	be	AUX
ejde-615	475	50	actually	actually	ADV
ejde-615	475	51	r	r	NOUN
ejde-615	475	52	-	-	PUNCT
ejde-615	475	53	bounded	bounded	ADJ
ejde-615	475	54	[	[	X
ejde-615	475	55	3	3	NUM
ejde-615	475	56	]	]	PUNCT
ejde-615	475	57	.	.	PUNCT
ejde-615	476	1	this	this	PRON
ejde-615	476	2	together	together	ADV
ejde-615	476	3	with	with	ADP
ejde-615	476	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-615	476	5	4.2	4.2	NUM
ejde-615	476	6	gives	give	VERB
ejde-615	476	7	the	the	DET
ejde-615	476	8	following	follow	VERB
ejde-615	476	9	result	result	NOUN
ejde-615	476	10	.	.	PUNCT
ejde-615	477	1	16	16	NUM
ejde-615	477	2	j.	j.	PROPN
ejde-615	477	3	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	477	4	,	,	PUNCT
ejde-615	477	5	s.	s.	PROPN
ejde-615	477	6	bu	bu	PROPN
ejde-615	477	7	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	477	8	corollary	corollary	ADJ
ejde-615	477	9	4.4	4.4	NUM
ejde-615	477	10	.	.	PUNCT
ejde-615	478	1	let	let	AUX
ejde-615	478	2	h	h	PRON
ejde-615	478	3	be	be	AUX
ejde-615	478	4	a	a	DET
ejde-615	478	5	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-615	478	6	space	space	NOUN
ejde-615	478	7	,	,	PUNCT
ejde-615	478	8	2	2	NUM
ejde-615	478	9	<	<	X
ejde-615	478	10	α	α	X
ejde-615	478	11	<	<	X
ejde-615	478	12	3	3	NUM
ejde-615	478	13	,	,	PUNCT
ejde-615	478	14	1	1	NUM
ejde-615	478	15	<	<	X
ejde-615	478	16	p	p	X
ejde-615	478	17	<	<	X
ejde-615	478	18	∞	∞	PROPN
ejde-615	478	19	and	and	CCONJ
ejde-615	478	20	let	let	VERB
ejde-615	478	21	t	t	PROPN
ejde-615	478	22	∈	∈	PROPN
ejde-615	478	23	b(h	b(h	PROPN
ejde-615	478	24	)	)	PUNCT
ejde-615	478	25	satisfy	satisfy	VERB
ejde-615	478	26	the	the	DET
ejde-615	478	27	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	478	28	(	(	PUNCT
ejde-615	478	29	cα	cα	NOUN
ejde-615	478	30	)	)	PUNCT
ejde-615	478	31	.	.	PUNCT
ejde-615	479	1	then	then	ADV
ejde-615	479	2	(	(	PUNCT
ejde-615	479	3	4.1	4.1	NUM
ejde-615	479	4	)	)	PUNCT
ejde-615	479	5	has	have	VERB
ejde-615	479	6	the	the	DET
ejde-615	479	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	479	8	-	-	PUNCT
ejde-615	479	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	479	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	479	11	if	if	SCONJ
ejde-615	479	12	and	and	CCONJ
ejde-615	479	13	only	only	ADV
ejde-615	479	14	if	if	SCONJ
ejde-615	479	15	there	there	PRON
ejde-615	479	16	exists	exist	VERB
ejde-615	479	17	c	c	NOUN
ejde-615	479	18	>	>	X
ejde-615	479	19	0	0	NUM
ejde-615	480	1	such	such	ADJ
ejde-615	480	2	that∣∣e(3−α)it(eit	that∣∣e(3−α)it(eit	DET
ejde-615	480	3	−	−	PROPN
ejde-615	480	4	1)α	1)α	NUM
ejde-615	480	5	[	[	PUNCT
ejde-615	480	6	e(3−α)it(eit	e(3−α)it(eit	NUM
ejde-615	480	7	−	−	PROPN
ejde-615	480	8	1)α	1)α	NUM
ejde-615	480	9	−	−	PROPN
ejde-615	481	1	t	t	NOUN
ejde-615	481	2	]	]	PUNCT
ejde-615	481	3	−1∣∣	−1∣∣	ADJ
ejde-615	481	4	≤	≤	ADJ
ejde-615	481	5	c	c	NOUN
ejde-615	481	6	(	(	PUNCT
ejde-615	481	7	4.11	4.11	NUM
ejde-615	481	8	)	)	PUNCT
ejde-615	481	9	for	for	ADP
ejde-615	481	10	all	all	DET
ejde-615	481	11	t	t	NOUN
ejde-615	481	12	∈	∈	PROPN
ejde-615	481	13	(	(	PUNCT
ejde-615	481	14	−π	−π	PROPN
ejde-615	481	15	,	,	PUNCT
ejde-615	481	16	0	0	NUM
ejde-615	481	17	)	)	PUNCT
ejde-615	481	18	∪	∪	NOUN
ejde-615	481	19	(	(	PUNCT
ejde-615	481	20	0	0	NUM
ejde-615	481	21	,	,	PUNCT
ejde-615	481	22	π	π	NOUN
ejde-615	481	23	)	)	PUNCT
ejde-615	481	24	.	.	PUNCT
ejde-615	482	1	now	now	ADV
ejde-615	482	2	we	we	PRON
ejde-615	482	3	give	give	VERB
ejde-615	482	4	a	a	DET
ejde-615	482	5	concrete	concrete	ADJ
ejde-615	482	6	example	example	NOUN
ejde-615	482	7	that	that	SCONJ
ejde-615	482	8	corollary	corollary	NOUN
ejde-615	482	9	4.4	4.4	NUM
ejde-615	482	10	is	be	AUX
ejde-615	482	11	applicable	applicable	ADJ
ejde-615	482	12	.	.	PUNCT
ejde-615	483	1	let	let	AUX
ejde-615	483	2	h	h	PRON
ejde-615	483	3	be	be	AUX
ejde-615	483	4	a	a	DET
ejde-615	483	5	hilbert	hilbert	NOUN
ejde-615	483	6	space	space	NOUN
ejde-615	483	7	,	,	PUNCT
ejde-615	483	8	1	1	NUM
ejde-615	483	9	<	<	X
ejde-615	483	10	p	p	X
ejde-615	483	11	<	<	X
ejde-615	483	12	∞	∞	PROPN
ejde-615	483	13	,	,	PUNCT
ejde-615	483	14	2	2	NUM
ejde-615	483	15	<	<	X
ejde-615	483	16	α	α	X
ejde-615	483	17	<	<	X
ejde-615	483	18	3	3	NUM
ejde-615	483	19	and	and	CCONJ
ejde-615	483	20	let	let	VERB
ejde-615	483	21	t	t	PROPN
ejde-615	483	22	∈	∈	PROPN
ejde-615	483	23	b(h	b(h	PROPN
ejde-615	483	24	)	)	PUNCT
ejde-615	483	25	)	)	PUNCT
ejde-615	483	26	satisfy	satisfy	VERB
ejde-615	483	27	σ(t	σ(t	PROPN
ejde-615	483	28	)	)	PUNCT
ejde-615	484	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	484	2	{	{	PUNCT
ejde-615	484	3	z	z	NOUN
ejde-615	484	4	∈	∈	PROPN
ejde-615	484	5	c	c	NOUN
ejde-615	484	6	:	:	PUNCT
ejde-615	484	7	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	484	8	>	>	X
ejde-615	484	9	2α	2α	NOUN
ejde-615	484	10	}	}	PUNCT
ejde-615	484	11	.	.	PUNCT
ejde-615	485	1	then	then	ADV
ejde-615	485	2	for	for	ADP
ejde-615	485	3	every	every	DET
ejde-615	485	4	f	f	PROPN
ejde-615	485	5	∈	∈	PROPN
ejde-615	485	6	ℓp(n0;h	ℓp(n0;h	PROPN
ejde-615	485	7	)	)	PUNCT
ejde-615	485	8	,	,	PUNCT
ejde-615	485	9	there	there	PRON
ejde-615	485	10	is	be	VERB
ejde-615	485	11	a	a	DET
ejde-615	485	12	unique	unique	ADJ
ejde-615	485	13	u	u	NOUN
ejde-615	485	14	∈	∈	PROPN
ejde-615	485	15	ℓp(n0;h	ℓp(n0;h	NOUN
ejde-615	485	16	)	)	PUNCT
ejde-615	485	17	such	such	ADJ
ejde-615	485	18	that	that	SCONJ
ejde-615	485	19	(	(	PUNCT
ejde-615	485	20	4.1	4.1	NUM
ejde-615	485	21	)	)	PUNCT
ejde-615	485	22	holds	hold	VERB
ejde-615	485	23	.	.	PUNCT
ejde-615	486	1	indeed	indeed	ADV
ejde-615	486	2	,	,	PUNCT
ejde-615	486	3	an	an	DET
ejde-615	486	4	easy	easy	ADJ
ejde-615	486	5	calculation	calculation	NOUN
ejde-615	486	6	gives	give	VERB
ejde-615	486	7	sup	sup	NOUN
ejde-615	486	8	t∈[−π	t∈[−π	SYM
ejde-615	486	9	,	,	PUNCT
ejde-615	486	10	π	π	NOUN
ejde-615	486	11	]	]	X
ejde-615	486	12	∣∣(eit	∣∣(eit	NOUN
ejde-615	486	13	−	−	PROPN
ejde-615	486	14	1)α	1)α	NUM
ejde-615	486	15	∣∣	∣∣	NUM
ejde-615	486	16	≤	≤	NUM
ejde-615	486	17	2α	2α	NOUN
ejde-615	486	18	.	.	PUNCT
ejde-615	487	1	this	this	PRON
ejde-615	487	2	together	together	ADV
ejde-615	487	3	with	with	ADP
ejde-615	487	4	the	the	DET
ejde-615	487	5	assumption	assumption	NOUN
ejde-615	487	6	σ(t	σ(t	PROPN
ejde-615	487	7	)	)	PUNCT
ejde-615	488	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-615	488	2	{	{	PUNCT
ejde-615	488	3	z	z	NOUN
ejde-615	488	4	∈	∈	PROPN
ejde-615	488	5	c	c	NOUN
ejde-615	488	6	:	:	PUNCT
ejde-615	488	7	|z|	|z|	NOUN
ejde-615	488	8	>	>	X
ejde-615	488	9	2α	2α	PROPN
ejde-615	488	10	}	}	PUNCT
ejde-615	488	11	implies	imply	VERB
ejde-615	488	12	that	that	SCONJ
ejde-615	488	13	e(3−α)it(eit−1)α	e(3−α)it(eit−1)α	PROPN
ejde-615	488	14	∈	∈	PROPN
ejde-615	488	15	ρ(t	ρ(t	PROPN
ejde-615	488	16	)	)	PUNCT
ejde-615	488	17	for	for	ADP
ejde-615	488	18	all	all	DET
ejde-615	488	19	t	t	NOUN
ejde-615	488	20	∈	∈	PROPN
ejde-615	489	1	[	[	X
ejde-615	489	2	−π	−π	PROPN
ejde-615	489	3	,	,	PUNCT
ejde-615	489	4	π	π	X
ejde-615	489	5	]	]	X
ejde-615	489	6	,	,	PUNCT
ejde-615	489	7	and	and	CCONJ
ejde-615	489	8	since	since	SCONJ
ejde-615	489	9	the	the	DET
ejde-615	489	10	function	function	NOUN
ejde-615	489	11	t	t	PROPN
ejde-615	489	12	→	→	SYM
ejde-615	489	13	|(e(3−α)it(eit−	|(e(3−α)it(eit−	X
ejde-615	489	14	1)α−t	1)α−t	NUM
ejde-615	489	15	)	)	PUNCT
ejde-615	489	16	−1|	−1|	X
ejde-615	489	17	is	be	AUX
ejde-615	489	18	continuous	continuous	ADJ
ejde-615	489	19	on	on	ADP
ejde-615	489	20	the	the	DET
ejde-615	489	21	closed	closed	ADJ
ejde-615	489	22	interval	interval	NOUN
ejde-615	489	23	[	[	X
ejde-615	489	24	−π	−π	ADV
ejde-615	489	25	,	,	PUNCT
ejde-615	489	26	π	π	PROPN
ejde-615	489	27	]	]	X
ejde-615	489	28	,	,	PUNCT
ejde-615	489	29	the	the	DET
ejde-615	489	30	condition	condition	NOUN
ejde-615	489	31	(	(	PUNCT
ejde-615	489	32	4.11	4.11	NUM
ejde-615	489	33	)	)	PUNCT
ejde-615	489	34	is	be	AUX
ejde-615	489	35	valid	valid	ADJ
ejde-615	489	36	.	.	PUNCT
ejde-615	490	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-615	490	2	.	.	PUNCT
ejde-615	491	1	this	this	DET
ejde-615	491	2	work	work	NOUN
ejde-615	491	3	was	be	AUX
ejde-615	491	4	supported	support	VERB
ejde-615	491	5	by	by	ADP
ejde-615	491	6	the	the	DET
ejde-615	491	7	nsf	nsf	PROPN
ejde-615	491	8	of	of	ADP
ejde-615	491	9	china	china	PROPN
ejde-615	491	10	(	(	PUNCT
ejde-615	491	11	grant	grant	VERB
ejde-615	491	12	no	no	NOUN
ejde-615	491	13	.	.	NOUN
ejde-615	491	14	12171266	12171266	NUM
ejde-615	491	15	)	)	PUNCT
ejde-615	491	16	.	.	PUNCT
ejde-615	492	1	we	we	PRON
ejde-615	492	2	are	be	AUX
ejde-615	492	3	grateful	grateful	ADJ
ejde-615	492	4	to	to	ADP
ejde-615	492	5	the	the	DET
ejde-615	492	6	anonymous	anonymous	ADJ
ejde-615	492	7	referees	referee	NOUN
ejde-615	492	8	for	for	ADP
ejde-615	492	9	the	the	DET
ejde-615	492	10	careful	careful	ADJ
ejde-615	492	11	reading	reading	NOUN
ejde-615	492	12	the	the	DET
ejde-615	492	13	manuscript	manuscript	NOUN
ejde-615	492	14	and	and	CCONJ
ejde-615	492	15	for	for	ADP
ejde-615	492	16	providing	provide	VERB
ejde-615	492	17	valuable	valuable	ADJ
ejde-615	492	18	comments	comment	NOUN
ejde-615	492	19	.	.	PUNCT
ejde-615	493	1	references	reference	NOUN
ejde-615	493	2	[	[	X
ejde-615	493	3	1	1	X
ejde-615	493	4	]	]	PUNCT
ejde-615	493	5	t.	t.	NOUN
ejde-615	493	6	abdeljawad	abdeljawad	PROPN
ejde-615	493	7	,	,	PUNCT
ejde-615	493	8	f.	f.	PROPN
ejde-615	493	9	m.	m.	PROPN
ejde-615	493	10	atici	atici	PROPN
ejde-615	493	11	;	;	PUNCT
ejde-615	493	12	on	on	ADP
ejde-615	493	13	the	the	DET
ejde-615	493	14	definitions	definition	NOUN
ejde-615	493	15	of	of	ADP
ejde-615	493	16	nabla	nabla	ADJ
ejde-615	493	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	493	18	operators	operator	NOUN
ejde-615	493	19	,	,	PUNCT
ejde-615	493	20	abstr	abstr	PROPN
ejde-615	493	21	.	.	PUNCT
ejde-615	494	1	appl	appl	PROPN
ejde-615	494	2	.	.	PUNCT
ejde-615	495	1	anal	anal	PROPN
ejde-615	495	2	.	.	PROPN
ejde-615	495	3	,	,	PUNCT
ejde-615	495	4	2012	2012	NUM
ejde-615	495	5	(	(	PUNCT
ejde-615	495	6	2012	2012	NUM
ejde-615	495	7	)	)	PUNCT
ejde-615	495	8	,	,	PUNCT
ejde-615	495	9	1	1	NUM
ejde-615	495	10	-	-	SYM
ejde-615	495	11	13	13	NUM
ejde-615	495	12	.	.	PUNCT
ejde-615	496	1	[	[	X
ejde-615	496	2	2	2	NUM
ejde-615	496	3	]	]	PUNCT
ejde-615	496	4	r.	r.	PROPN
ejde-615	496	5	p.	p.	PROPN
ejde-615	496	6	agarwal	agarwal	PROPN
ejde-615	496	7	,	,	PUNCT
ejde-615	496	8	c.	c.	PROPN
ejde-615	496	9	cuevas	cuevas	PROPN
ejde-615	496	10	,	,	PUNCT
ejde-615	496	11	c.	c.	PROPN
ejde-615	496	12	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	496	13	;	;	PUNCT
ejde-615	496	14	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	496	15	of	of	ADP
ejde-615	496	16	difference	difference	NOUN
ejde-615	496	17	equations	equation	NOUN
ejde-615	496	18	on	on	ADP
ejde-615	496	19	banach	banach	NOUN
ejde-615	496	20	spaces	space	NOUN
ejde-615	496	21	,	,	PUNCT
ejde-615	496	22	springer	springer	NOUN
ejde-615	496	23	-	-	PUNCT
ejde-615	496	24	verlag	verlag	PROPN
ejde-615	496	25	,	,	PUNCT
ejde-615	496	26	2014	2014	NUM
ejde-615	496	27	.	.	PUNCT
ejde-615	497	1	[	[	X
ejde-615	497	2	3	3	X
ejde-615	497	3	]	]	X
ejde-615	497	4	w.	w.	PROPN
ejde-615	497	5	arendt	arendt	PROPN
ejde-615	497	6	,	,	PUNCT
ejde-615	497	7	s.	s.	PROPN
ejde-615	497	8	bu	bu	PROPN
ejde-615	497	9	;	;	PUNCT
ejde-615	497	10	the	the	DET
ejde-615	497	11	operator	operator	NOUN
ejde-615	497	12	-	-	PUNCT
ejde-615	497	13	valued	value	VERB
ejde-615	497	14	marcinkiewicz	marcinkiewicz	NOUN
ejde-615	497	15	multiplier	multipli	ADJ
ejde-615	497	16	theorem	theorem	ADJ
ejde-615	497	17	and	and	CCONJ
ejde-615	497	18	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	497	19	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	497	20	,	,	PUNCT
ejde-615	497	21	math	math	NOUN
ejde-615	497	22	.	.	PUNCT
ejde-615	498	1	z.	z.	PROPN
ejde-615	498	2	,	,	PUNCT
ejde-615	498	3	240	240	NUM
ejde-615	498	4	(	(	PUNCT
ejde-615	498	5	2002	2002	NUM
ejde-615	498	6	)	)	PUNCT
ejde-615	498	7	,	,	PUNCT
ejde-615	498	8	311	311	NUM
ejde-615	498	9	-	-	SYM
ejde-615	498	10	343	343	NUM
ejde-615	498	11	.	.	PUNCT
ejde-615	499	1	[	[	X
ejde-615	499	2	4	4	NUM
ejde-615	499	3	]	]	X
ejde-615	499	4	f.	f.	PROPN
ejde-615	499	5	m.	m.	PROPN
ejde-615	499	6	atici	atici	PROPN
ejde-615	499	7	,	,	PUNCT
ejde-615	499	8	p.	p.	PROPN
ejde-615	499	9	w.	w.	PROPN
ejde-615	499	10	eloe	eloe	PROPN
ejde-615	499	11	;	;	PUNCT
ejde-615	499	12	a	a	DET
ejde-615	499	13	transform	transform	NOUN
ejde-615	499	14	method	method	NOUN
ejde-615	499	15	in	in	ADP
ejde-615	499	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	499	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	499	18	calculus	calculus	NOUN
ejde-615	499	19	,	,	PUNCT
ejde-615	499	20	int	int	NOUN
ejde-615	499	21	.	.	PUNCT
ejde-615	500	1	j.	j.	PROPN
ejde-615	500	2	difference	difference	PROPN
ejde-615	500	3	equ	equ	PROPN
ejde-615	500	4	.	.	PROPN
ejde-615	500	5	,	,	PUNCT
ejde-615	500	6	2	2	NUM
ejde-615	500	7	(	(	PUNCT
ejde-615	500	8	2007	2007	NUM
ejde-615	500	9	)	)	PUNCT
ejde-615	500	10	,	,	PUNCT
ejde-615	500	11	no	no	INTJ
ejde-615	500	12	.	.	NOUN
ejde-615	500	13	2	2	NUM
ejde-615	500	14	,	,	PUNCT
ejde-615	500	15	165	165	NUM
ejde-615	500	16	-	-	SYM
ejde-615	500	17	176	176	NUM
ejde-615	500	18	.	.	PUNCT
ejde-615	501	1	[	[	X
ejde-615	501	2	5	5	X
ejde-615	501	3	]	]	PUNCT
ejde-615	501	4	f.	f.	PROPN
ejde-615	501	5	m.	m.	PROPN
ejde-615	501	6	atici	atici	PROPN
ejde-615	501	7	,	,	PUNCT
ejde-615	501	8	p.	p.	PROPN
ejde-615	501	9	w.	w.	PROPN
ejde-615	501	10	eloe	eloe	PROPN
ejde-615	501	11	;	;	PUNCT
ejde-615	501	12	initial	initial	ADJ
ejde-615	501	13	value	value	NOUN
ejde-615	501	14	problems	problem	NOUN
ejde-615	501	15	in	in	ADP
ejde-615	501	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	501	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	501	18	calculus	calculus	NOUN
ejde-615	501	19	,	,	PUNCT
ejde-615	501	20	proc	proc	NOUN
ejde-615	501	21	.	.	PUNCT
ejde-615	502	1	amer	amer	PROPN
ejde-615	502	2	.	.	PUNCT
ejde-615	502	3	math	math	PROPN
ejde-615	502	4	.	.	PUNCT
ejde-615	503	1	soc	soc	PROPN
ejde-615	503	2	.	.	PROPN
ejde-615	503	3	,	,	PUNCT
ejde-615	503	4	137	137	NUM
ejde-615	503	5	(	(	PUNCT
ejde-615	503	6	2009	2009	NUM
ejde-615	503	7	)	)	PUNCT
ejde-615	503	8	,	,	PUNCT
ejde-615	503	9	no	no	INTJ
ejde-615	503	10	.	.	NOUN
ejde-615	503	11	3	3	NUM
ejde-615	503	12	,	,	PUNCT
ejde-615	503	13	981	981	NUM
ejde-615	503	14	-	-	SYM
ejde-615	503	15	989	989	NUM
ejde-615	503	16	.	.	PUNCT
ejde-615	504	1	[	[	X
ejde-615	504	2	6	6	NUM
ejde-615	504	3	]	]	X
ejde-615	504	4	d.	d.	PROPN
ejde-615	504	5	baleanu	baleanu	PROPN
ejde-615	504	6	,	,	PUNCT
ejde-615	504	7	k.	k.	PROPN
ejde-615	504	8	diethelm	diethelm	PROPN
ejde-615	504	9	,	,	PUNCT
ejde-615	504	10	e.	e.	PROPN
ejde-615	504	11	scalas	scalas	PROPN
ejde-615	504	12	,	,	PUNCT
ejde-615	504	13	j.	j.	PROPN
ejde-615	504	14	j.	j.	PROPN
ejde-615	504	15	trujillo	trujillo	PROPN
ejde-615	504	16	;	;	PUNCT
ejde-615	504	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	504	18	calculus	calculus	NOUN
ejde-615	504	19	:	:	PUNCT
ejde-615	504	20	models	model	NOUN
ejde-615	504	21	and	and	CCONJ
ejde-615	504	22	numerical	numerical	ADJ
ejde-615	504	23	methods	method	NOUN
ejde-615	504	24	,	,	PUNCT
ejde-615	504	25	world	world	NOUN
ejde-615	504	26	scientific	scientific	PROPN
ejde-615	504	27	,	,	PUNCT
ejde-615	504	28	london	london	PROPN
ejde-615	504	29	,	,	PUNCT
ejde-615	504	30	2012	2012	NUM
ejde-615	504	31	.	.	PUNCT
ejde-615	505	1	[	[	X
ejde-615	505	2	7	7	X
ejde-615	505	3	]	]	X
ejde-615	505	4	s.	s.	PROPN
ejde-615	505	5	blunck	blunck	PROPN
ejde-615	505	6	;	;	PUNCT
ejde-615	505	7	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	505	8	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	505	9	of	of	ADP
ejde-615	505	10	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	505	11	and	and	CCONJ
ejde-615	505	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-615	505	13	time	time	NOUN
ejde-615	505	14	evolution	evolution	PROPN
ejde-615	505	15	equations	equation	NOUN
ejde-615	505	16	,	,	PUNCT
ejde-615	505	17	studia	studia	PROPN
ejde-615	505	18	math	math	PROPN
ejde-615	505	19	.	.	PUNCT
ejde-615	505	20	,	,	PUNCT
ejde-615	505	21	146	146	NUM
ejde-615	505	22	(	(	PUNCT
ejde-615	505	23	2001	2001	NUM
ejde-615	505	24	)	)	PUNCT
ejde-615	505	25	,	,	PUNCT
ejde-615	505	26	no	no	INTJ
ejde-615	505	27	.	.	NOUN
ejde-615	505	28	2	2	NUM
ejde-615	505	29	,	,	PUNCT
ejde-615	505	30	157	157	NUM
ejde-615	505	31	-	-	SYM
ejde-615	505	32	176	176	NUM
ejde-615	505	33	.	.	PUNCT
ejde-615	506	1	[	[	X
ejde-615	506	2	8	8	NUM
ejde-615	506	3	]	]	X
ejde-615	506	4	d.	d.	PROPN
ejde-615	506	5	l.	l.	PROPN
ejde-615	506	6	burkhölder	burkhölder	PROPN
ejde-615	506	7	;	;	PUNCT
ejde-615	506	8	martingale	martingale	NOUN
ejde-615	506	9	transforms	transform	VERB
ejde-615	506	10	and	and	CCONJ
ejde-615	506	11	the	the	DET
ejde-615	506	12	geometry	geometry	NOUN
ejde-615	506	13	of	of	ADP
ejde-615	506	14	banach	banach	NOUN
ejde-615	506	15	spaces	space	NOUN
ejde-615	506	16	,	,	PUNCT
ejde-615	506	17	lecture	lecture	NOUN
ejde-615	506	18	notes	note	NOUN
ejde-615	506	19	in	in	ADP
ejde-615	506	20	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-615	506	21	,	,	PUNCT
ejde-615	506	22	vol	vol	NOUN
ejde-615	506	23	.	.	PUNCT
ejde-615	506	24	860	860	NUM
ejde-615	506	25	,	,	PUNCT
ejde-615	506	26	springer	springer	NOUN
ejde-615	506	27	,	,	PUNCT
ejde-615	506	28	berlin	berlin	PROPN
ejde-615	506	29	,	,	PUNCT
ejde-615	506	30	1981	1981	NUM
ejde-615	506	31	,	,	PUNCT
ejde-615	506	32	35	35	NUM
ejde-615	506	33	-	-	SYM
ejde-615	506	34	50	50	NUM
ejde-615	506	35	.	.	PUNCT
ejde-615	507	1	[	[	X
ejde-615	507	2	9	9	NUM
ejde-615	507	3	]	]	PUNCT
ejde-615	507	4	r.	r.	PROPN
ejde-615	507	5	e.	e.	PROPN
ejde-615	507	6	corman	corman	PROPN
ejde-615	507	7	,	,	PUNCT
ejde-615	507	8	l.	l.	PROPN
ejde-615	507	9	rao	rao	PROPN
ejde-615	507	10	,	,	PUNCT
ejde-615	507	11	n.	n.	PROPN
ejde-615	507	12	ashwin	ashwin	PROPN
ejde-615	507	13	-	-	PUNCT
ejde-615	507	14	bharadwaj	bharadwaj	PROPN
ejde-615	507	15	,	,	PUNCT
ejde-615	507	16	j.	j.	PROPN
ejde-615	507	17	t.	t.	PROPN
ejde-615	507	18	allison	allison	PROPN
ejde-615	507	19	,	,	PUNCT
ejde-615	507	20	r.	r.	PROPN
ejde-615	507	21	h.	h.	PROPN
ejde-615	507	22	ewoldt	ewoldt	PROPN
ejde-615	507	23	;	;	PUNCT
ejde-615	507	24	setting	set	VERB
ejde-615	507	25	material	material	NOUN
ejde-615	507	26	function	function	NOUN
ejde-615	507	27	design	design	NOUN
ejde-615	507	28	targets	target	NOUN
ejde-615	507	29	for	for	ADP
ejde-615	507	30	linear	linear	ADJ
ejde-615	507	31	viscoelastic	viscoelastic	ADJ
ejde-615	507	32	materials	material	NOUN
ejde-615	507	33	and	and	CCONJ
ejde-615	507	34	structures	structure	NOUN
ejde-615	507	35	,	,	PUNCT
ejde-615	507	36	j.	j.	PROPN
ejde-615	507	37	mech	mech	PROPN
ejde-615	507	38	.	.	PUNCT
ejde-615	508	1	des	des	PROPN
ejde-615	508	2	.	.	PROPN
ejde-615	508	3	,	,	PUNCT
ejde-615	508	4	138	138	NUM
ejde-615	508	5	(	(	PUNCT
ejde-615	508	6	2016	2016	NUM
ejde-615	508	7	)	)	PUNCT
ejde-615	508	8	,	,	PUNCT
ejde-615	508	9	no	no	INTJ
ejde-615	508	10	.	.	NOUN
ejde-615	508	11	5	5	NUM
ejde-615	508	12	,	,	PUNCT
ejde-615	508	13	paper	paper	NOUN
ejde-615	508	14	no	no	NOUN
ejde-615	508	15	.	.	PUNCT
ejde-615	508	16	051402	051402	NUM
ejde-615	508	17	.	.	PUNCT
ejde-615	509	1	[	[	X
ejde-615	509	2	10	10	NUM
ejde-615	509	3	]	]	X
ejde-615	509	4	r.	r.	PROPN
ejde-615	509	5	denk	denk	PROPN
ejde-615	509	6	,	,	PUNCT
ejde-615	509	7	m.	m.	NOUN
ejde-615	509	8	hieber	hieber	PROPN
ejde-615	509	9	,	,	PUNCT
ejde-615	509	10	j.	j.	PROPN
ejde-615	509	11	pr¡§uss	pr¡§uss	PROPN
ejde-615	509	12	;	;	PUNCT
ejde-615	509	13	r	r	X
ejde-615	509	14	-	-	PUNCT
ejde-615	509	15	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-615	509	16	,	,	PUNCT
ejde-615	509	17	fourier	fourier	NOUN
ejde-615	509	18	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-615	509	19	and	and	CCONJ
ejde-615	509	20	problems	problem	NOUN
ejde-615	509	21	of	of	ADP
ejde-615	509	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-615	509	23	and	and	CCONJ
ejde-615	509	24	parabolic	parabolic	ADJ
ejde-615	509	25	type	type	NOUN
ejde-615	509	26	,	,	PUNCT
ejde-615	509	27	mem	mem	PROPN
ejde-615	509	28	.	.	PUNCT
ejde-615	509	29	amer	amer	PROPN
ejde-615	509	30	.	.	PUNCT
ejde-615	509	31	math	math	PROPN
ejde-615	509	32	.	.	PUNCT
ejde-615	510	1	soc	soc	PROPN
ejde-615	510	2	.	.	PUNCT
ejde-615	510	3	,	,	PUNCT
ejde-615	510	4	166	166	NUM
ejde-615	510	5	(	(	PUNCT
ejde-615	510	6	2003	2003	NUM
ejde-615	510	7	)	)	PUNCT
ejde-615	510	8	,	,	PUNCT
ejde-615	510	9	788	788	NUM
ejde-615	510	10	.	.	PUNCT
ejde-615	511	1	[	[	X
ejde-615	511	2	11	11	NUM
ejde-615	511	3	]	]	PUNCT
ejde-615	511	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	511	5	s.	s.	PROPN
ejde-615	511	6	goodrich	goodrich	PROPN
ejde-615	511	7	,	,	PUNCT
ejde-615	511	8	c.	c.	PROPN
ejde-615	511	9	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	511	10	;	;	PUNCT
ejde-615	511	11	a	a	DET
ejde-615	511	12	transference	transference	NOUN
ejde-615	511	13	principle	principle	NOUN
ejde-615	511	14	for	for	ADP
ejde-615	511	15	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-615	511	16	operators	operator	NOUN
ejde-615	511	17	using	use	VERB
ejde-615	511	18	a	a	DET
ejde-615	511	19	convolutional	convolutional	ADJ
ejde-615	511	20	approach	approach	NOUN
ejde-615	511	21	:	:	PUNCT
ejde-615	511	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	511	23	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-615	511	24	and	and	CCONJ
ejde-615	511	25	convexity	convexity	NOUN
ejde-615	511	26	,	,	PUNCT
ejde-615	511	27	israel	israel	PROPN
ejde-615	511	28	j.	j.	PROPN
ejde-615	511	29	math	math	PROPN
ejde-615	511	30	.	.	PROPN
ejde-615	511	31	,	,	PUNCT
ejde-615	511	32	236	236	NUM
ejde-615	511	33	(	(	PUNCT
ejde-615	511	34	2020	2020	NUM
ejde-615	511	35	)	)	PUNCT
ejde-615	511	36	,	,	PUNCT
ejde-615	511	37	533	533	NUM
ejde-615	511	38	-	-	SYM
ejde-615	511	39	589	589	NUM
ejde-615	511	40	.	.	PUNCT
ejde-615	512	1	[	[	X
ejde-615	512	2	12	12	NUM
ejde-615	512	3	]	]	X
ejde-615	512	4	h.	h.	PROPN
ejde-615	512	5	l.	l.	PROPN
ejde-615	512	6	gray	gray	PROPN
ejde-615	512	7	,	,	PUNCT
ejde-615	512	8	n.	n.	PROPN
ejde-615	512	9	f.	f.	PROPN
ejde-615	512	10	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	512	11	;	;	PUNCT
ejde-615	512	12	on	on	ADP
ejde-615	512	13	a	a	DET
ejde-615	512	14	new	new	ADJ
ejde-615	512	15	definition	definition	NOUN
ejde-615	512	16	of	of	ADP
ejde-615	512	17	the	the	DET
ejde-615	512	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	512	19	difference	difference	NOUN
ejde-615	512	20	,	,	PUNCT
ejde-615	512	21	math	math	NOUN
ejde-615	512	22	.	.	PUNCT
ejde-615	513	1	comp	comp	PROPN
ejde-615	513	2	.	.	PUNCT
ejde-615	513	3	,	,	PUNCT
ejde-615	513	4	50	50	NUM
ejde-615	513	5	(	(	PUNCT
ejde-615	513	6	1988	1988	NUM
ejde-615	513	7	)	)	PUNCT
ejde-615	513	8	,	,	PUNCT
ejde-615	514	1	no	no	INTJ
ejde-615	514	2	.	.	NOUN
ejde-615	514	3	182	182	NUM
ejde-615	514	4	,	,	PUNCT
ejde-615	514	5	513	513	NUM
ejde-615	514	6	-	-	SYM
ejde-615	514	7	529	529	NUM
ejde-615	514	8	.	.	PUNCT
ejde-615	515	1	[	[	X
ejde-615	515	2	13	13	NUM
ejde-615	515	3	]	]	PUNCT
ejde-615	515	4	t.	t.	PROPN
ejde-615	515	5	hytönen	hytönen	PROPN
ejde-615	515	6	,	,	PUNCT
ejde-615	515	7	j.	j.	PROPN
ejde-615	515	8	van	van	PROPN
ejde-615	515	9	neerven	neerven	VERB
ejde-615	515	10	,	,	PUNCT
ejde-615	515	11	m.	m.	NOUN
ejde-615	515	12	veraar	veraar	NOUN
ejde-615	515	13	,	,	PUNCT
ejde-615	515	14	l.	l.	PROPN
ejde-615	515	15	weis	weis	PROPN
ejde-615	515	16	;	;	PUNCT
ejde-615	515	17	analysis	analysis	NOUN
ejde-615	515	18	in	in	ADP
ejde-615	515	19	banach	banach	NOUN
ejde-615	515	20	spaces	space	NOUN
ejde-615	515	21	,	,	PUNCT
ejde-615	515	22	volume	volume	NOUN
ejde-615	515	23	i	i	PRON
ejde-615	515	24	:	:	PUNCT
ejde-615	515	25	martingales	martingale	NOUN
ejde-615	515	26	and	and	CCONJ
ejde-615	515	27	littlewood	littlewood	PROPN
ejde-615	515	28	-	-	PUNCT
ejde-615	515	29	paley	paley	PROPN
ejde-615	515	30	theory	theory	NOUN
ejde-615	515	31	,	,	PUNCT
ejde-615	515	32	springer	springer	NOUN
ejde-615	515	33	international	international	ADJ
ejde-615	515	34	publishing	publishing	NOUN
ejde-615	515	35	,	,	PUNCT
ejde-615	515	36	2016	2016	NUM
ejde-615	515	37	.	.	PUNCT
ejde-615	516	1	[	[	X
ejde-615	516	2	14	14	NUM
ejde-615	516	3	]	]	PUNCT
ejde-615	516	4	b.	b.	PROPN
ejde-615	516	5	jin	jin	PROPN
ejde-615	516	6	,	,	PUNCT
ejde-615	516	7	b.	b.	PROPN
ejde-615	516	8	li	li	PROPN
ejde-615	516	9	,	,	PUNCT
ejde-615	516	10	z.	z.	PROPN
ejde-615	516	11	zhou	zhou	PROPN
ejde-615	516	12	;	;	PUNCT
ejde-615	516	13	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	516	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	516	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	516	16	of	of	ADP
ejde-615	516	17	time	time	NOUN
ejde-615	516	18	-	-	PUNCT
ejde-615	516	19	stepping	step	VERB
ejde-615	516	20	schemes	scheme	NOUN
ejde-615	516	21	for	for	ADP
ejde-615	516	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	516	23	evolution	evolution	NOUN
ejde-615	516	24	equations	equation	NOUN
ejde-615	516	25	,	,	PUNCT
ejde-615	516	26	numer	numer	PROPN
ejde-615	516	27	.	.	PROPN
ejde-615	516	28	math	math	PROPN
ejde-615	516	29	.	.	PUNCT
ejde-615	517	1	,	,	PUNCT
ejde-615	517	2	138	138	NUM
ejde-615	517	3	(	(	PUNCT
ejde-615	517	4	2018	2018	NUM
ejde-615	517	5	)	)	PUNCT
ejde-615	517	6	,	,	PUNCT
ejde-615	517	7	no	no	INTJ
ejde-615	517	8	.	.	NOUN
ejde-615	517	9	1	1	NUM
ejde-615	517	10	,	,	PUNCT
ejde-615	517	11	101	101	NUM
ejde-615	517	12	-	-	SYM
ejde-615	517	13	131	131	NUM
ejde-615	517	14	.	.	PUNCT
ejde-615	518	1	ejde-2024/20	ejde-2024/20	PROPN
ejde-615	518	2	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	518	3	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	518	4	for	for	ADP
ejde-615	518	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	518	6	difference	difference	NOUN
ejde-615	518	7	equations	equation	NOUN
ejde-615	518	8	17	17	NUM
ejde-615	518	9	[	[	SYM
ejde-615	518	10	15	15	NUM
ejde-615	518	11	]	]	X
ejde-615	518	12	c.	c.	PROPN
ejde-615	518	13	leal	leal	PROPN
ejde-615	518	14	,	,	PUNCT
ejde-615	518	15	c.	c.	PROPN
ejde-615	518	16	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	518	17	,	,	PUNCT
ejde-615	518	18	m.	m.	NOUN
ejde-615	518	19	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	518	20	-	-	PUNCT
ejde-615	518	21	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	518	22	;	;	PUNCT
ejde-615	518	23	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-615	518	24	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	518	25	for	for	ADP
ejde-615	518	26	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-615	518	27	time	time	NOUN
ejde-615	518	28	-	-	PUNCT
ejde-615	518	29	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	518	30	equations	equation	NOUN
ejde-615	518	31	with	with	ADP
ejde-615	518	32	delays	delay	NOUN
ejde-615	518	33	,	,	PUNCT
ejde-615	518	34	fract	fract	PROPN
ejde-615	518	35	.	.	PUNCT
ejde-615	519	1	calc	calc	PROPN
ejde-615	519	2	.	.	PUNCT
ejde-615	520	1	appl	appl	PROPN
ejde-615	520	2	.	.	PUNCT
ejde-615	521	1	anal	anal	PROPN
ejde-615	521	2	.	.	PROPN
ejde-615	521	3	,	,	PUNCT
ejde-615	521	4	21	21	NUM
ejde-615	521	5	(	(	PUNCT
ejde-615	521	6	2018	2018	NUM
ejde-615	521	7	)	)	PUNCT
ejde-615	521	8	,	,	PUNCT
ejde-615	521	9	696	696	NUM
ejde-615	521	10	-	-	SYM
ejde-615	521	11	715	715	NUM
ejde-615	521	12	.	.	PUNCT
ejde-615	522	1	[	[	X
ejde-615	522	2	16	16	NUM
ejde-615	522	3	]	]	X
ejde-615	522	4	j.	j.	PROPN
ejde-615	522	5	lindenstrauss	lindenstrauss	PROPN
ejde-615	522	6	,	,	PUNCT
ejde-615	522	7	l.	l.	PROPN
ejde-615	522	8	tzafriri	tzafriri	PROPN
ejde-615	522	9	;	;	PUNCT
ejde-615	522	10	classical	classical	ADJ
ejde-615	522	11	banach	banach	NOUN
ejde-615	522	12	spaces	space	NOUN
ejde-615	522	13	ii	ii	PROPN
ejde-615	522	14	,	,	PUNCT
ejde-615	522	15	springer	springer	NOUN
ejde-615	522	16	,	,	PUNCT
ejde-615	522	17	berlin	berlin	PROPN
ejde-615	522	18	1996	1996	NUM
ejde-615	522	19	.	.	PUNCT
ejde-615	523	1	[	[	X
ejde-615	523	2	17	17	NUM
ejde-615	523	3	]	]	X
ejde-615	523	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	523	5	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	523	6	;	;	PUNCT
ejde-615	523	7	the	the	DET
ejde-615	523	8	poisson	poisson	NOUN
ejde-615	523	9	distribution	distribution	NOUN
ejde-615	523	10	,	,	PUNCT
ejde-615	523	11	abstract	abstract	ADJ
ejde-615	523	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	523	13	difference	difference	NOUN
ejde-615	523	14	equations	equation	NOUN
ejde-615	523	15	,	,	PUNCT
ejde-615	523	16	and	and	CCONJ
ejde-615	523	17	stability	stability	NOUN
ejde-615	523	18	,	,	PUNCT
ejde-615	523	19	proc	proc	NOUN
ejde-615	523	20	.	.	PUNCT
ejde-615	524	1	amer	amer	PROPN
ejde-615	524	2	.	.	PUNCT
ejde-615	524	3	math	math	PROPN
ejde-615	524	4	.	.	PUNCT
ejde-615	525	1	soc	soc	PROPN
ejde-615	525	2	.	.	PUNCT
ejde-615	525	3	,	,	PUNCT
ejde-615	525	4	145	145	NUM
ejde-615	525	5	(	(	PUNCT
ejde-615	525	6	2017	2017	NUM
ejde-615	525	7	)	)	PUNCT
ejde-615	525	8	,	,	PUNCT
ejde-615	525	9	no	no	INTJ
ejde-615	525	10	.	.	NOUN
ejde-615	525	11	9	9	NUM
ejde-615	525	12	,	,	PUNCT
ejde-615	525	13	3809	3809	NUM
ejde-615	525	14	-	-	SYM
ejde-615	525	15	3827	3827	NUM
ejde-615	525	16	.	.	PUNCT
ejde-615	526	1	[	[	X
ejde-615	526	2	18	18	NUM
ejde-615	526	3	]	]	X
ejde-615	526	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	526	5	lizama	lizama	NOUN
ejde-615	526	6	;	;	PUNCT
ejde-615	526	7	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	526	8	-	-	PUNCT
ejde-615	526	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	526	10	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	526	11	for	for	ADP
ejde-615	526	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	526	13	difference	difference	NOUN
ejde-615	526	14	equations	equation	NOUN
ejde-615	526	15	on	on	ADP
ejde-615	526	16	umd	umd	PROPN
ejde-615	526	17	spaces	space	NOUN
ejde-615	526	18	,	,	PUNCT
ejde-615	526	19	math	math	NOUN
ejde-615	526	20	.	.	PUNCT
ejde-615	527	1	nachr	nachr	PROPN
ejde-615	527	2	.	.	PROPN
ejde-615	527	3	,	,	PUNCT
ejde-615	527	4	288	288	NUM
ejde-615	527	5	(	(	PUNCT
ejde-615	527	6	2015	2015	NUM
ejde-615	527	7	)	)	PUNCT
ejde-615	527	8	,	,	PUNCT
ejde-615	527	9	2079	2079	NUM
ejde-615	527	10	-	-	SYM
ejde-615	527	11	2092	2092	NUM
ejde-615	527	12	.	.	PUNCT
ejde-615	528	1	[	[	X
ejde-615	528	2	19	19	NUM
ejde-615	528	3	]	]	PUNCT
ejde-615	528	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	528	5	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	528	6	,	,	PUNCT
ejde-615	528	7	m.	m.	NOUN
ejde-615	528	8	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	528	9	-	-	PUNCT
ejde-615	528	10	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	528	11	;	;	PUNCT
ejde-615	528	12	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	528	13	-	-	PUNCT
ejde-615	528	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	528	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	528	16	for	for	ADP
ejde-615	528	17	a	a	DET
ejde-615	528	18	class	class	NOUN
ejde-615	528	19	of	of	ADP
ejde-615	528	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	528	21	difference	difference	NOUN
ejde-615	528	22	equations	equation	NOUN
ejde-615	528	23	on	on	ADP
ejde-615	528	24	umd	umd	PROPN
ejde-615	528	25	spaces	space	NOUN
ejde-615	528	26	:	:	PUNCT
ejde-615	528	27	the	the	DET
ejde-615	528	28	case	case	NOUN
ejde-615	528	29	1	1	NUM
ejde-615	528	30	<	<	X
ejde-615	528	31	α	α	PROPN
ejde-615	528	32	≤	≤	ADJ
ejde-615	528	33	2	2	NUM
ejde-615	528	34	,	,	PUNCT
ejde-615	528	35	banach	banach	NOUN
ejde-615	528	36	j.	j.	PROPN
ejde-615	528	37	math	math	PROPN
ejde-615	528	38	.	.	PUNCT
ejde-615	529	1	anal	anal	PROPN
ejde-615	529	2	.	.	PROPN
ejde-615	529	3	,	,	PUNCT
ejde-615	529	4	11	11	NUM
ejde-615	529	5	(	(	PUNCT
ejde-615	529	6	2017	2017	NUM
ejde-615	529	7	)	)	PUNCT
ejde-615	529	8	,	,	PUNCT
ejde-615	529	9	188	188	NUM
ejde-615	529	10	-	-	SYM
ejde-615	529	11	206	206	NUM
ejde-615	529	12	.	.	PUNCT
ejde-615	530	1	[	[	X
ejde-615	530	2	20	20	NUM
ejde-615	530	3	]	]	X
ejde-615	530	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	530	5	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	530	6	,	,	PUNCT
ejde-615	530	7	m.	m.	NOUN
ejde-615	530	8	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	530	9	-	-	PUNCT
ejde-615	530	10	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	530	11	;	;	PUNCT
ejde-615	530	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	530	13	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	530	14	in	in	ADP
ejde-615	530	15	ℓp	ℓp	ADJ
ejde-615	530	16	spaces	space	NOUN
ejde-615	530	17	for	for	ADP
ejde-615	530	18	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	530	19	time	time	NOUN
ejde-615	530	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	530	21	shifted	shift	VERB
ejde-615	530	22	equations	equation	NOUN
ejde-615	530	23	,	,	PUNCT
ejde-615	530	24	j.	j.	PROPN
ejde-615	530	25	differential	differential	PROPN
ejde-615	530	26	equations	equation	NOUN
ejde-615	530	27	.	.	PUNCT
ejde-615	530	28	,	,	PUNCT
ejde-615	530	29	263	263	NUM
ejde-615	530	30	(	(	PUNCT
ejde-615	530	31	2017	2017	NUM
ejde-615	530	32	)	)	PUNCT
ejde-615	530	33	,	,	PUNCT
ejde-615	530	34	3175	3175	NUM
ejde-615	530	35	-	-	SYM
ejde-615	530	36	3196	3196	NUM
ejde-615	530	37	.	.	PUNCT
ejde-615	531	1	[	[	X
ejde-615	531	2	21	21	NUM
ejde-615	531	3	]	]	X
ejde-615	531	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	531	5	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	531	6	,	,	PUNCT
ejde-615	531	7	m.	m.	NOUN
ejde-615	531	8	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	531	9	-	-	PUNCT
ejde-615	531	10	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	531	11	;	;	PUNCT
ejde-615	531	12	well	well	ADV
ejde-615	531	13	posedness	posedness	NOUN
ejde-615	531	14	for	for	ADP
ejde-615	531	15	semidiscrete	semidiscrete	ADJ
ejde-615	531	16	abstract	abstract	ADJ
ejde-615	531	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-615	531	18	cauchy	cauchy	NOUN
ejde-615	531	19	problems	problem	NOUN
ejde-615	531	20	with	with	ADP
ejde-615	531	21	finite	finite	ADJ
ejde-615	531	22	delay	delay	NOUN
ejde-615	531	23	,	,	PUNCT
ejde-615	531	24	j.	j.	PROPN
ejde-615	531	25	comput	comput	PROPN
ejde-615	531	26	.	.	PUNCT
ejde-615	532	1	appl	appl	PROPN
ejde-615	532	2	.	.	PROPN
ejde-615	532	3	math	math	PROPN
ejde-615	532	4	.	.	PUNCT
ejde-615	532	5	,	,	PUNCT
ejde-615	532	6	339	339	NUM
ejde-615	532	7	(	(	PUNCT
ejde-615	532	8	2018	2018	NUM
ejde-615	532	9	)	)	PUNCT
ejde-615	532	10	,	,	PUNCT
ejde-615	532	11	356	356	NUM
ejde-615	532	12	-	-	SYM
ejde-615	532	13	366	366	NUM
ejde-615	532	14	.	.	PUNCT
ejde-615	533	1	[	[	X
ejde-615	533	2	22	22	NUM
ejde-615	533	3	]	]	X
ejde-615	533	4	c.	c.	PROPN
ejde-615	533	5	lizama	lizama	PROPN
ejde-615	533	6	,	,	PUNCT
ejde-615	533	7	m.	m.	NOUN
ejde-615	533	8	murillo	murillo	PROPN
ejde-615	533	9	-	-	PUNCT
ejde-615	533	10	arcila	arcila	PROPN
ejde-615	533	11	;	;	PUNCT
ejde-615	533	12	discrete	discrete	VERB
ejde-615	533	13	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	533	14	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	533	15	for	for	ADP
ejde-615	533	16	volterra	volterra	NOUN
ejde-615	533	17	equations	equation	NOUN
ejde-615	533	18	and	and	CCONJ
ejde-615	533	19	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-615	533	20	time	time	NOUN
ejde-615	533	21	-	-	PUNCT
ejde-615	533	22	stepping	step	VERB
ejde-615	533	23	schemes	scheme	NOUN
ejde-615	533	24	,	,	PUNCT
ejde-615	533	25	discrete	discrete	ADJ
ejde-615	533	26	contin	contin	NOUN
ejde-615	533	27	.	.	PUNCT
ejde-615	534	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-615	534	2	.	.	PUNCT
ejde-615	535	1	syst	syst	PROPN
ejde-615	535	2	.	.	PROPN
ejde-615	535	3	,	,	PUNCT
ejde-615	535	4	40	40	NUM
ejde-615	535	5	(	(	PUNCT
ejde-615	535	6	2020	2020	NUM
ejde-615	535	7	)	)	PUNCT
ejde-615	535	8	,	,	PUNCT
ejde-615	535	9	509	509	NUM
ejde-615	535	10	-	-	SYM
ejde-615	535	11	528	528	NUM
ejde-615	535	12	.	.	PUNCT
ejde-615	536	1	jichao	jichao	PROPN
ejde-615	536	2	zhang	zhang	PROPN
ejde-615	536	3	school	school	PROPN
ejde-615	536	4	of	of	ADP
ejde-615	536	5	science	science	PROPN
ejde-615	536	6	,	,	PUNCT
ejde-615	536	7	hubei	hubei	PROPN
ejde-615	536	8	university	university	PROPN
ejde-615	536	9	of	of	ADP
ejde-615	536	10	technology	technology	PROPN
ejde-615	536	11	,	,	PUNCT
ejde-615	536	12	wuhan	wuhan	PROPN
ejde-615	536	13	430068	430068	NUM
ejde-615	536	14	,	,	PUNCT
ejde-615	536	15	china	china	PROPN
ejde-615	536	16	email	email	NOUN
ejde-615	536	17	address	address	NOUN
ejde-615	536	18	:	:	PUNCT
ejde-615	536	19	156880717@qq.com	156880717@qq.com	NUM
ejde-615	536	20	shangquan	shangquan	PROPN
ejde-615	536	21	bu	bu	PROPN
ejde-615	536	22	department	department	PROPN
ejde-615	536	23	of	of	ADP
ejde-615	536	24	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-615	536	25	science	science	NOUN
ejde-615	536	26	,	,	PUNCT
ejde-615	536	27	tsinghua	tsinghua	PROPN
ejde-615	536	28	university	university	PROPN
ejde-615	536	29	,	,	PUNCT
ejde-615	536	30	beijing	beijing	PROPN
ejde-615	536	31	100084	100084	NUM
ejde-615	536	32	,	,	PUNCT
ejde-615	536	33	china	china	PROPN
ejde-615	536	34	email	email	NOUN
ejde-615	536	35	address	address	NOUN
ejde-615	536	36	:	:	PUNCT
ejde-615	536	37	bushangquan@tsinghua.edu.cn	bushangquan@tsinghua.edu.cn	NOUN
ejde-615	536	38	1	1	NUM
ejde-615	536	39	.	.	PUNCT
ejde-615	537	1	introduction	introduction	NOUN
ejde-615	537	2	2	2	NUM
ejde-615	537	3	.	.	PUNCT
ejde-615	537	4	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-615	537	5	3	3	NUM
ejde-615	537	6	.	.	PUNCT
ejde-615	537	7	representation	representation	NOUN
ejde-615	537	8	of	of	ADP
ejde-615	537	9	solutions	solution	NOUN
ejde-615	537	10	3.1	3.1	NUM
ejde-615	537	11	.	.	PUNCT
ejde-615	538	1	-resolvent	-resolvent	ADJ
ejde-615	538	2	sequence	sequence	NOUN
ejde-615	538	3	(	(	PUNCT
ejde-615	538	4	p(n))nn0	p(n))nn0	PROPN
ejde-615	538	5	3.2	3.2	NUM
ejde-615	538	6	.	.	PUNCT
ejde-615	539	1	formula	formula	NOUN
ejde-615	539	2	of	of	ADP
ejde-615	539	3	solution	solution	NOUN
ejde-615	539	4	4	4	NUM
ejde-615	539	5	.	.	PUNCT
ejde-615	539	6	characterization	characterization	NOUN
ejde-615	539	7	of	of	ADP
ejde-615	539	8	the	the	DET
ejde-615	539	9	p	p	ADJ
ejde-615	539	10	-	-	PUNCT
ejde-615	539	11	maximal	maximal	ADJ
ejde-615	539	12	regularity	regularity	NOUN
ejde-615	539	13	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-615	539	14	references	reference	NOUN