id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-619	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-619	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-619	1	3	of	of	ADP
ejde-619	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-619	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-619	1	6	,	,	PUNCT
ejde-619	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-619	1	8	.	.	NOUN
ejde-619	1	9	2024	2024	NUM
ejde-619	1	10	(	(	PUNCT
ejde-619	1	11	2024	2024	NUM
ejde-619	1	12	)	)	PUNCT
ejde-619	1	13	,	,	PUNCT
ejde-619	1	14	no	no	INTJ
ejde-619	1	15	.	.	NOUN
ejde-619	1	16	41	41	NUM
ejde-619	1	17	,	,	PUNCT
ejde-619	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-619	1	19	.	.	PUNCT
ejde-619	2	1	1–24	1–24	PROPN
ejde-619	2	2	.	.	PUNCT
ejde-619	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-619	3	2	:	:	PUNCT
ejde-619	3	3	1072	1072	NUM
ejde-619	3	4	-	-	SYM
ejde-619	3	5	6691	6691	NUM
ejde-619	3	6	.	.	PUNCT
ejde-619	4	1	url	url	PROPN
ejde-619	4	2	:	:	PUNCT
ejde-619	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-619	4	4	,	,	PUNCT
ejde-619	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-619	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-619	4	7	:	:	PUNCT
ejde-619	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-619	4	9	/	/	SYM
ejde-619	4	10	ejde.2024.40	ejde.2024.40	PRON
ejde-619	4	11	positive	positive	ADJ
ejde-619	4	12	solution	solution	NOUN
ejde-619	4	13	for	for	ADP
ejde-619	4	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	4	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	4	16	equations	equation	NOUN
ejde-619	4	17	on	on	ADP
ejde-619	4	18	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	4	19	domains	domain	NOUN
ejde-619	4	20	luiz	luiz	PROPN
ejde-619	4	21	f.	f.	PROPN
ejde-619	4	22	o.	o.	PROPN
ejde-619	4	23	faria	faria	PROPN
ejde-619	4	24	,	,	PUNCT
ejde-619	4	25	marcelo	marcelo	PROPN
ejde-619	4	26	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	4	27	abstract	abstract	PROPN
ejde-619	4	28	.	.	PUNCT
ejde-619	5	1	we	we	PRON
ejde-619	5	2	show	show	VERB
ejde-619	5	3	the	the	DET
ejde-619	5	4	existence	existence	NOUN
ejde-619	5	5	of	of	ADP
ejde-619	5	6	a	a	DET
ejde-619	5	7	positive	positive	ADJ
ejde-619	5	8	solution	solution	NOUN
ejde-619	5	9	for	for	ADP
ejde-619	5	10	the	the	DET
ejde-619	5	11	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-619	5	12	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-619	5	13	equation	equation	NOUN
ejde-619	5	14	with	with	ADP
ejde-619	5	15	variable	variable	ADJ
ejde-619	5	16	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	5	17	above	above	ADP
ejde-619	5	18	the	the	DET
ejde-619	5	19	critical	critical	ADJ
ejde-619	5	20	regime	regime	NOUN
ejde-619	5	21	.	.	PUNCT
ejde-619	6	1	for	for	ADP
ejde-619	6	2	that	that	DET
ejde-619	6	3	matter	matter	NOUN
ejde-619	6	4	,	,	PUNCT
ejde-619	6	5	we	we	PRON
ejde-619	6	6	show	show	VERB
ejde-619	6	7	an	an	DET
ejde-619	6	8	embedding	embedding	NOUN
ejde-619	6	9	into	into	ADP
ejde-619	6	10	an	an	DET
ejde-619	6	11	orlicz	orlicz	ADJ
ejde-619	6	12	space	space	NOUN
ejde-619	6	13	of	of	ADP
ejde-619	6	14	functions	function	NOUN
ejde-619	6	15	modeled	model	VERB
ejde-619	6	16	over	over	ADP
ejde-619	6	17	radially	radially	ADV
ejde-619	6	18	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	6	19	domains	domain	NOUN
ejde-619	6	20	.	.	PUNCT
ejde-619	7	1	then	then	ADV
ejde-619	7	2	we	we	PRON
ejde-619	7	3	use	use	VERB
ejde-619	7	4	a	a	DET
ejde-619	7	5	galerkin	galerkin	ADJ
ejde-619	7	6	method	method	NOUN
ejde-619	7	7	combined	combine	VERB
ejde-619	7	8	with	with	ADP
ejde-619	7	9	a	a	DET
ejde-619	7	10	fixed	fix	VERB
ejde-619	7	11	-	-	PUNCT
ejde-619	7	12	point	point	NOUN
ejde-619	7	13	argument	argument	NOUN
ejde-619	7	14	to	to	PART
ejde-619	7	15	obtain	obtain	VERB
ejde-619	7	16	a	a	DET
ejde-619	7	17	solution	solution	NOUN
ejde-619	7	18	.	.	PUNCT
ejde-619	8	1	1	1	X
ejde-619	8	2	.	.	X
ejde-619	8	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-619	8	4	our	our	PRON
ejde-619	8	5	aim	aim	NOUN
ejde-619	8	6	is	be	AUX
ejde-619	8	7	to	to	PART
ejde-619	8	8	find	find	VERB
ejde-619	8	9	positive	positive	ADJ
ejde-619	8	10	radially	radially	ADV
ejde-619	8	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	8	12	solutions	solution	NOUN
ejde-619	8	13	u(r	u(r	PROPN
ejde-619	8	14	)	)	PUNCT
ejde-619	8	15	,	,	PUNCT
ejde-619	8	16	r	r	NOUN
ejde-619	8	17	=	=	SYM
ejde-619	8	18	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	8	19	,	,	PUNCT
ejde-619	8	20	for	for	ADP
ejde-619	8	21	the	the	DET
ejde-619	8	22	equation	equation	NOUN
ejde-619	9	1	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	9	2	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	10	1	=	=	PUNCT
ejde-619	11	1	λa(r)uq(r)−1	λa(r)uq(r)−1	X
ejde-619	12	1	+	+	NUM
ejde-619	12	2	uθ(r)−1	uθ(r)−1	NOUN
ejde-619	12	3	in	in	ADP
ejde-619	12	4	d	d	PROPN
ejde-619	12	5	,	,	PUNCT
ejde-619	12	6	(	(	PUNCT
ejde-619	12	7	1.1	1.1	NUM
ejde-619	12	8	)	)	PUNCT
ejde-619	12	9	where	where	SCONJ
ejde-619	12	10	the	the	DET
ejde-619	12	11	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	12	12	θ(r	θ(r	NOUN
ejde-619	12	13	)	)	PUNCT
ejde-619	12	14	and	and	CCONJ
ejde-619	12	15	q(r	q(r	NOUN
ejde-619	12	16	)	)	PUNCT
ejde-619	12	17	are	be	AUX
ejde-619	12	18	functions	function	NOUN
ejde-619	12	19	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	12	20	1	1	NUM
ejde-619	12	21	<	<	X
ejde-619	12	22	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	12	23	)	)	PUNCT
ejde-619	12	24	<	<	X
ejde-619	13	1	p	p	X
ejde-619	13	2	<	<	X
ejde-619	13	3	n	n	CCONJ
ejde-619	13	4	,	,	PUNCT
ejde-619	13	5	(	(	PUNCT
ejde-619	13	6	1.2	1.2	NUM
ejde-619	13	7	)	)	PUNCT
ejde-619	13	8	θ(r	θ(r	PROPN
ejde-619	13	9	)	)	PUNCT
ejde-619	14	1	=	=	SYM
ejde-619	14	2	pn	pn	PROPN
ejde-619	14	3	n	n	ADV
ejde-619	14	4	−	−	PROPN
ejde-619	14	5	p	p	PROPN
ejde-619	14	6	+	+	NUM
ejde-619	14	7	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	14	8	)	)	PUNCT
ejde-619	14	9	,	,	PUNCT
ejde-619	14	10	(	(	PUNCT
ejde-619	14	11	1.3	1.3	NUM
ejde-619	14	12	)	)	PUNCT
ejde-619	15	1	λ	λ	X
ejde-619	15	2	>	>	X
ejde-619	15	3	0	0	NUM
ejde-619	15	4	is	be	AUX
ejde-619	15	5	a	a	DET
ejde-619	15	6	parameter	parameter	NOUN
ejde-619	15	7	and	and	CCONJ
ejde-619	15	8	a(r	a(r	NOUN
ejde-619	15	9	)	)	PUNCT
ejde-619	15	10	,	,	PUNCT
ejde-619	15	11	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	15	12	)	)	PUNCT
ejde-619	15	13	,	,	PUNCT
ejde-619	15	14	θ(r	θ(r	PROPN
ejde-619	15	15	)	)	PUNCT
ejde-619	15	16	,	,	PUNCT
ejde-619	15	17	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	15	18	)	)	PUNCT
ejde-619	15	19	are	be	AUX
ejde-619	15	20	positive	positive	ADJ
ejde-619	15	21	radially	radially	ADV
ejde-619	15	22	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	15	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	15	24	functions	function	NOUN
ejde-619	15	25	,	,	PUNCT
ejde-619	15	26	and	and	CCONJ
ejde-619	15	27	d	d	PROPN
ejde-619	15	28	⊆	⊆	NUM
ejde-619	15	29	rn	rn	PROPN
ejde-619	15	30	,	,	PUNCT
ejde-619	15	31	n	n	PRON
ejde-619	15	32	≥	≥	NOUN
ejde-619	15	33	2	2	NUM
ejde-619	15	34	,	,	PUNCT
ejde-619	15	35	is	be	AUX
ejde-619	15	36	an	an	DET
ejde-619	15	37	open	open	ADJ
ejde-619	15	38	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	15	39	set	set	NOUN
ejde-619	15	40	centered	center	VERB
ejde-619	15	41	at	at	ADP
ejde-619	15	42	the	the	DET
ejde-619	15	43	origin	origin	NOUN
ejde-619	15	44	(	(	PUNCT
ejde-619	15	45	that	that	PRON
ejde-619	15	46	is	is	ADV
ejde-619	15	47	,	,	PUNCT
ejde-619	16	1	if	if	SCONJ
ejde-619	16	2	x	x	SYM
ejde-619	16	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	16	4	d	d	NOUN
ejde-619	16	5	,	,	PUNCT
ejde-619	16	6	then	then	ADV
ejde-619	16	7	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	16	8	∈	∈	PROPN
ejde-619	16	9	d	d	NOUN
ejde-619	16	10	)	)	PUNCT
ejde-619	16	11	.	.	PUNCT
ejde-619	17	1	the	the	DET
ejde-619	17	2	domain	domain	NOUN
ejde-619	17	3	d	d	NOUN
ejde-619	17	4	may	may	AUX
ejde-619	17	5	be	be	AUX
ejde-619	17	6	a	a	DET
ejde-619	17	7	ball	ball	NOUN
ejde-619	17	8	,	,	PUNCT
ejde-619	17	9	an	an	DET
ejde-619	17	10	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	17	11	,	,	PUNCT
ejde-619	17	12	rn	rn	PROPN
ejde-619	17	13	or	or	CCONJ
ejde-619	17	14	rn	rn	PROPN
ejde-619	17	15	minus	minus	ADP
ejde-619	17	16	a	a	DET
ejde-619	17	17	ball	ball	NOUN
ejde-619	17	18	.	.	PUNCT
ejde-619	18	1	here	here	ADV
ejde-619	18	2	1	1	NUM
ejde-619	18	3	<	<	X
ejde-619	18	4	p	p	X
ejde-619	18	5	<	<	X
ejde-619	18	6	n	n	PROPN
ejde-619	18	7	and	and	CCONJ
ejde-619	18	8	∆p	∆p	PROPN
ejde-619	18	9	=	=	SYM
ejde-619	18	10	div(|∇u|p−2∇u	div(|∇u|p−2∇u	PROPN
ejde-619	18	11	)	)	PUNCT
ejde-619	18	12	is	be	AUX
ejde-619	18	13	the	the	DET
ejde-619	18	14	so	so	ADV
ejde-619	18	15	-	-	PUNCT
ejde-619	18	16	called	call	VERB
ejde-619	18	17	p	p	NOUN
ejde-619	18	18	-	-	PUNCT
ejde-619	18	19	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-619	18	20	.	.	PUNCT
ejde-619	19	1	equation	equation	NOUN
ejde-619	19	2	(	(	PUNCT
ejde-619	19	3	1.1	1.1	NUM
ejde-619	19	4	)	)	PUNCT
ejde-619	19	5	is	be	AUX
ejde-619	19	6	sometimes	sometimes	ADV
ejde-619	19	7	called	call	VERB
ejde-619	19	8	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-619	19	9	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-619	19	10	equation	equation	NOUN
ejde-619	19	11	.	.	PUNCT
ejde-619	20	1	including	include	VERB
ejde-619	20	2	the	the	DET
ejde-619	20	3	case	case	NOUN
ejde-619	20	4	p	p	X
ejde-619	20	5	=	=	NOUN
ejde-619	20	6	2	2	NUM
ejde-619	20	7	,	,	PUNCT
ejde-619	20	8	it	it	PRON
ejde-619	20	9	was	be	AUX
ejde-619	20	10	studied	study	VERB
ejde-619	20	11	in	in	ADP
ejde-619	20	12	many	many	ADJ
ejde-619	20	13	papers	paper	NOUN
ejde-619	20	14	see	see	VERB
ejde-619	20	15	for	for	ADP
ejde-619	20	16	instance	instance	NOUN
ejde-619	21	1	[	[	X
ejde-619	21	2	1	1	NUM
ejde-619	21	3	,	,	PUNCT
ejde-619	21	4	2	2	NUM
ejde-619	21	5	,	,	PUNCT
ejde-619	21	6	4	4	NUM
ejde-619	21	7	,	,	PUNCT
ejde-619	21	8	7	7	NUM
ejde-619	21	9	,	,	PUNCT
ejde-619	21	10	8	8	NUM
ejde-619	21	11	,	,	PUNCT
ejde-619	21	12	9	9	NUM
ejde-619	21	13	,	,	PUNCT
ejde-619	21	14	10	10	NUM
ejde-619	21	15	,	,	PUNCT
ejde-619	21	16	11	11	NUM
ejde-619	21	17	,	,	PUNCT
ejde-619	21	18	12	12	NUM
ejde-619	21	19	,	,	PUNCT
ejde-619	21	20	13	13	NUM
ejde-619	21	21	,	,	PUNCT
ejde-619	21	22	17	17	NUM
ejde-619	21	23	,	,	PUNCT
ejde-619	21	24	18	18	NUM
ejde-619	21	25	,	,	PUNCT
ejde-619	21	26	19	19	NUM
ejde-619	21	27	,	,	PUNCT
ejde-619	21	28	21	21	NUM
ejde-619	21	29	,	,	PUNCT
ejde-619	21	30	23	23	NUM
ejde-619	21	31	,	,	PUNCT
ejde-619	21	32	24	24	NUM
ejde-619	21	33	,	,	PUNCT
ejde-619	21	34	28	28	NUM
ejde-619	21	35	,	,	PUNCT
ejde-619	21	36	31	31	NUM
ejde-619	21	37	,	,	PUNCT
ejde-619	21	38	33	33	NUM
ejde-619	21	39	,	,	PUNCT
ejde-619	21	40	42	42	NUM
ejde-619	21	41	,	,	PUNCT
ejde-619	21	42	45	45	NUM
ejde-619	21	43	,	,	PUNCT
ejde-619	21	44	44	44	NUM
ejde-619	21	45	]	]	PUNCT
ejde-619	21	46	.	.	PUNCT
ejde-619	22	1	because	because	SCONJ
ejde-619	22	2	θ(r	θ(r	X
ejde-619	22	3	)	)	PUNCT
ejde-619	22	4	>	>	PUNCT
ejde-619	22	5	pn/(n	pn/(n	NOUN
ejde-619	22	6	−	−	PROPN
ejde-619	22	7	p	p	X
ejde-619	22	8	)	)	PUNCT
ejde-619	22	9	we	we	PRON
ejde-619	22	10	say	say	VERB
ejde-619	22	11	that	that	SCONJ
ejde-619	22	12	(	(	PUNCT
ejde-619	22	13	1.1	1.1	NUM
ejde-619	22	14	)	)	PUNCT
ejde-619	22	15	is	be	AUX
ejde-619	22	16	in	in	ADP
ejde-619	22	17	the	the	DET
ejde-619	22	18	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	22	19	range	range	NOUN
ejde-619	22	20	in	in	ADP
ejde-619	22	21	the	the	DET
ejde-619	22	22	sense	sense	NOUN
ejde-619	22	23	of	of	ADP
ejde-619	22	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	22	25	embedding	embed	VERB
ejde-619	22	26	,	,	PUNCT
ejde-619	22	27	see	see	VERB
ejde-619	22	28	remark	remark	NOUN
ejde-619	22	29	1.5	1.5	NUM
ejde-619	22	30	below	below	ADV
ejde-619	22	31	.	.	PUNCT
ejde-619	23	1	throughout	throughout	ADP
ejde-619	23	2	this	this	DET
ejde-619	23	3	article	article	NOUN
ejde-619	23	4	h	h	NOUN
ejde-619	23	5	is	be	AUX
ejde-619	23	6	a	a	DET
ejde-619	23	7	function	function	NOUN
ejde-619	23	8	with	with	ADP
ejde-619	23	9	the	the	DET
ejde-619	23	10	following	follow	VERB
ejde-619	23	11	properties	property	NOUN
ejde-619	23	12	:	:	PUNCT
ejde-619	23	13	h	h	NOUN
ejde-619	23	14	:	:	PUNCT
ejde-619	24	1	[	[	X
ejde-619	24	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-619	24	3	)	)	PUNCT
ejde-619	24	4	→	→	PUNCT
ejde-619	25	1	[	[	X
ejde-619	25	2	0,∞	0,∞	NUM
ejde-619	25	3	)	)	PUNCT
ejde-619	25	4	is	be	AUX
ejde-619	25	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	25	6	,	,	PUNCT
ejde-619	25	7	and	and	CCONJ
ejde-619	25	8	h(0	h(0	PROPN
ejde-619	25	9	)	)	PUNCT
ejde-619	25	10	=	=	SYM
ejde-619	25	11	0	0	NUM
ejde-619	25	12	;	;	PUNCT
ejde-619	25	13	(	(	PUNCT
ejde-619	25	14	1.4	1.4	NUM
ejde-619	25	15	)	)	PUNCT
ejde-619	25	16	there	there	PRON
ejde-619	25	17	are	be	VERB
ejde-619	25	18	constants	constant	NOUN
ejde-619	25	19	β	β	X
ejde-619	25	20	>	>	X
ejde-619	25	21	2	2	NUM
ejde-619	25	22	and	and	CCONJ
ejde-619	25	23	c	c	X
ejde-619	25	24	>	>	X
ejde-619	25	25	0	0	NUM
ejde-619	26	1	such	such	ADJ
ejde-619	26	2	that	that	DET
ejde-619	26	3	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	26	4	)	)	PUNCT
ejde-619	26	5	≤	≤	PUNCT
ejde-619	26	6	c|	c|	PROPN
ejde-619	26	7	log	log	NOUN
ejde-619	26	8	r|−β	r|−β	NUM
ejde-619	26	9	for	for	ADP
ejde-619	26	10	r	r	NOUN
ejde-619	26	11	near	near	ADP
ejde-619	26	12	0	0	NUM
ejde-619	26	13	;	;	PUNCT
ejde-619	26	14	(	(	PUNCT
ejde-619	26	15	1.5	1.5	NUM
ejde-619	26	16	)	)	PUNCT
ejde-619	26	17	there	there	PRON
ejde-619	26	18	is	be	VERB
ejde-619	26	19	a	a	DET
ejde-619	26	20	constant	constant	ADJ
ejde-619	26	21	c	c	NOUN
ejde-619	26	22	>	>	X
ejde-619	26	23	0	0	NUM
ejde-619	26	24	such	such	ADJ
ejde-619	26	25	that	that	DET
ejde-619	26	26	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	26	27	)	)	PUNCT
ejde-619	26	28	≤	≤	NOUN
ejde-619	26	29	c	c	AUX
ejde-619	26	30	|1−	|1−	NOUN
ejde-619	26	31	r|	r|	NOUN
ejde-619	26	32	for	for	ADP
ejde-619	26	33	r	r	NOUN
ejde-619	26	34	close	close	ADV
ejde-619	26	35	to	to	PART
ejde-619	26	36	1	1	NUM
ejde-619	26	37	.	.	PUNCT
ejde-619	27	1	(	(	PUNCT
ejde-619	27	2	1.6	1.6	NUM
ejde-619	27	3	)	)	PUNCT
ejde-619	27	4	2020	2020	NUM
ejde-619	27	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-619	27	6	subject	subject	ADJ
ejde-619	27	7	classification	classification	NOUN
ejde-619	27	8	.	.	PUNCT
ejde-619	28	1	65n30	65n30	NUM
ejde-619	28	2	,	,	PUNCT
ejde-619	28	3	35b09	35b09	NUM
ejde-619	28	4	,	,	PUNCT
ejde-619	28	5	35j60	35j60	NUM
ejde-619	28	6	,	,	PUNCT
ejde-619	28	7	46e30	46e30	NUM
ejde-619	28	8	.	.	PUNCT
ejde-619	29	1	key	key	ADJ
ejde-619	29	2	words	word	NOUN
ejde-619	29	3	and	and	CCONJ
ejde-619	29	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-619	29	5	.	.	PUNCT
ejde-619	30	1	positive	positive	ADJ
ejde-619	30	2	solution	solution	NOUN
ejde-619	30	3	;	;	PUNCT
ejde-619	30	4	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	30	5	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	30	6	equation	equation	NOUN
ejde-619	30	7	;	;	PUNCT
ejde-619	30	8	variable	variable	ADJ
ejde-619	30	9	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	30	10	.	.	PUNCT
ejde-619	31	1	©	©	ADP
ejde-619	31	2	2024	2024	NUM
ejde-619	31	3	.	.	PUNCT
ejde-619	32	1	this	this	DET
ejde-619	32	2	work	work	NOUN
ejde-619	32	3	is	be	AUX
ejde-619	32	4	licensed	license	VERB
ejde-619	32	5	under	under	ADP
ejde-619	32	6	a	a	DET
ejde-619	32	7	cc	cc	NOUN
ejde-619	32	8	by	by	ADP
ejde-619	32	9	4.0	4.0	NUM
ejde-619	32	10	license	license	NOUN
ejde-619	32	11	.	.	PUNCT
ejde-619	33	1	submitted	submit	VERB
ejde-619	33	2	march	march	PROPN
ejde-619	33	3	14	14	NUM
ejde-619	33	4	,	,	PUNCT
ejde-619	33	5	2024	2024	NUM
ejde-619	33	6	.	.	PUNCT
ejde-619	34	1	published	publish	VERB
ejde-619	34	2	july	july	PROPN
ejde-619	34	3	30	30	NUM
ejde-619	34	4	,	,	PUNCT
ejde-619	34	5	2024	2024	NUM
ejde-619	34	6	.	.	PUNCT
ejde-619	34	7	1	1	NUM
ejde-619	34	8	2	2	NUM
ejde-619	34	9	l.	l.	PROPN
ejde-619	34	10	f.	f.	PROPN
ejde-619	34	11	o.	o.	PROPN
ejde-619	34	12	faria	faria	PROPN
ejde-619	34	13	,	,	PUNCT
ejde-619	34	14	m.	m.	PROPN
ejde-619	34	15	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	34	16	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	34	17	we	we	PRON
ejde-619	34	18	denote	denote	VERB
ejde-619	34	19	by	by	ADP
ejde-619	34	20	w	w	PROPN
ejde-619	34	21	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	34	22	r	r	NOUN
ejde-619	34	23	(	(	PUNCT
ejde-619	34	24	d	d	X
ejde-619	34	25	)	)	PUNCT
ejde-619	34	26	the	the	DET
ejde-619	34	27	closed	closed	ADJ
ejde-619	34	28	subspace	subspace	NOUN
ejde-619	34	29	of	of	ADP
ejde-619	34	30	w	w	PROPN
ejde-619	34	31	1,p(d	1,p(d	PROPN
ejde-619	34	32	)	)	PUNCT
ejde-619	34	33	composed	compose	VERB
ejde-619	34	34	by	by	ADP
ejde-619	34	35	radially	radially	ADV
ejde-619	34	36	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	34	37	functions	function	NOUN
ejde-619	34	38	on	on	ADP
ejde-619	34	39	d	d	NOUN
ejde-619	34	40	,	,	PUNCT
ejde-619	34	41	i.e.	i.e.	X
ejde-619	34	42	,	,	PUNCT
ejde-619	34	43	w	w	PROPN
ejde-619	34	44	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	34	45	r	r	NOUN
ejde-619	34	46	(	(	PUNCT
ejde-619	34	47	d	d	NOUN
ejde-619	34	48	)	)	PUNCT
ejde-619	34	49	=	=	SYM
ejde-619	35	1	{	{	PUNCT
ejde-619	35	2	u	u	NOUN
ejde-619	35	3	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	35	4	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	35	5	)	)	PUNCT
ejde-619	35	6	:	:	PUNCT
ejde-619	35	7	u	u	NOUN
ejde-619	35	8	=	=	PROPN
ejde-619	35	9	u(r	u(r	PROPN
ejde-619	35	10	)	)	PUNCT
ejde-619	35	11	,	,	PUNCT
ejde-619	35	12	r	r	NOUN
ejde-619	35	13	=	=	SYM
ejde-619	35	14	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	35	15	}	}	PUNCT
ejde-619	35	16	,	,	PUNCT
ejde-619	35	17	(	(	PUNCT
ejde-619	35	18	1.7	1.7	NUM
ejde-619	35	19	)	)	PUNCT
ejde-619	35	20	endowed	endow	VERB
ejde-619	35	21	with	with	ADP
ejde-619	35	22	the	the	DET
ejde-619	35	23	standard	standard	ADJ
ejde-619	35	24	norm	norm	NOUN
ejde-619	35	25	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	35	26	1,p(d	1,p(d	PROPN
ejde-619	35	27	)	)	PUNCT
ejde-619	35	28	=	=	PUNCT
ejde-619	36	1	(	(	PUNCT
ejde-619	36	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	36	3	d	d	X
ejde-619	36	4	(	(	PUNCT
ejde-619	36	5	|∇u|p	|∇u|p	NOUN
ejde-619	36	6	+	+	CCONJ
ejde-619	36	7	|u|p)dx	|u|p)dx	X
ejde-619	36	8	)	)	PUNCT
ejde-619	36	9	1	1	NUM
ejde-619	36	10	/	/	SYM
ejde-619	36	11	p	p	NOUN
ejde-619	36	12	.	.	PUNCT
ejde-619	37	1	(	(	PUNCT
ejde-619	37	2	1.8	1.8	NUM
ejde-619	37	3	)	)	PUNCT
ejde-619	37	4	theorem	theorem	VERB
ejde-619	37	5	1.1	1.1	NUM
ejde-619	37	6	.	.	PUNCT
ejde-619	38	1	let	let	VERB
ejde-619	38	2	θ(r	θ(r	X
ejde-619	38	3	)	)	PUNCT
ejde-619	39	1	=	=	VERB
ejde-619	39	2	p∗	p∗	ADJ
ejde-619	39	3	+	+	CCONJ
ejde-619	39	4	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	39	5	)	)	PUNCT
ejde-619	39	6	,	,	PUNCT
ejde-619	39	7	p∗	p∗	NOUN
ejde-619	39	8	=	=	PUNCT
ejde-619	39	9	pn/(n	pn/(n	VERB
ejde-619	39	10	−	−	PROPN
ejde-619	39	11	p	p	NOUN
ejde-619	39	12	)	)	PUNCT
ejde-619	39	13	,	,	PUNCT
ejde-619	39	14	and	and	CCONJ
ejde-619	39	15	h	h	NOUN
ejde-619	39	16	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-619	39	17	(	(	PUNCT
ejde-619	39	18	1.4)–(1.6	1.4)–(1.6	NUM
ejde-619	39	19	)	)	PUNCT
ejde-619	39	20	.	.	PUNCT
ejde-619	40	1	then	then	ADV
ejde-619	40	2	sup	sup	INTJ
ejde-619	40	3	{	{	PUNCT
ejde-619	40	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	40	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	40	6	|u(x)|θ(r)dx	|u(x)|θ(r)dx	PROPN
ejde-619	40	7	:	:	PUNCT
ejde-619	40	8	u	u	NOUN
ejde-619	40	9	∈w	∈w	VERB
ejde-619	40	10	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	40	11	r	r	NOUN
ejde-619	40	12	(	(	PUNCT
ejde-619	40	13	rn	rn	PROPN
ejde-619	40	14	)	)	PUNCT
ejde-619	40	15	,	,	PUNCT
ejde-619	40	16	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	40	17	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	40	18	)	)	PUNCT
ejde-619	41	1	=	=	PUNCT
ejde-619	41	2	1	1	X
ejde-619	41	3	}	}	PUNCT
ejde-619	41	4	<	<	X
ejde-619	41	5	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	41	6	(	(	PUNCT
ejde-619	41	7	1.9	1.9	NUM
ejde-619	41	8	)	)	PUNCT
ejde-619	41	9	by	by	ADP
ejde-619	41	10	the	the	DET
ejde-619	41	11	conditions	condition	NOUN
ejde-619	41	12	on	on	ADP
ejde-619	41	13	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	41	14	)	)	PUNCT
ejde-619	41	15	and	and	CCONJ
ejde-619	41	16	the	the	DET
ejde-619	41	17	decay	decay	NOUN
ejde-619	41	18	of	of	ADP
ejde-619	41	19	u(r	u(r	NOUN
ejde-619	41	20	)	)	PUNCT
ejde-619	41	21	,	,	PUNCT
ejde-619	41	22	the	the	DET
ejde-619	41	23	integrals	integral	NOUN
ejde-619	41	24	are	be	AUX
ejde-619	41	25	well	well	ADV
ejde-619	41	26	defined	define	VERB
ejde-619	41	27	and	and	CCONJ
ejde-619	41	28	nonsingular	nonsingular	ADJ
ejde-619	41	29	.	.	PUNCT
ejde-619	42	1	we	we	PRON
ejde-619	42	2	denote	denote	VERB
ejde-619	42	3	byw	byw	PROPN
ejde-619	42	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	43	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	43	2	(	(	PUNCT
ejde-619	43	3	d	d	X
ejde-619	43	4	)	)	PUNCT
ejde-619	43	5	the	the	DET
ejde-619	43	6	closed	closed	ADJ
ejde-619	43	7	subspace	subspace	NOUN
ejde-619	43	8	ofw	ofw	PROPN
ejde-619	43	9	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	43	10	0	0	PUNCT
ejde-619	44	1	(	(	PUNCT
ejde-619	44	2	d	d	NOUN
ejde-619	44	3	)	)	PUNCT
ejde-619	44	4	composed	compose	VERB
ejde-619	44	5	by	by	ADP
ejde-619	44	6	radially	radially	ADV
ejde-619	44	7	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	44	8	functions	function	NOUN
ejde-619	44	9	on	on	ADP
ejde-619	44	10	d	d	NOUN
ejde-619	44	11	,	,	PUNCT
ejde-619	44	12	i.e.	i.e.	X
ejde-619	44	13	,	,	PUNCT
ejde-619	44	14	w	w	PROPN
ejde-619	44	15	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	45	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	45	2	(	(	PUNCT
ejde-619	45	3	d	d	X
ejde-619	45	4	)	)	PUNCT
ejde-619	45	5	=	=	SYM
ejde-619	45	6	{	{	PUNCT
ejde-619	45	7	u	u	NOUN
ejde-619	45	8	∈w	∈w	VERB
ejde-619	45	9	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	45	10	0	0	SYM
ejde-619	46	1	(	(	PUNCT
ejde-619	46	2	d	d	NOUN
ejde-619	46	3	)	)	PUNCT
ejde-619	46	4	:	:	PUNCT
ejde-619	46	5	u	u	NOUN
ejde-619	46	6	=	=	PROPN
ejde-619	46	7	u(r	u(r	PROPN
ejde-619	46	8	)	)	PUNCT
ejde-619	46	9	,	,	PUNCT
ejde-619	46	10	r	r	NOUN
ejde-619	46	11	=	=	SYM
ejde-619	46	12	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	46	13	}	}	PUNCT
ejde-619	46	14	,	,	PUNCT
ejde-619	46	15	(	(	PUNCT
ejde-619	46	16	1.10	1.10	NUM
ejde-619	46	17	)	)	PUNCT
ejde-619	46	18	endowed	endow	VERB
ejde-619	46	19	with	with	ADP
ejde-619	46	20	the	the	DET
ejde-619	46	21	norm	norm	NOUN
ejde-619	46	22	(	(	PUNCT
ejde-619	46	23	1.8	1.8	NUM
ejde-619	46	24	)	)	PUNCT
ejde-619	46	25	.	.	PUNCT
ejde-619	47	1	the	the	DET
ejde-619	47	2	continuity	continuity	NOUN
ejde-619	47	3	of	of	ADP
ejde-619	47	4	the	the	DET
ejde-619	47	5	embedding	embed	VERB
ejde-619	47	6	into	into	ADP
ejde-619	47	7	the	the	DET
ejde-619	47	8	orlicz	orlicz	ADJ
ejde-619	47	9	space	space	NOUN
ejde-619	47	10	reads	read	NOUN
ejde-619	47	11	as	as	SCONJ
ejde-619	47	12	follows	follow	VERB
ejde-619	47	13	,	,	PUNCT
ejde-619	47	14	see	see	VERB
ejde-619	47	15	[	[	X
ejde-619	47	16	20	20	NUM
ejde-619	47	17	,	,	PUNCT
ejde-619	47	18	39	39	NUM
ejde-619	47	19	]	]	PUNCT
ejde-619	47	20	or	or	CCONJ
ejde-619	47	21	section	section	NOUN
ejde-619	47	22	2	2	NUM
ejde-619	47	23	below	below	ADV
ejde-619	47	24	.	.	PUNCT
ejde-619	48	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	48	2	1.2	1.2	NUM
ejde-619	48	3	.	.	PUNCT
ejde-619	49	1	let	let	VERB
ejde-619	49	2	θ(r	θ(r	X
ejde-619	49	3	)	)	PUNCT
ejde-619	49	4	=	=	SYM
ejde-619	49	5	p∗+h(r	p∗+h(r	NOUN
ejde-619	49	6	)	)	PUNCT
ejde-619	49	7	with	with	ADP
ejde-619	49	8	h	h	PROPN
ejde-619	49	9	∈	∈	PROPN
ejde-619	49	10	l∞	l∞	PROPN
ejde-619	49	11	+	+	CCONJ
ejde-619	49	12	(	(	PUNCT
ejde-619	49	13	rn	rn	NOUN
ejde-619	49	14	)	)	PUNCT
ejde-619	50	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	50	2	(	(	PUNCT
ejde-619	50	3	1.4)–(1.6	1.4)–(1.6	NUM
ejde-619	50	4	)	)	PUNCT
ejde-619	50	5	.	.	PUNCT
ejde-619	51	1	then	then	ADV
ejde-619	51	2	the	the	DET
ejde-619	51	3	following	follow	VERB
ejde-619	51	4	embedding	embed	VERB
ejde-619	51	5	is	be	AUX
ejde-619	51	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	51	7	w	w	PROPN
ejde-619	51	8	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	51	9	r	r	NOUN
ejde-619	51	10	(	(	PUNCT
ejde-619	51	11	rn	rn	NOUN
ejde-619	51	12	)	)	PUNCT
ejde-619	51	13	↪	↪	PROPN
ejde-619	51	14	→	→	SYM
ejde-619	51	15	lθ(r)(rn	lθ(r)(rn	PROPN
ejde-619	51	16	)	)	PUNCT
ejde-619	51	17	.	.	PUNCT
ejde-619	52	1	(	(	PUNCT
ejde-619	52	2	1.11	1.11	NUM
ejde-619	52	3	)	)	PUNCT
ejde-619	52	4	in	in	ADP
ejde-619	52	5	what	what	PRON
ejde-619	52	6	follows	follow	VERB
ejde-619	52	7	,	,	PUNCT
ejde-619	52	8	we	we	PRON
ejde-619	52	9	consider	consider	VERB
ejde-619	52	10	an	an	DET
ejde-619	52	11	equation	equation	NOUN
ejde-619	52	12	more	more	ADV
ejde-619	52	13	general	general	ADJ
ejde-619	52	14	than	than	ADP
ejde-619	52	15	(	(	PUNCT
ejde-619	52	16	1.1	1.1	NUM
ejde-619	52	17	)	)	PUNCT
ejde-619	52	18	.	.	PUNCT
ejde-619	53	1	let	let	VERB
ejde-619	53	2	f	f	PROPN
ejde-619	53	3	:	:	PUNCT
ejde-619	53	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	53	5	×r	×r	PROPN
ejde-619	53	6	→	→	PUNCT
ejde-619	53	7	r	r	NOUN
ejde-619	53	8	be	be	AUX
ejde-619	53	9	a	a	DET
ejde-619	53	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	53	11	function	function	NOUN
ejde-619	53	12	,	,	PUNCT
ejde-619	53	13	radially	radially	ADV
ejde-619	53	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	53	15	in	in	ADP
ejde-619	53	16	the	the	DET
ejde-619	53	17	first	first	ADJ
ejde-619	53	18	variable	variable	NOUN
ejde-619	53	19	and	and	CCONJ
ejde-619	53	20	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	53	21	the	the	DET
ejde-619	53	22	growth	growth	NOUN
ejde-619	53	23	condition	condition	NOUN
ejde-619	53	24	0	0	NUM
ejde-619	53	25	≤	≤	NUM
ejde-619	53	26	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	53	27	,	,	PUNCT
ejde-619	53	28	t)t	t)t	ADJ
ejde-619	53	29	≤	≤	NUM
ejde-619	53	30	b1	b1	PROPN
ejde-619	53	31	t	t	PROPN
ejde-619	53	32	θ(r	θ(r	NOUN
ejde-619	53	33	)	)	PUNCT
ejde-619	53	34	for	for	SCONJ
ejde-619	53	35	every	every	DET
ejde-619	53	36	r	r	NOUN
ejde-619	53	37	∈	∈	NOUN
ejde-619	53	38	r	r	NOUN
ejde-619	53	39	and	and	CCONJ
ejde-619	53	40	t	t	PROPN
ejde-619	53	41	≥	≥	PROPN
ejde-619	53	42	0	0	NUM
ejde-619	53	43	,	,	PUNCT
ejde-619	53	44	(	(	PUNCT
ejde-619	53	45	1.12	1.12	NUM
ejde-619	53	46	)	)	PUNCT
ejde-619	53	47	where	where	SCONJ
ejde-619	53	48	b1	b1	NOUN
ejde-619	53	49	>	>	X
ejde-619	53	50	0	0	PUNCT
ejde-619	53	51	is	be	AUX
ejde-619	53	52	a	a	DET
ejde-619	53	53	constant	constant	ADJ
ejde-619	53	54	,	,	PUNCT
ejde-619	53	55	θ(r	θ(r	X
ejde-619	53	56	)	)	PUNCT
ejde-619	53	57	=	=	SYM
ejde-619	53	58	p∗+h(r	p∗+h(r	NOUN
ejde-619	53	59	)	)	PUNCT
ejde-619	53	60	,	,	PUNCT
ejde-619	53	61	with	with	ADP
ejde-619	53	62	h	h	PROPN
ejde-619	53	63	∈	∈	PROPN
ejde-619	53	64	l∞	l∞	PROPN
ejde-619	53	65	+	+	CCONJ
ejde-619	53	66	(	(	PUNCT
ejde-619	53	67	rn	rn	NOUN
ejde-619	53	68	)	)	PUNCT
ejde-619	53	69	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	53	70	(	(	PUNCT
ejde-619	53	71	1.4)–(1.5	1.4)–(1.5	NUM
ejde-619	53	72	)	)	PUNCT
ejde-619	53	73	(	(	PUNCT
ejde-619	53	74	see	see	VERB
ejde-619	53	75	also	also	ADV
ejde-619	53	76	(	(	PUNCT
ejde-619	53	77	2.3	2.3	NUM
ejde-619	53	78	)	)	PUNCT
ejde-619	53	79	below	below	ADP
ejde-619	53	80	)	)	PUNCT
ejde-619	53	81	,	,	PUNCT
ejde-619	53	82	and	and	CCONJ
ejde-619	53	83	p∗	p∗	ADJ
ejde-619	53	84	=	=	PUNCT
ejde-619	53	85	pn/(n	pn/(n	VERB
ejde-619	54	1	−	−	PROPN
ejde-619	54	2	p	p	NOUN
ejde-619	54	3	)	)	PUNCT
ejde-619	54	4	.	.	PUNCT
ejde-619	55	1	wyhen	wyhen	PROPN
ejde-619	55	2	d	d	PROPN
ejde-619	55	3	is	be	AUX
ejde-619	55	4	a	a	DET
ejde-619	55	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	55	6	domain	domain	NOUN
ejde-619	55	7	,	,	PUNCT
ejde-619	55	8	we	we	PRON
ejde-619	55	9	deal	deal	VERB
ejde-619	55	10	with	with	ADP
ejde-619	55	11	the	the	DET
ejde-619	55	12	problem	problem	NOUN
ejde-619	55	13	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	55	14	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	55	15	=	=	PUNCT
ejde-619	56	1	λa(r)uq(r)−1	λa(r)uq(r)−1	X
ejde-619	56	2	+	+	NUM
ejde-619	56	3	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	56	4	,	,	PUNCT
ejde-619	56	5	u	u	NOUN
ejde-619	56	6	)	)	PUNCT
ejde-619	56	7	in	in	ADP
ejde-619	56	8	d	d	PROPN
ejde-619	56	9	u	u	X
ejde-619	56	10	>	>	X
ejde-619	56	11	0	0	PUNCT
ejde-619	57	1	in	in	ADP
ejde-619	57	2	d	d	PROPN
ejde-619	57	3	u	u	NOUN
ejde-619	57	4	=	=	NOUN
ejde-619	57	5	0	0	NUM
ejde-619	57	6	on	on	ADP
ejde-619	57	7	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	57	8	.	.	PUNCT
ejde-619	58	1	(	(	PUNCT
ejde-619	58	2	1.13	1.13	NUM
ejde-619	58	3	)	)	PUNCT
ejde-619	58	4	note	note	NOUN
ejde-619	58	5	that	that	SCONJ
ejde-619	58	6	d	d	NOUN
ejde-619	58	7	encompasses	encompass	VERB
ejde-619	58	8	balls	ball	NOUN
ejde-619	58	9	and	and	CCONJ
ejde-619	58	10	an	an	DET
ejde-619	58	11	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	58	12	centered	center	VERB
ejde-619	58	13	at	at	ADP
ejde-619	58	14	the	the	DET
ejde-619	58	15	origin	origin	NOUN
ejde-619	58	16	,	,	PUNCT
ejde-619	58	17	in	in	ADP
ejde-619	58	18	which	which	PRON
ejde-619	58	19	we	we	PRON
ejde-619	58	20	have	have	VERB
ejde-619	58	21	the	the	DET
ejde-619	58	22	following	follow	VERB
ejde-619	58	23	result	result	NOUN
ejde-619	58	24	.	.	PUNCT
ejde-619	59	1	theorem	theorem	VERB
ejde-619	59	2	1.3	1.3	NUM
ejde-619	59	3	.	.	PUNCT
ejde-619	60	1	if	if	SCONJ
ejde-619	60	2	λ	λ	PROPN
ejde-619	60	3	>	>	X
ejde-619	60	4	0	0	NUM
ejde-619	60	5	is	be	AUX
ejde-619	60	6	a	a	DET
ejde-619	60	7	constant	constant	ADJ
ejde-619	60	8	,	,	PUNCT
ejde-619	60	9	q	q	PUNCT
ejde-619	60	10	and	and	CCONJ
ejde-619	60	11	a	a	PRON
ejde-619	60	12	are	be	AUX
ejde-619	60	13	radially	radially	ADV
ejde-619	60	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	60	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	60	16	functions	function	NOUN
ejde-619	60	17	,	,	PUNCT
ejde-619	60	18	such	such	ADJ
ejde-619	60	19	that	that	SCONJ
ejde-619	60	20	1	1	NUM
ejde-619	60	21	<	<	X
ejde-619	60	22	q−	q−	PROPN
ejde-619	60	23	≤	≤	PUNCT
ejde-619	60	24	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	60	25	)	)	PUNCT
ejde-619	60	26	≤	≤	NOUN
ejde-619	61	1	q+	q+	ADP
ejde-619	61	2	<	<	X
ejde-619	61	3	p	p	X
ejde-619	61	4	,	,	PUNCT
ejde-619	61	5	q−	q−	PROPN
ejde-619	61	6	,	,	PUNCT
ejde-619	61	7	q+	q+	NOUN
ejde-619	61	8	∈	∈	PROPN
ejde-619	61	9	r	r	NOUN
ejde-619	61	10	,	,	PUNCT
ejde-619	61	11	a	a	DET
ejde-619	61	12	∈	∈	NOUN
ejde-619	61	13	l	l	NOUN
ejde-619	61	14	p	p	NOUN
ejde-619	61	15	p−q(r	p−q(r	NOUN
ejde-619	61	16	)	)	PUNCT
ejde-619	61	17	(	(	PUNCT
ejde-619	61	18	rn	rn	PROPN
ejde-619	61	19	)	)	PUNCT
ejde-619	61	20	,	,	PUNCT
ejde-619	61	21	a(r	a(r	PROPN
ejde-619	61	22	)	)	PUNCT
ejde-619	61	23	>	>	X
ejde-619	61	24	0	0	PUNCT
ejde-619	61	25	in	in	ADP
ejde-619	61	26	rn	rn	PROPN
ejde-619	61	27	,	,	PUNCT
ejde-619	61	28	r	r	NOUN
ejde-619	61	29	=	=	SYM
ejde-619	61	30	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	61	31	,	,	PUNCT
ejde-619	61	32	f	f	X
ejde-619	61	33	:	:	PUNCT
ejde-619	61	34	rn	rn	PROPN
ejde-619	61	35	×	×	NOUN
ejde-619	61	36	r	r	NOUN
ejde-619	61	37	→	→	SYM
ejde-619	61	38	r	r	NOUN
ejde-619	61	39	is	be	AUX
ejde-619	61	40	a	a	DET
ejde-619	61	41	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	61	42	function	function	NOUN
ejde-619	61	43	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	61	44	(	(	PUNCT
ejde-619	61	45	1.12	1.12	NUM
ejde-619	61	46	)	)	PUNCT
ejde-619	61	47	.	.	PUNCT
ejde-619	62	1	then	then	ADV
ejde-619	62	2	there	there	PRON
ejde-619	62	3	exists	exist	VERB
ejde-619	62	4	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	62	5	>	>	X
ejde-619	62	6	0	0	NUM
ejde-619	63	1	such	such	ADJ
ejde-619	63	2	that	that	PRON
ejde-619	63	3	for	for	ADP
ejde-619	63	4	every	every	DET
ejde-619	63	5	λ	λ	PROPN
ejde-619	63	6	∈	∈	PROPN
ejde-619	63	7	(	(	PUNCT
ejde-619	63	8	0	0	NUM
ejde-619	63	9	,	,	PUNCT
ejde-619	63	10	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-619	63	11	)	)	PUNCT
ejde-619	63	12	problem	problem	NOUN
ejde-619	63	13	(	(	PUNCT
ejde-619	63	14	1.13	1.13	NUM
ejde-619	63	15	)	)	PUNCT
ejde-619	63	16	possesses	possess	VERB
ejde-619	63	17	at	at	ADV
ejde-619	63	18	least	least	ADV
ejde-619	63	19	one	one	NUM
ejde-619	63	20	positive	positive	ADJ
ejde-619	63	21	radially	radially	ADV
ejde-619	63	22	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	63	23	solution	solution	NOUN
ejde-619	63	24	uλ	uλ	ADP
ejde-619	63	25	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	63	26	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	63	27	0	0	SYM
ejde-619	63	28	(	(	PUNCT
ejde-619	63	29	d	d	NOUN
ejde-619	63	30	)	)	PUNCT
ejde-619	63	31	.	.	PUNCT
ejde-619	64	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	64	2	,	,	PUNCT
ejde-619	64	3	∥uλ∥w	∥uλ∥w	DET
ejde-619	64	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	64	5	0	0	SYM
ejde-619	64	6	(	(	PUNCT
ejde-619	64	7	d	d	NOUN
ejde-619	64	8	)	)	PUNCT
ejde-619	64	9	→	→	SYM
ejde-619	64	10	0	0	NUM
ejde-619	64	11	as	as	ADP
ejde-619	64	12	λ→	λ→	PROPN
ejde-619	64	13	0	0	NUM
ejde-619	64	14	+	+	NOUN
ejde-619	64	15	.	.	PUNCT
ejde-619	64	16	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	64	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	64	18	equations	equation	NOUN
ejde-619	64	19	on	on	ADP
ejde-619	64	20	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	64	21	domains	domain	NOUN
ejde-619	64	22	3	3	NUM
ejde-619	64	23	let	let	VERB
ejde-619	64	24	br	br	PROPN
ejde-619	64	25	⊆	⊆	NUM
ejde-619	64	26	rn	rn	AUX
ejde-619	64	27	be	be	AUX
ejde-619	64	28	the	the	DET
ejde-619	64	29	open	open	ADJ
ejde-619	64	30	ball	ball	NOUN
ejde-619	64	31	with	with	ADP
ejde-619	64	32	radius	radius	NOUN
ejde-619	64	33	r	r	NOUN
ejde-619	64	34	centered	center	VERB
ejde-619	64	35	at	at	ADP
ejde-619	64	36	the	the	DET
ejde-619	64	37	origin	origin	NOUN
ejde-619	64	38	.	.	PUNCT
ejde-619	65	1	(	(	PUNCT
ejde-619	65	2	for	for	ADP
ejde-619	65	3	r	r	NOUN
ejde-619	65	4	=	=	SYM
ejde-619	65	5	0	0	NUM
ejde-619	65	6	we	we	PRON
ejde-619	65	7	have	have	AUX
ejde-619	65	8	b0	b0	NOUN
ejde-619	65	9	=	=	PUNCT
ejde-619	65	10	∅.	∅.	X
ejde-619	65	11	)	)	PUNCT
ejde-619	65	12	we	we	PRON
ejde-619	65	13	study	study	VERB
ejde-619	65	14	the	the	DET
ejde-619	65	15	problem	problem	NOUN
ejde-619	65	16	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	65	17	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	65	18	=	=	PUNCT
ejde-619	66	1	λa(r)uq(r)−1	λa(r)uq(r)−1	X
ejde-619	66	2	+	+	NUM
ejde-619	66	3	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	66	4	,	,	PUNCT
ejde-619	66	5	u	u	NOUN
ejde-619	66	6	)	)	PUNCT
ejde-619	66	7	in	in	ADP
ejde-619	66	8	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	66	9	u	u	NOUN
ejde-619	66	10	>	>	X
ejde-619	66	11	0	0	PUNCT
ejde-619	67	1	in	in	ADP
ejde-619	67	2	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	67	3	u	u	NOUN
ejde-619	67	4	=	=	NOUN
ejde-619	67	5	0	0	NUM
ejde-619	67	6	on	on	ADP
ejde-619	67	7	∂(rn\br	∂(rn\br	NUM
ejde-619	67	8	)	)	PUNCT
ejde-619	67	9	.	.	PUNCT
ejde-619	68	1	(	(	PUNCT
ejde-619	68	2	1.14	1.14	NUM
ejde-619	68	3	)	)	PUNCT
ejde-619	68	4	note	note	VERB
ejde-619	68	5	that	that	SCONJ
ejde-619	68	6	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	68	7	admits	admit	VERB
ejde-619	68	8	the	the	DET
ejde-619	68	9	whole	whole	ADJ
ejde-619	68	10	space	space	NOUN
ejde-619	68	11	rn	rn	PROPN
ejde-619	68	12	and	and	CCONJ
ejde-619	68	13	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	68	14	domains	domain	NOUN
ejde-619	68	15	such	such	ADJ
ejde-619	68	16	as	as	ADP
ejde-619	68	17	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	68	18	.	.	PUNCT
ejde-619	69	1	the	the	DET
ejde-619	69	2	next	next	ADJ
ejde-619	69	3	result	result	NOUN
ejde-619	69	4	applies	apply	VERB
ejde-619	69	5	to	to	ADP
ejde-619	69	6	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	69	7	domains	domain	NOUN
ejde-619	69	8	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	69	9	and	and	CCONJ
ejde-619	69	10	the	the	DET
ejde-619	69	11	whole	whole	ADJ
ejde-619	69	12	space	space	NOUN
ejde-619	69	13	rn	rn	PROPN
ejde-619	69	14	.	.	PUNCT
ejde-619	70	1	theorem	theorem	VERB
ejde-619	70	2	1.4	1.4	NUM
ejde-619	70	3	.	.	PUNCT
ejde-619	71	1	if	if	SCONJ
ejde-619	71	2	λ	λ	PROPN
ejde-619	71	3	>	>	X
ejde-619	71	4	0	0	NUM
ejde-619	71	5	is	be	AUX
ejde-619	71	6	a	a	DET
ejde-619	71	7	constant	constant	ADJ
ejde-619	71	8	,	,	PUNCT
ejde-619	71	9	q	q	PUNCT
ejde-619	71	10	and	and	CCONJ
ejde-619	71	11	a	a	PRON
ejde-619	71	12	are	be	AUX
ejde-619	71	13	radially	radially	ADV
ejde-619	71	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	71	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	71	16	functions	function	NOUN
ejde-619	71	17	,	,	PUNCT
ejde-619	71	18	such	such	ADJ
ejde-619	71	19	that	that	SCONJ
ejde-619	71	20	1	1	NUM
ejde-619	71	21	<	<	X
ejde-619	71	22	q−	q−	PROPN
ejde-619	71	23	≤	≤	PUNCT
ejde-619	71	24	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	71	25	)	)	PUNCT
ejde-619	71	26	≤	≤	NOUN
ejde-619	72	1	q+	q+	ADP
ejde-619	72	2	<	<	X
ejde-619	72	3	p	p	X
ejde-619	72	4	,	,	PUNCT
ejde-619	72	5	q−	q−	PROPN
ejde-619	72	6	,	,	PUNCT
ejde-619	72	7	q+	q+	NOUN
ejde-619	72	8	∈	∈	PROPN
ejde-619	72	9	r	r	NOUN
ejde-619	72	10	,	,	PUNCT
ejde-619	72	11	a	a	DET
ejde-619	72	12	∈	∈	NOUN
ejde-619	72	13	l	l	NOUN
ejde-619	72	14	p	p	NOUN
ejde-619	72	15	p−q(r	p−q(r	NOUN
ejde-619	72	16	)	)	PUNCT
ejde-619	72	17	(	(	PUNCT
ejde-619	72	18	rn	rn	PROPN
ejde-619	72	19	)	)	PUNCT
ejde-619	72	20	,	,	PUNCT
ejde-619	72	21	a(r	a(r	PROPN
ejde-619	72	22	)	)	PUNCT
ejde-619	72	23	>	>	X
ejde-619	72	24	0	0	PUNCT
ejde-619	72	25	in	in	ADP
ejde-619	72	26	rn	rn	PROPN
ejde-619	72	27	,	,	PUNCT
ejde-619	72	28	r	r	NOUN
ejde-619	72	29	=	=	SYM
ejde-619	72	30	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	72	31	,	,	PUNCT
ejde-619	72	32	and	and	CCONJ
ejde-619	72	33	f	f	PROPN
ejde-619	72	34	:	:	PUNCT
ejde-619	72	35	rn	rn	PROPN
ejde-619	72	36	×	×	NOUN
ejde-619	72	37	r	r	NOUN
ejde-619	72	38	→	→	SYM
ejde-619	72	39	r	r	NOUN
ejde-619	72	40	is	be	AUX
ejde-619	72	41	a	a	DET
ejde-619	72	42	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	72	43	function	function	NOUN
ejde-619	72	44	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	72	45	(	(	PUNCT
ejde-619	72	46	1.12	1.12	NUM
ejde-619	72	47	)	)	PUNCT
ejde-619	72	48	.	.	PUNCT
ejde-619	73	1	then	then	ADV
ejde-619	73	2	there	there	PRON
ejde-619	73	3	exists	exist	VERB
ejde-619	73	4	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	73	5	>	>	X
ejde-619	73	6	0	0	NUM
ejde-619	74	1	such	such	ADJ
ejde-619	74	2	that	that	PRON
ejde-619	74	3	for	for	ADP
ejde-619	74	4	every	every	DET
ejde-619	74	5	λ	λ	PROPN
ejde-619	74	6	∈	∈	PROPN
ejde-619	74	7	(	(	PUNCT
ejde-619	74	8	0	0	NUM
ejde-619	74	9	,	,	PUNCT
ejde-619	74	10	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-619	74	11	)	)	PUNCT
ejde-619	74	12	problem	problem	NOUN
ejde-619	74	13	(	(	PUNCT
ejde-619	74	14	1.14	1.14	NUM
ejde-619	74	15	)	)	PUNCT
ejde-619	74	16	possesses	possess	VERB
ejde-619	74	17	at	at	ADV
ejde-619	74	18	least	least	ADV
ejde-619	74	19	one	one	NUM
ejde-619	74	20	positive	positive	ADJ
ejde-619	74	21	radially	radially	ADV
ejde-619	74	22	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	74	23	solution	solution	NOUN
ejde-619	74	24	uλ	uλ	ADP
ejde-619	74	25	∈	∈	PROPN
ejde-619	74	26	w	w	PROPN
ejde-619	74	27	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	74	28	0	0	NUM
ejde-619	74	29	(	(	PUNCT
ejde-619	74	30	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	74	31	)	)	PUNCT
ejde-619	74	32	.	.	PUNCT
ejde-619	75	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	75	2	,	,	PUNCT
ejde-619	75	3	∥uλ∥w	∥uλ∥w	DET
ejde-619	75	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	75	5	0	0	NUM
ejde-619	75	6	(	(	PUNCT
ejde-619	75	7	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	75	8	)	)	PUNCT
ejde-619	75	9	→	→	SYM
ejde-619	75	10	0	0	NUM
ejde-619	75	11	as	as	ADP
ejde-619	75	12	λ→	λ→	PROPN
ejde-619	75	13	0	0	NUM
ejde-619	75	14	+	+	NOUN
ejde-619	75	15	.	.	PROPN
ejde-619	75	16	remark	remark	PROPN
ejde-619	75	17	1.5	1.5	NUM
ejde-619	75	18	.	.	PUNCT
ejde-619	76	1	the	the	DET
ejde-619	76	2	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	76	3	embedding	embed	VERB
ejde-619	76	4	with	with	ADP
ejde-619	76	5	θ(r	θ(r	NOUN
ejde-619	76	6	)	)	PUNCT
ejde-619	76	7	≤	≤	NUM
ejde-619	76	8	pn/(n	pn/(n	NOUN
ejde-619	76	9	−	−	PROPN
ejde-619	76	10	p	p	X
ejde-619	76	11	)	)	PUNCT
ejde-619	76	12	can	can	AUX
ejde-619	76	13	be	be	AUX
ejde-619	76	14	found	find	VERB
ejde-619	76	15	in	in	ADP
ejde-619	76	16	[	[	X
ejde-619	76	17	15	15	NUM
ejde-619	76	18	]	]	PUNCT
ejde-619	76	19	.	.	PUNCT
ejde-619	77	1	in	in	ADP
ejde-619	77	2	such	such	ADJ
ejde-619	77	3	cases	case	NOUN
ejde-619	77	4	we	we	PRON
ejde-619	77	5	say	say	VERB
ejde-619	77	6	that	that	SCONJ
ejde-619	77	7	f	f	PROPN
ejde-619	77	8	in	in	ADP
ejde-619	77	9	(	(	PUNCT
ejde-619	77	10	1.12	1.12	NUM
ejde-619	77	11	)	)	PUNCT
ejde-619	77	12	or	or	CCONJ
ejde-619	77	13	equations	equation	NOUN
ejde-619	77	14	(	(	PUNCT
ejde-619	77	15	1.13)–(1.14	1.13)–(1.14	X
ejde-619	77	16	)	)	PUNCT
ejde-619	77	17	are	be	AUX
ejde-619	77	18	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-619	77	19	if	if	SCONJ
ejde-619	77	20	θ(r	θ(r	NOUN
ejde-619	77	21	)	)	PUNCT
ejde-619	77	22	<	<	X
ejde-619	77	23	pn/(n	pn/(n	NOUN
ejde-619	77	24	−	−	PROPN
ejde-619	77	25	p	p	NOUN
ejde-619	77	26	)	)	PUNCT
ejde-619	77	27	and	and	CCONJ
ejde-619	77	28	critical	critical	ADJ
ejde-619	77	29	when	when	SCONJ
ejde-619	77	30	θ(r	θ(r	X
ejde-619	77	31	)	)	PUNCT
ejde-619	77	32	=	=	SYM
ejde-619	77	33	pn/(n	pn/(n	VERB
ejde-619	77	34	−	−	PROPN
ejde-619	77	35	p	p	NOUN
ejde-619	77	36	)	)	PUNCT
ejde-619	77	37	.	.	PUNCT
ejde-619	78	1	the	the	DET
ejde-619	78	2	equations	equation	NOUN
ejde-619	78	3	studied	study	VERB
ejde-619	78	4	in	in	ADP
ejde-619	78	5	this	this	DET
ejde-619	78	6	article	article	NOUN
ejde-619	78	7	have	have	VERB
ejde-619	78	8	the	the	DET
ejde-619	78	9	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	78	10	term	term	NOUN
ejde-619	78	11	f	f	PROPN
ejde-619	78	12	related	relate	VERB
ejde-619	78	13	to	to	ADP
ejde-619	78	14	θ(r	θ(r	PROPN
ejde-619	78	15	)	)	PUNCT
ejde-619	78	16	>	>	X
ejde-619	79	1	pn/(n	pn/(n	NOUN
ejde-619	79	2	−	−	PROPN
ejde-619	79	3	p	p	NOUN
ejde-619	79	4	)	)	PUNCT
ejde-619	79	5	.	.	PUNCT
ejde-619	80	1	about	about	ADP
ejde-619	80	2	this	this	DET
ejde-619	80	3	matter	matter	NOUN
ejde-619	80	4	we	we	PRON
ejde-619	80	5	prove	prove	VERB
ejde-619	80	6	the	the	DET
ejde-619	80	7	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-619	80	8	of	of	ADP
ejde-619	80	9	the	the	DET
ejde-619	80	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	80	11	constant	constant	ADJ
ejde-619	80	12	in	in	ADP
ejde-619	80	13	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	80	14	1.1	1.1	NUM
ejde-619	80	15	and	and	CCONJ
ejde-619	80	16	the	the	DET
ejde-619	80	17	embedding	embed	VERB
ejde-619	80	18	stated	state	VERB
ejde-619	80	19	as	as	ADP
ejde-619	80	20	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	80	21	1.2	1.2	NUM
ejde-619	80	22	.	.	PUNCT
ejde-619	81	1	equation	equation	NOUN
ejde-619	81	2	(	(	PUNCT
ejde-619	81	3	1.13	1.13	NUM
ejde-619	81	4	)	)	PUNCT
ejde-619	81	5	and	and	CCONJ
ejde-619	81	6	theorem	theorem	VERB
ejde-619	81	7	1.3	1.3	NUM
ejde-619	81	8	are	be	AUX
ejde-619	81	9	associated	associate	VERB
ejde-619	81	10	with	with	ADP
ejde-619	81	11	the	the	DET
ejde-619	81	12	existence	existence	NOUN
ejde-619	81	13	of	of	ADP
ejde-619	81	14	a	a	DET
ejde-619	81	15	positive	positive	ADJ
ejde-619	81	16	solution	solution	NOUN
ejde-619	81	17	on	on	ADP
ejde-619	81	18	domains	domain	NOUN
ejde-619	81	19	d	d	X
ejde-619	81	20	which	which	PRON
ejde-619	81	21	can	can	AUX
ejde-619	81	22	be	be	AUX
ejde-619	81	23	balls	ball	NOUN
ejde-619	81	24	or	or	CCONJ
ejde-619	81	25	an	an	DET
ejde-619	81	26	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	81	27	.	.	PUNCT
ejde-619	82	1	other	other	ADJ
ejde-619	82	2	equations	equation	NOUN
ejde-619	82	3	in	in	ADP
ejde-619	82	4	the	the	DET
ejde-619	82	5	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	82	6	range	range	NOUN
ejde-619	82	7	were	be	AUX
ejde-619	82	8	treated	treat	VERB
ejde-619	82	9	in	in	ADP
ejde-619	82	10	[	[	X
ejde-619	82	11	7	7	NUM
ejde-619	82	12	,	,	PUNCT
ejde-619	82	13	23	23	NUM
ejde-619	82	14	]	]	PUNCT
ejde-619	82	15	when	when	SCONJ
ejde-619	82	16	d	d	NOUN
ejde-619	82	17	is	be	AUX
ejde-619	82	18	a	a	DET
ejde-619	82	19	ball	ball	NOUN
ejde-619	82	20	.	.	PUNCT
ejde-619	83	1	problems	problem	NOUN
ejde-619	83	2	on	on	ADP
ejde-619	83	3	d	d	X
ejde-619	83	4	being	be	AUX
ejde-619	83	5	an	an	DET
ejde-619	83	6	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	83	7	and	and	CCONJ
ejde-619	83	8	f	f	X
ejde-619	83	9	with	with	ADP
ejde-619	83	10	critical	critical	ADJ
ejde-619	83	11	growth	growth	NOUN
ejde-619	83	12	are	be	AUX
ejde-619	83	13	studied	study	VERB
ejde-619	83	14	in	in	ADP
ejde-619	83	15	[	[	X
ejde-619	83	16	11	11	NUM
ejde-619	83	17	,	,	PUNCT
ejde-619	83	18	12	12	NUM
ejde-619	83	19	]	]	PUNCT
ejde-619	83	20	,	,	PUNCT
ejde-619	83	21	non	non	ADJ
ejde-619	83	22	-	-	ADJ
ejde-619	83	23	radial	radial	ADJ
ejde-619	83	24	solutions	solution	NOUN
ejde-619	83	25	were	be	AUX
ejde-619	83	26	studied	study	VERB
ejde-619	83	27	in	in	ADP
ejde-619	83	28	[	[	X
ejde-619	83	29	16	16	NUM
ejde-619	83	30	]	]	PUNCT
ejde-619	83	31	,	,	PUNCT
ejde-619	83	32	and	and	CCONJ
ejde-619	83	33	uniqueness	uniqueness	VERB
ejde-619	83	34	questions	question	NOUN
ejde-619	83	35	in	in	ADP
ejde-619	83	36	[	[	X
ejde-619	83	37	17	17	NUM
ejde-619	83	38	,	,	PUNCT
ejde-619	83	39	18	18	NUM
ejde-619	83	40	,	,	PUNCT
ejde-619	83	41	42	42	NUM
ejde-619	83	42	,	,	PUNCT
ejde-619	83	43	45	45	NUM
ejde-619	83	44	]	]	PUNCT
ejde-619	83	45	.	.	PUNCT
ejde-619	84	1	with	with	ADP
ejde-619	84	2	respect	respect	NOUN
ejde-619	84	3	to	to	ADP
ejde-619	84	4	(	(	PUNCT
ejde-619	84	5	1.14	1.14	NUM
ejde-619	84	6	)	)	PUNCT
ejde-619	84	7	,	,	PUNCT
ejde-619	84	8	when	when	SCONJ
ejde-619	84	9	d	d	NOUN
ejde-619	84	10	is	be	AUX
ejde-619	84	11	an	an	DET
ejde-619	84	12	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	84	13	domain	domain	NOUN
ejde-619	84	14	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	84	15	or	or	CCONJ
ejde-619	84	16	the	the	DET
ejde-619	84	17	whole	whole	ADJ
ejde-619	84	18	rn	rn	NOUN
ejde-619	84	19	we	we	PRON
ejde-619	84	20	prove	prove	VERB
ejde-619	84	21	theorem	theorem	VERB
ejde-619	84	22	1.4	1.4	NUM
ejde-619	84	23	.	.	PUNCT
ejde-619	85	1	the	the	DET
ejde-619	85	2	equation	equation	NOUN
ejde-619	85	3	with	with	ADP
ejde-619	85	4	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-619	85	5	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-619	85	6	was	be	AUX
ejde-619	85	7	treated	treat	VERB
ejde-619	85	8	in	in	ADP
ejde-619	85	9	the	the	DET
ejde-619	85	10	seminal	seminal	ADJ
ejde-619	85	11	article	article	NOUN
ejde-619	85	12	[	[	X
ejde-619	85	13	13	13	NUM
ejde-619	85	14	]	]	PUNCT
ejde-619	85	15	on	on	ADP
ejde-619	85	16	a	a	DET
ejde-619	85	17	domain	domain	NOUN
ejde-619	85	18	like	like	ADP
ejde-619	85	19	rn\br	rn\br	NOUN
ejde-619	85	20	.	.	PUNCT
ejde-619	86	1	the	the	DET
ejde-619	86	2	critical	critical	ADJ
ejde-619	86	3	case	case	NOUN
ejde-619	86	4	was	be	AUX
ejde-619	86	5	addressed	address	VERB
ejde-619	86	6	in	in	ADP
ejde-619	86	7	[	[	X
ejde-619	86	8	2	2	NUM
ejde-619	86	9	]	]	PUNCT
ejde-619	86	10	and	and	CCONJ
ejde-619	86	11	on	on	ADP
ejde-619	86	12	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	86	13	domains	domain	NOUN
ejde-619	86	14	without	without	ADP
ejde-619	86	15	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-619	86	16	in	in	ADP
ejde-619	86	17	[	[	X
ejde-619	86	18	33	33	NUM
ejde-619	86	19	]	]	PUNCT
ejde-619	86	20	.	.	PUNCT
ejde-619	87	1	the	the	DET
ejde-619	87	2	p	p	PROPN
ejde-619	87	3	-	-	PUNCT
ejde-619	87	4	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-619	87	5	equation	equation	NOUN
ejde-619	87	6	on	on	ADP
ejde-619	87	7	an	an	DET
ejde-619	87	8	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	87	9	domain	domain	NOUN
ejde-619	87	10	was	be	AUX
ejde-619	87	11	studied	study	VERB
ejde-619	87	12	in	in	ADP
ejde-619	87	13	[	[	X
ejde-619	87	14	21	21	NUM
ejde-619	87	15	]	]	PUNCT
ejde-619	87	16	by	by	ADP
ejde-619	87	17	ode	ode	ADJ
ejde-619	87	18	methods	method	NOUN
ejde-619	87	19	,	,	PUNCT
ejde-619	87	20	and	and	CCONJ
ejde-619	87	21	with	with	ADP
ejde-619	87	22	a	a	DET
ejde-619	87	23	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	87	24	f	f	NOUN
ejde-619	87	25	in	in	ADP
ejde-619	87	26	[	[	X
ejde-619	87	27	28	28	NUM
ejde-619	87	28	]	]	PUNCT
ejde-619	87	29	by	by	ADP
ejde-619	87	30	means	mean	NOUN
ejde-619	87	31	of	of	ADP
ejde-619	87	32	variational	variational	ADJ
ejde-619	87	33	methods	method	NOUN
ejde-619	87	34	.	.	PUNCT
ejde-619	88	1	equations	equation	NOUN
ejde-619	88	2	with	with	ADP
ejde-619	88	3	neumann	neumann	PROPN
ejde-619	88	4	condition	condition	NOUN
ejde-619	88	5	on	on	ADP
ejde-619	88	6	the	the	DET
ejde-619	88	7	inner	inner	ADJ
ejde-619	88	8	boundary	boundary	ADJ
ejde-619	88	9	∂br	∂br	PROPN
ejde-619	88	10	were	be	AUX
ejde-619	88	11	investigated	investigate	VERB
ejde-619	88	12	in	in	ADP
ejde-619	88	13	[	[	X
ejde-619	88	14	1	1	NUM
ejde-619	88	15	,	,	PUNCT
ejde-619	88	16	24	24	NUM
ejde-619	88	17	,	,	PUNCT
ejde-619	88	18	31	31	NUM
ejde-619	88	19	,	,	PUNCT
ejde-619	88	20	44	44	NUM
ejde-619	88	21	]	]	PUNCT
ejde-619	88	22	and	and	CCONJ
ejde-619	88	23	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-619	88	24	issues	issue	NOUN
ejde-619	88	25	were	be	AUX
ejde-619	88	26	analyzed	analyze	VERB
ejde-619	88	27	in	in	ADP
ejde-619	88	28	[	[	X
ejde-619	88	29	36	36	NUM
ejde-619	88	30	]	]	PUNCT
ejde-619	88	31	.	.	PUNCT
ejde-619	89	1	the	the	DET
ejde-619	89	2	problem	problem	NOUN
ejde-619	89	3	in	in	ADP
ejde-619	89	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	89	5	was	be	AUX
ejde-619	89	6	studied	study	VERB
ejde-619	89	7	in	in	ADP
ejde-619	89	8	[	[	X
ejde-619	89	9	8	8	NUM
ejde-619	89	10	]	]	PUNCT
ejde-619	89	11	for	for	ADP
ejde-619	89	12	a	a	DET
ejde-619	89	13	p	p	ADJ
ejde-619	89	14	-	-	PUNCT
ejde-619	89	15	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-619	89	16	equation	equation	NOUN
ejde-619	89	17	with	with	ADP
ejde-619	89	18	critical	critical	ADJ
ejde-619	89	19	f	f	NOUN
ejde-619	89	20	,	,	PUNCT
ejde-619	89	21	see	see	VERB
ejde-619	89	22	also	also	ADV
ejde-619	89	23	[	[	X
ejde-619	89	24	3	3	NUM
ejde-619	89	25	,	,	PUNCT
ejde-619	89	26	14	14	NUM
ejde-619	89	27	]	]	PUNCT
ejde-619	89	28	.	.	PUNCT
ejde-619	90	1	the	the	DET
ejde-619	90	2	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	90	3	case	case	NOUN
ejde-619	90	4	was	be	AUX
ejde-619	90	5	treated	treat	VERB
ejde-619	90	6	in	in	ADP
ejde-619	90	7	[	[	X
ejde-619	90	8	10	10	NUM
ejde-619	90	9	,	,	PUNCT
ejde-619	90	10	19	19	NUM
ejde-619	90	11	,	,	PUNCT
ejde-619	90	12	9	9	NUM
ejde-619	90	13	]	]	PUNCT
ejde-619	90	14	.	.	PUNCT
ejde-619	91	1	the	the	DET
ejde-619	91	2	equations	equation	NOUN
ejde-619	91	3	considered	consider	VERB
ejde-619	91	4	in	in	ADP
ejde-619	91	5	this	this	DET
ejde-619	91	6	article	article	NOUN
ejde-619	91	7	also	also	ADV
ejde-619	91	8	correspond	correspond	VERB
ejde-619	91	9	to	to	ADP
ejde-619	91	10	the	the	DET
ejde-619	91	11	concave	concave	ADJ
ejde-619	91	12	-	-	PUNCT
ejde-619	91	13	convex	convex	NOUN
ejde-619	91	14	problems	problem	NOUN
ejde-619	91	15	of	of	ADP
ejde-619	91	16	[	[	X
ejde-619	91	17	4	4	NUM
ejde-619	91	18	]	]	PUNCT
ejde-619	91	19	.	.	PUNCT
ejde-619	92	1	the	the	DET
ejde-619	92	2	outline	outline	NOUN
ejde-619	92	3	of	of	ADP
ejde-619	92	4	this	this	DET
ejde-619	92	5	article	article	NOUN
ejde-619	92	6	is	be	AUX
ejde-619	92	7	as	as	SCONJ
ejde-619	92	8	follows	follow	VERB
ejde-619	92	9	.	.	PUNCT
ejde-619	93	1	section	section	NOUN
ejde-619	93	2	2	2	NUM
ejde-619	93	3	presents	present	VERB
ejde-619	93	4	some	some	DET
ejde-619	93	5	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-619	93	6	results	result	NOUN
ejde-619	93	7	about	about	ADP
ejde-619	93	8	extension	extension	NOUN
ejde-619	93	9	of	of	ADP
ejde-619	93	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	93	11	functions	function	NOUN
ejde-619	93	12	,	,	PUNCT
ejde-619	93	13	brouwer	brouwer	PROPN
ejde-619	93	14	theorem	theorem	PROPN
ejde-619	93	15	,	,	PUNCT
ejde-619	93	16	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	93	17	principles	principle	NOUN
ejde-619	93	18	and	and	CCONJ
ejde-619	93	19	function	function	NOUN
ejde-619	93	20	spaces	space	NOUN
ejde-619	93	21	with	with	ADP
ejde-619	93	22	variable	variable	ADJ
ejde-619	93	23	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	93	24	.	.	PUNCT
ejde-619	94	1	sometimes	sometimes	ADV
ejde-619	94	2	in	in	ADP
ejde-619	94	3	the	the	DET
ejde-619	94	4	paper	paper	NOUN
ejde-619	94	5	we	we	PRON
ejde-619	94	6	pass	pass	VERB
ejde-619	94	7	from	from	ADP
ejde-619	94	8	the	the	DET
ejde-619	94	9	domain	domain	NOUN
ejde-619	94	10	d	d	NOUN
ejde-619	94	11	to	to	ADP
ejde-619	94	12	the	the	DET
ejde-619	94	13	whole	whole	ADJ
ejde-619	94	14	rn	rn	NOUN
ejde-619	94	15	in	in	ADP
ejde-619	94	16	order	order	NOUN
ejde-619	94	17	to	to	PART
ejde-619	94	18	stress	stress	VERB
ejde-619	94	19	that	that	SCONJ
ejde-619	94	20	the	the	DET
ejde-619	94	21	estimates	estimate	NOUN
ejde-619	94	22	are	be	AUX
ejde-619	94	23	independent	independent	ADJ
ejde-619	94	24	of	of	ADP
ejde-619	94	25	d	d	PROPN
ejde-619	94	26	and	and	CCONJ
ejde-619	94	27	since	since	SCONJ
ejde-619	94	28	we	we	PRON
ejde-619	94	29	are	be	AUX
ejde-619	94	30	keeping	keep	VERB
ejde-619	94	31	in	in	ADP
ejde-619	94	32	mind	mind	NOUN
ejde-619	94	33	the	the	DET
ejde-619	94	34	use	use	NOUN
ejde-619	94	35	of	of	ADP
ejde-619	94	36	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	94	37	1.2	1.2	NUM
ejde-619	94	38	.	.	PUNCT
ejde-619	95	1	in	in	ADP
ejde-619	95	2	section	section	NOUN
ejde-619	95	3	3	3	NUM
ejde-619	95	4	we	we	PRON
ejde-619	95	5	prove	prove	VERB
ejde-619	95	6	of	of	ADP
ejde-619	95	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	95	8	1.1	1.1	NUM
ejde-619	95	9	and	and	CCONJ
ejde-619	95	10	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	95	11	1.2	1.2	NUM
ejde-619	95	12	by	by	ADP
ejde-619	95	13	means	mean	NOUN
ejde-619	95	14	of	of	ADP
ejde-619	95	15	integral	integral	ADJ
ejde-619	95	16	estimates	estimate	NOUN
ejde-619	95	17	which	which	PRON
ejde-619	95	18	are	be	AUX
ejde-619	95	19	nonsingular	nonsingular	ADJ
ejde-619	95	20	and	and	CCONJ
ejde-619	95	21	well	well	ADV
ejde-619	95	22	defined	define	VERB
ejde-619	95	23	because	because	SCONJ
ejde-619	95	24	of	of	ADP
ejde-619	95	25	the	the	DET
ejde-619	95	26	conditions	condition	NOUN
ejde-619	95	27	on	on	ADP
ejde-619	95	28	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	95	29	)	)	PUNCT
ejde-619	95	30	and	and	CCONJ
ejde-619	95	31	the	the	DET
ejde-619	95	32	polynomial	polynomial	ADJ
ejde-619	95	33	decay	decay	NOUN
ejde-619	95	34	of	of	ADP
ejde-619	95	35	u(r	u(r	NOUN
ejde-619	95	36	)	)	PUNCT
ejde-619	95	37	.	.	PUNCT
ejde-619	96	1	in	in	ADP
ejde-619	96	2	section	section	NOUN
ejde-619	96	3	4	4	NUM
ejde-619	96	4	we	we	PRON
ejde-619	96	5	present	present	VERB
ejde-619	96	6	the	the	DET
ejde-619	96	7	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-619	96	8	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	96	9	functions	function	NOUN
ejde-619	96	10	of	of	ADP
ejde-619	96	11	f	f	PROPN
ejde-619	96	12	that	that	PRON
ejde-619	96	13	will	will	AUX
ejde-619	96	14	be	be	AUX
ejde-619	96	15	useful	useful	ADJ
ejde-619	96	16	for	for	ADP
ejde-619	96	17	solving	solve	VERB
ejde-619	96	18	the	the	DET
ejde-619	96	19	approximated	approximate	VERB
ejde-619	96	20	equation	equation	NOUN
ejde-619	96	21	in	in	ADP
ejde-619	96	22	section	section	NOUN
ejde-619	96	23	5	5	NUM
ejde-619	96	24	with	with	ADP
ejde-619	96	25	the	the	DET
ejde-619	96	26	aid	aid	NOUN
ejde-619	96	27	of	of	ADP
ejde-619	96	28	a	a	DET
ejde-619	96	29	galerkin	galerkin	ADJ
ejde-619	96	30	type	type	NOUN
ejde-619	96	31	scheme	scheme	NOUN
ejde-619	96	32	.	.	PUNCT
ejde-619	97	1	in	in	ADP
ejde-619	97	2	doing	do	VERB
ejde-619	97	3	so	so	ADV
ejde-619	97	4	we	we	PRON
ejde-619	97	5	use	use	VERB
ejde-619	97	6	a	a	DET
ejde-619	97	7	schauder	schauder	ADJ
ejde-619	97	8	basis	basis	NOUN
ejde-619	97	9	.	.	PUNCT
ejde-619	98	1	in	in	ADP
ejde-619	98	2	the	the	DET
ejde-619	98	3	limit	limit	NOUN
ejde-619	98	4	the	the	DET
ejde-619	98	5	solution	solution	NOUN
ejde-619	98	6	of	of	ADP
ejde-619	98	7	those	those	DET
ejde-619	98	8	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	98	9	equations	equation	NOUN
ejde-619	98	10	tend	tend	VERB
ejde-619	98	11	to	to	ADP
ejde-619	98	12	a	a	DET
ejde-619	98	13	solution	solution	NOUN
ejde-619	98	14	of	of	ADP
ejde-619	98	15	the	the	DET
ejde-619	98	16	original	original	ADJ
ejde-619	98	17	equation	equation	NOUN
ejde-619	98	18	4	4	NUM
ejde-619	98	19	l.	l.	PROPN
ejde-619	98	20	f.	f.	PROPN
ejde-619	98	21	o.	o.	PROPN
ejde-619	98	22	faria	faria	PROPN
ejde-619	98	23	,	,	PUNCT
ejde-619	98	24	m.	m.	PROPN
ejde-619	98	25	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	98	26	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	98	27	(	(	PUNCT
ejde-619	98	28	1.13	1.13	NUM
ejde-619	98	29	)	)	PUNCT
ejde-619	98	30	on	on	ADP
ejde-619	98	31	a	a	DET
ejde-619	98	32	ball	ball	NOUN
ejde-619	98	33	.	.	PUNCT
ejde-619	99	1	we	we	PRON
ejde-619	99	2	apply	apply	VERB
ejde-619	99	3	the	the	DET
ejde-619	99	4	palais	palais	PROPN
ejde-619	99	5	principle	principle	PROPN
ejde-619	99	6	to	to	PART
ejde-619	99	7	show	show	VERB
ejde-619	99	8	that	that	SCONJ
ejde-619	99	9	the	the	DET
ejde-619	99	10	solution	solution	NOUN
ejde-619	99	11	is	be	AUX
ejde-619	99	12	radially	radially	ADV
ejde-619	99	13	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	99	14	.	.	PUNCT
ejde-619	100	1	we	we	PRON
ejde-619	100	2	prove	prove	VERB
ejde-619	100	3	theorems	theorem	NOUN
ejde-619	100	4	1.3	1.3	NUM
ejde-619	100	5	and	and	CCONJ
ejde-619	100	6	1.4	1.4	NUM
ejde-619	100	7	in	in	ADP
ejde-619	100	8	sections	section	NOUN
ejde-619	100	9	6	6	NUM
ejde-619	100	10	and	and	CCONJ
ejde-619	100	11	7	7	NUM
ejde-619	100	12	,	,	PUNCT
ejde-619	100	13	respectively	respectively	ADV
ejde-619	100	14	.	.	PUNCT
ejde-619	101	1	obtaining	obtain	VERB
ejde-619	101	2	a	a	DET
ejde-619	101	3	positive	positive	ADJ
ejde-619	101	4	solution	solution	NOUN
ejde-619	101	5	in	in	ADP
ejde-619	101	6	rn	rn	PROPN
ejde-619	101	7	is	be	AUX
ejde-619	101	8	done	do	VERB
ejde-619	101	9	by	by	ADP
ejde-619	101	10	means	mean	NOUN
ejde-619	101	11	of	of	ADP
ejde-619	101	12	a	a	DET
ejde-619	101	13	diagonal	diagonal	ADJ
ejde-619	101	14	argument	argument	NOUN
ejde-619	101	15	that	that	PRON
ejde-619	101	16	allows	allow	VERB
ejde-619	101	17	us	we	PRON
ejde-619	101	18	to	to	PART
ejde-619	101	19	let	let	VERB
ejde-619	101	20	r	r	NOUN
ejde-619	101	21	approach	approach	VERB
ejde-619	101	22	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	101	23	2	2	NUM
ejde-619	101	24	.	.	PUNCT
ejde-619	101	25	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-619	101	26	from	from	ADP
ejde-619	101	27	now	now	ADV
ejde-619	101	28	on	on	ADV
ejde-619	101	29	,	,	PUNCT
ejde-619	101	30	when	when	SCONJ
ejde-619	101	31	a	a	DET
ejde-619	101	32	function	function	NOUN
ejde-619	101	33	defined	define	VERB
ejde-619	101	34	in	in	ADP
ejde-619	101	35	d	d	PROPN
ejde-619	101	36	is	be	AUX
ejde-619	101	37	radially	radially	ADV
ejde-619	101	38	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	101	39	,	,	PUNCT
ejde-619	101	40	for	for	ADP
ejde-619	101	41	convenience	convenience	NOUN
ejde-619	101	42	,	,	PUNCT
ejde-619	101	43	we	we	PRON
ejde-619	101	44	will	will	AUX
ejde-619	101	45	use	use	VERB
ejde-619	101	46	the	the	DET
ejde-619	101	47	same	same	ADJ
ejde-619	101	48	notation	notation	NOUN
ejde-619	101	49	to	to	PART
ejde-619	101	50	represent	represent	VERB
ejde-619	101	51	the	the	DET
ejde-619	101	52	function	function	NOUN
ejde-619	101	53	on	on	ADP
ejde-619	101	54	x	x	PUNCT
ejde-619	101	55	or	or	CCONJ
ejde-619	101	56	r	r	NOUN
ejde-619	101	57	=	=	SYM
ejde-619	101	58	|x|	|x|	PROPN
ejde-619	101	59	.	.	PROPN
ejde-619	101	60	2.1	2.1	NUM
ejde-619	101	61	.	.	PUNCT
ejde-619	101	62	extension	extension	NOUN
ejde-619	101	63	.	.	PUNCT
ejde-619	102	1	let	let	VERB
ejde-619	102	2	u	u	PRON
ejde-619	102	3	∈w	∈w	VERB
ejde-619	102	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	102	5	0	0	SYM
ejde-619	103	1	(	(	PUNCT
ejde-619	103	2	d	d	NOUN
ejde-619	103	3	)	)	PUNCT
ejde-619	103	4	.	.	PUNCT
ejde-619	104	1	in	in	ADP
ejde-619	104	2	what	what	PRON
ejde-619	104	3	follows	follow	VERB
ejde-619	104	4	,	,	PUNCT
ejde-619	104	5	we	we	PRON
ejde-619	104	6	denote	denote	VERB
ejde-619	104	7	by	by	ADP
ejde-619	104	8	ũ	ũ	PROPN
ejde-619	104	9	the	the	DET
ejde-619	104	10	canonical	canonical	ADJ
ejde-619	104	11	extension	extension	NOUN
ejde-619	104	12	of	of	ADP
ejde-619	104	13	u	u	NOUN
ejde-619	104	14	by	by	ADP
ejde-619	104	15	0	0	NUM
ejde-619	104	16	outside	outside	ADP
ejde-619	104	17	d	d	NOUN
ejde-619	104	18	,	,	PUNCT
ejde-619	104	19	that	that	ADV
ejde-619	104	20	is	is	ADV
ejde-619	104	21	,	,	PUNCT
ejde-619	104	22	ũ(x	ũ(x	ADJ
ejde-619	104	23	)	)	PUNCT
ejde-619	104	24	=	=	SYM
ejde-619	104	25	{	{	PUNCT
ejde-619	104	26	u(x	u(x	PROPN
ejde-619	104	27	)	)	PUNCT
ejde-619	105	1	if	if	SCONJ
ejde-619	105	2	x	x	PUNCT
ejde-619	105	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	105	4	d	d	NOUN
ejde-619	105	5	,	,	PUNCT
ejde-619	105	6	0	0	PUNCT
ejde-619	105	7	if	if	SCONJ
ejde-619	105	8	x	x	PROPN
ejde-619	105	9	∈	∈	PROPN
ejde-619	105	10	rn	rn	PROPN
ejde-619	105	11	\d	\d	PROPN
ejde-619	105	12	.	.	PUNCT
ejde-619	106	1	(	(	PUNCT
ejde-619	106	2	2.1	2.1	NUM
ejde-619	106	3	)	)	PUNCT
ejde-619	106	4	it	it	PRON
ejde-619	106	5	is	be	AUX
ejde-619	106	6	well	well	ADV
ejde-619	106	7	known	know	VERB
ejde-619	106	8	that	that	SCONJ
ejde-619	106	9	u	u	PRON
ejde-619	106	10	∈w	∈w	VERB
ejde-619	106	11	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	106	12	0	0	SYM
ejde-619	106	13	(	(	PUNCT
ejde-619	106	14	d	d	NOUN
ejde-619	106	15	)	)	PUNCT
ejde-619	106	16	implies	imply	VERB
ejde-619	106	17	ũ	ũ	PROPN
ejde-619	106	18	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	106	19	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	106	20	)	)	PUNCT
ejde-619	106	21	(	(	PUNCT
ejde-619	106	22	see	see	VERB
ejde-619	106	23	e.g.	e.g.	ADV
ejde-619	106	24	[	[	X
ejde-619	106	25	15	15	NUM
ejde-619	106	26	,	,	PUNCT
ejde-619	106	27	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	106	28	9.18	9.18	NUM
ejde-619	106	29	]	]	PUNCT
ejde-619	106	30	)	)	PUNCT
ejde-619	106	31	.	.	PUNCT
ejde-619	107	1	2.2	2.2	NUM
ejde-619	107	2	.	.	PUNCT
ejde-619	108	1	brouwer	brouwer	PROPN
ejde-619	108	2	theorem	theorem	VERB
ejde-619	108	3	.	.	PUNCT
ejde-619	109	1	the	the	DET
ejde-619	109	2	following	follow	VERB
ejde-619	109	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	109	4	is	be	AUX
ejde-619	109	5	a	a	DET
ejde-619	109	6	generalization	generalization	NOUN
ejde-619	109	7	of	of	ADP
ejde-619	109	8	the	the	DET
ejde-619	109	9	classical	classical	ADJ
ejde-619	109	10	brouwer	brouwer	NOUN
ejde-619	109	11	fixed	fix	VERB
ejde-619	109	12	point	point	NOUN
ejde-619	109	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	109	14	found	find	VERB
ejde-619	109	15	in	in	ADP
ejde-619	109	16	kesavan	kesavan	NOUN
ejde-619	109	17	[	[	X
ejde-619	109	18	32	32	NUM
ejde-619	109	19	]	]	PUNCT
ejde-619	109	20	,	,	PUNCT
ejde-619	109	21	the	the	DET
ejde-619	109	22	proof	proof	NOUN
ejde-619	109	23	is	be	AUX
ejde-619	109	24	performed	perform	VERB
ejde-619	109	25	in	in	ADP
ejde-619	109	26	[	[	X
ejde-619	109	27	6	6	NUM
ejde-619	109	28	]	]	PUNCT
ejde-619	109	29	.	.	PUNCT
ejde-619	110	1	we	we	PRON
ejde-619	110	2	denote	denote	VERB
ejde-619	110	3	⟨	⟨	NOUN
ejde-619	110	4	·	·	PUNCT
ejde-619	110	5	,	,	PUNCT
ejde-619	110	6	·	·	PUNCT
ejde-619	110	7	⟩1/2	⟩1/2	PROPN
ejde-619	110	8	the	the	DET
ejde-619	110	9	euclidean	euclidean	ADJ
ejde-619	110	10	inner	inner	ADJ
ejde-619	110	11	product	product	NOUN
ejde-619	110	12	with	with	ADP
ejde-619	110	13	its	its	PRON
ejde-619	110	14	induced	induced	ADJ
ejde-619	110	15	norm	norm	NOUN
ejde-619	110	16	and	and	CCONJ
ejde-619	110	17	|	|	ADV
ejde-619	110	18	·	·	PUNCT
ejde-619	110	19	|m	|m	PRON
ejde-619	110	20	is	be	AUX
ejde-619	110	21	any	any	DET
ejde-619	110	22	other	other	ADJ
ejde-619	110	23	norm	norm	NOUN
ejde-619	110	24	.	.	PUNCT
ejde-619	111	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	111	2	2.1	2.1	NUM
ejde-619	111	3	.	.	PUNCT
ejde-619	112	1	let	let	VERB
ejde-619	112	2	f	f	PROPN
ejde-619	112	3	:	:	PUNCT
ejde-619	112	4	(	(	PUNCT
ejde-619	112	5	rm	rm	NOUN
ejde-619	112	6	,	,	PUNCT
ejde-619	112	7	|	|	ADV
ejde-619	112	8	·	·	PUNCT
ejde-619	112	9	|m	|m	NOUN
ejde-619	112	10	)	)	PUNCT
ejde-619	112	11	→	→	SYM
ejde-619	112	12	(	(	PUNCT
ejde-619	112	13	rm	rm	NOUN
ejde-619	112	14	,	,	PUNCT
ejde-619	112	15	|	|	ADV
ejde-619	112	16	·	·	PUNCT
ejde-619	112	17	|m	|m	NOUN
ejde-619	112	18	)	)	PUNCT
ejde-619	112	19	be	be	VERB
ejde-619	112	20	a	a	DET
ejde-619	112	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	112	22	function	function	NOUN
ejde-619	112	23	such	such	ADJ
ejde-619	112	24	that	that	PRON
ejde-619	112	25	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	112	26	(	(	PUNCT
ejde-619	112	27	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	112	28	)	)	PUNCT
ejde-619	112	29	,	,	PUNCT
ejde-619	112	30	ξ⟩	ξ⟩	PRON
ejde-619	112	31	≥	≥	NOUN
ejde-619	112	32	0	0	NUM
ejde-619	112	33	for	for	ADP
ejde-619	112	34	every	every	DET
ejde-619	112	35	ξ	ξ	PROPN
ejde-619	112	36	∈	∈	PROPN
ejde-619	112	37	rm	rm	NOUN
ejde-619	112	38	with	with	ADP
ejde-619	112	39	|ξ|m	|ξ|m	PROPN
ejde-619	112	40	=	=	PROPN
ejde-619	112	41	ϑ	ϑ	PROPN
ejde-619	112	42	for	for	ADP
ejde-619	112	43	some	some	DET
ejde-619	112	44	ϑ	ϑ	X
ejde-619	112	45	>	>	X
ejde-619	112	46	0	0	NUM
ejde-619	112	47	,	,	PUNCT
ejde-619	112	48	and	and	CCONJ
ejde-619	112	49	|	|	ADV
ejde-619	112	50	·	·	PUNCT
ejde-619	112	51	|m	|m	PRON
ejde-619	112	52	is	be	AUX
ejde-619	112	53	any	any	DET
ejde-619	112	54	norm	norm	NOUN
ejde-619	112	55	.	.	PUNCT
ejde-619	113	1	then	then	ADV
ejde-619	113	2	,	,	PUNCT
ejde-619	113	3	there	there	PRON
ejde-619	113	4	exists	exist	VERB
ejde-619	113	5	z0	z0	PROPN
ejde-619	113	6	in	in	ADP
ejde-619	113	7	the	the	DET
ejde-619	113	8	closed	closed	ADJ
ejde-619	113	9	ball	ball	PROPN
ejde-619	113	10	b	b	PROPN
ejde-619	113	11	m	m	PROPN
ejde-619	113	12	ϑ	ϑ	X
ejde-619	113	13	(	(	PUNCT
ejde-619	113	14	0	0	NUM
ejde-619	113	15	)	)	PUNCT
ejde-619	113	16	:	:	PUNCT
ejde-619	114	1	=	=	PUNCT
ejde-619	114	2	{	{	PUNCT
ejde-619	114	3	z	z	PROPN
ejde-619	114	4	∈	∈	PROPN
ejde-619	114	5	rm	rm	NOUN
ejde-619	114	6	;	;	PUNCT
ejde-619	114	7	|z|m	|z|m	PROPN
ejde-619	114	8	≤	≤	PROPN
ejde-619	114	9	ϑ	ϑ	X
ejde-619	114	10	}	}	PUNCT
ejde-619	114	11	such	such	ADJ
ejde-619	114	12	that	that	SCONJ
ejde-619	114	13	f	f	PROPN
ejde-619	114	14	(	(	PUNCT
ejde-619	114	15	z0	z0	PROPN
ejde-619	114	16	)	)	PUNCT
ejde-619	114	17	=	=	NOUN
ejde-619	114	18	0	0	NUM
ejde-619	114	19	.	.	NOUN
ejde-619	114	20	2.3	2.3	NUM
ejde-619	114	21	.	.	PUNCT
ejde-619	114	22	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	114	23	principle	principle	NOUN
ejde-619	114	24	.	.	PUNCT
ejde-619	115	1	assume	assume	VERB
ejde-619	115	2	that	that	SCONJ
ejde-619	115	3	d	d	NOUN
ejde-619	115	4	is	be	AUX
ejde-619	115	5	a	a	DET
ejde-619	115	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	115	7	domain	domain	NOUN
ejde-619	115	8	in	in	ADP
ejde-619	115	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	115	10	with	with	ADP
ejde-619	115	11	c2	c2	PROPN
ejde-619	115	12	boundary	boundary	PROPN
ejde-619	115	13	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	115	14	.	.	PUNCT
ejde-619	116	1	next	next	ADV
ejde-619	116	2	we	we	PRON
ejde-619	116	3	present	present	VERB
ejde-619	116	4	a	a	DET
ejde-619	116	5	subtle	subtle	ADJ
ejde-619	116	6	adaptations	adaptation	NOUN
ejde-619	116	7	of	of	ADP
ejde-619	116	8	the	the	DET
ejde-619	116	9	results	result	NOUN
ejde-619	116	10	achieved	achieve	VERB
ejde-619	116	11	in	in	ADP
ejde-619	116	12	[	[	X
ejde-619	116	13	26	26	NUM
ejde-619	116	14	,	,	PUNCT
ejde-619	116	15	theorems	theorem	NOUN
ejde-619	116	16	3	3	NUM
ejde-619	116	17	and	and	CCONJ
ejde-619	116	18	5	5	NUM
ejde-619	116	19	]	]	PUNCT
ejde-619	116	20	for	for	ADP
ejde-619	116	21	a	a	DET
ejde-619	116	22	non	non	ADJ
ejde-619	116	23	-	-	ADJ
ejde-619	116	24	autonomous	autonomous	ADJ
ejde-619	116	25	function	function	NOUN
ejde-619	116	26	.	.	PUNCT
ejde-619	117	1	we	we	PRON
ejde-619	117	2	present	present	VERB
ejde-619	117	3	a	a	DET
ejde-619	117	4	couple	couple	NOUN
ejde-619	117	5	of	of	ADP
ejde-619	117	6	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	117	7	principles	principle	NOUN
ejde-619	117	8	for	for	ADP
ejde-619	117	9	a	a	DET
ejde-619	117	10	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-619	117	11	and	and	CCONJ
ejde-619	117	12	for	for	ADP
ejde-619	117	13	a	a	DET
ejde-619	117	14	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-619	117	15	of	of	ADP
ejde-619	117	16	the	the	DET
ejde-619	117	17	problem	problem	NOUN
ejde-619	117	18	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	117	19	|u|p−2u	|u|p−2u	PROPN
ejde-619	118	1	=	=	SYM
ejde-619	118	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-619	118	3	,	,	PUNCT
ejde-619	118	4	u	u	NOUN
ejde-619	118	5	)	)	PUNCT
ejde-619	118	6	in	in	ADP
ejde-619	118	7	d	d	PROPN
ejde-619	118	8	u	u	X
ejde-619	118	9	=	=	NOUN
ejde-619	118	10	0	0	NUM
ejde-619	118	11	on	on	ADP
ejde-619	118	12	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	118	13	,	,	PUNCT
ejde-619	118	14	(	(	PUNCT
ejde-619	118	15	2.2	2.2	NUM
ejde-619	118	16	)	)	PUNCT
ejde-619	118	17	where	where	SCONJ
ejde-619	118	18	g	g	NOUN
ejde-619	118	19	:	:	PUNCT
ejde-619	118	20	r	r	NOUN
ejde-619	118	21	→	→	SYM
ejde-619	118	22	r	r	NOUN
ejde-619	118	23	is	be	AUX
ejde-619	118	24	a	a	DET
ejde-619	118	25	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	118	26	function	function	NOUN
ejde-619	118	27	.	.	PUNCT
ejde-619	119	1	we	we	PRON
ejde-619	119	2	say	say	VERB
ejde-619	119	3	that	that	SCONJ
ejde-619	119	4	u1	u1	NOUN
ejde-619	119	5	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	119	6	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	119	7	)	)	PUNCT
ejde-619	119	8	is	be	AUX
ejde-619	119	9	a	a	DET
ejde-619	119	10	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-619	119	11	of	of	ADP
ejde-619	119	12	(	(	PUNCT
ejde-619	119	13	2.2	2.2	NUM
ejde-619	119	14	)	)	PUNCT
ejde-619	119	15	if	if	SCONJ
ejde-619	119	16	u1	u1	VERB
ejde-619	119	17	≤	≤	NOUN
ejde-619	119	18	0	0	NUM
ejde-619	119	19	on	on	ADP
ejde-619	119	20	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	119	21	and∫	and∫	PROPN
ejde-619	120	1	d	d	NOUN
ejde-619	120	2	(	(	PUNCT
ejde-619	120	3	|∇u1|p−2∇u1∇φ+	|∇u1|p−2∇u1∇φ+	PROPN
ejde-619	120	4	|u1|p−2u1φ)dx	|u1|p−2u1φ)dx	VERB
ejde-619	120	5	≤	≤	NUM
ejde-619	120	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	121	1	d	d	X
ejde-619	121	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-619	121	3	,	,	PUNCT
ejde-619	121	4	u1)φdx	u1)φdx	NOUN
ejde-619	121	5	for	for	ADP
ejde-619	121	6	all	all	DET
ejde-619	121	7	φ	φ	PROPN
ejde-619	121	8	∈	∈	PROPN
ejde-619	121	9	w	w	PROPN
ejde-619	121	10	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	121	11	0	0	PUNCT
ejde-619	121	12	(	(	PUNCT
ejde-619	121	13	d	d	NOUN
ejde-619	121	14	)	)	PUNCT
ejde-619	121	15	with	with	ADP
ejde-619	121	16	φ	φ	PROPN
ejde-619	121	17	≥	≥	X
ejde-619	121	18	0	0	NUM
ejde-619	121	19	in	in	ADP
ejde-619	121	20	d	d	PROPN
ejde-619	121	21	provided	provide	VERB
ejde-619	121	22	the	the	DET
ejde-619	121	23	integral	integral	ADJ
ejde-619	121	24	∫	∫	PROPN
ejde-619	122	1	d	d	X
ejde-619	122	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-619	122	3	,	,	PUNCT
ejde-619	122	4	u1)φdx	u1)φdx	PROPN
ejde-619	122	5	exists	exist	VERB
ejde-619	122	6	.	.	PUNCT
ejde-619	123	1	we	we	PRON
ejde-619	123	2	say	say	VERB
ejde-619	123	3	that	that	SCONJ
ejde-619	123	4	u2	u2	PROPN
ejde-619	123	5	∈	∈	PROPN
ejde-619	123	6	w	w	PROPN
ejde-619	123	7	1,p(d	1,p(d	PROPN
ejde-619	123	8	)	)	PUNCT
ejde-619	123	9	is	be	AUX
ejde-619	123	10	a	a	DET
ejde-619	123	11	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-619	123	12	of	of	ADP
ejde-619	123	13	(	(	PUNCT
ejde-619	123	14	2.2	2.2	NUM
ejde-619	123	15	)	)	PUNCT
ejde-619	123	16	if	if	SCONJ
ejde-619	123	17	the	the	DET
ejde-619	123	18	reversed	reverse	VERB
ejde-619	123	19	inequalities	inequality	NOUN
ejde-619	123	20	are	be	AUX
ejde-619	123	21	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-619	123	22	with	with	ADP
ejde-619	123	23	u2	u2	NOUN
ejde-619	123	24	in	in	ADP
ejde-619	123	25	place	place	NOUN
ejde-619	123	26	of	of	ADP
ejde-619	123	27	u1	u1	NOUN
ejde-619	123	28	for	for	ADP
ejde-619	123	29	all	all	DET
ejde-619	123	30	φ	φ	PROPN
ejde-619	123	31	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	123	32	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	123	33	0	0	SYM
ejde-619	123	34	(	(	PUNCT
ejde-619	123	35	d	d	NOUN
ejde-619	123	36	)	)	PUNCT
ejde-619	123	37	with	with	ADP
ejde-619	123	38	φ	φ	PROPN
ejde-619	123	39	≥	≥	X
ejde-619	123	40	0	0	NUM
ejde-619	123	41	in	in	ADP
ejde-619	123	42	d.	d.	PROPN
ejde-619	123	43	the	the	DET
ejde-619	123	44	next	next	ADJ
ejde-619	123	45	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	123	46	results	result	NOUN
ejde-619	123	47	are	be	AUX
ejde-619	123	48	particular	particular	ADJ
ejde-619	123	49	cases	case	NOUN
ejde-619	123	50	of	of	ADP
ejde-619	123	51	the	the	DET
ejde-619	123	52	ones	one	NOUN
ejde-619	123	53	achieved	achieve	VERB
ejde-619	123	54	in	in	ADP
ejde-619	123	55	[	[	X
ejde-619	123	56	27	27	NUM
ejde-619	123	57	,	,	PUNCT
ejde-619	123	58	theorems	theorem	NOUN
ejde-619	123	59	3	3	NUM
ejde-619	123	60	and	and	CCONJ
ejde-619	123	61	5	5	NUM
ejde-619	123	62	]	]	PUNCT
ejde-619	123	63	.	.	PUNCT
ejde-619	124	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	124	2	2.2	2.2	NUM
ejde-619	124	3	.	.	PUNCT
ejde-619	125	1	let	let	VERB
ejde-619	125	2	g	g	NOUN
ejde-619	125	3	:	:	PUNCT
ejde-619	125	4	d×r	d×r	PUNCT
ejde-619	125	5	→	→	SYM
ejde-619	125	6	r	r	NOUN
ejde-619	125	7	be	be	AUX
ejde-619	125	8	a	a	DET
ejde-619	125	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	125	10	function	function	NOUN
ejde-619	125	11	such	such	ADJ
ejde-619	125	12	that	that	SCONJ
ejde-619	125	13	g(x	g(x	NOUN
ejde-619	125	14	,	,	PUNCT
ejde-619	125	15	t)/tp−1	t)/tp−1	NOUN
ejde-619	125	16	is	be	AUX
ejde-619	125	17	decreasing	decrease	VERB
ejde-619	125	18	for	for	ADP
ejde-619	125	19	t	t	PROPN
ejde-619	125	20	>	>	X
ejde-619	125	21	0	0	X
ejde-619	125	22	.	.	PUNCT
ejde-619	125	23	assume	assume	VERB
ejde-619	125	24	that	that	SCONJ
ejde-619	125	25	u1	u1	NOUN
ejde-619	125	26	and	and	CCONJ
ejde-619	125	27	u2	u2	NOUN
ejde-619	125	28	are	be	AUX
ejde-619	125	29	a	a	DET
ejde-619	125	30	positive	positive	ADJ
ejde-619	125	31	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-619	125	32	and	and	CCONJ
ejde-619	125	33	a	a	DET
ejde-619	125	34	positive	positive	ADJ
ejde-619	125	35	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-619	125	36	of	of	ADP
ejde-619	125	37	problem	problem	NOUN
ejde-619	125	38	(	(	PUNCT
ejde-619	125	39	2.2	2.2	NUM
ejde-619	125	40	)	)	PUNCT
ejde-619	125	41	,	,	PUNCT
ejde-619	125	42	respectively	respectively	ADV
ejde-619	125	43	.	.	PUNCT
ejde-619	126	1	if	if	SCONJ
ejde-619	126	2	u2(x	u2(x	X
ejde-619	126	3	)	)	PUNCT
ejde-619	126	4	>	>	PUNCT
ejde-619	127	1	u1(x	u1(x	ADJ
ejde-619	127	2	)	)	PUNCT
ejde-619	127	3	=	=	SYM
ejde-619	127	4	0	0	NUM
ejde-619	127	5	for	for	ADP
ejde-619	127	6	all	all	DET
ejde-619	127	7	x	x	SYM
ejde-619	127	8	∈	∈	PROPN
ejde-619	127	9	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	127	10	,	,	PUNCT
ejde-619	127	11	ui	ui	PROPN
ejde-619	127	12	∈	∈	PROPN
ejde-619	127	13	c1,α(d	c1,α(d	PROPN
ejde-619	127	14	)	)	PUNCT
ejde-619	127	15	with	with	ADP
ejde-619	127	16	some	some	DET
ejde-619	127	17	α	α	NOUN
ejde-619	127	18	∈	∈	PROPN
ejde-619	127	19	(	(	PUNCT
ejde-619	127	20	0	0	NUM
ejde-619	127	21	,	,	PUNCT
ejde-619	127	22	1	1	NUM
ejde-619	127	23	)	)	PUNCT
ejde-619	127	24	,	,	PUNCT
ejde-619	127	25	∆pui	∆pui	PROPN
ejde-619	127	26	∈	∈	PROPN
ejde-619	127	27	l∞(d	l∞(d	PROPN
ejde-619	127	28	)	)	PUNCT
ejde-619	127	29	,	,	PUNCT
ejde-619	127	30	for	for	ADP
ejde-619	127	31	i	i	PRON
ejde-619	127	32	,	,	PUNCT
ejde-619	127	33	j	j	PROPN
ejde-619	127	34	=	=	SYM
ejde-619	127	35	1	1	NUM
ejde-619	127	36	,	,	PUNCT
ejde-619	127	37	2	2	NUM
ejde-619	127	38	,	,	PUNCT
ejde-619	127	39	then	then	ADV
ejde-619	127	40	u2	u2	PROPN
ejde-619	127	41	≥	≥	PROPN
ejde-619	127	42	u1	u1	PROPN
ejde-619	127	43	in	in	ADP
ejde-619	127	44	d.	d.	PROPN
ejde-619	127	45	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	127	46	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	127	47	equations	equation	NOUN
ejde-619	127	48	on	on	ADP
ejde-619	127	49	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	127	50	domains	domain	NOUN
ejde-619	127	51	5	5	NUM
ejde-619	127	52	whenever	whenever	SCONJ
ejde-619	127	53	u1	u1	NOUN
ejde-619	127	54	and	and	CCONJ
ejde-619	127	55	u2	u2	PROPN
ejde-619	127	56	satisfy	satisfy	VERB
ejde-619	127	57	the	the	DET
ejde-619	127	58	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-619	127	59	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-619	127	60	boundary	boundary	PROPN
ejde-619	127	61	condition	condition	NOUN
ejde-619	127	62	we	we	PRON
ejde-619	127	63	can	can	AUX
ejde-619	127	64	state	state	VERB
ejde-619	127	65	the	the	DET
ejde-619	127	66	following	follow	VERB
ejde-619	127	67	result	result	NOUN
ejde-619	127	68	.	.	PUNCT
ejde-619	128	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	128	2	2.3	2.3	NUM
ejde-619	128	3	.	.	PUNCT
ejde-619	129	1	let	let	VERB
ejde-619	129	2	g	g	NOUN
ejde-619	129	3	:	:	PUNCT
ejde-619	129	4	r	r	NOUN
ejde-619	129	5	→	→	SYM
ejde-619	129	6	r	r	NOUN
ejde-619	129	7	be	be	AUX
ejde-619	129	8	a	a	DET
ejde-619	129	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	129	10	function	function	NOUN
ejde-619	129	11	such	such	ADJ
ejde-619	129	12	that	that	SCONJ
ejde-619	129	13	g(x	g(x	NOUN
ejde-619	129	14	,	,	PUNCT
ejde-619	129	15	t)/tp−1	t)/tp−1	NOUN
ejde-619	129	16	is	be	AUX
ejde-619	129	17	decreasing	decrease	VERB
ejde-619	129	18	for	for	ADP
ejde-619	129	19	t	t	PROPN
ejde-619	129	20	>	>	X
ejde-619	129	21	0	0	X
ejde-619	129	22	.	.	PUNCT
ejde-619	130	1	assume	assume	VERB
ejde-619	130	2	that	that	SCONJ
ejde-619	130	3	u1	u1	NOUN
ejde-619	130	4	,	,	PUNCT
ejde-619	130	5	u2	u2	PROPN
ejde-619	130	6	∈	∈	PROPN
ejde-619	130	7	c1,α	c1,α	PROPN
ejde-619	130	8	0	0	PUNCT
ejde-619	130	9	(	(	PUNCT
ejde-619	130	10	d	d	NOUN
ejde-619	130	11	)	)	PUNCT
ejde-619	130	12	,	,	PUNCT
ejde-619	130	13	with	with	ADP
ejde-619	130	14	some	some	DET
ejde-619	130	15	α	α	NOUN
ejde-619	130	16	∈	∈	PROPN
ejde-619	130	17	(	(	PUNCT
ejde-619	130	18	0	0	NUM
ejde-619	130	19	,	,	PUNCT
ejde-619	130	20	1	1	NUM
ejde-619	130	21	)	)	PUNCT
ejde-619	130	22	,	,	PUNCT
ejde-619	130	23	are	be	AUX
ejde-619	130	24	a	a	DET
ejde-619	130	25	positive	positive	ADJ
ejde-619	130	26	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-619	130	27	and	and	CCONJ
ejde-619	130	28	a	a	DET
ejde-619	130	29	positive	positive	ADJ
ejde-619	130	30	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-619	130	31	of	of	ADP
ejde-619	130	32	problem	problem	NOUN
ejde-619	130	33	(	(	PUNCT
ejde-619	130	34	2.2	2.2	NUM
ejde-619	130	35	)	)	PUNCT
ejde-619	130	36	,	,	PUNCT
ejde-619	130	37	respectively	respectively	ADV
ejde-619	130	38	.	.	PUNCT
ejde-619	131	1	if	if	SCONJ
ejde-619	131	2	∆pui	∆pui	PROPN
ejde-619	131	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	131	4	l∞(d	l∞(d	NOUN
ejde-619	131	5	)	)	PUNCT
ejde-619	131	6	,	,	PUNCT
ejde-619	131	7	for	for	ADP
ejde-619	131	8	i	i	PRON
ejde-619	131	9	,	,	PUNCT
ejde-619	131	10	j	j	PROPN
ejde-619	131	11	=	=	SYM
ejde-619	131	12	1	1	NUM
ejde-619	131	13	,	,	PUNCT
ejde-619	131	14	2	2	NUM
ejde-619	131	15	,	,	PUNCT
ejde-619	131	16	u1	u1	NOUN
ejde-619	131	17	/	/	SYM
ejde-619	131	18	u2	u2	PROPN
ejde-619	131	19	∈	∈	PROPN
ejde-619	131	20	l∞(d	l∞(d	NOUN
ejde-619	131	21	)	)	PUNCT
ejde-619	132	1	and	and	CCONJ
ejde-619	132	2	u2	u2	NOUN
ejde-619	132	3	/	/	SYM
ejde-619	132	4	u1	u1	NOUN
ejde-619	132	5	∈	∈	PROPN
ejde-619	132	6	l∞(d	l∞(d	PROPN
ejde-619	132	7	)	)	PUNCT
ejde-619	132	8	,	,	PUNCT
ejde-619	132	9	then	then	ADV
ejde-619	132	10	u2	u2	PROPN
ejde-619	132	11	≥	≥	PROPN
ejde-619	132	12	u1	u1	PROPN
ejde-619	132	13	in	in	ADP
ejde-619	132	14	d.	d.	PROPN
ejde-619	132	15	2.4	2.4	NUM
ejde-619	132	16	.	.	PUNCT
ejde-619	133	1	function	function	NOUN
ejde-619	133	2	spaces	space	NOUN
ejde-619	133	3	with	with	ADP
ejde-619	133	4	variable	variable	ADJ
ejde-619	133	5	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	133	6	.	.	PUNCT
ejde-619	134	1	in	in	ADP
ejde-619	134	2	the	the	DET
ejde-619	134	3	sequel	sequel	NOUN
ejde-619	134	4	we	we	PRON
ejde-619	134	5	display	display	VERB
ejde-619	134	6	some	some	DET
ejde-619	134	7	results	result	NOUN
ejde-619	134	8	of	of	ADP
ejde-619	134	9	the	the	DET
ejde-619	134	10	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-619	134	11	spaces	space	NOUN
ejde-619	134	12	with	with	ADP
ejde-619	134	13	variable	variable	ADJ
ejde-619	134	14	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	134	15	(	(	PUNCT
ejde-619	134	16	see	see	VERB
ejde-619	134	17	[	[	X
ejde-619	134	18	20	20	NUM
ejde-619	134	19	,	,	PUNCT
ejde-619	134	20	25	25	NUM
ejde-619	134	21	,	,	PUNCT
ejde-619	134	22	39	39	NUM
ejde-619	134	23	]	]	PUNCT
ejde-619	134	24	for	for	ADP
ejde-619	134	25	more	more	ADJ
ejde-619	134	26	details	detail	NOUN
ejde-619	134	27	)	)	PUNCT
ejde-619	134	28	.	.	PUNCT
ejde-619	135	1	let	let	VERB
ejde-619	135	2	d	d	PRON
ejde-619	135	3	be	be	AUX
ejde-619	135	4	an	an	DET
ejde-619	135	5	open	open	ADJ
ejde-619	135	6	domain	domain	NOUN
ejde-619	135	7	in	in	ADP
ejde-619	135	8	rn	rn	PROPN
ejde-619	135	9	,	,	PUNCT
ejde-619	135	10	1	1	NUM
ejde-619	135	11	<	<	X
ejde-619	135	12	p	p	X
ejde-619	135	13	<	<	X
ejde-619	135	14	n	n	NOUN
ejde-619	135	15	and	and	CCONJ
ejde-619	135	16	p∗	p∗	ADJ
ejde-619	135	17	=	=	SYM
ejde-619	135	18	pn/(n−p	pn/(n−p	NOUN
ejde-619	135	19	)	)	PUNCT
ejde-619	135	20	.	.	PUNCT
ejde-619	136	1	define	define	VERB
ejde-619	136	2	l∞	l∞	NOUN
ejde-619	137	1	+	+	CCONJ
ejde-619	137	2	(	(	PUNCT
ejde-619	137	3	d	d	X
ejde-619	137	4	)	)	PUNCT
ejde-619	137	5	=	=	SYM
ejde-619	137	6	{	{	PUNCT
ejde-619	137	7	y	y	NOUN
ejde-619	137	8	:	:	PUNCT
ejde-619	137	9	y	y	PROPN
ejde-619	137	10	∈	∈	PROPN
ejde-619	137	11	l∞(d	l∞(d	PROPN
ejde-619	137	12	)	)	PUNCT
ejde-619	137	13	,	,	PUNCT
ejde-619	137	14	inf	inf	PROPN
ejde-619	137	15	x∈d	x∈d	PROPN
ejde-619	137	16	y(x	y(x	PROPN
ejde-619	137	17	)	)	PUNCT
ejde-619	137	18	>	>	X
ejde-619	137	19	1	1	NUM
ejde-619	137	20	}	}	PUNCT
ejde-619	137	21	.	.	PUNCT
ejde-619	138	1	(	(	PUNCT
ejde-619	138	2	2.3	2.3	NUM
ejde-619	138	3	)	)	PUNCT
ejde-619	138	4	for	for	ADP
ejde-619	138	5	each	each	DET
ejde-619	138	6	y	y	PROPN
ejde-619	138	7	∈	∈	PROPN
ejde-619	138	8	l∞	l∞	NOUN
ejde-619	138	9	+	+	CCONJ
ejde-619	138	10	(	(	PUNCT
ejde-619	138	11	d	d	NOUN
ejde-619	138	12	)	)	PUNCT
ejde-619	138	13	,	,	PUNCT
ejde-619	138	14	we	we	PRON
ejde-619	138	15	define	define	VERB
ejde-619	138	16	y−	y−	NOUN
ejde-619	138	17	=	=	SYM
ejde-619	138	18	y−(d	y−(d	PROPN
ejde-619	138	19	)	)	PUNCT
ejde-619	138	20	=	=	PROPN
ejde-619	138	21	inf	inf	PROPN
ejde-619	138	22	x∈d	x∈d	PROPN
ejde-619	138	23	y(x	y(x	PROPN
ejde-619	138	24	)	)	PUNCT
ejde-619	138	25	,	,	PUNCT
ejde-619	138	26	y+	y+	NUM
ejde-619	138	27	=	=	SYM
ejde-619	138	28	y+(d	y+(d	PROPN
ejde-619	138	29	)	)	PUNCT
ejde-619	138	30	=	=	SYM
ejde-619	138	31	sup	sup	NOUN
ejde-619	138	32	x∈d	x∈d	NOUN
ejde-619	138	33	y(x	y(x	PROPN
ejde-619	138	34	)	)	PUNCT
ejde-619	138	35	.	.	PUNCT
ejde-619	139	1	for	for	ADP
ejde-619	139	2	y	y	PROPN
ejde-619	139	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	139	4	l∞	l∞	PROPN
ejde-619	139	5	+	+	CCONJ
ejde-619	139	6	(	(	PUNCT
ejde-619	139	7	d	d	NOUN
ejde-619	139	8	)	)	PUNCT
ejde-619	139	9	,	,	PUNCT
ejde-619	139	10	the	the	DET
ejde-619	139	11	space	space	NOUN
ejde-619	139	12	ly(x	ly(x	PUNCT
ejde-619	139	13	)	)	PUNCT
ejde-619	139	14	=	=	PRON
ejde-619	139	15	{	{	PUNCT
ejde-619	139	16	u	u	NOUN
ejde-619	139	17	:	:	PUNCT
ejde-619	139	18	is	be	AUX
ejde-619	139	19	real	real	ADJ
ejde-619	139	20	measurable	measurable	ADJ
ejde-619	139	21	,	,	PUNCT
ejde-619	139	22	∫	∫	PROPN
ejde-619	139	23	d	d	PROPN
ejde-619	139	24	|u(x)|y(x)dx	|u(x)|y(x)dx	VERB
ejde-619	139	25	≤	≤	NUM
ejde-619	139	26	∞	∞	NUM
ejde-619	139	27	}	}	PUNCT
ejde-619	139	28	(	(	PUNCT
ejde-619	139	29	2.4	2.4	NUM
ejde-619	139	30	)	)	PUNCT
ejde-619	139	31	is	be	AUX
ejde-619	139	32	equipped	equip	VERB
ejde-619	139	33	with	with	ADP
ejde-619	139	34	a	a	DET
ejde-619	139	35	banach	banach	NOUN
ejde-619	139	36	norm	norm	NOUN
ejde-619	139	37	∥u∥y(x	∥u∥y(x	VERB
ejde-619	139	38	)	)	PUNCT
ejde-619	139	39	=	=	SYM
ejde-619	139	40	inf	inf	NOUN
ejde-619	139	41	{	{	PUNCT
ejde-619	139	42	σ	σ	PROPN
ejde-619	139	43	>	>	X
ejde-619	139	44	0	0	NUM
ejde-619	139	45	:	:	PUNCT
ejde-619	139	46	∫	∫	PROPN
ejde-619	139	47	d	d	X
ejde-619	139	48	|u(x	|u(x	PROPN
ejde-619	139	49	)	)	PUNCT
ejde-619	139	50	σ	σ	PROPN
ejde-619	139	51	|y(x)dx	|y(x)dx	PROPN
ejde-619	139	52	≤	≤	NUM
ejde-619	139	53	1	1	NUM
ejde-619	139	54	}	}	PUNCT
ejde-619	139	55	.	.	PUNCT
ejde-619	140	1	and	and	CCONJ
ejde-619	140	2	ly(x	ly(x	X
ejde-619	140	3	)	)	PUNCT
ejde-619	140	4	is	be	AUX
ejde-619	140	5	called	call	VERB
ejde-619	140	6	orlicz	orlicz	ADJ
ejde-619	140	7	space	space	NOUN
ejde-619	140	8	(	(	PUNCT
ejde-619	140	9	see	see	VERB
ejde-619	140	10	also	also	ADV
ejde-619	140	11	musielak	musielak	NOUN
ejde-619	140	12	-	-	ADJ
ejde-619	140	13	orlicz	orlicz	ADJ
ejde-619	140	14	spaces	space	VERB
ejde-619	140	15	in	in	ADP
ejde-619	140	16	[	[	X
ejde-619	140	17	20	20	NUM
ejde-619	140	18	,	,	PUNCT
ejde-619	140	19	39	39	NUM
ejde-619	140	20	]	]	PUNCT
ejde-619	140	21	)	)	PUNCT
ejde-619	140	22	and	and	CCONJ
ejde-619	140	23	∥	∥	NUM
ejde-619	140	24	·	·	PUNCT
ejde-619	140	25	∥y(x	∥y(x	NOUN
ejde-619	140	26	)	)	PUNCT
ejde-619	140	27	is	be	AUX
ejde-619	140	28	the	the	DET
ejde-619	140	29	luxemburg	luxemburg	PROPN
ejde-619	140	30	norm	norm	NOUN
ejde-619	140	31	.	.	PUNCT
ejde-619	141	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	141	2	2.4	2.4	NUM
ejde-619	141	3	.	.	PUNCT
ejde-619	142	1	let	let	VERB
ejde-619	142	2	u	u	PRON
ejde-619	142	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	142	4	ly(x)(d	ly(x)(d	PROPN
ejde-619	142	5	)	)	PUNCT
ejde-619	142	6	and	and	CCONJ
ejde-619	142	7	∥u∥y(x	∥u∥y(x	PUNCT
ejde-619	142	8	)	)	PUNCT
ejde-619	143	1	=	=	SYM
ejde-619	143	2	λ	λ	X
ejde-619	143	3	.	.	PUNCT
ejde-619	144	1	if	if	SCONJ
ejde-619	144	2	λ	λ	PROPN
ejde-619	144	3	≥	≥	NOUN
ejde-619	144	4	1	1	NUM
ejde-619	144	5	,	,	PUNCT
ejde-619	144	6	then	then	ADV
ejde-619	144	7	λy−	λy−	NUM
ejde-619	144	8	≤	≤	NUM
ejde-619	144	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	144	10	d	d	NOUN
ejde-619	144	11	|u(x)|y(x)dx	|u(x)|y(x)dx	VERB
ejde-619	144	12	≤	≤	NUM
ejde-619	144	13	λy+	λy+	NOUN
ejde-619	144	14	.	.	PUNCT
ejde-619	145	1	if	if	SCONJ
ejde-619	145	2	λ	λ	PROPN
ejde-619	145	3	≤	≤	NOUN
ejde-619	145	4	1	1	NUM
ejde-619	145	5	,	,	PUNCT
ejde-619	145	6	then	then	ADV
ejde-619	145	7	λy+	λy+	PROPN
ejde-619	145	8	≤	≤	X
ejde-619	145	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	146	1	d	d	NOUN
ejde-619	146	2	|u(x)|y(x)dx	|u(x)|y(x)dx	VERB
ejde-619	146	3	≤	≤	NUM
ejde-619	146	4	λy−	λy−	NUM
ejde-619	146	5	.	.	PUNCT
ejde-619	147	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	147	2	2.5	2.5	NUM
ejde-619	147	3	.	.	PUNCT
ejde-619	148	1	the	the	DET
ejde-619	148	2	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-619	148	3	space	space	NOUN
ejde-619	148	4	of	of	ADP
ejde-619	148	5	ly(x)(d	ly(x)(d	PROPN
ejde-619	148	6	)	)	PUNCT
ejde-619	148	7	is	be	AUX
ejde-619	148	8	lyo(x)(d	lyo(x)(d	PROPN
ejde-619	148	9	)	)	PUNCT
ejde-619	148	10	,	,	PUNCT
ejde-619	148	11	where	where	SCONJ
ejde-619	148	12	1	1	NUM
ejde-619	148	13	/	/	SYM
ejde-619	148	14	y(x	y(x	NOUN
ejde-619	148	15	)	)	PUNCT
ejde-619	149	1	+	+	CCONJ
ejde-619	149	2	1	1	NUM
ejde-619	149	3	/	/	SYM
ejde-619	149	4	yo(x	yo(x	NUM
ejde-619	149	5	)	)	PUNCT
ejde-619	149	6	=	=	SYM
ejde-619	150	1	1	1	X
ejde-619	150	2	.	.	PUNCT
ejde-619	151	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	151	2	,	,	PUNCT
ejde-619	151	3	for	for	ADP
ejde-619	151	4	u	u	PROPN
ejde-619	151	5	∈	∈	PROPN
ejde-619	151	6	ly(x)(d	ly(x)(d	PROPN
ejde-619	151	7	)	)	PUNCT
ejde-619	151	8	,	,	PUNCT
ejde-619	151	9	v	v	X
ejde-619	151	10	∈	∈	PROPN
ejde-619	151	11	lyo(x)(d	lyo(x)(d	NUM
ejde-619	151	12	)	)	PUNCT
ejde-619	151	13	,	,	PUNCT
ejde-619	151	14	we	we	PRON
ejde-619	151	15	have	have	VERB
ejde-619	151	16	the	the	DET
ejde-619	151	17	inequality∣∣	inequality∣∣	PROPN
ejde-619	151	18	∫	∫	PROPN
ejde-619	152	1	d	d	X
ejde-619	152	2	u(x)v(x)dx	u(x)v(x)dx	ADJ
ejde-619	152	3	∣∣	∣∣	NUM
ejde-619	152	4	≤	≤	NUM
ejde-619	152	5	2∥u∥y(x)∥v∥yo(x	2∥u∥y(x)∥v∥yo(x	NUM
ejde-619	152	6	)	)	PUNCT
ejde-619	152	7	.	.	PUNCT
ejde-619	153	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	153	2	2.6	2.6	NUM
ejde-619	153	3	.	.	PUNCT
ejde-619	154	1	let	let	VERB
ejde-619	154	2	d	d	PRON
ejde-619	154	3	be	be	AUX
ejde-619	154	4	an	an	DET
ejde-619	154	5	open	open	ADJ
ejde-619	154	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	154	7	domain	domain	NOUN
ejde-619	154	8	in	in	ADP
ejde-619	154	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	154	10	with	with	ADP
ejde-619	154	11	the	the	DET
ejde-619	154	12	cone	cone	NOUN
ejde-619	154	13	property	property	NOUN
ejde-619	154	14	.	.	PUNCT
ejde-619	155	1	if	if	SCONJ
ejde-619	155	2	y	y	PROPN
ejde-619	155	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	155	4	l∞	l∞	PROPN
ejde-619	155	5	+	+	CCONJ
ejde-619	155	6	(	(	PUNCT
ejde-619	155	7	d	d	X
ejde-619	155	8	)	)	PUNCT
ejde-619	155	9	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-619	155	10	y(x	y(x	NOUN
ejde-619	155	11	)	)	PUNCT
ejde-619	155	12	≤	≤	NUM
ejde-619	155	13	y+	y+	ADP
ejde-619	155	14	<	<	X
ejde-619	155	15	p∗	p∗	PROPN
ejde-619	155	16	for	for	ADP
ejde-619	155	17	all	all	DET
ejde-619	155	18	x	x	SYM
ejde-619	155	19	∈	∈	PROPN
ejde-619	155	20	d	d	NOUN
ejde-619	155	21	,	,	PUNCT
ejde-619	155	22	then	then	ADV
ejde-619	155	23	the	the	DET
ejde-619	155	24	following	follow	VERB
ejde-619	155	25	embedding	embed	VERB
ejde-619	155	26	is	be	AUX
ejde-619	155	27	compact	compact	ADJ
ejde-619	155	28	w	w	ADP
ejde-619	155	29	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	155	30	)	)	PUNCT
ejde-619	155	31	↪	↪	PROPN
ejde-619	155	32	→	→	SYM
ejde-619	155	33	ly(x)(d	ly(x)(d	NOUN
ejde-619	155	34	)	)	PUNCT
ejde-619	155	35	.	.	PUNCT
ejde-619	156	1	6	6	NUM
ejde-619	156	2	l.	l.	PROPN
ejde-619	156	3	f.	f.	PROPN
ejde-619	156	4	o.	o.	PROPN
ejde-619	156	5	faria	faria	PROPN
ejde-619	156	6	,	,	PUNCT
ejde-619	156	7	m.	m.	PROPN
ejde-619	156	8	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	156	9	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	156	10	3	3	NUM
ejde-619	156	11	.	.	PUNCT
ejde-619	156	12	proof	proof	NOUN
ejde-619	156	13	of	of	ADP
ejde-619	156	14	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	156	15	1.1	1.1	NUM
ejde-619	156	16	let	let	VERB
ejde-619	156	17	u	u	PRON
ejde-619	156	18	:	:	PUNCT
ejde-619	156	19	rn	rn	PROPN
ejde-619	156	20	→	→	SYM
ejde-619	156	21	r	r	NOUN
ejde-619	156	22	be	be	AUX
ejde-619	156	23	a	a	DET
ejde-619	156	24	radial	radial	ADJ
ejde-619	156	25	function	function	NOUN
ejde-619	156	26	and	and	CCONJ
ejde-619	156	27	v	v	NOUN
ejde-619	156	28	:	:	PUNCT
ejde-619	157	1	[	[	X
ejde-619	157	2	0,∞	0,∞	NUM
ejde-619	157	3	)	)	PUNCT
ejde-619	158	1	→	→	PUNCT
ejde-619	158	2	r	r	NOUN
ejde-619	158	3	such	such	ADJ
ejde-619	158	4	that	that	SCONJ
ejde-619	158	5	u(x	u(x	NOUN
ejde-619	158	6	)	)	PUNCT
ejde-619	158	7	=	=	SYM
ejde-619	158	8	v(r	v(r	NOUN
ejde-619	158	9	)	)	PUNCT
ejde-619	158	10	for	for	ADP
ejde-619	158	11	all	all	DET
ejde-619	158	12	x	x	SYM
ejde-619	158	13	∈	∈	PROPN
ejde-619	158	14	rn	rn	PROPN
ejde-619	158	15	.	.	PUNCT
ejde-619	159	1	for	for	ADP
ejde-619	159	2	convenience	convenience	NOUN
ejde-619	159	3	,	,	PUNCT
ejde-619	159	4	we	we	PRON
ejde-619	159	5	will	will	AUX
ejde-619	159	6	keep	keep	VERB
ejde-619	159	7	the	the	DET
ejde-619	159	8	same	same	ADJ
ejde-619	159	9	notation	notation	NOUN
ejde-619	159	10	u	u	NOUN
ejde-619	159	11	for	for	ADP
ejde-619	159	12	both	both	DET
ejde-619	159	13	cases	case	NOUN
ejde-619	159	14	,	,	PUNCT
ejde-619	159	15	i.e.	i.e.	X
ejde-619	159	16	u(x	u(x	NOUN
ejde-619	159	17	)	)	PUNCT
ejde-619	159	18	=	=	SYM
ejde-619	159	19	v(r	v(r	NOUN
ejde-619	159	20	)	)	PUNCT
ejde-619	159	21	=	=	SYM
ejde-619	159	22	u(r	u(r	NOUN
ejde-619	159	23	)	)	PUNCT
ejde-619	159	24	.	.	PUNCT
ejde-619	160	1	it	it	PRON
ejde-619	160	2	is	be	AUX
ejde-619	160	3	well	well	ADV
ejde-619	160	4	-	-	PUNCT
ejde-619	160	5	known	know	VERB
ejde-619	160	6	that	that	PRON
ejde-619	160	7	(	(	PUNCT
ejde-619	160	8	see	see	VERB
ejde-619	161	1	e.g.	e.g.	ADV
ejde-619	161	2	[	[	X
ejde-619	161	3	29])∫	29])∫	NUM
ejde-619	161	4	rn	rn	NOUN
ejde-619	161	5	u(x)dx	u(x)dx	PROPN
ejde-619	161	6	=	=	PUNCT
ejde-619	161	7	ωn	ωn	NUM
ejde-619	161	8	∫	∫	PROPN
ejde-619	161	9	∞	∞	PROPN
ejde-619	161	10	0	0	NUM
ejde-619	161	11	u(r)rn−1dr	u(r)rn−1dr	NOUN
ejde-619	161	12	,	,	PUNCT
ejde-619	161	13	where	where	SCONJ
ejde-619	161	14	ωn	ωn	ADP
ejde-619	161	15	=	=	PROPN
ejde-619	161	16	2πn/2	2πn/2	PROPN
ejde-619	161	17	γ(n/2	γ(n/2	PROPN
ejde-619	161	18	)	)	PUNCT
ejde-619	161	19	.	.	PUNCT
ejde-619	162	1	thus	thus	ADV
ejde-619	162	2	,	,	PUNCT
ejde-619	162	3	if	if	SCONJ
ejde-619	162	4	u	u	PRON
ejde-619	162	5	∈w	∈w	VERB
ejde-619	162	6	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	162	7	0,r	0,r	NUM
ejde-619	162	8	(	(	PUNCT
ejde-619	162	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	162	10	)	)	PUNCT
ejde-619	162	11	we	we	PRON
ejde-619	162	12	can	can	AUX
ejde-619	162	13	write	write	VERB
ejde-619	162	14	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	162	15	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	162	16	)	)	PUNCT
ejde-619	163	1	=	=	PUNCT
ejde-619	163	2	(	(	PUNCT
ejde-619	163	3	ωn	ωn	NUM
ejde-619	163	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	163	5	∞	∞	PROPN
ejde-619	163	6	0	0	NUM
ejde-619	163	7	(	(	PUNCT
ejde-619	163	8	|du′|p	|du′|p	NOUN
ejde-619	163	9	+	+	CCONJ
ejde-619	163	10	|u|p)rn−1dr	|u|p)rn−1dr	NOUN
ejde-619	163	11	)	)	PUNCT
ejde-619	163	12	1/2	1/2	NUM
ejde-619	163	13	.	.	PUNCT
ejde-619	164	1	(	(	PUNCT
ejde-619	164	2	3.1	3.1	NUM
ejde-619	164	3	)	)	PUNCT
ejde-619	164	4	let	let	VERB
ejde-619	164	5	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	164	6	0	0	PUNCT
ejde-619	165	1	(	(	PUNCT
ejde-619	165	2	rn	rn	PROPN
ejde-619	165	3	)	)	PUNCT
ejde-619	165	4	be	be	AUX
ejde-619	165	5	the	the	DET
ejde-619	165	6	space	space	NOUN
ejde-619	165	7	of	of	ADP
ejde-619	165	8	infinitely	infinitely	ADV
ejde-619	165	9	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-619	165	10	functions	function	NOUN
ejde-619	165	11	with	with	ADP
ejde-619	165	12	compact	compact	ADJ
ejde-619	165	13	support	support	NOUN
ejde-619	165	14	.	.	PUNCT
ejde-619	166	1	we	we	PRON
ejde-619	166	2	denote	denote	VERB
ejde-619	166	3	by	by	ADP
ejde-619	166	4	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	166	5	0,r(rn	0,r(rn	PROPN
ejde-619	166	6	)	)	PUNCT
ejde-619	166	7	the	the	DET
ejde-619	166	8	subspace	subspace	NOUN
ejde-619	166	9	of	of	ADP
ejde-619	166	10	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	166	11	0	0	PUNCT
ejde-619	166	12	(	(	PUNCT
ejde-619	166	13	rn	rn	NOUN
ejde-619	166	14	)	)	PUNCT
ejde-619	166	15	of	of	ADP
ejde-619	166	16	radially	radially	ADV
ejde-619	166	17	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	166	18	functions	function	NOUN
ejde-619	166	19	.	.	PUNCT
ejde-619	167	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	167	2	3.1	3.1	NUM
ejde-619	167	3	.	.	PUNCT
ejde-619	168	1	let	let	VERB
ejde-619	168	2	u	u	PRON
ejde-619	168	3	∈w	∈w	VERB
ejde-619	168	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	168	5	0,r	0,r	NUM
ejde-619	168	6	(	(	PUNCT
ejde-619	168	7	rn	rn	PROPN
ejde-619	168	8	)	)	PUNCT
ejde-619	168	9	.	.	PUNCT
ejde-619	169	1	then	then	ADV
ejde-619	169	2	|u(r)|	|u(r)|	PROPN
ejde-619	169	3	≤	≤	PROPN
ejde-619	169	4	cmin	cmin	NOUN
ejde-619	169	5	{	{	PUNCT
ejde-619	169	6	1	1	NUM
ejde-619	169	7	r(n−p)/p	r(n−p)/p	NOUN
ejde-619	169	8	,	,	PUNCT
ejde-619	169	9	1	1	NUM
ejde-619	169	10	r(n−1)/p	r(n−1)/p	NOUN
ejde-619	169	11	}	}	PUNCT
ejde-619	169	12	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	169	13	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	169	14	)	)	PUNCT
ejde-619	169	15	.	.	PUNCT
ejde-619	170	1	(	(	PUNCT
ejde-619	170	2	3.2	3.2	NUM
ejde-619	170	3	)	)	PUNCT
ejde-619	170	4	proof	proof	NOUN
ejde-619	170	5	.	.	PUNCT
ejde-619	171	1	if	if	SCONJ
ejde-619	171	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-619	171	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	171	4	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	171	5	0,r(rn	0,r(rn	PROPN
ejde-619	171	6	)	)	PUNCT
ejde-619	171	7	,	,	PUNCT
ejde-619	171	8	then	then	ADV
ejde-619	171	9	|ϕ(r)|	|ϕ(r)|	PROPN
ejde-619	171	10	≤	≤	X
ejde-619	171	11	∣∣	∣∣	NUM
ejde-619	171	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	171	13	∞	∞	PROPN
ejde-619	171	14	r	r	PROPN
ejde-619	171	15	ϕ′(s)ds	ϕ′(s)ds	PROPN
ejde-619	171	16	∣∣	∣∣	NUM
ejde-619	171	17	≤	≤	NUM
ejde-619	171	18	∫	∫	PROPN
ejde-619	172	1	∞	∞	NUM
ejde-619	172	2	r	r	NOUN
ejde-619	172	3	∣∣ϕ′(s)s(n−1)/p	∣∣ϕ′(s)s(n−1)/p	NOUN
ejde-619	172	4	1	1	NUM
ejde-619	172	5	s(n−1)/p	s(n−1)/p	NOUN
ejde-619	172	6	ds	ds	X
ejde-619	172	7	∣∣	∣∣	X
ejde-619	172	8	≤	≤	PROPN
ejde-619	172	9	(	(	PUNCT
ejde-619	172	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	172	11	∞	∞	PROPN
ejde-619	172	12	r	r	NOUN
ejde-619	172	13	|ϕ′(s)|psn−1ds	|ϕ′(s)|psn−1ds	NOUN
ejde-619	172	14	)	)	PUNCT
ejde-619	172	15	1	1	X
ejde-619	172	16	/	/	SYM
ejde-619	172	17	p(∫	p(∫	NOUN
ejde-619	172	18	∞	∞	NUM
ejde-619	173	1	r	r	NOUN
ejde-619	173	2	1	1	NUM
ejde-619	173	3	s	s	NOUN
ejde-619	173	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-619	173	5	p−1	p−1	PROPN
ejde-619	173	6	ds	ds	X
ejde-619	173	7	)	)	PUNCT
ejde-619	173	8	p−1	p−1	PROPN
ejde-619	173	9	p	p	PROPN
ejde-619	173	10	≤	≤	PROPN
ejde-619	173	11	(	(	PUNCT
ejde-619	173	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	173	13	∞	∞	PROPN
ejde-619	173	14	r	r	NOUN
ejde-619	173	15	(	(	PUNCT
ejde-619	173	16	|ϕ′(s)|p	|ϕ′(s)|p	ADJ
ejde-619	173	17	+	+	CCONJ
ejde-619	173	18	|ϕ(s)|p)sn−1ds	|ϕ(s)|p)sn−1ds	NOUN
ejde-619	173	19	)	)	PUNCT
ejde-619	173	20	1	1	NUM
ejde-619	173	21	/	/	SYM
ejde-619	173	22	p(∫	p(∫	NOUN
ejde-619	173	23	∞	∞	NUM
ejde-619	174	1	r	r	NOUN
ejde-619	174	2	1	1	NUM
ejde-619	174	3	s	s	NOUN
ejde-619	174	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-619	174	5	p−1	p−1	PROPN
ejde-619	174	6	ds	ds	X
ejde-619	174	7	)	)	PUNCT
ejde-619	174	8	p−1	p−1	PROPN
ejde-619	174	9	p	p	NOUN
ejde-619	174	10	≤	≤	NUM
ejde-619	174	11	1	1	NUM
ejde-619	174	12	ω	ω	NUM
ejde-619	174	13	1	1	NUM
ejde-619	174	14	/	/	SYM
ejde-619	174	15	p	p	NOUN
ejde-619	174	16	n	n	NOUN
ejde-619	174	17	(	(	PUNCT
ejde-619	174	18	p−	p−	NOUN
ejde-619	174	19	1	1	NUM
ejde-619	174	20	n	n	NUM
ejde-619	174	21	−	−	PROPN
ejde-619	174	22	p	p	PROPN
ejde-619	174	23	)	)	PUNCT
ejde-619	174	24	p−1	p−1	PROPN
ejde-619	174	25	p	p	NOUN
ejde-619	174	26	1	1	NUM
ejde-619	174	27	r(n−p)/p	r(n−p)/p	NOUN
ejde-619	174	28	∥ϕ∥w	∥ϕ∥w	NOUN
ejde-619	174	29	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	174	30	)	)	PUNCT
ejde-619	174	31	.	.	PUNCT
ejde-619	175	1	(	(	PUNCT
ejde-619	175	2	3.3	3.3	NUM
ejde-619	175	3	)	)	PUNCT
ejde-619	175	4	on	on	ADP
ejde-619	175	5	the	the	DET
ejde-619	175	6	other	other	ADJ
ejde-619	175	7	hand	hand	NOUN
ejde-619	175	8	,	,	PUNCT
ejde-619	175	9	(	(	PUNCT
ejde-619	175	10	ϕ(r))p	ϕ(r))p	NOUN
ejde-619	175	11	=	=	SYM
ejde-619	175	12	−p	−p	ADJ
ejde-619	175	13	∫	∫	NOUN
ejde-619	176	1	∞	∞	PROPN
ejde-619	176	2	r	r	NOUN
ejde-619	176	3	ϕ′(s)ϕ(s)p−1ds	ϕ′(s)ϕ(s)p−1ds	NOUN
ejde-619	176	4	≤	≤	PROPN
ejde-619	177	1	p	p	DET
ejde-619	177	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	177	3	∞	∞	PROPN
ejde-619	177	4	r	r	NOUN
ejde-619	177	5	|ϕ′(s)||ϕ(s)|p−1sn−1	|ϕ′(s)||ϕ(s)|p−1sn−1	PRON
ejde-619	177	6	1	1	NUM
ejde-619	177	7	sn−1	sn−1	ADJ
ejde-619	177	8	ds	ds	VERB
ejde-619	177	9	≤	≤	NOUN
ejde-619	177	10	p	p	PRON
ejde-619	177	11	rn−1	rn−1	PROPN
ejde-619	177	12	∫	∫	NOUN
ejde-619	177	13	∞	∞	PROPN
ejde-619	177	14	r	r	NOUN
ejde-619	177	15	(	(	PUNCT
ejde-619	177	16	|ϕ′(s)|p	|ϕ′(s)|p	VERB
ejde-619	177	17	p	p	X
ejde-619	177	18	+	+	CCONJ
ejde-619	177	19	|ϕ(s)|p	|ϕ(s)|p	ADJ
ejde-619	177	20	p/(p−	p/(p−	PROPN
ejde-619	177	21	1	1	NUM
ejde-619	177	22	)	)	PUNCT
ejde-619	177	23	)	)	PUNCT
ejde-619	177	24	sn−1ds	sn−1ds	ADJ
ejde-619	177	25	≤	≤	NOUN
ejde-619	177	26	1	1	NUM
ejde-619	177	27	ωn	ωn	ADP
ejde-619	177	28	max{1	max{1	NOUN
ejde-619	177	29	,	,	PUNCT
ejde-619	177	30	p−	p−	NOUN
ejde-619	177	31	1	1	NUM
ejde-619	177	32	}	}	SYM
ejde-619	177	33	1	1	NUM
ejde-619	177	34	rn−1	rn−1	PROPN
ejde-619	177	35	∥ϕ∥p	∥ϕ∥p	PROPN
ejde-619	177	36	w	w	PROPN
ejde-619	177	37	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	177	38	)	)	PUNCT
ejde-619	177	39	.	.	PUNCT
ejde-619	178	1	thus	thus	ADV
ejde-619	178	2	,	,	PUNCT
ejde-619	178	3	we	we	PRON
ejde-619	178	4	arrive	arrive	VERB
ejde-619	178	5	at	at	ADP
ejde-619	178	6	|ϕ(r)|	|ϕ(r)|	PROPN
ejde-619	178	7	≤	≤	PROPN
ejde-619	178	8	c	c	NOUN
ejde-619	178	9	1	1	NUM
ejde-619	178	10	r(n−1)/p	r(n−1)/p	NOUN
ejde-619	178	11	∥ϕ∥w	∥ϕ∥w	PROPN
ejde-619	178	12	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	178	13	)	)	PUNCT
ejde-619	178	14	.	.	PUNCT
ejde-619	179	1	(	(	PUNCT
ejde-619	179	2	3.4	3.4	NUM
ejde-619	179	3	)	)	PUNCT
ejde-619	179	4	since	since	SCONJ
ejde-619	179	5	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	179	6	0,r(rn	0,r(rn	PROPN
ejde-619	179	7	)	)	PUNCT
ejde-619	179	8	is	be	AUX
ejde-619	179	9	dense	dense	ADJ
ejde-619	179	10	in	in	ADP
ejde-619	179	11	w	w	PROPN
ejde-619	179	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	180	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	180	2	(	(	PUNCT
ejde-619	180	3	rn	rn	PROPN
ejde-619	180	4	)	)	PUNCT
ejde-619	180	5	,	,	PUNCT
ejde-619	180	6	we	we	PRON
ejde-619	180	7	obtain	obtain	VERB
ejde-619	180	8	(	(	PUNCT
ejde-619	180	9	3.2	3.2	NUM
ejde-619	180	10	)	)	PUNCT
ejde-619	180	11	.	.	PUNCT
ejde-619	181	1	□	□	PUNCT
ejde-619	181	2	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	181	3	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	181	4	equations	equation	NOUN
ejde-619	181	5	on	on	ADP
ejde-619	181	6	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	181	7	domains	domain	NOUN
ejde-619	181	8	7	7	NUM
ejde-619	181	9	proof	proof	NOUN
ejde-619	181	10	of	of	ADP
ejde-619	181	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	181	12	1.1	1.1	NUM
ejde-619	181	13	.	.	PUNCT
ejde-619	182	1	let	let	VERB
ejde-619	182	2	u	u	PRON
ejde-619	182	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	182	4	w	w	PROPN
ejde-619	182	5	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	182	6	0,r	0,r	NUM
ejde-619	182	7	(	(	PUNCT
ejde-619	182	8	rn	rn	PROPN
ejde-619	182	9	)	)	PUNCT
ejde-619	182	10	with	with	ADP
ejde-619	182	11	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	182	12	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	182	13	)	)	PUNCT
ejde-619	183	1	=	=	PUNCT
ejde-619	183	2	1	1	X
ejde-619	183	3	.	.	PUNCT
ejde-619	183	4	let	let	VERB
ejde-619	183	5	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	183	6	∈	∈	PROPN
ejde-619	183	7	(	(	PUNCT
ejde-619	183	8	0	0	NUM
ejde-619	183	9	,	,	PUNCT
ejde-619	183	10	1	1	NUM
ejde-619	183	11	)	)	PUNCT
ejde-619	183	12	to	to	PART
ejde-619	183	13	be	be	AUX
ejde-619	183	14	chosen	choose	VERB
ejde-619	183	15	later	later	ADV
ejde-619	183	16	on	on	ADV
ejde-619	183	17	,	,	PUNCT
ejde-619	183	18	we	we	PRON
ejde-619	183	19	can	can	AUX
ejde-619	183	20	write	write	VERB
ejde-619	183	21	1	1	NUM
ejde-619	183	22	wp	wp	PROPN
ejde-619	183	23	∫	∫	PROPN
ejde-619	183	24	rn	rn	PROPN
ejde-619	183	25	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	183	26	∗+h(r)dx	∗+h(r)dx	PROPN
ejde-619	183	27	=	=	SYM
ejde-619	183	28	∫	∫	PROPN
ejde-619	183	29	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	183	30	0	0	PROPN
ejde-619	183	31	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	183	32	∗+h(r)rn−1dr︸	∗+h(r)rn−1dr︸	PROPN
ejde-619	183	33	︷︷	︷︷	PROPN
ejde-619	184	1	︸	︸	X
ejde-619	184	2	i	i	PROPN
ejde-619	185	1	+	+	CCONJ
ejde-619	185	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	185	3	1	1	NUM
ejde-619	185	4	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	185	5	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	185	6	∗+h(r)rn−1dr︸	∗+h(r)rn−1dr︸	PROPN
ejde-619	185	7	︷︷	︷︷	PROPN
ejde-619	185	8	︸	︸	X
ejde-619	186	1	j	j	PROPN
ejde-619	186	2	+	+	CCONJ
ejde-619	186	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	186	4	∞	∞	PROPN
ejde-619	186	5	1	1	NUM
ejde-619	186	6	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	186	7	∗+h(r)rn−1dr︸	∗+h(r)rn−1dr︸	PROPN
ejde-619	186	8	︷︷	︷︷	PROPN
ejde-619	186	9	︸	︸	X
ejde-619	187	1	k	k	X
ejde-619	187	2	.	.	PUNCT
ejde-619	188	1	we	we	PRON
ejde-619	188	2	estimate	estimate	VERB
ejde-619	188	3	i	i	PRON
ejde-619	188	4	,	,	PUNCT
ejde-619	188	5	j	j	PROPN
ejde-619	188	6	,	,	PUNCT
ejde-619	188	7	k	k	PROPN
ejde-619	188	8	in	in	ADP
ejde-619	188	9	3	3	NUM
ejde-619	188	10	steps	step	NOUN
ejde-619	188	11	.	.	PUNCT
ejde-619	189	1	in	in	ADP
ejde-619	189	2	the	the	DET
ejde-619	189	3	first	first	ADJ
ejde-619	189	4	two	two	NUM
ejde-619	189	5	steps	step	NOUN
ejde-619	189	6	we	we	PRON
ejde-619	189	7	use	use	VERB
ejde-619	189	8	ideas	idea	NOUN
ejde-619	189	9	similar	similar	ADJ
ejde-619	189	10	to	to	ADP
ejde-619	189	11	those	those	PRON
ejde-619	189	12	in	in	ADP
ejde-619	189	13	[	[	X
ejde-619	189	14	23	23	NUM
ejde-619	189	15	,	,	PUNCT
ejde-619	189	16	theorem	theorem	VERB
ejde-619	189	17	2.1	2.1	NUM
ejde-619	189	18	]	]	PUNCT
ejde-619	189	19	.	.	PUNCT
ejde-619	190	1	step	step	NOUN
ejde-619	190	2	1	1	NUM
ejde-619	190	3	.	.	NUM
ejde-619	190	4	estimate	estimate	NOUN
ejde-619	190	5	of	of	ADP
ejde-619	190	6	i.	i.	NOUN
ejde-619	191	1	i	i	PROPN
ejde-619	191	2	=	=	SYM
ejde-619	191	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	191	4	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	191	5	0	0	NUM
ejde-619	192	1	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	192	2	∗+h(r)rn−1dr	∗+h(r)rn−1dr	PROPN
ejde-619	192	3	≤	≤	NUM
ejde-619	192	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	192	5	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	192	6	0	0	PROPN
ejde-619	192	7	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	192	8	∗	∗	NOUN
ejde-619	192	9	(	(	PUNCT
ejde-619	192	10	|u(r)|h(r	|u(r)|h(r	NOUN
ejde-619	192	11	)	)	PUNCT
ejde-619	192	12	−	−	PROPN
ejde-619	192	13	1)rn−1dr	1)rn−1dr	NUM
ejde-619	192	14	+	+	CCONJ
ejde-619	192	15	∫	∫	PROPN
ejde-619	192	16	1	1	NUM
ejde-619	192	17	0	0	NUM
ejde-619	192	18	|u(r)|p	|u(r)|p	NOUN
ejde-619	192	19	∗	∗	NOUN
ejde-619	192	20	rn−1dr	rn−1dr	NOUN
ejde-619	192	21	≤	≤	NUM
ejde-619	192	22	∫	∫	PROPN
ejde-619	192	23	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	192	24	0	0	PROPN
ejde-619	192	25	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	192	26	∗	∗	NOUN
ejde-619	192	27	(	(	PUNCT
ejde-619	192	28	|u(r)|h(r	|u(r)|h(r	NOUN
ejde-619	192	29	)	)	PUNCT
ejde-619	192	30	−	−	PROPN
ejde-619	192	31	1)rn−1dr	1)rn−1dr	NUM
ejde-619	192	32	+	+	CCONJ
ejde-619	192	33	cn	cn	ADJ
ejde-619	192	34	,	,	PUNCT
ejde-619	192	35	p	p	X
ejde-619	192	36	,	,	PUNCT
ejde-619	192	37	where	where	SCONJ
ejde-619	192	38	cn	cn	PROPN
ejde-619	192	39	,	,	PUNCT
ejde-619	192	40	p	p	PRON
ejde-619	192	41	is	be	AUX
ejde-619	192	42	the	the	DET
ejde-619	192	43	constant	constant	ADJ
ejde-619	192	44	in	in	ADP
ejde-619	192	45	the	the	DET
ejde-619	192	46	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	192	47	constant	constant	ADJ
ejde-619	192	48	embedding	embed	VERB
ejde-619	192	49	w	w	PROPN
ejde-619	192	50	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	192	51	)	)	PUNCT
ejde-619	193	1	↪	↪	PROPN
ejde-619	193	2	→	→	SYM
ejde-619	193	3	lp∗	lp∗	NOUN
ejde-619	193	4	(	(	PUNCT
ejde-619	193	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	193	6	)	)	PUNCT
ejde-619	193	7	.	.	PUNCT
ejde-619	194	1	by	by	ADP
ejde-619	194	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	194	3	(	(	PUNCT
ejde-619	194	4	3.1	3.1	NUM
ejde-619	194	5	)	)	PUNCT
ejde-619	194	6	,	,	PUNCT
ejde-619	194	7	we	we	PRON
ejde-619	194	8	have∫	have∫	VERB
ejde-619	194	9	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	194	10	0	0	NUM
ejde-619	194	11	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	194	12	∗	∗	NOUN
ejde-619	194	13	(	(	PUNCT
ejde-619	194	14	|u(r)|h(r	|u(r)|h(r	NOUN
ejde-619	194	15	)	)	PUNCT
ejde-619	194	16	−	−	PROPN
ejde-619	194	17	1)rn−1dr	1)rn−1dr	NUM
ejde-619	194	18	≤	≤	NUM
ejde-619	194	19	c	c	PROPN
ejde-619	194	20	∫	∫	PROPN
ejde-619	194	21	ρ	ρ	NOUN
ejde-619	194	22	0	0	NUM
ejde-619	194	23	1	1	NUM
ejde-619	194	24	r(n−p)p∗/p	r(n−p)p∗/p	ADJ
ejde-619	194	25	(	(	PUNCT
ejde-619	194	26	1	1	NUM
ejde-619	194	27	r(n−p)h(r)/p	r(n−p)h(r)/p	ADV
ejde-619	194	28	−	−	NOUN
ejde-619	194	29	1	1	NUM
ejde-619	194	30	)	)	PUNCT
ejde-619	194	31	rn−1dr	rn−1dr	NOUN
ejde-619	194	32	=	=	SYM
ejde-619	194	33	c	c	PROPN
ejde-619	194	34	∫	∫	PROPN
ejde-619	194	35	ρ	ρ	NOUN
ejde-619	194	36	0	0	NUM
ejde-619	194	37	1	1	NUM
ejde-619	194	38	r	r	NOUN
ejde-619	194	39	(	(	PUNCT
ejde-619	194	40	exp	exp	NOUN
ejde-619	194	41	[	[	PUNCT
ejde-619	194	42	−(n	−(n	NOUN
ejde-619	194	43	−	−	PROPN
ejde-619	194	44	p)h(r	p)h(r	NOUN
ejde-619	194	45	)	)	PUNCT
ejde-619	194	46	p	p	NOUN
ejde-619	194	47	log	log	NOUN
ejde-619	194	48	r]−	r]−	NOUN
ejde-619	194	49	1	1	NUM
ejde-619	194	50	)	)	PUNCT
ejde-619	194	51	dr	dr	PROPN
ejde-619	194	52	≤	≤	PROPN
ejde-619	194	53	cd	cd	PROPN
ejde-619	194	54	n	n	CCONJ
ejde-619	194	55	−	−	PROPN
ejde-619	194	56	p	p	X
ejde-619	195	1	p	p	X
ejde-619	195	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	195	3	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	195	4	0	0	NUM
ejde-619	195	5	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	195	6	)	)	PUNCT
ejde-619	196	1	|	|	ADV
ejde-619	196	2	log	log	VERB
ejde-619	196	3	r|	r|	NOUN
ejde-619	196	4	r	r	NOUN
ejde-619	196	5	dr	dr	PROPN
ejde-619	196	6	<	<	PROPN
ejde-619	196	7	∞	∞	PROPN
ejde-619	196	8	,	,	PUNCT
ejde-619	196	9	whence	whence	SCONJ
ejde-619	196	10	the	the	DET
ejde-619	196	11	above	above	ADJ
ejde-619	196	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-619	196	13	follows	follow	VERB
ejde-619	196	14	from	from	ADP
ejde-619	196	15	(	(	PUNCT
ejde-619	196	16	1.5	1.5	NUM
ejde-619	196	17	)	)	PUNCT
ejde-619	196	18	.	.	PUNCT
ejde-619	197	1	step	step	NOUN
ejde-619	197	2	2	2	NUM
ejde-619	197	3	.	.	NUM
ejde-619	197	4	estimate	estimate	NOUN
ejde-619	197	5	of	of	ADP
ejde-619	197	6	j	j	PROPN
ejde-619	197	7	.	.	PUNCT
ejde-619	198	1	by	by	ADP
ejde-619	198	2	(	(	PUNCT
ejde-619	198	3	1.6	1.6	NUM
ejde-619	198	4	)	)	PUNCT
ejde-619	198	5	and	and	CCONJ
ejde-619	198	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	198	7	(	(	PUNCT
ejde-619	198	8	3.1	3.1	NUM
ejde-619	198	9	)	)	PUNCT
ejde-619	198	10	,	,	PUNCT
ejde-619	198	11	we	we	PRON
ejde-619	198	12	obtain	obtain	VERB
ejde-619	198	13	j	j	PROPN
ejde-619	198	14	=	=	SYM
ejde-619	198	15	∫	∫	PROPN
ejde-619	198	16	1	1	NUM
ejde-619	198	17	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	198	18	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	198	19	∗+h(r)rn−1dr	∗+h(r)rn−1dr	NOUN
ejde-619	198	20	≤	≤	NUM
ejde-619	198	21	c	c	NOUN
ejde-619	198	22	∫	∫	PROPN
ejde-619	198	23	1	1	NUM
ejde-619	198	24	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	198	25	1	1	NUM
ejde-619	198	26	r	r	NOUN
ejde-619	198	27	(	(	PUNCT
ejde-619	198	28	n−p	n−p	PROPN
ejde-619	198	29	)	)	PUNCT
ejde-619	198	30	p	p	NOUN
ejde-619	198	31	(	(	PUNCT
ejde-619	198	32	p∗+h(r	p∗+h(r	PROPN
ejde-619	198	33	)	)	PUNCT
ejde-619	198	34	)	)	PUNCT
ejde-619	199	1	rn−1dr	rn−1dr	NOUN
ejde-619	199	2	=	=	SYM
ejde-619	199	3	c	c	X
ejde-619	199	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	199	5	1	1	NUM
ejde-619	199	6	ρ	ρ	PROPN
ejde-619	199	7	1	1	NUM
ejde-619	199	8	r1	r1	PROPN
ejde-619	199	9	+	+	CCONJ
ejde-619	199	10	n−p	n−p	PROPN
ejde-619	199	11	p	p	PROPN
ejde-619	199	12	h(r	h(r	PROPN
ejde-619	199	13	)	)	PUNCT
ejde-619	200	1	dr	dr	PROPN
ejde-619	200	2	=	=	PROPN
ejde-619	200	3	−c	−c	NOUN
ejde-619	200	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	200	5	0	0	SYM
ejde-619	200	6	1−ρ	1−ρ	NUM
ejde-619	200	7	1	1	NUM
ejde-619	200	8	(	(	PUNCT
ejde-619	200	9	1−	1−	NUM
ejde-619	200	10	s)1	s)1	NOUN
ejde-619	200	11	+	+	NUM
ejde-619	200	12	n−p	n−p	PROPN
ejde-619	200	13	p	p	NOUN
ejde-619	200	14	h(1−s	h(1−s	NOUN
ejde-619	200	15	)	)	PUNCT
ejde-619	200	16	ds	ds	ADJ
ejde-619	200	17	≤	≤	NUM
ejde-619	200	18	c	c	NOUN
ejde-619	200	19	∫	∫	PROPN
ejde-619	200	20	1−ρ	1−ρ	NUM
ejde-619	200	21	0	0	NUM
ejde-619	200	22	1	1	NUM
ejde-619	200	23	(	(	PUNCT
ejde-619	200	24	1−	1−	NUM
ejde-619	200	25	s)1	s)1	NOUN
ejde-619	200	26	+	+	NUM
ejde-619	200	27	n−p	n−p	PROPN
ejde-619	200	28	p	p	NOUN
ejde-619	200	29	c	c	NOUN
ejde-619	200	30	s	s	X
ejde-619	200	31	ds	ds	NOUN
ejde-619	200	32	=	=	SYM
ejde-619	200	33	c	c	NOUN
ejde-619	200	34	∫	∫	PROPN
ejde-619	200	35	1−ρ	1−ρ	NUM
ejde-619	200	36	0	0	NUM
ejde-619	200	37	1	1	NUM
ejde-619	200	38	exp	exp	NOUN
ejde-619	200	39	(	(	PUNCT
ejde-619	200	40	1	1	NUM
ejde-619	200	41	+	+	NUM
ejde-619	200	42	n−p	n−p	NOUN
ejde-619	200	43	p	p	X
ejde-619	200	44	c	c	PROPN
ejde-619	200	45	s	s	PART
ejde-619	200	46	)	)	PUNCT
ejde-619	200	47	log(1−	log(1−	PROPN
ejde-619	200	48	s	s	PART
ejde-619	200	49	)	)	PUNCT
ejde-619	200	50	ds	ds	NOUN
ejde-619	200	51	<	<	X
ejde-619	200	52	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	200	53	8	8	NUM
ejde-619	200	54	l.	l.	PROPN
ejde-619	200	55	f.	f.	PROPN
ejde-619	200	56	o.	o.	PROPN
ejde-619	200	57	faria	faria	PROPN
ejde-619	200	58	,	,	PUNCT
ejde-619	200	59	m.	m.	PROPN
ejde-619	200	60	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	200	61	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	200	62	step	step	VERB
ejde-619	200	63	3	3	NUM
ejde-619	200	64	.	.	NOUN
ejde-619	200	65	estimate	estimate	NOUN
ejde-619	200	66	of	of	ADP
ejde-619	200	67	k.	k.	NOUN
ejde-619	201	1	the	the	DET
ejde-619	201	2	third	third	ADJ
ejde-619	201	3	integral	integral	ADJ
ejde-619	201	4	k	k	PROPN
ejde-619	201	5	can	can	AUX
ejde-619	201	6	be	be	AUX
ejde-619	201	7	bounded	bound	VERB
ejde-619	201	8	with	with	ADP
ejde-619	201	9	the	the	DET
ejde-619	201	10	aid	aid	NOUN
ejde-619	201	11	of	of	ADP
ejde-619	201	12	(	(	PUNCT
ejde-619	201	13	1.4	1.4	NUM
ejde-619	201	14	)	)	PUNCT
ejde-619	201	15	and	and	CCONJ
ejde-619	201	16	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	201	17	3.1	3.1	NUM
ejde-619	201	18	.	.	PUNCT
ejde-619	202	1	indeed	indeed	ADV
ejde-619	202	2	k	k	X
ejde-619	203	1	=	=	SYM
ejde-619	203	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	204	1	∞	∞	NUM
ejde-619	204	2	1	1	NUM
ejde-619	204	3	|u(r)|p	|u(r)|p	NOUN
ejde-619	204	4	∗+h(r)rn−1dr	∗+h(r)rn−1dr	NOUN
ejde-619	204	5	≤	≤	NUM
ejde-619	204	6	c	c	NOUN
ejde-619	204	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	205	1	∞	∞	PROPN
ejde-619	205	2	1	1	NUM
ejde-619	205	3	r−	r−	PROPN
ejde-619	205	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-619	205	5	p	p	NOUN
ejde-619	205	6	(	(	PUNCT
ejde-619	205	7	p∗+h(r))+(n−1)dr	p∗+h(r))+(n−1)dr	PROPN
ejde-619	205	8	≤	≤	PROPN
ejde-619	205	9	c	c	NOUN
ejde-619	205	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	205	11	∞	∞	PROPN
ejde-619	205	12	1	1	NUM
ejde-619	205	13	r−	r−	PROPN
ejde-619	205	14	n−1	n−1	PROPN
ejde-619	205	15	p	p	NOUN
ejde-619	205	16	p∗+(n−1)dr	p∗+(n−1)dr	NOUN
ejde-619	205	17	=	=	PUNCT
ejde-619	205	18	c	c	X
ejde-619	205	19	∫	∫	PROPN
ejde-619	205	20	∞	∞	NUM
ejde-619	205	21	1	1	NUM
ejde-619	205	22	r−p(n−1)/(n−p)dr	r−p(n−1)/(n−p)dr	NOUN
ejde-619	205	23	<	<	X
ejde-619	205	24	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	205	25	(	(	PUNCT
ejde-619	205	26	3.5	3.5	NUM
ejde-619	205	27	)	)	PUNCT
ejde-619	205	28	from	from	ADP
ejde-619	205	29	the	the	DET
ejde-619	205	30	previous	previous	ADJ
ejde-619	205	31	steps	step	NOUN
ejde-619	205	32	,	,	PUNCT
ejde-619	205	33	we	we	PRON
ejde-619	205	34	infer	infer	VERB
ejde-619	205	35	(	(	PUNCT
ejde-619	205	36	1.9	1.9	NUM
ejde-619	205	37	)	)	PUNCT
ejde-619	205	38	.	.	PUNCT
ejde-619	206	1	the	the	DET
ejde-619	206	2	proof	proof	NOUN
ejde-619	206	3	of	of	ADP
ejde-619	206	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	206	5	1.1	1.1	NUM
ejde-619	206	6	is	be	AUX
ejde-619	206	7	complete	complete	ADJ
ejde-619	206	8	.	.	PUNCT
ejde-619	207	1	□	□	PUNCT
ejde-619	207	2	proof	proof	NOUN
ejde-619	207	3	of	of	ADP
ejde-619	207	4	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	207	5	1.2	1.2	NUM
ejde-619	207	6	.	.	PUNCT
ejde-619	207	7	notice	notice	VERB
ejde-619	207	8	that	that	SCONJ
ejde-619	207	9	θ(r	θ(r	VERB
ejde-619	207	10	)	)	PUNCT
ejde-619	208	1	=	=	VERB
ejde-619	208	2	p∗	p∗	ADJ
ejde-619	208	3	+	+	CCONJ
ejde-619	208	4	h(r	h(r	NOUN
ejde-619	208	5	)	)	PUNCT
ejde-619	208	6	belongs	belong	VERB
ejde-619	208	7	to	to	ADP
ejde-619	208	8	l∞	l∞	NOUN
ejde-619	208	9	+	+	CCONJ
ejde-619	208	10	(	(	PUNCT
ejde-619	208	11	rn	rn	PROPN
ejde-619	208	12	)	)	PUNCT
ejde-619	208	13	since	since	SCONJ
ejde-619	208	14	θ(r	θ(r	X
ejde-619	208	15	)	)	PUNCT
ejde-619	208	16	≥	≥	PRON
ejde-619	208	17	p∗	p∗	VERB
ejde-619	208	18	>	>	X
ejde-619	208	19	1	1	X
ejde-619	208	20	.	.	PUNCT
ejde-619	208	21	define	define	VERB
ejde-619	208	22	the	the	DET
ejde-619	208	23	space	space	NOUN
ejde-619	208	24	lp∗+h(r	lp∗+h(r	NOUN
ejde-619	208	25	)	)	PUNCT
ejde-619	209	1	=	=	PRON
ejde-619	209	2	{	{	PUNCT
ejde-619	209	3	u	u	NOUN
ejde-619	209	4	:	:	PUNCT
ejde-619	209	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	209	6	→	→	SYM
ejde-619	209	7	r	r	NOUN
ejde-619	209	8	:	:	PUNCT
ejde-619	209	9	real	real	ADJ
ejde-619	209	10	measurable	measurable	NOUN
ejde-619	209	11	,	,	PUNCT
ejde-619	209	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	209	13	rn	rn	PROPN
ejde-619	209	14	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	209	15	∗+h(r)dx	∗+h(r)dx	VERB
ejde-619	209	16	≤	≤	NUM
ejde-619	209	17	∞	∞	NUM
ejde-619	209	18	}	}	PUNCT
ejde-619	209	19	equipped	equip	VERB
ejde-619	209	20	with	with	ADP
ejde-619	209	21	the	the	DET
ejde-619	209	22	norm	norm	NOUN
ejde-619	209	23	∥u∥p∗+h(r	∥u∥p∗+h(r	NOUN
ejde-619	209	24	)	)	PUNCT
ejde-619	209	25	=	=	SYM
ejde-619	209	26	inf	inf	NOUN
ejde-619	209	27	{	{	PUNCT
ejde-619	209	28	σ	σ	PROPN
ejde-619	209	29	>	>	X
ejde-619	209	30	0	0	NUM
ejde-619	209	31	:	:	PUNCT
ejde-619	209	32	∫	∫	PROPN
ejde-619	209	33	rn	rn	PROPN
ejde-619	209	34	|u(r	|u(r	PROPN
ejde-619	209	35	)	)	PUNCT
ejde-619	209	36	σ	σ	PROPN
ejde-619	209	37	|p	|p	PROPN
ejde-619	209	38	∗+h(r)dx	∗+h(r)dx	VERB
ejde-619	209	39	≤	≤	ADV
ejde-619	209	40	1	1	NUM
ejde-619	209	41	}	}	PUNCT
ejde-619	209	42	.	.	PUNCT
ejde-619	210	1	taking	take	VERB
ejde-619	210	2	that	that	PRON
ejde-619	210	3	u	u	PROPN
ejde-619	210	4	∈	∈	PROPN
ejde-619	210	5	w	w	PROPN
ejde-619	210	6	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	210	7	r	r	NOUN
ejde-619	210	8	(	(	PUNCT
ejde-619	210	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	210	10	)	)	PUNCT
ejde-619	210	11	with	with	ADP
ejde-619	210	12	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	210	13	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	210	14	r	r	NOUN
ejde-619	210	15	(	(	PUNCT
ejde-619	210	16	rn	rn	PROPN
ejde-619	210	17	)	)	PUNCT
ejde-619	211	1	=	=	SYM
ejde-619	211	2	1	1	X
ejde-619	211	3	.	.	X
ejde-619	211	4	theorem	theorem	VERB
ejde-619	211	5	1.1	1.1	NUM
ejde-619	211	6	yields	yield	NOUN
ejde-619	211	7	that	that	PRON
ejde-619	211	8	there	there	PRON
ejde-619	211	9	exists	exist	VERB
ejde-619	211	10	c	c	NOUN
ejde-619	211	11	such	such	ADJ
ejde-619	211	12	that	that	PRON
ejde-619	211	13	∫	∫	PROPN
ejde-619	211	14	rn	rn	PROPN
ejde-619	211	15	|u(r)|p	|u(r)|p	PROPN
ejde-619	211	16	∗+h(r)dx	∗+h(r)dx	VERB
ejde-619	212	1	≤	≤	PROPN
ejde-619	212	2	c	c	X
ejde-619	212	3	<	<	X
ejde-619	212	4	∞	∞	PROPN
ejde-619	212	5	,	,	PUNCT
ejde-619	212	6	where	where	SCONJ
ejde-619	212	7	c	c	NOUN
ejde-619	212	8	does	do	AUX
ejde-619	212	9	not	not	PART
ejde-619	212	10	depend	depend	VERB
ejde-619	212	11	on	on	ADP
ejde-619	212	12	u.	u.	NOUN
ejde-619	212	13	by	by	ADP
ejde-619	212	14	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	212	15	2.4	2.4	NUM
ejde-619	212	16	,	,	PUNCT
ejde-619	212	17	we	we	PRON
ejde-619	212	18	obtain	obtain	VERB
ejde-619	212	19	∥u∥lp∗+h(r	∥u∥lp∗+h(r	PROPN
ejde-619	212	20	)	)	PUNCT
ejde-619	212	21	≤	≤	NOUN
ejde-619	212	22	c0	c0	NOUN
ejde-619	212	23	=	=	SYM
ejde-619	212	24	max{cp−	max{cp−	PROPN
ejde-619	212	25	,	,	PUNCT
ejde-619	212	26	cp+	cp+	NOUN
ejde-619	212	27	}	}	PUNCT
ejde-619	212	28	.	.	PUNCT
ejde-619	213	1	thus	thus	ADV
ejde-619	213	2	,	,	PUNCT
ejde-619	213	3	∥u∥lp∗+h(r	∥u∥lp∗+h(r	PROPN
ejde-619	213	4	)	)	PUNCT
ejde-619	213	5	≤	≤	NUM
ejde-619	213	6	c0∥u∥w	c0∥u∥w	VERB
ejde-619	214	1	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	214	2	r	r	NOUN
ejde-619	214	3	(	(	PUNCT
ejde-619	214	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	214	5	)	)	PUNCT
ejde-619	214	6	,	,	PUNCT
ejde-619	214	7	for	for	SCONJ
ejde-619	214	8	every	every	DET
ejde-619	214	9	u	u	NOUN
ejde-619	214	10	∈w	∈w	VERB
ejde-619	214	11	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	214	12	r	r	NOUN
ejde-619	214	13	(	(	PUNCT
ejde-619	214	14	rn	rn	PROPN
ejde-619	214	15	)	)	PUNCT
ejde-619	214	16	.	.	PUNCT
ejde-619	215	1	□	□	PUNCT
ejde-619	215	2	4	4	X
ejde-619	215	3	.	.	NOUN
ejde-619	215	4	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	215	5	functions	function	NOUN
ejde-619	215	6	the	the	DET
ejde-619	215	7	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	215	8	function	function	NOUN
ejde-619	215	9	f	f	NOUN
ejde-619	215	10	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-619	215	11	(	(	PUNCT
ejde-619	215	12	1.12	1.12	NUM
ejde-619	215	13	)	)	PUNCT
ejde-619	215	14	can	can	AUX
ejde-619	215	15	be	be	AUX
ejde-619	215	16	approximated	approximate	VERB
ejde-619	215	17	by	by	ADP
ejde-619	215	18	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-619	215	19	functions	function	NOUN
ejde-619	215	20	fk	fk	INTJ
ejde-619	215	21	:	:	PUNCT
ejde-619	216	1	rn	rn	PROPN
ejde-619	216	2	×	×	NOUN
ejde-619	216	3	r	r	NOUN
ejde-619	216	4	→	→	SYM
ejde-619	216	5	r	r	NOUN
ejde-619	216	6	defined	define	VERB
ejde-619	216	7	by	by	ADP
ejde-619	216	8	fk(r	fk(r	PROPN
ejde-619	216	9	,	,	PUNCT
ejde-619	216	10	s	s	NOUN
ejde-619	216	11	)	)	PUNCT
ejde-619	216	12	=	=	SYM
ejde-619	216	13			NUM
ejde-619	216	14	−k[g(r,−k	−k[g(r,−k	NOUN
ejde-619	217	1	−	−	PROPN
ejde-619	217	2	1	1	NUM
ejde-619	217	3	k	k	X
ejde-619	217	4	)	)	PUNCT
ejde-619	217	5	−g(r,−k	−g(r,−k	NOUN
ejde-619	217	6	)	)	PUNCT
ejde-619	217	7	]	]	X
ejde-619	217	8	,	,	PUNCT
ejde-619	217	9	if	if	SCONJ
ejde-619	217	10	s	s	VERB
ejde-619	217	11	≤	≤	NUM
ejde-619	217	12	−k	−k	PROPN
ejde-619	217	13	−k[g(r	−k[g(r	PROPN
ejde-619	217	14	,	,	PUNCT
ejde-619	217	15	s−	s−	PROPN
ejde-619	217	16	1	1	NUM
ejde-619	217	17	k	k	X
ejde-619	217	18	)	)	PUNCT
ejde-619	217	19	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	217	20	,	,	PUNCT
ejde-619	217	21	s	s	PART
ejde-619	217	22	)	)	PUNCT
ejde-619	217	23	]	]	X
ejde-619	217	24	,	,	PUNCT
ejde-619	217	25	if	if	SCONJ
ejde-619	217	26	−	−	PROPN
ejde-619	217	27	k	k	PROPN
ejde-619	217	28	≤	≤	PROPN
ejde-619	217	29	s	s	PART
ejde-619	217	30	≤	≤	NUM
ejde-619	217	31	−	−	NUM
ejde-619	217	32	1	1	NUM
ejde-619	217	33	k	k	X
ejde-619	217	34	k2s[g(r,−	k2s[g(r,−	PROPN
ejde-619	217	35	2	2	NUM
ejde-619	217	36	k	k	NOUN
ejde-619	217	37	)	)	PUNCT
ejde-619	217	38	−g(r,−	−g(r,−	X
ejde-619	217	39	1	1	NUM
ejde-619	217	40	k	k	NOUN
ejde-619	217	41	)	)	PUNCT
ejde-619	217	42	]	]	X
ejde-619	217	43	,	,	PUNCT
ejde-619	218	1	if	if	SCONJ
ejde-619	218	2	−	−	PROPN
ejde-619	218	3	1	1	NUM
ejde-619	218	4	k	k	PROPN
ejde-619	218	5	≤	≤	PROPN
ejde-619	218	6	s	s	PART
ejde-619	218	7	≤	≤	NUM
ejde-619	218	8	0	0	NUM
ejde-619	218	9	k2s[g(r	k2s[g(r	PROPN
ejde-619	218	10	,	,	PUNCT
ejde-619	218	11	2k	2k	NUM
ejde-619	218	12	)	)	PUNCT
ejde-619	218	13	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	218	14	,	,	PUNCT
ejde-619	218	15	1k	1k	NUM
ejde-619	218	16	)	)	PUNCT
ejde-619	218	17	]	]	X
ejde-619	218	18	,	,	PUNCT
ejde-619	218	19	if	if	SCONJ
ejde-619	218	20	0	0	NUM
ejde-619	218	21	≤	≤	NUM
ejde-619	218	22	s	s	PART
ejde-619	218	23	≤	≤	NUM
ejde-619	218	24	1	1	NUM
ejde-619	218	25	k	k	X
ejde-619	218	26	k[g(r	k[g(r	PROPN
ejde-619	218	27	,	,	PUNCT
ejde-619	218	28	s+	s+	NUM
ejde-619	218	29	1	1	NUM
ejde-619	218	30	k	k	X
ejde-619	218	31	)	)	PUNCT
ejde-619	218	32	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	218	33	,	,	PUNCT
ejde-619	218	34	s	s	PART
ejde-619	218	35	)	)	PUNCT
ejde-619	218	36	]	]	X
ejde-619	218	37	,	,	PUNCT
ejde-619	218	38	if	if	SCONJ
ejde-619	218	39	1	1	NUM
ejde-619	218	40	k	k	X
ejde-619	218	41	≤	≤	PROPN
ejde-619	218	42	s	s	PART
ejde-619	218	43	≤	≤	NUM
ejde-619	218	44	k	k	PROPN
ejde-619	218	45	k[g(r	k[g(r	PROPN
ejde-619	218	46	,	,	PUNCT
ejde-619	218	47	k	k	PROPN
ejde-619	218	48	+	+	PROPN
ejde-619	218	49	1	1	NUM
ejde-619	218	50	k	k	X
ejde-619	218	51	)	)	PUNCT
ejde-619	218	52	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	218	53	,	,	PUNCT
ejde-619	218	54	k	k	PROPN
ejde-619	218	55	)	)	PUNCT
ejde-619	218	56	]	]	X
ejde-619	218	57	,	,	PUNCT
ejde-619	218	58	if	if	SCONJ
ejde-619	218	59	s	s	VERB
ejde-619	218	60	≥	≥	NOUN
ejde-619	218	61	k	k	NOUN
ejde-619	218	62	,	,	PUNCT
ejde-619	218	63	(	(	PUNCT
ejde-619	218	64	4.1	4.1	NUM
ejde-619	218	65	)	)	PUNCT
ejde-619	218	66	where	where	SCONJ
ejde-619	218	67	g(r	g(r	PROPN
ejde-619	218	68	,	,	PUNCT
ejde-619	218	69	s	s	PART
ejde-619	218	70	)	)	PUNCT
ejde-619	218	71	=	=	SYM
ejde-619	218	72	∫	∫	PROPN
ejde-619	218	73	s	s	PART
ejde-619	218	74	0	0	NUM
ejde-619	218	75	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	218	76	,	,	PUNCT
ejde-619	218	77	ζ)dζ	ζ)dζ	PROPN
ejde-619	218	78	,	,	PUNCT
ejde-619	218	79	gs	gs	NOUN
ejde-619	218	80	=	=	SYM
ejde-619	218	81	f	f	PROPN
ejde-619	218	82	and	and	CCONJ
ejde-619	218	83	g(r	g(r	PROPN
ejde-619	218	84	,	,	PUNCT
ejde-619	218	85	0)=0	0)=0	NUM
ejde-619	218	86	.	.	PUNCT
ejde-619	219	1	the	the	DET
ejde-619	219	2	following	follow	VERB
ejde-619	219	3	approximation	approximation	NOUN
ejde-619	219	4	result	result	NOUN
ejde-619	219	5	was	be	AUX
ejde-619	219	6	proved	prove	VERB
ejde-619	219	7	in	in	ADP
ejde-619	219	8	[	[	X
ejde-619	219	9	41	41	NUM
ejde-619	219	10	]	]	PUNCT
ejde-619	219	11	and	and	CCONJ
ejde-619	219	12	it	it	PRON
ejde-619	219	13	uses	use	VERB
ejde-619	219	14	the	the	DET
ejde-619	219	15	explicit	explicit	ADJ
ejde-619	219	16	expression	expression	NOUN
ejde-619	219	17	of	of	ADP
ejde-619	219	18	the	the	DET
ejde-619	219	19	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	219	20	(	(	PUNCT
ejde-619	219	21	4.1	4.1	NUM
ejde-619	219	22	)	)	PUNCT
ejde-619	219	23	.	.	PUNCT
ejde-619	220	1	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	220	2	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	220	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	220	4	on	on	ADP
ejde-619	220	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	220	6	domains	domain	NOUN
ejde-619	220	7	9	9	NUM
ejde-619	220	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	220	9	4.1	4.1	NUM
ejde-619	220	10	.	.	PUNCT
ejde-619	221	1	let	let	VERB
ejde-619	221	2	f	f	PROPN
ejde-619	221	3	:	:	PUNCT
ejde-619	221	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	221	5	×	×	NOUN
ejde-619	221	6	r	r	NOUN
ejde-619	221	7	→	→	SYM
ejde-619	221	8	r	r	NOUN
ejde-619	221	9	be	be	AUX
ejde-619	221	10	a	a	DET
ejde-619	221	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	221	12	function	function	NOUN
ejde-619	221	13	such	such	ADJ
ejde-619	221	14	that	that	SCONJ
ejde-619	221	15	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	221	16	,	,	PUNCT
ejde-619	221	17	s	s	X
ejde-619	221	18	)	)	PUNCT
ejde-619	221	19	≥	≥	NOUN
ejde-619	221	20	0	0	NUM
ejde-619	221	21	for	for	ADP
ejde-619	221	22	every	every	DET
ejde-619	221	23	s	s	PROPN
ejde-619	221	24	∈	∈	PROPN
ejde-619	221	25	r.	r.	NOUN
ejde-619	221	26	then	then	ADV
ejde-619	221	27	there	there	PRON
ejde-619	221	28	exists	exist	VERB
ejde-619	221	29	a	a	DET
ejde-619	221	30	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	221	31	fk	fk	INTJ
ejde-619	221	32	:	:	PUNCT
ejde-619	221	33	rn	rn	PROPN
ejde-619	221	34	×	×	NOUN
ejde-619	221	35	r	r	NOUN
ejde-619	221	36	→	→	SYM
ejde-619	221	37	r	r	NOUN
ejde-619	221	38	of	of	ADP
ejde-619	221	39	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	221	40	functions	function	NOUN
ejde-619	221	41	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	221	42	(	(	PUNCT
ejde-619	221	43	i	i	NOUN
ejde-619	221	44	)	)	PUNCT
ejde-619	221	45	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	221	46	,	,	PUNCT
ejde-619	221	47	s	s	PART
ejde-619	221	48	)	)	PUNCT
ejde-619	221	49	≥	≥	NOUN
ejde-619	221	50	0	0	NUM
ejde-619	221	51	for	for	ADP
ejde-619	221	52	every	every	DET
ejde-619	221	53	s	s	X
ejde-619	221	54	∈	∈	PROPN
ejde-619	221	55	r	r	NOUN
ejde-619	221	56	;	;	PUNCT
ejde-619	221	57	(	(	PUNCT
ejde-619	221	58	ii	ii	NOUN
ejde-619	221	59	)	)	PUNCT
ejde-619	221	60	for	for	ADP
ejde-619	221	61	each	each	DET
ejde-619	221	62	k	k	PROPN
ejde-619	221	63	∈	∈	PROPN
ejde-619	221	64	n	n	CCONJ
ejde-619	221	65	there	there	PRON
ejde-619	221	66	is	be	VERB
ejde-619	221	67	a	a	DET
ejde-619	221	68	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	221	69	function	function	NOUN
ejde-619	221	70	ck(r	ck(r	NOUN
ejde-619	221	71	)	)	PUNCT
ejde-619	221	72	such	such	ADJ
ejde-619	221	73	that	that	DET
ejde-619	221	74	|fk(r	|fk(r	NOUN
ejde-619	221	75	,	,	PUNCT
ejde-619	221	76	ξ)−	ξ)−	PROPN
ejde-619	221	77	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	221	78	,	,	PUNCT
ejde-619	221	79	η)|	η)|	NOUN
ejde-619	221	80	≤	≤	ADJ
ejde-619	221	81	ck(r)|ξ	ck(r)|ξ	NOUN
ejde-619	221	82	−	−	PROPN
ejde-619	221	83	η|	η|	PROPN
ejde-619	221	84	for	for	ADP
ejde-619	221	85	every	every	DET
ejde-619	221	86	ξ	ξ	PROPN
ejde-619	221	87	,	,	PUNCT
ejde-619	221	88	η	η	PROPN
ejde-619	221	89	∈	∈	PROPN
ejde-619	221	90	r	r	NOUN
ejde-619	221	91	;	;	PUNCT
ejde-619	221	92	(	(	PUNCT
ejde-619	221	93	iii	iii	X
ejde-619	221	94	)	)	PUNCT
ejde-619	221	95	fk	fk	PRON
ejde-619	221	96	converges	converge	VERB
ejde-619	221	97	uniformly	uniformly	ADV
ejde-619	221	98	to	to	ADP
ejde-619	221	99	f	f	PROPN
ejde-619	221	100	in	in	ADP
ejde-619	221	101	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	221	102	sets	set	NOUN
ejde-619	221	103	.	.	PUNCT
ejde-619	222	1	the	the	DET
ejde-619	222	2	following	following	ADJ
ejde-619	222	3	result	result	NOUN
ejde-619	222	4	gives	give	VERB
ejde-619	222	5	the	the	DET
ejde-619	222	6	growth	growth	NOUN
ejde-619	222	7	behavior	behavior	NOUN
ejde-619	222	8	to	to	ADP
ejde-619	222	9	the	the	DET
ejde-619	222	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	222	11	of	of	ADP
ejde-619	222	12	functions	function	NOUN
ejde-619	222	13	ck	ck	PROPN
ejde-619	222	14	(	(	PUNCT
ejde-619	222	15	·	·	PUNCT
ejde-619	222	16	)	)	PUNCT
ejde-619	222	17	,	,	PUNCT
ejde-619	222	18	and	and	CCONJ
ejde-619	222	19	the	the	DET
ejde-619	222	20	proof	proof	NOUN
ejde-619	222	21	can	can	AUX
ejde-619	222	22	be	be	AUX
ejde-619	222	23	found	find	VERB
ejde-619	222	24	in	in	ADP
ejde-619	222	25	[	[	X
ejde-619	222	26	7	7	NUM
ejde-619	222	27	,	,	PUNCT
ejde-619	222	28	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	222	29	5	5	NUM
ejde-619	222	30	]	]	PUNCT
ejde-619	222	31	.	.	PUNCT
ejde-619	223	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	223	2	4.2	4.2	NUM
ejde-619	223	3	.	.	PUNCT
ejde-619	224	1	one	one	PRON
ejde-619	224	2	can	can	AUX
ejde-619	224	3	choose	choose	VERB
ejde-619	224	4	the	the	DET
ejde-619	224	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	224	6	of	of	ADP
ejde-619	224	7	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-619	224	8	constants	constant	NOUN
ejde-619	224	9	ck	ck	PROPN
ejde-619	224	10	(	(	PUNCT
ejde-619	224	11	·	·	PUNCT
ejde-619	224	12	)	)	PUNCT
ejde-619	224	13	,	,	PUNCT
ejde-619	224	14	defined	define	VERB
ejde-619	224	15	in	in	ADP
ejde-619	224	16	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	224	17	4.1	4.1	NUM
ejde-619	224	18	,	,	PUNCT
ejde-619	224	19	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	224	20	the	the	DET
ejde-619	224	21	following	follow	VERB
ejde-619	224	22	estimates	estimate	NOUN
ejde-619	224	23	ck(r	ck(r	NOUN
ejde-619	224	24	)	)	PUNCT
ejde-619	224	25	≤	≤	NUM
ejde-619	225	1	ck	ck	INTJ
ejde-619	225	2	sup	sup	NOUN
ejde-619	225	3	t	t	PROPN
ejde-619	225	4	{	{	PUNCT
ejde-619	225	5	|f(r	|f(r	NOUN
ejde-619	225	6	,	,	PUNCT
ejde-619	225	7	t)|	t)|	NOUN
ejde-619	225	8	;	;	PUNCT
ejde-619	225	9	t	t	PROPN
ejde-619	225	10	∈	∈	PROPN
ejde-619	226	1	[	[	X
ejde-619	226	2	−k	−k	NOUN
ejde-619	226	3	−	−	ADP
ejde-619	226	4	1	1	NUM
ejde-619	226	5	k	k	NOUN
ejde-619	226	6	,	,	PUNCT
ejde-619	226	7	k	k	PROPN
ejde-619	226	8	+	+	PROPN
ejde-619	226	9	1	1	NUM
ejde-619	226	10	k	k	NOUN
ejde-619	226	11	]	]	PUNCT
ejde-619	226	12	}	}	PUNCT
ejde-619	226	13	,	,	PUNCT
ejde-619	226	14	∀r	∀r	X
ejde-619	226	15	∈	∈	NOUN
ejde-619	227	1	[	[	X
ejde-619	227	2	0	0	NUM
ejde-619	227	3	,	,	PUNCT
ejde-619	227	4	r	r	NOUN
ejde-619	227	5	]	]	X
ejde-619	227	6	,	,	PUNCT
ejde-619	227	7	(	(	PUNCT
ejde-619	227	8	4.2	4.2	NUM
ejde-619	227	9	)	)	PUNCT
ejde-619	227	10	where	where	SCONJ
ejde-619	227	11	the	the	DET
ejde-619	227	12	constant	constant	ADJ
ejde-619	227	13	c	c	NOUN
ejde-619	227	14	does	do	AUX
ejde-619	227	15	not	not	PART
ejde-619	227	16	depend	depend	VERB
ejde-619	227	17	on	on	ADP
ejde-619	227	18	neither	neither	CCONJ
ejde-619	227	19	r	r	NOUN
ejde-619	227	20	nor	nor	CCONJ
ejde-619	227	21	k.	k.	NOUN
ejde-619	227	22	a	a	DET
ejde-619	227	23	similar	similar	ADJ
ejde-619	227	24	version	version	NOUN
ejde-619	227	25	of	of	ADP
ejde-619	227	26	the	the	DET
ejde-619	227	27	next	next	ADJ
ejde-619	227	28	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	227	29	was	be	AUX
ejde-619	227	30	presented	present	VERB
ejde-619	227	31	in	in	ADP
ejde-619	227	32	[	[	X
ejde-619	227	33	7	7	NUM
ejde-619	227	34	,	,	PUNCT
ejde-619	227	35	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	227	36	2	2	NUM
ejde-619	227	37	]	]	PUNCT
ejde-619	227	38	.	.	PUNCT
ejde-619	228	1	however	however	ADV
ejde-619	228	2	,	,	PUNCT
ejde-619	228	3	since	since	SCONJ
ejde-619	228	4	here	here	ADV
ejde-619	228	5	we	we	PRON
ejde-619	228	6	can	can	AUX
ejde-619	228	7	deal	deal	VERB
ejde-619	228	8	with	with	ADP
ejde-619	228	9	unbounded	unbounded	ADJ
ejde-619	228	10	domains	domain	NOUN
ejde-619	228	11	,	,	PUNCT
ejde-619	228	12	a	a	DET
ejde-619	228	13	slight	slight	ADJ
ejde-619	228	14	different	different	ADJ
ejde-619	228	15	statement	statement	NOUN
ejde-619	228	16	is	be	AUX
ejde-619	228	17	needed	need	VERB
ejde-619	228	18	and	and	CCONJ
ejde-619	228	19	deserves	deserve	VERB
ejde-619	228	20	a	a	DET
ejde-619	228	21	proof	proof	NOUN
ejde-619	228	22	.	.	PUNCT
ejde-619	229	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	229	2	4.3	4.3	NUM
ejde-619	229	3	.	.	PUNCT
ejde-619	230	1	let	let	VERB
ejde-619	230	2	f	f	PROPN
ejde-619	230	3	:	:	PUNCT
ejde-619	230	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	230	5	×	×	NOUN
ejde-619	230	6	r	r	NOUN
ejde-619	230	7	→	→	SYM
ejde-619	230	8	r	r	NOUN
ejde-619	230	9	be	be	AUX
ejde-619	230	10	a	a	DET
ejde-619	230	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	230	12	function	function	NOUN
ejde-619	230	13	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	230	14	(	(	PUNCT
ejde-619	230	15	1.12	1.12	NUM
ejde-619	230	16	)	)	PUNCT
ejde-619	230	17	for	for	ADP
ejde-619	230	18	every	every	DET
ejde-619	230	19	s	s	PROPN
ejde-619	230	20	∈	∈	PROPN
ejde-619	230	21	r.	r.	NOUN
ejde-619	230	22	then	then	ADV
ejde-619	230	23	the	the	DET
ejde-619	230	24	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	230	25	(	(	PUNCT
ejde-619	230	26	fk	fk	INTJ
ejde-619	230	27	)	)	PUNCT
ejde-619	230	28	of	of	ADP
ejde-619	230	29	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	230	30	4.1	4.1	NUM
ejde-619	230	31	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-619	230	32	(	(	PUNCT
ejde-619	230	33	i	i	NOUN
ejde-619	230	34	)	)	PUNCT
ejde-619	230	35	for	for	ADP
ejde-619	230	36	all	all	DET
ejde-619	230	37	k	k	PROPN
ejde-619	230	38	∈	∈	PROPN
ejde-619	230	39	n	n	CCONJ
ejde-619	230	40	,	,	PUNCT
ejde-619	230	41	0	0	NUM
ejde-619	230	42	≤	≤	NUM
ejde-619	230	43	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	230	44	,	,	PUNCT
ejde-619	230	45	s	s	NOUN
ejde-619	230	46	)	)	PUNCT
ejde-619	230	47	≤	≤	NUM
ejde-619	230	48	k1|s|θ(r	k1|s|θ(r	PROPN
ejde-619	230	49	)	)	PUNCT
ejde-619	230	50	for	for	ADP
ejde-619	230	51	every	every	DET
ejde-619	230	52	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	230	53	≥	≥	NOUN
ejde-619	230	54	1	1	NUM
ejde-619	230	55	/	/	SYM
ejde-619	230	56	k	k	NOUN
ejde-619	230	57	;	;	PUNCT
ejde-619	230	58	(	(	PUNCT
ejde-619	230	59	ii	ii	NOUN
ejde-619	230	60	)	)	PUNCT
ejde-619	230	61	for	for	ADP
ejde-619	230	62	all	all	DET
ejde-619	230	63	k	k	PROPN
ejde-619	230	64	∈	∈	PROPN
ejde-619	230	65	n	n	CCONJ
ejde-619	230	66	,	,	PUNCT
ejde-619	230	67	0	0	NUM
ejde-619	230	68	≤	≤	NUM
ejde-619	230	69	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	230	70	,	,	PUNCT
ejde-619	230	71	s	s	NOUN
ejde-619	230	72	)	)	PUNCT
ejde-619	230	73	≤	≤	NUM
ejde-619	230	74	k1	k1	NOUN
ejde-619	230	75	1	1	NUM
ejde-619	230	76	kp−−1	kp−−1	NOUN
ejde-619	230	77	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	230	78	for	for	ADP
ejde-619	230	79	every	every	DET
ejde-619	230	80	|s|	|s|	NOUN
ejde-619	230	81	≤	≤	ADV
ejde-619	230	82	1	1	NUM
ejde-619	230	83	/	/	SYM
ejde-619	230	84	k	k	NOUN
ejde-619	230	85	,	,	PUNCT
ejde-619	230	86	where	where	SCONJ
ejde-619	230	87	c1	c1	PROPN
ejde-619	230	88	is	be	AUX
ejde-619	230	89	a	a	DET
ejde-619	230	90	positive	positive	ADJ
ejde-619	230	91	constant	constant	ADJ
ejde-619	230	92	independent	independent	NOUN
ejde-619	230	93	of	of	ADP
ejde-619	230	94	k.	k.	PROPN
ejde-619	230	95	proof	proof	PROPN
ejde-619	230	96	.	.	PUNCT
ejde-619	231	1	in	in	ADP
ejde-619	231	2	this	this	DET
ejde-619	231	3	proof	proof	NOUN
ejde-619	231	4	the	the	DET
ejde-619	231	5	constant	constant	ADJ
ejde-619	231	6	b1	b1	NOUN
ejde-619	231	7	is	be	AUX
ejde-619	231	8	the	the	DET
ejde-619	231	9	one	one	NUM
ejde-619	231	10	of	of	ADP
ejde-619	231	11	(	(	PUNCT
ejde-619	231	12	1.12	1.12	NUM
ejde-619	231	13	)	)	PUNCT
ejde-619	231	14	.	.	PUNCT
ejde-619	232	1	according	accord	VERB
ejde-619	232	2	to	to	ADP
ejde-619	232	3	the	the	DET
ejde-619	232	4	definition	definition	NOUN
ejde-619	232	5	(	(	PUNCT
ejde-619	232	6	2.3	2.3	NUM
ejde-619	232	7	)	)	PUNCT
ejde-619	232	8	,	,	PUNCT
ejde-619	232	9	p−	p−	NOUN
ejde-619	232	10	=	=	SYM
ejde-619	232	11	inf	inf	PROPN
ejde-619	232	12	r≥0	r≥0	PROPN
ejde-619	232	13	θ(r	θ(r	PROPN
ejde-619	232	14	)	)	PUNCT
ejde-619	232	15	and	and	CCONJ
ejde-619	232	16	p+	p+	NOUN
ejde-619	232	17	=	=	SYM
ejde-619	232	18	sup	sup	NOUN
ejde-619	232	19	r≥0	r≥0	PROPN
ejde-619	232	20	θ(r	θ(r	PROPN
ejde-619	232	21	)	)	PUNCT
ejde-619	232	22	.	.	PUNCT
ejde-619	233	1	step	step	NOUN
ejde-619	233	2	1	1	NUM
ejde-619	233	3	.	.	PUNCT
ejde-619	233	4	suppose	suppose	VERB
ejde-619	233	5	that	that	SCONJ
ejde-619	233	6	−k	−k	PROPN
ejde-619	233	7	≤	≤	NUM
ejde-619	233	8	s	s	PART
ejde-619	233	9	≤	≤	NUM
ejde-619	233	10	−1	−1	NOUN
ejde-619	233	11	/	/	SYM
ejde-619	233	12	k.	k.	NOUN
ejde-619	233	13	by	by	ADP
ejde-619	233	14	the	the	DET
ejde-619	233	15	mean	mean	ADJ
ejde-619	233	16	value	value	NOUN
ejde-619	233	17	theorem	theorem	VERB
ejde-619	233	18	,	,	PUNCT
ejde-619	233	19	there	there	PRON
ejde-619	233	20	exists	exist	VERB
ejde-619	233	21	η	η	PROPN
ejde-619	233	22	∈	∈	PROPN
ejde-619	233	23	(	(	PUNCT
ejde-619	233	24	s−	s−	PROPN
ejde-619	233	25	1	1	NUM
ejde-619	233	26	k	k	PROPN
ejde-619	233	27	,	,	PUNCT
ejde-619	233	28	s	s	X
ejde-619	233	29	)	)	PUNCT
ejde-619	233	30	such	such	ADJ
ejde-619	233	31	that	that	DET
ejde-619	233	32	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	233	33	,	,	PUNCT
ejde-619	233	34	s	s	PART
ejde-619	233	35	)	)	PUNCT
ejde-619	233	36	=	=	SYM
ejde-619	233	37	−k[g(r	−k[g(r	PROPN
ejde-619	233	38	,	,	PUNCT
ejde-619	233	39	s−	s−	PROPN
ejde-619	233	40	1	1	NUM
ejde-619	233	41	k	k	X
ejde-619	233	42	)	)	PUNCT
ejde-619	233	43	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	233	44	,	,	PUNCT
ejde-619	233	45	s	s	PART
ejde-619	233	46	)	)	PUNCT
ejde-619	233	47	]	]	PUNCT
ejde-619	234	1	=	=	SYM
ejde-619	234	2	−kgs(r	−kgs(r	PROPN
ejde-619	234	3	,	,	PUNCT
ejde-619	234	4	η)(s−	η)(s−	PROPN
ejde-619	234	5	1	1	NUM
ejde-619	234	6	k	k	NOUN
ejde-619	234	7	−	−	PROPN
ejde-619	234	8	s	s	PART
ejde-619	234	9	)	)	PUNCT
ejde-619	234	10	=	=	SYM
ejde-619	234	11	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	234	12	,	,	PUNCT
ejde-619	234	13	η	η	NOUN
ejde-619	234	14	)	)	PUNCT
ejde-619	234	15	,	,	PUNCT
ejde-619	234	16	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	234	17	,	,	PUNCT
ejde-619	234	18	s	s	PART
ejde-619	234	19	)	)	PUNCT
ejde-619	234	20	=	=	SYM
ejde-619	234	21	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	234	22	,	,	PUNCT
ejde-619	234	23	η	η	NOUN
ejde-619	234	24	)	)	PUNCT
ejde-619	234	25	.	.	PUNCT
ejde-619	235	1	since	since	SCONJ
ejde-619	235	2	s−	s−	PROPN
ejde-619	235	3	1	1	NUM
ejde-619	235	4	k	k	PROPN
ejde-619	235	5	<	<	X
ejde-619	235	6	η	η	X
ejde-619	235	7	<	<	X
ejde-619	235	8	s	s	X
ejde-619	235	9	<	<	X
ejde-619	235	10	0	0	NUM
ejde-619	235	11	and	and	CCONJ
ejde-619	235	12	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	235	13	,	,	PUNCT
ejde-619	235	14	η	η	NOUN
ejde-619	235	15	)	)	PUNCT
ejde-619	235	16	<	<	X
ejde-619	235	17	0	0	NUM
ejde-619	235	18	,	,	PUNCT
ejde-619	235	19	we	we	PRON
ejde-619	235	20	have	have	VERB
ejde-619	235	21	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	235	22	,	,	PUNCT
ejde-619	235	23	η	η	NOUN
ejde-619	235	24	)	)	PUNCT
ejde-619	235	25	≤	≤	NOUN
ejde-619	235	26	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	235	27	,	,	PUNCT
ejde-619	235	28	η	η	NOUN
ejde-619	235	29	)	)	PUNCT
ejde-619	235	30	.	.	PUNCT
ejde-619	236	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	236	2	,	,	PUNCT
ejde-619	236	3	0	0	NUM
ejde-619	236	4	≤	≤	NUM
ejde-619	236	5	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	236	6	,	,	PUNCT
ejde-619	236	7	s	s	NOUN
ejde-619	236	8	)	)	PUNCT
ejde-619	236	9	≤	≤	NOUN
ejde-619	236	10	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	236	11	,	,	PUNCT
ejde-619	236	12	η	η	NOUN
ejde-619	236	13	)	)	PUNCT
ejde-619	236	14	≤	≤	NUM
ejde-619	236	15	b1|η|θ(r	b1|η|θ(r	NOUN
ejde-619	236	16	)	)	PUNCT
ejde-619	236	17	≤	≤	NUM
ejde-619	236	18	b1|s−	b1|s−	ADP
ejde-619	236	19	1	1	NUM
ejde-619	236	20	k	k	PROPN
ejde-619	236	21	|θ(r	|θ(r	PROPN
ejde-619	236	22	)	)	PUNCT
ejde-619	236	23	≤	≤	NUM
ejde-619	237	1	b1(|s|+	b1(|s|+	NOUN
ejde-619	237	2	1	1	NUM
ejde-619	237	3	k	k	NOUN
ejde-619	237	4	)	)	PUNCT
ejde-619	237	5	θ(r	θ(r	X
ejde-619	237	6	)	)	PUNCT
ejde-619	237	7	≤	≤	NUM
ejde-619	237	8	b1(2|s|)θ(r	b1(2|s|)θ(r	NOUN
ejde-619	237	9	)	)	PUNCT
ejde-619	237	10	≤	≤	NUM
ejde-619	237	11	b12	b12	NOUN
ejde-619	237	12	p+	p+	NOUN
ejde-619	237	13	|s|θ(r	|s|θ(r	PROPN
ejde-619	237	14	)	)	PUNCT
ejde-619	237	15	.	.	PUNCT
ejde-619	238	1	10	10	NUM
ejde-619	238	2	l.	l.	PROPN
ejde-619	238	3	f.	f.	PROPN
ejde-619	238	4	o.	o.	PROPN
ejde-619	238	5	faria	faria	PROPN
ejde-619	238	6	,	,	PUNCT
ejde-619	238	7	m.	m.	PROPN
ejde-619	238	8	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	238	9	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	238	10	step	step	NOUN
ejde-619	238	11	2	2	NUM
ejde-619	238	12	.	.	PUNCT
ejde-619	238	13	assume	assume	VERB
ejde-619	238	14	1	1	NUM
ejde-619	238	15	k	k	X
ejde-619	238	16	≤	≤	PROPN
ejde-619	238	17	s	s	PART
ejde-619	238	18	≤	≤	PROPN
ejde-619	238	19	k.	k.	NOUN
ejde-619	238	20	by	by	ADP
ejde-619	238	21	the	the	DET
ejde-619	238	22	mean	mean	ADJ
ejde-619	238	23	value	value	NOUN
ejde-619	238	24	theorem	theorem	VERB
ejde-619	238	25	,	,	PUNCT
ejde-619	238	26	there	there	PRON
ejde-619	238	27	exists	exist	VERB
ejde-619	239	1	η	η	PROPN
ejde-619	239	2	∈	∈	PROPN
ejde-619	239	3	(	(	PUNCT
ejde-619	239	4	s	s	PROPN
ejde-619	239	5	,	,	PUNCT
ejde-619	239	6	s+	s+	PUNCT
ejde-619	239	7	1	1	NUM
ejde-619	239	8	k	k	NOUN
ejde-619	239	9	)	)	PUNCT
ejde-619	239	10	such	such	ADJ
ejde-619	239	11	that	that	DET
ejde-619	239	12	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	239	13	,	,	PUNCT
ejde-619	239	14	s	s	NOUN
ejde-619	239	15	)	)	PUNCT
ejde-619	239	16	=	=	SYM
ejde-619	239	17	k[g(r	k[g(r	PROPN
ejde-619	239	18	,	,	PUNCT
ejde-619	239	19	s+	s+	NUM
ejde-619	239	20	1	1	NUM
ejde-619	239	21	k	k	X
ejde-619	239	22	)	)	PUNCT
ejde-619	239	23	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	239	24	,	,	PUNCT
ejde-619	239	25	s	s	PART
ejde-619	239	26	)	)	PUNCT
ejde-619	239	27	]	]	PUNCT
ejde-619	240	1	=	=	PUNCT
ejde-619	240	2	kgs(r	kgs(r	ADJ
ejde-619	240	3	,	,	PUNCT
ejde-619	240	4	η)(s+	η)(s+	NOUN
ejde-619	240	5	1	1	NUM
ejde-619	240	6	k	k	NOUN
ejde-619	240	7	−	−	PROPN
ejde-619	240	8	s	s	PART
ejde-619	240	9	)	)	PUNCT
ejde-619	240	10	=	=	SYM
ejde-619	240	11	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	240	12	,	,	PUNCT
ejde-619	240	13	η	η	NOUN
ejde-619	240	14	)	)	PUNCT
ejde-619	240	15	,	,	PUNCT
ejde-619	240	16	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	240	17	,	,	PUNCT
ejde-619	240	18	s	s	PART
ejde-619	240	19	)	)	PUNCT
ejde-619	240	20	=	=	SYM
ejde-619	240	21	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	240	22	,	,	PUNCT
ejde-619	240	23	η	η	NOUN
ejde-619	240	24	)	)	PUNCT
ejde-619	240	25	.	.	PUNCT
ejde-619	241	1	since	since	SCONJ
ejde-619	241	2	0	0	NUM
ejde-619	241	3	<	<	X
ejde-619	241	4	s	s	X
ejde-619	241	5	<	<	X
ejde-619	241	6	η	η	X
ejde-619	241	7	<	<	X
ejde-619	241	8	s+	s+	PROPN
ejde-619	241	9	1	1	NUM
ejde-619	241	10	k	k	NOUN
ejde-619	241	11	and	and	CCONJ
ejde-619	241	12	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	241	13	,	,	PUNCT
ejde-619	241	14	η	η	NOUN
ejde-619	241	15	)	)	PUNCT
ejde-619	241	16	>	>	X
ejde-619	241	17	0	0	NUM
ejde-619	241	18	,	,	PUNCT
ejde-619	241	19	we	we	PRON
ejde-619	241	20	have	have	VERB
ejde-619	241	21	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	241	22	,	,	PUNCT
ejde-619	241	23	η	η	NOUN
ejde-619	241	24	)	)	PUNCT
ejde-619	241	25	≤	≤	NOUN
ejde-619	241	26	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	241	27	,	,	PUNCT
ejde-619	241	28	η	η	NOUN
ejde-619	241	29	)	)	PUNCT
ejde-619	241	30	.	.	PUNCT
ejde-619	242	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	242	2	,	,	PUNCT
ejde-619	242	3	0	0	NUM
ejde-619	242	4	≤	≤	NUM
ejde-619	242	5	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	242	6	,	,	PUNCT
ejde-619	242	7	s	s	NOUN
ejde-619	242	8	)	)	PUNCT
ejde-619	242	9	≤	≤	NOUN
ejde-619	242	10	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	242	11	,	,	PUNCT
ejde-619	242	12	η	η	NOUN
ejde-619	242	13	)	)	PUNCT
ejde-619	242	14	≤	≤	NUM
ejde-619	242	15	b1|η|θ(r	b1|η|θ(r	NOUN
ejde-619	242	16	)	)	PUNCT
ejde-619	242	17	≤	≤	NOUN
ejde-619	242	18	b1|s+	b1|s+	NUM
ejde-619	242	19	1	1	NUM
ejde-619	242	20	k	k	X
ejde-619	242	21	|θ(r	|θ(r	PROPN
ejde-619	242	22	)	)	PUNCT
ejde-619	242	23	≤	≤	NUM
ejde-619	242	24	b12	b12	NOUN
ejde-619	242	25	p+	p+	NOUN
ejde-619	242	26	|s|θ(r	|s|θ(r	PROPN
ejde-619	242	27	)	)	PUNCT
ejde-619	242	28	.	.	PUNCT
ejde-619	243	1	step	step	NOUN
ejde-619	243	2	3	3	NUM
ejde-619	243	3	.	.	PUNCT
ejde-619	243	4	suppose	suppose	VERB
ejde-619	243	5	that	that	SCONJ
ejde-619	243	6	|s|	|s|	NOUN
ejde-619	243	7	≥	≥	PROPN
ejde-619	243	8	k	k	NOUN
ejde-619	243	9	,	,	PUNCT
ejde-619	243	10	then	then	ADV
ejde-619	243	11	fk(r	fk(r	VERB
ejde-619	243	12	,	,	PUNCT
ejde-619	243	13	s	s	AUX
ejde-619	243	14	)	)	PUNCT
ejde-619	243	15	=	=	SYM
ejde-619	243	16	{	{	PUNCT
ejde-619	243	17	−k[g(r,−k	−k[g(r,−k	NOUN
ejde-619	243	18	−	−	PROPN
ejde-619	243	19	1	1	NUM
ejde-619	243	20	k	k	X
ejde-619	243	21	)	)	PUNCT
ejde-619	243	22	−g(r,−k	−g(r,−k	NOUN
ejde-619	243	23	)	)	PUNCT
ejde-619	243	24	]	]	X
ejde-619	243	25	,	,	PUNCT
ejde-619	243	26	if	if	SCONJ
ejde-619	243	27	s	s	VERB
ejde-619	243	28	≤	≤	NUM
ejde-619	243	29	−k	−k	PROPN
ejde-619	243	30	k[g(r	k[g(r	PROPN
ejde-619	243	31	,	,	PUNCT
ejde-619	243	32	k	k	PROPN
ejde-619	244	1	+	+	PROPN
ejde-619	244	2	1	1	NUM
ejde-619	244	3	k	k	X
ejde-619	244	4	)	)	PUNCT
ejde-619	244	5	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	244	6	,	,	PUNCT
ejde-619	244	7	k	k	PROPN
ejde-619	244	8	)	)	PUNCT
ejde-619	244	9	]	]	X
ejde-619	244	10	,	,	PUNCT
ejde-619	244	11	if	if	SCONJ
ejde-619	244	12	s	s	ADP
ejde-619	244	13	≥	≥	PROPN
ejde-619	244	14	k.	k.	PROPN
ejde-619	244	15	(	(	PUNCT
ejde-619	244	16	4.3	4.3	NUM
ejde-619	244	17	)	)	PUNCT
ejde-619	244	18	if	if	SCONJ
ejde-619	244	19	s	s	VERB
ejde-619	244	20	≤	≤	NOUN
ejde-619	244	21	−k	−k	ADJ
ejde-619	244	22	,	,	PUNCT
ejde-619	244	23	again	again	ADV
ejde-619	244	24	by	by	ADP
ejde-619	244	25	the	the	DET
ejde-619	244	26	mean	mean	ADJ
ejde-619	244	27	value	value	NOUN
ejde-619	244	28	theorem	theorem	VERB
ejde-619	244	29	,	,	PUNCT
ejde-619	244	30	there	there	PRON
ejde-619	244	31	exists	exist	VERB
ejde-619	244	32	η	η	PROPN
ejde-619	244	33	∈	∈	PROPN
ejde-619	244	34	(	(	PUNCT
ejde-619	244	35	−k	−k	NOUN
ejde-619	244	36	−	−	PROPN
ejde-619	244	37	1	1	NUM
ejde-619	244	38	k	k	PROPN
ejde-619	244	39	,	,	PUNCT
ejde-619	244	40	−k	−k	PROPN
ejde-619	244	41	)	)	PUNCT
ejde-619	244	42	such	such	ADJ
ejde-619	244	43	that	that	DET
ejde-619	244	44	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	244	45	,	,	PUNCT
ejde-619	244	46	s	s	PART
ejde-619	244	47	)	)	PUNCT
ejde-619	244	48	=	=	SYM
ejde-619	244	49	k[g(r,−k	k[g(r,−k	NOUN
ejde-619	244	50	−	−	PROPN
ejde-619	244	51	1	1	NUM
ejde-619	244	52	k	k	NOUN
ejde-619	244	53	)	)	PUNCT
ejde-619	244	54	−g(r,−k	−g(r,−k	NOUN
ejde-619	244	55	)	)	PUNCT
ejde-619	244	56	]	]	PUNCT
ejde-619	245	1	=	=	SYM
ejde-619	245	2	−kgs(r	−kgs(r	PROPN
ejde-619	245	3	,	,	PUNCT
ejde-619	245	4	η)(−k	η)(−k	NOUN
ejde-619	245	5	−	−	PROPN
ejde-619	245	6	1	1	NUM
ejde-619	245	7	k	k	NOUN
ejde-619	245	8	−	−	PROPN
ejde-619	245	9	(	(	PUNCT
ejde-619	245	10	−k	−k	PROPN
ejde-619	245	11	)	)	PUNCT
ejde-619	245	12	)	)	PUNCT
ejde-619	246	1	=	=	SYM
ejde-619	246	2	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	246	3	,	,	PUNCT
ejde-619	246	4	η	η	NOUN
ejde-619	246	5	)	)	PUNCT
ejde-619	246	6	,	,	PUNCT
ejde-619	246	7	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	246	8	,	,	PUNCT
ejde-619	246	9	s	s	PART
ejde-619	246	10	)	)	PUNCT
ejde-619	246	11	=	=	SYM
ejde-619	246	12	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	246	13	,	,	PUNCT
ejde-619	246	14	η	η	NOUN
ejde-619	246	15	)	)	PUNCT
ejde-619	246	16	.	.	PUNCT
ejde-619	247	1	since	since	SCONJ
ejde-619	247	2	−k	−k	PROPN
ejde-619	247	3	−	−	PROPN
ejde-619	247	4	1	1	NUM
ejde-619	247	5	k	k	NOUN
ejde-619	247	6	<	<	X
ejde-619	247	7	η	η	X
ejde-619	247	8	<	<	X
ejde-619	247	9	−k	−k	PROPN
ejde-619	247	10	<	<	X
ejde-619	247	11	0	0	PUNCT
ejde-619	248	1	and	and	CCONJ
ejde-619	248	2	k	k	X
ejde-619	248	3	<	<	X
ejde-619	248	4	|η|	|η|	X
ejde-619	248	5	<	<	X
ejde-619	248	6	k	k	PROPN
ejde-619	249	1	+	+	PROPN
ejde-619	249	2	1	1	NUM
ejde-619	249	3	k	k	NOUN
ejde-619	249	4	,	,	PUNCT
ejde-619	249	5	we	we	PRON
ejde-619	249	6	conclude	conclude	VERB
ejde-619	249	7	that	that	SCONJ
ejde-619	249	8	0	0	NUM
ejde-619	249	9	≤	≤	NUM
ejde-619	249	10	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	249	11	,	,	PUNCT
ejde-619	249	12	s	s	PART
ejde-619	249	13	)	)	PUNCT
ejde-619	249	14	=	=	SYM
ejde-619	249	15	s	s	PROPN
ejde-619	249	16	η	η	PROPN
ejde-619	249	17	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	249	18	,	,	PUNCT
ejde-619	249	19	η	η	NOUN
ejde-619	249	20	)	)	PUNCT
ejde-619	249	21	≤	≤	NUM
ejde-619	249	22	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	249	23	|η|	|η|	NOUN
ejde-619	249	24	b1|η|θ(r	b1|η|θ(r	NOUN
ejde-619	249	25	)	)	PUNCT
ejde-619	250	1	=	=	PUNCT
ejde-619	250	2	b1|s||η|θ(r)−1	b1|s||η|θ(r)−1	NOUN
ejde-619	250	3	≤	≤	NUM
ejde-619	250	4	b1|s|(k	b1|s|(k	NOUN
ejde-619	250	5	+	+	CCONJ
ejde-619	250	6	1	1	NUM
ejde-619	250	7	k	k	X
ejde-619	250	8	)	)	PUNCT
ejde-619	250	9	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	250	10	≤	≤	NOUN
ejde-619	250	11	b1|s|(|s|+	b1|s|(|s|+	NOUN
ejde-619	250	12	1	1	NUM
ejde-619	250	13	k	k	NOUN
ejde-619	250	14	)	)	PUNCT
ejde-619	250	15	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	250	16	≤	≤	NUM
ejde-619	250	17	b1|s|(2|s|)θ(r)−1	b1|s|(2|s|)θ(r)−1	NUM
ejde-619	250	18	≤	≤	NUM
ejde-619	250	19	b12	b12	NOUN
ejde-619	250	20	p+	p+	NOUN
ejde-619	250	21	|s|θ(r	|s|θ(r	PROPN
ejde-619	250	22	)	)	PUNCT
ejde-619	250	23	.	.	PUNCT
ejde-619	251	1	(	(	PUNCT
ejde-619	251	2	4.4	4.4	NUM
ejde-619	251	3	)	)	PUNCT
ejde-619	251	4	if	if	SCONJ
ejde-619	251	5	s	s	PRON
ejde-619	251	6	≥	≥	NOUN
ejde-619	251	7	k	k	NOUN
ejde-619	251	8	,	,	PUNCT
ejde-619	251	9	by	by	ADP
ejde-619	251	10	the	the	DET
ejde-619	251	11	mean	mean	ADJ
ejde-619	251	12	value	value	NOUN
ejde-619	251	13	theorem	theorem	VERB
ejde-619	251	14	,	,	PUNCT
ejde-619	251	15	there	there	PRON
ejde-619	251	16	exists	exist	VERB
ejde-619	251	17	η	η	PROPN
ejde-619	251	18	∈	∈	PROPN
ejde-619	251	19	(	(	PUNCT
ejde-619	251	20	k	k	NOUN
ejde-619	251	21	,	,	PUNCT
ejde-619	251	22	k	k	PROPN
ejde-619	252	1	+	+	PROPN
ejde-619	252	2	1	1	NUM
ejde-619	252	3	k	k	NOUN
ejde-619	252	4	)	)	PUNCT
ejde-619	252	5	such	such	ADJ
ejde-619	252	6	that	that	DET
ejde-619	252	7	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	252	8	,	,	PUNCT
ejde-619	252	9	s	s	NOUN
ejde-619	252	10	)	)	PUNCT
ejde-619	252	11	=	=	SYM
ejde-619	252	12	k[g(r	k[g(r	PROPN
ejde-619	252	13	,	,	PUNCT
ejde-619	252	14	k	k	PROPN
ejde-619	253	1	+	+	PROPN
ejde-619	253	2	1	1	NUM
ejde-619	253	3	k	k	X
ejde-619	253	4	)	)	PUNCT
ejde-619	253	5	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	253	6	,	,	PUNCT
ejde-619	253	7	k	k	NOUN
ejde-619	253	8	)	)	PUNCT
ejde-619	253	9	]	]	PUNCT
ejde-619	254	1	=	=	PUNCT
ejde-619	254	2	kgs(r	kgs(r	PROPN
ejde-619	254	3	,	,	PUNCT
ejde-619	254	4	η)(k	η)(k	PROPN
ejde-619	254	5	+	+	CCONJ
ejde-619	254	6	1	1	NUM
ejde-619	254	7	k	k	NOUN
ejde-619	254	8	−	−	PROPN
ejde-619	254	9	k	k	NOUN
ejde-619	254	10	)	)	PUNCT
ejde-619	254	11	=	=	SYM
ejde-619	255	1	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	255	2	,	,	PUNCT
ejde-619	255	3	η	η	NOUN
ejde-619	255	4	)	)	PUNCT
ejde-619	255	5	.	.	PUNCT
ejde-619	256	1	by	by	ADP
ejde-619	256	2	using	use	VERB
ejde-619	256	3	similar	similar	ADJ
ejde-619	256	4	computations	computation	NOUN
ejde-619	256	5	as	as	ADP
ejde-619	256	6	for	for	ADP
ejde-619	256	7	(	(	PUNCT
ejde-619	256	8	4.4	4.4	NUM
ejde-619	256	9	)	)	PUNCT
ejde-619	256	10	one	one	NOUN
ejde-619	256	11	has	have	VERB
ejde-619	256	12	0	0	NUM
ejde-619	256	13	≤	≤	NUM
ejde-619	256	14	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	256	15	,	,	PUNCT
ejde-619	256	16	s	s	PART
ejde-619	256	17	)	)	PUNCT
ejde-619	256	18	=	=	SYM
ejde-619	256	19	sf(r	sf(r	NOUN
ejde-619	256	20	,	,	PUNCT
ejde-619	256	21	η	η	NOUN
ejde-619	256	22	)	)	PUNCT
ejde-619	256	23	=	=	SYM
ejde-619	256	24	s	s	PROPN
ejde-619	256	25	η	η	PROPN
ejde-619	256	26	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	256	27	,	,	PUNCT
ejde-619	256	28	η	η	NOUN
ejde-619	256	29	)	)	PUNCT
ejde-619	256	30	≤	≤	NUM
ejde-619	256	31	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	256	32	|η|	|η|	NOUN
ejde-619	256	33	b1|η|θ(r	b1|η|θ(r	NOUN
ejde-619	256	34	)	)	PUNCT
ejde-619	256	35	≤	≤	NUM
ejde-619	256	36	b12	b12	NOUN
ejde-619	256	37	p+	p+	NOUN
ejde-619	256	38	|s|θ(r	|s|θ(r	PROPN
ejde-619	256	39	)	)	PUNCT
ejde-619	256	40	.	.	PUNCT
ejde-619	257	1	step	step	NOUN
ejde-619	257	2	4	4	NUM
ejde-619	257	3	.	.	PUNCT
ejde-619	257	4	assume	assume	VERB
ejde-619	257	5	−	−	NUM
ejde-619	258	1	1	1	NUM
ejde-619	258	2	k	k	X
ejde-619	258	3	≤	≤	PROPN
ejde-619	258	4	s	s	PART
ejde-619	258	5	≤	≤	NUM
ejde-619	258	6	1	1	NUM
ejde-619	258	7	k	k	NOUN
ejde-619	258	8	.	.	PUNCT
ejde-619	259	1	then	then	ADV
ejde-619	259	2	fk(r	fk(r	VERB
ejde-619	259	3	,	,	PUNCT
ejde-619	259	4	s	s	AUX
ejde-619	259	5	)	)	PUNCT
ejde-619	259	6	=	=	PRON
ejde-619	259	7	{	{	PUNCT
ejde-619	259	8	k2s[g(r,−2/)−g(r,−1	k2s[g(r,−2/)−g(r,−1	NOUN
ejde-619	259	9	/	/	SYM
ejde-619	259	10	k	k	NOUN
ejde-619	259	11	)	)	PUNCT
ejde-619	259	12	]	]	X
ejde-619	259	13	,	,	PUNCT
ejde-619	259	14	if	if	SCONJ
ejde-619	259	15	−	−	PROPN
ejde-619	259	16	1	1	NUM
ejde-619	259	17	/	/	SYM
ejde-619	259	18	k	k	NOUN
ejde-619	259	19	≤	≤	PROPN
ejde-619	259	20	s	s	PART
ejde-619	259	21	≤	≤	NUM
ejde-619	259	22	0	0	NUM
ejde-619	260	1	k2s[g(r	k2s[g(r	PROPN
ejde-619	260	2	,	,	PUNCT
ejde-619	260	3	2	2	NUM
ejde-619	260	4	/	/	SYM
ejde-619	260	5	k)−g(r	k)−g(r	PROPN
ejde-619	260	6	,	,	PUNCT
ejde-619	260	7	1	1	NUM
ejde-619	260	8	/	/	SYM
ejde-619	260	9	k	k	NOUN
ejde-619	260	10	)	)	PUNCT
ejde-619	260	11	]	]	X
ejde-619	260	12	,	,	PUNCT
ejde-619	260	13	if	if	SCONJ
ejde-619	260	14	0	0	NUM
ejde-619	260	15	≤	≤	NUM
ejde-619	260	16	s	s	PART
ejde-619	260	17	≤	≤	NUM
ejde-619	260	18	1	1	NUM
ejde-619	260	19	/	/	SYM
ejde-619	260	20	k.	k.	NOUN
ejde-619	261	1	if	if	SCONJ
ejde-619	261	2	−1	−1	PROPN
ejde-619	261	3	/	/	SYM
ejde-619	261	4	k	k	PROPN
ejde-619	262	1	≤	≤	PROPN
ejde-619	262	2	s	s	PART
ejde-619	262	3	≤	≤	NUM
ejde-619	262	4	0	0	NUM
ejde-619	262	5	,	,	PUNCT
ejde-619	262	6	by	by	ADP
ejde-619	262	7	the	the	DET
ejde-619	262	8	mean	mean	ADJ
ejde-619	262	9	value	value	NOUN
ejde-619	262	10	theorem	theorem	VERB
ejde-619	262	11	,	,	PUNCT
ejde-619	262	12	there	there	PRON
ejde-619	262	13	exists	exist	VERB
ejde-619	262	14	η	η	PROPN
ejde-619	262	15	∈	∈	PROPN
ejde-619	262	16	(	(	PUNCT
ejde-619	262	17	−2	−2	NOUN
ejde-619	262	18	/	/	SYM
ejde-619	262	19	k,−1	k,−1	PROPN
ejde-619	262	20	/	/	SYM
ejde-619	262	21	k	k	NOUN
ejde-619	262	22	)	)	PUNCT
ejde-619	262	23	such	such	ADJ
ejde-619	262	24	that	that	DET
ejde-619	262	25	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	262	26	,	,	PUNCT
ejde-619	262	27	s	s	PART
ejde-619	262	28	)	)	PUNCT
ejde-619	262	29	=	=	PUNCT
ejde-619	262	30	k2s[g(r,−2	k2s[g(r,−2	NOUN
ejde-619	263	1	k	k	X
ejde-619	263	2	)	)	PUNCT
ejde-619	263	3	−g(r,−1	−g(r,−1	PROPN
ejde-619	263	4	k	k	PROPN
ejde-619	263	5	)	)	PUNCT
ejde-619	263	6	]	]	PUNCT
ejde-619	264	1	=	=	SYM
ejde-619	264	2	k2sgs(r	k2sgs(r	NOUN
ejde-619	264	3	,	,	PUNCT
ejde-619	264	4	η)(−	η)(−	VERB
ejde-619	264	5	2	2	NUM
ejde-619	264	6	k	k	NOUN
ejde-619	264	7	−	−	PROPN
ejde-619	264	8	(	(	PUNCT
ejde-619	264	9	−1	−1	NOUN
ejde-619	264	10	k	k	PROPN
ejde-619	264	11	)	)	PUNCT
ejde-619	264	12	)	)	PUNCT
ejde-619	265	1	=	=	SYM
ejde-619	265	2	−ksf(r	−ksf(r	PROPN
ejde-619	265	3	,	,	PUNCT
ejde-619	265	4	η	η	NOUN
ejde-619	265	5	)	)	PUNCT
ejde-619	265	6	.	.	PUNCT
ejde-619	266	1	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	266	2	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	266	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	266	4	on	on	ADP
ejde-619	266	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	266	6	domains	domain	NOUN
ejde-619	266	7	11	11	NUM
ejde-619	266	8	therefore	therefore	ADV
ejde-619	266	9	0	0	NUM
ejde-619	266	10	≤	≤	NUM
ejde-619	266	11	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	266	12	,	,	PUNCT
ejde-619	266	13	s	s	PART
ejde-619	266	14	)	)	PUNCT
ejde-619	266	15	=	=	SYM
ejde-619	266	16	−ks2f(r	−ks2f(r	NOUN
ejde-619	266	17	,	,	PUNCT
ejde-619	266	18	η	η	NOUN
ejde-619	266	19	)	)	PUNCT
ejde-619	266	20	=	=	PUNCT
ejde-619	267	1	−k	−k	PROPN
ejde-619	267	2	s	s	PART
ejde-619	267	3	2	2	NUM
ejde-619	267	4	η	η	NOUN
ejde-619	267	5	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	267	6	,	,	PUNCT
ejde-619	267	7	η	η	NOUN
ejde-619	267	8	)	)	PUNCT
ejde-619	267	9	≤	≤	PUNCT
ejde-619	267	10	k	k	PROPN
ejde-619	267	11	s2	s2	PROPN
ejde-619	267	12	|η|	|η|	PROPN
ejde-619	267	13	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	267	14	,	,	PUNCT
ejde-619	267	15	η	η	NOUN
ejde-619	267	16	)	)	PUNCT
ejde-619	267	17	≤	≤	NOUN
ejde-619	267	18	b1k|s|2|η|θ(r)−1	b1k|s|2|η|θ(r)−1	ADP
ejde-619	267	19	≤	≤	ADJ
ejde-619	267	20	b1k|s|2	b1k|s|2	NOUN
ejde-619	267	21	(	(	PUNCT
ejde-619	267	22	2	2	NUM
ejde-619	267	23	k	k	NOUN
ejde-619	267	24	)	)	PUNCT
ejde-619	267	25	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	267	26	≤	≤	NUM
ejde-619	267	27	b1	b1	NOUN
ejde-619	267	28	2θ(r)−1	2θ(r)−1	NOUN
ejde-619	267	29	kp−−2	kp−−2	PROPN
ejde-619	267	30	|s|2	|s|2	PROPN
ejde-619	267	31	≤	≤	ADJ
ejde-619	267	32	b12	b12	NOUN
ejde-619	267	33	p+	p+	NOUN
ejde-619	267	34	1	1	NUM
ejde-619	267	35	kp−−1	kp−−1	PROPN
ejde-619	267	36	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	267	37	.	.	PUNCT
ejde-619	268	1	(	(	PUNCT
ejde-619	268	2	4.5	4.5	NUM
ejde-619	268	3	)	)	PUNCT
ejde-619	268	4	if	if	SCONJ
ejde-619	268	5	0	0	NUM
ejde-619	268	6	≤	≤	NUM
ejde-619	268	7	s	s	PART
ejde-619	268	8	≤	≤	NUM
ejde-619	268	9	1	1	NUM
ejde-619	268	10	/	/	SYM
ejde-619	268	11	k	k	NOUN
ejde-619	268	12	,	,	PUNCT
ejde-619	268	13	by	by	ADP
ejde-619	268	14	the	the	DET
ejde-619	268	15	mean	mean	ADJ
ejde-619	268	16	value	value	NOUN
ejde-619	268	17	theorem	theorem	VERB
ejde-619	268	18	,	,	PUNCT
ejde-619	268	19	there	there	PRON
ejde-619	268	20	exists	exist	VERB
ejde-619	268	21	η	η	PROPN
ejde-619	268	22	∈	∈	PROPN
ejde-619	268	23	(	(	PUNCT
ejde-619	268	24	1	1	NUM
ejde-619	268	25	/	/	SYM
ejde-619	268	26	k	k	NOUN
ejde-619	268	27	,	,	PUNCT
ejde-619	268	28	2	2	NUM
ejde-619	268	29	/	/	SYM
ejde-619	268	30	k	k	NOUN
ejde-619	268	31	)	)	PUNCT
ejde-619	268	32	such	such	ADJ
ejde-619	268	33	that	that	DET
ejde-619	268	34	fk(r	fk(r	NOUN
ejde-619	268	35	,	,	PUNCT
ejde-619	268	36	s	s	NOUN
ejde-619	268	37	)	)	PUNCT
ejde-619	268	38	=	=	SYM
ejde-619	268	39	k2s[g(r	k2s[g(r	PROPN
ejde-619	268	40	,	,	PUNCT
ejde-619	268	41	2	2	NUM
ejde-619	268	42	k	k	NOUN
ejde-619	268	43	)	)	PUNCT
ejde-619	268	44	−g(r	−g(r	PROPN
ejde-619	268	45	,	,	PUNCT
ejde-619	268	46	1	1	NUM
ejde-619	268	47	k	k	NOUN
ejde-619	268	48	)	)	PUNCT
ejde-619	268	49	]	]	PUNCT
ejde-619	269	1	=	=	SYM
ejde-619	269	2	k2sgs(r	k2sgs(r	PROPN
ejde-619	269	3	,	,	PUNCT
ejde-619	269	4	η	η	NOUN
ejde-619	269	5	)	)	PUNCT
ejde-619	269	6	(	(	PUNCT
ejde-619	269	7	2	2	NUM
ejde-619	269	8	k	k	NOUN
ejde-619	269	9	−	−	PROPN
ejde-619	269	10	1	1	NUM
ejde-619	269	11	k	k	NOUN
ejde-619	269	12	)	)	PUNCT
ejde-619	269	13	=	=	SYM
ejde-619	269	14	ksf(r	ksf(r	PROPN
ejde-619	269	15	,	,	PUNCT
ejde-619	269	16	η	η	NOUN
ejde-619	269	17	)	)	PUNCT
ejde-619	269	18	.	.	PUNCT
ejde-619	270	1	using	use	VERB
ejde-619	270	2	similar	similar	ADJ
ejde-619	270	3	computations	computation	NOUN
ejde-619	270	4	as	as	ADP
ejde-619	270	5	for	for	ADP
ejde-619	270	6	(	(	PUNCT
ejde-619	270	7	4.5	4.5	NUM
ejde-619	270	8	)	)	PUNCT
ejde-619	270	9	one	one	NOUN
ejde-619	270	10	obtains	obtain	VERB
ejde-619	270	11	0	0	NUM
ejde-619	270	12	≤	≤	NUM
ejde-619	270	13	sfk(r	sfk(r	PROPN
ejde-619	270	14	,	,	PUNCT
ejde-619	270	15	s	s	PART
ejde-619	270	16	)	)	PUNCT
ejde-619	270	17	=	=	SYM
ejde-619	270	18	ks2f(r	ks2f(r	NOUN
ejde-619	270	19	,	,	PUNCT
ejde-619	270	20	η	η	NOUN
ejde-619	270	21	)	)	PUNCT
ejde-619	270	22	=	=	SYM
ejde-619	271	1	k	k	PROPN
ejde-619	271	2	s2	s2	NOUN
ejde-619	271	3	|η|	|η|	PROPN
ejde-619	271	4	ηf(r	ηf(r	NOUN
ejde-619	271	5	,	,	PUNCT
ejde-619	271	6	η	η	NOUN
ejde-619	271	7	)	)	PUNCT
ejde-619	271	8	≤	≤	NUM
ejde-619	271	9	b12	b12	NOUN
ejde-619	271	10	p+	p+	NOUN
ejde-619	271	11	1	1	NUM
ejde-619	271	12	kp−−1	kp−−1	PROPN
ejde-619	271	13	|s|	|s|	PROPN
ejde-619	271	14	.	.	PUNCT
ejde-619	272	1	the	the	DET
ejde-619	272	2	proof	proof	NOUN
ejde-619	272	3	of	of	ADP
ejde-619	272	4	the	the	DET
ejde-619	272	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	272	6	follows	follow	VERB
ejde-619	272	7	by	by	ADP
ejde-619	272	8	taking	take	VERB
ejde-619	272	9	k1	k1	NOUN
ejde-619	272	10	=	=	SYM
ejde-619	272	11	b12	b12	NOUN
ejde-619	272	12	p+	p+	NOUN
ejde-619	272	13	,	,	PUNCT
ejde-619	272	14	where	where	SCONJ
ejde-619	272	15	b1	b1	NOUN
ejde-619	272	16	is	be	AUX
ejde-619	272	17	given	give	VERB
ejde-619	272	18	in	in	ADP
ejde-619	272	19	(	(	PUNCT
ejde-619	272	20	1.12	1.12	NUM
ejde-619	272	21	)	)	PUNCT
ejde-619	272	22	.	.	PUNCT
ejde-619	273	1	□	□	PUNCT
ejde-619	273	2	5	5	X
ejde-619	273	3	.	.	X
ejde-619	273	4	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	273	5	equation	equation	NOUN
ejde-619	273	6	let	let	VERB
ejde-619	273	7	d	d	PROPN
ejde-619	273	8	⊆	⊆	NUM
ejde-619	273	9	rn	rn	AUX
ejde-619	273	10	be	be	AUX
ejde-619	273	11	an	an	DET
ejde-619	273	12	open	open	ADJ
ejde-619	273	13	,	,	PUNCT
ejde-619	273	14	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	273	15	and	and	CCONJ
ejde-619	273	16	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	273	17	set	set	NOUN
ejde-619	273	18	centered	center	VERB
ejde-619	273	19	at	at	ADP
ejde-619	273	20	the	the	DET
ejde-619	273	21	origin	origin	NOUN
ejde-619	273	22	.	.	PUNCT
ejde-619	274	1	we	we	PRON
ejde-619	274	2	say	say	VERB
ejde-619	274	3	that	that	SCONJ
ejde-619	274	4	u	u	PRON
ejde-619	274	5	∈w	∈w	VERB
ejde-619	274	6	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	274	7	0	0	SYM
ejde-619	274	8	(	(	PUNCT
ejde-619	274	9	d	d	X
ejde-619	274	10	)	)	PUNCT
ejde-619	274	11	is	be	AUX
ejde-619	274	12	a	a	DET
ejde-619	274	13	solution	solution	NOUN
ejde-619	274	14	of	of	ADP
ejde-619	274	15	(	(	PUNCT
ejde-619	274	16	1.13	1.13	NUM
ejde-619	274	17	)	)	PUNCT
ejde-619	274	18	if	if	SCONJ
ejde-619	274	19	u(x	u(x	NOUN
ejde-619	274	20	)	)	PUNCT
ejde-619	274	21	>	>	X
ejde-619	274	22	0	0	PUNCT
ejde-619	275	1	in	in	ADP
ejde-619	275	2	d	d	PROPN
ejde-619	275	3	and∫	and∫	PROPN
ejde-619	275	4	d	d	X
ejde-619	275	5	|∇u|p−2∇u∇ϕdx+	|∇u|p−2∇u∇ϕdx+	NUM
ejde-619	275	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	275	7	d	d	X
ejde-619	275	8	|u|p−2uϕdx	|u|p−2uϕdx	PROPN
ejde-619	275	9	=	=	SYM
ejde-619	275	10	λ	λ	X
ejde-619	275	11	∫	∫	PROPN
ejde-619	275	12	d	d	X
ejde-619	275	13	a(x)|u|q(r)−2uϕdx+	a(x)|u|q(r)−2uϕdx+	ADV
ejde-619	275	14	∫	∫	PROPN
ejde-619	276	1	d	d	X
ejde-619	276	2	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	276	3	,	,	PUNCT
ejde-619	276	4	u)ϕdx	u)ϕdx	PROPN
ejde-619	276	5	,	,	PUNCT
ejde-619	276	6	for	for	ADP
ejde-619	276	7	all	all	DET
ejde-619	276	8	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-619	276	9	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	276	10	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	276	11	0	0	SYM
ejde-619	276	12	(	(	PUNCT
ejde-619	276	13	d	d	NOUN
ejde-619	276	14	)	)	PUNCT
ejde-619	276	15	.	.	PUNCT
ejde-619	277	1	we	we	PRON
ejde-619	277	2	will	will	AUX
ejde-619	277	3	employ	employ	VERB
ejde-619	277	4	the	the	DET
ejde-619	277	5	following	follow	VERB
ejde-619	277	6	auxiliary	auxiliary	ADJ
ejde-619	277	7	problem	problem	NOUN
ejde-619	277	8	in	in	ADP
ejde-619	277	9	our	our	PRON
ejde-619	277	10	reasoning	reasoning	NOUN
ejde-619	277	11	later	later	ADV
ejde-619	277	12	.	.	PUNCT
ejde-619	278	1	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	278	2	|u|p−2u	|u|p−2u	PROPN
ejde-619	279	1	=	=	X
ejde-619	279	2	λa(x)|u|q(r)−2u+	λa(x)|u|q(r)−2u+	NUM
ejde-619	279	3	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	279	4	,	,	PUNCT
ejde-619	279	5	u	u	NOUN
ejde-619	279	6	)	)	PUNCT
ejde-619	279	7	+	+	CCONJ
ejde-619	279	8	φ	φ	PROPN
ejde-619	279	9	n	n	X
ejde-619	279	10	in	in	ADP
ejde-619	279	11	d	d	PROPN
ejde-619	279	12	u	u	X
ejde-619	279	13	>	>	X
ejde-619	279	14	0	0	PUNCT
ejde-619	280	1	in	in	ADP
ejde-619	280	2	d	d	PROPN
ejde-619	280	3	u(x	u(x	PROPN
ejde-619	280	4	)	)	PUNCT
ejde-619	280	5	=	=	SYM
ejde-619	280	6	0	0	NUM
ejde-619	281	1	on	on	ADP
ejde-619	281	2	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	281	3	,	,	PUNCT
ejde-619	281	4	(	(	PUNCT
ejde-619	281	5	5.1	5.1	NUM
ejde-619	281	6	)	)	PUNCT
ejde-619	281	7	with	with	ADP
ejde-619	281	8	n	n	PROPN
ejde-619	281	9	>	>	X
ejde-619	281	10	0	0	PUNCT
ejde-619	282	1	a	a	DET
ejde-619	282	2	integer	integer	NOUN
ejde-619	282	3	number	number	NOUN
ejde-619	282	4	,	,	PUNCT
ejde-619	282	5	φ	φ	X
ejde-619	282	6	>	>	X
ejde-619	282	7	0	0	PUNCT
ejde-619	282	8	is	be	AUX
ejde-619	282	9	a	a	DET
ejde-619	282	10	fixed	fix	VERB
ejde-619	282	11	function	function	NOUN
ejde-619	282	12	such	such	ADJ
ejde-619	282	13	that	that	SCONJ
ejde-619	282	14	φ	φ	PROPN
ejde-619	282	15	∈	∈	PROPN
ejde-619	282	16	l∞(rn	l∞(rn	PROPN
ejde-619	282	17	)	)	PUNCT
ejde-619	282	18	∩	∩	ADJ
ejde-619	282	19	lp′	lp′	X
ejde-619	282	20	(	(	PUNCT
ejde-619	282	21	rn	rn	NOUN
ejde-619	282	22	)	)	PUNCT
ejde-619	282	23	and	and	CCONJ
ejde-619	282	24	fn	fn	NOUN
ejde-619	282	25	is	be	AUX
ejde-619	282	26	given	give	VERB
ejde-619	282	27	by	by	ADP
ejde-619	282	28	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-619	282	29	4.1	4.1	NUM
ejde-619	282	30	and	and	CCONJ
ejde-619	282	31	4.3	4.3	NUM
ejde-619	282	32	.	.	PUNCT
ejde-619	283	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	283	2	5.1	5.1	NUM
ejde-619	283	3	.	.	PUNCT
ejde-619	284	1	there	there	PRON
ejde-619	284	2	exists	exist	VERB
ejde-619	284	3	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	284	4	>	>	X
ejde-619	284	5	0	0	PUNCT
ejde-619	285	1	and	and	CCONJ
ejde-619	285	2	n∗	n∗	PROPN
ejde-619	285	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	285	4	n	n	PRON
ejde-619	285	5	such	such	ADJ
ejde-619	285	6	that	that	SCONJ
ejde-619	285	7	(	(	PUNCT
ejde-619	285	8	5.1	5.1	NUM
ejde-619	285	9	)	)	PUNCT
ejde-619	285	10	has	have	VERB
ejde-619	285	11	a	a	DET
ejde-619	285	12	solution	solution	NOUN
ejde-619	285	13	un	un	PROPN
ejde-619	285	14	∈	∈	PROPN
ejde-619	285	15	c1	c1	PROPN
ejde-619	285	16	0	0	PUNCT
ejde-619	286	1	(	(	PUNCT
ejde-619	286	2	d	d	X
ejde-619	286	3	)	)	PUNCT
ejde-619	286	4	such	such	ADJ
ejde-619	286	5	that	that	PRON
ejde-619	286	6	∂un/∂ν	∂un/∂ν	NOUN
ejde-619	286	7	<	<	X
ejde-619	286	8	0	0	PUNCT
ejde-619	286	9	on	on	ADP
ejde-619	286	10	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	286	11	for	for	ADP
ejde-619	286	12	every	every	DET
ejde-619	286	13	λ	λ	PROPN
ejde-619	286	14	∈	∈	PROPN
ejde-619	286	15	(	(	PUNCT
ejde-619	286	16	0	0	NUM
ejde-619	286	17	,	,	PUNCT
ejde-619	286	18	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	286	19	)	)	PUNCT
ejde-619	286	20	and	and	CCONJ
ejde-619	286	21	n	n	DET
ejde-619	286	22	≥	≥	NOUN
ejde-619	286	23	n∗.	n∗.	PROPN
ejde-619	286	24	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	286	25	,	,	PUNCT
ejde-619	286	26	∥un∥w	∥un∥w	NOUN
ejde-619	286	27	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	286	28	)	)	PUNCT
ejde-619	286	29	≤	≤	NOUN
ejde-619	287	1	ϑ	ϑ	X
ejde-619	287	2	,	,	PUNCT
ejde-619	287	3	where	where	SCONJ
ejde-619	287	4	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-619	287	5	does	do	AUX
ejde-619	287	6	not	not	PART
ejde-619	287	7	depend	depend	VERB
ejde-619	287	8	on	on	ADP
ejde-619	287	9	n.	n.	NOUN
ejde-619	287	10	proof	proof	NOUN
ejde-619	287	11	.	.	PUNCT
ejde-619	288	1	let	let	VERB
ejde-619	288	2	b	b	NOUN
ejde-619	288	3	=	=	SYM
ejde-619	288	4	{	{	PUNCT
ejde-619	288	5	w1	w1	NOUN
ejde-619	288	6	,	,	PUNCT
ejde-619	288	7	w2	w2	NOUN
ejde-619	288	8	,	,	PUNCT
ejde-619	288	9	.	.	PUNCT
ejde-619	288	10	.	.	PUNCT
ejde-619	289	1	.	.	PUNCT
ejde-619	290	1	,	,	PUNCT
ejde-619	290	2	wn	wn	PROPN
ejde-619	290	3	,	,	PUNCT
ejde-619	290	4	.	.	PUNCT
ejde-619	290	5	.	.	PUNCT
ejde-619	290	6	.	.	PUNCT
ejde-619	291	1	}	}	PUNCT
ejde-619	291	2	be	be	AUX
ejde-619	291	3	a	a	DET
ejde-619	291	4	schauder	schauder	ADJ
ejde-619	291	5	basis	basis	NOUN
ejde-619	291	6	(	(	PUNCT
ejde-619	291	7	see	see	VERB
ejde-619	291	8	[	[	X
ejde-619	291	9	15	15	NUM
ejde-619	291	10	]	]	PUNCT
ejde-619	291	11	for	for	ADP
ejde-619	291	12	details	detail	NOUN
ejde-619	291	13	)	)	PUNCT
ejde-619	291	14	for	for	ADP
ejde-619	291	15	the	the	DET
ejde-619	291	16	banach	banach	NOUN
ejde-619	291	17	space	space	NOUN
ejde-619	291	18	(	(	PUNCT
ejde-619	291	19	w	w	PROPN
ejde-619	291	20	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	292	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	292	2	(	(	PUNCT
ejde-619	292	3	d	d	NOUN
ejde-619	292	4	)	)	PUNCT
ejde-619	292	5	,	,	PUNCT
ejde-619	292	6	∥	∥	X
ejde-619	292	7	·	·	PUNCT
ejde-619	293	1	∥w	∥w	PROPN
ejde-619	293	2	1,p(d	1,p(d	PROPN
ejde-619	293	3	)	)	PUNCT
ejde-619	293	4	)	)	PUNCT
ejde-619	293	5	.	.	PUNCT
ejde-619	294	1	for	for	ADP
ejde-619	294	2	each	each	DET
ejde-619	294	3	positive	positive	ADJ
ejde-619	294	4	integer	integer	NOUN
ejde-619	294	5	m	m	NOUN
ejde-619	294	6	,	,	PUNCT
ejde-619	294	7	let	let	VERB
ejde-619	294	8	wm	wm	VERB
ejde-619	294	9	=	=	PUNCT
ejde-619	295	1	[	[	X
ejde-619	295	2	w1	w1	NOUN
ejde-619	295	3	,	,	PUNCT
ejde-619	295	4	w2	w2	NOUN
ejde-619	295	5	,	,	PUNCT
ejde-619	295	6	.	.	PUNCT
ejde-619	295	7	.	.	PUNCT
ejde-619	296	1	.	.	PUNCT
ejde-619	297	1	,	,	PUNCT
ejde-619	297	2	wm	wm	PROPN
ejde-619	297	3	]	]	X
ejde-619	297	4	12	12	NUM
ejde-619	297	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	297	6	f.	f.	PROPN
ejde-619	297	7	o.	o.	PROPN
ejde-619	297	8	faria	faria	PROPN
ejde-619	297	9	,	,	PUNCT
ejde-619	297	10	m.	m.	PROPN
ejde-619	297	11	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	297	12	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	297	13	be	be	AUX
ejde-619	297	14	the	the	DET
ejde-619	297	15	m	m	ADJ
ejde-619	297	16	-	-	ADJ
ejde-619	297	17	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-619	297	18	subspace	subspace	NOUN
ejde-619	297	19	of	of	ADP
ejde-619	297	20	w	w	PROPN
ejde-619	297	21	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	298	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	298	2	(	(	PUNCT
ejde-619	298	3	d	d	NOUN
ejde-619	298	4	)	)	PUNCT
ejde-619	298	5	generated	generate	VERB
ejde-619	298	6	by	by	ADP
ejde-619	298	7	{	{	PUNCT
ejde-619	298	8	w1	w1	NOUN
ejde-619	298	9	,	,	PUNCT
ejde-619	298	10	w2	w2	NOUN
ejde-619	298	11	,	,	PUNCT
ejde-619	298	12	.	.	PUNCT
ejde-619	298	13	.	.	PUNCT
ejde-619	298	14	.	.	PUNCT
ejde-619	299	1	,	,	PUNCT
ejde-619	299	2	wm	wm	X
ejde-619	299	3	}	}	PUNCT
ejde-619	299	4	with	with	ADP
ejde-619	299	5	norm	norm	NOUN
ejde-619	299	6	induced	induce	VERB
ejde-619	299	7	from	from	ADP
ejde-619	299	8	w	w	PROPN
ejde-619	299	9	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	299	10	0,r	0,r	NUM
ejde-619	299	11	(	(	PUNCT
ejde-619	299	12	d	d	NOUN
ejde-619	299	13	)	)	PUNCT
ejde-619	299	14	.	.	PUNCT
ejde-619	300	1	let	let	VERB
ejde-619	300	2	ξ	ξ	X
ejde-619	300	3	=	=	SYM
ejde-619	300	4	(	(	PUNCT
ejde-619	300	5	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-619	300	6	,	,	PUNCT
ejde-619	300	7	.	.	PUNCT
ejde-619	300	8	.	.	PUNCT
ejde-619	301	1	.	.	PUNCT
ejde-619	302	1	,	,	PUNCT
ejde-619	302	2	ξm	ξm	X
ejde-619	302	3	)	)	PUNCT
ejde-619	302	4	∈	∈	PROPN
ejde-619	302	5	rm	rm	PROPN
ejde-619	302	6	,	,	PUNCT
ejde-619	302	7	notice	notice	VERB
ejde-619	302	8	that	that	SCONJ
ejde-619	302	9	|ξ|m	|ξ|m	PROPN
ejde-619	302	10	:	:	PUNCT
ejde-619	302	11	=	=	SYM
ejde-619	303	1	∥∥	∥∥	NOUN
ejde-619	303	2	m∑	m∑	ADV
ejde-619	303	3	j=1	j=1	PROPN
ejde-619	304	1	ξjwj	ξjwj	ADV
ejde-619	304	2	∥∥	∥∥	PROPN
ejde-619	304	3	w	w	PROPN
ejde-619	304	4	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	304	5	)	)	PUNCT
ejde-619	304	6	(	(	PUNCT
ejde-619	304	7	5.2	5.2	NUM
ejde-619	304	8	)	)	PUNCT
ejde-619	304	9	defines	define	VERB
ejde-619	304	10	a	a	DET
ejde-619	304	11	norm	norm	NOUN
ejde-619	304	12	in	in	ADP
ejde-619	304	13	rm	rm	PROPN
ejde-619	304	14	(	(	PUNCT
ejde-619	304	15	see	see	VERB
ejde-619	304	16	[	[	X
ejde-619	304	17	5	5	X
ejde-619	304	18	]	]	PUNCT
ejde-619	304	19	for	for	ADP
ejde-619	304	20	the	the	DET
ejde-619	304	21	details	detail	NOUN
ejde-619	304	22	)	)	PUNCT
ejde-619	304	23	.	.	PUNCT
ejde-619	305	1	using	use	VERB
ejde-619	305	2	the	the	DET
ejde-619	305	3	above	above	ADJ
ejde-619	305	4	notation	notation	NOUN
ejde-619	305	5	,	,	PUNCT
ejde-619	305	6	we	we	PRON
ejde-619	305	7	can	can	AUX
ejde-619	305	8	identify	identify	VERB
ejde-619	305	9	the	the	DET
ejde-619	305	10	spaces	space	NOUN
ejde-619	305	11	(	(	PUNCT
ejde-619	305	12	wm	wm	PROPN
ejde-619	305	13	,	,	PUNCT
ejde-619	305	14	∥	∥	X
ejde-619	305	15	·	·	PUNCT
ejde-619	306	1	∥w	∥w	PROPN
ejde-619	306	2	1,p(d	1,p(d	PROPN
ejde-619	306	3	)	)	PUNCT
ejde-619	306	4	)	)	PUNCT
ejde-619	307	1	and	and	CCONJ
ejde-619	307	2	(	(	PUNCT
ejde-619	307	3	rm	rm	NOUN
ejde-619	307	4	,	,	PUNCT
ejde-619	307	5	|	|	ADV
ejde-619	307	6	·	·	PUNCT
ejde-619	307	7	|m	|m	NOUN
ejde-619	307	8	)	)	PUNCT
ejde-619	307	9	by	by	ADP
ejde-619	307	10	the	the	DET
ejde-619	307	11	isometric	isometric	ADJ
ejde-619	307	12	linear	linear	PROPN
ejde-619	307	13	transformation	transformation	NOUN
ejde-619	307	14	u	u	NOUN
ejde-619	307	15	=	=	PUNCT
ejde-619	307	16	m∑	m∑	ADV
ejde-619	307	17	j=1	j=1	PROPN
ejde-619	308	1	ξjwj	ξjwj	ADV
ejde-619	308	2	∈wm	∈wm	PROPN
ejde-619	308	3	7→	7→	NUM
ejde-619	308	4	ξ	ξ	X
ejde-619	308	5	=	=	SYM
ejde-619	308	6	(	(	PUNCT
ejde-619	308	7	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-619	308	8	,	,	PUNCT
ejde-619	308	9	.	.	PUNCT
ejde-619	308	10	.	.	PUNCT
ejde-619	309	1	.	.	PUNCT
ejde-619	310	1	,	,	PUNCT
ejde-619	310	2	ξm	ξm	X
ejde-619	310	3	)	)	PUNCT
ejde-619	310	4	∈	∈	PROPN
ejde-619	310	5	rm	rm	PROPN
ejde-619	310	6	.	.	PUNCT
ejde-619	311	1	(	(	PUNCT
ejde-619	311	2	5.3	5.3	NUM
ejde-619	311	3	)	)	PUNCT
ejde-619	311	4	define	define	VERB
ejde-619	311	5	the	the	DET
ejde-619	311	6	function	function	NOUN
ejde-619	311	7	f	f	NOUN
ejde-619	311	8	:	:	PUNCT
ejde-619	311	9	rm	rm	PROPN
ejde-619	311	10	→	→	SYM
ejde-619	311	11	rm	rm	PROPN
ejde-619	311	12	such	such	ADJ
ejde-619	311	13	that	that	SCONJ
ejde-619	311	14	f	f	PROPN
ejde-619	311	15	(	(	PUNCT
ejde-619	311	16	ξ	ξ	PROPN
ejde-619	311	17	)	)	PUNCT
ejde-619	311	18	=	=	SYM
ejde-619	311	19	(	(	PUNCT
ejde-619	311	20	f1(ξ	f1(ξ	NOUN
ejde-619	311	21	)	)	PUNCT
ejde-619	311	22	,	,	PUNCT
ejde-619	311	23	f2(ξ	f2(ξ	PROPN
ejde-619	311	24	)	)	PUNCT
ejde-619	311	25	,	,	PUNCT
ejde-619	311	26	.	.	PUNCT
ejde-619	311	27	.	.	PUNCT
ejde-619	312	1	.	.	PUNCT
ejde-619	313	1	,	,	PUNCT
ejde-619	313	2	fm(ξ	fm(ξ	NOUN
ejde-619	313	3	)	)	PUNCT
ejde-619	313	4	)	)	PUNCT
ejde-619	313	5	,	,	PUNCT
ejde-619	313	6	where	where	SCONJ
ejde-619	313	7	ξ	ξ	X
ejde-619	313	8	=	=	SYM
ejde-619	313	9	(	(	PUNCT
ejde-619	313	10	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-619	313	11	,	,	PUNCT
ejde-619	313	12	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-619	313	13	,	,	PUNCT
ejde-619	313	14	.	.	PUNCT
ejde-619	313	15	.	.	PUNCT
ejde-619	314	1	.	.	PUNCT
ejde-619	315	1	,	,	PUNCT
ejde-619	315	2	ξm	ξm	X
ejde-619	315	3	)	)	PUNCT
ejde-619	315	4	∈	∈	PROPN
ejde-619	315	5	rm	rm	NOUN
ejde-619	315	6	,	,	PUNCT
ejde-619	315	7	fj(ξ	fj(ξ	NOUN
ejde-619	315	8	)	)	PUNCT
ejde-619	315	9	=	=	SYM
ejde-619	316	1	∫	∫	PUNCT
ejde-619	317	1	d	d	X
ejde-619	317	2	|∇u|p−2∇u∇wjdx+	|∇u|p−2∇u∇wjdx+	ADJ
ejde-619	317	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	318	1	d	d	X
ejde-619	318	2	|u|p−2uwjdx−	|u|p−2uwjdx−	ADJ
ejde-619	318	3	λ	λ	PROPN
ejde-619	318	4	∫	∫	X
ejde-619	318	5	d	d	NOUN
ejde-619	318	6	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	318	7	)	)	PUNCT
ejde-619	318	8	q(r)−1wjdx	q(r)−1wjdx	ADV
ejde-619	318	9	−	−	NUM
ejde-619	318	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	319	1	d	d	X
ejde-619	319	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	319	3	,	,	PUNCT
ejde-619	319	4	u+)wjdx−	u+)wjdx−	NOUN
ejde-619	319	5	1	1	NUM
ejde-619	319	6	n	n	NUM
ejde-619	319	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	319	8	d	d	X
ejde-619	319	9	φwjdx	φwjdx	PROPN
ejde-619	319	10	,	,	PUNCT
ejde-619	319	11	j	j	PROPN
ejde-619	320	1	=	=	SYM
ejde-619	320	2	1	1	NUM
ejde-619	320	3	,	,	PUNCT
ejde-619	320	4	2	2	NUM
ejde-619	320	5	,	,	PUNCT
ejde-619	320	6	.	.	PUNCT
ejde-619	320	7	.	.	PUNCT
ejde-619	321	1	.	.	PUNCT
ejde-619	322	1	,	,	PUNCT
ejde-619	322	2	m	m	PROPN
ejde-619	322	3	,	,	PUNCT
ejde-619	322	4	and	and	CCONJ
ejde-619	322	5	u	u	X
ejde-619	322	6	=	=	PROPN
ejde-619	322	7	∑m	∑m	PROPN
ejde-619	322	8	i=1	i=1	PROPN
ejde-619	322	9	ξiwi	ξiwi	PROPN
ejde-619	322	10	∈wm	∈wm	PROPN
ejde-619	322	11	.	.	PUNCT
ejde-619	323	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	323	2	,	,	PUNCT
ejde-619	323	3	⟨f	⟨f	X
ejde-619	323	4	(	(	PUNCT
ejde-619	323	5	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	323	6	)	)	PUNCT
ejde-619	323	7	,	,	PUNCT
ejde-619	323	8	ξ⟩	ξ⟩	PUNCT
ejde-619	324	1	=	=	PUNCT
ejde-619	324	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	325	1	d	d	X
ejde-619	325	2	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	NOUN
ejde-619	325	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	325	4	d	d	X
ejde-619	325	5	|u|pdx−	|u|pdx−	NOUN
ejde-619	325	6	λ	λ	X
ejde-619	325	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	325	8	d	d	NOUN
ejde-619	325	9	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	325	10	)	)	PUNCT
ejde-619	325	11	q(r)dx	q(r)dx	VERB
ejde-619	325	12	−	−	PROPN
ejde-619	325	13	∫	∫	PROPN
ejde-619	326	1	d	d	X
ejde-619	326	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	326	3	,	,	PUNCT
ejde-619	326	4	u+)u+dx−	u+)u+dx−	NOUN
ejde-619	326	5	1	1	NUM
ejde-619	326	6	n	n	NUM
ejde-619	326	7	∫	∫	NOUN
ejde-619	326	8	d	d	NOUN
ejde-619	326	9	φudx	φudx	NOUN
ejde-619	326	10	,	,	PUNCT
ejde-619	326	11	(	(	PUNCT
ejde-619	326	12	5.4	5.4	NUM
ejde-619	326	13	)	)	PUNCT
ejde-619	326	14	where	where	SCONJ
ejde-619	326	15	u+	u+	NOUN
ejde-619	326	16	=	=	SYM
ejde-619	326	17	max{u	max{u	NOUN
ejde-619	326	18	,	,	PUNCT
ejde-619	326	19	0	0	NUM
ejde-619	326	20	}	}	PUNCT
ejde-619	326	21	,	,	PUNCT
ejde-619	326	22	u−	u−	PROPN
ejde-619	326	23	=	=	PUNCT
ejde-619	326	24	u+	u+	NOUN
ejde-619	326	25	−	−	PROPN
ejde-619	326	26	u.	u.	NOUN
ejde-619	326	27	for	for	ADP
ejde-619	326	28	a	a	DET
ejde-619	326	29	given	give	VERB
ejde-619	326	30	u	u	PRON
ejde-619	326	31	∈wm	∈wm	PROPN
ejde-619	326	32	we	we	PRON
ejde-619	326	33	define	define	VERB
ejde-619	326	34	d+	d+	PUNCT
ejde-619	326	35	n	n	NOUN
ejde-619	326	36	=	=	SYM
ejde-619	326	37	{	{	PUNCT
ejde-619	326	38	x	x	PUNCT
ejde-619	326	39	∈	∈	PROPN
ejde-619	326	40	d	d	NOUN
ejde-619	326	41	:	:	PUNCT
ejde-619	326	42	|u(r)|	|u(r)|	ADJ
ejde-619	326	43	≥	≥	NUM
ejde-619	326	44	1	1	NUM
ejde-619	326	45	n	n	NOUN
ejde-619	326	46	}	}	PUNCT
ejde-619	326	47	,	,	PUNCT
ejde-619	326	48	d−	d−	PROPN
ejde-619	326	49	n	n	PROPN
ejde-619	326	50	=	=	PUNCT
ejde-619	326	51	{	{	PUNCT
ejde-619	326	52	x	x	PUNCT
ejde-619	326	53	∈	∈	PROPN
ejde-619	326	54	d	d	NOUN
ejde-619	326	55	:	:	PUNCT
ejde-619	326	56	|u(r)|	|u(r)|	ADJ
ejde-619	326	57	<	<	X
ejde-619	326	58	1	1	NUM
ejde-619	326	59	n	n	PROPN
ejde-619	326	60	}	}	PUNCT
ejde-619	326	61	.	.	PUNCT
ejde-619	327	1	thus	thus	ADV
ejde-619	327	2	,	,	PUNCT
ejde-619	327	3	we	we	PRON
ejde-619	327	4	can	can	AUX
ejde-619	327	5	write	write	VERB
ejde-619	327	6	(	(	PUNCT
ejde-619	327	7	5.4	5.4	NUM
ejde-619	327	8	)	)	PUNCT
ejde-619	327	9	as	as	ADP
ejde-619	327	10	⟨f	⟨f	X
ejde-619	327	11	(	(	PUNCT
ejde-619	327	12	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	327	13	)	)	PUNCT
ejde-619	327	14	,	,	PUNCT
ejde-619	327	15	ξ⟩	ξ⟩	PUNCT
ejde-619	328	1	=	=	PUNCT
ejde-619	328	2	⟨f	⟨f	X
ejde-619	328	3	(	(	PUNCT
ejde-619	328	4	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	328	5	)	)	PUNCT
ejde-619	328	6	,	,	PUNCT
ejde-619	328	7	ξ⟩p	ξ⟩p	NUM
ejde-619	328	8	+	+	CCONJ
ejde-619	328	9	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	328	10	(	(	PUNCT
ejde-619	328	11	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	328	12	)	)	PUNCT
ejde-619	328	13	,	,	PUNCT
ejde-619	328	14	ξ⟩n	ξ⟩n	NUM
ejde-619	328	15	,	,	PUNCT
ejde-619	328	16	where	where	SCONJ
ejde-619	328	17	⟨f	⟨f	X
ejde-619	328	18	(	(	PUNCT
ejde-619	328	19	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	328	20	)	)	PUNCT
ejde-619	328	21	,	,	PUNCT
ejde-619	328	22	ξ⟩p	ξ⟩p	NUM
ejde-619	328	23	=	=	SYM
ejde-619	328	24	∫	∫	PROPN
ejde-619	328	25	d+	d+	PUNCT
ejde-619	328	26	n	n	NUM
ejde-619	328	27	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	ADJ
ejde-619	328	28	∫	∫	X
ejde-619	328	29	d+	d+	NOUN
ejde-619	328	30	n	n	PRON
ejde-619	328	31	|u|pdx−	|u|pdx−	NOUN
ejde-619	328	32	λ	λ	X
ejde-619	328	33	∫	∫	PROPN
ejde-619	328	34	d+	d+	PUNCT
ejde-619	328	35	n	n	PRON
ejde-619	328	36	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	328	37	)	)	PUNCT
ejde-619	328	38	q(r)dx	q(r)dx	VERB
ejde-619	328	39	−	−	PROPN
ejde-619	328	40	∫	∫	PROPN
ejde-619	328	41	d+	d+	PUNCT
ejde-619	328	42	n	n	PRON
ejde-619	328	43	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	328	44	,	,	PUNCT
ejde-619	328	45	u+)u+dx−	u+)u+dx−	NOUN
ejde-619	328	46	1	1	NUM
ejde-619	328	47	n	n	NUM
ejde-619	328	48	∫	∫	NOUN
ejde-619	328	49	d+	d+	X
ejde-619	328	50	n	n	PRON
ejde-619	328	51	φudx	φudx	NOUN
ejde-619	328	52	and	and	CCONJ
ejde-619	328	53	⟨f	⟨f	X
ejde-619	328	54	(	(	PUNCT
ejde-619	328	55	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	328	56	)	)	PUNCT
ejde-619	328	57	,	,	PUNCT
ejde-619	328	58	ξ⟩n	ξ⟩n	NUM
ejde-619	328	59	=	=	SYM
ejde-619	328	60	∫	∫	PROPN
ejde-619	328	61	d−	d−	PROPN
ejde-619	328	62	n	n	PRON
ejde-619	328	63	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	ADJ
ejde-619	328	64	∫	∫	PROPN
ejde-619	328	65	d−	d−	PROPN
ejde-619	328	66	n	n	PRON
ejde-619	328	67	|u|pdx−	|u|pdx−	NOUN
ejde-619	329	1	λ	λ	X
ejde-619	329	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	329	3	d−	d−	PROPN
ejde-619	329	4	n	n	PRON
ejde-619	329	5	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	329	6	)	)	PUNCT
ejde-619	330	1	q(r)dx	q(r)dx	VERB
ejde-619	330	2	−	−	PROPN
ejde-619	330	3	∫	∫	INTJ
ejde-619	330	4	d−	d−	PROPN
ejde-619	330	5	n	n	PRON
ejde-619	330	6	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	330	7	,	,	PUNCT
ejde-619	330	8	u+)u+dx−	u+)u+dx−	NOUN
ejde-619	330	9	1	1	NUM
ejde-619	330	10	n	n	NUM
ejde-619	330	11	∫	∫	NOUN
ejde-619	330	12	d−	d−	PROPN
ejde-619	330	13	n	n	PRON
ejde-619	330	14	φudx	φudx	NOUN
ejde-619	330	15	.	.	PUNCT
ejde-619	331	1	now	now	ADV
ejde-619	331	2	we	we	PRON
ejde-619	331	3	consider	consider	VERB
ejde-619	331	4	|ξ|m	|ξ|m	PROPN
ejde-619	331	5	=	=	SYM
ejde-619	331	6	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	331	7	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	331	8	0	0	PUNCT
ejde-619	332	1	(	(	PUNCT
ejde-619	332	2	d	d	NOUN
ejde-619	332	3	)	)	PUNCT
ejde-619	332	4	=	=	SYM
ejde-619	332	5	ϑ	ϑ	X
ejde-619	332	6	(	(	PUNCT
ejde-619	332	7	5.5	5.5	NUM
ejde-619	332	8	)	)	PUNCT
ejde-619	332	9	for	for	ADP
ejde-619	332	10	some	some	PRON
ejde-619	332	11	0	0	NUM
ejde-619	332	12	<	<	X
ejde-619	332	13	ϑ	ϑ	X
ejde-619	332	14	≤	≤	ADV
ejde-619	332	15	1	1	NUM
ejde-619	332	16	to	to	PART
ejde-619	332	17	be	be	AUX
ejde-619	332	18	chose	choose	VERB
ejde-619	332	19	later	later	ADV
ejde-619	332	20	.	.	PUNCT
ejde-619	333	1	step	step	NOUN
ejde-619	333	2	1	1	NUM
ejde-619	333	3	.	.	PUNCT
ejde-619	334	1	since	since	SCONJ
ejde-619	334	2	the	the	DET
ejde-619	334	3	embedding	embed	VERB
ejde-619	334	4	w	w	PROPN
ejde-619	334	5	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	334	6	)	)	PUNCT
ejde-619	335	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-619	335	2	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	335	3	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	335	4	equations	equation	NOUN
ejde-619	335	5	on	on	ADP
ejde-619	335	6	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	335	7	domains	domain	NOUN
ejde-619	335	8	13	13	NUM
ejde-619	335	9	lτ	lτ	NOUN
ejde-619	335	10	(	(	PUNCT
ejde-619	335	11	rn	rn	PROPN
ejde-619	335	12	)	)	PUNCT
ejde-619	335	13	is	be	AUX
ejde-619	335	14	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	335	15	for	for	ADP
ejde-619	335	16	all	all	DET
ejde-619	335	17	p	p	NOUN
ejde-619	335	18	≤	≤	NUM
ejde-619	336	1	τ	τ	X
ejde-619	336	2	≤	≤	ADV
ejde-619	336	3	p∗	p∗	NOUN
ejde-619	336	4	(	(	PUNCT
ejde-619	336	5	see	see	VERB
ejde-619	336	6	[	[	X
ejde-619	336	7	15	15	NUM
ejde-619	336	8	,	,	PUNCT
ejde-619	336	9	corollary	corollary	NOUN
ejde-619	336	10	9.11	9.11	NUM
ejde-619	336	11	]	]	PUNCT
ejde-619	336	12	)	)	PUNCT
ejde-619	336	13	,	,	PUNCT
ejde-619	336	14	we	we	PRON
ejde-619	336	15	have∫	have∫	VERB
ejde-619	336	16	d+	d+	PUNCT
ejde-619	336	17	n	n	CCONJ
ejde-619	336	18	|a(r)|(u+)q(r)dx	|a(r)|(u+)q(r)dx	VERB
ejde-619	336	19	≤	≤	NUM
ejde-619	336	20	c∥a∥lp/(p−q(x))(rn	c∥a∥lp/(p−q(x))(rn	NOUN
ejde-619	336	21	)	)	PUNCT
ejde-619	336	22	∥ũ∥	∥ũ∥	PROPN
ejde-619	337	1	q−	q−	PROPN
ejde-619	337	2	w	w	PROPN
ejde-619	337	3	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	337	4	)	)	PUNCT
ejde-619	338	1	≤	≤	PROPN
ejde-619	338	2	c1	c1	PROPN
ejde-619	338	3	2	2	NUM
ejde-619	338	4	∥ũ∥q−	∥ũ∥q−	PROPN
ejde-619	338	5	w	w	PROPN
ejde-619	338	6	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	338	7	)	)	PUNCT
ejde-619	338	8	.	.	PUNCT
ejde-619	339	1	(	(	PUNCT
ejde-619	339	2	5.6	5.6	NUM
ejde-619	339	3	)	)	PUNCT
ejde-619	339	4	by	by	ADP
ejde-619	339	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	339	6	4.3	4.3	NUM
ejde-619	339	7	and	and	CCONJ
ejde-619	339	8	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	339	9	1.2	1.2	NUM
ejde-619	339	10	,	,	PUNCT
ejde-619	339	11	we	we	PRON
ejde-619	339	12	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	339	13	d+	d+	PUNCT
ejde-619	339	14	n	n	PRON
ejde-619	339	15	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	339	16	,	,	PUNCT
ejde-619	339	17	u+)u+dx	u+)u+dx	SYM
ejde-619	339	18	≤	≤	NUM
ejde-619	339	19	k1	k1	PROPN
ejde-619	339	20	∫	∫	PROPN
ejde-619	339	21	d+	d+	PUNCT
ejde-619	339	22	n	n	NUM
ejde-619	339	23	|u+|θ(r)dx	|u+|θ(r)dx	NUM
ejde-619	339	24	≤	≤	NUM
ejde-619	339	25	c2∥ũ∥p−	c2∥ũ∥p−	PRON
ejde-619	339	26	w	w	PROPN
ejde-619	339	27	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	339	28	)	)	PUNCT
ejde-619	339	29	.	.	PUNCT
ejde-619	340	1	(	(	PUNCT
ejde-619	340	2	5.7	5.7	NUM
ejde-619	340	3	)	)	PUNCT
ejde-619	340	4	since	since	SCONJ
ejde-619	340	5	φ	φ	PROPN
ejde-619	340	6	∈	∈	PROPN
ejde-619	340	7	lp′	lp′	PROPN
ejde-619	340	8	(	(	PUNCT
ejde-619	340	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	340	10	)	)	PUNCT
ejde-619	340	11	,	,	PUNCT
ejde-619	340	12	we	we	PRON
ejde-619	340	13	have∫	have∫	VERB
ejde-619	340	14	d+	d+	PUNCT
ejde-619	340	15	n	n	PRON
ejde-619	340	16	φudx	φudx	VERB
ejde-619	340	17	≤	≤	PUNCT
ejde-619	340	18	∥φ∥lp′	∥φ∥lp′	NUM
ejde-619	340	19	(	(	PUNCT
ejde-619	340	20	rn	rn	PROPN
ejde-619	340	21	)	)	PUNCT
ejde-619	340	22	∥ũ∥lp(rn	∥ũ∥lp(rn	PROPN
ejde-619	340	23	)	)	PUNCT
ejde-619	340	24	≤	≤	PUNCT
ejde-619	341	1	c3	c3	NOUN
ejde-619	341	2	2	2	NUM
ejde-619	341	3	∥ũ∥w	∥ũ∥w	PROPN
ejde-619	341	4	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	341	5	)	)	PUNCT
ejde-619	341	6	.	.	PUNCT
ejde-619	342	1	(	(	PUNCT
ejde-619	342	2	5.8	5.8	X
ejde-619	342	3	)	)	PUNCT
ejde-619	342	4	it	it	PRON
ejde-619	342	5	follows	follow	VERB
ejde-619	342	6	from	from	ADP
ejde-619	342	7	(	(	PUNCT
ejde-619	342	8	5.6	5.6	NUM
ejde-619	342	9	)	)	PUNCT
ejde-619	342	10	,	,	PUNCT
ejde-619	342	11	(	(	PUNCT
ejde-619	342	12	5.7	5.7	NUM
ejde-619	342	13	)	)	PUNCT
ejde-619	342	14	and	and	CCONJ
ejde-619	342	15	(	(	PUNCT
ejde-619	342	16	5.8	5.8	NUM
ejde-619	342	17	)	)	PUNCT
ejde-619	342	18	that	that	PRON
ejde-619	342	19	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	342	20	(	(	PUNCT
ejde-619	342	21	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	342	22	)	)	PUNCT
ejde-619	342	23	,	,	PUNCT
ejde-619	342	24	ξ⟩p	ξ⟩p	NUM
ejde-619	342	25	≥	≥	NUM
ejde-619	342	26	∫	∫	NOUN
ejde-619	342	27	d+	d+	PROPN
ejde-619	342	28	n	n	NUM
ejde-619	342	29	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	ADJ
ejde-619	342	30	∫	∫	X
ejde-619	342	31	d+	d+	NOUN
ejde-619	342	32	n	n	NUM
ejde-619	342	33	|u|pdx−	|u|pdx−	NOUN
ejde-619	342	34	λ	λ	X
ejde-619	342	35	c1	c1	PROPN
ejde-619	342	36	2	2	NUM
ejde-619	342	37	∥ũ∥q−	∥ũ∥q−	PROPN
ejde-619	342	38	w	w	PROPN
ejde-619	342	39	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	342	40	)	)	PUNCT
ejde-619	343	1	−	−	PROPN
ejde-619	344	1	c2∥ũ∥p−	c2∥ũ∥p−	PRON
ejde-619	344	2	w	w	PROPN
ejde-619	344	3	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	344	4	)	)	PUNCT
ejde-619	345	1	−	−	PROPN
ejde-619	346	1	c3	c3	PROPN
ejde-619	346	2	2n	2n	NUM
ejde-619	346	3	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	346	4	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	346	5	)	)	PUNCT
ejde-619	346	6	.	.	PUNCT
ejde-619	347	1	(	(	PUNCT
ejde-619	347	2	5.9	5.9	NUM
ejde-619	347	3	)	)	PUNCT
ejde-619	347	4	step	step	NOUN
ejde-619	347	5	2	2	NUM
ejde-619	347	6	.	.	PUNCT
ejde-619	348	1	in	in	ADP
ejde-619	348	2	a	a	DET
ejde-619	348	3	similarly	similarly	ADV
ejde-619	348	4	way	way	NOUN
ejde-619	348	5	,	,	PUNCT
ejde-619	348	6	we	we	PRON
ejde-619	348	7	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	348	8	d−	d−	PROPN
ejde-619	348	9	n	n	PROPN
ejde-619	348	10	|a(x)|(u+)qdx	|a(x)|(u+)qdx	PROPN
ejde-619	348	11	≤	≤	PROPN
ejde-619	348	12	c1	c1	PROPN
ejde-619	348	13	2	2	NUM
ejde-619	348	14	∥ũ∥q−	∥ũ∥q−	PROPN
ejde-619	348	15	w	w	PROPN
ejde-619	348	16	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	348	17	)	)	PUNCT
ejde-619	348	18	.	.	PUNCT
ejde-619	349	1	(	(	PUNCT
ejde-619	349	2	5.10	5.10	NUM
ejde-619	349	3	)	)	PUNCT
ejde-619	349	4	by	by	ADP
ejde-619	349	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	349	6	4.3	4.3	NUM
ejde-619	349	7	,	,	PUNCT
ejde-619	349	8	we	we	PRON
ejde-619	349	9	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	349	10	d−	d−	PROPN
ejde-619	349	11	n	n	PART
ejde-619	349	12	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	349	13	,	,	PUNCT
ejde-619	349	14	u+)u+dx	u+)u+dx	ADP
ejde-619	349	15	≤	≤	NUM
ejde-619	349	16	k1	k1	NOUN
ejde-619	349	17	1	1	NUM
ejde-619	349	18	np−−1	np−−1	ADJ
ejde-619	349	19	∫	∫	NOUN
ejde-619	349	20	d−	d−	PROPN
ejde-619	349	21	n	n	PRON
ejde-619	349	22	|u+|dx	|u+|dx	PROPN
ejde-619	349	23	≤	≤	NOUN
ejde-619	349	24	k1	k1	NOUN
ejde-619	349	25	1	1	NUM
ejde-619	349	26	np−−1	np−−1	PROPN
ejde-619	349	27	(	(	PUNCT
ejde-619	349	28	∫	∫	PROPN
ejde-619	349	29	d−	d−	PROPN
ejde-619	349	30	n	n	PRON
ejde-619	349	31	dx	dx	PROPN
ejde-619	349	32	)	)	PUNCT
ejde-619	349	33	1	1	NUM
ejde-619	349	34	p′	p′	NOUN
ejde-619	349	35	(	(	PUNCT
ejde-619	349	36	∫	∫	PROPN
ejde-619	349	37	rn	rn	PROPN
ejde-619	349	38	|ũ|pdx	|ũ|pdx	PROPN
ejde-619	349	39	)	)	PUNCT
ejde-619	349	40	1	1	X
ejde-619	349	41	/	/	SYM
ejde-619	349	42	p	p	NOUN
ejde-619	349	43	≤	≤	PROPN
ejde-619	349	44	k1|d|1	k1|d|1	PROPN
ejde-619	349	45	/	/	SYM
ejde-619	349	46	p	p	NOUN
ejde-619	349	47	′	′	NOUN
ejde-619	349	48	1	1	NUM
ejde-619	350	1	np−−1	np−−1	ADJ
ejde-619	350	2	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	350	3	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	350	4	)	)	PUNCT
ejde-619	350	5	.	.	PUNCT
ejde-619	351	1	(	(	PUNCT
ejde-619	351	2	5.11	5.11	NUM
ejde-619	351	3	)	)	PUNCT
ejde-619	351	4	also	also	ADV
ejde-619	351	5	we	we	PRON
ejde-619	351	6	have	have	AUX
ejde-619	351	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	351	8	d−	d−	PROPN
ejde-619	351	9	n	n	PRON
ejde-619	351	10	φudx	φudx	VERB
ejde-619	351	11	≤	≤	NUM
ejde-619	351	12	c3	c3	NOUN
ejde-619	351	13	2	2	NUM
ejde-619	351	14	∥ũ∥w	∥ũ∥w	PROPN
ejde-619	351	15	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	351	16	)	)	PUNCT
ejde-619	351	17	.	.	PUNCT
ejde-619	352	1	(	(	PUNCT
ejde-619	352	2	5.12	5.12	NUM
ejde-619	352	3	)	)	PUNCT
ejde-619	352	4	it	it	PRON
ejde-619	352	5	follows	follow	VERB
ejde-619	352	6	from	from	ADP
ejde-619	352	7	(	(	PUNCT
ejde-619	352	8	5.10	5.10	NUM
ejde-619	352	9	)	)	PUNCT
ejde-619	352	10	,	,	PUNCT
ejde-619	352	11	(	(	PUNCT
ejde-619	352	12	5.11	5.11	NUM
ejde-619	352	13	)	)	PUNCT
ejde-619	352	14	and	and	CCONJ
ejde-619	352	15	(	(	PUNCT
ejde-619	352	16	5.12	5.12	NUM
ejde-619	352	17	)	)	PUNCT
ejde-619	352	18	that	that	PRON
ejde-619	352	19	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	352	20	(	(	PUNCT
ejde-619	352	21	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	352	22	)	)	PUNCT
ejde-619	352	23	,	,	PUNCT
ejde-619	352	24	ξ⟩n	ξ⟩n	PROPN
ejde-619	352	25	≥	≥	NOUN
ejde-619	352	26	∫	∫	PROPN
ejde-619	352	27	d−	d−	PROPN
ejde-619	352	28	n	n	PRON
ejde-619	352	29	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	ADJ
ejde-619	352	30	∫	∫	PROPN
ejde-619	352	31	d−	d−	PROPN
ejde-619	352	32	n	n	PRON
ejde-619	352	33	|u|pdx−	|u|pdx−	NOUN
ejde-619	352	34	λ	λ	PROPN
ejde-619	352	35	c1	c1	PROPN
ejde-619	352	36	2	2	NUM
ejde-619	352	37	∥ũ∥q−	∥ũ∥q−	PROPN
ejde-619	352	38	w	w	PROPN
ejde-619	352	39	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	352	40	)	)	PUNCT
ejde-619	353	1	−k1|d|1	−k1|d|1	PROPN
ejde-619	353	2	/	/	SYM
ejde-619	353	3	p	p	NOUN
ejde-619	353	4	′	′	NOUN
ejde-619	353	5	1	1	NUM
ejde-619	353	6	np−−1	np−−1	ADJ
ejde-619	353	7	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	353	8	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	353	9	)	)	PUNCT
ejde-619	354	1	−	−	PROPN
ejde-619	355	1	c3	c3	PROPN
ejde-619	355	2	2n	2n	NUM
ejde-619	355	3	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	355	4	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	355	5	)	)	PUNCT
ejde-619	355	6	.	.	PUNCT
ejde-619	356	1	(	(	PUNCT
ejde-619	356	2	5.13	5.13	NUM
ejde-619	356	3	)	)	PUNCT
ejde-619	356	4	using	use	VERB
ejde-619	356	5	that	that	PRON
ejde-619	356	6	∥u∥pw	∥u∥pw	PROPN
ejde-619	356	7	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	356	8	)	)	PUNCT
ejde-619	357	1	=	=	SYM
ejde-619	357	2	∥ũ∥p	∥ũ∥p	PROPN
ejde-619	358	1	w	w	PROPN
ejde-619	358	2	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	358	3	)	)	PUNCT
ejde-619	359	1	=	=	PUNCT
ejde-619	359	2	∥∇ũ∥p	∥∇ũ∥p	ADJ
ejde-619	359	3	ln	ln	ADJ
ejde-619	359	4	(	(	PUNCT
ejde-619	359	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	359	6	)	)	PUNCT
ejde-619	360	1	+	+	CCONJ
ejde-619	360	2	∥ũ∥p	∥ũ∥p	PROPN
ejde-619	360	3	ln	ln	CCONJ
ejde-619	360	4	(	(	PUNCT
ejde-619	360	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	360	6	)	)	PUNCT
ejde-619	360	7	,	,	PUNCT
ejde-619	360	8	inequalities	inequality	NOUN
ejde-619	360	9	(	(	PUNCT
ejde-619	360	10	5.9	5.9	NUM
ejde-619	360	11	)	)	PUNCT
ejde-619	360	12	and	and	CCONJ
ejde-619	360	13	(	(	PUNCT
ejde-619	360	14	5.13	5.13	NUM
ejde-619	360	15	)	)	PUNCT
ejde-619	360	16	imply	imply	VERB
ejde-619	360	17	⟨f	⟨f	X
ejde-619	360	18	(	(	PUNCT
ejde-619	360	19	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	360	20	)	)	PUNCT
ejde-619	360	21	,	,	PUNCT
ejde-619	360	22	ξ⟩	ξ⟩	PRON
ejde-619	360	23	≥	≥	NUM
ejde-619	360	24	∥ũ∥p	∥ũ∥p	PROPN
ejde-619	360	25	w	w	PROPN
ejde-619	360	26	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	360	27	)	)	PUNCT
ejde-619	361	1	−	−	PROPN
ejde-619	362	1	λc1∥ũ∥q−w	λc1∥ũ∥q−w	NOUN
ejde-619	362	2	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	362	3	)	)	PUNCT
ejde-619	363	1	−	−	PROPN
ejde-619	364	1	c2∥ũ∥p−	c2∥ũ∥p−	PRON
ejde-619	364	2	w	w	PROPN
ejde-619	364	3	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	364	4	)	)	PUNCT
ejde-619	365	1	−	−	PROPN
ejde-619	366	1	(	(	PUNCT
ejde-619	366	2	k1|d|1	k1|d|1	PROPN
ejde-619	366	3	/	/	SYM
ejde-619	366	4	p	p	NOUN
ejde-619	366	5	′	′	NOUN
ejde-619	366	6	1	1	NUM
ejde-619	366	7	np−−1	np−−1	PROPN
ejde-619	366	8	+	+	CCONJ
ejde-619	366	9	c3	c3	PROPN
ejde-619	366	10	n	n	CCONJ
ejde-619	366	11	)	)	PUNCT
ejde-619	366	12	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	366	13	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	366	14	)	)	PUNCT
ejde-619	366	15	.	.	PUNCT
ejde-619	367	1	(	(	PUNCT
ejde-619	367	2	5.14	5.14	NUM
ejde-619	367	3	)	)	PUNCT
ejde-619	367	4	since	since	SCONJ
ejde-619	367	5	|ξ|m	|ξ|m	PROPN
ejde-619	367	6	=	=	SYM
ejde-619	367	7	∥ũ∥w	∥ũ∥w	ADJ
ejde-619	367	8	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	367	9	)	)	PUNCT
ejde-619	368	1	=	=	SYM
ejde-619	368	2	ϑ	ϑ	X
ejde-619	368	3	,	,	PUNCT
ejde-619	368	4	we	we	PRON
ejde-619	368	5	have	have	AUX
ejde-619	368	6	⟨f	⟨f	VERB
ejde-619	368	7	(	(	PUNCT
ejde-619	368	8	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	368	9	)	)	PUNCT
ejde-619	368	10	,	,	PUNCT
ejde-619	368	11	ξ⟩	ξ⟩	PRON
ejde-619	368	12	≥	≥	X
ejde-619	368	13	ϑp	ϑp	NOUN
ejde-619	368	14	−	−	NOUN
ejde-619	369	1	λc1ϑ	λc1ϑ	NUM
ejde-619	369	2	q−	q−	PROPN
ejde-619	369	3	−	−	NOUN
ejde-619	370	1	c2ϑ	c2ϑ	ADJ
ejde-619	370	2	p−	p−	NOUN
ejde-619	370	3	−	−	NOUN
ejde-619	370	4	(	(	PUNCT
ejde-619	370	5	k1|d|1	k1|d|1	PROPN
ejde-619	370	6	/	/	SYM
ejde-619	370	7	p′	p′	NOUN
ejde-619	370	8	np−−1	np−−1	X
ejde-619	370	9	+	+	CCONJ
ejde-619	370	10	c3	c3	PROPN
ejde-619	370	11	n	n	CCONJ
ejde-619	370	12	)	)	PUNCT
ejde-619	370	13	ϑ.	ϑ.	VERB
ejde-619	370	14	14	14	NUM
ejde-619	370	15	l.	l.	PROPN
ejde-619	370	16	f.	f.	PROPN
ejde-619	370	17	o.	o.	PROPN
ejde-619	370	18	faria	faria	PROPN
ejde-619	370	19	,	,	PUNCT
ejde-619	370	20	m.	m.	PROPN
ejde-619	370	21	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	370	22	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	370	23	if	if	SCONJ
ejde-619	370	24	ϑ	ϑ	X
ejde-619	370	25	is	be	AUX
ejde-619	370	26	such	such	ADJ
ejde-619	370	27	that	that	SCONJ
ejde-619	370	28	ϑ	ϑ	PRON
ejde-619	370	29	≤	≤	ADV
ejde-619	370	30	1	1	NUM
ejde-619	370	31	(	(	PUNCT
ejde-619	370	32	2c2	2c2	NUM
ejde-619	370	33	)	)	PUNCT
ejde-619	370	34	1	1	NUM
ejde-619	370	35	p−−p	p−−p	NOUN
ejde-619	370	36	,	,	PUNCT
ejde-619	370	37	then	then	ADV
ejde-619	370	38	ϑp	ϑp	NOUN
ejde-619	370	39	−	−	NOUN
ejde-619	370	40	c2ϑ	c2ϑ	NOUN
ejde-619	370	41	p−	p−	NOUN
ejde-619	370	42	≥	≥	NOUN
ejde-619	370	43	ϑp	ϑp	NOUN
ejde-619	370	44	2	2	NUM
ejde-619	370	45	.	.	PUNCT
ejde-619	371	1	thus	thus	ADV
ejde-619	371	2	,	,	PUNCT
ejde-619	371	3	choosing	choose	VERB
ejde-619	371	4	ϑ	ϑ	X
ejde-619	371	5	:	:	PUNCT
ejde-619	371	6	=	=	SYM
ejde-619	371	7	min	min	NOUN
ejde-619	371	8	{	{	PUNCT
ejde-619	371	9	1	1	NUM
ejde-619	371	10	(	(	PUNCT
ejde-619	371	11	2c2	2c2	NUM
ejde-619	371	12	)	)	PUNCT
ejde-619	371	13	1	1	NUM
ejde-619	371	14	p−−p	p−−p	NOUN
ejde-619	371	15	,	,	PUNCT
ejde-619	371	16	1	1	NUM
ejde-619	371	17	}	}	PUNCT
ejde-619	371	18	,	,	PUNCT
ejde-619	371	19	(	(	PUNCT
ejde-619	371	20	5.15	5.15	NUM
ejde-619	371	21	)	)	PUNCT
ejde-619	371	22	we	we	PRON
ejde-619	371	23	obtain	obtain	VERB
ejde-619	371	24	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	371	25	(	(	PUNCT
ejde-619	371	26	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	371	27	)	)	PUNCT
ejde-619	371	28	,	,	PUNCT
ejde-619	371	29	ξ⟩	ξ⟩	PRON
ejde-619	371	30	≥	≥	NOUN
ejde-619	371	31	ϑp	ϑp	NOUN
ejde-619	371	32	2	2	NUM
ejde-619	371	33	−	−	NOUN
ejde-619	371	34	λc1ϑ	λc1ϑ	X
ejde-619	371	35	q−	q−	PROPN
ejde-619	371	36	−	−	PROPN
ejde-619	372	1	(	(	PUNCT
ejde-619	372	2	k1|d|1	k1|d|1	PROPN
ejde-619	372	3	/	/	SYM
ejde-619	372	4	p′	p′	NOUN
ejde-619	372	5	np−−1	np−−1	X
ejde-619	372	6	+	+	CCONJ
ejde-619	372	7	c3	c3	PROPN
ejde-619	372	8	n	n	CCONJ
ejde-619	372	9	)	)	PUNCT
ejde-619	372	10	ϑ.	ϑ.	NOUN
ejde-619	372	11	we	we	PRON
ejde-619	372	12	define	define	VERB
ejde-619	372	13	ς	ς	PROPN
ejde-619	372	14	:	:	PUNCT
ejde-619	372	15	=	=	SYM
ejde-619	372	16	ϑp	ϑp	ADP
ejde-619	372	17	2	2	NUM
ejde-619	372	18	−	−	NOUN
ejde-619	372	19	λc1ϑ	λc1ϑ	INTJ
ejde-619	372	20	q−	q−	PROPN
ejde-619	372	21	.	.	PUNCT
ejde-619	373	1	if	if	SCONJ
ejde-619	373	2	we	we	PRON
ejde-619	373	3	choose	choose	VERB
ejde-619	373	4	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-619	373	5	:	:	PUNCT
ejde-619	373	6	=	=	PUNCT
ejde-619	373	7	ϑp−q−	ϑp−q−	PROPN
ejde-619	373	8	4c1	4c1	NUM
ejde-619	373	9	>	>	X
ejde-619	373	10	0	0	NUM
ejde-619	373	11	,	,	PUNCT
ejde-619	373	12	then	then	ADV
ejde-619	373	13	ς	ς	X
ejde-619	373	14	>	>	X
ejde-619	373	15	ϑp	ϑp	X
ejde-619	373	16	4	4	NUM
ejde-619	373	17	for	for	ADP
ejde-619	373	18	all	all	DET
ejde-619	373	19	0	0	NUM
ejde-619	373	20	<	<	X
ejde-619	373	21	λ	λ	X
ejde-619	373	22	<	<	X
ejde-619	373	23	λ∗.	λ∗.	X
ejde-619	373	24	we	we	PRON
ejde-619	373	25	choose	choose	VERB
ejde-619	373	26	n∗	n∗	PROPN
ejde-619	373	27	∈	∈	PROPN
ejde-619	373	28	n	n	PRON
ejde-619	373	29	such	such	ADJ
ejde-619	373	30	that(k1|d|1	that(k1|d|1	NUM
ejde-619	373	31	/	/	SYM
ejde-619	373	32	p′	p′	NOUN
ejde-619	373	33	np−−1	np−−1	X
ejde-619	373	34	+	+	CCONJ
ejde-619	373	35	c3	c3	PROPN
ejde-619	373	36	n	n	CCONJ
ejde-619	373	37	)	)	PUNCT
ejde-619	373	38	ϑ	ϑ	X
ejde-619	373	39	<	<	X
ejde-619	373	40	ς	ς	PROPN
ejde-619	373	41	2	2	NUM
ejde-619	373	42	for	for	ADP
ejde-619	373	43	every	every	DET
ejde-619	373	44	n	n	PRON
ejde-619	373	45	≥	≥	NOUN
ejde-619	373	46	n∗.	n∗.	PROPN
ejde-619	373	47	notice	notice	VERB
ejde-619	373	48	that	that	SCONJ
ejde-619	373	49	n∗	n∗	PROPN
ejde-619	373	50	depends	depend	VERB
ejde-619	373	51	on	on	ADP
ejde-619	373	52	the	the	DET
ejde-619	373	53	domain	domain	NOUN
ejde-619	373	54	d.	d.	NOUN
ejde-619	373	55	since	since	SCONJ
ejde-619	373	56	ξ	ξ	PROPN
ejde-619	373	57	∈	∈	PROPN
ejde-619	373	58	rm	rm	NOUN
ejde-619	373	59	is	be	AUX
ejde-619	373	60	such	such	ADJ
ejde-619	373	61	that	that	SCONJ
ejde-619	373	62	|ξ|m	|ξ|m	PROPN
ejde-619	373	63	=	=	SYM
ejde-619	373	64	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-619	373	65	,	,	PUNCT
ejde-619	373	66	then	then	ADV
ejde-619	373	67	for	for	ADP
ejde-619	373	68	λ	λ	PROPN
ejde-619	373	69	<	<	X
ejde-619	373	70	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	373	71	and	and	CCONJ
ejde-619	373	72	n	n	PRON
ejde-619	373	73	≥	≥	NOUN
ejde-619	373	74	n∗	n∗	VERB
ejde-619	373	75	we	we	PRON
ejde-619	373	76	obtain	obtain	VERB
ejde-619	373	77	⟨f	⟨f	PUNCT
ejde-619	373	78	(	(	PUNCT
ejde-619	373	79	ξ	ξ	NOUN
ejde-619	373	80	)	)	PUNCT
ejde-619	373	81	,	,	PUNCT
ejde-619	373	82	ξ⟩	ξ⟩	PRON
ejde-619	373	83	≥	≥	NOUN
ejde-619	373	84	ς	ς	PROPN
ejde-619	373	85	2	2	NUM
ejde-619	373	86	>	>	SYM
ejde-619	373	87	0	0	NUM
ejde-619	373	88	.	.	PUNCT
ejde-619	374	1	(	(	PUNCT
ejde-619	374	2	5.16	5.16	NUM
ejde-619	374	3	)	)	PUNCT
ejde-619	374	4	since	since	SCONJ
ejde-619	374	5	fn	fn	NOUN
ejde-619	374	6	is	be	AUX
ejde-619	374	7	a	a	DET
ejde-619	374	8	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-619	374	9	function	function	NOUN
ejde-619	374	10	(	(	PUNCT
ejde-619	374	11	for	for	ADP
ejde-619	374	12	each	each	DET
ejde-619	374	13	n	n	PRON
ejde-619	374	14	∈	∈	PROPN
ejde-619	374	15	n	n	CCONJ
ejde-619	374	16	)	)	PUNCT
ejde-619	374	17	,	,	PUNCT
ejde-619	374	18	it	it	PRON
ejde-619	374	19	easy	easy	ADJ
ejde-619	374	20	to	to	PART
ejde-619	374	21	see	see	VERB
ejde-619	374	22	that	that	PRON
ejde-619	374	23	f	f	PROPN
ejde-619	374	24	:	:	PUNCT
ejde-619	374	25	rm	rm	PROPN
ejde-619	374	26	→	→	SYM
ejde-619	374	27	rm	rm	PROPN
ejde-619	374	28	is	be	AUX
ejde-619	374	29	a	a	DET
ejde-619	374	30	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	374	31	function	function	NOUN
ejde-619	374	32	.	.	PUNCT
ejde-619	375	1	thus	thus	ADV
ejde-619	375	2	,	,	PUNCT
ejde-619	375	3	for	for	SCONJ
ejde-619	375	4	each	each	DET
ejde-619	375	5	λ	λ	PROPN
ejde-619	375	6	<	<	X
ejde-619	375	7	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	375	8	and	and	CCONJ
ejde-619	375	9	n	n	PROPN
ejde-619	375	10	>	>	X
ejde-619	375	11	n∗	n∗	PROPN
ejde-619	375	12	fixed	fix	VERB
ejde-619	375	13	,	,	PUNCT
ejde-619	375	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	375	15	2.1	2.1	NUM
ejde-619	375	16	ensure	ensure	VERB
ejde-619	375	17	the	the	DET
ejde-619	375	18	existence	existence	NOUN
ejde-619	375	19	of	of	ADP
ejde-619	375	20	y	y	PROPN
ejde-619	375	21	∈	∈	PROPN
ejde-619	375	22	rm	rm	PROPN
ejde-619	375	23	with	with	ADP
ejde-619	375	24	|y|m	|y|m	PROPN
ejde-619	375	25	≤	≤	NOUN
ejde-619	375	26	ϑ	ϑ	X
ejde-619	375	27	and	and	CCONJ
ejde-619	375	28	such	such	ADJ
ejde-619	375	29	that	that	SCONJ
ejde-619	375	30	f	f	PROPN
ejde-619	375	31	(	(	PUNCT
ejde-619	375	32	y	y	NOUN
ejde-619	375	33	)	)	PUNCT
ejde-619	375	34	=	=	SYM
ejde-619	375	35	0	0	X
ejde-619	375	36	.	.	PUNCT
ejde-619	376	1	in	in	ADP
ejde-619	376	2	other	other	ADJ
ejde-619	376	3	words	word	NOUN
ejde-619	376	4	,	,	PUNCT
ejde-619	376	5	there	there	PRON
ejde-619	376	6	exists	exist	VERB
ejde-619	376	7	um	um	INTJ
ejde-619	376	8	∈wm	∈wm	PUNCT
ejde-619	376	9	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	376	10	∥um∥w	∥um∥w	PROPN
ejde-619	376	11	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	376	12	)	)	PUNCT
ejde-619	376	13	≤	≤	NOUN
ejde-619	376	14	ϑ	ϑ	X
ejde-619	376	15	,	,	PUNCT
ejde-619	376	16	(	(	PUNCT
ejde-619	376	17	5.17	5.17	NUM
ejde-619	376	18	)	)	PUNCT
ejde-619	376	19	and	and	CCONJ
ejde-619	376	20	such	such	ADJ
ejde-619	376	21	that∫	that∫	NOUN
ejde-619	376	22	d	d	PROPN
ejde-619	376	23	|∇um|p−2∇um∇wdx+	|∇um|p−2∇um∇wdx+	NOUN
ejde-619	376	24	∫	∫	PROPN
ejde-619	376	25	d	d	X
ejde-619	376	26	|um|p−2umw	|um|p−2umw	PROPN
ejde-619	376	27	dx	dx	PROPN
ejde-619	377	1	=	=	SYM
ejde-619	377	2	λ	λ	X
ejde-619	377	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	377	4	d	d	PROPN
ejde-619	377	5	a(x)(um+	a(x)(um+	NOUN
ejde-619	377	6	)	)	PUNCT
ejde-619	377	7	q(x)−1wdx+	q(x)−1wdx+	NOUN
ejde-619	377	8	∫	∫	NOUN
ejde-619	378	1	d	d	NOUN
ejde-619	378	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	378	3	,	,	PUNCT
ejde-619	378	4	um+)wdx+	um+)wdx+	NOUN
ejde-619	378	5	1	1	NUM
ejde-619	378	6	n	n	NUM
ejde-619	378	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	379	1	d	d	PROPN
ejde-619	379	2	φw	φw	PROPN
ejde-619	379	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	379	4	,	,	PUNCT
ejde-619	379	5	(	(	PUNCT
ejde-619	379	6	5.18	5.18	NUM
ejde-619	379	7	)	)	PUNCT
ejde-619	379	8	for	for	ADP
ejde-619	379	9	all	all	PRON
ejde-619	379	10	w	w	PROPN
ejde-619	379	11	∈wm	∈wm	PROPN
ejde-619	379	12	.	.	PROPN
ejde-619	379	13	remark	remark	PROPN
ejde-619	379	14	5.2	5.2	NUM
ejde-619	379	15	.	.	PUNCT
ejde-619	380	1	it	it	PRON
ejde-619	380	2	is	be	AUX
ejde-619	380	3	important	important	ADJ
ejde-619	380	4	to	to	PART
ejde-619	380	5	mention	mention	VERB
ejde-619	380	6	that	that	PRON
ejde-619	380	7	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-619	380	8	,	,	PUNCT
ejde-619	380	9	given	give	VERB
ejde-619	380	10	in	in	ADP
ejde-619	380	11	(	(	PUNCT
ejde-619	380	12	5.15	5.15	NUM
ejde-619	380	13	)	)	PUNCT
ejde-619	380	14	,	,	PUNCT
ejde-619	380	15	does	do	AUX
ejde-619	380	16	not	not	PART
ejde-619	380	17	depend	depend	VERB
ejde-619	380	18	on	on	ADP
ejde-619	380	19	the	the	DET
ejde-619	380	20	domain	domain	NOUN
ejde-619	380	21	d	d	NOUN
ejde-619	380	22	,	,	PUNCT
ejde-619	380	23	m	m	VERB
ejde-619	380	24	nor	nor	CCONJ
ejde-619	380	25	n.	n.	VERB
ejde-619	380	26	for	for	ADP
ejde-619	380	27	this	this	DET
ejde-619	380	28	matter	matter	NOUN
ejde-619	380	29	,	,	PUNCT
ejde-619	380	30	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	380	31	1.2	1.2	NUM
ejde-619	380	32	plays	play	VERB
ejde-619	380	33	an	an	DET
ejde-619	380	34	important	important	ADJ
ejde-619	380	35	role	role	NOUN
ejde-619	380	36	.	.	PUNCT
ejde-619	381	1	sincewm	sincewm	ADJ
ejde-619	381	2	⊂w	⊂w	PROPN
ejde-619	381	3	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	381	4	0,r	0,r	NUM
ejde-619	381	5	(	(	PUNCT
ejde-619	381	6	d	d	NOUN
ejde-619	381	7	)	)	PUNCT
ejde-619	381	8	for	for	ADP
ejde-619	381	9	all	all	DET
ejde-619	381	10	m	m	NOUN
ejde-619	381	11	∈	∈	NOUN
ejde-619	381	12	n	n	CCONJ
ejde-619	381	13	,	,	PUNCT
ejde-619	381	14	and	and	CCONJ
ejde-619	381	15	ϑ	ϑ	X
ejde-619	381	16	does	do	AUX
ejde-619	381	17	not	not	PART
ejde-619	381	18	depend	depend	VERB
ejde-619	381	19	on	on	ADP
ejde-619	381	20	m	m	PROPN
ejde-619	381	21	,	,	PUNCT
ejde-619	381	22	then	then	ADV
ejde-619	381	23	(	(	PUNCT
ejde-619	381	24	um)m∈n	um)m∈n	PROPN
ejde-619	381	25	is	be	AUX
ejde-619	381	26	a	a	DET
ejde-619	381	27	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	381	28	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	381	29	in	in	ADP
ejde-619	381	30	w	w	PROPN
ejde-619	381	31	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	381	32	0	0	PUNCT
ejde-619	382	1	(	(	PUNCT
ejde-619	382	2	d	d	NOUN
ejde-619	382	3	)	)	PUNCT
ejde-619	382	4	.	.	PUNCT
ejde-619	383	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	383	2	,	,	PUNCT
ejde-619	383	3	for	for	ADP
ejde-619	383	4	some	some	DET
ejde-619	383	5	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-619	383	6	,	,	PUNCT
ejde-619	383	7	there	there	PRON
ejde-619	383	8	exists	exist	VERB
ejde-619	383	9	u	u	NOUN
ejde-619	383	10	∈w	∈w	NOUN
ejde-619	383	11	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	383	12	0	0	SYM
ejde-619	384	1	(	(	PUNCT
ejde-619	384	2	d	d	NOUN
ejde-619	384	3	)	)	PUNCT
ejde-619	384	4	such	such	ADJ
ejde-619	384	5	that	that	SCONJ
ejde-619	384	6	um	um	INTJ
ejde-619	384	7	⇀	⇀	NUM
ejde-619	384	8	u	u	NOUN
ejde-619	384	9	weakly	weakly	ADV
ejde-619	384	10	in	in	ADP
ejde-619	384	11	w	w	PROPN
ejde-619	384	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	384	13	0,r	0,r	NUM
ejde-619	384	14	(	(	PUNCT
ejde-619	384	15	d	d	NOUN
ejde-619	384	16	)	)	PUNCT
ejde-619	384	17	,	,	PUNCT
ejde-619	384	18	(	(	PUNCT
ejde-619	384	19	5.19	5.19	NUM
ejde-619	384	20	)	)	PUNCT
ejde-619	384	21	um	um	INTJ
ejde-619	384	22	→	→	SYM
ejde-619	384	23	u	u	PROPN
ejde-619	384	24	in	in	ADP
ejde-619	384	25	ls(d	ls(d	PROPN
ejde-619	384	26	)	)	PUNCT
ejde-619	384	27	,	,	PUNCT
ejde-619	384	28	p	p	PROPN
ejde-619	384	29	≤	≤	PROPN
ejde-619	384	30	s	s	PART
ejde-619	384	31	<	<	X
ejde-619	384	32	p∗	p∗	PROPN
ejde-619	384	33	,	,	PUNCT
ejde-619	384	34	(	(	PUNCT
ejde-619	384	35	5.20	5.20	NUM
ejde-619	384	36	)	)	PUNCT
ejde-619	384	37	um	um	INTJ
ejde-619	384	38	→	→	SYM
ejde-619	384	39	u	u	PROPN
ejde-619	384	40	,	,	PUNCT
ejde-619	384	41	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	384	42	.	.	PROPN
ejde-619	384	43	in	in	ADP
ejde-619	384	44	,	,	PUNCT
ejde-619	384	45	d.	d.	PROPN
ejde-619	384	46	(	(	PUNCT
ejde-619	384	47	5.21	5.21	NUM
ejde-619	384	48	)	)	PUNCT
ejde-619	384	49	thus	thus	ADV
ejde-619	384	50	,	,	PUNCT
ejde-619	384	51	∥u∥w	∥u∥w	ADJ
ejde-619	384	52	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	384	53	)	)	PUNCT
ejde-619	384	54	≤	≤	PROPN
ejde-619	385	1	lim	lim	PROPN
ejde-619	385	2	inf	inf	PROPN
ejde-619	385	3	m→∞	m→∞	NUM
ejde-619	385	4	∥um∥w	∥um∥w	NOUN
ejde-619	385	5	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	385	6	)	)	PUNCT
ejde-619	385	7	≤	≤	NUM
ejde-619	385	8	ϑ.	ϑ.	NOUN
ejde-619	385	9	(	(	PUNCT
ejde-619	385	10	5.22	5.22	NUM
ejde-619	385	11	)	)	PUNCT
ejde-619	385	12	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	385	13	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	385	14	equations	equation	NOUN
ejde-619	385	15	on	on	ADP
ejde-619	385	16	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	385	17	domains	domain	NOUN
ejde-619	385	18	15	15	NUM
ejde-619	385	19	now	now	ADV
ejde-619	385	20	we	we	PRON
ejde-619	385	21	claim	claim	VERB
ejde-619	385	22	that	that	SCONJ
ejde-619	385	23	um	um	INTJ
ejde-619	385	24	→	→	SYM
ejde-619	385	25	u	u	PROPN
ejde-619	385	26	in	in	ADP
ejde-619	385	27	w	w	PROPN
ejde-619	385	28	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	385	29	0,r	0,r	NUM
ejde-619	385	30	(	(	PUNCT
ejde-619	385	31	d	d	NOUN
ejde-619	385	32	)	)	PUNCT
ejde-619	385	33	.	.	PUNCT
ejde-619	386	1	(	(	PUNCT
ejde-619	386	2	5.23	5.23	NUM
ejde-619	386	3	)	)	PUNCT
ejde-619	386	4	indeed	indeed	ADV
ejde-619	386	5	,	,	PUNCT
ejde-619	386	6	using	use	VERB
ejde-619	386	7	that	that	DET
ejde-619	386	8	b	b	NOUN
ejde-619	386	9	=	=	SYM
ejde-619	386	10	{	{	PUNCT
ejde-619	386	11	w1	w1	NOUN
ejde-619	386	12	,	,	PUNCT
ejde-619	386	13	w2	w2	NOUN
ejde-619	386	14	,	,	PUNCT
ejde-619	386	15	.	.	PUNCT
ejde-619	386	16	.	.	PUNCT
ejde-619	386	17	.	.	PUNCT
ejde-619	387	1	,	,	PUNCT
ejde-619	387	2	wn	wn	PROPN
ejde-619	387	3	,	,	PUNCT
ejde-619	387	4	.	.	PUNCT
ejde-619	387	5	.	.	PUNCT
ejde-619	387	6	.	.	PUNCT
ejde-619	388	1	}	}	PUNCT
ejde-619	388	2	is	be	AUX
ejde-619	388	3	a	a	DET
ejde-619	388	4	schauder	schauder	ADJ
ejde-619	388	5	basis	basis	NOUN
ejde-619	388	6	of	of	ADP
ejde-619	388	7	w	w	PROPN
ejde-619	388	8	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	389	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	389	2	(	(	PUNCT
ejde-619	389	3	d	d	NOUN
ejde-619	389	4	)	)	PUNCT
ejde-619	389	5	,	,	PUNCT
ejde-619	389	6	for	for	ADP
ejde-619	389	7	every	every	DET
ejde-619	389	8	u	u	PROPN
ejde-619	389	9	∈	∈	PROPN
ejde-619	389	10	w	w	PROPN
ejde-619	389	11	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	389	12	0,r	0,r	NUM
ejde-619	389	13	(	(	PUNCT
ejde-619	389	14	d	d	X
ejde-619	389	15	)	)	PUNCT
ejde-619	389	16	there	there	PRON
ejde-619	389	17	exists	exist	VERB
ejde-619	389	18	a	a	DET
ejde-619	389	19	unique	unique	ADJ
ejde-619	389	20	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	389	21	(	(	PUNCT
ejde-619	389	22	αn)n≥1	αn)n≥1	NOUN
ejde-619	389	23	in	in	ADP
ejde-619	389	24	r	r	NOUN
ejde-619	389	25	such	such	ADJ
ejde-619	389	26	that	that	SCONJ
ejde-619	389	27	u	u	NOUN
ejde-619	389	28	=	=	NOUN
ejde-619	389	29	∑∞	∑∞	X
ejde-619	389	30	j=1	j=1	ADJ
ejde-619	389	31	αjwj	αjwj	NOUN
ejde-619	389	32	,	,	PUNCT
ejde-619	389	33	so	so	SCONJ
ejde-619	389	34	that	that	SCONJ
ejde-619	389	35	ψm	ψm	PUNCT
ejde-619	389	36	:	:	PUNCT
ejde-619	389	37	=	=	SYM
ejde-619	389	38	m∑	m∑	ADV
ejde-619	389	39	j=1	j=1	PROPN
ejde-619	389	40	αjwj	αjwj	PROPN
ejde-619	389	41	→	→	SYM
ejde-619	389	42	u	u	NOUN
ejde-619	389	43	in	in	ADP
ejde-619	389	44	w	w	PROPN
ejde-619	389	45	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	389	46	0,r	0,r	NUM
ejde-619	389	47	(	(	PUNCT
ejde-619	389	48	d	d	NOUN
ejde-619	389	49	)	)	PUNCT
ejde-619	389	50	as	as	ADP
ejde-619	389	51	m→	m→	PROPN
ejde-619	389	52	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	389	53	(	(	PUNCT
ejde-619	389	54	5.24	5.24	NUM
ejde-619	389	55	)	)	PUNCT
ejde-619	389	56	using	use	VERB
ejde-619	389	57	w	w	NOUN
ejde-619	389	58	=	=	SYM
ejde-619	389	59	(	(	PUNCT
ejde-619	389	60	um	um	INTJ
ejde-619	389	61	−	−	PROPN
ejde-619	389	62	ψm	ψm	NOUN
ejde-619	389	63	)	)	PUNCT
ejde-619	389	64	∈wm	∈wm	PROPN
ejde-619	389	65	as	as	ADP
ejde-619	389	66	test	test	NOUN
ejde-619	389	67	function	function	NOUN
ejde-619	389	68	in	in	ADP
ejde-619	389	69	(	(	PUNCT
ejde-619	389	70	5.18	5.18	NUM
ejde-619	389	71	)	)	PUNCT
ejde-619	389	72	,	,	PUNCT
ejde-619	389	73	we	we	PRON
ejde-619	389	74	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	389	75	d	d	SCONJ
ejde-619	389	76	|∇um|p−2∇um∇(um	|∇um|p−2∇um∇(um	PROPN
ejde-619	389	77	−	−	PROPN
ejde-619	389	78	ψm)dx+	ψm)dx+	ADV
ejde-619	389	79	∫	∫	PROPN
ejde-619	390	1	d	d	X
ejde-619	390	2	|um|p−2um(um	|um|p−2um(um	PRON
ejde-619	390	3	−	−	NOUN
ejde-619	390	4	ψm)dx	ψm)dx	PUNCT
ejde-619	390	5	=	=	PUNCT
ejde-619	391	1	λ	λ	X
ejde-619	391	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	391	3	d	d	NOUN
ejde-619	391	4	a(x)(um+	a(x)(um+	NOUN
ejde-619	391	5	)	)	PUNCT
ejde-619	391	6	q(x)−1(um	q(x)−1(um	CCONJ
ejde-619	391	7	−	−	NOUN
ejde-619	391	8	ψm)dx+	ψm)dx+	ADV
ejde-619	391	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	392	1	d	d	NOUN
ejde-619	392	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	392	3	,	,	PUNCT
ejde-619	392	4	um+)(um	um+)(um	PROPN
ejde-619	392	5	−	−	PROPN
ejde-619	392	6	ψm)dx	ψm)dx	PUNCT
ejde-619	393	1	+	+	NUM
ejde-619	393	2	1	1	NUM
ejde-619	393	3	n	n	NUM
ejde-619	393	4	∫	∫	NOUN
ejde-619	394	1	d	d	X
ejde-619	394	2	φ(um	φ(um	ADV
ejde-619	394	3	−	−	NOUN
ejde-619	394	4	ψm)dx	ψm)dx	PRON
ejde-619	394	5	.	.	PUNCT
ejde-619	395	1	(	(	PUNCT
ejde-619	395	2	5.25	5.25	NUM
ejde-619	395	3	)	)	PUNCT
ejde-619	395	4	it	it	PRON
ejde-619	395	5	is	be	AUX
ejde-619	395	6	easy	easy	ADJ
ejde-619	395	7	to	to	PART
ejde-619	395	8	see	see	VERB
ejde-619	395	9	that∫	that∫	PROPN
ejde-619	395	10	d	d	PROPN
ejde-619	395	11	(	(	PUNCT
ejde-619	395	12	|um|p−1	|um|p−1	PROPN
ejde-619	395	13	+	+	NUM
ejde-619	395	14	|λa(x)(um+	|λa(x)(um+	PROPN
ejde-619	395	15	)	)	PUNCT
ejde-619	395	16	q(x)−1|+	q(x)−1|+	PROPN
ejde-619	395	17	1	1	NUM
ejde-619	395	18	n	n	NUM
ejde-619	395	19	|φ|	|φ|	PROPN
ejde-619	395	20	)	)	PUNCT
ejde-619	396	1	|um	|um	DET
ejde-619	396	2	−	−	PUNCT
ejde-619	396	3	ψm|dx	ψm|dx	NOUN
ejde-619	396	4	≤	≤	NUM
ejde-619	396	5	(	(	PUNCT
ejde-619	396	6	∥un∥p−1	∥un∥p−1	PROPN
ejde-619	396	7	lp(d	lp(d	PROPN
ejde-619	396	8	)	)	PUNCT
ejde-619	396	9	+	+	CCONJ
ejde-619	396	10	λ∥a∥lp/(p−q(x))(d)∥un∥	λ∥a∥lp/(p−q(x))(d)∥un∥	SYM
ejde-619	396	11	q−−1	q−−1	NUM
ejde-619	396	12	lp(d	lp(d	NUM
ejde-619	396	13	)	)	PUNCT
ejde-619	396	14	+	+	CCONJ
ejde-619	396	15	1	1	NUM
ejde-619	396	16	n	n	DET
ejde-619	396	17	∥φ∥lp′	∥φ∥lp′	ADJ
ejde-619	396	18	(	(	PUNCT
ejde-619	396	19	d	d	NOUN
ejde-619	396	20	)	)	PUNCT
ejde-619	396	21	)	)	PUNCT
ejde-619	397	1	∥um	∥um	VERB
ejde-619	397	2	−	−	PROPN
ejde-619	397	3	ψm∥lp(d	ψm∥lp(d	NOUN
ejde-619	397	4	)	)	PUNCT
ejde-619	397	5	.	.	PUNCT
ejde-619	398	1	(	(	PUNCT
ejde-619	398	2	5.26	5.26	NUM
ejde-619	398	3	)	)	PUNCT
ejde-619	398	4	by	by	ADP
ejde-619	398	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	398	6	4.3	4.3	NUM
ejde-619	398	7	,	,	PUNCT
ejde-619	399	1	one	one	NUM
ejde-619	399	2	has∫	has∫	NOUN
ejde-619	399	3	d	d	NOUN
ejde-619	399	4	[	[	X
ejde-619	399	5	fn(r	fn(r	X
ejde-619	399	6	,	,	PUNCT
ejde-619	399	7	um+	um+	NOUN
ejde-619	399	8	)	)	PUNCT
ejde-619	399	9	]	]	PUNCT
ejde-619	400	1	θ(r	θ(r	X
ejde-619	400	2	)	)	PUNCT
ejde-619	400	3	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	400	4	dx	dx	PROPN
ejde-619	400	5	=	=	SYM
ejde-619	400	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	400	7	d+	d+	PUNCT
ejde-619	400	8	n	n	CCONJ
ejde-619	400	9	[	[	X
ejde-619	400	10	fn(r	fn(r	X
ejde-619	400	11	,	,	PUNCT
ejde-619	400	12	um+	um+	NOUN
ejde-619	400	13	)	)	PUNCT
ejde-619	400	14	]	]	PUNCT
ejde-619	401	1	θ(r	θ(r	X
ejde-619	401	2	)	)	PUNCT
ejde-619	401	3	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	401	4	dx+	dx+	NOUN
ejde-619	401	5	∫	∫	PROPN
ejde-619	401	6	d−	d−	PROPN
ejde-619	401	7	n	n	PROPN
ejde-619	401	8	[	[	X
ejde-619	401	9	fn(r	fn(r	X
ejde-619	401	10	,	,	PUNCT
ejde-619	401	11	um+	um+	NOUN
ejde-619	401	12	)	)	PUNCT
ejde-619	401	13	]	]	PUNCT
ejde-619	402	1	θ(r	θ(r	X
ejde-619	402	2	)	)	PUNCT
ejde-619	402	3	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	402	4	dx,∫	dx,∫	PROPN
ejde-619	402	5	d+	d+	PUNCT
ejde-619	402	6	n	n	CCONJ
ejde-619	402	7	[	[	X
ejde-619	402	8	fn(r	fn(r	X
ejde-619	402	9	,	,	PUNCT
ejde-619	402	10	um+	um+	NOUN
ejde-619	402	11	)	)	PUNCT
ejde-619	402	12	]	]	PUNCT
ejde-619	403	1	θ(r	θ(r	X
ejde-619	403	2	)	)	PUNCT
ejde-619	403	3	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	403	4	dx	dx	PROPN
ejde-619	403	5	≤	≤	PROPN
ejde-619	403	6	(	(	PUNCT
ejde-619	403	7	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	403	8	,	,	PUNCT
ejde-619	403	9	1})p	1})p	PROPN
ejde-619	403	10	∗	∗	NOUN
ejde-619	403	11	∫	∫	PROPN
ejde-619	403	12	d+	d+	PUNCT
ejde-619	403	13	n	n	NUM
ejde-619	403	14	|um+|θ(r)dx	|um+|θ(r)dx	NOUN
ejde-619	403	15	≤	≤	NOUN
ejde-619	403	16	(	(	PUNCT
ejde-619	403	17	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	403	18	,	,	PUNCT
ejde-619	403	19	1})p	1})p	NUM
ejde-619	403	20	∗	∗	NOUN
ejde-619	403	21	∫	∫	PROPN
ejde-619	403	22	d	d	PROPN
ejde-619	403	23	|um+|θ(r)dx	|um+|θ(r)dx	VERB
ejde-619	403	24	≤	≤	NUM
ejde-619	403	25	k2∥um∥w	k2∥um∥w	PROPN
ejde-619	403	26	1,p(d)∫	1,p(d)∫	NUM
ejde-619	403	27	d−	d−	PROPN
ejde-619	403	28	n	n	PROPN
ejde-619	403	29	[	[	X
ejde-619	403	30	fn(r	fn(r	X
ejde-619	403	31	,	,	PUNCT
ejde-619	403	32	um+	um+	NOUN
ejde-619	403	33	)	)	PUNCT
ejde-619	403	34	]	]	PUNCT
ejde-619	404	1	θ(r	θ(r	X
ejde-619	404	2	)	)	PUNCT
ejde-619	404	3	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	404	4	dx	dx	PROPN
ejde-619	404	5	≤	≤	PROPN
ejde-619	404	6	(	(	PUNCT
ejde-619	404	7	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	404	8	,	,	PUNCT
ejde-619	404	9	1})p	1})p	NUM
ejde-619	404	10	∗	∗	NOUN
ejde-619	404	11	1	1	NUM
ejde-619	404	12	np∗−2	np∗−2	PROPN
ejde-619	404	13	∫	∫	NOUN
ejde-619	404	14	d−	d−	PROPN
ejde-619	404	15	n	n	ADP
ejde-619	404	16	|um+|θ(r)dx	|um+|θ(r)dx	VERB
ejde-619	404	17	≤	≤	NOUN
ejde-619	404	18	(	(	PUNCT
ejde-619	404	19	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	404	20	,	,	PUNCT
ejde-619	404	21	1})p	1})p	NUM
ejde-619	404	22	∗	∗	NOUN
ejde-619	404	23	|d|	|d|	PROPN
ejde-619	404	24	.	.	PUNCT
ejde-619	405	1	since	since	SCONJ
ejde-619	405	2	∥um∥w	∥um∥w	PROPN
ejde-619	405	3	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	405	4	)	)	PUNCT
ejde-619	405	5	≤	≤	NOUN
ejde-619	405	6	ϑ	ϑ	X
ejde-619	405	7	,	,	PUNCT
ejde-619	405	8	by	by	ADP
ejde-619	405	9	the	the	DET
ejde-619	405	10	estimates	estimate	NOUN
ejde-619	405	11	above	above	ADV
ejde-619	405	12	,	,	PUNCT
ejde-619	405	13	we	we	PRON
ejde-619	405	14	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	405	15	d	d	PROPN
ejde-619	406	1	[	[	X
ejde-619	406	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	406	3	,	,	PUNCT
ejde-619	406	4	um+	um+	NOUN
ejde-619	406	5	)	)	PUNCT
ejde-619	406	6	]	]	PUNCT
ejde-619	406	7	θ(r	θ(r	X
ejde-619	406	8	)	)	PUNCT
ejde-619	406	9	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	406	10	dx	dx	PROPN
ejde-619	406	11	≤	≤	PROPN
ejde-619	406	12	c	c	X
ejde-619	406	13	,	,	PUNCT
ejde-619	406	14	(	(	PUNCT
ejde-619	406	15	5.27	5.27	NUM
ejde-619	406	16	)	)	PUNCT
ejde-619	406	17	where	where	SCONJ
ejde-619	406	18	c	c	NOUN
ejde-619	406	19	does	do	AUX
ejde-619	406	20	not	not	PART
ejde-619	406	21	depend	depend	VERB
ejde-619	406	22	on	on	ADP
ejde-619	406	23	m.	m.	NOUN
ejde-619	406	24	hence	hence	ADV
ejde-619	406	25	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	406	26	,	,	PUNCT
ejde-619	406	27	um+	um+	NOUN
ejde-619	406	28	)	)	PUNCT
ejde-619	406	29	is	be	AUX
ejde-619	406	30	bounded	bound	VERB
ejde-619	406	31	in	in	ADP
ejde-619	406	32	l	l	NOUN
ejde-619	406	33	θ(r	θ(r	X
ejde-619	406	34	)	)	PUNCT
ejde-619	406	35	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	406	36	(	(	PUNCT
ejde-619	406	37	d	d	NOUN
ejde-619	406	38	)	)	PUNCT
ejde-619	406	39	.	.	PUNCT
ejde-619	407	1	applying	apply	VERB
ejde-619	407	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-619	407	3	1.2	1.2	NUM
ejde-619	407	4	,	,	PUNCT
ejde-619	407	5	(	(	PUNCT
ejde-619	407	6	5.24	5.24	NUM
ejde-619	407	7	)	)	PUNCT
ejde-619	407	8	and	and	CCONJ
ejde-619	407	9	(	(	PUNCT
ejde-619	407	10	5.27	5.27	NUM
ejde-619	407	11	)	)	PUNCT
ejde-619	407	12	we	we	PRON
ejde-619	407	13	conclude	conclude	VERB
ejde-619	407	14	that	that	SCONJ
ejde-619	407	15	lim	lim	PROPN
ejde-619	407	16	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-619	408	1	∫	∫	PROPN
ejde-619	408	2	d	d	NOUN
ejde-619	408	3	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	408	4	,	,	PUNCT
ejde-619	408	5	um+)(um	um+)(um	PROPN
ejde-619	408	6	−	−	PROPN
ejde-619	408	7	ψm)dx	ψm)dx	PUNCT
ejde-619	408	8	=	=	PUNCT
ejde-619	408	9	0	0	X
ejde-619	408	10	.	.	PUNCT
ejde-619	409	1	(	(	PUNCT
ejde-619	409	2	5.28	5.28	NUM
ejde-619	409	3	)	)	PUNCT
ejde-619	409	4	16	16	NUM
ejde-619	409	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	409	6	f.	f.	PROPN
ejde-619	409	7	o.	o.	PROPN
ejde-619	409	8	faria	faria	PROPN
ejde-619	409	9	,	,	PUNCT
ejde-619	409	10	m.	m.	PROPN
ejde-619	409	11	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	409	12	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	409	13	notice	notice	VERB
ejde-619	409	14	that∫	that∫	PROPN
ejde-619	409	15	d	d	NOUN
ejde-619	409	16	fn(r	fn(r	PROPN
ejde-619	409	17	,	,	PUNCT
ejde-619	409	18	um+)(um	um+)(um	PROPN
ejde-619	409	19	−	−	PROPN
ejde-619	409	20	ψm)dx	ψm)dx	PUNCT
ejde-619	409	21	≤	≤	NUM
ejde-619	410	1	c̃∥um	c̃∥um	NOUN
ejde-619	410	2	−	−	PROPN
ejde-619	410	3	ψm∥θ(r	ψm∥θ(r	NOUN
ejde-619	410	4	)	)	PUNCT
ejde-619	410	5	≤	≤	NOUN
ejde-619	411	1	˜̃c∥um	˜̃c∥um	NUM
ejde-619	411	2	−	−	NOUN
ejde-619	411	3	ψm∥w	ψm∥w	NOUN
ejde-619	411	4	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	411	5	)	)	PUNCT
ejde-619	411	6	→	→	SYM
ejde-619	411	7	0	0	PUNCT
ejde-619	412	1	as	as	ADP
ejde-619	412	2	m→	m→	PROPN
ejde-619	412	3	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	412	4	(	(	PUNCT
ejde-619	412	5	5.29	5.29	NUM
ejde-619	412	6	)	)	PUNCT
ejde-619	412	7	by	by	ADP
ejde-619	412	8	(	(	PUNCT
ejde-619	412	9	5.17	5.17	NUM
ejde-619	412	10	)	)	PUNCT
ejde-619	412	11	and	and	CCONJ
ejde-619	412	12	(	(	PUNCT
ejde-619	412	13	5.24	5.24	NUM
ejde-619	412	14	)	)	PUNCT
ejde-619	412	15	,	,	PUNCT
ejde-619	412	16	we	we	PRON
ejde-619	412	17	obtain	obtain	VERB
ejde-619	412	18	lim	lim	PROPN
ejde-619	412	19	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-619	412	20	∫	∫	PROPN
ejde-619	413	1	d	d	X
ejde-619	413	2	|∇um|p−2∇um∇(u−	|∇um|p−2∇um∇(u−	PRON
ejde-619	413	3	ψm)dx	ψm)dx	PUNCT
ejde-619	413	4	=	=	SYM
ejde-619	413	5	0	0	X
ejde-619	413	6	.	.	PUNCT
ejde-619	414	1	(	(	PUNCT
ejde-619	414	2	5.30	5.30	NUM
ejde-619	414	3	)	)	PUNCT
ejde-619	414	4	by	by	ADP
ejde-619	414	5	(	(	PUNCT
ejde-619	414	6	5.25	5.25	NUM
ejde-619	414	7	)	)	PUNCT
ejde-619	414	8	,	,	PUNCT
ejde-619	414	9	(	(	PUNCT
ejde-619	414	10	5.26	5.26	NUM
ejde-619	414	11	)	)	PUNCT
ejde-619	414	12	,	,	PUNCT
ejde-619	414	13	(	(	PUNCT
ejde-619	414	14	5.28	5.28	NUM
ejde-619	414	15	)	)	PUNCT
ejde-619	414	16	and	and	CCONJ
ejde-619	414	17	(	(	PUNCT
ejde-619	414	18	5.30	5.30	NUM
ejde-619	414	19	)	)	PUNCT
ejde-619	414	20	,	,	PUNCT
ejde-619	414	21	we	we	PRON
ejde-619	414	22	obtain	obtain	VERB
ejde-619	414	23	lim	lim	PROPN
ejde-619	414	24	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-619	414	25	∫	∫	PROPN
ejde-619	415	1	d	d	PROPN
ejde-619	415	2	|∇um|p−2∇um∇(um	|∇um|p−2∇um∇(um	NOUN
ejde-619	416	1	−	−	PROPN
ejde-619	417	1	u)dx	u)dx	NOUN
ejde-619	417	2	=	=	SYM
ejde-619	417	3	0	0	X
ejde-619	417	4	.	.	PUNCT
ejde-619	418	1	(	(	PUNCT
ejde-619	418	2	5.31	5.31	NUM
ejde-619	418	3	)	)	PUNCT
ejde-619	418	4	it	it	PRON
ejde-619	418	5	is	be	AUX
ejde-619	418	6	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-619	418	7	to	to	PART
ejde-619	418	8	apply	apply	VERB
ejde-619	418	9	the	the	DET
ejde-619	418	10	(	(	PUNCT
ejde-619	418	11	s+)−	s+)−	NOUN
ejde-619	418	12	property	property	NOUN
ejde-619	418	13	of	of	ADP
ejde-619	418	14	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-619	418	15	(	(	PUNCT
ejde-619	418	16	see	see	VERB
ejde-619	418	17	,	,	PUNCT
ejde-619	418	18	e.g.	e.g.	ADV
ejde-619	418	19	,	,	PUNCT
ejde-619	418	20	[	[	X
ejde-619	418	21	38	38	NUM
ejde-619	418	22	,	,	PUNCT
ejde-619	418	23	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	418	24	3.5	3.5	NUM
ejde-619	418	25	.	.	PUNCT
ejde-619	418	26	]	]	PUNCT
ejde-619	418	27	)	)	PUNCT
ejde-619	418	28	to	to	PART
ejde-619	418	29	obtain	obtain	VERB
ejde-619	418	30	(	(	PUNCT
ejde-619	418	31	5.23	5.23	NUM
ejde-619	418	32	)	)	PUNCT
ejde-619	418	33	.	.	PUNCT
ejde-619	419	1	for	for	ADP
ejde-619	419	2	every	every	DET
ejde-619	419	3	m	m	NOUN
ejde-619	419	4	≥	≥	NOUN
ejde-619	419	5	k	k	NOUN
ejde-619	419	6	we	we	PRON
ejde-619	419	7	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	419	8	d	d	ADP
ejde-619	419	9	|∇um|p−2∇um∇wkdx+	|∇um|p−2∇um∇wkdx+	NUM
ejde-619	419	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	419	11	d	d	X
ejde-619	419	12	|um|p−2umwkdx	|um|p−2umwkdx	PROPN
ejde-619	419	13	=	=	SYM
ejde-619	419	14	λ	λ	PROPN
ejde-619	419	15	∫	∫	PROPN
ejde-619	420	1	d	d	PROPN
ejde-619	420	2	a(x)(um+	a(x)(um+	NOUN
ejde-619	420	3	)	)	PUNCT
ejde-619	421	1	q(x)−1wkdx+	q(x)−1wkdx+	ADV
ejde-619	421	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	421	3	d	d	NOUN
ejde-619	421	4	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	421	5	,	,	PUNCT
ejde-619	421	6	um+)wkdx+	um+)wkdx+	ADJ
ejde-619	421	7	1	1	NUM
ejde-619	421	8	n	n	NUM
ejde-619	421	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	421	10	d	d	X
ejde-619	421	11	φwkdx	φwkdx	PROPN
ejde-619	421	12	,	,	PUNCT
ejde-619	421	13	(	(	PUNCT
ejde-619	421	14	5.32	5.32	NUM
ejde-619	421	15	)	)	PUNCT
ejde-619	421	16	for	for	ADP
ejde-619	421	17	all	all	DET
ejde-619	421	18	wk	wk	NOUN
ejde-619	421	19	∈wk	∈wk	NOUN
ejde-619	421	20	.	.	PUNCT
ejde-619	422	1	it	it	PRON
ejde-619	422	2	follows	follow	VERB
ejde-619	422	3	from	from	ADP
ejde-619	422	4	(	(	PUNCT
ejde-619	422	5	5.23	5.23	NUM
ejde-619	422	6	)	)	PUNCT
ejde-619	422	7	that∫	that∫	NOUN
ejde-619	423	1	d	d	NOUN
ejde-619	423	2	|∇u|p−2∇u∇wkdx+	|∇u|p−2∇u∇wkdx+	PROPN
ejde-619	423	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	423	4	d	d	X
ejde-619	423	5	|u|p−2uwkdx	|u|p−2uwkdx	PROPN
ejde-619	423	6	=	=	PUNCT
ejde-619	423	7	λ	λ	X
ejde-619	423	8	∫	∫	PROPN
ejde-619	423	9	d	d	NOUN
ejde-619	423	10	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	423	11	)	)	PUNCT
ejde-619	423	12	q(x)−1wkdx+	q(x)−1wkdx+	NOUN
ejde-619	423	13	∫	∫	PROPN
ejde-619	424	1	d	d	NOUN
ejde-619	424	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	424	3	,	,	PUNCT
ejde-619	424	4	u+)wkdx+	u+)wkdx+	NUM
ejde-619	424	5	1	1	NUM
ejde-619	424	6	n	n	NUM
ejde-619	424	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	424	8	d	d	X
ejde-619	424	9	φwkdx	φwkdx	PROPN
ejde-619	424	10	,	,	PUNCT
ejde-619	424	11	(	(	PUNCT
ejde-619	424	12	5.33	5.33	NUM
ejde-619	424	13	)	)	PUNCT
ejde-619	424	14	for	for	ADP
ejde-619	424	15	all	all	DET
ejde-619	424	16	wk	wk	ADP
ejde-619	424	17	∈wk	∈wk	NOUN
ejde-619	424	18	.	.	PUNCT
ejde-619	425	1	since	since	SCONJ
ejde-619	425	2	[	[	X
ejde-619	425	3	wk]k∈n	wk]k∈n	ADV
ejde-619	425	4	is	be	AUX
ejde-619	425	5	dense	dense	ADJ
ejde-619	425	6	in	in	ADP
ejde-619	425	7	w	w	PROPN
ejde-619	425	8	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	425	9	0,r	0,r	NUM
ejde-619	425	10	(	(	PUNCT
ejde-619	425	11	d	d	X
ejde-619	425	12	)	)	PUNCT
ejde-619	425	13	we	we	PRON
ejde-619	425	14	conclude	conclude	VERB
ejde-619	425	15	that∫	that∫	PROPN
ejde-619	426	1	d	d	PROPN
ejde-619	426	2	|∇u|p−2∇u∇wdx+	|∇u|p−2∇u∇wdx+	PROPN
ejde-619	426	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	427	1	d	d	X
ejde-619	427	2	|u|p−2uw	|u|p−2uw	X
ejde-619	427	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	427	4	=	=	SYM
ejde-619	427	5	λ	λ	X
ejde-619	427	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	427	7	d	d	NOUN
ejde-619	427	8	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	427	9	)	)	PUNCT
ejde-619	428	1	q(x)−1wdx+	q(x)−1wdx+	NOUN
ejde-619	428	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	428	3	d	d	NOUN
ejde-619	428	4	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	428	5	,	,	PUNCT
ejde-619	428	6	u+)w	u+)w	PROPN
ejde-619	428	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-619	428	8	1	1	NUM
ejde-619	428	9	n	n	NUM
ejde-619	428	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	428	11	d	d	PROPN
ejde-619	428	12	φw	φw	PROPN
ejde-619	428	13	dx	dx	PROPN
ejde-619	428	14	,	,	PUNCT
ejde-619	428	15	(	(	PUNCT
ejde-619	428	16	5.34	5.34	NUM
ejde-619	428	17	)	)	PUNCT
ejde-619	428	18	for	for	ADP
ejde-619	428	19	all	all	DET
ejde-619	428	20	w	w	NOUN
ejde-619	428	21	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	428	22	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	428	23	0,r	0,r	NUM
ejde-619	428	24	(	(	PUNCT
ejde-619	428	25	d	d	NOUN
ejde-619	428	26	)	)	PUNCT
ejde-619	428	27	.	.	PUNCT
ejde-619	429	1	before	before	ADP
ejde-619	429	2	concluding	conclude	VERB
ejde-619	429	3	,	,	PUNCT
ejde-619	429	4	we	we	PRON
ejde-619	429	5	will	will	AUX
ejde-619	429	6	check	check	VERB
ejde-619	429	7	that	that	SCONJ
ejde-619	429	8	u	u	PRON
ejde-619	429	9	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-619	429	10	(	(	PUNCT
ejde-619	429	11	5.34	5.34	NUM
ejde-619	429	12	)	)	PUNCT
ejde-619	429	13	for	for	ADP
ejde-619	429	14	all	all	DET
ejde-619	429	15	w	w	PROPN
ejde-619	429	16	∈	∈	PROPN
ejde-619	429	17	w	w	PROPN
ejde-619	429	18	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	429	19	0	0	PUNCT
ejde-619	429	20	(	(	PUNCT
ejde-619	429	21	d	d	NOUN
ejde-619	429	22	)	)	PUNCT
ejde-619	429	23	.	.	PUNCT
ejde-619	430	1	indeed	indeed	ADV
ejde-619	430	2	,	,	PUNCT
ejde-619	430	3	we	we	PRON
ejde-619	430	4	will	will	AUX
ejde-619	430	5	use	use	VERB
ejde-619	430	6	a	a	DET
ejde-619	430	7	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	430	8	critical	critical	ADJ
ejde-619	430	9	principle	principle	NOUN
ejde-619	430	10	of	of	ADP
ejde-619	430	11	palais	palais	PROPN
ejde-619	431	1	[	[	X
ejde-619	431	2	40	40	NUM
ejde-619	431	3	]	]	PUNCT
ejde-619	431	4	in	in	ADP
ejde-619	431	5	banach	banach	NOUN
ejde-619	431	6	spaces	space	NOUN
ejde-619	431	7	developed	develop	VERB
ejde-619	431	8	in	in	ADP
ejde-619	431	9	[	[	X
ejde-619	431	10	22	22	NUM
ejde-619	431	11	]	]	PUNCT
ejde-619	431	12	.	.	PUNCT
ejde-619	432	1	let	let	AUX
ejde-619	432	2	o(n	o(n	NUM
ejde-619	432	3	)	)	PUNCT
ejde-619	432	4	be	be	AUX
ejde-619	432	5	the	the	DET
ejde-619	432	6	subgroup	subgroup	NOUN
ejde-619	432	7	of	of	ADP
ejde-619	432	8	isometries	isometry	NOUN
ejde-619	432	9	g	g	PROPN
ejde-619	432	10	:	:	PUNCT
ejde-619	432	11	w	w	PROPN
ejde-619	432	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	432	13	0	0	PUNCT
ejde-619	432	14	(	(	PUNCT
ejde-619	432	15	d	d	NOUN
ejde-619	432	16	)	)	PUNCT
ejde-619	432	17	→w	→w	NUM
ejde-619	432	18	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	432	19	0	0	SYM
ejde-619	432	20	(	(	PUNCT
ejde-619	432	21	d	d	NOUN
ejde-619	432	22	)	)	PUNCT
ejde-619	432	23	corresponding	correspond	VERB
ejde-619	432	24	to	to	ADP
ejde-619	432	25	all	all	DET
ejde-619	432	26	rotations	rotation	NOUN
ejde-619	432	27	,	,	PUNCT
ejde-619	432	28	that	that	ADV
ejde-619	432	29	is	is	ADV
ejde-619	432	30	,	,	PUNCT
ejde-619	432	31	o(n	o(n	PROPN
ejde-619	432	32	)	)	PUNCT
ejde-619	432	33	is	be	AUX
ejde-619	432	34	the	the	DET
ejde-619	432	35	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-619	432	36	group	group	NOUN
ejde-619	432	37	of	of	ADP
ejde-619	432	38	dimensionn	dimensionn	PROPN
ejde-619	432	39	.	.	PUNCT
ejde-619	433	1	the	the	DET
ejde-619	433	2	subspace	subspace	NOUN
ejde-619	433	3	of	of	ADP
ejde-619	433	4	w	w	PROPN
ejde-619	433	5	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	433	6	0	0	PUNCT
ejde-619	433	7	(	(	PUNCT
ejde-619	433	8	d	d	NOUN
ejde-619	433	9	)	)	PUNCT
ejde-619	433	10	consisting	consist	VERB
ejde-619	433	11	of	of	ADP
ejde-619	433	12	radially	radially	ADV
ejde-619	433	13	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	433	14	functions	function	NOUN
ejde-619	433	15	,	,	PUNCT
ejde-619	433	16	o(n)-invariant	o(n)-invariant	PROPN
ejde-619	433	17	,	,	PUNCT
ejde-619	433	18	is	be	AUX
ejde-619	433	19	given	give	VERB
ejde-619	433	20	by	by	ADP
ejde-619	433	21	w	w	PROPN
ejde-619	433	22	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	434	1	0,r	0,r	NUM
ejde-619	434	2	(	(	PUNCT
ejde-619	434	3	d	d	X
ejde-619	434	4	)	)	PUNCT
ejde-619	434	5	=	=	SYM
ejde-619	434	6	{	{	PUNCT
ejde-619	434	7	u	u	NOUN
ejde-619	434	8	∈w	∈w	VERB
ejde-619	434	9	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	434	10	0	0	SYM
ejde-619	435	1	(	(	PUNCT
ejde-619	435	2	d	d	NOUN
ejde-619	435	3	)	)	PUNCT
ejde-619	435	4	:	:	PUNCT
ejde-619	436	1	g(u	g(u	X
ejde-619	436	2	)	)	PUNCT
ejde-619	436	3	=	=	SYM
ejde-619	436	4	u	u	NOUN
ejde-619	436	5	,	,	PUNCT
ejde-619	436	6	for	for	ADP
ejde-619	436	7	all	all	DET
ejde-619	436	8	g	g	PROPN
ejde-619	436	9	∈	∈	PROPN
ejde-619	436	10	o(n	o(n	PROPN
ejde-619	436	11	)	)	PUNCT
ejde-619	436	12	}	}	PUNCT
ejde-619	436	13	,	,	PUNCT
ejde-619	436	14	see	see	VERB
ejde-619	436	15	(	(	PUNCT
ejde-619	436	16	1.10	1.10	NUM
ejde-619	436	17	)	)	PUNCT
ejde-619	436	18	.	.	PUNCT
ejde-619	437	1	let	let	VERB
ejde-619	437	2	u	u	PRON
ejde-619	437	3	∈w	∈w	VERB
ejde-619	437	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	437	5	0,r	0,r	NUM
ejde-619	437	6	(	(	PUNCT
ejde-619	437	7	d	d	NOUN
ejde-619	437	8	)	)	PUNCT
ejde-619	437	9	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	437	10	(	(	PUNCT
ejde-619	437	11	5.34	5.34	NUM
ejde-619	437	12	)	)	PUNCT
ejde-619	437	13	.	.	PUNCT
ejde-619	438	1	define	define	VERB
ejde-619	438	2	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-619	438	3	)	)	PUNCT
ejde-619	438	4	∈w	∈w	VERB
ejde-619	438	5	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	438	6	0	0	NUM
ejde-619	438	7	(	(	PUNCT
ejde-619	438	8	d)∗	d)∗	PROPN
ejde-619	438	9	(	(	PUNCT
ejde-619	438	10	the	the	DET
ejde-619	438	11	dual	dual	ADJ
ejde-619	438	12	space	space	NOUN
ejde-619	438	13	)	)	PUNCT
ejde-619	438	14	by	by	ADP
ejde-619	438	15	(	(	PUNCT
ejde-619	438	16	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-619	438	17	)	)	PUNCT
ejde-619	438	18	,	,	PUNCT
ejde-619	438	19	w	w	NOUN
ejde-619	438	20	)	)	PUNCT
ejde-619	438	21	=	=	SYM
ejde-619	439	1	∫	∫	PROPN
ejde-619	439	2	d	d	PROPN
ejde-619	439	3	|∇u|p−2∇u∇wdx+	|∇u|p−2∇u∇wdx+	PROPN
ejde-619	439	4	∫	∫	PROPN
ejde-619	440	1	d	d	X
ejde-619	440	2	|u|p−2uw	|u|p−2uw	X
ejde-619	440	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	440	4	−	−	PROPN
ejde-619	440	5	λ	λ	INTJ
ejde-619	440	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	440	7	d	d	NOUN
ejde-619	440	8	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	440	9	)	)	PUNCT
ejde-619	441	1	q(x)−1wdx−	q(x)−1wdx−	PROPN
ejde-619	441	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	441	3	d	d	NOUN
ejde-619	441	4	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	441	5	,	,	PUNCT
ejde-619	441	6	u+)wdx−	u+)wdx−	PROPN
ejde-619	441	7	1	1	NUM
ejde-619	441	8	n	n	NUM
ejde-619	441	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	442	1	d	d	PROPN
ejde-619	442	2	φw	φw	PROPN
ejde-619	442	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	442	4	.	.	PUNCT
ejde-619	443	1	(	(	PUNCT
ejde-619	443	2	5.35	5.35	NUM
ejde-619	443	3	)	)	PUNCT
ejde-619	443	4	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	443	5	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	443	6	equations	equation	NOUN
ejde-619	443	7	on	on	ADP
ejde-619	443	8	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	443	9	domains	domain	NOUN
ejde-619	443	10	17	17	NUM
ejde-619	443	11	by	by	ADP
ejde-619	443	12	(	(	PUNCT
ejde-619	443	13	5.34	5.34	NUM
ejde-619	443	14	)	)	PUNCT
ejde-619	443	15	,	,	PUNCT
ejde-619	443	16	we	we	PRON
ejde-619	443	17	have	have	VERB
ejde-619	443	18	that	that	PRON
ejde-619	443	19	(	(	PUNCT
ejde-619	443	20	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-619	443	21	)	)	PUNCT
ejde-619	443	22	,	,	PUNCT
ejde-619	443	23	w	w	NOUN
ejde-619	443	24	)	)	PUNCT
ejde-619	443	25	=	=	SYM
ejde-619	443	26	0	0	NUM
ejde-619	443	27	,	,	PUNCT
ejde-619	444	1	w	w	PROPN
ejde-619	444	2	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	444	3	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	444	4	0,r	0,r	NUM
ejde-619	444	5	(	(	PUNCT
ejde-619	444	6	d	d	NOUN
ejde-619	444	7	)	)	PUNCT
ejde-619	444	8	,	,	PUNCT
ejde-619	444	9	and	and	CCONJ
ejde-619	444	10	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-619	444	11	)	)	PUNCT
ejde-619	444	12	is	be	AUX
ejde-619	444	13	invariant	invariant	ADJ
ejde-619	444	14	under	under	ADP
ejde-619	444	15	the	the	DET
ejde-619	444	16	action	action	NOUN
ejde-619	444	17	of	of	ADP
ejde-619	444	18	o(n	o(n	NUM
ejde-619	444	19	)	)	PUNCT
ejde-619	444	20	.	.	PUNCT
ejde-619	445	1	by	by	ADP
ejde-619	445	2	[	[	X
ejde-619	445	3	22	22	NUM
ejde-619	445	4	]	]	PUNCT
ejde-619	445	5	,	,	PUNCT
ejde-619	445	6	we	we	PRON
ejde-619	445	7	can	can	AUX
ejde-619	445	8	infer	infer	VERB
ejde-619	445	9	that	that	SCONJ
ejde-619	445	10	φ(u	φ(u	NOUN
ejde-619	445	11	)	)	PUNCT
ejde-619	445	12	≡	≡	PROPN
ejde-619	445	13	0	0	NUM
ejde-619	445	14	.	.	PUNCT
ejde-619	446	1	in	in	ADP
ejde-619	446	2	other	other	ADJ
ejde-619	446	3	words	word	NOUN
ejde-619	446	4	,	,	PUNCT
ejde-619	446	5	u	u	NOUN
ejde-619	446	6	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-619	446	7	(	(	PUNCT
ejde-619	446	8	5.34	5.34	NUM
ejde-619	446	9	)	)	PUNCT
ejde-619	446	10	for	for	ADP
ejde-619	446	11	all	all	DET
ejde-619	446	12	w	w	NOUN
ejde-619	446	13	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	446	14	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	446	15	0	0	SYM
ejde-619	446	16	(	(	PUNCT
ejde-619	446	17	d	d	NOUN
ejde-619	446	18	)	)	PUNCT
ejde-619	446	19	,	,	PUNCT
ejde-619	446	20	i.e.∫	i.e.∫	PROPN
ejde-619	446	21	d	d	PROPN
ejde-619	446	22	|∇u|p−2∇u∇wdx+	|∇u|p−2∇u∇wdx+	PROPN
ejde-619	446	23	∫	∫	PROPN
ejde-619	446	24	d	d	X
ejde-619	446	25	|u|p−2uw	|u|p−2uw	X
ejde-619	446	26	dx	dx	PROPN
ejde-619	446	27	=	=	SYM
ejde-619	446	28	λ	λ	X
ejde-619	446	29	∫	∫	PROPN
ejde-619	446	30	d	d	NOUN
ejde-619	446	31	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	446	32	)	)	PUNCT
ejde-619	446	33	q(x)−1wdx+	q(x)−1wdx+	NOUN
ejde-619	446	34	∫	∫	PROPN
ejde-619	446	35	d	d	NOUN
ejde-619	446	36	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	446	37	,	,	PUNCT
ejde-619	446	38	u+)wdx+	u+)wdx+	NOUN
ejde-619	446	39	1	1	NUM
ejde-619	446	40	n	n	NUM
ejde-619	446	41	∫	∫	PROPN
ejde-619	447	1	d	d	PROPN
ejde-619	447	2	φw	φw	PROPN
ejde-619	447	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	447	4	,	,	PUNCT
ejde-619	447	5	(	(	PUNCT
ejde-619	447	6	5.36	5.36	NUM
ejde-619	447	7	)	)	PUNCT
ejde-619	447	8	for	for	ADP
ejde-619	447	9	all	all	DET
ejde-619	447	10	w	w	NOUN
ejde-619	447	11	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	447	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	447	13	0	0	SYM
ejde-619	447	14	(	(	PUNCT
ejde-619	447	15	d	d	NOUN
ejde-619	447	16	)	)	PUNCT
ejde-619	447	17	.	.	PUNCT
ejde-619	448	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	448	2	,	,	PUNCT
ejde-619	448	3	u	u	NOUN
ejde-619	448	4	≥	≥	NOUN
ejde-619	448	5	0	0	NUM
ejde-619	448	6	in	in	ADP
ejde-619	448	7	d.	d.	PROPN
ejde-619	448	8	in	in	ADP
ejde-619	448	9	fact	fact	NOUN
ejde-619	448	10	,	,	PUNCT
ejde-619	448	11	since	since	SCONJ
ejde-619	448	12	u−	u−	PROPN
ejde-619	448	13	∈	∈	PROPN
ejde-619	448	14	w	w	PROPN
ejde-619	448	15	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	448	16	0	0	PUNCT
ejde-619	448	17	(	(	PUNCT
ejde-619	448	18	d	d	NOUN
ejde-619	448	19	)	)	PUNCT
ejde-619	448	20	then	then	ADV
ejde-619	448	21	from	from	ADP
ejde-619	448	22	(	(	PUNCT
ejde-619	448	23	5.36	5.36	NUM
ejde-619	448	24	)	)	PUNCT
ejde-619	448	25	we	we	PRON
ejde-619	448	26	obtain	obtain	VERB
ejde-619	448	27	−∥u−∥pw	−∥u−∥pw	X
ejde-619	448	28	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	448	29	)	)	PUNCT
ejde-619	448	30	=	=	SYM
ejde-619	449	1	∫	∫	PROPN
ejde-619	450	1	d	d	X
ejde-619	450	2	|∇u|p−2∇u∇u−dx+	|∇u|p−2∇u∇u−dx+	NOUN
ejde-619	450	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	451	1	d	d	NOUN
ejde-619	451	2	|u|p−2uu−dx	|u|p−2uu−dx	NOUN
ejde-619	451	3	=	=	SYM
ejde-619	451	4	λ	λ	X
ejde-619	451	5	∫	∫	PROPN
ejde-619	451	6	d	d	NOUN
ejde-619	451	7	a(x)(u+	a(x)(u+	NOUN
ejde-619	451	8	)	)	PUNCT
ejde-619	451	9	q(x)−1u−dx+	q(x)−1u−dx+	ADV
ejde-619	451	10	∫	∫	PROPN
ejde-619	452	1	d	d	NOUN
ejde-619	452	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	452	3	,	,	PUNCT
ejde-619	452	4	u+)u−dx+	u+)u−dx+	ADJ
ejde-619	452	5	1	1	NUM
ejde-619	452	6	n	n	NUM
ejde-619	452	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	452	8	d	d	PROPN
ejde-619	452	9	φu−dx	φu−dx	X
ejde-619	452	10	≥	≥	X
ejde-619	452	11	0	0	NUM
ejde-619	452	12	.	.	PUNCT
ejde-619	453	1	then	then	ADV
ejde-619	453	2	u−	u−	PROPN
ejde-619	453	3	≡	≡	PROPN
ejde-619	453	4	0	0	NUM
ejde-619	454	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	454	2	.	.	PROPN
ejde-619	455	1	in	in	ADP
ejde-619	455	2	d	d	PROPN
ejde-619	455	3	,	,	PUNCT
ejde-619	455	4	whence	whence	ADP
ejde-619	455	5	u	u	PROPN
ejde-619	455	6	≥	≥	NOUN
ejde-619	455	7	0	0	NUM
ejde-619	455	8	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	455	9	.	.	PROPN
ejde-619	456	1	in	in	ADP
ejde-619	456	2	d.	d.	PROPN
ejde-619	456	3	moreover	moreover	ADV
ejde-619	456	4	,	,	PUNCT
ejde-619	456	5	u	u	NOUN
ejde-619	456	6	̸≡	̸≡	X
ejde-619	456	7	0	0	NUM
ejde-619	456	8	is	be	AUX
ejde-619	456	9	valid	valid	ADJ
ejde-619	456	10	due	due	ADP
ejde-619	456	11	to	to	ADP
ejde-619	456	12	φ	φ	PROPN
ejde-619	456	13	n	n	CCONJ
ejde-619	456	14	>	>	X
ejde-619	456	15	0	0	PUNCT
ejde-619	457	1	in	in	ADP
ejde-619	457	2	d.	d.	PROPN
ejde-619	457	3	applying	apply	VERB
ejde-619	457	4	the	the	DET
ejde-619	457	5	strong	strong	ADJ
ejde-619	457	6	maximum	maximum	ADJ
ejde-619	457	7	principle	principle	NOUN
ejde-619	457	8	[	[	X
ejde-619	457	9	43	43	NUM
ejde-619	457	10	]	]	X
ejde-619	457	11	we	we	PRON
ejde-619	457	12	obtain	obtain	VERB
ejde-619	457	13	u	u	NOUN
ejde-619	457	14	>	>	X
ejde-619	457	15	0	0	PUNCT
ejde-619	458	1	in	in	ADP
ejde-619	458	2	d	d	PROPN
ejde-619	458	3	and	and	CCONJ
ejde-619	458	4	∂u/∂ν	∂u/∂ν	PROPN
ejde-619	458	5	<	<	X
ejde-619	458	6	0	0	PUNCT
ejde-619	458	7	on	on	ADP
ejde-619	458	8	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	458	9	.	.	PUNCT
ejde-619	459	1	by	by	ADP
ejde-619	459	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	459	3	4.1	4.1	NUM
ejde-619	459	4	and	and	CCONJ
ejde-619	459	5	[	[	X
ejde-619	459	6	34	34	NUM
ejde-619	459	7	,	,	PUNCT
ejde-619	459	8	theorem	theorem	VERB
ejde-619	459	9	7.1	7.1	NUM
ejde-619	459	10	]	]	PUNCT
ejde-619	459	11	we	we	PRON
ejde-619	459	12	conclude	conclude	VERB
ejde-619	459	13	that	that	SCONJ
ejde-619	459	14	u	u	PROPN
ejde-619	459	15	∈	∈	PROPN
ejde-619	459	16	l∞(d	l∞(d	NOUN
ejde-619	459	17	)	)	PUNCT
ejde-619	459	18	.	.	PUNCT
ejde-619	460	1	thus	thus	ADV
ejde-619	460	2	,	,	PUNCT
ejde-619	460	3	[	[	X
ejde-619	460	4	35	35	NUM
ejde-619	460	5	,	,	PUNCT
ejde-619	460	6	theorem	theorem	VERB
ejde-619	460	7	1	1	NUM
ejde-619	460	8	]	]	PUNCT
ejde-619	460	9	ensure	ensure	VERB
ejde-619	460	10	the	the	DET
ejde-619	460	11	regularity	regularity	NOUN
ejde-619	460	12	up	up	ADP
ejde-619	460	13	to	to	ADP
ejde-619	460	14	the	the	DET
ejde-619	460	15	boundary	boundary	ADJ
ejde-619	460	16	u	u	PROPN
ejde-619	460	17	∈	∈	PROPN
ejde-619	460	18	c1,β(d	c1,β(d	NOUN
ejde-619	460	19	)	)	PUNCT
ejde-619	460	20	,	,	PUNCT
ejde-619	460	21	for	for	ADP
ejde-619	460	22	some	some	DET
ejde-619	460	23	β	β	X
ejde-619	460	24	∈	∈	PROPN
ejde-619	460	25	(	(	PUNCT
ejde-619	460	26	0	0	NUM
ejde-619	460	27	,	,	PUNCT
ejde-619	460	28	1	1	NUM
ejde-619	460	29	)	)	PUNCT
ejde-619	460	30	.	.	PUNCT
ejde-619	461	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	461	2	,	,	PUNCT
ejde-619	461	3	we	we	PRON
ejde-619	461	4	conclude	conclude	VERB
ejde-619	461	5	that	that	SCONJ
ejde-619	461	6	proof	proof	NOUN
ejde-619	461	7	of	of	ADP
ejde-619	461	8	the	the	DET
ejde-619	461	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	461	10	taking	take	VERB
ejde-619	461	11	un	un	PROPN
ejde-619	461	12	=	=	PROPN
ejde-619	461	13	u.	u.	PROPN
ejde-619	461	14	□	□	PUNCT
ejde-619	461	15	6	6	NUM
ejde-619	461	16	.	.	X
ejde-619	461	17	proof	proof	NOUN
ejde-619	461	18	of	of	ADP
ejde-619	461	19	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	461	20	1.3	1.3	NUM
ejde-619	461	21	for	for	ADP
ejde-619	461	22	the	the	DET
ejde-619	461	23	proof	proof	NOUN
ejde-619	461	24	of	of	ADP
ejde-619	461	25	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	461	26	1.3	1.3	NUM
ejde-619	461	27	we	we	PRON
ejde-619	461	28	need	need	VERB
ejde-619	461	29	the	the	DET
ejde-619	461	30	following	follow	VERB
ejde-619	461	31	result	result	NOUN
ejde-619	461	32	.	.	PUNCT
ejde-619	462	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	462	2	6.1	6.1	NUM
ejde-619	462	3	.	.	PUNCT
ejde-619	463	1	for	for	ADP
ejde-619	463	2	each	each	DET
ejde-619	463	3	constant	constant	ADJ
ejde-619	463	4	b	b	PROPN
ejde-619	463	5	>	>	X
ejde-619	463	6	0	0	PROPN
ejde-619	463	7	,	,	PUNCT
ejde-619	463	8	the	the	DET
ejde-619	463	9	problem	problem	NOUN
ejde-619	463	10	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	463	11	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	463	12	=	=	PUNCT
ejde-619	463	13	buq(r)−1	buq(r)−1	NOUN
ejde-619	463	14	in	in	ADP
ejde-619	463	15	d	d	PROPN
ejde-619	463	16	u	u	X
ejde-619	463	17	>	>	X
ejde-619	463	18	0	0	PUNCT
ejde-619	464	1	in	in	ADP
ejde-619	464	2	d	d	PROPN
ejde-619	464	3	u	u	NOUN
ejde-619	464	4	=	=	NOUN
ejde-619	464	5	0	0	NUM
ejde-619	464	6	on	on	ADP
ejde-619	464	7	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	464	8	,	,	PUNCT
ejde-619	464	9	(	(	PUNCT
ejde-619	464	10	6.1	6.1	NUM
ejde-619	464	11	)	)	PUNCT
ejde-619	464	12	where	where	SCONJ
ejde-619	464	13	d	d	NOUN
ejde-619	464	14	is	be	AUX
ejde-619	464	15	a	a	DET
ejde-619	464	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-619	464	17	domain	domain	NOUN
ejde-619	464	18	in	in	ADP
ejde-619	464	19	rn	rn	PROPN
ejde-619	464	20	with	with	ADP
ejde-619	464	21	c2	c2	PROPN
ejde-619	464	22	boundary	boundary	PROPN
ejde-619	464	23	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	464	24	,	,	PUNCT
ejde-619	464	25	admits	admit	VERB
ejde-619	464	26	a	a	DET
ejde-619	464	27	solution	solution	NOUN
ejde-619	464	28	u0	u0	NOUN
ejde-619	464	29	∈	∈	PROPN
ejde-619	464	30	c1,β(d	c1,β(d	NOUN
ejde-619	464	31	)	)	PUNCT
ejde-619	464	32	such	such	ADJ
ejde-619	464	33	that	that	PRON
ejde-619	464	34	∂u0/∂ν	∂u0/∂ν	VERB
ejde-619	464	35	<	<	X
ejde-619	464	36	0	0	PUNCT
ejde-619	464	37	on	on	ADP
ejde-619	464	38	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	464	39	.	.	PUNCT
ejde-619	465	1	proof	proof	NOUN
ejde-619	465	2	.	.	PUNCT
ejde-619	466	1	this	this	DET
ejde-619	466	2	result	result	NOUN
ejde-619	466	3	is	be	AUX
ejde-619	466	4	more	more	ADV
ejde-619	466	5	or	or	CCONJ
ejde-619	466	6	less	less	ADV
ejde-619	466	7	standard	standard	ADJ
ejde-619	466	8	,	,	PUNCT
ejde-619	466	9	but	but	CCONJ
ejde-619	466	10	we	we	PRON
ejde-619	466	11	will	will	AUX
ejde-619	466	12	sketch	sketch	VERB
ejde-619	466	13	the	the	DET
ejde-619	466	14	proof	proof	NOUN
ejde-619	466	15	.	.	PUNCT
ejde-619	467	1	given	give	VERB
ejde-619	467	2	a	a	DET
ejde-619	467	3	constant	constant	ADJ
ejde-619	467	4	b	b	NOUN
ejde-619	467	5	>	>	X
ejde-619	467	6	0	0	NUM
ejde-619	467	7	,	,	PUNCT
ejde-619	467	8	we	we	PRON
ejde-619	467	9	define	define	VERB
ejde-619	467	10	the	the	DET
ejde-619	467	11	functional	functional	ADJ
ejde-619	468	1	i	i	PRON
ejde-619	468	2	:	:	PUNCT
ejde-619	468	3	w	w	PROPN
ejde-619	468	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	468	5	0	0	PUNCT
ejde-619	468	6	(	(	PUNCT
ejde-619	468	7	d	d	NOUN
ejde-619	468	8	)	)	PUNCT
ejde-619	468	9	→	→	SYM
ejde-619	468	10	r	r	NOUN
ejde-619	468	11	by	by	ADP
ejde-619	468	12	i(u	i(u	PROPN
ejde-619	468	13	)	)	PUNCT
ejde-619	468	14	=	=	PUNCT
ejde-619	469	1	1	1	NUM
ejde-619	469	2	p	p	PRON
ejde-619	469	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	469	4	d	d	X
ejde-619	469	5	|∇u|pdx+	|∇u|pdx+	ADJ
ejde-619	469	6	1	1	NUM
ejde-619	469	7	p	p	NOUN
ejde-619	469	8	∫	∫	PROPN
ejde-619	469	9	d	d	X
ejde-619	469	10	|u|pdx−	|u|pdx−	PROPN
ejde-619	469	11	b	b	X
ejde-619	469	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	469	13	d	d	NOUN
ejde-619	469	14	1	1	NUM
ejde-619	469	15	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	469	16	)	)	PUNCT
ejde-619	469	17	(	(	PUNCT
ejde-619	469	18	u+)q(r)dx	u+)q(r)dx	NOUN
ejde-619	469	19	for	for	ADP
ejde-619	469	20	all	all	DET
ejde-619	469	21	u	u	NOUN
ejde-619	469	22	∈w	∈w	NOUN
ejde-619	469	23	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	469	24	0	0	SYM
ejde-619	470	1	(	(	PUNCT
ejde-619	471	1	d	d	NOUN
ejde-619	471	2	)	)	PUNCT
ejde-619	471	3	,	,	PUNCT
ejde-619	471	4	where	where	SCONJ
ejde-619	471	5	u+	u+	ADP
ejde-619	471	6	=	=	SYM
ejde-619	471	7	max{0	max{0	PROPN
ejde-619	471	8	,	,	PUNCT
ejde-619	471	9	u	u	NOUN
ejde-619	471	10	}	}	PUNCT
ejde-619	471	11	.	.	PUNCT
ejde-619	472	1	notice	notice	VERB
ejde-619	472	2	that	that	SCONJ
ejde-619	472	3	i	i	PRON
ejde-619	472	4	is	be	AUX
ejde-619	472	5	of	of	ADP
ejde-619	472	6	class	class	NOUN
ejde-619	472	7	c1	c1	NOUN
ejde-619	472	8	.	.	PUNCT
ejde-619	473	1	using	use	VERB
ejde-619	473	2	the	the	DET
ejde-619	473	3	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	473	4	embedding	embed	VERB
ejde-619	473	5	,	,	PUNCT
ejde-619	473	6	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	473	7	2.4	2.4	NUM
ejde-619	473	8	and	and	CCONJ
ejde-619	473	9	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	473	10	2.6	2.6	NUM
ejde-619	473	11	,	,	PUNCT
ejde-619	473	12	we	we	PRON
ejde-619	473	13	have	have	VERB
ejde-619	473	14	the	the	DET
ejde-619	473	15	estimate	estimate	NOUN
ejde-619	473	16	i(u	i(u	PROPN
ejde-619	473	17	)	)	PUNCT
ejde-619	473	18	≥	≥	NOUN
ejde-619	473	19	1	1	NUM
ejde-619	473	20	p	p	NOUN
ejde-619	473	21	∥u∥pw	∥u∥pw	NUM
ejde-619	473	22	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	473	23	)	)	PUNCT
ejde-619	474	1	−	−	PROPN
ejde-619	474	2	c(∥u∥q+w	c(∥u∥q+w	NUM
ejde-619	474	3	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	474	4	)	)	PUNCT
ejde-619	475	1	+	+	NUM
ejde-619	475	2	∥u∥q−w	∥u∥q−w	PROPN
ejde-619	475	3	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	475	4	)	)	PUNCT
ejde-619	475	5	)	)	PUNCT
ejde-619	476	1	for	for	ADP
ejde-619	476	2	all	all	DET
ejde-619	476	3	u	u	NOUN
ejde-619	476	4	∈w	∈w	VERB
ejde-619	476	5	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	476	6	0	0	SYM
ejde-619	476	7	(	(	PUNCT
ejde-619	476	8	d	d	NOUN
ejde-619	476	9	)	)	PUNCT
ejde-619	476	10	,	,	PUNCT
ejde-619	476	11	with	with	ADP
ejde-619	476	12	a	a	DET
ejde-619	476	13	constant	constant	ADJ
ejde-619	476	14	c	c	NOUN
ejde-619	476	15	>	>	X
ejde-619	476	16	0	0	X
ejde-619	476	17	.	.	PUNCT
ejde-619	477	1	since	since	SCONJ
ejde-619	477	2	p	p	PROPN
ejde-619	477	3	>	>	X
ejde-619	477	4	q+	q+	PUNCT
ejde-619	477	5	≥	≥	NOUN
ejde-619	477	6	q−	q−	PROPN
ejde-619	477	7	>	>	X
ejde-619	477	8	1	1	NUM
ejde-619	477	9	,	,	PUNCT
ejde-619	477	10	i	i	PRON
ejde-619	477	11	is	be	AUX
ejde-619	477	12	bounded	bound	VERB
ejde-619	477	13	from	from	ADP
ejde-619	477	14	below	below	ADV
ejde-619	477	15	and	and	CCONJ
ejde-619	477	16	coercive	coercive	ADJ
ejde-619	477	17	.	.	PUNCT
ejde-619	478	1	considering	consider	VERB
ejde-619	478	2	that	that	SCONJ
ejde-619	478	3	the	the	DET
ejde-619	478	4	first	first	ADJ
ejde-619	478	5	two	two	NUM
ejde-619	478	6	terms	term	NOUN
ejde-619	478	7	in	in	ADP
ejde-619	478	8	the	the	DET
ejde-619	478	9	expression	expression	NOUN
ejde-619	478	10	of	of	ADP
ejde-619	478	11	i	i	PRON
ejde-619	478	12	are	be	AUX
ejde-619	478	13	convex	convex	ADJ
ejde-619	478	14	and	and	CCONJ
ejde-619	478	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	478	16	on	on	ADP
ejde-619	478	17	w	w	PROPN
ejde-619	478	18	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	478	19	0	0	PUNCT
ejde-619	478	20	(	(	PUNCT
ejde-619	478	21	d	d	NOUN
ejde-619	478	22	)	)	PUNCT
ejde-619	478	23	and	and	CCONJ
ejde-619	478	24	the	the	DET
ejde-619	478	25	embedding	embedding	NOUN
ejde-619	478	26	of	of	ADP
ejde-619	478	27	w	w	PROPN
ejde-619	478	28	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	478	29	0	0	PUNCT
ejde-619	478	30	(	(	PUNCT
ejde-619	478	31	d	d	NOUN
ejde-619	478	32	)	)	PUNCT
ejde-619	478	33	into	into	ADP
ejde-619	478	34	lq(r)(d	lq(r)(d	PROPN
ejde-619	478	35	)	)	PUNCT
ejde-619	478	36	is	be	AUX
ejde-619	478	37	compact	compact	ADJ
ejde-619	478	38	,	,	PUNCT
ejde-619	478	39	18	18	NUM
ejde-619	478	40	l.	l.	PROPN
ejde-619	478	41	f.	f.	PROPN
ejde-619	478	42	o.	o.	PROPN
ejde-619	478	43	faria	faria	PROPN
ejde-619	478	44	,	,	PUNCT
ejde-619	478	45	m.	m.	PROPN
ejde-619	478	46	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	478	47	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	478	48	we	we	PRON
ejde-619	478	49	infer	infer	VERB
ejde-619	478	50	that	that	SCONJ
ejde-619	478	51	i	i	PRON
ejde-619	478	52	is	be	AUX
ejde-619	478	53	sequentially	sequentially	ADV
ejde-619	478	54	weakly	weakly	ADV
ejde-619	478	55	lower	low	ADJ
ejde-619	478	56	semi	semi	ADJ
ejde-619	478	57	-	-	ADJ
ejde-619	478	58	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	478	59	.	.	PUNCT
ejde-619	479	1	therefore	therefore	ADV
ejde-619	479	2	,	,	PUNCT
ejde-619	479	3	there	there	PRON
ejde-619	479	4	exists	exist	VERB
ejde-619	479	5	u0	u0	ADJ
ejde-619	479	6	∈w	∈w	NOUN
ejde-619	479	7	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	479	8	0	0	SYM
ejde-619	479	9	(	(	PUNCT
ejde-619	479	10	d	d	NOUN
ejde-619	479	11	)	)	PUNCT
ejde-619	479	12	such	such	ADJ
ejde-619	479	13	that	that	SCONJ
ejde-619	479	14	i(u0	i(u0	NOUN
ejde-619	479	15	)	)	PUNCT
ejde-619	480	1	=	=	SYM
ejde-619	480	2	inf	inf	PROPN
ejde-619	480	3	u∈w	u∈w	NOUN
ejde-619	480	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	480	5	0	0	SYM
ejde-619	480	6	(	(	PUNCT
ejde-619	480	7	d	d	NOUN
ejde-619	480	8	)	)	PUNCT
ejde-619	480	9	i(u	i(u	PROPN
ejde-619	480	10	)	)	PUNCT
ejde-619	480	11	(	(	PUNCT
ejde-619	480	12	see	see	VERB
ejde-619	480	13	,	,	PUNCT
ejde-619	480	14	e.g.	e.g.	ADV
ejde-619	480	15	,	,	PUNCT
ejde-619	480	16	[	[	X
ejde-619	480	17	37	37	NUM
ejde-619	480	18	,	,	PUNCT
ejde-619	480	19	theorems	theorem	VERB
ejde-619	480	20	1.1	1.1	NUM
ejde-619	480	21	,	,	PUNCT
ejde-619	480	22	1.2	1.2	NUM
ejde-619	480	23	]	]	NUM
ejde-619	480	24	)	)	PUNCT
ejde-619	480	25	.	.	PUNCT
ejde-619	481	1	hence	hence	ADV
ejde-619	481	2	u0	u0	PROPN
ejde-619	481	3	is	be	AUX
ejde-619	481	4	a	a	DET
ejde-619	481	5	critical	critical	ADJ
ejde-619	481	6	point	point	NOUN
ejde-619	481	7	of	of	ADP
ejde-619	481	8	i	i	PRON
ejde-619	481	9	that	that	PRON
ejde-619	481	10	reads	read	VERB
ejde-619	481	11	as∫	as∫	PROPN
ejde-619	481	12	d	d	PROPN
ejde-619	481	13	|∇u0|p−2∇u0∇vdx+	|∇u0|p−2∇u0∇vdx+	PROPN
ejde-619	481	14	∫	∫	PROPN
ejde-619	481	15	d	d	X
ejde-619	481	16	|u0|p−2u0vdx	|u0|p−2u0vdx	PROPN
ejde-619	481	17	=	=	SYM
ejde-619	481	18	b	b	X
ejde-619	481	19	∫	∫	PROPN
ejde-619	481	20	d	d	X
ejde-619	481	21	(	(	PUNCT
ejde-619	481	22	u+0	u+0	PROPN
ejde-619	481	23	)	)	PUNCT
ejde-619	481	24	q(r)−1vdx	q(r)−1vdx	NOUN
ejde-619	481	25	(	(	PUNCT
ejde-619	481	26	6.2	6.2	NUM
ejde-619	481	27	)	)	PUNCT
ejde-619	481	28	for	for	ADP
ejde-619	481	29	all	all	DET
ejde-619	481	30	v	v	NOUN
ejde-619	481	31	∈w	∈w	VERB
ejde-619	481	32	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	481	33	0	0	SYM
ejde-619	481	34	(	(	PUNCT
ejde-619	481	35	d	d	NOUN
ejde-619	481	36	)	)	PUNCT
ejde-619	481	37	.	.	PUNCT
ejde-619	482	1	since	since	SCONJ
ejde-619	482	2	the	the	DET
ejde-619	482	3	variable	variable	ADJ
ejde-619	482	4	exponent	exponent	NOUN
ejde-619	482	5	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	482	6	)	)	PUNCT
ejde-619	482	7	is	be	AUX
ejde-619	482	8	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-619	482	9	,	,	PUNCT
ejde-619	482	10	we	we	PRON
ejde-619	482	11	obtain	obtain	VERB
ejde-619	482	12	with	with	ADP
ejde-619	482	13	standard	standard	ADJ
ejde-619	482	14	bootstrap	bootstrap	NOUN
ejde-619	482	15	arguments	argument	NOUN
ejde-619	482	16	that	that	PRON
ejde-619	482	17	u0	u0	PROPN
ejde-619	482	18	∈	∈	PROPN
ejde-619	482	19	c1,β(d	c1,β(d	NOUN
ejde-619	482	20	)	)	PUNCT
ejde-619	482	21	.	.	PUNCT
ejde-619	483	1	it	it	PRON
ejde-619	483	2	remains	remain	VERB
ejde-619	483	3	to	to	PART
ejde-619	483	4	justify	justify	VERB
ejde-619	483	5	that	that	DET
ejde-619	483	6	u0	u0	VERB
ejde-619	483	7	>	>	X
ejde-619	483	8	0	0	X
ejde-619	483	9	.	.	PUNCT
ejde-619	483	10	inserting	insert	VERB
ejde-619	483	11	v	v	NOUN
ejde-619	483	12	=	=	PUNCT
ejde-619	483	13	−u−0	−u−0	NUM
ejde-619	483	14	=	=	SYM
ejde-619	483	15	−max{0,−u0	−max{0,−u0	NOUN
ejde-619	483	16	}	}	PUNCT
ejde-619	483	17	in	in	ADP
ejde-619	483	18	(	(	PUNCT
ejde-619	483	19	6.2	6.2	NUM
ejde-619	483	20	)	)	PUNCT
ejde-619	483	21	leads	lead	VERB
ejde-619	483	22	to	to	ADP
ejde-619	483	23	u−0	u−0	PROPN
ejde-619	483	24	=	=	SYM
ejde-619	483	25	0	0	NUM
ejde-619	483	26	,	,	PUNCT
ejde-619	483	27	so	so	ADV
ejde-619	483	28	u0	u0	ADJ
ejde-619	483	29	≥	≥	NOUN
ejde-619	483	30	0	0	NUM
ejde-619	483	31	in	in	ADP
ejde-619	483	32	d.	d.	PROPN
ejde-619	483	33	we	we	PRON
ejde-619	483	34	observe	observe	VERB
ejde-619	483	35	that	that	SCONJ
ejde-619	483	36	the	the	DET
ejde-619	483	37	condition	condition	NOUN
ejde-619	483	38	1	1	NUM
ejde-619	483	39	<	<	X
ejde-619	483	40	q−	q−	PROPN
ejde-619	483	41	≤	≤	PROPN
ejde-619	483	42	q+	q+	ADP
ejde-619	483	43	<	<	X
ejde-619	483	44	p	p	NOUN
ejde-619	483	45	ensures	ensure	VERB
ejde-619	483	46	that	that	SCONJ
ejde-619	483	47	i(tu	i(tu	PROPN
ejde-619	483	48	)	)	PUNCT
ejde-619	483	49	<	<	X
ejde-619	483	50	0	0	NUM
ejde-619	483	51	provided	provide	VERB
ejde-619	483	52	u	u	PROPN
ejde-619	483	53	̸=	̸=	PROPN
ejde-619	483	54	0	0	NUM
ejde-619	483	55	and	and	CCONJ
ejde-619	483	56	t	t	PROPN
ejde-619	483	57	>	>	X
ejde-619	483	58	0	0	PUNCT
ejde-619	483	59	is	be	AUX
ejde-619	483	60	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-619	483	61	small	small	ADJ
ejde-619	483	62	,	,	PUNCT
ejde-619	483	63	which	which	PRON
ejde-619	483	64	implies	imply	VERB
ejde-619	483	65	that	that	SCONJ
ejde-619	483	66	u0	u0	ADJ
ejde-619	483	67	̸=	̸=	PROPN
ejde-619	483	68	0	0	NUM
ejde-619	483	69	.	.	PUNCT
ejde-619	484	1	finally	finally	ADV
ejde-619	484	2	,	,	PUNCT
ejde-619	484	3	we	we	PRON
ejde-619	484	4	can	can	AUX
ejde-619	484	5	verify	verify	VERB
ejde-619	484	6	that	that	SCONJ
ejde-619	484	7	the	the	DET
ejde-619	484	8	strong	strong	ADJ
ejde-619	484	9	maximum	maximum	ADJ
ejde-619	484	10	principle	principle	NOUN
ejde-619	484	11	applies	apply	VERB
ejde-619	484	12	in	in	ADP
ejde-619	484	13	the	the	DET
ejde-619	484	14	case	case	NOUN
ejde-619	484	15	of	of	ADP
ejde-619	484	16	equation	equation	NOUN
ejde-619	484	17	(	(	PUNCT
ejde-619	484	18	6.2	6.2	NUM
ejde-619	484	19	)	)	PUNCT
ejde-619	484	20	.	.	PUNCT
ejde-619	485	1	we	we	PRON
ejde-619	485	2	conclude	conclude	VERB
ejde-619	485	3	that	that	PRON
ejde-619	485	4	u0	u0	VERB
ejde-619	485	5	>	>	X
ejde-619	485	6	0	0	PUNCT
ejde-619	486	1	in	in	ADP
ejde-619	486	2	d	d	PROPN
ejde-619	486	3	,	,	PUNCT
ejde-619	486	4	so	so	ADV
ejde-619	486	5	u0	u0	ADJ
ejde-619	486	6	is	be	AUX
ejde-619	486	7	a	a	DET
ejde-619	486	8	(	(	PUNCT
ejde-619	486	9	weak	weak	ADJ
ejde-619	486	10	)	)	PUNCT
ejde-619	486	11	solution	solution	NOUN
ejde-619	486	12	of	of	ADP
ejde-619	486	13	problem	problem	NOUN
ejde-619	486	14	(	(	PUNCT
ejde-619	486	15	6.1	6.1	NUM
ejde-619	486	16	)	)	PUNCT
ejde-619	486	17	.	.	PUNCT
ejde-619	487	1	applying	apply	VERB
ejde-619	487	2	the	the	DET
ejde-619	487	3	hopf	hopf	ADJ
ejde-619	487	4	boundary	boundary	ADJ
ejde-619	487	5	point	point	NOUN
ejde-619	487	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	487	7	we	we	PRON
ejde-619	487	8	obtain	obtain	AUX
ejde-619	487	9	∂u0/∂ν	∂u0/∂ν	VERB
ejde-619	487	10	<	<	X
ejde-619	487	11	0	0	PUNCT
ejde-619	487	12	on	on	ADP
ejde-619	487	13	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	487	14	.	.	PUNCT
ejde-619	488	1	□	□	PUNCT
ejde-619	488	2	proof	proof	NOUN
ejde-619	488	3	of	of	ADP
ejde-619	488	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	488	5	1.3	1.3	NUM
ejde-619	488	6	.	.	PUNCT
ejde-619	489	1	first	first	ADV
ejde-619	489	2	we	we	PRON
ejde-619	489	3	show	show	VERB
ejde-619	489	4	that	that	SCONJ
ejde-619	489	5	(	(	PUNCT
ejde-619	489	6	1.13	1.13	NUM
ejde-619	489	7	)	)	PUNCT
ejde-619	489	8	has	have	VERB
ejde-619	489	9	a	a	DET
ejde-619	489	10	positive	positive	ADJ
ejde-619	489	11	solution	solution	NOUN
ejde-619	489	12	.	.	PUNCT
ejde-619	490	1	for	for	ADP
ejde-619	490	2	each	each	DET
ejde-619	490	3	n	n	PRON
ejde-619	490	4	∈	∈	NOUN
ejde-619	490	5	n	n	PRON
ejde-619	490	6	we	we	PRON
ejde-619	490	7	know	know	VERB
ejde-619	490	8	,	,	PUNCT
ejde-619	490	9	by	by	ADP
ejde-619	490	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	490	11	5.1	5.1	NUM
ejde-619	490	12	,	,	PUNCT
ejde-619	490	13	that	that	DET
ejde-619	490	14	equation	equation	NOUN
ejde-619	490	15	(	(	PUNCT
ejde-619	490	16	5.1	5.1	NUM
ejde-619	490	17	)	)	PUNCT
ejde-619	490	18	has	have	VERB
ejde-619	490	19	a	a	DET
ejde-619	490	20	(	(	PUNCT
ejde-619	490	21	weak	weak	ADJ
ejde-619	490	22	)	)	PUNCT
ejde-619	490	23	solution	solution	NOUN
ejde-619	490	24	un	un	PROPN
ejde-619	490	25	∈	∈	PROPN
ejde-619	490	26	w	w	PROPN
ejde-619	490	27	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	490	28	0,r	0,r	NUM
ejde-619	490	29	(	(	PUNCT
ejde-619	490	30	d	d	NOUN
ejde-619	490	31	)	)	PUNCT
ejde-619	490	32	∩	∩	ADJ
ejde-619	490	33	c1,β(d	c1,β(d	NOUN
ejde-619	490	34	)	)	PUNCT
ejde-619	490	35	,	,	PUNCT
ejde-619	490	36	thus∫	thus∫	NOUN
ejde-619	490	37	d	d	NOUN
ejde-619	490	38	|∇un|p−2∇un∇wdx+	|∇un|p−2∇un∇wdx+	NOUN
ejde-619	490	39	∫	∫	PROPN
ejde-619	491	1	d	d	X
ejde-619	491	2	|un|p−2unw	|un|p−2unw	X
ejde-619	491	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	491	4	=	=	SYM
ejde-619	491	5	λ	λ	X
ejde-619	491	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	491	7	d	d	PROPN
ejde-619	491	8	a(x)(un	a(x)(un	PROPN
ejde-619	491	9	)	)	PUNCT
ejde-619	492	1	q(x)−1wdx+	q(x)−1wdx+	NOUN
ejde-619	492	2	∫	∫	PROPN
ejde-619	492	3	d	d	NOUN
ejde-619	492	4	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	492	5	,	,	PUNCT
ejde-619	492	6	un)wdx+	un)wdx+	ADJ
ejde-619	492	7	1	1	NUM
ejde-619	492	8	n	n	NUM
ejde-619	492	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	493	1	d	d	PROPN
ejde-619	493	2	φw	φw	PROPN
ejde-619	493	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	493	4	,	,	PUNCT
ejde-619	493	5	(	(	PUNCT
ejde-619	493	6	6.3	6.3	NUM
ejde-619	493	7	)	)	PUNCT
ejde-619	493	8	for	for	ADP
ejde-619	493	9	all	all	DET
ejde-619	493	10	w	w	NOUN
ejde-619	493	11	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	493	12	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	493	13	0	0	SYM
ejde-619	493	14	(	(	PUNCT
ejde-619	493	15	d	d	NOUN
ejde-619	493	16	)	)	PUNCT
ejde-619	493	17	.	.	PUNCT
ejde-619	494	1	by	by	ADP
ejde-619	494	2	(	(	PUNCT
ejde-619	494	3	5.22	5.22	NUM
ejde-619	494	4	)	)	PUNCT
ejde-619	494	5	we	we	PRON
ejde-619	494	6	have	have	AUX
ejde-619	494	7	∥un∥w	∥un∥w	NOUN
ejde-619	494	8	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	494	9	)	)	PUNCT
ejde-619	494	10	≤	≤	NOUN
ejde-619	494	11	ϑ	ϑ	DET
ejde-619	494	12	≤	≤	NUM
ejde-619	494	13	1	1	NUM
ejde-619	494	14	,	,	PUNCT
ejde-619	494	15	∀n	∀n	NUM
ejde-619	494	16	∈	∈	PROPN
ejde-619	494	17	n	n	CCONJ
ejde-619	494	18	,	,	PUNCT
ejde-619	494	19	(	(	PUNCT
ejde-619	494	20	6.4	6.4	NUM
ejde-619	494	21	)	)	PUNCT
ejde-619	494	22	and	and	CCONJ
ejde-619	494	23	ϑ	ϑ	X
ejde-619	494	24	does	do	AUX
ejde-619	494	25	not	not	PART
ejde-619	494	26	depend	depend	VERB
ejde-619	494	27	on	on	ADP
ejde-619	494	28	n	n	PROPN
ejde-619	494	29	(	(	PUNCT
ejde-619	494	30	indeed	indeed	ADV
ejde-619	494	31	,	,	PUNCT
ejde-619	494	32	see	see	VERB
ejde-619	494	33	remark	remark	NOUN
ejde-619	494	34	5.2	5.2	NUM
ejde-619	494	35	)	)	PUNCT
ejde-619	494	36	.	.	PUNCT
ejde-619	495	1	thus	thus	ADV
ejde-619	495	2	,	,	PUNCT
ejde-619	495	3	for	for	ADP
ejde-619	495	4	a	a	DET
ejde-619	495	5	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-619	495	6	again	again	ADV
ejde-619	495	7	relabeled	relabele	VERB
ejde-619	495	8	as	as	ADP
ejde-619	495	9	(	(	PUNCT
ejde-619	495	10	un	un	PROPN
ejde-619	495	11	)	)	PUNCT
ejde-619	495	12	,	,	PUNCT
ejde-619	495	13	there	there	PRON
ejde-619	495	14	exists	exist	VERB
ejde-619	495	15	u	u	NOUN
ejde-619	495	16	∈w	∈w	NOUN
ejde-619	495	17	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	495	18	0	0	SYM
ejde-619	496	1	(	(	PUNCT
ejde-619	496	2	d	d	NOUN
ejde-619	496	3	)	)	PUNCT
ejde-619	496	4	such	such	ADJ
ejde-619	496	5	that	that	SCONJ
ejde-619	496	6	un	un	PROPN
ejde-619	496	7	⇀	⇀	NUM
ejde-619	496	8	u	u	NOUN
ejde-619	497	1	weakly	weakly	ADV
ejde-619	497	2	in	in	ADP
ejde-619	497	3	w	w	PROPN
ejde-619	497	4	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	497	5	0	0	PUNCT
ejde-619	497	6	(	(	PUNCT
ejde-619	497	7	d	d	NOUN
ejde-619	497	8	)	)	PUNCT
ejde-619	497	9	as	as	ADP
ejde-619	497	10	n→	n→	PROPN
ejde-619	497	11	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	497	12	(	(	PUNCT
ejde-619	497	13	6.5	6.5	NUM
ejde-619	497	14	)	)	PUNCT
ejde-619	497	15	since	since	SCONJ
ejde-619	497	16	un	un	PROPN
ejde-619	497	17	→	→	SYM
ejde-619	497	18	u	u	PROPN
ejde-619	497	19	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	497	20	.	.	PROPN
ejde-619	498	1	in	in	ADP
ejde-619	498	2	d	d	PROPN
ejde-619	498	3	,	,	PUNCT
ejde-619	498	4	by	by	ADP
ejde-619	498	5	the	the	DET
ejde-619	498	6	uniform	uniform	ADJ
ejde-619	498	7	convergence	convergence	NOUN
ejde-619	498	8	of	of	ADP
ejde-619	498	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	498	10	4.1	4.1	NUM
ejde-619	498	11	(	(	PUNCT
ejde-619	498	12	ii	ii	NOUN
ejde-619	498	13	)	)	PUNCT
ejde-619	498	14	we	we	PRON
ejde-619	498	15	have	have	VERB
ejde-619	498	16	fn	fn	NUM
ejde-619	498	17	(	(	PUNCT
ejde-619	498	18	·	·	PUNCT
ejde-619	498	19	,	,	PUNCT
ejde-619	498	20	un	un	PROPN
ejde-619	498	21	(	(	PUNCT
ejde-619	498	22	·	·	PUNCT
ejde-619	498	23	)	)	PUNCT
ejde-619	498	24	)	)	PUNCT
ejde-619	499	1	→	→	SYM
ejde-619	499	2	f	f	X
ejde-619	499	3	(	(	PUNCT
ejde-619	499	4	·	·	PUNCT
ejde-619	499	5	,	,	PUNCT
ejde-619	499	6	u	u	NOUN
ejde-619	499	7	(	(	PUNCT
ejde-619	499	8	·	·	PUNCT
ejde-619	499	9	)	)	PUNCT
ejde-619	499	10	)	)	PUNCT
ejde-619	499	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	499	12	.	.	PROPN
ejde-619	500	1	in	in	ADP
ejde-619	500	2	d.	d.	PROPN
ejde-619	500	3	(	(	PUNCT
ejde-619	500	4	6.6	6.6	NUM
ejde-619	500	5	)	)	PUNCT
ejde-619	500	6	by	by	ADP
ejde-619	500	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	500	8	4.3	4.3	NUM
ejde-619	500	9	,	,	PUNCT
ejde-619	500	10	one	one	NUM
ejde-619	500	11	has∫	has∫	NOUN
ejde-619	500	12	d	d	NOUN
ejde-619	501	1	[	[	X
ejde-619	501	2	fn(r	fn(r	X
ejde-619	501	3	,	,	PUNCT
ejde-619	501	4	un	un	PROPN
ejde-619	501	5	)	)	PUNCT
ejde-619	501	6	]	]	PUNCT
ejde-619	501	7	θ(r	θ(r	X
ejde-619	501	8	)	)	PUNCT
ejde-619	501	9	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	501	10	dx	dx	PROPN
ejde-619	501	11	=	=	SYM
ejde-619	501	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	501	13	d+	d+	PUNCT
ejde-619	502	1	n	n	CCONJ
ejde-619	502	2	[	[	X
ejde-619	502	3	fn(r	fn(r	X
ejde-619	502	4	,	,	PUNCT
ejde-619	502	5	un	un	PROPN
ejde-619	502	6	)	)	PUNCT
ejde-619	502	7	]	]	PUNCT
ejde-619	502	8	θ(r	θ(r	X
ejde-619	502	9	)	)	PUNCT
ejde-619	502	10	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	502	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-619	502	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	502	13	d−	d−	PROPN
ejde-619	502	14	n	n	PROPN
ejde-619	502	15	[	[	X
ejde-619	502	16	fn(r	fn(r	X
ejde-619	502	17	,	,	PUNCT
ejde-619	502	18	un	un	PROPN
ejde-619	502	19	)	)	PUNCT
ejde-619	502	20	]	]	PUNCT
ejde-619	502	21	θ(r	θ(r	X
ejde-619	502	22	)	)	PUNCT
ejde-619	502	23	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	502	24	dx,∫	dx,∫	PROPN
ejde-619	502	25	d+	d+	PUNCT
ejde-619	502	26	n	n	CCONJ
ejde-619	502	27	[	[	X
ejde-619	502	28	fn(r	fn(r	X
ejde-619	502	29	,	,	PUNCT
ejde-619	502	30	un	un	PROPN
ejde-619	502	31	)	)	PUNCT
ejde-619	502	32	]	]	PUNCT
ejde-619	502	33	θ(r	θ(r	X
ejde-619	502	34	)	)	PUNCT
ejde-619	502	35	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	502	36	dx	dx	PROPN
ejde-619	502	37	≤	≤	PROPN
ejde-619	502	38	(	(	PUNCT
ejde-619	502	39	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	502	40	,	,	PUNCT
ejde-619	502	41	1})p	1})p	PROPN
ejde-619	502	42	∗	∗	NOUN
ejde-619	502	43	∫	∫	PROPN
ejde-619	502	44	d+	d+	PUNCT
ejde-619	502	45	n	n	PRON
ejde-619	502	46	|un|θ(r)dx	|un|θ(r)dx	NOUN
ejde-619	502	47	≤	≤	NOUN
ejde-619	502	48	(	(	PUNCT
ejde-619	502	49	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	502	50	,	,	PUNCT
ejde-619	502	51	1})p	1})p	NUM
ejde-619	502	52	∗	∗	NOUN
ejde-619	502	53	∫	∫	PROPN
ejde-619	503	1	d	d	X
ejde-619	503	2	|un|θ(r)dx	|un|θ(r)dx	NOUN
ejde-619	503	3	≤	≤	PROPN
ejde-619	503	4	k2∥un∥p	k2∥un∥p	PROPN
ejde-619	503	5	∗	∗	NOUN
ejde-619	503	6	w	w	PROPN
ejde-619	503	7	1,p(d),∫	1,p(d),∫	NUM
ejde-619	503	8	d−	d−	PROPN
ejde-619	503	9	n	n	PROPN
ejde-619	503	10	[	[	X
ejde-619	503	11	fn(r	fn(r	X
ejde-619	503	12	,	,	PUNCT
ejde-619	503	13	un	un	PROPN
ejde-619	503	14	)	)	PUNCT
ejde-619	503	15	]	]	PUNCT
ejde-619	503	16	θ(r	θ(r	X
ejde-619	503	17	)	)	PUNCT
ejde-619	503	18	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	503	19	dx	dx	PROPN
ejde-619	503	20	≤	≤	PROPN
ejde-619	503	21	(	(	PUNCT
ejde-619	503	22	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	503	23	,	,	PUNCT
ejde-619	503	24	1})p	1})p	NUM
ejde-619	503	25	∗	∗	NOUN
ejde-619	503	26	1	1	NUM
ejde-619	503	27	np∗−2	np∗−2	PROPN
ejde-619	503	28	∫	∫	NOUN
ejde-619	503	29	d−	d−	PROPN
ejde-619	503	30	n	n	PRON
ejde-619	503	31	|un|θ(r)dx	|un|θ(r)dx	ADJ
ejde-619	503	32	≤	≤	NOUN
ejde-619	503	33	(	(	PUNCT
ejde-619	503	34	max{k1	max{k1	NUM
ejde-619	503	35	,	,	PUNCT
ejde-619	503	36	1})p	1})p	NUM
ejde-619	503	37	∗	∗	NOUN
ejde-619	503	38	|d|	|d|	PROPN
ejde-619	503	39	.	.	PUNCT
ejde-619	504	1	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	504	2	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	504	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	504	4	on	on	ADP
ejde-619	504	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	504	6	domains	domain	NOUN
ejde-619	504	7	19	19	NUM
ejde-619	504	8	since	since	SCONJ
ejde-619	504	9	∥un∥w	∥un∥w	PROPN
ejde-619	504	10	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	504	11	)	)	PUNCT
ejde-619	504	12	≤	≤	NUM
ejde-619	505	1	ϑ	ϑ	X
ejde-619	505	2	,	,	PUNCT
ejde-619	505	3	by	by	ADP
ejde-619	505	4	the	the	DET
ejde-619	505	5	estimates	estimate	NOUN
ejde-619	505	6	before	before	ADV
ejde-619	505	7	,	,	PUNCT
ejde-619	505	8	we	we	PRON
ejde-619	505	9	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	505	10	d	d	PROPN
ejde-619	506	1	[	[	X
ejde-619	506	2	fn(r	fn(r	X
ejde-619	506	3	,	,	PUNCT
ejde-619	506	4	un	un	PROPN
ejde-619	506	5	)	)	PUNCT
ejde-619	506	6	]	]	PUNCT
ejde-619	506	7	θ(r	θ(r	X
ejde-619	506	8	)	)	PUNCT
ejde-619	506	9	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	506	10	dx	dx	PROPN
ejde-619	506	11	≤	≤	PROPN
ejde-619	506	12	c	c	X
ejde-619	506	13	,	,	PUNCT
ejde-619	506	14	where	where	SCONJ
ejde-619	506	15	c	c	NOUN
ejde-619	506	16	does	do	AUX
ejde-619	506	17	not	not	PART
ejde-619	506	18	depend	depend	VERB
ejde-619	506	19	on	on	ADP
ejde-619	506	20	n.	n.	NOUN
ejde-619	506	21	hence	hence	ADV
ejde-619	506	22	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	506	23	,	,	PUNCT
ejde-619	506	24	un	un	PROPN
ejde-619	506	25	)	)	PUNCT
ejde-619	506	26	is	be	AUX
ejde-619	506	27	bounded	bound	VERB
ejde-619	506	28	in	in	ADP
ejde-619	506	29	l	l	NOUN
ejde-619	506	30	θ(r	θ(r	X
ejde-619	506	31	)	)	PUNCT
ejde-619	506	32	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	506	33	(	(	PUNCT
ejde-619	506	34	d	d	NOUN
ejde-619	506	35	)	)	PUNCT
ejde-619	506	36	and	and	CCONJ
ejde-619	506	37	by	by	ADP
ejde-619	506	38	similar	similar	ADJ
ejde-619	506	39	arguments	argument	NOUN
ejde-619	506	40	like	like	ADP
ejde-619	506	41	[	[	X
ejde-619	506	42	30	30	NUM
ejde-619	506	43	,	,	PUNCT
ejde-619	506	44	theorem	theorem	VERB
ejde-619	506	45	13.44	13.44	NUM
ejde-619	506	46	]	]	PUNCT
ejde-619	506	47	leads	lead	VERB
ejde-619	506	48	to	to	ADP
ejde-619	506	49	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	506	50	,	,	PUNCT
ejde-619	506	51	un	un	PROPN
ejde-619	506	52	)	)	PUNCT
ejde-619	507	1	⇀	⇀	NOUN
ejde-619	508	1	f(r	f(r	X
ejde-619	508	2	,	,	PUNCT
ejde-619	508	3	u	u	NOUN
ejde-619	508	4	)	)	PUNCT
ejde-619	508	5	weakly	weakly	ADV
ejde-619	508	6	in	in	ADP
ejde-619	508	7	l	l	NOUN
ejde-619	508	8	θ(r	θ(r	X
ejde-619	508	9	)	)	PUNCT
ejde-619	508	10	θ(r)−1	θ(r)−1	NOUN
ejde-619	508	11	(	(	PUNCT
ejde-619	508	12	d	d	NOUN
ejde-619	508	13	)	)	PUNCT
ejde-619	508	14	.	.	PUNCT
ejde-619	509	1	(	(	PUNCT
ejde-619	509	2	6.7	6.7	NUM
ejde-619	509	3	)	)	PUNCT
ejde-619	509	4	by	by	ADP
ejde-619	509	5	(	(	PUNCT
ejde-619	509	6	6.5	6.5	NUM
ejde-619	509	7	)	)	PUNCT
ejde-619	509	8	,	,	PUNCT
ejde-619	509	9	(	(	PUNCT
ejde-619	509	10	6.7	6.7	NUM
ejde-619	509	11	)	)	PUNCT
ejde-619	509	12	and	and	CCONJ
ejde-619	509	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	509	14	2.6	2.6	NUM
ejde-619	509	15	,	,	PUNCT
ejde-619	509	16	we	we	PRON
ejde-619	509	17	can	can	AUX
ejde-619	509	18	pass	pass	VERB
ejde-619	509	19	to	to	ADP
ejde-619	509	20	the	the	DET
ejde-619	509	21	limit	limit	NOUN
ejde-619	509	22	in	in	ADP
ejde-619	509	23	(	(	PUNCT
ejde-619	509	24	6.3	6.3	NUM
ejde-619	509	25	)	)	PUNCT
ejde-619	509	26	to	to	PART
ejde-619	509	27	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-619	509	28	d	d	X
ejde-619	509	29	|∇u|p−2∇u∇wdx+	|∇u|p−2∇u∇wdx+	PROPN
ejde-619	509	30	∫	∫	PROPN
ejde-619	510	1	d	d	PROPN
ejde-619	510	2	|un|p−2uw	|un|p−2uw	X
ejde-619	510	3	dx	dx	PROPN
ejde-619	510	4	=	=	SYM
ejde-619	510	5	λ	λ	X
ejde-619	510	6	∫	∫	PROPN
ejde-619	510	7	d	d	PROPN
ejde-619	510	8	a(x)(u)q(x)−1wdx+	a(x)(u)q(x)−1wdx+	NOUN
ejde-619	510	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	510	10	d	d	X
ejde-619	510	11	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	510	12	,	,	PUNCT
ejde-619	510	13	u)wdx	u)wdx	NOUN
ejde-619	510	14	,	,	PUNCT
ejde-619	510	15	(	(	PUNCT
ejde-619	510	16	6.8	6.8	NUM
ejde-619	510	17	)	)	PUNCT
ejde-619	510	18	for	for	ADP
ejde-619	510	19	all	all	DET
ejde-619	510	20	w	w	NOUN
ejde-619	510	21	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	510	22	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	510	23	0	0	SYM
ejde-619	510	24	(	(	PUNCT
ejde-619	510	25	d	d	NOUN
ejde-619	510	26	)	)	PUNCT
ejde-619	510	27	.	.	PUNCT
ejde-619	511	1	thus	thus	ADV
ejde-619	511	2	,	,	PUNCT
ejde-619	511	3	u	u	NOUN
ejde-619	511	4	is	be	AUX
ejde-619	511	5	a	a	DET
ejde-619	511	6	solution	solution	NOUN
ejde-619	511	7	of	of	ADP
ejde-619	511	8	(	(	PUNCT
ejde-619	511	9	1.13	1.13	NUM
ejde-619	511	10	)	)	PUNCT
ejde-619	511	11	.	.	PUNCT
ejde-619	512	1	we	we	PRON
ejde-619	512	2	need	need	VERB
ejde-619	512	3	to	to	PART
ejde-619	512	4	prove	prove	VERB
ejde-619	512	5	that	that	SCONJ
ejde-619	512	6	the	the	DET
ejde-619	512	7	limit	limit	NOUN
ejde-619	512	8	function	function	NOUN
ejde-619	512	9	u	u	NOUN
ejde-619	512	10	does	do	AUX
ejde-619	512	11	not	not	PART
ejde-619	512	12	vanish	vanish	VERB
ejde-619	512	13	.	.	PUNCT
ejde-619	513	1	for	for	ADP
ejde-619	513	2	this	this	DET
ejde-619	513	3	matter	matter	NOUN
ejde-619	513	4	,	,	PUNCT
ejde-619	513	5	fix	fix	VERB
ejde-619	513	6	a	a	DET
ejde-619	513	7	positive	positive	ADJ
ejde-619	513	8	constant	constant	ADJ
ejde-619	513	9	λ	λ	X
ejde-619	513	10	∈	∈	PROPN
ejde-619	513	11	(	(	PUNCT
ejde-619	513	12	0	0	NUM
ejde-619	513	13	,	,	PUNCT
ejde-619	513	14	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	513	15	)	)	PUNCT
ejde-619	513	16	such	such	ADJ
ejde-619	513	17	that	that	DET
ejde-619	513	18	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-619	513	19	=	=	PUNCT
ejde-619	513	20	ϑ2−q−	ϑ2−q−	X
ejde-619	513	21	4c1	4c1	NUM
ejde-619	513	22	(	(	PUNCT
ejde-619	513	23	6.9	6.9	NUM
ejde-619	513	24	)	)	PUNCT
ejde-619	513	25	was	be	AUX
ejde-619	513	26	given	give	VERB
ejde-619	513	27	in	in	ADP
ejde-619	513	28	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	513	29	5.1	5.1	NUM
ejde-619	513	30	.	.	PUNCT
ejde-619	514	1	since	since	SCONJ
ejde-619	514	2	a	a	DET
ejde-619	514	3	>	>	SYM
ejde-619	514	4	0	0	NUM
ejde-619	514	5	is	be	AUX
ejde-619	514	6	a	a	DET
ejde-619	514	7	continuous	continuous	ADJ
ejde-619	514	8	function	function	NOUN
ejde-619	514	9	,	,	PUNCT
ejde-619	514	10	define	define	VERB
ejde-619	514	11	aτ	aτ	ADP
ejde-619	514	12	=	=	SYM
ejde-619	514	13	inf	inf	PROPN
ejde-619	515	1	d	d	ADP
ejde-619	515	2	a(r	a(r	NOUN
ejde-619	515	3	)	)	PUNCT
ejde-619	515	4	.	.	PUNCT
ejde-619	516	1	then	then	ADV
ejde-619	516	2	,	,	PUNCT
ejde-619	516	3	according	accord	VERB
ejde-619	516	4	to	to	ADP
ejde-619	516	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	516	6	6.1	6.1	NUM
ejde-619	516	7	,	,	PUNCT
ejde-619	516	8	there	there	PRON
ejde-619	516	9	exists	exist	VERB
ejde-619	516	10	a	a	DET
ejde-619	516	11	positive	positive	ADJ
ejde-619	516	12	solution	solution	NOUN
ejde-619	516	13	uλ	uλ	ADP
ejde-619	516	14	,	,	PUNCT
ejde-619	516	15	r	r	NOUN
ejde-619	516	16	of	of	ADP
ejde-619	516	17	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	516	18	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	517	1	=	=	PUNCT
ejde-619	518	1	λaτu	λaτu	NOUN
ejde-619	518	2	q(r)−1	q(r)−1	VERB
ejde-619	518	3	in	in	ADP
ejde-619	518	4	d	d	PROPN
ejde-619	518	5	u	u	X
ejde-619	518	6	>	>	X
ejde-619	518	7	0	0	PUNCT
ejde-619	519	1	in	in	ADP
ejde-619	519	2	d	d	PROPN
ejde-619	519	3	u	u	NOUN
ejde-619	519	4	=	=	NOUN
ejde-619	519	5	0	0	NUM
ejde-619	519	6	on	on	ADP
ejde-619	519	7	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	519	8	.	.	PUNCT
ejde-619	520	1	let	let	VERB
ejde-619	520	2	un	un	PROPN
ejde-619	520	3	be	be	AUX
ejde-619	520	4	a	a	DET
ejde-619	520	5	positive	positive	ADJ
ejde-619	520	6	solution	solution	NOUN
ejde-619	520	7	of	of	ADP
ejde-619	520	8	problem	problem	NOUN
ejde-619	520	9	(	(	PUNCT
ejde-619	520	10	5.1	5.1	NUM
ejde-619	520	11	)	)	PUNCT
ejde-619	520	12	obtained	obtain	VERB
ejde-619	520	13	by	by	ADP
ejde-619	520	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	520	15	5.1	5.1	NUM
ejde-619	520	16	.	.	PUNCT
ejde-619	521	1	we	we	PRON
ejde-619	521	2	observe	observe	VERB
ejde-619	521	3	that	that	SCONJ
ejde-619	521	4	uλ	uλ	PROPN
ejde-619	521	5	/	/	SYM
ejde-619	521	6	un	un	PROPN
ejde-619	521	7	,	,	PUNCT
ejde-619	521	8	un	un	PROPN
ejde-619	521	9	/	/	SYM
ejde-619	521	10	uλ	uλ	PRON
ejde-619	521	11	∈	∈	PROPN
ejde-619	521	12	l∞(d	l∞(d	PROPN
ejde-619	521	13	)	)	PUNCT
ejde-619	521	14	because	because	SCONJ
ejde-619	521	15	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	521	16	,	,	PUNCT
ejde-619	521	17	r	r	PROPN
ejde-619	521	18	and	and	CCONJ
ejde-619	521	19	un	un	PROPN
ejde-619	521	20	are	be	AUX
ejde-619	521	21	positive	positive	ADJ
ejde-619	521	22	functions	function	NOUN
ejde-619	521	23	belonging	belong	VERB
ejde-619	521	24	to	to	ADP
ejde-619	521	25	c1,β	c1,β	PROPN
ejde-619	521	26	0	0	NUM
ejde-619	522	1	(	(	PUNCT
ejde-619	522	2	d	d	NOUN
ejde-619	522	3	)	)	PUNCT
ejde-619	523	1	and	and	CCONJ
ejde-619	523	2	satisfying	satisfy	VERB
ejde-619	523	3	∂un/∂ν	∂un/∂ν	NOUN
ejde-619	523	4	<	<	X
ejde-619	523	5	0	0	PROPN
ejde-619	523	6	,	,	PUNCT
ejde-619	523	7	∂uλ	∂uλ	PROPN
ejde-619	523	8	,	,	PUNCT
ejde-619	523	9	r/∂ν	r/∂ν	VERB
ejde-619	523	10	<	<	X
ejde-619	523	11	0	0	PUNCT
ejde-619	523	12	on	on	ADP
ejde-619	523	13	∂d	∂d	PROPN
ejde-619	523	14	.	.	PUNCT
ejde-619	524	1	hence	hence	ADV
ejde-619	524	2	we	we	PRON
ejde-619	524	3	are	be	AUX
ejde-619	524	4	able	able	ADJ
ejde-619	524	5	to	to	PART
ejde-619	524	6	apply	apply	VERB
ejde-619	524	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	524	8	2.3	2.3	NUM
ejde-619	524	9	with	with	ADP
ejde-619	524	10	u1	u1	NOUN
ejde-619	524	11	=	=	SYM
ejde-619	524	12	uλ	uλ	PROPN
ejde-619	524	13	,	,	PUNCT
ejde-619	524	14	r	r	NOUN
ejde-619	524	15	,	,	PUNCT
ejde-619	524	16	u2	u2	NOUN
ejde-619	524	17	=	=	PUNCT
ejde-619	524	18	un	un	PROPN
ejde-619	524	19	,	,	PUNCT
ejde-619	524	20	g(r	g(r	PROPN
ejde-619	524	21	,	,	PUNCT
ejde-619	524	22	t	t	PROPN
ejde-619	524	23	)	)	PUNCT
ejde-619	524	24	=	=	SYM
ejde-619	525	1	λaτ	λaτ	NUM
ejde-619	525	2	t	t	PROPN
ejde-619	525	3	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	525	4	)	)	PUNCT
ejde-619	525	5	.	.	PUNCT
ejde-619	526	1	notice	notice	VERB
ejde-619	526	2	that	that	PRON
ejde-619	526	3	λtq(r	λtq(r	PROPN
ejde-619	526	4	)	)	PUNCT
ejde-619	527	1	+	+	CCONJ
ejde-619	527	2	fn(r	fn(r	NOUN
ejde-619	527	3	,	,	PUNCT
ejde-619	527	4	t	t	PROPN
ejde-619	527	5	)	)	PUNCT
ejde-619	527	6	+	+	CCONJ
ejde-619	527	7	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-619	527	8	n	n	PRON
ejde-619	527	9	≥	≥	NOUN
ejde-619	527	10	λaτ	λaτ	PROPN
ejde-619	527	11	t	t	PROPN
ejde-619	527	12	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	527	13	)	)	PUNCT
ejde-619	528	1	=	=	PUNCT
ejde-619	528	2	g(r	g(r	PROPN
ejde-619	528	3	,	,	PUNCT
ejde-619	528	4	t	t	PROPN
ejde-619	528	5	)	)	PUNCT
ejde-619	528	6	.	.	PUNCT
ejde-619	529	1	hence	hence	ADV
ejde-619	529	2	,	,	PUNCT
ejde-619	529	3	u1	u1	NOUN
ejde-619	529	4	and	and	CCONJ
ejde-619	529	5	u2	u2	NOUN
ejde-619	529	6	are	be	AUX
ejde-619	529	7	a	a	DET
ejde-619	529	8	positive	positive	ADJ
ejde-619	529	9	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-619	529	10	and	and	CCONJ
ejde-619	529	11	a	a	DET
ejde-619	529	12	positive	positive	ADJ
ejde-619	529	13	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-619	529	14	of	of	ADP
ejde-619	529	15	problem	problem	NOUN
ejde-619	529	16	(	(	PUNCT
ejde-619	529	17	6.1	6.1	NUM
ejde-619	529	18	)	)	PUNCT
ejde-619	529	19	,	,	PUNCT
ejde-619	529	20	respectively	respectively	ADV
ejde-619	529	21	.	.	PUNCT
ejde-619	530	1	in	in	ADP
ejde-619	530	2	this	this	DET
ejde-619	530	3	way	way	NOUN
ejde-619	530	4	,	,	PUNCT
ejde-619	530	5	by	by	ADP
ejde-619	530	6	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	530	7	2.3	2.3	NUM
ejde-619	530	8	we	we	PRON
ejde-619	530	9	see	see	VERB
ejde-619	530	10	that	that	SCONJ
ejde-619	530	11	un	un	PROPN
ejde-619	530	12	≥	≥	PROPN
ejde-619	530	13	uλ	uλ	PROPN
ejde-619	530	14	,	,	PUNCT
ejde-619	530	15	r	r	NOUN
ejde-619	530	16	>	>	X
ejde-619	530	17	0	0	PUNCT
ejde-619	531	1	in	in	ADP
ejde-619	531	2	d	d	PROPN
ejde-619	531	3	for	for	ADP
ejde-619	531	4	every	every	DET
ejde-619	531	5	n	n	PRON
ejde-619	531	6	≥	≥	NOUN
ejde-619	531	7	1	1	NUM
ejde-619	531	8	.	.	PUNCT
ejde-619	531	9	therefore	therefore	ADV
ejde-619	531	10	,	,	PUNCT
ejde-619	531	11	in	in	ADP
ejde-619	531	12	the	the	DET
ejde-619	531	13	limit	limit	NOUN
ejde-619	531	14	as	as	ADP
ejde-619	531	15	n	n	PROPN
ejde-619	531	16	→	→	SYM
ejde-619	531	17	∞	∞	PROPN
ejde-619	531	18	we	we	PRON
ejde-619	531	19	obtain	obtain	VERB
ejde-619	531	20	that	that	SCONJ
ejde-619	531	21	u	u	PROPN
ejde-619	531	22	≥	≥	NOUN
ejde-619	531	23	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	531	24	,	,	PUNCT
ejde-619	531	25	r	r	NOUN
ejde-619	531	26	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	531	27	.	.	PROPN
ejde-619	531	28	in	in	ADP
ejde-619	531	29	d.	d.	PROPN
ejde-619	531	30	thus	thus	ADV
ejde-619	531	31	,	,	PUNCT
ejde-619	531	32	by	by	ADP
ejde-619	531	33	letting	let	VERB
ejde-619	531	34	to	to	ADP
ejde-619	531	35	the	the	DET
ejde-619	531	36	limit	limit	NOUN
ejde-619	531	37	,	,	PUNCT
ejde-619	531	38	we	we	PRON
ejde-619	531	39	conclude	conclude	VERB
ejde-619	531	40	that	that	SCONJ
ejde-619	531	41	u	u	PROPN
ejde-619	531	42	is	be	AUX
ejde-619	531	43	a	a	DET
ejde-619	531	44	positive	positive	ADJ
ejde-619	531	45	solution	solution	NOUN
ejde-619	531	46	of	of	ADP
ejde-619	531	47	problem	problem	NOUN
ejde-619	531	48	(	(	PUNCT
ejde-619	531	49	1.13	1.13	NUM
ejde-619	531	50	)	)	PUNCT
ejde-619	531	51	.	.	PUNCT
ejde-619	532	1	the	the	DET
ejde-619	532	2	solution	solution	NOUN
ejde-619	532	3	we	we	PRON
ejde-619	532	4	just	just	ADV
ejde-619	532	5	found	find	VERB
ejde-619	532	6	is	be	AUX
ejde-619	532	7	being	be	AUX
ejde-619	532	8	written	write	VERB
ejde-619	532	9	as	as	ADP
ejde-619	532	10	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	532	11	with	with	ADP
ejde-619	532	12	explicit	explicit	ADJ
ejde-619	532	13	dependence	dependence	NOUN
ejde-619	532	14	on	on	ADP
ejde-619	532	15	λ	λ	NOUN
ejde-619	532	16	.	.	PUNCT
ejde-619	533	1	we	we	PRON
ejde-619	533	2	will	will	AUX
ejde-619	533	3	deduce	deduce	VERB
ejde-619	533	4	that	that	PRON
ejde-619	533	5	∥uλ∥w	∥uλ∥w	ADV
ejde-619	533	6	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	533	7	)	)	PUNCT
ejde-619	533	8	→	→	SYM
ejde-619	533	9	0	0	PUNCT
ejde-619	533	10	as	as	ADP
ejde-619	533	11	λ	λ	PROPN
ejde-619	533	12	→	→	SYM
ejde-619	533	13	0	0	NUM
ejde-619	533	14	.	.	PUNCT
ejde-619	534	1	fix	fix	VERB
ejde-619	534	2	the	the	DET
ejde-619	534	3	pair	pair	NOUN
ejde-619	534	4	(	(	PUNCT
ejde-619	534	5	λ	λ	NOUN
ejde-619	534	6	,	,	PUNCT
ejde-619	534	7	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	534	8	)	)	PUNCT
ejde-619	534	9	,	,	PUNCT
ejde-619	534	10	where	where	SCONJ
ejde-619	534	11	λ	λ	PROPN
ejde-619	534	12	∈	∈	PROPN
ejde-619	534	13	(	(	PUNCT
ejde-619	534	14	0	0	NUM
ejde-619	534	15	,	,	PUNCT
ejde-619	534	16	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	534	17	)	)	PUNCT
ejde-619	534	18	and	and	CCONJ
ejde-619	534	19	uλ	uλ	ADV
ejde-619	534	20	is	be	AUX
ejde-619	534	21	the	the	DET
ejde-619	534	22	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-619	534	23	solution	solution	NOUN
ejde-619	534	24	of	of	ADP
ejde-619	534	25	problem	problem	NOUN
ejde-619	534	26	(	(	PUNCT
ejde-619	534	27	1.13),given	1.13),given	NUM
ejde-619	534	28	by	by	ADP
ejde-619	534	29	the	the	DET
ejde-619	534	30	previous	previous	ADJ
ejde-619	534	31	steps	step	NOUN
ejde-619	534	32	.	.	PUNCT
ejde-619	535	1	using	use	VERB
ejde-619	535	2	w	w	PROPN
ejde-619	535	3	=	=	PUNCT
ejde-619	535	4	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	535	5	as	as	ADP
ejde-619	535	6	a	a	DET
ejde-619	535	7	test	test	NOUN
ejde-619	535	8	function	function	NOUN
ejde-619	535	9	in	in	ADP
ejde-619	535	10	(	(	PUNCT
ejde-619	535	11	6.8	6.8	NUM
ejde-619	535	12	)	)	PUNCT
ejde-619	535	13	and	and	CCONJ
ejde-619	535	14	recalling	recall	VERB
ejde-619	535	15	(	(	PUNCT
ejde-619	535	16	2.1	2.1	NUM
ejde-619	535	17	)	)	PUNCT
ejde-619	535	18	,	,	PUNCT
ejde-619	535	19	we	we	PRON
ejde-619	535	20	obtain	obtain	VERB
ejde-619	535	21	20	20	NUM
ejde-619	535	22	l.	l.	PROPN
ejde-619	535	23	f.	f.	PROPN
ejde-619	535	24	o.	o.	PROPN
ejde-619	535	25	faria	faria	PROPN
ejde-619	535	26	,	,	PUNCT
ejde-619	535	27	m.	m.	PROPN
ejde-619	535	28	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	535	29	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	535	30	∫	∫	PROPN
ejde-619	535	31	rn	rn	PROPN
ejde-619	535	32	|∇ũλ|pdx+	|∇ũλ|pdx+	PROPN
ejde-619	535	33	∫	∫	PROPN
ejde-619	535	34	rn	rn	PROPN
ejde-619	535	35	ũpλdx	ũpλdx	PROPN
ejde-619	535	36	=	=	SYM
ejde-619	535	37	∫	∫	PROPN
ejde-619	535	38	d	d	X
ejde-619	535	39	|∇uλ|pdx+	|∇uλ|pdx+	ADJ
ejde-619	535	40	∫	∫	PROPN
ejde-619	535	41	d	d	NOUN
ejde-619	535	42	upλdx	upλdx	NOUN
ejde-619	536	1	=	=	PUNCT
ejde-619	536	2	λ	λ	PROPN
ejde-619	536	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	536	4	d	d	X
ejde-619	536	5	a(r)u	a(r)u	PROPN
ejde-619	536	6	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	536	7	)	)	PUNCT
ejde-619	537	1	λ	λ	NOUN
ejde-619	537	2	dx+	dx+	ADJ
ejde-619	537	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	538	1	d	d	X
ejde-619	538	2	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	538	3	,	,	PUNCT
ejde-619	538	4	uλ)uλdx	uλ)uλdx	NOUN
ejde-619	538	5	=	=	SYM
ejde-619	538	6	λ	λ	PROPN
ejde-619	538	7	∫	∫	PROPN
ejde-619	538	8	rn	rn	PROPN
ejde-619	538	9	a(r)ũ	a(r)ũ	PROPN
ejde-619	538	10	q(r	q(r	PROPN
ejde-619	538	11	)	)	PUNCT
ejde-619	539	1	λ	λ	PROPN
ejde-619	539	2	dx+	dx+	ADJ
ejde-619	539	3	∫	∫	PROPN
ejde-619	539	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	539	5	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	539	6	,	,	PUNCT
ejde-619	539	7	ũλ)ũλdx	ũλ)ũλdx	PROPN
ejde-619	539	8	≤	≤	NOUN
ejde-619	539	9	λc1∥ũλ∥q−w	λc1∥ũλ∥q−w	PRON
ejde-619	539	10	1,p(rn	1,p(rn	NUM
ejde-619	539	11	)	)	PUNCT
ejde-619	540	1	+	+	CCONJ
ejde-619	540	2	c2∥ũλ∥p−	c2∥ũλ∥p−	X
ejde-619	540	3	w	w	PROPN
ejde-619	540	4	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	540	5	)	)	PUNCT
ejde-619	540	6	,	,	PUNCT
ejde-619	540	7	(	(	PUNCT
ejde-619	540	8	6.10	6.10	NUM
ejde-619	540	9	)	)	PUNCT
ejde-619	540	10	where	where	SCONJ
ejde-619	540	11	c1	c1	PROPN
ejde-619	540	12	,	,	PUNCT
ejde-619	540	13	c2	c2	PROPN
ejde-619	540	14	are	be	AUX
ejde-619	540	15	given	give	VERB
ejde-619	540	16	in	in	ADP
ejde-619	540	17	(	(	PUNCT
ejde-619	540	18	5.6	5.6	NUM
ejde-619	540	19	)	)	PUNCT
ejde-619	540	20	,	,	PUNCT
ejde-619	540	21	(	(	PUNCT
ejde-619	540	22	5.7	5.7	NUM
ejde-619	540	23	)	)	PUNCT
ejde-619	540	24	,	,	PUNCT
ejde-619	540	25	respectively	respectively	ADV
ejde-619	540	26	.	.	PUNCT
ejde-619	541	1	since	since	SCONJ
ejde-619	541	2	ũλ	ũλ	PROPN
ejde-619	541	3	̸=	̸=	PROPN
ejde-619	541	4	0	0	NUM
ejde-619	541	5	,	,	PUNCT
ejde-619	541	6	from	from	ADP
ejde-619	541	7	(	(	PUNCT
ejde-619	541	8	6.10	6.10	NUM
ejde-619	541	9	)	)	PUNCT
ejde-619	541	10	,	,	PUNCT
ejde-619	541	11	we	we	PRON
ejde-619	541	12	have	have	VERB
ejde-619	541	13	the	the	DET
ejde-619	541	14	estimate	estimate	NOUN
ejde-619	541	15	∥ũλ∥p−q−	∥ũλ∥p−q−	PROPN
ejde-619	541	16	w	w	PROPN
ejde-619	541	17	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	541	18	)	)	PUNCT
ejde-619	542	1	(	(	PUNCT
ejde-619	542	2	1−	1−	NUM
ejde-619	542	3	c2∥ũλ∥p−−2	c2∥ũλ∥p−−2	PROPN
ejde-619	542	4	w	w	PROPN
ejde-619	542	5	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	542	6	)	)	PUNCT
ejde-619	542	7	)	)	PUNCT
ejde-619	543	1	≤	≤	NUM
ejde-619	543	2	λc1	λc1	NOUN
ejde-619	543	3	.	.	PUNCT
ejde-619	543	4	(	(	PUNCT
ejde-619	543	5	6.11	6.11	NUM
ejde-619	543	6	)	)	PUNCT
ejde-619	543	7	combining	combine	VERB
ejde-619	543	8	(	(	PUNCT
ejde-619	543	9	5.22	5.22	NUM
ejde-619	543	10	)	)	PUNCT
ejde-619	543	11	,	,	PUNCT
ejde-619	543	12	(	(	PUNCT
ejde-619	543	13	6.4	6.4	NUM
ejde-619	543	14	)	)	PUNCT
ejde-619	543	15	,	,	PUNCT
ejde-619	543	16	we	we	PRON
ejde-619	543	17	obtain	obtain	VERB
ejde-619	543	18	∥ũλ∥p−−2	∥ũλ∥p−−2	NOUN
ejde-619	543	19	w	w	PROPN
ejde-619	543	20	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	543	21	)	)	PUNCT
ejde-619	543	22	≤	≤	ADV
ejde-619	544	1	1	1	NUM
ejde-619	544	2	2c2	2c2	NUM
ejde-619	544	3	.	.	PUNCT
ejde-619	545	1	thus	thus	ADV
ejde-619	545	2	,	,	PUNCT
ejde-619	545	3	∥uλ∥w	∥uλ∥w	ADV
ejde-619	545	4	1,p(d	1,p(d	NUM
ejde-619	545	5	)	)	PUNCT
ejde-619	545	6	=	=	PUNCT
ejde-619	546	1	∥ũλ∥w	∥ũλ∥w	NOUN
ejde-619	546	2	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	546	3	)	)	PUNCT
ejde-619	547	1	≤	≤	NOUN
ejde-619	547	2	(	(	PUNCT
ejde-619	547	3	2λc1	2λc1	NUM
ejde-619	547	4	)	)	PUNCT
ejde-619	547	5	1/(p−q−	1/(p−q−	NUM
ejde-619	547	6	)	)	PUNCT
ejde-619	547	7	.	.	PUNCT
ejde-619	548	1	(	(	PUNCT
ejde-619	548	2	6.12	6.12	NUM
ejde-619	548	3	)	)	PUNCT
ejde-619	548	4	we	we	PRON
ejde-619	548	5	conclude	conclude	VERB
ejde-619	548	6	that	that	PRON
ejde-619	548	7	∥uλ∥w	∥uλ∥w	ADP
ejde-619	548	8	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	548	9	)	)	PUNCT
ejde-619	548	10	→	→	SYM
ejde-619	548	11	0	0	PUNCT
ejde-619	548	12	as	as	ADP
ejde-619	548	13	λ	λ	PROPN
ejde-619	548	14	→	→	SYM
ejde-619	548	15	0	0	NUM
ejde-619	548	16	.	.	PUNCT
ejde-619	549	1	the	the	DET
ejde-619	549	2	proof	proof	NOUN
ejde-619	549	3	of	of	ADP
ejde-619	549	4	the	the	DET
ejde-619	549	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	549	6	is	be	AUX
ejde-619	549	7	complete	complete	ADJ
ejde-619	549	8	.	.	PUNCT
ejde-619	550	1	□	□	PUNCT
ejde-619	550	2	7	7	X
ejde-619	550	3	.	.	X
ejde-619	550	4	proof	proof	NOUN
ejde-619	550	5	of	of	ADP
ejde-619	550	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	550	7	1.4	1.4	NUM
ejde-619	550	8	let	let	VERB
ejde-619	550	9	r	r	NOUN
ejde-619	550	10	>	>	X
ejde-619	550	11	0	0	NUM
ejde-619	550	12	.	.	PUNCT
ejde-619	551	1	in	in	ADP
ejde-619	551	2	what	what	PRON
ejde-619	551	3	follows	follow	VERB
ejde-619	551	4	,	,	PUNCT
ejde-619	551	5	we	we	PRON
ejde-619	551	6	denote	denote	VERB
ejde-619	551	7	bn	bn	PROPN
ejde-619	551	8	=	=	SYM
ejde-619	551	9	bn(0	bn(0	PROPN
ejde-619	551	10	)	)	PUNCT
ejde-619	551	11	the	the	DET
ejde-619	551	12	open	open	ADJ
ejde-619	551	13	ball	ball	NOUN
ejde-619	551	14	centered	center	VERB
ejde-619	551	15	at	at	ADP
ejde-619	551	16	the	the	DET
ejde-619	551	17	origin	origin	NOUN
ejde-619	551	18	and	and	CCONJ
ejde-619	551	19	of	of	ADP
ejde-619	551	20	radius	radius	NOUN
ejde-619	551	21	n	n	CCONJ
ejde-619	551	22	∈	∈	PROPN
ejde-619	551	23	n	n	CCONJ
ejde-619	551	24	,	,	PUNCT
ejde-619	551	25	for	for	ADP
ejde-619	551	26	some	some	DET
ejde-619	551	27	n	n	NOUN
ejde-619	551	28	>	>	X
ejde-619	551	29	r.	r.	X
ejde-619	551	30	the	the	DET
ejde-619	551	31	space	space	NOUN
ejde-619	551	32	w	w	PROPN
ejde-619	551	33	1,p(bn	1,p(bn	NUM
ejde-619	551	34	)	)	PUNCT
ejde-619	551	35	is	be	AUX
ejde-619	551	36	equipped	equip	VERB
ejde-619	551	37	with	with	ADP
ejde-619	551	38	the	the	DET
ejde-619	551	39	norm	norm	NOUN
ejde-619	551	40	∥u∥2,n	∥u∥2,n	VERB
ejde-619	551	41	=	=	SYM
ejde-619	551	42	(	(	PUNCT
ejde-619	551	43	∫	∫	PROPN
ejde-619	551	44	bn	bn	INTJ
ejde-619	551	45	(	(	PUNCT
ejde-619	551	46	|∇u|p	|∇u|p	NOUN
ejde-619	551	47	+	+	CCONJ
ejde-619	551	48	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-619	551	49	)	)	PUNCT
ejde-619	551	50	dx	dx	PROPN
ejde-619	551	51	)	)	PUNCT
ejde-619	552	1	1	1	X
ejde-619	552	2	/	/	SYM
ejde-619	552	3	p	p	NOUN
ejde-619	552	4	.	.	PUNCT
ejde-619	553	1	proof	proof	NOUN
ejde-619	553	2	of	of	ADP
ejde-619	553	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-619	553	4	1.4	1.4	NUM
ejde-619	553	5	.	.	PUNCT
ejde-619	553	6	applying	apply	VERB
ejde-619	553	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	553	8	1.3	1.3	NUM
ejde-619	553	9	with	with	ADP
ejde-619	553	10	d	d	NOUN
ejde-619	553	11	=	=	SYM
ejde-619	553	12	bn\br	bn\br	PROPN
ejde-619	553	13	(	(	PUNCT
ejde-619	553	14	and	and	CCONJ
ejde-619	553	15	n	n	CCONJ
ejde-619	553	16	>	>	X
ejde-619	553	17	r	r	NOUN
ejde-619	553	18	)	)	PUNCT
ejde-619	553	19	,	,	PUNCT
ejde-619	553	20	we	we	PRON
ejde-619	553	21	obtain	obtain	VERB
ejde-619	553	22	a	a	DET
ejde-619	553	23	positive	positive	ADJ
ejde-619	553	24	solution	solution	NOUN
ejde-619	553	25	un	un	PROPN
ejde-619	553	26	∈w	∈w	PROPN
ejde-619	553	27	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	553	28	0	0	NUM
ejde-619	553	29	(	(	PUNCT
ejde-619	553	30	bn	bn	NOUN
ejde-619	553	31	)	)	PUNCT
ejde-619	553	32	∩	∩	ADJ
ejde-619	553	33	c1,β(bn	c1,β(bn	PROPN
ejde-619	553	34	)	)	PUNCT
ejde-619	553	35	of	of	ADP
ejde-619	553	36	the	the	DET
ejde-619	553	37	problem	problem	NOUN
ejde-619	553	38	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	553	39	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	554	1	=	=	PUNCT
ejde-619	554	2	λa(r)uq(r)−1	λa(r)uq(r)−1	X
ejde-619	554	3	+	+	NUM
ejde-619	554	4	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	554	5	,	,	PUNCT
ejde-619	554	6	u	u	NOUN
ejde-619	554	7	)	)	PUNCT
ejde-619	554	8	in	in	ADP
ejde-619	554	9	bn	bn	NUM
ejde-619	554	10	u	u	X
ejde-619	554	11	>	>	X
ejde-619	554	12	0	0	PUNCT
ejde-619	555	1	in	in	ADP
ejde-619	555	2	bn	bn	NUM
ejde-619	555	3	u	u	NOUN
ejde-619	555	4	=	=	NOUN
ejde-619	555	5	0	0	NUM
ejde-619	555	6	on	on	ADP
ejde-619	555	7	∂bn	∂bn	PROPN
ejde-619	555	8	,	,	PUNCT
ejde-619	555	9	(	(	PUNCT
ejde-619	555	10	7.1	7.1	NUM
ejde-619	555	11	)	)	PUNCT
ejde-619	555	12	again	again	ADV
ejde-619	555	13	,	,	PUNCT
ejde-619	555	14	(	(	PUNCT
ejde-619	555	15	5.22	5.22	NUM
ejde-619	555	16	)	)	PUNCT
ejde-619	555	17	and	and	CCONJ
ejde-619	555	18	(	(	PUNCT
ejde-619	555	19	6.12	6.12	NUM
ejde-619	555	20	)	)	PUNCT
ejde-619	555	21	show	show	VERB
ejde-619	555	22	the	the	DET
ejde-619	555	23	uniform	uniform	ADJ
ejde-619	555	24	boundedness	boundedness	NOUN
ejde-619	555	25	of	of	ADP
ejde-619	555	26	the	the	DET
ejde-619	555	27	sequence	sequence	NOUN
ejde-619	555	28	(	(	PUNCT
ejde-619	555	29	un)n	un)n	PROPN
ejde-619	555	30	>	>	X
ejde-619	555	31	r	r	NOUN
ejde-619	555	32	in	in	ADP
ejde-619	555	33	w	w	PROPN
ejde-619	555	34	1,p	1,p	PROPN
ejde-619	555	35	0	0	NUM
ejde-619	555	36	(	(	PUNCT
ejde-619	555	37	bn	bn	NOUN
ejde-619	555	38	)	)	PUNCT
ejde-619	555	39	,	,	PUNCT
ejde-619	555	40	that	that	ADV
ejde-619	555	41	is	is	ADV
ejde-619	555	42	,	,	PUNCT
ejde-619	555	43	defining	define	VERB
ejde-619	555	44	ϑ̃	ϑ̃	PROPN
ejde-619	555	45	=	=	SYM
ejde-619	555	46	min	min	PROPN
ejde-619	555	47	{	{	PUNCT
ejde-619	555	48	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-619	555	49	,	,	PUNCT
ejde-619	555	50	(	(	PUNCT
ejde-619	555	51	2λc1	2λc1	NUM
ejde-619	555	52	)	)	PUNCT
ejde-619	555	53	1/(p−q−	1/(p−q−	NUM
ejde-619	555	54	)	)	PUNCT
ejde-619	555	55	}	}	PUNCT
ejde-619	555	56	we	we	PRON
ejde-619	555	57	obtain	obtain	VERB
ejde-619	555	58	∥un∥2,n	∥un∥2,n	ADJ
ejde-619	555	59	≤	≤	NUM
ejde-619	555	60	ϑ̃	ϑ̃	PROPN
ejde-619	555	61	for	for	ADP
ejde-619	555	62	all	all	DET
ejde-619	555	63	n	n	PRON
ejde-619	555	64	∈	∈	PROPN
ejde-619	555	65	n.	n.	NOUN
ejde-619	555	66	(	(	PUNCT
ejde-619	555	67	7.2	7.2	NUM
ejde-619	555	68	)	)	PUNCT
ejde-619	555	69	fix	fix	NOUN
ejde-619	555	70	m	m	PROPN
ejde-619	555	71	∈	∈	NOUN
ejde-619	555	72	n.	n.	NOUN
ejde-619	555	73	if	if	SCONJ
ejde-619	555	74	n	n	PROPN
ejde-619	555	75	≥	≥	NOUN
ejde-619	555	76	m	m	VERB
ejde-619	555	77	>	>	X
ejde-619	555	78	r	r	NOUN
ejde-619	555	79	,	,	PUNCT
ejde-619	555	80	by	by	ADP
ejde-619	555	81	(	(	PUNCT
ejde-619	555	82	7.2	7.2	NUM
ejde-619	555	83	)	)	PUNCT
ejde-619	555	84	we	we	PRON
ejde-619	555	85	have	have	AUX
ejde-619	555	86	∥un∥2,m	∥un∥2,m	NOUN
ejde-619	555	87	≤	≤	X
ejde-619	555	88	∥un∥2,n	∥un∥2,n	PUNCT
ejde-619	555	89	≤	≤	ADJ
ejde-619	555	90	ϑ̃.	ϑ̃.	ADJ
ejde-619	555	91	(	(	PUNCT
ejde-619	555	92	7.3	7.3	NUM
ejde-619	555	93	)	)	PUNCT
ejde-619	555	94	therefore	therefore	ADV
ejde-619	555	95	,	,	PUNCT
ejde-619	555	96	for	for	ADP
ejde-619	555	97	a	a	DET
ejde-619	555	98	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-619	555	99	if	if	SCONJ
ejde-619	555	100	necessary	necessary	ADJ
ejde-619	555	101	,	,	PUNCT
ejde-619	555	102	there	there	PRON
ejde-619	555	103	exists	exist	VERB
ejde-619	555	104	u	u	PRON
ejde-619	555	105	∈w	∈w	NOUN
ejde-619	555	106	1,p(bm	1,p(bm	NUM
ejde-619	555	107	)	)	PUNCT
ejde-619	555	108	such	such	ADJ
ejde-619	555	109	that	that	SCONJ
ejde-619	555	110	un	un	PROPN
ejde-619	555	111	⇀	⇀	PROPN
ejde-619	555	112	u	u	PROPN
ejde-619	555	113	in	in	ADP
ejde-619	555	114	w	w	PROPN
ejde-619	555	115	1,p(bm	1,p(bm	NUM
ejde-619	555	116	)	)	PUNCT
ejde-619	555	117	,	,	PUNCT
ejde-619	555	118	un	un	PROPN
ejde-619	555	119	→	→	SYM
ejde-619	555	120	u	u	PROPN
ejde-619	555	121	for	for	ADP
ejde-619	555	122	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	555	123	.	.	PUNCT
ejde-619	555	124	x	x	SYM
ejde-619	555	125	∈	∈	PROPN
ejde-619	555	126	bm	bm	PROPN
ejde-619	555	127	,	,	PUNCT
ejde-619	555	128	un	un	PROPN
ejde-619	555	129	→	→	SYM
ejde-619	555	130	u	u	PROPN
ejde-619	555	131	in	in	ADP
ejde-619	555	132	lp(bm	lp(bm	PROPN
ejde-619	555	133	)	)	PUNCT
ejde-619	555	134	,	,	PUNCT
ejde-619	555	135	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	555	136	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	555	137	equations	equation	NOUN
ejde-619	555	138	on	on	ADP
ejde-619	555	139	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	555	140	domains	domain	NOUN
ejde-619	555	141	21	21	NUM
ejde-619	555	142	un	un	PROPN
ejde-619	555	143	⇀	⇀	PROPN
ejde-619	555	144	u	u	PROPN
ejde-619	555	145	in	in	ADP
ejde-619	555	146	lθ(r)/(θ(r)−1)(bm	lθ(r)/(θ(r)−1)(bm	PROPN
ejde-619	555	147	)	)	PUNCT
ejde-619	555	148	,	,	PUNCT
ejde-619	555	149	un	un	PROPN
ejde-619	555	150	⇀	⇀	PROPN
ejde-619	555	151	u	u	PROPN
ejde-619	555	152	in	in	ADP
ejde-619	555	153	lq(r)−1(bm	lq(r)−1(bm	PROPN
ejde-619	555	154	)	)	PUNCT
ejde-619	555	155	,	,	PUNCT
ejde-619	555	156	as	as	ADP
ejde-619	555	157	n→	n→	PUNCT
ejde-619	555	158	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	555	159	recalling	recall	VERB
ejde-619	555	160	that	that	DET
ejde-619	555	161	un	un	PROPN
ejde-619	555	162	>	>	X
ejde-619	555	163	0	0	PUNCT
ejde-619	556	1	in	in	ADP
ejde-619	556	2	bm	bm	PROPN
ejde-619	556	3	,	,	PUNCT
ejde-619	556	4	by	by	ADP
ejde-619	556	5	the	the	DET
ejde-619	556	6	above	above	ADJ
ejde-619	556	7	convergences	convergence	NOUN
ejde-619	556	8	,	,	PUNCT
ejde-619	556	9	we	we	PRON
ejde-619	556	10	infer	infer	VERB
ejde-619	556	11	that	that	SCONJ
ejde-619	556	12	u	u	NOUN
ejde-619	556	13	is	be	AUX
ejde-619	556	14	a	a	DET
ejde-619	556	15	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-619	556	16	solution	solution	NOUN
ejde-619	556	17	of	of	ADP
ejde-619	556	18	the	the	DET
ejde-619	556	19	problem	problem	NOUN
ejde-619	556	20	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	556	21	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	557	1	=	=	PUNCT
ejde-619	557	2	λa(r)uq(r)−1	λa(r)uq(r)−1	X
ejde-619	557	3	+	+	NUM
ejde-619	557	4	f(r	f(r	NOUN
ejde-619	557	5	,	,	PUNCT
ejde-619	557	6	u	u	NOUN
ejde-619	557	7	)	)	PUNCT
ejde-619	557	8	in	in	ADP
ejde-619	557	9	bm	bm	PROPN
ejde-619	557	10	,	,	PUNCT
ejde-619	557	11	u	u	PRON
ejde-619	557	12	≥	≥	NOUN
ejde-619	557	13	0texton∂bm	0texton∂bm	X
ejde-619	557	14	.	.	PUNCT
ejde-619	558	1	by	by	ADP
ejde-619	558	2	a	a	DET
ejde-619	558	3	diagonal	diagonal	ADJ
ejde-619	558	4	argument	argument	NOUN
ejde-619	558	5	we	we	PRON
ejde-619	558	6	obtain	obtain	VERB
ejde-619	558	7	a	a	DET
ejde-619	558	8	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-619	558	9	of	of	ADP
ejde-619	558	10	(	(	PUNCT
ejde-619	558	11	ũn	ũn	PROPN
ejde-619	558	12	)	)	PUNCT
ejde-619	558	13	and	and	CCONJ
ejde-619	558	14	a	a	DET
ejde-619	558	15	function	function	NOUN
ejde-619	558	16	u	u	PROPN
ejde-619	558	17	∈	∈	PROPN
ejde-619	558	18	w	w	PROPN
ejde-619	558	19	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	558	20	)	)	PUNCT
ejde-619	559	1	such	such	ADJ
ejde-619	559	2	that	that	SCONJ
ejde-619	559	3	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	560	1	⇀	⇀	NUM
ejde-619	561	1	u	u	NOUN
ejde-619	561	2	in	in	ADP
ejde-619	561	3	w	w	PROPN
ejde-619	561	4	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	561	5	)	)	PUNCT
ejde-619	561	6	,	,	PUNCT
ejde-619	561	7	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	561	8	→	→	SYM
ejde-619	561	9	u	u	NOUN
ejde-619	561	10	for	for	ADP
ejde-619	561	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	561	12	.	.	PUNCT
ejde-619	561	13	x	x	PROPN
ejde-619	561	14	∈	∈	PROPN
ejde-619	561	15	rn	rn	PROPN
ejde-619	561	16	,	,	PUNCT
ejde-619	561	17	ũn	ũn	VERB
ejde-619	561	18	⇀	⇀	NUM
ejde-619	561	19	u	u	NOUN
ejde-619	561	20	in	in	ADP
ejde-619	561	21	lθ(r)/(θ(r)−1)(rn	lθ(r)/(θ(r)−1)(rn	PROPN
ejde-619	561	22	)	)	PUNCT
ejde-619	561	23	,	,	PUNCT
ejde-619	561	24	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	561	25	⇀	⇀	NUM
ejde-619	561	26	u	u	NOUN
ejde-619	561	27	in	in	ADP
ejde-619	561	28	lq(r)−1(rn	lq(r)−1(rn	PROPN
ejde-619	561	29	)	)	PUNCT
ejde-619	561	30	as	as	ADP
ejde-619	561	31	n→	n→	PROPN
ejde-619	561	32	∞.	∞.	PROPN
ejde-619	561	33	(	(	PUNCT
ejde-619	561	34	7.4	7.4	NUM
ejde-619	561	35	)	)	PUNCT
ejde-619	561	36	indeed	indeed	ADV
ejde-619	561	37	,	,	PUNCT
ejde-619	561	38	fix	fix	VERB
ejde-619	561	39	φ	φ	PROPN
ejde-619	561	40	∈	∈	PROPN
ejde-619	561	41	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	561	42	0	0	NUM
ejde-619	562	1	(	(	PUNCT
ejde-619	562	2	rn	rn	PROPN
ejde-619	562	3	)	)	PUNCT
ejde-619	562	4	,	,	PUNCT
ejde-619	562	5	let	let	VERB
ejde-619	562	6	m	m	PRON
ejde-619	562	7	∈	∈	VERB
ejde-619	562	8	n	n	PRON
ejde-619	562	9	such	such	ADJ
ejde-619	562	10	that	that	SCONJ
ejde-619	562	11	supp(φ	supp(φ	PROPN
ejde-619	562	12	)	)	PUNCT
ejde-619	563	1	⊂	⊂	PROPN
ejde-619	563	2	bm	bm	PROPN
ejde-619	563	3	.	.	PROPN
ejde-619	564	1	for	for	ADP
ejde-619	564	2	n	n	CCONJ
ejde-619	564	3	large	large	ADJ
ejde-619	564	4	enough	enough	ADV
ejde-619	564	5	,	,	PUNCT
ejde-619	564	6	we	we	PRON
ejde-619	564	7	have	have	VERB
ejde-619	564	8	∫	∫	PROPN
ejde-619	564	9	rn	rn	PROPN
ejde-619	564	10	|∇ũn|p−2∇ũn∇φdx	|∇ũn|p−2∇ũn∇φdx	PROPN
ejde-619	564	11	=	=	SYM
ejde-619	564	12	∫	∫	PROPN
ejde-619	564	13	bm	bm	PROPN
ejde-619	564	14	|∇ũn|p−2∇ũn∇φdx	|∇ũn|p−2∇ũn∇φdx	PROPN
ejde-619	564	15	→	→	SYM
ejde-619	564	16	∫	∫	PROPN
ejde-619	564	17	bm	bm	PROPN
ejde-619	564	18	|∇u|p−2∇u∇φdx	|∇u|p−2∇u∇φdx	PROPN
ejde-619	564	19	=	=	SYM
ejde-619	564	20	∫	∫	PROPN
ejde-619	564	21	rn	rn	PROPN
ejde-619	564	22	|∇u|p−2∇u∇φdx,∫	|∇u|p−2∇u∇φdx,∫	PROPN
ejde-619	564	23	rn	rn	PROPN
ejde-619	564	24	|ũn|p−2ũnφdx	|ũn|p−2ũnφdx	PROPN
ejde-619	564	25	=	=	SYM
ejde-619	565	1	∫	∫	PROPN
ejde-619	565	2	bm	bm	PROPN
ejde-619	565	3	|ũn|p−2ũnφdx	|ũn|p−2ũnφdx	PROPN
ejde-619	565	4	→	→	SYM
ejde-619	565	5	∫	∫	PROPN
ejde-619	565	6	bm	bm	PROPN
ejde-619	565	7	|u|p−2uφdx	|u|p−2uφdx	PROPN
ejde-619	566	1	=	=	SYM
ejde-619	567	1	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	2	rn	rn	PROPN
ejde-619	567	3	|u|p−2uφdx,∫	|u|p−2uφdx,∫	PROPN
ejde-619	567	4	rn	rn	PROPN
ejde-619	567	5	a(x)(ũn	a(x)(ũn	NOUN
ejde-619	567	6	)	)	PUNCT
ejde-619	567	7	q(x)−1φdx	q(x)−1φdx	NOUN
ejde-619	567	8	=	=	SYM
ejde-619	567	9	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	10	bm	bm	PROPN
ejde-619	567	11	a(x)(ũn	a(x)(ũn	PROPN
ejde-619	567	12	)	)	PUNCT
ejde-619	567	13	q(x)−1φdx	q(x)−1φdx	NOUN
ejde-619	567	14	→	→	SYM
ejde-619	567	15	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	16	bm	bm	PROPN
ejde-619	567	17	a(x)uq(x)−1φdx	a(x)uq(x)−1φdx	PROPN
ejde-619	567	18	=	=	SYM
ejde-619	567	19	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	20	rn	rn	PROPN
ejde-619	567	21	a(x)uq(x)−1φdx,∫	a(x)uq(x)−1φdx,∫	PROPN
ejde-619	567	22	rn	rn	PROPN
ejde-619	567	23	f(x	f(x	PROPN
ejde-619	567	24	,	,	PUNCT
ejde-619	567	25	ũn)φdx	ũn)φdx	NOUN
ejde-619	567	26	=	=	SYM
ejde-619	567	27	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	28	bm	bm	PROPN
ejde-619	567	29	f(x	f(x	PROPN
ejde-619	567	30	,	,	PUNCT
ejde-619	567	31	ũn)φdx	ũn)φdx	NOUN
ejde-619	567	32	→	→	SYM
ejde-619	567	33	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	34	bm	bm	PROPN
ejde-619	567	35	f(x	f(x	PROPN
ejde-619	567	36	,	,	PUNCT
ejde-619	567	37	u)φdx	u)φdx	PROPN
ejde-619	567	38	=	=	SYM
ejde-619	567	39	∫	∫	PROPN
ejde-619	567	40	rn	rn	PROPN
ejde-619	567	41	f(x	f(x	PROPN
ejde-619	567	42	,	,	PUNCT
ejde-619	567	43	u)φdx	u)φdx	PROPN
ejde-619	567	44	.	.	PUNCT
ejde-619	568	1	since	since	SCONJ
ejde-619	568	2	c∞	c∞	PROPN
ejde-619	568	3	0	0	NUM
ejde-619	568	4	(	(	PUNCT
ejde-619	568	5	rn	rn	PROPN
ejde-619	568	6	)	)	PUNCT
ejde-619	568	7	is	be	AUX
ejde-619	568	8	dense	dense	ADJ
ejde-619	568	9	in	in	ADP
ejde-619	568	10	w	w	PROPN
ejde-619	568	11	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	568	12	)	)	PUNCT
ejde-619	568	13	,	,	PUNCT
ejde-619	568	14	these	these	DET
ejde-619	568	15	convergence	convergence	NOUN
ejde-619	568	16	properties	property	NOUN
ejde-619	568	17	ensure	ensure	VERB
ejde-619	568	18	that	that	SCONJ
ejde-619	568	19	u	u	PRON
ejde-619	568	20	is	be	AUX
ejde-619	568	21	a	a	DET
ejde-619	568	22	weak	weak	ADJ
ejde-619	568	23	solution	solution	NOUN
ejde-619	568	24	of	of	ADP
ejde-619	568	25	problem	problem	NOUN
ejde-619	568	26	(	(	PUNCT
ejde-619	568	27	1.14	1.14	NUM
ejde-619	568	28	)	)	PUNCT
ejde-619	568	29	.	.	PUNCT
ejde-619	569	1	the	the	DET
ejde-619	569	2	next	next	ADJ
ejde-619	569	3	step	step	NOUN
ejde-619	569	4	is	be	AUX
ejde-619	569	5	to	to	PART
ejde-619	569	6	show	show	VERB
ejde-619	569	7	that	that	SCONJ
ejde-619	569	8	the	the	DET
ejde-619	569	9	limit	limit	NOUN
ejde-619	569	10	function	function	NOUN
ejde-619	569	11	u	u	NOUN
ejde-619	569	12	does	do	AUX
ejde-619	569	13	not	not	PART
ejde-619	569	14	vanish	vanish	VERB
ejde-619	569	15	in	in	ADP
ejde-619	569	16	rn	rn	PROPN
ejde-619	569	17	.	.	PUNCT
ejde-619	570	1	fix	fix	VERB
ejde-619	570	2	λ	λ	X
ejde-619	570	3	∈	∈	PROPN
ejde-619	570	4	(	(	PUNCT
ejde-619	570	5	0	0	NUM
ejde-619	570	6	,	,	PUNCT
ejde-619	570	7	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	570	8	)	)	PUNCT
ejde-619	570	9	,	,	PUNCT
ejde-619	570	10	with	with	ADP
ejde-619	570	11	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-619	570	12	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-619	570	13	(	(	PUNCT
ejde-619	570	14	6.9	6.9	NUM
ejde-619	570	15	)	)	PUNCT
ejde-619	570	16	.	.	PUNCT
ejde-619	571	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	571	2	6.1	6.1	NUM
ejde-619	571	3	provides	provide	VERB
ejde-619	571	4	a	a	DET
ejde-619	571	5	solution	solution	NOUN
ejde-619	571	6	uλ	uλ	ADP
ejde-619	571	7	,	,	PUNCT
ejde-619	571	8	m	m	NOUN
ejde-619	571	9	of	of	ADP
ejde-619	571	10	the	the	DET
ejde-619	571	11	problem	problem	NOUN
ejde-619	571	12	−∆pu+	−∆pu+	PROPN
ejde-619	571	13	up−1	up−1	PROPN
ejde-619	572	1	=	=	PUNCT
ejde-619	572	2	λaτu	λaτu	NOUN
ejde-619	572	3	q(r)−1	q(r)−1	VERB
ejde-619	572	4	in	in	ADP
ejde-619	572	5	bm	bm	PROPN
ejde-619	572	6	u	u	PROPN
ejde-619	572	7	>	>	X
ejde-619	572	8	0	0	PUNCT
ejde-619	573	1	in	in	ADP
ejde-619	573	2	bm	bm	PROPN
ejde-619	573	3	u	u	NOUN
ejde-619	573	4	=	=	PROPN
ejde-619	573	5	0	0	NUM
ejde-619	573	6	on	on	ADP
ejde-619	573	7	∂bm	∂bm	PROPN
ejde-619	573	8	.	.	PUNCT
ejde-619	574	1	since	since	SCONJ
ejde-619	574	2	λa(r)tq(r)−1	λa(r)tq(r)−1	PRON
ejde-619	574	3	+	+	CCONJ
ejde-619	574	4	f(r	f(r	PROPN
ejde-619	574	5	,	,	PUNCT
ejde-619	574	6	t	t	PROPN
ejde-619	574	7	)	)	PUNCT
ejde-619	574	8	≥	≥	NOUN
ejde-619	574	9	λtq(r)−1	λtq(r)−1	VERB
ejde-619	574	10	for	for	ADP
ejde-619	574	11	all	all	DET
ejde-619	574	12	x	x	SYM
ejde-619	574	13	∈	∈	PROPN
ejde-619	574	14	rn	rn	PROPN
ejde-619	574	15	and	and	CCONJ
ejde-619	574	16	t	t	PROPN
ejde-619	574	17	>	>	X
ejde-619	574	18	0	0	PROPN
ejde-619	574	19	,	,	PUNCT
ejde-619	574	20	we	we	PRON
ejde-619	574	21	can	can	AUX
ejde-619	574	22	apply	apply	VERB
ejde-619	574	23	proposition	proposition	NOUN
ejde-619	574	24	2.2	2.2	NUM
ejde-619	574	25	to	to	ADP
ejde-619	574	26	the	the	DET
ejde-619	574	27	functions	function	NOUN
ejde-619	574	28	uλ	uλ	ADP
ejde-619	574	29	,	,	PUNCT
ejde-619	574	30	m	m	PRON
ejde-619	574	31	and	and	CCONJ
ejde-619	574	32	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	574	33	with	with	ADP
ejde-619	574	34	n	n	PRON
ejde-619	574	35	≥	≥	NOUN
ejde-619	574	36	m	m	PROPN
ejde-619	574	37	,	,	PUNCT
ejde-619	574	38	in	in	ADP
ejde-619	574	39	place	place	NOUN
ejde-619	574	40	of	of	ADP
ejde-619	574	41	u1	u1	NOUN
ejde-619	574	42	=	=	SYM
ejde-619	574	43	uλ	uλ	PROPN
ejde-619	574	44	,	,	PUNCT
ejde-619	574	45	m	m	PROPN
ejde-619	574	46	22	22	NUM
ejde-619	574	47	l.	l.	PROPN
ejde-619	574	48	f.	f.	PROPN
ejde-619	574	49	o.	o.	PROPN
ejde-619	574	50	faria	faria	PROPN
ejde-619	574	51	,	,	PUNCT
ejde-619	574	52	m.	m.	PROPN
ejde-619	574	53	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	574	54	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	574	55	and	and	CCONJ
ejde-619	574	56	u2	u2	PROPN
ejde-619	574	57	=	=	PUNCT
ejde-619	574	58	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	574	59	,	,	PUNCT
ejde-619	574	60	respectively	respectively	ADV
ejde-619	574	61	,	,	PUNCT
ejde-619	574	62	which	which	PRON
ejde-619	574	63	renders	render	VERB
ejde-619	574	64	ũn	ũn	PRON
ejde-619	574	65	≥	≥	PROPN
ejde-619	574	66	uλ	uλ	ADP
ejde-619	574	67	,	,	PUNCT
ejde-619	574	68	m	m	VERB
ejde-619	574	69	in	in	ADP
ejde-619	574	70	bm	bm	PROPN
ejde-619	574	71	for	for	ADP
ejde-619	574	72	every	every	DET
ejde-619	574	73	n	n	DET
ejde-619	574	74	≥	≥	NOUN
ejde-619	574	75	m.	m.	NOUN
ejde-619	574	76	this	this	PRON
ejde-619	574	77	enables	enable	VERB
ejde-619	574	78	us	we	PRON
ejde-619	574	79	to	to	PART
ejde-619	574	80	deduce	deduce	VERB
ejde-619	574	81	that	that	PRON
ejde-619	574	82	uλ	uλ	ADP
ejde-619	574	83	:	:	PUNCT
ejde-619	574	84	=	=	SYM
ejde-619	574	85	u	u	SYM
ejde-619	574	86	≥	≥	X
ejde-619	574	87	uλ	uλ	NOUN
ejde-619	574	88	,	,	PUNCT
ejde-619	574	89	m	m	VERB
ejde-619	574	90	in	in	ADP
ejde-619	574	91	bm	bm	PROPN
ejde-619	574	92	,	,	PUNCT
ejde-619	574	93	so	so	ADV
ejde-619	574	94	uλ(x	uλ(x	PUNCT
ejde-619	574	95	)	)	PUNCT
ejde-619	574	96	>	>	X
ejde-619	574	97	0	0	PUNCT
ejde-619	575	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-619	575	2	.	.	PUNCT
ejde-619	576	1	x	x	PROPN
ejde-619	576	2	∈	∈	PROPN
ejde-619	576	3	rn	rn	PROPN
ejde-619	576	4	,	,	PUNCT
ejde-619	576	5	since	since	SCONJ
ejde-619	576	6	m	m	PRON
ejde-619	576	7	was	be	AUX
ejde-619	576	8	arbitrarily	arbitrarily	ADV
ejde-619	576	9	chosen	choose	VERB
ejde-619	576	10	.	.	PUNCT
ejde-619	577	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-619	577	2	,	,	PUNCT
ejde-619	577	3	since	since	SCONJ
ejde-619	577	4	ũn	ũn	NOUN
ejde-619	577	5	converges	converge	VERB
ejde-619	577	6	weakly	weakly	ADV
ejde-619	577	7	to	to	ADP
ejde-619	577	8	u	u	NOUN
ejde-619	577	9	in	in	ADP
ejde-619	577	10	w	w	PROPN
ejde-619	577	11	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	577	12	)	)	PUNCT
ejde-619	577	13	,	,	PUNCT
ejde-619	577	14	we	we	PRON
ejde-619	577	15	obtain	obtain	VERB
ejde-619	577	16	∥∇ũn∥lp(rn	∥∇ũn∥lp(rn	X
ejde-619	577	17	)	)	PUNCT
ejde-619	578	1	+	+	CCONJ
ejde-619	578	2	∥ũn∥lp(rn	∥ũn∥lp(rn	X
ejde-619	578	3	)	)	PUNCT
ejde-619	578	4	=	=	PUNCT
ejde-619	579	1	∥ũn∥2,n	∥ũn∥2,n	ADP
ejde-619	579	2	≤	≤	NOUN
ejde-619	579	3	ϑ̃.	ϑ̃.	ADV
ejde-619	579	4	by	by	ADP
ejde-619	579	5	means	mean	NOUN
ejde-619	579	6	of	of	ADP
ejde-619	579	7	(	(	PUNCT
ejde-619	579	8	7.2	7.2	NUM
ejde-619	579	9	)	)	PUNCT
ejde-619	579	10	,	,	PUNCT
ejde-619	579	11	according	accord	VERB
ejde-619	579	12	to	to	ADP
ejde-619	579	13	the	the	DET
ejde-619	579	14	iteration	iteration	NOUN
ejde-619	579	15	process	process	NOUN
ejde-619	579	16	,	,	PUNCT
ejde-619	579	17	we	we	PRON
ejde-619	579	18	can	can	AUX
ejde-619	579	19	check	check	VERB
ejde-619	579	20	that	that	PRON
ejde-619	579	21	uλ	uλ	DET
ejde-619	579	22	∈	∈	PROPN
ejde-619	579	23	w	w	PROPN
ejde-619	579	24	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	579	25	)	)	PUNCT
ejde-619	579	26	,	,	PUNCT
ejde-619	579	27	and	and	CCONJ
ejde-619	579	28	∥uλ∥w	∥uλ∥w	DET
ejde-619	579	29	1,p(rn	1,p(rn	PROPN
ejde-619	579	30	)	)	PUNCT
ejde-619	579	31	→	→	SYM
ejde-619	579	32	0	0	NUM
ejde-619	579	33	as	as	ADP
ejde-619	579	34	λ→	λ→	PROPN
ejde-619	579	35	0	0	NUM
ejde-619	579	36	,	,	PUNCT
ejde-619	579	37	see	see	VERB
ejde-619	579	38	also	also	ADV
ejde-619	579	39	(	(	PUNCT
ejde-619	579	40	6.10	6.10	NUM
ejde-619	579	41	)	)	PUNCT
ejde-619	579	42	,	,	PUNCT
ejde-619	579	43	(	(	PUNCT
ejde-619	579	44	6.11	6.11	NUM
ejde-619	579	45	)	)	PUNCT
ejde-619	579	46	,	,	PUNCT
ejde-619	579	47	(	(	PUNCT
ejde-619	579	48	6.12	6.12	NUM
ejde-619	579	49	)	)	PUNCT
ejde-619	579	50	.	.	PUNCT
ejde-619	580	1	□	□	PUNCT
ejde-619	580	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-619	580	3	.	.	PUNCT
ejde-619	581	1	l.	l.	PROPN
ejde-619	581	2	faria	faria	PROPN
ejde-619	581	3	was	be	AUX
ejde-619	581	4	partially	partially	ADV
ejde-619	581	5	supported	support	VERB
ejde-619	581	6	by	by	ADP
ejde-619	581	7	cnpq	cnpq	NOUN
ejde-619	581	8	and	and	CCONJ
ejde-619	581	9	fapemig	fapemig	PROPN
ejde-619	581	10	apq-02146	apq-02146	NOUN
ejde-619	581	11	-	-	PUNCT
ejde-619	581	12	23	23	NUM
ejde-619	581	13	,	,	PUNCT
ejde-619	581	14	apq-04528	apq-04528	NOUN
ejde-619	581	15	-	-	PUNCT
ejde-619	581	16	22	22	NUM
ejde-619	581	17	.	.	PUNCT
ejde-619	582	1	m.	m.	NOUN
ejde-619	582	2	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	582	3	was	be	AUX
ejde-619	582	4	partially	partially	ADV
ejde-619	582	5	supported	support	VERB
ejde-619	582	6	by	by	ADP
ejde-619	582	7	cnpq	cnpq	NOUN
ejde-619	582	8	and	and	CCONJ
ejde-619	582	9	fapesp	fapesp	NOUN
ejde-619	582	10	.	.	PUNCT
ejde-619	583	1	references	reference	NOUN
ejde-619	583	2	[	[	X
ejde-619	583	3	1	1	NUM
ejde-619	583	4	]	]	PUNCT
ejde-619	583	5	r.	r.	PROPN
ejde-619	583	6	abreu	abreu	PROPN
ejde-619	583	7	,	,	PUNCT
ejde-619	583	8	m.	m.	NOUN
ejde-619	583	9	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	583	10	;	;	PUNCT
ejde-619	583	11	existence	existence	NOUN
ejde-619	583	12	of	of	ADP
ejde-619	583	13	a	a	DET
ejde-619	583	14	ground	ground	NOUN
ejde-619	583	15	state	state	NOUN
ejde-619	583	16	solution	solution	NOUN
ejde-619	583	17	for	for	ADP
ejde-619	583	18	an	an	DET
ejde-619	583	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	583	20	problem	problem	NOUN
ejde-619	583	21	with	with	ADP
ejde-619	583	22	critical	critical	ADJ
ejde-619	583	23	growth	growth	NOUN
ejde-619	583	24	in	in	ADP
ejde-619	583	25	an	an	DET
ejde-619	583	26	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	583	27	domain	domain	NOUN
ejde-619	583	28	,	,	PUNCT
ejde-619	583	29	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	583	30	anal	anal	NOUN
ejde-619	583	31	.	.	PUNCT
ejde-619	583	32	,	,	PUNCT
ejde-619	583	33	109	109	NUM
ejde-619	583	34	(	(	PUNCT
ejde-619	583	35	2014	2014	NUM
ejde-619	583	36	)	)	PUNCT
ejde-619	583	37	,	,	PUNCT
ejde-619	583	38	341–349	341–349	NUM
ejde-619	583	39	.	.	PUNCT
ejde-619	584	1	[	[	X
ejde-619	584	2	2	2	NUM
ejde-619	584	3	]	]	PUNCT
ejde-619	584	4	c.	c.	PROPN
ejde-619	584	5	o.	o.	PROPN
ejde-619	584	6	alves	alves	PROPN
ejde-619	584	7	,	,	PUNCT
ejde-619	584	8	l.	l.	PROPN
ejde-619	584	9	r.	r.	PROPN
ejde-619	584	10	de	de	PROPN
ejde-619	584	11	freitas	freitas	PROPN
ejde-619	584	12	;	;	PUNCT
ejde-619	584	13	existence	existence	NOUN
ejde-619	584	14	of	of	ADP
ejde-619	584	15	a	a	DET
ejde-619	584	16	positive	positive	ADJ
ejde-619	584	17	solution	solution	NOUN
ejde-619	584	18	for	for	ADP
ejde-619	584	19	a	a	DET
ejde-619	584	20	class	class	NOUN
ejde-619	584	21	of	of	ADP
ejde-619	584	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	584	23	problems	problem	NOUN
ejde-619	584	24	in	in	ADP
ejde-619	584	25	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	584	26	domains	domain	NOUN
ejde-619	584	27	involving	involve	VERB
ejde-619	584	28	critical	critical	ADJ
ejde-619	584	29	growth	growth	NOUN
ejde-619	584	30	,	,	PUNCT
ejde-619	584	31	milan	milan	PROPN
ejde-619	584	32	j.	j.	PROPN
ejde-619	584	33	math	math	PROPN
ejde-619	584	34	.	.	PROPN
ejde-619	584	35	85	85	NUM
ejde-619	584	36	(	(	PUNCT
ejde-619	584	37	2017	2017	NUM
ejde-619	584	38	)	)	PUNCT
ejde-619	584	39	,	,	PUNCT
ejde-619	584	40	309–330	309–330	NUM
ejde-619	584	41	.	.	PUNCT
ejde-619	585	1	[	[	X
ejde-619	585	2	3	3	X
ejde-619	585	3	]	]	X
ejde-619	585	4	c.	c.	PROPN
ejde-619	585	5	o.	o.	PROPN
ejde-619	585	6	alves	alves	PROPN
ejde-619	585	7	,	,	PUNCT
ejde-619	585	8	m.	m.	NOUN
ejde-619	585	9	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	585	10	and	and	CCONJ
ejde-619	585	11	m.	m.	NOUN
ejde-619	585	12	a.	a.	PROPN
ejde-619	585	13	s.	s.	PROPN
ejde-619	585	14	souto	souto	PROPN
ejde-619	585	15	;	;	PUNCT
ejde-619	585	16	existence	existence	NOUN
ejde-619	585	17	of	of	ADP
ejde-619	585	18	a	a	DET
ejde-619	585	19	ground	ground	NOUN
ejde-619	585	20	state	state	NOUN
ejde-619	585	21	solution	solution	NOUN
ejde-619	585	22	for	for	ADP
ejde-619	585	23	a	a	DET
ejde-619	585	24	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	585	25	scalar	scalar	ADJ
ejde-619	585	26	field	field	NOUN
ejde-619	585	27	equation	equation	NOUN
ejde-619	585	28	with	with	ADP
ejde-619	585	29	critical	critical	ADJ
ejde-619	585	30	growth	growth	NOUN
ejde-619	585	31	,	,	PUNCT
ejde-619	585	32	calc	calc	NOUN
ejde-619	585	33	.	.	PUNCT
ejde-619	586	1	var	var	PROPN
ejde-619	586	2	.	.	PUNCT
ejde-619	587	1	partial	partial	ADJ
ejde-619	587	2	differential	differential	NOUN
ejde-619	587	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	587	4	,	,	PUNCT
ejde-619	587	5	43	43	NUM
ejde-619	587	6	(	(	PUNCT
ejde-619	587	7	2012	2012	NUM
ejde-619	587	8	)	)	PUNCT
ejde-619	587	9	,	,	PUNCT
ejde-619	587	10	537–554	537–554	NUM
ejde-619	587	11	.	.	PUNCT
ejde-619	588	1	[	[	X
ejde-619	588	2	4	4	NUM
ejde-619	588	3	]	]	PUNCT
ejde-619	588	4	a.	a.	NOUN
ejde-619	588	5	ambrosetti	ambrosetti	PROPN
ejde-619	588	6	,	,	PUNCT
ejde-619	588	7	h.	h.	PROPN
ejde-619	588	8	brezis	brezis	PROPN
ejde-619	588	9	,	,	PUNCT
ejde-619	588	10	g.	g.	PROPN
ejde-619	588	11	cerami	cerami	PROPN
ejde-619	588	12	;	;	PUNCT
ejde-619	588	13	combined	combined	ADJ
ejde-619	588	14	effects	effect	NOUN
ejde-619	588	15	of	of	ADP
ejde-619	588	16	concave	concave	NOUN
ejde-619	588	17	and	and	CCONJ
ejde-619	588	18	convex	convex	NOUN
ejde-619	588	19	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-619	588	20	in	in	ADP
ejde-619	588	21	some	some	DET
ejde-619	588	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	588	23	problems	problem	NOUN
ejde-619	588	24	,	,	PUNCT
ejde-619	588	25	j.	j.	PROPN
ejde-619	588	26	funct	funct	PROPN
ejde-619	588	27	.	.	PUNCT
ejde-619	589	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	589	2	.	.	PROPN
ejde-619	589	3	,	,	PUNCT
ejde-619	589	4	122	122	NUM
ejde-619	589	5	(	(	PUNCT
ejde-619	589	6	1994	1994	NUM
ejde-619	589	7	)	)	PUNCT
ejde-619	589	8	,	,	PUNCT
ejde-619	589	9	519–543	519–543	NUM
ejde-619	589	10	.	.	PUNCT
ejde-619	590	1	[	[	X
ejde-619	590	2	5	5	NUM
ejde-619	590	3	]	]	PUNCT
ejde-619	590	4	a.	a.	NOUN
ejde-619	590	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	590	6	a.	a.	PROPN
ejde-619	590	7	de	de	PROPN
ejde-619	590	8	araujo	araujo	PROPN
ejde-619	590	9	,	,	PUNCT
ejde-619	590	10	l.	l.	PROPN
ejde-619	590	11	f.	f.	PROPN
ejde-619	590	12	o.	o.	PROPN
ejde-619	590	13	faria	faria	PROPN
ejde-619	590	14	;	;	PUNCT
ejde-619	590	15	positive	positive	ADJ
ejde-619	590	16	solutions	solution	NOUN
ejde-619	590	17	of	of	ADP
ejde-619	590	18	quasilinear	quasilinear	PROPN
ejde-619	590	19	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	590	20	equations	equation	NOUN
ejde-619	590	21	with	with	ADP
ejde-619	590	22	exponential	exponential	ADJ
ejde-619	590	23	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-619	590	24	combined	combine	VERB
ejde-619	590	25	with	with	ADP
ejde-619	590	26	convection	convection	NOUN
ejde-619	590	27	term	term	NOUN
ejde-619	590	28	,	,	PUNCT
ejde-619	590	29	j.	j.	PROPN
ejde-619	590	30	differential	differential	PROPN
ejde-619	590	31	equations	equations	PROPN
ejde-619	590	32	,	,	PUNCT
ejde-619	590	33	267	267	NUM
ejde-619	590	34	(	(	PUNCT
ejde-619	590	35	2019	2019	NUM
ejde-619	590	36	)	)	PUNCT
ejde-619	590	37	,	,	PUNCT
ejde-619	590	38	4589–4608	4589–4608	NUM
ejde-619	590	39	.	.	PUNCT
ejde-619	591	1	[	[	X
ejde-619	591	2	6	6	NUM
ejde-619	591	3	]	]	PUNCT
ejde-619	591	4	a.	a.	NOUN
ejde-619	591	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	591	6	a.	a.	PROPN
ejde-619	591	7	de	de	PROPN
ejde-619	591	8	araujo	araujo	PROPN
ejde-619	591	9	,	,	PUNCT
ejde-619	591	10	l.	l.	PROPN
ejde-619	591	11	f.	f.	PROPN
ejde-619	591	12	o.	o.	PROPN
ejde-619	591	13	faria	faria	PROPN
ejde-619	591	14	existence	existence	PROPN
ejde-619	591	15	,	,	PUNCT
ejde-619	591	16	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-619	591	17	,	,	PUNCT
ejde-619	591	18	and	and	CCONJ
ejde-619	591	19	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-619	591	20	behavior	behavior	NOUN
ejde-619	591	21	of	of	ADP
ejde-619	591	22	solutions	solution	NOUN
ejde-619	591	23	for	for	ADP
ejde-619	591	24	n	n	CCONJ
ejde-619	591	25	-	-	PUNCT
ejde-619	591	26	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-619	591	27	equations	equation	NOUN
ejde-619	591	28	involving	involve	VERB
ejde-619	591	29	critical	critical	ADJ
ejde-619	591	30	exponential	exponential	ADJ
ejde-619	591	31	growth	growth	NOUN
ejde-619	591	32	in	in	ADP
ejde-619	591	33	the	the	DET
ejde-619	591	34	whole	whole	ADJ
ejde-619	591	35	rn	rn	PROPN
ejde-619	591	36	,	,	PUNCT
ejde-619	591	37	math	math	NOUN
ejde-619	591	38	.	.	PUNCT
ejde-619	592	1	ann	ann	PROPN
ejde-619	592	2	.	.	PUNCT
ejde-619	593	1	(	(	PUNCT
ejde-619	593	2	2022	2022	NUM
ejde-619	593	3	)	)	PUNCT
ejde-619	593	4	.	.	PUNCT
ejde-619	594	1	doi	doi	NOUN
ejde-619	594	2	:	:	PUNCT
ejde-619	594	3	10.1007	10.1007	NUM
ejde-619	594	4	/	/	SYM
ejde-619	594	5	s00208	s00208	VERB
ejde-619	594	6	-	-	PUNCT
ejde-619	594	7	021	021	NUM
ejde-619	594	8	-	-	PUNCT
ejde-619	594	9	02322	02322	NUM
ejde-619	594	10	-	-	SYM
ejde-619	594	11	3	3	NUM
ejde-619	595	1	[	[	X
ejde-619	595	2	7	7	NUM
ejde-619	595	3	]	]	PUNCT
ejde-619	595	4	a.	a.	NOUN
ejde-619	595	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	595	6	a.	a.	PROPN
ejde-619	595	7	de	de	PROPN
ejde-619	595	8	araujo	araujo	PROPN
ejde-619	595	9	,	,	PUNCT
ejde-619	595	10	l.	l.	PROPN
ejde-619	595	11	f.	f.	PROPN
ejde-619	595	12	o.	o.	PROPN
ejde-619	595	13	faria	faria	PROPN
ejde-619	595	14	,	,	PUNCT
ejde-619	595	15	j.	j.	PROPN
ejde-619	595	16	l.	l.	PROPN
ejde-619	595	17	f.	f.	PROPN
ejde-619	595	18	melo	melo	PROPN
ejde-619	595	19	;	;	PUNCT
ejde-619	595	20	positive	positive	ADJ
ejde-619	595	21	solutions	solution	NOUN
ejde-619	595	22	of	of	ADP
ejde-619	595	23	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	595	24	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	595	25	equations	equation	NOUN
ejde-619	595	26	involving	involve	VERB
ejde-619	595	27	supercritial	supercritial	ADJ
ejde-619	595	28	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	595	29	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	595	30	without	without	ADP
ejde-619	595	31	ambrosetti	ambrosetti	NOUN
ejde-619	595	32	and	and	CCONJ
ejde-619	595	33	rabinowitz	rabinowitz	NOUN
ejde-619	595	34	conditions	condition	NOUN
ejde-619	595	35	,	,	PUNCT
ejde-619	595	36	calc	calc	NOUN
ejde-619	595	37	.	.	PUNCT
ejde-619	596	1	var	var	PROPN
ejde-619	596	2	.	.	PUNCT
ejde-619	597	1	partial	partial	ADJ
ejde-619	597	2	differential	differential	NOUN
ejde-619	597	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	597	4	,	,	PUNCT
ejde-619	597	5	59	59	NUM
ejde-619	597	6	(	(	PUNCT
ejde-619	597	7	2020	2020	NUM
ejde-619	597	8	)	)	PUNCT
ejde-619	597	9	,	,	PUNCT
ejde-619	597	10	no	no	INTJ
ejde-619	597	11	.	.	NOUN
ejde-619	597	12	5	5	NUM
ejde-619	597	13	,	,	PUNCT
ejde-619	597	14	paper	paper	NOUN
ejde-619	597	15	no	no	NOUN
ejde-619	597	16	.	.	PROPN
ejde-619	597	17	147	147	NUM
ejde-619	597	18	,	,	PUNCT
ejde-619	597	19	18	18	NUM
ejde-619	597	20	pp	pp	NOUN
ejde-619	597	21	.	.	PUNCT
ejde-619	598	1	[	[	X
ejde-619	598	2	8	8	X
ejde-619	598	3	]	]	X
ejde-619	598	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	598	5	g.	g.	PROPN
ejde-619	598	6	azorero	azorero	PROPN
ejde-619	598	7	,	,	PUNCT
ejde-619	598	8	i.	i.	NOUN
ejde-619	598	9	peral	peral	NOUN
ejde-619	598	10	;	;	PUNCT
ejde-619	598	11	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-619	598	12	of	of	ADP
ejde-619	598	13	solutions	solution	NOUN
ejde-619	598	14	for	for	ADP
ejde-619	598	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	598	16	problems	problem	NOUN
ejde-619	598	17	with	with	ADP
ejde-619	598	18	critical	critical	ADJ
ejde-619	598	19	exponent	exponent	NOUN
ejde-619	598	20	or	or	CCONJ
ejde-619	598	21	with	with	ADP
ejde-619	598	22	a	a	DET
ejde-619	598	23	nonsymmetric	nonsymmetric	ADJ
ejde-619	598	24	term	term	NOUN
ejde-619	598	25	,	,	PUNCT
ejde-619	598	26	trans	trans	PROPN
ejde-619	598	27	.	.	PROPN
ejde-619	598	28	amer	amer	PROPN
ejde-619	598	29	.	.	PUNCT
ejde-619	598	30	math	math	PROPN
ejde-619	598	31	.	.	PUNCT
ejde-619	599	1	soc	soc	PROPN
ejde-619	599	2	.	.	PUNCT
ejde-619	599	3	,	,	PUNCT
ejde-619	599	4	323	323	NUM
ejde-619	599	5	(	(	PUNCT
ejde-619	599	6	1991	1991	NUM
ejde-619	599	7	)	)	PUNCT
ejde-619	599	8	,	,	PUNCT
ejde-619	599	9	877–895	877–895	NUM
ejde-619	599	10	.	.	PUNCT
ejde-619	600	1	[	[	X
ejde-619	600	2	9	9	NUM
ejde-619	600	3	]	]	X
ejde-619	600	4	r.	r.	PROPN
ejde-619	600	5	bamón	bamón	PROPN
ejde-619	600	6	,	,	PUNCT
ejde-619	600	7	i.	i.	PROPN
ejde-619	600	8	flores	flores	PROPN
ejde-619	600	9	,	,	PUNCT
ejde-619	600	10	m.	m.	NOUN
ejde-619	600	11	del	del	PROPN
ejde-619	600	12	pino	pino	PROPN
ejde-619	600	13	;	;	PUNCT
ejde-619	600	14	ground	ground	NOUN
ejde-619	600	15	states	state	NOUN
ejde-619	600	16	of	of	ADP
ejde-619	600	17	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-619	600	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	600	19	equations	equation	NOUN
ejde-619	600	20	:	:	PUNCT
ejde-619	600	21	a	a	DET
ejde-619	600	22	geometric	geometric	ADJ
ejde-619	600	23	approach	approach	NOUN
ejde-619	600	24	,	,	PUNCT
ejde-619	600	25	ann	ann	PROPN
ejde-619	600	26	.	.	PROPN
ejde-619	600	27	inst	inst	PROPN
ejde-619	600	28	.	.	PUNCT
ejde-619	601	1	h.	h.	PROPN
ejde-619	601	2	poincaré	poincaré	PROPN
ejde-619	601	3	anal	anal	PROPN
ejde-619	601	4	.	.	PUNCT
ejde-619	602	1	non	non	PROPN
ejde-619	602	2	linéaire	linéaire	PROPN
ejde-619	602	3	,	,	PUNCT
ejde-619	602	4	17	17	NUM
ejde-619	602	5	(	(	PUNCT
ejde-619	602	6	2000	2000	NUM
ejde-619	602	7	)	)	PUNCT
ejde-619	602	8	,	,	PUNCT
ejde-619	602	9	551–581	551–581	NUM
ejde-619	602	10	.	.	PUNCT
ejde-619	603	1	[	[	X
ejde-619	603	2	10	10	NUM
ejde-619	603	3	]	]	X
ejde-619	603	4	t.	t.	PROPN
ejde-619	603	5	bartsch	bartsch	PROPN
ejde-619	603	6	,	,	PUNCT
ejde-619	603	7	r.	r.	PROPN
ejde-619	603	8	molle	molle	PROPN
ejde-619	603	9	,	,	PUNCT
ejde-619	603	10	m.	m.	NOUN
ejde-619	603	11	rizzi	rizzi	PROPN
ejde-619	603	12	,	,	PUNCT
ejde-619	603	13	g.	g.	PROPN
ejde-619	603	14	verzini	verzini	PROPN
ejde-619	603	15	;	;	PUNCT
ejde-619	603	16	normalized	normalize	VERB
ejde-619	603	17	solutions	solution	NOUN
ejde-619	603	18	of	of	ADP
ejde-619	603	19	mass	mass	ADJ
ejde-619	603	20	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	603	21	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-619	603	22	equations	equation	NOUN
ejde-619	603	23	with	with	ADP
ejde-619	603	24	potential	potential	ADJ
ejde-619	603	25	,	,	PUNCT
ejde-619	603	26	comm	comm	NOUN
ejde-619	603	27	.	.	PUNCT
ejde-619	604	1	partial	partial	ADJ
ejde-619	604	2	differential	differential	NOUN
ejde-619	604	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	604	4	,	,	PUNCT
ejde-619	604	5	46	46	NUM
ejde-619	604	6	(	(	PUNCT
ejde-619	604	7	2021	2021	NUM
ejde-619	604	8	)	)	PUNCT
ejde-619	604	9	,	,	PUNCT
ejde-619	604	10	1729	1729	NUM
ejde-619	604	11	–	–	PUNCT
ejde-619	604	12	1756	1756	NUM
ejde-619	604	13	.	.	PUNCT
ejde-619	605	1	[	[	X
ejde-619	605	2	11	11	NUM
ejde-619	605	3	]	]	PUNCT
ejde-619	605	4	m.	m.	NOUN
ejde-619	605	5	ben	ben	PROPN
ejde-619	605	6	ayed	aye	VERB
ejde-619	605	7	,	,	PUNCT
ejde-619	605	8	m.	m.	NOUN
ejde-619	605	9	hammami	hammami	NOUN
ejde-619	605	10	,	,	PUNCT
ejde-619	605	11	k.	k.	PROPN
ejde-619	605	12	el	el	PROPN
ejde-619	605	13	mehdi	mehdi	PROPN
ejde-619	605	14	;	;	PUNCT
ejde-619	605	15	a	a	DET
ejde-619	605	16	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-619	605	17	result	result	NOUN
ejde-619	605	18	for	for	ADP
ejde-619	605	19	yamabe	yamabe	ADJ
ejde-619	605	20	type	type	NOUN
ejde-619	605	21	problems	problem	NOUN
ejde-619	605	22	on	on	ADP
ejde-619	605	23	thin	thin	ADJ
ejde-619	605	24	annuli	annulus	NOUN
ejde-619	605	25	,	,	PUNCT
ejde-619	605	26	ann	ann	PROPN
ejde-619	605	27	.	.	PROPN
ejde-619	605	28	inst	inst	PROPN
ejde-619	605	29	.	.	PUNCT
ejde-619	606	1	h.	h.	PROPN
ejde-619	606	2	poincaré	poincaré	PROPN
ejde-619	606	3	c	c	PROPN
ejde-619	606	4	anal	anal	PROPN
ejde-619	606	5	.	.	PUNCT
ejde-619	607	1	non	non	PROPN
ejde-619	607	2	linéaire	linéaire	PROPN
ejde-619	607	3	,	,	PUNCT
ejde-619	607	4	19	19	NUM
ejde-619	607	5	(	(	PUNCT
ejde-619	607	6	2002	2002	NUM
ejde-619	607	7	)	)	PUNCT
ejde-619	607	8	,	,	PUNCT
ejde-619	607	9	715–744	715–744	NUM
ejde-619	607	10	.	.	PUNCT
ejde-619	608	1	[	[	X
ejde-619	608	2	12	12	NUM
ejde-619	608	3	]	]	PUNCT
ejde-619	608	4	m.	m.	NOUN
ejde-619	608	5	ben	ben	PROPN
ejde-619	608	6	ayed	aye	VERB
ejde-619	608	7	,	,	PUNCT
ejde-619	608	8	m.	m.	NOUN
ejde-619	608	9	hammami	hammami	NOUN
ejde-619	608	10	,	,	PUNCT
ejde-619	608	11	k.	k.	PROPN
ejde-619	608	12	el	el	PROPN
ejde-619	608	13	mehdi	mehdi	PROPN
ejde-619	608	14	,	,	PUNCT
ejde-619	608	15	m.	m.	NOUN
ejde-619	608	16	o.	o.	PROPN
ejde-619	608	17	ahmedou	ahmedou	PROPN
ejde-619	608	18	;	;	PUNCT
ejde-619	608	19	on	on	ADP
ejde-619	608	20	a	a	DET
ejde-619	608	21	yamabe	yamabe	ADJ
ejde-619	608	22	-	-	PUNCT
ejde-619	608	23	type	type	NOUN
ejde-619	608	24	problem	problem	NOUN
ejde-619	608	25	on	on	ADP
ejde-619	608	26	a	a	DET
ejde-619	608	27	three	three	NUM
ejde-619	608	28	-	-	PUNCT
ejde-619	608	29	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-619	608	30	thin	thin	ADJ
ejde-619	608	31	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	608	32	,	,	PUNCT
ejde-619	608	33	adv	adv	PROPN
ejde-619	608	34	.	.	PUNCT
ejde-619	608	35	differential	differential	PROPN
ejde-619	608	36	equations	equation	NOUN
ejde-619	608	37	,	,	PUNCT
ejde-619	608	38	10	10	NUM
ejde-619	608	39	(	(	PUNCT
ejde-619	608	40	2005	2005	NUM
ejde-619	608	41	)	)	PUNCT
ejde-619	608	42	,	,	PUNCT
ejde-619	608	43	813–840	813–840	NUM
ejde-619	608	44	.	.	PUNCT
ejde-619	609	1	[	[	X
ejde-619	609	2	13	13	NUM
ejde-619	609	3	]	]	PUNCT
ejde-619	609	4	v.	v.	PROPN
ejde-619	609	5	benci	benci	PROPN
ejde-619	609	6	,	,	PUNCT
ejde-619	609	7	g.	g.	PROPN
ejde-619	609	8	cerami	cerami	PROPN
ejde-619	609	9	;	;	PUNCT
ejde-619	609	10	positive	positive	ADJ
ejde-619	609	11	solution	solution	NOUN
ejde-619	609	12	of	of	ADP
ejde-619	609	13	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-619	609	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	609	15	equation	equation	NOUN
ejde-619	609	16	in	in	ADP
ejde-619	609	17	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	609	18	domains	domain	NOUN
ejde-619	609	19	.	.	PUNCT
ejde-619	610	1	arch	arch	NOUN
ejde-619	610	2	.	.	PUNCT
ejde-619	611	1	ration	ration	NOUN
ejde-619	611	2	.	.	PUNCT
ejde-619	612	1	mech	mech	PROPN
ejde-619	612	2	.	.	PUNCT
ejde-619	613	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	613	2	.	.	PROPN
ejde-619	613	3	,	,	PUNCT
ejde-619	613	4	99	99	NUM
ejde-619	613	5	(	(	PUNCT
ejde-619	613	6	1987	1987	NUM
ejde-619	613	7	)	)	PUNCT
ejde-619	613	8	,	,	PUNCT
ejde-619	613	9	283–300	283–300	NUM
ejde-619	613	10	.	.	PUNCT
ejde-619	614	1	[	[	X
ejde-619	614	2	14	14	NUM
ejde-619	614	3	]	]	X
ejde-619	614	4	g.	g.	PROPN
ejde-619	614	5	bianchi	bianchi	PROPN
ejde-619	614	6	,	,	PUNCT
ejde-619	614	7	j.	j.	PROPN
ejde-619	614	8	chabrowski	chabrowski	PROPN
ejde-619	614	9	,	,	PUNCT
ejde-619	614	10	a.	a.	PROPN
ejde-619	614	11	szulkin	szulkin	PROPN
ejde-619	614	12	;	;	PUNCT
ejde-619	614	13	on	on	ADP
ejde-619	614	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	614	15	solutions	solution	NOUN
ejde-619	614	16	of	of	ADP
ejde-619	614	17	an	an	DET
ejde-619	614	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	614	19	equation	equation	NOUN
ejde-619	614	20	with	with	ADP
ejde-619	614	21	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-619	614	22	involving	involve	VERB
ejde-619	614	23	critical	critical	ADJ
ejde-619	614	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	614	25	exponent	exponent	NOUN
ejde-619	614	26	,	,	PUNCT
ejde-619	614	27	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	614	28	anal	anal	NOUN
ejde-619	614	29	.	.	PUNCT
ejde-619	615	1	tma	tma	PROPN
ejde-619	615	2	,	,	PUNCT
ejde-619	615	3	25	25	NUM
ejde-619	615	4	(	(	PUNCT
ejde-619	615	5	1995	1995	NUM
ejde-619	615	6	)	)	PUNCT
ejde-619	615	7	,	,	PUNCT
ejde-619	615	8	41–59	41–59	NOUN
ejde-619	615	9	.	.	PUNCT
ejde-619	616	1	[	[	X
ejde-619	616	2	15	15	NUM
ejde-619	616	3	]	]	X
ejde-619	616	4	h.	h.	NOUN
ejde-619	616	5	brezis	brezis	PROPN
ejde-619	616	6	;	;	PUNCT
ejde-619	616	7	functional	functional	ADJ
ejde-619	616	8	analysis	analysis	NOUN
ejde-619	616	9	,	,	PUNCT
ejde-619	616	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	616	11	spaces	space	NOUN
ejde-619	616	12	and	and	CCONJ
ejde-619	616	13	partial	partial	ADJ
ejde-619	616	14	differential	differential	ADJ
ejde-619	616	15	equations	equation	NOUN
ejde-619	616	16	.	.	PUNCT
ejde-619	617	1	springer	springer	NOUN
ejde-619	617	2	2011	2011	NUM
ejde-619	617	3	.	.	PUNCT
ejde-619	618	1	[	[	X
ejde-619	618	2	16	16	NUM
ejde-619	618	3	]	]	X
ejde-619	618	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	618	5	byeon	byeon	PROPN
ejde-619	618	6	;	;	PUNCT
ejde-619	618	7	existence	existence	NOUN
ejde-619	618	8	of	of	ADP
ejde-619	618	9	many	many	ADJ
ejde-619	618	10	nonequivalent	nonequivalent	ADJ
ejde-619	618	11	nonradial	nonradial	ADJ
ejde-619	618	12	positive	positive	ADJ
ejde-619	618	13	solutions	solution	NOUN
ejde-619	618	14	of	of	ADP
ejde-619	618	15	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-619	618	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	618	17	equations	equation	NOUN
ejde-619	618	18	on	on	ADP
ejde-619	618	19	three	three	NUM
ejde-619	618	20	-	-	PUNCT
ejde-619	618	21	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-619	618	22	annuli	annulus	NOUN
ejde-619	618	23	,	,	PUNCT
ejde-619	618	24	j.	j.	PROPN
ejde-619	618	25	differ	differ	VERB
ejde-619	618	26	.	.	PUNCT
ejde-619	619	1	equ	equ	PROPN
ejde-619	619	2	.	.	PROPN
ejde-619	619	3	,	,	PUNCT
ejde-619	619	4	136	136	NUM
ejde-619	619	5	(	(	PUNCT
ejde-619	619	6	1997	1997	NUM
ejde-619	619	7	)	)	PUNCT
ejde-619	619	8	,	,	PUNCT
ejde-619	619	9	136–165	136–165	NUM
ejde-619	619	10	.	.	PUNCT
ejde-619	620	1	[	[	X
ejde-619	620	2	17	17	NUM
ejde-619	620	3	]	]	PUNCT
ejde-619	620	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	620	5	cheng	cheng	PROPN
ejde-619	620	6	,	,	PUNCT
ejde-619	620	7	l.	l.	PROPN
ejde-619	620	8	guang	guang	PROPN
ejde-619	620	9	;	;	PUNCT
ejde-619	620	10	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-619	620	11	of	of	ADP
ejde-619	620	12	positive	positive	ADJ
ejde-619	620	13	radial	radial	ADJ
ejde-619	620	14	solutions	solution	NOUN
ejde-619	620	15	for	for	ADP
ejde-619	620	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-619	620	17	problems	problem	NOUN
ejde-619	620	18	on	on	ADP
ejde-619	620	19	annular	annular	ADJ
ejde-619	620	20	domains	domain	NOUN
ejde-619	620	21	,	,	PUNCT
ejde-619	620	22	j.	j.	PROPN
ejde-619	620	23	math	math	PROPN
ejde-619	620	24	.	.	PUNCT
ejde-619	621	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	621	2	.	.	PUNCT
ejde-619	622	1	appl	appl	PROPN
ejde-619	622	2	.	.	PROPN
ejde-619	622	3	,	,	PUNCT
ejde-619	622	4	338	338	NUM
ejde-619	622	5	(	(	PUNCT
ejde-619	622	6	2008	2008	NUM
ejde-619	622	7	)	)	PUNCT
ejde-619	622	8	,	,	PUNCT
ejde-619	622	9	416–426	416–426	NUM
ejde-619	622	10	.	.	PUNCT
ejde-619	623	1	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	623	2	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	623	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	623	4	on	on	ADP
ejde-619	623	5	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	623	6	domains	domain	NOUN
ejde-619	623	7	23	23	NUM
ejde-619	624	1	[	[	SYM
ejde-619	624	2	18	18	NUM
ejde-619	624	3	]	]	X
ejde-619	624	4	c.	c.	PROPN
ejde-619	624	5	cortázar	cortázar	PROPN
ejde-619	624	6	,	,	PUNCT
ejde-619	624	7	m.	m.	NOUN
ejde-619	624	8	garćıa	garćıa	NOUN
ejde-619	624	9	-	-	PUNCT
ejde-619	624	10	huidobro	huidobro	ADJ
ejde-619	624	11	,	,	PUNCT
ejde-619	624	12	p.	p.	PROPN
ejde-619	624	13	herreros	herreros	PROPN
ejde-619	624	14	,	,	PUNCT
ejde-619	624	15	s.	s.	PROPN
ejde-619	624	16	tanaka	tanaka	PROPN
ejde-619	624	17	;	;	PUNCT
ejde-619	624	18	on	on	ADP
ejde-619	624	19	the	the	DET
ejde-619	624	20	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-619	624	21	of	of	ADP
ejde-619	624	22	solutions	solution	NOUN
ejde-619	624	23	of	of	ADP
ejde-619	624	24	a	a	DET
ejde-619	624	25	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-619	624	26	equation	equation	NOUN
ejde-619	624	27	in	in	ADP
ejde-619	624	28	an	an	DET
ejde-619	624	29	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	624	30	,	,	PUNCT
ejde-619	624	31	commun	commun	PROPN
ejde-619	624	32	.	.	PUNCT
ejde-619	625	1	pure	pure	ADJ
ejde-619	625	2	appl	appl	PROPN
ejde-619	625	3	.	.	PUNCT
ejde-619	626	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	626	2	.	.	PROPN
ejde-619	626	3	,	,	PUNCT
ejde-619	626	4	20	20	NUM
ejde-619	626	5	(	(	PUNCT
ejde-619	626	6	2021	2021	NUM
ejde-619	626	7	)	)	PUNCT
ejde-619	626	8	,	,	PUNCT
ejde-619	626	9	1479–1496	1479–1496	NUM
ejde-619	626	10	.	.	PUNCT
ejde-619	627	1	[	[	X
ejde-619	627	2	19	19	NUM
ejde-619	627	3	]	]	X
ejde-619	627	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	627	5	dávila	dávila	PROPN
ejde-619	627	6	,	,	PUNCT
ejde-619	627	7	i.	i.	PROPN
ejde-619	627	8	guerra	guerra	PROPN
ejde-619	627	9	;	;	PUNCT
ejde-619	627	10	slowly	slowly	ADV
ejde-619	627	11	decaying	decay	VERB
ejde-619	627	12	radial	radial	ADJ
ejde-619	627	13	solutions	solution	NOUN
ejde-619	627	14	of	of	ADP
ejde-619	627	15	an	an	DET
ejde-619	627	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	627	17	equation	equation	NOUN
ejde-619	627	18	with	with	ADP
ejde-619	627	19	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-619	627	20	and	and	CCONJ
ejde-619	627	21	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	627	22	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	627	23	,	,	PUNCT
ejde-619	627	24	j.	j.	PROPN
ejde-619	627	25	d’analyse	d’analyse	PROPN
ejde-619	627	26	math	math	PROPN
ejde-619	627	27	.	.	PUNCT
ejde-619	627	28	,	,	PUNCT
ejde-619	627	29	129	129	NUM
ejde-619	627	30	(	(	PUNCT
ejde-619	627	31	2016	2016	NUM
ejde-619	627	32	)	)	PUNCT
ejde-619	627	33	,	,	PUNCT
ejde-619	627	34	367–391	367–391	NUM
ejde-619	627	35	[	[	SYM
ejde-619	627	36	20	20	NUM
ejde-619	627	37	]	]	X
ejde-619	627	38	l.	l.	PROPN
ejde-619	627	39	diening	diening	PROPN
ejde-619	627	40	,	,	PUNCT
ejde-619	627	41	p.	p.	PROPN
ejde-619	627	42	harjulehto	harjulehto	PROPN
ejde-619	627	43	,	,	PUNCT
ejde-619	627	44	p.	p.	NOUN
ejde-619	627	45	hasto	hasto	PROPN
ejde-619	627	46	,	,	PUNCT
ejde-619	627	47	m.	m.	NOUN
ejde-619	627	48	røužička	røužička	NOUN
ejde-619	627	49	;	;	PUNCT
ejde-619	627	50	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-619	627	51	and	and	CCONJ
ejde-619	627	52	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-619	627	53	spaces	space	NOUN
ejde-619	627	54	with	with	ADP
ejde-619	627	55	variable	variable	ADJ
ejde-619	627	56	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	627	57	,	,	PUNCT
ejde-619	627	58	lecture	lecture	NOUN
ejde-619	627	59	notes	note	NOUN
ejde-619	627	60	in	in	ADP
ejde-619	627	61	math	math	NOUN
ejde-619	627	62	.	.	PUNCT
ejde-619	628	1	2017	2017	NUM
ejde-619	628	2	,	,	PUNCT
ejde-619	628	3	springer	springer	NOUN
ejde-619	628	4	,	,	PUNCT
ejde-619	628	5	2011	2011	NUM
ejde-619	628	6	.	.	PUNCT
ejde-619	629	1	[	[	X
ejde-619	629	2	21	21	NUM
ejde-619	629	3	]	]	PUNCT
ejde-619	629	4	z.	z.	PROPN
ejde-619	629	5	došlá	došlá	PROPN
ejde-619	629	6	,	,	PUNCT
ejde-619	629	7	s.	s.	PROPN
ejde-619	629	8	matucci	matucci	PROPN
ejde-619	629	9	;	;	PUNCT
ejde-619	629	10	ground	ground	NOUN
ejde-619	629	11	state	state	NOUN
ejde-619	629	12	solutions	solution	NOUN
ejde-619	629	13	to	to	ADP
ejde-619	629	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	629	15	equations	equation	NOUN
ejde-619	629	16	with	with	ADP
ejde-619	629	17	p	p	NOUN
ejde-619	629	18	–	–	PUNCT
ejde-619	629	19	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-619	629	20	,	,	PUNCT
ejde-619	629	21	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	629	22	anal	anal	NOUN
ejde-619	629	23	.	.	PUNCT
ejde-619	629	24	,	,	PUNCT
ejde-619	629	25	184	184	NUM
ejde-619	629	26	(	(	PUNCT
ejde-619	629	27	2019	2019	NUM
ejde-619	629	28	)	)	PUNCT
ejde-619	629	29	,	,	PUNCT
ejde-619	629	30	1–16	1–16	PROPN
ejde-619	629	31	.	.	PUNCT
ejde-619	630	1	[	[	X
ejde-619	630	2	22	22	NUM
ejde-619	630	3	]	]	X
ejde-619	630	4	d.	d.	PROPN
ejde-619	630	5	c.	c.	PROPN
ejde-619	630	6	de	de	PROPN
ejde-619	630	7	morais	morais	PROPN
ejde-619	630	8	filho	filho	PROPN
ejde-619	630	9	,	,	PUNCT
ejde-619	630	10	j.	j.	PROPN
ejde-619	630	11	m.	m.	PROPN
ejde-619	630	12	do	do	AUX
ejde-619	630	13	ó	ó	NOUN
ejde-619	630	14	,	,	PUNCT
ejde-619	630	15	m.	m.	NOUN
ejde-619	630	16	a.	a.	PROPN
ejde-619	630	17	s.	s.	PROPN
ejde-619	630	18	souto	souto	PROPN
ejde-619	630	19	;	;	PUNCT
ejde-619	630	20	a	a	DET
ejde-619	630	21	compactness	compactness	NOUN
ejde-619	630	22	embedding	embed	VERB
ejde-619	630	23	lemma	lemma	PROPN
ejde-619	630	24	,	,	PUNCT
ejde-619	630	25	a	a	DET
ejde-619	630	26	principle	principle	NOUN
ejde-619	630	27	of	of	ADP
ejde-619	630	28	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	630	29	criticality	criticality	NOUN
ejde-619	630	30	and	and	CCONJ
ejde-619	630	31	applications	application	NOUN
ejde-619	630	32	to	to	ADP
ejde-619	630	33	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	630	34	problems	problem	NOUN
ejde-619	630	35	,	,	PUNCT
ejde-619	630	36	proyecciones	proyecciones	PROPN
ejde-619	630	37	revista	revista	PROPN
ejde-619	630	38	matematica	matematica	PROPN
ejde-619	630	39	,	,	PUNCT
ejde-619	630	40	19	19	NUM
ejde-619	630	41	(	(	PUNCT
ejde-619	630	42	2000	2000	NUM
ejde-619	630	43	)	)	PUNCT
ejde-619	630	44	,	,	PUNCT
ejde-619	631	1	749–760	749–760	NUM
ejde-619	631	2	.	.	PUNCT
ejde-619	632	1	[	[	X
ejde-619	632	2	23	23	NUM
ejde-619	632	3	]	]	PUNCT
ejde-619	632	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	632	5	m.	m.	PROPN
ejde-619	632	6	do	do	VERB
ejde-619	632	7	ó	ó	PROPN
ejde-619	632	8	,	,	PUNCT
ejde-619	632	9	b.	b.	PROPN
ejde-619	632	10	ruf	ruf	NOUN
ejde-619	632	11	,	,	PUNCT
ejde-619	632	12	p.	p.	NOUN
ejde-619	632	13	ubilla	ubilla	NOUN
ejde-619	632	14	;	;	PUNCT
ejde-619	632	15	on	on	ADP
ejde-619	632	16	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	632	17	sobolev	sobolev	ADJ
ejde-619	632	18	type	type	NOUN
ejde-619	632	19	inequalities	inequality	NOUN
ejde-619	632	20	and	and	CCONJ
ejde-619	632	21	related	relate	VERB
ejde-619	632	22	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	632	23	equations	equation	NOUN
ejde-619	632	24	,	,	PUNCT
ejde-619	632	25	calc	calc	NOUN
ejde-619	632	26	.	.	PUNCT
ejde-619	633	1	var	var	PROPN
ejde-619	633	2	.	.	PUNCT
ejde-619	634	1	partial	partial	ADJ
ejde-619	634	2	differential	differential	NOUN
ejde-619	634	3	equations	equation	NOUN
ejde-619	634	4	,	,	PUNCT
ejde-619	634	5	55	55	NUM
ejde-619	634	6	(	(	PUNCT
ejde-619	634	7	2016	2016	NUM
ejde-619	634	8	)	)	PUNCT
ejde-619	634	9	,	,	PUNCT
ejde-619	634	10	2–18	2–18	ADJ
ejde-619	634	11	.	.	PUNCT
ejde-619	635	1	[	[	X
ejde-619	635	2	24	24	NUM
ejde-619	635	3	]	]	PUNCT
ejde-619	635	4	m.	m.	NOUN
ejde-619	635	5	j.	j.	PROPN
ejde-619	635	6	esteban	esteban	PROPN
ejde-619	635	7	;	;	PUNCT
ejde-619	635	8	nonsymmetric	nonsymmetric	ADJ
ejde-619	635	9	ground	ground	NOUN
ejde-619	635	10	states	state	NOUN
ejde-619	635	11	of	of	ADP
ejde-619	635	12	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	635	13	variational	variational	ADJ
ejde-619	635	14	problems	problem	NOUN
ejde-619	635	15	,	,	PUNCT
ejde-619	635	16	comm	comm	NOUN
ejde-619	635	17	.	.	PUNCT
ejde-619	636	1	pure	pure	ADJ
ejde-619	636	2	appl	appl	PROPN
ejde-619	636	3	.	.	PUNCT
ejde-619	636	4	math	math	PROPN
ejde-619	636	5	.	.	PUNCT
ejde-619	637	1	,	,	PUNCT
ejde-619	637	2	44	44	NUM
ejde-619	637	3	(	(	PUNCT
ejde-619	637	4	1991	1991	NUM
ejde-619	637	5	)	)	PUNCT
ejde-619	637	6	,	,	PUNCT
ejde-619	637	7	259–274	259–274	NUM
ejde-619	637	8	.	.	PUNCT
ejde-619	638	1	[	[	X
ejde-619	638	2	25	25	NUM
ejde-619	638	3	]	]	PUNCT
ejde-619	638	4	x.	x.	NOUN
ejde-619	638	5	fan	fan	PROPN
ejde-619	638	6	,	,	PUNCT
ejde-619	638	7	y.	y.	PROPN
ejde-619	638	8	zhao	zhao	PROPN
ejde-619	638	9	,	,	PUNCT
ejde-619	638	10	d.	d.	PROPN
ejde-619	638	11	zhao	zhao	PROPN
ejde-619	638	12	;	;	PUNCT
ejde-619	638	13	compact	compact	ADJ
ejde-619	638	14	imbedding	imbed	VERB
ejde-619	638	15	theorems	theorem	NOUN
ejde-619	638	16	with	with	ADP
ejde-619	638	17	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-619	638	18	of	of	ADP
ejde-619	638	19	strauss	strauss	PROPN
ejde-619	638	20	-	-	PUNCT
ejde-619	638	21	lions	lion	NOUN
ejde-619	638	22	type	type	NOUN
ejde-619	638	23	for	for	ADP
ejde-619	638	24	the	the	DET
ejde-619	638	25	space	space	NOUN
ejde-619	638	26	w	w	PROPN
ejde-619	638	27	1,θ(r)(ω	1,θ(r)(ω	NUM
ejde-619	638	28	)	)	PUNCT
ejde-619	638	29	,	,	PUNCT
ejde-619	638	30	j.	j.	PROPN
ejde-619	638	31	math	math	PROPN
ejde-619	638	32	.	.	PUNCT
ejde-619	639	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	639	2	.	.	PUNCT
ejde-619	640	1	appl	appl	PROPN
ejde-619	640	2	.	.	PROPN
ejde-619	640	3	,	,	PUNCT
ejde-619	640	4	1	1	NUM
ejde-619	640	5	(	(	PUNCT
ejde-619	640	6	2001	2001	NUM
ejde-619	640	7	)	)	PUNCT
ejde-619	640	8	,	,	PUNCT
ejde-619	640	9	333–348	333–348	NUM
ejde-619	640	10	.	.	PUNCT
ejde-619	641	1	[	[	X
ejde-619	641	2	26	26	NUM
ejde-619	641	3	]	]	PUNCT
ejde-619	641	4	l.	l.	PROPN
ejde-619	641	5	f.	f.	PROPN
ejde-619	641	6	o.	o.	PROPN
ejde-619	641	7	faria	faria	PROPN
ejde-619	641	8	,	,	PUNCT
ejde-619	641	9	o.	o.	PROPN
ejde-619	641	10	h.	h.	PROPN
ejde-619	641	11	miyagaki	miyagaki	PROPN
ejde-619	641	12	,	,	PUNCT
ejde-619	641	13	d.	d.	PROPN
ejde-619	641	14	motreanu	motreanu	PROPN
ejde-619	641	15	;	;	PUNCT
ejde-619	641	16	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	641	17	and	and	CCONJ
ejde-619	641	18	positive	positive	ADJ
ejde-619	641	19	solutions	solution	NOUN
ejde-619	641	20	for	for	ADP
ejde-619	641	21	problems	problem	NOUN
ejde-619	641	22	with	with	ADP
ejde-619	641	23	the	the	DET
ejde-619	641	24	(	(	PUNCT
ejde-619	641	25	p	p	NOUN
ejde-619	641	26	,	,	PUNCT
ejde-619	641	27	q)-laplacian	q)-laplacian	PUNCT
ejde-619	641	28	and	and	CCONJ
ejde-619	641	29	a	a	DET
ejde-619	641	30	convection	convection	NOUN
ejde-619	641	31	term	term	NOUN
ejde-619	641	32	,	,	PUNCT
ejde-619	641	33	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-619	641	34	of	of	ADP
ejde-619	641	35	the	the	DET
ejde-619	641	36	edinburgh	edinburgh	PROPN
ejde-619	641	37	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-619	641	38	society	society	NOUN
ejde-619	641	39	,	,	PUNCT
ejde-619	641	40	57	57	NUM
ejde-619	641	41	(	(	PUNCT
ejde-619	641	42	2014	2014	NUM
ejde-619	641	43	)	)	PUNCT
ejde-619	641	44	,	,	PUNCT
ejde-619	641	45	687–698	687–698	NUM
ejde-619	641	46	.	.	PUNCT
ejde-619	642	1	[	[	X
ejde-619	642	2	27	27	NUM
ejde-619	642	3	]	]	PUNCT
ejde-619	642	4	l.	l.	PROPN
ejde-619	642	5	f.	f.	PROPN
ejde-619	642	6	o.	o.	PROPN
ejde-619	642	7	faria	faria	PROPN
ejde-619	642	8	,	,	PUNCT
ejde-619	642	9	o.	o.	PROPN
ejde-619	642	10	h.	h.	PROPN
ejde-619	642	11	miyagaki	miyagaki	PROPN
ejde-619	642	12	,	,	PUNCT
ejde-619	642	13	m.	m.	NOUN
ejde-619	642	14	tanaka	tanaka	PROPN
ejde-619	642	15	;	;	PUNCT
ejde-619	642	16	existence	existence	NOUN
ejde-619	642	17	of	of	ADP
ejde-619	642	18	a	a	DET
ejde-619	642	19	positive	positive	ADJ
ejde-619	642	20	solution	solution	NOUN
ejde-619	642	21	for	for	ADP
ejde-619	642	22	problems	problem	NOUN
ejde-619	642	23	with	with	ADP
ejde-619	642	24	(	(	PUNCT
ejde-619	642	25	p	p	X
ejde-619	642	26	,	,	PUNCT
ejde-619	642	27	q)-laplacian	q)-laplacian	PUNCT
ejde-619	642	28	and	and	CCONJ
ejde-619	642	29	convection	convection	NOUN
ejde-619	642	30	term	term	NOUN
ejde-619	642	31	in	in	ADP
ejde-619	642	32	rn	rn	PROPN
ejde-619	642	33	,	,	PUNCT
ejde-619	642	34	bound	bind	VERB
ejde-619	642	35	value	value	NOUN
ejde-619	642	36	probl	probl	NOUN
ejde-619	642	37	.	.	PUNCT
ejde-619	642	38	,	,	PUNCT
ejde-619	642	39	158	158	NUM
ejde-619	642	40	(	(	PUNCT
ejde-619	642	41	2016	2016	NUM
ejde-619	642	42	)	)	PUNCT
ejde-619	642	43	,	,	PUNCT
ejde-619	642	44	1–20	1–20	NOUN
ejde-619	642	45	.	.	PUNCT
ejde-619	643	1	[	[	X
ejde-619	643	2	28	28	NUM
ejde-619	643	3	]	]	X
ejde-619	643	4	g.	g.	PROPN
ejde-619	643	5	figueiredo	figueiredo	PROPN
ejde-619	643	6	,	,	PUNCT
ejde-619	643	7	m.	m.	NOUN
ejde-619	643	8	furtado	furtado	NOUN
ejde-619	643	9	;	;	PUNCT
ejde-619	643	10	positive	positive	ADJ
ejde-619	643	11	solutions	solution	NOUN
ejde-619	643	12	for	for	ADP
ejde-619	643	13	some	some	DET
ejde-619	643	14	quasilinear	quasilinear	ADJ
ejde-619	643	15	equations	equation	NOUN
ejde-619	643	16	with	with	ADP
ejde-619	643	17	critical	critical	ADJ
ejde-619	643	18	and	and	CCONJ
ejde-619	643	19	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-619	643	20	growth	growth	NOUN
ejde-619	643	21	,	,	PUNCT
ejde-619	643	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	643	23	anal	anal	NOUN
ejde-619	643	24	.	.	PUNCT
ejde-619	643	25	,	,	PUNCT
ejde-619	643	26	66	66	NUM
ejde-619	643	27	(	(	PUNCT
ejde-619	643	28	2007	2007	NUM
ejde-619	643	29	)	)	PUNCT
ejde-619	643	30	,	,	PUNCT
ejde-619	643	31	1600–1616	1600–1616	NUM
ejde-619	643	32	.	.	PUNCT
ejde-619	644	1	[	[	X
ejde-619	644	2	29	29	NUM
ejde-619	644	3	]	]	X
ejde-619	644	4	f.	f.	PROPN
ejde-619	644	5	jones	jones	PROPN
ejde-619	644	6	;	;	PUNCT
ejde-619	644	7	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-619	644	8	integration	integration	NOUN
ejde-619	644	9	on	on	ADP
ejde-619	644	10	euclidean	euclidean	ADJ
ejde-619	644	11	space	space	NOUN
ejde-619	644	12	,	,	PUNCT
ejde-619	644	13	jones	jones	PROPN
ejde-619	644	14	and	and	CCONJ
ejde-619	644	15	bartlett	bartlett	PROPN
ejde-619	644	16	publishers	publisher	NOUN
ejde-619	644	17	,	,	PUNCT
ejde-619	644	18	1993	1993	NUM
ejde-619	644	19	.	.	PUNCT
ejde-619	645	1	[	[	X
ejde-619	645	2	30	30	NUM
ejde-619	645	3	]	]	X
ejde-619	645	4	e.	e.	PROPN
ejde-619	645	5	hewitt	hewitt	PROPN
ejde-619	645	6	,	,	PUNCT
ejde-619	645	7	k.	k.	PROPN
ejde-619	645	8	stromberg	stromberg	PROPN
ejde-619	645	9	;	;	PUNCT
ejde-619	645	10	real	real	ADJ
ejde-619	645	11	and	and	CCONJ
ejde-619	645	12	abstract	abstract	ADJ
ejde-619	645	13	analysis	analysis	NOUN
ejde-619	645	14	,	,	PUNCT
ejde-619	645	15	springer	springer	NOUN
ejde-619	645	16	-	-	PUNCT
ejde-619	645	17	verlag	verlag	PROPN
ejde-619	645	18	,	,	PUNCT
ejde-619	645	19	1975	1975	NUM
ejde-619	645	20	.	.	PUNCT
ejde-619	646	1	[	[	X
ejde-619	646	2	31	31	NUM
ejde-619	646	3	]	]	PUNCT
ejde-619	646	4	t.	t.	PROPN
ejde-619	646	5	s.	s.	PROPN
ejde-619	646	6	hsu	hsu	PROPN
ejde-619	646	7	;	;	PUNCT
ejde-619	646	8	multiple	multiple	ADJ
ejde-619	646	9	solutions	solution	NOUN
ejde-619	646	10	for	for	ADP
ejde-619	646	11	some	some	DET
ejde-619	646	12	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-619	646	13	neumann	neumann	PROPN
ejde-619	646	14	problems	problem	NOUN
ejde-619	646	15	in	in	ADP
ejde-619	646	16	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	646	17	domains	domain	NOUN
ejde-619	646	18	,	,	PUNCT
ejde-619	646	19	proc	proc	NOUN
ejde-619	646	20	.	.	PUNCT
ejde-619	647	1	roy	roy	PROPN
ejde-619	647	2	.	.	PROPN
ejde-619	647	3	soc	soc	PROPN
ejde-619	647	4	.	.	PUNCT
ejde-619	648	1	edinburgh	edinburgh	PROPN
ejde-619	648	2	sect	sect	PROPN
ejde-619	648	3	.	.	PUNCT
ejde-619	649	1	a	a	DET
ejde-619	649	2	,	,	PUNCT
ejde-619	649	3	137	137	NUM
ejde-619	649	4	(	(	PUNCT
ejde-619	649	5	2007	2007	NUM
ejde-619	649	6	)	)	PUNCT
ejde-619	649	7	,	,	PUNCT
ejde-619	649	8	1059–1071	1059–1071	NUM
ejde-619	649	9	.	.	PUNCT
ejde-619	650	1	[	[	X
ejde-619	650	2	32	32	NUM
ejde-619	650	3	]	]	PUNCT
ejde-619	650	4	s.	s.	PROPN
ejde-619	650	5	kesavan	kesavan	PROPN
ejde-619	650	6	;	;	PUNCT
ejde-619	650	7	topics	topic	NOUN
ejde-619	650	8	in	in	ADP
ejde-619	650	9	functional	functional	ADJ
ejde-619	650	10	analysis	analysis	NOUN
ejde-619	650	11	and	and	CCONJ
ejde-619	650	12	applications	application	NOUN
ejde-619	650	13	,	,	PUNCT
ejde-619	650	14	john	john	PROPN
ejde-619	650	15	wiley	wiley	PROPN
ejde-619	650	16	&	&	CCONJ
ejde-619	650	17	sons	son	NOUN
ejde-619	650	18	,	,	PUNCT
ejde-619	650	19	1989	1989	NUM
ejde-619	650	20	.	.	PUNCT
ejde-619	651	1	[	[	X
ejde-619	651	2	33	33	NUM
ejde-619	651	3	]	]	PUNCT
ejde-619	651	4	a.	a.	NOUN
ejde-619	651	5	khatib	khatib	PROPN
ejde-619	651	6	,	,	PUNCT
ejde-619	651	7	l.	l.	PROPN
ejde-619	651	8	a.	a.	PROPN
ejde-619	651	9	maia	maia	PROPN
ejde-619	651	10	;	;	PUNCT
ejde-619	651	11	a	a	DET
ejde-619	651	12	positive	positive	ADJ
ejde-619	651	13	bound	bind	VERB
ejde-619	651	14	state	state	NOUN
ejde-619	651	15	for	for	ADP
ejde-619	651	16	an	an	DET
ejde-619	651	17	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-619	651	18	linear	linear	NOUN
ejde-619	651	19	or	or	CCONJ
ejde-619	651	20	superlinear	superlinear	VERB
ejde-619	651	21	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-619	651	22	equation	equation	NOUN
ejde-619	651	23	in	in	ADP
ejde-619	651	24	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	651	25	domains	domain	NOUN
ejde-619	651	26	.	.	PUNCT
ejde-619	652	1	commun	commun	PROPN
ejde-619	652	2	.	.	PUNCT
ejde-619	653	1	pure	pure	ADJ
ejde-619	653	2	appl	appl	PROPN
ejde-619	653	3	.	.	PUNCT
ejde-619	654	1	anal	anal	PROPN
ejde-619	654	2	.	.	PROPN
ejde-619	654	3	,	,	PUNCT
ejde-619	654	4	17	17	NUM
ejde-619	654	5	(	(	PUNCT
ejde-619	654	6	2018	2018	NUM
ejde-619	654	7	)	)	PUNCT
ejde-619	654	8	,	,	PUNCT
ejde-619	654	9	2789–2812	2789–2812	NUM
ejde-619	654	10	.	.	PUNCT
ejde-619	655	1	[	[	X
ejde-619	655	2	34	34	NUM
ejde-619	655	3	]	]	X
ejde-619	655	4	o.	o.	PROPN
ejde-619	655	5	a.	a.	PROPN
ejde-619	655	6	ladyzhenskaja	ladyzhenskaja	PROPN
ejde-619	655	7	,	,	PUNCT
ejde-619	655	8	n.	n.	PROPN
ejde-619	655	9	n.	n.	PROPN
ejde-619	655	10	ural’tseva	ural’tseva	PROPN
ejde-619	655	11	;	;	PUNCT
ejde-619	655	12	linear	linear	ADJ
ejde-619	655	13	and	and	CCONJ
ejde-619	655	14	quasilinear	quasilinear	VERB
ejde-619	655	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	655	16	equations	equation	NOUN
ejde-619	655	17	,	,	PUNCT
ejde-619	655	18	academic	academic	ADJ
ejde-619	655	19	press	press	NOUN
ejde-619	655	20	,	,	PUNCT
ejde-619	655	21	new	new	PROPN
ejde-619	655	22	york	york	PROPN
ejde-619	655	23	-	-	PUNCT
ejde-619	655	24	london	london	PROPN
ejde-619	655	25	,	,	PUNCT
ejde-619	655	26	1968	1968	NUM
ejde-619	655	27	.	.	PUNCT
ejde-619	656	1	[	[	X
ejde-619	656	2	35	35	NUM
ejde-619	656	3	]	]	X
ejde-619	656	4	g.	g.	PROPN
ejde-619	656	5	m.	m.	PROPN
ejde-619	656	6	lieberman	lieberman	PROPN
ejde-619	656	7	;	;	PUNCT
ejde-619	656	8	boundary	boundary	ADJ
ejde-619	656	9	regularity	regularity	NOUN
ejde-619	656	10	for	for	ADP
ejde-619	656	11	solutions	solution	NOUN
ejde-619	656	12	of	of	ADP
ejde-619	656	13	degenerate	degenerate	ADJ
ejde-619	656	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	656	15	equations	equation	NOUN
ejde-619	656	16	,	,	PUNCT
ejde-619	656	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	656	18	anal	anal	NOUN
ejde-619	656	19	.	.	PUNCT
ejde-619	656	20	,	,	PUNCT
ejde-619	656	21	12	12	NUM
ejde-619	656	22	(	(	PUNCT
ejde-619	656	23	1988	1988	NUM
ejde-619	656	24	)	)	PUNCT
ejde-619	656	25	,	,	PUNCT
ejde-619	656	26	1203–1219	1203–1219	NUM
ejde-619	656	27	.	.	PUNCT
ejde-619	657	1	[	[	X
ejde-619	657	2	36	36	NUM
ejde-619	657	3	]	]	X
ejde-619	657	4	o.	o.	PROPN
ejde-619	657	5	lopes	lopes	PROPN
ejde-619	657	6	,	,	PUNCT
ejde-619	657	7	m.	m.	NOUN
ejde-619	657	8	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	657	9	;	;	PUNCT
ejde-619	657	10	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-619	657	11	of	of	ADP
ejde-619	657	12	mountain	mountain	NOUN
ejde-619	657	13	pass	pass	NOUN
ejde-619	657	14	solutions	solution	NOUN
ejde-619	657	15	of	of	ADP
ejde-619	657	16	some	some	DET
ejde-619	657	17	vector	vector	NOUN
ejde-619	657	18	field	field	NOUN
ejde-619	657	19	equations	equation	NOUN
ejde-619	657	20	,	,	PUNCT
ejde-619	657	21	j.	j.	PROPN
ejde-619	657	22	dynam	dynam	PROPN
ejde-619	657	23	.	.	PUNCT
ejde-619	658	1	differential	differential	ADJ
ejde-619	658	2	equations	equation	NOUN
ejde-619	658	3	,	,	PUNCT
ejde-619	658	4	18	18	NUM
ejde-619	658	5	(	(	PUNCT
ejde-619	658	6	2006	2006	NUM
ejde-619	658	7	)	)	PUNCT
ejde-619	658	8	,	,	PUNCT
ejde-619	658	9	991–999	991–999	NUM
ejde-619	658	10	.	.	PUNCT
ejde-619	659	1	[	[	X
ejde-619	659	2	37	37	NUM
ejde-619	659	3	]	]	PUNCT
ejde-619	659	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	659	5	mawhin	mawhin	PROPN
ejde-619	659	6	,	,	PUNCT
ejde-619	659	7	m.	m.	PROPN
ejde-619	659	8	willem	willem	PROPN
ejde-619	659	9	;	;	PUNCT
ejde-619	659	10	critical	critical	ADJ
ejde-619	659	11	point	point	NOUN
ejde-619	659	12	theory	theory	NOUN
ejde-619	659	13	and	and	CCONJ
ejde-619	659	14	hamiltonian	hamiltonian	ADJ
ejde-619	659	15	system	system	NOUN
ejde-619	659	16	,	,	PUNCT
ejde-619	659	17	springer	springer	NOUN
ejde-619	659	18	-	-	PUNCT
ejde-619	659	19	verlag	verlag	PROPN
ejde-619	659	20	,	,	PUNCT
ejde-619	659	21	1989	1989	NUM
ejde-619	659	22	.	.	PUNCT
ejde-619	660	1	[	[	X
ejde-619	660	2	38	38	NUM
ejde-619	660	3	]	]	X
ejde-619	660	4	d.	d.	NOUN
ejde-619	660	5	motreanu	motreanu	PROPN
ejde-619	660	6	,	,	PUNCT
ejde-619	660	7	v.	v.	PROPN
ejde-619	660	8	v.	v.	CCONJ
ejde-619	660	9	motreanu	motreanu	NOUN
ejde-619	660	10	,	,	PUNCT
ejde-619	660	11	n.	n.	PROPN
ejde-619	660	12	s.	s.	PROPN
ejde-619	660	13	papapgeorgou	papapgeorgou	PROPN
ejde-619	660	14	;	;	PUNCT
ejde-619	660	15	multiple	multiple	ADJ
ejde-619	660	16	constant	constant	ADJ
ejde-619	660	17	sign	sign	NOUN
ejde-619	660	18	and	and	CCONJ
ejde-619	660	19	nodal	nodal	ADJ
ejde-619	660	20	solutions	solution	NOUN
ejde-619	660	21	for	for	ADP
ejde-619	660	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-619	660	23	neumann	neumann	PROPN
ejde-619	660	24	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-619	660	25	problems	problem	NOUN
ejde-619	660	26	.	.	PUNCT
ejde-619	661	1	ann	ann	PROPN
ejde-619	661	2	.	.	PROPN
ejde-619	661	3	sc	sc	PROPN
ejde-619	661	4	.	.	PROPN
ejde-619	661	5	norm	norm	PROPN
ejde-619	661	6	.	.	PUNCT
ejde-619	662	1	sup	sup	NOUN
ejde-619	662	2	.	.	PUNCT
ejde-619	662	3	pisa	pisa	PROPN
ejde-619	662	4	cl	cl	PROPN
ejde-619	662	5	.	.	PUNCT
ejde-619	663	1	sci	sci	PROPN
ejde-619	663	2	.	.	PROPN
ejde-619	663	3	,	,	PUNCT
ejde-619	663	4	10	10	NUM
ejde-619	663	5	(	(	PUNCT
ejde-619	663	6	2011	2011	NUM
ejde-619	663	7	)	)	PUNCT
ejde-619	663	8	,	,	PUNCT
ejde-619	663	9	729–755	729–755	NUM
ejde-619	663	10	.	.	PUNCT
ejde-619	664	1	[	[	X
ejde-619	664	2	39	39	NUM
ejde-619	664	3	]	]	PUNCT
ejde-619	664	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	664	5	musielak	musielak	PROPN
ejde-619	664	6	;	;	PUNCT
ejde-619	664	7	orlicz	orlicz	NOUN
ejde-619	664	8	spaces	space	NOUN
ejde-619	664	9	and	and	CCONJ
ejde-619	664	10	modular	modular	ADJ
ejde-619	664	11	spaces	space	NOUN
ejde-619	664	12	,	,	PUNCT
ejde-619	664	13	lecture	lecture	NOUN
ejde-619	664	14	notes	note	NOUN
ejde-619	664	15	in	in	ADP
ejde-619	664	16	math	math	NOUN
ejde-619	664	17	.	.	PUNCT
ejde-619	665	1	1034	1034	NUM
ejde-619	665	2	,	,	PUNCT
ejde-619	665	3	springer	springer	NOUN
ejde-619	665	4	-	-	PUNCT
ejde-619	665	5	verlag	verlag	PROPN
ejde-619	665	6	,	,	PUNCT
ejde-619	665	7	1983	1983	NUM
ejde-619	665	8	.	.	PUNCT
ejde-619	666	1	[	[	X
ejde-619	666	2	40	40	NUM
ejde-619	666	3	]	]	PUNCT
ejde-619	666	4	r.	r.	PROPN
ejde-619	666	5	s.	s.	PROPN
ejde-619	666	6	palais	palais	PROPN
ejde-619	666	7	;	;	PUNCT
ejde-619	666	8	the	the	DET
ejde-619	666	9	principle	principle	NOUN
ejde-619	666	10	of	of	ADP
ejde-619	666	11	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-619	666	12	criticality	criticality	NOUN
ejde-619	666	13	,	,	PUNCT
ejde-619	666	14	comm	comm	NOUN
ejde-619	666	15	.	.	PUNCT
ejde-619	666	16	math	math	NOUN
ejde-619	666	17	.	.	PUNCT
ejde-619	667	1	phys	phy	NOUN
ejde-619	667	2	.	.	PUNCT
ejde-619	667	3	,	,	PUNCT
ejde-619	667	4	69	69	NUM
ejde-619	667	5	(	(	PUNCT
ejde-619	667	6	1979	1979	NUM
ejde-619	667	7	)	)	PUNCT
ejde-619	667	8	,	,	PUNCT
ejde-619	667	9	19–30	19–30	NUM
ejde-619	667	10	.	.	PUNCT
ejde-619	668	1	[	[	X
ejde-619	668	2	41	41	NUM
ejde-619	668	3	]	]	X
ejde-619	668	4	w.	w.	PROPN
ejde-619	668	5	a.	a.	PROPN
ejde-619	668	6	strauss	strauss	PROPN
ejde-619	668	7	;	;	PUNCT
ejde-619	668	8	on	on	ADP
ejde-619	668	9	weak	weak	ADJ
ejde-619	668	10	solutions	solution	NOUN
ejde-619	668	11	of	of	ADP
ejde-619	668	12	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-619	668	13	hyperbolic	hyperbolic	ADJ
ejde-619	668	14	equations	equation	NOUN
ejde-619	668	15	,	,	PUNCT
ejde-619	668	16	an	an	PROPN
ejde-619	668	17	.	.	PUNCT
ejde-619	668	18	acad	acad	PROPN
ejde-619	668	19	.	.	PUNCT
ejde-619	669	1	brasil	brasil	PROPN
ejde-619	669	2	.	.	PUNCT
ejde-619	670	1	ci	ci	PROPN
ejde-619	670	2	.	.	PROPN
ejde-619	670	3	,	,	PUNCT
ejde-619	670	4	42	42	NUM
ejde-619	670	5	(	(	PUNCT
ejde-619	670	6	1970	1970	NUM
ejde-619	670	7	)	)	PUNCT
ejde-619	670	8	,	,	PUNCT
ejde-619	670	9	645–651	645–651	NUM
ejde-619	670	10	.	.	PUNCT
ejde-619	671	1	[	[	X
ejde-619	671	2	42	42	NUM
ejde-619	671	3	]	]	PUNCT
ejde-619	671	4	m.	m.	NOUN
ejde-619	671	5	tang	tang	PROPN
ejde-619	671	6	;	;	PUNCT
ejde-619	671	7	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-619	671	8	of	of	ADP
ejde-619	671	9	positive	positive	ADJ
ejde-619	671	10	radial	radial	ADJ
ejde-619	671	11	solutions	solution	NOUN
ejde-619	671	12	for	for	ADP
ejde-619	671	13	∆u	∆u	PROPN
ejde-619	671	14	−	−	PROPN
ejde-619	671	15	u	u	NOUN
ejde-619	671	16	+	+	X
ejde-619	671	17	up	up	ADV
ejde-619	671	18	=	=	SYM
ejde-619	671	19	0	0	NUM
ejde-619	671	20	on	on	ADP
ejde-619	671	21	an	an	DET
ejde-619	671	22	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	671	23	,	,	PUNCT
ejde-619	671	24	j.	j.	PROPN
ejde-619	671	25	differ	differ	PROPN
ejde-619	671	26	.	.	PUNCT
ejde-619	672	1	equ	equ	PROPN
ejde-619	672	2	.	.	PROPN
ejde-619	672	3	,	,	PUNCT
ejde-619	672	4	189	189	NUM
ejde-619	672	5	(	(	PUNCT
ejde-619	672	6	2003	2003	NUM
ejde-619	672	7	)	)	PUNCT
ejde-619	672	8	,	,	PUNCT
ejde-619	672	9	148–160	148–160	NUM
ejde-619	672	10	.	.	PUNCT
ejde-619	673	1	[	[	X
ejde-619	673	2	43	43	NUM
ejde-619	673	3	]	]	X
ejde-619	673	4	j.	j.	PROPN
ejde-619	673	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	673	6	vázquez	vázquez	PROPN
ejde-619	673	7	;	;	PUNCT
ejde-619	673	8	a	a	DET
ejde-619	673	9	strong	strong	ADJ
ejde-619	673	10	maximum	maximum	ADJ
ejde-619	673	11	principle	principle	NOUN
ejde-619	673	12	for	for	ADP
ejde-619	673	13	some	some	DET
ejde-619	673	14	quasilinear	quasilinear	ADJ
ejde-619	673	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-619	673	16	equations	equation	NOUN
ejde-619	673	17	,	,	PUNCT
ejde-619	673	18	appl	appl	PROPN
ejde-619	673	19	.	.	PROPN
ejde-619	673	20	math	math	PROPN
ejde-619	673	21	.	.	PUNCT
ejde-619	674	1	optim	optim	PROPN
ejde-619	674	2	.	.	PROPN
ejde-619	674	3	,	,	PUNCT
ejde-619	674	4	12	12	NUM
ejde-619	674	5	(	(	PUNCT
ejde-619	674	6	1984	1984	NUM
ejde-619	674	7	)	)	PUNCT
ejde-619	674	8	,	,	PUNCT
ejde-619	674	9	191–202	191–202	NUM
ejde-619	674	10	.	.	PUNCT
ejde-619	675	1	[	[	X
ejde-619	675	2	44	44	NUM
ejde-619	675	3	]	]	PUNCT
ejde-619	675	4	t.	t.	PROPN
ejde-619	675	5	watanabe	watanabe	PROPN
ejde-619	675	6	;	;	PUNCT
ejde-619	675	7	on	on	ADP
ejde-619	675	8	exterior	exterior	ADJ
ejde-619	675	9	neumann	neumann	PROPN
ejde-619	675	10	problems	problem	NOUN
ejde-619	675	11	with	with	ADP
ejde-619	675	12	an	an	DET
ejde-619	675	13	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-619	675	14	linear	linear	ADJ
ejde-619	675	15	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-619	675	16	,	,	PUNCT
ejde-619	675	17	j.	j.	PROPN
ejde-619	675	18	differential	differential	PROPN
ejde-619	675	19	equations	equations	PROPN
ejde-619	675	20	,	,	PUNCT
ejde-619	675	21	240	240	NUM
ejde-619	675	22	(	(	PUNCT
ejde-619	675	23	2007	2007	NUM
ejde-619	675	24	)	)	PUNCT
ejde-619	675	25	,	,	PUNCT
ejde-619	675	26	1–37	1–37	NOUN
ejde-619	675	27	.	.	PUNCT
ejde-619	676	1	[	[	X
ejde-619	676	2	45	45	NUM
ejde-619	676	3	]	]	PUNCT
ejde-619	676	4	s.	s.	PROPN
ejde-619	676	5	l.	l.	PROPN
ejde-619	676	6	yadava	yadava	PROPN
ejde-619	676	7	;	;	PUNCT
ejde-619	676	8	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-619	676	9	of	of	ADP
ejde-619	676	10	positive	positive	ADJ
ejde-619	676	11	radial	radial	ADJ
ejde-619	676	12	solutions	solution	NOUN
ejde-619	676	13	of	of	ADP
ejde-619	676	14	a	a	DET
ejde-619	676	15	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-619	676	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-619	676	17	problem	problem	NOUN
ejde-619	676	18	in	in	ADP
ejde-619	676	19	an	an	DET
ejde-619	676	20	annulus	annulus	NOUN
ejde-619	676	21	,	,	PUNCT
ejde-619	676	22	proc	proc	PROPN
ejde-619	676	23	.	.	PUNCT
ejde-619	677	1	roy	roy	PROPN
ejde-619	677	2	.	.	PROPN
ejde-619	677	3	soc	soc	PROPN
ejde-619	677	4	.	.	PUNCT
ejde-619	678	1	edinb	edinb	PROPN
ejde-619	678	2	.	.	PUNCT
ejde-619	679	1	sect	sect	NOUN
ejde-619	679	2	.	.	PUNCT
ejde-619	680	1	a	a	PRON
ejde-619	680	2	,	,	PUNCT
ejde-619	680	3	130	130	NUM
ejde-619	680	4	(	(	PUNCT
ejde-619	680	5	2000	2000	NUM
ejde-619	680	6	)	)	PUNCT
ejde-619	680	7	,	,	PUNCT
ejde-619	680	8	1417–1428	1417–1428	NUM
ejde-619	680	9	.	.	PUNCT
ejde-619	680	10	24	24	NUM
ejde-619	680	11	l.	l.	PROPN
ejde-619	680	12	f.	f.	PROPN
ejde-619	680	13	o.	o.	PROPN
ejde-619	680	14	faria	faria	PROPN
ejde-619	680	15	,	,	PUNCT
ejde-619	680	16	m.	m.	PROPN
ejde-619	680	17	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	680	18	ejde-2024/41	ejde-2024/41	PROPN
ejde-619	680	19	luiz	luiz	PROPN
ejde-619	680	20	f.	f.	PROPN
ejde-619	680	21	o.	o.	PROPN
ejde-619	680	22	faria	faria	PROPN
ejde-619	680	23	universidade	universidade	PROPN
ejde-619	680	24	federal	federal	PROPN
ejde-619	680	25	de	de	PROPN
ejde-619	680	26	juiz	juiz	PROPN
ejde-619	680	27	de	de	X
ejde-619	680	28	fora	fora	PROPN
ejde-619	680	29	,	,	PUNCT
ejde-619	680	30	ice	ice	NOUN
ejde-619	680	31	,	,	PUNCT
ejde-619	680	32	departamento	departamento	NOUN
ejde-619	680	33	de	de	PROPN
ejde-619	680	34	matemática	matemática	PROPN
ejde-619	680	35	,	,	PUNCT
ejde-619	680	36	campus	campus	PROPN
ejde-619	680	37	universitário	universitário	PROPN
ejde-619	680	38	,	,	PUNCT
ejde-619	680	39	rua	rua	PROPN
ejde-619	680	40	josé	josé	PROPN
ejde-619	680	41	lourenço	lourenço	PROPN
ejde-619	680	42	kelmer	kelmer	PROPN
ejde-619	680	43	,	,	PUNCT
ejde-619	680	44	s	s	PROPN
ejde-619	680	45	/	/	SYM
ejde-619	680	46	n	n	CCONJ
ejde-619	680	47	,	,	PUNCT
ejde-619	680	48	juiz	juiz	PROPN
ejde-619	680	49	de	de	PROPN
ejde-619	680	50	fora	fora	PROPN
ejde-619	680	51	,	,	PUNCT
ejde-619	680	52	mg	mg	PROPN
ejde-619	680	53	,	,	PUNCT
ejde-619	680	54	cep	cep	NOUN
ejde-619	680	55	36036	36036	NUM
ejde-619	680	56	-	-	SYM
ejde-619	680	57	900	900	NUM
ejde-619	680	58	,	,	PUNCT
ejde-619	680	59	brazil	brazil	PROPN
ejde-619	680	60	email	email	NOUN
ejde-619	680	61	address	address	NOUN
ejde-619	680	62	:	:	PUNCT
ejde-619	680	63	luiz.faria@ufjf.edu.br	luiz.faria@ufjf.edu.br	VERB
ejde-619	680	64	marcelo	marcelo	PROPN
ejde-619	680	65	montenegro	montenegro	PROPN
ejde-619	680	66	universidade	universidade	PROPN
ejde-619	680	67	estadual	estadual	PROPN
ejde-619	680	68	de	de	PROPN
ejde-619	680	69	campinas	campinas	PROPN
ejde-619	680	70	,	,	PUNCT
ejde-619	680	71	imecc	imecc	NOUN
ejde-619	680	72	,	,	PUNCT
ejde-619	680	73	departamento	departamento	PROPN
ejde-619	680	74	de	de	PROPN
ejde-619	680	75	matemática	matemática	PROPN
ejde-619	680	76	,	,	PUNCT
ejde-619	680	77	rua	rua	PROPN
ejde-619	680	78	sérgio	sérgio	PROPN
ejde-619	680	79	buarque	buarque	PROPN
ejde-619	680	80	de	de	X
ejde-619	680	81	holanda	holanda	PROPN
ejde-619	680	82	,	,	PUNCT
ejde-619	680	83	651	651	NUM
ejde-619	680	84	campinas	campina	NOUN
ejde-619	680	85	,	,	PUNCT
ejde-619	680	86	sp	sp	NOUN
ejde-619	680	87	,	,	PUNCT
ejde-619	680	88	cep	cep	X
ejde-619	680	89	13083	13083	NUM
ejde-619	680	90	-	-	SYM
ejde-619	680	91	859	859	NUM
ejde-619	680	92	,	,	PUNCT
ejde-619	680	93	brazil	brazil	PROPN
ejde-619	680	94	email	email	NOUN
ejde-619	680	95	address	address	NOUN
ejde-619	680	96	:	:	PUNCT
ejde-619	680	97	msm@ime.unicamp.br	msm@ime.unicamp.br	PROPN
ejde-619	680	98	1	1	X
ejde-619	680	99	.	.	PUNCT
ejde-619	680	100	introduction	introduction	NOUN
ejde-619	680	101	2	2	NUM
ejde-619	680	102	.	.	PUNCT
ejde-619	680	103	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-619	680	104	2.1	2.1	NUM
ejde-619	680	105	.	.	PUNCT
ejde-619	680	106	extension	extension	NOUN
ejde-619	680	107	2.2	2.2	NUM
ejde-619	680	108	.	.	PUNCT
ejde-619	681	1	brouwer	brouwer	PROPN
ejde-619	681	2	theorem	theorem	VERB
ejde-619	681	3	2.3	2.3	NUM
ejde-619	681	4	.	.	PUNCT
ejde-619	682	1	comparison	comparison	NOUN
ejde-619	682	2	principle	principle	NOUN
ejde-619	682	3	2.4	2.4	NUM
ejde-619	682	4	.	.	PUNCT
ejde-619	683	1	function	function	NOUN
ejde-619	683	2	spaces	space	NOUN
ejde-619	683	3	with	with	ADP
ejde-619	683	4	variable	variable	ADJ
ejde-619	683	5	exponents	exponent	NOUN
ejde-619	683	6	3	3	NUM
ejde-619	683	7	.	.	PUNCT
ejde-619	683	8	proof	proof	NOUN
ejde-619	683	9	of	of	ADP
ejde-619	683	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	683	11	?	?	PUNCT
ejde-619	683	12	?	?	PUNCT
ejde-619	684	1	4	4	X
ejde-619	684	2	.	.	NOUN
ejde-619	684	3	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	684	4	functions	function	NOUN
ejde-619	684	5	5	5	NUM
ejde-619	684	6	.	.	NOUN
ejde-619	684	7	approximate	approximate	ADJ
ejde-619	684	8	equation	equation	NOUN
ejde-619	684	9	6	6	NUM
ejde-619	684	10	.	.	PUNCT
ejde-619	684	11	proof	proof	NOUN
ejde-619	684	12	of	of	ADP
ejde-619	684	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	684	14	?	?	PUNCT
ejde-619	684	15	?	?	PUNCT
ejde-619	685	1	7	7	X
ejde-619	685	2	.	.	X
ejde-619	685	3	proof	proof	NOUN
ejde-619	685	4	of	of	ADP
ejde-619	685	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-619	685	6	?	?	PUNCT
ejde-619	685	7	?	?	PUNCT
ejde-619	686	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-619	686	2	references	reference	NOUN