id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-811	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-811	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-811	1	3	of	of	ADP
ejde-811	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-811	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-811	1	6	,	,	PUNCT
ejde-811	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-811	1	8	.	.	PUNCT
ejde-811	1	9	2025	2025	NUM
ejde-811	1	10	(	(	PUNCT
ejde-811	1	11	2025	2025	NUM
ejde-811	1	12	)	)	PUNCT
ejde-811	1	13	,	,	PUNCT
ejde-811	1	14	no	no	INTJ
ejde-811	1	15	.	.	NOUN
ejde-811	1	16	28	28	NUM
ejde-811	1	17	,	,	PUNCT
ejde-811	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-811	1	19	.	.	PUNCT
ejde-811	2	1	1–18	1–18	PROPN
ejde-811	2	2	.	.	PUNCT
ejde-811	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-811	3	2	:	:	PUNCT
ejde-811	3	3	1072	1072	NUM
ejde-811	3	4	-	-	SYM
ejde-811	3	5	6691	6691	NUM
ejde-811	3	6	.	.	PUNCT
ejde-811	4	1	url	url	PROPN
ejde-811	4	2	:	:	PUNCT
ejde-811	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-811	4	4	,	,	PUNCT
ejde-811	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-811	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-811	4	7	:	:	PUNCT
ejde-811	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-811	4	9	/	/	SYM
ejde-811	4	10	ejde.2025.28	ejde.2025.28	NOUN
ejde-811	4	11	discrete	discrete	NOUN
ejde-811	4	12	stein	stein	PROPN
ejde-811	4	13	-	-	PUNCT
ejde-811	4	14	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	4	15	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	4	16	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	4	17	li	li	PROPN
ejde-811	4	18	,	,	PUNCT
ejde-811	4	19	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	4	20	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	4	21	abstract	abstract	PROPN
ejde-811	4	22	.	.	PUNCT
ejde-811	5	1	this	this	DET
ejde-811	5	2	article	article	NOUN
ejde-811	5	3	concerns	concern	VERB
ejde-811	5	4	the	the	DET
ejde-811	5	5	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	5	6	stein	stein	PROPN
ejde-811	5	7	-	-	PUNCT
ejde-811	5	8	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	5	9	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	5	10	with	with	ADP
ejde-811	5	11	finite	finite	ADJ
ejde-811	5	12	terms	term	NOUN
ejde-811	5	13	and	and	CCONJ
ejde-811	5	14	with	with	ADP
ejde-811	5	15	infinite	infinite	ADJ
ejde-811	5	16	terms	term	NOUN
ejde-811	5	17	.	.	PUNCT
ejde-811	6	1	such	such	ADJ
ejde-811	6	2	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	6	3	can	can	AUX
ejde-811	6	4	be	be	AUX
ejde-811	6	5	used	use	VERB
ejde-811	6	6	to	to	PART
ejde-811	6	7	study	study	VERB
ejde-811	6	8	the	the	DET
ejde-811	6	9	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	6	10	coulomb	coulomb	NOUN
ejde-811	6	11	energy	energy	NOUN
ejde-811	6	12	,	,	PUNCT
ejde-811	6	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-811	6	14	problems	problem	NOUN
ejde-811	6	15	appearing	appear	VERB
ejde-811	6	16	the	the	DET
ejde-811	6	17	crystal	crystal	PROPN
ejde-811	6	18	lattice	lattice	PROPN
ejde-811	6	19	theory	theory	NOUN
ejde-811	6	20	and	and	CCONJ
ejde-811	6	21	graphs	graph	NOUN
ejde-811	6	22	in	in	ADP
ejde-811	6	23	neural	neural	ADJ
ejde-811	6	24	networks	network	NOUN
ejde-811	6	25	.	.	PUNCT
ejde-811	7	1	we	we	PRON
ejde-811	7	2	give	give	VERB
ejde-811	7	3	the	the	DET
ejde-811	7	4	limit	limit	NOUN
ejde-811	7	5	relations	relation	NOUN
ejde-811	7	6	between	between	ADP
ejde-811	7	7	their	their	PRON
ejde-811	7	8	best	good	ADJ
ejde-811	7	9	constants	constant	NOUN
ejde-811	7	10	and	and	CCONJ
ejde-811	7	11	between	between	ADP
ejde-811	7	12	their	their	PRON
ejde-811	7	13	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	7	14	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	7	15	.	.	PUNCT
ejde-811	8	1	in	in	ADP
ejde-811	8	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	8	3	,	,	PUNCT
ejde-811	8	4	we	we	PRON
ejde-811	8	5	obtained	obtain	VERB
ejde-811	8	6	analogous	analogous	ADJ
ejde-811	8	7	conclusions	conclusion	NOUN
ejde-811	8	8	for	for	ADP
ejde-811	8	9	the	the	DET
ejde-811	8	10	reversed	reverse	VERB
ejde-811	8	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	8	12	stein	stein	PROPN
ejde-811	8	13	-	-	PUNCT
ejde-811	8	14	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	8	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	8	16	.	.	PUNCT
ejde-811	9	1	1	1	X
ejde-811	9	2	.	.	X
ejde-811	9	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-811	9	4	the	the	DET
ejde-811	9	5	well	well	ADV
ejde-811	9	6	-	-	PUNCT
ejde-811	9	7	known	know	VERB
ejde-811	9	8	double	double	ADJ
ejde-811	9	9	weighted	weight	VERB
ejde-811	9	10	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	9	11	-	-	PUNCT
ejde-811	9	12	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	9	13	-	-	PUNCT
ejde-811	9	14	pólya	pólya	ADJ
ejde-811	9	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	9	16	states	state	VERB
ejde-811	9	17	that	that	SCONJ
ejde-811	9	18	[	[	X
ejde-811	9	19	7	7	NUM
ejde-811	9	20	,	,	PUNCT
ejde-811	9	21	theorem	theorem	VERB
ejde-811	9	22	401]∣∣∣	401]∣∣∣	NUM
ejde-811	9	23	∫	∫	PROPN
ejde-811	9	24	∞	∞	PROPN
ejde-811	9	25	0	0	NUM
ejde-811	10	1	∫	∫	PROPN
ejde-811	10	2	∞	∞	PROPN
ejde-811	10	3	0	0	NUM
ejde-811	10	4	f(x)g(y	f(x)g(y	NOUN
ejde-811	10	5	)	)	PUNCT
ejde-811	10	6	,	,	PUNCT
ejde-811	10	7	dx	dx	PROPN
ejde-811	10	8	,	,	PUNCT
ejde-811	10	9	dy	dy	NOUN
ejde-811	10	10	xα|x−	xα|x−	PUNCT
ejde-811	10	11	y|λyβ	y|λyβ	PROPN
ejde-811	10	12	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-811	10	13	≤	≤	NUM
ejde-811	10	14	k0∥f∥lr(0,∞)∥g∥ls(0,∞	k0∥f∥lr(0,∞)∥g∥ls(0,∞	NOUN
ejde-811	10	15	)	)	PUNCT
ejde-811	10	16	,	,	PUNCT
ejde-811	10	17	(	(	PUNCT
ejde-811	10	18	1.1	1.1	NUM
ejde-811	10	19	)	)	PUNCT
ejde-811	10	20	for	for	ADP
ejde-811	10	21	all	all	DET
ejde-811	10	22	(	(	PUNCT
ejde-811	10	23	f	f	X
ejde-811	10	24	,	,	PUNCT
ejde-811	10	25	g	g	NOUN
ejde-811	10	26	)	)	PUNCT
ejde-811	10	27	∈	∈	PROPN
ejde-811	10	28	lr(0,∞)×	lr(0,∞)×	NOUN
ejde-811	10	29	ls(0,∞	ls(0,∞	NOUN
ejde-811	10	30	)	)	PUNCT
ejde-811	10	31	,	,	PUNCT
ejde-811	10	32	where	where	SCONJ
ejde-811	10	33	k0	k0	PROPN
ejde-811	10	34	∈	∈	PROPN
ejde-811	10	35	(	(	PUNCT
ejde-811	10	36	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	10	37	)	)	PUNCT
ejde-811	10	38	is	be	AUX
ejde-811	10	39	a	a	DET
ejde-811	10	40	constant	constant	ADJ
ejde-811	10	41	,	,	PUNCT
ejde-811	10	42	and	and	CCONJ
ejde-811	10	43	1	1	NUM
ejde-811	10	44	<	<	X
ejde-811	10	45	r	r	NOUN
ejde-811	10	46	,	,	PUNCT
ejde-811	10	47	s	s	PART
ejde-811	10	48	<	<	X
ejde-811	10	49	∞	∞	PROPN
ejde-811	10	50	,	,	PUNCT
ejde-811	10	51	1	1	NUM
ejde-811	10	52	/	/	SYM
ejde-811	10	53	r	r	NOUN
ejde-811	10	54	+	+	NOUN
ejde-811	10	55	1	1	NUM
ejde-811	10	56	/	/	SYM
ejde-811	10	57	s	s	NOUN
ejde-811	10	58	≥	≥	NOUN
ejde-811	10	59	1	1	NUM
ejde-811	10	60	,	,	PUNCT
ejde-811	10	61	1	1	NUM
ejde-811	10	62	/	/	SYM
ejde-811	10	63	r	r	NOUN
ejde-811	10	64	+	+	NOUN
ejde-811	10	65	1	1	NUM
ejde-811	10	66	/	/	SYM
ejde-811	10	67	s+	s+	NUM
ejde-811	10	68	(	(	PUNCT
ejde-811	10	69	λ+	λ+	X
ejde-811	10	70	α+	α+	X
ejde-811	10	71	β	β	X
ejde-811	10	72	)	)	PUNCT
ejde-811	10	73	=	=	SYM
ejde-811	10	74	2	2	NUM
ejde-811	10	75	,	,	PUNCT
ejde-811	10	76	α	α	PRON
ejde-811	10	77	<	<	X
ejde-811	10	78	1−	1−	NUM
ejde-811	10	79	1	1	NUM
ejde-811	10	80	/	/	SYM
ejde-811	10	81	r	r	NOUN
ejde-811	10	82	,	,	PUNCT
ejde-811	10	83	β	β	X
ejde-811	10	84	<	<	X
ejde-811	10	85	1−	1−	NUM
ejde-811	10	86	1	1	NUM
ejde-811	10	87	/	/	SYM
ejde-811	10	88	s	s	PROPN
ejde-811	10	89	,	,	PUNCT
ejde-811	10	90	α+	α+	PUNCT
ejde-811	10	91	β	β	X
ejde-811	10	92	≥	≥	NOUN
ejde-811	10	93	0	0	NUM
ejde-811	10	94	,	,	PUNCT
ejde-811	10	95	α+	α+	X
ejde-811	10	96	β	β	X
ejde-811	10	97	>	>	X
ejde-811	10	98	0	0	PUNCT
ejde-811	11	1	if	if	SCONJ
ejde-811	11	2	1	1	NUM
ejde-811	11	3	r	r	NOUN
ejde-811	11	4	+	+	NOUN
ejde-811	11	5	1	1	NUM
ejde-811	11	6	s	s	NOUN
ejde-811	11	7	=	=	NOUN
ejde-811	11	8	1	1	NUM
ejde-811	11	9	.	.	NOUN
ejde-811	11	10	afterwards	afterwards	ADV
ejde-811	11	11	,	,	PUNCT
ejde-811	11	12	stein	stein	PROPN
ejde-811	11	13	and	and	CCONJ
ejde-811	11	14	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	11	15	obtained	obtain	VERB
ejde-811	11	16	the	the	DET
ejde-811	11	17	higher	high	ADJ
ejde-811	11	18	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-811	11	19	results	result	NOUN
ejde-811	11	20	[	[	X
ejde-811	11	21	15]∣∣∣	15]∣∣∣	NUM
ejde-811	11	22	∫	∫	PROPN
ejde-811	11	23	rn	rn	PROPN
ejde-811	11	24	∫	∫	PROPN
ejde-811	11	25	rn	rn	PROPN
ejde-811	11	26	f(x)g(y	f(x)g(y	PROPN
ejde-811	11	27	)	)	PUNCT
ejde-811	11	28	,	,	PUNCT
ejde-811	11	29	dx	dx	PROPN
ejde-811	11	30	,	,	PUNCT
ejde-811	11	31	dy	dy	NOUN
ejde-811	11	32	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	11	33	y|λ|y|β	y|λ|y|β	NOUN
ejde-811	11	34	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-811	11	35	≤	≤	NUM
ejde-811	11	36	k1∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	k1∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	NOUN
ejde-811	11	37	)	)	PUNCT
ejde-811	11	38	,	,	PUNCT
ejde-811	11	39	(	(	PUNCT
ejde-811	11	40	1.2	1.2	NUM
ejde-811	11	41	)	)	PUNCT
ejde-811	11	42	for	for	ADP
ejde-811	11	43	all	all	DET
ejde-811	11	44	(	(	PUNCT
ejde-811	11	45	f	f	X
ejde-811	11	46	,	,	PUNCT
ejde-811	11	47	g	g	NOUN
ejde-811	11	48	)	)	PUNCT
ejde-811	11	49	∈	∈	PROPN
ejde-811	11	50	lr(rn)×	lr(rn)×	PROPN
ejde-811	11	51	ls(rn	ls(rn	PROPN
ejde-811	11	52	)	)	PUNCT
ejde-811	11	53	,	,	PUNCT
ejde-811	11	54	where	where	SCONJ
ejde-811	11	55	k1	k1	PROPN
ejde-811	11	56	∈	∈	PROPN
ejde-811	11	57	(	(	PUNCT
ejde-811	11	58	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	11	59	)	)	PUNCT
ejde-811	11	60	is	be	AUX
ejde-811	11	61	the	the	DET
ejde-811	11	62	best	well	ADV
ejde-811	11	63	constant	constant	ADJ
ejde-811	11	64	,	,	PUNCT
ejde-811	11	65	and	and	CCONJ
ejde-811	11	66	1	1	NUM
ejde-811	11	67	<	<	X
ejde-811	11	68	r	r	NOUN
ejde-811	11	69	,	,	PUNCT
ejde-811	11	70	s	s	PART
ejde-811	11	71	<	<	X
ejde-811	11	72	∞	∞	PROPN
ejde-811	11	73	,	,	PUNCT
ejde-811	11	74	0	0	PUNCT
ejde-811	11	75	<	<	X
ejde-811	11	76	λ	λ	X
ejde-811	11	77	<	<	X
ejde-811	11	78	n	n	CCONJ
ejde-811	11	79	,	,	PUNCT
ejde-811	11	80	0	0	NUM
ejde-811	11	81	≤	≤	NOUN
ejde-811	11	82	α+	α+	PUNCT
ejde-811	11	83	β	β	X
ejde-811	11	84	<	<	X
ejde-811	11	85	n−	n−	PROPN
ejde-811	11	86	λ	λ	PROPN
ejde-811	11	87	,	,	PUNCT
ejde-811	11	88	1−	1−	NUM
ejde-811	11	89	1	1	NUM
ejde-811	11	90	/	/	SYM
ejde-811	11	91	r	r	NOUN
ejde-811	11	92	−	−	NOUN
ejde-811	11	93	λ	λ	NOUN
ejde-811	11	94	/	/	SYM
ejde-811	11	95	n	n	NOUN
ejde-811	11	96	<	<	X
ejde-811	11	97	α	α	X
ejde-811	11	98	/	/	SYM
ejde-811	11	99	n	n	PROPN
ejde-811	11	100	<	<	X
ejde-811	11	101	1−	1−	NUM
ejde-811	11	102	1	1	NUM
ejde-811	11	103	/	/	SYM
ejde-811	11	104	r	r	NOUN
ejde-811	11	105	,	,	PUNCT
ejde-811	11	106	1	1	NUM
ejde-811	11	107	r	r	NOUN
ejde-811	11	108	+	+	NOUN
ejde-811	11	109	1	1	NUM
ejde-811	11	110	s	s	NOUN
ejde-811	11	111	+	+	NOUN
ejde-811	11	112	λ+	λ+	NUM
ejde-811	11	113	α+	α+	X
ejde-811	11	114	β	β	PROPN
ejde-811	11	115	2	2	NUM
ejde-811	11	116	..	..	PUNCT
ejde-811	11	117	when	when	SCONJ
ejde-811	11	118	α	α	X
ejde-811	11	119	=	=	X
ejde-811	11	120	β	β	X
ejde-811	11	121	=	=	SYM
ejde-811	11	122	0	0	NUM
ejde-811	11	123	,	,	PUNCT
ejde-811	11	124	(	(	PUNCT
ejde-811	11	125	1.2	1.2	NUM
ejde-811	11	126	)	)	PUNCT
ejde-811	11	127	is	be	AUX
ejde-811	11	128	reduced	reduce	VERB
ejde-811	11	129	to	to	ADP
ejde-811	11	130	the	the	DET
ejde-811	11	131	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	11	132	-	-	PUNCT
ejde-811	11	133	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	11	134	-	-	PUNCT
ejde-811	11	135	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	11	136	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	11	137	(	(	PUNCT
ejde-811	11	138	se	se	X
ejde-811	12	1	[	[	X
ejde-811	12	2	14	14	NUM
ejde-811	12	3	,	,	PUNCT
ejde-811	12	4	theorem	theorem	VERB
ejde-811	12	5	1	1	NUM
ejde-811	12	6	in	in	ADP
ejde-811	12	7	chapter	chapter	NOUN
ejde-811	12	8	5])∣∣∣	5])∣∣∣	NUM
ejde-811	12	9	∫	∫	PROPN
ejde-811	12	10	rn	rn	PROPN
ejde-811	12	11	∫	∫	PROPN
ejde-811	12	12	rn	rn	PROPN
ejde-811	12	13	f(x)g(y	f(x)g(y	PROPN
ejde-811	12	14	)	)	PUNCT
ejde-811	12	15	,	,	PUNCT
ejde-811	12	16	dx	dx	PROPN
ejde-811	12	17	,	,	PUNCT
ejde-811	12	18	dy	dy	NOUN
ejde-811	12	19	|x−	|x−	PROPN
ejde-811	12	20	y|λ	y|λ	VERB
ejde-811	12	21	∣∣∣	∣∣∣	ADJ
ejde-811	12	22	≤	≤	NUM
ejde-811	12	23	k1∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	k1∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	X
ejde-811	12	24	)	)	PUNCT
ejde-811	12	25	,	,	PUNCT
ejde-811	12	26	∀(f	∀(f	PROPN
ejde-811	12	27	,	,	PUNCT
ejde-811	12	28	g	g	NOUN
ejde-811	12	29	)	)	PUNCT
ejde-811	12	30	∈	∈	PROPN
ejde-811	12	31	lr(rn)×	lr(rn)×	PROPN
ejde-811	12	32	ls(rn	ls(rn	PROPN
ejde-811	12	33	)	)	PUNCT
ejde-811	12	34	,	,	PUNCT
ejde-811	12	35	2020	2020	NUM
ejde-811	12	36	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-811	12	37	subject	subject	ADJ
ejde-811	12	38	classification	classification	NOUN
ejde-811	12	39	.	.	PUNCT
ejde-811	13	1	26d15	26d15	NUM
ejde-811	13	2	,	,	PUNCT
ejde-811	13	3	40b05	40b05	NUM
ejde-811	13	4	.	.	PUNCT
ejde-811	14	1	key	key	ADJ
ejde-811	14	2	words	word	NOUN
ejde-811	14	3	and	and	CCONJ
ejde-811	14	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-811	14	5	.	.	PUNCT
ejde-811	15	1	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	15	2	stein	stein	PROPN
ejde-811	15	3	-	-	PUNCT
ejde-811	15	4	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	15	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	15	6	;	;	PUNCT
ejde-811	15	7	best	well	ADV
ejde-811	15	8	constant	constant	ADJ
ejde-811	15	9	;	;	PUNCT
ejde-811	15	10	reversed	reverse	VERB
ejde-811	15	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	15	12	stein	stein	PROPN
ejde-811	15	13	-	-	PUNCT
ejde-811	15	14	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	15	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	15	16	;	;	PUNCT
ejde-811	15	17	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	15	18	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	15	19	.	.	PUNCT
ejde-811	16	1	©	©	PROPN
ejde-811	16	2	2025	2025	NUM
ejde-811	16	3	.	.	PUNCT
ejde-811	17	1	this	this	DET
ejde-811	17	2	work	work	NOUN
ejde-811	17	3	is	be	AUX
ejde-811	17	4	licensed	license	VERB
ejde-811	17	5	under	under	ADP
ejde-811	17	6	a	a	DET
ejde-811	17	7	cc	cc	NOUN
ejde-811	17	8	by	by	ADP
ejde-811	17	9	4.0	4.0	NUM
ejde-811	17	10	license	license	NOUN
ejde-811	17	11	.	.	PUNCT
ejde-811	18	1	submitted	submit	VERB
ejde-811	18	2	september	september	PROPN
ejde-811	18	3	9	9	NUM
ejde-811	18	4	,	,	PUNCT
ejde-811	18	5	2024	2024	NUM
ejde-811	18	6	.	.	PUNCT
ejde-811	19	1	published	publish	VERB
ejde-811	19	2	march	march	PROPN
ejde-811	19	3	14	14	NUM
ejde-811	19	4	,	,	PUNCT
ejde-811	19	5	2025	2025	NUM
ejde-811	19	6	.	.	PUNCT
ejde-811	20	1	1	1	NUM
ejde-811	20	2	2	2	NUM
ejde-811	20	3	chunhong	chunhong	NOUN
ejde-811	20	4	li	li	PROPN
ejde-811	20	5	,	,	PUNCT
ejde-811	20	6	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	20	7	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	20	8	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	20	9	where	where	SCONJ
ejde-811	20	10	1	1	NUM
ejde-811	20	11	<	<	X
ejde-811	20	12	r	r	NOUN
ejde-811	20	13	,	,	PUNCT
ejde-811	20	14	s	s	PART
ejde-811	20	15	<	<	X
ejde-811	20	16	∞	∞	PROPN
ejde-811	20	17	,	,	PUNCT
ejde-811	20	18	0	0	PUNCT
ejde-811	20	19	<	<	X
ejde-811	20	20	λ	λ	X
ejde-811	20	21	<	<	X
ejde-811	20	22	n	n	CCONJ
ejde-811	20	23	,	,	PUNCT
ejde-811	20	24	1	1	NUM
ejde-811	20	25	r	r	NOUN
ejde-811	20	26	+	+	NUM
ejde-811	20	27	1	1	NUM
ejde-811	20	28	s	s	PART
ejde-811	20	29	+	+	NOUN
ejde-811	20	30	λ	λ	PROPN
ejde-811	20	31	n	n	NOUN
ejde-811	20	32	=	=	SYM
ejde-811	20	33	2	2	X
ejde-811	20	34	.	.	X
ejde-811	20	35	lieb	lieb	PROPN
ejde-811	20	36	applied	apply	VERB
ejde-811	20	37	this	this	DET
ejde-811	20	38	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	20	39	to	to	PART
ejde-811	20	40	give	give	VERB
ejde-811	20	41	the	the	DET
ejde-811	20	42	optimal	optimal	ADJ
ejde-811	20	43	estimate	estimate	NOUN
ejde-811	20	44	of	of	ADP
ejde-811	20	45	upper	upper	ADJ
ejde-811	20	46	bound	bind	VERB
ejde-811	20	47	of	of	ADP
ejde-811	20	48	the	the	DET
ejde-811	20	49	coulomb	coulomb	NOUN
ejde-811	20	50	energy	energy	NOUN
ejde-811	20	51	appearing	appear	VERB
ejde-811	20	52	in	in	ADP
ejde-811	20	53	the	the	DET
ejde-811	20	54	thomas	thomas	PROPN
ejde-811	20	55	-	-	PUNCT
ejde-811	20	56	fermi	fermi	NOUN
ejde-811	20	57	model	model	NOUN
ejde-811	20	58	(	(	PUNCT
ejde-811	20	59	see	see	VERB
ejde-811	20	60	[	[	X
ejde-811	20	61	12	12	NUM
ejde-811	20	62	]	]	PUNCT
ejde-811	20	63	)	)	PUNCT
ejde-811	20	64	.	.	PUNCT
ejde-811	21	1	based	base	VERB
ejde-811	21	2	on	on	ADP
ejde-811	21	3	this	this	DET
ejde-811	21	4	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	21	5	,	,	PUNCT
ejde-811	21	6	huang	huang	PROPN
ejde-811	21	7	,	,	PUNCT
ejde-811	21	8	li	li	PROPN
ejde-811	21	9	and	and	CCONJ
ejde-811	21	10	yin	yin	PROPN
ejde-811	21	11	obtained	obtain	VERB
ejde-811	21	12	the	the	DET
ejde-811	21	13	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	21	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	21	15	(	(	PUNCT
ejde-811	21	16	cf	cf	NOUN
ejde-811	21	17	.	.	PUNCT
ejde-811	22	1	[	[	X
ejde-811	22	2	8])∑	8])∑	NOUN
ejde-811	22	3	i	i	PRON
ejde-811	22	4	,	,	PUNCT
ejde-811	22	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	22	6	,	,	PUNCT
ejde-811	22	7	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	22	8	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	22	9	|	|	PROPN
ejde-811	22	10	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	22	11	j|λ	j|λ	VERB
ejde-811	22	12	≤	≤	NUM
ejde-811	22	13	k2∥f∥lr(zn)∥g∥ls(zn	k2∥f∥lr(zn)∥g∥ls(zn	PROPN
ejde-811	22	14	)	)	PUNCT
ejde-811	22	15	,	,	PUNCT
ejde-811	22	16	∀(f	∀(f	PROPN
ejde-811	22	17	,	,	PUNCT
ejde-811	22	18	g	g	NOUN
ejde-811	22	19	)	)	PUNCT
ejde-811	22	20	∈	∈	PROPN
ejde-811	23	1	lr(zn)×	lr(zn)×	PROPN
ejde-811	23	2	ls(zn	ls(zn	PROPN
ejde-811	23	3	)	)	PUNCT
ejde-811	23	4	,	,	PUNCT
ejde-811	23	5	(	(	PUNCT
ejde-811	23	6	1.3	1.3	NUM
ejde-811	23	7	)	)	PUNCT
ejde-811	24	1	where	where	SCONJ
ejde-811	24	2	k2	k2	PROPN
ejde-811	24	3	∈	∈	PROPN
ejde-811	24	4	(	(	PUNCT
ejde-811	24	5	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	24	6	)	)	PUNCT
ejde-811	24	7	is	be	AUX
ejde-811	24	8	the	the	DET
ejde-811	24	9	best	well	ADV
ejde-811	24	10	constant	constant	ADJ
ejde-811	24	11	,	,	PUNCT
ejde-811	25	1	f	f	PROPN
ejde-811	25	2	=	=	PRON
ejde-811	25	3	(	(	PUNCT
ejde-811	25	4	fi)i∈zn	fi)i∈zn	PROPN
ejde-811	25	5	,	,	PUNCT
ejde-811	25	6	g	g	PROPN
ejde-811	25	7	=	=	PUNCT
ejde-811	25	8	(	(	PUNCT
ejde-811	25	9	gj)j∈zn	gj)j∈zn	NOUN
ejde-811	25	10	,	,	PUNCT
ejde-811	25	11	and	and	CCONJ
ejde-811	25	12	n	n	PRON
ejde-811	25	13	≥	≥	NOUN
ejde-811	25	14	1	1	NUM
ejde-811	25	15	,	,	PUNCT
ejde-811	25	16	0	0	PUNCT
ejde-811	25	17	<	<	X
ejde-811	25	18	λ	λ	X
ejde-811	25	19	<	<	X
ejde-811	25	20	n	n	SYM
ejde-811	25	21	,	,	PUNCT
ejde-811	25	22	min{r	min{r	PROPN
ejde-811	25	23	,	,	PUNCT
ejde-811	25	24	s	s	PART
ejde-811	25	25	}	}	PUNCT
ejde-811	25	26	>	>	X
ejde-811	25	27	1	1	NUM
ejde-811	25	28	,	,	PUNCT
ejde-811	25	29	1	1	NUM
ejde-811	25	30	r	r	NOUN
ejde-811	26	1	+	+	NUM
ejde-811	26	2	1	1	NUM
ejde-811	26	3	s	s	PART
ejde-811	26	4	+	+	NOUN
ejde-811	26	5	λ	λ	PROPN
ejde-811	26	6	n	n	PRON
ejde-811	26	7	≥	≥	NOUN
ejde-811	26	8	2	2	NUM
ejde-811	26	9	.	.	PUNCT
ejde-811	27	1	when	when	SCONJ
ejde-811	27	2	1	1	NUM
ejde-811	27	3	/	/	SYM
ejde-811	27	4	r	r	NOUN
ejde-811	27	5	+	+	NOUN
ejde-811	27	6	1	1	NUM
ejde-811	27	7	/	/	SYM
ejde-811	27	8	s+	s+	NUM
ejde-811	27	9	λ	λ	PROPN
ejde-811	27	10	/	/	SYM
ejde-811	27	11	n	n	PROPN
ejde-811	27	12	>	>	X
ejde-811	27	13	2	2	NUM
ejde-811	27	14	,	,	PUNCT
ejde-811	27	15	they	they	PRON
ejde-811	27	16	proved	prove	VERB
ejde-811	27	17	that	that	SCONJ
ejde-811	27	18	k2	k2	PROPN
ejde-811	27	19	is	be	AUX
ejde-811	27	20	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	27	21	.	.	PUNCT
ejde-811	28	1	when	when	SCONJ
ejde-811	28	2	n	n	X
ejde-811	28	3	=	=	SYM
ejde-811	28	4	1	1	NUM
ejde-811	28	5	,	,	PUNCT
ejde-811	28	6	(	(	PUNCT
ejde-811	28	7	1.3	1.3	NUM
ejde-811	28	8	)	)	PUNCT
ejde-811	28	9	is	be	AUX
ejde-811	28	10	the	the	DET
ejde-811	28	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	28	12	-	-	PUNCT
ejde-811	28	13	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	28	14	-	-	PUNCT
ejde-811	28	15	pólya	pólya	ADJ
ejde-811	28	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	28	17	[	[	X
ejde-811	28	18	7	7	NUM
ejde-811	28	19	,	,	PUNCT
ejde-811	28	20	theorem	theorem	VERB
ejde-811	28	21	381	381	NUM
ejde-811	28	22	]	]	PUNCT
ejde-811	28	23	)	)	PUNCT
ejde-811	28	24	.	.	PUNCT
ejde-811	29	1	when	when	SCONJ
ejde-811	29	2	we	we	PRON
ejde-811	29	3	cut	cut	VERB
ejde-811	29	4	off	off	ADP
ejde-811	29	5	f	f	PROPN
ejde-811	29	6	=	=	PUNCT
ejde-811	29	7	(	(	PUNCT
ejde-811	29	8	fi)i∈zn	fi)i∈zn	PROPN
ejde-811	29	9	n	n	CCONJ
ejde-811	29	10	and	and	CCONJ
ejde-811	29	11	g	g	PROPN
ejde-811	29	12	=	=	SYM
ejde-811	29	13	(	(	PUNCT
ejde-811	29	14	gi)i∈zn	gi)i∈zn	PROPN
ejde-811	29	15	n	n	CCONJ
ejde-811	29	16	,	,	PUNCT
ejde-811	29	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	29	18	(	(	PUNCT
ejde-811	29	19	1.3	1.3	NUM
ejde-811	29	20	)	)	PUNCT
ejde-811	29	21	is	be	AUX
ejde-811	29	22	reduced	reduce	VERB
ejde-811	29	23	to∑	to∑	NOUN
ejde-811	29	24	|i|≤n,|j|≤n	|i|≤n,|j|≤n	NOUN
ejde-811	29	25	,	,	PUNCT
ejde-811	29	26	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	29	27	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	29	28	|	|	PROPN
ejde-811	29	29	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	29	30	j|λ	j|λ	VERB
ejde-811	29	31	≤	≤	PROPN
ejde-811	30	1	kn∥f∥lr(zn	kn∥f∥lr(zn	PROPN
ejde-811	30	2	n	n	CCONJ
ejde-811	30	3	)	)	PUNCT
ejde-811	30	4	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	30	5	n	n	PROPN
ejde-811	30	6	)	)	PUNCT
ejde-811	30	7	,	,	PUNCT
ejde-811	30	8	∀(f	∀(f	PROPN
ejde-811	30	9	,	,	PUNCT
ejde-811	30	10	g	g	NOUN
ejde-811	30	11	)	)	PUNCT
ejde-811	30	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	30	13	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	30	14	n	n	ADJ
ejde-811	30	15	)	)	PUNCT
ejde-811	30	16	×ls(zn	×ls(zn	PROPN
ejde-811	30	17	n	n	PROPN
ejde-811	30	18	)	)	PUNCT
ejde-811	30	19	,	,	PUNCT
ejde-811	30	20	(	(	PUNCT
ejde-811	30	21	1.4	1.4	NUM
ejde-811	30	22	)	)	PUNCT
ejde-811	31	1	where	where	SCONJ
ejde-811	31	2	kn	kn	PROPN
ejde-811	31	3	∈	∈	PROPN
ejde-811	31	4	(	(	PUNCT
ejde-811	31	5	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	31	6	)	)	PUNCT
ejde-811	31	7	is	be	AUX
ejde-811	31	8	the	the	DET
ejde-811	31	9	best	well	ADV
ejde-811	31	10	constant	constant	ADJ
ejde-811	31	11	,	,	PUNCT
ejde-811	31	12	and	and	CCONJ
ejde-811	31	13	zn	zn	PROPN
ejde-811	31	14	n	n	NUM
ejde-811	31	15	:	:	PUNCT
ejde-811	31	16	=	=	SYM
ejde-811	31	17	{	{	PUNCT
ejde-811	31	18	i	i	NOUN
ejde-811	31	19	∈	∈	PROPN
ejde-811	31	20	zn	zn	X
ejde-811	31	21	;	;	PUNCT
ejde-811	31	22	|i|	|i|	VERB
ejde-811	31	23	≤	≤	NOUN
ejde-811	31	24	n	n	CCONJ
ejde-811	31	25	}	}	PUNCT
ejde-811	31	26	.	.	PUNCT
ejde-811	32	1	paper	paper	NOUN
ejde-811	33	1	[	[	X
ejde-811	33	2	8	8	X
ejde-811	33	3	]	]	PUNCT
ejde-811	33	4	shows	show	VERB
ejde-811	33	5	that	that	SCONJ
ejde-811	33	6	k2	k2	PROPN
ejde-811	33	7	can	can	AUX
ejde-811	33	8	be	be	AUX
ejde-811	33	9	approximated	approximate	VERB
ejde-811	33	10	by	by	ADP
ejde-811	33	11	kn	kn	PROPN
ejde-811	33	12	,	,	PUNCT
ejde-811	33	13	and	and	CCONJ
ejde-811	33	14	also	also	ADV
ejde-811	33	15	shows	show	VERB
ejde-811	33	16	the	the	DET
ejde-811	33	17	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	33	18	relation	relation	NOUN
ejde-811	33	19	between	between	ADP
ejde-811	33	20	the	the	DET
ejde-811	33	21	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	33	22	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	33	23	when	when	SCONJ
ejde-811	33	24	n	n	X
ejde-811	33	25	→	→	SYM
ejde-811	33	26	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	33	27	in	in	ADP
ejde-811	33	28	2011	2011	NUM
ejde-811	33	29	,	,	PUNCT
ejde-811	33	30	li	li	PROPN
ejde-811	33	31	and	and	CCONJ
ejde-811	33	32	villavert	villavert	PROPN
ejde-811	33	33	studied	study	VERB
ejde-811	33	34	(	(	PUNCT
ejde-811	33	35	1.4	1.4	NUM
ejde-811	33	36	)	)	PUNCT
ejde-811	33	37	in	in	ADP
ejde-811	33	38	the	the	DET
ejde-811	33	39	critical	critical	ADJ
ejde-811	33	40	case	case	NOUN
ejde-811	33	41	of	of	ADP
ejde-811	33	42	λ	λ	PROPN
ejde-811	33	43	=	=	SYM
ejde-811	33	44	n	n	PROPN
ejde-811	33	45	=	=	SYM
ejde-811	33	46	1	1	NUM
ejde-811	33	47	(	(	PUNCT
ejde-811	33	48	cf	cf	NOUN
ejde-811	33	49	.	.	PUNCT
ejde-811	34	1	[	[	X
ejde-811	34	2	11	11	NUM
ejde-811	34	3	]	]	NUM
ejde-811	34	4	)	)	PUNCT
ejde-811	34	5	.	.	PUNCT
ejde-811	35	1	they	they	PRON
ejde-811	35	2	obtained	obtain	VERB
ejde-811	35	3	the	the	DET
ejde-811	35	4	upper	upper	NOUN
ejde-811	35	5	and	and	CCONJ
ejde-811	35	6	the	the	DET
ejde-811	35	7	lower	low	ADJ
ejde-811	35	8	bounds	bound	NOUN
ejde-811	35	9	of	of	ADP
ejde-811	35	10	kn	kn	PROPN
ejde-811	35	11	.	.	PUNCT
ejde-811	36	1	afterwards	afterwards	ADV
ejde-811	36	2	,	,	PUNCT
ejde-811	36	3	cheng	cheng	PROPN
ejde-811	36	4	and	and	CCONJ
ejde-811	36	5	li	li	PROPN
ejde-811	36	6	extended	extend	VERB
ejde-811	36	7	those	those	DET
ejde-811	36	8	results	result	NOUN
ejde-811	36	9	to	to	ADP
ejde-811	36	10	the	the	DET
ejde-811	36	11	case	case	NOUN
ejde-811	36	12	of	of	ADP
ejde-811	36	13	λ	λ	PROPN
ejde-811	36	14	=	=	SYM
ejde-811	36	15	n	n	X
ejde-811	36	16	≥	≥	NOUN
ejde-811	36	17	2	2	NUM
ejde-811	36	18	(	(	PUNCT
ejde-811	36	19	cf	cf	NOUN
ejde-811	36	20	.	.	PUNCT
ejde-811	37	1	[	[	X
ejde-811	37	2	4	4	NUM
ejde-811	37	3	]	]	NUM
ejde-811	37	4	)	)	PUNCT
ejde-811	37	5	.	.	PUNCT
ejde-811	38	1	in	in	ADP
ejde-811	38	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	38	3	,	,	PUNCT
ejde-811	38	4	the	the	DET
ejde-811	38	5	properties	property	NOUN
ejde-811	38	6	of	of	ADP
ejde-811	38	7	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	38	8	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	38	9	were	be	AUX
ejde-811	38	10	studied	study	VERB
ejde-811	38	11	.	.	PUNCT
ejde-811	39	1	their	their	PRON
ejde-811	39	2	work	work	NOUN
ejde-811	39	3	shows	show	VERB
ejde-811	39	4	that	that	SCONJ
ejde-811	39	5	(	(	PUNCT
ejde-811	39	6	1.4	1.4	NUM
ejde-811	39	7	)	)	PUNCT
ejde-811	39	8	holds	hold	VERB
ejde-811	39	9	under	under	ADP
ejde-811	39	10	more	more	ADV
ejde-811	39	11	relaxed	relaxed	ADJ
ejde-811	39	12	constraints	constraint	NOUN
ejde-811	39	13	on	on	ADP
ejde-811	39	14	r	r	NOUN
ejde-811	39	15	,	,	PUNCT
ejde-811	39	16	s	s	PART
ejde-811	39	17	and	and	CCONJ
ejde-811	39	18	λ	λ	NOUN
ejde-811	39	19	.	.	PUNCT
ejde-811	40	1	in	in	ADP
ejde-811	40	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	40	3	,	,	PUNCT
ejde-811	40	4	paper	paper	NOUN
ejde-811	40	5	[	[	X
ejde-811	40	6	16	16	NUM
ejde-811	40	7	]	]	PUNCT
ejde-811	40	8	estimated	estimate	VERB
ejde-811	40	9	the	the	DET
ejde-811	40	10	best	well	ADV
ejde-811	40	11	constant	constant	ADJ
ejde-811	40	12	of	of	ADP
ejde-811	40	13	a	a	DET
ejde-811	40	14	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	40	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	40	16	with	with	ADP
ejde-811	40	17	special	special	ADJ
ejde-811	40	18	double	double	ADJ
ejde-811	40	19	weights	weight	NOUN
ejde-811	40	20	.	.	PUNCT
ejde-811	41	1	in	in	ADP
ejde-811	41	2	this	this	DET
ejde-811	41	3	article	article	NOUN
ejde-811	41	4	,	,	PUNCT
ejde-811	41	5	we	we	PRON
ejde-811	41	6	prove	prove	VERB
ejde-811	41	7	the	the	DET
ejde-811	41	8	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	41	9	stein	stein	PROPN
ejde-811	41	10	-	-	PUNCT
ejde-811	41	11	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	41	12	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	41	13	,	,	PUNCT
ejde-811	41	14	and	and	CCONJ
ejde-811	41	15	study	study	VERB
ejde-811	41	16	the	the	DET
ejde-811	41	17	best	well	ADV
ejde-811	41	18	constant	constant	ADJ
ejde-811	41	19	and	and	CCONJ
ejde-811	41	20	the	the	DET
ejde-811	41	21	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	41	22	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	41	23	.	.	PUNCT
ejde-811	42	1	theorem	theorem	VERB
ejde-811	42	2	1.1	1.1	NUM
ejde-811	42	3	.	.	PUNCT
ejde-811	43	1	let	let	VERB
ejde-811	43	2	n	n	PRON
ejde-811	43	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	43	4	1	1	NUM
ejde-811	43	5	,	,	PUNCT
ejde-811	43	6	min{r	min{r	PROPN
ejde-811	43	7	,	,	PUNCT
ejde-811	43	8	s	s	PART
ejde-811	43	9	}	}	PUNCT
ejde-811	43	10	>	>	X
ejde-811	43	11	1	1	NUM
ejde-811	43	12	and	and	CCONJ
ejde-811	43	13	0	0	NUM
ejde-811	43	14	<	<	X
ejde-811	43	15	λ	λ	X
ejde-811	43	16	<	<	X
ejde-811	43	17	n.	n.	NOUN
ejde-811	44	1	if	if	SCONJ
ejde-811	44	2	0	0	NUM
ejde-811	44	3	≤	≤	NOUN
ejde-811	44	4	α+	α+	X
ejde-811	44	5	β	β	X
ejde-811	44	6	<	<	X
ejde-811	44	7	n−	n−	PROPN
ejde-811	44	8	λ	λ	PROPN
ejde-811	44	9	,	,	PUNCT
ejde-811	44	10	α	α	X
ejde-811	44	11	/	/	SYM
ejde-811	44	12	n	n	NOUN
ejde-811	44	13	<	<	X
ejde-811	44	14	1−	1−	NUM
ejde-811	44	15	1	1	NUM
ejde-811	44	16	/	/	SYM
ejde-811	44	17	r	r	NOUN
ejde-811	44	18	,	,	PUNCT
ejde-811	44	19	β	β	NOUN
ejde-811	44	20	/	/	SYM
ejde-811	44	21	n	n	CCONJ
ejde-811	44	22	<	<	X
ejde-811	44	23	1−	1−	NUM
ejde-811	44	24	1	1	NUM
ejde-811	44	25	/	/	SYM
ejde-811	44	26	s	s	PROPN
ejde-811	44	27	,	,	PUNCT
ejde-811	44	28	1	1	NUM
ejde-811	44	29	r	r	NOUN
ejde-811	44	30	+	+	NUM
ejde-811	44	31	1	1	NUM
ejde-811	44	32	s	s	NOUN
ejde-811	44	33	+	+	NOUN
ejde-811	44	34	λ+	λ+	NUM
ejde-811	44	35	α+	α+	X
ejde-811	44	36	β	β	X
ejde-811	44	37	n	n	X
ejde-811	44	38	≥	≥	NUM
ejde-811	44	39	2	2	NUM
ejde-811	44	40	,	,	PUNCT
ejde-811	44	41	we	we	PRON
ejde-811	44	42	can	can	AUX
ejde-811	44	43	find	find	VERB
ejde-811	44	44	c	c	X
ejde-811	44	45	∈	∈	PROPN
ejde-811	44	46	(	(	PUNCT
ejde-811	44	47	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	44	48	)	)	PUNCT
ejde-811	44	49	such	such	ADJ
ejde-811	44	50	that∑	that∑	VERB
ejde-811	44	51	i	i	PRON
ejde-811	44	52	,	,	PUNCT
ejde-811	44	53	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	44	54	0	0	NUM
ejde-811	44	55	,	,	PUNCT
ejde-811	44	56	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	44	57	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	44	58	|	|	PROPN
ejde-811	44	59	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	44	60	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	44	61	≤	≤	PROPN
ejde-811	44	62	c∥f∥lr(zn	c∥f∥lr(zn	NOUN
ejde-811	44	63	0	0	NUM
ejde-811	44	64	)	)	PUNCT
ejde-811	44	65	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	44	66	0	0	NUM
ejde-811	44	67	)	)	PUNCT
ejde-811	44	68	,	,	PUNCT
ejde-811	44	69	∀(f	∀(f	PROPN
ejde-811	44	70	,	,	PUNCT
ejde-811	44	71	g	g	NOUN
ejde-811	44	72	)	)	PUNCT
ejde-811	44	73	∈	∈	PROPN
ejde-811	44	74	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	44	75	0	0	NUM
ejde-811	44	76	)	)	PUNCT
ejde-811	44	77	×	×	NOUN
ejde-811	44	78	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	44	79	0	0	NUM
ejde-811	44	80	)	)	PUNCT
ejde-811	44	81	.	.	PUNCT
ejde-811	45	1	(	(	PUNCT
ejde-811	45	2	1.5	1.5	NUM
ejde-811	45	3	)	)	PUNCT
ejde-811	45	4	here	here	ADV
ejde-811	45	5	zn	zn	PROPN
ejde-811	45	6	0	0	NUM
ejde-811	46	1	:	:	PUNCT
ejde-811	46	2	=	=	PUNCT
ejde-811	46	3	zn	zn	X
ejde-811	46	4	\	\	PROPN
ejde-811	46	5	{	{	PUNCT
ejde-811	46	6	0	0	NUM
ejde-811	46	7	}	}	PUNCT
ejde-811	46	8	.	.	PUNCT
ejde-811	47	1	we	we	PRON
ejde-811	47	2	denote	denote	VERB
ejde-811	47	3	the	the	DET
ejde-811	47	4	best	well	ADV
ejde-811	47	5	constant	constant	ADJ
ejde-811	47	6	of	of	ADP
ejde-811	47	7	(	(	PUNCT
ejde-811	47	8	1.5	1.5	NUM
ejde-811	47	9	)	)	PUNCT
ejde-811	47	10	by	by	ADP
ejde-811	47	11	l.	l.	PROPN
ejde-811	47	12	namely	namely	ADV
ejde-811	47	13	,	,	PUNCT
ejde-811	47	14	l	l	NOUN
ejde-811	47	15	=	=	SYM
ejde-811	47	16	sup	sup	NOUN
ejde-811	47	17	(	(	PUNCT
ejde-811	47	18	f	f	X
ejde-811	47	19	,	,	PUNCT
ejde-811	47	20	g)∈s	g)∈s	X
ejde-811	47	21	{	{	PUNCT
ejde-811	47	22	∑	∑	PROPN
ejde-811	47	23	i	i	PROPN
ejde-811	47	24	,	,	PUNCT
ejde-811	47	25	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	47	26	0	0	NUM
ejde-811	47	27	,	,	PUNCT
ejde-811	47	28	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	47	29	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	47	30	|	|	ADV
ejde-811	47	31	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	47	32	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	47	33	}	}	PUNCT
ejde-811	47	34	,	,	PUNCT
ejde-811	47	35	where	where	SCONJ
ejde-811	47	36	s	s	VERB
ejde-811	47	37	:	:	PUNCT
ejde-811	47	38	=	=	SYM
ejde-811	47	39	{	{	PUNCT
ejde-811	47	40	(	(	PUNCT
ejde-811	47	41	f	f	X
ejde-811	47	42	,	,	PUNCT
ejde-811	47	43	g	g	NOUN
ejde-811	47	44	)	)	PUNCT
ejde-811	47	45	∈	∈	PROPN
ejde-811	47	46	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	47	47	0	0	NUM
ejde-811	47	48	)	)	PUNCT
ejde-811	48	1	×	×	NOUN
ejde-811	48	2	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	48	3	0	0	NUM
ejde-811	48	4	)	)	PUNCT
ejde-811	48	5	;	;	PUNCT
ejde-811	48	6	∥f∥lr(zn	∥f∥lr(zn	NOUN
ejde-811	48	7	0	0	NUM
ejde-811	48	8	)	)	PUNCT
ejde-811	49	1	=	=	SYM
ejde-811	49	2	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	49	3	0	0	X
ejde-811	49	4	)	)	PUNCT
ejde-811	50	1	=	=	PUNCT
ejde-811	50	2	1	1	NUM
ejde-811	50	3	}	}	PUNCT
ejde-811	50	4	.	.	PUNCT
ejde-811	51	1	we	we	PRON
ejde-811	51	2	also	also	ADV
ejde-811	51	3	have	have	VERB
ejde-811	51	4	the	the	DET
ejde-811	51	5	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	51	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	51	7	with	with	ADP
ejde-811	51	8	finite	finite	ADJ
ejde-811	51	9	terms	term	NOUN
ejde-811	51	10	.	.	PUNCT
ejde-811	52	1	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	52	2	discrete	discrete	VERB
ejde-811	52	3	stein	stein	PROPN
ejde-811	52	4	-	-	PUNCT
ejde-811	52	5	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	52	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	52	7	3	3	NUM
ejde-811	52	8	theorem	theorem	VERB
ejde-811	52	9	1.2	1.2	NUM
ejde-811	52	10	.	.	PUNCT
ejde-811	53	1	let	let	VERB
ejde-811	53	2	n	n	PRON
ejde-811	53	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	53	4	1	1	NUM
ejde-811	53	5	,	,	PUNCT
ejde-811	53	6	min{r	min{r	PROPN
ejde-811	53	7	,	,	PUNCT
ejde-811	53	8	s	s	PART
ejde-811	53	9	}	}	PUNCT
ejde-811	53	10	>	>	SYM
ejde-811	53	11	0	0	PUNCT
ejde-811	54	1	and	and	CCONJ
ejde-811	54	2	λ	λ	X
ejde-811	54	3	>	>	X
ejde-811	54	4	0	0	NUM
ejde-811	54	5	.	.	PUNCT
ejde-811	55	1	then	then	ADV
ejde-811	55	2	there	there	PRON
ejde-811	55	3	exists	exist	VERB
ejde-811	55	4	c	c	PROPN
ejde-811	55	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	55	6	(	(	PUNCT
ejde-811	55	7	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	55	8	)	)	PUNCT
ejde-811	55	9	such	such	ADJ
ejde-811	55	10	that	that	SCONJ
ejde-811	55	11	∑	∑	PROPN
ejde-811	55	12	i	i	PRON
ejde-811	55	13	,	,	PUNCT
ejde-811	55	14	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	55	15	0,n	0,n	ADV
ejde-811	55	16	,	,	PUNCT
ejde-811	55	17	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	55	18	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	55	19	|	|	PROPN
ejde-811	55	20	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	55	21	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	55	22	≤	≤	NOUN
ejde-811	55	23	c∥f∥lr(zn	c∥f∥lr(zn	NOUN
ejde-811	55	24	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	55	25	)	)	PUNCT
ejde-811	55	26	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	56	1	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	56	2	)	)	PUNCT
ejde-811	56	3	,	,	PUNCT
ejde-811	56	4	(	(	PUNCT
ejde-811	56	5	1.6	1.6	NUM
ejde-811	56	6	)	)	PUNCT
ejde-811	56	7	for	for	ADP
ejde-811	56	8	all	all	DET
ejde-811	56	9	(	(	PUNCT
ejde-811	56	10	f	f	X
ejde-811	56	11	,	,	PUNCT
ejde-811	56	12	g	g	NOUN
ejde-811	56	13	)	)	PUNCT
ejde-811	56	14	∈	∈	PROPN
ejde-811	56	15	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	56	16	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	56	17	)	)	PUNCT
ejde-811	56	18	×	×	PROPN
ejde-811	56	19	ls(zn	ls(zn	PROPN
ejde-811	56	20	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	56	21	)	)	PUNCT
ejde-811	56	22	.	.	PUNCT
ejde-811	57	1	here	here	ADV
ejde-811	57	2	zn	zn	INTJ
ejde-811	57	3	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	57	4	:	:	PUNCT
ejde-811	57	5	=	=	SYM
ejde-811	57	6	{	{	PUNCT
ejde-811	57	7	i	i	NOUN
ejde-811	57	8	∈	∈	PROPN
ejde-811	57	9	zn	zn	X
ejde-811	57	10	;	;	PUNCT
ejde-811	57	11	1	1	NUM
ejde-811	57	12	≤	≤	NUM
ejde-811	57	13	|i|	|i|	VERB
ejde-811	57	14	≤	≤	NOUN
ejde-811	57	15	n	n	CCONJ
ejde-811	57	16	}	}	PUNCT
ejde-811	57	17	.	.	PUNCT
ejde-811	58	1	we	we	PRON
ejde-811	58	2	denote	denote	VERB
ejde-811	58	3	the	the	DET
ejde-811	58	4	best	well	ADV
ejde-811	58	5	constant	constant	ADJ
ejde-811	58	6	of	of	ADP
ejde-811	58	7	(	(	PUNCT
ejde-811	58	8	1.6	1.6	NUM
ejde-811	58	9	)	)	PUNCT
ejde-811	58	10	by	by	ADP
ejde-811	58	11	ln	ln	ADJ
ejde-811	58	12	.	.	PUNCT
ejde-811	59	1	thus	thus	ADV
ejde-811	59	2	,	,	PUNCT
ejde-811	59	3	ln	ln	NOUN
ejde-811	59	4	=	=	PUNCT
ejde-811	59	5	max	max	PROPN
ejde-811	59	6	{	{	PUNCT
ejde-811	59	7	∑	∑	PROPN
ejde-811	59	8	i	i	PROPN
ejde-811	59	9	,	,	PUNCT
ejde-811	59	10	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	59	11	0,n	0,n	ADV
ejde-811	59	12	,	,	PUNCT
ejde-811	59	13	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	59	14	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	59	15	|	|	PROPN
ejde-811	59	16	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	59	17	j|λ|j|β	j|λ|j|β	NOUN
ejde-811	59	18	;	;	PUNCT
ejde-811	59	19	∥f∥lr(zn	∥f∥lr(zn	NOUN
ejde-811	59	20	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	59	21	)	)	PUNCT
ejde-811	60	1	=	=	SYM
ejde-811	60	2	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	61	1	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	61	2	)	)	PUNCT
ejde-811	62	1	=	=	SYM
ejde-811	62	2	1	1	X
ejde-811	62	3	}	}	PUNCT
ejde-811	62	4	.	.	PUNCT
ejde-811	63	1	(	(	PUNCT
ejde-811	63	2	1.7	1.7	NUM
ejde-811	63	3	)	)	PUNCT
ejde-811	63	4	the	the	DET
ejde-811	63	5	following	follow	VERB
ejde-811	63	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	63	7	shows	show	VERB
ejde-811	63	8	the	the	DET
ejde-811	63	9	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	63	10	relation	relation	NOUN
ejde-811	63	11	between	between	ADP
ejde-811	63	12	the	the	DET
ejde-811	63	13	best	good	ADJ
ejde-811	63	14	constants	constant	NOUN
ejde-811	63	15	.	.	PUNCT
ejde-811	64	1	theorem	theorem	VERB
ejde-811	64	2	1.3	1.3	NUM
ejde-811	64	3	.	.	PUNCT
ejde-811	65	1	under	under	ADP
ejde-811	65	2	the	the	DET
ejde-811	65	3	assumptions	assumption	NOUN
ejde-811	65	4	of	of	ADP
ejde-811	65	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	65	6	1.1	1.1	NUM
ejde-811	65	7	,	,	PUNCT
ejde-811	65	8	we	we	PRON
ejde-811	65	9	have	have	VERB
ejde-811	65	10	lim	lim	PROPN
ejde-811	65	11	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	66	1	ln	ln	NOUN
ejde-811	66	2	=	=	PUNCT
ejde-811	66	3	l.	l.	PROPN
ejde-811	66	4	next	next	ADV
ejde-811	67	1	,	,	PUNCT
ejde-811	67	2	we	we	PRON
ejde-811	67	3	consider	consider	VERB
ejde-811	67	4	the	the	DET
ejde-811	67	5	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	67	6	relation	relation	NOUN
ejde-811	67	7	between	between	ADP
ejde-811	67	8	the	the	DET
ejde-811	67	9	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	67	10	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	67	11	.	.	PUNCT
ejde-811	68	1	theorem	theorem	VERB
ejde-811	68	2	1.4	1.4	NUM
ejde-811	68	3	.	.	PUNCT
ejde-811	69	1	let	let	VERB
ejde-811	69	2	n	n	PRON
ejde-811	69	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	69	4	1	1	NUM
ejde-811	69	5	,	,	PUNCT
ejde-811	69	6	min{r	min{r	PROPN
ejde-811	69	7	,	,	PUNCT
ejde-811	69	8	s	s	PART
ejde-811	69	9	}	}	PUNCT
ejde-811	69	10	>	>	X
ejde-811	69	11	1	1	NUM
ejde-811	69	12	and	and	CCONJ
ejde-811	69	13	0	0	NUM
ejde-811	69	14	<	<	X
ejde-811	69	15	λ	λ	X
ejde-811	69	16	<	<	X
ejde-811	69	17	n.	n.	NOUN
ejde-811	70	1	if	if	SCONJ
ejde-811	70	2	0	0	NUM
ejde-811	70	3	≤	≤	NUM
ejde-811	70	4	α	α	NOUN
ejde-811	70	5	+	+	X
ejde-811	70	6	β	β	X
ejde-811	70	7	<	<	X
ejde-811	70	8	n	n	PRON
ejde-811	70	9	−	−	PROPN
ejde-811	70	10	λ	λ	PROPN
ejde-811	70	11	,	,	PUNCT
ejde-811	70	12	α	α	X
ejde-811	70	13	/	/	SYM
ejde-811	70	14	n	n	NOUN
ejde-811	70	15	<	<	X
ejde-811	70	16	1−	1−	NUM
ejde-811	70	17	1	1	NUM
ejde-811	70	18	/	/	SYM
ejde-811	70	19	r	r	NOUN
ejde-811	70	20	,	,	PUNCT
ejde-811	70	21	β	β	NOUN
ejde-811	70	22	/	/	SYM
ejde-811	70	23	n	n	CCONJ
ejde-811	70	24	<	<	X
ejde-811	70	25	1−	1−	NUM
ejde-811	70	26	1	1	NUM
ejde-811	70	27	/	/	SYM
ejde-811	70	28	s	s	PROPN
ejde-811	70	29	,	,	PUNCT
ejde-811	70	30	and	and	CCONJ
ejde-811	70	31	1	1	NUM
ejde-811	70	32	/	/	SYM
ejde-811	70	33	r	r	NOUN
ejde-811	70	34	+	+	NOUN
ejde-811	70	35	1	1	NUM
ejde-811	70	36	/	/	SYM
ejde-811	70	37	s+	s+	NUM
ejde-811	70	38	(	(	PUNCT
ejde-811	70	39	λ+	λ+	X
ejde-811	70	40	α+	α+	X
ejde-811	70	41	β)/n	β)/n	X
ejde-811	70	42	>	>	X
ejde-811	70	43	2	2	NUM
ejde-811	70	44	,	,	PUNCT
ejde-811	70	45	then	then	ADV
ejde-811	70	46	(	(	PUNCT
ejde-811	70	47	i	i	NOUN
ejde-811	70	48	)	)	PUNCT
ejde-811	70	49	l	l	NOUN
ejde-811	70	50	is	be	AUX
ejde-811	70	51	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	70	52	.	.	PUNCT
ejde-811	71	1	namely	namely	ADV
ejde-811	71	2	,	,	PUNCT
ejde-811	71	3	we	we	PRON
ejde-811	71	4	can	can	AUX
ejde-811	71	5	find	find	VERB
ejde-811	71	6	(	(	PUNCT
ejde-811	71	7	f∗	f∗	NOUN
ejde-811	71	8	,	,	PUNCT
ejde-811	71	9	g∗	g∗	PROPN
ejde-811	71	10	)	)	PUNCT
ejde-811	71	11	∈	∈	PROPN
ejde-811	71	12	s	s	VERB
ejde-811	71	13	such	such	ADJ
ejde-811	71	14	that	that	DET
ejde-811	71	15	l	l	NOUN
ejde-811	72	1	=	=	PUNCT
ejde-811	72	2	∑	∑	PUNCT
ejde-811	72	3	i	i	PROPN
ejde-811	72	4	,	,	PUNCT
ejde-811	72	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	72	6	0	0	NUM
ejde-811	72	7	,	,	PUNCT
ejde-811	72	8	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	72	9	|f∗	|f∗	PROPN
ejde-811	72	10	i	i	PRON
ejde-811	72	11	||g∗j	||g∗j	VERB
ejde-811	72	12	|	|	ADV
ejde-811	72	13	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	72	14	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	72	15	.	.	PUNCT
ejde-811	73	1	(	(	PUNCT
ejde-811	73	2	ii	ii	NOUN
ejde-811	73	3	)	)	PUNCT
ejde-811	73	4	denote	denote	VERB
ejde-811	73	5	the	the	DET
ejde-811	73	6	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	73	7	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	73	8	of	of	ADP
ejde-811	73	9	(	(	PUNCT
ejde-811	73	10	1.7	1.7	NUM
ejde-811	73	11	)	)	PUNCT
ejde-811	73	12	by	by	ADP
ejde-811	73	13	(	(	PUNCT
ejde-811	73	14	fn	fn	NOUN
ejde-811	73	15	∗	∗	NOUN
ejde-811	73	16	,	,	PUNCT
ejde-811	73	17	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	73	18	)	)	PUNCT
ejde-811	73	19	.	.	PUNCT
ejde-811	74	1	then	then	ADV
ejde-811	74	2	there	there	PRON
ejde-811	74	3	exists	exist	VERB
ejde-811	74	4	a	a	DET
ejde-811	74	5	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-811	74	6	of	of	ADP
ejde-811	74	7	(	(	PUNCT
ejde-811	74	8	fn	fn	NOUN
ejde-811	74	9	∗	∗	NOUN
ejde-811	74	10	,	,	PUNCT
ejde-811	74	11	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	74	12	)	)	PUNCT
ejde-811	74	13	denoted	denote	VERB
ejde-811	74	14	by	by	ADP
ejde-811	74	15	itself	itself	PRON
ejde-811	74	16	such	such	ADJ
ejde-811	74	17	that	that	SCONJ
ejde-811	74	18	lim	lim	PROPN
ejde-811	74	19	n→∞	n→∞	X
ejde-811	75	1	(	(	PUNCT
ejde-811	75	2	fn	fn	NOUN
ejde-811	75	3	∗	∗	NOUN
ejde-811	75	4	,	,	PUNCT
ejde-811	75	5	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	75	6	)	)	PUNCT
ejde-811	75	7	=	=	SYM
ejde-811	75	8	(	(	PUNCT
ejde-811	75	9	f∗	f∗	PROPN
ejde-811	75	10	,	,	PUNCT
ejde-811	75	11	g∗	g∗	PROPN
ejde-811	75	12	)	)	PUNCT
ejde-811	75	13	,	,	PUNCT
ejde-811	75	14	in	in	ADP
ejde-811	75	15	lr(zn	lr(zn	PROPN
ejde-811	75	16	0	0	NUM
ejde-811	75	17	)	)	PUNCT
ejde-811	75	18	×	×	NOUN
ejde-811	75	19	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	75	20	0	0	NUM
ejde-811	75	21	)	)	PUNCT
ejde-811	75	22	.	.	PUNCT
ejde-811	76	1	remark	remark	VERB
ejde-811	76	2	1.5	1.5	NUM
ejde-811	76	3	.	.	PUNCT
ejde-811	77	1	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	77	2	(	(	PUNCT
ejde-811	77	3	1.5	1.5	NUM
ejde-811	77	4	)	)	PUNCT
ejde-811	77	5	can	can	AUX
ejde-811	77	6	also	also	ADV
ejde-811	77	7	be	be	AUX
ejde-811	77	8	found	find	VERB
ejde-811	77	9	in	in	ADP
ejde-811	77	10	[	[	X
ejde-811	77	11	3	3	NUM
ejde-811	77	12	,	,	PUNCT
ejde-811	77	13	(	(	PUNCT
ejde-811	77	14	1.3	1.3	NUM
ejde-811	77	15	)	)	PUNCT
ejde-811	77	16	]	]	PUNCT
ejde-811	77	17	.	.	PUNCT
ejde-811	78	1	there	there	ADV
ejde-811	78	2	the	the	DET
ejde-811	78	3	authors	author	NOUN
ejde-811	78	4	did	do	AUX
ejde-811	78	5	not	not	PART
ejde-811	78	6	provide	provide	VERB
ejde-811	78	7	a	a	DET
ejde-811	78	8	proof	proof	NOUN
ejde-811	78	9	.	.	PUNCT
ejde-811	79	1	remark	remark	VERB
ejde-811	79	2	1.6	1.6	NUM
ejde-811	79	3	.	.	PUNCT
ejde-811	80	1	compared	compare	VERB
ejde-811	80	2	to	to	ADP
ejde-811	80	3	theorem	theorem	VERB
ejde-811	80	4	1.1	1.1	NUM
ejde-811	80	5	,	,	PUNCT
ejde-811	80	6	theorem	theorem	VERB
ejde-811	80	7	1.2	1.2	NUM
ejde-811	80	8	has	have	VERB
ejde-811	80	9	more	more	ADJ
ejde-811	80	10	relaxed	relaxed	ADJ
ejde-811	80	11	constraints	constraint	NOUN
ejde-811	80	12	on	on	ADP
ejde-811	80	13	r	r	NOUN
ejde-811	80	14	,	,	PUNCT
ejde-811	80	15	s	s	PROPN
ejde-811	80	16	,	,	PUNCT
ejde-811	80	17	α	α	NOUN
ejde-811	80	18	,	,	PUNCT
ejde-811	80	19	β	β	X
ejde-811	80	20	and	and	CCONJ
ejde-811	80	21	λ	λ	PROPN
ejde-811	80	22	.	.	PUNCT
ejde-811	81	1	the	the	DET
ejde-811	81	2	reason	reason	NOUN
ejde-811	81	3	is	be	AUX
ejde-811	81	4	that	that	SCONJ
ejde-811	81	5	the	the	DET
ejde-811	81	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	81	7	only	only	ADV
ejde-811	81	8	contains	contain	VERB
ejde-811	81	9	finite	finite	ADJ
ejde-811	81	10	terms	term	NOUN
ejde-811	81	11	.	.	PUNCT
ejde-811	82	1	moreover	moreover	ADV
ejde-811	82	2	,	,	PUNCT
ejde-811	82	3	i	i	PRON
ejde-811	82	4	,	,	PUNCT
ejde-811	82	5	j	j	PROPN
ejde-811	82	6	in	in	ADP
ejde-811	82	7	the	the	DET
ejde-811	82	8	left	left	ADJ
ejde-811	82	9	hand	hand	NOUN
ejde-811	82	10	side	side	NOUN
ejde-811	82	11	of	of	ADP
ejde-811	82	12	(	(	PUNCT
ejde-811	82	13	1.6	1.6	NUM
ejde-811	82	14	)	)	PUNCT
ejde-811	82	15	can	can	AUX
ejde-811	82	16	belong	belong	VERB
ejde-811	82	17	to	to	ADP
ejde-811	82	18	zn	zn	PROPN
ejde-811	82	19	n	n	PROPN
ejde-811	82	20	(	(	PUNCT
ejde-811	82	21	instead	instead	ADV
ejde-811	82	22	of	of	ADP
ejde-811	82	23	zn	zn	PROPN
ejde-811	82	24	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	82	25	)	)	PUNCT
ejde-811	82	26	when	when	SCONJ
ejde-811	82	27	α	α	NOUN
ejde-811	82	28	and	and	CCONJ
ejde-811	82	29	β	β	X
ejde-811	82	30	are	be	AUX
ejde-811	82	31	not	not	PART
ejde-811	82	32	larger	large	ADJ
ejde-811	82	33	than	than	ADP
ejde-811	82	34	zero	zero	NUM
ejde-811	82	35	.	.	PUNCT
ejde-811	83	1	in	in	ADP
ejde-811	83	2	2015	2015	NUM
ejde-811	83	3	,	,	PUNCT
ejde-811	83	4	dou	dou	X
ejde-811	83	5	and	and	CCONJ
ejde-811	83	6	zhu	zhu	X
ejde-811	84	1	[	[	X
ejde-811	84	2	5	5	NUM
ejde-811	84	3	]	]	PUNCT
ejde-811	84	4	obtained	obtain	VERB
ejde-811	84	5	the	the	DET
ejde-811	84	6	reversed	reversed	ADJ
ejde-811	84	7	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	84	8	-	-	PUNCT
ejde-811	84	9	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	84	10	-	-	PUNCT
ejde-811	84	11	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	84	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	84	13	(	(	PUNCT
ejde-811	84	14	see	see	VERB
ejde-811	84	15	also	also	ADV
ejde-811	84	16	[	[	X
ejde-811	84	17	1	1	NUM
ejde-811	84	18	,	,	PUNCT
ejde-811	84	19	9	9	NUM
ejde-811	84	20	,	,	PUNCT
ejde-811	84	21	13])∫	13])∫	NUM
ejde-811	84	22	rn	rn	PROPN
ejde-811	84	23	∫	∫	PROPN
ejde-811	84	24	rn	rn	PROPN
ejde-811	84	25	|f(x)||g(y)|	|f(x)||g(y)|	PROPN
ejde-811	84	26	,	,	PUNCT
ejde-811	84	27	dx	dx	PROPN
ejde-811	84	28	,	,	PUNCT
ejde-811	84	29	dy	dy	PROPN
ejde-811	84	30	|x−	|x−	PROPN
ejde-811	84	31	y|λ	y|λ	PUNCT
ejde-811	84	32	≥	≥	X
ejde-811	84	33	k3∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	k3∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	PROPN
ejde-811	84	34	)	)	PUNCT
ejde-811	84	35	,	,	PUNCT
ejde-811	84	36	(	(	PUNCT
ejde-811	84	37	1.8	1.8	NUM
ejde-811	84	38	)	)	PUNCT
ejde-811	84	39	for	for	ADP
ejde-811	84	40	all	all	DET
ejde-811	84	41	(	(	PUNCT
ejde-811	84	42	f	f	X
ejde-811	84	43	,	,	PUNCT
ejde-811	84	44	g	g	NOUN
ejde-811	84	45	)	)	PUNCT
ejde-811	84	46	∈	∈	PROPN
ejde-811	84	47	lr(rn)×	lr(rn)×	PROPN
ejde-811	84	48	ls(rn	ls(rn	PROPN
ejde-811	84	49	)	)	PUNCT
ejde-811	84	50	,	,	PUNCT
ejde-811	84	51	where	where	SCONJ
ejde-811	84	52	k3	k3	PROPN
ejde-811	84	53	∈	∈	PROPN
ejde-811	84	54	(	(	PUNCT
ejde-811	84	55	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	84	56	)	)	PUNCT
ejde-811	84	57	is	be	AUX
ejde-811	84	58	a	a	DET
ejde-811	84	59	constant	constant	ADJ
ejde-811	84	60	,	,	PUNCT
ejde-811	84	61	and	and	CCONJ
ejde-811	85	1	n	n	PRON
ejde-811	85	2	≥	≥	NUM
ejde-811	85	3	1	1	NUM
ejde-811	85	4	,	,	PUNCT
ejde-811	85	5	r	r	NOUN
ejde-811	85	6	,	,	PUNCT
ejde-811	85	7	s	s	NOUN
ejde-811	85	8	∈	∈	PROPN
ejde-811	85	9	(	(	PUNCT
ejde-811	85	10	n/(n−	n/(n−	PROPN
ejde-811	85	11	λ	λ	PROPN
ejde-811	85	12	)	)	PUNCT
ejde-811	85	13	,	,	PUNCT
ejde-811	85	14	1	1	NUM
ejde-811	85	15	)	)	PUNCT
ejde-811	85	16	,	,	PUNCT
ejde-811	85	17	λ	λ	X
ejde-811	85	18	<	<	X
ejde-811	85	19	0	0	NUM
ejde-811	85	20	,	,	PUNCT
ejde-811	85	21	1	1	NUM
ejde-811	85	22	r	r	NOUN
ejde-811	85	23	+	+	NUM
ejde-811	85	24	1	1	NUM
ejde-811	85	25	s	s	PART
ejde-811	85	26	+	+	NOUN
ejde-811	85	27	λ	λ	PROPN
ejde-811	85	28	n	n	NOUN
ejde-811	85	29	=	=	SYM
ejde-811	85	30	2	2	NUM
ejde-811	85	31	,	,	PUNCT
ejde-811	85	32	based	base	VERB
ejde-811	85	33	on	on	ADP
ejde-811	85	34	this	this	DET
ejde-811	85	35	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	85	36	,	,	PUNCT
ejde-811	85	37	[	[	X
ejde-811	85	38	10	10	NUM
ejde-811	85	39	]	]	PUNCT
ejde-811	85	40	shows	show	VERB
ejde-811	85	41	the	the	DET
ejde-811	85	42	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	85	43	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	85	44	with	with	ADP
ejde-811	85	45	infinite	infinite	ADJ
ejde-811	85	46	terms∑	terms∑	NOUN
ejde-811	85	47	i	i	PROPN
ejde-811	85	48	,	,	PUNCT
ejde-811	85	49	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	85	50	,	,	PUNCT
ejde-811	85	51	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	85	52	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	85	53	|	|	PROPN
ejde-811	85	54	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	85	55	j|λ	j|λ	VERB
ejde-811	86	1	+	+	CCONJ
ejde-811	86	2	∑	∑	PUNCT
ejde-811	86	3	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	86	4	|fj	|fj	X
ejde-811	86	5	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	86	6	|	|	CCONJ
ejde-811	86	7	≥	≥	NOUN
ejde-811	86	8	k4∥f∥lr(zn)∥g∥ls(zn	k4∥f∥lr(zn)∥g∥ls(zn	PROPN
ejde-811	86	9	)	)	PUNCT
ejde-811	86	10	,	,	PUNCT
ejde-811	86	11	(	(	PUNCT
ejde-811	86	12	1.9	1.9	NUM
ejde-811	86	13	)	)	SYM
ejde-811	86	14	4	4	NUM
ejde-811	86	15	chunhong	chunhong	NOUN
ejde-811	86	16	li	li	PROPN
ejde-811	86	17	,	,	PUNCT
ejde-811	86	18	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	86	19	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	86	20	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	86	21	where	where	SCONJ
ejde-811	86	22	k4	k4	PROPN
ejde-811	86	23	∈	∈	PROPN
ejde-811	86	24	(	(	PUNCT
ejde-811	86	25	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	86	26	)	)	PUNCT
ejde-811	86	27	is	be	AUX
ejde-811	86	28	a	a	DET
ejde-811	86	29	constant	constant	ADJ
ejde-811	86	30	,	,	PUNCT
ejde-811	86	31	and	and	CCONJ
ejde-811	87	1	n	n	PRON
ejde-811	87	2	≥	≥	NUM
ejde-811	87	3	1	1	NUM
ejde-811	87	4	,	,	PUNCT
ejde-811	87	5	r	r	NOUN
ejde-811	87	6	,	,	PUNCT
ejde-811	87	7	s	s	NOUN
ejde-811	87	8	∈	∈	PROPN
ejde-811	87	9	(	(	PUNCT
ejde-811	87	10	n/(n−	n/(n−	PROPN
ejde-811	87	11	λ	λ	PROPN
ejde-811	87	12	)	)	PUNCT
ejde-811	87	13	,	,	PUNCT
ejde-811	87	14	1	1	NUM
ejde-811	87	15	)	)	PUNCT
ejde-811	87	16	,	,	PUNCT
ejde-811	87	17	λ	λ	X
ejde-811	87	18	<	<	X
ejde-811	87	19	0	0	NUM
ejde-811	87	20	,	,	PUNCT
ejde-811	87	21	1	1	NUM
ejde-811	87	22	r	r	NOUN
ejde-811	87	23	+	+	NUM
ejde-811	87	24	1	1	NUM
ejde-811	87	25	s	s	PART
ejde-811	87	26	+	+	NOUN
ejde-811	87	27	λ	λ	PROPN
ejde-811	87	28	n	n	CCONJ
ejde-811	87	29	≤	≤	NUM
ejde-811	87	30	2	2	NUM
ejde-811	87	31	.	.	PUNCT
ejde-811	88	1	when	when	SCONJ
ejde-811	88	2	n	n	X
ejde-811	88	3	=	=	SYM
ejde-811	88	4	1	1	NUM
ejde-811	88	5	,	,	PUNCT
ejde-811	88	6	[	[	X
ejde-811	88	7	6	6	NUM
ejde-811	88	8	]	]	PUNCT
ejde-811	88	9	obtained	obtain	VERB
ejde-811	88	10	the	the	DET
ejde-811	88	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	88	12	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	88	13	with	with	ADP
ejde-811	88	14	finite	finite	ADJ
ejde-811	88	15	terms	term	NOUN
ejde-811	88	16	,	,	PUNCT
ejde-811	88	17	and	and	CCONJ
ejde-811	88	18	gave	give	VERB
ejde-811	88	19	the	the	DET
ejde-811	88	20	limit	limit	NOUN
ejde-811	88	21	relation	relation	NOUN
ejde-811	88	22	between	between	ADP
ejde-811	88	23	its	its	PRON
ejde-811	88	24	best	well	ADV
ejde-811	88	25	constant	constant	ADJ
ejde-811	88	26	and	and	CCONJ
ejde-811	88	27	k4	k4	ADJ
ejde-811	88	28	.	.	PUNCT
ejde-811	89	1	in	in	ADP
ejde-811	89	2	2018	2018	NUM
ejde-811	89	3	,	,	PUNCT
ejde-811	89	4	chen	chen	PROPN
ejde-811	89	5	,	,	PUNCT
ejde-811	89	6	liu	liu	PROPN
ejde-811	89	7	,	,	PUNCT
ejde-811	89	8	lu	lu	PROPN
ejde-811	89	9	and	and	CCONJ
ejde-811	89	10	tao	tao	PROPN
ejde-811	89	11	proved	prove	VERB
ejde-811	89	12	the	the	DET
ejde-811	89	13	reversed	reversed	ADJ
ejde-811	89	14	stein	stein	PROPN
ejde-811	89	15	-	-	PUNCT
ejde-811	89	16	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	89	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	89	18	[	[	X
ejde-811	89	19	2	2	NUM
ejde-811	89	20	,	,	PUNCT
ejde-811	89	21	theorem	theorem	VERB
ejde-811	89	22	1	1	NUM
ejde-811	89	23	]	]	PUNCT
ejde-811	89	24	∫	∫	PROPN
ejde-811	89	25	rn	rn	PROPN
ejde-811	89	26	∫	∫	PROPN
ejde-811	89	27	rn	rn	PROPN
ejde-811	89	28	|f(x)||g(y)|	|f(x)||g(y)|	PROPN
ejde-811	89	29	,	,	PUNCT
ejde-811	89	30	dx	dx	PROPN
ejde-811	89	31	,	,	PUNCT
ejde-811	89	32	dy	dy	NOUN
ejde-811	89	33	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	89	34	y|λ|y|β	y|λ|y|β	PROPN
ejde-811	89	35	≥	≥	NOUN
ejde-811	89	36	k5∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	k5∥f∥lr(rn)∥g∥ls(rn	NOUN
ejde-811	89	37	)	)	PUNCT
ejde-811	89	38	,	,	PUNCT
ejde-811	89	39	(	(	PUNCT
ejde-811	89	40	1.10	1.10	NUM
ejde-811	89	41	)	)	PUNCT
ejde-811	89	42	for	for	ADP
ejde-811	89	43	all	all	DET
ejde-811	89	44	(	(	PUNCT
ejde-811	89	45	f	f	X
ejde-811	89	46	,	,	PUNCT
ejde-811	89	47	g	g	NOUN
ejde-811	89	48	)	)	PUNCT
ejde-811	89	49	∈	∈	PROPN
ejde-811	89	50	lr(rn)×	lr(rn)×	PROPN
ejde-811	89	51	ls(rn	ls(rn	PROPN
ejde-811	89	52	)	)	PUNCT
ejde-811	89	53	,	,	PUNCT
ejde-811	89	54	where	where	SCONJ
ejde-811	89	55	k5	k5	PROPN
ejde-811	89	56	∈	∈	PROPN
ejde-811	89	57	(	(	PUNCT
ejde-811	89	58	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	89	59	)	)	PUNCT
ejde-811	89	60	is	be	AUX
ejde-811	89	61	a	a	DET
ejde-811	89	62	constant	constant	ADJ
ejde-811	89	63	,	,	PUNCT
ejde-811	89	64	and	and	CCONJ
ejde-811	89	65	n	n	PRON
ejde-811	89	66	≥	≥	NUM
ejde-811	89	67	1	1	NUM
ejde-811	89	68	,	,	PUNCT
ejde-811	89	69	r	r	NOUN
ejde-811	89	70	,	,	PUNCT
ejde-811	89	71	s	s	NOUN
ejde-811	89	72	∈	∈	PROPN
ejde-811	89	73	(	(	PUNCT
ejde-811	89	74	0	0	NUM
ejde-811	89	75	,	,	PUNCT
ejde-811	89	76	1	1	NUM
ejde-811	89	77	)	)	PUNCT
ejde-811	89	78	,	,	PUNCT
ejde-811	89	79	λ	λ	X
ejde-811	89	80	<	<	X
ejde-811	89	81	0	0	PROPN
ejde-811	89	82	,	,	PUNCT
ejde-811	89	83	α	α	PROPN
ejde-811	89	84	∈	∈	PROPN
ejde-811	89	85	(	(	PUNCT
ejde-811	89	86	−n(1−	−n(1−	PROPN
ejde-811	89	87	r)/r	r)/r	PROPN
ejde-811	89	88	,	,	PUNCT
ejde-811	89	89	0	0	NUM
ejde-811	89	90	]	]	PUNCT
ejde-811	89	91	,	,	PUNCT
ejde-811	89	92	β	β	X
ejde-811	89	93	∈	∈	PROPN
ejde-811	89	94	(	(	PUNCT
ejde-811	89	95	−n(1−	−n(1−	PROPN
ejde-811	89	96	s)/s	s)/s	PROPN
ejde-811	89	97	,	,	PUNCT
ejde-811	89	98	0	0	NUM
ejde-811	89	99	]	]	PUNCT
ejde-811	89	100	,	,	PUNCT
ejde-811	89	101	1	1	NUM
ejde-811	89	102	r	r	NOUN
ejde-811	89	103	+	+	NUM
ejde-811	89	104	1	1	NUM
ejde-811	89	105	s	s	NOUN
ejde-811	89	106	+	+	NOUN
ejde-811	89	107	λ+	λ+	NUM
ejde-811	89	108	α+	α+	X
ejde-811	89	109	β	β	X
ejde-811	89	110	n	n	NOUN
ejde-811	89	111	=	=	SYM
ejde-811	89	112	2	2	X
ejde-811	89	113	.	.	PUNCT
ejde-811	90	1	now	now	ADV
ejde-811	90	2	,	,	PUNCT
ejde-811	90	3	we	we	PRON
ejde-811	90	4	give	give	VERB
ejde-811	90	5	the	the	DET
ejde-811	90	6	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-811	90	7	results	result	NOUN
ejde-811	90	8	of	of	ADP
ejde-811	90	9	the	the	DET
ejde-811	90	10	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	90	11	case	case	NOUN
ejde-811	90	12	.	.	PUNCT
ejde-811	91	1	theorem	theorem	VERB
ejde-811	91	2	1.7	1.7	NUM
ejde-811	91	3	.	.	PUNCT
ejde-811	92	1	let	let	VERB
ejde-811	92	2	n	n	PRON
ejde-811	92	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	92	4	1	1	NUM
ejde-811	92	5	,	,	PUNCT
ejde-811	92	6	r	r	NOUN
ejde-811	92	7	,	,	PUNCT
ejde-811	92	8	s	s	NOUN
ejde-811	92	9	∈	∈	PROPN
ejde-811	92	10	(	(	PUNCT
ejde-811	92	11	0	0	NUM
ejde-811	92	12	,	,	PUNCT
ejde-811	92	13	1	1	NUM
ejde-811	92	14	)	)	PUNCT
ejde-811	92	15	,	,	PUNCT
ejde-811	92	16	λ	λ	X
ejde-811	92	17	<	<	X
ejde-811	92	18	0	0	PROPN
ejde-811	92	19	,	,	PUNCT
ejde-811	92	20	α	α	PROPN
ejde-811	92	21	∈	∈	PROPN
ejde-811	92	22	(	(	PUNCT
ejde-811	92	23	−n(1−	−n(1−	PROPN
ejde-811	92	24	r)/r	r)/r	PROPN
ejde-811	92	25	,	,	PUNCT
ejde-811	92	26	0	0	NUM
ejde-811	92	27	]	]	PUNCT
ejde-811	92	28	,	,	PUNCT
ejde-811	92	29	β	β	X
ejde-811	92	30	∈	∈	PROPN
ejde-811	92	31	(	(	PUNCT
ejde-811	92	32	−n(1−	−n(1−	PROPN
ejde-811	92	33	s)/s	s)/s	PROPN
ejde-811	92	34	,	,	PUNCT
ejde-811	92	35	0	0	NUM
ejde-811	92	36	]	]	PUNCT
ejde-811	92	37	,	,	PUNCT
ejde-811	92	38	1	1	NUM
ejde-811	92	39	r	r	NOUN
ejde-811	92	40	+	+	NUM
ejde-811	92	41	1	1	NUM
ejde-811	92	42	s	s	NOUN
ejde-811	92	43	+	+	NOUN
ejde-811	92	44	λ+	λ+	NUM
ejde-811	92	45	α+	α+	X
ejde-811	92	46	β	β	X
ejde-811	92	47	n	n	CCONJ
ejde-811	92	48	≤	≤	NUM
ejde-811	92	49	2	2	NUM
ejde-811	92	50	.	.	PUNCT
ejde-811	93	1	then	then	ADV
ejde-811	93	2	there	there	PRON
ejde-811	93	3	exists	exist	VERB
ejde-811	93	4	c	c	PROPN
ejde-811	93	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	93	6	(	(	PUNCT
ejde-811	93	7	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	93	8	)	)	PUNCT
ejde-811	93	9	such	such	ADJ
ejde-811	93	10	that	that	PRON
ejde-811	93	11	for	for	ADP
ejde-811	93	12	any	any	DET
ejde-811	93	13	(	(	PUNCT
ejde-811	93	14	f	f	X
ejde-811	93	15	,	,	PUNCT
ejde-811	93	16	g	g	NOUN
ejde-811	93	17	)	)	PUNCT
ejde-811	93	18	∈	∈	PROPN
ejde-811	93	19	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	93	20	0	0	NUM
ejde-811	93	21	)	)	PUNCT
ejde-811	93	22	×	×	NOUN
ejde-811	93	23	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	93	24	0	0	NUM
ejde-811	93	25	)	)	PUNCT
ejde-811	93	26	,	,	PUNCT
ejde-811	93	27	∑	∑	PROPN
ejde-811	93	28	i	i	PRON
ejde-811	93	29	,	,	PUNCT
ejde-811	93	30	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	93	31	0	0	NUM
ejde-811	93	32	,	,	PUNCT
ejde-811	93	33	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	93	34	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	93	35	|	|	ADV
ejde-811	93	36	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	93	37	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	93	38	+	+	CCONJ
ejde-811	93	39	∑	∑	PUNCT
ejde-811	93	40	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	93	41	0	0	NUM
ejde-811	93	42	|fj	|fj	NUM
ejde-811	93	43	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	93	44	|	|	ADV
ejde-811	93	45	|j|α+β	|j|α+β	VERB
ejde-811	93	46	≥	≥	PROPN
ejde-811	93	47	c∥f∥lr(zn	c∥f∥lr(zn	PROPN
ejde-811	93	48	0	0	NUM
ejde-811	93	49	)	)	PUNCT
ejde-811	93	50	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	93	51	0	0	NUM
ejde-811	93	52	)	)	PUNCT
ejde-811	93	53	.	.	PUNCT
ejde-811	94	1	(	(	PUNCT
ejde-811	94	2	1.11	1.11	NUM
ejde-811	94	3	)	)	PUNCT
ejde-811	94	4	theorem	theorem	VERB
ejde-811	94	5	1.8	1.8	NUM
ejde-811	94	6	.	.	PUNCT
ejde-811	95	1	let	let	VERB
ejde-811	95	2	n	n	PRON
ejde-811	95	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	95	4	1	1	NUM
ejde-811	95	5	,	,	PUNCT
ejde-811	95	6	min{r	min{r	PROPN
ejde-811	95	7	,	,	PUNCT
ejde-811	95	8	s	s	PART
ejde-811	95	9	}	}	PUNCT
ejde-811	95	10	>	>	SYM
ejde-811	95	11	0	0	PUNCT
ejde-811	96	1	and	and	CCONJ
ejde-811	96	2	λ	λ	X
ejde-811	96	3	<	<	X
ejde-811	96	4	0	0	NUM
ejde-811	96	5	.	.	PUNCT
ejde-811	97	1	then	then	ADV
ejde-811	97	2	there	there	PRON
ejde-811	97	3	exists	exist	VERB
ejde-811	97	4	c	c	PROPN
ejde-811	97	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	97	6	(	(	PUNCT
ejde-811	97	7	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-811	97	8	)	)	PUNCT
ejde-811	97	9	such	such	ADJ
ejde-811	97	10	that	that	PRON
ejde-811	97	11	for	for	ADP
ejde-811	97	12	any	any	DET
ejde-811	97	13	(	(	PUNCT
ejde-811	97	14	f	f	X
ejde-811	97	15	,	,	PUNCT
ejde-811	97	16	g	g	NOUN
ejde-811	97	17	)	)	PUNCT
ejde-811	97	18	∈	∈	PROPN
ejde-811	97	19	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	97	20	n	n	CCONJ
ejde-811	97	21	)	)	PUNCT
ejde-811	97	22	×	×	PROPN
ejde-811	97	23	ls(zn	ls(zn	PROPN
ejde-811	97	24	n	n	PROPN
ejde-811	97	25	)	)	PUNCT
ejde-811	97	26	,	,	PUNCT
ejde-811	97	27	∑	∑	PROPN
ejde-811	97	28	i	i	PROPN
ejde-811	97	29	,	,	PUNCT
ejde-811	97	30	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	97	31	0,n	0,n	ADV
ejde-811	97	32	,	,	PUNCT
ejde-811	97	33	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	97	34	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	97	35	|	|	ADV
ejde-811	97	36	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	97	37	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	97	38	+	+	CCONJ
ejde-811	97	39	∑	∑	PROPN
ejde-811	97	40	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	97	41	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	97	42	|fj	|fj	NUM
ejde-811	97	43	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	97	44	|	|	ADV
ejde-811	97	45	|j|α+β	|j|α+β	VERB
ejde-811	97	46	≥	≥	NOUN
ejde-811	97	47	c∥f∥lr(zn	c∥f∥lr(zn	NOUN
ejde-811	97	48	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	97	49	)	)	PUNCT
ejde-811	97	50	∥g∥ls(zn	∥g∥ls(zn	NOUN
ejde-811	97	51	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	97	52	)	)	PUNCT
ejde-811	97	53	.	.	PUNCT
ejde-811	98	1	(	(	PUNCT
ejde-811	98	2	1.12	1.12	NUM
ejde-811	98	3	)	)	PUNCT
ejde-811	98	4	we	we	PRON
ejde-811	98	5	denote	denote	VERB
ejde-811	98	6	the	the	DET
ejde-811	98	7	best	well	ADV
ejde-811	98	8	constant	constant	ADJ
ejde-811	98	9	of	of	ADP
ejde-811	98	10	(	(	PUNCT
ejde-811	98	11	1.12	1.12	NUM
ejde-811	98	12	)	)	PUNCT
ejde-811	98	13	by	by	ADP
ejde-811	98	14	qn	qn	PROPN
ejde-811	98	15	.	.	PUNCT
ejde-811	99	1	thus	thus	ADV
ejde-811	99	2	,	,	PUNCT
ejde-811	99	3	qn	qn	INTJ
ejde-811	99	4	:	:	PUNCT
ejde-811	99	5	=	=	SYM
ejde-811	99	6	min	min	PROPN
ejde-811	99	7	(	(	PUNCT
ejde-811	99	8	f	f	X
ejde-811	99	9	,	,	PUNCT
ejde-811	99	10	g)∈s(n	g)∈s(n	PROPN
ejde-811	99	11	)	)	PUNCT
ejde-811	99	12	{	{	PUNCT
ejde-811	99	13	∑	∑	PUNCT
ejde-811	99	14	i	i	PROPN
ejde-811	99	15	,	,	PUNCT
ejde-811	99	16	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	99	17	0,n	0,n	ADV
ejde-811	99	18	,	,	PUNCT
ejde-811	99	19	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	99	20	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	99	21	|	|	ADV
ejde-811	99	22	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	99	23	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	99	24	+	+	CCONJ
ejde-811	99	25	∑	∑	PROPN
ejde-811	99	26	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	99	27	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	99	28	|fj	|fj	NUM
ejde-811	99	29	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	99	30	|	|	ADV
ejde-811	99	31	|j|α+β	|j|α+β	ADP
ejde-811	99	32	}	}	PUNCT
ejde-811	99	33	.	.	PUNCT
ejde-811	100	1	(	(	PUNCT
ejde-811	100	2	1.13	1.13	NUM
ejde-811	100	3	)	)	PUNCT
ejde-811	100	4	theorem	theorem	VERB
ejde-811	100	5	1.9	1.9	NUM
ejde-811	100	6	.	.	PUNCT
ejde-811	101	1	under	under	ADP
ejde-811	101	2	the	the	DET
ejde-811	101	3	assumptions	assumption	NOUN
ejde-811	101	4	of	of	ADP
ejde-811	101	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	101	6	1.7	1.7	NUM
ejde-811	101	7	,	,	PUNCT
ejde-811	101	8	we	we	PRON
ejde-811	101	9	have	have	VERB
ejde-811	101	10	lim	lim	PROPN
ejde-811	101	11	n→∞	n→∞	NUM
ejde-811	101	12	qn	qn	PROPN
ejde-811	101	13	=	=	X
ejde-811	101	14	q	q	NOUN
ejde-811	101	15	,	,	PUNCT
ejde-811	101	16	where	where	SCONJ
ejde-811	101	17	q	q	NOUN
ejde-811	101	18	is	be	AUX
ejde-811	101	19	the	the	DET
ejde-811	101	20	best	well	ADV
ejde-811	101	21	constant	constant	ADJ
ejde-811	101	22	in	in	ADP
ejde-811	101	23	(	(	PUNCT
ejde-811	101	24	1.11	1.11	NUM
ejde-811	101	25	)	)	PUNCT
ejde-811	101	26	,	,	PUNCT
ejde-811	101	27	that	that	ADV
ejde-811	101	28	is	is	ADV
ejde-811	101	29	,	,	PUNCT
ejde-811	101	30	q	q	X
ejde-811	101	31	:	:	PUNCT
ejde-811	101	32	=	=	SYM
ejde-811	101	33	inf	inf	PROPN
ejde-811	101	34	(	(	PUNCT
ejde-811	101	35	f	f	X
ejde-811	101	36	,	,	PUNCT
ejde-811	101	37	g)∈s	g)∈s	X
ejde-811	101	38	{	{	PUNCT
ejde-811	101	39	∑	∑	PROPN
ejde-811	101	40	i	i	PROPN
ejde-811	101	41	,	,	PUNCT
ejde-811	101	42	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	101	43	0	0	NUM
ejde-811	101	44	,	,	PUNCT
ejde-811	101	45	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	101	46	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	101	47	|	|	ADV
ejde-811	101	48	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	101	49	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	101	50	+	+	CCONJ
ejde-811	101	51	∑	∑	PUNCT
ejde-811	101	52	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	101	53	0	0	NUM
ejde-811	102	1	|fj	|fj	NUM
ejde-811	102	2	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	102	3	|	|	ADV
ejde-811	102	4	|j|α+β	|j|α+β	ADP
ejde-811	102	5	}	}	PUNCT
ejde-811	102	6	.	.	PUNCT
ejde-811	103	1	(	(	PUNCT
ejde-811	103	2	1.14	1.14	NUM
ejde-811	103	3	)	)	PUNCT
ejde-811	103	4	with	with	ADP
ejde-811	103	5	the	the	DET
ejde-811	103	6	above	above	ADJ
ejde-811	103	7	conclusions	conclusion	NOUN
ejde-811	103	8	in	in	ADP
ejde-811	103	9	mind	mind	NOUN
ejde-811	103	10	,	,	PUNCT
ejde-811	103	11	we	we	PRON
ejde-811	103	12	need	need	VERB
ejde-811	103	13	to	to	PART
ejde-811	103	14	consider	consider	VERB
ejde-811	103	15	whether	whether	SCONJ
ejde-811	103	16	q	q	NOUN
ejde-811	103	17	can	can	AUX
ejde-811	103	18	be	be	AUX
ejde-811	103	19	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	103	20	.	.	PUNCT
ejde-811	104	1	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	104	2	discrete	discrete	VERB
ejde-811	104	3	stein	stein	PROPN
ejde-811	104	4	-	-	PUNCT
ejde-811	104	5	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	104	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	104	7	5	5	NUM
ejde-811	104	8	theorem	theorem	VERB
ejde-811	104	9	1.10	1.10	NUM
ejde-811	104	10	.	.	PUNCT
ejde-811	105	1	let	let	VERB
ejde-811	105	2	n	n	PRON
ejde-811	105	3	≥	≥	NOUN
ejde-811	105	4	1	1	NUM
ejde-811	105	5	,	,	PUNCT
ejde-811	105	6	r	r	NOUN
ejde-811	105	7	,	,	PUNCT
ejde-811	105	8	s	s	NOUN
ejde-811	105	9	∈	∈	PROPN
ejde-811	105	10	(	(	PUNCT
ejde-811	105	11	0	0	NUM
ejde-811	105	12	,	,	PUNCT
ejde-811	105	13	1	1	NUM
ejde-811	105	14	)	)	PUNCT
ejde-811	105	15	,	,	PUNCT
ejde-811	105	16	λ	λ	X
ejde-811	105	17	<	<	X
ejde-811	105	18	0	0	PROPN
ejde-811	105	19	,	,	PUNCT
ejde-811	105	20	α	α	PROPN
ejde-811	105	21	∈	∈	PROPN
ejde-811	105	22	(	(	PUNCT
ejde-811	105	23	(	(	PUNCT
ejde-811	105	24	r	r	NOUN
ejde-811	105	25	−	−	PROPN
ejde-811	105	26	1)n	1)n	NUM
ejde-811	105	27	/	/	SYM
ejde-811	105	28	r	r	NOUN
ejde-811	105	29	,	,	PUNCT
ejde-811	105	30	0	0	NUM
ejde-811	105	31	]	]	PUNCT
ejde-811	105	32	and	and	CCONJ
ejde-811	105	33	β	β	X
ejde-811	105	34	∈	∈	PROPN
ejde-811	105	35	(	(	PUNCT
ejde-811	105	36	(	(	PUNCT
ejde-811	105	37	s−	s−	PROPN
ejde-811	105	38	1)n	1)n	NUM
ejde-811	105	39	/	/	SYM
ejde-811	105	40	s	s	PROPN
ejde-811	105	41	,	,	PUNCT
ejde-811	105	42	0	0	NUM
ejde-811	105	43	]	]	PUNCT
ejde-811	105	44	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-811	105	45	1	1	NUM
ejde-811	105	46	r	r	NOUN
ejde-811	105	47	+	+	NUM
ejde-811	105	48	1	1	NUM
ejde-811	105	49	s	s	NOUN
ejde-811	105	50	+	+	NOUN
ejde-811	105	51	λ+	λ+	NUM
ejde-811	105	52	α+	α+	X
ejde-811	105	53	β	β	X
ejde-811	105	54	n	n	X
ejde-811	105	55	<	<	X
ejde-811	105	56	2	2	NUM
ejde-811	105	57	.	.	PUNCT
ejde-811	106	1	(	(	PUNCT
ejde-811	106	2	1.15	1.15	NUM
ejde-811	106	3	)	)	PUNCT
ejde-811	106	4	then	then	ADV
ejde-811	106	5	q	q	X
ejde-811	106	6	is	be	AUX
ejde-811	106	7	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	106	8	.	.	PUNCT
ejde-811	107	1	namely	namely	ADV
ejde-811	107	2	,	,	PUNCT
ejde-811	107	3	there	there	PRON
ejde-811	107	4	exists	exist	VERB
ejde-811	107	5	(	(	PUNCT
ejde-811	107	6	f∗	f∗	NOUN
ejde-811	107	7	,	,	PUNCT
ejde-811	107	8	g∗	g∗	PROPN
ejde-811	107	9	)	)	PUNCT
ejde-811	107	10	∈	∈	PROPN
ejde-811	107	11	s	s	VERB
ejde-811	107	12	such	such	ADJ
ejde-811	107	13	that	that	DET
ejde-811	107	14	q	q	NOUN
ejde-811	108	1	=	=	X
ejde-811	108	2	∑	∑	PUNCT
ejde-811	108	3	i	i	PROPN
ejde-811	108	4	,	,	PUNCT
ejde-811	108	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	108	6	0	0	NUM
ejde-811	108	7	,	,	PUNCT
ejde-811	108	8	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	108	9	|f∗	|f∗	PROPN
ejde-811	108	10	i	i	PRON
ejde-811	108	11	||g∗j	||g∗j	VERB
ejde-811	108	12	|	|	ADV
ejde-811	108	13	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	108	14	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	108	15	+	+	CCONJ
ejde-811	108	16	∑	∑	PUNCT
ejde-811	108	17	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	108	18	0	0	PUNCT
ejde-811	109	1	|f∗	|f∗	PROPN
ejde-811	109	2	j	j	PROPN
ejde-811	109	3	||g∗j	||g∗j	VERB
ejde-811	109	4	|	|	ADV
ejde-811	109	5	|j|α+β	|j|α+β	PUNCT
ejde-811	109	6	.	.	PUNCT
ejde-811	110	1	meanwhile	meanwhile	ADV
ejde-811	110	2	,	,	PUNCT
ejde-811	110	3	the	the	DET
ejde-811	110	4	subsequences	subsequence	NOUN
ejde-811	110	5	of	of	ADP
ejde-811	110	6	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	110	7	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	110	8	(	(	PUNCT
ejde-811	110	9	fn	fn	INTJ
ejde-811	110	10	,	,	PUNCT
ejde-811	110	11	gn	gn	PROPN
ejde-811	110	12	)	)	PUNCT
ejde-811	110	13	denoted	denote	VERB
ejde-811	110	14	by	by	ADP
ejde-811	110	15	itself	itself	PRON
ejde-811	110	16	in	in	ADP
ejde-811	110	17	(	(	PUNCT
ejde-811	110	18	1.13	1.13	NUM
ejde-811	110	19	)	)	PUNCT
ejde-811	110	20	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-811	110	21	lim	lim	PROPN
ejde-811	110	22	n→∞	n→∞	NUM
ejde-811	110	23	∥fn∥lr(zn	∥fn∥lr(zn	NOUN
ejde-811	110	24	n	n	NOUN
ejde-811	110	25	)	)	PUNCT
ejde-811	110	26	=	=	SYM
ejde-811	111	1	∥f∗∥lr(zn	∥f∗∥lr(zn	X
ejde-811	111	2	)	)	PUNCT
ejde-811	111	3	,	,	PUNCT
ejde-811	111	4	lim	lim	PROPN
ejde-811	111	5	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	111	6	∥gn∥ls(zn	∥gn∥ls(zn	NOUN
ejde-811	111	7	n	n	CCONJ
ejde-811	111	8	)	)	PUNCT
ejde-811	112	1	=	=	SYM
ejde-811	112	2	∥g∗∥ls(zn	∥g∗∥ls(zn	PROPN
ejde-811	112	3	)	)	PUNCT
ejde-811	112	4	,	,	PUNCT
ejde-811	112	5	(	(	PUNCT
ejde-811	112	6	1.16	1.16	NUM
ejde-811	112	7	)	)	PUNCT
ejde-811	112	8	lim	lim	PROPN
ejde-811	112	9	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	113	1	∥f∗	∥f∗	PROPN
ejde-811	113	2	−	−	PROPN
ejde-811	113	3	(	(	PUNCT
ejde-811	113	4	1−	1−	NUM
ejde-811	113	5	εn	εn	ADJ
ejde-811	113	6	)	)	PUNCT
ejde-811	113	7	f̃n∥lr(zn	f̃n∥lr(zn	SYM
ejde-811	113	8	)	)	PUNCT
ejde-811	114	1	=	=	SYM
ejde-811	114	2	lim	lim	PROPN
ejde-811	114	3	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	115	1	∥g∗	∥g∗	PROPN
ejde-811	115	2	−	−	PROPN
ejde-811	115	3	(	(	PUNCT
ejde-811	115	4	1−	1−	NUM
ejde-811	115	5	εn	εn	ADJ
ejde-811	115	6	)	)	PUNCT
ejde-811	115	7	g̃n∥ls(zn	g̃n∥ls(zn	PROPN
ejde-811	115	8	)	)	PUNCT
ejde-811	115	9	=	=	SYM
ejde-811	115	10	0	0	NUM
ejde-811	115	11	,	,	PUNCT
ejde-811	115	12	(	(	PUNCT
ejde-811	115	13	1.17	1.17	NUM
ejde-811	115	14	)	)	PUNCT
ejde-811	115	15	as	as	ADV
ejde-811	115	16	long	long	ADV
ejde-811	115	17	as	as	SCONJ
ejde-811	115	18	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-811	115	19	εn	εn	ADJ
ejde-811	115	20	=	=	NOUN
ejde-811	115	21	0	0	X
ejde-811	115	22	.	.	PUNCT
ejde-811	116	1	here	here	ADV
ejde-811	116	2	f̃n	f̃n	X
ejde-811	116	3	and	and	CCONJ
ejde-811	116	4	g̃n	g̃n	NOUN
ejde-811	116	5	after	after	ADP
ejde-811	116	6	certain	certain	ADJ
ejde-811	116	7	translations	translation	NOUN
ejde-811	116	8	respectively	respectively	ADV
ejde-811	116	9	.	.	PUNCT
ejde-811	117	1	2	2	X
ejde-811	117	2	.	.	X
ejde-811	117	3	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	117	4	with	with	ADP
ejde-811	117	5	infinite	infinite	ADJ
ejde-811	117	6	terms	term	NOUN
ejde-811	117	7	in	in	ADP
ejde-811	117	8	this	this	DET
ejde-811	117	9	section	section	NOUN
ejde-811	117	10	,	,	PUNCT
ejde-811	117	11	we	we	PRON
ejde-811	117	12	prove	prove	VERB
ejde-811	117	13	theorems	theorem	NOUN
ejde-811	117	14	1.1	1.1	NUM
ejde-811	117	15	and	and	CCONJ
ejde-811	117	16	1.7	1.7	NUM
ejde-811	117	17	.	.	PUNCT
ejde-811	118	1	proof	proof	NOUN
ejde-811	118	2	of	of	ADP
ejde-811	118	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	118	4	1.1	1.1	NUM
ejde-811	118	5	.	.	PUNCT
ejde-811	119	1	assume	assume	VERB
ejde-811	119	2	(	(	PUNCT
ejde-811	119	3	fj)j∈zn	fj)j∈zn	NOUN
ejde-811	119	4	0	0	NUM
ejde-811	119	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	119	6	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	119	7	0	0	NUM
ejde-811	119	8	)	)	PUNCT
ejde-811	119	9	and	and	CCONJ
ejde-811	119	10	(	(	PUNCT
ejde-811	119	11	gj)j∈zn	gj)j∈zn	ADV
ejde-811	119	12	0	0	NUM
ejde-811	119	13	∈	∈	PROPN
ejde-811	119	14	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	119	15	0	0	NUM
ejde-811	119	16	)	)	PUNCT
ejde-811	119	17	.	.	PUNCT
ejde-811	120	1	let	let	VERB
ejde-811	120	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-811	120	3	)	)	PUNCT
ejde-811	120	4	≡	≡	PROPN
ejde-811	120	5	fj	fj	PROPN
ejde-811	120	6	,	,	PUNCT
ejde-811	120	7	g(x	g(x	PROPN
ejde-811	120	8	)	)	PUNCT
ejde-811	120	9	≡	≡	PROPN
ejde-811	120	10	gj	gj	PROPN
ejde-811	120	11	,	,	PUNCT
ejde-811	120	12	when	when	SCONJ
ejde-811	120	13	|x−	|x−	PROPN
ejde-811	120	14	j|	j|	VERB
ejde-811	120	15	<	<	X
ejde-811	120	16	1/3	1/3	NUM
ejde-811	120	17	for	for	ADP
ejde-811	120	18	j	j	PROPN
ejde-811	120	19	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	120	20	0	0	NUM
ejde-811	120	21	,	,	PUNCT
ejde-811	120	22	f(x	f(x	PROPN
ejde-811	120	23	)	)	PUNCT
ejde-811	121	1	=	=	PUNCT
ejde-811	122	1	g(x	g(x	NOUN
ejde-811	122	2	)	)	PUNCT
ejde-811	123	1	=	=	SYM
ejde-811	123	2	0	0	NUM
ejde-811	123	3	,	,	PUNCT
ejde-811	123	4	otherwise	otherwise	ADV
ejde-811	123	5	.	.	PUNCT
ejde-811	124	1	(	(	PUNCT
ejde-811	124	2	2.1	2.1	NUM
ejde-811	124	3	)	)	PUNCT
ejde-811	124	4	therefore	therefore	ADV
ejde-811	124	5	,	,	PUNCT
ejde-811	124	6	∥f∥rlr(rn	∥f∥rlr(rn	PROPN
ejde-811	124	7	)	)	PUNCT
ejde-811	124	8	=	=	SYM
ejde-811	124	9	∑	∑	PUNCT
ejde-811	124	10	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	124	11	0	0	NUM
ejde-811	124	12	∫	∫	PROPN
ejde-811	124	13	|x−j|≤1/3	|x−j|≤1/3	CCONJ
ejde-811	124	14	|fj	|fj	X
ejde-811	124	15	|rdx	|rdx	PROPN
ejde-811	124	16	=	=	PUNCT
ejde-811	124	17	|sn−1|	|sn−1|	PROPN
ejde-811	124	18	3nn	3nn	NOUN
ejde-811	124	19	∑	∑	PUNCT
ejde-811	124	20	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	124	21	0	0	NUM
ejde-811	124	22	|fj	|fj	NUM
ejde-811	124	23	|r	|r	PROPN
ejde-811	124	24	.	.	PUNCT
ejde-811	125	1	(	(	PUNCT
ejde-811	125	2	2.2	2.2	NUM
ejde-811	125	3	)	)	PUNCT
ejde-811	125	4	here	here	ADV
ejde-811	125	5	sn−1	sn−1	PROPN
ejde-811	125	6	⊂	⊂	PROPN
ejde-811	125	7	rn	rn	PROPN
ejde-811	125	8	is	be	AUX
ejde-811	125	9	the	the	DET
ejde-811	125	10	unit	unit	NOUN
ejde-811	125	11	sphere	sphere	ADV
ejde-811	125	12	.	.	PUNCT
ejde-811	126	1	similarly	similarly	ADV
ejde-811	126	2	,	,	PUNCT
ejde-811	126	3	∥g∥sls(rn	∥g∥sls(rn	ADV
ejde-811	126	4	)	)	PUNCT
ejde-811	126	5	=	=	PUNCT
ejde-811	127	1	|sn−1|	|sn−1|	NUM
ejde-811	127	2	3nn	3nn	NOUN
ejde-811	127	3	∥g∥sls(zn	∥g∥sls(zn	X
ejde-811	127	4	0	0	NUM
ejde-811	127	5	)	)	PUNCT
ejde-811	127	6	.	.	PUNCT
ejde-811	128	1	(	(	PUNCT
ejde-811	128	2	2.3	2.3	NUM
ejde-811	128	3	)	)	PUNCT
ejde-811	128	4	when	when	SCONJ
ejde-811	128	5	|x−	|x−	PROPN
ejde-811	128	6	i|	i|	VERB
ejde-811	128	7	≤	≤	NOUN
ejde-811	128	8	1/3	1/3	NUM
ejde-811	128	9	,	,	PUNCT
ejde-811	128	10	it	it	PRON
ejde-811	128	11	follows	follow	VERB
ejde-811	128	12	that	that	SCONJ
ejde-811	128	13	|i|−1/3	|i|−1/3	ADJ
ejde-811	128	14	≤	≤	VERB
ejde-811	128	15	|x|	|x|	PROPN
ejde-811	128	16	≤	≤	PUNCT
ejde-811	128	17	|i|+1/3	|i|+1/3	NOUN
ejde-811	128	18	.	.	PUNCT
ejde-811	129	1	in	in	ADP
ejde-811	129	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	129	3	,	,	PUNCT
ejde-811	129	4	i	i	PRON
ejde-811	129	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	129	6	zn	zn	PROPN
ejde-811	129	7	0	0	NUM
ejde-811	129	8	implies	imply	VERB
ejde-811	129	9	|i|	|i|	PROPN
ejde-811	129	10	≥	≥	PROPN
ejde-811	129	11	1	1	NUM
ejde-811	129	12	.	.	PUNCT
ejde-811	130	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	130	2	,	,	PUNCT
ejde-811	130	3	3	3	NUM
ejde-811	130	4	4	4	NUM
ejde-811	130	5	≤	≤	NOUN
ejde-811	130	6	|i|	|i|	VERB
ejde-811	130	7	|i|+	|i|+	NOUN
ejde-811	130	8	1/3	1/3	NUM
ejde-811	130	9	≤	≤	NUM
ejde-811	130	10	|i|	|i|	ADP
ejde-811	130	11	|x|	|x|	PROPN
ejde-811	130	12	≤	≤	X
ejde-811	131	1	|i|	|i|	NOUN
ejde-811	131	2	|i|	|i|	PROPN
ejde-811	131	3	−	−	PROPN
ejde-811	131	4	1/3	1/3	NUM
ejde-811	131	5	≤	≤	NUM
ejde-811	131	6	3	3	NUM
ejde-811	131	7	2	2	NUM
ejde-811	131	8	.	.	PUNCT
ejde-811	132	1	(	(	PUNCT
ejde-811	132	2	2.4	2.4	NUM
ejde-811	132	3	)	)	PUNCT
ejde-811	132	4	similarly	similarly	ADV
ejde-811	132	5	,	,	PUNCT
ejde-811	132	6	j	j	PROPN
ejde-811	132	7	∈	∈	PROPN
ejde-811	132	8	zn	zn	PROPN
ejde-811	132	9	0	0	NUM
ejde-811	132	10	and	and	CCONJ
ejde-811	132	11	|y	|y	NOUN
ejde-811	132	12	−	−	PROPN
ejde-811	132	13	j|	j|	NOUN
ejde-811	132	14	≤	≤	NOUN
ejde-811	132	15	1/3	1/3	NUM
ejde-811	132	16	imply	imply	VERB
ejde-811	132	17	3	3	NUM
ejde-811	132	18	4	4	NUM
ejde-811	132	19	≤	≤	NUM
ejde-811	132	20	|j|	|j|	PROPN
ejde-811	132	21	|y|	|y|	X
ejde-811	132	22	≤	≤	ADJ
ejde-811	132	23	3	3	NUM
ejde-811	132	24	2	2	NUM
ejde-811	132	25	.	.	PUNCT
ejde-811	133	1	(	(	PUNCT
ejde-811	133	2	2.5	2.5	NUM
ejde-811	133	3	)	)	PUNCT
ejde-811	133	4	when	when	SCONJ
ejde-811	133	5	|x−i|	|x−i|	PUNCT
ejde-811	133	6	≤	≤	NUM
ejde-811	133	7	1/3	1/3	NUM
ejde-811	133	8	and	and	CCONJ
ejde-811	133	9	|y−j|	|y−j|	NOUN
ejde-811	133	10	≤	≤	NOUN
ejde-811	133	11	1/3	1/3	NUM
ejde-811	133	12	,	,	PUNCT
ejde-811	133	13	we	we	PRON
ejde-811	133	14	have	have	VERB
ejde-811	133	15	|i−j|−2/3	|i−j|−2/3	VERB
ejde-811	133	16	≤	≤	NUM
ejde-811	133	17	|x−y|	|x−y|	NUM
ejde-811	133	18	≤	≤	NOUN
ejde-811	133	19	|i−j|+2/3	|i−j|+2/3	PROPN
ejde-811	133	20	.	.	PUNCT
ejde-811	134	1	in	in	ADP
ejde-811	134	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	134	3	,	,	PUNCT
ejde-811	134	4	i	i	PRON
ejde-811	134	5	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	134	6	j	j	PROPN
ejde-811	134	7	implies	imply	VERB
ejde-811	134	8	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	134	9	j|	j|	PROPN
ejde-811	134	10	≥	≥	PROPN
ejde-811	134	11	1	1	NUM
ejde-811	134	12	.	.	PUNCT
ejde-811	135	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	135	2	,	,	PUNCT
ejde-811	135	3	1	1	NUM
ejde-811	135	4	3	3	NUM
ejde-811	135	5	≤	≤	NUM
ejde-811	135	6	|x−	|x−	PART
ejde-811	135	7	y|	y|	NOUN
ejde-811	135	8	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	135	9	j|	j|	VERB
ejde-811	135	10	≤	≤	ADV
ejde-811	135	11	5	5	NUM
ejde-811	135	12	3	3	NUM
ejde-811	135	13	.	.	PUNCT
ejde-811	136	1	(	(	PUNCT
ejde-811	136	2	2.6	2.6	NUM
ejde-811	136	3	)	)	PUNCT
ejde-811	136	4	6	6	NUM
ejde-811	136	5	chunhong	chunhong	NOUN
ejde-811	136	6	li	li	PROPN
ejde-811	136	7	,	,	PUNCT
ejde-811	136	8	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	136	9	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	136	10	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	136	11	using	use	VERB
ejde-811	136	12	(	(	PUNCT
ejde-811	136	13	2.4)-(2.6	2.4)-(2.6	NUM
ejde-811	136	14	)	)	PUNCT
ejde-811	136	15	,	,	PUNCT
ejde-811	136	16	we	we	PRON
ejde-811	136	17	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-811	136	18	rn	rn	PROPN
ejde-811	136	19	∫	∫	PROPN
ejde-811	136	20	rn	rn	PROPN
ejde-811	136	21	|f(x)g(y)|	|f(x)g(y)|	PROPN
ejde-811	136	22	,	,	PUNCT
ejde-811	136	23	dx	dx	PROPN
ejde-811	136	24	,	,	PUNCT
ejde-811	136	25	dy	dy	NOUN
ejde-811	136	26	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	136	27	y|λ|y|β	y|λ|y|β	PROPN
ejde-811	136	28	≥	≥	NOUN
ejde-811	136	29	∑	∑	PROPN
ejde-811	136	30	i	i	PROPN
ejde-811	136	31	,	,	PUNCT
ejde-811	136	32	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	136	33	0	0	NUM
ejde-811	137	1	∫	∫	PROPN
ejde-811	138	1	b1/3(i	b1/3(i	PROPN
ejde-811	138	2	)	)	PUNCT
ejde-811	138	3	∫	∫	PROPN
ejde-811	138	4	b1/3(j	b1/3(j	PROPN
ejde-811	138	5	)	)	PUNCT
ejde-811	139	1	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	139	2	|	|	NOUN
ejde-811	139	3	,	,	PUNCT
ejde-811	139	4	dx	dx	PROPN
ejde-811	139	5	,	,	PUNCT
ejde-811	139	6	dy	dy	NOUN
ejde-811	139	7	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	139	8	y|λ|y|β	y|λ|y|β	PROPN
ejde-811	139	9	≥	≥	NOUN
ejde-811	139	10	∑	∑	PROPN
ejde-811	139	11	i	i	PROPN
ejde-811	139	12	,	,	PUNCT
ejde-811	139	13	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	139	14	0	0	NUM
ejde-811	139	15	,	,	PUNCT
ejde-811	139	16	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	139	17	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	139	18	|	|	PROPN
ejde-811	139	19	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	139	20	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	139	21	∫	∫	PROPN
ejde-811	139	22	b1/3(i	b1/3(i	PROPN
ejde-811	139	23	)	)	PUNCT
ejde-811	139	24	∫	∫	PROPN
ejde-811	139	25	b1/3(j	b1/3(j	PROPN
ejde-811	139	26	)	)	PUNCT
ejde-811	139	27	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	139	28	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	139	29	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	139	30	y|λ|y|β	y|λ|y|β	NOUN
ejde-811	139	31	,	,	PUNCT
ejde-811	139	32	dx	dx	PROPN
ejde-811	139	33	,	,	PUNCT
ejde-811	139	34	dy	dy	PROPN
ejde-811	139	35	≥	≥	NOUN
ejde-811	139	36	c(α	c(α	PROPN
ejde-811	139	37	,	,	PUNCT
ejde-811	139	38	β	β	X
ejde-811	139	39	)	)	PUNCT
ejde-811	139	40	∑	∑	PROPN
ejde-811	139	41	i	i	PROPN
ejde-811	139	42	,	,	PUNCT
ejde-811	139	43	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	139	44	0	0	NUM
ejde-811	139	45	,	,	PUNCT
ejde-811	139	46	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	139	47	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	139	48	|	|	PROPN
ejde-811	139	49	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	139	50	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	139	51	∫	∫	PROPN
ejde-811	139	52	b1/3(0	b1/3(0	PROPN
ejde-811	139	53	)	)	PUNCT
ejde-811	139	54	∫	∫	PROPN
ejde-811	139	55	b1/3(0	b1/3(0	SYM
ejde-811	139	56	)	)	PUNCT
ejde-811	139	57	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	139	58	j|λ	j|λ	PROPN
ejde-811	139	59	,	,	PUNCT
ejde-811	139	60	dx	dx	PROPN
ejde-811	139	61	,	,	PUNCT
ejde-811	139	62	dy	dy	PROPN
ejde-811	139	63	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	139	64	j	j	PROPN
ejde-811	139	65	+	+	CCONJ
ejde-811	139	66	x−	x−	PROPN
ejde-811	139	67	y|λ	y|λ	PROPN
ejde-811	139	68	≥	≥	PROPN
ejde-811	139	69	c(α	c(α	PROPN
ejde-811	139	70	,	,	PUNCT
ejde-811	139	71	β)c(λ	β)c(λ	NUM
ejde-811	139	72	)	)	PUNCT
ejde-811	139	73	(	(	PUNCT
ejde-811	139	74	|sn−1|	|sn−1|	NOUN
ejde-811	139	75	3nn	3nn	NOUN
ejde-811	139	76	)	)	PUNCT
ejde-811	139	77	2	2	NUM
ejde-811	139	78	∑	∑	PROPN
ejde-811	139	79	i	i	PROPN
ejde-811	139	80	,	,	PUNCT
ejde-811	139	81	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	139	82	0	0	NUM
ejde-811	139	83	,	,	PUNCT
ejde-811	139	84	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	139	85	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	139	86	|	|	ADV
ejde-811	139	87	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	139	88	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	139	89	,	,	PUNCT
ejde-811	139	90	(	(	PUNCT
ejde-811	139	91	2.7	2.7	NUM
ejde-811	139	92	)	)	PUNCT
ejde-811	139	93	where	where	SCONJ
ejde-811	139	94	c(α	c(α	NOUN
ejde-811	139	95	,	,	PUNCT
ejde-811	139	96	β	β	X
ejde-811	139	97	)	)	PUNCT
ejde-811	139	98	=	=	SYM
ejde-811	139	99	min	min	NOUN
ejde-811	139	100	{	{	PUNCT
ejde-811	139	101	(	(	PUNCT
ejde-811	139	102	3	3	NUM
ejde-811	139	103	4	4	NUM
ejde-811	139	104	)	)	PUNCT
ejde-811	139	105	α+β	α+β	NUM
ejde-811	139	106	,	,	PUNCT
ejde-811	139	107	(	(	PUNCT
ejde-811	139	108	3	3	NUM
ejde-811	139	109	4	4	NUM
ejde-811	139	110	)	)	PUNCT
ejde-811	139	111	α(3	α(3	PROPN
ejde-811	139	112	2	2	NUM
ejde-811	139	113	)	)	PUNCT
ejde-811	139	114	β	β	NOUN
ejde-811	139	115	,	,	PUNCT
ejde-811	139	116	(	(	PUNCT
ejde-811	139	117	3	3	NUM
ejde-811	139	118	2	2	NUM
ejde-811	139	119	)	)	PUNCT
ejde-811	139	120	α(3	α(3	NOUN
ejde-811	139	121	4	4	NUM
ejde-811	139	122	)	)	PUNCT
ejde-811	139	123	β	β	NOUN
ejde-811	139	124	}	}	PUNCT
ejde-811	139	125	,	,	PUNCT
ejde-811	139	126	c(λ	c(λ	PROPN
ejde-811	139	127	)	)	PUNCT
ejde-811	140	1	=	=	PUNCT
ejde-811	140	2	[	[	PUNCT
ejde-811	140	3	1	1	NUM
ejde-811	140	4	+	+	CCONJ
ejde-811	140	5	(	(	PUNCT
ejde-811	140	6	5	5	NUM
ejde-811	140	7	3	3	NUM
ejde-811	140	8	)	)	PUNCT
ejde-811	140	9	λ]−1	λ]−1	X
ejde-811	140	10	.	.	PUNCT
ejde-811	141	1	inserting	insert	VERB
ejde-811	141	2	(	(	PUNCT
ejde-811	141	3	2.7	2.7	NUM
ejde-811	141	4	)	)	PUNCT
ejde-811	141	5	and	and	CCONJ
ejde-811	141	6	(	(	PUNCT
ejde-811	141	7	2.2)-(2.3	2.2)-(2.3	NUM
ejde-811	141	8	)	)	PUNCT
ejde-811	141	9	into	into	ADP
ejde-811	141	10	(	(	PUNCT
ejde-811	141	11	1.2	1.2	NUM
ejde-811	141	12	)	)	PUNCT
ejde-811	141	13	,	,	PUNCT
ejde-811	141	14	we	we	PRON
ejde-811	141	15	obtain	obtain	VERB
ejde-811	141	16	(	(	PUNCT
ejde-811	141	17	1.5	1.5	NUM
ejde-811	141	18	)	)	PUNCT
ejde-811	141	19	with	with	ADP
ejde-811	141	20	1	1	NUM
ejde-811	141	21	r	r	NOUN
ejde-811	141	22	+	+	NUM
ejde-811	141	23	1	1	NUM
ejde-811	141	24	s	s	PART
ejde-811	141	25	+	+	NUM
ejde-811	141	26	λ+α+β	λ+α+β	NOUN
ejde-811	141	27	n	n	NOUN
ejde-811	141	28	=	=	SYM
ejde-811	141	29	2	2	NUM
ejde-811	141	30	.	.	PUNCT
ejde-811	141	31	noting	note	VERB
ejde-811	141	32	[	[	X
ejde-811	141	33	3	3	NUM
ejde-811	141	34	,	,	PUNCT
ejde-811	141	35	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	141	36	2.2	2.2	NUM
ejde-811	141	37	]	]	PUNCT
ejde-811	141	38	,	,	PUNCT
ejde-811	141	39	we	we	PRON
ejde-811	141	40	can	can	AUX
ejde-811	141	41	see	see	VERB
ejde-811	141	42	that	that	PRON
ejde-811	141	43	(	(	PUNCT
ejde-811	141	44	1.5	1.5	NUM
ejde-811	141	45	)	)	PUNCT
ejde-811	141	46	with	with	ADP
ejde-811	141	47	1	1	NUM
ejde-811	141	48	r	r	NOUN
ejde-811	141	49	+	+	NUM
ejde-811	141	50	1	1	NUM
ejde-811	141	51	s	s	PART
ejde-811	141	52	+	+	NUM
ejde-811	141	53	λ+α+β	λ+α+β	NOUN
ejde-811	141	54	n	n	CCONJ
ejde-811	141	55	>	>	SYM
ejde-811	141	56	2	2	NUM
ejde-811	141	57	still	still	ADV
ejde-811	141	58	holds	hold	VERB
ejde-811	141	59	.	.	PUNCT
ejde-811	142	1	□	□	PUNCT
ejde-811	142	2	proof	proof	NOUN
ejde-811	142	3	of	of	ADP
ejde-811	142	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	142	5	1.7	1.7	NUM
ejde-811	142	6	.	.	PUNCT
ejde-811	143	1	assume	assume	VERB
ejde-811	143	2	(	(	PUNCT
ejde-811	143	3	fj)j∈zn	fj)j∈zn	NOUN
ejde-811	143	4	0	0	NUM
ejde-811	143	5	∈	∈	PROPN
ejde-811	143	6	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	143	7	0	0	NUM
ejde-811	143	8	)	)	PUNCT
ejde-811	143	9	and	and	CCONJ
ejde-811	143	10	(	(	PUNCT
ejde-811	143	11	gj)j∈zn	gj)j∈zn	ADV
ejde-811	143	12	0	0	NUM
ejde-811	143	13	∈	∈	PROPN
ejde-811	143	14	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	143	15	0	0	NUM
ejde-811	143	16	)	)	PUNCT
ejde-811	143	17	.	.	PUNCT
ejde-811	144	1	we	we	PRON
ejde-811	144	2	take	take	VERB
ejde-811	144	3	(	(	PUNCT
ejde-811	144	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-811	144	5	)	)	PUNCT
ejde-811	144	6	,	,	PUNCT
ejde-811	144	7	g(x	g(x	NOUN
ejde-811	144	8	)	)	PUNCT
ejde-811	144	9	)	)	PUNCT
ejde-811	144	10	as	as	ADP
ejde-811	144	11	in	in	ADP
ejde-811	144	12	(	(	PUNCT
ejde-811	144	13	2.1	2.1	NUM
ejde-811	144	14	)	)	PUNCT
ejde-811	144	15	f(x	f(x	PROPN
ejde-811	144	16	)	)	PUNCT
ejde-811	144	17	≡	≡	PROPN
ejde-811	144	18	fj	fj	PROPN
ejde-811	144	19	,	,	PUNCT
ejde-811	144	20	g(x	g(x	PROPN
ejde-811	144	21	)	)	PUNCT
ejde-811	144	22	≡	≡	PROPN
ejde-811	144	23	gj	gj	PROPN
ejde-811	144	24	,	,	PUNCT
ejde-811	144	25	when	when	SCONJ
ejde-811	144	26	|x−	|x−	PROPN
ejde-811	144	27	j|	j|	VERB
ejde-811	144	28	<	<	X
ejde-811	144	29	1/3	1/3	NUM
ejde-811	144	30	for	for	ADP
ejde-811	144	31	j	j	PROPN
ejde-811	144	32	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	144	33	0	0	NUM
ejde-811	144	34	,	,	PUNCT
ejde-811	144	35	f(x	f(x	PROPN
ejde-811	144	36	)	)	PUNCT
ejde-811	144	37	=	=	PUNCT
ejde-811	145	1	g(x	g(x	NOUN
ejde-811	145	2	)	)	PUNCT
ejde-811	146	1	=	=	SYM
ejde-811	146	2	0	0	NUM
ejde-811	146	3	,	,	PUNCT
ejde-811	146	4	otherwise	otherwise	ADV
ejde-811	146	5	.	.	PUNCT
ejde-811	147	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	147	2	,	,	PUNCT
ejde-811	147	3	by	by	ADP
ejde-811	147	4	an	an	DET
ejde-811	147	5	analogous	analogous	ADJ
ejde-811	147	6	argument	argument	NOUN
ejde-811	147	7	to	to	ADP
ejde-811	147	8	the	the	DET
ejde-811	147	9	one	one	NUM
ejde-811	147	10	in	in	ADP
ejde-811	147	11	(	(	PUNCT
ejde-811	147	12	2.7	2.7	NUM
ejde-811	147	13	)	)	PUNCT
ejde-811	147	14	,	,	PUNCT
ejde-811	147	15	we	we	PRON
ejde-811	147	16	obtain	obtain	VERB
ejde-811	147	17	by	by	ADP
ejde-811	147	18	(	(	PUNCT
ejde-811	147	19	2.4)-(2.6	2.4)-(2.6	NUM
ejde-811	147	20	)	)	PUNCT
ejde-811	147	21	that	that	SCONJ
ejde-811	147	22	∫	∫	PROPN
ejde-811	147	23	rn	rn	PROPN
ejde-811	147	24	∫	∫	PROPN
ejde-811	147	25	rn	rn	PROPN
ejde-811	147	26	|f(x)g(y)|	|f(x)g(y)|	PROPN
ejde-811	147	27	|x|α|x−	|x|α|x−	VERB
ejde-811	147	28	y|λ|y|β	y|λ|y|β	NOUN
ejde-811	147	29	,	,	PUNCT
ejde-811	147	30	dx	dx	PROPN
ejde-811	147	31	,	,	PUNCT
ejde-811	147	32	dy	dy	X
ejde-811	147	33	=	=	PUNCT
ejde-811	147	34	∑	∑	PUNCT
ejde-811	147	35	i	i	PROPN
ejde-811	147	36	,	,	PUNCT
ejde-811	147	37	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	147	38	0	0	NUM
ejde-811	147	39	∫	∫	PROPN
ejde-811	148	1	b1/3(i	b1/3(i	PROPN
ejde-811	148	2	)	)	PUNCT
ejde-811	148	3	∫	∫	PROPN
ejde-811	148	4	b1/3(j	b1/3(j	PROPN
ejde-811	148	5	)	)	PUNCT
ejde-811	149	1	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	149	2	|	|	ADV
ejde-811	149	3	|x|α|x−	|x|α|x−	PROPN
ejde-811	149	4	y|λ|y|β	y|λ|y|β	NOUN
ejde-811	149	5	,	,	PUNCT
ejde-811	149	6	dx	dx	PROPN
ejde-811	149	7	,	,	PUNCT
ejde-811	149	8	dy	dy	VERB
ejde-811	149	9	≤	≤	PUNCT
ejde-811	150	1	c	c	X
ejde-811	150	2	∑	∑	PROPN
ejde-811	150	3	i	i	PROPN
ejde-811	150	4	,	,	PUNCT
ejde-811	150	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	150	6	0	0	NUM
ejde-811	150	7	,	,	PUNCT
ejde-811	150	8	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	150	9	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	150	10	|	|	PROPN
ejde-811	150	11	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	150	12	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	150	13	∫	∫	PROPN
ejde-811	150	14	b1/3(0	b1/3(0	PROPN
ejde-811	150	15	)	)	PUNCT
ejde-811	150	16	∫	∫	PROPN
ejde-811	150	17	b1/3(0	b1/3(0	PROPN
ejde-811	150	18	)	)	PUNCT
ejde-811	150	19	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	150	20	j|λ	j|λ	PROPN
ejde-811	150	21	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	150	22	j	j	PROPN
ejde-811	151	1	+	+	CCONJ
ejde-811	151	2	x−	x−	PROPN
ejde-811	151	3	y|λ	y|λ	PROPN
ejde-811	151	4	,	,	PUNCT
ejde-811	151	5	dx	dx	PROPN
ejde-811	151	6	,	,	PUNCT
ejde-811	151	7	dy	dy	X
ejde-811	151	8	+	+	CCONJ
ejde-811	151	9	c	c	NOUN
ejde-811	151	10	∑	∑	PUNCT
ejde-811	151	11	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	151	12	0	0	NUM
ejde-811	152	1	|fj	|fj	NUM
ejde-811	152	2	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	152	3	|	|	ADV
ejde-811	152	4	|j|α+β	|j|α+β	PRON
ejde-811	152	5	∫	∫	PROPN
ejde-811	152	6	b1/3(0	b1/3(0	SYM
ejde-811	152	7	)	)	PUNCT
ejde-811	152	8	∫	∫	PROPN
ejde-811	152	9	b1/3(0	b1/3(0	PROPN
ejde-811	152	10	)	)	PUNCT
ejde-811	152	11	|x−	|x−	PART
ejde-811	152	12	y|−λ	y|−λ	NOUN
ejde-811	152	13	,	,	PUNCT
ejde-811	152	14	dx	dx	PROPN
ejde-811	152	15	,	,	PUNCT
ejde-811	152	16	dy	dy	VERB
ejde-811	153	1	≤	≤	PROPN
ejde-811	153	2	c	c	X
ejde-811	153	3	(	(	PUNCT
ejde-811	153	4	∑	∑	PROPN
ejde-811	153	5	i	i	PROPN
ejde-811	153	6	,	,	PUNCT
ejde-811	153	7	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	153	8	0	0	NUM
ejde-811	153	9	,	,	PUNCT
ejde-811	153	10	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	153	11	|fi||gj	|fi||gj	PROPN
ejde-811	153	12	|	|	ADV
ejde-811	153	13	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	153	14	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	153	15	+	+	CCONJ
ejde-811	153	16	∑	∑	PUNCT
ejde-811	153	17	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	153	18	0	0	NUM
ejde-811	153	19	|fj	|fj	NUM
ejde-811	153	20	||gj	||gj	NOUN
ejde-811	153	21	|	|	ADV
ejde-811	153	22	|j|α+β	|j|α+β	ADP
ejde-811	153	23	)	)	PUNCT
ejde-811	153	24	.	.	PUNCT
ejde-811	154	1	inserting	insert	VERB
ejde-811	154	2	this	this	DET
ejde-811	154	3	result	result	NOUN
ejde-811	154	4	and	and	CCONJ
ejde-811	154	5	(	(	PUNCT
ejde-811	154	6	2.2)-(2.3	2.2)-(2.3	NUM
ejde-811	154	7	)	)	PUNCT
ejde-811	154	8	into	into	ADP
ejde-811	154	9	(	(	PUNCT
ejde-811	154	10	1.10	1.10	NUM
ejde-811	154	11	)	)	PUNCT
ejde-811	154	12	,	,	PUNCT
ejde-811	154	13	we	we	PRON
ejde-811	154	14	obtain	obtain	AUX
ejde-811	154	15	(	(	PUNCT
ejde-811	154	16	1.11	1.11	NUM
ejde-811	154	17	)	)	PUNCT
ejde-811	154	18	with	with	ADP
ejde-811	154	19	1	1	NUM
ejde-811	154	20	r	r	NOUN
ejde-811	154	21	+	+	NUM
ejde-811	154	22	1	1	NUM
ejde-811	154	23	s	s	PART
ejde-811	154	24	+	+	NUM
ejde-811	154	25	λ+α+β	λ+α+β	NOUN
ejde-811	154	26	n	n	NOUN
ejde-811	154	27	=	=	SYM
ejde-811	154	28	2	2	NUM
ejde-811	154	29	.	.	PUNCT
ejde-811	154	30	noting	note	VERB
ejde-811	154	31	[	[	X
ejde-811	154	32	3	3	NUM
ejde-811	154	33	,	,	PUNCT
ejde-811	154	34	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	154	35	2.2	2.2	NUM
ejde-811	154	36	]	]	PUNCT
ejde-811	154	37	,	,	PUNCT
ejde-811	154	38	we	we	PRON
ejde-811	154	39	can	can	AUX
ejde-811	154	40	see	see	VERB
ejde-811	154	41	that	that	PRON
ejde-811	154	42	(	(	PUNCT
ejde-811	154	43	1.11	1.11	NUM
ejde-811	154	44	)	)	PUNCT
ejde-811	154	45	with	with	ADP
ejde-811	154	46	1	1	NUM
ejde-811	154	47	r	r	NOUN
ejde-811	154	48	+	+	NUM
ejde-811	154	49	1	1	NUM
ejde-811	154	50	s	s	PART
ejde-811	154	51	+	+	NUM
ejde-811	154	52	λ+α+β	λ+α+β	NOUN
ejde-811	154	53	n	n	CCONJ
ejde-811	154	54	<	<	X
ejde-811	154	55	2	2	NUM
ejde-811	154	56	still	still	ADV
ejde-811	154	57	holds	hold	VERB
ejde-811	154	58	.	.	PUNCT
ejde-811	155	1	□	□	PUNCT
ejde-811	155	2	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	155	3	discrete	discrete	VERB
ejde-811	155	4	stein	stein	PROPN
ejde-811	155	5	-	-	PUNCT
ejde-811	155	6	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	155	7	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	155	8	7	7	NUM
ejde-811	155	9	3	3	NUM
ejde-811	155	10	.	.	PUNCT
ejde-811	156	1	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	156	2	with	with	ADP
ejde-811	156	3	finite	finite	ADJ
ejde-811	156	4	terms	term	NOUN
ejde-811	156	5	in	in	ADP
ejde-811	156	6	this	this	DET
ejde-811	156	7	section	section	NOUN
ejde-811	157	1	,	,	PUNCT
ejde-811	157	2	we	we	PRON
ejde-811	157	3	prove	prove	VERB
ejde-811	157	4	theorems	theorem	NOUN
ejde-811	157	5	1.2	1.2	NUM
ejde-811	157	6	and	and	CCONJ
ejde-811	157	7	1.8	1.8	NUM
ejde-811	157	8	.	.	PUNCT
ejde-811	158	1	proof	proof	NOUN
ejde-811	158	2	of	of	ADP
ejde-811	158	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	158	4	1.2	1.2	NUM
ejde-811	158	5	.	.	PUNCT
ejde-811	159	1	let	let	VERB
ejde-811	159	2	f0	f0	PROPN
ejde-811	159	3	=	=	SYM
ejde-811	159	4	g0	g0	NOUN
ejde-811	159	5	=	=	NOUN
ejde-811	160	1	0	0	X
ejde-811	160	2	.	.	PUNCT
ejde-811	161	1	we	we	PRON
ejde-811	161	2	write	write	VERB
ejde-811	161	3	ai	ai	PROPN
ejde-811	161	4	=	=	NOUN
ejde-811	161	5	|fi|	|fi|	PROPN
ejde-811	161	6	,	,	PUNCT
ejde-811	161	7	bi	bi	NOUN
ejde-811	161	8	=	=	PROPN
ejde-811	161	9	|gi|	|gi|	PROPN
ejde-811	161	10	,	,	PUNCT
ejde-811	161	11	and	and	CCONJ
ejde-811	161	12	a	a	PRON
ejde-811	161	13	=	=	PUNCT
ejde-811	161	14	(	(	PUNCT
ejde-811	161	15	ai)i∈zn	ai)i∈zn	NOUN
ejde-811	161	16	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	161	17	,	,	PUNCT
ejde-811	161	18	b	b	X
ejde-811	161	19	=	=	SYM
ejde-811	161	20	(	(	PUNCT
ejde-811	161	21	bi)i∈zn	bi)i∈zn	NOUN
ejde-811	161	22	0,n	0,n	ADV
ejde-811	161	23	.	.	PUNCT
ejde-811	162	1	we	we	PRON
ejde-811	162	2	set	set	VERB
ejde-811	162	3	rn	rn	PROPN
ejde-811	162	4	+	+	NUM
ejde-811	162	5	:	:	PUNCT
ejde-811	162	6	=	=	SYM
ejde-811	162	7	{	{	PUNCT
ejde-811	162	8	x	x	SYM
ejde-811	162	9	=	=	SYM
ejde-811	162	10	(	(	PUNCT
ejde-811	162	11	x1	x1	PROPN
ejde-811	162	12	,	,	PUNCT
ejde-811	162	13	x2	x2	PROPN
ejde-811	162	14	,	,	PUNCT
ejde-811	162	15	·	·	PUNCT
ejde-811	162	16	·	·	PUNCT
ejde-811	162	17	·	·	PUNCT
ejde-811	162	18	,	,	PUNCT
ejde-811	162	19	xn	xn	PROPN
ejde-811	162	20	)	)	PUNCT
ejde-811	162	21	;	;	PUNCT
ejde-811	162	22	xi	xi	X
ejde-811	162	23	≥	≥	PROPN
ejde-811	162	24	0	0	NUM
ejde-811	162	25	,	,	PUNCT
ejde-811	162	26	i	i	PRON
ejde-811	162	27	=	=	NOUN
ejde-811	162	28	1	1	NUM
ejde-811	162	29	,	,	PUNCT
ejde-811	162	30	2	2	NUM
ejde-811	162	31	,	,	PUNCT
ejde-811	162	32	·	·	PUNCT
ejde-811	162	33	·	·	PUNCT
ejde-811	162	34	·	·	PUNCT
ejde-811	162	35	,	,	PUNCT
ejde-811	162	36	n	n	CCONJ
ejde-811	162	37	}	}	PUNCT
ejde-811	162	38	,	,	PUNCT
ejde-811	162	39	and	and	CCONJ
ejde-811	162	40	the	the	DET
ejde-811	162	41	multivariate	multivariate	NOUN
ejde-811	162	42	function	function	VERB
ejde-811	162	43	e1(a	e1(a	NOUN
ejde-811	162	44	,	,	PUNCT
ejde-811	162	45	b	b	NOUN
ejde-811	162	46	)	)	PUNCT
ejde-811	162	47	=	=	PUNCT
ejde-811	163	1	∑	∑	PUNCT
ejde-811	163	2	i	i	PROPN
ejde-811	163	3	,	,	PUNCT
ejde-811	163	4	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	163	5	0,n	0,n	ADV
ejde-811	163	6	,	,	PUNCT
ejde-811	163	7	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	163	8	aibj	aibj	PROPN
ejde-811	163	9	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	163	10	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	163	11	.	.	PUNCT
ejde-811	164	1	since	since	SCONJ
ejde-811	164	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	164	3	)	)	PUNCT
ejde-811	164	4	:	:	PUNCT
ejde-811	164	5	=	=	SYM
ejde-811	164	6	{	{	PUNCT
ejde-811	164	7	(	(	PUNCT
ejde-811	164	8	a	a	DET
ejde-811	164	9	,	,	PUNCT
ejde-811	164	10	b	b	NOUN
ejde-811	164	11	)	)	PUNCT
ejde-811	164	12	:	:	PUNCT
ejde-811	164	13	∥a∥lr(zn	∥a∥lr(zn	NOUN
ejde-811	164	14	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	164	15	)	)	PUNCT
ejde-811	165	1	=	=	SYM
ejde-811	165	2	∥b∥ls(zn	∥b∥ls(zn	NOUN
ejde-811	166	1	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	166	2	)	)	PUNCT
ejde-811	166	3	=	=	SYM
ejde-811	166	4	1	1	X
ejde-811	166	5	}	}	PUNCT
ejde-811	166	6	is	be	AUX
ejde-811	166	7	bounded	bound	VERB
ejde-811	166	8	and	and	CCONJ
ejde-811	166	9	closed	close	VERB
ejde-811	166	10	in	in	ADP
ejde-811	166	11	rn	rn	PROPN
ejde-811	166	12	+	+	PROPN
ejde-811	166	13	×rn	×rn	PROPN
ejde-811	166	14	+	+	CCONJ
ejde-811	166	15	,	,	PUNCT
ejde-811	166	16	there	there	PRON
ejde-811	166	17	exists	exist	VERB
ejde-811	166	18	a	a	DET
ejde-811	166	19	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-811	166	20	(	(	PUNCT
ejde-811	166	21	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	166	22	)	)	PUNCT
ejde-811	166	23	,	,	PUNCT
ejde-811	166	24	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	166	25	)	)	PUNCT
ejde-811	166	26	)	)	PUNCT
ejde-811	166	27	of	of	ADP
ejde-811	166	28	e1(a	e1(a	PROPN
ejde-811	166	29	,	,	PUNCT
ejde-811	166	30	b	b	NOUN
ejde-811	166	31	)	)	PUNCT
ejde-811	166	32	in	in	ADP
ejde-811	166	33	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	166	34	)	)	PUNCT
ejde-811	166	35	.	.	PUNCT
ejde-811	167	1	we	we	PRON
ejde-811	167	2	write	write	VERB
ejde-811	167	3	j1(a	j1(a	PROPN
ejde-811	167	4	,	,	PUNCT
ejde-811	167	5	b	b	NOUN
ejde-811	167	6	)	)	PUNCT
ejde-811	167	7	=	=	SYM
ejde-811	168	1	e1(a	e1(a	PROPN
ejde-811	168	2	,	,	PUNCT
ejde-811	168	3	b)−	b)−	PROPN
ejde-811	168	4	λ1(∥a∥lr(zn	λ1(∥a∥lr(zn	PROPN
ejde-811	168	5	0,n	0,n	ADV
ejde-811	168	6	)	)	PUNCT
ejde-811	169	1	−	−	PROPN
ejde-811	169	2	1)−	1)−	NUM
ejde-811	169	3	λ2(∥b∥ls(zn	λ2(∥b∥ls(zn	PROPN
ejde-811	169	4	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	169	5	)	)	PUNCT
ejde-811	170	1	−	−	ADP
ejde-811	171	1	1	1	NUM
ejde-811	171	2	)	)	PUNCT
ejde-811	171	3	,	,	PUNCT
ejde-811	171	4	where	where	SCONJ
ejde-811	171	5	λ1	λ1	ADJ
ejde-811	171	6	and	and	CCONJ
ejde-811	171	7	λ2	λ2	NOUN
ejde-811	171	8	are	be	AUX
ejde-811	171	9	lagrange	lagrange	NOUN
ejde-811	171	10	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-811	171	11	.	.	PUNCT
ejde-811	172	1	applying	apply	VERB
ejde-811	172	2	the	the	DET
ejde-811	172	3	theory	theory	NOUN
ejde-811	172	4	of	of	ADP
ejde-811	172	5	the	the	DET
ejde-811	172	6	constrained	constrain	VERB
ejde-811	172	7	extremum	extremum	NOUN
ejde-811	172	8	,	,	PUNCT
ejde-811	172	9	both	both	CCONJ
ejde-811	172	10	the	the	DET
ejde-811	172	11	partial	partial	ADJ
ejde-811	172	12	derivatives	derivative	NOUN
ejde-811	172	13	of	of	ADP
ejde-811	172	14	j1(a	j1(a	ADP
ejde-811	172	15	,	,	PUNCT
ejde-811	172	16	b	b	NOUN
ejde-811	172	17	)	)	PUNCT
ejde-811	172	18	are	be	AUX
ejde-811	172	19	equal	equal	ADJ
ejde-811	172	20	to	to	ADP
ejde-811	172	21	zero	zero	NUM
ejde-811	172	22	at	at	ADP
ejde-811	172	23	(	(	PUNCT
ejde-811	172	24	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	172	25	)	)	PUNCT
ejde-811	172	26	,	,	PUNCT
ejde-811	172	27	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	172	28	)	)	PUNCT
ejde-811	172	29	)	)	PUNCT
ejde-811	172	30	,	,	PUNCT
ejde-811	172	31	that	that	ADV
ejde-811	172	32	is	is	ADV
ejde-811	172	33	,	,	PUNCT
ejde-811	172	34	[	[	PUNCT
ejde-811	172	35	d	d	X
ejde-811	172	36	dt	dt	NOUN
ejde-811	172	37	j1(a(n	j1(a(n	NOUN
ejde-811	172	38	)	)	PUNCT
ejde-811	173	1	+	+	CCONJ
ejde-811	173	2	ta	ta	ADP
ejde-811	173	3	,	,	PUNCT
ejde-811	173	4	b(n	b(n	PROPN
ejde-811	173	5	)	)	PUNCT
ejde-811	173	6	)	)	PUNCT
ejde-811	173	7	]	]	PUNCT
ejde-811	174	1	t=0	t=0	PUNCT
ejde-811	174	2	=	=	PUNCT
ejde-811	175	1	[	[	PUNCT
ejde-811	175	2	d	d	X
ejde-811	175	3	dt	dt	NOUN
ejde-811	175	4	j1(a(n	j1(a(n	NOUN
ejde-811	175	5	)	)	PUNCT
ejde-811	175	6	,	,	PUNCT
ejde-811	175	7	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	175	8	)	)	PUNCT
ejde-811	176	1	+	+	CCONJ
ejde-811	176	2	tb	tb	NOUN
ejde-811	176	3	)	)	PUNCT
ejde-811	176	4	]	]	PUNCT
ejde-811	177	1	t=0	t=0	PROPN
ejde-811	177	2	=	=	NOUN
ejde-811	177	3	0	0	NUM
ejde-811	177	4	,	,	PUNCT
ejde-811	177	5	for	for	ADP
ejde-811	177	6	all	all	PRON
ejde-811	177	7	(	(	PUNCT
ejde-811	177	8	a	a	PRON
ejde-811	177	9	,	,	PUNCT
ejde-811	177	10	b	b	NOUN
ejde-811	177	11	)	)	PUNCT
ejde-811	177	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	177	13	rn	rn	PROPN
ejde-811	178	1	+	+	CCONJ
ejde-811	178	2	×	×	PROPN
ejde-811	178	3	rn	rn	PROPN
ejde-811	178	4	+	+	NOUN
ejde-811	178	5	and	and	CCONJ
ejde-811	178	6	t	t	PROPN
ejde-811	178	7	∈	∈	PROPN
ejde-811	178	8	r.	r.	PROPN
ejde-811	178	9	this	this	PRON
ejde-811	178	10	means	mean	VERB
ejde-811	178	11	λ1a(n)r−1	λ1a(n)r−1	PROPN
ejde-811	178	12	i	i	PRON
ejde-811	178	13	=	=	NOUN
ejde-811	178	14	1	1	NUM
ejde-811	178	15	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	178	16	∑	∑	ADV
ejde-811	178	17	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	178	18	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	178	19	,	,	PUNCT
ejde-811	178	20	j	j	PROPN
ejde-811	178	21	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	178	22	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	178	23	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	178	24	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	178	25	,	,	PUNCT
ejde-811	178	26	λ2b(n)s−1	λ2b(n)s−1	PROPN
ejde-811	178	27	i	i	NOUN
ejde-811	178	28	=	=	NOUN
ejde-811	178	29	1	1	NUM
ejde-811	178	30	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	178	31	∑	∑	PUNCT
ejde-811	178	32	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	178	33	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	178	34	,	,	PUNCT
ejde-811	178	35	j	j	PROPN
ejde-811	178	36	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	178	37	a(n)j	a(n)j	PROPN
ejde-811	178	38	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	178	39	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	178	40	.	.	PUNCT
ejde-811	179	1	multiply	multiply	VERB
ejde-811	179	2	the	the	DET
ejde-811	179	3	two	two	NUM
ejde-811	179	4	equations	equation	NOUN
ejde-811	179	5	above	above	ADV
ejde-811	179	6	by	by	ADP
ejde-811	179	7	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	179	8	and	and	CCONJ
ejde-811	179	9	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	179	10	respectively	respectively	ADV
ejde-811	179	11	and	and	CCONJ
ejde-811	179	12	sum	sum	VERB
ejde-811	179	13	for	for	ADP
ejde-811	179	14	i.	i.	NOUN
ejde-811	179	15	then	then	ADV
ejde-811	179	16	noting	note	VERB
ejde-811	179	17	that	that	SCONJ
ejde-811	179	18	(	(	PUNCT
ejde-811	179	19	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	179	20	)	)	PUNCT
ejde-811	179	21	,	,	PUNCT
ejde-811	179	22	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	179	23	)	)	PUNCT
ejde-811	179	24	)	)	PUNCT
ejde-811	180	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	180	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	180	3	)	)	PUNCT
ejde-811	180	4	is	be	AUX
ejde-811	180	5	the	the	DET
ejde-811	180	6	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-811	180	7	,	,	PUNCT
ejde-811	180	8	we	we	PRON
ejde-811	180	9	can	can	AUX
ejde-811	180	10	see	see	VERB
ejde-811	180	11	that	that	DET
ejde-811	180	12	λ1	λ1	ADJ
ejde-811	180	13	=	=	SYM
ejde-811	180	14	λ2	λ2	PROPN
ejde-811	180	15	=	=	SYM
ejde-811	180	16	ln	ln	NOUN
ejde-811	180	17	.	.	PUNCT
ejde-811	181	1	namely	namely	ADV
ejde-811	181	2	,	,	PUNCT
ejde-811	181	3	lna(n)r−1	lna(n)r−1	PROPN
ejde-811	181	4	i	i	NOUN
ejde-811	181	5	=	=	NOUN
ejde-811	181	6	1	1	NUM
ejde-811	181	7	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	181	8	∑	∑	ADV
ejde-811	181	9	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	181	10	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	181	11	,	,	PUNCT
ejde-811	181	12	j	j	PROPN
ejde-811	181	13	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	181	14	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	181	15	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	181	16	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	181	17	,	,	PUNCT
ejde-811	181	18	lnb(n)s−1	lnb(n)s−1	PROPN
ejde-811	181	19	i	i	NOUN
ejde-811	181	20	=	=	SYM
ejde-811	181	21	1	1	NUM
ejde-811	181	22	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	181	23	∑	∑	PUNCT
ejde-811	181	24	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	181	25	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	181	26	,	,	PUNCT
ejde-811	181	27	j	j	PROPN
ejde-811	181	28	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	181	29	a(n)j	a(n)j	PROPN
ejde-811	181	30	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	181	31	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	181	32	.	.	PUNCT
ejde-811	182	1	(	(	PUNCT
ejde-811	182	2	3.1	3.1	NUM
ejde-811	182	3	)	)	PUNCT
ejde-811	182	4	in	in	ADP
ejde-811	182	5	view	view	NOUN
ejde-811	182	6	of	of	ADP
ejde-811	182	7	(	(	PUNCT
ejde-811	182	8	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	182	9	)	)	PUNCT
ejde-811	182	10	,	,	PUNCT
ejde-811	182	11	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	182	12	)	)	PUNCT
ejde-811	182	13	)	)	PUNCT
ejde-811	183	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	183	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	183	3	)	)	PUNCT
ejde-811	183	4	,	,	PUNCT
ejde-811	183	5	we	we	PRON
ejde-811	183	6	have	have	VERB
ejde-811	183	7	(	(	PUNCT
ejde-811	183	8	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	183	9	)	)	PUNCT
ejde-811	183	10	,	,	PUNCT
ejde-811	183	11	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	183	12	)	)	PUNCT
ejde-811	183	13	)	)	PUNCT
ejde-811	184	1	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	184	2	(	(	PUNCT
ejde-811	184	3	0	0	NUM
ejde-811	184	4	,	,	PUNCT
ejde-811	184	5	0	0	NUM
ejde-811	184	6	)	)	PUNCT
ejde-811	184	7	.	.	PUNCT
ejde-811	185	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	185	2	,	,	PUNCT
ejde-811	185	3	from	from	ADP
ejde-811	185	4	(	(	PUNCT
ejde-811	185	5	3.1	3.1	NUM
ejde-811	185	6	)	)	PUNCT
ejde-811	185	7	we	we	PRON
ejde-811	185	8	can	can	AUX
ejde-811	185	9	deduce	deduce	VERB
ejde-811	185	10	by	by	ADP
ejde-811	185	11	a	a	DET
ejde-811	185	12	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-811	185	13	argument	argument	NOUN
ejde-811	185	14	that	that	SCONJ
ejde-811	185	15	ln	ln	ADV
ejde-811	185	16	>	>	X
ejde-811	185	17	0	0	X
ejde-811	185	18	.	.	PUNCT
ejde-811	186	1	(	(	PUNCT
ejde-811	186	2	3.2	3.2	NUM
ejde-811	186	3	)	)	PUNCT
ejde-811	186	4	without	without	ADP
ejde-811	186	5	loss	loss	NOUN
ejde-811	186	6	of	of	ADP
ejde-811	186	7	generality	generality	NOUN
ejde-811	186	8	,	,	PUNCT
ejde-811	186	9	assume	assume	VERB
ejde-811	186	10	that	that	SCONJ
ejde-811	186	11	in	in	ADP
ejde-811	186	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	186	13	zn	zn	NOUN
ejde-811	186	14	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	186	15	satisfies	satisfy	VERB
ejde-811	186	16	a(n)in	a(n)in	X
ejde-811	186	17	=	=	SYM
ejde-811	186	18	max	max	PROPN
ejde-811	186	19	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	186	20	{	{	PUNCT
ejde-811	186	21	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	186	22	,	,	PUNCT
ejde-811	186	23	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	186	24	}	}	PUNCT
ejde-811	186	25	.	.	PUNCT
ejde-811	187	1	8	8	NUM
ejde-811	187	2	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	187	3	li	li	PROPN
ejde-811	187	4	,	,	PUNCT
ejde-811	187	5	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	187	6	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	187	7	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	187	8	noting	note	VERB
ejde-811	187	9	(	(	PUNCT
ejde-811	187	10	3.2	3.2	NUM
ejde-811	187	11	)	)	PUNCT
ejde-811	187	12	,	,	PUNCT
ejde-811	187	13	from	from	ADP
ejde-811	187	14	(	(	PUNCT
ejde-811	187	15	3.1)1	3.1)1	NOUN
ejde-811	187	16	we	we	PRON
ejde-811	187	17	can	can	AUX
ejde-811	187	18	find	find	VERB
ejde-811	187	19	a	a	DET
ejde-811	187	20	positive	positive	ADJ
ejde-811	187	21	constant	constant	ADJ
ejde-811	187	22	cn	cn	NOUN
ejde-811	187	23	which	which	PRON
ejde-811	187	24	only	only	ADV
ejde-811	187	25	depends	depend	VERB
ejde-811	187	26	on	on	ADP
ejde-811	187	27	in	in	ADP
ejde-811	187	28	and	and	CCONJ
ejde-811	187	29	n	n	CCONJ
ejde-811	187	30	such	such	ADJ
ejde-811	187	31	that	that	PRON
ejde-811	187	32	ln	ln	ADJ
ejde-811	187	33	a(n)r−2	a(n)r−2	NOUN
ejde-811	187	34	in	in	ADP
ejde-811	187	35	≤	≤	NUM
ejde-811	187	36	1	1	NUM
ejde-811	187	37	|in	|in	NUM
ejde-811	187	38	|α	|α	NOUN
ejde-811	187	39	∑	∑	PROPN
ejde-811	187	40	1≤|j|≤n	1≤|j|≤n	NUM
ejde-811	187	41	,	,	PUNCT
ejde-811	187	42	j	j	PROPN
ejde-811	187	43	̸=in	̸=in	PROPN
ejde-811	187	44	1	1	PROPN
ejde-811	187	45	|j	|j	NOUN
ejde-811	187	46	−	−	PROPN
ejde-811	187	47	in	in	ADP
ejde-811	187	48	|λ|j|β	|λ|j|β	PROPN
ejde-811	187	49	≤	≤	PROPN
ejde-811	187	50	cn	cn	PROPN
ejde-811	187	51	,	,	PUNCT
ejde-811	187	52	(	(	PUNCT
ejde-811	187	53	3.3	3.3	NUM
ejde-811	187	54	)	)	PUNCT
ejde-811	187	55	which	which	PRON
ejde-811	187	56	implies	imply	VERB
ejde-811	187	57	ln	ln	ADJ
ejde-811	187	58	≤	≤	ADJ
ejde-811	187	59	a(n)2−r	a(n)2−r	NOUN
ejde-811	187	60	in	in	ADP
ejde-811	187	61	cn	cn	PROPN
ejde-811	187	62	.	.	PUNCT
ejde-811	188	1	(	(	PUNCT
ejde-811	188	2	3.4	3.4	NUM
ejde-811	188	3	)	)	PUNCT
ejde-811	188	4	in	in	ADP
ejde-811	188	5	view	view	NOUN
ejde-811	188	6	of	of	ADP
ejde-811	188	7	∑	∑	PROPN
ejde-811	188	8	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	188	9	a(n)ri	a(n)ri	NOUN
ejde-811	188	10	=	=	SYM
ejde-811	188	11	1	1	NUM
ejde-811	188	12	,	,	PUNCT
ejde-811	188	13	we	we	PRON
ejde-811	188	14	obtain	obtain	VERB
ejde-811	188	15	(	(	PUNCT
ejde-811	188	16	∑	∑	PROPN
ejde-811	188	17	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	188	18	1	1	NUM
ejde-811	188	19	)	)	PUNCT
ejde-811	188	20	−1	−1	NOUN
ejde-811	188	21	≤	≤	NOUN
ejde-811	188	22	a(n)rin	a(n)rin	PROPN
ejde-811	188	23	≤	≤	ADJ
ejde-811	188	24	1	1	NUM
ejde-811	188	25	.	.	PUNCT
ejde-811	189	1	(	(	PUNCT
ejde-811	189	2	3.5	3.5	NUM
ejde-811	189	3	)	)	PUNCT
ejde-811	189	4	inserting	insert	VERB
ejde-811	189	5	this	this	DET
ejde-811	189	6	result	result	NOUN
ejde-811	189	7	into	into	ADP
ejde-811	189	8	(	(	PUNCT
ejde-811	189	9	3.4	3.4	NUM
ejde-811	189	10	)	)	PUNCT
ejde-811	189	11	,	,	PUNCT
ejde-811	189	12	we	we	PRON
ejde-811	189	13	see	see	VERB
ejde-811	189	14	ln	ln	ADV
ejde-811	189	15	<	<	X
ejde-811	189	16	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	189	17	the	the	DET
ejde-811	189	18	proof	proof	NOUN
ejde-811	189	19	is	be	AUX
ejde-811	189	20	complete	complete	ADJ
ejde-811	189	21	.	.	PUNCT
ejde-811	190	1	□	□	PUNCT
ejde-811	190	2	proof	proof	NOUN
ejde-811	190	3	of	of	ADP
ejde-811	190	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	190	5	1.8	1.8	NUM
ejde-811	190	6	.	.	PUNCT
ejde-811	191	1	let	let	VERB
ejde-811	191	2	f0	f0	PROPN
ejde-811	191	3	=	=	SYM
ejde-811	191	4	g0	g0	NOUN
ejde-811	191	5	=	=	NOUN
ejde-811	192	1	0	0	X
ejde-811	192	2	.	.	PUNCT
ejde-811	193	1	we	we	PRON
ejde-811	193	2	write	write	VERB
ejde-811	193	3	ai	ai	PROPN
ejde-811	193	4	=	=	NOUN
ejde-811	193	5	|fi|	|fi|	PROPN
ejde-811	193	6	,	,	PUNCT
ejde-811	193	7	bi	bi	NOUN
ejde-811	193	8	=	=	PROPN
ejde-811	193	9	|gi|	|gi|	PROPN
ejde-811	193	10	,	,	PUNCT
ejde-811	193	11	and	and	CCONJ
ejde-811	193	12	a	a	PRON
ejde-811	193	13	=	=	PUNCT
ejde-811	193	14	(	(	PUNCT
ejde-811	193	15	ai)i∈zn	ai)i∈zn	NOUN
ejde-811	193	16	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	193	17	,	,	PUNCT
ejde-811	193	18	b	b	X
ejde-811	193	19	=	=	SYM
ejde-811	193	20	(	(	PUNCT
ejde-811	193	21	bi)i∈zn	bi)i∈zn	NOUN
ejde-811	193	22	0,n	0,n	ADV
ejde-811	193	23	.	.	PUNCT
ejde-811	194	1	we	we	PRON
ejde-811	194	2	set	set	VERB
ejde-811	194	3	e2(a	e2(a	NOUN
ejde-811	194	4	,	,	PUNCT
ejde-811	194	5	b	b	NOUN
ejde-811	194	6	)	)	PUNCT
ejde-811	194	7	=	=	PUNCT
ejde-811	195	1	∑	∑	PUNCT
ejde-811	195	2	i	i	PROPN
ejde-811	195	3	,	,	PUNCT
ejde-811	195	4	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	195	5	0,n	0,n	ADV
ejde-811	195	6	,	,	PUNCT
ejde-811	195	7	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	195	8	aibj	aibj	PROPN
ejde-811	195	9	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	195	10	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	195	11	+	+	CCONJ
ejde-811	195	12	∑	∑	PROPN
ejde-811	195	13	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	195	14	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	195	15	ajbj	ajbj	ADJ
ejde-811	195	16	|j|α+β	|j|α+β	X
ejde-811	195	17	.	.	PUNCT
ejde-811	196	1	since	since	SCONJ
ejde-811	196	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	196	3	)	)	PUNCT
ejde-811	196	4	is	be	AUX
ejde-811	196	5	bounded	bound	VERB
ejde-811	196	6	and	and	CCONJ
ejde-811	196	7	closed	close	VERB
ejde-811	196	8	in	in	ADP
ejde-811	196	9	rn	rn	PROPN
ejde-811	196	10	+	+	PROPN
ejde-811	196	11	×rn	×rn	PROPN
ejde-811	196	12	+	+	CCONJ
ejde-811	196	13	,	,	PUNCT
ejde-811	196	14	there	there	PRON
ejde-811	196	15	exists	exist	VERB
ejde-811	196	16	a	a	DET
ejde-811	196	17	minimizer	minimizer	NOUN
ejde-811	196	18	(	(	PUNCT
ejde-811	196	19	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	196	20	)	)	PUNCT
ejde-811	196	21	,	,	PUNCT
ejde-811	196	22	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	196	23	)	)	PUNCT
ejde-811	196	24	)	)	PUNCT
ejde-811	196	25	of	of	ADP
ejde-811	196	26	e2(a	e2(a	PROPN
ejde-811	196	27	,	,	PUNCT
ejde-811	196	28	b	b	NOUN
ejde-811	196	29	)	)	PUNCT
ejde-811	196	30	in	in	ADP
ejde-811	196	31	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	196	32	)	)	PUNCT
ejde-811	196	33	.	.	PUNCT
ejde-811	197	1	we	we	PRON
ejde-811	197	2	write	write	VERB
ejde-811	197	3	j2(a	j2(a	PROPN
ejde-811	197	4	,	,	PUNCT
ejde-811	197	5	b	b	NOUN
ejde-811	197	6	)	)	PUNCT
ejde-811	197	7	=	=	SYM
ejde-811	197	8	e2(a	e2(a	NOUN
ejde-811	197	9	,	,	PUNCT
ejde-811	197	10	b)−	b)−	PROPN
ejde-811	197	11	λ3(∥a∥lr(zn	λ3(∥a∥lr(zn	NOUN
ejde-811	197	12	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	197	13	)	)	PUNCT
ejde-811	198	1	−	−	PROPN
ejde-811	199	1	1)−	1)−	NUM
ejde-811	199	2	λ4(∥b∥ls(zn	λ4(∥b∥ls(zn	PROPN
ejde-811	199	3	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	199	4	)	)	PUNCT
ejde-811	200	1	−	−	ADP
ejde-811	200	2	1	1	NUM
ejde-811	200	3	)	)	PUNCT
ejde-811	200	4	,	,	PUNCT
ejde-811	200	5	where	where	SCONJ
ejde-811	200	6	λ3	λ3	PROPN
ejde-811	200	7	and	and	CCONJ
ejde-811	200	8	λ4	λ4	PROPN
ejde-811	200	9	are	be	AUX
ejde-811	200	10	lagrange	lagrange	NOUN
ejde-811	200	11	multipliers	multiplier	NOUN
ejde-811	200	12	.	.	PUNCT
ejde-811	201	1	applying	apply	VERB
ejde-811	201	2	the	the	DET
ejde-811	201	3	theory	theory	NOUN
ejde-811	201	4	of	of	ADP
ejde-811	201	5	the	the	DET
ejde-811	201	6	constrained	constrain	VERB
ejde-811	201	7	extremum	extremum	NOUN
ejde-811	201	8	,	,	PUNCT
ejde-811	201	9	both	both	CCONJ
ejde-811	201	10	the	the	DET
ejde-811	201	11	partial	partial	ADJ
ejde-811	201	12	derivatives	derivative	NOUN
ejde-811	201	13	of	of	ADP
ejde-811	201	14	j2(a	j2(a	PROPN
ejde-811	201	15	,	,	PUNCT
ejde-811	201	16	b	b	X
ejde-811	201	17	)	)	PUNCT
ejde-811	201	18	are	be	AUX
ejde-811	201	19	equal	equal	ADJ
ejde-811	201	20	to	to	ADP
ejde-811	201	21	zero	zero	NUM
ejde-811	201	22	at	at	ADP
ejde-811	201	23	(	(	PUNCT
ejde-811	201	24	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	201	25	)	)	PUNCT
ejde-811	201	26	,	,	PUNCT
ejde-811	201	27	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	201	28	)	)	PUNCT
ejde-811	201	29	)	)	PUNCT
ejde-811	201	30	,	,	PUNCT
ejde-811	201	31	that	that	ADV
ejde-811	201	32	is	is	ADV
ejde-811	201	33	,	,	PUNCT
ejde-811	201	34	[	[	PUNCT
ejde-811	201	35	d	d	X
ejde-811	201	36	dt	dt	X
ejde-811	201	37	j2(a(n	j2(a(n	NUM
ejde-811	201	38	)	)	PUNCT
ejde-811	202	1	+	+	CCONJ
ejde-811	202	2	ta	ta	ADP
ejde-811	202	3	,	,	PUNCT
ejde-811	202	4	b(n	b(n	PROPN
ejde-811	202	5	)	)	PUNCT
ejde-811	202	6	)	)	PUNCT
ejde-811	202	7	]	]	PUNCT
ejde-811	203	1	t=0	t=0	PUNCT
ejde-811	203	2	=	=	PUNCT
ejde-811	204	1	[	[	PUNCT
ejde-811	204	2	d	d	X
ejde-811	204	3	dt	dt	X
ejde-811	204	4	j2(a(n	j2(a(n	NUM
ejde-811	204	5	)	)	PUNCT
ejde-811	204	6	,	,	PUNCT
ejde-811	204	7	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	204	8	)	)	PUNCT
ejde-811	204	9	+	+	CCONJ
ejde-811	204	10	tb	tb	NOUN
ejde-811	204	11	)	)	PUNCT
ejde-811	204	12	]	]	PUNCT
ejde-811	205	1	t=0	t=0	PROPN
ejde-811	205	2	=	=	NOUN
ejde-811	205	3	0	0	NUM
ejde-811	205	4	,	,	PUNCT
ejde-811	205	5	for	for	ADP
ejde-811	205	6	all	all	PRON
ejde-811	205	7	(	(	PUNCT
ejde-811	205	8	a	a	PRON
ejde-811	205	9	,	,	PUNCT
ejde-811	205	10	b	b	NOUN
ejde-811	205	11	)	)	PUNCT
ejde-811	205	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	205	13	rn	rn	PROPN
ejde-811	206	1	+	+	CCONJ
ejde-811	206	2	×	×	PROPN
ejde-811	206	3	rn	rn	PROPN
ejde-811	206	4	+	+	NOUN
ejde-811	206	5	and	and	CCONJ
ejde-811	206	6	t	t	PROPN
ejde-811	206	7	∈	∈	PROPN
ejde-811	206	8	r.	r.	PROPN
ejde-811	206	9	this	this	PRON
ejde-811	206	10	means	mean	VERB
ejde-811	206	11	λ3	λ3	PROPN
ejde-811	206	12	=	=	PROPN
ejde-811	207	1	a(n)1−r	a(n)1−r	PROPN
ejde-811	208	1	i	i	PRON
ejde-811	208	2	(	(	PUNCT
ejde-811	208	3	1	1	NUM
ejde-811	208	4	|i|α	|i|α	ADV
ejde-811	208	5	∑	∑	ADV
ejde-811	208	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	208	7	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	208	8	,	,	PUNCT
ejde-811	208	9	j	j	PROPN
ejde-811	208	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	208	11	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	208	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	208	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	208	14	+	+	CCONJ
ejde-811	208	15	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	208	16	|i|α+β	|i|α+β	PRON
ejde-811	208	17	)	)	PUNCT
ejde-811	208	18	,	,	PUNCT
ejde-811	208	19	λ4	λ4	PROPN
ejde-811	208	20	=	=	PUNCT
ejde-811	208	21	b(n)1−s	b(n)1−s	PROPN
ejde-811	209	1	i	i	PRON
ejde-811	209	2	(	(	PUNCT
ejde-811	209	3	1	1	NUM
ejde-811	209	4	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	209	5	∑	∑	PUNCT
ejde-811	209	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	209	7	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	209	8	,	,	PUNCT
ejde-811	209	9	j	j	PROPN
ejde-811	209	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	209	11	a(n)j	a(n)j	PROPN
ejde-811	209	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	209	13	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	210	1	+	+	CCONJ
ejde-811	210	2	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	210	3	|i|α+β	|i|α+β	ADP
ejde-811	210	4	)	)	PUNCT
ejde-811	210	5	.	.	PUNCT
ejde-811	211	1	multiply	multiply	VERB
ejde-811	211	2	two	two	NUM
ejde-811	211	3	equations	equation	NOUN
ejde-811	211	4	above	above	ADV
ejde-811	211	5	by	by	ADP
ejde-811	211	6	a(n)ri	a(n)ri	ADV
ejde-811	211	7	and	and	CCONJ
ejde-811	211	8	b(n)si	b(n)si	PRON
ejde-811	211	9	respectively	respectively	ADV
ejde-811	211	10	and	and	CCONJ
ejde-811	211	11	sum	sum	VERB
ejde-811	211	12	for	for	ADP
ejde-811	211	13	i.	i.	NOUN
ejde-811	211	14	then	then	ADV
ejde-811	211	15	noting	note	VERB
ejde-811	211	16	that	that	SCONJ
ejde-811	211	17	(	(	PUNCT
ejde-811	211	18	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	211	19	)	)	PUNCT
ejde-811	211	20	,	,	PUNCT
ejde-811	211	21	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	211	22	)	)	PUNCT
ejde-811	211	23	)	)	PUNCT
ejde-811	212	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	212	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	212	3	)	)	PUNCT
ejde-811	212	4	is	be	AUX
ejde-811	212	5	the	the	DET
ejde-811	212	6	maximizer	maximizer	NOUN
ejde-811	212	7	,	,	PUNCT
ejde-811	212	8	we	we	PRON
ejde-811	212	9	can	can	AUX
ejde-811	212	10	see	see	VERB
ejde-811	212	11	that	that	DET
ejde-811	212	12	λ3	λ3	PROPN
ejde-811	212	13	=	=	X
ejde-811	212	14	λ4	λ4	ADJ
ejde-811	212	15	=	=	NOUN
ejde-811	212	16	qn	qn	PROPN
ejde-811	212	17	.	.	PUNCT
ejde-811	213	1	namely	namely	ADV
ejde-811	213	2	,	,	PUNCT
ejde-811	213	3	qn	qn	PROPN
ejde-811	213	4	=	=	SYM
ejde-811	213	5	a(n)1−r	a(n)1−r	PROPN
ejde-811	214	1	i	i	PRON
ejde-811	214	2	(	(	PUNCT
ejde-811	214	3	1	1	NUM
ejde-811	214	4	|i|α	|i|α	ADV
ejde-811	214	5	∑	∑	ADV
ejde-811	214	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	214	7	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	214	8	,	,	PUNCT
ejde-811	214	9	j	j	PROPN
ejde-811	214	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	214	11	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	214	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	214	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	214	14	+	+	CCONJ
ejde-811	214	15	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	214	16	|i|α+β	|i|α+β	PRON
ejde-811	214	17	)	)	PUNCT
ejde-811	214	18	,	,	PUNCT
ejde-811	214	19	qn	qn	NOUN
ejde-811	214	20	=	=	PROPN
ejde-811	214	21	b(n)1−s	b(n)1−s	NOUN
ejde-811	215	1	i	i	PRON
ejde-811	215	2	(	(	PUNCT
ejde-811	215	3	1	1	NUM
ejde-811	215	4	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	215	5	∑	∑	PUNCT
ejde-811	215	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	215	7	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	215	8	,	,	PUNCT
ejde-811	215	9	j	j	PROPN
ejde-811	215	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	215	11	a(n)j	a(n)j	PROPN
ejde-811	215	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	215	13	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	216	1	+	+	CCONJ
ejde-811	216	2	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	216	3	|i|α+β	|i|α+β	ADP
ejde-811	216	4	)	)	PUNCT
ejde-811	216	5	.	.	PUNCT
ejde-811	217	1	(	(	PUNCT
ejde-811	217	2	3.6	3.6	NUM
ejde-811	217	3	)	)	PUNCT
ejde-811	217	4	noting	note	VERB
ejde-811	217	5	(	(	PUNCT
ejde-811	217	6	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	217	7	)	)	PUNCT
ejde-811	217	8	,	,	PUNCT
ejde-811	217	9	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	217	10	)	)	PUNCT
ejde-811	217	11	)	)	PUNCT
ejde-811	218	1	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	218	2	(	(	PUNCT
ejde-811	218	3	0	0	NUM
ejde-811	218	4	,	,	PUNCT
ejde-811	218	5	0	0	NUM
ejde-811	218	6	)	)	PUNCT
ejde-811	218	7	(	(	PUNCT
ejde-811	218	8	because	because	SCONJ
ejde-811	218	9	of	of	ADP
ejde-811	218	10	(	(	PUNCT
ejde-811	218	11	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	218	12	)	)	PUNCT
ejde-811	218	13	,	,	PUNCT
ejde-811	218	14	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	218	15	)	)	PUNCT
ejde-811	218	16	)	)	PUNCT
ejde-811	218	17	∈	∈	PROPN
ejde-811	218	18	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	218	19	)	)	PUNCT
ejde-811	218	20	)	)	PUNCT
ejde-811	218	21	,	,	PUNCT
ejde-811	218	22	from	from	ADP
ejde-811	218	23	(	(	PUNCT
ejde-811	218	24	3.6	3.6	NUM
ejde-811	218	25	)	)	PUNCT
ejde-811	218	26	we	we	PRON
ejde-811	218	27	can	can	AUX
ejde-811	218	28	see	see	VERB
ejde-811	218	29	qn	qn	INTJ
ejde-811	218	30	>	>	X
ejde-811	218	31	0	0	NUM
ejde-811	218	32	.	.	PUNCT
ejde-811	219	1	(	(	PUNCT
ejde-811	219	2	3.7	3.7	NUM
ejde-811	219	3	)	)	PUNCT
ejde-811	219	4	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	219	5	discrete	discrete	VERB
ejde-811	219	6	stein	stein	PROPN
ejde-811	219	7	-	-	PUNCT
ejde-811	219	8	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	219	9	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	219	10	9	9	NUM
ejde-811	219	11	in	in	ADP
ejde-811	219	12	addition	addition	NOUN
ejde-811	219	13	,	,	PUNCT
ejde-811	219	14	qn	qn	PROPN
ejde-811	219	15	is	be	AUX
ejde-811	219	16	decreasing	decrease	VERB
ejde-811	219	17	with	with	ADP
ejde-811	219	18	respect	respect	NOUN
ejde-811	219	19	to	to	ADP
ejde-811	219	20	n	n	PRON
ejde-811	219	21	,	,	PUNCT
ejde-811	219	22	and	and	CCONJ
ejde-811	219	23	hence	hence	ADV
ejde-811	219	24	qn	qn	VERB
ejde-811	219	25	≤	≤	PROPN
ejde-811	219	26	q1	q1	PROPN
ejde-811	219	27	.	.	PUNCT
ejde-811	220	1	write	write	PROPN
ejde-811	220	2	e	e	PROPN
ejde-811	220	3	=	=	PUNCT
ejde-811	220	4	(	(	PUNCT
ejde-811	220	5	1	1	NUM
ejde-811	220	6	,	,	PUNCT
ejde-811	220	7	0	0	NUM
ejde-811	220	8	,	,	PUNCT
ejde-811	220	9	.	.	PUNCT
ejde-811	220	10	.	.	PUNCT
ejde-811	220	11	.	.	PUNCT
ejde-811	221	1	,	,	PUNCT
ejde-811	221	2	0	0	X
ejde-811	221	3	)	)	PUNCT
ejde-811	221	4	∈	∈	PROPN
ejde-811	221	5	zn	zn	NOUN
ejde-811	221	6	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	221	7	,	,	PUNCT
ejde-811	221	8	and	and	CCONJ
ejde-811	221	9	take	take	VERB
ejde-811	221	10	āi	āi	NOUN
ejde-811	221	11	=	=	SYM
ejde-811	221	12	b̄i	b̄i	NOUN
ejde-811	221	13	=	=	PUNCT
ejde-811	221	14	{	{	PUNCT
ejde-811	221	15	1	1	NUM
ejde-811	221	16	,	,	PUNCT
ejde-811	221	17	when	when	SCONJ
ejde-811	221	18	i	i	PRON
ejde-811	221	19	=	=	SYM
ejde-811	221	20	e	e	NOUN
ejde-811	221	21	,	,	PUNCT
ejde-811	221	22	0	0	NUM
ejde-811	221	23	,	,	PUNCT
ejde-811	221	24	when	when	SCONJ
ejde-811	221	25	i	i	PRON
ejde-811	221	26	∈	∈	VERB
ejde-811	221	27	zn	zn	X
ejde-811	221	28	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	221	29	\	\	NOUN
ejde-811	221	30	{	{	PUNCT
ejde-811	221	31	e	e	NOUN
ejde-811	221	32	}	}	PUNCT
ejde-811	221	33	.	.	PUNCT
ejde-811	222	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	222	2	,	,	PUNCT
ejde-811	222	3	(	(	PUNCT
ejde-811	222	4	ā	ā	INTJ
ejde-811	222	5	,	,	PUNCT
ejde-811	222	6	b̄	b̄	NOUN
ejde-811	222	7	)	)	PUNCT
ejde-811	222	8	∈	∈	PROPN
ejde-811	222	9	s(1	s(1	PROPN
ejde-811	222	10	)	)	PUNCT
ejde-811	222	11	,	,	PUNCT
ejde-811	222	12	and	and	CCONJ
ejde-811	222	13	hence	hence	ADV
ejde-811	222	14	q1	q1	VERB
ejde-811	222	15	≤	≤	ADV
ejde-811	222	16	āeb̄e	āeb̄e	X
ejde-811	222	17	=	=	SYM
ejde-811	222	18	1	1	X
ejde-811	222	19	.	.	PUNCT
ejde-811	222	20	thus	thus	ADV
ejde-811	222	21	,	,	PUNCT
ejde-811	222	22	qn	qn	PROPN
ejde-811	222	23	has	have	VERB
ejde-811	222	24	an	an	DET
ejde-811	222	25	upper	upper	ADJ
ejde-811	222	26	bound	bind	VERB
ejde-811	222	27	qn	qn	NOUN
ejde-811	222	28	≤	≤	ADJ
ejde-811	222	29	1	1	NUM
ejde-811	222	30	.	.	PUNCT
ejde-811	223	1	(	(	PUNCT
ejde-811	223	2	3.8	3.8	NUM
ejde-811	223	3	)	)	PUNCT
ejde-811	223	4	thus	thus	ADV
ejde-811	223	5	,	,	PUNCT
ejde-811	223	6	(	(	PUNCT
ejde-811	223	7	1.12	1.12	NUM
ejde-811	223	8	)	)	PUNCT
ejde-811	223	9	holds	hold	VERB
ejde-811	223	10	for	for	ADP
ejde-811	223	11	c	c	NOUN
ejde-811	223	12	=	=	SYM
ejde-811	223	13	qn	qn	NOUN
ejde-811	223	14	.	.	PUNCT
ejde-811	224	1	□	□	PUNCT
ejde-811	224	2	remark	remark	NOUN
ejde-811	224	3	3.1	3.1	NUM
ejde-811	224	4	.	.	PUNCT
ejde-811	225	1	under	under	ADP
ejde-811	225	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-811	225	3	(	(	PUNCT
ejde-811	225	4	3.1)-(3.2	3.1)-(3.2	NUM
ejde-811	225	5	)	)	PUNCT
ejde-811	225	6	and	and	CCONJ
ejde-811	225	7	(	(	PUNCT
ejde-811	225	8	3.6)-(3.7	3.6)-(3.7	NUM
ejde-811	225	9	)	)	PUNCT
ejde-811	225	10	,	,	PUNCT
ejde-811	225	11	we	we	PRON
ejde-811	225	12	obtain	obtain	VERB
ejde-811	225	13	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	225	14	>	>	X
ejde-811	225	15	0	0	PUNCT
ejde-811	225	16	and	and	CCONJ
ejde-811	225	17	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	225	18	>	>	X
ejde-811	225	19	0	0	PUNCT
ejde-811	226	1	for	for	ADP
ejde-811	226	2	i	i	PRON
ejde-811	226	3	=	=	NOUN
ejde-811	226	4	1	1	NUM
ejde-811	226	5	,	,	PUNCT
ejde-811	226	6	2	2	NUM
ejde-811	226	7	,	,	PUNCT
ejde-811	226	8	.	.	PUNCT
ejde-811	226	9	.	.	PUNCT
ejde-811	226	10	.	.	PUNCT
ejde-811	227	1	,	,	PUNCT
ejde-811	228	1	n	n	CCONJ
ejde-811	228	2	,	,	PUNCT
ejde-811	229	1	which	which	PRON
ejde-811	229	2	implies	imply	VERB
ejde-811	229	3	lim	lim	PROPN
ejde-811	229	4	n→∞	n→∞	X
ejde-811	229	5	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	229	6	=	=	PROPN
ejde-811	229	7	lim	lim	PROPN
ejde-811	229	8	n→∞	n→∞	X
ejde-811	229	9	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	229	10	=	=	SYM
ejde-811	229	11	0	0	PROPN
ejde-811	229	12	,	,	PUNCT
ejde-811	229	13	for	for	ADP
ejde-811	229	14	i	i	PROPN
ejde-811	229	15	=	=	SYM
ejde-811	229	16	1	1	NUM
ejde-811	229	17	,	,	PUNCT
ejde-811	229	18	2	2	NUM
ejde-811	229	19	,	,	PUNCT
ejde-811	229	20	.	.	PUNCT
ejde-811	230	1	.	.	PUNCT
ejde-811	231	1	.	.	PUNCT
ejde-811	232	1	,	,	PUNCT
ejde-811	232	2	n.	n.	NOUN
ejde-811	232	3	(	(	PUNCT
ejde-811	232	4	3.9	3.9	NUM
ejde-811	232	5	)	)	PUNCT
ejde-811	232	6	however	however	ADV
ejde-811	232	7	,	,	PUNCT
ejde-811	232	8	we	we	PRON
ejde-811	232	9	show	show	VERB
ejde-811	232	10	that	that	SCONJ
ejde-811	232	11	(	(	PUNCT
ejde-811	232	12	3.9	3.9	NUM
ejde-811	232	13	)	)	PUNCT
ejde-811	232	14	is	be	AUX
ejde-811	232	15	not	not	PART
ejde-811	232	16	valid	valid	ADJ
ejde-811	232	17	by	by	ADP
ejde-811	232	18	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-811	232	19	5.1	5.1	NUM
ejde-811	232	20	and	and	CCONJ
ejde-811	232	21	5.2	5.2	NUM
ejde-811	232	22	.	.	NOUN
ejde-811	233	1	4	4	X
ejde-811	233	2	.	.	X
ejde-811	233	3	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	233	4	of	of	ADP
ejde-811	233	5	the	the	DET
ejde-811	233	6	best	good	ADJ
ejde-811	233	7	constants	constant	NOUN
ejde-811	233	8	in	in	ADP
ejde-811	233	9	this	this	DET
ejde-811	233	10	section	section	NOUN
ejde-811	233	11	,	,	PUNCT
ejde-811	233	12	we	we	PRON
ejde-811	233	13	prove	prove	VERB
ejde-811	233	14	theorems	theorem	NOUN
ejde-811	233	15	1.3	1.3	NUM
ejde-811	233	16	and	and	CCONJ
ejde-811	233	17	1.9	1.9	NUM
ejde-811	233	18	.	.	PUNCT
ejde-811	234	1	proof	proof	NOUN
ejde-811	234	2	of	of	ADP
ejde-811	234	3	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	234	4	1.3	1.3	NUM
ejde-811	234	5	.	.	PUNCT
ejde-811	235	1	since	since	SCONJ
ejde-811	235	2	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	235	3	)	)	PUNCT
ejde-811	235	4	⊂	⊂	PROPN
ejde-811	235	5	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	235	6	+1	+1	PROPN
ejde-811	235	7	)	)	PUNCT
ejde-811	235	8	⊂	⊂	PROPN
ejde-811	235	9	s	s	X
ejde-811	235	10	,	,	PUNCT
ejde-811	235	11	ln	ln	ADV
ejde-811	235	12	is	be	AUX
ejde-811	235	13	monotonically	monotonically	ADV
ejde-811	235	14	increasing	increase	VERB
ejde-811	235	15	with	with	ADP
ejde-811	235	16	respect	respect	NOUN
ejde-811	235	17	to	to	ADP
ejde-811	235	18	n	n	NOUN
ejde-811	235	19	and	and	CCONJ
ejde-811	235	20	ln	ln	ADJ
ejde-811	235	21	≤	≤	NUM
ejde-811	235	22	l	l	NOUN
ejde-811	235	23	,	,	PUNCT
ejde-811	235	24	(	(	PUNCT
ejde-811	235	25	4.1	4.1	NUM
ejde-811	235	26	)	)	PUNCT
ejde-811	235	27	as	as	ADV
ejde-811	235	28	long	long	ADV
ejde-811	235	29	as	as	ADP
ejde-811	235	30	the	the	DET
ejde-811	235	31	assumptions	assumption	NOUN
ejde-811	235	32	in	in	ADP
ejde-811	235	33	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	235	34	1.1	1.1	NUM
ejde-811	235	35	hold	hold	NOUN
ejde-811	235	36	.	.	PUNCT
ejde-811	236	1	thus	thus	ADV
ejde-811	236	2	,	,	PUNCT
ejde-811	236	3	lim	lim	PROPN
ejde-811	236	4	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	236	5	ln	ln	ADJ
ejde-811	236	6	exists	exist	NOUN
ejde-811	236	7	.	.	PUNCT
ejde-811	237	1	(	(	PUNCT
ejde-811	237	2	4.2	4.2	NUM
ejde-811	237	3	)	)	PUNCT
ejde-811	237	4	from	from	ADP
ejde-811	237	5	the	the	DET
ejde-811	237	6	definition	definition	NOUN
ejde-811	237	7	of	of	ADP
ejde-811	237	8	l	l	NOUN
ejde-811	237	9	,	,	PUNCT
ejde-811	237	10	we	we	PRON
ejde-811	237	11	can	can	AUX
ejde-811	237	12	find	find	VERB
ejde-811	237	13	a	a	DET
ejde-811	237	14	maximizing	maximize	VERB
ejde-811	237	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	237	16	(	(	PUNCT
ejde-811	237	17	fm	fm	PROPN
ejde-811	237	18	,	,	PUNCT
ejde-811	237	19	gm	gm	PROPN
ejde-811	237	20	)	)	PUNCT
ejde-811	237	21	∈	∈	PROPN
ejde-811	237	22	s	s	VERB
ejde-811	238	1	such	such	ADJ
ejde-811	238	2	that	that	SCONJ
ejde-811	238	3	∑	∑	PROPN
ejde-811	238	4	i	i	PRON
ejde-811	238	5	,	,	PUNCT
ejde-811	238	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	238	7	0	0	NUM
ejde-811	238	8	,	,	PUNCT
ejde-811	238	9	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	238	10	|fm	|fm	ADP
ejde-811	238	11	i	i	PRON
ejde-811	238	12	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	238	13	|	|	ADV
ejde-811	238	14	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	238	15	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	238	16	≥	≥	NOUN
ejde-811	238	17	l−	l−	PROPN
ejde-811	238	18	1	1	NUM
ejde-811	238	19	m	m	NOUN
ejde-811	238	20	.	.	PUNCT
ejde-811	239	1	in	in	ADP
ejde-811	239	2	view	view	NOUN
ejde-811	239	3	of	of	ADP
ejde-811	239	4	(	(	PUNCT
ejde-811	239	5	1.5	1.5	NUM
ejde-811	239	6	)	)	PUNCT
ejde-811	239	7	,	,	PUNCT
ejde-811	239	8	the	the	DET
ejde-811	239	9	series	series	NOUN
ejde-811	239	10	of	of	ADP
ejde-811	239	11	the	the	DET
ejde-811	239	12	left	left	ADJ
ejde-811	239	13	hand	hand	NOUN
ejde-811	239	14	side	side	NOUN
ejde-811	239	15	in	in	ADP
ejde-811	239	16	the	the	DET
ejde-811	239	17	result	result	NOUN
ejde-811	239	18	above	above	ADV
ejde-811	239	19	is	be	AUX
ejde-811	239	20	convergent	convergent	NOUN
ejde-811	239	21	.	.	PUNCT
ejde-811	240	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	240	2	,	,	PUNCT
ejde-811	240	3	we	we	PRON
ejde-811	240	4	can	can	AUX
ejde-811	240	5	find	find	VERB
ejde-811	240	6	nm	nm	NOUN
ejde-811	240	7	→	→	SYM
ejde-811	240	8	∞	∞	PROPN
ejde-811	240	9	(	(	PUNCT
ejde-811	240	10	when	when	SCONJ
ejde-811	240	11	m	m	PROPN
ejde-811	240	12	→	→	SYM
ejde-811	240	13	∞	∞	NOUN
ejde-811	240	14	)	)	PUNCT
ejde-811	240	15	such	such	ADJ
ejde-811	240	16	that∑	that∑	NOUN
ejde-811	240	17	i	i	PRON
ejde-811	240	18	,	,	PUNCT
ejde-811	240	19	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	240	20	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	240	21	,	,	PUNCT
ejde-811	240	22	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	240	23	|fm	|fm	ADP
ejde-811	240	24	i	i	PRON
ejde-811	240	25	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	240	26	|	|	ADV
ejde-811	240	27	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	240	28	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	240	29	≥	≥	NOUN
ejde-811	240	30	l−	l−	NOUN
ejde-811	240	31	2	2	NUM
ejde-811	240	32	m	m	NOUN
ejde-811	240	33	.	.	PUNCT
ejde-811	241	1	(	(	PUNCT
ejde-811	241	2	4.3	4.3	NUM
ejde-811	241	3	)	)	PUNCT
ejde-811	241	4	on	on	ADP
ejde-811	241	5	the	the	DET
ejde-811	241	6	other	other	ADJ
ejde-811	241	7	hand	hand	NOUN
ejde-811	241	8	,	,	PUNCT
ejde-811	241	9	∥fm∥lr(zn	∥fm∥lr(zn	NOUN
ejde-811	241	10	n	n	CCONJ
ejde-811	241	11	)	)	PUNCT
ejde-811	241	12	≤	≤	NOUN
ejde-811	241	13	1	1	NUM
ejde-811	241	14	and	and	CCONJ
ejde-811	241	15	∥gm∥ls(zn	∥gm∥ls(zn	VERB
ejde-811	241	16	n	n	CCONJ
ejde-811	241	17	)	)	PUNCT
ejde-811	241	18	≤	≤	NUM
ejde-811	241	19	1	1	NUM
ejde-811	241	20	.	.	PUNCT
ejde-811	242	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	242	2	,	,	PUNCT
ejde-811	242	3	by	by	ADP
ejde-811	242	4	(	(	PUNCT
ejde-811	242	5	1.6	1.6	NUM
ejde-811	242	6	)	)	PUNCT
ejde-811	242	7	with	with	ADP
ejde-811	242	8	c	c	NOUN
ejde-811	242	9	=	=	SYM
ejde-811	242	10	ln	ln	NOUN
ejde-811	242	11	and	and	CCONJ
ejde-811	242	12	(	(	PUNCT
ejde-811	242	13	4.1	4.1	NUM
ejde-811	242	14	)	)	PUNCT
ejde-811	242	15	we	we	PRON
ejde-811	242	16	obtain	obtain	VERB
ejde-811	242	17	∑	∑	PROPN
ejde-811	242	18	i	i	PROPN
ejde-811	242	19	,	,	PUNCT
ejde-811	242	20	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	242	21	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	242	22	,	,	PUNCT
ejde-811	242	23	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	242	24	|fm	|fm	SCONJ
ejde-811	242	25	i	i	PRON
ejde-811	242	26	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	242	27	|	|	ADV
ejde-811	242	28	|i|α|i−	|i|α|i−	X
ejde-811	242	29	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	242	30	≤	≤	X
ejde-811	242	31	l.	l.	NOUN
ejde-811	242	32	combining	combine	VERB
ejde-811	242	33	with	with	ADP
ejde-811	242	34	(	(	PUNCT
ejde-811	242	35	4.3	4.3	NUM
ejde-811	242	36	)	)	PUNCT
ejde-811	242	37	and	and	CCONJ
ejde-811	242	38	letting	let	VERB
ejde-811	242	39	m	m	PROPN
ejde-811	242	40	→	→	SYM
ejde-811	242	41	∞	∞	PROPN
ejde-811	242	42	,	,	PUNCT
ejde-811	242	43	we	we	PRON
ejde-811	242	44	can	can	AUX
ejde-811	242	45	see	see	VERB
ejde-811	242	46	lnm	lnm	PROPN
ejde-811	242	47	→	→	SYM
ejde-811	242	48	l	l	PROPN
ejde-811	242	49	when	when	SCONJ
ejde-811	242	50	nm	nm	SCONJ
ejde-811	242	51	→	→	SYM
ejde-811	242	52	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	242	53	in	in	ADP
ejde-811	242	54	view	view	NOUN
ejde-811	242	55	of	of	ADP
ejde-811	242	56	(	(	PUNCT
ejde-811	242	57	4.2	4.2	NUM
ejde-811	242	58	)	)	PUNCT
ejde-811	242	59	,	,	PUNCT
ejde-811	242	60	we	we	PRON
ejde-811	242	61	can	can	AUX
ejde-811	242	62	complete	complete	VERB
ejde-811	242	63	the	the	DET
ejde-811	242	64	proof	proof	NOUN
ejde-811	242	65	.	.	PUNCT
ejde-811	243	1	□	□	PUNCT
ejde-811	243	2	10	10	NUM
ejde-811	243	3	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	243	4	li	li	PROPN
ejde-811	243	5	,	,	PUNCT
ejde-811	243	6	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	243	7	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	243	8	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	243	9	proof	proof	NOUN
ejde-811	243	10	of	of	ADP
ejde-811	243	11	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	243	12	1.9	1.9	NUM
ejde-811	243	13	.	.	PUNCT
ejde-811	244	1	under	under	ADP
ejde-811	244	2	the	the	DET
ejde-811	244	3	assumptions	assumption	NOUN
ejde-811	244	4	of	of	ADP
ejde-811	244	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	244	6	1.7	1.7	NUM
ejde-811	244	7	,	,	PUNCT
ejde-811	244	8	we	we	PRON
ejde-811	244	9	see	see	VERB
ejde-811	244	10	easily	easily	ADV
ejde-811	244	11	that	that	SCONJ
ejde-811	244	12	qn	qn	PROPN
ejde-811	244	13	≥	≥	PROPN
ejde-811	244	14	q.	q.	PROPN
ejde-811	244	15	(	(	PUNCT
ejde-811	244	16	4.4	4.4	NUM
ejde-811	244	17	)	)	PUNCT
ejde-811	244	18	since	since	SCONJ
ejde-811	244	19	qn	qn	NOUN
ejde-811	244	20	is	be	AUX
ejde-811	244	21	decreasing	decrease	VERB
ejde-811	244	22	,	,	PUNCT
ejde-811	244	23	we	we	PRON
ejde-811	244	24	know	know	VERB
ejde-811	244	25	that	that	SCONJ
ejde-811	244	26	limn→∞	limn→∞	PROPN
ejde-811	244	27	qn	qn	NOUN
ejde-811	244	28	exists	exist	VERB
ejde-811	244	29	.	.	PUNCT
ejde-811	245	1	since	since	SCONJ
ejde-811	245	2	q	q	PROPN
ejde-811	245	3	is	be	AUX
ejde-811	245	4	the	the	DET
ejde-811	245	5	best	well	ADV
ejde-811	245	6	constant	constant	ADJ
ejde-811	245	7	in	in	ADP
ejde-811	245	8	(	(	PUNCT
ejde-811	245	9	1.11	1.11	NUM
ejde-811	245	10	)	)	PUNCT
ejde-811	245	11	,	,	PUNCT
ejde-811	245	12	we	we	PRON
ejde-811	245	13	can	can	AUX
ejde-811	245	14	find	find	VERB
ejde-811	245	15	a	a	DET
ejde-811	245	16	minimizing	minimize	VERB
ejde-811	245	17	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	245	18	(	(	PUNCT
ejde-811	245	19	fm	fm	PROPN
ejde-811	245	20	,	,	PUNCT
ejde-811	245	21	gm	gm	PROPN
ejde-811	245	22	)	)	PUNCT
ejde-811	245	23	∈	∈	PROPN
ejde-811	245	24	s	s	PART
ejde-811	245	25	such	such	ADJ
ejde-811	245	26	that∑	that∑	NOUN
ejde-811	245	27	i	i	PRON
ejde-811	245	28	,	,	PUNCT
ejde-811	245	29	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	245	30	0	0	NUM
ejde-811	245	31	,	,	PUNCT
ejde-811	245	32	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	245	33	|fm	|fm	SCONJ
ejde-811	245	34	i	i	PRON
ejde-811	245	35	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	245	36	|	|	ADV
ejde-811	245	37	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	245	38	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	245	39	+	+	CCONJ
ejde-811	245	40	∑	∑	PUNCT
ejde-811	245	41	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	245	42	0	0	NUM
ejde-811	246	1	|fm	|fm	PRON
ejde-811	246	2	j	j	PROPN
ejde-811	246	3	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	246	4	|	|	ADV
ejde-811	246	5	|j|α+β	|j|α+β	ADV
ejde-811	246	6	≤	≤	NUM
ejde-811	246	7	q+	q+	ADP
ejde-811	246	8	1	1	NUM
ejde-811	246	9	m	m	NOUN
ejde-811	246	10	.	.	PUNCT
ejde-811	247	1	this	this	PRON
ejde-811	247	2	implies	imply	VERB
ejde-811	247	3	that	that	SCONJ
ejde-811	247	4	the	the	DET
ejde-811	247	5	series	series	NOUN
ejde-811	247	6	of	of	ADP
ejde-811	247	7	the	the	DET
ejde-811	247	8	left	left	ADJ
ejde-811	247	9	hand	hand	NOUN
ejde-811	247	10	side	side	NOUN
ejde-811	247	11	in	in	ADP
ejde-811	247	12	the	the	DET
ejde-811	247	13	result	result	NOUN
ejde-811	247	14	above	above	ADV
ejde-811	247	15	is	be	AUX
ejde-811	247	16	convergent	convergent	NOUN
ejde-811	247	17	.	.	PUNCT
ejde-811	248	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	248	2	,	,	PUNCT
ejde-811	248	3	we	we	PRON
ejde-811	248	4	can	can	AUX
ejde-811	248	5	find	find	VERB
ejde-811	248	6	nm	nm	NOUN
ejde-811	248	7	→	→	SYM
ejde-811	248	8	∞	∞	PROPN
ejde-811	248	9	(	(	PUNCT
ejde-811	248	10	when	when	SCONJ
ejde-811	248	11	m	m	PROPN
ejde-811	248	12	→	→	SYM
ejde-811	248	13	∞	∞	NOUN
ejde-811	248	14	)	)	PUNCT
ejde-811	248	15	such	such	ADJ
ejde-811	248	16	that∑	that∑	NOUN
ejde-811	248	17	i	i	PRON
ejde-811	248	18	,	,	PUNCT
ejde-811	248	19	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	248	20	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	248	21	,	,	PUNCT
ejde-811	248	22	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	248	23	|fm	|fm	ADP
ejde-811	248	24	i	i	PRON
ejde-811	248	25	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	248	26	|	|	ADV
ejde-811	248	27	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	248	28	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	248	29	+	+	CCONJ
ejde-811	248	30	∑	∑	PROPN
ejde-811	248	31	j∈zn	j∈zn	ADJ
ejde-811	248	32	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	248	33	|fm	|fm	PROPN
ejde-811	248	34	j	j	PROPN
ejde-811	248	35	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	248	36	|	|	ADV
ejde-811	248	37	|j|α+β	|j|α+β	ADV
ejde-811	248	38	≤	≤	NUM
ejde-811	248	39	q+	q+	ADP
ejde-811	248	40	2	2	NUM
ejde-811	248	41	m	m	NOUN
ejde-811	248	42	.	.	PUNCT
ejde-811	249	1	(	(	PUNCT
ejde-811	249	2	4.5	4.5	NUM
ejde-811	249	3	)	)	PUNCT
ejde-811	249	4	on	on	ADP
ejde-811	249	5	the	the	DET
ejde-811	249	6	other	other	ADJ
ejde-811	249	7	hand	hand	NOUN
ejde-811	249	8	,	,	PUNCT
ejde-811	249	9	(	(	PUNCT
ejde-811	249	10	fm	fm	PROPN
ejde-811	249	11	,	,	PUNCT
ejde-811	249	12	gm	gm	PROPN
ejde-811	249	13	)	)	PUNCT
ejde-811	249	14	∈	∈	PROPN
ejde-811	249	15	s	s	PART
ejde-811	249	16	implies	imply	VERB
ejde-811	249	17	∥fm∥rlr(zn	∥fm∥rlr(zn	ADJ
ejde-811	249	18	0,nm	0,nm	PROPN
ejde-811	249	19	)	)	PUNCT
ejde-811	249	20	≥	≥	NOUN
ejde-811	249	21	1−	1−	NUM
ejde-811	249	22	1	1	NUM
ejde-811	249	23	/	/	SYM
ejde-811	249	24	m	m	PROPN
ejde-811	249	25	,	,	PUNCT
ejde-811	249	26	∥gm∥sls(zn	∥gm∥sls(zn	NOUN
ejde-811	249	27	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	249	28	)	)	PUNCT
ejde-811	249	29	≥	≥	NOUN
ejde-811	249	30	1−	1−	NUM
ejde-811	249	31	1	1	NUM
ejde-811	249	32	/	/	SYM
ejde-811	249	33	m	m	PROPN
ejde-811	249	34	,	,	PUNCT
ejde-811	249	35	(	(	PUNCT
ejde-811	249	36	4.6	4.6	NUM
ejde-811	249	37	)	)	PUNCT
ejde-811	249	38	as	as	ADV
ejde-811	249	39	long	long	ADV
ejde-811	249	40	as	as	ADP
ejde-811	249	41	nm	nm	ADV
ejde-811	249	42	>	>	X
ejde-811	249	43	m	m	VERB
ejde-811	249	44	is	be	AUX
ejde-811	249	45	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-811	249	46	large	large	ADJ
ejde-811	249	47	.	.	PUNCT
ejde-811	250	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	250	2	,	,	PUNCT
ejde-811	250	3	noting	note	VERB
ejde-811	250	4	that	that	SCONJ
ejde-811	250	5	(	(	PUNCT
ejde-811	250	6	fm	fm	PROPN
ejde-811	250	7	∥fm∥lr(zn	∥fm∥lr(zn	NOUN
ejde-811	250	8	0,nm	0,nm	PROPN
ejde-811	250	9	)	)	PUNCT
ejde-811	250	10	,	,	PUNCT
ejde-811	250	11	gm	gm	PROPN
ejde-811	250	12	∥gm∥ls(zn	∥gm∥ls(zn	NOUN
ejde-811	250	13	0,nm	0,nm	PROPN
ejde-811	250	14	)	)	PUNCT
ejde-811	250	15	)	)	PUNCT
ejde-811	251	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	251	2	s(nm	s(nm	NOUN
ejde-811	251	3	)	)	PUNCT
ejde-811	251	4	,	,	PUNCT
ejde-811	251	5	from	from	ADP
ejde-811	251	6	(	(	PUNCT
ejde-811	251	7	4.5	4.5	NUM
ejde-811	251	8	)	)	PUNCT
ejde-811	251	9	and	and	CCONJ
ejde-811	251	10	(	(	PUNCT
ejde-811	251	11	4.6	4.6	NUM
ejde-811	251	12	)	)	PUNCT
ejde-811	251	13	we	we	PRON
ejde-811	251	14	deduce	deduce	VERB
ejde-811	251	15	that	that	SCONJ
ejde-811	251	16	qnm	qnm	PROPN
ejde-811	251	17	≤	≤	PROPN
ejde-811	251	18	∑	∑	PROPN
ejde-811	251	19	i	i	PROPN
ejde-811	251	20	,	,	PUNCT
ejde-811	251	21	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	251	22	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	23	,	,	PUNCT
ejde-811	251	24	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	251	25	|fm	|fm	ADP
ejde-811	251	26	i	i	PRON
ejde-811	251	27	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	251	28	|	|	ADV
ejde-811	251	29	∥fm∥lr(zn	∥fm∥lr(zn	NOUN
ejde-811	251	30	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	31	)	)	PUNCT
ejde-811	251	32	∥gm∥ls(zn	∥gm∥ls(zn	NOUN
ejde-811	251	33	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	34	)	)	PUNCT
ejde-811	251	35	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	251	36	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	251	37	+	+	CCONJ
ejde-811	251	38	∑	∑	PROPN
ejde-811	251	39	j∈zn	j∈zn	ADJ
ejde-811	251	40	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	41	|fm	|fm	PROPN
ejde-811	251	42	j	j	PROPN
ejde-811	251	43	||gmj	||gmj	VERB
ejde-811	251	44	|	|	ADV
ejde-811	251	45	∥fm∥lr(zn	∥fm∥lr(zn	NOUN
ejde-811	251	46	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	47	)	)	PUNCT
ejde-811	251	48	∥gm∥ls(zn	∥gm∥ls(zn	NOUN
ejde-811	251	49	0,nm	0,nm	NOUN
ejde-811	251	50	)	)	PUNCT
ejde-811	252	1	|j|α+β	|j|α+β	PROPN
ejde-811	252	2	≤	≤	NUM
ejde-811	252	3	(	(	PUNCT
ejde-811	252	4	q+	q+	ADP
ejde-811	252	5	2	2	NUM
ejde-811	252	6	m	m	NOUN
ejde-811	252	7	)	)	PUNCT
ejde-811	252	8	(	(	PUNCT
ejde-811	252	9	1−	1−	NUM
ejde-811	252	10	1	1	NUM
ejde-811	252	11	m	m	NOUN
ejde-811	252	12	)	)	PUNCT
ejde-811	252	13	−1	−1	NOUN
ejde-811	252	14	/	/	SYM
ejde-811	252	15	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	252	16	/	/	SYM
ejde-811	252	17	s	s	PART
ejde-811	252	18	.	.	PUNCT
ejde-811	253	1	combining	combine	VERB
ejde-811	253	2	this	this	PRON
ejde-811	253	3	with	with	ADP
ejde-811	253	4	(	(	PUNCT
ejde-811	253	5	4.4	4.4	NUM
ejde-811	253	6	)	)	PUNCT
ejde-811	253	7	and	and	CCONJ
ejde-811	253	8	letting	let	VERB
ejde-811	253	9	m	m	PROPN
ejde-811	253	10	→	→	SYM
ejde-811	253	11	∞	∞	PROPN
ejde-811	253	12	,	,	PUNCT
ejde-811	253	13	we	we	PRON
ejde-811	253	14	complete	complete	VERB
ejde-811	253	15	the	the	DET
ejde-811	253	16	proof	proof	NOUN
ejde-811	253	17	.	.	PUNCT
ejde-811	254	1	□	□	PUNCT
ejde-811	254	2	5	5	X
ejde-811	254	3	.	.	X
ejde-811	254	4	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	254	5	of	of	ADP
ejde-811	254	6	the	the	DET
ejde-811	254	7	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	254	8	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	254	9	in	in	ADP
ejde-811	254	10	this	this	DET
ejde-811	254	11	section	section	NOUN
ejde-811	254	12	,	,	PUNCT
ejde-811	254	13	we	we	PRON
ejde-811	254	14	prove	prove	VERB
ejde-811	254	15	theorems	theorem	NOUN
ejde-811	254	16	1.4	1.4	NUM
ejde-811	254	17	and	and	CCONJ
ejde-811	254	18	1.10	1.10	NUM
ejde-811	254	19	.	.	PUNCT
ejde-811	255	1	now	now	ADV
ejde-811	255	2	we	we	PRON
ejde-811	255	3	provide	provide	VERB
ejde-811	255	4	two	two	NUM
ejde-811	255	5	lemmas	lemma	NOUN
ejde-811	255	6	needed	need	VERB
ejde-811	255	7	later	later	ADV
ejde-811	255	8	.	.	PUNCT
ejde-811	256	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	256	2	5.1	5.1	NUM
ejde-811	256	3	.	.	PUNCT
ejde-811	257	1	assume	assume	VERB
ejde-811	257	2	that	that	SCONJ
ejde-811	257	3	the	the	DET
ejde-811	257	4	conditions	condition	NOUN
ejde-811	257	5	of	of	ADP
ejde-811	257	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	257	7	1.4	1.4	NUM
ejde-811	257	8	hold	hold	NOUN
ejde-811	257	9	.	.	PUNCT
ejde-811	258	1	if	if	SCONJ
ejde-811	258	2	(	(	PUNCT
ejde-811	258	3	a	a	PRON
ejde-811	258	4	,	,	PUNCT
ejde-811	258	5	b	b	NOUN
ejde-811	258	6	)	)	PUNCT
ejde-811	258	7	∈	∈	PROPN
ejde-811	258	8	(	(	PUNCT
ejde-811	258	9	rn	rn	NOUN
ejde-811	258	10	+	+	PROPN
ejde-811	258	11	×	×	PROPN
ejde-811	258	12	rn	rn	PROPN
ejde-811	258	13	+	+	CCONJ
ejde-811	258	14	)	)	PUNCT
ejde-811	258	15	∩	∩	NOUN
ejde-811	258	16	s(n	s(n	NOUN
ejde-811	258	17	)	)	PUNCT
ejde-811	258	18	solves	solve	NOUN
ejde-811	258	19	(	(	PUNCT
ejde-811	258	20	3.1	3.1	NUM
ejde-811	258	21	)	)	PUNCT
ejde-811	258	22	,	,	PUNCT
ejde-811	258	23	we	we	PRON
ejde-811	258	24	can	can	AUX
ejde-811	258	25	find	find	VERB
ejde-811	258	26	a	a	DET
ejde-811	258	27	positive	positive	ADJ
ejde-811	258	28	constant	constant	ADJ
ejde-811	258	29	σ	σ	NOUN
ejde-811	258	30	which	which	PRON
ejde-811	258	31	is	be	AUX
ejde-811	258	32	independent	independent	ADJ
ejde-811	258	33	of	of	ADP
ejde-811	258	34	n	n	PROPN
ejde-811	258	35	,	,	PUNCT
ejde-811	258	36	such	such	ADJ
ejde-811	258	37	that	that	DET
ejde-811	258	38	σn	σn	NOUN
ejde-811	258	39	:	:	PUNCT
ejde-811	258	40	=	=	SYM
ejde-811	258	41	min	min	PROPN
ejde-811	258	42	{	{	PUNCT
ejde-811	258	43	max	max	PROPN
ejde-811	258	44	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	258	45	ai	ai	NOUN
ejde-811	258	46	,	,	PUNCT
ejde-811	258	47	max	max	PROPN
ejde-811	258	48	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	258	49	bi	bi	NOUN
ejde-811	258	50	}	}	PUNCT
ejde-811	258	51	≥	≥	PROPN
ejde-811	258	52	σ	σ	PROPN
ejde-811	258	53	.	.	PUNCT
ejde-811	258	54	proof	proof	NOUN
ejde-811	258	55	.	.	PUNCT
ejde-811	259	1	since	since	SCONJ
ejde-811	259	2	ln	ln	ADV
ejde-811	259	3	is	be	AUX
ejde-811	259	4	increasing	increase	VERB
ejde-811	259	5	with	with	ADP
ejde-811	259	6	respect	respect	NOUN
ejde-811	259	7	to	to	ADP
ejde-811	259	8	n	n	PRON
ejde-811	259	9	,	,	PUNCT
ejde-811	259	10	ln	ln	ADJ
ejde-811	259	11	≥	≥	NOUN
ejde-811	259	12	l1	l1	PROPN
ejde-811	259	13	.	.	PUNCT
ejde-811	260	1	take	take	VERB
ejde-811	260	2	e1	e1	NOUN
ejde-811	260	3	=	=	SYM
ejde-811	260	4	(	(	PUNCT
ejde-811	260	5	1	1	NUM
ejde-811	260	6	,	,	PUNCT
ejde-811	260	7	0	0	NUM
ejde-811	260	8	,	,	PUNCT
ejde-811	260	9	.	.	PUNCT
ejde-811	260	10	.	.	PUNCT
ejde-811	261	1	.	.	PUNCT
ejde-811	262	1	,	,	PUNCT
ejde-811	262	2	0	0	NUM
ejde-811	262	3	)	)	PUNCT
ejde-811	263	1	and	and	CCONJ
ejde-811	263	2	e2	e2	PROPN
ejde-811	263	3	=	=	SYM
ejde-811	263	4	(	(	PUNCT
ejde-811	263	5	−1	−1	NOUN
ejde-811	263	6	,	,	PUNCT
ejde-811	263	7	0	0	NUM
ejde-811	263	8	,	,	PUNCT
ejde-811	263	9	.	.	PUNCT
ejde-811	263	10	.	.	PUNCT
ejde-811	263	11	.	.	PUNCT
ejde-811	264	1	,	,	PUNCT
ejde-811	264	2	0	0	NUM
ejde-811	264	3	)	)	PUNCT
ejde-811	264	4	.	.	PUNCT
ejde-811	265	1	set	set	VERB
ejde-811	265	2	āi	āi	PROPN
ejde-811	265	3	=	=	SYM
ejde-811	265	4	{	{	PUNCT
ejde-811	265	5	1	1	NUM
ejde-811	265	6	,	,	PUNCT
ejde-811	265	7	when	when	SCONJ
ejde-811	265	8	i	i	PRON
ejde-811	265	9	=	=	SYM
ejde-811	265	10	e1	e1	PROPN
ejde-811	265	11	;	;	PUNCT
ejde-811	265	12	0	0	NUM
ejde-811	265	13	,	,	PUNCT
ejde-811	265	14	when	when	SCONJ
ejde-811	265	15	i	i	PRON
ejde-811	265	16	∈	∈	VERB
ejde-811	265	17	zn	zn	X
ejde-811	265	18	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	265	19	\	\	NOUN
ejde-811	265	20	{	{	PUNCT
ejde-811	265	21	e1	e1	PROPN
ejde-811	265	22	}	}	PUNCT
ejde-811	265	23	,	,	PUNCT
ejde-811	265	24	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	265	25	discrete	discrete	VERB
ejde-811	265	26	stein	stein	PROPN
ejde-811	265	27	-	-	PUNCT
ejde-811	265	28	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	265	29	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	265	30	11	11	NUM
ejde-811	265	31	and	and	CCONJ
ejde-811	265	32	b̄i	b̄i	PROPN
ejde-811	265	33	=	=	PUNCT
ejde-811	265	34	{	{	PUNCT
ejde-811	265	35	1	1	NUM
ejde-811	265	36	,	,	PUNCT
ejde-811	265	37	when	when	SCONJ
ejde-811	265	38	i	i	PROPN
ejde-811	265	39	=	=	SYM
ejde-811	265	40	e2	e2	PROPN
ejde-811	265	41	;	;	PUNCT
ejde-811	265	42	0	0	NUM
ejde-811	265	43	,	,	PUNCT
ejde-811	265	44	when	when	SCONJ
ejde-811	265	45	i	i	PRON
ejde-811	265	46	∈	∈	VERB
ejde-811	265	47	zn	zn	X
ejde-811	265	48	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	265	49	\	\	PROPN
ejde-811	265	50	{	{	PUNCT
ejde-811	265	51	e2	e2	PROPN
ejde-811	265	52	}	}	PUNCT
ejde-811	265	53	.	.	PUNCT
ejde-811	266	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	266	2	,	,	PUNCT
ejde-811	266	3	(	(	PUNCT
ejde-811	266	4	ā	ā	INTJ
ejde-811	266	5	,	,	PUNCT
ejde-811	266	6	b̄	b̄	NOUN
ejde-811	266	7	)	)	PUNCT
ejde-811	266	8	∈	∈	PROPN
ejde-811	266	9	s(1	s(1	PROPN
ejde-811	266	10	)	)	PUNCT
ejde-811	266	11	,	,	PUNCT
ejde-811	266	12	and	and	CCONJ
ejde-811	266	13	hence	hence	ADV
ejde-811	266	14	l1	l1	PROPN
ejde-811	266	15	≥	≥	PRON
ejde-811	266	16	āe1	āe1	NOUN
ejde-811	266	17	b̄e2/|e1	b̄e2/|e1	VERB
ejde-811	266	18	−	−	NOUN
ejde-811	266	19	e2|λ	e2|λ	NOUN
ejde-811	266	20	.	.	PUNCT
ejde-811	267	1	thus	thus	ADV
ejde-811	267	2	,	,	PUNCT
ejde-811	267	3	ln	ln	ADV
ejde-811	267	4	has	have	VERB
ejde-811	267	5	a	a	DET
ejde-811	267	6	lower	low	ADJ
ejde-811	267	7	bound	bind	VERB
ejde-811	267	8	ln	ln	ADJ
ejde-811	267	9	≥	≥	NOUN
ejde-811	267	10	2−λ	2−λ	NUM
ejde-811	267	11	.	.	PUNCT
ejde-811	268	1	(	(	PUNCT
ejde-811	268	2	5.1	5.1	NUM
ejde-811	268	3	)	)	PUNCT
ejde-811	268	4	we	we	PRON
ejde-811	268	5	denote	denote	VERB
ejde-811	268	6	the	the	DET
ejde-811	268	7	max{bi	max{bi	NOUN
ejde-811	268	8	;	;	PUNCT
ejde-811	268	9	1	1	NUM
ejde-811	268	10	≤	≤	NUM
ejde-811	268	11	|i|	|i|	VERB
ejde-811	268	12	≤	≤	NUM
ejde-811	268	13	n	n	CCONJ
ejde-811	268	14	}	}	PUNCT
ejde-811	268	15	by	by	ADP
ejde-811	268	16	η	η	PROPN
ejde-811	268	17	.	.	PROPN
ejde-811	268	18	from	from	ADP
ejde-811	268	19	(	(	PUNCT
ejde-811	268	20	3.1	3.1	NUM
ejde-811	268	21	)	)	PUNCT
ejde-811	268	22	we	we	PRON
ejde-811	268	23	see	see	VERB
ejde-811	268	24	that	that	SCONJ
ejde-811	268	25	for	for	ADP
ejde-811	268	26	any	any	DET
ejde-811	268	27	t	t	NOUN
ejde-811	268	28	∈	∈	PROPN
ejde-811	268	29	(	(	PUNCT
ejde-811	268	30	0	0	NUM
ejde-811	268	31	,	,	PUNCT
ejde-811	268	32	1	1	NUM
ejde-811	268	33	)	)	PUNCT
ejde-811	268	34	,	,	PUNCT
ejde-811	268	35	lnar−1	lnar−1	PROPN
ejde-811	268	36	i	i	PRON
ejde-811	268	37	≤	≤	VERB
ejde-811	268	38	ηt	ηt	ADP
ejde-811	268	39	∑	∑	PUNCT
ejde-811	268	40	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	268	41	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	268	42	,	,	PUNCT
ejde-811	268	43	j	j	PROPN
ejde-811	268	44	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	268	45	b1−t	b1−t	PROPN
ejde-811	268	46	j	j	PROPN
ejde-811	268	47	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	268	48	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	268	49	.	.	PUNCT
ejde-811	269	1	taking	take	VERB
ejde-811	269	2	the	the	DET
ejde-811	269	3	result	result	NOUN
ejde-811	269	4	above	above	ADP
ejde-811	269	5	to	to	ADP
ejde-811	269	6	the	the	DET
ejde-811	269	7	power	power	NOUN
ejde-811	269	8	of	of	ADP
ejde-811	269	9	r/(r	r/(r	NOUN
ejde-811	269	10	−	−	PROPN
ejde-811	269	11	1	1	NUM
ejde-811	269	12	)	)	PUNCT
ejde-811	269	13	at	at	ADP
ejde-811	269	14	both	both	DET
ejde-811	269	15	sides	side	NOUN
ejde-811	269	16	and	and	CCONJ
ejde-811	269	17	summing	sum	VERB
ejde-811	269	18	for	for	ADP
ejde-811	269	19	i	i	PROPN
ejde-811	269	20	∈	∈	PROPN
ejde-811	269	21	zn	zn	NOUN
ejde-811	269	22	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	269	23	,	,	PUNCT
ejde-811	269	24	we	we	PRON
ejde-811	269	25	obtain	obtain	VERB
ejde-811	269	26	l	l	NOUN
ejde-811	269	27	r	r	NOUN
ejde-811	269	28	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	269	29	n	n	CCONJ
ejde-811	269	30	≤	≤	PROPN
ejde-811	269	31	η	η	PROPN
ejde-811	269	32	tr	tr	VERB
ejde-811	269	33	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	269	34	∑	∑	ADV
ejde-811	269	35	i∈zn	i∈zn	PROPN
ejde-811	269	36	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	269	37	(	(	PUNCT
ejde-811	269	38	∑	∑	ADV
ejde-811	269	39	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	269	40	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	269	41	,	,	PUNCT
ejde-811	269	42	j	j	PROPN
ejde-811	269	43	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	269	44	b1−t	b1−t	PROPN
ejde-811	269	45	j	j	PROPN
ejde-811	269	46	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	269	47	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	269	48	)	)	PUNCT
ejde-811	269	49	r	r	NOUN
ejde-811	269	50	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	269	51	.	.	PUNCT
ejde-811	270	1	(	(	PUNCT
ejde-811	270	2	5.2	5.2	X
ejde-811	270	3	)	)	PUNCT
ejde-811	270	4	let	let	VERB
ejde-811	270	5	p	p	NOUN
ejde-811	270	6	,	,	PUNCT
ejde-811	270	7	q	q	ADJ
ejde-811	270	8	>	>	X
ejde-811	270	9	0	0	NUM
ejde-811	270	10	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-811	270	11	1	1	NUM
ejde-811	270	12	r	r	NOUN
ejde-811	271	1	+	+	NOUN
ejde-811	271	2	1	1	NUM
ejde-811	271	3	q	q	NOUN
ejde-811	271	4	=	=	SYM
ejde-811	271	5	1	1	NUM
ejde-811	271	6	s	s	NOUN
ejde-811	271	7	+	+	NOUN
ejde-811	271	8	1	1	NUM
ejde-811	271	9	p	p	NOUN
ejde-811	271	10	=	=	SYM
ejde-811	271	11	2−	2−	NUM
ejde-811	271	12	λ+	λ+	PUNCT
ejde-811	271	13	α+	α+	X
ejde-811	271	14	β	β	X
ejde-811	271	15	n	n	X
ejde-811	271	16	.	.	PUNCT
ejde-811	272	1	by	by	ADP
ejde-811	272	2	the	the	DET
ejde-811	272	3	conditions	condition	NOUN
ejde-811	272	4	of	of	ADP
ejde-811	272	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	272	6	1.4	1.4	NUM
ejde-811	272	7	we	we	PRON
ejde-811	272	8	know	know	VERB
ejde-811	272	9	that	that	SCONJ
ejde-811	272	10	p	p	X
ejde-811	272	11	>	>	X
ejde-811	272	12	r	r	NOUN
ejde-811	272	13	and	and	CCONJ
ejde-811	272	14	q	q	PROPN
ejde-811	272	15	>	>	X
ejde-811	272	16	s.	s.	PROPN
ejde-811	272	17	for	for	ADP
ejde-811	272	18	each	each	DET
ejde-811	272	19	b̃	b̃	PROPN
ejde-811	272	20	∈	∈	PROPN
ejde-811	272	21	lq(zn	lq(zn	NOUN
ejde-811	272	22	0,n	0,n	X
ejde-811	272	23	)	)	PUNCT
ejde-811	272	24	,	,	PUNCT
ejde-811	272	25	define	define	VERB
ejde-811	272	26	operator	operator	NOUN
ejde-811	272	27	t	t	PROPN
ejde-811	272	28	as	as	SCONJ
ejde-811	272	29	follows	follow	VERB
ejde-811	272	30	(	(	PUNCT
ejde-811	272	31	t	t	NOUN
ejde-811	272	32	b̃)i	b̃)i	NOUN
ejde-811	272	33	=	=	PUNCT
ejde-811	272	34	∑	∑	PUNCT
ejde-811	272	35	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	272	36	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	272	37	,	,	PUNCT
ejde-811	272	38	j	j	PROPN
ejde-811	272	39	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	272	40	b̃j	b̃j	VERB
ejde-811	272	41	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	272	42	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	272	43	.	.	PUNCT
ejde-811	273	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	273	2	,	,	PUNCT
ejde-811	273	3	(	(	PUNCT
ejde-811	273	4	5.2	5.2	NUM
ejde-811	273	5	)	)	PUNCT
ejde-811	273	6	becomes	become	VERB
ejde-811	273	7	ln	ln	ADJ
ejde-811	273	8	≤	≤	NUM
ejde-811	273	9	ηt∥t	ηt∥t	VERB
ejde-811	273	10	b̃∥lr/(r−1)(zn	b̃∥lr/(r−1)(zn	PROPN
ejde-811	273	11	0,n	0,n	ADV
ejde-811	273	12	)	)	PUNCT
ejde-811	273	13	with	with	ADP
ejde-811	273	14	b̃i	b̃i	ADP
ejde-811	273	15	=	=	PUNCT
ejde-811	273	16	b1−t	b1−t	PROPN
ejde-811	273	17	i	i	PRON
ejde-811	273	18	.	.	PUNCT
ejde-811	274	1	(	(	PUNCT
ejde-811	274	2	5.3	5.3	NUM
ejde-811	274	3	)	)	PUNCT
ejde-811	274	4	from	from	ADP
ejde-811	274	5	the	the	DET
ejde-811	274	6	definition	definition	NOUN
ejde-811	274	7	of	of	ADP
ejde-811	274	8	the	the	DET
ejde-811	274	9	norm	norm	NOUN
ejde-811	274	10	and	and	CCONJ
ejde-811	274	11	(	(	PUNCT
ejde-811	274	12	1.5	1.5	NUM
ejde-811	274	13	)	)	PUNCT
ejde-811	274	14	,	,	PUNCT
ejde-811	274	15	we	we	PRON
ejde-811	274	16	obtain	obtain	VERB
ejde-811	274	17	∥t	∥t	ADJ
ejde-811	274	18	b̃∥lr/(r−1)(zn	b̃∥lr/(r−1)(zn	PROPN
ejde-811	274	19	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	274	20	)	)	PUNCT
ejde-811	275	1	=	=	PUNCT
ejde-811	275	2	sup	sup	NOUN
ejde-811	275	3	∥a∥lr(zn	∥a∥lr(zn	NOUN
ejde-811	275	4	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	275	5	)	)	PUNCT
ejde-811	276	1	=	=	SYM
ejde-811	276	2	1	1	NUM
ejde-811	276	3	∑	∑	PROPN
ejde-811	276	4	i	i	PROPN
ejde-811	276	5	,	,	PUNCT
ejde-811	276	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	276	7	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	276	8	,	,	PUNCT
ejde-811	276	9	j	j	PROPN
ejde-811	276	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	276	11	aib̃j	aib̃j	PROPN
ejde-811	276	12	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	276	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	NOUN
ejde-811	276	14	≤	≤	NUM
ejde-811	276	15	l	l	NOUN
ejde-811	276	16	∥b̃∥lq(zn	∥b̃∥lq(zn	PROPN
ejde-811	276	17	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	276	18	)	)	PUNCT
ejde-811	276	19	.	.	PUNCT
ejde-811	277	1	(	(	PUNCT
ejde-811	277	2	5.4	5.4	NUM
ejde-811	277	3	)	)	PUNCT
ejde-811	277	4	choosing	choose	VERB
ejde-811	277	5	b̃i	b̃i	ADP
ejde-811	277	6	=	=	PUNCT
ejde-811	277	7	b1−t	b1−t	PROPN
ejde-811	277	8	i	i	PROPN
ejde-811	277	9	and	and	CCONJ
ejde-811	277	10	t	t	PROPN
ejde-811	277	11	=	=	PUNCT
ejde-811	277	12	1−	1−	NUM
ejde-811	277	13	s	s	PROPN
ejde-811	277	14	/	/	SYM
ejde-811	277	15	q	q	NOUN
ejde-811	277	16	,	,	PUNCT
ejde-811	277	17	we	we	PRON
ejde-811	277	18	have	have	VERB
ejde-811	277	19	∥b̃∥qlq(zn	∥b̃∥qlq(zn	NOUN
ejde-811	277	20	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	277	21	)	)	PUNCT
ejde-811	278	1	=	=	PUNCT
ejde-811	278	2	∥b∥sls(zn	∥b∥sls(zn	X
ejde-811	278	3	0,n	0,n	ADV
ejde-811	278	4	)	)	PUNCT
ejde-811	278	5	=	=	SYM
ejde-811	279	1	1	1	X
ejde-811	279	2	.	.	PUNCT
ejde-811	279	3	(	(	PUNCT
ejde-811	279	4	5.5	5.5	NUM
ejde-811	279	5	)	)	PUNCT
ejde-811	279	6	combining	combine	VERB
ejde-811	279	7	(	(	PUNCT
ejde-811	279	8	5.1	5.1	NUM
ejde-811	279	9	)	)	PUNCT
ejde-811	279	10	with	with	ADP
ejde-811	279	11	(	(	PUNCT
ejde-811	279	12	5.3)-(5.5	5.3)-(5.5	NUM
ejde-811	279	13	)	)	PUNCT
ejde-811	279	14	,	,	PUNCT
ejde-811	279	15	we	we	PRON
ejde-811	279	16	obtain	obtain	VERB
ejde-811	279	17	2−λ	2−λ	NUM
ejde-811	279	18	≤	≤	NOUN
ejde-811	279	19	ln	ln	ADJ
ejde-811	279	20	≤	≤	NOUN
ejde-811	279	21	ηtl	ηtl	PRON
ejde-811	279	22	which	which	PRON
ejde-811	279	23	implies	imply	VERB
ejde-811	279	24	η	η	PROPN
ejde-811	279	25	≥	≥	X
ejde-811	279	26	(	(	PUNCT
ejde-811	279	27	2λl)−1	2λl)−1	NUM
ejde-811	279	28	/	/	SYM
ejde-811	279	29	t.	t.	NOUN
ejde-811	279	30	similarly	similarly	ADV
ejde-811	279	31	,	,	PUNCT
ejde-811	279	32	we	we	PRON
ejde-811	279	33	can	can	AUX
ejde-811	279	34	obtain	obtain	VERB
ejde-811	279	35	max{ai	max{ai	NUM
ejde-811	279	36	;	;	PUNCT
ejde-811	279	37	1	1	NUM
ejde-811	279	38	≤	≤	NUM
ejde-811	279	39	|i|	|i|	VERB
ejde-811	279	40	≤	≤	NUM
ejde-811	279	41	n	n	CCONJ
ejde-811	279	42	}	}	PUNCT
ejde-811	279	43	≥	≥	X
ejde-811	279	44	(	(	PUNCT
ejde-811	279	45	2λl)−1	2λl)−1	NUM
ejde-811	279	46	/	/	SYM
ejde-811	279	47	t′	t′	NUM
ejde-811	279	48	,	,	PUNCT
ejde-811	279	49	where	where	SCONJ
ejde-811	279	50	t′	t′	NUM
ejde-811	279	51	=	=	SYM
ejde-811	279	52	1−	1−	NUM
ejde-811	279	53	r	r	NOUN
ejde-811	279	54	/	/	SYM
ejde-811	279	55	p.	p.	NOUN
ejde-811	279	56	thus	thus	ADV
ejde-811	279	57	,	,	PUNCT
ejde-811	279	58	the	the	DET
ejde-811	279	59	proof	proof	NOUN
ejde-811	279	60	is	be	AUX
ejde-811	279	61	completed	complete	VERB
ejde-811	279	62	if	if	SCONJ
ejde-811	279	63	we	we	PRON
ejde-811	279	64	take	take	VERB
ejde-811	279	65	σ	σ	NOUN
ejde-811	279	66	=	=	PUNCT
ejde-811	279	67	min{(2λl)−1	min{(2λl)−1	PROPN
ejde-811	279	68	/	/	SYM
ejde-811	279	69	t	t	PROPN
ejde-811	279	70	,	,	PUNCT
ejde-811	279	71	(	(	PUNCT
ejde-811	279	72	2λl)−1	2λl)−1	NUM
ejde-811	279	73	/	/	SYM
ejde-811	279	74	t′	t′	NUM
ejde-811	279	75	}	}	PUNCT
ejde-811	279	76	.	.	PUNCT
ejde-811	280	1	□	□	PUNCT
ejde-811	280	2	12	12	NUM
ejde-811	280	3	chunhong	chunhong	NOUN
ejde-811	280	4	li	li	PROPN
ejde-811	280	5	,	,	PUNCT
ejde-811	280	6	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	280	7	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	280	8	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	280	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	280	10	5.2	5.2	NUM
ejde-811	280	11	.	.	PUNCT
ejde-811	280	12	assume	assume	VERB
ejde-811	280	13	that	that	SCONJ
ejde-811	280	14	the	the	DET
ejde-811	280	15	conditions	condition	NOUN
ejde-811	280	16	of	of	ADP
ejde-811	280	17	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	280	18	1.10	1.10	NUM
ejde-811	280	19	hold	hold	NOUN
ejde-811	280	20	.	.	PUNCT
ejde-811	281	1	if	if	SCONJ
ejde-811	281	2	(	(	PUNCT
ejde-811	281	3	a	a	PRON
ejde-811	281	4	,	,	PUNCT
ejde-811	281	5	b	b	NOUN
ejde-811	281	6	)	)	PUNCT
ejde-811	281	7	∈	∈	PROPN
ejde-811	281	8	(	(	PUNCT
ejde-811	281	9	rn	rn	NOUN
ejde-811	281	10	+	+	PROPN
ejde-811	281	11	×	×	PROPN
ejde-811	281	12	rn	rn	PROPN
ejde-811	281	13	+	+	CCONJ
ejde-811	281	14	)	)	PUNCT
ejde-811	281	15	∩	∩	NOUN
ejde-811	281	16	s(n	s(n	NOUN
ejde-811	281	17	)	)	PUNCT
ejde-811	281	18	solves	solve	NOUN
ejde-811	281	19	(	(	PUNCT
ejde-811	281	20	3.6	3.6	NUM
ejde-811	281	21	)	)	PUNCT
ejde-811	281	22	,	,	PUNCT
ejde-811	281	23	we	we	PRON
ejde-811	281	24	can	can	AUX
ejde-811	281	25	find	find	VERB
ejde-811	281	26	a	a	DET
ejde-811	281	27	positive	positive	ADJ
ejde-811	281	28	constant	constant	ADJ
ejde-811	281	29	σ	σ	NOUN
ejde-811	281	30	which	which	PRON
ejde-811	281	31	is	be	AUX
ejde-811	281	32	independent	independent	ADJ
ejde-811	281	33	of	of	ADP
ejde-811	281	34	n	n	PROPN
ejde-811	281	35	,	,	PUNCT
ejde-811	281	36	such	such	ADJ
ejde-811	281	37	that	that	DET
ejde-811	281	38	σn	σn	NOUN
ejde-811	281	39	:	:	PUNCT
ejde-811	281	40	=	=	SYM
ejde-811	281	41	min	min	PROPN
ejde-811	281	42	{	{	PUNCT
ejde-811	281	43	max	max	PROPN
ejde-811	281	44	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	281	45	ai	ai	NOUN
ejde-811	281	46	,	,	PUNCT
ejde-811	281	47	max	max	PROPN
ejde-811	281	48	1≤|i|≤n	1≤|i|≤n	NUM
ejde-811	281	49	bi	bi	NOUN
ejde-811	281	50	}	}	PUNCT
ejde-811	281	51	≥	≥	PROPN
ejde-811	281	52	σ	σ	PROPN
ejde-811	281	53	.	.	PUNCT
ejde-811	281	54	proof	proof	NOUN
ejde-811	281	55	.	.	PUNCT
ejde-811	282	1	we	we	PRON
ejde-811	282	2	define	define	VERB
ejde-811	282	3	η	η	PROPN
ejde-811	282	4	:	:	PUNCT
ejde-811	282	5	=	=	SYM
ejde-811	282	6	max{bi	max{bi	X
ejde-811	282	7	;	;	PUNCT
ejde-811	282	8	1	1	NUM
ejde-811	282	9	≤	≤	NUM
ejde-811	282	10	|i|	|i|	VERB
ejde-811	282	11	≤	≤	NOUN
ejde-811	282	12	n	n	CCONJ
ejde-811	282	13	}	}	PUNCT
ejde-811	282	14	.	.	PUNCT
ejde-811	283	1	from	from	ADP
ejde-811	283	2	(	(	PUNCT
ejde-811	283	3	3.6	3.6	NUM
ejde-811	283	4	)	)	PUNCT
ejde-811	283	5	,	,	PUNCT
ejde-811	283	6	we	we	PRON
ejde-811	283	7	see	see	VERB
ejde-811	283	8	that	that	SCONJ
ejde-811	283	9	for	for	ADP
ejde-811	283	10	each	each	DET
ejde-811	283	11	t	t	NOUN
ejde-811	283	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	283	13	(	(	PUNCT
ejde-811	283	14	0	0	NUM
ejde-811	283	15	,	,	PUNCT
ejde-811	283	16	1	1	NUM
ejde-811	283	17	)	)	PUNCT
ejde-811	283	18	,	,	PUNCT
ejde-811	283	19	qnηt	qnηt	VERB
ejde-811	283	20	≥	≥	PRON
ejde-811	283	21	a1−r	a1−r	PROPN
ejde-811	283	22	i	i	PRON
ejde-811	283	23	(	(	PUNCT
ejde-811	283	24	∑	∑	ADV
ejde-811	283	25	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	283	26	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	284	1	,	,	PUNCT
ejde-811	284	2	j	j	PROPN
ejde-811	284	3	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	284	4	b1+t	b1+t	PROPN
ejde-811	284	5	j	j	PROPN
ejde-811	284	6	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	284	7	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	284	8	+	+	CCONJ
ejde-811	284	9	b1+t	b1+t	PROPN
ejde-811	284	10	i	i	NOUN
ejde-811	284	11	|i|α+β	|i|α+β	ADP
ejde-811	284	12	)	)	PUNCT
ejde-811	284	13	.	.	PUNCT
ejde-811	285	1	in	in	ADP
ejde-811	285	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	285	3	,	,	PUNCT
ejde-811	285	4	there	there	PRON
ejde-811	285	5	exists	exist	VERB
ejde-811	285	6	m	m	PRON
ejde-811	285	7	,	,	PUNCT
ejde-811	285	8	w	w	ADJ
ejde-811	285	9	>	>	X
ejde-811	285	10	0	0	PUNCT
ejde-811	286	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-811	286	2	1	1	NUM
ejde-811	286	3	m	m	NOUN
ejde-811	286	4	+	+	NUM
ejde-811	286	5	1	1	NUM
ejde-811	286	6	s	s	NOUN
ejde-811	286	7	=	=	SYM
ejde-811	286	8	1	1	NUM
ejde-811	286	9	w	w	NOUN
ejde-811	286	10	+	+	NUM
ejde-811	286	11	1	1	NUM
ejde-811	286	12	r	r	NOUN
ejde-811	286	13	=	=	SYM
ejde-811	286	14	2−	2−	NUM
ejde-811	286	15	λ+	λ+	PUNCT
ejde-811	286	16	α+	α+	X
ejde-811	286	17	β	β	X
ejde-811	286	18	n	n	X
ejde-811	286	19	.	.	PUNCT
ejde-811	287	1	such	such	ADJ
ejde-811	287	2	that	that	SCONJ
ejde-811	287	3	b̃	b̃	PROPN
ejde-811	287	4	∈	∈	PROPN
ejde-811	287	5	lw(zn	lw(zn	PROPN
ejde-811	287	6	)	)	PUNCT
ejde-811	287	7	,	,	PUNCT
ejde-811	287	8	where	where	SCONJ
ejde-811	287	9	b̃i	b̃i	ADP
ejde-811	287	10	=	=	SYM
ejde-811	287	11	b1+t	b1+t	PROPN
ejde-811	287	12	i	i	PRON
ejde-811	287	13	and	and	CCONJ
ejde-811	287	14	t	t	PROPN
ejde-811	287	15	=	=	SYM
ejde-811	287	16	s	s	PROPN
ejde-811	287	17	/	/	SYM
ejde-811	287	18	w	w	NOUN
ejde-811	287	19	−	−	NOUN
ejde-811	287	20	1	1	NUM
ejde-811	287	21	.	.	PUNCT
ejde-811	288	1	by	by	ADP
ejde-811	288	2	the	the	DET
ejde-811	288	3	conditions	condition	NOUN
ejde-811	288	4	of	of	ADP
ejde-811	288	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	288	6	1.10	1.10	NUM
ejde-811	288	7	we	we	PRON
ejde-811	288	8	know	know	VERB
ejde-811	288	9	that	that	SCONJ
ejde-811	288	10	r	r	NOUN
ejde-811	288	11	>	>	X
ejde-811	288	12	m	m	PROPN
ejde-811	288	13	and	and	CCONJ
ejde-811	288	14	s	s	PROPN
ejde-811	288	15	>	>	X
ejde-811	288	16	w.	w.	PROPN
ejde-811	288	17	therefore	therefore	ADV
ejde-811	288	18	,	,	PUNCT
ejde-811	288	19	∥b̃∥wlw(zn	∥b̃∥wlw(zn	PROPN
ejde-811	288	20	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	288	21	)	)	PUNCT
ejde-811	289	1	=	=	PUNCT
ejde-811	289	2	∥b∥sls(zn	∥b∥sls(zn	X
ejde-811	289	3	0,n	0,n	ADV
ejde-811	289	4	)	)	PUNCT
ejde-811	289	5	=	=	SYM
ejde-811	290	1	1	1	X
ejde-811	290	2	.	.	PUNCT
ejde-811	290	3	(	(	PUNCT
ejde-811	290	4	5.6	5.6	NUM
ejde-811	290	5	)	)	PUNCT
ejde-811	290	6	multiply	multiply	ADP
ejde-811	290	7	the	the	DET
ejde-811	290	8	above	above	ADJ
ejde-811	290	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	290	10	by	by	ADP
ejde-811	290	11	ari	ari	PROPN
ejde-811	290	12	in	in	ADP
ejde-811	290	13	both	both	DET
ejde-811	290	14	sides	side	NOUN
ejde-811	290	15	and	and	CCONJ
ejde-811	290	16	sum	sum	VERB
ejde-811	290	17	for	for	ADP
ejde-811	290	18	i	i	PROPN
ejde-811	290	19	∈	∈	PROPN
ejde-811	290	20	zn	zn	NOUN
ejde-811	290	21	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	290	22	.	.	PUNCT
ejde-811	291	1	applying	apply	VERB
ejde-811	291	2	(	(	PUNCT
ejde-811	291	3	1.12	1.12	NUM
ejde-811	291	4	)	)	PUNCT
ejde-811	291	5	with	with	ADP
ejde-811	291	6	c	c	NOUN
ejde-811	291	7	=	=	SYM
ejde-811	291	8	qn	qn	PROPN
ejde-811	291	9	for	for	ADP
ejde-811	291	10	a	a	DET
ejde-811	291	11	and	and	CCONJ
ejde-811	291	12	b̃	b̃	PROPN
ejde-811	291	13	,	,	PUNCT
ejde-811	291	14	and	and	CCONJ
ejde-811	291	15	combining	combine	VERB
ejde-811	291	16	(	(	PUNCT
ejde-811	291	17	4.4	4.4	NUM
ejde-811	291	18	)	)	PUNCT
ejde-811	291	19	with	with	ADP
ejde-811	291	20	(	(	PUNCT
ejde-811	291	21	5.6	5.6	NUM
ejde-811	291	22	)	)	PUNCT
ejde-811	291	23	,	,	PUNCT
ejde-811	291	24	we	we	PRON
ejde-811	291	25	obtain	obtain	VERB
ejde-811	291	26	qnηt	qnηt	NOUN
ejde-811	291	27	≥	≥	PROPN
ejde-811	291	28	∑	∑	PROPN
ejde-811	291	29	i	i	PROPN
ejde-811	291	30	,	,	PUNCT
ejde-811	291	31	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	291	32	0,n	0,n	ADJ
ejde-811	291	33	,	,	PUNCT
ejde-811	291	34	j	j	PROPN
ejde-811	291	35	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	291	36	aib	aib	PROPN
ejde-811	291	37	1+t	1+t	NUM
ejde-811	291	38	j	j	PROPN
ejde-811	291	39	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	291	40	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	291	41	+	+	CCONJ
ejde-811	291	42	aib	aib	PROPN
ejde-811	291	43	1+t	1+t	NUM
ejde-811	291	44	i	i	NOUN
ejde-811	291	45	|i|α+β	|i|α+β	PROPN
ejde-811	291	46	≥	≥	NOUN
ejde-811	291	47	q.	q.	NOUN
ejde-811	291	48	noticing	noticing	NOUN
ejde-811	291	49	(	(	PUNCT
ejde-811	291	50	3.8	3.8	NUM
ejde-811	291	51	)	)	PUNCT
ejde-811	291	52	,	,	PUNCT
ejde-811	291	53	it	it	PRON
ejde-811	291	54	holds	hold	VERB
ejde-811	291	55	η−tq	η−tq	NOUN
ejde-811	291	56	≤	≤	NUM
ejde-811	291	57	qn	qn	NOUN
ejde-811	291	58	≤	≤	PROPN
ejde-811	291	59	1	1	NUM
ejde-811	291	60	which	which	PRON
ejde-811	291	61	implies	imply	VERB
ejde-811	291	62	η	η	PROPN
ejde-811	291	63	≥	≥	PROPN
ejde-811	291	64	q1	q1	PROPN
ejde-811	291	65	/	/	SYM
ejde-811	291	66	t.	t.	PROPN
ejde-811	291	67	similarly	similarly	ADV
ejde-811	291	68	,	,	PUNCT
ejde-811	291	69	we	we	PRON
ejde-811	291	70	can	can	AUX
ejde-811	291	71	obtain	obtain	VERB
ejde-811	291	72	max{ai	max{ai	NUM
ejde-811	291	73	;	;	PUNCT
ejde-811	291	74	1	1	NUM
ejde-811	291	75	≤	≤	NUM
ejde-811	291	76	|i|	|i|	VERB
ejde-811	291	77	≤	≤	NUM
ejde-811	291	78	n	n	CCONJ
ejde-811	291	79	}	}	PUNCT
ejde-811	291	80	≥	≥	NUM
ejde-811	291	81	q1	q1	PROPN
ejde-811	291	82	/	/	SYM
ejde-811	291	83	t′	t′	NUM
ejde-811	291	84	,	,	PUNCT
ejde-811	291	85	where	where	SCONJ
ejde-811	291	86	t′	t′	NUM
ejde-811	291	87	=	=	SYM
ejde-811	291	88	r	r	X
ejde-811	291	89	/	/	SYM
ejde-811	291	90	m−	m−	PROPN
ejde-811	291	91	1	1	NUM
ejde-811	291	92	.	.	PUNCT
ejde-811	292	1	thus	thus	ADV
ejde-811	292	2	,	,	PUNCT
ejde-811	292	3	the	the	DET
ejde-811	292	4	proof	proof	NOUN
ejde-811	292	5	is	be	AUX
ejde-811	292	6	completed	complete	VERB
ejde-811	292	7	if	if	SCONJ
ejde-811	292	8	we	we	PRON
ejde-811	292	9	take	take	VERB
ejde-811	292	10	σ	σ	NOUN
ejde-811	292	11	=	=	SYM
ejde-811	292	12	min{q1	min{q1	PROPN
ejde-811	292	13	/	/	SYM
ejde-811	292	14	t	t	PROPN
ejde-811	292	15	,	,	PUNCT
ejde-811	292	16	q1	q1	PROPN
ejde-811	292	17	/	/	SYM
ejde-811	292	18	t′	t′	NUM
ejde-811	292	19	}	}	PUNCT
ejde-811	292	20	.	.	PUNCT
ejde-811	293	1	□	□	PUNCT
ejde-811	293	2	proof	proof	NOUN
ejde-811	293	3	of	of	ADP
ejde-811	293	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	293	5	1.4	1.4	NUM
ejde-811	293	6	.	.	PUNCT
ejde-811	294	1	we	we	PRON
ejde-811	294	2	denote	denote	VERB
ejde-811	294	3	the	the	DET
ejde-811	294	4	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	294	5	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	294	6	of	of	ADP
ejde-811	294	7	(	(	PUNCT
ejde-811	294	8	1.7	1.7	NUM
ejde-811	294	9	)	)	PUNCT
ejde-811	294	10	by	by	ADP
ejde-811	294	11	(	(	PUNCT
ejde-811	294	12	fn	fn	NOUN
ejde-811	294	13	∗	∗	NOUN
ejde-811	294	14	,	,	PUNCT
ejde-811	294	15	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	294	16	)	)	PUNCT
ejde-811	294	17	.	.	PUNCT
ejde-811	295	1	write	write	VERB
ejde-811	295	2	a(n	a(n	ADV
ejde-811	295	3	)	)	PUNCT
ejde-811	295	4	=	=	PUNCT
ejde-811	295	5	(	(	PUNCT
ejde-811	295	6	a(n)i)i∈zn	a(n)i)i∈zn	NOUN
ejde-811	295	7	0	0	NUM
ejde-811	295	8	,	,	PUNCT
ejde-811	295	9	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	295	10	)	)	PUNCT
ejde-811	295	11	=	=	PUNCT
ejde-811	296	1	(	(	PUNCT
ejde-811	296	2	b(n)i)i∈zn	b(n)i)i∈zn	NOUN
ejde-811	296	3	0	0	NUM
ejde-811	296	4	,	,	PUNCT
ejde-811	296	5	where	where	SCONJ
ejde-811	296	6	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	296	7	=	=	PUNCT
ejde-811	296	8	|(fn	|(fn	NOUN
ejde-811	296	9	∗	∗	NOUN
ejde-811	296	10	)	)	PUNCT
ejde-811	296	11	i|	i|	PROPN
ejde-811	296	12	,	,	PUNCT
ejde-811	296	13	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	296	14	=	=	SYM
ejde-811	296	15	|(gn∗	|(gn∗	PROPN
ejde-811	296	16	)	)	PUNCT
ejde-811	296	17	i|	i|	PROPN
ejde-811	296	18	,	,	PUNCT
ejde-811	296	19	when	when	SCONJ
ejde-811	296	20	1	1	NUM
ejde-811	296	21	≤	≤	NUM
ejde-811	296	22	|i|	|i|	VERB
ejde-811	296	23	≤	≤	NUM
ejde-811	296	24	n	n	CCONJ
ejde-811	296	25	,	,	PUNCT
ejde-811	296	26	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	296	27	=	=	PUNCT
ejde-811	296	28	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	296	29	=	=	SYM
ejde-811	296	30	0	0	PROPN
ejde-811	296	31	,	,	PUNCT
ejde-811	296	32	when	when	SCONJ
ejde-811	296	33	|i|	|i|	PRON
ejde-811	296	34	>	>	X
ejde-811	296	35	n.	n.	PROPN
ejde-811	296	36	thus	thus	ADV
ejde-811	296	37	,	,	PUNCT
ejde-811	296	38	(	(	PUNCT
ejde-811	296	39	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	296	40	)	)	PUNCT
ejde-811	296	41	,	,	PUNCT
ejde-811	296	42	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	296	43	)	)	PUNCT
ejde-811	296	44	)	)	PUNCT
ejde-811	297	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	297	2	s	s	X
ejde-811	297	3	(	(	PUNCT
ejde-811	297	4	5.7	5.7	NUM
ejde-811	297	5	)	)	PUNCT
ejde-811	297	6	because	because	SCONJ
ejde-811	297	7	of	of	ADP
ejde-811	297	8	(	(	PUNCT
ejde-811	297	9	fn	fn	NOUN
ejde-811	297	10	∗	∗	NOUN
ejde-811	297	11	,	,	PUNCT
ejde-811	297	12	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	297	13	)	)	PUNCT
ejde-811	297	14	∈	∈	PROPN
ejde-811	297	15	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	297	16	)	)	PUNCT
ejde-811	297	17	.	.	PUNCT
ejde-811	298	1	by	by	ADP
ejde-811	298	2	the	the	DET
ejde-811	298	3	bolzano	bolzano	NOUN
ejde-811	298	4	-	-	PUNCT
ejde-811	298	5	weierstrass	weierstrass	NOUN
ejde-811	298	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	298	7	,	,	PUNCT
ejde-811	298	8	we	we	PRON
ejde-811	298	9	can	can	AUX
ejde-811	298	10	find	find	VERB
ejde-811	298	11	a	a	DET
ejde-811	298	12	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-811	298	13	of	of	ADP
ejde-811	298	14	(	(	PUNCT
ejde-811	298	15	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	298	16	)	)	PUNCT
ejde-811	298	17	,	,	PUNCT
ejde-811	298	18	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	298	19	)	)	PUNCT
ejde-811	298	20	)	)	PUNCT
ejde-811	298	21	denoted	denote	VERB
ejde-811	298	22	by	by	ADP
ejde-811	298	23	itself	itself	PRON
ejde-811	298	24	such	such	ADJ
ejde-811	298	25	that	that	SCONJ
ejde-811	298	26	lim	lim	PROPN
ejde-811	298	27	n→∞	n→∞	X
ejde-811	298	28	a(n)i	a(n)i	X
ejde-811	298	29	=	=	SYM
ejde-811	298	30	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	298	31	,	,	PUNCT
ejde-811	298	32	lim	lim	PROPN
ejde-811	298	33	n→∞	n→∞	X
ejde-811	298	34	b(n)i	b(n)i	X
ejde-811	298	35	=	=	SYM
ejde-811	298	36	b∗i	b∗i	X
ejde-811	298	37	,	,	PUNCT
ejde-811	298	38	(	(	PUNCT
ejde-811	298	39	5.8	5.8	NUM
ejde-811	298	40	)	)	PUNCT
ejde-811	298	41	for	for	ADP
ejde-811	298	42	any	any	DET
ejde-811	298	43	given	give	VERB
ejde-811	298	44	i	i	PRON
ejde-811	298	45	∈	∈	PROPN
ejde-811	298	46	zn	zn	NOUN
ejde-811	298	47	0	0	NUM
ejde-811	298	48	.	.	PUNCT
ejde-811	299	1	in	in	ADP
ejde-811	299	2	addition	addition	NOUN
ejde-811	299	3	,	,	PUNCT
ejde-811	299	4	we	we	PRON
ejde-811	299	5	also	also	ADV
ejde-811	299	6	see	see	VERB
ejde-811	299	7	that	that	SCONJ
ejde-811	299	8	(	(	PUNCT
ejde-811	299	9	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	299	10	,	,	PUNCT
ejde-811	299	11	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	299	12	)	)	PUNCT
ejde-811	299	13	→	→	SYM
ejde-811	299	14	(	(	PUNCT
ejde-811	299	15	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	299	16	,	,	PUNCT
ejde-811	299	17	b	b	X
ejde-811	299	18	∗	∗	X
ejde-811	299	19	i	i	NOUN
ejde-811	299	20	)	)	PUNCT
ejde-811	299	21	weakly	weakly	ADV
ejde-811	299	22	in	in	ADP
ejde-811	299	23	lr(zn	lr(zn	PROPN
ejde-811	299	24	0	0	NUM
ejde-811	299	25	)	)	PUNCT
ejde-811	299	26	×	×	NOUN
ejde-811	299	27	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	299	28	0	0	NUM
ejde-811	299	29	)	)	PUNCT
ejde-811	299	30	(	(	PUNCT
ejde-811	299	31	5.9	5.9	NUM
ejde-811	299	32	)	)	PUNCT
ejde-811	299	33	when	when	SCONJ
ejde-811	299	34	n	n	X
ejde-811	299	35	→	→	SYM
ejde-811	299	36	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	299	37	we	we	PRON
ejde-811	299	38	write	write	VERB
ejde-811	299	39	a∗	a∗	NOUN
ejde-811	299	40	=	=	SYM
ejde-811	299	41	(	(	PUNCT
ejde-811	299	42	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	299	43	)	)	PUNCT
ejde-811	299	44	i∈zn	i∈zn	NOUN
ejde-811	299	45	0	0	NUM
ejde-811	299	46	and	and	CCONJ
ejde-811	299	47	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	299	48	=	=	SYM
ejde-811	299	49	(	(	PUNCT
ejde-811	299	50	b∗i	b∗i	ADJ
ejde-811	299	51	)	)	PUNCT
ejde-811	299	52	i∈zn	i∈zn	NOUN
ejde-811	299	53	0	0	NUM
ejde-811	299	54	.	.	PUNCT
ejde-811	300	1	according	accord	VERB
ejde-811	300	2	to	to	ADP
ejde-811	300	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	300	4	5.1	5.1	NUM
ejde-811	300	5	,	,	PUNCT
ejde-811	300	6	(	(	PUNCT
ejde-811	300	7	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	300	8	,	,	PUNCT
ejde-811	300	9	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	300	10	)	)	PUNCT
ejde-811	300	11	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	300	12	(	(	PUNCT
ejde-811	300	13	0	0	NUM
ejde-811	300	14	,	,	PUNCT
ejde-811	300	15	0	0	NUM
ejde-811	300	16	)	)	PUNCT
ejde-811	300	17	.	.	PUNCT
ejde-811	301	1	we	we	PRON
ejde-811	301	2	will	will	AUX
ejde-811	301	3	verify	verify	VERB
ejde-811	301	4	that	that	SCONJ
ejde-811	301	5	(	(	PUNCT
ejde-811	301	6	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	301	7	,	,	PUNCT
ejde-811	301	8	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	301	9	)	)	PUNCT
ejde-811	301	10	is	be	AUX
ejde-811	301	11	an	an	DET
ejde-811	301	12	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	301	13	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	301	14	.	.	PUNCT
ejde-811	302	1	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	302	2	discrete	discrete	VERB
ejde-811	302	3	stein	stein	PROPN
ejde-811	302	4	-	-	PUNCT
ejde-811	302	5	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	302	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	302	7	13	13	NUM
ejde-811	302	8	since	since	SCONJ
ejde-811	302	9	(	(	PUNCT
ejde-811	302	10	fn	fn	NOUN
ejde-811	302	11	∗	∗	NOUN
ejde-811	302	12	,	,	PUNCT
ejde-811	302	13	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	302	14	)	)	PUNCT
ejde-811	302	15	is	be	AUX
ejde-811	302	16	the	the	DET
ejde-811	302	17	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	302	18	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	302	19	of	of	ADP
ejde-811	302	20	(	(	PUNCT
ejde-811	302	21	1.7	1.7	NUM
ejde-811	302	22	)	)	PUNCT
ejde-811	302	23	,	,	PUNCT
ejde-811	302	24	(	(	PUNCT
ejde-811	302	25	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	302	26	)	)	PUNCT
ejde-811	302	27	,	,	PUNCT
ejde-811	302	28	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	302	29	)	)	PUNCT
ejde-811	302	30	)	)	PUNCT
ejde-811	302	31	solves	solve	NOUN
ejde-811	302	32	(	(	PUNCT
ejde-811	302	33	3.1	3.1	NUM
ejde-811	302	34	)	)	PUNCT
ejde-811	302	35	.	.	PUNCT
ejde-811	303	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	303	2	,	,	PUNCT
ejde-811	303	3	lna(n)r−1	lna(n)r−1	PROPN
ejde-811	303	4	i	i	NOUN
ejde-811	303	5	=	=	NOUN
ejde-811	303	6	1	1	X
ejde-811	303	7	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	303	8	(	(	PUNCT
ejde-811	303	9	∑	∑	ADP
ejde-811	303	10	1≤|j|≤m	1≤|j|≤m	NUM
ejde-811	303	11	,	,	PUNCT
ejde-811	303	12	j	j	PROPN
ejde-811	303	13	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	303	14	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	303	15	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	303	16	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	303	17	+	+	CCONJ
ejde-811	303	18	∑	∑	PUNCT
ejde-811	303	19	|j|>m	|j|>m	PROPN
ejde-811	303	20	,	,	PUNCT
ejde-811	303	21	j	j	PROPN
ejde-811	303	22	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	303	23	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	303	24	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	303	25	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	303	26	)	)	PUNCT
ejde-811	304	1	,	,	PUNCT
ejde-811	304	2	where	where	SCONJ
ejde-811	304	3	m	m	VERB
ejde-811	304	4	>	>	X
ejde-811	304	5	2|i|	2|i|	NUM
ejde-811	304	6	is	be	AUX
ejde-811	304	7	a	a	DET
ejde-811	304	8	large	large	ADJ
ejde-811	304	9	integer	integer	NOUN
ejde-811	304	10	which	which	PRON
ejde-811	304	11	is	be	AUX
ejde-811	304	12	independent	independent	ADJ
ejde-811	304	13	of	of	ADP
ejde-811	304	14	n	n	PROPN
ejde-811	304	15	.	.	PUNCT
ejde-811	305	1	letting	let	VERB
ejde-811	305	2	n	n	X
ejde-811	305	3	→	→	SYM
ejde-811	305	4	∞	∞	NUM
ejde-811	305	5	in	in	ADP
ejde-811	305	6	the	the	DET
ejde-811	305	7	result	result	NOUN
ejde-811	305	8	above	above	ADP
ejde-811	305	9	and	and	CCONJ
ejde-811	305	10	using	use	VERB
ejde-811	305	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	305	12	1.3	1.3	NUM
ejde-811	305	13	and	and	CCONJ
ejde-811	305	14	(	(	PUNCT
ejde-811	305	15	5.8	5.8	NUM
ejde-811	305	16	)	)	PUNCT
ejde-811	305	17	,	,	PUNCT
ejde-811	305	18	we	we	PRON
ejde-811	305	19	obtain	obtain	VERB
ejde-811	305	20	l(a∗i	l(a∗i	PUNCT
ejde-811	305	21	)	)	PUNCT
ejde-811	306	1	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	306	2	=	=	NOUN
ejde-811	306	3	1	1	NUM
ejde-811	306	4	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	306	5	(	(	PUNCT
ejde-811	306	6	∑	∑	ADP
ejde-811	306	7	1≤|j|≤m	1≤|j|≤m	NUM
ejde-811	306	8	,	,	PUNCT
ejde-811	306	9	j	j	PROPN
ejde-811	306	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	306	11	b∗j	b∗j	PUNCT
ejde-811	306	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	306	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	306	14	+	+	CCONJ
ejde-811	306	15	lim	lim	PROPN
ejde-811	306	16	n→∞	n→∞	NUM
ejde-811	306	17	∑	∑	ADV
ejde-811	306	18	|j|>m	|j|>m	VERB
ejde-811	306	19	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	306	20	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	306	21	j|λ|j|β	j|λ|j|β	NOUN
ejde-811	306	22	)	)	PUNCT
ejde-811	306	23	.	.	PUNCT
ejde-811	307	1	(	(	PUNCT
ejde-811	307	2	5.10	5.10	NUM
ejde-811	307	3	)	)	PUNCT
ejde-811	307	4	applying	apply	VERB
ejde-811	307	5	the	the	DET
ejde-811	307	6	hölder	hölder	NOUN
ejde-811	307	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	307	8	and	and	CCONJ
ejde-811	307	9	noting	note	VERB
ejde-811	307	10	∥b(n)∥ls(zn	∥b(n)∥ls(zn	PRON
ejde-811	307	11	0	0	NUM
ejde-811	307	12	)	)	PUNCT
ejde-811	307	13	=	=	SYM
ejde-811	307	14	1	1	NUM
ejde-811	307	15	(	(	PUNCT
ejde-811	307	16	implied	imply	VERB
ejde-811	307	17	by	by	ADP
ejde-811	307	18	(	(	PUNCT
ejde-811	307	19	5.7	5.7	NUM
ejde-811	307	20	)	)	PUNCT
ejde-811	307	21	)	)	PUNCT
ejde-811	307	22	,	,	PUNCT
ejde-811	307	23	we	we	PRON
ejde-811	307	24	have	have	AUX
ejde-811	307	25	∑	∑	ADV
ejde-811	307	26	|j|>m	|j|>m	VERB
ejde-811	307	27	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	307	28	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	307	29	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	307	30	≤	≤	PROPN
ejde-811	307	31	(	(	PUNCT
ejde-811	307	32	∑	∑	PUNCT
ejde-811	307	33	|j|>m	|j|>m	X
ejde-811	308	1	[	[	X
ejde-811	308	2	b(n)j	b(n)j	X
ejde-811	308	3	]	]	SYM
ejde-811	308	4	s	s	NOUN
ejde-811	308	5	)	)	PUNCT
ejde-811	308	6	1	1	NUM
ejde-811	308	7	/	/	SYM
ejde-811	308	8	s	s	PROPN
ejde-811	308	9	(	(	PUNCT
ejde-811	308	10	∑	∑	ADV
ejde-811	308	11	|j|>m	|j|>m	X
ejde-811	308	12	(	(	PUNCT
ejde-811	308	13	1	1	NUM
ejde-811	308	14	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	308	15	j|λ|j|β	j|λ|j|β	NOUN
ejde-811	308	16	)	)	PUNCT
ejde-811	309	1	s	s	VERB
ejde-811	309	2	s−1	s−1	PROPN
ejde-811	309	3	)	)	PUNCT
ejde-811	309	4	1−1	1−1	NUM
ejde-811	309	5	/	/	SYM
ejde-811	309	6	s	s	PART
ejde-811	309	7	≤	≤	NOUN
ejde-811	309	8	(	(	PUNCT
ejde-811	309	9	∑	∑	PUNCT
ejde-811	309	10	|j|>m	|j|>m	X
ejde-811	309	11	(	(	PUNCT
ejde-811	309	12	2λ	2λ	NOUN
ejde-811	309	13	|j|λ+β	|j|λ+β	NUM
ejde-811	309	14	)	)	PUNCT
ejde-811	309	15	s	s	VERB
ejde-811	309	16	s−1	s−1	PROPN
ejde-811	309	17	)	)	PUNCT
ejde-811	309	18	1−1	1−1	NUM
ejde-811	309	19	/	/	SYM
ejde-811	309	20	s	s	PART
ejde-811	309	21	≤	≤	NUM
ejde-811	309	22	c(mn−	c(mn−	NUM
ejde-811	309	23	s(λ+β	s(λ+β	NOUN
ejde-811	309	24	)	)	PUNCT
ejde-811	309	25	s−1	s−1	NOUN
ejde-811	309	26	)	)	PUNCT
ejde-811	309	27	1−1	1−1	NUM
ejde-811	309	28	/	/	SYM
ejde-811	309	29	s.	s.	PROPN
ejde-811	309	30	here	here	ADV
ejde-811	309	31	we	we	PRON
ejde-811	309	32	used	use	VERB
ejde-811	309	33	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	309	34	j|	j|	PROPN
ejde-811	309	35	≥	≥	X
ejde-811	309	36	|j|	|j|	ADJ
ejde-811	309	37	−	−	PROPN
ejde-811	309	38	|i|	|i|	PROPN
ejde-811	309	39	≥	≥	NUM
ejde-811	309	40	|j|/2	|j|/2	NOUN
ejde-811	309	41	because	because	SCONJ
ejde-811	309	42	of	of	ADP
ejde-811	309	43	|j|	|j|	PROPN
ejde-811	309	44	>	>	X
ejde-811	309	45	m	m	VERB
ejde-811	309	46	>	>	X
ejde-811	309	47	2|i|	2|i|	PROPN
ejde-811	309	48	.	.	PUNCT
ejde-811	310	1	from	from	ADP
ejde-811	310	2	the	the	DET
ejde-811	310	3	conditions	condition	NOUN
ejde-811	310	4	of	of	ADP
ejde-811	310	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-811	310	6	1.4	1.4	NUM
ejde-811	310	7	:	:	PUNCT
ejde-811	310	8	α	α	NUM
ejde-811	310	9	/	/	SYM
ejde-811	310	10	n	n	NOUN
ejde-811	310	11	<	<	X
ejde-811	310	12	1−1	1−1	NUM
ejde-811	310	13	/	/	SYM
ejde-811	310	14	r	r	NOUN
ejde-811	310	15	and	and	CCONJ
ejde-811	310	16	1	1	NUM
ejde-811	310	17	/	/	SYM
ejde-811	310	18	r+1	r+1	NOUN
ejde-811	310	19	/	/	SYM
ejde-811	310	20	s+(λ+α+β)/n	s+(λ+α+β)/n	PROPN
ejde-811	310	21	>	>	X
ejde-811	310	22	2	2	NUM
ejde-811	310	23	,	,	PUNCT
ejde-811	310	24	we	we	PRON
ejde-811	310	25	can	can	AUX
ejde-811	310	26	see	see	VERB
ejde-811	310	27	that	that	PRON
ejde-811	310	28	n	n	CCONJ
ejde-811	310	29	<	<	X
ejde-811	310	30	s(λ+	s(λ+	NOUN
ejde-811	310	31	β)/(s−	β)/(s−	ADJ
ejde-811	310	32	1	1	NUM
ejde-811	310	33	)	)	PUNCT
ejde-811	310	34	.	.	PUNCT
ejde-811	311	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	311	2	,	,	PUNCT
ejde-811	311	3	the	the	DET
ejde-811	311	4	result	result	NOUN
ejde-811	311	5	above	above	ADV
ejde-811	311	6	shows	show	VERB
ejde-811	311	7	that∑	that∑	NOUN
ejde-811	311	8	|j|>m	|j|>m	VERB
ejde-811	311	9	b(n)j	b(n)j	NOUN
ejde-811	311	10	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	311	11	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	311	12	→	→	SYM
ejde-811	311	13	0	0	NUM
ejde-811	311	14	when	when	SCONJ
ejde-811	311	15	m	m	PROPN
ejde-811	311	16	→	→	SYM
ejde-811	311	17	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	311	18	inserting	insert	VERB
ejde-811	311	19	this	this	DET
ejde-811	311	20	result	result	NOUN
ejde-811	311	21	into	into	ADP
ejde-811	311	22	(	(	PUNCT
ejde-811	311	23	5.10	5.10	NUM
ejde-811	311	24	)	)	PUNCT
ejde-811	311	25	,	,	PUNCT
ejde-811	311	26	we	we	PRON
ejde-811	311	27	obtain	obtain	VERB
ejde-811	311	28	l(a∗i	l(a∗i	PUNCT
ejde-811	311	29	)	)	PUNCT
ejde-811	312	1	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	312	2	=	=	NOUN
ejde-811	312	3	1	1	NUM
ejde-811	312	4	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	312	5	∑	∑	ADV
ejde-811	312	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	312	7	0	0	NUM
ejde-811	312	8	,	,	PUNCT
ejde-811	312	9	j	j	PROPN
ejde-811	312	10	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	312	11	b∗j	b∗j	PUNCT
ejde-811	312	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	312	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	312	14	.	.	PUNCT
ejde-811	313	1	(	(	PUNCT
ejde-811	313	2	5.11	5.11	NUM
ejde-811	313	3	)	)	PUNCT
ejde-811	313	4	similarly	similarly	ADV
ejde-811	313	5	,	,	PUNCT
ejde-811	313	6	we	we	PRON
ejde-811	313	7	have	have	VERB
ejde-811	313	8	l	l	NOUN
ejde-811	313	9	(	(	PUNCT
ejde-811	313	10	b∗i	b∗i	ADJ
ejde-811	313	11	)	)	PUNCT
ejde-811	313	12	s−1	s−1	NOUN
ejde-811	313	13	=	=	SYM
ejde-811	313	14	1	1	NUM
ejde-811	313	15	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	313	16	∑	∑	PUNCT
ejde-811	313	17	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	313	18	0	0	NUM
ejde-811	313	19	,	,	PUNCT
ejde-811	313	20	j	j	PROPN
ejde-811	313	21	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	313	22	a∗j	a∗j	PROPN
ejde-811	313	23	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	313	24	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	313	25	.	.	PUNCT
ejde-811	314	1	(	(	PUNCT
ejde-811	314	2	5.12	5.12	NUM
ejde-811	314	3	)	)	PUNCT
ejde-811	314	4	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-811	314	5	(	(	PUNCT
ejde-811	314	6	5.11	5.11	NUM
ejde-811	314	7	)	)	PUNCT
ejde-811	314	8	and	and	CCONJ
ejde-811	314	9	(	(	PUNCT
ejde-811	314	10	5.12	5.12	NUM
ejde-811	314	11	)	)	PUNCT
ejde-811	314	12	by	by	ADP
ejde-811	314	13	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	314	14	and	and	CCONJ
ejde-811	314	15	b∗i	b∗i	ADJ
ejde-811	314	16	respectively	respectively	ADV
ejde-811	314	17	,	,	PUNCT
ejde-811	314	18	we	we	PRON
ejde-811	314	19	see	see	VERB
ejde-811	314	20	that	that	SCONJ
ejde-811	314	21	∥a∗∥rlr(zn	∥a∗∥rlr(zn	PRON
ejde-811	314	22	0	0	X
ejde-811	314	23	)	)	PUNCT
ejde-811	314	24	=	=	PUNCT
ejde-811	315	1	∥b∗∥sls(zn	∥b∗∥sls(zn	PROPN
ejde-811	315	2	0	0	NUM
ejde-811	315	3	)	)	PUNCT
ejde-811	315	4	.	.	PUNCT
ejde-811	316	1	(	(	PUNCT
ejde-811	316	2	5.13	5.13	NUM
ejde-811	316	3	)	)	PUNCT
ejde-811	316	4	we	we	PRON
ejde-811	316	5	denote	denote	VERB
ejde-811	316	6	∥a∗∥lr(zn	∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	316	7	0	0	NUM
ejde-811	316	8	)	)	PUNCT
ejde-811	316	9	by	by	ADP
ejde-811	316	10	γ	γ	X
ejde-811	316	11	.	.	PROPN
ejde-811	316	12	although	although	SCONJ
ejde-811	316	13	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	316	14	5.1	5.1	NUM
ejde-811	316	15	shows	show	VERB
ejde-811	316	16	σn	σn	PROPN
ejde-811	316	17	>	>	X
ejde-811	316	18	σ	σ	PROPN
ejde-811	316	19	(	(	PUNCT
ejde-811	316	20	and	and	CCONJ
ejde-811	316	21	hence	hence	ADV
ejde-811	316	22	γ	γ	X
ejde-811	316	23	>	>	X
ejde-811	316	24	0	0	NUM
ejde-811	316	25	)	)	PUNCT
ejde-811	316	26	,	,	PUNCT
ejde-811	316	27	it	it	PRON
ejde-811	316	28	can	can	AUX
ejde-811	316	29	not	not	PART
ejde-811	316	30	be	be	AUX
ejde-811	316	31	excluded	exclude	VERB
ejde-811	316	32	that	that	PRON
ejde-811	316	33	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	316	34	=	=	SYM
ejde-811	316	35	0	0	NUM
ejde-811	316	36	for	for	ADP
ejde-811	316	37	some	some	DET
ejde-811	316	38	i	i	PRON
ejde-811	316	39	∈	∈	PROPN
ejde-811	316	40	zn	zn	PROPN
ejde-811	316	41	0	0	NUM
ejde-811	316	42	.	.	PUNCT
ejde-811	317	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	317	2	,	,	PUNCT
ejde-811	317	3	we	we	PRON
ejde-811	317	4	claim	claim	VERB
ejde-811	317	5	γ	γ	NOUN
ejde-811	317	6	≤	≤	NOUN
ejde-811	317	7	1	1	NUM
ejde-811	317	8	.	.	PUNCT
ejde-811	318	1	in	in	ADP
ejde-811	318	2	fact	fact	NOUN
ejde-811	318	3	,	,	PUNCT
ejde-811	318	4	b	b	X
ejde-811	318	5	:	:	PUNCT
ejde-811	318	6	=	=	SYM
ejde-811	318	7	{	{	PUNCT
ejde-811	318	8	(	(	PUNCT
ejde-811	318	9	a	a	PRON
ejde-811	318	10	,	,	PUNCT
ejde-811	318	11	b	b	NOUN
ejde-811	318	12	)	)	PUNCT
ejde-811	318	13	∈	∈	PROPN
ejde-811	318	14	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	318	15	0	0	NUM
ejde-811	318	16	)	)	PUNCT
ejde-811	318	17	×	×	NOUN
ejde-811	318	18	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	318	19	0	0	NUM
ejde-811	318	20	)	)	PUNCT
ejde-811	318	21	;	;	PUNCT
ejde-811	318	22	∥a∥lr(zn	∥a∥lr(zn	NOUN
ejde-811	318	23	0	0	NUM
ejde-811	318	24	)	)	PUNCT
ejde-811	318	25	≤	≤	NUM
ejde-811	318	26	1	1	NUM
ejde-811	318	27	,	,	PUNCT
ejde-811	318	28	∥b∥ls(zn	∥b∥ls(zn	NOUN
ejde-811	318	29	0	0	NUM
ejde-811	318	30	)	)	PUNCT
ejde-811	318	31	≤	≤	NOUN
ejde-811	318	32	1	1	NUM
ejde-811	318	33	}	}	PUNCT
ejde-811	318	34	is	be	AUX
ejde-811	318	35	the	the	DET
ejde-811	318	36	weakly	weakly	ADJ
ejde-811	318	37	closed	closed	ADJ
ejde-811	318	38	subset	subset	NOUN
ejde-811	318	39	of	of	ADP
ejde-811	318	40	lr(zn	lr(zn	PROPN
ejde-811	318	41	0	0	NUM
ejde-811	318	42	)	)	PUNCT
ejde-811	319	1	×	×	NOUN
ejde-811	319	2	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	319	3	0	0	NUM
ejde-811	319	4	)	)	PUNCT
ejde-811	319	5	since	since	SCONJ
ejde-811	319	6	it	it	PRON
ejde-811	319	7	is	be	AUX
ejde-811	319	8	the	the	DET
ejde-811	319	9	convex	convex	NOUN
ejde-811	319	10	closed	closed	ADJ
ejde-811	319	11	subset	subset	NOUN
ejde-811	319	12	.	.	PUNCT
ejde-811	320	1	thus	thus	ADV
ejde-811	320	2	,	,	PUNCT
ejde-811	320	3	from	from	ADP
ejde-811	320	4	(	(	PUNCT
ejde-811	320	5	5.9	5.9	NUM
ejde-811	320	6	)	)	PUNCT
ejde-811	320	7	it	it	PRON
ejde-811	320	8	follows	follow	VERB
ejde-811	320	9	(	(	PUNCT
ejde-811	320	10	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	320	11	,	,	PUNCT
ejde-811	320	12	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	320	13	)	)	PUNCT
ejde-811	320	14	∈	∈	PROPN
ejde-811	320	15	b	b	NOUN
ejde-811	320	16	,	,	PUNCT
ejde-811	320	17	and	and	CCONJ
ejde-811	320	18	hence	hence	ADV
ejde-811	320	19	γ	γ	X
ejde-811	320	20	≤	≤	NOUN
ejde-811	320	21	1	1	NUM
ejde-811	320	22	.	.	PUNCT
ejde-811	321	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-811	321	2	,	,	PUNCT
ejde-811	321	3	we	we	PRON
ejde-811	321	4	claim	claim	VERB
ejde-811	321	5	γ	γ	X
ejde-811	321	6	=	=	SYM
ejde-811	321	7	1	1	NUM
ejde-811	321	8	.	.	PUNCT
ejde-811	321	9	(	(	PUNCT
ejde-811	321	10	5.14	5.14	NUM
ejde-811	321	11	)	)	PUNCT
ejde-811	321	12	otherwise	otherwise	ADV
ejde-811	321	13	,	,	PUNCT
ejde-811	321	14	0	0	PUNCT
ejde-811	321	15	<	<	X
ejde-811	321	16	γ	γ	X
ejde-811	321	17	<	<	X
ejde-811	321	18	1	1	NUM
ejde-811	321	19	.	.	X
ejde-811	322	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-811	322	2	(	(	PUNCT
ejde-811	322	3	5.11	5.11	NUM
ejde-811	322	4	)	)	PUNCT
ejde-811	322	5	by	by	ADP
ejde-811	322	6	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	322	7	and	and	CCONJ
ejde-811	322	8	summing	sum	VERB
ejde-811	322	9	for	for	ADP
ejde-811	322	10	i	i	PROPN
ejde-811	322	11	∈	∈	PROPN
ejde-811	323	1	zn	zn	INTJ
ejde-811	323	2	0	0	NUM
ejde-811	324	1	we	we	PRON
ejde-811	324	2	obtain	obtain	VERB
ejde-811	324	3	l	l	NOUN
ejde-811	324	4	∑	∑	ADV
ejde-811	324	5	i∈zn	i∈zn	ADJ
ejde-811	324	6	0	0	NUM
ejde-811	324	7	(	(	PUNCT
ejde-811	324	8	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	324	9	)	)	PUNCT
ejde-811	325	1	r	r	NOUN
ejde-811	325	2	=	=	PUNCT
ejde-811	325	3	∑	∑	PROPN
ejde-811	325	4	i	i	PROPN
ejde-811	325	5	,	,	PUNCT
ejde-811	325	6	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	325	7	0	0	NUM
ejde-811	325	8	,	,	PUNCT
ejde-811	325	9	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	325	10	a∗i	a∗i	X
ejde-811	325	11	b	b	PROPN
ejde-811	325	12	∗	∗	NOUN
ejde-811	325	13	j	j	PROPN
ejde-811	325	14	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	325	15	j|λ|j|β	j|λ|j|β	NOUN
ejde-811	325	16	.	.	PUNCT
ejde-811	326	1	14	14	NUM
ejde-811	326	2	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	326	3	li	li	PROPN
ejde-811	326	4	,	,	PUNCT
ejde-811	326	5	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	326	6	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	326	7	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	326	8	using	use	VERB
ejde-811	326	9	(	(	PUNCT
ejde-811	326	10	1.5	1.5	NUM
ejde-811	326	11	)	)	PUNCT
ejde-811	326	12	with	with	ADP
ejde-811	326	13	c	c	NOUN
ejde-811	326	14	=	=	SYM
ejde-811	326	15	l	l	NOUN
ejde-811	326	16	to	to	PART
ejde-811	326	17	estimate	estimate	VERB
ejde-811	326	18	the	the	DET
ejde-811	326	19	right	right	ADJ
ejde-811	326	20	hand	hand	NOUN
ejde-811	326	21	side	side	NOUN
ejde-811	326	22	of	of	ADP
ejde-811	326	23	the	the	DET
ejde-811	326	24	result	result	NOUN
ejde-811	326	25	above	above	ADV
ejde-811	326	26	,	,	PUNCT
ejde-811	326	27	and	and	CCONJ
ejde-811	326	28	noting	note	VERB
ejde-811	326	29	(	(	PUNCT
ejde-811	326	30	5.13	5.13	NUM
ejde-811	326	31	)	)	PUNCT
ejde-811	326	32	we	we	PRON
ejde-811	326	33	obtain	obtain	VERB
ejde-811	326	34	lγr	lγr	NOUN
ejde-811	326	35	≤	≤	NUM
ejde-811	326	36	l∥a∗∥lr(zn	l∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	326	37	0	0	NUM
ejde-811	326	38	)	)	PUNCT
ejde-811	327	1	∥b∗∥ls(zn	∥b∗∥ls(zn	PROPN
ejde-811	327	2	0	0	NUM
ejde-811	327	3	)	)	PUNCT
ejde-811	327	4	=	=	SYM
ejde-811	327	5	lγ1+r	lγ1+r	NOUN
ejde-811	327	6	/	/	SYM
ejde-811	327	7	s	s	NOUN
ejde-811	327	8	,	,	PUNCT
ejde-811	327	9	which	which	PRON
ejde-811	327	10	implies	imply	VERB
ejde-811	327	11	γr−1−r	γr−1−r	PROPN
ejde-811	327	12	/	/	SYM
ejde-811	327	13	s	s	PART
ejde-811	327	14	≤	≤	NUM
ejde-811	327	15	1	1	NUM
ejde-811	327	16	.	.	PUNCT
ejde-811	328	1	(	(	PUNCT
ejde-811	328	2	5.15	5.15	NUM
ejde-811	328	3	)	)	PUNCT
ejde-811	328	4	from	from	ADP
ejde-811	328	5	the	the	DET
ejde-811	328	6	conditions	condition	NOUN
ejde-811	328	7	of	of	ADP
ejde-811	328	8	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	328	9	1.4	1.4	NUM
ejde-811	328	10	,	,	PUNCT
ejde-811	328	11	it	it	PRON
ejde-811	328	12	follows	follow	VERB
ejde-811	328	13	that	that	SCONJ
ejde-811	328	14	1	1	X
ejde-811	328	15	/	/	SYM
ejde-811	328	16	r+1	r+1	NOUN
ejde-811	328	17	/	/	SYM
ejde-811	328	18	s	s	PART
ejde-811	328	19	>	>	X
ejde-811	328	20	2−(λ+α+β)/n	2−(λ+α+β)/n	NUM
ejde-811	328	21	>	>	X
ejde-811	328	22	1	1	NUM
ejde-811	328	23	.	.	PUNCT
ejde-811	329	1	thus	thus	ADV
ejde-811	329	2	,	,	PUNCT
ejde-811	329	3	r	r	NOUN
ejde-811	329	4	−	−	PROPN
ejde-811	329	5	1	1	NUM
ejde-811	329	6	−	−	NOUN
ejde-811	329	7	r	r	NOUN
ejde-811	329	8	/	/	SYM
ejde-811	329	9	s	s	NOUN
ejde-811	329	10	=	=	PUNCT
ejde-811	329	11	r(1	r(1	PROPN
ejde-811	329	12	−	−	NOUN
ejde-811	330	1	1	1	NUM
ejde-811	330	2	/	/	SYM
ejde-811	330	3	r	r	NOUN
ejde-811	330	4	−	−	NOUN
ejde-811	330	5	1	1	NUM
ejde-811	330	6	/	/	SYM
ejde-811	330	7	s	s	NOUN
ejde-811	330	8	)	)	PUNCT
ejde-811	330	9	<	<	X
ejde-811	330	10	0	0	X
ejde-811	330	11	.	.	PUNCT
ejde-811	331	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	331	2	,	,	PUNCT
ejde-811	331	3	(	(	PUNCT
ejde-811	331	4	5.15	5.15	NUM
ejde-811	331	5	)	)	PUNCT
ejde-811	331	6	contradicts	contradict	VERB
ejde-811	331	7	with	with	ADP
ejde-811	331	8	0	0	NUM
ejde-811	331	9	<	<	X
ejde-811	331	10	γ	γ	X
ejde-811	331	11	<	<	X
ejde-811	331	12	1	1	NUM
ejde-811	331	13	.	.	PUNCT
ejde-811	331	14	namely	namely	ADV
ejde-811	331	15	,	,	PUNCT
ejde-811	331	16	(	(	PUNCT
ejde-811	331	17	5.14	5.14	NUM
ejde-811	331	18	)	)	PUNCT
ejde-811	331	19	is	be	AUX
ejde-811	331	20	true	true	ADJ
ejde-811	331	21	.	.	PUNCT
ejde-811	332	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-811	332	2	(	(	PUNCT
ejde-811	332	3	5.11	5.11	NUM
ejde-811	332	4	)	)	PUNCT
ejde-811	332	5	by	by	ADP
ejde-811	332	6	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	332	7	,	,	PUNCT
ejde-811	332	8	summing	sum	VERB
ejde-811	332	9	for	for	ADP
ejde-811	332	10	i	i	PROPN
ejde-811	332	11	∈	∈	PROPN
ejde-811	332	12	zn	zn	NOUN
ejde-811	332	13	0	0	NUM
ejde-811	332	14	,	,	PUNCT
ejde-811	332	15	and	and	CCONJ
ejde-811	332	16	using	use	VERB
ejde-811	332	17	(	(	PUNCT
ejde-811	332	18	5.14	5.14	NUM
ejde-811	332	19	)	)	PUNCT
ejde-811	332	20	we	we	PRON
ejde-811	332	21	see	see	VERB
ejde-811	332	22	that	that	DET
ejde-811	332	23	l	l	NOUN
ejde-811	333	1	=	=	PUNCT
ejde-811	333	2	∑	∑	PUNCT
ejde-811	333	3	i	i	PROPN
ejde-811	333	4	,	,	PUNCT
ejde-811	333	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	333	6	0	0	NUM
ejde-811	333	7	,	,	PUNCT
ejde-811	333	8	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	333	9	a∗i	a∗i	X
ejde-811	333	10	b	b	PROPN
ejde-811	333	11	∗	∗	NOUN
ejde-811	333	12	j	j	PROPN
ejde-811	333	13	|i|α|i−	|i|α|i−	PROPN
ejde-811	333	14	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	333	15	.	.	PUNCT
ejde-811	334	1	this	this	PRON
ejde-811	334	2	shows	show	VERB
ejde-811	334	3	that	that	SCONJ
ejde-811	334	4	l	l	NOUN
ejde-811	334	5	is	be	AUX
ejde-811	334	6	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	334	7	and	and	CCONJ
ejde-811	334	8	(	(	PUNCT
ejde-811	334	9	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	334	10	,	,	PUNCT
ejde-811	334	11	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	334	12	)	)	PUNCT
ejde-811	334	13	is	be	AUX
ejde-811	334	14	an	an	DET
ejde-811	334	15	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	334	16	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	334	17	.	.	PUNCT
ejde-811	335	1	namely	namely	ADV
ejde-811	335	2	,	,	PUNCT
ejde-811	335	3	(	(	PUNCT
ejde-811	335	4	i	i	NOUN
ejde-811	335	5	)	)	PUNCT
ejde-811	335	6	is	be	AUX
ejde-811	335	7	proved	prove	VERB
ejde-811	335	8	.	.	PUNCT
ejde-811	336	1	finally	finally	ADV
ejde-811	336	2	,	,	PUNCT
ejde-811	336	3	in	in	ADP
ejde-811	336	4	view	view	NOUN
ejde-811	336	5	of	of	ADP
ejde-811	336	6	(	(	PUNCT
ejde-811	336	7	fn	fn	NOUN
ejde-811	336	8	∗	∗	NOUN
ejde-811	336	9	,	,	PUNCT
ejde-811	336	10	gn∗	gn∗	NOUN
ejde-811	336	11	)	)	PUNCT
ejde-811	336	12	∈	∈	PROPN
ejde-811	336	13	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	336	14	)	)	PUNCT
ejde-811	336	15	and	and	CCONJ
ejde-811	336	16	(	(	PUNCT
ejde-811	336	17	5.14	5.14	NUM
ejde-811	336	18	)	)	PUNCT
ejde-811	336	19	,	,	PUNCT
ejde-811	336	20	we	we	PRON
ejde-811	336	21	have	have	VERB
ejde-811	336	22	lim	lim	PROPN
ejde-811	336	23	n→∞	n→∞	PRON
ejde-811	336	24	∥fn	∥fn	PROPN
ejde-811	336	25	∗	∗	PROPN
ejde-811	336	26	∥lr(zn	∥lr(zn	PROPN
ejde-811	336	27	0	0	NUM
ejde-811	336	28	)	)	PUNCT
ejde-811	337	1	=	=	SYM
ejde-811	337	2	∥a∗∥lr(zn	∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	337	3	0	0	NUM
ejde-811	337	4	)	)	PUNCT
ejde-811	337	5	,	,	PUNCT
ejde-811	337	6	lim	lim	PROPN
ejde-811	337	7	n→∞	n→∞	X
ejde-811	338	1	∥gn∗	∥gn∗	NOUN
ejde-811	338	2	∥ls(zn	∥ls(zn	PROPN
ejde-811	338	3	0	0	NUM
ejde-811	338	4	)	)	PUNCT
ejde-811	339	1	=	=	SYM
ejde-811	339	2	∥b∗∥ls(zn	∥b∗∥ls(zn	PROPN
ejde-811	339	3	0	0	NUM
ejde-811	339	4	)	)	PUNCT
ejde-811	339	5	.	.	PUNCT
ejde-811	340	1	therefore	therefore	ADV
ejde-811	340	2	,	,	PUNCT
ejde-811	340	3	by	by	ADP
ejde-811	340	4	the	the	DET
ejde-811	340	5	brezis	brezis	NOUN
ejde-811	340	6	-	-	PUNCT
ejde-811	340	7	lieb	lieb	NOUN
ejde-811	340	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	341	1	[	[	X
ejde-811	341	2	8	8	NUM
ejde-811	341	3	,	,	PUNCT
ejde-811	341	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	341	5	4.1	4.1	NUM
ejde-811	341	6	]	]	PUNCT
ejde-811	341	7	,	,	PUNCT
ejde-811	341	8	from	from	ADP
ejde-811	341	9	(	(	PUNCT
ejde-811	341	10	5.8	5.8	NUM
ejde-811	341	11	)	)	PUNCT
ejde-811	341	12	we	we	PRON
ejde-811	341	13	can	can	AUX
ejde-811	341	14	complete	complete	VERB
ejde-811	341	15	the	the	DET
ejde-811	341	16	proof	proof	NOUN
ejde-811	341	17	of	of	ADP
ejde-811	341	18	(	(	PUNCT
ejde-811	341	19	ii	ii	NOUN
ejde-811	341	20	)	)	PUNCT
ejde-811	341	21	.	.	PUNCT
ejde-811	342	1	□	□	PUNCT
ejde-811	342	2	proof	proof	NOUN
ejde-811	342	3	of	of	ADP
ejde-811	342	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	342	5	1.10	1.10	NUM
ejde-811	342	6	.	.	PUNCT
ejde-811	343	1	step	step	NOUN
ejde-811	343	2	1	1	NUM
ejde-811	343	3	.	.	PUNCT
ejde-811	343	4	existence	existence	NOUN
ejde-811	343	5	of	of	ADP
ejde-811	343	6	limit	limit	NOUN
ejde-811	343	7	pair	pair	NOUN
ejde-811	343	8	.	.	PUNCT
ejde-811	344	1	according	accord	VERB
ejde-811	344	2	to	to	ADP
ejde-811	344	3	[	[	X
ejde-811	344	4	8	8	NUM
ejde-811	344	5	]	]	PUNCT
ejde-811	344	6	,	,	PUNCT
ejde-811	344	7	we	we	PRON
ejde-811	344	8	introduce	introduce	VERB
ejde-811	344	9	a	a	DET
ejde-811	344	10	new	new	ADJ
ejde-811	344	11	translation	translation	NOUN
ejde-811	344	12	pair	pair	NOUN
ejde-811	344	13	by	by	ADP
ejde-811	344	14	using	use	VERB
ejde-811	344	15	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	344	16	5.2	5.2	NUM
ejde-811	344	17	.	.	PUNCT
ejde-811	345	1	denote	denote	VERB
ejde-811	345	2	the	the	DET
ejde-811	345	3	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	345	4	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	345	5	of	of	ADP
ejde-811	345	6	(	(	PUNCT
ejde-811	345	7	1.13	1.13	NUM
ejde-811	345	8	)	)	PUNCT
ejde-811	345	9	by	by	ADP
ejde-811	345	10	(	(	PUNCT
ejde-811	345	11	fn	fn	INTJ
ejde-811	345	12	,	,	PUNCT
ejde-811	345	13	gn	gn	PROPN
ejde-811	345	14	)	)	PUNCT
ejde-811	345	15	and	and	CCONJ
ejde-811	345	16	|fn	|fn	PUNCT
ejde-811	345	17	i1	i1	PROPN
ejde-811	346	1	|	|	ADV
ejde-811	346	2	=	=	PUNCT
ejde-811	347	1	max{|fn	max{|fn	NOUN
ejde-811	347	2	i	i	PRON
ejde-811	347	3	|	|	ADV
ejde-811	347	4	;	;	PUNCT
ejde-811	347	5	|i|	|i|	VERB
ejde-811	347	6	≤	≤	NOUN
ejde-811	347	7	n	n	CCONJ
ejde-811	347	8	}	}	PUNCT
ejde-811	347	9	,	,	PUNCT
ejde-811	347	10	|gni2	|gni2	NOUN
ejde-811	347	11	|	|	ADV
ejde-811	347	12	=	=	PUNCT
ejde-811	347	13	max{|gni	max{|gni	NOUN
ejde-811	347	14	|	|	ADV
ejde-811	347	15	;	;	PUNCT
ejde-811	347	16	|i|	|i|	VERB
ejde-811	347	17	≤	≤	NOUN
ejde-811	347	18	n	n	CCONJ
ejde-811	347	19	}	}	PUNCT
ejde-811	347	20	we	we	PRON
ejde-811	347	21	write	write	VERB
ejde-811	347	22	a(n	a(n	ADV
ejde-811	347	23	)	)	PUNCT
ejde-811	347	24	=	=	PUNCT
ejde-811	347	25	(	(	PUNCT
ejde-811	347	26	a(n)i)i∈zn	a(n)i)i∈zn	NOUN
ejde-811	347	27	0	0	NUM
ejde-811	347	28	,	,	PUNCT
ejde-811	347	29	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	347	30	)	)	PUNCT
ejde-811	347	31	=	=	PUNCT
ejde-811	348	1	(	(	PUNCT
ejde-811	348	2	b(n)i)i∈zn	b(n)i)i∈zn	NOUN
ejde-811	348	3	0	0	NUM
ejde-811	348	4	,	,	PUNCT
ejde-811	348	5	where	where	SCONJ
ejde-811	348	6	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	348	7	=	=	SYM
ejde-811	348	8	|fn	|fn	PUNCT
ejde-811	348	9	i+i1	i+i1	ADJ
ejde-811	348	10	|	|	ADV
ejde-811	348	11	,	,	PUNCT
ejde-811	348	12	in	in	ADP
ejde-811	348	13	ω1	ω1	PROPN
ejde-811	348	14	n	n	CCONJ
ejde-811	348	15	,	,	PUNCT
ejde-811	348	16	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	348	17	=	=	SYM
ejde-811	348	18	0	0	NUM
ejde-811	348	19	,	,	PUNCT
ejde-811	348	20	in	in	ADP
ejde-811	348	21	zn	zn	PROPN
ejde-811	348	22	\	\	PROPN
ejde-811	348	23	ω1	ω1	PROPN
ejde-811	348	24	n	n	CCONJ
ejde-811	348	25	,	,	PUNCT
ejde-811	348	26	and	and	CCONJ
ejde-811	348	27	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	348	28	=	=	VERB
ejde-811	348	29	|gni+i2	|gni+i2	NOUN
ejde-811	348	30	|	|	ADV
ejde-811	348	31	,	,	PUNCT
ejde-811	348	32	in	in	ADP
ejde-811	348	33	ω2	ω2	ADJ
ejde-811	348	34	n	n	NOUN
ejde-811	348	35	,	,	PUNCT
ejde-811	348	36	b(n)i	b(n)i	PROPN
ejde-811	348	37	=	=	SYM
ejde-811	348	38	0	0	NUM
ejde-811	348	39	,	,	PUNCT
ejde-811	348	40	in	in	ADP
ejde-811	348	41	zn	zn	PROPN
ejde-811	348	42	\	\	PROPN
ejde-811	349	1	ω2	ω2	PROPN
ejde-811	349	2	n	n	NOUN
ejde-811	349	3	.	.	PUNCT
ejde-811	350	1	here	here	ADV
ejde-811	350	2	ωk	ωk	ADP
ejde-811	350	3	n	n	NOUN
ejde-811	350	4	=	=	PUNCT
ejde-811	350	5	{	{	PUNCT
ejde-811	350	6	i	i	PROPN
ejde-811	350	7	+	+	X
ejde-811	350	8	ik	ik	X
ejde-811	350	9	;	;	PUNCT
ejde-811	350	10	|i|	|i|	VERB
ejde-811	350	11	≤	≤	NUM
ejde-811	350	12	n	n	CCONJ
ejde-811	350	13	}	}	PUNCT
ejde-811	350	14	(	(	PUNCT
ejde-811	350	15	k	k	NOUN
ejde-811	350	16	=	=	SYM
ejde-811	350	17	1	1	NUM
ejde-811	350	18	,	,	PUNCT
ejde-811	350	19	2	2	NUM
ejde-811	350	20	)	)	PUNCT
ejde-811	350	21	.	.	PUNCT
ejde-811	351	1	according	accord	VERB
ejde-811	351	2	to	to	ADP
ejde-811	351	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	351	4	5.2	5.2	NUM
ejde-811	351	5	,	,	PUNCT
ejde-811	351	6	for	for	ADP
ejde-811	351	7	each	each	DET
ejde-811	351	8	n	n	NOUN
ejde-811	351	9	it	it	PRON
ejde-811	351	10	holds	hold	VERB
ejde-811	351	11	a(n)0	a(n)0	PROPN
ejde-811	351	12	≥	≥	PROPN
ejde-811	351	13	σ	σ	PROPN
ejde-811	351	14	,	,	PUNCT
ejde-811	351	15	b(n)0	b(n)0	PROPN
ejde-811	351	16	≥	≥	PROPN
ejde-811	351	17	σ	σ	X
ejde-811	351	18	.	.	PUNCT
ejde-811	352	1	(	(	PUNCT
ejde-811	352	2	5.16	5.16	NUM
ejde-811	352	3	)	)	PUNCT
ejde-811	352	4	since	since	SCONJ
ejde-811	352	5	(	(	PUNCT
ejde-811	352	6	fn	fn	INTJ
ejde-811	352	7	,	,	PUNCT
ejde-811	352	8	gn	gn	PROPN
ejde-811	352	9	)	)	PUNCT
ejde-811	352	10	∈	∈	PROPN
ejde-811	352	11	s(n	s(n	PROPN
ejde-811	352	12	)	)	PUNCT
ejde-811	352	13	,	,	PUNCT
ejde-811	352	14	it	it	PRON
ejde-811	352	15	follows	follow	VERB
ejde-811	352	16	that	that	SCONJ
ejde-811	352	17	(	(	PUNCT
ejde-811	352	18	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	352	19	)	)	PUNCT
ejde-811	352	20	,	,	PUNCT
ejde-811	352	21	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	352	22	)	)	PUNCT
ejde-811	352	23	)	)	PUNCT
ejde-811	353	1	∈	∈	PROPN
ejde-811	353	2	s.	s.	PROPN
ejde-811	353	3	(	(	PUNCT
ejde-811	353	4	5.17	5.17	NUM
ejde-811	353	5	)	)	PUNCT
ejde-811	353	6	by	by	ADP
ejde-811	353	7	the	the	DET
ejde-811	353	8	bolzano	bolzano	NOUN
ejde-811	353	9	-	-	PUNCT
ejde-811	353	10	weierstrass	weierstrass	NOUN
ejde-811	353	11	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	353	12	,	,	PUNCT
ejde-811	353	13	we	we	PRON
ejde-811	353	14	can	can	AUX
ejde-811	353	15	find	find	VERB
ejde-811	353	16	a	a	DET
ejde-811	353	17	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-811	353	18	of	of	ADP
ejde-811	353	19	(	(	PUNCT
ejde-811	353	20	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	353	21	)	)	PUNCT
ejde-811	353	22	,	,	PUNCT
ejde-811	353	23	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	353	24	)	)	PUNCT
ejde-811	353	25	)	)	PUNCT
ejde-811	353	26	denoted	denote	VERB
ejde-811	353	27	by	by	ADP
ejde-811	353	28	itself	itself	PRON
ejde-811	353	29	such	such	ADJ
ejde-811	353	30	that	that	SCONJ
ejde-811	353	31	for	for	ADP
ejde-811	353	32	each	each	DET
ejde-811	353	33	i	i	PROPN
ejde-811	353	34	,	,	PUNCT
ejde-811	353	35	lim	lim	PROPN
ejde-811	353	36	n→∞	n→∞	X
ejde-811	353	37	a(n)i	a(n)i	X
ejde-811	353	38	=	=	SYM
ejde-811	353	39	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	353	40	,	,	PUNCT
ejde-811	353	41	lim	lim	PROPN
ejde-811	353	42	n→∞	n→∞	X
ejde-811	353	43	b(n)i	b(n)i	X
ejde-811	353	44	=	=	SYM
ejde-811	353	45	b∗i	b∗i	X
ejde-811	353	46	.	.	PUNCT
ejde-811	354	1	(	(	PUNCT
ejde-811	354	2	5.18	5.18	NUM
ejde-811	354	3	)	)	PUNCT
ejde-811	354	4	we	we	PRON
ejde-811	354	5	write	write	VERB
ejde-811	354	6	a∗	a∗	NOUN
ejde-811	354	7	=	=	SYM
ejde-811	354	8	(	(	PUNCT
ejde-811	354	9	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	354	10	)	)	PUNCT
ejde-811	354	11	i∈zn	i∈zn	ADJ
ejde-811	354	12	and	and	CCONJ
ejde-811	354	13	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	354	14	=	=	SYM
ejde-811	354	15	(	(	PUNCT
ejde-811	354	16	b∗i	b∗i	ADJ
ejde-811	354	17	)	)	PUNCT
ejde-811	354	18	i∈zn	i∈zn	NOUN
ejde-811	354	19	.	.	PUNCT
ejde-811	355	1	when	when	SCONJ
ejde-811	355	2	a∗i	a∗i	X
ejde-811	355	3	>	>	X
ejde-811	355	4	0	0	NUM
ejde-811	355	5	,	,	PUNCT
ejde-811	355	6	(	(	PUNCT
ejde-811	355	7	5.18	5.18	NUM
ejde-811	355	8	)	)	PUNCT
ejde-811	355	9	implies	imply	VERB
ejde-811	355	10	a(n)i	a(n)i	PROPN
ejde-811	355	11	−	−	ADP
ejde-811	355	12	a∗i	a∗i	X
ejde-811	355	13	/2	/2	NUM
ejde-811	355	14	≥	≥	NOUN
ejde-811	355	15	0	0	NUM
ejde-811	355	16	for	for	ADP
ejde-811	355	17	large	large	ADJ
ejde-811	355	18	n	n	NOUN
ejde-811	355	19	.	.	PUNCT
ejde-811	356	1	when	when	SCONJ
ejde-811	356	2	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	356	3	=	=	SYM
ejde-811	356	4	0	0	NUM
ejde-811	356	5	,	,	PUNCT
ejde-811	356	6	this	this	DET
ejde-811	356	7	result	result	NOUN
ejde-811	356	8	still	still	ADV
ejde-811	356	9	holds	hold	VERB
ejde-811	356	10	.	.	PUNCT
ejde-811	357	1	thus	thus	ADV
ejde-811	357	2	,	,	PUNCT
ejde-811	357	3	using	use	VERB
ejde-811	357	4	the	the	DET
ejde-811	357	5	reversed	reversed	ADJ
ejde-811	357	6	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	357	7	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	357	8	stein	stein	PROPN
ejde-811	357	9	-	-	PUNCT
ejde-811	357	10	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	357	11	inequalities	inequalitie	VERB
ejde-811	357	12	15	15	NUM
ejde-811	357	13	minkowski	minkowski	ADJ
ejde-811	357	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	358	1	[	[	X
ejde-811	358	2	7	7	NUM
ejde-811	358	3	,	,	PUNCT
ejde-811	358	4	theorem	theorem	VERB
ejde-811	358	5	166	166	NUM
ejde-811	358	6	]	]	PUNCT
ejde-811	358	7	to	to	ADP
ejde-811	358	8	a(n	a(n	ADV
ejde-811	358	9	)	)	PUNCT
ejde-811	358	10	=	=	PUNCT
ejde-811	359	1	[	[	X
ejde-811	359	2	a(n)−	a(n)−	PROPN
ejde-811	359	3	a∗/2	a∗/2	PROPN
ejde-811	359	4	]	]	X
ejde-811	359	5	+	+	CCONJ
ejde-811	359	6	a∗/2	a∗/2	PROPN
ejde-811	359	7	,	,	PUNCT
ejde-811	359	8	by	by	ADP
ejde-811	359	9	(	(	PUNCT
ejde-811	359	10	5.17	5.17	NUM
ejde-811	359	11	)	)	PUNCT
ejde-811	359	12	we	we	PRON
ejde-811	359	13	obtain	obtain	VERB
ejde-811	359	14	1	1	NUM
ejde-811	359	15	=	=	SYM
ejde-811	359	16	∥a(n)∥lr(zn	∥a(n)∥lr(zn	PROPN
ejde-811	359	17	)	)	PUNCT
ejde-811	359	18	≥	≥	NOUN
ejde-811	359	19	∥a(n)−	∥a(n)−	PUNCT
ejde-811	359	20	a∗/2∥lr(zn	a∗/2∥lr(zn	PROPN
ejde-811	359	21	)	)	PUNCT
ejde-811	359	22	+	+	CCONJ
ejde-811	359	23	∥a∗∥lr(zn)/2	∥a∗∥lr(zn)/2	PROPN
ejde-811	359	24	≥	≥	PROPN
ejde-811	359	25	∥a∗∥lr(zn)/2	∥a∗∥lr(zn)/2	PROPN
ejde-811	359	26	,	,	PUNCT
ejde-811	359	27	which	which	PRON
ejde-811	359	28	implies	imply	VERB
ejde-811	359	29	a∗	a∗	PROPN
ejde-811	359	30	∈	∈	PROPN
ejde-811	359	31	lr(zn	lr(zn	NOUN
ejde-811	359	32	0	0	NUM
ejde-811	359	33	)	)	PUNCT
ejde-811	359	34	.	.	PUNCT
ejde-811	360	1	(	(	PUNCT
ejde-811	360	2	5.19	5.19	NUM
ejde-811	360	3	)	)	PUNCT
ejde-811	360	4	similarly	similarly	ADV
ejde-811	360	5	,	,	PUNCT
ejde-811	360	6	we	we	PRON
ejde-811	360	7	have	have	VERB
ejde-811	360	8	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	360	9	∈	∈	PROPN
ejde-811	360	10	ls(zn	ls(zn	NOUN
ejde-811	360	11	0	0	NUM
ejde-811	360	12	)	)	PUNCT
ejde-811	360	13	.	.	PUNCT
ejde-811	361	1	(	(	PUNCT
ejde-811	361	2	5.20	5.20	NUM
ejde-811	361	3	)	)	PUNCT
ejde-811	361	4	according	accord	VERB
ejde-811	361	5	to	to	ADP
ejde-811	361	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-811	361	7	5.2	5.2	NUM
ejde-811	361	8	,	,	PUNCT
ejde-811	361	9	(	(	PUNCT
ejde-811	361	10	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	361	11	,	,	PUNCT
ejde-811	361	12	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	361	13	)	)	PUNCT
ejde-811	361	14	̸=	̸=	PROPN
ejde-811	361	15	(	(	PUNCT
ejde-811	361	16	0	0	NUM
ejde-811	361	17	,	,	PUNCT
ejde-811	361	18	0	0	NUM
ejde-811	361	19	)	)	PUNCT
ejde-811	361	20	.	.	PUNCT
ejde-811	362	1	we	we	PRON
ejde-811	362	2	will	will	AUX
ejde-811	362	3	verify	verify	VERB
ejde-811	362	4	that	that	DET
ejde-811	362	5	limit	limit	NOUN
ejde-811	362	6	pair	pair	NOUN
ejde-811	362	7	(	(	PUNCT
ejde-811	362	8	a∗	a∗	ADJ
ejde-811	362	9	,	,	PUNCT
ejde-811	362	10	b∗	b∗	ADJ
ejde-811	362	11	)	)	PUNCT
ejde-811	362	12	is	be	AUX
ejde-811	362	13	an	an	DET
ejde-811	362	14	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	362	15	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	362	16	of	of	ADP
ejde-811	362	17	(	(	PUNCT
ejde-811	362	18	1.14	1.14	NUM
ejde-811	362	19	)	)	PUNCT
ejde-811	362	20	.	.	PUNCT
ejde-811	363	1	step	step	NOUN
ejde-811	363	2	2	2	NUM
ejde-811	363	3	.	.	PUNCT
ejde-811	364	1	equations	equation	NOUN
ejde-811	364	2	satisfied	satisfy	VERB
ejde-811	364	3	by	by	ADP
ejde-811	364	4	limit	limit	NOUN
ejde-811	364	5	pair	pair	NOUN
ejde-811	364	6	.	.	PUNCT
ejde-811	365	1	since	since	SCONJ
ejde-811	365	2	(	(	PUNCT
ejde-811	365	3	fn	fn	INTJ
ejde-811	365	4	,	,	PUNCT
ejde-811	365	5	gn	gn	PROPN
ejde-811	365	6	)	)	PUNCT
ejde-811	365	7	is	be	AUX
ejde-811	365	8	the	the	DET
ejde-811	365	9	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	365	10	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	365	11	of	of	ADP
ejde-811	365	12	(	(	PUNCT
ejde-811	365	13	1.13	1.13	NUM
ejde-811	365	14	)	)	PUNCT
ejde-811	365	15	,	,	PUNCT
ejde-811	365	16	from	from	ADP
ejde-811	365	17	(	(	PUNCT
ejde-811	365	18	3.6	3.6	NUM
ejde-811	365	19	)	)	PUNCT
ejde-811	365	20	it	it	PRON
ejde-811	365	21	follows	follow	VERB
ejde-811	365	22	that	that	SCONJ
ejde-811	365	23	(	(	PUNCT
ejde-811	365	24	a(n	a(n	NOUN
ejde-811	365	25	)	)	PUNCT
ejde-811	365	26	,	,	PUNCT
ejde-811	365	27	b(n	b(n	NOUN
ejde-811	365	28	)	)	PUNCT
ejde-811	365	29	)	)	PUNCT
ejde-811	365	30	satisfies	satisfy	VERB
ejde-811	365	31	qn	qn	PROPN
ejde-811	365	32	=	=	PROPN
ejde-811	365	33	a(n)1−r	a(n)1−r	PROPN
ejde-811	365	34	i+i1	i+i1	NOUN
ejde-811	365	35	(	(	PUNCT
ejde-811	365	36	1	1	NUM
ejde-811	365	37	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	365	38	∑	∑	ADV
ejde-811	365	39	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	365	40	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	365	41	,	,	PUNCT
ejde-811	365	42	j	j	PROPN
ejde-811	365	43	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	365	44	b(n)j+j2	b(n)j+j2	PUNCT
ejde-811	365	45	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	365	46	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	365	47	+	+	CCONJ
ejde-811	365	48	b(n)i+i2	b(n)i+i2	VERB
ejde-811	365	49	|i|α+β	|i|α+β	PRON
ejde-811	365	50	)	)	PUNCT
ejde-811	365	51	,	,	PUNCT
ejde-811	365	52	qn	qn	NOUN
ejde-811	365	53	=	=	PROPN
ejde-811	365	54	b(n)1−s	b(n)1−s	PROPN
ejde-811	365	55	i+i2	i+i2	NOUN
ejde-811	365	56	(	(	PUNCT
ejde-811	365	57	1	1	NUM
ejde-811	365	58	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	365	59	∑	∑	PUNCT
ejde-811	365	60	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	365	61	0,n	0,n	NOUN
ejde-811	365	62	,	,	PUNCT
ejde-811	365	63	j	j	PROPN
ejde-811	365	64	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	365	65	a(n)j+j1	a(n)j+j1	PROPN
ejde-811	365	66	|i−	|i−	PROPN
ejde-811	365	67	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	366	1	+	+	X
ejde-811	366	2	a(n)i+i1	a(n)i+i1	INTJ
ejde-811	366	3	|i|α+β	|i|α+β	ADP
ejde-811	366	4	)	)	PUNCT
ejde-811	366	5	.	.	PUNCT
ejde-811	367	1	(	(	PUNCT
ejde-811	367	2	5.21	5.21	NUM
ejde-811	367	3	)	)	PUNCT
ejde-811	367	4	the	the	DET
ejde-811	367	5	first	first	ADJ
ejde-811	367	6	equation	equation	NOUN
ejde-811	367	7	in	in	ADP
ejde-811	367	8	(	(	PUNCT
ejde-811	367	9	5.21	5.21	NUM
ejde-811	367	10	)	)	PUNCT
ejde-811	367	11	shows	show	VERB
ejde-811	367	12	that	that	SCONJ
ejde-811	367	13	qn	qn	PROPN
ejde-811	367	14	=	=	PUNCT
ejde-811	367	15	a(n)1−r	a(n)1−r	PROPN
ejde-811	367	16	i+i1	i+i1	VERB
ejde-811	367	17	1	1	NUM
ejde-811	367	18	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	367	19	(	(	PUNCT
ejde-811	367	20	∑	∑	PROPN
ejde-811	367	21	1≤|j|≤u	1≤|j|≤u	NUM
ejde-811	367	22	,	,	PUNCT
ejde-811	367	23	j	j	PROPN
ejde-811	367	24	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	367	25	b(n)j+j2	b(n)j+j2	PUNCT
ejde-811	367	26	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	367	27	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	367	28	+	+	CCONJ
ejde-811	367	29	∑	∑	SYM
ejde-811	367	30	|j|>u	|j|>u	ADJ
ejde-811	367	31	,	,	PUNCT
ejde-811	367	32	j	j	X
ejde-811	367	33	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	367	34	b(n)j+j2	b(n)j+j2	PUNCT
ejde-811	367	35	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	367	36	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	367	37	+	+	CCONJ
ejde-811	367	38	b(n)i+i2	b(n)i+i2	VERB
ejde-811	367	39	|i|β	|i|β	NOUN
ejde-811	367	40	)	)	PUNCT
ejde-811	367	41	,	,	PUNCT
ejde-811	367	42	where	where	SCONJ
ejde-811	367	43	u	u	PROPN
ejde-811	367	44	>	>	X
ejde-811	367	45	0	0	NUM
ejde-811	367	46	is	be	AUX
ejde-811	367	47	a	a	DET
ejde-811	367	48	large	large	ADJ
ejde-811	367	49	integer	integer	NOUN
ejde-811	367	50	which	which	PRON
ejde-811	367	51	is	be	AUX
ejde-811	367	52	independent	independent	ADJ
ejde-811	367	53	of	of	ADP
ejde-811	367	54	n	n	PROPN
ejde-811	367	55	.	.	PUNCT
ejde-811	368	1	letting	let	VERB
ejde-811	368	2	n	n	X
ejde-811	368	3	→	→	SYM
ejde-811	368	4	∞	∞	NUM
ejde-811	368	5	in	in	ADP
ejde-811	368	6	the	the	DET
ejde-811	368	7	result	result	NOUN
ejde-811	368	8	above	above	ADV
ejde-811	368	9	and	and	CCONJ
ejde-811	368	10	using	use	VERB
ejde-811	368	11	(	(	PUNCT
ejde-811	368	12	1.9	1.9	NUM
ejde-811	368	13	)	)	PUNCT
ejde-811	368	14	and	and	CCONJ
ejde-811	368	15	(	(	PUNCT
ejde-811	368	16	5.18	5.18	NUM
ejde-811	368	17	)	)	PUNCT
ejde-811	368	18	,	,	PUNCT
ejde-811	368	19	we	we	PRON
ejde-811	368	20	obtain	obtain	VERB
ejde-811	368	21	q	q	NOUN
ejde-811	368	22	=	=	PUNCT
ejde-811	368	23	(	(	PUNCT
ejde-811	368	24	a∗i+i1	a∗i+i1	NOUN
ejde-811	368	25	)	)	PUNCT
ejde-811	368	26	1−r	1−r	NUM
ejde-811	368	27	1	1	NUM
ejde-811	368	28	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	368	29	(	(	PUNCT
ejde-811	368	30	∑	∑	PROPN
ejde-811	368	31	1≤|j|≤u	1≤|j|≤u	NUM
ejde-811	368	32	,	,	PUNCT
ejde-811	368	33	j	j	PROPN
ejde-811	368	34	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	368	35	b∗j+j2	b∗j+j2	ADJ
ejde-811	368	36	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	368	37	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	369	1	+	+	CCONJ
ejde-811	369	2	lim	lim	PROPN
ejde-811	369	3	n→∞	n→∞	X
ejde-811	369	4	∑	∑	SYM
ejde-811	369	5	|j|>u	|j|>u	PROPN
ejde-811	369	6	,	,	PUNCT
ejde-811	369	7	j	j	X
ejde-811	369	8	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	369	9	b(n)j+j2	b(n)j+j2	PUNCT
ejde-811	369	10	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	369	11	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	369	12	+	+	CCONJ
ejde-811	369	13	b∗i+i2	b∗i+i2	PROPN
ejde-811	369	14	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	369	15	)	)	PUNCT
ejde-811	369	16	.	.	PUNCT
ejde-811	370	1	(	(	PUNCT
ejde-811	370	2	5.22	5.22	NUM
ejde-811	370	3	)	)	PUNCT
ejde-811	370	4	in	in	ADP
ejde-811	370	5	addition	addition	NOUN
ejde-811	370	6	,	,	PUNCT
ejde-811	370	7	from	from	ADP
ejde-811	370	8	the	the	DET
ejde-811	370	9	second	second	ADJ
ejde-811	370	10	equation	equation	NOUN
ejde-811	370	11	in	in	ADP
ejde-811	370	12	(	(	PUNCT
ejde-811	370	13	5.21	5.21	NUM
ejde-811	370	14	)	)	PUNCT
ejde-811	370	15	it	it	PRON
ejde-811	370	16	follows	follow	VERB
ejde-811	370	17	that	that	SCONJ
ejde-811	370	18	qn	qn	PROPN
ejde-811	370	19	≥	≥	NOUN
ejde-811	370	20	b(n)1−s	b(n)1−s	NOUN
ejde-811	370	21	j+j2	j+j2	PROPN
ejde-811	370	22	a(n)0|j|−β	a(n)0|j|−β	PROPN
ejde-811	370	23	|j	|j	NOUN
ejde-811	370	24	+	+	CCONJ
ejde-811	370	25	i1|−λ|i1|−α	i1|−λ|i1|−α	PROPN
ejde-811	370	26	for	for	ADP
ejde-811	370	27	|j|	|j|	PRON
ejde-811	370	28	>	>	X
ejde-811	370	29	0	0	X
ejde-811	370	30	.	.	PUNCT
ejde-811	371	1	combining	combine	VERB
ejde-811	371	2	this	this	PRON
ejde-811	371	3	with	with	ADP
ejde-811	371	4	(	(	PUNCT
ejde-811	371	5	3.8	3.8	NUM
ejde-811	371	6	)	)	PUNCT
ejde-811	371	7	and	and	CCONJ
ejde-811	371	8	(	(	PUNCT
ejde-811	371	9	5.16	5.16	NUM
ejde-811	371	10	)	)	PUNCT
ejde-811	371	11	,	,	PUNCT
ejde-811	371	12	for	for	ADP
ejde-811	371	13	large	large	ADJ
ejde-811	371	14	|j|	|j|	NOUN
ejde-811	371	15	,	,	PUNCT
ejde-811	371	16	we	we	PRON
ejde-811	371	17	have	have	VERB
ejde-811	371	18	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	371	19	≤	≤	PROPN
ejde-811	371	20	c(σ	c(σ	PROPN
ejde-811	371	21	,	,	PUNCT
ejde-811	371	22	i1)|j|−	i1)|j|−	VERB
ejde-811	371	23	λ+β	λ+β	X
ejde-811	371	24	s−1	s−1	PROPN
ejde-811	371	25	.	.	PUNCT
ejde-811	372	1	(	(	PUNCT
ejde-811	372	2	5.23	5.23	NUM
ejde-811	372	3	)	)	PUNCT
ejde-811	372	4	thus	thus	ADV
ejde-811	372	5	,	,	PUNCT
ejde-811	372	6	we	we	PRON
ejde-811	372	7	obtain	obtain	VERB
ejde-811	372	8	that	that	PRON
ejde-811	372	9	for	for	ADP
ejde-811	372	10	each	each	DET
ejde-811	372	11	i,∑	i,∑	PROPN
ejde-811	372	12	|j|>u	|j|>u	ADJ
ejde-811	372	13	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	372	14	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	372	15	j|λ|j|β	j|λ|j|β	VERB
ejde-811	372	16	≤	≤	PROPN
ejde-811	372	17	c	c	NOUN
ejde-811	372	18	∑	∑	PUNCT
ejde-811	372	19	|j|>u	|j|>u	ADJ
ejde-811	372	20	|j|−	|j|−	NOUN
ejde-811	372	21	λ+β	λ+β	X
ejde-811	372	22	s−1	s−1	PROPN
ejde-811	372	23	−(λ+β	−(λ+β	NOUN
ejde-811	372	24	)	)	PUNCT
ejde-811	372	25	≤	≤	NOUN
ejde-811	372	26	cun−λ+β	cun−λ+β	VERB
ejde-811	372	27	s−1	s−1	PROPN
ejde-811	372	28	−(λ+β	−(λ+β	NUM
ejde-811	372	29	)	)	PUNCT
ejde-811	372	30	.	.	PUNCT
ejde-811	373	1	from	from	ADP
ejde-811	373	2	the	the	DET
ejde-811	373	3	conditions	condition	NOUN
ejde-811	373	4	in	in	ADP
ejde-811	373	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	373	6	1.10	1.10	NUM
ejde-811	373	7	:	:	PUNCT
ejde-811	373	8	λ	λ	X
ejde-811	373	9	<	<	X
ejde-811	373	10	0	0	PROPN
ejde-811	373	11	,	,	PUNCT
ejde-811	373	12	β	β	X
ejde-811	373	13	∈	∈	PROPN
ejde-811	373	14	(	(	PUNCT
ejde-811	373	15	(	(	PUNCT
ejde-811	373	16	s−	s−	PROPN
ejde-811	373	17	1)n	1)n	NUM
ejde-811	373	18	/	/	SYM
ejde-811	373	19	s	s	PROPN
ejde-811	373	20	,	,	PUNCT
ejde-811	373	21	0	0	NUM
ejde-811	373	22	]	]	PUNCT
ejde-811	373	23	and	and	CCONJ
ejde-811	373	24	s	s	PROPN
ejde-811	373	25	∈	∈	PROPN
ejde-811	373	26	(	(	PUNCT
ejde-811	373	27	0	0	NUM
ejde-811	373	28	,	,	PUNCT
ejde-811	373	29	1	1	NUM
ejde-811	373	30	)	)	PUNCT
ejde-811	373	31	,	,	PUNCT
ejde-811	373	32	we	we	PRON
ejde-811	373	33	have	have	VERB
ejde-811	373	34	n−	n−	NOUN
ejde-811	374	1	λ+β	λ+β	X
ejde-811	374	2	s−1	s−1	X
ejde-811	374	3	<	<	X
ejde-811	374	4	λ+	λ+	PUNCT
ejde-811	374	5	β	β	X
ejde-811	374	6	,	,	PUNCT
ejde-811	374	7	which	which	PRON
ejde-811	374	8	indicates	indicate	VERB
ejde-811	374	9	that∑	that∑	NOUN
ejde-811	374	10	|j|>u	|j|>u	VERB
ejde-811	374	11	b(n)j	b(n)j	PROPN
ejde-811	374	12	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	374	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	374	14	→	→	SYM
ejde-811	374	15	0	0	NUM
ejde-811	374	16	,	,	PUNCT
ejde-811	374	17	as	as	ADP
ejde-811	374	18	u	u	PROPN
ejde-811	374	19	→	→	PUNCT
ejde-811	374	20	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	374	21	16	16	NUM
ejde-811	374	22	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	374	23	li	li	PROPN
ejde-811	374	24	,	,	PUNCT
ejde-811	374	25	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	374	26	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	375	1	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	375	2	inserting	insert	VERB
ejde-811	375	3	the	the	DET
ejde-811	375	4	above	above	ADJ
ejde-811	375	5	result	result	NOUN
ejde-811	375	6	into	into	ADP
ejde-811	375	7	(	(	PUNCT
ejde-811	375	8	5.22	5.22	NUM
ejde-811	375	9	)	)	PUNCT
ejde-811	375	10	yields	yield	VERB
ejde-811	375	11	q	q	NOUN
ejde-811	376	1	=	=	PUNCT
ejde-811	376	2	(	(	PUNCT
ejde-811	376	3	a∗i+i1	a∗i+i1	NOUN
ejde-811	376	4	)	)	PUNCT
ejde-811	376	5	1−r	1−r	NUM
ejde-811	376	6	1	1	NUM
ejde-811	376	7	|i|α	|i|α	PROPN
ejde-811	376	8	(	(	PUNCT
ejde-811	376	9	∑	∑	ADV
ejde-811	376	10	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	376	11	0	0	NUM
ejde-811	376	12	,	,	PUNCT
ejde-811	376	13	j	j	PROPN
ejde-811	376	14	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	376	15	b∗j+j2	b∗j+j2	ADJ
ejde-811	376	16	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	376	17	j|λ|j|β	j|λ|j|β	PROPN
ejde-811	376	18	+	+	CCONJ
ejde-811	376	19	b∗i+i2	b∗i+i2	PROPN
ejde-811	376	20	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	376	21	)	)	PUNCT
ejde-811	376	22	.	.	PUNCT
ejde-811	377	1	(	(	PUNCT
ejde-811	377	2	5.24	5.24	NUM
ejde-811	377	3	)	)	PUNCT
ejde-811	377	4	similarly	similarly	ADV
ejde-811	377	5	,	,	PUNCT
ejde-811	377	6	we	we	PRON
ejde-811	377	7	have	have	VERB
ejde-811	377	8	q	q	NOUN
ejde-811	377	9	=	=	SYM
ejde-811	377	10	(	(	PUNCT
ejde-811	377	11	b∗i+i2	b∗i+i2	NOUN
ejde-811	377	12	)	)	PUNCT
ejde-811	377	13	1−s	1−s	PROPN
ejde-811	377	14	1	1	NUM
ejde-811	377	15	|i|β	|i|β	PROPN
ejde-811	377	16	(	(	PUNCT
ejde-811	377	17	∑	∑	ADV
ejde-811	377	18	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	377	19	0	0	NUM
ejde-811	377	20	,	,	PUNCT
ejde-811	377	21	j	j	PROPN
ejde-811	377	22	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	377	23	a∗j+j1	a∗j+j1	PROPN
ejde-811	377	24	|i−	|i−	NOUN
ejde-811	377	25	j|λ|j|α	j|λ|j|α	VERB
ejde-811	378	1	+	+	CCONJ
ejde-811	378	2	a∗i+i1	a∗i+i1	ADJ
ejde-811	378	3	|i|α	|i|α	ADV
ejde-811	378	4	)	)	PUNCT
ejde-811	378	5	.	.	PUNCT
ejde-811	379	1	(	(	PUNCT
ejde-811	379	2	5.25	5.25	NUM
ejde-811	379	3	)	)	PUNCT
ejde-811	379	4	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-811	379	5	(	(	PUNCT
ejde-811	379	6	5.24	5.24	NUM
ejde-811	379	7	)	)	PUNCT
ejde-811	379	8	by	by	ADP
ejde-811	379	9	(	(	PUNCT
ejde-811	379	10	a∗i+i1	a∗i+i1	ADJ
ejde-811	379	11	)	)	PUNCT
ejde-811	379	12	r	r	NOUN
ejde-811	379	13	and	and	CCONJ
ejde-811	379	14	(	(	PUNCT
ejde-811	379	15	5.25	5.25	NUM
ejde-811	379	16	)	)	PUNCT
ejde-811	379	17	by	by	ADP
ejde-811	379	18	(	(	PUNCT
ejde-811	379	19	b∗i+i2	b∗i+i2	INTJ
ejde-811	379	20	)	)	PUNCT
ejde-811	379	21	s	s	PART
ejde-811	379	22	respectively	respectively	ADV
ejde-811	379	23	and	and	CCONJ
ejde-811	379	24	then	then	ADV
ejde-811	379	25	summing	sum	VERB
ejde-811	379	26	for	for	ADP
ejde-811	379	27	i	i	PROPN
ejde-811	379	28	∈	∈	PROPN
ejde-811	379	29	zn	zn	PROPN
ejde-811	379	30	0	0	NUM
ejde-811	379	31	,	,	PUNCT
ejde-811	379	32	we	we	PRON
ejde-811	379	33	see	see	VERB
ejde-811	379	34	that	that	SCONJ
ejde-811	379	35	∥a∗∥rlr(zn	∥a∗∥rlr(zn	PRON
ejde-811	379	36	0	0	X
ejde-811	379	37	)	)	PUNCT
ejde-811	379	38	=	=	PUNCT
ejde-811	380	1	∥b∗∥sls(zn	∥b∗∥sls(zn	PROPN
ejde-811	380	2	0	0	NUM
ejde-811	380	3	)	)	PUNCT
ejde-811	380	4	.	.	PUNCT
ejde-811	381	1	(	(	PUNCT
ejde-811	381	2	5.26	5.26	NUM
ejde-811	381	3	)	)	PUNCT
ejde-811	381	4	step	step	NOUN
ejde-811	381	5	3	3	NUM
ejde-811	381	6	.	.	PUNCT
ejde-811	381	7	define	define	VERB
ejde-811	381	8	γ	γ	NOUN
ejde-811	381	9	:	:	PUNCT
ejde-811	381	10	=	=	SYM
ejde-811	381	11	∥a∗∥lr(zn	∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	381	12	0	0	NUM
ejde-811	381	13	)	)	PUNCT
ejde-811	381	14	.	.	PUNCT
ejde-811	382	1	we	we	PRON
ejde-811	382	2	claim	claim	VERB
ejde-811	382	3	that	that	SCONJ
ejde-811	382	4	γ	γ	AUX
ejde-811	382	5	=	=	SYM
ejde-811	382	6	1	1	NUM
ejde-811	382	7	.	.	PUNCT
ejde-811	382	8	(	(	PUNCT
ejde-811	382	9	5.27	5.27	NUM
ejde-811	382	10	)	)	PUNCT
ejde-811	382	11	in	in	ADP
ejde-811	382	12	fact	fact	NOUN
ejde-811	382	13	,	,	PUNCT
ejde-811	382	14	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-811	382	15	(	(	PUNCT
ejde-811	382	16	5.24	5.24	NUM
ejde-811	382	17	)	)	PUNCT
ejde-811	382	18	by	by	ADP
ejde-811	382	19	(	(	PUNCT
ejde-811	382	20	a∗i+i1	a∗i+i1	ADJ
ejde-811	382	21	)	)	PUNCT
ejde-811	382	22	r	r	NOUN
ejde-811	382	23	and	and	CCONJ
ejde-811	382	24	then	then	ADV
ejde-811	382	25	summing	sum	VERB
ejde-811	382	26	for	for	ADP
ejde-811	382	27	i	i	PROPN
ejde-811	382	28	∈	∈	PROPN
ejde-811	382	29	zn	zn	PROPN
ejde-811	382	30	0	0	NUM
ejde-811	382	31	,	,	PUNCT
ejde-811	382	32	we	we	PRON
ejde-811	382	33	see	see	VERB
ejde-811	382	34	that	that	PRON
ejde-811	382	35	q	q	PUNCT
ejde-811	382	36	∑	∑	PUNCT
ejde-811	382	37	i∈zn	i∈zn	ADJ
ejde-811	382	38	0	0	NUM
ejde-811	382	39	(	(	PUNCT
ejde-811	382	40	a∗i+i1	a∗i+i1	NOUN
ejde-811	382	41	)	)	PUNCT
ejde-811	382	42	r	r	NOUN
ejde-811	383	1	=	=	PUNCT
ejde-811	383	2	∑	∑	PROPN
ejde-811	383	3	i	i	PROPN
ejde-811	383	4	,	,	PUNCT
ejde-811	383	5	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	383	6	0	0	NUM
ejde-811	383	7	,	,	PUNCT
ejde-811	383	8	j	j	PROPN
ejde-811	383	9	̸=i	̸=i	PROPN
ejde-811	383	10	a∗i+i1	a∗i+i1	PROPN
ejde-811	383	11	b∗j+j2	b∗j+j2	VERB
ejde-811	383	12	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	383	13	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	383	14	+	+	CCONJ
ejde-811	383	15	∑	∑	PUNCT
ejde-811	383	16	i∈zn	i∈zn	ADJ
ejde-811	383	17	0	0	NUM
ejde-811	383	18	a∗i+i1	a∗i+i1	NOUN
ejde-811	383	19	b∗i+i2	b∗i+i2	NOUN
ejde-811	383	20	|i|α+β	|i|α+β	X
ejde-811	383	21	.	.	PUNCT
ejde-811	384	1	applying	apply	VERB
ejde-811	384	2	(	(	PUNCT
ejde-811	384	3	1.11	1.11	NUM
ejde-811	384	4	)	)	PUNCT
ejde-811	384	5	with	with	ADP
ejde-811	384	6	c	c	NOUN
ejde-811	384	7	=	=	SYM
ejde-811	384	8	q	q	NOUN
ejde-811	384	9	,	,	PUNCT
ejde-811	384	10	from	from	ADP
ejde-811	384	11	the	the	DET
ejde-811	384	12	result	result	NOUN
ejde-811	384	13	above	above	ADP
ejde-811	384	14	and	and	CCONJ
ejde-811	384	15	(	(	PUNCT
ejde-811	384	16	5.26	5.26	NUM
ejde-811	384	17	)	)	PUNCT
ejde-811	384	18	,	,	PUNCT
ejde-811	384	19	we	we	PRON
ejde-811	384	20	have	have	VERB
ejde-811	384	21	qγr	qγr	PROPN
ejde-811	384	22	≥	≥	NUM
ejde-811	384	23	q∥a∗∥lr(zn	q∥a∗∥lr(zn	NOUN
ejde-811	384	24	0	0	NUM
ejde-811	384	25	)	)	PUNCT
ejde-811	385	1	∥b∗∥zn	∥b∗∥zn	NOUN
ejde-811	385	2	0	0	NUM
ejde-811	386	1	=	=	SYM
ejde-811	386	2	qγ1+r	qγ1+r	PROPN
ejde-811	386	3	/	/	SYM
ejde-811	386	4	s	s	PROPN
ejde-811	386	5	,	,	PUNCT
ejde-811	386	6	which	which	PRON
ejde-811	386	7	implies	imply	VERB
ejde-811	386	8	γr(1−1	γr(1−1	PROPN
ejde-811	386	9	/	/	SYM
ejde-811	386	10	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	386	11	/	/	SYM
ejde-811	386	12	s	s	PROPN
ejde-811	386	13	)	)	PUNCT
ejde-811	386	14	≥	≥	NOUN
ejde-811	386	15	1	1	NUM
ejde-811	386	16	.	.	PUNCT
ejde-811	387	1	noting	note	VERB
ejde-811	387	2	that	that	SCONJ
ejde-811	387	3	r	r	NOUN
ejde-811	387	4	,	,	PUNCT
ejde-811	387	5	s	s	NOUN
ejde-811	387	6	∈	∈	PROPN
ejde-811	387	7	(	(	PUNCT
ejde-811	387	8	0	0	NUM
ejde-811	387	9	,	,	PUNCT
ejde-811	387	10	1	1	NUM
ejde-811	387	11	)	)	PUNCT
ejde-811	387	12	,	,	PUNCT
ejde-811	387	13	we	we	PRON
ejde-811	387	14	have	have	VERB
ejde-811	387	15	1−1	1−1	NUM
ejde-811	387	16	/	/	SYM
ejde-811	387	17	r−1	r−1	PROPN
ejde-811	387	18	/	/	SYM
ejde-811	387	19	s	s	PART
ejde-811	387	20	<	<	X
ejde-811	387	21	0	0	NUM
ejde-811	387	22	.	.	PUNCT
ejde-811	388	1	this	this	PRON
ejde-811	388	2	means	mean	VERB
ejde-811	388	3	γ	γ	NOUN
ejde-811	388	4	≤	≤	NOUN
ejde-811	388	5	1	1	NUM
ejde-811	388	6	.	.	PUNCT
ejde-811	389	1	(	(	PUNCT
ejde-811	389	2	5.28	5.28	NUM
ejde-811	389	3	)	)	PUNCT
ejde-811	389	4	according	accord	VERB
ejde-811	389	5	to	to	ADP
ejde-811	389	6	(	(	PUNCT
ejde-811	389	7	5.18	5.18	NUM
ejde-811	389	8	)	)	PUNCT
ejde-811	389	9	,	,	PUNCT
ejde-811	389	10	when	when	SCONJ
ejde-811	389	11	|i|	|i|	VERB
ejde-811	389	12	=	=	SYM
ejde-811	389	13	1	1	NUM
ejde-811	389	14	,	,	PUNCT
ejde-811	389	15	there	there	PRON
ejde-811	389	16	exists	exist	VERB
ejde-811	389	17	n1	n1	PROPN
ejde-811	389	18	>	>	X
ejde-811	389	19	0	0	PUNCT
ejde-811	389	20	for	for	ADP
ejde-811	389	21	any	any	DET
ejde-811	389	22	ε	ε	PROPN
ejde-811	389	23	>	>	X
ejde-811	389	24	0	0	NUM
ejde-811	390	1	such	such	ADJ
ejde-811	390	2	that	that	SCONJ
ejde-811	390	3	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	390	4	≥	≥	X
ejde-811	390	5	(	(	PUNCT
ejde-811	390	6	1−	1−	NUM
ejde-811	390	7	ε)a(t)i	ε)a(t)i	PROPN
ejde-811	390	8	,	,	PUNCT
ejde-811	390	9	for	for	ADP
ejde-811	390	10	each	each	DET
ejde-811	390	11	t	t	PROPN
ejde-811	390	12	≥	≥	NOUN
ejde-811	390	13	n1	n1	PROPN
ejde-811	390	14	.	.	PUNCT
ejde-811	391	1	(	(	PUNCT
ejde-811	391	2	5.29	5.29	NUM
ejde-811	391	3	)	)	PUNCT
ejde-811	391	4	when	when	SCONJ
ejde-811	391	5	|i|	|i|	NOUN
ejde-811	391	6	=	=	SYM
ejde-811	391	7	2	2	NUM
ejde-811	391	8	,	,	PUNCT
ejde-811	391	9	for	for	ADP
ejde-811	391	10	this	this	DET
ejde-811	391	11	ε	ε	PROPN
ejde-811	391	12	,	,	PUNCT
ejde-811	391	13	there	there	PRON
ejde-811	391	14	exists	exist	VERB
ejde-811	391	15	n2	n2	ADJ
ejde-811	391	16	≥	≥	NUM
ejde-811	391	17	n1	n1	PROPN
ejde-811	391	18	such	such	ADJ
ejde-811	391	19	that	that	SCONJ
ejde-811	391	20	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	391	21	≥	≥	X
ejde-811	391	22	(	(	PUNCT
ejde-811	391	23	1−	1−	NUM
ejde-811	391	24	ε)a(t)i	ε)a(t)i	PROPN
ejde-811	391	25	,	,	PUNCT
ejde-811	391	26	for	for	ADP
ejde-811	391	27	each	each	DET
ejde-811	391	28	t	t	PROPN
ejde-811	391	29	≥	≥	PROPN
ejde-811	391	30	n2	n2	PROPN
ejde-811	391	31	.	.	PUNCT
ejde-811	392	1	combining	combine	VERB
ejde-811	392	2	this	this	PRON
ejde-811	392	3	with	with	ADP
ejde-811	392	4	(	(	PUNCT
ejde-811	392	5	5.29	5.29	NUM
ejde-811	392	6	)	)	PUNCT
ejde-811	392	7	,	,	PUNCT
ejde-811	392	8	for	for	ADP
ejde-811	392	9	|i|	|i|	NOUN
ejde-811	392	10	≤	≤	ADJ
ejde-811	392	11	2	2	NUM
ejde-811	392	12	,	,	PUNCT
ejde-811	392	13	we	we	PRON
ejde-811	392	14	obtain	obtain	VERB
ejde-811	392	15	that	that	PRON
ejde-811	392	16	a∗i	a∗i	X
ejde-811	392	17	≥	≥	X
ejde-811	392	18	(	(	PUNCT
ejde-811	392	19	1−	1−	NUM
ejde-811	392	20	ε)a(t)i	ε)a(t)i	PROPN
ejde-811	392	21	,	,	PUNCT
ejde-811	392	22	for	for	ADP
ejde-811	392	23	each	each	DET
ejde-811	392	24	t	t	PROPN
ejde-811	392	25	≥	≥	PROPN
ejde-811	392	26	n2	n2	PROPN
ejde-811	392	27	.	.	PUNCT
ejde-811	393	1	by	by	ADP
ejde-811	393	2	induction	induction	NOUN
ejde-811	393	3	,	,	PUNCT
ejde-811	393	4	for	for	ADP
ejde-811	393	5	|i|	|i|	PROPN
ejde-811	393	6	≤	≤	NUM
ejde-811	393	7	m	m	ADP
ejde-811	393	8	,	,	PUNCT
ejde-811	393	9	there	there	PRON
ejde-811	393	10	exists	exist	VERB
ejde-811	393	11	nm	nm	DET
ejde-811	393	12	≥	≥	NOUN
ejde-811	393	13	nm−1	nm−1	NOUN
ejde-811	393	14	such	such	ADJ
ejde-811	393	15	that	that	SCONJ
ejde-811	393	16	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	393	17	≥	≥	X
ejde-811	393	18	(	(	PUNCT
ejde-811	393	19	1−	1−	NUM
ejde-811	393	20	ε)a(t)i	ε)a(t)i	PROPN
ejde-811	393	21	,	,	PUNCT
ejde-811	393	22	for	for	ADP
ejde-811	393	23	each	each	DET
ejde-811	393	24	t	t	PROPN
ejde-811	393	25	≥	≥	PROPN
ejde-811	393	26	nm	nm	PROPN
ejde-811	393	27	.	.	PUNCT
ejde-811	394	1	namely	namely	ADV
ejde-811	394	2	,	,	PUNCT
ejde-811	394	3	a∗i	a∗i	X
ejde-811	394	4	≥	≥	X
ejde-811	394	5	(	(	PUNCT
ejde-811	394	6	1−	1−	NUM
ejde-811	394	7	ε)a(nm)i	ε)a(nm)i	PROPN
ejde-811	394	8	,	,	PUNCT
ejde-811	394	9	(	(	PUNCT
ejde-811	394	10	5.30	5.30	NUM
ejde-811	394	11	)	)	PUNCT
ejde-811	394	12	which	which	PRON
ejde-811	394	13	implies	imply	VERB
ejde-811	394	14	(	(	PUNCT
ejde-811	394	15	1	1	NUM
ejde-811	394	16	−	−	PROPN
ejde-811	394	17	ε)a(nm)i	ε)a(nm)i	PROPN
ejde-811	394	18	−	−	PROPN
ejde-811	394	19	a∗i	a∗i	NUM
ejde-811	394	20	→	→	SYM
ejde-811	394	21	0−	0−	NUM
ejde-811	394	22	for	for	ADP
ejde-811	394	23	each	each	DET
ejde-811	394	24	|i|	|i|	NOUN
ejde-811	394	25	≤	≤	NUM
ejde-811	394	26	m	m	NOUN
ejde-811	394	27	as	as	ADP
ejde-811	394	28	m	m	PROPN
ejde-811	394	29	→	→	SYM
ejde-811	394	30	∞.	∞.	PROPN
ejde-811	394	31	therefore	therefore	ADV
ejde-811	394	32	,	,	PUNCT
ejde-811	394	33	we	we	PRON
ejde-811	394	34	can	can	AUX
ejde-811	394	35	find	find	VERB
ejde-811	394	36	t̃	t̃	PROPN
ejde-811	394	37	>	>	X
ejde-811	394	38	0	0	PUNCT
ejde-811	395	1	satisfying	satisfy	VERB
ejde-811	395	2	∥a(t̃)∥lr(zn	∥a(t̃)∥lr(zn	PROPN
ejde-811	395	3	0,t̃	0,t̃	NUM
ejde-811	395	4	)	)	PUNCT
ejde-811	396	1	=	=	PUNCT
ejde-811	396	2	1	1	NUM
ejde-811	396	3	such	such	ADJ
ejde-811	396	4	that	that	SCONJ
ejde-811	396	5	a(nt̃)i	a(nt̃)i	PROPN
ejde-811	396	6	≥	≥	NOUN
ejde-811	396	7	a(t̃)i	a(t̃)i	X
ejde-811	396	8	for	for	ADP
ejde-811	396	9	|i|	|i|	NOUN
ejde-811	396	10	≤	≤	ADJ
ejde-811	396	11	t̃.	t̃.	NOUN
ejde-811	396	12	in	in	ADP
ejde-811	396	13	view	view	NOUN
ejde-811	396	14	of	of	ADP
ejde-811	396	15	(	(	PUNCT
ejde-811	396	16	5.30	5.30	NUM
ejde-811	396	17	)	)	PUNCT
ejde-811	396	18	,	,	PUNCT
ejde-811	396	19	applying	apply	VERB
ejde-811	396	20	the	the	DET
ejde-811	396	21	reversed	reverse	VERB
ejde-811	396	22	minkowski	minkowski	ADJ
ejde-811	396	23	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	396	24	to	to	ADP
ejde-811	396	25	a∗	a∗	NOUN
ejde-811	396	26	=	=	PUNCT
ejde-811	397	1	[	[	X
ejde-811	397	2	a∗	a∗	NOUN
ejde-811	397	3	−	−	PROPN
ejde-811	397	4	(	(	PUNCT
ejde-811	397	5	1	1	NUM
ejde-811	397	6	−	−	PROPN
ejde-811	397	7	ε)a(nt̃	ε)a(nt̃	NOUN
ejde-811	397	8	)	)	PUNCT
ejde-811	397	9	]	]	PUNCT
ejde-811	398	1	+	+	CCONJ
ejde-811	398	2	(	(	PUNCT
ejde-811	398	3	1−	1−	NUM
ejde-811	398	4	ε)a(nt̃	ε)a(nt̃	NOUN
ejde-811	398	5	)	)	PUNCT
ejde-811	398	6	,	,	PUNCT
ejde-811	398	7	by	by	ADP
ejde-811	398	8	(	(	PUNCT
ejde-811	398	9	5.17	5.17	NUM
ejde-811	398	10	)	)	PUNCT
ejde-811	398	11	we	we	PRON
ejde-811	398	12	obtain	obtain	VERB
ejde-811	398	13	γ	γ	X
ejde-811	398	14	=	=	SYM
ejde-811	398	15	∥a∗∥lr(zn	∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	398	16	0	0	NUM
ejde-811	398	17	)	)	PUNCT
ejde-811	398	18	≥	≥	NOUN
ejde-811	398	19	∥a∗	∥a∗	NUM
ejde-811	398	20	−	−	PROPN
ejde-811	398	21	(	(	PUNCT
ejde-811	398	22	1−	1−	NUM
ejde-811	398	23	ε)a(nt̃)∥lr(zn	ε)a(nt̃)∥lr(zn	PROPN
ejde-811	398	24	0	0	NUM
ejde-811	398	25	)	)	PUNCT
ejde-811	399	1	+	+	CCONJ
ejde-811	399	2	(	(	PUNCT
ejde-811	399	3	1−	1−	NUM
ejde-811	399	4	ε)∥a(nt̃)∥lr(zn	ε)∥a(nt̃)∥lr(zn	X
ejde-811	399	5	0	0	NUM
ejde-811	399	6	)	)	PUNCT
ejde-811	399	7	≥	≥	NOUN
ejde-811	399	8	(	(	PUNCT
ejde-811	399	9	1−	1−	NUM
ejde-811	399	10	ε)∥a(t̃)∥lr(zn	ε)∥a(t̃)∥lr(zn	PROPN
ejde-811	399	11	0,t̃	0,t̃	X
ejde-811	399	12	)	)	PUNCT
ejde-811	400	1	=	=	SYM
ejde-811	400	2	1−	1−	NUM
ejde-811	400	3	ε	ε	PROPN
ejde-811	400	4	.	.	PUNCT
ejde-811	401	1	(	(	PUNCT
ejde-811	401	2	5.31	5.31	NUM
ejde-811	401	3	)	)	PUNCT
ejde-811	401	4	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	401	5	discrete	discrete	VERB
ejde-811	401	6	stein	stein	PROPN
ejde-811	401	7	-	-	PUNCT
ejde-811	401	8	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	401	9	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	401	10	17	17	NUM
ejde-811	401	11	letting	let	VERB
ejde-811	401	12	ε	ε	PROPN
ejde-811	401	13	→	→	SYM
ejde-811	401	14	0	0	NUM
ejde-811	401	15	,	,	PUNCT
ejde-811	401	16	we	we	PRON
ejde-811	401	17	can	can	AUX
ejde-811	401	18	see	see	VERB
ejde-811	401	19	γ	γ	PROPN
ejde-811	401	20	≥	≥	PROPN
ejde-811	401	21	1	1	NUM
ejde-811	401	22	.	.	PUNCT
ejde-811	401	23	combining	combine	VERB
ejde-811	401	24	this	this	DET
ejde-811	401	25	result	result	NOUN
ejde-811	401	26	with	with	ADP
ejde-811	401	27	(	(	PUNCT
ejde-811	401	28	5.28	5.28	NUM
ejde-811	401	29	)	)	PUNCT
ejde-811	401	30	,	,	PUNCT
ejde-811	401	31	we	we	PRON
ejde-811	401	32	immediately	immediately	ADV
ejde-811	401	33	obtain	obtain	VERB
ejde-811	401	34	(	(	PUNCT
ejde-811	401	35	5.27	5.27	NUM
ejde-811	401	36	)	)	PUNCT
ejde-811	401	37	.	.	PUNCT
ejde-811	402	1	step	step	NOUN
ejde-811	402	2	4	4	NUM
ejde-811	402	3	.	.	PUNCT
ejde-811	403	1	complete	complete	VERB
ejde-811	403	2	the	the	DET
ejde-811	403	3	proof	proof	NOUN
ejde-811	403	4	.	.	PUNCT
ejde-811	404	1	multiply	multiply	VERB
ejde-811	404	2	both	both	DET
ejde-811	404	3	sides	side	NOUN
ejde-811	404	4	of	of	ADP
ejde-811	404	5	(	(	PUNCT
ejde-811	404	6	5.24	5.24	NUM
ejde-811	404	7	)	)	PUNCT
ejde-811	404	8	by	by	ADP
ejde-811	404	9	(	(	PUNCT
ejde-811	404	10	a∗i+i1	a∗i+i1	ADJ
ejde-811	404	11	)	)	PUNCT
ejde-811	404	12	r	r	NOUN
ejde-811	404	13	and	and	CCONJ
ejde-811	404	14	sum	sum	VERB
ejde-811	404	15	for	for	ADP
ejde-811	404	16	i	i	PROPN
ejde-811	404	17	∈	∈	PROPN
ejde-811	404	18	zn	zn	PROPN
ejde-811	404	19	0	0	NUM
ejde-811	404	20	.	.	PUNCT
ejde-811	405	1	then	then	ADV
ejde-811	405	2	applying	apply	VERB
ejde-811	405	3	(	(	PUNCT
ejde-811	405	4	5.27	5.27	NUM
ejde-811	405	5	)	)	PUNCT
ejde-811	405	6	and	and	CCONJ
ejde-811	405	7	(	(	PUNCT
ejde-811	405	8	5.26	5.26	NUM
ejde-811	405	9	)	)	PUNCT
ejde-811	405	10	,	,	PUNCT
ejde-811	405	11	we	we	PRON
ejde-811	405	12	derive	derive	VERB
ejde-811	405	13	that	that	SCONJ
ejde-811	405	14	q	q	NOUN
ejde-811	405	15	=	=	X
ejde-811	405	16	∑	∑	PUNCT
ejde-811	405	17	i	i	PROPN
ejde-811	405	18	,	,	PUNCT
ejde-811	405	19	j∈zn	j∈zn	PROPN
ejde-811	405	20	0	0	NUM
ejde-811	405	21	,	,	PUNCT
ejde-811	405	22	i̸=j	i̸=j	PROPN
ejde-811	405	23	a∗i+i1	a∗i+i1	ADP
ejde-811	405	24	b∗j+j2	b∗j+j2	VERB
ejde-811	405	25	|i|α|i−	|i|α|i−	NOUN
ejde-811	405	26	j|λ|j|β	j|λ|j|β	X
ejde-811	405	27	+	+	CCONJ
ejde-811	405	28	∑	∑	PUNCT
ejde-811	405	29	j∈zn	j∈zn	ADJ
ejde-811	405	30	0	0	NUM
ejde-811	405	31	a∗j+j1	a∗j+j1	NOUN
ejde-811	405	32	b∗j+j2	b∗j+j2	VERB
ejde-811	405	33	|j|α+β	|j|α+β	X
ejde-811	405	34	.	.	PUNCT
ejde-811	406	1	this	this	PRON
ejde-811	406	2	shows	show	VERB
ejde-811	406	3	that	that	SCONJ
ejde-811	406	4	q	q	NOUN
ejde-811	406	5	is	be	AUX
ejde-811	406	6	attainable	attainable	ADJ
ejde-811	406	7	and	and	CCONJ
ejde-811	406	8	(	(	PUNCT
ejde-811	406	9	ā∗	ā∗	PROPN
ejde-811	406	10	,	,	PUNCT
ejde-811	406	11	b̄∗	b̄∗	X
ejde-811	406	12	)	)	PUNCT
ejde-811	406	13	is	be	AUX
ejde-811	406	14	an	an	DET
ejde-811	406	15	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	406	16	sequence	sequence	NOUN
ejde-811	406	17	.	.	PUNCT
ejde-811	407	1	here	here	ADV
ejde-811	407	2	ā∗i	ā∗i	ADP
ejde-811	407	3	=	=	SYM
ejde-811	407	4	a∗i+i1	a∗i+i1	PROPN
ejde-811	407	5	and	and	CCONJ
ejde-811	407	6	b̄∗i	b̄∗i	PROPN
ejde-811	407	7	=	=	NOUN
ejde-811	407	8	b∗i+i2	b∗i+i2	PROPN
ejde-811	407	9	.	.	PUNCT
ejde-811	408	1	at	at	ADP
ejde-811	408	2	the	the	DET
ejde-811	408	3	same	same	ADJ
ejde-811	408	4	time	time	NOUN
ejde-811	408	5	,	,	PUNCT
ejde-811	408	6	noticing	notice	VERB
ejde-811	408	7	(	(	PUNCT
ejde-811	408	8	5.17	5.17	NUM
ejde-811	408	9	)	)	PUNCT
ejde-811	408	10	and	and	CCONJ
ejde-811	408	11	(	(	PUNCT
ejde-811	408	12	5.27	5.27	NUM
ejde-811	408	13	)	)	PUNCT
ejde-811	408	14	,	,	PUNCT
ejde-811	408	15	we	we	PRON
ejde-811	408	16	have	have	VERB
ejde-811	408	17	lim	lim	PROPN
ejde-811	408	18	n→∞	n→∞	PROPN
ejde-811	408	19	∥a(n)∥lr(zn	∥a(n)∥lr(zn	PROPN
ejde-811	408	20	0	0	NUM
ejde-811	408	21	)	)	PUNCT
ejde-811	409	1	=	=	SYM
ejde-811	409	2	∥a∗∥lr(zn	∥a∗∥lr(zn	PROPN
ejde-811	409	3	0	0	NUM
ejde-811	409	4	)	)	PUNCT
ejde-811	409	5	.	.	PUNCT
ejde-811	410	1	similarly	similarly	ADV
ejde-811	410	2	,	,	PUNCT
ejde-811	410	3	we	we	PRON
ejde-811	410	4	have	have	VERB
ejde-811	410	5	lim	lim	PROPN
ejde-811	410	6	n→∞	n→∞	PROPN
ejde-811	410	7	∥b(n)∥ls(zn	∥b(n)∥ls(zn	NOUN
ejde-811	410	8	0	0	NUM
ejde-811	410	9	)	)	PUNCT
ejde-811	411	1	=	=	PUNCT
ejde-811	411	2	∥b∗∥ls(zn	∥b∗∥ls(zn	PROPN
ejde-811	411	3	0	0	NUM
ejde-811	411	4	)	)	PUNCT
ejde-811	411	5	.	.	PUNCT
ejde-811	412	1	namely	namely	ADV
ejde-811	412	2	,	,	PUNCT
ejde-811	412	3	(	(	PUNCT
ejde-811	412	4	1.16	1.16	NUM
ejde-811	412	5	)	)	PUNCT
ejde-811	412	6	is	be	AUX
ejde-811	412	7	proved	prove	VERB
ejde-811	412	8	.	.	PUNCT
ejde-811	413	1	according	accord	VERB
ejde-811	413	2	to	to	ADP
ejde-811	413	3	(	(	PUNCT
ejde-811	413	4	5.31	5.31	NUM
ejde-811	413	5	)	)	PUNCT
ejde-811	413	6	and	and	CCONJ
ejde-811	413	7	(	(	PUNCT
ejde-811	413	8	1.16	1.16	NUM
ejde-811	413	9	)	)	PUNCT
ejde-811	413	10	,	,	PUNCT
ejde-811	413	11	we	we	PRON
ejde-811	413	12	obtain	obtain	VERB
ejde-811	413	13	(	(	PUNCT
ejde-811	413	14	1.17	1.17	NUM
ejde-811	413	15	)	)	PUNCT
ejde-811	413	16	.	.	PUNCT
ejde-811	414	1	this	this	PRON
ejde-811	414	2	completes	complete	VERB
ejde-811	414	3	the	the	DET
ejde-811	414	4	proof	proof	NOUN
ejde-811	414	5	of	of	ADP
ejde-811	414	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-811	414	7	1.10	1.10	NUM
ejde-811	414	8	.	.	PUNCT
ejde-811	415	1	□	□	PUNCT
ejde-811	415	2	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-811	415	3	.	.	PUNCT
ejde-811	416	1	this	this	DET
ejde-811	416	2	research	research	NOUN
ejde-811	416	3	was	be	AUX
ejde-811	416	4	supported	support	VERB
ejde-811	416	5	by	by	ADP
ejde-811	416	6	the	the	DET
ejde-811	416	7	postgraduate	postgraduate	PROPN
ejde-811	416	8	research	research	PROPN
ejde-811	416	9	&	&	CCONJ
ejde-811	416	10	practice	practice	PROPN
ejde-811	416	11	innovation	innovation	NOUN
ejde-811	416	12	program	program	NOUN
ejde-811	416	13	of	of	ADP
ejde-811	416	14	jiangsu	jiangsu	PROPN
ejde-811	416	15	province	province	PROPN
ejde-811	416	16	(	(	PUNCT
ejde-811	416	17	no	no	INTJ
ejde-811	416	18	.	.	PUNCT
ejde-811	416	19	kycx24	kycx24	PROPN
ejde-811	416	20	1791	1791	NUM
ejde-811	416	21	)	)	PUNCT
ejde-811	416	22	.	.	PUNCT
ejde-811	417	1	references	reference	NOUN
ejde-811	417	2	[	[	X
ejde-811	417	3	1	1	NUM
ejde-811	417	4	]	]	X
ejde-811	417	5	w.	w.	PROPN
ejde-811	417	6	beckner	beckner	PROPN
ejde-811	417	7	;	;	PUNCT
ejde-811	417	8	functionals	functional	NOUN
ejde-811	417	9	for	for	ADP
ejde-811	417	10	multilinear	multilinear	ADJ
ejde-811	417	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-811	417	12	embedding	embedding	NOUN
ejde-811	417	13	,	,	PUNCT
ejde-811	417	14	acta	acta	PROPN
ejde-811	417	15	math	math	PROPN
ejde-811	417	16	.	.	PUNCT
ejde-811	418	1	sin	sin	NOUN
ejde-811	418	2	.	.	PUNCT
ejde-811	419	1	(	(	PUNCT
ejde-811	419	2	engl	engl	PROPN
ejde-811	419	3	.	.	PUNCT
ejde-811	419	4	ser	ser	PROPN
ejde-811	419	5	.	.	PUNCT
ejde-811	419	6	)	)	PUNCT
ejde-811	419	7	,	,	PUNCT
ejde-811	419	8	31	31	NUM
ejde-811	419	9	(	(	PUNCT
ejde-811	419	10	2015	2015	NUM
ejde-811	419	11	)	)	PUNCT
ejde-811	419	12	,	,	PUNCT
ejde-811	419	13	1–28	1–28	NOUN
ejde-811	419	14	.	.	PUNCT
ejde-811	420	1	[	[	X
ejde-811	420	2	2	2	X
ejde-811	420	3	]	]	PUNCT
ejde-811	420	4	l.	l.	PROPN
ejde-811	420	5	chen	chen	PROPN
ejde-811	420	6	,	,	PUNCT
ejde-811	420	7	z.	z.	PROPN
ejde-811	420	8	liu	liu	PROPN
ejde-811	420	9	,	,	PUNCT
ejde-811	420	10	g.	g.	PROPN
ejde-811	420	11	lu	lu	PROPN
ejde-811	420	12	,	,	PUNCT
ejde-811	420	13	c.	c.	PROPN
ejde-811	420	14	tao	tao	PROPN
ejde-811	420	15	;	;	PUNCT
ejde-811	420	16	reverse	reverse	VERB
ejde-811	420	17	stein	stein	PROPN
ejde-811	420	18	-	-	PUNCT
ejde-811	420	19	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	420	20	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	420	21	and	and	CCONJ
ejde-811	420	22	existence	existence	NOUN
ejde-811	420	23	of	of	ADP
ejde-811	420	24	their	their	PRON
ejde-811	420	25	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	420	26	functions	function	NOUN
ejde-811	420	27	,	,	PUNCT
ejde-811	420	28	trans	trans	PROPN
ejde-811	420	29	.	.	PROPN
ejde-811	421	1	amer	amer	PROPN
ejde-811	421	2	.	.	PUNCT
ejde-811	421	3	math	math	PROPN
ejde-811	421	4	.	.	PUNCT
ejde-811	422	1	soc	soc	PROPN
ejde-811	422	2	.	.	PUNCT
ejde-811	422	3	,	,	PUNCT
ejde-811	422	4	370	370	NUM
ejde-811	422	5	(	(	PUNCT
ejde-811	422	6	2018	2018	NUM
ejde-811	422	7	)	)	PUNCT
ejde-811	422	8	,	,	PUNCT
ejde-811	422	9	8429–8450	8429–8450	NUM
ejde-811	422	10	.	.	PUNCT
ejde-811	423	1	[	[	X
ejde-811	423	2	3	3	NUM
ejde-811	423	3	]	]	PUNCT
ejde-811	423	4	x.	x.	NOUN
ejde-811	423	5	chen	chen	PROPN
ejde-811	423	6	,	,	PUNCT
ejde-811	423	7	x.	x.	PROPN
ejde-811	423	8	zheng	zheng	PROPN
ejde-811	423	9	;	;	PUNCT
ejde-811	423	10	optimal	optimal	ADJ
ejde-811	423	11	summation	summation	NOUN
ejde-811	423	12	interval	interval	NOUN
ejde-811	423	13	and	and	CCONJ
ejde-811	423	14	nonexistence	nonexistence	NOUN
ejde-811	423	15	of	of	ADP
ejde-811	423	16	positive	positive	ADJ
ejde-811	423	17	solutions	solution	NOUN
ejde-811	423	18	to	to	ADP
ejde-811	423	19	a	a	DET
ejde-811	423	20	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	423	21	system	system	NOUN
ejde-811	423	22	,	,	PUNCT
ejde-811	423	23	acta	acta	PROPN
ejde-811	423	24	math	math	PROPN
ejde-811	423	25	.	.	PUNCT
ejde-811	424	1	scientia	scientia	PROPN
ejde-811	424	2	,	,	PUNCT
ejde-811	424	3	34(b	34(b	NUM
ejde-811	424	4	)	)	PUNCT
ejde-811	424	5	(	(	PUNCT
ejde-811	424	6	2014	2014	NUM
ejde-811	424	7	)	)	PUNCT
ejde-811	424	8	,	,	PUNCT
ejde-811	424	9	1720–1730	1720–1730	NUM
ejde-811	424	10	.	.	PUNCT
ejde-811	425	1	[	[	X
ejde-811	425	2	4	4	X
ejde-811	425	3	]	]	PUNCT
ejde-811	425	4	z.	z.	PROPN
ejde-811	425	5	cheng	cheng	PROPN
ejde-811	425	6	,	,	PUNCT
ejde-811	425	7	c.	c.	PROPN
ejde-811	425	8	li	li	PROPN
ejde-811	425	9	;	;	PUNCT
ejde-811	425	10	an	an	DET
ejde-811	425	11	extended	extend	VERB
ejde-811	425	12	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	425	13	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	425	14	-	-	PUNCT
ejde-811	425	15	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	425	16	-	-	PUNCT
ejde-811	425	17	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	425	18	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	425	19	,	,	PUNCT
ejde-811	425	20	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	425	21	contin	contin	NOUN
ejde-811	425	22	.	.	PUNCT
ejde-811	425	23	dyn	dyn	NOUN
ejde-811	425	24	.	.	PUNCT
ejde-811	426	1	syst	syst	PROPN
ejde-811	426	2	.	.	PUNCT
ejde-811	427	1	34	34	NUM
ejde-811	427	2	(	(	PUNCT
ejde-811	427	3	2014	2014	NUM
ejde-811	427	4	)	)	PUNCT
ejde-811	427	5	,	,	PUNCT
ejde-811	427	6	1951–1959	1951–1959	NUM
ejde-811	427	7	.	.	PUNCT
ejde-811	428	1	[	[	X
ejde-811	428	2	5	5	X
ejde-811	428	3	]	]	PUNCT
ejde-811	428	4	j.	j.	PROPN
ejde-811	428	5	dou	dou	PROPN
ejde-811	428	6	,	,	PUNCT
ejde-811	428	7	m.	m.	NOUN
ejde-811	428	8	zhu	zhu	PROPN
ejde-811	428	9	;	;	PUNCT
ejde-811	428	10	reversed	reverse	VERB
ejde-811	428	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	428	12	-	-	PUNCT
ejde-811	428	13	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	428	14	-	-	PUNCT
ejde-811	428	15	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	428	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	428	17	,	,	PUNCT
ejde-811	428	18	internat	internat	PROPN
ejde-811	428	19	.	.	PUNCT
ejde-811	429	1	math	math	NOUN
ejde-811	429	2	.	.	PUNCT
ejde-811	430	1	res	re	NOUN
ejde-811	430	2	.	.	PUNCT
ejde-811	431	1	notices	notice	NOUN
ejde-811	431	2	,	,	PUNCT
ejde-811	431	3	(	(	PUNCT
ejde-811	431	4	2015	2015	NUM
ejde-811	431	5	)	)	PUNCT
ejde-811	431	6	,	,	PUNCT
ejde-811	431	7	no.19	no.19	NOUN
ejde-811	431	8	,	,	PUNCT
ejde-811	431	9	9696–9726	9696–9726	NOUN
ejde-811	431	10	.	.	PUNCT
ejde-811	432	1	[	[	X
ejde-811	432	2	6	6	NUM
ejde-811	432	3	]	]	PUNCT
ejde-811	432	4	h.	h.	PROPN
ejde-811	432	5	han	han	PROPN
ejde-811	432	6	,	,	PUNCT
ejde-811	432	7	y.	y.	PROPN
ejde-811	432	8	lei	lei	PROPN
ejde-811	432	9	;	;	PUNCT
ejde-811	432	10	reversed	reverse	VERB
ejde-811	432	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	432	12	-	-	PUNCT
ejde-811	432	13	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	432	14	-	-	PUNCT
ejde-811	432	15	pólya	pólya	ADJ
ejde-811	432	16	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	432	17	with	with	ADP
ejde-811	432	18	finite	finite	ADJ
ejde-811	432	19	terms	term	NOUN
ejde-811	432	20	,	,	PUNCT
ejde-811	432	21	bull	bull	NOUN
ejde-811	432	22	.	.	PUNCT
ejde-811	433	1	aust	aust	PROPN
ejde-811	433	2	.	.	PUNCT
ejde-811	433	3	math	math	PROPN
ejde-811	433	4	.	.	PUNCT
ejde-811	434	1	soc	soc	PROPN
ejde-811	434	2	.	.	PUNCT
ejde-811	434	3	,	,	PUNCT
ejde-811	434	4	108	108	NUM
ejde-811	434	5	(	(	PUNCT
ejde-811	434	6	2023	2023	NUM
ejde-811	434	7	)	)	PUNCT
ejde-811	434	8	,	,	PUNCT
ejde-811	434	9	459–463	459–463	NUM
ejde-811	434	10	.	.	PUNCT
ejde-811	435	1	[	[	X
ejde-811	435	2	7	7	X
ejde-811	435	3	]	]	X
ejde-811	435	4	g.	g.	PROPN
ejde-811	435	5	h.	h.	PROPN
ejde-811	435	6	hardy	hardy	PROPN
ejde-811	435	7	,	,	PUNCT
ejde-811	435	8	j.	j.	PROPN
ejde-811	435	9	e.	e.	PROPN
ejde-811	435	10	littlewood	littlewood	PROPN
ejde-811	435	11	,	,	PUNCT
ejde-811	435	12	g.	g.	PROPN
ejde-811	435	13	pólya	pólya	PROPN
ejde-811	435	14	;	;	PUNCT
ejde-811	435	15	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	435	16	,	,	PUNCT
ejde-811	435	17	vol	vol	NOUN
ejde-811	435	18	.	.	PROPN
ejde-811	435	19	2	2	NUM
ejde-811	435	20	,	,	PUNCT
ejde-811	435	21	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-811	435	22	university	university	PROPN
ejde-811	435	23	press	press	NOUN
ejde-811	435	24	,	,	PUNCT
ejde-811	435	25	1952	1952	NUM
ejde-811	435	26	.	.	PUNCT
ejde-811	436	1	[	[	X
ejde-811	436	2	8	8	NUM
ejde-811	436	3	]	]	X
ejde-811	436	4	g.	g.	PROPN
ejde-811	436	5	huang	huang	PROPN
ejde-811	436	6	,	,	PUNCT
ejde-811	436	7	c.	c.	PROPN
ejde-811	436	8	li	li	PROPN
ejde-811	436	9	,	,	PUNCT
ejde-811	436	10	x.	x.	PROPN
ejde-811	436	11	yin	yin	PROPN
ejde-811	436	12	;	;	PUNCT
ejde-811	436	13	existence	existence	NOUN
ejde-811	436	14	of	of	ADP
ejde-811	436	15	the	the	DET
ejde-811	436	16	maximizing	maximize	VERB
ejde-811	436	17	pair	pair	NOUN
ejde-811	436	18	for	for	ADP
ejde-811	436	19	the	the	DET
ejde-811	436	20	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	436	21	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	436	22	-	-	PUNCT
ejde-811	436	23	littlewoodsobolev	littlewoodsobolev	ADJ
ejde-811	436	24	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	436	25	,	,	PUNCT
ejde-811	436	26	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	436	27	contin	contin	NOUN
ejde-811	436	28	.	.	PUNCT
ejde-811	437	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-811	437	2	.	.	PUNCT
ejde-811	438	1	syst	syst	PROPN
ejde-811	438	2	.	.	PUNCT
ejde-811	439	1	35	35	NUM
ejde-811	439	2	(	(	PUNCT
ejde-811	439	3	2015	2015	NUM
ejde-811	439	4	)	)	PUNCT
ejde-811	439	5	,	,	PUNCT
ejde-811	439	6	935–942	935–942	NUM
ejde-811	439	7	.	.	PUNCT
ejde-811	440	1	[	[	X
ejde-811	440	2	9	9	NUM
ejde-811	440	3	]	]	X
ejde-811	440	4	y.	y.	PROPN
ejde-811	440	5	lei	lei	PROPN
ejde-811	440	6	;	;	PUNCT
ejde-811	440	7	on	on	ADP
ejde-811	440	8	the	the	DET
ejde-811	440	9	integral	integral	ADJ
ejde-811	440	10	systems	system	NOUN
ejde-811	440	11	with	with	ADP
ejde-811	440	12	negative	negative	ADJ
ejde-811	440	13	exponents	exponent	NOUN
ejde-811	440	14	,	,	PUNCT
ejde-811	440	15	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	440	16	contin	contin	NOUN
ejde-811	440	17	.	.	PUNCT
ejde-811	441	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-811	441	2	.	.	PUNCT
ejde-811	442	1	syst	syst	PROPN
ejde-811	442	2	.	.	PROPN
ejde-811	442	3	,	,	PUNCT
ejde-811	442	4	35	35	NUM
ejde-811	442	5	(	(	PUNCT
ejde-811	442	6	2015	2015	NUM
ejde-811	442	7	)	)	PUNCT
ejde-811	442	8	,	,	PUNCT
ejde-811	442	9	1039–1057	1039–1057	NUM
ejde-811	442	10	.	.	PUNCT
ejde-811	443	1	[	[	X
ejde-811	443	2	10	10	NUM
ejde-811	443	3	]	]	X
ejde-811	443	4	y.	y.	PROPN
ejde-811	443	5	lei	lei	PROPN
ejde-811	443	6	,	,	PUNCT
ejde-811	443	7	y.	y.	PROPN
ejde-811	443	8	li	li	PROPN
ejde-811	443	9	,	,	PUNCT
ejde-811	443	10	t.	t.	PROPN
ejde-811	443	11	tang	tang	PROPN
ejde-811	443	12	;	;	PUNCT
ejde-811	443	13	critical	critical	ADJ
ejde-811	443	14	conditions	condition	NOUN
ejde-811	443	15	and	and	CCONJ
ejde-811	443	16	asymptotics	asymptotic	NOUN
ejde-811	443	17	for	for	ADP
ejde-811	443	18	discrete	discrete	ADJ
ejde-811	443	19	systems	system	NOUN
ejde-811	443	20	of	of	ADP
ejde-811	443	21	the	the	DET
ejde-811	443	22	hardylittlewood	hardylittlewood	NOUN
ejde-811	443	23	-	-	PUNCT
ejde-811	443	24	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	443	25	type	type	NOUN
ejde-811	443	26	,	,	PUNCT
ejde-811	443	27	tohoku	tohoku	PROPN
ejde-811	443	28	math	math	PROPN
ejde-811	443	29	.	.	PUNCT
ejde-811	444	1	j.	j.	PROPN
ejde-811	444	2	75	75	NUM
ejde-811	444	3	(	(	PUNCT
ejde-811	444	4	2023	2023	NUM
ejde-811	444	5	)	)	PUNCT
ejde-811	444	6	,	,	PUNCT
ejde-811	444	7	305–328	305–328	NUM
ejde-811	444	8	.	.	PUNCT
ejde-811	445	1	[	[	X
ejde-811	445	2	11	11	NUM
ejde-811	445	3	]	]	X
ejde-811	445	4	c.	c.	PROPN
ejde-811	445	5	li	li	PROPN
ejde-811	445	6	,	,	PUNCT
ejde-811	445	7	j.	j.	PROPN
ejde-811	445	8	villavert	villavert	PROPN
ejde-811	445	9	;	;	PUNCT
ejde-811	445	10	an	an	DET
ejde-811	445	11	extension	extension	NOUN
ejde-811	445	12	of	of	ADP
ejde-811	445	13	the	the	DET
ejde-811	445	14	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	445	15	-	-	PUNCT
ejde-811	445	16	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	445	17	-	-	PUNCT
ejde-811	445	18	polya	polya	NOUN
ejde-811	445	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	445	20	,	,	PUNCT
ejde-811	445	21	acta	acta	PROPN
ejde-811	445	22	math	math	PROPN
ejde-811	445	23	.	.	PUNCT
ejde-811	445	24	scientia	scientia	PROPN
ejde-811	445	25	31(b	31(b	NUM
ejde-811	445	26	)	)	PUNCT
ejde-811	445	27	(	(	PUNCT
ejde-811	445	28	2011	2011	NUM
ejde-811	445	29	)	)	PUNCT
ejde-811	445	30	,	,	PUNCT
ejde-811	445	31	2285–2288	2285–2288	NUM
ejde-811	445	32	.	.	PUNCT
ejde-811	446	1	[	[	X
ejde-811	446	2	12	12	NUM
ejde-811	446	3	]	]	X
ejde-811	446	4	e.	e.	PROPN
ejde-811	446	5	lieb	lieb	PROPN
ejde-811	446	6	;	;	PUNCT
ejde-811	446	7	sharp	sharp	ADJ
ejde-811	446	8	constants	constant	NOUN
ejde-811	446	9	in	in	ADP
ejde-811	446	10	the	the	DET
ejde-811	446	11	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	446	12	-	-	PUNCT
ejde-811	446	13	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	446	14	-	-	PUNCT
ejde-811	446	15	sobolev	sobolev	PROPN
ejde-811	446	16	and	and	CCONJ
ejde-811	446	17	related	related	ADJ
ejde-811	446	18	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	446	19	,	,	PUNCT
ejde-811	446	20	ann	ann	PROPN
ejde-811	446	21	.	.	PROPN
ejde-811	446	22	of	of	ADP
ejde-811	446	23	math	math	NOUN
ejde-811	446	24	.	.	PUNCT
ejde-811	447	1	118	118	NUM
ejde-811	447	2	(	(	PUNCT
ejde-811	447	3	1983	1983	NUM
ejde-811	447	4	)	)	PUNCT
ejde-811	447	5	,	,	PUNCT
ejde-811	447	6	349–374	349–374	NUM
ejde-811	447	7	.	.	PUNCT
ejde-811	448	1	[	[	X
ejde-811	448	2	13	13	NUM
ejde-811	448	3	]	]	X
ejde-811	448	4	q.	q.	PROPN
ejde-811	448	5	ngo	ngo	PROPN
ejde-811	448	6	,	,	PUNCT
ejde-811	448	7	v.	v.	ADP
ejde-811	448	8	nguyen	nguyen	NOUN
ejde-811	448	9	;	;	PUNCT
ejde-811	448	10	sharp	sharp	ADJ
ejde-811	448	11	reversed	reverse	VERB
ejde-811	448	12	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	448	13	-	-	PUNCT
ejde-811	448	14	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	448	15	-	-	PUNCT
ejde-811	448	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	448	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	448	18	on	on	ADP
ejde-811	448	19	rn	rn	PROPN
ejde-811	448	20	,	,	PUNCT
ejde-811	448	21	israel	israel	PROPN
ejde-811	448	22	j.	j.	PROPN
ejde-811	448	23	math	math	PROPN
ejde-811	448	24	.	.	PROPN
ejde-811	449	1	,	,	PUNCT
ejde-811	449	2	220	220	NUM
ejde-811	449	3	(	(	PUNCT
ejde-811	449	4	2017	2017	NUM
ejde-811	449	5	)	)	PUNCT
ejde-811	449	6	,	,	PUNCT
ejde-811	449	7	1–35	1–35	PROPN
ejde-811	449	8	.	.	PUNCT
ejde-811	450	1	[	[	X
ejde-811	450	2	14	14	NUM
ejde-811	450	3	]	]	X
ejde-811	450	4	e.	e.	PROPN
ejde-811	450	5	m.	m.	PROPN
ejde-811	450	6	stein	stein	PROPN
ejde-811	450	7	;	;	PUNCT
ejde-811	450	8	singular	singular	PROPN
ejde-811	450	9	integrals	integral	NOUN
ejde-811	450	10	and	and	CCONJ
ejde-811	450	11	differentiability	differentiability	NOUN
ejde-811	450	12	properties	property	NOUN
ejde-811	450	13	of	of	ADP
ejde-811	450	14	functions	function	NOUN
ejde-811	450	15	,	,	PUNCT
ejde-811	450	16	princetion	princetion	NOUN
ejde-811	450	17	math	math	NOUN
ejde-811	450	18	.	.	PUNCT
ejde-811	451	1	series	series	NOUN
ejde-811	451	2	,	,	PUNCT
ejde-811	451	3	vol	vol	NOUN
ejde-811	451	4	.	.	PROPN
ejde-811	451	5	30	30	NUM
ejde-811	451	6	,	,	PUNCT
ejde-811	451	7	princetion	princetion	NOUN
ejde-811	451	8	university	university	NOUN
ejde-811	451	9	press	press	NOUN
ejde-811	451	10	,	,	PUNCT
ejde-811	451	11	princetion	princetion	NOUN
ejde-811	451	12	,	,	PUNCT
ejde-811	451	13	nj	nj	PROPN
ejde-811	451	14	,	,	PUNCT
ejde-811	451	15	1970	1970	NUM
ejde-811	451	16	.	.	PUNCT
ejde-811	452	1	[	[	X
ejde-811	452	2	15	15	NUM
ejde-811	452	3	]	]	X
ejde-811	452	4	e.	e.	PROPN
ejde-811	452	5	m.	m.	PROPN
ejde-811	452	6	stein	stein	PROPN
ejde-811	452	7	,	,	PUNCT
ejde-811	452	8	g.	g.	PROPN
ejde-811	452	9	weiss	weiss	PROPN
ejde-811	452	10	;	;	PUNCT
ejde-811	452	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-811	452	12	integrals	integral	NOUN
ejde-811	452	13	in	in	ADP
ejde-811	452	14	n	n	ADV
ejde-811	452	15	-	-	PUNCT
ejde-811	452	16	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-811	452	17	euclidean	euclidean	ADJ
ejde-811	452	18	space	space	NOUN
ejde-811	452	19	,	,	PUNCT
ejde-811	452	20	j.	j.	PROPN
ejde-811	452	21	math	math	PROPN
ejde-811	452	22	.	.	PUNCT
ejde-811	453	1	mech	mech	PROPN
ejde-811	453	2	.	.	PROPN
ejde-811	453	3	,	,	PUNCT
ejde-811	453	4	7	7	NUM
ejde-811	453	5	(	(	PUNCT
ejde-811	453	6	1958	1958	NUM
ejde-811	453	7	)	)	PUNCT
ejde-811	453	8	,	,	PUNCT
ejde-811	453	9	503–514	503–514	NUM
ejde-811	453	10	.	.	PUNCT
ejde-811	454	1	[	[	X
ejde-811	454	2	16	16	NUM
ejde-811	454	3	]	]	PUNCT
ejde-811	454	4	j.	j.	PROPN
ejde-811	454	5	xu	xu	PROPN
ejde-811	454	6	,	,	PUNCT
ejde-811	454	7	z.	z.	PROPN
ejde-811	454	8	cheng	cheng	PROPN
ejde-811	454	9	,	,	PUNCT
ejde-811	454	10	y.	y.	PROPN
ejde-811	454	11	fang	fang	PROPN
ejde-811	454	12	;	;	PUNCT
ejde-811	454	13	an	an	DET
ejde-811	454	14	extension	extension	NOUN
ejde-811	454	15	of	of	ADP
ejde-811	454	16	discrete	discrete	NOUN
ejde-811	454	17	weighted	weight	VERB
ejde-811	454	18	hardy	hardy	ADJ
ejde-811	454	19	-	-	PUNCT
ejde-811	454	20	littlewood	littlewood	NOUN
ejde-811	454	21	-	-	PUNCT
ejde-811	454	22	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-811	454	23	inequality	inequality	NOUN
ejde-811	454	24	in	in	ADP
ejde-811	454	25	space	space	NOUN
ejde-811	454	26	dimension	dimension	NOUN
ejde-811	454	27	one	one	NUM
ejde-811	454	28	,	,	PUNCT
ejde-811	454	29	sci	sci	PROPN
ejde-811	454	30	.	.	PROPN
ejde-811	454	31	sin	sin	PROPN
ejde-811	454	32	.	.	PUNCT
ejde-811	455	1	math	math	NOUN
ejde-811	455	2	.	.	PUNCT
ejde-811	456	1	,	,	PUNCT
ejde-811	456	2	45	45	NUM
ejde-811	456	3	(	(	PUNCT
ejde-811	456	4	2015	2015	NUM
ejde-811	456	5	)	)	PUNCT
ejde-811	456	6	,	,	PUNCT
ejde-811	456	7	129–140	129–140	NUM
ejde-811	456	8	.	.	NOUN
ejde-811	456	9	18	18	NUM
ejde-811	456	10	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	456	11	li	li	PROPN
ejde-811	456	12	,	,	PUNCT
ejde-811	456	13	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	456	14	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	456	15	ejde-2025/28	ejde-2025/28	PROPN
ejde-811	456	16	chunhong	chunhong	PROPN
ejde-811	456	17	li	li	PROPN
ejde-811	456	18	college	college	PROPN
ejde-811	456	19	of	of	ADP
ejde-811	456	20	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-811	456	21	and	and	CCONJ
ejde-811	456	22	computer	computer	NOUN
ejde-811	456	23	science	science	NOUN
ejde-811	456	24	,	,	PUNCT
ejde-811	456	25	guangxi	guangxi	PROPN
ejde-811	456	26	science	science	PROPN
ejde-811	456	27	and	and	CCONJ
ejde-811	456	28	technology	technology	NOUN
ejde-811	456	29	normal	normal	ADJ
ejde-811	456	30	university	university	NOUN
ejde-811	456	31	,	,	PUNCT
ejde-811	456	32	laibin	laibin	PROPN
ejde-811	456	33	,	,	PUNCT
ejde-811	456	34	546100	546100	NUM
ejde-811	456	35	,	,	PUNCT
ejde-811	456	36	guangxi	guangxi	PROPN
ejde-811	456	37	,	,	PUNCT
ejde-811	456	38	china	china	PROPN
ejde-811	456	39	email	email	NOUN
ejde-811	456	40	address	address	NOUN
ejde-811	456	41	:	:	PUNCT
ejde-811	456	42	lichunhong@gxstnu.edu.cn	lichunhong@gxstnu.edu.cn	PROPN
ejde-811	456	43	tiantian	tiantian	PROPN
ejde-811	456	44	zhou	zhou	PROPN
ejde-811	456	45	institute	institute	PROPN
ejde-811	456	46	of	of	ADP
ejde-811	456	47	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-811	456	48	,	,	PUNCT
ejde-811	456	49	school	school	NOUN
ejde-811	456	50	of	of	ADP
ejde-811	456	51	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-811	456	52	sciences	sciences	PROPN
ejde-811	456	53	,	,	PUNCT
ejde-811	456	54	nanjing	nanjing	PROPN
ejde-811	456	55	normal	normal	ADJ
ejde-811	456	56	university	university	PROPN
ejde-811	456	57	,	,	PUNCT
ejde-811	456	58	nanjing	nanjing	PROPN
ejde-811	456	59	210023	210023	NUM
ejde-811	456	60	,	,	PUNCT
ejde-811	456	61	china	china	PROPN
ejde-811	456	62	email	email	NOUN
ejde-811	456	63	address	address	NOUN
ejde-811	456	64	:	:	PUNCT
ejde-811	457	1	zhoutiantiannj@163.com	zhoutiantiannj@163.com	X
ejde-811	457	2	1	1	X
ejde-811	457	3	.	.	PUNCT
ejde-811	457	4	introduction	introduction	NOUN
ejde-811	457	5	2	2	NUM
ejde-811	457	6	.	.	PUNCT
ejde-811	457	7	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	457	8	with	with	ADP
ejde-811	457	9	infinite	infinite	ADJ
ejde-811	457	10	terms	term	NOUN
ejde-811	457	11	3	3	NUM
ejde-811	457	12	.	.	PUNCT
ejde-811	457	13	inequalities	inequality	NOUN
ejde-811	457	14	with	with	ADP
ejde-811	457	15	finite	finite	ADJ
ejde-811	457	16	terms	term	NOUN
ejde-811	457	17	4	4	NUM
ejde-811	457	18	.	.	X
ejde-811	457	19	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	457	20	of	of	ADP
ejde-811	457	21	the	the	DET
ejde-811	457	22	best	good	ADJ
ejde-811	457	23	constants	constant	NOUN
ejde-811	457	24	5	5	NUM
ejde-811	457	25	.	.	PUNCT
ejde-811	457	26	convergence	convergence	NOUN
ejde-811	457	27	of	of	ADP
ejde-811	457	28	the	the	DET
ejde-811	457	29	extremal	extremal	ADJ
ejde-811	457	30	sequences	sequence	NOUN
ejde-811	457	31	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-811	457	32	references	reference	NOUN