id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-625	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-625	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-625	1	3	of	of	ADP
ejde-625	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-625	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-625	1	6	,	,	PUNCT
ejde-625	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-625	1	8	.	.	NOUN
ejde-625	1	9	2024	2024	NUM
ejde-625	1	10	(	(	PUNCT
ejde-625	1	11	2024	2024	NUM
ejde-625	1	12	)	)	PUNCT
ejde-625	1	13	,	,	PUNCT
ejde-625	1	14	no	no	INTJ
ejde-625	1	15	.	.	NOUN
ejde-625	1	16	51	51	NUM
ejde-625	1	17	,	,	PUNCT
ejde-625	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-625	1	19	.	.	PUNCT
ejde-625	2	1	1–11	1–11	PROPN
ejde-625	2	2	.	.	PUNCT
ejde-625	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-625	3	2	:	:	PUNCT
ejde-625	3	3	1072	1072	NUM
ejde-625	3	4	-	-	SYM
ejde-625	3	5	6691	6691	NUM
ejde-625	3	6	.	.	PUNCT
ejde-625	4	1	url	url	PROPN
ejde-625	4	2	:	:	PUNCT
ejde-625	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-625	4	4	,	,	PUNCT
ejde-625	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-625	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-625	4	7	:	:	PUNCT
ejde-625	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-625	4	9	/	/	SYM
ejde-625	4	10	ejde.2024.51	ejde.2024.51	NOUN
ejde-625	4	11	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	4	12	of	of	ADP
ejde-625	4	13	solutions	solution	NOUN
ejde-625	4	14	to	to	ADP
ejde-625	4	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	4	16	pde	pde	NOUN
ejde-625	4	17	’s	’s	PART
ejde-625	4	18	benyam	benyam	NOUN
ejde-625	4	19	mebrate	mebrate	ADJ
ejde-625	4	20	,	,	PUNCT
ejde-625	4	21	giovanni	giovanni	PROPN
ejde-625	4	22	porru	porru	PROPN
ejde-625	4	23	abstract	abstract	NOUN
ejde-625	4	24	.	.	PUNCT
ejde-625	5	1	this	this	DET
ejde-625	5	2	article	article	NOUN
ejde-625	5	3	concerns	concern	VERB
ejde-625	5	4	the	the	DET
ejde-625	5	5	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	5	6	or	or	CCONJ
ejde-625	5	7	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	5	8	of	of	ADP
ejde-625	5	9	solutions	solution	NOUN
ejde-625	5	10	to	to	ADP
ejde-625	5	11	special	special	ADJ
ejde-625	5	12	second	second	ADJ
ejde-625	5	13	order	order	NOUN
ejde-625	5	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	5	15	partial	partial	ADJ
ejde-625	5	16	differential	differential	ADJ
ejde-625	5	17	equations	equation	NOUN
ejde-625	5	18	in	in	ADP
ejde-625	5	19	convex	convex	NOUN
ejde-625	5	20	domains	domain	NOUN
ejde-625	5	21	.	.	PUNCT
ejde-625	6	1	we	we	PRON
ejde-625	6	2	concentrate	concentrate	VERB
ejde-625	6	3	our	our	PRON
ejde-625	6	4	investigation	investigation	NOUN
ejde-625	6	5	to	to	ADP
ejde-625	6	6	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	6	7	blow	blow	VERB
ejde-625	6	8	up	up	ADP
ejde-625	6	9	solutions	solution	NOUN
ejde-625	6	10	as	as	ADV
ejde-625	6	11	well	well	ADV
ejde-625	6	12	as	as	ADP
ejde-625	6	13	to	to	ADP
ejde-625	6	14	solutions	solution	NOUN
ejde-625	6	15	of	of	ADP
ejde-625	6	16	particular	particular	ADJ
ejde-625	6	17	singular	singular	ADJ
ejde-625	6	18	equations	equation	NOUN
ejde-625	6	19	.	.	PUNCT
ejde-625	7	1	following	follow	VERB
ejde-625	7	2	a	a	DET
ejde-625	7	3	method	method	NOUN
ejde-625	7	4	due	due	ADP
ejde-625	7	5	to	to	ADP
ejde-625	7	6	korevaar	korevaar	NOUN
ejde-625	7	7	and	and	CCONJ
ejde-625	7	8	kennington	kennington	PROPN
ejde-625	7	9	,	,	PUNCT
ejde-625	7	10	we	we	PRON
ejde-625	7	11	find	find	VERB
ejde-625	7	12	a	a	DET
ejde-625	7	13	new	new	ADJ
ejde-625	7	14	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-625	7	15	condition	condition	NOUN
ejde-625	7	16	for	for	ADP
ejde-625	7	17	proving	prove	VERB
ejde-625	7	18	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	7	19	or	or	CCONJ
ejde-625	7	20	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	7	21	.	.	PUNCT
ejde-625	8	1	this	this	DET
ejde-625	8	2	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-625	8	3	condition	condition	NOUN
ejde-625	8	4	is	be	AUX
ejde-625	8	5	useful	useful	ADJ
ejde-625	8	6	when	when	SCONJ
ejde-625	8	7	the	the	DET
ejde-625	8	8	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-625	8	9	component	component	NOUN
ejde-625	8	10	of	of	ADP
ejde-625	8	11	the	the	DET
ejde-625	8	12	equation	equation	NOUN
ejde-625	8	13	is	be	AUX
ejde-625	8	14	the	the	DET
ejde-625	8	15	sum	sum	NOUN
ejde-625	8	16	of	of	ADP
ejde-625	8	17	two	two	NUM
ejde-625	8	18	or	or	CCONJ
ejde-625	8	19	more	more	ADJ
ejde-625	8	20	terms	term	NOUN
ejde-625	8	21	.	.	PUNCT
ejde-625	9	1	1	1	X
ejde-625	9	2	.	.	X
ejde-625	9	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-625	9	4	the	the	DET
ejde-625	9	5	notion	notion	NOUN
ejde-625	9	6	of	of	ADP
ejde-625	9	7	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	9	8	of	of	ADP
ejde-625	9	9	a	a	DET
ejde-625	9	10	function	function	NOUN
ejde-625	9	11	is	be	AUX
ejde-625	9	12	useful	useful	ADJ
ejde-625	9	13	in	in	ADP
ejde-625	9	14	many	many	ADJ
ejde-625	9	15	branches	branch	NOUN
ejde-625	9	16	of	of	ADP
ejde-625	9	17	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-625	9	18	.	.	PUNCT
ejde-625	10	1	in	in	ADP
ejde-625	10	2	this	this	DET
ejde-625	10	3	paper	paper	NOUN
ejde-625	10	4	we	we	PRON
ejde-625	10	5	address	address	VERB
ejde-625	10	6	the	the	DET
ejde-625	10	7	following	follow	VERB
ejde-625	10	8	question	question	NOUN
ejde-625	10	9	:	:	PUNCT
ejde-625	10	10	when	when	SCONJ
ejde-625	10	11	a	a	DET
ejde-625	10	12	solution	solution	NOUN
ejde-625	10	13	to	to	ADP
ejde-625	10	14	a	a	DET
ejde-625	10	15	second	second	ADJ
ejde-625	10	16	order	order	NOUN
ejde-625	10	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	10	18	equation	equation	NOUN
ejde-625	10	19	in	in	ADP
ejde-625	10	20	a	a	DET
ejde-625	10	21	convex	convex	NOUN
ejde-625	10	22	domain	domain	NOUN
ejde-625	10	23	is	be	AUX
ejde-625	10	24	convex	convex	NOUN
ejde-625	10	25	?	?	PUNCT
ejde-625	11	1	the	the	DET
ejde-625	11	2	answer	answer	NOUN
ejde-625	11	3	is	be	AUX
ejde-625	11	4	trivial	trivial	ADJ
ejde-625	11	5	in	in	ADP
ejde-625	11	6	dimension	dimension	NOUN
ejde-625	11	7	n	n	NOUN
ejde-625	11	8	=	=	SYM
ejde-625	11	9	1	1	NUM
ejde-625	11	10	only	only	ADV
ejde-625	11	11	.	.	PUNCT
ejde-625	12	1	for	for	ADP
ejde-625	12	2	a	a	DET
ejde-625	12	3	discussion	discussion	NOUN
ejde-625	12	4	of	of	ADP
ejde-625	12	5	this	this	DET
ejde-625	12	6	problem	problem	NOUN
ejde-625	12	7	for	for	ADP
ejde-625	12	8	a	a	DET
ejde-625	12	9	general	general	ADJ
ejde-625	12	10	n	n	CCONJ
ejde-625	12	11	we	we	PRON
ejde-625	12	12	refer	refer	VERB
ejde-625	12	13	to	to	ADP
ejde-625	12	14	the	the	DET
ejde-625	12	15	monograph	monograph	NOUN
ejde-625	12	16	of	of	ADP
ejde-625	12	17	kawohl	kawohl	NOUN
ejde-625	12	18	[	[	X
ejde-625	12	19	14	14	NUM
ejde-625	12	20	]	]	PUNCT
ejde-625	12	21	and	and	CCONJ
ejde-625	12	22	references	reference	NOUN
ejde-625	12	23	therein	therein	ADV
ejde-625	12	24	.	.	PUNCT
ejde-625	13	1	it	it	PRON
ejde-625	13	2	happens	happen	VERB
ejde-625	13	3	that	that	SCONJ
ejde-625	13	4	the	the	DET
ejde-625	13	5	answer	answer	NOUN
ejde-625	13	6	depends	depend	VERB
ejde-625	13	7	on	on	ADP
ejde-625	13	8	the	the	DET
ejde-625	13	9	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	13	10	conditions	condition	NOUN
ejde-625	13	11	as	as	ADV
ejde-625	13	12	well	well	ADV
ejde-625	13	13	as	as	ADP
ejde-625	13	14	on	on	ADP
ejde-625	13	15	the	the	DET
ejde-625	13	16	structure	structure	NOUN
ejde-625	13	17	of	of	ADP
ejde-625	13	18	the	the	DET
ejde-625	13	19	equation	equation	NOUN
ejde-625	13	20	.	.	PUNCT
ejde-625	14	1	brascamp	brascamp	PROPN
ejde-625	14	2	and	and	CCONJ
ejde-625	14	3	lieb	lieb	PROPN
ejde-625	15	1	[	[	X
ejde-625	15	2	5	5	NUM
ejde-625	15	3	]	]	PUNCT
ejde-625	15	4	proved	prove	VERB
ejde-625	15	5	that	that	SCONJ
ejde-625	15	6	,	,	PUNCT
ejde-625	15	7	if	if	SCONJ
ejde-625	15	8	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	15	9	)	)	PUNCT
ejde-625	15	10	is	be	AUX
ejde-625	15	11	a	a	DET
ejde-625	15	12	solution	solution	NOUN
ejde-625	15	13	to	to	ADP
ejde-625	15	14	the	the	DET
ejde-625	15	15	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-625	15	16	problem	problem	NOUN
ejde-625	15	17	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-625	15	18	λu	λu	X
ejde-625	15	19	=	=	SYM
ejde-625	15	20	0	0	NUM
ejde-625	15	21	u	u	NOUN
ejde-625	15	22	>	>	X
ejde-625	15	23	0	0	PUNCT
ejde-625	16	1	in	in	ADP
ejde-625	16	2	ω	ω	PROPN
ejde-625	16	3	,	,	PUNCT
ejde-625	16	4	u	u	NOUN
ejde-625	16	5	=	=	NOUN
ejde-625	16	6	0	0	NUM
ejde-625	16	7	on	on	ADP
ejde-625	16	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	16	9	,	,	PUNCT
ejde-625	16	10	then	then	ADV
ejde-625	16	11	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	16	12	)	)	PUNCT
ejde-625	17	1	=	=	PRON
ejde-625	17	2	log	log	NOUN
ejde-625	17	3	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	17	4	)	)	PUNCT
ejde-625	17	5	is	be	AUX
ejde-625	17	6	concave	concave	VERB
ejde-625	17	7	provided	provide	VERB
ejde-625	17	8	ω	ω	PROPN
ejde-625	17	9	is	be	AUX
ejde-625	17	10	convex	convex	ADJ
ejde-625	17	11	.	.	PUNCT
ejde-625	18	1	here	here	ADV
ejde-625	18	2	λ	λ	PROPN
ejde-625	18	3	denotes	denote	VERB
ejde-625	18	4	the	the	DET
ejde-625	18	5	first	first	ADJ
ejde-625	18	6	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-625	18	7	.	.	PUNCT
ejde-625	19	1	in	in	ADP
ejde-625	19	2	[	[	X
ejde-625	19	3	16	16	NUM
ejde-625	19	4	]	]	PUNCT
ejde-625	19	5	,	,	PUNCT
ejde-625	19	6	it	it	PRON
ejde-625	19	7	is	be	AUX
ejde-625	19	8	proved	prove	VERB
ejde-625	19	9	that	that	SCONJ
ejde-625	19	10	if	if	SCONJ
ejde-625	19	11	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	19	12	)	)	PUNCT
ejde-625	19	13	is	be	AUX
ejde-625	19	14	a	a	DET
ejde-625	19	15	solution	solution	NOUN
ejde-625	19	16	to	to	ADP
ejde-625	19	17	the	the	DET
ejde-625	19	18	problem	problem	NOUN
ejde-625	19	19	∆u+	∆u+	PROPN
ejde-625	19	20	uq	uq	NOUN
ejde-625	20	1	=	=	PROPN
ejde-625	20	2	0	0	PROPN
ejde-625	20	3	,	,	PUNCT
ejde-625	20	4	u	u	NOUN
ejde-625	20	5	>	>	X
ejde-625	20	6	0	0	PUNCT
ejde-625	21	1	in	in	ADP
ejde-625	21	2	ω	ω	PROPN
ejde-625	21	3	,	,	PUNCT
ejde-625	21	4	u	u	NOUN
ejde-625	21	5	=	=	NOUN
ejde-625	21	6	0	0	NUM
ejde-625	21	7	on	on	ADP
ejde-625	21	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	21	9	,	,	PUNCT
ejde-625	21	10	0	0	NUM
ejde-625	21	11	≤	≤	NUM
ejde-625	21	12	q	q	X
ejde-625	21	13	<	<	X
ejde-625	21	14	1	1	NUM
ejde-625	21	15	,	,	PUNCT
ejde-625	21	16	then	then	ADV
ejde-625	21	17	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	21	18	)	)	PUNCT
ejde-625	22	1	=	=	SYM
ejde-625	22	2	u	u	NOUN
ejde-625	22	3	1−q	1−q	NUM
ejde-625	22	4	2	2	NUM
ejde-625	22	5	(	(	PUNCT
ejde-625	22	6	x	x	X
ejde-625	22	7	)	)	PUNCT
ejde-625	22	8	is	be	AUX
ejde-625	22	9	concave	concave	VERB
ejde-625	22	10	provided	provide	VERB
ejde-625	22	11	ω	ω	PROPN
ejde-625	22	12	is	be	AUX
ejde-625	22	13	convex	convex	ADJ
ejde-625	22	14	.	.	PUNCT
ejde-625	23	1	this	this	DET
ejde-625	23	2	result	result	NOUN
ejde-625	23	3	can	can	AUX
ejde-625	23	4	be	be	AUX
ejde-625	23	5	extended	extend	VERB
ejde-625	23	6	(	(	PUNCT
ejde-625	23	7	with	with	ADP
ejde-625	23	8	the	the	DET
ejde-625	23	9	same	same	ADJ
ejde-625	23	10	proof	proof	NOUN
ejde-625	23	11	)	)	PUNCT
ejde-625	23	12	to	to	ADP
ejde-625	23	13	the	the	DET
ejde-625	23	14	case	case	NOUN
ejde-625	23	15	−1	−1	NOUN
ejde-625	23	16	<	<	X
ejde-625	23	17	q	q	X
ejde-625	23	18	<	<	X
ejde-625	23	19	1	1	NUM
ejde-625	23	20	.	.	PUNCT
ejde-625	24	1	for	for	ADP
ejde-625	24	2	the	the	DET
ejde-625	24	3	general	general	ADJ
ejde-625	24	4	case	case	NOUN
ejde-625	24	5	∆u+	∆u+	PROPN
ejde-625	24	6	f(u	f(u	PROPN
ejde-625	24	7	)	)	PUNCT
ejde-625	24	8	=	=	SYM
ejde-625	24	9	0	0	NUM
ejde-625	24	10	one	one	PRON
ejde-625	24	11	may	may	AUX
ejde-625	24	12	find	find	VERB
ejde-625	24	13	a	a	DET
ejde-625	24	14	special	special	ADJ
ejde-625	24	15	function	function	NOUN
ejde-625	24	16	ϕ(t	ϕ(t	NUM
ejde-625	24	17	)	)	PUNCT
ejde-625	25	1	(	(	PUNCT
ejde-625	25	2	depending	depend	VERB
ejde-625	25	3	on	on	ADP
ejde-625	25	4	f	f	NOUN
ejde-625	25	5	)	)	PUNCT
ejde-625	25	6	so	so	SCONJ
ejde-625	25	7	that	that	PRON
ejde-625	25	8	v	v	X
ejde-625	25	9	=	=	SYM
ejde-625	25	10	ϕ(u(x	ϕ(u(x	NOUN
ejde-625	25	11	)	)	PUNCT
ejde-625	25	12	)	)	PUNCT
ejde-625	25	13	is	be	AUX
ejde-625	25	14	concave	concave	VERB
ejde-625	25	15	[	[	PUNCT
ejde-625	25	16	14	14	NUM
ejde-625	25	17	]	]	PUNCT
ejde-625	25	18	.	.	PUNCT
ejde-625	26	1	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	26	2	results	result	NOUN
ejde-625	26	3	have	have	AUX
ejde-625	26	4	been	be	AUX
ejde-625	26	5	found	find	VERB
ejde-625	26	6	for	for	ADP
ejde-625	26	7	p	p	NOUN
ejde-625	26	8	-	-	PUNCT
ejde-625	26	9	laplace	laplace	NOUN
ejde-625	26	10	equations	equation	NOUN
ejde-625	26	11	[	[	X
ejde-625	26	12	4	4	NUM
ejde-625	26	13	,	,	PUNCT
ejde-625	26	14	13	13	NUM
ejde-625	26	15	,	,	PUNCT
ejde-625	26	16	21	21	NUM
ejde-625	26	17	]	]	PUNCT
ejde-625	26	18	as	as	ADV
ejde-625	26	19	well	well	ADV
ejde-625	26	20	as	as	ADP
ejde-625	26	21	for	for	ADP
ejde-625	26	22	some	some	DET
ejde-625	26	23	fully	fully	ADV
ejde-625	26	24	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-625	26	25	equations	equation	NOUN
ejde-625	26	26	[	[	X
ejde-625	26	27	1	1	NUM
ejde-625	26	28	]	]	PUNCT
ejde-625	26	29	.	.	PUNCT
ejde-625	27	1	a	a	DET
ejde-625	27	2	nice	nice	ADJ
ejde-625	27	3	method	method	NOUN
ejde-625	27	4	to	to	PART
ejde-625	27	5	study	study	VERB
ejde-625	27	6	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	27	7	has	have	AUX
ejde-625	27	8	been	be	AUX
ejde-625	27	9	established	establish	VERB
ejde-625	27	10	by	by	ADP
ejde-625	27	11	korevaar	korevaar	NOUN
ejde-625	27	12	[	[	X
ejde-625	27	13	17	17	NUM
ejde-625	27	14	]	]	PUNCT
ejde-625	27	15	and	and	CCONJ
ejde-625	27	16	kennington	kennington	PROPN
ejde-625	28	1	[	[	X
ejde-625	28	2	16	16	NUM
ejde-625	28	3	]	]	PUNCT
ejde-625	28	4	.	.	PUNCT
ejde-625	29	1	another	another	DET
ejde-625	29	2	powerful	powerful	ADJ
ejde-625	29	3	method	method	NOUN
ejde-625	29	4	uses	use	VERB
ejde-625	29	5	the	the	DET
ejde-625	29	6	so	so	ADV
ejde-625	29	7	called	call	VERB
ejde-625	29	8	constant	constant	ADJ
ejde-625	29	9	rank	rank	NOUN
ejde-625	29	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-625	29	11	[	[	X
ejde-625	29	12	2	2	NUM
ejde-625	29	13	,	,	PUNCT
ejde-625	29	14	6	6	NUM
ejde-625	29	15	,	,	PUNCT
ejde-625	29	16	18	18	NUM
ejde-625	29	17	]	]	PUNCT
ejde-625	29	18	.	.	PUNCT
ejde-625	30	1	we	we	PRON
ejde-625	30	2	also	also	ADV
ejde-625	30	3	recall	recall	VERB
ejde-625	30	4	a	a	DET
ejde-625	30	5	method	method	NOUN
ejde-625	30	6	which	which	PRON
ejde-625	30	7	uses	use	VERB
ejde-625	30	8	the	the	DET
ejde-625	30	9	concave	concave	NOUN
ejde-625	30	10	envelop	envelop	NOUN
ejde-625	30	11	of	of	ADP
ejde-625	30	12	a	a	DET
ejde-625	30	13	function	function	NOUN
ejde-625	30	14	[	[	X
ejde-625	30	15	8	8	NUM
ejde-625	30	16	]	]	PUNCT
ejde-625	30	17	.	.	PUNCT
ejde-625	31	1	for	for	ADP
ejde-625	31	2	more	more	ADJ
ejde-625	31	3	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	31	4	results	result	NOUN
ejde-625	31	5	we	we	PRON
ejde-625	31	6	refer	refer	VERB
ejde-625	31	7	to	to	ADP
ejde-625	31	8	[	[	X
ejde-625	31	9	3	3	NUM
ejde-625	31	10	,	,	PUNCT
ejde-625	31	11	7	7	NUM
ejde-625	31	12	,	,	PUNCT
ejde-625	31	13	10	10	NUM
ejde-625	31	14	,	,	PUNCT
ejde-625	31	15	11	11	NUM
ejde-625	31	16	,	,	PUNCT
ejde-625	31	17	13	13	NUM
ejde-625	31	18	]	]	PUNCT
ejde-625	31	19	and	and	CCONJ
ejde-625	31	20	references	reference	NOUN
ejde-625	31	21	therein	therein	ADV
ejde-625	31	22	.	.	PUNCT
ejde-625	32	1	in	in	ADP
ejde-625	32	2	[	[	X
ejde-625	32	3	12	12	NUM
ejde-625	32	4	]	]	PUNCT
ejde-625	32	5	the	the	DET
ejde-625	32	6	authors	author	NOUN
ejde-625	32	7	show	show	VERB
ejde-625	32	8	that	that	SCONJ
ejde-625	32	9	if	if	SCONJ
ejde-625	32	10	the	the	DET
ejde-625	32	11	solution	solution	NOUN
ejde-625	32	12	u	u	NOUN
ejde-625	32	13	of	of	ADP
ejde-625	32	14	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	32	15	+	+	CCONJ
ejde-625	32	16	1	1	NUM
ejde-625	32	17	=	=	SYM
ejde-625	32	18	0	0	NUM
ejde-625	32	19	in	in	ADP
ejde-625	32	20	ω	ω	PROPN
ejde-625	32	21	with	with	ADP
ejde-625	32	22	u	u	NOUN
ejde-625	32	23	=	=	NOUN
ejde-625	32	24	0	0	NUM
ejde-625	32	25	on	on	ADP
ejde-625	32	26	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	32	27	is	be	AUX
ejde-625	32	28	such	such	ADJ
ejde-625	32	29	that	that	PRON
ejde-625	32	30	√	√	PROPN
ejde-625	32	31	maxu−	maxu−	ADJ
ejde-625	32	32	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	32	33	)	)	PUNCT
ejde-625	32	34	is	be	AUX
ejde-625	32	35	convex	convex	ADJ
ejde-625	32	36	then	then	ADV
ejde-625	32	37	ω	ω	PROPN
ejde-625	32	38	must	must	AUX
ejde-625	32	39	be	be	AUX
ejde-625	32	40	an	an	DET
ejde-625	32	41	ellipsoid	ellipsoid	NOUN
ejde-625	32	42	.	.	PUNCT
ejde-625	33	1	2020	2020	NUM
ejde-625	33	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-625	33	3	subject	subject	ADJ
ejde-625	33	4	classification	classification	NOUN
ejde-625	33	5	.	.	PUNCT
ejde-625	34	1	35e10	35e10	NUM
ejde-625	34	2	,	,	PUNCT
ejde-625	34	3	35j60	35j60	NUM
ejde-625	34	4	,	,	PUNCT
ejde-625	34	5	35b50	35b50	ADJ
ejde-625	34	6	.	.	PUNCT
ejde-625	35	1	key	key	ADJ
ejde-625	35	2	words	word	NOUN
ejde-625	35	3	and	and	CCONJ
ejde-625	35	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-625	35	5	.	.	PUNCT
ejde-625	36	1	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	36	2	;	;	PUNCT
ejde-625	36	3	maximum	maximum	ADJ
ejde-625	36	4	principle	principle	NOUN
ejde-625	36	5	;	;	PUNCT
ejde-625	36	6	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	36	7	blow	blow	NOUN
ejde-625	36	8	-	-	PUNCT
ejde-625	36	9	up	up	NOUN
ejde-625	36	10	;	;	PUNCT
ejde-625	36	11	singular	singular	NOUN
ejde-625	36	12	problems	problem	NOUN
ejde-625	36	13	.	.	PUNCT
ejde-625	37	1	©	©	ADP
ejde-625	37	2	2024	2024	NUM
ejde-625	37	3	.	.	PUNCT
ejde-625	38	1	this	this	DET
ejde-625	38	2	work	work	NOUN
ejde-625	38	3	is	be	AUX
ejde-625	38	4	licensed	license	VERB
ejde-625	38	5	under	under	ADP
ejde-625	38	6	a	a	DET
ejde-625	38	7	cc	cc	NOUN
ejde-625	38	8	by	by	ADP
ejde-625	38	9	4.0	4.0	NUM
ejde-625	38	10	license	license	NOUN
ejde-625	38	11	.	.	PUNCT
ejde-625	39	1	submitted	submit	VERB
ejde-625	39	2	march	march	PROPN
ejde-625	39	3	25	25	NUM
ejde-625	39	4	,	,	PUNCT
ejde-625	39	5	2024	2024	NUM
ejde-625	39	6	.	.	PUNCT
ejde-625	40	1	published	publish	VERB
ejde-625	40	2	september	september	PROPN
ejde-625	40	3	6	6	NUM
ejde-625	40	4	,	,	PUNCT
ejde-625	40	5	2024	2024	NUM
ejde-625	40	6	.	.	PUNCT
ejde-625	40	7	1	1	NUM
ejde-625	40	8	2	2	NUM
ejde-625	40	9	b.	b.	NOUN
ejde-625	40	10	mebrate	mebrate	NOUN
ejde-625	40	11	,	,	PUNCT
ejde-625	40	12	g.	g.	PROPN
ejde-625	40	13	porru	porru	PROPN
ejde-625	40	14	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADV
ejde-625	40	15	in	in	ADP
ejde-625	40	16	section	section	NOUN
ejde-625	40	17	1	1	NUM
ejde-625	40	18	we	we	PRON
ejde-625	40	19	consider	consider	VERB
ejde-625	40	20	the	the	DET
ejde-625	40	21	problem	problem	NOUN
ejde-625	40	22	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	40	23	=	=	SYM
ejde-625	40	24	f(u	f(u	PROPN
ejde-625	40	25	)	)	PUNCT
ejde-625	40	26	in	in	ADP
ejde-625	40	27	ω	ω	PROPN
ejde-625	40	28	,	,	PUNCT
ejde-625	40	29	u	u	NOUN
ejde-625	40	30	→	→	SYM
ejde-625	40	31	+	+	ADJ
ejde-625	40	32	∞	∞	PROPN
ejde-625	40	33	as	as	ADP
ejde-625	40	34	x	x	X
ejde-625	40	35	→	→	SYM
ejde-625	40	36	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	40	37	.	.	PUNCT
ejde-625	41	1	this	this	DET
ejde-625	41	2	problem	problem	NOUN
ejde-625	41	3	has	have	AUX
ejde-625	41	4	been	be	AUX
ejde-625	41	5	investigated	investigate	VERB
ejde-625	41	6	in	in	ADP
ejde-625	41	7	the	the	DET
ejde-625	41	8	seminal	seminal	ADJ
ejde-625	41	9	papers	paper	NOUN
ejde-625	41	10	[	[	X
ejde-625	41	11	15	15	NUM
ejde-625	41	12	,	,	PUNCT
ejde-625	41	13	19	19	NUM
ejde-625	41	14	]	]	PUNCT
ejde-625	41	15	.	.	PUNCT
ejde-625	42	1	the	the	DET
ejde-625	42	2	solution	solution	NOUN
ejde-625	42	3	u(x	u(x	VERB
ejde-625	42	4	)	)	PUNCT
ejde-625	42	5	(	(	PUNCT
ejde-625	42	6	if	if	SCONJ
ejde-625	42	7	it	it	PRON
ejde-625	42	8	exists	exist	VERB
ejde-625	42	9	)	)	PUNCT
ejde-625	42	10	is	be	AUX
ejde-625	42	11	named	name	VERB
ejde-625	42	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	42	13	blow	blow	NOUN
ejde-625	42	14	-	-	PUNCT
ejde-625	42	15	up	up	ADP
ejde-625	42	16	solution	solution	NOUN
ejde-625	42	17	or	or	CCONJ
ejde-625	42	18	large	large	ADJ
ejde-625	42	19	solution	solution	NOUN
ejde-625	42	20	.	.	PUNCT
ejde-625	43	1	it	it	PRON
ejde-625	43	2	is	be	AUX
ejde-625	43	3	known	know	VERB
ejde-625	43	4	that	that	SCONJ
ejde-625	43	5	,	,	PUNCT
ejde-625	43	6	if	if	SCONJ
ejde-625	43	7	the	the	DET
ejde-625	43	8	domain	domain	NOUN
ejde-625	43	9	ω	ω	NOUN
ejde-625	43	10	is	be	AUX
ejde-625	43	11	convex	convex	ADJ
ejde-625	43	12	and	and	CCONJ
ejde-625	43	13	if	if	SCONJ
ejde-625	43	14	f	f	PROPN
ejde-625	43	15	satisfies	satisfy	VERB
ejde-625	43	16	suitable	suitable	ADJ
ejde-625	43	17	conditions	condition	NOUN
ejde-625	43	18	,	,	PUNCT
ejde-625	43	19	then	then	ADV
ejde-625	43	20	u(x	u(x	VERB
ejde-625	43	21	)	)	PUNCT
ejde-625	43	22	is	be	AUX
ejde-625	43	23	convex	convex	ADJ
ejde-625	43	24	.	.	PUNCT
ejde-625	44	1	we	we	PRON
ejde-625	44	2	are	be	AUX
ejde-625	44	3	able	able	ADJ
ejde-625	44	4	to	to	PART
ejde-625	44	5	prove	prove	VERB
ejde-625	44	6	that	that	SCONJ
ejde-625	44	7	,	,	PUNCT
ejde-625	44	8	under	under	ADP
ejde-625	44	9	some	some	DET
ejde-625	44	10	additional	additional	ADJ
ejde-625	44	11	condition	condition	NOUN
ejde-625	44	12	on	on	ADP
ejde-625	44	13	f	f	PROPN
ejde-625	44	14	,	,	PUNCT
ejde-625	44	15	also	also	ADV
ejde-625	44	16	log	log	VERB
ejde-625	44	17	u	u	NOUN
ejde-625	44	18	is	be	AUX
ejde-625	44	19	convex	convex	ADJ
ejde-625	44	20	.	.	PUNCT
ejde-625	45	1	next	next	ADV
ejde-625	45	2	,	,	PUNCT
ejde-625	45	3	for	for	ADP
ejde-625	45	4	proving	prove	VERB
ejde-625	45	5	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	45	6	,	,	PUNCT
ejde-625	45	7	we	we	PRON
ejde-625	45	8	describe	describe	VERB
ejde-625	45	9	a	a	DET
ejde-625	45	10	new	new	ADJ
ejde-625	45	11	method	method	NOUN
ejde-625	45	12	which	which	PRON
ejde-625	45	13	uses	use	VERB
ejde-625	45	14	a	a	DET
ejde-625	45	15	different	different	ADJ
ejde-625	45	16	condition	condition	NOUN
ejde-625	45	17	on	on	ADP
ejde-625	45	18	f	f	PROPN
ejde-625	45	19	.	.	PUNCT
ejde-625	46	1	this	this	DET
ejde-625	46	2	new	new	ADJ
ejde-625	46	3	condition	condition	NOUN
ejde-625	46	4	is	be	AUX
ejde-625	46	5	very	very	ADV
ejde-625	46	6	useful	useful	ADJ
ejde-625	46	7	when	when	SCONJ
ejde-625	46	8	f	f	PROPN
ejde-625	46	9	is	be	AUX
ejde-625	46	10	the	the	DET
ejde-625	46	11	sum	sum	NOUN
ejde-625	46	12	of	of	ADP
ejde-625	46	13	two	two	NUM
ejde-625	46	14	or	or	CCONJ
ejde-625	46	15	more	more	ADJ
ejde-625	46	16	terms	term	NOUN
ejde-625	46	17	.	.	PUNCT
ejde-625	47	1	in	in	ADP
ejde-625	47	2	section	section	NOUN
ejde-625	47	3	2	2	NUM
ejde-625	47	4	we	we	PRON
ejde-625	47	5	consider	consider	VERB
ejde-625	47	6	the	the	DET
ejde-625	47	7	problem	problem	NOUN
ejde-625	47	8	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-625	47	9	f(u	f(u	PROPN
ejde-625	47	10	)	)	PUNCT
ejde-625	48	1	=	=	SYM
ejde-625	48	2	0	0	NUM
ejde-625	48	3	,	,	PUNCT
ejde-625	48	4	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	48	5	)	)	PUNCT
ejde-625	48	6	>	>	X
ejde-625	48	7	0	0	PUNCT
ejde-625	49	1	in	in	ADP
ejde-625	49	2	ω	ω	PROPN
ejde-625	49	3	,	,	PUNCT
ejde-625	49	4	u	u	NOUN
ejde-625	49	5	=	=	NOUN
ejde-625	49	6	0	0	NUM
ejde-625	49	7	on	on	ADP
ejde-625	49	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	49	9	,	,	PUNCT
ejde-625	49	10	uν	uν	PROPN
ejde-625	49	11	=	=	SYM
ejde-625	49	12	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	49	13	on	on	ADP
ejde-625	49	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	49	15	.	.	PUNCT
ejde-625	50	1	this	this	DET
ejde-625	50	2	kind	kind	NOUN
ejde-625	50	3	of	of	ADP
ejde-625	50	4	problems	problem	NOUN
ejde-625	50	5	,	,	PUNCT
ejde-625	50	6	named	name	VERB
ejde-625	50	7	singular	singular	ADJ
ejde-625	50	8	problems	problem	NOUN
ejde-625	50	9	,	,	PUNCT
ejde-625	50	10	are	be	AUX
ejde-625	50	11	discussed	discuss	VERB
ejde-625	50	12	in	in	ADP
ejde-625	50	13	[	[	X
ejde-625	50	14	9	9	NUM
ejde-625	50	15	,	,	PUNCT
ejde-625	50	16	20	20	NUM
ejde-625	50	17	]	]	PUNCT
ejde-625	50	18	.	.	PUNCT
ejde-625	51	1	if	if	SCONJ
ejde-625	51	2	the	the	DET
ejde-625	51	3	domain	domain	NOUN
ejde-625	51	4	ω	ω	NOUN
ejde-625	51	5	is	be	AUX
ejde-625	51	6	convex	convex	ADJ
ejde-625	51	7	and	and	CCONJ
ejde-625	51	8	if	if	SCONJ
ejde-625	51	9	f	f	PROPN
ejde-625	51	10	satisfies	satisfy	VERB
ejde-625	51	11	suitable	suitable	ADJ
ejde-625	51	12	conditions	condition	NOUN
ejde-625	51	13	,	,	PUNCT
ejde-625	51	14	the	the	DET
ejde-625	51	15	solution	solution	NOUN
ejde-625	51	16	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	51	17	)	)	PUNCT
ejde-625	51	18	exists	exist	VERB
ejde-625	51	19	and	and	CCONJ
ejde-625	51	20	it	it	PRON
ejde-625	51	21	is	be	AUX
ejde-625	51	22	concave	concave	VERB
ejde-625	51	23	.	.	PUNCT
ejde-625	52	1	also	also	ADV
ejde-625	52	2	for	for	ADP
ejde-625	52	3	this	this	DET
ejde-625	52	4	problem	problem	NOUN
ejde-625	52	5	,	,	PUNCT
ejde-625	52	6	we	we	PRON
ejde-625	52	7	describe	describe	VERB
ejde-625	52	8	a	a	DET
ejde-625	52	9	new	new	ADJ
ejde-625	52	10	method	method	NOUN
ejde-625	52	11	for	for	ADP
ejde-625	52	12	studying	study	VERB
ejde-625	52	13	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	52	14	that	that	PRON
ejde-625	52	15	uses	use	VERB
ejde-625	52	16	a	a	DET
ejde-625	52	17	different	different	ADJ
ejde-625	52	18	condition	condition	NOUN
ejde-625	52	19	on	on	ADP
ejde-625	52	20	f	f	PROPN
ejde-625	52	21	.	.	PUNCT
ejde-625	53	1	2	2	X
ejde-625	53	2	.	.	X
ejde-625	53	3	blow	blow	NOUN
ejde-625	53	4	-	-	PUNCT
ejde-625	53	5	up	up	ADP
ejde-625	53	6	problems	problem	NOUN
ejde-625	53	7	let	let	VERB
ejde-625	53	8	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	53	9	)	)	PUNCT
ejde-625	53	10	be	be	AUX
ejde-625	53	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	53	12	,	,	PUNCT
ejde-625	53	13	positive	positive	ADJ
ejde-625	53	14	and	and	CCONJ
ejde-625	53	15	increasing	increase	VERB
ejde-625	53	16	for	for	ADP
ejde-625	53	17	t	t	PROPN
ejde-625	53	18	>	>	X
ejde-625	53	19	0	0	PROPN
ejde-625	53	20	,	,	PUNCT
ejde-625	53	21	with	with	ADP
ejde-625	53	22	f(0	f(0	NOUN
ejde-625	53	23	)	)	PUNCT
ejde-625	53	24	=	=	SYM
ejde-625	54	1	0	0	X
ejde-625	54	2	.	.	PUNCT
ejde-625	55	1	if∫	if∫	PROPN
ejde-625	55	2	∞	∞	PROPN
ejde-625	55	3	1	1	NUM
ejde-625	55	4	(	(	PUNCT
ejde-625	55	5	f	f	X
ejde-625	55	6	(	(	PUNCT
ejde-625	55	7	t))−1/2dt	t))−1/2dt	INTJ
ejde-625	55	8	<	<	X
ejde-625	55	9	∞	∞	PROPN
ejde-625	55	10	,	,	PUNCT
ejde-625	55	11	f	f	PROPN
ejde-625	55	12	(	(	PUNCT
ejde-625	55	13	t	t	PROPN
ejde-625	55	14	)	)	PUNCT
ejde-625	55	15	=	=	SYM
ejde-625	56	1	∫	∫	PROPN
ejde-625	56	2	t	t	PROPN
ejde-625	56	3	0	0	NUM
ejde-625	57	1	f(τ)dτ	f(τ)dτ	PROPN
ejde-625	57	2	,	,	PUNCT
ejde-625	57	3	then	then	ADV
ejde-625	57	4	,	,	PUNCT
ejde-625	57	5	the	the	DET
ejde-625	57	6	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	57	7	blow	blow	NOUN
ejde-625	57	8	-	-	PUNCT
ejde-625	57	9	up	up	ADP
ejde-625	57	10	problem	problem	NOUN
ejde-625	57	11	∆u(x	∆u(x	VERB
ejde-625	57	12	)	)	PUNCT
ejde-625	57	13	=	=	SYM
ejde-625	57	14	f(u(x	f(u(x	PROPN
ejde-625	57	15	)	)	PUNCT
ejde-625	57	16	)	)	PUNCT
ejde-625	57	17	in	in	ADP
ejde-625	57	18	ω	ω	NUM
ejde-625	57	19	,	,	PUNCT
ejde-625	57	20	u	u	NOUN
ejde-625	57	21	=	=	PUNCT
ejde-625	58	1	+	+	ADP
ejde-625	58	2	∞	∞	NUM
ejde-625	58	3	on	on	ADP
ejde-625	58	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	58	5	,	,	PUNCT
ejde-625	58	6	(	(	PUNCT
ejde-625	58	7	2.1	2.1	NUM
ejde-625	58	8	)	)	PUNCT
ejde-625	58	9	has	have	VERB
ejde-625	58	10	a	a	DET
ejde-625	58	11	positive	positive	ADJ
ejde-625	58	12	solution	solution	NOUN
ejde-625	58	13	[	[	X
ejde-625	58	14	15	15	NUM
ejde-625	58	15	,	,	PUNCT
ejde-625	58	16	19	19	NUM
ejde-625	58	17	]	]	PUNCT
ejde-625	58	18	.	.	PUNCT
ejde-625	59	1	in	in	ADP
ejde-625	59	2	this	this	DET
ejde-625	59	3	article	article	NOUN
ejde-625	59	4	,	,	PUNCT
ejde-625	59	5	ω	ω	PROPN
ejde-625	59	6	is	be	AUX
ejde-625	59	7	assumed	assume	VERB
ejde-625	59	8	to	to	PART
ejde-625	59	9	be	be	AUX
ejde-625	59	10	bounded	bound	VERB
ejde-625	59	11	and	and	CCONJ
ejde-625	59	12	convex	convex	PROPN
ejde-625	59	13	.	.	PUNCT
ejde-625	60	1	to	to	PART
ejde-625	60	2	investigate	investigate	VERB
ejde-625	60	3	the	the	DET
ejde-625	60	4	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	60	5	of	of	ADP
ejde-625	60	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	60	7	)	)	PUNCT
ejde-625	60	8	,	,	PUNCT
ejde-625	60	9	define	define	VERB
ejde-625	60	10	the	the	DET
ejde-625	60	11	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	60	12	function	function	NOUN
ejde-625	60	13	c(x	c(x	PROPN
ejde-625	60	14	,	,	PUNCT
ejde-625	60	15	y	y	NOUN
ejde-625	60	16	)	)	PUNCT
ejde-625	60	17	=	=	PUNCT
ejde-625	61	1	2u(z)−	2u(z)−	NUM
ejde-625	61	2	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-625	61	3	u(y	u(y	PROPN
ejde-625	61	4	)	)	PUNCT
ejde-625	61	5	,	,	PUNCT
ejde-625	61	6	x	x	X
ejde-625	61	7	,	,	PUNCT
ejde-625	61	8	y	y	PROPN
ejde-625	61	9	∈	∈	PROPN
ejde-625	61	10	ω	ω	PROPN
ejde-625	61	11	,	,	PUNCT
ejde-625	61	12	z	z	PROPN
ejde-625	61	13	=	=	SYM
ejde-625	61	14	x+	x+	PUNCT
ejde-625	61	15	y	y	PROPN
ejde-625	61	16	2	2	NUM
ejde-625	61	17	.	.	PUNCT
ejde-625	62	1	clearly	clearly	ADV
ejde-625	62	2	,	,	PUNCT
ejde-625	62	3	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	62	4	)	)	PUNCT
ejde-625	62	5	is	be	AUX
ejde-625	62	6	convex	convex	ADJ
ejde-625	62	7	if	if	SCONJ
ejde-625	62	8	and	and	CCONJ
ejde-625	62	9	only	only	ADV
ejde-625	62	10	if	if	SCONJ
ejde-625	62	11	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	62	12	,	,	PUNCT
ejde-625	62	13	y	y	NOUN
ejde-625	62	14	)	)	PUNCT
ejde-625	62	15	≤	≤	NOUN
ejde-625	62	16	0	0	NUM
ejde-625	62	17	in	in	ADP
ejde-625	62	18	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	62	19	ω	ω	NOUN
ejde-625	62	20	.	.	PUNCT
ejde-625	63	1	by	by	ADP
ejde-625	63	2	the	the	DET
ejde-625	63	3	condition	condition	NOUN
ejde-625	63	4	u(x	u(x	VERB
ejde-625	63	5	)	)	PUNCT
ejde-625	63	6	=	=	PUNCT
ejde-625	64	1	+	+	NUM
ejde-625	64	2	∞	∞	NUM
ejde-625	64	3	on	on	ADP
ejde-625	64	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	64	5	,	,	PUNCT
ejde-625	64	6	we	we	PRON
ejde-625	64	7	have	have	VERB
ejde-625	64	8	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	64	9	,	,	PUNCT
ejde-625	64	10	y	y	NOUN
ejde-625	64	11	)	)	PUNCT
ejde-625	64	12	<	<	X
ejde-625	64	13	0	0	PUNCT
ejde-625	65	1	on	on	ADP
ejde-625	65	2	∂(ω	∂(ω	PROPN
ejde-625	65	3	×	×	PROPN
ejde-625	65	4	ω	ω	PROPN
ejde-625	65	5	)	)	PUNCT
ejde-625	65	6	.	.	PUNCT
ejde-625	66	1	to	to	PART
ejde-625	66	2	show	show	VERB
ejde-625	66	3	that	that	DET
ejde-625	66	4	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	66	5	,	,	PUNCT
ejde-625	66	6	y	y	NOUN
ejde-625	66	7	)	)	PUNCT
ejde-625	66	8	≤	≤	NOUN
ejde-625	66	9	0	0	NUM
ejde-625	66	10	in	in	ADP
ejde-625	66	11	ω	ω	NUM
ejde-625	66	12	×	×	PROPN
ejde-625	66	13	ω	ω	NOUN
ejde-625	66	14	,	,	PUNCT
ejde-625	66	15	it	it	PRON
ejde-625	66	16	is	be	AUX
ejde-625	66	17	enough	enough	ADJ
ejde-625	66	18	to	to	PART
ejde-625	66	19	prove	prove	VERB
ejde-625	66	20	that	that	SCONJ
ejde-625	66	21	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	66	22	,	,	PUNCT
ejde-625	66	23	y	y	NOUN
ejde-625	66	24	)	)	PUNCT
ejde-625	66	25	can	can	AUX
ejde-625	66	26	not	not	PART
ejde-625	66	27	have	have	VERB
ejde-625	66	28	any	any	DET
ejde-625	66	29	positive	positive	ADJ
ejde-625	66	30	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	66	31	in	in	ADP
ejde-625	66	32	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	66	33	ω	ω	NOUN
ejde-625	66	34	.	.	PUNCT
ejde-625	67	1	the	the	DET
ejde-625	67	2	following	following	ADJ
ejde-625	67	3	result	result	NOUN
ejde-625	67	4	is	be	AUX
ejde-625	67	5	well	well	ADV
ejde-625	67	6	known	know	VERB
ejde-625	67	7	(	(	PUNCT
ejde-625	67	8	see	see	VERB
ejde-625	67	9	[	[	X
ejde-625	67	10	16	16	NUM
ejde-625	67	11	,	,	PUNCT
ejde-625	67	12	17	17	NUM
ejde-625	67	13	]	]	PUNCT
ejde-625	67	14	)	)	PUNCT
ejde-625	67	15	.	.	PUNCT
ejde-625	68	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	68	2	2.1	2.1	NUM
ejde-625	68	3	(	(	PUNCT
ejde-625	68	4	korevaar	korevaar	NOUN
ejde-625	68	5	-	-	PUNCT
ejde-625	68	6	kennington	kennington	PROPN
ejde-625	68	7	)	)	PUNCT
ejde-625	68	8	.	.	PUNCT
ejde-625	69	1	let	let	VERB
ejde-625	69	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	69	3	)	)	PUNCT
ejde-625	69	4	be	be	AUX
ejde-625	69	5	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	69	6	and	and	CCONJ
ejde-625	69	7	positive	positive	ADJ
ejde-625	69	8	for	for	ADP
ejde-625	69	9	t	t	PROPN
ejde-625	69	10	>	>	X
ejde-625	69	11	0	0	PROPN
ejde-625	69	12	,	,	PUNCT
ejde-625	69	13	with	with	ADP
ejde-625	69	14	f(0	f(0	NOUN
ejde-625	69	15	)	)	PUNCT
ejde-625	69	16	=	=	SYM
ejde-625	70	1	0	0	X
ejde-625	70	2	.	.	PUNCT
ejde-625	71	1	we	we	PRON
ejde-625	71	2	also	also	ADV
ejde-625	71	3	assume	assume	VERB
ejde-625	71	4	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	71	5	)	)	PUNCT
ejde-625	71	6	to	to	PART
ejde-625	71	7	be	be	AUX
ejde-625	71	8	strictly	strictly	ADV
ejde-625	71	9	increasing	increase	VERB
ejde-625	71	10	and	and	CCONJ
ejde-625	71	11	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	71	12	concave	concave	NOUN
ejde-625	71	13	.	.	PUNCT
ejde-625	72	1	if	if	SCONJ
ejde-625	72	2	u	u	PROPN
ejde-625	72	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	72	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	72	5	)	)	PUNCT
ejde-625	72	6	is	be	AUX
ejde-625	72	7	a	a	DET
ejde-625	72	8	solution	solution	NOUN
ejde-625	72	9	to	to	ADP
ejde-625	72	10	problem	problem	NOUN
ejde-625	72	11	(	(	PUNCT
ejde-625	72	12	2.1	2.1	NUM
ejde-625	72	13	)	)	PUNCT
ejde-625	72	14	,	,	PUNCT
ejde-625	72	15	then	then	ADV
ejde-625	72	16	the	the	DET
ejde-625	72	17	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	72	18	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	72	19	function	function	NOUN
ejde-625	72	20	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	72	21	,	,	PUNCT
ejde-625	72	22	y	y	NOUN
ejde-625	72	23	)	)	PUNCT
ejde-625	72	24	can	can	AUX
ejde-625	72	25	not	not	PART
ejde-625	72	26	have	have	VERB
ejde-625	72	27	any	any	DET
ejde-625	72	28	positive	positive	ADJ
ejde-625	72	29	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	72	30	in	in	ADP
ejde-625	72	31	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	72	32	ω	ω	NOUN
ejde-625	72	33	.	.	PUNCT
ejde-625	73	1	if	if	SCONJ
ejde-625	73	2	f	f	PROPN
ejde-625	73	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-625	73	4	some	some	DET
ejde-625	73	5	additional	additional	ADJ
ejde-625	73	6	conditions	condition	NOUN
ejde-625	73	7	,	,	PUNCT
ejde-625	73	8	we	we	PRON
ejde-625	73	9	can	can	AUX
ejde-625	73	10	improve	improve	VERB
ejde-625	73	11	theorem	theorem	VERB
ejde-625	73	12	2.1	2.1	NUM
ejde-625	73	13	as	as	SCONJ
ejde-625	73	14	follows	follow	VERB
ejde-625	73	15	.	.	PUNCT
ejde-625	74	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	74	2	2.2	2.2	NUM
ejde-625	74	3	.	.	PUNCT
ejde-625	75	1	let	let	VERB
ejde-625	75	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	75	3	)	)	PUNCT
ejde-625	75	4	be	be	AUX
ejde-625	75	5	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	75	6	and	and	CCONJ
ejde-625	75	7	positive	positive	ADJ
ejde-625	75	8	for	for	ADP
ejde-625	75	9	t	t	PROPN
ejde-625	75	10	>	>	X
ejde-625	75	11	0	0	PROPN
ejde-625	75	12	,	,	PUNCT
ejde-625	75	13	with	with	ADP
ejde-625	75	14	f(0	f(0	NOUN
ejde-625	75	15	)	)	PUNCT
ejde-625	75	16	=	=	SYM
ejde-625	76	1	0	0	X
ejde-625	76	2	.	.	PUNCT
ejde-625	77	1	we	we	PRON
ejde-625	77	2	also	also	ADV
ejde-625	77	3	assume	assume	VERB
ejde-625	77	4	that	that	SCONJ
ejde-625	77	5	f(et	f(et	NOUN
ejde-625	77	6	)	)	PUNCT
ejde-625	77	7	et	et	NOUN
ejde-625	77	8	is	be	AUX
ejde-625	77	9	strictly	strictly	ADV
ejde-625	77	10	increasing	increase	VERB
ejde-625	77	11	and	and	CCONJ
ejde-625	77	12	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	77	13	concave	concave	NOUN
ejde-625	77	14	.	.	PUNCT
ejde-625	78	1	if	if	SCONJ
ejde-625	78	2	u	u	PROPN
ejde-625	78	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	78	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	78	5	)	)	PUNCT
ejde-625	78	6	is	be	AUX
ejde-625	78	7	a	a	DET
ejde-625	78	8	solution	solution	NOUN
ejde-625	78	9	to	to	ADP
ejde-625	78	10	problem	problem	NOUN
ejde-625	78	11	(	(	PUNCT
ejde-625	78	12	2.1	2.1	NUM
ejde-625	78	13	)	)	PUNCT
ejde-625	78	14	,	,	PUNCT
ejde-625	78	15	then	then	ADV
ejde-625	78	16	the	the	DET
ejde-625	78	17	function	function	NOUN
ejde-625	78	18	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	78	19	)	)	PUNCT
ejde-625	79	1	=	=	PRON
ejde-625	79	2	log	log	NOUN
ejde-625	79	3	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	79	4	)	)	PUNCT
ejde-625	79	5	is	be	AUX
ejde-625	79	6	convex	convex	PROPN
ejde-625	79	7	.	.	PUNCT
ejde-625	80	1	recall	recall	VERB
ejde-625	80	2	that	that	SCONJ
ejde-625	80	3	f(et)/et	f(et)/et	PROPN
ejde-625	80	4	is	be	AUX
ejde-625	80	5	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	80	6	concave	concave	NOUN
ejde-625	80	7	if	if	SCONJ
ejde-625	81	1	and	and	CCONJ
ejde-625	81	2	only	only	ADV
ejde-625	81	3	if	if	SCONJ
ejde-625	81	4	et	et	NOUN
ejde-625	81	5	/	/	SYM
ejde-625	81	6	f(et	f(et	NOUN
ejde-625	81	7	)	)	PUNCT
ejde-625	81	8	is	be	AUX
ejde-625	81	9	convex	convex	PROPN
ejde-625	81	10	,	,	PUNCT
ejde-625	81	11	that	that	ADV
ejde-625	81	12	is	is	ADV
ejde-625	81	13	,	,	PUNCT
ejde-625	81	14	if	if	SCONJ
ejde-625	81	15	f2(t)−	f2(t)−	PROPN
ejde-625	81	16	3tf	3tf	NOUN
ejde-625	81	17	′(t)f(t)−	′(t)f(t)−	PROPN
ejde-625	81	18	t2f	t2f	PUNCT
ejde-625	81	19	′′(t)f(t	′′(t)f(t	NOUN
ejde-625	81	20	)	)	PUNCT
ejde-625	81	21	+	+	CCONJ
ejde-625	82	1	2t2(f	2t2(f	NUM
ejde-625	82	2	′(t))2	′(t))2	X
ejde-625	82	3	≥	≥	NOUN
ejde-625	82	4	0	0	NUM
ejde-625	82	5	.	.	PUNCT
ejde-625	83	1	(	(	PUNCT
ejde-625	83	2	2.2	2.2	NUM
ejde-625	83	3	)	)	PUNCT
ejde-625	83	4	the	the	DET
ejde-625	83	5	latter	latter	ADJ
ejde-625	83	6	condition	condition	NOUN
ejde-625	83	7	is	be	AUX
ejde-625	83	8	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-625	83	9	by	by	ADP
ejde-625	83	10	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	83	11	)	)	PUNCT
ejde-625	83	12	=	=	SYM
ejde-625	83	13	tp	tp	NOUN
ejde-625	83	14	with	with	ADP
ejde-625	83	15	p	p	PROPN
ejde-625	83	16	>	>	X
ejde-625	83	17	1	1	NUM
ejde-625	83	18	.	.	PUNCT
ejde-625	84	1	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADJ
ejde-625	84	2	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	84	3	of	of	ADP
ejde-625	84	4	solutions	solution	NOUN
ejde-625	84	5	to	to	ADP
ejde-625	84	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	84	7	pde	pde	NOUN
ejde-625	84	8	’s	’s	PART
ejde-625	84	9	3	3	NUM
ejde-625	84	10	proof	proof	NOUN
ejde-625	84	11	of	of	ADP
ejde-625	84	12	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	84	13	2.2	2.2	NUM
ejde-625	84	14	.	.	PUNCT
ejde-625	85	1	putting	put	VERB
ejde-625	85	2	v	v	NOUN
ejde-625	85	3	=	=	PUNCT
ejde-625	85	4	log	log	NOUN
ejde-625	85	5	u	u	NOUN
ejde-625	85	6	,	,	PUNCT
ejde-625	85	7	our	our	PRON
ejde-625	85	8	problem	problem	NOUN
ejde-625	85	9	reads	read	VERB
ejde-625	85	10	as	as	ADP
ejde-625	85	11	∆v	∆v	PROPN
ejde-625	85	12	=	=	SYM
ejde-625	85	13	−|dv|2	−|dv|2	PROPN
ejde-625	85	14	+	+	CCONJ
ejde-625	85	15	f(ev	f(ev	PROPN
ejde-625	85	16	)	)	PUNCT
ejde-625	85	17	ev	ev	PROPN
ejde-625	85	18	in	in	ADP
ejde-625	85	19	ω	ω	PROPN
ejde-625	85	20	,	,	PUNCT
ejde-625	85	21	v	v	NOUN
ejde-625	85	22	=	=	SYM
ejde-625	85	23	+	+	NOUN
ejde-625	85	24	∞	∞	NUM
ejde-625	85	25	on	on	ADP
ejde-625	85	26	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	85	27	.	.	PUNCT
ejde-625	86	1	clearly	clearly	ADV
ejde-625	86	2	,	,	PUNCT
ejde-625	86	3	the	the	DET
ejde-625	86	4	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	86	5	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	86	6	function	function	NOUN
ejde-625	86	7	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	86	8	,	,	PUNCT
ejde-625	86	9	y	y	NOUN
ejde-625	86	10	)	)	PUNCT
ejde-625	86	11	=	=	NOUN
ejde-625	86	12	2v(z)−	2v(z)−	NUM
ejde-625	86	13	v(x)−	v(x)−	PRON
ejde-625	86	14	v(y	v(y	NUM
ejde-625	86	15	)	)	PUNCT
ejde-625	86	16	,	,	PUNCT
ejde-625	86	17	z	z	NOUN
ejde-625	86	18	=	=	SYM
ejde-625	86	19	x+	x+	PUNCT
ejde-625	86	20	y	y	PROPN
ejde-625	86	21	2	2	NUM
ejde-625	86	22	,	,	PUNCT
ejde-625	86	23	is	be	AUX
ejde-625	86	24	negative	negative	ADJ
ejde-625	86	25	on	on	ADP
ejde-625	86	26	∂(ω×ω	∂(ω×ω	NOUN
ejde-625	86	27	)	)	PUNCT
ejde-625	86	28	.	.	PUNCT
ejde-625	87	1	let	let	VERB
ejde-625	87	2	us	we	PRON
ejde-625	87	3	prove	prove	VERB
ejde-625	87	4	that	that	SCONJ
ejde-625	87	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	87	6	,	,	PUNCT
ejde-625	87	7	y	y	NOUN
ejde-625	87	8	)	)	PUNCT
ejde-625	87	9	can	can	AUX
ejde-625	87	10	not	not	PART
ejde-625	87	11	have	have	VERB
ejde-625	87	12	any	any	DET
ejde-625	87	13	positive	positive	ADJ
ejde-625	87	14	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	87	15	in	in	ADP
ejde-625	87	16	ω	ω	NUM
ejde-625	87	17	×	×	PROPN
ejde-625	87	18	ω	ω	NOUN
ejde-625	87	19	.	.	PUNCT
ejde-625	88	1	arguing	argue	VERB
ejde-625	88	2	by	by	ADP
ejde-625	88	3	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	88	4	,	,	PUNCT
ejde-625	88	5	suppose	suppose	VERB
ejde-625	88	6	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	88	7	,	,	PUNCT
ejde-625	88	8	y	y	PROPN
ejde-625	88	9	)	)	PUNCT
ejde-625	88	10	has	have	VERB
ejde-625	88	11	a	a	DET
ejde-625	88	12	positive	positive	ADJ
ejde-625	88	13	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	88	14	at	at	ADP
ejde-625	88	15	some	some	DET
ejde-625	88	16	point	point	NOUN
ejde-625	89	1	(	(	PUNCT
ejde-625	89	2	x	x	NOUN
ejde-625	89	3	,	,	PUNCT
ejde-625	89	4	y	y	NOUN
ejde-625	89	5	)	)	PUNCT
ejde-625	89	6	∈	∈	PROPN
ejde-625	89	7	ω×	ω×	NUM
ejde-625	89	8	ω	ω	NOUN
ejde-625	89	9	.	.	PUNCT
ejde-625	90	1	at	at	ADP
ejde-625	90	2	this	this	DET
ejde-625	90	3	point	point	NOUN
ejde-625	90	4	,	,	PUNCT
ejde-625	90	5	we	we	PRON
ejde-625	90	6	have	have	VERB
ejde-625	90	7	dxc(x	dxc(x	PROPN
ejde-625	90	8	,	,	PUNCT
ejde-625	90	9	y	y	NOUN
ejde-625	90	10	)	)	PUNCT
ejde-625	90	11	=	=	SYM
ejde-625	90	12	dv(z)−dv(x	dv(z)−dv(x	NOUN
ejde-625	90	13	)	)	PUNCT
ejde-625	91	1	=	=	SYM
ejde-625	91	2	0	0	NUM
ejde-625	91	3	,	,	PUNCT
ejde-625	91	4	dyc(x	dyc(x	PROPN
ejde-625	91	5	,	,	PUNCT
ejde-625	91	6	y	y	NOUN
ejde-625	91	7	)	)	PUNCT
ejde-625	91	8	=	=	SYM
ejde-625	91	9	dv(z)−dv(y	dv(z)−dv(y	PROPN
ejde-625	91	10	)	)	PUNCT
ejde-625	92	1	=	=	SYM
ejde-625	92	2	0	0	X
ejde-625	92	3	.	.	PUNCT
ejde-625	93	1	moreover	moreover	ADV
ejde-625	93	2	,	,	PUNCT
ejde-625	93	3	we	we	PRON
ejde-625	93	4	find	find	VERB
ejde-625	93	5	that	that	DET
ejde-625	93	6	dxxc(x	dxxc(x	NOUN
ejde-625	93	7	,	,	PUNCT
ejde-625	93	8	y	y	PROPN
ejde-625	93	9	)	)	PUNCT
ejde-625	93	10	=	=	SYM
ejde-625	93	11	1	1	NUM
ejde-625	93	12	2	2	NUM
ejde-625	93	13	∆v(z)−∆v(x	∆v(z)−∆v(x	NOUN
ejde-625	93	14	)	)	PUNCT
ejde-625	93	15	,	,	PUNCT
ejde-625	93	16	dxyc(x	dxyc(x	PROPN
ejde-625	93	17	,	,	PUNCT
ejde-625	93	18	y	y	NOUN
ejde-625	93	19	)	)	PUNCT
ejde-625	93	20	=	=	SYM
ejde-625	93	21	1	1	NUM
ejde-625	93	22	2	2	NUM
ejde-625	93	23	∆v(z	∆v(z	NOUN
ejde-625	93	24	)	)	PUNCT
ejde-625	93	25	,	,	PUNCT
ejde-625	93	26	dyyc(x	dyyc(x	NOUN
ejde-625	93	27	,	,	PUNCT
ejde-625	93	28	y	y	PROPN
ejde-625	93	29	)	)	PUNCT
ejde-625	93	30	=	=	SYM
ejde-625	93	31	1	1	NUM
ejde-625	93	32	2	2	NUM
ejde-625	93	33	∆v(z)−∆v(y	∆v(z)−∆v(y	PROPN
ejde-625	93	34	)	)	PUNCT
ejde-625	93	35	.	.	PUNCT
ejde-625	94	1	(	(	PUNCT
ejde-625	94	2	2.3	2.3	NUM
ejde-625	94	3	)	)	PUNCT
ejde-625	94	4	following	follow	VERB
ejde-625	94	5	[	[	X
ejde-625	94	6	16	16	NUM
ejde-625	94	7	]	]	PUNCT
ejde-625	94	8	,	,	PUNCT
ejde-625	94	9	define	define	VERB
ejde-625	94	10	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	94	11	,	,	PUNCT
ejde-625	94	12	y	y	NOUN
ejde-625	94	13	)	)	PUNCT
ejde-625	94	14	=	=	SYM
ejde-625	94	15	r2dxxc(x	r2dxxc(x	PROPN
ejde-625	94	16	,	,	PUNCT
ejde-625	94	17	y	y	NOUN
ejde-625	94	18	)	)	PUNCT
ejde-625	94	19	+	+	NUM
ejde-625	94	20	2rsdxyc(x	2rsdxyc(x	NUM
ejde-625	94	21	,	,	PUNCT
ejde-625	94	22	y	y	NOUN
ejde-625	94	23	)	)	PUNCT
ejde-625	94	24	+	+	CCONJ
ejde-625	94	25	s2dyyc(x	s2dyyc(x	PROPN
ejde-625	94	26	,	,	PUNCT
ejde-625	94	27	y	y	PROPN
ejde-625	94	28	)	)	PUNCT
ejde-625	94	29	.	.	PUNCT
ejde-625	95	1	(	(	PUNCT
ejde-625	95	2	2.4	2.4	NUM
ejde-625	95	3	)	)	PUNCT
ejde-625	95	4	we	we	PRON
ejde-625	95	5	suppose	suppose	VERB
ejde-625	95	6	that	that	SCONJ
ejde-625	95	7	r2	r2	PROPN
ejde-625	95	8	+	+	CCONJ
ejde-625	95	9	s2	s2	X
ejde-625	95	10	>	>	X
ejde-625	95	11	0	0	X
ejde-625	95	12	.	.	PUNCT
ejde-625	96	1	the	the	DET
ejde-625	96	2	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-625	96	3	coefficient	coefficient	NOUN
ejde-625	96	4	(	(	PUNCT
ejde-625	96	5	2n×	2n×	NOUN
ejde-625	96	6	2n	2n	NUM
ejde-625	96	7	)	)	PUNCT
ejde-625	96	8	matrix	matrix	NOUN
ejde-625	96	9	is	be	AUX
ejde-625	96	10	[	[	PUNCT
ejde-625	96	11	r2i	r2i	NUM
ejde-625	96	12	rsi	rsi	ADJ
ejde-625	96	13	rsi	rsi	NOUN
ejde-625	96	14	s2i	s2i	VERB
ejde-625	96	15	]	]	PUNCT
ejde-625	96	16	,	,	PUNCT
ejde-625	96	17	where	where	SCONJ
ejde-625	96	18	i	i	PRON
ejde-625	96	19	is	be	AUX
ejde-625	96	20	the	the	DET
ejde-625	96	21	n×n	n×n	PROPN
ejde-625	96	22	unitary	unitary	ADJ
ejde-625	96	23	matrix	matrix	NOUN
ejde-625	96	24	.	.	PUNCT
ejde-625	97	1	the	the	DET
ejde-625	97	2	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-625	97	3	of	of	ADP
ejde-625	97	4	this	this	DET
ejde-625	97	5	matrix	matrix	NOUN
ejde-625	97	6	are	be	AUX
ejde-625	97	7	0	0	NUM
ejde-625	97	8	(	(	PUNCT
ejde-625	97	9	computed	compute	VERB
ejde-625	97	10	n	n	PROPN
ejde-625	97	11	times	time	NOUN
ejde-625	97	12	)	)	PUNCT
ejde-625	97	13	and	and	CCONJ
ejde-625	97	14	r2	r2	PROPN
ejde-625	97	15	+	+	CCONJ
ejde-625	97	16	s2	s2	PROPN
ejde-625	97	17	(	(	PUNCT
ejde-625	97	18	computed	compute	VERB
ejde-625	97	19	n	n	PROPN
ejde-625	97	20	times	time	NOUN
ejde-625	97	21	)	)	PUNCT
ejde-625	97	22	,	,	PUNCT
ejde-625	97	23	hence	hence	ADV
ejde-625	97	24	,	,	PUNCT
ejde-625	97	25	it	it	PRON
ejde-625	97	26	is	be	AUX
ejde-625	97	27	non	non	ADJ
ejde-625	97	28	-	-	ADJ
ejde-625	97	29	negative	negative	ADJ
ejde-625	97	30	.	.	PUNCT
ejde-625	98	1	inserting	insert	VERB
ejde-625	98	2	the	the	DET
ejde-625	98	3	values	value	NOUN
ejde-625	98	4	of	of	ADP
ejde-625	98	5	dxxc(x	dxxc(x	PROPN
ejde-625	98	6	,	,	PUNCT
ejde-625	98	7	y	y	PROPN
ejde-625	98	8	)	)	PUNCT
ejde-625	98	9	,	,	PUNCT
ejde-625	98	10	dxyc(x	dxyc(x	PROPN
ejde-625	98	11	,	,	PUNCT
ejde-625	98	12	y	y	PROPN
ejde-625	98	13	)	)	PUNCT
ejde-625	98	14	and	and	CCONJ
ejde-625	98	15	dyyc(x	dyyc(x	NOUN
ejde-625	98	16	,	,	PUNCT
ejde-625	98	17	y	y	NOUN
ejde-625	98	18	)	)	PUNCT
ejde-625	98	19	given	give	VERB
ejde-625	98	20	in	in	ADP
ejde-625	98	21	(	(	PUNCT
ejde-625	98	22	2.3	2.3	NUM
ejde-625	98	23	)	)	PUNCT
ejde-625	98	24	into	into	ADP
ejde-625	98	25	(	(	PUNCT
ejde-625	98	26	2.4	2.4	NUM
ejde-625	98	27	)	)	PUNCT
ejde-625	98	28	,	,	PUNCT
ejde-625	98	29	we	we	PRON
ejde-625	98	30	have	have	VERB
ejde-625	98	31	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	98	32	,	,	PUNCT
ejde-625	98	33	y	y	NOUN
ejde-625	98	34	)	)	PUNCT
ejde-625	98	35	=	=	SYM
ejde-625	98	36	r2	r2	PROPN
ejde-625	98	37	(	(	PUNCT
ejde-625	98	38	1	1	NUM
ejde-625	98	39	2	2	NUM
ejde-625	98	40	∆v(z)−∆v(x	∆v(z)−∆v(x	NOUN
ejde-625	98	41	)	)	PUNCT
ejde-625	98	42	)	)	PUNCT
ejde-625	99	1	+	+	CCONJ
ejde-625	99	2	rs∆v(z	rs∆v(z	NOUN
ejde-625	99	3	)	)	PUNCT
ejde-625	100	1	+	+	CCONJ
ejde-625	100	2	s2	s2	X
ejde-625	100	3	(	(	PUNCT
ejde-625	100	4	1	1	NUM
ejde-625	100	5	2	2	NUM
ejde-625	100	6	∆v(z)−∆v(y	∆v(z)−∆v(y	PROPN
ejde-625	100	7	)	)	PUNCT
ejde-625	100	8	)	)	PUNCT
ejde-625	101	1	=	=	PUNCT
ejde-625	101	2	(	(	PUNCT
ejde-625	101	3	r	r	NOUN
ejde-625	101	4	+	+	CCONJ
ejde-625	101	5	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	101	6	2	2	NUM
ejde-625	101	7	∆v(z)−	∆v(z)−	PROPN
ejde-625	101	8	r2∆v(x)−	r2∆v(x)−	NOUN
ejde-625	101	9	s2∆v(y	s2∆v(y	NOUN
ejde-625	101	10	)	)	PUNCT
ejde-625	101	11	.	.	PUNCT
ejde-625	102	1	on	on	ADP
ejde-625	102	2	using	use	VERB
ejde-625	102	3	our	our	PRON
ejde-625	102	4	equation	equation	NOUN
ejde-625	102	5	and	and	CCONJ
ejde-625	102	6	recalling	recall	VERB
ejde-625	102	7	that	that	PRON
ejde-625	102	8	dv(x	dv(x	PUNCT
ejde-625	102	9	)	)	PUNCT
ejde-625	102	10	=	=	SYM
ejde-625	102	11	dv(z	dv(z	X
ejde-625	102	12	)	)	PUNCT
ejde-625	102	13	=	=	SYM
ejde-625	102	14	dv(y	dv(y	NOUN
ejde-625	102	15	)	)	PUNCT
ejde-625	102	16	,	,	PUNCT
ejde-625	102	17	we	we	PRON
ejde-625	102	18	have	have	VERB
ejde-625	102	19	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	102	20	,	,	PUNCT
ejde-625	102	21	y	y	NOUN
ejde-625	102	22	)	)	PUNCT
ejde-625	102	23	=	=	SYM
ejde-625	103	1	−|dv(z)|2	−|dv(z)|2	PROPN
ejde-625	103	2	[	[	PUNCT
ejde-625	103	3	(	(	PUNCT
ejde-625	103	4	r	r	NOUN
ejde-625	103	5	+	+	CCONJ
ejde-625	103	6	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	103	7	2	2	NUM
ejde-625	103	8	−	−	PROPN
ejde-625	103	9	r2	r2	NOUN
ejde-625	103	10	−	−	PROPN
ejde-625	103	11	s2	s2	PROPN
ejde-625	103	12	]	]	PUNCT
ejde-625	104	1	+	+	CCONJ
ejde-625	104	2	(	(	PUNCT
ejde-625	104	3	r	r	NOUN
ejde-625	104	4	+	+	CCONJ
ejde-625	104	5	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	104	6	2	2	NUM
ejde-625	104	7	f(ev(z	f(ev(z	NOUN
ejde-625	104	8	)	)	PUNCT
ejde-625	104	9	)	)	PUNCT
ejde-625	104	10	ev(z	ev(z	X
ejde-625	104	11	)	)	PUNCT
ejde-625	104	12	−	−	NUM
ejde-625	104	13	r2	r2	PROPN
ejde-625	104	14	f(ev(x	f(ev(x	PROPN
ejde-625	104	15	)	)	PUNCT
ejde-625	104	16	)	)	PUNCT
ejde-625	104	17	ev(x	ev(x	NUM
ejde-625	104	18	)	)	PUNCT
ejde-625	104	19	−	−	PROPN
ejde-625	104	20	s2	s2	PROPN
ejde-625	104	21	f(ev(y	f(ev(y	PROPN
ejde-625	104	22	)	)	PUNCT
ejde-625	104	23	)	)	PUNCT
ejde-625	104	24	ev(y	ev(y	NUM
ejde-625	104	25	)	)	PUNCT
ejde-625	104	26	.	.	PUNCT
ejde-625	105	1	on	on	ADP
ejde-625	105	2	noting	note	VERB
ejde-625	105	3	that	that	SCONJ
ejde-625	105	4	−	−	PROPN
ejde-625	105	5	[	[	PUNCT
ejde-625	105	6	(	(	PUNCT
ejde-625	105	7	r	r	NOUN
ejde-625	105	8	+	+	NOUN
ejde-625	105	9	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	105	10	2	2	NUM
ejde-625	105	11	−	−	PROPN
ejde-625	105	12	r2	r2	NOUN
ejde-625	105	13	−	−	PROPN
ejde-625	105	14	s2	s2	PROPN
ejde-625	105	15	]	]	PUNCT
ejde-625	105	16	=	=	PUNCT
ejde-625	105	17	(	(	PUNCT
ejde-625	105	18	r	r	NOUN
ejde-625	105	19	−	−	NOUN
ejde-625	105	20	s)2	s)2	NOUN
ejde-625	105	21	2	2	NUM
ejde-625	105	22	≥	≥	NOUN
ejde-625	105	23	0	0	NUM
ejde-625	105	24	,	,	PUNCT
ejde-625	105	25	we	we	PRON
ejde-625	105	26	find	find	VERB
ejde-625	105	27	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	105	28	,	,	PUNCT
ejde-625	105	29	y	y	NOUN
ejde-625	105	30	)	)	PUNCT
ejde-625	105	31	≥	≥	NOUN
ejde-625	105	32	(	(	PUNCT
ejde-625	105	33	r	r	NOUN
ejde-625	105	34	+	+	CCONJ
ejde-625	105	35	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	105	36	2	2	NUM
ejde-625	105	37	f(ev(z	f(ev(z	NOUN
ejde-625	105	38	)	)	PUNCT
ejde-625	105	39	)	)	PUNCT
ejde-625	105	40	ev(z	ev(z	X
ejde-625	105	41	)	)	PUNCT
ejde-625	106	1	−	−	NUM
ejde-625	107	1	r2	r2	PROPN
ejde-625	107	2	f(ev(x	f(ev(x	PROPN
ejde-625	107	3	)	)	PUNCT
ejde-625	107	4	)	)	PUNCT
ejde-625	107	5	ev(x	ev(x	NUM
ejde-625	107	6	)	)	PUNCT
ejde-625	107	7	−	−	PROPN
ejde-625	107	8	s2	s2	PROPN
ejde-625	107	9	f(ev(y	f(ev(y	PROPN
ejde-625	107	10	)	)	PUNCT
ejde-625	107	11	)	)	PUNCT
ejde-625	107	12	ev(y	ev(y	NUM
ejde-625	107	13	)	)	PUNCT
ejde-625	107	14	.	.	PUNCT
ejde-625	108	1	4	4	NUM
ejde-625	108	2	b.	b.	NOUN
ejde-625	108	3	mebrate	mebrate	NOUN
ejde-625	108	4	,	,	PUNCT
ejde-625	108	5	g.	g.	PROPN
ejde-625	108	6	porru	porru	PROPN
ejde-625	108	7	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADV
ejde-625	108	8	putting	put	VERB
ejde-625	108	9	h(t	h(t	PROPN
ejde-625	108	10	)	)	PUNCT
ejde-625	108	11	:	:	PUNCT
ejde-625	109	1	=	=	SYM
ejde-625	109	2	f(et)/et	f(et)/et	NOUN
ejde-625	109	3	,	,	PUNCT
ejde-625	109	4	we	we	PRON
ejde-625	109	5	find	find	VERB
ejde-625	109	6	that	that	SCONJ
ejde-625	109	7	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	109	8	,	,	PUNCT
ejde-625	109	9	y	y	PROPN
ejde-625	109	10	)	)	PUNCT
ejde-625	109	11	≥	≥	NOUN
ejde-625	109	12	(	(	PUNCT
ejde-625	109	13	r	r	NOUN
ejde-625	109	14	+	+	CCONJ
ejde-625	109	15	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	109	16	2	2	NUM
ejde-625	109	17	h(v(z))−	h(v(z))−	NOUN
ejde-625	109	18	r2h(v(x))−	r2h(v(x))−	NOUN
ejde-625	109	19	s2h(v(y	s2h(v(y	PROPN
ejde-625	109	20	)	)	PUNCT
ejde-625	109	21	)	)	PUNCT
ejde-625	109	22	.	.	PUNCT
ejde-625	110	1	since	since	SCONJ
ejde-625	110	2	we	we	PRON
ejde-625	110	3	are	be	AUX
ejde-625	110	4	assuming	assume	VERB
ejde-625	110	5	that	that	SCONJ
ejde-625	110	6	u(z	u(z	NOUN
ejde-625	110	7	)	)	PUNCT
ejde-625	110	8	>	>	X
ejde-625	110	9	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	110	10	)	)	PUNCT
ejde-625	110	11	+	+	CCONJ
ejde-625	110	12	u(y	u(y	NOUN
ejde-625	110	13	)	)	PUNCT
ejde-625	110	14	2	2	NUM
ejde-625	110	15	and	and	CCONJ
ejde-625	110	16	since	since	SCONJ
ejde-625	110	17	h(t	h(t	NUM
ejde-625	110	18	)	)	PUNCT
ejde-625	110	19	is	be	AUX
ejde-625	110	20	strictly	strictly	ADV
ejde-625	110	21	increasing	increase	VERB
ejde-625	110	22	,	,	PUNCT
ejde-625	110	23	we	we	PRON
ejde-625	110	24	have	have	VERB
ejde-625	110	25	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	110	26	,	,	PUNCT
ejde-625	110	27	y	y	PROPN
ejde-625	110	28	)	)	PUNCT
ejde-625	110	29	>	>	X
ejde-625	111	1	(	(	PUNCT
ejde-625	111	2	r	r	NOUN
ejde-625	111	3	+	+	CCONJ
ejde-625	111	4	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	111	5	2	2	NUM
ejde-625	111	6	h	h	NOUN
ejde-625	111	7	(	(	PUNCT
ejde-625	111	8	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	111	9	)	)	PUNCT
ejde-625	112	1	+	+	X
ejde-625	112	2	v(y	v(y	NUM
ejde-625	112	3	)	)	PUNCT
ejde-625	112	4	2	2	NUM
ejde-625	112	5	)	)	PUNCT
ejde-625	112	6	−	−	PROPN
ejde-625	113	1	r2h(v(x))−	r2h(v(x))−	NOUN
ejde-625	113	2	s2h(v(y	s2h(v(y	PROPN
ejde-625	113	3	)	)	PUNCT
ejde-625	113	4	)	)	PUNCT
ejde-625	113	5	.	.	PUNCT
ejde-625	114	1	with	with	ADP
ejde-625	114	2	a	a	DET
ejde-625	114	3	=	=	SYM
ejde-625	114	4	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	114	5	)	)	PUNCT
ejde-625	114	6	and	and	CCONJ
ejde-625	114	7	b	b	X
ejde-625	114	8	=	=	SYM
ejde-625	114	9	v(y	v(y	PROPN
ejde-625	114	10	)	)	PUNCT
ejde-625	114	11	,	,	PUNCT
ejde-625	114	12	we	we	PRON
ejde-625	114	13	choose	choose	VERB
ejde-625	114	14	r	r	NOUN
ejde-625	114	15	=	=	SYM
ejde-625	114	16	h(b	h(b	PROPN
ejde-625	114	17	)	)	PUNCT
ejde-625	114	18	,	,	PUNCT
ejde-625	114	19	s	s	NOUN
ejde-625	114	20	=	=	PROPN
ejde-625	114	21	h(a	h(a	PROPN
ejde-625	114	22	)	)	PUNCT
ejde-625	114	23	.	.	PUNCT
ejde-625	115	1	after	after	ADP
ejde-625	115	2	some	some	DET
ejde-625	115	3	computations	computation	NOUN
ejde-625	115	4	,	,	PUNCT
ejde-625	115	5	we	we	PRON
ejde-625	115	6	find	find	VERB
ejde-625	115	7	that	that	SCONJ
ejde-625	115	8	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	115	9	,	,	PUNCT
ejde-625	115	10	y	y	PROPN
ejde-625	115	11	)	)	PUNCT
ejde-625	115	12	>	>	X
ejde-625	116	1	(	(	PUNCT
ejde-625	116	2	r	r	NOUN
ejde-625	116	3	+	+	NUM
ejde-625	116	4	s	s	X
ejde-625	116	5	)	)	PUNCT
ejde-625	117	1	[	[	X
ejde-625	117	2	h(a	h(a	PROPN
ejde-625	117	3	)	)	PUNCT
ejde-625	117	4	+	+	NOUN
ejde-625	117	5	h(b	h(b	ADJ
ejde-625	117	6	)	)	PUNCT
ejde-625	117	7	2	2	NUM
ejde-625	117	8	h	h	NOUN
ejde-625	117	9	(	(	PUNCT
ejde-625	117	10	a+	a+	NOUN
ejde-625	117	11	b	b	PROPN
ejde-625	117	12	2	2	NUM
ejde-625	117	13	)	)	PUNCT
ejde-625	117	14	−h(a)h(b	−h(a)h(b	ADP
ejde-625	117	15	)	)	PUNCT
ejde-625	117	16	]	]	PUNCT
ejde-625	117	17	.	.	PUNCT
ejde-625	118	1	finally	finally	ADV
ejde-625	118	2	,	,	PUNCT
ejde-625	118	3	since	since	SCONJ
ejde-625	118	4	h(t	h(t	NUM
ejde-625	118	5	)	)	PUNCT
ejde-625	118	6	is	be	AUX
ejde-625	118	7	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	118	8	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	118	9	,	,	PUNCT
ejde-625	118	10	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	118	11	,	,	PUNCT
ejde-625	118	12	y	y	PROPN
ejde-625	118	13	)	)	PUNCT
ejde-625	118	14	>	>	X
ejde-625	119	1	0	0	X
ejde-625	119	2	.	.	PUNCT
ejde-625	120	1	but	but	CCONJ
ejde-625	120	2	,	,	PUNCT
ejde-625	120	3	at	at	ADP
ejde-625	120	4	(	(	PUNCT
ejde-625	120	5	x	x	NOUN
ejde-625	120	6	,	,	PUNCT
ejde-625	120	7	y	y	PROPN
ejde-625	120	8	)	)	PUNCT
ejde-625	120	9	(	(	PUNCT
ejde-625	120	10	point	point	NOUN
ejde-625	120	11	of	of	ADP
ejde-625	120	12	maximum	maximum	ADJ
ejde-625	120	13	)	)	PUNCT
ejde-625	120	14	we	we	PRON
ejde-625	120	15	have	have	VERB
ejde-625	120	16	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	120	17	,	,	PUNCT
ejde-625	120	18	y	y	NOUN
ejde-625	120	19	)	)	PUNCT
ejde-625	120	20	≤	≤	NOUN
ejde-625	120	21	0	0	NUM
ejde-625	120	22	,	,	PUNCT
ejde-625	120	23	a	a	DET
ejde-625	120	24	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	120	25	.	.	PUNCT
ejde-625	121	1	the	the	DET
ejde-625	121	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	121	3	is	be	AUX
ejde-625	121	4	complete	complete	ADJ
ejde-625	121	5	.	.	PUNCT
ejde-625	122	1	□	□	PUNCT
ejde-625	122	2	by	by	ADP
ejde-625	122	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-625	122	4	2.2	2.2	NUM
ejde-625	122	5	,	,	PUNCT
ejde-625	122	6	if	if	SCONJ
ejde-625	122	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	122	8	)	)	PUNCT
ejde-625	122	9	is	be	AUX
ejde-625	122	10	a	a	DET
ejde-625	122	11	blow	blow	NOUN
ejde-625	122	12	-	-	PUNCT
ejde-625	122	13	up	up	ADP
ejde-625	122	14	solution	solution	NOUN
ejde-625	122	15	to	to	ADP
ejde-625	122	16	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	122	17	=	=	PUNCT
ejde-625	122	18	up	up	ADP
ejde-625	122	19	,	,	PUNCT
ejde-625	122	20	p	p	X
ejde-625	122	21	>	>	X
ejde-625	122	22	1	1	NUM
ejde-625	122	23	,	,	PUNCT
ejde-625	122	24	the	the	DET
ejde-625	122	25	function	function	NOUN
ejde-625	122	26	v(x	v(x	NOUN
ejde-625	122	27	)	)	PUNCT
ejde-625	123	1	=	=	PRON
ejde-625	123	2	log	log	NOUN
ejde-625	123	3	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	123	4	)	)	PUNCT
ejde-625	123	5	is	be	AUX
ejde-625	123	6	convex	convex	ADJ
ejde-625	123	7	.	.	PUNCT
ejde-625	124	1	in	in	ADP
ejde-625	124	2	case	case	NOUN
ejde-625	124	3	u(x	u(x	VERB
ejde-625	124	4	)	)	PUNCT
ejde-625	124	5	≥	≥	NOUN
ejde-625	124	6	1	1	NUM
ejde-625	124	7	,	,	PUNCT
ejde-625	124	8	we	we	PRON
ejde-625	124	9	may	may	AUX
ejde-625	124	10	ask	ask	VERB
ejde-625	124	11	if	if	SCONJ
ejde-625	124	12	also	also	ADV
ejde-625	124	13	z	z	NOUN
ejde-625	124	14	=	=	PUNCT
ejde-625	124	15	(	(	PUNCT
ejde-625	124	16	log	log	NOUN
ejde-625	124	17	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	124	18	)	)	PUNCT
ejde-625	124	19	)	)	PUNCT
ejde-625	125	1	β	β	PROPN
ejde-625	125	2	for	for	ADP
ejde-625	125	3	β	β	X
ejde-625	125	4	∈	∈	PROPN
ejde-625	125	5	(	(	PUNCT
ejde-625	125	6	0	0	NUM
ejde-625	125	7	,	,	PUNCT
ejde-625	125	8	1	1	NUM
ejde-625	125	9	)	)	PUNCT
ejde-625	125	10	is	be	AUX
ejde-625	125	11	convex	convex	ADJ
ejde-625	125	12	.	.	PUNCT
ejde-625	126	1	the	the	DET
ejde-625	126	2	answer	answer	NOUN
ejde-625	126	3	is	be	AUX
ejde-625	126	4	negative	negative	ADJ
ejde-625	126	5	in	in	ADP
ejde-625	126	6	general	general	ADJ
ejde-625	126	7	.	.	PUNCT
ejde-625	127	1	indeed	indeed	ADV
ejde-625	127	2	,	,	PUNCT
ejde-625	127	3	for	for	ADP
ejde-625	127	4	n	n	PROPN
ejde-625	127	5	>	>	SYM
ejde-625	127	6	2	2	NUM
ejde-625	127	7	consider	consider	VERB
ejde-625	127	8	the	the	DET
ejde-625	127	9	problem	problem	NOUN
ejde-625	127	10	∆u	∆u	ADV
ejde-625	127	11	=	=	SYM
ejde-625	127	12	n(n−	n(n−	PROPN
ejde-625	127	13	2)u	2)u	NUM
ejde-625	128	1	n+2	n+2	NUM
ejde-625	128	2	n−2	n−2	PROPN
ejde-625	128	3	,	,	PUNCT
ejde-625	128	4	u	u	NOUN
ejde-625	128	5	=	=	PUNCT
ejde-625	129	1	+	+	ADP
ejde-625	129	2	∞	∞	NUM
ejde-625	129	3	on	on	ADP
ejde-625	129	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	129	5	.	.	PUNCT
ejde-625	130	1	if	if	SCONJ
ejde-625	130	2	ω	ω	PROPN
ejde-625	130	3	is	be	AUX
ejde-625	130	4	the	the	DET
ejde-625	130	5	unit	unit	NOUN
ejde-625	130	6	ball	ball	NOUN
ejde-625	130	7	centered	center	VERB
ejde-625	130	8	at	at	ADP
ejde-625	130	9	the	the	DET
ejde-625	130	10	origin	origin	NOUN
ejde-625	130	11	,	,	PUNCT
ejde-625	130	12	a	a	DET
ejde-625	130	13	(	(	PUNCT
ejde-625	130	14	radial	radial	ADJ
ejde-625	130	15	)	)	PUNCT
ejde-625	130	16	solution	solution	NOUN
ejde-625	130	17	is	be	AUX
ejde-625	130	18	u(r	u(r	ADJ
ejde-625	130	19	)	)	PUNCT
ejde-625	131	1	=	=	SYM
ejde-625	131	2	(	(	PUNCT
ejde-625	131	3	1−	1−	NUM
ejde-625	131	4	r2	r2	NOUN
ejde-625	131	5	)	)	PUNCT
ejde-625	131	6	2−n	2−n	NUM
ejde-625	131	7	2	2	NUM
ejde-625	131	8	,	,	PUNCT
ejde-625	131	9	r	r	NOUN
ejde-625	131	10	=	=	SYM
ejde-625	131	11	|x|	|x|	PROPN
ejde-625	131	12	.	.	PUNCT
ejde-625	132	1	the	the	DET
ejde-625	132	2	function	function	NOUN
ejde-625	132	3	v	v	NOUN
ejde-625	132	4	=	=	SYM
ejde-625	132	5	log	log	NOUN
ejde-625	132	6	u	u	NOUN
ejde-625	132	7	=	=	SYM
ejde-625	132	8	2−n	2−n	NUM
ejde-625	132	9	2	2	NUM
ejde-625	132	10	log(1−	log(1−	NOUN
ejde-625	132	11	r2	r2	NOUN
ejde-625	132	12	)	)	PUNCT
ejde-625	132	13	,	,	PUNCT
ejde-625	132	14	for	for	ADP
ejde-625	132	15	r	r	NOUN
ejde-625	132	16	near	near	ADP
ejde-625	132	17	to	to	ADP
ejde-625	132	18	0	0	NUM
ejde-625	132	19	,	,	PUNCT
ejde-625	132	20	behaves	behave	VERB
ejde-625	132	21	like	like	ADP
ejde-625	132	22	n−2	n−2	PROPN
ejde-625	132	23	2	2	NUM
ejde-625	132	24	r2	r2	NOUN
ejde-625	132	25	,	,	PUNCT
ejde-625	132	26	and	and	CCONJ
ejde-625	132	27	r2β	r2β	NOUN
ejde-625	132	28	is	be	AUX
ejde-625	132	29	not	not	PART
ejde-625	132	30	convex	convex	ADJ
ejde-625	132	31	for	for	ADP
ejde-625	132	32	0	0	NUM
ejde-625	132	33	<	<	X
ejde-625	132	34	β	β	X
ejde-625	132	35	<	<	X
ejde-625	132	36	1	1	NUM
ejde-625	132	37	2	2	NUM
ejde-625	132	38	.	.	PUNCT
ejde-625	133	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	133	2	2.2	2.2	NUM
ejde-625	133	3	can	can	AUX
ejde-625	133	4	not	not	PART
ejde-625	133	5	be	be	AUX
ejde-625	133	6	applied	apply	VERB
ejde-625	133	7	when	when	SCONJ
ejde-625	133	8	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	133	9	)	)	PUNCT
ejde-625	134	1	=	=	SYM
ejde-625	134	2	t	t	NOUN
ejde-625	134	3	logα(t	logα(t	NOUN
ejde-625	134	4	+	+	NOUN
ejde-625	134	5	1	1	NUM
ejde-625	134	6	)	)	PUNCT
ejde-625	134	7	,	,	PUNCT
ejde-625	134	8	α	α	PROPN
ejde-625	134	9	>	>	X
ejde-625	134	10	2	2	NUM
ejde-625	134	11	,	,	PUNCT
ejde-625	134	12	because	because	SCONJ
ejde-625	134	13	this	this	DET
ejde-625	134	14	function	function	NOUN
ejde-625	134	15	does	do	AUX
ejde-625	134	16	not	not	PART
ejde-625	134	17	satisfy	satisfy	VERB
ejde-625	134	18	condition	condition	NOUN
ejde-625	134	19	(	(	PUNCT
ejde-625	134	20	2.2	2.2	NUM
ejde-625	134	21	)	)	PUNCT
ejde-625	134	22	.	.	PUNCT
ejde-625	135	1	the	the	DET
ejde-625	135	2	following	follow	VERB
ejde-625	135	3	is	be	AUX
ejde-625	135	4	a	a	DET
ejde-625	135	5	weaker	weak	ADJ
ejde-625	135	6	result	result	NOUN
ejde-625	135	7	.	.	PUNCT
ejde-625	136	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	136	2	2.3	2.3	NUM
ejde-625	136	3	.	.	PUNCT
ejde-625	137	1	let	let	VERB
ejde-625	137	2	0	0	PUNCT
ejde-625	137	3	<	<	X
ejde-625	137	4	β	β	X
ejde-625	137	5	<	<	X
ejde-625	137	6	1	1	X
ejde-625	137	7	.	.	PUNCT
ejde-625	138	1	let	let	VERB
ejde-625	138	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	138	3	)	)	PUNCT
ejde-625	138	4	be	be	AUX
ejde-625	138	5	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	138	6	and	and	CCONJ
ejde-625	138	7	positive	positive	ADJ
ejde-625	138	8	for	for	ADP
ejde-625	138	9	t	t	PROPN
ejde-625	138	10	>	>	X
ejde-625	138	11	0	0	PROPN
ejde-625	138	12	,	,	PUNCT
ejde-625	138	13	with	with	ADP
ejde-625	138	14	f(0	f(0	NOUN
ejde-625	138	15	)	)	PUNCT
ejde-625	138	16	=	=	SYM
ejde-625	139	1	0	0	NUM
ejde-625	139	2	,	,	PUNCT
ejde-625	139	3	and	and	CCONJ
ejde-625	139	4	such	such	ADJ
ejde-625	139	5	that	that	DET
ejde-625	139	6	t	t	NOUN
ejde-625	139	7	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	139	8	β	β	X
ejde-625	139	9	f(t	f(t	PROPN
ejde-625	139	10	1	1	NUM
ejde-625	139	11	β	β	NOUN
ejde-625	139	12	)	)	PUNCT
ejde-625	139	13	is	be	AUX
ejde-625	139	14	strictly	strictly	ADV
ejde-625	139	15	increasing	increase	VERB
ejde-625	139	16	and	and	CCONJ
ejde-625	139	17	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	139	18	concave	concave	NOUN
ejde-625	139	19	.	.	PUNCT
ejde-625	140	1	if	if	SCONJ
ejde-625	140	2	u	u	PROPN
ejde-625	140	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	140	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	140	5	)	)	PUNCT
ejde-625	140	6	is	be	AUX
ejde-625	140	7	a	a	DET
ejde-625	140	8	positive	positive	ADJ
ejde-625	140	9	solution	solution	NOUN
ejde-625	140	10	to	to	ADP
ejde-625	140	11	problem	problem	NOUN
ejde-625	140	12	(	(	PUNCT
ejde-625	140	13	2.1	2.1	NUM
ejde-625	140	14	)	)	PUNCT
ejde-625	140	15	,	,	PUNCT
ejde-625	140	16	then	then	ADV
ejde-625	140	17	the	the	DET
ejde-625	140	18	function	function	NOUN
ejde-625	140	19	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	140	20	)	)	PUNCT
ejde-625	140	21	=	=	SYM
ejde-625	141	1	uβ(x	uβ(x	X
ejde-625	141	2	)	)	PUNCT
ejde-625	141	3	is	be	AUX
ejde-625	141	4	convex	convex	PROPN
ejde-625	141	5	.	.	PUNCT
ejde-625	142	1	note	note	VERB
ejde-625	142	2	that	that	SCONJ
ejde-625	142	3	t	t	NOUN
ejde-625	142	4	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	142	5	β	β	X
ejde-625	142	6	f(t	f(t	PROPN
ejde-625	142	7	1	1	NUM
ejde-625	142	8	β	β	NOUN
ejde-625	142	9	)	)	PUNCT
ejde-625	142	10	is	be	AUX
ejde-625	142	11	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	142	12	concave	concave	NOUN
ejde-625	142	13	if	if	SCONJ
ejde-625	143	1	and	and	CCONJ
ejde-625	143	2	only	only	ADV
ejde-625	143	3	if	if	SCONJ
ejde-625	143	4	t	t	PROPN
ejde-625	143	5	1−β	1−β	NUM
ejde-625	143	6	β	β	X
ejde-625	143	7	(	(	PUNCT
ejde-625	143	8	f(t	f(t	PROPN
ejde-625	143	9	1	1	NUM
ejde-625	143	10	β	β	NOUN
ejde-625	143	11	)	)	PUNCT
ejde-625	143	12	)	)	PUNCT
ejde-625	143	13	−1	−1	NOUN
ejde-625	143	14	is	be	AUX
ejde-625	143	15	convex	convex	PROPN
ejde-625	143	16	,	,	PUNCT
ejde-625	143	17	that	that	ADV
ejde-625	143	18	is	is	ADV
ejde-625	143	19	,	,	PUNCT
ejde-625	143	20	if	if	SCONJ
ejde-625	143	21	(	(	PUNCT
ejde-625	143	22	1−	1−	NUM
ejde-625	143	23	β)(1−	β)(1−	NOUN
ejde-625	143	24	2β)f2(t)−	2β)f2(t)−	PROPN
ejde-625	143	25	3(1−	3(1−	X
ejde-625	144	1	β)tf	β)tf	PROPN
ejde-625	144	2	′(t)f(t)−	′(t)f(t)−	PROPN
ejde-625	144	3	t2f	t2f	PUNCT
ejde-625	144	4	′′(t)f(t	′′(t)f(t	NOUN
ejde-625	144	5	)	)	PUNCT
ejde-625	144	6	+	+	CCONJ
ejde-625	144	7	2t2(f	2t2(f	NUM
ejde-625	144	8	′(t))2	′(t))2	X
ejde-625	144	9	≥	≥	NOUN
ejde-625	144	10	0	0	NUM
ejde-625	144	11	.	.	PUNCT
ejde-625	145	1	(	(	PUNCT
ejde-625	145	2	2.5	2.5	NUM
ejde-625	145	3	)	)	PUNCT
ejde-625	145	4	the	the	DET
ejde-625	145	5	latter	latter	ADJ
ejde-625	145	6	condition	condition	NOUN
ejde-625	145	7	is	be	AUX
ejde-625	145	8	satisfied	satisfied	ADJ
ejde-625	145	9	by	by	ADP
ejde-625	145	10	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	145	11	)	)	PUNCT
ejde-625	146	1	=	=	SYM
ejde-625	146	2	t	t	NOUN
ejde-625	146	3	logα(t	logα(t	NOUN
ejde-625	146	4	+	+	NOUN
ejde-625	146	5	1	1	NUM
ejde-625	146	6	)	)	PUNCT
ejde-625	146	7	with	with	ADP
ejde-625	146	8	α	α	PROPN
ejde-625	146	9	>	>	X
ejde-625	146	10	2	2	NUM
ejde-625	146	11	and	and	CCONJ
ejde-625	146	12	β	β	X
ejde-625	146	13	=	=	SYM
ejde-625	146	14	1/3	1/3	NUM
ejde-625	146	15	.	.	PUNCT
ejde-625	147	1	indeed	indeed	ADV
ejde-625	147	2	,	,	PUNCT
ejde-625	147	3	with	with	ADP
ejde-625	147	4	β	β	X
ejde-625	147	5	=	=	SYM
ejde-625	147	6	1/3	1/3	PROPN
ejde-625	147	7	and	and	CCONJ
ejde-625	147	8	f	f	PROPN
ejde-625	147	9	as	as	ADP
ejde-625	147	10	in	in	ADP
ejde-625	147	11	above	above	ADV
ejde-625	147	12	we	we	PRON
ejde-625	147	13	find	find	VERB
ejde-625	147	14	(	(	PUNCT
ejde-625	147	15	1−	1−	NUM
ejde-625	147	16	β)(1−	β)(1−	NOUN
ejde-625	147	17	2β)f2(t)−	2β)f2(t)−	PROPN
ejde-625	147	18	3(1−	3(1−	X
ejde-625	148	1	β)tf	β)tf	PROPN
ejde-625	148	2	′(t)f(t)−	′(t)f(t)−	PROPN
ejde-625	148	3	t2f	t2f	PUNCT
ejde-625	148	4	′′(t)f(t	′′(t)f(t	NOUN
ejde-625	148	5	)	)	PUNCT
ejde-625	148	6	+	+	CCONJ
ejde-625	148	7	2t2(f	2t2(f	NUM
ejde-625	148	8	′(t))2	′(t))2	NOUN
ejde-625	148	9	=	=	SYM
ejde-625	148	10	t2	t2	NOUN
ejde-625	148	11	log2α−2(t+	log2α−2(t+	NOUN
ejde-625	148	12	1	1	NUM
ejde-625	148	13	)	)	PUNCT
ejde-625	149	1	[	[	X
ejde-625	149	2	2	2	NUM
ejde-625	149	3	9	9	NUM
ejde-625	149	4	log2(t+	log2(t+	PROPN
ejde-625	149	5	1	1	NUM
ejde-625	149	6	)	)	PUNCT
ejde-625	149	7	+	+	NUM
ejde-625	149	8	αt2	αt2	NOUN
ejde-625	149	9	(	(	PUNCT
ejde-625	149	10	t+	t+	NOUN
ejde-625	149	11	1)2	1)2	NUM
ejde-625	149	12	log(t+	log(t+	NOUN
ejde-625	149	13	1	1	NUM
ejde-625	149	14	)	)	PUNCT
ejde-625	149	15	+	+	CCONJ
ejde-625	149	16	α(α+	α(α+	NUM
ejde-625	149	17	1)t2	1)t2	NUM
ejde-625	149	18	(	(	PUNCT
ejde-625	149	19	t+	t+	NOUN
ejde-625	149	20	1)2	1)2	NUM
ejde-625	149	21	]	]	PUNCT
ejde-625	149	22	≥	≥	NOUN
ejde-625	149	23	0	0	NUM
ejde-625	149	24	.	.	PUNCT
ejde-625	150	1	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADJ
ejde-625	150	2	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	150	3	of	of	ADP
ejde-625	150	4	solutions	solution	NOUN
ejde-625	150	5	to	to	ADP
ejde-625	150	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	150	7	pde	pde	NOUN
ejde-625	150	8	’s	’s	PART
ejde-625	150	9	5	5	NUM
ejde-625	150	10	proof	proof	NOUN
ejde-625	150	11	of	of	ADP
ejde-625	150	12	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	150	13	2.3	2.3	NUM
ejde-625	150	14	.	.	PUNCT
ejde-625	151	1	the	the	DET
ejde-625	151	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	151	3	is	be	AUX
ejde-625	151	4	similar	similar	ADJ
ejde-625	151	5	to	to	ADP
ejde-625	151	6	that	that	PRON
ejde-625	151	7	of	of	ADP
ejde-625	151	8	theorem	theorem	NOUN
ejde-625	151	9	2.2	2.2	NUM
ejde-625	151	10	.	.	PUNCT
ejde-625	152	1	putting	put	VERB
ejde-625	152	2	v	v	NOUN
ejde-625	152	3	=	=	SYM
ejde-625	152	4	uβ	uβ	PROPN
ejde-625	152	5	,	,	PUNCT
ejde-625	152	6	our	our	PRON
ejde-625	152	7	problem	problem	NOUN
ejde-625	152	8	reads	read	VERB
ejde-625	152	9	as	as	ADP
ejde-625	152	10	∆v	∆v	PROPN
ejde-625	152	11	=	=	PROPN
ejde-625	152	12	β	β	NOUN
ejde-625	152	13	−	−	NOUN
ejde-625	152	14	1	1	NUM
ejde-625	152	15	β	β	NOUN
ejde-625	152	16	|dv|2	|dv|2	NOUN
ejde-625	152	17	v	v	ADP
ejde-625	152	18	+	+	NOUN
ejde-625	152	19	βv	βv	PRON
ejde-625	152	20	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	152	21	β	β	X
ejde-625	152	22	f(v	f(v	PROPN
ejde-625	152	23	1	1	NUM
ejde-625	152	24	β	β	NOUN
ejde-625	152	25	)	)	PUNCT
ejde-625	152	26	in	in	ADP
ejde-625	152	27	ω	ω	PROPN
ejde-625	152	28	,	,	PUNCT
ejde-625	152	29	v	v	NOUN
ejde-625	152	30	=	=	SYM
ejde-625	152	31	+	+	NOUN
ejde-625	152	32	∞	∞	NUM
ejde-625	152	33	on	on	ADP
ejde-625	152	34	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	152	35	.	.	PUNCT
ejde-625	153	1	clearly	clearly	ADV
ejde-625	153	2	,	,	PUNCT
ejde-625	153	3	the	the	DET
ejde-625	153	4	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	153	5	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	153	6	function	function	NOUN
ejde-625	153	7	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	153	8	,	,	PUNCT
ejde-625	153	9	y	y	NOUN
ejde-625	153	10	)	)	PUNCT
ejde-625	153	11	=	=	NOUN
ejde-625	153	12	2v(z)−	2v(z)−	NUM
ejde-625	153	13	v(x)−	v(x)−	PRON
ejde-625	153	14	v(y	v(y	NUM
ejde-625	153	15	)	)	PUNCT
ejde-625	153	16	,	,	PUNCT
ejde-625	153	17	z	z	NOUN
ejde-625	153	18	=	=	SYM
ejde-625	154	1	x+	x+	SYM
ejde-625	154	2	y	y	NOUN
ejde-625	154	3	2	2	NUM
ejde-625	154	4	is	be	AUX
ejde-625	154	5	negative	negative	ADJ
ejde-625	154	6	on	on	ADP
ejde-625	154	7	∂(ω×ω	∂(ω×ω	NOUN
ejde-625	154	8	)	)	PUNCT
ejde-625	154	9	.	.	PUNCT
ejde-625	155	1	let	let	VERB
ejde-625	155	2	us	we	PRON
ejde-625	155	3	prove	prove	VERB
ejde-625	155	4	that	that	SCONJ
ejde-625	155	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	155	6	,	,	PUNCT
ejde-625	155	7	y	y	NOUN
ejde-625	155	8	)	)	PUNCT
ejde-625	155	9	can	can	AUX
ejde-625	155	10	not	not	PART
ejde-625	155	11	have	have	VERB
ejde-625	155	12	any	any	DET
ejde-625	155	13	positive	positive	ADJ
ejde-625	155	14	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	155	15	in	in	ADP
ejde-625	155	16	ω	ω	NUM
ejde-625	155	17	×	×	PROPN
ejde-625	155	18	ω	ω	NOUN
ejde-625	155	19	.	.	PUNCT
ejde-625	156	1	arguing	argue	VERB
ejde-625	156	2	by	by	ADP
ejde-625	156	3	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	156	4	,	,	PUNCT
ejde-625	156	5	suppose	suppose	VERB
ejde-625	156	6	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	156	7	,	,	PUNCT
ejde-625	156	8	y	y	PROPN
ejde-625	156	9	)	)	PUNCT
ejde-625	156	10	has	have	VERB
ejde-625	156	11	a	a	DET
ejde-625	156	12	positive	positive	ADJ
ejde-625	156	13	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	156	14	at	at	ADP
ejde-625	156	15	some	some	DET
ejde-625	156	16	point	point	NOUN
ejde-625	157	1	(	(	PUNCT
ejde-625	157	2	x	x	NOUN
ejde-625	157	3	,	,	PUNCT
ejde-625	157	4	y	y	NOUN
ejde-625	157	5	)	)	PUNCT
ejde-625	157	6	∈	∈	PROPN
ejde-625	157	7	ω×ω	ω×ω	PROPN
ejde-625	157	8	.	.	PUNCT
ejde-625	158	1	if	if	SCONJ
ejde-625	158	2	l	l	NOUN
ejde-625	158	3	is	be	AUX
ejde-625	158	4	defined	define	VERB
ejde-625	158	5	as	as	ADP
ejde-625	158	6	in	in	ADP
ejde-625	158	7	(	(	PUNCT
ejde-625	158	8	2.4	2.4	NUM
ejde-625	158	9	)	)	PUNCT
ejde-625	158	10	and	and	CCONJ
ejde-625	158	11	if	if	SCONJ
ejde-625	158	12	we	we	PRON
ejde-625	158	13	replace	replace	VERB
ejde-625	158	14	the	the	DET
ejde-625	158	15	expressions	expression	NOUN
ejde-625	158	16	for	for	ADP
ejde-625	158	17	dxxc(x	dxxc(x	PROPN
ejde-625	158	18	,	,	PUNCT
ejde-625	158	19	y	y	PROPN
ejde-625	158	20	)	)	PUNCT
ejde-625	158	21	,	,	PUNCT
ejde-625	158	22	dxyc(x	dxyc(x	PROPN
ejde-625	158	23	,	,	PUNCT
ejde-625	158	24	y	y	PROPN
ejde-625	158	25	)	)	PUNCT
ejde-625	158	26	and	and	CCONJ
ejde-625	158	27	dyyc(x	dyyc(x	NOUN
ejde-625	158	28	,	,	PUNCT
ejde-625	158	29	y	y	NOUN
ejde-625	158	30	)	)	PUNCT
ejde-625	158	31	given	give	VERB
ejde-625	158	32	in	in	ADP
ejde-625	158	33	(	(	PUNCT
ejde-625	158	34	2.3	2.3	NUM
ejde-625	158	35	)	)	PUNCT
ejde-625	158	36	,	,	PUNCT
ejde-625	158	37	we	we	PRON
ejde-625	158	38	find	find	VERB
ejde-625	158	39	(	(	PUNCT
ejde-625	158	40	as	as	ADP
ejde-625	158	41	in	in	ADP
ejde-625	158	42	the	the	DET
ejde-625	158	43	proof	proof	NOUN
ejde-625	158	44	of	of	ADP
ejde-625	158	45	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	158	46	2.2	2.2	NUM
ejde-625	158	47	)	)	PUNCT
ejde-625	158	48	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	158	49	,	,	PUNCT
ejde-625	158	50	y	y	NOUN
ejde-625	158	51	)	)	PUNCT
ejde-625	158	52	=	=	PUNCT
ejde-625	159	1	(	(	PUNCT
ejde-625	159	2	r	r	NOUN
ejde-625	159	3	+	+	CCONJ
ejde-625	159	4	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	159	5	2	2	NUM
ejde-625	159	6	∆v(z)−	∆v(z)−	PROPN
ejde-625	159	7	r2∆v(x)−	r2∆v(x)−	NOUN
ejde-625	159	8	s2∆v(y	s2∆v(y	NOUN
ejde-625	159	9	)	)	PUNCT
ejde-625	159	10	.	.	PUNCT
ejde-625	160	1	on	on	ADP
ejde-625	160	2	using	use	VERB
ejde-625	160	3	our	our	PRON
ejde-625	160	4	equation	equation	NOUN
ejde-625	160	5	for	for	ADP
ejde-625	160	6	v	v	NOUN
ejde-625	160	7	and	and	CCONJ
ejde-625	160	8	recalling	recall	VERB
ejde-625	160	9	that	that	PRON
ejde-625	160	10	(	(	PUNCT
ejde-625	160	11	at	at	ADP
ejde-625	160	12	the	the	DET
ejde-625	160	13	point	point	NOUN
ejde-625	160	14	of	of	ADP
ejde-625	160	15	maximum	maximum	ADJ
ejde-625	160	16	)	)	PUNCT
ejde-625	160	17	dv(x	dv(x	NUM
ejde-625	160	18	)	)	PUNCT
ejde-625	160	19	=	=	SYM
ejde-625	160	20	dv(z	dv(z	X
ejde-625	160	21	)	)	PUNCT
ejde-625	160	22	=	=	SYM
ejde-625	160	23	dv(y	dv(y	NOUN
ejde-625	160	24	)	)	PUNCT
ejde-625	160	25	,	,	PUNCT
ejde-625	160	26	we	we	PRON
ejde-625	160	27	find	find	VERB
ejde-625	160	28	that	that	SCONJ
ejde-625	160	29	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	160	30	,	,	PUNCT
ejde-625	160	31	y	y	NOUN
ejde-625	160	32	)	)	PUNCT
ejde-625	160	33	=	=	PUNCT
ejde-625	161	1	β	β	NOUN
ejde-625	161	2	−	−	NOUN
ejde-625	161	3	1	1	NUM
ejde-625	161	4	β	β	X
ejde-625	161	5	|dv(z)|2	|dv(z)|2	NOUN
ejde-625	161	6	[	[	PUNCT
ejde-625	161	7	(	(	PUNCT
ejde-625	161	8	r	r	NOUN
ejde-625	161	9	+	+	CCONJ
ejde-625	161	10	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	161	11	2v(z	2v(z	NUM
ejde-625	161	12	)	)	PUNCT
ejde-625	161	13	−	−	PROPN
ejde-625	161	14	r2	r2	PROPN
ejde-625	161	15	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	161	16	)	)	PUNCT
ejde-625	161	17	−	−	PROPN
ejde-625	161	18	s2	s2	NOUN
ejde-625	161	19	v(y	v(y	NUM
ejde-625	161	20	)	)	PUNCT
ejde-625	161	21	]	]	PUNCT
ejde-625	162	1	+	+	ADV
ejde-625	162	2	β	β	X
ejde-625	162	3	[	[	PUNCT
ejde-625	162	4	(	(	PUNCT
ejde-625	162	5	r	r	NOUN
ejde-625	162	6	+	+	NOUN
ejde-625	162	7	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	162	8	2	2	NUM
ejde-625	162	9	v	v	NOUN
ejde-625	162	10	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	162	11	β	β	X
ejde-625	162	12	(	(	PUNCT
ejde-625	162	13	z)f(v	z)f(v	NUM
ejde-625	162	14	1	1	NUM
ejde-625	162	15	β	β	X
ejde-625	162	16	(	(	PUNCT
ejde-625	162	17	z	z	NOUN
ejde-625	162	18	)	)	PUNCT
ejde-625	162	19	)	)	PUNCT
ejde-625	162	20	−	−	PROPN
ejde-625	163	1	r2v	r2v	PROPN
ejde-625	163	2	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	163	3	β	β	X
ejde-625	163	4	(	(	PUNCT
ejde-625	163	5	x)f(v	x)f(v	NUM
ejde-625	163	6	1	1	NUM
ejde-625	163	7	β	β	X
ejde-625	163	8	(	(	PUNCT
ejde-625	163	9	x))−	x))−	NOUN
ejde-625	163	10	s2v	s2v	NOUN
ejde-625	163	11	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	163	12	β	β	X
ejde-625	163	13	(	(	PUNCT
ejde-625	163	14	y)f(v	y)f(v	INTJ
ejde-625	163	15	1	1	NUM
ejde-625	163	16	β	β	X
ejde-625	163	17	(	(	PUNCT
ejde-625	163	18	y	y	NOUN
ejde-625	163	19	)	)	PUNCT
ejde-625	163	20	)	)	PUNCT
ejde-625	163	21	]	]	PUNCT
ejde-625	163	22	.	.	PUNCT
ejde-625	164	1	since	since	SCONJ
ejde-625	164	2	we	we	PRON
ejde-625	164	3	are	be	AUX
ejde-625	164	4	assuming	assume	VERB
ejde-625	164	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	164	6	,	,	PUNCT
ejde-625	164	7	y	y	PROPN
ejde-625	164	8	)	)	PUNCT
ejde-625	164	9	>	>	X
ejde-625	164	10	0	0	NUM
ejde-625	164	11	,	,	PUNCT
ejde-625	164	12	we	we	PRON
ejde-625	164	13	have	have	VERB
ejde-625	164	14	1	1	NUM
ejde-625	164	15	2v(z	2v(z	NUM
ejde-625	164	16	)	)	PUNCT
ejde-625	164	17	<	<	X
ejde-625	164	18	1	1	NUM
ejde-625	164	19	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	164	20	)	)	PUNCT
ejde-625	164	21	+	+	CCONJ
ejde-625	165	1	v(y	v(y	NUM
ejde-625	165	2	)	)	PUNCT
ejde-625	165	3	and	and	CCONJ
ejde-625	165	4	β	β	X
ejde-625	165	5	−	−	PROPN
ejde-625	165	6	1	1	NUM
ejde-625	165	7	β	β	X
ejde-625	165	8	|dv(z)|2	|dv(z)|2	NOUN
ejde-625	165	9	[	[	PUNCT
ejde-625	165	10	(	(	PUNCT
ejde-625	165	11	r	r	NOUN
ejde-625	165	12	+	+	CCONJ
ejde-625	165	13	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	165	14	2v(z	2v(z	NUM
ejde-625	165	15	)	)	PUNCT
ejde-625	165	16	−	−	PROPN
ejde-625	165	17	r2	r2	PROPN
ejde-625	165	18	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	165	19	)	)	PUNCT
ejde-625	165	20	−	−	PROPN
ejde-625	165	21	s2	s2	NOUN
ejde-625	165	22	v(y	v(y	NUM
ejde-625	165	23	)	)	PUNCT
ejde-625	165	24	]	]	PUNCT
ejde-625	165	25	≥	≥	X
ejde-625	165	26	β	β	X
ejde-625	165	27	−	−	PROPN
ejde-625	165	28	1	1	NUM
ejde-625	165	29	β	β	X
ejde-625	165	30	|dv(z)|2	|dv(z)|2	NOUN
ejde-625	165	31	[	[	PUNCT
ejde-625	165	32	(	(	PUNCT
ejde-625	165	33	r	r	NOUN
ejde-625	165	34	+	+	NOUN
ejde-625	165	35	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	165	36	v(x	v(x	NOUN
ejde-625	165	37	)	)	PUNCT
ejde-625	165	38	+	+	CCONJ
ejde-625	165	39	v(y	v(y	NUM
ejde-625	165	40	)	)	PUNCT
ejde-625	165	41	−	−	PROPN
ejde-625	165	42	r2	r2	PROPN
ejde-625	165	43	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	165	44	)	)	PUNCT
ejde-625	165	45	−	−	PROPN
ejde-625	165	46	s2	s2	NOUN
ejde-625	165	47	v(y	v(y	NUM
ejde-625	165	48	)	)	PUNCT
ejde-625	165	49	]	]	PUNCT
ejde-625	166	1	=	=	PUNCT
ejde-625	166	2	1−	1−	NUM
ejde-625	166	3	β	β	X
ejde-625	166	4	β	β	X
ejde-625	166	5	|dv(z)|2	|dv(z)|2	PROPN
ejde-625	166	6	(	(	PUNCT
ejde-625	166	7	rv(y)−	rv(y)−	NOUN
ejde-625	166	8	sv(x))2	sv(x))2	NOUN
ejde-625	166	9	(	(	PUNCT
ejde-625	166	10	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	166	11	)	)	PUNCT
ejde-625	166	12	+	+	X
ejde-625	166	13	v(y	v(y	NUM
ejde-625	166	14	)	)	PUNCT
ejde-625	166	15	)	)	PUNCT
ejde-625	166	16	v(x)v(y	v(x)v(y	NUM
ejde-625	166	17	)	)	PUNCT
ejde-625	166	18	≥	≥	NOUN
ejde-625	166	19	0	0	NUM
ejde-625	166	20	.	.	PUNCT
ejde-625	167	1	therefore	therefore	ADV
ejde-625	167	2	,	,	PUNCT
ejde-625	167	3	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	167	4	,	,	PUNCT
ejde-625	167	5	y	y	PROPN
ejde-625	167	6	)	)	PUNCT
ejde-625	167	7	≥	≥	NOUN
ejde-625	167	8	β	β	X
ejde-625	167	9	[	[	PUNCT
ejde-625	167	10	(	(	PUNCT
ejde-625	167	11	r	r	NOUN
ejde-625	167	12	+	+	NOUN
ejde-625	167	13	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	167	14	2	2	NUM
ejde-625	167	15	v	v	NOUN
ejde-625	167	16	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	167	17	β	β	X
ejde-625	167	18	(	(	PUNCT
ejde-625	167	19	z)f(v	z)f(v	NUM
ejde-625	167	20	1	1	NUM
ejde-625	167	21	β	β	X
ejde-625	167	22	(	(	PUNCT
ejde-625	167	23	z))−	z))−	PROPN
ejde-625	167	24	r2v	r2v	NOUN
ejde-625	167	25	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	167	26	β	β	X
ejde-625	167	27	(	(	PUNCT
ejde-625	167	28	x)f(v	x)f(v	NUM
ejde-625	167	29	1	1	NUM
ejde-625	167	30	β	β	X
ejde-625	167	31	(	(	PUNCT
ejde-625	167	32	x))−	x))−	NOUN
ejde-625	167	33	s2v	s2v	NOUN
ejde-625	167	34	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	167	35	β	β	X
ejde-625	167	36	(	(	PUNCT
ejde-625	167	37	y)f(v	y)f(v	INTJ
ejde-625	167	38	1	1	NUM
ejde-625	167	39	β	β	X
ejde-625	167	40	(	(	PUNCT
ejde-625	167	41	y	y	NOUN
ejde-625	167	42	)	)	PUNCT
ejde-625	167	43	)	)	PUNCT
ejde-625	167	44	]	]	PUNCT
ejde-625	167	45	.	.	PUNCT
ejde-625	168	1	with	with	ADP
ejde-625	168	2	k(t	k(t	PROPN
ejde-625	168	3	)	)	PUNCT
ejde-625	168	4	:	:	PUNCT
ejde-625	168	5	=	=	SYM
ejde-625	168	6	t	t	X
ejde-625	168	7	β−1	β−1	PUNCT
ejde-625	168	8	β	β	X
ejde-625	168	9	f(t	f(t	PROPN
ejde-625	168	10	1	1	NUM
ejde-625	168	11	β	β	NOUN
ejde-625	168	12	)	)	PUNCT
ejde-625	168	13	,	,	PUNCT
ejde-625	168	14	we	we	PRON
ejde-625	168	15	have	have	VERB
ejde-625	168	16	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	168	17	,	,	PUNCT
ejde-625	168	18	y	y	PROPN
ejde-625	168	19	)	)	PUNCT
ejde-625	168	20	≥	≥	NOUN
ejde-625	168	21	β	β	X
ejde-625	168	22	[	[	PUNCT
ejde-625	168	23	(	(	PUNCT
ejde-625	168	24	r	r	NOUN
ejde-625	168	25	+	+	CCONJ
ejde-625	168	26	s)2	s)2	NOUN
ejde-625	168	27	2	2	NUM
ejde-625	168	28	k(v(z))−	k(v(z))−	NOUN
ejde-625	168	29	r2k(v(x))−	r2k(v(x))−	ADJ
ejde-625	168	30	s2k(v(y	s2k(v(y	NUM
ejde-625	168	31	)	)	PUNCT
ejde-625	168	32	)	)	PUNCT
ejde-625	168	33	]	]	PUNCT
ejde-625	168	34	.	.	PUNCT
ejde-625	169	1	since	since	SCONJ
ejde-625	169	2	k(t	k(t	PROPN
ejde-625	169	3	)	)	PUNCT
ejde-625	169	4	is	be	AUX
ejde-625	169	5	strictly	strictly	ADV
ejde-625	169	6	increasing	increase	VERB
ejde-625	169	7	and	and	CCONJ
ejde-625	169	8	v(z	v(z	NOUN
ejde-625	169	9	)	)	PUNCT
ejde-625	169	10	>	>	X
ejde-625	169	11	v(x)+v(y	v(x)+v(y	PROPN
ejde-625	169	12	)	)	PUNCT
ejde-625	169	13	2	2	NUM
ejde-625	169	14	,	,	PUNCT
ejde-625	169	15	we	we	PRON
ejde-625	169	16	have	have	VERB
ejde-625	169	17	k(v(z	k(v(z	NOUN
ejde-625	169	18	)	)	PUNCT
ejde-625	169	19	)	)	PUNCT
ejde-625	170	1	>	>	X
ejde-625	171	1	k	k	X
ejde-625	171	2	(	(	PUNCT
ejde-625	171	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	171	4	)	)	PUNCT
ejde-625	171	5	+	+	X
ejde-625	171	6	v(y	v(y	NUM
ejde-625	171	7	)	)	PUNCT
ejde-625	171	8	2	2	NUM
ejde-625	171	9	)	)	PUNCT
ejde-625	171	10	.	.	PUNCT
ejde-625	172	1	6	6	NUM
ejde-625	172	2	b.	b.	NOUN
ejde-625	172	3	mebrate	mebrate	NOUN
ejde-625	172	4	,	,	PUNCT
ejde-625	172	5	g.	g.	PROPN
ejde-625	172	6	porru	porru	PROPN
ejde-625	172	7	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADV
ejde-625	172	8	therefore	therefore	ADV
ejde-625	172	9	,	,	PUNCT
ejde-625	172	10	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	172	11	,	,	PUNCT
ejde-625	172	12	y	y	PROPN
ejde-625	172	13	)	)	PUNCT
ejde-625	172	14	>	>	PUNCT
ejde-625	173	1	β	β	X
ejde-625	173	2	[	[	PUNCT
ejde-625	173	3	(	(	PUNCT
ejde-625	173	4	r	r	NOUN
ejde-625	173	5	+	+	NOUN
ejde-625	173	6	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	173	7	2	2	NUM
ejde-625	173	8	k	k	PROPN
ejde-625	173	9	(	(	PUNCT
ejde-625	173	10	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	173	11	)	)	PUNCT
ejde-625	173	12	+	+	CCONJ
ejde-625	173	13	u(y	u(y	X
ejde-625	173	14	)	)	PUNCT
ejde-625	173	15	2	2	NUM
ejde-625	173	16	)	)	PUNCT
ejde-625	173	17	−	−	NOUN
ejde-625	173	18	r2k(u(x))−	r2k(u(x))−	NOUN
ejde-625	173	19	s2k(u(y	s2k(u(y	NOUN
ejde-625	173	20	)	)	PUNCT
ejde-625	173	21	)	)	PUNCT
ejde-625	173	22	]	]	PUNCT
ejde-625	173	23	.	.	PUNCT
ejde-625	174	1	with	with	ADP
ejde-625	174	2	a	a	DET
ejde-625	174	3	=	=	SYM
ejde-625	174	4	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	174	5	)	)	PUNCT
ejde-625	174	6	and	and	CCONJ
ejde-625	174	7	b	b	X
ejde-625	174	8	=	=	SYM
ejde-625	174	9	v(y	v(y	PROPN
ejde-625	174	10	)	)	PUNCT
ejde-625	174	11	,	,	PUNCT
ejde-625	174	12	we	we	PRON
ejde-625	174	13	choose	choose	VERB
ejde-625	174	14	r	r	NOUN
ejde-625	174	15	=	=	SYM
ejde-625	174	16	k(b	k(b	PROPN
ejde-625	174	17	)	)	PUNCT
ejde-625	174	18	and	and	CCONJ
ejde-625	174	19	s	s	NOUN
ejde-625	174	20	=	=	PUNCT
ejde-625	174	21	k(a	k(a	PROPN
ejde-625	174	22	)	)	PUNCT
ejde-625	174	23	.	.	PUNCT
ejde-625	175	1	then	then	ADV
ejde-625	175	2	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	175	3	,	,	PUNCT
ejde-625	175	4	y	y	PROPN
ejde-625	175	5	)	)	PUNCT
ejde-625	175	6	>	>	PUNCT
ejde-625	176	1	β(r	β(r	PROPN
ejde-625	177	1	+	+	SYM
ejde-625	177	2	s	s	X
ejde-625	177	3	)	)	PUNCT
ejde-625	178	1	[	[	X
ejde-625	178	2	k(a	k(a	X
ejde-625	178	3	)	)	PUNCT
ejde-625	178	4	+	+	NOUN
ejde-625	178	5	k(b	k(b	X
ejde-625	178	6	)	)	PUNCT
ejde-625	178	7	2	2	NUM
ejde-625	178	8	k	k	NOUN
ejde-625	178	9	(	(	PUNCT
ejde-625	178	10	a+	a+	NOUN
ejde-625	178	11	b	b	PROPN
ejde-625	178	12	2	2	NUM
ejde-625	178	13	)	)	PUNCT
ejde-625	178	14	−k(a)k(b	−k(a)k(b	NOUN
ejde-625	178	15	)	)	PUNCT
ejde-625	178	16	]	]	PUNCT
ejde-625	178	17	.	.	PUNCT
ejde-625	179	1	finally	finally	ADV
ejde-625	179	2	,	,	PUNCT
ejde-625	179	3	since	since	SCONJ
ejde-625	179	4	k(t	k(t	PROPN
ejde-625	179	5	)	)	PUNCT
ejde-625	179	6	is	be	AUX
ejde-625	179	7	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	179	8	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	179	9	,	,	PUNCT
ejde-625	179	10	we	we	PRON
ejde-625	179	11	find	find	VERB
ejde-625	179	12	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	179	13	,	,	PUNCT
ejde-625	179	14	y	y	NOUN
ejde-625	179	15	)	)	PUNCT
ejde-625	179	16	>	>	X
ejde-625	180	1	0	0	X
ejde-625	180	2	.	.	PUNCT
ejde-625	181	1	but	but	CCONJ
ejde-625	181	2	,	,	PUNCT
ejde-625	181	3	at	at	ADP
ejde-625	181	4	(	(	PUNCT
ejde-625	181	5	x	x	NOUN
ejde-625	181	6	,	,	PUNCT
ejde-625	181	7	y	y	PROPN
ejde-625	181	8	)	)	PUNCT
ejde-625	181	9	(	(	PUNCT
ejde-625	181	10	point	point	NOUN
ejde-625	181	11	of	of	ADP
ejde-625	181	12	maximum	maximum	ADJ
ejde-625	181	13	)	)	PUNCT
ejde-625	181	14	we	we	PRON
ejde-625	181	15	have	have	VERB
ejde-625	181	16	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	181	17	,	,	PUNCT
ejde-625	181	18	y	y	NOUN
ejde-625	181	19	)	)	PUNCT
ejde-625	181	20	≤	≤	NOUN
ejde-625	181	21	0	0	NUM
ejde-625	181	22	,	,	PUNCT
ejde-625	181	23	a	a	DET
ejde-625	181	24	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	181	25	.	.	PUNCT
ejde-625	182	1	the	the	DET
ejde-625	182	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	182	3	is	be	AUX
ejde-625	182	4	complete	complete	ADJ
ejde-625	182	5	.	.	PUNCT
ejde-625	183	1	□	□	PUNCT
ejde-625	183	2	let	let	VERB
ejde-625	183	3	us	we	PRON
ejde-625	183	4	recall	recall	VERB
ejde-625	183	5	that	that	PRON
ejde-625	183	6	theorem	theorem	VERB
ejde-625	183	7	2.1	2.1	NUM
ejde-625	183	8	has	have	AUX
ejde-625	183	9	been	be	AUX
ejde-625	183	10	extended	extend	VERB
ejde-625	183	11	to	to	ADP
ejde-625	183	12	the	the	DET
ejde-625	183	13	problem	problem	NOUN
ejde-625	183	14	∆u(x	∆u(x	VERB
ejde-625	183	15	)	)	PUNCT
ejde-625	183	16	=	=	SYM
ejde-625	183	17	f(u(x	f(u(x	PROPN
ejde-625	183	18	)	)	PUNCT
ejde-625	183	19	)	)	PUNCT
ejde-625	183	20	(	(	PUNCT
ejde-625	183	21	1	1	NUM
ejde-625	183	22	+	+	CCONJ
ejde-625	183	23	k|du|2	k|du|2	NOUN
ejde-625	183	24	)	)	PUNCT
ejde-625	183	25	in	in	ADP
ejde-625	183	26	ω	ω	PROPN
ejde-625	183	27	,	,	PUNCT
ejde-625	183	28	u	u	NOUN
ejde-625	183	29	=	=	PUNCT
ejde-625	184	1	+	+	ADP
ejde-625	184	2	∞	∞	NUM
ejde-625	184	3	on	on	ADP
ejde-625	184	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	184	5	,	,	PUNCT
ejde-625	184	6	where	where	SCONJ
ejde-625	184	7	k	k	PROPN
ejde-625	184	8	is	be	AUX
ejde-625	184	9	a	a	DET
ejde-625	184	10	positive	positive	ADJ
ejde-625	184	11	constant	constant	NOUN
ejde-625	184	12	.	.	PUNCT
ejde-625	185	1	we	we	PRON
ejde-625	185	2	shall	shall	AUX
ejde-625	185	3	prove	prove	VERB
ejde-625	185	4	the	the	DET
ejde-625	185	5	following	follow	VERB
ejde-625	185	6	version	version	NOUN
ejde-625	185	7	.	.	PUNCT
ejde-625	186	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	186	2	2.4	2.4	NUM
ejde-625	186	3	.	.	PUNCT
ejde-625	187	1	let	let	AUX
ejde-625	187	2	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	187	3	)	)	PUNCT
ejde-625	187	4	be	be	AUX
ejde-625	187	5	a	a	DET
ejde-625	187	6	positive	positive	ADJ
ejde-625	187	7	function	function	NOUN
ejde-625	187	8	such	such	ADJ
ejde-625	187	9	that	that	SCONJ
ejde-625	187	10	φ1/2(t	φ1/2(t	PROPN
ejde-625	187	11	)	)	PUNCT
ejde-625	187	12	is	be	AUX
ejde-625	187	13	convex	convex	PROPN
ejde-625	187	14	.	.	PUNCT
ejde-625	188	1	let	let	VERB
ejde-625	188	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	188	3	)	)	PUNCT
ejde-625	188	4	and	and	CCONJ
ejde-625	188	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	188	6	)	)	PUNCT
ejde-625	188	7	be	be	AUX
ejde-625	188	8	positive	positive	ADJ
ejde-625	188	9	,	,	PUNCT
ejde-625	188	10	increasing	increase	VERB
ejde-625	188	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	188	12	functions	function	NOUN
ejde-625	188	13	with	with	ADP
ejde-625	188	14	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	188	15	)	)	PUNCT
ejde-625	188	16	strictly	strictly	ADV
ejde-625	188	17	increasing	increase	VERB
ejde-625	188	18	and	and	CCONJ
ejde-625	188	19	with	with	ADP
ejde-625	188	20	f(0	f(0	NOUN
ejde-625	188	21	)	)	PUNCT
ejde-625	188	22	=	=	SYM
ejde-625	188	23	g(0	g(0	PROPN
ejde-625	188	24	)	)	PUNCT
ejde-625	188	25	=	=	SYM
ejde-625	189	1	0	0	X
ejde-625	189	2	.	.	PUNCT
ejde-625	190	1	we	we	PRON
ejde-625	190	2	suppose	suppose	VERB
ejde-625	190	3	that	that	SCONJ
ejde-625	190	4	φ(t)f(t	φ(t)f(t	NOUN
ejde-625	190	5	)	)	PUNCT
ejde-625	190	6	and	and	CCONJ
ejde-625	190	7	φ(t)g(t	φ(t)g(t	NOUN
ejde-625	190	8	)	)	PUNCT
ejde-625	190	9	are	be	AUX
ejde-625	190	10	concave	concave	VERB
ejde-625	190	11	.	.	PUNCT
ejde-625	191	1	if	if	SCONJ
ejde-625	191	2	u	u	PROPN
ejde-625	191	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	191	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	191	5	)	)	PUNCT
ejde-625	191	6	is	be	AUX
ejde-625	191	7	a	a	DET
ejde-625	191	8	solution	solution	NOUN
ejde-625	191	9	to	to	ADP
ejde-625	191	10	∆u(x	∆u(x	NOUN
ejde-625	191	11	)	)	PUNCT
ejde-625	192	1	+	+	NUM
ejde-625	192	2	k1|du|2	k1|du|2	NOUN
ejde-625	192	3	=	=	SYM
ejde-625	192	4	f(u(x	f(u(x	PROPN
ejde-625	192	5	)	)	PUNCT
ejde-625	192	6	)	)	PUNCT
ejde-625	193	1	+	+	CCONJ
ejde-625	193	2	k2|du(x)|2g(u(x	k2|du(x)|2g(u(x	NOUN
ejde-625	193	3	)	)	PUNCT
ejde-625	193	4	)	)	PUNCT
ejde-625	193	5	,	,	PUNCT
ejde-625	193	6	k1	k1	PROPN
ejde-625	193	7	,	,	PUNCT
ejde-625	193	8	k2	k2	X
ejde-625	193	9	≥	≥	NOUN
ejde-625	193	10	0	0	NUM
ejde-625	193	11	,	,	PUNCT
ejde-625	193	12	(	(	PUNCT
ejde-625	193	13	2.6	2.6	NUM
ejde-625	193	14	)	)	PUNCT
ejde-625	193	15	in	in	ADP
ejde-625	193	16	a	a	DET
ejde-625	193	17	convex	convex	NOUN
ejde-625	193	18	domain	domain	NOUN
ejde-625	193	19	ω	ω	NOUN
ejde-625	193	20	then	then	ADV
ejde-625	193	21	the	the	DET
ejde-625	193	22	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	193	23	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	193	24	function	function	NOUN
ejde-625	193	25	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	193	26	,	,	PUNCT
ejde-625	193	27	y	y	NOUN
ejde-625	193	28	)	)	PUNCT
ejde-625	193	29	can	can	AUX
ejde-625	193	30	not	not	PART
ejde-625	193	31	have	have	VERB
ejde-625	193	32	a	a	DET
ejde-625	193	33	positive	positive	ADJ
ejde-625	193	34	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	193	35	in	in	ADP
ejde-625	193	36	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	193	37	ω	ω	NOUN
ejde-625	193	38	.	.	PUNCT
ejde-625	194	1	proof	proof	NOUN
ejde-625	194	2	.	.	PUNCT
ejde-625	195	1	by	by	ADP
ejde-625	195	2	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	195	3	,	,	PUNCT
ejde-625	195	4	suppose	suppose	VERB
ejde-625	195	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	195	6	,	,	PUNCT
ejde-625	195	7	y	y	PROPN
ejde-625	195	8	)	)	PUNCT
ejde-625	195	9	has	have	VERB
ejde-625	195	10	a	a	DET
ejde-625	195	11	positive	positive	ADJ
ejde-625	195	12	maximum	maximum	NOUN
ejde-625	195	13	at	at	ADP
ejde-625	195	14	some	some	DET
ejde-625	195	15	point	point	NOUN
ejde-625	195	16	(	(	PUNCT
ejde-625	195	17	x	x	NOUN
ejde-625	195	18	,	,	PUNCT
ejde-625	195	19	y	y	NOUN
ejde-625	195	20	)	)	PUNCT
ejde-625	195	21	∈	∈	PROPN
ejde-625	195	22	ω	ω	NUM
ejde-625	196	1	×	×	PROPN
ejde-625	196	2	ω	ω	NOUN
ejde-625	196	3	.	.	PUNCT
ejde-625	197	1	if	if	SCONJ
ejde-625	197	2	l	l	NOUN
ejde-625	197	3	is	be	AUX
ejde-625	197	4	defined	define	VERB
ejde-625	197	5	as	as	ADP
ejde-625	197	6	in	in	ADP
ejde-625	197	7	(	(	PUNCT
ejde-625	197	8	2.4	2.4	NUM
ejde-625	197	9	)	)	PUNCT
ejde-625	197	10	,	,	PUNCT
ejde-625	197	11	by	by	ADP
ejde-625	197	12	using	use	VERB
ejde-625	197	13	(	(	PUNCT
ejde-625	197	14	2.3	2.3	NUM
ejde-625	197	15	)	)	PUNCT
ejde-625	197	16	with	with	ADP
ejde-625	197	17	u	u	NOUN
ejde-625	197	18	in	in	ADP
ejde-625	197	19	place	place	NOUN
ejde-625	197	20	of	of	ADP
ejde-625	197	21	v	v	NOUN
ejde-625	197	22	we	we	PRON
ejde-625	197	23	have	have	VERB
ejde-625	197	24	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	197	25	,	,	PUNCT
ejde-625	197	26	y	y	NOUN
ejde-625	197	27	)	)	PUNCT
ejde-625	198	1	=	=	PUNCT
ejde-625	198	2	(	(	PUNCT
ejde-625	198	3	r	r	NOUN
ejde-625	198	4	+	+	CCONJ
ejde-625	198	5	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	198	6	2	2	NUM
ejde-625	198	7	∆u(z)−	∆u(z)−	PROPN
ejde-625	198	8	r2∆u(x)−	r2∆u(x)−	X
ejde-625	198	9	s2∆u(y	s2∆u(y	PROPN
ejde-625	198	10	)	)	PUNCT
ejde-625	198	11	,	,	PUNCT
ejde-625	199	1	z	z	NOUN
ejde-625	199	2	=	=	PUNCT
ejde-625	199	3	x+	x+	PUNCT
ejde-625	199	4	y	y	PROPN
ejde-625	199	5	2	2	NUM
ejde-625	199	6	.	.	PUNCT
ejde-625	200	1	on	on	ADP
ejde-625	200	2	using	use	VERB
ejde-625	200	3	our	our	PRON
ejde-625	200	4	equation	equation	NOUN
ejde-625	200	5	(	(	PUNCT
ejde-625	200	6	2.6	2.6	NUM
ejde-625	200	7	)	)	PUNCT
ejde-625	200	8	and	and	CCONJ
ejde-625	200	9	recalling	recall	VERB
ejde-625	200	10	that	that	PRON
ejde-625	200	11	du(x	du(x	ADV
ejde-625	200	12	)	)	PUNCT
ejde-625	200	13	=	=	SYM
ejde-625	200	14	du(z	du(z	NOUN
ejde-625	200	15	)	)	PUNCT
ejde-625	200	16	=	=	PUNCT
ejde-625	200	17	du(y	du(y	X
ejde-625	200	18	)	)	PUNCT
ejde-625	200	19	we	we	PRON
ejde-625	200	20	have	have	VERB
ejde-625	200	21	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	200	22	,	,	PUNCT
ejde-625	200	23	y	y	NOUN
ejde-625	200	24	)	)	PUNCT
ejde-625	201	1	=	=	SYM
ejde-625	201	2	k1	k1	NOUN
ejde-625	201	3	(	(	PUNCT
ejde-625	201	4	r	r	NOUN
ejde-625	201	5	−	−	NOUN
ejde-625	201	6	s)2	s)2	NOUN
ejde-625	201	7	2	2	NUM
ejde-625	201	8	|du(z)|2	|du(z)|2	NOUN
ejde-625	201	9	+	+	CCONJ
ejde-625	201	10	(	(	PUNCT
ejde-625	201	11	r	r	NOUN
ejde-625	201	12	+	+	CCONJ
ejde-625	201	13	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	201	14	2	2	NUM
ejde-625	201	15	f(u(z))−	f(u(z))−	NOUN
ejde-625	201	16	r2f(u(x))−	r2f(u(x))−	NUM
ejde-625	201	17	s2f(u(y	s2f(u(y	NOUN
ejde-625	201	18	)	)	PUNCT
ejde-625	201	19	)	)	PUNCT
ejde-625	202	1	+	+	CCONJ
ejde-625	202	2	k2|du(z)|2	k2|du(z)|2	NOUN
ejde-625	202	3	[	[	PUNCT
ejde-625	202	4	(	(	PUNCT
ejde-625	202	5	r	r	NOUN
ejde-625	202	6	+	+	CCONJ
ejde-625	202	7	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	202	8	2	2	NUM
ejde-625	202	9	g(u(z))−	g(u(z))−	NOUN
ejde-625	202	10	r2g(u(x))−	r2g(u(x))−	NOUN
ejde-625	202	11	s2g(u(y	s2g(u(y	NOUN
ejde-625	202	12	)	)	PUNCT
ejde-625	202	13	)	)	PUNCT
ejde-625	202	14	]	]	PUNCT
ejde-625	202	15	.	.	PUNCT
ejde-625	203	1	since	since	SCONJ
ejde-625	203	2	we	we	PRON
ejde-625	203	3	are	be	AUX
ejde-625	203	4	assuming	assume	VERB
ejde-625	203	5	that	that	SCONJ
ejde-625	203	6	u(z	u(z	NOUN
ejde-625	203	7	)	)	PUNCT
ejde-625	203	8	>	>	X
ejde-625	203	9	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	203	10	)	)	PUNCT
ejde-625	203	11	+	+	CCONJ
ejde-625	203	12	u(y	u(y	NOUN
ejde-625	203	13	)	)	PUNCT
ejde-625	203	14	2	2	NUM
ejde-625	203	15	,	,	PUNCT
ejde-625	203	16	and	and	CCONJ
ejde-625	203	17	since	since	SCONJ
ejde-625	203	18	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	203	19	)	)	PUNCT
ejde-625	203	20	is	be	AUX
ejde-625	203	21	strictly	strictly	ADV
ejde-625	203	22	increasing	increase	VERB
ejde-625	203	23	and	and	CCONJ
ejde-625	203	24	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	203	25	)	)	PUNCT
ejde-625	203	26	is	be	AUX
ejde-625	203	27	increasing	increase	VERB
ejde-625	203	28	,	,	PUNCT
ejde-625	203	29	we	we	PRON
ejde-625	203	30	find	find	VERB
ejde-625	203	31	that	that	SCONJ
ejde-625	203	32	f(u(z	f(u(z	NOUN
ejde-625	203	33	)	)	PUNCT
ejde-625	203	34	)	)	PUNCT
ejde-625	204	1	>	>	X
ejde-625	204	2	f	f	X
ejde-625	204	3	(	(	PUNCT
ejde-625	204	4	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	204	5	)	)	PUNCT
ejde-625	204	6	+	+	CCONJ
ejde-625	204	7	u(y	u(y	X
ejde-625	204	8	)	)	PUNCT
ejde-625	204	9	2	2	NUM
ejde-625	204	10	)	)	PUNCT
ejde-625	204	11	,	,	PUNCT
ejde-625	204	12	g(u(z	g(u(z	PROPN
ejde-625	204	13	)	)	PUNCT
ejde-625	204	14	)	)	PUNCT
ejde-625	204	15	≥	≥	PROPN
ejde-625	204	16	g	g	NOUN
ejde-625	204	17	(	(	PUNCT
ejde-625	204	18	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	204	19	)	)	PUNCT
ejde-625	204	20	+	+	CCONJ
ejde-625	204	21	u(y	u(y	X
ejde-625	204	22	)	)	PUNCT
ejde-625	204	23	2	2	NUM
ejde-625	204	24	)	)	PUNCT
ejde-625	204	25	.	.	PUNCT
ejde-625	205	1	therefore	therefore	ADV
ejde-625	205	2	,	,	PUNCT
ejde-625	205	3	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	205	4	,	,	PUNCT
ejde-625	205	5	y	y	PROPN
ejde-625	205	6	)	)	PUNCT
ejde-625	205	7	>	>	X
ejde-625	206	1	(	(	PUNCT
ejde-625	206	2	r	r	NOUN
ejde-625	206	3	+	+	CCONJ
ejde-625	206	4	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	206	5	2	2	NUM
ejde-625	206	6	f	f	NOUN
ejde-625	206	7	(	(	PUNCT
ejde-625	206	8	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	206	9	)	)	PUNCT
ejde-625	206	10	+	+	CCONJ
ejde-625	206	11	u(y	u(y	X
ejde-625	206	12	)	)	PUNCT
ejde-625	206	13	2	2	NUM
ejde-625	206	14	)	)	PUNCT
ejde-625	206	15	−	−	NOUN
ejde-625	206	16	r2f(u(x))−	r2f(u(x))−	NUM
ejde-625	206	17	s2f(u(y	s2f(u(y	NOUN
ejde-625	206	18	)	)	PUNCT
ejde-625	206	19	)	)	PUNCT
ejde-625	207	1	+	+	CCONJ
ejde-625	207	2	k2|du(z)|2	k2|du(z)|2	NOUN
ejde-625	207	3	[	[	PUNCT
ejde-625	207	4	(	(	PUNCT
ejde-625	207	5	r	r	NOUN
ejde-625	207	6	+	+	X
ejde-625	207	7	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	207	8	2	2	NUM
ejde-625	207	9	g	g	NOUN
ejde-625	207	10	(	(	PUNCT
ejde-625	207	11	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	207	12	)	)	PUNCT
ejde-625	207	13	+	+	CCONJ
ejde-625	207	14	u(y	u(y	X
ejde-625	207	15	)	)	PUNCT
ejde-625	207	16	2	2	NUM
ejde-625	207	17	)	)	PUNCT
ejde-625	207	18	−	−	PROPN
ejde-625	207	19	r2g(u(x))−	r2g(u(x))−	NOUN
ejde-625	207	20	s2g(u(y	s2g(u(y	NOUN
ejde-625	207	21	)	)	PUNCT
ejde-625	207	22	)	)	PUNCT
ejde-625	207	23	]	]	PUNCT
ejde-625	207	24	.	.	PUNCT
ejde-625	208	1	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADJ
ejde-625	208	2	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	208	3	of	of	ADP
ejde-625	208	4	solutions	solution	NOUN
ejde-625	208	5	to	to	ADP
ejde-625	208	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	208	7	pde	pde	NOUN
ejde-625	208	8	’s	’s	PART
ejde-625	208	9	7	7	NUM
ejde-625	208	10	put	put	NOUN
ejde-625	208	11	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	208	12	)	)	PUNCT
ejde-625	208	13	=	=	SYM
ejde-625	208	14	a	a	PRON
ejde-625	208	15	,	,	PUNCT
ejde-625	208	16	u(y	u(y	PROPN
ejde-625	208	17	)	)	PUNCT
ejde-625	208	18	=	=	SYM
ejde-625	208	19	b	b	NOUN
ejde-625	208	20	,	,	PUNCT
ejde-625	208	21	and	and	CCONJ
ejde-625	208	22	choosing	choose	VERB
ejde-625	208	23	r	r	NOUN
ejde-625	208	24	=	=	SYM
ejde-625	208	25	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	208	26	)	)	PUNCT
ejde-625	208	27	and	and	CCONJ
ejde-625	208	28	s	s	AUX
ejde-625	208	29	=	=	NOUN
ejde-625	208	30	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	208	31	)	)	PUNCT
ejde-625	208	32	,	,	PUNCT
ejde-625	208	33	we	we	PRON
ejde-625	208	34	find	find	VERB
ejde-625	208	35	that	that	SCONJ
ejde-625	208	36	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	208	37	,	,	PUNCT
ejde-625	208	38	y	y	PROPN
ejde-625	208	39	)	)	PUNCT
ejde-625	208	40	>	>	X
ejde-625	208	41	1	1	NUM
ejde-625	208	42	2	2	NUM
ejde-625	208	43	(	(	PUNCT
ejde-625	208	44	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	208	45	)	)	PUNCT
ejde-625	208	46	+	+	CCONJ
ejde-625	208	47	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	208	48	)	)	PUNCT
ejde-625	208	49	)	)	PUNCT
ejde-625	208	50	2	2	NUM
ejde-625	208	51	f	f	NOUN
ejde-625	208	52	(	(	PUNCT
ejde-625	208	53	a+	a+	PROPN
ejde-625	208	54	b	b	PROPN
ejde-625	208	55	2	2	NUM
ejde-625	208	56	)	)	PUNCT
ejde-625	208	57	−	−	PROPN
ejde-625	208	58	φ(a)f(a)−	φ(a)f(a)−	NOUN
ejde-625	208	59	φ(b)f(b	φ(b)f(b	NUM
ejde-625	208	60	)	)	PUNCT
ejde-625	208	61	+	+	CCONJ
ejde-625	208	62	k2|du(z)|2	k2|du(z)|2	NOUN
ejde-625	208	63	[	[	X
ejde-625	208	64	1	1	NUM
ejde-625	208	65	2	2	NUM
ejde-625	208	66	(	(	PUNCT
ejde-625	208	67	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	208	68	)	)	PUNCT
ejde-625	208	69	+	+	CCONJ
ejde-625	208	70	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	208	71	)	)	PUNCT
ejde-625	208	72	)	)	PUNCT
ejde-625	208	73	2	2	NUM
ejde-625	208	74	g	g	NOUN
ejde-625	208	75	(	(	PUNCT
ejde-625	208	76	a+	a+	NOUN
ejde-625	208	77	b	b	PROPN
ejde-625	208	78	2	2	NUM
ejde-625	208	79	)	)	PUNCT
ejde-625	208	80	−	−	NOUN
ejde-625	208	81	φ(a)g(a)−	φ(a)g(a)−	NOUN
ejde-625	208	82	φ(b)g(b	φ(b)g(b	NUM
ejde-625	208	83	)	)	PUNCT
ejde-625	208	84	]	]	PUNCT
ejde-625	208	85	.	.	PUNCT
ejde-625	209	1	since	since	SCONJ
ejde-625	209	2	φ1/2(t	φ1/2(t	PROPN
ejde-625	209	3	)	)	PUNCT
ejde-625	209	4	is	be	AUX
ejde-625	209	5	convex	convex	PROPN
ejde-625	209	6	,	,	PUNCT
ejde-625	209	7	we	we	PRON
ejde-625	209	8	have	have	VERB
ejde-625	209	9	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	209	10	)	)	PUNCT
ejde-625	210	1	+	+	CCONJ
ejde-625	210	2	φ1/2(b	φ1/2(b	ADJ
ejde-625	210	3	)	)	PUNCT
ejde-625	210	4	2	2	NUM
ejde-625	210	5	≥	≥	NOUN
ejde-625	210	6	φ1/2	φ1/2	PROPN
ejde-625	210	7	(	(	PUNCT
ejde-625	210	8	a+	a+	NOUN
ejde-625	210	9	b	b	PROPN
ejde-625	210	10	2	2	NUM
ejde-625	210	11	)	)	PUNCT
ejde-625	210	12	,	,	PUNCT
ejde-625	210	13	which	which	PRON
ejde-625	210	14	can	can	AUX
ejde-625	210	15	be	be	AUX
ejde-625	210	16	written	write	VERB
ejde-625	210	17	as	as	ADP
ejde-625	210	18	1	1	NUM
ejde-625	210	19	2	2	NUM
ejde-625	210	20	(	(	PUNCT
ejde-625	210	21	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	210	22	)	)	PUNCT
ejde-625	210	23	+	+	CCONJ
ejde-625	210	24	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	210	25	)	)	PUNCT
ejde-625	210	26	)	)	PUNCT
ejde-625	210	27	2	2	NUM
ejde-625	210	28	≥	≥	NOUN
ejde-625	210	29	2φ	2φ	NUM
ejde-625	210	30	(	(	PUNCT
ejde-625	210	31	a+	a+	PRON
ejde-625	210	32	b	b	PROPN
ejde-625	210	33	2	2	NUM
ejde-625	210	34	)	)	PUNCT
ejde-625	210	35	.	.	PUNCT
ejde-625	211	1	on	on	ADP
ejde-625	211	2	using	use	VERB
ejde-625	211	3	this	this	DET
ejde-625	211	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-625	211	5	,	,	PUNCT
ejde-625	211	6	we	we	PRON
ejde-625	211	7	find	find	VERB
ejde-625	211	8	1	1	NUM
ejde-625	211	9	2	2	NUM
ejde-625	211	10	(	(	PUNCT
ejde-625	211	11	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	211	12	)	)	PUNCT
ejde-625	211	13	+	+	CCONJ
ejde-625	211	14	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	211	15	)	)	PUNCT
ejde-625	211	16	)	)	PUNCT
ejde-625	211	17	2	2	NUM
ejde-625	211	18	f	f	NOUN
ejde-625	211	19	(	(	PUNCT
ejde-625	211	20	a+	a+	PROPN
ejde-625	211	21	b	b	PROPN
ejde-625	211	22	2	2	NUM
ejde-625	211	23	)	)	PUNCT
ejde-625	211	24	−	−	PROPN
ejde-625	211	25	φ(a)f(a)−	φ(a)f(a)−	NOUN
ejde-625	211	26	φ(b)f(b	φ(b)f(b	NUM
ejde-625	211	27	)	)	PUNCT
ejde-625	211	28	≥	≥	PRON
ejde-625	211	29	2φ	2φ	NUM
ejde-625	211	30	(	(	PUNCT
ejde-625	211	31	a+	a+	PRON
ejde-625	211	32	b	b	PROPN
ejde-625	211	33	2	2	X
ejde-625	211	34	)	)	PUNCT
ejde-625	211	35	f	f	NOUN
ejde-625	211	36	(	(	PUNCT
ejde-625	211	37	a+	a+	NOUN
ejde-625	211	38	b	b	PROPN
ejde-625	211	39	2	2	NUM
ejde-625	211	40	)	)	PUNCT
ejde-625	211	41	−	−	PROPN
ejde-625	211	42	φ(a)f(a)−	φ(a)f(a)−	NOUN
ejde-625	211	43	φ(b)f(b	φ(b)f(b	NUM
ejde-625	211	44	)	)	PUNCT
ejde-625	211	45	≥	≥	NOUN
ejde-625	211	46	0	0	NUM
ejde-625	211	47	,	,	PUNCT
ejde-625	211	48	and	and	CCONJ
ejde-625	211	49	1	1	NUM
ejde-625	211	50	2	2	NUM
ejde-625	211	51	(	(	PUNCT
ejde-625	211	52	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	211	53	)	)	PUNCT
ejde-625	211	54	+	+	CCONJ
ejde-625	211	55	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	211	56	)	)	PUNCT
ejde-625	211	57	)	)	PUNCT
ejde-625	211	58	2	2	NUM
ejde-625	211	59	g	g	NOUN
ejde-625	211	60	(	(	PUNCT
ejde-625	211	61	a+	a+	NOUN
ejde-625	211	62	b	b	PROPN
ejde-625	211	63	2	2	NUM
ejde-625	211	64	)	)	PUNCT
ejde-625	211	65	−	−	PROPN
ejde-625	211	66	φ(a)g(a)−	φ(a)g(a)−	NOUN
ejde-625	211	67	φ(b)g(b	φ(b)g(b	NUM
ejde-625	211	68	)	)	PUNCT
ejde-625	211	69	≥	≥	X
ejde-625	211	70	2φ	2φ	NUM
ejde-625	211	71	(	(	PUNCT
ejde-625	211	72	a+	a+	PRON
ejde-625	211	73	b	b	PROPN
ejde-625	211	74	2	2	X
ejde-625	211	75	)	)	PUNCT
ejde-625	211	76	g	g	NOUN
ejde-625	211	77	(	(	PUNCT
ejde-625	211	78	a+	a+	PROPN
ejde-625	211	79	b	b	PROPN
ejde-625	211	80	2	2	NUM
ejde-625	211	81	)	)	PUNCT
ejde-625	211	82	−	−	PROPN
ejde-625	211	83	φ(a)g(a)−	φ(a)g(a)−	NOUN
ejde-625	211	84	φ(b)g(b	φ(b)g(b	NUM
ejde-625	211	85	)	)	PUNCT
ejde-625	211	86	≥	≥	NOUN
ejde-625	211	87	0	0	NUM
ejde-625	211	88	,	,	PUNCT
ejde-625	211	89	where	where	SCONJ
ejde-625	211	90	the	the	DET
ejde-625	211	91	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	211	92	of	of	ADP
ejde-625	211	93	φ(t)f(t	φ(t)f(t	NOUN
ejde-625	211	94	)	)	PUNCT
ejde-625	211	95	and	and	CCONJ
ejde-625	211	96	φ(t)g(t	φ(t)g(t	NOUN
ejde-625	211	97	)	)	PUNCT
ejde-625	211	98	have	have	AUX
ejde-625	211	99	been	be	AUX
ejde-625	211	100	used	use	VERB
ejde-625	211	101	.	.	PUNCT
ejde-625	212	1	hence	hence	ADV
ejde-625	212	2	,	,	PUNCT
ejde-625	212	3	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	212	4	,	,	PUNCT
ejde-625	212	5	y	y	PROPN
ejde-625	212	6	)	)	PUNCT
ejde-625	212	7	>	>	X
ejde-625	212	8	0	0	X
ejde-625	212	9	.	.	PUNCT
ejde-625	213	1	but	but	CCONJ
ejde-625	213	2	,	,	PUNCT
ejde-625	213	3	at	at	ADP
ejde-625	213	4	(	(	PUNCT
ejde-625	213	5	x	x	NOUN
ejde-625	213	6	,	,	PUNCT
ejde-625	213	7	y	y	PROPN
ejde-625	213	8	)	)	PUNCT
ejde-625	213	9	(	(	PUNCT
ejde-625	213	10	point	point	NOUN
ejde-625	213	11	of	of	ADP
ejde-625	213	12	maximum	maximum	ADJ
ejde-625	213	13	)	)	PUNCT
ejde-625	213	14	we	we	PRON
ejde-625	213	15	have	have	VERB
ejde-625	213	16	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	213	17	,	,	PUNCT
ejde-625	213	18	y	y	NOUN
ejde-625	213	19	)	)	PUNCT
ejde-625	213	20	≤	≤	NOUN
ejde-625	213	21	0	0	NUM
ejde-625	213	22	,	,	PUNCT
ejde-625	213	23	a	a	DET
ejde-625	213	24	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	213	25	.	.	PUNCT
ejde-625	214	1	the	the	DET
ejde-625	214	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	214	3	is	be	AUX
ejde-625	214	4	complete	complete	ADJ
ejde-625	214	5	.	.	PUNCT
ejde-625	215	1	□	□	PUNCT
ejde-625	215	2	examples	example	NOUN
ejde-625	215	3	.	.	PUNCT
ejde-625	216	1	if	if	SCONJ
ejde-625	216	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	216	3	)	)	PUNCT
ejde-625	216	4	=	=	SYM
ejde-625	216	5	tp	tp	NOUN
ejde-625	216	6	and	and	CCONJ
ejde-625	216	7	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	216	8	)	)	PUNCT
ejde-625	217	1	=	=	SYM
ejde-625	217	2	tp−γ	tp−γ	NOUN
ejde-625	217	3	with	with	ADP
ejde-625	217	4	p	p	PROPN
ejde-625	217	5	>	>	X
ejde-625	217	6	1	1	NUM
ejde-625	217	7	and	and	CCONJ
ejde-625	217	8	0	0	NUM
ejde-625	217	9	<	<	X
ejde-625	217	10	γ	γ	X
ejde-625	217	11	≤	≤	NOUN
ejde-625	217	12	1	1	NUM
ejde-625	217	13	,	,	PUNCT
ejde-625	217	14	we	we	PRON
ejde-625	217	15	can	can	AUX
ejde-625	217	16	choose	choose	VERB
ejde-625	217	17	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	217	18	)	)	PUNCT
ejde-625	217	19	=	=	PUNCT
ejde-625	217	20	t1−p	t1−p	PROPN
ejde-625	217	21	.	.	PUNCT
ejde-625	218	1	if	if	SCONJ
ejde-625	218	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	218	3	)	)	PUNCT
ejde-625	218	4	=	=	SYM
ejde-625	218	5	tet	tet	NOUN
ejde-625	218	6	and	and	CCONJ
ejde-625	218	7	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	218	8	)	)	PUNCT
ejde-625	219	1	=	=	VERB
ejde-625	219	2	tγet	tγet	NOUN
ejde-625	219	3	with	with	ADP
ejde-625	219	4	0	0	NUM
ejde-625	219	5	<	<	X
ejde-625	219	6	γ	γ	X
ejde-625	219	7	≤	≤	NOUN
ejde-625	219	8	1	1	NUM
ejde-625	219	9	,	,	PUNCT
ejde-625	219	10	we	we	PRON
ejde-625	219	11	can	can	AUX
ejde-625	219	12	choose	choose	VERB
ejde-625	219	13	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	219	14	)	)	PUNCT
ejde-625	219	15	=	=	SYM
ejde-625	219	16	e−t	e−t	NOUN
ejde-625	219	17	.	.	PUNCT
ejde-625	220	1	3	3	X
ejde-625	220	2	.	.	X
ejde-625	220	3	singular	singular	PROPN
ejde-625	220	4	problems	problem	NOUN
ejde-625	220	5	first	first	ADV
ejde-625	220	6	we	we	PRON
ejde-625	220	7	recall	recall	VERB
ejde-625	220	8	the	the	DET
ejde-625	220	9	following	follow	VERB
ejde-625	220	10	result	result	NOUN
ejde-625	220	11	.	.	PUNCT
ejde-625	221	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-625	221	2	3.1	3.1	NUM
ejde-625	221	3	.	.	PUNCT
ejde-625	222	1	let	let	VERB
ejde-625	222	2	ω	ω	PROPN
ejde-625	222	3	⊂	⊂	PROPN
ejde-625	222	4	rn	rn	AUX
ejde-625	222	5	be	be	AUX
ejde-625	222	6	a	a	DET
ejde-625	222	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-625	222	8	domain	domain	NOUN
ejde-625	222	9	with	with	ADP
ejde-625	222	10	a	a	DET
ejde-625	222	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	222	12	boundary	boundary	NOUN
ejde-625	222	13	.	.	PUNCT
ejde-625	223	1	let	let	VERB
ejde-625	223	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	223	3	)	)	PUNCT
ejde-625	223	4	be	be	AUX
ejde-625	223	5	positive	positive	ADJ
ejde-625	223	6	for	for	ADP
ejde-625	223	7	t	t	PROPN
ejde-625	223	8	>	>	X
ejde-625	223	9	0	0	NUM
ejde-625	223	10	,	,	PUNCT
ejde-625	223	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	223	12	,	,	PUNCT
ejde-625	223	13	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	223	14	,	,	PUNCT
ejde-625	223	15	and	and	CCONJ
ejde-625	223	16	such	such	ADJ
ejde-625	223	17	that	that	SCONJ
ejde-625	223	18	lim	lim	PROPN
ejde-625	224	1	t→0	t→0	PROPN
ejde-625	225	1	+	+	CCONJ
ejde-625	225	2	∫	∫	PROPN
ejde-625	225	3	1	1	NUM
ejde-625	225	4	t	t	NOUN
ejde-625	225	5	f(τ)dτ	f(τ)dτ	PROPN
ejde-625	225	6	=	=	SYM
ejde-625	225	7	∞.	∞.	PROPN
ejde-625	225	8	then	then	ADV
ejde-625	225	9	the	the	DET
ejde-625	225	10	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	225	11	value	value	NOUN
ejde-625	225	12	problem	problem	NOUN
ejde-625	225	13	∆u(x	∆u(x	VERB
ejde-625	225	14	)	)	PUNCT
ejde-625	226	1	+	+	CCONJ
ejde-625	226	2	f(u(x	f(u(x	NOUN
ejde-625	226	3	)	)	PUNCT
ejde-625	226	4	)	)	PUNCT
ejde-625	227	1	=	=	SYM
ejde-625	227	2	0	0	NUM
ejde-625	227	3	in	in	ADP
ejde-625	227	4	ω	ω	PROPN
ejde-625	227	5	,	,	PUNCT
ejde-625	227	6	u	u	NOUN
ejde-625	227	7	=	=	NOUN
ejde-625	227	8	0	0	NUM
ejde-625	227	9	on	on	ADP
ejde-625	227	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	227	11	,	,	PUNCT
ejde-625	227	12	has	have	VERB
ejde-625	227	13	a	a	DET
ejde-625	227	14	positive	positive	ADJ
ejde-625	227	15	solution	solution	NOUN
ejde-625	227	16	.	.	PUNCT
ejde-625	228	1	moreover	moreover	ADV
ejde-625	228	2	we	we	PRON
ejde-625	228	3	have	have	VERB
ejde-625	228	4	uν	uν	ADP
ejde-625	228	5	=	=	SYM
ejde-625	228	6	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	228	7	on	on	ADP
ejde-625	228	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	228	9	,	,	PUNCT
ejde-625	228	10	where	where	SCONJ
ejde-625	228	11	uν	uν	PROPN
ejde-625	228	12	denotes	denote	NOUN
ejde-625	228	13	external	external	ADJ
ejde-625	228	14	normal	normal	ADJ
ejde-625	228	15	derivative	derivative	NOUN
ejde-625	228	16	on	on	ADP
ejde-625	228	17	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	228	18	.	.	PUNCT
ejde-625	229	1	proof	proof	NOUN
ejde-625	229	2	.	.	PUNCT
ejde-625	230	1	for	for	ADP
ejde-625	230	2	a	a	DET
ejde-625	230	3	proof	proof	NOUN
ejde-625	230	4	of	of	ADP
ejde-625	230	5	existence	existence	NOUN
ejde-625	230	6	we	we	PRON
ejde-625	230	7	refer	refer	VERB
ejde-625	230	8	to	to	ADP
ejde-625	230	9	[	[	X
ejde-625	230	10	9	9	NUM
ejde-625	230	11	]	]	PUNCT
ejde-625	230	12	.	.	PUNCT
ejde-625	231	1	we	we	PRON
ejde-625	231	2	claim	claim	VERB
ejde-625	231	3	that	that	SCONJ
ejde-625	231	4	uν	uν	PROPN
ejde-625	231	5	=	=	PUNCT
ejde-625	231	6	−∞.	−∞.	NOUN
ejde-625	231	7	following	follow	VERB
ejde-625	231	8	the	the	DET
ejde-625	231	9	proof	proof	NOUN
ejde-625	231	10	of	of	ADP
ejde-625	231	11	[	[	X
ejde-625	231	12	9	9	NUM
ejde-625	231	13	,	,	PUNCT
ejde-625	231	14	theorem	theorem	VERB
ejde-625	231	15	2.2	2.2	NUM
ejde-625	231	16	]	]	PUNCT
ejde-625	231	17	,	,	PUNCT
ejde-625	231	18	we	we	PRON
ejde-625	231	19	consider	consider	VERB
ejde-625	231	20	the	the	DET
ejde-625	231	21	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-625	231	22	differential	differential	ADJ
ejde-625	231	23	equation	equation	NOUN
ejde-625	231	24	p′′(s	p′′(	VERB
ejde-625	231	25	)	)	PUNCT
ejde-625	231	26	+	+	NUM
ejde-625	231	27	f(p(s	f(p(s	NOUN
ejde-625	231	28	)	)	PUNCT
ejde-625	231	29	)	)	PUNCT
ejde-625	232	1	=	=	SYM
ejde-625	232	2	0	0	NUM
ejde-625	232	3	,	,	PUNCT
ejde-625	232	4	p(0	p(0	NOUN
ejde-625	232	5	)	)	PUNCT
ejde-625	232	6	=	=	SYM
ejde-625	232	7	0	0	NUM
ejde-625	232	8	,	,	PUNCT
ejde-625	232	9	p(s	p(s	NUM
ejde-625	232	10	)	)	PUNCT
ejde-625	232	11	>	>	X
ejde-625	232	12	0	0	X
ejde-625	232	13	.	.	PROPN
ejde-625	232	14	8	8	NUM
ejde-625	232	15	b.	b.	NOUN
ejde-625	232	16	mebrate	mebrate	PROPN
ejde-625	232	17	,	,	PUNCT
ejde-625	232	18	g.	g.	PROPN
ejde-625	232	19	porru	porru	PROPN
ejde-625	232	20	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADV
ejde-625	232	21	integrating	integrate	VERB
ejde-625	232	22	this	this	DET
ejde-625	232	23	equation	equation	NOUN
ejde-625	232	24	we	we	PRON
ejde-625	232	25	find	find	VERB
ejde-625	232	26	,	,	PUNCT
ejde-625	232	27	with	with	ADP
ejde-625	232	28	some	some	DET
ejde-625	232	29	a	a	DET
ejde-625	232	30	>	>	X
ejde-625	232	31	0	0	NUM
ejde-625	232	32	,	,	PUNCT
ejde-625	232	33	(	(	PUNCT
ejde-625	232	34	p′(a))2	p′(a))2	NOUN
ejde-625	232	35	−	−	NOUN
ejde-625	232	36	(	(	PUNCT
ejde-625	232	37	p′(s))2	p′(s))2	NOUN
ejde-625	232	38	2	2	NUM
ejde-625	232	39	+	+	NUM
ejde-625	232	40	∫	∫	PROPN
ejde-625	232	41	p(a	p(a	PROPN
ejde-625	232	42	)	)	PUNCT
ejde-625	232	43	p(s	p(s	PROPN
ejde-625	232	44	)	)	PUNCT
ejde-625	232	45	f(τ)dτ	f(τ)dτ	PROPN
ejde-625	233	1	=	=	NOUN
ejde-625	233	2	0	0	PROPN
ejde-625	233	3	.	.	PUNCT
ejde-625	234	1	on	on	ADP
ejde-625	234	2	using	use	VERB
ejde-625	234	3	our	our	PRON
ejde-625	234	4	assumption	assumption	NOUN
ejde-625	234	5	on	on	ADP
ejde-625	234	6	f	f	PROPN
ejde-625	234	7	we	we	PRON
ejde-625	234	8	find	find	VERB
ejde-625	234	9	lim	lim	PROPN
ejde-625	234	10	s→0	s→0	PROPN
ejde-625	234	11	+	+	CCONJ
ejde-625	234	12	(	(	PUNCT
ejde-625	234	13	p′(s))2	p′(s))2	NOUN
ejde-625	234	14	=	=	PUNCT
ejde-625	235	1	+	+	ADP
ejde-625	235	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-625	235	3	by	by	ADP
ejde-625	235	4	[	[	PUNCT
ejde-625	235	5	9	9	NUM
ejde-625	235	6	,	,	PUNCT
ejde-625	235	7	theorem	theorem	VERB
ejde-625	235	8	2.2	2.2	NUM
ejde-625	235	9	]	]	PUNCT
ejde-625	235	10	we	we	PRON
ejde-625	235	11	have	have	VERB
ejde-625	235	12	that	that	PRON
ejde-625	235	13	for	for	ADP
ejde-625	235	14	some	some	DET
ejde-625	235	15	λ	λ	PROPN
ejde-625	235	16	>	>	X
ejde-625	235	17	0	0	NUM
ejde-625	235	18	,	,	PUNCT
ejde-625	235	19	λp(d(x	λp(d(x	NOUN
ejde-625	235	20	)	)	PUNCT
ejde-625	235	21	)	)	PUNCT
ejde-625	235	22	≤	≤	NUM
ejde-625	235	23	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	235	24	)	)	PUNCT
ejde-625	235	25	,	,	PUNCT
ejde-625	235	26	where	where	SCONJ
ejde-625	235	27	d(x	d(x	NOUN
ejde-625	235	28	)	)	PUNCT
ejde-625	235	29	denotes	denote	VERB
ejde-625	235	30	the	the	DET
ejde-625	235	31	distance	distance	NOUN
ejde-625	235	32	of	of	ADP
ejde-625	235	33	x	x	PUNCT
ejde-625	235	34	from	from	ADP
ejde-625	235	35	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	235	36	.	.	PUNCT
ejde-625	236	1	recalling	recall	VERB
ejde-625	236	2	that	that	DET
ejde-625	236	3	p(0	p(0	NOUN
ejde-625	236	4	)	)	PUNCT
ejde-625	236	5	=	=	SYM
ejde-625	236	6	0	0	PUNCT
ejde-625	236	7	and	and	CCONJ
ejde-625	236	8	that	that	SCONJ
ejde-625	236	9	u	u	NOUN
ejde-625	236	10	=	=	NOUN
ejde-625	236	11	0	0	NUM
ejde-625	236	12	on	on	ADP
ejde-625	236	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	236	14	,	,	PUNCT
ejde-625	236	15	it	it	PRON
ejde-625	236	16	follows	follow	VERB
ejde-625	236	17	that	that	PRON
ejde-625	236	18	uν	uν	PROPN
ejde-625	236	19	=	=	PUNCT
ejde-625	236	20	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	236	21	on	on	ADP
ejde-625	236	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	236	23	.	.	PUNCT
ejde-625	237	1	the	the	DET
ejde-625	237	2	claim	claim	NOUN
ejde-625	237	3	is	be	AUX
ejde-625	237	4	proved	prove	VERB
ejde-625	237	5	.	.	PUNCT
ejde-625	238	1	our	our	PRON
ejde-625	238	2	aim	aim	NOUN
ejde-625	238	3	is	be	AUX
ejde-625	238	4	to	to	PART
ejde-625	238	5	prove	prove	VERB
ejde-625	238	6	that	that	SCONJ
ejde-625	238	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	238	8	)	)	PUNCT
ejde-625	238	9	is	be	AUX
ejde-625	238	10	concave	concave	VERB
ejde-625	238	11	.	.	PUNCT
ejde-625	239	1	to	to	PART
ejde-625	239	2	show	show	VERB
ejde-625	239	3	this	this	PRON
ejde-625	239	4	,	,	PUNCT
ejde-625	239	5	we	we	PRON
ejde-625	239	6	shall	shall	AUX
ejde-625	239	7	prove	prove	VERB
ejde-625	239	8	that	that	SCONJ
ejde-625	239	9	the	the	DET
ejde-625	239	10	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	239	11	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	239	12	function	function	NOUN
ejde-625	239	13	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	239	14	,	,	PUNCT
ejde-625	239	15	y	y	NOUN
ejde-625	239	16	)	)	PUNCT
ejde-625	239	17	satisfies	satisfy	VERB
ejde-625	239	18	c(x	c(x	PROPN
ejde-625	239	19	,	,	PUNCT
ejde-625	239	20	y	y	PROPN
ejde-625	239	21	)	)	PUNCT
ejde-625	239	22	≥	≥	NOUN
ejde-625	239	23	0	0	NUM
ejde-625	239	24	in	in	ADP
ejde-625	239	25	ω×ω	ω×ω	PROPN
ejde-625	239	26	.	.	PUNCT
ejde-625	240	1	let	let	VERB
ejde-625	240	2	us	we	PRON
ejde-625	240	3	show	show	VERB
ejde-625	240	4	first	first	ADV
ejde-625	240	5	that	that	PRON
ejde-625	240	6	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	240	7	,	,	PUNCT
ejde-625	240	8	y	y	NOUN
ejde-625	240	9	)	)	PUNCT
ejde-625	240	10	can	can	AUX
ejde-625	240	11	not	not	PART
ejde-625	240	12	have	have	VERB
ejde-625	240	13	a	a	DET
ejde-625	240	14	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	240	15	at	at	ADP
ejde-625	240	16	a	a	DET
ejde-625	240	17	point	point	NOUN
ejde-625	240	18	(	(	PUNCT
ejde-625	240	19	x	x	NOUN
ejde-625	240	20	,	,	PUNCT
ejde-625	240	21	y	y	PROPN
ejde-625	240	22	)	)	PUNCT
ejde-625	240	23	with	with	ADP
ejde-625	240	24	y	y	PROPN
ejde-625	240	25	∈	∈	PROPN
ejde-625	240	26	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	240	27	.	.	PUNCT
ejde-625	241	1	indeed	indeed	ADV
ejde-625	241	2	,	,	PUNCT
ejde-625	241	3	suppose	suppose	VERB
ejde-625	241	4	a	a	DET
ejde-625	241	5	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	241	6	occurs	occur	VERB
ejde-625	241	7	at	at	ADP
ejde-625	241	8	a	a	DET
ejde-625	241	9	point	point	NOUN
ejde-625	241	10	(	(	PUNCT
ejde-625	241	11	x	x	NOUN
ejde-625	241	12	,	,	PUNCT
ejde-625	241	13	y	y	PROPN
ejde-625	241	14	)	)	PUNCT
ejde-625	241	15	with	with	ADP
ejde-625	241	16	y	y	PROPN
ejde-625	241	17	∈	∈	PROPN
ejde-625	241	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	241	19	.	.	PUNCT
ejde-625	242	1	if	if	SCONJ
ejde-625	242	2	we	we	PRON
ejde-625	242	3	take	take	VERB
ejde-625	242	4	the	the	DET
ejde-625	242	5	derivative	derivative	NOUN
ejde-625	242	6	of	of	ADP
ejde-625	242	7	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	242	8	,	,	PUNCT
ejde-625	242	9	y	y	NOUN
ejde-625	242	10	)	)	PUNCT
ejde-625	242	11	with	with	ADP
ejde-625	242	12	respect	respect	NOUN
ejde-625	242	13	to	to	ADP
ejde-625	242	14	ν	ν	PROPN
ejde-625	242	15	(	(	PUNCT
ejde-625	242	16	external	external	ADJ
ejde-625	242	17	normal	normal	ADJ
ejde-625	242	18	)	)	PUNCT
ejde-625	242	19	and	and	CCONJ
ejde-625	242	20	compute	compute	VERB
ejde-625	242	21	it	it	PRON
ejde-625	242	22	for	for	ADP
ejde-625	242	23	x	x	PROPN
ejde-625	242	24	∈	∈	PROPN
ejde-625	242	25	ω	ω	PROPN
ejde-625	242	26	and	and	CCONJ
ejde-625	242	27	y	y	PROPN
ejde-625	242	28	∈	∈	PROPN
ejde-625	242	29	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	242	30	,	,	PUNCT
ejde-625	242	31	we	we	PRON
ejde-625	242	32	find	find	VERB
ejde-625	242	33	cν(x	cν(x	PROPN
ejde-625	242	34	,	,	PUNCT
ejde-625	242	35	y	y	NOUN
ejde-625	242	36	)	)	PUNCT
ejde-625	242	37	=	=	SYM
ejde-625	242	38	2uν(z)−	2uν(z)−	NUM
ejde-625	242	39	uν(x	uν(x	PRON
ejde-625	242	40	)	)	PUNCT
ejde-625	243	1	+	+	NOUN
ejde-625	243	2	∞	∞	NUM
ejde-625	243	3	=	=	SYM
ejde-625	244	1	+	+	NOUN
ejde-625	244	2	∞	∞	PROPN
ejde-625	244	3	,	,	PUNCT
ejde-625	244	4	z	z	NOUN
ejde-625	244	5	=	=	SYM
ejde-625	244	6	x+	x+	PUNCT
ejde-625	244	7	y	y	PROPN
ejde-625	244	8	2	2	NUM
ejde-625	244	9	.	.	PUNCT
ejde-625	245	1	but	but	CCONJ
ejde-625	245	2	,	,	PUNCT
ejde-625	245	3	if	if	SCONJ
ejde-625	245	4	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	245	5	,	,	PUNCT
ejde-625	245	6	y	y	NOUN
ejde-625	245	7	)	)	PUNCT
ejde-625	245	8	has	have	VERB
ejde-625	245	9	a	a	DET
ejde-625	245	10	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	245	11	then	then	ADV
ejde-625	245	12	cν(x	cν(x	PROPN
ejde-625	245	13	,	,	PUNCT
ejde-625	245	14	y	y	NOUN
ejde-625	245	15	)	)	PUNCT
ejde-625	245	16	≤	≤	NOUN
ejde-625	245	17	0	0	NUM
ejde-625	245	18	,	,	PUNCT
ejde-625	245	19	a	a	DET
ejde-625	245	20	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	245	21	.	.	PUNCT
ejde-625	246	1	□	□	PUNCT
ejde-625	246	2	now	now	ADV
ejde-625	246	3	,	,	PUNCT
ejde-625	246	4	to	to	PART
ejde-625	246	5	prove	prove	VERB
ejde-625	246	6	that	that	SCONJ
ejde-625	246	7	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	246	8	,	,	PUNCT
ejde-625	246	9	y	y	PROPN
ejde-625	246	10	)	)	PUNCT
ejde-625	246	11	≥	≥	NOUN
ejde-625	246	12	0	0	NUM
ejde-625	246	13	it	it	PRON
ejde-625	246	14	is	be	AUX
ejde-625	246	15	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-625	246	16	to	to	PART
ejde-625	246	17	show	show	VERB
ejde-625	246	18	that	that	SCONJ
ejde-625	246	19	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	246	20	,	,	PUNCT
ejde-625	246	21	y	y	NOUN
ejde-625	246	22	)	)	PUNCT
ejde-625	246	23	can	can	AUX
ejde-625	246	24	not	not	PART
ejde-625	246	25	have	have	VERB
ejde-625	246	26	a	a	DET
ejde-625	246	27	negative	negative	ADJ
ejde-625	246	28	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	246	29	in	in	ADP
ejde-625	246	30	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	246	31	ω	ω	NOUN
ejde-625	246	32	.	.	PUNCT
ejde-625	247	1	the	the	DET
ejde-625	247	2	following	following	ADJ
ejde-625	247	3	result	result	NOUN
ejde-625	247	4	is	be	AUX
ejde-625	247	5	well	well	ADV
ejde-625	247	6	-	-	PUNCT
ejde-625	247	7	known	know	VERB
ejde-625	247	8	[	[	X
ejde-625	247	9	16	16	NUM
ejde-625	247	10	]	]	PUNCT
ejde-625	247	11	.	.	PUNCT
ejde-625	248	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	248	2	3.2	3.2	NUM
ejde-625	248	3	(	(	PUNCT
ejde-625	248	4	korevaar	korevaar	NOUN
ejde-625	248	5	-	-	PUNCT
ejde-625	248	6	kennington	kennington	PROPN
ejde-625	248	7	)	)	PUNCT
ejde-625	248	8	.	.	PUNCT
ejde-625	249	1	let	let	VERB
ejde-625	249	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	249	3	)	)	PUNCT
ejde-625	249	4	be	be	VERB
ejde-625	249	5	a	a	DET
ejde-625	249	6	function	function	NOUN
ejde-625	249	7	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	249	8	,	,	PUNCT
ejde-625	249	9	strictly	strictly	ADV
ejde-625	249	10	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	249	11	and	and	CCONJ
ejde-625	249	12	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-625	249	13	concave	concave	NOUN
ejde-625	249	14	.	.	PUNCT
ejde-625	250	1	if	if	SCONJ
ejde-625	250	2	u	u	PROPN
ejde-625	250	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	250	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	250	5	)	)	PUNCT
ejde-625	250	6	is	be	AUX
ejde-625	250	7	a	a	DET
ejde-625	250	8	solution	solution	NOUN
ejde-625	250	9	to	to	ADP
ejde-625	250	10	∆u(x	∆u(x	NOUN
ejde-625	250	11	)	)	PUNCT
ejde-625	251	1	+	+	CCONJ
ejde-625	251	2	f(u(x	f(u(x	NOUN
ejde-625	251	3	)	)	PUNCT
ejde-625	251	4	)	)	PUNCT
ejde-625	252	1	(	(	PUNCT
ejde-625	252	2	1	1	NUM
ejde-625	252	3	+	+	NUM
ejde-625	252	4	k|du(x)|2	k|du(x)|2	NOUN
ejde-625	252	5	)	)	PUNCT
ejde-625	253	1	=	=	SYM
ejde-625	253	2	0	0	NUM
ejde-625	253	3	,	,	PUNCT
ejde-625	253	4	k	k	PROPN
ejde-625	253	5	≥	≥	PROPN
ejde-625	253	6	0	0	NUM
ejde-625	253	7	,	,	PUNCT
ejde-625	253	8	then	then	ADV
ejde-625	253	9	,	,	PUNCT
ejde-625	253	10	the	the	DET
ejde-625	253	11	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	253	12	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	253	13	function	function	NOUN
ejde-625	253	14	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	253	15	,	,	PUNCT
ejde-625	253	16	y	y	NOUN
ejde-625	253	17	)	)	PUNCT
ejde-625	253	18	can	can	AUX
ejde-625	253	19	not	not	PART
ejde-625	253	20	have	have	VERB
ejde-625	253	21	any	any	DET
ejde-625	253	22	negative	negative	ADJ
ejde-625	253	23	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	253	24	in	in	ADP
ejde-625	253	25	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	253	26	ω	ω	NOUN
ejde-625	253	27	.	.	PUNCT
ejde-625	254	1	let	let	VERB
ejde-625	254	2	us	we	PRON
ejde-625	254	3	prove	prove	VERB
ejde-625	254	4	a	a	DET
ejde-625	254	5	different	different	ADJ
ejde-625	254	6	version	version	NOUN
ejde-625	254	7	of	of	ADP
ejde-625	254	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	254	9	3.2	3.2	NUM
ejde-625	254	10	.	.	PUNCT
ejde-625	255	1	theorem	theorem	VERB
ejde-625	255	2	3.3	3.3	NUM
ejde-625	255	3	.	.	PUNCT
ejde-625	256	1	let	let	AUX
ejde-625	256	2	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	256	3	)	)	PUNCT
ejde-625	256	4	be	be	AUX
ejde-625	256	5	a	a	DET
ejde-625	256	6	positive	positive	ADJ
ejde-625	256	7	function	function	NOUN
ejde-625	256	8	such	such	ADJ
ejde-625	256	9	that	that	SCONJ
ejde-625	256	10	φ1/2(t	φ1/2(t	PROPN
ejde-625	256	11	)	)	PUNCT
ejde-625	256	12	is	be	AUX
ejde-625	256	13	convex	convex	PROPN
ejde-625	256	14	.	.	PUNCT
ejde-625	257	1	let	let	VERB
ejde-625	257	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	257	3	)	)	PUNCT
ejde-625	257	4	and	and	CCONJ
ejde-625	257	5	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	257	6	)	)	PUNCT
ejde-625	257	7	be	be	AUX
ejde-625	257	8	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	257	9	,	,	PUNCT
ejde-625	257	10	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	257	11	functions	function	NOUN
ejde-625	257	12	for	for	ADP
ejde-625	257	13	t	t	PROPN
ejde-625	257	14	>	>	X
ejde-625	257	15	0	0	NUM
ejde-625	257	16	,	,	PUNCT
ejde-625	257	17	with	with	ADP
ejde-625	257	18	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	257	19	)	)	PUNCT
ejde-625	257	20	strictly	strictly	ADV
ejde-625	257	21	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	257	22	.	.	PUNCT
ejde-625	258	1	suppose	suppose	VERB
ejde-625	258	2	that	that	SCONJ
ejde-625	258	3	φ(t)f(t	φ(t)f(t	NOUN
ejde-625	258	4	)	)	PUNCT
ejde-625	258	5	and	and	CCONJ
ejde-625	258	6	φ(t)g(t	φ(t)g(t	NOUN
ejde-625	258	7	)	)	PUNCT
ejde-625	258	8	are	be	AUX
ejde-625	258	9	concave	concave	VERB
ejde-625	258	10	.	.	PUNCT
ejde-625	259	1	if	if	SCONJ
ejde-625	259	2	u	u	PROPN
ejde-625	259	3	∈	∈	PROPN
ejde-625	259	4	c2(ω	c2(ω	PRON
ejde-625	259	5	)	)	PUNCT
ejde-625	259	6	is	be	AUX
ejde-625	259	7	a	a	DET
ejde-625	259	8	solution	solution	NOUN
ejde-625	259	9	to	to	ADP
ejde-625	259	10	∆u(x	∆u(x	NOUN
ejde-625	259	11	)	)	PUNCT
ejde-625	260	1	+	+	CCONJ
ejde-625	260	2	f(u(x	f(u(x	NOUN
ejde-625	260	3	)	)	PUNCT
ejde-625	260	4	)	)	PUNCT
ejde-625	261	1	+	+	CCONJ
ejde-625	261	2	k|du(x)|2g(u(x	k|du(x)|2g(u(x	NOUN
ejde-625	261	3	)	)	PUNCT
ejde-625	261	4	)	)	PUNCT
ejde-625	262	1	=	=	SYM
ejde-625	262	2	0	0	NUM
ejde-625	262	3	,	,	PUNCT
ejde-625	262	4	k	k	PROPN
ejde-625	262	5	≥	≥	PROPN
ejde-625	262	6	0	0	NUM
ejde-625	262	7	,	,	PUNCT
ejde-625	262	8	(	(	PUNCT
ejde-625	262	9	3.1	3.1	NUM
ejde-625	262	10	)	)	PUNCT
ejde-625	262	11	in	in	ADP
ejde-625	262	12	a	a	DET
ejde-625	262	13	convex	convex	NOUN
ejde-625	262	14	domain	domain	NOUN
ejde-625	262	15	ω	ω	NOUN
ejde-625	262	16	then	then	ADV
ejde-625	262	17	,	,	PUNCT
ejde-625	262	18	the	the	DET
ejde-625	262	19	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	262	20	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	262	21	function	function	NOUN
ejde-625	262	22	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	262	23	,	,	PUNCT
ejde-625	262	24	y	y	NOUN
ejde-625	262	25	)	)	PUNCT
ejde-625	262	26	can	can	AUX
ejde-625	262	27	not	not	PART
ejde-625	262	28	have	have	VERB
ejde-625	262	29	any	any	DET
ejde-625	262	30	negative	negative	ADJ
ejde-625	262	31	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	262	32	in	in	ADP
ejde-625	262	33	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	262	34	ω	ω	NOUN
ejde-625	262	35	.	.	PUNCT
ejde-625	263	1	proof	proof	NOUN
ejde-625	263	2	.	.	PUNCT
ejde-625	264	1	the	the	DET
ejde-625	264	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	264	3	is	be	AUX
ejde-625	264	4	similar	similar	ADJ
ejde-625	264	5	to	to	ADP
ejde-625	264	6	that	that	PRON
ejde-625	264	7	of	of	ADP
ejde-625	264	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	264	9	2.4	2.4	NUM
ejde-625	264	10	.	.	PUNCT
ejde-625	265	1	by	by	ADP
ejde-625	265	2	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	265	3	,	,	PUNCT
ejde-625	265	4	suppose	suppose	VERB
ejde-625	265	5	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	265	6	,	,	PUNCT
ejde-625	265	7	y	y	NOUN
ejde-625	265	8	)	)	PUNCT
ejde-625	265	9	has	have	VERB
ejde-625	265	10	a	a	DET
ejde-625	265	11	negative	negative	ADJ
ejde-625	265	12	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	265	13	at	at	ADP
ejde-625	265	14	(	(	PUNCT
ejde-625	265	15	x	x	NOUN
ejde-625	265	16	,	,	PUNCT
ejde-625	265	17	y	y	NOUN
ejde-625	265	18	)	)	PUNCT
ejde-625	265	19	∈	∈	PROPN
ejde-625	266	1	ω	ω	NUM
ejde-625	266	2	×	×	PROPN
ejde-625	266	3	ω	ω	NOUN
ejde-625	266	4	.	.	PUNCT
ejde-625	267	1	if	if	SCONJ
ejde-625	267	2	l	l	NOUN
ejde-625	267	3	is	be	AUX
ejde-625	267	4	defined	define	VERB
ejde-625	267	5	as	as	ADP
ejde-625	267	6	in	in	ADP
ejde-625	267	7	(	(	PUNCT
ejde-625	267	8	2.4	2.4	NUM
ejde-625	267	9	)	)	PUNCT
ejde-625	267	10	,	,	PUNCT
ejde-625	267	11	by	by	ADP
ejde-625	267	12	using	use	VERB
ejde-625	267	13	(	(	PUNCT
ejde-625	267	14	2.3	2.3	NUM
ejde-625	267	15	)	)	PUNCT
ejde-625	267	16	with	with	ADP
ejde-625	267	17	u	u	NOUN
ejde-625	267	18	in	in	ADP
ejde-625	267	19	place	place	NOUN
ejde-625	267	20	of	of	ADP
ejde-625	267	21	v	v	NOUN
ejde-625	267	22	,	,	PUNCT
ejde-625	267	23	we	we	PRON
ejde-625	267	24	find	find	VERB
ejde-625	267	25	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	267	26	,	,	PUNCT
ejde-625	267	27	y	y	NOUN
ejde-625	267	28	)	)	PUNCT
ejde-625	267	29	=	=	PUNCT
ejde-625	268	1	(	(	PUNCT
ejde-625	268	2	r	r	NOUN
ejde-625	268	3	+	+	CCONJ
ejde-625	268	4	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	268	5	2	2	NUM
ejde-625	268	6	∆u(z)−	∆u(z)−	PROPN
ejde-625	268	7	r2∆u(x)−	r2∆u(x)−	X
ejde-625	268	8	s2∆u(y	s2∆u(y	PROPN
ejde-625	268	9	)	)	PUNCT
ejde-625	268	10	.	.	PUNCT
ejde-625	269	1	since	since	SCONJ
ejde-625	269	2	(	(	PUNCT
ejde-625	269	3	x	x	NOUN
ejde-625	269	4	,	,	PUNCT
ejde-625	269	5	y	y	NOUN
ejde-625	269	6	)	)	PUNCT
ejde-625	269	7	is	be	AUX
ejde-625	269	8	a	a	DET
ejde-625	269	9	point	point	NOUN
ejde-625	269	10	of	of	ADP
ejde-625	269	11	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	269	12	for	for	ADP
ejde-625	269	13	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	269	14	,	,	PUNCT
ejde-625	269	15	y	y	PROPN
ejde-625	269	16	)	)	PUNCT
ejde-625	269	17	,	,	PUNCT
ejde-625	269	18	we	we	PRON
ejde-625	269	19	have	have	VERB
ejde-625	269	20	du(x	du(x	ADV
ejde-625	269	21	)	)	PUNCT
ejde-625	269	22	=	=	SYM
ejde-625	269	23	du(z	du(z	NOUN
ejde-625	269	24	)	)	PUNCT
ejde-625	269	25	=	=	SYM
ejde-625	269	26	du(y	du(y	NOUN
ejde-625	269	27	)	)	PUNCT
ejde-625	269	28	.	.	PUNCT
ejde-625	270	1	hence	hence	ADV
ejde-625	270	2	,	,	PUNCT
ejde-625	270	3	on	on	ADP
ejde-625	270	4	using	use	VERB
ejde-625	270	5	(	(	PUNCT
ejde-625	270	6	3.1	3.1	NUM
ejde-625	270	7	)	)	PUNCT
ejde-625	270	8	,	,	PUNCT
ejde-625	270	9	we	we	PRON
ejde-625	270	10	find	find	VERB
ejde-625	270	11	that	that	SCONJ
ejde-625	270	12	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	270	13	,	,	PUNCT
ejde-625	270	14	y	y	NOUN
ejde-625	270	15	)	)	PUNCT
ejde-625	270	16	=	=	SYM
ejde-625	271	1	−	−	PROPN
ejde-625	271	2	(	(	PUNCT
ejde-625	271	3	r	r	NOUN
ejde-625	271	4	+	+	CCONJ
ejde-625	271	5	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	271	6	2	2	NUM
ejde-625	271	7	f(u(z	f(u(z	NOUN
ejde-625	271	8	)	)	PUNCT
ejde-625	271	9	)	)	PUNCT
ejde-625	272	1	+	+	CCONJ
ejde-625	272	2	r2f(u(x	r2f(u(x	NOUN
ejde-625	272	3	)	)	PUNCT
ejde-625	272	4	)	)	PUNCT
ejde-625	273	1	+	+	CCONJ
ejde-625	273	2	s2f(u(y	s2f(u(y	NOUN
ejde-625	273	3	)	)	PUNCT
ejde-625	273	4	)	)	PUNCT
ejde-625	273	5	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADV
ejde-625	273	6	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	273	7	of	of	ADP
ejde-625	273	8	solutions	solution	NOUN
ejde-625	273	9	to	to	ADP
ejde-625	273	10	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	273	11	pde	pde	NOUN
ejde-625	273	12	’s	’s	PART
ejde-625	273	13	9	9	NUM
ejde-625	273	14	+	+	NUM
ejde-625	273	15	k|du(z)|2	k|du(z)|2	X
ejde-625	273	16	[	[	PUNCT
ejde-625	273	17	−	−	PROPN
ejde-625	273	18	(	(	PUNCT
ejde-625	273	19	r	r	NOUN
ejde-625	273	20	+	+	CCONJ
ejde-625	273	21	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	273	22	2	2	NUM
ejde-625	273	23	g(u(z	g(u(z	NOUN
ejde-625	273	24	)	)	PUNCT
ejde-625	273	25	)	)	PUNCT
ejde-625	273	26	+	+	CCONJ
ejde-625	273	27	r2g(u(x	r2g(u(x	NOUN
ejde-625	273	28	)	)	PUNCT
ejde-625	273	29	)	)	PUNCT
ejde-625	274	1	+	+	CCONJ
ejde-625	274	2	s2g(u(y	s2g(u(y	NOUN
ejde-625	274	3	)	)	PUNCT
ejde-625	274	4	)	)	PUNCT
ejde-625	274	5	]	]	PUNCT
ejde-625	274	6	.	.	PUNCT
ejde-625	275	1	since	since	SCONJ
ejde-625	275	2	f(t	f(t	PROPN
ejde-625	275	3	)	)	PUNCT
ejde-625	275	4	is	be	AUX
ejde-625	275	5	strictly	strictly	ADV
ejde-625	275	6	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	275	7	,	,	PUNCT
ejde-625	275	8	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	275	9	)	)	PUNCT
ejde-625	275	10	is	be	AUX
ejde-625	275	11	decreasing	decrease	VERB
ejde-625	275	12	and	and	CCONJ
ejde-625	275	13	v(z	v(z	NOUN
ejde-625	275	14	)	)	PUNCT
ejde-625	275	15	<	<	X
ejde-625	275	16	v(x)+v(y	v(x)+v(y	PROPN
ejde-625	275	17	)	)	PUNCT
ejde-625	275	18	2	2	NUM
ejde-625	275	19	,	,	PUNCT
ejde-625	275	20	we	we	PRON
ejde-625	275	21	have	have	VERB
ejde-625	275	22	−f(u(z	−f(u(z	NOUN
ejde-625	275	23	)	)	PUNCT
ejde-625	275	24	)	)	PUNCT
ejde-625	276	1	<	<	X
ejde-625	276	2	−f	−f	PROPN
ejde-625	276	3	(	(	PUNCT
ejde-625	276	4	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	276	5	)	)	PUNCT
ejde-625	276	6	+	+	CCONJ
ejde-625	276	7	u(y	u(y	X
ejde-625	276	8	)	)	PUNCT
ejde-625	276	9	2	2	NUM
ejde-625	276	10	)	)	PUNCT
ejde-625	276	11	and	and	CCONJ
ejde-625	276	12	−g(u(z	−g(u(z	PROPN
ejde-625	276	13	)	)	PUNCT
ejde-625	276	14	)	)	PUNCT
ejde-625	276	15	≤	≤	NUM
ejde-625	276	16	−g	−g	NOUN
ejde-625	276	17	(	(	PUNCT
ejde-625	276	18	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	276	19	)	)	PUNCT
ejde-625	276	20	+	+	CCONJ
ejde-625	276	21	u(y	u(y	X
ejde-625	276	22	)	)	PUNCT
ejde-625	276	23	2	2	NUM
ejde-625	276	24	)	)	PUNCT
ejde-625	276	25	.	.	PUNCT
ejde-625	277	1	therefore	therefore	ADV
ejde-625	277	2	,	,	PUNCT
ejde-625	277	3	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	277	4	,	,	PUNCT
ejde-625	277	5	y	y	NOUN
ejde-625	277	6	)	)	PUNCT
ejde-625	277	7	<	<	X
ejde-625	278	1	−	−	PROPN
ejde-625	278	2	(	(	PUNCT
ejde-625	278	3	r	r	NOUN
ejde-625	278	4	+	+	CCONJ
ejde-625	278	5	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	278	6	2	2	NUM
ejde-625	278	7	f	f	NOUN
ejde-625	278	8	(	(	PUNCT
ejde-625	278	9	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	278	10	)	)	PUNCT
ejde-625	279	1	+	+	CCONJ
ejde-625	279	2	u(y	u(y	X
ejde-625	279	3	)	)	PUNCT
ejde-625	279	4	2	2	NUM
ejde-625	279	5	)	)	PUNCT
ejde-625	280	1	+	+	CCONJ
ejde-625	280	2	r2f(u(x	r2f(u(x	NOUN
ejde-625	280	3	)	)	PUNCT
ejde-625	280	4	)	)	PUNCT
ejde-625	281	1	+	+	CCONJ
ejde-625	281	2	s2f(u(y	s2f(u(y	NOUN
ejde-625	281	3	)	)	PUNCT
ejde-625	281	4	)	)	PUNCT
ejde-625	282	1	+	+	CCONJ
ejde-625	282	2	k|du(z)|2	k|du(z)|2	X
ejde-625	282	3	[	[	PUNCT
ejde-625	282	4	−	−	PROPN
ejde-625	282	5	(	(	PUNCT
ejde-625	282	6	r	r	NOUN
ejde-625	282	7	+	+	X
ejde-625	282	8	s)2	s)2	PROPN
ejde-625	282	9	2	2	NUM
ejde-625	282	10	g	g	NOUN
ejde-625	282	11	(	(	PUNCT
ejde-625	282	12	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	282	13	)	)	PUNCT
ejde-625	282	14	+	+	CCONJ
ejde-625	282	15	u(y	u(y	X
ejde-625	282	16	)	)	PUNCT
ejde-625	282	17	2	2	NUM
ejde-625	282	18	)	)	PUNCT
ejde-625	282	19	+	+	CCONJ
ejde-625	282	20	r2g(u(x	r2g(u(x	NOUN
ejde-625	282	21	)	)	PUNCT
ejde-625	282	22	)	)	PUNCT
ejde-625	283	1	+	+	CCONJ
ejde-625	283	2	s2g(u(y	s2g(u(y	NOUN
ejde-625	283	3	)	)	PUNCT
ejde-625	283	4	)	)	PUNCT
ejde-625	283	5	]	]	PUNCT
ejde-625	283	6	.	.	PUNCT
ejde-625	284	1	puting	put	VERB
ejde-625	284	2	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	284	3	)	)	PUNCT
ejde-625	284	4	=	=	SYM
ejde-625	284	5	a	a	PRON
ejde-625	284	6	,	,	PUNCT
ejde-625	284	7	u(y	u(y	PROPN
ejde-625	284	8	)	)	PUNCT
ejde-625	284	9	=	=	SYM
ejde-625	284	10	b	b	NOUN
ejde-625	284	11	,	,	PUNCT
ejde-625	284	12	and	and	CCONJ
ejde-625	284	13	choosing	choose	VERB
ejde-625	284	14	r	r	NOUN
ejde-625	284	15	=	=	SYM
ejde-625	284	16	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	284	17	)	)	PUNCT
ejde-625	284	18	and	and	CCONJ
ejde-625	284	19	s	s	NOUN
ejde-625	284	20	=	=	NOUN
ejde-625	284	21	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	284	22	)	)	PUNCT
ejde-625	284	23	,	,	PUNCT
ejde-625	284	24	we	we	PRON
ejde-625	284	25	find	find	VERB
ejde-625	284	26	that	that	SCONJ
ejde-625	284	27	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	284	28	,	,	PUNCT
ejde-625	284	29	y	y	NOUN
ejde-625	284	30	)	)	PUNCT
ejde-625	284	31	<	<	X
ejde-625	284	32	−1	−1	NOUN
ejde-625	284	33	2	2	NUM
ejde-625	284	34	(	(	PUNCT
ejde-625	284	35	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	284	36	)	)	PUNCT
ejde-625	284	37	+	+	CCONJ
ejde-625	284	38	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	284	39	)	)	PUNCT
ejde-625	284	40	)	)	PUNCT
ejde-625	284	41	2	2	NUM
ejde-625	284	42	f	f	NOUN
ejde-625	284	43	(	(	PUNCT
ejde-625	284	44	a+	a+	PROPN
ejde-625	284	45	b	b	PROPN
ejde-625	284	46	2	2	NUM
ejde-625	284	47	)	)	PUNCT
ejde-625	284	48	+	+	NUM
ejde-625	284	49	φ(a)f(a	φ(a)f(a	X
ejde-625	284	50	)	)	PUNCT
ejde-625	284	51	+	+	NUM
ejde-625	284	52	φ(b)f(b	φ(b)f(b	NUM
ejde-625	284	53	)	)	PUNCT
ejde-625	285	1	+	+	CCONJ
ejde-625	285	2	k|du(z)|2	k|du(z)|2	X
ejde-625	285	3	[	[	PUNCT
ejde-625	285	4	−1	−1	NOUN
ejde-625	285	5	2	2	NUM
ejde-625	285	6	(	(	PUNCT
ejde-625	285	7	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	285	8	)	)	PUNCT
ejde-625	285	9	+	+	CCONJ
ejde-625	285	10	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	285	11	)	)	PUNCT
ejde-625	285	12	)	)	PUNCT
ejde-625	285	13	2	2	NUM
ejde-625	285	14	g	g	NOUN
ejde-625	285	15	(	(	PUNCT
ejde-625	285	16	a+	a+	NOUN
ejde-625	285	17	b	b	PROPN
ejde-625	285	18	2	2	NUM
ejde-625	285	19	)	)	PUNCT
ejde-625	285	20	+	+	NUM
ejde-625	285	21	φ(a)g(a	φ(a)g(a	NUM
ejde-625	285	22	)	)	PUNCT
ejde-625	285	23	+	+	NUM
ejde-625	285	24	φ(b)g(b	φ(b)g(b	NOUN
ejde-625	285	25	)	)	PUNCT
ejde-625	285	26	]	]	PUNCT
ejde-625	285	27	.	.	PUNCT
ejde-625	286	1	since	since	SCONJ
ejde-625	286	2	φ1/2(t	φ1/2(t	PROPN
ejde-625	286	3	)	)	PUNCT
ejde-625	286	4	is	be	AUX
ejde-625	286	5	convex	convex	PROPN
ejde-625	286	6	,	,	PUNCT
ejde-625	286	7	we	we	PRON
ejde-625	286	8	have	have	VERB
ejde-625	286	9	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	286	10	)	)	PUNCT
ejde-625	287	1	+	+	CCONJ
ejde-625	287	2	φ1/2(b	φ1/2(b	ADJ
ejde-625	287	3	)	)	PUNCT
ejde-625	287	4	2	2	NUM
ejde-625	287	5	≥	≥	NOUN
ejde-625	287	6	φ1/2	φ1/2	PROPN
ejde-625	287	7	(	(	PUNCT
ejde-625	287	8	a+	a+	NOUN
ejde-625	287	9	b	b	PROPN
ejde-625	287	10	2	2	NUM
ejde-625	287	11	)	)	PUNCT
ejde-625	287	12	,	,	PUNCT
ejde-625	287	13	which	which	PRON
ejde-625	287	14	can	can	AUX
ejde-625	287	15	be	be	AUX
ejde-625	287	16	written	write	VERB
ejde-625	287	17	as	as	ADP
ejde-625	287	18	−1	−1	NOUN
ejde-625	287	19	2	2	NUM
ejde-625	287	20	(	(	PUNCT
ejde-625	287	21	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	287	22	)	)	PUNCT
ejde-625	287	23	+	+	CCONJ
ejde-625	287	24	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	287	25	)	)	PUNCT
ejde-625	287	26	)	)	PUNCT
ejde-625	287	27	2	2	NUM
ejde-625	287	28	≤	≤	NOUN
ejde-625	287	29	−2φ	−2φ	PROPN
ejde-625	287	30	(	(	PUNCT
ejde-625	287	31	a+	a+	SYM
ejde-625	287	32	b	b	PROPN
ejde-625	287	33	2	2	NUM
ejde-625	287	34	)	)	PUNCT
ejde-625	287	35	.	.	PUNCT
ejde-625	288	1	on	on	ADP
ejde-625	288	2	using	use	VERB
ejde-625	288	3	this	this	DET
ejde-625	288	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-625	288	5	,	,	PUNCT
ejde-625	288	6	we	we	PRON
ejde-625	288	7	find	find	VERB
ejde-625	288	8	−	−	NUM
ejde-625	288	9	1	1	NUM
ejde-625	288	10	2	2	NUM
ejde-625	288	11	(	(	PUNCT
ejde-625	288	12	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	288	13	)	)	PUNCT
ejde-625	288	14	+	+	CCONJ
ejde-625	288	15	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	288	16	)	)	PUNCT
ejde-625	288	17	)	)	PUNCT
ejde-625	288	18	2	2	NUM
ejde-625	288	19	f	f	NOUN
ejde-625	288	20	(	(	PUNCT
ejde-625	288	21	a+	a+	PROPN
ejde-625	288	22	b	b	PROPN
ejde-625	288	23	2	2	NUM
ejde-625	288	24	)	)	PUNCT
ejde-625	288	25	+	+	NUM
ejde-625	288	26	φ(a)f(a	φ(a)f(a	X
ejde-625	288	27	)	)	PUNCT
ejde-625	288	28	+	+	NUM
ejde-625	288	29	φ(b)f(b	φ(b)f(b	X
ejde-625	288	30	)	)	PUNCT
ejde-625	288	31	≤	≤	NOUN
ejde-625	288	32	−2φ	−2φ	PROPN
ejde-625	288	33	(	(	PUNCT
ejde-625	288	34	a+	a+	SYM
ejde-625	288	35	b	b	PROPN
ejde-625	288	36	2	2	X
ejde-625	288	37	)	)	PUNCT
ejde-625	288	38	f	f	NOUN
ejde-625	288	39	(	(	PUNCT
ejde-625	288	40	a+	a+	NOUN
ejde-625	288	41	b	b	PROPN
ejde-625	288	42	2	2	NUM
ejde-625	288	43	)	)	PUNCT
ejde-625	288	44	+	+	NUM
ejde-625	288	45	φ(a)f(a	φ(a)f(a	X
ejde-625	288	46	)	)	PUNCT
ejde-625	288	47	+	+	NUM
ejde-625	288	48	φ(b)f(b	φ(b)f(b	X
ejde-625	288	49	)	)	PUNCT
ejde-625	288	50	≤	≤	NOUN
ejde-625	288	51	0	0	NUM
ejde-625	288	52	,	,	PUNCT
ejde-625	288	53	and	and	CCONJ
ejde-625	288	54	−	−	PROPN
ejde-625	288	55	1	1	NUM
ejde-625	288	56	2	2	NUM
ejde-625	288	57	(	(	PUNCT
ejde-625	288	58	φ1/2(a	φ1/2(a	NOUN
ejde-625	288	59	)	)	PUNCT
ejde-625	288	60	+	+	CCONJ
ejde-625	288	61	φ1/2(b	φ1/2(b	NOUN
ejde-625	288	62	)	)	PUNCT
ejde-625	288	63	)	)	PUNCT
ejde-625	288	64	2	2	NUM
ejde-625	288	65	g	g	NOUN
ejde-625	288	66	(	(	PUNCT
ejde-625	288	67	a+	a+	NOUN
ejde-625	288	68	b	b	PROPN
ejde-625	288	69	2	2	NUM
ejde-625	288	70	)	)	PUNCT
ejde-625	288	71	+	+	NUM
ejde-625	288	72	φ(a)g(a	φ(a)g(a	NUM
ejde-625	288	73	)	)	PUNCT
ejde-625	288	74	+	+	NUM
ejde-625	288	75	φ(b)g(b	φ(b)g(b	X
ejde-625	288	76	)	)	PUNCT
ejde-625	288	77	≤	≤	NOUN
ejde-625	288	78	−2φ	−2φ	PROPN
ejde-625	288	79	(	(	PUNCT
ejde-625	288	80	a+	a+	SYM
ejde-625	288	81	b	b	NOUN
ejde-625	288	82	2	2	X
ejde-625	288	83	)	)	PUNCT
ejde-625	288	84	g	g	NOUN
ejde-625	288	85	(	(	PUNCT
ejde-625	288	86	a+	a+	PROPN
ejde-625	288	87	b	b	PROPN
ejde-625	288	88	2	2	NUM
ejde-625	288	89	)	)	PUNCT
ejde-625	288	90	+	+	NUM
ejde-625	288	91	φ(a)g(a	φ(a)g(a	NUM
ejde-625	288	92	)	)	PUNCT
ejde-625	288	93	+	+	NUM
ejde-625	288	94	φ(b)g(b	φ(b)g(b	X
ejde-625	288	95	)	)	PUNCT
ejde-625	288	96	≤	≤	NUM
ejde-625	288	97	0	0	NUM
ejde-625	288	98	,	,	PUNCT
ejde-625	288	99	where	where	SCONJ
ejde-625	288	100	the	the	DET
ejde-625	288	101	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	288	102	of	of	ADP
ejde-625	288	103	φ(t)f(t	φ(t)f(t	NOUN
ejde-625	288	104	)	)	PUNCT
ejde-625	288	105	and	and	CCONJ
ejde-625	288	106	φ(t)g(t	φ(t)g(t	NOUN
ejde-625	288	107	)	)	PUNCT
ejde-625	288	108	have	have	AUX
ejde-625	288	109	been	be	AUX
ejde-625	288	110	used	use	VERB
ejde-625	288	111	.	.	PUNCT
ejde-625	289	1	hence	hence	ADV
ejde-625	289	2	,	,	PUNCT
ejde-625	289	3	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	289	4	,	,	PUNCT
ejde-625	289	5	y	y	NOUN
ejde-625	289	6	)	)	PUNCT
ejde-625	289	7	<	<	X
ejde-625	289	8	0	0	X
ejde-625	289	9	.	.	PUNCT
ejde-625	290	1	but	but	CCONJ
ejde-625	290	2	,	,	PUNCT
ejde-625	290	3	at	at	ADP
ejde-625	290	4	(	(	PUNCT
ejde-625	290	5	x	x	NOUN
ejde-625	290	6	,	,	PUNCT
ejde-625	290	7	y	y	PROPN
ejde-625	290	8	)	)	PUNCT
ejde-625	290	9	(	(	PUNCT
ejde-625	290	10	point	point	NOUN
ejde-625	290	11	of	of	ADP
ejde-625	290	12	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	290	13	)	)	PUNCT
ejde-625	290	14	we	we	PRON
ejde-625	290	15	have	have	VERB
ejde-625	290	16	lc(x	lc(x	NOUN
ejde-625	290	17	,	,	PUNCT
ejde-625	290	18	y	y	PROPN
ejde-625	290	19	)	)	PUNCT
ejde-625	290	20	≥	≥	NOUN
ejde-625	290	21	0	0	NUM
ejde-625	290	22	,	,	PUNCT
ejde-625	290	23	a	a	DET
ejde-625	290	24	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-625	290	25	.	.	PUNCT
ejde-625	291	1	the	the	DET
ejde-625	291	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	291	3	is	be	AUX
ejde-625	291	4	complete	complete	ADJ
ejde-625	291	5	.	.	PUNCT
ejde-625	292	1	□	□	PUNCT
ejde-625	292	2	examples	example	NOUN
ejde-625	292	3	.	.	PUNCT
ejde-625	293	1	if	if	SCONJ
ejde-625	293	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	293	3	)	)	PUNCT
ejde-625	294	1	=	=	SYM
ejde-625	294	2	1	1	NUM
ejde-625	294	3	/	/	SYM
ejde-625	294	4	tγ	tγ	PROPN
ejde-625	294	5	and	and	CCONJ
ejde-625	294	6	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	294	7	)	)	PUNCT
ejde-625	294	8	=	=	SYM
ejde-625	295	1	1	1	X
ejde-625	295	2	/	/	SYM
ejde-625	295	3	tγ+1	tγ+1	PROPN
ejde-625	295	4	with	with	ADP
ejde-625	295	5	γ	γ	PROPN
ejde-625	295	6	≥	≥	PROPN
ejde-625	295	7	1	1	NUM
ejde-625	295	8	,	,	PUNCT
ejde-625	295	9	we	we	PRON
ejde-625	295	10	can	can	AUX
ejde-625	295	11	choose	choose	VERB
ejde-625	295	12	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	295	13	)	)	PUNCT
ejde-625	295	14	=	=	PUNCT
ejde-625	296	1	tγ+1	tγ+1	PROPN
ejde-625	296	2	.	.	PUNCT
ejde-625	297	1	if	if	SCONJ
ejde-625	297	2	f(t	f(t	NOUN
ejde-625	297	3	)	)	PUNCT
ejde-625	297	4	=	=	SYM
ejde-625	297	5	1	1	NUM
ejde-625	297	6	tet	tet	NOUN
ejde-625	297	7	and	and	CCONJ
ejde-625	297	8	g(t	g(t	PROPN
ejde-625	297	9	)	)	PUNCT
ejde-625	298	1	=	=	SYM
ejde-625	298	2	1	1	NUM
ejde-625	298	3	t2et	t2et	PUNCT
ejde-625	298	4	,	,	PUNCT
ejde-625	298	5	we	we	PRON
ejde-625	298	6	can	can	AUX
ejde-625	298	7	chose	choose	VERB
ejde-625	298	8	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	298	9	)	)	PUNCT
ejde-625	298	10	=	=	PUNCT
ejde-625	298	11	t2et	t2et	X
ejde-625	298	12	.	.	PUNCT
ejde-625	298	13	recall	recall	NOUN
ejde-625	298	14	that	that	SCONJ
ejde-625	298	15	ω	ω	PROPN
ejde-625	298	16	is	be	AUX
ejde-625	298	17	assumed	assume	VERB
ejde-625	298	18	to	to	PART
ejde-625	298	19	be	be	AUX
ejde-625	298	20	convex	convex	NOUN
ejde-625	298	21	.	.	PUNCT
ejde-625	299	1	by	by	ADP
ejde-625	299	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-625	299	3	3.2	3.2	NUM
ejde-625	299	4	,	,	PUNCT
ejde-625	299	5	the	the	DET
ejde-625	299	6	solution	solution	NOUN
ejde-625	299	7	u	u	NOUN
ejde-625	299	8	to	to	ADP
ejde-625	299	9	the	the	DET
ejde-625	299	10	problem	problem	NOUN
ejde-625	299	11	∆u+	∆u+	PROPN
ejde-625	299	12	u−γ	u−γ	PROPN
ejde-625	299	13	=	=	NOUN
ejde-625	299	14	0	0	NUM
ejde-625	299	15	in	in	ADP
ejde-625	299	16	ω	ω	PROPN
ejde-625	299	17	,	,	PUNCT
ejde-625	299	18	u	u	NOUN
ejde-625	299	19	=	=	NOUN
ejde-625	299	20	0	0	NUM
ejde-625	299	21	on	on	ADP
ejde-625	299	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	299	23	,	,	PUNCT
ejde-625	299	24	with	with	ADP
ejde-625	299	25	γ	γ	PROPN
ejde-625	299	26	>	>	SYM
ejde-625	299	27	1	1	NUM
ejde-625	299	28	concave	concave	NOUN
ejde-625	299	29	in	in	ADP
ejde-625	299	30	ω	ω	PROPN
ejde-625	299	31	.	.	PUNCT
ejde-625	300	1	can	can	AUX
ejde-625	300	2	we	we	PRON
ejde-625	300	3	say	say	VERB
ejde-625	300	4	that	that	SCONJ
ejde-625	300	5	uα	uα	PROPN
ejde-625	300	6	is	be	AUX
ejde-625	300	7	concave	concave	VERB
ejde-625	300	8	for	for	ADP
ejde-625	300	9	some	some	DET
ejde-625	300	10	α	α	NOUN
ejde-625	300	11	>	>	X
ejde-625	300	12	1	1	X
ejde-625	300	13	?	?	PUNCT
ejde-625	301	1	let	let	VERB
ejde-625	301	2	us	we	PRON
ejde-625	301	3	prove	prove	VERB
ejde-625	301	4	the	the	DET
ejde-625	301	5	following	follow	VERB
ejde-625	301	6	results	result	NOUN
ejde-625	301	7	.	.	PUNCT
ejde-625	302	1	recall	recall	VERB
ejde-625	302	2	that	that	SCONJ
ejde-625	302	3	ω	ω	PROPN
ejde-625	302	4	is	be	AUX
ejde-625	302	5	a	a	DET
ejde-625	302	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-625	302	7	convex	convex	NOUN
ejde-625	302	8	domain	domain	NOUN
ejde-625	302	9	with	with	ADP
ejde-625	302	10	a	a	DET
ejde-625	302	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-625	302	12	boundary	boundary	NOUN
ejde-625	302	13	.	.	PUNCT
ejde-625	303	1	10	10	NUM
ejde-625	303	2	b.	b.	PROPN
ejde-625	303	3	mebrate	mebrate	PROPN
ejde-625	303	4	,	,	PUNCT
ejde-625	303	5	g.	g.	PROPN
ejde-625	303	6	porru	porru	PROPN
ejde-625	303	7	ejde-2024/51	ejde-2024/51	PROPN
ejde-625	303	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-625	303	9	3.4	3.4	NUM
ejde-625	303	10	.	.	PUNCT
ejde-625	304	1	let	let	VERB
ejde-625	304	2	γ	γ	X
ejde-625	304	3	>	>	X
ejde-625	304	4	1	1	NUM
ejde-625	304	5	and	and	CCONJ
ejde-625	304	6	a	a	DET
ejde-625	304	7	≥	≥	NOUN
ejde-625	304	8	γ−1	γ−1	ADV
ejde-625	304	9	2	2	NUM
ejde-625	304	10	.	.	PUNCT
ejde-625	305	1	if	if	SCONJ
ejde-625	305	2	u	u	NOUN
ejde-625	305	3	is	be	AUX
ejde-625	305	4	a	a	DET
ejde-625	305	5	positive	positive	ADJ
ejde-625	305	6	solution	solution	NOUN
ejde-625	305	7	to	to	ADP
ejde-625	305	8	∆u+	∆u+	VERB
ejde-625	305	9	a	a	DET
ejde-625	305	10	|du|2	|du|2	PUNCT
ejde-625	305	11	u	u	NOUN
ejde-625	305	12	+	+	NOUN
ejde-625	305	13	u−γ	u−γ	NOUN
ejde-625	305	14	=	=	SYM
ejde-625	305	15	0	0	NUM
ejde-625	305	16	in	in	ADP
ejde-625	305	17	ω	ω	PROPN
ejde-625	305	18	,	,	PUNCT
ejde-625	305	19	u	u	NOUN
ejde-625	305	20	=	=	NOUN
ejde-625	305	21	0	0	NUM
ejde-625	305	22	on	on	ADP
ejde-625	305	23	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	305	24	,	,	PUNCT
ejde-625	305	25	then	then	ADV
ejde-625	305	26	the	the	DET
ejde-625	305	27	function	function	NOUN
ejde-625	305	28	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	305	29	)	)	PUNCT
ejde-625	306	1	=	=	SYM
ejde-625	306	2	u	u	X
ejde-625	306	3	γ+1	γ+1	ADJ
ejde-625	306	4	2	2	NUM
ejde-625	306	5	(	(	PUNCT
ejde-625	306	6	x	x	X
ejde-625	306	7	)	)	PUNCT
ejde-625	306	8	is	be	AUX
ejde-625	306	9	concave	concave	VERB
ejde-625	306	10	.	.	PUNCT
ejde-625	307	1	proof	proof	NOUN
ejde-625	307	2	.	.	PUNCT
ejde-625	308	1	the	the	DET
ejde-625	308	2	equation	equation	NOUN
ejde-625	308	3	in	in	ADP
ejde-625	308	4	terms	term	NOUN
ejde-625	308	5	of	of	ADP
ejde-625	308	6	v	v	ADJ
ejde-625	308	7	reads	read	NOUN
ejde-625	308	8	as	as	SCONJ
ejde-625	308	9	follows	follow	VERB
ejde-625	308	10	∆v	∆v	PROPN
ejde-625	308	11	+	+	PROPN
ejde-625	308	12	λ	λ	PROPN
ejde-625	308	13	|dv|2	|dv|2	NOUN
ejde-625	308	14	v	v	NOUN
ejde-625	308	15	+	+	CCONJ
ejde-625	308	16	γ	γ	X
ejde-625	308	17	+	+	PROPN
ejde-625	308	18	1	1	NUM
ejde-625	308	19	2v	2v	NUM
ejde-625	308	20	=	=	SYM
ejde-625	308	21	0	0	PROPN
ejde-625	308	22	,	,	PUNCT
ejde-625	308	23	λ	λ	X
ejde-625	308	24	=	=	SYM
ejde-625	308	25	2	2	NUM
ejde-625	308	26	γ	γ	X
ejde-625	308	27	+	+	NOUN
ejde-625	308	28	1	1	NUM
ejde-625	308	29	(	(	PUNCT
ejde-625	308	30	a−	a−	PROPN
ejde-625	308	31	γ	γ	NOUN
ejde-625	308	32	−	−	PROPN
ejde-625	308	33	1	1	NUM
ejde-625	308	34	2	2	NUM
ejde-625	308	35	)	)	PUNCT
ejde-625	308	36	.	.	PUNCT
ejde-625	309	1	clearly	clearly	ADV
ejde-625	309	2	,	,	PUNCT
ejde-625	309	3	u	u	PROPN
ejde-625	309	4	=	=	SYM
ejde-625	309	5	0	0	NUM
ejde-625	309	6	implies	imply	VERB
ejde-625	309	7	v	v	NOUN
ejde-625	309	8	=	=	SYM
ejde-625	309	9	0	0	NUM
ejde-625	309	10	.	.	PUNCT
ejde-625	310	1	moreover	moreover	ADV
ejde-625	310	2	,	,	PUNCT
ejde-625	310	3	the	the	DET
ejde-625	310	4	condition	condition	NOUN
ejde-625	310	5	a	a	DET
ejde-625	310	6	≥	≥	NOUN
ejde-625	310	7	γ−1	γ−1	ADV
ejde-625	310	8	2	2	NUM
ejde-625	310	9	implies	imply	VERB
ejde-625	310	10	λ	λ	PROPN
ejde-625	310	11	≥	≥	NOUN
ejde-625	310	12	0	0	NUM
ejde-625	310	13	.	.	PUNCT
ejde-625	311	1	one	one	PRON
ejde-625	311	2	proves	prove	VERB
ejde-625	311	3	(	(	PUNCT
ejde-625	311	4	for	for	ADP
ejde-625	311	5	example	example	NOUN
ejde-625	311	6	by	by	ADP
ejde-625	311	7	using	use	VERB
ejde-625	311	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-625	311	9	3.3	3.3	NUM
ejde-625	311	10	with	with	ADP
ejde-625	311	11	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-625	311	12	)	)	PUNCT
ejde-625	311	13	=	=	SYM
ejde-625	311	14	t2	t2	NOUN
ejde-625	311	15	)	)	PUNCT
ejde-625	311	16	that	that	SCONJ
ejde-625	311	17	the	the	DET
ejde-625	311	18	corresponding	correspond	VERB
ejde-625	311	19	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	311	20	function	function	NOUN
ejde-625	311	21	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	311	22	,	,	PUNCT
ejde-625	311	23	y	y	NOUN
ejde-625	311	24	)	)	PUNCT
ejde-625	311	25	can	can	AUX
ejde-625	311	26	not	not	PART
ejde-625	311	27	have	have	VERB
ejde-625	311	28	a	a	DET
ejde-625	311	29	negative	negative	ADJ
ejde-625	311	30	minimum	minimum	NOUN
ejde-625	311	31	in	in	ADP
ejde-625	311	32	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	311	33	ω	ω	NOUN
ejde-625	311	34	.	.	PUNCT
ejde-625	311	35	to	to	PART
ejde-625	311	36	conclude	conclude	VERB
ejde-625	311	37	that	that	DET
ejde-625	311	38	c(x	c(x	NOUN
ejde-625	311	39	,	,	PUNCT
ejde-625	311	40	y	y	PROPN
ejde-625	311	41	)	)	PUNCT
ejde-625	311	42	≥	≥	NOUN
ejde-625	311	43	0	0	NUM
ejde-625	311	44	in	in	ADP
ejde-625	311	45	ω×	ω×	PROPN
ejde-625	311	46	ω	ω	PROPN
ejde-625	311	47	,	,	PUNCT
ejde-625	311	48	it	it	PRON
ejde-625	311	49	suffices	suffice	VERB
ejde-625	311	50	to	to	PART
ejde-625	311	51	show	show	VERB
ejde-625	311	52	that	that	SCONJ
ejde-625	311	53	vν	vν	ADV
ejde-625	311	54	=	=	SYM
ejde-625	311	55	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	311	56	on	on	ADP
ejde-625	311	57	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	311	58	.	.	PUNCT
ejde-625	312	1	to	to	PART
ejde-625	312	2	prove	prove	VERB
ejde-625	312	3	this	this	PRON
ejde-625	312	4	,	,	PUNCT
ejde-625	312	5	we	we	PRON
ejde-625	312	6	note	note	VERB
ejde-625	312	7	that	that	SCONJ
ejde-625	312	8	from	from	ADP
ejde-625	312	9	∆v	∆v	PROPN
ejde-625	312	10	+	+	CCONJ
ejde-625	312	11	γ	γ	PROPN
ejde-625	312	12	+	+	PROPN
ejde-625	312	13	1	1	NUM
ejde-625	312	14	2v	2v	X
ejde-625	312	15	<	<	X
ejde-625	312	16	0	0	PROPN
ejde-625	312	17	in	in	ADP
ejde-625	312	18	ω	ω	PROPN
ejde-625	312	19	,	,	PUNCT
ejde-625	312	20	u	u	NOUN
ejde-625	312	21	=	=	NOUN
ejde-625	312	22	0	0	NUM
ejde-625	312	23	on	on	ADP
ejde-625	312	24	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	312	25	and	and	CCONJ
ejde-625	312	26	∆z	∆z	PROPN
ejde-625	312	27	+	+	CCONJ
ejde-625	312	28	γ	γ	PROPN
ejde-625	312	29	+	+	CCONJ
ejde-625	312	30	1	1	NUM
ejde-625	312	31	2z	2z	NUM
ejde-625	312	32	=	=	SYM
ejde-625	312	33	0	0	NUM
ejde-625	312	34	in	in	ADP
ejde-625	312	35	ω	ω	NUM
ejde-625	312	36	,	,	PUNCT
ejde-625	312	37	z	z	NOUN
ejde-625	312	38	=	=	SYM
ejde-625	312	39	0	0	NUM
ejde-625	312	40	on	on	ADP
ejde-625	312	41	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-625	312	42	it	it	PRON
ejde-625	312	43	follows	follow	VERB
ejde-625	312	44	that	that	SCONJ
ejde-625	312	45	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	312	46	)	)	PUNCT
ejde-625	312	47	≥	≥	NOUN
ejde-625	312	48	z(x	z(x	NUM
ejde-625	312	49	)	)	PUNCT
ejde-625	312	50	in	in	ADP
ejde-625	312	51	ω	ω	PROPN
ejde-625	312	52	and	and	CCONJ
ejde-625	312	53	|vν	|vν	NUM
ejde-625	312	54	|	|	ADV
ejde-625	312	55	≥	≥	NOUN
ejde-625	312	56	|zν	|zν	X
ejde-625	312	57	|	|	ADV
ejde-625	312	58	on	on	ADP
ejde-625	312	59	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	312	60	.	.	PUNCT
ejde-625	313	1	by	by	ADP
ejde-625	313	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-625	313	3	3.1	3.1	NUM
ejde-625	313	4	we	we	PRON
ejde-625	313	5	have	have	VERB
ejde-625	313	6	zν	zν	NOUN
ejde-625	313	7	=	=	SYM
ejde-625	313	8	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	313	9	on	on	ADP
ejde-625	313	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	313	11	.	.	PUNCT
ejde-625	314	1	it	it	PRON
ejde-625	314	2	follows	follow	VERB
ejde-625	314	3	that	that	SCONJ
ejde-625	314	4	vν	vν	ADV
ejde-625	314	5	=	=	SYM
ejde-625	314	6	−∞	−∞	PUNCT
ejde-625	314	7	on	on	ADP
ejde-625	314	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	314	9	.	.	PUNCT
ejde-625	315	1	the	the	DET
ejde-625	315	2	proof	proof	NOUN
ejde-625	315	3	is	be	AUX
ejde-625	315	4	complete	complete	ADJ
ejde-625	315	5	.	.	PUNCT
ejde-625	316	1	□	□	PUNCT
ejde-625	316	2	sometimes	sometimes	ADV
ejde-625	316	3	it	it	PRON
ejde-625	316	4	is	be	AUX
ejde-625	316	5	convenient	convenient	ADJ
ejde-625	316	6	to	to	PART
ejde-625	316	7	transform	transform	VERB
ejde-625	316	8	a	a	DET
ejde-625	316	9	blow	blow	NOUN
ejde-625	316	10	-	-	PUNCT
ejde-625	316	11	up	up	ADP
ejde-625	316	12	problem	problem	NOUN
ejde-625	316	13	into	into	ADP
ejde-625	316	14	a	a	DET
ejde-625	316	15	singular	singular	ADJ
ejde-625	316	16	problem	problem	NOUN
ejde-625	316	17	.	.	PUNCT
ejde-625	317	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-625	317	2	3.5	3.5	NUM
ejde-625	317	3	.	.	PUNCT
ejde-625	318	1	let	let	VERB
ejde-625	318	2	a	a	DET
ejde-625	318	3	>	>	X
ejde-625	318	4	0	0	PUNCT
ejde-625	318	5	and	and	CCONJ
ejde-625	318	6	q	q	ADJ
ejde-625	318	7	>	>	X
ejde-625	318	8	0	0	X
ejde-625	318	9	.	.	PUNCT
ejde-625	319	1	if	if	SCONJ
ejde-625	319	2	u	u	NOUN
ejde-625	319	3	is	be	AUX
ejde-625	319	4	a	a	DET
ejde-625	319	5	solution	solution	NOUN
ejde-625	319	6	to	to	ADP
ejde-625	319	7	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	319	8	=	=	SYM
ejde-625	319	9	a|du|2	a|du|2	PROPN
ejde-625	319	10	+	+	CCONJ
ejde-625	319	11	equ	equ	PROPN
ejde-625	319	12	in	in	ADP
ejde-625	319	13	ω	ω	PROPN
ejde-625	319	14	,	,	PUNCT
ejde-625	319	15	u	u	NOUN
ejde-625	319	16	=	=	NOUN
ejde-625	319	17	∞	∞	PROPN
ejde-625	319	18	on	on	ADP
ejde-625	319	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	319	20	,	,	PUNCT
ejde-625	319	21	then	then	ADV
ejde-625	319	22	u(x	u(x	VERB
ejde-625	319	23	)	)	PUNCT
ejde-625	319	24	is	be	AUX
ejde-625	319	25	convex	convex	NOUN
ejde-625	319	26	.	.	PUNCT
ejde-625	320	1	proof	proof	NOUN
ejde-625	320	2	.	.	PUNCT
ejde-625	321	1	putting	put	VERB
ejde-625	321	2	v(x	v(x	NOUN
ejde-625	321	3	)	)	PUNCT
ejde-625	322	1	=	=	PUNCT
ejde-625	322	2	e−au(x	e−au(x	PROPN
ejde-625	322	3	)	)	PUNCT
ejde-625	322	4	our	our	PRON
ejde-625	322	5	problem	problem	NOUN
ejde-625	322	6	reads	read	VERB
ejde-625	322	7	as	as	SCONJ
ejde-625	322	8	follows	follow	VERB
ejde-625	322	9	∆v	∆v	PROPN
ejde-625	323	1	+	+	PROPN
ejde-625	323	2	av1−	av1−	X
ejde-625	323	3	q	q	X
ejde-625	323	4	a	a	PROPN
ejde-625	323	5	=	=	NOUN
ejde-625	323	6	0	0	NUM
ejde-625	323	7	in	in	ADP
ejde-625	323	8	ω	ω	PROPN
ejde-625	323	9	,	,	PUNCT
ejde-625	323	10	v	v	NOUN
ejde-625	323	11	=	=	SYM
ejde-625	323	12	0	0	NUM
ejde-625	323	13	on	on	ADP
ejde-625	323	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-625	323	15	.	.	PUNCT
ejde-625	324	1	if	if	SCONJ
ejde-625	324	2	1	1	NUM
ejde-625	324	3	−	−	NOUN
ejde-625	324	4	q	q	NOUN
ejde-625	324	5	a	a	DET
ejde-625	324	6	≤	≤	NUM
ejde-625	324	7	−1	−1	NOUN
ejde-625	324	8	(	(	PUNCT
ejde-625	324	9	that	that	PRON
ejde-625	324	10	is	be	AUX
ejde-625	324	11	q	q	PRON
ejde-625	324	12	≥	≥	NOUN
ejde-625	324	13	2a	2a	NUM
ejde-625	324	14	)	)	PUNCT
ejde-625	324	15	then	then	ADV
ejde-625	324	16	v	v	NOUN
ejde-625	324	17	is	be	AUX
ejde-625	324	18	concave	concave	VERB
ejde-625	324	19	by	by	ADP
ejde-625	324	20	theorem	theorem	VERB
ejde-625	324	21	3.3	3.3	NUM
ejde-625	324	22	with	with	ADP
ejde-625	324	23	k	k	PROPN
ejde-625	324	24	=	=	SYM
ejde-625	324	25	0	0	NUM
ejde-625	324	26	and	and	CCONJ
ejde-625	324	27	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-625	324	28	)	)	PUNCT
ejde-625	324	29	=	=	PUNCT
ejde-625	324	30	tq	tq	ADP
ejde-625	324	31	/	/	SYM
ejde-625	324	32	a.	a.	NOUN
ejde-625	324	33	clearly	clearly	ADV
ejde-625	324	34	,	,	PUNCT
ejde-625	324	35	also	also	ADV
ejde-625	324	36	log	log	VERB
ejde-625	324	37	v(x	v(x	PROPN
ejde-625	324	38	)	)	PUNCT
ejde-625	324	39	is	be	AUX
ejde-625	324	40	concave	concave	VERB
ejde-625	324	41	,	,	PUNCT
ejde-625	324	42	so	so	ADV
ejde-625	324	43	,	,	PUNCT
ejde-625	324	44	u(x	u(x	PROPN
ejde-625	324	45	)	)	PUNCT
ejde-625	324	46	is	be	AUX
ejde-625	324	47	convex	convex	ADJ
ejde-625	324	48	.	.	PUNCT
ejde-625	325	1	if	if	SCONJ
ejde-625	325	2	−1	−1	NOUN
ejde-625	325	3	<	<	X
ejde-625	325	4	1−	1−	NUM
ejde-625	325	5	q	q	NOUN
ejde-625	325	6	a	a	DET
ejde-625	325	7	<	<	X
ejde-625	325	8	1	1	NUM
ejde-625	325	9	(	(	PUNCT
ejde-625	325	10	that	that	PRON
ejde-625	325	11	is	be	AUX
ejde-625	325	12	0	0	NUM
ejde-625	325	13	<	<	X
ejde-625	325	14	q	q	X
ejde-625	325	15	<	<	X
ejde-625	325	16	2a	2a	NUM
ejde-625	325	17	)	)	PUNCT
ejde-625	325	18	then	then	ADV
ejde-625	325	19	v	v	X
ejde-625	325	20	q	q	PROPN
ejde-625	325	21	2a	2a	NUM
ejde-625	325	22	(	(	PUNCT
ejde-625	325	23	x	x	X
ejde-625	325	24	)	)	PUNCT
ejde-625	325	25	is	be	AUX
ejde-625	325	26	concave	concave	VERB
ejde-625	325	27	(	(	PUNCT
ejde-625	325	28	as	as	SCONJ
ejde-625	325	29	remarked	remark	VERB
ejde-625	325	30	in	in	ADP
ejde-625	325	31	the	the	DET
ejde-625	325	32	introduction	introduction	NOUN
ejde-625	325	33	to	to	ADP
ejde-625	325	34	the	the	DET
ejde-625	325	35	present	present	ADJ
ejde-625	325	36	paper	paper	NOUN
ejde-625	325	37	)	)	PUNCT
ejde-625	325	38	.	.	PUNCT
ejde-625	326	1	this	this	PRON
ejde-625	326	2	means	mean	VERB
ejde-625	326	3	that	that	SCONJ
ejde-625	326	4	e−qu(x)/2	e−qu(x)/2	PROPN
ejde-625	326	5	is	be	AUX
ejde-625	326	6	concave	concave	VERB
ejde-625	326	7	,	,	PUNCT
ejde-625	326	8	which	which	PRON
ejde-625	326	9	implies	imply	VERB
ejde-625	326	10	that	that	SCONJ
ejde-625	326	11	u(x	u(x	NOUN
ejde-625	326	12	)	)	PUNCT
ejde-625	326	13	is	be	AUX
ejde-625	326	14	convex	convex	ADJ
ejde-625	326	15	.	.	PUNCT
ejde-625	327	1	□	□	PUNCT
ejde-625	327	2	references	reference	NOUN
ejde-625	327	3	[	[	X
ejde-625	327	4	1	1	NUM
ejde-625	327	5	]	]	X
ejde-625	327	6	o.	o.	PROPN
ejde-625	327	7	alvarez	alvarez	PROPN
ejde-625	327	8	,	,	PUNCT
ejde-625	327	9	j.	j.	PROPN
ejde-625	327	10	m.	m.	PROPN
ejde-625	327	11	lasry	lasry	PROPN
ejde-625	327	12	,	,	PUNCT
ejde-625	327	13	p.	p.	NOUN
ejde-625	327	14	l.	l.	PROPN
ejde-625	327	15	lions	lion	NOUN
ejde-625	327	16	;	;	PUNCT
ejde-625	327	17	convex	convex	NOUN
ejde-625	327	18	viscosity	viscosity	NOUN
ejde-625	327	19	solutions	solution	NOUN
ejde-625	327	20	and	and	CCONJ
ejde-625	327	21	state	state	NOUN
ejde-625	327	22	constraints	constraint	NOUN
ejde-625	327	23	,	,	PUNCT
ejde-625	327	24	j.	j.	PROPN
ejde-625	327	25	math	math	PROPN
ejde-625	327	26	.	.	PUNCT
ejde-625	328	1	pures	pure	NOUN
ejde-625	328	2	appl	appl	PROPN
ejde-625	328	3	.	.	PROPN
ejde-625	328	4	,	,	PUNCT
ejde-625	328	5	76	76	NUM
ejde-625	328	6	(	(	PUNCT
ejde-625	328	7	1997	1997	NUM
ejde-625	328	8	)	)	PUNCT
ejde-625	328	9	,	,	PUNCT
ejde-625	328	10	265–288	265–288	NUM
ejde-625	328	11	.	.	PUNCT
ejde-625	329	1	[	[	X
ejde-625	329	2	2	2	NUM
ejde-625	329	3	]	]	X
ejde-625	329	4	b.	b.	PROPN
ejde-625	329	5	bian	bian	PROPN
ejde-625	329	6	,	,	PUNCT
ejde-625	329	7	p.	p.	PROPN
ejde-625	329	8	guan	guan	PROPN
ejde-625	329	9	;	;	PUNCT
ejde-625	329	10	a	a	DET
ejde-625	329	11	microscopic	microscopic	ADJ
ejde-625	329	12	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	329	13	principle	principle	NOUN
ejde-625	329	14	for	for	ADP
ejde-625	329	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-625	329	16	partial	partial	ADJ
ejde-625	329	17	differential	differential	NOUN
ejde-625	329	18	equations	equation	NOUN
ejde-625	329	19	,	,	PUNCT
ejde-625	329	20	invent	invent	NOUN
ejde-625	329	21	.	.	PUNCT
ejde-625	330	1	math	math	NOUN
ejde-625	330	2	.	.	PUNCT
ejde-625	331	1	,	,	PUNCT
ejde-625	331	2	177	177	NUM
ejde-625	331	3	(	(	PUNCT
ejde-625	331	4	2009	2009	NUM
ejde-625	331	5	)	)	PUNCT
ejde-625	331	6	,	,	PUNCT
ejde-625	331	7	307–335	307–335	NUM
ejde-625	331	8	.	.	PUNCT
ejde-625	332	1	[	[	X
ejde-625	332	2	3	3	NUM
ejde-625	332	3	]	]	PUNCT
ejde-625	332	4	m.	m.	NOUN
ejde-625	332	5	bianchini	bianchini	PROPN
ejde-625	332	6	,	,	PUNCT
ejde-625	332	7	p.	p.	NOUN
ejde-625	332	8	salani	salani	NOUN
ejde-625	332	9	;	;	PUNCT
ejde-625	332	10	power	power	NOUN
ejde-625	332	11	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	332	12	for	for	ADP
ejde-625	332	13	solutions	solution	NOUN
ejde-625	332	14	of	of	ADP
ejde-625	332	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-625	332	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	332	17	problems	problem	NOUN
ejde-625	332	18	in	in	ADP
ejde-625	332	19	convex	convex	ADJ
ejde-625	332	20	domains	domain	NOUN
ejde-625	332	21	,	,	PUNCT
ejde-625	332	22	in	in	ADP
ejde-625	332	23	geometric	geometric	ADJ
ejde-625	332	24	properties	property	NOUN
ejde-625	332	25	for	for	ADP
ejde-625	332	26	parabolic	parabolic	ADJ
ejde-625	332	27	and	and	CCONJ
ejde-625	332	28	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	332	29	pde	pde	NOUN
ejde-625	332	30	’s	’s	PART
ejde-625	332	31	,	,	PUNCT
ejde-625	332	32	vol	vol	NOUN
ejde-625	332	33	.	.	PROPN
ejde-625	332	34	2	2	NUM
ejde-625	332	35	of	of	ADP
ejde-625	332	36	springer	springer	NOUN
ejde-625	332	37	indam	indam	PROPN
ejde-625	332	38	ser	ser	PROPN
ejde-625	332	39	.	.	PROPN
ejde-625	332	40	,	,	PUNCT
ejde-625	332	41	springer	springer	PROPN
ejde-625	332	42	,	,	PUNCT
ejde-625	332	43	milan	milan	PROPN
ejde-625	332	44	,	,	PUNCT
ejde-625	332	45	2013	2013	NUM
ejde-625	332	46	,	,	PUNCT
ejde-625	332	47	35–48	35–48	NUM
ejde-625	332	48	.	.	PUNCT
ejde-625	333	1	[	[	X
ejde-625	333	2	4	4	X
ejde-625	333	3	]	]	PUNCT
ejde-625	333	4	w.	w.	PROPN
ejde-625	333	5	borrelli	borrelli	PROPN
ejde-625	333	6	,	,	PUNCT
ejde-625	333	7	s.	s.	PROPN
ejde-625	333	8	mosconi	mosconi	PROPN
ejde-625	333	9	,	,	PUNCT
ejde-625	333	10	m.	m.	PROPN
ejde-625	333	11	squassina	squassina	PROPN
ejde-625	333	12	;	;	PUNCT
ejde-625	333	13	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	333	14	properties	property	NOUN
ejde-625	333	15	for	for	ADP
ejde-625	333	16	solutions	solution	NOUN
ejde-625	333	17	to	to	ADP
ejde-625	333	18	p	p	ADJ
ejde-625	333	19	-	-	PUNCT
ejde-625	333	20	laplace	laplace	NOUN
ejde-625	333	21	equations	equation	NOUN
ejde-625	333	22	with	with	ADP
ejde-625	333	23	concave	concave	ADJ
ejde-625	333	24	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-625	333	25	,	,	PUNCT
ejde-625	333	26	to	to	PART
ejde-625	333	27	appear	appear	VERB
ejde-625	333	28	in	in	ADP
ejde-625	333	29	advances	advance	NOUN
ejde-625	333	30	in	in	ADP
ejde-625	333	31	calculus	calculus	NOUN
ejde-625	333	32	of	of	ADP
ejde-625	333	33	variations	variation	NOUN
ejde-625	333	34	,	,	PUNCT
ejde-625	333	35	(	(	PUNCT
ejde-625	333	36	2024	2024	NUM
ejde-625	333	37	)	)	PUNCT
ejde-625	333	38	.	.	PUNCT
ejde-625	334	1	preprint	preprint	NOUN
ejde-625	334	2	arxiv	arxiv	PROPN
ejde-625	334	3	;	;	PUNCT
ejde-625	334	4	2111.14801v3	2111.14801v3	NUM
ejde-625	335	1	[	[	X
ejde-625	335	2	math.ap	math.ap	X
ejde-625	335	3	]	]	X
ejde-625	335	4	31	31	NUM
ejde-625	335	5	jan	jan	PROPN
ejde-625	335	6	.	.	PROPN
ejde-625	335	7	2022	2022	NUM
ejde-625	335	8	.	.	PUNCT
ejde-625	336	1	ejde-2024/51	ejde-2024/51	ADJ
ejde-625	336	2	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	336	3	of	of	ADP
ejde-625	336	4	solutions	solution	NOUN
ejde-625	336	5	to	to	ADP
ejde-625	336	6	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	336	7	pde	pde	NOUN
ejde-625	336	8	’s	’s	PART
ejde-625	336	9	11	11	NUM
ejde-625	336	10	[	[	X
ejde-625	336	11	5	5	NUM
ejde-625	336	12	]	]	PUNCT
ejde-625	336	13	h.	h.	PROPN
ejde-625	336	14	j.	j.	PROPN
ejde-625	336	15	brascamp	brascamp	PROPN
ejde-625	336	16	,	,	PUNCT
ejde-625	336	17	e.	e.	PROPN
ejde-625	336	18	h.	h.	PROPN
ejde-625	336	19	lieb	lieb	PROPN
ejde-625	336	20	;	;	PUNCT
ejde-625	336	21	on	on	ADP
ejde-625	336	22	extension	extension	NOUN
ejde-625	336	23	of	of	ADP
ejde-625	336	24	the	the	DET
ejde-625	336	25	brunn	brunn	NOUN
ejde-625	336	26	-	-	PUNCT
ejde-625	336	27	minkowski	minkowski	PROPN
ejde-625	336	28	and	and	CCONJ
ejde-625	336	29	prékopa	prékopa	NOUN
ejde-625	336	30	-	-	PUNCT
ejde-625	336	31	leindler	leindler	NOUN
ejde-625	336	32	theorems	theorem	NOUN
ejde-625	336	33	,	,	PUNCT
ejde-625	336	34	including	include	VERB
ejde-625	336	35	inequalities	inequality	NOUN
ejde-625	336	36	for	for	ADP
ejde-625	336	37	log	log	NOUN
ejde-625	336	38	concave	concave	NOUN
ejde-625	336	39	functions	function	NOUN
ejde-625	336	40	,	,	PUNCT
ejde-625	336	41	and	and	CCONJ
ejde-625	336	42	with	with	ADP
ejde-625	336	43	an	an	DET
ejde-625	336	44	application	application	NOUN
ejde-625	336	45	to	to	ADP
ejde-625	336	46	the	the	DET
ejde-625	336	47	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-625	336	48	equation	equation	NOUN
ejde-625	336	49	,	,	PUNCT
ejde-625	336	50	j.	j.	PROPN
ejde-625	336	51	funct	funct	PROPN
ejde-625	336	52	.	.	PUNCT
ejde-625	337	1	anal	anal	PROPN
ejde-625	337	2	.	.	PUNCT
ejde-625	338	1	22	22	NUM
ejde-625	338	2	(	(	PUNCT
ejde-625	338	3	1976	1976	NUM
ejde-625	338	4	)	)	PUNCT
ejde-625	338	5	,	,	PUNCT
ejde-625	339	1	366–389	366–389	NUM
ejde-625	339	2	.	.	PUNCT
ejde-625	340	1	[	[	X
ejde-625	340	2	6	6	NUM
ejde-625	340	3	]	]	PUNCT
ejde-625	340	4	l.	l.	PROPN
ejde-625	340	5	a.	a.	PROPN
ejde-625	340	6	caffarelli	caffarelli	PROPN
ejde-625	340	7	,	,	PUNCT
ejde-625	340	8	a.	a.	NOUN
ejde-625	340	9	friedman	friedman	PROPN
ejde-625	340	10	;	;	PUNCT
ejde-625	340	11	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	340	12	of	of	ADP
ejde-625	340	13	solutions	solution	NOUN
ejde-625	340	14	of	of	ADP
ejde-625	340	15	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-625	340	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	340	17	equations	equation	NOUN
ejde-625	340	18	,	,	PUNCT
ejde-625	340	19	duke	duke	PROPN
ejde-625	340	20	math	math	PROPN
ejde-625	340	21	.	.	PUNCT
ejde-625	341	1	j.	j.	PROPN
ejde-625	341	2	52	52	NUM
ejde-625	341	3	(	(	PUNCT
ejde-625	341	4	1985	1985	NUM
ejde-625	341	5	)	)	PUNCT
ejde-625	341	6	,	,	PUNCT
ejde-625	341	7	431–456	431–456	NUM
ejde-625	341	8	.	.	PUNCT
ejde-625	342	1	[	[	X
ejde-625	342	2	7	7	X
ejde-625	342	3	]	]	X
ejde-625	342	4	l.	l.	NOUN
ejde-625	342	5	a	a	DET
ejde-625	342	6	caffarelli	caffarelli	PROPN
ejde-625	342	7	,	,	PUNCT
ejde-625	342	8	j.	j.	PROPN
ejde-625	342	9	spruck	spruck	PROPN
ejde-625	342	10	;	;	PUNCT
ejde-625	342	11	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	342	12	properties	property	NOUN
ejde-625	342	13	of	of	ADP
ejde-625	342	14	solutions	solution	NOUN
ejde-625	342	15	to	to	ADP
ejde-625	342	16	some	some	DET
ejde-625	342	17	classical	classical	ADJ
ejde-625	342	18	varational	varational	ADJ
ejde-625	342	19	problems	problem	NOUN
ejde-625	342	20	,	,	PUNCT
ejde-625	342	21	comm	comm	NOUN
ejde-625	342	22	.	.	PUNCT
ejde-625	343	1	p.	p.	NOUN
ejde-625	343	2	d.	d.	PROPN
ejde-625	343	3	e.	e.	PROPN
ejde-625	343	4	7	7	NUM
ejde-625	343	5	(	(	PUNCT
ejde-625	343	6	1982	1982	NUM
ejde-625	343	7	)	)	PUNCT
ejde-625	343	8	,	,	PUNCT
ejde-625	343	9	1337–1379	1337–1379	NUM
ejde-625	343	10	.	.	PUNCT
ejde-625	344	1	[	[	X
ejde-625	344	2	8	8	NUM
ejde-625	344	3	]	]	X
ejde-625	344	4	a.	a.	NOUN
ejde-625	344	5	colesanti	colesanti	PROPN
ejde-625	344	6	,	,	PUNCT
ejde-625	344	7	p.	p.	NOUN
ejde-625	344	8	salani	salani	NOUN
ejde-625	344	9	;	;	PUNCT
ejde-625	344	10	quasi	quasi	ADJ
ejde-625	344	11	-	-	ADJ
ejde-625	344	12	concave	concave	ADJ
ejde-625	344	13	envelope	envelope	NOUN
ejde-625	344	14	of	of	ADP
ejde-625	344	15	a	a	DET
ejde-625	344	16	function	function	NOUN
ejde-625	344	17	and	and	CCONJ
ejde-625	344	18	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	344	19	of	of	ADP
ejde-625	344	20	level	level	NOUN
ejde-625	344	21	sets	set	NOUN
ejde-625	344	22	of	of	ADP
ejde-625	344	23	solutions	solution	NOUN
ejde-625	344	24	to	to	ADP
ejde-625	344	25	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	344	26	equations	equation	NOUN
ejde-625	344	27	,	,	PUNCT
ejde-625	344	28	math	math	NOUN
ejde-625	344	29	.	.	PUNCT
ejde-625	345	1	nachr	nachr	PROPN
ejde-625	345	2	.	.	PROPN
ejde-625	345	3	,	,	PUNCT
ejde-625	345	4	258	258	NUM
ejde-625	345	5	(	(	PUNCT
ejde-625	345	6	2003	2003	NUM
ejde-625	345	7	)	)	PUNCT
ejde-625	345	8	,	,	PUNCT
ejde-625	345	9	3–15	3–15	PROPN
ejde-625	345	10	.	.	PUNCT
ejde-625	346	1	[	[	X
ejde-625	346	2	9	9	NUM
ejde-625	346	3	]	]	PUNCT
ejde-625	346	4	m.	m.	NOUN
ejde-625	346	5	g.	g.	PROPN
ejde-625	346	6	crandall	crandall	PROPN
ejde-625	346	7	,	,	PUNCT
ejde-625	346	8	p.	p.	PROPN
ejde-625	346	9	h.	h.	PROPN
ejde-625	346	10	rabinowitz	rabinowitz	PROPN
ejde-625	346	11	,	,	PUNCT
ejde-625	346	12	l.	l.	PROPN
ejde-625	346	13	tartar	tartar	PROPN
ejde-625	346	14	;	;	PUNCT
ejde-625	346	15	on	on	ADP
ejde-625	346	16	a	a	DET
ejde-625	346	17	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-625	346	18	problem	problem	NOUN
ejde-625	346	19	with	with	ADP
ejde-625	346	20	a	a	DET
ejde-625	346	21	singular	singular	ADJ
ejde-625	346	22	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-625	346	23	,	,	PUNCT
ejde-625	346	24	comm	comm	NOUN
ejde-625	346	25	.	.	PUNCT
ejde-625	347	1	in	in	ADP
ejde-625	347	2	partial	partial	ADJ
ejde-625	347	3	differential	differential	NOUN
ejde-625	347	4	equations	equation	NOUN
ejde-625	347	5	,	,	PUNCT
ejde-625	347	6	(	(	PUNCT
ejde-625	347	7	1977	1977	NUM
ejde-625	347	8	)	)	PUNCT
ejde-625	347	9	,	,	PUNCT
ejde-625	347	10	193–222	193–222	NUM
ejde-625	347	11	.	.	PUNCT
ejde-625	348	1	[	[	X
ejde-625	348	2	10	10	NUM
ejde-625	348	3	]	]	X
ejde-625	348	4	a.	a.	NOUN
ejde-625	348	5	greco	greco	PROPN
ejde-625	348	6	,	,	PUNCT
ejde-625	348	7	b.	b.	PROPN
ejde-625	348	8	kawohl	kawohl	PROPN
ejde-625	348	9	;	;	PUNCT
ejde-625	348	10	on	on	ADP
ejde-625	348	11	the	the	DET
ejde-625	348	12	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	348	13	of	of	ADP
ejde-625	348	14	some	some	DET
ejde-625	348	15	free	free	ADJ
ejde-625	348	16	boundaries	boundary	NOUN
ejde-625	348	17	.	.	PUNCT
ejde-625	349	1	interfaces	interface	NOUN
ejde-625	349	2	and	and	CCONJ
ejde-625	349	3	free	free	ADJ
ejde-625	349	4	boundaries	boundary	NOUN
ejde-625	349	5	,	,	PUNCT
ejde-625	349	6	11	11	NUM
ejde-625	349	7	(	(	PUNCT
ejde-625	349	8	2009	2009	NUM
ejde-625	349	9	)	)	PUNCT
ejde-625	349	10	,	,	PUNCT
ejde-625	349	11	503–514	503–514	NUM
ejde-625	349	12	.	.	PUNCT
ejde-625	350	1	[	[	X
ejde-625	350	2	11	11	NUM
ejde-625	350	3	]	]	PUNCT
ejde-625	350	4	a.	a.	NOUN
ejde-625	350	5	greco	greco	PROPN
ejde-625	350	6	,	,	PUNCT
ejde-625	350	7	g.	g.	PROPN
ejde-625	350	8	porru	porru	PROPN
ejde-625	350	9	;	;	PUNCT
ejde-625	350	10	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	350	11	of	of	ADP
ejde-625	350	12	solutions	solution	NOUN
ejde-625	350	13	to	to	ADP
ejde-625	350	14	some	some	DET
ejde-625	350	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	350	16	partial	partial	ADJ
ejde-625	350	17	differential	differential	NOUN
ejde-625	350	18	equations	equation	NOUN
ejde-625	350	19	,	,	PUNCT
ejde-625	350	20	siam	siam	PROPN
ejde-625	350	21	j.	j.	PROPN
ejde-625	350	22	math	math	PROPN
ejde-625	350	23	.	.	PUNCT
ejde-625	351	1	anal	anal	PROPN
ejde-625	351	2	.	.	PROPN
ejde-625	351	3	,	,	PUNCT
ejde-625	351	4	24	24	NUM
ejde-625	351	5	(	(	PUNCT
ejde-625	351	6	1993	1993	NUM
ejde-625	351	7	)	)	PUNCT
ejde-625	351	8	,	,	PUNCT
ejde-625	351	9	833–839	833–839	NUM
ejde-625	351	10	.	.	PUNCT
ejde-625	352	1	[	[	X
ejde-625	352	2	12	12	NUM
ejde-625	352	3	]	]	PUNCT
ejde-625	352	4	a.	a.	NOUN
ejde-625	352	5	henrot	henrot	PROPN
ejde-625	352	6	,	,	PUNCT
ejde-625	352	7	c.	c.	PROPN
ejde-625	352	8	nitsch	nitsch	PROPN
ejde-625	352	9	,	,	PUNCT
ejde-625	352	10	p.	p.	NOUN
ejde-625	352	11	salani	salani	PROPN
ejde-625	352	12	,	,	PUNCT
ejde-625	352	13	c.	c.	PROPN
ejde-625	352	14	trombetti	trombetti	PROPN
ejde-625	352	15	;	;	PUNCT
ejde-625	352	16	optimal	optimal	ADJ
ejde-625	352	17	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	352	18	of	of	ADP
ejde-625	352	19	the	the	DET
ejde-625	352	20	torsion	torsion	NOUN
ejde-625	352	21	function	function	NOUN
ejde-625	352	22	,	,	PUNCT
ejde-625	352	23	j.	j.	PROPN
ejde-625	352	24	optim	optim	PROPN
ejde-625	352	25	.	.	PUNCT
ejde-625	353	1	theory	theory	NOUN
ejde-625	353	2	appl	appl	PROPN
ejde-625	353	3	.	.	PROPN
ejde-625	353	4	,	,	PUNCT
ejde-625	353	5	178	178	NUM
ejde-625	353	6	(	(	PUNCT
ejde-625	353	7	2018	2018	NUM
ejde-625	353	8	)	)	PUNCT
ejde-625	353	9	,	,	PUNCT
ejde-625	353	10	26–35	26–35	NUM
ejde-625	353	11	.	.	PUNCT
ejde-625	354	1	[	[	X
ejde-625	354	2	13	13	NUM
ejde-625	354	3	]	]	PUNCT
ejde-625	354	4	p.	p.	NOUN
ejde-625	354	5	juutinen	juutinen	PROPN
ejde-625	354	6	;	;	PUNCT
ejde-625	354	7	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	354	8	of	of	ADP
ejde-625	354	9	solutions	solution	NOUN
ejde-625	354	10	to	to	ADP
ejde-625	354	11	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	354	12	blow	blow	NOUN
ejde-625	354	13	-	-	PUNCT
ejde-625	354	14	up	up	ADP
ejde-625	354	15	problems	problem	NOUN
ejde-625	354	16	,	,	PUNCT
ejde-625	354	17	commun	commun	PROPN
ejde-625	354	18	.	.	PUNCT
ejde-625	355	1	pure	pure	ADJ
ejde-625	355	2	appl	appl	PROPN
ejde-625	355	3	.	.	PUNCT
ejde-625	356	1	anal	anal	PROPN
ejde-625	356	2	.	.	PROPN
ejde-625	356	3	,	,	PUNCT
ejde-625	356	4	12	12	NUM
ejde-625	356	5	(	(	PUNCT
ejde-625	356	6	2013	2013	NUM
ejde-625	356	7	)	)	PUNCT
ejde-625	356	8	,	,	PUNCT
ejde-625	356	9	2267–2275	2267–2275	NUM
ejde-625	356	10	.	.	PUNCT
ejde-625	357	1	[	[	X
ejde-625	357	2	14	14	NUM
ejde-625	357	3	]	]	X
ejde-625	357	4	b.	b.	PROPN
ejde-625	357	5	kawohl	kawohl	PROPN
ejde-625	357	6	;	;	PUNCT
ejde-625	357	7	rearrangements	rearrangement	NOUN
ejde-625	357	8	and	and	CCONJ
ejde-625	357	9	convexity	convexity	NOUN
ejde-625	357	10	of	of	ADP
ejde-625	357	11	level	level	NOUN
ejde-625	357	12	sets	set	NOUN
ejde-625	357	13	in	in	ADP
ejde-625	357	14	pde	pde	NOUN
ejde-625	357	15	’s	’s	PART
ejde-625	357	16	,	,	PUNCT
ejde-625	357	17	lectures	lecture	VERB
ejde-625	357	18	notes	note	NOUN
ejde-625	357	19	in	in	ADP
ejde-625	357	20	methamaics	methamaic	NOUN
ejde-625	357	21	,	,	PUNCT
ejde-625	357	22	1150	1150	NUM
ejde-625	357	23	,	,	PUNCT
ejde-625	357	24	springer	springer	NOUN
ejde-625	357	25	-	-	PUNCT
ejde-625	357	26	verlag	verlag	PROPN
ejde-625	357	27	,	,	PUNCT
ejde-625	357	28	berlin	berlin	PROPN
ejde-625	357	29	,	,	PUNCT
ejde-625	357	30	heidelberg	heidelberg	PROPN
ejde-625	357	31	,	,	PUNCT
ejde-625	357	32	new	new	PROPN
ejde-625	357	33	york	york	PROPN
ejde-625	357	34	,	,	PUNCT
ejde-625	357	35	tokio	tokio	PROPN
ejde-625	357	36	.	.	PROPN
ejde-625	357	37	1985	1985	NUM
ejde-625	357	38	.	.	PUNCT
ejde-625	358	1	[	[	X
ejde-625	358	2	15	15	NUM
ejde-625	358	3	]	]	X
ejde-625	358	4	j.	j.	PROPN
ejde-625	358	5	b.	b.	PROPN
ejde-625	358	6	keller	keller	PROPN
ejde-625	358	7	;	;	PUNCT
ejde-625	358	8	on	on	ADP
ejde-625	358	9	solutions	solution	NOUN
ejde-625	358	10	of	of	ADP
ejde-625	358	11	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	358	12	=	=	SYM
ejde-625	358	13	f(u	f(u	PROPN
ejde-625	358	14	)	)	PUNCT
ejde-625	358	15	,	,	PUNCT
ejde-625	358	16	comm	comm	NOUN
ejde-625	358	17	.	.	PUNCT
ejde-625	359	1	pure	pure	ADJ
ejde-625	359	2	appl	appl	PROPN
ejde-625	359	3	.	.	PUNCT
ejde-625	359	4	math	math	NOUN
ejde-625	359	5	.	.	PUNCT
ejde-625	360	1	10	10	NUM
ejde-625	360	2	(	(	PUNCT
ejde-625	360	3	1957	1957	NUM
ejde-625	360	4	)	)	PUNCT
ejde-625	360	5	,	,	PUNCT
ejde-625	360	6	503–510	503–510	NUM
ejde-625	360	7	.	.	PUNCT
ejde-625	361	1	[	[	X
ejde-625	361	2	16	16	NUM
ejde-625	361	3	]	]	PUNCT
ejde-625	361	4	a.	a.	PROPN
ejde-625	361	5	u.	u.	PROPN
ejde-625	361	6	kennington	kennington	PROPN
ejde-625	361	7	;	;	PUNCT
ejde-625	361	8	power	power	NOUN
ejde-625	361	9	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	361	10	and	and	CCONJ
ejde-625	361	11	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	361	12	value	value	NOUN
ejde-625	361	13	problems	problem	NOUN
ejde-625	361	14	,	,	PUNCT
ejde-625	361	15	indiana	indiana	PROPN
ejde-625	361	16	univ	univ	PROPN
ejde-625	361	17	.	.	PUNCT
ejde-625	361	18	math	math	PROPN
ejde-625	361	19	.	.	PUNCT
ejde-625	362	1	j.	j.	PROPN
ejde-625	362	2	34	34	NUM
ejde-625	362	3	(	(	PUNCT
ejde-625	362	4	1985	1985	NUM
ejde-625	362	5	)	)	PUNCT
ejde-625	362	6	,	,	PUNCT
ejde-625	362	7	687–704	687–704	NUM
ejde-625	362	8	.	.	PUNCT
ejde-625	363	1	[	[	X
ejde-625	363	2	17	17	NUM
ejde-625	363	3	]	]	X
ejde-625	363	4	n.	n.	NOUN
ejde-625	363	5	korevaar	korevaar	NOUN
ejde-625	363	6	;	;	PUNCT
ejde-625	363	7	convex	convex	NOUN
ejde-625	363	8	solutions	solution	NOUN
ejde-625	363	9	to	to	ADP
ejde-625	363	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-625	363	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	363	12	and	and	CCONJ
ejde-625	363	13	parabolic	parabolic	ADJ
ejde-625	363	14	boundary	boundary	ADJ
ejde-625	363	15	value	value	NOUN
ejde-625	363	16	problems	problem	NOUN
ejde-625	363	17	,	,	PUNCT
ejde-625	363	18	indiana	indiana	PROPN
ejde-625	363	19	univ	univ	PROPN
ejde-625	363	20	.	.	PUNCT
ejde-625	363	21	math	math	PROPN
ejde-625	363	22	.	.	PUNCT
ejde-625	364	1	j.	j.	PROPN
ejde-625	364	2	32	32	NUM
ejde-625	364	3	(	(	PUNCT
ejde-625	364	4	1983	1983	NUM
ejde-625	364	5	)	)	PUNCT
ejde-625	364	6	,	,	PUNCT
ejde-625	364	7	603–614	603–614	NUM
ejde-625	364	8	.	.	PUNCT
ejde-625	365	1	[	[	X
ejde-625	365	2	18	18	NUM
ejde-625	365	3	]	]	X
ejde-625	365	4	n.	n.	NOUN
ejde-625	365	5	korevaar	korevaar	PROPN
ejde-625	365	6	,	,	PUNCT
ejde-625	365	7	j.l	j.l	PROPN
ejde-625	365	8	.	.	PROPN
ejde-625	365	9	lewis	lewis	PROPN
ejde-625	365	10	;	;	PUNCT
ejde-625	365	11	convex	convex	NOUN
ejde-625	365	12	solutions	solution	NOUN
ejde-625	365	13	of	of	ADP
ejde-625	365	14	certain	certain	ADJ
ejde-625	365	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	365	16	equations	equation	NOUN
ejde-625	365	17	have	have	VERB
ejde-625	365	18	constant	constant	ADJ
ejde-625	365	19	rank	rank	NOUN
ejde-625	365	20	hessians	hessians	PROPN
ejde-625	365	21	,	,	PUNCT
ejde-625	365	22	arch	arch	NOUN
ejde-625	365	23	.	.	PUNCT
ejde-625	366	1	rational	rational	ADJ
ejde-625	366	2	mech	mech	NOUN
ejde-625	366	3	.	.	PUNCT
ejde-625	367	1	anal	anal	PROPN
ejde-625	367	2	.	.	PUNCT
ejde-625	368	1	97	97	NUM
ejde-625	368	2	(	(	PUNCT
ejde-625	368	3	1987	1987	NUM
ejde-625	368	4	)	)	PUNCT
ejde-625	368	5	,	,	PUNCT
ejde-625	368	6	19–32	19–32	NUM
ejde-625	368	7	.	.	PUNCT
ejde-625	369	1	[	[	X
ejde-625	369	2	19	19	NUM
ejde-625	369	3	]	]	X
ejde-625	369	4	r.	r.	PROPN
ejde-625	369	5	osserman	osserman	PROPN
ejde-625	369	6	;	;	PUNCT
ejde-625	369	7	on	on	ADP
ejde-625	369	8	the	the	DET
ejde-625	369	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-625	369	10	∆u	∆u	PROPN
ejde-625	369	11	≥	≥	NOUN
ejde-625	369	12	f(u	f(u	PROPN
ejde-625	369	13	)	)	PUNCT
ejde-625	369	14	,	,	PUNCT
ejde-625	369	15	pacific	pacific	PROPN
ejde-625	369	16	j.	j.	PROPN
ejde-625	369	17	math	math	PROPN
ejde-625	369	18	.	.	PUNCT
ejde-625	370	1	7	7	NUM
ejde-625	370	2	(	(	PUNCT
ejde-625	370	3	1957	1957	NUM
ejde-625	370	4	)	)	PUNCT
ejde-625	370	5	,	,	PUNCT
ejde-625	370	6	1641–1647	1641–1647	NUM
ejde-625	370	7	.	.	PUNCT
ejde-625	371	1	[	[	X
ejde-625	371	2	20	20	NUM
ejde-625	371	3	]	]	X
ejde-625	371	4	g.	g.	PROPN
ejde-625	371	5	porru	porru	PROPN
ejde-625	371	6	,	,	PUNCT
ejde-625	371	7	a.	a.	NOUN
ejde-625	371	8	vitolo	vitolo	NOUN
ejde-625	371	9	;	;	PUNCT
ejde-625	371	10	problems	problem	NOUN
ejde-625	371	11	for	for	ADP
ejde-625	371	12	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	371	13	singular	singular	ADJ
ejde-625	371	14	equations	equation	NOUN
ejde-625	371	15	with	with	ADP
ejde-625	371	16	a	a	DET
ejde-625	371	17	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-625	371	18	gradient	gradient	ADJ
ejde-625	371	19	term	term	NOUN
ejde-625	371	20	,	,	PUNCT
ejde-625	371	21	j.	j.	PROPN
ejde-625	371	22	math	math	PROPN
ejde-625	371	23	.	.	PUNCT
ejde-625	372	1	anal	anal	PROPN
ejde-625	372	2	.	.	PUNCT
ejde-625	372	3	appl	appl	PROPN
ejde-625	372	4	.	.	PUNCT
ejde-625	373	1	334	334	NUM
ejde-625	373	2	(	(	PUNCT
ejde-625	373	3	2007	2007	NUM
ejde-625	373	4	)	)	PUNCT
ejde-625	373	5	,	,	PUNCT
ejde-625	374	1	467–486	467–486	NUM
ejde-625	374	2	[	[	X
ejde-625	374	3	21	21	NUM
ejde-625	374	4	]	]	X
ejde-625	374	5	s.	s.	PROPN
ejde-625	374	6	sakaguchi	sakaguchi	PROPN
ejde-625	374	7	;	;	PUNCT
ejde-625	374	8	concavity	concavity	NOUN
ejde-625	374	9	properties	property	NOUN
ejde-625	374	10	of	of	ADP
ejde-625	374	11	solutions	solution	NOUN
ejde-625	374	12	to	to	ADP
ejde-625	374	13	some	some	DET
ejde-625	374	14	degenerate	degenerate	ADJ
ejde-625	374	15	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-625	374	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-625	374	17	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-625	374	18	problems	problem	NOUN
ejde-625	374	19	,	,	PUNCT
ejde-625	374	20	annali	annali	PROPN
ejde-625	374	21	della	della	PROPN
ejde-625	374	22	scuola	scuola	PROPN
ejde-625	374	23	normale	normale	PROPN
ejde-625	374	24	superiore	superiore	PROPN
ejde-625	374	25	di	di	PROPN
ejde-625	374	26	pisa	pisa	PROPN
ejde-625	374	27	,	,	PUNCT
ejde-625	374	28	classe	classe	PROPN
ejde-625	374	29	di	di	PROPN
ejde-625	374	30	scienze	scienze	PROPN
ejde-625	374	31	4e	4e	PROPN
ejde-625	374	32	série	série	PROPN
ejde-625	374	33	,	,	PUNCT
ejde-625	374	34	tome	tome	NOUN
ejde-625	374	35	14	14	NUM
ejde-625	374	36	,	,	PUNCT
ejde-625	374	37	no	no	INTJ
ejde-625	374	38	.	.	NOUN
ejde-625	374	39	3	3	NUM
ejde-625	374	40	(	(	PUNCT
ejde-625	374	41	1987	1987	NUM
ejde-625	374	42	)	)	PUNCT
ejde-625	374	43	,	,	PUNCT
ejde-625	374	44	403–421	403–421	PROPN
ejde-625	374	45	.	.	PUNCT
ejde-625	375	1	benyam	benyam	PROPN
ejde-625	375	2	mebrate	mebrate	PROPN
ejde-625	375	3	department	department	PROPN
ejde-625	375	4	of	of	ADP
ejde-625	375	5	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-625	375	6	,	,	PUNCT
ejde-625	375	7	wollo	wollo	PROPN
ejde-625	375	8	university	university	PROPN
ejde-625	375	9	,	,	PUNCT
ejde-625	375	10	dessie	dessie	PROPN
ejde-625	375	11	,	,	PUNCT
ejde-625	375	12	ethiopia	ethiopia	PROPN
ejde-625	375	13	email	email	NOUN
ejde-625	375	14	address	address	NOUN
ejde-625	375	15	:	:	PUNCT
ejde-625	375	16	benyam134@gmail.com	benyam134@gmail.com	X
ejde-625	376	1	giovanni	giovanni	PROPN
ejde-625	376	2	porru	porru	PROPN
ejde-625	376	3	department	department	PROPN
ejde-625	376	4	of	of	ADP
ejde-625	376	5	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-625	376	6	and	and	CCONJ
ejde-625	376	7	informatics	informatic	NOUN
ejde-625	376	8	,	,	PUNCT
ejde-625	376	9	university	university	NOUN
ejde-625	376	10	of	of	ADP
ejde-625	376	11	cagliari	cagliari	PROPN
ejde-625	376	12	,	,	PUNCT
ejde-625	376	13	cagliari	cagliari	PROPN
ejde-625	376	14	,	,	PUNCT
ejde-625	376	15	italy	italy	PROPN
ejde-625	376	16	email	email	NOUN
ejde-625	376	17	address	address	NOUN
ejde-625	376	18	:	:	PUNCT
ejde-625	376	19	gporru856@gmail.com	gporru856@gmail.com	X
ejde-625	376	20	1	1	X
ejde-625	376	21	.	.	PUNCT
ejde-625	376	22	introduction	introduction	NOUN
ejde-625	376	23	2	2	NUM
ejde-625	376	24	.	.	PUNCT
ejde-625	377	1	blow	blow	VERB
ejde-625	377	2	-	-	PUNCT
ejde-625	377	3	up	up	ADP
ejde-625	377	4	problems	problem	NOUN
ejde-625	377	5	examples	example	NOUN
ejde-625	377	6	3	3	X
ejde-625	377	7	.	.	PUNCT
ejde-625	377	8	singular	singular	PROPN
ejde-625	377	9	problems	problem	NOUN
ejde-625	377	10	examples	example	NOUN
ejde-625	377	11	references	reference	NOUN