id sid tid token lemma pos ejde-64 1 1 electronic electronic ADJ ejde-64 1 2 journal journal NOUN ejde-64 1 3 of of ADP ejde-64 1 4 differential differential ADJ ejde-64 1 5 equations equation NOUN ejde-64 1 6 , , PUNCT ejde-64 1 7 vol vol NOUN ejde-64 1 8 . . PUNCT ejde-64 1 9 2023 2023 NUM ejde-64 1 10 ( ( PUNCT ejde-64 1 11 2023 2023 NUM ejde-64 1 12 ) ) PUNCT ejde-64 1 13 , , PUNCT ejde-64 1 14 no no INTJ ejde-64 1 15 . . NOUN ejde-64 1 16 30 30 NUM ejde-64 1 17 , , PUNCT ejde-64 1 18 pp pp ADJ ejde-64 1 19 . . PUNCT ejde-64 2 1 1–18 1–18 PROPN ejde-64 2 2 . . PUNCT ejde-64 3 1 issn issn PROPN ejde-64 3 2 : : PUNCT ejde-64 3 3 1072 1072 NUM ejde-64 3 4 - - SYM ejde-64 3 5 6691 6691 NUM ejde-64 3 6 . . PUNCT ejde-64 4 1 url url PROPN ejde-64 4 2 : : PUNCT ejde-64 4 3 https://ejde.math.txstate.edu https://ejde.math.txstate.edu PROPN ejde-64 4 4 or or CCONJ ejde-64 4 5 https://ejde.math.unt.edu https://ejde.math.unt.edu PROPN ejde-64 5 1 a a DET ejde-64 5 2 weighted weight VERB ejde-64 5 3 ( ( PUNCT ejde-64 5 4 p p X ejde-64 5 5 , , PUNCT ejde-64 5 6 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 5 7 with with ADP ejde-64 5 8 double double ADJ ejde-64 5 9 resonance resonance NOUN ejde-64 5 10 zhenhai zhenhai PROPN ejde-64 5 11 liu liu PROPN ejde-64 5 12 , , PUNCT ejde-64 5 13 nikolaos nikolaos PROPN ejde-64 5 14 s. s. PROPN ejde-64 5 15 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 5 16 abstract abstract PROPN ejde-64 5 17 . . PUNCT ejde-64 6 1 we we PRON ejde-64 6 2 consider consider VERB ejde-64 6 3 a a DET ejde-64 6 4 dirichlet dirichlet NOUN ejde-64 6 5 problem problem NOUN ejde-64 6 6 driven drive VERB ejde-64 6 7 by by ADP ejde-64 6 8 a a DET ejde-64 6 9 weighted weight VERB ejde-64 6 10 ( ( PUNCT ejde-64 6 11 p p X ejde-64 6 12 , , PUNCT ejde-64 6 13 2)-laplacian 2)-laplacian NUM ejde-64 6 14 with with ADP ejde-64 6 15 a a DET ejde-64 6 16 reaction reaction NOUN ejde-64 6 17 which which PRON ejde-64 6 18 is be AUX ejde-64 6 19 resonant resonant ADJ ejde-64 6 20 both both CCONJ ejde-64 6 21 at at ADP ejde-64 6 22 ±∞ ±∞ PROPN ejde-64 6 23 and and CCONJ ejde-64 6 24 at at ADP ejde-64 6 25 zero zero NUM ejde-64 6 26 ( ( PUNCT ejde-64 6 27 double double ADJ ejde-64 6 28 resonance resonance NOUN ejde-64 6 29 ) ) PUNCT ejde-64 6 30 . . PUNCT ejde-64 7 1 we we PRON ejde-64 7 2 prove prove VERB ejde-64 7 3 a a DET ejde-64 7 4 multiplicity multiplicity NOUN ejde-64 7 5 theorem theorem VERB ejde-64 7 6 producing produce VERB ejde-64 7 7 three three NUM ejde-64 7 8 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 7 9 smooth smooth ADJ ejde-64 7 10 solutions solution NOUN ejde-64 7 11 with with ADP ejde-64 7 12 sign sign NOUN ejde-64 7 13 information information NOUN ejde-64 7 14 and and CCONJ ejde-64 7 15 ordered order VERB ejde-64 7 16 . . PUNCT ejde-64 8 1 in in ADP ejde-64 8 2 the the DET ejde-64 8 3 appendix appendix NOUN ejde-64 8 4 we we PRON ejde-64 8 5 develop develop VERB ejde-64 8 6 the the DET ejde-64 8 7 spectral spectral ADJ ejde-64 8 8 properties property NOUN ejde-64 8 9 of of ADP ejde-64 8 10 the the DET ejde-64 8 11 weighted weighted ADJ ejde-64 8 12 r r NOUN ejde-64 8 13 - - PUNCT ejde-64 8 14 laplace laplace NOUN ejde-64 8 15 differential differential NOUN ejde-64 8 16 operator operator NOUN ejde-64 8 17 . . PUNCT ejde-64 9 1 1 1 X ejde-64 9 2 . . X ejde-64 9 3 introduction introduction NOUN ejde-64 9 4 let let VERB ejde-64 9 5 ω ω PROPN ejde-64 9 6 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 9 7 rn rn AUX ejde-64 9 8 be be AUX ejde-64 9 9 a a DET ejde-64 9 10 bounded bounded ADJ ejde-64 9 11 domain domain NOUN ejde-64 9 12 with with ADP ejde-64 9 13 a a DET ejde-64 9 14 c2 c2 PROPN ejde-64 9 15 - - PUNCT ejde-64 9 16 boundary boundary NOUN ejde-64 9 17 ∂ω ∂ω PROPN ejde-64 9 18 . . PUNCT ejde-64 10 1 in in ADP ejde-64 10 2 this this DET ejde-64 10 3 article article NOUN ejde-64 10 4 we we PRON ejde-64 10 5 study study VERB ejde-64 10 6 the the DET ejde-64 10 7 weighted weight VERB ejde-64 10 8 ( ( PUNCT ejde-64 10 9 p p X ejde-64 10 10 , , PUNCT ejde-64 10 11 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 10 12 : : PUNCT ejde-64 10 13 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 10 14 p p PROPN ejde-64 10 15 u(z)−∆a2u(z u(z)−∆a2u(z PROPN ejde-64 10 16 ) ) PUNCT ejde-64 10 17 = = SYM ejde-64 10 18 f(z f(z NOUN ejde-64 10 19 , , PUNCT ejde-64 10 20 u(z u(z NOUN ejde-64 10 21 ) ) PUNCT ejde-64 10 22 ) ) PUNCT ejde-64 10 23 in in ADP ejde-64 10 24 ω ω NUM ejde-64 10 25 , , PUNCT ejde-64 10 26 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-64 10 27 = = SYM ejde-64 10 28 0 0 NUM ejde-64 10 29 , , PUNCT ejde-64 10 30 2 2 NUM ejde-64 10 31 < < X ejde-64 10 32 p. p. NOUN ejde-64 10 33 ( ( PUNCT ejde-64 10 34 1.1 1.1 NUM ejde-64 10 35 ) ) PUNCT ejde-64 10 36 given give VERB ejde-64 10 37 a a DET ejde-64 10 38 ∈ ∈ NOUN ejde-64 10 39 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-64 10 40 ) ) PUNCT ejde-64 10 41 with with ADP ejde-64 10 42 0 0 NUM ejde-64 10 43 < < X ejde-64 10 44 ĉ ĉ X ejde-64 10 45 ≤ ≤ NUM ejde-64 10 46 ess ess PROPN ejde-64 10 47 infω infω ADJ ejde-64 10 48 a a PRON ejde-64 10 49 and and CCONJ ejde-64 10 50 r r NOUN ejde-64 10 51 ∈ ∈ PROPN ejde-64 10 52 ( ( PUNCT ejde-64 10 53 1,∞ 1,∞ NUM ejde-64 10 54 ) ) PUNCT ejde-64 10 55 , , PUNCT ejde-64 10 56 we we PRON ejde-64 10 57 denote denote VERB ejde-64 10 58 by by ADP ejde-64 10 59 ∆a ∆a PROPN ejde-64 10 60 r r NOUN ejde-64 10 61 the the DET ejde-64 10 62 weighted weighted ADJ ejde-64 10 63 r r NOUN ejde-64 10 64 - - PUNCT ejde-64 10 65 laplace laplace NOUN ejde-64 10 66 differential differential NOUN ejde-64 10 67 operator operator NOUN ejde-64 10 68 defined define VERB ejde-64 10 69 by by ADP ejde-64 10 70 ∆a ∆a PROPN ejde-64 10 71 ru ru NOUN ejde-64 10 72 = = SYM ejde-64 10 73 div(a(z)|du|r−2du div(a(z)|du|r−2du ADJ ejde-64 10 74 ) ) PUNCT ejde-64 10 75 , , PUNCT ejde-64 10 76 ∀u ∀u NOUN ejde-64 10 77 ∈w ∈w VERB ejde-64 10 78 1,r 1,r NUM ejde-64 10 79 0 0 NUM ejde-64 10 80 ( ( PUNCT ejde-64 10 81 ω ω NOUN ejde-64 10 82 ) ) PUNCT ejde-64 10 83 . . PUNCT ejde-64 11 1 in in ADP ejde-64 11 2 problem problem NOUN ejde-64 11 3 ( ( PUNCT ejde-64 11 4 1.1 1.1 NUM ejde-64 11 5 ) ) PUNCT ejde-64 11 6 we we PRON ejde-64 11 7 have have VERB ejde-64 11 8 the the DET ejde-64 11 9 sum sum NOUN ejde-64 11 10 of of ADP ejde-64 11 11 two two NUM ejde-64 11 12 such such ADJ ejde-64 11 13 operators operator NOUN ejde-64 11 14 with with ADP ejde-64 11 15 different different ADJ ejde-64 11 16 exponents exponent NOUN ejde-64 11 17 . . PUNCT ejde-64 12 1 so so ADV ejde-64 12 2 , , PUNCT ejde-64 12 3 the the DET ejde-64 12 4 differential differential ADJ ejde-64 12 5 operator operator NOUN ejde-64 12 6 driving drive VERB ejde-64 12 7 the the DET ejde-64 12 8 equation equation NOUN ejde-64 12 9 in in ADP ejde-64 12 10 ( ( PUNCT ejde-64 12 11 1.1 1.1 NUM ejde-64 12 12 ) ) PUNCT ejde-64 12 13 is be AUX ejde-64 12 14 not not PART ejde-64 12 15 homogeneous homogeneous ADJ ejde-64 12 16 and and CCONJ ejde-64 12 17 of of ADP ejde-64 12 18 course course NOUN ejde-64 12 19 is be AUX ejde-64 12 20 space space NOUN ejde-64 12 21 dependent dependent ADJ ejde-64 12 22 . . PUNCT ejde-64 13 1 the the DET ejde-64 13 2 reaction reaction NOUN ejde-64 13 3 ( ( PUNCT ejde-64 13 4 right right ADJ ejde-64 13 5 - - PUNCT ejde-64 13 6 hand hand NOUN ejde-64 13 7 side side NOUN ejde-64 13 8 ) ) PUNCT ejde-64 13 9 of of ADP ejde-64 13 10 ( ( PUNCT ejde-64 13 11 1.1 1.1 NUM ejde-64 13 12 ) ) PUNCT ejde-64 13 13 , , PUNCT ejde-64 13 14 is be AUX ejde-64 13 15 a a DET ejde-64 13 16 carathéodory carathéodory NOUN ejde-64 13 17 function function NOUN ejde-64 13 18 f(z f(z NOUN ejde-64 13 19 , , PUNCT ejde-64 13 20 x x X ejde-64 13 21 ) ) PUNCT ejde-64 13 22 ( ( PUNCT ejde-64 13 23 that that PRON ejde-64 13 24 is is ADV ejde-64 13 25 , , PUNCT ejde-64 13 26 for for ADP ejde-64 13 27 all all PRON ejde-64 13 28 x x SYM ejde-64 13 29 ∈ ∈ PROPN ejde-64 13 30 r r NOUN ejde-64 13 31 , , PUNCT ejde-64 13 32 z z NOUN ejde-64 13 33 → → SYM ejde-64 13 34 f(z f(z PROPN ejde-64 13 35 , , PUNCT ejde-64 13 36 x x X ejde-64 13 37 ) ) PUNCT ejde-64 13 38 is be AUX ejde-64 13 39 measurable measurable ADJ ejde-64 13 40 and and CCONJ ejde-64 13 41 for for ADP ejde-64 13 42 a.a.z a.a.z PROPN ejde-64 13 43 ∈ ∈ PROPN ejde-64 13 44 ω ω PROPN ejde-64 13 45 , , PUNCT ejde-64 13 46 x x X ejde-64 13 47 → → SYM ejde-64 13 48 f(z f(z PROPN ejde-64 13 49 , , PUNCT ejde-64 13 50 x x X ejde-64 13 51 ) ) PUNCT ejde-64 13 52 is be AUX ejde-64 13 53 continuous continuous ADJ ejde-64 13 54 ) ) PUNCT ejde-64 13 55 which which PRON ejde-64 13 56 exhibits exhibit VERB ejde-64 13 57 ( ( PUNCT ejde-64 13 58 p p NOUN ejde-64 13 59 − − PROPN ejde-64 13 60 1 1 NUM ejde-64 13 61 ) ) PUNCT ejde-64 13 62 sublinear sublinear NOUN ejde-64 13 63 growth growth NOUN ejde-64 13 64 as as SCONJ ejde-64 13 65 x x X ejde-64 13 66 → → SYM ejde-64 13 67 ±∞ ±∞ PROPN ejde-64 13 68 and and CCONJ ejde-64 13 69 resonance resonance NOUN ejde-64 13 70 can can AUX ejde-64 13 71 occur occur VERB ejde-64 13 72 with with ADP ejde-64 13 73 respect respect NOUN ejde-64 13 74 to to ADP ejde-64 13 75 the the DET ejde-64 13 76 principal principal ADJ ejde-64 13 77 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 13 78 of of ADP ejde-64 13 79 ( ( PUNCT ejde-64 13 80 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 13 81 p p PROPN ejde-64 13 82 , , PUNCT ejde-64 13 83 w w PROPN ejde-64 13 84 1,p 1,p PROPN ejde-64 13 85 0 0 SYM ejde-64 13 86 ( ( PUNCT ejde-64 13 87 ω ω NOUN ejde-64 13 88 ) ) PUNCT ejde-64 13 89 ) ) PUNCT ejde-64 14 1 ( ( PUNCT ejde-64 14 2 see see VERB ejde-64 14 3 the the DET ejde-64 14 4 apendix apendix PROPN ejde-64 14 5 ) ) PUNCT ejde-64 14 6 . . PUNCT ejde-64 15 1 also also ADV ejde-64 15 2 at at ADP ejde-64 15 3 zero zero NUM ejde-64 15 4 , , PUNCT ejde-64 15 5 we we PRON ejde-64 15 6 can can AUX ejde-64 15 7 have have VERB ejde-64 15 8 resonance resonance NOUN ejde-64 15 9 with with ADP ejde-64 15 10 respect respect NOUN ejde-64 15 11 to to ADP ejde-64 15 12 some some DET ejde-64 15 13 nonprincipal nonprincipal NOUN ejde-64 15 14 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 15 15 of of ADP ejde-64 15 16 ( ( PUNCT ejde-64 15 17 −∆a2 −∆a2 ADJ ejde-64 15 18 , , PUNCT ejde-64 15 19 h1 h1 NOUN ejde-64 15 20 0 0 NUM ejde-64 15 21 ( ( PUNCT ejde-64 15 22 ω ω NOUN ejde-64 15 23 ) ) PUNCT ejde-64 15 24 ) ) PUNCT ejde-64 15 25 . . PUNCT ejde-64 16 1 so so ADV ejde-64 16 2 , , PUNCT ejde-64 16 3 our our PRON ejde-64 16 4 problem problem NOUN ejde-64 16 5 has have VERB ejde-64 16 6 double double ADJ ejde-64 16 7 resonance resonance NOUN ejde-64 16 8 . . PUNCT ejde-64 17 1 using use VERB ejde-64 17 2 variational variational ADJ ejde-64 17 3 tools tool NOUN ejde-64 17 4 from from ADP ejde-64 17 5 the the DET ejde-64 17 6 critical critical ADJ ejde-64 17 7 point point NOUN ejde-64 17 8 theory theory NOUN ejde-64 17 9 together together ADV ejde-64 17 10 with with ADP ejde-64 17 11 truncation truncation NOUN ejde-64 17 12 techniques technique NOUN ejde-64 17 13 and and CCONJ ejde-64 17 14 critical critical ADJ ejde-64 17 15 groups group NOUN ejde-64 17 16 , , PUNCT ejde-64 17 17 we we PRON ejde-64 17 18 prove prove VERB ejde-64 17 19 a a DET ejde-64 17 20 multiplicity multiplicity NOUN ejde-64 17 21 theorem theorem VERB ejde-64 17 22 for for ADP ejde-64 17 23 problem problem NOUN ejde-64 17 24 ( ( PUNCT ejde-64 17 25 1.1 1.1 NUM ejde-64 17 26 ) ) PUNCT ejde-64 17 27 , , PUNCT ejde-64 17 28 producing produce VERB ejde-64 17 29 three three NUM ejde-64 17 30 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 17 31 smooth smooth ADJ ejde-64 17 32 solutions solution NOUN ejde-64 17 33 , , PUNCT ejde-64 17 34 all all PRON ejde-64 17 35 with with ADP ejde-64 17 36 sign sign NOUN ejde-64 17 37 information information NOUN ejde-64 17 38 and and CCONJ ejde-64 17 39 ordered order VERB ejde-64 17 40 . . PUNCT ejde-64 18 1 recently recently ADV ejde-64 18 2 a a DET ejde-64 18 3 three three NUM ejde-64 18 4 solutions solution NOUN ejde-64 18 5 theorem theorem VERB ejde-64 18 6 for for ADP ejde-64 18 7 a a DET ejde-64 18 8 superlinear superlinear NOUN ejde-64 18 9 weignted weignte VERB ejde-64 18 10 ( ( PUNCT ejde-64 18 11 p p NOUN ejde-64 18 12 , , PUNCT ejde-64 18 13 q)-equation q)-equation NOUN ejde-64 18 14 without without ADP ejde-64 18 15 resonance resonance NOUN ejde-64 18 16 at at ADP ejde-64 18 17 zero zero NUM ejde-64 18 18 , , PUNCT ejde-64 18 19 was be AUX ejde-64 18 20 proved prove VERB ejde-64 18 21 by by ADP ejde-64 18 22 liu liu PROPN ejde-64 18 23 - - PUNCT ejde-64 18 24 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 18 25 [ [ X ejde-64 18 26 12 12 NUM ejde-64 18 27 ] ] PUNCT ejde-64 18 28 , , PUNCT ejde-64 18 29 extending extend VERB ejde-64 18 30 the the DET ejde-64 18 31 well well ADV ejde-64 18 32 - - PUNCT ejde-64 18 33 known know VERB ejde-64 18 34 semilinear semilinear NOUN ejde-64 18 35 work work NOUN ejde-64 18 36 of of ADP ejde-64 18 37 wang wang PROPN ejde-64 19 1 [ [ X ejde-64 19 2 20 20 NUM ejde-64 19 3 ] ] PUNCT ejde-64 19 4 . . PUNCT ejde-64 20 1 here here ADV ejde-64 20 2 we we PRON ejde-64 20 3 complement complement VERB ejde-64 20 4 the the DET ejde-64 20 5 aforementioned aforementioned ADJ ejde-64 20 6 work work NOUN ejde-64 20 7 of of ADP ejde-64 20 8 liu liu PROPN ejde-64 20 9 - - PUNCT ejde-64 20 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 20 11 [ [ X ejde-64 20 12 12 12 NUM ejde-64 20 13 ] ] PUNCT ejde-64 20 14 , , PUNCT ejde-64 20 15 by by ADP ejde-64 20 16 examining examine VERB ejde-64 20 17 the the DET ejde-64 20 18 sublinear sublinear NOUN ejde-64 20 19 , , PUNCT ejde-64 20 20 double double ADJ ejde-64 20 21 resonance resonance NOUN ejde-64 20 22 case case NOUN ejde-64 20 23 . . PUNCT ejde-64 21 1 2020 2020 NUM ejde-64 21 2 mathematics mathematic NOUN ejde-64 21 3 subject subject ADJ ejde-64 21 4 classification classification NOUN ejde-64 21 5 . . PUNCT ejde-64 22 1 35j20 35j20 NUM ejde-64 22 2 , , PUNCT ejde-64 22 3 35j60 35j60 NUM ejde-64 22 4 . . PUNCT ejde-64 23 1 key key ADJ ejde-64 23 2 words word NOUN ejde-64 23 3 and and CCONJ ejde-64 23 4 phrases phrase NOUN ejde-64 23 5 . . PUNCT ejde-64 24 1 constant constant ADJ ejde-64 24 2 sign sign NOUN ejde-64 24 3 and and CCONJ ejde-64 24 4 nodal nodal NOUN ejde-64 24 5 solutions solution NOUN ejde-64 24 6 ; ; PUNCT ejde-64 24 7 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 24 8 regularity regularity NOUN ejde-64 24 9 ; ; PUNCT ejde-64 24 10 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 24 11 maximum maximum ADJ ejde-64 24 12 principle principle NOUN ejde-64 24 13 ; ; PUNCT ejde-64 24 14 critical critical ADJ ejde-64 24 15 groups group NOUN ejde-64 24 16 ; ; PUNCT ejde-64 24 17 spectrum spectrum NOUN ejde-64 24 18 of of ADP ejde-64 24 19 weighted weight VERB ejde-64 24 20 r r NOUN ejde-64 24 21 - - PUNCT ejde-64 24 22 laplacian laplacian ADJ ejde-64 24 23 ; ; PUNCT ejde-64 24 24 double double ADJ ejde-64 24 25 resonance resonance NOUN ejde-64 24 26 . . PUNCT ejde-64 25 1 © © ADP ejde-64 25 2 2023 2023 NUM ejde-64 25 3 . . PUNCT ejde-64 26 1 this this DET ejde-64 26 2 work work NOUN ejde-64 26 3 is be AUX ejde-64 26 4 licensed license VERB ejde-64 26 5 under under ADP ejde-64 26 6 a a DET ejde-64 26 7 cc cc NOUN ejde-64 26 8 by by ADP ejde-64 26 9 4.0 4.0 NUM ejde-64 26 10 license license NOUN ejde-64 26 11 . . PUNCT ejde-64 27 1 submitted submit VERB ejde-64 27 2 january january PROPN ejde-64 27 3 16 16 NUM ejde-64 27 4 , , PUNCT ejde-64 27 5 2023 2023 NUM ejde-64 27 6 . . PUNCT ejde-64 28 1 published publish VERB ejde-64 28 2 march march PROPN ejde-64 28 3 30 30 NUM ejde-64 28 4 , , PUNCT ejde-64 28 5 2023 2023 NUM ejde-64 28 6 . . PUNCT ejde-64 29 1 1 1 NUM ejde-64 29 2 2 2 NUM ejde-64 29 3 z. z. PROPN ejde-64 29 4 liu liu PROPN ejde-64 29 5 , , PUNCT ejde-64 29 6 n. n. PROPN ejde-64 29 7 s. s. PROPN ejde-64 29 8 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 29 9 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 29 10 our our PRON ejde-64 29 11 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 29 12 allow allow VERB ejde-64 29 13 for for SCONJ ejde-64 29 14 resonance resonance NOUN ejde-64 29 15 to to PART ejde-64 29 16 occur occur VERB ejde-64 29 17 as as ADP ejde-64 29 18 x x X ejde-64 29 19 → → SYM ejde-64 29 20 + + NOUN ejde-64 29 21 ∞ ∞ PROPN ejde-64 29 22 with with ADP ejde-64 29 23 respect respect NOUN ejde-64 29 24 to to ADP ejde-64 29 25 the the DET ejde-64 29 26 principal principal ADJ ejde-64 29 27 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 29 28 of of ADP ejde-64 29 29 ( ( PUNCT ejde-64 29 30 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 29 31 p p PROPN ejde-64 29 32 , , PUNCT ejde-64 29 33 w w PROPN ejde-64 29 34 1,p 1,p PROPN ejde-64 29 35 0 0 SYM ejde-64 29 36 ( ( PUNCT ejde-64 29 37 ω ω NOUN ejde-64 29 38 ) ) PUNCT ejde-64 29 39 ) ) PUNCT ejde-64 29 40 and and CCONJ ejde-64 29 41 as as ADP ejde-64 29 42 x x X ejde-64 29 43 → → X ejde-64 29 44 0 0 NUM ejde-64 29 45 + + NOUN ejde-64 29 46 with with ADP ejde-64 29 47 respect respect NOUN ejde-64 29 48 to to ADP ejde-64 29 49 a a DET ejde-64 29 50 higher high ADJ ejde-64 29 51 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 29 52 of of ADP ejde-64 29 53 ( ( PUNCT ejde-64 29 54 −∆a2 −∆a2 ADJ ejde-64 29 55 , , PUNCT ejde-64 29 56 h1 h1 NOUN ejde-64 29 57 0 0 NUM ejde-64 29 58 ( ( PUNCT ejde-64 29 59 ω ω NOUN ejde-64 29 60 ) ) PUNCT ejde-64 29 61 ) ) PUNCT ejde-64 29 62 . . PUNCT ejde-64 30 1 so so ADV ejde-64 30 2 we we PRON ejde-64 30 3 have have VERB ejde-64 30 4 a a DET ejde-64 30 5 double double ADJ ejde-64 30 6 resonance resonance NOUN ejde-64 30 7 situation situation NOUN ejde-64 30 8 which which PRON ejde-64 30 9 has have AUX ejde-64 30 10 not not PART ejde-64 30 11 been be AUX ejde-64 30 12 examined examine VERB ejde-64 30 13 in in ADP ejde-64 30 14 the the DET ejde-64 30 15 past past NOUN ejde-64 30 16 . . PUNCT ejde-64 31 1 2 2 X ejde-64 31 2 . . NOUN ejde-64 31 3 mathematical mathematical ADJ ejde-64 31 4 background background NOUN ejde-64 31 5 and and CCONJ ejde-64 31 6 hypotheses hypothese VERB ejde-64 31 7 the the DET ejde-64 31 8 analysis analysis NOUN ejde-64 31 9 of of ADP ejde-64 31 10 problem problem NOUN ejde-64 31 11 ( ( PUNCT ejde-64 31 12 1.1 1.1 NUM ejde-64 31 13 ) ) PUNCT ejde-64 31 14 uses use VERB ejde-64 31 15 the the DET ejde-64 31 16 sobolev sobolev NOUN ejde-64 31 17 space space NOUN ejde-64 31 18 w w PROPN ejde-64 31 19 1,p 1,p PROPN ejde-64 31 20 0 0 SYM ejde-64 31 21 ( ( PUNCT ejde-64 31 22 ω ω NOUN ejde-64 31 23 ) ) PUNCT ejde-64 31 24 and and CCONJ ejde-64 31 25 the the DET ejde-64 31 26 banach banach NOUN ejde-64 31 27 space space NOUN ejde-64 31 28 c1 c1 NOUN ejde-64 31 29 0 0 NUM ejde-64 32 1 ( ( PUNCT ejde-64 32 2 ω ω NOUN ejde-64 32 3 ) ) PUNCT ejde-64 32 4 = = PRON ejde-64 33 1 { { PUNCT ejde-64 33 2 u u NOUN ejde-64 33 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 33 4 c1(ω c1(ω PROPN ejde-64 33 5 ) ) PUNCT ejde-64 33 6 : : PUNCT ejde-64 34 1 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-64 34 2 = = PUNCT ejde-64 34 3 0 0 NUM ejde-64 34 4 } } PUNCT ejde-64 34 5 . . PUNCT ejde-64 35 1 the the DET ejde-64 35 2 poincaré poincaré ADJ ejde-64 35 3 inequality inequality NOUN ejde-64 35 4 implies imply VERB ejde-64 35 5 that that SCONJ ejde-64 35 6 on on ADP ejde-64 35 7 w w PROPN ejde-64 35 8 1,p 1,p PROPN ejde-64 35 9 0 0 NUM ejde-64 35 10 ( ( PUNCT ejde-64 35 11 ω ω NOUN ejde-64 35 12 ) ) PUNCT ejde-64 35 13 we we PRON ejde-64 35 14 can can AUX ejde-64 35 15 use use VERB ejde-64 35 16 the the DET ejde-64 35 17 equivalent equivalent ADJ ejde-64 35 18 norm norm NOUN ejde-64 36 1 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-64 36 2 = = PUNCT ejde-64 36 3 ‖du‖p ‖du‖p PROPN ejde-64 36 4 for for ADP ejde-64 36 5 all all DET ejde-64 36 6 u u NOUN ejde-64 36 7 ∈w ∈w NOUN ejde-64 36 8 1,p 1,p PROPN ejde-64 36 9 0 0 SYM ejde-64 36 10 ( ( PUNCT ejde-64 36 11 ω ω NOUN ejde-64 36 12 ) ) PUNCT ejde-64 36 13 . . PUNCT ejde-64 37 1 the the DET ejde-64 37 2 banach banach NOUN ejde-64 37 3 space space NOUN ejde-64 37 4 c1 c1 NOUN ejde-64 37 5 0 0 NUM ejde-64 37 6 ( ( PUNCT ejde-64 37 7 ω ω NOUN ejde-64 37 8 ) ) PUNCT ejde-64 37 9 is be AUX ejde-64 37 10 ordered order VERB ejde-64 37 11 with with ADP ejde-64 37 12 positive positive ADJ ejde-64 37 13 ( ( PUNCT ejde-64 37 14 order order NOUN ejde-64 37 15 ) ) PUNCT ejde-64 37 16 cone cone NOUN ejde-64 37 17 c+ c+ NOUN ejde-64 37 18 = = PUNCT ejde-64 37 19 { { PUNCT ejde-64 37 20 u u NOUN ejde-64 37 21 ∈ ∈ PROPN ejde-64 37 22 c1 c1 NOUN ejde-64 37 23 0 0 NUM ejde-64 37 24 ( ( PUNCT ejde-64 37 25 ω ω NOUN ejde-64 37 26 ) ) PUNCT ejde-64 37 27 : : PUNCT ejde-64 37 28 u(z u(z X ejde-64 37 29 ) ) PUNCT ejde-64 37 30 ≥ ≥ NOUN ejde-64 37 31 0 0 NUM ejde-64 37 32 for for ADP ejde-64 37 33 all all DET ejde-64 37 34 z z NOUN ejde-64 37 35 ∈ ∈ PROPN ejde-64 37 36 ω ω PROPN ejde-64 37 37 } } PUNCT ejde-64 37 38 . . PUNCT ejde-64 38 1 this this DET ejde-64 38 2 cone cone NOUN ejde-64 38 3 has have VERB ejde-64 38 4 a a DET ejde-64 38 5 nonempty nonempty ADJ ejde-64 38 6 interior interior NOUN ejde-64 38 7 given give VERB ejde-64 38 8 by by ADP ejde-64 38 9 intc+ intc+ ADV ejde-64 38 10 = = SYM ejde-64 38 11 { { PUNCT ejde-64 38 12 u u NOUN ejde-64 38 13 ∈ ∈ NOUN ejde-64 38 14 c+ c+ VERB ejde-64 38 15 : : PUNCT ejde-64 38 16 u(z u(z X ejde-64 38 17 ) ) PUNCT ejde-64 38 18 > > X ejde-64 38 19 0 0 PUNCT ejde-64 38 20 for for ADP ejde-64 38 21 all all DET ejde-64 38 22 z z NOUN ejde-64 38 23 ∈ ∈ PROPN ejde-64 38 24 ω ω PROPN ejde-64 38 25 , , PUNCT ejde-64 38 26 ∂u ∂u PROPN ejde-64 38 27 ∂n ∂n PROPN ejde-64 38 28 |∂ω |∂ω VERB ejde-64 38 29 < < X ejde-64 38 30 0 0 NUM ejde-64 38 31 } } PUNCT ejde-64 38 32 with with ADP ejde-64 38 33 ∂u ∂u PROPN ejde-64 38 34 ∂n ∂n PROPN ejde-64 38 35 = = PUNCT ejde-64 38 36 ( ( PUNCT ejde-64 38 37 du du PROPN ejde-64 38 38 , , PUNCT ejde-64 38 39 n)rn n)rn PROPN ejde-64 38 40 where where SCONJ ejde-64 38 41 n n CCONJ ejde-64 38 42 ( ( PUNCT ejde-64 38 43 · · PUNCT ejde-64 38 44 ) ) PUNCT ejde-64 38 45 is be AUX ejde-64 38 46 the the DET ejde-64 38 47 outward outward ADJ ejde-64 38 48 unit unit NOUN ejde-64 38 49 normal normal ADJ ejde-64 38 50 on on ADP ejde-64 38 51 ∂ω ∂ω PROPN ejde-64 38 52 . . PUNCT ejde-64 39 1 if if SCONJ ejde-64 39 2 u u PRON ejde-64 39 3 : : PUNCT ejde-64 39 4 ω ω PROPN ejde-64 39 5 → → SYM ejde-64 39 6 r r NOUN ejde-64 39 7 is be AUX ejde-64 39 8 a a DET ejde-64 39 9 measurable measurable ADJ ejde-64 39 10 function function NOUN ejde-64 39 11 , , PUNCT ejde-64 39 12 then then ADV ejde-64 39 13 we we PRON ejde-64 39 14 set set VERB ejde-64 39 15 u±(z u±(z PRON ejde-64 39 16 ) ) PUNCT ejde-64 39 17 = = SYM ejde-64 39 18 max{±u(z max{±u(z PROPN ejde-64 39 19 ) ) PUNCT ejde-64 39 20 , , PUNCT ejde-64 39 21 0 0 NUM ejde-64 39 22 } } PUNCT ejde-64 39 23 for for ADP ejde-64 39 24 all all DET ejde-64 39 25 z z NOUN ejde-64 39 26 ∈ ∈ PROPN ejde-64 39 27 ω ω PROPN ejde-64 39 28 . . PUNCT ejde-64 40 1 both both PRON ejde-64 40 2 are be AUX ejde-64 40 3 measurable measurable ADJ ejde-64 40 4 functions function NOUN ejde-64 40 5 and and CCONJ ejde-64 40 6 we we PRON ejde-64 40 7 have have VERB ejde-64 40 8 u u NOUN ejde-64 40 9 = = NOUN ejde-64 40 10 u+ u+ NOUN ejde-64 40 11 − − PROPN ejde-64 40 12 u− u− PROPN ejde-64 40 13 , , PUNCT ejde-64 40 14 |u| |u| PROPN ejde-64 40 15 = = PUNCT ejde-64 40 16 u+ u+ NUM ejde-64 40 17 + + NUM ejde-64 40 18 u− u− NOUN ejde-64 40 19 and and CCONJ ejde-64 40 20 if if SCONJ ejde-64 40 21 u u PRON ejde-64 40 22 ∈w ∈w VERB ejde-64 40 23 1,p 1,p PROPN ejde-64 40 24 0 0 SYM ejde-64 40 25 ( ( PUNCT ejde-64 40 26 ω ω NOUN ejde-64 40 27 ) ) PUNCT ejde-64 40 28 , , PUNCT ejde-64 40 29 then then ADV ejde-64 40 30 u± u± PROPN ejde-64 40 31 ∈w ∈w VERB ejde-64 40 32 1,p 1,p PROPN ejde-64 40 33 0 0 SYM ejde-64 40 34 ( ( PUNCT ejde-64 40 35 ω ω NOUN ejde-64 40 36 ) ) PUNCT ejde-64 40 37 . . PUNCT ejde-64 41 1 let let VERB ejde-64 41 2 v v X ejde-64 41 3 : : PUNCT ejde-64 41 4 w w PROPN ejde-64 41 5 1,p 1,p PROPN ejde-64 41 6 0 0 SYM ejde-64 41 7 ( ( PUNCT ejde-64 41 8 ω ω NOUN ejde-64 41 9 ) ) PUNCT ejde-64 41 10 → → SYM ejde-64 41 11 w−1,p′(ω w−1,p′(ω NOUN ejde-64 41 12 ) ) PUNCT ejde-64 41 13 ( ( PUNCT ejde-64 41 14 1 1 NUM ejde-64 41 15 p p NOUN ejde-64 41 16 + + NOUN ejde-64 41 17 1 1 NUM ejde-64 41 18 p′ p′ NOUN ejde-64 41 19 = = SYM ejde-64 41 20 1 1 X ejde-64 41 21 ) ) PUNCT ejde-64 41 22 be be AUX ejde-64 41 23 the the DET ejde-64 41 24 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 41 25 operator operator NOUN ejde-64 41 26 defined define VERB ejde-64 41 27 by by ADP ejde-64 41 28 〈 〈 PROPN ejde-64 41 29 v v PROPN ejde-64 41 30 ( ( PUNCT ejde-64 41 31 u u NOUN ejde-64 41 32 ) ) PUNCT ejde-64 41 33 , , PUNCT ejde-64 42 1 h h NOUN ejde-64 42 2 〉 〉 NUM ejde-64 42 3 = = SYM ejde-64 42 4 ∫ ∫ PROPN ejde-64 42 5 ω ω PROPN ejde-64 43 1 [ [ X ejde-64 43 2 a1(z)|du|p−2 a1(z)|du|p−2 ADJ ejde-64 43 3 + + NUM ejde-64 43 4 a2(z)|du|q−2](du a2(z)|du|q−2](du NOUN ejde-64 43 5 , , PUNCT ejde-64 43 6 dh)rn dh)rn PRON ejde-64 43 7 dz dz ADJ ejde-64 43 8 ∀u ∀u NOUN ejde-64 43 9 , , PUNCT ejde-64 43 10 h h NOUN ejde-64 43 11 ∈w ∈w VERB ejde-64 43 12 1,p 1,p PROPN ejde-64 43 13 0 0 SYM ejde-64 43 14 ( ( PUNCT ejde-64 43 15 ω ω NOUN ejde-64 43 16 ) ) PUNCT ejde-64 43 17 . . PUNCT ejde-64 44 1 this this DET ejde-64 44 2 operator operator NOUN ejde-64 44 3 is be AUX ejde-64 44 4 continuous continuous ADJ ejde-64 44 5 and and CCONJ ejde-64 44 6 strictly strictly ADV ejde-64 44 7 monotone monotone ADJ ejde-64 44 8 , , PUNCT ejde-64 44 9 thus thus ADV ejde-64 44 10 maximal maximal ADJ ejde-64 44 11 monotone monotone NOUN ejde-64 44 12 too too ADV ejde-64 44 13 and and CCONJ ejde-64 44 14 of of ADP ejde-64 44 15 type type NOUN ejde-64 44 16 ( ( PUNCT ejde-64 44 17 s)+ s)+ PROPN ejde-64 44 18 ( ( PUNCT ejde-64 44 19 see see VERB ejde-64 44 20 [ [ X ejde-64 44 21 6 6 NUM ejde-64 44 22 , , PUNCT ejde-64 44 23 p. p. NOUN ejde-64 44 24 279 279 NUM ejde-64 44 25 ] ] PUNCT ejde-64 44 26 ) ) PUNCT ejde-64 44 27 . . PUNCT ejde-64 45 1 let let VERB ejde-64 45 2 x x PRON ejde-64 45 3 be be AUX ejde-64 45 4 a a DET ejde-64 45 5 banach banach NOUN ejde-64 45 6 space space NOUN ejde-64 45 7 and and CCONJ ejde-64 45 8 ϕ ϕ NOUN ejde-64 45 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 45 10 c1(x c1(x NOUN ejde-64 45 11 , , PUNCT ejde-64 45 12 r r NOUN ejde-64 45 13 ) ) PUNCT ejde-64 45 14 . . PUNCT ejde-64 46 1 we we PRON ejde-64 46 2 say say VERB ejde-64 46 3 that that SCONJ ejde-64 46 4 ϕ ϕ NOUN ejde-64 46 5 ( ( PUNCT ejde-64 46 6 · · PUNCT ejde-64 46 7 ) ) PUNCT ejde-64 46 8 satisfies satisfy VERB ejde-64 46 9 the the DET ejde-64 46 10 “ " PUNCT ejde-64 46 11 c c NOUN ejde-64 46 12 - - PUNCT ejde-64 46 13 condition condition NOUN ejde-64 46 14 ” " PUNCT ejde-64 46 15 , , PUNCT ejde-64 46 16 if if SCONJ ejde-64 46 17 the the DET ejde-64 46 18 following follow VERB ejde-64 46 19 property property NOUN ejde-64 46 20 holds hold VERB ejde-64 46 21 : : PUNCT ejde-64 46 22 every every DET ejde-64 46 23 sequence sequence NOUN ejde-64 46 24 { { PUNCT ejde-64 46 25 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 46 26 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 46 27 x x SYM ejde-64 46 28 such such ADJ ejde-64 46 29 that that SCONJ ejde-64 46 30 { { PUNCT ejde-64 46 31 ϕ(un)}n∈n ϕ(un)}n∈n NOUN ejde-64 46 32 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 46 33 r r NOUN ejde-64 46 34 is be AUX ejde-64 46 35 bounded bound VERB ejde-64 46 36 , , PUNCT ejde-64 46 37 and and CCONJ ejde-64 46 38 ( ( PUNCT ejde-64 46 39 1 1 NUM ejde-64 46 40 + + SYM ejde-64 46 41 ‖un‖x)ϕ′(un ‖un‖x)ϕ′(un PROPN ejde-64 46 42 ) ) PUNCT ejde-64 46 43 → → SYM ejde-64 46 44 0 0 NUM ejde-64 46 45 in in ADP ejde-64 46 46 x∗ x∗ PROPN ejde-64 46 47 , , PUNCT ejde-64 46 48 admits admit VERB ejde-64 46 49 a a DET ejde-64 46 50 strongly strongly ADV ejde-64 46 51 convergent convergent ADJ ejde-64 46 52 subsequence subsequence NOUN ejde-64 46 53 . . PUNCT ejde-64 47 1 a a DET ejde-64 47 2 coercive coercive ADJ ejde-64 47 3 functional functional ADJ ejde-64 47 4 ϕ ϕ X ejde-64 47 5 ∈ ∈ PROPN ejde-64 47 6 c1(x c1(x NOUN ejde-64 47 7 , , PUNCT ejde-64 47 8 r r NOUN ejde-64 47 9 ) ) PUNCT ejde-64 47 10 satisfies satisfy VERB ejde-64 47 11 the the DET ejde-64 47 12 c c NOUN ejde-64 47 13 - - PUNCT ejde-64 47 14 condition condition NOUN ejde-64 47 15 ( ( PUNCT ejde-64 47 16 see see VERB ejde-64 47 17 papageorgiourădulescu papageorgiourădulescu NOUN ejde-64 47 18 - - PUNCT ejde-64 47 19 repovš repovš NOUN ejde-64 48 1 [ [ X ejde-64 48 2 16],p 16],p NUM ejde-64 48 3 . . NOUN ejde-64 48 4 369 369 NUM ejde-64 48 5 ) ) PUNCT ejde-64 48 6 . . PUNCT ejde-64 49 1 given give VERB ejde-64 49 2 ϕ ϕ PROPN ejde-64 49 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 49 4 c1(x c1(x NOUN ejde-64 49 5 , , PUNCT ejde-64 49 6 r r NOUN ejde-64 49 7 ) ) PUNCT ejde-64 49 8 and and CCONJ ejde-64 49 9 c c NOUN ejde-64 49 10 ∈ ∈ PROPN ejde-64 49 11 r r NOUN ejde-64 49 12 , , PUNCT ejde-64 49 13 we we PRON ejde-64 49 14 define define VERB ejde-64 49 15 the the DET ejde-64 49 16 sets set NOUN ejde-64 49 17 kϕ kϕ NOUN ejde-64 49 18 = = SYM ejde-64 49 19 { { PUNCT ejde-64 49 20 u u NOUN ejde-64 49 21 ∈ ∈ PROPN ejde-64 49 22 x x X ejde-64 49 23 : : PUNCT ejde-64 49 24 ϕ′(u ϕ′(u PRON ejde-64 49 25 ) ) PUNCT ejde-64 49 26 = = PUNCT ejde-64 50 1 0 0 NUM ejde-64 50 2 } } PUNCT ejde-64 50 3 , , PUNCT ejde-64 50 4 ϕc ϕc NOUN ejde-64 50 5 = = PRON ejde-64 50 6 { { PUNCT ejde-64 50 7 u u NOUN ejde-64 50 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 50 9 x x X ejde-64 50 10 : : PUNCT ejde-64 50 11 ϕ(u ϕ(u NOUN ejde-64 50 12 ) ) PUNCT ejde-64 50 13 ≤ ≤ PUNCT ejde-64 51 1 c c X ejde-64 51 2 } } PUNCT ejde-64 51 3 . . PUNCT ejde-64 52 1 for for ADP ejde-64 52 2 a a DET ejde-64 52 3 topological topological ADJ ejde-64 52 4 pair pair NOUN ejde-64 52 5 ( ( PUNCT ejde-64 52 6 y2 y2 PROPN ejde-64 52 7 , , PUNCT ejde-64 52 8 y1 y1 PROPN ejde-64 52 9 ) ) PUNCT ejde-64 52 10 with with ADP ejde-64 52 11 y1 y1 NOUN ejde-64 52 12 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 52 13 y2 y2 NOUN ejde-64 52 14 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 52 15 x x PUNCT ejde-64 52 16 and and CCONJ ejde-64 52 17 k k PROPN ejde-64 52 18 ∈ ∈ PROPN ejde-64 52 19 n0 n0 PROPN ejde-64 52 20 , , PUNCT ejde-64 52 21 by by ADP ejde-64 52 22 hk(y2 hk(y2 PROPN ejde-64 52 23 , , PUNCT ejde-64 52 24 y1 y1 PROPN ejde-64 52 25 ) ) PUNCT ejde-64 52 26 we we PRON ejde-64 52 27 denote denote VERB ejde-64 52 28 the the DET ejde-64 52 29 kth kth PROPN ejde-64 52 30 - - PUNCT ejde-64 52 31 singular singular PROPN ejde-64 52 32 homology homology NOUN ejde-64 52 33 group group NOUN ejde-64 52 34 with with ADP ejde-64 52 35 integer integer PROPN ejde-64 52 36 coefficients coefficient NOUN ejde-64 52 37 . . PUNCT ejde-64 53 1 given give VERB ejde-64 53 2 u u PRON ejde-64 53 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 53 4 kϕ kϕ NOUN ejde-64 53 5 isolated isolate VERB ejde-64 53 6 , , PUNCT ejde-64 53 7 the the DET ejde-64 53 8 critical critical ADJ ejde-64 53 9 groups group NOUN ejde-64 53 10 of of ADP ejde-64 53 11 ϕ ϕ NOUN ejde-64 53 12 at at ADP ejde-64 53 13 u u NOUN ejde-64 53 14 , , PUNCT ejde-64 53 15 are be AUX ejde-64 53 16 defined define VERB ejde-64 53 17 by by ADP ejde-64 53 18 ck(ϕ ck(ϕ NOUN ejde-64 53 19 , , PUNCT ejde-64 53 20 u u NOUN ejde-64 53 21 ) ) PUNCT ejde-64 53 22 = = SYM ejde-64 53 23 hk(ϕc hk(ϕc PROPN ejde-64 53 24 ∩ ∩ NOUN ejde-64 53 25 u,ϕc u,ϕc NUM ejde-64 53 26 ∩ ∩ ADJ ejde-64 53 27 u u NOUN ejde-64 53 28 \ \ PROPN ejde-64 53 29 { { PUNCT ejde-64 53 30 u u NOUN ejde-64 53 31 } } PUNCT ejde-64 53 32 ) ) PUNCT ejde-64 53 33 for for ADP ejde-64 53 34 all all DET ejde-64 53 35 k k PROPN ejde-64 53 36 ∈ ∈ PROPN ejde-64 53 37 n0 n0 PROPN ejde-64 53 38 , , PUNCT ejde-64 53 39 with with ADP ejde-64 53 40 u u PRON ejde-64 53 41 a a DET ejde-64 53 42 neighborhood neighborhood NOUN ejde-64 53 43 of of ADP ejde-64 53 44 u u PRON ejde-64 53 45 such such ADJ ejde-64 53 46 that that SCONJ ejde-64 53 47 kϕ kϕ PROPN ejde-64 53 48 ∩ ∩ NOUN ejde-64 53 49 ϕc ϕc ADP ejde-64 53 50 ∩ ∩ ADJ ejde-64 53 51 u u NOUN ejde-64 53 52 = = PUNCT ejde-64 53 53 { { PUNCT ejde-64 53 54 u}.the u}.the PROPN ejde-64 53 55 excision excision NOUN ejde-64 53 56 property property NOUN ejde-64 53 57 of of ADP ejde-64 53 58 singular singular ADJ ejde-64 53 59 homology homology NOUN ejde-64 53 60 , , PUNCT ejde-64 53 61 implies imply VERB ejde-64 53 62 that that SCONJ ejde-64 53 63 the the DET ejde-64 53 64 above above ADJ ejde-64 53 65 definition definition NOUN ejde-64 53 66 of of ADP ejde-64 53 67 critical critical ADJ ejde-64 53 68 groups group NOUN ejde-64 53 69 at at ADP ejde-64 53 70 u u NOUN ejde-64 53 71 , , PUNCT ejde-64 53 72 is be AUX ejde-64 53 73 independent independent ADJ ejde-64 53 74 of of ADP ejde-64 53 75 the the DET ejde-64 53 76 particular particular ADJ ejde-64 53 77 choice choice NOUN ejde-64 53 78 of of ADP ejde-64 53 79 the the DET ejde-64 53 80 isolating isolate VERB ejde-64 53 81 neighborhood neighborhood NOUN ejde-64 53 82 u u NOUN ejde-64 53 83 . . PUNCT ejde-64 53 84 suppose suppose VERB ejde-64 53 85 that that SCONJ ejde-64 53 86 ϕ ϕ PROPN ejde-64 53 87 ∈ ∈ PROPN ejde-64 53 88 c1(x c1(x NOUN ejde-64 53 89 , , PUNCT ejde-64 53 90 r r NOUN ejde-64 53 91 ) ) PUNCT ejde-64 53 92 satisfies satisfy VERB ejde-64 53 93 the the DET ejde-64 53 94 c c NOUN ejde-64 53 95 - - PUNCT ejde-64 53 96 condition condition NOUN ejde-64 53 97 and and CCONJ ejde-64 53 98 −∞ −∞ X ejde-64 53 99 < < X ejde-64 53 100 inf inf PROPN ejde-64 53 101 ϕ(kϕ ϕ(kϕ PROPN ejde-64 53 102 ) ) PUNCT ejde-64 53 103 . . PUNCT ejde-64 54 1 then then ADV ejde-64 54 2 the the DET ejde-64 54 3 critical critical ADJ ejde-64 54 4 groups group NOUN ejde-64 54 5 of of ADP ejde-64 54 6 ϕ ϕ PROPN ejde-64 54 7 ( ( PUNCT ejde-64 54 8 · · PUNCT ejde-64 54 9 ) ) PUNCT ejde-64 54 10 at at ADP ejde-64 54 11 infinity infinity NOUN ejde-64 54 12 are be AUX ejde-64 54 13 ck(ϕ,∞ ck(ϕ,∞ PROPN ejde-64 54 14 ) ) PUNCT ejde-64 55 1 = = SYM ejde-64 55 2 hk(x,ϕc hk(x,ϕc NOUN ejde-64 55 3 ) ) PUNCT ejde-64 55 4 for for ADP ejde-64 55 5 all all DET ejde-64 55 6 k k PROPN ejde-64 55 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 55 8 n0 n0 PROPN ejde-64 55 9 , , PUNCT ejde-64 55 10 with with ADP ejde-64 55 11 c c PROPN ejde-64 55 12 < < X ejde-64 55 13 inf inf PROPN ejde-64 55 14 ϕ(kϕ ϕ(kϕ PROPN ejde-64 55 15 ) ) PUNCT ejde-64 55 16 . . PUNCT ejde-64 56 1 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 56 2 a a DET ejde-64 56 3 weighted weight VERB ejde-64 56 4 ( ( PUNCT ejde-64 56 5 p p X ejde-64 56 6 , , PUNCT ejde-64 56 7 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 56 8 with with ADP ejde-64 56 9 double double ADJ ejde-64 56 10 resonance resonance NOUN ejde-64 56 11 3 3 NUM ejde-64 56 12 the the DET ejde-64 56 13 second second ADJ ejde-64 56 14 deformation deformation NOUN ejde-64 56 15 theorem theorem NOUN ejde-64 56 16 ( ( PUNCT ejde-64 56 17 see see VERB ejde-64 56 18 [ [ X ejde-64 56 19 16 16 NUM ejde-64 56 20 , , PUNCT ejde-64 56 21 p. p. NOUN ejde-64 56 22 386 386 NUM ejde-64 56 23 ] ] PUNCT ejde-64 56 24 ) ) PUNCT ejde-64 56 25 implies imply VERB ejde-64 56 26 that that SCONJ ejde-64 56 27 the the DET ejde-64 56 28 above above ADJ ejde-64 56 29 definition definition NOUN ejde-64 56 30 is be AUX ejde-64 56 31 independent independent ADJ ejde-64 56 32 of of ADP ejde-64 56 33 the the DET ejde-64 56 34 choice choice NOUN ejde-64 56 35 of of ADP ejde-64 56 36 the the DET ejde-64 56 37 level level NOUN ejde-64 56 38 c c PROPN ejde-64 56 39 < < X ejde-64 56 40 inf inf PROPN ejde-64 56 41 ϕ(kϕ ϕ(kϕ PROPN ejde-64 56 42 ) ) PUNCT ejde-64 56 43 . . PUNCT ejde-64 57 1 by by ADP ejde-64 57 2 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 58 1 ( ( PUNCT ejde-64 58 2 p p X ejde-64 58 3 ) ) PUNCT ejde-64 58 4 we we PRON ejde-64 58 5 denote denote VERB ejde-64 58 6 the the DET ejde-64 58 7 first first ADJ ejde-64 58 8 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 58 9 of of ADP ejde-64 58 10 ( ( PUNCT ejde-64 58 11 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 58 12 p p PROPN ejde-64 58 13 , , PUNCT ejde-64 58 14 w w PROPN ejde-64 58 15 1,p 1,p PROPN ejde-64 58 16 0 0 SYM ejde-64 58 17 ( ( PUNCT ejde-64 58 18 ω ω NOUN ejde-64 58 19 ) ) PUNCT ejde-64 58 20 ) ) PUNCT ejde-64 58 21 . . PUNCT ejde-64 59 1 we we PRON ejde-64 59 2 know know VERB ejde-64 59 3 that that PRON ejde-64 59 4 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 60 1 ( ( PUNCT ejde-64 60 2 p p NOUN ejde-64 60 3 ) ) PUNCT ejde-64 60 4 > > X ejde-64 60 5 0 0 PUNCT ejde-64 60 6 is be AUX ejde-64 60 7 simple simple ADJ ejde-64 60 8 , , PUNCT ejde-64 60 9 isolated isolated ADJ ejde-64 60 10 and and CCONJ ejde-64 60 11 is be AUX ejde-64 60 12 the the DET ejde-64 60 13 only only ADJ ejde-64 60 14 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 60 15 of of ADP ejde-64 60 16 ( ( PUNCT ejde-64 60 17 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 60 18 p p PROPN ejde-64 60 19 , , PUNCT ejde-64 60 20 w w PROPN ejde-64 60 21 1,p 1,p PROPN ejde-64 60 22 0 0 SYM ejde-64 60 23 ( ( PUNCT ejde-64 60 24 ω ω NOUN ejde-64 60 25 ) ) PUNCT ejde-64 60 26 ) ) PUNCT ejde-64 60 27 with with ADP ejde-64 60 28 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 60 29 of of ADP ejde-64 60 30 constant constant ADJ ejde-64 60 31 sign sign NOUN ejde-64 60 32 . . PUNCT ejde-64 61 1 by by ADP ejde-64 61 2 û1(p û1(p PROPN ejde-64 61 3 ) ) PUNCT ejde-64 61 4 we we PRON ejde-64 61 5 denote denote VERB ejde-64 61 6 the the DET ejde-64 61 7 positive positive ADJ ejde-64 61 8 , , PUNCT ejde-64 61 9 lp lp ADV ejde-64 61 10 - - PUNCT ejde-64 61 11 normalized normalize VERB ejde-64 61 12 ( ( PUNCT ejde-64 61 13 that that PRON ejde-64 61 14 is is ADV ejde-64 61 15 , , PUNCT ejde-64 61 16 ‖û1(p)‖p ‖û1(p)‖p PROPN ejde-64 61 17 = = SYM ejde-64 61 18 1 1 X ejde-64 61 19 ) ) PUNCT ejde-64 61 20 eigenfunction eigenfunction NOUN ejde-64 61 21 corresponding correspond VERB ejde-64 61 22 to to ADP ejde-64 61 23 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 61 24 ( ( PUNCT ejde-64 61 25 p p NOUN ejde-64 61 26 ) ) PUNCT ejde-64 61 27 . . PUNCT ejde-64 62 1 if if SCONJ ejde-64 62 2 a a DET ejde-64 62 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 62 4 c0,1(ω c0,1(ω NOUN ejde-64 62 5 ) ) PUNCT ejde-64 62 6 ( ( PUNCT ejde-64 62 7 i.e. i.e. X ejde-64 62 8 the the DET ejde-64 62 9 space space NOUN ejde-64 62 10 of of ADP ejde-64 62 11 all all DET ejde-64 62 12 r r NOUN ejde-64 62 13 - - PUNCT ejde-64 62 14 valued value VERB ejde-64 62 15 lipschitz lipschitz NOUN ejde-64 62 16 functions function NOUN ejde-64 62 17 on on ADP ejde-64 62 18 ω ω NUM ejde-64 62 19 ) ) PUNCT ejde-64 62 20 and and CCONJ ejde-64 62 21 0 0 NUM ejde-64 62 22 < < X ejde-64 62 23 ĉ ĉ X ejde-64 62 24 ≤ ≤ ADJ ejde-64 62 25 minωa1 minωa1 ADJ ejde-64 62 26 , , PUNCT ejde-64 62 27 then then ADV ejde-64 62 28 the the DET ejde-64 62 29 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 62 30 regularity regularity NOUN ejde-64 62 31 theory theory NOUN ejde-64 62 32 ( ( PUNCT ejde-64 62 33 see see VERB ejde-64 62 34 lieberman lieberman PROPN ejde-64 62 35 [ [ X ejde-64 62 36 11 11 NUM ejde-64 62 37 ] ] PUNCT ejde-64 62 38 ) ) PUNCT ejde-64 62 39 and and CCONJ ejde-64 62 40 the the DET ejde-64 62 41 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 62 42 maximum maximum ADJ ejde-64 62 43 principle principle NOUN ejde-64 62 44 ( ( PUNCT ejde-64 62 45 see see VERB ejde-64 62 46 liu liu PROPN ejde-64 62 47 - - PUNCT ejde-64 62 48 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 62 49 [ [ X ejde-64 62 50 13 13 NUM ejde-64 62 51 , , PUNCT ejde-64 62 52 14 14 NUM ejde-64 62 53 ] ] PUNCT ejde-64 62 54 ) ) PUNCT ejde-64 62 55 , , PUNCT ejde-64 62 56 imply imply VERB ejde-64 62 57 that that SCONJ ejde-64 62 58 û1(p û1(p NOUN ejde-64 62 59 ) ) PUNCT ejde-64 62 60 ∈ ∈ PROPN ejde-64 62 61 intc+ intc+ ADV ejde-64 62 62 . . PUNCT ejde-64 63 1 we we PRON ejde-64 63 2 denote denote VERB ejde-64 63 3 by by ADP ejde-64 63 4 { { PUNCT ejde-64 63 5 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 63 6 m m VERB ejde-64 63 7 } } PUNCT ejde-64 63 8 m∈n m∈n VERB ejde-64 63 9 the the DET ejde-64 63 10 sequence sequence NOUN ejde-64 63 11 of of ADP ejde-64 63 12 distinct distinct ADJ ejde-64 63 13 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-64 63 14 of of ADP ejde-64 63 15 ( ( PUNCT ejde-64 63 16 −∆a2 −∆a2 ADJ ejde-64 63 17 , , PUNCT ejde-64 63 18 h1 h1 NOUN ejde-64 63 19 0 0 NUM ejde-64 63 20 ( ( PUNCT ejde-64 63 21 ω ω NOUN ejde-64 63 22 ) ) PUNCT ejde-64 63 23 ) ) PUNCT ejde-64 63 24 . . PUNCT ejde-64 64 1 we we PRON ejde-64 64 2 know know VERB ejde-64 64 3 that that SCONJ ejde-64 64 4 λ̂a2n λ̂a2n X ejde-64 64 5 ( ( PUNCT ejde-64 64 6 2 2 NUM ejde-64 64 7 ) ) PUNCT ejde-64 64 8 → → PUNCT ejde-64 64 9 + + NUM ejde-64 64 10 ∞ ∞ PROPN ejde-64 64 11 as as ADP ejde-64 64 12 n n PROPN ejde-64 64 13 → → SYM ejde-64 64 14 ∞ ∞ PROPN ejde-64 64 15 and and CCONJ ejde-64 64 16 the the DET ejde-64 64 17 sequence sequence NOUN ejde-64 64 18 exhausts exhaust VERB ejde-64 64 19 the the DET ejde-64 64 20 set set NOUN ejde-64 64 21 of of ADP ejde-64 64 22 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-64 64 23 of of ADP ejde-64 64 24 ( ( PUNCT ejde-64 64 25 −∆a2 −∆a2 ADJ ejde-64 64 26 , , PUNCT ejde-64 64 27 h1 h1 NOUN ejde-64 64 28 0 0 NUM ejde-64 64 29 ( ( PUNCT ejde-64 64 30 ω ω NOUN ejde-64 64 31 ) ) PUNCT ejde-64 64 32 ) ) PUNCT ejde-64 64 33 . . PUNCT ejde-64 65 1 in in ADP ejde-64 65 2 the the DET ejde-64 65 3 appendix appendix NOUN ejde-64 65 4 , , PUNCT ejde-64 65 5 we we PRON ejde-64 65 6 present present VERB ejde-64 65 7 in in ADP ejde-64 65 8 detail detail NOUN ejde-64 65 9 the the DET ejde-64 65 10 main main ADJ ejde-64 65 11 spectral spectral ADJ ejde-64 65 12 properties property NOUN ejde-64 65 13 of of ADP ejde-64 65 14 ( ( PUNCT ejde-64 65 15 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 65 16 p p PROPN ejde-64 65 17 , , PUNCT ejde-64 65 18 w w PROPN ejde-64 65 19 1,p 1,p PROPN ejde-64 65 20 0 0 SYM ejde-64 65 21 ( ( PUNCT ejde-64 65 22 ω ω NOUN ejde-64 65 23 ) ) PUNCT ejde-64 65 24 ) ) PUNCT ejde-64 65 25 and and CCONJ ejde-64 65 26 of of ADP ejde-64 65 27 ( ( PUNCT ejde-64 65 28 −∆a2 −∆a2 ADJ ejde-64 65 29 , , PUNCT ejde-64 65 30 h1 h1 NOUN ejde-64 65 31 0 0 NUM ejde-64 65 32 ( ( PUNCT ejde-64 65 33 ω ω NOUN ejde-64 65 34 ) ) PUNCT ejde-64 65 35 ) ) PUNCT ejde-64 65 36 . . PUNCT ejde-64 66 1 the the DET ejde-64 66 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 66 3 on on ADP ejde-64 66 4 the the DET ejde-64 66 5 data datum NOUN ejde-64 66 6 of of ADP ejde-64 66 7 ( ( PUNCT ejde-64 66 8 1.1 1.1 NUM ejde-64 66 9 ) ) PUNCT ejde-64 66 10 are be AUX ejde-64 66 11 as as SCONJ ejde-64 66 12 follows follow VERB ejde-64 66 13 : : PUNCT ejde-64 66 14 ( ( PUNCT ejde-64 66 15 h0 h0 NOUN ejde-64 66 16 ) ) PUNCT ejde-64 66 17 functions function NOUN ejde-64 66 18 a1 a1 NOUN ejde-64 66 19 , , PUNCT ejde-64 66 20 a2 a2 PROPN ejde-64 66 21 ∈ ∈ PROPN ejde-64 66 22 c0,1(ω c0,1(ω PROPN ejde-64 66 23 ) ) PUNCT ejde-64 66 24 , , PUNCT ejde-64 66 25 and and CCONJ ejde-64 66 26 0 0 X ejde-64 66 27 < < X ejde-64 66 28 ĉ ĉ X ejde-64 66 29 ≤ ≤ NUM ejde-64 66 30 a1(z a1(z PROPN ejde-64 66 31 ) ) PUNCT ejde-64 66 32 , , PUNCT ejde-64 66 33 a2(z a2(z NOUN ejde-64 66 34 ) ) PUNCT ejde-64 66 35 for for ADP ejde-64 66 36 all all DET ejde-64 66 37 z z NOUN ejde-64 66 38 ∈ ∈ PROPN ejde-64 66 39 ω ω PROPN ejde-64 66 40 . . PUNCT ejde-64 67 1 ( ( PUNCT ejde-64 67 2 h1 h1 PROPN ejde-64 67 3 ) ) PUNCT ejde-64 67 4 f f NOUN ejde-64 67 5 : : PUNCT ejde-64 68 1 ω ω NUM ejde-64 68 2 × × NOUN ejde-64 68 3 r r NOUN ejde-64 68 4 → → SYM ejde-64 68 5 r r NOUN ejde-64 68 6 is be AUX ejde-64 68 7 a a DET ejde-64 68 8 carathéodory carathéodory NOUN ejde-64 68 9 function function NOUN ejde-64 68 10 such such ADJ ejde-64 68 11 that that DET ejde-64 68 12 f(z f(z PROPN ejde-64 68 13 , , PUNCT ejde-64 68 14 0 0 NUM ejde-64 68 15 ) ) PUNCT ejde-64 68 16 = = SYM ejde-64 68 17 0 0 NUM ejde-64 68 18 for for ADP ejde-64 68 19 a.a a.a PROPN ejde-64 68 20 . . PROPN ejde-64 68 21 z z PROPN ejde-64 68 22 ∈ ∈ PROPN ejde-64 68 23 ω ω PROPN ejde-64 68 24 and and CCONJ ejde-64 68 25 ( ( PUNCT ejde-64 68 26 i i NOUN ejde-64 68 27 ) ) PUNCT ejde-64 68 28 |f(z |f(z PROPN ejde-64 68 29 , , PUNCT ejde-64 68 30 x)| x)| PROPN ejde-64 68 31 ≤ ≤ PUNCT ejde-64 69 1 a(z)[1 a(z)[1 PROPN ejde-64 69 2 + + X ejde-64 69 3 |x|p−1 |x|p−1 X ejde-64 69 4 ] ] X ejde-64 69 5 for for ADP ejde-64 69 6 a.a a.a PROPN ejde-64 69 7 . . PROPN ejde-64 69 8 z z PROPN ejde-64 69 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 69 10 ω ω PROPN ejde-64 69 11 , , PUNCT ejde-64 69 12 all all PRON ejde-64 69 13 x x SYM ejde-64 69 14 ∈ ∈ NOUN ejde-64 69 15 r r NOUN ejde-64 69 16 , , PUNCT ejde-64 69 17 with with ADP ejde-64 69 18 a a DET ejde-64 69 19 ∈ ∈ PROPN ejde-64 69 20 l∞(ω)+ l∞(ω)+ ADP ejde-64 69 21 ; ; PUNCT ejde-64 69 22 ( ( PUNCT ejde-64 69 23 ii ii NOUN ejde-64 69 24 ) ) PUNCT ejde-64 69 25 lim lim PROPN ejde-64 69 26 supx→±∞ supx→±∞ PROPN ejde-64 69 27 f(z f(z PROPN ejde-64 69 28 , , PUNCT ejde-64 69 29 x x X ejde-64 69 30 ) ) PUNCT ejde-64 69 31 |x|p−2x |x|p−2x PROPN ejde-64 69 32 ≤ ≤ NOUN ejde-64 69 33 λ̂ λ̂ PUNCT ejde-64 69 34 a1 a1 VERB ejde-64 69 35 1 1 NUM ejde-64 69 36 ( ( PUNCT ejde-64 69 37 p p NOUN ejde-64 69 38 ) ) PUNCT ejde-64 69 39 uniformly uniformly ADV ejde-64 69 40 for for ADP ejde-64 69 41 a.a a.a PROPN ejde-64 69 42 . . PROPN ejde-64 69 43 z z PROPN ejde-64 69 44 ∈ ∈ PROPN ejde-64 69 45 ω ω PROPN ejde-64 69 46 ; ; PUNCT ejde-64 69 47 ( ( PUNCT ejde-64 69 48 iii iii X ejde-64 69 49 ) ) PUNCT ejde-64 69 50 if if SCONJ ejde-64 69 51 f f PROPN ejde-64 69 52 ( ( PUNCT ejde-64 69 53 z z NOUN ejde-64 69 54 , , PUNCT ejde-64 69 55 x x NOUN ejde-64 69 56 ) ) PUNCT ejde-64 69 57 = = SYM ejde-64 70 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 70 2 x x SYM ejde-64 70 3 0 0 NUM ejde-64 70 4 f(z f(z PROPN ejde-64 70 5 , , PUNCT ejde-64 70 6 s)ds s)ds PROPN ejde-64 70 7 , , PUNCT ejde-64 70 8 then then ADV ejde-64 70 9 there there PRON ejde-64 70 10 exists exist VERB ejde-64 70 11 τ τ PROPN ejde-64 70 12 ∈ ∈ PROPN ejde-64 70 13 ( ( PUNCT ejde-64 70 14 2 2 NUM ejde-64 70 15 , , PUNCT ejde-64 70 16 p p NOUN ejde-64 70 17 ) ) PUNCT ejde-64 70 18 such such ADJ ejde-64 70 19 that that SCONJ ejde-64 70 20 lim lim PROPN ejde-64 70 21 x→±∞ x→±∞ PROPN ejde-64 70 22 f(z f(z PROPN ejde-64 70 23 , , PUNCT ejde-64 70 24 x)x− x)x− NOUN ejde-64 70 25 pf pf PROPN ejde-64 70 26 ( ( PUNCT ejde-64 70 27 z z PROPN ejde-64 70 28 , , PUNCT ejde-64 70 29 x x NOUN ejde-64 70 30 ) ) PUNCT ejde-64 70 31 |x|τ |x|τ PROPN ejde-64 70 32 = = PUNCT ejde-64 71 1 + + NOUN ejde-64 71 2 ∞ ∞ NOUN ejde-64 71 3 uniformly uniformly ADJ ejde-64 71 4 for for ADP ejde-64 71 5 a.a a.a PROPN ejde-64 71 6 . . PROPN ejde-64 71 7 z z PROPN ejde-64 71 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 71 9 ω ω PROPN ejde-64 71 10 ; ; PUNCT ejde-64 71 11 ( ( PUNCT ejde-64 71 12 iv iv X ejde-64 71 13 ) ) PUNCT ejde-64 71 14 there there PRON ejde-64 71 15 exist exist VERB ejde-64 71 16 m m PROPN ejde-64 71 17 ∈ ∈ NOUN ejde-64 71 18 n n CCONJ ejde-64 71 19 , , PUNCT ejde-64 71 20 m m VERB ejde-64 71 21 ≥ ≥ NOUN ejde-64 71 22 2 2 NUM ejde-64 71 23 , , PUNCT ejde-64 71 24 δ δ PROPN ejde-64 71 25 > > X ejde-64 71 26 0 0 PUNCT ejde-64 72 1 and and CCONJ ejde-64 72 2 η η PROPN ejde-64 72 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 72 4 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-64 72 5 ) ) PUNCT ejde-64 72 6 such such ADJ ejde-64 72 7 that that SCONJ ejde-64 72 8 η(z η(z PROPN ejde-64 72 9 ) ) PUNCT ejde-64 72 10 ≤ ≤ NUM ejde-64 72 11 λ̂a2m+1(2 λ̂a2m+1(2 NOUN ejde-64 72 12 ) ) PUNCT ejde-64 72 13 for for ADP ejde-64 72 14 a.a a.a PROPN ejde-64 72 15 . . PROPN ejde-64 72 16 z z PROPN ejde-64 72 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 72 18 ω ω PROPN ejde-64 72 19 , , PUNCT ejde-64 72 20 η η PROPN ejde-64 72 21 6≡ 6≡ NUM ejde-64 72 22 λ̂a2m+1(2 λ̂a2m+1(2 NOUN ejde-64 72 23 ) ) PUNCT ejde-64 72 24 , , PUNCT ejde-64 72 25 lim lim PROPN ejde-64 72 26 sup sup PROPN ejde-64 72 27 x→0 x→0 PUNCT ejde-64 73 1 f(z f(z PROPN ejde-64 73 2 , , PUNCT ejde-64 73 3 x x X ejde-64 73 4 ) ) PUNCT ejde-64 73 5 x x SYM ejde-64 73 6 ≤ ≤ NUM ejde-64 73 7 η(z η(z PROPN ejde-64 73 8 ) ) PUNCT ejde-64 73 9 uniformly uniformly ADV ejde-64 73 10 for for ADP ejde-64 73 11 a.a a.a PROPN ejde-64 73 12 . . PROPN ejde-64 73 13 z z PROPN ejde-64 73 14 ∈ ∈ PROPN ejde-64 73 15 ω ω PROPN ejde-64 73 16 ; ; PUNCT ejde-64 73 17 λ̂a21 λ̂a21 X ejde-64 73 18 ( ( PUNCT ejde-64 73 19 2)x2 2)x2 NOUN ejde-64 73 20 ≤ ≤ NUM ejde-64 73 21 f(z f(z PROPN ejde-64 73 22 , , PUNCT ejde-64 73 23 x)x x)x PUNCT ejde-64 73 24 for for ADP ejde-64 73 25 a.a a.a PROPN ejde-64 73 26 . . PROPN ejde-64 73 27 z z PROPN ejde-64 73 28 ∈ ∈ PROPN ejde-64 73 29 ω ω PROPN ejde-64 73 30 , , PUNCT ejde-64 74 1 all all PRON ejde-64 74 2 |x| |x| PROPN ejde-64 74 3 ≤ ≤ PROPN ejde-64 74 4 δ δ PROPN ejde-64 74 5 . . PUNCT ejde-64 75 1 remark remark PROPN ejde-64 75 2 2.1 2.1 NUM ejde-64 75 3 . . PUNCT ejde-64 76 1 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 76 2 ( ( PUNCT ejde-64 76 3 h1)(ii h1)(ii PROPN ejde-64 76 4 ) ) PUNCT ejde-64 76 5 implies imply VERB ejde-64 76 6 that that SCONJ ejde-64 76 7 we we PRON ejde-64 76 8 can can AUX ejde-64 76 9 have have VERB ejde-64 76 10 resonance resonance NOUN ejde-64 76 11 with with ADP ejde-64 76 12 respect respect NOUN ejde-64 76 13 to to ADP ejde-64 76 14 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 77 1 ( ( PUNCT ejde-64 77 2 p p NOUN ejde-64 77 3 ) ) PUNCT ejde-64 77 4 as as ADP ejde-64 77 5 x x X ejde-64 77 6 → → SYM ejde-64 77 7 ±∞. ±∞. NUM ejde-64 77 8 similarly similarly ADV ejde-64 77 9 , , PUNCT ejde-64 77 10 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 77 11 h1(iv h1(iv NOUN ejde-64 77 12 ) ) PUNCT ejde-64 77 13 allows allow VERB ejde-64 77 14 for for SCONJ ejde-64 77 15 resonance resonance NOUN ejde-64 77 16 to to PART ejde-64 77 17 occur occur VERB ejde-64 77 18 with with ADP ejde-64 77 19 respect respect NOUN ejde-64 77 20 to to ADP ejde-64 77 21 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 77 22 m m VERB ejde-64 77 23 ( ( PUNCT ejde-64 77 24 2)(m 2)(m NUM ejde-64 77 25 ≥ ≥ NOUN ejde-64 77 26 2 2 NUM ejde-64 77 27 ) ) PUNCT ejde-64 77 28 as as ADP ejde-64 77 29 x→ x→ PROPN ejde-64 77 30 0 0 NUM ejde-64 77 31 . . PUNCT ejde-64 78 1 we we PRON ejde-64 78 2 introduce introduce VERB ejde-64 78 3 the the DET ejde-64 78 4 energy energy NOUN ejde-64 78 5 functional functional ADJ ejde-64 78 6 for for ADP ejde-64 78 7 problem problem NOUN ejde-64 78 8 ( ( PUNCT ejde-64 78 9 1.1 1.1 NUM ejde-64 78 10 ) ) PUNCT ejde-64 78 11 , , PUNCT ejde-64 78 12 ϕ ϕ NOUN ejde-64 78 13 : : PUNCT ejde-64 78 14 w w PROPN ejde-64 78 15 1,p 1,p PROPN ejde-64 78 16 0 0 NUM ejde-64 78 17 ( ( PUNCT ejde-64 78 18 ω)→ ω)→ NOUN ejde-64 78 19 r r NOUN ejde-64 78 20 defined define VERB ejde-64 78 21 by by ADP ejde-64 78 22 ϕ(u ϕ(u PROPN ejde-64 78 23 ) ) PUNCT ejde-64 79 1 = = PUNCT ejde-64 80 1 1 1 NUM ejde-64 80 2 p p NOUN ejde-64 80 3 ∫ ∫ PROPN ejde-64 80 4 ω ω PROPN ejde-64 80 5 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 80 6 dz dz X ejde-64 80 7 + + CCONJ ejde-64 80 8 1 1 NUM ejde-64 80 9 2 2 NUM ejde-64 80 10 ∫ ∫ NOUN ejde-64 80 11 ω ω NUM ejde-64 80 12 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 80 13 dz dz PROPN ejde-64 80 14 − − PROPN ejde-64 80 15 ∫ ∫ PROPN ejde-64 81 1 ω ω NUM ejde-64 81 2 f f PROPN ejde-64 81 3 ( ( PUNCT ejde-64 81 4 z z PROPN ejde-64 81 5 , , PUNCT ejde-64 81 6 u u NOUN ejde-64 81 7 ) ) PUNCT ejde-64 81 8 dz dz NOUN ejde-64 81 9 . . PUNCT ejde-64 82 1 evidently evidently ADV ejde-64 82 2 ϕ ϕ PROPN ejde-64 82 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 82 4 c1(w c1(w INTJ ejde-64 82 5 1,p 1,p NOUN ejde-64 82 6 0 0 SYM ejde-64 82 7 ( ( PUNCT ejde-64 82 8 ω ω NOUN ejde-64 82 9 ) ) PUNCT ejde-64 82 10 ) ) PUNCT ejde-64 82 11 . . PUNCT ejde-64 83 1 also also ADV ejde-64 83 2 we we PRON ejde-64 83 3 introduce introduce VERB ejde-64 83 4 the the DET ejde-64 83 5 positive positive ADJ ejde-64 83 6 and and CCONJ ejde-64 83 7 negative negative ADJ ejde-64 83 8 truncations truncation NOUN ejde-64 83 9 of of ADP ejde-64 83 10 ϕ ϕ NOUN ejde-64 83 11 ( ( PUNCT ejde-64 83 12 · · PUNCT ejde-64 83 13 ) ) PUNCT ejde-64 83 14 , , PUNCT ejde-64 83 15 namely namely ADV ejde-64 83 16 the the DET ejde-64 83 17 functionals functional NOUN ejde-64 83 18 ϕ± ϕ± NUM ejde-64 83 19 : : PUNCT ejde-64 83 20 w w PROPN ejde-64 83 21 1,p 1,p PROPN ejde-64 83 22 0 0 NUM ejde-64 83 23 ( ( PUNCT ejde-64 83 24 ω)→ ω)→ NOUN ejde-64 83 25 r r NOUN ejde-64 83 26 defined define VERB ejde-64 83 27 by by ADP ejde-64 83 28 ϕ±(u ϕ±(u PROPN ejde-64 83 29 ) ) PUNCT ejde-64 83 30 = = SYM ejde-64 84 1 1 1 NUM ejde-64 84 2 p p NOUN ejde-64 84 3 ∫ ∫ PROPN ejde-64 84 4 ω ω PROPN ejde-64 84 5 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 84 6 dz dz X ejde-64 84 7 + + CCONJ ejde-64 84 8 1 1 NUM ejde-64 84 9 2 2 NUM ejde-64 84 10 ∫ ∫ NOUN ejde-64 84 11 ω ω NUM ejde-64 84 12 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 84 13 dz dz PROPN ejde-64 84 14 − − PROPN ejde-64 84 15 ∫ ∫ PROPN ejde-64 84 16 ω ω NUM ejde-64 84 17 f f PROPN ejde-64 84 18 ( ( PUNCT ejde-64 84 19 z,±u± z,±u± NUM ejde-64 84 20 ) ) PUNCT ejde-64 84 21 dz dz PROPN ejde-64 84 22 . . PUNCT ejde-64 85 1 again again ADV ejde-64 85 2 we we PRON ejde-64 85 3 have have VERB ejde-64 85 4 ϕ± ϕ± PROPN ejde-64 85 5 ∈ ∈ PROPN ejde-64 85 6 c1(w c1(w INTJ ejde-64 85 7 1,p 1,p PROPN ejde-64 85 8 0 0 SYM ejde-64 85 9 ( ( PUNCT ejde-64 85 10 ω ω NOUN ejde-64 85 11 ) ) PUNCT ejde-64 85 12 ) ) PUNCT ejde-64 85 13 . . PUNCT ejde-64 86 1 4 4 NUM ejde-64 86 2 z. z. PROPN ejde-64 86 3 liu liu PROPN ejde-64 86 4 , , PUNCT ejde-64 86 5 n. n. PROPN ejde-64 86 6 s. s. PROPN ejde-64 86 7 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 86 8 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 86 9 3 3 NUM ejde-64 86 10 . . NOUN ejde-64 86 11 three three NUM ejde-64 86 12 solution solution NOUN ejde-64 86 13 theorem theorem VERB ejde-64 86 14 in in ADP ejde-64 86 15 this this DET ejde-64 86 16 section section NOUN ejde-64 86 17 we we PRON ejde-64 86 18 prove prove VERB ejde-64 86 19 that that DET ejde-64 86 20 problem problem NOUN ejde-64 86 21 ( ( PUNCT ejde-64 86 22 1.1 1.1 NUM ejde-64 86 23 ) ) PUNCT ejde-64 86 24 has have VERB ejde-64 86 25 at at ADV ejde-64 86 26 least least ADV ejde-64 86 27 three three NUM ejde-64 86 28 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 86 29 smooth smooth ADJ ejde-64 86 30 solutions solution NOUN ejde-64 86 31 . . PUNCT ejde-64 87 1 our our PRON ejde-64 87 2 approach approach NOUN ejde-64 87 3 uses use VERB ejde-64 87 4 variational variational ADJ ejde-64 87 5 and and CCONJ ejde-64 87 6 truncation truncation NOUN ejde-64 87 7 techniques technique NOUN ejde-64 87 8 and and CCONJ ejde-64 87 9 critical critical ADJ ejde-64 87 10 groups group NOUN ejde-64 87 11 . . PUNCT ejde-64 88 1 proposition proposition NOUN ejde-64 88 2 3.1 3.1 NUM ejde-64 88 3 . . PUNCT ejde-64 89 1 under under ADP ejde-64 89 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 89 3 ( ( PUNCT ejde-64 89 4 h0 h0 NOUN ejde-64 89 5 ) ) PUNCT ejde-64 89 6 , , PUNCT ejde-64 89 7 ( ( PUNCT ejde-64 89 8 h1 h1 PROPN ejde-64 89 9 ) ) PUNCT ejde-64 89 10 , , PUNCT ejde-64 89 11 the the DET ejde-64 89 12 functionals functional NOUN ejde-64 89 13 ϕ ϕ NOUN ejde-64 89 14 and and CCONJ ejde-64 89 15 ϕ± ϕ± NOUN ejde-64 89 16 are be AUX ejde-64 89 17 coercive coercive ADJ ejde-64 89 18 . . PUNCT ejde-64 90 1 proof proof NOUN ejde-64 90 2 . . PUNCT ejde-64 91 1 we we PRON ejde-64 91 2 do do VERB ejde-64 91 3 the the DET ejde-64 91 4 proof proof NOUN ejde-64 91 5 for for ADP ejde-64 91 6 ϕ+ ϕ+ PROPN ejde-64 91 7 ( ( PUNCT ejde-64 91 8 · · PUNCT ejde-64 91 9 ) ) PUNCT ejde-64 91 10 , , PUNCT ejde-64 91 11 the the DET ejde-64 91 12 proofs proof NOUN ejde-64 91 13 for for ADP ejde-64 91 14 ϕ ϕ NOUN ejde-64 91 15 ( ( PUNCT ejde-64 91 16 · · PUNCT ejde-64 91 17 ) ) PUNCT ejde-64 91 18 , , PUNCT ejde-64 91 19 ϕ− ϕ− PROPN ejde-64 91 20 ( ( PUNCT ejde-64 91 21 · · PUNCT ejde-64 91 22 ) ) PUNCT ejde-64 91 23 being be AUX ejde-64 91 24 similar similar ADJ ejde-64 91 25 . . PUNCT ejde-64 92 1 we we PRON ejde-64 92 2 argue argue VERB ejde-64 92 3 indirectly indirectly ADV ejde-64 92 4 . . PUNCT ejde-64 93 1 so so ADV ejde-64 93 2 , , PUNCT ejde-64 93 3 suppose suppose VERB ejde-64 93 4 that that SCONJ ejde-64 93 5 ϕ+ ϕ+ PROPN ejde-64 93 6 ( ( PUNCT ejde-64 93 7 · · PUNCT ejde-64 93 8 ) ) PUNCT ejde-64 93 9 is be AUX ejde-64 93 10 not not PART ejde-64 93 11 coercive coercive ADJ ejde-64 93 12 . . PUNCT ejde-64 94 1 we we PRON ejde-64 94 2 can can AUX ejde-64 94 3 find find VERB ejde-64 94 4 { { PUNCT ejde-64 94 5 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 94 6 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 94 7 1,p 1,p PROPN ejde-64 94 8 0 0 SYM ejde-64 94 9 ( ( PUNCT ejde-64 94 10 ω ω NOUN ejde-64 94 11 ) ) PUNCT ejde-64 94 12 such such ADJ ejde-64 94 13 that that PRON ejde-64 94 14 ϕ+(un ϕ+(un PROPN ejde-64 94 15 ) ) PUNCT ejde-64 94 16 ≤ ≤ PROPN ejde-64 94 17 c1 c1 NOUN ejde-64 94 18 for for ADP ejde-64 94 19 some some DET ejde-64 94 20 c1 c1 PROPN ejde-64 94 21 > > X ejde-64 94 22 0 0 PUNCT ejde-64 95 1 and and CCONJ ejde-64 95 2 all all PRON ejde-64 95 3 n n PRON ejde-64 95 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 95 5 n n CCONJ ejde-64 95 6 , , PUNCT ejde-64 95 7 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-64 95 8 → → PUNCT ejde-64 95 9 ∞. ∞. PROPN ejde-64 95 10 ( ( PUNCT ejde-64 95 11 3.1 3.1 NUM ejde-64 95 12 ) ) PUNCT ejde-64 95 13 if if SCONJ ejde-64 95 14 { { PUNCT ejde-64 95 15 u+ u+ NOUN ejde-64 95 16 n n CCONJ ejde-64 95 17 } } PUNCT ejde-64 95 18 n∈n n∈n ADJ ejde-64 95 19 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 95 20 1,p 1,p PROPN ejde-64 95 21 0 0 NUM ejde-64 95 22 ( ( PUNCT ejde-64 95 23 ω ω NOUN ejde-64 95 24 ) ) PUNCT ejde-64 95 25 is be AUX ejde-64 95 26 bounded bound VERB ejde-64 95 27 , , PUNCT ejde-64 95 28 then then ADV ejde-64 95 29 from from ADP ejde-64 95 30 the the DET ejde-64 95 31 inequality inequality NOUN ejde-64 95 32 in in ADP ejde-64 95 33 ( ( PUNCT ejde-64 95 34 3.1 3.1 NUM ejde-64 95 35 ) ) PUNCT ejde-64 95 36 and and CCONJ ejde-64 95 37 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 95 38 ( ( PUNCT ejde-64 95 39 h1)(i h1)(i NOUN ejde-64 95 40 ) ) PUNCT ejde-64 95 41 we we PRON ejde-64 95 42 have have VERB ejde-64 95 43 { { PUNCT ejde-64 95 44 u−n u−n ADV ejde-64 95 45 } } PUNCT ejde-64 95 46 n∈n n∈n NOUN ejde-64 95 47 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 95 48 w w NOUN ejde-64 95 49 1,p 1,p PROPN ejde-64 95 50 0 0 SYM ejde-64 95 51 ( ( PUNCT ejde-64 95 52 ω ω NOUN ejde-64 95 53 ) ) PUNCT ejde-64 95 54 is be AUX ejde-64 95 55 bounded bound VERB ejde-64 95 56 ; ; PUNCT ejde-64 95 57 therefore therefore ADV ejde-64 95 58 { { PUNCT ejde-64 95 59 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 95 60 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 95 61 w w PROPN ejde-64 95 62 1,p 1,p PROPN ejde-64 95 63 0 0 SYM ejde-64 95 64 ( ( PUNCT ejde-64 95 65 ω ω NOUN ejde-64 95 66 ) ) PUNCT ejde-64 95 67 is be AUX ejde-64 95 68 bounded bound VERB ejde-64 95 69 , , PUNCT ejde-64 95 70 a a DET ejde-64 95 71 contradiction contradiction NOUN ejde-64 95 72 to to ADP ejde-64 95 73 ( ( PUNCT ejde-64 95 74 3.1 3.1 NUM ejde-64 95 75 ) ) PUNCT ejde-64 95 76 . . PUNCT ejde-64 96 1 so so ADV ejde-64 96 2 , , PUNCT ejde-64 96 3 we we PRON ejde-64 96 4 can can AUX ejde-64 96 5 say say VERB ejde-64 96 6 that that SCONJ ejde-64 96 7 ‖u+ ‖u+ PROPN ejde-64 96 8 n n PRON ejde-64 96 9 ‖ ‖ PROPN ejde-64 96 10 → → SYM ejde-64 96 11 ∞. ∞. PROPN ejde-64 96 12 ( ( PUNCT ejde-64 96 13 3.2 3.2 NUM ejde-64 96 14 ) ) PUNCT ejde-64 96 15 let let VERB ejde-64 96 16 yn yn X ejde-64 96 17 = = PUNCT ejde-64 96 18 u+ u+ NOUN ejde-64 97 1 n n CCONJ ejde-64 97 2 ‖u+ ‖u+ PROPN ejde-64 97 3 n n CCONJ ejde-64 97 4 ‖ ‖ PROPN ejde-64 97 5 , , PUNCT ejde-64 97 6 n n PROPN ejde-64 97 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 97 8 n. n. NOUN ejde-64 97 9 we we PRON ejde-64 97 10 have have VERB ejde-64 97 11 ‖yn‖ ‖yn‖ NOUN ejde-64 97 12 = = SYM ejde-64 97 13 1 1 NUM ejde-64 97 14 , , PUNCT ejde-64 97 15 yn yn PRON ejde-64 97 16 ≥ ≥ NOUN ejde-64 97 17 0 0 NUM ejde-64 97 18 for for ADP ejde-64 97 19 all all DET ejde-64 97 20 n n DET ejde-64 97 21 ∈ ∈ PROPN ejde-64 97 22 n. n. NOUN ejde-64 97 23 we we PRON ejde-64 97 24 can can AUX ejde-64 97 25 assume assume VERB ejde-64 97 26 that that SCONJ ejde-64 97 27 yn yn PRON ejde-64 97 28 w→ w→ PROPN ejde-64 97 29 y y PROPN ejde-64 97 30 in in ADP ejde-64 97 31 w w PROPN ejde-64 97 32 1,p 1,p PROPN ejde-64 97 33 0 0 NUM ejde-64 97 34 ( ( PUNCT ejde-64 97 35 ω ω NOUN ejde-64 97 36 ) ) PUNCT ejde-64 97 37 , , PUNCT ejde-64 97 38 yn yn PROPN ejde-64 97 39 → → SYM ejde-64 97 40 y y PROPN ejde-64 97 41 in in ADP ejde-64 97 42 lp(ω lp(ω PROPN ejde-64 97 43 ) ) PUNCT ejde-64 97 44 , , PUNCT ejde-64 97 45 y y PROPN ejde-64 97 46 ≥ ≥ NUM ejde-64 97 47 0 0 NUM ejde-64 97 48 . . PUNCT ejde-64 98 1 ( ( PUNCT ejde-64 98 2 3.3 3.3 NUM ejde-64 98 3 ) ) PUNCT ejde-64 98 4 from from ADP ejde-64 98 5 the the DET ejde-64 98 6 inequality inequality NOUN ejde-64 98 7 in in ADP ejde-64 98 8 ( ( PUNCT ejde-64 98 9 3.1 3.1 NUM ejde-64 98 10 ) ) PUNCT ejde-64 98 11 , , PUNCT ejde-64 98 12 we we PRON ejde-64 98 13 have have VERB ejde-64 98 14 1 1 NUM ejde-64 98 15 p p NOUN ejde-64 98 16 ∫ ∫ PROPN ejde-64 98 17 ω ω X ejde-64 98 18 a1(z)|dyn|p a1(z)|dyn|p PROPN ejde-64 98 19 dz dz X ejde-64 98 20 + + CCONJ ejde-64 99 1 1 1 NUM ejde-64 99 2 2‖u+ 2‖u+ NUM ejde-64 99 3 n n PRON ejde-64 99 4 ‖p−2 ‖p−2 NUM ejde-64 99 5 ∫ ∫ PROPN ejde-64 99 6 ω ω PROPN ejde-64 99 7 a2(z)|dyn|2 a2(z)|dyn|2 PROPN ejde-64 99 8 dz dz PROPN ejde-64 99 9 ≤ ≤ PROPN ejde-64 99 10 c1 c1 PROPN ejde-64 100 1 + + CCONJ ejde-64 101 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 101 2 ω ω NUM ejde-64 101 3 f f X ejde-64 101 4 ( ( PUNCT ejde-64 101 5 z z PROPN ejde-64 101 6 , , PUNCT ejde-64 101 7 u+ u+ NUM ejde-64 101 8 n n PART ejde-64 101 9 ) ) PUNCT ejde-64 101 10 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-64 101 11 n n CCONJ ejde-64 101 12 ‖p ‖p PROPN ejde-64 101 13 dz dz PROPN ejde-64 101 14 ( ( PUNCT ejde-64 101 15 3.4 3.4 NUM ejde-64 101 16 ) ) PUNCT ejde-64 101 17 for for ADP ejde-64 101 18 all all DET ejde-64 101 19 n n PRON ejde-64 101 20 ∈ ∈ PROPN ejde-64 101 21 n. n. NOUN ejde-64 101 22 using use VERB ejde-64 101 23 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 101 24 ( ( PUNCT ejde-64 101 25 h1)(i h1)(i NOUN ejde-64 101 26 ) ) PUNCT ejde-64 101 27 , , PUNCT ejde-64 101 28 we we PRON ejde-64 101 29 have have VERB ejde-64 101 30 |f |f PROPN ejde-64 101 31 ( ( PUNCT ejde-64 101 32 z z NOUN ejde-64 101 33 , , PUNCT ejde-64 101 34 u+ u+ NUM ejde-64 101 35 n n NOUN ejde-64 101 36 ( ( PUNCT ejde-64 101 37 z))| z))| PROPN ejde-64 101 38 ‖u+ ‖u+ PROPN ejde-64 101 39 n n PRON ejde-64 101 40 ‖p ‖p NOUN ejde-64 101 41 ≤ ≤ NOUN ejde-64 102 1 c2[1 c2[1 PROPN ejde-64 103 1 + + X ejde-64 103 2 yn(z)p yn(z)p X ejde-64 103 3 ] ] X ejde-64 103 4 for for ADP ejde-64 103 5 a.a a.a PROPN ejde-64 103 6 . . PROPN ejde-64 103 7 z z PROPN ejde-64 103 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 103 9 ω ω PROPN ejde-64 103 10 and and CCONJ ejde-64 103 11 all all DET ejde-64 103 12 n n PRON ejde-64 103 13 ∈ ∈ PROPN ejde-64 103 14 n n CCONJ ejde-64 103 15 , , PUNCT ejde-64 103 16 some some DET ejde-64 103 17 c2 c2 PROPN ejde-64 103 18 > > X ejde-64 103 19 0 0 PROPN ejde-64 103 20 , , PUNCT ejde-64 103 21 which which PRON ejde-64 103 22 implies imply VERB ejde-64 103 23 { { PUNCT ejde-64 103 24 f f X ejde-64 103 25 ( ( PUNCT ejde-64 103 26 · · PUNCT ejde-64 103 27 , , PUNCT ejde-64 103 28 u+ u+ NUM ejde-64 103 29 n n X ejde-64 103 30 ( ( PUNCT ejde-64 103 31 · · PUNCT ejde-64 103 32 ) ) PUNCT ejde-64 103 33 ) ) PUNCT ejde-64 104 1 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-64 104 2 n n PRON ejde-64 104 3 ‖p ‖p NOUN ejde-64 104 4 } } PUNCT ejde-64 105 1 n∈n n∈n CCONJ ejde-64 105 2 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 105 3 l l NOUN ejde-64 105 4 1(ω 1(ω NUM ejde-64 105 5 ) ) PUNCT ejde-64 105 6 is be AUX ejde-64 105 7 uniformly uniformly ADV ejde-64 105 8 integrable integrable ADJ ejde-64 105 9 . . PUNCT ejde-64 106 1 then then ADV ejde-64 106 2 invoking invoke VERB ejde-64 106 3 the the DET ejde-64 106 4 dunford dunford NOUN ejde-64 106 5 - - PUNCT ejde-64 106 6 pettis pettis PROPN ejde-64 106 7 theorem theorem NOUN ejde-64 106 8 ( ( PUNCT ejde-64 106 9 see see VERB ejde-64 106 10 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 106 11 - - PUNCT ejde-64 106 12 winkert winkert NOUN ejde-64 106 13 [ [ X ejde-64 106 14 18 18 NUM ejde-64 106 15 , , PUNCT ejde-64 106 16 p. p. NOUN ejde-64 106 17 289 289 NUM ejde-64 106 18 ] ] PUNCT ejde-64 106 19 ) ) PUNCT ejde-64 106 20 , , PUNCT ejde-64 106 21 we we PRON ejde-64 106 22 can can AUX ejde-64 106 23 say say VERB ejde-64 106 24 that that SCONJ ejde-64 106 25 at at ADP ejde-64 106 26 least least ADJ ejde-64 106 27 for for ADP ejde-64 106 28 a a DET ejde-64 106 29 subsequence subsequence NOUN ejde-64 106 30 , , PUNCT ejde-64 106 31 f f PROPN ejde-64 106 32 ( ( PUNCT ejde-64 106 33 · · PUNCT ejde-64 106 34 , , PUNCT ejde-64 106 35 u+ u+ NUM ejde-64 106 36 n n X ejde-64 106 37 ( ( PUNCT ejde-64 106 38 · · PUNCT ejde-64 106 39 ) ) PUNCT ejde-64 106 40 ) ) PUNCT ejde-64 107 1 ‖u+ ‖u+ NOUN ejde-64 107 2 n n PRON ejde-64 107 3 ‖p ‖p NOUN ejde-64 107 4 w→ w→ PUNCT ejde-64 107 5 1 1 NUM ejde-64 107 6 p p NOUN ejde-64 107 7 η̂ η̂ NUM ejde-64 107 8 in in ADP ejde-64 107 9 l1(ω l1(ω PROPN ejde-64 107 10 ) ) PUNCT ejde-64 107 11 . . PUNCT ejde-64 108 1 ( ( PUNCT ejde-64 108 2 3.5 3.5 NUM ejde-64 108 3 ) ) PUNCT ejde-64 108 4 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 108 5 ( ( PUNCT ejde-64 108 6 h1)(ii h1)(ii PROPN ejde-64 108 7 ) ) PUNCT ejde-64 108 8 implies imply VERB ejde-64 108 9 that that SCONJ ejde-64 108 10 η̂(z η̂(z NOUN ejde-64 108 11 ) ) PUNCT ejde-64 108 12 = = PUNCT ejde-64 109 1 ϑ(z)y(z)p ϑ(z)y(z)p PROPN ejde-64 109 2 for for ADP ejde-64 109 3 a.a a.a PROPN ejde-64 109 4 . . PROPN ejde-64 109 5 z z PROPN ejde-64 109 6 ∈ ∈ PROPN ejde-64 109 7 ω ω PROPN ejde-64 109 8 , , PUNCT ejde-64 109 9 ( ( PUNCT ejde-64 109 10 3.6 3.6 NUM ejde-64 109 11 ) ) PUNCT ejde-64 109 12 with with ADP ejde-64 109 13 ϑ ϑ X ejde-64 109 14 ∈ ∈ NOUN ejde-64 109 15 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-64 109 16 ) ) PUNCT ejde-64 109 17 , , PUNCT ejde-64 109 18 ϑ(z ϑ(z PROPN ejde-64 109 19 ) ) PUNCT ejde-64 109 20 ≤ ≤ NOUN ejde-64 109 21 λ̂a11 λ̂a11 ADV ejde-64 109 22 ( ( PUNCT ejde-64 109 23 p p NOUN ejde-64 109 24 ) ) PUNCT ejde-64 109 25 for for ADP ejde-64 109 26 a.a a.a PROPN ejde-64 109 27 . . PROPN ejde-64 109 28 z z PROPN ejde-64 109 29 ∈ ∈ PROPN ejde-64 109 30 ω ω PROPN ejde-64 109 31 ( ( PUNCT ejde-64 109 32 see see VERB ejde-64 109 33 aizicovici aizicovici NOUN ejde-64 109 34 - - PUNCT ejde-64 109 35 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 109 36 - - PUNCT ejde-64 109 37 staicu staicu NOUN ejde-64 110 1 [ [ X ejde-64 110 2 1 1 NUM ejde-64 110 3 ] ] PUNCT ejde-64 110 4 , , PUNCT ejde-64 110 5 proof proof NOUN ejde-64 110 6 of of ADP ejde-64 110 7 proposition proposition NOUN ejde-64 110 8 16 16 NUM ejde-64 110 9 ) ) PUNCT ejde-64 110 10 . . PUNCT ejde-64 111 1 if if SCONJ ejde-64 111 2 in in ADP ejde-64 111 3 ( ( PUNCT ejde-64 111 4 3.4 3.4 NUM ejde-64 111 5 ) ) PUNCT ejde-64 111 6 we we PRON ejde-64 111 7 pass pass VERB ejde-64 111 8 to to ADP ejde-64 111 9 the the DET ejde-64 111 10 limit limit NOUN ejde-64 111 11 as as ADP ejde-64 111 12 n n PROPN ejde-64 111 13 → → SYM ejde-64 111 14 ∞ ∞ NUM ejde-64 111 15 and and CCONJ ejde-64 111 16 use use NOUN ejde-64 111 17 ( ( PUNCT ejde-64 111 18 3.2 3.2 NUM ejde-64 111 19 ) ) PUNCT ejde-64 111 20 ( ( PUNCT ejde-64 111 21 recall recall VERB ejde-64 111 22 2 2 NUM ejde-64 111 23 < < X ejde-64 111 24 p p X ejde-64 111 25 ) ) PUNCT ejde-64 111 26 , , PUNCT ejde-64 111 27 ( ( PUNCT ejde-64 111 28 3.3 3.3 NUM ejde-64 111 29 ) ) PUNCT ejde-64 111 30 , , PUNCT ejde-64 111 31 ( ( PUNCT ejde-64 111 32 3.5 3.5 NUM ejde-64 111 33 ) ) PUNCT ejde-64 111 34 , , PUNCT ejde-64 111 35 ( ( PUNCT ejde-64 111 36 3.6 3.6 NUM ejde-64 111 37 ) ) PUNCT ejde-64 111 38 , , PUNCT ejde-64 111 39 we we PRON ejde-64 111 40 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-64 111 41 ω ω PROPN ejde-64 111 42 a1(z)|dy|p a1(z)|dy|p PROPN ejde-64 111 43 dz dz PROPN ejde-64 111 44 ≤ ≤ NUM ejde-64 111 45 ∫ ∫ PROPN ejde-64 111 46 ω ω NUM ejde-64 111 47 η(z)yp η(z)yp PROPN ejde-64 111 48 dz dz PROPN ejde-64 111 49 . . PUNCT ejde-64 112 1 ( ( PUNCT ejde-64 112 2 3.7 3.7 NUM ejde-64 112 3 ) ) PUNCT ejde-64 112 4 first first ADV ejde-64 112 5 assume assume VERB ejde-64 112 6 that that SCONJ ejde-64 112 7 ϑ ϑ X ejde-64 112 8 6≡ 6≡ NUM ejde-64 112 9 λ̂a11 λ̂a11 X ejde-64 112 10 ( ( PUNCT ejde-64 112 11 p p NOUN ejde-64 112 12 ) ) PUNCT ejde-64 112 13 . . PUNCT ejde-64 113 1 using use VERB ejde-64 113 2 proposition proposition NOUN ejde-64 113 3 4.1 4.1 NUM ejde-64 113 4 in in ADP ejde-64 113 5 the the DET ejde-64 113 6 appendix appendix NOUN ejde-64 113 7 , , PUNCT ejde-64 113 8 we we PRON ejde-64 113 9 have have VERB ejde-64 113 10 c3‖y‖p c3‖y‖p ADJ ejde-64 113 11 ≤ ≤ NUM ejde-64 113 12 ∫ ∫ PROPN ejde-64 114 1 ω ω NUM ejde-64 114 2 a1(z)|dy|p a1(z)|dy|p PROPN ejde-64 114 3 dz dz PROPN ejde-64 115 1 − − PROPN ejde-64 115 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 115 3 ω ω PROPN ejde-64 115 4 ϑ(z)yp ϑ(z)yp PROPN ejde-64 115 5 dz dz PROPN ejde-64 115 6 for for ADP ejde-64 115 7 some some DET ejde-64 115 8 c3 c3 PROPN ejde-64 115 9 > > X ejde-64 115 10 0 0 PROPN ejde-64 115 11 . . PUNCT ejde-64 116 1 ( ( PUNCT ejde-64 116 2 3.8 3.8 NUM ejde-64 116 3 ) ) PUNCT ejde-64 116 4 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 116 5 a a DET ejde-64 116 6 weighted weight VERB ejde-64 116 7 ( ( PUNCT ejde-64 116 8 p p X ejde-64 116 9 , , PUNCT ejde-64 116 10 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 116 11 with with ADP ejde-64 116 12 double double ADJ ejde-64 116 13 resonance resonance NOUN ejde-64 116 14 5 5 NUM ejde-64 116 15 from from ADP ejde-64 116 16 ( ( PUNCT ejde-64 116 17 3.7 3.7 NUM ejde-64 116 18 ) ) PUNCT ejde-64 116 19 and and CCONJ ejde-64 116 20 ( ( PUNCT ejde-64 116 21 3.8 3.8 NUM ejde-64 116 22 ) ) PUNCT ejde-64 116 23 it it PRON ejde-64 116 24 follows follow VERB ejde-64 116 25 that that SCONJ ejde-64 116 26 y y PROPN ejde-64 116 27 = = NOUN ejde-64 116 28 0 0 PROPN ejde-64 116 29 . . PUNCT ejde-64 117 1 but but CCONJ ejde-64 117 2 then then ADV ejde-64 117 3 from from ADP ejde-64 117 4 ( ( PUNCT ejde-64 117 5 3.4 3.4 NUM ejde-64 117 6 ) ) PUNCT ejde-64 117 7 we we PRON ejde-64 117 8 have∫ have∫ VERB ejde-64 117 9 ω ω PUNCT ejde-64 117 10 a1(z)|dyn|p a1(z)|dyn|p NOUN ejde-64 117 11 dz dz X ejde-64 117 12 → → SYM ejde-64 117 13 0 0 NUM ejde-64 117 14 which which PRON ejde-64 117 15 implies imply VERB ejde-64 117 16 yn yn PROPN ejde-64 117 17 → → SYM ejde-64 117 18 0 0 NUM ejde-64 117 19 in in ADP ejde-64 117 20 w w PROPN ejde-64 117 21 1,p 1,p PROPN ejde-64 117 22 0 0 NUM ejde-64 117 23 ( ( PUNCT ejde-64 117 24 ω ω NOUN ejde-64 117 25 ) ) PUNCT ejde-64 117 26 ( ( PUNCT ejde-64 117 27 see see VERB ejde-64 117 28 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 117 29 ( ( PUNCT ejde-64 117 30 h0 h0 NOUN ejde-64 117 31 ) ) PUNCT ejde-64 117 32 ) ) PUNCT ejde-64 117 33 . . PUNCT ejde-64 118 1 this this PRON ejde-64 118 2 contradicts contradict VERB ejde-64 118 3 that that SCONJ ejde-64 118 4 ‖yn‖ ‖yn‖ PROPN ejde-64 118 5 = = PUNCT ejde-64 118 6 1 1 NUM ejde-64 118 7 for for ADP ejde-64 118 8 all all PRON ejde-64 118 9 n n DET ejde-64 118 10 ∈ ∈ PROPN ejde-64 118 11 n. n. NOUN ejde-64 118 12 next next ADV ejde-64 118 13 we we PRON ejde-64 118 14 assume assume VERB ejde-64 118 15 that that SCONJ ejde-64 118 16 ϑ(z ϑ(z NOUN ejde-64 118 17 ) ) PUNCT ejde-64 118 18 = = PRON ejde-64 118 19 λ̂a11 λ̂a11 X ejde-64 118 20 ( ( PUNCT ejde-64 118 21 p p NOUN ejde-64 118 22 ) ) PUNCT ejde-64 118 23 for for ADP ejde-64 118 24 a.a a.a PROPN ejde-64 118 25 . . PROPN ejde-64 118 26 z z PROPN ejde-64 118 27 ∈ ∈ PROPN ejde-64 118 28 ω ω PROPN ejde-64 118 29 . . PUNCT ejde-64 119 1 from from ADP ejde-64 119 2 ( ( PUNCT ejde-64 119 3 3.7 3.7 NUM ejde-64 119 4 ) ) PUNCT ejde-64 119 5 and and CCONJ ejde-64 119 6 the the DET ejde-64 119 7 variational variational ADJ ejde-64 119 8 characterization characterization NOUN ejde-64 119 9 of of ADP ejde-64 119 10 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 119 11 ( ( PUNCT ejde-64 119 12 p p NOUN ejde-64 119 13 ) ) PUNCT ejde-64 119 14 > > X ejde-64 119 15 0 0 PUNCT ejde-64 119 16 ( ( PUNCT ejde-64 119 17 see see VERB ejde-64 119 18 ( ( PUNCT ejde-64 119 19 4.2 4.2 NUM ejde-64 119 20 ) ) PUNCT ejde-64 119 21 in in ADP ejde-64 119 22 the the DET ejde-64 119 23 appendix appendix NOUN ejde-64 119 24 ) ) PUNCT ejde-64 119 25 , , PUNCT ejde-64 119 26 we we PRON ejde-64 119 27 have∫ have∫ VERB ejde-64 119 28 ω ω NUM ejde-64 119 29 a1(z)|dy|p a1(z)|dy|p NOUN ejde-64 119 30 dz dz PROPN ejde-64 119 31 = = X ejde-64 119 32 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 119 33 ( ( PUNCT ejde-64 119 34 p)‖y‖pp p)‖y‖pp PROPN ejde-64 119 35 , , PUNCT ejde-64 119 36 which which PRON ejde-64 119 37 implies imply VERB ejde-64 119 38 y y PROPN ejde-64 119 39 = = SYM ejde-64 119 40 βû1(p βû1(p ADJ ejde-64 119 41 ) ) PUNCT ejde-64 119 42 with with ADP ejde-64 119 43 β β X ejde-64 119 44 ≥ ≥ X ejde-64 119 45 0 0 NUM ejde-64 119 46 ( ( PUNCT ejde-64 119 47 recall recall VERB ejde-64 119 48 that that SCONJ ejde-64 119 49 y y PROPN ejde-64 119 50 ≥ ≥ NUM ejde-64 119 51 0 0 NUM ejde-64 119 52 ) ) PUNCT ejde-64 119 53 . . PUNCT ejde-64 120 1 if if SCONJ ejde-64 120 2 β β X ejde-64 120 3 = = SYM ejde-64 120 4 0 0 NUM ejde-64 120 5 , , PUNCT ejde-64 120 6 then then ADV ejde-64 120 7 y y PROPN ejde-64 120 8 = = SYM ejde-64 120 9 0 0 NUM ejde-64 120 10 and and CCONJ ejde-64 120 11 as as ADV ejde-64 120 12 above above ADV ejde-64 120 13 , , PUNCT ejde-64 120 14 we we PRON ejde-64 120 15 have have VERB ejde-64 120 16 yn yn PRON ejde-64 120 17 → → SYM ejde-64 120 18 0 0 NUM ejde-64 120 19 in in ADP ejde-64 120 20 w w PROPN ejde-64 120 21 1,p 1,p PROPN ejde-64 120 22 0 0 NUM ejde-64 120 23 ( ( PUNCT ejde-64 120 24 ω ω NOUN ejde-64 120 25 ) ) PUNCT ejde-64 120 26 , , PUNCT ejde-64 120 27 which which PRON ejde-64 120 28 contradiction contradiction NOUN ejde-64 120 29 that that DET ejde-64 120 30 ‖yn‖ ‖yn‖ PROPN ejde-64 120 31 = = PUNCT ejde-64 120 32 1 1 NUM ejde-64 120 33 for for ADP ejde-64 120 34 all all DET ejde-64 120 35 n n PRON ejde-64 120 36 ∈ ∈ NOUN ejde-64 120 37 n. n. NOUN ejde-64 120 38 hence hence ADV ejde-64 120 39 y y NOUN ejde-64 120 40 = = SYM ejde-64 120 41 βû1(p βû1(p ADJ ejde-64 120 42 ) ) PUNCT ejde-64 120 43 with with ADP ejde-64 120 44 β β X ejde-64 120 45 > > X ejde-64 120 46 0 0 PUNCT ejde-64 121 1 and and CCONJ ejde-64 121 2 so so ADV ejde-64 121 3 y y PROPN ejde-64 121 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 121 5 intc+ intc+ ADV ejde-64 121 6 ( ( PUNCT ejde-64 121 7 since since SCONJ ejde-64 121 8 û1(p û1(p NOUN ejde-64 121 9 ) ) PUNCT ejde-64 121 10 ∈ ∈ PROPN ejde-64 121 11 intc+ intc+ ADV ejde-64 121 12 , , PUNCT ejde-64 121 13 see see VERB ejde-64 121 14 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 121 15 ( ( PUNCT ejde-64 121 16 h0 h0 NOUN ejde-64 121 17 ) ) PUNCT ejde-64 121 18 ) ) PUNCT ejde-64 121 19 . . PUNCT ejde-64 122 1 therefore therefore ADV ejde-64 122 2 , , PUNCT ejde-64 122 3 u+ u+ NUM ejde-64 122 4 n n PRON ejde-64 122 5 ( ( PUNCT ejde-64 122 6 z)→ z)→ X ejde-64 122 7 + + NOUN ejde-64 122 8 ∞ ∞ PROPN ejde-64 122 9 for for ADP ejde-64 122 10 a.a a.a PROPN ejde-64 122 11 . . PROPN ejde-64 122 12 z z PROPN ejde-64 122 13 ∈ ∈ PROPN ejde-64 122 14 ω ω PROPN ejde-64 122 15 . . PUNCT ejde-64 122 16 ( ( PUNCT ejde-64 122 17 3.9 3.9 NUM ejde-64 122 18 ) ) PUNCT ejde-64 122 19 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 122 20 ( ( PUNCT ejde-64 122 21 h1)(iii h1)(iii PROPN ejde-64 122 22 ) ) PUNCT ejde-64 122 23 implies imply VERB ejde-64 122 24 that that SCONJ ejde-64 122 25 given give VERB ejde-64 122 26 any any DET ejde-64 122 27 m m NOUN ejde-64 122 28 > > X ejde-64 122 29 0 0 NUM ejde-64 122 30 , , PUNCT ejde-64 122 31 we we PRON ejde-64 122 32 can can AUX ejde-64 122 33 find find VERB ejde-64 122 34 γ γ X ejde-64 122 35 > > X ejde-64 122 36 0 0 NUM ejde-64 122 37 such such ADJ ejde-64 122 38 that that SCONJ ejde-64 122 39 mxτ mxτ PROPN ejde-64 122 40 ≤ ≤ NUM ejde-64 122 41 f(z f(z PROPN ejde-64 122 42 , , PUNCT ejde-64 122 43 x)x− x)x− NOUN ejde-64 122 44 pf pf PROPN ejde-64 122 45 ( ( PUNCT ejde-64 122 46 z z PROPN ejde-64 122 47 , , PUNCT ejde-64 122 48 x x NOUN ejde-64 122 49 ) ) PUNCT ejde-64 122 50 for for ADP ejde-64 122 51 a.a a.a PROPN ejde-64 122 52 . . PROPN ejde-64 122 53 z z PROPN ejde-64 122 54 ∈ ∈ PROPN ejde-64 122 55 ω ω PROPN ejde-64 122 56 , , PUNCT ejde-64 122 57 and and CCONJ ejde-64 122 58 all all DET ejde-64 122 59 x x SYM ejde-64 122 60 ≥ ≥ NUM ejde-64 122 61 γ γ X ejde-64 122 62 . . PROPN ejde-64 123 1 ( ( PUNCT ejde-64 123 2 3.10 3.10 NUM ejde-64 123 3 ) ) PUNCT ejde-64 123 4 we we PRON ejde-64 123 5 have have VERB ejde-64 123 6 d d PROPN ejde-64 123 7 dx dx PROPN ejde-64 124 1 ( ( PUNCT ejde-64 124 2 f f PROPN ejde-64 124 3 ( ( PUNCT ejde-64 124 4 z z NOUN ejde-64 124 5 , , PUNCT ejde-64 124 6 x x NOUN ejde-64 124 7 ) ) PUNCT ejde-64 124 8 xp xp ADV ejde-64 124 9 ) ) PUNCT ejde-64 125 1 = = SYM ejde-64 125 2 f(z f(z PROPN ejde-64 125 3 , , PUNCT ejde-64 125 4 x)xp x)xp PROPN ejde-64 125 5 − − PROPN ejde-64 125 6 pxp−1f pxp−1f PROPN ejde-64 125 7 ( ( PUNCT ejde-64 125 8 z z NOUN ejde-64 125 9 , , PUNCT ejde-64 125 10 x x NOUN ejde-64 125 11 ) ) PUNCT ejde-64 125 12 x2p x2p PUNCT ejde-64 125 13 = = SYM ejde-64 125 14 f(z f(z PROPN ejde-64 125 15 , , PUNCT ejde-64 125 16 x)x− x)x− NOUN ejde-64 125 17 pf pf PROPN ejde-64 125 18 ( ( PUNCT ejde-64 125 19 z z PROPN ejde-64 125 20 , , PUNCT ejde-64 125 21 x x X ejde-64 125 22 ) ) PUNCT ejde-64 125 23 xp+1 xp+1 PROPN ejde-64 125 24 ≥ ≥ NOUN ejde-64 125 25 m m VERB ejde-64 125 26 xp+1−τ xp+1−τ ADJ ejde-64 125 27 for for ADP ejde-64 125 28 a.a a.a PROPN ejde-64 125 29 . . PROPN ejde-64 125 30 z z PROPN ejde-64 125 31 ∈ ∈ PROPN ejde-64 125 32 ω ω PROPN ejde-64 125 33 , , PUNCT ejde-64 125 34 and and CCONJ ejde-64 125 35 all all DET ejde-64 125 36 x x SYM ejde-64 125 37 ≥ ≥ NOUN ejde-64 125 38 γ γ X ejde-64 125 39 ( ( PUNCT ejde-64 125 40 see see PROPN ejde-64 125 41 ( ( PUNCT ejde-64 125 42 3.10 3.10 NUM ejde-64 125 43 ) ) PUNCT ejde-64 125 44 ) ) PUNCT ejde-64 125 45 ; ; PUNCT ejde-64 125 46 therefore therefore ADV ejde-64 125 47 , , PUNCT ejde-64 125 48 f f PROPN ejde-64 125 49 ( ( PUNCT ejde-64 125 50 z z PROPN ejde-64 125 51 , , PUNCT ejde-64 125 52 v v NOUN ejde-64 125 53 ) ) PUNCT ejde-64 125 54 vp vp PROPN ejde-64 125 55 − − PROPN ejde-64 125 56 f f PROPN ejde-64 125 57 ( ( PUNCT ejde-64 125 58 z z NOUN ejde-64 125 59 , , PUNCT ejde-64 125 60 x x X ejde-64 125 61 ) ) PUNCT ejde-64 125 62 xp xp ADP ejde-64 125 63 ≥ ≥ NOUN ejde-64 126 1 − − NOUN ejde-64 126 2 m m VERB ejde-64 126 3 p− p− NOUN ejde-64 126 4 τ τ X ejde-64 126 5 [ [ PUNCT ejde-64 126 6 1 1 NUM ejde-64 126 7 vp−τ vp−τ NOUN ejde-64 126 8 − − PROPN ejde-64 126 9 1 1 NUM ejde-64 126 10 xp−τ xp−τ PROPN ejde-64 126 11 ] ] PUNCT ejde-64 126 12 for for ADP ejde-64 126 13 a.a a.a PROPN ejde-64 126 14 . . PROPN ejde-64 126 15 z z PROPN ejde-64 126 16 ∈ ∈ PROPN ejde-64 126 17 ω ω NOUN ejde-64 126 18 and and CCONJ ejde-64 126 19 all all DET ejde-64 126 20 v v NOUN ejde-64 126 21 ≥ ≥ NOUN ejde-64 126 22 x x X ejde-64 126 23 ≥ ≥ PROPN ejde-64 126 24 γ γ X ejde-64 126 25 > > X ejde-64 126 26 0 0 PROPN ejde-64 126 27 . . PUNCT ejde-64 127 1 letting let VERB ejde-64 127 2 v v ADP ejde-64 127 3 → → SYM ejde-64 127 4 + + NOUN ejde-64 127 5 ∞ ∞ NUM ejde-64 127 6 and and CCONJ ejde-64 127 7 using use VERB ejde-64 127 8 ( ( PUNCT ejde-64 127 9 h1)(ii h1)(ii PROPN ejde-64 127 10 ) ) PUNCT ejde-64 127 11 , , PUNCT ejde-64 127 12 we we PRON ejde-64 127 13 obtain obtain VERB ejde-64 127 14 1 1 NUM ejde-64 127 15 p p NOUN ejde-64 127 16 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 128 1 ( ( PUNCT ejde-64 128 2 p)− p)− NOUN ejde-64 128 3 f f X ejde-64 128 4 ( ( PUNCT ejde-64 128 5 z z NOUN ejde-64 128 6 , , PUNCT ejde-64 128 7 x x X ejde-64 128 8 ) ) PUNCT ejde-64 128 9 xp xp ADV ejde-64 128 10 ≥ ≥ PROPN ejde-64 128 11 m m PROPN ejde-64 128 12 p− p− NOUN ejde-64 128 13 τ τ PROPN ejde-64 128 14 1 1 NUM ejde-64 128 15 xp−τ xp−τ PROPN ejde-64 128 16 for for ADP ejde-64 128 17 a.a a.a PROPN ejde-64 128 18 . . PROPN ejde-64 128 19 z z PROPN ejde-64 128 20 ∈ ∈ PROPN ejde-64 128 21 ω ω PROPN ejde-64 128 22 and and CCONJ ejde-64 128 23 all all PRON ejde-64 128 24 x x PUNCT ejde-64 128 25 ≥ ≥ NUM ejde-64 128 26 γ γ PROPN ejde-64 128 27 , , PUNCT ejde-64 128 28 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 128 29 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 128 30 ( ( PUNCT ejde-64 128 31 p)xp p)xp PROPN ejde-64 128 32 − − PROPN ejde-64 128 33 pf pf PROPN ejde-64 128 34 ( ( PUNCT ejde-64 128 35 z z NOUN ejde-64 128 36 , , PUNCT ejde-64 128 37 x x X ejde-64 128 38 ) ) PUNCT ejde-64 128 39 ≥ ≥ NOUN ejde-64 128 40 m m PROPN ejde-64 128 41 p− p− NOUN ejde-64 128 42 τ τ X ejde-64 128 43 xτ xτ PROPN ejde-64 128 44 for for ADP ejde-64 128 45 a.a a.a PROPN ejde-64 128 46 . . PROPN ejde-64 128 47 z z PROPN ejde-64 128 48 ∈ ∈ PROPN ejde-64 128 49 ω ω PROPN ejde-64 128 50 and and CCONJ ejde-64 128 51 all all DET ejde-64 128 52 x x PUNCT ejde-64 128 53 ≥ ≥ NUM ejde-64 128 54 γ γ PROPN ejde-64 128 55 , , PUNCT ejde-64 128 56 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 128 57 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 128 58 ( ( PUNCT ejde-64 128 59 p)xp p)xp PROPN ejde-64 128 60 − − PROPN ejde-64 128 61 pf pf PROPN ejde-64 128 62 ( ( PUNCT ejde-64 128 63 z z NOUN ejde-64 128 64 , , PUNCT ejde-64 128 65 x x X ejde-64 128 66 ) ) PUNCT ejde-64 128 67 xτ xτ PRON ejde-64 128 68 ≥ ≥ PROPN ejde-64 128 69 m m VERB ejde-64 128 70 p− p− PROPN ejde-64 128 71 τ τ X ejde-64 128 72 for for ADP ejde-64 128 73 a.a a.a PROPN ejde-64 128 74 . . PROPN ejde-64 128 75 z z PROPN ejde-64 128 76 ∈ ∈ PROPN ejde-64 128 77 ω ω PROPN ejde-64 128 78 and and CCONJ ejde-64 128 79 all all DET ejde-64 128 80 x x PUNCT ejde-64 128 81 ≥ ≥ NUM ejde-64 128 82 γ γ X ejde-64 128 83 . . PROPN ejde-64 128 84 since since SCONJ ejde-64 128 85 m m PROPN ejde-64 128 86 > > X ejde-64 128 87 0 0 PUNCT ejde-64 128 88 is be AUX ejde-64 128 89 arbitrary arbitrary ADJ ejde-64 128 90 , , PUNCT ejde-64 128 91 it it PRON ejde-64 128 92 follows follow VERB ejde-64 128 93 that that PRON ejde-64 128 94 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 129 1 ( ( PUNCT ejde-64 129 2 p)xp p)xp PROPN ejde-64 129 3 − − PROPN ejde-64 129 4 pf pf PROPN ejde-64 129 5 ( ( PUNCT ejde-64 129 6 z z NOUN ejde-64 129 7 , , PUNCT ejde-64 129 8 x x NOUN ejde-64 129 9 ) ) PUNCT ejde-64 129 10 xτ xτ PROPN ejde-64 129 11 → → SYM ejde-64 129 12 + + NUM ejde-64 129 13 ∞ ∞ PROPN ejde-64 129 14 as as ADP ejde-64 129 15 x→∞ x→∞ NUM ejde-64 129 16 , , PUNCT ejde-64 129 17 uniformly uniformly ADV ejde-64 129 18 for for ADP ejde-64 129 19 a.a a.a PROPN ejde-64 129 20 . . PROPN ejde-64 129 21 z z PROPN ejde-64 129 22 ∈ ∈ PROPN ejde-64 129 23 ω ω PROPN ejde-64 129 24 . . PUNCT ejde-64 130 1 ( ( PUNCT ejde-64 130 2 3.11 3.11 NUM ejde-64 130 3 ) ) PUNCT ejde-64 130 4 from from ADP ejde-64 130 5 ( ( PUNCT ejde-64 130 6 3.1 3.1 NUM ejde-64 130 7 ) ) PUNCT ejde-64 130 8 and and CCONJ ejde-64 130 9 ( ( PUNCT ejde-64 130 10 4.2 4.2 NUM ejde-64 130 11 ) ) PUNCT ejde-64 130 12 ( ( PUNCT ejde-64 130 13 in in ADP ejde-64 130 14 the the DET ejde-64 130 15 appendix appendix NOUN ejde-64 130 16 ) ) PUNCT ejde-64 130 17 , , PUNCT ejde-64 130 18 we we PRON ejde-64 130 19 have∫ have∫ VERB ejde-64 130 20 ω ω PROPN ejde-64 131 1 [ [ X ejde-64 131 2 λ̂a11 λ̂a11 X ejde-64 131 3 ( ( PUNCT ejde-64 131 4 p)(u+ p)(u+ NOUN ejde-64 131 5 n n NOUN ejde-64 131 6 ) ) PUNCT ejde-64 132 1 p p PRON ejde-64 132 2 − − PROPN ejde-64 132 3 pf pf PROPN ejde-64 132 4 ( ( PUNCT ejde-64 132 5 z z NOUN ejde-64 132 6 , , PUNCT ejde-64 132 7 u+ u+ NUM ejde-64 132 8 n n NOUN ejde-64 132 9 ) ) PUNCT ejde-64 132 10 ] ] PUNCT ejde-64 132 11 dz dz PROPN ejde-64 132 12 ≤ ≤ NUM ejde-64 132 13 pc1 pc1 PROPN ejde-64 132 14 for for ADP ejde-64 132 15 all all DET ejde-64 132 16 n n PRON ejde-64 132 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 132 18 n n CCONJ ejde-64 132 19 , , PUNCT ejde-64 132 20 ⇒ ⇒ PROPN ejde-64 132 21 ∫ ∫ PROPN ejde-64 132 22 ω ω PROPN ejde-64 132 23 λ̂a11 λ̂a11 PROPN ejde-64 132 24 ( ( PUNCT ejde-64 132 25 p)(u+ p)(u+ NOUN ejde-64 132 26 n n NOUN ejde-64 132 27 ) ) PUNCT ejde-64 132 28 p p PRON ejde-64 132 29 − − PROPN ejde-64 132 30 pf pf PROPN ejde-64 132 31 ( ( PUNCT ejde-64 132 32 z z NOUN ejde-64 132 33 , , PUNCT ejde-64 132 34 u+ u+ NUM ejde-64 132 35 n n NOUN ejde-64 132 36 ) ) PUNCT ejde-64 132 37 ( ( PUNCT ejde-64 132 38 u+ u+ NOUN ejde-64 132 39 n n X ejde-64 132 40 ) ) PUNCT ejde-64 132 41 τ τ PROPN ejde-64 133 1 yτn yτn AUX ejde-64 133 2 dz dz PROPN ejde-64 133 3 ≤ ≤ NUM ejde-64 133 4 pc1 pc1 PROPN ejde-64 133 5 ‖u+ ‖u+ PROPN ejde-64 133 6 n n PRON ejde-64 133 7 ‖τ ‖τ NOUN ejde-64 133 8 for for ADP ejde-64 133 9 all all DET ejde-64 133 10 n n PRON ejde-64 133 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 133 12 n. n. NOUN ejde-64 133 13 ( ( PUNCT ejde-64 133 14 3.12 3.12 NUM ejde-64 133 15 ) ) PUNCT ejde-64 133 16 6 6 NUM ejde-64 133 17 z. z. PROPN ejde-64 133 18 liu liu PROPN ejde-64 133 19 , , PUNCT ejde-64 133 20 n. n. PROPN ejde-64 133 21 s. s. PROPN ejde-64 133 22 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 133 23 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 133 24 passing pass VERB ejde-64 133 25 to to ADP ejde-64 133 26 the the DET ejde-64 133 27 limit limit NOUN ejde-64 133 28 as as ADP ejde-64 133 29 n n PROPN ejde-64 133 30 → → SYM ejde-64 133 31 ∞ ∞ NUM ejde-64 133 32 in in ADP ejde-64 133 33 ( ( PUNCT ejde-64 133 34 3.12 3.12 NUM ejde-64 133 35 ) ) PUNCT ejde-64 133 36 and and CCONJ ejde-64 133 37 using use VERB ejde-64 133 38 ( ( PUNCT ejde-64 133 39 3.2 3.2 NUM ejde-64 133 40 ) ) PUNCT ejde-64 133 41 , , PUNCT ejde-64 133 42 ( ( PUNCT ejde-64 133 43 3.9 3.9 NUM ejde-64 133 44 ) ) PUNCT ejde-64 133 45 , , PUNCT ejde-64 133 46 ( ( PUNCT ejde-64 133 47 3.11 3.11 NUM ejde-64 133 48 ) ) PUNCT ejde-64 133 49 and and CCONJ ejde-64 133 50 fatou fatou PROPN ejde-64 133 51 ’s ’s PART ejde-64 133 52 lemma lemma PROPN ejde-64 133 53 , , PUNCT ejde-64 133 54 we we PRON ejde-64 133 55 reach reach VERB ejde-64 133 56 a a DET ejde-64 133 57 contradiction contradiction NOUN ejde-64 133 58 . . PUNCT ejde-64 134 1 this this PRON ejde-64 134 2 proves prove VERB ejde-64 134 3 that that SCONJ ejde-64 134 4 { { PUNCT ejde-64 134 5 u+ u+ NOUN ejde-64 134 6 n n CCONJ ejde-64 134 7 } } PUNCT ejde-64 134 8 n∈n n∈n ADJ ejde-64 134 9 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 134 10 1,p 1,p PROPN ejde-64 134 11 0 0 NUM ejde-64 134 12 ( ( PUNCT ejde-64 134 13 ω ω NOUN ejde-64 134 14 ) ) PUNCT ejde-64 134 15 is be AUX ejde-64 134 16 bounded bound VERB ejde-64 134 17 . . PUNCT ejde-64 135 1 from from ADP ejde-64 135 2 the the DET ejde-64 135 3 first first ADJ ejde-64 135 4 part part NOUN ejde-64 135 5 of of ADP ejde-64 135 6 the the DET ejde-64 135 7 proof proof NOUN ejde-64 135 8 this this PRON ejde-64 135 9 implies imply VERB ejde-64 135 10 that that SCONJ ejde-64 135 11 { { PUNCT ejde-64 135 12 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 135 13 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 135 14 w w PROPN ejde-64 135 15 1,p 1,p PROPN ejde-64 135 16 0 0 SYM ejde-64 135 17 ( ( PUNCT ejde-64 135 18 ω ω NOUN ejde-64 135 19 ) ) PUNCT ejde-64 135 20 ia ia PROPN ejde-64 135 21 bounded bound VERB ejde-64 135 22 , , PUNCT ejde-64 135 23 contradicting contradict VERB ejde-64 135 24 ( ( PUNCT ejde-64 135 25 3.1 3.1 NUM ejde-64 135 26 ) ) PUNCT ejde-64 135 27 . . PUNCT ejde-64 136 1 therefore therefore ADV ejde-64 136 2 ϕ+ ϕ+ X ejde-64 136 3 ( ( PUNCT ejde-64 136 4 · · PUNCT ejde-64 136 5 ) ) PUNCT ejde-64 136 6 is be AUX ejde-64 136 7 coercive coercive ADJ ejde-64 136 8 . . PUNCT ejde-64 137 1 similarly similarly ADV ejde-64 137 2 for for ADP ejde-64 137 3 ϕ ϕ PROPN ejde-64 137 4 ( ( PUNCT ejde-64 137 5 · · PUNCT ejde-64 137 6 ) ) PUNCT ejde-64 137 7 and and CCONJ ejde-64 137 8 ϕ− ϕ− PROPN ejde-64 137 9 ( ( PUNCT ejde-64 137 10 · · PUNCT ejde-64 137 11 ) ) PUNCT ejde-64 137 12 . . PUNCT ejde-64 138 1 � � PROPN ejde-64 138 2 using use VERB ejde-64 138 3 proposition proposition NOUN ejde-64 138 4 3.1 3.1 NUM ejde-64 138 5 , , PUNCT ejde-64 138 6 we we PRON ejde-64 138 7 can can AUX ejde-64 138 8 produce produce VERB ejde-64 138 9 two two NUM ejde-64 138 10 constant constant ADJ ejde-64 138 11 sign sign NOUN ejde-64 138 12 smooth smooth ADJ ejde-64 138 13 solutions solution NOUN ejde-64 138 14 . . PUNCT ejde-64 139 1 proposition proposition NOUN ejde-64 139 2 3.2 3.2 NUM ejde-64 139 3 . . PUNCT ejde-64 140 1 under under ADP ejde-64 140 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 140 3 ( ( PUNCT ejde-64 140 4 h0 h0 NOUN ejde-64 140 5 ) ) PUNCT ejde-64 140 6 , , PUNCT ejde-64 140 7 ( ( PUNCT ejde-64 140 8 h1 h1 PROPN ejde-64 140 9 ) ) PUNCT ejde-64 140 10 , , PUNCT ejde-64 140 11 problem problem NOUN ejde-64 140 12 ( ( PUNCT ejde-64 140 13 1.1 1.1 NUM ejde-64 140 14 ) ) PUNCT ejde-64 140 15 has have VERB ejde-64 140 16 two two NUM ejde-64 140 17 constant constant ADJ ejde-64 140 18 sign sign NOUN ejde-64 140 19 solutions solution NOUN ejde-64 140 20 u0 u0 NOUN ejde-64 140 21 ∈ ∈ PROPN ejde-64 140 22 intc+ intc+ ADV ejde-64 140 23 and and CCONJ ejde-64 140 24 v0 v0 PROPN ejde-64 140 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 140 26 − − PROPN ejde-64 140 27 intc+ intc+ ADV ejde-64 140 28 , , PUNCT ejde-64 140 29 which which PRON ejde-64 140 30 are be AUX ejde-64 140 31 local local ADJ ejde-64 140 32 minimizers minimizer NOUN ejde-64 140 33 of of ADP ejde-64 140 34 ϕ ϕ PROPN ejde-64 140 35 ( ( PUNCT ejde-64 140 36 · · PUNCT ejde-64 140 37 ) ) PUNCT ejde-64 140 38 . . PUNCT ejde-64 141 1 proof proof NOUN ejde-64 141 2 . . PUNCT ejde-64 142 1 from from ADP ejde-64 142 2 proposition proposition NOUN ejde-64 142 3 3.1 3.1 NUM ejde-64 142 4 we we PRON ejde-64 142 5 know know VERB ejde-64 142 6 that that SCONJ ejde-64 142 7 ϕ+ ϕ+ PROPN ejde-64 142 8 ( ( PUNCT ejde-64 142 9 · · PUNCT ejde-64 142 10 ) ) PUNCT ejde-64 142 11 is be AUX ejde-64 142 12 coercive coercive ADJ ejde-64 142 13 . . PUNCT ejde-64 143 1 also also ADV ejde-64 143 2 , , PUNCT ejde-64 143 3 using use VERB ejde-64 143 4 the the DET ejde-64 143 5 sobolev sobolev NOUN ejde-64 143 6 embedding embed VERB ejde-64 143 7 theorem theorem VERB ejde-64 143 8 , , PUNCT ejde-64 143 9 we we PRON ejde-64 143 10 see see VERB ejde-64 143 11 that that PRON ejde-64 143 12 ϕ+ ϕ+ PROPN ejde-64 143 13 ( ( PUNCT ejde-64 143 14 · · PUNCT ejde-64 143 15 ) ) PUNCT ejde-64 143 16 is be AUX ejde-64 143 17 sequentially sequentially ADV ejde-64 143 18 weakly weakly ADV ejde-64 143 19 lower low ADJ ejde-64 143 20 semicontinuous semicontinuous ADJ ejde-64 143 21 . . PUNCT ejde-64 144 1 so so ADV ejde-64 144 2 , , PUNCT ejde-64 144 3 by by ADP ejde-64 144 4 the the DET ejde-64 144 5 weierstrass weierstrass NOUN ejde-64 144 6 - - PUNCT ejde-64 144 7 tonelli tonelli NOUN ejde-64 144 8 theorem theorem PROPN ejde-64 144 9 , , PUNCT ejde-64 144 10 we we PRON ejde-64 144 11 can can AUX ejde-64 144 12 find find VERB ejde-64 144 13 u0 u0 ADJ ejde-64 144 14 ∈w ∈w NOUN ejde-64 144 15 1,p 1,p PROPN ejde-64 144 16 0 0 SYM ejde-64 144 17 ( ( PUNCT ejde-64 144 18 ω ω NOUN ejde-64 144 19 ) ) PUNCT ejde-64 144 20 such such ADJ ejde-64 144 21 that that DET ejde-64 144 22 ϕ+(u0 ϕ+(u0 NOUN ejde-64 144 23 ) ) PUNCT ejde-64 144 24 = = PUNCT ejde-64 145 1 inf[ϕ+(u inf[ϕ+(u PROPN ejde-64 145 2 ) ) PUNCT ejde-64 145 3 : : PUNCT ejde-64 145 4 u u NOUN ejde-64 145 5 ∈w ∈w VERB ejde-64 145 6 1,p 1,p PROPN ejde-64 145 7 0 0 SYM ejde-64 145 8 ( ( PUNCT ejde-64 145 9 ω ω NOUN ejde-64 145 10 ) ) PUNCT ejde-64 145 11 ] ] PUNCT ejde-64 145 12 . . PUNCT ejde-64 146 1 ( ( PUNCT ejde-64 146 2 3.13 3.13 NUM ejde-64 146 3 ) ) PUNCT ejde-64 146 4 recall recall VERB ejde-64 146 5 that that DET ejde-64 146 6 û1(2 û1(2 NOUN ejde-64 146 7 ) ) PUNCT ejde-64 146 8 ∈ ∈ NOUN ejde-64 146 9 intc+ intc+ ADV ejde-64 146 10 ( ( PUNCT ejde-64 146 11 see see VERB ejde-64 146 12 the the DET ejde-64 146 13 appendix appendix NOUN ejde-64 146 14 ) ) PUNCT ejde-64 146 15 . . PUNCT ejde-64 147 1 therefore therefore ADV ejde-64 147 2 , , PUNCT ejde-64 147 3 we we PRON ejde-64 147 4 can can AUX ejde-64 147 5 find find VERB ejde-64 147 6 t t X ejde-64 147 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 147 8 ( ( PUNCT ejde-64 147 9 0 0 NUM ejde-64 147 10 , , PUNCT ejde-64 147 11 1 1 X ejde-64 147 12 ) ) PUNCT ejde-64 147 13 small small ADJ ejde-64 147 14 such such ADJ ejde-64 147 15 that that SCONJ ejde-64 147 16 0 0 NUM ejde-64 147 17 ≤ ≤ NUM ejde-64 147 18 tû1(2)(z tû1(2)(z NOUN ejde-64 147 19 ) ) PUNCT ejde-64 147 20 ≤ ≤ NUM ejde-64 147 21 δ δ PROPN ejde-64 147 22 for for ADP ejde-64 147 23 all all DET ejde-64 147 24 z z NOUN ejde-64 147 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 147 26 ω ω PROPN ejde-64 147 27 , , PUNCT ejde-64 147 28 ( ( PUNCT ejde-64 147 29 3.14 3.14 NUM ejde-64 147 30 ) ) PUNCT ejde-64 147 31 where where SCONJ ejde-64 147 32 δ δ X ejde-64 147 33 > > X ejde-64 147 34 0 0 PUNCT ejde-64 147 35 is be AUX ejde-64 147 36 as as SCONJ ejde-64 147 37 postulated postulate VERB ejde-64 147 38 by by ADP ejde-64 147 39 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 147 40 h1(iv h1(iv NOUN ejde-64 147 41 ) ) PUNCT ejde-64 147 42 . . PUNCT ejde-64 148 1 then then ADV ejde-64 148 2 , , PUNCT ejde-64 148 3 using use VERB ejde-64 148 4 ( ( PUNCT ejde-64 148 5 3.14 3.14 NUM ejde-64 148 6 ) ) PUNCT ejde-64 148 7 and and CCONJ ejde-64 148 8 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 148 9 ( ( PUNCT ejde-64 148 10 h1)(iv h1)(iv PROPN ejde-64 148 11 ) ) PUNCT ejde-64 148 12 , , PUNCT ejde-64 148 13 we we PRON ejde-64 148 14 have have VERB ejde-64 148 15 ϕ+(tû1(2 ϕ+(tû1(2 PROPN ejde-64 148 16 ) ) PUNCT ejde-64 148 17 ) ) PUNCT ejde-64 148 18 ≤ ≤ NUM ejde-64 149 1 tp tp ADP ejde-64 149 2 p p PROPN ejde-64 149 3 ∫ ∫ PROPN ejde-64 149 4 ω ω PROPN ejde-64 149 5 a1(z)|dû1(2)|p a1(z)|dû1(2)|p NOUN ejde-64 149 6 dz dz PROPN ejde-64 149 7 + + CCONJ ejde-64 149 8 t2 t2 NOUN ejde-64 149 9 2 2 NUM ejde-64 149 10 [ [ X ejde-64 149 11 λ̂a21 λ̂a21 X ejde-64 149 12 ( ( PUNCT ejde-64 149 13 2)− 2)− NUM ejde-64 149 14 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 149 15 m m VERB ejde-64 149 16 ( ( PUNCT ejde-64 149 17 2 2 NUM ejde-64 149 18 ) ) PUNCT ejde-64 149 19 ] ] PUNCT ejde-64 150 1 = = PUNCT ejde-64 150 2 c4 c4 PROPN ejde-64 150 3 t t PROPN ejde-64 150 4 p p NOUN ejde-64 150 5 − − PROPN ejde-64 150 6 c5t2 c5t2 NOUN ejde-64 150 7 for for ADP ejde-64 150 8 some some DET ejde-64 150 9 positive positive ADJ ejde-64 150 10 constants constant NOUN ejde-64 150 11 c4 c4 NOUN ejde-64 150 12 and and CCONJ ejde-64 150 13 c5 c5 PROPN ejde-64 150 14 > > X ejde-64 150 15 0 0 X ejde-64 150 16 . . PUNCT ejde-64 151 1 here here ADV ejde-64 151 2 we we PRON ejde-64 151 3 used use VERB ejde-64 151 4 that that PRON ejde-64 151 5 ‖û1(2)‖2 ‖û1(2)‖2 PUNCT ejde-64 151 6 = = SYM ejde-64 151 7 1 1 NUM ejde-64 151 8 and and CCONJ ejde-64 151 9 that that SCONJ ejde-64 151 10 m m VERB ejde-64 151 11 ≥ ≥ NOUN ejde-64 151 12 2 2 NUM ejde-64 151 13 . . PUNCT ejde-64 152 1 since since SCONJ ejde-64 152 2 2 2 NUM ejde-64 152 3 < < X ejde-64 152 4 p p NOUN ejde-64 152 5 , , PUNCT ejde-64 152 6 choosing choose VERB ejde-64 152 7 t t PROPN ejde-64 152 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 152 9 ( ( PUNCT ejde-64 152 10 0 0 NUM ejde-64 152 11 , , PUNCT ejde-64 152 12 1 1 NUM ejde-64 152 13 ) ) PUNCT ejde-64 152 14 and and CCONJ ejde-64 152 15 small small ADJ ejde-64 152 16 , , PUNCT ejde-64 152 17 we we PRON ejde-64 152 18 have have VERB ejde-64 152 19 ϕ+(tû1(2 ϕ+(tû1(2 PROPN ejde-64 152 20 ) ) PUNCT ejde-64 152 21 ) ) PUNCT ejde-64 153 1 < < X ejde-64 153 2 0 0 NUM ejde-64 153 3 , , PUNCT ejde-64 153 4 which which PRON ejde-64 153 5 implies imply VERB ejde-64 153 6 ϕ+(u0 ϕ+(u0 NOUN ejde-64 153 7 ) ) PUNCT ejde-64 153 8 < < X ejde-64 153 9 0 0 PUNCT ejde-64 153 10 = = SYM ejde-64 153 11 ϕ+(0 ϕ+(0 NOUN ejde-64 153 12 ) ) PUNCT ejde-64 153 13 ( ( PUNCT ejde-64 153 14 see see VERB ejde-64 153 15 ( ( PUNCT ejde-64 153 16 3.13 3.13 NUM ejde-64 153 17 ) ) PUNCT ejde-64 153 18 ) ) PUNCT ejde-64 153 19 ; ; PUNCT ejde-64 153 20 thus thus ADV ejde-64 153 21 u0 u0 ADJ ejde-64 153 22 6= 6= NUM ejde-64 153 23 0 0 NUM ejde-64 153 24 . . PUNCT ejde-64 154 1 from from ADP ejde-64 154 2 ( ( PUNCT ejde-64 154 3 3.13 3.13 NUM ejde-64 154 4 ) ) PUNCT ejde-64 154 5 we we PRON ejde-64 154 6 have have VERB ejde-64 154 7 ϕ′+(u0 ϕ′+(u0 NOUN ejde-64 154 8 ) ) PUNCT ejde-64 154 9 , , PUNCT ejde-64 155 1 h h NOUN ejde-64 155 2 〉 〉 NUM ejde-64 155 3 = = SYM ejde-64 155 4 0 0 NUM ejde-64 155 5 for for ADP ejde-64 155 6 all all DET ejde-64 155 7 h h NOUN ejde-64 155 8 ∈w ∈w PROPN ejde-64 155 9 1,p 1,p PROPN ejde-64 155 10 0 0 SYM ejde-64 155 11 ( ( PUNCT ejde-64 155 12 ω ω NOUN ejde-64 155 13 ) ) PUNCT ejde-64 155 14 , , PUNCT ejde-64 155 15 which which PRON ejde-64 155 16 implies imply VERB ejde-64 155 17 〈 〈 PROPN ejde-64 155 18 v v NOUN ejde-64 155 19 ( ( PUNCT ejde-64 155 20 u0 u0 PROPN ejde-64 155 21 ) ) PUNCT ejde-64 155 22 , , PUNCT ejde-64 155 23 h h NOUN ejde-64 155 24 〉 〉 NUM ejde-64 155 25 = = SYM ejde-64 155 26 ∫ ∫ PROPN ejde-64 155 27 ω ω NUM ejde-64 155 28 f(z f(z PROPN ejde-64 155 29 , , PUNCT ejde-64 155 30 u+ u+ NOUN ejde-64 155 31 0 0 NUM ejde-64 155 32 ) ) PUNCT ejde-64 155 33 h h NOUN ejde-64 155 34 dz dz PROPN ejde-64 155 35 for for ADP ejde-64 155 36 all all DET ejde-64 155 37 h h NOUN ejde-64 155 38 ∈w ∈w PROPN ejde-64 155 39 1,p 1,p PROPN ejde-64 155 40 0 0 SYM ejde-64 155 41 ( ( PUNCT ejde-64 155 42 ω ω NOUN ejde-64 155 43 ) ) PUNCT ejde-64 155 44 . . PUNCT ejde-64 156 1 ( ( PUNCT ejde-64 156 2 3.15 3.15 NUM ejde-64 156 3 ) ) PUNCT ejde-64 156 4 in in ADP ejde-64 156 5 ( ( PUNCT ejde-64 156 6 3.15 3.15 NUM ejde-64 156 7 ) ) PUNCT ejde-64 156 8 we we PRON ejde-64 156 9 choose choose VERB ejde-64 156 10 h h NOUN ejde-64 156 11 = = NOUN ejde-64 156 12 −u−0 −u−0 NUM ejde-64 156 13 ∈w ∈w NOUN ejde-64 156 14 1,p 1,p PROPN ejde-64 156 15 0 0 SYM ejde-64 156 16 ( ( PUNCT ejde-64 156 17 ω ω NOUN ejde-64 156 18 ) ) PUNCT ejde-64 156 19 and and CCONJ ejde-64 156 20 obtain obtain VERB ejde-64 156 21 ĉ‖du−0 ĉ‖du−0 NOUN ejde-64 156 22 ‖pp ‖pp NUM ejde-64 156 23 ≤ ≤ NUM ejde-64 156 24 0 0 NUM ejde-64 157 1 ( ( PUNCT ejde-64 157 2 see see VERB ejde-64 157 3 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 157 4 ( ( PUNCT ejde-64 157 5 h0 h0 NOUN ejde-64 157 6 ) ) PUNCT ejde-64 157 7 ⇒ ⇒ PROPN ejde-64 157 8 u0 u0 PROPN ejde-64 157 9 ≥ ≥ PROPN ejde-64 157 10 0 0 NUM ejde-64 157 11 , , PUNCT ejde-64 157 12 u0 u0 ADJ ejde-64 157 13 6= 6= ADP ejde-64 157 14 0 0 NUM ejde-64 157 15 . . PUNCT ejde-64 158 1 then then ADV ejde-64 158 2 from from ADP ejde-64 158 3 ( ( PUNCT ejde-64 158 4 3.15 3.15 NUM ejde-64 158 5 ) ) PUNCT ejde-64 158 6 we we PRON ejde-64 158 7 have have VERB ejde-64 158 8 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 158 9 p p PROPN ejde-64 158 10 u0 u0 ADJ ejde-64 158 11 −∆a2u0 −∆a2u0 NOUN ejde-64 158 12 = = SYM ejde-64 158 13 f(z f(z PROPN ejde-64 158 14 , , PUNCT ejde-64 158 15 u0 u0 NOUN ejde-64 158 16 ) ) PUNCT ejde-64 158 17 in in ADP ejde-64 158 18 ω ω PROPN ejde-64 158 19 . . PUNCT ejde-64 159 1 ( ( PUNCT ejde-64 159 2 3.16 3.16 NUM ejde-64 159 3 ) ) PUNCT ejde-64 159 4 from from ADP ejde-64 159 5 ladyzhenskaya ladyzhenskaya PROPN ejde-64 159 6 - - PUNCT ejde-64 159 7 uraltseva uraltseva PROPN ejde-64 159 8 [ [ X ejde-64 159 9 10 10 NUM ejde-64 159 10 , , PUNCT ejde-64 159 11 p. p. NOUN ejde-64 159 12 286 286 NUM ejde-64 159 13 ] ] PUNCT ejde-64 159 14 , , PUNCT ejde-64 159 15 we we PRON ejde-64 159 16 have have VERB ejde-64 159 17 u0 u0 ADJ ejde-64 159 18 ∈ ∈ PROPN ejde-64 159 19 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-64 159 20 ) ) PUNCT ejde-64 159 21 . . PUNCT ejde-64 160 1 then then ADV ejde-64 160 2 the the DET ejde-64 160 3 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 160 4 regularity regularity NOUN ejde-64 160 5 theory theory NOUN ejde-64 160 6 of of ADP ejde-64 160 7 lieberman lieberman PROPN ejde-64 160 8 [ [ X ejde-64 160 9 11 11 NUM ejde-64 160 10 ] ] PUNCT ejde-64 160 11 implies imply VERB ejde-64 160 12 that that SCONJ ejde-64 160 13 u0 u0 PROPN ejde-64 160 14 ∈ ∈ PROPN ejde-64 160 15 c+ c+ X ejde-64 160 16 \ \ X ejde-64 160 17 { { PUNCT ejde-64 160 18 0 0 NUM ejde-64 160 19 } } PUNCT ejde-64 160 20 . . PUNCT ejde-64 161 1 on on ADP ejde-64 161 2 account account NOUN ejde-64 161 3 of of ADP ejde-64 161 4 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 161 5 ( ( PUNCT ejde-64 161 6 h1)(i),(iv h1)(i),(iv NOUN ejde-64 161 7 ) ) PUNCT ejde-64 161 8 , , PUNCT ejde-64 161 9 we we PRON ejde-64 161 10 can can AUX ejde-64 161 11 find find VERB ejde-64 161 12 c6 c6 PROPN ejde-64 161 13 > > X ejde-64 161 14 0 0 PUNCT ejde-64 162 1 such such ADJ ejde-64 162 2 that that DET ejde-64 162 3 f(z f(z PROPN ejde-64 162 4 , , PUNCT ejde-64 162 5 x x X ejde-64 162 6 ) ) PUNCT ejde-64 162 7 ≥ ≥ NOUN ejde-64 162 8 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 162 9 m m VERB ejde-64 162 10 ( ( PUNCT ejde-64 162 11 2)x− 2)x− NUM ejde-64 162 12 c6xp−1 c6xp−1 NOUN ejde-64 162 13 for for ADP ejde-64 162 14 a.a a.a PROPN ejde-64 162 15 . . PROPN ejde-64 162 16 z z PROPN ejde-64 162 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 162 18 ω ω PROPN ejde-64 162 19 and and CCONJ ejde-64 162 20 all all DET ejde-64 162 21 x x PRON ejde-64 162 22 ≥ ≥ NOUN ejde-64 162 23 0 0 NUM ejde-64 162 24 . . PUNCT ejde-64 163 1 so so ADV ejde-64 163 2 , , PUNCT ejde-64 163 3 if if SCONJ ejde-64 163 4 ϑ̂ ϑ̂ PROPN ejde-64 163 5 > > X ejde-64 163 6 c6 c6 PROPN ejde-64 163 7 , , PUNCT ejde-64 163 8 then then ADV ejde-64 163 9 f(z f(z PROPN ejde-64 163 10 , , PUNCT ejde-64 163 11 x x NOUN ejde-64 163 12 ) ) PUNCT ejde-64 164 1 + + CCONJ ejde-64 164 2 ϑ̂xp−1 ϑ̂xp−1 PROPN ejde-64 164 3 ≥ ≥ NOUN ejde-64 164 4 0 0 NUM ejde-64 164 5 for for ADP ejde-64 164 6 a.a a.a PROPN ejde-64 164 7 . . PROPN ejde-64 164 8 z z PROPN ejde-64 164 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 164 10 ω ω PROPN ejde-64 164 11 and and CCONJ ejde-64 164 12 all all DET ejde-64 164 13 z z NOUN ejde-64 164 14 ≥ ≥ NOUN ejde-64 164 15 0 0 NUM ejde-64 164 16 . . PUNCT ejde-64 165 1 from from ADP ejde-64 165 2 ( ( PUNCT ejde-64 165 3 3.16 3.16 NUM ejde-64 165 4 ) ) PUNCT ejde-64 165 5 we we PRON ejde-64 165 6 have have AUX ejde-64 165 7 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 165 8 p p PROPN ejde-64 165 9 u0 u0 ADJ ejde-64 165 10 −∆a2u0 −∆a2u0 NOUN ejde-64 165 11 + + CCONJ ejde-64 165 12 ϑ̂up−1 ϑ̂up−1 PROPN ejde-64 165 13 0 0 NUM ejde-64 165 14 ≥ ≥ NOUN ejde-64 165 15 0 0 NUM ejde-64 165 16 in in ADP ejde-64 165 17 ω ω PROPN ejde-64 165 18 , , PUNCT ejde-64 165 19 which which PRON ejde-64 165 20 implies imply VERB ejde-64 165 21 u0 u0 PROPN ejde-64 165 22 ∈ ∈ PROPN ejde-64 165 23 intc+ intc+ ADV ejde-64 165 24 , , PUNCT ejde-64 165 25 see see VERB ejde-64 165 26 [ [ X ejde-64 165 27 13 13 NUM ejde-64 165 28 , , PUNCT ejde-64 165 29 lemma lemma PROPN ejde-64 165 30 1 1 NUM ejde-64 165 31 ] ] PUNCT ejde-64 165 32 . . PUNCT ejde-64 166 1 note note VERB ejde-64 166 2 that that SCONJ ejde-64 166 3 ϕ|c+ ϕ|c+ VERB ejde-64 166 4 = = SYM ejde-64 166 5 ϕ+|c+ ϕ+|c+ PROPN ejde-64 166 6 . . PUNCT ejde-64 167 1 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 167 2 a a DET ejde-64 167 3 weighted weight VERB ejde-64 167 4 ( ( PUNCT ejde-64 167 5 p p X ejde-64 167 6 , , PUNCT ejde-64 167 7 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 167 8 with with ADP ejde-64 167 9 double double ADJ ejde-64 167 10 resonance resonance NOUN ejde-64 167 11 7 7 NUM ejde-64 167 12 so so ADV ejde-64 167 13 u0 u0 ADJ ejde-64 167 14 is be AUX ejde-64 167 15 a a DET ejde-64 167 16 local local ADJ ejde-64 167 17 c1 c1 NOUN ejde-64 167 18 0 0 NUM ejde-64 167 19 ( ( PUNCT ejde-64 167 20 ω ω NOUN ejde-64 167 21 ) ) PUNCT ejde-64 167 22 minimizer minimizer NOUN ejde-64 167 23 of of ADP ejde-64 167 24 ϕ ϕ NOUN ejde-64 167 25 ( ( PUNCT ejde-64 167 26 · · PUNCT ejde-64 167 27 ) ) PUNCT ejde-64 167 28 and and CCONJ ejde-64 167 29 from from ADP ejde-64 167 30 [ [ X ejde-64 167 31 17 17 NUM ejde-64 167 32 , , PUNCT ejde-64 167 33 proposition proposition NOUN ejde-64 167 34 a3 a3 NOUN ejde-64 167 35 ] ] PUNCT ejde-64 167 36 , , PUNCT ejde-64 167 37 we we PRON ejde-64 167 38 conclude conclude VERB ejde-64 167 39 that that SCONJ ejde-64 167 40 u0 u0 PROPN ejde-64 167 41 is be AUX ejde-64 167 42 a a DET ejde-64 167 43 local local ADJ ejde-64 167 44 w w PROPN ejde-64 167 45 1,p 1,p PROPN ejde-64 167 46 0 0 NUM ejde-64 167 47 ( ( PUNCT ejde-64 167 48 ω)-minimizer ω)-minimizer NOUN ejde-64 167 49 of of ADP ejde-64 167 50 ϕ ϕ PROPN ejde-64 167 51 ( ( PUNCT ejde-64 167 52 · · PUNCT ejde-64 167 53 ) ) PUNCT ejde-64 167 54 . . PUNCT ejde-64 168 1 similarly similarly ADV ejde-64 168 2 , , PUNCT ejde-64 168 3 working work VERB ejde-64 168 4 now now ADV ejde-64 168 5 with with ADP ejde-64 168 6 ϕ− ϕ− PROPN ejde-64 168 7 ( ( PUNCT ejde-64 168 8 · · PUNCT ejde-64 168 9 ) ) PUNCT ejde-64 168 10 , , PUNCT ejde-64 168 11 we we PRON ejde-64 168 12 produce produce VERB ejde-64 168 13 a a DET ejde-64 168 14 negative negative ADJ ejde-64 168 15 solution solution NOUN ejde-64 168 16 v0 v0 NOUN ejde-64 168 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 168 18 − − PROPN ejde-64 168 19 intc+ intc+ ADV ejde-64 168 20 , , PUNCT ejde-64 168 21 which which PRON ejde-64 168 22 is be AUX ejde-64 168 23 a a DET ejde-64 168 24 local local ADJ ejde-64 168 25 minimizer minimizer NOUN ejde-64 168 26 of of ADP ejde-64 168 27 ϕ ϕ NOUN ejde-64 168 28 ( ( PUNCT ejde-64 168 29 · · PUNCT ejde-64 168 30 ) ) PUNCT ejde-64 168 31 . . PUNCT ejde-64 169 1 � � PROPN ejde-64 169 2 we we PRON ejde-64 169 3 assume assume VERB ejde-64 169 4 that that SCONJ ejde-64 169 5 kϕ kϕ PROPN ejde-64 169 6 is be AUX ejde-64 169 7 finite finite ADJ ejde-64 169 8 or or CCONJ ejde-64 169 9 otherwise otherwise ADV ejde-64 169 10 we we PRON ejde-64 169 11 already already ADV ejde-64 169 12 have have VERB ejde-64 169 13 an an DET ejde-64 169 14 infinity infinity NOUN ejde-64 169 15 of of ADP ejde-64 169 16 solutions solution NOUN ejde-64 169 17 of of ADP ejde-64 169 18 ( ( PUNCT ejde-64 169 19 1.1 1.1 NUM ejde-64 169 20 ) ) PUNCT ejde-64 169 21 and and CCONJ ejde-64 169 22 so so ADV ejde-64 169 23 we we PRON ejde-64 169 24 are be AUX ejde-64 169 25 done do VERB ejde-64 169 26 . . PUNCT ejde-64 170 1 then then ADV ejde-64 170 2 from from ADP ejde-64 170 3 proposition proposition NOUN ejde-64 170 4 3.2 3.2 NUM ejde-64 170 5 and and CCONJ ejde-64 170 6 [ [ X ejde-64 170 7 16 16 NUM ejde-64 170 8 , , PUNCT ejde-64 170 9 proposition proposition NOUN ejde-64 170 10 6.2.3 6.2.3 NUM ejde-64 170 11 ] ] PUNCT ejde-64 170 12 , , PUNCT ejde-64 170 13 we we PRON ejde-64 170 14 have have VERB ejde-64 170 15 the the DET ejde-64 170 16 following follow VERB ejde-64 170 17 result result NOUN ejde-64 170 18 . . PUNCT ejde-64 171 1 corollary corollary ADJ ejde-64 171 2 3.3 3.3 NUM ejde-64 171 3 . . PUNCT ejde-64 172 1 if if SCONJ ejde-64 172 2 ( ( PUNCT ejde-64 172 3 h0 h0 NOUN ejde-64 172 4 ) ) PUNCT ejde-64 172 5 , , PUNCT ejde-64 172 6 ( ( PUNCT ejde-64 172 7 h1 h1 PROPN ejde-64 172 8 ) ) PUNCT ejde-64 172 9 hold hold VERB ejde-64 172 10 and and CCONJ ejde-64 172 11 u0 u0 PROPN ejde-64 172 12 ∈ ∈ PROPN ejde-64 172 13 intc+ intc+ ADV ejde-64 172 14 and and CCONJ ejde-64 172 15 v0 v0 PROPN ejde-64 172 16 ∈ ∈ PROPN ejde-64 172 17 − − PROPN ejde-64 172 18 intc+ intc+ ADV ejde-64 172 19 are be AUX ejde-64 172 20 the the DET ejde-64 172 21 two two NUM ejde-64 172 22 constants constant NOUN ejde-64 172 23 sign sign VERB ejde-64 172 24 solutions solution NOUN ejde-64 172 25 from from ADP ejde-64 172 26 proposition proposition NOUN ejde-64 172 27 3.2 3.2 NUM ejde-64 172 28 , , PUNCT ejde-64 172 29 then then ADV ejde-64 172 30 ck(ϕ ck(ϕ NOUN ejde-64 172 31 , , PUNCT ejde-64 172 32 u0 u0 ADJ ejde-64 172 33 ) ) PUNCT ejde-64 172 34 = = SYM ejde-64 172 35 ck(ϕ ck(ϕ NOUN ejde-64 172 36 , , PUNCT ejde-64 172 37 v0 v0 NOUN ejde-64 172 38 ) ) PUNCT ejde-64 172 39 = = PUNCT ejde-64 172 40 δk,0z δk,0z VERB ejde-64 172 41 for for ADP ejde-64 172 42 all all DET ejde-64 172 43 k k PROPN ejde-64 172 44 ∈ ∈ PROPN ejde-64 172 45 n0 n0 PROPN ejde-64 172 46 . . PUNCT ejde-64 173 1 in in ADP ejde-64 173 2 what what PRON ejde-64 173 3 follows follow VERB ejde-64 173 4 we we PRON ejde-64 173 5 denote denote VERB ejde-64 173 6 by by ADP ejde-64 173 7 e(λ̂a21 e(λ̂a21 X ejde-64 173 8 ( ( PUNCT ejde-64 173 9 2 2 NUM ejde-64 173 10 ) ) PUNCT ejde-64 173 11 ) ) PUNCT ejde-64 173 12 the the DET ejde-64 173 13 eigenspace eigenspace NOUN ejde-64 173 14 corresponding correspond VERB ejde-64 173 15 is be AUX ejde-64 173 16 the the DET ejde-64 173 17 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 173 18 λ̂a2i λ̂a2i X ejde-64 173 19 ( ( PUNCT ejde-64 173 20 2 2 NUM ejde-64 173 21 ) ) PUNCT ejde-64 173 22 , , PUNCT ejde-64 173 23 i i PRON ejde-64 173 24 ∈ ∈ PROPN ejde-64 173 25 n. n. NOUN ejde-64 173 26 we we PRON ejde-64 173 27 know know VERB ejde-64 174 1 that that SCONJ ejde-64 174 2 e(λ̂a2i e(λ̂a2i PUNCT ejde-64 174 3 ( ( PUNCT ejde-64 174 4 2 2 NUM ejde-64 174 5 ) ) PUNCT ejde-64 174 6 ) ) PUNCT ejde-64 174 7 is be AUX ejde-64 174 8 finite finite ADJ ejde-64 174 9 dimensional dimensional ADJ ejde-64 174 10 and and CCONJ ejde-64 174 11 e(λ̂a2i e(λ̂a2i PROPN ejde-64 174 12 ( ( PUNCT ejde-64 174 13 2 2 NUM ejde-64 174 14 ) ) PUNCT ejde-64 174 15 ) ) PUNCT ejde-64 175 1 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 175 2 c1 c1 NOUN ejde-64 175 3 0 0 NUM ejde-64 175 4 ( ( PUNCT ejde-64 175 5 ω ω NOUN ejde-64 175 6 ) ) PUNCT ejde-64 175 7 ( ( PUNCT ejde-64 175 8 see see VERB ejde-64 175 9 the the DET ejde-64 175 10 appendix appendix NOUN ejde-64 175 11 ) ) PUNCT ejde-64 175 12 . . PUNCT ejde-64 176 1 proposition proposition NOUN ejde-64 176 2 3.4 3.4 NUM ejde-64 176 3 . . PUNCT ejde-64 177 1 if if SCONJ ejde-64 177 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 177 3 ( ( PUNCT ejde-64 177 4 h0 h0 NOUN ejde-64 177 5 ) ) PUNCT ejde-64 177 6 , , PUNCT ejde-64 177 7 ( ( PUNCT ejde-64 177 8 h1 h1 PROPN ejde-64 177 9 ) ) PUNCT ejde-64 177 10 hold hold NOUN ejde-64 177 11 , , PUNCT ejde-64 177 12 then then ADV ejde-64 177 13 cdm(ϕ cdm(ϕ PROPN ejde-64 177 14 , , PUNCT ejde-64 177 15 0 0 NUM ejde-64 177 16 ) ) PUNCT ejde-64 177 17 6= 6= ADP ejde-64 177 18 0 0 NUM ejde-64 177 19 , , PUNCT ejde-64 177 20 where where SCONJ ejde-64 177 21 dm dm AUX ejde-64 177 22 = = PUNCT ejde-64 177 23 dimhm dimhm VERB ejde-64 177 24 with with ADP ejde-64 177 25 hm hm INTJ ejde-64 177 26 = = NOUN ejde-64 177 27 ⊕mi=1e(λ̂a21 ⊕mi=1e(λ̂a21 X ejde-64 177 28 ( ( PUNCT ejde-64 177 29 2 2 NUM ejde-64 177 30 ) ) PUNCT ejde-64 177 31 ) ) PUNCT ejde-64 177 32 . . PUNCT ejde-64 178 1 proof proof NOUN ejde-64 178 2 . . PUNCT ejde-64 179 1 we we PRON ejde-64 179 2 consider consider VERB ejde-64 179 3 the the DET ejde-64 179 4 c1 c1 NOUN ejde-64 179 5 - - PUNCT ejde-64 179 6 functional functional PROPN ejde-64 179 7 ψ ψ NOUN ejde-64 179 8 : : PUNCT ejde-64 179 9 h1 h1 NOUN ejde-64 179 10 0 0 NUM ejde-64 179 11 ( ( PUNCT ejde-64 179 12 ω)→ ω)→ NOUN ejde-64 179 13 r r NOUN ejde-64 179 14 defined define VERB ejde-64 179 15 by by ADP ejde-64 179 16 ψ(u ψ(u PROPN ejde-64 179 17 ) ) PUNCT ejde-64 179 18 = = SYM ejde-64 179 19 1 1 NUM ejde-64 179 20 2 2 NUM ejde-64 179 21 ∫ ∫ NOUN ejde-64 179 22 ω ω NUM ejde-64 179 23 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 179 24 dz dz PROPN ejde-64 179 25 − − PROPN ejde-64 179 26 ∫ ∫ PROPN ejde-64 179 27 ω ω NUM ejde-64 179 28 f f PROPN ejde-64 179 29 ( ( PUNCT ejde-64 179 30 z z PROPN ejde-64 179 31 , , PUNCT ejde-64 179 32 u u NOUN ejde-64 179 33 ) ) PUNCT ejde-64 179 34 dz dz NOUN ejde-64 179 35 . . PUNCT ejde-64 180 1 let let VERB ejde-64 180 2 u u PRON ejde-64 180 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 180 4 hm hm INTJ ejde-64 180 5 . . PUNCT ejde-64 181 1 since since SCONJ ejde-64 181 2 hm hm INTJ ejde-64 181 3 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 181 4 c(ω c(ω NUM ejde-64 181 5 ) ) PUNCT ejde-64 181 6 is be AUX ejde-64 181 7 finite finite ADJ ejde-64 181 8 dimensional dimensional ADJ ejde-64 181 9 , , PUNCT ejde-64 181 10 all all DET ejde-64 181 11 norms norm NOUN ejde-64 181 12 are be AUX ejde-64 181 13 equivalent equivalent ADJ ejde-64 181 14 and and CCONJ ejde-64 181 15 so so ADV ejde-64 181 16 we we PRON ejde-64 181 17 can can AUX ejde-64 181 18 find find VERB ejde-64 181 19 ρ ρ PROPN ejde-64 181 20 > > X ejde-64 181 21 0 0 NUM ejde-64 182 1 such such ADJ ejde-64 182 2 that that SCONJ ejde-64 182 3 u u PROPN ejde-64 182 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 182 5 hm hm INTJ ejde-64 182 6 and and CCONJ ejde-64 182 7 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-64 182 8 ≤ ≤ NOUN ejde-64 182 9 ρ ρ PROPN ejde-64 182 10 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 182 11 |u(z)| |u(z)| PROPN ejde-64 182 12 ≤ ≤ PROPN ejde-64 182 13 δ δ PROPN ejde-64 182 14 for for ADP ejde-64 182 15 all all DET ejde-64 182 16 z z NOUN ejde-64 182 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 182 18 ω ω PROPN ejde-64 182 19 , , PUNCT ejde-64 182 20 with with ADP ejde-64 182 21 δ δ PROPN ejde-64 182 22 > > X ejde-64 182 23 0 0 PUNCT ejde-64 182 24 as as SCONJ ejde-64 182 25 postulated postulate VERB ejde-64 182 26 by by ADP ejde-64 182 27 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 182 28 ( ( PUNCT ejde-64 182 29 h1)(iv h1)(iv PROPN ejde-64 182 30 ) ) PUNCT ejde-64 182 31 . . PUNCT ejde-64 183 1 so so ADV ejde-64 183 2 for for ADP ejde-64 183 3 u u PROPN ejde-64 183 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 183 5 hm hm INTJ ejde-64 183 6 with with ADP ejde-64 183 7 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-64 183 8 ≤ ≤ NOUN ejde-64 183 9 ρ ρ PROPN ejde-64 183 10 , , PUNCT ejde-64 183 11 we we PRON ejde-64 183 12 have have VERB ejde-64 183 13 ψ(u ψ(u PROPN ejde-64 183 14 ) ) PUNCT ejde-64 183 15 ≤ ≤ NUM ejde-64 183 16 1 1 NUM ejde-64 183 17 2 2 NUM ejde-64 184 1 [ [ X ejde-64 184 2 ‖du‖22 ‖du‖22 NOUN ejde-64 184 3 − − NOUN ejde-64 184 4 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 184 5 m m VERB ejde-64 184 6 ( ( PUNCT ejde-64 184 7 2)‖u‖22 2)‖u‖22 NUM ejde-64 184 8 ] ] X ejde-64 184 9 ≤ ≤ NUM ejde-64 184 10 0 0 NUM ejde-64 185 1 ( ( PUNCT ejde-64 185 2 3.17 3.17 NUM ejde-64 185 3 ) ) PUNCT ejde-64 185 4 ( ( PUNCT ejde-64 185 5 see see VERB ejde-64 185 6 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 185 7 ( ( PUNCT ejde-64 185 8 h1)(iv h1)(iv PROPN ejde-64 185 9 ) ) PUNCT ejde-64 185 10 and and CCONJ ejde-64 185 11 the the DET ejde-64 185 12 appendix appendix NOUN ejde-64 185 13 ) ) PUNCT ejde-64 185 14 . . PUNCT ejde-64 186 1 on on ADP ejde-64 186 2 account account NOUN ejde-64 186 3 of of ADP ejde-64 186 4 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 186 5 ( ( PUNCT ejde-64 186 6 h1)(i),(iv h1)(i),(iv NOUN ejde-64 186 7 ) ) PUNCT ejde-64 186 8 , , PUNCT ejde-64 186 9 given give VERB ejde-64 186 10 ε ε PROPN ejde-64 186 11 > > X ejde-64 186 12 0 0 PROPN ejde-64 186 13 , , PUNCT ejde-64 186 14 we we PRON ejde-64 186 15 can can AUX ejde-64 186 16 find find VERB ejde-64 186 17 cε cε VERB ejde-64 186 18 > > X ejde-64 186 19 0 0 NUM ejde-64 186 20 such such ADJ ejde-64 186 21 that that SCONJ ejde-64 186 22 f f PROPN ejde-64 186 23 ( ( PUNCT ejde-64 186 24 z z NOUN ejde-64 186 25 , , PUNCT ejde-64 186 26 x x NOUN ejde-64 186 27 ) ) PUNCT ejde-64 186 28 ≤ ≤ NUM ejde-64 186 29 1 1 NUM ejde-64 186 30 2 2 NUM ejde-64 186 31 [ [ X ejde-64 186 32 η(z η(z X ejde-64 186 33 ) ) PUNCT ejde-64 186 34 + + NUM ejde-64 186 35 ε]x2 ε]x2 NOUN ejde-64 186 36 + + CCONJ ejde-64 186 37 cε|x|p cε|x|p NOUN ejde-64 186 38 for for ADP ejde-64 186 39 a.a a.a PROPN ejde-64 186 40 . . PROPN ejde-64 186 41 z z PROPN ejde-64 186 42 ∈ ∈ PROPN ejde-64 186 43 ω ω NOUN ejde-64 186 44 and and CCONJ ejde-64 186 45 all all DET ejde-64 186 46 x x PROPN ejde-64 186 47 ∈ ∈ PROPN ejde-64 186 48 r. r. NOUN ejde-64 186 49 ( ( PUNCT ejde-64 186 50 3.18 3.18 NUM ejde-64 186 51 ) ) PUNCT ejde-64 186 52 then then ADV ejde-64 186 53 for for ADP ejde-64 186 54 u u PROPN ejde-64 186 55 ∈ ∈ PROPN ejde-64 186 56 ĥm+1 ĥm+1 X ejde-64 186 57 = = SYM ejde-64 186 58 h h PROPN ejde-64 186 59 ⊥ ⊥ PROPN ejde-64 186 60 m m PROPN ejde-64 186 61 , , PUNCT ejde-64 186 62 from from ADP ejde-64 186 63 ( ( PUNCT ejde-64 186 64 3.18 3.18 NUM ejde-64 186 65 ) ) PUNCT ejde-64 186 66 , , PUNCT ejde-64 186 67 we we PRON ejde-64 186 68 have have VERB ejde-64 186 69 ψ(u ψ(u PROPN ejde-64 186 70 ) ) PUNCT ejde-64 186 71 ≥ ≥ NOUN ejde-64 186 72 1 1 NUM ejde-64 186 73 2 2 NUM ejde-64 186 74 [ [ PUNCT ejde-64 186 75 ∫ ∫ PROPN ejde-64 186 76 ω ω NUM ejde-64 186 77 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 186 78 dz dz PROPN ejde-64 186 79 − − PROPN ejde-64 186 80 ∫ ∫ PROPN ejde-64 186 81 ω ω PROPN ejde-64 186 82 η(z)u2 η(z)u2 PROPN ejde-64 186 83 dz dz PROPN ejde-64 186 84 − − PROPN ejde-64 186 85 ε‖u‖22]− ε‖u‖22]− NUM ejde-64 186 86 ĉε‖u‖p ĉε‖u‖p NOUN ejde-64 186 87 for for ADP ejde-64 186 88 some some PRON ejde-64 186 89 ĉε ĉε ADP ejde-64 186 90 > > X ejde-64 186 91 0 0 PUNCT ejde-64 186 92 ≥ ≥ NUM ejde-64 186 93 1 1 NUM ejde-64 186 94 2 2 NUM ejde-64 186 95 [ [ X ejde-64 186 96 c7 c7 PROPN ejde-64 186 97 − − PROPN ejde-64 186 98 ε ε PROPN ejde-64 186 99 λ̂a2m+1 λ̂a2m+1 X ejde-64 186 100 ] ] PUNCT ejde-64 186 101 ‖u‖2 ‖u‖2 ADJ ejde-64 186 102 − − NOUN ejde-64 186 103 ĉε‖u‖p ĉε‖u‖p NOUN ejde-64 186 104 for for ADP ejde-64 186 105 some some DET ejde-64 186 106 positive positive ADJ ejde-64 186 107 constant constant ADJ ejde-64 186 108 c7 c7 NOUN ejde-64 186 109 ( ( PUNCT ejde-64 186 110 see see VERB ejde-64 186 111 proposition proposition NOUN ejde-64 186 112 4.2 4.2 NUM ejde-64 186 113 ) ) PUNCT ejde-64 186 114 . . PUNCT ejde-64 187 1 choosing choose VERB ejde-64 187 2 ε ε PROPN ejde-64 187 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 187 4 ( ( PUNCT ejde-64 187 5 0 0 NUM ejde-64 187 6 , , PUNCT ejde-64 187 7 λ̂a2m+1(2)c7 λ̂a2m+1(2)c7 PROPN ejde-64 187 8 ) ) PUNCT ejde-64 187 9 , , PUNCT ejde-64 187 10 we we PRON ejde-64 187 11 obtain obtain VERB ejde-64 187 12 ψ(u ψ(u PROPN ejde-64 187 13 ) ) PUNCT ejde-64 187 14 ≥ ≥ NOUN ejde-64 187 15 c8‖u‖2 c8‖u‖2 VERB ejde-64 187 16 − − NOUN ejde-64 187 17 ĉε‖u‖p ĉε‖u‖p NOUN ejde-64 187 18 for for ADP ejde-64 187 19 some some DET ejde-64 187 20 c8 c8 PROPN ejde-64 187 21 > > X ejde-64 187 22 0 0 PROPN ejde-64 187 23 . . PUNCT ejde-64 188 1 so so ADV ejde-64 188 2 , , PUNCT ejde-64 188 3 we we PRON ejde-64 188 4 can can AUX ejde-64 188 5 find find VERB ejde-64 188 6 ρ0 ρ0 PROPN ejde-64 188 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 188 8 ( ( PUNCT ejde-64 188 9 0 0 NUM ejde-64 188 10 , , PUNCT ejde-64 188 11 ρ ρ PROPN ejde-64 188 12 ] ] PUNCT ejde-64 188 13 such such ADJ ejde-64 188 14 that that SCONJ ejde-64 188 15 ψ(u ψ(u PROPN ejde-64 188 16 ) ) PUNCT ejde-64 188 17 > > X ejde-64 188 18 0 0 PUNCT ejde-64 189 1 for for ADP ejde-64 189 2 all all DET ejde-64 189 3 u u PROPN ejde-64 189 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 189 5 ĥm+1 ĥm+1 NOUN ejde-64 189 6 , , PUNCT ejde-64 189 7 0 0 PUNCT ejde-64 189 8 < < X ejde-64 189 9 ‖u‖ ‖u‖ PROPN ejde-64 189 10 ≤ ≤ PROPN ejde-64 189 11 ρ0 ρ0 PROPN ejde-64 189 12 . . PUNCT ejde-64 190 1 ( ( PUNCT ejde-64 190 2 3.19 3.19 NUM ejde-64 190 3 ) ) PUNCT ejde-64 190 4 8 8 NUM ejde-64 190 5 z. z. PROPN ejde-64 190 6 liu liu PROPN ejde-64 190 7 , , PUNCT ejde-64 190 8 n. n. PROPN ejde-64 190 9 s. s. PROPN ejde-64 190 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 190 11 ejde-2023/30 ejde-2023/30 PROPN ejde-64 190 12 then then ADV ejde-64 190 13 ( ( PUNCT ejde-64 190 14 3.17 3.17 NUM ejde-64 190 15 ) ) PUNCT ejde-64 190 16 and and CCONJ ejde-64 190 17 ( ( PUNCT ejde-64 190 18 3.19 3.19 NUM ejde-64 190 19 ) ) PUNCT ejde-64 190 20 imply imply VERB ejde-64 190 21 that that SCONJ ejde-64 190 22 ψ ψ X ejde-64 190 23 ( ( PUNCT ejde-64 190 24 · · PUNCT ejde-64 190 25 ) ) PUNCT ejde-64 190 26 has have VERB ejde-64 190 27 a a DET ejde-64 190 28 local local ADJ ejde-64 190 29 linking linking NOUN ejde-64 190 30 at at ADP ejde-64 190 31 u u NOUN ejde-64 190 32 = = PROPN ejde-64 190 33 0 0 NUM ejde-64 190 34 . . PUNCT ejde-64 191 1 so so ADV ejde-64 191 2 , , PUNCT ejde-64 191 3 invoking invoke VERB ejde-64 191 4 [ [ X ejde-64 191 5 16 16 NUM ejde-64 191 6 , , PUNCT ejde-64 191 7 theorem theorem VERB ejde-64 191 8 6.6.17 6.6.17 NUM ejde-64 191 9 ] ] PUNCT ejde-64 191 10 , , PUNCT ejde-64 191 11 we we PRON ejde-64 191 12 have have VERB ejde-64 191 13 cdm(ψ cdm(ψ X ejde-64 191 14 , , PUNCT ejde-64 191 15 0 0 NUM ejde-64 191 16 ) ) PUNCT ejde-64 191 17 6= 6= ADP ejde-64 191 18 0 0 X ejde-64 191 19 . . PUNCT ejde-64 192 1 let let VERB ejde-64 192 2 ψ̂ ψ̂ ADV ejde-64 192 3 = = PUNCT ejde-64 192 4 ψ|w ψ|w NOUN ejde-64 192 5 1,p 1,p NOUN ejde-64 192 6 0 0 SYM ejde-64 192 7 ( ( PUNCT ejde-64 192 8 ω ω NOUN ejde-64 192 9 ) ) PUNCT ejde-64 192 10 . . PUNCT ejde-64 193 1 since since SCONJ ejde-64 193 2 w w PROPN ejde-64 193 3 1,p 1,p PROPN ejde-64 193 4 0 0 SYM ejde-64 193 5 ( ( PUNCT ejde-64 193 6 ω ω NOUN ejde-64 193 7 ) ) PUNCT ejde-64 193 8 ↪ ↪ PROPN ejde-64 193 9 → → SYM ejde-64 193 10 h1 h1 NOUN ejde-64 193 11 0 0 NUM ejde-64 193 12 ( ( PUNCT ejde-64 193 13 ω ω NOUN ejde-64 193 14 ) ) PUNCT ejde-64 193 15 continuously continuously ADV ejde-64 193 16 and and CCONJ ejde-64 193 17 densely densely ADV ejde-64 193 18 , , PUNCT ejde-64 193 19 using use VERB ejde-64 193 20 [ [ X ejde-64 193 21 15 15 NUM ejde-64 193 22 , , PUNCT ejde-64 193 23 theorems theorem VERB ejde-64 193 24 16 16 NUM ejde-64 193 25 and and CCONJ ejde-64 193 26 17 17 NUM ejde-64 193 27 ] ] PUNCT ejde-64 193 28 ( ( PUNCT ejde-64 193 29 see see VERB ejde-64 193 30 also also ADV ejde-64 193 31 chang chang PROPN ejde-64 194 1 [ [ X ejde-64 194 2 12 12 NUM ejde-64 194 3 , , PUNCT ejde-64 194 4 p. p. NOUN ejde-64 194 5 14 14 NUM ejde-64 194 6 ] ] PUNCT ejde-64 194 7 ) ) PUNCT ejde-64 194 8 , , PUNCT ejde-64 194 9 we we PRON ejde-64 194 10 have have VERB ejde-64 194 11 ck(ψ̂ ck(ψ̂ NOUN ejde-64 194 12 , , PUNCT ejde-64 194 13 0 0 NUM ejde-64 194 14 ) ) PUNCT ejde-64 194 15 = = SYM ejde-64 194 16 ck(ψ ck(ψ NOUN ejde-64 194 17 , , PUNCT ejde-64 194 18 0 0 NUM ejde-64 194 19 ) ) PUNCT ejde-64 194 20 for for ADP ejde-64 194 21 all all DET ejde-64 194 22 k k PROPN ejde-64 194 23 ∈ ∈ PROPN ejde-64 194 24 n0 n0 PROPN ejde-64 194 25 , , PUNCT ejde-64 194 26 ( ( PUNCT ejde-64 194 27 3.20 3.20 NUM ejde-64 194 28 ) ) PUNCT ejde-64 194 29 which which PRON ejde-64 194 30 implies imply VERB ejde-64 194 31 cdm(ψ̂ cdm(ψ̂ NOUN ejde-64 194 32 , , PUNCT ejde-64 194 33 0 0 NUM ejde-64 194 34 ) ) PUNCT ejde-64 194 35 6= 6= ADP ejde-64 194 36 0 0 X ejde-64 194 37 . . X ejde-64 195 1 note note NOUN ejde-64 195 2 that that PRON ejde-64 195 3 |ϕ(u)− |ϕ(u)− VERB ejde-64 195 4 ψ̂(u)| ψ̂(u)| PROPN ejde-64 196 1 = = NOUN ejde-64 196 2 1 1 NUM ejde-64 196 3 p p NOUN ejde-64 196 4 ∫ ∫ PROPN ejde-64 196 5 ω ω PROPN ejde-64 196 6 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 196 7 dz dz PROPN ejde-64 196 8 ≤ ≤ NUM ejde-64 196 9 ‖a1‖∞ ‖a1‖∞ NOUN ejde-64 196 10 p p PRON ejde-64 196 11 ‖u‖p ‖u‖p NOUN ejde-64 196 12 . . PUNCT ejde-64 197 1 ( ( PUNCT ejde-64 197 2 3.21 3.21 NUM ejde-64 197 3 ) ) PUNCT ejde-64 197 4 also also ADV ejde-64 197 5 for for ADP ejde-64 197 6 all all DET ejde-64 197 7 h h NOUN ejde-64 197 8 ∈w ∈w PROPN ejde-64 197 9 1,p 1,p PROPN ejde-64 197 10 0 0 SYM ejde-64 197 11 ( ( PUNCT ejde-64 197 12 ω ω NOUN ejde-64 197 13 ) ) PUNCT ejde-64 197 14 , , PUNCT ejde-64 197 15 we we PRON ejde-64 197 16 have have VERB ejde-64 197 17 |〈ϕ′(u)− |〈ϕ′(u)− PROPN ejde-64 197 18 ψ̂′(u ψ̂′(u PROPN ejde-64 197 19 ) ) PUNCT ejde-64 197 20 , , PUNCT ejde-64 197 21 h〉| h〉| PROPN ejde-64 198 1 = = SYM ejde-64 198 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 198 3 ω ω PROPN ejde-64 198 4 a1(z)|du|p−2(du a1(z)|du|p−2(du PROPN ejde-64 198 5 , , PUNCT ejde-64 198 6 dh)rn dh)rn PRON ejde-64 198 7 dz dz PROPN ejde-64 198 8 ≤ ≤ NUM ejde-64 198 9 ‖a1‖∞ ‖a1‖∞ PROPN ejde-64 198 10 ∫ ∫ PROPN ejde-64 198 11 ω ω NUM ejde-64 198 12 |du|p−1|dh| |du|p−1|dh| PROPN ejde-64 198 13 dz dz PROPN ejde-64 198 14 ≤ ≤ NOUN ejde-64 198 15 ‖a1‖∞‖du‖p−1 ‖a1‖∞‖du‖p−1 NOUN ejde-64 198 16 p p PROPN ejde-64 198 17 ‖dh‖p ‖dh‖p NOUN ejde-64 198 18 ; ; PUNCT ejde-64 198 19 therefore therefore ADV ejde-64 198 20 , , PUNCT ejde-64 198 21 ‖ϕ′(u)− ‖ϕ′(u)− PROPN ejde-64 198 22 ψ̂′(u)‖ ψ̂′(u)‖ PROPN ejde-64 198 23 ≤ ≤ ADJ ejde-64 198 24 c9‖u‖p−1 c9‖u‖p−1 PROPN ejde-64 198 25 for for ADP ejde-64 198 26 some some DET ejde-64 198 27 c9 c9 NOUN ejde-64 198 28 > > X ejde-64 198 29 0 0 X ejde-64 198 30 . . PUNCT ejde-64 199 1 ( ( PUNCT ejde-64 199 2 3.22 3.22 NUM ejde-64 199 3 ) ) PUNCT ejde-64 199 4 recall recall NOUN ejde-64 199 5 that that PRON ejde-64 199 6 we we PRON ejde-64 199 7 assume assume VERB ejde-64 199 8 kϕ kϕ PROPN ejde-64 199 9 is be AUX ejde-64 199 10 finite finite ADJ ejde-64 199 11 ( ( PUNCT ejde-64 199 12 otherwise otherwise ADV ejde-64 199 13 we we PRON ejde-64 199 14 already already ADV ejde-64 199 15 have have AUX ejde-64 199 16 an an DET ejde-64 199 17 infinity infinity NOUN ejde-64 199 18 of of ADP ejde-64 199 19 distinct distinct ADJ ejde-64 199 20 nontrivial nontrivial NOUN ejde-64 199 21 smooth smooth ADJ ejde-64 199 22 positive positive ADJ ejde-64 199 23 solutions solution NOUN ejde-64 200 1 and and CCONJ ejde-64 200 2 so so ADV ejde-64 200 3 we we PRON ejde-64 200 4 are be AUX ejde-64 200 5 done do VERB ejde-64 200 6 ) ) PUNCT ejde-64 200 7 . . PUNCT ejde-64 201 1 then then ADV ejde-64 201 2 from from ADP ejde-64 201 3 ( ( PUNCT ejde-64 201 4 3.21 3.21 NUM ejde-64 201 5 ) ) PUNCT ejde-64 201 6 , , PUNCT ejde-64 201 7 ( ( PUNCT ejde-64 201 8 3.22 3.22 NUM ejde-64 201 9 ) ) PUNCT ejde-64 201 10 and and CCONJ ejde-64 201 11 the the DET ejde-64 201 12 c1 c1 NOUN ejde-64 201 13 - - PUNCT ejde-64 201 14 continuity continuity NOUN ejde-64 201 15 property property NOUN ejde-64 201 16 of of ADP ejde-64 201 17 critical critical ADJ ejde-64 201 18 groups group NOUN ejde-64 201 19 ( ( PUNCT ejde-64 201 20 see see VERB ejde-64 201 21 gasiński gasiński NOUN ejde-64 201 22 - - PUNCT ejde-64 201 23 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 201 24 [ [ X ejde-64 201 25 6 6 NUM ejde-64 201 26 , , PUNCT ejde-64 201 27 p. p. NOUN ejde-64 201 28 836 836 NUM ejde-64 201 29 ] ] PUNCT ejde-64 201 30 ) ) PUNCT ejde-64 201 31 , , PUNCT ejde-64 201 32 we we PRON ejde-64 201 33 have have VERB ejde-64 201 34 ck(ϕ ck(ϕ NOUN ejde-64 201 35 , , PUNCT ejde-64 201 36 0 0 NUM ejde-64 201 37 ) ) PUNCT ejde-64 201 38 = = SYM ejde-64 201 39 ck(ψ̂ ck(ψ̂ NOUN ejde-64 201 40 , , PUNCT ejde-64 201 41 0 0 NUM ejde-64 201 42 ) ) PUNCT ejde-64 201 43 for for ADP ejde-64 201 44 all all DET ejde-64 201 45 k k PROPN ejde-64 201 46 ∈ ∈ PROPN ejde-64 201 47 n0 n0 PROPN ejde-64 201 48 , , PUNCT ejde-64 201 49 which which PRON ejde-64 201 50 implies imply VERB ejde-64 201 51 cdm(ϕ cdm(ϕ PROPN ejde-64 201 52 , , PUNCT ejde-64 201 53 0 0 NUM ejde-64 201 54 ) ) PUNCT ejde-64 201 55 6= 6= ADP ejde-64 201 56 0 0 NUM ejde-64 202 1 ( ( PUNCT ejde-64 202 2 see see VERB ejde-64 202 3 ( ( PUNCT ejde-64 202 4 3.20 3.20 NUM ejde-64 202 5 ) ) PUNCT ejde-64 202 6 ) ) PUNCT ejde-64 202 7 . . PUNCT ejde-64 203 1 � � PROPN ejde-64 203 2 next next ADV ejde-64 203 3 we we PRON ejde-64 203 4 will will AUX ejde-64 203 5 produce produce VERB ejde-64 203 6 a a DET ejde-64 203 7 third third ADJ ejde-64 203 8 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 203 9 solution solution NOUN ejde-64 203 10 which which PRON ejde-64 203 11 is be AUX ejde-64 203 12 nodal nodal NOUN ejde-64 203 13 . . PUNCT ejde-64 204 1 to to PART ejde-64 204 2 do do VERB ejde-64 204 3 this this PRON ejde-64 204 4 , , PUNCT ejde-64 204 5 we we PRON ejde-64 204 6 need need VERB ejde-64 204 7 some some DET ejde-64 204 8 auxiliary auxiliary ADJ ejde-64 204 9 results result NOUN ejde-64 204 10 . . PUNCT ejde-64 205 1 note note VERB ejde-64 205 2 that that SCONJ ejde-64 205 3 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 205 4 ( ( PUNCT ejde-64 205 5 h1)(i),(iv h1)(i),(iv ADJ ejde-64 205 6 ) ) PUNCT ejde-64 205 7 imply imply VERB ejde-64 205 8 that that SCONJ ejde-64 205 9 we we PRON ejde-64 205 10 can can AUX ejde-64 205 11 find find VERB ejde-64 205 12 c10 c10 VERB ejde-64 205 13 > > X ejde-64 205 14 0 0 NUM ejde-64 205 15 such such ADJ ejde-64 205 16 that that DET ejde-64 205 17 f(z f(z PROPN ejde-64 205 18 , , PUNCT ejde-64 205 19 x)x x)x X ejde-64 205 20 ≥ ≥ PROPN ejde-64 206 1 λ̂a2mx2 λ̂a2mx2 NOUN ejde-64 206 2 − − PROPN ejde-64 206 3 c10|x|p c10|x|p VERB ejde-64 206 4 for for ADP ejde-64 206 5 a.a a.a PROPN ejde-64 206 6 . . PROPN ejde-64 206 7 z z PROPN ejde-64 206 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 206 9 ω ω NOUN ejde-64 206 10 and and CCONJ ejde-64 206 11 all all DET ejde-64 206 12 x x PROPN ejde-64 206 13 ∈ ∈ PROPN ejde-64 206 14 r. r. NOUN ejde-64 206 15 ( ( PUNCT ejde-64 206 16 3.23 3.23 NUM ejde-64 206 17 ) ) PUNCT ejde-64 206 18 then then ADV ejde-64 206 19 ( ( PUNCT ejde-64 206 20 3.23 3.23 NUM ejde-64 206 21 ) ) PUNCT ejde-64 206 22 leads lead VERB ejde-64 206 23 to to ADP ejde-64 206 24 the the DET ejde-64 206 25 auxiliary auxiliary ADJ ejde-64 206 26 dirichlet dirichlet PROPN ejde-64 206 27 problem problem PROPN ejde-64 206 28 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 206 29 p p PROPN ejde-64 206 30 u(z)−∆a2u(z u(z)−∆a2u(z PROPN ejde-64 206 31 ) ) PUNCT ejde-64 206 32 = = PUNCT ejde-64 207 1 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 207 2 m m VERB ejde-64 207 3 ( ( PUNCT ejde-64 207 4 2)u(z)− 2)u(z)− NUM ejde-64 207 5 c10|u(z)|p−2u(z c10|u(z)|p−2u(z NOUN ejde-64 207 6 ) ) PUNCT ejde-64 207 7 in in ADP ejde-64 207 8 ω ω NUM ejde-64 207 9 , , PUNCT ejde-64 207 10 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-64 207 11 = = SYM ejde-64 207 12 0 0 X ejde-64 207 13 . . PUNCT ejde-64 208 1 ( ( PUNCT ejde-64 208 2 3.24 3.24 NUM ejde-64 208 3 ) ) PUNCT ejde-64 208 4 reasoning reasoning NOUN ejde-64 208 5 as as ADP ejde-64 208 6 in in ADP ejde-64 208 7 [ [ X ejde-64 208 8 13 13 NUM ejde-64 208 9 , , PUNCT ejde-64 208 10 proposition proposition NOUN ejde-64 208 11 3 3 NUM ejde-64 208 12 ] ] PUNCT ejde-64 208 13 , , PUNCT ejde-64 208 14 we we PRON ejde-64 208 15 have have VERB ejde-64 208 16 the the DET ejde-64 208 17 following follow VERB ejde-64 208 18 result result NOUN ejde-64 208 19 . . PUNCT ejde-64 209 1 proposition proposition NOUN ejde-64 209 2 3.5 3.5 NUM ejde-64 209 3 . . PUNCT ejde-64 210 1 if if SCONJ ejde-64 210 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 210 3 ( ( PUNCT ejde-64 210 4 h0 h0 NOUN ejde-64 210 5 ) ) PUNCT ejde-64 210 6 holds hold VERB ejde-64 210 7 and and CCONJ ejde-64 210 8 m m PRON ejde-64 210 9 ≥ ≥ NOUN ejde-64 210 10 2 2 NUM ejde-64 210 11 , , PUNCT ejde-64 210 12 then then ADV ejde-64 210 13 problem problem NOUN ejde-64 210 14 ( ( PUNCT ejde-64 210 15 3.24 3.24 NUM ejde-64 210 16 ) ) PUNCT ejde-64 210 17 has have VERB ejde-64 210 18 a a DET ejde-64 210 19 unique unique ADJ ejde-64 210 20 positive positive ADJ ejde-64 210 21 solution solution NOUN ejde-64 210 22 u u NOUN ejde-64 210 23 ∈ ∈ PROPN ejde-64 210 24 intc+ intc+ ADV ejde-64 210 25 and and CCONJ ejde-64 210 26 since since SCONJ ejde-64 210 27 the the DET ejde-64 210 28 equation equation NOUN ejde-64 210 29 is be AUX ejde-64 210 30 odd odd ADJ ejde-64 210 31 v v ADP ejde-64 210 32 = = PUNCT ejde-64 210 33 −u −u PROPN ejde-64 210 34 ∈ ∈ PROPN ejde-64 211 1 − − PROPN ejde-64 211 2 intc+ intc+ ADV ejde-64 211 3 is be AUX ejde-64 211 4 the the DET ejde-64 211 5 unique unique ADJ ejde-64 211 6 negative negative ADJ ejde-64 211 7 solution solution NOUN ejde-64 211 8 of of ADP ejde-64 211 9 problem problem NOUN ejde-64 211 10 ( ( PUNCT ejde-64 211 11 3.24 3.24 NUM ejde-64 211 12 ) ) PUNCT ejde-64 211 13 . . PUNCT ejde-64 212 1 using use VERB ejde-64 212 2 proposition proposition NOUN ejde-64 212 3 3.5 3.5 NUM ejde-64 212 4 , , PUNCT ejde-64 212 5 we we PRON ejde-64 212 6 can can AUX ejde-64 212 7 produce produce VERB ejde-64 212 8 extremal extremal ADJ ejde-64 212 9 constant constant ADJ ejde-64 212 10 sign sign NOUN ejde-64 212 11 solutions solution NOUN ejde-64 212 12 for for ADP ejde-64 212 13 problem problem NOUN ejde-64 212 14 ( ( PUNCT ejde-64 212 15 1.1 1.1 NUM ejde-64 212 16 ) ) PUNCT ejde-64 212 17 , , PUNCT ejde-64 212 18 that that ADV ejde-64 212 19 is is ADV ejde-64 212 20 , , PUNCT ejde-64 212 21 a a DET ejde-64 212 22 smallest small ADJ ejde-64 212 23 positive positive ADJ ejde-64 212 24 solution solution NOUN ejde-64 212 25 and and CCONJ ejde-64 212 26 a a DET ejde-64 212 27 biggest big ADJ ejde-64 212 28 negative negative ADJ ejde-64 212 29 solution solution NOUN ejde-64 212 30 . . PUNCT ejde-64 213 1 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 213 2 a a DET ejde-64 213 3 weighted weight VERB ejde-64 213 4 ( ( PUNCT ejde-64 213 5 p p X ejde-64 213 6 , , PUNCT ejde-64 213 7 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 213 8 with with ADP ejde-64 213 9 double double ADJ ejde-64 213 10 resonance resonance NOUN ejde-64 213 11 9 9 NUM ejde-64 213 12 proposition proposition NOUN ejde-64 213 13 3.6 3.6 NUM ejde-64 213 14 . . PUNCT ejde-64 214 1 if if SCONJ ejde-64 214 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 214 3 ( ( PUNCT ejde-64 214 4 h0 h0 NOUN ejde-64 214 5 ) ) PUNCT ejde-64 214 6 , , PUNCT ejde-64 214 7 ( ( PUNCT ejde-64 214 8 h1 h1 PROPN ejde-64 214 9 ) ) PUNCT ejde-64 214 10 hold hold NOUN ejde-64 214 11 , , PUNCT ejde-64 214 12 then then ADV ejde-64 214 13 problem problem NOUN ejde-64 214 14 ( ( PUNCT ejde-64 214 15 1.1 1.1 NUM ejde-64 214 16 ) ) PUNCT ejde-64 214 17 has have VERB ejde-64 214 18 a a DET ejde-64 214 19 smallest small ADJ ejde-64 214 20 positive positive ADJ ejde-64 214 21 solution solution NOUN ejde-64 215 1 û û NUM ejde-64 215 2 ∈ ∈ PROPN ejde-64 215 3 intc+ intc+ ADV ejde-64 215 4 and and CCONJ ejde-64 215 5 a a DET ejde-64 215 6 biggest big ADJ ejde-64 215 7 negative negative ADJ ejde-64 215 8 solution solution NOUN ejde-64 215 9 v̂ v̂ ADP ejde-64 215 10 ∈ ∈ NOUN ejde-64 215 11 − − NOUN ejde-64 215 12 intc+ intc+ ADV ejde-64 215 13 . . PUNCT ejde-64 216 1 proof proof NOUN ejde-64 216 2 . . PUNCT ejde-64 217 1 let let VERB ejde-64 217 2 s+ s+ ADV ejde-64 217 3 ( ( PUNCT ejde-64 217 4 resp resp NOUN ejde-64 217 5 . . PUNCT ejde-64 218 1 s− s− PROPN ejde-64 218 2 ) ) PUNCT ejde-64 218 3 denote denote VERB ejde-64 218 4 the the DET ejde-64 218 5 set set NOUN ejde-64 218 6 of of ADP ejde-64 218 7 positive positive ADJ ejde-64 218 8 ( ( PUNCT ejde-64 218 9 resp resp NOUN ejde-64 218 10 . . PUNCT ejde-64 219 1 negative negative ADJ ejde-64 219 2 ) ) PUNCT ejde-64 219 3 solutions solution NOUN ejde-64 219 4 of of ADP ejde-64 219 5 ( ( PUNCT ejde-64 219 6 1.1 1.1 NUM ejde-64 219 7 ) ) PUNCT ejde-64 219 8 . . PUNCT ejde-64 220 1 from from ADP ejde-64 220 2 proposition proposition NOUN ejde-64 220 3 3.2 3.2 NUM ejde-64 220 4 and and CCONJ ejde-64 220 5 its its PRON ejde-64 220 6 proof proof NOUN ejde-64 220 7 , , PUNCT ejde-64 220 8 we we PRON ejde-64 220 9 know know VERB ejde-64 220 10 that that SCONJ ejde-64 220 11 ∅ ∅ NOUN ejde-64 220 12 6= 6= ADP ejde-64 220 13 s+ s+ ADP ejde-64 220 14 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 220 15 intc+ intc+ ADV ejde-64 220 16 and and CCONJ ejde-64 220 17 ∅ ∅ NOUN ejde-64 220 18 6= 6= ADP ejde-64 220 19 s− s− PROPN ejde-64 220 20 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 220 21 − − NOUN ejde-64 220 22 intc+ intc+ ADV ejde-64 220 23 . . PUNCT ejde-64 221 1 moreover moreover ADV ejde-64 221 2 , , PUNCT ejde-64 221 3 we we PRON ejde-64 221 4 know know VERB ejde-64 221 5 ( ( PUNCT ejde-64 221 6 see see VERB ejde-64 221 7 filippakis filippaki NOUN ejde-64 221 8 - - PUNCT ejde-64 221 9 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 221 10 [ [ X ejde-64 221 11 4 4 NUM ejde-64 221 12 ] ] PUNCT ejde-64 221 13 ) ) PUNCT ejde-64 221 14 that that SCONJ ejde-64 221 15 s+ s+ ADV ejde-64 221 16 is be AUX ejde-64 221 17 downward downward ADV ejde-64 221 18 directed direct VERB ejde-64 221 19 ( ( PUNCT ejde-64 221 20 that that PRON ejde-64 221 21 is is ADV ejde-64 221 22 , , PUNCT ejde-64 221 23 if if SCONJ ejde-64 221 24 u1 u1 NOUN ejde-64 221 25 , , PUNCT ejde-64 221 26 u2 u2 PROPN ejde-64 221 27 ∈ ∈ PROPN ejde-64 221 28 s+ s+ ADV ejde-64 221 29 , , PUNCT ejde-64 221 30 then then ADV ejde-64 221 31 there there PRON ejde-64 221 32 exists exist VERB ejde-64 221 33 u u PROPN ejde-64 221 34 ∈ ∈ PROPN ejde-64 221 35 s+ s+ PUNCT ejde-64 221 36 such such ADJ ejde-64 221 37 that that SCONJ ejde-64 221 38 u u PROPN ejde-64 221 39 ≤ ≤ NOUN ejde-64 221 40 u1 u1 NOUN ejde-64 221 41 , , PUNCT ejde-64 221 42 u u NOUN ejde-64 221 43 ≤ ≤ NOUN ejde-64 221 44 u2 u2 NOUN ejde-64 221 45 ) ) PUNCT ejde-64 221 46 , , PUNCT ejde-64 221 47 s− s− PROPN ejde-64 221 48 is be AUX ejde-64 221 49 upward upward ADV ejde-64 221 50 directed directed ADJ ejde-64 221 51 ( ( PUNCT ejde-64 221 52 that that PRON ejde-64 221 53 is is ADV ejde-64 221 54 , , PUNCT ejde-64 221 55 if if SCONJ ejde-64 221 56 v1 v1 NOUN ejde-64 221 57 , , PUNCT ejde-64 221 58 v2 v2 PROPN ejde-64 221 59 ∈ ∈ PROPN ejde-64 221 60 s− s− PROPN ejde-64 221 61 , , PUNCT ejde-64 221 62 then then ADV ejde-64 221 63 there there PRON ejde-64 221 64 exists exist VERB ejde-64 221 65 v v ADP ejde-64 221 66 ∈ ∈ PROPN ejde-64 221 67 s− s− NOUN ejde-64 221 68 such such ADJ ejde-64 221 69 that that DET ejde-64 221 70 v1 v1 VERB ejde-64 221 71 ≤ ≤ NUM ejde-64 221 72 v v NOUN ejde-64 221 73 , , PUNCT ejde-64 221 74 v2 v2 VERB ejde-64 221 75 ≤ ≤ NUM ejde-64 221 76 v v NOUN ejde-64 221 77 ) ) PUNCT ejde-64 221 78 . . PUNCT ejde-64 222 1 next next ADV ejde-64 222 2 we we PRON ejde-64 222 3 show show VERB ejde-64 222 4 that that SCONJ ejde-64 222 5 u u PROPN ejde-64 222 6 ≤ ≤ X ejde-64 222 7 u u NOUN ejde-64 222 8 for for ADP ejde-64 222 9 all all DET ejde-64 222 10 u u PROPN ejde-64 222 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 222 12 s+ s+ ADV ejde-64 222 13 , , PUNCT ejde-64 222 14 v v ADP ejde-64 222 15 ≤ ≤ NUM ejde-64 222 16 v v NOUN ejde-64 222 17 for for ADP ejde-64 222 18 all all DET ejde-64 222 19 v v NOUN ejde-64 222 20 ∈ ∈ NOUN ejde-64 222 21 s−. s−. NOUN ejde-64 222 22 ( ( PUNCT ejde-64 222 23 3.25 3.25 NUM ejde-64 222 24 ) ) PUNCT ejde-64 222 25 to to ADP ejde-64 222 26 this this DET ejde-64 222 27 end end NOUN ejde-64 222 28 , , PUNCT ejde-64 222 29 let let VERB ejde-64 222 30 u u PRON ejde-64 222 31 ∈ ∈ NOUN ejde-64 222 32 s+ s+ PUNCT ejde-64 222 33 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 222 34 intc+ intc+ ADV ejde-64 222 35 and and CCONJ ejde-64 222 36 introduce introduce VERB ejde-64 222 37 the the DET ejde-64 222 38 caratheodory caratheodory ADJ ejde-64 222 39 function function NOUN ejde-64 222 40 k+ k+ NOUN ejde-64 222 41 : : PUNCT ejde-64 222 42 ω× ω× PROPN ejde-64 222 43 r→ r→ PROPN ejde-64 222 44 r r NOUN ejde-64 222 45 defined define VERB ejde-64 222 46 k+(z k+(z NOUN ejde-64 222 47 , , PUNCT ejde-64 222 48 x x NOUN ejde-64 222 49 ) ) PUNCT ejde-64 222 50 = = SYM ejde-64 222 51 { { PUNCT ejde-64 222 52 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 222 53 m m VERB ejde-64 222 54 ( ( PUNCT ejde-64 222 55 2)x+ 2)x+ NUM ejde-64 222 56 − − NOUN ejde-64 222 57 c10(x+)p−1 c10(x+)p−1 NOUN ejde-64 222 58 if if SCONJ ejde-64 222 59 x x PROPN ejde-64 222 60 ≤ ≤ NUM ejde-64 222 61 u(z u(z NOUN ejde-64 222 62 ) ) PUNCT ejde-64 222 63 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 222 64 m m VERB ejde-64 222 65 ( ( PUNCT ejde-64 222 66 2)u(z)− 2)u(z)− NUM ejde-64 222 67 c10(u(z))p−1 c10(u(z))p−1 VERB ejde-64 222 68 if if SCONJ ejde-64 222 69 u(z u(z NOUN ejde-64 222 70 ) ) PUNCT ejde-64 222 71 ≤ ≤ NUM ejde-64 222 72 x. x. NOUN ejde-64 222 73 ( ( PUNCT ejde-64 222 74 3.26 3.26 NUM ejde-64 222 75 ) ) PUNCT ejde-64 222 76 we we PRON ejde-64 222 77 set set VERB ejde-64 222 78 k+(z k+(z PROPN ejde-64 222 79 , , PUNCT ejde-64 222 80 x x NOUN ejde-64 222 81 ) ) PUNCT ejde-64 222 82 = = SYM ejde-64 223 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 223 2 x x SYM ejde-64 223 3 0 0 NUM ejde-64 223 4 k+(z k+(z PROPN ejde-64 223 5 , , PUNCT ejde-64 223 6 s)ds s)ds PROPN ejde-64 223 7 and and CCONJ ejde-64 223 8 consider consider VERB ejde-64 223 9 the the DET ejde-64 223 10 c1 c1 NOUN ejde-64 223 11 - - PUNCT ejde-64 223 12 functional functional ADJ ejde-64 223 13 σ+ σ+ NOUN ejde-64 223 14 : : PUNCT ejde-64 223 15 w w PROPN ejde-64 223 16 1,p 1,p PROPN ejde-64 223 17 0 0 NUM ejde-64 223 18 ( ( PUNCT ejde-64 223 19 ω)→ ω)→ NOUN ejde-64 223 20 r r NOUN ejde-64 223 21 defined define VERB ejde-64 223 22 by by ADP ejde-64 223 23 σ+(u σ+(u ADJ ejde-64 223 24 ) ) PUNCT ejde-64 223 25 = = SYM ejde-64 223 26 1 1 NUM ejde-64 223 27 p p NOUN ejde-64 223 28 ∫ ∫ PROPN ejde-64 223 29 ω ω PROPN ejde-64 223 30 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 223 31 dz dz X ejde-64 223 32 + + CCONJ ejde-64 223 33 1 1 NUM ejde-64 223 34 2 2 NUM ejde-64 223 35 ∫ ∫ NOUN ejde-64 223 36 ω ω NUM ejde-64 223 37 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 223 38 dz dz PROPN ejde-64 223 39 − − PROPN ejde-64 223 40 ∫ ∫ PROPN ejde-64 223 41 ω ω PROPN ejde-64 223 42 k+(z k+(z PROPN ejde-64 223 43 , , PUNCT ejde-64 223 44 u u NOUN ejde-64 223 45 ) ) PUNCT ejde-64 223 46 dz dz PROPN ejde-64 223 47 . . PROPN ejde-64 223 48 from from ADP ejde-64 223 49 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 223 50 h0 h0 ADJ ejde-64 223 51 and and CCONJ ejde-64 223 52 ( ( PUNCT ejde-64 223 53 3.26 3.26 NUM ejde-64 223 54 ) ) PUNCT ejde-64 223 55 , , PUNCT ejde-64 223 56 we we PRON ejde-64 223 57 see see VERB ejde-64 223 58 that that SCONJ ejde-64 223 59 σ+ σ+ PROPN ejde-64 223 60 ( ( PUNCT ejde-64 223 61 · · PUNCT ejde-64 223 62 ) ) PUNCT ejde-64 223 63 is be AUX ejde-64 223 64 coercive coercive ADJ ejde-64 223 65 . . PUNCT ejde-64 224 1 also also ADV ejde-64 224 2 , , PUNCT ejde-64 224 3 by by ADP ejde-64 224 4 the the DET ejde-64 224 5 sobolev sobolev NOUN ejde-64 224 6 embedding embed VERB ejde-64 224 7 theorem theorem ADJ ejde-64 224 8 σ+ σ+ PROPN ejde-64 224 9 ( ( PUNCT ejde-64 224 10 · · PUNCT ejde-64 224 11 ) ) PUNCT ejde-64 224 12 is be AUX ejde-64 224 13 sequentially sequentially ADV ejde-64 224 14 weakly weakly ADV ejde-64 224 15 lower low ADJ ejde-64 224 16 semicontinuous semicontinuous ADJ ejde-64 224 17 . . PUNCT ejde-64 225 1 so so ADV ejde-64 225 2 , , PUNCT ejde-64 225 3 we we PRON ejde-64 225 4 can can AUX ejde-64 225 5 find find VERB ejde-64 225 6 ũ ũ PROPN ejde-64 225 7 ∈w ∈w NOUN ejde-64 225 8 1,p 1,p PROPN ejde-64 225 9 0 0 SYM ejde-64 225 10 ( ( PUNCT ejde-64 225 11 ω ω NOUN ejde-64 225 12 ) ) PUNCT ejde-64 225 13 such such ADJ ejde-64 225 14 that that DET ejde-64 225 15 σ+(ũ σ+(ũ NOUN ejde-64 225 16 ) ) PUNCT ejde-64 225 17 = = SYM ejde-64 225 18 inf[σ+(u inf[σ+(u PROPN ejde-64 225 19 ) ) PUNCT ejde-64 225 20 : : PUNCT ejde-64 225 21 u u NOUN ejde-64 225 22 ∈w ∈w VERB ejde-64 225 23 1,p 1,p PROPN ejde-64 225 24 0 0 SYM ejde-64 225 25 ( ( PUNCT ejde-64 225 26 ω ω NOUN ejde-64 225 27 ) ) PUNCT ejde-64 225 28 ] ] PUNCT ejde-64 225 29 . . PUNCT ejde-64 226 1 ( ( PUNCT ejde-64 226 2 3.27 3.27 NUM ejde-64 226 3 ) ) PUNCT ejde-64 226 4 since since SCONJ ejde-64 226 5 u u NOUN ejde-64 226 6 ∈ ∈ PROPN ejde-64 226 7 intc+ intc+ ADV ejde-64 226 8 , , PUNCT ejde-64 226 9 we we PRON ejde-64 226 10 can can AUX ejde-64 226 11 find find VERB ejde-64 226 12 t t X ejde-64 226 13 ∈ ∈ PROPN ejde-64 226 14 ( ( PUNCT ejde-64 226 15 0 0 NUM ejde-64 226 16 , , PUNCT ejde-64 226 17 1 1 X ejde-64 226 18 ) ) PUNCT ejde-64 226 19 small small ADJ ejde-64 226 20 such such ADJ ejde-64 226 21 that that DET ejde-64 226 22 tû1(2 tû1(2 NOUN ejde-64 226 23 ) ) PUNCT ejde-64 226 24 ≤ ≤ NOUN ejde-64 226 25 u u NOUN ejde-64 226 26 ( ( PUNCT ejde-64 226 27 see see VERB ejde-64 226 28 [ [ X ejde-64 226 29 16 16 NUM ejde-64 226 30 , , PUNCT ejde-64 226 31 proposition proposition NOUN ejde-64 226 32 4.1.22 4.1.22 NUM ejde-64 226 33 ] ] PUNCT ejde-64 226 34 . . PUNCT ejde-64 227 1 then then ADV ejde-64 227 2 using use VERB ejde-64 227 3 ( ( PUNCT ejde-64 227 4 3.26 3.26 NUM ejde-64 227 5 ) ) PUNCT ejde-64 227 6 and and CCONJ ejde-64 227 7 since since SCONJ ejde-64 227 8 m m PROPN ejde-64 227 9 ≥ ≥ NUM ejde-64 227 10 2 2 NUM ejde-64 227 11 we we PRON ejde-64 227 12 have have VERB ejde-64 227 13 ( ( PUNCT ejde-64 227 14 by by ADP ejde-64 227 15 taking take VERB ejde-64 227 16 t t PROPN ejde-64 227 17 ∈ ∈ PROPN ejde-64 227 18 ( ( PUNCT ejde-64 227 19 0 0 NUM ejde-64 227 20 , , PUNCT ejde-64 227 21 1 1 NUM ejde-64 227 22 ) ) PUNCT ejde-64 227 23 and and CCONJ ejde-64 227 24 small small ADJ ejde-64 227 25 , , PUNCT ejde-64 227 26 σ+(tû1(2 σ+(tû1(2 NUM ejde-64 227 27 ) ) PUNCT ejde-64 227 28 ) ) PUNCT ejde-64 228 1 < < X ejde-64 228 2 0 0 NUM ejde-64 228 3 which which PRON ejde-64 228 4 implies imply VERB ejde-64 228 5 σ+(ũ σ+(ũ NOUN ejde-64 228 6 ) ) PUNCT ejde-64 228 7 < < X ejde-64 228 8 0 0 PUNCT ejde-64 228 9 = = SYM ejde-64 228 10 σ+(0 σ+(0 NOUN ejde-64 228 11 ) ) PUNCT ejde-64 228 12 ( ( PUNCT ejde-64 228 13 see see VERB ejde-64 228 14 ( ( PUNCT ejde-64 228 15 3.27 3.27 NUM ejde-64 228 16 ) ) PUNCT ejde-64 228 17 ) ) PUNCT ejde-64 228 18 ; ; PUNCT ejde-64 228 19 thus thus ADV ejde-64 228 20 , , PUNCT ejde-64 228 21 ũ ũ PROPN ejde-64 228 22 6= 6= ADP ejde-64 228 23 0 0 NUM ejde-64 228 24 . . PUNCT ejde-64 229 1 from from ADP ejde-64 229 2 ( ( PUNCT ejde-64 229 3 3.27 3.27 NUM ejde-64 229 4 ) ) PUNCT ejde-64 229 5 we we PRON ejde-64 229 6 have have AUX ejde-64 229 7 that that PRON ejde-64 229 8 〈 〈 PROPN ejde-64 229 9 σ′+ σ′+ NOUN ejde-64 229 10 , , PUNCT ejde-64 229 11 h h NOUN ejde-64 229 12 〉 〉 NUM ejde-64 229 13 = = SYM ejde-64 229 14 0 0 NUM ejde-64 229 15 for for ADP ejde-64 229 16 all all DET ejde-64 229 17 h h NOUN ejde-64 229 18 ∈w ∈w PROPN ejde-64 229 19 1,p 1,p PROPN ejde-64 229 20 0 0 SYM ejde-64 229 21 ( ( PUNCT ejde-64 229 22 ω ω NOUN ejde-64 229 23 ) ) PUNCT ejde-64 229 24 . . PUNCT ejde-64 230 1 therefore therefore ADV ejde-64 230 2 , , PUNCT ejde-64 230 3 〈 〈 PROPN ejde-64 230 4 v v X ejde-64 230 5 ( ( PUNCT ejde-64 230 6 ũ ũ PROPN ejde-64 230 7 ) ) PUNCT ejde-64 230 8 , , PUNCT ejde-64 230 9 h h NOUN ejde-64 230 10 〉 〉 NUM ejde-64 230 11 = = SYM ejde-64 230 12 ∫ ∫ PROPN ejde-64 230 13 ω ω NUM ejde-64 230 14 k+(z k+(z PROPN ejde-64 230 15 , , PUNCT ejde-64 230 16 ũ)h ũ)h ADJ ejde-64 230 17 dz dz NOUN ejde-64 230 18 for for ADP ejde-64 230 19 all all DET ejde-64 230 20 h h NOUN ejde-64 230 21 ∈w ∈w PROPN ejde-64 230 22 1,p 1,p PROPN ejde-64 230 23 0 0 SYM ejde-64 230 24 ( ( PUNCT ejde-64 230 25 ω ω NOUN ejde-64 230 26 ) ) PUNCT ejde-64 230 27 . . PUNCT ejde-64 231 1 ( ( PUNCT ejde-64 231 2 3.28 3.28 NUM ejde-64 231 3 ) ) PUNCT ejde-64 231 4 in in ADP ejde-64 231 5 ( ( PUNCT ejde-64 231 6 3.28 3.28 NUM ejde-64 231 7 ) ) PUNCT ejde-64 231 8 first first ADV ejde-64 231 9 we we PRON ejde-64 231 10 use use VERB ejde-64 231 11 the the DET ejde-64 231 12 test test NOUN ejde-64 231 13 function function NOUN ejde-64 231 14 h h NOUN ejde-64 231 15 = = PUNCT ejde-64 231 16 −ũ− −ũ− PROPN ejde-64 231 17 ∈w ∈w VERB ejde-64 231 18 1,p 1,p PROPN ejde-64 231 19 0 0 SYM ejde-64 231 20 ( ( PUNCT ejde-64 231 21 ω ω NOUN ejde-64 231 22 ) ) PUNCT ejde-64 231 23 and and CCONJ ejde-64 231 24 obtain obtain VERB ejde-64 231 25 ĉ‖dũ−‖pp ĉ‖dũ−‖pp PROPN ejde-64 231 26 ≤ ≤ NOUN ejde-64 231 27 0 0 NUM ejde-64 231 28 , , PUNCT ejde-64 231 29 hence hence ADV ejde-64 231 30 ũ ũ PROPN ejde-64 231 31 ≥ ≥ NOUN ejde-64 231 32 0 0 NUM ejde-64 231 33 , , PUNCT ejde-64 231 34 ũ ũ PROPN ejde-64 231 35 6= 6= ADP ejde-64 231 36 0 0 NUM ejde-64 231 37 . . PUNCT ejde-64 232 1 next next ADJ ejde-64 232 2 choosing choose VERB ejde-64 232 3 h h NOUN ejde-64 232 4 = = PUNCT ejde-64 233 1 [ [ X ejde-64 233 2 ũ− ũ− X ejde-64 233 3 u]+ u]+ NOUN ejde-64 233 4 ∈w ∈w NOUN ejde-64 233 5 1,p 1,p PROPN ejde-64 233 6 0 0 SYM ejde-64 233 7 ( ( PUNCT ejde-64 233 8 ω ω NOUN ejde-64 233 9 ) ) PUNCT ejde-64 233 10 in in ADP ejde-64 233 11 ( ( PUNCT ejde-64 233 12 3.28 3.28 NUM ejde-64 233 13 ) ) PUNCT ejde-64 233 14 , , PUNCT ejde-64 233 15 we we PRON ejde-64 233 16 have have VERB ejde-64 233 17 〈 〈 PROPN ejde-64 233 18 v v NOUN ejde-64 233 19 ( ( PUNCT ejde-64 233 20 ũ ũ PROPN ejde-64 233 21 ) ) PUNCT ejde-64 233 22 , , PUNCT ejde-64 233 23 ( ( PUNCT ejde-64 233 24 ũ− ũ− X ejde-64 233 25 u)+ u)+ NOUN ejde-64 233 26 〉 〉 NOUN ejde-64 233 27 = = SYM ejde-64 233 28 ∫ ∫ PROPN ejde-64 233 29 ω ω PROPN ejde-64 234 1 [ [ X ejde-64 234 2 λ̂a2 λ̂a2 NOUN ejde-64 234 3 m m VERB ejde-64 234 4 ( ( PUNCT ejde-64 234 5 2)u− 2)u− NUM ejde-64 234 6 c10u c10u NOUN ejde-64 234 7 p−1](ũ− p−1](ũ− VERB ejde-64 234 8 u)+ u)+ PRON ejde-64 234 9 dz dz X ejde-64 234 10 ( ( PUNCT ejde-64 234 11 see see VERB ejde-64 234 12 ( ( PUNCT ejde-64 234 13 3.26 3.26 NUM ejde-64 234 14 ) ) PUNCT ejde-64 234 15 ) ) PUNCT ejde-64 234 16 10 10 NUM ejde-64 234 17 z. z. PROPN ejde-64 234 18 liu liu PROPN ejde-64 234 19 , , PUNCT ejde-64 234 20 n. n. PROPN ejde-64 234 21 s. s. PROPN ejde-64 234 22 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 234 23 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 234 24 ≤ ≤ PROPN ejde-64 234 25 ∫ ∫ PROPN ejde-64 234 26 ω ω NUM ejde-64 234 27 f(z f(z PROPN ejde-64 234 28 , , PUNCT ejde-64 234 29 u)(ũ− u)(ũ− PROPN ejde-64 234 30 u)+ u)+ PROPN ejde-64 234 31 dz dz X ejde-64 234 32 ( ( PUNCT ejde-64 234 33 see see INTJ ejde-64 234 34 ( ( PUNCT ejde-64 234 35 3.23 3.23 NUM ejde-64 234 36 ) ) PUNCT ejde-64 234 37 ) ) PUNCT ejde-64 235 1 = = PUNCT ejde-64 235 2 〈 〈 PROPN ejde-64 235 3 v v ADP ejde-64 235 4 ( ( PUNCT ejde-64 235 5 u u NOUN ejde-64 235 6 ) ) PUNCT ejde-64 235 7 , , PUNCT ejde-64 235 8 ( ( PUNCT ejde-64 235 9 ũ− ũ− X ejde-64 235 10 u)+ u)+ NOUN ejde-64 235 11 〉 〉 PROPN ejde-64 235 12 ( ( PUNCT ejde-64 235 13 since since SCONJ ejde-64 235 14 u u PROPN ejde-64 235 15 ∈ ∈ PROPN ejde-64 235 16 s+ s+ PUNCT ejde-64 235 17 ) ) PUNCT ejde-64 235 18 , , PUNCT ejde-64 235 19 which which PRON ejde-64 235 20 implies imply VERB ejde-64 235 21 ũ ũ PROPN ejde-64 235 22 ≤ ≤ PROPN ejde-64 235 23 u u NOUN ejde-64 235 24 , , PUNCT ejde-64 235 25 from from ADP ejde-64 235 26 the the DET ejde-64 235 27 monotonicity monotonicity NOUN ejde-64 235 28 of of ADP ejde-64 235 29 v v PROPN ejde-64 235 30 ( ( PUNCT ejde-64 235 31 · · PUNCT ejde-64 235 32 ) ) PUNCT ejde-64 235 33 ) ) PUNCT ejde-64 235 34 . . PUNCT ejde-64 236 1 so so ADV ejde-64 236 2 , , PUNCT ejde-64 236 3 we we PRON ejde-64 236 4 have have AUX ejde-64 236 5 proved prove VERB ejde-64 236 6 that that SCONJ ejde-64 236 7 ũ ũ PROPN ejde-64 236 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 237 1 [ [ X ejde-64 237 2 0 0 NUM ejde-64 237 3 , , PUNCT ejde-64 237 4 u u NOUN ejde-64 237 5 ] ] X ejde-64 237 6 , , PUNCT ejde-64 237 7 ũ ũ PROPN ejde-64 237 8 6= 6= ADP ejde-64 237 9 0 0 NUM ejde-64 237 10 . . PUNCT ejde-64 238 1 ( ( PUNCT ejde-64 238 2 3.29 3.29 NUM ejde-64 238 3 ) ) PUNCT ejde-64 238 4 then then ADV ejde-64 238 5 ( ( PUNCT ejde-64 238 6 3.29 3.29 NUM ejde-64 238 7 ) ) PUNCT ejde-64 238 8 , , PUNCT ejde-64 238 9 ( ( PUNCT ejde-64 238 10 3.26 3.26 NUM ejde-64 238 11 ) ) PUNCT ejde-64 238 12 , , PUNCT ejde-64 238 13 ( ( PUNCT ejde-64 238 14 3.28 3.28 NUM ejde-64 238 15 ) ) PUNCT ejde-64 238 16 , , PUNCT ejde-64 238 17 and and CCONJ ejde-64 238 18 proposition proposition NOUN ejde-64 238 19 3.5 3.5 NUM ejde-64 238 20 imply imply NOUN ejde-64 238 21 that that SCONJ ejde-64 238 22 ũ ũ PROPN ejde-64 238 23 = = PUNCT ejde-64 238 24 u u X ejde-64 238 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 238 26 intc+ intc+ ADV ejde-64 238 27 . . PUNCT ejde-64 239 1 this this PRON ejde-64 239 2 in in ADP ejde-64 239 3 turn turn NOUN ejde-64 239 4 implies imply VERB ejde-64 239 5 u u PRON ejde-64 239 6 ≤ ≤ NOUN ejde-64 239 7 u u NOUN ejde-64 239 8 for for ADP ejde-64 239 9 all all PRON ejde-64 239 10 u u PROPN ejde-64 239 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 239 12 s+ s+ ADV ejde-64 239 13 . . PUNCT ejde-64 240 1 similarly similarly ADV ejde-64 240 2 , , PUNCT ejde-64 240 3 we we PRON ejde-64 240 4 can can AUX ejde-64 240 5 show show VERB ejde-64 240 6 that that SCONJ ejde-64 240 7 v v NOUN ejde-64 240 8 ≤ ≤ NUM ejde-64 240 9 v v NOUN ejde-64 240 10 for for ADP ejde-64 240 11 all all DET ejde-64 240 12 v v NOUN ejde-64 240 13 ∈ ∈ NOUN ejde-64 240 14 s−. s−. NOUN ejde-64 240 15 using use VERB ejde-64 240 16 [ [ PUNCT ejde-64 240 17 8 8 NUM ejde-64 240 18 , , PUNCT ejde-64 240 19 theorem theorem VERB ejde-64 240 20 5.109 5.109 NUM ejde-64 240 21 ] ] PUNCT ejde-64 240 22 , , PUNCT ejde-64 240 23 we we PRON ejde-64 240 24 can can AUX ejde-64 240 25 find find VERB ejde-64 240 26 { { PUNCT ejde-64 240 27 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 240 28 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 240 29 s+ s+ ADV ejde-64 240 30 decreasing decrease VERB ejde-64 240 31 ( ( PUNCT ejde-64 240 32 since since SCONJ ejde-64 240 33 s+ s+ ADV ejde-64 240 34 is be AUX ejde-64 240 35 downward downward ADV ejde-64 240 36 directed direct VERB ejde-64 240 37 ) ) PUNCT ejde-64 240 38 such such ADJ ejde-64 240 39 that that DET ejde-64 240 40 inf inf NOUN ejde-64 240 41 s+ s+ PUNCT ejde-64 240 42 = = PROPN ejde-64 240 43 inf inf PROPN ejde-64 240 44 n∈n n∈n PROPN ejde-64 240 45 un un PROPN ejde-64 240 46 . . PUNCT ejde-64 241 1 we we PRON ejde-64 241 2 have have VERB ejde-64 241 3 〈 〈 PROPN ejde-64 241 4 v v NOUN ejde-64 241 5 ( ( PUNCT ejde-64 241 6 un un PROPN ejde-64 241 7 ) ) PUNCT ejde-64 241 8 , , PUNCT ejde-64 241 9 h h NOUN ejde-64 241 10 〉 〉 NUM ejde-64 241 11 = = SYM ejde-64 241 12 ∫ ∫ PROPN ejde-64 241 13 ω ω PROPN ejde-64 241 14 f(z f(z PROPN ejde-64 241 15 , , PUNCT ejde-64 241 16 un)h un)h NOUN ejde-64 241 17 dz dz PROPN ejde-64 241 18 for for ADP ejde-64 241 19 all all DET ejde-64 241 20 h h NOUN ejde-64 241 21 ∈w ∈w PROPN ejde-64 241 22 1,p 1,p PROPN ejde-64 241 23 0 0 SYM ejde-64 241 24 ( ( PUNCT ejde-64 241 25 ω ω NOUN ejde-64 241 26 ) ) PUNCT ejde-64 241 27 and and CCONJ ejde-64 241 28 all all DET ejde-64 241 29 n n PRON ejde-64 241 30 ∈ ∈ PROPN ejde-64 241 31 n n CCONJ ejde-64 241 32 , , PUNCT ejde-64 241 33 ( ( PUNCT ejde-64 241 34 3.30 3.30 NUM ejde-64 241 35 ) ) PUNCT ejde-64 241 36 u u PROPN ejde-64 241 37 ≤ ≤ PROPN ejde-64 241 38 un un PROPN ejde-64 241 39 ≤ ≤ PROPN ejde-64 241 40 u1 u1 NOUN ejde-64 241 41 for for ADP ejde-64 241 42 all all PRON ejde-64 241 43 n n PRON ejde-64 241 44 ∈ ∈ PROPN ejde-64 241 45 n n CCONJ ejde-64 241 46 ( ( PUNCT ejde-64 241 47 see see VERB ejde-64 241 48 ( ( PUNCT ejde-64 241 49 3.25 3.25 NUM ejde-64 241 50 ) ) PUNCT ejde-64 241 51 ) ) PUNCT ejde-64 241 52 . . PUNCT ejde-64 242 1 ( ( PUNCT ejde-64 242 2 3.31 3.31 NUM ejde-64 242 3 ) ) PUNCT ejde-64 242 4 choosing choose VERB ejde-64 242 5 h h NOUN ejde-64 242 6 = = NOUN ejde-64 242 7 un un PROPN ejde-64 242 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 242 9 w w PROPN ejde-64 242 10 1,p 1,p PROPN ejde-64 242 11 0 0 NUM ejde-64 242 12 ( ( PUNCT ejde-64 242 13 ω ω NOUN ejde-64 242 14 ) ) PUNCT ejde-64 242 15 in in ADP ejde-64 242 16 ( ( PUNCT ejde-64 242 17 3.30 3.30 NUM ejde-64 242 18 ) ) PUNCT ejde-64 242 19 and and CCONJ ejde-64 242 20 using use VERB ejde-64 242 21 ( ( PUNCT ejde-64 242 22 3.31 3.31 NUM ejde-64 242 23 ) ) PUNCT ejde-64 242 24 and and CCONJ ejde-64 242 25 ( ( PUNCT ejde-64 242 26 h1)(i h1)(i NOUN ejde-64 242 27 ) ) PUNCT ejde-64 242 28 , , PUNCT ejde-64 242 29 we we PRON ejde-64 242 30 infer infer VERB ejde-64 242 31 that that SCONJ ejde-64 242 32 { { PUNCT ejde-64 242 33 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 242 34 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 242 35 1,p 1,p PROPN ejde-64 242 36 0 0 SYM ejde-64 242 37 ( ( PUNCT ejde-64 242 38 ω ω NOUN ejde-64 242 39 ) ) PUNCT ejde-64 242 40 is be AUX ejde-64 242 41 bounded bound VERB ejde-64 242 42 . . PUNCT ejde-64 243 1 so so ADV ejde-64 243 2 , , PUNCT ejde-64 243 3 we we PRON ejde-64 243 4 may may AUX ejde-64 243 5 assume assume VERB ejde-64 243 6 that that SCONJ ejde-64 243 7 un un PROPN ejde-64 243 8 w→ w→ PUNCT ejde-64 243 9 û û NUM ejde-64 243 10 in in ADP ejde-64 243 11 w w PROPN ejde-64 243 12 1,p 1,p PROPN ejde-64 243 13 0 0 NUM ejde-64 243 14 ( ( PUNCT ejde-64 243 15 ω ω NOUN ejde-64 243 16 ) ) PUNCT ejde-64 243 17 , , PUNCT ejde-64 243 18 un un PROPN ejde-64 243 19 → → PUNCT ejde-64 243 20 û û NUM ejde-64 243 21 in in ADP ejde-64 243 22 lp(ω lp(ω PROPN ejde-64 243 23 ) ) PUNCT ejde-64 243 24 , , PUNCT ejde-64 243 25 as as ADP ejde-64 243 26 n→∞. n→∞. PROPN ejde-64 243 27 ( ( PUNCT ejde-64 243 28 3.32 3.32 NUM ejde-64 243 29 ) ) PUNCT ejde-64 243 30 in in ADP ejde-64 243 31 ( ( PUNCT ejde-64 243 32 3.30 3.30 NUM ejde-64 243 33 ) ) PUNCT ejde-64 243 34 we we PRON ejde-64 243 35 use use VERB ejde-64 243 36 h h NOUN ejde-64 243 37 = = PUNCT ejde-64 243 38 un− un− PROPN ejde-64 243 39 û û PUNCT ejde-64 243 40 ∈w ∈w VERB ejde-64 243 41 1,p 1,p PROPN ejde-64 243 42 0 0 SYM ejde-64 243 43 ( ( PUNCT ejde-64 243 44 ω ω NOUN ejde-64 243 45 ) ) PUNCT ejde-64 243 46 , , PUNCT ejde-64 243 47 pass pass VERB ejde-64 243 48 to to ADP ejde-64 243 49 the the DET ejde-64 243 50 limit limit NOUN ejde-64 243 51 as as ADP ejde-64 243 52 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 243 53 and and CCONJ ejde-64 243 54 use use NOUN ejde-64 243 55 ( ( PUNCT ejde-64 243 56 3.32 3.32 NUM ejde-64 243 57 ) ) PUNCT ejde-64 243 58 . . PUNCT ejde-64 244 1 we we PRON ejde-64 244 2 obtain obtain VERB ejde-64 244 3 limn→∞〈v limn→∞〈v PROPN ejde-64 244 4 ( ( PUNCT ejde-64 244 5 un un PROPN ejde-64 244 6 ) ) PUNCT ejde-64 244 7 , , PUNCT ejde-64 244 8 un un PROPN ejde-64 245 1 − − PROPN ejde-64 245 2 û û PROPN ejde-64 245 3 〉 〉 PROPN ejde-64 245 4 = = SYM ejde-64 245 5 0 0 NUM ejde-64 245 6 which which PRON ejde-64 245 7 implies imply VERB ejde-64 245 8 un un PROPN ejde-64 245 9 → → PUNCT ejde-64 245 10 û û NUM ejde-64 245 11 in in ADP ejde-64 245 12 w w PROPN ejde-64 245 13 1,p 1,p PROPN ejde-64 245 14 0 0 NUM ejde-64 245 15 ( ( PUNCT ejde-64 245 16 ω ω NOUN ejde-64 245 17 ) ) PUNCT ejde-64 245 18 ( ( PUNCT ejde-64 245 19 the the DET ejde-64 245 20 ( ( PUNCT ejde-64 245 21 s)+-property s)+-property NOUN ejde-64 245 22 of of ADP ejde-64 245 23 v v NOUN ejde-64 245 24 ( ( PUNCT ejde-64 245 25 · · PUNCT ejde-64 245 26 ) ) PUNCT ejde-64 245 27 ) ) PUNCT ejde-64 245 28 . . PUNCT ejde-64 246 1 ( ( PUNCT ejde-64 246 2 3.33 3.33 NUM ejde-64 246 3 ) ) PUNCT ejde-64 246 4 passing pass VERB ejde-64 246 5 to to ADP ejde-64 246 6 the the DET ejde-64 246 7 limit limit NOUN ejde-64 246 8 as as ADP ejde-64 246 9 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 246 10 in in ADP ejde-64 246 11 ( ( PUNCT ejde-64 246 12 3.30 3.30 NUM ejde-64 246 13 ) ) PUNCT ejde-64 246 14 and and CCONJ ejde-64 246 15 using use VERB ejde-64 246 16 ( ( PUNCT ejde-64 246 17 3.33 3.33 NUM ejde-64 246 18 ) ) PUNCT ejde-64 246 19 , , PUNCT ejde-64 246 20 we we PRON ejde-64 246 21 obtain obtain VERB ejde-64 246 22 〈 〈 PROPN ejde-64 246 23 v v NOUN ejde-64 246 24 ( ( PUNCT ejde-64 246 25 û û NUM ejde-64 246 26 ) ) PUNCT ejde-64 246 27 , , PUNCT ejde-64 246 28 h h NOUN ejde-64 246 29 〉 〉 NUM ejde-64 246 30 = = SYM ejde-64 246 31 ∫ ∫ PROPN ejde-64 246 32 ω ω NUM ejde-64 246 33 f(z f(z PROPN ejde-64 246 34 , , PUNCT ejde-64 246 35 û)h û)h ADJ ejde-64 246 36 dz dz NOUN ejde-64 246 37 for for ADP ejde-64 246 38 all all DET ejde-64 246 39 h h NOUN ejde-64 246 40 ∈w ∈w PROPN ejde-64 246 41 1,p 1,p PROPN ejde-64 246 42 0 0 SYM ejde-64 246 43 ( ( PUNCT ejde-64 246 44 ω ω NOUN ejde-64 246 45 ) ) PUNCT ejde-64 246 46 , , PUNCT ejde-64 246 47 u u NOUN ejde-64 246 48 ≤ ≤ ADV ejde-64 246 49 û û NUM ejde-64 246 50 ( ( PUNCT ejde-64 246 51 see see VERB ejde-64 246 52 ( ( PUNCT ejde-64 246 53 3.31 3.31 NUM ejde-64 246 54 ) ) PUNCT ejde-64 246 55 ) ) PUNCT ejde-64 246 56 , , PUNCT ejde-64 246 57 therefore therefore ADV ejde-64 246 58 , , PUNCT ejde-64 246 59 û û NUM ejde-64 246 60 ∈ ∈ NOUN ejde-64 246 61 s+ s+ PUNCT ejde-64 246 62 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 246 63 intc+ intc+ ADV ejde-64 246 64 and and CCONJ ejde-64 246 65 û û PRON ejde-64 246 66 = = PUNCT ejde-64 246 67 inf inf PROPN ejde-64 246 68 s+ s+ ADV ejde-64 246 69 . . PUNCT ejde-64 247 1 similarly similarly ADV ejde-64 247 2 for for ADP ejde-64 247 3 s− s− PROPN ejde-64 247 4 which which PRON ejde-64 247 5 is be AUX ejde-64 247 6 upward upward ADV ejde-64 247 7 directed direct VERB ejde-64 247 8 and and CCONJ ejde-64 247 9 so so ADV ejde-64 247 10 the the DET ejde-64 247 11 sequence sequence NOUN ejde-64 247 12 { { PUNCT ejde-64 247 13 vn}n∈n vn}n∈n NOUN ejde-64 247 14 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 247 15 s− s− PROPN ejde-64 247 16 such such DET ejde-64 247 17 that that DET ejde-64 247 18 sups− sups− PROPN ejde-64 247 19 = = SYM ejde-64 247 20 supn∈n supn∈n PROPN ejde-64 247 21 vn vn PROPN ejde-64 247 22 , , PUNCT ejde-64 247 23 will will AUX ejde-64 247 24 be be AUX ejde-64 247 25 increasing increase VERB ejde-64 247 26 . . PUNCT ejde-64 248 1 � � PROPN ejde-64 248 2 now now ADV ejde-64 248 3 we we PRON ejde-64 248 4 try try VERB ejde-64 248 5 to to PART ejde-64 248 6 produce produce VERB ejde-64 248 7 a a DET ejde-64 248 8 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 248 9 solution solution NOUN ejde-64 248 10 of of ADP ejde-64 248 11 ( ( PUNCT ejde-64 248 12 1.1 1.1 NUM ejde-64 248 13 ) ) PUNCT ejde-64 248 14 in in ADP ejde-64 248 15 the the DET ejde-64 248 16 order order NOUN ejde-64 248 17 interval interval NOUN ejde-64 248 18 [ [ X ejde-64 248 19 v̂ v̂ NOUN ejde-64 248 20 , , PUNCT ejde-64 248 21 û û NUM ejde-64 248 22 ] ] PUNCT ejde-64 248 23 = = PRON ejde-64 248 24 { { PUNCT ejde-64 248 25 h h NOUN ejde-64 248 26 ∈w ∈w VERB ejde-64 248 27 1,p 1,p PROPN ejde-64 248 28 0 0 SYM ejde-64 248 29 ( ( PUNCT ejde-64 248 30 ω ω NOUN ejde-64 248 31 ) ) PUNCT ejde-64 248 32 : : PUNCT ejde-64 248 33 v̂(z v̂(z X ejde-64 248 34 ) ) PUNCT ejde-64 248 35 ≤ ≤ NUM ejde-64 248 36 h(z h(z NOUN ejde-64 248 37 ) ) PUNCT ejde-64 248 38 ≤ ≤ NOUN ejde-64 248 39 û(z û(z NOUN ejde-64 248 40 ) ) PUNCT ejde-64 248 41 for for ADP ejde-64 248 42 a.a a.a PROPN ejde-64 248 43 . . PROPN ejde-64 248 44 z z PROPN ejde-64 248 45 ∈ ∈ PROPN ejde-64 248 46 ω ω PROPN ejde-64 248 47 } } PUNCT ejde-64 248 48 . . PUNCT ejde-64 249 1 on on ADP ejde-64 249 2 account account NOUN ejde-64 249 3 of of ADP ejde-64 249 4 the the DET ejde-64 249 5 extremality extremality NOUN ejde-64 249 6 of of ADP ejde-64 249 7 û û NUM ejde-64 249 8 and and CCONJ ejde-64 249 9 v̂ v̂ ADP ejde-64 249 10 any any DET ejde-64 249 11 such such ADJ ejde-64 249 12 solution solution NOUN ejde-64 249 13 distinct distinct ADJ ejde-64 249 14 from from ADP ejde-64 249 15 û û NUM ejde-64 249 16 and and CCONJ ejde-64 249 17 v̂ v̂ PRON ejde-64 249 18 will will AUX ejde-64 249 19 be be AUX ejde-64 249 20 nodal nodal ADJ ejde-64 249 21 . . PUNCT ejde-64 250 1 to to ADP ejde-64 250 2 this this DET ejde-64 250 3 end end NOUN ejde-64 250 4 , , PUNCT ejde-64 250 5 we we PRON ejde-64 250 6 introduce introduce VERB ejde-64 250 7 the the DET ejde-64 250 8 following following ADJ ejde-64 250 9 truncation truncation NOUN ejde-64 250 10 of of ADP ejde-64 250 11 the the DET ejde-64 250 12 reaction reaction NOUN ejde-64 250 13 f(z f(z PROPN ejde-64 250 14 , , PUNCT ejde-64 250 15 · · PUNCT ejde-64 250 16 ) ) PUNCT ejde-64 251 1 e(z e(z PROPN ejde-64 251 2 , , PUNCT ejde-64 251 3 x x NOUN ejde-64 251 4 ) ) PUNCT ejde-64 251 5 = = SYM ejde-64 252 1   PROPN ejde-64 252 2 f(z f(z PROPN ejde-64 252 3 , , PUNCT ejde-64 252 4 v̂(z v̂(z NOUN ejde-64 252 5 ) ) PUNCT ejde-64 252 6 ) ) PUNCT ejde-64 253 1 if if SCONJ ejde-64 253 2 x x X ejde-64 253 3 < < X ejde-64 253 4 v̂(z v̂(z NOUN ejde-64 253 5 ) ) PUNCT ejde-64 253 6 f(z f(z PROPN ejde-64 253 7 , , PUNCT ejde-64 253 8 x x NOUN ejde-64 253 9 ) ) PUNCT ejde-64 253 10 if if SCONJ ejde-64 253 11 v̂(z v̂(z NOUN ejde-64 253 12 ) ) PUNCT ejde-64 253 13 ≤ ≤ NUM ejde-64 253 14 x x SYM ejde-64 253 15 ≤ ≤ NUM ejde-64 253 16 û(z û(z NOUN ejde-64 253 17 ) ) PUNCT ejde-64 253 18 f(z f(z PROPN ejde-64 253 19 , , PUNCT ejde-64 253 20 û(z û(z NOUN ejde-64 253 21 ) ) PUNCT ejde-64 253 22 ) ) PUNCT ejde-64 254 1 if if SCONJ ejde-64 254 2 û(z û(z NOUN ejde-64 254 3 ) ) PUNCT ejde-64 254 4 < < X ejde-64 254 5 x. x. X ejde-64 254 6 ( ( PUNCT ejde-64 254 7 3.34 3.34 NUM ejde-64 254 8 ) ) PUNCT ejde-64 254 9 also also ADV ejde-64 254 10 , , PUNCT ejde-64 254 11 we we PRON ejde-64 254 12 consider consider VERB ejde-64 254 13 the the DET ejde-64 254 14 positive positive ADJ ejde-64 254 15 and and CCONJ ejde-64 254 16 negative negative ADJ ejde-64 254 17 truncations truncation NOUN ejde-64 254 18 of of ADP ejde-64 254 19 e(z e(z PROPN ejde-64 254 20 , , PUNCT ejde-64 254 21 · · PUNCT ejde-64 254 22 ) ) PUNCT ejde-64 254 23 , , PUNCT ejde-64 254 24 namely namely ADV ejde-64 254 25 the the DET ejde-64 254 26 functions function NOUN ejde-64 254 27 e±(z e±(z PROPN ejde-64 254 28 , , PUNCT ejde-64 254 29 x x NOUN ejde-64 254 30 ) ) PUNCT ejde-64 254 31 = = PUNCT ejde-64 254 32 e(z,±x± e(z,±x± NOUN ejde-64 254 33 ) ) PUNCT ejde-64 254 34 . . PUNCT ejde-64 255 1 ( ( PUNCT ejde-64 255 2 3.35 3.35 NUM ejde-64 255 3 ) ) PUNCT ejde-64 255 4 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 255 5 a a DET ejde-64 255 6 weighted weight VERB ejde-64 255 7 ( ( PUNCT ejde-64 255 8 p p X ejde-64 255 9 , , PUNCT ejde-64 255 10 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 255 11 with with ADP ejde-64 255 12 double double ADJ ejde-64 255 13 resonance resonance NOUN ejde-64 255 14 11 11 NUM ejde-64 255 15 all all DET ejde-64 255 16 three three NUM ejde-64 255 17 functions function NOUN ejde-64 255 18 are be AUX ejde-64 255 19 caratheodory caratheodory ADJ ejde-64 255 20 . . PUNCT ejde-64 256 1 we we PRON ejde-64 256 2 set set VERB ejde-64 256 3 e(z e(z PROPN ejde-64 256 4 , , PUNCT ejde-64 256 5 x x X ejde-64 256 6 ) ) PUNCT ejde-64 256 7 = = SYM ejde-64 257 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 257 2 x x SYM ejde-64 257 3 0 0 PUNCT ejde-64 257 4 e(z e(z PROPN ejde-64 257 5 , , PUNCT ejde-64 257 6 s)ds s)ds PROPN ejde-64 257 7 , , PUNCT ejde-64 257 8 e±(z e±(z PROPN ejde-64 257 9 , , PUNCT ejde-64 257 10 x x NOUN ejde-64 257 11 ) ) PUNCT ejde-64 257 12 = = SYM ejde-64 258 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 258 2 x x SYM ejde-64 258 3 0 0 PUNCT ejde-64 258 4 e±(z e±(z PROPN ejde-64 258 5 , , PUNCT ejde-64 258 6 s)ds s)ds PROPN ejde-64 258 7 . . PUNCT ejde-64 259 1 then then ADV ejde-64 259 2 we we PRON ejde-64 259 3 consider consider VERB ejde-64 259 4 the the DET ejde-64 259 5 c1 c1 NOUN ejde-64 259 6 - - PUNCT ejde-64 259 7 functionals functional VERB ejde-64 259 8 w w NOUN ejde-64 259 9 , , PUNCT ejde-64 259 10 w± w± NUM ejde-64 259 11 : : PUNCT ejde-64 259 12 w w PROPN ejde-64 259 13 1,p 1,p PROPN ejde-64 259 14 0 0 NUM ejde-64 259 15 ( ( PUNCT ejde-64 259 16 ω)→ ω)→ NOUN ejde-64 259 17 r r NOUN ejde-64 259 18 defined define VERB ejde-64 259 19 by by ADP ejde-64 259 20 w(u w(u NOUN ejde-64 259 21 ) ) PUNCT ejde-64 259 22 = = SYM ejde-64 259 23 1 1 NUM ejde-64 259 24 p p NOUN ejde-64 259 25 ∫ ∫ PROPN ejde-64 259 26 ω ω PROPN ejde-64 259 27 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 259 28 dz dz X ejde-64 259 29 + + CCONJ ejde-64 259 30 1 1 NUM ejde-64 259 31 2 2 NUM ejde-64 259 32 ∫ ∫ NOUN ejde-64 259 33 ω ω NUM ejde-64 259 34 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 259 35 dz dz PROPN ejde-64 259 36 − − PROPN ejde-64 259 37 ∫ ∫ PROPN ejde-64 259 38 ω ω PROPN ejde-64 259 39 e(z e(z PROPN ejde-64 259 40 , , PUNCT ejde-64 259 41 u u NOUN ejde-64 259 42 ) ) PUNCT ejde-64 259 43 dz dz PROPN ejde-64 259 44 , , PUNCT ejde-64 259 45 w±(u w±(u NOUN ejde-64 259 46 ) ) PUNCT ejde-64 259 47 = = SYM ejde-64 260 1 1 1 NUM ejde-64 260 2 p p NOUN ejde-64 260 3 ∫ ∫ PROPN ejde-64 260 4 ω ω PROPN ejde-64 260 5 a1(z)|du|p a1(z)|du|p PROPN ejde-64 260 6 dz dz X ejde-64 260 7 + + CCONJ ejde-64 260 8 1 1 NUM ejde-64 260 9 2 2 NUM ejde-64 260 10 ∫ ∫ NOUN ejde-64 260 11 ω ω NUM ejde-64 260 12 a2(z)|du|2 a2(z)|du|2 NOUN ejde-64 260 13 dz dz PROPN ejde-64 260 14 − − PROPN ejde-64 260 15 ∫ ∫ PROPN ejde-64 260 16 ω ω PROPN ejde-64 260 17 e±(z e±(z PROPN ejde-64 260 18 , , PUNCT ejde-64 260 19 u u NOUN ejde-64 260 20 ) ) PUNCT ejde-64 260 21 dz dz NOUN ejde-64 260 22 . . PUNCT ejde-64 261 1 using use VERB ejde-64 261 2 ( ( PUNCT ejde-64 261 3 3.34 3.34 NUM ejde-64 261 4 ) ) PUNCT ejde-64 261 5 and and CCONJ ejde-64 261 6 ( ( PUNCT ejde-64 261 7 3.35 3.35 NUM ejde-64 261 8 ) ) PUNCT ejde-64 261 9 , , PUNCT ejde-64 261 10 we we PRON ejde-64 261 11 can can AUX ejde-64 261 12 easily easily ADV ejde-64 261 13 show show VERB ejde-64 261 14 that that SCONJ ejde-64 261 15 kw kw PROPN ejde-64 261 16 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 261 17 [ [ X ejde-64 261 18 v̂ v̂ NOUN ejde-64 261 19 , , PUNCT ejde-64 261 20 û û NUM ejde-64 261 21 ] ] PUNCT ejde-64 261 22 ∩ ∩ ADJ ejde-64 261 23 c1 c1 NOUN ejde-64 261 24 0 0 NUM ejde-64 261 25 ( ( PUNCT ejde-64 261 26 ω),kw+ ω),kw+ ADP ejde-64 261 27 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 261 28 [ [ X ejde-64 261 29 0 0 NUM ejde-64 261 30 , , PUNCT ejde-64 261 31 û û NUM ejde-64 261 32 ] ] PUNCT ejde-64 261 33 ∩ ∩ NOUN ejde-64 261 34 c+,kw− c+,kw− VERB ejde-64 261 35 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 261 36 [ [ X ejde-64 261 37 v̂ v̂ NOUN ejde-64 261 38 , , PUNCT ejde-64 261 39 0 0 NUM ejde-64 261 40 ] ] PUNCT ejde-64 261 41 ∩ ∩ NOUN ejde-64 261 42 ( ( PUNCT ejde-64 261 43 −c+ −c+ NOUN ejde-64 261 44 ) ) PUNCT ejde-64 261 45 . . PUNCT ejde-64 262 1 the the DET ejde-64 262 2 extremality extremality NOUN ejde-64 262 3 of of ADP ejde-64 262 4 û û NUM ejde-64 262 5 , , PUNCT ejde-64 262 6 v̂ v̂ PRON ejde-64 262 7 implies imply VERB ejde-64 262 8 that that SCONJ ejde-64 262 9 kw kw PROPN ejde-64 262 10 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 262 11 [ [ X ejde-64 262 12 v̂ v̂ NOUN ejde-64 262 13 , , PUNCT ejde-64 262 14 û û NUM ejde-64 262 15 ] ] PUNCT ejde-64 262 16 ∩ ∩ ADJ ejde-64 262 17 c1 c1 NOUN ejde-64 262 18 0 0 NUM ejde-64 262 19 ( ( PUNCT ejde-64 262 20 ω ω NOUN ejde-64 262 21 ) ) PUNCT ejde-64 262 22 , , PUNCT ejde-64 262 23 kw+ kw+ NOUN ejde-64 262 24 = = X ejde-64 262 25 { { PUNCT ejde-64 262 26 0 0 NUM ejde-64 262 27 , , PUNCT ejde-64 262 28 û},kw− û},kw− PROPN ejde-64 262 29 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 262 30 { { PUNCT ejde-64 262 31 v̂ v̂ NOUN ejde-64 262 32 , , PUNCT ejde-64 262 33 0 0 NUM ejde-64 262 34 } } PUNCT ejde-64 262 35 . . PUNCT ejde-64 263 1 ( ( PUNCT ejde-64 263 2 3.36 3.36 NUM ejde-64 263 3 ) ) PUNCT ejde-64 263 4 now now ADV ejde-64 263 5 , , PUNCT ejde-64 263 6 we we PRON ejde-64 263 7 can can AUX ejde-64 263 8 generate generate VERB ejde-64 263 9 the the DET ejde-64 263 10 third third ADJ ejde-64 263 11 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 263 12 smooth smooth ADJ ejde-64 263 13 solution solution NOUN ejde-64 263 14 of of ADP ejde-64 263 15 ( ( PUNCT ejde-64 263 16 1.1 1.1 NUM ejde-64 263 17 ) ) PUNCT ejde-64 263 18 which which PRON ejde-64 263 19 is be AUX ejde-64 263 20 nodal nodal NOUN ejde-64 263 21 . . PUNCT ejde-64 264 1 by by ADP ejde-64 264 2 intc1 intc1 PROPN ejde-64 264 3 0 0 NUM ejde-64 264 4 ( ( PUNCT ejde-64 264 5 ω)[v̂ ω)[v̂ NOUN ejde-64 264 6 , , PUNCT ejde-64 264 7 û û NUM ejde-64 264 8 ] ] PUNCT ejde-64 264 9 we we PRON ejde-64 264 10 denote denote VERB ejde-64 264 11 the the DET ejde-64 264 12 interior interior NOUN ejde-64 264 13 in in ADP ejde-64 264 14 c1 c1 PROPN ejde-64 264 15 0 0 NUM ejde-64 264 16 ( ( PUNCT ejde-64 264 17 ω ω NOUN ejde-64 264 18 ) ) PUNCT ejde-64 264 19 of of ADP ejde-64 264 20 [ [ X ejde-64 264 21 v̂ v̂ NOUN ejde-64 264 22 , , PUNCT ejde-64 264 23 û û NUM ejde-64 264 24 ] ] PUNCT ejde-64 264 25 ∩ ∩ ADJ ejde-64 264 26 c1 c1 NOUN ejde-64 264 27 0 0 NUM ejde-64 265 1 ( ( PUNCT ejde-64 265 2 ω ω NOUN ejde-64 265 3 ) ) PUNCT ejde-64 265 4 . . PUNCT ejde-64 266 1 proposition proposition NOUN ejde-64 266 2 3.7 3.7 NUM ejde-64 266 3 . . PUNCT ejde-64 267 1 if if SCONJ ejde-64 267 2 ( ( PUNCT ejde-64 267 3 h0 h0 NOUN ejde-64 267 4 ) ) PUNCT ejde-64 267 5 , , PUNCT ejde-64 267 6 ( ( PUNCT ejde-64 267 7 h1 h1 PROPN ejde-64 267 8 ) ) PUNCT ejde-64 267 9 hold hold NOUN ejde-64 267 10 , , PUNCT ejde-64 267 11 then then ADV ejde-64 267 12 problem problem NOUN ejde-64 267 13 ( ( PUNCT ejde-64 267 14 1.1 1.1 NUM ejde-64 267 15 ) ) PUNCT ejde-64 267 16 has have VERB ejde-64 267 17 a a DET ejde-64 267 18 nodal nodal NOUN ejde-64 267 19 solution solution NOUN ejde-64 267 20 y0 y0 NOUN ejde-64 267 21 ∈ ∈ NOUN ejde-64 268 1 [ [ X ejde-64 268 2 v̂ v̂ NOUN ejde-64 268 3 , , PUNCT ejde-64 268 4 û û NUM ejde-64 268 5 ] ] PUNCT ejde-64 268 6 ∩ ∩ ADJ ejde-64 268 7 c1 c1 NOUN ejde-64 268 8 0 0 NUM ejde-64 268 9 ( ( PUNCT ejde-64 268 10 ω ω NOUN ejde-64 268 11 ) ) PUNCT ejde-64 268 12 . . PUNCT ejde-64 269 1 proof proof NOUN ejde-64 269 2 . . PUNCT ejde-64 270 1 first first ADV ejde-64 270 2 we we PRON ejde-64 270 3 show show VERB ejde-64 270 4 that that SCONJ ejde-64 270 5 û û NUM ejde-64 270 6 , , PUNCT ejde-64 270 7 v̂ v̂ NUM ejde-64 270 8 are be AUX ejde-64 270 9 local local ADJ ejde-64 270 10 minimizers minimizer NOUN ejde-64 270 11 of of ADP ejde-64 270 12 w w PROPN ejde-64 270 13 ( ( PUNCT ejde-64 270 14 · · PUNCT ejde-64 270 15 ) ) PUNCT ejde-64 270 16 . . PUNCT ejde-64 271 1 to to ADP ejde-64 271 2 this this DET ejde-64 271 3 end end NOUN ejde-64 271 4 , , PUNCT ejde-64 271 5 note note VERB ejde-64 271 6 that that SCONJ ejde-64 271 7 w+ w+ NOUN ejde-64 271 8 ( ( PUNCT ejde-64 271 9 · · PUNCT ejde-64 271 10 ) ) PUNCT ejde-64 271 11 is be AUX ejde-64 271 12 coercive coercive ADJ ejde-64 271 13 ( ( PUNCT ejde-64 271 14 see see VERB ejde-64 271 15 ( ( PUNCT ejde-64 271 16 h0 h0 NOUN ejde-64 271 17 ) ) PUNCT ejde-64 271 18 and and CCONJ ejde-64 271 19 ( ( PUNCT ejde-64 271 20 3.34 3.34 NUM ejde-64 271 21 ) ) PUNCT ejde-64 271 22 , , PUNCT ejde-64 271 23 ( ( PUNCT ejde-64 271 24 3.35 3.35 NUM ejde-64 271 25 ) ) PUNCT ejde-64 271 26 ) ) PUNCT ejde-64 271 27 . . PUNCT ejde-64 272 1 also also ADV ejde-64 272 2 , , PUNCT ejde-64 272 3 it it PRON ejde-64 272 4 is be AUX ejde-64 272 5 sequentially sequentially ADV ejde-64 272 6 weakly weakly ADV ejde-64 272 7 lower low ADJ ejde-64 272 8 semicontinuous semicontinuous ADJ ejde-64 272 9 . . PUNCT ejde-64 273 1 so so ADV ejde-64 273 2 , , PUNCT ejde-64 273 3 we we PRON ejde-64 273 4 can can AUX ejde-64 273 5 find find VERB ejde-64 273 6 ũ ũ PROPN ejde-64 273 7 ∈w ∈w NOUN ejde-64 273 8 1,p 1,p PROPN ejde-64 273 9 0 0 SYM ejde-64 273 10 ( ( PUNCT ejde-64 273 11 ω ω NOUN ejde-64 273 12 ) ) PUNCT ejde-64 273 13 such such ADJ ejde-64 273 14 that that DET ejde-64 273 15 w+(ũ w+(ũ NOUN ejde-64 273 16 ) ) PUNCT ejde-64 273 17 = = SYM ejde-64 273 18 inf[w+(u inf[w+(u PROPN ejde-64 273 19 ) ) PUNCT ejde-64 273 20 : : PUNCT ejde-64 273 21 u u NOUN ejde-64 273 22 ∈w ∈w VERB ejde-64 273 23 1,p 1,p PROPN ejde-64 273 24 0 0 SYM ejde-64 273 25 ( ( PUNCT ejde-64 273 26 ω ω NOUN ejde-64 273 27 ) ) PUNCT ejde-64 273 28 ] ] PUNCT ejde-64 273 29 . . PUNCT ejde-64 274 1 ( ( PUNCT ejde-64 274 2 3.37 3.37 NUM ejde-64 274 3 ) ) PUNCT ejde-64 274 4 since since SCONJ ejde-64 274 5 û û NUM ejde-64 274 6 ∈ ∈ NOUN ejde-64 274 7 intc+ intc+ ADV ejde-64 274 8 as as ADP ejde-64 274 9 before before ADV ejde-64 274 10 for for ADP ejde-64 274 11 t t PROPN ejde-64 274 12 ∈ ∈ PROPN ejde-64 274 13 ( ( PUNCT ejde-64 274 14 0 0 NUM ejde-64 274 15 , , PUNCT ejde-64 274 16 1 1 X ejde-64 274 17 ) ) PUNCT ejde-64 274 18 small small ADJ ejde-64 274 19 ( ( PUNCT ejde-64 274 20 at at ADP ejde-64 274 21 least least ADJ ejde-64 274 22 such such ADJ ejde-64 274 23 that that PRON ejde-64 274 24 tû1(2 tû1(2 NOUN ejde-64 274 25 ) ) PUNCT ejde-64 274 26 ≤ ≤ NOUN ejde-64 274 27 û û NUM ejde-64 274 28 ) ) PUNCT ejde-64 274 29 , , PUNCT ejde-64 274 30 we we PRON ejde-64 274 31 have have VERB ejde-64 274 32 w+(±û1(2 w+(±û1(2 NOUN ejde-64 274 33 ) ) PUNCT ejde-64 274 34 ) ) PUNCT ejde-64 275 1 < < X ejde-64 275 2 0 0 NUM ejde-64 275 3 , , PUNCT ejde-64 275 4 ⇒ ⇒ VERB ejde-64 275 5 w+(ũ w+(ũ NOUN ejde-64 275 6 ) ) PUNCT ejde-64 275 7 < < X ejde-64 275 8 0 0 PUNCT ejde-64 275 9 = = SYM ejde-64 275 10 w+(0 w+(0 PROPN ejde-64 275 11 ) ) PUNCT ejde-64 275 12 , , PUNCT ejde-64 275 13 ⇒ ⇒ PROPN ejde-64 275 14 ũ ũ PROPN ejde-64 275 15 6= 6= PROPN ejde-64 275 16 0 0 NUM ejde-64 275 17 . . PUNCT ejde-64 276 1 ( ( PUNCT ejde-64 276 2 3.38 3.38 NUM ejde-64 276 3 ) ) PUNCT ejde-64 276 4 from from ADP ejde-64 276 5 ( ( PUNCT ejde-64 276 6 3.37),(3.38 3.37),(3.38 NUM ejde-64 276 7 ) ) PUNCT ejde-64 276 8 and and CCONJ ejde-64 276 9 ( ( PUNCT ejde-64 276 10 3.36 3.36 NUM ejde-64 276 11 ) ) PUNCT ejde-64 276 12 we we PRON ejde-64 276 13 infer infer VERB ejde-64 276 14 that that SCONJ ejde-64 276 15 ũ ũ PROPN ejde-64 276 16 = = NOUN ejde-64 276 17 û û PUNCT ejde-64 276 18 ∈ ∈ PROPN ejde-64 276 19 intc+ intc+ ADV ejde-64 276 20 . . PUNCT ejde-64 277 1 note note VERB ejde-64 277 2 that that SCONJ ejde-64 277 3 w|c+ w|c+ DET ejde-64 277 4 = = SYM ejde-64 277 5 w+|c+ w+|c+ PROPN ejde-64 277 6 , , PUNCT ejde-64 277 7 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 277 8 û û NUM ejde-64 277 9 is be AUX ejde-64 277 10 a a DET ejde-64 277 11 local local ADJ ejde-64 277 12 c1 c1 NOUN ejde-64 277 13 0 0 NUM ejde-64 277 14 ( ( PUNCT ejde-64 277 15 ω)-minimizer ω)-minimizer NOUN ejde-64 277 16 of of ADP ejde-64 277 17 w w PROPN ejde-64 277 18 ( ( PUNCT ejde-64 277 19 · · PUNCT ejde-64 277 20 ) ) PUNCT ejde-64 277 21 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 277 22 û û NUM ejde-64 277 23 is be AUX ejde-64 277 24 a a DET ejde-64 277 25 local local ADJ ejde-64 277 26 w w PROPN ejde-64 277 27 1,p 1,p PROPN ejde-64 277 28 0 0 NUM ejde-64 277 29 ( ( PUNCT ejde-64 277 30 ω)-minimizer ω)-minimizer NOUN ejde-64 277 31 of of ADP ejde-64 277 32 w w PROPN ejde-64 277 33 ( ( PUNCT ejde-64 277 34 · · PUNCT ejde-64 277 35 ) ) PUNCT ejde-64 277 36 ; ; PUNCT ejde-64 277 37 see see VERB ejde-64 277 38 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 277 39 - - PUNCT ejde-64 277 40 rădulescu rădulescu PROPN ejde-64 277 41 - - PUNCT ejde-64 277 42 zhang zhang PROPN ejde-64 278 1 [ [ X ejde-64 278 2 17 17 NUM ejde-64 278 3 , , PUNCT ejde-64 278 4 proposition proposition NOUN ejde-64 278 5 a3 a3 NOUN ejde-64 278 6 ] ] PUNCT ejde-64 278 7 . . PUNCT ejde-64 279 1 similarly similarly ADV ejde-64 279 2 for for ADP ejde-64 279 3 v̂ v̂ NUM ejde-64 279 4 ∈ ∈ NOUN ejde-64 279 5 − − NOUN ejde-64 279 6 intc+ intc+ ADV ejde-64 279 7 using use VERB ejde-64 279 8 the the DET ejde-64 279 9 functional functional ADJ ejde-64 279 10 w− w− NOUN ejde-64 279 11 ( ( PUNCT ejde-64 279 12 · · PUNCT ejde-64 279 13 ) ) PUNCT ejde-64 279 14 , , PUNCT ejde-64 279 15 we we PRON ejde-64 279 16 have have VERB ejde-64 279 17 ck(w ck(w NOUN ejde-64 279 18 , , PUNCT ejde-64 279 19 û û NUM ejde-64 279 20 ) ) PUNCT ejde-64 279 21 = = SYM ejde-64 279 22 ck(w ck(w NOUN ejde-64 279 23 , , PUNCT ejde-64 279 24 v̂ v̂ NOUN ejde-64 279 25 ) ) PUNCT ejde-64 279 26 = = VERB ejde-64 279 27 δk,0z δk,0z VERB ejde-64 279 28 for for ADP ejde-64 279 29 all all DET ejde-64 279 30 k k PROPN ejde-64 279 31 ∈ ∈ PROPN ejde-64 279 32 n0 n0 PROPN ejde-64 279 33 . . PUNCT ejde-64 280 1 ( ( PUNCT ejde-64 280 2 3.39 3.39 NUM ejde-64 280 3 ) ) PUNCT ejde-64 280 4 next next ADV ejde-64 280 5 we we PRON ejde-64 280 6 show show VERB ejde-64 280 7 that that SCONJ ejde-64 280 8 cdm(w cdm(w PROPN ejde-64 280 9 , , PUNCT ejde-64 280 10 0 0 NUM ejde-64 280 11 ) ) PUNCT ejde-64 280 12 6= 6= ADP ejde-64 280 13 0 0 NUM ejde-64 280 14 . . PUNCT ejde-64 281 1 ( ( PUNCT ejde-64 281 2 3.40 3.40 NUM ejde-64 281 3 ) ) PUNCT ejde-64 281 4 consider consider VERB ejde-64 281 5 the the DET ejde-64 281 6 homotopy homotopy NOUN ejde-64 281 7 h(t h(t PROPN ejde-64 281 8 , , PUNCT ejde-64 281 9 u u NOUN ejde-64 281 10 ) ) PUNCT ejde-64 281 11 = = SYM ejde-64 281 12 ( ( PUNCT ejde-64 281 13 1− 1− NUM ejde-64 281 14 t)ϕ(u t)ϕ(u NOUN ejde-64 281 15 ) ) PUNCT ejde-64 282 1 + + CCONJ ejde-64 282 2 tw(u tw(u NOUN ejde-64 282 3 ) ) PUNCT ejde-64 282 4 for for ADP ejde-64 282 5 all all PRON ejde-64 282 6 ( ( PUNCT ejde-64 282 7 t t PROPN ejde-64 282 8 , , PUNCT ejde-64 282 9 u u NOUN ejde-64 282 10 ) ) PUNCT ejde-64 282 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 282 12 [ [ X ejde-64 282 13 0 0 NUM ejde-64 282 14 , , PUNCT ejde-64 282 15 1]×w 1]×w NUM ejde-64 282 16 1,p 1,p NOUN ejde-64 282 17 0 0 SYM ejde-64 282 18 ( ( PUNCT ejde-64 282 19 ω ω NOUN ejde-64 282 20 ) ) PUNCT ejde-64 282 21 . . PUNCT ejde-64 283 1 suppose suppose VERB ejde-64 283 2 we we PRON ejde-64 283 3 can can AUX ejde-64 283 4 find find VERB ejde-64 283 5 { { PUNCT ejde-64 283 6 ( ( PUNCT ejde-64 283 7 tn tn NOUN ejde-64 283 8 , , PUNCT ejde-64 283 9 un)}n∈n un)}n∈n VERB ejde-64 283 10 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 283 11 [ [ X ejde-64 283 12 0 0 NUM ejde-64 283 13 , , PUNCT ejde-64 283 14 1]×w 1]×w NUM ejde-64 283 15 1,p 1,p NOUN ejde-64 283 16 0 0 SYM ejde-64 283 17 ( ( PUNCT ejde-64 283 18 ω ω NOUN ejde-64 283 19 ) ) PUNCT ejde-64 283 20 such such ADJ ejde-64 283 21 that that SCONJ ejde-64 283 22 tn tn PROPN ejde-64 283 23 → → SYM ejde-64 283 24 t t NOUN ejde-64 283 25 in in ADP ejde-64 283 26 [ [ X ejde-64 283 27 0 0 NUM ejde-64 283 28 , , PUNCT ejde-64 283 29 1 1 NUM ejde-64 283 30 ] ] PUNCT ejde-64 283 31 , , PUNCT ejde-64 283 32 un un PROPN ejde-64 283 33 → → SYM ejde-64 283 34 0 0 NUM ejde-64 283 35 in in ADP ejde-64 283 36 w w PROPN ejde-64 283 37 1,p 1,p PROPN ejde-64 283 38 0 0 NUM ejde-64 283 39 ( ( PUNCT ejde-64 283 40 ω ω NOUN ejde-64 283 41 ) ) PUNCT ejde-64 283 42 , , PUNCT ejde-64 283 43 h′u(tn h′u(tn PROPN ejde-64 283 44 , , PUNCT ejde-64 283 45 un un PROPN ejde-64 283 46 ) ) PUNCT ejde-64 283 47 = = SYM ejde-64 283 48 0 0 NUM ejde-64 283 49 for for ADP ejde-64 283 50 all all DET ejde-64 283 51 n n PRON ejde-64 283 52 ∈ ∈ PROPN ejde-64 283 53 n. n. NOUN ejde-64 283 54 ( ( PUNCT ejde-64 283 55 3.41 3.41 NUM ejde-64 283 56 ) ) PUNCT ejde-64 283 57 12 12 NUM ejde-64 283 58 z. z. PROPN ejde-64 283 59 liu liu PROPN ejde-64 283 60 , , PUNCT ejde-64 283 61 n. n. PROPN ejde-64 283 62 s. s. PROPN ejde-64 283 63 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 283 64 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 283 65 from from ADP ejde-64 283 66 the the DET ejde-64 283 67 equation equation NOUN ejde-64 283 68 in in ADP ejde-64 283 69 ( ( PUNCT ejde-64 283 70 3.41 3.41 NUM ejde-64 283 71 ) ) PUNCT ejde-64 283 72 we we PRON ejde-64 283 73 have have VERB ejde-64 283 74 〈 〈 PROPN ejde-64 283 75 v v NOUN ejde-64 283 76 ( ( PUNCT ejde-64 283 77 un un PROPN ejde-64 283 78 ) ) PUNCT ejde-64 283 79 , , PUNCT ejde-64 284 1 h h NOUN ejde-64 284 2 〉 〉 NUM ejde-64 284 3 = = SYM ejde-64 285 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 285 2 ω ω PROPN ejde-64 286 1 [ [ X ejde-64 286 2 ( ( PUNCT ejde-64 286 3 1− 1− NUM ejde-64 286 4 tn)f(z tn)f(z NUM ejde-64 286 5 , , PUNCT ejde-64 286 6 un un ADJ ejde-64 286 7 ) ) PUNCT ejde-64 286 8 + + X ejde-64 286 9 tne(z tne(z NOUN ejde-64 286 10 , , PUNCT ejde-64 286 11 un)]h un)]h PROPN ejde-64 286 12 dz dz X ejde-64 286 13 ( ( PUNCT ejde-64 286 14 3.42 3.42 NUM ejde-64 286 15 ) ) PUNCT ejde-64 286 16 for for ADP ejde-64 286 17 all all DET ejde-64 286 18 h h NOUN ejde-64 286 19 ∈w ∈w PROPN ejde-64 286 20 1,p 1,p PROPN ejde-64 286 21 0 0 SYM ejde-64 286 22 ( ( PUNCT ejde-64 286 23 ω ω NOUN ejde-64 286 24 ) ) PUNCT ejde-64 286 25 and and CCONJ ejde-64 286 26 all all DET ejde-64 286 27 n n PRON ejde-64 286 28 ∈ ∈ PROPN ejde-64 286 29 n n CCONJ ejde-64 286 30 , , PUNCT ejde-64 286 31 from from ADP ejde-64 286 32 ( ( PUNCT ejde-64 286 33 3.41 3.41 NUM ejde-64 286 34 ) ) PUNCT ejde-64 286 35 , , PUNCT ejde-64 286 36 ( ( PUNCT ejde-64 286 37 3.42 3.42 NUM ejde-64 286 38 ) ) PUNCT ejde-64 286 39 , , PUNCT ejde-64 286 40 and and CCONJ ejde-64 286 41 [ [ X ejde-64 286 42 10 10 NUM ejde-64 286 43 , , PUNCT ejde-64 286 44 theorem theorem VERB ejde-64 286 45 7.1 7.1 NUM ejde-64 286 46 ] ] PUNCT ejde-64 286 47 , , PUNCT ejde-64 286 48 we we PRON ejde-64 286 49 know know VERB ejde-64 286 50 that that SCONJ ejde-64 286 51 we we PRON ejde-64 286 52 can can AUX ejde-64 286 53 find find VERB ejde-64 286 54 c11 c11 NOUN ejde-64 286 55 > > X ejde-64 286 56 0 0 NUM ejde-64 286 57 such such ADJ ejde-64 286 58 that that SCONJ ejde-64 286 59 un un PROPN ejde-64 286 60 ∈ ∈ PROPN ejde-64 286 61 l∞(ω l∞(ω NOUN ejde-64 286 62 ) ) PUNCT ejde-64 286 63 , , PUNCT ejde-64 286 64 ‖un‖∞ ‖un‖∞ PROPN ejde-64 286 65 ≤ ≤ X ejde-64 286 66 c11 c11 NOUN ejde-64 286 67 for for ADP ejde-64 286 68 all all PRON ejde-64 286 69 n n DET ejde-64 286 70 ∈ ∈ PROPN ejde-64 286 71 n. n. NOUN ejde-64 286 72 then then ADV ejde-64 286 73 the the DET ejde-64 286 74 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 286 75 regularity regularity NOUN ejde-64 286 76 by by ADP ejde-64 286 77 lieberman lieberman PROPN ejde-64 287 1 [ [ X ejde-64 287 2 11 11 NUM ejde-64 287 3 ] ] PUNCT ejde-64 287 4 , , PUNCT ejde-64 287 5 implies imply VERB ejde-64 287 6 that that SCONJ ejde-64 287 7 there there PRON ejde-64 287 8 exist exist VERB ejde-64 287 9 α α PRON ejde-64 287 10 ∈ ∈ PROPN ejde-64 287 11 ( ( PUNCT ejde-64 287 12 0 0 NUM ejde-64 287 13 , , PUNCT ejde-64 287 14 1 1 NUM ejde-64 287 15 ) ) PUNCT ejde-64 287 16 and and CCONJ ejde-64 287 17 c12 c12 PROPN ejde-64 287 18 > > X ejde-64 287 19 0 0 NUM ejde-64 287 20 such such ADJ ejde-64 287 21 that that SCONJ ejde-64 287 22 un un PROPN ejde-64 287 23 ∈ ∈ PROPN ejde-64 287 24 c1,α c1,α PROPN ejde-64 287 25 0 0 PUNCT ejde-64 287 26 ( ( PUNCT ejde-64 287 27 ω ω NOUN ejde-64 287 28 ) ) PUNCT ejde-64 287 29 , , PUNCT ejde-64 287 30 ‖un‖c1,α ‖un‖c1,α X ejde-64 287 31 0 0 PUNCT ejde-64 287 32 ( ( PUNCT ejde-64 287 33 ω ω NOUN ejde-64 287 34 ) ) PUNCT ejde-64 287 35 ≤ ≤ NUM ejde-64 287 36 c12 c12 NOUN ejde-64 287 37 , , PUNCT ejde-64 287 38 for for ADP ejde-64 287 39 all all DET ejde-64 287 40 n n PRON ejde-64 287 41 ∈ ∈ PROPN ejde-64 287 42 n. n. NOUN ejde-64 287 43 ( ( PUNCT ejde-64 287 44 3.43 3.43 NUM ejde-64 287 45 ) ) PUNCT ejde-64 287 46 since since SCONJ ejde-64 287 47 c1,α c1,α PROPN ejde-64 287 48 0 0 PUNCT ejde-64 287 49 ( ( PUNCT ejde-64 287 50 ω ω NOUN ejde-64 287 51 ) ) PUNCT ejde-64 287 52 ↪ ↪ PROPN ejde-64 287 53 → → SYM ejde-64 287 54 c1 c1 NOUN ejde-64 287 55 0 0 NUM ejde-64 287 56 ( ( PUNCT ejde-64 287 57 ω ω NOUN ejde-64 287 58 ) ) PUNCT ejde-64 287 59 compactly compactly ADV ejde-64 287 60 , , PUNCT ejde-64 287 61 from from ADP ejde-64 287 62 ( ( PUNCT ejde-64 287 63 3.43 3.43 NUM ejde-64 287 64 ) ) PUNCT ejde-64 287 65 and and CCONJ ejde-64 287 66 ( ( PUNCT ejde-64 287 67 3.41 3.41 NUM ejde-64 287 68 ) ) PUNCT ejde-64 287 69 it it PRON ejde-64 287 70 follows follow VERB ejde-64 287 71 that that DET ejde-64 287 72 un un PROPN ejde-64 287 73 → → SYM ejde-64 287 74 u u PROPN ejde-64 287 75 in in ADP ejde-64 287 76 c1 c1 PROPN ejde-64 287 77 0 0 NUM ejde-64 287 78 ( ( PUNCT ejde-64 287 79 ω ω NOUN ejde-64 287 80 ) ) PUNCT ejde-64 287 81 . . PUNCT ejde-64 288 1 this this PRON ejde-64 288 2 implies imply VERB ejde-64 288 3 un un PROPN ejde-64 288 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 288 5 intc1 intc1 PROPN ejde-64 288 6 0 0 PUNCT ejde-64 288 7 ( ( PUNCT ejde-64 288 8 ω)[v̂ ω)[v̂ NOUN ejde-64 288 9 , , PUNCT ejde-64 288 10 û û NUM ejde-64 288 11 ] ] PUNCT ejde-64 288 12 for for SCONJ ejde-64 288 13 all all DET ejde-64 288 14 n n PRON ejde-64 288 15 ≥ ≥ NOUN ejde-64 288 16 n0 n0 NOUN ejde-64 288 17 ( ( PUNCT ejde-64 288 18 recall recall VERB ejde-64 288 19 û û NUM ejde-64 288 20 ∈ ∈ PROPN ejde-64 288 21 intc+ intc+ ADV ejde-64 288 22 and and CCONJ ejde-64 288 23 v̂ v̂ X ejde-64 288 24 ∈ ∈ NOUN ejde-64 288 25 − − NOUN ejde-64 288 26 intc+ intc+ ADV ejde-64 288 27 ) ) PUNCT ejde-64 288 28 . . PUNCT ejde-64 289 1 therefore therefore ADV ejde-64 289 2 , , PUNCT ejde-64 289 3 { { PUNCT ejde-64 289 4 un}n≥n0 un}n≥n0 ADV ejde-64 289 5 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 289 6 kϕ kϕ NOUN ejde-64 289 7 ; ; PUNCT ejde-64 289 8 see see VERB ejde-64 289 9 ( ( PUNCT ejde-64 289 10 3.34 3.34 NUM ejde-64 289 11 ) ) PUNCT ejde-64 289 12 ) ) PUNCT ejde-64 289 13 . . PUNCT ejde-64 290 1 but but CCONJ ejde-64 290 2 we we PRON ejde-64 290 3 have have AUX ejde-64 290 4 assumed assume VERB ejde-64 290 5 that that SCONJ ejde-64 290 6 kϕ kϕ PROPN ejde-64 290 7 is be AUX ejde-64 290 8 finite finite ADJ ejde-64 290 9 ( ( PUNCT ejde-64 290 10 see see VERB ejde-64 290 11 the the DET ejde-64 290 12 proof proof NOUN ejde-64 290 13 of of ADP ejde-64 290 14 proposition proposition NOUN ejde-64 290 15 3.4 3.4 NUM ejde-64 290 16 . . PUNCT ejde-64 291 1 therefore therefore ADV ejde-64 291 2 ( ( PUNCT ejde-64 291 3 3.41 3.41 NUM ejde-64 291 4 ) ) PUNCT ejde-64 291 5 can can AUX ejde-64 291 6 not not PART ejde-64 291 7 be be AUX ejde-64 291 8 true true ADJ ejde-64 291 9 and and CCONJ ejde-64 291 10 then then ADV ejde-64 291 11 the the DET ejde-64 291 12 homotopy homotopy NOUN ejde-64 291 13 invariance invariance NOUN ejde-64 291 14 property property NOUN ejde-64 291 15 of of ADP ejde-64 291 16 critical critical ADJ ejde-64 291 17 groups group NOUN ejde-64 291 18 ( ( PUNCT ejde-64 291 19 see see VERB ejde-64 291 20 [ [ X ejde-64 291 21 6 6 NUM ejde-64 291 22 , , PUNCT ejde-64 291 23 p. p. NOUN ejde-64 291 24 836 836 NUM ejde-64 291 25 ] ] PUNCT ejde-64 291 26 ) ) PUNCT ejde-64 291 27 implies imply VERB ejde-64 291 28 ck(ϕ ck(ϕ NOUN ejde-64 291 29 , , PUNCT ejde-64 291 30 0 0 NUM ejde-64 291 31 ) ) PUNCT ejde-64 291 32 = = SYM ejde-64 291 33 ck(w ck(w NOUN ejde-64 291 34 , , PUNCT ejde-64 291 35 0 0 NUM ejde-64 291 36 ) ) PUNCT ejde-64 291 37 for for ADP ejde-64 291 38 all all DET ejde-64 291 39 k k PROPN ejde-64 291 40 ∈ ∈ PROPN ejde-64 291 41 n0 n0 PROPN ejde-64 291 42 , , PUNCT ejde-64 291 43 ( ( PUNCT ejde-64 291 44 3.44 3.44 NUM ejde-64 291 45 ) ) PUNCT ejde-64 291 46 then then ADV ejde-64 291 47 ( ( PUNCT ejde-64 291 48 3.44 3.44 NUM ejde-64 291 49 ) ) PUNCT ejde-64 291 50 and and CCONJ ejde-64 291 51 proposition proposition NOUN ejde-64 291 52 3.4 3.4 NUM ejde-64 291 53 imply imply NOUN ejde-64 291 54 that that SCONJ ejde-64 291 55 ( ( PUNCT ejde-64 291 56 3.40 3.40 NUM ejde-64 291 57 ) ) PUNCT ejde-64 291 58 is be AUX ejde-64 291 59 true true ADJ ejde-64 291 60 . . PUNCT ejde-64 292 1 evidently evidently ADV ejde-64 292 2 w w PROPN ejde-64 292 3 ( ( PUNCT ejde-64 292 4 · · PUNCT ejde-64 292 5 ) ) PUNCT ejde-64 292 6 is be AUX ejde-64 292 7 coercive coercive ADJ ejde-64 292 8 . . PUNCT ejde-64 293 1 hence hence ADV ejde-64 293 2 ck(w,∞ ck(w,∞ PROPN ejde-64 293 3 ) ) PUNCT ejde-64 294 1 = = PUNCT ejde-64 294 2 δk,0z δk,0z VERB ejde-64 294 3 for for ADP ejde-64 294 4 all all DET ejde-64 294 5 k k PROPN ejde-64 294 6 ∈ ∈ PROPN ejde-64 294 7 n0 n0 PROPN ejde-64 294 8 ; ; PUNCT ejde-64 294 9 ( ( PUNCT ejde-64 294 10 3.45 3.45 NUM ejde-64 294 11 ) ) PUNCT ejde-64 294 12 see see VERB ejde-64 295 1 [ [ X ejde-64 295 2 16 16 NUM ejde-64 295 3 , , PUNCT ejde-64 295 4 proposition proposition NOUN ejde-64 295 5 6.2.24 6.2.24 NUM ejde-64 295 6 ] ] PUNCT ejde-64 295 7 . . PUNCT ejde-64 296 1 from from ADP ejde-64 296 2 ( ( PUNCT ejde-64 296 3 3.40 3.40 NUM ejde-64 296 4 ) ) PUNCT ejde-64 296 5 , , PUNCT ejde-64 296 6 ( ( PUNCT ejde-64 296 7 3.45 3.45 NUM ejde-64 296 8 ) ) PUNCT ejde-64 296 9 , , PUNCT ejde-64 296 10 and and CCONJ ejde-64 296 11 [ [ X ejde-64 296 12 16 16 NUM ejde-64 296 13 , , PUNCT ejde-64 296 14 corollary corollary ADJ ejde-64 296 15 6.7.8 6.7.8 NOUN ejde-64 296 16 ] ] PUNCT ejde-64 296 17 , , PUNCT ejde-64 296 18 we we PRON ejde-64 296 19 know know VERB ejde-64 296 20 that that SCONJ ejde-64 296 21 there there PRON ejde-64 296 22 exists exist VERB ejde-64 296 23 y0 y0 PROPN ejde-64 296 24 ∈ ∈ NOUN ejde-64 296 25 kw kw VERB ejde-64 296 26 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 297 1 [ [ X ejde-64 297 2 v̂ v̂ NOUN ejde-64 297 3 , , PUNCT ejde-64 297 4 û û NUM ejde-64 297 5 ] ] PUNCT ejde-64 297 6 ∩ ∩ ADJ ejde-64 297 7 c1 c1 NOUN ejde-64 297 8 0 0 NUM ejde-64 297 9 ( ( PUNCT ejde-64 297 10 ω ω NOUN ejde-64 297 11 ) ) PUNCT ejde-64 297 12 such such ADJ ejde-64 297 13 that that DET ejde-64 297 14 w(y0 w(y0 NOUN ejde-64 297 15 ) ) PUNCT ejde-64 297 16 < < X ejde-64 297 17 0 0 PUNCT ejde-64 297 18 = = SYM ejde-64 297 19 w(0 w(0 PROPN ejde-64 297 20 ) ) PUNCT ejde-64 297 21 and and CCONJ ejde-64 297 22 cdm−1(w cdm−1(w ADV ejde-64 297 23 , , PUNCT ejde-64 297 24 y0 y0 NOUN ejde-64 297 25 ) ) PUNCT ejde-64 297 26 6= 6= ADP ejde-64 297 27 0 0 NUM ejde-64 297 28 , , PUNCT ejde-64 297 29 or or CCONJ ejde-64 297 30 w(y0 w(y0 NOUN ejde-64 297 31 ) ) PUNCT ejde-64 297 32 > > X ejde-64 297 33 0 0 PUNCT ejde-64 298 1 = = SYM ejde-64 298 2 w(0 w(0 PROPN ejde-64 298 3 ) ) PUNCT ejde-64 298 4 and and CCONJ ejde-64 298 5 cdm+1(w cdm+1(w NOUN ejde-64 298 6 , , PUNCT ejde-64 298 7 y0 y0 PROPN ejde-64 298 8 ) ) PUNCT ejde-64 298 9 6= 6= ADP ejde-64 298 10 0 0 NUM ejde-64 298 11 . . PUNCT ejde-64 299 1 ( ( PUNCT ejde-64 299 2 3.46 3.46 NUM ejde-64 299 3 ) ) PUNCT ejde-64 299 4 evidently evidently ADV ejde-64 299 5 y0 y0 VERB ejde-64 299 6 6= 6= SYM ejde-64 299 7 0 0 NUM ejde-64 299 8 . . PUNCT ejde-64 300 1 since since SCONJ ejde-64 300 2 m m PROPN ejde-64 300 3 ≥ ≥ NUM ejde-64 300 4 2 2 NUM ejde-64 300 5 , , PUNCT ejde-64 300 6 we we PRON ejde-64 300 7 have have AUX ejde-64 300 8 that that PRON ejde-64 300 9 dm dm PROPN ejde-64 300 10 ≥ ≥ NUM ejde-64 300 11 2 2 NUM ejde-64 300 12 . . PUNCT ejde-64 300 13 therefore therefore ADV ejde-64 300 14 comparing compare VERB ejde-64 300 15 ( ( PUNCT ejde-64 300 16 3.39 3.39 NUM ejde-64 300 17 ) ) PUNCT ejde-64 300 18 and and CCONJ ejde-64 300 19 ( ( PUNCT ejde-64 300 20 3.46 3.46 NUM ejde-64 300 21 ) ) PUNCT ejde-64 300 22 , , PUNCT ejde-64 300 23 we we PRON ejde-64 300 24 conclude conclude VERB ejde-64 300 25 that that SCONJ ejde-64 300 26 y0 y0 PRON ejde-64 300 27 /∈ /∈ PUNCT ejde-64 300 28 { { PUNCT ejde-64 300 29 û û NUM ejde-64 300 30 , , PUNCT ejde-64 300 31 v̂ v̂ ADP ejde-64 300 32 } } PUNCT ejde-64 300 33 . . PUNCT ejde-64 301 1 so so ADV ejde-64 301 2 , , PUNCT ejde-64 301 3 finally finally ADV ejde-64 301 4 we we PRON ejde-64 301 5 have have VERB ejde-64 301 6 y0 y0 PROPN ejde-64 301 7 ∈ ∈ NOUN ejde-64 302 1 [ [ X ejde-64 302 2 v̂ v̂ NOUN ejde-64 302 3 , , PUNCT ejde-64 302 4 û û NUM ejde-64 302 5 ] ] PUNCT ejde-64 302 6 ∩ ∩ ADJ ejde-64 302 7 c1 c1 NOUN ejde-64 302 8 0 0 NUM ejde-64 302 9 ( ( PUNCT ejde-64 302 10 ω ω NOUN ejde-64 302 11 ) ) PUNCT ejde-64 302 12 and and CCONJ ejde-64 302 13 y0 y0 NOUN ejde-64 302 14 /∈ /∈ PUNCT ejde-64 302 15 { { PUNCT ejde-64 302 16 0 0 NUM ejde-64 302 17 , , PUNCT ejde-64 302 18 û û NUM ejde-64 302 19 , , PUNCT ejde-64 302 20 v̂ v̂ ADP ejde-64 302 21 } } PUNCT ejde-64 302 22 which which PRON ejde-64 302 23 imply imply VERB ejde-64 302 24 that that SCONJ ejde-64 302 25 y0 y0 PROPN ejde-64 302 26 is be AUX ejde-64 302 27 a a DET ejde-64 302 28 nodal nodal ADJ ejde-64 302 29 solution solution NOUN ejde-64 302 30 of of ADP ejde-64 302 31 ( ( PUNCT ejde-64 302 32 1.1 1.1 NUM ejde-64 302 33 ) ) PUNCT ejde-64 302 34 . . PUNCT ejde-64 303 1 � � PROPN ejde-64 303 2 if if SCONJ ejde-64 303 3 we we PRON ejde-64 303 4 impose impose VERB ejde-64 303 5 an an DET ejde-64 303 6 additional additional ADJ ejde-64 303 7 condition condition NOUN ejde-64 303 8 on on ADP ejde-64 303 9 f(z f(z PROPN ejde-64 303 10 , , PUNCT ejde-64 303 11 · · PUNCT ejde-64 303 12 ) ) PUNCT ejde-64 303 13 , , PUNCT ejde-64 303 14 we we PRON ejde-64 303 15 can can AUX ejde-64 303 16 improve improve VERB ejde-64 303 17 the the DET ejde-64 303 18 conclusion conclusion NOUN ejde-64 303 19 of of ADP ejde-64 303 20 the the DET ejde-64 303 21 previous previous ADJ ejde-64 303 22 proposition proposition NOUN ejde-64 303 23 . . PUNCT ejde-64 304 1 the the DET ejde-64 304 2 new new ADJ ejde-64 304 3 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 304 4 on on ADP ejde-64 304 5 the the DET ejde-64 304 6 reaction reaction NOUN ejde-64 304 7 f(z f(z NOUN ejde-64 304 8 , , PUNCT ejde-64 304 9 x x X ejde-64 304 10 ) ) PUNCT ejde-64 304 11 are be AUX ejde-64 304 12 as as SCONJ ejde-64 304 13 follows follow VERB ejde-64 304 14 : : PUNCT ejde-64 304 15 ( ( PUNCT ejde-64 304 16 h2 h2 NOUN ejde-64 304 17 ) ) PUNCT ejde-64 304 18 for for ADP ejde-64 304 19 every every DET ejde-64 304 20 ρ ρ PROPN ejde-64 304 21 > > X ejde-64 304 22 0 0 PROPN ejde-64 304 23 , , PUNCT ejde-64 304 24 there there PRON ejde-64 304 25 exists exist VERB ejde-64 304 26 θ̂ρ θ̂ρ PUNCT ejde-64 304 27 > > X ejde-64 304 28 0 0 NUM ejde-64 304 29 such such ADJ ejde-64 304 30 that that PRON ejde-64 304 31 for for ADP ejde-64 304 32 a.a a.a PROPN ejde-64 304 33 . . PROPN ejde-64 304 34 z z PROPN ejde-64 304 35 ∈ ∈ PROPN ejde-64 304 36 ω ω PROPN ejde-64 304 37 , , PUNCT ejde-64 304 38 the the DET ejde-64 304 39 mapping mapping NOUN ejde-64 304 40 x x SYM ejde-64 304 41 7→ 7→ NUM ejde-64 304 42 f(z f(z PROPN ejde-64 304 43 , , PUNCT ejde-64 304 44 x x NOUN ejde-64 304 45 ) ) PUNCT ejde-64 305 1 + + CCONJ ejde-64 305 2 θ̂ρx θ̂ρx PROPN ejde-64 305 3 p−1 p−1 PROPN ejde-64 305 4 is be AUX ejde-64 305 5 nondecreasing nondecrease VERB ejde-64 305 6 on on ADP ejde-64 305 7 [ [ X ejde-64 305 8 −ρ −ρ NOUN ejde-64 305 9 , , PUNCT ejde-64 305 10 ρ ρ NOUN ejde-64 305 11 ] ] PUNCT ejde-64 305 12 . . PUNCT ejde-64 306 1 proposition proposition NOUN ejde-64 306 2 3.8 3.8 NUM ejde-64 306 3 . . PUNCT ejde-64 307 1 if if SCONJ ejde-64 307 2 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 307 3 ( ( PUNCT ejde-64 307 4 h0)–(h2 h0)–(h2 NOUN ejde-64 307 5 ) ) PUNCT ejde-64 307 6 hold hold NOUN ejde-64 307 7 , , PUNCT ejde-64 307 8 then then ADV ejde-64 307 9 problem problem NOUN ejde-64 307 10 ( ( PUNCT ejde-64 307 11 1.1 1.1 NUM ejde-64 307 12 ) ) PUNCT ejde-64 307 13 has have VERB ejde-64 307 14 a a DET ejde-64 307 15 nodal nodal NOUN ejde-64 307 16 solution solution NOUN ejde-64 307 17 y0 y0 PROPN ejde-64 307 18 ∈ ∈ NOUN ejde-64 307 19 intc1 intc1 NOUN ejde-64 307 20 0 0 PUNCT ejde-64 307 21 ( ( PUNCT ejde-64 307 22 ω)[v̂ ω)[v̂ NOUN ejde-64 307 23 , , PUNCT ejde-64 307 24 û û NUM ejde-64 307 25 ] ] PUNCT ejde-64 307 26 . . PUNCT ejde-64 308 1 proof proof NOUN ejde-64 308 2 . . PUNCT ejde-64 309 1 from from ADP ejde-64 309 2 proposition proposition NOUN ejde-64 309 3 3.7 3.7 NUM ejde-64 309 4 , , PUNCT ejde-64 309 5 we we PRON ejde-64 309 6 already already ADV ejde-64 309 7 have have VERB ejde-64 309 8 a a DET ejde-64 309 9 nodal nodal NOUN ejde-64 309 10 solution solution NOUN ejde-64 309 11 y0 y0 PRON ejde-64 309 12 such such ADJ ejde-64 309 13 that that SCONJ ejde-64 309 14 y0 y0 PROPN ejde-64 309 15 ∈ ∈ NOUN ejde-64 310 1 [ [ X ejde-64 310 2 v̂ v̂ NOUN ejde-64 310 3 , , PUNCT ejde-64 310 4 û û NUM ejde-64 310 5 ] ] PUNCT ejde-64 310 6 ∩ ∩ ADJ ejde-64 310 7 c1 c1 NOUN ejde-64 310 8 0 0 NUM ejde-64 310 9 ( ( PUNCT ejde-64 310 10 ω ω NOUN ejde-64 310 11 ) ) PUNCT ejde-64 310 12 . . PUNCT ejde-64 311 1 ( ( PUNCT ejde-64 311 2 3.47 3.47 X ejde-64 311 3 ) ) PUNCT ejde-64 311 4 let let VERB ejde-64 311 5 γ(z γ(z PROPN ejde-64 311 6 , , PUNCT ejde-64 311 7 y y PROPN ejde-64 311 8 ) ) PUNCT ejde-64 311 9 = = SYM ejde-64 312 1 a1(z)|y|p−2y a1(z)|y|p−2y PROPN ejde-64 312 2 + + CCONJ ejde-64 312 3 a2(z)y a2(z)y PROPN ejde-64 312 4 for for ADP ejde-64 312 5 all all DET ejde-64 312 6 z z NOUN ejde-64 312 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 312 8 ω ω PROPN ejde-64 312 9 , , PUNCT ejde-64 312 10 y y PROPN ejde-64 312 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 312 12 rn rn PROPN ejde-64 312 13 . . PUNCT ejde-64 313 1 for for ADP ejde-64 313 2 every every DET ejde-64 313 3 u u PROPN ejde-64 313 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 313 5 w w PROPN ejde-64 313 6 1,p 1,p PROPN ejde-64 313 7 0 0 NUM ejde-64 313 8 ( ( PUNCT ejde-64 313 9 ω ω INTJ ejde-64 313 10 ) ) PUNCT ejde-64 313 11 we we PRON ejde-64 313 12 have have VERB ejde-64 313 13 −div −div NOUN ejde-64 313 14 γ(z γ(z PROPN ejde-64 313 15 , , PUNCT ejde-64 313 16 du du NOUN ejde-64 313 17 ) ) PUNCT ejde-64 313 18 = = SYM ejde-64 313 19 −∆a1 −∆a1 NOUN ejde-64 313 20 p p PROPN ejde-64 313 21 u−∆a2u u−∆a2u PROPN ejde-64 313 22 . . PUNCT ejde-64 314 1 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 314 2 a a DET ejde-64 314 3 weighted weight VERB ejde-64 314 4 ( ( PUNCT ejde-64 314 5 p p X ejde-64 314 6 , , PUNCT ejde-64 314 7 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 314 8 with with ADP ejde-64 314 9 double double ADJ ejde-64 314 10 resonance resonance NOUN ejde-64 314 11 13 13 NUM ejde-64 314 12 note note NOUN ejde-64 314 13 that that SCONJ ejde-64 314 14 ∇yγ(z ∇yγ(z PROPN ejde-64 314 15 , , PUNCT ejde-64 314 16 y y NOUN ejde-64 314 17 ) ) PUNCT ejde-64 314 18 = = SYM ejde-64 314 19 a1(z)|y|p−2[id+ a1(z)|y|p−2[id+ NOUN ejde-64 314 20 ( ( PUNCT ejde-64 314 21 p− p− NOUN ejde-64 314 22 2 2 NUM ejde-64 314 23 ) ) PUNCT ejde-64 314 24 y y PROPN ejde-64 314 25 ⊗ ⊗ PROPN ejde-64 314 26 y y PROPN ejde-64 314 27 |y|2 |y|2 PROPN ejde-64 314 28 ] ] PUNCT ejde-64 315 1 + + CCONJ ejde-64 315 2 a2(z)id a2(z)id ADJ ejde-64 315 3 ∀z ∀z PROPN ejde-64 315 4 ∈ ∈ PROPN ejde-64 315 5 ω ω PROPN ejde-64 315 6 , , PUNCT ejde-64 315 7 ; ; PUNCT ejde-64 315 8 ∀y ∀y NUM ejde-64 315 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 315 10 rn rn PROPN ejde-64 315 11 ⇒ ⇒ PROPN ejde-64 315 12 ( ( PUNCT ejde-64 315 13 ∇yγ(z ∇yγ(z PROPN ejde-64 315 14 , , PUNCT ejde-64 315 15 y)β y)β NOUN ejde-64 315 16 , , PUNCT ejde-64 315 17 β)rn β)rn PROPN ejde-64 315 18 ≥ ≥ PRON ejde-64 315 19 ĉ|β|2 ĉ|β|2 VERB ejde-64 315 20 for for ADP ejde-64 315 21 all all DET ejde-64 315 22 y y PROPN ejde-64 315 23 , , PUNCT ejde-64 315 24 β β PROPN ejde-64 315 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 315 26 rn rn PROPN ejde-64 315 27 . . PUNCT ejde-64 316 1 then then ADV ejde-64 316 2 the the DET ejde-64 316 3 tangency tangency NOUN ejde-64 316 4 principle principle NOUN ejde-64 316 5 of of ADP ejde-64 316 6 pucci pucci PROPN ejde-64 316 7 - - PUNCT ejde-64 316 8 serrin serrin NOUN ejde-64 316 9 [ [ X ejde-64 316 10 19 19 NUM ejde-64 316 11 , , PUNCT ejde-64 316 12 p. p. NOUN ejde-64 316 13 35 35 NUM ejde-64 316 14 ] ] PUNCT ejde-64 316 15 implies imply VERB ejde-64 316 16 that that SCONJ ejde-64 316 17 y0(z y0(z PROPN ejde-64 316 18 ) ) PUNCT ejde-64 316 19 < < X ejde-64 316 20 û(z û(z NOUN ejde-64 316 21 ) ) PUNCT ejde-64 316 22 for for ADP ejde-64 316 23 all all DET ejde-64 316 24 z z NOUN ejde-64 316 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 316 26 ω ω PROPN ejde-64 316 27 . . PUNCT ejde-64 317 1 ( ( PUNCT ejde-64 317 2 3.48 3.48 NUM ejde-64 317 3 ) ) PUNCT ejde-64 317 4 let let VERB ejde-64 317 5 ρ ρ PROPN ejde-64 317 6 = = SYM ejde-64 317 7 max max PROPN ejde-64 317 8 { { PUNCT ejde-64 317 9 ‖û‖∞ ‖û‖∞ NOUN ejde-64 317 10 , , PUNCT ejde-64 317 11 ‖v̂‖∞ ‖v̂‖∞ NOUN ejde-64 317 12 } } PUNCT ejde-64 317 13 and and CCONJ ejde-64 317 14 let let VERB ejde-64 317 15 θ̂ρ θ̂ρ X ejde-64 317 16 > > X ejde-64 317 17 0 0 PUNCT ejde-64 317 18 be be AUX ejde-64 317 19 as as SCONJ ejde-64 317 20 postulated postulate VERB ejde-64 317 21 by by ADP ejde-64 317 22 hypothesis hypothesis NOUN ejde-64 317 23 ( ( PUNCT ejde-64 317 24 h1 h1 PROPN ejde-64 317 25 ) ) PUNCT ejde-64 317 26 and and CCONJ ejde-64 317 27 ( ( PUNCT ejde-64 317 28 h2 h2 NOUN ejde-64 317 29 ) ) PUNCT ejde-64 317 30 . . PUNCT ejde-64 318 1 choose choose VERB ejde-64 318 2 θ∗ρ θ∗ρ NUM ejde-64 318 3 > > X ejde-64 318 4 θ̂ρ θ̂ρ PROPN ejde-64 318 5 , , PUNCT ejde-64 318 6 we we PRON ejde-64 318 7 have have VERB ejde-64 318 8 −∆a1 −∆a1 PROPN ejde-64 318 9 p p PROPN ejde-64 318 10 û−∆a2 û−∆a2 PROPN ejde-64 318 11 û+ û+ PROPN ejde-64 318 12 θ∗ρû θ∗ρû NOUN ejde-64 318 13 p−1 p−1 PROPN ejde-64 318 14 = = PUNCT ejde-64 318 15 f(z f(z PROPN ejde-64 318 16 , , PUNCT ejde-64 318 17 û û NUM ejde-64 318 18 ) ) PUNCT ejde-64 319 1 + + CCONJ ejde-64 319 2 θ∗ρû θ∗ρû PROPN ejde-64 319 3 p−1 p−1 PROPN ejde-64 319 4 = = PUNCT ejde-64 319 5 f(z f(z PROPN ejde-64 319 6 , , PUNCT ejde-64 319 7 û û NUM ejde-64 319 8 ) ) PUNCT ejde-64 319 9 + + PUNCT ejde-64 319 10 θ̂ρû θ̂ρû PROPN ejde-64 319 11 p−1 p−1 NOUN ejde-64 319 12 + + CCONJ ejde-64 319 13 ( ( PUNCT ejde-64 319 14 θ∗ρ θ∗ρ NUM ejde-64 319 15 − − PROPN ejde-64 319 16 θ̂ρ)ûp−1 θ̂ρ)ûp−1 PROPN ejde-64 319 17 ≥ ≥ NOUN ejde-64 319 18 f(z f(z PROPN ejde-64 319 19 , , PUNCT ejde-64 319 20 y0 y0 NOUN ejde-64 319 21 ) ) PUNCT ejde-64 319 22 + + CCONJ ejde-64 319 23 θ̂ρy θ̂ρy ADJ ejde-64 319 24 p−1 p−1 PROPN ejde-64 319 25 0 0 NUM ejde-64 320 1 + + CCONJ ejde-64 320 2 ( ( PUNCT ejde-64 320 3 θ∗ρ θ∗ρ NUM ejde-64 320 4 − − PROPN ejde-64 320 5 θρ)y θρ)y SYM ejde-64 320 6 p−1 p−1 PROPN ejde-64 320 7 0 0 NUM ejde-64 320 8 = = SYM ejde-64 320 9 f(z f(z PROPN ejde-64 320 10 , , PUNCT ejde-64 320 11 y0 y0 NOUN ejde-64 320 12 ) ) PUNCT ejde-64 321 1 + + CCONJ ejde-64 321 2 θ∗ρy θ∗ρy PROPN ejde-64 321 3 p−1 p−1 PROPN ejde-64 321 4 0 0 NUM ejde-64 321 5 = = SYM ejde-64 321 6 −∆a1 −∆a1 NOUN ejde-64 321 7 p p PROPN ejde-64 321 8 y0 y0 PROPN ejde-64 321 9 −∆a2y0 −∆a2y0 NOUN ejde-64 321 10 + + CCONJ ejde-64 321 11 θ∗ρy θ∗ρy PROPN ejde-64 321 12 p−1 p−1 PROPN ejde-64 321 13 0 0 NUM ejde-64 321 14 , , PUNCT ejde-64 321 15 ( ( PUNCT ejde-64 321 16 3.49 3.49 NUM ejde-64 321 17 ) ) PUNCT ejde-64 321 18 where where SCONJ ejde-64 321 19 we we PRON ejde-64 321 20 used use VERB ejde-64 321 21 ( ( PUNCT ejde-64 321 22 3.47 3.47 NUM ejde-64 321 23 ) ) PUNCT ejde-64 321 24 , , PUNCT ejde-64 321 25 ( ( PUNCT ejde-64 321 26 h1 h1 PROPN ejde-64 321 27 ) ) PUNCT ejde-64 321 28 , , PUNCT ejde-64 321 29 and and CCONJ ejde-64 321 30 ( ( PUNCT ejde-64 321 31 h2 h2 NOUN ejde-64 321 32 ) ) PUNCT ejde-64 321 33 . . PUNCT ejde-64 322 1 since since SCONJ ejde-64 322 2 û û NUM ejde-64 322 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 322 4 intc+ intc+ ADV ejde-64 322 5 , , PUNCT ejde-64 322 6 y0 y0 PROPN ejde-64 322 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 322 8 c1 c1 NOUN ejde-64 322 9 0 0 NUM ejde-64 322 10 ( ( PUNCT ejde-64 322 11 ω ω NOUN ejde-64 322 12 ) ) PUNCT ejde-64 322 13 , , PUNCT ejde-64 322 14 from from ADP ejde-64 322 15 ( ( PUNCT ejde-64 322 16 3.48 3.48 NUM ejde-64 322 17 ) ) PUNCT ejde-64 322 18 , , PUNCT ejde-64 322 19 we we PRON ejde-64 322 20 see see VERB ejde-64 322 21 that that PRON ejde-64 322 22 for for ADP ejde-64 322 23 every every DET ejde-64 322 24 k k PROPN ejde-64 322 25 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 322 26 ω ω X ejde-64 322 27 compact compact ADJ ejde-64 322 28 , , PUNCT ejde-64 322 29 we we PRON ejde-64 322 30 have have VERB ejde-64 322 31 0 0 NUM ejde-64 322 32 < < X ejde-64 322 33 ck ck PRON ejde-64 322 34 ≤ ≤ NOUN ejde-64 322 35 û(z)− û(z)− NUM ejde-64 322 36 y0(z y0(z NOUN ejde-64 322 37 ) ) PUNCT ejde-64 322 38 for for ADP ejde-64 322 39 all all DET ejde-64 322 40 z z PROPN ejde-64 322 41 ∈ ∈ PROPN ejde-64 322 42 k. k. PROPN ejde-64 322 43 ( ( PUNCT ejde-64 322 44 3.50 3.50 NUM ejde-64 322 45 ) ) PUNCT ejde-64 322 46 then then ADV ejde-64 322 47 ( ( PUNCT ejde-64 322 48 3.49 3.49 NUM ejde-64 322 49 ) ) PUNCT ejde-64 322 50 , , PUNCT ejde-64 322 51 ( ( PUNCT ejde-64 322 52 3.50 3.50 NUM ejde-64 322 53 ) ) PUNCT ejde-64 322 54 and and CCONJ ejde-64 322 55 [ [ X ejde-64 322 56 7 7 NUM ejde-64 322 57 , , PUNCT ejde-64 322 58 proposition proposition NOUN ejde-64 322 59 3.2 3.2 NUM ejde-64 322 60 ] ] PUNCT ejde-64 322 61 imply imply VERB ejde-64 322 62 that that SCONJ ejde-64 322 63 û û NUM ejde-64 322 64 − − NUM ejde-64 322 65 y0 y0 PROPN ejde-64 322 66 ∈ ∈ NOUN ejde-64 322 67 intc+ intc+ ADV ejde-64 322 68 . . PUNCT ejde-64 323 1 similarly similarly ADV ejde-64 323 2 we we PRON ejde-64 323 3 show show VERB ejde-64 323 4 that that SCONJ ejde-64 323 5 y0 y0 NOUN ejde-64 323 6 − − NOUN ejde-64 323 7 v̂ v̂ ADP ejde-64 323 8 ∈ ∈ NOUN ejde-64 323 9 intc+ intc+ ADV ejde-64 323 10 . . PUNCT ejde-64 324 1 therefore therefore ADV ejde-64 324 2 finally finally ADV ejde-64 324 3 we we PRON ejde-64 324 4 have have VERB ejde-64 324 5 y0 y0 PROPN ejde-64 324 6 ∈ ∈ NOUN ejde-64 324 7 intc1 intc1 NOUN ejde-64 324 8 0 0 PUNCT ejde-64 324 9 ( ( PUNCT ejde-64 324 10 ω)[v̂ ω)[v̂ NOUN ejde-64 324 11 , , PUNCT ejde-64 324 12 û û NUM ejde-64 324 13 ] ] PUNCT ejde-64 324 14 . . PUNCT ejde-64 325 1 � � PROPN ejde-64 325 2 concluding conclude VERB ejde-64 325 3 we we PRON ejde-64 325 4 can can AUX ejde-64 325 5 state state VERB ejde-64 325 6 the the DET ejde-64 325 7 following follow VERB ejde-64 325 8 multiplicity multiplicity NOUN ejde-64 325 9 theorem theorem VERB ejde-64 325 10 for for ADP ejde-64 325 11 problem problem NOUN ejde-64 325 12 ( ( PUNCT ejde-64 325 13 1.1 1.1 NUM ejde-64 325 14 ) ) PUNCT ejde-64 325 15 . . PUNCT ejde-64 326 1 we we PRON ejde-64 326 2 emphasize emphasize VERB ejde-64 326 3 that that SCONJ ejde-64 326 4 we we PRON ejde-64 326 5 provide provide VERB ejde-64 326 6 sign sign NOUN ejde-64 326 7 information information NOUN ejde-64 326 8 for for ADP ejde-64 326 9 all all DET ejde-64 326 10 the the DET ejde-64 326 11 solutions solution NOUN ejde-64 326 12 and and CCONJ ejde-64 326 13 the the DET ejde-64 326 14 three three NUM ejde-64 326 15 solutions solution NOUN ejde-64 326 16 are be AUX ejde-64 326 17 ordered order VERB ejde-64 326 18 . . PUNCT ejde-64 327 1 theorem theorem ADJ ejde-64 327 2 3.9 3.9 NUM ejde-64 327 3 . . PUNCT ejde-64 328 1 ( ( PUNCT ejde-64 328 2 a a X ejde-64 328 3 ) ) PUNCT ejde-64 328 4 if if SCONJ ejde-64 328 5 ( ( PUNCT ejde-64 328 6 h0 h0 NOUN ejde-64 328 7 ) ) PUNCT ejde-64 328 8 , , PUNCT ejde-64 328 9 ( ( PUNCT ejde-64 328 10 h1 h1 PROPN ejde-64 328 11 ) ) PUNCT ejde-64 328 12 hold hold NOUN ejde-64 328 13 , , PUNCT ejde-64 328 14 then then ADV ejde-64 328 15 problem problem NOUN ejde-64 328 16 ( ( PUNCT ejde-64 328 17 1.1 1.1 NUM ejde-64 328 18 ) ) PUNCT ejde-64 328 19 has have VERB ejde-64 328 20 at at ADV ejde-64 328 21 least least ADV ejde-64 328 22 three three NUM ejde-64 328 23 solutions solution NOUN ejde-64 328 24 u0 u0 NOUN ejde-64 328 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 328 26 intc+ intc+ ADV ejde-64 328 27 , , PUNCT ejde-64 328 28 v0 v0 PROPN ejde-64 328 29 ∈ ∈ PROPN ejde-64 328 30 − − PROPN ejde-64 328 31 intc+ intc+ ADV ejde-64 328 32 , , PUNCT ejde-64 328 33 y0 y0 PROPN ejde-64 328 34 ∈ ∈ NOUN ejde-64 328 35 [ [ X ejde-64 328 36 v0 v0 NOUN ejde-64 328 37 , , PUNCT ejde-64 328 38 u0 u0 PROPN ejde-64 328 39 ] ] PUNCT ejde-64 328 40 ∩ ∩ ADJ ejde-64 328 41 c1 c1 NOUN ejde-64 328 42 0 0 NUM ejde-64 328 43 ( ( PUNCT ejde-64 328 44 ω ω NOUN ejde-64 328 45 ) ) PUNCT ejde-64 328 46 nodal nodal NOUN ejde-64 328 47 . . PUNCT ejde-64 329 1 ( ( PUNCT ejde-64 329 2 b b X ejde-64 329 3 ) ) PUNCT ejde-64 329 4 if if SCONJ ejde-64 329 5 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 329 6 ( ( PUNCT ejde-64 329 7 h0)–(h2 h0)–(h2 NOUN ejde-64 329 8 ) ) PUNCT ejde-64 329 9 hold hold NOUN ejde-64 329 10 , , PUNCT ejde-64 329 11 then then ADV ejde-64 329 12 problem problem NOUN ejde-64 329 13 ( ( PUNCT ejde-64 329 14 1.1 1.1 NUM ejde-64 329 15 ) ) PUNCT ejde-64 329 16 has have VERB ejde-64 329 17 at at ADV ejde-64 329 18 least least ADV ejde-64 329 19 three three NUM ejde-64 329 20 solutions solution NOUN ejde-64 329 21 u0 u0 NOUN ejde-64 329 22 ∈ ∈ PROPN ejde-64 329 23 intc+ intc+ ADV ejde-64 329 24 , , PUNCT ejde-64 329 25 v0 v0 PROPN ejde-64 329 26 ∈ ∈ PROPN ejde-64 329 27 − − PROPN ejde-64 329 28 intc+ intc+ ADV ejde-64 329 29 , , PUNCT ejde-64 329 30 y0 y0 PROPN ejde-64 329 31 ∈ ∈ NOUN ejde-64 329 32 intc1 intc1 NOUN ejde-64 329 33 0 0 PUNCT ejde-64 329 34 ( ( PUNCT ejde-64 329 35 ω)[v0 ω)[v0 NUM ejde-64 329 36 , , PUNCT ejde-64 329 37 u0 u0 ADJ ejde-64 329 38 ] ] PUNCT ejde-64 329 39 nodal nodal NOUN ejde-64 329 40 . . PUNCT ejde-64 330 1 4 4 X ejde-64 330 2 . . X ejde-64 330 3 appendix appendix NOUN ejde-64 330 4 in in ADP ejde-64 330 5 this this DET ejde-64 330 6 section section NOUN ejde-64 330 7 we we PRON ejde-64 330 8 present present VERB ejde-64 330 9 some some DET ejde-64 330 10 basic basic ADJ ejde-64 330 11 facts fact NOUN ejde-64 330 12 concerning concern VERB ejde-64 330 13 the the DET ejde-64 330 14 spectral spectral ADJ ejde-64 330 15 properties property NOUN ejde-64 330 16 of of ADP ejde-64 330 17 ( ( PUNCT ejde-64 330 18 −∆a −∆a NOUN ejde-64 330 19 r r NOUN ejde-64 330 20 , , PUNCT ejde-64 330 21 w w PROPN ejde-64 330 22 1,r 1,r NUM ejde-64 330 23 0 0 NUM ejde-64 330 24 ( ( PUNCT ejde-64 330 25 ω ω NOUN ejde-64 330 26 ) ) PUNCT ejde-64 330 27 ) ) PUNCT ejde-64 330 28 and and CCONJ ejde-64 330 29 a a DET ejde-64 330 30 ∈ ∈ PROPN ejde-64 330 31 c0,1(ω c0,1(ω NOUN ejde-64 330 32 ) ) PUNCT ejde-64 330 33 , , PUNCT ejde-64 330 34 a(z a(z PROPN ejde-64 330 35 ) ) PUNCT ejde-64 330 36 ≥ ≥ X ejde-64 330 37 ĉ ĉ X ejde-64 330 38 > > X ejde-64 330 39 0 0 PUNCT ejde-64 330 40 for for ADP ejde-64 330 41 all all DET ejde-64 330 42 z z NOUN ejde-64 330 43 ∈ ∈ PROPN ejde-64 330 44 ω ω PROPN ejde-64 330 45 , , PUNCT ejde-64 330 46 1 1 NUM ejde-64 330 47 < < X ejde-64 330 48 r r NOUN ejde-64 330 49 < < X ejde-64 330 50 ∞. ∞. PROPN ejde-64 330 51 we we PRON ejde-64 330 52 consider consider VERB ejde-64 330 53 the the DET ejde-64 330 54 nonlinear nonlinear PROPN ejde-64 330 55 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 330 56 problem problem NOUN ejde-64 330 57 −∆a −∆a X ejde-64 330 58 ru(z ru(z NOUN ejde-64 330 59 ) ) PUNCT ejde-64 331 1 = = SYM ejde-64 331 2 λ̂|u(z)|r−2u(z λ̂|u(z)|r−2u(z PROPN ejde-64 331 3 ) ) PUNCT ejde-64 331 4 in in ADP ejde-64 331 5 ω ω NUM ejde-64 331 6 , , PUNCT ejde-64 331 7 u|∂ω u|∂ω PROPN ejde-64 331 8 = = SYM ejde-64 331 9 0 0 X ejde-64 331 10 . . PUNCT ejde-64 332 1 ( ( PUNCT ejde-64 332 2 4.1 4.1 NUM ejde-64 332 3 ) ) PUNCT ejde-64 332 4 we we PRON ejde-64 332 5 say say VERB ejde-64 332 6 that that SCONJ ejde-64 332 7 λ̂ λ̂ X ejde-64 332 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 332 9 r r NOUN ejde-64 332 10 is be AUX ejde-64 332 11 an an DET ejde-64 332 12 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 332 13 of of ADP ejde-64 332 14 ( ( PUNCT ejde-64 332 15 −∆a −∆a NOUN ejde-64 332 16 r r NOUN ejde-64 332 17 , , PUNCT ejde-64 332 18 w w PROPN ejde-64 332 19 1,r 1,r NUM ejde-64 332 20 0 0 NUM ejde-64 332 21 ( ( PUNCT ejde-64 332 22 ω ω NOUN ejde-64 332 23 ) ) PUNCT ejde-64 332 24 ) ) PUNCT ejde-64 333 1 if if SCONJ ejde-64 333 2 problem problem NOUN ejde-64 333 3 ( ( PUNCT ejde-64 333 4 4.1 4.1 NUM ejde-64 333 5 ) ) PUNCT ejde-64 333 6 has have VERB ejde-64 333 7 a a DET ejde-64 333 8 nontrivial nontrivial ADJ ejde-64 333 9 weak weak ADJ ejde-64 333 10 solution solution NOUN ejde-64 333 11 û û NUM ejde-64 333 12 ∈ ∈ PROPN ejde-64 333 13 w w PROPN ejde-64 333 14 1,p 1,p PROPN ejde-64 333 15 0 0 NUM ejde-64 333 16 ( ( PUNCT ejde-64 333 17 ω ω NOUN ejde-64 333 18 ) ) PUNCT ejde-64 333 19 known know VERB ejde-64 333 20 as as ADP ejde-64 333 21 an an DET ejde-64 333 22 eigenfunction eigenfunction NOUN ejde-64 333 23 corresponding correspond VERB ejde-64 333 24 to to ADP ejde-64 333 25 the the DET ejde-64 333 26 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 333 27 λ̂. λ̂. ADJ ejde-64 333 28 evidently evidently ADV ejde-64 333 29 every every DET ejde-64 333 30 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 333 31 λ̂ λ̂ X ejde-64 333 32 ≥ ≥ PROPN ejde-64 333 33 0 0 NUM ejde-64 333 34 . . PUNCT ejde-64 334 1 we we PRON ejde-64 334 2 show show VERB ejde-64 334 3 that that SCONJ ejde-64 334 4 there there PRON ejde-64 334 5 is be VERB ejde-64 334 6 a a DET ejde-64 334 7 smallest small ADJ ejde-64 334 8 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 334 9 λ̂a1(r λ̂a1(r NOUN ejde-64 334 10 ) ) PUNCT ejde-64 334 11 > > X ejde-64 335 1 0 0 X ejde-64 335 2 . . PUNCT ejde-64 335 3 to to PART ejde-64 335 4 see see VERB ejde-64 335 5 this this PRON ejde-64 335 6 , , PUNCT ejde-64 335 7 we we PRON ejde-64 335 8 minimize minimize VERB ejde-64 335 9 the the DET ejde-64 335 10 rayleigh rayleigh PROPN ejde-64 335 11 quotient quotient NOUN ejde-64 335 12 r(u r(u PROPN ejde-64 335 13 ) ) PUNCT ejde-64 336 1 = = SYM ejde-64 337 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 337 2 ω ω NUM ejde-64 338 1 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 338 2 dz dz PROPN ejde-64 338 3 ‖u‖rr ‖u‖rr NOUN ejde-64 338 4 , , PUNCT ejde-64 338 5 u u PRON ejde-64 338 6 ∈w ∈w VERB ejde-64 338 7 1,r 1,r NUM ejde-64 338 8 0 0 NUM ejde-64 338 9 ( ( PUNCT ejde-64 338 10 ω ω NOUN ejde-64 338 11 ) ) PUNCT ejde-64 338 12 , , PUNCT ejde-64 338 13 u u PROPN ejde-64 338 14 6= 6= PROPN ejde-64 338 15 0 0 NUM ejde-64 338 16 . . PROPN ejde-64 339 1 14 14 NUM ejde-64 339 2 z. z. PROPN ejde-64 339 3 liu liu PROPN ejde-64 339 4 , , PUNCT ejde-64 339 5 n. n. PROPN ejde-64 339 6 s. s. PROPN ejde-64 339 7 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 339 8 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 339 9 we we PRON ejde-64 339 10 have have VERB ejde-64 339 11 0 0 NUM ejde-64 339 12 ≤ ≤ NUM ejde-64 339 13 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 339 14 ) ) PUNCT ejde-64 340 1 = = SYM ejde-64 340 2 inf inf PROPN ejde-64 340 3 [ [ PUNCT ejde-64 340 4 ∫ ∫ PROPN ejde-64 340 5 ω ω PROPN ejde-64 340 6 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 340 7 dz dz PROPN ejde-64 340 8 ‖u‖rr ‖u‖rr NOUN ejde-64 340 9 , , PUNCT ejde-64 340 10 u u PRON ejde-64 340 11 ∈w ∈w VERB ejde-64 340 12 1,r 1,r NUM ejde-64 340 13 0 0 NUM ejde-64 340 14 ( ( PUNCT ejde-64 340 15 ω ω NOUN ejde-64 340 16 ) ) PUNCT ejde-64 340 17 , , PUNCT ejde-64 340 18 u u PROPN ejde-64 340 19 6= 6= ADP ejde-64 340 20 0 0 NUM ejde-64 340 21 ] ] X ejde-64 340 22 = = SYM ejde-64 340 23 inf inf PROPN ejde-64 340 24 [ [ PUNCT ejde-64 340 25 ∫ ∫ PROPN ejde-64 340 26 ω ω PROPN ejde-64 340 27 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 340 28 dz dz PROPN ejde-64 340 29 , , PUNCT ejde-64 340 30 u u PRON ejde-64 340 31 ∈w ∈w VERB ejde-64 340 32 1,r 1,r NUM ejde-64 340 33 0 0 NUM ejde-64 340 34 ( ( PUNCT ejde-64 340 35 ω ω NOUN ejde-64 340 36 ) ) PUNCT ejde-64 340 37 , , PUNCT ejde-64 340 38 ‖u‖r ‖u‖r NOUN ejde-64 340 39 = = SYM ejde-64 340 40 1 1 NUM ejde-64 340 41 ] ] PUNCT ejde-64 340 42 , , PUNCT ejde-64 340 43 ( ( PUNCT ejde-64 340 44 4.2 4.2 NUM ejde-64 340 45 ) ) PUNCT ejde-64 340 46 by by ADP ejde-64 340 47 homogeneity homogeneity NOUN ejde-64 340 48 . . PUNCT ejde-64 341 1 the the DET ejde-64 341 2 infimum infimum ADJ ejde-64 341 3 in in ADP ejde-64 341 4 ( ( PUNCT ejde-64 341 5 4.2 4.2 NUM ejde-64 341 6 ) ) PUNCT ejde-64 341 7 is be AUX ejde-64 341 8 attained attain VERB ejde-64 341 9 . . PUNCT ejde-64 342 1 consider consider VERB ejde-64 342 2 a a DET ejde-64 342 3 sequence sequence NOUN ejde-64 342 4 { { PUNCT ejde-64 342 5 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 342 6 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 342 7 w w SYM ejde-64 342 8 1,r 1,r NUM ejde-64 342 9 0 0 NUM ejde-64 342 10 ( ( PUNCT ejde-64 342 11 ω ω NOUN ejde-64 342 12 ) ) PUNCT ejde-64 342 13 such such ADJ ejde-64 342 14 that∫ that∫ NOUN ejde-64 342 15 ω ω NUM ejde-64 342 16 a(z)|dun|r a(z)|dun|r PROPN ejde-64 342 17 dz dz PROPN ejde-64 342 18 ↓ ↓ PROPN ejde-64 342 19 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 342 20 ) ) PUNCT ejde-64 342 21 , , PUNCT ejde-64 342 22 ‖un‖r ‖un‖r PROPN ejde-64 342 23 = = NOUN ejde-64 342 24 1 1 NUM ejde-64 342 25 for for ADP ejde-64 342 26 all all DET ejde-64 342 27 n n PRON ejde-64 342 28 ∈ ∈ PROPN ejde-64 342 29 n. n. NOUN ejde-64 342 30 therefore therefore ADV ejde-64 342 31 { { PUNCT ejde-64 342 32 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 342 33 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 342 34 1,p 1,p PROPN ejde-64 342 35 0 0 SYM ejde-64 342 36 ( ( PUNCT ejde-64 342 37 ω ω NOUN ejde-64 342 38 ) ) PUNCT ejde-64 342 39 is be AUX ejde-64 342 40 bounded bound VERB ejde-64 342 41 . . PUNCT ejde-64 343 1 so so ADV ejde-64 343 2 , , PUNCT ejde-64 343 3 we we PRON ejde-64 343 4 can can AUX ejde-64 343 5 assume assume VERB ejde-64 343 6 that that SCONJ ejde-64 343 7 un un PROPN ejde-64 343 8 w→ w→ PROPN ejde-64 343 9 û1 û1 PROPN ejde-64 343 10 in in ADP ejde-64 343 11 w w PROPN ejde-64 343 12 1,r 1,r NUM ejde-64 343 13 0 0 NUM ejde-64 343 14 ( ( PUNCT ejde-64 343 15 ω ω NOUN ejde-64 343 16 ) ) PUNCT ejde-64 343 17 , , PUNCT ejde-64 343 18 un un PROPN ejde-64 343 19 → → SYM ejde-64 343 20 û1 û1 PROPN ejde-64 343 21 in in ADP ejde-64 343 22 lr(ω lr(ω NOUN ejde-64 343 23 ) ) PUNCT ejde-64 343 24 . . PUNCT ejde-64 344 1 we we PRON ejde-64 344 2 have have VERB ejde-64 344 3 that∫ that∫ PROPN ejde-64 344 4 ω ω PROPN ejde-64 344 5 a(z)|dû1|r a(z)|dû1|r PROPN ejde-64 344 6 dz dz PROPN ejde-64 344 7 ≤ ≤ PROPN ejde-64 344 8 lim lim PROPN ejde-64 344 9 inf inf PROPN ejde-64 344 10 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 344 11 ∫ ∫ PROPN ejde-64 344 12 ω ω NUM ejde-64 344 13 a(z)|dun|r a(z)|dun|r NOUN ejde-64 344 14 dz dz X ejde-64 344 15 = = SYM ejde-64 344 16 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 344 17 ) ) PUNCT ejde-64 344 18 , , PUNCT ejde-64 344 19 ‖û1‖r ‖û1‖r PUNCT ejde-64 344 20 = = NOUN ejde-64 344 21 1 1 NUM ejde-64 344 22 , , PUNCT ejde-64 344 23 implies imply VERB ejde-64 344 24 ∫ ∫ PROPN ejde-64 344 25 ω ω PROPN ejde-64 344 26 a(z)|dû1|r a(z)|dû1|r PROPN ejde-64 344 27 dz dz PROPN ejde-64 344 28 = = SYM ejde-64 344 29 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 344 30 ) ) PUNCT ejde-64 344 31 > > X ejde-64 345 1 0 0 NUM ejde-64 345 2 , , PUNCT ejde-64 345 3 ‖û1‖r ‖û1‖r PUNCT ejde-64 345 4 = = NOUN ejde-64 345 5 1 1 X ejde-64 345 6 . . PUNCT ejde-64 346 1 from from ADP ejde-64 346 2 ( ( PUNCT ejde-64 346 3 4.2 4.2 NUM ejde-64 346 4 ) ) PUNCT ejde-64 346 5 and and CCONJ ejde-64 346 6 the the DET ejde-64 346 7 lagrange lagrange ADJ ejde-64 346 8 multiplier multipli ADJ ejde-64 346 9 rule rule NOUN ejde-64 346 10 , , PUNCT ejde-64 346 11 we we PRON ejde-64 346 12 infer infer VERB ejde-64 346 13 that that SCONJ ejde-64 346 14 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 346 15 ) ) PUNCT ejde-64 346 16 > > X ejde-64 347 1 0 0 PUNCT ejde-64 347 2 is be AUX ejde-64 347 3 the the DET ejde-64 347 4 smallest small ADJ ejde-64 347 5 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 347 6 of of ADP ejde-64 347 7 ( ( PUNCT ejde-64 347 8 −∆a −∆a NOUN ejde-64 347 9 r r NOUN ejde-64 347 10 , , PUNCT ejde-64 347 11 w w PROPN ejde-64 347 12 1,r 1,r NUM ejde-64 347 13 0 0 NUM ejde-64 347 14 ( ( PUNCT ejde-64 347 15 ω ω NOUN ejde-64 347 16 ) ) PUNCT ejde-64 347 17 ) ) PUNCT ejde-64 347 18 . . PUNCT ejde-64 348 1 evidently evidently ADV ejde-64 348 2 we we PRON ejde-64 348 3 can can AUX ejde-64 348 4 replace replace VERB ejde-64 348 5 û1 û1 PROPN ejde-64 348 6 ∈ ∈ PROPN ejde-64 348 7 w w PROPN ejde-64 348 8 1,p 1,p PROPN ejde-64 348 9 0 0 SYM ejde-64 348 10 ( ( PUNCT ejde-64 348 11 ω ω NOUN ejde-64 348 12 ) ) PUNCT ejde-64 348 13 by by ADP ejde-64 348 14 |û1| |û1| PRON ejde-64 348 15 ∈ ∈ PROPN ejde-64 348 16 w w PROPN ejde-64 348 17 1,p 1,p PROPN ejde-64 348 18 0 0 NUM ejde-64 348 19 ( ( PUNCT ejde-64 348 20 ω ω NOUN ejde-64 348 21 ) ) PUNCT ejde-64 348 22 . . PUNCT ejde-64 349 1 therefore therefore ADV ejde-64 349 2 we we PRON ejde-64 349 3 can can AUX ejde-64 349 4 always always ADV ejde-64 349 5 assume assume VERB ejde-64 349 6 that that SCONJ ejde-64 349 7 û1 û1 PROPN ejde-64 349 8 ≥ ≥ NOUN ejde-64 349 9 0 0 NUM ejde-64 349 10 . . PUNCT ejde-64 350 1 the the DET ejde-64 350 2 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 350 3 regularity regularity NOUN ejde-64 350 4 theory theory NOUN ejde-64 350 5 ( ( PUNCT ejde-64 350 6 see see VERB ejde-64 350 7 [ [ X ejde-64 350 8 11 11 NUM ejde-64 350 9 ] ] PUNCT ejde-64 350 10 ) ) PUNCT ejde-64 350 11 and and CCONJ ejde-64 350 12 the the DET ejde-64 350 13 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 350 14 maximum maximum ADJ ejde-64 350 15 principle principle NOUN ejde-64 350 16 [ [ X ejde-64 350 17 13 13 NUM ejde-64 350 18 , , PUNCT ejde-64 350 19 19 19 NUM ejde-64 350 20 ] ] PUNCT ejde-64 350 21 , , PUNCT ejde-64 350 22 imply imply VERB ejde-64 350 23 that that SCONJ ejde-64 350 24 û1 û1 PROPN ejde-64 350 25 ∈ ∈ PROPN ejde-64 350 26 intc+ intc+ ADV ejde-64 350 27 . . PUNCT ejde-64 351 1 in in ADP ejde-64 351 2 fact fact NOUN ejde-64 351 3 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 351 4 ) ) PUNCT ejde-64 351 5 > > X ejde-64 352 1 0 0 PUNCT ejde-64 353 1 is be AUX ejde-64 353 2 the the DET ejde-64 353 3 only only ADJ ejde-64 353 4 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 353 5 with with ADP ejde-64 353 6 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 353 7 of of ADP ejde-64 353 8 constant constant ADJ ejde-64 353 9 sign sign NOUN ejde-64 353 10 . . PUNCT ejde-64 354 1 all all DET ejde-64 354 2 other other ADJ ejde-64 354 3 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-64 354 4 have have VERB ejde-64 354 5 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 354 6 which which PRON ejde-64 354 7 are be AUX ejde-64 354 8 nodal nodal NOUN ejde-64 354 9 ( ( PUNCT ejde-64 354 10 signchanging signchange VERB ejde-64 354 11 ) ) PUNCT ejde-64 354 12 . . PUNCT ejde-64 355 1 the the DET ejde-64 355 2 proof proof NOUN ejde-64 355 3 of of ADP ejde-64 355 4 this this DET ejde-64 355 5 fact fact NOUN ejde-64 355 6 is be AUX ejde-64 355 7 done do VERB ejde-64 355 8 along along ADP ejde-64 355 9 the the DET ejde-64 355 10 lines line NOUN ejde-64 355 11 of of ADP ejde-64 355 12 the the DET ejde-64 355 13 corresponding corresponding ADJ ejde-64 355 14 result result NOUN ejde-64 355 15 for for ADP ejde-64 355 16 ( ( PUNCT ejde-64 355 17 −∆r −∆r NUM ejde-64 355 18 , , PUNCT ejde-64 355 19 w w PROPN ejde-64 355 20 1,r 1,r NUM ejde-64 355 21 0 0 NUM ejde-64 355 22 ( ( PUNCT ejde-64 355 23 ω ω NOUN ejde-64 355 24 ) ) PUNCT ejde-64 355 25 ) ) PUNCT ejde-64 355 26 ( ( PUNCT ejde-64 355 27 see see VERB ejde-64 355 28 for for ADP ejde-64 355 29 example example NOUN ejde-64 355 30 gasiński gasiński ADJ ejde-64 355 31 - - PUNCT ejde-64 355 32 papageorgiou papageorgiou NOUN ejde-64 355 33 [ [ X ejde-64 355 34 5 5 NUM ejde-64 355 35 , , PUNCT ejde-64 355 36 p. p. NOUN ejde-64 355 37 743 743 NUM ejde-64 355 38 ] ] PUNCT ejde-64 355 39 ) ) PUNCT ejde-64 355 40 . . PUNCT ejde-64 356 1 suppose suppose VERB ejde-64 356 2 û û NUM ejde-64 356 3 and and CCONJ ejde-64 356 4 v̂ v̂ NOUN ejde-64 356 5 are be AUX ejde-64 356 6 two two NUM ejde-64 356 7 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 356 8 corresponding correspond VERB ejde-64 356 9 of of ADP ejde-64 356 10 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 356 11 ) ) PUNCT ejde-64 356 12 > > X ejde-64 357 1 0 0 X ejde-64 357 2 . . PUNCT ejde-64 358 1 as as ADP ejde-64 358 2 above above ADV ejde-64 358 3 , , PUNCT ejde-64 358 4 we we PRON ejde-64 358 5 have have VERB ejde-64 358 6 that that PRON ejde-64 358 7 û û NUM ejde-64 358 8 , , PUNCT ejde-64 358 9 v̂ v̂ NOUN ejde-64 358 10 ∈ ∈ NOUN ejde-64 358 11 intc+ intc+ ADV ejde-64 358 12 . . PUNCT ejde-64 359 1 then then ADV ejde-64 359 2 using use VERB ejde-64 359 3 the the DET ejde-64 359 4 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 359 5 picone picone PROPN ejde-64 359 6 ’s ’s PART ejde-64 359 7 identity identity NOUN ejde-64 359 8 of of ADP ejde-64 359 9 jaros jaro NOUN ejde-64 360 1 [ [ X ejde-64 360 2 9 9 NUM ejde-64 360 3 ] ] PUNCT ejde-64 360 4 , , PUNCT ejde-64 360 5 we we PRON ejde-64 360 6 have have VERB ejde-64 360 7 0 0 NUM ejde-64 360 8 ≤ ≤ ADV ejde-64 361 1 a(z)|dû|r a(z)|dû|r PROPN ejde-64 361 2 − − PROPN ejde-64 361 3 a(z)|dv̂|r−2(dv̂,d a(z)|dv̂|r−2(dv̂,d PROPN ejde-64 361 4 ( ( PUNCT ejde-64 361 5 ûr ûr NOUN ejde-64 361 6 v̂r−1 v̂r−1 NUM ejde-64 361 7 ) ) PUNCT ejde-64 361 8 ) ) PUNCT ejde-64 361 9 rn rn PROPN ejde-64 361 10 for for ADP ejde-64 361 11 all all DET ejde-64 361 12 z z NOUN ejde-64 361 13 ∈ ∈ PROPN ejde-64 361 14 ω ω PROPN ejde-64 361 15 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 361 16 0 0 NUM ejde-64 362 1 ≤ ≤ NUM ejde-64 363 1 ∫ ∫ PROPN ejde-64 364 1 ω ω NUM ejde-64 364 2 a(z)|dû|r a(z)|dû|r PROPN ejde-64 364 3 dz dz PROPN ejde-64 364 4 − − PROPN ejde-64 364 5 ∫ ∫ PROPN ejde-64 364 6 ω ω NUM ejde-64 364 7 −(∆a −(∆a PROPN ejde-64 364 8 r r NOUN ejde-64 364 9 v̂ v̂ NOUN ejde-64 364 10 ) ) PUNCT ejde-64 364 11 ûr ûr CCONJ ejde-64 364 12 v̂r−1 v̂r−1 INTJ ejde-64 364 13 dz dz PROPN ejde-64 364 14 ( ( PUNCT ejde-64 364 15 using use VERB ejde-64 364 16 green green PROPN ejde-64 364 17 ’s ’s PART ejde-64 364 18 identity identity NOUN ejde-64 364 19 , , PUNCT ejde-64 364 20 see see VERB ejde-64 364 21 [ [ X ejde-64 364 22 16 16 NUM ejde-64 364 23 , , PUNCT ejde-64 364 24 p. p. NOUN ejde-64 364 25 34 34 NUM ejde-64 364 26 ] ] PUNCT ejde-64 364 27 ) ) PUNCT ejde-64 365 1 = = SYM ejde-64 365 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 365 3 ω ω NUM ejde-64 365 4 a(z)|dû|r a(z)|dû|r PROPN ejde-64 365 5 dz dz PROPN ejde-64 365 6 − − PROPN ejde-64 365 7 λ̂a1(r)‖û‖rr λ̂a1(r)‖û‖rr PROPN ejde-64 365 8 = = SYM ejde-64 365 9 0 0 PROPN ejde-64 365 10 , , PUNCT ejde-64 365 11 which which PRON ejde-64 365 12 implies imply VERB ejde-64 365 13 ûdv̂ ûdv̂ PROPN ejde-64 365 14 = = SYM ejde-64 365 15 v̂dû v̂dû PROPN ejde-64 365 16 ( ( PUNCT ejde-64 365 17 see see VERB ejde-64 365 18 jaros jaro NOUN ejde-64 365 19 [ [ X ejde-64 365 20 9 9 NUM ejde-64 365 21 ] ] PUNCT ejde-64 365 22 ) ) PUNCT ejde-64 365 23 . . PUNCT ejde-64 366 1 in in ADP ejde-64 366 2 turn turn NOUN ejde-64 366 3 this this PRON ejde-64 366 4 implies imply VERB ejde-64 366 5 d d X ejde-64 366 6 ( ( PUNCT ejde-64 366 7 ûv̂ ûv̂ NOUN ejde-64 366 8 ) ) PUNCT ejde-64 367 1 = = SYM ejde-64 367 2 0 0 PUNCT ejde-64 368 1 and and CCONJ ejde-64 368 2 so so ADV ejde-64 368 3 û û ADJ ejde-64 368 4 = = SYM ejde-64 368 5 ϑv̂ ϑv̂ NOUN ejde-64 368 6 with with ADP ejde-64 368 7 ϑ ϑ X ejde-64 368 8 > > X ejde-64 368 9 0 0 NUM ejde-64 368 10 . . PUNCT ejde-64 369 1 then then ADV ejde-64 369 2 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 369 3 ) ) PUNCT ejde-64 369 4 > > X ejde-64 370 1 0 0 PUNCT ejde-64 370 2 is be AUX ejde-64 370 3 simple simple ADJ ejde-64 370 4 . . PUNCT ejde-64 371 1 also also ADV ejde-64 371 2 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 371 3 ) ) PUNCT ejde-64 372 1 > > X ejde-64 372 2 0 0 PUNCT ejde-64 372 3 is be AUX ejde-64 372 4 isolated isolate VERB ejde-64 372 5 in in ADP ejde-64 372 6 the the DET ejde-64 372 7 spectrum spectrum NOUN ejde-64 372 8 of of ADP ejde-64 372 9 ( ( PUNCT ejde-64 372 10 −∆a −∆a NOUN ejde-64 372 11 r r NOUN ejde-64 372 12 , , PUNCT ejde-64 372 13 w w PROPN ejde-64 372 14 1,r 1,r NUM ejde-64 372 15 0 0 NUM ejde-64 372 16 ( ( PUNCT ejde-64 372 17 ω ω NOUN ejde-64 372 18 ) ) PUNCT ejde-64 372 19 ) ) PUNCT ejde-64 372 20 . . PUNCT ejde-64 373 1 indeed indeed ADV ejde-64 373 2 , , PUNCT ejde-64 373 3 if if SCONJ ejde-64 373 4 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 373 5 ) ) PUNCT ejde-64 373 6 is be AUX ejde-64 373 7 not not PART ejde-64 373 8 isolated isolate VERB ejde-64 373 9 , , PUNCT ejde-64 373 10 we we PRON ejde-64 373 11 can can AUX ejde-64 373 12 find find VERB ejde-64 373 13 λ̂n λ̂n X ejde-64 373 14 ↓ ↓ PROPN ejde-64 373 15 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 373 16 ) ) PUNCT ejde-64 373 17 with with ADP ejde-64 373 18 λ̂n λ̂n DET ejde-64 373 19 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 373 20 of of ADP ejde-64 373 21 ( ( PUNCT ejde-64 373 22 −∆a −∆a NOUN ejde-64 373 23 r r NOUN ejde-64 373 24 , , PUNCT ejde-64 373 25 w w PROPN ejde-64 373 26 1,r 1,r NUM ejde-64 373 27 0 0 NUM ejde-64 373 28 ( ( PUNCT ejde-64 373 29 ω ω NOUN ejde-64 373 30 ) ) PUNCT ejde-64 373 31 ) ) PUNCT ejde-64 373 32 for for ADP ejde-64 373 33 every every DET ejde-64 373 34 n n PRON ejde-64 373 35 ∈ ∈ PROPN ejde-64 373 36 n. n. NOUN ejde-64 373 37 let let VERB ejde-64 373 38 ûn ûn PRON ejde-64 373 39 ∈ ∈ PROPN ejde-64 373 40 w w PROPN ejde-64 373 41 1,p 1,p PROPN ejde-64 373 42 0 0 NUM ejde-64 373 43 ( ( PUNCT ejde-64 373 44 ω ω NOUN ejde-64 373 45 ) ) PUNCT ejde-64 373 46 be be AUX ejde-64 373 47 an an DET ejde-64 373 48 eigenfunction eigenfunction NOUN ejde-64 373 49 corresponding correspond VERB ejde-64 373 50 to to ADP ejde-64 373 51 λ̂n λ̂n X ejde-64 373 52 . . PUNCT ejde-64 374 1 we we PRON ejde-64 374 2 have have VERB ejde-64 374 3 −∆a −∆a NOUN ejde-64 374 4 r r NOUN ejde-64 374 5 ûn ûn NOUN ejde-64 375 1 = = AUX ejde-64 376 1 λ̂n|ûn|r−2ûn λ̂n|ûn|r−2ûn VERB ejde-64 376 2 for for ADP ejde-64 376 3 all all DET ejde-64 376 4 n n PRON ejde-64 376 5 ∈ ∈ PROPN ejde-64 376 6 n. n. NOUN ejde-64 376 7 ( ( PUNCT ejde-64 376 8 4.3 4.3 NUM ejde-64 376 9 ) ) PUNCT ejde-64 376 10 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 376 11 a a DET ejde-64 376 12 weighted weight VERB ejde-64 376 13 ( ( PUNCT ejde-64 376 14 p p X ejde-64 376 15 , , PUNCT ejde-64 376 16 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 376 17 with with ADP ejde-64 376 18 double double ADJ ejde-64 376 19 resonance resonance NOUN ejde-64 376 20 15 15 NUM ejde-64 376 21 normalizing normalizing NOUN ejde-64 376 22 we we PRON ejde-64 376 23 may may AUX ejde-64 376 24 assume assume VERB ejde-64 376 25 that that SCONJ ejde-64 376 26 ‖ûn‖r ‖ûn‖r PUNCT ejde-64 376 27 = = SYM ejde-64 376 28 1 1 NUM ejde-64 376 29 for for ADP ejde-64 376 30 all all DET ejde-64 376 31 n n PRON ejde-64 376 32 ∈ ∈ PROPN ejde-64 376 33 n. n. NOUN ejde-64 376 34 then then ADV ejde-64 376 35 from from ADP ejde-64 376 36 ( ( PUNCT ejde-64 376 37 4.3 4.3 NUM ejde-64 376 38 ) ) PUNCT ejde-64 376 39 it it PRON ejde-64 376 40 follows follow VERB ejde-64 376 41 that that SCONJ ejde-64 376 42 { { PUNCT ejde-64 376 43 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 376 44 ⊆w ⊆w NOUN ejde-64 376 45 1,r 1,r NUM ejde-64 376 46 0 0 NUM ejde-64 376 47 ( ( PUNCT ejde-64 376 48 ω ω NOUN ejde-64 376 49 ) ) PUNCT ejde-64 376 50 is be AUX ejde-64 376 51 bounded bound VERB ejde-64 376 52 . . PUNCT ejde-64 377 1 we we PRON ejde-64 377 2 can can AUX ejde-64 377 3 assume assume VERB ejde-64 377 4 that that SCONJ ejde-64 377 5 ûn ûn PRON ejde-64 377 6 w→ w→ PUNCT ejde-64 377 7 û∗ û∗ VERB ejde-64 377 8 in in ADP ejde-64 377 9 w w PROPN ejde-64 377 10 1,r 1,r NUM ejde-64 377 11 0 0 NUM ejde-64 377 12 ( ( PUNCT ejde-64 377 13 ω ω NOUN ejde-64 377 14 ) ) PUNCT ejde-64 377 15 , , PUNCT ejde-64 377 16 ûn ûn X ejde-64 377 17 → → PUNCT ejde-64 377 18 û∗ û∗ NOUN ejde-64 377 19 in in ADP ejde-64 377 20 lr(ω lr(ω NOUN ejde-64 377 21 ) ) PUNCT ejde-64 377 22 . . PUNCT ejde-64 378 1 ( ( PUNCT ejde-64 378 2 4.4 4.4 NUM ejde-64 378 3 ) ) PUNCT ejde-64 378 4 we we PRON ejde-64 378 5 have have VERB ejde-64 378 6 ‖û∗‖r ‖û∗‖r PROPN ejde-64 378 7 = = SYM ejde-64 378 8 1 1 X ejde-64 378 9 . . PUNCT ejde-64 379 1 on on ADP ejde-64 379 2 ( ( PUNCT ejde-64 379 3 4.3 4.3 NUM ejde-64 379 4 ) ) PUNCT ejde-64 379 5 we we PRON ejde-64 379 6 act act VERB ejde-64 379 7 with with ADP ejde-64 379 8 ûn ûn NOUN ejde-64 379 9 − − NOUN ejde-64 379 10 û∗ û∗ NOUN ejde-64 379 11 ∈ ∈ PROPN ejde-64 379 12 w w ADP ejde-64 379 13 1,r 1,r NUM ejde-64 379 14 0 0 NUM ejde-64 379 15 ( ( PUNCT ejde-64 379 16 ω ω NOUN ejde-64 379 17 ) ) PUNCT ejde-64 379 18 , , PUNCT ejde-64 379 19 pass pass VERB ejde-64 379 20 to to ADP ejde-64 379 21 the the DET ejde-64 379 22 limit limit NOUN ejde-64 379 23 as as ADP ejde-64 379 24 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 379 25 and and CCONJ ejde-64 379 26 use use NOUN ejde-64 379 27 ( ( PUNCT ejde-64 379 28 4.4 4.4 NUM ejde-64 379 29 ) ) PUNCT ejde-64 379 30 . . PUNCT ejde-64 380 1 we we PRON ejde-64 380 2 obtain obtain VERB ejde-64 380 3 lim lim PROPN ejde-64 380 4 n→∞ n→∞ X ejde-64 380 5 〈 〈 PROPN ejde-64 380 6 aar(ûn aar(ûn PROPN ejde-64 380 7 ) ) PUNCT ejde-64 380 8 , , PUNCT ejde-64 380 9 ûn ûn ADP ejde-64 380 10 − − NOUN ejde-64 380 11 û∗ û∗ ADP ejde-64 380 12 〉 〉 NUM ejde-64 380 13 = = SYM ejde-64 380 14 0 0 NUM ejde-64 380 15 ( ( PUNCT ejde-64 380 16 4.5 4.5 NUM ejde-64 380 17 ) ) PUNCT ejde-64 380 18 with with ADP ejde-64 380 19 aar aar NOUN ejde-64 380 20 : : PUNCT ejde-64 380 21 w w PROPN ejde-64 380 22 1,r 1,r NUM ejde-64 380 23 0 0 NUM ejde-64 380 24 ( ( PUNCT ejde-64 380 25 ω ω NOUN ejde-64 380 26 ) ) PUNCT ejde-64 380 27 → → SYM ejde-64 380 28 w−1,r′(ω w−1,r′(ω NOUN ejde-64 380 29 ) ) PUNCT ejde-64 380 30 = = PUNCT ejde-64 380 31 w w PROPN ejde-64 380 32 1,r 1,r NUM ejde-64 380 33 0 0 PUNCT ejde-64 380 34 ( ( PUNCT ejde-64 380 35 ω)∗ ω)∗ PROPN ejde-64 380 36 ( ( PUNCT ejde-64 380 37 1 1 NUM ejde-64 380 38 r r NOUN ejde-64 380 39 + + NUM ejde-64 380 40 1 1 NUM ejde-64 380 41 r′ r′ NOUN ejde-64 380 42 = = NOUN ejde-64 380 43 1 1 X ejde-64 380 44 ) ) PUNCT ejde-64 380 45 being be AUX ejde-64 380 46 the the DET ejde-64 380 47 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 380 48 operator operator NOUN ejde-64 380 49 defined define VERB ejde-64 380 50 by by ADP ejde-64 380 51 〈 〈 PROPN ejde-64 380 52 aar(u aar(u X ejde-64 380 53 ) ) PUNCT ejde-64 380 54 , , PUNCT ejde-64 380 55 h h NOUN ejde-64 380 56 〉 〉 NUM ejde-64 380 57 = = SYM ejde-64 380 58 ∫ ∫ PROPN ejde-64 380 59 ω ω PROPN ejde-64 380 60 a(z)|du|r−2(du a(z)|du|r−2(du PROPN ejde-64 380 61 , , PUNCT ejde-64 380 62 dh)rn dh)rn NOUN ejde-64 380 63 dz dz X ejde-64 380 64 for for ADP ejde-64 380 65 all all DET ejde-64 380 66 u u NOUN ejde-64 380 67 , , PUNCT ejde-64 380 68 h h PROPN ejde-64 380 69 ∈w ∈w VERB ejde-64 380 70 1,r 1,r NUM ejde-64 380 71 0 0 NUM ejde-64 380 72 ( ( PUNCT ejde-64 380 73 ω ω NOUN ejde-64 380 74 ) ) PUNCT ejde-64 380 75 . . PUNCT ejde-64 381 1 this this DET ejde-64 381 2 operator operator NOUN ejde-64 381 3 has have VERB ejde-64 381 4 the the DET ejde-64 381 5 same same ADJ ejde-64 381 6 properties property NOUN ejde-64 381 7 as as ADP ejde-64 381 8 v v NOUN ejde-64 381 9 ( ( PUNCT ejde-64 381 10 · · PUNCT ejde-64 381 11 ) ) PUNCT ejde-64 381 12 . . PUNCT ejde-64 382 1 in in ADP ejde-64 382 2 particular particular ADJ ejde-64 382 3 , , PUNCT ejde-64 382 4 ( ( PUNCT ejde-64 382 5 4.5 4.5 NUM ejde-64 382 6 ) ) PUNCT ejde-64 382 7 and and CCONJ ejde-64 382 8 the the DET ejde-64 382 9 ( ( PUNCT ejde-64 382 10 s)+property s)+property NUM ejde-64 382 11 of of ADP ejde-64 382 12 aar aar NOUN ejde-64 382 13 ( ( PUNCT ejde-64 382 14 · · PUNCT ejde-64 382 15 ) ) PUNCT ejde-64 382 16 , , PUNCT ejde-64 382 17 imply imply VERB ejde-64 382 18 that that SCONJ ejde-64 382 19 ûn ûn NOUN ejde-64 382 20 → → PUNCT ejde-64 382 21 û∗ û∗ NOUN ejde-64 382 22 in in ADP ejde-64 382 23 w w PROPN ejde-64 382 24 1,r 1,r NUM ejde-64 382 25 0 0 NUM ejde-64 382 26 ( ( PUNCT ejde-64 382 27 ω ω NOUN ejde-64 382 28 ) ) PUNCT ejde-64 382 29 . . PUNCT ejde-64 383 1 ( ( PUNCT ejde-64 383 2 4.6 4.6 NUM ejde-64 383 3 ) ) PUNCT ejde-64 383 4 if if SCONJ ejde-64 383 5 in in ADP ejde-64 383 6 ( ( PUNCT ejde-64 383 7 4.3 4.3 NUM ejde-64 383 8 ) ) PUNCT ejde-64 383 9 we we PRON ejde-64 383 10 pass pass VERB ejde-64 383 11 to to ADP ejde-64 383 12 the the DET ejde-64 383 13 limit limit NOUN ejde-64 383 14 as as ADP ejde-64 383 15 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 383 16 , , PUNCT ejde-64 383 17 we we PRON ejde-64 383 18 have have VERB ejde-64 383 19 −∆a −∆a X ejde-64 384 1 r r NOUN ejde-64 384 2 û∗ û∗ NOUN ejde-64 384 3 = = SYM ejde-64 384 4 λ̂a1(r)|û∗|r−2û∗ λ̂a1(r)|û∗|r−2û∗ NOUN ejde-64 384 5 in in ADP ejde-64 384 6 ω ω NUM ejde-64 384 7 , , PUNCT ejde-64 384 8 ‖û∗‖r ‖û∗‖r PROPN ejde-64 384 9 = = SYM ejde-64 384 10 1 1 X ejde-64 384 11 . . PUNCT ejde-64 385 1 then then ADV ejde-64 385 2 we we PRON ejde-64 385 3 can can AUX ejde-64 385 4 assume assume VERB ejde-64 385 5 that that SCONJ ejde-64 385 6 û∗ û∗ ADP ejde-64 385 7 ∈ ∈ PROPN ejde-64 385 8 intc+ intc+ ADV ejde-64 385 9 . . PUNCT ejde-64 386 1 from from ADP ejde-64 386 2 ( ( PUNCT ejde-64 386 3 4.6 4.6 NUM ejde-64 386 4 ) ) PUNCT ejde-64 386 5 and and CCONJ ejde-64 386 6 the the DET ejde-64 386 7 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 386 8 regularity regularity NOUN ejde-64 386 9 theory theory NOUN ejde-64 386 10 of of ADP ejde-64 386 11 lieberman lieberman PROPN ejde-64 386 12 [ [ X ejde-64 386 13 11 11 NUM ejde-64 386 14 ] ] PUNCT ejde-64 386 15 , , PUNCT ejde-64 386 16 we we PRON ejde-64 386 17 know know VERB ejde-64 386 18 that that SCONJ ejde-64 386 19 there there PRON ejde-64 386 20 exist exist VERB ejde-64 386 21 α α PRON ejde-64 386 22 ∈ ∈ PROPN ejde-64 386 23 ( ( PUNCT ejde-64 386 24 0 0 NUM ejde-64 386 25 , , PUNCT ejde-64 386 26 1 1 NUM ejde-64 386 27 ) ) PUNCT ejde-64 386 28 and and CCONJ ejde-64 386 29 m m VERB ejde-64 386 30 > > X ejde-64 386 31 0 0 NUM ejde-64 386 32 such such ADJ ejde-64 386 33 that that SCONJ ejde-64 386 34 ûn ûn NUM ejde-64 386 35 ∈ ∈ PROPN ejde-64 386 36 c1,α c1,α PROPN ejde-64 386 37 0 0 PUNCT ejde-64 386 38 ( ( PUNCT ejde-64 386 39 ω ω NOUN ejde-64 386 40 ) ) PUNCT ejde-64 386 41 and and CCONJ ejde-64 386 42 ‖ûn‖c1,α ‖ûn‖c1,α PROPN ejde-64 386 43 0 0 PUNCT ejde-64 387 1 ( ( PUNCT ejde-64 387 2 ω ω NOUN ejde-64 387 3 ) ) PUNCT ejde-64 387 4 ≤m ≤m NOUN ejde-64 387 5 for for ADP ejde-64 387 6 all all DET ejde-64 387 7 n n PRON ejde-64 387 8 ∈ ∈ PROPN ejde-64 387 9 n. n. NOUN ejde-64 387 10 ( ( PUNCT ejde-64 387 11 4.7 4.7 NUM ejde-64 387 12 ) ) PUNCT ejde-64 387 13 then then ADV ejde-64 387 14 the the DET ejde-64 387 15 compact compact ADJ ejde-64 387 16 embedding embedding NOUN ejde-64 387 17 of of ADP ejde-64 387 18 c1,α c1,α PROPN ejde-64 387 19 0 0 PUNCT ejde-64 387 20 ( ( PUNCT ejde-64 387 21 ω ω NOUN ejde-64 387 22 ) ) PUNCT ejde-64 387 23 into into ADP ejde-64 387 24 c1 c1 PROPN ejde-64 387 25 0 0 NUM ejde-64 387 26 ( ( PUNCT ejde-64 387 27 ω ω NOUN ejde-64 387 28 ) ) PUNCT ejde-64 387 29 and and CCONJ ejde-64 387 30 ( ( PUNCT ejde-64 387 31 4.6 4.6 NUM ejde-64 387 32 ) ) PUNCT ejde-64 387 33 imply imply VERB ejde-64 387 34 that that SCONJ ejde-64 387 35 ûn ûn NOUN ejde-64 387 36 → → PUNCT ejde-64 387 37 û∗ û∗ NOUN ejde-64 387 38 in in ADP ejde-64 387 39 c1 c1 PROPN ejde-64 387 40 0 0 NUM ejde-64 387 41 ( ( PUNCT ejde-64 387 42 ω ω NOUN ejde-64 387 43 ) ) PUNCT ejde-64 387 44 . . PUNCT ejde-64 388 1 since since SCONJ ejde-64 388 2 û∗ û∗ VERB ejde-64 388 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 388 4 intc+ intc+ ADV ejde-64 388 5 , , PUNCT ejde-64 388 6 we we PRON ejde-64 388 7 have have VERB ejde-64 388 8 { { PUNCT ejde-64 388 9 un}n≥n0 un}n≥n0 ADJ ejde-64 388 10 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 388 11 c+ c+ X ejde-64 388 12 \ \ X ejde-64 388 13 { { PUNCT ejde-64 388 14 0 0 NUM ejde-64 388 15 } } PUNCT ejde-64 388 16 , , PUNCT ejde-64 388 17 which which PRON ejde-64 388 18 contradicts contradict VERB ejde-64 388 19 that that SCONJ ejde-64 388 20 only only ADV ejde-64 388 21 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 388 22 ) ) PUNCT ejde-64 388 23 > > X ejde-64 389 1 0 0 PUNCT ejde-64 389 2 has have VERB ejde-64 389 3 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 389 4 of of ADP ejde-64 389 5 constant constant ADJ ejde-64 389 6 sign sign NOUN ejde-64 389 7 . . PUNCT ejde-64 390 1 summarizing summarizing NOUN ejde-64 390 2 , , PUNCT ejde-64 390 3 we we PRON ejde-64 390 4 can can AUX ejde-64 390 5 state state VERB ejde-64 390 6 the the DET ejde-64 390 7 following following ADJ ejde-64 390 8 basic basic ADJ ejde-64 390 9 facts fact NOUN ejde-64 390 10 about about ADP ejde-64 390 11 the the DET ejde-64 390 12 spectrum spectrum NOUN ejde-64 390 13 of of ADP ejde-64 390 14 ( ( PUNCT ejde-64 390 15 −∆a −∆a NOUN ejde-64 390 16 r r NOUN ejde-64 390 17 , , PUNCT ejde-64 390 18 w w PROPN ejde-64 390 19 1,r 1,r NUM ejde-64 390 20 0 0 NUM ejde-64 390 21 ( ( PUNCT ejde-64 390 22 ω ω NOUN ejde-64 390 23 ) ) PUNCT ejde-64 390 24 ): ): PUNCT ejde-64 390 25 • • ADP ejde-64 390 26 there there PRON ejde-64 390 27 is be VERB ejde-64 390 28 a a DET ejde-64 390 29 smallest small ADJ ejde-64 390 30 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 390 31 λ̂a1(r λ̂a1(r NOUN ejde-64 390 32 ) ) PUNCT ejde-64 390 33 > > X ejde-64 390 34 0 0 NUM ejde-64 390 35 which which PRON ejde-64 390 36 has have VERB ejde-64 390 37 a a DET ejde-64 390 38 variational variational ADJ ejde-64 390 39 characterization characterization NOUN ejde-64 390 40 given give VERB ejde-64 390 41 by by ADP ejde-64 390 42 ( ( PUNCT ejde-64 390 43 4.2 4.2 NUM ejde-64 390 44 ) ) PUNCT ejde-64 390 45 . . PUNCT ejde-64 391 1 • • NUM ejde-64 391 2 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 391 3 ) ) PUNCT ejde-64 391 4 is be AUX ejde-64 391 5 simple simple ADJ ejde-64 391 6 , , PUNCT ejde-64 391 7 isolated isolated ADJ ejde-64 391 8 and and CCONJ ejde-64 391 9 the the DET ejde-64 391 10 corresponding corresponding ADJ ejde-64 391 11 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 391 12 are be AUX ejde-64 391 13 of of ADP ejde-64 391 14 constant constant ADJ ejde-64 391 15 sign sign NOUN ejde-64 391 16 and and CCONJ ejde-64 391 17 belong belong VERB ejde-64 391 18 in in ADP ejde-64 391 19 ( ( PUNCT ejde-64 391 20 intc+ intc+ ADV ejde-64 391 21 ) ) PUNCT ejde-64 391 22 ∪ ∪ NOUN ejde-64 391 23 ( ( PUNCT ejde-64 391 24 − − NOUN ejde-64 391 25 intc+ intc+ ADV ejde-64 391 26 ) ) PUNCT ejde-64 391 27 . . PUNCT ejde-64 392 1 • • NOUN ejde-64 392 2 if if SCONJ ejde-64 392 3 λ̂ λ̂ X ejde-64 392 4 > > X ejde-64 392 5 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 392 6 ) ) PUNCT ejde-64 392 7 is be AUX ejde-64 392 8 an an DET ejde-64 392 9 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 392 10 , , PUNCT ejde-64 392 11 then then ADV ejde-64 392 12 λ̂ λ̂ X ejde-64 392 13 has have VERB ejde-64 392 14 nodal nodal ADJ ejde-64 392 15 eigenfunctions eigenfunction NOUN ejde-64 392 16 . . PUNCT ejde-64 393 1 proposition proposition NOUN ejde-64 393 2 4.1 4.1 NUM ejde-64 393 3 . . PUNCT ejde-64 394 1 if if SCONJ ejde-64 394 2 η η PROPN ejde-64 394 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 394 4 l∞(ω l∞(ω X ejde-64 394 5 ) ) PUNCT ejde-64 394 6 and and CCONJ ejde-64 394 7 η(z η(z PROPN ejde-64 394 8 ) ) PUNCT ejde-64 394 9 ≤ ≤ PUNCT ejde-64 394 10 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 394 11 ) ) PUNCT ejde-64 394 12 for for ADP ejde-64 394 13 a.a a.a PROPN ejde-64 394 14 . . PROPN ejde-64 394 15 z z PROPN ejde-64 394 16 ∈ ∈ PROPN ejde-64 394 17 ω ω PROPN ejde-64 394 18 , , PUNCT ejde-64 394 19 η η PROPN ejde-64 394 20 6≡ 6≡ NUM ejde-64 394 21 λ̂a1(r λ̂a1(r PROPN ejde-64 394 22 ) ) PUNCT ejde-64 395 1 , , PUNCT ejde-64 395 2 then then ADV ejde-64 395 3 there there PRON ejde-64 395 4 exists exist VERB ejde-64 395 5 θ θ PROPN ejde-64 395 6 > > X ejde-64 395 7 0 0 NUM ejde-64 395 8 such such ADJ ejde-64 395 9 that that SCONJ ejde-64 395 10 θ‖u‖r θ‖u‖r NOUN ejde-64 395 11 ≤ ≤ NUM ejde-64 395 12 ∫ ∫ PROPN ejde-64 395 13 ω ω NUM ejde-64 395 14 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 395 15 dz dz PROPN ejde-64 395 16 − − PROPN ejde-64 395 17 ∫ ∫ PROPN ejde-64 395 18 ω ω PROPN ejde-64 395 19 η(z)|u|r η(z)|u|r PROPN ejde-64 395 20 dz dz PROPN ejde-64 395 21 for for ADP ejde-64 395 22 all all DET ejde-64 395 23 u u NOUN ejde-64 395 24 ∈w ∈w VERB ejde-64 395 25 1,r 1,r NUM ejde-64 395 26 0 0 NUM ejde-64 395 27 ( ( PUNCT ejde-64 395 28 ω ω NOUN ejde-64 395 29 ) ) PUNCT ejde-64 395 30 . . PUNCT ejde-64 396 1 proof proof NOUN ejde-64 396 2 . . PUNCT ejde-64 397 1 arguing argue VERB ejde-64 397 2 by by ADP ejde-64 397 3 contradiction contradiction NOUN ejde-64 397 4 , , PUNCT ejde-64 397 5 suppose suppose VERB ejde-64 397 6 we we PRON ejde-64 397 7 can can AUX ejde-64 397 8 find find VERB ejde-64 397 9 { { PUNCT ejde-64 397 10 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 397 11 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 397 12 w w PROPN ejde-64 397 13 1,p 1,p PROPN ejde-64 397 14 0 0 SYM ejde-64 397 15 ( ( PUNCT ejde-64 397 16 ω ω NOUN ejde-64 397 17 ) ) PUNCT ejde-64 397 18 such such ADJ ejde-64 397 19 that that SCONJ ejde-64 397 20 for for ADP ejde-64 397 21 all all DET ejde-64 397 22 n n PRON ejde-64 397 23 ∈ ∈ PROPN ejde-64 397 24 n n CCONJ ejde-64 397 25 , , PUNCT ejde-64 397 26 we we PRON ejde-64 397 27 have∫ have∫ VERB ejde-64 397 28 ω ω NUM ejde-64 397 29 a(z)|dun|r a(z)|dun|r NOUN ejde-64 397 30 dz dz X ejde-64 398 1 − − PROPN ejde-64 398 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 398 3 ω ω PROPN ejde-64 398 4 η(z)|un|r η(z)|un|r PROPN ejde-64 398 5 dz dz X ejde-64 398 6 < < X ejde-64 398 7 1 1 NUM ejde-64 398 8 n n NOUN ejde-64 398 9 , , PUNCT ejde-64 398 10 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-64 398 11 = = NOUN ejde-64 398 12 1 1 X ejde-64 398 13 . . PUNCT ejde-64 398 14 ( ( PUNCT ejde-64 398 15 4.8 4.8 NUM ejde-64 398 16 ) ) PUNCT ejde-64 398 17 we we PRON ejde-64 398 18 may may AUX ejde-64 398 19 assume assume VERB ejde-64 398 20 that that SCONJ ejde-64 398 21 un un PROPN ejde-64 398 22 w→ w→ PROPN ejde-64 398 23 u u PROPN ejde-64 398 24 in in ADP ejde-64 398 25 w w PROPN ejde-64 398 26 1,r 1,r NUM ejde-64 398 27 0 0 NUM ejde-64 398 28 ( ( PUNCT ejde-64 398 29 ω ω NOUN ejde-64 398 30 ) ) PUNCT ejde-64 398 31 , , PUNCT ejde-64 398 32 un un PROPN ejde-64 398 33 → → SYM ejde-64 398 34 u u PROPN ejde-64 398 35 in in ADP ejde-64 398 36 lr(ω lr(ω NOUN ejde-64 398 37 ) ) PUNCT ejde-64 398 38 . . PUNCT ejde-64 399 1 ( ( PUNCT ejde-64 399 2 4.9 4.9 NUM ejde-64 399 3 ) ) PUNCT ejde-64 399 4 16 16 NUM ejde-64 399 5 z. z. PROPN ejde-64 399 6 liu liu PROPN ejde-64 399 7 , , PUNCT ejde-64 399 8 n. n. PROPN ejde-64 399 9 s. s. PROPN ejde-64 399 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 399 11 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 399 12 passing pass VERB ejde-64 399 13 to to ADP ejde-64 399 14 the the DET ejde-64 399 15 limit limit NOUN ejde-64 399 16 as as ADP ejde-64 399 17 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 399 18 in in ADP ejde-64 399 19 ( ( PUNCT ejde-64 399 20 4.8 4.8 NUM ejde-64 399 21 ) ) PUNCT ejde-64 399 22 and and CCONJ ejde-64 399 23 using use VERB ejde-64 399 24 ( ( PUNCT ejde-64 399 25 4.9 4.9 NUM ejde-64 399 26 ) ) PUNCT ejde-64 399 27 , , PUNCT ejde-64 399 28 we we PRON ejde-64 399 29 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-64 399 30 ω ω PROPN ejde-64 399 31 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 399 32 dz dz PROPN ejde-64 399 33 ≤ ≤ NUM ejde-64 399 34 ∫ ∫ PROPN ejde-64 399 35 ω ω PROPN ejde-64 400 1 η(z)|u|r η(z)|u|r PROPN ejde-64 400 2 dz dz PROPN ejde-64 400 3 ≤ ≤ PROPN ejde-64 400 4 λ̂a1(r)‖u‖rr λ̂a1(r)‖u‖rr PROPN ejde-64 400 5 , , PUNCT ejde-64 400 6 ( ( PUNCT ejde-64 400 7 4.10 4.10 NUM ejde-64 400 8 ) ) PUNCT ejde-64 400 9 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 400 10 ∫ ∫ PROPN ejde-64 400 11 ω ω NUM ejde-64 400 12 a(z)|du|r a(z)|du|r PROPN ejde-64 400 13 dz dz X ejde-64 400 14 = = PUNCT ejde-64 400 15 λ̂a1(r)‖u‖rr λ̂a1(r)‖u‖rr PROPN ejde-64 400 16 ( ( PUNCT ejde-64 400 17 see see VERB ejde-64 400 18 ( ( PUNCT ejde-64 400 19 4.2 4.2 NUM ejde-64 400 20 ) ) PUNCT ejde-64 400 21 ) ) PUNCT ejde-64 400 22 ( ( PUNCT ejde-64 400 23 4.11 4.11 X ejde-64 400 24 ) ) PUNCT ejde-64 400 25 we we PRON ejde-64 400 26 claim claim VERB ejde-64 400 27 u u PROPN ejde-64 400 28 6= 6= PROPN ejde-64 400 29 0 0 NUM ejde-64 400 30 . . PUNCT ejde-64 401 1 otherwise otherwise ADV ejde-64 401 2 we we PRON ejde-64 401 3 have have VERB ejde-64 401 4 ĉ‖dun‖rr ĉ‖dun‖rr NOUN ejde-64 401 5 → → SYM ejde-64 401 6 0 0 NUM ejde-64 401 7 ⇒ ⇒ NOUN ejde-64 401 8 un un PROPN ejde-64 401 9 → → SYM ejde-64 401 10 0 0 NUM ejde-64 401 11 in in ADP ejde-64 401 12 w w PROPN ejde-64 401 13 1,r 1,r NUM ejde-64 401 14 0 0 NUM ejde-64 401 15 ( ( PUNCT ejde-64 401 16 ω ω NOUN ejde-64 401 17 ) ) PUNCT ejde-64 401 18 , , PUNCT ejde-64 401 19 which which PRON ejde-64 401 20 contradicts contradict VERB ejde-64 401 21 that that SCONJ ejde-64 401 22 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-64 401 23 = = SYM ejde-64 401 24 1 1 NUM ejde-64 401 25 for for ADP ejde-64 401 26 all all PRON ejde-64 401 27 n n DET ejde-64 401 28 ∈ ∈ PROPN ejde-64 401 29 n. n. NOUN ejde-64 401 30 from from ADP ejde-64 401 31 ( ( PUNCT ejde-64 401 32 4.11 4.11 NUM ejde-64 401 33 ) ) PUNCT ejde-64 401 34 we we PRON ejde-64 401 35 see see VERB ejde-64 401 36 that that SCONJ ejde-64 401 37 we we PRON ejde-64 401 38 may may AUX ejde-64 401 39 assume assume VERB ejde-64 401 40 that that SCONJ ejde-64 401 41 u u PRON ejde-64 401 42 ∈ ∈ PROPN ejde-64 401 43 intc+ intc+ ADV ejde-64 401 44 . . PUNCT ejde-64 402 1 then then ADV ejde-64 402 2 from from ADP ejde-64 402 3 ( ( PUNCT ejde-64 402 4 4.10 4.10 NUM ejde-64 402 5 ) ) PUNCT ejde-64 402 6 , , PUNCT ejde-64 402 7 we we PRON ejde-64 402 8 have∫ have∫ VERB ejde-64 402 9 ω ω NUM ejde-64 402 10 a(z)|du|r a(z)|du|r NOUN ejde-64 402 11 dz dz X ejde-64 402 12 < < X ejde-64 402 13 λ̂a1(r)‖u‖rr λ̂a1(r)‖u‖rr PROPN ejde-64 402 14 , , PUNCT ejde-64 402 15 a a DET ejde-64 402 16 contradiction contradiction NOUN ejde-64 402 17 , , PUNCT ejde-64 402 18 see see VERB ejde-64 402 19 ( ( PUNCT ejde-64 402 20 4.2 4.2 NUM ejde-64 402 21 ) ) PUNCT ejde-64 402 22 . . PUNCT ejde-64 403 1 this this PRON ejde-64 403 2 completes complete VERB ejde-64 403 3 the the DET ejde-64 403 4 proof proof NOUN ejde-64 403 5 . . PUNCT ejde-64 404 1 � � PROPN ejde-64 404 2 if if SCONJ ejde-64 404 3 r r NOUN ejde-64 404 4 = = SYM ejde-64 404 5 2 2 NUM ejde-64 404 6 ( ( PUNCT ejde-64 404 7 the the DET ejde-64 404 8 linear linear PROPN ejde-64 404 9 eigenvalue eigenvalue PROPN ejde-64 404 10 problem problem NOUN ejde-64 404 11 ) ) PUNCT ejde-64 404 12 , , PUNCT ejde-64 404 13 then then ADV ejde-64 404 14 the the DET ejde-64 404 15 spectral spectral ADJ ejde-64 404 16 theorem theorem NOUN ejde-64 404 17 for for ADP ejde-64 404 18 compact compact ADJ ejde-64 404 19 , , PUNCT ejde-64 404 20 self self NOUN ejde-64 404 21 - - PUNCT ejde-64 404 22 adjoint adjoint NOUN ejde-64 404 23 operators operator NOUN ejde-64 404 24 , , PUNCT ejde-64 404 25 provides provide VERB ejde-64 404 26 a a DET ejde-64 404 27 complete complete ADJ ejde-64 404 28 description description NOUN ejde-64 404 29 of of ADP ejde-64 404 30 the the DET ejde-64 404 31 spectrum spectrum NOUN ejde-64 404 32 ( ( PUNCT ejde-64 404 33 −∆a −∆a PROPN ejde-64 404 34 , , PUNCT ejde-64 404 35 h1 h1 NOUN ejde-64 404 36 0 0 NUM ejde-64 404 37 ( ( PUNCT ejde-64 404 38 ω ω NOUN ejde-64 404 39 ) ) PUNCT ejde-64 404 40 ) ) PUNCT ejde-64 404 41 which which PRON ejde-64 404 42 consists consist VERB ejde-64 404 43 of of ADP ejde-64 404 44 a a DET ejde-64 404 45 sequence sequence NOUN ejde-64 404 46 { { PUNCT ejde-64 404 47 λ̂an(2)}n∈n λ̂an(2)}n∈n PROPN ejde-64 404 48 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 404 49 ( ( PUNCT ejde-64 404 50 0,∞ 0,∞ NOUN ejde-64 404 51 ) ) PUNCT ejde-64 404 52 such such ADJ ejde-64 404 53 that that SCONJ ejde-64 404 54 λ̂an(2)→∞. λ̂an(2)→∞. X ejde-64 404 55 we we PRON ejde-64 404 56 denote denote VERB ejde-64 404 57 by by ADP ejde-64 404 58 e(λ̂an(2 e(λ̂an(2 NOUN ejde-64 404 59 ) ) PUNCT ejde-64 404 60 ) ) PUNCT ejde-64 405 1 the the DET ejde-64 405 2 eigenspace eigenspace NOUN ejde-64 405 3 corresponding correspond VERB ejde-64 405 4 to to ADP ejde-64 405 5 the the DET ejde-64 405 6 eigenvalue eigenvalue NOUN ejde-64 405 7 λ̂an(2 λ̂an(2 NOUN ejde-64 405 8 ) ) PUNCT ejde-64 405 9 . . PUNCT ejde-64 406 1 we we PRON ejde-64 406 2 know know VERB ejde-64 406 3 that that SCONJ ejde-64 406 4 e(λ̂an(2 e(λ̂an(2 NOUN ejde-64 406 5 ) ) PUNCT ejde-64 406 6 ) ) PUNCT ejde-64 406 7 is be AUX ejde-64 406 8 finite finite ADJ ejde-64 406 9 dimensional dimensional ADJ ejde-64 406 10 and and CCONJ ejde-64 406 11 e(λ̂an(2 e(λ̂an(2 ADJ ejde-64 406 12 ) ) PUNCT ejde-64 406 13 ) ) PUNCT ejde-64 407 1 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 407 2 c1 c1 NOUN ejde-64 407 3 0 0 NUM ejde-64 407 4 ( ( PUNCT ejde-64 407 5 ω ω NOUN ejde-64 407 6 ) ) PUNCT ejde-64 407 7 . . PUNCT ejde-64 408 1 ( ( PUNCT ejde-64 408 2 standard standard ADJ ejde-64 408 3 regularity regularity NOUN ejde-64 408 4 theory theory NOUN ejde-64 408 5 ) ) PUNCT ejde-64 408 6 . . PUNCT ejde-64 409 1 moreover moreover ADV ejde-64 409 2 , , PUNCT ejde-64 409 3 the the DET ejde-64 409 4 elements element NOUN ejde-64 409 5 of of ADP ejde-64 409 6 e(λ̂an(2 e(λ̂an(2 NOUN ejde-64 409 7 ) ) PUNCT ejde-64 409 8 ) ) PUNCT ejde-64 409 9 have have VERB ejde-64 409 10 the the DET ejde-64 409 11 “ " PUNCT ejde-64 409 12 unique unique ADJ ejde-64 409 13 continuation continuation NOUN ejde-64 409 14 property property NOUN ejde-64 409 15 ” " PUNCT ejde-64 409 16 ( ( PUNCT ejde-64 409 17 the the DET ejde-64 409 18 ucp ucp PROPN ejde-64 409 19 for for ADP ejde-64 409 20 short short ADJ ejde-64 409 21 ) ) PUNCT ejde-64 409 22 , , PUNCT ejde-64 409 23 that that ADV ejde-64 409 24 is is ADV ejde-64 409 25 , , PUNCT ejde-64 409 26 if if SCONJ ejde-64 409 27 u u PROPN ejde-64 409 28 ∈ ∈ PROPN ejde-64 409 29 e(λ̂an(2 e(λ̂an(2 NOUN ejde-64 409 30 ) ) PUNCT ejde-64 409 31 ) ) PUNCT ejde-64 409 32 and and CCONJ ejde-64 409 33 u u NOUN ejde-64 409 34 ( ( PUNCT ejde-64 409 35 · · PUNCT ejde-64 409 36 ) ) PUNCT ejde-64 409 37 vanishes vanish VERB ejde-64 409 38 on on ADP ejde-64 409 39 a a DET ejde-64 409 40 set set NOUN ejde-64 409 41 of of ADP ejde-64 409 42 positive positive ADJ ejde-64 409 43 measure measure NOUN ejde-64 409 44 , , PUNCT ejde-64 409 45 then then ADV ejde-64 409 46 u u PROPN ejde-64 409 47 ≡ ≡ PROPN ejde-64 409 48 0 0 PUNCT ejde-64 409 49 ( ( PUNCT ejde-64 409 50 see see VERB ejde-64 409 51 de de X ejde-64 409 52 figueiredo figueiredo NOUN ejde-64 409 53 - - PUNCT ejde-64 409 54 gossez gossez NOUN ejde-64 409 55 [ [ X ejde-64 409 56 3 3 NUM ejde-64 409 57 ] ] NUM ejde-64 409 58 ) ) PUNCT ejde-64 409 59 . . PUNCT ejde-64 410 1 let let VERB ejde-64 410 2 hm hm INTJ ejde-64 410 3 = = NOUN ejde-64 410 4 ⊕mi=1e(λ̂ai ⊕mi=1e(λ̂ai PROPN ejde-64 410 5 ( ( PUNCT ejde-64 410 6 2 2 NUM ejde-64 410 7 ) ) PUNCT ejde-64 410 8 ) ) PUNCT ejde-64 410 9 , , PUNCT ejde-64 410 10 ĥm+1 ĥm+1 X ejde-64 410 11 = = PUNCT ejde-64 410 12 h h PROPN ejde-64 410 13 ⊥ ⊥ ADJ ejde-64 410 14 m. m. NOUN ejde-64 411 1 then then ADV ejde-64 411 2 we we PRON ejde-64 411 3 have have VERB ejde-64 411 4 h1 h1 PROPN ejde-64 411 5 0 0 NUM ejde-64 411 6 ( ( PUNCT ejde-64 411 7 ω ω NOUN ejde-64 411 8 ) ) PUNCT ejde-64 411 9 = = SYM ejde-64 411 10 ĥm ĥm PROPN ejde-64 411 11 ⊕ ⊕ PROPN ejde-64 411 12 ĥm+1 ĥm+1 PROPN ejde-64 411 13 . . PUNCT ejde-64 412 1 in in ADP ejde-64 412 2 this this DET ejde-64 412 3 case case NOUN ejde-64 412 4 we we PRON ejde-64 412 5 have have VERB ejde-64 412 6 variational variational ADJ ejde-64 412 7 characterizations characterization NOUN ejde-64 412 8 for for ADP ejde-64 412 9 all all DET ejde-64 412 10 the the DET ejde-64 412 11 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-64 412 12 . . PUNCT ejde-64 413 1 so so ADV ejde-64 413 2 , , PUNCT ejde-64 413 3 we we PRON ejde-64 413 4 have have VERB ejde-64 413 5 λ̂a1(2 λ̂a1(2 NOUN ejde-64 413 6 ) ) PUNCT ejde-64 414 1 = = SYM ejde-64 414 2 inf inf PROPN ejde-64 415 1 [ [ X ejde-64 415 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 415 3 ω ω PROPN ejde-64 415 4 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 415 5 dz dz X ejde-64 415 6 ‖u‖22 ‖u‖22 ADV ejde-64 415 7 : : PUNCT ejde-64 415 8 u u PROPN ejde-64 415 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 415 10 h1 h1 NOUN ejde-64 415 11 0 0 NUM ejde-64 415 12 ( ( PUNCT ejde-64 415 13 ω ω NOUN ejde-64 415 14 ) ) PUNCT ejde-64 415 15 , , PUNCT ejde-64 415 16 u u NOUN ejde-64 415 17 6= 6= ADP ejde-64 415 18 0 0 NUM ejde-64 415 19 ] ] PUNCT ejde-64 415 20 ( ( PUNCT ejde-64 415 21 4.12 4.12 NUM ejde-64 415 22 ) ) PUNCT ejde-64 415 23 and and CCONJ ejde-64 415 24 for for ADP ejde-64 415 25 m m PROPN ejde-64 415 26 ≥ ≥ NUM ejde-64 415 27 2 2 NUM ejde-64 415 28 λ̂a1(2 λ̂a1(2 NOUN ejde-64 415 29 ) ) PUNCT ejde-64 415 30 = = SYM ejde-64 416 1 sup sup NOUN ejde-64 417 1 [ [ X ejde-64 417 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 417 3 ω ω NUM ejde-64 417 4 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 417 5 dz dz X ejde-64 417 6 ‖u‖22 ‖u‖22 ADV ejde-64 417 7 : : PUNCT ejde-64 417 8 u u PROPN ejde-64 417 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 417 10 hm hm INTJ ejde-64 417 11 , , PUNCT ejde-64 417 12 u u PROPN ejde-64 417 13 6= 6= ADP ejde-64 417 14 0 0 NUM ejde-64 417 15 ] ] PUNCT ejde-64 418 1 = = SYM ejde-64 418 2 inf inf PROPN ejde-64 419 1 [ [ X ejde-64 419 2 ∫ ∫ PROPN ejde-64 419 3 ω ω PROPN ejde-64 419 4 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 419 5 dz dz X ejde-64 419 6 ‖u‖22 ‖u‖22 ADV ejde-64 419 7 : : PUNCT ejde-64 419 8 u u PROPN ejde-64 419 9 ∈ ∈ PROPN ejde-64 419 10 ĥm ĥm NOUN ejde-64 419 11 , , PUNCT ejde-64 419 12 u u NOUN ejde-64 419 13 6= 6= ADP ejde-64 419 14 0 0 NUM ejde-64 419 15 ] ] PUNCT ejde-64 419 16 . . PUNCT ejde-64 420 1 ( ( PUNCT ejde-64 420 2 4.13 4.13 NUM ejde-64 420 3 ) ) PUNCT ejde-64 420 4 in in ADP ejde-64 420 5 ( ( PUNCT ejde-64 420 6 4.12 4.12 NUM ejde-64 420 7 ) ) PUNCT ejde-64 420 8 and and CCONJ ejde-64 420 9 ( ( PUNCT ejde-64 420 10 4.13 4.13 NUM ejde-64 420 11 ) ) PUNCT ejde-64 420 12 the the DET ejde-64 420 13 inf inf NOUN ejde-64 420 14 and and CCONJ ejde-64 420 15 sup sup NOUN ejde-64 420 16 are be AUX ejde-64 420 17 realized realize VERB ejde-64 420 18 on on ADP ejde-64 420 19 the the DET ejde-64 420 20 corresponding corresponding ADJ ejde-64 420 21 eigenspace eigenspace NOUN ejde-64 420 22 e(λ̂am(2 e(λ̂am(2 PROPN ejde-64 420 23 ) ) PUNCT ejde-64 420 24 ) ) PUNCT ejde-64 420 25 . . PUNCT ejde-64 421 1 proposition proposition NOUN ejde-64 421 2 4.2 4.2 NUM ejde-64 421 3 . . PUNCT ejde-64 422 1 if if SCONJ ejde-64 422 2 η η PROPN ejde-64 422 3 ∈ ∈ PROPN ejde-64 422 4 l∞(ω l∞(ω X ejde-64 422 5 ) ) PUNCT ejde-64 422 6 and and CCONJ ejde-64 422 7 η(z η(z PROPN ejde-64 422 8 ) ) PUNCT ejde-64 422 9 ≤ ≤ NOUN ejde-64 422 10 λ̂am(2 λ̂am(2 NOUN ejde-64 422 11 ) ) PUNCT ejde-64 422 12 for for ADP ejde-64 422 13 a.a a.a PROPN ejde-64 422 14 . . PROPN ejde-64 422 15 z z PROPN ejde-64 422 16 ∈ ∈ PROPN ejde-64 422 17 ω ω PROPN ejde-64 422 18 , , PUNCT ejde-64 422 19 η η PROPN ejde-64 422 20 6≡ 6≡ NUM ejde-64 422 21 λ̂am(2 λ̂am(2 NOUN ejde-64 422 22 ) ) PUNCT ejde-64 422 23 , , PUNCT ejde-64 422 24 then then ADV ejde-64 422 25 there there PRON ejde-64 422 26 exists exist VERB ejde-64 422 27 θ θ PROPN ejde-64 422 28 > > X ejde-64 422 29 0 0 NUM ejde-64 422 30 such such ADJ ejde-64 422 31 that that SCONJ ejde-64 422 32 θ‖u‖r θ‖u‖r NOUN ejde-64 422 33 ≤ ≤ NUM ejde-64 422 34 ∫ ∫ PROPN ejde-64 422 35 ω ω NUM ejde-64 422 36 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 422 37 dz dz PROPN ejde-64 422 38 − − PROPN ejde-64 422 39 ∫ ∫ PROPN ejde-64 422 40 ω ω PROPN ejde-64 422 41 η(z)|u|2 η(z)|u|2 NOUN ejde-64 422 42 dz dz PROPN ejde-64 422 43 for for ADP ejde-64 422 44 all all DET ejde-64 422 45 u u PROPN ejde-64 422 46 ∈ ∈ PROPN ejde-64 422 47 ĥm ĥm NOUN ejde-64 422 48 . . PUNCT ejde-64 423 1 proof proof NOUN ejde-64 423 2 . . PUNCT ejde-64 424 1 if if SCONJ ejde-64 424 2 m m VERB ejde-64 424 3 = = NOUN ejde-64 424 4 1 1 NUM ejde-64 424 5 , , PUNCT ejde-64 424 6 then then ADV ejde-64 424 7 this this PRON ejde-64 424 8 follows follow VERB ejde-64 424 9 from from ADP ejde-64 424 10 proposition proposition NOUN ejde-64 424 11 4.1 4.1 NUM ejde-64 424 12 . . PUNCT ejde-64 425 1 so so ADV ejde-64 425 2 , , PUNCT ejde-64 425 3 assume assume VERB ejde-64 425 4 m m PROPN ejde-64 425 5 ≥ ≥ NOUN ejde-64 425 6 2 2 NUM ejde-64 425 7 . . PUNCT ejde-64 425 8 arguing argue VERB ejde-64 425 9 by by ADP ejde-64 425 10 contradiction contradiction NOUN ejde-64 425 11 , , PUNCT ejde-64 425 12 suppose suppose VERB ejde-64 425 13 we we PRON ejde-64 425 14 can can AUX ejde-64 425 15 find find VERB ejde-64 425 16 { { PUNCT ejde-64 425 17 un}n∈n un}n∈n NOUN ejde-64 425 18 ⊆ ⊆ NUM ejde-64 425 19 ĥm ĥm NOUN ejde-64 425 20 with with ADP ejde-64 425 21 ‖un‖ ‖un‖ NOUN ejde-64 425 22 = = SYM ejde-64 425 23 1 1 NUM ejde-64 425 24 for for ADP ejde-64 425 25 all all DET ejde-64 425 26 n n DET ejde-64 425 27 ∈ ∈ PRON ejde-64 425 28 n n PRON ejde-64 425 29 such such ADJ ejde-64 425 30 that that DET ejde-64 425 31 ∫ ∫ PROPN ejde-64 425 32 ω ω PROPN ejde-64 425 33 a(z)|dun|2 a(z)|dun|2 PROPN ejde-64 425 34 dz dz PROPN ejde-64 425 35 − − PROPN ejde-64 425 36 ∫ ∫ PROPN ejde-64 425 37 ω ω PROPN ejde-64 425 38 η(z)|un|2 η(z)|un|2 NOUN ejde-64 425 39 dz dz X ejde-64 425 40 < < X ejde-64 425 41 1 1 NUM ejde-64 425 42 n n NOUN ejde-64 425 43 for for ADP ejde-64 425 44 all all DET ejde-64 425 45 n n PRON ejde-64 425 46 ∈ ∈ PROPN ejde-64 425 47 n. n. NOUN ejde-64 425 48 ( ( PUNCT ejde-64 425 49 4.14 4.14 NUM ejde-64 425 50 ) ) PUNCT ejde-64 425 51 ejde-2023/30 ejde-2023/30 ADJ ejde-64 425 52 a a DET ejde-64 425 53 weighted weight VERB ejde-64 425 54 ( ( PUNCT ejde-64 425 55 p p X ejde-64 425 56 , , PUNCT ejde-64 425 57 2)-equation 2)-equation NUM ejde-64 425 58 with with ADP ejde-64 425 59 double double ADJ ejde-64 425 60 resonance resonance NOUN ejde-64 425 61 17 17 NUM ejde-64 425 62 we we PRON ejde-64 425 63 can can AUX ejde-64 425 64 assume assume VERB ejde-64 425 65 that that SCONJ ejde-64 425 66 un un PROPN ejde-64 425 67 w→ w→ PROPN ejde-64 425 68 u u PROPN ejde-64 425 69 in in ADP ejde-64 425 70 h1 h1 PROPN ejde-64 425 71 0 0 NUM ejde-64 425 72 ( ( PUNCT ejde-64 425 73 ω ω NOUN ejde-64 425 74 ) ) PUNCT ejde-64 425 75 , , PUNCT ejde-64 425 76 un un PROPN ejde-64 425 77 → → SYM ejde-64 425 78 u u PROPN ejde-64 425 79 in in ADP ejde-64 425 80 l2(ω l2(ω PROPN ejde-64 425 81 ) ) PUNCT ejde-64 425 82 . . PUNCT ejde-64 426 1 ( ( PUNCT ejde-64 426 2 4.15 4.15 NUM ejde-64 426 3 ) ) PUNCT ejde-64 426 4 if if SCONJ ejde-64 426 5 in in ADP ejde-64 426 6 ( ( PUNCT ejde-64 426 7 4.14 4.14 NUM ejde-64 426 8 ) ) PUNCT ejde-64 426 9 we we PRON ejde-64 426 10 pass pass VERB ejde-64 426 11 to to ADP ejde-64 426 12 the the DET ejde-64 426 13 limit limit NOUN ejde-64 426 14 as as ADP ejde-64 426 15 n→∞ n→∞ NUM ejde-64 426 16 and and CCONJ ejde-64 426 17 use use NOUN ejde-64 426 18 ( ( PUNCT ejde-64 426 19 4.15 4.15 NUM ejde-64 426 20 ) ) PUNCT ejde-64 426 21 , , PUNCT ejde-64 426 22 we we PRON ejde-64 426 23 obtain∫ obtain∫ VERB ejde-64 426 24 ω ω NUM ejde-64 426 25 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 426 26 dz dz PROPN ejde-64 426 27 ≤ ≤ NUM ejde-64 426 28 ∫ ∫ PROPN ejde-64 426 29 ω ω NUM ejde-64 426 30 η(z)|u|2 η(z)|u|2 NOUN ejde-64 426 31 dz dz PROPN ejde-64 426 32 ≤ ≤ PROPN ejde-64 426 33 λ̂am(2)‖u‖22 λ̂am(2)‖u‖22 PROPN ejde-64 426 34 , , PUNCT ejde-64 426 35 ( ( PUNCT ejde-64 426 36 4.16 4.16 NUM ejde-64 426 37 ) ) PUNCT ejde-64 426 38 ⇒ ⇒ PROPN ejde-64 426 39 ∫ ∫ PROPN ejde-64 426 40 ω ω PROPN ejde-64 426 41 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 426 42 dz dz PROPN ejde-64 426 43 = = SYM ejde-64 426 44 λ̂am(2)‖u‖22 λ̂am(2)‖u‖22 PROPN ejde-64 426 45 ( ( PUNCT ejde-64 426 46 since since SCONJ ejde-64 426 47 u u PROPN ejde-64 426 48 ∈ ∈ PROPN ejde-64 426 49 ĥm ĥm NOUN ejde-64 426 50 , , PUNCT ejde-64 426 51 see see VERB ejde-64 426 52 ( ( PUNCT ejde-64 426 53 4.13 4.13 NUM ejde-64 426 54 ) ) PUNCT ejde-64 426 55 ) ) PUNCT ejde-64 426 56 ⇒ ⇒ VERB ejde-64 426 57 u u PROPN ejde-64 426 58 ∈ ∈ PROPN ejde-64 426 59 e(λ̂am(2 e(λ̂am(2 NOUN ejde-64 426 60 ) ) PUNCT ejde-64 426 61 ) ) PUNCT ejde-64 426 62 , , PUNCT ejde-64 426 63 u u PROPN ejde-64 426 64 6= 6= PROPN ejde-64 426 65 0 0 NUM ejde-64 426 66 . . PUNCT ejde-64 427 1 then then ADV ejde-64 427 2 by by ADP ejde-64 427 3 the the DET ejde-64 427 4 ucp ucp PROPN ejde-64 427 5 we we PRON ejde-64 427 6 have have VERB ejde-64 427 7 u(z u(z NOUN ejde-64 427 8 ) ) PUNCT ejde-64 427 9 6= 6= ADP ejde-64 427 10 0 0 NUM ejde-64 427 11 for for ADP ejde-64 427 12 a.a a.a PROPN ejde-64 427 13 . . PROPN ejde-64 427 14 z z PROPN ejde-64 427 15 ∈ ∈ PROPN ejde-64 427 16 ω ω PROPN ejde-64 427 17 . . PUNCT ejde-64 428 1 using use VERB ejde-64 428 2 this this DET ejde-64 428 3 fact fact NOUN ejde-64 428 4 in in ADP ejde-64 428 5 ( ( PUNCT ejde-64 428 6 4.16 4.16 NUM ejde-64 428 7 ) ) PUNCT ejde-64 428 8 , , PUNCT ejde-64 428 9 we we PRON ejde-64 428 10 obtain obtain VERB ejde-64 428 11 ∫ ∫ PROPN ejde-64 428 12 ω ω NUM ejde-64 428 13 a(z)|du|2 a(z)|du|2 NOUN ejde-64 428 14 dz dz X ejde-64 428 15 < < X ejde-64 428 16 λ̂am(2)‖u‖22 λ̂am(2)‖u‖22 X ejde-64 428 17 which which PRON ejde-64 428 18 contradicts contradict VERB ejde-64 428 19 ( ( PUNCT ejde-64 428 20 4.13 4.13 NUM ejde-64 428 21 ) ) PUNCT ejde-64 428 22 . . PUNCT ejde-64 429 1 this this PRON ejde-64 429 2 completes complete VERB ejde-64 429 3 the the DET ejde-64 429 4 proof proof NOUN ejde-64 429 5 . . PUNCT ejde-64 430 1 � � PROPN ejde-64 430 2 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-64 430 3 . . PUNCT ejde-64 431 1 the the DET ejde-64 431 2 work work NOUN ejde-64 431 3 was be AUX ejde-64 431 4 supported support VERB ejde-64 431 5 by by ADP ejde-64 431 6 nnsf nnsf PROPN ejde-64 431 7 of of ADP ejde-64 431 8 china china PROPN ejde-64 431 9 grant grant PROPN ejde-64 431 10 nos nos PROPN ejde-64 431 11 . . PROPN ejde-64 431 12 12111530282 12111530282 NUM ejde-64 431 13 , , PUNCT ejde-64 431 14 12071413 12071413 NUM ejde-64 431 15 , , PUNCT ejde-64 431 16 and and CCONJ ejde-64 431 17 by by ADP ejde-64 431 18 the the DET ejde-64 431 19 european european PROPN ejde-64 431 20 union union PROPN ejde-64 431 21 ’s ’s PART ejde-64 431 22 horizon horizon NOUN ejde-64 431 23 2020 2020 NUM ejde-64 431 24 research research NOUN ejde-64 431 25 and and CCONJ ejde-64 431 26 innovation innovation NOUN ejde-64 431 27 programme programme NOUN ejde-64 431 28 under under ADP ejde-64 431 29 the the DET ejde-64 431 30 marie marie PROPN ejde-64 431 31 sklodowska sklodowska PROPN ejde-64 431 32 - - PUNCT ejde-64 431 33 curie curie PROPN ejde-64 431 34 grant grant NOUN ejde-64 431 35 agreement agreement NOUN ejde-64 431 36 no no PROPN ejde-64 431 37 . . PROPN ejde-64 431 38 823731 823731 NUM ejde-64 431 39 conmech conmech NOUN ejde-64 431 40 . . PUNCT ejde-64 432 1 references reference NOUN ejde-64 432 2 [ [ X ejde-64 432 3 1 1 X ejde-64 432 4 ] ] PUNCT ejde-64 432 5 s. s. PROPN ejde-64 432 6 aizicovici aizicovici PROPN ejde-64 432 7 , , PUNCT ejde-64 432 8 n. n. PROPN ejde-64 432 9 s. s. PROPN ejde-64 432 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 432 11 , , PUNCT ejde-64 432 12 v. v. PROPN ejde-64 432 13 staicu staicu PROPN ejde-64 432 14 ; ; PUNCT ejde-64 432 15 degree degree NOUN ejde-64 432 16 theory theory NOUN ejde-64 432 17 for for ADP ejde-64 432 18 operators operator NOUN ejde-64 432 19 of of ADP ejde-64 432 20 monotone monotone ADJ ejde-64 432 21 type type NOUN ejde-64 432 22 and and CCONJ ejde-64 432 23 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 432 24 elliptic elliptic ADJ ejde-64 432 25 equations equation NOUN ejde-64 432 26 with with ADP ejde-64 432 27 inequality inequality NOUN ejde-64 432 28 constraints constraint NOUN ejde-64 432 29 , , PUNCT ejde-64 432 30 memoirs memoir NOUN ejde-64 432 31 ams ams PROPN ejde-64 432 32 196 196 NUM ejde-64 432 33 ( ( PUNCT ejde-64 432 34 no no INTJ ejde-64 432 35 . . NOUN ejde-64 432 36 915 915 NUM ejde-64 432 37 ) ) PUNCT ejde-64 432 38 , , PUNCT ejde-64 432 39 2008 2008 NUM ejde-64 432 40 , , PUNCT ejde-64 432 41 pp pp ADJ ejde-64 432 42 . . PUNCT ejde-64 433 1 70 70 NUM ejde-64 433 2 . . PUNCT ejde-64 434 1 [ [ X ejde-64 434 2 2 2 NUM ejde-64 434 3 ] ] PUNCT ejde-64 434 4 k. k. PROPN ejde-64 434 5 c. c. PROPN ejde-64 434 6 chang chang PROPN ejde-64 434 7 ; ; PUNCT ejde-64 434 8 infinite infinite ADJ ejde-64 434 9 dimensional dimensional ADJ ejde-64 434 10 morse morse NOUN ejde-64 434 11 theory theory NOUN ejde-64 434 12 and and CCONJ ejde-64 434 13 multiple multiple ADJ ejde-64 434 14 solution solution NOUN ejde-64 434 15 problems problem NOUN ejde-64 434 16 , , PUNCT ejde-64 434 17 birkhäuser birkhäuser NOUN ejde-64 434 18 , , PUNCT ejde-64 434 19 boston boston PROPN ejde-64 434 20 , , PUNCT ejde-64 434 21 1993 1993 NUM ejde-64 434 22 . . PUNCT ejde-64 435 1 [ [ X ejde-64 435 2 3 3 X ejde-64 435 3 ] ] X ejde-64 435 4 d. d. PROPN ejde-64 435 5 de de PROPN ejde-64 435 6 figueiredo figueiredo PROPN ejde-64 435 7 , , PUNCT ejde-64 435 8 j. j. PROPN ejde-64 435 9 gossez gossez PROPN ejde-64 435 10 ; ; PUNCT ejde-64 435 11 strict strict ADJ ejde-64 435 12 monotonicity monotonicity NOUN ejde-64 435 13 of of ADP ejde-64 435 14 eigenvalues eigenvalue NOUN ejde-64 435 15 and and CCONJ ejde-64 435 16 unique unique ADJ ejde-64 435 17 continuation continuation NOUN ejde-64 435 18 , , PUNCT ejde-64 435 19 commun commun PROPN ejde-64 435 20 . . PUNCT ejde-64 435 21 partial partial ADJ ejde-64 435 22 diff diff PROPN ejde-64 435 23 . . PUNCT ejde-64 436 1 equ equ PROPN ejde-64 436 2 . . PROPN ejde-64 436 3 17 17 NUM ejde-64 436 4 ( ( PUNCT ejde-64 436 5 1992 1992 NUM ejde-64 436 6 ) ) PUNCT ejde-64 436 7 , , PUNCT ejde-64 436 8 339 339 NUM ejde-64 436 9 - - SYM ejde-64 436 10 346 346 NUM ejde-64 436 11 . . PUNCT ejde-64 437 1 [ [ X ejde-64 437 2 4 4 NUM ejde-64 437 3 ] ] PUNCT ejde-64 437 4 m. m. NOUN ejde-64 437 5 filippakis filippakis PROPN ejde-64 437 6 , , PUNCT ejde-64 437 7 n. n. NOUN ejde-64 437 8 s.papageorgiou s.papageorgiou NOUN ejde-64 437 9 ; ; PUNCT ejde-64 437 10 multiple multiple ADJ ejde-64 437 11 constant constant ADJ ejde-64 437 12 sign sign NOUN ejde-64 437 13 and and CCONJ ejde-64 437 14 nodal nodal ADJ ejde-64 437 15 solutions solution NOUN ejde-64 437 16 for for ADP ejde-64 437 17 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 437 18 elliptic elliptic ADJ ejde-64 437 19 equations equation NOUN ejde-64 437 20 with with ADP ejde-64 437 21 the the DET ejde-64 437 22 p p NOUN ejde-64 437 23 - - PUNCT ejde-64 437 24 laplacian laplacian NOUN ejde-64 437 25 , , PUNCT ejde-64 437 26 j. j. PROPN ejde-64 437 27 differential differential PROPN ejde-64 437 28 equ equ PROPN ejde-64 437 29 . . PROPN ejde-64 437 30 245 245 NUM ejde-64 437 31 ( ( PUNCT ejde-64 437 32 2008 2008 NUM ejde-64 437 33 ) ) PUNCT ejde-64 437 34 , , PUNCT ejde-64 437 35 1883 1883 NUM ejde-64 437 36 - - SYM ejde-64 437 37 1922 1922 NUM ejde-64 437 38 . . PUNCT ejde-64 438 1 [ [ X ejde-64 438 2 5 5 X ejde-64 438 3 ] ] PUNCT ejde-64 438 4 l. l. PROPN ejde-64 438 5 gasiński gasiński PROPN ejde-64 438 6 , , PUNCT ejde-64 438 7 n. n. PROPN ejde-64 438 8 s. s. PROPN ejde-64 438 9 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 438 10 ; ; PUNCT ejde-64 438 11 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 438 12 analysis analysis NOUN ejde-64 438 13 , , PUNCT ejde-64 438 14 series series NOUN ejde-64 438 15 in in ADP ejde-64 438 16 mathematical mathematical ADJ ejde-64 438 17 analysis analysis NOUN ejde-64 438 18 and and CCONJ ejde-64 438 19 applications application NOUN ejde-64 438 20 , , PUNCT ejde-64 438 21 9 9 NUM ejde-64 438 22 . . X ejde-64 438 23 chapman chapman PROPN ejde-64 438 24 & & CCONJ ejde-64 438 25 hall hall PROPN ejde-64 438 26 / / SYM ejde-64 438 27 crc crc PROPN ejde-64 438 28 , , PUNCT ejde-64 438 29 boca boca PROPN ejde-64 438 30 raton raton PROPN ejde-64 438 31 , , PUNCT ejde-64 438 32 fl fl PROPN ejde-64 438 33 , , PUNCT ejde-64 438 34 2006 2006 NUM ejde-64 438 35 . . PUNCT ejde-64 439 1 [ [ X ejde-64 439 2 6 6 NUM ejde-64 439 3 ] ] PUNCT ejde-64 439 4 l. l. PROPN ejde-64 439 5 gasiński gasiński PROPN ejde-64 439 6 , , PUNCT ejde-64 439 7 n. n. PROPN ejde-64 439 8 s. s. PROPN ejde-64 439 9 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 439 10 ; ; PUNCT ejde-64 439 11 exercises exercise NOUN ejde-64 439 12 in in ADP ejde-64 439 13 analysis analysis NOUN ejde-64 439 14 . . PUNCT ejde-64 440 1 part part NOUN ejde-64 440 2 2 2 NUM ejde-64 440 3 , , PUNCT ejde-64 440 4 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 440 5 analysis analysis NOUN ejde-64 440 6 . . PUNCT ejde-64 441 1 problem problem NOUN ejde-64 441 2 books book NOUN ejde-64 441 3 in in ADP ejde-64 441 4 mathematics mathematic NOUN ejde-64 441 5 . . PUNCT ejde-64 442 1 springer springer PROPN ejde-64 442 2 , , PUNCT ejde-64 442 3 cham cham PROPN ejde-64 442 4 , , PUNCT ejde-64 442 5 2016 2016 NUM ejde-64 442 6 . . PUNCT ejde-64 443 1 viii+1062 viii+1062 PRON ejde-64 443 2 pp pp ADV ejde-64 443 3 . . PUNCT ejde-64 444 1 [ [ X ejde-64 444 2 7 7 X ejde-64 444 3 ] ] X ejde-64 444 4 l. l. PROPN ejde-64 444 5 gasiński gasiński PROPN ejde-64 444 6 , , PUNCT ejde-64 444 7 n. n. PROPN ejde-64 444 8 s. s. PROPN ejde-64 444 9 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 444 10 ; ; PUNCT ejde-64 444 11 positive positive ADJ ejde-64 444 12 solutions solution NOUN ejde-64 444 13 for for ADP ejde-64 444 14 the the DET ejde-64 444 15 robin robin PROPN ejde-64 444 16 p p PROPN ejde-64 444 17 - - PUNCT ejde-64 444 18 laplacian laplacian NOUN ejde-64 444 19 with with ADP ejde-64 444 20 competing compete VERB ejde-64 444 21 nonlinearities nonlinearitie NOUN ejde-64 444 22 , , PUNCT ejde-64 444 23 adv adv PROPN ejde-64 444 24 . . PUNCT ejde-64 444 25 calc calc PROPN ejde-64 444 26 . . PUNCT ejde-64 445 1 var var PROPN ejde-64 445 2 . . PUNCT ejde-64 446 1 12 12 NUM ejde-64 446 2 ( ( PUNCT ejde-64 446 3 2019 2019 NUM ejde-64 446 4 ) ) PUNCT ejde-64 446 5 , , PUNCT ejde-64 446 6 31 31 NUM ejde-64 446 7 - - SYM ejde-64 446 8 56 56 NUM ejde-64 446 9 . . PUNCT ejde-64 447 1 [ [ X ejde-64 447 2 8 8 NUM ejde-64 447 3 ] ] PUNCT ejde-64 447 4 s. s. PROPN ejde-64 447 5 hu hu PROPN ejde-64 447 6 , , PUNCT ejde-64 447 7 n. n. PROPN ejde-64 447 8 s. s. PROPN ejde-64 447 9 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 447 10 ; ; PUNCT ejde-64 447 11 research research NOUN ejde-64 447 12 topics topic NOUN ejde-64 447 13 in in ADP ejde-64 447 14 analysis analysis NOUN ejde-64 447 15 . . PUNCT ejde-64 448 1 volume volume NOUN ejde-64 448 2 i i PRON ejde-64 448 3 : : PUNCT ejde-64 448 4 grounding ground VERB ejde-64 448 5 theory theory NOUN ejde-64 448 6 , , PUNCT ejde-64 448 7 birkhäuser birkhäuser NOUN ejde-64 448 8 , , PUNCT ejde-64 448 9 cham cham NOUN ejde-64 448 10 , , PUNCT ejde-64 448 11 2022 2022 NUM ejde-64 448 12 . . PUNCT ejde-64 449 1 [ [ X ejde-64 449 2 9 9 NUM ejde-64 449 3 ] ] X ejde-64 449 4 j. j. PROPN ejde-64 449 5 jaros jaros PROPN ejde-64 449 6 ; ; PUNCT ejde-64 449 7 a a DET ejde-64 449 8 harmonic harmonic ADJ ejde-64 449 9 picone picone NOUN ejde-64 449 10 ’s ’s PART ejde-64 449 11 identity identity NOUN ejde-64 449 12 with with ADP ejde-64 449 13 applications application NOUN ejde-64 449 14 , , PUNCT ejde-64 449 15 annoili annoili ADJ ejde-64 449 16 mat mat PROPN ejde-64 449 17 . . PUNCT ejde-64 449 18 pura pura NOUN ejde-64 449 19 appl appl NOUN ejde-64 449 20 . . PUNCT ejde-64 450 1 194 194 NUM ejde-64 450 2 ( ( PUNCT ejde-64 450 3 2015 2015 NUM ejde-64 450 4 ) ) PUNCT ejde-64 450 5 , , PUNCT ejde-64 450 6 719 719 NUM ejde-64 450 7 - - SYM ejde-64 450 8 729 729 NUM ejde-64 450 9 . . PUNCT ejde-64 451 1 [ [ X ejde-64 451 2 10 10 NUM ejde-64 451 3 ] ] X ejde-64 451 4 o. o. PROPN ejde-64 451 5 a. a. PROPN ejde-64 451 6 ladyzhenskaya ladyzhenskaya PROPN ejde-64 451 7 , , PUNCT ejde-64 451 8 n. n. PROPN ejde-64 451 9 n. n. PROPN ejde-64 451 10 uraltseva uraltseva PROPN ejde-64 451 11 ; ; PUNCT ejde-64 451 12 linear linear ADJ ejde-64 451 13 and and CCONJ ejde-64 451 14 quasilinear quasilinear VERB ejde-64 451 15 elliptic elliptic ADJ ejde-64 451 16 equations equation NOUN ejde-64 451 17 , , PUNCT ejde-64 451 18 translated translate VERB ejde-64 451 19 from from ADP ejde-64 451 20 the the DET ejde-64 451 21 russian russian NOUN ejde-64 451 22 by by ADP ejde-64 451 23 scripta scripta PROPN ejde-64 451 24 technica technica PROPN ejde-64 451 25 , , PUNCT ejde-64 451 26 inc inc PROPN ejde-64 451 27 . . PROPN ejde-64 451 28 translation translation NOUN ejde-64 451 29 editor editor NOUN ejde-64 451 30 : : PUNCT ejde-64 451 31 leon leon PROPN ejde-64 451 32 ehrenpreis ehrenpreis PROPN ejde-64 451 33 academic academic PROPN ejde-64 451 34 press press PROPN ejde-64 451 35 , , PUNCT ejde-64 451 36 new new PROPN ejde-64 451 37 york york PROPN ejde-64 451 38 - - PROPN ejde-64 451 39 london london PROPN ejde-64 451 40 1968 1968 NUM ejde-64 451 41 xviii+495 xviii+495 NOUN ejde-64 451 42 pp pp ADJ ejde-64 451 43 . . PUNCT ejde-64 452 1 [ [ X ejde-64 452 2 11 11 NUM ejde-64 452 3 ] ] X ejde-64 452 4 g. g. PROPN ejde-64 452 5 lieberman lieberman PROPN ejde-64 452 6 ; ; PUNCT ejde-64 452 7 the the DET ejde-64 452 8 natural natural ADJ ejde-64 452 9 generalization generalization NOUN ejde-64 452 10 of of ADP ejde-64 452 11 the the DET ejde-64 452 12 natural natural ADJ ejde-64 452 13 conditions condition NOUN ejde-64 452 14 of of ADP ejde-64 452 15 ladyzhenskaya ladyzhenskaya NOUN ejde-64 452 16 and and CCONJ ejde-64 452 17 ural’tseva ural’tseva ADJ ejde-64 452 18 for for ADP ejde-64 452 19 elliptic elliptic ADJ ejde-64 452 20 equations equation NOUN ejde-64 452 21 , , PUNCT ejde-64 452 22 comm comm NOUN ejde-64 452 23 . . PUNCT ejde-64 453 1 partial partial ADJ ejde-64 453 2 differential differential ADJ ejde-64 453 3 equations equation NOUN ejde-64 453 4 16 16 NUM ejde-64 453 5 ( ( PUNCT ejde-64 453 6 1991 1991 NUM ejde-64 453 7 ) ) PUNCT ejde-64 453 8 , , PUNCT ejde-64 453 9 311 311 NUM ejde-64 453 10 - - SYM ejde-64 453 11 361 361 NUM ejde-64 453 12 . . PUNCT ejde-64 454 1 [ [ X ejde-64 454 2 12 12 NUM ejde-64 454 3 ] ] PUNCT ejde-64 454 4 z. z. PROPN ejde-64 454 5 h. h. PROPN ejde-64 454 6 liu liu PROPN ejde-64 454 7 , , PUNCT ejde-64 454 8 n. n. PROPN ejde-64 454 9 s. s. PROPN ejde-64 454 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 454 11 ; ; PUNCT ejde-64 454 12 superlinear superlinear PROPN ejde-64 454 13 weighted weight VERB ejde-64 454 14 ( ( PUNCT ejde-64 454 15 p p X ejde-64 454 16 , , PUNCT ejde-64 454 17 q)-equations q)-equation NOUN ejde-64 454 18 with with ADP ejde-64 454 19 indefinite indefinite ADJ ejde-64 454 20 potential potential NOUN ejde-64 454 21 , , PUNCT ejde-64 454 22 j. j. PROPN ejde-64 454 23 convex convex PROPN ejde-64 454 24 anal anal PROPN ejde-64 454 25 . . PUNCT ejde-64 455 1 28 28 NUM ejde-64 455 2 ( ( PUNCT ejde-64 455 3 2021 2021 NUM ejde-64 455 4 ) ) PUNCT ejde-64 455 5 , , PUNCT ejde-64 455 6 967 967 NUM ejde-64 455 7 - - SYM ejde-64 455 8 982 982 NUM ejde-64 455 9 . . PUNCT ejde-64 456 1 [ [ X ejde-64 456 2 13 13 NUM ejde-64 456 3 ] ] PUNCT ejde-64 456 4 z. z. PROPN ejde-64 456 5 h. h. PROPN ejde-64 456 6 liu liu PROPN ejde-64 456 7 , , PUNCT ejde-64 456 8 n. n. PROPN ejde-64 456 9 s. s. PROPN ejde-64 456 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 456 11 ; ; PUNCT ejde-64 456 12 nodal nodal NOUN ejde-64 456 13 solutions solution NOUN ejde-64 456 14 for for ADP ejde-64 456 15 a a DET ejde-64 456 16 weighted weight VERB ejde-64 456 17 ( ( PUNCT ejde-64 456 18 p p X ejde-64 456 19 , , PUNCT ejde-64 456 20 q)-equations q)-equation NOUN ejde-64 456 21 , , PUNCT ejde-64 456 22 j. j. PROPN ejde-64 456 23 convex convex PROPN ejde-64 456 24 anal anal PROPN ejde-64 456 25 . . PUNCT ejde-64 457 1 29 29 NUM ejde-64 457 2 ( ( PUNCT ejde-64 457 3 2022 2022 NUM ejde-64 457 4 ) ) PUNCT ejde-64 457 5 , , PUNCT ejde-64 457 6 559 559 NUM ejde-64 457 7 - - SYM ejde-64 457 8 570 570 NUM ejde-64 457 9 . . PUNCT ejde-64 458 1 [ [ X ejde-64 458 2 14 14 NUM ejde-64 458 3 ] ] PUNCT ejde-64 458 4 z. z. PROPN ejde-64 458 5 h. h. PROPN ejde-64 458 6 liu liu PROPN ejde-64 458 7 , , PUNCT ejde-64 458 8 n. n. PROPN ejde-64 458 9 s. s. PROPN ejde-64 458 10 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 458 11 ; ; PUNCT ejde-64 458 12 dirichlet dirichlet PROPN ejde-64 458 13 ( ( PUNCT ejde-64 458 14 p p X ejde-64 458 15 , , PUNCT ejde-64 458 16 q)-equations q)-equation NOUN ejde-64 458 17 with with ADP ejde-64 458 18 gradient gradient ADJ ejde-64 458 19 dependent dependent ADJ ejde-64 458 20 and and CCONJ ejde-64 458 21 locally locally ADV ejde-64 458 22 defined define VERB ejde-64 458 23 reaction reaction NOUN ejde-64 458 24 , , PUNCT ejde-64 458 25 electron electron NOUN ejde-64 458 26 . . PUNCT ejde-64 459 1 j. j. PROPN ejde-64 459 2 differential differential PROPN ejde-64 459 3 equations equation NOUN ejde-64 459 4 , , PUNCT ejde-64 459 5 2021 2021 NUM ejde-64 459 6 ( ( PUNCT ejde-64 459 7 2021 2021 NUM ejde-64 459 8 ) ) PUNCT ejde-64 459 9 , , PUNCT ejde-64 459 10 no no INTJ ejde-64 459 11 . . NOUN ejde-64 459 12 34 34 NUM ejde-64 459 13 , , PUNCT ejde-64 459 14 1 1 NUM ejde-64 459 15 - - SYM ejde-64 459 16 8 8 NUM ejde-64 459 17 . . PUNCT ejde-64 460 1 [ [ X ejde-64 460 2 15 15 NUM ejde-64 460 3 ] ] X ejde-64 460 4 r. r. PROPN ejde-64 460 5 s. s. PROPN ejde-64 460 6 palais palais PROPN ejde-64 460 7 ; ; PUNCT ejde-64 460 8 homotopy homotopy VERB ejde-64 460 9 theory theory NOUN ejde-64 460 10 of of ADP ejde-64 460 11 infinite infinite ADJ ejde-64 460 12 dimensional dimensional ADJ ejde-64 460 13 manifolds manifold NOUN ejde-64 460 14 , , PUNCT ejde-64 460 15 topology topology NOUN ejde-64 460 16 5 5 NUM ejde-64 460 17 ( ( PUNCT ejde-64 460 18 1966 1966 NUM ejde-64 460 19 ) ) PUNCT ejde-64 460 20 , , PUNCT ejde-64 460 21 1 1 NUM ejde-64 460 22 - - SYM ejde-64 460 23 16 16 NUM ejde-64 460 24 . . PUNCT ejde-64 460 25 18 18 NUM ejde-64 460 26 z. z. PROPN ejde-64 460 27 liu liu PROPN ejde-64 460 28 , , PUNCT ejde-64 460 29 n. n. PROPN ejde-64 460 30 s. s. PROPN ejde-64 460 31 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 460 32 ejde-2023/30 ejde-2023/30 PROPN ejde-64 460 33 [ [ X ejde-64 460 34 16 16 NUM ejde-64 460 35 ] ] X ejde-64 460 36 n. n. PROPN ejde-64 460 37 s. s. PROPN ejde-64 460 38 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 460 39 , , PUNCT ejde-64 460 40 v. v. PROPN ejde-64 460 41 d. d. PROPN ejde-64 460 42 rădulescu rădulescu PROPN ejde-64 460 43 , , PUNCT ejde-64 460 44 d. d. PROPN ejde-64 460 45 repovš repovš VERB ejde-64 460 46 ; ; PUNCT ejde-64 460 47 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 460 48 analysis analysis NOUN ejde-64 460 49 - - PUNCT ejde-64 460 50 theory theory NOUN ejde-64 460 51 and and CCONJ ejde-64 460 52 methods method NOUN ejde-64 460 53 , , PUNCT ejde-64 460 54 springer springer NOUN ejde-64 460 55 nature nature NOUN ejde-64 460 56 , , PUNCT ejde-64 460 57 swizerland swizerland PROPN ejde-64 460 58 ag ag PROPN ejde-64 460 59 , , PUNCT ejde-64 460 60 2019 2019 NUM ejde-64 460 61 . . PUNCT ejde-64 461 1 [ [ X ejde-64 461 2 17 17 NUM ejde-64 461 3 ] ] X ejde-64 461 4 n. n. PROPN ejde-64 461 5 s. s. PROPN ejde-64 461 6 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 461 7 , , PUNCT ejde-64 461 8 v. v. PROPN ejde-64 461 9 d. d. PROPN ejde-64 461 10 rădulescu rădulescu PROPN ejde-64 461 11 , , PUNCT ejde-64 461 12 y. y. PROPN ejde-64 461 13 zhang zhang PROPN ejde-64 461 14 ; ; PUNCT ejde-64 461 15 anisotropic anisotropic NOUN ejde-64 461 16 singular singular ADJ ejde-64 461 17 double double ADJ ejde-64 461 18 phase phase NOUN ejde-64 461 19 problems problem NOUN ejde-64 461 20 , , PUNCT ejde-64 461 21 discr discr PROPN ejde-64 461 22 . . PUNCT ejde-64 462 1 cont cont PROPN ejde-64 462 2 . . PUNCT ejde-64 463 1 dynam dynam PROPN ejde-64 463 2 . . PUNCT ejde-64 464 1 systems system NOUN ejde-64 464 2 - - PUNCT ejde-64 464 3 s s PROPN ejde-64 464 4 , , PUNCT ejde-64 464 5 14 14 NUM ejde-64 464 6 ( ( PUNCT ejde-64 464 7 2021 2021 NUM ejde-64 464 8 ) ) PUNCT ejde-64 464 9 , , PUNCT ejde-64 464 10 4465 4465 NUM ejde-64 464 11 - - SYM ejde-64 464 12 4502 4502 NUM ejde-64 464 13 . . PUNCT ejde-64 465 1 [ [ X ejde-64 465 2 18 18 NUM ejde-64 465 3 ] ] X ejde-64 465 4 n. n. PROPN ejde-64 465 5 s. s. PROPN ejde-64 465 6 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 465 7 , , PUNCT ejde-64 465 8 p. p. PROPN ejde-64 465 9 winkert winkert NOUN ejde-64 465 10 ; ; PUNCT ejde-64 465 11 applied apply VERB ejde-64 465 12 nonlinear nonlinear ADJ ejde-64 465 13 functional functional ADJ ejde-64 465 14 analysis analysis NOUN ejde-64 465 15 , , PUNCT ejde-64 465 16 de de NOUN ejde-64 465 17 gruyter gruyter NOUN ejde-64 465 18 , , PUNCT ejde-64 465 19 berlin berlin PROPN ejde-64 465 20 , , PUNCT ejde-64 465 21 2018 2018 NUM ejde-64 465 22 . . PUNCT ejde-64 466 1 [ [ X ejde-64 466 2 19 19 NUM ejde-64 466 3 ] ] PUNCT ejde-64 466 4 p. p. NOUN ejde-64 466 5 pucci pucci PROPN ejde-64 466 6 , , PUNCT ejde-64 466 7 j. j. PROPN ejde-64 466 8 serrin serrin PROPN ejde-64 466 9 ; ; PUNCT ejde-64 466 10 the the DET ejde-64 466 11 maximum maximum ADJ ejde-64 466 12 principle principle NOUN ejde-64 466 13 , , PUNCT ejde-64 466 14 birkhäuser birkhäuser NOUN ejde-64 466 15 , , PUNCT ejde-64 466 16 basel basel PROPN ejde-64 466 17 , , PUNCT ejde-64 466 18 2007 2007 NUM ejde-64 466 19 . . PUNCT ejde-64 467 1 [ [ X ejde-64 467 2 20 20 NUM ejde-64 467 3 ] ] PUNCT ejde-64 467 4 z. z. PROPN ejde-64 467 5 q. q. PROPN ejde-64 467 6 wang wang PROPN ejde-64 467 7 ; ; PUNCT ejde-64 467 8 on on ADP ejde-64 467 9 a a DET ejde-64 467 10 superlinear superlinear ADJ ejde-64 467 11 elliptic elliptic ADJ ejde-64 467 12 equation equation NOUN ejde-64 467 13 , , PUNCT ejde-64 467 14 aihp aihp NOUN ejde-64 467 15 - - PUNCT ejde-64 467 16 analyse analyse NOUN ejde-64 467 17 nonlineaire nonlineaire NOUN ejde-64 467 18 , , PUNCT ejde-64 467 19 8 8 NUM ejde-64 467 20 ( ( PUNCT ejde-64 467 21 1991 1991 NUM ejde-64 467 22 ) ) PUNCT ejde-64 467 23 43 43 NUM ejde-64 467 24 - - SYM ejde-64 467 25 58 58 NUM ejde-64 467 26 . . PUNCT ejde-64 467 27 zhenhai zhenhai PROPN ejde-64 467 28 liu liu PROPN ejde-64 467 29 guangxi guangxi PROPN ejde-64 467 30 colleges college NOUN ejde-64 467 31 and and CCONJ ejde-64 467 32 universities university NOUN ejde-64 467 33 key key ADJ ejde-64 467 34 laboratory laboratory NOUN ejde-64 467 35 of of ADP ejde-64 467 36 complex complex ADJ ejde-64 467 37 system system NOUN ejde-64 467 38 optimization optimization NOUN ejde-64 467 39 and and CCONJ ejde-64 467 40 big big ADJ ejde-64 467 41 data datum NOUN ejde-64 467 42 processing processing NOUN ejde-64 467 43 , , PUNCT ejde-64 467 44 yulin yulin NOUN ejde-64 467 45 normal normal ADJ ejde-64 467 46 university university NOUN ejde-64 467 47 , , PUNCT ejde-64 467 48 yulin yulin NOUN ejde-64 467 49 537000 537000 NUM ejde-64 467 50 , , PUNCT ejde-64 467 51 china china PROPN ejde-64 467 52 . . PUNCT ejde-64 468 1 guangxi guangxi PROPN ejde-64 468 2 colleges college NOUN ejde-64 468 3 and and CCONJ ejde-64 468 4 universities university NOUN ejde-64 468 5 key key ADJ ejde-64 468 6 laboratory laboratory NOUN ejde-64 468 7 of of ADP ejde-64 468 8 optimization optimization NOUN ejde-64 468 9 control control NOUN ejde-64 468 10 and and CCONJ ejde-64 468 11 engineering engineering NOUN ejde-64 468 12 calculation calculation NOUN ejde-64 468 13 , , PUNCT ejde-64 468 14 guangxi guangxi PROPN ejde-64 468 15 minzu minzu PROPN ejde-64 468 16 university university PROPN ejde-64 468 17 , , PUNCT ejde-64 468 18 nanning nanning PROPN ejde-64 468 19 , , PUNCT ejde-64 468 20 guangxi guangxi PROPN ejde-64 468 21 , , PUNCT ejde-64 468 22 530006 530006 NUM ejde-64 468 23 , , PUNCT ejde-64 468 24 china china PROPN ejde-64 468 25 email email NOUN ejde-64 468 26 address address NOUN ejde-64 468 27 : : PUNCT ejde-64 469 1 zhhliu@hotmail.com zhhliu@hotmail.com PROPN ejde-64 469 2 nikolaos nikolaos PROPN ejde-64 469 3 s. s. PROPN ejde-64 469 4 papageorgiou papageorgiou PROPN ejde-64 469 5 department department PROPN ejde-64 469 6 of of ADP ejde-64 469 7 mathematics mathematics PROPN ejde-64 469 8 , , PUNCT ejde-64 469 9 national national PROPN ejde-64 469 10 technical technical PROPN ejde-64 469 11 university university PROPN ejde-64 469 12 , , PUNCT ejde-64 469 13 zografou zografou PROPN ejde-64 469 14 campus campus PROPN ejde-64 469 15 , , PUNCT ejde-64 469 16 15780 15780 NUM ejde-64 469 17 athens athens PROPN ejde-64 469 18 , , PUNCT ejde-64 469 19 greece greece PROPN ejde-64 469 20 email email NOUN ejde-64 469 21 address address NOUN ejde-64 469 22 : : PUNCT ejde-64 469 23 npapg@math.ntua.gr npapg@math.ntua.gr ADV ejde-64 469 24 1 1 NUM ejde-64 469 25 . . PUNCT ejde-64 469 26 introduction introduction NOUN ejde-64 469 27 2 2 NUM ejde-64 469 28 . . PUNCT ejde-64 469 29 mathematical mathematical ADJ ejde-64 469 30 background background NOUN ejde-64 469 31 and and CCONJ ejde-64 469 32 hypotheses hypothesis NOUN ejde-64 469 33 3 3 NUM ejde-64 469 34 . . NOUN ejde-64 469 35 three three NUM ejde-64 469 36 solution solution NOUN ejde-64 469 37 theorem theorem VERB ejde-64 469 38 4 4 NUM ejde-64 469 39 . . PUNCT ejde-64 469 40 appendix appendix VERB ejde-64 469 41 acknowledgments acknowledgment NOUN ejde-64 469 42 references reference NOUN