id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-666	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-666	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-666	1	3	of	of	ADP
ejde-666	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-666	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-666	1	6	,	,	PUNCT
ejde-666	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-666	1	8	.	.	PUNCT
ejde-666	1	9	2025	2025	NUM
ejde-666	1	10	(	(	PUNCT
ejde-666	1	11	2025	2025	NUM
ejde-666	1	12	)	)	PUNCT
ejde-666	1	13	,	,	PUNCT
ejde-666	1	14	no	no	INTJ
ejde-666	1	15	.	.	NOUN
ejde-666	1	16	43	43	NUM
ejde-666	1	17	,	,	PUNCT
ejde-666	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-666	1	19	.	.	PUNCT
ejde-666	2	1	1–21	1–21	PROPN
ejde-666	2	2	.	.	PUNCT
ejde-666	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-666	3	2	:	:	PUNCT
ejde-666	3	3	1072	1072	NUM
ejde-666	3	4	-	-	SYM
ejde-666	3	5	6691	6691	NUM
ejde-666	3	6	.	.	PUNCT
ejde-666	4	1	url	url	PROPN
ejde-666	4	2	:	:	PUNCT
ejde-666	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-666	4	4	,	,	PUNCT
ejde-666	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-666	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-666	4	7	:	:	PUNCT
ejde-666	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-666	4	9	/	/	SYM
ejde-666	4	10	ejde.2025.43	ejde.2025.43	NOUN
ejde-666	4	11	existence	existence	NOUN
ejde-666	4	12	of	of	ADP
ejde-666	4	13	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	4	14	and	and	CCONJ
ejde-666	4	15	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	4	16	weak	weak	ADJ
ejde-666	4	17	solutions	solution	NOUN
ejde-666	4	18	and	and	CCONJ
ejde-666	4	19	finite	finite	ADJ
ejde-666	4	20	difference	difference	NOUN
ejde-666	4	21	approximations	approximation	NOUN
ejde-666	4	22	for	for	ADP
ejde-666	4	23	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	4	24	systems	system	NOUN
ejde-666	4	25	with	with	ADP
ejde-666	4	26	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	4	27	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	4	28	conditions	condition	NOUN
ejde-666	4	29	shalmali	shalmali	ADJ
ejde-666	4	30	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	4	31	,	,	PUNCT
ejde-666	4	32	thomas	thomas	PROPN
ejde-666	4	33	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	4	34	,	,	PUNCT
ejde-666	4	35	nsoki	nsoki	PROPN
ejde-666	4	36	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	4	37	abstract	abstract	NOUN
ejde-666	4	38	.	.	PUNCT
ejde-666	5	1	we	we	PRON
ejde-666	5	2	establish	establish	VERB
ejde-666	5	3	the	the	DET
ejde-666	5	4	existence	existence	NOUN
ejde-666	5	5	of	of	ADP
ejde-666	5	6	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	5	7	and	and	CCONJ
ejde-666	5	8	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	5	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	5	10	solutions	solution	NOUN
ejde-666	5	11	between	between	ADP
ejde-666	5	12	ordered	order	VERB
ejde-666	5	13	pairs	pair	NOUN
ejde-666	5	14	of	of	ADP
ejde-666	5	15	weak	weak	ADJ
ejde-666	5	16	suband	suband	NOUN
ejde-666	5	17	super	super	NOUN
ejde-666	5	18	-	-	NOUN
ejde-666	5	19	solutions	solution	NOUN
ejde-666	5	20	for	for	ADP
ejde-666	5	21	a	a	DET
ejde-666	5	22	coupled	couple	VERB
ejde-666	5	23	system	system	NOUN
ejde-666	5	24	of	of	ADP
ejde-666	5	25	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	5	26	equations	equation	NOUN
ejde-666	5	27	with	with	ADP
ejde-666	5	28	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	5	29	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	5	30	on	on	ADP
ejde-666	5	31	the	the	DET
ejde-666	5	32	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	5	33	.	.	PUNCT
ejde-666	6	1	we	we	PRON
ejde-666	6	2	also	also	ADV
ejde-666	6	3	formulate	formulate	VERB
ejde-666	6	4	a	a	DET
ejde-666	6	5	finite	finite	ADJ
ejde-666	6	6	difference	difference	NOUN
ejde-666	6	7	method	method	NOUN
ejde-666	6	8	to	to	PART
ejde-666	6	9	approximate	approximate	VERB
ejde-666	6	10	the	the	DET
ejde-666	6	11	solutions	solution	NOUN
ejde-666	6	12	and	and	CCONJ
ejde-666	6	13	establish	establish	VERB
ejde-666	6	14	the	the	DET
ejde-666	6	15	existence	existence	NOUN
ejde-666	6	16	of	of	ADP
ejde-666	6	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	6	18	and	and	CCONJ
ejde-666	6	19	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	6	20	approximations	approximation	NOUN
ejde-666	6	21	between	between	ADP
ejde-666	6	22	ordered	order	VERB
ejde-666	6	23	pairs	pair	NOUN
ejde-666	6	24	of	of	ADP
ejde-666	6	25	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	6	26	suband	suband	NOUN
ejde-666	6	27	super	super	NOUN
ejde-666	6	28	-	-	NOUN
ejde-666	6	29	solutions	solution	NOUN
ejde-666	6	30	.	.	PUNCT
ejde-666	7	1	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	7	2	iterations	iteration	NOUN
ejde-666	7	3	are	be	AUX
ejde-666	7	4	formulated	formulate	VERB
ejde-666	7	5	for	for	ADP
ejde-666	7	6	constructing	construct	VERB
ejde-666	7	7	the	the	DET
ejde-666	7	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	7	9	and	and	CCONJ
ejde-666	7	10	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	7	11	solutions	solution	NOUN
ejde-666	7	12	when	when	SCONJ
ejde-666	7	13	the	the	DET
ejde-666	7	14	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-666	7	15	is	be	AUX
ejde-666	7	16	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	7	17	.	.	PUNCT
ejde-666	8	1	numerical	numerical	ADJ
ejde-666	8	2	simulations	simulation	NOUN
ejde-666	8	3	are	be	AUX
ejde-666	8	4	used	use	VERB
ejde-666	8	5	to	to	PART
ejde-666	8	6	explore	explore	VERB
ejde-666	8	7	existence	existence	NOUN
ejde-666	8	8	,	,	PUNCT
ejde-666	8	9	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-666	8	10	,	,	PUNCT
ejde-666	8	11	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-666	8	12	and	and	CCONJ
ejde-666	8	13	non	non	ADJ
ejde-666	8	14	-	-	ADJ
ejde-666	8	15	uniqueness	uniqueness	ADJ
ejde-666	8	16	properties	property	NOUN
ejde-666	8	17	of	of	ADP
ejde-666	8	18	positive	positive	ADJ
ejde-666	8	19	solutions	solution	NOUN
ejde-666	8	20	.	.	PUNCT
ejde-666	9	1	when	when	SCONJ
ejde-666	9	2	the	the	DET
ejde-666	9	3	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	9	4	do	do	AUX
ejde-666	9	5	not	not	PART
ejde-666	9	6	satisfy	satisfy	VERB
ejde-666	9	7	the	the	DET
ejde-666	9	8	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-666	9	9	condition	condition	NOUN
ejde-666	9	10	,	,	PUNCT
ejde-666	9	11	we	we	PRON
ejde-666	9	12	prove	prove	VERB
ejde-666	9	13	the	the	DET
ejde-666	9	14	existence	existence	NOUN
ejde-666	9	15	of	of	ADP
ejde-666	9	16	weak	weak	ADJ
ejde-666	9	17	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	9	18	and	and	CCONJ
ejde-666	9	19	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	9	20	solutions	solution	NOUN
ejde-666	9	21	using	use	VERB
ejde-666	9	22	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	9	23	’s	’s	PART
ejde-666	9	24	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	9	25	and	and	CCONJ
ejde-666	9	26	a	a	DET
ejde-666	9	27	version	version	NOUN
ejde-666	9	28	of	of	ADP
ejde-666	9	29	kato	kato	PROPN
ejde-666	9	30	’s	’s	PART
ejde-666	9	31	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	9	32	up	up	ADP
ejde-666	9	33	to	to	ADP
ejde-666	9	34	the	the	DET
ejde-666	9	35	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	9	36	.	.	PUNCT
ejde-666	10	1	1	1	X
ejde-666	10	2	.	.	X
ejde-666	10	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-666	10	4	we	we	PRON
ejde-666	10	5	consider	consider	VERB
ejde-666	10	6	the	the	DET
ejde-666	10	7	coupled	couple	VERB
ejde-666	10	8	system	system	NOUN
ejde-666	10	9	of	of	ADP
ejde-666	10	10	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	10	11	equations	equation	NOUN
ejde-666	10	12	with	with	ADP
ejde-666	10	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	10	14	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	10	15	conditions	condition	NOUN
ejde-666	11	1	−∆ui	−∆ui	ADV
ejde-666	12	1	+	+	CCONJ
ejde-666	12	2	ui	ui	NOUN
ejde-666	12	3	=	=	NOUN
ejde-666	12	4	0	0	NUM
ejde-666	12	5	in	in	ADP
ejde-666	12	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	12	7	;	;	PUNCT
ejde-666	12	8	∂ui	∂ui	PROPN
ejde-666	12	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	12	10	=	=	SYM
ejde-666	12	11	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	12	12	,	,	PUNCT
ejde-666	12	13	u1	u1	NOUN
ejde-666	12	14	,	,	PUNCT
ejde-666	12	15	u2	u2	PROPN
ejde-666	12	16	)	)	PUNCT
ejde-666	12	17	on	on	ADP
ejde-666	12	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	12	19	,	,	PUNCT
ejde-666	12	20	i	i	PRON
ejde-666	12	21	=	=	NOUN
ejde-666	12	22	1	1	NUM
ejde-666	12	23	,	,	PUNCT
ejde-666	12	24	2	2	NUM
ejde-666	12	25	,	,	PUNCT
ejde-666	12	26	(	(	PUNCT
ejde-666	12	27	1.1	1.1	NUM
ejde-666	12	28	)	)	PUNCT
ejde-666	12	29	where	where	SCONJ
ejde-666	12	30	ω	ω	PROPN
ejde-666	12	31	⊂	⊂	PROPN
ejde-666	12	32	rn	rn	PROPN
ejde-666	12	33	is	be	AUX
ejde-666	12	34	a	a	DET
ejde-666	12	35	bounded	bounded	ADJ
ejde-666	12	36	domain	domain	NOUN
ejde-666	12	37	with	with	ADP
ejde-666	12	38	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-666	12	39	(	(	PUNCT
ejde-666	12	40	c0,1	c0,1	NOUN
ejde-666	12	41	)	)	PUNCT
ejde-666	12	42	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	12	43	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	12	44	,	,	PUNCT
ejde-666	12	45	n	n	PRON
ejde-666	12	46	≥	≥	NOUN
ejde-666	12	47	2	2	NUM
ejde-666	12	48	,	,	PUNCT
ejde-666	12	49	and	and	CCONJ
ejde-666	12	50	∂/∂η	∂/∂η	PROPN
ejde-666	12	51	:	:	PUNCT
ejde-666	12	52	=	=	SYM
ejde-666	12	53	η(x	η(x	X
ejde-666	12	54	)	)	PUNCT
ejde-666	12	55	·	·	PUNCT
ejde-666	12	56	∇	∇	PROPN
ejde-666	12	57	denotes	denote	VERB
ejde-666	12	58	the	the	DET
ejde-666	12	59	outer	outer	ADJ
ejde-666	12	60	normal	normal	ADJ
ejde-666	12	61	derivative	derivative	NOUN
ejde-666	12	62	on	on	ADP
ejde-666	12	63	the	the	DET
ejde-666	12	64	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	12	65	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	12	66	.	.	PUNCT
ejde-666	13	1	for	for	ADP
ejde-666	13	2	each	each	DET
ejde-666	13	3	i	i	NOUN
ejde-666	13	4	=	=	NOUN
ejde-666	13	5	1	1	NUM
ejde-666	13	6	,	,	PUNCT
ejde-666	13	7	2	2	NUM
ejde-666	13	8	,	,	PUNCT
ejde-666	13	9	fi	fi	NOUN
ejde-666	13	10	:	:	PUNCT
ejde-666	13	11	∂ω×	∂ω×	PROPN
ejde-666	13	12	r2	r2	PROPN
ejde-666	13	13	→	→	PUNCT
ejde-666	13	14	r	r	NOUN
ejde-666	13	15	is	be	AUX
ejde-666	13	16	a	a	DET
ejde-666	13	17	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-666	13	18	function	function	NOUN
ejde-666	13	19	;	;	PUNCT
ejde-666	13	20	that	that	PRON
ejde-666	13	21	is	be	AUX
ejde-666	13	22	,	,	PUNCT
ejde-666	13	23	fi	fi	X
ejde-666	13	24	(	(	PUNCT
ejde-666	13	25	·	·	PUNCT
ejde-666	13	26	,	,	PUNCT
ejde-666	13	27	u1	u1	NOUN
ejde-666	13	28	,	,	PUNCT
ejde-666	13	29	u2	u2	PROPN
ejde-666	13	30	)	)	PUNCT
ejde-666	13	31	is	be	AUX
ejde-666	13	32	measurable	measurable	ADJ
ejde-666	13	33	for	for	ADP
ejde-666	13	34	all	all	DET
ejde-666	13	35	(	(	PUNCT
ejde-666	13	36	u1	u1	NOUN
ejde-666	13	37	,	,	PUNCT
ejde-666	13	38	u2	u2	NOUN
ejde-666	13	39	)	)	PUNCT
ejde-666	13	40	∈	∈	PROPN
ejde-666	13	41	r2	r2	NOUN
ejde-666	13	42	and	and	CCONJ
ejde-666	13	43	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	13	44	,	,	PUNCT
ejde-666	13	45	·	·	PUNCT
ejde-666	13	46	,	,	PUNCT
ejde-666	13	47	·	·	PUNCT
ejde-666	13	48	)	)	PUNCT
ejde-666	13	49	is	be	AUX
ejde-666	13	50	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	13	51	for	for	ADP
ejde-666	13	52	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	13	53	.	.	PUNCT
ejde-666	13	54	x	x	SYM
ejde-666	13	55	∈	∈	PROPN
ejde-666	13	56	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	13	57	.	.	PUNCT
ejde-666	14	1	throughout	throughout	ADP
ejde-666	14	2	this	this	DET
ejde-666	14	3	article	article	NOUN
ejde-666	14	4	we	we	PRON
ejde-666	14	5	assume	assume	VERB
ejde-666	14	6	that	that	SCONJ
ejde-666	14	7	each	each	DET
ejde-666	14	8	fi	fi	NOUN
ejde-666	14	9	satisfies	satisfy	VERB
ejde-666	14	10	the	the	DET
ejde-666	14	11	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	14	12	condition	condition	NOUN
ejde-666	14	13	(	(	PUNCT
ejde-666	14	14	a1	a1	PROPN
ejde-666	14	15	)	)	PUNCT
ejde-666	14	16	the	the	DET
ejde-666	14	17	functions	function	NOUN
ejde-666	14	18	fi	fi	NOUN
ejde-666	14	19	are	be	AUX
ejde-666	14	20	quasimonotone	quasimonotone	NOUN
ejde-666	14	21	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	14	22	in	in	ADP
ejde-666	14	23	the	the	DET
ejde-666	14	24	sense	sense	NOUN
ejde-666	14	25	that	that	SCONJ
ejde-666	14	26	f1(x	f1(x	VERB
ejde-666	14	27	,	,	PUNCT
ejde-666	14	28	u1	u1	NOUN
ejde-666	14	29	,	,	PUNCT
ejde-666	14	30	u2	u2	PROPN
ejde-666	14	31	)	)	PUNCT
ejde-666	14	32	is	be	AUX
ejde-666	14	33	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	14	34	in	in	ADP
ejde-666	14	35	u2	u2	NOUN
ejde-666	14	36	for	for	ADP
ejde-666	14	37	all	all	DET
ejde-666	14	38	fixed	fix	VERB
ejde-666	14	39	x	x	SYM
ejde-666	14	40	∈	∈	NOUN
ejde-666	14	41	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	14	42	,	,	PUNCT
ejde-666	14	43	u1	u1	NOUN
ejde-666	14	44	∈	∈	PROPN
ejde-666	14	45	r	r	NOUN
ejde-666	14	46	,	,	PUNCT
ejde-666	14	47	and	and	CCONJ
ejde-666	14	48	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	14	49	,	,	PUNCT
ejde-666	14	50	u1	u1	NOUN
ejde-666	14	51	,	,	PUNCT
ejde-666	14	52	u2	u2	PROPN
ejde-666	14	53	)	)	PUNCT
ejde-666	14	54	is	be	AUX
ejde-666	14	55	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	14	56	in	in	ADP
ejde-666	14	57	u1	u1	NOUN
ejde-666	14	58	for	for	ADP
ejde-666	14	59	all	all	DET
ejde-666	14	60	fixed	fix	VERB
ejde-666	14	61	x	x	SYM
ejde-666	14	62	∈	∈	PROPN
ejde-666	14	63	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	14	64	,	,	PUNCT
ejde-666	14	65	u2	u2	PROPN
ejde-666	14	66	∈	∈	PROPN
ejde-666	14	67	r.	r.	NOUN
ejde-666	14	68	in	in	ADP
ejde-666	14	69	this	this	DET
ejde-666	14	70	article	article	NOUN
ejde-666	14	71	,	,	PUNCT
ejde-666	14	72	we	we	PRON
ejde-666	14	73	establish	establish	VERB
ejde-666	14	74	the	the	DET
ejde-666	14	75	existence	existence	NOUN
ejde-666	14	76	of	of	ADP
ejde-666	14	77	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	14	78	and	and	CCONJ
ejde-666	14	79	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	14	80	weak	weak	ADJ
ejde-666	14	81	solutions	solution	NOUN
ejde-666	14	82	for	for	ADP
ejde-666	14	83	(	(	PUNCT
ejde-666	14	84	1.1	1.1	NUM
ejde-666	14	85	)	)	PUNCT
ejde-666	14	86	.	.	PUNCT
ejde-666	15	1	in	in	ADP
ejde-666	15	2	particular	particular	ADJ
ejde-666	15	3	,	,	PUNCT
ejde-666	15	4	we	we	PRON
ejde-666	15	5	use	use	VERB
ejde-666	15	6	a	a	DET
ejde-666	15	7	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	15	8	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	15	9	method	method	NOUN
ejde-666	15	10	when	when	SCONJ
ejde-666	15	11	the	the	DET
ejde-666	15	12	fi	fi	NOUN
ejde-666	15	13	’s	’s	PART
ejde-666	15	14	are	be	AUX
ejde-666	15	15	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	15	16	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	15	17	in	in	ADP
ejde-666	15	18	both	both	DET
ejde-666	15	19	variables	variable	NOUN
ejde-666	15	20	u1	u1	NOUN
ejde-666	15	21	and	and	CCONJ
ejde-666	15	22	u2	u2	NOUN
ejde-666	15	23	,	,	PUNCT
ejde-666	15	24	and	and	CCONJ
ejde-666	15	25	for	for	ADP
ejde-666	15	26	the	the	DET
ejde-666	15	27	fi	fi	NOUN
ejde-666	15	28	’s	’s	NOUN
ejde-666	15	29	that	that	PRON
ejde-666	15	30	are	be	AUX
ejde-666	15	31	nonmonotone	nonmonotone	NOUN
ejde-666	15	32	in	in	ADP
ejde-666	15	33	one	one	NUM
ejde-666	15	34	of	of	ADP
ejde-666	15	35	the	the	DET
ejde-666	15	36	variables	variable	NOUN
ejde-666	15	37	,	,	PUNCT
ejde-666	15	38	we	we	PRON
ejde-666	15	39	utilize	utilize	VERB
ejde-666	15	40	the	the	DET
ejde-666	15	41	surjectivity	surjectivity	NOUN
ejde-666	15	42	of	of	ADP
ejde-666	15	43	a	a	DET
ejde-666	15	44	bounded	bound	VERB
ejde-666	15	45	,	,	PUNCT
ejde-666	15	46	pseudomonotone	pseudomonotone	NOUN
ejde-666	15	47	and	and	CCONJ
ejde-666	15	48	coercive	coercive	ADJ
ejde-666	15	49	operator	operator	NOUN
ejde-666	15	50	,	,	PUNCT
ejde-666	15	51	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	15	52	’s	’s	PART
ejde-666	15	53	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	15	54	and	and	CCONJ
ejde-666	15	55	a	a	DET
ejde-666	15	56	version	version	NOUN
ejde-666	15	57	of	of	ADP
ejde-666	15	58	kato	kato	PROPN
ejde-666	15	59	’s	’s	PART
ejde-666	15	60	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	15	61	up	up	ADP
ejde-666	15	62	to	to	ADP
ejde-666	15	63	the	the	DET
ejde-666	15	64	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	15	65	to	to	PART
ejde-666	15	66	obtain	obtain	VERB
ejde-666	15	67	the	the	DET
ejde-666	15	68	existence	existence	NOUN
ejde-666	15	69	of	of	ADP
ejde-666	15	70	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	15	71	and	and	CCONJ
ejde-666	15	72	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	15	73	solutions	solution	NOUN
ejde-666	15	74	.	.	PUNCT
ejde-666	16	1	to	to	PART
ejde-666	16	2	visualize	visualize	VERB
ejde-666	16	3	solutions	solution	NOUN
ejde-666	16	4	,	,	PUNCT
ejde-666	16	5	we	we	PRON
ejde-666	16	6	utilize	utilize	VERB
ejde-666	16	7	numerical	numerical	ADJ
ejde-666	16	8	methods	method	NOUN
ejde-666	16	9	.	.	PUNCT
ejde-666	17	1	some	some	DET
ejde-666	17	2	common	common	ADJ
ejde-666	17	3	numerical	numerical	ADJ
ejde-666	17	4	approximation	approximation	NOUN
ejde-666	17	5	techniques	technique	NOUN
ejde-666	17	6	for	for	ADP
ejde-666	17	7	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	17	8	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	17	9	equations	equation	NOUN
ejde-666	17	10	can	can	AUX
ejde-666	17	11	be	be	AUX
ejde-666	17	12	found	find	VERB
ejde-666	17	13	in	in	ADP
ejde-666	17	14	[	[	X
ejde-666	17	15	19	19	NUM
ejde-666	17	16	,	,	PUNCT
ejde-666	17	17	20	20	NUM
ejde-666	17	18	,	,	PUNCT
ejde-666	17	19	23	23	NUM
ejde-666	17	20	,	,	PUNCT
ejde-666	17	21	24	24	NUM
ejde-666	17	22	,	,	PUNCT
ejde-666	17	23	25	25	NUM
ejde-666	17	24	]	]	PUNCT
ejde-666	17	25	.	.	PUNCT
ejde-666	18	1	we	we	PRON
ejde-666	18	2	use	use	VERB
ejde-666	18	3	the	the	DET
ejde-666	18	4	finite	finite	ADJ
ejde-666	18	5	difference	difference	NOUN
ejde-666	18	6	method	method	NOUN
ejde-666	18	7	to	to	PART
ejde-666	18	8	approximate	approximate	ADJ
ejde-666	18	9	solutions	solution	NOUN
ejde-666	18	10	inspired	inspire	VERB
ejde-666	18	11	by	by	ADP
ejde-666	18	12	the	the	DET
ejde-666	18	13	results	result	NOUN
ejde-666	18	14	for	for	ADP
ejde-666	18	15	approximating	approximate	VERB
ejde-666	18	16	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-666	18	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	18	18	problems	problem	NOUN
ejde-666	18	19	with	with	ADP
ejde-666	18	20	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-666	18	21	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	18	22	conditions	condition	NOUN
ejde-666	18	23	in	in	ADP
ejde-666	18	24	[	[	X
ejde-666	18	25	15	15	NUM
ejde-666	18	26	]	]	PUNCT
ejde-666	18	27	.	.	PUNCT
ejde-666	19	1	we	we	PRON
ejde-666	19	2	formulate	formulate	VERB
ejde-666	19	3	a	a	DET
ejde-666	19	4	finite	finite	ADJ
ejde-666	19	5	difference	difference	NOUN
ejde-666	19	6	method	method	NOUN
ejde-666	19	7	for	for	ADP
ejde-666	19	8	(	(	PUNCT
ejde-666	19	9	1.1	1.1	NUM
ejde-666	19	10	)	)	PUNCT
ejde-666	19	11	and	and	CCONJ
ejde-666	19	12	prove	prove	VERB
ejde-666	19	13	admissibility	admissibility	NOUN
ejde-666	19	14	and	and	CCONJ
ejde-666	19	15	stability	stability	NOUN
ejde-666	19	16	results	result	NOUN
ejde-666	19	17	.	.	PUNCT
ejde-666	20	1	we	we	PRON
ejde-666	20	2	also	also	ADV
ejde-666	20	3	formulate	formulate	VERB
ejde-666	20	4	a	a	DET
ejde-666	20	5	methodology	methodology	NOUN
ejde-666	20	6	2020	2020	NUM
ejde-666	20	7	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-666	20	8	subject	subject	ADJ
ejde-666	20	9	classification	classification	NOUN
ejde-666	20	10	.	.	PUNCT
ejde-666	21	1	35j60	35j60	NUM
ejde-666	21	2	,	,	PUNCT
ejde-666	21	3	35j67	35j67	NUM
ejde-666	21	4	,	,	PUNCT
ejde-666	21	5	65n06	65n06	NUM
ejde-666	21	6	,	,	PUNCT
ejde-666	21	7	65n22	65n22	NUM
ejde-666	21	8	.	.	PUNCT
ejde-666	22	1	key	key	ADJ
ejde-666	22	2	words	word	NOUN
ejde-666	22	3	and	and	CCONJ
ejde-666	22	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-666	22	5	.	.	PUNCT
ejde-666	23	1	weak	weak	ADJ
ejde-666	23	2	solutions	solution	NOUN
ejde-666	23	3	;	;	PUNCT
ejde-666	23	4	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	23	5	;	;	PUNCT
ejde-666	23	6	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	23	7	;	;	PUNCT
ejde-666	23	8	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	23	9	;	;	PUNCT
ejde-666	23	10	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	23	11	’s	’s	PART
ejde-666	23	12	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	23	13	;	;	PUNCT
ejde-666	23	14	finite	finite	ADJ
ejde-666	23	15	difference	difference	NOUN
ejde-666	23	16	method	method	NOUN
ejde-666	23	17	;	;	PUNCT
ejde-666	23	18	kato	kato	PROPN
ejde-666	23	19	’s	’s	PART
ejde-666	23	20	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	23	21	.	.	PUNCT
ejde-666	24	1	©	©	PROPN
ejde-666	24	2	2025	2025	NUM
ejde-666	24	3	.	.	PUNCT
ejde-666	25	1	this	this	DET
ejde-666	25	2	work	work	NOUN
ejde-666	25	3	is	be	AUX
ejde-666	25	4	licensed	license	VERB
ejde-666	25	5	under	under	ADP
ejde-666	25	6	a	a	DET
ejde-666	25	7	cc	cc	NOUN
ejde-666	25	8	by	by	ADP
ejde-666	25	9	4.0	4.0	NUM
ejde-666	25	10	license	license	NOUN
ejde-666	25	11	.	.	PUNCT
ejde-666	26	1	submitted	submit	VERB
ejde-666	26	2	april	april	PROPN
ejde-666	26	3	17	17	NUM
ejde-666	26	4	,	,	PUNCT
ejde-666	26	5	2024	2024	NUM
ejde-666	26	6	.	.	PUNCT
ejde-666	27	1	published	publish	VERB
ejde-666	27	2	aril	aril	PROPN
ejde-666	27	3	23	23	NUM
ejde-666	27	4	,	,	PUNCT
ejde-666	27	5	2025	2025	NUM
ejde-666	27	6	.	.	PUNCT
ejde-666	28	1	1	1	NUM
ejde-666	28	2	2	2	NUM
ejde-666	28	3	s.	s.	PROPN
ejde-666	28	4	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	28	5	,	,	PUNCT
ejde-666	28	6	t.	t.	PROPN
ejde-666	28	7	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	28	8	,	,	PUNCT
ejde-666	28	9	n.	n.	PROPN
ejde-666	28	10	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	28	11	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	28	12	for	for	ADP
ejde-666	28	13	finding	find	VERB
ejde-666	28	14	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	28	15	and	and	CCONJ
ejde-666	28	16	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	28	17	solutions	solution	NOUN
ejde-666	28	18	in	in	ADP
ejde-666	28	19	the	the	DET
ejde-666	28	20	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	28	21	case	case	NOUN
ejde-666	28	22	.	.	PUNCT
ejde-666	29	1	this	this	DET
ejde-666	29	2	methodology	methodology	NOUN
ejde-666	29	3	is	be	AUX
ejde-666	29	4	used	use	VERB
ejde-666	29	5	to	to	PART
ejde-666	29	6	generate	generate	VERB
ejde-666	29	7	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	29	8	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	29	9	for	for	ADP
ejde-666	29	10	several	several	ADJ
ejde-666	29	11	one	one	NUM
ejde-666	29	12	-	-	PUNCT
ejde-666	29	13	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-666	29	14	examples	example	NOUN
ejde-666	29	15	.	.	PUNCT
ejde-666	30	1	the	the	DET
ejde-666	30	2	numerical	numerical	PROPN
ejde-666	30	3	study	study	NOUN
ejde-666	30	4	complements	complement	VERB
ejde-666	30	5	the	the	DET
ejde-666	30	6	analytical	analytical	ADJ
ejde-666	30	7	results	result	NOUN
ejde-666	30	8	.	.	PUNCT
ejde-666	31	1	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	31	2	equations	equation	NOUN
ejde-666	31	3	are	be	AUX
ejde-666	31	4	important	important	ADJ
ejde-666	31	5	for	for	ADP
ejde-666	31	6	studying	study	VERB
ejde-666	31	7	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	31	8	models	model	NOUN
ejde-666	31	9	in	in	ADP
ejde-666	31	10	problems	problem	NOUN
ejde-666	31	11	such	such	ADJ
ejde-666	31	12	as	as	ADP
ejde-666	31	13	chemical	chemical	ADJ
ejde-666	31	14	reactions	reaction	NOUN
ejde-666	31	15	,	,	PUNCT
ejde-666	31	16	ecology	ecology	NOUN
ejde-666	31	17	,	,	PUNCT
ejde-666	31	18	population	population	NOUN
ejde-666	31	19	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-666	31	20	and	and	CCONJ
ejde-666	31	21	combustion	combustion	NOUN
ejde-666	31	22	theory	theory	NOUN
ejde-666	31	23	.	.	PUNCT
ejde-666	32	1	extensive	extensive	ADJ
ejde-666	32	2	studies	study	NOUN
ejde-666	32	3	have	have	AUX
ejde-666	32	4	been	be	AUX
ejde-666	32	5	done	do	VERB
ejde-666	32	6	when	when	SCONJ
ejde-666	32	7	the	the	DET
ejde-666	32	8	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	32	9	equation	equation	NOUN
ejde-666	32	10	has	have	VERB
ejde-666	32	11	linear	linear	PROPN
ejde-666	32	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	32	13	conditions	condition	NOUN
ejde-666	32	14	which	which	PRON
ejde-666	32	15	includes	include	VERB
ejde-666	32	16	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-666	32	17	,	,	PUNCT
ejde-666	32	18	neumann	neumann	PROPN
ejde-666	32	19	,	,	PUNCT
ejde-666	32	20	and	and	CCONJ
ejde-666	32	21	robin	robin	PROPN
ejde-666	32	22	boundary	boundary	PROPN
ejde-666	32	23	conditions	condition	NOUN
ejde-666	32	24	.	.	PUNCT
ejde-666	33	1	however	however	ADV
ejde-666	33	2	,	,	PUNCT
ejde-666	33	3	there	there	PRON
ejde-666	33	4	are	be	VERB
ejde-666	33	5	certain	certain	ADJ
ejde-666	33	6	scenarios	scenario	NOUN
ejde-666	33	7	where	where	SCONJ
ejde-666	33	8	chemical	chemical	ADJ
ejde-666	33	9	reactions	reaction	NOUN
ejde-666	33	10	,	,	PUNCT
ejde-666	33	11	the	the	DET
ejde-666	33	12	biological	biological	ADJ
ejde-666	33	13	bonding	bonding	NOUN
ejde-666	33	14	,	,	PUNCT
ejde-666	33	15	or	or	CCONJ
ejde-666	33	16	species	species	NOUN
ejde-666	33	17	interactions	interaction	NOUN
ejde-666	33	18	may	may	AUX
ejde-666	33	19	occur	occur	VERB
ejde-666	33	20	in	in	ADP
ejde-666	33	21	a	a	DET
ejde-666	33	22	narrow	narrow	ADJ
ejde-666	33	23	layer	layer	NOUN
ejde-666	33	24	or	or	CCONJ
ejde-666	33	25	region	region	NOUN
ejde-666	33	26	near	near	ADP
ejde-666	33	27	the	the	DET
ejde-666	33	28	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	33	29	.	.	PUNCT
ejde-666	34	1	in	in	ADP
ejde-666	34	2	such	such	ADJ
ejde-666	34	3	cases	case	NOUN
ejde-666	34	4	,	,	PUNCT
ejde-666	34	5	linear	linear	ADJ
ejde-666	34	6	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	34	7	conditions	condition	NOUN
ejde-666	34	8	are	be	AUX
ejde-666	34	9	deficient	deficient	ADJ
ejde-666	34	10	to	to	PART
ejde-666	34	11	describe	describe	VERB
ejde-666	34	12	the	the	DET
ejde-666	34	13	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	34	14	model	model	NOUN
ejde-666	34	15	(	(	PUNCT
ejde-666	34	16	see	see	VERB
ejde-666	34	17	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	34	18	[	[	X
ejde-666	34	19	5	5	NUM
ejde-666	34	20	,	,	PUNCT
ejde-666	34	21	10	10	NUM
ejde-666	34	22	,	,	PUNCT
ejde-666	34	23	13	13	NUM
ejde-666	34	24	,	,	PUNCT
ejde-666	34	25	16	16	NUM
ejde-666	34	26	,	,	PUNCT
ejde-666	34	27	22	22	NUM
ejde-666	34	28	,	,	PUNCT
ejde-666	34	29	21	21	NUM
ejde-666	34	30	]	]	PUNCT
ejde-666	34	31	and	and	CCONJ
ejde-666	34	32	the	the	DET
ejde-666	34	33	references	reference	NOUN
ejde-666	34	34	therein	therein	ADV
ejde-666	34	35	)	)	PUNCT
ejde-666	34	36	.	.	PUNCT
ejde-666	35	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	35	2	,	,	PUNCT
ejde-666	35	3	studying	study	VERB
ejde-666	35	4	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	35	5	problems	problem	NOUN
ejde-666	35	6	with	with	ADP
ejde-666	35	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	35	8	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	35	9	conditions	condition	NOUN
ejde-666	35	10	has	have	AUX
ejde-666	35	11	been	be	AUX
ejde-666	35	12	of	of	ADP
ejde-666	35	13	much	much	ADJ
ejde-666	35	14	interest	interest	NOUN
ejde-666	35	15	over	over	ADP
ejde-666	35	16	the	the	DET
ejde-666	35	17	past	past	ADJ
ejde-666	35	18	few	few	ADJ
ejde-666	35	19	decades	decade	NOUN
ejde-666	35	20	(	(	PUNCT
ejde-666	35	21	see	see	VERB
ejde-666	36	1	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	36	2	[	[	X
ejde-666	36	3	2	2	NUM
ejde-666	36	4	,	,	PUNCT
ejde-666	36	5	3	3	NUM
ejde-666	36	6	,	,	PUNCT
ejde-666	36	7	4	4	NUM
ejde-666	36	8	,	,	PUNCT
ejde-666	36	9	5	5	NUM
ejde-666	36	10	,	,	PUNCT
ejde-666	36	11	9	9	NUM
ejde-666	36	12	,	,	PUNCT
ejde-666	36	13	11	11	NUM
ejde-666	36	14	,	,	PUNCT
ejde-666	36	15	16	16	NUM
ejde-666	36	16	,	,	PUNCT
ejde-666	36	17	17	17	NUM
ejde-666	36	18	,	,	PUNCT
ejde-666	36	19	26	26	NUM
ejde-666	36	20	]	]	PUNCT
ejde-666	36	21	and	and	CCONJ
ejde-666	36	22	the	the	DET
ejde-666	36	23	references	reference	NOUN
ejde-666	36	24	therein	therein	ADV
ejde-666	36	25	)	)	PUNCT
ejde-666	36	26	.	.	PUNCT
ejde-666	37	1	in	in	ADP
ejde-666	37	2	[	[	X
ejde-666	37	3	4	4	X
ejde-666	37	4	]	]	PUNCT
ejde-666	37	5	the	the	DET
ejde-666	37	6	authors	author	NOUN
ejde-666	37	7	studied	study	VERB
ejde-666	37	8	the	the	DET
ejde-666	37	9	existence	existence	NOUN
ejde-666	37	10	of	of	ADP
ejde-666	37	11	a	a	DET
ejde-666	37	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	37	13	and	and	CCONJ
ejde-666	37	14	a	a	DET
ejde-666	37	15	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	37	16	weak	weak	ADJ
ejde-666	37	17	solution	solution	NOUN
ejde-666	37	18	between	between	ADP
ejde-666	37	19	ordered	order	VERB
ejde-666	37	20	pairs	pair	NOUN
ejde-666	37	21	of	of	ADP
ejde-666	37	22	sub	sub	NOUN
ejde-666	37	23	and	and	CCONJ
ejde-666	37	24	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	37	25	for	for	ADP
ejde-666	37	26	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	37	27	(	(	PUNCT
ejde-666	37	28	scalar	scalar	ADJ
ejde-666	37	29	)	)	PUNCT
ejde-666	37	30	equations	equation	NOUN
ejde-666	37	31	with	with	ADP
ejde-666	37	32	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	37	33	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	37	34	conditions	condition	NOUN
ejde-666	37	35	for	for	ADP
ejde-666	37	36	both	both	CCONJ
ejde-666	37	37	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	37	38	and	and	CCONJ
ejde-666	37	39	nonmonotone	nonmonotone	NOUN
ejde-666	37	40	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	37	41	.	.	PUNCT
ejde-666	38	1	the	the	DET
ejde-666	38	2	aim	aim	NOUN
ejde-666	38	3	of	of	ADP
ejde-666	38	4	this	this	DET
ejde-666	38	5	paper	paper	NOUN
ejde-666	38	6	is	be	AUX
ejde-666	38	7	to	to	PART
ejde-666	38	8	extend	extend	VERB
ejde-666	38	9	the	the	DET
ejde-666	38	10	results	result	NOUN
ejde-666	38	11	to	to	ADP
ejde-666	38	12	the	the	DET
ejde-666	38	13	case	case	NOUN
ejde-666	38	14	of	of	ADP
ejde-666	38	15	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	38	16	systems	system	NOUN
ejde-666	38	17	with	with	ADP
ejde-666	38	18	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	38	19	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	38	20	on	on	ADP
ejde-666	38	21	the	the	DET
ejde-666	38	22	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	38	23	,	,	PUNCT
ejde-666	38	24	and	and	CCONJ
ejde-666	38	25	approximate	approximate	VERB
ejde-666	38	26	these	these	DET
ejde-666	38	27	solutions	solution	NOUN
ejde-666	38	28	using	use	VERB
ejde-666	38	29	the	the	DET
ejde-666	38	30	finite	finite	ADJ
ejde-666	38	31	difference	difference	NOUN
ejde-666	38	32	method	method	NOUN
ejde-666	38	33	.	.	PUNCT
ejde-666	39	1	we	we	PRON
ejde-666	39	2	shall	shall	AUX
ejde-666	39	3	point	point	VERB
ejde-666	39	4	out	out	ADP
ejde-666	39	5	that	that	SCONJ
ejde-666	39	6	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	39	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	39	8	systems	system	NOUN
ejde-666	39	9	have	have	AUX
ejde-666	39	10	been	be	AUX
ejde-666	39	11	studied	study	VERB
ejde-666	39	12	by	by	ADP
ejde-666	39	13	several	several	ADJ
ejde-666	39	14	authors	author	NOUN
ejde-666	39	15	,	,	PUNCT
ejde-666	39	16	we	we	PRON
ejde-666	39	17	refer	refer	VERB
ejde-666	39	18	to	to	ADP
ejde-666	39	19	[	[	X
ejde-666	39	20	7	7	NUM
ejde-666	39	21	,	,	PUNCT
ejde-666	39	22	18	18	NUM
ejde-666	39	23	,	,	PUNCT
ejde-666	39	24	22	22	NUM
ejde-666	39	25	]	]	PUNCT
ejde-666	39	26	.	.	PUNCT
ejde-666	40	1	in	in	ADP
ejde-666	40	2	[	[	X
ejde-666	40	3	18	18	NUM
ejde-666	40	4	]	]	PUNCT
ejde-666	40	5	,	,	PUNCT
ejde-666	40	6	the	the	DET
ejde-666	40	7	authors	author	NOUN
ejde-666	40	8	proved	prove	VERB
ejde-666	40	9	the	the	DET
ejde-666	40	10	existence	existence	NOUN
ejde-666	40	11	of	of	ADP
ejde-666	40	12	a	a	DET
ejde-666	40	13	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	40	14	weak	weak	ADJ
ejde-666	40	15	solution	solution	NOUN
ejde-666	40	16	between	between	ADP
ejde-666	40	17	ordered	order	VERB
ejde-666	40	18	pairs	pair	NOUN
ejde-666	40	19	of	of	ADP
ejde-666	40	20	sub	sub	NOUN
ejde-666	40	21	and	and	CCONJ
ejde-666	40	22	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	40	23	for	for	ADP
ejde-666	40	24	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	40	25	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	40	26	systems	system	NOUN
ejde-666	40	27	with	with	ADP
ejde-666	40	28	linear	linear	PROPN
ejde-666	40	29	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	40	30	conditions	condition	NOUN
ejde-666	40	31	,	,	PUNCT
ejde-666	40	32	namely	namely	ADV
ejde-666	40	33	,	,	PUNCT
ejde-666	40	34	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-666	40	35	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	40	36	conditions	condition	NOUN
ejde-666	40	37	.	.	PUNCT
ejde-666	41	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-666	41	2	,	,	PUNCT
ejde-666	41	3	they	they	PRON
ejde-666	41	4	assumed	assume	VERB
ejde-666	41	5	that	that	SCONJ
ejde-666	41	6	the	the	DET
ejde-666	41	7	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	41	8	are	be	AUX
ejde-666	41	9	not	not	PART
ejde-666	41	10	necessarily	necessarily	ADV
ejde-666	41	11	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-666	41	12	or	or	CCONJ
ejde-666	41	13	even	even	ADV
ejde-666	41	14	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	41	15	.	.	PUNCT
ejde-666	42	1	in	in	ADP
ejde-666	42	2	such	such	DET
ejde-666	42	3	a	a	DET
ejde-666	42	4	case	case	NOUN
ejde-666	42	5	the	the	DET
ejde-666	42	6	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	42	7	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	42	8	procedure	procedure	NOUN
ejde-666	42	9	is	be	AUX
ejde-666	42	10	not	not	PART
ejde-666	42	11	applicable	applicable	ADJ
ejde-666	42	12	,	,	PUNCT
ejde-666	42	13	and	and	CCONJ
ejde-666	42	14	the	the	DET
ejde-666	42	15	main	main	ADJ
ejde-666	42	16	ingredient	ingredient	NOUN
ejde-666	42	17	is	be	AUX
ejde-666	42	18	the	the	DET
ejde-666	42	19	use	use	NOUN
ejde-666	42	20	of	of	ADP
ejde-666	42	21	pseudomonotone	pseudomonotone	PROPN
ejde-666	42	22	operators	operator	NOUN
ejde-666	42	23	theory	theory	NOUN
ejde-666	42	24	.	.	PUNCT
ejde-666	43	1	as	as	ADP
ejde-666	43	2	for	for	ADP
ejde-666	43	3	[	[	X
ejde-666	43	4	7	7	X
ejde-666	43	5	]	]	PUNCT
ejde-666	43	6	the	the	DET
ejde-666	43	7	author	author	NOUN
ejde-666	43	8	extended	extend	VERB
ejde-666	43	9	the	the	DET
ejde-666	43	10	results	result	NOUN
ejde-666	43	11	in	in	ADP
ejde-666	43	12	[	[	X
ejde-666	43	13	18	18	NUM
ejde-666	43	14	]	]	PUNCT
ejde-666	43	15	to	to	ADP
ejde-666	43	16	the	the	DET
ejde-666	43	17	p	p	PROPN
ejde-666	43	18	-	-	PUNCT
ejde-666	43	19	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-666	43	20	case	case	NOUN
ejde-666	43	21	but	but	CCONJ
ejde-666	43	22	still	still	ADV
ejde-666	43	23	with	with	ADP
ejde-666	43	24	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-666	43	25	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	43	26	conditions	condition	NOUN
ejde-666	43	27	.	.	PUNCT
ejde-666	44	1	the	the	DET
ejde-666	44	2	author	author	NOUN
ejde-666	44	3	in	in	ADP
ejde-666	44	4	[	[	X
ejde-666	44	5	22	22	NUM
ejde-666	44	6	]	]	PUNCT
ejde-666	44	7	considered	consider	VERB
ejde-666	44	8	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	44	9	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	44	10	systems	system	NOUN
ejde-666	44	11	with	with	ADP
ejde-666	44	12	smooth	smooth	ADJ
ejde-666	44	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	44	14	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	44	15	conditions	condition	NOUN
ejde-666	44	16	,	,	PUNCT
ejde-666	44	17	and	and	CCONJ
ejde-666	44	18	they	they	PRON
ejde-666	44	19	proved	prove	VERB
ejde-666	44	20	the	the	DET
ejde-666	44	21	existence	existence	NOUN
ejde-666	44	22	of	of	ADP
ejde-666	44	23	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	44	24	and	and	CCONJ
ejde-666	44	25	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	44	26	classical	classical	ADJ
ejde-666	44	27	solutions	solution	NOUN
ejde-666	44	28	using	use	VERB
ejde-666	44	29	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	44	30	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	44	31	methods	method	NOUN
ejde-666	44	32	.	.	PUNCT
ejde-666	45	1	here	here	ADV
ejde-666	45	2	,	,	PUNCT
ejde-666	45	3	we	we	PRON
ejde-666	45	4	address	address	VERB
ejde-666	45	5	the	the	DET
ejde-666	45	6	existence	existence	NOUN
ejde-666	45	7	of	of	ADP
ejde-666	45	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	45	9	and	and	CCONJ
ejde-666	45	10	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	45	11	weak	weak	ADJ
ejde-666	45	12	solutions	solution	NOUN
ejde-666	45	13	for	for	ADP
ejde-666	45	14	(	(	PUNCT
ejde-666	45	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	45	16	)	)	PUNCT
ejde-666	45	17	assuming	assume	VERB
ejde-666	45	18	that	that	SCONJ
ejde-666	45	19	the	the	DET
ejde-666	45	20	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	45	21	are	be	AUX
ejde-666	45	22	carathéodory	carathéodory	ADJ
ejde-666	45	23	.	.	PUNCT
ejde-666	46	1	throughout	throughout	ADP
ejde-666	46	2	this	this	DET
ejde-666	46	3	paper	paper	NOUN
ejde-666	46	4	h1(ω	h1(ω	NOUN
ejde-666	46	5	)	)	PUNCT
ejde-666	46	6	denotes	denote	VERB
ejde-666	46	7	the	the	DET
ejde-666	46	8	usual	usual	ADJ
ejde-666	46	9	real	real	ADJ
ejde-666	46	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-666	46	11	space	space	NOUN
ejde-666	46	12	of	of	ADP
ejde-666	46	13	functions	function	NOUN
ejde-666	46	14	on	on	ADP
ejde-666	46	15	ω	ω	NUM
ejde-666	46	16	;	;	PUNCT
ejde-666	46	17	the	the	DET
ejde-666	46	18	product	product	NOUN
ejde-666	46	19	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-666	46	20	space	space	PROPN
ejde-666	46	21	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	46	22	)	)	PUNCT
ejde-666	46	23	×	×	NOUN
ejde-666	46	24	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	46	25	)	)	PUNCT
ejde-666	46	26	will	will	AUX
ejde-666	46	27	be	be	AUX
ejde-666	46	28	denoted	denote	VERB
ejde-666	46	29	by	by	ADP
ejde-666	46	30	(	(	PUNCT
ejde-666	46	31	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	46	32	and	and	CCONJ
ejde-666	46	33	is	be	AUX
ejde-666	46	34	endowed	endow	VERB
ejde-666	46	35	with	with	ADP
ejde-666	46	36	the	the	DET
ejde-666	46	37	norm	norm	NOUN
ejde-666	46	38	∥(u1	∥(u1	ADV
ejde-666	46	39	,	,	PUNCT
ejde-666	46	40	u2)∥(h1(ω))2	u2)∥(h1(ω))2	NUM
ejde-666	47	1	:	:	PUNCT
ejde-666	47	2	=	=	SYM
ejde-666	47	3	∥u1∥h1(ω	∥u1∥h1(ω	NOUN
ejde-666	47	4	)	)	PUNCT
ejde-666	47	5	+	+	NUM
ejde-666	47	6	∥u2∥h1(ω	∥u2∥h1(ω	NUM
ejde-666	47	7	)	)	PUNCT
ejde-666	47	8	.	.	PUNCT
ejde-666	48	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	48	2	,	,	PUNCT
ejde-666	48	3	the	the	DET
ejde-666	48	4	product	product	NOUN
ejde-666	48	5	space	space	NOUN
ejde-666	48	6	(	(	PUNCT
ejde-666	48	7	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	48	8	is	be	AUX
ejde-666	48	9	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-666	48	10	as	as	ADP
ejde-666	48	11	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	48	12	)	)	PUNCT
ejde-666	48	13	is	be	AUX
ejde-666	48	14	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-666	48	15	(	(	PUNCT
ejde-666	48	16	see	see	VERB
ejde-666	48	17	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	48	18	[	[	X
ejde-666	48	19	12	12	NUM
ejde-666	48	20	,	,	PUNCT
ejde-666	48	21	p.15	p.15	NOUN
ejde-666	48	22	]	]	NOUN
ejde-666	48	23	)	)	PUNCT
ejde-666	48	24	.	.	PUNCT
ejde-666	49	1	besides	besides	SCONJ
ejde-666	49	2	the	the	DET
ejde-666	49	3	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-666	49	4	spaces	space	VERB
ejde-666	49	5	,	,	PUNCT
ejde-666	49	6	we	we	PRON
ejde-666	49	7	use	use	VERB
ejde-666	49	8	the	the	DET
ejde-666	49	9	real	real	ADJ
ejde-666	49	10	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-666	49	11	space	space	NOUN
ejde-666	49	12	lq(∂ω	lq(∂ω	PROPN
ejde-666	49	13	)	)	PUNCT
ejde-666	49	14	,	,	PUNCT
ejde-666	49	15	and	and	CCONJ
ejde-666	49	16	the	the	DET
ejde-666	49	17	compactness	compactness	NOUN
ejde-666	49	18	of	of	ADP
ejde-666	49	19	the	the	DET
ejde-666	49	20	trace	trace	NOUN
ejde-666	49	21	operator	operator	NOUN
ejde-666	49	22	γ	γ	X
ejde-666	49	23	:	:	PUNCT
ejde-666	49	24	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	49	25	)	)	PUNCT
ejde-666	49	26	→	→	SYM
ejde-666	49	27	lq(∂ω	lq(∂ω	NOUN
ejde-666	49	28	)	)	PUNCT
ejde-666	49	29	with	with	ADP
ejde-666	49	30	γu	γu	NOUN
ejde-666	49	31	=	=	PUNCT
ejde-666	49	32	u|∂ω	u|∂ω	PROPN
ejde-666	49	33	(	(	PUNCT
ejde-666	49	34	see	see	VERB
ejde-666	49	35	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	49	36	[	[	X
ejde-666	49	37	1	1	NUM
ejde-666	49	38	,	,	PUNCT
ejde-666	49	39	8	8	NUM
ejde-666	49	40	]	]	PUNCT
ejde-666	49	41	,	,	PUNCT
ejde-666	49	42	[	[	X
ejde-666	49	43	6	6	NUM
ejde-666	49	44	,	,	PUNCT
ejde-666	49	45	thm	thm	PROPN
ejde-666	49	46	2.79	2.79	NUM
ejde-666	49	47	]	]	PUNCT
ejde-666	49	48	,	,	PUNCT
ejde-666	49	49	and	and	CCONJ
ejde-666	49	50	[	[	X
ejde-666	49	51	12	12	NUM
ejde-666	49	52	,	,	PUNCT
ejde-666	49	53	chapter	chapter	NOUN
ejde-666	49	54	6	6	NUM
ejde-666	49	55	]	]	PUNCT
ejde-666	49	56	)	)	PUNCT
ejde-666	49	57	,	,	PUNCT
ejde-666	49	58	that	that	ADV
ejde-666	49	59	is	is	ADV
ejde-666	49	60	,	,	PUNCT
ejde-666	49	61	γ	γ	X
ejde-666	49	62	is	be	AUX
ejde-666	49	63	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	49	64	(	(	PUNCT
ejde-666	49	65	compact	compact	ADJ
ejde-666	49	66	)	)	PUNCT
ejde-666	49	67	if	if	SCONJ
ejde-666	49	68	1	1	NUM
ejde-666	49	69	≤	≤	NUM
ejde-666	49	70	q	q	ADJ
ejde-666	49	71	≤	≤	NUM
ejde-666	49	72	2(n	2(n	NUM
ejde-666	49	73	−	−	NOUN
ejde-666	49	74	1	1	NUM
ejde-666	49	75	)	)	PUNCT
ejde-666	49	76	n	n	CCONJ
ejde-666	49	77	−	−	PROPN
ejde-666	49	78	2	2	NUM
ejde-666	49	79	(	(	PUNCT
ejde-666	49	80	1	1	NUM
ejde-666	49	81	≤	≤	NOUN
ejde-666	49	82	q	q	NOUN
ejde-666	49	83	<	<	X
ejde-666	49	84	2(n	2(n	NUM
ejde-666	49	85	−	−	NUM
ejde-666	49	86	1	1	NUM
ejde-666	49	87	)	)	PUNCT
ejde-666	49	88	n	n	CCONJ
ejde-666	49	89	−	−	PROPN
ejde-666	49	90	2	2	NUM
ejde-666	49	91	)	)	PUNCT
ejde-666	49	92	,	,	PUNCT
ejde-666	49	93	if	if	SCONJ
ejde-666	49	94	n	n	PROPN
ejde-666	49	95	>	>	X
ejde-666	49	96	2	2	NUM
ejde-666	49	97	,	,	PUNCT
ejde-666	49	98	1	1	NUM
ejde-666	49	99	≤	≤	NOUN
ejde-666	49	100	q	q	PUNCT
ejde-666	49	101	(	(	PUNCT
ejde-666	49	102	1	1	NUM
ejde-666	49	103	≤	≤	NUM
ejde-666	49	104	q	q	NOUN
ejde-666	49	105	)	)	PUNCT
ejde-666	49	106	if	if	SCONJ
ejde-666	49	107	n	n	NOUN
ejde-666	49	108	=	=	SYM
ejde-666	49	109	2	2	X
ejde-666	49	110	.	.	PUNCT
ejde-666	49	111	(	(	PUNCT
ejde-666	49	112	1.2	1.2	NUM
ejde-666	49	113	)	)	PUNCT
ejde-666	49	114	to	to	PART
ejde-666	49	115	keep	keep	VERB
ejde-666	49	116	the	the	DET
ejde-666	49	117	notation	notation	NOUN
ejde-666	49	118	simple	simple	NOUN
ejde-666	49	119	,	,	PUNCT
ejde-666	49	120	we	we	PRON
ejde-666	49	121	will	will	AUX
ejde-666	49	122	use	use	VERB
ejde-666	49	123	the	the	DET
ejde-666	49	124	following	following	NOUN
ejde-666	49	125	:	:	PUNCT
ejde-666	49	126	u	u	NOUN
ejde-666	49	127	:	:	PUNCT
ejde-666	49	128	=	=	SYM
ejde-666	49	129	(	(	PUNCT
ejde-666	49	130	u1	u1	PROPN
ejde-666	49	131	,	,	PUNCT
ejde-666	49	132	u2	u2	PROPN
ejde-666	49	133	)	)	PUNCT
ejde-666	49	134	,	,	PUNCT
ejde-666	49	135	u	u	NOUN
ejde-666	49	136	:	:	PUNCT
ejde-666	49	137	=	=	SYM
ejde-666	49	138	(	(	PUNCT
ejde-666	49	139	u1	u1	PROPN
ejde-666	49	140	,	,	PUNCT
ejde-666	49	141	u2	u2	PROPN
ejde-666	49	142	)	)	PUNCT
ejde-666	49	143	and	and	CCONJ
ejde-666	49	144	u	u	NOUN
ejde-666	49	145	:	:	PUNCT
ejde-666	49	146	=	=	SYM
ejde-666	49	147	(	(	PUNCT
ejde-666	49	148	u1	u1	PROPN
ejde-666	49	149	,	,	PUNCT
ejde-666	49	150	u2	u2	PROPN
ejde-666	49	151	)	)	PUNCT
ejde-666	49	152	.	.	PUNCT
ejde-666	50	1	the	the	DET
ejde-666	50	2	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	50	3	u	u	PROPN
ejde-666	50	4	≤	≤	X
ejde-666	50	5	v	v	NOUN
ejde-666	50	6	means	mean	VERB
ejde-666	50	7	ui(x	ui(x	NUM
ejde-666	50	8	)	)	PUNCT
ejde-666	50	9	≤	≤	NUM
ejde-666	50	10	vi(x	vi(x	NOUN
ejde-666	50	11	)	)	PUNCT
ejde-666	51	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	51	2	.	.	PUNCT
ejde-666	51	3	x	x	PUNCT
ejde-666	51	4	∈	∈	PROPN
ejde-666	51	5	ω	ω	PROPN
ejde-666	51	6	and	and	CCONJ
ejde-666	51	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	51	8	.	.	PROPN
ejde-666	52	1	x	x	SYM
ejde-666	52	2	∈	∈	PROPN
ejde-666	52	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	52	4	for	for	ADP
ejde-666	52	5	each	each	DET
ejde-666	52	6	i	i	NOUN
ejde-666	52	7	=	=	NOUN
ejde-666	52	8	1	1	NUM
ejde-666	52	9	,	,	PUNCT
ejde-666	52	10	2	2	NUM
ejde-666	52	11	.	.	X
ejde-666	52	12	definition	definition	NOUN
ejde-666	52	13	1.1	1.1	NUM
ejde-666	52	14	.	.	PUNCT
ejde-666	53	1	we	we	PRON
ejde-666	53	2	say	say	VERB
ejde-666	53	3	that	that	SCONJ
ejde-666	53	4	a	a	DET
ejde-666	53	5	function	function	NOUN
ejde-666	53	6	(	(	PUNCT
ejde-666	53	7	u1	u1	NOUN
ejde-666	53	8	,	,	PUNCT
ejde-666	53	9	u2	u2	PROPN
ejde-666	53	10	)	)	PUNCT
ejde-666	53	11	∈	∈	PROPN
ejde-666	53	12	(	(	PUNCT
ejde-666	53	13	h1(ω))2	h1(ω))2	PROPN
ejde-666	53	14	is	be	AUX
ejde-666	53	15	a	a	DET
ejde-666	53	16	weak	weak	ADJ
ejde-666	53	17	solution	solution	NOUN
ejde-666	53	18	to	to	ADP
ejde-666	53	19	(	(	PUNCT
ejde-666	53	20	1.1	1.1	NUM
ejde-666	53	21	)	)	PUNCT
ejde-666	53	22	if	if	SCONJ
ejde-666	53	23	(	(	PUNCT
ejde-666	53	24	i	i	NOUN
ejde-666	53	25	)	)	PUNCT
ejde-666	53	26	for	for	ADP
ejde-666	53	27	every	every	DET
ejde-666	53	28	i	i	NOUN
ejde-666	53	29	=	=	NOUN
ejde-666	53	30	1	1	NUM
ejde-666	53	31	,	,	PUNCT
ejde-666	53	32	2	2	NUM
ejde-666	53	33	,	,	PUNCT
ejde-666	53	34	fi	fi	NOUN
ejde-666	53	35	(	(	PUNCT
ejde-666	53	36	·	·	PUNCT
ejde-666	53	37	,	,	PUNCT
ejde-666	53	38	u1	u1	PROPN
ejde-666	53	39	(	(	PUNCT
ejde-666	53	40	·	·	PUNCT
ejde-666	53	41	)	)	PUNCT
ejde-666	53	42	,	,	PUNCT
ejde-666	53	43	u2	u2	PROPN
ejde-666	53	44	(	(	PUNCT
ejde-666	53	45	·	·	PUNCT
ejde-666	53	46	)	)	PUNCT
ejde-666	53	47	)	)	PUNCT
ejde-666	53	48	∈	∈	PROPN
ejde-666	53	49	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	53	50	)	)	PUNCT
ejde-666	53	51	for	for	ADP
ejde-666	53	52	some	some	DET
ejde-666	53	53	r	r	NOUN
ejde-666	53	54	>	>	SYM
ejde-666	53	55	1	1	NUM
ejde-666	53	56	ifn	ifn	NOUN
ejde-666	53	57	=	=	SYM
ejde-666	53	58	2	2	NUM
ejde-666	53	59	and	and	CCONJ
ejde-666	53	60	fi	fi	NOUN
ejde-666	53	61	(	(	PUNCT
ejde-666	53	62	·	·	PUNCT
ejde-666	53	63	,	,	PUNCT
ejde-666	53	64	u1	u1	PROPN
ejde-666	53	65	(	(	PUNCT
ejde-666	53	66	·	·	PUNCT
ejde-666	53	67	)	)	PUNCT
ejde-666	53	68	,	,	PUNCT
ejde-666	53	69	u2	u2	PROPN
ejde-666	53	70	(	(	PUNCT
ejde-666	53	71	·	·	PUNCT
ejde-666	53	72	)	)	PUNCT
ejde-666	53	73	)	)	PUNCT
ejde-666	54	1	∈	∈	PROPN
ejde-666	54	2	l	l	X
ejde-666	54	3	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	54	4	)	)	PUNCT
ejde-666	54	5	n	n	CCONJ
ejde-666	54	6	(	(	PUNCT
ejde-666	54	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	54	8	)	)	PUNCT
ejde-666	54	9	if	if	SCONJ
ejde-666	54	10	n	n	PROPN
ejde-666	54	11	>	>	X
ejde-666	54	12	2	2	NUM
ejde-666	54	13	and	and	CCONJ
ejde-666	54	14	(	(	PUNCT
ejde-666	54	15	ii	ii	PROPN
ejde-666	54	16	)	)	PUNCT
ejde-666	54	17	∫	∫	PROPN
ejde-666	54	18	ω	ω	PROPN
ejde-666	54	19	(	(	PUNCT
ejde-666	54	20	∇ui∇ψ	∇ui∇ψ	X
ejde-666	54	21	+	+	X
ejde-666	54	22	uiψ	uiψ	ADJ
ejde-666	54	23	)	)	PUNCT
ejde-666	54	24	=	=	SYM
ejde-666	54	25	∫	∫	PROPN
ejde-666	55	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	55	2	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	55	3	,	,	PUNCT
ejde-666	55	4	u1	u1	NOUN
ejde-666	55	5	,	,	PUNCT
ejde-666	55	6	u2)ψ	u2)ψ	ADJ
ejde-666	55	7	for	for	ADP
ejde-666	55	8	all	all	PRON
ejde-666	55	9	ψ	ψ	PRON
ejde-666	55	10	∈	∈	PROPN
ejde-666	55	11	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	55	12	)	)	PUNCT
ejde-666	55	13	.	.	PUNCT
ejde-666	56	1	definition	definition	NOUN
ejde-666	56	2	1.2	1.2	NUM
ejde-666	56	3	.	.	PUNCT
ejde-666	57	1	we	we	PRON
ejde-666	57	2	say	say	VERB
ejde-666	57	3	that	that	SCONJ
ejde-666	57	4	a	a	DET
ejde-666	57	5	function	function	NOUN
ejde-666	57	6	(	(	PUNCT
ejde-666	57	7	u1	u1	NOUN
ejde-666	57	8	,	,	PUNCT
ejde-666	57	9	u2	u2	PROPN
ejde-666	57	10	)	)	PUNCT
ejde-666	57	11	∈	∈	PROPN
ejde-666	57	12	(	(	PUNCT
ejde-666	57	13	h1(ω))2	h1(ω))2	PROPN
ejde-666	57	14	is	be	AUX
ejde-666	57	15	a	a	DET
ejde-666	57	16	weak	weak	ADJ
ejde-666	57	17	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	57	18	to	to	ADP
ejde-666	57	19	(	(	PUNCT
ejde-666	57	20	1.1	1.1	NUM
ejde-666	57	21	)	)	PUNCT
ejde-666	57	22	if	if	SCONJ
ejde-666	57	23	(	(	PUNCT
ejde-666	57	24	i	i	NOUN
ejde-666	57	25	)	)	PUNCT
ejde-666	57	26	for	for	ADP
ejde-666	57	27	every	every	DET
ejde-666	57	28	i	i	NOUN
ejde-666	57	29	=	=	NOUN
ejde-666	57	30	1	1	NUM
ejde-666	57	31	,	,	PUNCT
ejde-666	57	32	2	2	NUM
ejde-666	57	33	,	,	PUNCT
ejde-666	57	34	fi	fi	NOUN
ejde-666	57	35	(	(	PUNCT
ejde-666	57	36	·	·	PUNCT
ejde-666	57	37	,	,	PUNCT
ejde-666	57	38	u1	u1	PROPN
ejde-666	57	39	(	(	PUNCT
ejde-666	57	40	·	·	PUNCT
ejde-666	57	41	)	)	PUNCT
ejde-666	57	42	,	,	PUNCT
ejde-666	57	43	u2	u2	PROPN
ejde-666	57	44	(	(	PUNCT
ejde-666	57	45	·	·	PUNCT
ejde-666	57	46	)	)	PUNCT
ejde-666	57	47	)	)	PUNCT
ejde-666	57	48	∈	∈	PROPN
ejde-666	57	49	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	57	50	)	)	PUNCT
ejde-666	57	51	for	for	ADP
ejde-666	57	52	some	some	DET
ejde-666	57	53	r	r	NOUN
ejde-666	57	54	>	>	SYM
ejde-666	57	55	1	1	NUM
ejde-666	57	56	ifn	ifn	NOUN
ejde-666	57	57	=	=	SYM
ejde-666	57	58	2	2	NUM
ejde-666	57	59	and	and	CCONJ
ejde-666	57	60	fi	fi	NOUN
ejde-666	57	61	(	(	PUNCT
ejde-666	57	62	·	·	PUNCT
ejde-666	57	63	,	,	PUNCT
ejde-666	57	64	u1	u1	PROPN
ejde-666	57	65	(	(	PUNCT
ejde-666	57	66	·	·	PUNCT
ejde-666	57	67	)	)	PUNCT
ejde-666	57	68	,	,	PUNCT
ejde-666	57	69	u2	u2	PROPN
ejde-666	57	70	(	(	PUNCT
ejde-666	57	71	·	·	PUNCT
ejde-666	57	72	)	)	PUNCT
ejde-666	57	73	)	)	PUNCT
ejde-666	58	1	∈	∈	PROPN
ejde-666	58	2	l	l	X
ejde-666	58	3	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	58	4	)	)	PUNCT
ejde-666	58	5	n	n	CCONJ
ejde-666	58	6	(	(	PUNCT
ejde-666	58	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	58	8	)	)	PUNCT
ejde-666	58	9	if	if	SCONJ
ejde-666	58	10	n	n	PROPN
ejde-666	58	11	>	>	X
ejde-666	58	12	2	2	NUM
ejde-666	58	13	and	and	CCONJ
ejde-666	58	14	(	(	PUNCT
ejde-666	58	15	ii	ii	PROPN
ejde-666	58	16	)	)	PUNCT
ejde-666	58	17	∫	∫	PROPN
ejde-666	58	18	ω	ω	PROPN
ejde-666	58	19	(	(	PUNCT
ejde-666	58	20	∇ui∇ψ	∇ui∇ψ	X
ejde-666	58	21	+	+	CCONJ
ejde-666	58	22	uiψ	uiψ	ADJ
ejde-666	58	23	)	)	PUNCT
ejde-666	58	24	≥	≥	NOUN
ejde-666	58	25	∫	∫	PROPN
ejde-666	59	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	59	2	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	59	3	,	,	PUNCT
ejde-666	59	4	u1	u1	NOUN
ejde-666	59	5	,	,	PUNCT
ejde-666	59	6	u2)ψ	u2)ψ	ADJ
ejde-666	59	7	for	for	ADP
ejde-666	59	8	all	all	PRON
ejde-666	59	9	0	0	NUM
ejde-666	59	10	≤	≤	NOUN
ejde-666	59	11	ψ	ψ	ADP
ejde-666	59	12	∈	∈	PROPN
ejde-666	59	13	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	59	14	)	)	PUNCT
ejde-666	59	15	.	.	PUNCT
ejde-666	60	1	a	a	DET
ejde-666	60	2	weak	weak	ADJ
ejde-666	60	3	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	60	4	(	(	PUNCT
ejde-666	60	5	u1	u1	NOUN
ejde-666	60	6	,	,	PUNCT
ejde-666	60	7	u2	u2	PROPN
ejde-666	60	8	)	)	PUNCT
ejde-666	60	9	is	be	AUX
ejde-666	60	10	defined	define	VERB
ejde-666	60	11	by	by	ADP
ejde-666	60	12	reversing	reverse	VERB
ejde-666	60	13	the	the	DET
ejde-666	60	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	60	15	in	in	ADP
ejde-666	60	16	(	(	PUNCT
ejde-666	60	17	ii	ii	NOUN
ejde-666	60	18	)	)	PUNCT
ejde-666	60	19	above	above	ADV
ejde-666	60	20	.	.	PUNCT
ejde-666	61	1	observe	observe	VERB
ejde-666	61	2	that	that	SCONJ
ejde-666	61	3	the	the	DET
ejde-666	61	4	integrals	integral	NOUN
ejde-666	61	5	on	on	ADP
ejde-666	61	6	the	the	DET
ejde-666	61	7	right	right	ADJ
ejde-666	61	8	hand	hand	NOUN
ejde-666	61	9	side	side	NOUN
ejde-666	61	10	of	of	ADP
ejde-666	61	11	(	(	PUNCT
ejde-666	61	12	ii	ii	NOUN
ejde-666	61	13	)	)	PUNCT
ejde-666	61	14	of	of	ADP
ejde-666	61	15	definition	definition	NOUN
ejde-666	61	16	1.1	1.1	NUM
ejde-666	61	17	and	and	CCONJ
ejde-666	61	18	definition	definition	NOUN
ejde-666	61	19	1.2	1.2	NUM
ejde-666	61	20	make	make	VERB
ejde-666	61	21	sense	sense	NOUN
ejde-666	61	22	since	since	SCONJ
ejde-666	61	23	(	(	PUNCT
ejde-666	61	24	i	i	NOUN
ejde-666	61	25	)	)	PUNCT
ejde-666	61	26	holds	hold	VERB
ejde-666	61	27	and	and	CCONJ
ejde-666	61	28	r	r	NOUN
ejde-666	61	29	=	=	SYM
ejde-666	61	30	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	61	31	)	)	PUNCT
ejde-666	61	32	n	n	PRON
ejde-666	61	33	is	be	AUX
ejde-666	61	34	the	the	DET
ejde-666	61	35	conjugate	conjugate	NOUN
ejde-666	61	36	of	of	ADP
ejde-666	61	37	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	61	38	)	)	PUNCT
ejde-666	61	39	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	61	40	when	when	SCONJ
ejde-666	61	41	n	n	X
ejde-666	61	42	>	>	X
ejde-666	61	43	2	2	X
ejde-666	61	44	.	.	PUNCT
ejde-666	61	45	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	61	46	existence	existence	NOUN
ejde-666	61	47	of	of	ADP
ejde-666	61	48	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	61	49	and	and	CCONJ
ejde-666	61	50	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	61	51	weak	weak	ADJ
ejde-666	61	52	solutions	solution	NOUN
ejde-666	61	53	3	3	NUM
ejde-666	61	54	in	in	ADP
ejde-666	61	55	what	what	PRON
ejde-666	61	56	follows	follow	VERB
ejde-666	61	57	,	,	PUNCT
ejde-666	61	58	we	we	PRON
ejde-666	61	59	state	state	VERB
ejde-666	61	60	our	our	PRON
ejde-666	61	61	main	main	ADJ
ejde-666	61	62	results	result	NOUN
ejde-666	61	63	which	which	PRON
ejde-666	61	64	include	include	VERB
ejde-666	61	65	the	the	DET
ejde-666	61	66	case	case	NOUN
ejde-666	61	67	where	where	SCONJ
ejde-666	61	68	the	the	DET
ejde-666	61	69	fi	fi	NOUN
ejde-666	61	70	’s	’s	PART
ejde-666	61	71	are	be	AUX
ejde-666	61	72	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	61	73	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	61	74	in	in	ADP
ejde-666	61	75	both	both	DET
ejde-666	61	76	variables	variable	NOUN
ejde-666	61	77	u1	u1	NOUN
ejde-666	61	78	and	and	CCONJ
ejde-666	61	79	u2	u2	PROPN
ejde-666	61	80	(	(	PUNCT
ejde-666	61	81	see	see	VERB
ejde-666	61	82	theorem	theorem	VERB
ejde-666	61	83	1.3	1.3	NUM
ejde-666	61	84	)	)	PUNCT
ejde-666	61	85	and	and	CCONJ
ejde-666	61	86	the	the	DET
ejde-666	61	87	case	case	NOUN
ejde-666	61	88	where	where	SCONJ
ejde-666	61	89	the	the	DET
ejde-666	61	90	fi	fi	NOUN
ejde-666	61	91	’s	’s	PART
ejde-666	61	92	are	be	AUX
ejde-666	61	93	nonmonotone	nonmonotone	VERB
ejde-666	61	94	in	in	ADP
ejde-666	61	95	one	one	NUM
ejde-666	61	96	of	of	ADP
ejde-666	61	97	the	the	DET
ejde-666	61	98	variables	variable	NOUN
ejde-666	61	99	(	(	PUNCT
ejde-666	61	100	see	see	VERB
ejde-666	61	101	theorem	theorem	VERB
ejde-666	61	102	1.4	1.4	NUM
ejde-666	61	103	)	)	PUNCT
ejde-666	61	104	.	.	PUNCT
ejde-666	62	1	theorem	theorem	VERB
ejde-666	62	2	1.3	1.3	NUM
ejde-666	62	3	.	.	PUNCT
ejde-666	63	1	assume	assume	VERB
ejde-666	63	2	that	that	SCONJ
ejde-666	63	3	there	there	PRON
ejde-666	63	4	exist	exist	VERB
ejde-666	63	5	a	a	DET
ejde-666	63	6	weak	weak	ADJ
ejde-666	63	7	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	63	8	(	(	PUNCT
ejde-666	63	9	u1	u1	NOUN
ejde-666	63	10	,	,	PUNCT
ejde-666	63	11	u2	u2	PROPN
ejde-666	63	12	)	)	PUNCT
ejde-666	63	13	and	and	CCONJ
ejde-666	63	14	a	a	DET
ejde-666	63	15	weak	weak	ADJ
ejde-666	63	16	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	63	17	(	(	PUNCT
ejde-666	63	18	u1	u1	NOUN
ejde-666	63	19	,	,	PUNCT
ejde-666	63	20	u2	u2	PROPN
ejde-666	63	21	)	)	PUNCT
ejde-666	63	22	of	of	ADP
ejde-666	63	23	(	(	PUNCT
ejde-666	63	24	1.1	1.1	NUM
ejde-666	63	25	)	)	PUNCT
ejde-666	63	26	such	such	ADJ
ejde-666	63	27	that	that	SCONJ
ejde-666	63	28	(	(	PUNCT
ejde-666	63	29	u1	u1	NOUN
ejde-666	63	30	,	,	PUNCT
ejde-666	63	31	u2	u2	NOUN
ejde-666	63	32	)	)	PUNCT
ejde-666	63	33	≤	≤	NOUN
ejde-666	63	34	(	(	PUNCT
ejde-666	63	35	u1	u1	NOUN
ejde-666	63	36	,	,	PUNCT
ejde-666	63	37	u2	u2	PROPN
ejde-666	63	38	)	)	PUNCT
ejde-666	63	39	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	63	40	.	.	PROPN
ejde-666	64	1	on	on	ADP
ejde-666	64	2	ω	ω	NUM
ejde-666	64	3	,	,	PUNCT
ejde-666	64	4	and	and	CCONJ
ejde-666	64	5	(	(	PUNCT
ejde-666	64	6	a2	a2	PROPN
ejde-666	64	7	)	)	PUNCT
ejde-666	64	8	there	there	PRON
ejde-666	64	9	exists	exist	VERB
ejde-666	64	10	k1	k1	PROPN
ejde-666	64	11	>	>	X
ejde-666	64	12	0	0	NUM
ejde-666	65	1	such	such	ADJ
ejde-666	65	2	that	that	PRON
ejde-666	65	3	for	for	ADP
ejde-666	65	4	all	all	PRON
ejde-666	65	5	x	x	SYM
ejde-666	65	6	∈	∈	PROPN
ejde-666	65	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	65	8	and	and	CCONJ
ejde-666	65	9	(	(	PUNCT
ejde-666	65	10	s1	s1	NOUN
ejde-666	65	11	,	,	PUNCT
ejde-666	65	12	s2	s2	PROPN
ejde-666	65	13	)	)	PUNCT
ejde-666	65	14	∈	∈	PROPN
ejde-666	65	15	r2	r2	PROPN
ejde-666	65	16	with	with	ADP
ejde-666	65	17	(	(	PUNCT
ejde-666	65	18	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	65	19	)	)	PUNCT
ejde-666	65	20	,	,	PUNCT
ejde-666	65	21	u2(x	u2(x	NOUN
ejde-666	65	22	)	)	PUNCT
ejde-666	65	23	)	)	PUNCT
ejde-666	65	24	≤	≤	NOUN
ejde-666	65	25	(	(	PUNCT
ejde-666	65	26	s1	s1	NOUN
ejde-666	65	27	,	,	PUNCT
ejde-666	65	28	s2	s2	NOUN
ejde-666	65	29	)	)	PUNCT
ejde-666	65	30	≤	≤	NOUN
ejde-666	65	31	(	(	PUNCT
ejde-666	65	32	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	65	33	)	)	PUNCT
ejde-666	65	34	,	,	PUNCT
ejde-666	65	35	u2(x	u2(x	NOUN
ejde-666	65	36	)	)	PUNCT
ejde-666	65	37	)	)	PUNCT
ejde-666	65	38	,	,	PUNCT
ejde-666	65	39	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	65	40	,	,	PUNCT
ejde-666	65	41	s1	s1	NOUN
ejde-666	65	42	,	,	PUNCT
ejde-666	65	43	s2	s2	PROPN
ejde-666	65	44	)	)	PUNCT
ejde-666	66	1	+	+	CCONJ
ejde-666	66	2	k1s1	k1s1	X
ejde-666	66	3	is	be	AUX
ejde-666	66	4	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	66	5	in	in	ADP
ejde-666	66	6	s1	s1	PROPN
ejde-666	66	7	.	.	PUNCT
ejde-666	67	1	(	(	PUNCT
ejde-666	67	2	a3	a3	NOUN
ejde-666	67	3	)	)	PUNCT
ejde-666	67	4	there	there	PRON
ejde-666	67	5	exists	exist	VERB
ejde-666	67	6	k2	k2	PROPN
ejde-666	67	7	>	>	X
ejde-666	67	8	0	0	NUM
ejde-666	68	1	such	such	ADJ
ejde-666	68	2	that	that	PRON
ejde-666	68	3	for	for	ADP
ejde-666	68	4	all	all	PRON
ejde-666	68	5	x	x	SYM
ejde-666	68	6	∈	∈	PROPN
ejde-666	68	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	68	8	and	and	CCONJ
ejde-666	68	9	(	(	PUNCT
ejde-666	68	10	s1	s1	NOUN
ejde-666	68	11	,	,	PUNCT
ejde-666	68	12	s2	s2	PROPN
ejde-666	68	13	)	)	PUNCT
ejde-666	68	14	∈	∈	PROPN
ejde-666	68	15	r2	r2	PROPN
ejde-666	68	16	with	with	ADP
ejde-666	68	17	(	(	PUNCT
ejde-666	68	18	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	68	19	)	)	PUNCT
ejde-666	68	20	,	,	PUNCT
ejde-666	68	21	u2(x	u2(x	NOUN
ejde-666	68	22	)	)	PUNCT
ejde-666	68	23	)	)	PUNCT
ejde-666	68	24	≤	≤	NOUN
ejde-666	68	25	(	(	PUNCT
ejde-666	68	26	s1	s1	NOUN
ejde-666	68	27	,	,	PUNCT
ejde-666	68	28	s2	s2	NOUN
ejde-666	68	29	)	)	PUNCT
ejde-666	68	30	≤	≤	NOUN
ejde-666	68	31	(	(	PUNCT
ejde-666	68	32	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	68	33	)	)	PUNCT
ejde-666	68	34	,	,	PUNCT
ejde-666	68	35	u2(x	u2(x	NOUN
ejde-666	68	36	)	)	PUNCT
ejde-666	68	37	)	)	PUNCT
ejde-666	68	38	,	,	PUNCT
ejde-666	68	39	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	68	40	,	,	PUNCT
ejde-666	68	41	s1	s1	NOUN
ejde-666	68	42	,	,	PUNCT
ejde-666	68	43	s2	s2	PROPN
ejde-666	68	44	)	)	PUNCT
ejde-666	68	45	+	+	NUM
ejde-666	68	46	k2s2	k2s2	NOUN
ejde-666	68	47	is	be	AUX
ejde-666	68	48	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	68	49	in	in	ADP
ejde-666	68	50	s2	s2	PROPN
ejde-666	68	51	.	.	PUNCT
ejde-666	69	1	then	then	ADV
ejde-666	69	2	,	,	PUNCT
ejde-666	69	3	there	there	PRON
ejde-666	69	4	exist	exist	VERB
ejde-666	69	5	a	a	DET
ejde-666	69	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	69	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	69	8	solution	solution	NOUN
ejde-666	69	9	(	(	PUNCT
ejde-666	69	10	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	69	11	,	,	PUNCT
ejde-666	69	12	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	69	13	)	)	PUNCT
ejde-666	69	14	and	and	CCONJ
ejde-666	69	15	a	a	DET
ejde-666	69	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	69	17	weak	weak	ADJ
ejde-666	69	18	solution	solution	NOUN
ejde-666	69	19	(	(	PUNCT
ejde-666	69	20	u∗1	u∗1	NOUN
ejde-666	69	21	,	,	PUNCT
ejde-666	69	22	u	u	NOUN
ejde-666	69	23	∗	∗	NOUN
ejde-666	69	24	2	2	NUM
ejde-666	69	25	)	)	PUNCT
ejde-666	69	26	to	to	ADP
ejde-666	69	27	(	(	PUNCT
ejde-666	69	28	1.1	1.1	NUM
ejde-666	69	29	)	)	PUNCT
ejde-666	69	30	,	,	PUNCT
ejde-666	69	31	that	that	ADV
ejde-666	69	32	is	is	ADV
ejde-666	69	33	,	,	PUNCT
ejde-666	69	34	if	if	SCONJ
ejde-666	69	35	(	(	PUNCT
ejde-666	69	36	u1	u1	NOUN
ejde-666	69	37	,	,	PUNCT
ejde-666	69	38	u2	u2	PROPN
ejde-666	69	39	)	)	PUNCT
ejde-666	69	40	is	be	AUX
ejde-666	69	41	any	any	DET
ejde-666	69	42	weak	weak	ADJ
ejde-666	69	43	solution	solution	NOUN
ejde-666	69	44	to	to	ADP
ejde-666	69	45	(	(	PUNCT
ejde-666	69	46	1.1	1.1	NUM
ejde-666	69	47	)	)	PUNCT
ejde-666	69	48	such	such	ADJ
ejde-666	69	49	that	that	SCONJ
ejde-666	69	50	(	(	PUNCT
ejde-666	69	51	u1	u1	NOUN
ejde-666	69	52	,	,	PUNCT
ejde-666	69	53	u2	u2	NOUN
ejde-666	69	54	)	)	PUNCT
ejde-666	69	55	≤	≤	NOUN
ejde-666	69	56	(	(	PUNCT
ejde-666	69	57	u1	u1	NOUN
ejde-666	69	58	,	,	PUNCT
ejde-666	69	59	u2	u2	NOUN
ejde-666	69	60	)	)	PUNCT
ejde-666	69	61	≤	≤	NOUN
ejde-666	69	62	(	(	PUNCT
ejde-666	69	63	u1	u1	NOUN
ejde-666	69	64	,	,	PUNCT
ejde-666	69	65	u2	u2	PROPN
ejde-666	69	66	)	)	PUNCT
ejde-666	69	67	,	,	PUNCT
ejde-666	69	68	then	then	ADV
ejde-666	69	69	(	(	PUNCT
ejde-666	69	70	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	69	71	,	,	PUNCT
ejde-666	69	72	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	69	73	)	)	PUNCT
ejde-666	69	74	≤	≤	NOUN
ejde-666	69	75	(	(	PUNCT
ejde-666	69	76	u1	u1	NOUN
ejde-666	69	77	,	,	PUNCT
ejde-666	69	78	u2	u2	NOUN
ejde-666	69	79	)	)	PUNCT
ejde-666	69	80	≤	≤	NOUN
ejde-666	69	81	(	(	PUNCT
ejde-666	69	82	u∗1	u∗1	NOUN
ejde-666	69	83	,	,	PUNCT
ejde-666	69	84	u	u	NOUN
ejde-666	69	85	∗	∗	NOUN
ejde-666	69	86	2	2	NUM
ejde-666	69	87	)	)	PUNCT
ejde-666	69	88	.	.	PUNCT
ejde-666	70	1	in	in	ADP
ejde-666	70	2	the	the	DET
ejde-666	70	3	next	next	ADJ
ejde-666	70	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	70	5	,	,	PUNCT
ejde-666	70	6	we	we	PRON
ejde-666	70	7	remove	remove	VERB
ejde-666	70	8	the	the	DET
ejde-666	70	9	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-666	70	10	conditions	condition	NOUN
ejde-666	70	11	(	(	PUNCT
ejde-666	70	12	a2	a2	PROPN
ejde-666	70	13	)	)	PUNCT
ejde-666	70	14	and	and	CCONJ
ejde-666	70	15	(	(	PUNCT
ejde-666	70	16	a3	a3	NOUN
ejde-666	70	17	)	)	PUNCT
ejde-666	70	18	and	and	CCONJ
ejde-666	70	19	obtain	obtain	VERB
ejde-666	70	20	the	the	DET
ejde-666	70	21	following	follow	VERB
ejde-666	70	22	result	result	NOUN
ejde-666	70	23	.	.	PUNCT
ejde-666	71	1	theorem	theorem	VERB
ejde-666	71	2	1.4	1.4	NUM
ejde-666	71	3	.	.	PUNCT
ejde-666	72	1	assume	assume	VERB
ejde-666	72	2	that	that	SCONJ
ejde-666	72	3	there	there	PRON
ejde-666	72	4	exists	exist	VERB
ejde-666	72	5	a	a	DET
ejde-666	72	6	pair	pair	NOUN
ejde-666	72	7	of	of	ADP
ejde-666	72	8	ordered	order	VERB
ejde-666	72	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	72	10	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	72	11	(	(	PUNCT
ejde-666	72	12	u1	u1	NOUN
ejde-666	72	13	,	,	PUNCT
ejde-666	72	14	u2	u2	PROPN
ejde-666	72	15	)	)	PUNCT
ejde-666	72	16	and	and	CCONJ
ejde-666	72	17	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	72	18	(	(	PUNCT
ejde-666	72	19	u1	u1	NOUN
ejde-666	72	20	,	,	PUNCT
ejde-666	72	21	u2	u2	PROPN
ejde-666	72	22	)	)	PUNCT
ejde-666	72	23	of	of	ADP
ejde-666	72	24	(	(	PUNCT
ejde-666	72	25	1.1	1.1	NUM
ejde-666	72	26	)	)	PUNCT
ejde-666	72	27	,	,	PUNCT
ejde-666	72	28	and	and	CCONJ
ejde-666	72	29	that	that	SCONJ
ejde-666	72	30	the	the	DET
ejde-666	72	31	following	follow	VERB
ejde-666	72	32	condition	condition	NOUN
ejde-666	72	33	holds	hold	VERB
ejde-666	72	34	:	:	PUNCT
ejde-666	72	35	(	(	PUNCT
ejde-666	72	36	a4	a4	NOUN
ejde-666	72	37	)	)	PUNCT
ejde-666	72	38	there	there	PRON
ejde-666	72	39	exist	exist	VERB
ejde-666	72	40	k1,k2	k1,k2	PROPN
ejde-666	72	41	∈	∈	PROPN
ejde-666	72	42	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	72	43	)	)	PUNCT
ejde-666	72	44	,	,	PUNCT
ejde-666	72	45	r	r	NOUN
ejde-666	72	46	>	>	X
ejde-666	72	47	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	72	48	)	)	PUNCT
ejde-666	72	49	n	n	CCONJ
ejde-666	72	50	,	,	PUNCT
ejde-666	73	1	such	such	ADJ
ejde-666	73	2	that	that	PRON
ejde-666	73	3	|fi(x	|fi(x	PROPN
ejde-666	73	4	,	,	PUNCT
ejde-666	73	5	s1	s1	NOUN
ejde-666	73	6	,	,	PUNCT
ejde-666	73	7	s2)|	s2)|	NOUN
ejde-666	73	8	≤	≤	NUM
ejde-666	73	9	ki(x	ki(x	NUM
ejde-666	73	10	)	)	PUNCT
ejde-666	73	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	73	12	.	.	PUNCT
ejde-666	73	13	x	x	SYM
ejde-666	73	14	∈	∈	PROPN
ejde-666	73	15	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	73	16	,	,	PUNCT
ejde-666	73	17	whenever	whenever	SCONJ
ejde-666	73	18	ui(x	ui(x	NUM
ejde-666	73	19	)	)	PUNCT
ejde-666	73	20	≤	≤	NOUN
ejde-666	73	21	si	si	X
ejde-666	73	22	≤	≤	NUM
ejde-666	73	23	ui(x	ui(x	NUM
ejde-666	73	24	)	)	PUNCT
ejde-666	73	25	,	,	PUNCT
ejde-666	73	26	i	i	PRON
ejde-666	73	27	=	=	NOUN
ejde-666	73	28	1	1	NUM
ejde-666	73	29	,	,	PUNCT
ejde-666	73	30	2	2	NUM
ejde-666	73	31	.	.	PUNCT
ejde-666	73	32	then	then	ADV
ejde-666	73	33	there	there	PRON
ejde-666	73	34	exists	exist	VERB
ejde-666	73	35	a	a	DET
ejde-666	73	36	weak	weak	ADJ
ejde-666	73	37	solution	solution	NOUN
ejde-666	73	38	(	(	PUNCT
ejde-666	73	39	u1	u1	NOUN
ejde-666	73	40	,	,	PUNCT
ejde-666	73	41	u2	u2	PROPN
ejde-666	73	42	)	)	PUNCT
ejde-666	73	43	of	of	ADP
ejde-666	73	44	(	(	PUNCT
ejde-666	73	45	1.1	1.1	NUM
ejde-666	73	46	)	)	PUNCT
ejde-666	73	47	such	such	ADJ
ejde-666	73	48	that	that	SCONJ
ejde-666	73	49	(	(	PUNCT
ejde-666	73	50	u1	u1	NOUN
ejde-666	73	51	,	,	PUNCT
ejde-666	73	52	u2	u2	NOUN
ejde-666	73	53	)	)	PUNCT
ejde-666	73	54	≤	≤	NOUN
ejde-666	73	55	(	(	PUNCT
ejde-666	73	56	u1	u1	NOUN
ejde-666	73	57	,	,	PUNCT
ejde-666	73	58	u2	u2	NOUN
ejde-666	73	59	)	)	PUNCT
ejde-666	73	60	≤	≤	NOUN
ejde-666	73	61	(	(	PUNCT
ejde-666	73	62	u1	u1	NOUN
ejde-666	73	63	,	,	PUNCT
ejde-666	73	64	u2	u2	PROPN
ejde-666	73	65	)	)	PUNCT
ejde-666	73	66	.	.	PUNCT
ejde-666	74	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	74	2	,	,	PUNCT
ejde-666	74	3	there	there	PRON
ejde-666	74	4	exist	exist	VERB
ejde-666	74	5	a	a	DET
ejde-666	74	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	74	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	74	8	solution	solution	NOUN
ejde-666	74	9	(	(	PUNCT
ejde-666	74	10	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	74	11	,	,	PUNCT
ejde-666	74	12	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	74	13	)	)	PUNCT
ejde-666	74	14	and	and	CCONJ
ejde-666	74	15	a	a	DET
ejde-666	74	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	74	17	weak	weak	ADJ
ejde-666	74	18	solution	solution	NOUN
ejde-666	74	19	(	(	PUNCT
ejde-666	74	20	u∗1	u∗1	NOUN
ejde-666	74	21	,	,	PUNCT
ejde-666	74	22	u	u	NOUN
ejde-666	74	23	∗	∗	NOUN
ejde-666	74	24	2	2	NUM
ejde-666	74	25	)	)	PUNCT
ejde-666	74	26	to	to	ADP
ejde-666	74	27	(	(	PUNCT
ejde-666	74	28	1.1	1.1	NUM
ejde-666	74	29	)	)	PUNCT
ejde-666	74	30	;	;	PUNCT
ejde-666	74	31	that	that	PRON
ejde-666	74	32	is	is	ADV
ejde-666	74	33	,	,	PUNCT
ejde-666	74	34	for	for	ADP
ejde-666	74	35	any	any	DET
ejde-666	74	36	weak	weak	ADJ
ejde-666	74	37	solution	solution	NOUN
ejde-666	74	38	(	(	PUNCT
ejde-666	74	39	u1	u1	NOUN
ejde-666	74	40	,	,	PUNCT
ejde-666	74	41	u2	u2	PROPN
ejde-666	74	42	)	)	PUNCT
ejde-666	74	43	to	to	ADP
ejde-666	74	44	(	(	PUNCT
ejde-666	74	45	1.1	1.1	NUM
ejde-666	74	46	)	)	PUNCT
ejde-666	74	47	with	with	ADP
ejde-666	74	48	(	(	PUNCT
ejde-666	74	49	u1	u1	NOUN
ejde-666	74	50	,	,	PUNCT
ejde-666	74	51	u2	u2	NOUN
ejde-666	74	52	)	)	PUNCT
ejde-666	74	53	≤	≤	NOUN
ejde-666	74	54	(	(	PUNCT
ejde-666	74	55	u1	u1	NOUN
ejde-666	74	56	,	,	PUNCT
ejde-666	74	57	u2	u2	NOUN
ejde-666	74	58	)	)	PUNCT
ejde-666	74	59	≤	≤	NOUN
ejde-666	74	60	(	(	PUNCT
ejde-666	74	61	u1	u1	NOUN
ejde-666	74	62	,	,	PUNCT
ejde-666	74	63	u2	u2	PROPN
ejde-666	74	64	)	)	PUNCT
ejde-666	74	65	,	,	PUNCT
ejde-666	74	66	we	we	PRON
ejde-666	74	67	have	have	VERB
ejde-666	74	68	(	(	PUNCT
ejde-666	74	69	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	74	70	,	,	PUNCT
ejde-666	74	71	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	74	72	)	)	PUNCT
ejde-666	74	73	≤	≤	NOUN
ejde-666	74	74	(	(	PUNCT
ejde-666	74	75	u1	u1	NOUN
ejde-666	74	76	,	,	PUNCT
ejde-666	74	77	u2	u2	NOUN
ejde-666	74	78	)	)	PUNCT
ejde-666	74	79	≤	≤	NOUN
ejde-666	74	80	(	(	PUNCT
ejde-666	74	81	u∗1	u∗1	NOUN
ejde-666	74	82	,	,	PUNCT
ejde-666	74	83	u	u	NOUN
ejde-666	74	84	∗	∗	NOUN
ejde-666	74	85	2	2	NUM
ejde-666	74	86	)	)	PUNCT
ejde-666	74	87	.	.	PUNCT
ejde-666	75	1	in	in	ADP
ejde-666	75	2	the	the	DET
ejde-666	75	3	course	course	NOUN
ejde-666	75	4	of	of	ADP
ejde-666	75	5	the	the	DET
ejde-666	75	6	proofs	proof	NOUN
ejde-666	75	7	,	,	PUNCT
ejde-666	75	8	we	we	PRON
ejde-666	75	9	will	will	AUX
ejde-666	75	10	need	need	VERB
ejde-666	75	11	the	the	DET
ejde-666	75	12	following	follow	VERB
ejde-666	75	13	result	result	NOUN
ejde-666	75	14	on	on	ADP
ejde-666	75	15	the	the	DET
ejde-666	75	16	existence	existence	NOUN
ejde-666	75	17	of	of	ADP
ejde-666	75	18	weak	weak	ADJ
ejde-666	75	19	solutions	solution	NOUN
ejde-666	75	20	for	for	ADP
ejde-666	75	21	the	the	DET
ejde-666	75	22	single	single	ADJ
ejde-666	75	23	equations	equation	NOUN
ejde-666	75	24	case	case	NOUN
ejde-666	75	25	.	.	PUNCT
ejde-666	76	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	76	2	1.5	1.5	NUM
ejde-666	76	3	.	.	PUNCT
ejde-666	77	1	consider	consider	VERB
ejde-666	77	2	the	the	DET
ejde-666	77	3	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	77	4	problem	problem	NOUN
ejde-666	77	5	−∆u+	−∆u+	NOUN
ejde-666	77	6	u	u	NOUN
ejde-666	77	7	=	=	NOUN
ejde-666	77	8	0	0	NUM
ejde-666	77	9	in	in	ADP
ejde-666	77	10	ω	ω	NUM
ejde-666	77	11	;	;	PUNCT
ejde-666	77	12	∂u	∂u	PROPN
ejde-666	77	13	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	77	14	=	=	SYM
ejde-666	77	15	f(x	f(x	PROPN
ejde-666	77	16	,	,	PUNCT
ejde-666	77	17	u	u	NOUN
ejde-666	77	18	)	)	PUNCT
ejde-666	77	19	on	on	ADP
ejde-666	77	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	77	21	,	,	PUNCT
ejde-666	77	22	(	(	PUNCT
ejde-666	77	23	1.3	1.3	NUM
ejde-666	77	24	)	)	PUNCT
ejde-666	77	25	where	where	SCONJ
ejde-666	77	26	f	f	X
ejde-666	77	27	:	:	PUNCT
ejde-666	77	28	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	77	29	×	×	NOUN
ejde-666	77	30	r	r	NOUN
ejde-666	77	31	→	→	SYM
ejde-666	77	32	r	r	NOUN
ejde-666	77	33	is	be	AUX
ejde-666	77	34	a	a	DET
ejde-666	77	35	carathéodory	carathéodory	NOUN
ejde-666	77	36	function	function	NOUN
ejde-666	77	37	.	.	PUNCT
ejde-666	78	1	suppose	suppose	VERB
ejde-666	78	2	that	that	SCONJ
ejde-666	78	3	there	there	PRON
ejde-666	78	4	exists	exist	VERB
ejde-666	78	5	a	a	DET
ejde-666	78	6	pair	pair	NOUN
ejde-666	78	7	of	of	ADP
ejde-666	78	8	a	a	DET
ejde-666	78	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	78	10	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	78	11	u	u	NOUN
ejde-666	78	12	and	and	CCONJ
ejde-666	78	13	a	a	DET
ejde-666	78	14	weak	weak	ADJ
ejde-666	78	15	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	78	16	u	u	PRON
ejde-666	78	17	such	such	ADJ
ejde-666	78	18	that	that	SCONJ
ejde-666	78	19	u	u	PROPN
ejde-666	78	20	≤	≤	X
ejde-666	78	21	u	u	NOUN
ejde-666	78	22	in	in	ADP
ejde-666	78	23	ω	ω	PROPN
ejde-666	78	24	,	,	PUNCT
ejde-666	78	25	and	and	CCONJ
ejde-666	78	26	that	that	SCONJ
ejde-666	78	27	there	there	PRON
ejde-666	78	28	exists	exist	VERB
ejde-666	78	29	k	k	PROPN
ejde-666	78	30	∈	∈	PROPN
ejde-666	78	31	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	78	32	)	)	PUNCT
ejde-666	78	33	,	,	PUNCT
ejde-666	78	34	r	r	NOUN
ejde-666	78	35	>	>	X
ejde-666	78	36	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	78	37	)	)	PUNCT
ejde-666	78	38	n	n	CCONJ
ejde-666	78	39	,	,	PUNCT
ejde-666	78	40	such	such	ADJ
ejde-666	78	41	that	that	SCONJ
ejde-666	78	42	|f(x	|f(x	PROPN
ejde-666	78	43	,	,	PUNCT
ejde-666	78	44	s)|	s)|	NOUN
ejde-666	78	45	≤	≤	PUNCT
ejde-666	78	46	k(x	k(x	PROPN
ejde-666	78	47	)	)	PUNCT
ejde-666	79	1	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	79	2	.	.	PUNCT
ejde-666	79	3	x	x	SYM
ejde-666	79	4	∈	∈	PROPN
ejde-666	79	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	79	6	and	and	CCONJ
ejde-666	79	7	for	for	ADP
ejde-666	79	8	all	all	DET
ejde-666	79	9	s	s	PART
ejde-666	79	10	∈	∈	NOUN
ejde-666	79	11	r	r	NOUN
ejde-666	79	12	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	79	13	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	79	14	)	)	PUNCT
ejde-666	79	15	≤	≤	PUNCT
ejde-666	79	16	s	s	PART
ejde-666	79	17	≤	≤	NUM
ejde-666	79	18	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	79	19	)	)	PUNCT
ejde-666	79	20	.	.	PUNCT
ejde-666	80	1	then	then	ADV
ejde-666	80	2	(	(	PUNCT
ejde-666	80	3	1.3	1.3	NUM
ejde-666	80	4	)	)	PUNCT
ejde-666	80	5	has	have	VERB
ejde-666	80	6	at	at	ADV
ejde-666	80	7	least	least	ADV
ejde-666	80	8	one	one	NUM
ejde-666	80	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	80	10	solution	solution	NOUN
ejde-666	80	11	u	u	PRON
ejde-666	80	12	such	such	ADJ
ejde-666	80	13	that	that	SCONJ
ejde-666	80	14	u	u	PROPN
ejde-666	80	15	≤	≤	X
ejde-666	80	16	u	u	NOUN
ejde-666	80	17	≤	≤	X
ejde-666	80	18	u.	u.	VERB
ejde-666	80	19	the	the	DET
ejde-666	80	20	proof	proof	NOUN
ejde-666	80	21	of	of	ADP
ejde-666	80	22	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	80	23	1.5	1.5	NUM
ejde-666	80	24	can	can	AUX
ejde-666	80	25	be	be	AUX
ejde-666	80	26	found	find	VERB
ejde-666	80	27	in	in	ADP
ejde-666	80	28	[	[	X
ejde-666	80	29	4	4	NUM
ejde-666	80	30	]	]	PUNCT
ejde-666	80	31	,	,	PUNCT
ejde-666	80	32	which	which	PRON
ejde-666	80	33	relies	rely	VERB
ejde-666	80	34	on	on	ADP
ejde-666	80	35	the	the	DET
ejde-666	80	36	surjectivity	surjectivity	NOUN
ejde-666	80	37	of	of	ADP
ejde-666	80	38	bounded	bounded	ADJ
ejde-666	80	39	,	,	PUNCT
ejde-666	80	40	coercive	coercive	ADJ
ejde-666	80	41	pseudomonotone	pseudomonotone	NOUN
ejde-666	80	42	operators	operator	NOUN
ejde-666	80	43	,	,	PUNCT
ejde-666	80	44	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	80	45	’s	’s	PART
ejde-666	80	46	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	80	47	and	and	CCONJ
ejde-666	80	48	a	a	DET
ejde-666	80	49	version	version	NOUN
ejde-666	80	50	of	of	ADP
ejde-666	80	51	kato	kato	PROPN
ejde-666	80	52	’s	’s	PART
ejde-666	80	53	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	80	54	up	up	ADP
ejde-666	80	55	to	to	ADP
ejde-666	80	56	the	the	DET
ejde-666	80	57	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	80	58	for	for	ADP
ejde-666	80	59	single	single	ADJ
ejde-666	80	60	equations	equation	NOUN
ejde-666	80	61	.	.	PUNCT
ejde-666	81	1	this	this	DET
ejde-666	81	2	article	article	NOUN
ejde-666	81	3	is	be	AUX
ejde-666	81	4	organized	organize	VERB
ejde-666	81	5	as	as	SCONJ
ejde-666	81	6	follows	follow	VERB
ejde-666	81	7	.	.	PUNCT
ejde-666	82	1	in	in	ADP
ejde-666	82	2	section	section	NOUN
ejde-666	82	3	2	2	NUM
ejde-666	82	4	,	,	PUNCT
ejde-666	82	5	we	we	PRON
ejde-666	82	6	prove	prove	VERB
ejde-666	82	7	theorem	theorem	VERB
ejde-666	82	8	1.3	1.3	NUM
ejde-666	82	9	.	.	PUNCT
ejde-666	83	1	section	section	NOUN
ejde-666	83	2	3	3	NUM
ejde-666	83	3	is	be	AUX
ejde-666	83	4	devoted	devote	VERB
ejde-666	83	5	to	to	ADP
ejde-666	83	6	the	the	DET
ejde-666	83	7	proof	proof	NOUN
ejde-666	83	8	of	of	ADP
ejde-666	83	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-666	83	10	1.4	1.4	NUM
ejde-666	83	11	.	.	PUNCT
ejde-666	84	1	in	in	ADP
ejde-666	84	2	section	section	NOUN
ejde-666	84	3	4	4	NUM
ejde-666	84	4	,	,	PUNCT
ejde-666	84	5	we	we	PRON
ejde-666	84	6	formulate	formulate	VERB
ejde-666	84	7	and	and	CCONJ
ejde-666	84	8	analyze	analyze	VERB
ejde-666	84	9	a	a	DET
ejde-666	84	10	finite	finite	ADJ
ejde-666	84	11	difference	difference	NOUN
ejde-666	84	12	method	method	NOUN
ejde-666	84	13	to	to	PART
ejde-666	84	14	approximate	approximate	VERB
ejde-666	84	15	solutions	solution	NOUN
ejde-666	84	16	and	and	CCONJ
ejde-666	84	17	generate	generate	VERB
ejde-666	84	18	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	84	19	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	84	20	for	for	ADP
ejde-666	84	21	several	several	ADJ
ejde-666	84	22	one	one	NUM
ejde-666	84	23	-	-	PUNCT
ejde-666	84	24	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-666	84	25	cases	case	NOUN
ejde-666	84	26	.	.	PUNCT
ejde-666	85	1	finally	finally	ADV
ejde-666	85	2	,	,	PUNCT
ejde-666	85	3	in	in	ADP
ejde-666	85	4	section	section	NOUN
ejde-666	85	5	5	5	NUM
ejde-666	85	6	,	,	PUNCT
ejde-666	85	7	the	the	DET
ejde-666	85	8	appendix	appendix	NOUN
ejde-666	85	9	,	,	PUNCT
ejde-666	85	10	we	we	PRON
ejde-666	85	11	state	state	VERB
ejde-666	85	12	a	a	DET
ejde-666	85	13	version	version	NOUN
ejde-666	85	14	of	of	ADP
ejde-666	85	15	kato	kato	PROPN
ejde-666	85	16	’s	’s	PART
ejde-666	85	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	85	18	up	up	ADP
ejde-666	85	19	to	to	ADP
ejde-666	85	20	the	the	DET
ejde-666	85	21	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	85	22	for	for	ADP
ejde-666	85	23	single	single	ADJ
ejde-666	85	24	equations	equation	NOUN
ejde-666	85	25	and	and	CCONJ
ejde-666	85	26	employ	employ	VERB
ejde-666	85	27	it	it	PRON
ejde-666	85	28	to	to	PART
ejde-666	85	29	prove	prove	VERB
ejde-666	85	30	that	that	SCONJ
ejde-666	85	31	the	the	DET
ejde-666	85	32	componentwise	componentwise	NOUN
ejde-666	85	33	maximum	maximum	NOUN
ejde-666	85	34	of	of	ADP
ejde-666	85	35	two	two	NUM
ejde-666	85	36	solutions	solution	NOUN
ejde-666	85	37	of	of	ADP
ejde-666	85	38	(	(	PUNCT
ejde-666	85	39	1.1	1.1	NUM
ejde-666	85	40	)	)	PUNCT
ejde-666	85	41	is	be	AUX
ejde-666	85	42	a	a	DET
ejde-666	85	43	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	85	44	of	of	ADP
ejde-666	85	45	(	(	PUNCT
ejde-666	85	46	1.1	1.1	NUM
ejde-666	85	47	)	)	PUNCT
ejde-666	85	48	(	(	PUNCT
ejde-666	85	49	see	see	VERB
ejde-666	85	50	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	85	51	5.4	5.4	NUM
ejde-666	85	52	)	)	PUNCT
ejde-666	85	53	and	and	CCONJ
ejde-666	85	54	componentwise	componentwise	VERB
ejde-666	85	55	minimum	minimum	NOUN
ejde-666	85	56	of	of	ADP
ejde-666	85	57	two	two	NUM
ejde-666	85	58	solutions	solution	NOUN
ejde-666	85	59	of	of	ADP
ejde-666	85	60	(	(	PUNCT
ejde-666	85	61	1.1	1.1	NUM
ejde-666	85	62	)	)	PUNCT
ejde-666	85	63	is	be	AUX
ejde-666	85	64	a	a	DET
ejde-666	85	65	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	85	66	of	of	ADP
ejde-666	85	67	(	(	PUNCT
ejde-666	85	68	1.1	1.1	NUM
ejde-666	85	69	)	)	PUNCT
ejde-666	85	70	(	(	PUNCT
ejde-666	85	71	see	see	VERB
ejde-666	85	72	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	85	73	5.6	5.6	NUM
ejde-666	85	74	)	)	PUNCT
ejde-666	85	75	,	,	PUNCT
ejde-666	85	76	results	result	VERB
ejde-666	85	77	necessary	necessary	ADJ
ejde-666	85	78	to	to	PART
ejde-666	85	79	prove	prove	VERB
ejde-666	85	80	theorem	theorem	VERB
ejde-666	85	81	1.4	1.4	NUM
ejde-666	85	82	.	.	NOUN
ejde-666	86	1	2	2	NUM
ejde-666	86	2	.	.	X
ejde-666	86	3	proof	proof	NOUN
ejde-666	86	4	of	of	ADP
ejde-666	86	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-666	86	6	1.3	1.3	NUM
ejde-666	86	7	we	we	PRON
ejde-666	86	8	will	will	AUX
ejde-666	86	9	first	first	ADV
ejde-666	86	10	construct	construct	VERB
ejde-666	86	11	a	a	DET
ejde-666	86	12	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	86	13	operator	operator	NOUN
ejde-666	86	14	and	and	CCONJ
ejde-666	86	15	then	then	ADV
ejde-666	86	16	use	use	VERB
ejde-666	86	17	a	a	DET
ejde-666	86	18	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-666	86	19	iterative	iterative	NOUN
ejde-666	86	20	scheme	scheme	NOUN
ejde-666	86	21	to	to	PART
ejde-666	86	22	show	show	VERB
ejde-666	86	23	the	the	DET
ejde-666	86	24	existence	existence	NOUN
ejde-666	86	25	of	of	ADP
ejde-666	86	26	a	a	DET
ejde-666	86	27	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	86	28	(	(	PUNCT
ejde-666	86	29	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	86	30	)	)	PUNCT
ejde-666	86	31	solution	solution	NOUN
ejde-666	86	32	using	use	VERB
ejde-666	86	33	the	the	DET
ejde-666	86	34	convergence	convergence	NOUN
ejde-666	86	35	of	of	ADP
ejde-666	86	36	a	a	DET
ejde-666	86	37	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	86	38	of	of	ADP
ejde-666	86	39	weak	weak	ADJ
ejde-666	86	40	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	86	41	(	(	PUNCT
ejde-666	86	42	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	86	43	)	)	PUNCT
ejde-666	86	44	.	.	PUNCT
ejde-666	87	1	4	4	NUM
ejde-666	87	2	s.	s.	PROPN
ejde-666	87	3	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	87	4	,	,	PUNCT
ejde-666	87	5	t.	t.	PROPN
ejde-666	87	6	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	87	7	,	,	PUNCT
ejde-666	87	8	n.	n.	PROPN
ejde-666	87	9	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	87	10	ejde-2025/43	ejde-2025/43	PROPN
ejde-666	87	11	(	(	PUNCT
ejde-666	87	12	i	i	NOUN
ejde-666	87	13	)	)	PUNCT
ejde-666	87	14	construction	construction	NOUN
ejde-666	87	15	of	of	ADP
ejde-666	87	16	the	the	DET
ejde-666	87	17	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	87	18	operator	operator	NOUN
ejde-666	87	19	.	.	PUNCT
ejde-666	88	1	we	we	PRON
ejde-666	88	2	define	define	VERB
ejde-666	88	3	the	the	DET
ejde-666	88	4	map	map	NOUN
ejde-666	88	5	t	t	NOUN
ejde-666	88	6	:	:	PUNCT
ejde-666	88	7	j	j	PROPN
ejde-666	88	8	→	→	PUNCT
ejde-666	88	9	(	(	PUNCT
ejde-666	88	10	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	88	11	by	by	ADP
ejde-666	88	12	t	t	PROPN
ejde-666	88	13	(	(	PUNCT
ejde-666	88	14	u	u	NOUN
ejde-666	88	15	)	)	PUNCT
ejde-666	88	16	=	=	NOUN
ejde-666	88	17	w	w	NOUN
ejde-666	88	18	,	,	PUNCT
ejde-666	88	19	where	where	SCONJ
ejde-666	88	20	j	j	NOUN
ejde-666	88	21	:	:	PUNCT
ejde-666	88	22	=	=	SYM
ejde-666	88	23	{	{	PUNCT
ejde-666	88	24	u	u	NOUN
ejde-666	88	25	=	=	PUNCT
ejde-666	88	26	(	(	PUNCT
ejde-666	88	27	u1	u1	PROPN
ejde-666	88	28	,	,	PUNCT
ejde-666	88	29	u2	u2	PROPN
ejde-666	88	30	)	)	PUNCT
ejde-666	88	31	∈	∈	PROPN
ejde-666	88	32	(	(	PUNCT
ejde-666	88	33	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	88	34	:	:	PUNCT
ejde-666	88	35	u	u	NOUN
ejde-666	88	36	≤	≤	X
ejde-666	88	37	u	u	NOUN
ejde-666	88	38	≤	≤	NOUN
ejde-666	88	39	u	u	NOUN
ejde-666	88	40	}	}	PUNCT
ejde-666	88	41	and	and	CCONJ
ejde-666	88	42	w	w	NOUN
ejde-666	88	43	=	=	SYM
ejde-666	88	44	(	(	PUNCT
ejde-666	88	45	w1	w1	NOUN
ejde-666	88	46	,	,	PUNCT
ejde-666	88	47	w2	w2	NOUN
ejde-666	88	48	)	)	PUNCT
ejde-666	88	49	is	be	AUX
ejde-666	88	50	the	the	DET
ejde-666	88	51	unique	unique	ADJ
ejde-666	88	52	weak	weak	ADJ
ejde-666	88	53	solution	solution	NOUN
ejde-666	88	54	of	of	ADP
ejde-666	88	55	the	the	DET
ejde-666	88	56	decoupled	decouple	VERB
ejde-666	88	57	system	system	NOUN
ejde-666	88	58	−∆wi	−∆wi	NOUN
ejde-666	89	1	+	+	CCONJ
ejde-666	89	2	wi	wi	PROPN
ejde-666	89	3	=	=	PROPN
ejde-666	89	4	0	0	PROPN
ejde-666	89	5	in	in	ADP
ejde-666	89	6	ω	ω	NUM
ejde-666	89	7	;	;	PUNCT
ejde-666	89	8	∂wi	∂wi	PROPN
ejde-666	89	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	89	10	+	+	CCONJ
ejde-666	89	11	kwi	kwi	NOUN
ejde-666	89	12	=	=	SYM
ejde-666	89	13	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	89	14	,	,	PUNCT
ejde-666	89	15	u1	u1	NOUN
ejde-666	89	16	,	,	PUNCT
ejde-666	89	17	u2	u2	PROPN
ejde-666	89	18	)	)	PUNCT
ejde-666	89	19	+	+	CCONJ
ejde-666	89	20	kui	kui	X
ejde-666	89	21	on	on	ADP
ejde-666	89	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	89	23	,	,	PUNCT
ejde-666	89	24	i	i	PRON
ejde-666	89	25	=	=	NOUN
ejde-666	89	26	1	1	NUM
ejde-666	89	27	,	,	PUNCT
ejde-666	89	28	2	2	NUM
ejde-666	89	29	,	,	PUNCT
ejde-666	89	30	(	(	PUNCT
ejde-666	89	31	2.1	2.1	NUM
ejde-666	89	32	)	)	PUNCT
ejde-666	89	33	where	where	SCONJ
ejde-666	89	34	k	k	NOUN
ejde-666	89	35	=	=	SYM
ejde-666	89	36	k1	k1	PROPN
ejde-666	89	37	+	+	CCONJ
ejde-666	89	38	k2	k2	X
ejde-666	89	39	≥	≥	NOUN
ejde-666	89	40	0	0	NUM
ejde-666	89	41	.	.	PUNCT
ejde-666	89	42	observe	observe	VERB
ejde-666	89	43	that	that	SCONJ
ejde-666	89	44	,	,	PUNCT
ejde-666	89	45	for	for	ADP
ejde-666	89	46	each	each	DET
ejde-666	89	47	i	i	PRON
ejde-666	89	48	,	,	PUNCT
ejde-666	89	49	(	(	PUNCT
ejde-666	89	50	2.1	2.1	NUM
ejde-666	89	51	)	)	PUNCT
ejde-666	89	52	is	be	AUX
ejde-666	89	53	a	a	DET
ejde-666	89	54	linear	linear	ADJ
ejde-666	89	55	equation	equation	NOUN
ejde-666	89	56	for	for	ADP
ejde-666	89	57	wi	wi	PROPN
ejde-666	89	58	.	.	PUNCT
ejde-666	90	1	also	also	ADV
ejde-666	90	2	notice	notice	VERB
ejde-666	90	3	that	that	SCONJ
ejde-666	90	4	fi(x	fi(x	NOUN
ejde-666	90	5	,	,	PUNCT
ejde-666	90	6	u1	u1	NOUN
ejde-666	90	7	,	,	PUNCT
ejde-666	90	8	u2	u2	PROPN
ejde-666	90	9	)	)	PUNCT
ejde-666	90	10	+	+	CCONJ
ejde-666	90	11	kui	kui	PROPN
ejde-666	90	12	∈	∈	PROPN
ejde-666	90	13	l	l	X
ejde-666	90	14	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	90	15	)	)	PUNCT
ejde-666	90	16	n	n	CCONJ
ejde-666	90	17	(	(	PUNCT
ejde-666	90	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	90	19	)	)	PUNCT
ejde-666	90	20	.	.	PUNCT
ejde-666	91	1	indeed	indeed	ADV
ejde-666	91	2	,	,	PUNCT
ejde-666	91	3	fi(,̇u1	fi(,̇u1	NOUN
ejde-666	91	4	(	(	PUNCT
ejde-666	91	5	·	·	PUNCT
ejde-666	91	6	)	)	PUNCT
ejde-666	91	7	,	,	PUNCT
ejde-666	91	8	u2	u2	PROPN
ejde-666	91	9	(	(	PUNCT
ejde-666	91	10	·	·	PUNCT
ejde-666	91	11	)	)	PUNCT
ejde-666	91	12	)	)	PUNCT
ejde-666	91	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	91	14	l	l	X
ejde-666	91	15	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	91	16	)	)	PUNCT
ejde-666	91	17	n	n	CCONJ
ejde-666	91	18	(	(	PUNCT
ejde-666	91	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	91	20	)	)	PUNCT
ejde-666	91	21	by	by	ADP
ejde-666	91	22	definition	definition	NOUN
ejde-666	91	23	1.1	1.1	NUM
ejde-666	91	24	and	and	CCONJ
ejde-666	91	25	(	(	PUNCT
ejde-666	91	26	1.2	1.2	NUM
ejde-666	91	27	)	)	PUNCT
ejde-666	91	28	implies	imply	VERB
ejde-666	91	29	ui	ui	PROPN
ejde-666	91	30	∈	∈	PROPN
ejde-666	91	31	l	l	X
ejde-666	91	32	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	91	33	)	)	PUNCT
ejde-666	91	34	n	n	CCONJ
ejde-666	91	35	(	(	PUNCT
ejde-666	91	36	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	91	37	)	)	PUNCT
ejde-666	91	38	since	since	SCONJ
ejde-666	91	39	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	91	40	)	)	PUNCT
ejde-666	91	41	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	91	42	>	>	X
ejde-666	91	43	2(n−1	2(n−1	PROPN
ejde-666	91	44	)	)	PUNCT
ejde-666	91	45	n	n	NOUN
ejde-666	91	46	.	.	PUNCT
ejde-666	92	1	hence	hence	ADV
ejde-666	92	2	,	,	PUNCT
ejde-666	92	3	by	by	ADP
ejde-666	92	4	the	the	DET
ejde-666	92	5	existence	existence	NOUN
ejde-666	92	6	results	result	VERB
ejde-666	92	7	for	for	ADP
ejde-666	92	8	linear	linear	PROPN
ejde-666	92	9	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	92	10	equations	equation	NOUN
ejde-666	92	11	(	(	PUNCT
ejde-666	92	12	see	see	VERB
ejde-666	92	13	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	92	14	[	[	X
ejde-666	92	15	14	14	NUM
ejde-666	92	16	,	,	PUNCT
ejde-666	92	17	p.160	p.160	ADJ
ejde-666	92	18	-	-	SYM
ejde-666	92	19	162	162	NUM
ejde-666	92	20	]	]	PUNCT
ejde-666	92	21	,	,	PUNCT
ejde-666	92	22	there	there	PRON
ejde-666	92	23	exists	exist	VERB
ejde-666	92	24	a	a	DET
ejde-666	92	25	unique	unique	ADJ
ejde-666	92	26	solution	solution	NOUN
ejde-666	92	27	of	of	ADP
ejde-666	92	28	(	(	PUNCT
ejde-666	92	29	2.1	2.1	NUM
ejde-666	92	30	)	)	PUNCT
ejde-666	92	31	.	.	PUNCT
ejde-666	93	1	thus	thus	ADV
ejde-666	93	2	,	,	PUNCT
ejde-666	93	3	t	t	PROPN
ejde-666	93	4	is	be	AUX
ejde-666	93	5	well	well	ADV
ejde-666	93	6	-	-	PUNCT
ejde-666	93	7	defined	define	VERB
ejde-666	93	8	.	.	PUNCT
ejde-666	94	1	now	now	ADV
ejde-666	94	2	,	,	PUNCT
ejde-666	94	3	we	we	PRON
ejde-666	94	4	prove	prove	VERB
ejde-666	94	5	that	that	SCONJ
ejde-666	94	6	t	t	PROPN
ejde-666	94	7	is	be	AUX
ejde-666	94	8	monotonically	monotonically	ADV
ejde-666	94	9	nondecreasing	nondecrease	VERB
ejde-666	94	10	and	and	CCONJ
ejde-666	94	11	maps	map	NOUN
ejde-666	94	12	j	j	PROPN
ejde-666	94	13	into	into	ADP
ejde-666	94	14	itself	itself	PRON
ejde-666	94	15	.	.	PUNCT
ejde-666	95	1	indeed	indeed	ADV
ejde-666	95	2	,	,	PUNCT
ejde-666	95	3	let	let	VERB
ejde-666	95	4	u	u	NOUN
ejde-666	95	5	,	,	PUNCT
ejde-666	95	6	v	v	PROPN
ejde-666	95	7	∈	∈	PROPN
ejde-666	95	8	j	j	NOUN
ejde-666	95	9	with	with	ADP
ejde-666	95	10	u	u	NOUN
ejde-666	95	11	≤	≤	X
ejde-666	95	12	v	v	NOUN
ejde-666	95	13	.	.	PUNCT
ejde-666	96	1	we	we	PRON
ejde-666	96	2	have	have	VERB
ejde-666	96	3	that	that	DET
ejde-666	96	4	t	t	PROPN
ejde-666	96	5	(	(	PUNCT
ejde-666	96	6	u	u	NOUN
ejde-666	96	7	)	)	PUNCT
ejde-666	96	8	=	=	SYM
ejde-666	96	9	w	w	PROPN
ejde-666	96	10	=	=	SYM
ejde-666	96	11	(	(	PUNCT
ejde-666	96	12	w1	w1	NOUN
ejde-666	96	13	,	,	PUNCT
ejde-666	96	14	w2	w2	NOUN
ejde-666	96	15	)	)	PUNCT
ejde-666	96	16	and	and	CCONJ
ejde-666	96	17	t	t	PROPN
ejde-666	96	18	(	(	PUNCT
ejde-666	96	19	v	v	NOUN
ejde-666	96	20	)	)	PUNCT
ejde-666	96	21	=	=	PUNCT
ejde-666	96	22	z	z	NOUN
ejde-666	96	23	=	=	SYM
ejde-666	96	24	(	(	PUNCT
ejde-666	96	25	z1	z1	PROPN
ejde-666	96	26	,	,	PUNCT
ejde-666	96	27	z2	z2	PROPN
ejde-666	96	28	)	)	PUNCT
ejde-666	96	29	satisfy	satisfy	VERB
ejde-666	96	30	the	the	DET
ejde-666	96	31	following	following	NOUN
ejde-666	96	32	:	:	PUNCT
ejde-666	96	33	−∆wi	−∆wi	PROPN
ejde-666	96	34	+	+	CCONJ
ejde-666	96	35	wi	wi	PROPN
ejde-666	96	36	=	=	PROPN
ejde-666	96	37	0	0	PROPN
ejde-666	96	38	in	in	ADP
ejde-666	96	39	ω	ω	NUM
ejde-666	96	40	;	;	PUNCT
ejde-666	96	41	∂wi	∂wi	PROPN
ejde-666	96	42	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	96	43	+	+	CCONJ
ejde-666	96	44	kwi	kwi	NOUN
ejde-666	96	45	=	=	SYM
ejde-666	96	46	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	96	47	,	,	PUNCT
ejde-666	96	48	u1	u1	NOUN
ejde-666	96	49	,	,	PUNCT
ejde-666	96	50	u2	u2	PROPN
ejde-666	96	51	)	)	PUNCT
ejde-666	96	52	+	+	CCONJ
ejde-666	96	53	kui	kui	X
ejde-666	96	54	on	on	ADP
ejde-666	96	55	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	96	56	,	,	PUNCT
ejde-666	96	57	i	i	PRON
ejde-666	96	58	=	=	NOUN
ejde-666	96	59	1	1	NUM
ejde-666	96	60	,	,	PUNCT
ejde-666	96	61	2	2	NUM
ejde-666	96	62	,	,	PUNCT
ejde-666	96	63	(	(	PUNCT
ejde-666	96	64	2.2	2.2	NUM
ejde-666	96	65	)	)	PUNCT
ejde-666	96	66	and	and	CCONJ
ejde-666	96	67	−∆zi	−∆zi	NOUN
ejde-666	96	68	+	+	CCONJ
ejde-666	96	69	zi	zi	NOUN
ejde-666	96	70	=	=	PUNCT
ejde-666	96	71	0	0	NUM
ejde-666	96	72	in	in	ADP
ejde-666	96	73	ω	ω	NUM
ejde-666	96	74	,	,	PUNCT
ejde-666	96	75	∂zi	∂zi	PROPN
ejde-666	96	76	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	96	77	+	+	CCONJ
ejde-666	96	78	kzi	kzi	ADJ
ejde-666	96	79	=	=	SYM
ejde-666	96	80	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	96	81	,	,	PUNCT
ejde-666	96	82	v1	v1	NOUN
ejde-666	96	83	,	,	PUNCT
ejde-666	96	84	v2	v2	PROPN
ejde-666	96	85	)	)	PUNCT
ejde-666	96	86	+	+	CCONJ
ejde-666	96	87	kvi	kvi	VERB
ejde-666	96	88	on	on	ADP
ejde-666	96	89	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	96	90	,	,	PUNCT
ejde-666	96	91	i	i	PRON
ejde-666	96	92	=	=	NOUN
ejde-666	96	93	1	1	NUM
ejde-666	96	94	,	,	PUNCT
ejde-666	96	95	2	2	NUM
ejde-666	96	96	.	.	PUNCT
ejde-666	96	97	(	(	PUNCT
ejde-666	96	98	2.3	2.3	NUM
ejde-666	96	99	)	)	PUNCT
ejde-666	96	100	by	by	ADP
ejde-666	96	101	(	(	PUNCT
ejde-666	96	102	a2	a2	PROPN
ejde-666	96	103	)	)	PUNCT
ejde-666	96	104	and	and	CCONJ
ejde-666	96	105	the	the	DET
ejde-666	96	106	fact	fact	NOUN
ejde-666	96	107	that	that	SCONJ
ejde-666	96	108	(	(	PUNCT
ejde-666	96	109	u1	u1	NOUN
ejde-666	96	110	,	,	PUNCT
ejde-666	96	111	u2	u2	NOUN
ejde-666	96	112	)	)	PUNCT
ejde-666	96	113	≤	≤	NOUN
ejde-666	96	114	(	(	PUNCT
ejde-666	96	115	v1	v1	NOUN
ejde-666	96	116	,	,	PUNCT
ejde-666	96	117	v2	v2	NOUN
ejde-666	96	118	)	)	PUNCT
ejde-666	96	119	and	and	CCONJ
ejde-666	96	120	k	k	X
ejde-666	96	121	>	>	X
ejde-666	96	122	0	0	NUM
ejde-666	96	123	,	,	PUNCT
ejde-666	96	124	we	we	PRON
ejde-666	96	125	have	have	AUX
ejde-666	96	126	f1(x	f1(x	NUM
ejde-666	96	127	,	,	PUNCT
ejde-666	96	128	u1	u1	NOUN
ejde-666	96	129	,	,	PUNCT
ejde-666	96	130	u2	u2	PROPN
ejde-666	96	131	)	)	PUNCT
ejde-666	96	132	+	+	CCONJ
ejde-666	96	133	ku1	ku1	VERB
ejde-666	96	134	≤	≤	NUM
ejde-666	96	135	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	96	136	,	,	PUNCT
ejde-666	96	137	v1	v1	NOUN
ejde-666	96	138	,	,	PUNCT
ejde-666	96	139	u2	u2	NOUN
ejde-666	96	140	)	)	PUNCT
ejde-666	96	141	+	+	PROPN
ejde-666	97	1	kv1	kv1	PROPN
ejde-666	97	2	.	.	PUNCT
ejde-666	97	3	applying	apply	VERB
ejde-666	97	4	the	the	DET
ejde-666	97	5	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	97	6	condition	condition	NOUN
ejde-666	97	7	(	(	PUNCT
ejde-666	97	8	a1	a1	NOUN
ejde-666	97	9	)	)	PUNCT
ejde-666	97	10	,	,	PUNCT
ejde-666	97	11	we	we	PRON
ejde-666	97	12	conclude	conclude	VERB
ejde-666	97	13	f1(x	f1(x	VERB
ejde-666	97	14	,	,	PUNCT
ejde-666	97	15	u1	u1	NOUN
ejde-666	97	16	,	,	PUNCT
ejde-666	97	17	u2	u2	PROPN
ejde-666	97	18	)	)	PUNCT
ejde-666	97	19	+	+	CCONJ
ejde-666	97	20	ku1	ku1	VERB
ejde-666	97	21	≤	≤	NUM
ejde-666	97	22	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	97	23	,	,	PUNCT
ejde-666	97	24	v1	v1	NOUN
ejde-666	97	25	,	,	PUNCT
ejde-666	97	26	v2)+kv1	v2)+kv1	NOUN
ejde-666	97	27	.	.	X
ejde-666	97	28	similarly	similarly	ADV
ejde-666	97	29	,	,	PUNCT
ejde-666	97	30	by	by	ADP
ejde-666	97	31	(	(	PUNCT
ejde-666	97	32	a1	a1	NOUN
ejde-666	97	33	)	)	PUNCT
ejde-666	97	34	and	and	CCONJ
ejde-666	97	35	(	(	PUNCT
ejde-666	97	36	a3	a3	NOUN
ejde-666	97	37	)	)	PUNCT
ejde-666	97	38	,	,	PUNCT
ejde-666	97	39	we	we	PRON
ejde-666	97	40	have	have	VERB
ejde-666	97	41	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	97	42	,	,	PUNCT
ejde-666	97	43	u1	u1	NOUN
ejde-666	97	44	,	,	PUNCT
ejde-666	97	45	u2)+ku2	u2)+ku2	NOUN
ejde-666	97	46	≤	≤	NOUN
ejde-666	98	1	f2(x	f2(x	NUM
ejde-666	98	2	,	,	PUNCT
ejde-666	98	3	v1	v1	NOUN
ejde-666	98	4	,	,	PUNCT
ejde-666	98	5	v2)+	v2)+	NOUN
ejde-666	98	6	kv2	kv2	NOUN
ejde-666	98	7	.	.	PUNCT
ejde-666	99	1	substracting	substracte	VERB
ejde-666	99	2	(	(	PUNCT
ejde-666	99	3	2.2	2.2	NUM
ejde-666	99	4	)	)	PUNCT
ejde-666	99	5	and	and	CCONJ
ejde-666	99	6	(	(	PUNCT
ejde-666	99	7	2.3	2.3	NUM
ejde-666	99	8	)	)	PUNCT
ejde-666	99	9	,	,	PUNCT
ejde-666	99	10	we	we	PRON
ejde-666	99	11	obtain	obtain	VERB
ejde-666	99	12	that	that	PRON
ejde-666	99	13	wi	wi	PROPN
ejde-666	99	14	−	−	PROPN
ejde-666	99	15	zi	zi	PROPN
ejde-666	99	16	satisfies	satisfy	VERB
ejde-666	99	17	−∆(wi	−∆(wi	PROPN
ejde-666	99	18	−	−	PROPN
ejde-666	99	19	zi	zi	PROPN
ejde-666	99	20	)	)	PUNCT
ejde-666	100	1	+	+	CCONJ
ejde-666	100	2	(	(	PUNCT
ejde-666	100	3	wi	wi	PROPN
ejde-666	100	4	−	−	PROPN
ejde-666	100	5	zi	zi	PROPN
ejde-666	100	6	)	)	PUNCT
ejde-666	100	7	=	=	SYM
ejde-666	100	8	0	0	NUM
ejde-666	100	9	in	in	ADP
ejde-666	100	10	ω	ω	NUM
ejde-666	100	11	;	;	PUNCT
ejde-666	100	12	∂(wi	∂(wi	VERB
ejde-666	100	13	−	−	PROPN
ejde-666	100	14	zi	zi	NOUN
ejde-666	100	15	)	)	PUNCT
ejde-666	101	1	∂η	∂η	X
ejde-666	102	1	+	+	CCONJ
ejde-666	102	2	k(wi	k(wi	ADV
ejde-666	102	3	−	−	PROPN
ejde-666	102	4	zi	zi	NOUN
ejde-666	102	5	)	)	PUNCT
ejde-666	102	6	≤	≤	NOUN
ejde-666	102	7	0	0	NUM
ejde-666	103	1	on	on	ADP
ejde-666	103	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	103	3	.	.	PUNCT
ejde-666	104	1	it	it	PRON
ejde-666	104	2	follows	follow	VERB
ejde-666	104	3	from	from	ADP
ejde-666	104	4	the	the	DET
ejde-666	104	5	comparison	comparison	NOUN
ejde-666	104	6	principle	principle	NOUN
ejde-666	104	7	(	(	PUNCT
ejde-666	104	8	see	see	VERB
ejde-666	104	9	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	104	10	[	[	X
ejde-666	104	11	8	8	NUM
ejde-666	104	12	]	]	PUNCT
ejde-666	104	13	)	)	PUNCT
ejde-666	104	14	that	that	SCONJ
ejde-666	104	15	wi	wi	PROPN
ejde-666	104	16	≤	≤	PROPN
ejde-666	104	17	zi	zi	PROPN
ejde-666	104	18	.	.	PUNCT
ejde-666	105	1	so	so	ADV
ejde-666	105	2	,	,	PUNCT
ejde-666	105	3	t	t	PROPN
ejde-666	105	4	(	(	PUNCT
ejde-666	105	5	u	u	NOUN
ejde-666	105	6	)	)	PUNCT
ejde-666	105	7	≤	≤	NOUN
ejde-666	105	8	t	t	PROPN
ejde-666	105	9	(	(	PUNCT
ejde-666	105	10	v	v	NOUN
ejde-666	105	11	)	)	PUNCT
ejde-666	105	12	.	.	PUNCT
ejde-666	106	1	now	now	ADV
ejde-666	106	2	,	,	PUNCT
ejde-666	106	3	we	we	PRON
ejde-666	106	4	show	show	VERB
ejde-666	106	5	that	that	SCONJ
ejde-666	106	6	t	t	PROPN
ejde-666	106	7	(	(	PUNCT
ejde-666	106	8	j	j	PROPN
ejde-666	106	9	)	)	PUNCT
ejde-666	106	10	⊆	⊆	NUM
ejde-666	106	11	j	j	PROPN
ejde-666	106	12	.	.	PUNCT
ejde-666	107	1	with	with	ADP
ejde-666	107	2	the	the	DET
ejde-666	107	3	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-666	107	4	of	of	ADP
ejde-666	107	5	t	t	PROPN
ejde-666	107	6	,	,	PUNCT
ejde-666	107	7	it	it	PRON
ejde-666	107	8	is	be	AUX
ejde-666	107	9	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-666	107	10	to	to	PART
ejde-666	107	11	show	show	VERB
ejde-666	107	12	that	that	SCONJ
ejde-666	107	13	u	u	PROPN
ejde-666	107	14	≤	≤	X
ejde-666	107	15	t	t	PROPN
ejde-666	107	16	(	(	PUNCT
ejde-666	107	17	u	u	NOUN
ejde-666	107	18	)	)	PUNCT
ejde-666	107	19	and	and	CCONJ
ejde-666	107	20	t	t	PROPN
ejde-666	107	21	(	(	PUNCT
ejde-666	107	22	u	u	NOUN
ejde-666	107	23	)	)	PUNCT
ejde-666	107	24	≤	≤	NOUN
ejde-666	107	25	u	u	NOUN
ejde-666	107	26	.	.	PUNCT
ejde-666	108	1	take	take	VERB
ejde-666	108	2	the	the	DET
ejde-666	108	3	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	108	4	u	u	NOUN
ejde-666	108	5	=	=	PUNCT
ejde-666	108	6	(	(	PUNCT
ejde-666	108	7	u1	u1	PROPN
ejde-666	108	8	,	,	PUNCT
ejde-666	108	9	u2	u2	PROPN
ejde-666	108	10	)	)	PUNCT
ejde-666	108	11	.	.	PUNCT
ejde-666	109	1	then	then	ADV
ejde-666	109	2	t	t	PROPN
ejde-666	109	3	(	(	PUNCT
ejde-666	109	4	u	u	NOUN
ejde-666	109	5	)	)	PUNCT
ejde-666	109	6	=	=	SYM
ejde-666	109	7	(	(	PUNCT
ejde-666	109	8	w1	w1	NOUN
ejde-666	109	9	,	,	PUNCT
ejde-666	109	10	w2	w2	NOUN
ejde-666	109	11	)	)	PUNCT
ejde-666	109	12	satisfies	satisfy	VERB
ejde-666	109	13	the	the	DET
ejde-666	109	14	system	system	NOUN
ejde-666	109	15	−∆wi	−∆wi	NOUN
ejde-666	109	16	+	+	CCONJ
ejde-666	109	17	wi	wi	PROPN
ejde-666	109	18	=	=	PROPN
ejde-666	109	19	0	0	PROPN
ejde-666	109	20	in	in	ADP
ejde-666	109	21	ω	ω	NUM
ejde-666	109	22	;	;	PUNCT
ejde-666	109	23	∂wi	∂wi	PROPN
ejde-666	109	24	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	109	25	+	+	CCONJ
ejde-666	109	26	kwi	kwi	NOUN
ejde-666	109	27	=	=	SYM
ejde-666	109	28	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	109	29	,	,	PUNCT
ejde-666	109	30	u1	u1	NOUN
ejde-666	109	31	,	,	PUNCT
ejde-666	109	32	u2	u2	PROPN
ejde-666	109	33	)	)	PUNCT
ejde-666	109	34	+	+	CCONJ
ejde-666	109	35	kui	kui	X
ejde-666	109	36	on	on	ADP
ejde-666	109	37	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	109	38	,	,	PUNCT
ejde-666	109	39	i	i	PRON
ejde-666	109	40	=	=	NOUN
ejde-666	109	41	1	1	NUM
ejde-666	109	42	,	,	PUNCT
ejde-666	109	43	2	2	NUM
ejde-666	109	44	.	.	PUNCT
ejde-666	109	45	using	use	VERB
ejde-666	109	46	the	the	DET
ejde-666	109	47	fact	fact	NOUN
ejde-666	109	48	that	that	SCONJ
ejde-666	109	49	u	u	NOUN
ejde-666	109	50	is	be	AUX
ejde-666	109	51	a	a	DET
ejde-666	109	52	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	109	53	to	to	ADP
ejde-666	109	54	(	(	PUNCT
ejde-666	109	55	1.1	1.1	NUM
ejde-666	109	56	)	)	PUNCT
ejde-666	109	57	,	,	PUNCT
ejde-666	109	58	we	we	PRON
ejde-666	109	59	obtain	obtain	VERB
ejde-666	109	60	that	that	PRON
ejde-666	109	61	−∆(ui	−∆(ui	PROPN
ejde-666	109	62	−	−	PROPN
ejde-666	109	63	wi	wi	PROPN
ejde-666	109	64	)	)	PUNCT
ejde-666	110	1	+	+	CCONJ
ejde-666	110	2	(	(	PUNCT
ejde-666	110	3	ui	ui	PROPN
ejde-666	110	4	−	−	PROPN
ejde-666	110	5	wi	wi	PROPN
ejde-666	110	6	)	)	PUNCT
ejde-666	110	7	=	=	SYM
ejde-666	110	8	0	0	NUM
ejde-666	110	9	in	in	ADP
ejde-666	110	10	ω	ω	PROPN
ejde-666	110	11	;	;	PUNCT
ejde-666	110	12	∂(ui	∂(ui	PROPN
ejde-666	110	13	−	−	PROPN
ejde-666	110	14	wi	wi	PROPN
ejde-666	110	15	)	)	PUNCT
ejde-666	111	1	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	112	1	+	+	CCONJ
ejde-666	112	2	k(ui	k(ui	PROPN
ejde-666	112	3	−	−	PROPN
ejde-666	112	4	wi	wi	PROPN
ejde-666	112	5	)	)	PUNCT
ejde-666	112	6	≤	≤	NOUN
ejde-666	112	7	0	0	NUM
ejde-666	113	1	on	on	ADP
ejde-666	113	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	113	3	,	,	PUNCT
ejde-666	113	4	i	i	PRON
ejde-666	113	5	=	=	NOUN
ejde-666	113	6	1	1	NUM
ejde-666	113	7	,	,	PUNCT
ejde-666	113	8	2	2	NUM
ejde-666	113	9	.	.	PUNCT
ejde-666	113	10	by	by	ADP
ejde-666	113	11	the	the	DET
ejde-666	113	12	comparison	comparison	NOUN
ejde-666	113	13	principle	principle	NOUN
ejde-666	113	14	,	,	PUNCT
ejde-666	113	15	we	we	PRON
ejde-666	113	16	have	have	VERB
ejde-666	113	17	ui−wi	ui−wi	ADJ
ejde-666	113	18	≤	≤	NOUN
ejde-666	113	19	0	0	NUM
ejde-666	114	1	in	in	ADP
ejde-666	114	2	ω	ω	NUM
ejde-666	114	3	.	.	PUNCT
ejde-666	115	1	hence	hence	ADV
ejde-666	115	2	,	,	PUNCT
ejde-666	115	3	u	u	PROPN
ejde-666	115	4	≤	≤	X
ejde-666	115	5	t	t	PROPN
ejde-666	115	6	(	(	PUNCT
ejde-666	115	7	u	u	NOUN
ejde-666	115	8	)	)	PUNCT
ejde-666	115	9	.	.	PUNCT
ejde-666	116	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	116	2	,	,	PUNCT
ejde-666	116	3	we	we	PRON
ejde-666	116	4	can	can	AUX
ejde-666	116	5	show	show	VERB
ejde-666	116	6	t	t	PROPN
ejde-666	116	7	(	(	PUNCT
ejde-666	116	8	u	u	NOUN
ejde-666	116	9	)	)	PUNCT
ejde-666	116	10	≤	≤	NOUN
ejde-666	116	11	u	u	NOUN
ejde-666	116	12	.	.	PUNCT
ejde-666	117	1	hence	hence	ADV
ejde-666	117	2	,	,	PUNCT
ejde-666	117	3	u	u	PROPN
ejde-666	117	4	≤	≤	X
ejde-666	117	5	t	t	PROPN
ejde-666	117	6	(	(	PUNCT
ejde-666	117	7	u	u	NOUN
ejde-666	117	8	)	)	PUNCT
ejde-666	117	9	≤	≤	NOUN
ejde-666	117	10	t	t	PROPN
ejde-666	117	11	(	(	PUNCT
ejde-666	117	12	u	u	NOUN
ejde-666	117	13	)	)	PUNCT
ejde-666	117	14	≤	≤	PUNCT
ejde-666	117	15	u.	u.	NOUN
ejde-666	117	16	(	(	PUNCT
ejde-666	117	17	2.4	2.4	NUM
ejde-666	117	18	)	)	PUNCT
ejde-666	117	19	thus	thus	ADV
ejde-666	117	20	,	,	PUNCT
ejde-666	117	21	t	t	PROPN
ejde-666	117	22	maps	map	VERB
ejde-666	117	23	j	j	PROPN
ejde-666	117	24	into	into	ADP
ejde-666	117	25	itself	itself	PRON
ejde-666	117	26	.	.	PUNCT
ejde-666	118	1	(	(	PUNCT
ejde-666	118	2	ii	ii	NOUN
ejde-666	118	3	)	)	PUNCT
ejde-666	118	4	construction	construction	NOUN
ejde-666	118	5	of	of	ADP
ejde-666	118	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	118	7	and	and	CCONJ
ejde-666	118	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	118	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	118	10	solutions	solution	NOUN
ejde-666	118	11	.	.	PUNCT
ejde-666	119	1	we	we	PRON
ejde-666	119	2	construct	construct	VERB
ejde-666	119	3	a	a	DET
ejde-666	119	4	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	119	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	119	6	{	{	PUNCT
ejde-666	119	7	un	un	PROPN
ejde-666	119	8	}	}	PUNCT
ejde-666	119	9	=	=	SYM
ejde-666	119	10	{	{	PUNCT
ejde-666	119	11	(	(	PUNCT
ejde-666	119	12	u1,n	u1,n	PROPN
ejde-666	119	13	,	,	PUNCT
ejde-666	119	14	u2,n	u2,n	PROPN
ejde-666	119	15	)	)	PUNCT
ejde-666	119	16	}	}	PUNCT
ejde-666	119	17	and	and	CCONJ
ejde-666	119	18	a	a	DET
ejde-666	119	19	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	119	20	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	119	21	{	{	PUNCT
ejde-666	119	22	wn	wn	NOUN
ejde-666	119	23	}	}	PUNCT
ejde-666	119	24	=	=	SYM
ejde-666	119	25	{	{	PUNCT
ejde-666	119	26	(	(	PUNCT
ejde-666	119	27	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	119	28	,	,	PUNCT
ejde-666	119	29	w2,n	w2,n	PROPN
ejde-666	119	30	)	)	PUNCT
ejde-666	119	31	}	}	PUNCT
ejde-666	119	32	using	use	VERB
ejde-666	119	33	the	the	DET
ejde-666	119	34	linear	linear	ADJ
ejde-666	119	35	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	119	36	process	process	NOUN
ejde-666	119	37	as	as	SCONJ
ejde-666	119	38	follows	follow	VERB
ejde-666	119	39	:	:	PUNCT
ejde-666	119	40	un	un	PROPN
ejde-666	119	41	=	=	PROPN
ejde-666	119	42	t	t	PROPN
ejde-666	119	43	(	(	PUNCT
ejde-666	119	44	un−1	un−1	PROPN
ejde-666	119	45	)	)	PUNCT
ejde-666	119	46	with	with	ADP
ejde-666	119	47	u0	u0	ADJ
ejde-666	119	48	=	=	SYM
ejde-666	119	49	u	u	NOUN
ejde-666	119	50	,	,	PUNCT
ejde-666	119	51	and	and	CCONJ
ejde-666	119	52	wn	wn	PROPN
ejde-666	119	53	=	=	PROPN
ejde-666	119	54	t	t	PROPN
ejde-666	119	55	(	(	PUNCT
ejde-666	119	56	wn−1	wn−1	PROPN
ejde-666	119	57	)	)	PUNCT
ejde-666	119	58	with	with	ADP
ejde-666	119	59	w0	w0	PROPN
ejde-666	119	60	=	=	SYM
ejde-666	119	61	u	u	PROPN
ejde-666	119	62	,	,	PUNCT
ejde-666	119	63	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	119	64	existence	existence	NOUN
ejde-666	119	65	of	of	ADP
ejde-666	119	66	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	119	67	and	and	CCONJ
ejde-666	119	68	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	119	69	weak	weak	ADJ
ejde-666	119	70	solutions	solution	NOUN
ejde-666	119	71	5	5	NUM
ejde-666	119	72	where	where	SCONJ
ejde-666	119	73	un	un	PROPN
ejde-666	119	74	and	and	CCONJ
ejde-666	119	75	wn	wn	PROPN
ejde-666	119	76	are	be	AUX
ejde-666	119	77	weak	weak	ADJ
ejde-666	119	78	solutions	solution	NOUN
ejde-666	119	79	of	of	ADP
ejde-666	119	80	−∆ui	−∆ui	PRON
ejde-666	119	81	,	,	PUNCT
ejde-666	119	82	n	n	PROPN
ejde-666	119	83	+	+	CCONJ
ejde-666	119	84	ui	ui	PROPN
ejde-666	119	85	,	,	PUNCT
ejde-666	119	86	n	n	NOUN
ejde-666	119	87	=	=	SYM
ejde-666	119	88	0	0	NUM
ejde-666	119	89	in	in	ADP
ejde-666	119	90	ω	ω	PROPN
ejde-666	119	91	;	;	PUNCT
ejde-666	119	92	∂ui	∂ui	PROPN
ejde-666	119	93	,	,	PUNCT
ejde-666	119	94	n	n	NOUN
ejde-666	119	95	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	120	1	+	+	PROPN
ejde-666	120	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	120	3	,	,	PUNCT
ejde-666	120	4	n	n	NOUN
ejde-666	120	5	=	=	SYM
ejde-666	120	6	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	120	7	,	,	PUNCT
ejde-666	120	8	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	120	9	,	,	PUNCT
ejde-666	120	10	u2,n−1	u2,n−1	ADJ
ejde-666	120	11	)	)	PUNCT
ejde-666	120	12	+	+	CCONJ
ejde-666	120	13	kui	kui	PROPN
ejde-666	120	14	,	,	PUNCT
ejde-666	120	15	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	120	16	on	on	ADP
ejde-666	120	17	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	120	18	,	,	PUNCT
ejde-666	120	19	(	(	PUNCT
ejde-666	120	20	2.5	2.5	NUM
ejde-666	120	21	)	)	PUNCT
ejde-666	120	22	and	and	CCONJ
ejde-666	120	23	−∆wi	−∆wi	PROPN
ejde-666	120	24	,	,	PUNCT
ejde-666	120	25	n	n	PROPN
ejde-666	120	26	+	+	CCONJ
ejde-666	120	27	wi	wi	PROPN
ejde-666	120	28	,	,	PUNCT
ejde-666	120	29	n	n	NOUN
ejde-666	120	30	=	=	SYM
ejde-666	120	31	0	0	NUM
ejde-666	120	32	in	in	ADP
ejde-666	120	33	ω	ω	NUM
ejde-666	120	34	;	;	PUNCT
ejde-666	120	35	∂wi	∂wi	PROPN
ejde-666	120	36	,	,	PUNCT
ejde-666	120	37	n	n	NOUN
ejde-666	120	38	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	120	39	+	+	CCONJ
ejde-666	120	40	kwi	kwi	PROPN
ejde-666	120	41	,	,	PUNCT
ejde-666	120	42	n	n	NOUN
ejde-666	120	43	=	=	SYM
ejde-666	120	44	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	120	45	,	,	PUNCT
ejde-666	120	46	w1,n−1	w1,n−1	ADJ
ejde-666	120	47	,	,	PUNCT
ejde-666	120	48	w2,n−1	w2,n−1	ADJ
ejde-666	120	49	)	)	PUNCT
ejde-666	120	50	+	+	CCONJ
ejde-666	120	51	kwi	kwi	NOUN
ejde-666	120	52	,	,	PUNCT
ejde-666	120	53	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	120	54	on	on	ADP
ejde-666	120	55	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	120	56	for	for	ADP
ejde-666	120	57	each	each	DET
ejde-666	120	58	i	i	NOUN
ejde-666	120	59	=	=	NOUN
ejde-666	120	60	1	1	NUM
ejde-666	120	61	,	,	PUNCT
ejde-666	120	62	2	2	NUM
ejde-666	120	63	.	.	PUNCT
ejde-666	121	1	the	the	DET
ejde-666	121	2	monotonicity	monotonicity	NOUN
ejde-666	121	3	of	of	ADP
ejde-666	121	4	t	t	PROPN
ejde-666	121	5	and	and	CCONJ
ejde-666	121	6	(	(	PUNCT
ejde-666	121	7	2.4	2.4	NUM
ejde-666	121	8	)	)	PUNCT
ejde-666	121	9	imply	imply	VERB
ejde-666	121	10	that	that	SCONJ
ejde-666	121	11	u	u	NOUN
ejde-666	121	12	=	=	PUNCT
ejde-666	121	13	u0	u0	ADJ
ejde-666	121	14	≤	≤	PROPN
ejde-666	121	15	u1	u1	NOUN
ejde-666	121	16	≤	≤	NOUN
ejde-666	121	17	u2	u2	NOUN
ejde-666	121	18	≤	≤	NOUN
ejde-666	121	19	·	·	PUNCT
ejde-666	121	20	·	·	PUNCT
ejde-666	121	21	·	·	PUNCT
ejde-666	122	1	≤wn	≤wn	PROPN
ejde-666	122	2	≤wn−1	≤wn−1	VERB
ejde-666	122	3	≤	≤	NOUN
ejde-666	122	4	·	·	PUNCT
ejde-666	122	5	·	·	PUNCT
ejde-666	122	6	·	·	PUNCT
ejde-666	122	7	≤w0	≤w0	X
ejde-666	123	1	=	=	PUNCT
ejde-666	123	2	u.	u.	VERB
ejde-666	123	3	we	we	PRON
ejde-666	123	4	now	now	ADV
ejde-666	123	5	proceed	proceed	VERB
ejde-666	123	6	to	to	PART
ejde-666	123	7	show	show	VERB
ejde-666	123	8	that	that	SCONJ
ejde-666	123	9	the	the	DET
ejde-666	123	10	sequences	sequence	NOUN
ejde-666	123	11	un	un	PROPN
ejde-666	123	12	and	and	CCONJ
ejde-666	123	13	wn	wn	PROPN
ejde-666	123	14	are	be	AUX
ejde-666	123	15	weakly	weakly	ADJ
ejde-666	123	16	convergent	convergent	NOUN
ejde-666	123	17	.	.	PUNCT
ejde-666	124	1	since	since	SCONJ
ejde-666	124	2	un	un	PROPN
ejde-666	124	3	=	=	PROPN
ejde-666	124	4	t	t	PROPN
ejde-666	124	5	(	(	PUNCT
ejde-666	124	6	un−1	un−1	PROPN
ejde-666	124	7	)	)	PUNCT
ejde-666	124	8	is	be	AUX
ejde-666	124	9	a	a	DET
ejde-666	124	10	weak	weak	ADJ
ejde-666	124	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	124	12	of	of	ADP
ejde-666	124	13	(	(	PUNCT
ejde-666	124	14	2.5	2.5	NUM
ejde-666	124	15	)	)	PUNCT
ejde-666	124	16	,	,	PUNCT
ejde-666	124	17	we	we	PRON
ejde-666	124	18	have	have	VERB
ejde-666	124	19	that∫	that∫	PROPN
ejde-666	124	20	ω	ω	PROPN
ejde-666	124	21	(	(	PUNCT
ejde-666	124	22	∇ui	∇ui	PROPN
ejde-666	124	23	,	,	PUNCT
ejde-666	124	24	n∇ψ	n∇ψ	PROPN
ejde-666	124	25	+	+	CCONJ
ejde-666	124	26	ui	ui	PROPN
ejde-666	124	27	,	,	PUNCT
ejde-666	124	28	nψ	nψ	PROPN
ejde-666	124	29	)	)	PUNCT
ejde-666	125	1	+	+	CCONJ
ejde-666	125	2	k	k	PROPN
ejde-666	125	3	∫	∫	PROPN
ejde-666	125	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	125	5	ui	ui	PROPN
ejde-666	125	6	,	,	PUNCT
ejde-666	125	7	nψ	nψ	NOUN
ejde-666	125	8	=	=	SYM
ejde-666	125	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	126	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	126	2	(	(	PUNCT
ejde-666	126	3	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	126	4	,	,	PUNCT
ejde-666	126	5	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	126	6	,	,	PUNCT
ejde-666	126	7	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	126	8	)	)	PUNCT
ejde-666	126	9	+	+	CCONJ
ejde-666	126	10	kui	kui	PROPN
ejde-666	126	11	,	,	PUNCT
ejde-666	126	12	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	126	13	)	)	PUNCT
ejde-666	126	14	ψ	ψ	PROPN
ejde-666	126	15	(	(	PUNCT
ejde-666	126	16	2.6	2.6	NUM
ejde-666	126	17	)	)	PUNCT
ejde-666	126	18	for	for	ADP
ejde-666	126	19	all	all	PRON
ejde-666	126	20	ψ	ψ	ADP
ejde-666	126	21	∈	∈	PROPN
ejde-666	126	22	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	126	23	)	)	PUNCT
ejde-666	126	24	.	.	PUNCT
ejde-666	127	1	taking	take	VERB
ejde-666	127	2	ψ	ψ	X
ejde-666	127	3	=	=	SYM
ejde-666	127	4	ui	ui	PROPN
ejde-666	127	5	,	,	PUNCT
ejde-666	127	6	n	n	PROPN
ejde-666	127	7	for	for	ADP
ejde-666	127	8	each	each	DET
ejde-666	127	9	i	i	NOUN
ejde-666	127	10	=	=	NOUN
ejde-666	127	11	1	1	NUM
ejde-666	127	12	,	,	PUNCT
ejde-666	127	13	2	2	NUM
ejde-666	127	14	,	,	PUNCT
ejde-666	127	15	we	we	PRON
ejde-666	127	16	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-666	127	17	ω	ω	PROPN
ejde-666	127	18	(	(	PUNCT
ejde-666	127	19	|∇ui	|∇ui	PROPN
ejde-666	127	20	,	,	PUNCT
ejde-666	127	21	n|2	n|2	PROPN
ejde-666	127	22	+	+	CCONJ
ejde-666	127	23	u2i	u2i	PROPN
ejde-666	127	24	,	,	PUNCT
ejde-666	127	25	n	n	PROPN
ejde-666	127	26	)	)	PUNCT
ejde-666	128	1	+	+	CCONJ
ejde-666	128	2	k	k	PROPN
ejde-666	128	3	∫	∫	PROPN
ejde-666	128	4	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	128	5	u2i	u2i	PROPN
ejde-666	128	6	,	,	PUNCT
ejde-666	128	7	n	n	NOUN
ejde-666	128	8	=	=	SYM
ejde-666	128	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	129	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	129	2	(	(	PUNCT
ejde-666	129	3	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	129	4	,	,	PUNCT
ejde-666	129	5	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	129	6	,	,	PUNCT
ejde-666	129	7	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	129	8	)	)	PUNCT
ejde-666	129	9	+	+	CCONJ
ejde-666	129	10	kui	kui	PROPN
ejde-666	129	11	,	,	PUNCT
ejde-666	129	12	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	129	13	)	)	PUNCT
ejde-666	129	14	ui	ui	PROPN
ejde-666	129	15	,	,	PUNCT
ejde-666	129	16	n.	n.	PROPN
ejde-666	129	17	(	(	PUNCT
ejde-666	129	18	2.7	2.7	NUM
ejde-666	129	19	)	)	PUNCT
ejde-666	129	20	observe	observe	VERB
ejde-666	129	21	that	that	SCONJ
ejde-666	129	22	∥fi(x	∥fi(x	NOUN
ejde-666	129	23	,	,	PUNCT
ejde-666	129	24	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	129	25	,	,	PUNCT
ejde-666	129	26	u2,n−1	u2,n−1	ADJ
ejde-666	129	27	)	)	PUNCT
ejde-666	130	1	+	+	CCONJ
ejde-666	130	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	130	3	,	,	PUNCT
ejde-666	130	4	n−1∥	n−1∥	NOUN
ejde-666	130	5	l	l	PROPN
ejde-666	130	6	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	130	7	)	)	PUNCT
ejde-666	130	8	n	n	CCONJ
ejde-666	130	9	(	(	PUNCT
ejde-666	130	10	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	130	11	)	)	PUNCT
ejde-666	130	12	≤	≤	NOUN
ejde-666	130	13	∥fi(x	∥fi(x	NOUN
ejde-666	130	14	,	,	PUNCT
ejde-666	130	15	u1	u1	NOUN
ejde-666	130	16	,	,	PUNCT
ejde-666	130	17	u2	u2	PROPN
ejde-666	130	18	)	)	PUNCT
ejde-666	130	19	+	+	NUM
ejde-666	130	20	kui∥	kui∥	PROPN
ejde-666	130	21	l	l	NOUN
ejde-666	130	22	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	130	23	)	)	PUNCT
ejde-666	130	24	n	n	CCONJ
ejde-666	130	25	(	(	PUNCT
ejde-666	130	26	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	130	27	)	)	PUNCT
ejde-666	131	1	+	+	CCONJ
ejde-666	131	2	∥fi(x	∥fi(x	ADJ
ejde-666	131	3	,	,	PUNCT
ejde-666	131	4	u1	u1	NOUN
ejde-666	131	5	,	,	PUNCT
ejde-666	131	6	u2	u2	PROPN
ejde-666	131	7	)	)	PUNCT
ejde-666	132	1	+	+	NUM
ejde-666	132	2	kui∥	kui∥	PROPN
ejde-666	132	3	l	l	NOUN
ejde-666	132	4	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	132	5	)	)	PUNCT
ejde-666	132	6	n	n	CCONJ
ejde-666	132	7	(	(	PUNCT
ejde-666	132	8	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	132	9	)	)	PUNCT
ejde-666	133	1	≤	≤	NOUN
ejde-666	133	2	c̃	c̃	PROPN
ejde-666	133	3	,	,	PUNCT
ejde-666	133	4	(	(	PUNCT
ejde-666	133	5	2.8	2.8	NUM
ejde-666	133	6	)	)	PUNCT
ejde-666	133	7	where	where	SCONJ
ejde-666	133	8	c̃	c̃	PROPN
ejde-666	133	9	is	be	AUX
ejde-666	133	10	a	a	DET
ejde-666	133	11	constant	constant	ADJ
ejde-666	133	12	independent	independent	NOUN
ejde-666	133	13	of	of	ADP
ejde-666	133	14	n.	n.	NOUN
ejde-666	133	15	hence	hence	ADV
ejde-666	133	16	,	,	PUNCT
ejde-666	133	17	for	for	ADP
ejde-666	133	18	each	each	DET
ejde-666	133	19	i	i	NOUN
ejde-666	133	20	=	=	NOUN
ejde-666	133	21	1	1	NUM
ejde-666	133	22	,	,	PUNCT
ejde-666	133	23	2	2	NUM
ejde-666	133	24	,	,	PUNCT
ejde-666	133	25	fi	fi	NOUN
ejde-666	133	26	(	(	PUNCT
ejde-666	133	27	·	·	PUNCT
ejde-666	133	28	,	,	PUNCT
ejde-666	133	29	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	133	30	(	(	PUNCT
ejde-666	133	31	·	·	PUNCT
ejde-666	133	32	)	)	PUNCT
ejde-666	133	33	,	,	PUNCT
ejde-666	133	34	u2,n−1	u2,n−1	ADJ
ejde-666	133	35	(	(	PUNCT
ejde-666	133	36	·	·	PUNCT
ejde-666	133	37	)	)	PUNCT
ejde-666	133	38	)	)	PUNCT
ejde-666	134	1	+	+	CCONJ
ejde-666	134	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	134	3	,	,	PUNCT
ejde-666	134	4	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	134	5	(	(	PUNCT
ejde-666	134	6	·	·	PUNCT
ejde-666	134	7	)	)	PUNCT
ejde-666	134	8	∈	∈	PROPN
ejde-666	134	9	l	l	X
ejde-666	134	10	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	134	11	)	)	PUNCT
ejde-666	134	12	n	n	CCONJ
ejde-666	134	13	(	(	PUNCT
ejde-666	134	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	134	15	)	)	PUNCT
ejde-666	134	16	.	.	PUNCT
ejde-666	135	1	then	then	ADV
ejde-666	135	2	,	,	PUNCT
ejde-666	135	3	the	the	DET
ejde-666	135	4	righthand	righthand	NOUN
ejde-666	135	5	side	side	NOUN
ejde-666	135	6	of	of	ADP
ejde-666	135	7	(	(	PUNCT
ejde-666	135	8	2.7	2.7	NUM
ejde-666	135	9	)	)	PUNCT
ejde-666	135	10	can	can	AUX
ejde-666	135	11	be	be	AUX
ejde-666	135	12	estimated	estimate	VERB
ejde-666	135	13	using	use	VERB
ejde-666	135	14	hölder	hölder	NOUN
ejde-666	135	15	’s	’s	PART
ejde-666	135	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	135	17	and	and	CCONJ
ejde-666	135	18	the	the	DET
ejde-666	135	19	bound	bind	VERB
ejde-666	135	20	(	(	PUNCT
ejde-666	135	21	2.8	2.8	NUM
ejde-666	135	22	)	)	PUNCT
ejde-666	135	23	,	,	PUNCT
ejde-666	135	24	and	and	CCONJ
ejde-666	135	25	so	so	ADV
ejde-666	135	26	(	(	PUNCT
ejde-666	135	27	2.7	2.7	NUM
ejde-666	135	28	)	)	PUNCT
ejde-666	135	29	can	can	AUX
ejde-666	135	30	be	be	AUX
ejde-666	135	31	estimated	estimate	VERB
ejde-666	135	32	as	as	SCONJ
ejde-666	135	33	follows	follow	VERB
ejde-666	135	34	:	:	PUNCT
ejde-666	135	35	∥ui	∥ui	PROPN
ejde-666	135	36	,	,	PUNCT
ejde-666	135	37	n∥2h1(ω	n∥2h1(ω	NOUN
ejde-666	135	38	)	)	PUNCT
ejde-666	135	39	≤	≤	NOUN
ejde-666	135	40	∥ui	∥ui	PROPN
ejde-666	135	41	,	,	PUNCT
ejde-666	135	42	n∥2h1(ω	n∥2h1(ω	NUM
ejde-666	135	43	)	)	PUNCT
ejde-666	136	1	+	+	CCONJ
ejde-666	137	1	k∥ui	k∥ui	PROPN
ejde-666	137	2	,	,	PUNCT
ejde-666	137	3	n∥2l2(∂ω	n∥2l2(∂ω	PROPN
ejde-666	137	4	)	)	PUNCT
ejde-666	137	5	≤	≤	NOUN
ejde-666	137	6	∥fi(x	∥fi(x	NOUN
ejde-666	137	7	,	,	PUNCT
ejde-666	137	8	u1,n−1	u1,n−1	ADJ
ejde-666	137	9	,	,	PUNCT
ejde-666	137	10	u2,n−1	u2,n−1	ADJ
ejde-666	137	11	)	)	PUNCT
ejde-666	137	12	+	+	CCONJ
ejde-666	137	13	kui	kui	PROPN
ejde-666	137	14	,	,	PUNCT
ejde-666	137	15	n−1∥	n−1∥	NOUN
ejde-666	137	16	l	l	PROPN
ejde-666	137	17	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	137	18	)	)	PUNCT
ejde-666	138	1	n	n	CCONJ
ejde-666	138	2	(	(	PUNCT
ejde-666	138	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	138	4	)	)	PUNCT
ejde-666	138	5	∥ui	∥ui	PROPN
ejde-666	138	6	,	,	PUNCT
ejde-666	138	7	n∥	n∥	NOUN
ejde-666	138	8	l	l	NOUN
ejde-666	138	9	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	138	10	)	)	PUNCT
ejde-666	138	11	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	138	12	(	(	PUNCT
ejde-666	138	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	138	14	)	)	PUNCT
ejde-666	138	15	≤	≤	NOUN
ejde-666	138	16	c̃	c̃	PROPN
ejde-666	138	17	(	(	PUNCT
ejde-666	138	18	∥u∥	∥u∥	X
ejde-666	138	19	l	l	X
ejde-666	138	20	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	138	21	)	)	PUNCT
ejde-666	138	22	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	138	23	(	(	PUNCT
ejde-666	138	24	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	138	25	)	)	PUNCT
ejde-666	139	1	+	+	NUM
ejde-666	139	2	∥u∥	∥u∥	X
ejde-666	139	3	l	l	NOUN
ejde-666	139	4	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	139	5	)	)	PUNCT
ejde-666	139	6	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	139	7	(	(	PUNCT
ejde-666	139	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	139	9	)	)	PUNCT
ejde-666	139	10	)	)	PUNCT
ejde-666	139	11	≤	≤	NUM
ejde-666	139	12	c	c	NOUN
ejde-666	139	13	′	′	NOUN
ejde-666	139	14	,	,	PUNCT
ejde-666	139	15	where	where	SCONJ
ejde-666	139	16	c	c	NOUN
ejde-666	139	17	′	′	NOUN
ejde-666	139	18	is	be	AUX
ejde-666	139	19	a	a	DET
ejde-666	139	20	constant	constant	ADJ
ejde-666	139	21	independent	independent	NOUN
ejde-666	139	22	of	of	ADP
ejde-666	139	23	n.	n.	NOUN
ejde-666	139	24	hence	hence	ADV
ejde-666	139	25	,	,	PUNCT
ejde-666	139	26	∥un∥(h1(ω))2	∥un∥(h1(ω))2	PROPN
ejde-666	139	27	=	=	SYM
ejde-666	139	28	∥u1,n∥h1(ω	∥u1,n∥h1(ω	X
ejde-666	139	29	)	)	PUNCT
ejde-666	139	30	+	+	NUM
ejde-666	139	31	∥u2,n∥h1(ω	∥u2,n∥h1(ω	NOUN
ejde-666	139	32	)	)	PUNCT
ejde-666	139	33	≤	≤	NOUN
ejde-666	140	1	c	c	X
ejde-666	140	2	,	,	PUNCT
ejde-666	140	3	(	(	PUNCT
ejde-666	140	4	2.9	2.9	NUM
ejde-666	140	5	)	)	PUNCT
ejde-666	140	6	where	where	SCONJ
ejde-666	140	7	c	c	NOUN
ejde-666	140	8	is	be	AUX
ejde-666	140	9	a	a	DET
ejde-666	140	10	constant	constant	ADJ
ejde-666	140	11	independent	independent	NOUN
ejde-666	140	12	of	of	ADP
ejde-666	140	13	n.	n.	NOUN
ejde-666	140	14	since	since	SCONJ
ejde-666	140	15	un	un	PROPN
ejde-666	140	16	is	be	AUX
ejde-666	140	17	uniformly	uniformly	ADV
ejde-666	140	18	bounded	bound	VERB
ejde-666	140	19	in	in	ADP
ejde-666	140	20	(	(	PUNCT
ejde-666	140	21	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	140	22	and	and	CCONJ
ejde-666	140	23	(	(	PUNCT
ejde-666	140	24	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	140	25	is	be	AUX
ejde-666	140	26	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-666	140	27	,	,	PUNCT
ejde-666	140	28	it	it	PRON
ejde-666	140	29	follows	follow	VERB
ejde-666	140	30	that	that	SCONJ
ejde-666	140	31	there	there	PRON
ejde-666	140	32	exists	exist	VERB
ejde-666	140	33	a	a	DET
ejde-666	140	34	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-666	140	35	(	(	PUNCT
ejde-666	140	36	relabeled	relabele	VERB
ejde-666	140	37	)	)	PUNCT
ejde-666	140	38	un	un	PROPN
ejde-666	140	39	which	which	PRON
ejde-666	140	40	converges	converge	VERB
ejde-666	140	41	weakly	weakly	ADJ
ejde-666	140	42	to	to	ADP
ejde-666	140	43	u∗	u∗	ADV
ejde-666	140	44	=	=	PUNCT
ejde-666	140	45	(	(	PUNCT
ejde-666	140	46	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	140	47	,	,	PUNCT
ejde-666	140	48	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	140	49	)	)	PUNCT
ejde-666	140	50	∈	∈	PROPN
ejde-666	140	51	(	(	PUNCT
ejde-666	140	52	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	140	53	.	.	PUNCT
ejde-666	141	1	now	now	ADV
ejde-666	141	2	,	,	PUNCT
ejde-666	141	3	let	let	VERB
ejde-666	141	4	’s	’s	NOUN
ejde-666	141	5	show	show	VERB
ejde-666	141	6	that	that	SCONJ
ejde-666	141	7	fi(x	fi(x	NOUN
ejde-666	141	8	,	,	PUNCT
ejde-666	141	9	un	un	PROPN
ejde-666	141	10	)	)	PUNCT
ejde-666	142	1	+	+	CCONJ
ejde-666	142	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	142	3	,	,	PUNCT
ejde-666	142	4	n	n	PRON
ejde-666	142	5	converges	converge	VERB
ejde-666	142	6	weakly	weakly	ADV
ejde-666	142	7	to	to	ADP
ejde-666	142	8	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	142	9	,	,	PUNCT
ejde-666	142	10	u∗	u∗	ADV
ejde-666	142	11	)	)	PUNCT
ejde-666	143	1	+	+	CCONJ
ejde-666	143	2	kui,∗	kui,∗	X
ejde-666	143	3	in	in	ADP
ejde-666	143	4	l	l	PROPN
ejde-666	143	5	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	143	6	)	)	PUNCT
ejde-666	143	7	n	n	CCONJ
ejde-666	143	8	(	(	PUNCT
ejde-666	143	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	143	10	)	)	PUNCT
ejde-666	143	11	for	for	ADP
ejde-666	143	12	i	i	PROPN
ejde-666	143	13	=	=	SYM
ejde-666	143	14	1	1	NUM
ejde-666	143	15	,	,	PUNCT
ejde-666	143	16	2	2	NUM
ejde-666	143	17	,	,	PUNCT
ejde-666	143	18	where	where	SCONJ
ejde-666	143	19	we	we	PRON
ejde-666	143	20	have	have	AUX
ejde-666	143	21	adopted	adopt	VERB
ejde-666	143	22	the	the	DET
ejde-666	143	23	notation	notation	NOUN
ejde-666	143	24	fi(x	fi(x	NOUN
ejde-666	143	25	,	,	PUNCT
ejde-666	143	26	v	v	NOUN
ejde-666	143	27	)	)	PUNCT
ejde-666	143	28	=	=	SYM
ejde-666	143	29	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	143	30	,	,	PUNCT
ejde-666	143	31	v1	v1	NOUN
ejde-666	143	32	,	,	PUNCT
ejde-666	143	33	v2	v2	PROPN
ejde-666	143	34	)	)	PUNCT
ejde-666	143	35	for	for	ADP
ejde-666	143	36	v	v	NOUN
ejde-666	143	37	=	=	SYM
ejde-666	143	38	(	(	PUNCT
ejde-666	143	39	v1	v1	NOUN
ejde-666	143	40	,	,	PUNCT
ejde-666	143	41	v2	v2	PROPN
ejde-666	143	42	)	)	PUNCT
ejde-666	143	43	.	.	PUNCT
ejde-666	144	1	from	from	ADP
ejde-666	144	2	(	(	PUNCT
ejde-666	144	3	2.9	2.9	NUM
ejde-666	144	4	)	)	PUNCT
ejde-666	144	5	,	,	PUNCT
ejde-666	144	6	we	we	PRON
ejde-666	144	7	have	have	VERB
ejde-666	144	8	that	that	SCONJ
ejde-666	144	9	the	the	DET
ejde-666	144	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	144	11	un	un	PROPN
ejde-666	144	12	is	be	AUX
ejde-666	144	13	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	144	14	increasing	increase	VERB
ejde-666	144	15	and	and	CCONJ
ejde-666	144	16	bounded	bound	VERB
ejde-666	144	17	.	.	PUNCT
ejde-666	145	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	145	2	,	,	PUNCT
ejde-666	145	3	un	un	PROPN
ejde-666	145	4	converges	converge	VERB
ejde-666	145	5	pointwise	pointwise	VERB
ejde-666	145	6	to	to	ADP
ejde-666	145	7	u∗	u∗	PROPN
ejde-666	145	8	,	,	PUNCT
ejde-666	145	9	that	that	ADV
ejde-666	145	10	is	is	ADV
ejde-666	145	11	,	,	PUNCT
ejde-666	145	12	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-666	145	13	)	)	PUNCT
ejde-666	145	14	=	=	SYM
ejde-666	145	15	limn→∞	limn→∞	X
ejde-666	145	16	un(x	un(x	X
ejde-666	145	17	)	)	PUNCT
ejde-666	145	18	and	and	CCONJ
ejde-666	145	19	u(x	u(x	PROPN
ejde-666	145	20	)	)	PUNCT
ejde-666	145	21	≤	≤	NOUN
ejde-666	145	22	u∗(x	u∗(x	NOUN
ejde-666	145	23	)	)	PUNCT
ejde-666	145	24	≤	≤	NUM
ejde-666	145	25	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	145	26	)	)	PUNCT
ejde-666	145	27	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	145	28	.	.	PUNCT
ejde-666	145	29	x	x	PUNCT
ejde-666	145	30	∈	∈	PROPN
ejde-666	145	31	ω	ω	PROPN
ejde-666	145	32	and	and	CCONJ
ejde-666	145	33	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	145	34	.	.	PROPN
ejde-666	146	1	x	x	SYM
ejde-666	146	2	∈	∈	PROPN
ejde-666	146	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	146	4	.	.	PUNCT
ejde-666	147	1	since	since	SCONJ
ejde-666	147	2	fi	fi	NOUN
ejde-666	147	3	is	be	AUX
ejde-666	147	4	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	147	5	with	with	ADP
ejde-666	147	6	respect	respect	NOUN
ejde-666	147	7	to	to	ADP
ejde-666	147	8	the	the	DET
ejde-666	147	9	second	second	ADJ
ejde-666	147	10	and	and	CCONJ
ejde-666	147	11	third	third	ADJ
ejde-666	147	12	variables	variable	NOUN
ejde-666	147	13	,	,	PUNCT
ejde-666	147	14	it	it	PRON
ejde-666	147	15	follows	follow	VERB
ejde-666	147	16	that	that	SCONJ
ejde-666	147	17	lim	lim	PROPN
ejde-666	147	18	n→∞	n→∞	X
ejde-666	148	1	[	[	X
ejde-666	148	2	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	148	3	,	,	PUNCT
ejde-666	148	4	un(x	un(x	NUM
ejde-666	148	5	)	)	PUNCT
ejde-666	148	6	)	)	PUNCT
ejde-666	149	1	+	+	CCONJ
ejde-666	149	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	149	3	,	,	PUNCT
ejde-666	149	4	n(x	n(x	PROPN
ejde-666	149	5	)	)	PUNCT
ejde-666	149	6	]	]	PUNCT
ejde-666	149	7	=	=	SYM
ejde-666	149	8	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	149	9	,	,	PUNCT
ejde-666	149	10	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-666	149	11	)	)	PUNCT
ejde-666	149	12	)	)	PUNCT
ejde-666	150	1	+	+	CCONJ
ejde-666	150	2	kui,∗(x	kui,∗(x	NOUN
ejde-666	150	3	)	)	PUNCT
ejde-666	150	4	.	.	PUNCT
ejde-666	151	1	by	by	ADP
ejde-666	151	2	the	the	DET
ejde-666	151	3	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-666	151	4	dominated	dominate	VERB
ejde-666	151	5	convergence	convergence	NOUN
ejde-666	151	6	theorem	theorem	VERB
ejde-666	151	7	,	,	PUNCT
ejde-666	151	8	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	151	9	,	,	PUNCT
ejde-666	151	10	un(x	un(x	NUM
ejde-666	151	11	)	)	PUNCT
ejde-666	151	12	)	)	PUNCT
ejde-666	152	1	+	+	CCONJ
ejde-666	152	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	152	3	,	,	PUNCT
ejde-666	152	4	n(x	n(x	X
ejde-666	152	5	)	)	PUNCT
ejde-666	152	6	converges	converge	VERB
ejde-666	152	7	strongly	strongly	ADV
ejde-666	152	8	to	to	ADP
ejde-666	152	9	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	152	10	,	,	PUNCT
ejde-666	152	11	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-666	152	12	)	)	PUNCT
ejde-666	152	13	)	)	PUNCT
ejde-666	153	1	+	+	CCONJ
ejde-666	153	2	kui,∗	kui,∗	X
ejde-666	153	3	in	in	ADP
ejde-666	153	4	l	l	PROPN
ejde-666	153	5	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	153	6	)	)	PUNCT
ejde-666	153	7	n	n	CCONJ
ejde-666	153	8	(	(	PUNCT
ejde-666	153	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	153	10	)	)	PUNCT
ejde-666	153	11	.	.	PUNCT
ejde-666	154	1	hence	hence	ADV
ejde-666	154	2	,	,	PUNCT
ejde-666	154	3	we	we	PRON
ejde-666	154	4	have	have	VERB
ejde-666	154	5	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	154	6	,	,	PUNCT
ejde-666	154	7	un(x	un(x	NUM
ejde-666	154	8	)	)	PUNCT
ejde-666	154	9	)	)	PUNCT
ejde-666	155	1	+	+	CCONJ
ejde-666	155	2	kui	kui	PROPN
ejde-666	155	3	,	,	PUNCT
ejde-666	155	4	n(x	n(x	X
ejde-666	155	5	)	)	PUNCT
ejde-666	155	6	converges	converge	VERB
ejde-666	155	7	weakly	weakly	ADJ
ejde-666	155	8	to	to	ADP
ejde-666	155	9	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	155	10	,	,	PUNCT
ejde-666	155	11	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-666	155	12	)	)	PUNCT
ejde-666	155	13	)	)	PUNCT
ejde-666	156	1	+	+	CCONJ
ejde-666	156	2	kui,∗	kui,∗	PROPN
ejde-666	156	3	,	,	PUNCT
ejde-666	156	4	that	that	ADV
ejde-666	156	5	is	is	ADV
ejde-666	156	6	,	,	PUNCT
ejde-666	156	7	for	for	ADP
ejde-666	156	8	all	all	DET
ejde-666	156	9	ψ	ψ	DET
ejde-666	156	10	∈	∈	PROPN
ejde-666	156	11	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	156	12	)	)	PUNCT
ejde-666	156	13	,	,	PUNCT
ejde-666	156	14	lim	lim	PROPN
ejde-666	156	15	n→∞	n→∞	NUM
ejde-666	156	16	∫	∫	PROPN
ejde-666	157	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	158	1	[	[	X
ejde-666	158	2	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	158	3	,	,	PUNCT
ejde-666	158	4	un	un	PROPN
ejde-666	158	5	)	)	PUNCT
ejde-666	158	6	+	+	CCONJ
ejde-666	158	7	kui	kui	PROPN
ejde-666	158	8	,	,	PUNCT
ejde-666	158	9	n]ψ	n]ψ	ADJ
ejde-666	158	10	=	=	SYM
ejde-666	158	11	∫	∫	PROPN
ejde-666	159	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	160	1	[	[	X
ejde-666	160	2	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	160	3	,	,	PUNCT
ejde-666	160	4	u∗(x	u∗(x	PROPN
ejde-666	160	5	)	)	PUNCT
ejde-666	160	6	)	)	PUNCT
ejde-666	161	1	+	+	CCONJ
ejde-666	161	2	kui,∗]ψ	kui,∗]ψ	NOUN
ejde-666	161	3	.	.	PUNCT
ejde-666	162	1	(	(	PUNCT
ejde-666	162	2	2.10	2.10	NUM
ejde-666	162	3	)	)	PUNCT
ejde-666	162	4	6	6	NUM
ejde-666	162	5	s.	s.	PROPN
ejde-666	162	6	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	162	7	,	,	PUNCT
ejde-666	162	8	t.	t.	PROPN
ejde-666	162	9	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	162	10	,	,	PUNCT
ejde-666	162	11	n.	n.	PROPN
ejde-666	162	12	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	162	13	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	162	14	we	we	PRON
ejde-666	162	15	will	will	AUX
ejde-666	162	16	show	show	VERB
ejde-666	162	17	that	that	DET
ejde-666	162	18	u∗	u∗	NOUN
ejde-666	162	19	=	=	SYM
ejde-666	162	20	(	(	PUNCT
ejde-666	162	21	u1,∗	u1,∗	NOUN
ejde-666	162	22	,	,	PUNCT
ejde-666	162	23	u2,∗	u2,∗	ADJ
ejde-666	162	24	)	)	PUNCT
ejde-666	162	25	is	be	AUX
ejde-666	162	26	a	a	DET
ejde-666	162	27	weak	weak	ADJ
ejde-666	162	28	solution	solution	NOUN
ejde-666	162	29	of	of	ADP
ejde-666	162	30	(	(	PUNCT
ejde-666	162	31	1.1	1.1	NUM
ejde-666	162	32	)	)	PUNCT
ejde-666	162	33	.	.	PUNCT
ejde-666	163	1	by	by	ADP
ejde-666	163	2	the	the	DET
ejde-666	163	3	continuity	continuity	NOUN
ejde-666	163	4	of	of	ADP
ejde-666	163	5	the	the	DET
ejde-666	163	6	trace	trace	NOUN
ejde-666	163	7	operator	operator	NOUN
ejde-666	163	8	(	(	PUNCT
ejde-666	163	9	1.2	1.2	NUM
ejde-666	163	10	)	)	PUNCT
ejde-666	163	11	and	and	CCONJ
ejde-666	163	12	the	the	DET
ejde-666	163	13	embedding	embed	VERB
ejde-666	163	14	l	l	NOUN
ejde-666	163	15	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	163	16	)	)	PUNCT
ejde-666	163	17	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	163	18	(	(	PUNCT
ejde-666	163	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	163	20	)	)	PUNCT
ejde-666	163	21	into	into	ADP
ejde-666	163	22	l	l	PROPN
ejde-666	163	23	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	163	24	)	)	PUNCT
ejde-666	163	25	n	n	CCONJ
ejde-666	163	26	(	(	PUNCT
ejde-666	163	27	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	163	28	)	)	PUNCT
ejde-666	163	29	,	,	PUNCT
ejde-666	163	30	it	it	PRON
ejde-666	163	31	follows	follow	VERB
ejde-666	163	32	that	that	SCONJ
ejde-666	163	33	ui,∗	ui,∗	NUM
ejde-666	163	34	∈	∈	PROPN
ejde-666	163	35	l	l	X
ejde-666	163	36	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	163	37	)	)	PUNCT
ejde-666	163	38	n	n	CCONJ
ejde-666	163	39	(	(	PUNCT
ejde-666	163	40	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	163	41	)	)	PUNCT
ejde-666	163	42	for	for	ADP
ejde-666	163	43	i	i	PROPN
ejde-666	163	44	=	=	SYM
ejde-666	163	45	1	1	NUM
ejde-666	163	46	,	,	PUNCT
ejde-666	163	47	2	2	NUM
ejde-666	163	48	.	.	X
ejde-666	163	49	using	use	VERB
ejde-666	163	50	(	(	PUNCT
ejde-666	163	51	2.8	2.8	NUM
ejde-666	163	52	)	)	PUNCT
ejde-666	163	53	,	,	PUNCT
ejde-666	163	54	we	we	PRON
ejde-666	163	55	have	have	AUX
ejde-666	163	56	∥fi(x	∥fi(x	VERB
ejde-666	163	57	,	,	PUNCT
ejde-666	163	58	u∗)∥	u∗)∥	PROPN
ejde-666	163	59	l	l	NOUN
ejde-666	163	60	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	163	61	)	)	PUNCT
ejde-666	163	62	n	n	CCONJ
ejde-666	163	63	(	(	PUNCT
ejde-666	163	64	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	163	65	)	)	PUNCT
ejde-666	163	66	=	=	SYM
ejde-666	163	67	∥fi(x	∥fi(x	ADJ
ejde-666	163	68	,	,	PUNCT
ejde-666	163	69	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	163	70	)	)	PUNCT
ejde-666	164	1	+	+	CCONJ
ejde-666	164	2	kui,∗	kui,∗	NUM
ejde-666	164	3	−	−	PROPN
ejde-666	164	4	kui,∗∥	kui,∗∥	PROPN
ejde-666	164	5	l	l	PROPN
ejde-666	164	6	2(n−1	2(n−1	NOUN
ejde-666	164	7	)	)	PUNCT
ejde-666	164	8	n	n	CCONJ
ejde-666	164	9	(	(	PUNCT
ejde-666	164	10	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	164	11	)	)	PUNCT
ejde-666	164	12	≤	≤	NOUN
ejde-666	164	13	∥fi(x	∥fi(x	NOUN
ejde-666	164	14	,	,	PUNCT
ejde-666	164	15	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	164	16	)	)	PUNCT
ejde-666	165	1	+	+	CCONJ
ejde-666	165	2	kui,∗∥	kui,∗∥	PROPN
ejde-666	165	3	l	l	NOUN
ejde-666	165	4	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	165	5	)	)	PUNCT
ejde-666	165	6	n	n	CCONJ
ejde-666	165	7	(	(	PUNCT
ejde-666	165	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	165	9	)	)	PUNCT
ejde-666	166	1	+	+	CCONJ
ejde-666	166	2	∥kui,∗∥	∥kui,∗∥	PROPN
ejde-666	166	3	l	l	PROPN
ejde-666	166	4	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	166	5	)	)	PUNCT
ejde-666	166	6	n	n	CCONJ
ejde-666	166	7	(	(	PUNCT
ejde-666	166	8	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	166	9	)	)	PUNCT
ejde-666	166	10	≤	≤	NOUN
ejde-666	167	1	c	c	X
ejde-666	167	2	,	,	PUNCT
ejde-666	167	3	where	where	SCONJ
ejde-666	167	4	c	c	PROPN
ejde-666	167	5	is	be	AUX
ejde-666	167	6	a	a	DET
ejde-666	167	7	positive	positive	ADJ
ejde-666	167	8	constant	constant	NOUN
ejde-666	167	9	.	.	PUNCT
ejde-666	168	1	hence	hence	ADV
ejde-666	168	2	,	,	PUNCT
ejde-666	168	3	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	168	4	,	,	PUNCT
ejde-666	168	5	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	168	6	)	)	PUNCT
ejde-666	168	7	∈	∈	PROPN
ejde-666	168	8	l	l	X
ejde-666	168	9	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	168	10	)	)	PUNCT
ejde-666	168	11	n	n	CCONJ
ejde-666	168	12	(	(	PUNCT
ejde-666	168	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	168	14	)	)	PUNCT
ejde-666	168	15	.	.	PUNCT
ejde-666	169	1	since	since	SCONJ
ejde-666	169	2	ui	ui	PROPN
ejde-666	169	3	,	,	PUNCT
ejde-666	169	4	n	n	PRON
ejde-666	169	5	converges	converge	VERB
ejde-666	169	6	weakly	weakly	ADV
ejde-666	169	7	to	to	ADP
ejde-666	169	8	ui,∗	ui,∗	NOUN
ejde-666	169	9	in	in	ADP
ejde-666	169	10	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	169	11	)	)	PUNCT
ejde-666	169	12	,	,	PUNCT
ejde-666	169	13	ui	ui	PROPN
ejde-666	169	14	,	,	PUNCT
ejde-666	169	15	n	n	PRON
ejde-666	169	16	converges	converge	VERB
ejde-666	169	17	strongly	strongly	ADV
ejde-666	169	18	in	in	ADP
ejde-666	169	19	l2(∂ω	l2(∂ω	NUM
ejde-666	169	20	)	)	PUNCT
ejde-666	169	21	,	,	PUNCT
ejde-666	169	22	and	and	CCONJ
ejde-666	169	23	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	169	24	,	,	PUNCT
ejde-666	169	25	un)+	un)+	ADJ
ejde-666	169	26	kui	kui	PROPN
ejde-666	169	27	,	,	PUNCT
ejde-666	169	28	n	n	PRON
ejde-666	169	29	converges	converge	VERB
ejde-666	169	30	weakly	weakly	ADV
ejde-666	169	31	to	to	ADP
ejde-666	169	32	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	169	33	,	,	PUNCT
ejde-666	169	34	u∗	u∗	ADV
ejde-666	169	35	)	)	PUNCT
ejde-666	170	1	+	+	CCONJ
ejde-666	170	2	kui,∗	kui,∗	X
ejde-666	170	3	in	in	ADP
ejde-666	170	4	l	l	PROPN
ejde-666	170	5	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	170	6	)	)	PUNCT
ejde-666	170	7	n	n	CCONJ
ejde-666	170	8	(	(	PUNCT
ejde-666	170	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	170	10	)	)	PUNCT
ejde-666	170	11	.	.	PUNCT
ejde-666	171	1	by	by	ADP
ejde-666	171	2	taking	take	VERB
ejde-666	171	3	the	the	DET
ejde-666	171	4	limit	limit	NOUN
ejde-666	171	5	in	in	ADP
ejde-666	171	6	(	(	PUNCT
ejde-666	171	7	2.6	2.6	NUM
ejde-666	171	8	)	)	PUNCT
ejde-666	171	9	as	as	SCONJ
ejde-666	171	10	n	n	PRON
ejde-666	171	11	goes	go	VERB
ejde-666	171	12	to	to	ADP
ejde-666	171	13	∞	∞	NUM
ejde-666	171	14	and	and	CCONJ
ejde-666	171	15	using	use	VERB
ejde-666	171	16	(	(	PUNCT
ejde-666	171	17	2.10	2.10	NUM
ejde-666	171	18	)	)	PUNCT
ejde-666	171	19	,	,	PUNCT
ejde-666	171	20	we	we	PRON
ejde-666	171	21	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-666	171	22	ω	ω	PROPN
ejde-666	171	23	(	(	PUNCT
ejde-666	171	24	∇ui,∗∇ψ	∇ui,∗∇ψ	X
ejde-666	171	25	+	+	X
ejde-666	171	26	ui,∗ψ	ui,∗ψ	X
ejde-666	171	27	)	)	PUNCT
ejde-666	172	1	+	+	NUM
ejde-666	172	2	∫	∫	X
ejde-666	172	3	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	172	4	kui,∗ψ	kui,∗ψ	NOUN
ejde-666	173	1	=	=	SYM
ejde-666	173	2	lim	lim	PROPN
ejde-666	173	3	n→∞	n→∞	X
ejde-666	173	4	(	(	PUNCT
ejde-666	173	5	∫	∫	PROPN
ejde-666	173	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	173	7	(	(	PUNCT
ejde-666	173	8	∇ui	∇ui	PROPN
ejde-666	173	9	,	,	PUNCT
ejde-666	173	10	n∇ψ	n∇ψ	PROPN
ejde-666	173	11	+	+	CCONJ
ejde-666	173	12	ui	ui	PROPN
ejde-666	173	13	,	,	PUNCT
ejde-666	173	14	nψ	nψ	NOUN
ejde-666	173	15	)	)	PUNCT
ejde-666	174	1	+	+	CCONJ
ejde-666	174	2	∫	∫	PROPN
ejde-666	174	3	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	174	4	kunψ	kunψ	NOUN
ejde-666	174	5	)	)	PUNCT
ejde-666	175	1	=	=	SYM
ejde-666	175	2	lim	lim	PROPN
ejde-666	175	3	n→∞	n→∞	X
ejde-666	176	1	(	(	PUNCT
ejde-666	176	2	∫	∫	PROPN
ejde-666	176	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	176	4	(	(	PUNCT
ejde-666	176	5	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	176	6	,	,	PUNCT
ejde-666	176	7	un−1	un−1	ADJ
ejde-666	176	8	)	)	PUNCT
ejde-666	176	9	+	+	NUM
ejde-666	176	10	kui	kui	PROPN
ejde-666	176	11	,	,	PUNCT
ejde-666	176	12	n−1)ψ	n−1)ψ	X
ejde-666	176	13	)	)	PUNCT
ejde-666	176	14	=	=	SYM
ejde-666	176	15	∫	∫	PROPN
ejde-666	177	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	177	2	(	(	PUNCT
ejde-666	177	3	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	177	4	,	,	PUNCT
ejde-666	177	5	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	177	6	)	)	PUNCT
ejde-666	178	1	+	+	NUM
ejde-666	178	2	kui,∗)ψ	kui,∗)ψ	NOUN
ejde-666	178	3	for	for	ADP
ejde-666	178	4	any	any	DET
ejde-666	178	5	ψ	ψ	X
ejde-666	178	6	∈	∈	PROPN
ejde-666	178	7	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	178	8	)	)	PUNCT
ejde-666	178	9	.	.	PUNCT
ejde-666	179	1	hence,∫	hence,∫	PROPN
ejde-666	179	2	ω	ω	PROPN
ejde-666	179	3	(	(	PUNCT
ejde-666	179	4	∇ui,∗∇ψ	∇ui,∗∇ψ	PROPN
ejde-666	179	5	+	+	CCONJ
ejde-666	179	6	ui,∗ψ	ui,∗ψ	X
ejde-666	179	7	)	)	PUNCT
ejde-666	179	8	=	=	SYM
ejde-666	179	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	180	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	180	2	fi(x	fi(x	NOUN
ejde-666	180	3	,	,	PUNCT
ejde-666	180	4	u∗)ψ	u∗)ψ	NOUN
ejde-666	180	5	for	for	ADP
ejde-666	180	6	all	all	PRON
ejde-666	180	7	ψ	ψ	ADP
ejde-666	180	8	∈	∈	PROPN
ejde-666	180	9	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	180	10	)	)	PUNCT
ejde-666	180	11	.	.	PUNCT
ejde-666	181	1	thus	thus	ADV
ejde-666	181	2	u∗	u∗	ADV
ejde-666	181	3	is	be	AUX
ejde-666	181	4	a	a	DET
ejde-666	181	5	weak	weak	ADJ
ejde-666	181	6	solution	solution	NOUN
ejde-666	181	7	to	to	ADP
ejde-666	181	8	(	(	PUNCT
ejde-666	181	9	1.1	1.1	NUM
ejde-666	181	10	)	)	PUNCT
ejde-666	181	11	.	.	PUNCT
ejde-666	182	1	finally	finally	ADV
ejde-666	182	2	,	,	PUNCT
ejde-666	182	3	let	let	VERB
ejde-666	182	4	us	we	PRON
ejde-666	182	5	show	show	VERB
ejde-666	182	6	that	that	SCONJ
ejde-666	182	7	u∗	u∗	ADV
ejde-666	182	8	is	be	AUX
ejde-666	182	9	the	the	DET
ejde-666	182	10	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	182	11	weak	weak	ADJ
ejde-666	182	12	solution	solution	NOUN
ejde-666	182	13	to	to	ADP
ejde-666	182	14	(	(	PUNCT
ejde-666	182	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	182	16	)	)	PUNCT
ejde-666	182	17	in	in	ADP
ejde-666	182	18	the	the	DET
ejde-666	182	19	interval	interval	NOUN
ejde-666	182	20	[	[	X
ejde-666	182	21	u	u	NOUN
ejde-666	182	22	,	,	PUNCT
ejde-666	182	23	u	u	NOUN
ejde-666	182	24	]	]	PUNCT
ejde-666	182	25	.	.	PUNCT
ejde-666	183	1	let	let	VERB
ejde-666	183	2	v	v	PART
ejde-666	183	3	be	be	AUX
ejde-666	183	4	a	a	DET
ejde-666	183	5	weak	weak	ADJ
ejde-666	183	6	solution	solution	NOUN
ejde-666	183	7	to	to	ADP
ejde-666	183	8	(	(	PUNCT
ejde-666	183	9	1.1	1.1	NUM
ejde-666	183	10	)	)	PUNCT
ejde-666	183	11	such	such	ADJ
ejde-666	183	12	that	that	SCONJ
ejde-666	183	13	u	u	PROPN
ejde-666	183	14	≤	≤	X
ejde-666	183	15	v	v	PRON
ejde-666	183	16	≤	≤	NUM
ejde-666	183	17	u	u	NOUN
ejde-666	183	18	.	.	PUNCT
ejde-666	184	1	then	then	ADV
ejde-666	184	2	v	v	NOUN
ejde-666	184	3	is	be	AUX
ejde-666	184	4	a	a	DET
ejde-666	184	5	weak	weak	ADJ
ejde-666	184	6	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	184	7	of	of	ADP
ejde-666	184	8	(	(	PUNCT
ejde-666	184	9	1.1	1.1	NUM
ejde-666	184	10	)	)	PUNCT
ejde-666	184	11	.	.	PUNCT
ejde-666	185	1	repeating	repeat	VERB
ejde-666	185	2	the	the	DET
ejde-666	185	3	above	above	ADJ
ejde-666	185	4	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	185	5	procedure	procedure	NOUN
ejde-666	185	6	with	with	ADP
ejde-666	185	7	u0	u0	ADJ
ejde-666	185	8	=	=	PROPN
ejde-666	185	9	u	u	PROPN
ejde-666	185	10	,	,	PUNCT
ejde-666	185	11	we	we	PRON
ejde-666	185	12	obtain	obtain	VERB
ejde-666	185	13	u	u	NOUN
ejde-666	185	14	≤	≤	X
ejde-666	185	15	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	185	16	≤	≤	NUM
ejde-666	185	17	v	v	NOUN
ejde-666	185	18	.	.	PUNCT
ejde-666	186	1	thus	thus	ADV
ejde-666	186	2	u∗	u∗	ADV
ejde-666	186	3	is	be	AUX
ejde-666	186	4	a	a	DET
ejde-666	186	5	weak	weak	ADJ
ejde-666	186	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	186	7	solution	solution	NOUN
ejde-666	186	8	.	.	PUNCT
ejde-666	187	1	in	in	ADP
ejde-666	187	2	a	a	DET
ejde-666	187	3	similar	similar	ADJ
ejde-666	187	4	way	way	NOUN
ejde-666	187	5	,	,	PUNCT
ejde-666	187	6	we	we	PRON
ejde-666	187	7	can	can	AUX
ejde-666	187	8	construct	construct	VERB
ejde-666	187	9	the	the	DET
ejde-666	187	10	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	187	11	weak	weak	ADJ
ejde-666	187	12	solution	solution	NOUN
ejde-666	187	13	u∗	u∗	VERB
ejde-666	187	14	to	to	PART
ejde-666	187	15	(	(	PUNCT
ejde-666	187	16	1.1	1.1	NUM
ejde-666	187	17	)	)	PUNCT
ejde-666	187	18	for	for	ADP
ejde-666	187	19	which	which	PRON
ejde-666	187	20	limn→∞wn	limn→∞wn	NOUN
ejde-666	187	21	=	=	SYM
ejde-666	187	22	u∗	u∗	ADJ
ejde-666	187	23	with	with	ADP
ejde-666	187	24	w0	w0	PROPN
ejde-666	187	25	=	=	SYM
ejde-666	187	26	u	u	PROPN
ejde-666	187	27	.	.	PUNCT
ejde-666	188	1	this	this	PRON
ejde-666	188	2	completes	complete	VERB
ejde-666	188	3	the	the	DET
ejde-666	188	4	proof	proof	NOUN
ejde-666	188	5	of	of	ADP
ejde-666	188	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	188	7	1.3	1.3	NUM
ejde-666	188	8	.	.	PUNCT
ejde-666	189	1	3	3	X
ejde-666	189	2	.	.	X
ejde-666	189	3	proof	proof	NOUN
ejde-666	189	4	of	of	ADP
ejde-666	189	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-666	189	6	1.4	1.4	NUM
ejde-666	189	7	the	the	DET
ejde-666	189	8	proof	proof	NOUN
ejde-666	189	9	is	be	AUX
ejde-666	189	10	based	base	VERB
ejde-666	189	11	on	on	ADP
ejde-666	189	12	an	an	DET
ejde-666	189	13	application	application	NOUN
ejde-666	189	14	of	of	ADP
ejde-666	189	15	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	189	16	’s	’s	PART
ejde-666	189	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	189	18	where	where	SCONJ
ejde-666	189	19	we	we	PRON
ejde-666	189	20	construct	construct	VERB
ejde-666	189	21	a	a	DET
ejde-666	189	22	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-666	189	23	set	set	NOUN
ejde-666	189	24	of	of	ADP
ejde-666	189	25	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	189	26	and	and	CCONJ
ejde-666	189	27	show	show	VERB
ejde-666	189	28	that	that	SCONJ
ejde-666	189	29	the	the	DET
ejde-666	189	30	set	set	NOUN
ejde-666	189	31	has	have	VERB
ejde-666	189	32	a	a	DET
ejde-666	189	33	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	189	34	element	element	NOUN
ejde-666	189	35	which	which	PRON
ejde-666	189	36	will	will	AUX
ejde-666	189	37	turn	turn	VERB
ejde-666	189	38	out	out	ADP
ejde-666	189	39	to	to	PART
ejde-666	189	40	be	be	AUX
ejde-666	189	41	a	a	DET
ejde-666	189	42	solution	solution	NOUN
ejde-666	189	43	to	to	ADP
ejde-666	189	44	(	(	PUNCT
ejde-666	189	45	1.1	1.1	NUM
ejde-666	189	46	)	)	PUNCT
ejde-666	189	47	.	.	PUNCT
ejde-666	190	1	we	we	PRON
ejde-666	190	2	then	then	ADV
ejde-666	190	3	use	use	VERB
ejde-666	190	4	a	a	DET
ejde-666	190	5	version	version	NOUN
ejde-666	190	6	of	of	ADP
ejde-666	190	7	kato	kato	PROPN
ejde-666	190	8	’s	’s	PART
ejde-666	190	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	190	10	up	up	ADP
ejde-666	190	11	to	to	ADP
ejde-666	190	12	the	the	DET
ejde-666	190	13	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	190	14	to	to	PART
ejde-666	190	15	prove	prove	VERB
ejde-666	190	16	that	that	SCONJ
ejde-666	190	17	the	the	DET
ejde-666	190	18	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	190	19	element	element	NOUN
ejde-666	190	20	of	of	ADP
ejde-666	190	21	the	the	DET
ejde-666	190	22	set	set	NOUN
ejde-666	190	23	of	of	ADP
ejde-666	190	24	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	190	25	is	be	AUX
ejde-666	190	26	in	in	ADP
ejde-666	190	27	fact	fact	NOUN
ejde-666	190	28	a	a	DET
ejde-666	190	29	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	190	30	solution	solution	NOUN
ejde-666	190	31	to	to	ADP
ejde-666	190	32	(	(	PUNCT
ejde-666	190	33	1.1	1.1	NUM
ejde-666	190	34	)	)	PUNCT
ejde-666	190	35	.	.	PUNCT
ejde-666	191	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	191	2	,	,	PUNCT
ejde-666	191	3	we	we	PRON
ejde-666	191	4	can	can	AUX
ejde-666	191	5	show	show	VERB
ejde-666	191	6	the	the	DET
ejde-666	191	7	existence	existence	NOUN
ejde-666	191	8	of	of	ADP
ejde-666	191	9	a	a	DET
ejde-666	191	10	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	191	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	191	12	to	to	ADP
ejde-666	191	13	(	(	PUNCT
ejde-666	191	14	1.1	1.1	NUM
ejde-666	191	15	)	)	PUNCT
ejde-666	191	16	by	by	ADP
ejde-666	191	17	applying	apply	VERB
ejde-666	191	18	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	191	19	’s	’s	PART
ejde-666	191	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	191	21	on	on	ADP
ejde-666	191	22	a	a	DET
ejde-666	191	23	set	set	NOUN
ejde-666	191	24	of	of	ADP
ejde-666	191	25	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	191	26	.	.	PUNCT
ejde-666	192	1	we	we	PRON
ejde-666	192	2	proceed	proceed	VERB
ejde-666	192	3	to	to	PART
ejde-666	192	4	show	show	VERB
ejde-666	192	5	the	the	DET
ejde-666	192	6	existence	existence	NOUN
ejde-666	192	7	of	of	ADP
ejde-666	192	8	a	a	DET
ejde-666	192	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	192	10	solution	solution	NOUN
ejde-666	192	11	.	.	PUNCT
ejde-666	193	1	this	this	DET
ejde-666	193	2	proof	proof	NOUN
ejde-666	193	3	involves	involve	VERB
ejde-666	193	4	several	several	ADJ
ejde-666	193	5	steps	step	NOUN
ejde-666	193	6	described	describe	VERB
ejde-666	193	7	below	below	ADV
ejde-666	193	8	.	.	PUNCT
ejde-666	194	1	step	step	NOUN
ejde-666	194	2	1	1	NUM
ejde-666	194	3	.	.	PUNCT
ejde-666	194	4	existence	existence	NOUN
ejde-666	194	5	of	of	ADP
ejde-666	194	6	a	a	DET
ejde-666	194	7	uniformly	uniformly	ADV
ejde-666	194	8	bounded	bound	VERB
ejde-666	194	9	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	194	10	of	of	ADP
ejde-666	194	11	(	(	PUNCT
ejde-666	194	12	1.1	1.1	NUM
ejde-666	194	13	)	)	PUNCT
ejde-666	194	14	.	.	PUNCT
ejde-666	195	1	let	let	VERB
ejde-666	195	2	ũ	ũ	PROPN
ejde-666	195	3	=	=	SYM
ejde-666	195	4	(	(	PUNCT
ejde-666	195	5	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	195	6	,	,	PUNCT
ejde-666	195	7	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	195	8	)	)	PUNCT
ejde-666	195	9	∈	∈	NOUN
ejde-666	195	10	(	(	PUNCT
ejde-666	195	11	h(ω))2	h(ω))2	INTJ
ejde-666	195	12	be	be	AUX
ejde-666	195	13	a	a	DET
ejde-666	195	14	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	195	15	to	to	ADP
ejde-666	195	16	(	(	PUNCT
ejde-666	195	17	1.1	1.1	NUM
ejde-666	195	18	)	)	PUNCT
ejde-666	195	19	such	such	ADJ
ejde-666	195	20	that	that	SCONJ
ejde-666	195	21	u	u	PROPN
ejde-666	195	22	≤	≤	X
ejde-666	195	23	ũ	ũ	PROPN
ejde-666	195	24	≤	≤	PROPN
ejde-666	195	25	u	u	NOUN
ejde-666	195	26	.	.	PUNCT
ejde-666	196	1	we	we	PRON
ejde-666	196	2	will	will	AUX
ejde-666	196	3	show	show	VERB
ejde-666	196	4	the	the	DET
ejde-666	196	5	existence	existence	NOUN
ejde-666	196	6	of	of	ADP
ejde-666	196	7	a	a	DET
ejde-666	196	8	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	196	9	w	w	PROPN
ejde-666	196	10	=	=	SYM
ejde-666	196	11	(	(	PUNCT
ejde-666	196	12	w1	w1	NOUN
ejde-666	196	13	,	,	PUNCT
ejde-666	196	14	w2	w2	NOUN
ejde-666	196	15	)	)	PUNCT
ejde-666	196	16	of	of	ADP
ejde-666	196	17	(	(	PUNCT
ejde-666	196	18	1.1	1.1	NUM
ejde-666	196	19	)	)	PUNCT
ejde-666	196	20	such	such	ADJ
ejde-666	196	21	that	that	SCONJ
ejde-666	196	22	ũ	ũ	PROPN
ejde-666	196	23	≤	≤	PROPN
ejde-666	196	24	w	w	NOUN
ejde-666	196	25	≤	≤	NUM
ejde-666	196	26	u	u	NOUN
ejde-666	196	27	and	and	CCONJ
ejde-666	196	28	∥w∥(h1(ω))2	∥w∥(h1(ω))2	VERB
ejde-666	196	29	≤	≤	NOUN
ejde-666	196	30	c	c	X
ejde-666	196	31	,	,	PUNCT
ejde-666	196	32	where	where	SCONJ
ejde-666	196	33	c	c	PROPN
ejde-666	196	34	is	be	AUX
ejde-666	196	35	a	a	DET
ejde-666	196	36	constant	constant	ADJ
ejde-666	196	37	depending	depend	VERB
ejde-666	196	38	on	on	ADP
ejde-666	196	39	ui	ui	PROPN
ejde-666	196	40	,	,	PUNCT
ejde-666	196	41	ui	ui	PROPN
ejde-666	196	42	,	,	PUNCT
ejde-666	196	43	ω	ω	PROPN
ejde-666	196	44	,	,	PUNCT
ejde-666	196	45	ki	ki	PROPN
ejde-666	196	46	.	.	PUNCT
ejde-666	196	47	consider	consider	VERB
ejde-666	196	48	the	the	DET
ejde-666	196	49	equations	equation	NOUN
ejde-666	196	50	−∆u1	−∆u1	VERB
ejde-666	197	1	+	+	CCONJ
ejde-666	197	2	u1	u1	NOUN
ejde-666	197	3	=	=	SYM
ejde-666	197	4	0	0	NUM
ejde-666	197	5	in	in	ADP
ejde-666	197	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	197	7	,	,	PUNCT
ejde-666	197	8	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	197	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	197	10	=	=	SYM
ejde-666	197	11	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	197	12	,	,	PUNCT
ejde-666	197	13	u1	u1	NOUN
ejde-666	197	14	,	,	PUNCT
ejde-666	197	15	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	197	16	)	)	PUNCT
ejde-666	197	17	on	on	ADP
ejde-666	197	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	197	19	,	,	PUNCT
ejde-666	197	20	(	(	PUNCT
ejde-666	197	21	3.1	3.1	NUM
ejde-666	197	22	)	)	PUNCT
ejde-666	197	23	and	and	CCONJ
ejde-666	197	24	−∆u2	−∆u2	X
ejde-666	198	1	+	+	CCONJ
ejde-666	198	2	u2	u2	NOUN
ejde-666	198	3	=	=	NOUN
ejde-666	198	4	0	0	NUM
ejde-666	198	5	in	in	ADP
ejde-666	198	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	198	7	,	,	PUNCT
ejde-666	198	8	∂u2	∂u2	PROPN
ejde-666	198	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	198	10	=	=	SYM
ejde-666	198	11	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	198	12	,	,	PUNCT
ejde-666	198	13	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	198	14	,	,	PUNCT
ejde-666	198	15	u2	u2	PROPN
ejde-666	198	16	)	)	PUNCT
ejde-666	198	17	on	on	ADP
ejde-666	198	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	198	19	.	.	PUNCT
ejde-666	199	1	(	(	PUNCT
ejde-666	199	2	3.2	3.2	NUM
ejde-666	199	3	)	)	PUNCT
ejde-666	199	4	we	we	PRON
ejde-666	199	5	set	set	VERB
ejde-666	199	6	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	199	7	,	,	PUNCT
ejde-666	199	8	s1	s1	NOUN
ejde-666	199	9	)	)	PUNCT
ejde-666	199	10	:	:	PUNCT
ejde-666	200	1	=	=	PUNCT
ejde-666	200	2	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	200	3	,	,	PUNCT
ejde-666	200	4	s1	s1	NOUN
ejde-666	200	5	,	,	PUNCT
ejde-666	200	6	ũ2(x	ũ2(x	PROPN
ejde-666	200	7	)	)	PUNCT
ejde-666	200	8	)	)	PUNCT
ejde-666	200	9	.	.	PUNCT
ejde-666	201	1	it	it	PRON
ejde-666	201	2	follows	follow	VERB
ejde-666	201	3	from	from	ADP
ejde-666	201	4	condition	condition	NOUN
ejde-666	201	5	(	(	PUNCT
ejde-666	201	6	a4	a4	NOUN
ejde-666	201	7	)	)	PUNCT
ejde-666	201	8	that	that	SCONJ
ejde-666	201	9	whenever	whenever	SCONJ
ejde-666	201	10	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	201	11	≤	≤	ADJ
ejde-666	201	12	s1	s1	NOUN
ejde-666	201	13	≤	≤	NUM
ejde-666	201	14	u1	u1	NOUN
ejde-666	201	15	,	,	PUNCT
ejde-666	201	16	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	201	17	≤	≤	NOUN
ejde-666	201	18	u2	u2	NOUN
ejde-666	201	19	and	and	CCONJ
ejde-666	201	20	r	r	NOUN
ejde-666	201	21	>	>	X
ejde-666	201	22	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	201	23	)	)	PUNCT
ejde-666	201	24	n	n	CCONJ
ejde-666	201	25	,	,	PUNCT
ejde-666	201	26	it	it	PRON
ejde-666	201	27	holds	hold	VERB
ejde-666	201	28	|f1(x	|f1(x	NOUN
ejde-666	201	29	,	,	PUNCT
ejde-666	201	30	s1)|	s1)|	NOUN
ejde-666	201	31	=	=	SYM
ejde-666	201	32	|f1(x	|f1(x	NOUN
ejde-666	201	33	,	,	PUNCT
ejde-666	201	34	s1	s1	NOUN
ejde-666	201	35	,	,	PUNCT
ejde-666	201	36	ũ2(x))|	ũ2(x))|	X
ejde-666	201	37	≤	≤	PROPN
ejde-666	201	38	k1(x	k1(x	NOUN
ejde-666	201	39	)	)	PUNCT
ejde-666	201	40	∈	∈	NOUN
ejde-666	201	41	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	201	42	)	)	PUNCT
ejde-666	201	43	.	.	PUNCT
ejde-666	202	1	then	then	ADV
ejde-666	202	2	,	,	PUNCT
ejde-666	202	3	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	202	4	existence	existence	NOUN
ejde-666	202	5	of	of	ADP
ejde-666	202	6	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	202	7	and	and	CCONJ
ejde-666	202	8	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	202	9	weak	weak	ADJ
ejde-666	202	10	solutions	solution	NOUN
ejde-666	202	11	7	7	NUM
ejde-666	202	12	applying	apply	VERB
ejde-666	202	13	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	202	14	1.5	1.5	NUM
ejde-666	202	15	to	to	ADP
ejde-666	202	16	(	(	PUNCT
ejde-666	202	17	3.1	3.1	NUM
ejde-666	202	18	)	)	PUNCT
ejde-666	202	19	,	,	PUNCT
ejde-666	202	20	we	we	PRON
ejde-666	202	21	obtain	obtain	VERB
ejde-666	202	22	a	a	DET
ejde-666	202	23	solution	solution	NOUN
ejde-666	202	24	w1	w1	NOUN
ejde-666	202	25	∈	∈	PROPN
ejde-666	202	26	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	202	27	)	)	PUNCT
ejde-666	202	28	such	such	ADJ
ejde-666	202	29	that	that	SCONJ
ejde-666	202	30	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	202	31	≤	≤	PROPN
ejde-666	202	32	w1	w1	NOUN
ejde-666	202	33	≤	≤	NOUN
ejde-666	202	34	u1	u1	NOUN
ejde-666	202	35	.	.	PUNCT
ejde-666	203	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	203	2	,	,	PUNCT
ejde-666	203	3	setting	set	VERB
ejde-666	203	4	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	203	5	,	,	PUNCT
ejde-666	203	6	s2	s2	PROPN
ejde-666	203	7	)	)	PUNCT
ejde-666	203	8	:	:	PUNCT
ejde-666	204	1	=	=	SYM
ejde-666	204	2	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	204	3	,	,	PUNCT
ejde-666	204	4	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	204	5	,	,	PUNCT
ejde-666	204	6	s2	s2	PROPN
ejde-666	204	7	)	)	PUNCT
ejde-666	204	8	and	and	CCONJ
ejde-666	204	9	applying	apply	VERB
ejde-666	204	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	204	11	1.5	1.5	NUM
ejde-666	204	12	to	to	ADP
ejde-666	204	13	(	(	PUNCT
ejde-666	204	14	3.2	3.2	NUM
ejde-666	204	15	)	)	PUNCT
ejde-666	204	16	,	,	PUNCT
ejde-666	204	17	we	we	PRON
ejde-666	204	18	obtain	obtain	VERB
ejde-666	204	19	a	a	DET
ejde-666	204	20	solution	solution	NOUN
ejde-666	204	21	w2	w2	NOUN
ejde-666	204	22	such	such	ADJ
ejde-666	204	23	that	that	SCONJ
ejde-666	204	24	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	204	25	≤	≤	PROPN
ejde-666	204	26	w2	w2	NOUN
ejde-666	204	27	≤	≤	NOUN
ejde-666	204	28	u2	u2	PROPN
ejde-666	204	29	.	.	PUNCT
ejde-666	205	1	since	since	SCONJ
ejde-666	205	2	fi	fi	NOUN
ejde-666	205	3	is	be	AUX
ejde-666	205	4	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	205	5	non	non	ADJ
ejde-666	205	6	-	-	ADJ
ejde-666	205	7	decreasing	decrease	VERB
ejde-666	205	8	,	,	PUNCT
ejde-666	205	9	it	it	PRON
ejde-666	205	10	follows	follow	VERB
ejde-666	205	11	that	that	SCONJ
ejde-666	205	12	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	205	13	,	,	PUNCT
ejde-666	205	14	w1	w1	NOUN
ejde-666	205	15	,	,	PUNCT
ejde-666	205	16	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	205	17	)	)	PUNCT
ejde-666	205	18	≤	≤	NOUN
ejde-666	205	19	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	205	20	,	,	PUNCT
ejde-666	205	21	w1	w1	NOUN
ejde-666	205	22	,	,	PUNCT
ejde-666	205	23	w2	w2	NOUN
ejde-666	205	24	)	)	PUNCT
ejde-666	205	25	and	and	CCONJ
ejde-666	205	26	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	205	27	,	,	PUNCT
ejde-666	205	28	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	205	29	,	,	PUNCT
ejde-666	205	30	w2	w2	NOUN
ejde-666	205	31	)	)	PUNCT
ejde-666	205	32	≤	≤	NOUN
ejde-666	206	1	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	206	2	,	,	PUNCT
ejde-666	206	3	w1	w1	NOUN
ejde-666	206	4	,	,	PUNCT
ejde-666	206	5	w2	w2	NOUN
ejde-666	206	6	)	)	PUNCT
ejde-666	206	7	.	.	PUNCT
ejde-666	207	1	hence,∫	hence,∫	PROPN
ejde-666	207	2	ω	ω	PROPN
ejde-666	207	3	(	(	PUNCT
ejde-666	207	4	∇wi∇ψ	∇wi∇ψ	X
ejde-666	207	5	+	+	CCONJ
ejde-666	207	6	wiψ	wiψ	NOUN
ejde-666	207	7	)	)	PUNCT
ejde-666	207	8	≤	≤	NUM
ejde-666	207	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	208	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	208	2	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	208	3	,	,	PUNCT
ejde-666	208	4	w1	w1	NOUN
ejde-666	208	5	,	,	PUNCT
ejde-666	208	6	w2)ψ	w2)ψ	NOUN
ejde-666	208	7	for	for	ADP
ejde-666	208	8	all	all	PRON
ejde-666	208	9	ψ	ψ	ADP
ejde-666	208	10	∈	∈	PROPN
ejde-666	208	11	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	208	12	)	)	PUNCT
ejde-666	208	13	.	.	PUNCT
ejde-666	209	1	using	use	VERB
ejde-666	209	2	(	(	PUNCT
ejde-666	209	3	a4	a4	NOUN
ejde-666	209	4	)	)	PUNCT
ejde-666	209	5	and	and	CCONJ
ejde-666	209	6	ui	ui	PROPN
ejde-666	209	7	≤	≤	PROPN
ejde-666	209	8	ũi	ũi	PROPN
ejde-666	209	9	≤	≤	PROPN
ejde-666	209	10	wi	wi	PROPN
ejde-666	209	11	≤	≤	PROPN
ejde-666	209	12	ui	ui	PROPN
ejde-666	209	13	,	,	PUNCT
ejde-666	209	14	we	we	PRON
ejde-666	209	15	have	have	VERB
ejde-666	209	16	that	that	DET
ejde-666	209	17	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	209	18	,	,	PUNCT
ejde-666	209	19	w1	w1	NOUN
ejde-666	209	20	,	,	PUNCT
ejde-666	209	21	w2	w2	NOUN
ejde-666	209	22	)	)	PUNCT
ejde-666	209	23	∈	∈	PROPN
ejde-666	209	24	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	209	25	)	)	PUNCT
ejde-666	209	26	with	with	ADP
ejde-666	209	27	r	r	NOUN
ejde-666	209	28	>	>	X
ejde-666	209	29	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	209	30	)	)	PUNCT
ejde-666	209	31	n	n	NOUN
ejde-666	209	32	.	.	PUNCT
ejde-666	210	1	hence	hence	ADV
ejde-666	210	2	,	,	PUNCT
ejde-666	210	3	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	210	4	,	,	PUNCT
ejde-666	210	5	w1	w1	NOUN
ejde-666	210	6	,	,	PUNCT
ejde-666	210	7	w2	w2	NOUN
ejde-666	210	8	)	)	PUNCT
ejde-666	210	9	∈	∈	PROPN
ejde-666	210	10	l	l	X
ejde-666	210	11	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	210	12	)	)	PUNCT
ejde-666	210	13	n	n	CCONJ
ejde-666	210	14	(	(	PUNCT
ejde-666	210	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	210	16	)	)	PUNCT
ejde-666	210	17	for	for	ADP
ejde-666	210	18	i	i	PROPN
ejde-666	210	19	=	=	SYM
ejde-666	210	20	1	1	NUM
ejde-666	210	21	,	,	PUNCT
ejde-666	210	22	2	2	NUM
ejde-666	210	23	.	.	PUNCT
ejde-666	211	1	so	so	ADV
ejde-666	211	2	,	,	PUNCT
ejde-666	211	3	w	w	NOUN
ejde-666	211	4	=	=	SYM
ejde-666	211	5	(	(	PUNCT
ejde-666	211	6	w1	w1	NOUN
ejde-666	211	7	,	,	PUNCT
ejde-666	211	8	w2	w2	NOUN
ejde-666	211	9	)	)	PUNCT
ejde-666	211	10	is	be	AUX
ejde-666	211	11	a	a	DET
ejde-666	211	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	211	13	of	of	ADP
ejde-666	211	14	(	(	PUNCT
ejde-666	211	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	211	16	)	)	PUNCT
ejde-666	211	17	.	.	PUNCT
ejde-666	212	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-666	212	2	,	,	PUNCT
ejde-666	212	3	∥w∥(h1(ω))2	∥w∥(h1(ω))2	PROPN
ejde-666	212	4	≤m(ui	≤m(ui	PROPN
ejde-666	212	5	,	,	PUNCT
ejde-666	212	6	ui	ui	PROPN
ejde-666	212	7	,	,	PUNCT
ejde-666	212	8	ω	ω	PROPN
ejde-666	212	9	,	,	PUNCT
ejde-666	212	10	ki	ki	PROPN
ejde-666	212	11	)	)	PUNCT
ejde-666	212	12	,	,	PUNCT
ejde-666	212	13	where	where	SCONJ
ejde-666	212	14	m(ui	m(ui	PROPN
ejde-666	212	15	,	,	PUNCT
ejde-666	212	16	ui	ui	PROPN
ejde-666	212	17	,	,	PUNCT
ejde-666	212	18	ω	ω	PROPN
ejde-666	212	19	,	,	PUNCT
ejde-666	212	20	ki	ki	PROPN
ejde-666	212	21	)	)	PUNCT
ejde-666	212	22	is	be	AUX
ejde-666	212	23	a	a	DET
ejde-666	212	24	constant	constant	ADJ
ejde-666	212	25	.	.	PUNCT
ejde-666	213	1	indeed	indeed	ADV
ejde-666	213	2	,	,	PUNCT
ejde-666	213	3	by	by	ADP
ejde-666	213	4	using	use	VERB
ejde-666	213	5	hölder	hölder	NOUN
ejde-666	213	6	’s	’s	PART
ejde-666	213	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	213	8	,	,	PUNCT
ejde-666	213	9	(	(	PUNCT
ejde-666	213	10	a4	a4	NOUN
ejde-666	213	11	)	)	PUNCT
ejde-666	213	12	and	and	CCONJ
ejde-666	213	13	the	the	DET
ejde-666	213	14	continuity	continuity	NOUN
ejde-666	213	15	of	of	ADP
ejde-666	213	16	the	the	DET
ejde-666	213	17	trace	trace	NOUN
ejde-666	213	18	operator	operator	NOUN
ejde-666	213	19	,	,	PUNCT
ejde-666	213	20	we	we	PRON
ejde-666	213	21	obtain	obtain	VERB
ejde-666	213	22	∥w1∥2h1(ω	∥w1∥2h1(ω	NUM
ejde-666	213	23	)	)	PUNCT
ejde-666	214	1	=	=	SYM
ejde-666	214	2	∫	∫	PROPN
ejde-666	214	3	ω	ω	PROPN
ejde-666	214	4	|∇w1|2	|∇w1|2	PROPN
ejde-666	214	5	+	+	CCONJ
ejde-666	214	6	w2	w2	NOUN
ejde-666	214	7	1	1	NUM
ejde-666	214	8	=	=	SYM
ejde-666	214	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	214	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	214	11	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	214	12	,	,	PUNCT
ejde-666	214	13	w1	w1	NOUN
ejde-666	214	14	,	,	PUNCT
ejde-666	214	15	ũ2)w1	ũ2)w1	VERB
ejde-666	214	16	≤	≤	NUM
ejde-666	214	17	∫	∫	INTJ
ejde-666	215	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	215	2	k1(x)w1	k1(x)w1	X
ejde-666	215	3	≤	≤	NUM
ejde-666	215	4	∫	∫	NOUN
ejde-666	216	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	216	2	k1(x)u1	k1(x)u1	NOUN
ejde-666	216	3	≤	≤	X
ejde-666	216	4	∥k1∥lr(∂ω)∥u1∥lr′	∥k1∥lr(∂ω)∥u1∥lr′	ADP
ejde-666	216	5	(	(	PUNCT
ejde-666	216	6	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	216	7	)	)	PUNCT
ejde-666	216	8	≤	≤	NOUN
ejde-666	216	9	c1	c1	NOUN
ejde-666	216	10	,	,	PUNCT
ejde-666	216	11	where	where	SCONJ
ejde-666	216	12	r′	r′	NOUN
ejde-666	216	13	is	be	AUX
ejde-666	216	14	the	the	DET
ejde-666	216	15	conjugate	conjugate	NOUN
ejde-666	216	16	of	of	ADP
ejde-666	216	17	r	r	NOUN
ejde-666	216	18	and	and	CCONJ
ejde-666	216	19	r′	r′	NOUN
ejde-666	216	20	<	<	X
ejde-666	216	21	2(n−1	2(n−1	PROPN
ejde-666	216	22	)	)	PUNCT
ejde-666	216	23	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	216	24	.	.	PUNCT
ejde-666	217	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	217	2	∥w2∥2h1(ω	∥w2∥2h1(ω	NUM
ejde-666	217	3	)	)	PUNCT
ejde-666	217	4	≤	≤	PROPN
ejde-666	217	5	c2	c2	PROPN
ejde-666	217	6	.	.	PUNCT
ejde-666	218	1	hence	hence	ADV
ejde-666	218	2	,	,	PUNCT
ejde-666	218	3	∥w∥(h1(ω))2	∥w∥(h1(ω))2	VERB
ejde-666	218	4	≤	≤	NOUN
ejde-666	218	5	m	m	VERB
ejde-666	218	6	,	,	PUNCT
ejde-666	218	7	where	where	SCONJ
ejde-666	218	8	m	m	NOUN
ejde-666	218	9	is	be	AUX
ejde-666	218	10	constant	constant	ADJ
ejde-666	218	11	independent	independent	ADJ
ejde-666	218	12	of	of	ADP
ejde-666	218	13	w	w	PROPN
ejde-666	218	14	.	.	PUNCT
ejde-666	219	1	step	step	NOUN
ejde-666	219	2	2	2	NUM
ejde-666	219	3	.	.	PUNCT
ejde-666	220	1	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	220	2	’s	’s	PART
ejde-666	220	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	220	4	.	.	PUNCT
ejde-666	220	5	consider	consider	VERB
ejde-666	220	6	the	the	DET
ejde-666	220	7	set	set	NOUN
ejde-666	220	8	a	a	DET
ejde-666	220	9	consisting	consisting	NOUN
ejde-666	220	10	of	of	ADP
ejde-666	220	11	(	(	PUNCT
ejde-666	220	12	w1	w1	NOUN
ejde-666	220	13	,	,	PUNCT
ejde-666	220	14	w2	w2	NOUN
ejde-666	220	15	)	)	PUNCT
ejde-666	220	16	∈	∈	PROPN
ejde-666	220	17	(	(	PUNCT
ejde-666	220	18	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	220	19	such	such	ADJ
ejde-666	220	20	that	that	SCONJ
ejde-666	220	21	there	there	PRON
ejde-666	220	22	exists	exist	VERB
ejde-666	220	23	a	a	DET
ejde-666	220	24	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	220	25	(	(	PUNCT
ejde-666	220	26	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	220	27	,	,	PUNCT
ejde-666	220	28	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	220	29	)	)	PUNCT
ejde-666	220	30	of	of	ADP
ejde-666	220	31	(	(	PUNCT
ejde-666	220	32	1.1	1.1	NUM
ejde-666	220	33	)	)	PUNCT
ejde-666	220	34	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-666	220	35	(	(	PUNCT
ejde-666	220	36	u1	u1	NOUN
ejde-666	220	37	,	,	PUNCT
ejde-666	220	38	u2	u2	NOUN
ejde-666	220	39	)	)	PUNCT
ejde-666	220	40	≤	≤	NOUN
ejde-666	220	41	(	(	PUNCT
ejde-666	220	42	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	220	43	,	,	PUNCT
ejde-666	220	44	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	220	45	)	)	PUNCT
ejde-666	220	46	≤	≤	NOUN
ejde-666	220	47	(	(	PUNCT
ejde-666	220	48	w1	w1	NOUN
ejde-666	220	49	,	,	PUNCT
ejde-666	220	50	w2	w2	NOUN
ejde-666	220	51	)	)	PUNCT
ejde-666	220	52	≤	≤	NOUN
ejde-666	220	53	(	(	PUNCT
ejde-666	220	54	u1	u1	NOUN
ejde-666	220	55	,	,	PUNCT
ejde-666	220	56	u2	u2	PROPN
ejde-666	220	57	)	)	PUNCT
ejde-666	220	58	,	,	PUNCT
ejde-666	220	59	where	where	SCONJ
ejde-666	220	60	w1	w1	NOUN
ejde-666	220	61	and	and	CCONJ
ejde-666	220	62	w2	w2	NOUN
ejde-666	220	63	are	be	AUX
ejde-666	220	64	solutions	solution	NOUN
ejde-666	220	65	of	of	ADP
ejde-666	220	66	(	(	PUNCT
ejde-666	220	67	3.1	3.1	NUM
ejde-666	220	68	)	)	PUNCT
ejde-666	220	69	and	and	CCONJ
ejde-666	220	70	(	(	PUNCT
ejde-666	220	71	3.2	3.2	NUM
ejde-666	220	72	)	)	PUNCT
ejde-666	220	73	,	,	PUNCT
ejde-666	220	74	respectively	respectively	ADV
ejde-666	220	75	,	,	PUNCT
ejde-666	220	76	for	for	ADP
ejde-666	220	77	the	the	DET
ejde-666	220	78	pair	pair	NOUN
ejde-666	220	79	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	220	80	,	,	PUNCT
ejde-666	220	81	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	220	82	.	.	PUNCT
ejde-666	221	1	we	we	PRON
ejde-666	221	2	will	will	AUX
ejde-666	221	3	first	first	ADV
ejde-666	221	4	check	check	VERB
ejde-666	221	5	the	the	DET
ejde-666	221	6	hypothesis	hypothesis	NOUN
ejde-666	221	7	of	of	ADP
ejde-666	221	8	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	221	9	’s	’s	PART
ejde-666	221	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	221	11	,	,	PUNCT
ejde-666	221	12	and	and	CCONJ
ejde-666	221	13	then	then	ADV
ejde-666	221	14	we	we	PRON
ejde-666	221	15	derive	derive	VERB
ejde-666	221	16	the	the	DET
ejde-666	221	17	existence	existence	NOUN
ejde-666	221	18	of	of	ADP
ejde-666	221	19	a	a	DET
ejde-666	221	20	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	221	21	element	element	NOUN
ejde-666	221	22	of	of	ADP
ejde-666	221	23	a.	a.	NOUN
ejde-666	221	24	from	from	ADP
ejde-666	221	25	step	step	NOUN
ejde-666	221	26	1	1	NUM
ejde-666	221	27	,	,	PUNCT
ejde-666	221	28	we	we	PRON
ejde-666	221	29	observe	observe	VERB
ejde-666	221	30	that	that	SCONJ
ejde-666	221	31	a	a	DET
ejde-666	221	32	̸=	̸=	PROPN
ejde-666	221	33	∅.	∅.	ADV
ejde-666	221	34	let	let	VERB
ejde-666	221	35	y	y	PROPN
ejde-666	221	36	=	=	PRON
ejde-666	221	37	{	{	PUNCT
ejde-666	222	1	wn	wn	PROPN
ejde-666	222	2	=	=	X
ejde-666	222	3	(	(	PUNCT
ejde-666	222	4	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	222	5	,	,	PUNCT
ejde-666	222	6	w2,n)}n≥1	w2,n)}n≥1	NOUN
ejde-666	222	7	be	be	VERB
ejde-666	222	8	a	a	DET
ejde-666	222	9	chain	chain	NOUN
ejde-666	222	10	in	in	ADP
ejde-666	222	11	(	(	PUNCT
ejde-666	222	12	a,≤	a,≤	NOUN
ejde-666	222	13	)	)	PUNCT
ejde-666	222	14	where	where	SCONJ
ejde-666	222	15	the	the	DET
ejde-666	222	16	countability	countability	NOUN
ejde-666	222	17	of	of	ADP
ejde-666	222	18	the	the	DET
ejde-666	222	19	indexing	indexing	NOUN
ejde-666	222	20	set	set	NOUN
ejde-666	222	21	is	be	AUX
ejde-666	222	22	guaranteed	guarantee	VERB
ejde-666	222	23	by	by	ADP
ejde-666	222	24	the	the	DET
ejde-666	222	25	separability	separability	NOUN
ejde-666	222	26	of	of	ADP
ejde-666	222	27	the	the	DET
ejde-666	222	28	product	product	NOUN
ejde-666	222	29	space	space	NOUN
ejde-666	222	30	(	(	PUNCT
ejde-666	222	31	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	222	32	.	.	PUNCT
ejde-666	223	1	by	by	ADP
ejde-666	223	2	reordering	reorder	VERB
ejde-666	223	3	we	we	PRON
ejde-666	223	4	have	have	VERB
ejde-666	223	5	without	without	ADP
ejde-666	223	6	loss	loss	NOUN
ejde-666	223	7	of	of	ADP
ejde-666	223	8	generality	generality	NOUN
ejde-666	223	9	y	y	PROPN
ejde-666	223	10	=	=	PRON
ejde-666	223	11	{	{	PUNCT
ejde-666	223	12	wn}n≥1	wn}n≥1	NOUN
ejde-666	223	13	is	be	AUX
ejde-666	223	14	an	an	DET
ejde-666	223	15	(	(	PUNCT
ejde-666	223	16	componentwise	componentwise	NOUN
ejde-666	223	17	)	)	PUNCT
ejde-666	223	18	increasing	increase	VERB
ejde-666	223	19	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	223	20	in	in	ADP
ejde-666	223	21	a.	a.	NOUN
ejde-666	223	22	now	now	ADV
ejde-666	223	23	,	,	PUNCT
ejde-666	223	24	let	let	VERB
ejde-666	223	25	us	we	PRON
ejde-666	223	26	show	show	VERB
ejde-666	223	27	that	that	SCONJ
ejde-666	223	28	y	y	PROPN
ejde-666	223	29	has	have	VERB
ejde-666	223	30	an	an	DET
ejde-666	223	31	upper	upper	ADJ
ejde-666	223	32	bound	bind	VERB
ejde-666	223	33	in	in	ADP
ejde-666	223	34	a.	a.	NOUN
ejde-666	223	35	since	since	SCONJ
ejde-666	223	36	wn	wn	PROPN
ejde-666	223	37	=	=	SYM
ejde-666	223	38	(	(	PUNCT
ejde-666	223	39	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	223	40	,	,	PUNCT
ejde-666	223	41	w2,n	w2,n	PROPN
ejde-666	223	42	)	)	PUNCT
ejde-666	223	43	belongs	belong	VERB
ejde-666	223	44	to	to	ADP
ejde-666	223	45	a	a	PRON
ejde-666	223	46	for	for	ADP
ejde-666	223	47	every	every	DET
ejde-666	223	48	n	n	CCONJ
ejde-666	223	49	,	,	PUNCT
ejde-666	223	50	there	there	PRON
ejde-666	223	51	exists	exist	VERB
ejde-666	223	52	a	a	DET
ejde-666	223	53	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	223	54	(	(	PUNCT
ejde-666	223	55	ũ1,n	ũ1,n	PROPN
ejde-666	223	56	,	,	PUNCT
ejde-666	223	57	ũ2,n	ũ2,n	PROPN
ejde-666	223	58	)	)	PUNCT
ejde-666	223	59	of	of	ADP
ejde-666	223	60	(	(	PUNCT
ejde-666	223	61	1.1	1.1	NUM
ejde-666	223	62	)	)	PUNCT
ejde-666	223	63	such	such	ADJ
ejde-666	223	64	that	that	SCONJ
ejde-666	223	65	(	(	PUNCT
ejde-666	223	66	u1	u1	NOUN
ejde-666	223	67	,	,	PUNCT
ejde-666	223	68	u2	u2	NOUN
ejde-666	223	69	)	)	PUNCT
ejde-666	223	70	≤	≤	NOUN
ejde-666	223	71	(	(	PUNCT
ejde-666	223	72	ũ1,n	ũ1,n	NOUN
ejde-666	223	73	,	,	PUNCT
ejde-666	223	74	ũ2,n	ũ2,n	PROPN
ejde-666	223	75	)	)	PUNCT
ejde-666	223	76	≤	≤	NOUN
ejde-666	223	77	(	(	PUNCT
ejde-666	223	78	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	223	79	,	,	PUNCT
ejde-666	223	80	w2,n	w2,n	PROPN
ejde-666	223	81	)	)	PUNCT
ejde-666	223	82	≤	≤	NOUN
ejde-666	223	83	(	(	PUNCT
ejde-666	223	84	u1	u1	NOUN
ejde-666	223	85	,	,	PUNCT
ejde-666	223	86	u2	u2	PROPN
ejde-666	223	87	)	)	PUNCT
ejde-666	223	88	and	and	CCONJ
ejde-666	223	89	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	223	90	and	and	CCONJ
ejde-666	223	91	w2,n	w2,n	PROPN
ejde-666	223	92	are	be	AUX
ejde-666	223	93	solutions	solution	NOUN
ejde-666	223	94	of	of	ADP
ejde-666	223	95	(	(	PUNCT
ejde-666	223	96	3.1	3.1	NUM
ejde-666	223	97	)	)	PUNCT
ejde-666	223	98	and	and	CCONJ
ejde-666	223	99	(	(	PUNCT
ejde-666	223	100	3.2	3.2	NUM
ejde-666	223	101	)	)	PUNCT
ejde-666	223	102	,	,	PUNCT
ejde-666	223	103	respectively	respectively	ADV
ejde-666	223	104	,	,	PUNCT
ejde-666	223	105	for	for	ADP
ejde-666	223	106	the	the	DET
ejde-666	223	107	pair	pair	NOUN
ejde-666	223	108	ũ1,n	ũ1,n	PROPN
ejde-666	223	109	,	,	PUNCT
ejde-666	223	110	ũ2,n	ũ2,n	PROPN
ejde-666	223	111	.	.	PROPN
ejde-666	223	112	from	from	ADP
ejde-666	223	113	step	step	NOUN
ejde-666	223	114	1	1	NUM
ejde-666	223	115	,	,	PUNCT
ejde-666	223	116	it	it	PRON
ejde-666	223	117	follows	follow	VERB
ejde-666	223	118	that	that	SCONJ
ejde-666	223	119	∥wn∥(h1(ω))2	∥wn∥(h1(ω))2	NOUN
ejde-666	223	120	≤	≤	X
ejde-666	223	121	m	m	VERB
ejde-666	223	122	,	,	PUNCT
ejde-666	223	123	where	where	SCONJ
ejde-666	223	124	m(ui	m(ui	NOUN
ejde-666	223	125	,	,	PUNCT
ejde-666	223	126	ui	ui	PROPN
ejde-666	223	127	,	,	PUNCT
ejde-666	223	128	ω	ω	PROPN
ejde-666	223	129	,	,	PUNCT
ejde-666	223	130	ki	ki	PROPN
ejde-666	223	131	)	)	PUNCT
ejde-666	223	132	is	be	AUX
ejde-666	223	133	a	a	DET
ejde-666	223	134	constant	constant	ADJ
ejde-666	223	135	independent	independent	NOUN
ejde-666	223	136	of	of	ADP
ejde-666	223	137	n.	n.	NOUN
ejde-666	223	138	by	by	ADP
ejde-666	223	139	the	the	DET
ejde-666	223	140	reflexivity	reflexivity	NOUN
ejde-666	223	141	of	of	ADP
ejde-666	223	142	(	(	PUNCT
ejde-666	223	143	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	223	144	,	,	PUNCT
ejde-666	223	145	there	there	PRON
ejde-666	223	146	is	be	VERB
ejde-666	223	147	a	a	DET
ejde-666	223	148	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-666	223	149	(	(	PUNCT
ejde-666	223	150	relabeled	relabele	VERB
ejde-666	223	151	)	)	PUNCT
ejde-666	223	152	wn	wn	PROPN
ejde-666	223	153	which	which	PRON
ejde-666	223	154	converges	converge	VERB
ejde-666	223	155	weakly	weakly	ADV
ejde-666	223	156	to	to	ADP
ejde-666	223	157	w∗	w∗	NOUN
ejde-666	223	158	=	=	SYM
ejde-666	223	159	(	(	PUNCT
ejde-666	223	160	w1,∗	w1,∗	NOUN
ejde-666	223	161	,	,	PUNCT
ejde-666	223	162	w2,∗	w2,∗	NOUN
ejde-666	223	163	)	)	PUNCT
ejde-666	223	164	.	.	PUNCT
ejde-666	224	1	since	since	SCONJ
ejde-666	224	2	the	the	DET
ejde-666	224	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	224	4	{	{	PUNCT
ejde-666	224	5	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	224	6	}	}	PUNCT
ejde-666	224	7	is	be	AUX
ejde-666	224	8	monotonically	monotonically	ADV
ejde-666	224	9	increasing	increase	VERB
ejde-666	224	10	and	and	CCONJ
ejde-666	224	11	bounded	bound	VERB
ejde-666	224	12	above	above	ADV
ejde-666	224	13	,	,	PUNCT
ejde-666	224	14	{	{	PUNCT
ejde-666	224	15	w1,n	w1,n	X
ejde-666	224	16	}	}	PUNCT
ejde-666	224	17	converges	converge	VERB
ejde-666	224	18	pointwise	pointwise	NOUN
ejde-666	224	19	to	to	ADP
ejde-666	224	20	w1,∗.	w1,∗.	NOUN
ejde-666	224	21	similarly	similarly	ADV
ejde-666	224	22	,	,	PUNCT
ejde-666	224	23	{	{	PUNCT
ejde-666	224	24	w2,n	w2,n	VERB
ejde-666	224	25	}	}	PUNCT
ejde-666	224	26	converges	converge	VERB
ejde-666	224	27	pointwise	pointwise	VERB
ejde-666	224	28	to	to	ADP
ejde-666	224	29	w2,∗.	w2,∗.	NOUN
ejde-666	224	30	by	by	ADP
ejde-666	224	31	the	the	DET
ejde-666	224	32	continuity	continuity	NOUN
ejde-666	224	33	of	of	ADP
ejde-666	224	34	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	224	35	,	,	PUNCT
ejde-666	224	36	·	·	PUNCT
ejde-666	224	37	,	,	PUNCT
ejde-666	224	38	·	·	PUNCT
ejde-666	224	39	)	)	PUNCT
ejde-666	224	40	,	,	PUNCT
ejde-666	224	41	it	it	PRON
ejde-666	224	42	follows	follow	VERB
ejde-666	224	43	that	that	DET
ejde-666	224	44	fi(x	fi(x	PROPN
ejde-666	224	45	,	,	PUNCT
ejde-666	224	46	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	224	47	)	)	PUNCT
ejde-666	224	48	,	,	PUNCT
ejde-666	224	49	w2,n(x	w2,n(x	X
ejde-666	224	50	)	)	PUNCT
ejde-666	224	51	)	)	PUNCT
ejde-666	224	52	→	→	SYM
ejde-666	224	53	fi(x	fi(x	NUM
ejde-666	224	54	,	,	PUNCT
ejde-666	224	55	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	224	56	)	)	PUNCT
ejde-666	224	57	,	,	PUNCT
ejde-666	224	58	w2,∗(x	w2,∗(x	NOUN
ejde-666	224	59	)	)	PUNCT
ejde-666	224	60	)	)	PUNCT
ejde-666	224	61	;	;	PUNCT
ejde-666	225	1	i	i	NOUN
ejde-666	225	2	=	=	NOUN
ejde-666	225	3	1	1	NUM
ejde-666	225	4	,	,	PUNCT
ejde-666	225	5	2	2	NUM
ejde-666	225	6	as	as	ADP
ejde-666	225	7	n	n	NUM
ejde-666	225	8	→	→	SYM
ejde-666	225	9	∞.	∞.	PROPN
ejde-666	225	10	using	use	VERB
ejde-666	225	11	(	(	PUNCT
ejde-666	225	12	a4	a4	NOUN
ejde-666	225	13	)	)	PUNCT
ejde-666	225	14	,	,	PUNCT
ejde-666	225	15	|f1(x	|f1(x	NOUN
ejde-666	225	16	,	,	PUNCT
ejde-666	225	17	w1,n	w1,n	PROPN
ejde-666	225	18	,	,	PUNCT
ejde-666	225	19	w2,n)|	w2,n)|	X
ejde-666	225	20	≤	≤	X
ejde-666	225	21	k1(x	k1(x	NOUN
ejde-666	225	22	)	)	PUNCT
ejde-666	225	23	,	,	PUNCT
ejde-666	225	24	where	where	SCONJ
ejde-666	225	25	k1(x	k1(x	NOUN
ejde-666	225	26	)	)	PUNCT
ejde-666	225	27	∈	∈	NOUN
ejde-666	225	28	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	225	29	)	)	PUNCT
ejde-666	225	30	with	with	ADP
ejde-666	225	31	r	r	NOUN
ejde-666	225	32	>	>	X
ejde-666	225	33	2(n−1	2(n−1	NUM
ejde-666	225	34	)	)	PUNCT
ejde-666	225	35	n−2	n−2	PROPN
ejde-666	225	36	>	>	X
ejde-666	225	37	1	1	X
ejde-666	225	38	.	.	PUNCT
ejde-666	225	39	therefore	therefore	ADV
ejde-666	225	40	,	,	PUNCT
ejde-666	225	41	by	by	ADP
ejde-666	225	42	the	the	DET
ejde-666	225	43	dominated	dominate	VERB
ejde-666	225	44	convergence	convergence	NOUN
ejde-666	225	45	theorem	theorem	VERB
ejde-666	225	46	,	,	PUNCT
ejde-666	225	47	we	we	PRON
ejde-666	225	48	have	have	VERB
ejde-666	225	49	∥f1(x	∥f1(x	NOUN
ejde-666	225	50	,	,	PUNCT
ejde-666	225	51	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	225	52	)	)	PUNCT
ejde-666	225	53	,	,	PUNCT
ejde-666	225	54	w2,n(x))−	w2,n(x))−	VERB
ejde-666	225	55	f1(x	f1(x	VERB
ejde-666	225	56	,	,	PUNCT
ejde-666	225	57	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	225	58	)	)	PUNCT
ejde-666	225	59	,	,	PUNCT
ejde-666	225	60	w2,∗(x))∥lr(∂ω	w2,∗(x))∥lr(∂ω	X
ejde-666	225	61	)	)	PUNCT
ejde-666	225	62	→	→	SYM
ejde-666	225	63	0	0	NUM
ejde-666	225	64	as	as	ADP
ejde-666	225	65	n→	n→	PROPN
ejde-666	225	66	∞.	∞.	PROPN
ejde-666	225	67	(	(	PUNCT
ejde-666	225	68	3.3	3.3	NUM
ejde-666	225	69	)	)	PUNCT
ejde-666	225	70	using	use	VERB
ejde-666	225	71	holder	holder	NOUN
ejde-666	225	72	’s	’s	PART
ejde-666	225	73	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	225	74	and	and	CCONJ
ejde-666	225	75	(	(	PUNCT
ejde-666	225	76	3.3	3.3	NUM
ejde-666	225	77	)	)	PUNCT
ejde-666	225	78	,	,	PUNCT
ejde-666	225	79	we	we	PRON
ejde-666	225	80	have	have	VERB
ejde-666	225	81	that	that	PRON
ejde-666	225	82	for	for	ADP
ejde-666	225	83	any	any	DET
ejde-666	225	84	test	test	NOUN
ejde-666	225	85	function	function	NOUN
ejde-666	225	86	ψ	ψ	ADP
ejde-666	225	87	∈	∈	PROPN
ejde-666	225	88	h1(ω),∣∣	h1(ω),∣∣	PROPN
ejde-666	225	89	∫	∫	X
ejde-666	225	90	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	225	91	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	225	92	,	,	PUNCT
ejde-666	225	93	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	225	94	)	)	PUNCT
ejde-666	225	95	,	,	PUNCT
ejde-666	225	96	w2,n(x))ψ	w2,n(x))ψ	VERB
ejde-666	225	97	−	−	PROPN
ejde-666	225	98	∫	∫	PROPN
ejde-666	226	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	226	2	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	226	3	,	,	PUNCT
ejde-666	226	4	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	226	5	)	)	PUNCT
ejde-666	226	6	,	,	PUNCT
ejde-666	227	1	w2,∗(x))ψ	w2,∗(x))ψ	X
ejde-666	227	2	∣∣	∣∣	PUNCT
ejde-666	227	3	≤	≤	NUM
ejde-666	227	4	∥f1(x	∥f1(x	NOUN
ejde-666	227	5	,	,	PUNCT
ejde-666	227	6	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	227	7	)	)	PUNCT
ejde-666	227	8	,	,	PUNCT
ejde-666	227	9	w2,n(x))−	w2,n(x))−	VERB
ejde-666	227	10	f1(x	f1(x	VERB
ejde-666	227	11	,	,	PUNCT
ejde-666	227	12	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	227	13	)	)	PUNCT
ejde-666	227	14	,	,	PUNCT
ejde-666	227	15	w2,∗(x))∥lr(∂ω).∥ψ∥lr′	w2,∗(x))∥lr(∂ω).∥ψ∥lr′	PROPN
ejde-666	227	16	(	(	PUNCT
ejde-666	227	17	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	227	18	)	)	PUNCT
ejde-666	227	19	→	→	SYM
ejde-666	227	20	0	0	NUM
ejde-666	227	21	as	as	ADP
ejde-666	227	22	n→	n→	PROPN
ejde-666	227	23	∞.	∞.	PROPN
ejde-666	227	24	therefore	therefore	ADV
ejde-666	227	25	,	,	PUNCT
ejde-666	227	26	lim	lim	PROPN
ejde-666	227	27	n→∞	n→∞	NUM
ejde-666	227	28	∫	∫	PROPN
ejde-666	227	29	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	227	30	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	227	31	,	,	PUNCT
ejde-666	227	32	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	227	33	)	)	PUNCT
ejde-666	227	34	,	,	PUNCT
ejde-666	227	35	w2,n(x))ψ	w2,n(x))ψ	PROPN
ejde-666	227	36	=	=	SYM
ejde-666	227	37	∫	∫	PROPN
ejde-666	227	38	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	227	39	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	227	40	,	,	PUNCT
ejde-666	227	41	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	227	42	)	)	PUNCT
ejde-666	227	43	,	,	PUNCT
ejde-666	227	44	w2,∗(x))ψ	w2,∗(x))ψ	NOUN
ejde-666	227	45	(	(	PUNCT
ejde-666	227	46	3.4	3.4	NUM
ejde-666	227	47	)	)	PUNCT
ejde-666	227	48	8	8	NUM
ejde-666	227	49	s.	s.	PROPN
ejde-666	227	50	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	227	51	,	,	PUNCT
ejde-666	227	52	t.	t.	PROPN
ejde-666	227	53	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	227	54	,	,	PUNCT
ejde-666	227	55	n.	n.	PROPN
ejde-666	227	56	mavinga	mavinga	NOUN
ejde-666	227	57	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	227	58	for	for	ADP
ejde-666	227	59	all	all	PRON
ejde-666	227	60	ψ	ψ	ADP
ejde-666	227	61	∈	∈	PROPN
ejde-666	227	62	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	227	63	)	)	PUNCT
ejde-666	227	64	.	.	PUNCT
ejde-666	228	1	utilizing	utilize	VERB
ejde-666	228	2	(	(	PUNCT
ejde-666	228	3	3.4	3.4	NUM
ejde-666	228	4	)	)	PUNCT
ejde-666	228	5	and	and	CCONJ
ejde-666	228	6	the	the	DET
ejde-666	228	7	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	228	8	condition	condition	NOUN
ejde-666	228	9	of	of	ADP
ejde-666	228	10	f1	f1	NOUN
ejde-666	228	11	,	,	PUNCT
ejde-666	228	12	we	we	PRON
ejde-666	228	13	have∫	have∫	VERB
ejde-666	228	14	ω	ω	PROPN
ejde-666	228	15	(	(	PUNCT
ejde-666	228	16	∇w1,∗∇ψ	∇w1,∗∇ψ	PROPN
ejde-666	228	17	+	+	PROPN
ejde-666	228	18	w1,∗ψ	w1,∗ψ	PROPN
ejde-666	229	1	)	)	PUNCT
ejde-666	229	2	=	=	PROPN
ejde-666	229	3	lim	lim	PROPN
ejde-666	229	4	n→∞	n→∞	NUM
ejde-666	230	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	230	2	ω	ω	PROPN
ejde-666	230	3	(	(	PUNCT
ejde-666	230	4	∇w1,n∇ψ	∇w1,n∇ψ	PROPN
ejde-666	230	5	+	+	CCONJ
ejde-666	230	6	w1,nψ	w1,nψ	NOUN
ejde-666	230	7	)	)	PUNCT
ejde-666	231	1	=	=	PROPN
ejde-666	231	2	lim	lim	PROPN
ejde-666	231	3	n→∞	n→∞	NUM
ejde-666	231	4	∫	∫	PROPN
ejde-666	232	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	232	2	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	232	3	,	,	PUNCT
ejde-666	232	4	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	232	5	)	)	PUNCT
ejde-666	232	6	,	,	PUNCT
ejde-666	232	7	ũ2,n(x))ψ	ũ2,n(x))ψ	VERB
ejde-666	232	8	≤	≤	PROPN
ejde-666	232	9	lim	lim	PROPN
ejde-666	232	10	n→∞	n→∞	NUM
ejde-666	233	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	233	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	233	3	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	233	4	,	,	PUNCT
ejde-666	233	5	w1,n(x	w1,n(x	X
ejde-666	233	6	)	)	PUNCT
ejde-666	233	7	,	,	PUNCT
ejde-666	233	8	w2,n(x))ψ	w2,n(x))ψ	PROPN
ejde-666	233	9	=	=	SYM
ejde-666	233	10	∫	∫	PROPN
ejde-666	233	11	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	233	12	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	233	13	,	,	PUNCT
ejde-666	233	14	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	233	15	)	)	PUNCT
ejde-666	233	16	,	,	PUNCT
ejde-666	233	17	w2,∗(x))ψ	w2,∗(x))ψ	NOUN
ejde-666	233	18	and	and	CCONJ
ejde-666	233	19	,	,	PUNCT
ejde-666	233	20	similarly	similarly	ADV
ejde-666	233	21	,	,	PUNCT
ejde-666	233	22	∫	∫	PROPN
ejde-666	233	23	ω	ω	PROPN
ejde-666	233	24	(	(	PUNCT
ejde-666	233	25	∇w2,∗∇ψ	∇w2,∗∇ψ	PROPN
ejde-666	233	26	+	+	CCONJ
ejde-666	233	27	w2,∗ψ	w2,∗ψ	PROPN
ejde-666	233	28	)	)	PUNCT
ejde-666	233	29	≤	≤	NUM
ejde-666	233	30	∫	∫	NOUN
ejde-666	234	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	234	2	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	234	3	,	,	PUNCT
ejde-666	234	4	w1,∗(x	w1,∗(x	NOUN
ejde-666	234	5	)	)	PUNCT
ejde-666	234	6	,	,	PUNCT
ejde-666	234	7	w2,∗(x))ψ	w2,∗(x))ψ	NOUN
ejde-666	234	8	for	for	ADP
ejde-666	234	9	all	all	DET
ejde-666	234	10	0	0	NUM
ejde-666	234	11	≤	≤	NOUN
ejde-666	234	12	ψ	ψ	ADP
ejde-666	234	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	234	14	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	234	15	)	)	PUNCT
ejde-666	234	16	.	.	PUNCT
ejde-666	235	1	hence	hence	ADV
ejde-666	235	2	,	,	PUNCT
ejde-666	235	3	w∗	w∗	NOUN
ejde-666	235	4	=	=	SYM
ejde-666	235	5	(	(	PUNCT
ejde-666	235	6	w1,∗	w1,∗	NOUN
ejde-666	235	7	,	,	PUNCT
ejde-666	235	8	w2,∗	w2,∗	AUX
ejde-666	235	9	)	)	PUNCT
ejde-666	235	10	is	be	AUX
ejde-666	235	11	a	a	DET
ejde-666	235	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	235	13	of	of	ADP
ejde-666	235	14	(	(	PUNCT
ejde-666	235	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	235	16	)	)	PUNCT
ejde-666	235	17	.	.	PUNCT
ejde-666	236	1	taking	take	VERB
ejde-666	236	2	ũ	ũ	PROPN
ejde-666	236	3	=	=	PROPN
ejde-666	236	4	w∗	w∗	NOUN
ejde-666	236	5	=	=	SYM
ejde-666	236	6	(	(	PUNCT
ejde-666	236	7	w1,∗	w1,∗	NOUN
ejde-666	236	8	,	,	PUNCT
ejde-666	236	9	w2,∗	w2,∗	AUX
ejde-666	236	10	)	)	PUNCT
ejde-666	236	11	and	and	CCONJ
ejde-666	236	12	applying	apply	VERB
ejde-666	236	13	step	step	NOUN
ejde-666	236	14	1	1	NUM
ejde-666	236	15	,	,	PUNCT
ejde-666	236	16	there	there	PRON
ejde-666	236	17	exists	exist	VERB
ejde-666	236	18	a	a	DET
ejde-666	236	19	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	236	20	v	v	NOUN
ejde-666	236	21	=	=	SYM
ejde-666	236	22	(	(	PUNCT
ejde-666	236	23	v1	v1	NOUN
ejde-666	236	24	,	,	PUNCT
ejde-666	236	25	v2	v2	PROPN
ejde-666	236	26	)	)	PUNCT
ejde-666	236	27	of	of	ADP
ejde-666	236	28	(	(	PUNCT
ejde-666	236	29	1.1	1.1	NUM
ejde-666	236	30	)	)	PUNCT
ejde-666	236	31	such	such	ADJ
ejde-666	236	32	that	that	SCONJ
ejde-666	236	33	(	(	PUNCT
ejde-666	236	34	u1	u1	NOUN
ejde-666	236	35	,	,	PUNCT
ejde-666	236	36	u2	u2	NOUN
ejde-666	236	37	)	)	PUNCT
ejde-666	236	38	≤	≤	NOUN
ejde-666	236	39	(	(	PUNCT
ejde-666	236	40	w1,∗	w1,∗	NOUN
ejde-666	236	41	,	,	PUNCT
ejde-666	236	42	w2,∗	w2,∗	NOUN
ejde-666	236	43	)	)	PUNCT
ejde-666	236	44	≤	≤	NOUN
ejde-666	236	45	(	(	PUNCT
ejde-666	236	46	v1	v1	NOUN
ejde-666	236	47	,	,	PUNCT
ejde-666	236	48	v2	v2	NOUN
ejde-666	236	49	)	)	PUNCT
ejde-666	236	50	≤	≤	NOUN
ejde-666	236	51	(	(	PUNCT
ejde-666	236	52	u1	u1	NOUN
ejde-666	236	53	,	,	PUNCT
ejde-666	236	54	u2	u2	PROPN
ejde-666	236	55	)	)	PUNCT
ejde-666	236	56	with	with	ADP
ejde-666	236	57	v1	v1	NOUN
ejde-666	236	58	and	and	CCONJ
ejde-666	236	59	v2	v2	NOUN
ejde-666	236	60	solutions	solution	NOUN
ejde-666	236	61	of	of	ADP
ejde-666	236	62	(	(	PUNCT
ejde-666	236	63	3.1	3.1	NUM
ejde-666	236	64	)	)	PUNCT
ejde-666	236	65	,	,	PUNCT
ejde-666	236	66	(	(	PUNCT
ejde-666	236	67	3.2	3.2	NUM
ejde-666	236	68	)	)	PUNCT
ejde-666	236	69	,	,	PUNCT
ejde-666	236	70	respectively	respectively	ADV
ejde-666	236	71	,	,	PUNCT
ejde-666	236	72	for	for	ADP
ejde-666	236	73	the	the	DET
ejde-666	236	74	pair	pair	NOUN
ejde-666	236	75	(	(	PUNCT
ejde-666	236	76	w1,∗	w1,∗	NOUN
ejde-666	236	77	,	,	PUNCT
ejde-666	236	78	w2,∗	w2,∗	NOUN
ejde-666	236	79	)	)	PUNCT
ejde-666	236	80	.	.	PUNCT
ejde-666	237	1	this	this	PRON
ejde-666	237	2	implies	imply	VERB
ejde-666	237	3	v	v	NUM
ejde-666	237	4	∈	∈	PROPN
ejde-666	237	5	a	a	PRON
ejde-666	237	6	and	and	CCONJ
ejde-666	237	7	is	be	AUX
ejde-666	237	8	an	an	DET
ejde-666	237	9	upper	upper	ADJ
ejde-666	237	10	bound	bound	NOUN
ejde-666	237	11	of	of	ADP
ejde-666	237	12	y	y	PROPN
ejde-666	237	13	.	.	PUNCT
ejde-666	238	1	by	by	ADP
ejde-666	238	2	zorn	zorn	PROPN
ejde-666	238	3	’s	’s	PART
ejde-666	238	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	238	5	(	(	PUNCT
ejde-666	238	6	see	see	VERB
ejde-666	238	7	e.g.	e.g.	ADV
ejde-666	238	8	[	[	X
ejde-666	238	9	6	6	NUM
ejde-666	238	10	]	]	NUM
ejde-666	238	11	)	)	PUNCT
ejde-666	238	12	,	,	PUNCT
ejde-666	238	13	a	a	PRON
ejde-666	238	14	has	have	VERB
ejde-666	238	15	a	a	DET
ejde-666	238	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	238	17	element	element	NOUN
ejde-666	238	18	z	z	NOUN
ejde-666	238	19	=	=	SYM
ejde-666	238	20	(	(	PUNCT
ejde-666	238	21	z1	z1	PROPN
ejde-666	238	22	,	,	PUNCT
ejde-666	238	23	z2	z2	PROPN
ejde-666	238	24	)	)	PUNCT
ejde-666	238	25	∈	∈	PROPN
ejde-666	238	26	a.	a.	NOUN
ejde-666	238	27	we	we	PRON
ejde-666	238	28	claim	claim	VERB
ejde-666	238	29	that	that	SCONJ
ejde-666	238	30	z	z	NOUN
ejde-666	238	31	=	=	SYM
ejde-666	238	32	(	(	PUNCT
ejde-666	238	33	z1	z1	PROPN
ejde-666	238	34	,	,	PUNCT
ejde-666	238	35	z2	z2	PROPN
ejde-666	238	36	)	)	PUNCT
ejde-666	238	37	is	be	AUX
ejde-666	238	38	a	a	DET
ejde-666	238	39	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	238	40	of	of	ADP
ejde-666	238	41	(	(	PUNCT
ejde-666	238	42	1.1	1.1	NUM
ejde-666	238	43	)	)	PUNCT
ejde-666	238	44	.	.	PUNCT
ejde-666	239	1	indeed	indeed	ADV
ejde-666	239	2	,	,	PUNCT
ejde-666	239	3	z	z	NOUN
ejde-666	239	4	=	=	SYM
ejde-666	239	5	(	(	PUNCT
ejde-666	239	6	z1	z1	PROPN
ejde-666	239	7	,	,	PUNCT
ejde-666	239	8	z2	z2	PROPN
ejde-666	239	9	)	)	PUNCT
ejde-666	239	10	∈	∈	PROPN
ejde-666	239	11	a	a	DET
ejde-666	239	12	implies	implie	NOUN
ejde-666	239	13	that	that	SCONJ
ejde-666	239	14	there	there	PRON
ejde-666	239	15	exists	exist	VERB
ejde-666	239	16	a	a	DET
ejde-666	239	17	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	239	18	to	to	ADP
ejde-666	239	19	(	(	PUNCT
ejde-666	239	20	1.1	1.1	NUM
ejde-666	239	21	)	)	PUNCT
ejde-666	239	22	,	,	PUNCT
ejde-666	239	23	(	(	PUNCT
ejde-666	239	24	z̃1	z̃1	X
ejde-666	239	25	,	,	PUNCT
ejde-666	239	26	z̃2	z̃2	NUM
ejde-666	239	27	)	)	PUNCT
ejde-666	239	28	,	,	PUNCT
ejde-666	239	29	such	such	ADJ
ejde-666	239	30	that	that	SCONJ
ejde-666	239	31	(	(	PUNCT
ejde-666	239	32	u1	u1	NOUN
ejde-666	239	33	,	,	PUNCT
ejde-666	239	34	u2	u2	NOUN
ejde-666	239	35	)	)	PUNCT
ejde-666	239	36	≤	≤	NOUN
ejde-666	239	37	(	(	PUNCT
ejde-666	239	38	z̃1	z̃1	NUM
ejde-666	239	39	,	,	PUNCT
ejde-666	239	40	z̃2	z̃2	NUM
ejde-666	239	41	)	)	PUNCT
ejde-666	239	42	≤	≤	NOUN
ejde-666	239	43	(	(	PUNCT
ejde-666	239	44	z1	z1	PROPN
ejde-666	239	45	,	,	PUNCT
ejde-666	239	46	z2	z2	NUM
ejde-666	239	47	)	)	PUNCT
ejde-666	239	48	≤	≤	NOUN
ejde-666	239	49	(	(	PUNCT
ejde-666	239	50	u1	u1	NOUN
ejde-666	239	51	,	,	PUNCT
ejde-666	239	52	u2	u2	PROPN
ejde-666	239	53	)	)	PUNCT
ejde-666	239	54	where	where	SCONJ
ejde-666	239	55	z1	z1	NOUN
ejde-666	239	56	and	and	CCONJ
ejde-666	239	57	z2	z2	PROPN
ejde-666	239	58	are	be	AUX
ejde-666	239	59	solutions	solution	NOUN
ejde-666	239	60	of	of	ADP
ejde-666	239	61	(	(	PUNCT
ejde-666	239	62	3.1	3.1	NUM
ejde-666	239	63	)	)	PUNCT
ejde-666	239	64	and	and	CCONJ
ejde-666	239	65	(	(	PUNCT
ejde-666	239	66	3.2	3.2	NUM
ejde-666	239	67	)	)	PUNCT
ejde-666	239	68	,	,	PUNCT
ejde-666	239	69	respectively	respectively	ADV
ejde-666	239	70	,	,	PUNCT
ejde-666	239	71	for	for	ADP
ejde-666	239	72	the	the	DET
ejde-666	239	73	pair	pair	NOUN
ejde-666	239	74	z̃1	z̃1	NUM
ejde-666	239	75	,	,	PUNCT
ejde-666	239	76	z̃2	z̃2	NUM
ejde-666	239	77	.	.	PUNCT
ejde-666	240	1	by	by	ADP
ejde-666	240	2	the	the	DET
ejde-666	240	3	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	240	4	of	of	ADP
ejde-666	240	5	f1	f1	PROPN
ejde-666	240	6	and	and	CCONJ
ejde-666	240	7	f2	f2	PROPN
ejde-666	240	8	,	,	PUNCT
ejde-666	240	9	it	it	PRON
ejde-666	240	10	follows	follow	VERB
ejde-666	240	11	that∫	that∫	PROPN
ejde-666	240	12	ω	ω	PROPN
ejde-666	240	13	(	(	PUNCT
ejde-666	240	14	∇z1∇ψ	∇z1∇ψ	PROPN
ejde-666	240	15	+	+	NOUN
ejde-666	240	16	z1ψ	z1ψ	NUM
ejde-666	240	17	)	)	PUNCT
ejde-666	240	18	=	=	SYM
ejde-666	241	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	241	2	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	241	3	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	241	4	,	,	PUNCT
ejde-666	241	5	z1	z1	VERB
ejde-666	241	6	,	,	PUNCT
ejde-666	241	7	z̃2)ψ	z̃2)ψ	PROPN
ejde-666	241	8	≤	≤	NUM
ejde-666	241	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	242	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	242	2	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	242	3	,	,	PUNCT
ejde-666	242	4	z1	z1	NOUN
ejde-666	242	5	,	,	PUNCT
ejde-666	242	6	z2)ψ	z2)ψ	NOUN
ejde-666	242	7	and	and	CCONJ
ejde-666	242	8	∫	∫	PROPN
ejde-666	242	9	ω	ω	PROPN
ejde-666	242	10	(	(	PUNCT
ejde-666	242	11	∇z2∇ψ	∇z2∇ψ	PROPN
ejde-666	242	12	+	+	CCONJ
ejde-666	242	13	z2ψ	z2ψ	NUM
ejde-666	242	14	)	)	PUNCT
ejde-666	242	15	=	=	SYM
ejde-666	243	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	243	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	243	3	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	243	4	,	,	PUNCT
ejde-666	243	5	z̃1	z̃1	PROPN
ejde-666	243	6	,	,	PUNCT
ejde-666	243	7	z2)ψ	z2)ψ	ADJ
ejde-666	243	8	≤	≤	NUM
ejde-666	243	9	∫	∫	PROPN
ejde-666	244	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	244	2	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	244	3	,	,	PUNCT
ejde-666	244	4	z1	z1	NOUN
ejde-666	244	5	,	,	PUNCT
ejde-666	244	6	z2)ψ	z2)ψ	NOUN
ejde-666	244	7	for	for	ADP
ejde-666	244	8	all	all	DET
ejde-666	244	9	0	0	NUM
ejde-666	244	10	≤	≤	NOUN
ejde-666	244	11	ψ	ψ	ADP
ejde-666	244	12	∈	∈	PROPN
ejde-666	244	13	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	244	14	)	)	PUNCT
ejde-666	244	15	.	.	PUNCT
ejde-666	245	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	245	2	,	,	PUNCT
ejde-666	245	3	z	z	NOUN
ejde-666	245	4	=	=	SYM
ejde-666	245	5	(	(	PUNCT
ejde-666	245	6	z1	z1	PROPN
ejde-666	245	7	,	,	PUNCT
ejde-666	245	8	z2	z2	PROPN
ejde-666	245	9	)	)	PUNCT
ejde-666	245	10	is	be	AUX
ejde-666	245	11	a	a	DET
ejde-666	245	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	245	13	of	of	ADP
ejde-666	245	14	(	(	PUNCT
ejde-666	245	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	245	16	)	)	PUNCT
ejde-666	245	17	.	.	PUNCT
ejde-666	246	1	step	step	NOUN
ejde-666	246	2	3	3	NUM
ejde-666	246	3	.	.	PUNCT
ejde-666	247	1	z	z	NOUN
ejde-666	247	2	=	=	SYM
ejde-666	247	3	(	(	PUNCT
ejde-666	247	4	z1	z1	PROPN
ejde-666	247	5	,	,	PUNCT
ejde-666	247	6	z2	z2	PROPN
ejde-666	247	7	)	)	PUNCT
ejde-666	247	8	is	be	AUX
ejde-666	247	9	a	a	DET
ejde-666	247	10	solution	solution	NOUN
ejde-666	247	11	of	of	ADP
ejde-666	247	12	(	(	PUNCT
ejde-666	247	13	1.1	1.1	NUM
ejde-666	247	14	)	)	PUNCT
ejde-666	247	15	.	.	PUNCT
ejde-666	248	1	taking	take	VERB
ejde-666	248	2	ũ	ũ	PROPN
ejde-666	248	3	=	=	PROPN
ejde-666	248	4	z	z	NOUN
ejde-666	248	5	and	and	CCONJ
ejde-666	248	6	applying	apply	VERB
ejde-666	248	7	step	step	NOUN
ejde-666	248	8	1	1	NUM
ejde-666	248	9	,	,	PUNCT
ejde-666	248	10	we	we	PRON
ejde-666	248	11	have	have	VERB
ejde-666	248	12	that	that	SCONJ
ejde-666	248	13	there	there	PRON
ejde-666	248	14	exists	exist	VERB
ejde-666	248	15	z∗	z∗	NOUN
ejde-666	248	16	=	=	SYM
ejde-666	248	17	(	(	PUNCT
ejde-666	248	18	z∗1	z∗1	NOUN
ejde-666	248	19	,	,	PUNCT
ejde-666	248	20	z	z	NOUN
ejde-666	248	21	∗	∗	NOUN
ejde-666	248	22	2	2	NUM
ejde-666	248	23	)	)	PUNCT
ejde-666	248	24	that	that	PRON
ejde-666	248	25	is	be	AUX
ejde-666	248	26	a	a	DET
ejde-666	248	27	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	248	28	of	of	ADP
ejde-666	248	29	(	(	PUNCT
ejde-666	248	30	1.1	1.1	NUM
ejde-666	248	31	)	)	PUNCT
ejde-666	248	32	with	with	ADP
ejde-666	248	33	zi	zi	NOUN
ejde-666	248	34	≤	≤	PROPN
ejde-666	248	35	z∗i	z∗i	NUM
ejde-666	248	36	≤	≤	NUM
ejde-666	248	37	ui	ui	PROPN
ejde-666	248	38	,	,	PUNCT
ejde-666	248	39	i	i	PRON
ejde-666	248	40	=	=	NOUN
ejde-666	248	41	1	1	NUM
ejde-666	248	42	,	,	PUNCT
ejde-666	248	43	2	2	NUM
ejde-666	248	44	,	,	PUNCT
ejde-666	248	45	and	and	CCONJ
ejde-666	248	46	z∗1	z∗1	NOUN
ejde-666	248	47	and	and	CCONJ
ejde-666	248	48	z∗2	z∗2	ADJ
ejde-666	248	49	solutions	solution	NOUN
ejde-666	248	50	of	of	ADP
ejde-666	248	51	(	(	PUNCT
ejde-666	248	52	3.1	3.1	NUM
ejde-666	248	53	)	)	PUNCT
ejde-666	248	54	and	and	CCONJ
ejde-666	248	55	(	(	PUNCT
ejde-666	248	56	3.2	3.2	NUM
ejde-666	248	57	)	)	PUNCT
ejde-666	248	58	,	,	PUNCT
ejde-666	248	59	respectively	respectively	ADV
ejde-666	248	60	,	,	PUNCT
ejde-666	248	61	for	for	ADP
ejde-666	248	62	the	the	DET
ejde-666	248	63	pair	pair	NOUN
ejde-666	248	64	(	(	PUNCT
ejde-666	248	65	z1	z1	PROPN
ejde-666	248	66	,	,	PUNCT
ejde-666	248	67	z2	z2	PROPN
ejde-666	248	68	)	)	PUNCT
ejde-666	248	69	.	.	PUNCT
ejde-666	249	1	from	from	ADP
ejde-666	249	2	the	the	DET
ejde-666	249	3	definition	definition	NOUN
ejde-666	249	4	of	of	ADP
ejde-666	249	5	the	the	DET
ejde-666	249	6	set	set	NOUN
ejde-666	249	7	a	a	X
ejde-666	249	8	,	,	PUNCT
ejde-666	249	9	we	we	PRON
ejde-666	249	10	have	have	VERB
ejde-666	249	11	that	that	DET
ejde-666	249	12	z∗	z∗	NOUN
ejde-666	249	13	=	=	PUNCT
ejde-666	249	14	(	(	PUNCT
ejde-666	249	15	z∗1	z∗1	NOUN
ejde-666	249	16	,	,	PUNCT
ejde-666	249	17	z	z	NOUN
ejde-666	249	18	∗	∗	NOUN
ejde-666	249	19	2	2	NUM
ejde-666	249	20	)	)	PUNCT
ejde-666	249	21	∈	∈	NOUN
ejde-666	249	22	a.	a.	NOUN
ejde-666	249	23	using	use	VERB
ejde-666	249	24	the	the	DET
ejde-666	249	25	fact	fact	NOUN
ejde-666	249	26	that	that	SCONJ
ejde-666	249	27	z	z	NOUN
ejde-666	249	28	is	be	AUX
ejde-666	249	29	a	a	DET
ejde-666	249	30	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	249	31	element	element	NOUN
ejde-666	249	32	of	of	ADP
ejde-666	249	33	a	a	PRON
ejde-666	249	34	,	,	PUNCT
ejde-666	249	35	we	we	PRON
ejde-666	249	36	obtain	obtain	VERB
ejde-666	249	37	that	that	DET
ejde-666	249	38	z∗	z∗	PROPN
ejde-666	249	39	≤	≤	PROPN
ejde-666	249	40	z.	z.	PROPN
ejde-666	249	41	hence	hence	ADV
ejde-666	249	42	,	,	PUNCT
ejde-666	249	43	z	z	NOUN
ejde-666	249	44	=	=	SYM
ejde-666	249	45	z∗	z∗	NOUN
ejde-666	249	46	,	,	PUNCT
ejde-666	249	47	and	and	CCONJ
ejde-666	249	48	so	so	ADV
ejde-666	249	49	,	,	PUNCT
ejde-666	249	50	for	for	ADP
ejde-666	249	51	every	every	DET
ejde-666	249	52	ψ	ψ	NOUN
ejde-666	249	53	∈	∈	PROPN
ejde-666	249	54	h1(ω),∫	h1(ω),∫	NOUN
ejde-666	249	55	ω	ω	PROPN
ejde-666	249	56	(	(	PUNCT
ejde-666	249	57	∇z1∇ψ	∇z1∇ψ	PROPN
ejde-666	249	58	+	+	NOUN
ejde-666	249	59	z1ψ	z1ψ	NUM
ejde-666	249	60	)	)	PUNCT
ejde-666	249	61	=	=	SYM
ejde-666	250	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	250	2	ω	ω	INTJ
ejde-666	250	3	(	(	PUNCT
ejde-666	250	4	∇z∗1∇ψ	∇z∗1∇ψ	PROPN
ejde-666	250	5	+	+	CCONJ
ejde-666	250	6	z∗1ψ	z∗1ψ	NUM
ejde-666	250	7	)	)	PUNCT
ejde-666	250	8	∫	∫	PROPN
ejde-666	251	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	251	2	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	251	3	,	,	PUNCT
ejde-666	251	4	z1	z1	NOUN
ejde-666	251	5	,	,	PUNCT
ejde-666	251	6	z2)ψ	z2)ψ	NOUN
ejde-666	251	7	and	and	CCONJ
ejde-666	251	8	∫	∫	PROPN
ejde-666	251	9	ω	ω	PROPN
ejde-666	251	10	(	(	PUNCT
ejde-666	251	11	∇z2∇ψ	∇z2∇ψ	PROPN
ejde-666	251	12	+	+	CCONJ
ejde-666	251	13	z2ψ	z2ψ	NUM
ejde-666	251	14	)	)	PUNCT
ejde-666	251	15	=	=	SYM
ejde-666	252	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	252	2	ω	ω	PROPN
ejde-666	252	3	(	(	PUNCT
ejde-666	252	4	∇z∗2∇ψ	∇z∗2∇ψ	PROPN
ejde-666	252	5	+	+	NUM
ejde-666	252	6	z∗2ψ	z∗2ψ	NUM
ejde-666	252	7	)	)	PUNCT
ejde-666	252	8	=	=	SYM
ejde-666	253	1	∫	∫	PROPN
ejde-666	253	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	253	3	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	253	4	,	,	PUNCT
ejde-666	253	5	z1	z1	ADJ
ejde-666	253	6	,	,	PUNCT
ejde-666	253	7	z2)ψ	z2)ψ	NOUN
ejde-666	253	8	.	.	PUNCT
ejde-666	254	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	254	2	,	,	PUNCT
ejde-666	254	3	(	(	PUNCT
ejde-666	254	4	z1	z1	PROPN
ejde-666	254	5	,	,	PUNCT
ejde-666	254	6	z2	z2	PROPN
ejde-666	254	7	)	)	PUNCT
ejde-666	254	8	is	be	AUX
ejde-666	254	9	a	a	DET
ejde-666	254	10	solution	solution	NOUN
ejde-666	254	11	of	of	ADP
ejde-666	254	12	(	(	PUNCT
ejde-666	254	13	1.1	1.1	NUM
ejde-666	254	14	)	)	PUNCT
ejde-666	254	15	and	and	CCONJ
ejde-666	254	16	(	(	PUNCT
ejde-666	254	17	u1	u1	NOUN
ejde-666	254	18	,	,	PUNCT
ejde-666	254	19	u2	u2	NOUN
ejde-666	254	20	)	)	PUNCT
ejde-666	254	21	≤	≤	NOUN
ejde-666	254	22	(	(	PUNCT
ejde-666	254	23	z1	z1	PROPN
ejde-666	254	24	,	,	PUNCT
ejde-666	254	25	z2	z2	NUM
ejde-666	254	26	)	)	PUNCT
ejde-666	254	27	≤	≤	NOUN
ejde-666	254	28	(	(	PUNCT
ejde-666	254	29	u1	u1	NOUN
ejde-666	254	30	,	,	PUNCT
ejde-666	254	31	u2	u2	PROPN
ejde-666	254	32	)	)	PUNCT
ejde-666	254	33	.	.	PUNCT
ejde-666	255	1	step	step	NOUN
ejde-666	255	2	4	4	NUM
ejde-666	255	3	.	.	PUNCT
ejde-666	256	1	z	z	NOUN
ejde-666	256	2	=	=	SYM
ejde-666	256	3	(	(	PUNCT
ejde-666	256	4	z1	z1	PROPN
ejde-666	256	5	,	,	PUNCT
ejde-666	256	6	z2	z2	PROPN
ejde-666	256	7	)	)	PUNCT
ejde-666	256	8	is	be	AUX
ejde-666	256	9	a	a	DET
ejde-666	256	10	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	256	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	256	12	of	of	ADP
ejde-666	256	13	(	(	PUNCT
ejde-666	256	14	1.1	1.1	NUM
ejde-666	256	15	)	)	PUNCT
ejde-666	256	16	.	.	PUNCT
ejde-666	257	1	let	let	VERB
ejde-666	257	2	u	u	PRON
ejde-666	257	3	=	=	PUNCT
ejde-666	257	4	(	(	PUNCT
ejde-666	257	5	u1	u1	PROPN
ejde-666	257	6	,	,	PUNCT
ejde-666	257	7	u2	u2	PROPN
ejde-666	257	8	)	)	PUNCT
ejde-666	257	9	be	be	VERB
ejde-666	257	10	any	any	DET
ejde-666	257	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	257	12	of	of	ADP
ejde-666	257	13	(	(	PUNCT
ejde-666	257	14	1.1	1.1	NUM
ejde-666	257	15	)	)	PUNCT
ejde-666	257	16	such	such	ADJ
ejde-666	257	17	that	that	SCONJ
ejde-666	257	18	(	(	PUNCT
ejde-666	257	19	u1	u1	NOUN
ejde-666	257	20	,	,	PUNCT
ejde-666	257	21	u2	u2	NOUN
ejde-666	257	22	)	)	PUNCT
ejde-666	257	23	≤	≤	NOUN
ejde-666	257	24	(	(	PUNCT
ejde-666	257	25	u1	u1	NOUN
ejde-666	257	26	,	,	PUNCT
ejde-666	257	27	u2	u2	NOUN
ejde-666	257	28	)	)	PUNCT
ejde-666	257	29	≤	≤	NOUN
ejde-666	257	30	(	(	PUNCT
ejde-666	257	31	u1	u1	NOUN
ejde-666	257	32	,	,	PUNCT
ejde-666	257	33	u2	u2	PROPN
ejde-666	257	34	)	)	PUNCT
ejde-666	257	35	.	.	PUNCT
ejde-666	258	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	258	2	,	,	PUNCT
ejde-666	258	3	by	by	ADP
ejde-666	258	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	258	5	5.4	5.4	NUM
ejde-666	258	6	in	in	ADP
ejde-666	258	7	the	the	DET
ejde-666	258	8	appendix	appendix	NOUN
ejde-666	258	9	(	(	PUNCT
ejde-666	258	10	see	see	VERB
ejde-666	258	11	section	section	NOUN
ejde-666	258	12	5	5	NUM
ejde-666	258	13	)	)	PUNCT
ejde-666	258	14	,	,	PUNCT
ejde-666	258	15	v	v	X
ejde-666	258	16	=	=	SYM
ejde-666	258	17	(	(	PUNCT
ejde-666	258	18	v1	v1	NOUN
ejde-666	258	19	,	,	PUNCT
ejde-666	258	20	v2	v2	PROPN
ejde-666	258	21	)	)	PUNCT
ejde-666	258	22	is	be	AUX
ejde-666	258	23	a	a	DET
ejde-666	258	24	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	258	25	of	of	ADP
ejde-666	258	26	(	(	PUNCT
ejde-666	258	27	1.1	1.1	NUM
ejde-666	258	28	)	)	PUNCT
ejde-666	258	29	with	with	ADP
ejde-666	258	30	v1	v1	NOUN
ejde-666	258	31	=	=	SYM
ejde-666	258	32	max{u1	max{u1	NOUN
ejde-666	258	33	,	,	PUNCT
ejde-666	258	34	z1	z1	NOUN
ejde-666	258	35	}	}	PUNCT
ejde-666	258	36	and	and	CCONJ
ejde-666	258	37	v2	v2	NOUN
ejde-666	258	38	=	=	SYM
ejde-666	258	39	max{u2	max{u2	NOUN
ejde-666	258	40	,	,	PUNCT
ejde-666	258	41	z2	z2	PROPN
ejde-666	258	42	}	}	PUNCT
ejde-666	258	43	.	.	PUNCT
ejde-666	259	1	then	then	ADV
ejde-666	259	2	it	it	PRON
ejde-666	259	3	follows	follow	VERB
ejde-666	259	4	from	from	ADP
ejde-666	259	5	step	step	NOUN
ejde-666	259	6	1	1	NUM
ejde-666	259	7	that	that	SCONJ
ejde-666	259	8	there	there	PRON
ejde-666	259	9	exists	exist	VERB
ejde-666	259	10	ẑ	ẑ	X
ejde-666	259	11	=	=	SYM
ejde-666	259	12	(	(	PUNCT
ejde-666	259	13	ẑ1	ẑ1	NOUN
ejde-666	259	14	,	,	PUNCT
ejde-666	259	15	ẑ2	ẑ2	X
ejde-666	259	16	)	)	PUNCT
ejde-666	259	17	∈	∈	PROPN
ejde-666	259	18	a	a	DET
ejde-666	259	19	such	such	ADJ
ejde-666	259	20	that	that	SCONJ
ejde-666	259	21	u	u	PROPN
ejde-666	259	22	≤	≤	X
ejde-666	259	23	v	v	ADP
ejde-666	259	24	≤	≤	NUM
ejde-666	259	25	ẑ	ẑ	NUM
ejde-666	259	26	≤	≤	NUM
ejde-666	259	27	u	u	PROPN
ejde-666	259	28	,	,	PUNCT
ejde-666	259	29	which	which	PRON
ejde-666	259	30	implies	imply	VERB
ejde-666	259	31	v	v	NUM
ejde-666	259	32	∈	∈	PROPN
ejde-666	259	33	a.	a.	NOUN
ejde-666	259	34	as	as	SCONJ
ejde-666	259	35	z	z	PROPN
ejde-666	259	36	is	be	AUX
ejde-666	259	37	a	a	DET
ejde-666	259	38	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	259	39	element	element	NOUN
ejde-666	259	40	of	of	ADP
ejde-666	259	41	a	a	PRON
ejde-666	259	42	,	,	PUNCT
ejde-666	259	43	hence	hence	ADV
ejde-666	259	44	,	,	PUNCT
ejde-666	259	45	v	v	ADV
ejde-666	259	46	≤	≤	NUM
ejde-666	259	47	z.	z.	PROPN
ejde-666	259	48	on	on	ADP
ejde-666	259	49	the	the	DET
ejde-666	259	50	other	other	ADJ
ejde-666	259	51	hand	hand	NOUN
ejde-666	259	52	,	,	PUNCT
ejde-666	259	53	since	since	SCONJ
ejde-666	259	54	v	v	NUM
ejde-666	259	55	=	=	SYM
ejde-666	259	56	(	(	PUNCT
ejde-666	259	57	max{u1	max{u1	PROPN
ejde-666	259	58	,	,	PUNCT
ejde-666	259	59	z1},max{u2	z1},max{u2	NUM
ejde-666	259	60	,	,	PUNCT
ejde-666	259	61	z2	z2	PROPN
ejde-666	259	62	}	}	PUNCT
ejde-666	259	63	)	)	PUNCT
ejde-666	259	64	,	,	PUNCT
ejde-666	259	65	we	we	PRON
ejde-666	259	66	have	have	VERB
ejde-666	259	67	,	,	PUNCT
ejde-666	259	68	z	z	NOUN
ejde-666	259	69	≤	≤	NOUN
ejde-666	259	70	v	v	X
ejde-666	259	71	≤	≤	NUM
ejde-666	259	72	ẑ.	ẑ.	NOUN
ejde-666	259	73	consequently	consequently	ADV
ejde-666	259	74	,	,	PUNCT
ejde-666	259	75	z	z	NOUN
ejde-666	259	76	=	=	SYM
ejde-666	259	77	v	v	ADJ
ejde-666	259	78	implying	imply	VERB
ejde-666	259	79	u	u	NOUN
ejde-666	259	80	≤	≤	PROPN
ejde-666	259	81	z	z	PROPN
ejde-666	259	82	,	,	PUNCT
ejde-666	259	83	and	and	CCONJ
ejde-666	259	84	it	it	PRON
ejde-666	259	85	follows	follow	VERB
ejde-666	259	86	that	that	PRON
ejde-666	259	87	z	z	NOUN
ejde-666	259	88	=	=	SYM
ejde-666	259	89	(	(	PUNCT
ejde-666	259	90	z1	z1	PROPN
ejde-666	259	91	,	,	PUNCT
ejde-666	259	92	z2	z2	PROPN
ejde-666	259	93	)	)	PUNCT
ejde-666	259	94	is	be	AUX
ejde-666	259	95	the	the	DET
ejde-666	259	96	unique	unique	ADJ
ejde-666	259	97	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	259	98	solution	solution	NOUN
ejde-666	259	99	of	of	ADP
ejde-666	259	100	(	(	PUNCT
ejde-666	259	101	1.1	1.1	NUM
ejde-666	259	102	)	)	PUNCT
ejde-666	259	103	.	.	PUNCT
ejde-666	260	1	by	by	ADP
ejde-666	260	2	a	a	DET
ejde-666	260	3	similar	similar	ADJ
ejde-666	260	4	approach	approach	NOUN
ejde-666	260	5	,	,	PUNCT
ejde-666	260	6	we	we	PRON
ejde-666	260	7	can	can	AUX
ejde-666	260	8	show	show	VERB
ejde-666	260	9	the	the	DET
ejde-666	260	10	existence	existence	NOUN
ejde-666	260	11	of	of	ADP
ejde-666	260	12	a	a	DET
ejde-666	260	13	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	260	14	solution	solution	NOUN
ejde-666	260	15	of	of	ADP
ejde-666	260	16	(	(	PUNCT
ejde-666	260	17	1.1	1.1	NUM
ejde-666	260	18	)	)	PUNCT
ejde-666	260	19	.	.	PUNCT
ejde-666	261	1	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	261	2	existence	existence	NOUN
ejde-666	261	3	of	of	ADP
ejde-666	261	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	261	5	and	and	CCONJ
ejde-666	261	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	261	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	261	8	solutions	solution	NOUN
ejde-666	261	9	9	9	NUM
ejde-666	261	10	4	4	NUM
ejde-666	261	11	.	.	PUNCT
ejde-666	261	12	finite	finite	ADJ
ejde-666	261	13	difference	difference	NOUN
ejde-666	261	14	approximations	approximation	NOUN
ejde-666	261	15	in	in	ADP
ejde-666	261	16	this	this	DET
ejde-666	261	17	section	section	NOUN
ejde-666	261	18	,	,	PUNCT
ejde-666	261	19	we	we	PRON
ejde-666	261	20	use	use	VERB
ejde-666	261	21	a	a	DET
ejde-666	261	22	finite	finite	ADJ
ejde-666	261	23	difference	difference	NOUN
ejde-666	261	24	(	(	PUNCT
ejde-666	261	25	fd	fd	NOUN
ejde-666	261	26	)	)	PUNCT
ejde-666	261	27	method	method	NOUN
ejde-666	261	28	for	for	ADP
ejde-666	261	29	approximating	approximate	VERB
ejde-666	261	30	solutions	solution	NOUN
ejde-666	261	31	of	of	ADP
ejde-666	261	32	the	the	DET
ejde-666	261	33	problem	problem	NOUN
ejde-666	262	1	−∆ui	−∆ui	ADV
ejde-666	262	2	+	+	CCONJ
ejde-666	262	3	ui	ui	NOUN
ejde-666	262	4	=	=	NOUN
ejde-666	262	5	0	0	NUM
ejde-666	262	6	in	in	ADP
ejde-666	262	7	ω	ω	PROPN
ejde-666	262	8	;	;	PUNCT
ejde-666	263	1	∂ui	∂ui	PROPN
ejde-666	263	2	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	263	3	=	=	PUNCT
ejde-666	264	1	λfi(u1	λfi(u1	NOUN
ejde-666	264	2	,	,	PUNCT
ejde-666	264	3	u2	u2	PROPN
ejde-666	264	4	)	)	PUNCT
ejde-666	264	5	,	,	PUNCT
ejde-666	264	6	on	on	ADP
ejde-666	264	7	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	264	8	,	,	PUNCT
ejde-666	264	9	i	i	PRON
ejde-666	264	10	=	=	NOUN
ejde-666	264	11	1	1	NUM
ejde-666	264	12	,	,	PUNCT
ejde-666	264	13	2	2	NUM
ejde-666	264	14	,	,	PUNCT
ejde-666	264	15	(	(	PUNCT
ejde-666	264	16	4.1	4.1	NUM
ejde-666	264	17	)	)	PUNCT
ejde-666	264	18	where	where	SCONJ
ejde-666	264	19	λ	λ	PROPN
ejde-666	264	20	is	be	AUX
ejde-666	264	21	parameter	parameter	NOUN
ejde-666	264	22	and	and	CCONJ
ejde-666	264	23	fi	fi	NOUN
ejde-666	264	24	:	:	PUNCT
ejde-666	265	1	[	[	X
ejde-666	265	2	0,∞	0,∞	NUM
ejde-666	265	3	)	)	PUNCT
ejde-666	265	4	×	×	NOUN
ejde-666	266	1	[	[	X
ejde-666	266	2	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-666	266	3	)	)	PUNCT
ejde-666	267	1	→	→	SYM
ejde-666	267	2	r	r	X
ejde-666	267	3	,	,	PUNCT
ejde-666	267	4	in	in	ADP
ejde-666	267	5	addition	addition	NOUN
ejde-666	267	6	to	to	ADP
ejde-666	267	7	(	(	PUNCT
ejde-666	267	8	a1	a1	PROPN
ejde-666	267	9	)	)	PUNCT
ejde-666	267	10	,	,	PUNCT
ejde-666	267	11	satisfies	satisfy	VERB
ejde-666	267	12	the	the	DET
ejde-666	267	13	following	follow	VERB
ejde-666	267	14	conditions	condition	NOUN
ejde-666	267	15	:	:	PUNCT
ejde-666	267	16	(	(	PUNCT
ejde-666	267	17	i	i	NOUN
ejde-666	267	18	)	)	PUNCT
ejde-666	267	19	f1(s1	f1(s1	PROPN
ejde-666	267	20	,	,	PUNCT
ejde-666	267	21	s2	s2	PROPN
ejde-666	267	22	)	)	PUNCT
ejde-666	267	23	is	be	AUX
ejde-666	267	24	locally	locally	ADV
ejde-666	267	25	lipschitz	lipschitz	ADJ
ejde-666	267	26	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	267	27	in	in	ADP
ejde-666	267	28	s1	s1	NOUN
ejde-666	267	29	and	and	CCONJ
ejde-666	267	30	f2(s1	f2(s1	NOUN
ejde-666	267	31	,	,	PUNCT
ejde-666	267	32	s2	s2	PROPN
ejde-666	267	33	)	)	PUNCT
ejde-666	267	34	is	be	AUX
ejde-666	267	35	locally	locally	ADV
ejde-666	267	36	lipschitz	lipschitz	ADJ
ejde-666	267	37	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	267	38	in	in	ADP
ejde-666	267	39	s2	s2	PROPN
ejde-666	267	40	.	.	PUNCT
ejde-666	268	1	(	(	PUNCT
ejde-666	268	2	ii	ii	NOUN
ejde-666	268	3	)	)	PUNCT
ejde-666	268	4	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	268	5	,	,	PUNCT
ejde-666	268	6	0	0	NUM
ejde-666	268	7	)	)	PUNCT
ejde-666	268	8	≥	≥	NOUN
ejde-666	268	9	0	0	NUM
ejde-666	268	10	.	.	PUNCT
ejde-666	269	1	(	(	PUNCT
ejde-666	269	2	iii	iii	NOUN
ejde-666	269	3	)	)	PUNCT
ejde-666	269	4	fi	fi	NOUN
ejde-666	269	5	’s	’s	PART
ejde-666	269	6	are	be	AUX
ejde-666	269	7	sublinear	sublinear	ADJ
ejde-666	269	8	,	,	PUNCT
ejde-666	269	9	i.e.	i.e.	X
ejde-666	269	10	lim	lim	PROPN
ejde-666	269	11	∥(s1,s2)∥1→∞	∥(s1,s2)∥1→∞	PROPN
ejde-666	269	12	fi(s1	fi(s1	PROPN
ejde-666	269	13	,	,	PUNCT
ejde-666	269	14	s2	s2	PROPN
ejde-666	269	15	)	)	PUNCT
ejde-666	269	16	∥(s1	∥(s1	ADP
ejde-666	269	17	,	,	PUNCT
ejde-666	269	18	s2)∥1	s2)∥1	NOUN
ejde-666	269	19	=	=	SYM
ejde-666	269	20	0	0	NUM
ejde-666	269	21	,	,	PUNCT
ejde-666	269	22	where	where	SCONJ
ejde-666	269	23	∥(s1	∥(s1	ADP
ejde-666	269	24	,	,	PUNCT
ejde-666	269	25	s2)∥1	s2)∥1	NOUN
ejde-666	269	26	=	=	SYM
ejde-666	269	27	|s1|+	|s1|+	NOUN
ejde-666	269	28	|s2|	|s2|	NOUN
ejde-666	269	29	.	.	PUNCT
ejde-666	270	1	we	we	PRON
ejde-666	270	2	prove	prove	VERB
ejde-666	270	3	the	the	DET
ejde-666	270	4	existence	existence	NOUN
ejde-666	270	5	of	of	ADP
ejde-666	270	6	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	270	7	solutions	solution	NOUN
ejde-666	270	8	for	for	ADP
ejde-666	270	9	the	the	DET
ejde-666	270	10	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	270	11	problem	problem	NOUN
ejde-666	270	12	generated	generate	VERB
ejde-666	270	13	by	by	ADP
ejde-666	270	14	the	the	DET
ejde-666	270	15	fd	fd	PROPN
ejde-666	270	16	method	method	NOUN
ejde-666	270	17	(	(	PUNCT
ejde-666	270	18	see	see	VERB
ejde-666	270	19	section	section	NOUN
ejde-666	270	20	4.1	4.1	NUM
ejde-666	270	21	)	)	PUNCT
ejde-666	270	22	in	in	ADP
ejde-666	270	23	between	between	ADP
ejde-666	270	24	an	an	DET
ejde-666	270	25	ordered	order	VERB
ejde-666	270	26	pair	pair	NOUN
ejde-666	270	27	of	of	ADP
ejde-666	270	28	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	270	29	sub	sub	NOUN
ejde-666	270	30	and	and	CCONJ
ejde-666	270	31	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	270	32	which	which	PRON
ejde-666	270	33	turn	turn	VERB
ejde-666	270	34	out	out	ADP
ejde-666	270	35	to	to	PART
ejde-666	270	36	be	be	AUX
ejde-666	270	37	uniformly	uniformly	ADV
ejde-666	270	38	bounded	bound	VERB
ejde-666	270	39	independent	independent	ADJ
ejde-666	270	40	of	of	ADP
ejde-666	270	41	the	the	DET
ejde-666	270	42	discretization	discretization	NOUN
ejde-666	270	43	parameter	parameter	PROPN
ejde-666	270	44	h.	h.	PROPN
ejde-666	270	45	this	this	DET
ejde-666	270	46	result	result	NOUN
ejde-666	270	47	and	and	CCONJ
ejde-666	270	48	the	the	DET
ejde-666	270	49	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	270	50	sub	sub	NOUN
ejde-666	270	51	and	and	CCONJ
ejde-666	270	52	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	270	53	technique	technique	NOUN
ejde-666	270	54	is	be	AUX
ejde-666	270	55	a	a	DET
ejde-666	270	56	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	270	57	analogue	analogue	NOUN
ejde-666	270	58	of	of	ADP
ejde-666	270	59	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	270	60	1.3	1.3	NUM
ejde-666	270	61	.	.	PUNCT
ejde-666	271	1	in	in	ADP
ejde-666	271	2	fact	fact	NOUN
ejde-666	271	3	,	,	PUNCT
ejde-666	271	4	we	we	PRON
ejde-666	271	5	find	find	VERB
ejde-666	271	6	exact	exact	ADJ
ejde-666	271	7	sub	sub	NOUN
ejde-666	271	8	and	and	CCONJ
ejde-666	271	9	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	271	10	for	for	ADP
ejde-666	271	11	the	the	DET
ejde-666	271	12	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	271	13	problem	problem	NOUN
ejde-666	271	14	.	.	PUNCT
ejde-666	272	1	we	we	PRON
ejde-666	272	2	formulate	formulate	VERB
ejde-666	272	3	a	a	DET
ejde-666	272	4	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	272	5	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	272	6	to	to	PART
ejde-666	272	7	find	find	VERB
ejde-666	272	8	the	the	DET
ejde-666	272	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	272	10	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	272	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	272	12	bounded	bound	VERB
ejde-666	272	13	above	above	ADV
ejde-666	272	14	by	by	ADP
ejde-666	272	15	the	the	DET
ejde-666	272	16	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	272	17	.	.	PUNCT
ejde-666	273	1	several	several	ADJ
ejde-666	273	2	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	273	3	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	273	4	generated	generate	VERB
ejde-666	273	5	using	use	VERB
ejde-666	273	6	matlab	matlab	PROPN
ejde-666	273	7	are	be	AUX
ejde-666	273	8	provided	provide	VERB
ejde-666	273	9	.	.	PUNCT
ejde-666	274	1	4.1	4.1	NUM
ejde-666	274	2	.	.	PUNCT
ejde-666	274	3	formulation	formulation	NOUN
ejde-666	274	4	.	.	PUNCT
ejde-666	275	1	the	the	DET
ejde-666	275	2	main	main	ADJ
ejde-666	275	3	idea	idea	NOUN
ejde-666	275	4	in	in	ADP
ejde-666	275	5	our	our	PRON
ejde-666	275	6	fd	fd	PROPN
ejde-666	275	7	formulation	formulation	NOUN
ejde-666	275	8	is	be	AUX
ejde-666	275	9	to	to	PART
ejde-666	275	10	approximate	approximate	VERB
ejde-666	275	11	all	all	DET
ejde-666	275	12	differential	differential	ADJ
ejde-666	275	13	operators	operator	NOUN
ejde-666	275	14	by	by	ADP
ejde-666	275	15	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	275	16	operators	operator	NOUN
ejde-666	275	17	using	use	VERB
ejde-666	275	18	difference	difference	NOUN
ejde-666	275	19	quotients	quotient	NOUN
ejde-666	275	20	.	.	PUNCT
ejde-666	276	1	we	we	PRON
ejde-666	276	2	first	first	ADV
ejde-666	276	3	discretize	discretize	VERB
ejde-666	276	4	the	the	DET
ejde-666	276	5	domain	domain	NOUN
ejde-666	276	6	and	and	CCONJ
ejde-666	276	7	,	,	PUNCT
ejde-666	276	8	at	at	ADP
ejde-666	276	9	each	each	PRON
ejde-666	276	10	of	of	ADP
ejde-666	276	11	the	the	DET
ejde-666	276	12	grid	grid	NOUN
ejde-666	276	13	points	point	NOUN
ejde-666	276	14	,	,	PUNCT
ejde-666	276	15	we	we	PRON
ejde-666	276	16	approximate	approximate	VERB
ejde-666	276	17	the	the	DET
ejde-666	276	18	value	value	NOUN
ejde-666	276	19	of	of	ADP
ejde-666	276	20	the	the	DET
ejde-666	276	21	solution	solution	NOUN
ejde-666	276	22	by	by	ADP
ejde-666	276	23	solving	solve	VERB
ejde-666	276	24	the	the	DET
ejde-666	276	25	algebraic	algebraic	ADJ
ejde-666	276	26	system	system	NOUN
ejde-666	276	27	of	of	ADP
ejde-666	276	28	equations	equation	NOUN
ejde-666	276	29	that	that	PRON
ejde-666	276	30	results	result	VERB
ejde-666	276	31	from	from	ADP
ejde-666	276	32	replacing	replace	VERB
ejde-666	276	33	the	the	DET
ejde-666	276	34	differential	differential	ADJ
ejde-666	276	35	operators	operator	NOUN
ejde-666	276	36	with	with	ADP
ejde-666	276	37	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	276	38	difference	difference	NOUN
ejde-666	276	39	operators	operator	NOUN
ejde-666	276	40	.	.	PUNCT
ejde-666	277	1	assume	assume	VERB
ejde-666	277	2	the	the	DET
ejde-666	277	3	domain	domain	NOUN
ejde-666	277	4	ω	ω	NOUN
ejde-666	277	5	is	be	AUX
ejde-666	277	6	an	an	DET
ejde-666	277	7	n	n	ADV
ejde-666	277	8	-rectangle	-rectangle	NOUN
ejde-666	277	9	,	,	PUNCT
ejde-666	277	10	where	where	SCONJ
ejde-666	277	11	n	n	PRON
ejde-666	277	12	≥	≥	NOUN
ejde-666	277	13	1	1	NUM
ejde-666	277	14	is	be	AUX
ejde-666	277	15	the	the	DET
ejde-666	277	16	dimension	dimension	NOUN
ejde-666	277	17	.	.	PUNCT
ejde-666	278	1	in	in	ADP
ejde-666	278	2	other	other	ADJ
ejde-666	278	3	words	word	NOUN
ejde-666	278	4	,	,	PUNCT
ejde-666	278	5	ω	ω	X
ejde-666	278	6	=	=	SYM
ejde-666	278	7	(	(	PUNCT
ejde-666	278	8	a1	a1	PROPN
ejde-666	278	9	,	,	PUNCT
ejde-666	278	10	b1)×	b1)×	PROPN
ejde-666	278	11	(	(	PUNCT
ejde-666	278	12	a2	a2	PROPN
ejde-666	278	13	,	,	PUNCT
ejde-666	278	14	b2)×	b2)×	PROPN
ejde-666	278	15	.	.	PUNCT
ejde-666	278	16	.	.	PUNCT
ejde-666	278	17	.	.	PUNCT
ejde-666	279	1	(	(	PUNCT
ejde-666	279	2	an	an	PRON
ejde-666	279	3	,	,	PUNCT
ejde-666	279	4	bn	bn	NOUN
ejde-666	279	5	)	)	PUNCT
ejde-666	279	6	.	.	PUNCT
ejde-666	280	1	letmi	letmi	PROPN
ejde-666	280	2	≥	≥	NUM
ejde-666	280	3	2	2	NUM
ejde-666	280	4	be	be	AUX
ejde-666	280	5	a	a	DET
ejde-666	280	6	positive	positive	ADJ
ejde-666	280	7	integer	integer	NOUN
ejde-666	280	8	and	and	CCONJ
ejde-666	280	9	hi	hi	ADJ
ejde-666	280	10	=	=	NOUN
ejde-666	280	11	bi−ai	bi−ai	ADJ
ejde-666	280	12	mi−1	mi−1	PROPN
ejde-666	280	13	for	for	ADP
ejde-666	280	14	i	i	PRON
ejde-666	280	15	=	=	NOUN
ejde-666	280	16	1	1	NUM
ejde-666	280	17	,	,	PUNCT
ejde-666	280	18	2	2	NUM
ejde-666	280	19	,	,	PUNCT
ejde-666	280	20	.	.	PUNCT
ejde-666	280	21	.	.	PUNCT
ejde-666	280	22	.	.	PUNCT
ejde-666	281	1	n	n	X
ejde-666	281	2	.	.	PUNCT
ejde-666	282	1	define	define	VERB
ejde-666	282	2	h	h	NOUN
ejde-666	282	3	=	=	SYM
ejde-666	282	4	(	(	PUNCT
ejde-666	282	5	h1	h1	PROPN
ejde-666	282	6	,	,	PUNCT
ejde-666	282	7	h2	h2	PROPN
ejde-666	282	8	,	,	PUNCT
ejde-666	282	9	.	.	PUNCT
ejde-666	282	10	.	.	PUNCT
ejde-666	282	11	.	.	PUNCT
ejde-666	283	1	hn	hn	PROPN
ejde-666	283	2	)	)	PUNCT
ejde-666	283	3	∈	∈	PROPN
ejde-666	283	4	rn	rn	PROPN
ejde-666	283	5	,	,	PUNCT
ejde-666	283	6	m	m	PROPN
ejde-666	283	7	=	=	PUNCT
ejde-666	283	8	∏n	∏n	PROPN
ejde-666	283	9	i=1(mi	i=1(mi	X
ejde-666	283	10	)	)	PUNCT
ejde-666	283	11	,	,	PUNCT
ejde-666	283	12	and	and	CCONJ
ejde-666	283	13	nn	nn	X
ejde-666	283	14	m	m	PROPN
ejde-666	283	15	=	=	SYM
ejde-666	283	16	{	{	PUNCT
ejde-666	283	17	α	α	NOUN
ejde-666	283	18	=	=	SYM
ejde-666	283	19	(	(	PUNCT
ejde-666	283	20	α1	α1	PROPN
ejde-666	283	21	,	,	PUNCT
ejde-666	283	22	α2	α2	ADJ
ejde-666	283	23	,	,	PUNCT
ejde-666	283	24	.	.	PUNCT
ejde-666	283	25	.	.	PUNCT
ejde-666	283	26	.	.	PUNCT
ejde-666	284	1	αn	αn	INTJ
ejde-666	284	2	)	)	PUNCT
ejde-666	285	1	|	|	ADV
ejde-666	285	2	1	1	NUM
ejde-666	285	3	≤	≤	NUM
ejde-666	285	4	αi	αi	VERB
ejde-666	285	5	≤	≤	PROPN
ejde-666	285	6	mi	mi	PROPN
ejde-666	285	7	,	,	PUNCT
ejde-666	285	8	i	i	NOUN
ejde-666	285	9	=	=	NOUN
ejde-666	285	10	1	1	NUM
ejde-666	285	11	,	,	PUNCT
ejde-666	285	12	2	2	NUM
ejde-666	285	13	,	,	PUNCT
ejde-666	285	14	.	.	PUNCT
ejde-666	285	15	.	.	PUNCT
ejde-666	285	16	.	.	PUNCT
ejde-666	286	1	n	n	CCONJ
ejde-666	286	2	}	}	PUNCT
ejde-666	286	3	.	.	PUNCT
ejde-666	287	1	next	next	ADV
ejde-666	287	2	we	we	PRON
ejde-666	287	3	partition	partition	VERB
ejde-666	287	4	ω	ω	PROPN
ejde-666	287	5	into	into	ADP
ejde-666	287	6	∏n	∏n	PROPN
ejde-666	287	7	i=1(mi	i=1(mi	PUNCT
ejde-666	287	8	−	−	PROPN
ejde-666	287	9	1	1	NUM
ejde-666	287	10	)	)	PUNCT
ejde-666	287	11	sub	sub	ADJ
ejde-666	287	12	-	-	ADJ
ejde-666	287	13	n	n	ADJ
ejde-666	287	14	rectangles	rectangle	NOUN
ejde-666	287	15	with	with	ADP
ejde-666	287	16	grid	grid	NOUN
ejde-666	287	17	points	point	NOUN
ejde-666	287	18	xα	xα	PUNCT
ejde-666	288	1	=	=	PUNCT
ejde-666	288	2	(	(	PUNCT
ejde-666	288	3	a1	a1	NOUN
ejde-666	288	4	+	+	CCONJ
ejde-666	288	5	(	(	PUNCT
ejde-666	288	6	α1	α1	PROPN
ejde-666	288	7	−	−	PROPN
ejde-666	288	8	1)h1	1)h1	PROPN
ejde-666	288	9	,	,	PUNCT
ejde-666	288	10	a2	a2	PROPN
ejde-666	288	11	+	+	CCONJ
ejde-666	288	12	(	(	PUNCT
ejde-666	288	13	α2	α2	ADJ
ejde-666	288	14	−	−	PROPN
ejde-666	288	15	1)h2	1)h2	NUM
ejde-666	288	16	,	,	PUNCT
ejde-666	288	17	.	.	PUNCT
ejde-666	288	18	.	.	PUNCT
ejde-666	289	1	.	.	PUNCT
ejde-666	290	1	,	,	PUNCT
ejde-666	290	2	an	an	DET
ejde-666	290	3	+	+	X
ejde-666	290	4	(	(	PUNCT
ejde-666	290	5	αn	αn	NOUN
ejde-666	290	6	−	−	PROPN
ejde-666	290	7	1)hn	1)hn	PROPN
ejde-666	290	8	)	)	PUNCT
ejde-666	290	9	for	for	ADP
ejde-666	290	10	each	each	DET
ejde-666	290	11	multi	multi	ADJ
ejde-666	290	12	-	-	NOUN
ejde-666	290	13	index	index	NOUN
ejde-666	290	14	α	α	NOUN
ejde-666	290	15	∈	∈	PROPN
ejde-666	290	16	nn	nn	PROPN
ejde-666	290	17	m	m	PROPN
ejde-666	290	18	.	.	PUNCT
ejde-666	291	1	we	we	PRON
ejde-666	291	2	call	call	VERB
ejde-666	291	3	th	th	X
ejde-666	291	4	=	=	SYM
ejde-666	291	5	{	{	PUNCT
ejde-666	291	6	xα}α∈nn	xα}α∈nn	PROPN
ejde-666	291	7	m	m	VERB
ejde-666	291	8	a	a	DET
ejde-666	291	9	grid	grid	NOUN
ejde-666	291	10	for	for	ADP
ejde-666	291	11	ω	ω	PROPN
ejde-666	291	12	.	.	PUNCT
ejde-666	292	1	let	let	VERB
ejde-666	292	2	{	{	PUNCT
ejde-666	292	3	ei}ni=1	ei}ni=1	PROPN
ejde-666	292	4	denote	denote	VERB
ejde-666	292	5	the	the	DET
ejde-666	292	6	canonical	canonical	ADJ
ejde-666	292	7	basis	basis	NOUN
ejde-666	292	8	vectors	vector	NOUN
ejde-666	292	9	for	for	ADP
ejde-666	292	10	rn	rn	PROPN
ejde-666	292	11	.	.	PUNCT
ejde-666	293	1	we	we	PRON
ejde-666	293	2	define	define	VERB
ejde-666	293	3	the	the	DET
ejde-666	293	4	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	293	5	operators	operator	NOUN
ejde-666	293	6	for	for	ADP
ejde-666	293	7	approximating	approximate	VERB
ejde-666	293	8	first	first	ADJ
ejde-666	293	9	order	order	NOUN
ejde-666	293	10	partial	partial	ADJ
ejde-666	293	11	derivatives	derivative	NOUN
ejde-666	293	12	∂	∂	ADJ
ejde-666	293	13	∂xi	∂xi	NOUN
ejde-666	293	14	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	293	15	)	)	PUNCT
ejde-666	293	16	by	by	ADP
ejde-666	293	17	δ+xi	δ+xi	PROPN
ejde-666	293	18	,	,	PUNCT
ejde-666	293	19	hi	hi	INTJ
ejde-666	293	20	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	293	21	)	)	PUNCT
ejde-666	293	22	:	:	PUNCT
ejde-666	294	1	=	=	SYM
ejde-666	294	2	u(x+	u(x+	ADJ
ejde-666	294	3	hiei)−	hiei)−	PROPN
ejde-666	294	4	u(x	u(x	PROPN
ejde-666	294	5	)	)	PUNCT
ejde-666	294	6	hi	hi	INTJ
ejde-666	294	7	,	,	PUNCT
ejde-666	294	8	δ−xi	δ−xi	PROPN
ejde-666	294	9	,	,	PUNCT
ejde-666	294	10	hi	hi	INTJ
ejde-666	294	11	u(x	u(x	PROPN
ejde-666	294	12	)	)	PUNCT
ejde-666	294	13	:	:	PUNCT
ejde-666	294	14	=	=	SYM
ejde-666	294	15	u(x)−	u(x)−	PROPN
ejde-666	294	16	u(x−	u(x−	PROPN
ejde-666	294	17	hiei	hiei	PROPN
ejde-666	294	18	)	)	PUNCT
ejde-666	294	19	hi	hi	INTJ
ejde-666	294	20	,	,	PUNCT
ejde-666	294	21	δxi	δxi	PROPN
ejde-666	294	22	,	,	PUNCT
ejde-666	294	23	hi	hi	INTJ
ejde-666	294	24	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	294	25	)	)	PUNCT
ejde-666	294	26	:	:	PUNCT
ejde-666	295	1	=	=	SYM
ejde-666	295	2	1	1	NUM
ejde-666	295	3	2	2	NUM
ejde-666	295	4	δ+xi	δ+xi	NOUN
ejde-666	295	5	,	,	PUNCT
ejde-666	295	6	hi	hi	INTJ
ejde-666	295	7	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	295	8	)	)	PUNCT
ejde-666	295	9	+	+	CCONJ
ejde-666	295	10	1	1	NUM
ejde-666	295	11	2	2	NUM
ejde-666	295	12	δ−xi	δ−xi	NOUN
ejde-666	295	13	,	,	PUNCT
ejde-666	295	14	hi	hi	INTJ
ejde-666	295	15	u(x	u(x	PROPN
ejde-666	295	16	)	)	PUNCT
ejde-666	295	17	=	=	SYM
ejde-666	296	1	u(x+	u(x+	PROPN
ejde-666	296	2	hiei)−	hiei)−	PROPN
ejde-666	296	3	u(x−	u(x−	PROPN
ejde-666	296	4	hiei	hiei	PROPN
ejde-666	296	5	)	)	PUNCT
ejde-666	296	6	2hi	2hi	NOUN
ejde-666	296	7	(	(	PUNCT
ejde-666	296	8	4.2	4.2	NUM
ejde-666	296	9	)	)	PUNCT
ejde-666	296	10	for	for	ADP
ejde-666	296	11	the	the	DET
ejde-666	296	12	function	function	NOUN
ejde-666	296	13	u	u	NOUN
ejde-666	296	14	:	:	PUNCT
ejde-666	296	15	rn	rn	PROPN
ejde-666	296	16	→	→	SYM
ejde-666	296	17	r	r	NOUN
ejde-666	296	18	and	and	CCONJ
ejde-666	296	19	δ+xi	δ+xi	NOUN
ejde-666	296	20	,	,	PUNCT
ejde-666	296	21	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	22	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	23	)	)	PUNCT
ejde-666	296	24	:	:	PUNCT
ejde-666	296	25	=	=	PUNCT
ejde-666	296	26	uh(xα+ei)−	uh(xα+ei)−	NOUN
ejde-666	296	27	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	28	)	)	PUNCT
ejde-666	296	29	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	30	,	,	PUNCT
ejde-666	296	31	δ−xi	δ−xi	PROPN
ejde-666	296	32	,	,	PUNCT
ejde-666	296	33	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	34	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	35	)	)	PUNCT
ejde-666	296	36	:	:	PUNCT
ejde-666	296	37	=	=	PUNCT
ejde-666	296	38	uh(xα)−	uh(xα)−	NOUN
ejde-666	296	39	uh(xα−ei	uh(xα−ei	NOUN
ejde-666	296	40	)	)	PUNCT
ejde-666	296	41	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	42	,	,	PUNCT
ejde-666	296	43	δxi	δxi	ADP
ejde-666	296	44	,	,	PUNCT
ejde-666	296	45	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	46	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	47	)	)	PUNCT
ejde-666	296	48	:	:	PUNCT
ejde-666	296	49	=	=	SYM
ejde-666	296	50	1	1	NUM
ejde-666	296	51	2	2	NUM
ejde-666	296	52	δ+xi	δ+xi	NOUN
ejde-666	296	53	,	,	PUNCT
ejde-666	296	54	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	55	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	56	)	)	PUNCT
ejde-666	296	57	+	+	CCONJ
ejde-666	296	58	1	1	NUM
ejde-666	296	59	2	2	NUM
ejde-666	296	60	δ−xi	δ−xi	NOUN
ejde-666	296	61	,	,	PUNCT
ejde-666	296	62	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	63	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	296	64	)	)	PUNCT
ejde-666	296	65	=	=	SYM
ejde-666	296	66	uh(xα+ei)−	uh(xα+ei)−	NOUN
ejde-666	296	67	uh(xα−ei	uh(xα−ei	NOUN
ejde-666	296	68	)	)	PUNCT
ejde-666	296	69	2hi	2hi	NOUN
ejde-666	296	70	(	(	PUNCT
ejde-666	296	71	4.3	4.3	NUM
ejde-666	296	72	)	)	PUNCT
ejde-666	296	73	for	for	ADP
ejde-666	296	74	all	all	PRON
ejde-666	296	75	xα	xα	ADP
ejde-666	296	76	∈	∈	PROPN
ejde-666	296	77	th	th	PROPN
ejde-666	296	78	∩	∩	PROPN
ejde-666	296	79	ω	ω	PROPN
ejde-666	296	80	for	for	ADP
ejde-666	296	81	the	the	DET
ejde-666	296	82	grid	grid	NOUN
ejde-666	296	83	function	function	NOUN
ejde-666	296	84	uh	uh	INTJ
ejde-666	296	85	:	:	PUNCT
ejde-666	296	86	th	th	PROPN
ejde-666	296	87	→	→	PUNCT
ejde-666	296	88	r.	r.	PROPN
ejde-666	296	89	note	note	VERB
ejde-666	296	90	that	that	SCONJ
ejde-666	296	91	the	the	DET
ejde-666	296	92	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	296	93	operators	operator	NOUN
ejde-666	296	94	δ±xi	δ±xi	VERB
ejde-666	296	95	,	,	PUNCT
ejde-666	296	96	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	97	are	be	AUX
ejde-666	296	98	first	first	ADJ
ejde-666	296	99	-	-	PUNCT
ejde-666	296	100	order	order	NOUN
ejde-666	296	101	accurate	accurate	ADJ
ejde-666	296	102	whereas	whereas	SCONJ
ejde-666	296	103	δxi	δxi	ADJ
ejde-666	296	104	,	,	PUNCT
ejde-666	296	105	hi	hi	INTJ
ejde-666	296	106	is	be	AUX
ejde-666	296	107	second	second	ADJ
ejde-666	296	108	-	-	PUNCT
ejde-666	296	109	order	order	NOUN
ejde-666	296	110	accurate	accurate	ADJ
ejde-666	296	111	.	.	PUNCT
ejde-666	297	1	we	we	PRON
ejde-666	297	2	also	also	ADV
ejde-666	297	3	define	define	VERB
ejde-666	297	4	the	the	DET
ejde-666	297	5	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	297	6	10	10	NUM
ejde-666	297	7	s.	s.	PROPN
ejde-666	297	8	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	297	9	,	,	PUNCT
ejde-666	297	10	t.	t.	PROPN
ejde-666	297	11	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	297	12	,	,	PUNCT
ejde-666	297	13	n.	n.	PROPN
ejde-666	297	14	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	297	15	ejde-2025/43	ejde-2025/43	PROPN
ejde-666	297	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	297	17	gradient	gradient	NOUN
ejde-666	297	18	operators	operator	NOUN
ejde-666	297	19	[	[	X
ejde-666	297	20	∇±	∇±	PROPN
ejde-666	297	21	h	h	NOUN
ejde-666	297	22	]	]	X
ejde-666	298	1	i	i	PRON
ejde-666	298	2	:	:	PUNCT
ejde-666	298	3	=	=	SYM
ejde-666	298	4	δ±xi	δ±xi	PROPN
ejde-666	298	5	,	,	PUNCT
ejde-666	298	6	hi	hi	INTJ
ejde-666	298	7	,	,	PUNCT
ejde-666	298	8	[	[	X
ejde-666	298	9	∇h]i	∇h]i	X
ejde-666	298	10	:	:	PUNCT
ejde-666	298	11	=	=	SYM
ejde-666	298	12	δxi	δxi	X
ejde-666	298	13	,	,	PUNCT
ejde-666	298	14	hi	hi	INTJ
ejde-666	298	15	.	.	PUNCT
ejde-666	299	1	let	let	VERB
ejde-666	300	1	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	300	2	⊂	⊂	PRON
ejde-666	300	3	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	300	4	be	be	AUX
ejde-666	300	5	such	such	ADJ
ejde-666	300	6	that	that	DET
ejde-666	300	7	∂̃ω	∂̃ω	NOUN
ejde-666	300	8	:	:	PUNCT
ejde-666	300	9	=	=	SYM
ejde-666	300	10	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	300	11	\	\	NOUN
ejde-666	300	12	{	{	PUNCT
ejde-666	300	13	the	the	DET
ejde-666	300	14	points	point	NOUN
ejde-666	300	15	where	where	SCONJ
ejde-666	300	16	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	300	17	is	be	AUX
ejde-666	300	18	not	not	PART
ejde-666	300	19	smooth	smooth	ADJ
ejde-666	300	20	}	}	PUNCT
ejde-666	300	21	.	.	PUNCT
ejde-666	301	1	for	for	ADP
ejde-666	301	2	x	x	PROPN
ejde-666	301	3	∈	∈	PROPN
ejde-666	301	4	th	th	PROPN
ejde-666	301	5	∩	∩	PROPN
ejde-666	301	6	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	301	7	,	,	PUNCT
ejde-666	301	8	we	we	PRON
ejde-666	301	9	define	define	VERB
ejde-666	301	10	the	the	DET
ejde-666	301	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	301	12	outer	outer	ADJ
ejde-666	301	13	normal	normal	ADJ
ejde-666	301	14	derivative	derivative	NOUN
ejde-666	301	15	using	use	VERB
ejde-666	301	16	the	the	DET
ejde-666	301	17	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	301	18	gradient	gradient	NOUN
ejde-666	301	19	operator	operator	NOUN
ejde-666	301	20	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	301	21	h	h	NOUN
ejde-666	301	22	by	by	ADP
ejde-666	301	23	[	[	X
ejde-666	301	24	∇∗	∇∗	NOUN
ejde-666	301	25	hu(x)]i	hu(x)]i	VERB
ejde-666	301	26	:	:	PUNCT
ejde-666	301	27	=	=	SYM
ejde-666	301	28			PRON
ejde-666	301	29	δ+xi	δ+xi	VERB
ejde-666	301	30	,	,	PUNCT
ejde-666	301	31	hi	hi	INTJ
ejde-666	301	32	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	301	33	)	)	PUNCT
ejde-666	301	34	if	if	SCONJ
ejde-666	301	35	ηi(x	ηi(x	NUM
ejde-666	301	36	)	)	PUNCT
ejde-666	301	37	<	<	X
ejde-666	301	38	0	0	NUM
ejde-666	301	39	,	,	PUNCT
ejde-666	301	40	δ−xi	δ−xi	PROPN
ejde-666	301	41	,	,	PUNCT
ejde-666	301	42	hi	hi	INTJ
ejde-666	301	43	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	301	44	)	)	PUNCT
ejde-666	301	45	if	if	SCONJ
ejde-666	301	46	ηi(x	ηi(x	NUM
ejde-666	301	47	)	)	PUNCT
ejde-666	301	48	>	>	X
ejde-666	302	1	0	0	NUM
ejde-666	302	2	,	,	PUNCT
ejde-666	302	3	δxi	δxi	ADJ
ejde-666	302	4	,	,	PUNCT
ejde-666	302	5	hi	hi	INTJ
ejde-666	302	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	302	7	)	)	PUNCT
ejde-666	302	8	if	if	SCONJ
ejde-666	302	9	ηi(x	ηi(x	NUM
ejde-666	302	10	)	)	PUNCT
ejde-666	303	1	=	=	SYM
ejde-666	303	2	0	0	PUNCT
ejde-666	303	3	to	to	PART
ejde-666	303	4	ensure	ensure	VERB
ejde-666	303	5	that	that	SCONJ
ejde-666	303	6	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	303	7	hu(x	hu(x	ADV
ejde-666	303	8	)	)	PUNCT
ejde-666	303	9	·	·	PUNCT
ejde-666	303	10	η	η	PROPN
ejde-666	303	11	does	do	AUX
ejde-666	303	12	not	not	PART
ejde-666	303	13	require	require	VERB
ejde-666	303	14	points	point	NOUN
ejde-666	303	15	outside	outside	ADV
ejde-666	303	16	of	of	ADP
ejde-666	303	17	the	the	DET
ejde-666	303	18	domain	domain	NOUN
ejde-666	303	19	ω	ω	PROPN
ejde-666	303	20	.	.	PUNCT
ejde-666	304	1	note	note	VERB
ejde-666	304	2	that	that	SCONJ
ejde-666	304	3	the	the	DET
ejde-666	304	4	discrete	discrete	NOUN
ejde-666	304	5	outward	outward	VERB
ejde-666	304	6	normal	normal	ADJ
ejde-666	304	7	derivative	derivative	ADJ
ejde-666	304	8	approximation	approximation	NOUN
ejde-666	304	9	is	be	AUX
ejde-666	304	10	only	only	ADV
ejde-666	304	11	first	first	ADJ
ejde-666	304	12	order	order	NOUN
ejde-666	304	13	accurate	accurate	ADJ
ejde-666	304	14	.	.	PUNCT
ejde-666	305	1	next	next	ADV
ejde-666	305	2	,	,	PUNCT
ejde-666	305	3	we	we	PRON
ejde-666	305	4	define	define	VERB
ejde-666	305	5	the	the	DET
ejde-666	305	6	second	second	ADJ
ejde-666	305	7	order	order	NOUN
ejde-666	305	8	central	central	ADJ
ejde-666	305	9	difference	difference	NOUN
ejde-666	305	10	operators	operator	NOUN
ejde-666	305	11	for	for	ADP
ejde-666	305	12	approximating	approximate	VERB
ejde-666	305	13	second	second	ADJ
ejde-666	305	14	order	order	NOUN
ejde-666	305	15	nonmixed	nonmixe	VERB
ejde-666	305	16	partial	partial	ADJ
ejde-666	305	17	derivatives	derivative	NOUN
ejde-666	305	18	∂2	∂2	PROPN
ejde-666	305	19	∂x2	∂x2	NOUN
ejde-666	305	20	i	i	PRON
ejde-666	305	21	u(x	u(x	VERB
ejde-666	305	22	)	)	PUNCT
ejde-666	305	23	by	by	ADP
ejde-666	305	24	δ2xi	δ2xi	ADV
ejde-666	305	25	,	,	PUNCT
ejde-666	305	26	hi	hi	INTJ
ejde-666	305	27	u(x	u(x	PROPN
ejde-666	305	28	)	)	PUNCT
ejde-666	305	29	:	:	PUNCT
ejde-666	305	30	=	=	SYM
ejde-666	305	31	δ±xi	δ±xi	PROPN
ejde-666	305	32	,	,	PUNCT
ejde-666	305	33	hi	hi	INTJ
ejde-666	305	34	(	(	PUNCT
ejde-666	305	35	δ∓xi	δ∓xi	PROPN
ejde-666	305	36	,	,	PUNCT
ejde-666	305	37	hi	hi	INTJ
ejde-666	305	38	(	(	PUNCT
ejde-666	305	39	u(x	u(x	NOUN
ejde-666	305	40	)	)	PUNCT
ejde-666	305	41	)	)	PUNCT
ejde-666	305	42	)	)	PUNCT
ejde-666	306	1	=	=	SYM
ejde-666	307	1	u(x+	u(x+	ADJ
ejde-666	307	2	hiei)−	hiei)−	NOUN
ejde-666	307	3	2u(x	2u(x	NUM
ejde-666	307	4	)	)	PUNCT
ejde-666	308	1	+	+	CCONJ
ejde-666	308	2	u(x−	u(x−	PROPN
ejde-666	308	3	hiei	hiei	PROPN
ejde-666	308	4	)	)	PUNCT
ejde-666	308	5	h2i	h2i	PROPN
ejde-666	308	6	(	(	PUNCT
ejde-666	308	7	4.4	4.4	NUM
ejde-666	308	8	)	)	PUNCT
ejde-666	308	9	for	for	ADP
ejde-666	308	10	the	the	DET
ejde-666	308	11	function	function	NOUN
ejde-666	308	12	u	u	NOUN
ejde-666	308	13	:	:	PUNCT
ejde-666	308	14	rn	rn	PROPN
ejde-666	308	15	→	→	SYM
ejde-666	308	16	r	r	NOUN
ejde-666	308	17	and	and	CCONJ
ejde-666	308	18	δ2xi	δ2xi	ADV
ejde-666	308	19	,	,	PUNCT
ejde-666	308	20	hi	hi	INTJ
ejde-666	308	21	uh(xα	uh(xα	ADJ
ejde-666	308	22	)	)	PUNCT
ejde-666	308	23	:	:	PUNCT
ejde-666	308	24	=	=	PUNCT
ejde-666	308	25	uh(xα+ei)−	uh(xα+ei)−	NOUN
ejde-666	308	26	2uh(xα	2uh(xα	NUM
ejde-666	308	27	)	)	PUNCT
ejde-666	308	28	+	+	CCONJ
ejde-666	308	29	uh(xα−ei	uh(xα−ei	NOUN
ejde-666	308	30	)	)	PUNCT
ejde-666	308	31	h2i	h2i	NOUN
ejde-666	308	32	(	(	PUNCT
ejde-666	308	33	4.5	4.5	NUM
ejde-666	308	34	)	)	PUNCT
ejde-666	308	35	for	for	ADP
ejde-666	308	36	all	all	PRON
ejde-666	308	37	xα	xα	ADP
ejde-666	308	38	∈	∈	ADV
ejde-666	308	39	th	th	X
ejde-666	308	40	∩ω	∩ω	NOUN
ejde-666	308	41	for	for	ADP
ejde-666	308	42	the	the	DET
ejde-666	308	43	grid	grid	NOUN
ejde-666	308	44	function	function	NOUN
ejde-666	308	45	uh	uh	INTJ
ejde-666	308	46	:	:	PUNCT
ejde-666	308	47	th	th	PROPN
ejde-666	308	48	→	→	SYM
ejde-666	308	49	r.	r.	PROPN
ejde-666	308	50	finally	finally	ADV
ejde-666	308	51	,	,	PUNCT
ejde-666	308	52	we	we	PRON
ejde-666	308	53	define	define	VERB
ejde-666	308	54	the	the	DET
ejde-666	308	55	second	second	ADJ
ejde-666	308	56	order	order	NOUN
ejde-666	308	57	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	308	58	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-666	308	59	operator	operator	NOUN
ejde-666	308	60	∆h	∆h	PROPN
ejde-666	308	61	by	by	ADP
ejde-666	308	62	∆h	∆h	PROPN
ejde-666	308	63	:	:	PUNCT
ejde-666	308	64	=	=	SYM
ejde-666	308	65	n∑	n∑	PROPN
ejde-666	308	66	i=1	i=1	PROPN
ejde-666	308	67	δ2xi	δ2xi	PUNCT
ejde-666	308	68	,	,	PUNCT
ejde-666	308	69	hi	hi	INTJ
ejde-666	308	70	.	.	PUNCT
ejde-666	309	1	in	in	ADP
ejde-666	309	2	this	this	DET
ejde-666	309	3	section	section	NOUN
ejde-666	309	4	we	we	PRON
ejde-666	309	5	use	use	VERB
ejde-666	309	6	the	the	DET
ejde-666	309	7	following	follow	VERB
ejde-666	309	8	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	309	9	problem	problem	NOUN
ejde-666	309	10	to	to	PART
ejde-666	309	11	approximate	approximate	VERB
ejde-666	309	12	the	the	DET
ejde-666	309	13	solutions	solution	NOUN
ejde-666	309	14	to	to	ADP
ejde-666	309	15	(	(	PUNCT
ejde-666	309	16	4.1	4.1	NUM
ejde-666	309	17	)	)	PUNCT
ejde-666	309	18	.	.	PUNCT
ejde-666	310	1	here	here	ADV
ejde-666	310	2	the	the	DET
ejde-666	310	3	grid	grid	NOUN
ejde-666	310	4	functions	function	NOUN
ejde-666	310	5	ui	ui	PROPN
ejde-666	310	6	,	,	PUNCT
ejde-666	310	7	h	h	PROPN
ejde-666	310	8	are	be	AUX
ejde-666	310	9	an	an	DET
ejde-666	310	10	approximation	approximation	NOUN
ejde-666	310	11	for	for	ADP
ejde-666	310	12	ui	ui	PROPN
ejde-666	310	13	over	over	ADP
ejde-666	310	14	the	the	DET
ejde-666	310	15	grid	grid	NOUN
ejde-666	310	16	th	th	X
ejde-666	310	17	for	for	ADP
ejde-666	310	18	i	i	PRON
ejde-666	310	19	=	=	NOUN
ejde-666	310	20	1	1	NUM
ejde-666	310	21	,	,	PUNCT
ejde-666	310	22	2	2	NUM
ejde-666	310	23	:	:	PUNCT
ejde-666	310	24	−∆hu1,h	−∆hu1,h	X
ejde-666	310	25	+	+	CCONJ
ejde-666	310	26	u1,h	u1,h	PROPN
ejde-666	310	27	=	=	SYM
ejde-666	310	28	0	0	NUM
ejde-666	310	29	in	in	ADP
ejde-666	310	30	th	th	NUM
ejde-666	310	31	∩	∩	PROPN
ejde-666	310	32	ω	ω	NOUN
ejde-666	310	33	,	,	PUNCT
ejde-666	310	34	−∆hu2,h	−∆hu2,h	PUNCT
ejde-666	310	35	+	+	PUNCT
ejde-666	311	1	u2,h	u2,h	SYM
ejde-666	311	2	=	=	SYM
ejde-666	311	3	0	0	NUM
ejde-666	311	4	in	in	ADP
ejde-666	311	5	th	th	NUM
ejde-666	311	6	∩	∩	PROPN
ejde-666	311	7	ω	ω	PROPN
ejde-666	311	8	,	,	PUNCT
ejde-666	311	9	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	311	10	hu1,h	hu1,h	PROPN
ejde-666	311	11	·	·	PUNCT
ejde-666	311	12	η	η	PROPN
ejde-666	311	13	−	−	ADP
ejde-666	311	14	λf1(u1,h	λf1(u1,h	NOUN
ejde-666	311	15	,	,	PUNCT
ejde-666	311	16	u2,h	u2,h	PUNCT
ejde-666	311	17	)	)	PUNCT
ejde-666	311	18	=	=	SYM
ejde-666	311	19	0	0	NUM
ejde-666	311	20	on	on	ADP
ejde-666	311	21	th	th	NUM
ejde-666	311	22	∩	∩	ADJ
ejde-666	311	23	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	311	24	,	,	PUNCT
ejde-666	311	25	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	311	26	hu2,h	hu2,h	PROPN
ejde-666	311	27	·	·	PUNCT
ejde-666	311	28	η	η	PROPN
ejde-666	311	29	−	−	PROPN
ejde-666	311	30	λf2(u1,h	λf2(u1,h	NOUN
ejde-666	311	31	,	,	PUNCT
ejde-666	311	32	u2,h	u2,h	PROPN
ejde-666	311	33	)	)	PUNCT
ejde-666	311	34	=	=	SYM
ejde-666	311	35	0	0	NUM
ejde-666	311	36	on	on	ADP
ejde-666	311	37	th	th	NUM
ejde-666	311	38	∩	∩	ADJ
ejde-666	311	39	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	311	40	.	.	PUNCT
ejde-666	312	1	(	(	PUNCT
ejde-666	312	2	4.6	4.6	NUM
ejde-666	312	3	)	)	PUNCT
ejde-666	312	4	remark	remark	NOUN
ejde-666	312	5	4.1	4.1	NUM
ejde-666	312	6	.	.	PUNCT
ejde-666	313	1	note	note	VERB
ejde-666	313	2	that	that	SCONJ
ejde-666	313	3	we	we	PRON
ejde-666	313	4	are	be	AUX
ejde-666	313	5	eliminating	eliminate	VERB
ejde-666	313	6	the	the	DET
ejde-666	313	7	set	set	NOUN
ejde-666	313	8	of	of	ADP
ejde-666	313	9	points	point	NOUN
ejde-666	313	10	(	(	PUNCT
ejde-666	313	11	a	a	DET
ejde-666	313	12	set	set	NOUN
ejde-666	313	13	with	with	ADP
ejde-666	313	14	measure	measure	NOUN
ejde-666	313	15	0	0	NUM
ejde-666	313	16	)	)	PUNCT
ejde-666	313	17	where	where	SCONJ
ejde-666	313	18	the	the	DET
ejde-666	313	19	outward	outward	ADJ
ejde-666	313	20	normal	normal	ADJ
ejde-666	313	21	derivative	derivative	NOUN
ejde-666	313	22	is	be	AUX
ejde-666	313	23	not	not	PART
ejde-666	313	24	defined	define	VERB
ejde-666	313	25	.	.	PUNCT
ejde-666	314	1	once	once	ADV
ejde-666	314	2	uh	uh	INTJ
ejde-666	314	3	is	be	AUX
ejde-666	314	4	defined	define	VERB
ejde-666	314	5	over	over	ADP
ejde-666	314	6	th∩(ω∪	th∩(ω∪	PROPN
ejde-666	314	7	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	314	8	)	)	PUNCT
ejde-666	314	9	,	,	PUNCT
ejde-666	314	10	it	it	PRON
ejde-666	314	11	can	can	AUX
ejde-666	314	12	be	be	AUX
ejde-666	314	13	extended	extend	VERB
ejde-666	314	14	to	to	ADP
ejde-666	314	15	th	th	NUM
ejde-666	314	16	in	in	ADP
ejde-666	314	17	post	post	ADJ
ejde-666	314	18	-	-	ADJ
ejde-666	314	19	processing	processing	NOUN
ejde-666	314	20	.	.	PUNCT
ejde-666	315	1	4.2	4.2	NUM
ejde-666	315	2	.	.	PUNCT
ejde-666	315	3	existence	existence	NOUN
ejde-666	315	4	and	and	CCONJ
ejde-666	315	5	stability	stability	NOUN
ejde-666	315	6	.	.	PUNCT
ejde-666	316	1	we	we	PRON
ejde-666	316	2	use	use	VERB
ejde-666	316	3	sub	sub	NOUN
ejde-666	316	4	and	and	CCONJ
ejde-666	316	5	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	316	6	theory	theory	NOUN
ejde-666	316	7	in	in	ADP
ejde-666	316	8	the	the	DET
ejde-666	316	9	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	316	10	setting	setting	NOUN
ejde-666	316	11	to	to	PART
ejde-666	316	12	prove	prove	VERB
ejde-666	316	13	existence	existence	NOUN
ejde-666	316	14	and	and	CCONJ
ejde-666	316	15	stability	stability	NOUN
ejde-666	316	16	results	result	NOUN
ejde-666	316	17	for	for	ADP
ejde-666	316	18	solutions	solution	NOUN
ejde-666	316	19	to	to	ADP
ejde-666	316	20	(	(	PUNCT
ejde-666	316	21	4.6	4.6	NUM
ejde-666	316	22	)	)	PUNCT
ejde-666	316	23	.	.	PUNCT
ejde-666	317	1	first	first	ADV
ejde-666	317	2	,	,	PUNCT
ejde-666	317	3	we	we	PRON
ejde-666	317	4	define	define	VERB
ejde-666	317	5	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	317	6	sub	sub	NOUN
ejde-666	317	7	and	and	CCONJ
ejde-666	317	8	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	317	9	of	of	ADP
ejde-666	317	10	(	(	PUNCT
ejde-666	317	11	4.6	4.6	NUM
ejde-666	317	12	)	)	PUNCT
ejde-666	317	13	.	.	PUNCT
ejde-666	318	1	we	we	PRON
ejde-666	318	2	say	say	VERB
ejde-666	318	3	uh	uh	INTJ
ejde-666	318	4	=	=	SYM
ejde-666	318	5	(	(	PUNCT
ejde-666	318	6	u1,h	u1,h	PROPN
ejde-666	318	7	,	,	PUNCT
ejde-666	318	8	u2,h	u2,h	PROPN
ejde-666	318	9	)	)	PUNCT
ejde-666	318	10	is	be	AUX
ejde-666	318	11	a	a	DET
ejde-666	318	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	318	13	of	of	ADP
ejde-666	318	14	(	(	PUNCT
ejde-666	318	15	4.6	4.6	NUM
ejde-666	318	16	)	)	PUNCT
ejde-666	318	17	if	if	SCONJ
ejde-666	318	18	it	it	PRON
ejde-666	318	19	satisfies	satisfy	VERB
ejde-666	318	20	the	the	DET
ejde-666	318	21	following	follow	VERB
ejde-666	318	22	conditions	condition	NOUN
ejde-666	318	23	:	:	PUNCT
ejde-666	319	1	−∆hu1,h	−∆hu1,h	X
ejde-666	319	2	+	+	CCONJ
ejde-666	319	3	u1,h	u1,h	PROPN
ejde-666	319	4	≤	≤	NOUN
ejde-666	319	5	0	0	NUM
ejde-666	319	6	in	in	ADP
ejde-666	319	7	th	th	NUM
ejde-666	319	8	∩	∩	PROPN
ejde-666	319	9	ω	ω	NOUN
ejde-666	319	10	,	,	PUNCT
ejde-666	319	11	−∆hu2,h	−∆hu2,h	PUNCT
ejde-666	319	12	+	+	PUNCT
ejde-666	319	13	u2,h	u2,h	SYM
ejde-666	319	14	≤	≤	NOUN
ejde-666	319	15	0	0	NUM
ejde-666	319	16	in	in	ADP
ejde-666	319	17	th	th	NUM
ejde-666	319	18	∩	∩	PROPN
ejde-666	319	19	ω	ω	PROPN
ejde-666	319	20	,	,	PUNCT
ejde-666	319	21	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	319	22	hu1,h	hu1,h	PROPN
ejde-666	319	23	·	·	PUNCT
ejde-666	319	24	η	η	PROPN
ejde-666	319	25	−	−	ADP
ejde-666	319	26	λf1(u1,h	λf1(u1,h	NOUN
ejde-666	319	27	,	,	PUNCT
ejde-666	319	28	u2,h	u2,h	SYM
ejde-666	319	29	)	)	PUNCT
ejde-666	319	30	≤	≤	NOUN
ejde-666	319	31	0	0	NUM
ejde-666	320	1	on	on	ADP
ejde-666	320	2	th	th	NUM
ejde-666	320	3	∩	∩	ADJ
ejde-666	320	4	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	320	5	,	,	PUNCT
ejde-666	320	6	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	320	7	hu2,h	hu2,h	PROPN
ejde-666	320	8	·	·	PUNCT
ejde-666	320	9	η	η	PROPN
ejde-666	320	10	−	−	PROPN
ejde-666	320	11	λf2(u1,h	λf2(u1,h	NOUN
ejde-666	320	12	,	,	PUNCT
ejde-666	320	13	u2,h	u2,h	PROPN
ejde-666	320	14	)	)	PUNCT
ejde-666	320	15	≤	≤	NOUN
ejde-666	320	16	0	0	NUM
ejde-666	320	17	on	on	ADP
ejde-666	320	18	th	th	NUM
ejde-666	320	19	∩	∩	ADJ
ejde-666	320	20	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	320	21	.	.	PUNCT
ejde-666	321	1	(	(	PUNCT
ejde-666	321	2	4.7	4.7	NUM
ejde-666	321	3	)	)	PUNCT
ejde-666	321	4	we	we	PRON
ejde-666	321	5	can	can	AUX
ejde-666	321	6	define	define	VERB
ejde-666	321	7	the	the	DET
ejde-666	321	8	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	321	9	uh	uh	INTJ
ejde-666	321	10	=	=	SYM
ejde-666	321	11	(	(	PUNCT
ejde-666	321	12	u1,h	u1,h	PROPN
ejde-666	321	13	,	,	PUNCT
ejde-666	321	14	u2,h	u2,h	PROPN
ejde-666	321	15	)	)	PUNCT
ejde-666	321	16	by	by	ADP
ejde-666	321	17	reversing	reverse	VERB
ejde-666	321	18	the	the	DET
ejde-666	321	19	inequalities	inequality	NOUN
ejde-666	321	20	in	in	ADP
ejde-666	321	21	(	(	PUNCT
ejde-666	321	22	4.7	4.7	NUM
ejde-666	321	23	)	)	PUNCT
ejde-666	321	24	.	.	PUNCT
ejde-666	322	1	we	we	PRON
ejde-666	322	2	focus	focus	VERB
ejde-666	322	3	on	on	ADP
ejde-666	322	4	proving	prove	VERB
ejde-666	322	5	the	the	DET
ejde-666	322	6	existence	existence	NOUN
ejde-666	322	7	and	and	CCONJ
ejde-666	322	8	stability	stability	NOUN
ejde-666	322	9	of	of	ADP
ejde-666	322	10	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	322	11	solutions	solution	NOUN
ejde-666	322	12	to	to	ADP
ejde-666	322	13	(	(	PUNCT
ejde-666	322	14	4.6	4.6	NUM
ejde-666	322	15	)	)	PUNCT
ejde-666	322	16	.	.	PUNCT
ejde-666	323	1	step	step	NOUN
ejde-666	323	2	1	1	NUM
ejde-666	323	3	.	.	PUNCT
ejde-666	324	1	constructing	construct	VERB
ejde-666	324	2	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	324	3	sub	sub	NOUN
ejde-666	324	4	and	and	CCONJ
ejde-666	324	5	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	324	6	of	of	ADP
ejde-666	324	7	(	(	PUNCT
ejde-666	324	8	4.6	4.6	NUM
ejde-666	324	9	)	)	PUNCT
ejde-666	324	10	.	.	PUNCT
ejde-666	325	1	it	it	PRON
ejde-666	325	2	is	be	AUX
ejde-666	325	3	clear	clear	ADJ
ejde-666	325	4	that	that	SCONJ
ejde-666	325	5	φ	φ	X
ejde-666	325	6	:	:	PUNCT
ejde-666	325	7	=	=	SYM
ejde-666	325	8	(	(	PUNCT
ejde-666	325	9	0	0	NUM
ejde-666	325	10	,	,	PUNCT
ejde-666	325	11	0	0	NUM
ejde-666	325	12	)	)	PUNCT
ejde-666	325	13	is	be	AUX
ejde-666	325	14	a	a	DET
ejde-666	325	15	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	325	16	of	of	ADP
ejde-666	325	17	(	(	PUNCT
ejde-666	325	18	4.6	4.6	NUM
ejde-666	325	19	)	)	PUNCT
ejde-666	325	20	since	since	SCONJ
ejde-666	325	21	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	325	22	)	)	PUNCT
ejde-666	325	23	≥	≥	NOUN
ejde-666	325	24	0	0	NUM
ejde-666	325	25	for	for	ADP
ejde-666	325	26	i	i	PRON
ejde-666	325	27	=	=	NOUN
ejde-666	325	28	1	1	NUM
ejde-666	325	29	,	,	PUNCT
ejde-666	325	30	2	2	NUM
ejde-666	325	31	.	.	PUNCT
ejde-666	325	32	to	to	PART
ejde-666	325	33	construct	construct	VERB
ejde-666	325	34	a	a	DET
ejde-666	325	35	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	325	36	of	of	ADP
ejde-666	325	37	(	(	PUNCT
ejde-666	325	38	4.6	4.6	NUM
ejde-666	325	39	)	)	PUNCT
ejde-666	325	40	,	,	PUNCT
ejde-666	325	41	let	let	VERB
ejde-666	325	42	us	we	PRON
ejde-666	325	43	define	define	VERB
ejde-666	325	44	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	325	45	existence	existence	NOUN
ejde-666	325	46	of	of	ADP
ejde-666	325	47	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	325	48	and	and	CCONJ
ejde-666	325	49	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	325	50	weak	weak	ADJ
ejde-666	325	51	solutions	solution	NOUN
ejde-666	325	52	11	11	NUM
ejde-666	325	53	mi	mi	NOUN
ejde-666	325	54	:	:	PUNCT
ejde-666	325	55	=	=	SYM
ejde-666	326	1	ai+bi	ai+bi	PROPN
ejde-666	326	2	2	2	NUM
ejde-666	326	3	for	for	ADP
ejde-666	326	4	i	i	PRON
ejde-666	326	5	=	=	NOUN
ejde-666	326	6	1	1	NUM
ejde-666	326	7	,	,	PUNCT
ejde-666	326	8	2	2	NUM
ejde-666	326	9	,	,	PUNCT
ejde-666	326	10	.	.	PUNCT
ejde-666	326	11	.	.	PUNCT
ejde-666	326	12	.	.	PUNCT
ejde-666	327	1	,	,	PUNCT
ejde-666	327	2	n	n	X
ejde-666	327	3	to	to	PART
ejde-666	327	4	be	be	AUX
ejde-666	327	5	the	the	DET
ejde-666	327	6	midpoint	midpoint	NOUN
ejde-666	327	7	of	of	ADP
ejde-666	327	8	the	the	DET
ejde-666	327	9	domain	domain	NOUN
ejde-666	327	10	ω	ω	NOUN
ejde-666	327	11	along	along	ADP
ejde-666	327	12	the	the	DET
ejde-666	327	13	xi	xi	PROPN
ejde-666	327	14	direction	direction	NOUN
ejde-666	327	15	,	,	PUNCT
ejde-666	327	16	and	and	CCONJ
ejde-666	327	17	,	,	PUNCT
ejde-666	327	18	for	for	ADP
ejde-666	327	19	some	some	DET
ejde-666	327	20	c≫	c≫	ADJ
ejde-666	327	21	1	1	NUM
ejde-666	327	22	specified	specify	VERB
ejde-666	327	23	later	later	ADV
ejde-666	327	24	,	,	PUNCT
ejde-666	327	25	define	define	VERB
ejde-666	327	26	the	the	DET
ejde-666	327	27	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-666	327	28	function	function	NOUN
ejde-666	327	29	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-666	327	30	:	:	PUNCT
ejde-666	327	31	ω	ω	PROPN
ejde-666	327	32	→	→	SYM
ejde-666	327	33	r	r	NOUN
ejde-666	327	34	as	as	SCONJ
ejde-666	327	35	follows	follow	VERB
ejde-666	327	36	:	:	PUNCT
ejde-666	327	37	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	327	38	)	)	PUNCT
ejde-666	328	1	:	:	PUNCT
ejde-666	329	1	=	=	PUNCT
ejde-666	329	2	c	c	X
ejde-666	329	3	n∑	n∑	NOUN
ejde-666	329	4	i=1	i=1	X
ejde-666	330	1	[	[	X
ejde-666	330	2	(	(	PUNCT
ejde-666	330	3	xi	xi	ADP
ejde-666	330	4	−mi	−mi	NOUN
ejde-666	330	5	)	)	PUNCT
ejde-666	330	6	2	2	NUM
ejde-666	331	1	+	+	CCONJ
ejde-666	331	2	4	4	NUM
ejde-666	331	3	]	]	PUNCT
ejde-666	331	4	.	.	PUNCT
ejde-666	332	1	(	(	PUNCT
ejde-666	332	2	4.8	4.8	NUM
ejde-666	332	3	)	)	PUNCT
ejde-666	332	4	clearly	clearly	ADV
ejde-666	332	5	,	,	PUNCT
ejde-666	332	6	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	332	7	)	)	PUNCT
ejde-666	332	8	≥	≥	PROPN
ejde-666	332	9	4cn	4cn	NOUN
ejde-666	332	10	on	on	ADP
ejde-666	332	11	ω	ω	PROPN
ejde-666	332	12	.	.	PUNCT
ejde-666	332	13	observe	observe	VERB
ejde-666	332	14	that	that	SCONJ
ejde-666	332	15	∂2	∂2	ADJ
ejde-666	332	16	∂x2	∂x2	NOUN
ejde-666	332	17	i	i	PRON
ejde-666	332	18	ϕ(x	ϕ(x	VERB
ejde-666	332	19	)	)	PUNCT
ejde-666	333	1	=	=	SYM
ejde-666	333	2	2c	2c	NOUN
ejde-666	333	3	.	.	PUNCT
ejde-666	334	1	since	since	SCONJ
ejde-666	334	2	the	the	DET
ejde-666	334	3	operators	operator	NOUN
ejde-666	334	4	δ2xi	δ2xi	PUNCT
ejde-666	334	5	,	,	PUNCT
ejde-666	334	6	hi	hi	INTJ
ejde-666	334	7	are	be	AUX
ejde-666	334	8	exact	exact	ADJ
ejde-666	334	9	for	for	ADP
ejde-666	334	10	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-666	334	11	functions	function	NOUN
ejde-666	334	12	,	,	PUNCT
ejde-666	334	13	we	we	PRON
ejde-666	334	14	have	have	VERB
ejde-666	334	15	−∆hϕ(x	−∆hϕ(x	NUM
ejde-666	334	16	)	)	PUNCT
ejde-666	334	17	+	+	CCONJ
ejde-666	334	18	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	334	19	)	)	PUNCT
ejde-666	334	20	=	=	PUNCT
ejde-666	334	21	−∆ϕ(x	−∆ϕ(x	X
ejde-666	334	22	)	)	PUNCT
ejde-666	334	23	+	+	CCONJ
ejde-666	334	24	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	334	25	)	)	PUNCT
ejde-666	335	1	=	=	SYM
ejde-666	336	1	−2cn	−2cn	PROPN
ejde-666	337	1	+	+	NUM
ejde-666	337	2	c	c	X
ejde-666	337	3	n∑	n∑	X
ejde-666	338	1	i=1	i=1	PROPN
ejde-666	338	2	(	(	PUNCT
ejde-666	338	3	xi	xi	ADP
ejde-666	338	4	−mi	−mi	PROPN
ejde-666	338	5	)	)	PUNCT
ejde-666	338	6	2	2	NUM
ejde-666	339	1	+	+	CCONJ
ejde-666	339	2	4cn	4cn	NOUN
ejde-666	339	3	=	=	PUNCT
ejde-666	340	1	2cn	2cn	NOUN
ejde-666	341	1	+	+	PUNCT
ejde-666	341	2	c	c	X
ejde-666	341	3	n∑	n∑	X
ejde-666	342	1	i=1	i=1	PROPN
ejde-666	342	2	(	(	PUNCT
ejde-666	342	3	xi	xi	ADP
ejde-666	342	4	−mi	−mi	PROPN
ejde-666	342	5	)	)	PUNCT
ejde-666	342	6	2	2	NUM
ejde-666	342	7	>	>	SYM
ejde-666	342	8	0	0	NUM
ejde-666	342	9	(	(	PUNCT
ejde-666	342	10	4.9	4.9	NUM
ejde-666	342	11	)	)	PUNCT
ejde-666	343	1	for	for	ADP
ejde-666	343	2	all	all	DET
ejde-666	343	3	x	x	SYM
ejde-666	343	4	∈	∈	PROPN
ejde-666	343	5	th	th	X
ejde-666	343	6	∩ω	∩ω	NOUN
ejde-666	343	7	.	.	PUNCT
ejde-666	344	1	choose	choose	VERB
ejde-666	344	2	x	x	PUNCT
ejde-666	344	3	∈	∈	PROPN
ejde-666	344	4	th	th	X
ejde-666	344	5	∩	∩	NOUN
ejde-666	344	6	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	344	7	,	,	PUNCT
ejde-666	344	8	and	and	CCONJ
ejde-666	344	9	define	define	VERB
ejde-666	344	10	hi	hi	PROPN
ejde-666	344	11	=	=	SYM
ejde-666	344	12	mi	mi	PROPN
ejde-666	344	13	−	−	PROPN
ejde-666	344	14	ai	ai	PROPN
ejde-666	344	15	=	=	NOUN
ejde-666	344	16	bi−ai	bi−ai	ADJ
ejde-666	344	17	2	2	NUM
ejde-666	344	18	.	.	PUNCT
ejde-666	345	1	suppose	suppose	VERB
ejde-666	345	2	xi	xi	X
ejde-666	345	3	=	=	SYM
ejde-666	345	4	ai	ai	PROPN
ejde-666	345	5	.	.	PUNCT
ejde-666	346	1	then	then	ADV
ejde-666	346	2	η	η	PROPN
ejde-666	346	3	=	=	SYM
ejde-666	346	4	−ei	−ei	PROPN
ejde-666	346	5	,	,	PUNCT
ejde-666	346	6	and	and	CCONJ
ejde-666	346	7	by	by	ADP
ejde-666	346	8	the	the	DET
ejde-666	346	9	convexity	convexity	NOUN
ejde-666	346	10	of	of	ADP
ejde-666	346	11	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-666	346	12	,	,	PUNCT
ejde-666	346	13	we	we	PRON
ejde-666	346	14	have	have	VERB
ejde-666	346	15	∇∗	∇∗	NOUN
ejde-666	346	16	hϕ(x	hϕ(x	X
ejde-666	346	17	)	)	PUNCT
ejde-666	346	18	·	·	PUNCT
ejde-666	347	1	η	η	PROPN
ejde-666	347	2	=	=	SYM
ejde-666	347	3	−δ+xi	−δ+xi	PROPN
ejde-666	347	4	,	,	PUNCT
ejde-666	347	5	hi	hi	INTJ
ejde-666	347	6	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	347	7	)	)	PUNCT
ejde-666	347	8	≥	≥	NOUN
ejde-666	347	9	−δ+xi	−δ+xi	PROPN
ejde-666	347	10	,	,	PUNCT
ejde-666	347	11	hi	hi	INTJ
ejde-666	347	12	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	347	13	)	)	PUNCT
ejde-666	347	14	=	=	SYM
ejde-666	347	15	−ϕ(x+hiei)−	−ϕ(x+hiei)−	NOUN
ejde-666	347	16	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-666	347	17	)	)	PUNCT
ejde-666	347	18	hi	hi	INTJ
ejde-666	348	1	=	=	X
ejde-666	348	2	−c(ai	−c(ai	NOUN
ejde-666	349	1	+	+	NOUN
ejde-666	349	2	hi	hi	INTJ
ejde-666	349	3	−mi	−mi	NOUN
ejde-666	349	4	)	)	PUNCT
ejde-666	349	5	2	2	NUM
ejde-666	350	1	+	+	CCONJ
ejde-666	350	2	4	4	NUM
ejde-666	350	3	+	+	NUM
ejde-666	350	4	c(ai	c(ai	NUM
ejde-666	350	5	−mi	−mi	NOUN
ejde-666	350	6	)	)	PUNCT
ejde-666	350	7	2	2	NUM
ejde-666	350	8	−	−	NOUN
ejde-666	350	9	4	4	NUM
ejde-666	350	10	hi	hi	INTJ
ejde-666	350	11	=	=	SYM
ejde-666	350	12	c	c	NOUN
ejde-666	350	13	bi	bi	NOUN
ejde-666	350	14	−	−	PROPN
ejde-666	350	15	ai	ai	VERB
ejde-666	350	16	2	2	NUM
ejde-666	350	17	.	.	PUNCT
ejde-666	351	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	351	2	,	,	PUNCT
ejde-666	351	3	if	if	SCONJ
ejde-666	351	4	xi	xi	PROPN
ejde-666	351	5	=	=	SYM
ejde-666	351	6	bi	bi	NOUN
ejde-666	351	7	,	,	PUNCT
ejde-666	351	8	then	then	ADV
ejde-666	351	9	,	,	PUNCT
ejde-666	351	10	η	η	PROPN
ejde-666	351	11	=	=	PROPN
ejde-666	351	12	ei	ei	PROPN
ejde-666	351	13	,	,	PUNCT
ejde-666	351	14	and	and	CCONJ
ejde-666	351	15	by	by	ADP
ejde-666	351	16	the	the	DET
ejde-666	351	17	convexity	convexity	NOUN
ejde-666	351	18	of	of	ADP
ejde-666	351	19	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	351	20	)	)	PUNCT
ejde-666	351	21	it	it	PRON
ejde-666	351	22	holds	hold	VERB
ejde-666	351	23	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	351	24	hi	hi	PROPN
ejde-666	351	25	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	351	26	)	)	PUNCT
ejde-666	351	27	·	·	PUNCT
ejde-666	351	28	η	η	X
ejde-666	351	29	=	=	SYM
ejde-666	351	30	δ−xi	δ−xi	PROPN
ejde-666	351	31	,	,	PUNCT
ejde-666	351	32	hi	hi	INTJ
ejde-666	351	33	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	351	34	)	)	PUNCT
ejde-666	351	35	≥	≥	NOUN
ejde-666	351	36	δ−xi	δ−xi	NOUN
ejde-666	351	37	,	,	PUNCT
ejde-666	351	38	hi	hi	INTJ
ejde-666	351	39	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	351	40	)	)	PUNCT
ejde-666	352	1	=	=	SYM
ejde-666	352	2	ϕ(x)−	ϕ(x)−	PROPN
ejde-666	352	3	ϕ(x−hiei	ϕ(x−hiei	PROPN
ejde-666	352	4	)	)	PUNCT
ejde-666	352	5	hi	hi	INTJ
ejde-666	353	1	=	=	SYM
ejde-666	353	2	c(bi	c(bi	PROPN
ejde-666	353	3	−mi	−mi	NOUN
ejde-666	353	4	)	)	PUNCT
ejde-666	353	5	2	2	NUM
ejde-666	354	1	+	+	SYM
ejde-666	354	2	4−	4−	NUM
ejde-666	354	3	c(bi	c(bi	NOUN
ejde-666	354	4	−hi	−hi	PRON
ejde-666	354	5	−mi	−mi	NOUN
ejde-666	354	6	)	)	PUNCT
ejde-666	354	7	2	2	NUM
ejde-666	354	8	−	−	NOUN
ejde-666	354	9	4	4	NUM
ejde-666	354	10	hi	hi	INTJ
ejde-666	354	11	=	=	SYM
ejde-666	354	12	c	c	NOUN
ejde-666	354	13	bi	bi	NOUN
ejde-666	354	14	−	−	PROPN
ejde-666	354	15	ai	ai	VERB
ejde-666	354	16	2	2	NUM
ejde-666	354	17	.	.	PUNCT
ejde-666	355	1	observe	observe	VERB
ejde-666	355	2	that	that	SCONJ
ejde-666	355	3	∥(ϕ(x	∥(ϕ(x	ADV
ejde-666	355	4	)	)	PUNCT
ejde-666	355	5	,	,	PUNCT
ejde-666	355	6	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	PROPN
ejde-666	355	7	≥	≥	NOUN
ejde-666	355	8	8cn	8cn	NOUN
ejde-666	356	1	→	→	PUNCT
ejde-666	356	2	∞	∞	PROPN
ejde-666	356	3	as	as	ADP
ejde-666	356	4	c→	c→	PROPN
ejde-666	356	5	∞.	∞.	PROPN
ejde-666	356	6	furthermore	furthermore	ADV
ejde-666	356	7	,	,	PUNCT
ejde-666	356	8	∥(ϕ(x	∥(ϕ(x	ADV
ejde-666	356	9	)	)	PUNCT
ejde-666	356	10	,	,	PUNCT
ejde-666	356	11	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	NOUN
ejde-666	356	12	≤	≤	NOUN
ejde-666	356	13	cm	cm	NOUN
ejde-666	356	14	,	,	PUNCT
ejde-666	356	15	where	where	SCONJ
ejde-666	356	16	m	m	VERB
ejde-666	356	17	=	=	SYM
ejde-666	356	18	2	2	NUM
ejde-666	356	19	(	(	PUNCT
ejde-666	356	20	∑n	∑n	PROPN
ejde-666	356	21	i=1	i=1	PROPN
ejde-666	356	22	4h	4h	NOUN
ejde-666	356	23	2	2	NUM
ejde-666	356	24	i	i	NOUN
ejde-666	356	25	+	+	CCONJ
ejde-666	356	26	4n	4n	NOUN
ejde-666	356	27	)	)	PUNCT
ejde-666	356	28	.	.	PUNCT
ejde-666	357	1	hence	hence	ADV
ejde-666	357	2	,	,	PUNCT
ejde-666	357	3	by	by	ADP
ejde-666	357	4	the	the	DET
ejde-666	357	5	sublinearity	sublinearity	NOUN
ejde-666	357	6	of	of	ADP
ejde-666	357	7	fi	fi	NOUN
ejde-666	357	8	,	,	PUNCT
ejde-666	357	9	0	0	NUM
ejde-666	357	10	≤	≤	NUM
ejde-666	357	11	fi(ϕ(x	fi(ϕ(x	PROPN
ejde-666	357	12	)	)	PUNCT
ejde-666	357	13	,	,	PUNCT
ejde-666	357	14	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	357	15	)	)	PUNCT
ejde-666	357	16	)	)	PUNCT
ejde-666	357	17	∥(ϕ(x	∥(ϕ(x	ADV
ejde-666	357	18	)	)	PUNCT
ejde-666	357	19	,	,	PUNCT
ejde-666	357	20	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	PROPN
ejde-666	357	21	≤	≤	PROPN
ejde-666	357	22	fi(cm	fi(cm	PROPN
ejde-666	357	23	,	,	PUNCT
ejde-666	357	24	cm	cm	NOUN
ejde-666	357	25	)	)	PUNCT
ejde-666	357	26	8cn	8cn	NOUN
ejde-666	358	1	=	=	PUNCT
ejde-666	358	2	m	m	VERB
ejde-666	358	3	8n	8n	PROPN
ejde-666	358	4	fi(cm	fi(cm	PROPN
ejde-666	358	5	,	,	PUNCT
ejde-666	358	6	cm	cm	NOUN
ejde-666	358	7	)	)	PUNCT
ejde-666	358	8	cm	cm	NOUN
ejde-666	358	9	→	→	SYM
ejde-666	358	10	0	0	PUNCT
ejde-666	358	11	as	as	SCONJ
ejde-666	358	12	c→	c→	PROPN
ejde-666	358	13	∞	∞	PROPN
ejde-666	358	14	since	since	SCONJ
ejde-666	358	15	m	m	PROPN
ejde-666	358	16	8n	8n	NOUN
ejde-666	358	17	is	be	AUX
ejde-666	358	18	a	a	DET
ejde-666	358	19	constant	constant	ADJ
ejde-666	358	20	independent	independent	NOUN
ejde-666	358	21	of	of	ADP
ejde-666	358	22	c.	c.	PROPN
ejde-666	358	23	therefore	therefore	ADV
ejde-666	358	24	,	,	PUNCT
ejde-666	358	25	there	there	PRON
ejde-666	358	26	exists	exist	VERB
ejde-666	358	27	c≫	c≫	ADJ
ejde-666	358	28	1	1	NUM
ejde-666	358	29	such	such	ADJ
ejde-666	358	30	that	that	SCONJ
ejde-666	358	31	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	358	32	hϕ(x	hϕ(x	X
ejde-666	358	33	)	)	PUNCT
ejde-666	358	34	·	·	PUNCT
ejde-666	358	35	η	η	PROPN
ejde-666	358	36	(	(	PUNCT
ejde-666	358	37	∥(ϕ(x	∥(ϕ(x	PROPN
ejde-666	358	38	)	)	PUNCT
ejde-666	358	39	,	,	PUNCT
ejde-666	358	40	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	NUM
ejde-666	358	41	)	)	PUNCT
ejde-666	358	42	≥	≥	NOUN
ejde-666	359	1	c(bi	c(bi	PRON
ejde-666	359	2	−	−	NOUN
ejde-666	359	3	ai	ai	NOUN
ejde-666	359	4	)	)	PUNCT
ejde-666	359	5	2(∥(ϕ(x	2(∥(ϕ(x	NUM
ejde-666	359	6	)	)	PUNCT
ejde-666	359	7	,	,	PUNCT
ejde-666	359	8	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	NUM
ejde-666	359	9	)	)	PUNCT
ejde-666	359	10	≥	≥	PROPN
ejde-666	360	1	bi	bi	NOUN
ejde-666	360	2	−	−	PROPN
ejde-666	360	3	ai	ai	VERB
ejde-666	360	4	(	(	PUNCT
ejde-666	360	5	∑n	∑n	PROPN
ejde-666	360	6	k=1	k=1	PROPN
ejde-666	361	1	4h	4h	NOUN
ejde-666	361	2	2	2	NUM
ejde-666	361	3	k	k	NOUN
ejde-666	361	4	+	+	CCONJ
ejde-666	361	5	4n	4n	NOUN
ejde-666	361	6	)	)	PUNCT
ejde-666	361	7	>	>	X
ejde-666	361	8	λfj(ϕ(x	λfj(ϕ(x	PROPN
ejde-666	361	9	)	)	PUNCT
ejde-666	361	10	,	,	PUNCT
ejde-666	361	11	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	361	12	)	)	PUNCT
ejde-666	361	13	)	)	PUNCT
ejde-666	362	1	∥(ϕ(x	∥(ϕ(x	ADV
ejde-666	362	2	)	)	PUNCT
ejde-666	362	3	,	,	PUNCT
ejde-666	362	4	ϕ(x))∥1	ϕ(x))∥1	PROPN
ejde-666	362	5	(	(	PUNCT
ejde-666	362	6	4.10	4.10	NUM
ejde-666	362	7	)	)	PUNCT
ejde-666	362	8	for	for	ADP
ejde-666	362	9	j	j	PROPN
ejde-666	362	10	=	=	SYM
ejde-666	362	11	1	1	NUM
ejde-666	362	12	,	,	PUNCT
ejde-666	362	13	2	2	NUM
ejde-666	362	14	.	.	PUNCT
ejde-666	362	15	thus	thus	ADV
ejde-666	362	16	,	,	PUNCT
ejde-666	362	17	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	362	18	hϕ(x	hϕ(x	NUM
ejde-666	362	19	)	)	PUNCT
ejde-666	362	20	·	·	PUNCT
ejde-666	362	21	η	η	X
ejde-666	362	22	≥	≥	X
ejde-666	362	23	λfj(ϕ(x	λfj(ϕ(x	PROPN
ejde-666	362	24	)	)	PUNCT
ejde-666	362	25	,	,	PUNCT
ejde-666	362	26	ϕ(x	ϕ(x	PROPN
ejde-666	362	27	)	)	PUNCT
ejde-666	362	28	)	)	PUNCT
ejde-666	362	29	for	for	ADP
ejde-666	362	30	all	all	DET
ejde-666	362	31	x	x	SYM
ejde-666	362	32	∈	∈	PROPN
ejde-666	362	33	∂̃ω	∂̃ω	NOUN
ejde-666	362	34	and	and	CCONJ
ejde-666	362	35	for	for	ADP
ejde-666	362	36	j	j	PROPN
ejde-666	362	37	=	=	SYM
ejde-666	362	38	1	1	NUM
ejde-666	362	39	,	,	PUNCT
ejde-666	362	40	2	2	NUM
ejde-666	362	41	.	.	PUNCT
ejde-666	362	42	finally	finally	ADV
ejde-666	362	43	,	,	PUNCT
ejde-666	362	44	combining	combine	VERB
ejde-666	362	45	(	(	PUNCT
ejde-666	362	46	4.9	4.9	NUM
ejde-666	362	47	)	)	PUNCT
ejde-666	362	48	and	and	CCONJ
ejde-666	362	49	(	(	PUNCT
ejde-666	362	50	4.10	4.10	NUM
ejde-666	362	51	)	)	PUNCT
ejde-666	362	52	,	,	PUNCT
ejde-666	362	53	we	we	PRON
ejde-666	362	54	conclude	conclude	VERB
ejde-666	362	55	that	that	PRON
ejde-666	362	56	(	(	PUNCT
ejde-666	362	57	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-666	362	58	)	)	PUNCT
ejde-666	362	59	,	,	PUNCT
ejde-666	362	60	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	362	61	)	)	PUNCT
ejde-666	362	62	)	)	PUNCT
ejde-666	362	63	is	be	AUX
ejde-666	362	64	a	a	DET
ejde-666	362	65	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	362	66	of	of	ADP
ejde-666	362	67	(	(	PUNCT
ejde-666	362	68	4.6	4.6	NUM
ejde-666	362	69	)	)	PUNCT
ejde-666	362	70	.	.	PUNCT
ejde-666	363	1	12	12	NUM
ejde-666	363	2	s.	s.	PROPN
ejde-666	363	3	bandyopadhyay	bandyopadhyay	PROPN
ejde-666	363	4	,	,	PUNCT
ejde-666	363	5	t.	t.	PROPN
ejde-666	363	6	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	363	7	,	,	PUNCT
ejde-666	363	8	n.	n.	PROPN
ejde-666	363	9	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	363	10	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	363	11	step	step	NOUN
ejde-666	363	12	2	2	NUM
ejde-666	363	13	.	.	PUNCT
ejde-666	363	14	forming	form	VERB
ejde-666	363	15	a	a	DET
ejde-666	363	16	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	363	17	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	363	18	.	.	PUNCT
ejde-666	364	1	let	let	VERB
ejde-666	364	2	us	we	PRON
ejde-666	364	3	assume	assume	VERB
ejde-666	364	4	the	the	DET
ejde-666	364	5	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	364	6	terms	term	NOUN
ejde-666	364	7	f1	f1	PROPN
ejde-666	364	8	,	,	PUNCT
ejde-666	364	9	f2	f2	PROPN
ejde-666	364	10	are	be	AUX
ejde-666	364	11	lipschitz	lipschitz	ADJ
ejde-666	364	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-666	364	13	and	and	CCONJ
ejde-666	364	14	let	let	VERB
ejde-666	364	15	u	u	PRON
ejde-666	364	16	(	(	PUNCT
ejde-666	364	17	0	0	NUM
ejde-666	364	18	)	)	PUNCT
ejde-666	365	1	h	h	PRON
ejde-666	365	2	be	be	AUX
ejde-666	365	3	a	a	DET
ejde-666	365	4	discrete	discrete	ADJ
ejde-666	365	5	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	365	6	of	of	ADP
ejde-666	365	7	(	(	PUNCT
ejde-666	365	8	4.6	4.6	NUM
ejde-666	365	9	)	)	PUNCT
ejde-666	365	10	.	.	PUNCT
ejde-666	366	1	consider	consider	VERB
ejde-666	366	2	the	the	DET
ejde-666	366	3	fixed	fix	VERB
ejde-666	366	4	point	point	NOUN
ejde-666	366	5	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	366	6	u	u	PROPN
ejde-666	366	7	(	(	PUNCT
ejde-666	366	8	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	366	9	)	)	PUNCT
ejde-666	366	10	h	h	NOUN
ejde-666	366	11	=	=	PUNCT
ejde-666	366	12	mku	mku	PROPN
ejde-666	366	13	(	(	PUNCT
ejde-666	366	14	n	n	CCONJ
ejde-666	366	15	)	)	PUNCT
ejde-666	366	16	h	h	NOUN
ejde-666	366	17	(	(	PUNCT
ejde-666	366	18	4.11	4.11	NUM
ejde-666	366	19	)	)	PUNCT
ejde-666	366	20	for	for	ADP
ejde-666	366	21	all	all	DET
ejde-666	366	22	n	n	PRON
ejde-666	366	23	≥	≥	NOUN
ejde-666	366	24	0	0	NUM
ejde-666	366	25	,	,	PUNCT
ejde-666	366	26	where	where	SCONJ
ejde-666	366	27	k	k	PROPN
ejde-666	366	28	is	be	AUX
ejde-666	366	29	the	the	DET
ejde-666	366	30	maximum	maximum	NOUN
ejde-666	366	31	of	of	ADP
ejde-666	366	32	the	the	DET
ejde-666	366	33	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-666	366	34	constants	constant	NOUN
ejde-666	366	35	for	for	ADP
ejde-666	366	36	f1	f1	NOUN
ejde-666	366	37	,	,	PUNCT
ejde-666	366	38	f2	f2	PROPN
ejde-666	366	39	in	in	ADP
ejde-666	366	40	(	(	PUNCT
ejde-666	366	41	4.1	4.1	NUM
ejde-666	366	42	)	)	PUNCT
ejde-666	366	43	and	and	CCONJ
ejde-666	366	44	mk	mk	PROPN
ejde-666	366	45	is	be	AUX
ejde-666	366	46	defined	define	VERB
ejde-666	366	47	such	such	ADJ
ejde-666	366	48	that	that	DET
ejde-666	366	49	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	366	50	(	(	PUNCT
ejde-666	366	51	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	366	52	)	)	PUNCT
ejde-666	366	53	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	367	1	+	+	CCONJ
ejde-666	367	2	u	u	NOUN
ejde-666	367	3	(	(	PUNCT
ejde-666	367	4	n+1	n+1	PROPN
ejde-666	367	5	)	)	PUNCT
ejde-666	367	6	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	367	7	+	+	CCONJ
ejde-666	367	8	λku	λku	X
ejde-666	367	9	(	(	PUNCT
ejde-666	367	10	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	367	11	)	)	PUNCT
ejde-666	367	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	367	13	=	=	SYM
ejde-666	367	14	λku	λku	X
ejde-666	367	15	(	(	PUNCT
ejde-666	367	16	n	n	CCONJ
ejde-666	367	17	)	)	PUNCT
ejde-666	367	18	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	367	19	in	in	ADP
ejde-666	367	20	th	th	NUM
ejde-666	367	21	∩	∩	ADJ
ejde-666	367	22	ω	ω	NOUN
ejde-666	367	23	,	,	PUNCT
ejde-666	367	24	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	367	25	(	(	PUNCT
ejde-666	367	26	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	367	27	)	)	PUNCT
ejde-666	367	28	2,h	2,h	NUM
ejde-666	368	1	+	+	CCONJ
ejde-666	368	2	u	u	NOUN
ejde-666	368	3	(	(	PUNCT
ejde-666	368	4	n+1	n+1	PROPN
ejde-666	368	5	)	)	PUNCT
ejde-666	368	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	369	1	+	+	CCONJ
ejde-666	369	2	λku	λku	X
ejde-666	369	3	(	(	PUNCT
ejde-666	369	4	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	369	5	)	)	PUNCT
ejde-666	369	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	370	1	=	=	PUNCT
ejde-666	370	2	λku	λku	X
ejde-666	370	3	(	(	PUNCT
ejde-666	370	4	n	n	CCONJ
ejde-666	370	5	)	)	PUNCT
ejde-666	370	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	370	7	in	in	ADP
ejde-666	370	8	th	th	NUM
ejde-666	370	9	∩	∩	ADJ
ejde-666	370	10	ω	ω	PROPN
ejde-666	370	11	,	,	PUNCT
ejde-666	370	12	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	370	13	hu	hu	PROPN
ejde-666	370	14	(	(	PUNCT
ejde-666	370	15	n+1	n+1	PROPN
ejde-666	370	16	)	)	PUNCT
ejde-666	370	17	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	370	18	·	·	PUNCT
ejde-666	370	19	η	η	PROPN
ejde-666	370	20	+	+	CCONJ
ejde-666	370	21	λku	λku	X
ejde-666	370	22	(	(	PUNCT
ejde-666	370	23	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	370	24	)	)	PUNCT
ejde-666	370	25	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	370	26	=	=	SYM
ejde-666	370	27	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	370	28	(	(	PUNCT
ejde-666	370	29	n	n	CCONJ
ejde-666	370	30	)	)	PUNCT
ejde-666	370	31	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	370	32	,	,	PUNCT
ejde-666	370	33	u	u	NOUN
ejde-666	370	34	(	(	PUNCT
ejde-666	370	35	n	n	CCONJ
ejde-666	370	36	)	)	PUNCT
ejde-666	370	37	2,h	2,h	NUM
ejde-666	370	38	)	)	PUNCT
ejde-666	371	1	+	+	CCONJ
ejde-666	371	2	λku	λku	X
ejde-666	371	3	(	(	PUNCT
ejde-666	371	4	n	n	CCONJ
ejde-666	371	5	)	)	PUNCT
ejde-666	371	6	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	371	7	on	on	ADP
ejde-666	371	8	th	th	NUM
ejde-666	371	9	∩	∩	ADJ
ejde-666	371	10	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	371	11	,	,	PUNCT
ejde-666	371	12	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	371	13	hu	hu	PROPN
ejde-666	371	14	(	(	PUNCT
ejde-666	371	15	n+1	n+1	PROPN
ejde-666	371	16	)	)	PUNCT
ejde-666	371	17	2,h	2,h	NUM
ejde-666	371	18	·	·	PUNCT
ejde-666	371	19	η	η	PROPN
ejde-666	371	20	+	+	CCONJ
ejde-666	371	21	λku	λku	X
ejde-666	371	22	(	(	PUNCT
ejde-666	371	23	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	371	24	)	)	PUNCT
ejde-666	371	25	2,h	2,h	NUM
ejde-666	372	1	=	=	SYM
ejde-666	372	2	λf2(u	λf2(u	PROPN
ejde-666	372	3	(	(	PUNCT
ejde-666	372	4	n	n	CCONJ
ejde-666	372	5	)	)	PUNCT
ejde-666	372	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	372	7	,	,	PUNCT
ejde-666	372	8	u	u	NOUN
ejde-666	372	9	(	(	PUNCT
ejde-666	372	10	n	n	CCONJ
ejde-666	372	11	)	)	PUNCT
ejde-666	372	12	2,h	2,h	NUM
ejde-666	372	13	)	)	PUNCT
ejde-666	373	1	+	+	CCONJ
ejde-666	373	2	λku	λku	X
ejde-666	373	3	(	(	PUNCT
ejde-666	373	4	n	n	CCONJ
ejde-666	373	5	)	)	PUNCT
ejde-666	373	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	373	7	on	on	ADP
ejde-666	373	8	th	th	NUM
ejde-666	373	9	∩	∩	ADJ
ejde-666	373	10	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	373	11	.	.	PUNCT
ejde-666	374	1	(	(	PUNCT
ejde-666	374	2	4.12	4.12	NUM
ejde-666	374	3	)	)	PUNCT
ejde-666	374	4	before	before	SCONJ
ejde-666	374	5	we	we	PRON
ejde-666	374	6	proceed	proceed	VERB
ejde-666	374	7	with	with	ADP
ejde-666	374	8	the	the	DET
ejde-666	374	9	following	following	NOUN
ejde-666	374	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	374	11	,	,	PUNCT
ejde-666	374	12	let	let	VERB
ejde-666	374	13	us	we	PRON
ejde-666	374	14	write	write	VERB
ejde-666	374	15	the	the	DET
ejde-666	374	16	above	above	ADJ
ejde-666	374	17	mapping	mapping	NOUN
ejde-666	374	18	on	on	ADP
ejde-666	374	19	grid	grid	NOUN
ejde-666	374	20	functions	function	NOUN
ejde-666	374	21	as	as	ADP
ejde-666	374	22	an	an	DET
ejde-666	374	23	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-666	374	24	transformation	transformation	NOUN
ejde-666	374	25	for	for	ADP
ejde-666	374	26	vectors	vector	NOUN
ejde-666	374	27	.	.	PUNCT
ejde-666	375	1	let	let	VERB
ejde-666	375	2	j0	j0	PROPN
ejde-666	375	3	=	=	SYM
ejde-666	375	4	|th	|th	PROPN
ejde-666	375	5	∩	∩	X
ejde-666	375	6	(	(	PUNCT
ejde-666	375	7	ω	ω	X
ejde-666	375	8	∪	∪	X
ejde-666	375	9	(	(	PUNCT
ejde-666	375	10	∂̃ω))|	∂̃ω))|	NOUN
ejde-666	375	11	and	and	CCONJ
ejde-666	375	12	u	u	PROPN
ejde-666	375	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	375	14	r2j0	r2j0	NOUN
ejde-666	375	15	denote	denote	VERB
ejde-666	375	16	the	the	DET
ejde-666	375	17	vectorization	vectorization	NOUN
ejde-666	375	18	of	of	ADP
ejde-666	375	19	the	the	DET
ejde-666	375	20	grid	grid	NOUN
ejde-666	375	21	function	function	NOUN
ejde-666	375	22	uh	uh	INTJ
ejde-666	375	23	.	.	PUNCT
ejde-666	376	1	notationally	notationally	PROPN
ejde-666	376	2	,	,	PUNCT
ejde-666	376	3	the	the	DET
ejde-666	376	4	i	i	NOUN
ejde-666	376	5	subscript	subscript	NOUN
ejde-666	376	6	will	will	AUX
ejde-666	376	7	correspond	correspond	VERB
ejde-666	376	8	to	to	ADP
ejde-666	376	9	grid	grid	NOUN
ejde-666	376	10	function	function	NOUN
ejde-666	376	11	values	value	NOUN
ejde-666	376	12	in	in	ADP
ejde-666	376	13	th	th	NUM
ejde-666	376	14	∩	∩	ADJ
ejde-666	376	15	ω	ω	PROPN
ejde-666	376	16	and	and	CCONJ
ejde-666	376	17	the	the	DET
ejde-666	376	18	b	b	NOUN
ejde-666	376	19	subscript	subscript	NOUN
ejde-666	376	20	will	will	AUX
ejde-666	376	21	correspond	correspond	VERB
ejde-666	376	22	to	to	ADP
ejde-666	376	23	grid	grid	NOUN
ejde-666	376	24	function	function	NOUN
ejde-666	376	25	values	value	NOUN
ejde-666	376	26	in	in	ADP
ejde-666	376	27	th	th	NOUN
ejde-666	376	28	∩	∩	ADJ
ejde-666	376	29	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	376	30	.	.	PUNCT
ejde-666	377	1	then	then	ADV
ejde-666	377	2	,	,	PUNCT
ejde-666	377	3	(	(	PUNCT
ejde-666	377	4	4.12	4.12	NUM
ejde-666	377	5	)	)	PUNCT
ejde-666	377	6	is	be	AUX
ejde-666	377	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-666	377	8	to	to	PART
ejde-666	377	9	mu(n+1	mu(n+1	VERB
ejde-666	377	10	)	)	PUNCT
ejde-666	378	1	=	=	SYM
ejde-666	378	2	λf(u(n	λf(u(n	NOUN
ejde-666	378	3	)	)	PUNCT
ejde-666	378	4	)	)	PUNCT
ejde-666	378	5	,	,	PUNCT
ejde-666	378	6	(	(	PUNCT
ejde-666	378	7	4.13	4.13	X
ejde-666	378	8	)	)	PUNCT
ejde-666	378	9	where	where	SCONJ
ejde-666	378	10	m	m	NOUN
ejde-666	378	11	=	=	SYM
ejde-666	378	12			NOUN
ejde-666	378	13	li	li	NOUN
ejde-666	378	14	0	0	PROPN
ejde-666	379	1	lb	lb	PRON
ejde-666	379	2	0	0	NUM
ejde-666	379	3	0	0	NUM
ejde-666	379	4	li	li	NOUN
ejde-666	379	5	0	0	NUM
ejde-666	380	1	lb	lb	NUM
ejde-666	380	2	bi	bi	NOUN
ejde-666	380	3	0	0	NUM
ejde-666	380	4	bb	bb	NOUN
ejde-666	380	5	0	0	NUM
ejde-666	380	6	0	0	NUM
ejde-666	381	1	bi	bi	NOUN
ejde-666	381	2	0	0	NUM
ejde-666	381	3	bb	bb	NUM
ejde-666	381	4			PROPN
ejde-666	381	5	,	,	PUNCT
ejde-666	381	6	u	u	NOUN
ejde-666	381	7	=	=	NOUN
ejde-666	381	8			NOUN
ejde-666	381	9	u1,i	u1,i	VERB
ejde-666	382	1	u2,i	u2,i	PROPN
ejde-666	382	2	u1,b	u1,b	PROPN
ejde-666	382	3	u2,b	u2,b	PROPN
ejde-666	382	4			NOUN
ejde-666	382	5	,	,	PUNCT
ejde-666	382	6	f	f	PROPN
ejde-666	382	7	=	=	NOUN
ejde-666	382	8			NOUN
ejde-666	382	9	f1,i	f1,i	VERB
ejde-666	382	10	f2,i	f2,i	PROPN
ejde-666	382	11	f1,b	f1,b	PROPN
ejde-666	382	12	f2,b	f2,b	PROPN
ejde-666	382	13			NOUN
ejde-666	382	14	for	for	ADP
ejde-666	382	15	li	li	PROPN
ejde-666	382	16	and	and	CCONJ
ejde-666	382	17	lb	lb	NUM
ejde-666	382	18	matrices	matrix	NOUN
ejde-666	382	19	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	382	20	to	to	ADP
ejde-666	382	21	−∆h+(1+λk)i	−∆h+(1+λk)i	PROPN
ejde-666	382	22	;	;	PUNCT
ejde-666	382	23	bi	bi	NOUN
ejde-666	382	24	and	and	CCONJ
ejde-666	382	25	bb	bb	NUM
ejde-666	382	26	matrices	matrix	NOUN
ejde-666	382	27	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	382	28	to	to	ADP
ejde-666	382	29	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	382	30	h	h	PROPN
ejde-666	382	31	·	·	PUNCT
ejde-666	382	32	η	η	PROPN
ejde-666	383	1	+	+	X
ejde-666	383	2	λki	λki	ADJ
ejde-666	383	3	;	;	PUNCT
ejde-666	383	4	fi	fi	NOUN
ejde-666	383	5	,	,	PUNCT
ejde-666	383	6	i	i	PRON
ejde-666	383	7	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	383	8	to	to	ADP
ejde-666	383	9	λk	λk	PRON
ejde-666	383	10	for	for	ADP
ejde-666	383	11	i	i	PRON
ejde-666	383	12	=	=	NOUN
ejde-666	383	13	1	1	NUM
ejde-666	383	14	,	,	PUNCT
ejde-666	383	15	2	2	NUM
ejde-666	383	16	;	;	PUNCT
ejde-666	383	17	and	and	CCONJ
ejde-666	383	18	fi	fi	NOUN
ejde-666	383	19	,	,	PUNCT
ejde-666	383	20	b	b	NOUN
ejde-666	383	21	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	383	22	to	to	ADP
ejde-666	383	23	λfi(u1,u2	λfi(u1,u2	PROPN
ejde-666	383	24	)	)	PUNCT
ejde-666	384	1	+	+	CCONJ
ejde-666	384	2	λk	λk	X
ejde-666	384	3	for	for	ADP
ejde-666	384	4	i	i	PRON
ejde-666	384	5	=	=	NOUN
ejde-666	384	6	1	1	NUM
ejde-666	384	7	,	,	PUNCT
ejde-666	384	8	2	2	NUM
ejde-666	384	9	.	.	PUNCT
ejde-666	384	10	clearly	clearly	ADV
ejde-666	384	11	,	,	PUNCT
ejde-666	384	12	m	m	VERB
ejde-666	384	13	is	be	AUX
ejde-666	384	14	diagonally	diagonally	ADV
ejde-666	384	15	dominant	dominant	ADJ
ejde-666	384	16	since	since	SCONJ
ejde-666	384	17	it	it	PRON
ejde-666	384	18	is	be	AUX
ejde-666	384	19	positive	positive	ADJ
ejde-666	384	20	on	on	ADP
ejde-666	384	21	the	the	DET
ejde-666	384	22	diagonal	diagonal	ADJ
ejde-666	384	23	,	,	PUNCT
ejde-666	384	24	non	non	ADJ
ejde-666	384	25	-	-	ADJ
ejde-666	384	26	positive	positive	ADJ
ejde-666	384	27	for	for	ADP
ejde-666	384	28	all	all	DET
ejde-666	384	29	off	off	ADP
ejde-666	384	30	-	-	PUNCT
ejde-666	384	31	diagonal	diagonal	ADJ
ejde-666	384	32	terms	term	NOUN
ejde-666	384	33	,	,	PUNCT
ejde-666	384	34	and	and	CCONJ
ejde-666	384	35	the	the	DET
ejde-666	384	36	row	row	NOUN
ejde-666	384	37	sum	sum	NOUN
ejde-666	384	38	is	be	AUX
ejde-666	384	39	positive	positive	ADJ
ejde-666	384	40	.	.	PUNCT
ejde-666	385	1	hence	hence	ADV
ejde-666	385	2	,	,	PUNCT
ejde-666	385	3	m	m	VERB
ejde-666	385	4	is	be	AUX
ejde-666	385	5	a	a	DET
ejde-666	385	6	z	z	NOUN
ejde-666	385	7	-	-	NOUN
ejde-666	385	8	matrix	matrix	NOUN
ejde-666	385	9	,	,	PUNCT
ejde-666	385	10	and	and	CCONJ
ejde-666	385	11	by	by	ADP
ejde-666	385	12	gershgorin	gershgorin	PROPN
ejde-666	385	13	’s	’s	PART
ejde-666	385	14	circle	circle	PROPN
ejde-666	385	15	theorem	theorem	PROPN
ejde-666	385	16	,	,	PUNCT
ejde-666	385	17	m	m	VERB
ejde-666	385	18	is	be	AUX
ejde-666	385	19	non	non	ADJ
ejde-666	385	20	-	-	ADJ
ejde-666	385	21	singular	singular	ADJ
ejde-666	385	22	since	since	SCONJ
ejde-666	385	23	the	the	DET
ejde-666	385	24	real	real	ADJ
ejde-666	385	25	part	part	NOUN
ejde-666	385	26	of	of	ADP
ejde-666	385	27	all	all	PRON
ejde-666	385	28	of	of	ADP
ejde-666	385	29	its	its	PRON
ejde-666	385	30	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-666	385	31	are	be	AUX
ejde-666	385	32	always	always	ADV
ejde-666	385	33	positive	positive	ADJ
ejde-666	385	34	.	.	PUNCT
ejde-666	386	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	386	2	,	,	PUNCT
ejde-666	386	3	it	it	PRON
ejde-666	386	4	follows	follow	VERB
ejde-666	386	5	that	that	SCONJ
ejde-666	386	6	m	m	PROPN
ejde-666	386	7	is	be	AUX
ejde-666	386	8	a	a	DET
ejde-666	386	9	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	386	10	matrix	matrix	NOUN
ejde-666	386	11	.	.	PUNCT
ejde-666	387	1	remark	remark	VERB
ejde-666	387	2	4.2	4.2	NUM
ejde-666	387	3	.	.	PUNCT
ejde-666	388	1	notice	notice	VERB
ejde-666	388	2	that	that	SCONJ
ejde-666	388	3	the	the	DET
ejde-666	388	4	iteration	iteration	NOUN
ejde-666	388	5	(	(	PUNCT
ejde-666	388	6	4.12	4.12	NUM
ejde-666	388	7	)	)	PUNCT
ejde-666	388	8	is	be	AUX
ejde-666	388	9	well	well	ADV
ejde-666	388	10	defined	define	VERB
ejde-666	388	11	and	and	CCONJ
ejde-666	388	12	fi(s1	fi(s1	NOUN
ejde-666	388	13	,	,	PUNCT
ejde-666	388	14	s2	s2	PROPN
ejde-666	388	15	)	)	PUNCT
ejde-666	389	1	+	+	NOUN
ejde-666	389	2	ksi	ksi	PROPN
ejde-666	389	3	is	be	AUX
ejde-666	389	4	increasing	increase	VERB
ejde-666	389	5	in	in	ADP
ejde-666	389	6	s1	s1	NOUN
ejde-666	389	7	and	and	CCONJ
ejde-666	389	8	s2	s2	VERB
ejde-666	389	9	for	for	ADP
ejde-666	389	10	i	i	PRON
ejde-666	389	11	=	=	NOUN
ejde-666	389	12	1	1	NUM
ejde-666	389	13	,	,	PUNCT
ejde-666	389	14	2	2	NUM
ejde-666	389	15	.	.	X
ejde-666	389	16	theorem	theorem	VERB
ejde-666	389	17	4.3	4.3	NUM
ejde-666	389	18	.	.	PUNCT
ejde-666	390	1	let	let	VERB
ejde-666	390	2	uh	uh	INTJ
ejde-666	390	3	=	=	X
ejde-666	390	4	(	(	PUNCT
ejde-666	390	5	u1,h	u1,h	PROPN
ejde-666	390	6	,	,	PUNCT
ejde-666	390	7	u2,h	u2,h	PROPN
ejde-666	390	8	)	)	PUNCT
ejde-666	390	9	be	be	AUX
ejde-666	390	10	a	a	DET
ejde-666	390	11	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	390	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	390	13	of	of	ADP
ejde-666	390	14	(	(	PUNCT
ejde-666	390	15	4.6	4.6	NUM
ejde-666	390	16	)	)	PUNCT
ejde-666	390	17	and	and	CCONJ
ejde-666	390	18	u	u	X
ejde-666	390	19	(	(	PUNCT
ejde-666	390	20	0	0	NUM
ejde-666	390	21	)	)	PUNCT
ejde-666	390	22	h	h	NOUN
ejde-666	390	23	=	=	SYM
ejde-666	390	24	(	(	PUNCT
ejde-666	390	25	u	u	NOUN
ejde-666	390	26	(	(	PUNCT
ejde-666	390	27	0	0	NUM
ejde-666	390	28	)	)	PUNCT
ejde-666	390	29	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	390	30	,	,	PUNCT
ejde-666	390	31	u	u	NOUN
ejde-666	390	32	(	(	PUNCT
ejde-666	390	33	0	0	NUM
ejde-666	390	34	)	)	PUNCT
ejde-666	390	35	2,h	2,h	NUM
ejde-666	390	36	)	)	PUNCT
ejde-666	390	37	be	be	AUX
ejde-666	390	38	a	a	DET
ejde-666	390	39	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	390	40	of	of	ADP
ejde-666	390	41	(	(	PUNCT
ejde-666	390	42	4.6	4.6	NUM
ejde-666	390	43	)	)	PUNCT
ejde-666	390	44	such	such	ADJ
ejde-666	390	45	that	that	DET
ejde-666	390	46	u	u	NOUN
ejde-666	390	47	(	(	PUNCT
ejde-666	390	48	0	0	NUM
ejde-666	390	49	)	)	PUNCT
ejde-666	390	50	h	h	NOUN
ejde-666	390	51	≥	≥	NOUN
ejde-666	391	1	uh	uh	INTJ
ejde-666	391	2	.	.	PUNCT
ejde-666	392	1	then	then	ADV
ejde-666	392	2	,	,	PUNCT
ejde-666	392	3	u	u	NOUN
ejde-666	392	4	(	(	PUNCT
ejde-666	392	5	1	1	NUM
ejde-666	392	6	)	)	PUNCT
ejde-666	392	7	h	h	NOUN
ejde-666	392	8	=	=	SYM
ejde-666	392	9	(	(	PUNCT
ejde-666	392	10	u	u	NOUN
ejde-666	392	11	(	(	PUNCT
ejde-666	392	12	1	1	NUM
ejde-666	392	13	)	)	PUNCT
ejde-666	392	14	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	392	15	,	,	PUNCT
ejde-666	392	16	u	u	NOUN
ejde-666	392	17	(	(	PUNCT
ejde-666	392	18	1	1	NUM
ejde-666	392	19	)	)	PUNCT
ejde-666	392	20	2,h	2,h	NUM
ejde-666	392	21	)	)	PUNCT
ejde-666	392	22	=	=	X
ejde-666	392	23	mku	mku	NOUN
ejde-666	392	24	(	(	PUNCT
ejde-666	392	25	0	0	NUM
ejde-666	392	26	)	)	PUNCT
ejde-666	392	27	h	h	NOUN
ejde-666	392	28	is	be	AUX
ejde-666	392	29	a	a	DET
ejde-666	392	30	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	392	31	of	of	ADP
ejde-666	392	32	(	(	PUNCT
ejde-666	392	33	4.6	4.6	NUM
ejde-666	392	34	)	)	PUNCT
ejde-666	392	35	with	with	ADP
ejde-666	392	36	uh	uh	INTJ
ejde-666	392	37	≤	≤	NUM
ejde-666	392	38	u	u	NOUN
ejde-666	392	39	(	(	PUNCT
ejde-666	392	40	1	1	NUM
ejde-666	392	41	)	)	PUNCT
ejde-666	392	42	h	h	NOUN
ejde-666	392	43	≤	≤	NOUN
ejde-666	392	44	u	u	SYM
ejde-666	392	45	(	(	PUNCT
ejde-666	392	46	0	0	NUM
ejde-666	392	47	)	)	PUNCT
ejde-666	392	48	h	h	NOUN
ejde-666	392	49	.	.	PUNCT
ejde-666	393	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	393	2	.	.	PUNCT
ejde-666	394	1	observe	observe	VERB
ejde-666	394	2	that	that	SCONJ
ejde-666	394	3	,	,	PUNCT
ejde-666	394	4	by	by	ADP
ejde-666	394	5	the	the	DET
ejde-666	394	6	definition	definition	NOUN
ejde-666	394	7	of	of	ADP
ejde-666	394	8	mk	mk	PROPN
ejde-666	394	9	described	describe	VERB
ejde-666	394	10	in	in	ADP
ejde-666	394	11	(	(	PUNCT
ejde-666	394	12	4.12	4.12	NUM
ejde-666	394	13	)	)	PUNCT
ejde-666	394	14	,	,	PUNCT
ejde-666	394	15	for	for	ADP
ejde-666	394	16	i	i	PROPN
ejde-666	394	17	=	=	SYM
ejde-666	394	18	1	1	NUM
ejde-666	394	19	,	,	PUNCT
ejde-666	394	20	2	2	NUM
ejde-666	394	21	in	in	ADP
ejde-666	394	22	th	th	NUM
ejde-666	394	23	∩	∩	ADJ
ejde-666	394	24	ω	ω	NOUN
ejde-666	394	25	,	,	PUNCT
ejde-666	394	26	we	we	PRON
ejde-666	394	27	have	have	VERB
ejde-666	394	28	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	394	29	(	(	PUNCT
ejde-666	394	30	1	1	X
ejde-666	394	31	)	)	PUNCT
ejde-666	394	32	i	i	PRON
ejde-666	394	33	,	,	PUNCT
ejde-666	394	34	h	h	PROPN
ejde-666	395	1	+	+	NUM
ejde-666	395	2	u	u	NOUN
ejde-666	395	3	(	(	PUNCT
ejde-666	395	4	1	1	NUM
ejde-666	395	5	)	)	PUNCT
ejde-666	395	6	i	i	PRON
ejde-666	395	7	,	,	PUNCT
ejde-666	395	8	h	h	PROPN
ejde-666	395	9	+	+	CCONJ
ejde-666	395	10	λku	λku	X
ejde-666	395	11	(	(	PUNCT
ejde-666	395	12	1	1	X
ejde-666	395	13	)	)	PUNCT
ejde-666	395	14	i	i	PRON
ejde-666	395	15	,	,	PUNCT
ejde-666	395	16	h	h	NOUN
ejde-666	395	17	=	=	PUNCT
ejde-666	395	18	λku	λku	X
ejde-666	395	19	(	(	PUNCT
ejde-666	395	20	0	0	NUM
ejde-666	395	21	)	)	PUNCT
ejde-666	395	22	i	i	PRON
ejde-666	395	23	,	,	PUNCT
ejde-666	395	24	h	h	PROPN
ejde-666	395	25	≥	≥	NUM
ejde-666	395	26	λkui	λkui	PROPN
ejde-666	395	27	,	,	PUNCT
ejde-666	395	28	h	h	PROPN
ejde-666	395	29	≥	≥	NOUN
ejde-666	395	30	−∆hui	−∆hui	NUM
ejde-666	395	31	,	,	PUNCT
ejde-666	395	32	h	h	PROPN
ejde-666	395	33	+	+	CCONJ
ejde-666	395	34	ui	ui	PROPN
ejde-666	395	35	,	,	PUNCT
ejde-666	395	36	h	h	PROPN
ejde-666	396	1	+	+	X
ejde-666	396	2	λkui	λkui	PROPN
ejde-666	396	3	,	,	PUNCT
ejde-666	396	4	h.	h.	PROPN
ejde-666	396	5	(	(	PUNCT
ejde-666	396	6	4.14	4.14	NUM
ejde-666	396	7	)	)	PUNCT
ejde-666	396	8	also	also	ADV
ejde-666	396	9	,	,	PUNCT
ejde-666	396	10	on	on	ADP
ejde-666	396	11	th	th	X
ejde-666	396	12	∪	∪	ADP
ejde-666	396	13	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	396	14	,	,	PUNCT
ejde-666	396	15	we	we	PRON
ejde-666	396	16	have	have	VERB
ejde-666	396	17	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	396	18	hu	hu	PROPN
ejde-666	396	19	(	(	PUNCT
ejde-666	396	20	1	1	NUM
ejde-666	396	21	)	)	PUNCT
ejde-666	396	22	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	396	23	·	·	PUNCT
ejde-666	396	24	η	η	PROPN
ejde-666	396	25	+	+	CCONJ
ejde-666	396	26	λku	λku	X
ejde-666	396	27	(	(	PUNCT
ejde-666	396	28	1	1	NUM
ejde-666	396	29	)	)	PUNCT
ejde-666	396	30	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	396	31	=	=	SYM
ejde-666	396	32	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	396	33	(	(	PUNCT
ejde-666	396	34	0	0	NUM
ejde-666	396	35	)	)	PUNCT
ejde-666	396	36	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	396	37	,	,	PUNCT
ejde-666	396	38	u	u	NOUN
ejde-666	396	39	(	(	PUNCT
ejde-666	396	40	0	0	NUM
ejde-666	396	41	)	)	PUNCT
ejde-666	396	42	2,h	2,h	NUM
ejde-666	396	43	)	)	PUNCT
ejde-666	397	1	+	+	CCONJ
ejde-666	397	2	λku	λku	X
ejde-666	397	3	(	(	PUNCT
ejde-666	397	4	0	0	NUM
ejde-666	397	5	)	)	PUNCT
ejde-666	397	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	397	7	≥	≥	NUM
ejde-666	397	8	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	397	9	(	(	PUNCT
ejde-666	397	10	0	0	NUM
ejde-666	397	11	)	)	PUNCT
ejde-666	397	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	397	13	,	,	PUNCT
ejde-666	397	14	u2,h	u2,h	PUNCT
ejde-666	397	15	)	)	PUNCT
ejde-666	397	16	+	+	CCONJ
ejde-666	397	17	λku	λku	X
ejde-666	397	18	(	(	PUNCT
ejde-666	397	19	0	0	NUM
ejde-666	397	20	)	)	PUNCT
ejde-666	397	21	1,h	1,h	NUM
ejde-666	397	22	≥	≥	X
ejde-666	397	23	λf1(u1,h	λf1(u1,h	NOUN
ejde-666	397	24	,	,	PUNCT
ejde-666	397	25	u2,h	u2,h	PUNCT
ejde-666	397	26	)	)	PUNCT
ejde-666	397	27	+	+	NUM
ejde-666	397	28	λku1,h	λku1,h	NUM
ejde-666	397	29	≥	≥	NOUN
ejde-666	397	30	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	397	31	hu1,h	hu1,h	PROPN
ejde-666	397	32	·	·	PUNCT
ejde-666	397	33	η	η	PROPN
ejde-666	397	34	+	+	SYM
ejde-666	397	35	λku1,h	λku1,h	X
ejde-666	397	36	by	by	ADP
ejde-666	397	37	the	the	DET
ejde-666	397	38	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	397	39	of	of	ADP
ejde-666	397	40	fi	fi	NOUN
ejde-666	397	41	and	and	CCONJ
ejde-666	397	42	remark	remark	VERB
ejde-666	397	43	4.2	4.2	NUM
ejde-666	397	44	.	.	PUNCT
ejde-666	398	1	in	in	ADP
ejde-666	398	2	a	a	DET
ejde-666	398	3	similar	similar	ADJ
ejde-666	398	4	fashion	fashion	NOUN
ejde-666	398	5	there	there	ADV
ejde-666	398	6	holds	hold	VERB
ejde-666	398	7	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	398	8	hu	hu	PROPN
ejde-666	398	9	(	(	PUNCT
ejde-666	398	10	1	1	NUM
ejde-666	398	11	)	)	PUNCT
ejde-666	398	12	2,h	2,h	NUM
ejde-666	399	1	·	·	PUNCT
ejde-666	399	2	η	η	PROPN
ejde-666	399	3	+	+	CCONJ
ejde-666	399	4	λku	λku	X
ejde-666	399	5	(	(	PUNCT
ejde-666	399	6	1	1	NUM
ejde-666	399	7	)	)	PUNCT
ejde-666	399	8	2,h	2,h	NUM
ejde-666	400	1	=	=	PUNCT
ejde-666	400	2	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	400	3	(	(	PUNCT
ejde-666	400	4	0	0	NUM
ejde-666	400	5	)	)	PUNCT
ejde-666	400	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	400	7	,	,	PUNCT
ejde-666	400	8	u	u	NOUN
ejde-666	400	9	(	(	PUNCT
ejde-666	400	10	0	0	NUM
ejde-666	400	11	)	)	PUNCT
ejde-666	400	12	2,h	2,h	NUM
ejde-666	400	13	)	)	PUNCT
ejde-666	401	1	+	+	CCONJ
ejde-666	401	2	λku	λku	X
ejde-666	401	3	(	(	PUNCT
ejde-666	401	4	0	0	NUM
ejde-666	401	5	)	)	PUNCT
ejde-666	401	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	401	7	≥	≥	NOUN
ejde-666	401	8	λf1(u1,h	λf1(u1,h	PROPN
ejde-666	401	9	,	,	PUNCT
ejde-666	401	10	u	u	NOUN
ejde-666	401	11	(	(	PUNCT
ejde-666	401	12	0	0	NUM
ejde-666	401	13	)	)	PUNCT
ejde-666	401	14	2,h	2,h	NUM
ejde-666	401	15	)	)	PUNCT
ejde-666	402	1	+	+	CCONJ
ejde-666	402	2	λku	λku	X
ejde-666	402	3	(	(	PUNCT
ejde-666	402	4	0	0	NUM
ejde-666	402	5	)	)	PUNCT
ejde-666	402	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	402	7	≥	≥	NOUN
ejde-666	402	8	λf1(u1,h	λf1(u1,h	PROPN
ejde-666	402	9	,	,	PUNCT
ejde-666	402	10	u2,h	u2,h	PUNCT
ejde-666	402	11	)	)	PUNCT
ejde-666	402	12	+	+	CCONJ
ejde-666	402	13	λku2,h	λku2,h	PROPN
ejde-666	402	14	≥	≥	PROPN
ejde-666	402	15	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	402	16	hu2,h	hu2,h	PROPN
ejde-666	402	17	·	·	PUNCT
ejde-666	402	18	η	η	PROPN
ejde-666	402	19	+	+	PROPN
ejde-666	402	20	λku2,h	λku2,h	PROPN
ejde-666	402	21	.	.	PUNCT
ejde-666	403	1	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	403	2	existence	existence	NOUN
ejde-666	403	3	of	of	ADP
ejde-666	403	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	403	5	and	and	CCONJ
ejde-666	403	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	403	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	403	8	solutions	solution	NOUN
ejde-666	403	9	13	13	NUM
ejde-666	403	10	hence	hence	ADV
ejde-666	403	11	mu(1	mu(1	NOUN
ejde-666	403	12	)	)	PUNCT
ejde-666	403	13	≥mu	≥mu	PROPN
ejde-666	403	14	,	,	PUNCT
ejde-666	403	15	and	and	CCONJ
ejde-666	403	16	it	it	PRON
ejde-666	403	17	follows	follow	VERB
ejde-666	403	18	that	that	SCONJ
ejde-666	403	19	u(1	u(1	PROPN
ejde-666	403	20	)	)	PUNCT
ejde-666	403	21	≥	≥	NOUN
ejde-666	403	22	u.	u.	VERB
ejde-666	403	23	thus	thus	ADV
ejde-666	403	24	u	u	X
ejde-666	403	25	(	(	PUNCT
ejde-666	403	26	1	1	NUM
ejde-666	403	27	)	)	PUNCT
ejde-666	403	28	h	h	NOUN
ejde-666	403	29	≥	≥	NOUN
ejde-666	403	30	uh	uh	INTJ
ejde-666	403	31	.	.	PUNCT
ejde-666	404	1	next	next	ADV
ejde-666	404	2	,	,	PUNCT
ejde-666	404	3	for	for	ADP
ejde-666	404	4	i	i	PROPN
ejde-666	404	5	=	=	SYM
ejde-666	404	6	1	1	NUM
ejde-666	404	7	,	,	PUNCT
ejde-666	404	8	2	2	NUM
ejde-666	404	9	,	,	PUNCT
ejde-666	404	10	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	404	11	(	(	PUNCT
ejde-666	404	12	1	1	X
ejde-666	404	13	)	)	PUNCT
ejde-666	404	14	i	i	PRON
ejde-666	404	15	,	,	PUNCT
ejde-666	404	16	h	h	PROPN
ejde-666	405	1	+	+	NUM
ejde-666	405	2	u	u	NOUN
ejde-666	405	3	(	(	PUNCT
ejde-666	405	4	1	1	NUM
ejde-666	405	5	)	)	PUNCT
ejde-666	405	6	i	i	PRON
ejde-666	405	7	,	,	PUNCT
ejde-666	405	8	h	h	PROPN
ejde-666	405	9	+	+	CCONJ
ejde-666	405	10	λku	λku	X
ejde-666	405	11	(	(	PUNCT
ejde-666	405	12	1	1	X
ejde-666	405	13	)	)	PUNCT
ejde-666	405	14	i	i	PRON
ejde-666	405	15	,	,	PUNCT
ejde-666	405	16	h	h	NOUN
ejde-666	405	17	=	=	PUNCT
ejde-666	405	18	λku	λku	X
ejde-666	405	19	(	(	PUNCT
ejde-666	405	20	0	0	NUM
ejde-666	405	21	)	)	PUNCT
ejde-666	405	22	i	i	PRON
ejde-666	405	23	,	,	PUNCT
ejde-666	405	24	h	h	NOUN
ejde-666	405	25	=	=	PUNCT
ejde-666	405	26	λku	λku	X
ejde-666	405	27	(	(	PUNCT
ejde-666	405	28	0	0	NUM
ejde-666	405	29	)	)	PUNCT
ejde-666	405	30	i	i	PRON
ejde-666	405	31	,	,	PUNCT
ejde-666	405	32	h	h	PROPN
ejde-666	405	33	+	+	CCONJ
ejde-666	405	34	0	0	NUM
ejde-666	405	35	≤	≤	NUM
ejde-666	405	36	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	405	37	(	(	PUNCT
ejde-666	405	38	0	0	NUM
ejde-666	405	39	)	)	PUNCT
ejde-666	405	40	i	i	PRON
ejde-666	405	41	,	,	PUNCT
ejde-666	405	42	h	h	PROPN
ejde-666	406	1	+	+	NUM
ejde-666	406	2	u	u	NOUN
ejde-666	406	3	(	(	PUNCT
ejde-666	406	4	0	0	NUM
ejde-666	406	5	)	)	PUNCT
ejde-666	406	6	i	i	PRON
ejde-666	406	7	,	,	PUNCT
ejde-666	406	8	h	h	PROPN
ejde-666	407	1	+	+	CCONJ
ejde-666	407	2	λku	λku	X
ejde-666	407	3	(	(	PUNCT
ejde-666	407	4	0	0	NUM
ejde-666	407	5	)	)	PUNCT
ejde-666	407	6	i	i	PRON
ejde-666	407	7	,	,	PUNCT
ejde-666	407	8	h	h	NOUN
ejde-666	407	9	in	in	ADP
ejde-666	407	10	th	th	NUM
ejde-666	407	11	∩	∩	ADJ
ejde-666	407	12	ω	ω	NOUN
ejde-666	407	13	since	since	SCONJ
ejde-666	407	14	u	u	PROPN
ejde-666	407	15	(	(	PUNCT
ejde-666	407	16	0	0	NUM
ejde-666	407	17	)	)	PUNCT
ejde-666	407	18	h	h	NOUN
ejde-666	407	19	is	be	AUX
ejde-666	407	20	a	a	DET
ejde-666	407	21	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	407	22	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	407	23	of	of	ADP
ejde-666	407	24	(	(	PUNCT
ejde-666	407	25	4.6	4.6	NUM
ejde-666	407	26	)	)	PUNCT
ejde-666	407	27	.	.	PUNCT
ejde-666	408	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-666	408	2	,	,	PUNCT
ejde-666	408	3	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	408	4	hu	hu	PROPN
ejde-666	408	5	(	(	PUNCT
ejde-666	408	6	1	1	NUM
ejde-666	408	7	)	)	PUNCT
ejde-666	408	8	i	i	PRON
ejde-666	408	9	,	,	PUNCT
ejde-666	408	10	h	h	PROPN
ejde-666	408	11	·	·	PUNCT
ejde-666	408	12	η	η	PROPN
ejde-666	408	13	+	+	CCONJ
ejde-666	408	14	λku	λku	X
ejde-666	408	15	(	(	PUNCT
ejde-666	408	16	1	1	X
ejde-666	408	17	)	)	PUNCT
ejde-666	408	18	i	i	PRON
ejde-666	408	19	,	,	PUNCT
ejde-666	408	20	h	h	NOUN
ejde-666	408	21	=	=	SYM
ejde-666	408	22	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	408	23	(	(	PUNCT
ejde-666	408	24	0	0	NUM
ejde-666	408	25	)	)	PUNCT
ejde-666	408	26	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	408	27	,	,	PUNCT
ejde-666	408	28	u	u	NOUN
ejde-666	408	29	(	(	PUNCT
ejde-666	408	30	0	0	NUM
ejde-666	408	31	)	)	PUNCT
ejde-666	408	32	2,h	2,h	NUM
ejde-666	408	33	)	)	PUNCT
ejde-666	409	1	+	+	CCONJ
ejde-666	409	2	λku	λku	X
ejde-666	409	3	(	(	PUNCT
ejde-666	409	4	0	0	NUM
ejde-666	409	5	)	)	PUNCT
ejde-666	409	6	i	i	PRON
ejde-666	409	7	,	,	PUNCT
ejde-666	409	8	h	h	PROPN
ejde-666	409	9	≤	≤	PROPN
ejde-666	409	10	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	409	11	hu	hu	PROPN
ejde-666	409	12	(	(	PUNCT
ejde-666	409	13	0	0	NUM
ejde-666	409	14	)	)	PUNCT
ejde-666	409	15	i	i	PRON
ejde-666	409	16	,	,	PUNCT
ejde-666	409	17	h	h	PROPN
ejde-666	409	18	·	·	PUNCT
ejde-666	409	19	η	η	PROPN
ejde-666	409	20	+	+	CCONJ
ejde-666	409	21	λku	λku	X
ejde-666	409	22	(	(	PUNCT
ejde-666	409	23	0	0	NUM
ejde-666	409	24	)	)	PUNCT
ejde-666	409	25	i	i	PRON
ejde-666	409	26	,	,	PUNCT
ejde-666	409	27	h	h	PROPN
ejde-666	409	28	on	on	ADP
ejde-666	409	29	th	th	NUM
ejde-666	409	30	∩	∩	ADJ
ejde-666	409	31	∂̃ω	∂̃ω	NOUN
ejde-666	409	32	since	since	SCONJ
ejde-666	409	33	u	u	PROPN
ejde-666	409	34	(	(	PUNCT
ejde-666	409	35	0	0	NUM
ejde-666	409	36	)	)	PUNCT
ejde-666	409	37	h	h	NOUN
ejde-666	409	38	is	be	AUX
ejde-666	409	39	a	a	DET
ejde-666	409	40	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-666	409	41	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	409	42	of	of	ADP
ejde-666	409	43	(	(	PUNCT
ejde-666	409	44	4.6	4.6	NUM
ejde-666	409	45	)	)	PUNCT
ejde-666	409	46	.	.	PUNCT
ejde-666	410	1	hence	hence	ADV
ejde-666	410	2	,	,	PUNCT
ejde-666	410	3	mu(1	mu(1	NOUN
ejde-666	410	4	)	)	PUNCT
ejde-666	410	5	≤	≤	NOUN
ejde-666	410	6	mu(0	mu(0	NOUN
ejde-666	410	7	)	)	PUNCT
ejde-666	410	8	which	which	PRON
ejde-666	410	9	implies	imply	VERB
ejde-666	410	10	u(1	u(1	PROPN
ejde-666	410	11	)	)	PUNCT
ejde-666	410	12	≤	≤	NOUN
ejde-666	410	13	u(0	u(0	NOUN
ejde-666	410	14	)	)	PUNCT
ejde-666	410	15	.	.	PUNCT
ejde-666	411	1	thus	thus	ADV
ejde-666	411	2	,	,	PUNCT
ejde-666	411	3	u	u	NOUN
ejde-666	411	4	(	(	PUNCT
ejde-666	411	5	1	1	NUM
ejde-666	411	6	)	)	PUNCT
ejde-666	411	7	h	h	NOUN
ejde-666	411	8	≤	≤	NOUN
ejde-666	411	9	u	u	SYM
ejde-666	411	10	(	(	PUNCT
ejde-666	411	11	0	0	NUM
ejde-666	411	12	)	)	PUNCT
ejde-666	411	13	h	h	NOUN
ejde-666	411	14	.	.	PUNCT
ejde-666	412	1	since	since	SCONJ
ejde-666	412	2	,	,	PUNCT
ejde-666	412	3	u	u	NOUN
ejde-666	412	4	(	(	PUNCT
ejde-666	412	5	1	1	NUM
ejde-666	412	6	)	)	PUNCT
ejde-666	412	7	h	h	NOUN
ejde-666	412	8	≤	≤	NOUN
ejde-666	412	9	u	u	SYM
ejde-666	412	10	(	(	PUNCT
ejde-666	412	11	0	0	NUM
ejde-666	412	12	)	)	PUNCT
ejde-666	412	13	h	h	NOUN
ejde-666	412	14	,	,	PUNCT
ejde-666	412	15	(	(	PUNCT
ejde-666	412	16	4.14	4.14	NUM
ejde-666	412	17	)	)	PUNCT
ejde-666	412	18	implies	imply	VERB
ejde-666	412	19	−∆hu	−∆hu	NOUN
ejde-666	412	20	(	(	PUNCT
ejde-666	412	21	1	1	X
ejde-666	412	22	)	)	PUNCT
ejde-666	412	23	i	i	PRON
ejde-666	412	24	,	,	PUNCT
ejde-666	412	25	h	h	PROPN
ejde-666	413	1	+	+	NUM
ejde-666	413	2	u	u	NOUN
ejde-666	413	3	(	(	PUNCT
ejde-666	413	4	1	1	NUM
ejde-666	413	5	)	)	PUNCT
ejde-666	413	6	i	i	PRON
ejde-666	413	7	,	,	PUNCT
ejde-666	413	8	h	h	NOUN
ejde-666	413	9	=	=	PUNCT
ejde-666	413	10	λku	λku	X
ejde-666	413	11	(	(	PUNCT
ejde-666	413	12	0	0	NUM
ejde-666	413	13	)	)	PUNCT
ejde-666	413	14	i	i	PRON
ejde-666	413	15	,	,	PUNCT
ejde-666	413	16	h	h	PROPN
ejde-666	413	17	−	−	PROPN
ejde-666	413	18	λku	λku	X
ejde-666	413	19	(	(	PUNCT
ejde-666	413	20	1	1	X
ejde-666	413	21	)	)	PUNCT
ejde-666	413	22	i	i	PRON
ejde-666	413	23	,	,	PUNCT
ejde-666	413	24	h	h	PROPN
ejde-666	413	25	≥	≥	NOUN
ejde-666	413	26	0	0	NUM
ejde-666	413	27	in	in	ADP
ejde-666	413	28	th	th	NUM
ejde-666	413	29	∩	∩	ADJ
ejde-666	413	30	ω	ω	PROPN
ejde-666	413	31	for	for	ADP
ejde-666	413	32	i	i	PRON
ejde-666	413	33	=	=	NOUN
ejde-666	413	34	1	1	NUM
ejde-666	413	35	,	,	PUNCT
ejde-666	413	36	2	2	NUM
ejde-666	413	37	.	.	PUNCT
ejde-666	414	1	also	also	ADV
ejde-666	414	2	,	,	PUNCT
ejde-666	414	3	from	from	ADP
ejde-666	414	4	the	the	DET
ejde-666	414	5	definition	definition	NOUN
ejde-666	414	6	of	of	ADP
ejde-666	414	7	mk	mk	NOUN
ejde-666	414	8	combined	combine	VERB
ejde-666	414	9	with	with	ADP
ejde-666	414	10	the	the	DET
ejde-666	414	11	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	414	12	of	of	ADP
ejde-666	414	13	fi	fi	NOUN
ejde-666	414	14	and	and	CCONJ
ejde-666	414	15	remark	remark	VERB
ejde-666	414	16	4.2	4.2	NUM
ejde-666	414	17	,	,	PUNCT
ejde-666	414	18	we	we	PRON
ejde-666	414	19	obtain	obtain	VERB
ejde-666	414	20	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	414	21	hu	hu	PROPN
ejde-666	414	22	(	(	PUNCT
ejde-666	414	23	1	1	NUM
ejde-666	414	24	)	)	PUNCT
ejde-666	414	25	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	414	26	·	·	PUNCT
ejde-666	414	27	η	η	PROPN
ejde-666	414	28	+	+	CCONJ
ejde-666	414	29	λku	λku	X
ejde-666	414	30	(	(	PUNCT
ejde-666	414	31	1	1	NUM
ejde-666	414	32	)	)	PUNCT
ejde-666	414	33	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	414	34	=	=	SYM
ejde-666	414	35	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	414	36	(	(	PUNCT
ejde-666	414	37	0	0	NUM
ejde-666	414	38	)	)	PUNCT
ejde-666	414	39	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	414	40	,	,	PUNCT
ejde-666	414	41	u	u	NOUN
ejde-666	414	42	(	(	PUNCT
ejde-666	414	43	0	0	NUM
ejde-666	414	44	)	)	PUNCT
ejde-666	414	45	2,h	2,h	NUM
ejde-666	414	46	)	)	PUNCT
ejde-666	415	1	+	+	CCONJ
ejde-666	415	2	λku	λku	X
ejde-666	415	3	(	(	PUNCT
ejde-666	415	4	0	0	NUM
ejde-666	415	5	)	)	PUNCT
ejde-666	415	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	415	7	≥	≥	NUM
ejde-666	415	8	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	415	9	(	(	PUNCT
ejde-666	415	10	1	1	NUM
ejde-666	415	11	)	)	PUNCT
ejde-666	415	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	415	13	,	,	PUNCT
ejde-666	415	14	u	u	NOUN
ejde-666	415	15	(	(	PUNCT
ejde-666	415	16	0	0	NUM
ejde-666	415	17	)	)	PUNCT
ejde-666	415	18	2,h	2,h	NUM
ejde-666	415	19	)	)	PUNCT
ejde-666	416	1	+	+	CCONJ
ejde-666	416	2	λku	λku	X
ejde-666	416	3	(	(	PUNCT
ejde-666	416	4	1	1	NUM
ejde-666	416	5	)	)	PUNCT
ejde-666	416	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	416	7	≥	≥	NUM
ejde-666	416	8	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	416	9	(	(	PUNCT
ejde-666	416	10	1	1	NUM
ejde-666	416	11	)	)	PUNCT
ejde-666	416	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	416	13	,	,	PUNCT
ejde-666	416	14	u	u	NOUN
ejde-666	416	15	(	(	PUNCT
ejde-666	416	16	1	1	NUM
ejde-666	416	17	)	)	PUNCT
ejde-666	416	18	2,h	2,h	NUM
ejde-666	416	19	)	)	PUNCT
ejde-666	417	1	+	+	CCONJ
ejde-666	417	2	λku	λku	X
ejde-666	417	3	(	(	PUNCT
ejde-666	417	4	1	1	NUM
ejde-666	417	5	)	)	PUNCT
ejde-666	417	6	1,h	1,h	PROPN
ejde-666	417	7	on	on	ADP
ejde-666	417	8	th	th	NUM
ejde-666	417	9	∩	∩	ADJ
ejde-666	417	10	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	417	11	.	.	PUNCT
ejde-666	418	1	thus	thus	ADV
ejde-666	418	2	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	418	3	hu	hu	PROPN
ejde-666	418	4	(	(	PUNCT
ejde-666	418	5	1	1	NUM
ejde-666	418	6	)	)	PUNCT
ejde-666	418	7	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	418	8	·	·	PUNCT
ejde-666	418	9	η	η	X
ejde-666	418	10	≥	≥	X
ejde-666	418	11	f1(u	f1(u	SYM
ejde-666	418	12	(	(	PUNCT
ejde-666	418	13	1	1	NUM
ejde-666	418	14	)	)	PUNCT
ejde-666	418	15	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	418	16	,	,	PUNCT
ejde-666	418	17	u	u	NOUN
ejde-666	418	18	(	(	PUNCT
ejde-666	418	19	1	1	NUM
ejde-666	418	20	)	)	PUNCT
ejde-666	418	21	2,h	2,h	NUM
ejde-666	418	22	)	)	PUNCT
ejde-666	418	23	on	on	ADP
ejde-666	418	24	th	th	NUM
ejde-666	418	25	∩	∩	ADJ
ejde-666	418	26	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	418	27	.	.	PUNCT
ejde-666	419	1	similarly	similarly	ADV
ejde-666	419	2	,	,	PUNCT
ejde-666	419	3	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	419	4	hu	hu	PROPN
ejde-666	419	5	(	(	PUNCT
ejde-666	419	6	1	1	NUM
ejde-666	419	7	)	)	PUNCT
ejde-666	419	8	2,h	2,h	NUM
ejde-666	419	9	·	·	PUNCT
ejde-666	419	10	η	η	PROPN
ejde-666	419	11	+	+	CCONJ
ejde-666	419	12	λku	λku	X
ejde-666	419	13	(	(	PUNCT
ejde-666	419	14	1	1	NUM
ejde-666	419	15	)	)	PUNCT
ejde-666	419	16	2,h	2,h	NUM
ejde-666	420	1	=	=	SYM
ejde-666	420	2	λf2(u	λf2(u	PROPN
ejde-666	420	3	(	(	PUNCT
ejde-666	420	4	0	0	NUM
ejde-666	420	5	)	)	PUNCT
ejde-666	420	6	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	420	7	,	,	PUNCT
ejde-666	420	8	u	u	NOUN
ejde-666	420	9	(	(	PUNCT
ejde-666	420	10	0	0	NUM
ejde-666	420	11	)	)	PUNCT
ejde-666	420	12	2,h	2,h	NUM
ejde-666	420	13	)	)	PUNCT
ejde-666	421	1	+	+	CCONJ
ejde-666	421	2	λku	λku	X
ejde-666	421	3	(	(	PUNCT
ejde-666	421	4	0	0	NUM
ejde-666	421	5	)	)	PUNCT
ejde-666	421	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	421	7	≥	≥	NOUN
ejde-666	421	8	λf2(u	λf2(u	X
ejde-666	421	9	(	(	PUNCT
ejde-666	421	10	0	0	NUM
ejde-666	421	11	)	)	PUNCT
ejde-666	421	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	421	13	,	,	PUNCT
ejde-666	421	14	u	u	NOUN
ejde-666	421	15	(	(	PUNCT
ejde-666	421	16	1	1	NUM
ejde-666	421	17	)	)	PUNCT
ejde-666	421	18	2,h	2,h	NUM
ejde-666	421	19	)	)	PUNCT
ejde-666	422	1	+	+	CCONJ
ejde-666	422	2	λku	λku	X
ejde-666	422	3	(	(	PUNCT
ejde-666	422	4	1	1	NUM
ejde-666	422	5	)	)	PUNCT
ejde-666	422	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	422	7	≥	≥	NOUN
ejde-666	422	8	λf1(u	λf1(u	X
ejde-666	422	9	(	(	PUNCT
ejde-666	422	10	1	1	NUM
ejde-666	422	11	)	)	PUNCT
ejde-666	422	12	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	422	13	,	,	PUNCT
ejde-666	422	14	u	u	NOUN
ejde-666	422	15	(	(	PUNCT
ejde-666	422	16	1	1	NUM
ejde-666	422	17	)	)	PUNCT
ejde-666	422	18	2,h	2,h	NUM
ejde-666	422	19	)	)	PUNCT
ejde-666	423	1	+	+	CCONJ
ejde-666	423	2	λku	λku	X
ejde-666	423	3	(	(	PUNCT
ejde-666	423	4	1	1	NUM
ejde-666	423	5	)	)	PUNCT
ejde-666	423	6	2,h	2,h	NUM
ejde-666	423	7	on	on	ADP
ejde-666	423	8	th	th	NUM
ejde-666	423	9	∩	∩	ADJ
ejde-666	423	10	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	423	11	.	.	PUNCT
ejde-666	424	1	thus	thus	ADV
ejde-666	424	2	∇∗	∇∗	PROPN
ejde-666	424	3	hu	hu	PROPN
ejde-666	424	4	(	(	PUNCT
ejde-666	424	5	1	1	NUM
ejde-666	424	6	)	)	PUNCT
ejde-666	424	7	2,h	2,h	NUM
ejde-666	425	1	·	·	PUNCT
ejde-666	425	2	η	η	X
ejde-666	425	3	≥	≥	X
ejde-666	425	4	λf2(u	λf2(u	X
ejde-666	425	5	(	(	PUNCT
ejde-666	425	6	1	1	NUM
ejde-666	425	7	)	)	PUNCT
ejde-666	425	8	1,h	1,h	NOUN
ejde-666	425	9	,	,	PUNCT
ejde-666	425	10	u	u	NOUN
ejde-666	425	11	(	(	PUNCT
ejde-666	425	12	1	1	NUM
ejde-666	425	13	)	)	PUNCT
ejde-666	425	14	2,h	2,h	NUM
ejde-666	425	15	)	)	PUNCT
ejde-666	425	16	on	on	ADP
ejde-666	425	17	th	th	NUM
ejde-666	425	18	∩	∩	ADJ
ejde-666	425	19	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	425	20	.	.	PUNCT
ejde-666	426	1	therefore	therefore	ADV
ejde-666	426	2	,	,	PUNCT
ejde-666	426	3	u	u	NOUN
ejde-666	426	4	(	(	PUNCT
ejde-666	426	5	1	1	NUM
ejde-666	426	6	)	)	PUNCT
ejde-666	426	7	h	h	NOUN
ejde-666	426	8	is	be	AUX
ejde-666	426	9	a	a	DET
ejde-666	426	10	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	426	11	of	of	ADP
ejde-666	426	12	(	(	PUNCT
ejde-666	426	13	4.6	4.6	NUM
ejde-666	426	14	)	)	PUNCT
ejde-666	426	15	.	.	PUNCT
ejde-666	427	1	□	□	PUNCT
ejde-666	427	2	step	step	NOUN
ejde-666	427	3	3	3	NUM
ejde-666	427	4	.	.	PUNCT
ejde-666	427	5	existence	existence	NOUN
ejde-666	427	6	of	of	ADP
ejde-666	427	7	a	a	DET
ejde-666	427	8	fixed	fix	VERB
ejde-666	427	9	point	point	NOUN
ejde-666	427	10	.	.	PUNCT
ejde-666	428	1	theorem	theorem	VERB
ejde-666	428	2	4.4	4.4	NUM
ejde-666	428	3	.	.	PUNCT
ejde-666	429	1	let	let	VERB
ejde-666	429	2	0	0	NUM
ejde-666	429	3	≤	≤	NUM
ejde-666	429	4	uh	uh	INTJ
ejde-666	429	5	be	be	AUX
ejde-666	429	6	a	a	DET
ejde-666	429	7	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	429	8	to	to	ADP
ejde-666	429	9	(	(	PUNCT
ejde-666	429	10	4.6	4.6	NUM
ejde-666	429	11	)	)	PUNCT
ejde-666	429	12	and	and	CCONJ
ejde-666	429	13	u	u	X
ejde-666	429	14	(	(	PUNCT
ejde-666	429	15	0	0	NUM
ejde-666	429	16	)	)	PUNCT
ejde-666	429	17	h	h	NOUN
ejde-666	429	18	≥	≥	NOUN
ejde-666	429	19	uh	uh	INTJ
ejde-666	429	20	be	be	AUX
ejde-666	429	21	a	a	DET
ejde-666	429	22	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	429	23	of	of	ADP
ejde-666	429	24	(	(	PUNCT
ejde-666	429	25	4.6	4.6	NUM
ejde-666	429	26	)	)	PUNCT
ejde-666	429	27	.	.	PUNCT
ejde-666	430	1	then	then	ADV
ejde-666	430	2	the	the	DET
ejde-666	430	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	430	4	u	u	NOUN
ejde-666	430	5	(	(	PUNCT
ejde-666	430	6	n	n	CCONJ
ejde-666	430	7	)	)	PUNCT
ejde-666	430	8	h	h	NOUN
ejde-666	430	9	defined	define	VERB
ejde-666	430	10	by	by	ADP
ejde-666	430	11	(	(	PUNCT
ejde-666	430	12	4.12	4.12	NUM
ejde-666	430	13	)	)	PUNCT
ejde-666	430	14	converges	converge	NOUN
ejde-666	430	15	to	to	ADP
ejde-666	430	16	a	a	DET
ejde-666	430	17	solution	solution	NOUN
ejde-666	430	18	of	of	ADP
ejde-666	430	19	(	(	PUNCT
ejde-666	430	20	4.6	4.6	NUM
ejde-666	430	21	)	)	PUNCT
ejde-666	430	22	.	.	PUNCT
ejde-666	431	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-666	431	2	,	,	PUNCT
ejde-666	431	3	if	if	SCONJ
ejde-666	431	4	∥u	∥u	PROPN
ejde-666	431	5	(	(	PUNCT
ejde-666	431	6	0	0	NUM
ejde-666	431	7	)	)	PUNCT
ejde-666	431	8	h	h	NOUN
ejde-666	431	9	∥l∞([th]2	∥l∞([th]2	NOUN
ejde-666	431	10	)	)	PUNCT
ejde-666	431	11	is	be	AUX
ejde-666	431	12	bounded	bound	VERB
ejde-666	431	13	independent	independent	ADJ
ejde-666	431	14	of	of	ADP
ejde-666	431	15	h	h	NOUN
ejde-666	431	16	,	,	PUNCT
ejde-666	431	17	then	then	ADV
ejde-666	431	18	the	the	DET
ejde-666	431	19	solution	solution	NOUN
ejde-666	431	20	is	be	AUX
ejde-666	431	21	ℓ∞	ℓ∞	PROPN
ejde-666	431	22	norm	norm	NOUN
ejde-666	431	23	stable	stable	ADJ
ejde-666	431	24	.	.	PUNCT
ejde-666	432	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	432	2	.	.	PUNCT
ejde-666	433	1	observe	observe	VERB
ejde-666	433	2	that	that	SCONJ
ejde-666	433	3	,	,	PUNCT
ejde-666	433	4	by	by	ADP
ejde-666	433	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	433	6	4.3	4.3	NUM
ejde-666	433	7	,	,	PUNCT
ejde-666	433	8	we	we	PRON
ejde-666	433	9	have	have	VERB
ejde-666	433	10	0	0	NUM
ejde-666	433	11	≤	≤	NUM
ejde-666	433	12	uh	uh	INTJ
ejde-666	433	13	≤	≤	NUM
ejde-666	433	14	u	u	NOUN
ejde-666	433	15	(	(	PUNCT
ejde-666	433	16	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	433	17	)	)	PUNCT
ejde-666	433	18	h	h	NOUN
ejde-666	433	19	≤	≤	NOUN
ejde-666	433	20	u	u	NOUN
ejde-666	433	21	(	(	PUNCT
ejde-666	433	22	n	n	CCONJ
ejde-666	433	23	)	)	PUNCT
ejde-666	433	24	h	h	NOUN
ejde-666	433	25	≤	≤	NOUN
ejde-666	433	26	u	u	PROPN
ejde-666	433	27	(	(	PUNCT
ejde-666	433	28	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	433	29	)	)	PUNCT
ejde-666	433	30	h	h	NOUN
ejde-666	433	31	≤	≤	NOUN
ejde-666	433	32	·	·	PUNCT
ejde-666	433	33	·	·	PUNCT
ejde-666	433	34	·	·	PUNCT
ejde-666	434	1	≤	≤	NUM
ejde-666	434	2	u	u	NOUN
ejde-666	434	3	(	(	PUNCT
ejde-666	434	4	1	1	NUM
ejde-666	434	5	)	)	PUNCT
ejde-666	434	6	h	h	NOUN
ejde-666	434	7	≤	≤	NOUN
ejde-666	434	8	u	u	SYM
ejde-666	434	9	(	(	PUNCT
ejde-666	434	10	0	0	NUM
ejde-666	434	11	)	)	PUNCT
ejde-666	434	12	h	h	NOUN
ejde-666	434	13	for	for	ADP
ejde-666	434	14	all	all	DET
ejde-666	434	15	n	n	PRON
ejde-666	434	16	≥	≥	NOUN
ejde-666	434	17	1	1	NUM
ejde-666	434	18	.	.	PUNCT
ejde-666	435	1	thus	thus	ADV
ejde-666	435	2	,	,	PUNCT
ejde-666	435	3	the	the	DET
ejde-666	435	4	sequence	sequence	NOUN
ejde-666	435	5	{	{	PUNCT
ejde-666	435	6	u	u	NOUN
ejde-666	435	7	(	(	PUNCT
ejde-666	435	8	n	n	CCONJ
ejde-666	435	9	)	)	PUNCT
ejde-666	435	10	h	h	NOUN
ejde-666	435	11	}	}	PUNCT
ejde-666	435	12	∞n=0	∞n=0	PROPN
ejde-666	435	13	is	be	AUX
ejde-666	435	14	convergent	convergent	ADJ
ejde-666	435	15	since	since	SCONJ
ejde-666	435	16	it	it	PRON
ejde-666	435	17	is	be	AUX
ejde-666	435	18	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	435	19	and	and	CCONJ
ejde-666	435	20	bounded	bound	VERB
ejde-666	435	21	.	.	PUNCT
ejde-666	436	1	let	let	VERB
ejde-666	436	2	vh	vh	PROPN
ejde-666	436	3	:	:	PUNCT
ejde-666	437	1	[	[	X
ejde-666	437	2	t̃h]2	t̃h]2	NUM
ejde-666	437	3	→	→	SYM
ejde-666	437	4	r2	r2	PROPN
ejde-666	437	5	such	such	ADJ
ejde-666	437	6	that	that	SCONJ
ejde-666	437	7	u	u	NOUN
ejde-666	437	8	(	(	PUNCT
ejde-666	437	9	n	n	CCONJ
ejde-666	437	10	)	)	PUNCT
ejde-666	437	11	h	h	PROPN
ejde-666	437	12	→	→	SYM
ejde-666	437	13	vh	vh	PROPN
ejde-666	437	14	in	in	ADP
ejde-666	437	15	l∞([t̃h]2	l∞([t̃h]2	PROPN
ejde-666	437	16	)	)	PUNCT
ejde-666	437	17	for	for	ADP
ejde-666	437	18	t̃h	t̃h	NOUN
ejde-666	437	19	=	=	SYM
ejde-666	437	20	th	th	NOUN
ejde-666	437	21	∩	∩	NOUN
ejde-666	437	22	(	(	PUNCT
ejde-666	437	23	ω	ω	X
ejde-666	437	24	∪	∪	ADP
ejde-666	437	25	∂̃ω	∂̃ω	PROPN
ejde-666	437	26	)	)	PUNCT
ejde-666	437	27	.	.	PUNCT
ejde-666	438	1	clearly	clearly	ADV
ejde-666	438	2	,	,	PUNCT
ejde-666	438	3	vh	vh	PROPN
ejde-666	438	4	is	be	AUX
ejde-666	438	5	a	a	DET
ejde-666	438	6	fixed	fix	VERB
ejde-666	438	7	point	point	NOUN
ejde-666	438	8	of	of	ADP
ejde-666	438	9	(	(	PUNCT
ejde-666	438	10	4.11	4.11	NUM
ejde-666	438	11	)	)	PUNCT
ejde-666	438	12	.	.	PUNCT
ejde-666	439	1	thus	thus	ADV
ejde-666	439	2	vh	vh	PROPN
ejde-666	439	3	is	be	AUX
ejde-666	439	4	a	a	DET
ejde-666	439	5	solution	solution	NOUN
ejde-666	439	6	of	of	ADP
ejde-666	439	7	(	(	PUNCT
ejde-666	439	8	4.6	4.6	NUM
ejde-666	439	9	)	)	PUNCT
ejde-666	439	10	with	with	ADP
ejde-666	439	11	0	0	NUM
ejde-666	439	12	≤	≤	NUM
ejde-666	439	13	uh	uh	INTJ
ejde-666	439	14	≤	≤	NUM
ejde-666	439	15	vh	vh	PROPN
ejde-666	439	16	≤	≤	NOUN
ejde-666	439	17	u	u	PROPN
ejde-666	439	18	(	(	PUNCT
ejde-666	439	19	n+1	n+1	NOUN
ejde-666	439	20	)	)	PUNCT
ejde-666	439	21	h	h	NOUN
ejde-666	440	1	≤	≤	NOUN
ejde-666	440	2	u	u	NOUN
ejde-666	440	3	(	(	PUNCT
ejde-666	440	4	n	n	CCONJ
ejde-666	440	5	)	)	PUNCT
ejde-666	440	6	h	h	NOUN
ejde-666	440	7	≤	≤	NOUN
ejde-666	440	8	u	u	PROPN
ejde-666	440	9	(	(	PUNCT
ejde-666	440	10	n−1	n−1	PROPN
ejde-666	440	11	)	)	PUNCT
ejde-666	440	12	h	h	NOUN
ejde-666	440	13	≤	≤	NOUN
ejde-666	440	14	·	·	PUNCT
ejde-666	440	15	·	·	PUNCT
ejde-666	440	16	·	·	PUNCT
ejde-666	441	1	≤	≤	NUM
ejde-666	441	2	u	u	NOUN
ejde-666	441	3	(	(	PUNCT
ejde-666	441	4	1	1	NUM
ejde-666	441	5	)	)	PUNCT
ejde-666	441	6	h	h	NOUN
ejde-666	441	7	≤	≤	NOUN
ejde-666	441	8	u	u	SYM
ejde-666	441	9	(	(	PUNCT
ejde-666	441	10	0	0	NUM
ejde-666	441	11	)	)	PUNCT
ejde-666	441	12	h	h	NOUN
ejde-666	441	13	from	from	ADP
ejde-666	441	14	which	which	PRON
ejde-666	441	15	the	the	DET
ejde-666	441	16	stability	stability	NOUN
ejde-666	441	17	result	result	NOUN
ejde-666	441	18	follows	follow	VERB
ejde-666	441	19	.	.	PUNCT
ejde-666	442	1	□	□	PUNCT
ejde-666	442	2	14	14	NUM
ejde-666	442	3	s.	s.	PROPN
ejde-666	442	4	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	442	5	,	,	PUNCT
ejde-666	442	6	t.	t.	PROPN
ejde-666	442	7	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	442	8	,	,	PUNCT
ejde-666	442	9	n.	n.	PROPN
ejde-666	442	10	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	442	11	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	442	12	remark	remark	NOUN
ejde-666	442	13	4.5	4.5	NUM
ejde-666	442	14	.	.	PUNCT
ejde-666	443	1	let	let	VERB
ejde-666	443	2	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-666	443	3	be	be	AUX
ejde-666	443	4	defined	define	VERB
ejde-666	443	5	by	by	ADP
ejde-666	443	6	(	(	PUNCT
ejde-666	443	7	4.8	4.8	NUM
ejde-666	443	8	)	)	PUNCT
ejde-666	443	9	so	so	SCONJ
ejde-666	443	10	that	that	SCONJ
ejde-666	443	11	it	it	PRON
ejde-666	443	12	is	be	AUX
ejde-666	443	13	bounded	bound	VERB
ejde-666	443	14	by	by	ADP
ejde-666	443	15	a	a	DET
ejde-666	443	16	constant	constant	ADJ
ejde-666	443	17	depending	depend	VERB
ejde-666	443	18	only	only	ADV
ejde-666	443	19	on	on	ADP
ejde-666	443	20	ω	ω	PROPN
ejde-666	443	21	,	,	PUNCT
ejde-666	443	22	λ	λ	PROPN
ejde-666	443	23	,	,	PUNCT
ejde-666	443	24	and	and	CCONJ
ejde-666	443	25	f	f	PROPN
ejde-666	443	26	for	for	ADP
ejde-666	443	27	f	f	PROPN
ejde-666	443	28	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	443	29	the	the	DET
ejde-666	443	30	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-666	443	31	for	for	ADP
ejde-666	443	32	problem	problem	NOUN
ejde-666	443	33	(	(	PUNCT
ejde-666	443	34	4.1	4.1	NUM
ejde-666	443	35	)	)	PUNCT
ejde-666	443	36	.	.	PUNCT
ejde-666	444	1	then	then	ADV
ejde-666	444	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-666	444	3	is	be	AUX
ejde-666	444	4	bounded	bound	VERB
ejde-666	444	5	independent	independent	ADJ
ejde-666	444	6	of	of	ADP
ejde-666	444	7	h	h	NOUN
ejde-666	444	8	,	,	PUNCT
ejde-666	444	9	and	and	CCONJ
ejde-666	444	10	it	it	PRON
ejde-666	444	11	follows	follow	VERB
ejde-666	444	12	that	that	SCONJ
ejde-666	444	13	the	the	DET
ejde-666	444	14	grid	grid	NOUN
ejde-666	444	15	functions	function	NOUN
ejde-666	444	16	uh	uh	INTJ
ejde-666	444	17	defined	define	VERB
ejde-666	444	18	by	by	ADP
ejde-666	444	19	uh(x	uh(x	NOUN
ejde-666	444	20	)	)	PUNCT
ejde-666	444	21	:	:	PUNCT
ejde-666	445	1	=	=	SYM
ejde-666	445	2	(	(	PUNCT
ejde-666	445	3	0	0	NUM
ejde-666	445	4	,	,	PUNCT
ejde-666	445	5	0	0	NUM
ejde-666	445	6	)	)	PUNCT
ejde-666	445	7	for	for	ADP
ejde-666	445	8	all	all	DET
ejde-666	445	9	x	x	SYM
ejde-666	445	10	∈	∈	PROPN
ejde-666	445	11	th	th	X
ejde-666	445	12	and	and	CCONJ
ejde-666	445	13	u	u	PROPN
ejde-666	445	14	(	(	PUNCT
ejde-666	445	15	0	0	NUM
ejde-666	445	16	)	)	PUNCT
ejde-666	445	17	h	h	NOUN
ejde-666	445	18	defined	define	VERB
ejde-666	445	19	by	by	ADP
ejde-666	445	20	u	u	PROPN
ejde-666	445	21	(	(	PUNCT
ejde-666	445	22	0	0	NUM
ejde-666	445	23	)	)	PUNCT
ejde-666	445	24	h	h	NOUN
ejde-666	445	25	(	(	PUNCT
ejde-666	445	26	x	x	NOUN
ejde-666	445	27	)	)	PUNCT
ejde-666	445	28	:	:	PUNCT
ejde-666	445	29	=	=	X
ejde-666	445	30	(	(	PUNCT
ejde-666	445	31	ϕ(x	ϕ(x	NOUN
ejde-666	445	32	)	)	PUNCT
ejde-666	445	33	,	,	PUNCT
ejde-666	445	34	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-666	445	35	)	)	PUNCT
ejde-666	445	36	)	)	PUNCT
ejde-666	445	37	for	for	ADP
ejde-666	445	38	all	all	DET
ejde-666	445	39	x	x	SYM
ejde-666	445	40	∈	∈	NOUN
ejde-666	445	41	th	th	X
ejde-666	445	42	for	for	ADP
ejde-666	445	43	c	c	NOUN
ejde-666	445	44	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-666	445	45	large	large	ADJ
ejde-666	445	46	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-666	445	47	the	the	DET
ejde-666	445	48	assumptions	assumption	NOUN
ejde-666	445	49	in	in	ADP
ejde-666	445	50	theorem	theorem	ADJ
ejde-666	445	51	4.4	4.4	NUM
ejde-666	445	52	to	to	PART
ejde-666	445	53	ensure	ensure	VERB
ejde-666	445	54	the	the	DET
ejde-666	445	55	finite	finite	ADJ
ejde-666	445	56	difference	difference	NOUN
ejde-666	445	57	approximation	approximation	NOUN
ejde-666	445	58	exists	exist	VERB
ejde-666	445	59	and	and	CCONJ
ejde-666	445	60	is	be	AUX
ejde-666	445	61	ℓ∞	ℓ∞	PROPN
ejde-666	445	62	norm	norm	NOUN
ejde-666	445	63	stable	stable	ADJ
ejde-666	445	64	.	.	PUNCT
ejde-666	446	1	4.3	4.3	NUM
ejde-666	446	2	.	.	PUNCT
ejde-666	446	3	example	example	NOUN
ejde-666	446	4	1	1	NUM
ejde-666	446	5	.	.	PUNCT
ejde-666	447	1	in	in	ADP
ejde-666	447	2	this	this	DET
ejde-666	447	3	example	example	NOUN
ejde-666	447	4	,	,	PUNCT
ejde-666	447	5	we	we	PRON
ejde-666	447	6	consider	consider	VERB
ejde-666	447	7	the	the	DET
ejde-666	447	8	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	447	9	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	447	10	,	,	PUNCT
ejde-666	447	11	u2	u2	NOUN
ejde-666	447	12	)	)	PUNCT
ejde-666	447	13	=	=	NOUN
ejde-666	448	1	100	100	NUM
ejde-666	448	2	√	√	NUM
ejde-666	448	3	u2	u2	NOUN
ejde-666	448	4	−	−	PROPN
ejde-666	448	5	2	2	NUM
ejde-666	448	6	√	√	PROPN
ejde-666	448	7	u1	u1	NOUN
ejde-666	448	8	,	,	PUNCT
ejde-666	448	9	f2(u1	f2(u1	NOUN
ejde-666	448	10	,	,	PUNCT
ejde-666	448	11	u2	u2	NOUN
ejde-666	448	12	)	)	PUNCT
ejde-666	448	13	=	=	SYM
ejde-666	448	14	4	4	NUM
ejde-666	448	15	√	√	NUM
ejde-666	448	16	u1	u1	NOUN
ejde-666	448	17	+	+	CCONJ
ejde-666	448	18	√	√	NOUN
ejde-666	448	19	u2	u2	NOUN
ejde-666	448	20	.	.	PUNCT
ejde-666	449	1	(	(	PUNCT
ejde-666	449	2	4.15	4.15	NUM
ejde-666	449	3	)	)	PUNCT
ejde-666	449	4	clearly	clearly	ADV
ejde-666	449	5	the	the	DET
ejde-666	449	6	fi	fi	NOUN
ejde-666	449	7	’s	’s	PART
ejde-666	449	8	are	be	AUX
ejde-666	449	9	caratheódory	caratheódory	ADJ
ejde-666	449	10	,	,	PUNCT
ejde-666	449	11	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	449	12	non	non	ADJ
ejde-666	449	13	-	-	ADJ
ejde-666	449	14	decreasing	decrease	VERB
ejde-666	449	15	and	and	CCONJ
ejde-666	449	16	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-666	449	17	functions	function	NOUN
ejde-666	449	18	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	449	19	the	the	DET
ejde-666	449	20	assumption	assumption	NOUN
ejde-666	449	21	(	(	PUNCT
ejde-666	449	22	a2	a2	PROPN
ejde-666	449	23	)	)	PUNCT
ejde-666	449	24	and	and	CCONJ
ejde-666	449	25	(	(	PUNCT
ejde-666	449	26	a3	a3	NOUN
ejde-666	449	27	)	)	PUNCT
ejde-666	449	28	in	in	ADP
ejde-666	449	29	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	449	30	1.3	1.3	NUM
ejde-666	449	31	.	.	PUNCT
ejde-666	450	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	450	2	,	,	PUNCT
ejde-666	450	3	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	450	4	,	,	PUNCT
ejde-666	450	5	0	0	NUM
ejde-666	450	6	)	)	PUNCT
ejde-666	450	7	=	=	SYM
ejde-666	450	8	0	0	NUM
ejde-666	450	9	,	,	PUNCT
ejde-666	450	10	∂f1	∂f1	PROPN
ejde-666	450	11	∂u2	∂u2	NOUN
ejde-666	450	12	(	(	PUNCT
ejde-666	450	13	0	0	NUM
ejde-666	450	14	,	,	PUNCT
ejde-666	450	15	0	0	NUM
ejde-666	450	16	)	)	PUNCT
ejde-666	450	17	=	=	SYM
ejde-666	450	18	∞	∞	PROPN
ejde-666	450	19	and	and	CCONJ
ejde-666	450	20	∂f2	∂f2	NOUN
ejde-666	450	21	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	450	22	(	(	PUNCT
ejde-666	450	23	0	0	NUM
ejde-666	450	24	,	,	PUNCT
ejde-666	450	25	0	0	NUM
ejde-666	450	26	)	)	PUNCT
ejde-666	450	27	=	=	SYM
ejde-666	450	28	∞.	∞.	PROPN
ejde-666	450	29	solutions	solution	NOUN
ejde-666	450	30	can	can	AUX
ejde-666	450	31	be	be	AUX
ejde-666	450	32	found	find	VERB
ejde-666	450	33	in	in	ADP
ejde-666	450	34	figure	figure	NOUN
ejde-666	450	35	1	1	NUM
ejde-666	450	36	for	for	ADP
ejde-666	450	37	λ	λ	NOUN
ejde-666	450	38	=	=	SYM
ejde-666	450	39	0.5	0.5	NUM
ejde-666	450	40	and	and	CCONJ
ejde-666	450	41	λ	λ	X
ejde-666	450	42	=	=	SYM
ejde-666	450	43	3	3	NUM
ejde-666	450	44	,	,	PUNCT
ejde-666	450	45	and	and	CCONJ
ejde-666	450	46	computed	compute	VERB
ejde-666	450	47	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	450	48	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	450	49	can	can	AUX
ejde-666	450	50	be	be	AUX
ejde-666	450	51	found	find	VERB
ejde-666	450	52	in	in	ADP
ejde-666	450	53	figure	figure	NOUN
ejde-666	450	54	2	2	NUM
ejde-666	450	55	.	.	PUNCT
ejde-666	451	1	when	when	SCONJ
ejde-666	451	2	choosing	choose	VERB
ejde-666	451	3	the	the	DET
ejde-666	451	4	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	451	5	u	u	NOUN
ejde-666	451	6	(	(	PUNCT
ejde-666	451	7	0	0	NUM
ejde-666	451	8	)	)	PUNCT
ejde-666	451	9	h	h	NOUN
ejde-666	451	10	according	accord	VERB
ejde-666	451	11	to	to	PART
ejde-666	451	12	remark	remark	NOUN
ejde-666	451	13	4.5	4.5	NUM
ejde-666	451	14	,	,	PUNCT
ejde-666	451	15	the	the	DET
ejde-666	451	16	solution	solution	NOUN
ejde-666	451	17	for	for	ADP
ejde-666	451	18	λ	λ	NOUN
ejde-666	451	19	=	=	SYM
ejde-666	451	20	0.5	0.5	NUM
ejde-666	451	21	was	be	AUX
ejde-666	451	22	found	find	VERB
ejde-666	451	23	using	use	VERB
ejde-666	451	24	c	c	NOUN
ejde-666	451	25	=	=	SYM
ejde-666	451	26	16	16	NUM
ejde-666	451	27	,	,	PUNCT
ejde-666	451	28	384	384	NUM
ejde-666	451	29	and	and	CCONJ
ejde-666	451	30	the	the	DET
ejde-666	451	31	solution	solution	NOUN
ejde-666	451	32	for	for	ADP
ejde-666	451	33	λ	λ	NOUN
ejde-666	451	34	=	=	SYM
ejde-666	451	35	3	3	NUM
ejde-666	451	36	was	be	AUX
ejde-666	451	37	found	find	VERB
ejde-666	451	38	using	use	VERB
ejde-666	451	39	c	c	NOUN
ejde-666	451	40	=	=	SYM
ejde-666	451	41	524	524	NUM
ejde-666	451	42	,	,	PUNCT
ejde-666	451	43	288	288	NUM
ejde-666	451	44	.	.	PUNCT
ejde-666	452	1	figure	figure	NOUN
ejde-666	452	2	1	1	NUM
ejde-666	452	3	.	.	PUNCT
ejde-666	453	1	graphs	graph	NOUN
ejde-666	453	2	of	of	ADP
ejde-666	453	3	u1	u1	NOUN
ejde-666	453	4	and	and	CCONJ
ejde-666	453	5	u2	u2	NOUN
ejde-666	453	6	for	for	ADP
ejde-666	453	7	λ	λ	X
ejde-666	453	8	=	=	SYM
ejde-666	453	9	0.5	0.5	NUM
ejde-666	453	10	and	and	CCONJ
ejde-666	453	11	λ	λ	X
ejde-666	453	12	=	=	NOUN
ejde-666	453	13	3	3	NUM
ejde-666	453	14	figure	figure	NOUN
ejde-666	453	15	2	2	NUM
ejde-666	453	16	.	.	PUNCT
ejde-666	454	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	454	2	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	454	3	of	of	ADP
ejde-666	454	4	(	(	PUNCT
ejde-666	454	5	4.1	4.1	NUM
ejde-666	454	6	)	)	PUNCT
ejde-666	454	7	for	for	ADP
ejde-666	454	8	λ	λ	PROPN
ejde-666	454	9	∈	∈	PROPN
ejde-666	454	10	(	(	PUNCT
ejde-666	454	11	0	0	NUM
ejde-666	454	12	,	,	PUNCT
ejde-666	454	13	10	10	NUM
ejde-666	454	14	)	)	PUNCT
ejde-666	454	15	when	when	SCONJ
ejde-666	454	16	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	454	17	,	,	PUNCT
ejde-666	454	18	u2	u2	NOUN
ejde-666	454	19	)	)	PUNCT
ejde-666	454	20	=	=	NOUN
ejde-666	454	21	100	100	NUM
ejde-666	454	22	√	√	NUM
ejde-666	454	23	u2	u2	NOUN
ejde-666	454	24	−	−	PROPN
ejde-666	454	25	2	2	NUM
ejde-666	454	26	√	√	PROPN
ejde-666	454	27	u1	u1	NOUN
ejde-666	454	28	,	,	PUNCT
ejde-666	454	29	f2(u1	f2(u1	NOUN
ejde-666	454	30	,	,	PUNCT
ejde-666	454	31	u2	u2	NOUN
ejde-666	454	32	)	)	PUNCT
ejde-666	454	33	=	=	SYM
ejde-666	454	34	4	4	NUM
ejde-666	454	35	√	√	NUM
ejde-666	454	36	u1	u1	NOUN
ejde-666	454	37	+	+	CCONJ
ejde-666	454	38	√	√	NOUN
ejde-666	454	39	u2	u2	NOUN
ejde-666	454	40	.	.	PUNCT
ejde-666	455	1	4.4	4.4	NUM
ejde-666	455	2	.	.	PUNCT
ejde-666	455	3	example	example	NOUN
ejde-666	456	1	2	2	NUM
ejde-666	456	2	.	.	PUNCT
ejde-666	457	1	in	in	ADP
ejde-666	457	2	this	this	DET
ejde-666	457	3	example	example	NOUN
ejde-666	457	4	,	,	PUNCT
ejde-666	457	5	we	we	PRON
ejde-666	457	6	consider	consider	VERB
ejde-666	457	7	the	the	DET
ejde-666	457	8	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	457	9	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	457	10	,	,	PUNCT
ejde-666	457	11	u2	u2	NOUN
ejde-666	457	12	)	)	PUNCT
ejde-666	457	13	=	=	SYM
ejde-666	457	14	arctan(u2	arctan(u2	NOUN
ejde-666	457	15	)	)	PUNCT
ejde-666	457	16	,	,	PUNCT
ejde-666	457	17	f2(u1	f2(u1	NOUN
ejde-666	457	18	,	,	PUNCT
ejde-666	457	19	u2	u2	NOUN
ejde-666	457	20	)	)	PUNCT
ejde-666	457	21	=	=	SYM
ejde-666	457	22	3	3	NUM
ejde-666	457	23	arctan(u1	arctan(u1	NOUN
ejde-666	457	24	)	)	PUNCT
ejde-666	457	25	.	.	PUNCT
ejde-666	458	1	(	(	PUNCT
ejde-666	458	2	4.16	4.16	NUM
ejde-666	458	3	)	)	PUNCT
ejde-666	458	4	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	458	5	existence	existence	NOUN
ejde-666	458	6	of	of	ADP
ejde-666	458	7	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	458	8	and	and	CCONJ
ejde-666	458	9	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	458	10	weak	weak	ADJ
ejde-666	458	11	solutions	solution	NOUN
ejde-666	458	12	15	15	NUM
ejde-666	458	13	clearly	clearly	ADV
ejde-666	458	14	the	the	DET
ejde-666	458	15	fi	fi	NOUN
ejde-666	458	16	’s	’s	PART
ejde-666	458	17	are	be	AUX
ejde-666	458	18	caratheodory	caratheodory	ADJ
ejde-666	458	19	,	,	PUNCT
ejde-666	458	20	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	458	21	,	,	PUNCT
ejde-666	458	22	non	non	ADJ
ejde-666	458	23	-	-	ADJ
ejde-666	458	24	decreasing	decrease	VERB
ejde-666	458	25	,	,	PUNCT
ejde-666	458	26	and	and	CCONJ
ejde-666	458	27	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-666	458	28	functions	function	NOUN
ejde-666	458	29	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	458	30	the	the	DET
ejde-666	458	31	assumption	assumption	NOUN
ejde-666	458	32	(	(	PUNCT
ejde-666	458	33	a2	a2	PROPN
ejde-666	458	34	)	)	PUNCT
ejde-666	458	35	and	and	CCONJ
ejde-666	458	36	(	(	PUNCT
ejde-666	458	37	a3	a3	NOUN
ejde-666	458	38	)	)	PUNCT
ejde-666	458	39	in	in	ADP
ejde-666	458	40	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	458	41	1.3	1.3	NUM
ejde-666	458	42	.	.	PUNCT
ejde-666	459	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	459	2	,	,	PUNCT
ejde-666	459	3	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	459	4	,	,	PUNCT
ejde-666	459	5	0	0	NUM
ejde-666	459	6	)	)	PUNCT
ejde-666	459	7	=	=	SYM
ejde-666	459	8	0	0	NUM
ejde-666	459	9	,	,	PUNCT
ejde-666	459	10	∂f1	∂f1	PROPN
ejde-666	459	11	∂u2	∂u2	NOUN
ejde-666	459	12	(	(	PUNCT
ejde-666	459	13	0	0	NUM
ejde-666	459	14	,	,	PUNCT
ejde-666	459	15	0	0	NUM
ejde-666	459	16	)	)	PUNCT
ejde-666	459	17	>	>	X
ejde-666	459	18	0	0	PUNCT
ejde-666	459	19	and	and	CCONJ
ejde-666	459	20	∂f2	∂f2	NOUN
ejde-666	459	21	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	459	22	(	(	PUNCT
ejde-666	459	23	0	0	NUM
ejde-666	459	24	,	,	PUNCT
ejde-666	459	25	0	0	NUM
ejde-666	459	26	)	)	PUNCT
ejde-666	459	27	>	>	X
ejde-666	459	28	0	0	X
ejde-666	459	29	.	.	PUNCT
ejde-666	460	1	solutions	solution	NOUN
ejde-666	460	2	can	can	AUX
ejde-666	460	3	be	be	AUX
ejde-666	460	4	found	find	VERB
ejde-666	460	5	in	in	ADP
ejde-666	460	6	figure	figure	NOUN
ejde-666	460	7	3	3	NUM
ejde-666	460	8	for	for	ADP
ejde-666	460	9	λ	λ	NOUN
ejde-666	460	10	=	=	SYM
ejde-666	460	11	0.5	0.5	NUM
ejde-666	460	12	and	and	CCONJ
ejde-666	460	13	λ	λ	X
ejde-666	460	14	=	=	SYM
ejde-666	460	15	3	3	NUM
ejde-666	460	16	,	,	PUNCT
ejde-666	460	17	and	and	CCONJ
ejde-666	460	18	computed	compute	VERB
ejde-666	460	19	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	460	20	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	460	21	can	can	AUX
ejde-666	460	22	be	be	AUX
ejde-666	460	23	found	find	VERB
ejde-666	460	24	in	in	ADP
ejde-666	460	25	figure	figure	NOUN
ejde-666	460	26	4	4	NUM
ejde-666	460	27	.	.	PUNCT
ejde-666	461	1	we	we	PRON
ejde-666	461	2	see	see	VERB
ejde-666	461	3	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-666	461	4	of	of	ADP
ejde-666	461	5	a	a	DET
ejde-666	461	6	positive	positive	ADJ
ejde-666	461	7	solution	solution	NOUN
ejde-666	461	8	for	for	ADP
ejde-666	461	9	λ	λ	NOUN
ejde-666	461	10	small	small	ADJ
ejde-666	461	11	.	.	PUNCT
ejde-666	462	1	when	when	SCONJ
ejde-666	462	2	choosing	choose	VERB
ejde-666	462	3	the	the	DET
ejde-666	462	4	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	462	5	u	u	NOUN
ejde-666	462	6	(	(	PUNCT
ejde-666	462	7	0	0	NUM
ejde-666	462	8	)	)	PUNCT
ejde-666	462	9	h	h	NOUN
ejde-666	462	10	according	accord	VERB
ejde-666	462	11	to	to	PART
ejde-666	462	12	remark	remark	NOUN
ejde-666	462	13	4.5	4.5	NUM
ejde-666	462	14	,	,	PUNCT
ejde-666	462	15	the	the	DET
ejde-666	462	16	solution	solution	NOUN
ejde-666	462	17	for	for	ADP
ejde-666	462	18	λ	λ	NOUN
ejde-666	462	19	=	=	SYM
ejde-666	462	20	0.5	0.5	NUM
ejde-666	462	21	was	be	AUX
ejde-666	462	22	found	find	VERB
ejde-666	462	23	using	use	VERB
ejde-666	462	24	c	c	NOUN
ejde-666	462	25	=	=	SYM
ejde-666	462	26	4	4	NUM
ejde-666	462	27	and	and	CCONJ
ejde-666	462	28	the	the	DET
ejde-666	462	29	solution	solution	NOUN
ejde-666	462	30	for	for	ADP
ejde-666	462	31	λ	λ	NOUN
ejde-666	462	32	=	=	SYM
ejde-666	462	33	3	3	NUM
ejde-666	462	34	was	be	AUX
ejde-666	462	35	found	find	VERB
ejde-666	462	36	using	use	VERB
ejde-666	462	37	c	c	NOUN
ejde-666	462	38	=	=	SYM
ejde-666	462	39	16	16	NUM
ejde-666	462	40	.	.	PUNCT
ejde-666	463	1	figure	figure	NOUN
ejde-666	463	2	3	3	NUM
ejde-666	463	3	.	.	PUNCT
ejde-666	463	4	graphs	graph	NOUN
ejde-666	463	5	of	of	ADP
ejde-666	463	6	u1	u1	NOUN
ejde-666	463	7	and	and	CCONJ
ejde-666	463	8	u2	u2	NOUN
ejde-666	463	9	for	for	ADP
ejde-666	463	10	λ	λ	X
ejde-666	463	11	=	=	SYM
ejde-666	463	12	0.5	0.5	NUM
ejde-666	463	13	and	and	CCONJ
ejde-666	463	14	λ	λ	X
ejde-666	463	15	=	=	NOUN
ejde-666	463	16	3	3	X
ejde-666	463	17	.	.	X
ejde-666	463	18	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	463	19	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	463	20	when	when	SCONJ
ejde-666	463	21	λ	λ	PROPN
ejde-666	463	22	∈	∈	PROPN
ejde-666	463	23	(	(	PUNCT
ejde-666	463	24	0	0	NUM
ejde-666	463	25	,	,	PUNCT
ejde-666	463	26	1	1	NUM
ejde-666	463	27	)	)	PUNCT
ejde-666	463	28	.	.	PUNCT
ejde-666	464	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	464	2	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	464	3	when	when	SCONJ
ejde-666	464	4	λ	λ	PROPN
ejde-666	464	5	∈	∈	PROPN
ejde-666	464	6	(	(	PUNCT
ejde-666	464	7	0	0	NUM
ejde-666	464	8	,	,	PUNCT
ejde-666	464	9	10	10	NUM
ejde-666	464	10	)	)	PUNCT
ejde-666	464	11	.	.	PUNCT
ejde-666	465	1	figure	figure	VERB
ejde-666	465	2	4	4	NUM
ejde-666	465	3	.	.	PUNCT
ejde-666	466	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	466	2	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	466	3	of	of	ADP
ejde-666	466	4	(	(	PUNCT
ejde-666	466	5	4.1	4.1	NUM
ejde-666	466	6	)	)	PUNCT
ejde-666	466	7	for	for	ADP
ejde-666	466	8	different	different	ADJ
ejde-666	466	9	ranges	range	NOUN
ejde-666	466	10	of	of	ADP
ejde-666	466	11	λ	λ	PROPN
ejde-666	466	12	when	when	SCONJ
ejde-666	466	13	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	466	14	,	,	PUNCT
ejde-666	466	15	u2	u2	NOUN
ejde-666	466	16	)	)	PUNCT
ejde-666	466	17	=	=	SYM
ejde-666	466	18	arctan(u2	arctan(u2	NOUN
ejde-666	466	19	)	)	PUNCT
ejde-666	466	20	,	,	PUNCT
ejde-666	466	21	f2(u1	f2(u1	NOUN
ejde-666	466	22	,	,	PUNCT
ejde-666	466	23	u2	u2	NOUN
ejde-666	466	24	)	)	PUNCT
ejde-666	466	25	=	=	SYM
ejde-666	466	26	3	3	NUM
ejde-666	466	27	arctan(u1	arctan(u1	NOUN
ejde-666	466	28	)	)	PUNCT
ejde-666	466	29	.	.	PUNCT
ejde-666	467	1	4.5	4.5	NUM
ejde-666	467	2	.	.	PUNCT
ejde-666	467	3	example	example	NOUN
ejde-666	468	1	3	3	NUM
ejde-666	468	2	.	.	PUNCT
ejde-666	468	3	in	in	ADP
ejde-666	468	4	this	this	DET
ejde-666	468	5	example	example	NOUN
ejde-666	468	6	,	,	PUNCT
ejde-666	468	7	we	we	PRON
ejde-666	468	8	consider	consider	VERB
ejde-666	468	9	the	the	DET
ejde-666	468	10	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	468	11	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	468	12	,	,	PUNCT
ejde-666	468	13	u2	u2	NOUN
ejde-666	468	14	)	)	PUNCT
ejde-666	468	15	=	=	PUNCT
ejde-666	469	1	e	e	X
ejde-666	469	2	10u1	10u1	NUM
ejde-666	469	3	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	469	4	1	1	NUM
ejde-666	469	5	−	−	NUM
ejde-666	469	6	1	1	NUM
ejde-666	469	7	+	+	CCONJ
ejde-666	469	8	5	5	NUM
ejde-666	469	9	3	3	NUM
ejde-666	469	10	√	√	PROPN
ejde-666	469	11	u22	u22	PROPN
ejde-666	469	12	+	+	CCONJ
ejde-666	469	13	1	1	NUM
ejde-666	469	14	,	,	PUNCT
ejde-666	469	15	f2(u1	f2(u1	ADJ
ejde-666	469	16	,	,	PUNCT
ejde-666	469	17	u2	u2	NOUN
ejde-666	469	18	)	)	PUNCT
ejde-666	469	19	=	=	PUNCT
ejde-666	470	1	e	e	PROPN
ejde-666	470	2	u2	u2	PROPN
ejde-666	470	3	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	470	4	2	2	NUM
ejde-666	470	5	−	−	PROPN
ejde-666	470	6	1	1	NUM
ejde-666	470	7	.	.	PUNCT
ejde-666	470	8	clearly	clearly	ADV
ejde-666	470	9	the	the	DET
ejde-666	470	10	fi	fi	NOUN
ejde-666	470	11	’s	’s	PART
ejde-666	470	12	are	be	AUX
ejde-666	470	13	caratheodory	caratheodory	ADJ
ejde-666	470	14	,	,	PUNCT
ejde-666	470	15	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	470	16	,	,	PUNCT
ejde-666	470	17	non	non	ADJ
ejde-666	470	18	-	-	ADJ
ejde-666	470	19	decreasing	decrease	VERB
ejde-666	470	20	,	,	PUNCT
ejde-666	470	21	and	and	CCONJ
ejde-666	470	22	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-666	470	23	functions	function	NOUN
ejde-666	470	24	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	470	25	the	the	DET
ejde-666	470	26	assumption	assumption	NOUN
ejde-666	470	27	(	(	PUNCT
ejde-666	470	28	a2	a2	PROPN
ejde-666	470	29	)	)	PUNCT
ejde-666	470	30	and	and	CCONJ
ejde-666	470	31	(	(	PUNCT
ejde-666	470	32	a3	a3	NOUN
ejde-666	470	33	)	)	PUNCT
ejde-666	470	34	in	in	ADP
ejde-666	470	35	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	470	36	1.3	1.3	NUM
ejde-666	470	37	.	.	PUNCT
ejde-666	471	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	471	2	,	,	PUNCT
ejde-666	471	3	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	471	4	,	,	PUNCT
ejde-666	471	5	0	0	NUM
ejde-666	471	6	)	)	PUNCT
ejde-666	471	7	=	=	SYM
ejde-666	471	8	0	0	NUM
ejde-666	471	9	,	,	PUNCT
ejde-666	471	10	∂f1	∂f1	PROPN
ejde-666	471	11	∂u2	∂u2	NOUN
ejde-666	471	12	(	(	PUNCT
ejde-666	471	13	0	0	NUM
ejde-666	471	14	,	,	PUNCT
ejde-666	471	15	0	0	NUM
ejde-666	471	16	)	)	PUNCT
ejde-666	471	17	=	=	SYM
ejde-666	471	18	∞	∞	PROPN
ejde-666	471	19	and	and	CCONJ
ejde-666	471	20	∂f2	∂f2	NOUN
ejde-666	471	21	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	471	22	(	(	PUNCT
ejde-666	471	23	0	0	NUM
ejde-666	471	24	,	,	PUNCT
ejde-666	471	25	0	0	NUM
ejde-666	471	26	)	)	PUNCT
ejde-666	471	27	=	=	SYM
ejde-666	471	28	0	0	X
ejde-666	471	29	.	.	PUNCT
ejde-666	471	30	solutions	solution	NOUN
ejde-666	471	31	can	can	AUX
ejde-666	471	32	be	be	AUX
ejde-666	471	33	found	find	VERB
ejde-666	471	34	in	in	ADP
ejde-666	471	35	figure	figure	NOUN
ejde-666	471	36	5	5	NUM
ejde-666	471	37	for	for	ADP
ejde-666	471	38	λ	λ	X
ejde-666	471	39	=	=	SYM
ejde-666	471	40	0.5	0.5	NUM
ejde-666	471	41	and	and	CCONJ
ejde-666	471	42	λ	λ	X
ejde-666	471	43	=	=	SYM
ejde-666	471	44	3	3	NUM
ejde-666	471	45	,	,	PUNCT
ejde-666	471	46	and	and	CCONJ
ejde-666	471	47	computed	compute	VERB
ejde-666	471	48	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	471	49	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	471	50	can	can	AUX
ejde-666	471	51	be	be	AUX
ejde-666	471	52	found	find	VERB
ejde-666	471	53	in	in	ADP
ejde-666	471	54	figure	figure	NOUN
ejde-666	471	55	6	6	NUM
ejde-666	471	56	.	.	PUNCT
ejde-666	472	1	also	also	ADV
ejde-666	472	2	in	in	ADP
ejde-666	472	3	figure	figure	NOUN
ejde-666	472	4	6	6	NUM
ejde-666	472	5	,	,	PUNCT
ejde-666	472	6	notice	notice	VERB
ejde-666	472	7	that	that	SCONJ
ejde-666	472	8	there	there	PRON
ejde-666	472	9	exists	exist	VERB
ejde-666	472	10	a	a	DET
ejde-666	472	11	range	range	NOUN
ejde-666	472	12	of	of	ADP
ejde-666	472	13	λ	λ	PROPN
ejde-666	472	14	for	for	ADP
ejde-666	472	15	which	which	PRON
ejde-666	472	16	we	we	PRON
ejde-666	472	17	see	see	VERB
ejde-666	472	18	non	non	ADJ
ejde-666	472	19	coexistence	coexistence	NOUN
ejde-666	472	20	of	of	ADP
ejde-666	472	21	positive	positive	ADJ
ejde-666	472	22	solutions	solution	NOUN
ejde-666	472	23	.	.	PUNCT
ejde-666	473	1	our	our	PRON
ejde-666	473	2	method	method	NOUN
ejde-666	473	3	and	and	CCONJ
ejde-666	473	4	monotone	monotone	NOUN
ejde-666	473	5	solver	solver	NOUN
ejde-666	473	6	found	find	VERB
ejde-666	473	7	the	the	DET
ejde-666	473	8	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	473	9	solution	solution	NOUN
ejde-666	473	10	based	base	VERB
ejde-666	473	11	on	on	ADP
ejde-666	473	12	our	our	PRON
ejde-666	473	13	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	473	14	.	.	PUNCT
ejde-666	474	1	observe	observe	VERB
ejde-666	474	2	that	that	SCONJ
ejde-666	474	3	,	,	PUNCT
ejde-666	474	4	in	in	ADP
ejde-666	474	5	subfigure	subfigure	NOUN
ejde-666	474	6	6(a	6(a	NUM
ejde-666	474	7	)	)	PUNCT
ejde-666	474	8	,	,	PUNCT
ejde-666	474	9	the	the	DET
ejde-666	474	10	vertical	vertical	ADJ
ejde-666	474	11	lines	line	NOUN
ejde-666	474	12	are	be	AUX
ejde-666	474	13	jump	jump	VERB
ejde-666	474	14	discontinuities	discontinuity	NOUN
ejde-666	474	15	corresponding	correspond	VERB
ejde-666	474	16	to	to	ADP
ejde-666	474	17	finding	find	VERB
ejde-666	474	18	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	474	19	solutions	solution	NOUN
ejde-666	474	20	.	.	PUNCT
ejde-666	475	1	we	we	PRON
ejde-666	475	2	used	use	VERB
ejde-666	475	3	the	the	DET
ejde-666	475	4	method	method	NOUN
ejde-666	475	5	of	of	ADP
ejde-666	475	6	16	16	NUM
ejde-666	475	7	s.	s.	PROPN
ejde-666	475	8	bandyopadhyay	bandyopadhyay	PROPN
ejde-666	475	9	,	,	PUNCT
ejde-666	475	10	t.	t.	PROPN
ejde-666	475	11	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	475	12	,	,	PUNCT
ejde-666	475	13	n.	n.	PROPN
ejde-666	475	14	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	475	15	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	475	16	continuation	continuation	NOUN
ejde-666	475	17	to	to	PART
ejde-666	475	18	find	find	VERB
ejde-666	475	19	the	the	DET
ejde-666	475	20	exact	exact	ADJ
ejde-666	475	21	branches	branch	NOUN
ejde-666	475	22	of	of	ADP
ejde-666	475	23	the	the	DET
ejde-666	475	24	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	475	25	curves	curve	NOUN
ejde-666	475	26	in	in	ADP
ejde-666	475	27	subfigure	subfigure	NOUN
ejde-666	475	28	6(b	6(b	NUM
ejde-666	475	29	)	)	PUNCT
ejde-666	475	30	.	.	PUNCT
ejde-666	476	1	when	when	SCONJ
ejde-666	476	2	choosing	choose	VERB
ejde-666	476	3	the	the	DET
ejde-666	476	4	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	476	5	u	u	NOUN
ejde-666	476	6	(	(	PUNCT
ejde-666	476	7	0	0	NUM
ejde-666	476	8	)	)	PUNCT
ejde-666	476	9	h	h	NOUN
ejde-666	476	10	according	accord	VERB
ejde-666	476	11	to	to	PART
ejde-666	476	12	remark	remark	NOUN
ejde-666	476	13	4.5	4.5	NUM
ejde-666	476	14	,	,	PUNCT
ejde-666	476	15	the	the	DET
ejde-666	476	16	solution	solution	NOUN
ejde-666	476	17	for	for	ADP
ejde-666	476	18	λ	λ	NOUN
ejde-666	476	19	=	=	SYM
ejde-666	476	20	0.5	0.5	NUM
ejde-666	476	21	was	be	AUX
ejde-666	476	22	found	find	VERB
ejde-666	476	23	using	use	VERB
ejde-666	476	24	c	c	NOUN
ejde-666	476	25	=	=	SYM
ejde-666	476	26	512	512	NUM
ejde-666	476	27	and	and	CCONJ
ejde-666	476	28	the	the	DET
ejde-666	476	29	solution	solution	NOUN
ejde-666	476	30	for	for	ADP
ejde-666	476	31	λ	λ	NOUN
ejde-666	476	32	=	=	SYM
ejde-666	476	33	3	3	NUM
ejde-666	476	34	was	be	AUX
ejde-666	476	35	found	find	VERB
ejde-666	476	36	using	use	VERB
ejde-666	476	37	c	c	NOUN
ejde-666	476	38	=	=	SYM
ejde-666	476	39	65536	65536	NUM
ejde-666	476	40	.	.	PUNCT
ejde-666	477	1	figure	figure	NOUN
ejde-666	477	2	5	5	NUM
ejde-666	477	3	.	.	PUNCT
ejde-666	478	1	graphs	graph	NOUN
ejde-666	478	2	of	of	ADP
ejde-666	478	3	u1	u1	NOUN
ejde-666	478	4	and	and	CCONJ
ejde-666	478	5	u2	u2	NOUN
ejde-666	478	6	for	for	ADP
ejde-666	478	7	λ	λ	X
ejde-666	478	8	=	=	SYM
ejde-666	478	9	0.5	0.5	NUM
ejde-666	478	10	and	and	CCONJ
ejde-666	478	11	λ	λ	X
ejde-666	478	12	=	=	NOUN
ejde-666	478	13	3	3	X
ejde-666	478	14	.	.	X
ejde-666	478	15	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	478	16	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	478	17	when	when	SCONJ
ejde-666	478	18	λ	λ	PROPN
ejde-666	478	19	∈	∈	PROPN
ejde-666	478	20	(	(	PUNCT
ejde-666	478	21	0	0	NUM
ejde-666	478	22	,	,	PUNCT
ejde-666	478	23	0.5	0.5	NUM
ejde-666	478	24	)	)	PUNCT
ejde-666	478	25	.	.	PUNCT
ejde-666	479	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	479	2	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	479	3	when	when	SCONJ
ejde-666	479	4	λ	λ	PROPN
ejde-666	479	5	∈	∈	PROPN
ejde-666	479	6	(	(	PUNCT
ejde-666	479	7	0	0	NUM
ejde-666	479	8	,	,	PUNCT
ejde-666	479	9	1	1	NUM
ejde-666	479	10	)	)	PUNCT
ejde-666	479	11	.	.	PUNCT
ejde-666	480	1	figure	figure	VERB
ejde-666	480	2	6	6	NUM
ejde-666	480	3	.	.	PUNCT
ejde-666	481	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	481	2	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	481	3	of	of	ADP
ejde-666	481	4	(	(	PUNCT
ejde-666	481	5	4.1	4.1	NUM
ejde-666	481	6	)	)	PUNCT
ejde-666	481	7	for	for	ADP
ejde-666	481	8	different	different	ADJ
ejde-666	481	9	ranges	range	NOUN
ejde-666	481	10	of	of	ADP
ejde-666	481	11	λ	λ	PROPN
ejde-666	481	12	when	when	SCONJ
ejde-666	481	13	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	481	14	,	,	PUNCT
ejde-666	481	15	u2	u2	NOUN
ejde-666	481	16	)	)	PUNCT
ejde-666	481	17	=	=	PUNCT
ejde-666	482	1	e	e	X
ejde-666	482	2	10u1	10u1	NUM
ejde-666	482	3	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	482	4	1	1	NUM
ejde-666	482	5	−	−	NUM
ejde-666	482	6	1	1	NUM
ejde-666	482	7	+	+	CCONJ
ejde-666	482	8	5	5	NUM
ejde-666	482	9	3	3	NUM
ejde-666	482	10	√	√	PROPN
ejde-666	482	11	u22	u22	PROPN
ejde-666	482	12	+	+	CCONJ
ejde-666	482	13	1	1	NUM
ejde-666	482	14	,	,	PUNCT
ejde-666	482	15	f2(u1	f2(u1	ADJ
ejde-666	482	16	,	,	PUNCT
ejde-666	482	17	u2	u2	NOUN
ejde-666	482	18	)	)	PUNCT
ejde-666	482	19	=	=	PUNCT
ejde-666	483	1	e	e	PROPN
ejde-666	483	2	u2	u2	PROPN
ejde-666	483	3	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	483	4	2	2	NUM
ejde-666	483	5	−	−	NOUN
ejde-666	483	6	1	1	NUM
ejde-666	483	7	.	.	X
ejde-666	483	8	4.6	4.6	NUM
ejde-666	483	9	.	.	PUNCT
ejde-666	483	10	example	example	NOUN
ejde-666	483	11	4	4	NUM
ejde-666	483	12	.	.	PUNCT
ejde-666	484	1	in	in	ADP
ejde-666	484	2	this	this	DET
ejde-666	484	3	example	example	NOUN
ejde-666	484	4	,	,	PUNCT
ejde-666	484	5	we	we	PRON
ejde-666	484	6	consider	consider	VERB
ejde-666	484	7	the	the	DET
ejde-666	484	8	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-666	484	9	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	484	10	,	,	PUNCT
ejde-666	484	11	u2	u2	NOUN
ejde-666	484	12	)	)	PUNCT
ejde-666	484	13	=	=	PUNCT
ejde-666	484	14	e	e	NOUN
ejde-666	484	15	u1	u1	PROPN
ejde-666	484	16	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	484	17	1	1	NUM
ejde-666	484	18	−	−	NUM
ejde-666	484	19	1	1	NUM
ejde-666	484	20	+	+	CCONJ
ejde-666	484	21	1	1	NUM
ejde-666	484	22	3	3	NUM
ejde-666	484	23	3	3	NUM
ejde-666	484	24	√	√	PROPN
ejde-666	484	25	u22	u22	PROPN
ejde-666	484	26	+	+	CCONJ
ejde-666	484	27	1	1	NUM
ejde-666	484	28	,	,	PUNCT
ejde-666	484	29	f2(u1	f2(u1	ADJ
ejde-666	484	30	,	,	PUNCT
ejde-666	484	31	u2	u2	NOUN
ejde-666	484	32	)	)	PUNCT
ejde-666	484	33	=	=	SYM
ejde-666	484	34	arctan(u2	arctan(u2	NOUN
ejde-666	484	35	)	)	PUNCT
ejde-666	485	1	+	+	CCONJ
ejde-666	485	2	e	e	PROPN
ejde-666	485	3	u2	u2	PROPN
ejde-666	485	4	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	485	5	2	2	NUM
ejde-666	485	6	−	−	PROPN
ejde-666	485	7	1	1	NUM
ejde-666	485	8	.	.	PUNCT
ejde-666	486	1	clearly	clearly	ADV
ejde-666	486	2	the	the	DET
ejde-666	486	3	fi	fi	NOUN
ejde-666	486	4	’s	’s	PART
ejde-666	486	5	are	be	AUX
ejde-666	486	6	caratheodory	caratheodory	ADJ
ejde-666	486	7	,	,	PUNCT
ejde-666	486	8	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	486	9	,	,	PUNCT
ejde-666	486	10	non	non	ADJ
ejde-666	486	11	-	-	ADJ
ejde-666	486	12	decreasing	decrease	VERB
ejde-666	486	13	,	,	PUNCT
ejde-666	486	14	and	and	CCONJ
ejde-666	486	15	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-666	486	16	functions	function	NOUN
ejde-666	486	17	satisfying	satisfy	VERB
ejde-666	486	18	the	the	DET
ejde-666	486	19	assumption	assumption	NOUN
ejde-666	486	20	(	(	PUNCT
ejde-666	486	21	a2	a2	PROPN
ejde-666	486	22	)	)	PUNCT
ejde-666	486	23	and	and	CCONJ
ejde-666	486	24	(	(	PUNCT
ejde-666	486	25	a3	a3	NOUN
ejde-666	486	26	)	)	PUNCT
ejde-666	486	27	in	in	ADP
ejde-666	486	28	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	486	29	1.3	1.3	NUM
ejde-666	486	30	.	.	PUNCT
ejde-666	487	1	moreover	moreover	ADV
ejde-666	487	2	,	,	PUNCT
ejde-666	487	3	fi(0	fi(0	PROPN
ejde-666	487	4	,	,	PUNCT
ejde-666	487	5	0	0	NUM
ejde-666	487	6	)	)	PUNCT
ejde-666	487	7	=	=	SYM
ejde-666	487	8	0	0	NUM
ejde-666	487	9	,	,	PUNCT
ejde-666	487	10	∂f1	∂f1	PROPN
ejde-666	487	11	∂u2	∂u2	NOUN
ejde-666	487	12	(	(	PUNCT
ejde-666	487	13	0	0	NUM
ejde-666	487	14	,	,	PUNCT
ejde-666	487	15	0	0	NUM
ejde-666	487	16	)	)	PUNCT
ejde-666	487	17	=	=	SYM
ejde-666	487	18	∞	∞	PROPN
ejde-666	487	19	and	and	CCONJ
ejde-666	487	20	∂f2	∂f2	NOUN
ejde-666	487	21	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	487	22	(	(	PUNCT
ejde-666	487	23	0	0	NUM
ejde-666	487	24	,	,	PUNCT
ejde-666	487	25	0	0	NUM
ejde-666	487	26	)	)	PUNCT
ejde-666	487	27	>	>	X
ejde-666	487	28	0	0	X
ejde-666	487	29	.	.	PUNCT
ejde-666	487	30	solutions	solution	NOUN
ejde-666	487	31	can	can	AUX
ejde-666	487	32	be	be	AUX
ejde-666	487	33	found	find	VERB
ejde-666	487	34	in	in	ADP
ejde-666	487	35	figure	figure	NOUN
ejde-666	487	36	7	7	NUM
ejde-666	487	37	for	for	ADP
ejde-666	487	38	λ	λ	NOUN
ejde-666	487	39	=	=	SYM
ejde-666	487	40	0.5	0.5	NUM
ejde-666	487	41	and	and	CCONJ
ejde-666	487	42	λ	λ	X
ejde-666	487	43	=	=	SYM
ejde-666	487	44	3	3	NUM
ejde-666	487	45	,	,	PUNCT
ejde-666	487	46	and	and	CCONJ
ejde-666	487	47	computed	compute	VERB
ejde-666	487	48	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	487	49	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	487	50	can	can	AUX
ejde-666	487	51	be	be	AUX
ejde-666	487	52	found	find	VERB
ejde-666	487	53	in	in	ADP
ejde-666	487	54	figure	figure	NOUN
ejde-666	487	55	8	8	NUM
ejde-666	487	56	.	.	PUNCT
ejde-666	488	1	in	in	ADP
ejde-666	488	2	figure	figure	NOUN
ejde-666	488	3	7	7	NUM
ejde-666	488	4	,	,	PUNCT
ejde-666	488	5	notice	notice	VERB
ejde-666	488	6	that	that	SCONJ
ejde-666	488	7	for	for	ADP
ejde-666	488	8	λ	λ	PROPN
ejde-666	488	9	=	=	SYM
ejde-666	488	10	0.5	0.5	NUM
ejde-666	488	11	,	,	PUNCT
ejde-666	488	12	u2	u2	PROPN
ejde-666	488	13	>	>	SYM
ejde-666	488	14	u1	u1	NOUN
ejde-666	488	15	,	,	PUNCT
ejde-666	488	16	whereas	whereas	SCONJ
ejde-666	488	17	,	,	PUNCT
ejde-666	488	18	for	for	ADP
ejde-666	488	19	λ	λ	PROPN
ejde-666	488	20	=	=	SYM
ejde-666	488	21	3	3	NUM
ejde-666	488	22	,	,	PUNCT
ejde-666	488	23	u1	u1	NOUN
ejde-666	488	24	>	>	X
ejde-666	488	25	u2	u2	PROPN
ejde-666	488	26	.	.	PUNCT
ejde-666	489	1	when	when	SCONJ
ejde-666	489	2	choosing	choose	VERB
ejde-666	489	3	the	the	DET
ejde-666	489	4	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	489	5	u	u	NOUN
ejde-666	489	6	(	(	PUNCT
ejde-666	489	7	0	0	NUM
ejde-666	489	8	)	)	PUNCT
ejde-666	489	9	h	h	NOUN
ejde-666	489	10	according	accord	VERB
ejde-666	489	11	to	to	PART
ejde-666	489	12	remark	remark	NOUN
ejde-666	489	13	4.5	4.5	NUM
ejde-666	489	14	,	,	PUNCT
ejde-666	489	15	the	the	DET
ejde-666	489	16	solution	solution	NOUN
ejde-666	489	17	for	for	ADP
ejde-666	489	18	λ	λ	NOUN
ejde-666	489	19	=	=	SYM
ejde-666	489	20	0.5	0.5	NUM
ejde-666	489	21	was	be	AUX
ejde-666	489	22	found	find	VERB
ejde-666	489	23	using	use	VERB
ejde-666	489	24	c	c	NOUN
ejde-666	489	25	=	=	SYM
ejde-666	489	26	1	1	NUM
ejde-666	489	27	and	and	CCONJ
ejde-666	489	28	the	the	DET
ejde-666	489	29	solution	solution	NOUN
ejde-666	489	30	for	for	ADP
ejde-666	489	31	λ	λ	NOUN
ejde-666	489	32	=	=	SYM
ejde-666	489	33	3	3	NUM
ejde-666	489	34	was	be	AUX
ejde-666	489	35	found	find	VERB
ejde-666	489	36	using	use	VERB
ejde-666	489	37	c	c	NOUN
ejde-666	489	38	=	=	SYM
ejde-666	489	39	32	32	NUM
ejde-666	489	40	.	.	PUNCT
ejde-666	490	1	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	490	2	existence	existence	NOUN
ejde-666	490	3	of	of	ADP
ejde-666	490	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	490	5	and	and	CCONJ
ejde-666	490	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	490	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	490	8	solutions	solution	NOUN
ejde-666	490	9	17	17	NUM
ejde-666	490	10	figure	figure	NOUN
ejde-666	490	11	7	7	NUM
ejde-666	490	12	.	.	PUNCT
ejde-666	490	13	graphs	graph	NOUN
ejde-666	490	14	of	of	ADP
ejde-666	490	15	u1	u1	NOUN
ejde-666	490	16	and	and	CCONJ
ejde-666	490	17	u2	u2	NOUN
ejde-666	490	18	for	for	ADP
ejde-666	490	19	λ	λ	X
ejde-666	490	20	=	=	SYM
ejde-666	490	21	0.5	0.5	NUM
ejde-666	490	22	and	and	CCONJ
ejde-666	490	23	λ	λ	X
ejde-666	490	24	=	=	NOUN
ejde-666	490	25	3	3	X
ejde-666	490	26	.	.	X
ejde-666	490	27	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	490	28	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	490	29	when	when	SCONJ
ejde-666	490	30	λ	λ	PROPN
ejde-666	490	31	∈	∈	PROPN
ejde-666	490	32	(	(	PUNCT
ejde-666	490	33	0	0	NUM
ejde-666	490	34	,	,	PUNCT
ejde-666	490	35	0.5	0.5	NUM
ejde-666	490	36	)	)	PUNCT
ejde-666	490	37	.	.	PUNCT
ejde-666	491	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	491	2	diagram	diagram	NOUN
ejde-666	491	3	when	when	SCONJ
ejde-666	491	4	λ	λ	PROPN
ejde-666	491	5	∈	∈	PROPN
ejde-666	491	6	(	(	PUNCT
ejde-666	491	7	0	0	NUM
ejde-666	491	8	,	,	PUNCT
ejde-666	491	9	10	10	NUM
ejde-666	491	10	)	)	PUNCT
ejde-666	491	11	.	.	PUNCT
ejde-666	492	1	figure	figure	VERB
ejde-666	492	2	8	8	NUM
ejde-666	492	3	.	.	PUNCT
ejde-666	493	1	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	493	2	diagrams	diagram	NOUN
ejde-666	493	3	of	of	ADP
ejde-666	493	4	(	(	PUNCT
ejde-666	493	5	4.1	4.1	NUM
ejde-666	493	6	)	)	PUNCT
ejde-666	493	7	for	for	ADP
ejde-666	493	8	different	different	ADJ
ejde-666	493	9	ranges	range	NOUN
ejde-666	493	10	of	of	ADP
ejde-666	493	11	λ	λ	PROPN
ejde-666	493	12	when	when	SCONJ
ejde-666	493	13	f1(u1	f1(u1	NOUN
ejde-666	493	14	,	,	PUNCT
ejde-666	493	15	u2	u2	NOUN
ejde-666	493	16	)	)	PUNCT
ejde-666	493	17	=	=	PUNCT
ejde-666	493	18	e	e	NOUN
ejde-666	493	19	u1	u1	PROPN
ejde-666	493	20	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	493	21	1	1	NUM
ejde-666	493	22	−	−	NUM
ejde-666	493	23	1	1	NUM
ejde-666	493	24	+	+	CCONJ
ejde-666	493	25	1	1	NUM
ejde-666	493	26	3	3	NUM
ejde-666	493	27	3	3	NUM
ejde-666	493	28	√	√	PROPN
ejde-666	493	29	u22	u22	PROPN
ejde-666	493	30	+	+	CCONJ
ejde-666	493	31	1	1	NUM
ejde-666	493	32	,	,	PUNCT
ejde-666	493	33	f2(u1	f2(u1	ADJ
ejde-666	493	34	,	,	PUNCT
ejde-666	493	35	u2	u2	NOUN
ejde-666	493	36	)	)	PUNCT
ejde-666	493	37	=	=	SYM
ejde-666	493	38	arctan(u2	arctan(u2	NOUN
ejde-666	493	39	)	)	PUNCT
ejde-666	494	1	+	+	CCONJ
ejde-666	494	2	e	e	PROPN
ejde-666	494	3	u2	u2	PROPN
ejde-666	494	4	1+u2	1+u2	NUM
ejde-666	494	5	2	2	NUM
ejde-666	494	6	−	−	NOUN
ejde-666	494	7	1	1	NUM
ejde-666	494	8	.	.	X
ejde-666	494	9	5	5	NUM
ejde-666	494	10	.	.	X
ejde-666	494	11	appendix	appendix	NOUN
ejde-666	494	12	in	in	ADP
ejde-666	494	13	this	this	DET
ejde-666	494	14	section	section	NOUN
ejde-666	494	15	we	we	PRON
ejde-666	494	16	use	use	VERB
ejde-666	494	17	kato	kato	PROPN
ejde-666	494	18	’s	’s	PART
ejde-666	494	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	494	20	up	up	ADP
ejde-666	494	21	to	to	ADP
ejde-666	494	22	the	the	DET
ejde-666	494	23	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	494	24	for	for	SCONJ
ejde-666	494	25	single	single	ADJ
ejde-666	494	26	equations	equation	NOUN
ejde-666	494	27	to	to	PART
ejde-666	494	28	prove	prove	VERB
ejde-666	494	29	that	that	SCONJ
ejde-666	494	30	the	the	DET
ejde-666	494	31	componentwise	componentwise	NOUN
ejde-666	494	32	maximum	maximum	NOUN
ejde-666	494	33	of	of	ADP
ejde-666	494	34	two	two	NUM
ejde-666	494	35	solutions	solution	NOUN
ejde-666	494	36	of	of	ADP
ejde-666	494	37	(	(	PUNCT
ejde-666	494	38	1.1	1.1	NUM
ejde-666	494	39	)	)	PUNCT
ejde-666	494	40	is	be	AUX
ejde-666	494	41	a	a	DET
ejde-666	494	42	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	494	43	of	of	ADP
ejde-666	494	44	(	(	PUNCT
ejde-666	494	45	1.1	1.1	NUM
ejde-666	494	46	)	)	PUNCT
ejde-666	494	47	(	(	PUNCT
ejde-666	494	48	see	see	VERB
ejde-666	494	49	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	494	50	5.4	5.4	NUM
ejde-666	494	51	)	)	PUNCT
ejde-666	494	52	and	and	CCONJ
ejde-666	494	53	componentwise	componentwise	VERB
ejde-666	494	54	minimum	minimum	NOUN
ejde-666	494	55	of	of	ADP
ejde-666	494	56	two	two	NUM
ejde-666	494	57	solutions	solution	NOUN
ejde-666	494	58	of	of	ADP
ejde-666	494	59	(	(	PUNCT
ejde-666	494	60	1.1	1.1	NUM
ejde-666	494	61	)	)	PUNCT
ejde-666	494	62	is	be	AUX
ejde-666	494	63	a	a	DET
ejde-666	494	64	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	494	65	of	of	ADP
ejde-666	494	66	(	(	PUNCT
ejde-666	494	67	1.1	1.1	NUM
ejde-666	494	68	)	)	PUNCT
ejde-666	494	69	(	(	PUNCT
ejde-666	494	70	see	see	VERB
ejde-666	494	71	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	494	72	5.6	5.6	NUM
ejde-666	494	73	)	)	PUNCT
ejde-666	494	74	,	,	PUNCT
ejde-666	494	75	which	which	PRON
ejde-666	494	76	we	we	PRON
ejde-666	494	77	used	use	VERB
ejde-666	494	78	in	in	ADP
ejde-666	494	79	step	step	NOUN
ejde-666	494	80	4	4	NUM
ejde-666	494	81	of	of	ADP
ejde-666	494	82	the	the	DET
ejde-666	494	83	proof	proof	NOUN
ejde-666	494	84	of	of	ADP
ejde-666	494	85	theorem	theorem	ADJ
ejde-666	494	86	1.4	1.4	NUM
ejde-666	494	87	(	(	PUNCT
ejde-666	494	88	see	see	VERB
ejde-666	494	89	section	section	NOUN
ejde-666	494	90	3	3	NUM
ejde-666	494	91	)	)	PUNCT
ejde-666	494	92	.	.	PUNCT
ejde-666	495	1	now	now	ADV
ejde-666	495	2	we	we	PRON
ejde-666	495	3	have	have	VERB
ejde-666	495	4	kato	kato	PROPN
ejde-666	495	5	’s	’s	PART
ejde-666	495	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-666	495	7	up	up	ADP
ejde-666	495	8	to	to	ADP
ejde-666	495	9	the	the	DET
ejde-666	495	10	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	495	11	for	for	ADP
ejde-666	495	12	single	single	ADJ
ejde-666	495	13	equations	equation	NOUN
ejde-666	495	14	.	.	PUNCT
ejde-666	496	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	496	2	5.1	5.1	NUM
ejde-666	496	3	.	.	PUNCT
ejde-666	497	1	let	let	VERB
ejde-666	497	2	u1	u1	NOUN
ejde-666	497	3	and	and	CCONJ
ejde-666	497	4	u2	u2	PROPN
ejde-666	497	5	be	be	NOUN
ejde-666	497	6	functions	function	NOUN
ejde-666	497	7	in	in	ADP
ejde-666	497	8	h1(ω	h1(ω	NOUN
ejde-666	497	9	)	)	PUNCT
ejde-666	497	10	such	such	ADJ
ejde-666	497	11	that	that	SCONJ
ejde-666	497	12	there	there	PRON
ejde-666	497	13	exist	exist	VERB
ejde-666	497	14	f1	f1	NOUN
ejde-666	497	15	and	and	CCONJ
ejde-666	497	16	f2	f2	PROPN
ejde-666	497	17	in	in	ADP
ejde-666	497	18	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	497	19	)	)	PUNCT
ejde-666	497	20	,	,	PUNCT
ejde-666	497	21	for	for	ADP
ejde-666	497	22	r	r	PROPN
ejde-666	497	23	≥	≥	X
ejde-666	497	24	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	497	25	)	)	PUNCT
ejde-666	497	26	n	n	PROPN
ejde-666	497	27	,	,	PUNCT
ejde-666	497	28	satisfying∫	satisfying∫	PROPN
ejde-666	497	29	ω	ω	PROPN
ejde-666	497	30	(	(	PUNCT
ejde-666	497	31	∇ui∇ψ	∇ui∇ψ	X
ejde-666	497	32	+	+	CCONJ
ejde-666	497	33	uiψ	uiψ	ADJ
ejde-666	497	34	)	)	PUNCT
ejde-666	497	35	≤	≤	NUM
ejde-666	497	36	∫	∫	PROPN
ejde-666	498	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	498	2	fiψ	fiψ	NOUN
ejde-666	498	3	for	for	ADP
ejde-666	498	4	all	all	DET
ejde-666	498	5	0	0	NUM
ejde-666	498	6	≤	≤	NOUN
ejde-666	498	7	ψ	ψ	ADP
ejde-666	498	8	∈	∈	PROPN
ejde-666	498	9	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	498	10	)	)	PUNCT
ejde-666	498	11	,	,	PUNCT
ejde-666	498	12	(	(	PUNCT
ejde-666	498	13	5.1	5.1	NUM
ejde-666	498	14	)	)	PUNCT
ejde-666	498	15	for	for	ADP
ejde-666	498	16	i	i	PROPN
ejde-666	498	17	=	=	SYM
ejde-666	498	18	1	1	NUM
ejde-666	498	19	,	,	PUNCT
ejde-666	498	20	2	2	NUM
ejde-666	498	21	.	.	PUNCT
ejde-666	499	1	then	then	ADV
ejde-666	499	2	,	,	PUNCT
ejde-666	499	3	u	u	NOUN
ejde-666	499	4	:	:	PUNCT
ejde-666	499	5	=	=	SYM
ejde-666	499	6	max{u1	max{u1	PROPN
ejde-666	499	7	,	,	PUNCT
ejde-666	499	8	u2	u2	NOUN
ejde-666	499	9	}	}	PUNCT
ejde-666	499	10	satisfies∫	satisfies∫	X
ejde-666	499	11	ω	ω	NOUN
ejde-666	499	12	(	(	PUNCT
ejde-666	499	13	∇u∇ψ	∇u∇ψ	ADP
ejde-666	499	14	+	+	CCONJ
ejde-666	499	15	uψ	uψ	NOUN
ejde-666	499	16	)	)	PUNCT
ejde-666	499	17	≤	≤	NUM
ejde-666	499	18	∫	∫	NOUN
ejde-666	500	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	500	2	fψ	fψ	PROPN
ejde-666	500	3	for	for	ADP
ejde-666	500	4	all	all	DET
ejde-666	500	5	0	0	NUM
ejde-666	500	6	≤	≤	NOUN
ejde-666	500	7	ψ	ψ	ADP
ejde-666	500	8	∈	∈	PROPN
ejde-666	500	9	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	500	10	)	)	PUNCT
ejde-666	500	11	,	,	PUNCT
ejde-666	500	12	where	where	SCONJ
ejde-666	500	13	f(x	f(x	PROPN
ejde-666	500	14	)	)	PUNCT
ejde-666	500	15	:	:	PUNCT
ejde-666	501	1	=	=	PRON
ejde-666	501	2	{	{	PUNCT
ejde-666	501	3	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	501	4	)	)	PUNCT
ejde-666	501	5	if	if	SCONJ
ejde-666	501	6	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	501	7	)	)	PUNCT
ejde-666	501	8	>	>	X
ejde-666	501	9	u2(x	u2(x	X
ejde-666	501	10	)	)	PUNCT
ejde-666	501	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	501	12	.	.	PUNCT
ejde-666	501	13	x	x	SYM
ejde-666	501	14	∈	∈	PROPN
ejde-666	501	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	501	16	,	,	PUNCT
ejde-666	501	17	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	501	18	)	)	PUNCT
ejde-666	501	19	if	if	SCONJ
ejde-666	501	20	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	501	21	)	)	PUNCT
ejde-666	501	22	≤	≤	NOUN
ejde-666	501	23	u2(x	u2(x	X
ejde-666	501	24	)	)	PUNCT
ejde-666	501	25	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	501	26	.	.	PUNCT
ejde-666	501	27	x	x	SYM
ejde-666	501	28	∈	∈	PROPN
ejde-666	501	29	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	501	30	for	for	ADP
ejde-666	501	31	a	a	DET
ejde-666	501	32	proof	proof	NOUN
ejde-666	501	33	of	of	ADP
ejde-666	501	34	the	the	DET
ejde-666	501	35	above	above	ADJ
ejde-666	501	36	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	501	37	,	,	PUNCT
ejde-666	501	38	see	see	VERB
ejde-666	501	39	[	[	X
ejde-666	501	40	4	4	NUM
ejde-666	501	41	,	,	PUNCT
ejde-666	501	42	theorem	theorem	VERB
ejde-666	501	43	2.4	2.4	NUM
ejde-666	501	44	]	]	PUNCT
ejde-666	501	45	.	.	PUNCT
ejde-666	502	1	18	18	NUM
ejde-666	502	2	s.	s.	PROPN
ejde-666	502	3	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	502	4	,	,	PUNCT
ejde-666	502	5	t.	t.	PROPN
ejde-666	502	6	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	502	7	,	,	PUNCT
ejde-666	502	8	n.	n.	PROPN
ejde-666	502	9	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	502	10	ejde-2025/43	ejde-2025/43	PROPN
ejde-666	502	11	corollary	corollary	NOUN
ejde-666	502	12	5.2	5.2	NUM
ejde-666	502	13	.	.	PUNCT
ejde-666	503	1	let	let	VERB
ejde-666	503	2	u1	u1	NOUN
ejde-666	503	3	and	and	CCONJ
ejde-666	503	4	u2	u2	PROPN
ejde-666	503	5	be	be	NOUN
ejde-666	503	6	functions	function	NOUN
ejde-666	503	7	in	in	ADP
ejde-666	503	8	h1(ω	h1(ω	NOUN
ejde-666	503	9	)	)	PUNCT
ejde-666	503	10	such	such	ADJ
ejde-666	503	11	that	that	SCONJ
ejde-666	503	12	there	there	PRON
ejde-666	503	13	exist	exist	VERB
ejde-666	503	14	f1	f1	NOUN
ejde-666	503	15	and	and	CCONJ
ejde-666	503	16	f2	f2	PROPN
ejde-666	503	17	in	in	ADP
ejde-666	503	18	lr(∂ω	lr(∂ω	NOUN
ejde-666	503	19	)	)	PUNCT
ejde-666	503	20	,	,	PUNCT
ejde-666	503	21	for	for	ADP
ejde-666	503	22	r	r	PROPN
ejde-666	503	23	≥	≥	X
ejde-666	503	24	2(n−1	2(n−1	ADJ
ejde-666	503	25	)	)	PUNCT
ejde-666	503	26	n	n	PROPN
ejde-666	503	27	,	,	PUNCT
ejde-666	503	28	satisfying∫	satisfying∫	PROPN
ejde-666	503	29	ω	ω	PROPN
ejde-666	503	30	(	(	PUNCT
ejde-666	503	31	∇ui∇ψ	∇ui∇ψ	X
ejde-666	503	32	+	+	CCONJ
ejde-666	503	33	uiψ	uiψ	ADJ
ejde-666	503	34	)	)	PUNCT
ejde-666	503	35	≥	≥	NUM
ejde-666	503	36	∫	∫	PROPN
ejde-666	504	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	504	2	fiψ	fiψ	NOUN
ejde-666	504	3	for	for	ADP
ejde-666	504	4	all	all	DET
ejde-666	504	5	0	0	NUM
ejde-666	504	6	≤	≤	NOUN
ejde-666	504	7	ψ	ψ	ADP
ejde-666	504	8	∈	∈	PROPN
ejde-666	504	9	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	504	10	)	)	PUNCT
ejde-666	504	11	,	,	PUNCT
ejde-666	504	12	for	for	ADP
ejde-666	504	13	i	i	PROPN
ejde-666	504	14	=	=	SYM
ejde-666	504	15	1	1	NUM
ejde-666	504	16	,	,	PUNCT
ejde-666	504	17	2	2	NUM
ejde-666	504	18	.	.	PUNCT
ejde-666	505	1	then	then	ADV
ejde-666	505	2	,	,	PUNCT
ejde-666	505	3	u	u	NOUN
ejde-666	505	4	:	:	PUNCT
ejde-666	505	5	=	=	PROPN
ejde-666	505	6	min{u1	min{u1	PROPN
ejde-666	505	7	,	,	PUNCT
ejde-666	505	8	u2	u2	NOUN
ejde-666	505	9	}	}	PUNCT
ejde-666	505	10	satisfies∫	satisfies∫	X
ejde-666	505	11	ω	ω	NOUN
ejde-666	505	12	(	(	PUNCT
ejde-666	505	13	∇u∇ψ	∇u∇ψ	ADP
ejde-666	505	14	+	+	CCONJ
ejde-666	505	15	uψ	uψ	NOUN
ejde-666	505	16	)	)	PUNCT
ejde-666	505	17	≥	≥	NOUN
ejde-666	505	18	∫	∫	INTJ
ejde-666	506	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	506	2	fψ	fψ	PROPN
ejde-666	506	3	,	,	PUNCT
ejde-666	506	4	for	for	ADP
ejde-666	506	5	all	all	PRON
ejde-666	506	6	0	0	NUM
ejde-666	506	7	≤	≤	NOUN
ejde-666	506	8	ψ	ψ	ADP
ejde-666	506	9	∈	∈	PROPN
ejde-666	506	10	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-666	506	11	)	)	PUNCT
ejde-666	506	12	,	,	PUNCT
ejde-666	506	13	where	where	SCONJ
ejde-666	506	14	f(x	f(x	PROPN
ejde-666	506	15	)	)	PUNCT
ejde-666	506	16	:	:	PUNCT
ejde-666	507	1	=	=	PRON
ejde-666	507	2	{	{	PUNCT
ejde-666	507	3	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	507	4	)	)	PUNCT
ejde-666	507	5	if	if	SCONJ
ejde-666	507	6	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	507	7	)	)	PUNCT
ejde-666	507	8	<	<	X
ejde-666	507	9	u2(x	u2(x	X
ejde-666	507	10	)	)	PUNCT
ejde-666	507	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	507	12	.	.	PUNCT
ejde-666	507	13	x	x	PUNCT
ejde-666	507	14	∈	∈	PROPN
ejde-666	507	15	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-666	507	16	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	507	17	)	)	PUNCT
ejde-666	507	18	if	if	SCONJ
ejde-666	507	19	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-666	507	20	)	)	PUNCT
ejde-666	507	21	≥	≥	NOUN
ejde-666	507	22	u2(x	u2(x	SYM
ejde-666	507	23	)	)	PUNCT
ejde-666	507	24	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	507	25	.	.	PUNCT
ejde-666	507	26	x	x	SYM
ejde-666	507	27	∈	∈	PROPN
ejde-666	507	28	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	507	29	.	.	PUNCT
ejde-666	508	1	for	for	ADP
ejde-666	508	2	a	a	DET
ejde-666	508	3	proof	proof	NOUN
ejde-666	508	4	of	of	ADP
ejde-666	508	5	the	the	DET
ejde-666	508	6	above	above	ADJ
ejde-666	508	7	corollary	corollary	NOUN
ejde-666	508	8	,	,	PUNCT
ejde-666	508	9	see	see	VERB
ejde-666	508	10	[	[	X
ejde-666	508	11	4	4	NUM
ejde-666	508	12	,	,	PUNCT
ejde-666	508	13	corollary	corollary	ADJ
ejde-666	508	14	2.5	2.5	NUM
ejde-666	508	15	]	]	PUNCT
ejde-666	508	16	.	.	PUNCT
ejde-666	509	1	let	let	VERB
ejde-666	509	2	a	a	PRON
ejde-666	509	3	be	be	AUX
ejde-666	509	4	a	a	DET
ejde-666	509	5	set	set	NOUN
ejde-666	509	6	consisting	consisting	NOUN
ejde-666	509	7	of	of	ADP
ejde-666	509	8	(	(	PUNCT
ejde-666	509	9	w1	w1	NOUN
ejde-666	509	10	,	,	PUNCT
ejde-666	509	11	w2	w2	NOUN
ejde-666	509	12	)	)	PUNCT
ejde-666	509	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	509	14	(	(	PUNCT
ejde-666	509	15	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	509	16	such	such	ADJ
ejde-666	509	17	that	that	SCONJ
ejde-666	509	18	there	there	PRON
ejde-666	509	19	exists	exist	VERB
ejde-666	509	20	a	a	DET
ejde-666	509	21	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	509	22	(	(	PUNCT
ejde-666	509	23	ũ1	ũ1	PROPN
ejde-666	509	24	,	,	PUNCT
ejde-666	509	25	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	509	26	)	)	PUNCT
ejde-666	509	27	of	of	ADP
ejde-666	509	28	(	(	PUNCT
ejde-666	509	29	1.1	1.1	NUM
ejde-666	509	30	)	)	PUNCT
ejde-666	509	31	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-666	509	32	(	(	PUNCT
ejde-666	509	33	u1	u1	NOUN
ejde-666	509	34	,	,	PUNCT
ejde-666	509	35	u2	u2	NOUN
ejde-666	509	36	)	)	PUNCT
ejde-666	509	37	≤	≤	NOUN
ejde-666	509	38	(	(	PUNCT
ejde-666	509	39	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	509	40	,	,	PUNCT
ejde-666	509	41	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	509	42	)	)	PUNCT
ejde-666	509	43	≤	≤	NOUN
ejde-666	509	44	(	(	PUNCT
ejde-666	509	45	w1	w1	NOUN
ejde-666	509	46	,	,	PUNCT
ejde-666	509	47	w2	w2	NOUN
ejde-666	509	48	)	)	PUNCT
ejde-666	509	49	≤	≤	NOUN
ejde-666	509	50	(	(	PUNCT
ejde-666	509	51	u1	u1	NOUN
ejde-666	509	52	,	,	PUNCT
ejde-666	509	53	u2	u2	PROPN
ejde-666	509	54	)	)	PUNCT
ejde-666	509	55	,	,	PUNCT
ejde-666	509	56	where	where	SCONJ
ejde-666	509	57	w1	w1	NOUN
ejde-666	509	58	and	and	CCONJ
ejde-666	509	59	w2	w2	NOUN
ejde-666	509	60	are	be	AUX
ejde-666	509	61	solutions	solution	NOUN
ejde-666	509	62	of	of	ADP
ejde-666	509	63	(	(	PUNCT
ejde-666	509	64	3.1	3.1	NUM
ejde-666	509	65	)	)	PUNCT
ejde-666	509	66	and	and	CCONJ
ejde-666	509	67	(	(	PUNCT
ejde-666	509	68	3.2	3.2	NUM
ejde-666	509	69	)	)	PUNCT
ejde-666	509	70	,	,	PUNCT
ejde-666	509	71	respectively	respectively	ADV
ejde-666	509	72	,	,	PUNCT
ejde-666	509	73	for	for	ADP
ejde-666	509	74	the	the	DET
ejde-666	509	75	pair	pair	NOUN
ejde-666	509	76	(	(	PUNCT
ejde-666	509	77	ũ1	ũ1	NOUN
ejde-666	509	78	,	,	PUNCT
ejde-666	509	79	ũ2	ũ2	PROPN
ejde-666	509	80	)	)	PUNCT
ejde-666	509	81	.	.	PUNCT
ejde-666	510	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	510	2	5.3	5.3	NUM
ejde-666	510	3	.	.	PUNCT
ejde-666	511	1	let	let	VERB
ejde-666	511	2	(	(	PUNCT
ejde-666	511	3	α1	α1	PROPN
ejde-666	511	4	,	,	PUNCT
ejde-666	511	5	α2	α2	ADJ
ejde-666	511	6	)	)	PUNCT
ejde-666	511	7	and	and	CCONJ
ejde-666	511	8	(	(	PUNCT
ejde-666	511	9	β1	β1	PROPN
ejde-666	511	10	,	,	PUNCT
ejde-666	511	11	β2	β2	NOUN
ejde-666	511	12	)	)	PUNCT
ejde-666	511	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	511	14	a	a	DET
ejde-666	511	15	be	be	AUX
ejde-666	511	16	any	any	DET
ejde-666	511	17	two	two	NUM
ejde-666	511	18	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	511	19	of	of	ADP
ejde-666	511	20	(	(	PUNCT
ejde-666	511	21	1.1	1.1	NUM
ejde-666	511	22	)	)	PUNCT
ejde-666	511	23	.	.	PUNCT
ejde-666	512	1	then	then	ADV
ejde-666	512	2	,	,	PUNCT
ejde-666	512	3	the	the	DET
ejde-666	512	4	pair	pair	NOUN
ejde-666	512	5	(	(	PUNCT
ejde-666	512	6	max{α1	max{α1	NOUN
ejde-666	512	7	,	,	PUNCT
ejde-666	512	8	β1},max{α2	β1},max{α2	ADV
ejde-666	512	9	,	,	PUNCT
ejde-666	512	10	β2	β2	NOUN
ejde-666	512	11	}	}	PUNCT
ejde-666	512	12	)	)	PUNCT
ejde-666	512	13	is	be	AUX
ejde-666	512	14	a	a	DET
ejde-666	512	15	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	512	16	of	of	ADP
ejde-666	512	17	(	(	PUNCT
ejde-666	512	18	1.1	1.1	NUM
ejde-666	512	19	)	)	PUNCT
ejde-666	512	20	.	.	PUNCT
ejde-666	513	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	513	2	.	.	PUNCT
ejde-666	514	1	since	since	SCONJ
ejde-666	514	2	(	(	PUNCT
ejde-666	514	3	α1	α1	PROPN
ejde-666	514	4	,	,	PUNCT
ejde-666	514	5	α2	α2	ADJ
ejde-666	514	6	)	)	PUNCT
ejde-666	514	7	and	and	CCONJ
ejde-666	514	8	(	(	PUNCT
ejde-666	514	9	β1	β1	PROPN
ejde-666	514	10	,	,	PUNCT
ejde-666	514	11	β2	β2	NOUN
ejde-666	514	12	)	)	PUNCT
ejde-666	514	13	belong	belong	VERB
ejde-666	514	14	to	to	ADP
ejde-666	514	15	a	a	PRON
ejde-666	514	16	,	,	PUNCT
ejde-666	514	17	there	there	PRON
ejde-666	514	18	exist	exist	VERB
ejde-666	514	19	(	(	PUNCT
ejde-666	514	20	α̃1	α̃1	NUM
ejde-666	514	21	,	,	PUNCT
ejde-666	514	22	α̃2	α̃2	PROPN
ejde-666	514	23	)	)	PUNCT
ejde-666	514	24	and	and	CCONJ
ejde-666	514	25	(	(	PUNCT
ejde-666	514	26	β̃1	β̃1	PROPN
ejde-666	514	27	,	,	PUNCT
ejde-666	514	28	β̃2	β̃2	PROPN
ejde-666	514	29	)	)	PUNCT
ejde-666	514	30	such	such	ADJ
ejde-666	514	31	that	that	SCONJ
ejde-666	514	32	ui	ui	PROPN
ejde-666	514	33	≤	≤	ADV
ejde-666	514	34	α̃i	α̃i	PROPN
ejde-666	514	35	≤	≤	NUM
ejde-666	514	36	αi	αi	VERB
ejde-666	515	1	≤	≤	PROPN
ejde-666	515	2	ui	ui	PROPN
ejde-666	515	3	,	,	PUNCT
ejde-666	515	4	i	i	PRON
ejde-666	515	5	=	=	NOUN
ejde-666	515	6	1	1	NUM
ejde-666	515	7	,	,	PUNCT
ejde-666	515	8	2	2	NUM
ejde-666	515	9	,	,	PUNCT
ejde-666	515	10	and	and	CCONJ
ejde-666	515	11	ui	ui	PROPN
ejde-666	515	12	≤	≤	NUM
ejde-666	515	13	β̃i	β̃i	ADP
ejde-666	515	14	≤	≤	NUM
ejde-666	515	15	βi	βi	NUM
ejde-666	515	16	≤	≤	NUM
ejde-666	515	17	ui	ui	NOUN
ejde-666	515	18	,	,	PUNCT
ejde-666	515	19	i	i	PRON
ejde-666	515	20	=	=	NOUN
ejde-666	515	21	1	1	NUM
ejde-666	515	22	,	,	PUNCT
ejde-666	515	23	2	2	NUM
ejde-666	515	24	,	,	PUNCT
ejde-666	515	25	which	which	PRON
ejde-666	515	26	satisfy	satisfy	VERB
ejde-666	515	27	−∆α1	−∆α1	ADJ
ejde-666	515	28	+	+	CCONJ
ejde-666	515	29	α1	α1	PROPN
ejde-666	515	30	=	=	SYM
ejde-666	515	31	0	0	NUM
ejde-666	515	32	in	in	ADP
ejde-666	515	33	ω	ω	NUM
ejde-666	515	34	,	,	PUNCT
ejde-666	515	35	∂α1	∂α1	PROPN
ejde-666	515	36	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	515	37	=	=	SYM
ejde-666	515	38	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	515	39	,	,	PUNCT
ejde-666	515	40	α1	α1	PROPN
ejde-666	515	41	,	,	PUNCT
ejde-666	515	42	α̃2	α̃2	PROPN
ejde-666	515	43	)	)	PUNCT
ejde-666	515	44	on	on	ADP
ejde-666	515	45	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	515	46	,	,	PUNCT
ejde-666	515	47	(	(	PUNCT
ejde-666	515	48	5.2	5.2	NUM
ejde-666	515	49	)	)	PUNCT
ejde-666	515	50	−∆α2	−∆α2	NOUN
ejde-666	515	51	+	+	CCONJ
ejde-666	515	52	α2	α2	ADJ
ejde-666	515	53	=	=	SYM
ejde-666	515	54	0	0	NUM
ejde-666	515	55	in	in	ADP
ejde-666	515	56	ω	ω	NUM
ejde-666	515	57	,	,	PUNCT
ejde-666	515	58	∂α2	∂α2	PROPN
ejde-666	515	59	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	515	60	=	=	SYM
ejde-666	515	61	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	515	62	,	,	PUNCT
ejde-666	515	63	α̃1	α̃1	PROPN
ejde-666	515	64	,	,	PUNCT
ejde-666	515	65	α2	α2	PROPN
ejde-666	515	66	)	)	PUNCT
ejde-666	515	67	on	on	ADP
ejde-666	515	68	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	515	69	,	,	PUNCT
ejde-666	515	70	(	(	PUNCT
ejde-666	515	71	5.3	5.3	NUM
ejde-666	515	72	)	)	PUNCT
ejde-666	515	73	−∆β1	−∆β1	NOUN
ejde-666	516	1	+	+	CCONJ
ejde-666	516	2	β1	β1	PROPN
ejde-666	516	3	=	=	PUNCT
ejde-666	516	4	0	0	NUM
ejde-666	516	5	in	in	ADP
ejde-666	516	6	ω	ω	NUM
ejde-666	516	7	,	,	PUNCT
ejde-666	516	8	∂β1	∂β1	PROPN
ejde-666	516	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	516	10	=	=	SYM
ejde-666	516	11	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	516	12	,	,	PUNCT
ejde-666	516	13	β1	β1	NOUN
ejde-666	516	14	,	,	PUNCT
ejde-666	516	15	β̃2	β̃2	PROPN
ejde-666	516	16	)	)	PUNCT
ejde-666	516	17	on	on	ADP
ejde-666	516	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	516	19	,	,	PUNCT
ejde-666	516	20	(	(	PUNCT
ejde-666	516	21	5.4	5.4	NUM
ejde-666	516	22	)	)	PUNCT
ejde-666	516	23	−∆β2	−∆β2	NOUN
ejde-666	516	24	+	+	CCONJ
ejde-666	516	25	β2	β2	NOUN
ejde-666	516	26	=	=	NOUN
ejde-666	516	27	0	0	NUM
ejde-666	516	28	in	in	ADP
ejde-666	516	29	ω	ω	NUM
ejde-666	516	30	,	,	PUNCT
ejde-666	516	31	∂β2	∂β2	PROPN
ejde-666	516	32	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	516	33	=	=	SYM
ejde-666	516	34	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	516	35	,	,	PUNCT
ejde-666	516	36	β̃1	β̃1	PROPN
ejde-666	516	37	,	,	PUNCT
ejde-666	516	38	β2	β2	NOUN
ejde-666	516	39	)	)	PUNCT
ejde-666	516	40	on	on	ADP
ejde-666	516	41	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	516	42	.	.	PUNCT
ejde-666	517	1	(	(	PUNCT
ejde-666	517	2	5.5	5.5	NUM
ejde-666	517	3	)	)	PUNCT
ejde-666	517	4	we	we	PRON
ejde-666	517	5	define	define	VERB
ejde-666	517	6	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	517	7	:	:	PUNCT
ejde-666	517	8	=	=	SYM
ejde-666	517	9	max{α1	max{α1	NOUN
ejde-666	517	10	,	,	PUNCT
ejde-666	517	11	β1	β1	NOUN
ejde-666	517	12	}	}	PUNCT
ejde-666	517	13	and	and	CCONJ
ejde-666	517	14	γ2	γ2	ADJ
ejde-666	517	15	:	:	PUNCT
ejde-666	517	16	=	=	SYM
ejde-666	517	17	max{α2	max{α2	NOUN
ejde-666	517	18	,	,	PUNCT
ejde-666	517	19	β2	β2	NOUN
ejde-666	517	20	}	}	PUNCT
ejde-666	517	21	.	.	PUNCT
ejde-666	518	1	by	by	ADP
ejde-666	518	2	the	the	DET
ejde-666	518	3	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	518	4	of	of	ADP
ejde-666	518	5	fi	fi	NOUN
ejde-666	518	6	,	,	PUNCT
ejde-666	518	7	the	the	DET
ejde-666	518	8	following	follow	VERB
ejde-666	518	9	inequalities	inequality	NOUN
ejde-666	518	10	hold	hold	VERB
ejde-666	518	11	:	:	PUNCT
ejde-666	518	12	f1(x	f1(x	NUM
ejde-666	518	13	,	,	PUNCT
ejde-666	518	14	α1	α1	NOUN
ejde-666	518	15	,	,	PUNCT
ejde-666	518	16	α̃2	α̃2	PROPN
ejde-666	518	17	)	)	PUNCT
ejde-666	518	18	≤	≤	NOUN
ejde-666	518	19	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	518	20	,	,	PUNCT
ejde-666	518	21	α1	α1	PROPN
ejde-666	518	22	,	,	PUNCT
ejde-666	518	23	γ2	γ2	NOUN
ejde-666	518	24	)	)	PUNCT
ejde-666	518	25	,	,	PUNCT
ejde-666	518	26	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	518	27	,	,	PUNCT
ejde-666	518	28	β1	β1	NOUN
ejde-666	518	29	,	,	PUNCT
ejde-666	518	30	β̃2	β̃2	PROPN
ejde-666	518	31	)	)	PUNCT
ejde-666	518	32	≤	≤	NOUN
ejde-666	518	33	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	518	34	,	,	PUNCT
ejde-666	518	35	β1	β1	NOUN
ejde-666	518	36	,	,	PUNCT
ejde-666	518	37	γ2	γ2	PROPN
ejde-666	518	38	)	)	PUNCT
ejde-666	518	39	,	,	PUNCT
ejde-666	518	40	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	518	41	,	,	PUNCT
ejde-666	518	42	α̃1	α̃1	PROPN
ejde-666	518	43	,	,	PUNCT
ejde-666	518	44	α2	α2	ADJ
ejde-666	518	45	)	)	PUNCT
ejde-666	518	46	≤	≤	NOUN
ejde-666	519	1	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	519	2	,	,	PUNCT
ejde-666	519	3	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	519	4	,	,	PUNCT
ejde-666	519	5	α2	α2	PROPN
ejde-666	519	6	)	)	PUNCT
ejde-666	519	7	,	,	PUNCT
ejde-666	519	8	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	519	9	,	,	PUNCT
ejde-666	519	10	β̃1	β̃1	PROPN
ejde-666	519	11	,	,	PUNCT
ejde-666	519	12	β2	β2	NOUN
ejde-666	519	13	)	)	PUNCT
ejde-666	519	14	≤	≤	NOUN
ejde-666	520	1	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	520	2	,	,	PUNCT
ejde-666	520	3	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	520	4	,	,	PUNCT
ejde-666	520	5	β2	β2	PROPN
ejde-666	520	6	)	)	PUNCT
ejde-666	520	7	.	.	PUNCT
ejde-666	521	1	let	let	VERB
ejde-666	521	2	g1(x	g1(x	VERB
ejde-666	521	3	)	)	PUNCT
ejde-666	521	4	:	:	PUNCT
ejde-666	522	1	=	=	PRON
ejde-666	522	2	{	{	PUNCT
ejde-666	522	3	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	522	4	,	,	PUNCT
ejde-666	522	5	α1	α1	PROPN
ejde-666	522	6	,	,	PUNCT
ejde-666	522	7	γ2	γ2	ADJ
ejde-666	522	8	)	)	PUNCT
ejde-666	522	9	if	if	SCONJ
ejde-666	522	10	α1(x	α1(x	PROPN
ejde-666	522	11	)	)	PUNCT
ejde-666	522	12	>	>	X
ejde-666	523	1	β1(x	β1(x	NOUN
ejde-666	523	2	)	)	PUNCT
ejde-666	523	3	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	523	4	.	.	PUNCT
ejde-666	523	5	x	x	SYM
ejde-666	523	6	∈	∈	PROPN
ejde-666	524	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	524	2	,	,	PUNCT
ejde-666	524	3	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	524	4	,	,	PUNCT
ejde-666	524	5	β1	β1	NOUN
ejde-666	524	6	,	,	PUNCT
ejde-666	524	7	γ2	γ2	NOUN
ejde-666	524	8	)	)	PUNCT
ejde-666	524	9	if	if	SCONJ
ejde-666	524	10	α1(x	α1(x	NOUN
ejde-666	524	11	)	)	PUNCT
ejde-666	524	12	≤	≤	NOUN
ejde-666	524	13	β1(x	β1(x	NOUN
ejde-666	524	14	)	)	PUNCT
ejde-666	524	15	a.e	a.e	NOUN
ejde-666	524	16	.	.	PUNCT
ejde-666	524	17	x	x	SYM
ejde-666	524	18	∈	∈	PROPN
ejde-666	524	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	524	20	and	and	CCONJ
ejde-666	524	21	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-666	524	22	)	)	PUNCT
ejde-666	524	23	:	:	PUNCT
ejde-666	524	24	=	=	PRON
ejde-666	524	25	{	{	PUNCT
ejde-666	524	26	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	524	27	,	,	PUNCT
ejde-666	524	28	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	524	29	,	,	PUNCT
ejde-666	524	30	α2	α2	PROPN
ejde-666	524	31	)	)	PUNCT
ejde-666	524	32	if	if	SCONJ
ejde-666	524	33	α2(x	α2(x	PROPN
ejde-666	524	34	)	)	PUNCT
ejde-666	524	35	>	>	X
ejde-666	524	36	β2(x	β2(x	X
ejde-666	524	37	)	)	PUNCT
ejde-666	524	38	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	524	39	.	.	PUNCT
ejde-666	525	1	x	x	SYM
ejde-666	525	2	∈	∈	PROPN
ejde-666	525	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	525	4	,	,	PUNCT
ejde-666	525	5	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	525	6	,	,	PUNCT
ejde-666	525	7	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	525	8	,	,	PUNCT
ejde-666	525	9	β2	β2	PROPN
ejde-666	525	10	)	)	PUNCT
ejde-666	525	11	if	if	SCONJ
ejde-666	525	12	α2(x	α2(x	PROPN
ejde-666	525	13	)	)	PUNCT
ejde-666	525	14	≤	≤	NOUN
ejde-666	525	15	β2(x	β2(x	X
ejde-666	525	16	)	)	PUNCT
ejde-666	525	17	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	525	18	.	.	PUNCT
ejde-666	525	19	x	x	SYM
ejde-666	525	20	∈	∈	PROPN
ejde-666	525	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	525	22	.	.	PUNCT
ejde-666	526	1	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	526	2	existence	existence	NOUN
ejde-666	526	3	of	of	ADP
ejde-666	526	4	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	526	5	and	and	CCONJ
ejde-666	526	6	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	526	7	weak	weak	ADJ
ejde-666	526	8	solutions	solution	NOUN
ejde-666	526	9	19	19	NUM
ejde-666	526	10	notice	notice	NOUN
ejde-666	526	11	that	that	SCONJ
ejde-666	526	12	α1	α1	PROPN
ejde-666	526	13	and	and	CCONJ
ejde-666	526	14	β1	β1	PROPN
ejde-666	526	15	are	be	AUX
ejde-666	526	16	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	526	17	of	of	ADP
ejde-666	526	18	−∆v	−∆v	NUM
ejde-666	527	1	+	+	CCONJ
ejde-666	527	2	v	v	X
ejde-666	527	3	=	=	SYM
ejde-666	527	4	0	0	NUM
ejde-666	527	5	in	in	ADP
ejde-666	527	6	ω	ω	NUM
ejde-666	527	7	,	,	PUNCT
ejde-666	527	8	∂v	∂v	PROPN
ejde-666	527	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	527	10	=	=	PUNCT
ejde-666	527	11	g1(x	g1(x	NOUN
ejde-666	527	12	)	)	PUNCT
ejde-666	527	13	on	on	ADP
ejde-666	527	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	527	15	,	,	PUNCT
ejde-666	527	16	(	(	PUNCT
ejde-666	527	17	5.6	5.6	NUM
ejde-666	527	18	)	)	PUNCT
ejde-666	527	19	and	and	CCONJ
ejde-666	527	20	α2	α2	ADJ
ejde-666	527	21	and	and	CCONJ
ejde-666	527	22	β2	β2	PROPN
ejde-666	527	23	are	be	AUX
ejde-666	527	24	subsolutions	subsolution	NOUN
ejde-666	527	25	of	of	ADP
ejde-666	527	26	−∆v	−∆v	NUM
ejde-666	528	1	+	+	CCONJ
ejde-666	528	2	v	v	X
ejde-666	528	3	=	=	SYM
ejde-666	528	4	0	0	NUM
ejde-666	528	5	in	in	ADP
ejde-666	528	6	ω	ω	NUM
ejde-666	528	7	,	,	PUNCT
ejde-666	528	8	∂v	∂v	PROPN
ejde-666	528	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	528	10	=	=	SYM
ejde-666	528	11	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-666	528	12	)	)	PUNCT
ejde-666	528	13	on	on	ADP
ejde-666	528	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	528	15	.	.	PUNCT
ejde-666	529	1	(	(	PUNCT
ejde-666	529	2	5.7	5.7	NUM
ejde-666	529	3	)	)	PUNCT
ejde-666	529	4	then	then	ADV
ejde-666	529	5	,	,	PUNCT
ejde-666	529	6	by	by	ADP
ejde-666	529	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	529	8	5.1	5.1	NUM
ejde-666	529	9	,	,	PUNCT
ejde-666	529	10	along	along	ADP
ejde-666	529	11	with	with	ADP
ejde-666	529	12	equations	equation	NOUN
ejde-666	529	13	(	(	PUNCT
ejde-666	529	14	5.6	5.6	NUM
ejde-666	529	15	)	)	PUNCT
ejde-666	529	16	and	and	CCONJ
ejde-666	529	17	(	(	PUNCT
ejde-666	529	18	5.7	5.7	NUM
ejde-666	529	19	)	)	PUNCT
ejde-666	529	20	,	,	PUNCT
ejde-666	529	21	we	we	PRON
ejde-666	529	22	have	have	VERB
ejde-666	529	23	that	that	PRON
ejde-666	529	24	(	(	PUNCT
ejde-666	529	25	γ1	γ1	PROPN
ejde-666	529	26	,	,	PUNCT
ejde-666	529	27	γ2	γ2	PROPN
ejde-666	529	28	)	)	PUNCT
ejde-666	529	29	is	be	AUX
ejde-666	529	30	a	a	DET
ejde-666	529	31	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	529	32	of	of	ADP
ejde-666	529	33	(	(	PUNCT
ejde-666	529	34	1.1	1.1	NUM
ejde-666	529	35	)	)	PUNCT
ejde-666	529	36	.	.	PUNCT
ejde-666	530	1	thus	thus	ADV
ejde-666	530	2	,	,	PUNCT
ejde-666	530	3	the	the	DET
ejde-666	530	4	pair	pair	NOUN
ejde-666	530	5	(	(	PUNCT
ejde-666	530	6	max{α1	max{α1	NOUN
ejde-666	530	7	,	,	PUNCT
ejde-666	530	8	β1},max{α2	β1},max{α2	ADV
ejde-666	530	9	,	,	PUNCT
ejde-666	530	10	β2	β2	NOUN
ejde-666	530	11	}	}	PUNCT
ejde-666	530	12	)	)	PUNCT
ejde-666	530	13	is	be	AUX
ejde-666	530	14	a	a	DET
ejde-666	530	15	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	530	16	of	of	ADP
ejde-666	530	17	(	(	PUNCT
ejde-666	530	18	1.1	1.1	NUM
ejde-666	530	19	)	)	PUNCT
ejde-666	530	20	which	which	PRON
ejde-666	530	21	completes	complete	VERB
ejde-666	530	22	the	the	DET
ejde-666	530	23	proof	proof	NOUN
ejde-666	530	24	.	.	PUNCT
ejde-666	531	1	□	□	PUNCT
ejde-666	531	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	531	3	5.4	5.4	NUM
ejde-666	531	4	.	.	PUNCT
ejde-666	531	5	suppose	suppose	VERB
ejde-666	531	6	that	that	SCONJ
ejde-666	531	7	(	(	PUNCT
ejde-666	531	8	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	9	,	,	PUNCT
ejde-666	531	10	u2	u2	PROPN
ejde-666	531	11	)	)	PUNCT
ejde-666	531	12	and	and	CCONJ
ejde-666	531	13	(	(	PUNCT
ejde-666	531	14	v1	v1	NOUN
ejde-666	531	15	,	,	PUNCT
ejde-666	531	16	v2	v2	PROPN
ejde-666	531	17	)	)	PUNCT
ejde-666	531	18	are	be	AUX
ejde-666	531	19	two	two	NUM
ejde-666	531	20	solutions	solution	NOUN
ejde-666	531	21	of	of	ADP
ejde-666	531	22	(	(	PUNCT
ejde-666	531	23	1.1	1.1	NUM
ejde-666	531	24	)	)	PUNCT
ejde-666	531	25	such	such	ADJ
ejde-666	531	26	that	that	SCONJ
ejde-666	531	27	(	(	PUNCT
ejde-666	531	28	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	29	,	,	PUNCT
ejde-666	531	30	u2	u2	NOUN
ejde-666	531	31	)	)	PUNCT
ejde-666	531	32	≤	≤	NOUN
ejde-666	531	33	(	(	PUNCT
ejde-666	531	34	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	35	,	,	PUNCT
ejde-666	531	36	u2	u2	PROPN
ejde-666	531	37	)	)	PUNCT
ejde-666	531	38	,	,	PUNCT
ejde-666	531	39	(	(	PUNCT
ejde-666	531	40	v1	v1	NOUN
ejde-666	531	41	,	,	PUNCT
ejde-666	531	42	v2	v2	NOUN
ejde-666	531	43	)	)	PUNCT
ejde-666	531	44	≤	≤	NOUN
ejde-666	531	45	(	(	PUNCT
ejde-666	531	46	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	47	,	,	PUNCT
ejde-666	531	48	u2	u2	PROPN
ejde-666	531	49	)	)	PUNCT
ejde-666	531	50	,	,	PUNCT
ejde-666	531	51	where	where	SCONJ
ejde-666	531	52	(	(	PUNCT
ejde-666	531	53	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	54	,	,	PUNCT
ejde-666	531	55	u2	u2	PROPN
ejde-666	531	56	)	)	PUNCT
ejde-666	531	57	and	and	CCONJ
ejde-666	531	58	(	(	PUNCT
ejde-666	531	59	u1	u1	NOUN
ejde-666	531	60	,	,	PUNCT
ejde-666	531	61	u2	u2	PROPN
ejde-666	531	62	)	)	PUNCT
ejde-666	531	63	are	be	AUX
ejde-666	531	64	suband	suband	NOUN
ejde-666	531	65	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	531	66	of	of	ADP
ejde-666	531	67	(	(	PUNCT
ejde-666	531	68	1.1	1.1	NUM
ejde-666	531	69	)	)	PUNCT
ejde-666	531	70	,	,	PUNCT
ejde-666	531	71	respectively	respectively	ADV
ejde-666	531	72	.	.	PUNCT
ejde-666	532	1	then	then	ADV
ejde-666	532	2	(	(	PUNCT
ejde-666	532	3	max{u1	max{u1	NUM
ejde-666	532	4	,	,	PUNCT
ejde-666	532	5	v1},max{u2	v1},max{u2	NUM
ejde-666	532	6	,	,	PUNCT
ejde-666	532	7	v2	v2	PROPN
ejde-666	532	8	}	}	PUNCT
ejde-666	532	9	)	)	PUNCT
ejde-666	532	10	is	be	AUX
ejde-666	532	11	a	a	DET
ejde-666	532	12	subsolution	subsolution	NOUN
ejde-666	532	13	of	of	ADP
ejde-666	532	14	(	(	PUNCT
ejde-666	532	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	532	16	)	)	PUNCT
ejde-666	532	17	.	.	PUNCT
ejde-666	533	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	533	2	.	.	PUNCT
ejde-666	534	1	observe	observe	VERB
ejde-666	534	2	that	that	SCONJ
ejde-666	534	3	any	any	DET
ejde-666	534	4	solution	solution	NOUN
ejde-666	534	5	(	(	PUNCT
ejde-666	534	6	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	7	,	,	PUNCT
ejde-666	534	8	u2	u2	PROPN
ejde-666	534	9	)	)	PUNCT
ejde-666	534	10	of	of	ADP
ejde-666	534	11	(	(	PUNCT
ejde-666	534	12	1.1	1.1	NUM
ejde-666	534	13	)	)	PUNCT
ejde-666	534	14	such	such	ADJ
ejde-666	534	15	that	that	SCONJ
ejde-666	534	16	(	(	PUNCT
ejde-666	534	17	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	18	,	,	PUNCT
ejde-666	534	19	u2	u2	NOUN
ejde-666	534	20	)	)	PUNCT
ejde-666	534	21	≤	≤	NOUN
ejde-666	534	22	(	(	PUNCT
ejde-666	534	23	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	24	,	,	PUNCT
ejde-666	534	25	u2	u2	NOUN
ejde-666	534	26	)	)	PUNCT
ejde-666	534	27	≤	≤	NOUN
ejde-666	534	28	(	(	PUNCT
ejde-666	534	29	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	30	,	,	PUNCT
ejde-666	534	31	u2	u2	PROPN
ejde-666	534	32	)	)	PUNCT
ejde-666	534	33	belongs	belong	VERB
ejde-666	534	34	to	to	ADP
ejde-666	534	35	a	a	DET
ejde-666	534	36	as	as	ADP
ejde-666	534	37	(	(	PUNCT
ejde-666	534	38	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	39	,	,	PUNCT
ejde-666	534	40	u2	u2	PROPN
ejde-666	534	41	)	)	PUNCT
ejde-666	534	42	is	be	AUX
ejde-666	534	43	a	a	DET
ejde-666	534	44	solution	solution	NOUN
ejde-666	534	45	of	of	ADP
ejde-666	534	46	(	(	PUNCT
ejde-666	534	47	3.1	3.1	NUM
ejde-666	534	48	)	)	PUNCT
ejde-666	534	49	and	and	CCONJ
ejde-666	534	50	(	(	PUNCT
ejde-666	534	51	3.2	3.2	NUM
ejde-666	534	52	)	)	PUNCT
ejde-666	534	53	for	for	ADP
ejde-666	534	54	the	the	DET
ejde-666	534	55	pair	pair	NOUN
ejde-666	534	56	(	(	PUNCT
ejde-666	534	57	u1	u1	NOUN
ejde-666	534	58	,	,	PUNCT
ejde-666	534	59	u2	u2	PROPN
ejde-666	534	60	)	)	PUNCT
ejde-666	534	61	.	.	PUNCT
ejde-666	535	1	the	the	DET
ejde-666	535	2	rest	rest	NOUN
ejde-666	535	3	of	of	ADP
ejde-666	535	4	the	the	DET
ejde-666	535	5	proof	proof	NOUN
ejde-666	535	6	follows	follow	VERB
ejde-666	535	7	from	from	ADP
ejde-666	535	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	535	9	5.3	5.3	NUM
ejde-666	535	10	.	.	PUNCT
ejde-666	536	1	□	□	PUNCT
ejde-666	536	2	next	next	ADV
ejde-666	536	3	,	,	PUNCT
ejde-666	536	4	we	we	PRON
ejde-666	536	5	show	show	VERB
ejde-666	536	6	that	that	SCONJ
ejde-666	536	7	if	if	SCONJ
ejde-666	536	8	(	(	PUNCT
ejde-666	536	9	u1	u1	NOUN
ejde-666	536	10	,	,	PUNCT
ejde-666	536	11	u2	u2	PROPN
ejde-666	536	12	)	)	PUNCT
ejde-666	536	13	and	and	CCONJ
ejde-666	536	14	(	(	PUNCT
ejde-666	536	15	v1	v1	NOUN
ejde-666	536	16	,	,	PUNCT
ejde-666	536	17	v2	v2	PROPN
ejde-666	536	18	)	)	PUNCT
ejde-666	536	19	are	be	AUX
ejde-666	536	20	two	two	NUM
ejde-666	536	21	solutions	solution	NOUN
ejde-666	536	22	of	of	ADP
ejde-666	536	23	(	(	PUNCT
ejde-666	536	24	1.1	1.1	NUM
ejde-666	536	25	)	)	PUNCT
ejde-666	536	26	,	,	PUNCT
ejde-666	536	27	then	then	ADV
ejde-666	536	28	the	the	DET
ejde-666	536	29	pair	pair	NOUN
ejde-666	536	30	of	of	ADP
ejde-666	536	31	functions	function	NOUN
ejde-666	536	32	(	(	PUNCT
ejde-666	536	33	min{u1	min{u1	NUM
ejde-666	536	34	,	,	PUNCT
ejde-666	536	35	v1},min{u2	v1},min{u2	PRON
ejde-666	536	36	,	,	PUNCT
ejde-666	536	37	v2	v2	PROPN
ejde-666	536	38	}	}	PUNCT
ejde-666	536	39	)	)	PUNCT
ejde-666	536	40	is	be	AUX
ejde-666	536	41	a	a	DET
ejde-666	536	42	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	536	43	of	of	ADP
ejde-666	536	44	(	(	PUNCT
ejde-666	536	45	1.1	1.1	NUM
ejde-666	536	46	)	)	PUNCT
ejde-666	536	47	.	.	PUNCT
ejde-666	537	1	for	for	ADP
ejde-666	537	2	that	that	DET
ejde-666	537	3	purpose	purpose	NOUN
ejde-666	537	4	,	,	PUNCT
ejde-666	537	5	consider	consider	VERB
ejde-666	537	6	the	the	DET
ejde-666	537	7	equations	equation	NOUN
ejde-666	537	8	−∆u1	−∆u1	VERB
ejde-666	538	1	+	+	CCONJ
ejde-666	538	2	u1	u1	NOUN
ejde-666	538	3	=	=	SYM
ejde-666	538	4	0	0	NUM
ejde-666	538	5	in	in	ADP
ejde-666	538	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	538	7	,	,	PUNCT
ejde-666	538	8	∂u1	∂u1	PROPN
ejde-666	538	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	538	10	=	=	SYM
ejde-666	538	11	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	538	12	,	,	PUNCT
ejde-666	538	13	u1	u1	NOUN
ejde-666	538	14	,	,	PUNCT
ejde-666	538	15	û2	û2	PROPN
ejde-666	538	16	)	)	PUNCT
ejde-666	538	17	on	on	ADP
ejde-666	538	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	538	19	,	,	PUNCT
ejde-666	538	20	(	(	PUNCT
ejde-666	538	21	5.8	5.8	NUM
ejde-666	538	22	)	)	PUNCT
ejde-666	538	23	and	and	CCONJ
ejde-666	538	24	−∆u2	−∆u2	X
ejde-666	539	1	+	+	CCONJ
ejde-666	539	2	u2	u2	NOUN
ejde-666	539	3	=	=	NOUN
ejde-666	539	4	0	0	NUM
ejde-666	539	5	in	in	ADP
ejde-666	539	6	ω	ω	PROPN
ejde-666	539	7	,	,	PUNCT
ejde-666	539	8	∂u2	∂u2	PROPN
ejde-666	539	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	539	10	=	=	SYM
ejde-666	539	11	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	539	12	,	,	PUNCT
ejde-666	539	13	û1	û1	PROPN
ejde-666	539	14	,	,	PUNCT
ejde-666	539	15	u2	u2	PROPN
ejde-666	539	16	)	)	PUNCT
ejde-666	539	17	on	on	ADP
ejde-666	539	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	539	19	.	.	PUNCT
ejde-666	540	1	(	(	PUNCT
ejde-666	540	2	5.9	5.9	NUM
ejde-666	540	3	)	)	PUNCT
ejde-666	540	4	let	let	VERB
ejde-666	540	5	b	b	NOUN
ejde-666	540	6	consisting	consisting	NOUN
ejde-666	540	7	of	of	ADP
ejde-666	540	8	(	(	PUNCT
ejde-666	540	9	w1	w1	NOUN
ejde-666	540	10	,	,	PUNCT
ejde-666	540	11	w2	w2	NOUN
ejde-666	540	12	)	)	PUNCT
ejde-666	540	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	540	14	(	(	PUNCT
ejde-666	540	15	h1(ω))2	h1(ω))2	NOUN
ejde-666	540	16	such	such	ADJ
ejde-666	540	17	that	that	SCONJ
ejde-666	540	18	there	there	PRON
ejde-666	540	19	exists	exist	VERB
ejde-666	540	20	a	a	DET
ejde-666	540	21	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	540	22	(	(	PUNCT
ejde-666	540	23	û1	û1	PROPN
ejde-666	540	24	,	,	PUNCT
ejde-666	540	25	û2	û2	PROPN
ejde-666	540	26	)	)	PUNCT
ejde-666	540	27	of	of	ADP
ejde-666	540	28	(	(	PUNCT
ejde-666	540	29	1.1	1.1	NUM
ejde-666	540	30	)	)	PUNCT
ejde-666	540	31	satisfying	satisfying	NOUN
ejde-666	540	32	(	(	PUNCT
ejde-666	540	33	u1	u1	NOUN
ejde-666	540	34	,	,	PUNCT
ejde-666	540	35	u2	u2	NOUN
ejde-666	540	36	)	)	PUNCT
ejde-666	540	37	≤	≤	NOUN
ejde-666	540	38	(	(	PUNCT
ejde-666	540	39	w1	w1	NOUN
ejde-666	540	40	,	,	PUNCT
ejde-666	540	41	w2	w2	NOUN
ejde-666	540	42	)	)	PUNCT
ejde-666	540	43	≤	≤	NOUN
ejde-666	540	44	(	(	PUNCT
ejde-666	540	45	û1	û1	PROPN
ejde-666	540	46	,	,	PUNCT
ejde-666	540	47	û2	û2	NOUN
ejde-666	540	48	)	)	PUNCT
ejde-666	540	49	≤	≤	NOUN
ejde-666	540	50	(	(	PUNCT
ejde-666	540	51	u1	u1	NOUN
ejde-666	540	52	,	,	PUNCT
ejde-666	540	53	u2	u2	PROPN
ejde-666	540	54	)	)	PUNCT
ejde-666	540	55	,	,	PUNCT
ejde-666	540	56	(	(	PUNCT
ejde-666	540	57	5.10	5.10	NUM
ejde-666	540	58	)	)	PUNCT
ejde-666	540	59	where	where	SCONJ
ejde-666	540	60	w1	w1	NOUN
ejde-666	540	61	and	and	CCONJ
ejde-666	540	62	w2	w2	NOUN
ejde-666	540	63	are	be	AUX
ejde-666	540	64	solutions	solution	NOUN
ejde-666	540	65	of	of	ADP
ejde-666	540	66	(	(	PUNCT
ejde-666	540	67	5.8	5.8	NUM
ejde-666	540	68	)	)	PUNCT
ejde-666	540	69	and	and	CCONJ
ejde-666	540	70	(	(	PUNCT
ejde-666	540	71	5.9	5.9	NUM
ejde-666	540	72	)	)	PUNCT
ejde-666	540	73	,	,	PUNCT
ejde-666	540	74	respectively	respectively	ADV
ejde-666	540	75	,	,	PUNCT
ejde-666	540	76	for	for	ADP
ejde-666	540	77	the	the	DET
ejde-666	540	78	pair	pair	NOUN
ejde-666	540	79	û1	û1	PROPN
ejde-666	540	80	,	,	PUNCT
ejde-666	540	81	û2	û2	PROPN
ejde-666	540	82	.	.	PUNCT
ejde-666	541	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	541	2	5.5	5.5	NUM
ejde-666	541	3	.	.	PUNCT
ejde-666	542	1	let	let	VERB
ejde-666	542	2	(	(	PUNCT
ejde-666	542	3	α1	α1	PROPN
ejde-666	542	4	,	,	PUNCT
ejde-666	542	5	α2	α2	ADJ
ejde-666	542	6	)	)	PUNCT
ejde-666	542	7	and	and	CCONJ
ejde-666	542	8	(	(	PUNCT
ejde-666	542	9	β1	β1	PROPN
ejde-666	542	10	,	,	PUNCT
ejde-666	542	11	β2	β2	NOUN
ejde-666	542	12	)	)	PUNCT
ejde-666	542	13	∈	∈	PROPN
ejde-666	543	1	b	b	X
ejde-666	543	2	be	be	AUX
ejde-666	543	3	any	any	DET
ejde-666	543	4	two	two	NUM
ejde-666	543	5	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	543	6	of	of	ADP
ejde-666	543	7	(	(	PUNCT
ejde-666	543	8	1.1	1.1	NUM
ejde-666	543	9	)	)	PUNCT
ejde-666	543	10	.	.	PUNCT
ejde-666	544	1	then	then	ADV
ejde-666	544	2	the	the	DET
ejde-666	544	3	pair	pair	NOUN
ejde-666	544	4	(	(	PUNCT
ejde-666	544	5	min{α1	min{α1	PROPN
ejde-666	544	6	,	,	PUNCT
ejde-666	544	7	β1},min{α2	β1},min{α2	NOUN
ejde-666	544	8	,	,	PUNCT
ejde-666	544	9	β2	β2	NOUN
ejde-666	544	10	}	}	PUNCT
ejde-666	544	11	)	)	PUNCT
ejde-666	544	12	is	be	AUX
ejde-666	544	13	a	a	DET
ejde-666	544	14	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	544	15	of	of	ADP
ejde-666	544	16	(	(	PUNCT
ejde-666	544	17	1.1	1.1	NUM
ejde-666	544	18	)	)	PUNCT
ejde-666	544	19	.	.	PUNCT
ejde-666	545	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	545	2	.	.	PUNCT
ejde-666	546	1	since	since	SCONJ
ejde-666	546	2	(	(	PUNCT
ejde-666	546	3	α1	α1	PROPN
ejde-666	546	4	,	,	PUNCT
ejde-666	546	5	α2	α2	ADJ
ejde-666	546	6	)	)	PUNCT
ejde-666	546	7	and	and	CCONJ
ejde-666	546	8	(	(	PUNCT
ejde-666	546	9	β1	β1	PROPN
ejde-666	546	10	,	,	PUNCT
ejde-666	546	11	β2	β2	NOUN
ejde-666	546	12	)	)	PUNCT
ejde-666	546	13	belong	belong	VERB
ejde-666	546	14	to	to	ADP
ejde-666	546	15	b	b	NOUN
ejde-666	546	16	,	,	PUNCT
ejde-666	546	17	there	there	PRON
ejde-666	546	18	exist	exist	VERB
ejde-666	546	19	(	(	PUNCT
ejde-666	546	20	α̂1	α̂1	NOUN
ejde-666	546	21	,	,	PUNCT
ejde-666	546	22	α̂2	α̂2	PROPN
ejde-666	546	23	)	)	PUNCT
ejde-666	546	24	and	and	CCONJ
ejde-666	546	25	(	(	PUNCT
ejde-666	546	26	β̂1	β̂1	PUNCT
ejde-666	546	27	,	,	PUNCT
ejde-666	546	28	β̂2	β̂2	PROPN
ejde-666	546	29	)	)	PUNCT
ejde-666	546	30	such	such	ADJ
ejde-666	546	31	that	that	SCONJ
ejde-666	546	32	ui	ui	PROPN
ejde-666	546	33	≤	≤	PROPN
ejde-666	546	34	αi	αi	VERB
ejde-666	546	35	≤	≤	NUM
ejde-666	546	36	α̂i	α̂i	PROPN
ejde-666	546	37	≤	≤	PROPN
ejde-666	546	38	ui	ui	PROPN
ejde-666	546	39	,	,	PUNCT
ejde-666	546	40	i	i	PRON
ejde-666	546	41	=	=	NOUN
ejde-666	546	42	1	1	NUM
ejde-666	546	43	,	,	PUNCT
ejde-666	546	44	2	2	NUM
ejde-666	546	45	and	and	CCONJ
ejde-666	546	46	ui	ui	PROPN
ejde-666	546	47	≤	≤	NUM
ejde-666	546	48	βi	βi	PRON
ejde-666	546	49	≤	≤	X
ejde-666	546	50	β̂i	β̂i	PUNCT
ejde-666	546	51	≤	≤	PROPN
ejde-666	546	52	ui	ui	NOUN
ejde-666	546	53	,	,	PUNCT
ejde-666	546	54	i	i	PRON
ejde-666	546	55	=	=	NOUN
ejde-666	546	56	1	1	NUM
ejde-666	546	57	,	,	PUNCT
ejde-666	546	58	2	2	NUM
ejde-666	546	59	,	,	PUNCT
ejde-666	546	60	which	which	PRON
ejde-666	546	61	satisfy	satisfy	VERB
ejde-666	546	62	−∆α1	−∆α1	ADJ
ejde-666	546	63	+	+	CCONJ
ejde-666	546	64	α1	α1	PROPN
ejde-666	546	65	=	=	SYM
ejde-666	546	66	0	0	NUM
ejde-666	546	67	in	in	ADP
ejde-666	546	68	ω	ω	NUM
ejde-666	546	69	,	,	PUNCT
ejde-666	546	70	∂α1	∂α1	PROPN
ejde-666	546	71	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	546	72	=	=	SYM
ejde-666	546	73	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	546	74	,	,	PUNCT
ejde-666	546	75	α1	α1	PROPN
ejde-666	546	76	,	,	PUNCT
ejde-666	546	77	α̂2	α̂2	PROPN
ejde-666	546	78	)	)	PUNCT
ejde-666	546	79	on	on	ADP
ejde-666	546	80	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	546	81	,	,	PUNCT
ejde-666	546	82	(	(	PUNCT
ejde-666	546	83	5.11	5.11	NUM
ejde-666	546	84	)	)	PUNCT
ejde-666	546	85	−∆α2	−∆α2	NOUN
ejde-666	547	1	+	+	CCONJ
ejde-666	547	2	α2	α2	ADJ
ejde-666	547	3	=	=	SYM
ejde-666	547	4	0	0	NUM
ejde-666	547	5	in	in	ADP
ejde-666	547	6	ω	ω	NUM
ejde-666	547	7	,	,	PUNCT
ejde-666	547	8	∂α2	∂α2	PROPN
ejde-666	547	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	547	10	=	=	SYM
ejde-666	547	11	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	547	12	,	,	PUNCT
ejde-666	547	13	α̂1	α̂1	PRON
ejde-666	547	14	,	,	PUNCT
ejde-666	547	15	α2	α2	ADJ
ejde-666	547	16	)	)	PUNCT
ejde-666	547	17	on	on	ADP
ejde-666	547	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	547	19	,	,	PUNCT
ejde-666	547	20	(	(	PUNCT
ejde-666	547	21	5.12	5.12	NUM
ejde-666	547	22	)	)	PUNCT
ejde-666	547	23	−∆β1	−∆β1	NOUN
ejde-666	548	1	+	+	CCONJ
ejde-666	548	2	β1	β1	PROPN
ejde-666	548	3	=	=	PUNCT
ejde-666	548	4	0	0	NUM
ejde-666	548	5	in	in	ADP
ejde-666	548	6	ω	ω	NUM
ejde-666	548	7	∂β1	∂β1	NOUN
ejde-666	548	8	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	548	9	=	=	SYM
ejde-666	548	10	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	548	11	,	,	PUNCT
ejde-666	548	12	β1	β1	PROPN
ejde-666	548	13	,	,	PUNCT
ejde-666	548	14	β̂2	β̂2	PROPN
ejde-666	548	15	)	)	PUNCT
ejde-666	548	16	on	on	ADP
ejde-666	548	17	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	548	18	,	,	PUNCT
ejde-666	548	19	(	(	PUNCT
ejde-666	548	20	5.13	5.13	NUM
ejde-666	548	21	)	)	PUNCT
ejde-666	548	22	−∆β2	−∆β2	NOUN
ejde-666	548	23	+	+	CCONJ
ejde-666	548	24	β2	β2	NOUN
ejde-666	548	25	=	=	NOUN
ejde-666	548	26	0	0	NUM
ejde-666	548	27	in	in	ADP
ejde-666	548	28	ω	ω	NUM
ejde-666	548	29	,	,	PUNCT
ejde-666	548	30	∂β2	∂β2	PROPN
ejde-666	549	1	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	549	2	=	=	SYM
ejde-666	549	3	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	549	4	,	,	PUNCT
ejde-666	549	5	β̂1	β̂1	PROPN
ejde-666	549	6	,	,	PUNCT
ejde-666	549	7	β2	β2	PROPN
ejde-666	549	8	)	)	PUNCT
ejde-666	549	9	on	on	ADP
ejde-666	549	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	549	11	.	.	PUNCT
ejde-666	550	1	(	(	PUNCT
ejde-666	550	2	5.14	5.14	NUM
ejde-666	550	3	)	)	PUNCT
ejde-666	550	4	20	20	NUM
ejde-666	550	5	s.	s.	PROPN
ejde-666	550	6	bandyopadhyay	bandyopadhyay	NOUN
ejde-666	550	7	,	,	PUNCT
ejde-666	550	8	t.	t.	PROPN
ejde-666	550	9	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	550	10	,	,	PUNCT
ejde-666	550	11	n.	n.	PROPN
ejde-666	550	12	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	550	13	ejde-2025/43	ejde-2025/43	PROPN
ejde-666	550	14	now	now	ADV
ejde-666	550	15	,	,	PUNCT
ejde-666	550	16	define	define	VERB
ejde-666	550	17	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	550	18	:	:	PUNCT
ejde-666	550	19	=	=	SYM
ejde-666	550	20	min{α1	min{α1	PROPN
ejde-666	550	21	,	,	PUNCT
ejde-666	550	22	β1	β1	NOUN
ejde-666	550	23	}	}	PUNCT
ejde-666	550	24	and	and	CCONJ
ejde-666	550	25	γ2	γ2	ADJ
ejde-666	550	26	:	:	PUNCT
ejde-666	550	27	=	=	SYM
ejde-666	550	28	min{α2	min{α2	NOUN
ejde-666	550	29	,	,	PUNCT
ejde-666	550	30	β2	β2	PROPN
ejde-666	550	31	}	}	PUNCT
ejde-666	550	32	.	.	PUNCT
ejde-666	551	1	observe	observe	VERB
ejde-666	551	2	that	that	SCONJ
ejde-666	551	3	the	the	DET
ejde-666	551	4	quasimonotonicity	quasimonotonicity	NOUN
ejde-666	551	5	of	of	ADP
ejde-666	551	6	fi	fi	NOUN
ejde-666	551	7	leads	lead	VERB
ejde-666	551	8	to	to	ADP
ejde-666	551	9	the	the	DET
ejde-666	551	10	inequalities	inequality	NOUN
ejde-666	551	11	f1(x	f1(x	NUM
ejde-666	551	12	,	,	PUNCT
ejde-666	551	13	α1	α1	PROPN
ejde-666	551	14	,	,	PUNCT
ejde-666	551	15	α̂2	α̂2	PROPN
ejde-666	551	16	)	)	PUNCT
ejde-666	551	17	≥	≥	NOUN
ejde-666	551	18	f1(x	f1(x	NUM
ejde-666	551	19	,	,	PUNCT
ejde-666	551	20	α1	α1	PROPN
ejde-666	551	21	,	,	PUNCT
ejde-666	551	22	γ2	γ2	NOUN
ejde-666	551	23	)	)	PUNCT
ejde-666	551	24	,	,	PUNCT
ejde-666	551	25	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	551	26	,	,	PUNCT
ejde-666	551	27	β1	β1	PROPN
ejde-666	551	28	,	,	PUNCT
ejde-666	551	29	β̂2	β̂2	PROPN
ejde-666	551	30	)	)	PUNCT
ejde-666	551	31	≥	≥	X
ejde-666	551	32	f1(x	f1(x	NOUN
ejde-666	551	33	,	,	PUNCT
ejde-666	551	34	β1	β1	NOUN
ejde-666	551	35	,	,	PUNCT
ejde-666	551	36	γ2	γ2	NOUN
ejde-666	551	37	)	)	PUNCT
ejde-666	551	38	(	(	PUNCT
ejde-666	551	39	5.15	5.15	NUM
ejde-666	551	40	)	)	PUNCT
ejde-666	551	41	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	551	42	,	,	PUNCT
ejde-666	551	43	α̂1	α̂1	PRON
ejde-666	551	44	,	,	PUNCT
ejde-666	551	45	α2	α2	PROPN
ejde-666	551	46	)	)	PUNCT
ejde-666	551	47	≥	≥	NOUN
ejde-666	552	1	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	552	2	,	,	PUNCT
ejde-666	552	3	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	552	4	,	,	PUNCT
ejde-666	552	5	α2	α2	PROPN
ejde-666	552	6	)	)	PUNCT
ejde-666	552	7	,	,	PUNCT
ejde-666	552	8	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	552	9	,	,	PUNCT
ejde-666	552	10	β̂1	β̂1	NOUN
ejde-666	552	11	,	,	PUNCT
ejde-666	552	12	β2	β2	PROPN
ejde-666	552	13	)	)	PUNCT
ejde-666	552	14	≥	≥	NOUN
ejde-666	552	15	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	552	16	,	,	PUNCT
ejde-666	552	17	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	552	18	,	,	PUNCT
ejde-666	552	19	β2	β2	PROPN
ejde-666	552	20	)	)	PUNCT
ejde-666	552	21	.	.	PUNCT
ejde-666	553	1	(	(	PUNCT
ejde-666	553	2	5.16	5.16	NUM
ejde-666	553	3	)	)	PUNCT
ejde-666	553	4	let	let	VERB
ejde-666	553	5	g1(x	g1(x	NOUN
ejde-666	553	6	)	)	PUNCT
ejde-666	553	7	:	:	PUNCT
ejde-666	554	1	=	=	PRON
ejde-666	554	2	{	{	PUNCT
ejde-666	554	3	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	554	4	,	,	PUNCT
ejde-666	554	5	α1	α1	PROPN
ejde-666	554	6	,	,	PUNCT
ejde-666	554	7	γ2	γ2	ADJ
ejde-666	554	8	)	)	PUNCT
ejde-666	554	9	if	if	SCONJ
ejde-666	554	10	α1(x	α1(x	NOUN
ejde-666	554	11	)	)	PUNCT
ejde-666	554	12	<	<	X
ejde-666	554	13	β1(x	β1(x	NOUN
ejde-666	554	14	)	)	PUNCT
ejde-666	554	15	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	554	16	.	.	PUNCT
ejde-666	555	1	x	x	SYM
ejde-666	555	2	∈	∈	PROPN
ejde-666	555	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	555	4	,	,	PUNCT
ejde-666	555	5	f1(x	f1(x	PROPN
ejde-666	555	6	,	,	PUNCT
ejde-666	555	7	β1	β1	NOUN
ejde-666	555	8	,	,	PUNCT
ejde-666	555	9	γ2	γ2	NOUN
ejde-666	555	10	)	)	PUNCT
ejde-666	555	11	if	if	SCONJ
ejde-666	555	12	α1(x	α1(x	NOUN
ejde-666	555	13	)	)	PUNCT
ejde-666	555	14	≥	≥	NOUN
ejde-666	555	15	β1(x	β1(x	NOUN
ejde-666	555	16	)	)	PUNCT
ejde-666	555	17	a.e	a.e	NOUN
ejde-666	555	18	.	.	PUNCT
ejde-666	555	19	x	x	SYM
ejde-666	555	20	∈	∈	PROPN
ejde-666	555	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	555	22	,	,	PUNCT
ejde-666	555	23	and	and	CCONJ
ejde-666	555	24	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-666	555	25	)	)	PUNCT
ejde-666	555	26	:	:	PUNCT
ejde-666	555	27	=	=	PRON
ejde-666	555	28	{	{	PUNCT
ejde-666	555	29	f2(x	f2(x	NOUN
ejde-666	555	30	,	,	PUNCT
ejde-666	555	31	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	555	32	,	,	PUNCT
ejde-666	555	33	α2	α2	PROPN
ejde-666	555	34	)	)	PUNCT
ejde-666	555	35	if	if	SCONJ
ejde-666	555	36	α2(x	α2(x	PROPN
ejde-666	555	37	)	)	PUNCT
ejde-666	555	38	<	<	X
ejde-666	555	39	β2(x	β2(x	SYM
ejde-666	555	40	)	)	PUNCT
ejde-666	555	41	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	555	42	.	.	PUNCT
ejde-666	555	43	x	x	SYM
ejde-666	555	44	∈	∈	PROPN
ejde-666	556	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	556	2	,	,	PUNCT
ejde-666	556	3	f2(x	f2(x	PROPN
ejde-666	556	4	,	,	PUNCT
ejde-666	556	5	γ1	γ1	NOUN
ejde-666	556	6	,	,	PUNCT
ejde-666	556	7	β2	β2	PROPN
ejde-666	556	8	)	)	PUNCT
ejde-666	556	9	if	if	SCONJ
ejde-666	556	10	α2(x	α2(x	PROPN
ejde-666	556	11	)	)	PUNCT
ejde-666	556	12	≥	≥	NOUN
ejde-666	556	13	β2(x	β2(x	SYM
ejde-666	556	14	)	)	PUNCT
ejde-666	556	15	a.e	a.e	PROPN
ejde-666	556	16	.	.	PUNCT
ejde-666	556	17	x	x	SYM
ejde-666	556	18	∈	∈	PROPN
ejde-666	556	19	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	556	20	.	.	PUNCT
ejde-666	557	1	notice	notice	VERB
ejde-666	557	2	that	that	SCONJ
ejde-666	557	3	α1	α1	PROPN
ejde-666	557	4	and	and	CCONJ
ejde-666	557	5	β1	β1	PROPN
ejde-666	557	6	are	be	AUX
ejde-666	557	7	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	557	8	of	of	ADP
ejde-666	557	9	−∆v	−∆v	NUM
ejde-666	558	1	+	+	CCONJ
ejde-666	558	2	v	v	X
ejde-666	558	3	=	=	SYM
ejde-666	558	4	0	0	NUM
ejde-666	558	5	in	in	ADP
ejde-666	558	6	ω	ω	NUM
ejde-666	558	7	,	,	PUNCT
ejde-666	558	8	∂v	∂v	PROPN
ejde-666	558	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	558	10	=	=	PUNCT
ejde-666	558	11	g1(x	g1(x	NOUN
ejde-666	558	12	)	)	PUNCT
ejde-666	558	13	on	on	ADP
ejde-666	558	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	558	15	,	,	PUNCT
ejde-666	558	16	(	(	PUNCT
ejde-666	558	17	5.17	5.17	NUM
ejde-666	558	18	)	)	PUNCT
ejde-666	558	19	and	and	CCONJ
ejde-666	558	20	α2	α2	ADJ
ejde-666	558	21	and	and	CCONJ
ejde-666	558	22	β2	β2	NOUN
ejde-666	558	23	are	be	AUX
ejde-666	558	24	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	558	25	of	of	ADP
ejde-666	558	26	the	the	DET
ejde-666	558	27	following	following	NOUN
ejde-666	558	28	:	:	PUNCT
ejde-666	558	29	−∆v	−∆v	NUM
ejde-666	559	1	+	+	CCONJ
ejde-666	559	2	v	v	X
ejde-666	559	3	=	=	SYM
ejde-666	559	4	0	0	NUM
ejde-666	559	5	in	in	ADP
ejde-666	559	6	ω	ω	NUM
ejde-666	559	7	,	,	PUNCT
ejde-666	559	8	∂v	∂v	PROPN
ejde-666	559	9	∂η	∂η	PROPN
ejde-666	559	10	=	=	SYM
ejde-666	559	11	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-666	559	12	)	)	PUNCT
ejde-666	559	13	on	on	ADP
ejde-666	559	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-666	559	15	.	.	PUNCT
ejde-666	560	1	(	(	PUNCT
ejde-666	560	2	5.18	5.18	NUM
ejde-666	560	3	)	)	PUNCT
ejde-666	560	4	then	then	ADV
ejde-666	560	5	,	,	PUNCT
ejde-666	560	6	by	by	ADP
ejde-666	560	7	corollary	corollary	ADJ
ejde-666	560	8	5.2	5.2	NUM
ejde-666	560	9	,	,	PUNCT
ejde-666	560	10	along	along	ADP
ejde-666	560	11	with	with	ADP
ejde-666	560	12	equations	equation	NOUN
ejde-666	560	13	(	(	PUNCT
ejde-666	560	14	5.17	5.17	NUM
ejde-666	560	15	)	)	PUNCT
ejde-666	560	16	and	and	CCONJ
ejde-666	560	17	(	(	PUNCT
ejde-666	560	18	5.18	5.18	NUM
ejde-666	560	19	)	)	PUNCT
ejde-666	560	20	,	,	PUNCT
ejde-666	560	21	we	we	PRON
ejde-666	560	22	have	have	VERB
ejde-666	560	23	that	that	PRON
ejde-666	560	24	(	(	PUNCT
ejde-666	560	25	γ1	γ1	PROPN
ejde-666	560	26	,	,	PUNCT
ejde-666	560	27	γ2	γ2	PROPN
ejde-666	560	28	)	)	PUNCT
ejde-666	560	29	is	be	AUX
ejde-666	560	30	a	a	DET
ejde-666	560	31	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	560	32	of	of	ADP
ejde-666	560	33	(	(	PUNCT
ejde-666	560	34	1.1	1.1	NUM
ejde-666	560	35	)	)	PUNCT
ejde-666	560	36	.	.	PUNCT
ejde-666	561	1	this	this	PRON
ejde-666	561	2	completes	complete	VERB
ejde-666	561	3	the	the	DET
ejde-666	561	4	proof	proof	NOUN
ejde-666	561	5	.	.	PUNCT
ejde-666	562	1	□	□	PUNCT
ejde-666	562	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-666	562	3	5.6	5.6	NUM
ejde-666	562	4	.	.	PUNCT
ejde-666	562	5	suppose	suppose	VERB
ejde-666	562	6	that	that	SCONJ
ejde-666	562	7	(	(	PUNCT
ejde-666	562	8	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	9	,	,	PUNCT
ejde-666	562	10	u2	u2	PROPN
ejde-666	562	11	)	)	PUNCT
ejde-666	562	12	and	and	CCONJ
ejde-666	562	13	(	(	PUNCT
ejde-666	562	14	v1	v1	NOUN
ejde-666	562	15	,	,	PUNCT
ejde-666	562	16	v2	v2	PROPN
ejde-666	562	17	)	)	PUNCT
ejde-666	562	18	are	be	AUX
ejde-666	562	19	two	two	NUM
ejde-666	562	20	solutions	solution	NOUN
ejde-666	562	21	of	of	ADP
ejde-666	562	22	(	(	PUNCT
ejde-666	562	23	1.1	1.1	NUM
ejde-666	562	24	)	)	PUNCT
ejde-666	562	25	such	such	ADJ
ejde-666	562	26	that	that	SCONJ
ejde-666	562	27	(	(	PUNCT
ejde-666	562	28	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	29	,	,	PUNCT
ejde-666	562	30	u2	u2	NOUN
ejde-666	562	31	)	)	PUNCT
ejde-666	562	32	≤	≤	NOUN
ejde-666	562	33	(	(	PUNCT
ejde-666	562	34	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	35	,	,	PUNCT
ejde-666	562	36	u2	u2	PROPN
ejde-666	562	37	)	)	PUNCT
ejde-666	562	38	,	,	PUNCT
ejde-666	562	39	(	(	PUNCT
ejde-666	562	40	v1	v1	NOUN
ejde-666	562	41	,	,	PUNCT
ejde-666	562	42	v2	v2	NOUN
ejde-666	562	43	)	)	PUNCT
ejde-666	562	44	≤	≤	NOUN
ejde-666	562	45	(	(	PUNCT
ejde-666	562	46	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	47	,	,	PUNCT
ejde-666	562	48	u2	u2	PROPN
ejde-666	562	49	)	)	PUNCT
ejde-666	562	50	,	,	PUNCT
ejde-666	562	51	where	where	SCONJ
ejde-666	562	52	(	(	PUNCT
ejde-666	562	53	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	54	,	,	PUNCT
ejde-666	562	55	u2	u2	PROPN
ejde-666	562	56	)	)	PUNCT
ejde-666	562	57	and	and	CCONJ
ejde-666	562	58	(	(	PUNCT
ejde-666	562	59	u1	u1	NOUN
ejde-666	562	60	,	,	PUNCT
ejde-666	562	61	u2	u2	PROPN
ejde-666	562	62	)	)	PUNCT
ejde-666	562	63	are	be	AUX
ejde-666	562	64	suband	suband	NOUN
ejde-666	562	65	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	562	66	of	of	ADP
ejde-666	562	67	(	(	PUNCT
ejde-666	562	68	1.1	1.1	NUM
ejde-666	562	69	)	)	PUNCT
ejde-666	562	70	,	,	PUNCT
ejde-666	562	71	respectively	respectively	ADV
ejde-666	562	72	.	.	PUNCT
ejde-666	563	1	then	then	ADV
ejde-666	563	2	(	(	PUNCT
ejde-666	563	3	min{u1	min{u1	NUM
ejde-666	563	4	,	,	PUNCT
ejde-666	563	5	v1},min{u2	v1},min{u2	PRON
ejde-666	563	6	,	,	PUNCT
ejde-666	563	7	v2	v2	PROPN
ejde-666	563	8	}	}	PUNCT
ejde-666	563	9	)	)	PUNCT
ejde-666	563	10	is	be	AUX
ejde-666	563	11	a	a	DET
ejde-666	563	12	supersolution	supersolution	NOUN
ejde-666	563	13	of	of	ADP
ejde-666	563	14	(	(	PUNCT
ejde-666	563	15	1.1	1.1	NUM
ejde-666	563	16	)	)	PUNCT
ejde-666	563	17	.	.	PUNCT
ejde-666	564	1	proof	proof	NOUN
ejde-666	564	2	.	.	PUNCT
ejde-666	565	1	observe	observe	VERB
ejde-666	565	2	that	that	SCONJ
ejde-666	565	3	any	any	DET
ejde-666	565	4	solution	solution	NOUN
ejde-666	565	5	(	(	PUNCT
ejde-666	565	6	u1	u1	NOUN
ejde-666	565	7	,	,	PUNCT
ejde-666	565	8	u2	u2	PROPN
ejde-666	565	9	)	)	PUNCT
ejde-666	565	10	of	of	ADP
ejde-666	565	11	(	(	PUNCT
ejde-666	565	12	1.1	1.1	NUM
ejde-666	565	13	)	)	PUNCT
ejde-666	565	14	such	such	ADJ
ejde-666	565	15	that	that	SCONJ
ejde-666	565	16	(	(	PUNCT
ejde-666	565	17	u1	u1	NOUN
ejde-666	565	18	,	,	PUNCT
ejde-666	565	19	u2	u2	NOUN
ejde-666	565	20	)	)	PUNCT
ejde-666	565	21	≤	≤	NOUN
ejde-666	565	22	(	(	PUNCT
ejde-666	565	23	u1	u1	NOUN
ejde-666	565	24	,	,	PUNCT
ejde-666	565	25	u2	u2	NOUN
ejde-666	565	26	)	)	PUNCT
ejde-666	565	27	≤	≤	NOUN
ejde-666	565	28	(	(	PUNCT
ejde-666	565	29	u1	u1	NOUN
ejde-666	565	30	,	,	PUNCT
ejde-666	565	31	u2	u2	PROPN
ejde-666	565	32	)	)	PUNCT
ejde-666	565	33	belongs	belong	VERB
ejde-666	565	34	to	to	PART
ejde-666	565	35	b.	b.	PROPN
ejde-666	565	36	the	the	DET
ejde-666	565	37	rest	rest	NOUN
ejde-666	565	38	of	of	ADP
ejde-666	565	39	the	the	DET
ejde-666	565	40	proof	proof	NOUN
ejde-666	565	41	follows	follow	VERB
ejde-666	565	42	from	from	ADP
ejde-666	565	43	lemma	lemma	PROPN
ejde-666	565	44	5.5	5.5	NUM
ejde-666	565	45	.	.	PUNCT
ejde-666	566	1	□	□	PUNCT
ejde-666	566	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-666	566	3	.	.	PUNCT
ejde-666	567	1	s.	s.	PROPN
ejde-666	567	2	bandyopadhyay	bandyopadhyay	PROPN
ejde-666	567	3	and	and	CCONJ
ejde-666	567	4	t.	t.	PROPN
ejde-666	567	5	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	567	6	were	be	AUX
ejde-666	567	7	partially	partially	ADV
ejde-666	567	8	supported	support	VERB
ejde-666	567	9	by	by	ADP
ejde-666	567	10	the	the	DET
ejde-666	567	11	national	national	PROPN
ejde-666	567	12	science	science	PROPN
ejde-666	567	13	foundation	foundation	PROPN
ejde-666	567	14	(	(	PUNCT
ejde-666	567	15	nsf	nsf	NOUN
ejde-666	567	16	)	)	PUNCT
ejde-666	567	17	grant	grant	NOUN
ejde-666	567	18	dms-2111059	dms-2111059	NOUN
ejde-666	567	19	.	.	PUNCT
ejde-666	568	1	n.	n.	PROPN
ejde-666	568	2	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	568	3	was	be	AUX
ejde-666	568	4	supported	support	VERB
ejde-666	568	5	by	by	ADP
ejde-666	568	6	the	the	DET
ejde-666	568	7	simons	simons	PROPN
ejde-666	568	8	foundation	foundation	PROPN
ejde-666	568	9	grant	grant	PROPN
ejde-666	568	10	965180	965180	NUM
ejde-666	568	11	.	.	PUNCT
ejde-666	569	1	this	this	DET
ejde-666	569	2	material	material	NOUN
ejde-666	569	3	is	be	AUX
ejde-666	569	4	also	also	ADV
ejde-666	569	5	based	base	VERB
ejde-666	569	6	upon	upon	SCONJ
ejde-666	569	7	work	work	NOUN
ejde-666	569	8	partially	partially	ADV
ejde-666	569	9	supported	support	VERB
ejde-666	569	10	by	by	ADP
ejde-666	569	11	the	the	DET
ejde-666	569	12	nsf	nsf	PROPN
ejde-666	569	13	grant	grant	PROPN
ejde-666	569	14	1440140	1440140	NUM
ejde-666	569	15	which	which	PRON
ejde-666	569	16	helped	help	VERB
ejde-666	569	17	support	support	VERB
ejde-666	569	18	the	the	DET
ejde-666	569	19	first	first	ADJ
ejde-666	569	20	and	and	CCONJ
ejde-666	569	21	third	third	ADJ
ejde-666	569	22	authors	author	NOUN
ejde-666	569	23	’	'	PUNCT
ejde-666	569	24	residence	residence	NOUN
ejde-666	569	25	at	at	ADP
ejde-666	569	26	the	the	DET
ejde-666	569	27	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	569	28	sciences	sciences	PROPN
ejde-666	569	29	research	research	PROPN
ejde-666	569	30	institute	institute	PROPN
ejde-666	569	31	in	in	ADP
ejde-666	569	32	berkeley	berkeley	PROPN
ejde-666	569	33	,	,	PUNCT
ejde-666	569	34	california	california	PROPN
ejde-666	569	35	,	,	PUNCT
ejde-666	569	36	during	during	ADP
ejde-666	569	37	the	the	DET
ejde-666	569	38	summer	summer	NOUN
ejde-666	569	39	of	of	ADP
ejde-666	569	40	2022	2022	NUM
ejde-666	569	41	.	.	PUNCT
ejde-666	570	1	references	reference	NOUN
ejde-666	570	2	[	[	X
ejde-666	570	3	1	1	NUM
ejde-666	570	4	]	]	X
ejde-666	570	5	robert	robert	PROPN
ejde-666	570	6	a.	a.	PROPN
ejde-666	570	7	adams	adams	PROPN
ejde-666	570	8	,	,	PUNCT
ejde-666	570	9	john	john	PROPN
ejde-666	570	10	j.	j.	PROPN
ejde-666	570	11	f.	f.	PROPN
ejde-666	570	12	fournier	fournier	PROPN
ejde-666	570	13	;	;	PUNCT
ejde-666	570	14	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-666	570	15	spaces	space	NOUN
ejde-666	570	16	,	,	PUNCT
ejde-666	570	17	second	second	ADJ
ejde-666	570	18	ed	ed	NOUN
ejde-666	570	19	.	.	PUNCT
ejde-666	570	20	,	,	PUNCT
ejde-666	570	21	pure	pure	ADJ
ejde-666	570	22	and	and	CCONJ
ejde-666	570	23	applied	applied	ADJ
ejde-666	570	24	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-666	570	25	(	(	PUNCT
ejde-666	570	26	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-666	570	27	)	)	PUNCT
ejde-666	570	28	,	,	PUNCT
ejde-666	570	29	vol	vol	NOUN
ejde-666	570	30	.	.	PROPN
ejde-666	570	31	140	140	NUM
ejde-666	570	32	,	,	PUNCT
ejde-666	570	33	elsevier	elsevier	NOUN
ejde-666	570	34	/	/	SYM
ejde-666	570	35	academic	academic	ADJ
ejde-666	570	36	press	press	NOUN
ejde-666	570	37	,	,	PUNCT
ejde-666	570	38	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-666	570	39	,	,	PUNCT
ejde-666	570	40	2003	2003	NUM
ejde-666	570	41	.	.	PUNCT
ejde-666	571	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	571	2	:	:	PUNCT
ejde-666	571	3	2424078	2424078	NUM
ejde-666	571	4	[	[	X
ejde-666	571	5	2	2	X
ejde-666	571	6	]	]	PUNCT
ejde-666	571	7	herbert	herbert	PROPN
ejde-666	571	8	amann	amann	PROPN
ejde-666	571	9	;	;	PUNCT
ejde-666	571	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	571	11	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	571	12	equations	equation	NOUN
ejde-666	571	13	with	with	ADP
ejde-666	571	14	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	571	15	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	571	16	conditions	condition	NOUN
ejde-666	571	17	,	,	PUNCT
ejde-666	571	18	new	new	ADJ
ejde-666	571	19	developments	development	NOUN
ejde-666	571	20	in	in	ADP
ejde-666	571	21	differential	differential	ADJ
ejde-666	571	22	equations	equation	NOUN
ejde-666	571	23	(	(	PUNCT
ejde-666	571	24	proc	proc	NOUN
ejde-666	571	25	.	.	PUNCT
ejde-666	571	26	2nd	2nd	ADJ
ejde-666	571	27	scheveningen	scheveningen	PROPN
ejde-666	571	28	conf	conf	NOUN
ejde-666	571	29	.	.	PROPN
ejde-666	571	30	,	,	PUNCT
ejde-666	571	31	scheveningen	scheveningen	PROPN
ejde-666	571	32	,	,	PUNCT
ejde-666	571	33	1975	1975	NUM
ejde-666	571	34	)	)	PUNCT
ejde-666	571	35	,	,	PUNCT
ejde-666	571	36	north	north	NOUN
ejde-666	571	37	-	-	PUNCT
ejde-666	571	38	holland	holland	PROPN
ejde-666	571	39	math	math	NOUN
ejde-666	571	40	.	.	PUNCT
ejde-666	572	1	studies	study	NOUN
ejde-666	572	2	,	,	PUNCT
ejde-666	572	3	vol	vol	NOUN
ejde-666	572	4	.	.	PROPN
ejde-666	572	5	21	21	NUM
ejde-666	572	6	,	,	PUNCT
ejde-666	572	7	north	north	NOUN
ejde-666	572	8	-	-	PUNCT
ejde-666	572	9	holland	holland	PROPN
ejde-666	572	10	,	,	PUNCT
ejde-666	572	11	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-666	572	12	,	,	PUNCT
ejde-666	572	13	1976	1976	NUM
ejde-666	572	14	,	,	PUNCT
ejde-666	572	15	pp	pp	ADV
ejde-666	572	16	.	.	PUNCT
ejde-666	573	1	43–63	43–63	NUM
ejde-666	573	2	.	.	PUNCT
ejde-666	574	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	574	2	:	:	PUNCT
ejde-666	574	3	0509487	0509487	NUM
ejde-666	574	4	[	[	X
ejde-666	574	5	3	3	NUM
ejde-666	574	6	]	]	X
ejde-666	574	7	p.	p.	NOUN
ejde-666	574	8	amster	amster	NOUN
ejde-666	574	9	,	,	PUNCT
ejde-666	574	10	p.	p.	PROPN
ejde-666	574	11	de	de	PROPN
ejde-666	575	1	nápoli	nápoli	ADV
ejde-666	575	2	;	;	PUNCT
ejde-666	575	3	a	a	DET
ejde-666	575	4	quasilinearization	quasilinearization	NOUN
ejde-666	575	5	method	method	NOUN
ejde-666	575	6	for	for	ADP
ejde-666	575	7	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	575	8	problems	problem	NOUN
ejde-666	575	9	with	with	ADP
ejde-666	575	10	a	a	DET
ejde-666	575	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	575	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	575	13	condition	condition	NOUN
ejde-666	575	14	,	,	PUNCT
ejde-666	575	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	575	16	anal	anal	NOUN
ejde-666	575	17	.	.	PUNCT
ejde-666	576	1	66	66	NUM
ejde-666	576	2	(	(	PUNCT
ejde-666	576	3	2007	2007	NUM
ejde-666	576	4	)	)	PUNCT
ejde-666	576	5	,	,	PUNCT
ejde-666	576	6	no	no	INTJ
ejde-666	576	7	.	.	NOUN
ejde-666	576	8	10	10	NUM
ejde-666	576	9	,	,	PUNCT
ejde-666	576	10	2255–2263	2255–2263	NUM
ejde-666	576	11	.	.	PUNCT
ejde-666	577	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	577	2	:	:	PUNCT
ejde-666	577	3	2311029	2311029	NUM
ejde-666	577	4	[	[	X
ejde-666	577	5	4	4	X
ejde-666	577	6	]	]	PUNCT
ejde-666	577	7	s.	s.	PROPN
ejde-666	577	8	bandyopadhyay	bandyopadhyay	PROPN
ejde-666	577	9	,	,	PUNCT
ejde-666	577	10	m.	m.	NOUN
ejde-666	577	11	chhetri	chhetri	PROPN
ejde-666	577	12	,	,	PUNCT
ejde-666	577	13	b.	b.	PROPN
ejde-666	577	14	b.	b.	PROPN
ejde-666	577	15	delgado	delgado	PROPN
ejde-666	577	16	,	,	PUNCT
ejde-666	577	17	n.	n.	PROPN
ejde-666	577	18	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	577	19	,	,	PUNCT
ejde-666	577	20	r.	r.	PROPN
ejde-666	577	21	pardo	pardo	PROPN
ejde-666	577	22	;	;	PUNCT
ejde-666	577	23	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	577	24	and	and	CCONJ
ejde-666	577	25	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	577	26	weak	weak	ADJ
ejde-666	577	27	solutions	solution	NOUN
ejde-666	577	28	for	for	ADP
ejde-666	577	29	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	577	30	problems	problem	NOUN
ejde-666	577	31	with	with	ADP
ejde-666	577	32	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-666	577	33	on	on	ADP
ejde-666	577	34	the	the	DET
ejde-666	577	35	boundary	boundary	NOUN
ejde-666	577	36	,	,	PUNCT
ejde-666	577	37	electron	electron	NOUN
ejde-666	577	38	.	.	PUNCT
ejde-666	578	1	res	re	NOUN
ejde-666	578	2	.	.	PUNCT
ejde-666	579	1	arch	arch	PROPN
ejde-666	579	2	.	.	PUNCT
ejde-666	580	1	30	30	NUM
ejde-666	580	2	(	(	PUNCT
ejde-666	580	3	2022	2022	NUM
ejde-666	580	4	)	)	PUNCT
ejde-666	580	5	,	,	PUNCT
ejde-666	580	6	no	no	INTJ
ejde-666	580	7	.	.	NOUN
ejde-666	580	8	6	6	NUM
ejde-666	580	9	,	,	PUNCT
ejde-666	580	10	2121–2137	2121–2137	NUM
ejde-666	580	11	.	.	PUNCT
ejde-666	581	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	581	2	:	:	PUNCT
ejde-666	581	3	4410308	4410308	NUM
ejde-666	581	4	[	[	X
ejde-666	581	5	5	5	X
ejde-666	581	6	]	]	X
ejde-666	581	7	robert	robert	PROPN
ejde-666	581	8	stephen	stephen	PROPN
ejde-666	581	9	cantrell	cantrell	PROPN
ejde-666	581	10	,	,	PUNCT
ejde-666	581	11	chris	chris	PROPN
ejde-666	581	12	cosner	cosner	NOUN
ejde-666	581	13	;	;	PUNCT
ejde-666	581	14	on	on	ADP
ejde-666	581	15	the	the	DET
ejde-666	581	16	effects	effect	NOUN
ejde-666	581	17	of	of	ADP
ejde-666	581	18	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	581	19	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	581	20	conditions	condition	NOUN
ejde-666	581	21	in	in	ADP
ejde-666	581	22	diffusive	diffusive	ADJ
ejde-666	581	23	logistic	logistic	ADJ
ejde-666	581	24	equations	equation	NOUN
ejde-666	581	25	on	on	ADP
ejde-666	581	26	bounded	bounded	ADJ
ejde-666	581	27	domains	domain	NOUN
ejde-666	581	28	,	,	PUNCT
ejde-666	581	29	j.	j.	PROPN
ejde-666	581	30	differential	differential	PROPN
ejde-666	581	31	equations	equation	NOUN
ejde-666	581	32	231	231	NUM
ejde-666	581	33	(	(	PUNCT
ejde-666	581	34	2006	2006	NUM
ejde-666	581	35	)	)	PUNCT
ejde-666	581	36	,	,	PUNCT
ejde-666	581	37	no	no	INTJ
ejde-666	581	38	.	.	NOUN
ejde-666	581	39	2	2	NUM
ejde-666	581	40	,	,	PUNCT
ejde-666	581	41	768–804	768–804	NUM
ejde-666	581	42	.	.	PUNCT
ejde-666	582	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	582	2	:	:	PUNCT
ejde-666	582	3	2287906	2287906	NUM
ejde-666	582	4	[	[	X
ejde-666	582	5	6	6	NUM
ejde-666	582	6	]	]	X
ejde-666	582	7	siegfried	siegfried	PROPN
ejde-666	582	8	carl	carl	PROPN
ejde-666	582	9	,	,	PUNCT
ejde-666	582	10	vy	vy	PROPN
ejde-666	582	11	khoi	khoi	PROPN
ejde-666	582	12	le	le	PROPN
ejde-666	582	13	,	,	PUNCT
ejde-666	582	14	dumitru	dumitru	PROPN
ejde-666	582	15	motreanu	motreanu	NOUN
ejde-666	582	16	;	;	PUNCT
ejde-666	582	17	nonsmooth	nonsmooth	ADJ
ejde-666	582	18	variational	variational	ADJ
ejde-666	582	19	problems	problem	NOUN
ejde-666	582	20	and	and	CCONJ
ejde-666	582	21	their	their	PRON
ejde-666	582	22	inequalities	inequality	NOUN
ejde-666	582	23	,	,	PUNCT
ejde-666	582	24	springer	springer	NOUN
ejde-666	582	25	monographs	monograph	NOUN
ejde-666	582	26	in	in	ADP
ejde-666	582	27	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-666	582	28	,	,	PUNCT
ejde-666	582	29	springer	springer	NOUN
ejde-666	582	30	,	,	PUNCT
ejde-666	582	31	new	new	PROPN
ejde-666	582	32	york	york	PROPN
ejde-666	582	33	,	,	PUNCT
ejde-666	582	34	2007	2007	NUM
ejde-666	582	35	,	,	PUNCT
ejde-666	582	36	comparison	comparison	NOUN
ejde-666	582	37	principles	principle	NOUN
ejde-666	582	38	and	and	CCONJ
ejde-666	582	39	applications	application	NOUN
ejde-666	582	40	.	.	PUNCT
ejde-666	583	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	583	2	:	:	PUNCT
ejde-666	583	3	2267795	2267795	NUM
ejde-666	583	4	ejde-2025/43	ejde-2025/43	NOUN
ejde-666	583	5	existence	existence	NOUN
ejde-666	583	6	of	of	ADP
ejde-666	583	7	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	583	8	and	and	CCONJ
ejde-666	583	9	minimal	minimal	ADJ
ejde-666	583	10	weak	weak	ADJ
ejde-666	583	11	solutions	solution	NOUN
ejde-666	583	12	21	21	NUM
ejde-666	583	13	[	[	X
ejde-666	583	14	7	7	NUM
ejde-666	583	15	]	]	X
ejde-666	583	16	mabel	mabel	PROPN
ejde-666	583	17	cuesta	cuesta	PROPN
ejde-666	583	18	leon	leon	PROPN
ejde-666	583	19	;	;	PUNCT
ejde-666	583	20	existence	existence	NOUN
ejde-666	583	21	results	result	VERB
ejde-666	583	22	for	for	ADP
ejde-666	583	23	quasilinear	quasilinear	NOUN
ejde-666	583	24	problems	problem	NOUN
ejde-666	583	25	via	via	ADP
ejde-666	583	26	ordered	order	VERB
ejde-666	583	27	suband	suband	NOUN
ejde-666	583	28	supersolutions	supersolution	NOUN
ejde-666	583	29	,	,	PUNCT
ejde-666	584	1	ann	ann	PROPN
ejde-666	584	2	.	.	PROPN
ejde-666	584	3	fac	fac	PROPN
ejde-666	584	4	.	.	PUNCT
ejde-666	585	1	sci	sci	PROPN
ejde-666	585	2	.	.	PROPN
ejde-666	585	3	toulouse	toulouse	PROPN
ejde-666	585	4	math	math	PROPN
ejde-666	585	5	.	.	PUNCT
ejde-666	586	1	(	(	PUNCT
ejde-666	586	2	6	6	NUM
ejde-666	586	3	)	)	PUNCT
ejde-666	586	4	6	6	NUM
ejde-666	586	5	(	(	PUNCT
ejde-666	586	6	1997	1997	NUM
ejde-666	586	7	)	)	PUNCT
ejde-666	586	8	,	,	PUNCT
ejde-666	586	9	no	no	INTJ
ejde-666	586	10	.	.	NOUN
ejde-666	586	11	4	4	NUM
ejde-666	586	12	,	,	PUNCT
ejde-666	586	13	591–608	591–608	NUM
ejde-666	586	14	.	.	PUNCT
ejde-666	587	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	587	2	:	:	PUNCT
ejde-666	587	3	1624298	1624298	NUM
ejde-666	587	4	[	[	X
ejde-666	587	5	8	8	NUM
ejde-666	587	6	]	]	X
ejde-666	587	7	lawrence	lawrence	PROPN
ejde-666	587	8	c.	c.	PROPN
ejde-666	587	9	evans	evans	PROPN
ejde-666	587	10	;	;	PUNCT
ejde-666	587	11	partial	partial	ADJ
ejde-666	587	12	differential	differential	NOUN
ejde-666	587	13	equations	equation	NOUN
ejde-666	587	14	,	,	PUNCT
ejde-666	587	15	second	second	ADJ
ejde-666	587	16	ed	ed	NOUN
ejde-666	587	17	.	.	PUNCT
ejde-666	587	18	,	,	PUNCT
ejde-666	587	19	graduate	graduate	NOUN
ejde-666	587	20	studies	study	NOUN
ejde-666	587	21	in	in	ADP
ejde-666	587	22	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-666	587	23	,	,	PUNCT
ejde-666	587	24	vol	vol	NOUN
ejde-666	587	25	.	.	PROPN
ejde-666	587	26	19	19	NUM
ejde-666	587	27	,	,	PUNCT
ejde-666	587	28	american	american	PROPN
ejde-666	587	29	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	587	30	society	society	NOUN
ejde-666	587	31	,	,	PUNCT
ejde-666	587	32	providence	providence	NOUN
ejde-666	587	33	,	,	PUNCT
ejde-666	587	34	ri	ri	PROPN
ejde-666	587	35	,	,	PUNCT
ejde-666	587	36	2010	2010	NUM
ejde-666	587	37	.	.	PUNCT
ejde-666	588	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	588	2	:	:	PUNCT
ejde-666	588	3	2597943	2597943	NUM
ejde-666	588	4	[	[	X
ejde-666	588	5	9	9	NUM
ejde-666	588	6	]	]	X
ejde-666	588	7	peter	peter	PROPN
ejde-666	588	8	v.	v.	PROPN
ejde-666	588	9	gordon	gordon	PROPN
ejde-666	588	10	,	,	PUNCT
ejde-666	588	11	eunkyung	eunkyung	PROPN
ejde-666	588	12	ko	ko	PROPN
ejde-666	588	13	,	,	PUNCT
ejde-666	588	14	r.	r.	PROPN
ejde-666	588	15	shivaji	shivaji	PROPN
ejde-666	588	16	;	;	PUNCT
ejde-666	588	17	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-666	588	18	and	and	CCONJ
ejde-666	588	19	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-666	588	20	of	of	ADP
ejde-666	588	21	positive	positive	ADJ
ejde-666	588	22	solutions	solution	NOUN
ejde-666	588	23	for	for	ADP
ejde-666	588	24	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	588	25	equations	equation	NOUN
ejde-666	588	26	with	with	ADP
ejde-666	588	27	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	588	28	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	588	29	conditions	condition	NOUN
ejde-666	588	30	arising	arise	VERB
ejde-666	588	31	in	in	ADP
ejde-666	588	32	a	a	DET
ejde-666	588	33	theory	theory	NOUN
ejde-666	588	34	of	of	ADP
ejde-666	588	35	thermal	thermal	ADJ
ejde-666	588	36	explosion	explosion	NOUN
ejde-666	588	37	,	,	PUNCT
ejde-666	588	38	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	588	39	anal	anal	NOUN
ejde-666	588	40	.	.	PUNCT
ejde-666	589	1	real	real	ADJ
ejde-666	589	2	world	world	NOUN
ejde-666	589	3	appl	appl	PROPN
ejde-666	589	4	.	.	PROPN
ejde-666	590	1	15	15	NUM
ejde-666	590	2	(	(	PUNCT
ejde-666	590	3	2014	2014	NUM
ejde-666	590	4	)	)	PUNCT
ejde-666	590	5	,	,	PUNCT
ejde-666	590	6	51–57	51–57	NUM
ejde-666	590	7	.	.	PUNCT
ejde-666	591	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	591	2	:	:	PUNCT
ejde-666	591	3	3110553	3110553	NUM
ejde-666	591	4	[	[	X
ejde-666	591	5	10	10	NUM
ejde-666	591	6	]	]	X
ejde-666	591	7	d.	d.	PROPN
ejde-666	591	8	b.	b.	PROPN
ejde-666	591	9	gurung	gurung	PROPN
ejde-666	591	10	,	,	PUNCT
ejde-666	591	11	k.	k.	PROPN
ejde-666	591	12	c.	c.	PROPN
ejde-666	591	13	gokul	gokul	PROPN
ejde-666	591	14	,	,	PUNCT
ejde-666	591	15	p.	p.	PROPN
ejde-666	591	16	r.	r.	PROPN
ejde-666	591	17	adhikary	adhikary	PROPN
ejde-666	591	18	;	;	PUNCT
ejde-666	591	19	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	591	20	model	model	NOUN
ejde-666	591	21	of	of	ADP
ejde-666	591	22	thermal	thermal	ADJ
ejde-666	591	23	effects	effect	NOUN
ejde-666	591	24	of	of	ADP
ejde-666	591	25	blinking	blink	VERB
ejde-666	591	26	in	in	ADP
ejde-666	591	27	human	human	ADJ
ejde-666	591	28	eye	eye	NOUN
ejde-666	591	29	,	,	PUNCT
ejde-666	591	30	int	int	NOUN
ejde-666	591	31	.	.	PUNCT
ejde-666	592	1	j.	j.	PROPN
ejde-666	592	2	biomath	biomath	PROPN
ejde-666	592	3	.	.	PUNCT
ejde-666	593	1	9	9	NUM
ejde-666	593	2	(	(	PUNCT
ejde-666	593	3	2016	2016	NUM
ejde-666	593	4	)	)	PUNCT
ejde-666	593	5	,	,	PUNCT
ejde-666	593	6	no	no	INTJ
ejde-666	593	7	.	.	NOUN
ejde-666	593	8	1	1	NUM
ejde-666	593	9	,	,	PUNCT
ejde-666	593	10	1650006	1650006	NUM
ejde-666	593	11	,	,	PUNCT
ejde-666	593	12	24	24	NUM
ejde-666	593	13	.	.	PUNCT
ejde-666	594	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	594	2	:	:	PUNCT
ejde-666	594	3	3417712	3417712	NUM
ejde-666	594	4	[	[	X
ejde-666	594	5	11	11	NUM
ejde-666	594	6	]	]	X
ejde-666	594	7	friedhelm	friedhelm	PROPN
ejde-666	594	8	inkmann	inkmann	PROPN
ejde-666	594	9	;	;	PUNCT
ejde-666	594	10	existence	existence	NOUN
ejde-666	594	11	and	and	CCONJ
ejde-666	594	12	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-666	594	13	theorems	theorem	NOUN
ejde-666	594	14	for	for	ADP
ejde-666	594	15	semilinear	semilinear	PROPN
ejde-666	594	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	594	17	equations	equation	NOUN
ejde-666	594	18	with	with	ADP
ejde-666	594	19	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	594	20	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	594	21	conditions	condition	NOUN
ejde-666	594	22	,	,	PUNCT
ejde-666	594	23	indiana	indiana	PROPN
ejde-666	594	24	univ	univ	PROPN
ejde-666	594	25	.	.	PUNCT
ejde-666	595	1	math	math	PROPN
ejde-666	595	2	.	.	PUNCT
ejde-666	596	1	j.	j.	PROPN
ejde-666	596	2	31	31	NUM
ejde-666	596	3	(	(	PUNCT
ejde-666	596	4	1982	1982	NUM
ejde-666	596	5	)	)	PUNCT
ejde-666	596	6	,	,	PUNCT
ejde-666	596	7	no	no	INTJ
ejde-666	596	8	.	.	NOUN
ejde-666	596	9	2	2	NUM
ejde-666	596	10	,	,	PUNCT
ejde-666	596	11	213–221	213–221	NUM
ejde-666	596	12	.	.	PUNCT
ejde-666	597	1	mr	mr	NOUN
ejde-666	597	2	:	:	PUNCT
ejde-666	597	3	648172	648172	NUM
ejde-666	597	4	[	[	X
ejde-666	597	5	12	12	NUM
ejde-666	597	6	]	]	X
ejde-666	597	7	alois	alois	PROPN
ejde-666	597	8	kufner	kufner	PROPN
ejde-666	597	9	,	,	PUNCT
ejde-666	597	10	oldřich	oldřich	PROPN
ejde-666	597	11	john	john	PROPN
ejde-666	597	12	,	,	PUNCT
ejde-666	597	13	svatopluk	svatopluk	PROPN
ejde-666	597	14	fuč́ık	fuč́ık	PROPN
ejde-666	597	15	;	;	PUNCT
ejde-666	597	16	function	function	NOUN
ejde-666	597	17	spaces	space	NOUN
ejde-666	597	18	,	,	PUNCT
ejde-666	597	19	noordhoff	noordhoff	PROPN
ejde-666	597	20	international	international	ADJ
ejde-666	597	21	publishing	publishing	NOUN
ejde-666	597	22	,	,	PUNCT
ejde-666	597	23	leyden	leyden	PROPN
ejde-666	597	24	;	;	PUNCT
ejde-666	597	25	academia	academia	NOUN
ejde-666	597	26	,	,	PUNCT
ejde-666	597	27	prague	prague	PROPN
ejde-666	597	28	,	,	PUNCT
ejde-666	597	29	1977	1977	NUM
ejde-666	597	30	,	,	PUNCT
ejde-666	597	31	monographs	monograph	NOUN
ejde-666	597	32	and	and	CCONJ
ejde-666	597	33	textbooks	textbook	NOUN
ejde-666	597	34	on	on	ADP
ejde-666	597	35	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-666	597	36	of	of	ADP
ejde-666	597	37	solids	solid	NOUN
ejde-666	597	38	and	and	CCONJ
ejde-666	597	39	fluids	fluid	NOUN
ejde-666	597	40	;	;	PUNCT
ejde-666	597	41	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-666	597	42	:	:	PUNCT
ejde-666	597	43	analysis	analysis	NOUN
ejde-666	597	44	.	.	PUNCT
ejde-666	598	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	598	2	:	:	PUNCT
ejde-666	598	3	0482102	0482102	NUM
ejde-666	599	1	[	[	X
ejde-666	599	2	13	13	NUM
ejde-666	599	3	]	]	PUNCT
ejde-666	599	4	a.	a.	NOUN
ejde-666	599	5	a.	a.	PROPN
ejde-666	599	6	lacey	lacey	PROPN
ejde-666	599	7	,	,	PUNCT
ejde-666	599	8	j.	j.	PROPN
ejde-666	599	9	r.	r.	PROPN
ejde-666	599	10	ockendon	ockendon	PROPN
ejde-666	599	11	,	,	PUNCT
ejde-666	599	12	j.	j.	PROPN
ejde-666	599	13	sabina	sabina	PROPN
ejde-666	599	14	;	;	PUNCT
ejde-666	599	15	multidimensional	multidimensional	ADJ
ejde-666	599	16	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	599	17	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	599	18	equations	equation	NOUN
ejde-666	599	19	with	with	ADP
ejde-666	599	20	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	599	21	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	599	22	conditions	condition	NOUN
ejde-666	599	23	,	,	PUNCT
ejde-666	599	24	siam	siam	PROPN
ejde-666	599	25	j.	j.	PROPN
ejde-666	599	26	appl	appl	PROPN
ejde-666	599	27	.	.	PROPN
ejde-666	599	28	math	math	PROPN
ejde-666	599	29	.	.	PUNCT
ejde-666	600	1	58	58	NUM
ejde-666	600	2	(	(	PUNCT
ejde-666	600	3	1998	1998	NUM
ejde-666	600	4	)	)	PUNCT
ejde-666	600	5	,	,	PUNCT
ejde-666	600	6	no	no	INTJ
ejde-666	600	7	.	.	NOUN
ejde-666	600	8	5	5	NUM
ejde-666	600	9	,	,	PUNCT
ejde-666	600	10	1622–1647	1622–1647	NUM
ejde-666	600	11	.	.	PUNCT
ejde-666	601	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	601	2	:	:	PUNCT
ejde-666	601	3	1637882	1637882	NUM
ejde-666	601	4	[	[	X
ejde-666	601	5	14	14	NUM
ejde-666	601	6	]	]	X
ejde-666	601	7	olga	olga	PROPN
ejde-666	601	8	a.	a.	PROPN
ejde-666	601	9	ladyzhenskaya	ladyzhenskaya	PROPN
ejde-666	601	10	,	,	PUNCT
ejde-666	601	11	nina	nina	PROPN
ejde-666	601	12	n.	n.	PROPN
ejde-666	601	13	ural’tseva	ural’tseva	PROPN
ejde-666	601	14	;	;	PUNCT
ejde-666	601	15	linear	linear	ADJ
ejde-666	601	16	and	and	CCONJ
ejde-666	601	17	quasilinear	quasilinear	VERB
ejde-666	601	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	601	19	equations	equation	NOUN
ejde-666	601	20	,	,	PUNCT
ejde-666	601	21	translated	translate	VERB
ejde-666	601	22	from	from	ADP
ejde-666	601	23	the	the	DET
ejde-666	601	24	russian	russian	NOUN
ejde-666	601	25	by	by	ADP
ejde-666	601	26	scripta	scripta	PROPN
ejde-666	601	27	technica	technica	PROPN
ejde-666	601	28	,	,	PUNCT
ejde-666	601	29	inc	inc	PROPN
ejde-666	601	30	.	.	PROPN
ejde-666	601	31	translation	translation	NOUN
ejde-666	601	32	editor	editor	NOUN
ejde-666	601	33	:	:	PUNCT
ejde-666	601	34	leon	leon	PROPN
ejde-666	601	35	ehrenpreis	ehrenpreis	PROPN
ejde-666	601	36	,	,	PUNCT
ejde-666	601	37	academic	academic	ADJ
ejde-666	601	38	press	press	NOUN
ejde-666	601	39	,	,	PUNCT
ejde-666	601	40	new	new	PROPN
ejde-666	601	41	york	york	PROPN
ejde-666	601	42	-	-	PUNCT
ejde-666	601	43	london	london	PROPN
ejde-666	601	44	,	,	PUNCT
ejde-666	601	45	1968	1968	NUM
ejde-666	601	46	.	.	PUNCT
ejde-666	602	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	602	2	:	:	PUNCT
ejde-666	602	3	0244627	0244627	NUM
ejde-666	602	4	[	[	X
ejde-666	602	5	15	15	X
ejde-666	602	6	]	]	X
ejde-666	602	7	t.	t.	PROPN
ejde-666	602	8	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	602	9	,	,	PUNCT
ejde-666	602	10	q.	q.	PROPN
ejde-666	602	11	morris	morris	PROPN
ejde-666	602	12	,	,	PUNCT
ejde-666	602	13	y.	y.	PROPN
ejde-666	602	14	zhang	zhang	PROPN
ejde-666	602	15	;	;	PUNCT
ejde-666	602	16	convergence	convergence	NOUN
ejde-666	602	17	,	,	PUNCT
ejde-666	602	18	stabilty	stabilty	NOUN
ejde-666	602	19	analysis	analysis	NOUN
ejde-666	602	20	,	,	PUNCT
ejde-666	602	21	and	and	CCONJ
ejde-666	602	22	solvers	solver	NOUN
ejde-666	602	23	for	for	ADP
ejde-666	602	24	approximating	approximate	VERB
ejde-666	602	25	sublinear	sublinear	NOUN
ejde-666	602	26	positone	positone	NOUN
ejde-666	602	27	and	and	CCONJ
ejde-666	602	28	semipositone	semipositone	NOUN
ejde-666	602	29	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	602	30	value	value	NOUN
ejde-666	602	31	problems	problem	NOUN
ejde-666	602	32	using	use	VERB
ejde-666	602	33	finite	finite	ADJ
ejde-666	602	34	difference	difference	NOUN
ejde-666	602	35	method	method	NOUN
ejde-666	602	36	,	,	PUNCT
ejde-666	602	37	j.	j.	PROPN
ejde-666	602	38	comp	comp	PROPN
ejde-666	602	39	.	.	PUNCT
ejde-666	603	1	appl	appl	PROPN
ejde-666	603	2	.	.	PROPN
ejde-666	603	3	math	math	NOUN
ejde-666	603	4	.	.	PUNCT
ejde-666	604	1	404	404	NUM
ejde-666	604	2	(	(	PUNCT
ejde-666	604	3	2022	2022	NUM
ejde-666	604	4	)	)	PUNCT
ejde-666	604	5	,	,	PUNCT
ejde-666	604	6	377–427	377–427	NUM
ejde-666	604	7	.	.	PUNCT
ejde-666	605	1	[	[	X
ejde-666	605	2	16	16	NUM
ejde-666	605	3	]	]	X
ejde-666	605	4	ping	ping	PROPN
ejde-666	605	5	liu	liu	PROPN
ejde-666	605	6	,	,	PUNCT
ejde-666	605	7	junping	junpe	VERB
ejde-666	605	8	shi	shi	PROPN
ejde-666	605	9	;	;	PUNCT
ejde-666	605	10	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	605	11	of	of	ADP
ejde-666	605	12	positive	positive	ADJ
ejde-666	605	13	solutions	solution	NOUN
ejde-666	605	14	to	to	ADP
ejde-666	605	15	scalar	scalar	ADJ
ejde-666	605	16	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	605	17	-	-	PUNCT
ejde-666	605	18	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	605	19	equations	equation	NOUN
ejde-666	605	20	with	with	ADP
ejde-666	605	21	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	605	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	605	23	condition	condition	NOUN
ejde-666	605	24	,	,	PUNCT
ejde-666	605	25	j.	j.	PROPN
ejde-666	605	26	differential	differential	PROPN
ejde-666	605	27	equations	equation	NOUN
ejde-666	605	28	264	264	NUM
ejde-666	605	29	(	(	PUNCT
ejde-666	605	30	2018	2018	NUM
ejde-666	605	31	)	)	PUNCT
ejde-666	605	32	,	,	PUNCT
ejde-666	605	33	no	no	INTJ
ejde-666	605	34	.	.	NOUN
ejde-666	605	35	1	1	NUM
ejde-666	605	36	,	,	PUNCT
ejde-666	605	37	425–454	425–454	NUM
ejde-666	605	38	.	.	PUNCT
ejde-666	606	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	606	2	:	:	PUNCT
ejde-666	606	3	3712947	3712947	NUM
ejde-666	606	4	[	[	X
ejde-666	606	5	17	17	NUM
ejde-666	606	6	]	]	X
ejde-666	606	7	nsoki	nsoki	PROPN
ejde-666	606	8	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	606	9	,	,	PUNCT
ejde-666	606	10	rosa	rosa	PROPN
ejde-666	606	11	pardo	pardo	PROPN
ejde-666	606	12	;	;	PUNCT
ejde-666	606	13	bifurcation	bifurcation	NOUN
ejde-666	606	14	from	from	ADP
ejde-666	606	15	infinity	infinity	NOUN
ejde-666	606	16	for	for	ADP
ejde-666	606	17	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	606	18	-	-	PUNCT
ejde-666	606	19	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	606	20	equations	equation	NOUN
ejde-666	606	21	under	under	ADP
ejde-666	606	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	606	23	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	606	24	conditions	condition	NOUN
ejde-666	606	25	,	,	PUNCT
ejde-666	606	26	proc	proc	NOUN
ejde-666	606	27	.	.	PUNCT
ejde-666	607	1	roy	roy	PROPN
ejde-666	607	2	.	.	PROPN
ejde-666	607	3	soc	soc	PROPN
ejde-666	607	4	.	.	PUNCT
ejde-666	608	1	edinburgh	edinburgh	PROPN
ejde-666	608	2	sect	sect	PROPN
ejde-666	608	3	.	.	PUNCT
ejde-666	609	1	a	a	DET
ejde-666	609	2	147	147	NUM
ejde-666	609	3	(	(	PUNCT
ejde-666	609	4	2017	2017	NUM
ejde-666	609	5	)	)	PUNCT
ejde-666	609	6	,	,	PUNCT
ejde-666	609	7	no	no	INTJ
ejde-666	609	8	.	.	NOUN
ejde-666	609	9	3	3	NUM
ejde-666	609	10	,	,	PUNCT
ejde-666	609	11	649–671	649–671	NUM
ejde-666	609	12	.	.	PUNCT
ejde-666	610	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	610	2	:	:	PUNCT
ejde-666	610	3	3656708	3656708	NUM
ejde-666	610	4	[	[	X
ejde-666	610	5	18	18	NUM
ejde-666	610	6	]	]	PUNCT
ejde-666	610	7	enzo	enzo	NOUN
ejde-666	610	8	mitidieri	mitidieri	NOUN
ejde-666	610	9	,	,	PUNCT
ejde-666	610	10	guido	guido	NOUN
ejde-666	610	11	sweers	sweer	NOUN
ejde-666	610	12	;	;	PUNCT
ejde-666	610	13	existence	existence	NOUN
ejde-666	610	14	of	of	ADP
ejde-666	610	15	a	a	DET
ejde-666	610	16	maximal	maximal	ADJ
ejde-666	610	17	solution	solution	NOUN
ejde-666	610	18	for	for	ADP
ejde-666	610	19	quasimonotone	quasimonotone	ADJ
ejde-666	610	20	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	610	21	systems	system	NOUN
ejde-666	610	22	,	,	PUNCT
ejde-666	610	23	differential	differential	ADJ
ejde-666	610	24	integral	integral	ADJ
ejde-666	610	25	equations	equation	NOUN
ejde-666	610	26	7	7	NUM
ejde-666	610	27	(	(	PUNCT
ejde-666	610	28	1994	1994	NUM
ejde-666	610	29	)	)	PUNCT
ejde-666	610	30	,	,	PUNCT
ejde-666	610	31	no	no	INTJ
ejde-666	610	32	.	.	NOUN
ejde-666	610	33	5	5	NUM
ejde-666	610	34	-	-	SYM
ejde-666	610	35	6	6	NUM
ejde-666	610	36	,	,	PUNCT
ejde-666	610	37	1495–1510	1495–1510	NUM
ejde-666	610	38	.	.	PUNCT
ejde-666	611	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	611	2	:	:	PUNCT
ejde-666	611	3	1269667	1269667	NUM
ejde-666	611	4	[	[	X
ejde-666	611	5	19	19	NUM
ejde-666	611	6	]	]	X
ejde-666	611	7	j.	j.	PROPN
ejde-666	611	8	m.	m.	PROPN
ejde-666	611	9	neuberger	neuberger	PROPN
ejde-666	611	10	,	,	PUNCT
ejde-666	611	11	n.	n.	PROPN
ejde-666	611	12	sieben	sieben	PROPN
ejde-666	611	13	,	,	PUNCT
ejde-666	611	14	j.	j.	PROPN
ejde-666	611	15	w.	w.	PROPN
ejde-666	611	16	swift	swift	PROPN
ejde-666	611	17	;	;	PUNCT
ejde-666	611	18	symmetry	symmetry	NOUN
ejde-666	611	19	and	and	CCONJ
ejde-666	611	20	automated	automate	VERB
ejde-666	611	21	branch	branch	NOUN
ejde-666	611	22	following	follow	VERB
ejde-666	611	23	for	for	ADP
ejde-666	611	24	a	a	DET
ejde-666	611	25	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-666	611	26	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	611	27	pde	pde	NOUN
ejde-666	611	28	on	on	ADP
ejde-666	611	29	a	a	DET
ejde-666	611	30	fractal	fractal	ADJ
ejde-666	611	31	region	region	NOUN
ejde-666	611	32	,	,	PUNCT
ejde-666	611	33	siam	siam	PROPN
ejde-666	611	34	j.	j.	PROPN
ejde-666	611	35	appl	appl	PROPN
ejde-666	611	36	.	.	PUNCT
ejde-666	612	1	dyn	dyn	PROPN
ejde-666	612	2	.	.	PUNCT
ejde-666	613	1	syst	syst	PROPN
ejde-666	613	2	.	.	PROPN
ejde-666	613	3	5	5	NUM
ejde-666	613	4	(	(	PUNCT
ejde-666	613	5	2006	2006	NUM
ejde-666	613	6	)	)	PUNCT
ejde-666	613	7	,	,	PUNCT
ejde-666	613	8	476–507	476–507	NUM
ejde-666	613	9	.	.	PUNCT
ejde-666	614	1	[	[	X
ejde-666	614	2	20	20	NUM
ejde-666	614	3	]	]	X
ejde-666	614	4	j.	j.	PROPN
ejde-666	614	5	m.	m.	PROPN
ejde-666	614	6	neuberger	neuberger	PROPN
ejde-666	614	7	,	,	PUNCT
ejde-666	614	8	j.w	j.w	PROPN
ejde-666	614	9	.	.	PROPN
ejde-666	614	10	swift	swift	PROPN
ejde-666	614	11	;	;	PUNCT
ejde-666	614	12	newton	newton	PROPN
ejde-666	614	13	’s	’s	PART
ejde-666	614	14	method	method	NOUN
ejde-666	614	15	and	and	CCONJ
ejde-666	614	16	morse	morse	ADJ
ejde-666	614	17	index	index	NOUN
ejde-666	614	18	for	for	ADP
ejde-666	614	19	semilinear	semilinear	ADJ
ejde-666	614	20	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	614	21	pdes	pde	NOUN
ejde-666	614	22	,	,	PUNCT
ejde-666	614	23	internat	internat	PROPN
ejde-666	614	24	.	.	PUNCT
ejde-666	615	1	j.	j.	PROPN
ejde-666	615	2	bifur	bifur	PROPN
ejde-666	615	3	.	.	PUNCT
ejde-666	616	1	chaos	chaos	NOUN
ejde-666	616	2	appl	appl	PROPN
ejde-666	616	3	.	.	PUNCT
ejde-666	617	1	sci	sci	PROPN
ejde-666	617	2	.	.	PUNCT
ejde-666	617	3	engrg	engrg	PROPN
ejde-666	617	4	.	.	PROPN
ejde-666	617	5	11	11	NUM
ejde-666	617	6	(	(	PUNCT
ejde-666	617	7	2001	2001	NUM
ejde-666	617	8	)	)	PUNCT
ejde-666	617	9	,	,	PUNCT
ejde-666	617	10	801–820	801–820	NUM
ejde-666	617	11	.	.	PUNCT
ejde-666	618	1	[	[	X
ejde-666	618	2	21	21	NUM
ejde-666	618	3	]	]	X
ejde-666	618	4	h.	h.	PROPN
ejde-666	618	5	othmer	othmer	PROPN
ejde-666	618	6	,	,	PUNCT
ejde-666	618	7	r.	r.	PROPN
ejde-666	618	8	dillon	dillon	PROPN
ejde-666	618	9	;	;	PUNCT
ejde-666	618	10	a	a	DET
ejde-666	618	11	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-666	618	12	model	model	NOUN
ejde-666	618	13	for	for	ADP
ejde-666	618	14	outgrowth	outgrowth	NOUN
ejde-666	618	15	and	and	CCONJ
ejde-666	618	16	spatial	spatial	ADJ
ejde-666	618	17	patterning	patterning	NOUN
ejde-666	618	18	of	of	ADP
ejde-666	618	19	the	the	DET
ejde-666	618	20	vertebrate	vertebrate	ADJ
ejde-666	618	21	limb	limb	NOUN
ejde-666	618	22	bud	bud	NOUN
ejde-666	618	23	,	,	PUNCT
ejde-666	618	24	j.	j.	PROPN
ejde-666	618	25	theoret	theoret	PROPN
ejde-666	618	26	.	.	PUNCT
ejde-666	619	1	biol	biol	PROPN
ejde-666	619	2	.	.	PUNCT
ejde-666	620	1	197	197	NUM
ejde-666	620	2	(	(	PUNCT
ejde-666	620	3	1999	1999	NUM
ejde-666	620	4	)	)	PUNCT
ejde-666	620	5	,	,	PUNCT
ejde-666	620	6	295–330	295–330	NUM
ejde-666	620	7	.	.	PUNCT
ejde-666	621	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	621	2	:	:	PUNCT
ejde-666	621	3	3918372	3918372	NUM
ejde-666	621	4	[	[	X
ejde-666	621	5	22	22	NUM
ejde-666	621	6	]	]	X
ejde-666	621	7	c.	c.	PROPN
ejde-666	621	8	v.	v.	PROPN
ejde-666	621	9	pao	pao	PROPN
ejde-666	621	10	;	;	PUNCT
ejde-666	621	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	621	12	parabolic	parabolic	ADJ
ejde-666	621	13	and	and	CCONJ
ejde-666	621	14	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	621	15	equations	equation	NOUN
ejde-666	621	16	,	,	PUNCT
ejde-666	621	17	plenum	plenum	PROPN
ejde-666	621	18	press	press	PROPN
ejde-666	621	19	,	,	PUNCT
ejde-666	621	20	new	new	PROPN
ejde-666	621	21	york	york	PROPN
ejde-666	621	22	,	,	PUNCT
ejde-666	621	23	1992	1992	NUM
ejde-666	621	24	.	.	PUNCT
ejde-666	622	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	622	2	:	:	PUNCT
ejde-666	622	3	1212084	1212084	NUM
ejde-666	622	4	[	[	X
ejde-666	622	5	23	23	NUM
ejde-666	622	6	]	]	X
ejde-666	622	7	c.	c.	PROPN
ejde-666	622	8	v.	v.	PROPN
ejde-666	622	9	pao	pao	PROPN
ejde-666	622	10	;	;	PUNCT
ejde-666	622	11	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	622	12	iterative	iterative	NOUN
ejde-666	622	13	methods	method	NOUN
ejde-666	622	14	for	for	ADP
ejde-666	622	15	finite	finite	ADJ
ejde-666	622	16	difference	difference	NOUN
ejde-666	622	17	system	system	NOUN
ejde-666	622	18	of	of	ADP
ejde-666	622	19	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	622	20	-	-	PUNCT
ejde-666	622	21	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	622	22	equations	equation	NOUN
ejde-666	622	23	,	,	PUNCT
ejde-666	622	24	numer	numer	PROPN
ejde-666	622	25	.	.	PROPN
ejde-666	622	26	math	math	NOUN
ejde-666	622	27	.	.	PUNCT
ejde-666	623	1	46(4	46(4	NOUN
ejde-666	623	2	)	)	PUNCT
ejde-666	623	3	(	(	PUNCT
ejde-666	623	4	1985	1985	NUM
ejde-666	623	5	)	)	PUNCT
ejde-666	623	6	,	,	PUNCT
ejde-666	623	7	571–586	571–586	NUM
ejde-666	623	8	.	.	PUNCT
ejde-666	624	1	[	[	X
ejde-666	624	2	24	24	NUM
ejde-666	624	3	]	]	X
ejde-666	624	4	c.	c.	PROPN
ejde-666	624	5	v.	v.	PROPN
ejde-666	624	6	pao	pao	PROPN
ejde-666	624	7	;	;	PUNCT
ejde-666	624	8	comparison	comparison	NOUN
ejde-666	624	9	methods	method	NOUN
ejde-666	624	10	and	and	CCONJ
ejde-666	624	11	stabiity	stabiity	NOUN
ejde-666	624	12	analysis	analysis	NOUN
ejde-666	624	13	of	of	ADP
ejde-666	624	14	reaction	reaction	NOUN
ejde-666	624	15	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-666	624	16	systems	system	NOUN
ejde-666	624	17	,	,	PUNCT
ejde-666	624	18	in	in	ADP
ejde-666	624	19	:	:	PUNCT
ejde-666	624	20	comparison	comparison	NOUN
ejde-666	624	21	methods	method	NOUN
ejde-666	624	22	and	and	CCONJ
ejde-666	624	23	stability	stability	NOUN
ejde-666	624	24	theory	theory	NOUN
ejde-666	624	25	,	,	PUNCT
ejde-666	624	26	crc	crc	PROPN
ejde-666	624	27	press	press	NOUN
ejde-666	624	28	(	(	PUNCT
ejde-666	624	29	1994	1994	NUM
ejde-666	624	30	)	)	PUNCT
ejde-666	624	31	,	,	PUNCT
ejde-666	624	32	277–292	277–292	NUM
ejde-666	624	33	.	.	PUNCT
ejde-666	625	1	[	[	X
ejde-666	625	2	25	25	NUM
ejde-666	625	3	]	]	X
ejde-666	625	4	c.	c.	PROPN
ejde-666	625	5	v.	v.	PROPN
ejde-666	625	6	pao	pao	PROPN
ejde-666	625	7	;	;	PUNCT
ejde-666	625	8	block	block	NOUN
ejde-666	625	9	monotone	monotone	ADJ
ejde-666	625	10	iterative	iterative	NOUN
ejde-666	625	11	methods	method	NOUN
ejde-666	625	12	for	for	ADP
ejde-666	625	13	numerical	numerical	ADJ
ejde-666	625	14	solutions	solution	NOUN
ejde-666	625	15	of	of	ADP
ejde-666	625	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-666	625	17	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-666	625	18	equations	equation	NOUN
ejde-666	625	19	,	,	PUNCT
ejde-666	625	20	numer	numer	PROPN
ejde-666	625	21	.	.	PROPN
ejde-666	625	22	math	math	NOUN
ejde-666	625	23	.	.	PUNCT
ejde-666	626	1	72	72	NUM
ejde-666	626	2	(	(	PUNCT
ejde-666	626	3	1995	1995	NUM
ejde-666	626	4	)	)	PUNCT
ejde-666	626	5	,	,	PUNCT
ejde-666	626	6	239–261	239–261	NUM
ejde-666	626	7	.	.	PUNCT
ejde-666	627	1	[	[	X
ejde-666	627	2	26	26	NUM
ejde-666	627	3	]	]	X
ejde-666	627	4	kenichiro	kenichiro	PROPN
ejde-666	627	5	umezu	umezu	PROPN
ejde-666	627	6	;	;	PUNCT
ejde-666	627	7	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-666	627	8	of	of	ADP
ejde-666	627	9	a	a	DET
ejde-666	627	10	positive	positive	ADJ
ejde-666	627	11	solution	solution	NOUN
ejde-666	627	12	for	for	ADP
ejde-666	627	13	the	the	DET
ejde-666	627	14	laplace	laplace	NOUN
ejde-666	627	15	equation	equation	NOUN
ejde-666	627	16	with	with	ADP
ejde-666	627	17	indefinite	indefinite	ADJ
ejde-666	627	18	superlinear	superlinear	NOUN
ejde-666	627	19	boundary	boundary	ADJ
ejde-666	627	20	condition	condition	NOUN
ejde-666	627	21	,	,	PUNCT
ejde-666	627	22	j.	j.	PROPN
ejde-666	627	23	differential	differential	PROPN
ejde-666	627	24	equations	equation	NOUN
ejde-666	627	25	350	350	NUM
ejde-666	627	26	(	(	PUNCT
ejde-666	627	27	2023	2023	NUM
ejde-666	627	28	)	)	PUNCT
ejde-666	627	29	,	,	PUNCT
ejde-666	627	30	124–151	124–151	NUM
ejde-666	627	31	.	.	PUNCT
ejde-666	628	1	mr	mr	PROPN
ejde-666	628	2	:	:	PUNCT
ejde-666	628	3	4528560	4528560	NUM
ejde-666	628	4	shalmali	shalmali	PROPN
ejde-666	628	5	bandyopadhyay	bandyopadhyay	PROPN
ejde-666	628	6	department	department	PROPN
ejde-666	628	7	of	of	ADP
ejde-666	628	8	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-666	628	9	and	and	CCONJ
ejde-666	628	10	statistics	statistic	NOUN
ejde-666	628	11	,	,	PUNCT
ejde-666	628	12	university	university	PROPN
ejde-666	628	13	of	of	ADP
ejde-666	628	14	tennessee	tennessee	PROPN
ejde-666	628	15	at	at	ADP
ejde-666	628	16	martin	martin	PROPN
ejde-666	628	17	,	,	PUNCT
ejde-666	628	18	martin	martin	PROPN
ejde-666	628	19	,	,	PUNCT
ejde-666	628	20	tn	tn	PROPN
ejde-666	628	21	38238	38238	NUM
ejde-666	628	22	,	,	PUNCT
ejde-666	628	23	usa	usa	PROPN
ejde-666	628	24	email	email	NOUN
ejde-666	628	25	address	address	NOUN
ejde-666	628	26	:	:	PUNCT
ejde-666	628	27	sbandyo5@utm.edu	sbandyo5@utm.edu	PROPN
ejde-666	628	28	thomas	thomas	PROPN
ejde-666	628	29	lewis	lewis	PROPN
ejde-666	628	30	department	department	PROPN
ejde-666	628	31	of	of	ADP
ejde-666	628	32	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-666	628	33	and	and	CCONJ
ejde-666	628	34	statistics	statistic	NOUN
ejde-666	628	35	,	,	PUNCT
ejde-666	628	36	the	the	DET
ejde-666	628	37	university	university	NOUN
ejde-666	628	38	of	of	ADP
ejde-666	628	39	north	north	PROPN
ejde-666	628	40	carolina	carolina	PROPN
ejde-666	628	41	at	at	ADP
ejde-666	628	42	greensboro	greensboro	PROPN
ejde-666	628	43	,	,	PUNCT
ejde-666	628	44	greensboro	greensboro	PROPN
ejde-666	628	45	,	,	PUNCT
ejde-666	628	46	nc	nc	PROPN
ejde-666	628	47	27412	27412	NUM
ejde-666	628	48	,	,	PUNCT
ejde-666	628	49	usa	usa	PROPN
ejde-666	628	50	email	email	NOUN
ejde-666	628	51	address	address	NOUN
ejde-666	628	52	:	:	PUNCT
ejde-666	628	53	tllewis3@uncg.edu	tllewis3@uncg.edu	NUM
ejde-666	628	54	nsoki	nsoki	PROPN
ejde-666	628	55	mavinga	mavinga	PROPN
ejde-666	628	56	department	department	PROPN
ejde-666	628	57	of	of	ADP
ejde-666	628	58	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-666	628	59	and	and	CCONJ
ejde-666	628	60	statistics	statistic	NOUN
ejde-666	628	61	,	,	PUNCT
ejde-666	628	62	swarthmore	swarthmore	PROPN
ejde-666	628	63	college	college	PROPN
ejde-666	628	64	,	,	PUNCT
ejde-666	628	65	swarthmore	swarthmore	PROPN
ejde-666	628	66	,	,	PUNCT
ejde-666	628	67	pa	pa	PROPN
ejde-666	628	68	19081	19081	NUM
ejde-666	628	69	,	,	PUNCT
ejde-666	628	70	usa	usa	PROPN
ejde-666	628	71	email	email	NOUN
ejde-666	628	72	address	address	NOUN
ejde-666	628	73	:	:	PUNCT
ejde-666	628	74	nmaving1@swarthmore.edu	nmaving1@swarthmore.edu	PROPN
ejde-666	628	75	1	1	NUM
ejde-666	628	76	.	.	PUNCT
ejde-666	628	77	introduction	introduction	NOUN
ejde-666	628	78	2	2	NUM
ejde-666	628	79	.	.	PUNCT
ejde-666	628	80	proof	proof	NOUN
ejde-666	628	81	of	of	ADP
ejde-666	628	82	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	628	83	?	?	PUNCT
ejde-666	628	84	?	?	PUNCT
ejde-666	629	1	3	3	X
ejde-666	629	2	.	.	X
ejde-666	629	3	proof	proof	NOUN
ejde-666	629	4	of	of	ADP
ejde-666	629	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-666	629	6	?	?	PUNCT
ejde-666	629	7	?	?	PUNCT
ejde-666	630	1	4	4	X
ejde-666	630	2	.	.	X
ejde-666	630	3	finite	finite	ADJ
ejde-666	630	4	difference	difference	NOUN
ejde-666	630	5	approximations	approximation	NOUN
ejde-666	630	6	4.1	4.1	NUM
ejde-666	630	7	.	.	PUNCT
ejde-666	631	1	formulation	formulation	NOUN
ejde-666	631	2	4.2	4.2	NUM
ejde-666	631	3	.	.	PUNCT
ejde-666	632	1	existence	existence	NOUN
ejde-666	632	2	and	and	CCONJ
ejde-666	632	3	stability	stability	NOUN
ejde-666	632	4	4.3	4.3	NUM
ejde-666	632	5	.	.	PUNCT
ejde-666	632	6	example	example	NOUN
ejde-666	632	7	1	1	NUM
ejde-666	632	8	4.4	4.4	NUM
ejde-666	632	9	.	.	PUNCT
ejde-666	632	10	example	example	NOUN
ejde-666	632	11	2	2	NUM
ejde-666	632	12	4.5	4.5	NUM
ejde-666	632	13	.	.	PUNCT
ejde-666	633	1	example	example	NOUN
ejde-666	633	2	3	3	NUM
ejde-666	633	3	4.6	4.6	NUM
ejde-666	633	4	.	.	PUNCT
ejde-666	634	1	example	example	NOUN
ejde-666	634	2	4	4	NUM
ejde-666	634	3	5	5	NUM
ejde-666	634	4	.	.	PUNCT
ejde-666	635	1	appendix	appendix	VERB
ejde-666	635	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-666	635	3	references	reference	NOUN