id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-686	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-686	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-686	1	3	of	of	ADP
ejde-686	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-686	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-686	1	6	,	,	PUNCT
ejde-686	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-686	1	8	.	.	PUNCT
ejde-686	1	9	2025	2025	NUM
ejde-686	1	10	(	(	PUNCT
ejde-686	1	11	2025	2025	NUM
ejde-686	1	12	)	)	PUNCT
ejde-686	1	13	,	,	PUNCT
ejde-686	1	14	no	no	INTJ
ejde-686	1	15	.	.	NOUN
ejde-686	1	16	12	12	NUM
ejde-686	1	17	,	,	PUNCT
ejde-686	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-686	1	19	.	.	PUNCT
ejde-686	2	1	1–25	1–25	X
ejde-686	2	2	.	.	PUNCT
ejde-686	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-686	3	2	:	:	PUNCT
ejde-686	3	3	1072	1072	NUM
ejde-686	3	4	-	-	SYM
ejde-686	3	5	6691	6691	NUM
ejde-686	3	6	.	.	PUNCT
ejde-686	4	1	url	url	PROPN
ejde-686	4	2	:	:	PUNCT
ejde-686	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-686	4	4	,	,	PUNCT
ejde-686	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-686	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-686	4	7	:	:	PUNCT
ejde-686	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-686	4	9	/	/	SYM
ejde-686	4	10	ejde.2025.12	ejde.2025.12	NOUN
ejde-686	4	11	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	4	12	sets	set	NOUN
ejde-686	4	13	and	and	CCONJ
ejde-686	4	14	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	4	15	of	of	ADP
ejde-686	4	16	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	4	17	of	of	ADP
ejde-686	4	18	kreĭn	kreĭn	NOUN
ejde-686	4	19	-	-	PUNCT
ejde-686	4	20	feller	feller	NOUN
ejde-686	4	21	operators	operator	NOUN
ejde-686	4	22	sze	sze	PROPN
ejde-686	4	23	-	-	PUNCT
ejde-686	4	24	man	man	NOUN
ejde-686	4	25	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	4	26	,	,	PUNCT
ejde-686	4	27	meng	meng	PROPN
ejde-686	4	28	-	-	PUNCT
ejde-686	4	29	ke	ke	PROPN
ejde-686	4	30	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	4	31	,	,	PUNCT
ejde-686	4	32	wen	wen	PROPN
ejde-686	4	33	-	-	PROPN
ejde-686	4	34	quan	quan	PROPN
ejde-686	4	35	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	4	36	abstract	abstract	NOUN
ejde-686	4	37	.	.	PUNCT
ejde-686	5	1	let	let	VERB
ejde-686	5	2	µ	µ	X
ejde-686	5	3	be	be	AUX
ejde-686	5	4	a	a	DET
ejde-686	5	5	compactly	compactly	ADV
ejde-686	5	6	supported	support	VERB
ejde-686	5	7	positive	positive	ADJ
ejde-686	5	8	finite	finite	NOUN
ejde-686	5	9	borel	borel	PROPN
ejde-686	5	10	measure	measure	NOUN
ejde-686	5	11	on	on	ADP
ejde-686	5	12	rd	rd	PROPN
ejde-686	5	13	.	.	PUNCT
ejde-686	6	1	let	let	VERB
ejde-686	6	2	0	0	NUM
ejde-686	6	3	<	<	X
ejde-686	6	4	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	6	5	≤	≤	NUM
ejde-686	6	6	λ2	λ2	NOUN
ejde-686	6	7	≤	≤	NOUN
ejde-686	6	8	·	·	PUNCT
ejde-686	6	9	·	·	PUNCT
ejde-686	6	10	·	·	PUNCT
ejde-686	7	1	be	be	AUX
ejde-686	7	2	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	7	3	of	of	ADP
ejde-686	7	4	the	the	DET
ejde-686	7	5	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	7	6	-	-	PUNCT
ejde-686	7	7	feller	feller	NOUN
ejde-686	7	8	operator	operator	NOUN
ejde-686	7	9	∆µ.	∆µ.	PROPN
ejde-686	7	10	we	we	PRON
ejde-686	7	11	prove	prove	VERB
ejde-686	7	12	that	that	SCONJ
ejde-686	7	13	,	,	PUNCT
ejde-686	7	14	on	on	ADP
ejde-686	7	15	a	a	DET
ejde-686	7	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	7	17	domain	domain	NOUN
ejde-686	7	18	,	,	PUNCT
ejde-686	7	19	the	the	DET
ejde-686	7	20	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	7	21	set	set	NOUN
ejde-686	7	22	of	of	ADP
ejde-686	7	23	a	a	DET
ejde-686	7	24	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	7	25	λn	λn	NOUN
ejde-686	7	26	-	-	PUNCT
ejde-686	7	27	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	7	28	of	of	ADP
ejde-686	7	29	a	a	DET
ejde-686	7	30	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	7	31	-	-	PUNCT
ejde-686	7	32	feller	feller	NOUN
ejde-686	7	33	operator	operator	NOUN
ejde-686	7	34	divides	divide	VERB
ejde-686	7	35	the	the	DET
ejde-686	7	36	domain	domain	NOUN
ejde-686	7	37	into	into	ADP
ejde-686	7	38	at	at	ADV
ejde-686	7	39	least	least	ADV
ejde-686	7	40	2	2	NUM
ejde-686	7	41	and	and	CCONJ
ejde-686	7	42	at	at	ADP
ejde-686	7	43	most	most	ADJ
ejde-686	7	44	n+	n+	ADP
ejde-686	7	45	rn	rn	NOUN
ejde-686	7	46	−	−	PROPN
ejde-686	7	47	1	1	NUM
ejde-686	7	48	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	7	49	,	,	PUNCT
ejde-686	7	50	where	where	SCONJ
ejde-686	7	51	rn	rn	PROPN
ejde-686	7	52	is	be	AUX
ejde-686	7	53	the	the	DET
ejde-686	7	54	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-686	7	55	of	of	ADP
ejde-686	7	56	λn	λn	NOUN
ejde-686	7	57	.	.	PUNCT
ejde-686	8	1	this	this	DET
ejde-686	8	2	work	work	NOUN
ejde-686	8	3	generalizes	generalize	VERB
ejde-686	8	4	the	the	DET
ejde-686	8	5	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	8	6	set	set	VERB
ejde-686	8	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	8	8	of	of	ADP
ejde-686	8	9	the	the	DET
ejde-686	8	10	classical	classical	ADJ
ejde-686	8	11	laplace	laplace	NOUN
ejde-686	8	12	operator	operator	NOUN
ejde-686	8	13	to	to	ADP
ejde-686	8	14	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	8	15	-	-	PUNCT
ejde-686	8	16	feller	feller	NOUN
ejde-686	8	17	operators	operator	NOUN
ejde-686	8	18	on	on	ADP
ejde-686	8	19	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	8	20	domains	domain	NOUN
ejde-686	8	21	.	.	PUNCT
ejde-686	9	1	we	we	PRON
ejde-686	9	2	also	also	ADV
ejde-686	9	3	prove	prove	VERB
ejde-686	9	4	that	that	SCONJ
ejde-686	9	5	on	on	ADP
ejde-686	9	6	bounded	bound	VERB
ejde-686	9	7	domains	domain	NOUN
ejde-686	9	8	on	on	ADP
ejde-686	9	9	which	which	PRON
ejde-686	9	10	the	the	DET
ejde-686	9	11	classical	classical	ADJ
ejde-686	9	12	green	green	ADJ
ejde-686	9	13	function	function	NOUN
ejde-686	9	14	exists	exist	VERB
ejde-686	9	15	,	,	PUNCT
ejde-686	9	16	the	the	DET
ejde-686	9	17	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	9	18	of	of	ADP
ejde-686	9	19	a	a	DET
ejde-686	9	20	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	9	21	-	-	PUNCT
ejde-686	9	22	feller	feller	NOUN
ejde-686	9	23	operator	operator	NOUN
ejde-686	9	24	are	be	AUX
ejde-686	9	25	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	9	26	.	.	PUNCT
ejde-686	10	1	1	1	X
ejde-686	10	2	.	.	X
ejde-686	10	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-686	10	4	for	for	ADP
ejde-686	10	5	a	a	DET
ejde-686	10	6	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	10	7	domain	domain	NOUN
ejde-686	10	8	(	(	PUNCT
ejde-686	10	9	i.e.	i.e.	X
ejde-686	10	10	,	,	PUNCT
ejde-686	10	11	an	an	DET
ejde-686	10	12	open	open	ADJ
ejde-686	10	13	and	and	CCONJ
ejde-686	10	14	connected	connected	ADJ
ejde-686	10	15	set	set	NOUN
ejde-686	10	16	)	)	PUNCT
ejde-686	10	17	ω	ω	PROPN
ejde-686	10	18	⊆	⊆	NUM
ejde-686	10	19	rd	rd	NOUN
ejde-686	10	20	,	,	PUNCT
ejde-686	10	21	consider	consider	VERB
ejde-686	10	22	the	the	DET
ejde-686	10	23	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-686	10	24	problem	problem	NOUN
ejde-686	10	25	−∆u	−∆u	PRON
ejde-686	11	1	=	=	SYM
ejde-686	11	2	λu	λu	INTJ
ejde-686	11	3	,	,	PUNCT
ejde-686	11	4	in	in	ADP
ejde-686	11	5	ω	ω	NUM
ejde-686	11	6	,	,	PUNCT
ejde-686	11	7	u	u	NOUN
ejde-686	11	8	=	=	PROPN
ejde-686	11	9	0	0	NUM
ejde-686	11	10	,	,	PUNCT
ejde-686	11	11	in	in	ADP
ejde-686	11	12	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	11	13	,	,	PUNCT
ejde-686	11	14	(	(	PUNCT
ejde-686	11	15	1.1	1.1	NUM
ejde-686	11	16	)	)	PUNCT
ejde-686	11	17	with	with	ADP
ejde-686	11	18	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-686	11	19	λ	λ	PROPN
ejde-686	11	20	and	and	CCONJ
ejde-686	11	21	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	11	22	u.	u.	VERB
ejde-686	11	23	the	the	DET
ejde-686	11	24	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	11	25	set	set	NOUN
ejde-686	11	26	of	of	ADP
ejde-686	11	27	u	u	NOUN
ejde-686	11	28	is	be	AUX
ejde-686	11	29	defined	define	VERB
ejde-686	11	30	as	as	ADP
ejde-686	11	31	z(u	z(u	PROPN
ejde-686	11	32	)	)	PUNCT
ejde-686	11	33	:	:	PUNCT
ejde-686	11	34	=	=	SYM
ejde-686	11	35	{	{	PUNCT
ejde-686	11	36	x	x	PUNCT
ejde-686	11	37	∈	∈	PROPN
ejde-686	11	38	ω	ω	NOUN
ejde-686	11	39	:	:	PUNCT
ejde-686	11	40	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	11	41	)	)	PUNCT
ejde-686	11	42	=	=	PUNCT
ejde-686	11	43	0	0	NUM
ejde-686	11	44	}	}	PUNCT
ejde-686	11	45	.	.	PUNCT
ejde-686	12	1	it	it	PRON
ejde-686	12	2	is	be	AUX
ejde-686	12	3	known	know	VERB
ejde-686	12	4	that	that	SCONJ
ejde-686	12	5	the	the	DET
ejde-686	12	6	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	12	7	can	can	AUX
ejde-686	12	8	be	be	AUX
ejde-686	12	9	ordered	order	VERB
ejde-686	12	10	as	as	ADP
ejde-686	12	11	0	0	NUM
ejde-686	12	12	<	<	X
ejde-686	12	13	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	12	14	≤	≤	NUM
ejde-686	12	15	λ2	λ2	NOUN
ejde-686	12	16	≤	≤	NOUN
ejde-686	12	17	·	·	PUNCT
ejde-686	12	18	·	·	PUNCT
ejde-686	12	19	·	·	PUNCT
ejde-686	12	20	with	with	SCONJ
ejde-686	12	21	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-686	12	22	λn	λn	X
ejde-686	12	23	=	=	SYM
ejde-686	12	24	∞.	∞.	PROPN
ejde-686	12	25	properties	property	NOUN
ejde-686	12	26	of	of	ADP
ejde-686	12	27	nodal	nodal	ADJ
ejde-686	12	28	set	set	NOUN
ejde-686	12	29	of	of	ADP
ejde-686	12	30	the	the	DET
ejde-686	12	31	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	12	32	have	have	AUX
ejde-686	12	33	been	be	AUX
ejde-686	12	34	studied	study	VERB
ejde-686	12	35	extensively	extensively	ADV
ejde-686	12	36	(	(	PUNCT
ejde-686	12	37	see	see	VERB
ejde-686	12	38	[	[	X
ejde-686	12	39	2	2	NUM
ejde-686	12	40	,	,	PUNCT
ejde-686	12	41	3	3	NUM
ejde-686	12	42	,	,	PUNCT
ejde-686	12	43	10	10	NUM
ejde-686	12	44	,	,	PUNCT
ejde-686	12	45	22	22	NUM
ejde-686	12	46	,	,	PUNCT
ejde-686	12	47	31	31	NUM
ejde-686	12	48	,	,	PUNCT
ejde-686	12	49	32	32	NUM
ejde-686	12	50	,	,	PUNCT
ejde-686	12	51	36	36	NUM
ejde-686	12	52	,	,	PUNCT
ejde-686	12	53	44	44	NUM
ejde-686	12	54	,	,	PUNCT
ejde-686	12	55	45	45	NUM
ejde-686	12	56	,	,	PUNCT
ejde-686	12	57	48	48	NUM
ejde-686	12	58	,	,	PUNCT
ejde-686	12	59	50	50	NUM
ejde-686	12	60	]	]	PUNCT
ejde-686	12	61	and	and	CCONJ
ejde-686	12	62	references	reference	NOUN
ejde-686	12	63	therein	therein	ADV
ejde-686	12	64	)	)	PUNCT
ejde-686	12	65	.	.	PUNCT
ejde-686	13	1	let	let	VERB
ejde-686	13	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	13	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	13	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	13	5	be	be	AUX
ejde-686	13	6	a	a	DET
ejde-686	13	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	13	8	domain	domain	NOUN
ejde-686	13	9	.	.	PUNCT
ejde-686	14	1	by	by	ADP
ejde-686	14	2	a	a	DET
ejde-686	14	3	λ	λ	NOUN
ejde-686	14	4	-	-	NOUN
ejde-686	14	5	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	14	6	we	we	PRON
ejde-686	14	7	mean	mean	VERB
ejde-686	14	8	an	an	DET
ejde-686	14	9	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	14	10	corresponding	correspond	VERB
ejde-686	14	11	to	to	ADP
ejde-686	14	12	the	the	DET
ejde-686	14	13	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-686	14	14	λ	λ	PROPN
ejde-686	14	15	.	.	PUNCT
ejde-686	15	1	the	the	DET
ejde-686	15	2	courant	courant	ADJ
ejde-686	15	3	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	15	4	domain	domain	NOUN
ejde-686	15	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	15	6	says	say	VERB
ejde-686	15	7	that	that	SCONJ
ejde-686	15	8	the	the	DET
ejde-686	15	9	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	15	10	set	set	NOUN
ejde-686	15	11	of	of	ADP
ejde-686	15	12	a	a	DET
ejde-686	15	13	λn	λn	NOUN
ejde-686	15	14	-	-	PUNCT
ejde-686	15	15	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	15	16	of	of	ADP
ejde-686	15	17	(	(	PUNCT
ejde-686	15	18	1.1	1.1	NUM
ejde-686	15	19	)	)	PUNCT
ejde-686	15	20	divides	divide	VERB
ejde-686	15	21	ω	ω	NOUN
ejde-686	15	22	into	into	ADP
ejde-686	15	23	at	at	ADP
ejde-686	15	24	most	most	ADJ
ejde-686	15	25	n	n	PRON
ejde-686	15	26	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	15	27	(	(	PUNCT
ejde-686	15	28	see	see	VERB
ejde-686	16	1	e.g.	e.g.	ADV
ejde-686	16	2	[	[	X
ejde-686	16	3	10	10	NUM
ejde-686	16	4	]	]	NUM
ejde-686	16	5	)	)	PUNCT
ejde-686	16	6	.	.	PUNCT
ejde-686	17	1	gladwell	gladwell	PROPN
ejde-686	17	2	and	and	CCONJ
ejde-686	17	3	zhu	zhu	PROPN
ejde-686	18	1	[	[	X
ejde-686	18	2	22	22	NUM
ejde-686	18	3	]	]	PUNCT
ejde-686	18	4	studied	study	VERB
ejde-686	18	5	the	the	DET
ejde-686	18	6	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	18	7	sets	set	NOUN
ejde-686	18	8	of	of	ADP
ejde-686	18	9	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	18	10	of	of	ADP
ejde-686	18	11	the	the	DET
ejde-686	18	12	following	follow	VERB
ejde-686	18	13	helmholtz	helmholtz	NOUN
ejde-686	18	14	equation	equation	NOUN
ejde-686	18	15	on	on	ADP
ejde-686	18	16	a	a	DET
ejde-686	18	17	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	18	18	domain	domain	NOUN
ejde-686	18	19	ω	ω	NUM
ejde-686	18	20	⊆	⊆	NUM
ejde-686	18	21	rd	rd	NOUN
ejde-686	18	22	:	:	PUNCT
ejde-686	18	23	∆u+	∆u+	NOUN
ejde-686	18	24	λρu	λρu	ADJ
ejde-686	18	25	=	=	SYM
ejde-686	18	26	0	0	NUM
ejde-686	18	27	,	,	PUNCT
ejde-686	18	28	where	where	SCONJ
ejde-686	18	29	ρ(x	ρ(x	NOUN
ejde-686	18	30	)	)	PUNCT
ejde-686	18	31	is	be	AUX
ejde-686	18	32	positive	positive	ADJ
ejde-686	18	33	and	and	CCONJ
ejde-686	18	34	bounded	bound	VERB
ejde-686	18	35	.	.	PUNCT
ejde-686	19	1	they	they	PRON
ejde-686	19	2	proved	prove	VERB
ejde-686	19	3	that	that	SCONJ
ejde-686	19	4	the	the	DET
ejde-686	19	5	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	19	6	set	set	NOUN
ejde-686	19	7	of	of	ADP
ejde-686	19	8	a	a	DET
ejde-686	19	9	λneigenfunction	λneigenfunction	NOUN
ejde-686	19	10	divides	divide	VERB
ejde-686	19	11	ω	ω	VERB
ejde-686	19	12	into	into	ADP
ejde-686	19	13	at	at	ADP
ejde-686	19	14	most	most	ADV
ejde-686	19	15	n	n	NOUN
ejde-686	19	16	+	+	CCONJ
ejde-686	19	17	rn	rn	NOUN
ejde-686	19	18	−	−	NOUN
ejde-686	19	19	1	1	NUM
ejde-686	19	20	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	19	21	,	,	PUNCT
ejde-686	19	22	where	where	SCONJ
ejde-686	19	23	rn	rn	PROPN
ejde-686	19	24	is	be	AUX
ejde-686	19	25	the	the	DET
ejde-686	19	26	2020	2020	NUM
ejde-686	19	27	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-686	19	28	subject	subject	ADJ
ejde-686	19	29	classification	classification	NOUN
ejde-686	19	30	.	.	PUNCT
ejde-686	20	1	35j05	35j05	NUM
ejde-686	20	2	,	,	PUNCT
ejde-686	20	3	35b05	35b05	NUM
ejde-686	20	4	,	,	PUNCT
ejde-686	20	5	34l10	34l10	NUM
ejde-686	20	6	,	,	PUNCT
ejde-686	20	7	28a80	28a80	NUM
ejde-686	20	8	,	,	PUNCT
ejde-686	20	9	35j08	35j08	NUM
ejde-686	20	10	.	.	PUNCT
ejde-686	21	1	key	key	ADJ
ejde-686	21	2	words	word	NOUN
ejde-686	21	3	and	and	CCONJ
ejde-686	21	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-686	21	5	.	.	PUNCT
ejde-686	22	1	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	22	2	-	-	PUNCT
ejde-686	22	3	feller	feller	NOUN
ejde-686	22	4	operators	operator	NOUN
ejde-686	22	5	;	;	PUNCT
ejde-686	22	6	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	22	7	set	set	NOUN
ejde-686	22	8	;	;	PUNCT
ejde-686	22	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	22	10	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	22	11	.	.	PUNCT
ejde-686	23	1	©	©	PROPN
ejde-686	23	2	2025	2025	NUM
ejde-686	23	3	.	.	PUNCT
ejde-686	24	1	this	this	DET
ejde-686	24	2	work	work	NOUN
ejde-686	24	3	is	be	AUX
ejde-686	24	4	licensed	license	VERB
ejde-686	24	5	under	under	ADP
ejde-686	24	6	a	a	DET
ejde-686	24	7	cc	cc	NOUN
ejde-686	24	8	by	by	ADP
ejde-686	24	9	4.0	4.0	NUM
ejde-686	24	10	license	license	NOUN
ejde-686	24	11	.	.	PUNCT
ejde-686	25	1	submitted	submit	VERB
ejde-686	25	2	april	april	PROPN
ejde-686	25	3	17	17	NUM
ejde-686	25	4	,	,	PUNCT
ejde-686	25	5	2024	2024	NUM
ejde-686	25	6	.	.	PUNCT
ejde-686	26	1	published	publish	VERB
ejde-686	26	2	february	february	PROPN
ejde-686	26	3	5	5	NUM
ejde-686	26	4	,	,	PUNCT
ejde-686	26	5	2025	2025	NUM
ejde-686	26	6	.	.	PUNCT
ejde-686	27	1	1	1	NUM
ejde-686	27	2	2	2	NUM
ejde-686	27	3	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	27	4	.	.	PUNCT
ejde-686	28	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	28	2	,	,	PUNCT
ejde-686	28	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	28	4	.	.	PUNCT
ejde-686	29	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	29	2	,	,	PUNCT
ejde-686	29	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	29	4	.	.	PUNCT
ejde-686	30	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	30	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	30	3	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-686	30	4	of	of	ADP
ejde-686	30	5	λn	λn	NOUN
ejde-686	30	6	.	.	PUNCT
ejde-686	31	1	one	one	NUM
ejde-686	31	2	goal	goal	NOUN
ejde-686	31	3	of	of	ADP
ejde-686	31	4	this	this	DET
ejde-686	31	5	paper	paper	NOUN
ejde-686	31	6	is	be	AUX
ejde-686	31	7	to	to	PART
ejde-686	31	8	generalize	generalize	VERB
ejde-686	31	9	the	the	DET
ejde-686	31	10	above	above	ADJ
ejde-686	31	11	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	31	12	to	to	ADP
ejde-686	31	13	laplace	laplace	NOUN
ejde-686	31	14	operators	operator	NOUN
ejde-686	31	15	defined	define	VERB
ejde-686	31	16	by	by	ADP
ejde-686	31	17	measures	measure	NOUN
ejde-686	31	18	(	(	PUNCT
ejde-686	31	19	see	see	VERB
ejde-686	31	20	definition	definition	NOUN
ejde-686	31	21	in	in	ADP
ejde-686	31	22	section	section	NOUN
ejde-686	31	23	2	2	NUM
ejde-686	31	24	)	)	PUNCT
ejde-686	31	25	on	on	ADP
ejde-686	31	26	a	a	DET
ejde-686	31	27	domain	domain	NOUN
ejde-686	31	28	ω	ω	NUM
ejde-686	31	29	⊆	⊆	NUM
ejde-686	31	30	rd	rd	NOUN
ejde-686	31	31	.	.	PUNCT
ejde-686	32	1	such	such	ADJ
ejde-686	32	2	operators	operator	NOUN
ejde-686	32	3	are	be	AUX
ejde-686	32	4	also	also	ADV
ejde-686	32	5	called	call	VERB
ejde-686	32	6	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	32	7	-	-	PUNCT
ejde-686	32	8	feller	feller	NOUN
ejde-686	32	9	operators	operator	NOUN
ejde-686	32	10	and	and	CCONJ
ejde-686	32	11	are	be	AUX
ejde-686	32	12	introduced	introduce	VERB
ejde-686	32	13	in	in	ADP
ejde-686	32	14	[	[	X
ejde-686	32	15	17	17	NUM
ejde-686	32	16	,	,	PUNCT
ejde-686	32	17	27	27	NUM
ejde-686	32	18	,	,	PUNCT
ejde-686	32	19	30	30	NUM
ejde-686	32	20	]	]	PUNCT
ejde-686	32	21	.	.	PUNCT
ejde-686	33	1	these	these	DET
ejde-686	33	2	operators	operator	NOUN
ejde-686	33	3	are	be	AUX
ejde-686	33	4	used	use	VERB
ejde-686	33	5	to	to	PART
ejde-686	33	6	describe	describe	VERB
ejde-686	33	7	physical	physical	ADJ
ejde-686	33	8	phenomena	phenomenon	NOUN
ejde-686	33	9	,	,	PUNCT
ejde-686	33	10	such	such	ADJ
ejde-686	33	11	as	as	ADP
ejde-686	33	12	wave	wave	NOUN
ejde-686	33	13	propagation	propagation	NOUN
ejde-686	33	14	or	or	CCONJ
ejde-686	33	15	heat	heat	NOUN
ejde-686	33	16	conduction	conduction	NOUN
ejde-686	33	17	,	,	PUNCT
ejde-686	33	18	in	in	ADP
ejde-686	33	19	media	medium	NOUN
ejde-686	33	20	with	with	ADP
ejde-686	33	21	an	an	DET
ejde-686	33	22	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-686	33	23	mass	mass	NOUN
ejde-686	33	24	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	33	25	modeled	model	VERB
ejde-686	33	26	by	by	ADP
ejde-686	33	27	a	a	DET
ejde-686	33	28	measure	measure	NOUN
ejde-686	33	29	µ	µ	NOUN
ejde-686	33	30	,	,	PUNCT
ejde-686	33	31	such	such	ADJ
ejde-686	33	32	as	as	ADP
ejde-686	33	33	a	a	DET
ejde-686	33	34	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	33	35	measure	measure	NOUN
ejde-686	33	36	.	.	PUNCT
ejde-686	34	1	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	34	2	-	-	PUNCT
ejde-686	34	3	feller	feller	NOUN
ejde-686	34	4	operators	operator	NOUN
ejde-686	34	5	have	have	AUX
ejde-686	34	6	been	be	AUX
ejde-686	34	7	studied	study	VERB
ejde-686	34	8	extensively	extensively	ADV
ejde-686	34	9	.	.	PUNCT
ejde-686	35	1	mckean	mckean	PROPN
ejde-686	35	2	and	and	CCONJ
ejde-686	35	3	ray	ray	PROPN
ejde-686	36	1	[	[	X
ejde-686	36	2	33	33	NUM
ejde-686	36	3	]	]	PUNCT
ejde-686	36	4	studied	study	VERB
ejde-686	36	5	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	36	6	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	36	7	of	of	ADP
ejde-686	36	8	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	36	9	-	-	PUNCT
ejde-686	36	10	feller	feller	NOUN
ejde-686	36	11	operator	operator	NOUN
ejde-686	36	12	defined	define	VERB
ejde-686	36	13	by	by	ADP
ejde-686	36	14	the	the	DET
ejde-686	36	15	cantor	cantor	PROPN
ejde-686	36	16	measure	measure	NOUN
ejde-686	36	17	.	.	PUNCT
ejde-686	37	1	freiberg	freiberg	PROPN
ejde-686	37	2	[	[	X
ejde-686	37	3	18	18	NUM
ejde-686	37	4	]	]	PUNCT
ejde-686	37	5	studied	study	VERB
ejde-686	37	6	analytic	analytic	ADJ
ejde-686	37	7	properties	property	NOUN
ejde-686	37	8	of	of	ADP
ejde-686	37	9	the	the	DET
ejde-686	37	10	operators	operator	NOUN
ejde-686	37	11	defined	define	VERB
ejde-686	37	12	on	on	ADP
ejde-686	37	13	the	the	DET
ejde-686	37	14	line	line	NOUN
ejde-686	37	15	.	.	PUNCT
ejde-686	38	1	hu	hu	PROPN
ejde-686	38	2	et	et	PROPN
ejde-686	38	3	al	al	PROPN
ejde-686	39	1	[	[	X
ejde-686	39	2	25	25	NUM
ejde-686	39	3	]	]	PUNCT
ejde-686	39	4	studied	study	VERB
ejde-686	39	5	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	39	6	properties	property	NOUN
ejde-686	39	7	of	of	ADP
ejde-686	39	8	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	39	9	-	-	PUNCT
ejde-686	39	10	feller	feller	NOUN
ejde-686	39	11	operators	operator	NOUN
ejde-686	39	12	defined	define	VERB
ejde-686	39	13	on	on	ADP
ejde-686	39	14	a	a	DET
ejde-686	39	15	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	39	16	domain	domain	NOUN
ejde-686	39	17	of	of	ADP
ejde-686	39	18	rd	rd	PROPN
ejde-686	39	19	.	.	PUNCT
ejde-686	40	1	deng	deng	PROPN
ejde-686	40	2	and	and	CCONJ
ejde-686	40	3	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	41	1	[	[	X
ejde-686	41	2	13	13	NUM
ejde-686	41	3	]	]	PUNCT
ejde-686	41	4	,	,	PUNCT
ejde-686	41	5	pinasco	pinasco	PROPN
ejde-686	41	6	and	and	CCONJ
ejde-686	41	7	scarola	scarola	VERB
ejde-686	42	1	[	[	X
ejde-686	42	2	46	46	NUM
ejde-686	42	3	]	]	PUNCT
ejde-686	42	4	studied	study	VERB
ejde-686	42	5	the	the	DET
ejde-686	42	6	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-686	42	7	estimates	estimate	NOUN
ejde-686	42	8	of	of	ADP
ejde-686	42	9	such	such	ADJ
ejde-686	42	10	operators	operator	NOUN
ejde-686	42	11	.	.	PUNCT
ejde-686	43	1	kesseböhmer	kesseböhmer	X
ejde-686	43	2	and	and	CCONJ
ejde-686	43	3	niemann	niemann	PROPN
ejde-686	44	1	[	[	X
ejde-686	44	2	28	28	NUM
ejde-686	44	3	,	,	PUNCT
ejde-686	44	4	29	29	NUM
ejde-686	44	5	]	]	PUNCT
ejde-686	44	6	studied	study	VERB
ejde-686	44	7	the	the	DET
ejde-686	44	8	relation	relation	NOUN
ejde-686	44	9	between	between	ADP
ejde-686	44	10	the	the	DET
ejde-686	44	11	lq	lq	NOUN
ejde-686	44	12	-	-	PUNCT
ejde-686	44	13	spectrum	spectrum	NOUN
ejde-686	44	14	and	and	CCONJ
ejde-686	44	15	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	44	16	dimension	dimension	NOUN
ejde-686	44	17	of	of	ADP
ejde-686	44	18	such	such	DET
ejde-686	44	19	an	an	DET
ejde-686	44	20	operator	operator	NOUN
ejde-686	44	21	.	.	PUNCT
ejde-686	45	1	for	for	ADP
ejde-686	45	2	additional	additional	ADJ
ejde-686	45	3	work	work	NOUN
ejde-686	45	4	associated	associate	VERB
ejde-686	45	5	with	with	ADP
ejde-686	45	6	these	these	DET
ejde-686	45	7	operators	operator	NOUN
ejde-686	45	8	,	,	PUNCT
ejde-686	45	9	including	include	VERB
ejde-686	45	10	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	45	11	,	,	PUNCT
ejde-686	45	12	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	45	13	,	,	PUNCT
ejde-686	45	14	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	45	15	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	45	16	,	,	PUNCT
ejde-686	45	17	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	45	18	gaps	gap	NOUN
ejde-686	45	19	,	,	PUNCT
ejde-686	45	20	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	45	21	dimension	dimension	NOUN
ejde-686	45	22	,	,	PUNCT
ejde-686	45	23	wave	wave	NOUN
ejde-686	45	24	equation	equation	NOUN
ejde-686	45	25	,	,	PUNCT
ejde-686	45	26	heat	heat	NOUN
ejde-686	45	27	equation	equation	NOUN
ejde-686	45	28	and	and	CCONJ
ejde-686	45	29	heat	heat	NOUN
ejde-686	45	30	kernel	kernel	PROPN
ejde-686	45	31	estimates	estimate	NOUN
ejde-686	45	32	,	,	PUNCT
ejde-686	45	33	the	the	DET
ejde-686	45	34	reader	reader	NOUN
ejde-686	45	35	is	be	AUX
ejde-686	45	36	referred	refer	VERB
ejde-686	45	37	to	to	ADP
ejde-686	45	38	[	[	X
ejde-686	45	39	7	7	NUM
ejde-686	45	40	,	,	PUNCT
ejde-686	45	41	8	8	NUM
ejde-686	45	42	,	,	PUNCT
ejde-686	45	43	9	9	NUM
ejde-686	45	44	,	,	PUNCT
ejde-686	45	45	13	13	NUM
ejde-686	45	46	,	,	PUNCT
ejde-686	45	47	14	14	NUM
ejde-686	45	48	,	,	PUNCT
ejde-686	45	49	18	18	NUM
ejde-686	45	50	,	,	PUNCT
ejde-686	45	51	19	19	NUM
ejde-686	45	52	,	,	PUNCT
ejde-686	45	53	20	20	NUM
ejde-686	45	54	,	,	PUNCT
ejde-686	45	55	24	24	NUM
ejde-686	45	56	,	,	PUNCT
ejde-686	45	57	25	25	NUM
ejde-686	45	58	,	,	PUNCT
ejde-686	45	59	28	28	NUM
ejde-686	45	60	,	,	PUNCT
ejde-686	45	61	29	29	NUM
ejde-686	45	62	,	,	PUNCT
ejde-686	45	63	37	37	NUM
ejde-686	45	64	,	,	PUNCT
ejde-686	45	65	38	38	NUM
ejde-686	45	66	,	,	PUNCT
ejde-686	45	67	39	39	NUM
ejde-686	45	68	,	,	PUNCT
ejde-686	45	69	40	40	NUM
ejde-686	45	70	,	,	PUNCT
ejde-686	45	71	41	41	NUM
ejde-686	45	72	,	,	PUNCT
ejde-686	45	73	42	42	NUM
ejde-686	45	74	,	,	PUNCT
ejde-686	45	75	46	46	NUM
ejde-686	45	76	,	,	PUNCT
ejde-686	45	77	47	47	NUM
ejde-686	45	78	,	,	PUNCT
ejde-686	45	79	52	52	NUM
ejde-686	45	80	]	]	PUNCT
ejde-686	45	81	and	and	CCONJ
ejde-686	45	82	references	reference	NOUN
ejde-686	45	83	therein	therein	ADV
ejde-686	45	84	.	.	PUNCT
ejde-686	46	1	we	we	PRON
ejde-686	46	2	will	will	AUX
ejde-686	46	3	summarize	summarize	VERB
ejde-686	46	4	the	the	DET
ejde-686	46	5	definition	definition	NOUN
ejde-686	46	6	of	of	ADP
ejde-686	46	7	a	a	DET
ejde-686	46	8	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	46	9	-	-	PUNCT
ejde-686	46	10	feller	feller	NOUN
ejde-686	46	11	operator	operator	NOUN
ejde-686	46	12	in	in	ADP
ejde-686	46	13	section	section	NOUN
ejde-686	46	14	2	2	NUM
ejde-686	46	15	.	.	PUNCT
ejde-686	47	1	we	we	PRON
ejde-686	47	2	denote	denote	VERB
ejde-686	47	3	by	by	ADP
ejde-686	47	4	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	47	5	the	the	DET
ejde-686	47	6	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	47	7	-	-	PUNCT
ejde-686	47	8	feller	feller	NOUN
ejde-686	47	9	operator	operator	NOUN
ejde-686	47	10	defined	define	VERB
ejde-686	47	11	by	by	ADP
ejde-686	47	12	a	a	DET
ejde-686	47	13	measure	measure	NOUN
ejde-686	47	14	µ	µ	X
ejde-686	47	15	(	(	PUNCT
ejde-686	47	16	see	see	VERB
ejde-686	47	17	section	section	NOUN
ejde-686	47	18	2	2	NUM
ejde-686	47	19	)	)	PUNCT
ejde-686	47	20	.	.	PUNCT
ejde-686	48	1	in	in	ADP
ejde-686	48	2	this	this	DET
ejde-686	48	3	article	article	NOUN
ejde-686	48	4	,	,	PUNCT
ejde-686	48	5	we	we	PRON
ejde-686	48	6	consider	consider	VERB
ejde-686	48	7	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	48	8	and	and	CCONJ
ejde-686	48	9	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	48	10	associated	associate	VERB
ejde-686	48	11	with	with	ADP
ejde-686	48	12	the	the	DET
ejde-686	48	13	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-686	48	14	problem	problem	NOUN
ejde-686	48	15	−∆µu	−∆µu	PRON
ejde-686	49	1	=	=	SYM
ejde-686	50	1	λu	λu	INTJ
ejde-686	50	2	,	,	PUNCT
ejde-686	50	3	in	in	ADP
ejde-686	50	4	ω	ω	NUM
ejde-686	50	5	,	,	PUNCT
ejde-686	50	6	u	u	NOUN
ejde-686	50	7	=	=	PROPN
ejde-686	50	8	0	0	NUM
ejde-686	50	9	,	,	PUNCT
ejde-686	50	10	in	in	ADP
ejde-686	50	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	50	12	.	.	PUNCT
ejde-686	51	1	(	(	PUNCT
ejde-686	51	2	1.2	1.2	NUM
ejde-686	51	3	)	)	PUNCT
ejde-686	51	4	let	let	VERB
ejde-686	51	5	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	51	6	)	)	PUNCT
ejde-686	51	7	be	be	AUX
ejde-686	51	8	defined	define	VERB
ejde-686	51	9	as	as	ADP
ejde-686	51	10	in	in	ADP
ejde-686	51	11	(	(	PUNCT
ejde-686	51	12	2.1	2.1	NUM
ejde-686	51	13	)	)	PUNCT
ejde-686	51	14	.	.	PUNCT
ejde-686	52	1	it	it	PRON
ejde-686	52	2	is	be	AUX
ejde-686	52	3	shown	show	VERB
ejde-686	52	4	in	in	ADP
ejde-686	52	5	[	[	X
ejde-686	52	6	25	25	NUM
ejde-686	52	7	,	,	PUNCT
ejde-686	52	8	theorem	theorem	VERB
ejde-686	52	9	1.2	1.2	NUM
ejde-686	52	10	]	]	PUNCT
ejde-686	52	11	that	that	SCONJ
ejde-686	52	12	,	,	PUNCT
ejde-686	52	13	under	under	ADP
ejde-686	52	14	the	the	DET
ejde-686	52	15	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	52	16	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	52	17	)	)	PUNCT
ejde-686	52	18	>	>	X
ejde-686	53	1	d	d	X
ejde-686	53	2	−	−	PROPN
ejde-686	53	3	2	2	NUM
ejde-686	53	4	,	,	PUNCT
ejde-686	53	5	there	there	PRON
ejde-686	53	6	exists	exist	VERB
ejde-686	53	7	an	an	DET
ejde-686	53	8	orthonormal	orthonormal	ADJ
ejde-686	53	9	basis	basis	NOUN
ejde-686	53	10	{	{	PUNCT
ejde-686	53	11	ϕn}∞n=1	ϕn}∞n=1	X
ejde-686	53	12	of	of	ADP
ejde-686	53	13	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	53	14	,	,	PUNCT
ejde-686	53	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	53	16	)	)	PUNCT
ejde-686	53	17	consisting	consist	VERB
ejde-686	53	18	of	of	ADP
ejde-686	53	19	(	(	PUNCT
ejde-686	53	20	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-686	53	21	)	)	PUNCT
ejde-686	53	22	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	53	23	of	of	ADP
ejde-686	53	24	∆µ.	∆µ.	DET
ejde-686	53	25	the	the	DET
ejde-686	53	26	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	53	27	{	{	PUNCT
ejde-686	53	28	λn}∞n=1	λn}∞n=1	PUNCT
ejde-686	53	29	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-686	53	30	0	0	PUNCT
ejde-686	53	31	<	<	X
ejde-686	53	32	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	53	33	≤	≤	NUM
ejde-686	53	34	λ2	λ2	NOUN
ejde-686	53	35	≤	≤	NOUN
ejde-686	53	36	·	·	PUNCT
ejde-686	53	37	·	·	PUNCT
ejde-686	53	38	·	·	PUNCT
ejde-686	53	39	and	and	CCONJ
ejde-686	53	40	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-686	53	41	λn	λn	X
ejde-686	53	42	=	=	PUNCT
ejde-686	53	43	∞.	∞.	PROPN
ejde-686	53	44	we	we	PRON
ejde-686	53	45	let	let	VERB
ejde-686	53	46	zµ(u	zµ(u	NOUN
ejde-686	53	47	)	)	PUNCT
ejde-686	53	48	:	:	PUNCT
ejde-686	54	1	=	=	SYM
ejde-686	54	2	{	{	PUNCT
ejde-686	54	3	x	x	PUNCT
ejde-686	54	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	54	5	ω	ω	NOUN
ejde-686	54	6	:	:	PUNCT
ejde-686	54	7	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	54	8	)	)	PUNCT
ejde-686	54	9	=	=	SYM
ejde-686	54	10	0	0	X
ejde-686	54	11	}	}	PUNCT
ejde-686	54	12	(	(	PUNCT
ejde-686	54	13	1.3	1.3	NUM
ejde-686	54	14	)	)	PUNCT
ejde-686	54	15	be	be	AUX
ejde-686	54	16	the	the	DET
ejde-686	54	17	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	54	18	set	set	NOUN
ejde-686	54	19	of	of	ADP
ejde-686	54	20	an	an	DET
ejde-686	54	21	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	54	22	u	u	NOUN
ejde-686	54	23	of	of	ADP
ejde-686	54	24	∆µ.	∆µ.	PROPN
ejde-686	54	25	under	under	ADP
ejde-686	54	26	the	the	DET
ejde-686	54	27	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	54	28	of	of	ADP
ejde-686	54	29	the	the	DET
ejde-686	54	30	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	54	31	of	of	ADP
ejde-686	54	32	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	54	33	,	,	PUNCT
ejde-686	54	34	we	we	PRON
ejde-686	54	35	have	have	VERB
ejde-686	54	36	the	the	DET
ejde-686	54	37	following	follow	VERB
ejde-686	54	38	theorem	theorem	VERB
ejde-686	54	39	.	.	PUNCT
ejde-686	54	40	theorem	theorem	VERB
ejde-686	54	41	1.1	1.1	NUM
ejde-686	54	42	.	.	PUNCT
ejde-686	55	1	let	let	VERB
ejde-686	55	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	55	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	55	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	55	5	(	(	PUNCT
ejde-686	55	6	d	d	X
ejde-686	55	7	≥	≥	NUM
ejde-686	55	8	1	1	NUM
ejde-686	55	9	)	)	PUNCT
ejde-686	55	10	be	be	AUX
ejde-686	55	11	a	a	DET
ejde-686	55	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	55	13	domain	domain	NOUN
ejde-686	55	14	and	and	CCONJ
ejde-686	55	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	55	16	be	be	AUX
ejde-686	55	17	a	a	DET
ejde-686	55	18	positive	positive	ADJ
ejde-686	55	19	finite	finite	NOUN
ejde-686	55	20	borel	borel	PROPN
ejde-686	55	21	measure	measure	NOUN
ejde-686	55	22	on	on	ADP
ejde-686	55	23	rd	rd	PROPN
ejde-686	55	24	with	with	ADP
ejde-686	55	25	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	55	26	)	)	PUNCT
ejde-686	55	27	⊆	⊆	NUM
ejde-686	55	28	ω	ω	NOUN
ejde-686	55	29	and	and	CCONJ
ejde-686	55	30	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	55	31	)	)	PUNCT
ejde-686	55	32	>	>	X
ejde-686	56	1	0	0	X
ejde-686	56	2	.	.	PUNCT
ejde-686	56	3	assume	assume	VERB
ejde-686	56	4	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	56	5	)	)	PUNCT
ejde-686	56	6	>	>	PUNCT
ejde-686	57	1	d−	d−	PROPN
ejde-686	57	2	2	2	NUM
ejde-686	57	3	.	.	PUNCT
ejde-686	58	1	let	let	VERB
ejde-686	58	2	the	the	DET
ejde-686	58	3	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	58	4	{	{	PUNCT
ejde-686	58	5	λn}∞n=1	λn}∞n=1	X
ejde-686	58	6	of	of	ADP
ejde-686	58	7	(	(	PUNCT
ejde-686	58	8	1.2	1.2	NUM
ejde-686	58	9	)	)	PUNCT
ejde-686	58	10	be	be	AUX
ejde-686	58	11	arranged	arrange	VERB
ejde-686	58	12	in	in	ADP
ejde-686	58	13	an	an	DET
ejde-686	58	14	increasing	increase	VERB
ejde-686	58	15	order	order	NOUN
ejde-686	58	16	and	and	CCONJ
ejde-686	58	17	let	let	VERB
ejde-686	58	18	un	un	PROPN
ejde-686	58	19	be	be	AUX
ejde-686	58	20	a	a	DET
ejde-686	58	21	λn	λn	NOUN
ejde-686	58	22	-	-	PUNCT
ejde-686	58	23	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	58	24	.	.	PUNCT
ejde-686	59	1	suppose	suppose	VERB
ejde-686	59	2	un	un	PROPN
ejde-686	59	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	59	4	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	59	5	)	)	PUNCT
ejde-686	59	6	.	.	PUNCT
ejde-686	60	1	then	then	ADV
ejde-686	60	2	(	(	PUNCT
ejde-686	60	3	a	a	PRON
ejde-686	60	4	)	)	PUNCT
ejde-686	60	5	u1	u1	NOUN
ejde-686	60	6	is	be	AUX
ejde-686	60	7	nonzero	nonzero	NOUN
ejde-686	60	8	on	on	ADP
ejde-686	60	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	60	10	.	.	PUNCT
ejde-686	61	1	(	(	PUNCT
ejde-686	61	2	b	b	NOUN
ejde-686	61	3	)	)	PUNCT
ejde-686	61	4	for	for	ADP
ejde-686	61	5	n	n	X
ejde-686	61	6	≥	≥	NOUN
ejde-686	61	7	2	2	NUM
ejde-686	61	8	,	,	PUNCT
ejde-686	61	9	if	if	SCONJ
ejde-686	61	10	λn	λn	NOUN
ejde-686	61	11	has	have	VERB
ejde-686	61	12	multiplicity	multiplicity	PROPN
ejde-686	61	13	rn	rn	PROPN
ejde-686	61	14	≥	≥	PROPN
ejde-686	61	15	1	1	NUM
ejde-686	61	16	,	,	PUNCT
ejde-686	61	17	then	then	ADV
ejde-686	61	18	zµ(un	zµ(un	PROPN
ejde-686	61	19	)	)	PUNCT
ejde-686	61	20	divides	divide	VERB
ejde-686	61	21	ω	ω	NOUN
ejde-686	61	22	into	into	ADP
ejde-686	61	23	at	at	ADV
ejde-686	61	24	least	least	ADV
ejde-686	61	25	2	2	NUM
ejde-686	61	26	and	and	CCONJ
ejde-686	61	27	at	at	ADP
ejde-686	61	28	most	most	ADJ
ejde-686	61	29	n+	n+	ADP
ejde-686	61	30	rn	rn	NOUN
ejde-686	61	31	−	−	PROPN
ejde-686	61	32	1	1	NUM
ejde-686	61	33	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	61	34	.	.	PUNCT
ejde-686	62	1	to	to	PART
ejde-686	62	2	prove	prove	VERB
ejde-686	62	3	this	this	DET
ejde-686	62	4	result	result	NOUN
ejde-686	62	5	,	,	PUNCT
ejde-686	62	6	we	we	PRON
ejde-686	62	7	need	need	VERB
ejde-686	62	8	the	the	DET
ejde-686	62	9	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	62	10	principle	principle	NOUN
ejde-686	62	11	of	of	ADP
ejde-686	62	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	62	13	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	62	14	functions	function	NOUN
ejde-686	62	15	(	(	PUNCT
ejde-686	62	16	definition	definition	NOUN
ejde-686	62	17	3.1	3.1	NUM
ejde-686	62	18	)	)	PUNCT
ejde-686	62	19	which	which	PRON
ejde-686	62	20	we	we	PRON
ejde-686	62	21	will	will	AUX
ejde-686	62	22	prove	prove	VERB
ejde-686	62	23	in	in	ADP
ejde-686	62	24	section	section	NOUN
ejde-686	62	25	3	3	NUM
ejde-686	62	26	.	.	PUNCT
ejde-686	62	27	note	note	VERB
ejde-686	62	28	that	that	SCONJ
ejde-686	62	29	the	the	DET
ejde-686	62	30	definition	definition	NOUN
ejde-686	62	31	of	of	ADP
ejde-686	62	32	a	a	DET
ejde-686	62	33	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	62	34	set	set	NOUN
ejde-686	62	35	zµ(u	zµ(u	NOUN
ejde-686	62	36	)	)	PUNCT
ejde-686	62	37	in	in	ADP
ejde-686	62	38	(	(	PUNCT
ejde-686	62	39	1.3	1.3	NUM
ejde-686	62	40	)	)	PUNCT
ejde-686	62	41	makes	make	VERB
ejde-686	62	42	sense	sense	NOUN
ejde-686	62	43	only	only	ADV
ejde-686	62	44	if	if	SCONJ
ejde-686	62	45	u	u	NOUN
ejde-686	62	46	is	be	AUX
ejde-686	62	47	defined	define	VERB
ejde-686	62	48	everywhere	everywhere	ADV
ejde-686	62	49	and	and	CCONJ
ejde-686	62	50	not	not	PART
ejde-686	62	51	just	just	ADV
ejde-686	62	52	almost	almost	ADV
ejde-686	62	53	everywhere	everywhere	ADV
ejde-686	62	54	.	.	PUNCT
ejde-686	63	1	as	as	SCONJ
ejde-686	63	2	the	the	DET
ejde-686	63	3	domain	domain	NOUN
ejde-686	63	4	of	of	ADP
ejde-686	63	5	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	63	6	consists	consist	VERB
ejde-686	63	7	of	of	ADP
ejde-686	63	8	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-686	63	9	functions	function	NOUN
ejde-686	63	10	,	,	PUNCT
ejde-686	63	11	we	we	PRON
ejde-686	63	12	need	need	VERB
ejde-686	63	13	to	to	PART
ejde-686	63	14	study	study	VERB
ejde-686	63	15	the	the	DET
ejde-686	63	16	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	63	17	of	of	ADP
ejde-686	63	18	the	the	DET
ejde-686	63	19	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	63	20	of	of	ADP
ejde-686	63	21	∆µ.	∆µ.	PROPN
ejde-686	63	22	it	it	PRON
ejde-686	63	23	is	be	AUX
ejde-686	63	24	known	know	VERB
ejde-686	63	25	that	that	SCONJ
ejde-686	63	26	for	for	ADP
ejde-686	63	27	the	the	DET
ejde-686	63	28	classical	classical	ADJ
ejde-686	63	29	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-686	63	30	,	,	PUNCT
ejde-686	63	31	the	the	DET
ejde-686	63	32	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	63	33	are	be	AUX
ejde-686	63	34	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	63	35	and	and	CCONJ
ejde-686	63	36	differentiable	differentiable	ADJ
ejde-686	63	37	.	.	PUNCT
ejde-686	64	1	if	if	SCONJ
ejde-686	64	2	the	the	DET
ejde-686	64	3	measure	measure	NOUN
ejde-686	64	4	µ	µ	NOUN
ejde-686	64	5	is	be	AUX
ejde-686	64	6	absolutely	absolutely	ADV
ejde-686	64	7	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	64	8	with	with	ADP
ejde-686	64	9	respect	respect	NOUN
ejde-686	64	10	to	to	ADP
ejde-686	64	11	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	64	12	measure	measure	NOUN
ejde-686	64	13	,	,	PUNCT
ejde-686	64	14	then	then	ADV
ejde-686	64	15	the	the	DET
ejde-686	64	16	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	64	17	of	of	ADP
ejde-686	64	18	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	64	19	are	be	AUX
ejde-686	64	20	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	64	21	(	(	PUNCT
ejde-686	64	22	see	see	INTJ
ejde-686	64	23	e.g.	e.g.	ADV
ejde-686	64	24	[	[	X
ejde-686	64	25	16	16	NUM
ejde-686	64	26	]	]	PUNCT
ejde-686	64	27	)	)	PUNCT
ejde-686	64	28	.	.	PUNCT
ejde-686	65	1	on	on	ADP
ejde-686	65	2	r	r	NOUN
ejde-686	65	3	,	,	PUNCT
ejde-686	65	4	the	the	DET
ejde-686	65	5	ejde-2025/12	ejde-2025/12	NUM
ejde-686	65	6	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	65	7	sets	set	NOUN
ejde-686	65	8	and	and	CCONJ
ejde-686	65	9	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	65	10	of	of	ADP
ejde-686	65	11	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	65	12	3	3	NUM
ejde-686	65	13	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	65	14	of	of	ADP
ejde-686	65	15	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	65	16	are	be	AUX
ejde-686	65	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	65	18	,	,	PUNCT
ejde-686	65	19	since	since	SCONJ
ejde-686	65	20	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-686	65	21	functions	function	NOUN
ejde-686	65	22	are	be	AUX
ejde-686	65	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	65	24	.	.	PUNCT
ejde-686	66	1	to	to	ADP
ejde-686	66	2	the	the	DET
ejde-686	66	3	best	good	ADJ
ejde-686	66	4	of	of	ADP
ejde-686	66	5	our	our	PRON
ejde-686	66	6	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-686	66	7	,	,	PUNCT
ejde-686	66	8	the	the	DET
ejde-686	66	9	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	66	10	of	of	ADP
ejde-686	66	11	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	66	12	in	in	ADP
ejde-686	66	13	higher	high	ADJ
ejde-686	66	14	dimensions	dimension	NOUN
ejde-686	66	15	is	be	AUX
ejde-686	66	16	unknown	unknown	ADJ
ejde-686	66	17	in	in	ADP
ejde-686	66	18	general	general	ADJ
ejde-686	66	19	.	.	PUNCT
ejde-686	67	1	motivated	motivate	VERB
ejde-686	67	2	by	by	ADP
ejde-686	67	3	the	the	DET
ejde-686	67	4	requirement	requirement	NOUN
ejde-686	67	5	of	of	ADP
ejde-686	67	6	the	the	DET
ejde-686	67	7	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	67	8	of	of	ADP
ejde-686	67	9	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	67	10	in	in	ADP
ejde-686	67	11	the	the	DET
ejde-686	67	12	definition	definition	NOUN
ejde-686	67	13	of	of	ADP
ejde-686	67	14	zµ(u	zµ(u	NOUN
ejde-686	67	15	)	)	PUNCT
ejde-686	67	16	and	and	CCONJ
ejde-686	67	17	in	in	ADP
ejde-686	67	18	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	67	19	1.1	1.1	NUM
ejde-686	67	20	,	,	PUNCT
ejde-686	67	21	we	we	PRON
ejde-686	67	22	prove	prove	VERB
ejde-686	67	23	the	the	DET
ejde-686	67	24	following	follow	VERB
ejde-686	67	25	main	main	ADJ
ejde-686	67	26	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	67	27	.	.	PUNCT
ejde-686	68	1	the	the	DET
ejde-686	68	2	definition	definition	NOUN
ejde-686	68	3	of	of	ADP
ejde-686	68	4	the	the	DET
ejde-686	68	5	regularity	regularity	NOUN
ejde-686	68	6	of	of	ADP
ejde-686	68	7	the	the	DET
ejde-686	68	8	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	68	9	of	of	ADP
ejde-686	68	10	a	a	DET
ejde-686	68	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	68	12	domain	domain	NOUN
ejde-686	68	13	is	be	AUX
ejde-686	68	14	given	give	VERB
ejde-686	68	15	in	in	ADP
ejde-686	68	16	definition	definition	NOUN
ejde-686	68	17	5.2	5.2	NUM
ejde-686	68	18	.	.	PUNCT
ejde-686	69	1	theorem	theorem	VERB
ejde-686	69	2	1.2	1.2	NUM
ejde-686	69	3	.	.	PUNCT
ejde-686	70	1	let	let	VERB
ejde-686	70	2	ω	ω	PRON
ejde-686	70	3	be	be	AUX
ejde-686	70	4	a	a	DET
ejde-686	70	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	70	6	domain	domain	NOUN
ejde-686	70	7	in	in	ADP
ejde-686	70	8	rd	rd	NOUN
ejde-686	70	9	on	on	ADP
ejde-686	70	10	which	which	PRON
ejde-686	70	11	the	the	DET
ejde-686	70	12	classical	classical	ADJ
ejde-686	70	13	green	green	ADJ
ejde-686	70	14	function	function	NOUN
ejde-686	70	15	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	70	16	,	,	PUNCT
ejde-686	70	17	y	y	NOUN
ejde-686	70	18	)	)	PUNCT
ejde-686	70	19	exists	exist	VERB
ejde-686	70	20	and	and	CCONJ
ejde-686	70	21	let	let	VERB
ejde-686	70	22	µ	µ	X
ejde-686	70	23	be	be	AUX
ejde-686	70	24	a	a	DET
ejde-686	70	25	finite	finite	ADJ
ejde-686	70	26	positive	positive	ADJ
ejde-686	70	27	borel	borel	NOUN
ejde-686	70	28	measure	measure	NOUN
ejde-686	70	29	with	with	ADP
ejde-686	70	30	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	70	31	)	)	PUNCT
ejde-686	70	32	⊆	⊆	NUM
ejde-686	70	33	ω	ω	NOUN
ejde-686	70	34	and	and	CCONJ
ejde-686	70	35	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	70	36	)	)	PUNCT
ejde-686	70	37	>	>	X
ejde-686	71	1	0	0	X
ejde-686	71	2	.	.	PUNCT
ejde-686	71	3	assume	assume	VERB
ejde-686	71	4	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	71	5	)	)	PUNCT
ejde-686	71	6	>	>	X
ejde-686	72	1	d	d	X
ejde-686	72	2	−	−	PROPN
ejde-686	73	1	2	2	NUM
ejde-686	73	2	.	.	PUNCT
ejde-686	73	3	then	then	ADV
ejde-686	73	4	the	the	DET
ejde-686	73	5	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	73	6	of	of	ADP
ejde-686	73	7	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	73	8	are	be	AUX
ejde-686	73	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	73	10	on	on	ADP
ejde-686	73	11	ω	ω	NUM
ejde-686	73	12	.	.	PUNCT
ejde-686	74	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	74	2	,	,	PUNCT
ejde-686	74	3	if	if	SCONJ
ejde-686	74	4	the	the	DET
ejde-686	74	5	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	74	6	of	of	ADP
ejde-686	74	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	74	8	is	be	AUX
ejde-686	74	9	regular	regular	ADJ
ejde-686	74	10	,	,	PUNCT
ejde-686	74	11	then	then	ADV
ejde-686	74	12	the	the	DET
ejde-686	74	13	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	74	14	of	of	ADP
ejde-686	74	15	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	74	16	are	be	AUX
ejde-686	74	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	74	18	on	on	ADP
ejde-686	74	19	ω	ω	NUM
ejde-686	74	20	.	.	PUNCT
ejde-686	74	21	to	to	PART
ejde-686	74	22	prove	prove	VERB
ejde-686	74	23	theorem	theorem	VERB
ejde-686	74	24	1.2	1.2	NUM
ejde-686	74	25	,	,	PUNCT
ejde-686	74	26	we	we	PRON
ejde-686	74	27	apply	apply	VERB
ejde-686	74	28	the	the	DET
ejde-686	74	29	inverse	inverse	NOUN
ejde-686	74	30	operator	operator	NOUN
ejde-686	74	31	of	of	ADP
ejde-686	74	32	−∆µ	−∆µ	NUM
ejde-686	74	33	,	,	PUNCT
ejde-686	74	34	called	call	VERB
ejde-686	74	35	the	the	DET
ejde-686	74	36	green	green	ADJ
ejde-686	74	37	operator	operator	NOUN
ejde-686	74	38	(	(	PUNCT
ejde-686	74	39	see	see	VERB
ejde-686	74	40	section	section	NOUN
ejde-686	74	41	5	5	NUM
ejde-686	74	42	)	)	PUNCT
ejde-686	74	43	,	,	PUNCT
ejde-686	74	44	which	which	PRON
ejde-686	74	45	is	be	AUX
ejde-686	74	46	defined	define	VERB
ejde-686	74	47	by	by	ADP
ejde-686	74	48	the	the	DET
ejde-686	74	49	classical	classical	ADJ
ejde-686	74	50	green	green	ADJ
ejde-686	74	51	function	function	NOUN
ejde-686	74	52	.	.	PUNCT
ejde-686	75	1	by	by	ADP
ejde-686	75	2	expressing	express	VERB
ejde-686	75	3	the	the	DET
ejde-686	75	4	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	75	5	of	of	ADP
ejde-686	75	6	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	75	7	in	in	ADP
ejde-686	75	8	terms	term	NOUN
ejde-686	75	9	of	of	ADP
ejde-686	75	10	the	the	DET
ejde-686	75	11	green	green	ADJ
ejde-686	75	12	operator	operator	NOUN
ejde-686	75	13	and	and	CCONJ
ejde-686	75	14	using	use	VERB
ejde-686	75	15	the	the	DET
ejde-686	75	16	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	75	17	of	of	ADP
ejde-686	75	18	the	the	DET
ejde-686	75	19	green	green	ADJ
ejde-686	75	20	function	function	NOUN
ejde-686	75	21	,	,	PUNCT
ejde-686	75	22	we	we	PRON
ejde-686	75	23	prove	prove	VERB
ejde-686	75	24	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	75	25	1.2	1.2	NUM
ejde-686	75	26	;	;	PUNCT
ejde-686	75	27	details	detail	NOUN
ejde-686	75	28	are	be	AUX
ejde-686	75	29	given	give	VERB
ejde-686	75	30	in	in	ADP
ejde-686	75	31	section	section	NOUN
ejde-686	75	32	5	5	NUM
ejde-686	75	33	.	.	PUNCT
ejde-686	76	1	this	this	DET
ejde-686	76	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	76	3	shows	show	VERB
ejde-686	76	4	that	that	SCONJ
ejde-686	76	5	the	the	DET
ejde-686	76	6	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-686	76	7	problem	problem	NOUN
ejde-686	76	8	(	(	PUNCT
ejde-686	76	9	1.2	1.2	NUM
ejde-686	76	10	)	)	PUNCT
ejde-686	76	11	has	have	VERB
ejde-686	76	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	76	13	solutions	solution	NOUN
ejde-686	76	14	on	on	ADP
ejde-686	76	15	a	a	DET
ejde-686	76	16	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	76	17	domain	domain	NOUN
ejde-686	76	18	ω	ω	NUM
ejde-686	76	19	⊆	⊆	NUM
ejde-686	76	20	rd	rd	NOUN
ejde-686	76	21	on	on	ADP
ejde-686	76	22	which	which	PRON
ejde-686	76	23	the	the	DET
ejde-686	76	24	green	green	ADJ
ejde-686	76	25	function	function	NOUN
ejde-686	76	26	exists	exist	VERB
ejde-686	76	27	.	.	PUNCT
ejde-686	77	1	this	this	DET
ejde-686	77	2	article	article	NOUN
ejde-686	77	3	is	be	AUX
ejde-686	77	4	organized	organize	VERB
ejde-686	77	5	as	as	SCONJ
ejde-686	77	6	follows	follow	VERB
ejde-686	77	7	.	.	PUNCT
ejde-686	78	1	in	in	ADP
ejde-686	78	2	section	section	NOUN
ejde-686	78	3	2	2	NUM
ejde-686	78	4	,	,	PUNCT
ejde-686	78	5	we	we	PRON
ejde-686	78	6	summarize	summarize	VERB
ejde-686	78	7	the	the	DET
ejde-686	78	8	definition	definition	NOUN
ejde-686	78	9	of	of	ADP
ejde-686	78	10	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	78	11	in	in	ADP
ejde-686	78	12	[	[	X
ejde-686	78	13	25	25	NUM
ejde-686	78	14	]	]	PUNCT
ejde-686	78	15	.	.	PUNCT
ejde-686	79	1	in	in	ADP
ejde-686	79	2	section	section	NOUN
ejde-686	79	3	3	3	NUM
ejde-686	79	4	,	,	PUNCT
ejde-686	79	5	we	we	PRON
ejde-686	79	6	study	study	VERB
ejde-686	79	7	the	the	DET
ejde-686	79	8	properties	property	NOUN
ejde-686	79	9	of	of	ADP
ejde-686	79	10	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	79	11	and	and	CCONJ
ejde-686	79	12	prove	prove	VERB
ejde-686	79	13	the	the	DET
ejde-686	79	14	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	79	15	principle	principle	NOUN
ejde-686	79	16	of	of	ADP
ejde-686	79	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	79	18	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	79	19	functions	function	NOUN
ejde-686	79	20	.	.	PUNCT
ejde-686	80	1	sections	section	NOUN
ejde-686	80	2	4	4	NUM
ejde-686	80	3	and	and	CCONJ
ejde-686	80	4	5	5	NUM
ejde-686	80	5	are	be	AUX
ejde-686	80	6	devoted	devote	VERB
ejde-686	80	7	to	to	ADP
ejde-686	80	8	the	the	DET
ejde-686	80	9	proofs	proof	NOUN
ejde-686	80	10	of	of	ADP
ejde-686	80	11	theorems	theorem	NOUN
ejde-686	80	12	1.1	1.1	NUM
ejde-686	80	13	and	and	CCONJ
ejde-686	80	14	1.2	1.2	NUM
ejde-686	80	15	,	,	PUNCT
ejde-686	80	16	respectively	respectively	ADV
ejde-686	80	17	.	.	PUNCT
ejde-686	81	1	in	in	ADP
ejde-686	81	2	section	section	NOUN
ejde-686	81	3	6	6	NUM
ejde-686	81	4	,	,	PUNCT
ejde-686	81	5	we	we	PRON
ejde-686	81	6	construct	construct	VERB
ejde-686	81	7	examples	example	NOUN
ejde-686	81	8	of	of	ADP
ejde-686	81	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	81	10	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	81	11	corresponding	correspond	VERB
ejde-686	81	12	to	to	ADP
ejde-686	81	13	singular	singular	ADJ
ejde-686	81	14	measures	measure	NOUN
ejde-686	81	15	on	on	ADP
ejde-686	81	16	r2	r2	NOUN
ejde-686	81	17	.	.	PUNCT
ejde-686	82	1	2	2	X
ejde-686	82	2	.	.	X
ejde-686	82	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-686	82	4	in	in	ADP
ejde-686	82	5	this	this	DET
ejde-686	82	6	section	section	NOUN
ejde-686	82	7	,	,	PUNCT
ejde-686	82	8	we	we	PRON
ejde-686	82	9	summarize	summarize	VERB
ejde-686	82	10	the	the	DET
ejde-686	82	11	definition	definition	NOUN
ejde-686	82	12	of	of	ADP
ejde-686	82	13	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	82	14	-	-	PUNCT
ejde-686	82	15	feller	feller	NOUN
ejde-686	82	16	operators	operator	NOUN
ejde-686	82	17	;	;	PUNCT
ejde-686	82	18	details	detail	NOUN
ejde-686	82	19	can	can	AUX
ejde-686	82	20	be	be	AUX
ejde-686	82	21	found	find	VERB
ejde-686	82	22	in	in	ADP
ejde-686	82	23	[	[	X
ejde-686	82	24	25	25	NUM
ejde-686	82	25	,	,	PUNCT
ejde-686	82	26	14	14	NUM
ejde-686	82	27	]	]	PUNCT
ejde-686	82	28	.	.	PUNCT
ejde-686	83	1	let	let	VERB
ejde-686	83	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	83	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	83	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	83	5	be	be	AUX
ejde-686	83	6	a	a	DET
ejde-686	83	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	83	8	domain	domain	NOUN
ejde-686	83	9	and	and	CCONJ
ejde-686	83	10	µ	µ	NOUN
ejde-686	83	11	be	be	AUX
ejde-686	83	12	a	a	DET
ejde-686	83	13	finite	finite	ADJ
ejde-686	83	14	positive	positive	ADJ
ejde-686	83	15	borel	borel	NOUN
ejde-686	83	16	measure	measure	NOUN
ejde-686	83	17	with	with	ADP
ejde-686	83	18	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	83	19	)	)	PUNCT
ejde-686	83	20	⊆	⊆	NUM
ejde-686	83	21	ω	ω	NOUN
ejde-686	83	22	and	and	CCONJ
ejde-686	83	23	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	83	24	)	)	PUNCT
ejde-686	83	25	>	>	X
ejde-686	83	26	0	0	NUM
ejde-686	83	27	,	,	PUNCT
ejde-686	83	28	where	where	SCONJ
ejde-686	83	29	ω	ω	PROPN
ejde-686	83	30	is	be	AUX
ejde-686	83	31	the	the	DET
ejde-686	83	32	closure	closure	NOUN
ejde-686	83	33	of	of	ADP
ejde-686	83	34	ω	ω	PROPN
ejde-686	83	35	.	.	PUNCT
ejde-686	84	1	let	let	VERB
ejde-686	84	2	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-686	84	3	:	:	PUNCT
ejde-686	84	4	=	=	SYM
ejde-686	84	5	ω\ω	ω\ω	NOUN
ejde-686	84	6	be	be	AUX
ejde-686	84	7	the	the	DET
ejde-686	84	8	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	84	9	of	of	ADP
ejde-686	84	10	ω	ω	PROPN
ejde-686	84	11	.	.	PUNCT
ejde-686	85	1	let	let	VERB
ejde-686	85	2	dx	dx	PROPN
ejde-686	85	3	be	be	AUX
ejde-686	85	4	the	the	DET
ejde-686	85	5	lebesgue	lebesgue	ADJ
ejde-686	85	6	measure	measure	NOUN
ejde-686	85	7	on	on	ADP
ejde-686	85	8	rd	rd	PROPN
ejde-686	85	9	,	,	PUNCT
ejde-686	85	10	and	and	CCONJ
ejde-686	85	11	let	let	VERB
ejde-686	85	12	h1(ω	h1(ω	NUM
ejde-686	85	13	)	)	PUNCT
ejde-686	85	14	be	be	AUX
ejde-686	85	15	the	the	DET
ejde-686	85	16	sobolev	sobolev	ADJ
ejde-686	85	17	space	space	NOUN
ejde-686	85	18	equipped	equip	VERB
ejde-686	85	19	with	with	ADP
ejde-686	85	20	the	the	DET
ejde-686	85	21	inner	inner	ADJ
ejde-686	85	22	product	product	NOUN
ejde-686	85	23	⟨u	⟨u	NOUN
ejde-686	85	24	,	,	PUNCT
ejde-686	85	25	v⟩h1(ω	v⟩h1(ω	NOUN
ejde-686	85	26	)	)	PUNCT
ejde-686	85	27	:	:	PUNCT
ejde-686	86	1	=	=	SYM
ejde-686	86	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	86	3	ω	ω	INTJ
ejde-686	86	4	uv	uv	PROPN
ejde-686	86	5	dx+	dx+	NOUN
ejde-686	86	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	86	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	86	8	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	86	9	·	·	PUNCT
ejde-686	86	10	∇v	∇v	ADJ
ejde-686	86	11	dx	dx	PROPN
ejde-686	86	12	.	.	PUNCT
ejde-686	87	1	let	let	VERB
ejde-686	87	2	h1	h1	VERB
ejde-686	87	3	0	0	PROPN
ejde-686	87	4	(	(	PUNCT
ejde-686	87	5	ω	ω	NOUN
ejde-686	87	6	)	)	PUNCT
ejde-686	87	7	be	be	AUX
ejde-686	87	8	the	the	DET
ejde-686	87	9	completion	completion	NOUN
ejde-686	87	10	of	of	ADP
ejde-686	87	11	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	87	12	c	c	PROPN
ejde-686	87	13	(	(	PUNCT
ejde-686	87	14	ω	ω	NOUN
ejde-686	87	15	)	)	PUNCT
ejde-686	87	16	under	under	ADP
ejde-686	87	17	the	the	DET
ejde-686	87	18	above	above	ADJ
ejde-686	87	19	inner	inner	ADJ
ejde-686	87	20	product	product	NOUN
ejde-686	87	21	,	,	PUNCT
ejde-686	87	22	where	where	SCONJ
ejde-686	87	23	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	87	24	c	c	X
ejde-686	87	25	(	(	PUNCT
ejde-686	87	26	ω	ω	NOUN
ejde-686	87	27	)	)	PUNCT
ejde-686	87	28	is	be	AUX
ejde-686	87	29	the	the	DET
ejde-686	87	30	space	space	NOUN
ejde-686	87	31	of	of	ADP
ejde-686	87	32	all	all	DET
ejde-686	87	33	smooth	smooth	ADJ
ejde-686	87	34	functions	function	NOUN
ejde-686	87	35	with	with	ADP
ejde-686	87	36	compact	compact	ADJ
ejde-686	87	37	support	support	NOUN
ejde-686	87	38	in	in	ADP
ejde-686	87	39	ω	ω	PROPN
ejde-686	87	40	.	.	PUNCT
ejde-686	88	1	let	let	AUX
ejde-686	88	2	l2(ω	l2(ω	PRON
ejde-686	88	3	,	,	PUNCT
ejde-686	88	4	µ	µ	X
ejde-686	88	5	)	)	PUNCT
ejde-686	88	6	be	be	AUX
ejde-686	88	7	the	the	DET
ejde-686	88	8	space	space	NOUN
ejde-686	88	9	of	of	ADP
ejde-686	88	10	all	all	DET
ejde-686	88	11	square	square	ADJ
ejde-686	88	12	integrable	integrable	ADJ
ejde-686	88	13	functions	function	NOUN
ejde-686	88	14	with	with	ADP
ejde-686	88	15	respect	respect	NOUN
ejde-686	88	16	to	to	PART
ejde-686	88	17	µ.	µ.	VERB
ejde-686	88	18	the	the	DET
ejde-686	88	19	norm	norm	NOUN
ejde-686	88	20	in	in	ADP
ejde-686	88	21	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	88	22	,	,	PUNCT
ejde-686	88	23	µ	µ	NOUN
ejde-686	88	24	)	)	PUNCT
ejde-686	88	25	is	be	AUX
ejde-686	88	26	defined	define	VERB
ejde-686	88	27	by	by	ADP
ejde-686	88	28	∥u∥l2(ω,µ	∥u∥l2(ω,µ	NOUN
ejde-686	88	29	)	)	PUNCT
ejde-686	89	1	:	:	PUNCT
ejde-686	89	2	=	=	SYM
ejde-686	89	3	(	(	PUNCT
ejde-686	89	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	89	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	89	6	|u|2	|u|2	PROPN
ejde-686	89	7	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	89	8	)	)	PUNCT
ejde-686	89	9	1/2	1/2	NUM
ejde-686	89	10	.	.	PUNCT
ejde-686	90	1	throughout	throughout	ADP
ejde-686	90	2	this	this	DET
ejde-686	90	3	paper	paper	NOUN
ejde-686	90	4	,	,	PUNCT
ejde-686	90	5	we	we	PRON
ejde-686	90	6	write	write	VERB
ejde-686	90	7	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	90	8	)	)	PUNCT
ejde-686	90	9	:	:	PUNCT
ejde-686	91	1	=	=	PUNCT
ejde-686	91	2	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	91	3	,	,	PUNCT
ejde-686	91	4	dx	dx	PROPN
ejde-686	91	5	)	)	PUNCT
ejde-686	91	6	.	.	PUNCT
ejde-686	92	1	it	it	PRON
ejde-686	92	2	follows	follow	VERB
ejde-686	92	3	from	from	ADP
ejde-686	92	4	the	the	DET
ejde-686	92	5	poincaré	poincaré	ADJ
ejde-686	92	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	92	7	(	(	PUNCT
ejde-686	92	8	see	see	VERB
ejde-686	92	9	e.g.	e.g.	ADV
ejde-686	92	10	,	,	PUNCT
ejde-686	92	11	[	[	X
ejde-686	92	12	25	25	NUM
ejde-686	92	13	]	]	PUNCT
ejde-686	92	14	)	)	PUNCT
ejde-686	92	15	,	,	PUNCT
ejde-686	92	16	that	that	ADV
ejde-686	92	17	is	is	ADV
ejde-686	92	18	,	,	PUNCT
ejde-686	92	19	there	there	PRON
ejde-686	92	20	exists	exist	VERB
ejde-686	92	21	a	a	DET
ejde-686	92	22	constant	constant	ADJ
ejde-686	92	23	c	c	NOUN
ejde-686	92	24	>	>	X
ejde-686	92	25	0	0	NUM
ejde-686	92	26	such	such	ADJ
ejde-686	92	27	that	that	SCONJ
ejde-686	92	28	∥u∥l2(ω	∥u∥l2(ω	NOUN
ejde-686	92	29	)	)	PUNCT
ejde-686	92	30	≤	≤	NOUN
ejde-686	93	1	c∥∇u∥l2(ω	c∥∇u∥l2(ω	NOUN
ejde-686	93	2	)	)	PUNCT
ejde-686	94	1	.	.	PUNCT
ejde-686	95	1	the	the	DET
ejde-686	95	2	space	space	NOUN
ejde-686	95	3	h1	h1	NOUN
ejde-686	95	4	0	0	NUM
ejde-686	95	5	(	(	PUNCT
ejde-686	95	6	ω	ω	NOUN
ejde-686	95	7	)	)	PUNCT
ejde-686	95	8	admits	admit	VERB
ejde-686	95	9	the	the	DET
ejde-686	95	10	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-686	95	11	inner	inner	ADJ
ejde-686	95	12	product	product	NOUN
ejde-686	95	13	defined	define	VERB
ejde-686	95	14	by	by	ADP
ejde-686	95	15	⟨u	⟨u	NOUN
ejde-686	95	16	,	,	PUNCT
ejde-686	95	17	v⟩h1	v⟩h1	NUM
ejde-686	95	18	0	0	NUM
ejde-686	95	19	(	(	PUNCT
ejde-686	95	20	ω	ω	NOUN
ejde-686	95	21	)	)	PUNCT
ejde-686	95	22	:	:	PUNCT
ejde-686	96	1	=	=	SYM
ejde-686	96	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	96	3	ω	ω	X
ejde-686	96	4	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	96	5	·	·	PUNCT
ejde-686	96	6	∇v	∇v	ADJ
ejde-686	96	7	dx	dx	PROPN
ejde-686	96	8	.	.	PROPN
ejde-686	96	9	4	4	NUM
ejde-686	96	10	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	96	11	.	.	PUNCT
ejde-686	97	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	97	2	,	,	PUNCT
ejde-686	97	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	97	4	.	.	PUNCT
ejde-686	98	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	98	2	,	,	PUNCT
ejde-686	98	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	98	4	.	.	PUNCT
ejde-686	99	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-686	99	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	100	1	the	the	DET
ejde-686	100	2	lower	low	ADJ
ejde-686	100	3	l∞-dimension	l∞-dimension	NOUN
ejde-686	100	4	of	of	ADP
ejde-686	100	5	µ	µ	NOUN
ejde-686	100	6	is	be	AUX
ejde-686	100	7	defined	define	VERB
ejde-686	100	8	as	as	ADP
ejde-686	100	9	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	100	10	)	)	PUNCT
ejde-686	101	1	:	:	PUNCT
ejde-686	101	2	=	=	PROPN
ejde-686	101	3	lim	lim	PROPN
ejde-686	101	4	inf	inf	PROPN
ejde-686	101	5	δ→0	δ→0	PUNCT
ejde-686	101	6	+	+	NUM
ejde-686	101	7	ln(supx	ln(supx	ADJ
ejde-686	101	8	µ(bδ(x	µ(bδ(x	NOUN
ejde-686	101	9	)	)	PUNCT
ejde-686	101	10	)	)	PUNCT
ejde-686	101	11	)	)	PUNCT
ejde-686	102	1	ln	ln	PROPN
ejde-686	102	2	δ	δ	PROPN
ejde-686	102	3	,	,	PUNCT
ejde-686	102	4	(	(	PUNCT
ejde-686	102	5	2.1	2.1	NUM
ejde-686	102	6	)	)	PUNCT
ejde-686	102	7	where	where	SCONJ
ejde-686	102	8	bδ(x	bδ(x	NUM
ejde-686	102	9	)	)	PUNCT
ejde-686	102	10	is	be	AUX
ejde-686	102	11	the	the	DET
ejde-686	102	12	ball	ball	NOUN
ejde-686	102	13	with	with	ADP
ejde-686	102	14	center	center	NOUN
ejde-686	102	15	x	x	PUNCT
ejde-686	102	16	and	and	CCONJ
ejde-686	102	17	radius	radius	PROPN
ejde-686	102	18	δ	δ	PROPN
ejde-686	102	19	,	,	PUNCT
ejde-686	102	20	and	and	CCONJ
ejde-686	102	21	the	the	DET
ejde-686	102	22	supremum	supremum	NOUN
ejde-686	102	23	is	be	AUX
ejde-686	102	24	taken	take	VERB
ejde-686	102	25	over	over	ADP
ejde-686	102	26	all	all	DET
ejde-686	102	27	x	x	PROPN
ejde-686	102	28	∈	∈	PROPN
ejde-686	102	29	supp(µ	supp(µ	PROPN
ejde-686	102	30	)	)	PUNCT
ejde-686	102	31	(	(	PUNCT
ejde-686	102	32	see	see	VERB
ejde-686	102	33	[	[	X
ejde-686	102	34	51	51	NUM
ejde-686	102	35	]	]	PUNCT
ejde-686	102	36	for	for	ADP
ejde-686	102	37	details	detail	NOUN
ejde-686	102	38	)	)	PUNCT
ejde-686	102	39	.	.	PUNCT
ejde-686	103	1	to	to	PART
ejde-686	103	2	define	define	VERB
ejde-686	103	3	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	103	4	-	-	PUNCT
ejde-686	103	5	feller	feller	NOUN
ejde-686	103	6	operators	operator	NOUN
ejde-686	103	7	,	,	PUNCT
ejde-686	103	8	we	we	PRON
ejde-686	103	9	need	need	VERB
ejde-686	103	10	the	the	DET
ejde-686	103	11	following	following	ADJ
ejde-686	103	12	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	103	13	,	,	PUNCT
ejde-686	103	14	which	which	PRON
ejde-686	103	15	is	be	AUX
ejde-686	103	16	called	call	VERB
ejde-686	103	17	the	the	DET
ejde-686	103	18	poincaré	poincaré	ADJ
ejde-686	103	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	103	20	for	for	ADP
ejde-686	103	21	measures	measure	NOUN
ejde-686	103	22	(	(	PUNCT
ejde-686	103	23	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	103	24	):	):	PUNCT
ejde-686	103	25	there	there	PRON
ejde-686	103	26	exists	exist	VERB
ejde-686	103	27	a	a	DET
ejde-686	103	28	constant	constant	ADJ
ejde-686	103	29	c	c	NOUN
ejde-686	103	30	>	>	X
ejde-686	103	31	0	0	NUM
ejde-686	104	1	such	such	ADJ
ejde-686	104	2	that∫	that∫	NOUN
ejde-686	104	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	104	4	|u|2	|u|2	PROPN
ejde-686	104	5	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	104	6	≤	≤	PROPN
ejde-686	104	7	c	c	PROPN
ejde-686	104	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	104	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	104	10	|∇u|2	|∇u|2	PROPN
ejde-686	104	11	dx	dx	PROPN
ejde-686	104	12	,	,	PUNCT
ejde-686	104	13	for	for	ADP
ejde-686	104	14	all	all	DET
ejde-686	104	15	u	u	PROPN
ejde-686	104	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	104	17	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	104	18	c	c	X
ejde-686	104	19	(	(	PUNCT
ejde-686	104	20	ω	ω	NOUN
ejde-686	104	21	)	)	PUNCT
ejde-686	104	22	.	.	PUNCT
ejde-686	105	1	we	we	PRON
ejde-686	105	2	know	know	VERB
ejde-686	105	3	that	that	SCONJ
ejde-686	105	4	if	if	SCONJ
ejde-686	105	5	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	105	6	)	)	PUNCT
ejde-686	105	7	>	>	PUNCT
ejde-686	105	8	d−	d−	PROPN
ejde-686	105	9	2	2	NUM
ejde-686	105	10	,	,	PUNCT
ejde-686	105	11	then	then	ADV
ejde-686	105	12	µ	µ	X
ejde-686	105	13	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-686	105	14	(	(	PUNCT
ejde-686	105	15	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	105	16	)	)	PUNCT
ejde-686	105	17	(	(	PUNCT
ejde-686	105	18	see	see	VERB
ejde-686	105	19	[	[	X
ejde-686	105	20	25	25	NUM
ejde-686	105	21	,	,	PUNCT
ejde-686	105	22	theorem	theorem	VERB
ejde-686	105	23	1.1	1.1	NUM
ejde-686	105	24	]	]	PUNCT
ejde-686	105	25	)	)	PUNCT
ejde-686	105	26	.	.	PUNCT
ejde-686	106	1	(	(	PUNCT
ejde-686	106	2	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	106	3	)	)	PUNCT
ejde-686	106	4	implies	imply	VERB
ejde-686	106	5	that	that	SCONJ
ejde-686	106	6	each	each	DET
ejde-686	106	7	equivalence	equivalence	NOUN
ejde-686	106	8	class	class	NOUN
ejde-686	106	9	u	u	NOUN
ejde-686	106	10	∈	∈	PROPN
ejde-686	106	11	h1	h1	NOUN
ejde-686	106	12	0	0	NUM
ejde-686	106	13	(	(	PUNCT
ejde-686	106	14	ω	ω	NOUN
ejde-686	106	15	)	)	PUNCT
ejde-686	106	16	contains	contain	VERB
ejde-686	106	17	a	a	DET
ejde-686	106	18	unique	unique	ADJ
ejde-686	106	19	(	(	PUNCT
ejde-686	106	20	in	in	ADP
ejde-686	106	21	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	106	22	,	,	PUNCT
ejde-686	106	23	µ	µ	NOUN
ejde-686	106	24	)	)	PUNCT
ejde-686	106	25	sense	sense	NOUN
ejde-686	106	26	)	)	PUNCT
ejde-686	106	27	member	member	NOUN
ejde-686	106	28	û	û	NUM
ejde-686	106	29	∈	∈	PROPN
ejde-686	106	30	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	106	31	,	,	PUNCT
ejde-686	106	32	µ	µ	NOUN
ejde-686	106	33	)	)	PUNCT
ejde-686	106	34	that	that	PRON
ejde-686	106	35	satisfies	satisfy	VERB
ejde-686	106	36	the	the	DET
ejde-686	106	37	following	follow	VERB
ejde-686	106	38	two	two	NUM
ejde-686	106	39	conditions	condition	NOUN
ejde-686	106	40	:	:	PUNCT
ejde-686	106	41	(	(	PUNCT
ejde-686	106	42	a	a	X
ejde-686	106	43	)	)	PUNCT
ejde-686	106	44	there	there	PRON
ejde-686	106	45	exists	exist	VERB
ejde-686	106	46	a	a	DET
ejde-686	106	47	sequence	sequence	NOUN
ejde-686	106	48	{	{	PUNCT
ejde-686	106	49	un	un	PROPN
ejde-686	106	50	}	}	PUNCT
ejde-686	106	51	in	in	ADP
ejde-686	106	52	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	106	53	c	c	X
ejde-686	106	54	(	(	PUNCT
ejde-686	106	55	ω	ω	NOUN
ejde-686	106	56	)	)	PUNCT
ejde-686	106	57	such	such	ADJ
ejde-686	106	58	that	that	DET
ejde-686	106	59	un	un	PROPN
ejde-686	106	60	→	→	PUNCT
ejde-686	106	61	û	û	PROPN
ejde-686	106	62	in	in	ADP
ejde-686	106	63	h1	h1	PROPN
ejde-686	106	64	0	0	NUM
ejde-686	106	65	(	(	PUNCT
ejde-686	106	66	ω	ω	NOUN
ejde-686	106	67	)	)	PUNCT
ejde-686	106	68	and	and	CCONJ
ejde-686	106	69	un	un	PROPN
ejde-686	106	70	→	→	PROPN
ejde-686	106	71	û	û	PROPN
ejde-686	106	72	in	in	ADP
ejde-686	106	73	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	106	74	,	,	PUNCT
ejde-686	106	75	µ	µ	NOUN
ejde-686	106	76	)	)	PUNCT
ejde-686	106	77	;	;	PUNCT
ejde-686	106	78	(	(	PUNCT
ejde-686	106	79	b	b	X
ejde-686	106	80	)	)	PUNCT
ejde-686	106	81	û	û	PRON
ejde-686	106	82	satisfies	satisfy	VERB
ejde-686	106	83	the	the	DET
ejde-686	106	84	(	(	PUNCT
ejde-686	106	85	mpi	mpi	PROPN
ejde-686	106	86	)	)	PUNCT
ejde-686	106	87	.	.	PUNCT
ejde-686	107	1	we	we	PRON
ejde-686	107	2	call	call	VERB
ejde-686	107	3	û	û	NUM
ejde-686	107	4	the	the	DET
ejde-686	107	5	l2(ω	l2(ω	NOUN
ejde-686	107	6	,	,	PUNCT
ejde-686	107	7	µ)-representative	µ)-representative	PUNCT
ejde-686	107	8	of	of	ADP
ejde-686	107	9	u.	u.	NOUN
ejde-686	107	10	under	under	ADP
ejde-686	107	11	the	the	DET
ejde-686	107	12	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	107	13	(	(	PUNCT
ejde-686	107	14	mpi	mpi	PROPN
ejde-686	107	15	)	)	PUNCT
ejde-686	107	16	,	,	PUNCT
ejde-686	107	17	we	we	PRON
ejde-686	107	18	define	define	VERB
ejde-686	107	19	a	a	DET
ejde-686	107	20	map	map	NOUN
ejde-686	108	1	i	i	PRON
ejde-686	108	2	:	:	PUNCT
ejde-686	108	3	h1	h1	PROPN
ejde-686	108	4	0	0	NUM
ejde-686	108	5	(	(	PUNCT
ejde-686	108	6	ω	ω	NOUN
ejde-686	108	7	)	)	PUNCT
ejde-686	108	8	→	→	SYM
ejde-686	108	9	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	108	10	,	,	PUNCT
ejde-686	108	11	µ	µ	NOUN
ejde-686	108	12	)	)	PUNCT
ejde-686	108	13	by	by	ADP
ejde-686	108	14	i(u	i(u	PROPN
ejde-686	108	15	)	)	PUNCT
ejde-686	109	1	=	=	SYM
ejde-686	109	2	û.	û.	NOUN
ejde-686	109	3	(	(	PUNCT
ejde-686	109	4	2.2	2.2	NUM
ejde-686	109	5	)	)	PUNCT
ejde-686	109	6	the	the	DET
ejde-686	109	7	mapping	mapping	NOUN
ejde-686	109	8	i	i	PRON
ejde-686	109	9	is	be	AUX
ejde-686	109	10	in	in	ADP
ejde-686	109	11	general	general	ADJ
ejde-686	109	12	not	not	PART
ejde-686	109	13	injective	injective	ADJ
ejde-686	109	14	.	.	PUNCT
ejde-686	110	1	we	we	PRON
ejde-686	110	2	define	define	VERB
ejde-686	110	3	the	the	DET
ejde-686	110	4	following	follow	VERB
ejde-686	110	5	closed	closed	ADJ
ejde-686	110	6	subset	subset	NOUN
ejde-686	110	7	of	of	ADP
ejde-686	110	8	h1	h1	PROPN
ejde-686	110	9	0	0	NUM
ejde-686	110	10	(	(	PUNCT
ejde-686	110	11	ω	ω	NOUN
ejde-686	110	12	):	):	PUNCT
ejde-686	110	13	n	n	CCONJ
ejde-686	110	14	:	:	PUNCT
ejde-686	110	15	=	=	SYM
ejde-686	110	16	{	{	PUNCT
ejde-686	110	17	u	u	NOUN
ejde-686	110	18	∈	∈	PROPN
ejde-686	110	19	h1	h1	NOUN
ejde-686	110	20	0	0	NUM
ejde-686	110	21	(	(	PUNCT
ejde-686	110	22	ω	ω	NOUN
ejde-686	110	23	)	)	PUNCT
ejde-686	110	24	:	:	PUNCT
ejde-686	110	25	∥i(u)∥l2(ω,µ	∥i(u)∥l2(ω,µ	NUM
ejde-686	110	26	)	)	PUNCT
ejde-686	110	27	=	=	SYM
ejde-686	110	28	0	0	NUM
ejde-686	110	29	}	}	PUNCT
ejde-686	110	30	.	.	PUNCT
ejde-686	111	1	let	let	VERB
ejde-686	111	2	n⊥	n⊥	PROPN
ejde-686	111	3	be	be	AUX
ejde-686	111	4	the	the	DET
ejde-686	111	5	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-686	111	6	complement	complement	NOUN
ejde-686	111	7	of	of	ADP
ejde-686	111	8	n	n	PROPN
ejde-686	111	9	in	in	ADP
ejde-686	111	10	h1	h1	PROPN
ejde-686	111	11	0	0	NUM
ejde-686	111	12	(	(	PUNCT
ejde-686	111	13	ω	ω	NOUN
ejde-686	111	14	)	)	PUNCT
ejde-686	111	15	.	.	PUNCT
ejde-686	112	1	then	then	ADV
ejde-686	112	2	i	i	PRON
ejde-686	112	3	:	:	PUNCT
ejde-686	112	4	n⊥	n⊥	PROPN
ejde-686	112	5	→	→	SYM
ejde-686	112	6	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	112	7	,	,	PUNCT
ejde-686	112	8	µ	µ	NOUN
ejde-686	112	9	)	)	PUNCT
ejde-686	112	10	is	be	AUX
ejde-686	112	11	injective	injective	ADJ
ejde-686	112	12	.	.	PUNCT
ejde-686	113	1	we	we	PRON
ejde-686	113	2	denote	denote	VERB
ejde-686	113	3	û	û	NUM
ejde-686	113	4	simply	simply	ADV
ejde-686	113	5	by	by	ADP
ejde-686	113	6	u	u	PRON
ejde-686	113	7	if	if	SCONJ
ejde-686	113	8	there	there	PRON
ejde-686	113	9	is	be	VERB
ejde-686	113	10	no	no	DET
ejde-686	113	11	confusion	confusion	NOUN
ejde-686	113	12	possible	possible	ADJ
ejde-686	113	13	.	.	PUNCT
ejde-686	114	1	consider	consider	VERB
ejde-686	114	2	a	a	DET
ejde-686	114	3	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-686	114	4	bilinear	bilinear	NOUN
ejde-686	114	5	form	form	NOUN
ejde-686	114	6	e	e	NOUN
ejde-686	114	7	(	(	PUNCT
ejde-686	114	8	·	·	PUNCT
ejde-686	114	9	,	,	PUNCT
ejde-686	114	10	·	·	PUNCT
ejde-686	114	11	)	)	PUNCT
ejde-686	114	12	in	in	ADP
ejde-686	114	13	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	114	14	,	,	PUNCT
ejde-686	114	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	114	16	)	)	PUNCT
ejde-686	114	17	defined	define	VERB
ejde-686	114	18	as	as	ADP
ejde-686	114	19	e(u	e(u	PROPN
ejde-686	114	20	,	,	PUNCT
ejde-686	114	21	v	v	NOUN
ejde-686	114	22	)	)	PUNCT
ejde-686	114	23	:	:	PUNCT
ejde-686	115	1	=	=	SYM
ejde-686	115	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	115	3	ω	ω	X
ejde-686	115	4	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	115	5	·	·	PUNCT
ejde-686	115	6	∇v	∇v	PROPN
ejde-686	115	7	dx	dx	PROPN
ejde-686	115	8	,	,	PUNCT
ejde-686	115	9	(	(	PUNCT
ejde-686	115	10	2.3	2.3	NUM
ejde-686	115	11	)	)	PUNCT
ejde-686	115	12	with	with	ADP
ejde-686	115	13	dom(e	dom(e	NOUN
ejde-686	115	14	)	)	PUNCT
ejde-686	115	15	=	=	SYM
ejde-686	115	16	n⊥.	n⊥.	NOUN
ejde-686	115	17	(	(	PUNCT
ejde-686	115	18	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	115	19	)	)	PUNCT
ejde-686	115	20	implies	imply	VERB
ejde-686	115	21	that	that	SCONJ
ejde-686	115	22	(	(	PUNCT
ejde-686	115	23	e	e	NOUN
ejde-686	115	24	,	,	PUNCT
ejde-686	115	25	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	115	26	)	)	PUNCT
ejde-686	115	27	)	)	PUNCT
ejde-686	115	28	is	be	AUX
ejde-686	115	29	a	a	DET
ejde-686	115	30	closed	closed	ADJ
ejde-686	115	31	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-686	115	32	form	form	NOUN
ejde-686	115	33	on	on	ADP
ejde-686	115	34	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	115	35	,	,	PUNCT
ejde-686	115	36	µ	µ	NOUN
ejde-686	115	37	)	)	PUNCT
ejde-686	115	38	(	(	PUNCT
ejde-686	115	39	see	see	VERB
ejde-686	115	40	[	[	X
ejde-686	115	41	25	25	NUM
ejde-686	115	42	,	,	PUNCT
ejde-686	115	43	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	115	44	2.1	2.1	NUM
ejde-686	115	45	]	]	PUNCT
ejde-686	115	46	)	)	PUNCT
ejde-686	115	47	.	.	PUNCT
ejde-686	116	1	hence	hence	ADV
ejde-686	116	2	,	,	PUNCT
ejde-686	116	3	there	there	PRON
ejde-686	116	4	exists	exist	VERB
ejde-686	116	5	a	a	DET
ejde-686	116	6	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-686	116	7	self	self	NOUN
ejde-686	116	8	-	-	PUNCT
ejde-686	116	9	adjoint	adjoint	NOUN
ejde-686	116	10	operator	operator	NOUN
ejde-686	116	11	−∆µ	−∆µ	NOUN
ejde-686	116	12	such	such	ADJ
ejde-686	116	13	that	that	PRON
ejde-686	116	14	dom(e	dom(e	NOUN
ejde-686	116	15	)	)	PUNCT
ejde-686	116	16	=	=	SYM
ejde-686	116	17	dom((−∆µ	dom((−∆µ	NOUN
ejde-686	116	18	)	)	PUNCT
ejde-686	116	19	1/2	1/2	NUM
ejde-686	116	20	)	)	PUNCT
ejde-686	116	21	,	,	PUNCT
ejde-686	116	22	e(u	e(u	PROPN
ejde-686	116	23	,	,	PUNCT
ejde-686	116	24	v	v	NOUN
ejde-686	116	25	)	)	PUNCT
ejde-686	116	26	=	=	SYM
ejde-686	116	27	〈	〈	PROPN
ejde-686	116	28	(	(	PUNCT
ejde-686	116	29	−∆µ	−∆µ	NUM
ejde-686	116	30	)	)	PUNCT
ejde-686	116	31	1/2u	1/2u	NUM
ejde-686	116	32	,	,	PUNCT
ejde-686	116	33	(	(	PUNCT
ejde-686	116	34	−∆µ	−∆µ	X
ejde-686	116	35	)	)	PUNCT
ejde-686	116	36	1/2v	1/2v	NUM
ejde-686	116	37	〉	〉	NOUN
ejde-686	116	38	l2(ω,µ	l2(ω,µ	NOUN
ejde-686	116	39	)	)	PUNCT
ejde-686	116	40	,	,	PUNCT
ejde-686	116	41	for	for	ADP
ejde-686	116	42	all	all	DET
ejde-686	116	43	u	u	NOUN
ejde-686	116	44	,	,	PUNCT
ejde-686	116	45	v	v	NOUN
ejde-686	116	46	∈	∈	PROPN
ejde-686	116	47	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	116	48	)	)	PUNCT
ejde-686	116	49	(	(	PUNCT
ejde-686	116	50	see	see	VERB
ejde-686	116	51	[	[	X
ejde-686	116	52	12	12	NUM
ejde-686	116	53	]	]	NUM
ejde-686	116	54	)	)	PUNCT
ejde-686	116	55	,	,	PUNCT
ejde-686	116	56	where	where	SCONJ
ejde-686	116	57	the	the	DET
ejde-686	116	58	⟨	⟨	NOUN
ejde-686	116	59	·	·	NUM
ejde-686	116	60	,	,	PUNCT
ejde-686	116	61	·	·	SYM
ejde-686	116	62	⟩l2(ω,µ	⟩l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	116	63	)	)	PUNCT
ejde-686	116	64	is	be	AUX
ejde-686	116	65	the	the	DET
ejde-686	116	66	inner	inner	ADJ
ejde-686	116	67	product	product	NOUN
ejde-686	116	68	on	on	ADP
ejde-686	116	69	l	l	PROPN
ejde-686	116	70	2(ω	2(ω	NUM
ejde-686	116	71	,	,	PUNCT
ejde-686	116	72	µ	µ	NOUN
ejde-686	116	73	)	)	PUNCT
ejde-686	116	74	.	.	PUNCT
ejde-686	117	1	we	we	PRON
ejde-686	117	2	call	call	VERB
ejde-686	117	3	the	the	PRON
ejde-686	117	4	above	above	ADJ
ejde-686	117	5	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	117	6	the	the	DET
ejde-686	117	7	(	(	PUNCT
ejde-686	117	8	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-686	117	9	)	)	PUNCT
ejde-686	117	10	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-686	117	11	with	with	ADP
ejde-686	117	12	respect	respect	NOUN
ejde-686	117	13	to	to	ADP
ejde-686	117	14	µ	µ	NUM
ejde-686	117	15	or	or	CCONJ
ejde-686	117	16	the	the	DET
ejde-686	117	17	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	117	18	-	-	PUNCT
ejde-686	117	19	feller	feller	NOUN
ejde-686	117	20	operator	operator	NOUN
ejde-686	117	21	defined	define	VERB
ejde-686	117	22	by	by	ADP
ejde-686	117	23	µ.	µ.	NOUN
ejde-686	117	24	it	it	PRON
ejde-686	117	25	follows	follow	VERB
ejde-686	117	26	from	from	ADP
ejde-686	117	27	[	[	X
ejde-686	117	28	25	25	NUM
ejde-686	117	29	,	,	PUNCT
ejde-686	117	30	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	117	31	2.2	2.2	NUM
ejde-686	117	32	]	]	PUNCT
ejde-686	118	1	that	that	SCONJ
ejde-686	118	2	u	u	PROPN
ejde-686	118	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	118	4	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	118	5	)	)	PUNCT
ejde-686	118	6	and	and	CCONJ
ejde-686	118	7	−∆µu	−∆µu	PRON
ejde-686	119	1	=	=	NOUN
ejde-686	119	2	f	f	PROPN
ejde-686	120	1	if	if	SCONJ
ejde-686	120	2	and	and	CCONJ
ejde-686	120	3	only	only	ADV
ejde-686	120	4	if	if	SCONJ
ejde-686	120	5	−∆u	−∆u	PRON
ejde-686	120	6	=	=	SYM
ejde-686	120	7	f	f	X
ejde-686	120	8	dµ	dµ	VERB
ejde-686	120	9	in	in	ADP
ejde-686	120	10	the	the	DET
ejde-686	120	11	sense	sense	NOUN
ejde-686	120	12	of	of	ADP
ejde-686	120	13	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	120	14	,	,	PUNCT
ejde-686	120	15	i.e.	i.e.	X
ejde-686	120	16	,∫	,∫	PUNCT
ejde-686	120	17	ω	ω	PROPN
ejde-686	120	18	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	120	19	·	·	PUNCT
ejde-686	121	1	∇φdx	∇φdx	NOUN
ejde-686	121	2	=	=	SYM
ejde-686	121	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	121	4	ω	ω	NUM
ejde-686	121	5	fφ	fφ	PROPN
ejde-686	121	6	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	121	7	,	,	PUNCT
ejde-686	121	8	for	for	ADP
ejde-686	121	9	all	all	DET
ejde-686	121	10	φ	φ	PROPN
ejde-686	121	11	∈	∈	PROPN
ejde-686	121	12	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	121	13	c	c	X
ejde-686	121	14	(	(	PUNCT
ejde-686	121	15	ω	ω	NOUN
ejde-686	121	16	)	)	PUNCT
ejde-686	121	17	.	.	PUNCT
ejde-686	122	1	3	3	X
ejde-686	122	2	.	.	X
ejde-686	122	3	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	122	4	principle	principle	NOUN
ejde-686	122	5	in	in	ADP
ejde-686	122	6	this	this	DET
ejde-686	122	7	section	section	NOUN
ejde-686	122	8	,	,	PUNCT
ejde-686	122	9	we	we	PRON
ejde-686	122	10	prove	prove	VERB
ejde-686	122	11	the	the	DET
ejde-686	122	12	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	122	13	principle	principle	NOUN
ejde-686	122	14	for	for	ADP
ejde-686	122	15	a	a	DET
ejde-686	122	16	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	122	17	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	122	18	function	function	NOUN
ejde-686	122	19	.	.	PUNCT
ejde-686	123	1	we	we	PRON
ejde-686	123	2	first	first	ADV
ejde-686	123	3	define	define	VERB
ejde-686	123	4	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	123	5	functions	function	NOUN
ejde-686	123	6	.	.	PUNCT
ejde-686	124	1	definition	definition	NOUN
ejde-686	124	2	3.1	3.1	NUM
ejde-686	124	3	.	.	PUNCT
ejde-686	125	1	we	we	PRON
ejde-686	125	2	call	call	VERB
ejde-686	125	3	u	u	PRON
ejde-686	125	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	125	5	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	125	6	)	)	PUNCT
ejde-686	125	7	a	a	DET
ejde-686	125	8	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	125	9	function	function	NOUN
ejde-686	125	10	if	if	SCONJ
ejde-686	125	11	∆µu	∆µu	PRON
ejde-686	125	12	≥	≥	NOUN
ejde-686	125	13	0	0	NUM
ejde-686	125	14	(	(	PUNCT
ejde-686	125	15	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-686	125	16	.	.	PUNCT
ejde-686	125	17	)	)	PUNCT
ejde-686	125	18	.	.	PUNCT
ejde-686	126	1	call	call	VERB
ejde-686	126	2	u	u	NOUN
ejde-686	126	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	126	4	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	126	5	)	)	PUNCT
ejde-686	126	6	a	a	DET
ejde-686	126	7	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	126	8	function	function	NOUN
ejde-686	126	9	if	if	SCONJ
ejde-686	126	10	∆µu	∆µu	DET
ejde-686	126	11	≤	≤	NUM
ejde-686	126	12	0	0	NUM
ejde-686	126	13	(	(	PUNCT
ejde-686	126	14	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-686	126	15	.	.	PUNCT
ejde-686	126	16	)	)	PUNCT
ejde-686	126	17	.	.	PUNCT
ejde-686	127	1	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	127	2	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	127	3	sets	set	NOUN
ejde-686	127	4	and	and	CCONJ
ejde-686	127	5	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	127	6	of	of	ADP
ejde-686	127	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	127	8	5	5	NUM
ejde-686	127	9	note	note	VERB
ejde-686	127	10	that	that	SCONJ
ejde-686	127	11	the	the	DET
ejde-686	127	12	class	class	NOUN
ejde-686	127	13	of	of	ADP
ejde-686	127	14	µ-subharmonic	µ-subharmonic	PROPN
ejde-686	127	15	(	(	PUNCT
ejde-686	127	16	resp	resp	NOUN
ejde-686	127	17	.	.	PUNCT
ejde-686	128	1	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	128	2	)	)	PUNCT
ejde-686	128	3	functions	function	NOUN
ejde-686	128	4	and	and	CCONJ
ejde-686	128	5	the	the	DET
ejde-686	128	6	class	class	NOUN
ejde-686	128	7	of	of	ADP
ejde-686	128	8	classical	classical	ADJ
ejde-686	128	9	subharmonic	subharmonic	ADJ
ejde-686	128	10	(	(	PUNCT
ejde-686	128	11	resp	resp	NOUN
ejde-686	128	12	.	.	PUNCT
ejde-686	129	1	superharmonic	superharmonic	ADJ
ejde-686	129	2	)	)	PUNCT
ejde-686	129	3	functions	function	NOUN
ejde-686	129	4	are	be	AUX
ejde-686	129	5	in	in	ADP
ejde-686	129	6	general	general	ADJ
ejde-686	129	7	not	not	PART
ejde-686	129	8	equal	equal	ADJ
ejde-686	129	9	.	.	PUNCT
ejde-686	130	1	in	in	ADP
ejde-686	130	2	fact	fact	NOUN
ejde-686	130	3	,	,	PUNCT
ejde-686	130	4	the	the	DET
ejde-686	130	5	function	function	NOUN
ejde-686	130	6	u	u	NOUN
ejde-686	130	7	in	in	ADP
ejde-686	130	8	example	example	NOUN
ejde-686	130	9	6.4	6.4	NUM
ejde-686	130	10	is	be	AUX
ejde-686	130	11	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	130	12	but	but	CCONJ
ejde-686	130	13	not	not	PART
ejde-686	130	14	superharmonic	superharmonic	ADJ
ejde-686	130	15	.	.	PUNCT
ejde-686	131	1	nevertheless	nevertheless	ADV
ejde-686	131	2	,	,	PUNCT
ejde-686	131	3	we	we	PRON
ejde-686	131	4	will	will	AUX
ejde-686	131	5	prove	prove	VERB
ejde-686	131	6	that	that	SCONJ
ejde-686	131	7	the	the	DET
ejde-686	131	8	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	131	9	principle	principle	NOUN
ejde-686	131	10	still	still	ADV
ejde-686	131	11	holds	hold	VERB
ejde-686	131	12	for	for	ADP
ejde-686	131	13	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	131	14	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	131	15	(	(	PUNCT
ejde-686	131	16	resp	resp	NOUN
ejde-686	131	17	.	.	PUNCT
ejde-686	132	1	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	132	2	)	)	PUNCT
ejde-686	132	3	functions	function	NOUN
ejde-686	132	4	.	.	PUNCT
ejde-686	133	1	to	to	PART
ejde-686	133	2	prove	prove	VERB
ejde-686	133	3	this	this	PRON
ejde-686	133	4	,	,	PUNCT
ejde-686	133	5	we	we	PRON
ejde-686	133	6	use	use	VERB
ejde-686	133	7	mollifiers	mollifier	NOUN
ejde-686	133	8	.	.	PUNCT
ejde-686	134	1	let	let	VERB
ejde-686	134	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	134	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	134	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	134	5	be	be	AUX
ejde-686	134	6	a	a	DET
ejde-686	134	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	134	8	domain	domain	NOUN
ejde-686	134	9	and	and	CCONJ
ejde-686	134	10	let	let	VERB
ejde-686	134	11	u	u	PRON
ejde-686	134	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	134	13	h1	h1	NOUN
ejde-686	134	14	0	0	NUM
ejde-686	134	15	(	(	PUNCT
ejde-686	134	16	ω	ω	NOUN
ejde-686	134	17	)	)	PUNCT
ejde-686	134	18	.	.	PUNCT
ejde-686	135	1	let	let	VERB
ejde-686	135	2	ũ	ũ	PROPN
ejde-686	135	3	be	be	AUX
ejde-686	135	4	the	the	DET
ejde-686	135	5	zero	zero	NUM
ejde-686	135	6	-	-	PUNCT
ejde-686	135	7	extension	extension	NOUN
ejde-686	135	8	of	of	ADP
ejde-686	135	9	u	u	NOUN
ejde-686	135	10	,	,	PUNCT
ejde-686	135	11	i.e.	i.e.	X
ejde-686	135	12	,	,	PUNCT
ejde-686	135	13	ũ(x	ũ(x	ADJ
ejde-686	135	14	)	)	PUNCT
ejde-686	135	15	=	=	SYM
ejde-686	135	16	{	{	PUNCT
ejde-686	135	17	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	135	18	)	)	PUNCT
ejde-686	135	19	if	if	SCONJ
ejde-686	135	20	x	x	PROPN
ejde-686	135	21	∈	∈	PROPN
ejde-686	135	22	ω	ω	PROPN
ejde-686	135	23	,	,	PUNCT
ejde-686	135	24	0	0	PUNCT
ejde-686	136	1	if	if	SCONJ
ejde-686	136	2	x	x	PROPN
ejde-686	136	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	136	4	rn	rn	PROPN
ejde-686	136	5	\	\	PROPN
ejde-686	136	6	ω	ω	PROPN
ejde-686	136	7	.	.	PUNCT
ejde-686	137	1	it	it	PRON
ejde-686	137	2	is	be	AUX
ejde-686	137	3	known	know	VERB
ejde-686	137	4	that	that	SCONJ
ejde-686	137	5	ũ	ũ	PROPN
ejde-686	137	6	∈	∈	NOUN
ejde-686	137	7	h1(rd	h1(rd	PROPN
ejde-686	137	8	)	)	PUNCT
ejde-686	137	9	(	(	PUNCT
ejde-686	137	10	see	see	VERB
ejde-686	137	11	[	[	X
ejde-686	137	12	1	1	NUM
ejde-686	137	13	,	,	PUNCT
ejde-686	137	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	137	15	3.27	3.27	NUM
ejde-686	137	16	]	]	PUNCT
ejde-686	137	17	)	)	PUNCT
ejde-686	137	18	.	.	PUNCT
ejde-686	138	1	let	let	VERB
ejde-686	138	2	ϵ	ϵ	PRON
ejde-686	138	3	>	>	X
ejde-686	138	4	0	0	X
ejde-686	138	5	.	.	PUNCT
ejde-686	139	1	define	define	VERB
ejde-686	139	2	ũϵ	ũϵ	PRON
ejde-686	140	1	:	:	PUNCT
ejde-686	140	2	=	=	SYM
ejde-686	140	3	ηϵ	ηϵ	NOUN
ejde-686	140	4	∗	∗	NOUN
ejde-686	140	5	ũ	ũ	PROPN
ejde-686	140	6	,	,	PUNCT
ejde-686	140	7	(	(	PUNCT
ejde-686	140	8	3.1	3.1	NUM
ejde-686	140	9	)	)	PUNCT
ejde-686	140	10	where	where	SCONJ
ejde-686	140	11	ηϵ	ηϵ	PROPN
ejde-686	140	12	≥	≥	PUNCT
ejde-686	140	13	0	0	NUM
ejde-686	140	14	are	be	AUX
ejde-686	140	15	mollifiers	mollifier	NOUN
ejde-686	140	16	.	.	PUNCT
ejde-686	141	1	it	it	PRON
ejde-686	141	2	is	be	AUX
ejde-686	141	3	known	know	VERB
ejde-686	141	4	that	that	SCONJ
ejde-686	141	5	for	for	ADP
ejde-686	141	6	each	each	PRON
ejde-686	141	7	ϵ	ϵ	X
ejde-686	141	8	>	>	X
ejde-686	141	9	0	0	PROPN
ejde-686	141	10	,	,	PUNCT
ejde-686	141	11	ηϵ	ηϵ	PROPN
ejde-686	141	12	is	be	AUX
ejde-686	141	13	smooth	smooth	ADJ
ejde-686	141	14	and	and	CCONJ
ejde-686	141	15	satisfies	satisfy	VERB
ejde-686	141	16	∫	∫	PROPN
ejde-686	141	17	rd	rd	PROPN
ejde-686	141	18	ηϵ(x	ηϵ(x	PROPN
ejde-686	141	19	)	)	PUNCT
ejde-686	141	20	dx	dx	PROPN
ejde-686	142	1	=	=	SYM
ejde-686	142	2	1	1	X
ejde-686	142	3	.	.	PUNCT
ejde-686	143	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	143	2	,	,	PUNCT
ejde-686	143	3	supp(ηϵ(x	supp(ηϵ(x	NOUN
ejde-686	143	4	)	)	PUNCT
ejde-686	143	5	)	)	PUNCT
ejde-686	144	1	⊆	⊆	NUM
ejde-686	144	2	bϵ(0	bϵ(0	NOUN
ejde-686	144	3	)	)	PUNCT
ejde-686	144	4	and	and	CCONJ
ejde-686	144	5	supp(ηϵ(x−	supp(ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	144	6	·	·	PUNCT
ejde-686	144	7	)	)	PUNCT
ejde-686	144	8	)	)	PUNCT
ejde-686	145	1	⊆	⊆	NUM
ejde-686	145	2	bϵ(x	bϵ(x	NUM
ejde-686	145	3	)	)	PUNCT
ejde-686	145	4	(	(	PUNCT
ejde-686	145	5	3.2	3.2	NUM
ejde-686	145	6	)	)	PUNCT
ejde-686	145	7	(	(	PUNCT
ejde-686	145	8	see	see	VERB
ejde-686	145	9	[	[	X
ejde-686	145	10	16	16	NUM
ejde-686	145	11	,	,	PUNCT
ejde-686	145	12	1	1	NUM
ejde-686	145	13	]	]	PUNCT
ejde-686	145	14	for	for	ADP
ejde-686	145	15	details	detail	NOUN
ejde-686	145	16	)	)	PUNCT
ejde-686	145	17	.	.	PUNCT
ejde-686	146	1	the	the	DET
ejde-686	146	2	following	follow	VERB
ejde-686	146	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	146	4	follows	follow	VERB
ejde-686	146	5	from	from	ADP
ejde-686	146	6	[	[	X
ejde-686	146	7	1	1	NUM
ejde-686	146	8	,	,	PUNCT
ejde-686	146	9	theorem	theorem	VERB
ejde-686	146	10	2.29	2.29	NUM
ejde-686	146	11	]	]	PUNCT
ejde-686	146	12	.	.	PUNCT
ejde-686	147	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	147	2	3.2	3.2	NUM
ejde-686	147	3	.	.	PUNCT
ejde-686	148	1	let	let	VERB
ejde-686	148	2	ũϵ	ũϵ	PRON
ejde-686	148	3	be	be	AUX
ejde-686	148	4	defined	define	VERB
ejde-686	148	5	in	in	ADP
ejde-686	148	6	(	(	PUNCT
ejde-686	148	7	3.1	3.1	NUM
ejde-686	148	8	)	)	PUNCT
ejde-686	148	9	.	.	PUNCT
ejde-686	149	1	then	then	ADV
ejde-686	149	2	(	(	PUNCT
ejde-686	149	3	a	a	X
ejde-686	149	4	)	)	PUNCT
ejde-686	149	5	ũϵ	ũϵ	NOUN
ejde-686	149	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	149	7	c∞(rd	c∞(rd	NOUN
ejde-686	149	8	)	)	PUNCT
ejde-686	149	9	.	.	PUNCT
ejde-686	150	1	(	(	PUNCT
ejde-686	150	2	b	b	X
ejde-686	150	3	)	)	PUNCT
ejde-686	150	4	if	if	SCONJ
ejde-686	150	5	u	u	PROPN
ejde-686	150	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	150	7	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	150	8	)	)	PUNCT
ejde-686	150	9	,	,	PUNCT
ejde-686	150	10	then	then	ADV
ejde-686	150	11	ũϵ	ũϵ	PRON
ejde-686	150	12	→	→	SYM
ejde-686	150	13	u	u	NOUN
ejde-686	150	14	uniformly	uniformly	ADV
ejde-686	150	15	on	on	ADP
ejde-686	150	16	ω	ω	NUM
ejde-686	150	17	.	.	PUNCT
ejde-686	151	1	(	(	PUNCT
ejde-686	151	2	c	c	X
ejde-686	151	3	)	)	PUNCT
ejde-686	151	4	ũϵ	ũϵ	PROPN
ejde-686	151	5	→	→	SYM
ejde-686	151	6	u	u	NOUN
ejde-686	151	7	in	in	ADP
ejde-686	151	8	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-686	151	9	)	)	PUNCT
ejde-686	151	10	as	as	ADP
ejde-686	151	11	ϵ→	ϵ→	PROPN
ejde-686	151	12	0	0	X
ejde-686	151	13	.	.	PUNCT
ejde-686	152	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	152	2	3.3	3.3	NUM
ejde-686	152	3	.	.	PUNCT
ejde-686	153	1	let	let	VERB
ejde-686	153	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	153	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	153	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	153	5	(	(	PUNCT
ejde-686	153	6	d	d	X
ejde-686	153	7	≥	≥	NUM
ejde-686	153	8	1	1	NUM
ejde-686	153	9	)	)	PUNCT
ejde-686	153	10	be	be	AUX
ejde-686	153	11	a	a	DET
ejde-686	153	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	153	13	domain	domain	NOUN
ejde-686	153	14	and	and	CCONJ
ejde-686	153	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	153	16	be	be	AUX
ejde-686	153	17	a	a	DET
ejde-686	153	18	positive	positive	ADJ
ejde-686	153	19	finite	finite	NOUN
ejde-686	153	20	borel	borel	PROPN
ejde-686	153	21	measure	measure	NOUN
ejde-686	153	22	on	on	ADP
ejde-686	153	23	rd	rd	PROPN
ejde-686	153	24	with	with	ADP
ejde-686	153	25	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	153	26	)	)	PUNCT
ejde-686	153	27	⊆	⊆	NUM
ejde-686	153	28	ω	ω	NOUN
ejde-686	153	29	and	and	CCONJ
ejde-686	153	30	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	153	31	)	)	PUNCT
ejde-686	153	32	>	>	X
ejde-686	154	1	0	0	X
ejde-686	154	2	.	.	PUNCT
ejde-686	154	3	assume	assume	VERB
ejde-686	154	4	that	that	SCONJ
ejde-686	154	5	(	(	PUNCT
ejde-686	154	6	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	154	7	)	)	PUNCT
ejde-686	154	8	holds	hold	VERB
ejde-686	154	9	.	.	PUNCT
ejde-686	155	1	let	let	VERB
ejde-686	155	2	u	u	PRON
ejde-686	155	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	155	4	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	155	5	)	)	PUNCT
ejde-686	155	6	be	be	VERB
ejde-686	155	7	a	a	DET
ejde-686	155	8	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	155	9	function	function	NOUN
ejde-686	155	10	and	and	CCONJ
ejde-686	155	11	ũϵ	ũϵ	PRON
ejde-686	155	12	be	be	AUX
ejde-686	155	13	defined	define	VERB
ejde-686	155	14	as	as	ADP
ejde-686	155	15	in	in	ADP
ejde-686	155	16	(	(	PUNCT
ejde-686	155	17	3.1	3.1	NUM
ejde-686	155	18	)	)	PUNCT
ejde-686	155	19	.	.	PUNCT
ejde-686	156	1	let	let	VERB
ejde-686	156	2	z	z	NOUN
ejde-686	156	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	156	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	156	5	.	.	PUNCT
ejde-686	157	1	then	then	ADV
ejde-686	157	2	for	for	ADP
ejde-686	157	3	any	any	PRON
ejde-686	157	4	0	0	PUNCT
ejde-686	157	5	<	<	X
ejde-686	157	6	r	r	X
ejde-686	157	7	<	<	X
ejde-686	157	8	dist(z	dist(z	NOUN
ejde-686	157	9	,	,	PUNCT
ejde-686	157	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	157	11	)	)	PUNCT
ejde-686	157	12	,	,	PUNCT
ejde-686	157	13	lim	lim	PROPN
ejde-686	157	14	ϵ→0	ϵ→0	X
ejde-686	157	15	∫	∫	PROPN
ejde-686	157	16	br(z	br(z	X
ejde-686	157	17	)	)	PUNCT
ejde-686	157	18	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	157	19	)	)	PUNCT
ejde-686	157	20	dx	dx	PROPN
ejde-686	157	21	=	=	SYM
ejde-686	157	22	∫	∫	PROPN
ejde-686	157	23	br(z	br(z	X
ejde-686	157	24	)	)	PUNCT
ejde-686	157	25	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	157	26	dµ.	dµ.	PROPN
ejde-686	157	27	proof	proof	NOUN
ejde-686	157	28	.	.	PUNCT
ejde-686	158	1	let	let	VERB
ejde-686	158	2	z	z	NOUN
ejde-686	158	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	158	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	158	5	and	and	CCONJ
ejde-686	158	6	ϵ	ϵ	X
ejde-686	158	7	>	>	X
ejde-686	158	8	0	0	PUNCT
ejde-686	158	9	be	be	VERB
ejde-686	158	10	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	158	11	small	small	ADJ
ejde-686	158	12	so	so	SCONJ
ejde-686	158	13	that	that	SCONJ
ejde-686	158	14	ϵ	ϵ	X
ejde-686	158	15	<	<	X
ejde-686	158	16	dist(z	dist(z	NOUN
ejde-686	158	17	,	,	PUNCT
ejde-686	158	18	∂ω)/4	∂ω)/4	PROPN
ejde-686	158	19	.	.	PROPN
ejde-686	159	1	let	let	VERB
ejde-686	159	2	r	r	NOUN
ejde-686	159	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	159	4	(	(	PUNCT
ejde-686	159	5	ϵ,dist(z	ϵ,dist(z	NOUN
ejde-686	159	6	,	,	PUNCT
ejde-686	159	7	∂ω)−	∂ω)−	PROPN
ejde-686	159	8	3ϵ	3ϵ	NOUN
ejde-686	159	9	)	)	PUNCT
ejde-686	159	10	.	.	PUNCT
ejde-686	160	1	then	then	ADV
ejde-686	160	2	by	by	ADP
ejde-686	160	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	160	4	3.2(a	3.2(a	NUM
ejde-686	160	5	)	)	PUNCT
ejde-686	160	6	,	,	PUNCT
ejde-686	160	7	we	we	PRON
ejde-686	160	8	have∫	have∫	VERB
ejde-686	160	9	br(z	br(z	NOUN
ejde-686	160	10	)	)	PUNCT
ejde-686	160	11	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	160	12	)	)	PUNCT
ejde-686	160	13	dx	dx	PROPN
ejde-686	161	1	=	=	SYM
ejde-686	161	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	161	3	br(z	br(z	X
ejde-686	161	4	)	)	PUNCT
ejde-686	162	1	∆	∆	PROPN
ejde-686	162	2	(	(	PUNCT
ejde-686	162	3	(	(	PUNCT
ejde-686	162	4	ηϵ	ηϵ	INTJ
ejde-686	162	5	∗	∗	X
ejde-686	162	6	ũ)|ω	ũ)|ω	PROPN
ejde-686	162	7	)	)	PUNCT
ejde-686	162	8	dx	dx	PROPN
ejde-686	162	9	=	=	SYM
ejde-686	162	10	∫	∫	PROPN
ejde-686	162	11	br(z	br(z	X
ejde-686	162	12	)	)	PUNCT
ejde-686	162	13	(	(	PUNCT
ejde-686	162	14	∆ηϵ	∆ηϵ	ADV
ejde-686	162	15	∗	∗	VERB
ejde-686	162	16	ũ)|ω	ũ)|ω	PROPN
ejde-686	162	17	dx	dx	PROPN
ejde-686	162	18	=	=	SYM
ejde-686	162	19	∫	∫	PROPN
ejde-686	162	20	br(z	br(z	PROPN
ejde-686	162	21	)	)	PUNCT
ejde-686	162	22	∫	∫	PROPN
ejde-686	162	23	bϵ(x	bϵ(x	NUM
ejde-686	162	24	)	)	PUNCT
ejde-686	162	25	∆ηϵ(x−	∆ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	162	26	y)ũ(y	y)ũ(y	PROPN
ejde-686	162	27	)	)	PUNCT
ejde-686	162	28	dydx	dydx	NOUN
ejde-686	162	29	.	.	PUNCT
ejde-686	163	1	(	(	PUNCT
ejde-686	163	2	by	by	ADP
ejde-686	163	3	(	(	PUNCT
ejde-686	163	4	3.2	3.2	NUM
ejde-686	163	5	)	)	PUNCT
ejde-686	163	6	)	)	PUNCT
ejde-686	163	7	using	use	VERB
ejde-686	163	8	(	(	PUNCT
ejde-686	163	9	3.2	3.2	NUM
ejde-686	163	10	)	)	PUNCT
ejde-686	163	11	and	and	CCONJ
ejde-686	163	12	the	the	DET
ejde-686	163	13	fact	fact	NOUN
ejde-686	163	14	that	that	SCONJ
ejde-686	163	15	ηϵ(x−	ηϵ(x−	NOUN
ejde-686	163	16	y	y	PROPN
ejde-686	163	17	)	)	PUNCT
ejde-686	163	18	=	=	SYM
ejde-686	163	19	0	0	NUM
ejde-686	163	20	on	on	ADP
ejde-686	163	21	∂bϵ(x	∂bϵ(x	PROPN
ejde-686	163	22	)	)	PUNCT
ejde-686	163	23	(	(	PUNCT
ejde-686	163	24	see	see	VERB
ejde-686	163	25	[	[	X
ejde-686	163	26	1	1	NUM
ejde-686	163	27	,	,	PUNCT
ejde-686	163	28	16	16	NUM
ejde-686	163	29	]	]	PUNCT
ejde-686	163	30	)	)	PUNCT
ejde-686	163	31	,	,	PUNCT
ejde-686	163	32	we	we	PRON
ejde-686	163	33	have∫	have∫	VERB
ejde-686	163	34	br(z	br(z	NOUN
ejde-686	163	35	)	)	PUNCT
ejde-686	163	36	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	163	37	)	)	PUNCT
ejde-686	163	38	dx	dx	PROPN
ejde-686	164	1	=	=	SYM
ejde-686	164	2	−	−	PROPN
ejde-686	164	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	4	br(z	br(z	X
ejde-686	164	5	)	)	PUNCT
ejde-686	164	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	7	bϵ(x	bϵ(x	X
ejde-686	164	8	)	)	PUNCT
ejde-686	164	9	∇ηϵ(x−	∇ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	164	10	y	y	PROPN
ejde-686	164	11	)	)	PUNCT
ejde-686	164	12	·	·	PUNCT
ejde-686	164	13	∇ũ(y	∇ũ(y	X
ejde-686	164	14	)	)	PUNCT
ejde-686	164	15	dydx	dydx	NOUN
ejde-686	164	16	=	=	PUNCT
ejde-686	164	17	−	−	PROPN
ejde-686	164	18	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	19	br(z	br(z	X
ejde-686	164	20	)	)	PUNCT
ejde-686	164	21	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	22	bϵ(x	bϵ(x	X
ejde-686	164	23	)	)	PUNCT
ejde-686	164	24	∇ηϵ(x−	∇ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	164	25	y	y	PROPN
ejde-686	164	26	)	)	PUNCT
ejde-686	164	27	·	·	PUNCT
ejde-686	164	28	∇u(y	∇u(y	X
ejde-686	164	29	)	)	PUNCT
ejde-686	164	30	dydx	dydx	NOUN
ejde-686	164	31	=	=	SYM
ejde-686	164	32	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	33	br(z	br(z	PROPN
ejde-686	164	34	)	)	PUNCT
ejde-686	164	35	∫	∫	PROPN
ejde-686	164	36	bϵ(x	bϵ(x	X
ejde-686	164	37	)	)	PUNCT
ejde-686	164	38	ηϵ(x−	ηϵ(x−	PRON
ejde-686	164	39	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	164	40	)	)	PUNCT
ejde-686	164	41	dµ(y)dx	dµ(y)dx	NOUN
ejde-686	164	42	,	,	PUNCT
ejde-686	164	43	6	6	NUM
ejde-686	164	44	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	164	45	.	.	PUNCT
ejde-686	165	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	165	2	,	,	PUNCT
ejde-686	165	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	165	4	.	.	PUNCT
ejde-686	166	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	166	2	,	,	PUNCT
ejde-686	166	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	166	4	.	.	PUNCT
ejde-686	167	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	167	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	167	3	where	where	SCONJ
ejde-686	167	4	the	the	DET
ejde-686	167	5	second	second	ADJ
ejde-686	167	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	167	7	holds	hold	VERB
ejde-686	167	8	as	as	ADP
ejde-686	167	9	ũ	ũ	PROPN
ejde-686	167	10	=	=	SYM
ejde-686	167	11	u	u	NOUN
ejde-686	167	12	in	in	ADP
ejde-686	167	13	bϵ(x	bϵ(x	NOUN
ejde-686	167	14	)	)	PUNCT
ejde-686	167	15	,	,	PUNCT
ejde-686	167	16	and	and	CCONJ
ejde-686	167	17	the	the	DET
ejde-686	167	18	last	last	ADJ
ejde-686	167	19	equality	equality	NOUN
ejde-686	167	20	follows	follow	VERB
ejde-686	167	21	from	from	ADP
ejde-686	167	22	[	[	X
ejde-686	167	23	25	25	NUM
ejde-686	167	24	,	,	PUNCT
ejde-686	167	25	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	167	26	2.2	2.2	NUM
ejde-686	167	27	]	]	PUNCT
ejde-686	167	28	and	and	CCONJ
ejde-686	167	29	(	(	PUNCT
ejde-686	167	30	3.2	3.2	NUM
ejde-686	167	31	)	)	PUNCT
ejde-686	167	32	.	.	PUNCT
ejde-686	168	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	168	2	,	,	PUNCT
ejde-686	168	3	if	if	SCONJ
ejde-686	168	4	we	we	PRON
ejde-686	168	5	let	let	VERB
ejde-686	168	6	χbϵ(x	χbϵ(x	NOUN
ejde-686	168	7	)	)	PUNCT
ejde-686	168	8	be	be	VERB
ejde-686	168	9	the	the	DET
ejde-686	168	10	characteristic	characteristic	ADJ
ejde-686	168	11	function	function	NOUN
ejde-686	168	12	on	on	ADP
ejde-686	168	13	bϵ(x	bϵ(x	NOUN
ejde-686	168	14	)	)	PUNCT
ejde-686	168	15	,	,	PUNCT
ejde-686	168	16	then∫	then∫	NOUN
ejde-686	168	17	br(z	br(z	NOUN
ejde-686	168	18	)	)	PUNCT
ejde-686	168	19	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	168	20	)	)	PUNCT
ejde-686	168	21	dx	dx	PROPN
ejde-686	168	22	=	=	SYM
ejde-686	168	23	∫	∫	PROPN
ejde-686	168	24	br(z	br(z	X
ejde-686	168	25	)	)	PUNCT
ejde-686	168	26	∫	∫	PROPN
ejde-686	168	27	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	168	28	)	)	PUNCT
ejde-686	168	29	χbϵ(x)(y)ηϵ(x−	χbϵ(x)(y)ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	168	30	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	168	31	)	)	PUNCT
ejde-686	168	32	dµ(y)dx	dµ(y)dx	VERB
ejde-686	168	33	=	=	PUNCT
ejde-686	168	34	∫	∫	NOUN
ejde-686	168	35	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	168	36	)	)	PUNCT
ejde-686	168	37	∫	∫	PROPN
ejde-686	168	38	br(z	br(z	X
ejde-686	168	39	)	)	PUNCT
ejde-686	168	40	χbϵ(x)(y)ηϵ(x−	χbϵ(x)(y)ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	168	41	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	168	42	)	)	PUNCT
ejde-686	168	43	dxdµ(y	dxdµ(y	PROPN
ejde-686	168	44	)	)	PUNCT
ejde-686	168	45	(	(	PUNCT
ejde-686	168	46	fubini	fubini	ADJ
ejde-686	168	47	)	)	PUNCT
ejde-686	168	48	=	=	SYM
ejde-686	168	49	∫	∫	NOUN
ejde-686	168	50	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	168	51	)	)	PUNCT
ejde-686	168	52	∫	∫	PROPN
ejde-686	168	53	br(z)∩bϵ(y	br(z)∩bϵ(y	PROPN
ejde-686	168	54	)	)	PUNCT
ejde-686	168	55	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	168	56	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	168	57	)	)	PUNCT
ejde-686	168	58	dxdµ(y	dxdµ(y	PROPN
ejde-686	168	59	)	)	PUNCT
ejde-686	168	60	≤	≤	NUM
ejde-686	168	61	∫	∫	NOUN
ejde-686	168	62	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	168	63	)	)	PUNCT
ejde-686	168	64	(	(	PUNCT
ejde-686	168	65	∫	∫	PROPN
ejde-686	168	66	bϵ(y	bϵ(y	NUM
ejde-686	168	67	)	)	PUNCT
ejde-686	168	68	ηϵ(x−	ηϵ(x−	SYM
ejde-686	168	69	y	y	PROPN
ejde-686	168	70	)	)	PUNCT
ejde-686	168	71	dx	dx	PROPN
ejde-686	168	72	)	)	PUNCT
ejde-686	168	73	∆µu(y	∆µu(y	NUM
ejde-686	168	74	)	)	PUNCT
ejde-686	168	75	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	168	76	)	)	PUNCT
ejde-686	168	77	=	=	SYM
ejde-686	168	78	∫	∫	NOUN
ejde-686	168	79	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	168	80	)	)	PUNCT
ejde-686	168	81	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	168	82	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	168	83	(	(	PUNCT
ejde-686	168	84	3.3	3.3	NUM
ejde-686	168	85	)	)	PUNCT
ejde-686	168	86	(	(	PUNCT
ejde-686	168	87	see	see	VERB
ejde-686	168	88	figure	figure	NOUN
ejde-686	168	89	2(a	2(a	NUM
ejde-686	168	90	)	)	PUNCT
ejde-686	168	91	)	)	PUNCT
ejde-686	168	92	.	.	PUNCT
ejde-686	169	1	on	on	ADP
ejde-686	169	2	the	the	DET
ejde-686	169	3	other	other	ADJ
ejde-686	169	4	hand	hand	NOUN
ejde-686	169	5	,	,	PUNCT
ejde-686	169	6	since	since	SCONJ
ejde-686	169	7	ηϵ	ηϵ	PROPN
ejde-686	169	8	≥	≥	X
ejde-686	169	9	0	0	NUM
ejde-686	169	10	and	and	CCONJ
ejde-686	169	11	∆µu	∆µu	NUM
ejde-686	169	12	≥	≥	NOUN
ejde-686	169	13	0	0	NUM
ejde-686	169	14	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-686	169	15	.	.	PROPN
ejde-686	169	16	,	,	PUNCT
ejde-686	169	17	by	by	ADP
ejde-686	169	18	(	(	PUNCT
ejde-686	169	19	3.3	3.3	NUM
ejde-686	169	20	)	)	PUNCT
ejde-686	169	21	we	we	PRON
ejde-686	169	22	have	have	VERB
ejde-686	169	23	∫	∫	PROPN
ejde-686	169	24	br(z	br(z	X
ejde-686	169	25	)	)	PUNCT
ejde-686	169	26	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	169	27	)	)	PUNCT
ejde-686	169	28	dx	dx	PROPN
ejde-686	169	29	=	=	SYM
ejde-686	169	30	∫	∫	PROPN
ejde-686	169	31	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	169	32	)	)	PUNCT
ejde-686	169	33	∫	∫	PROPN
ejde-686	169	34	br(z)∩bϵ(y	br(z)∩bϵ(y	PROPN
ejde-686	169	35	)	)	PUNCT
ejde-686	169	36	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	169	37	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	169	38	)	)	PUNCT
ejde-686	169	39	dxdµ(y	dxdµ(y	PROPN
ejde-686	169	40	)	)	PUNCT
ejde-686	169	41	≥	≥	NOUN
ejde-686	169	42	∫	∫	PROPN
ejde-686	169	43	br−ϵ(z	br−ϵ(z	PROPN
ejde-686	169	44	)	)	PUNCT
ejde-686	169	45	∫	∫	PROPN
ejde-686	169	46	br(z)∩bϵ(y	br(z)∩bϵ(y	PROPN
ejde-686	169	47	)	)	PUNCT
ejde-686	169	48	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	χbϵ(y)(x)ηϵ(x−	PROPN
ejde-686	169	49	y)∆µu(y	y)∆µu(y	PROPN
ejde-686	169	50	)	)	PUNCT
ejde-686	169	51	dxdµ(y	dxdµ(y	PROPN
ejde-686	169	52	)	)	PUNCT
ejde-686	169	53	=	=	PUNCT
ejde-686	170	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	170	2	br−ϵ(z	br−ϵ(z	PROPN
ejde-686	170	3	)	)	PUNCT
ejde-686	170	4	(	(	PUNCT
ejde-686	170	5	∫	∫	PROPN
ejde-686	170	6	bϵ(y	bϵ(y	NUM
ejde-686	170	7	)	)	PUNCT
ejde-686	170	8	ηϵ(x−	ηϵ(x−	SYM
ejde-686	170	9	y	y	PROPN
ejde-686	170	10	)	)	PUNCT
ejde-686	170	11	dx	dx	PROPN
ejde-686	170	12	)	)	PUNCT
ejde-686	170	13	∆µu(y	∆µu(y	NUM
ejde-686	170	14	)	)	PUNCT
ejde-686	170	15	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	170	16	)	)	PUNCT
ejde-686	171	1	=	=	SYM
ejde-686	172	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	172	2	br−ϵ(z	br−ϵ(z	PROPN
ejde-686	172	3	)	)	PUNCT
ejde-686	172	4	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	172	5	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	172	6	(	(	PUNCT
ejde-686	172	7	3.4	3.4	NUM
ejde-686	172	8	)	)	PUNCT
ejde-686	172	9	(	(	PUNCT
ejde-686	172	10	see	see	VERB
ejde-686	172	11	figure	figure	NOUN
ejde-686	172	12	2(b	2(b	NUM
ejde-686	172	13	)	)	PUNCT
ejde-686	172	14	)	)	PUNCT
ejde-686	172	15	.	.	PUNCT
ejde-686	173	1	combining	combine	VERB
ejde-686	173	2	(	(	PUNCT
ejde-686	173	3	3.3	3.3	NUM
ejde-686	173	4	)	)	PUNCT
ejde-686	173	5	and	and	CCONJ
ejde-686	173	6	(	(	PUNCT
ejde-686	173	7	3.4	3.4	NUM
ejde-686	173	8	)	)	PUNCT
ejde-686	173	9	,	,	PUNCT
ejde-686	173	10	we	we	PRON
ejde-686	173	11	have∫	have∫	VERB
ejde-686	173	12	br−ϵ(z	br−ϵ(z	NOUN
ejde-686	173	13	)	)	PUNCT
ejde-686	174	1	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	175	1	dµ	dµ	VERB
ejde-686	175	2	≤	≤	NUM
ejde-686	175	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	175	4	br(z	br(z	X
ejde-686	175	5	)	)	PUNCT
ejde-686	175	6	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	175	7	)	)	PUNCT
ejde-686	175	8	dx	dx	PROPN
ejde-686	175	9	≤	≤	NUM
ejde-686	175	10	∫	∫	PROPN
ejde-686	175	11	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	175	12	)	)	PUNCT
ejde-686	175	13	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	176	1	dµ.	dµ.	PROPN
ejde-686	176	2	letting	let	VERB
ejde-686	176	3	ϵ→	ϵ→	PROPN
ejde-686	176	4	0	0	NUM
ejde-686	176	5	completes	complete	VERB
ejde-686	176	6	the	the	DET
ejde-686	176	7	proof	proof	NOUN
ejde-686	176	8	.	.	PUNCT
ejde-686	177	1	□	□	PUNCT
ejde-686	177	2	remark	remark	NOUN
ejde-686	177	3	3.4	3.4	NUM
ejde-686	177	4	.	.	PUNCT
ejde-686	178	1	we	we	PRON
ejde-686	178	2	know	know	VERB
ejde-686	178	3	that	that	SCONJ
ejde-686	178	4	∆µu	∆µu	PRON
ejde-686	179	1	∈	∈	PROPN
ejde-686	179	2	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	179	3	,	,	PUNCT
ejde-686	179	4	µ	µ	NOUN
ejde-686	179	5	)	)	PUNCT
ejde-686	179	6	⊆	⊆	NUM
ejde-686	179	7	l1(ω	l1(ω	PROPN
ejde-686	179	8	,	,	PUNCT
ejde-686	179	9	µ	µ	NOUN
ejde-686	179	10	)	)	PUNCT
ejde-686	179	11	for	for	ADP
ejde-686	179	12	u	u	PROPN
ejde-686	179	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	179	14	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	179	15	)	)	PUNCT
ejde-686	179	16	(	(	PUNCT
ejde-686	179	17	see	see	VERB
ejde-686	179	18	[	[	X
ejde-686	179	19	25	25	NUM
ejde-686	179	20	,	,	PUNCT
ejde-686	179	21	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	179	22	2.2	2.2	NUM
ejde-686	179	23	]	]	PUNCT
ejde-686	179	24	)	)	PUNCT
ejde-686	179	25	.	.	PUNCT
ejde-686	180	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	180	2	,	,	PUNCT
ejde-686	180	3	if	if	SCONJ
ejde-686	180	4	u	u	NOUN
ejde-686	180	5	is	be	AUX
ejde-686	180	6	a	a	DET
ejde-686	180	7	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	180	8	function	function	NOUN
ejde-686	180	9	,	,	PUNCT
ejde-686	180	10	then	then	ADV
ejde-686	180	11	for	for	ADP
ejde-686	180	12	any	any	DET
ejde-686	180	13	br(z	br(z	NOUN
ejde-686	180	14	)	)	PUNCT
ejde-686	180	15	⊆	⊆	NUM
ejde-686	180	16	ω	ω	NUM
ejde-686	180	17	,	,	PUNCT
ejde-686	180	18	the	the	DET
ejde-686	180	19	limit	limit	NOUN
ejde-686	180	20	lim	lim	PROPN
ejde-686	180	21	ϵ→0	ϵ→0	X
ejde-686	180	22	∫	∫	PROPN
ejde-686	180	23	br(z	br(z	X
ejde-686	180	24	)	)	PUNCT
ejde-686	180	25	∆(ũϵ|ω	∆(ũϵ|ω	PROPN
ejde-686	180	26	)	)	PUNCT
ejde-686	180	27	dx	dx	PROPN
ejde-686	180	28	=	=	SYM
ejde-686	180	29	∫	∫	PROPN
ejde-686	180	30	br(z	br(z	X
ejde-686	180	31	)	)	PUNCT
ejde-686	181	1	∆µu	∆µu	PROPN
ejde-686	181	2	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	181	3	is	be	AUX
ejde-686	181	4	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-686	181	5	and	and	CCONJ
ejde-686	181	6	finite	finite	ADJ
ejde-686	181	7	.	.	PUNCT
ejde-686	182	1	in	in	ADP
ejde-686	182	2	[	[	X
ejde-686	182	3	52	52	NUM
ejde-686	182	4	,	,	PUNCT
ejde-686	182	5	theorem	theorem	VERB
ejde-686	182	6	3.3	3.3	NUM
ejde-686	182	7	]	]	PUNCT
ejde-686	182	8	,	,	PUNCT
ejde-686	182	9	it	it	PRON
ejde-686	182	10	is	be	AUX
ejde-686	182	11	shown	show	VERB
ejde-686	182	12	that	that	SCONJ
ejde-686	182	13	if	if	SCONJ
ejde-686	182	14	u	u	PROPN
ejde-686	182	15	∈	∈	PROPN
ejde-686	182	16	c2(ω	c2(ω	NUM
ejde-686	182	17	)	)	PUNCT
ejde-686	182	18	∩	∩	NOUN
ejde-686	182	19	c(ω	c(ω	X
ejde-686	182	20	)	)	PUNCT
ejde-686	182	21	is	be	AUX
ejde-686	182	22	a	a	DET
ejde-686	182	23	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	182	24	function	function	NOUN
ejde-686	182	25	,	,	PUNCT
ejde-686	182	26	then	then	ADV
ejde-686	182	27	the	the	DET
ejde-686	182	28	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	182	29	principle	principle	NOUN
ejde-686	182	30	holds	hold	VERB
ejde-686	182	31	.	.	PUNCT
ejde-686	183	1	the	the	DET
ejde-686	183	2	following	follow	VERB
ejde-686	183	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	183	4	generalizes	generalize	VERB
ejde-686	183	5	this	this	PRON
ejde-686	183	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	183	7	to	to	ADP
ejde-686	183	8	u	u	PROPN
ejde-686	183	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	183	10	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	183	11	)	)	PUNCT
ejde-686	183	12	.	.	PUNCT
ejde-686	184	1	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	184	2	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	184	3	sets	set	NOUN
ejde-686	184	4	and	and	CCONJ
ejde-686	184	5	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	184	6	of	of	ADP
ejde-686	184	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	184	8	7	7	NUM
ejde-686	184	9	z	z	NOUN
ejde-686	184	10	r	r	NOUN
ejde-686	184	11	r+2ϵ	r+2ϵ	PROPN
ejde-686	184	12	y	y	PROPN
ejde-686	185	1	ϵ	ϵ	X
ejde-686	185	2	x	x	SYM
ejde-686	185	3	ω	ω	NOUN
ejde-686	185	4	z	z	NOUN
ejde-686	185	5	r	r	NOUN
ejde-686	185	6	r-ϵ	r-ϵ	PRON
ejde-686	185	7	y	y	PROPN
ejde-686	185	8	ϵ	ϵ	X
ejde-686	185	9	x	x	SYM
ejde-686	185	10	ω	ω	PROPN
ejde-686	185	11	(	(	PUNCT
ejde-686	185	12	a	a	NOUN
ejde-686	185	13	)	)	PUNCT
ejde-686	185	14	(	(	PUNCT
ejde-686	185	15	b	b	X
ejde-686	185	16	)	)	PUNCT
ejde-686	185	17	figure	figure	NOUN
ejde-686	185	18	1	1	NUM
ejde-686	185	19	.	.	PUNCT
ejde-686	185	20	sets	set	NOUN
ejde-686	185	21	br(z	br(z	NUM
ejde-686	185	22	)	)	PUNCT
ejde-686	185	23	,	,	PUNCT
ejde-686	185	24	br+2ϵ(z	br+2ϵ(z	NOUN
ejde-686	185	25	)	)	PUNCT
ejde-686	185	26	,	,	PUNCT
ejde-686	185	27	br−ϵ(z	br−ϵ(z	NOUN
ejde-686	185	28	)	)	PUNCT
ejde-686	185	29	,	,	PUNCT
ejde-686	185	30	bϵ(y	bϵ(y	NUM
ejde-686	185	31	)	)	PUNCT
ejde-686	185	32	and	and	CCONJ
ejde-686	185	33	the	the	DET
ejde-686	185	34	positions	position	NOUN
ejde-686	185	35	of	of	ADP
ejde-686	185	36	the	the	DET
ejde-686	185	37	points	point	NOUN
ejde-686	185	38	x	x	NOUN
ejde-686	185	39	,	,	PUNCT
ejde-686	185	40	y	y	PROPN
ejde-686	185	41	,	,	PUNCT
ejde-686	185	42	z.	z.	PROPN
ejde-686	185	43	theorem	theorem	VERB
ejde-686	185	44	3.5	3.5	NUM
ejde-686	185	45	.	.	PUNCT
ejde-686	186	1	let	let	VERB
ejde-686	186	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	186	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	186	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	186	5	(	(	PUNCT
ejde-686	186	6	d	d	X
ejde-686	186	7	≥	≥	NUM
ejde-686	186	8	1	1	NUM
ejde-686	186	9	)	)	PUNCT
ejde-686	186	10	be	be	AUX
ejde-686	186	11	a	a	DET
ejde-686	186	12	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	186	13	domain	domain	NOUN
ejde-686	186	14	and	and	CCONJ
ejde-686	186	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	186	16	be	be	AUX
ejde-686	186	17	a	a	DET
ejde-686	186	18	positive	positive	ADJ
ejde-686	186	19	finite	finite	NOUN
ejde-686	186	20	borel	borel	PROPN
ejde-686	186	21	measure	measure	NOUN
ejde-686	186	22	on	on	ADP
ejde-686	186	23	rd	rd	PROPN
ejde-686	186	24	with	with	ADP
ejde-686	186	25	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	186	26	)	)	PUNCT
ejde-686	186	27	⊆	⊆	NUM
ejde-686	186	28	ω	ω	NOUN
ejde-686	186	29	and	and	CCONJ
ejde-686	186	30	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	186	31	)	)	PUNCT
ejde-686	186	32	>	>	X
ejde-686	187	1	0	0	X
ejde-686	187	2	.	.	PUNCT
ejde-686	187	3	assume	assume	VERB
ejde-686	187	4	that	that	SCONJ
ejde-686	187	5	(	(	PUNCT
ejde-686	187	6	mpi	mpi	ADJ
ejde-686	187	7	)	)	PUNCT
ejde-686	187	8	holds	hold	VERB
ejde-686	187	9	.	.	PUNCT
ejde-686	188	1	if	if	SCONJ
ejde-686	188	2	u	u	PROPN
ejde-686	188	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	188	4	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	188	5	)	)	PUNCT
ejde-686	188	6	is	be	AUX
ejde-686	188	7	a	a	DET
ejde-686	188	8	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-686	188	9	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	188	10	function	function	NOUN
ejde-686	188	11	,	,	PUNCT
ejde-686	188	12	then	then	ADV
ejde-686	188	13	u	u	NOUN
ejde-686	188	14	can	can	AUX
ejde-686	188	15	not	not	PART
ejde-686	188	16	attain	attain	VERB
ejde-686	188	17	its	its	PRON
ejde-686	188	18	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	188	19	value	value	NOUN
ejde-686	188	20	in	in	ADP
ejde-686	188	21	ω	ω	PROPN
ejde-686	188	22	.	.	PUNCT
ejde-686	189	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	189	2	.	.	PUNCT
ejde-686	190	1	some	some	DET
ejde-686	190	2	basic	basic	ADJ
ejde-686	190	3	derivations	derivation	NOUN
ejde-686	190	4	are	be	AUX
ejde-686	190	5	similar	similar	ADJ
ejde-686	190	6	to	to	ADP
ejde-686	190	7	the	the	DET
ejde-686	190	8	proof	proof	NOUN
ejde-686	190	9	of	of	ADP
ejde-686	190	10	the	the	DET
ejde-686	190	11	mean	mean	ADJ
ejde-686	190	12	-	-	PUNCT
ejde-686	190	13	value	value	NOUN
ejde-686	190	14	formula	formula	NOUN
ejde-686	190	15	(	(	PUNCT
ejde-686	190	16	see	see	VERB
ejde-686	190	17	e.g.	e.g.	ADV
ejde-686	190	18	,	,	PUNCT
ejde-686	190	19	[	[	X
ejde-686	190	20	16	16	NUM
ejde-686	190	21	,	,	PUNCT
ejde-686	190	22	§	§	NOUN
ejde-686	190	23	2.2.2	2.2.2	NUM
ejde-686	190	24	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	190	25	2	2	NUM
ejde-686	190	26	]	]	NUM
ejde-686	190	27	)	)	PUNCT
ejde-686	190	28	;	;	PUNCT
ejde-686	190	29	we	we	PRON
ejde-686	190	30	will	will	AUX
ejde-686	190	31	omit	omit	VERB
ejde-686	190	32	some	some	DET
ejde-686	190	33	details	detail	NOUN
ejde-686	190	34	.	.	PUNCT
ejde-686	191	1	let	let	VERB
ejde-686	191	2	u	u	PRON
ejde-686	191	3	be	be	AUX
ejde-686	191	4	a	a	DET
ejde-686	191	5	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-686	191	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	191	7	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	191	8	function	function	NOUN
ejde-686	191	9	.	.	PUNCT
ejde-686	192	1	for	for	ADP
ejde-686	192	2	any	any	DET
ejde-686	192	3	fixed	fix	VERB
ejde-686	192	4	x	x	SYM
ejde-686	192	5	∈	∈	PROPN
ejde-686	192	6	ω	ω	PROPN
ejde-686	192	7	,	,	PUNCT
ejde-686	192	8	let	let	VERB
ejde-686	192	9	ũϵ	ũϵ	PRON
ejde-686	192	10	be	be	AUX
ejde-686	192	11	defined	define	VERB
ejde-686	192	12	as	as	ADP
ejde-686	192	13	in	in	ADP
ejde-686	192	14	(	(	PUNCT
ejde-686	192	15	3.1	3.1	NUM
ejde-686	192	16	)	)	PUNCT
ejde-686	192	17	and	and	CCONJ
ejde-686	192	18	let	let	VERB
ejde-686	192	19	r	r	PRON
ejde-686	192	20	>	>	X
ejde-686	192	21	0	0	NUM
ejde-686	192	22	be	be	VERB
ejde-686	192	23	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	192	24	small	small	ADJ
ejde-686	192	25	such	such	ADJ
ejde-686	192	26	that	that	DET
ejde-686	192	27	br(x	br(x	NOUN
ejde-686	192	28	)	)	PUNCT
ejde-686	192	29	⊆	⊆	NUM
ejde-686	192	30	ω	ω	NOUN
ejde-686	192	31	.	.	PUNCT
ejde-686	193	1	define	define	NOUN
ejde-686	193	2	φϵ(r	φϵ(r	NOUN
ejde-686	193	3	)	)	PUNCT
ejde-686	193	4	:	:	PUNCT
ejde-686	193	5	=	=	SYM
ejde-686	193	6	–	–	PUNCT
ejde-686	193	7	∫	∫	PROPN
ejde-686	193	8	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	193	9	)	)	PUNCT
ejde-686	193	10	ũϵ|ω(y	ũϵ|ω(y	PROPN
ejde-686	193	11	)	)	PUNCT
ejde-686	193	12	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	193	13	)	)	PUNCT
ejde-686	194	1	=	=	SYM
ejde-686	194	2	–	–	PUNCT
ejde-686	194	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	194	4	∂b1(0	∂b1(0	PROPN
ejde-686	194	5	)	)	PUNCT
ejde-686	195	1	ũϵ|ω(x+	ũϵ|ω(x+	NOUN
ejde-686	195	2	rz	rz	NOUN
ejde-686	195	3	)	)	PUNCT
ejde-686	195	4	ds(z	ds(z	NUM
ejde-686	195	5	)	)	PUNCT
ejde-686	195	6	,	,	PUNCT
ejde-686	195	7	where	where	SCONJ
ejde-686	195	8	–	–	PUNCT
ejde-686	195	9	∫	∫	PROPN
ejde-686	195	10	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	195	11	)	)	PUNCT
ejde-686	196	1	f	f	PROPN
ejde-686	196	2	ds	ds	ADJ
ejde-686	196	3	:	:	PUNCT
ejde-686	196	4	=	=	SYM
ejde-686	196	5	1	1	NUM
ejde-686	196	6	nα(n)rn−1	nα(n)rn−1	PROPN
ejde-686	196	7	∫	∫	PROPN
ejde-686	196	8	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	196	9	)	)	PUNCT
ejde-686	197	1	f	f	PROPN
ejde-686	197	2	ds	ds	NOUN
ejde-686	197	3	(	(	PUNCT
ejde-686	197	4	3.5	3.5	NUM
ejde-686	197	5	)	)	PUNCT
ejde-686	197	6	is	be	AUX
ejde-686	197	7	the	the	DET
ejde-686	197	8	average	average	NOUN
ejde-686	197	9	of	of	ADP
ejde-686	197	10	f	f	PROPN
ejde-686	197	11	over	over	ADP
ejde-686	197	12	the	the	DET
ejde-686	197	13	sphere	sphere	NOUN
ejde-686	197	14	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	197	15	)	)	PUNCT
ejde-686	197	16	and	and	CCONJ
ejde-686	197	17	α(n	α(n	NOUN
ejde-686	197	18	)	)	PUNCT
ejde-686	198	1	=	=	SYM
ejde-686	198	2	πn/2	πn/2	NOUN
ejde-686	198	3	/	/	SYM
ejde-686	198	4	γ(n/2	γ(n/2	NOUN
ejde-686	198	5	+	+	NOUN
ejde-686	198	6	1	1	NUM
ejde-686	198	7	)	)	PUNCT
ejde-686	198	8	is	be	AUX
ejde-686	198	9	the	the	DET
ejde-686	198	10	volume	volume	NOUN
ejde-686	198	11	of	of	ADP
ejde-686	198	12	the	the	DET
ejde-686	198	13	unit	unit	NOUN
ejde-686	198	14	ball	ball	PROPN
ejde-686	198	15	b1(0	b1(0	PROPN
ejde-686	198	16	)	)	PUNCT
ejde-686	198	17	in	in	ADP
ejde-686	198	18	rn	rn	PROPN
ejde-686	198	19	.	.	PUNCT
ejde-686	198	20	let	let	VERB
ejde-686	198	21	–	–	PUNCT
ejde-686	198	22	∫	∫	PROPN
ejde-686	198	23	br(x	br(x	X
ejde-686	198	24	)	)	PUNCT
ejde-686	199	1	f	f	NOUN
ejde-686	199	2	dy	dy	NOUN
ejde-686	199	3	:	:	PUNCT
ejde-686	199	4	=	=	SYM
ejde-686	199	5	1	1	NUM
ejde-686	199	6	α(n)rn	α(n)rn	NUM
ejde-686	199	7	∫	∫	NOUN
ejde-686	199	8	br(x	br(x	X
ejde-686	199	9	)	)	PUNCT
ejde-686	200	1	f	f	PROPN
ejde-686	200	2	dy	dy	NOUN
ejde-686	200	3	(	(	PUNCT
ejde-686	200	4	3.6	3.6	NUM
ejde-686	200	5	)	)	PUNCT
ejde-686	200	6	be	be	AUX
ejde-686	200	7	the	the	DET
ejde-686	200	8	average	average	NOUN
ejde-686	200	9	of	of	ADP
ejde-686	200	10	f	f	PROPN
ejde-686	200	11	over	over	ADP
ejde-686	200	12	br(x	br(x	NUM
ejde-686	200	13	)	)	PUNCT
ejde-686	200	14	(	(	PUNCT
ejde-686	200	15	see	see	VERB
ejde-686	200	16	[	[	X
ejde-686	200	17	16	16	NUM
ejde-686	200	18	,	,	PUNCT
ejde-686	200	19	appendix	appendix	VERB
ejde-686	200	20	a	a	PRON
ejde-686	200	21	]	]	X
ejde-686	200	22	)	)	PUNCT
ejde-686	200	23	.	.	PUNCT
ejde-686	201	1	by	by	ADP
ejde-686	201	2	the	the	DET
ejde-686	201	3	calculation	calculation	NOUN
ejde-686	201	4	as	as	ADP
ejde-686	201	5	in	in	ADP
ejde-686	201	6	the	the	DET
ejde-686	201	7	proof	proof	NOUN
ejde-686	201	8	of	of	ADP
ejde-686	201	9	[	[	X
ejde-686	201	10	16	16	NUM
ejde-686	201	11	,	,	PUNCT
ejde-686	201	12	§	§	NOUN
ejde-686	201	13	2.2.2	2.2.2	NUM
ejde-686	201	14	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	201	15	2	2	NUM
ejde-686	201	16	]	]	PUNCT
ejde-686	201	17	,	,	PUNCT
ejde-686	201	18	we	we	PRON
ejde-686	201	19	have	have	VERB
ejde-686	201	20	φ′	φ′	NUM
ejde-686	201	21	ϵ(r	ϵ(r	NOUN
ejde-686	201	22	)	)	PUNCT
ejde-686	201	23	=	=	SYM
ejde-686	201	24	–	–	PUNCT
ejde-686	202	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	202	2	∂b1(0	∂b1(0	PROPN
ejde-686	202	3	)	)	PUNCT
ejde-686	202	4	dũϵ|ω(x+	dũϵ|ω(x+	NOUN
ejde-686	202	5	rz	rz	PROPN
ejde-686	202	6	)	)	PUNCT
ejde-686	202	7	·	·	PUNCT
ejde-686	203	1	z	z	NOUN
ejde-686	203	2	ds(z	ds(z	NOUN
ejde-686	203	3	)	)	PUNCT
ejde-686	204	1	=	=	SYM
ejde-686	204	2	1	1	NUM
ejde-686	204	3	nα(n)rn−1	nα(n)rn−1	PROPN
ejde-686	204	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	204	5	br(x	br(x	PROPN
ejde-686	204	6	)	)	PUNCT
ejde-686	204	7	∆(ũϵ|ω)(y	∆(ũϵ|ω)(y	NUM
ejde-686	204	8	)	)	PUNCT
ejde-686	204	9	dy	dy	NOUN
ejde-686	204	10	.	.	PUNCT
ejde-686	205	1	by	by	ADP
ejde-686	205	2	remark	remark	NOUN
ejde-686	205	3	3.4	3.4	NUM
ejde-686	205	4	,	,	PUNCT
ejde-686	205	5	limϵ→0	limϵ→0	PROPN
ejde-686	205	6	φ	φ	PROPN
ejde-686	205	7	′	′	NUM
ejde-686	205	8	ϵ(r	ϵ(r	PROPN
ejde-686	205	9	)	)	PUNCT
ejde-686	205	10	≥	≥	NOUN
ejde-686	205	11	0	0	NUM
ejde-686	205	12	.	.	PUNCT
ejde-686	206	1	it	it	PRON
ejde-686	206	2	follows	follow	VERB
ejde-686	206	3	that	that	SCONJ
ejde-686	206	4	for	for	ADP
ejde-686	206	5	each	each	DET
ejde-686	206	6	t	t	PROPN
ejde-686	206	7	>	>	X
ejde-686	206	8	0	0	PROPN
ejde-686	206	9	,	,	PUNCT
ejde-686	206	10	there	there	PRON
ejde-686	206	11	exists	exist	VERB
ejde-686	206	12	δt	δt	X
ejde-686	206	13	>	>	X
ejde-686	206	14	0	0	NUM
ejde-686	206	15	such	such	ADJ
ejde-686	206	16	that	that	PRON
ejde-686	206	17	for	for	ADP
ejde-686	206	18	all	all	PRON
ejde-686	206	19	ϵ	ϵ	X
ejde-686	206	20	∈	∈	PROPN
ejde-686	206	21	(	(	PUNCT
ejde-686	206	22	0	0	NUM
ejde-686	206	23	,	,	PUNCT
ejde-686	206	24	δt	δt	PROPN
ejde-686	206	25	)	)	PUNCT
ejde-686	206	26	,	,	PUNCT
ejde-686	206	27	φ	φ	PROPN
ejde-686	206	28	′	′	NUM
ejde-686	206	29	ϵ(r	ϵ(r	NUM
ejde-686	206	30	)	)	PUNCT
ejde-686	207	1	+	+	CCONJ
ejde-686	207	2	t	t	X
ejde-686	207	3	≥	≥	NOUN
ejde-686	207	4	0	0	NUM
ejde-686	207	5	.	.	PUNCT
ejde-686	208	1	this	this	PRON
ejde-686	208	2	implies	imply	VERB
ejde-686	208	3	that	that	SCONJ
ejde-686	208	4	for	for	ADP
ejde-686	208	5	each	each	DET
ejde-686	208	6	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-686	208	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	208	8	(	(	PUNCT
ejde-686	208	9	0	0	NUM
ejde-686	208	10	,	,	PUNCT
ejde-686	208	11	δt	δt	PROPN
ejde-686	208	12	)	)	PUNCT
ejde-686	208	13	,	,	PUNCT
ejde-686	208	14	φϵ(r	φϵ(r	PUNCT
ejde-686	208	15	)	)	PUNCT
ejde-686	208	16	+	+	CCONJ
ejde-686	208	17	tr	tr	VERB
ejde-686	208	18	is	be	AUX
ejde-686	208	19	an	an	DET
ejde-686	208	20	increasing	increase	VERB
ejde-686	208	21	function	function	NOUN
ejde-686	208	22	of	of	ADP
ejde-686	208	23	r.	r.	PROPN
ejde-686	208	24	for	for	ADP
ejde-686	208	25	each	each	DET
ejde-686	208	26	t	t	PROPN
ejde-686	208	27	>	>	X
ejde-686	208	28	0	0	PROPN
ejde-686	208	29	,	,	PUNCT
ejde-686	208	30	we	we	PRON
ejde-686	208	31	choose	choose	VERB
ejde-686	208	32	ϵt	ϵt	ADP
ejde-686	208	33	>	>	X
ejde-686	208	34	0	0	PUNCT
ejde-686	209	1	so	so	SCONJ
ejde-686	209	2	that	that	SCONJ
ejde-686	209	3	8	8	NUM
ejde-686	209	4	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	209	5	.	.	PUNCT
ejde-686	210	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	210	2	,	,	PUNCT
ejde-686	210	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	210	4	.	.	PUNCT
ejde-686	211	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	211	2	,	,	PUNCT
ejde-686	211	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	211	4	.	.	PUNCT
ejde-686	212	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-686	212	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	213	1	the	the	DET
ejde-686	213	2	function	function	NOUN
ejde-686	213	3	ϵt	ϵt	ADV
ejde-686	213	4	is	be	AUX
ejde-686	213	5	decreasing	decrease	VERB
ejde-686	213	6	and	and	CCONJ
ejde-686	213	7	tends	tend	VERB
ejde-686	213	8	to	to	ADP
ejde-686	213	9	0	0	NUM
ejde-686	213	10	as	as	ADP
ejde-686	213	11	t→	t→	X
ejde-686	213	12	0	0	NUM
ejde-686	213	13	+	+	NOUN
ejde-686	213	14	.	.	PUNCT
ejde-686	214	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	214	2	,	,	PUNCT
ejde-686	214	3	φϵt(r	φϵt(r	NUM
ejde-686	214	4	)	)	PUNCT
ejde-686	215	1	+	+	CCONJ
ejde-686	215	2	tr	tr	VERB
ejde-686	215	3	is	be	AUX
ejde-686	215	4	an	an	DET
ejde-686	215	5	increasing	increase	VERB
ejde-686	215	6	function	function	NOUN
ejde-686	215	7	of	of	ADP
ejde-686	215	8	r.	r.	PROPN
ejde-686	215	9	letting	let	VERB
ejde-686	215	10	t→	t→	X
ejde-686	215	11	0	0	PUNCT
ejde-686	215	12	+	+	CCONJ
ejde-686	215	13	and	and	CCONJ
ejde-686	215	14	using	use	VERB
ejde-686	215	15	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	215	16	3.2(b	3.2(b	NUM
ejde-686	215	17	)	)	PUNCT
ejde-686	215	18	,	,	PUNCT
ejde-686	215	19	we	we	PRON
ejde-686	215	20	have	have	VERB
ejde-686	215	21	lim	lim	NOUN
ejde-686	215	22	t→0	t→0	PROPN
ejde-686	215	23	+	+	CCONJ
ejde-686	215	24	(	(	PUNCT
ejde-686	215	25	φϵt(r	φϵt(r	NUM
ejde-686	215	26	)	)	PUNCT
ejde-686	215	27	+	+	CCONJ
ejde-686	215	28	tr	tr	VERB
ejde-686	215	29	)	)	PUNCT
ejde-686	216	1	=	=	SYM
ejde-686	216	2	lim	lim	PROPN
ejde-686	216	3	ϵt→0	ϵt→0	PROPN
ejde-686	216	4	–	–	PUNCT
ejde-686	216	5	∫	∫	PROPN
ejde-686	216	6	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	216	7	)	)	PUNCT
ejde-686	216	8	ũϵt	ũϵt	PROPN
ejde-686	216	9	|ω(y	|ω(y	PROPN
ejde-686	216	10	)	)	PUNCT
ejde-686	216	11	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	216	12	)	)	PUNCT
ejde-686	216	13	=	=	SYM
ejde-686	216	14	–	–	PUNCT
ejde-686	216	15	∫	∫	PROPN
ejde-686	216	16	∂br(x	∂br(x	PROPN
ejde-686	216	17	)	)	PUNCT
ejde-686	216	18	u(y	u(y	PROPN
ejde-686	216	19	)	)	PUNCT
ejde-686	216	20	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	216	21	)	)	PUNCT
ejde-686	217	1	=	=	NOUN
ejde-686	217	2	:	:	PUNCT
ejde-686	217	3	φ(r	φ(r	ADJ
ejde-686	217	4	)	)	PUNCT
ejde-686	217	5	.	.	PUNCT
ejde-686	218	1	observe	observe	VERB
ejde-686	218	2	that	that	SCONJ
ejde-686	218	3	φ(r	φ(r	NOUN
ejde-686	218	4	)	)	PUNCT
ejde-686	218	5	is	be	AUX
ejde-686	218	6	an	an	DET
ejde-686	218	7	increasing	increase	VERB
ejde-686	218	8	function	function	NOUN
ejde-686	218	9	of	of	ADP
ejde-686	218	10	r.	r.	PROPN
ejde-686	218	11	hence	hence	ADV
ejde-686	218	12	,	,	PUNCT
ejde-686	218	13	by	by	ADP
ejde-686	218	14	using	use	VERB
ejde-686	218	15	this	this	PRON
ejde-686	218	16	and	and	CCONJ
ejde-686	218	17	the	the	DET
ejde-686	218	18	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	218	19	of	of	ADP
ejde-686	218	20	u	u	NOUN
ejde-686	218	21	,	,	PUNCT
ejde-686	218	22	we	we	PRON
ejde-686	218	23	have	have	VERB
ejde-686	218	24	that	that	PRON
ejde-686	218	25	for	for	ADP
ejde-686	218	26	all	all	PRON
ejde-686	218	27	s	s	PROPN
ejde-686	218	28	>	>	X
ejde-686	218	29	0	0	NUM
ejde-686	218	30	,	,	PUNCT
ejde-686	218	31	φ(s	φ(s	NOUN
ejde-686	218	32	)	)	PUNCT
ejde-686	218	33	≥	≥	PROPN
ejde-686	219	1	lim	lim	PROPN
ejde-686	219	2	ξ→0	ξ→0	PROPN
ejde-686	219	3	φ(ξ	φ(ξ	PROPN
ejde-686	219	4	)	)	PUNCT
ejde-686	219	5	=	=	PROPN
ejde-686	219	6	lim	lim	PROPN
ejde-686	219	7	ξ→0	ξ→0	PROPN
ejde-686	219	8	–	–	PUNCT
ejde-686	219	9	∫	∫	PROPN
ejde-686	219	10	∂bξ(x	∂bξ(x	NOUN
ejde-686	219	11	)	)	PUNCT
ejde-686	219	12	u(y	u(y	NOUN
ejde-686	219	13	)	)	PUNCT
ejde-686	219	14	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	219	15	)	)	PUNCT
ejde-686	219	16	=	=	SYM
ejde-686	219	17	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	219	18	)	)	PUNCT
ejde-686	219	19	.	.	PUNCT
ejde-686	220	1	(	(	PUNCT
ejde-686	220	2	3.7	3.7	NUM
ejde-686	220	3	)	)	PUNCT
ejde-686	220	4	using	use	VERB
ejde-686	220	5	(	(	PUNCT
ejde-686	220	6	3.6	3.6	NUM
ejde-686	220	7	)	)	PUNCT
ejde-686	220	8	and	and	CCONJ
ejde-686	220	9	the	the	DET
ejde-686	220	10	equation∫	equation∫	NOUN
ejde-686	220	11	br(x	br(x	VERB
ejde-686	220	12	)	)	PUNCT
ejde-686	220	13	u(y	u(y	NOUN
ejde-686	220	14	)	)	PUNCT
ejde-686	220	15	dy	dy	NOUN
ejde-686	220	16	=	=	SYM
ejde-686	220	17	∫	∫	PROPN
ejde-686	220	18	r	r	NOUN
ejde-686	220	19	0	0	NUM
ejde-686	220	20	(	(	PUNCT
ejde-686	220	21	∫	∫	PROPN
ejde-686	220	22	∂bs(x	∂bs(x	PROPN
ejde-686	220	23	)	)	PUNCT
ejde-686	220	24	u(y	u(y	PROPN
ejde-686	220	25	)	)	PUNCT
ejde-686	220	26	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	220	27	)	)	PUNCT
ejde-686	220	28	)	)	PUNCT
ejde-686	221	1	ds	ds	PROPN
ejde-686	221	2	,	,	PUNCT
ejde-686	221	3	which	which	PRON
ejde-686	221	4	can	can	AUX
ejde-686	221	5	be	be	AUX
ejde-686	221	6	derived	derive	VERB
ejde-686	221	7	by	by	ADP
ejde-686	221	8	using	use	VERB
ejde-686	221	9	[	[	X
ejde-686	221	10	16	16	NUM
ejde-686	221	11	,	,	PUNCT
ejde-686	221	12	§	§	PROPN
ejde-686	221	13	c3	c3	NOUN
ejde-686	221	14	]	]	PUNCT
ejde-686	221	15	.	.	PUNCT
ejde-686	222	1	then	then	ADV
ejde-686	222	2	by	by	ADP
ejde-686	222	3	(	(	PUNCT
ejde-686	222	4	3.5	3.5	NUM
ejde-686	222	5	)	)	PUNCT
ejde-686	222	6	and	and	CCONJ
ejde-686	222	7	(	(	PUNCT
ejde-686	222	8	3.7	3.7	NUM
ejde-686	222	9	)	)	PUNCT
ejde-686	222	10	we	we	PRON
ejde-686	222	11	have	have	VERB
ejde-686	222	12	–	–	PUNCT
ejde-686	222	13	∫	∫	PROPN
ejde-686	222	14	br(x	br(x	X
ejde-686	222	15	)	)	PUNCT
ejde-686	223	1	u(y	u(y	NOUN
ejde-686	223	2	)	)	PUNCT
ejde-686	223	3	dy	dy	NOUN
ejde-686	223	4	=	=	SYM
ejde-686	223	5	1	1	NUM
ejde-686	223	6	α(n)rn	α(n)rn	NUM
ejde-686	223	7	∫	∫	NOUN
ejde-686	223	8	r	r	NOUN
ejde-686	223	9	0	0	NUM
ejde-686	223	10	(	(	PUNCT
ejde-686	223	11	∫	∫	PROPN
ejde-686	223	12	∂bs(x	∂bs(x	PROPN
ejde-686	223	13	)	)	PUNCT
ejde-686	223	14	u(y	u(y	PROPN
ejde-686	223	15	)	)	PUNCT
ejde-686	223	16	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	223	17	)	)	PUNCT
ejde-686	223	18	)	)	PUNCT
ejde-686	224	1	ds	ds	NOUN
ejde-686	224	2	=	=	SYM
ejde-686	224	3	1	1	NUM
ejde-686	224	4	α(n)rn	α(n)rn	NUM
ejde-686	224	5	∫	∫	NOUN
ejde-686	224	6	r	r	NOUN
ejde-686	224	7	0	0	NUM
ejde-686	224	8	nα(n)sn−1	nα(n)sn−1	PROPN
ejde-686	224	9	(	(	PUNCT
ejde-686	224	10	–	–	PUNCT
ejde-686	224	11	∫	∫	PROPN
ejde-686	224	12	∂bs(x	∂bs(x	PROPN
ejde-686	224	13	)	)	PUNCT
ejde-686	224	14	u(y	u(y	PROPN
ejde-686	224	15	)	)	PUNCT
ejde-686	224	16	ds(y	ds(y	NUM
ejde-686	224	17	)	)	PUNCT
ejde-686	224	18	)	)	PUNCT
ejde-686	225	1	ds	ds	ADP
ejde-686	225	2	≥	≥	NOUN
ejde-686	225	3	1	1	NUM
ejde-686	225	4	α(n)rn	α(n)rn	NOUN
ejde-686	225	5	∫	∫	NOUN
ejde-686	225	6	r	r	NOUN
ejde-686	225	7	0	0	NUM
ejde-686	225	8	u(x)nα(n)sn−1	u(x)nα(n)sn−1	PROPN
ejde-686	225	9	=	=	SYM
ejde-686	225	10	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	225	11	)	)	PUNCT
ejde-686	225	12	rn	rn	PROPN
ejde-686	225	13	∫	∫	PROPN
ejde-686	225	14	r	r	NOUN
ejde-686	225	15	0	0	PUNCT
ejde-686	225	16	nsn−1	nsn−1	PROPN
ejde-686	225	17	ds	ds	ADJ
ejde-686	225	18	=	=	PUNCT
ejde-686	225	19	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	225	20	)	)	PUNCT
ejde-686	225	21	.	.	PUNCT
ejde-686	226	1	(	(	PUNCT
ejde-686	226	2	3.8	3.8	NUM
ejde-686	226	3	)	)	PUNCT
ejde-686	226	4	suppose	suppose	VERB
ejde-686	226	5	there	there	PRON
ejde-686	226	6	exists	exist	VERB
ejde-686	226	7	a	a	DET
ejde-686	226	8	point	point	NOUN
ejde-686	226	9	x0	x0	PROPN
ejde-686	226	10	∈	∈	PROPN
ejde-686	226	11	ω	ω	NUM
ejde-686	226	12	such	such	ADJ
ejde-686	226	13	that	that	DET
ejde-686	226	14	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-686	226	15	)	)	PUNCT
ejde-686	227	1	=	=	NOUN
ejde-686	227	2	m	m	NOUN
ejde-686	227	3	:	:	PUNCT
ejde-686	227	4	=	=	SYM
ejde-686	227	5	maxω	maxω	NOUN
ejde-686	227	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	227	7	)	)	PUNCT
ejde-686	227	8	.	.	PUNCT
ejde-686	228	1	then	then	ADV
ejde-686	228	2	for	for	ADP
ejde-686	228	3	0	0	NUM
ejde-686	228	4	<	<	X
ejde-686	228	5	r	r	NOUN
ejde-686	228	6	<	<	X
ejde-686	228	7	dist(x0	dist(x0	X
ejde-686	228	8	,	,	PUNCT
ejde-686	228	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	228	10	)	)	PUNCT
ejde-686	228	11	,	,	PUNCT
ejde-686	228	12	it	it	PRON
ejde-686	228	13	follows	follow	VERB
ejde-686	228	14	from	from	ADP
ejde-686	228	15	(	(	PUNCT
ejde-686	228	16	3.8	3.8	NUM
ejde-686	228	17	)	)	PUNCT
ejde-686	228	18	that	that	PRON
ejde-686	228	19	m	m	VERB
ejde-686	228	20	=	=	SYM
ejde-686	228	21	u(x0	u(x0	NOUN
ejde-686	228	22	)	)	PUNCT
ejde-686	228	23	≤	≤	NUM
ejde-686	228	24	–	–	PUNCT
ejde-686	228	25	∫	∫	PROPN
ejde-686	228	26	br(x0	br(x0	NOUN
ejde-686	228	27	)	)	PUNCT
ejde-686	228	28	u	u	PROPN
ejde-686	228	29	dy	dy	NOUN
ejde-686	228	30	≤m	≤m	PROPN
ejde-686	228	31	.	.	PUNCT
ejde-686	229	1	hence	hence	ADV
ejde-686	229	2	,	,	PUNCT
ejde-686	229	3	–	–	PUNCT
ejde-686	229	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	229	5	br(x0	br(x0	NOUN
ejde-686	229	6	)	)	PUNCT
ejde-686	229	7	u	u	NOUN
ejde-686	229	8	dy	dy	NOUN
ejde-686	229	9	=	=	NOUN
ejde-686	229	10	m.	m.	NOUN
ejde-686	229	11	thus	thus	ADV
ejde-686	229	12	u(y	u(y	X
ejde-686	229	13	)	)	PUNCT
ejde-686	229	14	=	=	NOUN
ejde-686	229	15	m	m	VERB
ejde-686	229	16	for	for	ADP
ejde-686	229	17	all	all	DET
ejde-686	229	18	y	y	PROPN
ejde-686	229	19	∈	∈	PROPN
ejde-686	229	20	br(x0	br(x0	NOUN
ejde-686	229	21	)	)	PUNCT
ejde-686	229	22	.	.	PUNCT
ejde-686	230	1	since	since	SCONJ
ejde-686	230	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	230	3	is	be	AUX
ejde-686	230	4	a	a	DET
ejde-686	230	5	domain	domain	NOUN
ejde-686	230	6	,	,	PUNCT
ejde-686	230	7	and	and	CCONJ
ejde-686	230	8	hence	hence	ADV
ejde-686	230	9	is	be	AUX
ejde-686	230	10	connected	connect	VERB
ejde-686	230	11	,	,	PUNCT
ejde-686	230	12	it	it	PRON
ejde-686	230	13	follows	follow	VERB
ejde-686	230	14	that	that	SCONJ
ejde-686	230	15	u(x	u(x	VERB
ejde-686	230	16	)	)	PUNCT
ejde-686	231	1	=	=	VERB
ejde-686	231	2	m	m	VERB
ejde-686	231	3	for	for	ADP
ejde-686	231	4	all	all	DET
ejde-686	231	5	x	x	SYM
ejde-686	231	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	231	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	231	8	.	.	PUNCT
ejde-686	231	9	□	□	PUNCT
ejde-686	231	10	remark	remark	NOUN
ejde-686	231	11	3.6	3.6	NUM
ejde-686	231	12	.	.	PUNCT
ejde-686	232	1	(	(	PUNCT
ejde-686	232	2	a	a	X
ejde-686	232	3	)	)	PUNCT
ejde-686	232	4	by	by	ADP
ejde-686	232	5	replacing	replace	VERB
ejde-686	232	6	u	u	NOUN
ejde-686	232	7	in	in	ADP
ejde-686	232	8	the	the	DET
ejde-686	232	9	proof	proof	NOUN
ejde-686	232	10	of	of	ADP
ejde-686	232	11	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	232	12	3.5	3.5	NUM
ejde-686	232	13	with	with	ADP
ejde-686	232	14	−u	−u	PROPN
ejde-686	232	15	,	,	PUNCT
ejde-686	232	16	one	one	PRON
ejde-686	232	17	can	can	AUX
ejde-686	232	18	prove	prove	VERB
ejde-686	232	19	that	that	SCONJ
ejde-686	232	20	a	a	DET
ejde-686	232	21	nonconstant	nonconstant	ADJ
ejde-686	232	22	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	232	23	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	232	24	function	function	NOUN
ejde-686	232	25	attains	attain	VERB
ejde-686	232	26	its	its	PRON
ejde-686	232	27	minimum	minimum	NOUN
ejde-686	232	28	only	only	ADV
ejde-686	232	29	on	on	ADP
ejde-686	232	30	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	232	31	.	.	PUNCT
ejde-686	233	1	(	(	PUNCT
ejde-686	233	2	b	b	X
ejde-686	233	3	)	)	PUNCT
ejde-686	233	4	from	from	ADP
ejde-686	233	5	the	the	DET
ejde-686	233	6	proof	proof	NOUN
ejde-686	233	7	of	of	ADP
ejde-686	233	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	233	9	3.5	3.5	NUM
ejde-686	233	10	,	,	PUNCT
ejde-686	233	11	one	one	PRON
ejde-686	233	12	can	can	AUX
ejde-686	233	13	see	see	VERB
ejde-686	233	14	that	that	SCONJ
ejde-686	233	15	the	the	DET
ejde-686	233	16	reason	reason	NOUN
ejde-686	233	17	for	for	ADP
ejde-686	233	18	introducing	introduce	VERB
ejde-686	233	19	the	the	DET
ejde-686	233	20	function	function	NOUN
ejde-686	233	21	ũϵ|ω	ũϵ|ω	NOUN
ejde-686	233	22	is	be	AUX
ejde-686	233	23	that	that	SCONJ
ejde-686	233	24	∆u	∆u	PROPN
ejde-686	233	25	may	may	AUX
ejde-686	233	26	exist	exist	VERB
ejde-686	233	27	as	as	ADP
ejde-686	233	28	a	a	DET
ejde-686	233	29	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	233	30	but	but	CCONJ
ejde-686	233	31	need	need	AUX
ejde-686	233	32	not	not	PART
ejde-686	233	33	exist	exist	VERB
ejde-686	233	34	as	as	ADP
ejde-686	233	35	a	a	DET
ejde-686	233	36	function	function	NOUN
ejde-686	233	37	(	(	PUNCT
ejde-686	233	38	see	see	VERB
ejde-686	233	39	example	example	NOUN
ejde-686	233	40	6.4	6.4	NUM
ejde-686	233	41	)	)	PUNCT
ejde-686	233	42	.	.	PUNCT
ejde-686	234	1	let	let	VERB
ejde-686	234	2	ω	ω	PRON
ejde-686	234	3	be	be	AUX
ejde-686	234	4	a	a	DET
ejde-686	234	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	234	6	domain	domain	NOUN
ejde-686	234	7	.	.	PUNCT
ejde-686	235	1	for	for	ADP
ejde-686	235	2	a	a	DET
ejde-686	235	3	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	235	4	µ-harmonic	µ-harmonic	NOUN
ejde-686	235	5	function	function	NOUN
ejde-686	235	6	u	u	NOUN
ejde-686	235	7	,	,	PUNCT
ejde-686	235	8	i.e.	i.e.	X
ejde-686	235	9	,	,	PUNCT
ejde-686	235	10	∆µu	∆µu	NUM
ejde-686	235	11	=	=	SYM
ejde-686	235	12	0	0	NUM
ejde-686	235	13	,	,	PUNCT
ejde-686	235	14	we	we	PRON
ejde-686	235	15	have	have	VERB
ejde-686	235	16	the	the	DET
ejde-686	235	17	following	follow	VERB
ejde-686	235	18	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	235	19	.	.	PUNCT
ejde-686	236	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	236	2	3.7	3.7	NUM
ejde-686	236	3	.	.	PUNCT
ejde-686	237	1	let	let	VERB
ejde-686	237	2	ω	ω	PRON
ejde-686	237	3	be	be	AUX
ejde-686	237	4	a	a	DET
ejde-686	237	5	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	237	6	domain	domain	NOUN
ejde-686	237	7	.	.	PUNCT
ejde-686	238	1	if	if	SCONJ
ejde-686	238	2	u	u	PROPN
ejde-686	238	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	238	4	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	238	5	)	)	PUNCT
ejde-686	238	6	is	be	AUX
ejde-686	238	7	a	a	DET
ejde-686	238	8	µ-harmonic	µ-harmonic	ADJ
ejde-686	238	9	function	function	NOUN
ejde-686	238	10	on	on	ADP
ejde-686	238	11	ω	ω	NUM
ejde-686	238	12	and	and	CCONJ
ejde-686	238	13	vanishes	vanish	VERB
ejde-686	238	14	on	on	ADP
ejde-686	238	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	238	16	,	,	PUNCT
ejde-686	238	17	then	then	ADV
ejde-686	238	18	u	u	PROPN
ejde-686	238	19	≡	≡	PROPN
ejde-686	238	20	0	0	NUM
ejde-686	238	21	.	.	PUNCT
ejde-686	239	1	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	239	2	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	239	3	sets	set	NOUN
ejde-686	239	4	and	and	CCONJ
ejde-686	239	5	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	239	6	of	of	ADP
ejde-686	239	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	239	8	9	9	NUM
ejde-686	239	9	to	to	PART
ejde-686	239	10	prove	prove	VERB
ejde-686	239	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	239	12	3.7	3.7	NUM
ejde-686	239	13	,	,	PUNCT
ejde-686	239	14	we	we	PRON
ejde-686	239	15	need	need	VERB
ejde-686	239	16	the	the	DET
ejde-686	239	17	following	follow	VERB
ejde-686	239	18	weyl	weyl	PROPN
ejde-686	239	19	’s	’s	PART
ejde-686	239	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	239	21	(	(	PUNCT
ejde-686	239	22	see	see	VERB
ejde-686	239	23	[	[	X
ejde-686	239	24	26	26	NUM
ejde-686	239	25	,	,	PUNCT
ejde-686	239	26	corollary	corollary	ADJ
ejde-686	239	27	2.2.1	2.2.1	NUM
ejde-686	239	28	]	]	PUNCT
ejde-686	239	29	or	or	CCONJ
ejde-686	239	30	[	[	X
ejde-686	239	31	53	53	NUM
ejde-686	239	32	,	,	PUNCT
ejde-686	239	33	6	6	NUM
ejde-686	239	34	,	,	PUNCT
ejde-686	239	35	21	21	NUM
ejde-686	239	36	]	]	PUNCT
ejde-686	239	37	and	and	CCONJ
ejde-686	239	38	references	reference	NOUN
ejde-686	239	39	therein	therein	ADV
ejde-686	239	40	)	)	PUNCT
ejde-686	239	41	.	.	PUNCT
ejde-686	240	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	240	2	3.8	3.8	NUM
ejde-686	240	3	(	(	PUNCT
ejde-686	240	4	weyl	weyl	PROPN
ejde-686	240	5	’s	’s	PART
ejde-686	240	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	240	7	)	)	PUNCT
ejde-686	240	8	.	.	PUNCT
ejde-686	241	1	let	let	VERB
ejde-686	241	2	u	u	PRON
ejde-686	241	3	:	:	PUNCT
ejde-686	241	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	241	5	→	→	SYM
ejde-686	241	6	r	r	NOUN
ejde-686	241	7	be	be	AUX
ejde-686	241	8	measurable	measurable	ADJ
ejde-686	241	9	and	and	CCONJ
ejde-686	241	10	locally	locally	ADV
ejde-686	241	11	integrable	integrable	ADJ
ejde-686	241	12	on	on	ADP
ejde-686	241	13	ω	ω	PROPN
ejde-686	241	14	.	.	PUNCT
ejde-686	241	15	suppose	suppose	VERB
ejde-686	241	16	that	that	SCONJ
ejde-686	241	17	for	for	ADP
ejde-686	241	18	any	any	DET
ejde-686	241	19	v	v	NOUN
ejde-686	241	20	∈	∈	PROPN
ejde-686	241	21	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	241	22	c	c	NOUN
ejde-686	241	23	(	(	PUNCT
ejde-686	241	24	ω),∫	ω),∫	PROPN
ejde-686	241	25	ω	ω	NOUN
ejde-686	241	26	u(x)∆v(x	u(x)∆v(x	X
ejde-686	241	27	)	)	PUNCT
ejde-686	241	28	dx	dx	PROPN
ejde-686	241	29	=	=	SYM
ejde-686	241	30	0	0	PROPN
ejde-686	241	31	.	.	PUNCT
ejde-686	242	1	then	then	ADV
ejde-686	242	2	u	u	NOUN
ejde-686	242	3	is	be	AUX
ejde-686	242	4	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	242	5	and	and	CCONJ
ejde-686	242	6	,	,	PUNCT
ejde-686	242	7	in	in	ADP
ejde-686	242	8	particular	particular	ADJ
ejde-686	242	9	,	,	PUNCT
ejde-686	242	10	smooth	smooth	ADJ
ejde-686	242	11	.	.	PUNCT
ejde-686	243	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	243	2	of	of	ADP
ejde-686	243	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	243	4	3.7	3.7	NUM
ejde-686	243	5	.	.	PUNCT
ejde-686	244	1	let	let	VERB
ejde-686	244	2	u	u	PRON
ejde-686	244	3	be	be	AUX
ejde-686	244	4	µ-harmonic	µ-harmonic	ADJ
ejde-686	244	5	,	,	PUNCT
ejde-686	244	6	i.e.	i.e.	X
ejde-686	244	7	,	,	PUNCT
ejde-686	244	8	∆µu	∆µu	NUM
ejde-686	244	9	=	=	SYM
ejde-686	245	1	0	0	X
ejde-686	245	2	.	.	PUNCT
ejde-686	246	1	then	then	ADV
ejde-686	246	2	for	for	ADP
ejde-686	246	3	all	all	PRON
ejde-686	246	4	v	v	NOUN
ejde-686	246	5	∈	∈	NOUN
ejde-686	246	6	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	246	7	c	c	X
ejde-686	246	8	(	(	PUNCT
ejde-686	246	9	ω	ω	NOUN
ejde-686	246	10	)	)	PUNCT
ejde-686	246	11	,	,	PUNCT
ejde-686	246	12	0	0	NUM
ejde-686	247	1	=	=	SYM
ejde-686	247	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	247	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	247	4	v∆µu	v∆µu	NOUN
ejde-686	247	5	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	247	6	=	=	PUNCT
ejde-686	248	1	−	−	PROPN
ejde-686	248	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	248	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	248	4	∇v	∇v	PROPN
ejde-686	248	5	·	·	PUNCT
ejde-686	249	1	∇u	∇u	ADJ
ejde-686	249	2	dx	dx	PROPN
ejde-686	249	3	=	=	SYM
ejde-686	249	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	249	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	249	6	u∆v	u∆v	PROPN
ejde-686	249	7	dx	dx	PROPN
ejde-686	249	8	.	.	PUNCT
ejde-686	250	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	250	2	,	,	PUNCT
ejde-686	250	3	u	u	NOUN
ejde-686	250	4	is	be	AUX
ejde-686	250	5	locally	locally	ADV
ejde-686	250	6	integrable	integrable	ADJ
ejde-686	250	7	as	as	SCONJ
ejde-686	250	8	u	u	NOUN
ejde-686	250	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	250	10	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	250	11	)	)	PUNCT
ejde-686	250	12	⊂	⊂	PROPN
ejde-686	250	13	h1	h1	VERB
ejde-686	250	14	0	0	NUM
ejde-686	250	15	(	(	PUNCT
ejde-686	250	16	ω	ω	NOUN
ejde-686	250	17	)	)	PUNCT
ejde-686	250	18	.	.	PUNCT
ejde-686	251	1	it	it	PRON
ejde-686	251	2	follows	follow	VERB
ejde-686	251	3	from	from	ADP
ejde-686	251	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	251	5	3.8	3.8	NUM
ejde-686	251	6	that	that	PRON
ejde-686	251	7	u	u	NOUN
ejde-686	251	8	is	be	AUX
ejde-686	251	9	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	251	10	and	and	CCONJ
ejde-686	251	11	smooth	smooth	ADJ
ejde-686	251	12	on	on	ADP
ejde-686	251	13	ω	ω	PROPN
ejde-686	251	14	.	.	PUNCT
ejde-686	252	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	252	2	,	,	PUNCT
ejde-686	252	3	by	by	ADP
ejde-686	252	4	the	the	DET
ejde-686	252	5	classical	classical	ADJ
ejde-686	252	6	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	252	7	principle	principle	NOUN
ejde-686	252	8	(	(	PUNCT
ejde-686	252	9	see	see	VERB
ejde-686	252	10	[	[	X
ejde-686	252	11	16	16	NUM
ejde-686	252	12	,	,	PUNCT
ejde-686	252	13	§	§	VERB
ejde-686	252	14	6.4	6.4	NUM
ejde-686	252	15	]	]	PUNCT
ejde-686	252	16	)	)	PUNCT
ejde-686	252	17	and	and	CCONJ
ejde-686	252	18	the	the	DET
ejde-686	252	19	fact	fact	NOUN
ejde-686	252	20	that	that	SCONJ
ejde-686	252	21	u	u	PRON
ejde-686	252	22	vanish	vanish	VERB
ejde-686	252	23	on	on	ADP
ejde-686	252	24	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	252	25	,	,	PUNCT
ejde-686	252	26	we	we	PRON
ejde-686	252	27	have	have	VERB
ejde-686	252	28	u	u	NOUN
ejde-686	252	29	≡	≡	PROPN
ejde-686	252	30	0	0	NUM
ejde-686	252	31	.	.	PUNCT
ejde-686	253	1	□	□	PUNCT
ejde-686	253	2	4	4	X
ejde-686	253	3	.	.	X
ejde-686	253	4	courant	courant	ADJ
ejde-686	253	5	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	253	6	domain	domain	NOUN
ejde-686	253	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	253	8	let	let	VERB
ejde-686	253	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	253	10	⊆	⊆	NUM
ejde-686	253	11	rd	rd	NOUN
ejde-686	253	12	be	be	AUX
ejde-686	253	13	a	a	DET
ejde-686	253	14	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	253	15	domain	domain	NOUN
ejde-686	253	16	and	and	CCONJ
ejde-686	253	17	µ	µ	NOUN
ejde-686	253	18	be	be	AUX
ejde-686	253	19	a	a	DET
ejde-686	253	20	positive	positive	ADJ
ejde-686	253	21	finite	finite	NOUN
ejde-686	253	22	borel	borel	PROPN
ejde-686	253	23	measure	measure	NOUN
ejde-686	253	24	on	on	ADP
ejde-686	253	25	rd	rd	PROPN
ejde-686	253	26	with	with	ADP
ejde-686	253	27	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	253	28	)	)	PUNCT
ejde-686	253	29	⊆	⊆	NUM
ejde-686	253	30	ω	ω	NOUN
ejde-686	253	31	and	and	CCONJ
ejde-686	253	32	µ(ω	µ(ω	NOUN
ejde-686	253	33	)	)	PUNCT
ejde-686	253	34	>	>	X
ejde-686	254	1	0	0	X
ejde-686	254	2	.	.	PUNCT
ejde-686	255	1	let	let	VERB
ejde-686	255	2	e(u	e(u	PROPN
ejde-686	255	3	,	,	PUNCT
ejde-686	255	4	u	u	NOUN
ejde-686	255	5	)	)	PUNCT
ejde-686	255	6	be	be	AUX
ejde-686	255	7	defined	define	VERB
ejde-686	255	8	as	as	ADP
ejde-686	255	9	in	in	ADP
ejde-686	255	10	(	(	PUNCT
ejde-686	255	11	2.3	2.3	NUM
ejde-686	255	12	)	)	PUNCT
ejde-686	255	13	.	.	PUNCT
ejde-686	256	1	we	we	PRON
ejde-686	256	2	define	define	VERB
ejde-686	256	3	the	the	DET
ejde-686	256	4	rayleigh	rayleigh	PROPN
ejde-686	256	5	quotient	quotient	NOUN
ejde-686	256	6	of	of	ADP
ejde-686	256	7	µ	µ	NOUN
ejde-686	256	8	,	,	PUNCT
ejde-686	256	9	an	an	DET
ejde-686	256	10	important	important	ADJ
ejde-686	256	11	and	and	CCONJ
ejde-686	256	12	useful	useful	ADJ
ejde-686	256	13	quantity	quantity	NOUN
ejde-686	256	14	in	in	ADP
ejde-686	256	15	studying	study	VERB
ejde-686	256	16	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	256	17	.	.	PUNCT
ejde-686	257	1	for	for	ADP
ejde-686	257	2	related	related	ADJ
ejde-686	257	3	applications	application	NOUN
ejde-686	257	4	,	,	PUNCT
ejde-686	257	5	see	see	VERB
ejde-686	257	6	[	[	X
ejde-686	257	7	3	3	NUM
ejde-686	257	8	,	,	PUNCT
ejde-686	257	9	22	22	NUM
ejde-686	257	10	,	,	PUNCT
ejde-686	257	11	50	50	NUM
ejde-686	257	12	,	,	PUNCT
ejde-686	257	13	14	14	NUM
ejde-686	257	14	,	,	PUNCT
ejde-686	257	15	9	9	NUM
ejde-686	257	16	]	]	PUNCT
ejde-686	257	17	.	.	PUNCT
ejde-686	258	1	definition	definition	NOUN
ejde-686	258	2	4.1	4.1	NUM
ejde-686	258	3	.	.	PUNCT
ejde-686	259	1	use	use	VERB
ejde-686	259	2	the	the	DET
ejde-686	259	3	above	above	ADJ
ejde-686	259	4	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	259	5	and	and	CCONJ
ejde-686	259	6	notation	notation	NOUN
ejde-686	259	7	.	.	PUNCT
ejde-686	260	1	for	for	ADP
ejde-686	260	2	any	any	DET
ejde-686	260	3	u	u	NOUN
ejde-686	260	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	260	5	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	260	6	)	)	PUNCT
ejde-686	260	7	,	,	PUNCT
ejde-686	260	8	the	the	DET
ejde-686	260	9	rayleigh	rayleigh	PROPN
ejde-686	260	10	quotient	quotient	NOUN
ejde-686	260	11	associated	associate	VERB
ejde-686	260	12	with	with	ADP
ejde-686	260	13	µ	µ	PROPN
ejde-686	260	14	is	be	AUX
ejde-686	260	15	defined	define	VERB
ejde-686	260	16	as	as	ADP
ejde-686	260	17	rµ(u	rµ(u	NOUN
ejde-686	260	18	)	)	PUNCT
ejde-686	261	1	:	:	PUNCT
ejde-686	261	2	=	=	SYM
ejde-686	261	3	e(u	e(u	PROPN
ejde-686	261	4	,	,	PUNCT
ejde-686	261	5	u	u	NOUN
ejde-686	261	6	)	)	PUNCT
ejde-686	261	7	(	(	PUNCT
ejde-686	261	8	u	u	NOUN
ejde-686	261	9	,	,	PUNCT
ejde-686	261	10	u)l2(ω,µ	u)l2(ω,µ	X
ejde-686	261	11	)	)	PUNCT
ejde-686	261	12	=	=	SYM
ejde-686	261	13	∫	∫	PROPN
ejde-686	261	14	ω	ω	PROPN
ejde-686	261	15	|∇u|2	|∇u|2	PROPN
ejde-686	261	16	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	261	17	ω	ω	PROPN
ejde-686	261	18	|u|2	|u|2	PROPN
ejde-686	261	19	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	261	20	.	.	PUNCT
ejde-686	262	1	the	the	DET
ejde-686	262	2	following	follow	VERB
ejde-686	262	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	262	4	is	be	AUX
ejde-686	262	5	inspired	inspire	VERB
ejde-686	262	6	by	by	ADP
ejde-686	262	7	[	[	X
ejde-686	262	8	14	14	NUM
ejde-686	262	9	,	,	PUNCT
ejde-686	262	10	43	43	NUM
ejde-686	262	11	]	]	PUNCT
ejde-686	262	12	.	.	PUNCT
ejde-686	263	1	it	it	PRON
ejde-686	263	2	can	can	AUX
ejde-686	263	3	be	be	AUX
ejde-686	263	4	proved	prove	VERB
ejde-686	263	5	by	by	ADP
ejde-686	263	6	using	use	VERB
ejde-686	263	7	similar	similar	ADJ
ejde-686	263	8	methods	method	NOUN
ejde-686	263	9	as	as	ADP
ejde-686	263	10	in	in	ADP
ejde-686	263	11	the	the	DET
ejde-686	263	12	proofs	proof	NOUN
ejde-686	263	13	of	of	ADP
ejde-686	263	14	[	[	X
ejde-686	263	15	14	14	NUM
ejde-686	263	16	,	,	PUNCT
ejde-686	263	17	theorem	theorem	VERB
ejde-686	263	18	1.3	1.3	NUM
ejde-686	263	19	]	]	PUNCT
ejde-686	263	20	and	and	CCONJ
ejde-686	263	21	[	[	X
ejde-686	263	22	43	43	NUM
ejde-686	263	23	,	,	PUNCT
ejde-686	263	24	corollary	corollary	NOUN
ejde-686	263	25	4.3	4.3	NUM
ejde-686	263	26	]	]	PUNCT
ejde-686	263	27	;	;	PUNCT
ejde-686	263	28	we	we	PRON
ejde-686	263	29	omit	omit	VERB
ejde-686	263	30	the	the	DET
ejde-686	263	31	proof	proof	NOUN
ejde-686	263	32	.	.	PUNCT
ejde-686	264	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	264	2	4.2	4.2	NUM
ejde-686	264	3	.	.	PUNCT
ejde-686	265	1	let	let	VERB
ejde-686	265	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	265	3	,	,	PUNCT
ejde-686	265	4	.	.	PUNCT
ejde-686	265	5	.	.	PUNCT
ejde-686	266	1	.	.	PUNCT
ejde-686	267	1	,	,	PUNCT
ejde-686	267	2	λn	λn	NOUN
ejde-686	267	3	be	be	AUX
ejde-686	267	4	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	267	5	of	of	ADP
ejde-686	267	6	(	(	PUNCT
ejde-686	267	7	1.2	1.2	NUM
ejde-686	267	8	)	)	PUNCT
ejde-686	267	9	and	and	CCONJ
ejde-686	267	10	let	let	VERB
ejde-686	267	11	u1(x	u1(x	VERB
ejde-686	267	12	)	)	PUNCT
ejde-686	267	13	,	,	PUNCT
ejde-686	267	14	.	.	PUNCT
ejde-686	267	15	.	.	PUNCT
ejde-686	268	1	.	.	PUNCT
ejde-686	269	1	,	,	PUNCT
ejde-686	269	2	un(x	un(x	X
ejde-686	269	3	)	)	PUNCT
ejde-686	269	4	be	be	AUX
ejde-686	269	5	corresponding	correspond	VERB
ejde-686	269	6	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	269	7	.	.	PUNCT
ejde-686	270	1	then	then	ADV
ejde-686	270	2	(	(	PUNCT
ejde-686	270	3	a	a	X
ejde-686	270	4	)	)	PUNCT
ejde-686	270	5	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	270	6	=	=	SYM
ejde-686	270	7	min	min	PROPN
ejde-686	270	8	{	{	PUNCT
ejde-686	270	9	rµ(u	rµ(u	PROPN
ejde-686	270	10	)	)	PUNCT
ejde-686	270	11	:	:	PUNCT
ejde-686	271	1	u	u	NOUN
ejde-686	271	2	∈	∈	PROPN
ejde-686	271	3	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	271	4	)	)	PUNCT
ejde-686	271	5	}	}	PUNCT
ejde-686	271	6	and	and	CCONJ
ejde-686	271	7	rµ(u1	rµ(u1	X
ejde-686	271	8	)	)	PUNCT
ejde-686	271	9	=	=	SYM
ejde-686	271	10	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	271	11	.	.	PUNCT
ejde-686	272	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	272	2	,	,	PUNCT
ejde-686	272	3	if	if	SCONJ
ejde-686	272	4	there	there	PRON
ejde-686	272	5	exists	exist	VERB
ejde-686	272	6	some	some	DET
ejde-686	272	7	u	u	NOUN
ejde-686	272	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	272	9	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	272	10	)	)	PUNCT
ejde-686	272	11	such	such	ADJ
ejde-686	272	12	that	that	SCONJ
ejde-686	272	13	rµ(u	rµ(u	NOUN
ejde-686	272	14	)	)	PUNCT
ejde-686	273	1	=	=	SYM
ejde-686	273	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	273	3	,	,	PUNCT
ejde-686	273	4	then	then	ADV
ejde-686	273	5	u	u	NOUN
ejde-686	273	6	is	be	AUX
ejde-686	273	7	a	a	DET
ejde-686	273	8	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	273	9	-	-	PUNCT
ejde-686	273	10	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	273	11	.	.	PUNCT
ejde-686	274	1	(	(	PUNCT
ejde-686	274	2	b	b	X
ejde-686	274	3	)	)	PUNCT
ejde-686	274	4	for	for	ADP
ejde-686	274	5	n	n	X
ejde-686	274	6	≥	≥	NUM
ejde-686	274	7	2	2	NUM
ejde-686	274	8	,	,	PUNCT
ejde-686	274	9	λn	λn	NOUN
ejde-686	274	10	=	=	SYM
ejde-686	274	11	min	min	PROPN
ejde-686	274	12	{	{	PUNCT
ejde-686	274	13	rµ(u	rµ(u	PROPN
ejde-686	274	14	)	)	PUNCT
ejde-686	274	15	:	:	PUNCT
ejde-686	275	1	u	u	NOUN
ejde-686	275	2	∈	∈	PROPN
ejde-686	275	3	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	275	4	)	)	PUNCT
ejde-686	275	5	,	,	PUNCT
ejde-686	275	6	(	(	PUNCT
ejde-686	275	7	u	u	NOUN
ejde-686	275	8	,	,	PUNCT
ejde-686	275	9	ui)l2(ω,µ	ui)l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	275	10	)	)	PUNCT
ejde-686	275	11	=	=	SYM
ejde-686	276	1	0	0	NUM
ejde-686	276	2	,	,	PUNCT
ejde-686	276	3	i	i	PRON
ejde-686	276	4	=	=	NOUN
ejde-686	276	5	1	1	NUM
ejde-686	276	6	,	,	PUNCT
ejde-686	276	7	.	.	PUNCT
ejde-686	276	8	.	.	PUNCT
ejde-686	276	9	.	.	PUNCT
ejde-686	277	1	,	,	PUNCT
ejde-686	277	2	n−	n−	NOUN
ejde-686	277	3	1	1	NUM
ejde-686	277	4	}	}	PUNCT
ejde-686	277	5	and	and	CCONJ
ejde-686	277	6	rµ(un	rµ(un	PROPN
ejde-686	277	7	)	)	PUNCT
ejde-686	278	1	=	=	SYM
ejde-686	278	2	λn	λn	NOUN
ejde-686	278	3	.	.	PUNCT
ejde-686	279	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	279	2	,	,	PUNCT
ejde-686	279	3	if	if	SCONJ
ejde-686	279	4	there	there	PRON
ejde-686	279	5	exists	exist	VERB
ejde-686	279	6	some	some	DET
ejde-686	279	7	u	u	NOUN
ejde-686	279	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	279	9	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	279	10	)	)	PUNCT
ejde-686	279	11	such	such	ADJ
ejde-686	279	12	that	that	SCONJ
ejde-686	279	13	(	(	PUNCT
ejde-686	279	14	u	u	NOUN
ejde-686	279	15	,	,	PUNCT
ejde-686	279	16	ui)l2(ω,µ	ui)l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	279	17	)	)	PUNCT
ejde-686	279	18	=	=	SYM
ejde-686	279	19	0	0	PUNCT
ejde-686	280	1	for	for	ADP
ejde-686	280	2	i	i	PRON
ejde-686	280	3	=	=	NOUN
ejde-686	280	4	1	1	NUM
ejde-686	280	5	,	,	PUNCT
ejde-686	280	6	.	.	PUNCT
ejde-686	280	7	.	.	PUNCT
ejde-686	280	8	.	.	PUNCT
ejde-686	281	1	,	,	PUNCT
ejde-686	281	2	n−	n−	NOUN
ejde-686	281	3	1	1	NUM
ejde-686	281	4	,	,	PUNCT
ejde-686	281	5	and	and	CCONJ
ejde-686	281	6	rµ(u	rµ(u	NOUN
ejde-686	281	7	)	)	PUNCT
ejde-686	282	1	=	=	SYM
ejde-686	282	2	λn	λn	NOUN
ejde-686	282	3	,	,	PUNCT
ejde-686	282	4	then	then	ADV
ejde-686	282	5	u	u	NOUN
ejde-686	282	6	is	be	AUX
ejde-686	282	7	a	a	DET
ejde-686	282	8	λn	λn	NOUN
ejde-686	282	9	-	-	PUNCT
ejde-686	282	10	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	282	11	.	.	PUNCT
ejde-686	283	1	for	for	ADP
ejde-686	283	2	each	each	DET
ejde-686	283	3	f	f	PROPN
ejde-686	283	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	283	5	h1	h1	PROPN
ejde-686	283	6	0	0	NUM
ejde-686	283	7	(	(	PUNCT
ejde-686	283	8	ω	ω	NOUN
ejde-686	283	9	)	)	PUNCT
ejde-686	283	10	,	,	PUNCT
ejde-686	283	11	under	under	ADP
ejde-686	283	12	the	the	DET
ejde-686	283	13	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	283	14	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	283	15	)	)	PUNCT
ejde-686	283	16	>	>	X
ejde-686	284	1	d	d	X
ejde-686	284	2	−	−	PROPN
ejde-686	284	3	2	2	NUM
ejde-686	284	4	,	,	PUNCT
ejde-686	284	5	it	it	PRON
ejde-686	284	6	is	be	AUX
ejde-686	284	7	known	know	VERB
ejde-686	284	8	that	that	SCONJ
ejde-686	284	9	there	there	PRON
ejde-686	284	10	exists	exist	VERB
ejde-686	284	11	a	a	DET
ejde-686	284	12	unique	unique	ADJ
ejde-686	284	13	l2(ω	l2(ω	NOUN
ejde-686	284	14	,	,	PUNCT
ejde-686	284	15	µ)-representative	µ)-representative	ADJ
ejde-686	284	16	f̂	f̂	NUM
ejde-686	284	17	of	of	ADP
ejde-686	284	18	f	f	PROPN
ejde-686	284	19	.	.	PUNCT
ejde-686	285	1	let	let	VERB
ejde-686	285	2	hµ(ω	hµ(ω	NUM
ejde-686	285	3	)	)	PUNCT
ejde-686	285	4	:	:	PUNCT
ejde-686	286	1	=	=	PUNCT
ejde-686	286	2	{	{	PUNCT
ejde-686	286	3	f	f	PROPN
ejde-686	286	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	286	5	h1	h1	PROPN
ejde-686	286	6	0	0	NUM
ejde-686	286	7	(	(	PUNCT
ejde-686	286	8	ω	ω	NOUN
ejde-686	286	9	)	)	PUNCT
ejde-686	286	10	:	:	PUNCT
ejde-686	286	11	∥f̂∥l2(ω,µ	∥f̂∥l2(ω,µ	X
ejde-686	286	12	)	)	PUNCT
ejde-686	286	13	>	>	X
ejde-686	286	14	0	0	NUM
ejde-686	286	15	}	}	PUNCT
ejde-686	286	16	.	.	PUNCT
ejde-686	287	1	for	for	ADP
ejde-686	287	2	each	each	DET
ejde-686	287	3	f	f	PROPN
ejde-686	287	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	287	5	hµ(ω	hµ(ω	NUM
ejde-686	287	6	)	)	PUNCT
ejde-686	287	7	,	,	PUNCT
ejde-686	287	8	we	we	PRON
ejde-686	287	9	define	define	VERB
ejde-686	287	10	r̃µ(f	r̃µ(f	PROPN
ejde-686	287	11	)	)	PUNCT
ejde-686	287	12	:	:	PUNCT
ejde-686	288	1	=	=	SYM
ejde-686	288	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	288	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	288	4	|∇f	|∇f	PROPN
ejde-686	288	5	|2	|2	NUM
ejde-686	288	6	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	288	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	288	8	|f̂	|f̂	ADP
ejde-686	288	9	|2	|2	NUM
ejde-686	288	10	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	288	11	.	.	PUNCT
ejde-686	289	1	10	10	NUM
ejde-686	289	2	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	289	3	.	.	PUNCT
ejde-686	290	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	290	2	,	,	PUNCT
ejde-686	290	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	290	4	.	.	PUNCT
ejde-686	291	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	291	2	,	,	PUNCT
ejde-686	291	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	291	4	.	.	PUNCT
ejde-686	292	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	292	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	X
ejde-686	292	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	292	4	4.3	4.3	NUM
ejde-686	292	5	.	.	PUNCT
ejde-686	293	1	assume	assume	VERB
ejde-686	293	2	the	the	DET
ejde-686	293	3	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-686	293	4	of	of	ADP
ejde-686	293	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	293	6	4.2	4.2	NUM
ejde-686	293	7	.	.	PUNCT
ejde-686	294	1	for	for	ADP
ejde-686	294	2	n	n	PRON
ejde-686	294	3	≥	≥	NUM
ejde-686	294	4	1	1	NUM
ejde-686	294	5	,	,	PUNCT
ejde-686	294	6	let	let	VERB
ejde-686	294	7	hn	hn	PRON
ejde-686	294	8	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	294	9	)	)	PUNCT
ejde-686	294	10	:	:	PUNCT
ejde-686	295	1	=	=	X
ejde-686	295	2	{	{	PUNCT
ejde-686	295	3	hµ(ω	hµ(ω	ADJ
ejde-686	295	4	)	)	PUNCT
ejde-686	295	5	if	if	SCONJ
ejde-686	295	6	n	n	NOUN
ejde-686	295	7	=	=	SYM
ejde-686	295	8	1	1	NUM
ejde-686	295	9	,	,	PUNCT
ejde-686	295	10	{	{	PUNCT
ejde-686	295	11	f	f	PROPN
ejde-686	295	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	295	13	hµ(ω	hµ(ω	PUNCT
ejde-686	295	14	)	)	PUNCT
ejde-686	295	15	:	:	PUNCT
ejde-686	295	16	(	(	PUNCT
ejde-686	295	17	f̂	f̂	NUM
ejde-686	295	18	,	,	PUNCT
ejde-686	295	19	ui)l2(ω,µ	ui)l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	295	20	)	)	PUNCT
ejde-686	295	21	=	=	SYM
ejde-686	296	1	0	0	NUM
ejde-686	296	2	,	,	PUNCT
ejde-686	296	3	i	i	PRON
ejde-686	296	4	=	=	NOUN
ejde-686	296	5	1	1	NUM
ejde-686	296	6	,	,	PUNCT
ejde-686	296	7	.	.	PUNCT
ejde-686	296	8	.	.	PUNCT
ejde-686	296	9	.	.	PUNCT
ejde-686	297	1	,	,	PUNCT
ejde-686	297	2	n−	n−	NOUN
ejde-686	297	3	1	1	NUM
ejde-686	297	4	}	}	PUNCT
ejde-686	297	5	if	if	SCONJ
ejde-686	297	6	n	n	PRON
ejde-686	297	7	≥	≥	NOUN
ejde-686	297	8	2	2	NUM
ejde-686	297	9	.	.	PUNCT
ejde-686	297	10	then	then	ADV
ejde-686	297	11	λn	λn	PROPN
ejde-686	297	12	=	=	SYM
ejde-686	297	13	min	min	PROPN
ejde-686	297	14	{	{	PUNCT
ejde-686	297	15	r̃µ(f	r̃µ(f	PROPN
ejde-686	297	16	)	)	PUNCT
ejde-686	297	17	:	:	PUNCT
ejde-686	298	1	f	f	PROPN
ejde-686	298	2	∈	∈	PROPN
ejde-686	298	3	hn	hn	PROPN
ejde-686	298	4	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	298	5	)	)	PUNCT
ejde-686	298	6	}	}	PUNCT
ejde-686	298	7	.	.	PUNCT
ejde-686	299	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	299	2	,	,	PUNCT
ejde-686	299	3	for	for	ADP
ejde-686	299	4	each	each	DET
ejde-686	299	5	n	n	PRON
ejde-686	299	6	≥	≥	NOUN
ejde-686	299	7	1	1	NUM
ejde-686	299	8	,	,	PUNCT
ejde-686	299	9	if	if	SCONJ
ejde-686	299	10	r̃µ(f	r̃µ(f	NOUN
ejde-686	299	11	)	)	PUNCT
ejde-686	299	12	=	=	PRON
ejde-686	299	13	λn	λn	NOUN
ejde-686	299	14	holds	hold	VERB
ejde-686	299	15	for	for	ADP
ejde-686	299	16	some	some	DET
ejde-686	299	17	f	f	NOUN
ejde-686	299	18	∈	∈	PROPN
ejde-686	299	19	hn	hn	PROPN
ejde-686	299	20	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	299	21	)	)	PUNCT
ejde-686	299	22	,	,	PUNCT
ejde-686	299	23	then	then	ADV
ejde-686	299	24	f	f	PROPN
ejde-686	299	25	is	be	AUX
ejde-686	299	26	a	a	DET
ejde-686	299	27	λn	λn	NOUN
ejde-686	299	28	-	-	PUNCT
ejde-686	299	29	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	299	30	.	.	PUNCT
ejde-686	300	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	300	2	.	.	PUNCT
ejde-686	301	1	for	for	ADP
ejde-686	301	2	any	any	DET
ejde-686	301	3	fixed	fix	VERB
ejde-686	301	4	n	n	X
ejde-686	301	5	≥	≥	NOUN
ejde-686	301	6	1	1	NUM
ejde-686	301	7	,	,	PUNCT
ejde-686	301	8	we	we	PRON
ejde-686	301	9	first	first	ADV
ejde-686	301	10	prove	prove	VERB
ejde-686	301	11	that	that	SCONJ
ejde-686	301	12	if	if	SCONJ
ejde-686	301	13	r̃µ(f	r̃µ(f	NOUN
ejde-686	301	14	)	)	PUNCT
ejde-686	301	15	attains	attain	VERB
ejde-686	301	16	minimum	minimum	ADJ
ejde-686	301	17	at	at	ADP
ejde-686	301	18	f	f	PROPN
ejde-686	301	19	in	in	ADP
ejde-686	301	20	hn	hn	PROPN
ejde-686	301	21	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	301	22	)	)	PUNCT
ejde-686	301	23	,	,	PUNCT
ejde-686	301	24	then	then	ADV
ejde-686	301	25	f	f	PROPN
ejde-686	301	26	∈	∈	PROPN
ejde-686	301	27	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	301	28	)	)	PUNCT
ejde-686	301	29	.	.	PUNCT
ejde-686	302	1	in	in	ADP
ejde-686	302	2	fact	fact	NOUN
ejde-686	302	3	,	,	PUNCT
ejde-686	302	4	for	for	ADP
ejde-686	302	5	any	any	DET
ejde-686	302	6	f	f	PROPN
ejde-686	302	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	302	8	hn	hn	PROPN
ejde-686	302	9	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	302	10	)	)	PUNCT
ejde-686	302	11	,	,	PUNCT
ejde-686	302	12	let	let	VERB
ejde-686	302	13	f	f	PROPN
ejde-686	302	14	=	=	SYM
ejde-686	302	15	fe	fe	PROPN
ejde-686	303	1	+	+	NOUN
ejde-686	303	2	fn	fn	NOUN
ejde-686	303	3	be	be	VERB
ejde-686	303	4	the	the	DET
ejde-686	303	5	direct	direct	ADJ
ejde-686	303	6	sum	sum	NOUN
ejde-686	303	7	of	of	ADP
ejde-686	303	8	f	f	PROPN
ejde-686	303	9	,	,	PUNCT
ejde-686	303	10	where	where	SCONJ
ejde-686	303	11	fe	fe	X
ejde-686	303	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	303	13	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	303	14	)	)	PUNCT
ejde-686	303	15	=	=	SYM
ejde-686	303	16	n⊥	n⊥	PROPN
ejde-686	303	17	and	and	CCONJ
ejde-686	303	18	fn	fn	NOUN
ejde-686	303	19	∈	∈	PROPN
ejde-686	303	20	n	n	NOUN
ejde-686	303	21	.	.	PUNCT
ejde-686	304	1	then	then	ADV
ejde-686	304	2	⟨fe	⟨fe	VERB
ejde-686	304	3	,	,	PUNCT
ejde-686	304	4	fn	fn	INTJ
ejde-686	304	5	⟩h1	⟩h1	NOUN
ejde-686	304	6	0	0	NUM
ejde-686	304	7	(	(	PUNCT
ejde-686	304	8	ω	ω	NOUN
ejde-686	304	9	)	)	PUNCT
ejde-686	304	10	=	=	SYM
ejde-686	305	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	305	2	ω	ω	NUM
ejde-686	305	3	∇fe	∇fe	NOUN
ejde-686	305	4	·	·	PUNCT
ejde-686	305	5	∇fn	∇fn	NOUN
ejde-686	305	6	dx	dx	PROPN
ejde-686	305	7	=	=	SYM
ejde-686	305	8	0	0	PROPN
ejde-686	305	9	.	.	PUNCT
ejde-686	306	1	(	(	PUNCT
ejde-686	306	2	4.1	4.1	NUM
ejde-686	306	3	)	)	PUNCT
ejde-686	306	4	moreover	moreover	ADV
ejde-686	306	5	,	,	PUNCT
ejde-686	306	6	∥fe∥l2(ω,µ	∥fe∥l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	306	7	)	)	PUNCT
ejde-686	306	8	=	=	SYM
ejde-686	306	9	∥f̂∥l2(ω,µ	∥f̂∥l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	306	10	)	)	PUNCT
ejde-686	306	11	as	as	ADP
ejde-686	306	12	∥fn	∥fn	PROPN
ejde-686	306	13	∥l2(ω,µ	∥l2(ω,µ	NUM
ejde-686	306	14	)	)	PUNCT
ejde-686	306	15	=	=	SYM
ejde-686	307	1	0	0	X
ejde-686	307	2	.	.	PUNCT
ejde-686	308	1	thus	thus	ADV
ejde-686	308	2	,	,	PUNCT
ejde-686	308	3	r̃µ(f	r̃µ(f	NUM
ejde-686	308	4	)	)	PUNCT
ejde-686	308	5	=	=	SYM
ejde-686	308	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	308	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	308	8	|∇f	|∇f	PROPN
ejde-686	308	9	|2	|2	NUM
ejde-686	308	10	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	308	11	ω	ω	PROPN
ejde-686	308	12	|f̂	|f̂	ADP
ejde-686	308	13	|2	|2	NUM
ejde-686	308	14	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	308	15	=	=	SYM
ejde-686	308	16	∫	∫	PROPN
ejde-686	308	17	ω	ω	NUM
ejde-686	308	18	|∇fe	|∇fe	PROPN
ejde-686	309	1	+	+	ADP
ejde-686	309	2	∇fn	∇fn	ADJ
ejde-686	309	3	|2	|2	NUM
ejde-686	309	4	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	309	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	309	6	|fe	|fe	NOUN
ejde-686	309	7	|2	|2	NUM
ejde-686	309	8	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	309	9	=	=	SYM
ejde-686	309	10	∫	∫	PROPN
ejde-686	309	11	ω	ω	PROPN
ejde-686	309	12	|∇fe	|∇fe	PROPN
ejde-686	309	13	|2	|2	NOUN
ejde-686	310	1	+	+	CCONJ
ejde-686	310	2	|∇fn	|∇fn	DET
ejde-686	310	3	|2	|2	NUM
ejde-686	310	4	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	310	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	310	6	|fe	|fe	NOUN
ejde-686	310	7	|2	|2	NUM
ejde-686	310	8	dµ	dµ	NOUN
ejde-686	310	9	.	.	PUNCT
ejde-686	311	1	(	(	PUNCT
ejde-686	311	2	by	by	ADP
ejde-686	311	3	(	(	PUNCT
ejde-686	311	4	4.1	4.1	NUM
ejde-686	311	5	)	)	PUNCT
ejde-686	311	6	)	)	PUNCT
ejde-686	311	7	(	(	PUNCT
ejde-686	311	8	4.2	4.2	NUM
ejde-686	311	9	)	)	PUNCT
ejde-686	311	10	since	since	SCONJ
ejde-686	311	11	fe	fe	X
ejde-686	311	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	311	13	hn	hn	PROPN
ejde-686	311	14	µ(ω	µ(ω	PROPN
ejde-686	311	15	)	)	PUNCT
ejde-686	311	16	,	,	PUNCT
ejde-686	311	17	it	it	PRON
ejde-686	311	18	follows	follow	VERB
ejde-686	311	19	by	by	ADP
ejde-686	311	20	(	(	PUNCT
ejde-686	311	21	4.2	4.2	NUM
ejde-686	311	22	)	)	PUNCT
ejde-686	311	23	that	that	DET
ejde-686	311	24	r̃µ(f	r̃µ(f	NOUN
ejde-686	311	25	)	)	PUNCT
ejde-686	311	26	attains	attain	VERB
ejde-686	311	27	minimum	minimum	ADJ
ejde-686	311	28	in	in	ADP
ejde-686	311	29	hµ(ω	hµ(ω	NOUN
ejde-686	311	30	)	)	PUNCT
ejde-686	312	1	if	if	SCONJ
ejde-686	312	2	and	and	CCONJ
ejde-686	312	3	only	only	ADV
ejde-686	312	4	if	if	SCONJ
ejde-686	312	5	∥fn	∥fn	PROPN
ejde-686	312	6	∥h1	∥h1	VERB
ejde-686	312	7	0	0	NUM
ejde-686	312	8	(	(	PUNCT
ejde-686	312	9	ω	ω	NOUN
ejde-686	312	10	)	)	PUNCT
ejde-686	312	11	=	=	SYM
ejde-686	312	12	0	0	NUM
ejde-686	312	13	,	,	PUNCT
ejde-686	312	14	i.e.	i.e.	X
ejde-686	312	15	,	,	PUNCT
ejde-686	312	16	f	f	PROPN
ejde-686	312	17	=	=	SYM
ejde-686	312	18	fe	fe	X
ejde-686	312	19	∈	∈	PROPN
ejde-686	312	20	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	312	21	)	)	PUNCT
ejde-686	312	22	.	.	PUNCT
ejde-686	313	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	313	2	,	,	PUNCT
ejde-686	313	3	we	we	PRON
ejde-686	313	4	can	can	AUX
ejde-686	313	5	conclude	conclude	VERB
ejde-686	313	6	that	that	SCONJ
ejde-686	313	7	min{r̃µ(f)|f	min{r̃µ(f)|f	PROPN
ejde-686	313	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	313	9	hµ	hµ	NOUN
ejde-686	313	10	}	}	PUNCT
ejde-686	313	11	=	=	SYM
ejde-686	313	12	min{rµ(u)|u	min{rµ(u)|u	PROPN
ejde-686	313	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	313	14	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	313	15	)	)	PUNCT
ejde-686	313	16	}	}	PUNCT
ejde-686	314	1	=	=	SYM
ejde-686	314	2	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	314	3	(	(	PUNCT
ejde-686	314	4	4.3	4.3	NUM
ejde-686	314	5	)	)	PUNCT
ejde-686	314	6	and	and	CCONJ
ejde-686	314	7	for	for	ADP
ejde-686	314	8	n	n	PRON
ejde-686	314	9	≥	≥	NUM
ejde-686	314	10	2	2	NUM
ejde-686	314	11	,	,	PUNCT
ejde-686	314	12	min{r̃µ(f)|f	min{r̃µ(f)|f	PROPN
ejde-686	314	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	314	14	hn	hn	PROPN
ejde-686	314	15	µ	µ	NOUN
ejde-686	314	16	}	}	PUNCT
ejde-686	314	17	=	=	SYM
ejde-686	314	18	min{rµ(u)|u	min{rµ(u)|u	PROPN
ejde-686	314	19	∈	∈	PROPN
ejde-686	314	20	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	314	21	)	)	PUNCT
ejde-686	314	22	,	,	PUNCT
ejde-686	314	23	(	(	PUNCT
ejde-686	314	24	u	u	NOUN
ejde-686	314	25	,	,	PUNCT
ejde-686	314	26	ui)l2(ω,µ	ui)l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	314	27	)	)	PUNCT
ejde-686	314	28	=	=	SYM
ejde-686	315	1	0	0	NUM
ejde-686	315	2	,	,	PUNCT
ejde-686	315	3	i	i	PRON
ejde-686	315	4	=	=	NOUN
ejde-686	315	5	1	1	NUM
ejde-686	315	6	,	,	PUNCT
ejde-686	315	7	.	.	PUNCT
ejde-686	315	8	.	.	PUNCT
ejde-686	315	9	.	.	PUNCT
ejde-686	316	1	,	,	PUNCT
ejde-686	316	2	n−	n−	NOUN
ejde-686	316	3	1	1	NUM
ejde-686	316	4	}	}	PUNCT
ejde-686	316	5	=	=	SYM
ejde-686	316	6	λn	λn	NOUN
ejde-686	316	7	.	.	PUNCT
ejde-686	317	1	(	(	PUNCT
ejde-686	317	2	4.4	4.4	NUM
ejde-686	317	3	)	)	PUNCT
ejde-686	317	4	therefore	therefore	ADV
ejde-686	317	5	,	,	PUNCT
ejde-686	317	6	the	the	DET
ejde-686	317	7	last	last	ADJ
ejde-686	317	8	assertion	assertion	NOUN
ejde-686	317	9	of	of	ADP
ejde-686	317	10	the	the	DET
ejde-686	317	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	317	12	follows	follow	VERB
ejde-686	317	13	from	from	ADP
ejde-686	317	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	317	15	4.2	4.2	NUM
ejde-686	317	16	.	.	PUNCT
ejde-686	318	1	□	□	PUNCT
ejde-686	318	2	proof	proof	NOUN
ejde-686	318	3	of	of	ADP
ejde-686	318	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	318	5	1.1	1.1	NUM
ejde-686	318	6	.	.	PUNCT
ejde-686	319	1	we	we	PRON
ejde-686	319	2	follow	follow	VERB
ejde-686	319	3	[	[	X
ejde-686	319	4	50	50	NUM
ejde-686	319	5	]	]	PUNCT
ejde-686	319	6	for	for	ADP
ejde-686	319	7	the	the	DET
ejde-686	319	8	proof	proof	NOUN
ejde-686	319	9	of	of	ADP
ejde-686	319	10	(	(	PUNCT
ejde-686	319	11	a	a	NOUN
ejde-686	319	12	)	)	PUNCT
ejde-686	319	13	.	.	PUNCT
ejde-686	320	1	we	we	PRON
ejde-686	320	2	use	use	VERB
ejde-686	320	3	some	some	DET
ejde-686	320	4	methods	method	NOUN
ejde-686	320	5	and	and	CCONJ
ejde-686	320	6	techniques	technique	NOUN
ejde-686	320	7	in	in	ADP
ejde-686	320	8	[	[	X
ejde-686	320	9	22	22	NUM
ejde-686	320	10	]	]	PUNCT
ejde-686	320	11	to	to	PART
ejde-686	320	12	prove	prove	VERB
ejde-686	320	13	(	(	PUNCT
ejde-686	320	14	b	b	NOUN
ejde-686	320	15	)	)	PUNCT
ejde-686	320	16	.	.	PUNCT
ejde-686	321	1	(	(	PUNCT
ejde-686	321	2	a	a	X
ejde-686	321	3	)	)	PUNCT
ejde-686	321	4	we	we	PRON
ejde-686	321	5	divide	divide	VERB
ejde-686	321	6	the	the	DET
ejde-686	321	7	proof	proof	NOUN
ejde-686	321	8	into	into	ADP
ejde-686	321	9	two	two	NUM
ejde-686	321	10	steps	step	NOUN
ejde-686	321	11	as	as	SCONJ
ejde-686	321	12	follows	follow	VERB
ejde-686	321	13	:	:	PUNCT
ejde-686	321	14	step	step	NOUN
ejde-686	321	15	1	1	NUM
ejde-686	321	16	.	.	PUNCT
ejde-686	322	1	suppose	suppose	VERB
ejde-686	322	2	on	on	ADP
ejde-686	322	3	the	the	DET
ejde-686	322	4	contrary	contrary	NOUN
ejde-686	322	5	that	that	SCONJ
ejde-686	322	6	the	the	DET
ejde-686	322	7	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	322	8	-	-	PUNCT
ejde-686	322	9	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	322	10	u1	u1	NOUN
ejde-686	322	11	has	have	VERB
ejde-686	322	12	a	a	DET
ejde-686	322	13	node	node	NOUN
ejde-686	322	14	.	.	PUNCT
ejde-686	323	1	i.e.	i.e.	X
ejde-686	323	2	,	,	PUNCT
ejde-686	323	3	there	there	PRON
ejde-686	323	4	exists	exist	VERB
ejde-686	323	5	x0	x0	PROPN
ejde-686	323	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	323	7	ω	ω	NUM
ejde-686	323	8	such	such	ADJ
ejde-686	323	9	that	that	SCONJ
ejde-686	323	10	u1(x0	u1(x0	NOUN
ejde-686	323	11	)	)	PUNCT
ejde-686	323	12	=	=	SYM
ejde-686	324	1	0	0	X
ejde-686	324	2	.	.	PUNCT
ejde-686	325	1	(	(	PUNCT
ejde-686	325	2	4.5	4.5	NUM
ejde-686	325	3	)	)	PUNCT
ejde-686	325	4	let	let	VERB
ejde-686	325	5	ω+	ω+	NOUN
ejde-686	325	6	:	:	PUNCT
ejde-686	325	7	=	=	SYM
ejde-686	325	8	{	{	PUNCT
ejde-686	325	9	x	x	PUNCT
ejde-686	325	10	∈	∈	PROPN
ejde-686	325	11	ω	ω	NUM
ejde-686	325	12	|u1(x	|u1(x	PROPN
ejde-686	325	13	)	)	PUNCT
ejde-686	325	14	>	>	X
ejde-686	325	15	0	0	NUM
ejde-686	325	16	}	}	PUNCT
ejde-686	325	17	and	and	CCONJ
ejde-686	325	18	ω−	ω−	ADJ
ejde-686	325	19	:	:	PUNCT
ejde-686	325	20	=	=	SYM
ejde-686	325	21	{	{	PUNCT
ejde-686	325	22	x	x	PUNCT
ejde-686	325	23	∈	∈	PROPN
ejde-686	325	24	ω	ω	NUM
ejde-686	325	25	|u1(x	|u1(x	PROPN
ejde-686	325	26	)	)	PUNCT
ejde-686	325	27	<	<	X
ejde-686	325	28	0	0	NUM
ejde-686	325	29	}	}	PUNCT
ejde-686	325	30	.	.	PUNCT
ejde-686	326	1	we	we	PRON
ejde-686	326	2	claim	claim	VERB
ejde-686	326	3	that	that	SCONJ
ejde-686	326	4	ω+	ω+	NUM
ejde-686	326	5	and	and	CCONJ
ejde-686	326	6	ω−	ω−	PROPN
ejde-686	326	7	are	be	AUX
ejde-686	326	8	nonempty	nonempty	ADJ
ejde-686	326	9	.	.	PUNCT
ejde-686	327	1	in	in	ADP
ejde-686	327	2	fact	fact	NOUN
ejde-686	327	3	,	,	PUNCT
ejde-686	327	4	if	if	SCONJ
ejde-686	327	5	ω+	ω+	NUM
ejde-686	327	6	=	=	NOUN
ejde-686	327	7	∅	∅	NOUN
ejde-686	327	8	,	,	PUNCT
ejde-686	327	9	then	then	ADV
ejde-686	327	10	for	for	ADP
ejde-686	327	11	any	any	DET
ejde-686	327	12	x	x	SYM
ejde-686	327	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	327	14	ω	ω	PROPN
ejde-686	327	15	,	,	PUNCT
ejde-686	327	16	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-686	327	17	)	)	PUNCT
ejde-686	327	18	≤	≤	NUM
ejde-686	327	19	0	0	NUM
ejde-686	327	20	.	.	PUNCT
ejde-686	328	1	(	(	PUNCT
ejde-686	328	2	4.6	4.6	NUM
ejde-686	328	3	)	)	PUNCT
ejde-686	328	4	since	since	SCONJ
ejde-686	328	5	−∆µu1	−∆µu1	PROPN
ejde-686	328	6	=	=	SYM
ejde-686	328	7	λ1u1	λ1u1	PROPN
ejde-686	328	8	and	and	CCONJ
ejde-686	328	9	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	328	10	>	>	X
ejde-686	328	11	0	0	PROPN
ejde-686	328	12	,	,	PUNCT
ejde-686	328	13	we	we	PRON
ejde-686	328	14	have	have	AUX
ejde-686	328	15	−∆µu1(x	−∆µu1(x	NOUN
ejde-686	328	16	)	)	PUNCT
ejde-686	328	17	=	=	SYM
ejde-686	328	18	λ1u1(x	λ1u1(x	NOUN
ejde-686	328	19	)	)	PUNCT
ejde-686	328	20	≤	≤	NOUN
ejde-686	328	21	0	0	NUM
ejde-686	328	22	.	.	PUNCT
ejde-686	329	1	thus	thus	ADV
ejde-686	329	2	∆µu1(x	∆µu1(x	NUM
ejde-686	329	3	)	)	PUNCT
ejde-686	329	4	≥	≥	NOUN
ejde-686	329	5	0	0	NUM
ejde-686	329	6	for	for	ADP
ejde-686	329	7	all	all	DET
ejde-686	329	8	x	x	SYM
ejde-686	329	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	329	10	ω	ω	NOUN
ejde-686	329	11	.	.	PUNCT
ejde-686	330	1	hence	hence	ADV
ejde-686	330	2	u1	u1	NOUN
ejde-686	330	3	is	be	AUX
ejde-686	330	4	a	a	DET
ejde-686	330	5	µ-subharmonic	µ-subharmonic	NOUN
ejde-686	330	6	function	function	NOUN
ejde-686	330	7	.	.	PUNCT
ejde-686	331	1	combining	combine	VERB
ejde-686	331	2	this	this	PRON
ejde-686	331	3	with	with	ADP
ejde-686	331	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	331	5	3.5	3.5	NUM
ejde-686	331	6	,	,	PUNCT
ejde-686	331	7	we	we	PRON
ejde-686	331	8	see	see	VERB
ejde-686	331	9	that	that	DET
ejde-686	331	10	u1	u1	NOUN
ejde-686	331	11	can	can	AUX
ejde-686	331	12	not	not	PART
ejde-686	331	13	attain	attain	VERB
ejde-686	331	14	0	0	NUM
ejde-686	331	15	in	in	ADP
ejde-686	331	16	ω	ω	NUM
ejde-686	331	17	.	.	PUNCT
ejde-686	332	1	thus	thus	ADV
ejde-686	332	2	,	,	PUNCT
ejde-686	332	3	by	by	ADP
ejde-686	332	4	(	(	PUNCT
ejde-686	332	5	4.6	4.6	NUM
ejde-686	332	6	)	)	PUNCT
ejde-686	332	7	,	,	PUNCT
ejde-686	332	8	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-686	332	9	)	)	PUNCT
ejde-686	332	10	<	<	X
ejde-686	332	11	0	0	PUNCT
ejde-686	332	12	for	for	ADP
ejde-686	332	13	all	all	DET
ejde-686	332	14	x	x	SYM
ejde-686	332	15	∈	∈	PROPN
ejde-686	332	16	ω	ω	PROPN
ejde-686	332	17	,	,	PUNCT
ejde-686	332	18	which	which	PRON
ejde-686	332	19	contradicts	contradict	VERB
ejde-686	332	20	(	(	PUNCT
ejde-686	332	21	4.5	4.5	NUM
ejde-686	332	22	)	)	PUNCT
ejde-686	332	23	.	.	PUNCT
ejde-686	333	1	hence	hence	ADV
ejde-686	333	2	ω+	ω+	PUNCT
ejde-686	333	3	̸=	̸=	PROPN
ejde-686	333	4	∅.	∅.	ADV
ejde-686	333	5	by	by	ADP
ejde-686	333	6	the	the	DET
ejde-686	333	7	same	same	ADJ
ejde-686	333	8	argument	argument	NOUN
ejde-686	333	9	,	,	PUNCT
ejde-686	333	10	ω−	ω−	ADP
ejde-686	333	11	̸=	̸=	PROPN
ejde-686	333	12	∅.	∅.	ADP
ejde-686	333	13	ejde-2025/12	ejde-2025/12	NOUN
ejde-686	333	14	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	333	15	sets	set	NOUN
ejde-686	333	16	and	and	CCONJ
ejde-686	333	17	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	333	18	of	of	ADP
ejde-686	333	19	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	333	20	11	11	NUM
ejde-686	333	21	step	step	NOUN
ejde-686	333	22	2	2	NUM
ejde-686	333	23	.	.	PUNCT
ejde-686	334	1	let	let	VERB
ejde-686	334	2	u+(x	u+(x	NUM
ejde-686	334	3	)	)	PUNCT
ejde-686	335	1	=	=	PRON
ejde-686	335	2	{	{	PUNCT
ejde-686	335	3	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-686	335	4	)	)	PUNCT
ejde-686	335	5	,	,	PUNCT
ejde-686	335	6	x	x	PROPN
ejde-686	335	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	335	8	ω+	ω+	NOUN
ejde-686	335	9	,	,	PUNCT
ejde-686	335	10	0	0	NUM
ejde-686	335	11	,	,	PUNCT
ejde-686	335	12	x	x	SYM
ejde-686	335	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	335	14	ω	ω	NUM
ejde-686	335	15	\	\	PROPN
ejde-686	335	16	ω+	ω+	NOUN
ejde-686	335	17	,	,	PUNCT
ejde-686	335	18	and	and	CCONJ
ejde-686	335	19	let	let	VERB
ejde-686	335	20	u−(x	u−(x	PRON
ejde-686	335	21	)	)	PUNCT
ejde-686	335	22	=	=	SYM
ejde-686	336	1	u1(x)−	u1(x)−	PROPN
ejde-686	336	2	u+(x	u+(x	PROPN
ejde-686	336	3	)	)	PUNCT
ejde-686	336	4	.	.	PUNCT
ejde-686	337	1	note	note	VERB
ejde-686	337	2	that	that	PRON
ejde-686	337	3	|u1(x)|	|u1(x)|	PUNCT
ejde-686	337	4	=	=	SYM
ejde-686	337	5	u+(x)−	u+(x)−	PROPN
ejde-686	337	6	u−(x	u−(x	PROPN
ejde-686	337	7	)	)	PUNCT
ejde-686	337	8	and	and	CCONJ
ejde-686	337	9	∇u+(x	∇u+(x	PROPN
ejde-686	337	10	)	)	PUNCT
ejde-686	337	11	=	=	PRON
ejde-686	337	12	{	{	PUNCT
ejde-686	337	13	∇u1(x	∇u1(x	NUM
ejde-686	337	14	)	)	PUNCT
ejde-686	337	15	,	,	PUNCT
ejde-686	337	16	x	x	PROPN
ejde-686	337	17	∈	∈	PROPN
ejde-686	337	18	ω+	ω+	NOUN
ejde-686	337	19	,	,	PUNCT
ejde-686	337	20	0	0	NUM
ejde-686	337	21	,	,	PUNCT
ejde-686	337	22	x	x	SYM
ejde-686	337	23	∈	∈	PROPN
ejde-686	337	24	ω\ω+	ω\ω+	NOUN
ejde-686	337	25	,	,	PUNCT
ejde-686	337	26	∇u−(x	∇u−(x	NOUN
ejde-686	337	27	)	)	PUNCT
ejde-686	338	1	=	=	PRON
ejde-686	338	2	{	{	PUNCT
ejde-686	338	3	0	0	NUM
ejde-686	338	4	,	,	PUNCT
ejde-686	338	5	x	x	SYM
ejde-686	338	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	338	7	ω\ω−	ω\ω−	ADV
ejde-686	338	8	,	,	PUNCT
ejde-686	338	9	∇u1(x	∇u1(x	NUM
ejde-686	338	10	)	)	PUNCT
ejde-686	338	11	x	x	X
ejde-686	338	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	338	13	ω−.	ω−.	NOUN
ejde-686	338	14	obviously	obviously	ADV
ejde-686	338	15	,	,	PUNCT
ejde-686	338	16	u+	u+	NUM
ejde-686	338	17	and	and	CCONJ
ejde-686	338	18	u−	u−	PROPN
ejde-686	338	19	belong	belong	VERB
ejde-686	338	20	to	to	PART
ejde-686	338	21	h1	h1	PROPN
ejde-686	338	22	0	0	PROPN
ejde-686	338	23	(	(	PUNCT
ejde-686	338	24	ω	ω	NOUN
ejde-686	338	25	)	)	PUNCT
ejde-686	338	26	.	.	PUNCT
ejde-686	339	1	it	it	PRON
ejde-686	339	2	follows	follow	VERB
ejde-686	339	3	by	by	ADP
ejde-686	339	4	the	the	DET
ejde-686	339	5	linearity	linearity	NOUN
ejde-686	339	6	of	of	ADP
ejde-686	339	7	h1	h1	PROPN
ejde-686	339	8	0	0	PROPN
ejde-686	339	9	(	(	PUNCT
ejde-686	339	10	ω	ω	NOUN
ejde-686	339	11	)	)	PUNCT
ejde-686	339	12	that	that	PRON
ejde-686	339	13	|u1|	|u1|	PROPN
ejde-686	339	14	∈	∈	PROPN
ejde-686	339	15	h1	h1	NOUN
ejde-686	339	16	0	0	NUM
ejde-686	339	17	(	(	PUNCT
ejde-686	339	18	ω	ω	NOUN
ejde-686	339	19	)	)	PUNCT
ejde-686	339	20	.	.	PUNCT
ejde-686	340	1	step	step	NOUN
ejde-686	340	2	3	3	NUM
ejde-686	340	3	.	.	PUNCT
ejde-686	341	1	since	since	SCONJ
ejde-686	341	2	|u1|	|u1|	PROPN
ejde-686	341	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	341	4	h1	h1	NOUN
ejde-686	341	5	0	0	NUM
ejde-686	341	6	(	(	PUNCT
ejde-686	341	7	ω	ω	NOUN
ejde-686	341	8	)	)	PUNCT
ejde-686	341	9	and	and	CCONJ
ejde-686	341	10	∥|u1|∥l2(ω,µ	∥|u1|∥l2(ω,µ	NOUN
ejde-686	341	11	)	)	PUNCT
ejde-686	341	12	>	>	X
ejde-686	341	13	0	0	NUM
ejde-686	341	14	,	,	PUNCT
ejde-686	341	15	we	we	PRON
ejde-686	341	16	have	have	VERB
ejde-686	341	17	|u1|	|u1|	VERB
ejde-686	341	18	∈	∈	NOUN
ejde-686	341	19	hµ	hµ	NOUN
ejde-686	341	20	and	and	CCONJ
ejde-686	341	21	thus	thus	ADV
ejde-686	341	22	r̃µ	r̃µ	X
ejde-686	341	23	(	(	PUNCT
ejde-686	341	24	|u1|	|u1|	ADV
ejde-686	341	25	)	)	PUNCT
ejde-686	342	1	=	=	SYM
ejde-686	343	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	343	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	343	3	∣∣∇|u1|	∣∣∇|u1|	PROPN
ejde-686	343	4	∣∣2	∣∣2	PROPN
ejde-686	343	5	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	343	6	ω	ω	X
ejde-686	343	7	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	343	8	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	343	9	=	=	SYM
ejde-686	343	10	∫	∫	PROPN
ejde-686	343	11	ω+	ω+	X
ejde-686	343	12	∣∣∇u1∣∣2	∣∣∇u1∣∣2	PROPN
ejde-686	343	13	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	343	14	ω	ω	PROPN
ejde-686	343	15	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	343	16	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	343	17	+	+	CCONJ
ejde-686	343	18	∫	∫	PROPN
ejde-686	344	1	ω−	ω−	INTJ
ejde-686	344	2	∣∣∇u1∣∣2	∣∣∇u1∣∣2	PROPN
ejde-686	344	3	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	344	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	5	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	344	6	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	344	7	=	=	SYM
ejde-686	344	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	344	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	10	|∇u1|2	|∇u1|2	PROPN
ejde-686	344	11	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	344	12	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	13	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	344	14	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	344	15	=	=	SYM
ejde-686	344	16	∫	∫	PROPN
ejde-686	344	17	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	18	(	(	PUNCT
ejde-686	344	19	−∆µu1	−∆µu1	PROPN
ejde-686	344	20	)	)	PUNCT
ejde-686	344	21	·	·	PUNCT
ejde-686	344	22	u1	u1	PROPN
ejde-686	344	23	dµ∫	dµ∫	PROPN
ejde-686	344	24	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	25	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	344	26	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	344	27	=	=	PUNCT
ejde-686	344	28	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	344	29	∫	∫	PROPN
ejde-686	344	30	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	31	u21	u21	PROPN
ejde-686	344	32	dµ∫	dµ∫	PROPN
ejde-686	344	33	ω	ω	PROPN
ejde-686	344	34	|u1|2	|u1|2	PROPN
ejde-686	344	35	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	344	36	=	=	SYM
ejde-686	344	37	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	344	38	.	.	PUNCT
ejde-686	345	1	it	it	PRON
ejde-686	345	2	follows	follow	VERB
ejde-686	345	3	from	from	ADP
ejde-686	345	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	345	5	4.2(a	4.2(a	NUM
ejde-686	345	6	)	)	PUNCT
ejde-686	345	7	that	that	PRON
ejde-686	345	8	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	345	9	=	=	SYM
ejde-686	345	10	min{rµ(u	min{rµ(u	PROPN
ejde-686	345	11	)	)	PUNCT
ejde-686	345	12	:	:	PUNCT
ejde-686	346	1	u	u	NOUN
ejde-686	346	2	∈	∈	PROPN
ejde-686	346	3	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	346	4	)	)	PUNCT
ejde-686	346	5	}	}	PUNCT
ejde-686	346	6	.	.	PUNCT
ejde-686	347	1	combining	combine	VERB
ejde-686	347	2	this	this	PRON
ejde-686	347	3	and	and	CCONJ
ejde-686	347	4	(	(	PUNCT
ejde-686	347	5	4.3	4.3	NUM
ejde-686	347	6	)	)	PUNCT
ejde-686	347	7	,	,	PUNCT
ejde-686	347	8	we	we	PRON
ejde-686	347	9	have	have	VERB
ejde-686	347	10	r̃µ(|u1|	r̃µ(|u1|	PROPN
ejde-686	347	11	)	)	PUNCT
ejde-686	348	1	=	=	SYM
ejde-686	348	2	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	348	3	.	.	PUNCT
ejde-686	349	1	hence	hence	ADV
ejde-686	349	2	,	,	PUNCT
ejde-686	349	3	by	by	ADP
ejde-686	349	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	349	5	4.3	4.3	NUM
ejde-686	349	6	,	,	PUNCT
ejde-686	349	7	|u1|	|u1|	X
ejde-686	349	8	is	be	AUX
ejde-686	349	9	a	a	DET
ejde-686	349	10	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	349	11	-	-	PUNCT
ejde-686	349	12	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	349	13	,	,	PUNCT
ejde-686	349	14	i.e.	i.e.	X
ejde-686	349	15	,	,	PUNCT
ejde-686	349	16	−∆µ|u1|	−∆µ|u1|	X
ejde-686	349	17	=	=	NOUN
ejde-686	350	1	λ1|u1|	λ1|u1|	X
ejde-686	350	2	.	.	PUNCT
ejde-686	351	1	combining	combine	VERB
ejde-686	351	2	this	this	PRON
ejde-686	351	3	with	with	ADP
ejde-686	351	4	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	351	5	>	>	X
ejde-686	351	6	0	0	PROPN
ejde-686	351	7	,	,	PUNCT
ejde-686	351	8	we	we	PRON
ejde-686	351	9	have	have	AUX
ejde-686	351	10	∆µ|u1(x)|	∆µ|u1(x)|	NOUN
ejde-686	351	11	≤	≤	NOUN
ejde-686	351	12	0	0	PUNCT
ejde-686	351	13	for	for	ADP
ejde-686	351	14	all	all	DET
ejde-686	351	15	x	x	SYM
ejde-686	351	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	351	17	ω	ω	NOUN
ejde-686	351	18	.	.	PUNCT
ejde-686	352	1	hence	hence	ADV
ejde-686	352	2	|u1|	|u1|	PROPN
ejde-686	352	3	is	be	AUX
ejde-686	352	4	a	a	DET
ejde-686	352	5	µ-superharmonic	µ-superharmonic	ADJ
ejde-686	352	6	function	function	NOUN
ejde-686	352	7	.	.	PUNCT
ejde-686	353	1	by	by	ADP
ejde-686	353	2	remark	remark	NOUN
ejde-686	353	3	3.6	3.6	NUM
ejde-686	353	4	,	,	PUNCT
ejde-686	353	5	u1	u1	NOUN
ejde-686	353	6	can	can	AUX
ejde-686	353	7	not	not	PART
ejde-686	353	8	attain	attain	VERB
ejde-686	353	9	0	0	NUM
ejde-686	353	10	in	in	ADP
ejde-686	353	11	ω	ω	NUM
ejde-686	353	12	.	.	PUNCT
ejde-686	354	1	thus	thus	ADV
ejde-686	354	2	,	,	PUNCT
ejde-686	354	3	|u1(x)|	|u1(x)|	PUNCT
ejde-686	354	4	>	>	X
ejde-686	354	5	0	0	PUNCT
ejde-686	354	6	for	for	ADP
ejde-686	354	7	all	all	DET
ejde-686	354	8	x	x	SYM
ejde-686	354	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	354	10	ω	ω	PROPN
ejde-686	354	11	,	,	PUNCT
ejde-686	354	12	i.e.	i.e.	X
ejde-686	354	13	,	,	PUNCT
ejde-686	354	14	|u1|	|u1|	PROPN
ejde-686	354	15	does	do	AUX
ejde-686	354	16	not	not	PART
ejde-686	354	17	have	have	VERB
ejde-686	354	18	nodes	node	NOUN
ejde-686	354	19	in	in	ADP
ejde-686	354	20	ω	ω	PROPN
ejde-686	354	21	.	.	PUNCT
ejde-686	355	1	this	this	PRON
ejde-686	355	2	contradicts	contradict	VERB
ejde-686	355	3	step	step	NOUN
ejde-686	355	4	1	1	NUM
ejde-686	355	5	and	and	CCONJ
ejde-686	355	6	completes	complete	VERB
ejde-686	355	7	the	the	DET
ejde-686	355	8	proof	proof	NOUN
ejde-686	355	9	of	of	ADP
ejde-686	355	10	the	the	DET
ejde-686	355	11	first	first	ADJ
ejde-686	355	12	part	part	NOUN
ejde-686	355	13	of	of	ADP
ejde-686	355	14	the	the	DET
ejde-686	355	15	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	355	16	.	.	PUNCT
ejde-686	356	1	(	(	PUNCT
ejde-686	356	2	b	b	X
ejde-686	356	3	)	)	PUNCT
ejde-686	356	4	by	by	ADP
ejde-686	356	5	the	the	DET
ejde-686	356	6	proof	proof	NOUN
ejde-686	356	7	of	of	ADP
ejde-686	356	8	(	(	PUNCT
ejde-686	356	9	a	a	NOUN
ejde-686	356	10	)	)	PUNCT
ejde-686	356	11	,	,	PUNCT
ejde-686	356	12	u1(x	u1(x	NOUN
ejde-686	356	13	)	)	PUNCT
ejde-686	356	14	̸=	̸=	PROPN
ejde-686	356	15	0	0	NUM
ejde-686	356	16	,	,	PUNCT
ejde-686	356	17	for	for	ADP
ejde-686	356	18	any	any	DET
ejde-686	356	19	x	x	SYM
ejde-686	356	20	∈	∈	PROPN
ejde-686	356	21	ω	ω	PROPN
ejde-686	356	22	.	.	PUNCT
ejde-686	357	1	without	without	ADP
ejde-686	357	2	loss	loss	NOUN
ejde-686	357	3	of	of	ADP
ejde-686	357	4	generality	generality	NOUN
ejde-686	357	5	,	,	PUNCT
ejde-686	357	6	we	we	PRON
ejde-686	357	7	assume	assume	VERB
ejde-686	357	8	u1(x	u1(x	ADV
ejde-686	357	9	)	)	PUNCT
ejde-686	357	10	>	>	X
ejde-686	358	1	0	0	X
ejde-686	358	2	.	.	PUNCT
ejde-686	359	1	since	since	SCONJ
ejde-686	359	2	un	un	PROPN
ejde-686	359	3	is	be	AUX
ejde-686	359	4	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-686	359	5	to	to	PART
ejde-686	359	6	u1	u1	VERB
ejde-686	359	7	,	,	PUNCT
ejde-686	359	8	i.e.	i.e.	X
ejde-686	359	9	,∫	,∫	PUNCT
ejde-686	359	10	ω	ω	NUM
ejde-686	359	11	unu1	unu1	PROPN
ejde-686	359	12	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	359	13	=	=	SYM
ejde-686	359	14	0	0	PROPN
ejde-686	359	15	,	,	PUNCT
ejde-686	359	16	un	un	PROPN
ejde-686	359	17	must	must	AUX
ejde-686	359	18	change	change	VERB
ejde-686	359	19	sign	sign	NOUN
ejde-686	359	20	in	in	ADP
ejde-686	359	21	ω	ω	PROPN
ejde-686	359	22	.	.	PUNCT
ejde-686	360	1	thus	thus	ADV
ejde-686	360	2	un	un	PROPN
ejde-686	360	3	must	must	AUX
ejde-686	360	4	be	be	AUX
ejde-686	360	5	positive	positive	ADJ
ejde-686	360	6	on	on	ADP
ejde-686	360	7	some	some	DET
ejde-686	360	8	subdomians	subdomian	NOUN
ejde-686	360	9	of	of	ADP
ejde-686	360	10	ω	ω	NOUN
ejde-686	360	11	and	and	CCONJ
ejde-686	360	12	negative	negative	ADJ
ejde-686	360	13	on	on	ADP
ejde-686	360	14	some	some	DET
ejde-686	360	15	other	other	ADJ
ejde-686	360	16	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	360	17	of	of	ADP
ejde-686	360	18	ω	ω	PROPN
ejde-686	360	19	.	.	PUNCT
ejde-686	361	1	by	by	ADP
ejde-686	361	2	the	the	DET
ejde-686	361	3	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	361	4	of	of	ADP
ejde-686	361	5	un	un	PROPN
ejde-686	361	6	,	,	PUNCT
ejde-686	361	7	these	these	DET
ejde-686	361	8	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	361	9	must	must	AUX
ejde-686	361	10	be	be	AUX
ejde-686	361	11	separated	separate	VERB
ejde-686	361	12	by	by	ADP
ejde-686	361	13	the	the	DET
ejde-686	361	14	nodal	nodal	ADJ
ejde-686	361	15	set	set	NOUN
ejde-686	361	16	of	of	ADP
ejde-686	361	17	un	un	PROPN
ejde-686	361	18	.	.	PROPN
ejde-686	361	19	hence	hence	ADV
ejde-686	361	20	,	,	PUNCT
ejde-686	361	21	for	for	ADP
ejde-686	361	22	n	n	PRON
ejde-686	361	23	≥	≥	NUM
ejde-686	361	24	2	2	NUM
ejde-686	361	25	,	,	PUNCT
ejde-686	361	26	the	the	DET
ejde-686	361	27	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	361	28	set	set	NOUN
ejde-686	361	29	of	of	ADP
ejde-686	361	30	un	un	PROPN
ejde-686	361	31	divides	divide	VERB
ejde-686	361	32	ω	ω	PROPN
ejde-686	361	33	into	into	ADP
ejde-686	361	34	at	at	ADV
ejde-686	361	35	least	least	ADV
ejde-686	361	36	two	two	NUM
ejde-686	361	37	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	361	38	.	.	PUNCT
ejde-686	362	1	for	for	ADP
ejde-686	362	2	the	the	DET
ejde-686	362	3	second	second	ADJ
ejde-686	362	4	part	part	NOUN
ejde-686	362	5	of	of	ADP
ejde-686	362	6	(	(	PUNCT
ejde-686	362	7	b	b	NOUN
ejde-686	362	8	)	)	PUNCT
ejde-686	362	9	,	,	PUNCT
ejde-686	362	10	let	let	VERB
ejde-686	362	11	zµ	zµ	PART
ejde-686	362	12	be	be	AUX
ejde-686	362	13	defined	define	VERB
ejde-686	362	14	as	as	ADP
ejde-686	362	15	in	in	ADP
ejde-686	362	16	(	(	PUNCT
ejde-686	362	17	1.3	1.3	NUM
ejde-686	362	18	)	)	PUNCT
ejde-686	362	19	.	.	PUNCT
ejde-686	363	1	then	then	ADV
ejde-686	363	2	ω\zµ(un	ω\zµ(un	ADJ
ejde-686	363	3	)	)	PUNCT
ejde-686	363	4	=	=	PRON
ejde-686	364	1	{	{	PUNCT
ejde-686	364	2	x	x	PUNCT
ejde-686	364	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	364	4	ω	ω	NUM
ejde-686	364	5	|un(x	|un(x	X
ejde-686	364	6	)	)	PUNCT
ejde-686	364	7	̸=	̸=	PROPN
ejde-686	364	8	0	0	NUM
ejde-686	364	9	}	}	PUNCT
ejde-686	364	10	.	.	PUNCT
ejde-686	365	1	assume	assume	VERB
ejde-686	365	2	zµ(un	zµ(un	PROPN
ejde-686	365	3	)	)	PUNCT
ejde-686	365	4	divides	divide	VERB
ejde-686	365	5	ω	ω	NUM
ejde-686	365	6	intom	intom	PROPN
ejde-686	365	7	(	(	PUNCT
ejde-686	365	8	m	m	NOUN
ejde-686	365	9	≥	≥	NOUN
ejde-686	365	10	2	2	NUM
ejde-686	365	11	)	)	PUNCT
ejde-686	365	12	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	365	13	:	:	PUNCT
ejde-686	365	14	ω1	ω1	PROPN
ejde-686	365	15	,	,	PUNCT
ejde-686	365	16	.	.	PUNCT
ejde-686	365	17	.	.	PUNCT
ejde-686	366	1	.	.	PUNCT
ejde-686	367	1	,	,	PUNCT
ejde-686	367	2	ωm	ωm	NOUN
ejde-686	367	3	,	,	PUNCT
ejde-686	367	4	where	where	SCONJ
ejde-686	367	5	the	the	DET
ejde-686	367	6	ωi	ωi	NOUN
ejde-686	367	7	are	be	AUX
ejde-686	367	8	pairwise	pairwise	NOUN
ejde-686	367	9	disjoint	disjoint	NOUN
ejde-686	367	10	and	and	CCONJ
ejde-686	367	11	separated	separate	VERB
ejde-686	367	12	by	by	ADP
ejde-686	367	13	a	a	DET
ejde-686	367	14	subset	subset	NOUN
ejde-686	367	15	of	of	ADP
ejde-686	367	16	zµ(un	zµ(un	PROPN
ejde-686	367	17	)	)	PUNCT
ejde-686	367	18	.	.	PUNCT
ejde-686	368	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	368	2	,	,	PUNCT
ejde-686	368	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	368	4	\	\	PROPN
ejde-686	368	5	zµ(un	zµ(un	PROPN
ejde-686	368	6	)	)	PUNCT
ejde-686	369	1	=	=	SYM
ejde-686	369	2	∪m	∪m	NUM
ejde-686	369	3	j=1ωj	j=1ωj	X
ejde-686	369	4	.	.	PUNCT
ejde-686	370	1	let	let	VERB
ejde-686	370	2	wj(x	wj(x	PUNCT
ejde-686	370	3	)	)	PUNCT
ejde-686	370	4	=	=	SYM
ejde-686	370	5	{	{	PUNCT
ejde-686	370	6	un(x	un(x	NOUN
ejde-686	370	7	)	)	PUNCT
ejde-686	370	8	,	,	PUNCT
ejde-686	370	9	x	x	PUNCT
ejde-686	370	10	∈	∈	PROPN
ejde-686	370	11	ωj	ωj	ADP
ejde-686	370	12	,	,	PUNCT
ejde-686	370	13	0	0	NUM
ejde-686	370	14	,	,	PUNCT
ejde-686	370	15	x	x	SYM
ejde-686	370	16	∈	∈	NOUN
ejde-686	370	17	ω\ωj	ω\ωj	NOUN
ejde-686	370	18	.	.	PUNCT
ejde-686	371	1	12	12	NUM
ejde-686	371	2	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	371	3	.	.	PUNCT
ejde-686	372	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	372	2	,	,	PUNCT
ejde-686	372	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	372	4	.	.	PUNCT
ejde-686	373	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	373	2	,	,	PUNCT
ejde-686	373	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	373	4	.	.	PUNCT
ejde-686	374	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	374	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	X
ejde-686	374	3	then	then	ADV
ejde-686	374	4	∇wj(x	∇wj(x	X
ejde-686	374	5	)	)	PUNCT
ejde-686	374	6	=	=	SYM
ejde-686	374	7	{	{	PUNCT
ejde-686	374	8	∇un(x	∇un(x	PROPN
ejde-686	374	9	)	)	PUNCT
ejde-686	374	10	,	,	PUNCT
ejde-686	374	11	x	x	PUNCT
ejde-686	374	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	374	13	ωj	ωj	ADP
ejde-686	374	14	,	,	PUNCT
ejde-686	374	15	0	0	NUM
ejde-686	374	16	,	,	PUNCT
ejde-686	374	17	x	x	SYM
ejde-686	374	18	∈	∈	NOUN
ejde-686	374	19	ω\ωj	ω\ωj	X
ejde-686	374	20	.	.	PUNCT
ejde-686	375	1	let	let	VERB
ejde-686	375	2	w	w	NOUN
ejde-686	375	3	=	=	PUNCT
ejde-686	375	4	m∑	m∑	ADV
ejde-686	375	5	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	375	6	cjwj	cjwj	PROPN
ejde-686	375	7	,	,	PUNCT
ejde-686	375	8	(	(	PUNCT
ejde-686	375	9	4.7	4.7	NUM
ejde-686	375	10	)	)	PUNCT
ejde-686	375	11	where	where	SCONJ
ejde-686	375	12	c1	c1	PROPN
ejde-686	375	13	,	,	PUNCT
ejde-686	375	14	.	.	PUNCT
ejde-686	375	15	.	.	PUNCT
ejde-686	376	1	.	.	PUNCT
ejde-686	377	1	,	,	PUNCT
ejde-686	377	2	cm	cm	NOUN
ejde-686	377	3	are	be	AUX
ejde-686	377	4	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-686	377	5	constants	constant	NOUN
ejde-686	377	6	.	.	PUNCT
ejde-686	378	1	note	note	VERB
ejde-686	378	2	that	that	SCONJ
ejde-686	378	3	w	w	PROPN
ejde-686	378	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	378	5	hµ	hµ	NOUN
ejde-686	378	6	and	and	CCONJ
ejde-686	378	7	r̃µ(w	r̃µ(w	NOUN
ejde-686	378	8	)	)	PUNCT
ejde-686	379	1	=	=	SYM
ejde-686	379	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	379	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	379	4	|∇w|2	|∇w|2	NOUN
ejde-686	379	5	dx∫	dx∫	PROPN
ejde-686	379	6	ω	ω	NUM
ejde-686	379	7	|w|2	|w|2	PROPN
ejde-686	379	8	dµ	dµ	X
ejde-686	379	9	=	=	PUNCT
ejde-686	379	10	∑m	∑m	PROPN
ejde-686	380	1	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	380	2	c	c	PROPN
ejde-686	380	3	2	2	NUM
ejde-686	380	4	j	j	PROPN
ejde-686	380	5	∫	∫	PROPN
ejde-686	380	6	ωj	ωj	X
ejde-686	380	7	|∇un|2	|∇un|2	PROPN
ejde-686	380	8	dx∑m	dx∑m	PROPN
ejde-686	380	9	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	380	10	c	c	PROPN
ejde-686	380	11	2	2	NUM
ejde-686	380	12	j	j	NOUN
ejde-686	380	13	∫	∫	X
ejde-686	380	14	ωj	ωj	ADP
ejde-686	380	15	|un|2	|un|2	PROPN
ejde-686	380	16	dµ	dµ	ADJ
ejde-686	380	17	=	=	PUNCT
ejde-686	380	18	∑m	∑m	PROPN
ejde-686	380	19	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	381	1	c	c	PROPN
ejde-686	381	2	2	2	NUM
ejde-686	381	3	j	j	NOUN
ejde-686	381	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	381	5	ωj	ωj	CCONJ
ejde-686	381	6	(	(	PUNCT
ejde-686	381	7	−∆µun	−∆µun	NOUN
ejde-686	381	8	)	)	PUNCT
ejde-686	381	9	·	·	PUNCT
ejde-686	382	1	un	un	PROPN
ejde-686	382	2	dµ∑m	dµ∑m	PROPN
ejde-686	382	3	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	383	1	c	c	PROPN
ejde-686	383	2	2	2	NUM
ejde-686	383	3	j	j	NOUN
ejde-686	383	4	∫	∫	X
ejde-686	383	5	ωj	ωj	ADP
ejde-686	383	6	|un|2	|un|2	PROPN
ejde-686	383	7	dµ	dµ	ADV
ejde-686	383	8	=	=	PUNCT
ejde-686	383	9	λn	λn	PROPN
ejde-686	383	10	∑m	∑m	PROPN
ejde-686	383	11	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	384	1	c	c	PROPN
ejde-686	384	2	2	2	NUM
ejde-686	384	3	j	j	PROPN
ejde-686	384	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	384	5	ωj	ωj	ADP
ejde-686	384	6	u2n	u2n	PROPN
ejde-686	384	7	dµ∑m	dµ∑m	PROPN
ejde-686	384	8	j=1	j=1	PROPN
ejde-686	385	1	c	c	PROPN
ejde-686	385	2	2	2	NUM
ejde-686	385	3	j	j	NOUN
ejde-686	385	4	∫	∫	X
ejde-686	385	5	ωj	ωj	ADP
ejde-686	385	6	|un|2	|un|2	PROPN
ejde-686	385	7	dµ	dµ	ADJ
ejde-686	385	8	=	=	PUNCT
ejde-686	385	9	λn	λn	NOUN
ejde-686	385	10	.	.	PUNCT
ejde-686	386	1	(	(	PUNCT
ejde-686	386	2	4.8	4.8	NUM
ejde-686	386	3	)	)	PUNCT
ejde-686	386	4	since	since	SCONJ
ejde-686	386	5	the	the	DET
ejde-686	386	6	system	system	NOUN
ejde-686	386	7	(	(	PUNCT
ejde-686	386	8	4.9	4.9	NUM
ejde-686	386	9	)	)	PUNCT
ejde-686	386	10	below	below	ADP
ejde-686	386	11	hasm−1	hasm−1	NOUN
ejde-686	386	12	equations	equation	NOUN
ejde-686	386	13	inm	inm	PROPN
ejde-686	386	14	unknowns	unknown	VERB
ejde-686	386	15	cj	cj	PROPN
ejde-686	386	16	,	,	PUNCT
ejde-686	386	17	it	it	PRON
ejde-686	386	18	has	have	VERB
ejde-686	386	19	a	a	DET
ejde-686	386	20	nonzero	nonzero	ADJ
ejde-686	386	21	solution	solution	NOUN
ejde-686	386	22	{	{	PUNCT
ejde-686	386	23	c1	c1	NOUN
ejde-686	386	24	,	,	PUNCT
ejde-686	386	25	.	.	PUNCT
ejde-686	386	26	.	.	PUNCT
ejde-686	387	1	.	.	PUNCT
ejde-686	388	1	,	,	PUNCT
ejde-686	388	2	cm	cm	NOUN
ejde-686	388	3	}	}	PUNCT
ejde-686	388	4	.	.	PUNCT
ejde-686	389	1	hence	hence	ADV
ejde-686	389	2	,	,	PUNCT
ejde-686	389	3	we	we	PRON
ejde-686	389	4	can	can	AUX
ejde-686	389	5	choose	choose	VERB
ejde-686	389	6	the	the	DET
ejde-686	389	7	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-686	389	8	{	{	PUNCT
ejde-686	389	9	cj}mj=1	cj}mj=1	PROPN
ejde-686	389	10	of	of	ADP
ejde-686	389	11	w	w	PROPN
ejde-686	389	12	in	in	ADP
ejde-686	389	13	(	(	PUNCT
ejde-686	389	14	4.7	4.7	NUM
ejde-686	389	15	)	)	PUNCT
ejde-686	389	16	so	so	SCONJ
ejde-686	389	17	that	that	SCONJ
ejde-686	389	18	(	(	PUNCT
ejde-686	389	19	w	w	PROPN
ejde-686	389	20	,	,	PUNCT
ejde-686	389	21	ui	ui	NOUN
ejde-686	389	22	)	)	PUNCT
ejde-686	389	23	l2(ω,µ	l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	389	24	)	)	PUNCT
ejde-686	390	1	=	=	SYM
ejde-686	390	2	0	0	NUM
ejde-686	390	3	,	,	PUNCT
ejde-686	390	4	i	i	PRON
ejde-686	390	5	=	=	NOUN
ejde-686	390	6	1	1	NUM
ejde-686	390	7	,	,	PUNCT
ejde-686	390	8	.	.	PUNCT
ejde-686	390	9	.	.	PUNCT
ejde-686	390	10	.	.	PUNCT
ejde-686	391	1	,	,	PUNCT
ejde-686	391	2	m−	m−	PROPN
ejde-686	391	3	1	1	NUM
ejde-686	391	4	,	,	PUNCT
ejde-686	391	5	(	(	PUNCT
ejde-686	391	6	4.9	4.9	NUM
ejde-686	391	7	)	)	PUNCT
ejde-686	391	8	where	where	SCONJ
ejde-686	391	9	{	{	PUNCT
ejde-686	391	10	ui}m−1	ui}m−1	PRON
ejde-686	391	11	i=1	i=1	X
ejde-686	391	12	are	be	AUX
ejde-686	391	13	the	the	DET
ejde-686	391	14	first	first	ADJ
ejde-686	391	15	m	m	NOUN
ejde-686	391	16	−	−	NOUN
ejde-686	391	17	1	1	NUM
ejde-686	391	18	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	391	19	.	.	PUNCT
ejde-686	392	1	for	for	ADP
ejde-686	392	2	this	this	DET
ejde-686	392	3	choice	choice	NOUN
ejde-686	392	4	of	of	ADP
ejde-686	392	5	{	{	PUNCT
ejde-686	392	6	cj}mj=1	cj}mj=1	PROPN
ejde-686	392	7	,	,	PUNCT
ejde-686	392	8	w	w	PROPN
ejde-686	392	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	392	10	hm	hm	INTJ
ejde-686	392	11	µ	µ	NOUN
ejde-686	392	12	.	.	PUNCT
ejde-686	393	1	by	by	ADP
ejde-686	393	2	(	(	PUNCT
ejde-686	393	3	4.4	4.4	NUM
ejde-686	393	4	)	)	PUNCT
ejde-686	393	5	,	,	PUNCT
ejde-686	393	6	we	we	PRON
ejde-686	393	7	have	have	AUX
ejde-686	393	8	r̃µ(w	r̃µ(w	VERB
ejde-686	393	9	)	)	PUNCT
ejde-686	393	10	≥	≥	NOUN
ejde-686	393	11	λm	λm	ADP
ejde-686	393	12	.	.	PUNCT
ejde-686	394	1	combining	combine	VERB
ejde-686	394	2	this	this	PRON
ejde-686	394	3	and	and	CCONJ
ejde-686	394	4	(	(	PUNCT
ejde-686	394	5	4.8	4.8	NUM
ejde-686	394	6	)	)	PUNCT
ejde-686	394	7	,	,	PUNCT
ejde-686	394	8	we	we	PRON
ejde-686	394	9	have	have	VERB
ejde-686	394	10	λm	λm	NOUN
ejde-686	394	11	≤	≤	NUM
ejde-686	394	12	λn	λn	NOUN
ejde-686	394	13	.	.	PUNCT
ejde-686	395	1	since	since	SCONJ
ejde-686	395	2	λn	λn	PROPN
ejde-686	395	3	<	<	X
ejde-686	395	4	λn+rn	λn+rn	INTJ
ejde-686	395	5	,	,	PUNCT
ejde-686	395	6	we	we	PRON
ejde-686	395	7	have	have	VERB
ejde-686	395	8	λm	λm	X
ejde-686	395	9	<	<	X
ejde-686	395	10	λn+rn	λn+rn	X
ejde-686	395	11	.	.	PUNCT
ejde-686	396	1	thus	thus	ADV
ejde-686	396	2	m	m	PROPN
ejde-686	396	3	≤	≤	NUM
ejde-686	396	4	n+	n+	PUNCT
ejde-686	396	5	rn	rn	NOUN
ejde-686	396	6	−	−	PROPN
ejde-686	397	1	1	1	X
ejde-686	397	2	.	.	PUNCT
ejde-686	398	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	398	2	,	,	PUNCT
ejde-686	398	3	the	the	DET
ejde-686	398	4	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	398	5	set	set	NOUN
ejde-686	398	6	of	of	ADP
ejde-686	398	7	un	un	PROPN
ejde-686	398	8	divides	divide	VERB
ejde-686	398	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	398	10	into	into	ADP
ejde-686	398	11	at	at	ADV
ejde-686	398	12	most	most	ADV
ejde-686	398	13	n+	n+	PUNCT
ejde-686	398	14	rn	rn	NOUN
ejde-686	398	15	−	−	PROPN
ejde-686	398	16	1	1	NUM
ejde-686	398	17	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	398	18	.	.	PUNCT
ejde-686	399	1	□	□	PUNCT
ejde-686	399	2	from	from	ADP
ejde-686	399	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	399	4	1.1(a	1.1(a	NUM
ejde-686	399	5	)	)	PUNCT
ejde-686	399	6	,	,	PUNCT
ejde-686	399	7	we	we	PRON
ejde-686	399	8	can	can	AUX
ejde-686	399	9	immediately	immediately	ADV
ejde-686	399	10	derive	derive	VERB
ejde-686	399	11	the	the	DET
ejde-686	399	12	following	follow	VERB
ejde-686	399	13	corollary	corollary	NOUN
ejde-686	399	14	.	.	PUNCT
ejde-686	400	1	corollary	corollary	ADJ
ejde-686	400	2	4.4	4.4	NUM
ejde-686	400	3	.	.	PUNCT
ejde-686	401	1	the	the	DET
ejde-686	401	2	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-686	401	3	of	of	ADP
ejde-686	401	4	the	the	DET
ejde-686	401	5	first	first	ADJ
ejde-686	401	6	eigenvalue	eigenvalue	PROPN
ejde-686	401	7	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	401	8	is	be	AUX
ejde-686	401	9	1	1	NUM
ejde-686	401	10	.	.	PUNCT
ejde-686	402	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	402	2	.	.	PUNCT
ejde-686	403	1	suppose	suppose	VERB
ejde-686	403	2	,	,	PUNCT
ejde-686	403	3	on	on	ADP
ejde-686	403	4	the	the	DET
ejde-686	403	5	contrary	contrary	NOUN
ejde-686	403	6	,	,	PUNCT
ejde-686	403	7	that	that	SCONJ
ejde-686	403	8	the	the	DET
ejde-686	403	9	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-686	403	10	of	of	ADP
ejde-686	403	11	λ1	λ1	PROPN
ejde-686	403	12	is	be	AUX
ejde-686	403	13	not	not	PART
ejde-686	403	14	1	1	NUM
ejde-686	403	15	.	.	PUNCT
ejde-686	404	1	then	then	ADV
ejde-686	404	2	there	there	PRON
ejde-686	404	3	exists	exist	VERB
ejde-686	404	4	another	another	DET
ejde-686	404	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-686	404	6	-	-	PUNCT
ejde-686	404	7	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	404	8	v	v	NOUN
ejde-686	404	9	so	so	SCONJ
ejde-686	404	10	that	that	PRON
ejde-686	404	11	u1	u1	NOUN
ejde-686	404	12	and	and	CCONJ
ejde-686	404	13	v	v	NOUN
ejde-686	404	14	are	be	AUX
ejde-686	404	15	linearly	linearly	ADV
ejde-686	404	16	independent	independent	ADJ
ejde-686	404	17	in	in	ADP
ejde-686	404	18	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	404	19	,	,	PUNCT
ejde-686	404	20	µ	µ	NOUN
ejde-686	404	21	)	)	PUNCT
ejde-686	404	22	.	.	PUNCT
ejde-686	405	1	write	write	VERB
ejde-686	405	2	v	v	NOUN
ejde-686	405	3	=	=	SYM
ejde-686	405	4	c1u1	c1u1	PROPN
ejde-686	406	1	+	+	NOUN
ejde-686	406	2	w	w	NOUN
ejde-686	406	3	in	in	ADP
ejde-686	406	4	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	406	5	,	,	PUNCT
ejde-686	406	6	µ	µ	NOUN
ejde-686	406	7	)	)	PUNCT
ejde-686	406	8	,	,	PUNCT
ejde-686	406	9	where	where	SCONJ
ejde-686	406	10	c1	c1	PROPN
ejde-686	406	11	is	be	AUX
ejde-686	406	12	a	a	DET
ejde-686	406	13	constant	constant	ADJ
ejde-686	406	14	and	and	CCONJ
ejde-686	406	15	w	w	NOUN
ejde-686	406	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	406	17	(	(	PUNCT
ejde-686	406	18	span(u1	span(u1	NOUN
ejde-686	406	19	)	)	PUNCT
ejde-686	407	1	)	)	PUNCT
ejde-686	407	2	⊥.	⊥.	NUM
ejde-686	407	3	thus∫	thus∫	NOUN
ejde-686	407	4	ω	ω	NOUN
ejde-686	407	5	u1w	u1w	X
ejde-686	407	6	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	407	7	=	=	SYM
ejde-686	407	8	0	0	NUM
ejde-686	407	9	.	.	PUNCT
ejde-686	408	1	(	(	PUNCT
ejde-686	408	2	4.10	4.10	NUM
ejde-686	408	3	)	)	PUNCT
ejde-686	408	4	as	as	ADP
ejde-686	408	5	in	in	ADP
ejde-686	408	6	the	the	DET
ejde-686	408	7	proof	proof	NOUN
ejde-686	408	8	of	of	ADP
ejde-686	408	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	408	10	1.1	1.1	NUM
ejde-686	408	11	,	,	PUNCT
ejde-686	408	12	w	w	NOUN
ejde-686	408	13	does	do	AUX
ejde-686	408	14	not	not	PART
ejde-686	408	15	change	change	VERB
ejde-686	408	16	sign	sign	NOUN
ejde-686	408	17	in	in	ADP
ejde-686	408	18	ω	ω	PROPN
ejde-686	408	19	.	.	PUNCT
ejde-686	409	1	combining	combine	VERB
ejde-686	409	2	this	this	PRON
ejde-686	409	3	and	and	CCONJ
ejde-686	409	4	(	(	PUNCT
ejde-686	409	5	4.10	4.10	NUM
ejde-686	409	6	)	)	PUNCT
ejde-686	409	7	,	,	PUNCT
ejde-686	409	8	we	we	PRON
ejde-686	409	9	have	have	VERB
ejde-686	409	10	w(x	w(x	NOUN
ejde-686	409	11	)	)	PUNCT
ejde-686	410	1	=	=	SYM
ejde-686	410	2	0	0	PUNCT
ejde-686	410	3	(	(	PUNCT
ejde-686	410	4	µ-a.e	µ-a.e	NOUN
ejde-686	410	5	.	.	PUNCT
ejde-686	410	6	)	)	PUNCT
ejde-686	411	1	in	in	ADP
ejde-686	411	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	411	3	.	.	PUNCT
ejde-686	412	1	thus	thus	ADV
ejde-686	412	2	v	v	ADJ
ejde-686	412	3	=	=	SYM
ejde-686	412	4	c1u1	c1u1	NOUN
ejde-686	412	5	in	in	ADP
ejde-686	412	6	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	412	7	,	,	PUNCT
ejde-686	412	8	µ	µ	NOUN
ejde-686	412	9	)	)	PUNCT
ejde-686	412	10	,	,	PUNCT
ejde-686	412	11	contradicting	contradict	VERB
ejde-686	412	12	the	the	DET
ejde-686	412	13	fact	fact	NOUN
ejde-686	412	14	that	that	SCONJ
ejde-686	412	15	u1	u1	NOUN
ejde-686	412	16	and	and	CCONJ
ejde-686	412	17	v	v	NOUN
ejde-686	412	18	are	be	AUX
ejde-686	412	19	linearly	linearly	ADV
ejde-686	412	20	independent	independent	ADJ
ejde-686	412	21	in	in	ADP
ejde-686	412	22	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	412	23	,	,	PUNCT
ejde-686	412	24	µ	µ	NOUN
ejde-686	412	25	)	)	PUNCT
ejde-686	412	26	.	.	PUNCT
ejde-686	413	1	this	this	PRON
ejde-686	413	2	completes	complete	VERB
ejde-686	413	3	the	the	DET
ejde-686	413	4	proof	proof	NOUN
ejde-686	413	5	.	.	PUNCT
ejde-686	414	1	□	□	PUNCT
ejde-686	414	2	5	5	X
ejde-686	414	3	.	.	X
ejde-686	414	4	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	414	5	of	of	ADP
ejde-686	414	6	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	414	7	in	in	ADP
ejde-686	414	8	this	this	DET
ejde-686	414	9	section	section	NOUN
ejde-686	414	10	,	,	PUNCT
ejde-686	414	11	we	we	PRON
ejde-686	414	12	prove	prove	VERB
ejde-686	414	13	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	414	14	1.2	1.2	NUM
ejde-686	414	15	.	.	PUNCT
ejde-686	415	1	let	let	VERB
ejde-686	415	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	415	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	415	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	415	5	be	be	AUX
ejde-686	415	6	a	a	DET
ejde-686	415	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	415	8	domain	domain	NOUN
ejde-686	415	9	.	.	PUNCT
ejde-686	416	1	we	we	PRON
ejde-686	416	2	recall	recall	VERB
ejde-686	416	3	the	the	DET
ejde-686	416	4	green	green	ADJ
ejde-686	416	5	function	function	NOUN
ejde-686	416	6	of	of	ADP
ejde-686	416	7	the	the	DET
ejde-686	416	8	classical	classical	ADJ
ejde-686	416	9	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-686	416	10	∆.	∆.	PROPN
ejde-686	416	11	for	for	ADP
ejde-686	416	12	u	u	PROPN
ejde-686	416	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	416	14	c2(ω	c2(ω	PROPN
ejde-686	416	15	)	)	PUNCT
ejde-686	416	16	,	,	PUNCT
ejde-686	416	17	∆u	∆u	PROPN
ejde-686	416	18	=	=	SYM
ejde-686	416	19	d∑	d∑	PROPN
ejde-686	416	20	i=1	i=1	PROPN
ejde-686	416	21	∂2u	∂2u	PROPN
ejde-686	416	22	∂x2i	∂x2i	PROPN
ejde-686	416	23	.	.	PUNCT
ejde-686	417	1	let	let	VERB
ejde-686	417	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	417	3	,	,	PUNCT
ejde-686	417	4	y	y	NOUN
ejde-686	417	5	)	)	PUNCT
ejde-686	417	6	=	=	PRON
ejde-686	417	7	{	{	PUNCT
ejde-686	418	1	−	−	PROPN
ejde-686	418	2	1	1	NUM
ejde-686	418	3	2π	2π	NUM
ejde-686	418	4	ln	ln	PROPN
ejde-686	418	5	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	418	6	y|	y|	NOUN
ejde-686	418	7	if	if	SCONJ
ejde-686	418	8	d	d	PROPN
ejde-686	418	9	=	=	SYM
ejde-686	418	10	2	2	NUM
ejde-686	418	11	,	,	PUNCT
ejde-686	418	12	−|x−	−|x−	NOUN
ejde-686	418	13	y|2−d	y|2−d	PROPN
ejde-686	418	14	if	if	SCONJ
ejde-686	418	15	d	d	PROPN
ejde-686	418	16	≥	≥	NUM
ejde-686	418	17	3	3	NUM
ejde-686	418	18	.	.	PUNCT
ejde-686	418	19	(	(	PUNCT
ejde-686	418	20	5.1	5.1	NUM
ejde-686	418	21	)	)	PUNCT
ejde-686	418	22	ejde-2025/12	ejde-2025/12	NOUN
ejde-686	419	1	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	419	2	sets	set	NOUN
ejde-686	419	3	and	and	CCONJ
ejde-686	419	4	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	419	5	of	of	ADP
ejde-686	419	6	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	419	7	13	13	NUM
ejde-686	419	8	the	the	DET
ejde-686	419	9	following	follow	VERB
ejde-686	419	10	definition	definition	NOUN
ejde-686	419	11	of	of	ADP
ejde-686	419	12	green	green	PROPN
ejde-686	419	13	’s	’s	PART
ejde-686	419	14	function	function	NOUN
ejde-686	419	15	follows	follow	VERB
ejde-686	419	16	from	from	ADP
ejde-686	419	17	[	[	X
ejde-686	419	18	15	15	NUM
ejde-686	419	19	]	]	PUNCT
ejde-686	419	20	.	.	PUNCT
ejde-686	420	1	definition	definition	NOUN
ejde-686	420	2	5.1	5.1	NUM
ejde-686	420	3	.	.	PUNCT
ejde-686	421	1	let	let	VERB
ejde-686	421	2	d	d	X
ejde-686	421	3	≥	≥	NUM
ejde-686	421	4	2	2	NUM
ejde-686	421	5	,	,	PUNCT
ejde-686	421	6	ω	ω	PROPN
ejde-686	421	7	⊆	⊆	NUM
ejde-686	421	8	rd	rd	NOUN
ejde-686	421	9	be	be	AUX
ejde-686	421	10	a	a	DET
ejde-686	421	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	421	12	domain	domain	NOUN
ejde-686	421	13	.	.	PUNCT
ejde-686	422	1	if	if	SCONJ
ejde-686	422	2	there	there	PRON
ejde-686	422	3	exists	exist	VERB
ejde-686	422	4	a	a	DET
ejde-686	422	5	real	real	ADV
ejde-686	422	6	valued	value	VERB
ejde-686	422	7	function	function	NOUN
ejde-686	422	8	hω	hω	ADP
ejde-686	422	9	(	(	PUNCT
ejde-686	422	10	·	·	PUNCT
ejde-686	422	11	,	,	PUNCT
ejde-686	422	12	·	·	PUNCT
ejde-686	422	13	)	)	PUNCT
ejde-686	422	14	on	on	ADP
ejde-686	422	15	ω×ω	ω×ω	NUM
ejde-686	422	16	such	such	ADJ
ejde-686	422	17	that	that	PRON
ejde-686	422	18	for	for	ADP
ejde-686	422	19	each	each	DET
ejde-686	422	20	x	x	SYM
ejde-686	422	21	∈	∈	PROPN
ejde-686	422	22	ω	ω	PROPN
ejde-686	422	23	,	,	PUNCT
ejde-686	422	24	hω(x	hω(x	X
ejde-686	422	25	,	,	PUNCT
ejde-686	422	26	·	·	PUNCT
ejde-686	422	27	)	)	PUNCT
ejde-686	422	28	is	be	AUX
ejde-686	422	29	the	the	DET
ejde-686	422	30	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	422	31	minorant	minorant	NOUN
ejde-686	422	32	of	of	ADP
ejde-686	422	33	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	422	34	,	,	PUNCT
ejde-686	422	35	·	·	PUNCT
ejde-686	422	36	)	)	PUNCT
ejde-686	422	37	on	on	ADP
ejde-686	422	38	ω	ω	NUM
ejde-686	422	39	,	,	PUNCT
ejde-686	422	40	i.e.	i.e.	X
ejde-686	422	41	,	,	PUNCT
ejde-686	422	42	hω(x	hω(x	X
ejde-686	422	43	,	,	PUNCT
ejde-686	422	44	·	·	PUNCT
ejde-686	422	45	)	)	PUNCT
ejde-686	422	46	is	be	AUX
ejde-686	422	47	the	the	DET
ejde-686	422	48	greatest	great	ADJ
ejde-686	422	49	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	422	50	function	function	NOUN
ejde-686	422	51	satisfying	satisfy	VERB
ejde-686	422	52	hω(x	hω(x	X
ejde-686	422	53	,	,	PUNCT
ejde-686	422	54	·	·	PUNCT
ejde-686	422	55	)	)	PUNCT
ejde-686	422	56	≤	≤	NOUN
ejde-686	422	57	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	422	58	,	,	PUNCT
ejde-686	422	59	·	·	PUNCT
ejde-686	422	60	)	)	PUNCT
ejde-686	422	61	(	(	PUNCT
ejde-686	422	62	5.2	5.2	NUM
ejde-686	422	63	)	)	PUNCT
ejde-686	422	64	on	on	ADP
ejde-686	422	65	ω	ω	NUM
ejde-686	422	66	,	,	PUNCT
ejde-686	422	67	then	then	ADV
ejde-686	422	68	the	the	DET
ejde-686	422	69	function	function	NOUN
ejde-686	422	70	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	422	71	,	,	PUNCT
ejde-686	422	72	y	y	NOUN
ejde-686	422	73	)	)	PUNCT
ejde-686	422	74	:	:	PUNCT
ejde-686	423	1	=	=	SYM
ejde-686	423	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	423	3	,	,	PUNCT
ejde-686	423	4	y)−	y)−	PROPN
ejde-686	423	5	hω(x	hω(x	X
ejde-686	423	6	,	,	PUNCT
ejde-686	423	7	y	y	PROPN
ejde-686	423	8	)	)	PUNCT
ejde-686	423	9	(	(	PUNCT
ejde-686	423	10	5.3	5.3	NUM
ejde-686	423	11	)	)	PUNCT
ejde-686	423	12	is	be	AUX
ejde-686	423	13	called	call	VERB
ejde-686	423	14	the	the	DET
ejde-686	423	15	green	green	ADJ
ejde-686	423	16	function	function	NOUN
ejde-686	423	17	of	of	ADP
ejde-686	423	18	ω	ω	PROPN
ejde-686	423	19	.	.	PUNCT
ejde-686	424	1	it	it	PRON
ejde-686	424	2	is	be	AUX
ejde-686	424	3	known	know	VERB
ejde-686	424	4	that	that	SCONJ
ejde-686	424	5	hω(x	hω(x	ADP
ejde-686	424	6	,	,	PUNCT
ejde-686	424	7	y	y	PROPN
ejde-686	424	8	)	)	PUNCT
ejde-686	424	9	,	,	PUNCT
ejde-686	424	10	if	if	SCONJ
ejde-686	424	11	it	it	PRON
ejde-686	424	12	exists	exist	VERB
ejde-686	424	13	,	,	PUNCT
ejde-686	424	14	is	be	AUX
ejde-686	424	15	a	a	DET
ejde-686	424	16	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-686	424	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	424	18	function	function	NOUN
ejde-686	424	19	on	on	ADP
ejde-686	424	20	ω	ω	NUM
ejde-686	424	21	×	×	PROPN
ejde-686	424	22	ω	ω	NOUN
ejde-686	425	1	[	[	X
ejde-686	425	2	25	25	NUM
ejde-686	425	3	]	]	PUNCT
ejde-686	425	4	.	.	PUNCT
ejde-686	426	1	hence	hence	ADV
ejde-686	426	2	the	the	DET
ejde-686	426	3	green	green	ADJ
ejde-686	426	4	function	function	NOUN
ejde-686	426	5	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	426	6	,	,	PUNCT
ejde-686	426	7	y	y	NOUN
ejde-686	426	8	)	)	PUNCT
ejde-686	426	9	is	be	AUX
ejde-686	426	10	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-686	426	11	on	on	ADP
ejde-686	426	12	ω	ω	NUM
ejde-686	426	13	×	×	PROPN
ejde-686	426	14	ω	ω	NOUN
ejde-686	427	1	[	[	X
ejde-686	427	2	15	15	NUM
ejde-686	427	3	]	]	PUNCT
ejde-686	427	4	.	.	PUNCT
ejde-686	428	1	some	some	DET
ejde-686	428	2	basic	basic	ADJ
ejde-686	428	3	properties	property	NOUN
ejde-686	428	4	of	of	ADP
ejde-686	428	5	the	the	DET
ejde-686	428	6	green	green	ADJ
ejde-686	428	7	function	function	NOUN
ejde-686	428	8	are	be	AUX
ejde-686	428	9	summarized	summarize	VERB
ejde-686	428	10	below	below	ADV
ejde-686	428	11	.	.	PUNCT
ejde-686	429	1	fix	fix	VERB
ejde-686	429	2	any	any	DET
ejde-686	429	3	point	point	NOUN
ejde-686	429	4	x	x	X
ejde-686	429	5	∈	∈	PROPN
ejde-686	429	6	ω	ω	PROPN
ejde-686	429	7	.	.	PUNCT
ejde-686	430	1	(	(	PUNCT
ejde-686	430	2	a	a	X
ejde-686	430	3	)	)	PUNCT
ejde-686	430	4	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	430	5	,	,	PUNCT
ejde-686	430	6	·	·	PUNCT
ejde-686	430	7	)	)	PUNCT
ejde-686	430	8	is	be	AUX
ejde-686	430	9	defined	define	VERB
ejde-686	430	10	on	on	ADP
ejde-686	430	11	ω×	ω×	PROPN
ejde-686	430	12	ω	ω	NOUN
ejde-686	430	13	and	and	CCONJ
ejde-686	430	14	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	430	15	,	,	PUNCT
ejde-686	430	16	x	x	X
ejde-686	430	17	)	)	PUNCT
ejde-686	430	18	=	=	PUNCT
ejde-686	431	1	+	+	NUM
ejde-686	431	2	∞	∞	PROPN
ejde-686	431	3	[	[	X
ejde-686	431	4	15	15	NUM
ejde-686	431	5	,	,	PUNCT
ejde-686	431	6	chapter	chapter	NOUN
ejde-686	431	7	vii.4	vii.4	PROPN
ejde-686	431	8	]	]	PUNCT
ejde-686	431	9	.	.	PUNCT
ejde-686	432	1	(	(	PUNCT
ejde-686	432	2	b	b	X
ejde-686	432	3	)	)	PUNCT
ejde-686	432	4	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	432	5	,	,	PUNCT
ejde-686	432	6	·	·	PUNCT
ejde-686	432	7	)	)	PUNCT
ejde-686	432	8	is	be	AUX
ejde-686	432	9	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	432	10	and	and	CCONJ
ejde-686	432	11	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	432	12	on	on	ADP
ejde-686	433	1	ω−	ω−	PROPN
ejde-686	433	2	{	{	PUNCT
ejde-686	433	3	x	x	SYM
ejde-686	433	4	}	}	PUNCT
ejde-686	433	5	[	[	X
ejde-686	433	6	15	15	NUM
ejde-686	433	7	,	,	PUNCT
ejde-686	433	8	chapter	chapter	NOUN
ejde-686	433	9	vii.4	vii.4	PROPN
ejde-686	433	10	]	]	PUNCT
ejde-686	433	11	.	.	PUNCT
ejde-686	434	1	(	(	PUNCT
ejde-686	434	2	c	c	X
ejde-686	434	3	)	)	PUNCT
ejde-686	434	4	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	434	5	,	,	PUNCT
ejde-686	434	6	y	y	NOUN
ejde-686	434	7	)	)	PUNCT
ejde-686	434	8	≥	≥	NOUN
ejde-686	434	9	0	0	NUM
ejde-686	434	10	for	for	ADP
ejde-686	434	11	any	any	DET
ejde-686	434	12	y	y	PROPN
ejde-686	434	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	434	14	ω	ω	PROPN
ejde-686	434	15	(	(	PUNCT
ejde-686	434	16	by	by	ADP
ejde-686	434	17	(	(	PUNCT
ejde-686	434	18	5.2	5.2	NUM
ejde-686	434	19	)	)	PUNCT
ejde-686	434	20	)	)	PUNCT
ejde-686	434	21	.	.	PUNCT
ejde-686	435	1	for	for	ADP
ejde-686	435	2	a	a	DET
ejde-686	435	3	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	435	4	domain	domain	NOUN
ejde-686	435	5	on	on	ADP
ejde-686	435	6	which	which	PRON
ejde-686	435	7	the	the	DET
ejde-686	435	8	green	green	ADJ
ejde-686	435	9	function	function	NOUN
ejde-686	435	10	exists	exist	VERB
ejde-686	435	11	,	,	PUNCT
ejde-686	435	12	we	we	PRON
ejde-686	435	13	provide	provide	VERB
ejde-686	435	14	an	an	DET
ejde-686	435	15	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-686	435	16	definition	definition	NOUN
ejde-686	435	17	of	of	ADP
ejde-686	435	18	a	a	DET
ejde-686	435	19	regular	regular	ADJ
ejde-686	435	20	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	435	21	(	(	PUNCT
ejde-686	435	22	see	see	VERB
ejde-686	435	23	[	[	X
ejde-686	435	24	15	15	NUM
ejde-686	435	25	,	,	PUNCT
ejde-686	435	26	viii	viii	NOUN
ejde-686	435	27	14	14	NUM
ejde-686	435	28	]	]	PUNCT
ejde-686	435	29	or	or	CCONJ
ejde-686	435	30	[	[	X
ejde-686	435	31	35	35	NUM
ejde-686	435	32	]	]	PUNCT
ejde-686	435	33	)	)	PUNCT
ejde-686	435	34	.	.	PUNCT
ejde-686	436	1	definition	definition	NOUN
ejde-686	436	2	5.2	5.2	NUM
ejde-686	436	3	.	.	PUNCT
ejde-686	437	1	a	a	DET
ejde-686	437	2	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	437	3	domain	domain	NOUN
ejde-686	437	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	437	5	⊆	⊆	NUM
ejde-686	437	6	rd	rd	NOUN
ejde-686	437	7	(	(	PUNCT
ejde-686	437	8	d	d	NOUN
ejde-686	437	9	≥	≥	NUM
ejde-686	437	10	2	2	NUM
ejde-686	437	11	)	)	PUNCT
ejde-686	437	12	on	on	ADP
ejde-686	437	13	which	which	PRON
ejde-686	437	14	the	the	DET
ejde-686	437	15	green	green	ADJ
ejde-686	437	16	function	function	NOUN
ejde-686	437	17	exists	exist	VERB
ejde-686	437	18	is	be	AUX
ejde-686	437	19	said	say	VERB
ejde-686	437	20	to	to	PART
ejde-686	437	21	have	have	VERB
ejde-686	437	22	a	a	DET
ejde-686	437	23	regular	regular	ADJ
ejde-686	437	24	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	437	25	if	if	SCONJ
ejde-686	437	26	for	for	ADP
ejde-686	437	27	any	any	DET
ejde-686	437	28	z	z	NOUN
ejde-686	437	29	∈	∈	PROPN
ejde-686	437	30	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	437	31	and	and	CCONJ
ejde-686	438	1	y	y	PROPN
ejde-686	438	2	∈	∈	PROPN
ejde-686	438	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	438	4	,	,	PUNCT
ejde-686	438	5	lim	lim	PROPN
ejde-686	438	6	x→z	x→z	PROPN
ejde-686	439	1	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	439	2	,	,	PUNCT
ejde-686	439	3	y	y	NOUN
ejde-686	439	4	)	)	PUNCT
ejde-686	439	5	=	=	SYM
ejde-686	440	1	0	0	X
ejde-686	440	2	.	.	PUNCT
ejde-686	440	3	remark	remark	VERB
ejde-686	440	4	5.3	5.3	NUM
ejde-686	440	5	.	.	PUNCT
ejde-686	441	1	for	for	ADP
ejde-686	441	2	any	any	DET
ejde-686	441	3	open	open	ADJ
ejde-686	441	4	set	set	NOUN
ejde-686	441	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	441	6	⊆	⊆	NUM
ejde-686	441	7	rd	rd	NOUN
ejde-686	441	8	,	,	PUNCT
ejde-686	441	9	the	the	DET
ejde-686	441	10	green	green	ADJ
ejde-686	441	11	function	function	NOUN
ejde-686	441	12	always	always	ADV
ejde-686	441	13	exists	exist	VERB
ejde-686	441	14	when	when	SCONJ
ejde-686	441	15	d	d	X
ejde-686	441	16	≥	≥	NUM
ejde-686	441	17	3	3	NUM
ejde-686	441	18	.	.	PUNCT
ejde-686	441	19	when	when	SCONJ
ejde-686	441	20	d	d	NOUN
ejde-686	441	21	=	=	SYM
ejde-686	441	22	2	2	NUM
ejde-686	441	23	,	,	PUNCT
ejde-686	441	24	the	the	DET
ejde-686	441	25	green	green	ADJ
ejde-686	441	26	function	function	NOUN
ejde-686	441	27	exists	exist	VERB
ejde-686	441	28	if	if	SCONJ
ejde-686	441	29	r2	r2	PROPN
ejde-686	441	30	\	\	PROPN
ejde-686	441	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-686	441	32	is	be	AUX
ejde-686	441	33	not	not	PART
ejde-686	441	34	connected	connect	VERB
ejde-686	441	35	(	(	PUNCT
ejde-686	441	36	see	see	VERB
ejde-686	441	37	[	[	X
ejde-686	441	38	4	4	NUM
ejde-686	441	39	,	,	PUNCT
ejde-686	441	40	theorm	theorm	NOUN
ejde-686	441	41	4.1.2	4.1.2	NUM
ejde-686	441	42	]	]	PUNCT
ejde-686	441	43	and	and	CCONJ
ejde-686	441	44	[	[	X
ejde-686	441	45	35	35	NUM
ejde-686	441	46	,	,	PUNCT
ejde-686	441	47	5	5	NUM
ejde-686	441	48	]	]	NUM
ejde-686	441	49	)	)	PUNCT
ejde-686	441	50	.	.	PUNCT
ejde-686	442	1	examples	example	NOUN
ejde-686	442	2	of	of	ADP
ejde-686	442	3	domains	domain	NOUN
ejde-686	442	4	with	with	ADP
ejde-686	442	5	regular	regular	ADJ
ejde-686	442	6	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	442	7	include	include	VERB
ejde-686	442	8	those	those	PRON
ejde-686	442	9	with	with	ADP
ejde-686	442	10	smooth	smooth	ADJ
ejde-686	442	11	or	or	CCONJ
ejde-686	442	12	lipschitz	lipschitz	VERB
ejde-686	442	13	boundaries	boundary	NOUN
ejde-686	442	14	(	(	PUNCT
ejde-686	442	15	see	see	VERB
ejde-686	442	16	[	[	X
ejde-686	442	17	35	35	NUM
ejde-686	442	18	,	,	PUNCT
ejde-686	442	19	section	section	NOUN
ejde-686	442	20	4	4	NUM
ejde-686	442	21	]	]	PUNCT
ejde-686	442	22	)	)	PUNCT
ejde-686	442	23	.	.	PUNCT
ejde-686	443	1	for	for	ADP
ejde-686	443	2	f	f	PROPN
ejde-686	443	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	443	4	c1(ω	c1(ω	PROPN
ejde-686	443	5	)	)	PUNCT
ejde-686	443	6	,	,	PUNCT
ejde-686	443	7	the	the	DET
ejde-686	443	8	unique	unique	ADJ
ejde-686	443	9	solution	solution	NOUN
ejde-686	443	10	of	of	ADP
ejde-686	443	11	the	the	DET
ejde-686	443	12	equation	equation	NOUN
ejde-686	443	13	in	in	ADP
ejde-686	443	14	c2(ω	c2(ω	ADV
ejde-686	443	15	):	):	PUNCT
ejde-686	443	16	−∆u	−∆u	X
ejde-686	443	17	=	=	PUNCT
ejde-686	443	18	f	f	X
ejde-686	443	19	u|∂ω	u|∂ω	PROPN
ejde-686	443	20	=	=	SYM
ejde-686	443	21	0	0	PUNCT
ejde-686	443	22	can	can	AUX
ejde-686	443	23	be	be	AUX
ejde-686	443	24	represented	represent	VERB
ejde-686	443	25	through	through	ADP
ejde-686	443	26	the	the	DET
ejde-686	443	27	green	green	ADJ
ejde-686	443	28	function	function	NOUN
ejde-686	443	29	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	443	30	,	,	PUNCT
ejde-686	443	31	y	y	NOUN
ejde-686	443	32	)	)	PUNCT
ejde-686	443	33	by	by	ADP
ejde-686	443	34	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	443	35	)	)	PUNCT
ejde-686	444	1	=	=	SYM
ejde-686	444	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	445	1	ω	ω	NUM
ejde-686	445	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	445	3	,	,	PUNCT
ejde-686	445	4	y)f(y	y)f(y	NOUN
ejde-686	445	5	)	)	PUNCT
ejde-686	445	6	dy	dy	NOUN
ejde-686	445	7	.	.	PUNCT
ejde-686	446	1	more	more	ADJ
ejde-686	446	2	details	detail	NOUN
ejde-686	446	3	about	about	ADP
ejde-686	446	4	the	the	DET
ejde-686	446	5	green	green	ADJ
ejde-686	446	6	function	function	NOUN
ejde-686	446	7	can	can	AUX
ejde-686	446	8	be	be	AUX
ejde-686	446	9	found	find	VERB
ejde-686	446	10	in	in	ADP
ejde-686	446	11	,	,	PUNCT
ejde-686	446	12	for	for	ADP
ejde-686	446	13	example	example	NOUN
ejde-686	446	14	,	,	PUNCT
ejde-686	446	15	[	[	X
ejde-686	446	16	4	4	NUM
ejde-686	446	17	,	,	PUNCT
ejde-686	446	18	16	16	NUM
ejde-686	446	19	,	,	PUNCT
ejde-686	446	20	35	35	NUM
ejde-686	446	21	,	,	PUNCT
ejde-686	446	22	10	10	NUM
ejde-686	446	23	,	,	PUNCT
ejde-686	446	24	11	11	NUM
ejde-686	446	25	,	,	PUNCT
ejde-686	446	26	15	15	NUM
ejde-686	446	27	]	]	PUNCT
ejde-686	446	28	.	.	PUNCT
ejde-686	447	1	according	accord	VERB
ejde-686	447	2	to	to	ADP
ejde-686	447	3	[	[	X
ejde-686	447	4	25	25	NUM
ejde-686	447	5	]	]	PUNCT
ejde-686	447	6	,	,	PUNCT
ejde-686	447	7	the	the	DET
ejde-686	447	8	green	green	ADJ
ejde-686	447	9	function	function	NOUN
ejde-686	447	10	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	447	11	,	,	PUNCT
ejde-686	447	12	y	y	NOUN
ejde-686	447	13	)	)	PUNCT
ejde-686	447	14	for	for	ADP
ejde-686	447	15	∆	∆	PROPN
ejde-686	447	16	,	,	PUNCT
ejde-686	447	17	if	if	SCONJ
ejde-686	447	18	exists	exist	VERB
ejde-686	447	19	,	,	PUNCT
ejde-686	447	20	is	be	AUX
ejde-686	447	21	also	also	ADV
ejde-686	447	22	the	the	DET
ejde-686	447	23	green	green	ADJ
ejde-686	447	24	function	function	NOUN
ejde-686	447	25	for	for	ADP
ejde-686	447	26	∆µ.	∆µ.	NUM
ejde-686	447	27	it	it	PRON
ejde-686	447	28	means	mean	VERB
ejde-686	447	29	that	that	SCONJ
ejde-686	447	30	for	for	ADP
ejde-686	447	31	the	the	DET
ejde-686	447	32	equation	equation	NOUN
ejde-686	447	33	−∆µu	−∆µu	NOUN
ejde-686	448	1	=	=	SYM
ejde-686	448	2	f	f	X
ejde-686	448	3	,	,	PUNCT
ejde-686	448	4	there	there	PRON
ejde-686	448	5	exists	exist	VERB
ejde-686	448	6	a	a	DET
ejde-686	448	7	green	green	ADJ
ejde-686	448	8	operator	operator	NOUN
ejde-686	448	9	defined	define	VERB
ejde-686	448	10	on	on	ADP
ejde-686	448	11	lp(ω	lp(ω	PROPN
ejde-686	448	12	,	,	PUNCT
ejde-686	448	13	µ	µ	NOUN
ejde-686	448	14	)	)	PUNCT
ejde-686	448	15	(	(	PUNCT
ejde-686	448	16	p	p	NOUN
ejde-686	448	17	≥	≥	NOUN
ejde-686	448	18	1	1	NUM
ejde-686	448	19	)	)	PUNCT
ejde-686	448	20	by	by	ADP
ejde-686	448	21	(	(	PUNCT
ejde-686	448	22	gµf)(x	gµf)(x	PROPN
ejde-686	448	23	)	)	PUNCT
ejde-686	448	24	:	:	PUNCT
ejde-686	449	1	=	=	SYM
ejde-686	449	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	450	1	ω	ω	NUM
ejde-686	450	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	450	3	,	,	PUNCT
ejde-686	450	4	y)f(y	y)f(y	NOUN
ejde-686	450	5	)	)	PUNCT
ejde-686	450	6	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	450	7	)	)	PUNCT
ejde-686	450	8	(	(	PUNCT
ejde-686	450	9	5.4	5.4	NUM
ejde-686	450	10	)	)	PUNCT
ejde-686	451	1	such	such	ADJ
ejde-686	451	2	that	that	PRON
ejde-686	451	3	u	u	NOUN
ejde-686	452	1	=	=	NOUN
ejde-686	453	1	gµf	gµf	PROPN
ejde-686	453	2	.	.	PUNCT
ejde-686	454	1	the	the	DET
ejde-686	454	2	operator	operator	NOUN
ejde-686	454	3	gµ	gµ	NOUN
ejde-686	454	4	is	be	AUX
ejde-686	454	5	the	the	DET
ejde-686	454	6	inverse	inverse	NOUN
ejde-686	454	7	of	of	ADP
ejde-686	454	8	−∆µ	−∆µ	NOUN
ejde-686	455	1	[	[	X
ejde-686	455	2	25	25	NUM
ejde-686	455	3	,	,	PUNCT
ejde-686	455	4	theorem	theorem	VERB
ejde-686	455	5	1.3	1.3	NUM
ejde-686	455	6	]	]	PUNCT
ejde-686	455	7	.	.	PUNCT
ejde-686	456	1	to	to	PART
ejde-686	456	2	ensure	ensure	VERB
ejde-686	456	3	that	that	SCONJ
ejde-686	456	4	gµ	gµ	PROPN
ejde-686	456	5	has	have	VERB
ejde-686	456	6	good	good	ADJ
ejde-686	456	7	properties	property	NOUN
ejde-686	456	8	,	,	PUNCT
ejde-686	456	9	we	we	PRON
ejde-686	456	10	need	need	VERB
ejde-686	456	11	the	the	DET
ejde-686	456	12	following	following	ADJ
ejde-686	456	13	assumption	assumption	NOUN
ejde-686	456	14	in	in	ADP
ejde-686	456	15	[	[	X
ejde-686	456	16	25	25	NUM
ejde-686	456	17	]	]	PUNCT
ejde-686	456	18	:	:	PUNCT
ejde-686	457	1	sup	sup	NUM
ejde-686	457	2	x∈ω	x∈ω	NOUN
ejde-686	457	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	457	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	457	5	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	457	6	,	,	PUNCT
ejde-686	457	7	y	y	NOUN
ejde-686	457	8	)	)	PUNCT
ejde-686	457	9	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	457	10	)	)	PUNCT
ejde-686	457	11	≤	≤	PUNCT
ejde-686	458	1	c	c	X
ejde-686	458	2	<	<	X
ejde-686	459	1	+	+	X
ejde-686	459	2	∞	∞	NUM
ejde-686	459	3	for	for	ADP
ejde-686	459	4	some	some	DET
ejde-686	459	5	constant	constant	ADJ
ejde-686	459	6	c	c	NOUN
ejde-686	459	7	>	>	X
ejde-686	459	8	0	0	NUM
ejde-686	459	9	.	.	PUNCT
ejde-686	460	1	(	(	PUNCT
ejde-686	460	2	5.5	5.5	NUM
ejde-686	460	3	)	)	PUNCT
ejde-686	460	4	it	it	PRON
ejde-686	460	5	is	be	AUX
ejde-686	460	6	proved	prove	VERB
ejde-686	460	7	in	in	ADP
ejde-686	460	8	[	[	X
ejde-686	460	9	25	25	NUM
ejde-686	460	10	]	]	PUNCT
ejde-686	460	11	that	that	SCONJ
ejde-686	460	12	the	the	DET
ejde-686	460	13	condition	condition	NOUN
ejde-686	460	14	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	460	15	)	)	PUNCT
ejde-686	460	16	>	>	X
ejde-686	461	1	d−	d−	PROPN
ejde-686	461	2	2	2	NUM
ejde-686	461	3	implies	imply	VERB
ejde-686	461	4	(	(	PUNCT
ejde-686	461	5	5.5	5.5	NUM
ejde-686	461	6	)	)	PUNCT
ejde-686	461	7	.	.	PUNCT
ejde-686	462	1	14	14	NUM
ejde-686	462	2	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	462	3	.	.	PUNCT
ejde-686	463	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	463	2	,	,	PUNCT
ejde-686	463	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	463	4	.	.	PUNCT
ejde-686	464	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	464	2	,	,	PUNCT
ejde-686	464	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	464	4	.	.	PUNCT
ejde-686	465	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	465	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	465	3	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	465	4	5.4	5.4	NUM
ejde-686	465	5	.	.	PUNCT
ejde-686	466	1	let	let	VERB
ejde-686	466	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	466	3	⊆	⊆	NUM
ejde-686	466	4	rd	rd	NOUN
ejde-686	466	5	be	be	AUX
ejde-686	466	6	a	a	DET
ejde-686	466	7	bounded	bounded	ADJ
ejde-686	466	8	domain	domain	NOUN
ejde-686	466	9	on	on	ADP
ejde-686	466	10	which	which	PRON
ejde-686	466	11	the	the	DET
ejde-686	466	12	classical	classical	ADJ
ejde-686	466	13	green	green	ADJ
ejde-686	466	14	function	function	NOUN
ejde-686	466	15	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	466	16	,	,	PUNCT
ejde-686	466	17	y	y	NOUN
ejde-686	466	18	)	)	PUNCT
ejde-686	466	19	exists	exist	VERB
ejde-686	466	20	and	and	CCONJ
ejde-686	466	21	let	let	VERB
ejde-686	466	22	f	f	PROPN
ejde-686	466	23	∈	∈	PROPN
ejde-686	466	24	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	466	25	)	)	PUNCT
ejde-686	466	26	.	.	PUNCT
ejde-686	467	1	let	let	VERB
ejde-686	467	2	µ	µ	X
ejde-686	467	3	be	be	AUX
ejde-686	467	4	a	a	DET
ejde-686	467	5	finite	finite	ADJ
ejde-686	467	6	positive	positive	ADJ
ejde-686	467	7	borel	borel	NOUN
ejde-686	467	8	measure	measure	NOUN
ejde-686	467	9	with	with	ADP
ejde-686	467	10	supp(µ	supp(µ	NOUN
ejde-686	467	11	)	)	PUNCT
ejde-686	467	12	⊆	⊆	NUM
ejde-686	467	13	ω	ω	PROPN
ejde-686	467	14	.	.	PUNCT
ejde-686	468	1	assume	assume	VERB
ejde-686	468	2	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	468	3	)	)	PUNCT
ejde-686	468	4	>	>	PUNCT
ejde-686	469	1	d−	d−	PROPN
ejde-686	469	2	2	2	NUM
ejde-686	469	3	.	.	PUNCT
ejde-686	470	1	then	then	ADV
ejde-686	470	2	gµf	gµf	PROPN
ejde-686	470	3	is	be	AUX
ejde-686	470	4	bounded	bound	VERB
ejde-686	470	5	,	,	PUNCT
ejde-686	470	6	i.e.	i.e.	X
ejde-686	470	7	,	,	PUNCT
ejde-686	470	8	there	there	PRON
ejde-686	470	9	exists	exist	VERB
ejde-686	470	10	a	a	DET
ejde-686	470	11	constant	constant	ADJ
ejde-686	470	12	c̃	c̃	PROPN
ejde-686	470	13	>	>	PUNCT
ejde-686	470	14	0	0	NUM
ejde-686	470	15	such	such	ADJ
ejde-686	470	16	that	that	SCONJ
ejde-686	470	17	|gµf(x)|	|gµf(x)|	PROPN
ejde-686	470	18	≤	≤	NUM
ejde-686	470	19	c̃	c̃	PROPN
ejde-686	470	20	for	for	ADP
ejde-686	470	21	all	all	DET
ejde-686	470	22	x	x	SYM
ejde-686	470	23	∈	∈	PROPN
ejde-686	470	24	ω	ω	NOUN
ejde-686	470	25	.	.	PUNCT
ejde-686	471	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	471	2	.	.	PUNCT
ejde-686	472	1	since	since	SCONJ
ejde-686	472	2	the	the	DET
ejde-686	472	3	case	case	NOUN
ejde-686	472	4	d	d	NOUN
ejde-686	472	5	=	=	SYM
ejde-686	472	6	1	1	NUM
ejde-686	472	7	is	be	AUX
ejde-686	472	8	clear	clear	ADJ
ejde-686	472	9	,	,	PUNCT
ejde-686	472	10	we	we	PRON
ejde-686	472	11	divide	divide	VERB
ejde-686	472	12	the	the	DET
ejde-686	472	13	proof	proof	NOUN
ejde-686	472	14	into	into	ADP
ejde-686	472	15	two	two	NUM
ejde-686	472	16	cases	case	NOUN
ejde-686	472	17	:	:	PUNCT
ejde-686	472	18	d	d	NOUN
ejde-686	472	19	=	=	SYM
ejde-686	472	20	2	2	NUM
ejde-686	472	21	and	and	CCONJ
ejde-686	472	22	d	d	NOUN
ejde-686	472	23	≥	≥	NUM
ejde-686	472	24	3	3	NUM
ejde-686	472	25	.	.	PUNCT
ejde-686	472	26	case	case	NOUN
ejde-686	472	27	1	1	NUM
ejde-686	472	28	.	.	PUNCT
ejde-686	473	1	d	d	NOUN
ejde-686	473	2	=	=	SYM
ejde-686	473	3	2	2	X
ejde-686	473	4	.	.	X
ejde-686	473	5	we	we	PRON
ejde-686	473	6	claim	claim	VERB
ejde-686	473	7	that	that	SCONJ
ejde-686	473	8	for	for	ADP
ejde-686	473	9	each	each	DET
ejde-686	473	10	x	x	SYM
ejde-686	473	11	∈	∈	PROPN
ejde-686	473	12	ω	ω	PROPN
ejde-686	473	13	,	,	PUNCT
ejde-686	473	14	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	473	15	,	,	PUNCT
ejde-686	473	16	y	y	NOUN
ejde-686	473	17	)	)	PUNCT
ejde-686	473	18	∈	∈	PROPN
ejde-686	473	19	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	473	20	,	,	PUNCT
ejde-686	473	21	µ	µ	NOUN
ejde-686	473	22	)	)	PUNCT
ejde-686	473	23	.	.	PUNCT
ejde-686	474	1	by	by	ADP
ejde-686	474	2	(	(	PUNCT
ejde-686	474	3	5.3	5.3	NUM
ejde-686	474	4	)	)	PUNCT
ejde-686	474	5	,	,	PUNCT
ejde-686	474	6	it	it	PRON
ejde-686	474	7	suffices	suffice	VERB
ejde-686	474	8	to	to	PART
ejde-686	474	9	prove	prove	VERB
ejde-686	474	10	that	that	SCONJ
ejde-686	474	11	there	there	PRON
ejde-686	474	12	exists	exist	VERB
ejde-686	474	13	some	some	DET
ejde-686	474	14	constant	constant	ADJ
ejde-686	474	15	c̃	c̃	PROPN
ejde-686	474	16	>	>	PUNCT
ejde-686	474	17	0	0	NUM
ejde-686	475	1	such	such	ADJ
ejde-686	475	2	that∫	that∫	PROPN
ejde-686	475	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	475	4	(	(	PUNCT
ejde-686	475	5	ln	ln	PROPN
ejde-686	475	6	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	475	7	y|)2	y|)2	NOUN
ejde-686	475	8	dµ(y	dµ(y	PROPN
ejde-686	475	9	)	)	PUNCT
ejde-686	475	10	≤	≤	NUM
ejde-686	476	1	c̃	c̃	PROPN
ejde-686	476	2	(	(	PUNCT
ejde-686	476	3	5.6	5.6	NUM
ejde-686	476	4	)	)	PUNCT
ejde-686	476	5	for	for	ADP
ejde-686	476	6	all	all	DET
ejde-686	476	7	x	x	SYM
ejde-686	476	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	476	9	ω	ω	NOUN
ejde-686	476	10	.	.	PUNCT
ejde-686	477	1	using	use	VERB
ejde-686	477	2	the	the	DET
ejde-686	477	3	same	same	ADJ
ejde-686	477	4	method	method	NOUN
ejde-686	477	5	in	in	ADP
ejde-686	477	6	the	the	DET
ejde-686	477	7	proof	proof	NOUN
ejde-686	477	8	of	of	ADP
ejde-686	477	9	[	[	X
ejde-686	477	10	25	25	NUM
ejde-686	477	11	,	,	PUNCT
ejde-686	477	12	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	477	13	4.1	4.1	NUM
ejde-686	477	14	]	]	PUNCT
ejde-686	477	15	,	,	PUNCT
ejde-686	477	16	one	one	PRON
ejde-686	477	17	can	can	AUX
ejde-686	477	18	prove	prove	VERB
ejde-686	477	19	that	that	SCONJ
ejde-686	477	20	(	(	PUNCT
ejde-686	477	21	5.6	5.6	NUM
ejde-686	477	22	)	)	PUNCT
ejde-686	477	23	holds	hold	VERB
ejde-686	477	24	.	.	PUNCT
ejde-686	478	1	hence,∣∣gµf(x	hence,∣∣gµf(x	X
ejde-686	478	2	)	)	PUNCT
ejde-686	478	3	∣∣	∣∣	X
ejde-686	478	4	=	=	PUNCT
ejde-686	479	1	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	479	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	479	3	ω	ω	NUM
ejde-686	479	4	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	479	5	,	,	PUNCT
ejde-686	479	6	y)f(y	y)f(y	NOUN
ejde-686	479	7	)	)	PUNCT
ejde-686	479	8	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	479	9	)	)	PUNCT
ejde-686	479	10	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	479	11	≤	≤	ADV
ejde-686	479	12	∥g(x	∥g(x	PROPN
ejde-686	479	13	,	,	PUNCT
ejde-686	479	14	·	·	PUNCT
ejde-686	479	15	)	)	PUNCT
ejde-686	479	16	∥l2(ω,µ)∥f∥l2(ω,µ	∥l2(ω,µ)∥f∥l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	479	17	)	)	PUNCT
ejde-686	479	18	.	.	PUNCT
ejde-686	480	1	(	(	PUNCT
ejde-686	480	2	5.7	5.7	NUM
ejde-686	480	3	)	)	PUNCT
ejde-686	480	4	case	case	NOUN
ejde-686	480	5	2	2	NUM
ejde-686	480	6	.	.	X
ejde-686	481	1	d	d	NOUN
ejde-686	481	2	≥	≥	NUM
ejde-686	481	3	3	3	NUM
ejde-686	481	4	.	.	PUNCT
ejde-686	482	1	since	since	SCONJ
ejde-686	482	2	f	f	PROPN
ejde-686	482	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	482	4	dom(∆µ	dom(∆µ	PROPN
ejde-686	482	5	)	)	PUNCT
ejde-686	482	6	⊆	⊆	NUM
ejde-686	482	7	h1	h1	NOUN
ejde-686	482	8	0	0	NUM
ejde-686	482	9	(	(	PUNCT
ejde-686	482	10	ω	ω	NOUN
ejde-686	482	11	)	)	PUNCT
ejde-686	482	12	and	and	CCONJ
ejde-686	482	13	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	482	14	)	)	PUNCT
ejde-686	482	15	>	>	PUNCT
ejde-686	483	1	d−	d−	PROPN
ejde-686	483	2	2	2	NUM
ejde-686	483	3	,	,	PUNCT
ejde-686	483	4	there	there	PRON
ejde-686	483	5	exists	exist	VERB
ejde-686	483	6	a	a	DET
ejde-686	483	7	sequence	sequence	NOUN
ejde-686	483	8	fm	fm	PROPN
ejde-686	483	9	∈	∈	PROPN
ejde-686	483	10	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	483	11	c	c	X
ejde-686	483	12	(	(	PUNCT
ejde-686	483	13	ω	ω	NOUN
ejde-686	483	14	)	)	PUNCT
ejde-686	483	15	such	such	ADJ
ejde-686	483	16	that	that	SCONJ
ejde-686	483	17	fm	fm	PROPN
ejde-686	483	18	→	→	X
ejde-686	483	19	f	f	PROPN
ejde-686	483	20	in	in	ADP
ejde-686	483	21	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	483	22	,	,	PUNCT
ejde-686	483	23	µ	µ	NOUN
ejde-686	483	24	)	)	PUNCT
ejde-686	483	25	.	.	PUNCT
ejde-686	484	1	we	we	PRON
ejde-686	484	2	claim	claim	VERB
ejde-686	484	3	that	that	SCONJ
ejde-686	484	4	there	there	PRON
ejde-686	484	5	exists	exist	VERB
ejde-686	484	6	some	some	DET
ejde-686	484	7	constant	constant	ADJ
ejde-686	484	8	c1	c1	NOUN
ejde-686	484	9	>	>	X
ejde-686	484	10	0	0	NUM
ejde-686	485	1	such	such	ADJ
ejde-686	485	2	that	that	SCONJ
ejde-686	485	3	lim	lim	PROPN
ejde-686	485	4	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-686	485	5	∣∣gµ(f	∣∣gµ(f	PROPN
ejde-686	485	6	2	2	NUM
ejde-686	485	7	−	−	PROPN
ejde-686	485	8	f2	f2	PROPN
ejde-686	485	9	m	m	PROPN
ejde-686	485	10	)	)	PUNCT
ejde-686	485	11	∣∣	∣∣	NUM
ejde-686	485	12	≤	≤	PROPN
ejde-686	485	13	c1	c1	PROPN
ejde-686	485	14	.	.	PUNCT
ejde-686	486	1	(	(	PUNCT
ejde-686	486	2	5.8	5.8	NUM
ejde-686	486	3	)	)	PUNCT
ejde-686	486	4	to	to	PART
ejde-686	486	5	see	see	VERB
ejde-686	486	6	this	this	PRON
ejde-686	486	7	,	,	PUNCT
ejde-686	486	8	by	by	ADP
ejde-686	486	9	(	(	PUNCT
ejde-686	486	10	5.3	5.3	NUM
ejde-686	486	11	)	)	PUNCT
ejde-686	486	12	,	,	PUNCT
ejde-686	486	13	it	it	PRON
ejde-686	486	14	suffices	suffice	VERB
ejde-686	486	15	to	to	PART
ejde-686	486	16	prove	prove	VERB
ejde-686	486	17	that	that	SCONJ
ejde-686	486	18	lim	lim	PROPN
ejde-686	486	19	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-686	486	20	∫	∫	PROPN
ejde-686	486	21	ω	ω	PROPN
ejde-686	486	22	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-686	486	23	,	,	PUNCT
ejde-686	486	24	y)|	y)|	PROPN
ejde-686	486	25	·	·	PUNCT
ejde-686	486	26	|f2(y)−	|f2(y)−	PROPN
ejde-686	486	27	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	486	28	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	486	29	)	)	PUNCT
ejde-686	486	30	≤	≤	PROPN
ejde-686	486	31	c1	c1	NOUN
ejde-686	486	32	.	.	PUNCT
ejde-686	487	1	note	note	VERB
ejde-686	487	2	that	that	SCONJ
ejde-686	487	3	,	,	PUNCT
ejde-686	487	4	by	by	ADP
ejde-686	487	5	hölder	hölder	PROPN
ejde-686	487	6	’s	’s	PART
ejde-686	487	7	inequality,∫	inequality,∫	NOUN
ejde-686	487	8	ω	ω	PROPN
ejde-686	487	9	|f2	|f2	ADP
ejde-686	487	10	−	−	PROPN
ejde-686	487	11	f2m|	f2m|	NOUN
ejde-686	487	12	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	487	13	=	=	SYM
ejde-686	487	14	∫	∫	PROPN
ejde-686	487	15	ω	ω	PROPN
ejde-686	487	16	|f	|f	PROPN
ejde-686	487	17	−	−	PROPN
ejde-686	487	18	fm||f	fm||f	PROPN
ejde-686	488	1	+	+	CCONJ
ejde-686	488	2	fm|	fm|	NOUN
ejde-686	488	3	dµ	dµ	ADJ
ejde-686	488	4	≤	≤	NOUN
ejde-686	489	1	∥f	∥f	PROPN
ejde-686	489	2	−	−	PROPN
ejde-686	489	3	fm∥l2(ω,µ)∥f	fm∥l2(ω,µ)∥f	NOUN
ejde-686	489	4	+	+	CCONJ
ejde-686	489	5	fm∥l2(ω,µ	fm∥l2(ω,µ	NUM
ejde-686	489	6	)	)	PUNCT
ejde-686	489	7	→	→	SYM
ejde-686	489	8	0	0	NUM
ejde-686	489	9	(	(	PUNCT
ejde-686	489	10	5.9	5.9	NUM
ejde-686	489	11	)	)	PUNCT
ejde-686	489	12	as	as	SCONJ
ejde-686	489	13	m→	m→	NOUN
ejde-686	489	14	∞.	∞.	PROPN
ejde-686	489	15	let	let	VERB
ejde-686	489	16	diam(ω	diam(ω	VERB
ejde-686	489	17	)	)	PUNCT
ejde-686	489	18	=	=	SYM
ejde-686	489	19	r0	r0	NOUN
ejde-686	489	20	.	.	PUNCT
ejde-686	490	1	we	we	PRON
ejde-686	490	2	have∫	have∫	VERB
ejde-686	490	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	490	4	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-686	490	5	,	,	PUNCT
ejde-686	490	6	y)||f2(y)−	y)||f2(y)−	PROPN
ejde-686	490	7	f2m(y)|	f2m(y)|	PRON
ejde-686	490	8	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	490	9	)	)	PUNCT
ejde-686	490	10	=	=	SYM
ejde-686	491	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	491	2	|x−y|≤1	|x−y|≤1	PROPN
ejde-686	491	3	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	491	4	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	NOUN
ejde-686	491	5	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	491	6	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	491	7	)	)	PUNCT
ejde-686	492	1	+	+	CCONJ
ejde-686	492	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	492	3	1≤|x−y|≤r0	1≤|x−y|≤r0	NUM
ejde-686	492	4	|x−	|x−	NOUN
ejde-686	492	5	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	PROPN
ejde-686	492	6	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	492	7	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	492	8	)	)	PUNCT
ejde-686	492	9	.	.	PUNCT
ejde-686	493	1	by	by	ADP
ejde-686	493	2	(	(	PUNCT
ejde-686	493	3	5.9	5.9	NUM
ejde-686	493	4	)	)	PUNCT
ejde-686	493	5	,	,	PUNCT
ejde-686	493	6	the	the	DET
ejde-686	493	7	second	second	ADJ
ejde-686	493	8	integral	integral	ADJ
ejde-686	493	9	on	on	ADP
ejde-686	493	10	the	the	DET
ejde-686	493	11	right	right	ADJ
ejde-686	493	12	-	-	PUNCT
ejde-686	493	13	hand	hand	NOUN
ejde-686	493	14	side	side	NOUN
ejde-686	493	15	tends	tend	VERB
ejde-686	493	16	to	to	ADP
ejde-686	493	17	0	0	NUM
ejde-686	493	18	,	,	PUNCT
ejde-686	493	19	since∫	since∫	VERB
ejde-686	493	20	1≤|x−y|≤r0	1≤|x−y|≤r0	NUM
ejde-686	493	21	|x−	|x−	SYM
ejde-686	493	22	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	PROPN
ejde-686	493	23	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	493	24	dµ(y	dµ(y	PROPN
ejde-686	493	25	)	)	PUNCT
ejde-686	493	26	≤	≤	NUM
ejde-686	493	27	∫	∫	PROPN
ejde-686	493	28	1≤|x−y|≤r0	1≤|x−y|≤r0	NUM
ejde-686	493	29	|f2(y)−	|f2(y)−	PROPN
ejde-686	493	30	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	493	31	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	493	32	)	)	PUNCT
ejde-686	493	33	.	.	PUNCT
ejde-686	494	1	(	(	PUNCT
ejde-686	494	2	5.10	5.10	NUM
ejde-686	494	3	)	)	PUNCT
ejde-686	494	4	ejde-2025/12	ejde-2025/12	NOUN
ejde-686	494	5	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	494	6	sets	set	NOUN
ejde-686	494	7	and	and	CCONJ
ejde-686	494	8	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	494	9	of	of	ADP
ejde-686	494	10	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	494	11	15	15	NUM
ejde-686	494	12	furthermore	furthermore	ADV
ejde-686	494	13	,	,	PUNCT
ejde-686	494	14	we	we	PRON
ejde-686	494	15	let	let	VERB
ejde-686	494	16	vk(x	vk(x	PUNCT
ejde-686	494	17	)	)	PUNCT
ejde-686	494	18	:	:	PUNCT
ejde-686	495	1	=	=	SYM
ejde-686	495	2	{	{	PUNCT
ejde-686	495	3	y	y	NOUN
ejde-686	495	4	:	:	PUNCT
ejde-686	495	5	2−k	2−k	NUM
ejde-686	495	6	≤	≤	NUM
ejde-686	495	7	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	495	8	y|	y|	NOUN
ejde-686	495	9	≤	≤	NOUN
ejde-686	495	10	2−(k−1	2−(k−1	NUM
ejde-686	495	11	)	)	PUNCT
ejde-686	495	12	}	}	PUNCT
ejde-686	495	13	.	.	PUNCT
ejde-686	496	1	then∫	then∫	NOUN
ejde-686	496	2	|x−y|≤1	|x−y|≤1	PROPN
ejde-686	496	3	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	496	4	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	NOUN
ejde-686	496	5	f2m(y)|	f2m(y)|	NOUN
ejde-686	496	6	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	496	7	)	)	PUNCT
ejde-686	497	1	=	=	VERB
ejde-686	498	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-686	498	2	k=1	k=1	PRON
ejde-686	498	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	498	4	vk(x	vk(x	PROPN
ejde-686	498	5	)	)	PUNCT
ejde-686	498	6	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	499	1	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	PROPN
ejde-686	499	2	f2m(y)|	f2m(y)|	NOUN
ejde-686	499	3	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	499	4	)	)	PUNCT
ejde-686	500	1	≤	≤	PROPN
ejde-686	500	2	lim	lim	PROPN
ejde-686	500	3	n→∞	n→∞	X
ejde-686	500	4	n∑	n∑	NOUN
ejde-686	500	5	k=1	k=1	PROPN
ejde-686	500	6	2k(d−2	2k(d−2	NUM
ejde-686	500	7	)	)	PUNCT
ejde-686	500	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	500	9	vk(x	vk(x	NOUN
ejde-686	500	10	)	)	PUNCT
ejde-686	500	11	|f2(y)−	|f2(y)−	PROPN
ejde-686	500	12	f2m(y)|	f2m(y)|	PROPN
ejde-686	500	13	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	500	14	)	)	PUNCT
ejde-686	500	15	.	.	PUNCT
ejde-686	501	1	(	(	PUNCT
ejde-686	501	2	5.11	5.11	NUM
ejde-686	501	3	)	)	PUNCT
ejde-686	501	4	by	by	ADP
ejde-686	501	5	(	(	PUNCT
ejde-686	501	6	5.9	5.9	NUM
ejde-686	501	7	)	)	PUNCT
ejde-686	501	8	,	,	PUNCT
ejde-686	501	9	for	for	ADP
ejde-686	501	10	each	each	DET
ejde-686	501	11	k	k	PROPN
ejde-686	501	12	∈	∈	PROPN
ejde-686	501	13	{	{	PUNCT
ejde-686	501	14	1	1	NUM
ejde-686	501	15	,	,	PUNCT
ejde-686	501	16	2	2	NUM
ejde-686	501	17	,	,	PUNCT
ejde-686	501	18	.	.	PUNCT
ejde-686	501	19	.	.	PUNCT
ejde-686	502	1	.	.	PUNCT
ejde-686	503	1	,	,	PUNCT
ejde-686	503	2	n	n	CCONJ
ejde-686	503	3	}	}	PUNCT
ejde-686	503	4	,	,	PUNCT
ejde-686	503	5	there	there	PRON
ejde-686	503	6	exists	exist	VERB
ejde-686	503	7	mn	mn	PROPN
ejde-686	503	8	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	503	9	large	large	ADJ
ejde-686	503	10	such	such	ADJ
ejde-686	503	11	that∫	that∫	NOUN
ejde-686	503	12	vk(x	vk(x	NOUN
ejde-686	503	13	)	)	PUNCT
ejde-686	503	14	|f2(y)−	|f2(y)−	PROPN
ejde-686	503	15	f2mn	f2mn	PUNCT
ejde-686	504	1	(	(	PUNCT
ejde-686	504	2	y)|	y)|	NOUN
ejde-686	504	3	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	504	4	)	)	PUNCT
ejde-686	504	5	≤	≤	NOUN
ejde-686	504	6	2−2k(d−2	2−2k(d−2	NUM
ejde-686	504	7	)	)	PUNCT
ejde-686	504	8	.	.	PUNCT
ejde-686	505	1	hence	hence	ADV
ejde-686	505	2	n∑	n∑	INTJ
ejde-686	505	3	k=1	k=1	NOUN
ejde-686	505	4	2k(d−2	2k(d−2	NUM
ejde-686	505	5	)	)	PUNCT
ejde-686	505	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	505	7	vk(x	vk(x	NOUN
ejde-686	505	8	)	)	PUNCT
ejde-686	505	9	|f2(y)−	|f2(y)−	PROPN
ejde-686	505	10	f2mn	f2mn	PUNCT
ejde-686	506	1	(	(	PUNCT
ejde-686	506	2	y)|	y)|	NOUN
ejde-686	506	3	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	506	4	)	)	PUNCT
ejde-686	506	5	≤	≤	PUNCT
ejde-686	507	1	n∑	n∑	NOUN
ejde-686	507	2	k=1	k=1	PROPN
ejde-686	508	1	2−k(d−2	2−k(d−2	NUM
ejde-686	508	2	)	)	PUNCT
ejde-686	508	3	.	.	PUNCT
ejde-686	509	1	(	(	PUNCT
ejde-686	509	2	5.12	5.12	NUM
ejde-686	509	3	)	)	PUNCT
ejde-686	509	4	letting	let	VERB
ejde-686	509	5	n	n	X
ejde-686	509	6	→	→	SYM
ejde-686	509	7	∞	∞	PROPN
ejde-686	509	8	,	,	PUNCT
ejde-686	509	9	we	we	PRON
ejde-686	509	10	have	have	AUX
ejde-686	509	11	,	,	PUNCT
ejde-686	509	12	by	by	ADP
ejde-686	509	13	(	(	PUNCT
ejde-686	509	14	5.11	5.11	NUM
ejde-686	509	15	)	)	PUNCT
ejde-686	509	16	and	and	CCONJ
ejde-686	509	17	(	(	PUNCT
ejde-686	509	18	5.12),∫	5.12),∫	NUM
ejde-686	509	19	|x−y|≤1	|x−y|≤1	PROPN
ejde-686	509	20	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	509	21	y|−(d−2)|f2(y)−	y|−(d−2)|f2(y)−	NOUN
ejde-686	509	22	f2m(y)|	f2m(y)|	NOUN
ejde-686	509	23	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	509	24	)	)	PUNCT
ejde-686	509	25	≤	≤	NOUN
ejde-686	510	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-686	510	2	k=1	k=1	NOUN
ejde-686	510	3	2−k(d−2	2−k(d−2	NUM
ejde-686	510	4	)	)	PUNCT
ejde-686	510	5	<	<	X
ejde-686	511	1	+	+	PUNCT
ejde-686	511	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-686	511	3	combining	combine	VERB
ejde-686	511	4	this	this	PRON
ejde-686	511	5	and	and	CCONJ
ejde-686	511	6	(	(	PUNCT
ejde-686	511	7	5.10	5.10	NUM
ejde-686	511	8	)	)	PUNCT
ejde-686	511	9	completes	complete	VERB
ejde-686	511	10	the	the	DET
ejde-686	511	11	proof	proof	NOUN
ejde-686	511	12	of	of	ADP
ejde-686	511	13	the	the	DET
ejde-686	511	14	claim	claim	NOUN
ejde-686	511	15	in	in	ADP
ejde-686	511	16	(	(	PUNCT
ejde-686	511	17	5.8	5.8	NUM
ejde-686	511	18	)	)	PUNCT
ejde-686	511	19	.	.	PUNCT
ejde-686	512	1	it	it	PRON
ejde-686	512	2	follows	follow	VERB
ejde-686	512	3	from	from	ADP
ejde-686	512	4	(	(	PUNCT
ejde-686	512	5	5.8	5.8	NUM
ejde-686	512	6	)	)	PUNCT
ejde-686	512	7	that	that	SCONJ
ejde-686	512	8	there	there	PRON
ejde-686	512	9	exists	exist	VERB
ejde-686	512	10	some	some	DET
ejde-686	512	11	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	512	12	large	large	ADJ
ejde-686	512	13	integer	integer	NOUN
ejde-686	512	14	n0	n0	NOUN
ejde-686	512	15	such	such	ADJ
ejde-686	512	16	that	that	PRON
ejde-686	512	17	for	for	ADP
ejde-686	512	18	all	all	DET
ejde-686	512	19	m	m	PROPN
ejde-686	512	20	>	>	X
ejde-686	512	21	n0	n0	X
ejde-686	512	22	and	and	CCONJ
ejde-686	513	1	all	all	DET
ejde-686	513	2	x	x	SYM
ejde-686	513	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	513	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	513	5	,	,	PUNCT
ejde-686	513	6	∣∣gµ(f	∣∣gµ(f	PROPN
ejde-686	513	7	2(x)−	2(x)−	PROPN
ejde-686	513	8	f2m(x	f2m(x	PROPN
ejde-686	513	9	)	)	PUNCT
ejde-686	513	10	)	)	PUNCT
ejde-686	514	1	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-686	514	2	≤	≤	PROPN
ejde-686	514	3	c1	c1	NOUN
ejde-686	514	4	+	+	CCONJ
ejde-686	514	5	1	1	X
ejde-686	514	6	.	.	PUNCT
ejde-686	515	1	it	it	PRON
ejde-686	515	2	follows	follow	VERB
ejde-686	515	3	from	from	ADP
ejde-686	515	4	property	property	NOUN
ejde-686	515	5	(	(	PUNCT
ejde-686	515	6	c	c	NOUN
ejde-686	515	7	)	)	PUNCT
ejde-686	515	8	that	that	SCONJ
ejde-686	515	9	for	for	ADP
ejde-686	515	10	any	any	DET
ejde-686	515	11	x	x	NOUN
ejde-686	515	12	,	,	PUNCT
ejde-686	515	13	y	y	PROPN
ejde-686	515	14	∈	∈	PROPN
ejde-686	515	15	ω	ω	PROPN
ejde-686	515	16	,	,	PUNCT
ejde-686	515	17	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	515	18	,	,	PUNCT
ejde-686	515	19	y	y	PROPN
ejde-686	515	20	)	)	PUNCT
ejde-686	515	21	≥	≥	NOUN
ejde-686	515	22	0	0	NUM
ejde-686	515	23	.	.	PUNCT
ejde-686	516	1	hence,∣∣gµf	hence,∣∣gµf	VERB
ejde-686	516	2	2	2	NUM
ejde-686	516	3	∣∣	∣∣	NUM
ejde-686	516	4	≤	≤	X
ejde-686	516	5	∣∣gµf	∣∣gµf	PROPN
ejde-686	516	6	2	2	NUM
ejde-686	516	7	n0	n0	NUM
ejde-686	516	8	+	+	PROPN
ejde-686	516	9	1	1	NUM
ejde-686	516	10	∣∣+	∣∣+	PROPN
ejde-686	516	11	c2	c2	PROPN
ejde-686	516	12	≤	≤	PROPN
ejde-686	516	13	∫	∫	PROPN
ejde-686	516	14	ω	ω	NUM
ejde-686	516	15	∣∣g(x	∣∣g(x	PROPN
ejde-686	516	16	,	,	PUNCT
ejde-686	516	17	y)f2n0	y)f2n0	PUNCT
ejde-686	516	18	+	+	PROPN
ejde-686	516	19	1	1	NUM
ejde-686	516	20	∣∣	∣∣	NUM
ejde-686	516	21	dµ+	dµ+	NOUN
ejde-686	516	22	c2	c2	PROPN
ejde-686	516	23	(	(	PUNCT
ejde-686	516	24	by	by	ADP
ejde-686	516	25	(	(	PUNCT
ejde-686	516	26	5.4	5.4	NUM
ejde-686	516	27	)	)	PUNCT
ejde-686	516	28	)	)	PUNCT
ejde-686	516	29	≤	≤	NOUN
ejde-686	516	30	∥f2n0	∥f2n0	PROPN
ejde-686	516	31	+	+	PROPN
ejde-686	516	32	1∥l∞(ω	1∥l∞(ω	NUM
ejde-686	516	33	)	)	PUNCT
ejde-686	517	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	517	2	ω	ω	NUM
ejde-686	517	3	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	517	4	,	,	PUNCT
ejde-686	517	5	y	y	NOUN
ejde-686	517	6	)	)	PUNCT
ejde-686	517	7	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	517	8	)	)	PUNCT
ejde-686	518	1	+	+	CCONJ
ejde-686	518	2	c2	c2	PROPN
ejde-686	518	3	≤	≤	NUM
ejde-686	518	4	c∥f2n0	c∥f2n0	VERB
ejde-686	518	5	+	+	PROPN
ejde-686	518	6	1∥l∞(ω	1∥l∞(ω	NUM
ejde-686	518	7	)	)	PUNCT
ejde-686	519	1	+	+	CCONJ
ejde-686	519	2	c2	c2	PROPN
ejde-686	519	3	(	(	PUNCT
ejde-686	519	4	by	by	ADP
ejde-686	519	5	(	(	PUNCT
ejde-686	519	6	5.5	5.5	NUM
ejde-686	519	7	)	)	PUNCT
ejde-686	519	8	)	)	PUNCT
ejde-686	520	1	=	=	PRON
ejde-686	520	2	:	:	PUNCT
ejde-686	520	3	c3	c3	PROPN
ejde-686	520	4	,	,	PUNCT
ejde-686	520	5	where	where	SCONJ
ejde-686	520	6	c2	c2	PROPN
ejde-686	520	7	=	=	PROPN
ejde-686	520	8	c1	c1	PROPN
ejde-686	520	9	+	+	CCONJ
ejde-686	520	10	1	1	X
ejde-686	520	11	.	.	PUNCT
ejde-686	521	1	this	this	PRON
ejde-686	521	2	proves	prove	VERB
ejde-686	521	3	that∣∣gµf	that∣∣gµf	NOUN
ejde-686	521	4	2(x	2(x	NUM
ejde-686	521	5	)	)	PUNCT
ejde-686	521	6	∣∣	∣∣	X
ejde-686	522	1	=	=	SYM
ejde-686	522	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	523	1	ω	ω	NUM
ejde-686	523	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	523	3	,	,	PUNCT
ejde-686	523	4	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	523	5	)	)	PUNCT
ejde-686	523	6	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	523	7	)	)	PUNCT
ejde-686	523	8	≤	≤	NUM
ejde-686	523	9	c3	c3	PROPN
ejde-686	523	10	.	.	PUNCT
ejde-686	524	1	(	(	PUNCT
ejde-686	524	2	5.13	5.13	NUM
ejde-686	524	3	)	)	PUNCT
ejde-686	524	4	now	now	ADV
ejde-686	524	5	,	,	PUNCT
ejde-686	524	6	for	for	ADP
ejde-686	524	7	d	d	PROPN
ejde-686	524	8	≥	≥	NUM
ejde-686	524	9	3	3	NUM
ejde-686	524	10	,	,	PUNCT
ejde-686	524	11	by	by	ADP
ejde-686	524	12	hölder	hölder	NOUN
ejde-686	524	13	’s	’s	PART
ejde-686	524	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	524	15	,	,	PUNCT
ejde-686	524	16	(	(	PUNCT
ejde-686	524	17	5.5	5.5	NUM
ejde-686	524	18	)	)	PUNCT
ejde-686	524	19	and	and	CCONJ
ejde-686	524	20	(	(	PUNCT
ejde-686	524	21	5.13	5.13	NUM
ejde-686	524	22	)	)	PUNCT
ejde-686	524	23	,	,	PUNCT
ejde-686	524	24	we	we	PRON
ejde-686	524	25	have∣∣gµf(x	have∣∣gµf(x	VERB
ejde-686	524	26	)	)	PUNCT
ejde-686	524	27	∣∣2	∣∣2	PROPN
ejde-686	524	28	=	=	SYM
ejde-686	524	29	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	524	30	∫	∫	PROPN
ejde-686	524	31	ω	ω	PROPN
ejde-686	524	32	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	524	33	,	,	PUNCT
ejde-686	524	34	y)f(y	y)f(y	NOUN
ejde-686	524	35	)	)	PUNCT
ejde-686	524	36	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	524	37	)	)	PUNCT
ejde-686	524	38	∣∣∣2	∣∣∣2	NOUN
ejde-686	524	39	≤	≤	PROPN
ejde-686	524	40	(	(	PUNCT
ejde-686	524	41	∫	∫	PROPN
ejde-686	524	42	ω	ω	PROPN
ejde-686	524	43	∣∣g(x	∣∣g(x	PROPN
ejde-686	524	44	,	,	PUNCT
ejde-686	524	45	y)1/2f(y	y)1/2f(y	NOUN
ejde-686	524	46	)	)	PUNCT
ejde-686	524	47	·	·	PUNCT
ejde-686	524	48	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	524	49	,	,	PUNCT
ejde-686	524	50	y)1/2∣∣	y)1/2∣∣	ADJ
ejde-686	525	1	dµ(y))2	dµ(y))2	PROPN
ejde-686	525	2	≤	≤	NUM
ejde-686	525	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	526	1	ω	ω	NUM
ejde-686	526	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	526	3	,	,	PUNCT
ejde-686	526	4	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	526	5	)	)	PUNCT
ejde-686	526	6	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	526	7	)	)	PUNCT
ejde-686	526	8	·	·	PUNCT
ejde-686	527	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	528	1	ω	ω	NUM
ejde-686	528	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	528	3	,	,	PUNCT
ejde-686	528	4	y	y	NOUN
ejde-686	528	5	)	)	PUNCT
ejde-686	528	6	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	528	7	)	)	PUNCT
ejde-686	528	8	≤	≤	NUM
ejde-686	529	1	c	c	X
ejde-686	529	2	·	·	PUNCT
ejde-686	529	3	c3	c3	PROPN
ejde-686	529	4	.	.	PUNCT
ejde-686	530	1	(	(	PUNCT
ejde-686	530	2	by	by	ADP
ejde-686	530	3	(	(	PUNCT
ejde-686	530	4	5.13	5.13	NUM
ejde-686	530	5	)	)	PUNCT
ejde-686	530	6	)	)	PUNCT
ejde-686	530	7	16	16	NUM
ejde-686	530	8	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	530	9	.	.	PUNCT
ejde-686	531	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	531	2	,	,	PUNCT
ejde-686	531	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	531	4	.	.	PUNCT
ejde-686	532	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	532	2	,	,	PUNCT
ejde-686	532	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	532	4	.	.	PUNCT
ejde-686	533	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	533	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	533	3	therefore	therefore	ADV
ejde-686	533	4	∣∣gµf	∣∣gµf	PROPN
ejde-686	533	5	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-686	533	6	is	be	AUX
ejde-686	533	7	bounded	bound	VERB
ejde-686	533	8	by	by	ADP
ejde-686	533	9	√	√	PROPN
ejde-686	533	10	c	c	PROPN
ejde-686	533	11	·	·	PUNCT
ejde-686	533	12	c3	c3	PROPN
ejde-686	533	13	.	.	PUNCT
ejde-686	534	1	combining	combine	VERB
ejde-686	534	2	this	this	PRON
ejde-686	534	3	and	and	CCONJ
ejde-686	534	4	(	(	PUNCT
ejde-686	534	5	5.7	5.7	NUM
ejde-686	534	6	)	)	PUNCT
ejde-686	534	7	completes	complete	VERB
ejde-686	534	8	the	the	DET
ejde-686	534	9	proof	proof	NOUN
ejde-686	534	10	.	.	PUNCT
ejde-686	535	1	□	□	PUNCT
ejde-686	535	2	we	we	PRON
ejde-686	535	3	give	give	VERB
ejde-686	535	4	an	an	DET
ejde-686	535	5	outline	outline	NOUN
ejde-686	535	6	of	of	ADP
ejde-686	535	7	the	the	DET
ejde-686	535	8	proof	proof	NOUN
ejde-686	535	9	of	of	ADP
ejde-686	535	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	535	11	1.2	1.2	NUM
ejde-686	535	12	.	.	PUNCT
ejde-686	536	1	first	first	ADV
ejde-686	536	2	,	,	PUNCT
ejde-686	536	3	we	we	PRON
ejde-686	536	4	prove	prove	VERB
ejde-686	536	5	any	any	DET
ejde-686	536	6	λ	λ	NOUN
ejde-686	536	7	-	-	NOUN
ejde-686	536	8	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	536	9	u	u	NOUN
ejde-686	536	10	can	can	AUX
ejde-686	536	11	be	be	AUX
ejde-686	536	12	expressed	express	VERB
ejde-686	536	13	as	as	ADP
ejde-686	536	14	λgµu	λgµu	NOUN
ejde-686	536	15	.	.	PUNCT
ejde-686	537	1	second	second	ADV
ejde-686	537	2	,	,	PUNCT
ejde-686	537	3	we	we	PRON
ejde-686	537	4	use	use	VERB
ejde-686	537	5	the	the	DET
ejde-686	537	6	properties	property	NOUN
ejde-686	537	7	of	of	ADP
ejde-686	537	8	green	green	PROPN
ejde-686	537	9	’s	’s	PART
ejde-686	537	10	function	function	NOUN
ejde-686	537	11	,	,	PUNCT
ejde-686	537	12	lebesgue	lebesgue	PROPN
ejde-686	537	13	’s	’s	PART
ejde-686	537	14	dominated	dominate	VERB
ejde-686	537	15	convergence	convergence	NOUN
ejde-686	537	16	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	537	17	and	and	CCONJ
ejde-686	537	18	ideas	idea	NOUN
ejde-686	537	19	from	from	ADP
ejde-686	537	20	[	[	X
ejde-686	537	21	35	35	NUM
ejde-686	537	22	,	,	PUNCT
ejde-686	537	23	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	537	24	1.26.7	1.26.7	NUM
ejde-686	537	25	]	]	PUNCT
ejde-686	537	26	to	to	PART
ejde-686	537	27	study	study	VERB
ejde-686	537	28	the	the	DET
ejde-686	537	29	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	537	30	of	of	ADP
ejde-686	537	31	gµu	gµu	NOUN
ejde-686	537	32	on	on	ADP
ejde-686	537	33	ω	ω	PROPN
ejde-686	537	34	.	.	PUNCT
ejde-686	538	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	538	2	of	of	ADP
ejde-686	538	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-686	538	4	1.2	1.2	NUM
ejde-686	538	5	.	.	PUNCT
ejde-686	539	1	let	let	VERB
ejde-686	539	2	f	f	PROPN
ejde-686	539	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	539	4	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	539	5	)	)	PUNCT
ejde-686	539	6	,	,	PUNCT
ejde-686	539	7	we	we	PRON
ejde-686	539	8	claim	claim	VERB
ejde-686	539	9	that	that	SCONJ
ejde-686	539	10	f	f	PROPN
ejde-686	539	11	is	be	AUX
ejde-686	539	12	a	a	DET
ejde-686	539	13	λ	λ	NOUN
ejde-686	539	14	-	-	NOUN
ejde-686	539	15	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	539	16	of	of	ADP
ejde-686	539	17	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	539	18	if	if	SCONJ
ejde-686	540	1	and	and	CCONJ
ejde-686	540	2	only	only	ADV
ejde-686	540	3	if	if	SCONJ
ejde-686	540	4	f	f	PROPN
ejde-686	540	5	=	=	X
ejde-686	540	6	λgµf	λgµf	PROPN
ejde-686	540	7	.	.	PUNCT
ejde-686	541	1	in	in	ADP
ejde-686	541	2	fact	fact	NOUN
ejde-686	541	3	,	,	PUNCT
ejde-686	541	4	on	on	ADP
ejde-686	541	5	the	the	DET
ejde-686	541	6	one	one	NUM
ejde-686	541	7	hand	hand	NOUN
ejde-686	541	8	,	,	PUNCT
ejde-686	541	9	if	if	SCONJ
ejde-686	541	10	f	f	PROPN
ejde-686	541	11	∈	∈	PROPN
ejde-686	541	12	dom(∆µ	dom(∆µ	NOUN
ejde-686	541	13	)	)	PUNCT
ejde-686	541	14	satisfies	satisfy	VERB
ejde-686	541	15	f	f	PROPN
ejde-686	541	16	=	=	SYM
ejde-686	541	17	λgµf	λgµf	PROPN
ejde-686	541	18	,	,	PUNCT
ejde-686	541	19	then	then	ADV
ejde-686	541	20	by	by	ADP
ejde-686	541	21	[	[	PUNCT
ejde-686	541	22	25	25	NUM
ejde-686	541	23	,	,	PUNCT
ejde-686	541	24	theorem	theorem	VERB
ejde-686	541	25	1.3	1.3	NUM
ejde-686	541	26	]	]	PUNCT
ejde-686	541	27	,	,	PUNCT
ejde-686	541	28	we	we	PRON
ejde-686	541	29	have	have	VERB
ejde-686	541	30	−∆µf	−∆µf	NOUN
ejde-686	541	31	=	=	PUNCT
ejde-686	542	1	−λ∆µgµf	−λ∆µgµf	PROPN
ejde-686	542	2	=	=	PRON
ejde-686	543	1	λf	λf	PROPN
ejde-686	543	2	,	,	PUNCT
ejde-686	543	3	which	which	PRON
ejde-686	543	4	implies	imply	VERB
ejde-686	543	5	that	that	SCONJ
ejde-686	543	6	f	f	PROPN
ejde-686	543	7	is	be	AUX
ejde-686	543	8	a	a	DET
ejde-686	543	9	λ	λ	NOUN
ejde-686	543	10	-	-	NOUN
ejde-686	543	11	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	543	12	of	of	ADP
ejde-686	543	13	∆µ.	∆µ.	PROPN
ejde-686	543	14	on	on	ADP
ejde-686	543	15	the	the	DET
ejde-686	543	16	other	other	ADJ
ejde-686	543	17	hand	hand	NOUN
ejde-686	543	18	,	,	PUNCT
ejde-686	543	19	if	if	SCONJ
ejde-686	543	20	f	f	PROPN
ejde-686	543	21	∈	∈	PROPN
ejde-686	543	22	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	543	23	)	)	PUNCT
ejde-686	543	24	is	be	AUX
ejde-686	543	25	a	a	DET
ejde-686	543	26	λ	λ	NOUN
ejde-686	543	27	-	-	NOUN
ejde-686	543	28	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	543	29	,	,	PUNCT
ejde-686	543	30	i.e.	i.e.	X
ejde-686	543	31	,	,	PUNCT
ejde-686	543	32	−∆µf	−∆µf	PROPN
ejde-686	543	33	=	=	PUNCT
ejde-686	543	34	λf	λf	INTJ
ejde-686	543	35	,	,	PUNCT
ejde-686	543	36	in	in	ADP
ejde-686	543	37	view	view	NOUN
ejde-686	543	38	of	of	ADP
ejde-686	543	39	the	the	DET
ejde-686	543	40	fact	fact	NOUN
ejde-686	543	41	that	that	SCONJ
ejde-686	543	42	gµ	gµ	PRON
ejde-686	543	43	=	=	PUNCT
ejde-686	543	44	(	(	PUNCT
ejde-686	543	45	−∆µ	−∆µ	X
ejde-686	543	46	)	)	PUNCT
ejde-686	543	47	−1	−1	NOUN
ejde-686	543	48	(	(	PUNCT
ejde-686	543	49	see	see	VERB
ejde-686	543	50	[	[	X
ejde-686	543	51	25	25	NUM
ejde-686	543	52	,	,	PUNCT
ejde-686	543	53	theorem	theorem	VERB
ejde-686	543	54	1.3	1.3	NUM
ejde-686	543	55	]	]	PUNCT
ejde-686	543	56	)	)	PUNCT
ejde-686	543	57	,	,	PUNCT
ejde-686	543	58	we	we	PRON
ejde-686	543	59	have	have	AUX
ejde-686	543	60	gµ(λf	gµ(λf	VERB
ejde-686	543	61	)	)	PUNCT
ejde-686	543	62	=	=	SYM
ejde-686	543	63	gµ(−∆µf	gµ(−∆µf	PROPN
ejde-686	543	64	)	)	PUNCT
ejde-686	544	1	=	=	PUNCT
ejde-686	545	1	f.	f.	NOUN
ejde-686	545	2	the	the	DET
ejde-686	545	3	linearity	linearity	NOUN
ejde-686	545	4	of	of	ADP
ejde-686	545	5	gµ	gµ	PROPN
ejde-686	545	6	implies	imply	VERB
ejde-686	545	7	that	that	SCONJ
ejde-686	545	8	f	f	PROPN
ejde-686	545	9	=	=	PUNCT
ejde-686	545	10	λgµf	λgµf	PROPN
ejde-686	545	11	.	.	PUNCT
ejde-686	546	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	546	2	,	,	PUNCT
ejde-686	546	3	to	to	PART
ejde-686	546	4	prove	prove	VERB
ejde-686	546	5	theorem	theorem	VERB
ejde-686	546	6	1.2	1.2	NUM
ejde-686	546	7	,	,	PUNCT
ejde-686	546	8	it	it	PRON
ejde-686	546	9	suffices	suffice	VERB
ejde-686	546	10	to	to	PART
ejde-686	546	11	prove	prove	VERB
ejde-686	546	12	that	that	SCONJ
ejde-686	546	13	for	for	ADP
ejde-686	546	14	any	any	DET
ejde-686	546	15	f	f	PROPN
ejde-686	546	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	546	17	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	546	18	)	)	PUNCT
ejde-686	546	19	,	,	PUNCT
ejde-686	546	20	gµf	gµf	PROPN
ejde-686	546	21	is	be	AUX
ejde-686	546	22	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	546	23	.	.	PUNCT
ejde-686	547	1	we	we	PRON
ejde-686	547	2	divide	divide	VERB
ejde-686	547	3	the	the	DET
ejde-686	547	4	proof	proof	NOUN
ejde-686	547	5	into	into	ADP
ejde-686	547	6	three	three	NUM
ejde-686	547	7	steps	step	NOUN
ejde-686	547	8	.	.	PUNCT
ejde-686	548	1	step	step	NOUN
ejde-686	548	2	1	1	NUM
ejde-686	548	3	.	.	PUNCT
ejde-686	549	1	we	we	PRON
ejde-686	549	2	claim	claim	VERB
ejde-686	549	3	that	that	SCONJ
ejde-686	549	4	for	for	ADP
ejde-686	549	5	any	any	DET
ejde-686	549	6	ϵ	ϵ	X
ejde-686	549	7	>	>	X
ejde-686	549	8	0	0	NUM
ejde-686	549	9	,	,	PUNCT
ejde-686	549	10	there	there	PRON
ejde-686	549	11	exists	exist	VERB
ejde-686	549	12	some	some	DET
ejde-686	549	13	f1	f1	NOUN
ejde-686	549	14	∈	∈	PROPN
ejde-686	549	15	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	549	16	,	,	PUNCT
ejde-686	549	17	µ	µ	NOUN
ejde-686	549	18	)	)	PUNCT
ejde-686	549	19	such	such	ADJ
ejde-686	549	20	that	that	SCONJ
ejde-686	549	21	|gµf1|	|gµf1|	NOUN
ejde-686	549	22	<	<	X
ejde-686	549	23	ϵ.	ϵ.	NOUN
ejde-686	549	24	in	in	ADP
ejde-686	549	25	the	the	DET
ejde-686	549	26	case	case	NOUN
ejde-686	550	1	d	d	X
ejde-686	550	2	=	=	SYM
ejde-686	550	3	2	2	NUM
ejde-686	550	4	,	,	PUNCT
ejde-686	550	5	by	by	ADP
ejde-686	550	6	(	(	PUNCT
ejde-686	550	7	5.6	5.6	NUM
ejde-686	550	8	)	)	PUNCT
ejde-686	550	9	,	,	PUNCT
ejde-686	550	10	we	we	PRON
ejde-686	550	11	see	see	VERB
ejde-686	550	12	that	that	PRON
ejde-686	550	13	for	for	ADP
ejde-686	550	14	each	each	DET
ejde-686	550	15	y	y	PROPN
ejde-686	550	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	550	17	ω	ω	PROPN
ejde-686	550	18	,	,	PUNCT
ejde-686	550	19	g(·,y	g(·,y	NOUN
ejde-686	550	20	)	)	PUNCT
ejde-686	550	21	belongs	belong	VERB
ejde-686	550	22	to	to	ADP
ejde-686	550	23	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	550	24	,	,	PUNCT
ejde-686	550	25	µ	µ	NOUN
ejde-686	550	26	)	)	PUNCT
ejde-686	550	27	,	,	PUNCT
ejde-686	550	28	and	and	CCONJ
ejde-686	550	29	∥g(·,y)∥l2(ω,µ	∥g(·,y)∥l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	550	30	)	)	PUNCT
ejde-686	550	31	has	have	VERB
ejde-686	550	32	a	a	DET
ejde-686	550	33	uniform	uniform	NOUN
ejde-686	550	34	bound	bind	VERB
ejde-686	550	35	independent	independent	NOUN
ejde-686	550	36	of	of	ADP
ejde-686	550	37	y.	y.	PROPN
ejde-686	550	38	hence	hence	ADV
ejde-686	550	39	,	,	PUNCT
ejde-686	550	40	there	there	PRON
ejde-686	550	41	exists	exist	VERB
ejde-686	550	42	a	a	DET
ejde-686	550	43	constant	constant	ADJ
ejde-686	550	44	ĉ1	ĉ1	NOUN
ejde-686	550	45	such	such	ADJ
ejde-686	550	46	that	that	PRON
ejde-686	550	47	for	for	ADP
ejde-686	550	48	all	all	DET
ejde-686	550	49	y	y	PROPN
ejde-686	550	50	∈	∈	PROPN
ejde-686	550	51	ω	ω	PROPN
ejde-686	550	52	,	,	PUNCT
ejde-686	550	53	∥g(·,y)∥l2(ω,µ	∥g(·,y)∥l2(ω,µ	PROPN
ejde-686	550	54	)	)	PUNCT
ejde-686	550	55	≤	≤	NUM
ejde-686	550	56	ĉ1	ĉ1	NOUN
ejde-686	550	57	.	.	PUNCT
ejde-686	551	1	since	since	SCONJ
ejde-686	551	2	dim∞(µ	dim∞(µ	PROPN
ejde-686	551	3	)	)	PUNCT
ejde-686	551	4	>	>	PUNCT
ejde-686	551	5	d−2	d−2	PROPN
ejde-686	551	6	=	=	SYM
ejde-686	551	7	0	0	NUM
ejde-686	551	8	,	,	PUNCT
ejde-686	551	9	µ	µ	PRON
ejde-686	551	10	does	do	AUX
ejde-686	551	11	not	not	PART
ejde-686	551	12	have	have	VERB
ejde-686	551	13	point	point	NOUN
ejde-686	551	14	masses	masse	NOUN
ejde-686	551	15	,	,	PUNCT
ejde-686	551	16	i.e.	i.e.	X
ejde-686	551	17	,	,	PUNCT
ejde-686	551	18	µ	µ	PRON
ejde-686	551	19	is	be	AUX
ejde-686	551	20	a	a	DET
ejde-686	551	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	551	22	measure	measure	NOUN
ejde-686	551	23	[	[	X
ejde-686	551	24	43	43	NUM
ejde-686	551	25	,	,	PUNCT
ejde-686	551	26	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	551	27	6.5	6.5	NUM
ejde-686	551	28	]	]	PUNCT
ejde-686	551	29	.	.	PUNCT
ejde-686	552	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	552	2	,	,	PUNCT
ejde-686	552	3	for	for	ADP
ejde-686	552	4	any	any	DET
ejde-686	552	5	z	z	PROPN
ejde-686	552	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	552	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	552	8	,	,	PUNCT
ejde-686	552	9	lim	lim	PROPN
ejde-686	552	10	r→0	r→0	PROPN
ejde-686	552	11	+	+	CCONJ
ejde-686	552	12	∫	∫	PROPN
ejde-686	552	13	br(z	br(z	X
ejde-686	552	14	)	)	PUNCT
ejde-686	552	15	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-686	552	16	,	,	PUNCT
ejde-686	552	17	y)|2	y)|2	NOUN
ejde-686	552	18	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	552	19	)	)	PUNCT
ejde-686	552	20	=	=	SYM
ejde-686	552	21	0	0	PUNCT
ejde-686	552	22	for	for	ADP
ejde-686	552	23	all	all	DET
ejde-686	552	24	x	x	SYM
ejde-686	552	25	∈	∈	PROPN
ejde-686	552	26	ω	ω	NOUN
ejde-686	552	27	.	.	PUNCT
ejde-686	553	1	hence	hence	ADV
ejde-686	553	2	,	,	PUNCT
ejde-686	553	3	for	for	ADP
ejde-686	553	4	any	any	DET
ejde-686	553	5	ϵ	ϵ	X
ejde-686	553	6	>	>	X
ejde-686	553	7	0	0	NUM
ejde-686	553	8	,	,	PUNCT
ejde-686	553	9	there	there	PRON
ejde-686	553	10	exists	exist	VERB
ejde-686	553	11	r̃1	r̃1	PROPN
ejde-686	553	12	>	>	X
ejde-686	553	13	0	0	PUNCT
ejde-686	554	1	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	554	2	small	small	ADJ
ejde-686	554	3	such	such	ADJ
ejde-686	554	4	that	that	PRON
ejde-686	554	5	for	for	SCONJ
ejde-686	554	6	all	all	DET
ejde-686	554	7	x	x	SYM
ejde-686	554	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	554	9	ω,∫	ω,∫	PROPN
ejde-686	554	10	br̃1	br̃1	PROPN
ejde-686	554	11	(	(	PUNCT
ejde-686	554	12	z	z	NOUN
ejde-686	554	13	)	)	PUNCT
ejde-686	554	14	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-686	554	15	,	,	PUNCT
ejde-686	554	16	y)|2	y)|2	NOUN
ejde-686	554	17	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	554	18	)	)	PUNCT
ejde-686	554	19	≤	≤	NUM
ejde-686	554	20	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-686	554	21	.	.	PUNCT
ejde-686	555	1	(	(	PUNCT
ejde-686	555	2	5.14	5.14	NUM
ejde-686	555	3	)	)	PUNCT
ejde-686	555	4	now	now	ADV
ejde-686	555	5	consider	consider	VERB
ejde-686	555	6	the	the	DET
ejde-686	555	7	case	case	NOUN
ejde-686	555	8	d	d	X
ejde-686	555	9	≥	≥	NUM
ejde-686	555	10	3	3	NUM
ejde-686	555	11	.	.	PUNCT
ejde-686	556	1	let	let	VERB
ejde-686	556	2	ϵ	ϵ	PRON
ejde-686	556	3	>	>	X
ejde-686	556	4	0	0	PROPN
ejde-686	556	5	.	.	PUNCT
ejde-686	557	1	then	then	ADV
ejde-686	557	2	by	by	ADP
ejde-686	557	3	(	(	PUNCT
ejde-686	557	4	5.5	5.5	NUM
ejde-686	557	5	)	)	PUNCT
ejde-686	557	6	and	and	CCONJ
ejde-686	557	7	the	the	DET
ejde-686	557	8	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	557	9	of	of	ADP
ejde-686	557	10	µ	µ	NOUN
ejde-686	557	11	again	again	ADV
ejde-686	557	12	,	,	PUNCT
ejde-686	557	13	there	there	PRON
ejde-686	557	14	exists	exist	VERB
ejde-686	557	15	r̃2	r̃2	PROPN
ejde-686	557	16	>	>	X
ejde-686	557	17	0	0	PUNCT
ejde-686	558	1	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-686	558	2	small	small	ADJ
ejde-686	558	3	such	such	ADJ
ejde-686	558	4	that	that	PRON
ejde-686	558	5	for	for	ADP
ejde-686	558	6	all	all	PRON
ejde-686	558	7	x	x	SYM
ejde-686	558	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	558	9	ω,∫	ω,∫	ADJ
ejde-686	558	10	br̃2	br̃2	PROPN
ejde-686	558	11	(	(	PUNCT
ejde-686	558	12	z	z	NOUN
ejde-686	558	13	)	)	PUNCT
ejde-686	558	14	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	558	15	,	,	PUNCT
ejde-686	558	16	y	y	NOUN
ejde-686	558	17	)	)	PUNCT
ejde-686	558	18	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	558	19	)	)	PUNCT
ejde-686	559	1	<	<	X
ejde-686	559	2	ϵ2	ϵ2	PROPN
ejde-686	559	3	.	.	PUNCT
ejde-686	560	1	(	(	PUNCT
ejde-686	560	2	5.15	5.15	NUM
ejde-686	560	3	)	)	PUNCT
ejde-686	560	4	let	let	VERB
ejde-686	560	5	r̃	r̃	NOUN
ejde-686	560	6	:	:	PUNCT
ejde-686	560	7	=	=	SYM
ejde-686	560	8	min{r̃1	min{r̃1	PROPN
ejde-686	560	9	,	,	PUNCT
ejde-686	560	10	r̃2	r̃2	PROPN
ejde-686	560	11	}	}	PUNCT
ejde-686	560	12	and	and	CCONJ
ejde-686	560	13	f1	f1	NOUN
ejde-686	560	14	:	:	PUNCT
ejde-686	560	15	=	=	SYM
ejde-686	560	16	fχbr̃(z	fχbr̃(z	NUM
ejde-686	560	17	)	)	PUNCT
ejde-686	560	18	.	.	PUNCT
ejde-686	561	1	for	for	ADP
ejde-686	561	2	the	the	DET
ejde-686	561	3	case	case	NOUN
ejde-686	561	4	d	d	X
ejde-686	561	5	=	=	SYM
ejde-686	561	6	2	2	NUM
ejde-686	561	7	,	,	PUNCT
ejde-686	561	8	by	by	ADP
ejde-686	561	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-686	561	10	’s	’s	PART
ejde-686	561	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	561	12	and	and	CCONJ
ejde-686	561	13	(	(	PUNCT
ejde-686	561	14	5.14	5.14	NUM
ejde-686	561	15	)	)	PUNCT
ejde-686	561	16	,	,	PUNCT
ejde-686	561	17	we	we	PRON
ejde-686	561	18	have	have	VERB
ejde-686	561	19	|gµf1|	|gµf1|	NOUN
ejde-686	561	20	=	=	SYM
ejde-686	561	21	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	561	22	∫	∫	PROPN
ejde-686	561	23	ω	ω	NUM
ejde-686	561	24	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	561	25	,	,	PUNCT
ejde-686	561	26	y)f1(y	y)f1(y	PROPN
ejde-686	561	27	)	)	PUNCT
ejde-686	561	28	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	561	29	)	)	PUNCT
ejde-686	561	30	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	561	31	≤	≤	NUM
ejde-686	561	32	∥f1∥l2(ω,µ	∥f1∥l2(ω,µ	NOUN
ejde-686	561	33	)	)	PUNCT
ejde-686	561	34	(	(	PUNCT
ejde-686	561	35	∫	∫	PROPN
ejde-686	561	36	br̃(z	br̃(z	PROPN
ejde-686	561	37	)	)	PUNCT
ejde-686	562	1	g2(x	g2(x	PROPN
ejde-686	562	2	,	,	PUNCT
ejde-686	562	3	y	y	PROPN
ejde-686	562	4	)	)	PUNCT
ejde-686	562	5	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	562	6	)	)	PUNCT
ejde-686	562	7	)	)	PUNCT
ejde-686	563	1	1/2	1/2	NUM
ejde-686	563	2	≤	≤	NUM
ejde-686	563	3	ϵ∥f∥l2(ω,µ	ϵ∥f∥l2(ω,µ	NOUN
ejde-686	563	4	)	)	PUNCT
ejde-686	563	5	.	.	PUNCT
ejde-686	564	1	(	(	PUNCT
ejde-686	564	2	5.16	5.16	NUM
ejde-686	564	3	)	)	PUNCT
ejde-686	564	4	for	for	ADP
ejde-686	564	5	the	the	DET
ejde-686	564	6	case	case	NOUN
ejde-686	564	7	d	d	X
ejde-686	564	8	≥	≥	NUM
ejde-686	564	9	3	3	NUM
ejde-686	564	10	,	,	PUNCT
ejde-686	564	11	by	by	ADP
ejde-686	564	12	hölder	hölder	NOUN
ejde-686	564	13	’s	’s	PART
ejde-686	564	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-686	564	15	and	and	CCONJ
ejde-686	564	16	(	(	PUNCT
ejde-686	564	17	5.15	5.15	NUM
ejde-686	564	18	)	)	PUNCT
ejde-686	564	19	,	,	PUNCT
ejde-686	564	20	we	we	PRON
ejde-686	564	21	have∣∣gµf1	have∣∣gµf1	VERB
ejde-686	564	22	∣∣2	∣∣2	PROPN
ejde-686	564	23	=	=	SYM
ejde-686	564	24	∣∣∣	∣∣∣	NOUN
ejde-686	564	25	∫	∫	PROPN
ejde-686	564	26	ω	ω	NUM
ejde-686	564	27	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	564	28	,	,	PUNCT
ejde-686	564	29	y)f1(y	y)f1(y	PROPN
ejde-686	564	30	)	)	PUNCT
ejde-686	564	31	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	564	32	)	)	PUNCT
ejde-686	564	33	∣∣∣2	∣∣∣2	NOUN
ejde-686	564	34	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PART
ejde-686	564	35	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	564	36	sets	set	NOUN
ejde-686	564	37	and	and	CCONJ
ejde-686	564	38	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	564	39	of	of	ADP
ejde-686	564	40	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	564	41	17	17	NUM
ejde-686	564	42	≤	≤	NUM
ejde-686	564	43	∫	∫	PROPN
ejde-686	564	44	br̃(z	br̃(z	PROPN
ejde-686	564	45	)	)	PUNCT
ejde-686	565	1	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	565	2	,	,	PUNCT
ejde-686	565	3	y)f21	y)f21	NOUN
ejde-686	565	4	(	(	PUNCT
ejde-686	565	5	y	y	NOUN
ejde-686	565	6	)	)	PUNCT
ejde-686	565	7	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	565	8	)	)	PUNCT
ejde-686	565	9	·	·	PUNCT
ejde-686	566	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	566	2	br̃(z	br̃(z	PROPN
ejde-686	566	3	)	)	PUNCT
ejde-686	567	1	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	567	2	,	,	PUNCT
ejde-686	567	3	y	y	NOUN
ejde-686	567	4	)	)	PUNCT
ejde-686	567	5	dµ(x	dµ(x	PUNCT
ejde-686	567	6	)	)	PUNCT
ejde-686	567	7	≤	≤	NUM
ejde-686	567	8	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-686	567	9	∫	∫	PROPN
ejde-686	568	1	ω	ω	NUM
ejde-686	568	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	568	3	,	,	PUNCT
ejde-686	568	4	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	568	5	)	)	PUNCT
ejde-686	568	6	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	568	7	)	)	PUNCT
ejde-686	568	8	.	.	PUNCT
ejde-686	569	1	combining	combine	VERB
ejde-686	569	2	this	this	PRON
ejde-686	569	3	and	and	CCONJ
ejde-686	569	4	(	(	PUNCT
ejde-686	569	5	5.13	5.13	NUM
ejde-686	569	6	)	)	PUNCT
ejde-686	569	7	,	,	PUNCT
ejde-686	569	8	we	we	PRON
ejde-686	569	9	have∣∣gµf1	have∣∣gµf1	VERB
ejde-686	569	10	∣∣	∣∣	NUM
ejde-686	569	11	≤	≤	ADJ
ejde-686	569	12	c3	c3	X
ejde-686	569	13	·	·	PUNCT
ejde-686	569	14	ϵ.	ϵ.	NOUN
ejde-686	569	15	(	(	PUNCT
ejde-686	569	16	5.17	5.17	NUM
ejde-686	569	17	)	)	PUNCT
ejde-686	569	18	therefore	therefore	ADV
ejde-686	569	19	,	,	PUNCT
ejde-686	569	20	combining	combine	VERB
ejde-686	569	21	(	(	PUNCT
ejde-686	569	22	5.16	5.16	NUM
ejde-686	569	23	)	)	PUNCT
ejde-686	569	24	and	and	CCONJ
ejde-686	569	25	(	(	PUNCT
ejde-686	569	26	5.17	5.17	NUM
ejde-686	569	27	)	)	PUNCT
ejde-686	569	28	proves	prove	VERB
ejde-686	569	29	the	the	DET
ejde-686	569	30	claim	claim	NOUN
ejde-686	569	31	.	.	PUNCT
ejde-686	570	1	step	step	NOUN
ejde-686	570	2	2	2	NUM
ejde-686	570	3	.	.	PUNCT
ejde-686	571	1	let	let	VERB
ejde-686	571	2	f2	f2	NOUN
ejde-686	571	3	:	:	PUNCT
ejde-686	571	4	=	=	SYM
ejde-686	571	5	f	f	PROPN
ejde-686	571	6	−	−	PROPN
ejde-686	571	7	f1	f1	NOUN
ejde-686	571	8	.	.	PUNCT
ejde-686	572	1	we	we	PRON
ejde-686	572	2	claim	claim	VERB
ejde-686	572	3	that	that	SCONJ
ejde-686	572	4	gµf2	gµf2	NOUN
ejde-686	572	5	is	be	AUX
ejde-686	572	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	572	7	at	at	ADP
ejde-686	572	8	z.	z.	PROPN
ejde-686	572	9	in	in	ADP
ejde-686	572	10	fact	fact	NOUN
ejde-686	572	11	,	,	PUNCT
ejde-686	572	12	by	by	ADP
ejde-686	572	13	the	the	DET
ejde-686	572	14	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	572	15	of	of	ADP
ejde-686	572	16	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	572	17	,	,	PUNCT
ejde-686	572	18	y	y	NOUN
ejde-686	572	19	)	)	PUNCT
ejde-686	572	20	,	,	PUNCT
ejde-686	572	21	for	for	ADP
ejde-686	572	22	any	any	DET
ejde-686	572	23	y	y	PROPN
ejde-686	572	24	∈	∈	PROPN
ejde-686	572	25	ω	ω	PROPN
ejde-686	572	26	\br̃(z	\br̃(z	PROPN
ejde-686	572	27	)	)	PUNCT
ejde-686	572	28	,	,	PUNCT
ejde-686	572	29	g(z	g(z	PROPN
ejde-686	572	30	,	,	PUNCT
ejde-686	572	31	y	y	PROPN
ejde-686	572	32	)	)	PUNCT
ejde-686	572	33	is	be	AUX
ejde-686	572	34	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	572	35	at	at	ADP
ejde-686	572	36	z	z	PROPN
ejde-686	572	37	,	,	PUNCT
ejde-686	572	38	i.e.	i.e.	X
ejde-686	572	39	,	,	PUNCT
ejde-686	572	40	lim	lim	PROPN
ejde-686	572	41	x→z	x→z	PROPN
ejde-686	573	1	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	573	2	,	,	PUNCT
ejde-686	573	3	y	y	NOUN
ejde-686	573	4	)	)	PUNCT
ejde-686	573	5	=	=	SYM
ejde-686	574	1	g(z	g(z	PROPN
ejde-686	574	2	,	,	PUNCT
ejde-686	574	3	y	y	PROPN
ejde-686	574	4	)	)	PUNCT
ejde-686	574	5	.	.	PUNCT
ejde-686	575	1	(	(	PUNCT
ejde-686	575	2	5.18	5.18	NUM
ejde-686	575	3	)	)	PUNCT
ejde-686	575	4	note	note	NOUN
ejde-686	575	5	that	that	SCONJ
ejde-686	575	6	by	by	ADP
ejde-686	575	7	(	(	PUNCT
ejde-686	575	8	5.1	5.1	NUM
ejde-686	575	9	)	)	PUNCT
ejde-686	575	10	and	and	CCONJ
ejde-686	575	11	(	(	PUNCT
ejde-686	575	12	5.3	5.3	NUM
ejde-686	575	13	)	)	PUNCT
ejde-686	575	14	there	there	PRON
ejde-686	575	15	exists	exist	VERB
ejde-686	575	16	δ	δ	PROPN
ejde-686	575	17	∈	∈	PROPN
ejde-686	575	18	(	(	PUNCT
ejde-686	575	19	0	0	NUM
ejde-686	575	20	,	,	PUNCT
ejde-686	575	21	r̃/2	r̃/2	PROPN
ejde-686	575	22	)	)	PUNCT
ejde-686	575	23	such	such	ADJ
ejde-686	575	24	that	that	PRON
ejde-686	575	25	for	for	ADP
ejde-686	575	26	any	any	DET
ejde-686	575	27	x	x	SYM
ejde-686	575	28	∈	∈	NOUN
ejde-686	575	29	bδ(z	bδ(z	NOUN
ejde-686	575	30	)	)	PUNCT
ejde-686	575	31	and	and	CCONJ
ejde-686	575	32	all	all	DET
ejde-686	575	33	y	y	PROPN
ejde-686	575	34	∈	∈	PROPN
ejde-686	575	35	ω	ω	PROPN
ejde-686	575	36	\br̃(z	\br̃(z	PROPN
ejde-686	575	37	)	)	PUNCT
ejde-686	575	38	,	,	PUNCT
ejde-686	575	39	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-686	575	40	,	,	PUNCT
ejde-686	575	41	y)|	y)|	PROPN
ejde-686	575	42	≤	≤	NOUN
ejde-686	575	43	c4	c4	NOUN
ejde-686	575	44	:	:	PUNCT
ejde-686	575	45	=	=	SYM
ejde-686	575	46	max	max	X
ejde-686	575	47	{	{	PUNCT
ejde-686	575	48	∣∣	∣∣	NUM
ejde-686	575	49	log	log	VERB
ejde-686	575	50	r̃	r̃	PROPN
ejde-686	575	51	2	2	NUM
ejde-686	575	52	∣∣+	∣∣+	X
ejde-686	575	53	c5	c5	PROPN
ejde-686	575	54	,	,	PUNCT
ejde-686	575	55	(	(	PUNCT
ejde-686	575	56	r̃	r̃	NOUN
ejde-686	575	57	2	2	NUM
ejde-686	575	58	)	)	PUNCT
ejde-686	575	59	2−d	2−d	PUNCT
ejde-686	576	1	+	+	CCONJ
ejde-686	576	2	c5	c5	PROPN
ejde-686	576	3	}	}	PUNCT
ejde-686	576	4	,	,	PUNCT
ejde-686	576	5	where	where	SCONJ
ejde-686	576	6	c5	c5	PROPN
ejde-686	576	7	>	>	X
ejde-686	576	8	0	0	PUNCT
ejde-686	576	9	is	be	AUX
ejde-686	576	10	a	a	DET
ejde-686	576	11	constant	constant	ADJ
ejde-686	576	12	.	.	PUNCT
ejde-686	577	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	577	2	,	,	PUNCT
ejde-686	577	3	f2	f2	PROPN
ejde-686	577	4	∈	∈	PROPN
ejde-686	577	5	l1(ω	l1(ω	PROPN
ejde-686	577	6	,	,	PUNCT
ejde-686	577	7	µ	µ	NOUN
ejde-686	577	8	)	)	PUNCT
ejde-686	577	9	as	as	ADP
ejde-686	577	10	∥f2∥l1(ω,µ	∥f2∥l1(ω,µ	X
ejde-686	577	11	)	)	PUNCT
ejde-686	577	12	≤	≤	NUM
ejde-686	577	13	∥f∥l1(ω,µ	∥f∥l1(ω,µ	PROPN
ejde-686	577	14	)	)	PUNCT
ejde-686	577	15	.	.	PUNCT
ejde-686	578	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	578	2	,	,	PUNCT
ejde-686	578	3	by	by	ADP
ejde-686	578	4	(	(	PUNCT
ejde-686	578	5	5.18	5.18	NUM
ejde-686	578	6	)	)	PUNCT
ejde-686	578	7	and	and	CCONJ
ejde-686	578	8	lebesgue	lebesgue	PROPN
ejde-686	578	9	’s	’s	PART
ejde-686	578	10	dominated	dominate	VERB
ejde-686	578	11	convergence	convergence	NOUN
ejde-686	578	12	theorem	theorem	VERB
ejde-686	578	13	,	,	PUNCT
ejde-686	578	14	we	we	PRON
ejde-686	578	15	have	have	VERB
ejde-686	578	16	lim	lim	PROPN
ejde-686	578	17	x→z	x→z	PROPN
ejde-686	578	18	gµf2(x	gµf2(x	PROPN
ejde-686	578	19	)	)	PUNCT
ejde-686	579	1	=	=	PROPN
ejde-686	579	2	lim	lim	PROPN
ejde-686	579	3	x→z	x→z	PROPN
ejde-686	579	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	580	1	ω	ω	PROPN
ejde-686	580	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-686	580	3	,	,	PUNCT
ejde-686	580	4	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	580	5	)	)	PUNCT
ejde-686	580	6	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	580	7	)	)	PUNCT
ejde-686	581	1	=	=	SYM
ejde-686	581	2	lim	lim	PROPN
ejde-686	581	3	x→z	x→z	PROPN
ejde-686	581	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	581	5	ω\br̃(z	ω\br̃(z	PROPN
ejde-686	581	6	)	)	PUNCT
ejde-686	582	1	g(x	g(x	NOUN
ejde-686	582	2	,	,	PUNCT
ejde-686	582	3	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	582	4	)	)	PUNCT
ejde-686	582	5	dµ(y	dµ(y	PUNCT
ejde-686	582	6	)	)	PUNCT
ejde-686	583	1	=	=	SYM
ejde-686	583	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	583	3	ω\br̃(z	ω\br̃(z	PROPN
ejde-686	583	4	)	)	PUNCT
ejde-686	584	1	g(z	g(z	PROPN
ejde-686	584	2	,	,	PUNCT
ejde-686	584	3	y)f2(y	y)f2(y	PROPN
ejde-686	584	4	)	)	PUNCT
ejde-686	584	5	dµ(y	dµ(y	NUM
ejde-686	584	6	)	)	PUNCT
ejde-686	584	7	=	=	PUNCT
ejde-686	584	8	gµf2(z	gµf2(z	VERB
ejde-686	584	9	)	)	PUNCT
ejde-686	584	10	.	.	PUNCT
ejde-686	585	1	step	step	NOUN
ejde-686	585	2	3	3	NUM
ejde-686	585	3	.	.	PUNCT
ejde-686	586	1	by	by	ADP
ejde-686	586	2	step	step	NOUN
ejde-686	586	3	2	2	NUM
ejde-686	586	4	,	,	PUNCT
ejde-686	586	5	for	for	ADP
ejde-686	586	6	any	any	DET
ejde-686	586	7	ϵ	ϵ	X
ejde-686	586	8	>	>	X
ejde-686	586	9	0	0	NUM
ejde-686	586	10	,	,	PUNCT
ejde-686	586	11	there	there	PRON
ejde-686	586	12	exists	exist	VERB
ejde-686	586	13	δ	δ	PROPN
ejde-686	586	14	>	>	X
ejde-686	586	15	0	0	NUM
ejde-686	587	1	such	such	ADJ
ejde-686	587	2	that	that	PRON
ejde-686	587	3	for	for	ADP
ejde-686	587	4	any	any	DET
ejde-686	587	5	z̃	z̃	PROPN
ejde-686	587	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	587	7	bδ(z),∣∣gµf2(z)−gµf2(z̃	bδ(z),∣∣gµf2(z)−gµf2(z̃	X
ejde-686	587	8	)	)	PUNCT
ejde-686	587	9	∣∣	∣∣	X
ejde-686	587	10	<	<	X
ejde-686	587	11	ϵ.	ϵ.	NOUN
ejde-686	587	12	combining	combine	VERB
ejde-686	587	13	this	this	PRON
ejde-686	587	14	,	,	PUNCT
ejde-686	587	15	step	step	NOUN
ejde-686	587	16	1	1	NUM
ejde-686	587	17	and	and	CCONJ
ejde-686	587	18	the	the	DET
ejde-686	587	19	definitions	definition	NOUN
ejde-686	587	20	of	of	ADP
ejde-686	587	21	f1	f1	NOUN
ejde-686	587	22	and	and	CCONJ
ejde-686	587	23	f2	f2	PROPN
ejde-686	587	24	,	,	PUNCT
ejde-686	587	25	we	we	PRON
ejde-686	587	26	have	have	VERB
ejde-686	587	27	|gµf(z)−gµf(z̃)|	|gµf(z)−gµf(z̃)|	VERB
ejde-686	587	28	=	=	SYM
ejde-686	587	29	|gµf1(z	|gµf1(z	X
ejde-686	587	30	)	)	PUNCT
ejde-686	588	1	+	+	NOUN
ejde-686	588	2	gµf2(z)−gµf1(z̃)−gµf2(z̃)|	gµf2(z)−gµf1(z̃)−gµf2(z̃)|	ADJ
ejde-686	588	3	≤	≤	NUM
ejde-686	588	4	|gµf1(z)|+	|gµf1(z)|+	NUM
ejde-686	588	5	|gµf1(z̃)|+	|gµf1(z̃)|+	NOUN
ejde-686	588	6	|gµf2(z)−gµf2(z̃)|	|gµf2(z)−gµf2(z̃)|	VERB
ejde-686	588	7	≤	≤	NUM
ejde-686	588	8	3ϵ	3ϵ	NOUN
ejde-686	588	9	,	,	PUNCT
ejde-686	588	10	which	which	PRON
ejde-686	588	11	shows	show	VERB
ejde-686	588	12	that	that	SCONJ
ejde-686	588	13	gµf	gµf	PROPN
ejde-686	588	14	is	be	AUX
ejde-686	588	15	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	588	16	at	at	ADP
ejde-686	588	17	z.	z.	PROPN
ejde-686	588	18	since	since	SCONJ
ejde-686	588	19	z	z	PROPN
ejde-686	588	20	is	be	AUX
ejde-686	588	21	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-686	588	22	,	,	PUNCT
ejde-686	588	23	gµf	gµf	PROPN
ejde-686	588	24	is	be	AUX
ejde-686	588	25	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	588	26	on	on	ADP
ejde-686	588	27	ω	ω	PROPN
ejde-686	588	28	.	.	PUNCT
ejde-686	589	1	finally	finally	ADV
ejde-686	589	2	,	,	PUNCT
ejde-686	589	3	if	if	SCONJ
ejde-686	589	4	the	the	DET
ejde-686	589	5	boundary	boundary	NOUN
ejde-686	589	6	of	of	ADP
ejde-686	589	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	589	8	is	be	AUX
ejde-686	589	9	regular	regular	ADJ
ejde-686	589	10	,	,	PUNCT
ejde-686	589	11	then	then	ADV
ejde-686	589	12	,	,	PUNCT
ejde-686	589	13	applying	apply	VERB
ejde-686	589	14	the	the	DET
ejde-686	589	15	argument	argument	NOUN
ejde-686	589	16	in	in	ADP
ejde-686	589	17	steps	step	NOUN
ejde-686	589	18	1–3	1–3	NUM
ejde-686	589	19	to	to	ADP
ejde-686	589	20	ω	ω	NUM
ejde-686	589	21	,	,	PUNCT
ejde-686	589	22	we	we	PRON
ejde-686	589	23	can	can	AUX
ejde-686	589	24	prove	prove	VERB
ejde-686	589	25	that	that	SCONJ
ejde-686	589	26	the	the	DET
ejde-686	589	27	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	589	28	of	of	ADP
ejde-686	589	29	∆µ	∆µ	PROPN
ejde-686	589	30	are	be	AUX
ejde-686	589	31	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	589	32	on	on	ADP
ejde-686	589	33	ω	ω	NUM
ejde-686	589	34	.	.	PUNCT
ejde-686	590	1	□	□	PUNCT
ejde-686	590	2	6	6	NUM
ejde-686	590	3	.	.	PUNCT
ejde-686	590	4	examples	example	NOUN
ejde-686	590	5	of	of	ADP
ejde-686	590	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	590	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	590	8	in	in	ADP
ejde-686	590	9	this	this	DET
ejde-686	590	10	section	section	NOUN
ejde-686	590	11	,	,	PUNCT
ejde-686	590	12	we	we	PRON
ejde-686	590	13	assume	assume	VERB
ejde-686	590	14	that	that	SCONJ
ejde-686	590	15	ω	ω	PROPN
ejde-686	590	16	⊆	⊆	NUM
ejde-686	590	17	r2	r2	NOUN
ejde-686	590	18	.	.	PUNCT
ejde-686	591	1	we	we	PRON
ejde-686	591	2	will	will	AUX
ejde-686	591	3	construct	construct	VERB
ejde-686	591	4	some	some	DET
ejde-686	591	5	examples	example	NOUN
ejde-686	591	6	of	of	ADP
ejde-686	591	7	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	591	8	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	591	9	of	of	ADP
ejde-686	591	10	∆µ.	∆µ.	PROPN
ejde-686	591	11	as	as	SCONJ
ejde-686	591	12	mentioned	mention	VERB
ejde-686	591	13	in	in	ADP
ejde-686	591	14	section	section	NOUN
ejde-686	591	15	1	1	NUM
ejde-686	591	16	,	,	PUNCT
ejde-686	591	17	we	we	PRON
ejde-686	591	18	are	be	AUX
ejde-686	591	19	interested	interested	ADJ
ejde-686	591	20	in	in	ADP
ejde-686	591	21	the	the	DET
ejde-686	591	22	case	case	NOUN
ejde-686	591	23	that	that	SCONJ
ejde-686	591	24	the	the	DET
ejde-686	591	25	measures	measure	NOUN
ejde-686	591	26	are	be	AUX
ejde-686	591	27	singular	singular	ADJ
ejde-686	591	28	with	with	ADP
ejde-686	591	29	respect	respect	NOUN
ejde-686	591	30	to	to	ADP
ejde-686	591	31	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	591	32	measure	measure	NOUN
ejde-686	591	33	.	.	PUNCT
ejde-686	592	1	let	let	VERB
ejde-686	592	2	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	592	3	)	)	PUNCT
ejde-686	592	4	:	:	PUNCT
ejde-686	593	1	=	=	PUNCT
ejde-686	593	2	c∞	c∞	PROPN
ejde-686	593	3	c	c	X
ejde-686	593	4	(	(	PUNCT
ejde-686	593	5	ω	ω	NOUN
ejde-686	593	6	)	)	PUNCT
ejde-686	593	7	be	be	VERB
ejde-686	593	8	the	the	DET
ejde-686	593	9	vector	vector	NOUN
ejde-686	593	10	space	space	NOUN
ejde-686	593	11	of	of	ADP
ejde-686	593	12	test	test	NOUN
ejde-686	593	13	functions	function	NOUN
ejde-686	593	14	.	.	PUNCT
ejde-686	594	1	recall	recall	VERB
ejde-686	594	2	that	that	SCONJ
ejde-686	594	3	a	a	DET
ejde-686	594	4	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	594	5	t	t	NOUN
ejde-686	594	6	:	:	PUNCT
ejde-686	594	7	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	594	8	)	)	PUNCT
ejde-686	594	9	→	→	PUNCT
ejde-686	594	10	c	c	NOUN
ejde-686	594	11	is	be	AUX
ejde-686	594	12	a	a	DET
ejde-686	594	13	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	594	14	linear	linear	NOUN
ejde-686	594	15	map	map	NOUN
ejde-686	595	1	[	[	X
ejde-686	595	2	23	23	NUM
ejde-686	595	3	,	,	PUNCT
ejde-686	595	4	49	49	NUM
ejde-686	595	5	]	]	PUNCT
ejde-686	595	6	.	.	PUNCT
ejde-686	596	1	for	for	ADP
ejde-686	596	2	any	any	DET
ejde-686	596	3	locally	locally	ADV
ejde-686	596	4	integrable	integrable	ADJ
ejde-686	596	5	18	18	NUM
ejde-686	596	6	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	596	7	.	.	PUNCT
ejde-686	597	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	597	2	,	,	PUNCT
ejde-686	597	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	597	4	.	.	PUNCT
ejde-686	598	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	598	2	,	,	PUNCT
ejde-686	598	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	598	4	.	.	PUNCT
ejde-686	599	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	599	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	599	3	function	function	VERB
ejde-686	599	4	f	f	PROPN
ejde-686	599	5	∈	∈	PROPN
ejde-686	599	6	l1	l1	PROPN
ejde-686	599	7	loc(ω	loc(ω	PROPN
ejde-686	599	8	)	)	PUNCT
ejde-686	599	9	,	,	PUNCT
ejde-686	599	10	define	define	VERB
ejde-686	599	11	a	a	DET
ejde-686	599	12	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	599	13	tf	tf	INTJ
ejde-686	599	14	as	as	ADP
ejde-686	599	15	⟨tf	⟨tf	PROPN
ejde-686	599	16	,	,	PUNCT
ejde-686	599	17	v⟩	v⟩	VERB
ejde-686	599	18	:	:	PUNCT
ejde-686	600	1	=	=	SYM
ejde-686	600	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	600	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	600	4	fv	fv	PROPN
ejde-686	600	5	dx	dx	PROPN
ejde-686	600	6	,	,	PUNCT
ejde-686	600	7	v	v	PROPN
ejde-686	600	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	600	9	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	600	10	)	)	PUNCT
ejde-686	600	11	.	.	PUNCT
ejde-686	601	1	the	the	DET
ejde-686	601	2	i	i	PROPN
ejde-686	601	3	-	-	PUNCT
ejde-686	601	4	th	th	X
ejde-686	601	5	partial	partial	ADJ
ejde-686	601	6	distributional	distributional	ADJ
ejde-686	601	7	derivative	derivative	ADJ
ejde-686	601	8	∂t/∂xi	∂t/∂xi	NOUN
ejde-686	601	9	of	of	ADP
ejde-686	601	10	a	a	DET
ejde-686	601	11	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	601	12	t	t	NOUN
ejde-686	601	13	is	be	AUX
ejde-686	601	14	defined	define	VERB
ejde-686	601	15	by	by	ADP
ejde-686	601	16	〈	〈	PROPN
ejde-686	601	17	∂t	∂t	PROPN
ejde-686	601	18	∂xi	∂xi	PROPN
ejde-686	601	19	,	,	PUNCT
ejde-686	601	20	v	v	NOUN
ejde-686	601	21	〉	〉	NOUN
ejde-686	601	22	=	=	SYM
ejde-686	601	23	−	−	PROPN
ejde-686	601	24	〈	〈	PROPN
ejde-686	601	25	t	t	PROPN
ejde-686	601	26	,	,	PUNCT
ejde-686	601	27	∂v	∂v	PROPN
ejde-686	601	28	∂xi	∂xi	PROPN
ejde-686	601	29	〉	〉	NOUN
ejde-686	601	30	,	,	PUNCT
ejde-686	601	31	v	v	PROPN
ejde-686	601	32	∈	∈	PROPN
ejde-686	601	33	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	601	34	)	)	PUNCT
ejde-686	601	35	.	.	PUNCT
ejde-686	602	1	we	we	PRON
ejde-686	602	2	consider	consider	VERB
ejde-686	602	3	the	the	DET
ejde-686	602	4	square	square	ADJ
ejde-686	602	5	domain	domain	NOUN
ejde-686	602	6	ω	ω	X
ejde-686	602	7	=	=	SYM
ejde-686	602	8	(	(	PUNCT
ejde-686	602	9	−1	−1	NOUN
ejde-686	602	10	,	,	PUNCT
ejde-686	602	11	1)×	1)×	NUM
ejde-686	602	12	(	(	PUNCT
ejde-686	602	13	−1	−1	NOUN
ejde-686	602	14	,	,	PUNCT
ejde-686	602	15	1	1	NUM
ejde-686	602	16	)	)	PUNCT
ejde-686	602	17	.	.	PUNCT
ejde-686	603	1	to	to	PART
ejde-686	603	2	describe	describe	VERB
ejde-686	603	3	the	the	DET
ejde-686	603	4	distributional	distributional	ADJ
ejde-686	603	5	derivative	derivative	NOUN
ejde-686	603	6	of	of	ADP
ejde-686	603	7	functions	function	NOUN
ejde-686	603	8	we	we	PRON
ejde-686	603	9	construct	construct	VERB
ejde-686	603	10	,	,	PUNCT
ejde-686	603	11	we	we	PRON
ejde-686	603	12	need	need	VERB
ejde-686	603	13	to	to	PART
ejde-686	603	14	define	define	VERB
ejde-686	603	15	the	the	DET
ejde-686	603	16	following	follow	VERB
ejde-686	603	17	specific	specific	ADJ
ejde-686	603	18	distributions	distribution	NOUN
ejde-686	603	19	in	in	ADP
ejde-686	603	20	d′(ω	d′(ω	PROPN
ejde-686	603	21	)	)	PUNCT
ejde-686	603	22	,	,	PUNCT
ejde-686	603	23	where	where	SCONJ
ejde-686	603	24	d′(ω	d′(ω	NOUN
ejde-686	603	25	)	)	PUNCT
ejde-686	603	26	is	be	AUX
ejde-686	603	27	the	the	DET
ejde-686	603	28	dual	dual	ADJ
ejde-686	603	29	space	space	NOUN
ejde-686	603	30	of	of	ADP
ejde-686	603	31	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	603	32	)	)	PUNCT
ejde-686	603	33	.	.	PUNCT
ejde-686	604	1	definition	definition	NOUN
ejde-686	604	2	6.1	6.1	NUM
ejde-686	604	3	.	.	PUNCT
ejde-686	605	1	let	let	VERB
ejde-686	605	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	605	3	=	=	SYM
ejde-686	605	4	(	(	PUNCT
ejde-686	605	5	−1	−1	NOUN
ejde-686	605	6	,	,	PUNCT
ejde-686	605	7	1	1	X
ejde-686	605	8	)	)	PUNCT
ejde-686	605	9	×	×	NOUN
ejde-686	605	10	(	(	PUNCT
ejde-686	605	11	−1	−1	NOUN
ejde-686	605	12	,	,	PUNCT
ejde-686	605	13	1	1	NUM
ejde-686	605	14	)	)	PUNCT
ejde-686	605	15	and	and	CCONJ
ejde-686	605	16	β	β	X
ejde-686	605	17	∈	∈	PROPN
ejde-686	605	18	(	(	PUNCT
ejde-686	605	19	−1	−1	NOUN
ejde-686	605	20	,	,	PUNCT
ejde-686	605	21	1	1	NUM
ejde-686	605	22	)	)	PUNCT
ejde-686	605	23	be	be	AUX
ejde-686	605	24	a	a	DET
ejde-686	605	25	fixed	fix	VERB
ejde-686	605	26	constant	constant	ADJ
ejde-686	605	27	.	.	PUNCT
ejde-686	606	1	define	define	VERB
ejde-686	606	2	δi	δi	ADP
ejde-686	606	3	,	,	PUNCT
ejde-686	606	4	β	β	X
ejde-686	606	5	and	and	CCONJ
ejde-686	606	6	δβ	δβ	PROPN
ejde-686	606	7	,	,	PUNCT
ejde-686	606	8	ii	ii	NOUN
ejde-686	606	9	as	as	ADP
ejde-686	606	10	distributions	distribution	NOUN
ejde-686	606	11	in	in	ADP
ejde-686	606	12	d′(ω	d′(ω	NOUN
ejde-686	606	13	)	)	PUNCT
ejde-686	606	14	so	so	SCONJ
ejde-686	606	15	that	that	SCONJ
ejde-686	606	16	the	the	DET
ejde-686	606	17	following	follow	VERB
ejde-686	606	18	equations	equation	NOUN
ejde-686	606	19	hold	hold	VERB
ejde-686	606	20	for	for	ADP
ejde-686	606	21	all	all	DET
ejde-686	606	22	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	606	23	,	,	PUNCT
ejde-686	606	24	y	y	NOUN
ejde-686	606	25	)	)	PUNCT
ejde-686	606	26	∈	∈	PROPN
ejde-686	606	27	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	606	28	):	):	PUNCT
ejde-686	606	29	〈	〈	PROPN
ejde-686	606	30	δi	δi	NOUN
ejde-686	606	31	,	,	PUNCT
ejde-686	606	32	β	β	X
ejde-686	606	33	,	,	PUNCT
ejde-686	606	34	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	606	35	,	,	PUNCT
ejde-686	606	36	y	y	NOUN
ejde-686	606	37	)	)	PUNCT
ejde-686	606	38	〉	〉	NOUN
ejde-686	606	39	:	:	PUNCT
ejde-686	606	40	=	=	SYM
ejde-686	606	41	∫	∫	PROPN
ejde-686	606	42	ω	ω	NUM
ejde-686	606	43	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	606	44	,	,	PUNCT
ejde-686	606	45	y	y	NOUN
ejde-686	606	46	)	)	PUNCT
ejde-686	606	47	dxdδβ(y	dxdδβ(y	PROPN
ejde-686	606	48	)	)	PUNCT
ejde-686	607	1	=	=	SYM
ejde-686	607	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	607	3	1	1	NUM
ejde-686	607	4	−1	−1	NOUN
ejde-686	607	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	607	6	,	,	PUNCT
ejde-686	607	7	β	β	X
ejde-686	607	8	)	)	PUNCT
ejde-686	607	9	dx	dx	PROPN
ejde-686	607	10	,	,	PUNCT
ejde-686	607	11	(	(	PUNCT
ejde-686	607	12	6.1	6.1	NUM
ejde-686	607	13	)	)	PUNCT
ejde-686	607	14	〈	〈	PROPN
ejde-686	607	15	δβ	δβ	NOUN
ejde-686	607	16	,	,	PUNCT
ejde-686	607	17	ii	ii	PROPN
ejde-686	607	18	,	,	PUNCT
ejde-686	607	19	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	607	20	,	,	PUNCT
ejde-686	607	21	y	y	NOUN
ejde-686	607	22	)	)	PUNCT
ejde-686	607	23	〉	〉	NOUN
ejde-686	607	24	:	:	PUNCT
ejde-686	607	25	=	=	SYM
ejde-686	607	26	∫	∫	PROPN
ejde-686	607	27	ω	ω	NUM
ejde-686	608	1	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	608	2	,	,	PUNCT
ejde-686	608	3	y	y	NOUN
ejde-686	608	4	)	)	PUNCT
ejde-686	608	5	dδβ(x)dy	dδβ(x)dy	PUNCT
ejde-686	609	1	=	=	SYM
ejde-686	609	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	609	3	1	1	NUM
ejde-686	609	4	−1	−1	NOUN
ejde-686	609	5	v(β	v(β	PROPN
ejde-686	609	6	,	,	PUNCT
ejde-686	609	7	y	y	NOUN
ejde-686	609	8	)	)	PUNCT
ejde-686	609	9	dy	dy	NOUN
ejde-686	609	10	,	,	PUNCT
ejde-686	609	11	(	(	PUNCT
ejde-686	609	12	6.2	6.2	NUM
ejde-686	609	13	)	)	PUNCT
ejde-686	609	14	where	where	SCONJ
ejde-686	609	15	δβ	δβ	NOUN
ejde-686	609	16	is	be	AUX
ejde-686	609	17	the	the	DET
ejde-686	609	18	dirac	dirac	NOUN
ejde-686	609	19	measure	measure	NOUN
ejde-686	609	20	at	at	ADP
ejde-686	609	21	β	β	PRON
ejde-686	609	22	defined	define	VERB
ejde-686	609	23	on	on	ADP
ejde-686	609	24	r.	r.	PROPN
ejde-686	609	25	remark	remark	PROPN
ejde-686	609	26	6.2	6.2	NUM
ejde-686	609	27	.	.	PUNCT
ejde-686	610	1	the	the	DET
ejde-686	610	2	superscript	superscript	PROPN
ejde-686	610	3	β	β	PROPN
ejde-686	610	4	in	in	ADP
ejde-686	610	5	δi	δi	PROPN
ejde-686	610	6	,	,	PUNCT
ejde-686	610	7	β	β	X
ejde-686	610	8	and	and	CCONJ
ejde-686	610	9	δβ	δβ	PROPN
ejde-686	610	10	,	,	PUNCT
ejde-686	610	11	ii	ii	PROPN
ejde-686	610	12	represents	represent	VERB
ejde-686	610	13	the	the	DET
ejde-686	610	14	point	point	NOUN
ejde-686	610	15	at	at	ADP
ejde-686	610	16	which	which	PRON
ejde-686	610	17	the	the	DET
ejde-686	610	18	dirac	dirac	NOUN
ejde-686	610	19	measure	measure	NOUN
ejde-686	610	20	takes	take	VERB
ejde-686	610	21	the	the	DET
ejde-686	610	22	value	value	NOUN
ejde-686	610	23	1	1	NUM
ejde-686	610	24	.	.	PUNCT
ejde-686	611	1	the	the	DET
ejde-686	611	2	position	position	NOUN
ejde-686	611	3	of	of	ADP
ejde-686	611	4	β	β	PROPN
ejde-686	611	5	indicates	indicate	VERB
ejde-686	611	6	the	the	DET
ejde-686	611	7	axis	axis	NOUN
ejde-686	611	8	on	on	ADP
ejde-686	611	9	which	which	PRON
ejde-686	611	10	the	the	DET
ejde-686	611	11	dirac	dirac	NOUN
ejde-686	611	12	measure	measure	NOUN
ejde-686	611	13	is	be	AUX
ejde-686	611	14	defined	define	VERB
ejde-686	611	15	.	.	PUNCT
ejde-686	612	1	hence	hence	ADV
ejde-686	612	2	,	,	PUNCT
ejde-686	612	3	δβ	δβ	NOUN
ejde-686	612	4	in	in	ADP
ejde-686	612	5	(	(	PUNCT
ejde-686	612	6	6.1	6.1	NUM
ejde-686	612	7	)	)	PUNCT
ejde-686	612	8	is	be	AUX
ejde-686	612	9	defined	define	VERB
ejde-686	612	10	on	on	ADP
ejde-686	612	11	the	the	DET
ejde-686	612	12	y	y	NOUN
ejde-686	612	13	-	-	PUNCT
ejde-686	612	14	axis	axis	NOUN
ejde-686	612	15	,	,	PUNCT
ejde-686	612	16	and	and	CCONJ
ejde-686	612	17	δβ	δβ	VERB
ejde-686	612	18	in	in	ADP
ejde-686	612	19	(	(	PUNCT
ejde-686	612	20	6.2	6.2	NUM
ejde-686	612	21	)	)	PUNCT
ejde-686	612	22	is	be	AUX
ejde-686	612	23	defined	define	VERB
ejde-686	612	24	on	on	ADP
ejde-686	612	25	the	the	DET
ejde-686	612	26	x	x	NOUN
ejde-686	612	27	-	-	NOUN
ejde-686	612	28	axis	axis	NOUN
ejde-686	612	29	.	.	PUNCT
ejde-686	613	1	the	the	DET
ejde-686	613	2	roman	roman	ADJ
ejde-686	613	3	superscripts	superscript	NOUN
ejde-686	613	4	i	i	PROPN
ejde-686	613	5	and	and	CCONJ
ejde-686	613	6	ii	ii	PROPN
ejde-686	613	7	represent	represent	VERB
ejde-686	613	8	dx	dx	PROPN
ejde-686	613	9	and	and	CCONJ
ejde-686	613	10	dy	dy	NOUN
ejde-686	613	11	,	,	PUNCT
ejde-686	613	12	respectively	respectively	ADV
ejde-686	613	13	.	.	PUNCT
ejde-686	614	1	it	it	PRON
ejde-686	614	2	can	can	AUX
ejde-686	614	3	be	be	AUX
ejde-686	614	4	checked	check	VERB
ejde-686	614	5	directly	directly	ADV
ejde-686	614	6	that	that	SCONJ
ejde-686	614	7	δi	δi	ADP
ejde-686	614	8	,	,	PUNCT
ejde-686	614	9	β	β	X
ejde-686	614	10	and	and	CCONJ
ejde-686	614	11	δβ	δβ	PROPN
ejde-686	614	12	,	,	PUNCT
ejde-686	614	13	ii	ii	PROPN
ejde-686	614	14	are	be	AUX
ejde-686	614	15	distributions	distribution	NOUN
ejde-686	614	16	.	.	PUNCT
ejde-686	615	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	615	2	,	,	PUNCT
ejde-686	615	3	the	the	DET
ejde-686	615	4	following	follow	VERB
ejde-686	615	5	property	property	NOUN
ejde-686	615	6	holds	hold	NOUN
ejde-686	615	7	.	.	PUNCT
ejde-686	616	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	616	2	6.3	6.3	NUM
ejde-686	616	3	.	.	PUNCT
ejde-686	617	1	use	use	VERB
ejde-686	617	2	the	the	DET
ejde-686	617	3	above	above	ADJ
ejde-686	617	4	notations	notation	NOUN
ejde-686	617	5	.	.	PUNCT
ejde-686	618	1	for	for	ADP
ejde-686	618	2	any	any	DET
ejde-686	618	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	618	4	,	,	PUNCT
ejde-686	618	5	y	y	NOUN
ejde-686	618	6	)	)	PUNCT
ejde-686	618	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	618	8	c(ω	c(ω	PROPN
ejde-686	618	9	)	)	PUNCT
ejde-686	618	10	,	,	PUNCT
ejde-686	618	11	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	618	12	,	,	PUNCT
ejde-686	618	13	β)δi	β)δi	PROPN
ejde-686	618	14	,	,	PUNCT
ejde-686	618	15	β	β	X
ejde-686	618	16	and	and	CCONJ
ejde-686	618	17	f(β	f(β	PROPN
ejde-686	618	18	,	,	PUNCT
ejde-686	618	19	y)δβ	y)δβ	PROPN
ejde-686	618	20	,	,	PUNCT
ejde-686	618	21	ii	ii	PROPN
ejde-686	618	22	are	be	AUX
ejde-686	618	23	distributions	distribution	NOUN
ejde-686	618	24	in	in	ADP
ejde-686	618	25	d′(ω	d′(ω	NOUN
ejde-686	618	26	)	)	PUNCT
ejde-686	618	27	.	.	PUNCT
ejde-686	619	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	619	2	.	.	PUNCT
ejde-686	620	1	for	for	ADP
ejde-686	620	2	each	each	DET
ejde-686	620	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	620	4	,	,	PUNCT
ejde-686	620	5	y	y	NOUN
ejde-686	620	6	)	)	PUNCT
ejde-686	620	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	620	8	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	620	9	)	)	PUNCT
ejde-686	620	10	,	,	PUNCT
ejde-686	620	11	by	by	ADP
ejde-686	620	12	(	(	PUNCT
ejde-686	620	13	6.2	6.2	NUM
ejde-686	620	14	)	)	PUNCT
ejde-686	620	15	and	and	CCONJ
ejde-686	620	16	(	(	PUNCT
ejde-686	620	17	6.1	6.1	NUM
ejde-686	620	18	)	)	PUNCT
ejde-686	620	19	,	,	PUNCT
ejde-686	620	20	we	we	PRON
ejde-686	620	21	have	have	VERB
ejde-686	620	22	〈	〈	PROPN
ejde-686	620	23	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	620	24	,	,	PUNCT
ejde-686	620	25	β)δi	β)δi	PROPN
ejde-686	620	26	,	,	PUNCT
ejde-686	620	27	β	β	X
ejde-686	620	28	,	,	PUNCT
ejde-686	620	29	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	620	30	,	,	PUNCT
ejde-686	620	31	y	y	NOUN
ejde-686	620	32	)	)	PUNCT
ejde-686	620	33	〉	〉	NOUN
ejde-686	620	34	=	=	SYM
ejde-686	620	35	∫	∫	PROPN
ejde-686	620	36	ω	ω	NUM
ejde-686	620	37	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	620	38	,	,	PUNCT
ejde-686	620	39	β)v(x	β)v(x	NOUN
ejde-686	620	40	,	,	PUNCT
ejde-686	620	41	y	y	NOUN
ejde-686	620	42	)	)	PUNCT
ejde-686	620	43	dδβ(y	dδβ(y	PROPN
ejde-686	620	44	)	)	PUNCT
ejde-686	620	45	dx	dx	PROPN
ejde-686	621	1	=	=	SYM
ejde-686	621	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	621	3	1	1	NUM
ejde-686	621	4	−1	−1	NOUN
ejde-686	621	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	621	6	,	,	PUNCT
ejde-686	621	7	β)v(x	β)v(x	NOUN
ejde-686	621	8	,	,	PUNCT
ejde-686	621	9	β	β	X
ejde-686	621	10	)	)	PUNCT
ejde-686	621	11	dx	dx	PROPN
ejde-686	621	12	,	,	PUNCT
ejde-686	621	13	〈	〈	PROPN
ejde-686	621	14	f(β	f(β	PROPN
ejde-686	621	15	,	,	PUNCT
ejde-686	621	16	y)δβ	y)δβ	PROPN
ejde-686	621	17	,	,	PUNCT
ejde-686	621	18	ii	ii	PROPN
ejde-686	621	19	,	,	PUNCT
ejde-686	621	20	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	621	21	,	,	PUNCT
ejde-686	621	22	y	y	NOUN
ejde-686	621	23	)	)	PUNCT
ejde-686	621	24	〉	〉	NOUN
ejde-686	621	25	=	=	SYM
ejde-686	621	26	∫	∫	PROPN
ejde-686	621	27	ω	ω	NUM
ejde-686	621	28	f(β	f(β	PROPN
ejde-686	621	29	,	,	PUNCT
ejde-686	621	30	y)v(x	y)v(x	PROPN
ejde-686	621	31	,	,	PUNCT
ejde-686	621	32	y	y	NOUN
ejde-686	621	33	)	)	PUNCT
ejde-686	621	34	dδβ(x	dδβ(x	PROPN
ejde-686	621	35	)	)	PUNCT
ejde-686	621	36	dy	dy	NOUN
ejde-686	621	37	=	=	SYM
ejde-686	621	38	∫	∫	PROPN
ejde-686	621	39	1	1	NUM
ejde-686	621	40	−1	−1	NOUN
ejde-686	621	41	f(β	f(β	NOUN
ejde-686	621	42	,	,	PUNCT
ejde-686	621	43	y)v(β	y)v(β	NUM
ejde-686	621	44	,	,	PUNCT
ejde-686	621	45	y	y	NOUN
ejde-686	621	46	)	)	PUNCT
ejde-686	621	47	dy	dy	NOUN
ejde-686	621	48	.	.	PUNCT
ejde-686	622	1	the	the	DET
ejde-686	622	2	proof	proof	NOUN
ejde-686	622	3	can	can	AUX
ejde-686	622	4	be	be	AUX
ejde-686	622	5	completed	complete	VERB
ejde-686	622	6	by	by	ADP
ejde-686	622	7	checking	check	VERB
ejde-686	622	8	the	the	DET
ejde-686	622	9	linearity	linearity	NOUN
ejde-686	622	10	and	and	CCONJ
ejde-686	622	11	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	622	12	.	.	PUNCT
ejde-686	623	1	□	□	PUNCT
ejde-686	623	2	for	for	ADP
ejde-686	623	3	the	the	DET
ejde-686	623	4	above	above	ADJ
ejde-686	623	5	square	square	ADJ
ejde-686	623	6	domain	domain	NOUN
ejde-686	623	7	ω	ω	NOUN
ejde-686	623	8	=	=	SYM
ejde-686	623	9	(	(	PUNCT
ejde-686	623	10	−1	−1	NOUN
ejde-686	623	11	,	,	PUNCT
ejde-686	623	12	1)×	1)×	NUM
ejde-686	623	13	(	(	PUNCT
ejde-686	623	14	−1	−1	NOUN
ejde-686	623	15	,	,	PUNCT
ejde-686	623	16	1	1	NUM
ejde-686	623	17	)	)	PUNCT
ejde-686	623	18	,	,	PUNCT
ejde-686	623	19	let	let	VERB
ejde-686	623	20	µ0	µ0	PRON
ejde-686	623	21	be	be	AUX
ejde-686	623	22	the	the	DET
ejde-686	623	23	1	1	NUM
ejde-686	623	24	-	-	PUNCT
ejde-686	623	25	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	623	26	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	623	27	measure	measure	NOUN
ejde-686	623	28	defined	define	VERB
ejde-686	623	29	on	on	ADP
ejde-686	623	30	[	[	X
ejde-686	623	31	−1	−1	NOUN
ejde-686	623	32	,	,	PUNCT
ejde-686	623	33	1	1	NUM
ejde-686	623	34	]	]	SYM
ejde-686	623	35	×	×	NOUN
ejde-686	623	36	{	{	PUNCT
ejde-686	623	37	0	0	NUM
ejde-686	623	38	}	}	PUNCT
ejde-686	623	39	and	and	CCONJ
ejde-686	623	40	µ1	µ1	PROPN
ejde-686	623	41	be	be	AUX
ejde-686	623	42	the	the	DET
ejde-686	623	43	1	1	NUM
ejde-686	623	44	-	-	PUNCT
ejde-686	623	45	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	623	46	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	623	47	measure	measure	NOUN
ejde-686	623	48	defined	define	VERB
ejde-686	623	49	on	on	ADP
ejde-686	623	50	{	{	PUNCT
ejde-686	623	51	0	0	NUM
ejde-686	623	52	}	}	PUNCT
ejde-686	623	53	×	×	NOUN
ejde-686	624	1	[	[	X
ejde-686	624	2	−1	−1	NOUN
ejde-686	624	3	,	,	PUNCT
ejde-686	624	4	1	1	NUM
ejde-686	624	5	]	]	PUNCT
ejde-686	624	6	,	,	PUNCT
ejde-686	624	7	as	as	SCONJ
ejde-686	624	8	shown	show	VERB
ejde-686	624	9	in	in	ADP
ejde-686	624	10	figure	figure	NOUN
ejde-686	624	11	2(a	2(a	NUM
ejde-686	624	12	)	)	PUNCT
ejde-686	624	13	.	.	PUNCT
ejde-686	625	1	we	we	PRON
ejde-686	625	2	will	will	AUX
ejde-686	625	3	use	use	VERB
ejde-686	625	4	µ0	µ0	NOUN
ejde-686	625	5	and	and	CCONJ
ejde-686	625	6	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	625	7	to	to	PART
ejde-686	625	8	construct	construct	VERB
ejde-686	625	9	a	a	DET
ejde-686	625	10	measure	measure	NOUN
ejde-686	625	11	on	on	ADP
ejde-686	625	12	ω	ω	PROPN
ejde-686	625	13	,	,	PUNCT
ejde-686	625	14	which	which	PRON
ejde-686	625	15	is	be	AUX
ejde-686	625	16	singular	singular	ADJ
ejde-686	625	17	respect	respect	NOUN
ejde-686	625	18	to	to	ADP
ejde-686	625	19	the	the	DET
ejde-686	625	20	lebesgue	lebesgue	ADJ
ejde-686	625	21	measure	measure	NOUN
ejde-686	625	22	on	on	ADP
ejde-686	625	23	r2	r2	PROPN
ejde-686	625	24	.	.	PUNCT
ejde-686	625	25	example	example	NOUN
ejde-686	625	26	6.4	6.4	NUM
ejde-686	625	27	.	.	PUNCT
ejde-686	626	1	use	use	VERB
ejde-686	626	2	the	the	DET
ejde-686	626	3	above	above	ADJ
ejde-686	626	4	notation	notation	NOUN
ejde-686	626	5	.	.	PUNCT
ejde-686	627	1	let	let	VERB
ejde-686	627	2	µ	µ	PRON
ejde-686	627	3	:	:	PUNCT
ejde-686	627	4	=	=	SYM
ejde-686	627	5	µ0	µ0	PROPN
ejde-686	627	6	+	+	NOUN
ejde-686	627	7	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	627	8	be	be	AUX
ejde-686	627	9	defined	define	VERB
ejde-686	627	10	on	on	ADP
ejde-686	627	11	ω	ω	PROPN
ejde-686	627	12	.	.	PUNCT
ejde-686	628	1	then	then	ADV
ejde-686	628	2	µ	µ	NOUN
ejde-686	628	3	is	be	AUX
ejde-686	628	4	singular	singular	ADJ
ejde-686	628	5	respect	respect	NOUN
ejde-686	628	6	to	to	ADP
ejde-686	628	7	the	the	DET
ejde-686	628	8	2	2	NUM
ejde-686	628	9	-	-	PUNCT
ejde-686	628	10	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	628	11	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	628	12	measure	measure	NOUN
ejde-686	628	13	dx	dx	PROPN
ejde-686	628	14	.	.	PUNCT
ejde-686	629	1	let	let	VERB
ejde-686	629	2	∆µ	∆µ	PRON
ejde-686	629	3	be	be	AUX
ejde-686	629	4	defined	define	VERB
ejde-686	629	5	as	as	ADP
ejde-686	629	6	in	in	ADP
ejde-686	629	7	section	section	NOUN
ejde-686	629	8	2	2	NUM
ejde-686	629	9	.	.	PUNCT
ejde-686	629	10	then	then	ADV
ejde-686	629	11	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	629	12	,	,	PUNCT
ejde-686	629	13	y	y	NOUN
ejde-686	629	14	)	)	PUNCT
ejde-686	629	15	=	=	SYM
ejde-686	630	1	1	1	NUM
ejde-686	630	2	+	+	NUM
ejde-686	630	3	|xy|	|xy|	NOUN
ejde-686	630	4	−	−	ADP
ejde-686	631	1	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	631	2	−	−	PROPN
ejde-686	631	3	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	631	4	(	(	PUNCT
ejde-686	631	5	6.3	6.3	NUM
ejde-686	631	6	)	)	PUNCT
ejde-686	631	7	ejde-2025/12	ejde-2025/12	NOUN
ejde-686	631	8	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	631	9	sets	set	NOUN
ejde-686	631	10	and	and	CCONJ
ejde-686	631	11	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	631	12	of	of	ADP
ejde-686	631	13	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	631	14	19	19	NUM
ejde-686	631	15	is	be	AUX
ejde-686	631	16	a	a	DET
ejde-686	631	17	2	2	NUM
ejde-686	631	18	-	-	PUNCT
ejde-686	631	19	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	631	20	of	of	ADP
ejde-686	631	21	(	(	PUNCT
ejde-686	631	22	1.2	1.2	NUM
ejde-686	631	23	)	)	PUNCT
ejde-686	631	24	.	.	PUNCT
ejde-686	632	1	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	632	2	,	,	PUNCT
ejde-686	632	3	y	y	NOUN
ejde-686	632	4	)	)	PUNCT
ejde-686	632	5	(	(	PUNCT
ejde-686	632	6	see	see	VERB
ejde-686	632	7	figure	figure	NOUN
ejde-686	632	8	2(b	2(b	NUM
ejde-686	632	9	)	)	PUNCT
ejde-686	632	10	)	)	PUNCT
ejde-686	632	11	is	be	AUX
ejde-686	632	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	632	13	and	and	CCONJ
ejde-686	632	14	has	have	VERB
ejde-686	632	15	no	no	DET
ejde-686	632	16	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	632	17	points	point	NOUN
ejde-686	632	18	in	in	ADP
ejde-686	632	19	ω	ω	PROPN
ejde-686	632	20	.	.	PUNCT
ejde-686	633	1	hence	hence	ADV
ejde-686	633	2	,	,	PUNCT
ejde-686	633	3	it	it	PRON
ejde-686	633	4	is	be	AUX
ejde-686	633	5	a	a	DET
ejde-686	633	6	first	first	ADJ
ejde-686	633	7	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	633	8	of	of	ADP
ejde-686	633	9	−∆µ	−∆µ	NOUN
ejde-686	633	10	in	in	ADP
ejde-686	633	11	equation	equation	NOUN
ejde-686	633	12	(	(	PUNCT
ejde-686	633	13	1.2	1.2	NUM
ejde-686	633	14	)	)	PUNCT
ejde-686	633	15	.	.	PUNCT
ejde-686	634	1	(	(	PUNCT
ejde-686	634	2	a	a	X
ejde-686	634	3	)	)	PUNCT
ejde-686	634	4	(	(	PUNCT
ejde-686	634	5	b	b	X
ejde-686	634	6	)	)	PUNCT
ejde-686	634	7	figure	figure	NOUN
ejde-686	634	8	2	2	NUM
ejde-686	634	9	.	.	PUNCT
ejde-686	634	10	measures	measure	NOUN
ejde-686	634	11	and	and	CCONJ
ejde-686	634	12	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	634	13	in	in	ADP
ejde-686	634	14	example	example	NOUN
ejde-686	634	15	6.4	6.4	NUM
ejde-686	634	16	.	.	PUNCT
ejde-686	635	1	proof	proof	NOUN
ejde-686	635	2	.	.	PUNCT
ejde-686	636	1	according	accord	VERB
ejde-686	636	2	to	to	ADP
ejde-686	636	3	[	[	X
ejde-686	636	4	25	25	NUM
ejde-686	636	5	,	,	PUNCT
ejde-686	636	6	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	636	7	2.2	2.2	NUM
ejde-686	636	8	]	]	PUNCT
ejde-686	636	9	and	and	CCONJ
ejde-686	636	10	(	(	PUNCT
ejde-686	636	11	1.2	1.2	NUM
ejde-686	636	12	)	)	PUNCT
ejde-686	636	13	,	,	PUNCT
ejde-686	636	14	we	we	PRON
ejde-686	636	15	have	have	VERB
ejde-686	636	16	,	,	PUNCT
ejde-686	636	17	for	for	ADP
ejde-686	636	18	any	any	DET
ejde-686	636	19	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	636	20	,	,	PUNCT
ejde-686	636	21	y	y	NOUN
ejde-686	636	22	)	)	PUNCT
ejde-686	636	23	∈	∈	PROPN
ejde-686	636	24	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	636	25	)	)	PUNCT
ejde-686	636	26	,	,	PUNCT
ejde-686	637	1	−	−	PROPN
ejde-686	637	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	637	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	637	4	∆u(x	∆u(x	VERB
ejde-686	637	5	,	,	PUNCT
ejde-686	637	6	y)v(x	y)v(x	PROPN
ejde-686	637	7	,	,	PUNCT
ejde-686	637	8	y	y	PROPN
ejde-686	637	9	)	)	PUNCT
ejde-686	637	10	dx	dx	PROPN
ejde-686	637	11	dy	dy	NOUN
ejde-686	637	12	=	=	SYM
ejde-686	637	13	λ	λ	PROPN
ejde-686	637	14	∫	∫	PROPN
ejde-686	637	15	ω	ω	PROPN
ejde-686	637	16	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	637	17	,	,	PUNCT
ejde-686	637	18	y)v(x	y)v(x	PROPN
ejde-686	637	19	,	,	PUNCT
ejde-686	637	20	y	y	PROPN
ejde-686	637	21	)	)	PUNCT
ejde-686	637	22	dµ.	dµ.	NOUN
ejde-686	637	23	(	(	PUNCT
ejde-686	637	24	6.4	6.4	NUM
ejde-686	637	25	)	)	PUNCT
ejde-686	637	26	we	we	PRON
ejde-686	637	27	first	first	ADV
ejde-686	637	28	calculate	calculate	VERB
ejde-686	637	29	the	the	DET
ejde-686	637	30	second	second	ADJ
ejde-686	637	31	-	-	PUNCT
ejde-686	637	32	order	order	NOUN
ejde-686	637	33	distributional	distributional	ADJ
ejde-686	637	34	derivative	derivative	NOUN
ejde-686	637	35	of	of	ADP
ejde-686	637	36	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	637	37	,	,	PUNCT
ejde-686	637	38	y	y	NOUN
ejde-686	637	39	)	)	PUNCT
ejde-686	637	40	.	.	PUNCT
ejde-686	638	1	for	for	ADP
ejde-686	638	2	any	any	DET
ejde-686	638	3	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	638	4	,	,	PUNCT
ejde-686	638	5	y	y	NOUN
ejde-686	638	6	)	)	PUNCT
ejde-686	638	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	638	8	d(ω	d(ω	PROPN
ejde-686	638	9	)	)	PUNCT
ejde-686	639	1	,	,	PUNCT
ejde-686	639	2	we	we	PRON
ejde-686	639	3	have〈∂2t|x|	have〈∂2t|x|	VERB
ejde-686	639	4	∂x2	∂x2	NOUN
ejde-686	639	5	,	,	PUNCT
ejde-686	639	6	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	639	7	,	,	PUNCT
ejde-686	639	8	y	y	NOUN
ejde-686	639	9	)	)	PUNCT
ejde-686	639	10	〉	〉	NOUN
ejde-686	639	11	=	=	SYM
ejde-686	640	1	−	−	PROPN
ejde-686	640	2	〈	〈	PROPN
ejde-686	640	3	∂t|x|	∂t|x|	PROPN
ejde-686	640	4	∂x	∂x	PROPN
ejde-686	640	5	,	,	PUNCT
ejde-686	640	6	vx(x	vx(x	NOUN
ejde-686	640	7	,	,	PUNCT
ejde-686	640	8	y	y	NOUN
ejde-686	640	9	)	)	PUNCT
ejde-686	640	10	〉	〉	NOUN
ejde-686	640	11	=	=	SYM
ejde-686	640	12	〈	〈	PROPN
ejde-686	640	13	t|x|	t|x|	NOUN
ejde-686	640	14	,	,	PUNCT
ejde-686	640	15	vxx(x	vxx(x	PROPN
ejde-686	640	16	,	,	PUNCT
ejde-686	640	17	y	y	NOUN
ejde-686	640	18	)	)	PUNCT
ejde-686	640	19	〉	〉	NOUN
ejde-686	640	20	=	=	SYM
ejde-686	640	21	∫	∫	PROPN
ejde-686	640	22	ω	ω	PROPN
ejde-686	640	23	|x|vxx(x	|x|vxx(x	PROPN
ejde-686	640	24	,	,	PUNCT
ejde-686	640	25	y	y	PROPN
ejde-686	640	26	)	)	PUNCT
ejde-686	640	27	dx	dx	PROPN
ejde-686	641	1	dy	dy	X
ejde-686	641	2	=	=	SYM
ejde-686	641	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	641	4	1	1	NUM
ejde-686	641	5	−1	−1	NOUN
ejde-686	641	6	dy	dy	NOUN
ejde-686	641	7	∫	∫	PROPN
ejde-686	641	8	1	1	NUM
ejde-686	641	9	0	0	NUM
ejde-686	641	10	xvxx(x	xvxx(x	PROPN
ejde-686	641	11	,	,	PUNCT
ejde-686	641	12	y	y	NOUN
ejde-686	641	13	)	)	PUNCT
ejde-686	642	1	dx−	dx−	X
ejde-686	642	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	642	3	1	1	NUM
ejde-686	642	4	−1	−1	NOUN
ejde-686	642	5	dy	dy	NOUN
ejde-686	642	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	642	7	0	0	NUM
ejde-686	642	8	−1	−1	NOUN
ejde-686	642	9	xvxx(x	xvxx(x	PROPN
ejde-686	642	10	,	,	PUNCT
ejde-686	642	11	y	y	NOUN
ejde-686	642	12	)	)	PUNCT
ejde-686	642	13	dx	dx	PROPN
ejde-686	642	14	=	=	SYM
ejde-686	642	15	2	2	NUM
ejde-686	642	16	∫	∫	NOUN
ejde-686	642	17	1	1	NUM
ejde-686	642	18	−1	−1	NOUN
ejde-686	642	19	v(0	v(0	PROPN
ejde-686	642	20	,	,	PUNCT
ejde-686	642	21	y	y	NOUN
ejde-686	642	22	)	)	PUNCT
ejde-686	642	23	dy	dy	NOUN
ejde-686	642	24	=	=	SYM
ejde-686	642	25	2	2	NUM
ejde-686	642	26	〈	〈	NOUN
ejde-686	642	27	δ0,ii	δ0,ii	NOUN
ejde-686	642	28	,	,	PUNCT
ejde-686	642	29	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	642	30	,	,	PUNCT
ejde-686	642	31	y	y	NOUN
ejde-686	642	32	)	)	PUNCT
ejde-686	642	33	〉	〉	NOUN
ejde-686	642	34	.	.	PUNCT
ejde-686	643	1	hence	hence	ADV
ejde-686	643	2	,	,	PUNCT
ejde-686	643	3	∆|x|	∆|x|	X
ejde-686	643	4	=	=	NOUN
ejde-686	643	5	2δ0,ii	2δ0,ii	NUM
ejde-686	643	6	in	in	ADP
ejde-686	643	7	the	the	DET
ejde-686	643	8	sense	sense	NOUN
ejde-686	643	9	of	of	ADP
ejde-686	643	10	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	643	11	.	.	PUNCT
ejde-686	644	1	by	by	ADP
ejde-686	644	2	the	the	DET
ejde-686	644	3	same	same	ADJ
ejde-686	644	4	argument	argument	NOUN
ejde-686	644	5	,	,	PUNCT
ejde-686	644	6	we	we	PRON
ejde-686	644	7	have	have	VERB
ejde-686	644	8	∆|y|	∆|y|	NOUN
ejde-686	644	9	=	=	SYM
ejde-686	644	10	2δi,0	2δi,0	NUM
ejde-686	644	11	and	and	CCONJ
ejde-686	644	12	∆|xy|	∆|xy|	NOUN
ejde-686	644	13	=	=	SYM
ejde-686	644	14	2	2	NUM
ejde-686	644	15	(	(	PUNCT
ejde-686	644	16	|x|δi,0	|x|δi,0	X
ejde-686	644	17	+	+	CCONJ
ejde-686	644	18	|y|δ0,ii	|y|δ0,ii	X
ejde-686	644	19	)	)	PUNCT
ejde-686	644	20	in	in	ADP
ejde-686	644	21	the	the	DET
ejde-686	644	22	sense	sense	NOUN
ejde-686	644	23	of	of	ADP
ejde-686	644	24	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	644	25	.	.	PUNCT
ejde-686	645	1	in	in	ADP
ejde-686	645	2	summary	summary	NOUN
ejde-686	645	3	,	,	PUNCT
ejde-686	645	4	∆u(x	∆u(x	ADV
ejde-686	645	5	,	,	PUNCT
ejde-686	645	6	y	y	NOUN
ejde-686	645	7	)	)	PUNCT
ejde-686	645	8	=	=	SYM
ejde-686	645	9	∆(1	∆(1	NOUN
ejde-686	645	10	+	+	NUM
ejde-686	645	11	|xy|	|xy|	NOUN
ejde-686	645	12	−	−	ADP
ejde-686	645	13	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	645	14	−	−	PROPN
ejde-686	645	15	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	645	16	)	)	PUNCT
ejde-686	645	17	=	=	PUNCT
ejde-686	646	1	2(|x|δi,0	2(|x|δi,0	NUM
ejde-686	646	2	+	+	CCONJ
ejde-686	646	3	|y|δ0,ii	|y|δ0,ii	ADJ
ejde-686	646	4	−	−	NOUN
ejde-686	646	5	δi,0	δi,0	PROPN
ejde-686	646	6	−	−	PROPN
ejde-686	646	7	δ0,ii	δ0,ii	PROPN
ejde-686	646	8	)	)	PUNCT
ejde-686	646	9	,	,	PUNCT
ejde-686	646	10	(	(	PUNCT
ejde-686	646	11	6.5	6.5	NUM
ejde-686	646	12	)	)	PUNCT
ejde-686	646	13	in	in	ADP
ejde-686	646	14	the	the	DET
ejde-686	646	15	sense	sense	NOUN
ejde-686	646	16	of	of	ADP
ejde-686	646	17	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	646	18	.	.	PUNCT
ejde-686	647	1	by	by	ADP
ejde-686	647	2	direct	direct	ADJ
ejde-686	647	3	calculation	calculation	NOUN
ejde-686	647	4	,	,	PUNCT
ejde-686	647	5	we	we	PRON
ejde-686	647	6	have	have	VERB
ejde-686	647	7	−	−	PROPN
ejde-686	647	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	647	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	647	10	∆u(x	∆u(x	VERB
ejde-686	647	11	,	,	PUNCT
ejde-686	647	12	y)v(x	y)v(x	PROPN
ejde-686	647	13	,	,	PUNCT
ejde-686	647	14	y	y	PROPN
ejde-686	647	15	)	)	PUNCT
ejde-686	647	16	dx	dx	PROPN
ejde-686	647	17	dy	dy	NOUN
ejde-686	647	18	=	=	PUNCT
ejde-686	648	1	−	−	PROPN
ejde-686	648	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	648	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	648	4	∆	∆	PROPN
ejde-686	648	5	(	(	PUNCT
ejde-686	648	6	1	1	NUM
ejde-686	648	7	+	+	NUM
ejde-686	648	8	|xy|	|xy|	NOUN
ejde-686	648	9	−	−	ADP
ejde-686	649	1	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	649	2	−	−	PROPN
ejde-686	649	3	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	649	4	)	)	PUNCT
ejde-686	649	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	649	6	,	,	PUNCT
ejde-686	649	7	y	y	PROPN
ejde-686	649	8	)	)	PUNCT
ejde-686	649	9	dx	dx	PROPN
ejde-686	650	1	dy	dy	NOUN
ejde-686	650	2	=	=	SYM
ejde-686	650	3	2	2	NUM
ejde-686	650	4	(	(	PUNCT
ejde-686	650	5	∫	∫	PROPN
ejde-686	650	6	1	1	NUM
ejde-686	650	7	−1	−1	NOUN
ejde-686	650	8	(	(	PUNCT
ejde-686	650	9	1−	1−	NUM
ejde-686	650	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	650	11	)	)	PUNCT
ejde-686	651	1	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	651	2	,	,	PUNCT
ejde-686	651	3	0	0	NUM
ejde-686	651	4	)	)	PUNCT
ejde-686	651	5	dx+	dx+	NOUN
ejde-686	651	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	651	7	1	1	NUM
ejde-686	651	8	−1	−1	NOUN
ejde-686	651	9	(	(	PUNCT
ejde-686	651	10	1−	1−	NUM
ejde-686	651	11	|y|	|y|	NOUN
ejde-686	651	12	)	)	PUNCT
ejde-686	651	13	v(0	v(0	PROPN
ejde-686	651	14	,	,	PUNCT
ejde-686	651	15	y	y	NOUN
ejde-686	651	16	)	)	PUNCT
ejde-686	651	17	dy	dy	NOUN
ejde-686	651	18	)	)	PUNCT
ejde-686	651	19	20	20	NUM
ejde-686	651	20	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	651	21	.	.	PUNCT
ejde-686	652	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	652	2	,	,	PUNCT
ejde-686	652	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	652	4	.	.	PUNCT
ejde-686	653	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	653	2	,	,	PUNCT
ejde-686	653	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	653	4	.	.	PUNCT
ejde-686	654	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-686	654	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PUNCT
ejde-686	655	1	=	=	SYM
ejde-686	655	2	2	2	NUM
ejde-686	655	3	∫	∫	NOUN
ejde-686	655	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	655	5	(	(	PUNCT
ejde-686	655	6	1−	1−	NUM
ejde-686	655	7	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	655	8	−	−	PROPN
ejde-686	655	9	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	655	10	)	)	PUNCT
ejde-686	655	11	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	655	12	,	,	PUNCT
ejde-686	655	13	y	y	NOUN
ejde-686	655	14	)	)	PUNCT
ejde-686	655	15	d(µ0	d(µ0	NOUN
ejde-686	656	1	+	+	SYM
ejde-686	656	2	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	656	3	)	)	PUNCT
ejde-686	656	4	=	=	SYM
ejde-686	656	5	2	2	NUM
ejde-686	656	6	∫	∫	NOUN
ejde-686	656	7	ω	ω	PROPN
ejde-686	656	8	(	(	PUNCT
ejde-686	656	9	1−	1−	NUM
ejde-686	656	10	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	656	11	−	−	PROPN
ejde-686	656	12	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	656	13	)	)	PUNCT
ejde-686	656	14	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	656	15	,	,	PUNCT
ejde-686	656	16	y	y	PROPN
ejde-686	656	17	)	)	PUNCT
ejde-686	656	18	dµ.	dµ.	NOUN
ejde-686	656	19	on	on	ADP
ejde-686	656	20	the	the	DET
ejde-686	656	21	other	other	ADJ
ejde-686	656	22	hand	hand	NOUN
ejde-686	656	23	,	,	PUNCT
ejde-686	656	24	λ	λ	PROPN
ejde-686	656	25	∫	∫	PROPN
ejde-686	656	26	ω	ω	PROPN
ejde-686	656	27	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	656	28	,	,	PUNCT
ejde-686	656	29	y)v(x	y)v(x	PROPN
ejde-686	656	30	,	,	PUNCT
ejde-686	656	31	y	y	NOUN
ejde-686	656	32	)	)	PUNCT
ejde-686	656	33	dµ	dµ	PROPN
ejde-686	657	1	=	=	PUNCT
ejde-686	657	2	λ	λ	PROPN
ejde-686	657	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	657	4	ω	ω	PROPN
ejde-686	657	5	(	(	PUNCT
ejde-686	657	6	1	1	NUM
ejde-686	657	7	+	+	NUM
ejde-686	657	8	|xy|	|xy|	NOUN
ejde-686	657	9	−	−	ADP
ejde-686	658	1	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	658	2	−	−	PROPN
ejde-686	658	3	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	658	4	)	)	PUNCT
ejde-686	658	5	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	658	6	,	,	PUNCT
ejde-686	658	7	y	y	NOUN
ejde-686	658	8	)	)	PUNCT
ejde-686	658	9	d(µ0	d(µ0	NOUN
ejde-686	659	1	+	+	SYM
ejde-686	659	2	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	659	3	)	)	PUNCT
ejde-686	659	4	=	=	SYM
ejde-686	660	1	λ	λ	PROPN
ejde-686	660	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	660	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	660	4	(	(	PUNCT
ejde-686	660	5	1−	1−	NUM
ejde-686	660	6	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	660	7	−	−	PROPN
ejde-686	660	8	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	660	9	)	)	PUNCT
ejde-686	660	10	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	660	11	,	,	PUNCT
ejde-686	660	12	y	y	NOUN
ejde-686	660	13	)	)	PUNCT
ejde-686	660	14	d(µ0	d(µ0	NOUN
ejde-686	661	1	+	+	SYM
ejde-686	661	2	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	661	3	)	)	PUNCT
ejde-686	661	4	=	=	SYM
ejde-686	662	1	λ	λ	PROPN
ejde-686	662	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	662	3	ω	ω	PROPN
ejde-686	662	4	(	(	PUNCT
ejde-686	662	5	1−	1−	NUM
ejde-686	662	6	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	662	7	−	−	PROPN
ejde-686	662	8	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	662	9	)	)	PUNCT
ejde-686	662	10	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	662	11	,	,	PUNCT
ejde-686	662	12	y	y	PROPN
ejde-686	662	13	)	)	PUNCT
ejde-686	662	14	dµ.	dµ.	NOUN
ejde-686	662	15	combining	combine	VERB
ejde-686	662	16	the	the	DET
ejde-686	662	17	above	above	ADJ
ejde-686	662	18	two	two	NUM
ejde-686	662	19	equalities	equality	NOUN
ejde-686	662	20	and	and	CCONJ
ejde-686	662	21	(	(	PUNCT
ejde-686	662	22	6.4	6.4	NUM
ejde-686	662	23	)	)	PUNCT
ejde-686	662	24	,	,	PUNCT
ejde-686	662	25	we	we	PRON
ejde-686	662	26	obtain	obtain	VERB
ejde-686	662	27	λ	λ	X
ejde-686	662	28	=	=	NOUN
ejde-686	662	29	2	2	NUM
ejde-686	662	30	.	.	PUNCT
ejde-686	663	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	663	2	,	,	PUNCT
ejde-686	663	3	if	if	SCONJ
ejde-686	663	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	663	5	,	,	PUNCT
ejde-686	663	6	y	y	NOUN
ejde-686	663	7	)	)	PUNCT
ejde-686	663	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	663	9	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	663	10	)	)	PUNCT
ejde-686	663	11	,	,	PUNCT
ejde-686	663	12	it	it	PRON
ejde-686	663	13	is	be	AUX
ejde-686	663	14	a	a	DET
ejde-686	663	15	2	2	NUM
ejde-686	663	16	-	-	PUNCT
ejde-686	663	17	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	663	18	.	.	PUNCT
ejde-686	664	1	next	next	ADV
ejde-686	664	2	,	,	PUNCT
ejde-686	664	3	we	we	PRON
ejde-686	664	4	prove	prove	VERB
ejde-686	664	5	that	that	SCONJ
ejde-686	664	6	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	664	7	,	,	PUNCT
ejde-686	664	8	y	y	NOUN
ejde-686	664	9	)	)	PUNCT
ejde-686	664	10	∈	∈	PROPN
ejde-686	664	11	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	664	12	)	)	PUNCT
ejde-686	664	13	.	.	PUNCT
ejde-686	665	1	we	we	PRON
ejde-686	665	2	divide	divide	VERB
ejde-686	665	3	the	the	DET
ejde-686	665	4	proof	proof	NOUN
ejde-686	665	5	into	into	ADP
ejde-686	665	6	three	three	NUM
ejde-686	665	7	steps	step	NOUN
ejde-686	665	8	.	.	PUNCT
ejde-686	666	1	step	step	NOUN
ejde-686	666	2	1	1	NUM
ejde-686	666	3	.	.	PUNCT
ejde-686	667	1	we	we	PRON
ejde-686	667	2	claim	claim	VERB
ejde-686	667	3	that	that	SCONJ
ejde-686	667	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	667	5	,	,	PUNCT
ejde-686	667	6	y	y	NOUN
ejde-686	667	7	)	)	PUNCT
ejde-686	667	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	667	9	h1	h1	NOUN
ejde-686	667	10	0	0	NUM
ejde-686	667	11	(	(	PUNCT
ejde-686	667	12	ω	ω	NOUN
ejde-686	667	13	)	)	PUNCT
ejde-686	667	14	.	.	PUNCT
ejde-686	668	1	to	to	PART
ejde-686	668	2	see	see	VERB
ejde-686	668	3	this	this	PRON
ejde-686	668	4	,	,	PUNCT
ejde-686	668	5	let	let	VERB
ejde-686	668	6	ξ1(x	ξ1(x	NOUN
ejde-686	668	7	,	,	PUNCT
ejde-686	668	8	y	y	NOUN
ejde-686	668	9	)	)	PUNCT
ejde-686	669	1	=	=	PRON
ejde-686	669	2	{	{	PUNCT
ejde-686	669	3	sgn(x)(y	sgn(x)(y	ADJ
ejde-686	669	4	−	−	ADP
ejde-686	669	5	1	1	NUM
ejde-686	669	6	)	)	PUNCT
ejde-686	669	7	,	,	PUNCT
ejde-686	669	8	y	y	PROPN
ejde-686	669	9	≥	≥	NUM
ejde-686	669	10	0	0	NUM
ejde-686	669	11	,	,	PUNCT
ejde-686	669	12	−	−	ADP
ejde-686	669	13	sgn(x)(y	sgn(x)(y	ADJ
ejde-686	669	14	+	+	CCONJ
ejde-686	669	15	1	1	X
ejde-686	669	16	)	)	PUNCT
ejde-686	669	17	y	y	NOUN
ejde-686	669	18	<	<	X
ejde-686	669	19	0	0	NUM
ejde-686	669	20	,	,	PUNCT
ejde-686	669	21	ξ2(x	ξ2(x	PROPN
ejde-686	669	22	,	,	PUNCT
ejde-686	669	23	y	y	PROPN
ejde-686	669	24	)	)	PUNCT
ejde-686	669	25	=	=	PRON
ejde-686	669	26	{	{	PUNCT
ejde-686	669	27	sgn(y)(x−	sgn(y)(x−	NOUN
ejde-686	669	28	1	1	NUM
ejde-686	669	29	)	)	PUNCT
ejde-686	669	30	,	,	PUNCT
ejde-686	669	31	x	x	X
ejde-686	669	32	≥	≥	NOUN
ejde-686	669	33	0	0	NUM
ejde-686	669	34	,	,	PUNCT
ejde-686	669	35	−	−	PROPN
ejde-686	669	36	sgn(y)(x+	sgn(y)(x+	NOUN
ejde-686	669	37	1	1	NUM
ejde-686	669	38	)	)	PUNCT
ejde-686	669	39	,	,	PUNCT
ejde-686	669	40	x	x	X
ejde-686	669	41	<	<	X
ejde-686	669	42	0	0	NUM
ejde-686	669	43	.	.	PUNCT
ejde-686	670	1	by	by	ADP
ejde-686	670	2	direct	direct	ADJ
ejde-686	670	3	calculation	calculation	NOUN
ejde-686	670	4	,	,	PUNCT
ejde-686	670	5	(	(	PUNCT
ejde-686	670	6	ξ1(x	ξ1(x	NOUN
ejde-686	670	7	,	,	PUNCT
ejde-686	670	8	y	y	NOUN
ejde-686	670	9	)	)	PUNCT
ejde-686	670	10	,	,	PUNCT
ejde-686	670	11	ξ2(x	ξ2(x	PROPN
ejde-686	670	12	,	,	PUNCT
ejde-686	670	13	y	y	NOUN
ejde-686	670	14	)	)	PUNCT
ejde-686	670	15	)	)	PUNCT
ejde-686	670	16	is	be	AUX
ejde-686	670	17	the	the	DET
ejde-686	670	18	weak	weak	ADJ
ejde-686	670	19	derivative	derivative	NOUN
ejde-686	670	20	of	of	ADP
ejde-686	670	21	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	670	22	,	,	PUNCT
ejde-686	670	23	y	y	NOUN
ejde-686	670	24	)	)	PUNCT
ejde-686	670	25	.	.	PUNCT
ejde-686	671	1	moreover	moreover	ADV
ejde-686	671	2	,	,	PUNCT
ejde-686	671	3	both	both	DET
ejde-686	671	4	ξ1(x	ξ1(x	NOUN
ejde-686	671	5	,	,	PUNCT
ejde-686	671	6	y	y	NOUN
ejde-686	671	7	)	)	PUNCT
ejde-686	671	8	and	and	CCONJ
ejde-686	671	9	ξ2(x	ξ2(x	PROPN
ejde-686	671	10	,	,	PUNCT
ejde-686	671	11	y	y	NOUN
ejde-686	671	12	)	)	PUNCT
ejde-686	671	13	are	be	AUX
ejde-686	671	14	in	in	ADP
ejde-686	671	15	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	671	16	)	)	PUNCT
ejde-686	671	17	.	.	PUNCT
ejde-686	672	1	thus	thus	ADV
ejde-686	672	2	,	,	PUNCT
ejde-686	672	3	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	672	4	,	,	PUNCT
ejde-686	672	5	y	y	NOUN
ejde-686	672	6	)	)	PUNCT
ejde-686	672	7	∈	∈	PROPN
ejde-686	672	8	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-686	672	9	)	)	PUNCT
ejde-686	672	10	.	.	PUNCT
ejde-686	673	1	note	note	VERB
ejde-686	673	2	that	that	SCONJ
ejde-686	673	3	the	the	DET
ejde-686	673	4	square	square	ADJ
ejde-686	673	5	domain	domain	NOUN
ejde-686	673	6	ω	ω	NOUN
ejde-686	673	7	is	be	AUX
ejde-686	673	8	a	a	DET
ejde-686	673	9	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-686	673	10	domain	domain	NOUN
ejde-686	673	11	.	.	PUNCT
ejde-686	674	1	according	accord	VERB
ejde-686	674	2	to	to	ADP
ejde-686	674	3	[	[	X
ejde-686	674	4	34	34	NUM
ejde-686	674	5	,	,	PUNCT
ejde-686	674	6	theorem	theorem	VERB
ejde-686	674	7	3.33	3.33	NUM
ejde-686	674	8	]	]	PUNCT
ejde-686	674	9	,	,	PUNCT
ejde-686	674	10	we	we	PRON
ejde-686	674	11	have	have	VERB
ejde-686	674	12	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	674	13	,	,	PUNCT
ejde-686	674	14	y	y	NOUN
ejde-686	674	15	)	)	PUNCT
ejde-686	674	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	674	17	h1	h1	NOUN
ejde-686	674	18	0	0	NUM
ejde-686	674	19	(	(	PUNCT
ejde-686	674	20	ω	ω	NOUN
ejde-686	674	21	)	)	PUNCT
ejde-686	674	22	.	.	PUNCT
ejde-686	675	1	step	step	NOUN
ejde-686	675	2	2	2	NUM
ejde-686	675	3	.	.	PUNCT
ejde-686	676	1	we	we	PRON
ejde-686	676	2	prove	prove	VERB
ejde-686	676	3	that	that	SCONJ
ejde-686	676	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	676	5	,	,	PUNCT
ejde-686	676	6	y	y	NOUN
ejde-686	676	7	)	)	PUNCT
ejde-686	676	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	676	9	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	676	10	)	)	PUNCT
ejde-686	676	11	.	.	PUNCT
ejde-686	677	1	let	let	VERB
ejde-686	677	2	i	i	PRON
ejde-686	677	3	be	be	AUX
ejde-686	677	4	defined	define	VERB
ejde-686	677	5	as	as	ADP
ejde-686	677	6	in	in	ADP
ejde-686	677	7	(	(	PUNCT
ejde-686	677	8	2.2	2.2	NUM
ejde-686	677	9	)	)	PUNCT
ejde-686	677	10	and	and	CCONJ
ejde-686	677	11	τ(x	τ(x	PROPN
ejde-686	677	12	)	)	PUNCT
ejde-686	677	13	∈	∈	PROPN
ejde-686	678	1	n	n	NOUN
ejde-686	678	2	:	:	PUNCT
ejde-686	678	3	=	=	SYM
ejde-686	678	4	{	{	PUNCT
ejde-686	678	5	u	u	NOUN
ejde-686	678	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	678	7	h1	h1	NOUN
ejde-686	678	8	0	0	NUM
ejde-686	678	9	(	(	PUNCT
ejde-686	678	10	ω	ω	NOUN
ejde-686	678	11	)	)	PUNCT
ejde-686	678	12	:	:	PUNCT
ejde-686	678	13	∥i(u)∥l2(ω,µ	∥i(u)∥l2(ω,µ	NUM
ejde-686	678	14	)	)	PUNCT
ejde-686	678	15	=	=	SYM
ejde-686	678	16	0	0	NUM
ejde-686	678	17	}	}	PUNCT
ejde-686	678	18	.	.	PUNCT
ejde-686	679	1	write	write	VERB
ejde-686	679	2	ω	ω	NUM
ejde-686	679	3	=	=	SYM
ejde-686	679	4	∪4	∪4	NOUN
ejde-686	679	5	i=1ωi	i=1ωi	X
ejde-686	679	6	,	,	PUNCT
ejde-686	679	7	where	where	SCONJ
ejde-686	679	8	ω1	ω1	PROPN
ejde-686	679	9	=	=	PUNCT
ejde-686	680	1	[	[	X
ejde-686	680	2	0	0	NUM
ejde-686	680	3	,	,	PUNCT
ejde-686	680	4	1)×	1)×	NUM
ejde-686	680	5	[	[	X
ejde-686	680	6	0	0	NUM
ejde-686	680	7	,	,	PUNCT
ejde-686	680	8	1	1	NUM
ejde-686	680	9	)	)	PUNCT
ejde-686	680	10	,	,	PUNCT
ejde-686	680	11	ω2	ω2	NOUN
ejde-686	680	12	=	=	SYM
ejde-686	680	13	(	(	PUNCT
ejde-686	680	14	−1	−1	NOUN
ejde-686	680	15	,	,	PUNCT
ejde-686	680	16	0)×	0)×	NUM
ejde-686	681	1	[	[	X
ejde-686	681	2	0	0	NUM
ejde-686	681	3	,	,	PUNCT
ejde-686	681	4	1	1	NUM
ejde-686	681	5	)	)	PUNCT
ejde-686	681	6	,	,	PUNCT
ejde-686	681	7	ω3	ω3	NOUN
ejde-686	681	8	=	=	PUNCT
ejde-686	681	9	(	(	PUNCT
ejde-686	681	10	−1	−1	NOUN
ejde-686	681	11	,	,	PUNCT
ejde-686	681	12	0]×	0]×	NUM
ejde-686	681	13	(	(	PUNCT
ejde-686	681	14	−1	−1	NOUN
ejde-686	681	15	,	,	PUNCT
ejde-686	681	16	0	0	NUM
ejde-686	681	17	]	]	PUNCT
ejde-686	681	18	,	,	PUNCT
ejde-686	681	19	and	and	CCONJ
ejde-686	681	20	ω4	ω4	NUM
ejde-686	681	21	=	=	SYM
ejde-686	681	22	(	(	PUNCT
ejde-686	681	23	0	0	NUM
ejde-686	681	24	,	,	PUNCT
ejde-686	681	25	1)×	1)×	NUM
ejde-686	681	26	(	(	PUNCT
ejde-686	681	27	−1	−1	NOUN
ejde-686	681	28	,	,	PUNCT
ejde-686	681	29	0	0	NUM
ejde-686	681	30	)	)	PUNCT
ejde-686	681	31	.	.	PUNCT
ejde-686	682	1	by	by	ADP
ejde-686	682	2	step	step	NOUN
ejde-686	682	3	1	1	NUM
ejde-686	682	4	,	,	PUNCT
ejde-686	682	5	we	we	PRON
ejde-686	682	6	have	have	VERB
ejde-686	682	7	(	(	PUNCT
ejde-686	682	8	u	u	NOUN
ejde-686	682	9	,	,	PUNCT
ejde-686	682	10	τ)h1	τ)h1	PROPN
ejde-686	682	11	0	0	NUM
ejde-686	682	12	(	(	PUNCT
ejde-686	682	13	ω	ω	NOUN
ejde-686	682	14	)	)	PUNCT
ejde-686	682	15	=	=	SYM
ejde-686	683	1	∫	∫	PROPN
ejde-686	683	2	ω	ω	X
ejde-686	683	3	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	683	4	·	·	PUNCT
ejde-686	683	5	∇τ	∇τ	NUM
ejde-686	683	6	dx	dx	PROPN
ejde-686	683	7	=	=	SYM
ejde-686	683	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	683	9	ω	ω	PROPN
ejde-686	683	10	(	(	PUNCT
ejde-686	683	11	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-686	683	12	,	,	PUNCT
ejde-686	683	13	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-686	683	14	)	)	PUNCT
ejde-686	683	15	·	·	PUNCT
ejde-686	684	1	∇τ	∇τ	ADP
ejde-686	684	2	dx	dx	NOUN
ejde-686	684	3	=	=	SYM
ejde-686	684	4	4∑	4∑	NUM
ejde-686	684	5	i=1	i=1	PROPN
ejde-686	684	6	∫	∫	PROPN
ejde-686	684	7	ωi	ωi	X
ejde-686	684	8	(	(	PUNCT
ejde-686	684	9	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-686	684	10	,	,	PUNCT
ejde-686	684	11	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-686	684	12	)	)	PUNCT
ejde-686	684	13	·	·	PUNCT
ejde-686	685	1	∇τ	∇τ	PROPN
ejde-686	685	2	dx	dx	PROPN
ejde-686	685	3	.	.	PUNCT
ejde-686	686	1	since	since	SCONJ
ejde-686	686	2	τ	τ	PROPN
ejde-686	686	3	∈	∈	PROPN
ejde-686	686	4	n	n	X
ejde-686	686	5	,	,	PUNCT
ejde-686	686	6	we	we	PRON
ejde-686	686	7	have∫	have∫	VERB
ejde-686	686	8	ω1	ω1	PROPN
ejde-686	686	9	(	(	PUNCT
ejde-686	686	10	ξ1	ξ1	NOUN
ejde-686	686	11	,	,	PUNCT
ejde-686	686	12	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-686	686	13	)	)	PUNCT
ejde-686	686	14	·	·	PUNCT
ejde-686	687	1	∇τ	∇τ	ADP
ejde-686	687	2	dx	dx	NOUN
ejde-686	687	3	=	=	SYM
ejde-686	687	4	∫	∫	PROPN
ejde-686	687	5	1	1	NUM
ejde-686	687	6	0	0	NUM
ejde-686	687	7	∫	∫	PROPN
ejde-686	687	8	1	1	NUM
ejde-686	687	9	0	0	NUM
ejde-686	687	10	(	(	PUNCT
ejde-686	687	11	y	y	PROPN
ejde-686	687	12	−	−	PROPN
ejde-686	687	13	1	1	NUM
ejde-686	687	14	,	,	PUNCT
ejde-686	687	15	x−	x−	PROPN
ejde-686	687	16	1	1	NUM
ejde-686	687	17	)	)	PUNCT
ejde-686	687	18	·	·	PUNCT
ejde-686	687	19	(	(	PUNCT
ejde-686	687	20	τx	τx	PROPN
ejde-686	687	21	,	,	PUNCT
ejde-686	687	22	τy	τy	NUM
ejde-686	687	23	)	)	PUNCT
ejde-686	687	24	dx	dx	PROPN
ejde-686	687	25	dy	dy	X
ejde-686	687	26	=	=	SYM
ejde-686	687	27	∫	∫	PROPN
ejde-686	687	28	1	1	NUM
ejde-686	687	29	0	0	NUM
ejde-686	687	30	∫	∫	PROPN
ejde-686	687	31	1	1	NUM
ejde-686	687	32	0	0	NUM
ejde-686	687	33	(	(	PUNCT
ejde-686	687	34	y	y	PROPN
ejde-686	687	35	−	−	PROPN
ejde-686	688	1	1)τx	1)τx	PROPN
ejde-686	689	1	+	+	CCONJ
ejde-686	689	2	(	(	PUNCT
ejde-686	689	3	x−	x−	PROPN
ejde-686	689	4	1)τy	1)τy	PROPN
ejde-686	689	5	dx	dx	PROPN
ejde-686	689	6	dy	dy	X
ejde-686	689	7	=	=	SYM
ejde-686	689	8	∫	∫	PROPN
ejde-686	689	9	1	1	NUM
ejde-686	689	10	0	0	NUM
ejde-686	690	1	(	(	PUNCT
ejde-686	690	2	y	y	PROPN
ejde-686	690	3	−	−	PROPN
ejde-686	690	4	1	1	X
ejde-686	690	5	)	)	PUNCT
ejde-686	690	6	dy	dy	NOUN
ejde-686	690	7	∫	∫	PROPN
ejde-686	690	8	1	1	NUM
ejde-686	690	9	0	0	NUM
ejde-686	690	10	τx	τx	ADP
ejde-686	690	11	dx+	dx+	PROPN
ejde-686	690	12	∫	∫	PROPN
ejde-686	690	13	1	1	NUM
ejde-686	690	14	0	0	NUM
ejde-686	690	15	(	(	PUNCT
ejde-686	690	16	x−	x−	PROPN
ejde-686	690	17	1	1	NUM
ejde-686	690	18	)	)	PUNCT
ejde-686	691	1	dx	dx	PROPN
ejde-686	691	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	691	3	1	1	NUM
ejde-686	691	4	0	0	NUM
ejde-686	691	5	τy	τy	PRON
ejde-686	692	1	dy	dy	NOUN
ejde-686	692	2	=	=	SYM
ejde-686	692	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	692	4	1	1	NUM
ejde-686	692	5	0	0	NUM
ejde-686	693	1	(	(	PUNCT
ejde-686	693	2	y	y	PROPN
ejde-686	693	3	−	−	PROPN
ejde-686	693	4	1)τ(x	1)τ(x	PROPN
ejde-686	693	5	,	,	PUNCT
ejde-686	693	6	y	y	NOUN
ejde-686	693	7	)	)	PUNCT
ejde-686	693	8	∣∣∣1	∣∣∣1	NOUN
ejde-686	693	9	0	0	NUM
ejde-686	694	1	dy	dy	NOUN
ejde-686	694	2	+	+	CCONJ
ejde-686	694	3	∫	∫	PROPN
ejde-686	694	4	1	1	NUM
ejde-686	694	5	0	0	NUM
ejde-686	694	6	(	(	PUNCT
ejde-686	694	7	x−	x−	PROPN
ejde-686	694	8	1)τ(x	1)τ(x	PROPN
ejde-686	694	9	,	,	PUNCT
ejde-686	694	10	y	y	NOUN
ejde-686	694	11	)	)	PUNCT
ejde-686	694	12	∣∣∣1	∣∣∣1	NOUN
ejde-686	694	13	0	0	NUM
ejde-686	694	14	dx	dx	PROPN
ejde-686	695	1	=	=	SYM
ejde-686	696	1	−	−	PROPN
ejde-686	696	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	696	3	1	1	NUM
ejde-686	696	4	0	0	NUM
ejde-686	696	5	(	(	PUNCT
ejde-686	696	6	y	y	PROPN
ejde-686	696	7	−	−	PROPN
ejde-686	696	8	1)τ(0	1)τ(0	NOUN
ejde-686	696	9	,	,	PUNCT
ejde-686	696	10	y	y	NOUN
ejde-686	696	11	)	)	PUNCT
ejde-686	696	12	dy	dy	NOUN
ejde-686	696	13	−	−	PROPN
ejde-686	696	14	∫	∫	PROPN
ejde-686	696	15	1	1	NUM
ejde-686	696	16	0	0	NUM
ejde-686	696	17	(	(	PUNCT
ejde-686	696	18	x−	x−	PROPN
ejde-686	696	19	1)τ(x	1)τ(x	PROPN
ejde-686	696	20	,	,	PUNCT
ejde-686	696	21	0	0	NUM
ejde-686	696	22	)	)	PUNCT
ejde-686	696	23	dx	dx	PROPN
ejde-686	696	24	=	=	SYM
ejde-686	696	25	0	0	PROPN
ejde-686	696	26	.	.	PUNCT
ejde-686	696	27	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	696	28	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	696	29	sets	set	NOUN
ejde-686	696	30	and	and	CCONJ
ejde-686	696	31	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	696	32	of	of	ADP
ejde-686	696	33	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	696	34	21	21	NUM
ejde-686	696	35	the	the	DET
ejde-686	696	36	last	last	ADJ
ejde-686	696	37	equality	equality	NOUN
ejde-686	696	38	holds	hold	VERB
ejde-686	696	39	because	because	SCONJ
ejde-686	696	40	τ	τ	PROPN
ejde-686	696	41	=	=	SYM
ejde-686	696	42	0	0	NUM
ejde-686	696	43	dx	dx	PROPN
ejde-686	696	44	-	-	PROPN
ejde-686	696	45	a.e	a.e	PROPN
ejde-686	696	46	.	.	PROPN
ejde-686	697	1	on	on	ADP
ejde-686	697	2	{	{	PUNCT
ejde-686	697	3	0	0	NUM
ejde-686	697	4	}	}	SYM
ejde-686	697	5	×	×	NOUN
ejde-686	697	6	(	(	PUNCT
ejde-686	697	7	−1	−1	NOUN
ejde-686	697	8	,	,	PUNCT
ejde-686	697	9	1	1	NUM
ejde-686	697	10	)	)	PUNCT
ejde-686	697	11	and	and	CCONJ
ejde-686	697	12	(	(	PUNCT
ejde-686	697	13	−1	−1	NOUN
ejde-686	697	14	,	,	PUNCT
ejde-686	697	15	1	1	X
ejde-686	697	16	)	)	PUNCT
ejde-686	697	17	×	×	NOUN
ejde-686	697	18	{	{	PUNCT
ejde-686	697	19	0	0	NUM
ejde-686	697	20	}	}	PUNCT
ejde-686	697	21	.	.	PUNCT
ejde-686	698	1	similarly	similarly	ADV
ejde-686	698	2	,	,	PUNCT
ejde-686	698	3	we	we	PRON
ejde-686	698	4	obtain	obtain	VERB
ejde-686	698	5	∫	∫	PROPN
ejde-686	698	6	ωi	ωi	PROPN
ejde-686	698	7	(	(	PUNCT
ejde-686	698	8	ξ1	ξ1	PROPN
ejde-686	698	9	,	,	PUNCT
ejde-686	698	10	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-686	698	11	)	)	PUNCT
ejde-686	698	12	·	·	PUNCT
ejde-686	699	1	∇τ	∇τ	ADP
ejde-686	699	2	dx	dx	X
ejde-686	699	3	=	=	SYM
ejde-686	699	4	0	0	PROPN
ejde-686	699	5	,	,	PUNCT
ejde-686	699	6	for	for	ADP
ejde-686	699	7	i	i	PROPN
ejde-686	699	8	=	=	SYM
ejde-686	699	9	1	1	NUM
ejde-686	699	10	,	,	PUNCT
ejde-686	699	11	2	2	NUM
ejde-686	699	12	,	,	PUNCT
ejde-686	699	13	3	3	NUM
ejde-686	699	14	,	,	PUNCT
ejde-686	699	15	4	4	NUM
ejde-686	699	16	.	.	PUNCT
ejde-686	699	17	hence	hence	ADV
ejde-686	699	18	,	,	PUNCT
ejde-686	699	19	⟨u	⟨u	NOUN
ejde-686	699	20	,	,	PUNCT
ejde-686	699	21	τ⟩h1	τ⟩h1	NUM
ejde-686	699	22	0	0	NUM
ejde-686	699	23	(	(	PUNCT
ejde-686	699	24	ω	ω	NOUN
ejde-686	699	25	)	)	PUNCT
ejde-686	699	26	=	=	SYM
ejde-686	699	27	0	0	NUM
ejde-686	699	28	,	,	PUNCT
ejde-686	699	29	for	for	ADP
ejde-686	699	30	τ	τ	PROPN
ejde-686	699	31	∈	∈	PROPN
ejde-686	699	32	n	n	X
ejde-686	699	33	.	.	PUNCT
ejde-686	700	1	thus	thus	ADV
ejde-686	700	2	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	700	3	,	,	PUNCT
ejde-686	700	4	y	y	NOUN
ejde-686	700	5	)	)	PUNCT
ejde-686	700	6	∈	∈	PROPN
ejde-686	700	7	n⊥	n⊥	PROPN
ejde-686	700	8	=	=	SYM
ejde-686	700	9	dom(e	dom(e	PROPN
ejde-686	700	10	)	)	PUNCT
ejde-686	700	11	.	.	PUNCT
ejde-686	701	1	step	step	NOUN
ejde-686	701	2	3	3	NUM
ejde-686	701	3	.	.	PUNCT
ejde-686	702	1	we	we	PRON
ejde-686	702	2	prove	prove	VERB
ejde-686	702	3	that	that	SCONJ
ejde-686	702	4	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	702	5	,	,	PUNCT
ejde-686	702	6	y	y	NOUN
ejde-686	702	7	)	)	PUNCT
ejde-686	702	8	∈	∈	PROPN
ejde-686	702	9	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	702	10	)	)	PUNCT
ejde-686	702	11	.	.	PUNCT
ejde-686	703	1	combining	combine	VERB
ejde-686	703	2	[	[	X
ejde-686	703	3	25	25	NUM
ejde-686	703	4	,	,	PUNCT
ejde-686	703	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	703	6	2.2	2.2	NUM
ejde-686	703	7	]	]	PUNCT
ejde-686	703	8	and	and	CCONJ
ejde-686	703	9	(	(	PUNCT
ejde-686	703	10	6.5	6.5	NUM
ejde-686	703	11	)	)	PUNCT
ejde-686	703	12	,	,	PUNCT
ejde-686	703	13	we	we	PRON
ejde-686	703	14	have∫	have∫	VERB
ejde-686	703	15	ω	ω	PUNCT
ejde-686	703	16	∇u	∇u	PROPN
ejde-686	703	17	·	·	PUNCT
ejde-686	703	18	∇v	∇v	ADJ
ejde-686	703	19	dx	dx	PROPN
ejde-686	704	1	=	=	PUNCT
ejde-686	705	1	−	−	PROPN
ejde-686	705	2	∫	∫	PROPN
ejde-686	705	3	ω	ω	NUM
ejde-686	705	4	∆u	∆u	PROPN
ejde-686	705	5	·	·	PUNCT
ejde-686	705	6	v	v	X
ejde-686	705	7	dx	dx	PROPN
ejde-686	705	8	=	=	SYM
ejde-686	705	9	2	2	NUM
ejde-686	705	10	[	[	PUNCT
ejde-686	705	11	∫	∫	PROPN
ejde-686	705	12	1	1	NUM
ejde-686	705	13	−1	−1	NOUN
ejde-686	705	14	(	(	PUNCT
ejde-686	705	15	1−	1−	NUM
ejde-686	705	16	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	705	17	)	)	PUNCT
ejde-686	705	18	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	705	19	,	,	PUNCT
ejde-686	705	20	0	0	NUM
ejde-686	705	21	)	)	PUNCT
ejde-686	705	22	dx+	dx+	NOUN
ejde-686	705	23	∫	∫	PROPN
ejde-686	705	24	1	1	NUM
ejde-686	705	25	−1	−1	NOUN
ejde-686	705	26	(	(	PUNCT
ejde-686	705	27	1−	1−	NUM
ejde-686	705	28	|y|	|y|	NOUN
ejde-686	705	29	)	)	PUNCT
ejde-686	705	30	v(0	v(0	PROPN
ejde-686	705	31	,	,	PUNCT
ejde-686	705	32	y	y	PROPN
ejde-686	705	33	)	)	PUNCT
ejde-686	705	34	dy	dy	NOUN
ejde-686	705	35	]	]	PUNCT
ejde-686	705	36	=	=	SYM
ejde-686	705	37	2	2	NUM
ejde-686	705	38	∫	∫	NOUN
ejde-686	705	39	ω	ω	PROPN
ejde-686	705	40	(	(	PUNCT
ejde-686	705	41	1−	1−	NUM
ejde-686	705	42	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	705	43	−	−	PROPN
ejde-686	705	44	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	705	45	)	)	PUNCT
ejde-686	705	46	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	705	47	,	,	PUNCT
ejde-686	705	48	y	y	NOUN
ejde-686	705	49	)	)	PUNCT
ejde-686	705	50	d(µ0	d(µ0	NOUN
ejde-686	706	1	+	+	SYM
ejde-686	706	2	µ1	µ1	NOUN
ejde-686	706	3	)	)	PUNCT
ejde-686	706	4	=	=	SYM
ejde-686	707	1	2	2	NUM
ejde-686	707	2	∫	∫	NOUN
ejde-686	707	3	ω	ω	NOUN
ejde-686	707	4	(	(	PUNCT
ejde-686	707	5	1	1	NUM
ejde-686	707	6	+	+	NUM
ejde-686	707	7	|xy|	|xy|	NOUN
ejde-686	707	8	−	−	ADP
ejde-686	707	9	|x|	|x|	PROPN
ejde-686	707	10	−	−	PROPN
ejde-686	707	11	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	707	12	)	)	PUNCT
ejde-686	707	13	v(x	v(x	PROPN
ejde-686	707	14	,	,	PUNCT
ejde-686	707	15	y	y	PROPN
ejde-686	707	16	)	)	PUNCT
ejde-686	707	17	dµ.	dµ.	VERB
ejde-686	707	18	moreover	moreover	ADV
ejde-686	707	19	,	,	PUNCT
ejde-686	707	20	f(x	f(x	PROPN
ejde-686	707	21	,	,	PUNCT
ejde-686	707	22	y	y	PROPN
ejde-686	707	23	)	)	PUNCT
ejde-686	707	24	:	:	PUNCT
ejde-686	707	25	=	=	SYM
ejde-686	707	26	2(1	2(1	NUM
ejde-686	707	27	+	+	CCONJ
ejde-686	707	28	|xy|−	|xy|−	PROPN
ejde-686	707	29	|x|−	|x|−	NOUN
ejde-686	707	30	|y|	|y|	ADJ
ejde-686	707	31	)	)	PUNCT
ejde-686	707	32	=	=	SYM
ejde-686	707	33	2u(x	2u(x	NOUN
ejde-686	707	34	,	,	PUNCT
ejde-686	707	35	y	y	NOUN
ejde-686	707	36	)	)	PUNCT
ejde-686	707	37	∈	∈	PROPN
ejde-686	707	38	l2(ω	l2(ω	PROPN
ejde-686	707	39	,	,	PUNCT
ejde-686	707	40	µ	µ	NOUN
ejde-686	707	41	)	)	PUNCT
ejde-686	707	42	.	.	PUNCT
ejde-686	708	1	therefore	therefore	ADV
ejde-686	708	2	,	,	PUNCT
ejde-686	708	3	by	by	ADP
ejde-686	708	4	[	[	X
ejde-686	708	5	25	25	NUM
ejde-686	708	6	,	,	PUNCT
ejde-686	708	7	proposition	proposition	NOUN
ejde-686	708	8	2.2	2.2	NUM
ejde-686	708	9	]	]	PUNCT
ejde-686	708	10	again	again	ADV
ejde-686	708	11	,	,	PUNCT
ejde-686	708	12	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	708	13	,	,	PUNCT
ejde-686	708	14	y	y	NOUN
ejde-686	708	15	)	)	PUNCT
ejde-686	708	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	708	17	dom(∆µ	dom(∆µ	NUM
ejde-686	708	18	)	)	PUNCT
ejde-686	708	19	.	.	PUNCT
ejde-686	709	1	□	□	PUNCT
ejde-686	709	2	using	use	VERB
ejde-686	709	3	the	the	DET
ejde-686	709	4	method	method	NOUN
ejde-686	709	5	of	of	ADP
ejde-686	709	6	example	example	NOUN
ejde-686	709	7	6.4	6.4	NUM
ejde-686	709	8	,	,	PUNCT
ejde-686	709	9	we	we	PRON
ejde-686	709	10	can	can	AUX
ejde-686	709	11	construct	construct	VERB
ejde-686	709	12	the	the	DET
ejde-686	709	13	following	follow	VERB
ejde-686	709	14	two	two	NUM
ejde-686	709	15	examples	example	NOUN
ejde-686	709	16	.	.	PUNCT
ejde-686	710	1	(	(	PUNCT
ejde-686	710	2	a	a	X
ejde-686	710	3	)	)	PUNCT
ejde-686	710	4	(	(	PUNCT
ejde-686	710	5	b	b	X
ejde-686	710	6	)	)	PUNCT
ejde-686	710	7	figure	figure	NOUN
ejde-686	710	8	3	3	NUM
ejde-686	710	9	.	.	PUNCT
ejde-686	710	10	measures	measure	NOUN
ejde-686	710	11	and	and	CCONJ
ejde-686	710	12	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	710	13	in	in	ADP
ejde-686	710	14	example	example	NOUN
ejde-686	710	15	6.5	6.5	NUM
ejde-686	710	16	.	.	PUNCT
ejde-686	711	1	example	example	NOUN
ejde-686	711	2	6.5	6.5	NUM
ejde-686	711	3	.	.	PUNCT
ejde-686	712	1	let	let	VERB
ejde-686	712	2	ω	ω	PROPN
ejde-686	712	3	=	=	SYM
ejde-686	712	4	(	(	PUNCT
ejde-686	712	5	−2	−2	NOUN
ejde-686	712	6	,	,	PUNCT
ejde-686	712	7	2	2	NUM
ejde-686	712	8	)	)	PUNCT
ejde-686	712	9	×	×	NOUN
ejde-686	712	10	(	(	PUNCT
ejde-686	712	11	−1	−1	NOUN
ejde-686	712	12	,	,	PUNCT
ejde-686	712	13	1	1	NUM
ejde-686	712	14	)	)	PUNCT
ejde-686	712	15	.	.	PUNCT
ejde-686	713	1	write	write	PROPN
ejde-686	713	2	ω1	ω1	PROPN
ejde-686	713	3	=	=	SYM
ejde-686	713	4	(	(	PUNCT
ejde-686	713	5	−2	−2	NOUN
ejde-686	713	6	,	,	PUNCT
ejde-686	713	7	0	0	NUM
ejde-686	713	8	]	]	X
ejde-686	713	9	×	×	NOUN
ejde-686	713	10	(	(	PUNCT
ejde-686	713	11	−1	−1	NOUN
ejde-686	713	12	,	,	PUNCT
ejde-686	713	13	1	1	NUM
ejde-686	713	14	)	)	PUNCT
ejde-686	713	15	and	and	CCONJ
ejde-686	713	16	ω2	ω2	NOUN
ejde-686	713	17	=	=	PUNCT
ejde-686	714	1	[	[	X
ejde-686	714	2	0	0	NUM
ejde-686	714	3	,	,	PUNCT
ejde-686	714	4	2	2	NUM
ejde-686	714	5	)	)	PUNCT
ejde-686	714	6	×	×	NOUN
ejde-686	714	7	(	(	PUNCT
ejde-686	714	8	−1	−1	NOUN
ejde-686	714	9	,	,	PUNCT
ejde-686	714	10	1	1	NUM
ejde-686	714	11	)	)	PUNCT
ejde-686	714	12	.	.	PUNCT
ejde-686	715	1	let	let	VERB
ejde-686	715	2	measure	measure	NOUN
ejde-686	715	3	µ	µ	NOUN
ejde-686	715	4	=	=	SYM
ejde-686	715	5	µ0	µ0	NOUN
ejde-686	715	6	+	+	CCONJ
ejde-686	715	7	µ1	µ1	PROPN
ejde-686	715	8	+	+	CCONJ
ejde-686	716	1	µ2	µ2	PROPN
ejde-686	716	2	be	be	AUX
ejde-686	716	3	defined	define	VERB
ejde-686	716	4	on	on	ADP
ejde-686	716	5	ω	ω	PROPN
ejde-686	716	6	,	,	PUNCT
ejde-686	716	7	µ0	µ0	PROPN
ejde-686	716	8	,	,	PUNCT
ejde-686	716	9	µ1	µ1	PROPN
ejde-686	716	10	and	and	CCONJ
ejde-686	716	11	µ2	µ2	PROPN
ejde-686	716	12	are	be	AUX
ejde-686	716	13	1	1	NUM
ejde-686	716	14	-	-	PUNCT
ejde-686	716	15	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	716	16	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	716	17	measures	measure	NOUN
ejde-686	716	18	on	on	ADP
ejde-686	716	19	[	[	X
ejde-686	716	20	−2	−2	NOUN
ejde-686	716	21	,	,	PUNCT
ejde-686	716	22	2	2	NUM
ejde-686	716	23	]	]	SYM
ejde-686	716	24	×	×	NOUN
ejde-686	716	25	{	{	PUNCT
ejde-686	716	26	0	0	NUM
ejde-686	716	27	}	}	PUNCT
ejde-686	716	28	,	,	PUNCT
ejde-686	716	29	{	{	PUNCT
ejde-686	716	30	−1	−1	NOUN
ejde-686	716	31	}	}	PUNCT
ejde-686	716	32	×	×	NOUN
ejde-686	717	1	[	[	X
ejde-686	717	2	−1	−1	NOUN
ejde-686	717	3	,	,	PUNCT
ejde-686	717	4	1	1	NUM
ejde-686	717	5	]	]	PUNCT
ejde-686	717	6	and	and	CCONJ
ejde-686	717	7	{	{	PUNCT
ejde-686	717	8	1	1	NUM
ejde-686	717	9	}	}	PUNCT
ejde-686	717	10	×	×	NOUN
ejde-686	717	11	[	[	X
ejde-686	717	12	−1	−1	NOUN
ejde-686	717	13	,	,	PUNCT
ejde-686	717	14	1	1	NUM
ejde-686	717	15	]	]	NUM
ejde-686	717	16	,	,	PUNCT
ejde-686	717	17	respectively	respectively	ADV
ejde-686	717	18	,	,	PUNCT
ejde-686	717	19	as	as	SCONJ
ejde-686	717	20	shown	show	VERB
ejde-686	717	21	in	in	ADP
ejde-686	717	22	figure	figure	NOUN
ejde-686	717	23	3(a	3(a	NUM
ejde-686	717	24	)	)	PUNCT
ejde-686	717	25	.	.	PUNCT
ejde-686	718	1	then	then	ADV
ejde-686	718	2	u(x	u(x	VERB
ejde-686	718	3	,	,	PUNCT
ejde-686	718	4	y	y	NOUN
ejde-686	718	5	)	)	PUNCT
ejde-686	718	6	=	=	PRON
ejde-686	718	7	{	{	PUNCT
ejde-686	719	1	1	1	NUM
ejde-686	719	2	+	+	CCONJ
ejde-686	719	3	|(x+	|(x+	PROPN
ejde-686	719	4	1)y|	1)y|	NUM
ejde-686	719	5	−	−	PROPN
ejde-686	719	6	|x+	|x+	PROPN
ejde-686	719	7	1|	1|	NUM
ejde-686	719	8	−	−	PROPN
ejde-686	719	9	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	719	10	,	,	PUNCT
ejde-686	719	11	(	(	PUNCT
ejde-686	719	12	x	x	NOUN
ejde-686	719	13	,	,	PUNCT
ejde-686	719	14	y	y	NOUN
ejde-686	719	15	)	)	PUNCT
ejde-686	719	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	719	17	ω1	ω1	PROPN
ejde-686	719	18	,	,	PUNCT
ejde-686	719	19	−1−	−1−	PROPN
ejde-686	719	20	|(x−	|(x−	X
ejde-686	719	21	1)y|+	1)y|+	NUM
ejde-686	719	22	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	719	23	1|+	1|+	NUM
ejde-686	719	24	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	719	25	,	,	PUNCT
ejde-686	719	26	(	(	PUNCT
ejde-686	720	1	x	x	NOUN
ejde-686	720	2	,	,	PUNCT
ejde-686	720	3	y	y	NOUN
ejde-686	720	4	)	)	PUNCT
ejde-686	720	5	∈	∈	PROPN
ejde-686	720	6	ω2	ω2	NOUN
ejde-686	720	7	is	be	AUX
ejde-686	720	8	a	a	DET
ejde-686	720	9	2	2	NUM
ejde-686	720	10	-	-	PUNCT
ejde-686	720	11	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	720	12	that	that	SCONJ
ejde-686	720	13	satisfies	satisfy	VERB
ejde-686	720	14	equation	equation	NOUN
ejde-686	720	15	(	(	PUNCT
ejde-686	720	16	1.2	1.2	NUM
ejde-686	720	17	)	)	PUNCT
ejde-686	720	18	.	.	PUNCT
ejde-686	721	1	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	721	2	,	,	PUNCT
ejde-686	721	3	y	y	NOUN
ejde-686	721	4	)	)	PUNCT
ejde-686	721	5	is	be	AUX
ejde-686	721	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	721	7	,	,	PUNCT
ejde-686	721	8	and	and	CCONJ
ejde-686	721	9	the	the	DET
ejde-686	721	10	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	721	11	line	line	NOUN
ejde-686	721	12	of	of	ADP
ejde-686	721	13	u	u	NOUN
ejde-686	721	14	divides	divide	VERB
ejde-686	721	15	the	the	DET
ejde-686	721	16	domain	domain	NOUN
ejde-686	721	17	ω	ω	NOUN
ejde-686	721	18	into	into	ADP
ejde-686	721	19	2	2	NUM
ejde-686	721	20	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	721	21	(	(	PUNCT
ejde-686	721	22	see	see	VERB
ejde-686	721	23	figure	figure	NOUN
ejde-686	721	24	3(b	3(b	NUM
ejde-686	721	25	)	)	PUNCT
ejde-686	721	26	)	)	PUNCT
ejde-686	721	27	.	.	PUNCT
ejde-686	722	1	we	we	PRON
ejde-686	722	2	omit	omit	VERB
ejde-686	722	3	the	the	DET
ejde-686	722	4	proof	proof	NOUN
ejde-686	722	5	as	as	SCONJ
ejde-686	722	6	it	it	PRON
ejde-686	722	7	can	can	AUX
ejde-686	722	8	be	be	AUX
ejde-686	722	9	obtained	obtain	VERB
ejde-686	722	10	by	by	ADP
ejde-686	722	11	the	the	DET
ejde-686	722	12	argument	argument	NOUN
ejde-686	722	13	in	in	ADP
ejde-686	722	14	example	example	NOUN
ejde-686	722	15	6.4	6.4	NUM
ejde-686	722	16	.	.	PUNCT
ejde-686	722	17	example	example	NOUN
ejde-686	722	18	6.6	6.6	NUM
ejde-686	722	19	.	.	PUNCT
ejde-686	723	1	let	let	VERB
ejde-686	723	2	ω	ω	NOUN
ejde-686	723	3	=	=	SYM
ejde-686	723	4	(	(	PUNCT
ejde-686	723	5	0	0	NUM
ejde-686	723	6	,	,	PUNCT
ejde-686	723	7	2n)×(−1	2n)×(−1	NUM
ejde-686	723	8	,	,	PUNCT
ejde-686	723	9	1	1	NUM
ejde-686	723	10	)	)	PUNCT
ejde-686	723	11	,	,	PUNCT
ejde-686	723	12	ωi	ωi	X
ejde-686	723	13	=	=	SYM
ejde-686	723	14	(	(	PUNCT
ejde-686	723	15	2(i−1	2(i−1	NUM
ejde-686	723	16	)	)	PUNCT
ejde-686	723	17	,	,	PUNCT
ejde-686	723	18	2i]×(−1	2i]×(−1	NUM
ejde-686	723	19	,	,	PUNCT
ejde-686	723	20	1	1	NUM
ejde-686	723	21	)	)	PUNCT
ejde-686	723	22	,	,	PUNCT
ejde-686	723	23	i	i	PRON
ejde-686	723	24	=	=	NOUN
ejde-686	723	25	1	1	NUM
ejde-686	723	26	,	,	PUNCT
ejde-686	723	27	.	.	PUNCT
ejde-686	723	28	.	.	PUNCT
ejde-686	724	1	.	.	PUNCT
ejde-686	725	1	,	,	PUNCT
ejde-686	725	2	n−1	n−1	PROPN
ejde-686	725	3	,	,	PUNCT
ejde-686	725	4	ωn	ωn	ADP
ejde-686	725	5	=	=	NOUN
ejde-686	726	1	[	[	X
ejde-686	726	2	2(n	2(n	NUM
ejde-686	726	3	−	−	NUM
ejde-686	726	4	1	1	NUM
ejde-686	726	5	)	)	PUNCT
ejde-686	726	6	,	,	PUNCT
ejde-686	726	7	2n	2n	X
ejde-686	726	8	)	)	PUNCT
ejde-686	726	9	×	×	NOUN
ejde-686	726	10	(	(	PUNCT
ejde-686	726	11	−1	−1	NOUN
ejde-686	726	12	,	,	PUNCT
ejde-686	726	13	1	1	NUM
ejde-686	726	14	)	)	PUNCT
ejde-686	726	15	,	,	PUNCT
ejde-686	726	16	and	and	CCONJ
ejde-686	726	17	ω	ω	X
ejde-686	726	18	=	=	SYM
ejde-686	726	19	∪n	∪n	NUM
ejde-686	726	20	i=1ωi	i=1ωi	X
ejde-686	726	21	.	.	PUNCT
ejde-686	727	1	let	let	VERB
ejde-686	727	2	µ	µ	X
ejde-686	727	3	=	=	SYM
ejde-686	727	4	µ0	µ0	PROPN
ejde-686	727	5	+	+	CCONJ
ejde-686	727	6	µ1	µ1	PROPN
ejde-686	727	7	+	+	X
ejde-686	727	8	·	·	PUNCT
ejde-686	727	9	·	·	PUNCT
ejde-686	727	10	·	·	PUNCT
ejde-686	728	1	+	+	CCONJ
ejde-686	728	2	µn	µn	NOUN
ejde-686	728	3	be	be	AUX
ejde-686	728	4	defined	define	VERB
ejde-686	728	5	on	on	ADP
ejde-686	728	6	ω	ω	PROPN
ejde-686	728	7	,	,	PUNCT
ejde-686	728	8	where	where	SCONJ
ejde-686	728	9	µ0	µ0	NOUN
ejde-686	728	10	is	be	AUX
ejde-686	728	11	the	the	DET
ejde-686	728	12	1	1	NUM
ejde-686	728	13	-	-	PUNCT
ejde-686	728	14	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	728	15	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	728	16	measure	measure	NOUN
ejde-686	728	17	on	on	ADP
ejde-686	728	18	[	[	X
ejde-686	728	19	0	0	NUM
ejde-686	728	20	,	,	PUNCT
ejde-686	728	21	2n]×{0	2n]×{0	NUM
ejde-686	728	22	}	}	PUNCT
ejde-686	728	23	,	,	PUNCT
ejde-686	728	24	and	and	CCONJ
ejde-686	728	25	22	22	NUM
ejde-686	728	26	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	728	27	.	.	PUNCT
ejde-686	729	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	729	2	,	,	PUNCT
ejde-686	729	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	729	4	.	.	PUNCT
ejde-686	730	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	730	2	,	,	PUNCT
ejde-686	730	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	730	4	.	.	PUNCT
ejde-686	731	1	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	731	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	X
ejde-686	732	1	µi	µi	PROPN
ejde-686	732	2	is	be	AUX
ejde-686	732	3	the	the	DET
ejde-686	732	4	1	1	NUM
ejde-686	732	5	-	-	PUNCT
ejde-686	732	6	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	732	7	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-686	732	8	measure	measure	NOUN
ejde-686	732	9	on	on	ADP
ejde-686	732	10	{	{	PUNCT
ejde-686	732	11	2i−	2i−	NUM
ejde-686	732	12	1}×	1}×	NUM
ejde-686	733	1	[	[	X
ejde-686	733	2	−1	−1	NOUN
ejde-686	733	3	,	,	PUNCT
ejde-686	733	4	1	1	NUM
ejde-686	733	5	]	]	PUNCT
ejde-686	733	6	,	,	PUNCT
ejde-686	733	7	as	as	SCONJ
ejde-686	733	8	shown	show	VERB
ejde-686	733	9	in	in	ADP
ejde-686	733	10	figure	figure	NOUN
ejde-686	733	11	4(a	4(a	NUM
ejde-686	733	12	)	)	PUNCT
ejde-686	733	13	.	.	PUNCT
ejde-686	734	1	for	for	ADP
ejde-686	734	2	i	i	PRON
ejde-686	734	3	=	=	NOUN
ejde-686	734	4	1	1	NUM
ejde-686	734	5	,	,	PUNCT
ejde-686	734	6	.	.	PUNCT
ejde-686	734	7	.	.	PUNCT
ejde-686	735	1	.	.	PUNCT
ejde-686	736	1	,	,	PUNCT
ejde-686	736	2	n	n	CCONJ
ejde-686	736	3	,	,	PUNCT
ejde-686	736	4	let	let	VERB
ejde-686	736	5	ψi(x	ψi(x	NUM
ejde-686	736	6	,	,	PUNCT
ejde-686	736	7	y	y	NOUN
ejde-686	736	8	)	)	PUNCT
ejde-686	736	9	:	:	PUNCT
ejde-686	737	1	=	=	SYM
ejde-686	737	2	{	{	PUNCT
ejde-686	737	3	(	(	PUNCT
ejde-686	737	4	−1)i−1	−1)i−1	PROPN
ejde-686	737	5	(	(	PUNCT
ejde-686	737	6	1	1	NUM
ejde-686	737	7	+	+	NUM
ejde-686	737	8	∣∣(x−	∣∣(x−	NUM
ejde-686	737	9	(	(	PUNCT
ejde-686	737	10	2i−	2i−	NUM
ejde-686	737	11	1	1	NUM
ejde-686	737	12	)	)	PUNCT
ejde-686	737	13	)	)	PUNCT
ejde-686	738	1	y	y	PROPN
ejde-686	738	2	∣∣−	∣∣−	PROPN
ejde-686	738	3	|x−	|x−	PROPN
ejde-686	738	4	(	(	PUNCT
ejde-686	738	5	2i−	2i−	NUM
ejde-686	738	6	1)|	1)|	NUM
ejde-686	738	7	−	−	PROPN
ejde-686	738	8	|y|	|y|	PROPN
ejde-686	738	9	)	)	PUNCT
ejde-686	738	10	,	,	PUNCT
ejde-686	738	11	(	(	PUNCT
ejde-686	738	12	x	x	X
ejde-686	738	13	,	,	PUNCT
ejde-686	738	14	y	y	NOUN
ejde-686	738	15	)	)	PUNCT
ejde-686	738	16	∈	∈	PROPN
ejde-686	738	17	ωi	ωi	PROPN
ejde-686	738	18	,	,	PUNCT
ejde-686	738	19	0	0	NUM
ejde-686	738	20	,	,	PUNCT
ejde-686	738	21	(	(	PUNCT
ejde-686	738	22	x	x	X
ejde-686	738	23	,	,	PUNCT
ejde-686	738	24	y	y	NOUN
ejde-686	738	25	)	)	PUNCT
ejde-686	738	26	∈	∈	PROPN
ejde-686	738	27	ω\ωi	ω\ωi	NOUN
ejde-686	738	28	.	.	PUNCT
ejde-686	739	1	we	we	PRON
ejde-686	739	2	define	define	VERB
ejde-686	739	3	u(x	u(x	NOUN
ejde-686	739	4	,	,	PUNCT
ejde-686	739	5	y	y	NOUN
ejde-686	739	6	)	)	PUNCT
ejde-686	739	7	:	:	PUNCT
ejde-686	740	1	=	=	SYM
ejde-686	740	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-686	740	3	i=1	i=1	PROPN
ejde-686	740	4	ψi(x	ψi(x	PROPN
ejde-686	740	5	,	,	PUNCT
ejde-686	740	6	y	y	PROPN
ejde-686	740	7	)	)	PUNCT
ejde-686	740	8	.	.	PUNCT
ejde-686	741	1	then	then	ADV
ejde-686	741	2	u(x	u(x	VERB
ejde-686	741	3	,	,	PUNCT
ejde-686	741	4	y	y	NOUN
ejde-686	741	5	)	)	PUNCT
ejde-686	741	6	is	be	AUX
ejde-686	741	7	a	a	DET
ejde-686	741	8	2	2	NUM
ejde-686	741	9	-	-	PUNCT
ejde-686	741	10	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	741	11	satisfying	satisfy	VERB
ejde-686	741	12	equation	equation	NOUN
ejde-686	741	13	(	(	PUNCT
ejde-686	741	14	1.2	1.2	NUM
ejde-686	741	15	)	)	PUNCT
ejde-686	741	16	.	.	PUNCT
ejde-686	742	1	u(x	u(x	PROPN
ejde-686	742	2	,	,	PUNCT
ejde-686	742	3	y	y	NOUN
ejde-686	742	4	)	)	PUNCT
ejde-686	742	5	is	be	AUX
ejde-686	742	6	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	742	7	,	,	PUNCT
ejde-686	742	8	and	and	CCONJ
ejde-686	742	9	the	the	DET
ejde-686	742	10	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	742	11	lines	line	NOUN
ejde-686	742	12	of	of	ADP
ejde-686	742	13	the	the	DET
ejde-686	742	14	function	function	NOUN
ejde-686	742	15	divide	divide	NOUN
ejde-686	742	16	ω	ω	PROPN
ejde-686	742	17	into	into	ADP
ejde-686	742	18	n	n	ADP
ejde-686	742	19	subdomains	subdomain	NOUN
ejde-686	742	20	(	(	PUNCT
ejde-686	742	21	see	see	VERB
ejde-686	742	22	figure	figure	NOUN
ejde-686	742	23	4(b	4(b	NUM
ejde-686	742	24	)	)	PUNCT
ejde-686	742	25	.	.	PUNCT
ejde-686	743	1	the	the	DET
ejde-686	743	2	method	method	NOUN
ejde-686	743	3	is	be	AUX
ejde-686	743	4	the	the	DET
ejde-686	743	5	same	same	ADJ
ejde-686	743	6	as	as	ADP
ejde-686	743	7	that	that	PRON
ejde-686	743	8	in	in	ADP
ejde-686	743	9	the	the	DET
ejde-686	743	10	proof	proof	NOUN
ejde-686	743	11	of	of	ADP
ejde-686	743	12	example	example	NOUN
ejde-686	743	13	6.4	6.4	NUM
ejde-686	743	14	;	;	PUNCT
ejde-686	743	15	we	we	PRON
ejde-686	743	16	omit	omit	VERB
ejde-686	743	17	it	it	PRON
ejde-686	743	18	.	.	PUNCT
ejde-686	744	1	(	(	PUNCT
ejde-686	744	2	a	a	X
ejde-686	744	3	)	)	PUNCT
ejde-686	744	4	(	(	PUNCT
ejde-686	744	5	b	b	X
ejde-686	744	6	)	)	PUNCT
ejde-686	744	7	figure	figure	NOUN
ejde-686	744	8	4	4	NUM
ejde-686	744	9	.	.	PUNCT
ejde-686	744	10	measures	measure	NOUN
ejde-686	744	11	and	and	CCONJ
ejde-686	744	12	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	744	13	in	in	ADP
ejde-686	744	14	example	example	NOUN
ejde-686	744	15	6.6	6.6	NUM
ejde-686	744	16	.	.	PUNCT
ejde-686	745	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-686	745	2	.	.	PUNCT
ejde-686	746	1	this	this	DET
ejde-686	746	2	research	research	NOUN
ejde-686	746	3	was	be	AUX
ejde-686	746	4	supported	support	VERB
ejde-686	746	5	by	by	ADP
ejde-686	746	6	the	the	DET
ejde-686	746	7	national	national	ADJ
ejde-686	746	8	natural	natural	PROPN
ejde-686	746	9	science	science	PROPN
ejde-686	746	10	foundation	foundation	PROPN
ejde-686	746	11	of	of	ADP
ejde-686	746	12	china	china	PROPN
ejde-686	746	13	,	,	PUNCT
ejde-686	746	14	grants	grant	VERB
ejde-686	746	15	12271156	12271156	NUM
ejde-686	746	16	and	and	CCONJ
ejde-686	746	17	11771136	11771136	NUM
ejde-686	746	18	,	,	PUNCT
ejde-686	746	19	and	and	CCONJ
ejde-686	746	20	by	by	ADP
ejde-686	746	21	the	the	DET
ejde-686	746	22	construct	construct	NOUN
ejde-686	746	23	program	program	NOUN
ejde-686	746	24	of	of	ADP
ejde-686	746	25	key	key	ADJ
ejde-686	746	26	discipline	discipline	NOUN
ejde-686	746	27	in	in	ADP
ejde-686	746	28	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	746	29	province	province	PROPN
ejde-686	746	30	.	.	PUNCT
ejde-686	747	1	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	747	2	.	.	PUNCT
ejde-686	748	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	748	2	was	be	AUX
ejde-686	748	3	supported	support	VERB
ejde-686	748	4	by	by	ADP
ejde-686	748	5	a	a	DET
ejde-686	748	6	faculty	faculty	NOUN
ejde-686	748	7	research	research	NOUN
ejde-686	748	8	scholarly	scholarly	ADJ
ejde-686	748	9	pursuit	pursuit	NOUN
ejde-686	748	10	funding	funding	NOUN
ejde-686	748	11	from	from	ADP
ejde-686	748	12	georgia	georgia	PROPN
ejde-686	748	13	southern	southern	PROPN
ejde-686	748	14	university	university	PROPN
ejde-686	748	15	.	.	PUNCT
ejde-686	749	1	references	reference	NOUN
ejde-686	749	2	[	[	X
ejde-686	749	3	1	1	NUM
ejde-686	749	4	]	]	PUNCT
ejde-686	749	5	r.	r.	PROPN
ejde-686	749	6	a.	a.	PROPN
ejde-686	749	7	adams	adams	PROPN
ejde-686	749	8	d	d	PROPN
ejde-686	749	9	j.	j.	PROPN
ejde-686	749	10	j.	j.	PROPN
ejde-686	749	11	f.	f.	PROPN
ejde-686	749	12	fournier	fournier	PROPN
ejde-686	749	13	;	;	PUNCT
ejde-686	749	14	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-686	749	15	spaces	space	VERB
ejde-686	749	16	,	,	PUNCT
ejde-686	749	17	pure	pure	ADJ
ejde-686	749	18	appl	appl	NOUN
ejde-686	749	19	.	.	PUNCT
ejde-686	749	20	math	math	PROPN
ejde-686	749	21	.	.	PUNCT
ejde-686	750	1	(	(	PUNCT
ejde-686	750	2	amst	amst	NOUN
ejde-686	750	3	.	.	PUNCT
ejde-686	750	4	)	)	PUNCT
ejde-686	751	1	,	,	PUNCT
ejde-686	751	2	vol	vol	NOUN
ejde-686	751	3	.	.	PROPN
ejde-686	751	4	140	140	NUM
ejde-686	751	5	,	,	PUNCT
ejde-686	751	6	elsevier	elsevier	NOUN
ejde-686	751	7	/	/	SYM
ejde-686	751	8	academic	academic	ADJ
ejde-686	751	9	press	press	NOUN
ejde-686	751	10	,	,	PUNCT
ejde-686	751	11	amsterdam	amsterdam	PROPN
ejde-686	751	12	,	,	PUNCT
ejde-686	751	13	2003	2003	NUM
ejde-686	751	14	.	.	PUNCT
ejde-686	752	1	[	[	X
ejde-686	752	2	2	2	X
ejde-686	752	3	]	]	X
ejde-686	752	4	g.	g.	PROPN
ejde-686	752	5	alessandrini	alessandrini	PROPN
ejde-686	752	6	;	;	PUNCT
ejde-686	752	7	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	752	8	lines	line	NOUN
ejde-686	752	9	of	of	ADP
ejde-686	752	10	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	752	11	of	of	ADP
ejde-686	752	12	fixed	fix	VERB
ejde-686	752	13	membrane	membrane	NOUN
ejde-686	752	14	problem	problem	NOUN
ejde-686	752	15	in	in	ADP
ejde-686	752	16	general	general	ADJ
ejde-686	752	17	convex	convex	NOUN
ejde-686	752	18	domains	domain	NOUN
ejde-686	752	19	;	;	PUNCT
ejde-686	752	20	comment	comment	NOUN
ejde-686	752	21	.	.	PUNCT
ejde-686	753	1	math	math	NOUN
ejde-686	753	2	.	.	PUNCT
ejde-686	754	1	helv	helv	PROPN
ejde-686	754	2	.	.	PROPN
ejde-686	754	3	,	,	PUNCT
ejde-686	754	4	69	69	NUM
ejde-686	754	5	(	(	PUNCT
ejde-686	754	6	1994	1994	NUM
ejde-686	754	7	)	)	PUNCT
ejde-686	754	8	,	,	PUNCT
ejde-686	754	9	142–154	142–154	NUM
ejde-686	754	10	.	.	PUNCT
ejde-686	755	1	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PROPN
ejde-686	755	2	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	755	3	sets	set	NOUN
ejde-686	755	4	and	and	CCONJ
ejde-686	755	5	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	755	6	of	of	ADP
ejde-686	755	7	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	756	1	23	23	NUM
ejde-686	756	2	[	[	X
ejde-686	756	3	3	3	NUM
ejde-686	756	4	]	]	X
ejde-686	756	5	g.	g.	PROPN
ejde-686	756	6	alessandrini	alessandrini	PROPN
ejde-686	756	7	;	;	PUNCT
ejde-686	756	8	on	on	ADP
ejde-686	756	9	courant	courant	PROPN
ejde-686	756	10	’s	’s	PART
ejde-686	756	11	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	756	12	domain	domain	NOUN
ejde-686	756	13	theorem	theorem	NOUN
ejde-686	756	14	,	,	PUNCT
ejde-686	756	15	forum	forum	NOUN
ejde-686	756	16	math	math	PROPN
ejde-686	756	17	.	.	PUNCT
ejde-686	756	18	,	,	PUNCT
ejde-686	756	19	10	10	NUM
ejde-686	756	20	(	(	PUNCT
ejde-686	756	21	1998	1998	NUM
ejde-686	756	22	)	)	PUNCT
ejde-686	756	23	,	,	PUNCT
ejde-686	756	24	521–532	521–532	NUM
ejde-686	756	25	.	.	PUNCT
ejde-686	757	1	[	[	X
ejde-686	757	2	4	4	X
ejde-686	757	3	]	]	X
ejde-686	757	4	d.	d.	PROPN
ejde-686	757	5	h.	h.	PROPN
ejde-686	757	6	armitage	armitage	PROPN
ejde-686	757	7	,	,	PUNCT
ejde-686	757	8	s.	s.	PROPN
ejde-686	757	9	j.	j.	PROPN
ejde-686	757	10	gardiner	gardiner	PROPN
ejde-686	757	11	;	;	PUNCT
ejde-686	757	12	classical	classical	ADJ
ejde-686	757	13	potential	potential	ADJ
ejde-686	757	14	theory	theory	NOUN
ejde-686	757	15	,	,	PUNCT
ejde-686	757	16	springer	springer	NOUN
ejde-686	757	17	monogr	monogr	PROPN
ejde-686	757	18	.	.	PUNCT
ejde-686	758	1	math	math	PROPN
ejde-686	758	2	.	.	PUNCT
ejde-686	759	1	springerverlag	springerverlag	PROPN
ejde-686	759	2	london	london	PROPN
ejde-686	759	3	,	,	PUNCT
ejde-686	759	4	ltd	ltd	PROPN
ejde-686	759	5	.	.	PROPN
ejde-686	759	6	,	,	PUNCT
ejde-686	759	7	london	london	PROPN
ejde-686	759	8	,	,	PUNCT
ejde-686	759	9	2001	2001	NUM
ejde-686	759	10	.	.	PUNCT
ejde-686	760	1	[	[	X
ejde-686	760	2	5	5	NUM
ejde-686	760	3	]	]	PUNCT
ejde-686	760	4	r.	r.	PROPN
ejde-686	760	5	f.	f.	PROPN
ejde-686	760	6	bass	bass	PROPN
ejde-686	760	7	;	;	PUNCT
ejde-686	760	8	probabilistic	probabilistic	ADJ
ejde-686	760	9	techniques	technique	NOUN
ejde-686	760	10	in	in	ADP
ejde-686	760	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-686	760	12	,	,	PUNCT
ejde-686	760	13	probab	probab	PROPN
ejde-686	760	14	.	.	PUNCT
ejde-686	760	15	appl	appl	PROPN
ejde-686	760	16	.	.	PUNCT
ejde-686	761	1	(	(	PUNCT
ejde-686	761	2	n.	n.	PROPN
ejde-686	761	3	y.	y.	PROPN
ejde-686	761	4	)	)	PUNCT
ejde-686	761	5	,	,	PUNCT
ejde-686	761	6	springer	springer	NOUN
ejde-686	761	7	-	-	PUNCT
ejde-686	761	8	verlag	verlag	PROPN
ejde-686	761	9	,	,	PUNCT
ejde-686	761	10	new	new	PROPN
ejde-686	761	11	york	york	PROPN
ejde-686	761	12	,	,	PUNCT
ejde-686	761	13	1995	1995	NUM
ejde-686	761	14	.	.	PUNCT
ejde-686	762	1	[	[	X
ejde-686	762	2	6	6	NUM
ejde-686	762	3	]	]	PUNCT
ejde-686	762	4	e.	e.	PROPN
ejde-686	762	5	j.	j.	PROPN
ejde-686	762	6	beltrami	beltrami	PROPN
ejde-686	762	7	;	;	PUNCT
ejde-686	762	8	another	another	DET
ejde-686	762	9	proof	proof	NOUN
ejde-686	762	10	of	of	ADP
ejde-686	762	11	weyl	weyl	PROPN
ejde-686	762	12	’s	’s	PART
ejde-686	762	13	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	762	14	,	,	PUNCT
ejde-686	762	15	siam	siam	PROPN
ejde-686	762	16	rev	rev	PROPN
ejde-686	762	17	.	.	PROPN
ejde-686	762	18	,	,	PUNCT
ejde-686	762	19	10	10	NUM
ejde-686	762	20	(	(	PUNCT
ejde-686	762	21	1968	1968	NUM
ejde-686	762	22	)	)	PUNCT
ejde-686	762	23	,	,	PUNCT
ejde-686	762	24	212–213	212–213	NUM
ejde-686	762	25	.	.	PUNCT
ejde-686	763	1	[	[	X
ejde-686	763	2	7	7	X
ejde-686	763	3	]	]	X
ejde-686	763	4	e.	e.	PROPN
ejde-686	763	5	j.	j.	PROPN
ejde-686	763	6	bird	bird	PROPN
ejde-686	763	7	,	,	PUNCT
ejde-686	763	8	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	763	9	.	.	PUNCT
ejde-686	764	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	764	2	,	,	PUNCT
ejde-686	764	3	a.	a.	PROPN
ejde-686	764	4	teplyaev	teplyaev	PROPN
ejde-686	764	5	;	;	PUNCT
ejde-686	764	6	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	764	7	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	764	8	on	on	ADP
ejde-686	764	9	the	the	DET
ejde-686	764	10	unit	unit	NOUN
ejde-686	764	11	interval	interval	NOUN
ejde-686	764	12	,	,	PUNCT
ejde-686	764	13	ann	ann	PROPN
ejde-686	764	14	.	.	PUNCT
ejde-686	765	1	sci	sci	PROPN
ejde-686	765	2	.	.	PUNCT
ejde-686	765	3	math	math	PROPN
ejde-686	765	4	.	.	PUNCT
ejde-686	766	1	quèbec	quèbec	PROPN
ejde-686	766	2	,	,	PUNCT
ejde-686	766	3	27	27	NUM
ejde-686	766	4	(	(	PUNCT
ejde-686	766	5	2003	2003	NUM
ejde-686	766	6	)	)	PUNCT
ejde-686	766	7	,	,	PUNCT
ejde-686	766	8	135–168	135–168	NUM
ejde-686	766	9	.	.	PUNCT
ejde-686	767	1	[	[	X
ejde-686	767	2	8	8	X
ejde-686	767	3	]	]	PUNCT
ejde-686	767	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	767	5	f.-c	f.-c	PROPN
ejde-686	767	6	.	.	PUNCT
ejde-686	768	1	chan	chan	PROPN
ejde-686	768	2	,	,	PUNCT
ejde-686	768	3	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	768	4	.	.	PUNCT
ejde-686	769	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	769	2	,	,	PUNCT
ejde-686	769	3	a.	a.	PROPN
ejde-686	769	4	teplyaev	teplyaev	PROPN
ejde-686	769	5	;	;	PUNCT
ejde-686	769	6	one	one	NUM
ejde-686	769	7	-	-	PUNCT
ejde-686	769	8	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	769	9	wave	wave	NOUN
ejde-686	769	10	equations	equation	NOUN
ejde-686	769	11	defined	define	VERB
ejde-686	769	12	by	by	ADP
ejde-686	769	13	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	769	14	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	769	15	,	,	PUNCT
ejde-686	769	16	j.	j.	PROPN
ejde-686	769	17	anal	anal	PROPN
ejde-686	769	18	.	.	PUNCT
ejde-686	769	19	math	math	NOUN
ejde-686	769	20	.	.	PUNCT
ejde-686	769	21	,	,	PUNCT
ejde-686	769	22	127	127	NUM
ejde-686	769	23	(	(	PUNCT
ejde-686	769	24	2015	2015	NUM
ejde-686	769	25	)	)	PUNCT
ejde-686	769	26	,	,	PUNCT
ejde-686	769	27	219–246	219–246	NUM
ejde-686	769	28	.	.	PUNCT
ejde-686	770	1	[	[	X
ejde-686	770	2	9	9	NUM
ejde-686	770	3	]	]	PUNCT
ejde-686	770	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	770	5	chen	chen	PROPN
ejde-686	770	6	,	,	PUNCT
ejde-686	770	7	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	770	8	.	.	PUNCT
ejde-686	771	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	771	2	;	;	PUNCT
ejde-686	771	3	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	771	4	and	and	CCONJ
ejde-686	771	5	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	771	6	of	of	ADP
ejde-686	771	7	one	one	NUM
ejde-686	771	8	-	-	PUNCT
ejde-686	771	9	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	771	10	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	771	11	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	771	12	defined	define	VERB
ejde-686	771	13	by	by	ADP
ejde-686	771	14	iterated	iterated	ADJ
ejde-686	771	15	function	function	NOUN
ejde-686	771	16	systems	system	NOUN
ejde-686	771	17	with	with	ADP
ejde-686	771	18	overlaps	overlap	NOUN
ejde-686	771	19	,	,	PUNCT
ejde-686	771	20	j.	j.	PROPN
ejde-686	771	21	math	math	PROPN
ejde-686	771	22	.	.	PUNCT
ejde-686	772	1	anal	anal	PROPN
ejde-686	772	2	.	.	PUNCT
ejde-686	773	1	appl	appl	PROPN
ejde-686	773	2	.	.	PROPN
ejde-686	773	3	,	,	PUNCT
ejde-686	773	4	364	364	NUM
ejde-686	773	5	(	(	PUNCT
ejde-686	773	6	2010	2010	NUM
ejde-686	773	7	)	)	PUNCT
ejde-686	773	8	,	,	PUNCT
ejde-686	773	9	222	222	NUM
ejde-686	773	10	–	–	PUNCT
ejde-686	773	11	241	241	NUM
ejde-686	773	12	.	.	PUNCT
ejde-686	774	1	[	[	X
ejde-686	774	2	10	10	NUM
ejde-686	774	3	]	]	X
ejde-686	774	4	r.	r.	PROPN
ejde-686	774	5	courant	courant	PROPN
ejde-686	774	6	,	,	PUNCT
ejde-686	774	7	d.	d.	PROPN
ejde-686	774	8	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-686	774	9	;	;	PUNCT
ejde-686	774	10	methods	method	NOUN
ejde-686	774	11	of	of	ADP
ejde-686	774	12	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-686	774	13	physics	physics	NOUN
ejde-686	774	14	,	,	PUNCT
ejde-686	774	15	vol	vol	NOUN
ejde-686	774	16	.	.	PUNCT
ejde-686	775	1	i	i	PRON
ejde-686	775	2	,	,	PUNCT
ejde-686	775	3	interscience	interscience	NOUN
ejde-686	775	4	publishers	publisher	NOUN
ejde-686	775	5	,	,	PUNCT
ejde-686	775	6	inc	inc	PROPN
ejde-686	775	7	.	.	PROPN
ejde-686	775	8	,	,	PUNCT
ejde-686	775	9	new	new	PROPN
ejde-686	775	10	york	york	PROPN
ejde-686	775	11	,	,	PUNCT
ejde-686	775	12	1953	1953	NUM
ejde-686	775	13	.	.	PUNCT
ejde-686	776	1	[	[	X
ejde-686	776	2	11	11	NUM
ejde-686	776	3	]	]	X
ejde-686	776	4	r.	r.	PROPN
ejde-686	776	5	courant	courant	PROPN
ejde-686	776	6	,	,	PUNCT
ejde-686	776	7	d.	d.	PROPN
ejde-686	776	8	hilbert	hilbert	PROPN
ejde-686	776	9	;	;	PUNCT
ejde-686	776	10	methods	method	NOUN
ejde-686	776	11	of	of	ADP
ejde-686	776	12	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-686	776	13	physics	physics	NOUN
ejde-686	776	14	,	,	PUNCT
ejde-686	776	15	vol	vol	NOUN
ejde-686	776	16	.	.	PUNCT
ejde-686	776	17	ii	ii	PROPN
ejde-686	776	18	,	,	PUNCT
ejde-686	776	19	partial	partial	ADJ
ejde-686	776	20	differential	differential	NOUN
ejde-686	776	21	equations	equation	NOUN
ejde-686	776	22	,	,	PUNCT
ejde-686	776	23	wiley	wiley	NOUN
ejde-686	776	24	,	,	PUNCT
ejde-686	776	25	new	new	PROPN
ejde-686	776	26	york	york	PROPN
ejde-686	776	27	,	,	PUNCT
ejde-686	776	28	1989	1989	NUM
ejde-686	776	29	.	.	PUNCT
ejde-686	777	1	[	[	X
ejde-686	777	2	12	12	NUM
ejde-686	777	3	]	]	X
ejde-686	777	4	e.	e.	PROPN
ejde-686	777	5	b.	b.	PROPN
ejde-686	777	6	davies	davies	PROPN
ejde-686	777	7	;	;	PUNCT
ejde-686	777	8	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	777	9	theory	theory	NOUN
ejde-686	777	10	and	and	CCONJ
ejde-686	777	11	differential	differential	ADJ
ejde-686	777	12	operators	operator	NOUN
ejde-686	777	13	,	,	PUNCT
ejde-686	777	14	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-686	777	15	stud	stud	PROPN
ejde-686	777	16	.	.	PUNCT
ejde-686	778	1	adv	adv	PROPN
ejde-686	778	2	.	.	PUNCT
ejde-686	778	3	math	math	PROPN
ejde-686	778	4	.	.	PUNCT
ejde-686	779	1	,	,	PUNCT
ejde-686	779	2	vol	vol	NOUN
ejde-686	779	3	.	.	PROPN
ejde-686	779	4	42	42	NUM
ejde-686	779	5	,	,	PUNCT
ejde-686	779	6	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-686	779	7	univ	univ	PROPN
ejde-686	779	8	.	.	PUNCT
ejde-686	780	1	press	press	PROPN
ejde-686	780	2	,	,	PUNCT
ejde-686	780	3	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-686	780	4	,	,	PUNCT
ejde-686	780	5	1995	1995	NUM
ejde-686	780	6	.	.	PUNCT
ejde-686	781	1	[	[	X
ejde-686	781	2	13	13	NUM
ejde-686	781	3	]	]	PUNCT
ejde-686	781	4	d.-w	d.-w	PROPN
ejde-686	781	5	.	.	PUNCT
ejde-686	782	1	deng	deng	PROPN
ejde-686	782	2	,	,	PUNCT
ejde-686	782	3	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	782	4	.	.	PUNCT
ejde-686	783	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	783	2	;	;	PUNCT
ejde-686	783	3	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-686	783	4	estimates	estimate	NOUN
ejde-686	783	5	for	for	ADP
ejde-686	783	6	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	783	7	on	on	ADP
ejde-686	783	8	measure	measure	NOUN
ejde-686	783	9	spaces	space	NOUN
ejde-686	783	10	,	,	PUNCT
ejde-686	783	11	j.	j.	PROPN
ejde-686	783	12	funct	funct	PROPN
ejde-686	783	13	.	.	PUNCT
ejde-686	784	1	anal	anal	PROPN
ejde-686	784	2	.	.	PROPN
ejde-686	784	3	,	,	PUNCT
ejde-686	784	4	268	268	NUM
ejde-686	784	5	(	(	PUNCT
ejde-686	784	6	2015	2015	NUM
ejde-686	784	7	)	)	PUNCT
ejde-686	784	8	,	,	PUNCT
ejde-686	784	9	2231–2260	2231–2260	NUM
ejde-686	784	10	.	.	PUNCT
ejde-686	785	1	[	[	X
ejde-686	785	2	14	14	NUM
ejde-686	785	3	]	]	PUNCT
ejde-686	785	4	d.-w	d.-w	PROPN
ejde-686	785	5	.	.	PUNCT
ejde-686	786	1	deng	deng	PROPN
ejde-686	786	2	,	,	PUNCT
ejde-686	786	3	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	786	4	.	.	PUNCT
ejde-686	787	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	787	2	;	;	PUNCT
ejde-686	787	3	estimates	estimate	NOUN
ejde-686	787	4	for	for	ADP
ejde-686	787	5	sums	sum	NOUN
ejde-686	787	6	and	and	CCONJ
ejde-686	787	7	gaps	gap	NOUN
ejde-686	787	8	of	of	ADP
ejde-686	787	9	eigenvalues	eigenvalue	NOUN
ejde-686	787	10	of	of	ADP
ejde-686	787	11	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	787	12	on	on	ADP
ejde-686	787	13	measure	measure	NOUN
ejde-686	787	14	spaces	space	NOUN
ejde-686	787	15	,	,	PUNCT
ejde-686	787	16	proc	proc	PROPN
ejde-686	787	17	.	.	PUNCT
ejde-686	788	1	roy	roy	PROPN
ejde-686	788	2	.	.	PROPN
ejde-686	788	3	soc	soc	PROPN
ejde-686	788	4	.	.	PUNCT
ejde-686	789	1	edinburgh	edinburgh	PROPN
ejde-686	789	2	sect	sect	PROPN
ejde-686	789	3	.	.	PUNCT
ejde-686	790	1	a	a	DET
ejde-686	790	2	,	,	PUNCT
ejde-686	790	3	151	151	NUM
ejde-686	790	4	(	(	PUNCT
ejde-686	790	5	2021	2021	NUM
ejde-686	790	6	)	)	PUNCT
ejde-686	790	7	,	,	PUNCT
ejde-686	790	8	842–861	842–861	NUM
ejde-686	790	9	.	.	PUNCT
ejde-686	791	1	[	[	X
ejde-686	791	2	15	15	NUM
ejde-686	791	3	]	]	X
ejde-686	791	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	791	5	l.	l.	PROPN
ejde-686	791	6	doob	doob	PROPN
ejde-686	791	7	;	;	PUNCT
ejde-686	791	8	classical	classical	ADJ
ejde-686	791	9	potential	potential	ADJ
ejde-686	791	10	theory	theory	NOUN
ejde-686	791	11	and	and	CCONJ
ejde-686	791	12	its	its	PRON
ejde-686	791	13	probabilistic	probabilistic	ADJ
ejde-686	791	14	counterpart	counterpart	NOUN
ejde-686	791	15	,	,	PUNCT
ejde-686	791	16	springer	springer	NOUN
ejde-686	791	17	-	-	PUNCT
ejde-686	791	18	verlag	verlag	PROPN
ejde-686	791	19	,	,	PUNCT
ejde-686	791	20	berlin	berlin	PROPN
ejde-686	791	21	,	,	PUNCT
ejde-686	791	22	2001	2001	NUM
ejde-686	791	23	.	.	PUNCT
ejde-686	792	1	reprint	reprint	NOUN
ejde-686	792	2	of	of	ADP
ejde-686	792	3	the	the	DET
ejde-686	792	4	1984	1984	NUM
ejde-686	792	5	edition	edition	NOUN
ejde-686	792	6	.	.	PUNCT
ejde-686	793	1	[	[	X
ejde-686	793	2	16	16	NUM
ejde-686	793	3	]	]	X
ejde-686	793	4	l.	l.	PROPN
ejde-686	793	5	c.	c.	PROPN
ejde-686	793	6	evans	evans	PROPN
ejde-686	793	7	;	;	PUNCT
ejde-686	793	8	partial	partial	ADJ
ejde-686	793	9	differential	differential	NOUN
ejde-686	793	10	equations	equation	NOUN
ejde-686	793	11	,	,	PUNCT
ejde-686	793	12	vol	vol	NOUN
ejde-686	793	13	.	.	PROPN
ejde-686	793	14	19	19	NUM
ejde-686	793	15	,	,	PUNCT
ejde-686	793	16	grad	grad	NOUN
ejde-686	793	17	.	.	PUNCT
ejde-686	793	18	stud	stud	PROPN
ejde-686	793	19	.	.	PUNCT
ejde-686	793	20	math	math	NOUN
ejde-686	793	21	.	.	PUNCT
ejde-686	793	22	,	,	PUNCT
ejde-686	793	23	american	american	PROPN
ejde-686	793	24	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-686	793	25	society	society	NOUN
ejde-686	793	26	,	,	PUNCT
ejde-686	793	27	providence	providence	NOUN
ejde-686	793	28	,	,	PUNCT
ejde-686	793	29	ri	ri	PROPN
ejde-686	793	30	,	,	PUNCT
ejde-686	793	31	2010	2010	NUM
ejde-686	793	32	.	.	PUNCT
ejde-686	794	1	[	[	X
ejde-686	794	2	17	17	NUM
ejde-686	794	3	]	]	PUNCT
ejde-686	794	4	w.	w.	NOUN
ejde-686	794	5	feller	feller	PROPN
ejde-686	794	6	;	;	PUNCT
ejde-686	794	7	generalized	generalize	VERB
ejde-686	794	8	second	second	ADJ
ejde-686	794	9	order	order	NOUN
ejde-686	794	10	differential	differential	NOUN
ejde-686	794	11	operators	operator	NOUN
ejde-686	794	12	and	and	CCONJ
ejde-686	794	13	their	their	PRON
ejde-686	794	14	lateral	lateral	ADJ
ejde-686	794	15	conditions	condition	NOUN
ejde-686	794	16	,	,	PUNCT
ejde-686	794	17	illinois	illinois	PROPN
ejde-686	794	18	j.	j.	PROPN
ejde-686	794	19	math	math	PROPN
ejde-686	794	20	.	.	PUNCT
ejde-686	794	21	,	,	PUNCT
ejde-686	794	22	1	1	NUM
ejde-686	794	23	(	(	PUNCT
ejde-686	794	24	1957	1957	NUM
ejde-686	794	25	)	)	PUNCT
ejde-686	794	26	,	,	PUNCT
ejde-686	794	27	459–504	459–504	NUM
ejde-686	794	28	.	.	PUNCT
ejde-686	795	1	[	[	X
ejde-686	795	2	18	18	NUM
ejde-686	795	3	]	]	X
ejde-686	795	4	u.	u.	PROPN
ejde-686	795	5	freiberg	freiberg	PROPN
ejde-686	795	6	;	;	PUNCT
ejde-686	795	7	analytical	analytical	ADJ
ejde-686	795	8	properties	property	NOUN
ejde-686	795	9	of	of	ADP
ejde-686	795	10	measure	measure	NOUN
ejde-686	795	11	geometric	geometric	ADJ
ejde-686	795	12	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	795	13	-	-	PUNCT
ejde-686	795	14	feller	feller	NOUN
ejde-686	795	15	-	-	PUNCT
ejde-686	795	16	operators	operator	NOUN
ejde-686	795	17	on	on	ADP
ejde-686	795	18	the	the	DET
ejde-686	795	19	real	real	ADJ
ejde-686	795	20	line	line	NOUN
ejde-686	795	21	,	,	PUNCT
ejde-686	795	22	math	math	NOUN
ejde-686	795	23	.	.	PUNCT
ejde-686	796	1	nachr	nachr	PROPN
ejde-686	796	2	.	.	PROPN
ejde-686	796	3	,	,	PUNCT
ejde-686	796	4	260	260	NUM
ejde-686	796	5	(	(	PUNCT
ejde-686	796	6	2003	2003	NUM
ejde-686	796	7	)	)	PUNCT
ejde-686	796	8	,	,	PUNCT
ejde-686	796	9	34–47	34–47	NUM
ejde-686	796	10	.	.	PUNCT
ejde-686	797	1	[	[	X
ejde-686	797	2	19	19	NUM
ejde-686	797	3	]	]	X
ejde-686	797	4	u.	u.	PROPN
ejde-686	797	5	freiberg	freiberg	PROPN
ejde-686	797	6	;	;	PUNCT
ejde-686	797	7	refinement	refinement	NOUN
ejde-686	797	8	of	of	ADP
ejde-686	797	9	the	the	DET
ejde-686	797	10	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	797	11	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	797	12	of	of	ADP
ejde-686	797	13	generalized	generalized	ADJ
ejde-686	797	14	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	797	15	feller	feller	NOUN
ejde-686	797	16	operators	operator	NOUN
ejde-686	797	17	,	,	PUNCT
ejde-686	797	18	forum	forum	PROPN
ejde-686	797	19	math	math	PROPN
ejde-686	797	20	.	.	PUNCT
ejde-686	797	21	,	,	PUNCT
ejde-686	797	22	23	23	NUM
ejde-686	797	23	(	(	PUNCT
ejde-686	797	24	2011	2011	NUM
ejde-686	797	25	)	)	PUNCT
ejde-686	797	26	,	,	PUNCT
ejde-686	797	27	427–445	427–445	NUM
ejde-686	797	28	.	.	PUNCT
ejde-686	798	1	[	[	X
ejde-686	798	2	20	20	NUM
ejde-686	798	3	]	]	X
ejde-686	798	4	u.	u.	PROPN
ejde-686	798	5	freiberg	freiberg	PROPN
ejde-686	798	6	,	,	PUNCT
ejde-686	798	7	m.	m.	NOUN
ejde-686	798	8	zähle	zähle	NUM
ejde-686	798	9	;	;	PUNCT
ejde-686	798	10	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-686	798	11	calculus	calculus	NOUN
ejde-686	798	12	on	on	ADP
ejde-686	798	13	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	798	14	—	—	PUNCT
ejde-686	798	15	a	a	DET
ejde-686	798	16	measure	measure	NOUN
ejde-686	798	17	geometric	geometric	ADJ
ejde-686	798	18	approach	approach	NOUN
ejde-686	798	19	,	,	PUNCT
ejde-686	798	20	i	i	PRON
ejde-686	798	21	,	,	PUNCT
ejde-686	798	22	potential	potential	ADJ
ejde-686	798	23	anal	anal	NOUN
ejde-686	798	24	.	.	PUNCT
ejde-686	798	25	,	,	PUNCT
ejde-686	798	26	16	16	NUM
ejde-686	798	27	(	(	PUNCT
ejde-686	798	28	2002	2002	NUM
ejde-686	798	29	)	)	PUNCT
ejde-686	798	30	,	,	PUNCT
ejde-686	798	31	265–277	265–277	NUM
ejde-686	798	32	.	.	PUNCT
ejde-686	799	1	[	[	X
ejde-686	799	2	21	21	NUM
ejde-686	799	3	]	]	X
ejde-686	799	4	l.	l.	PROPN
ejde-686	799	5	g̊arding	g̊arding	PROPN
ejde-686	799	6	;	;	PUNCT
ejde-686	799	7	on	on	ADP
ejde-686	799	8	a	a	DET
ejde-686	799	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-686	799	10	by	by	ADP
ejde-686	799	11	h.	h.	PROPN
ejde-686	799	12	weyl	weyl	PROPN
ejde-686	799	13	,	,	PUNCT
ejde-686	799	14	kungl	kungl	PROPN
ejde-686	799	15	.	.	PUNCT
ejde-686	800	1	fysiografiska	fysiografiska	ADJ
ejde-686	800	2	sällskapets	sällskapet	NOUN
ejde-686	800	3	i	i	PRON
ejde-686	800	4	lund	lund	PROPN
ejde-686	800	5	förhandlingar	förhandlingar	PROPN
ejde-686	801	1	[	[	X
ejde-686	802	1	proc	proc	NOUN
ejde-686	802	2	.	.	PUNCT
ejde-686	803	1	roy	roy	PROPN
ejde-686	803	2	.	.	PROPN
ejde-686	803	3	physiog	physiog	PROPN
ejde-686	803	4	.	.	PUNCT
ejde-686	804	1	soc	soc	PROPN
ejde-686	804	2	.	.	PUNCT
ejde-686	805	1	lund	lund	PROPN
ejde-686	805	2	]	]	PUNCT
ejde-686	805	3	,	,	PUNCT
ejde-686	805	4	20	20	NUM
ejde-686	805	5	(	(	PUNCT
ejde-686	805	6	1950	1950	NUM
ejde-686	805	7	)	)	PUNCT
ejde-686	805	8	,	,	PUNCT
ejde-686	805	9	250–253	250–253	NUM
ejde-686	805	10	.	.	PUNCT
ejde-686	806	1	[	[	X
ejde-686	806	2	22	22	NUM
ejde-686	806	3	]	]	X
ejde-686	806	4	g.	g.	PROPN
ejde-686	806	5	m.	m.	PROPN
ejde-686	806	6	l.	l.	PROPN
ejde-686	806	7	gladwell	gladwell	PROPN
ejde-686	806	8	,	,	PUNCT
ejde-686	806	9	h.	h.	PROPN
ejde-686	806	10	zhu	zhu	PROPN
ejde-686	806	11	;	;	PUNCT
ejde-686	806	12	courant	courant	PROPN
ejde-686	806	13	’s	’s	PART
ejde-686	806	14	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	806	15	line	line	NOUN
ejde-686	806	16	theorem	theorem	VERB
ejde-686	806	17	and	and	CCONJ
ejde-686	806	18	its	its	PRON
ejde-686	806	19	discrete	discrete	ADJ
ejde-686	806	20	counterparts	counterpart	NOUN
ejde-686	806	21	,	,	PUNCT
ejde-686	806	22	quart	quart	NOUN
ejde-686	806	23	.	.	PUNCT
ejde-686	807	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	807	2	mech	mech	PROPN
ejde-686	807	3	.	.	PUNCT
ejde-686	808	1	appl	appl	PROPN
ejde-686	808	2	.	.	PROPN
ejde-686	808	3	math	math	PROPN
ejde-686	808	4	.	.	PUNCT
ejde-686	809	1	,	,	PUNCT
ejde-686	809	2	55	55	NUM
ejde-686	809	3	(	(	PUNCT
ejde-686	809	4	2002	2002	NUM
ejde-686	809	5	)	)	PUNCT
ejde-686	809	6	,	,	PUNCT
ejde-686	809	7	1–15	1–15	NUM
ejde-686	809	8	.	.	PUNCT
ejde-686	810	1	[	[	X
ejde-686	810	2	23	23	NUM
ejde-686	810	3	]	]	X
ejde-686	810	4	g.	g.	PROPN
ejde-686	810	5	grubb	grubb	PROPN
ejde-686	810	6	;	;	PUNCT
ejde-686	810	7	distributions	distribution	NOUN
ejde-686	810	8	and	and	CCONJ
ejde-686	810	9	operators	operator	NOUN
ejde-686	810	10	,	,	PUNCT
ejde-686	810	11	grad	grad	NOUN
ejde-686	810	12	.	.	PUNCT
ejde-686	811	1	texts	text	NOUN
ejde-686	811	2	in	in	ADP
ejde-686	811	3	math	math	NOUN
ejde-686	811	4	.	.	PUNCT
ejde-686	812	1	,	,	PUNCT
ejde-686	812	2	vol	vol	NOUN
ejde-686	812	3	.	.	PROPN
ejde-686	812	4	252	252	NUM
ejde-686	812	5	,	,	PUNCT
ejde-686	812	6	springer	springer	NOUN
ejde-686	812	7	,	,	PUNCT
ejde-686	812	8	new	new	PROPN
ejde-686	812	9	york	york	PROPN
ejde-686	812	10	,	,	PUNCT
ejde-686	812	11	2009	2009	NUM
ejde-686	812	12	.	.	PUNCT
ejde-686	813	1	[	[	X
ejde-686	813	2	24	24	NUM
ejde-686	813	3	]	]	X
ejde-686	813	4	q.	q.	PROPN
ejde-686	813	5	gu	gu	PROPN
ejde-686	813	6	,	,	PUNCT
ejde-686	813	7	j.	j.	PROPN
ejde-686	813	8	hu	hu	PROPN
ejde-686	813	9	,	,	PUNCT
ejde-686	813	10	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	813	11	.	.	PUNCT
ejde-686	814	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	814	2	;	;	PUNCT
ejde-686	814	3	geometry	geometry	NOUN
ejde-686	814	4	of	of	ADP
ejde-686	814	5	self	self	NOUN
ejde-686	814	6	-	-	PUNCT
ejde-686	814	7	similar	similar	ADJ
ejde-686	814	8	measures	measure	NOUN
ejde-686	814	9	on	on	ADP
ejde-686	814	10	intervals	interval	NOUN
ejde-686	814	11	with	with	ADP
ejde-686	814	12	overlaps	overlap	NOUN
ejde-686	814	13	and	and	CCONJ
ejde-686	814	14	applications	application	NOUN
ejde-686	814	15	to	to	ADP
ejde-686	814	16	sub	sub	ADJ
ejde-686	814	17	-	-	ADJ
ejde-686	814	18	gaussian	gaussian	ADJ
ejde-686	814	19	heat	heat	NOUN
ejde-686	814	20	kernel	kernel	PROPN
ejde-686	814	21	estimates	estimate	NOUN
ejde-686	814	22	,	,	PUNCT
ejde-686	814	23	commun	commun	PROPN
ejde-686	814	24	.	.	PUNCT
ejde-686	815	1	pure	pure	ADJ
ejde-686	815	2	appl	appl	PROPN
ejde-686	815	3	.	.	PUNCT
ejde-686	816	1	anal	anal	PROPN
ejde-686	816	2	.	.	PROPN
ejde-686	816	3	,	,	PUNCT
ejde-686	816	4	19	19	NUM
ejde-686	816	5	(	(	PUNCT
ejde-686	816	6	2020	2020	NUM
ejde-686	816	7	)	)	PUNCT
ejde-686	816	8	,	,	PUNCT
ejde-686	816	9	641–676	641–676	NUM
ejde-686	816	10	.	.	PUNCT
ejde-686	817	1	[	[	X
ejde-686	817	2	25	25	NUM
ejde-686	817	3	]	]	PUNCT
ejde-686	817	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	817	5	hu	hu	PROPN
ejde-686	817	6	,	,	PUNCT
ejde-686	817	7	k.-s	k.-s	PROPN
ejde-686	817	8	.	.	PUNCT
ejde-686	817	9	lau	lau	PROPN
ejde-686	817	10	,	,	PUNCT
ejde-686	817	11	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	817	12	.	.	PUNCT
ejde-686	818	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	818	2	;	;	PUNCT
ejde-686	818	3	laplace	laplace	NOUN
ejde-686	818	4	operators	operator	NOUN
ejde-686	818	5	related	relate	VERB
ejde-686	818	6	to	to	ADP
ejde-686	818	7	self	self	NOUN
ejde-686	818	8	-	-	PUNCT
ejde-686	818	9	similar	similar	ADJ
ejde-686	818	10	measures	measure	NOUN
ejde-686	818	11	on	on	ADP
ejde-686	818	12	rd	rd	PROPN
ejde-686	818	13	,	,	PUNCT
ejde-686	818	14	j.	j.	PROPN
ejde-686	818	15	funct	funct	PROPN
ejde-686	818	16	.	.	PUNCT
ejde-686	819	1	anal	anal	PROPN
ejde-686	819	2	.	.	PROPN
ejde-686	819	3	,	,	PUNCT
ejde-686	819	4	239	239	NUM
ejde-686	819	5	(	(	PUNCT
ejde-686	819	6	2006	2006	NUM
ejde-686	819	7	)	)	PUNCT
ejde-686	819	8	,	,	PUNCT
ejde-686	819	9	542–565	542–565	NUM
ejde-686	819	10	.	.	PUNCT
ejde-686	820	1	[	[	X
ejde-686	820	2	26	26	NUM
ejde-686	820	3	]	]	PUNCT
ejde-686	820	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	820	5	jost	jost	PROPN
ejde-686	820	6	;	;	PUNCT
ejde-686	820	7	partial	partial	ADJ
ejde-686	820	8	differential	differential	NOUN
ejde-686	820	9	equations	equation	NOUN
ejde-686	820	10	,	,	PUNCT
ejde-686	820	11	grad	grad	NOUN
ejde-686	820	12	.	.	PUNCT
ejde-686	821	1	texts	text	NOUN
ejde-686	821	2	in	in	ADP
ejde-686	821	3	math	math	NOUN
ejde-686	821	4	.	.	PUNCT
ejde-686	822	1	,	,	PUNCT
ejde-686	822	2	vol	vol	NOUN
ejde-686	822	3	.	.	PROPN
ejde-686	823	1	214	214	NUM
ejde-686	823	2	,	,	PUNCT
ejde-686	823	3	springer	springer	NOUN
ejde-686	823	4	,	,	PUNCT
ejde-686	823	5	new	new	PROPN
ejde-686	823	6	york	york	PROPN
ejde-686	823	7	,	,	PUNCT
ejde-686	823	8	2013	2013	NUM
ejde-686	823	9	.	.	PUNCT
ejde-686	824	1	[	[	X
ejde-686	824	2	27	27	NUM
ejde-686	824	3	]	]	X
ejde-686	824	4	i.	i.	PROPN
ejde-686	824	5	s.	s.	PROPN
ejde-686	824	6	kac	kac	PROPN
ejde-686	824	7	,	,	PUNCT
ejde-686	824	8	m.	m.	NOUN
ejde-686	824	9	g.	g.	PROPN
ejde-686	824	10	krĕın	krĕın	PROPN
ejde-686	824	11	;	;	PUNCT
ejde-686	824	12	criteria	criterion	NOUN
ejde-686	824	13	for	for	ADP
ejde-686	824	14	the	the	DET
ejde-686	824	15	discreteness	discreteness	NOUN
ejde-686	824	16	of	of	ADP
ejde-686	824	17	the	the	DET
ejde-686	824	18	spectrum	spectrum	NOUN
ejde-686	824	19	of	of	ADP
ejde-686	824	20	a	a	DET
ejde-686	824	21	singular	singular	ADJ
ejde-686	824	22	string	string	NOUN
ejde-686	824	23	,	,	PUNCT
ejde-686	824	24	izv	izv	PROPN
ejde-686	824	25	.	.	PUNCT
ejde-686	825	1	vysš.	vysš.	ADJ
ejde-686	825	2	učebn	učebn	PROPN
ejde-686	825	3	.	.	PUNCT
ejde-686	826	1	zaved	zave	VERB
ejde-686	826	2	.	.	PUNCT
ejde-686	827	1	matematika	matematika	PROPN
ejde-686	827	2	,	,	PUNCT
ejde-686	827	3	(	(	PUNCT
ejde-686	827	4	1958	1958	NUM
ejde-686	827	5	)	)	PUNCT
ejde-686	827	6	,	,	PUNCT
ejde-686	827	7	136–153	136–153	NUM
ejde-686	827	8	.	.	PUNCT
ejde-686	828	1	[	[	X
ejde-686	828	2	28	28	NUM
ejde-686	828	3	]	]	X
ejde-686	828	4	m.	m.	NOUN
ejde-686	828	5	kesseböhmer	kesseböhmer	PROPN
ejde-686	828	6	,	,	PUNCT
ejde-686	828	7	a.	a.	NOUN
ejde-686	828	8	niemann	niemann	PROPN
ejde-686	828	9	;	;	PUNCT
ejde-686	828	10	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	828	11	dimensions	dimension	NOUN
ejde-686	828	12	of	of	ADP
ejde-686	828	13	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	828	14	-	-	PUNCT
ejde-686	828	15	feller	feller	NOUN
ejde-686	828	16	operators	operator	NOUN
ejde-686	828	17	and	and	CCONJ
ejde-686	828	18	lq	lq	NOUN
ejde-686	828	19	-	-	PUNCT
ejde-686	828	20	specta	specta	ADJ
ejde-686	828	21	,	,	PUNCT
ejde-686	828	22	adv	adv	PROPN
ejde-686	828	23	.	.	PUNCT
ejde-686	828	24	math	math	PROPN
ejde-686	828	25	.	.	PUNCT
ejde-686	828	26	,	,	PUNCT
ejde-686	828	27	399	399	NUM
ejde-686	828	28	(	(	PUNCT
ejde-686	828	29	2022	2022	NUM
ejde-686	828	30	)	)	PUNCT
ejde-686	828	31	,	,	PUNCT
ejde-686	828	32	108253	108253	NUM
ejde-686	828	33	.	.	PUNCT
ejde-686	829	1	[	[	X
ejde-686	829	2	29	29	NUM
ejde-686	829	3	]	]	X
ejde-686	829	4	m.	m.	NOUN
ejde-686	829	5	kesseböhmer	kesseböhmer	PROPN
ejde-686	829	6	,	,	PUNCT
ejde-686	829	7	a.	a.	NOUN
ejde-686	829	8	niemann	niemann	PROPN
ejde-686	829	9	;	;	PUNCT
ejde-686	829	10	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	829	11	dimensions	dimension	NOUN
ejde-686	829	12	of	of	ADP
ejde-686	829	13	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	829	14	-	-	PUNCT
ejde-686	829	15	feller	feller	NOUN
ejde-686	829	16	operators	operator	NOUN
ejde-686	829	17	in	in	ADP
ejde-686	829	18	higher	high	ADJ
ejde-686	829	19	dimensions	dimension	NOUN
ejde-686	829	20	,	,	PUNCT
ejde-686	829	21	arxiv	arxiv	PROPN
ejde-686	829	22	:	:	PUNCT
ejde-686	829	23	2202.05247	2202.05247	NUM
ejde-686	829	24	(	(	PUNCT
ejde-686	829	25	2022	2022	NUM
ejde-686	829	26	)	)	PUNCT
ejde-686	829	27	.	.	PUNCT
ejde-686	830	1	[	[	X
ejde-686	830	2	30	30	NUM
ejde-686	830	3	]	]	X
ejde-686	830	4	m.	m.	NOUN
ejde-686	830	5	g.	g.	PROPN
ejde-686	830	6	krĕın	krĕın	PROPN
ejde-686	830	7	;	;	PUNCT
ejde-686	830	8	on	on	ADP
ejde-686	830	9	a	a	DET
ejde-686	830	10	generalization	generalization	NOUN
ejde-686	830	11	of	of	ADP
ejde-686	830	12	investigations	investigation	NOUN
ejde-686	830	13	of	of	ADP
ejde-686	830	14	stieltjes	stieltjes	NOUN
ejde-686	830	15	,	,	PUNCT
ejde-686	830	16	doklady	doklady	NOUN
ejde-686	830	17	akad	akad	NOUN
ejde-686	830	18	.	.	PUNCT
ejde-686	831	1	nauk	nauk	NOUN
ejde-686	831	2	sssr(n.s	sssr(n.	NOUN
ejde-686	831	3	.	.	PUNCT
ejde-686	831	4	)	)	PUNCT
ejde-686	832	1	,	,	PUNCT
ejde-686	832	2	87	87	NUM
ejde-686	832	3	(	(	PUNCT
ejde-686	832	4	1952	1952	NUM
ejde-686	832	5	)	)	PUNCT
ejde-686	832	6	,	,	PUNCT
ejde-686	832	7	881–884	881–884	NUM
ejde-686	832	8	.	.	PUNCT
ejde-686	833	1	[	[	X
ejde-686	833	2	31	31	NUM
ejde-686	833	3	]	]	PUNCT
ejde-686	833	4	c.-s	c.-	NOUN
ejde-686	833	5	.	.	PUNCT
ejde-686	834	1	lin	lin	PROPN
ejde-686	834	2	;	;	PUNCT
ejde-686	834	3	on	on	ADP
ejde-686	834	4	the	the	DET
ejde-686	834	5	second	second	ADJ
ejde-686	834	6	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	834	7	of	of	ADP
ejde-686	834	8	the	the	DET
ejde-686	834	9	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-686	834	10	in	in	ADP
ejde-686	834	11	r2	r2	PROPN
ejde-686	834	12	,	,	PUNCT
ejde-686	834	13	comm	comm	NOUN
ejde-686	834	14	.	.	PUNCT
ejde-686	835	1	math	math	NOUN
ejde-686	835	2	.	.	PUNCT
ejde-686	836	1	phys	phy	NOUN
ejde-686	836	2	.	.	PUNCT
ejde-686	836	3	,	,	PUNCT
ejde-686	836	4	111	111	NUM
ejde-686	836	5	(	(	PUNCT
ejde-686	836	6	1987	1987	NUM
ejde-686	836	7	)	)	PUNCT
ejde-686	836	8	,	,	PUNCT
ejde-686	836	9	161–166	161–166	NUM
ejde-686	836	10	.	.	PUNCT
ejde-686	836	11	24	24	NUM
ejde-686	836	12	s.-m	s.-m	NOUN
ejde-686	836	13	.	.	PUNCT
ejde-686	837	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	837	2	,	,	PUNCT
ejde-686	837	3	m.-k	m.-k	PROPN
ejde-686	837	4	.	.	PUNCT
ejde-686	838	1	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	838	2	,	,	PUNCT
ejde-686	838	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	838	4	.	.	PUNCT
ejde-686	839	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-686	839	2	ejde-2025/12	ejde-2025/12	X
ejde-686	840	1	[	[	X
ejde-686	840	2	32	32	NUM
ejde-686	840	3	]	]	PUNCT
ejde-686	840	4	a.	a.	NOUN
ejde-686	840	5	logunov	logunov	PROPN
ejde-686	840	6	;	;	PUNCT
ejde-686	840	7	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	840	8	sets	set	NOUN
ejde-686	840	9	of	of	ADP
ejde-686	840	10	laplace	laplace	NOUN
ejde-686	840	11	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	840	12	:	:	PUNCT
ejde-686	840	13	proof	proof	NOUN
ejde-686	840	14	of	of	ADP
ejde-686	840	15	nadirashvili	nadirashvili	NOUN
ejde-686	840	16	’s	’s	PART
ejde-686	840	17	conjecture	conjecture	NOUN
ejde-686	840	18	and	and	CCONJ
ejde-686	840	19	of	of	ADP
ejde-686	840	20	the	the	DET
ejde-686	840	21	lower	lower	ADV
ejde-686	840	22	bound	bind	VERB
ejde-686	840	23	in	in	ADP
ejde-686	840	24	yau	yau	PROPN
ejde-686	840	25	’s	’s	PART
ejde-686	840	26	conjecture	conjecture	NOUN
ejde-686	840	27	,	,	PUNCT
ejde-686	840	28	ann	ann	PROPN
ejde-686	840	29	.	.	PROPN
ejde-686	840	30	of	of	ADP
ejde-686	840	31	math	math	NOUN
ejde-686	840	32	.	.	PUNCT
ejde-686	840	33	,	,	PUNCT
ejde-686	840	34	(	(	PUNCT
ejde-686	840	35	2	2	X
ejde-686	840	36	)	)	PUNCT
ejde-686	840	37	187	187	NUM
ejde-686	840	38	(	(	PUNCT
ejde-686	840	39	2018	2018	NUM
ejde-686	840	40	)	)	PUNCT
ejde-686	840	41	,	,	PUNCT
ejde-686	840	42	241–262	241–262	NUM
ejde-686	840	43	.	.	PUNCT
ejde-686	841	1	[	[	X
ejde-686	841	2	33	33	NUM
ejde-686	841	3	]	]	PUNCT
ejde-686	841	4	h.	h.	PROPN
ejde-686	841	5	p.	p.	PROPN
ejde-686	841	6	mckean	mckean	PROPN
ejde-686	841	7	,	,	PUNCT
ejde-686	841	8	d.	d.	PROPN
ejde-686	841	9	b.	b.	PROPN
ejde-686	841	10	ray	ray	PROPN
ejde-686	841	11	;	;	PUNCT
ejde-686	841	12	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	841	13	distribution	distribution	NOUN
ejde-686	841	14	of	of	ADP
ejde-686	841	15	differential	differential	ADJ
ejde-686	841	16	operator	operator	NOUN
ejde-686	841	17	;	;	PUNCT
ejde-686	841	18	duke	duke	PROPN
ejde-686	841	19	math	math	PROPN
ejde-686	841	20	.	.	PUNCT
ejde-686	842	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	842	2	,	,	PUNCT
ejde-686	842	3	29	29	NUM
ejde-686	842	4	(	(	PUNCT
ejde-686	842	5	1962	1962	NUM
ejde-686	842	6	)	)	PUNCT
ejde-686	842	7	,	,	PUNCT
ejde-686	842	8	281–292	281–292	NUM
ejde-686	842	9	.	.	PUNCT
ejde-686	843	1	[	[	X
ejde-686	843	2	34	34	NUM
ejde-686	843	3	]	]	X
ejde-686	843	4	w.	w.	PROPN
ejde-686	843	5	mclean	mclean	PROPN
ejde-686	843	6	;	;	PUNCT
ejde-686	843	7	strongly	strongly	ADV
ejde-686	843	8	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-686	843	9	systems	system	NOUN
ejde-686	843	10	and	and	CCONJ
ejde-686	843	11	boundary	boundary	ADJ
ejde-686	843	12	integral	integral	ADJ
ejde-686	843	13	equations	equation	NOUN
ejde-686	843	14	,	,	PUNCT
ejde-686	843	15	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-686	843	16	university	university	PROPN
ejde-686	843	17	press	press	PROPN
ejde-686	843	18	,	,	PUNCT
ejde-686	843	19	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-686	843	20	,	,	PUNCT
ejde-686	843	21	2000	2000	NUM
ejde-686	843	22	.	.	PUNCT
ejde-686	844	1	[	[	X
ejde-686	844	2	35	35	NUM
ejde-686	844	3	]	]	X
ejde-686	844	4	d.	d.	PROPN
ejde-686	844	5	medková	medková	NOUN
ejde-686	844	6	;	;	PUNCT
ejde-686	844	7	the	the	DET
ejde-686	844	8	laplace	laplace	NOUN
ejde-686	844	9	equation	equation	NOUN
ejde-686	844	10	,	,	PUNCT
ejde-686	844	11	springer	springer	NOUN
ejde-686	844	12	,	,	PUNCT
ejde-686	844	13	cham	cham	NOUN
ejde-686	844	14	,	,	PUNCT
ejde-686	844	15	2018	2018	NUM
ejde-686	844	16	.	.	PUNCT
ejde-686	845	1	[	[	X
ejde-686	845	2	36	36	NUM
ejde-686	845	3	]	]	PUNCT
ejde-686	845	4	a.	a.	PROPN
ejde-686	845	5	d.	d.	PROPN
ejde-686	845	6	melas	melas	PROPN
ejde-686	845	7	;	;	PUNCT
ejde-686	845	8	on	on	ADP
ejde-686	845	9	the	the	DET
ejde-686	845	10	nodal	nodal	ADJ
ejde-686	845	11	line	line	NOUN
ejde-686	845	12	of	of	ADP
ejde-686	845	13	the	the	DET
ejde-686	845	14	second	second	ADJ
ejde-686	845	15	eigenfunction	eigenfunction	NOUN
ejde-686	845	16	of	of	ADP
ejde-686	845	17	the	the	DET
ejde-686	845	18	laplacian	laplacian	NOUN
ejde-686	845	19	in	in	ADP
ejde-686	845	20	r2	r2	PROPN
ejde-686	845	21	.	.	PUNCT
ejde-686	846	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	846	2	differential	differential	PROPN
ejde-686	846	3	geom	geom	PROPN
ejde-686	846	4	.	.	PROPN
ejde-686	846	5	,	,	PUNCT
ejde-686	846	6	35	35	NUM
ejde-686	846	7	(	(	PUNCT
ejde-686	846	8	1992	1992	NUM
ejde-686	846	9	)	)	PUNCT
ejde-686	846	10	,	,	PUNCT
ejde-686	846	11	255–263	255–263	NUM
ejde-686	846	12	.	.	PUNCT
ejde-686	847	1	[	[	X
ejde-686	847	2	37	37	NUM
ejde-686	847	3	]	]	PUNCT
ejde-686	847	4	k.	k.	PROPN
ejde-686	847	5	naimark	naimark	PROPN
ejde-686	847	6	,	,	PUNCT
ejde-686	847	7	m.	m.	NOUN
ejde-686	847	8	solomyak	solomyak	NOUN
ejde-686	847	9	;	;	PUNCT
ejde-686	847	10	on	on	ADP
ejde-686	847	11	the	the	DET
ejde-686	847	12	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-686	847	13	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-686	847	14	for	for	ADP
ejde-686	847	15	a	a	DET
ejde-686	847	16	class	class	NOUN
ejde-686	847	17	of	of	ADP
ejde-686	847	18	operators	operator	NOUN
ejde-686	847	19	related	relate	VERB
ejde-686	847	20	to	to	ADP
ejde-686	847	21	self	self	NOUN
ejde-686	847	22	-	-	PUNCT
ejde-686	847	23	similar	similar	ADJ
ejde-686	847	24	measures	measure	NOUN
ejde-686	847	25	on	on	ADP
ejde-686	847	26	rd	rd	PROPN
ejde-686	847	27	,	,	PUNCT
ejde-686	847	28	c.	c.	PROPN
ejde-686	847	29	r.	r.	PROPN
ejde-686	847	30	acad	acad	PROPN
ejde-686	847	31	.	.	PUNCT
ejde-686	848	1	sci	sci	PROPN
ejde-686	848	2	.	.	PROPN
ejde-686	848	3	paris	paris	PROPN
ejde-686	848	4	sér	sér	PROPN
ejde-686	848	5	.	.	PUNCT
ejde-686	849	1	i	i	PRON
ejde-686	849	2	math	math	PROPN
ejde-686	849	3	.	.	PUNCT
ejde-686	849	4	,	,	PUNCT
ejde-686	849	5	319	319	NUM
ejde-686	849	6	(	(	PUNCT
ejde-686	849	7	1994	1994	NUM
ejde-686	849	8	)	)	PUNCT
ejde-686	849	9	,	,	PUNCT
ejde-686	849	10	837–842	837–842	NUM
ejde-686	849	11	.	.	PUNCT
ejde-686	850	1	[	[	X
ejde-686	850	2	38	38	NUM
ejde-686	850	3	]	]	PUNCT
ejde-686	850	4	k.	k.	PROPN
ejde-686	850	5	naimark	naimark	PROPN
ejde-686	850	6	,	,	PUNCT
ejde-686	850	7	m.	m.	NOUN
ejde-686	850	8	solomyak	solomyak	PROPN
ejde-686	850	9	;	;	PUNCT
ejde-686	850	10	the	the	DET
ejde-686	850	11	eigenvalue	eigenvalue	ADJ
ejde-686	850	12	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-686	850	13	for	for	ADP
ejde-686	850	14	the	the	DET
ejde-686	850	15	boundary	boundary	ADJ
ejde-686	850	16	value	value	NOUN
ejde-686	850	17	problems	problem	NOUN
ejde-686	850	18	related	relate	VERB
ejde-686	850	19	to	to	ADP
ejde-686	850	20	self	self	NOUN
ejde-686	850	21	-	-	PUNCT
ejde-686	850	22	similar	similar	ADJ
ejde-686	850	23	measures	measure	NOUN
ejde-686	850	24	on	on	ADP
ejde-686	850	25	rd	rd	PROPN
ejde-686	850	26	,	,	PUNCT
ejde-686	850	27	math	math	NOUN
ejde-686	850	28	.	.	PUNCT
ejde-686	851	1	res	re	NOUN
ejde-686	851	2	.	.	PUNCT
ejde-686	852	1	lett	lett	PROPN
ejde-686	852	2	.	.	PROPN
ejde-686	853	1	2	2	NUM
ejde-686	853	2	(	(	PUNCT
ejde-686	853	3	1995	1995	NUM
ejde-686	853	4	)	)	PUNCT
ejde-686	853	5	,	,	PUNCT
ejde-686	853	6	279–298	279–298	NUM
ejde-686	853	7	.	.	PUNCT
ejde-686	854	1	[	[	X
ejde-686	854	2	39	39	NUM
ejde-686	854	3	]	]	PUNCT
ejde-686	854	4	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	854	5	.	.	PUNCT
ejde-686	855	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	855	2	;	;	PUNCT
ejde-686	855	3	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	855	4	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	855	5	of	of	ADP
ejde-686	855	6	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	855	7	associated	associate	VERB
ejde-686	855	8	with	with	ADP
ejde-686	855	9	one	one	NUM
ejde-686	855	10	-	-	PUNCT
ejde-686	855	11	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	855	12	iterated	iterated	ADJ
ejde-686	855	13	function	function	NOUN
ejde-686	855	14	systems	system	NOUN
ejde-686	855	15	with	with	ADP
ejde-686	855	16	overlaps	overlap	NOUN
ejde-686	855	17	,	,	PUNCT
ejde-686	855	18	canad	canad	PROPN
ejde-686	855	19	.	.	PUNCT
ejde-686	856	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	856	2	math	math	PROPN
ejde-686	856	3	.	.	PROPN
ejde-686	856	4	,	,	PUNCT
ejde-686	856	5	63	63	NUM
ejde-686	856	6	(	(	PUNCT
ejde-686	856	7	2011	2011	NUM
ejde-686	856	8	)	)	PUNCT
ejde-686	856	9	,	,	PUNCT
ejde-686	856	10	648–688	648–688	NUM
ejde-686	856	11	.	.	PUNCT
ejde-686	857	1	[	[	X
ejde-686	857	2	40	40	NUM
ejde-686	857	3	]	]	PUNCT
ejde-686	857	4	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	857	5	.	.	PUNCT
ejde-686	858	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	858	2	,	,	PUNCT
ejde-686	858	3	w.	w.	PROPN
ejde-686	858	4	tang	tang	PROPN
ejde-686	858	5	,	,	PUNCT
ejde-686	858	6	y.	y.	PROPN
ejde-686	858	7	y.	y.	PROPN
ejde-686	858	8	xie	xie	PROPN
ejde-686	858	9	;	;	PUNCT
ejde-686	858	10	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	858	11	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	858	12	of	of	ADP
ejde-686	858	13	one	one	NUM
ejde-686	858	14	-	-	PUNCT
ejde-686	858	15	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	858	16	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	858	17	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	858	18	in	in	ADP
ejde-686	858	19	the	the	DET
ejde-686	858	20	absence	absence	NOUN
ejde-686	858	21	of	of	ADP
ejde-686	858	22	second	second	ADJ
ejde-686	858	23	-	-	PUNCT
ejde-686	858	24	order	order	NOUN
ejde-686	858	25	identities	identity	NOUN
ejde-686	858	26	,	,	PUNCT
ejde-686	858	27	discrete	discrete	ADJ
ejde-686	858	28	contin	contin	NOUN
ejde-686	858	29	.	.	PUNCT
ejde-686	859	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-686	859	2	.	.	PUNCT
ejde-686	860	1	syst	syst	PROPN
ejde-686	860	2	.	.	PUNCT
ejde-686	861	1	38	38	NUM
ejde-686	861	2	(	(	PUNCT
ejde-686	861	3	2018	2018	NUM
ejde-686	861	4	)	)	PUNCT
ejde-686	861	5	,	,	PUNCT
ejde-686	861	6	1849–1887	1849–1887	NUM
ejde-686	861	7	.	.	PUNCT
ejde-686	862	1	[	[	X
ejde-686	862	2	41	41	NUM
ejde-686	862	3	]	]	PUNCT
ejde-686	862	4	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	862	5	.	.	PUNCT
ejde-686	863	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	863	2	,	,	PUNCT
ejde-686	863	3	y.	y.	PROPN
ejde-686	863	4	y.	y.	PROPN
ejde-686	863	5	xie	xie	PROPN
ejde-686	863	6	;	;	PUNCT
ejde-686	863	7	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	863	8	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	863	9	of	of	ADP
ejde-686	863	10	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	863	11	related	relate	VERB
ejde-686	863	12	to	to	ADP
ejde-686	863	13	one	one	NUM
ejde-686	863	14	-	-	PUNCT
ejde-686	863	15	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-686	863	16	graphdirected	graphdirecte	VERB
ejde-686	863	17	self	self	NOUN
ejde-686	863	18	-	-	PUNCT
ejde-686	863	19	similar	similar	ADJ
ejde-686	863	20	measures	measure	NOUN
ejde-686	863	21	with	with	ADP
ejde-686	863	22	overlaps	overlap	NOUN
ejde-686	863	23	,	,	PUNCT
ejde-686	863	24	ark	ark	PROPN
ejde-686	863	25	.	.	PROPN
ejde-686	863	26	mat	mat	PROPN
ejde-686	863	27	.	.	PROPN
ejde-686	863	28	,	,	PUNCT
ejde-686	863	29	58	58	NUM
ejde-686	863	30	(	(	PUNCT
ejde-686	863	31	2020	2020	NUM
ejde-686	863	32	)	)	PUNCT
ejde-686	863	33	,	,	PUNCT
ejde-686	863	34	393–435	393–435	NUM
ejde-686	863	35	.	.	PUNCT
ejde-686	864	1	[	[	X
ejde-686	864	2	42	42	NUM
ejde-686	864	3	]	]	PUNCT
ejde-686	864	4	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	864	5	.	.	PUNCT
ejde-686	865	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	865	2	,	,	PUNCT
ejde-686	865	3	y.	y.	PROPN
ejde-686	865	4	y.	y.	PROPN
ejde-686	865	5	xie	xie	PROPN
ejde-686	865	6	;	;	PUNCT
ejde-686	865	7	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	865	8	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	865	9	of	of	ADP
ejde-686	865	10	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	865	11	associated	associate	VERB
ejde-686	865	12	with	with	ADP
ejde-686	865	13	a	a	DET
ejde-686	865	14	class	class	NOUN
ejde-686	865	15	of	of	ADP
ejde-686	865	16	higherdimensional	higherdimensional	ADJ
ejde-686	865	17	graph	graph	NOUN
ejde-686	865	18	-	-	PUNCT
ejde-686	865	19	directed	direct	VERB
ejde-686	865	20	self	self	NOUN
ejde-686	865	21	-	-	PUNCT
ejde-686	865	22	similar	similar	ADJ
ejde-686	865	23	measures	measure	NOUN
ejde-686	865	24	,	,	PUNCT
ejde-686	865	25	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-686	865	26	34	34	NUM
ejde-686	865	27	(	(	PUNCT
ejde-686	865	28	2021	2021	NUM
ejde-686	865	29	)	)	PUNCT
ejde-686	865	30	,	,	PUNCT
ejde-686	865	31	5375–5398	5375–5398	NUM
ejde-686	865	32	.	.	PUNCT
ejde-686	866	1	[	[	X
ejde-686	866	2	43	43	NUM
ejde-686	866	3	]	]	X
ejde-686	866	4	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	866	5	.	.	PUNCT
ejde-686	867	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	867	2	,	,	PUNCT
ejde-686	867	3	w.-q	w.-q	PROPN
ejde-686	867	4	.	.	PUNCT
ejde-686	868	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-686	868	2	;	;	PUNCT
ejde-686	868	3	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	868	4	sets	set	NOUN
ejde-686	868	5	and	and	CCONJ
ejde-686	868	6	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	868	7	of	of	ADP
ejde-686	868	8	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	868	9	of	of	ADP
ejde-686	868	10	krĕın	krĕın	NOUN
ejde-686	868	11	-	-	PUNCT
ejde-686	868	12	feller	feller	NOUN
ejde-686	868	13	operators	operator	NOUN
ejde-686	868	14	on	on	ADP
ejde-686	868	15	riemannian	riemannian	ADJ
ejde-686	868	16	manifold	manifold	NOUN
ejde-686	868	17	,	,	PUNCT
ejde-686	868	18	arxiv	arxiv	PROPN
ejde-686	868	19	:	:	PUNCT
ejde-686	868	20	2412.10007	2412.10007	NUM
ejde-686	868	21	(	(	PUNCT
ejde-686	868	22	2024	2024	NUM
ejde-686	868	23	)	)	PUNCT
ejde-686	868	24	.	.	PUNCT
ejde-686	869	1	[	[	X
ejde-686	869	2	44	44	NUM
ejde-686	869	3	]	]	PUNCT
ejde-686	869	4	l.	l.	PROPN
ejde-686	869	5	e.	e.	PROPN
ejde-686	869	6	payne	payne	PROPN
ejde-686	869	7	;	;	PUNCT
ejde-686	869	8	isoperimetric	isoperimetric	ADJ
ejde-686	869	9	inequalities	inequality	NOUN
ejde-686	869	10	and	and	CCONJ
ejde-686	869	11	their	their	PRON
ejde-686	869	12	applications	application	NOUN
ejde-686	869	13	,	,	PUNCT
ejde-686	869	14	siam	siam	PROPN
ejde-686	869	15	rev	rev	X
ejde-686	869	16	.	.	PROPN
ejde-686	869	17	9	9	NUM
ejde-686	869	18	(	(	PUNCT
ejde-686	869	19	1967	1967	NUM
ejde-686	869	20	)	)	PUNCT
ejde-686	869	21	,	,	PUNCT
ejde-686	869	22	453–488	453–488	NUM
ejde-686	869	23	.	.	PUNCT
ejde-686	870	1	[	[	X
ejde-686	870	2	45	45	NUM
ejde-686	870	3	]	]	PUNCT
ejde-686	870	4	l.	l.	PROPN
ejde-686	870	5	e.	e.	PROPN
ejde-686	870	6	payne	payne	PROPN
ejde-686	870	7	;	;	PUNCT
ejde-686	870	8	on	on	ADP
ejde-686	870	9	two	two	NUM
ejde-686	870	10	conjectures	conjecture	NOUN
ejde-686	870	11	in	in	ADP
ejde-686	870	12	the	the	DET
ejde-686	870	13	fixed	fix	VERB
ejde-686	870	14	membrane	membrane	NOUN
ejde-686	870	15	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-686	870	16	problem	problem	NOUN
ejde-686	870	17	,	,	PUNCT
ejde-686	870	18	z.	z.	PROPN
ejde-686	870	19	angew	angew	PROPN
ejde-686	870	20	.	.	PUNCT
ejde-686	871	1	math	math	NOUN
ejde-686	871	2	.	.	PUNCT
ejde-686	872	1	phys	phy	NOUN
ejde-686	872	2	.	.	PUNCT
ejde-686	872	3	,	,	PUNCT
ejde-686	872	4	24	24	NUM
ejde-686	872	5	(	(	PUNCT
ejde-686	872	6	1973	1973	NUM
ejde-686	872	7	)	)	PUNCT
ejde-686	872	8	,	,	PUNCT
ejde-686	872	9	721–729	721–729	NUM
ejde-686	872	10	.	.	PUNCT
ejde-686	873	1	[	[	X
ejde-686	873	2	46	46	NUM
ejde-686	873	3	]	]	PUNCT
ejde-686	873	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	873	5	p.	p.	PROPN
ejde-686	873	6	pinasco	pinasco	PROPN
ejde-686	873	7	,	,	PUNCT
ejde-686	873	8	c.	c.	PROPN
ejde-686	873	9	scarola	scarola	PROPN
ejde-686	873	10	,	,	PUNCT
ejde-686	873	11	eigenvalue	eigenvalue	NOUN
ejde-686	873	12	bounds	bound	NOUN
ejde-686	873	13	and	and	CCONJ
ejde-686	873	14	spectral	spectral	ADJ
ejde-686	873	15	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-686	873	16	for	for	ADP
ejde-686	873	17	fractal	fractal	ADJ
ejde-686	873	18	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	873	19	;	;	PUNCT
ejde-686	873	20	j.	j.	PROPN
ejde-686	873	21	fractal	fractal	PROPN
ejde-686	873	22	geom	geom	PROPN
ejde-686	873	23	.	.	PROPN
ejde-686	873	24	6	6	NUM
ejde-686	873	25	(	(	PUNCT
ejde-686	873	26	2019	2019	NUM
ejde-686	873	27	)	)	PUNCT
ejde-686	873	28	,	,	PUNCT
ejde-686	873	29	109–126	109–126	NUM
ejde-686	873	30	.	.	PUNCT
ejde-686	874	1	[	[	X
ejde-686	874	2	47	47	NUM
ejde-686	874	3	]	]	PUNCT
ejde-686	874	4	j.	j.	PROPN
ejde-686	874	5	p.	p.	PROPN
ejde-686	874	6	pinasco	pinasco	PROPN
ejde-686	874	7	,	,	PUNCT
ejde-686	874	8	c.	c.	PROPN
ejde-686	874	9	scarola	scarola	PROPN
ejde-686	874	10	;	;	PUNCT
ejde-686	874	11	a	a	DET
ejde-686	874	12	nodal	nodal	ADJ
ejde-686	874	13	inverse	inverse	NOUN
ejde-686	874	14	problem	problem	NOUN
ejde-686	874	15	for	for	ADP
ejde-686	874	16	measure	measure	NOUN
ejde-686	874	17	geometric	geometric	ADJ
ejde-686	874	18	laplacians	laplacian	NOUN
ejde-686	874	19	,	,	PUNCT
ejde-686	874	20	commun	commun	PROPN
ejde-686	874	21	.	.	PUNCT
ejde-686	875	1	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-686	875	2	sci	sci	PROPN
ejde-686	875	3	.	.	PUNCT
ejde-686	875	4	numer	numer	PROPN
ejde-686	875	5	.	.	PUNCT
ejde-686	876	1	simul	simul	PROPN
ejde-686	876	2	.	.	PROPN
ejde-686	876	3	,	,	PUNCT
ejde-686	876	4	94	94	NUM
ejde-686	876	5	(	(	PUNCT
ejde-686	876	6	2021	2021	NUM
ejde-686	876	7	)	)	PUNCT
ejde-686	876	8	,	,	PUNCT
ejde-686	876	9	105542	105542	NUM
ejde-686	876	10	.	.	PUNCT
ejde-686	877	1	[	[	X
ejde-686	877	2	48	48	NUM
ejde-686	877	3	]	]	X
ejde-686	877	4	å.	å.	PROPN
ejde-686	877	5	pleijel	pleijel	NOUN
ejde-686	877	6	;	;	PUNCT
ejde-686	877	7	remarks	remark	NOUN
ejde-686	877	8	on	on	ADP
ejde-686	877	9	courant	courant	PROPN
ejde-686	877	10	’s	’s	PART
ejde-686	877	11	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	877	12	line	line	NOUN
ejde-686	877	13	theorem	theorem	VERB
ejde-686	877	14	,	,	PUNCT
ejde-686	877	15	comm	comm	NOUN
ejde-686	877	16	.	.	PUNCT
ejde-686	878	1	pure	pure	ADJ
ejde-686	878	2	appl	appl	PROPN
ejde-686	878	3	.	.	PUNCT
ejde-686	878	4	math	math	NOUN
ejde-686	878	5	.	.	PUNCT
ejde-686	879	1	9	9	NUM
ejde-686	879	2	(	(	PUNCT
ejde-686	879	3	1956	1956	NUM
ejde-686	879	4	)	)	PUNCT
ejde-686	879	5	,	,	PUNCT
ejde-686	879	6	543–550	543–550	NUM
ejde-686	879	7	.	.	PUNCT
ejde-686	880	1	[	[	X
ejde-686	880	2	49	49	NUM
ejde-686	880	3	]	]	PUNCT
ejde-686	880	4	a.	a.	NOUN
ejde-686	880	5	sasane	sasane	PROPN
ejde-686	880	6	;	;	PUNCT
ejde-686	880	7	a	a	DET
ejde-686	880	8	friendly	friendly	ADJ
ejde-686	880	9	approach	approach	NOUN
ejde-686	880	10	to	to	ADP
ejde-686	880	11	functional	functional	ADJ
ejde-686	880	12	analysis	analysis	NOUN
ejde-686	880	13	,	,	PUNCT
ejde-686	880	14	essent	essent	NOUN
ejde-686	880	15	.	.	PUNCT
ejde-686	881	1	textb	textb	PROPN
ejde-686	881	2	.	.	PUNCT
ejde-686	882	1	math	math	PROPN
ejde-686	882	2	.	.	PUNCT
ejde-686	883	1	,	,	PUNCT
ejde-686	883	2	world	world	NOUN
ejde-686	883	3	scientific	scientific	PROPN
ejde-686	883	4	publishing	publishing	PROPN
ejde-686	883	5	co.	co.	PROPN
ejde-686	883	6	pte	pte	PROPN
ejde-686	883	7	.	.	PROPN
ejde-686	883	8	ltd	ltd	PROPN
ejde-686	883	9	.	.	PROPN
ejde-686	883	10	,	,	PUNCT
ejde-686	883	11	hackensack	hackensack	PROPN
ejde-686	883	12	,	,	PUNCT
ejde-686	883	13	nj	nj	PROPN
ejde-686	883	14	,	,	PUNCT
ejde-686	883	15	2017	2017	NUM
ejde-686	883	16	.	.	PUNCT
ejde-686	884	1	[	[	X
ejde-686	884	2	50	50	NUM
ejde-686	884	3	]	]	PUNCT
ejde-686	884	4	w.	w.	PROPN
ejde-686	884	5	a.	a.	PROPN
ejde-686	884	6	strauss	strauss	PROPN
ejde-686	884	7	;	;	PUNCT
ejde-686	884	8	partial	partial	ADJ
ejde-686	884	9	differential	differential	NOUN
ejde-686	884	10	equations	equation	NOUN
ejde-686	884	11	,	,	PUNCT
ejde-686	884	12	john	john	PROPN
ejde-686	884	13	wiley	wiley	PROPN
ejde-686	884	14	and	and	CCONJ
ejde-686	884	15	sons	son	NOUN
ejde-686	884	16	,	,	PUNCT
ejde-686	884	17	ltd	ltd	PROPN
ejde-686	884	18	.	.	PROPN
ejde-686	884	19	,	,	PUNCT
ejde-686	884	20	chichester	chichester	PROPN
ejde-686	884	21	,	,	PUNCT
ejde-686	884	22	2008	2008	NUM
ejde-686	884	23	.	.	PUNCT
ejde-686	885	1	[	[	X
ejde-686	885	2	51	51	NUM
ejde-686	885	3	]	]	PUNCT
ejde-686	885	4	r.	r.	PROPN
ejde-686	885	5	s.	s.	PROPN
ejde-686	885	6	strichartz	strichartz	PROPN
ejde-686	885	7	;	;	PUNCT
ejde-686	885	8	self	self	NOUN
ejde-686	885	9	-	-	PUNCT
ejde-686	885	10	similar	similar	ADJ
ejde-686	885	11	measures	measure	NOUN
ejde-686	885	12	and	and	CCONJ
ejde-686	885	13	their	their	PRON
ejde-686	885	14	fourier	fourier	NOUN
ejde-686	885	15	transforms	transform	VERB
ejde-686	885	16	iii	iii	NUM
ejde-686	885	17	;	;	PUNCT
ejde-686	885	18	indiana	indiana	PROPN
ejde-686	885	19	univ	univ	PROPN
ejde-686	885	20	.	.	PUNCT
ejde-686	885	21	math	math	PROPN
ejde-686	885	22	.	.	PUNCT
ejde-686	886	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	886	2	,	,	PUNCT
ejde-686	886	3	42	42	NUM
ejde-686	886	4	(	(	PUNCT
ejde-686	886	5	1993	1993	NUM
ejde-686	886	6	)	)	PUNCT
ejde-686	886	7	,	,	PUNCT
ejde-686	886	8	367–411	367–411	NUM
ejde-686	886	9	.	.	PUNCT
ejde-686	887	1	[	[	X
ejde-686	887	2	52	52	NUM
ejde-686	887	3	]	]	PUNCT
ejde-686	887	4	w.	w.	PROPN
ejde-686	887	5	tang	tang	PROPN
ejde-686	887	6	,	,	PUNCT
ejde-686	887	7	s.-m	s.-m	PROPN
ejde-686	887	8	.	.	PUNCT
ejde-686	888	1	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	888	2	;	;	PUNCT
ejde-686	888	3	heat	heat	NOUN
ejde-686	888	4	equations	equation	NOUN
ejde-686	888	5	defined	define	VERB
ejde-686	888	6	by	by	ADP
ejde-686	888	7	a	a	DET
ejde-686	888	8	class	class	NOUN
ejde-686	888	9	of	of	ADP
ejde-686	888	10	self	self	NOUN
ejde-686	888	11	-	-	PUNCT
ejde-686	888	12	similar	similar	ADJ
ejde-686	888	13	measures	measure	NOUN
ejde-686	888	14	with	with	ADP
ejde-686	888	15	overlaps	overlap	NOUN
ejde-686	888	16	,	,	PUNCT
ejde-686	888	17	fractals	fractal	NOUN
ejde-686	888	18	,	,	PUNCT
ejde-686	888	19	30	30	NUM
ejde-686	888	20	(	(	PUNCT
ejde-686	888	21	2022	2022	NUM
ejde-686	888	22	)	)	PUNCT
ejde-686	888	23	,	,	PUNCT
ejde-686	888	24	2250073	2250073	NUM
ejde-686	888	25	.	.	PUNCT
ejde-686	889	1	[	[	X
ejde-686	889	2	53	53	NUM
ejde-686	889	3	]	]	PUNCT
ejde-686	889	4	h.	h.	PROPN
ejde-686	889	5	weyl	weyl	PROPN
ejde-686	889	6	;	;	PUNCT
ejde-686	889	7	the	the	DET
ejde-686	889	8	method	method	NOUN
ejde-686	889	9	of	of	ADP
ejde-686	889	10	orthogonal	orthogonal	ADJ
ejde-686	889	11	projection	projection	NOUN
ejde-686	889	12	in	in	ADP
ejde-686	889	13	potential	potential	ADJ
ejde-686	889	14	theory	theory	NOUN
ejde-686	889	15	,	,	PUNCT
ejde-686	889	16	duke	duke	PROPN
ejde-686	889	17	math	math	PROPN
ejde-686	889	18	.	.	PUNCT
ejde-686	890	1	j.	j.	PROPN
ejde-686	890	2	7	7	NUM
ejde-686	890	3	(	(	PUNCT
ejde-686	890	4	1940	1940	NUM
ejde-686	890	5	)	)	PUNCT
ejde-686	890	6	,	,	PUNCT
ejde-686	890	7	411–444	411–444	NUM
ejde-686	890	8	.	.	PUNCT
ejde-686	891	1	sze	sze	PROPN
ejde-686	891	2	-	-	PUNCT
ejde-686	891	3	man	man	NOUN
ejde-686	891	4	ngai	ngai	PROPN
ejde-686	891	5	key	key	PROPN
ejde-686	891	6	laboratory	laboratory	NOUN
ejde-686	891	7	of	of	ADP
ejde-686	891	8	high	high	ADJ
ejde-686	891	9	performance	performance	NOUN
ejde-686	891	10	computing	computing	NOUN
ejde-686	891	11	and	and	CCONJ
ejde-686	891	12	stochastic	stochastic	ADJ
ejde-686	891	13	information	information	NOUN
ejde-686	891	14	processing	processing	NOUN
ejde-686	891	15	(	(	PUNCT
ejde-686	891	16	hpcsip	hpcsip	PROPN
ejde-686	891	17	)	)	PUNCT
ejde-686	891	18	(	(	PUNCT
ejde-686	891	19	ministry	ministry	NOUN
ejde-686	891	20	of	of	ADP
ejde-686	891	21	education	education	PROPN
ejde-686	891	22	of	of	ADP
ejde-686	891	23	china	china	PROPN
ejde-686	891	24	)	)	PUNCT
ejde-686	891	25	,	,	PUNCT
ejde-686	891	26	college	college	NOUN
ejde-686	891	27	of	of	ADP
ejde-686	891	28	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-686	891	29	and	and	CCONJ
ejde-686	891	30	statistics	statistic	NOUN
ejde-686	891	31	,	,	PUNCT
ejde-686	891	32	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	891	33	normal	normal	PROPN
ejde-686	891	34	university	university	PROPN
ejde-686	891	35	,	,	PUNCT
ejde-686	891	36	changsha	changsha	PROPN
ejde-686	891	37	,	,	PUNCT
ejde-686	891	38	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	891	39	410081	410081	NUM
ejde-686	891	40	,	,	PUNCT
ejde-686	891	41	china	china	PROPN
ejde-686	891	42	.	.	PUNCT
ejde-686	892	1	department	department	PROPN
ejde-686	892	2	of	of	ADP
ejde-686	892	3	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-686	892	4	sciences	sciences	PROPN
ejde-686	892	5	,	,	PUNCT
ejde-686	892	6	georgia	georgia	PROPN
ejde-686	892	7	southern	southern	PROPN
ejde-686	892	8	university	university	PROPN
ejde-686	892	9	,	,	PUNCT
ejde-686	892	10	statesboro	statesboro	PROPN
ejde-686	892	11	,	,	PUNCT
ejde-686	892	12	ga	ga	PROPN
ejde-686	892	13	30460	30460	NUM
ejde-686	892	14	-	-	SYM
ejde-686	892	15	8093	8093	NUM
ejde-686	892	16	,	,	PUNCT
ejde-686	892	17	usa	usa	PROPN
ejde-686	892	18	.	.	PROPN
ejde-686	892	19	beijing	beijing	PROPN
ejde-686	892	20	institute	institute	PROPN
ejde-686	892	21	of	of	ADP
ejde-686	892	22	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-686	892	23	sciences	sciences	PROPN
ejde-686	892	24	and	and	CCONJ
ejde-686	892	25	applications	application	NOUN
ejde-686	892	26	,	,	PUNCT
ejde-686	892	27	huairou	huairou	ADJ
ejde-686	892	28	district	district	NOUN
ejde-686	892	29	,	,	PUNCT
ejde-686	892	30	101400	101400	NUM
ejde-686	892	31	,	,	PUNCT
ejde-686	892	32	beijing	beijing	PROPN
ejde-686	892	33	,	,	PUNCT
ejde-686	892	34	china	china	PROPN
ejde-686	892	35	email	email	NOUN
ejde-686	892	36	address	address	NOUN
ejde-686	892	37	:	:	PUNCT
ejde-686	892	38	ngai@bimsa.cn	ngai@bimsa.cn	PROPN
ejde-686	892	39	meng	meng	PROPN
ejde-686	892	40	-	-	PUNCT
ejde-686	892	41	ke	ke	PROPN
ejde-686	892	42	zhang	zhang	PROPN
ejde-686	892	43	key	key	PROPN
ejde-686	892	44	laboratory	laboratory	NOUN
ejde-686	892	45	of	of	ADP
ejde-686	892	46	high	high	ADJ
ejde-686	892	47	performance	performance	NOUN
ejde-686	892	48	computing	computing	NOUN
ejde-686	892	49	and	and	CCONJ
ejde-686	892	50	stochastic	stochastic	ADJ
ejde-686	892	51	information	information	NOUN
ejde-686	892	52	processing	processing	NOUN
ejde-686	892	53	(	(	PUNCT
ejde-686	892	54	hpcsip	hpcsip	PROPN
ejde-686	892	55	)	)	PUNCT
ejde-686	892	56	(	(	PUNCT
ejde-686	892	57	ministry	ministry	NOUN
ejde-686	892	58	of	of	ADP
ejde-686	892	59	education	education	PROPN
ejde-686	892	60	of	of	ADP
ejde-686	892	61	china	china	PROPN
ejde-686	892	62	)	)	PUNCT
ejde-686	892	63	,	,	PUNCT
ejde-686	892	64	college	college	NOUN
ejde-686	892	65	of	of	ADP
ejde-686	892	66	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-686	892	67	and	and	CCONJ
ejde-686	892	68	statistics	statistic	NOUN
ejde-686	892	69	,	,	PUNCT
ejde-686	892	70	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	892	71	normal	normal	PROPN
ejde-686	892	72	university	university	PROPN
ejde-686	892	73	,	,	PUNCT
ejde-686	892	74	changsha	changsha	PROPN
ejde-686	892	75	,	,	PUNCT
ejde-686	892	76	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	892	77	410081	410081	NUM
ejde-686	892	78	,	,	PUNCT
ejde-686	892	79	china	china	PROPN
ejde-686	892	80	email	email	NOUN
ejde-686	892	81	address	address	NOUN
ejde-686	892	82	:	:	PUNCT
ejde-686	892	83	2750600901@qq.com	2750600901@qq.com	NUM
ejde-686	892	84	ejde-2025/12	ejde-2025/12	PART
ejde-686	892	85	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	892	86	sets	set	NOUN
ejde-686	892	87	and	and	CCONJ
ejde-686	892	88	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	892	89	of	of	ADP
ejde-686	892	90	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	892	91	25	25	NUM
ejde-686	892	92	wen	wen	PROPN
ejde-686	892	93	-	-	PROPN
ejde-686	892	94	quan	quan	PROPN
ejde-686	892	95	zhao	zhao	PROPN
ejde-686	892	96	(	(	PUNCT
ejde-686	892	97	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-686	892	98	author	author	NOUN
ejde-686	892	99	)	)	PUNCT
ejde-686	892	100	key	key	ADJ
ejde-686	892	101	laboratory	laboratory	NOUN
ejde-686	892	102	of	of	ADP
ejde-686	892	103	high	high	ADJ
ejde-686	892	104	performance	performance	NOUN
ejde-686	892	105	computing	computing	NOUN
ejde-686	892	106	and	and	CCONJ
ejde-686	892	107	stochastic	stochastic	ADJ
ejde-686	892	108	information	information	NOUN
ejde-686	892	109	processing	processing	NOUN
ejde-686	892	110	(	(	PUNCT
ejde-686	892	111	hpcsip	hpcsip	PROPN
ejde-686	892	112	)	)	PUNCT
ejde-686	892	113	(	(	PUNCT
ejde-686	892	114	ministry	ministry	NOUN
ejde-686	892	115	of	of	ADP
ejde-686	892	116	education	education	PROPN
ejde-686	892	117	of	of	ADP
ejde-686	892	118	china	china	PROPN
ejde-686	892	119	)	)	PUNCT
ejde-686	892	120	,	,	PUNCT
ejde-686	892	121	college	college	NOUN
ejde-686	892	122	of	of	ADP
ejde-686	892	123	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-686	892	124	and	and	CCONJ
ejde-686	892	125	statistics	statistic	NOUN
ejde-686	892	126	,	,	PUNCT
ejde-686	892	127	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	892	128	normal	normal	PROPN
ejde-686	892	129	university	university	PROPN
ejde-686	892	130	,	,	PUNCT
ejde-686	892	131	changsha	changsha	PROPN
ejde-686	892	132	,	,	PUNCT
ejde-686	892	133	hunan	hunan	PROPN
ejde-686	892	134	410081	410081	NUM
ejde-686	892	135	,	,	PUNCT
ejde-686	892	136	china	china	PROPN
ejde-686	892	137	email	email	NOUN
ejde-686	892	138	address	address	NOUN
ejde-686	892	139	:	:	PUNCT
ejde-686	892	140	zhaowq1008@hunnu.edu.cn	zhaowq1008@hunnu.edu.cn	PROPN
ejde-686	892	141	1	1	NUM
ejde-686	892	142	.	.	PUNCT
ejde-686	892	143	introduction	introduction	NOUN
ejde-686	892	144	2	2	NUM
ejde-686	892	145	.	.	PUNCT
ejde-686	892	146	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-686	892	147	3	3	NUM
ejde-686	892	148	.	.	PUNCT
ejde-686	892	149	maximum	maximum	ADJ
ejde-686	892	150	principle	principle	NOUN
ejde-686	892	151	4	4	X
ejde-686	892	152	.	.	PUNCT
ejde-686	892	153	courant	courant	ADJ
ejde-686	892	154	nodal	nodal	NOUN
ejde-686	892	155	domain	domain	NOUN
ejde-686	892	156	theorem	theorem	VERB
ejde-686	892	157	5	5	NUM
ejde-686	892	158	.	.	PUNCT
ejde-686	892	159	continuity	continuity	NOUN
ejde-686	892	160	of	of	ADP
ejde-686	892	161	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	892	162	6	6	NUM
ejde-686	892	163	.	.	PUNCT
ejde-686	892	164	examples	example	NOUN
ejde-686	892	165	of	of	ADP
ejde-686	892	166	continuous	continuous	ADJ
ejde-686	892	167	eigenfunctions	eigenfunction	NOUN
ejde-686	892	168	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-686	892	169	references	reference	NOUN