id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-816	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-816	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-816	1	3	of	of	ADP
ejde-816	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-816	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-816	1	6	,	,	PUNCT
ejde-816	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-816	1	8	.	.	NOUN
ejde-816	1	9	2024	2024	NUM
ejde-816	1	10	(	(	PUNCT
ejde-816	1	11	2024	2024	NUM
ejde-816	1	12	)	)	PUNCT
ejde-816	1	13	,	,	PUNCT
ejde-816	1	14	no	no	INTJ
ejde-816	1	15	.	.	NOUN
ejde-816	1	16	83	83	NUM
ejde-816	1	17	,	,	PUNCT
ejde-816	1	18	pp	pp	PROPN
ejde-816	1	19	.	.	PUNCT
ejde-816	2	1	1–23	1–23	PROPN
ejde-816	2	2	.	.	PUNCT
ejde-816	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-816	3	2	:	:	PUNCT
ejde-816	3	3	1072	1072	NUM
ejde-816	3	4	-	-	SYM
ejde-816	3	5	6691	6691	NUM
ejde-816	3	6	.	.	PUNCT
ejde-816	4	1	url	url	PROPN
ejde-816	4	2	:	:	PUNCT
ejde-816	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-816	4	4	,	,	PUNCT
ejde-816	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-816	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-816	4	7	:	:	PUNCT
ejde-816	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-816	4	9	/	/	SYM
ejde-816	4	10	ejde.2024.83	ejde.2024.83	ADJ
ejde-816	4	11	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	4	12	solutions	solution	NOUN
ejde-816	4	13	for	for	ADP
ejde-816	4	14	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	4	15	type	type	NOUN
ejde-816	4	16	problems	problem	NOUN
ejde-816	4	17	with	with	ADP
ejde-816	4	18	extended	extended	ADJ
ejde-816	4	19	robin	robin	PROPN
ejde-816	4	20	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	4	21	conditions	condition	NOUN
ejde-816	4	22	houssam	houssam	NOUN
ejde-816	4	23	baladi	baladi	NOUN
ejde-816	4	24	,	,	PUNCT
ejde-816	4	25	abdellatif	abdellatif	NOUN
ejde-816	4	26	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	4	27	,	,	PUNCT
ejde-816	4	28	mohammed	mohammed	PROPN
ejde-816	4	29	filali	filali	PROPN
ejde-816	4	30	,	,	PUNCT
ejde-816	4	31	najib	najib	PROPN
ejde-816	4	32	tsouli	tsouli	NOUN
ejde-816	4	33	abstract	abstract	ADV
ejde-816	4	34	.	.	PUNCT
ejde-816	5	1	this	this	DET
ejde-816	5	2	article	article	NOUN
ejde-816	5	3	considers	consider	VERB
ejde-816	5	4	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	5	5	type	type	NOUN
ejde-816	5	6	problems	problem	NOUN
ejde-816	5	7	with	with	ADP
ejde-816	5	8	extended	extended	ADJ
ejde-816	5	9	robin	robin	PROPN
ejde-816	5	10	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	5	11	conditions	condition	NOUN
ejde-816	5	12	.	.	PUNCT
ejde-816	6	1	using	use	VERB
ejde-816	6	2	the	the	DET
ejde-816	6	3	mountain	mountain	NOUN
ejde-816	6	4	pass	pass	NOUN
ejde-816	6	5	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	6	6	,	,	PUNCT
ejde-816	6	7	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	6	8	’s	’s	ADV
ejde-816	6	9	variational	variational	ADJ
ejde-816	6	10	principle	principle	NOUN
ejde-816	6	11	,	,	PUNCT
ejde-816	6	12	and	and	CCONJ
ejde-816	6	13	krasnoselskii	krasnoselskii	PROPN
ejde-816	6	14	’s	’s	PART
ejde-816	6	15	genus	genus	PROPN
ejde-816	6	16	theory	theory	NOUN
ejde-816	6	17	,	,	PUNCT
ejde-816	6	18	we	we	PRON
ejde-816	6	19	prove	prove	VERB
ejde-816	6	20	the	the	DET
ejde-816	6	21	existence	existence	NOUN
ejde-816	6	22	at	at	ADP
ejde-816	6	23	least	least	ADV
ejde-816	6	24	two	two	NUM
ejde-816	6	25	,	,	PUNCT
ejde-816	6	26	and	and	CCONJ
ejde-816	6	27	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	6	28	many	many	ADJ
ejde-816	6	29	non	non	ADJ
ejde-816	6	30	-	-	ADJ
ejde-816	6	31	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	6	32	weak	weak	ADJ
ejde-816	6	33	solutions	solution	NOUN
ejde-816	6	34	under	under	ADP
ejde-816	6	35	some	some	DET
ejde-816	6	36	suitable	suitable	ADJ
ejde-816	6	37	conditions	condition	NOUN
ejde-816	6	38	on	on	ADP
ejde-816	6	39	the	the	DET
ejde-816	6	40	non	non	NOUN
ejde-816	6	41	-	-	NOUN
ejde-816	6	42	linearities	linearity	NOUN
ejde-816	6	43	.	.	PUNCT
ejde-816	7	1	the	the	DET
ejde-816	7	2	main	main	ADJ
ejde-816	7	3	results	result	NOUN
ejde-816	7	4	improve	improve	VERB
ejde-816	7	5	and	and	CCONJ
ejde-816	7	6	generalize	generalize	VERB
ejde-816	7	7	the	the	DET
ejde-816	7	8	results	result	NOUN
ejde-816	7	9	introduced	introduce	VERB
ejde-816	7	10	in	in	ADP
ejde-816	7	11	[	[	X
ejde-816	7	12	1	1	NUM
ejde-816	7	13	]	]	PUNCT
ejde-816	7	14	.	.	PUNCT
ejde-816	8	1	1	1	X
ejde-816	8	2	.	.	X
ejde-816	8	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-816	8	4	in	in	ADP
ejde-816	8	5	this	this	DET
ejde-816	8	6	article	article	NOUN
ejde-816	8	7	,	,	PUNCT
ejde-816	8	8	we	we	PRON
ejde-816	8	9	study	study	VERB
ejde-816	8	10	the	the	DET
ejde-816	8	11	existence	existence	NOUN
ejde-816	8	12	of	of	ADP
ejde-816	8	13	weak	weak	ADJ
ejde-816	8	14	solutions	solution	NOUN
ejde-816	8	15	for	for	ADP
ejde-816	8	16	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	8	17	type	type	NOUN
ejde-816	8	18	problems	problem	NOUN
ejde-816	8	19	with	with	ADP
ejde-816	8	20	extended	extended	ADJ
ejde-816	8	21	robin	robin	PROPN
ejde-816	8	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	8	23	conditions	condition	NOUN
ejde-816	8	24	−m	−m	PROPN
ejde-816	8	25	(	(	PUNCT
ejde-816	8	26	∫	∫	PROPN
ejde-816	8	27	ω	ω	PROPN
ejde-816	8	28	1	1	NUM
ejde-816	8	29	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	8	30	)	)	PUNCT
ejde-816	8	31	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	8	32	)	)	PUNCT
ejde-816	8	33	dx	dx	PROPN
ejde-816	9	1	+	+	CCONJ
ejde-816	9	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	9	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	9	4	(	(	PUNCT
ejde-816	9	5	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	9	6	)	)	PUNCT
ejde-816	9	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	9	8	)	)	PUNCT
ejde-816	9	9	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	9	10	)	)	PUNCT
ejde-816	10	1	+	+	NOUN
ejde-816	10	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	10	3	,	,	PUNCT
ejde-816	10	4	u	u	NOUN
ejde-816	10	5	)	)	PUNCT
ejde-816	10	6	)	)	PUNCT
ejde-816	10	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	10	8	)	)	PUNCT
ejde-816	10	9	div	div	X
ejde-816	10	10	(	(	PUNCT
ejde-816	10	11	|∇u|p(x)−2∇u	|∇u|p(x)−2∇u	NOUN
ejde-816	10	12	)	)	PUNCT
ejde-816	11	1	=	=	SYM
ejde-816	11	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	11	3	,	,	PUNCT
ejde-816	11	4	u	u	NOUN
ejde-816	11	5	)	)	PUNCT
ejde-816	11	6	+	+	NUM
ejde-816	11	7	λh(x	λh(x	NUM
ejde-816	11	8	)	)	PUNCT
ejde-816	11	9	,	,	PUNCT
ejde-816	11	10	x	x	PUNCT
ejde-816	11	11	∈	∈	PROPN
ejde-816	11	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	11	13	,	,	PUNCT
ejde-816	11	14	|∇u|p(x)−2	|∇u|p(x)−2	ADP
ejde-816	11	15	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	11	16	∂ν	∂ν	PRON
ejde-816	12	1	+	+	CCONJ
ejde-816	12	2	β(x)|u|p(x)−2u+	β(x)|u|p(x)−2u+	PUNCT
ejde-816	12	3	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	12	4	,	,	PUNCT
ejde-816	12	5	u	u	NOUN
ejde-816	12	6	)	)	PUNCT
ejde-816	12	7	=	=	SYM
ejde-816	13	1	0	0	NUM
ejde-816	13	2	,	,	PUNCT
ejde-816	13	3	x	x	X
ejde-816	13	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	13	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	13	6	,	,	PUNCT
ejde-816	13	7	(	(	PUNCT
ejde-816	13	8	1.1	1.1	NUM
ejde-816	13	9	)	)	PUNCT
ejde-816	13	10	where	where	SCONJ
ejde-816	13	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	13	12	is	be	AUX
ejde-816	13	13	a	a	DET
ejde-816	13	14	bounded	bounded	ADJ
ejde-816	13	15	domain	domain	NOUN
ejde-816	13	16	in	in	ADP
ejde-816	13	17	rn	rn	PROPN
ejde-816	13	18	with	with	ADP
ejde-816	13	19	smooth	smooth	ADJ
ejde-816	13	20	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	13	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	13	22	,	,	PUNCT
ejde-816	13	23	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	13	24	∂ν	∂ν	PROPN
ejde-816	13	25	is	be	AUX
ejde-816	13	26	the	the	DET
ejde-816	13	27	outer	outer	ADJ
ejde-816	13	28	normal	normal	ADJ
ejde-816	13	29	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	13	30	,	,	PUNCT
ejde-816	13	31	dσx	dσx	PROPN
ejde-816	13	32	is	be	AUX
ejde-816	13	33	the	the	DET
ejde-816	13	34	measure	measure	NOUN
ejde-816	13	35	on	on	ADP
ejde-816	13	36	the	the	DET
ejde-816	13	37	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	13	38	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	13	39	,	,	PUNCT
ejde-816	13	40	β	β	X
ejde-816	13	41	∈	∈	PROPN
ejde-816	13	42	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	13	43	)	)	PUNCT
ejde-816	13	44	,	,	PUNCT
ejde-816	13	45	β−	β−	NUM
ejde-816	14	1	:	:	PUNCT
ejde-816	14	2	=	=	PUNCT
ejde-816	14	3	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	14	4	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	14	5	)	)	PUNCT
ejde-816	14	6	>	>	X
ejde-816	14	7	0	0	NUM
ejde-816	14	8	,	,	PUNCT
ejde-816	14	9	g	g	NOUN
ejde-816	14	10	:	:	PUNCT
ejde-816	14	11	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	14	12	×	×	NOUN
ejde-816	14	13	r	r	NOUN
ejde-816	14	14	→	→	SYM
ejde-816	14	15	r	r	NOUN
ejde-816	14	16	is	be	AUX
ejde-816	14	17	a	a	DET
ejde-816	14	18	measurable	measurable	ADJ
ejde-816	14	19	function	function	NOUN
ejde-816	14	20	,	,	PUNCT
ejde-816	14	21	with	with	ADP
ejde-816	14	22	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	14	23	,	,	PUNCT
ejde-816	14	24	t	t	PROPN
ejde-816	14	25	)	)	PUNCT
ejde-816	14	26	:	:	PUNCT
ejde-816	15	1	=	=	X
ejde-816	15	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	15	3	t	t	PROPN
ejde-816	15	4	0	0	NUM
ejde-816	15	5	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	15	6	,	,	PUNCT
ejde-816	15	7	s	s	X
ejde-816	15	8	)	)	PUNCT
ejde-816	15	9	ds	ds	ADJ
ejde-816	15	10	,	,	PUNCT
ejde-816	15	11	p	p	NOUN
ejde-816	15	12	∈	∈	PROPN
ejde-816	15	13	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	15	14	)	)	PUNCT
ejde-816	15	15	,	,	PUNCT
ejde-816	15	16	1	1	NUM
ejde-816	15	17	<	<	X
ejde-816	15	18	p−	p−	NOUN
ejde-816	15	19	:	:	PUNCT
ejde-816	15	20	=	=	SYM
ejde-816	15	21	inf	inf	ADJ
ejde-816	15	22	x∈ω̄	x∈ω̄	PROPN
ejde-816	15	23	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	15	24	)	)	PUNCT
ejde-816	15	25	≤	≤	NOUN
ejde-816	15	26	p+	p+	VERB
ejde-816	15	27	:	:	PUNCT
ejde-816	15	28	=	=	SYM
ejde-816	15	29	max	max	PROPN
ejde-816	15	30	x∈ω̄	x∈ω̄	PROPN
ejde-816	15	31	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	15	32	)	)	PUNCT
ejde-816	15	33	<	<	X
ejde-816	15	34	n	n	X
ejde-816	15	35	,	,	PUNCT
ejde-816	15	36	λ	λ	PROPN
ejde-816	15	37	is	be	AUX
ejde-816	15	38	a	a	DET
ejde-816	15	39	non	non	ADJ
ejde-816	15	40	-	-	ADJ
ejde-816	15	41	negative	negative	ADJ
ejde-816	15	42	parameter	parameter	NOUN
ejde-816	15	43	,	,	PUNCT
ejde-816	15	44	f	f	PROPN
ejde-816	15	45	:	:	PUNCT
ejde-816	15	46	ω	ω	NUM
ejde-816	15	47	×	×	NOUN
ejde-816	15	48	r	r	NOUN
ejde-816	15	49	→	→	SYM
ejde-816	15	50	r	r	NOUN
ejde-816	15	51	and	and	CCONJ
ejde-816	15	52	m	m	PRON
ejde-816	15	53	:	:	PUNCT
ejde-816	15	54	r+	r+	NOUN
ejde-816	15	55	:	:	PUNCT
ejde-816	15	56	=	=	PUNCT
ejde-816	16	1	[	[	X
ejde-816	16	2	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-816	16	3	)	)	PUNCT
ejde-816	17	1	→	→	NOUN
ejde-816	17	2	r+	r+	NOUN
ejde-816	17	3	are	be	AUX
ejde-816	17	4	two	two	NUM
ejde-816	17	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	17	6	functions	function	NOUN
ejde-816	17	7	,	,	PUNCT
ejde-816	17	8	h	h	NOUN
ejde-816	17	9	:	:	PUNCT
ejde-816	17	10	ω	ω	NOUN
ejde-816	17	11	→	→	SYM
ejde-816	17	12	r	r	NOUN
ejde-816	17	13	is	be	AUX
ejde-816	17	14	a	a	DET
ejde-816	17	15	measurable	measurable	ADJ
ejde-816	17	16	function	function	NOUN
ejde-816	17	17	.	.	PUNCT
ejde-816	18	1	2020	2020	NUM
ejde-816	18	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-816	18	3	subject	subject	ADJ
ejde-816	18	4	classification	classification	NOUN
ejde-816	18	5	.	.	PUNCT
ejde-816	19	1	35f20	35f20	ADV
ejde-816	19	2	,	,	PUNCT
ejde-816	19	3	35f25	35f25	NUM
ejde-816	19	4	,	,	PUNCT
ejde-816	19	5	35f30	35f30	NUM
ejde-816	19	6	.	.	PUNCT
ejde-816	20	1	key	key	ADJ
ejde-816	20	2	words	word	NOUN
ejde-816	20	3	and	and	CCONJ
ejde-816	20	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-816	20	5	.	.	PUNCT
ejde-816	21	1	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	ADJ
ejde-816	21	2	operator	operator	NOUN
ejde-816	21	3	;	;	PUNCT
ejde-816	21	4	variational	variational	ADJ
ejde-816	21	5	method	method	NOUN
ejde-816	21	6	;	;	PUNCT
ejde-816	21	7	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	21	8	problem	problem	NOUN
ejde-816	21	9	;	;	PUNCT
ejde-816	21	10	krasnoselskii	krasnoselskii	PROPN
ejde-816	21	11	’s	’s	PART
ejde-816	21	12	genus	genus	NOUN
ejde-816	21	13	;	;	PUNCT
ejde-816	21	14	robin	robin	PROPN
ejde-816	21	15	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	21	16	condition	condition	NOUN
ejde-816	21	17	.	.	PUNCT
ejde-816	22	1	©	©	ADP
ejde-816	22	2	2024	2024	NUM
ejde-816	22	3	.	.	PUNCT
ejde-816	23	1	this	this	DET
ejde-816	23	2	work	work	NOUN
ejde-816	23	3	is	be	AUX
ejde-816	23	4	licensed	license	VERB
ejde-816	23	5	under	under	ADP
ejde-816	23	6	a	a	DET
ejde-816	23	7	cc	cc	NOUN
ejde-816	23	8	by	by	ADP
ejde-816	23	9	4.0	4.0	NUM
ejde-816	23	10	license	license	NOUN
ejde-816	23	11	.	.	PUNCT
ejde-816	24	1	submitted	submit	VERB
ejde-816	24	2	july	july	PROPN
ejde-816	24	3	23	23	NUM
ejde-816	24	4	,	,	PUNCT
ejde-816	24	5	2024	2024	NUM
ejde-816	24	6	.	.	PUNCT
ejde-816	25	1	published	publish	VERB
ejde-816	25	2	december	december	PROPN
ejde-816	25	3	11	11	NUM
ejde-816	25	4	,	,	PUNCT
ejde-816	25	5	2024	2024	NUM
ejde-816	25	6	.	.	PUNCT
ejde-816	25	7	1	1	NUM
ejde-816	25	8	2	2	NUM
ejde-816	25	9	h.	h.	NOUN
ejde-816	25	10	baladi	baladi	NOUN
ejde-816	25	11	,	,	PUNCT
ejde-816	25	12	a.	a.	NOUN
ejde-816	25	13	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	25	14	,	,	PUNCT
ejde-816	25	15	m.	m.	PROPN
ejde-816	25	16	filali	filali	PROPN
ejde-816	25	17	,	,	PUNCT
ejde-816	25	18	n.	n.	PROPN
ejde-816	25	19	tsouli	tsouli	PROPN
ejde-816	25	20	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	25	21	we	we	PRON
ejde-816	25	22	can	can	AUX
ejde-816	25	23	prove	prove	VERB
ejde-816	25	24	the	the	DET
ejde-816	25	25	same	same	ADJ
ejde-816	25	26	results	result	NOUN
ejde-816	25	27	if	if	SCONJ
ejde-816	25	28	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	25	29	)	)	PUNCT
ejde-816	25	30	≡	≡	PROPN
ejde-816	25	31	0	0	NUM
ejde-816	25	32	.	.	PUNCT
ejde-816	26	1	then	then	ADV
ejde-816	26	2	the	the	DET
ejde-816	26	3	problem	problem	NOUN
ejde-816	26	4	(	(	PUNCT
ejde-816	26	5	1.1	1.1	NUM
ejde-816	26	6	)	)	PUNCT
ejde-816	26	7	becomes	become	VERB
ejde-816	26	8	−m	−m	NOUN
ejde-816	26	9	(	(	PUNCT
ejde-816	26	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	26	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	26	12	1	1	NUM
ejde-816	26	13	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	26	14	)	)	PUNCT
ejde-816	26	15	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	26	16	)	)	PUNCT
ejde-816	26	17	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	27	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	28	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	28	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	28	3	,	,	PUNCT
ejde-816	28	4	u	u	NOUN
ejde-816	28	5	)	)	PUNCT
ejde-816	28	6	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	28	7	)	)	PUNCT
ejde-816	28	8	div	div	X
ejde-816	28	9	(	(	PUNCT
ejde-816	28	10	|∇u|p(x)−2∇u	|∇u|p(x)−2∇u	NOUN
ejde-816	28	11	)	)	PUNCT
ejde-816	29	1	=	=	SYM
ejde-816	29	2	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	29	3	,	,	PUNCT
ejde-816	29	4	u	u	NOUN
ejde-816	29	5	)	)	PUNCT
ejde-816	29	6	+	+	NUM
ejde-816	29	7	λh(x	λh(x	NUM
ejde-816	29	8	)	)	PUNCT
ejde-816	29	9	,	,	PUNCT
ejde-816	29	10	x	x	PUNCT
ejde-816	29	11	∈	∈	PROPN
ejde-816	29	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	29	13	,	,	PUNCT
ejde-816	29	14	|∇u|p(x)−2	|∇u|p(x)−2	ADP
ejde-816	29	15	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	29	16	∂ν	∂ν	PROPN
ejde-816	30	1	+	+	CCONJ
ejde-816	30	2	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	30	3	,	,	PUNCT
ejde-816	30	4	u	u	NOUN
ejde-816	30	5	)	)	PUNCT
ejde-816	30	6	=	=	SYM
ejde-816	31	1	0	0	NUM
ejde-816	31	2	,	,	PUNCT
ejde-816	31	3	x	x	X
ejde-816	31	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	31	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	31	6	,	,	PUNCT
ejde-816	31	7	(	(	PUNCT
ejde-816	31	8	1.2	1.2	NUM
ejde-816	31	9	)	)	PUNCT
ejde-816	31	10	problem	problem	NOUN
ejde-816	31	11	(	(	PUNCT
ejde-816	31	12	1.1	1.1	NUM
ejde-816	31	13	)	)	PUNCT
ejde-816	31	14	is	be	AUX
ejde-816	31	15	related	relate	VERB
ejde-816	31	16	to	to	ADP
ejde-816	31	17	the	the	DET
ejde-816	31	18	stationary	stationary	ADJ
ejde-816	31	19	version	version	NOUN
ejde-816	31	20	of	of	ADP
ejde-816	31	21	the	the	DET
ejde-816	31	22	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	31	23	equation	equation	PROPN
ejde-816	31	24	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	31	25	∂2u	∂2u	PROPN
ejde-816	31	26	∂t2	∂t2	PROPN
ejde-816	31	27	−	−	PROPN
ejde-816	31	28	(	(	PUNCT
ejde-816	31	29	p0	p0	NOUN
ejde-816	31	30	h	h	NOUN
ejde-816	31	31	+	+	CCONJ
ejde-816	31	32	e	e	X
ejde-816	31	33	2l	2l	NUM
ejde-816	31	34	∫	∫	PROPN
ejde-816	31	35	l	l	NOUN
ejde-816	31	36	0	0	NUM
ejde-816	31	37	|∂u	|∂u	ADJ
ejde-816	31	38	∂x	∂x	PROPN
ejde-816	31	39	|2	|2	NUM
ejde-816	31	40	dx	dx	PROPN
ejde-816	31	41	)	)	PUNCT
ejde-816	31	42	∂2u	∂2u	PROPN
ejde-816	31	43	∂x2	∂x2	PROPN
ejde-816	31	44	=	=	SYM
ejde-816	31	45	0	0	NUM
ejde-816	31	46	(	(	PUNCT
ejde-816	31	47	1.3	1.3	NUM
ejde-816	31	48	)	)	PUNCT
ejde-816	31	49	presented	present	VERB
ejde-816	31	50	by	by	ADP
ejde-816	31	51	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	31	52	in	in	ADP
ejde-816	31	53	1883	1883	NUM
ejde-816	31	54	as	as	ADP
ejde-816	31	55	an	an	DET
ejde-816	31	56	extension	extension	NOUN
ejde-816	31	57	of	of	ADP
ejde-816	31	58	the	the	DET
ejde-816	31	59	classical	classical	ADJ
ejde-816	31	60	d’alembert	d’alembert	NOUN
ejde-816	31	61	wave	wave	NOUN
ejde-816	31	62	equation	equation	NOUN
ejde-816	31	63	for	for	ADP
ejde-816	31	64	free	free	ADJ
ejde-816	31	65	vibrations	vibration	NOUN
ejde-816	31	66	of	of	ADP
ejde-816	31	67	elastic	elastic	ADJ
ejde-816	31	68	strings	string	NOUN
ejde-816	31	69	,	,	PUNCT
ejde-816	31	70	see	see	VERB
ejde-816	31	71	[	[	X
ejde-816	31	72	24	24	NUM
ejde-816	31	73	]	]	PUNCT
ejde-816	31	74	.	.	PUNCT
ejde-816	32	1	the	the	DET
ejde-816	32	2	parameters	parameter	NOUN
ejde-816	32	3	in	in	ADP
ejde-816	32	4	(	(	PUNCT
ejde-816	32	5	1.3	1.3	NUM
ejde-816	32	6	)	)	PUNCT
ejde-816	32	7	have	have	VERB
ejde-816	32	8	the	the	DET
ejde-816	32	9	following	follow	VERB
ejde-816	32	10	meaning	meaning	NOUN
ejde-816	32	11	:	:	PUNCT
ejde-816	32	12	l	l	NOUN
ejde-816	32	13	is	be	AUX
ejde-816	32	14	the	the	DET
ejde-816	32	15	length	length	NOUN
ejde-816	32	16	of	of	ADP
ejde-816	32	17	the	the	DET
ejde-816	32	18	string	string	NOUN
ejde-816	32	19	,	,	PUNCT
ejde-816	32	20	h	h	PROPN
ejde-816	32	21	is	be	AUX
ejde-816	32	22	the	the	DET
ejde-816	32	23	area	area	NOUN
ejde-816	32	24	of	of	ADP
ejde-816	32	25	the	the	DET
ejde-816	32	26	cross	cross	NOUN
ejde-816	32	27	-	-	NOUN
ejde-816	32	28	section	section	NOUN
ejde-816	32	29	,	,	PUNCT
ejde-816	32	30	e	e	X
ejde-816	32	31	is	be	AUX
ejde-816	32	32	the	the	DET
ejde-816	32	33	young	young	ADJ
ejde-816	32	34	modulus	modulus	NOUN
ejde-816	32	35	of	of	ADP
ejde-816	32	36	the	the	DET
ejde-816	32	37	material	material	NOUN
ejde-816	32	38	,	,	PUNCT
ejde-816	32	39	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	32	40	is	be	AUX
ejde-816	32	41	the	the	DET
ejde-816	32	42	mass	mass	ADJ
ejde-816	32	43	density	density	NOUN
ejde-816	32	44	,	,	PUNCT
ejde-816	32	45	and	and	CCONJ
ejde-816	32	46	p0	p0	NOUN
ejde-816	32	47	is	be	AUX
ejde-816	32	48	the	the	DET
ejde-816	32	49	initial	initial	ADJ
ejde-816	32	50	tension	tension	NOUN
ejde-816	32	51	.	.	PUNCT
ejde-816	33	1	problem	problem	NOUN
ejde-816	33	2	(	(	PUNCT
ejde-816	33	3	1.3	1.3	NUM
ejde-816	33	4	)	)	PUNCT
ejde-816	33	5	is	be	AUX
ejde-816	33	6	often	often	ADV
ejde-816	33	7	called	call	VERB
ejde-816	33	8	a	a	DET
ejde-816	33	9	non	non	ADJ
ejde-816	33	10	-	-	ADJ
ejde-816	33	11	local	local	ADJ
ejde-816	33	12	problem	problem	NOUN
ejde-816	33	13	because	because	SCONJ
ejde-816	33	14	it	it	PRON
ejde-816	33	15	contains	contain	VERB
ejde-816	33	16	an	an	DET
ejde-816	33	17	integral	integral	ADJ
ejde-816	33	18	over	over	ADP
ejde-816	33	19	ω	ω	NUM
ejde-816	33	20	.	.	PUNCT
ejde-816	34	1	this	this	PRON
ejde-816	34	2	causes	cause	VERB
ejde-816	34	3	some	some	DET
ejde-816	34	4	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-816	34	5	difficulties	difficulty	NOUN
ejde-816	34	6	which	which	PRON
ejde-816	34	7	make	make	VERB
ejde-816	34	8	the	the	DET
ejde-816	34	9	study	study	NOUN
ejde-816	34	10	of	of	ADP
ejde-816	34	11	such	such	DET
ejde-816	34	12	a	a	DET
ejde-816	34	13	problem	problem	NOUN
ejde-816	34	14	particularly	particularly	ADV
ejde-816	34	15	interesting	interesting	ADJ
ejde-816	34	16	.	.	PUNCT
ejde-816	35	1	the	the	DET
ejde-816	35	2	non	non	ADJ
ejde-816	35	3	-	-	ADJ
ejde-816	35	4	local	local	ADJ
ejde-816	35	5	problem	problem	NOUN
ejde-816	35	6	models	model	VERB
ejde-816	35	7	several	several	ADJ
ejde-816	35	8	physical	physical	ADJ
ejde-816	35	9	and	and	CCONJ
ejde-816	35	10	biological	biological	ADJ
ejde-816	35	11	systems	system	NOUN
ejde-816	35	12	,	,	PUNCT
ejde-816	35	13	where	where	SCONJ
ejde-816	35	14	u	u	PRON
ejde-816	35	15	describes	describe	VERB
ejde-816	35	16	a	a	DET
ejde-816	35	17	process	process	NOUN
ejde-816	35	18	which	which	PRON
ejde-816	35	19	depends	depend	VERB
ejde-816	35	20	on	on	ADP
ejde-816	35	21	the	the	DET
ejde-816	35	22	average	average	NOUN
ejde-816	35	23	of	of	ADP
ejde-816	35	24	itself	itself	PRON
ejde-816	35	25	,	,	PUNCT
ejde-816	35	26	such	such	ADJ
ejde-816	35	27	as	as	ADP
ejde-816	35	28	the	the	DET
ejde-816	35	29	population	population	NOUN
ejde-816	35	30	density	density	NOUN
ejde-816	35	31	,	,	PUNCT
ejde-816	35	32	see	see	VERB
ejde-816	35	33	[	[	X
ejde-816	35	34	9	9	NUM
ejde-816	35	35	]	]	SYM
ejde-816	35	36	.	.	PUNCT
ejde-816	36	1	kirchhoff	kirchhoff	PROPN
ejde-816	36	2	type	type	NOUN
ejde-816	36	3	problems	problem	NOUN
ejde-816	36	4	have	have	AUX
ejde-816	36	5	been	be	AUX
ejde-816	36	6	studied	study	VERB
ejde-816	36	7	in	in	ADP
ejde-816	36	8	many	many	ADJ
ejde-816	36	9	papers	paper	NOUN
ejde-816	36	10	in	in	ADP
ejde-816	36	11	the	the	DET
ejde-816	36	12	previous	previous	ADJ
ejde-816	36	13	decades	decade	NOUN
ejde-816	36	14	.	.	PUNCT
ejde-816	37	1	in	in	ADP
ejde-816	37	2	[	[	X
ejde-816	37	3	8	8	NUM
ejde-816	37	4	,	,	PUNCT
ejde-816	37	5	14	14	NUM
ejde-816	37	6	,	,	PUNCT
ejde-816	37	7	23	23	NUM
ejde-816	37	8	,	,	PUNCT
ejde-816	37	9	26	26	NUM
ejde-816	37	10	,	,	PUNCT
ejde-816	37	11	29	29	NUM
ejde-816	37	12	,	,	PUNCT
ejde-816	37	13	30	30	NUM
ejde-816	37	14	]	]	PUNCT
ejde-816	37	15	,	,	PUNCT
ejde-816	37	16	using	use	VERB
ejde-816	37	17	various	various	ADJ
ejde-816	37	18	methods	method	NOUN
ejde-816	37	19	the	the	DET
ejde-816	37	20	authors	author	NOUN
ejde-816	37	21	study	study	VERB
ejde-816	37	22	the	the	DET
ejde-816	37	23	existence	existence	NOUN
ejde-816	37	24	and	and	CCONJ
ejde-816	37	25	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	37	26	of	of	ADP
ejde-816	37	27	solutions	solution	NOUN
ejde-816	37	28	for	for	ADP
ejde-816	37	29	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	37	30	type	type	NOUN
ejde-816	37	31	problems	problem	NOUN
ejde-816	37	32	involving	involve	VERB
ejde-816	37	33	the	the	DET
ejde-816	37	34	p	p	PROPN
ejde-816	37	35	-	-	PUNCT
ejde-816	37	36	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-816	37	37	operator	operator	NOUN
ejde-816	37	38	−∆p	−∆p	NOUN
ejde-816	37	39	(	(	PUNCT
ejde-816	37	40	·	·	PUNCT
ejde-816	37	41	)	)	PUNCT
ejde-816	37	42	=	=	SYM
ejde-816	37	43	−div	−div	NOUN
ejde-816	37	44	(	(	PUNCT
ejde-816	37	45	|∇	|∇	X
ejde-816	37	46	·	·	PUNCT
ejde-816	37	47	|p−2∇	|p−2∇	NUM
ejde-816	37	48	·	·	PUNCT
ejde-816	37	49	)	)	PUNCT
ejde-816	37	50	.	.	PUNCT
ejde-816	38	1	the	the	DET
ejde-816	38	2	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	ADJ
ejde-816	38	3	operator	operator	NOUN
ejde-816	38	4	where	where	SCONJ
ejde-816	38	5	p	p	X
ejde-816	38	6	(	(	PUNCT
ejde-816	38	7	·	·	PUNCT
ejde-816	38	8	)	)	PUNCT
ejde-816	38	9	is	be	AUX
ejde-816	38	10	a	a	DET
ejde-816	38	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	38	12	function	function	NOUN
ejde-816	38	13	possesses	possess	VERB
ejde-816	38	14	more	more	ADV
ejde-816	38	15	complicated	complicated	ADJ
ejde-816	38	16	properties	property	NOUN
ejde-816	38	17	than	than	ADP
ejde-816	38	18	the	the	DET
ejde-816	38	19	p	p	PROPN
ejde-816	38	20	-	-	PUNCT
ejde-816	38	21	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-816	38	22	operator	operator	NOUN
ejde-816	38	23	,	,	PUNCT
ejde-816	38	24	mainly	mainly	ADV
ejde-816	38	25	due	due	ADP
ejde-816	38	26	to	to	ADP
ejde-816	38	27	the	the	DET
ejde-816	38	28	fact	fact	NOUN
ejde-816	38	29	that	that	SCONJ
ejde-816	38	30	it	it	PRON
ejde-816	38	31	is	be	AUX
ejde-816	38	32	not	not	PART
ejde-816	38	33	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-816	38	34	.	.	PUNCT
ejde-816	39	1	the	the	DET
ejde-816	39	2	study	study	NOUN
ejde-816	39	3	of	of	ADP
ejde-816	39	4	various	various	ADJ
ejde-816	39	5	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-816	39	6	problems	problem	NOUN
ejde-816	39	7	with	with	ADP
ejde-816	39	8	variable	variable	ADJ
ejde-816	39	9	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	39	10	are	be	AUX
ejde-816	39	11	interesting	interesting	ADJ
ejde-816	39	12	in	in	ADP
ejde-816	39	13	applications	application	NOUN
ejde-816	39	14	and	and	CCONJ
ejde-816	39	15	raise	raise	VERB
ejde-816	39	16	many	many	ADJ
ejde-816	39	17	difficult	difficult	ADJ
ejde-816	39	18	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-816	39	19	problems	problem	NOUN
ejde-816	39	20	,	,	PUNCT
ejde-816	39	21	see	see	VERB
ejde-816	39	22	[	[	X
ejde-816	39	23	25	25	NUM
ejde-816	39	24	,	,	PUNCT
ejde-816	39	25	27	27	NUM
ejde-816	39	26	]	]	PUNCT
ejde-816	39	27	.	.	PUNCT
ejde-816	40	1	for	for	ADP
ejde-816	40	2	this	this	DET
ejde-816	40	3	reason	reason	NOUN
ejde-816	40	4	,	,	PUNCT
ejde-816	40	5	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-816	40	6	differential	differential	ADJ
ejde-816	40	7	and	and	CCONJ
ejde-816	40	8	partial	partial	ADJ
ejde-816	40	9	differential	differential	ADJ
ejde-816	40	10	equations	equation	NOUN
ejde-816	40	11	with	with	ADP
ejde-816	40	12	non	non	ADJ
ejde-816	40	13	-	-	ADJ
ejde-816	40	14	standard	standard	ADJ
ejde-816	40	15	growth	growth	NOUN
ejde-816	40	16	conditions	condition	NOUN
ejde-816	40	17	have	have	AUX
ejde-816	40	18	received	receive	VERB
ejde-816	40	19	specific	specific	ADJ
ejde-816	40	20	attention	attention	NOUN
ejde-816	40	21	in	in	ADP
ejde-816	40	22	recent	recent	ADJ
ejde-816	40	23	years	year	NOUN
ejde-816	40	24	,	,	PUNCT
ejde-816	40	25	we	we	PRON
ejde-816	40	26	refer	refer	VERB
ejde-816	40	27	to	to	ADP
ejde-816	40	28	some	some	DET
ejde-816	40	29	results	result	NOUN
ejde-816	40	30	on	on	ADP
ejde-816	40	31	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	40	32	type	type	NOUN
ejde-816	40	33	problems	problem	NOUN
ejde-816	40	34	with	with	ADP
ejde-816	40	35	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-816	40	36	or	or	CCONJ
ejde-816	40	37	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	40	38	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	40	39	conditions	condition	NOUN
ejde-816	40	40	[	[	X
ejde-816	40	41	6	6	NUM
ejde-816	40	42	,	,	PUNCT
ejde-816	40	43	10	10	NUM
ejde-816	40	44	,	,	PUNCT
ejde-816	40	45	13	13	NUM
ejde-816	40	46	,	,	PUNCT
ejde-816	40	47	15	15	NUM
ejde-816	40	48	,	,	PUNCT
ejde-816	40	49	16	16	NUM
ejde-816	40	50	,	,	PUNCT
ejde-816	40	51	22	22	NUM
ejde-816	40	52	]	]	PUNCT
ejde-816	40	53	.	.	PUNCT
ejde-816	41	1	relatively	relatively	ADV
ejde-816	41	2	speaking	speak	VERB
ejde-816	41	3	,	,	PUNCT
ejde-816	41	4	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	41	5	type	type	NOUN
ejde-816	41	6	problems	problem	NOUN
ejde-816	41	7	with	with	ADP
ejde-816	41	8	robin	robin	PROPN
ejde-816	41	9	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	41	10	conditions	condition	NOUN
ejde-816	41	11	have	have	AUX
ejde-816	41	12	rarely	rarely	ADV
ejde-816	41	13	been	be	AUX
ejde-816	41	14	considered	consider	VERB
ejde-816	41	15	.	.	PUNCT
ejde-816	42	1	robin	robin	PROPN
ejde-816	42	2	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	42	3	conditions	condition	NOUN
ejde-816	42	4	are	be	AUX
ejde-816	42	5	a	a	DET
ejde-816	42	6	weighted	weight	VERB
ejde-816	42	7	combination	combination	NOUN
ejde-816	42	8	of	of	ADP
ejde-816	42	9	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-816	42	10	and	and	CCONJ
ejde-816	42	11	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	42	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	42	13	conditions	condition	NOUN
ejde-816	42	14	and	and	CCONJ
ejde-816	42	15	it	it	PRON
ejde-816	42	16	is	be	AUX
ejde-816	42	17	also	also	ADV
ejde-816	42	18	called	call	VERB
ejde-816	42	19	impedance	impedance	NOUN
ejde-816	42	20	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	42	21	conditions	condition	NOUN
ejde-816	42	22	,	,	PUNCT
ejde-816	42	23	from	from	ADP
ejde-816	42	24	their	their	PRON
ejde-816	42	25	application	application	NOUN
ejde-816	42	26	in	in	ADP
ejde-816	42	27	electromagnetic	electromagnetic	ADJ
ejde-816	42	28	problems	problem	NOUN
ejde-816	42	29	or	or	CCONJ
ejde-816	42	30	convective	convective	ADJ
ejde-816	42	31	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	42	32	conditions	condition	NOUN
ejde-816	42	33	from	from	ADP
ejde-816	42	34	their	their	PRON
ejde-816	42	35	application	application	NOUN
ejde-816	42	36	in	in	ADP
ejde-816	42	37	heat	heat	NOUN
ejde-816	42	38	transfer	transfer	NOUN
ejde-816	42	39	problems	problem	NOUN
ejde-816	42	40	.	.	PUNCT
ejde-816	43	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	43	2	,	,	PUNCT
ejde-816	43	3	robin	robin	PROPN
ejde-816	43	4	conditions	condition	NOUN
ejde-816	43	5	are	be	AUX
ejde-816	43	6	commonly	commonly	ADV
ejde-816	43	7	used	use	VERB
ejde-816	43	8	in	in	ADP
ejde-816	43	9	solving	solve	VERB
ejde-816	43	10	sturm	sturm	NOUN
ejde-816	43	11	-	-	PUNCT
ejde-816	43	12	liouville	liouville	NOUN
ejde-816	43	13	problems	problem	NOUN
ejde-816	43	14	which	which	PRON
ejde-816	43	15	appear	appear	VERB
ejde-816	43	16	in	in	ADP
ejde-816	43	17	many	many	ADJ
ejde-816	43	18	contexts	context	NOUN
ejde-816	43	19	in	in	ADP
ejde-816	43	20	sciences	science	NOUN
ejde-816	43	21	and	and	CCONJ
ejde-816	43	22	engineering	engineering	NOUN
ejde-816	43	23	,	,	PUNCT
ejde-816	43	24	see	see	VERB
ejde-816	43	25	[	[	X
ejde-816	43	26	17	17	NUM
ejde-816	43	27	]	]	PUNCT
ejde-816	43	28	.	.	PUNCT
ejde-816	44	1	to	to	ADP
ejde-816	44	2	the	the	DET
ejde-816	44	3	best	good	ADJ
ejde-816	44	4	of	of	ADP
ejde-816	44	5	our	our	PRON
ejde-816	44	6	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-816	44	7	,	,	PUNCT
ejde-816	44	8	allaoui	allaoui	NOUN
ejde-816	45	1	[	[	X
ejde-816	45	2	3	3	NUM
ejde-816	45	3	]	]	PUNCT
ejde-816	45	4	first	first	ADV
ejde-816	45	5	introduced	introduce	VERB
ejde-816	45	6	the	the	DET
ejde-816	45	7	p(x)kirchhoff	p(x)kirchhoff	NOUN
ejde-816	45	8	type	type	NOUN
ejde-816	45	9	problems	problem	NOUN
ejde-816	45	10	involving	involve	VERB
ejde-816	45	11	robin	robin	PROPN
ejde-816	45	12	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	45	13	conditions	condition	NOUN
ejde-816	45	14	and	and	CCONJ
ejde-816	45	15	studied	study	VERB
ejde-816	45	16	problem	problem	NOUN
ejde-816	45	17	(	(	PUNCT
ejde-816	45	18	1.1	1.1	NUM
ejde-816	45	19	)	)	PUNCT
ejde-816	45	20	in	in	ADP
ejde-816	45	21	the	the	DET
ejde-816	45	22	case	case	NOUN
ejde-816	45	23	λ	λ	X
ejde-816	45	24	=	=	SYM
ejde-816	45	25	0	0	NUM
ejde-816	45	26	by	by	ADP
ejde-816	45	27	using	use	VERB
ejde-816	45	28	the	the	DET
ejde-816	45	29	mountain	mountain	NOUN
ejde-816	45	30	pass	pass	NOUN
ejde-816	45	31	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	45	32	,	,	PUNCT
ejde-816	45	33	the	the	DET
ejde-816	45	34	fountain	fountain	NOUN
ejde-816	45	35	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	45	36	and	and	CCONJ
ejde-816	45	37	some	some	DET
ejde-816	45	38	properties	property	NOUN
ejde-816	45	39	of	of	ADP
ejde-816	45	40	(	(	PUNCT
ejde-816	45	41	s)+type	s)+type	NOUN
ejde-816	45	42	operator	operator	NOUN
ejde-816	45	43	.	.	PUNCT
ejde-816	46	1	regarding	regard	VERB
ejde-816	46	2	the	the	DET
ejde-816	46	3	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	ADJ
ejde-816	46	4	problems	problem	NOUN
ejde-816	46	5	with	with	ADP
ejde-816	46	6	the	the	DET
ejde-816	46	7	robin	robin	PROPN
ejde-816	46	8	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	46	9	conditions	condition	NOUN
ejde-816	46	10	in	in	ADP
ejde-816	46	11	the	the	DET
ejde-816	46	12	local	local	ADJ
ejde-816	46	13	case	case	NOUN
ejde-816	46	14	when	when	SCONJ
ejde-816	46	15	m(t	m(t	NOUN
ejde-816	46	16	)	)	PUNCT
ejde-816	46	17	≡	≡	PROPN
ejde-816	46	18	1	1	NUM
ejde-816	46	19	,	,	PUNCT
ejde-816	46	20	we	we	PRON
ejde-816	46	21	refer	refer	VERB
ejde-816	46	22	to	to	ADP
ejde-816	46	23	[	[	X
ejde-816	46	24	12	12	NUM
ejde-816	46	25	,	,	PUNCT
ejde-816	46	26	4	4	NUM
ejde-816	46	27	,	,	PUNCT
ejde-816	46	28	17	17	NUM
ejde-816	46	29	,	,	PUNCT
ejde-816	46	30	21	21	NUM
ejde-816	46	31	,	,	PUNCT
ejde-816	46	32	28	28	NUM
ejde-816	46	33	]	]	PUNCT
ejde-816	46	34	,	,	PUNCT
ejde-816	46	35	in	in	ADP
ejde-816	46	36	which	which	PRON
ejde-816	46	37	some	some	DET
ejde-816	46	38	existence	existence	NOUN
ejde-816	46	39	and	and	CCONJ
ejde-816	46	40	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	46	41	results	result	NOUN
ejde-816	46	42	were	be	AUX
ejde-816	46	43	obtained	obtain	VERB
ejde-816	46	44	by	by	ADP
ejde-816	46	45	using	use	VERB
ejde-816	46	46	variational	variational	ADJ
ejde-816	46	47	methods	method	NOUN
ejde-816	46	48	.	.	PUNCT
ejde-816	47	1	motivated	motivate	VERB
ejde-816	47	2	by	by	ADP
ejde-816	47	3	above	above	ADV
ejde-816	47	4	mentioned	mention	VERB
ejde-816	47	5	papers	paper	NOUN
ejde-816	47	6	and	and	CCONJ
ejde-816	47	7	the	the	DET
ejde-816	47	8	results	result	NOUN
ejde-816	47	9	on	on	ADP
ejde-816	47	10	the	the	DET
ejde-816	47	11	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	47	12	type	type	NOUN
ejde-816	47	13	problem	problem	NOUN
ejde-816	47	14	involving	involve	VERB
ejde-816	47	15	laplace	laplace	NOUN
ejde-816	47	16	operator	operator	NOUN
ejde-816	47	17	−∆	−∆	NOUN
ejde-816	47	18	(	(	PUNCT
ejde-816	47	19	·	·	PUNCT
ejde-816	47	20	)	)	PUNCT
ejde-816	47	21	in	in	ADP
ejde-816	47	22	[	[	X
ejde-816	47	23	8	8	NUM
ejde-816	47	24	]	]	PUNCT
ejde-816	47	25	,	,	PUNCT
ejde-816	47	26	the	the	DET
ejde-816	47	27	purpose	purpose	NOUN
ejde-816	47	28	of	of	ADP
ejde-816	47	29	this	this	DET
ejde-816	47	30	article	article	NOUN
ejde-816	47	31	is	be	AUX
ejde-816	47	32	to	to	PART
ejde-816	47	33	consider	consider	VERB
ejde-816	47	34	robin	robin	PROPN
ejde-816	47	35	problem	problem	NOUN
ejde-816	47	36	(	(	PUNCT
ejde-816	47	37	1.1	1.1	NUM
ejde-816	47	38	)	)	PUNCT
ejde-816	47	39	with	with	ADP
ejde-816	47	40	perturbation	perturbation	NOUN
ejde-816	47	41	h	h	NOUN
ejde-816	47	42	and	and	CCONJ
ejde-816	47	43	parameter	parameter	PROPN
ejde-816	47	44	λ	λ	PROPN
ejde-816	47	45	.	.	PUNCT
ejde-816	48	1	more	more	ADV
ejde-816	48	2	precisely	precisely	ADV
ejde-816	48	3	,	,	PUNCT
ejde-816	48	4	under	under	ADP
ejde-816	48	5	some	some	DET
ejde-816	48	6	suitable	suitable	ADJ
ejde-816	48	7	conditions	condition	NOUN
ejde-816	48	8	on	on	ADP
ejde-816	48	9	the	the	DET
ejde-816	48	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	48	11	term	term	NOUN
ejde-816	48	12	f	f	PROPN
ejde-816	48	13	and	and	CCONJ
ejde-816	48	14	the	the	DET
ejde-816	48	15	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	48	16	function	function	PROPN
ejde-816	48	17	m	m	VERB
ejde-816	48	18	,	,	PUNCT
ejde-816	48	19	we	we	PRON
ejde-816	48	20	prove	prove	VERB
ejde-816	48	21	that	that	DET
ejde-816	48	22	problem	problem	NOUN
ejde-816	48	23	(	(	PUNCT
ejde-816	48	24	1.1	1.1	NUM
ejde-816	48	25	)	)	PUNCT
ejde-816	48	26	has	have	VERB
ejde-816	48	27	at	at	ADV
ejde-816	48	28	least	least	ADV
ejde-816	48	29	two	two	NUM
ejde-816	48	30	weak	weak	ADJ
ejde-816	48	31	solutions	solution	NOUN
ejde-816	48	32	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	48	33	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	48	34	type	type	NOUN
ejde-816	48	35	problems	problem	NOUN
ejde-816	48	36	3	3	NUM
ejde-816	48	37	if	if	SCONJ
ejde-816	48	38	λ	λ	PROPN
ejde-816	48	39	>	>	X
ejde-816	48	40	0	0	PUNCT
ejde-816	48	41	small	small	ADJ
ejde-816	48	42	enough	enough	ADV
ejde-816	48	43	,	,	PUNCT
ejde-816	48	44	see	see	AUX
ejde-816	48	45	theorem	theorem	VERB
ejde-816	48	46	3.1	3.1	NUM
ejde-816	48	47	.	.	PUNCT
ejde-816	49	1	in	in	ADP
ejde-816	49	2	the	the	DET
ejde-816	49	3	case	case	NOUN
ejde-816	49	4	when	when	SCONJ
ejde-816	49	5	λ	λ	X
ejde-816	49	6	=	=	SYM
ejde-816	49	7	0	0	NUM
ejde-816	49	8	,	,	PUNCT
ejde-816	49	9	we	we	PRON
ejde-816	49	10	prove	prove	VERB
ejde-816	49	11	problem	problem	NOUN
ejde-816	49	12	(	(	PUNCT
ejde-816	49	13	1.1	1.1	NUM
ejde-816	49	14	)	)	PUNCT
ejde-816	49	15	with	with	ADP
ejde-816	49	16	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-816	49	17	growth	growth	NOUN
ejde-816	49	18	condition	condition	NOUN
ejde-816	49	19	has	have	VERB
ejde-816	49	20	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	49	21	many	many	ADJ
ejde-816	49	22	solutions	solution	NOUN
ejde-816	49	23	,	,	PUNCT
ejde-816	49	24	see	see	VERB
ejde-816	49	25	theorem	theorem	VERB
ejde-816	49	26	3.8	3.8	NUM
ejde-816	49	27	.	.	PUNCT
ejde-816	50	1	our	our	PRON
ejde-816	50	2	methodology	methodology	NOUN
ejde-816	50	3	relies	rely	VERB
ejde-816	50	4	fundamentally	fundamentally	ADV
ejde-816	50	5	on	on	ADP
ejde-816	50	6	the	the	DET
ejde-816	50	7	utilization	utilization	NOUN
ejde-816	50	8	of	of	ADP
ejde-816	50	9	the	the	DET
ejde-816	50	10	mountain	mountain	NOUN
ejde-816	50	11	pass	pass	NOUN
ejde-816	50	12	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	50	13	[	[	X
ejde-816	50	14	5	5	NUM
ejde-816	50	15	]	]	PUNCT
ejde-816	50	16	,	,	PUNCT
ejde-816	50	17	the	the	DET
ejde-816	50	18	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	50	19	variational	variational	ADJ
ejde-816	50	20	principle	principle	NOUN
ejde-816	50	21	[	[	X
ejde-816	50	22	20	20	NUM
ejde-816	50	23	]	]	PUNCT
ejde-816	50	24	,	,	PUNCT
ejde-816	50	25	and	and	CCONJ
ejde-816	50	26	krasnoselskii	krasnoselskii	PROPN
ejde-816	50	27	’s	’s	PART
ejde-816	50	28	genus	genus	PROPN
ejde-816	50	29	theory	theory	NOUN
ejde-816	50	30	[	[	X
ejde-816	50	31	12	12	NUM
ejde-816	50	32	]	]	PUNCT
ejde-816	50	33	,	,	PUNCT
ejde-816	50	34	complemented	complement	VERB
ejde-816	50	35	by	by	ADP
ejde-816	50	36	the	the	DET
ejde-816	50	37	approach	approach	NOUN
ejde-816	50	38	outlined	outline	VERB
ejde-816	50	39	in	in	ADP
ejde-816	50	40	the	the	DET
ejde-816	50	41	article	article	NOUN
ejde-816	50	42	by	by	ADP
ejde-816	50	43	afrouzi	afrouzi	PROPN
ejde-816	50	44	[	[	X
ejde-816	50	45	1	1	NUM
ejde-816	50	46	]	]	PUNCT
ejde-816	50	47	.	.	PUNCT
ejde-816	51	1	we	we	PRON
ejde-816	51	2	highlight	highlight	VERB
ejde-816	51	3	that	that	SCONJ
ejde-816	51	4	the	the	DET
ejde-816	51	5	findings	finding	NOUN
ejde-816	51	6	presented	present	VERB
ejde-816	51	7	in	in	ADP
ejde-816	51	8	this	this	DET
ejde-816	51	9	work	work	NOUN
ejde-816	51	10	are	be	AUX
ejde-816	51	11	novel	novel	ADJ
ejde-816	51	12	,	,	PUNCT
ejde-816	51	13	extending	extend	VERB
ejde-816	51	14	to	to	ADP
ejde-816	51	15	cases	case	NOUN
ejde-816	51	16	where	where	SCONJ
ejde-816	51	17	p	p	X
ejde-816	51	18	(	(	PUNCT
ejde-816	51	19	·	·	PUNCT
ejde-816	51	20	)	)	PUNCT
ejde-816	51	21	is	be	AUX
ejde-816	51	22	a	a	DET
ejde-816	51	23	constant	constant	ADJ
ejde-816	51	24	.	.	PUNCT
ejde-816	52	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-816	52	2	,	,	PUNCT
ejde-816	52	3	we	we	PRON
ejde-816	52	4	do	do	AUX
ejde-816	52	5	not	not	PART
ejde-816	52	6	require	require	VERB
ejde-816	52	7	the	the	DET
ejde-816	52	8	non	non	ADJ
ejde-816	52	9	-	-	ADJ
ejde-816	52	10	degenerate	degenerate	ADJ
ejde-816	52	11	condition	condition	NOUN
ejde-816	52	12	on	on	ADP
ejde-816	52	13	the	the	DET
ejde-816	52	14	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	52	15	function	function	PROPN
ejde-816	52	16	m	m	VERB
ejde-816	52	17	,	,	PUNCT
ejde-816	52	18	as	as	SCONJ
ejde-816	52	19	stipulated	stipulate	VERB
ejde-816	52	20	in	in	ADP
ejde-816	52	21	[	[	X
ejde-816	52	22	3	3	NUM
ejde-816	52	23	,	,	PUNCT
ejde-816	52	24	8	8	NUM
ejde-816	52	25	]	]	PUNCT
ejde-816	52	26	;	;	PUNCT
ejde-816	52	27	refer	refer	VERB
ejde-816	52	28	to	to	ADP
ejde-816	52	29	the	the	DET
ejde-816	52	30	assumptions	assumption	NOUN
ejde-816	52	31	(	(	PUNCT
ejde-816	52	32	a1	a1	NOUN
ejde-816	52	33	)	)	PUNCT
ejde-816	52	34	and	and	CCONJ
ejde-816	52	35	(	(	PUNCT
ejde-816	52	36	a2	a2	PROPN
ejde-816	52	37	)	)	PUNCT
ejde-816	52	38	.	.	PUNCT
ejde-816	53	1	this	this	DET
ejde-816	53	2	article	article	NOUN
ejde-816	53	3	si	si	PROPN
ejde-816	53	4	structured	structure	VERB
ejde-816	53	5	as	as	SCONJ
ejde-816	53	6	follows	follow	VERB
ejde-816	53	7	:	:	PUNCT
ejde-816	53	8	in	in	ADP
ejde-816	53	9	the	the	DET
ejde-816	53	10	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-816	53	11	we	we	PRON
ejde-816	53	12	define	define	VERB
ejde-816	53	13	the	the	DET
ejde-816	53	14	functional	functional	ADJ
ejde-816	53	15	space	space	NOUN
ejde-816	53	16	and	and	CCONJ
ejde-816	53	17	give	give	VERB
ejde-816	53	18	results	result	NOUN
ejde-816	53	19	that	that	SCONJ
ejde-816	53	20	we	we	PRON
ejde-816	53	21	need	need	VERB
ejde-816	53	22	for	for	ADP
ejde-816	53	23	the	the	DET
ejde-816	53	24	proofs	proof	NOUN
ejde-816	53	25	.	.	PUNCT
ejde-816	54	1	in	in	ADP
ejde-816	54	2	the	the	DET
ejde-816	54	3	main	main	ADJ
ejde-816	54	4	result	result	NOUN
ejde-816	54	5	section	section	NOUN
ejde-816	54	6	,	,	PUNCT
ejde-816	54	7	we	we	PRON
ejde-816	54	8	prove	prove	VERB
ejde-816	54	9	the	the	DET
ejde-816	54	10	existence	existence	NOUN
ejde-816	54	11	and	and	CCONJ
ejde-816	54	12	the	the	DET
ejde-816	54	13	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	54	14	of	of	ADP
ejde-816	54	15	the	the	DET
ejde-816	54	16	solution	solution	NOUN
ejde-816	54	17	.	.	PUNCT
ejde-816	55	1	in	in	ADP
ejde-816	55	2	the	the	DET
ejde-816	55	3	application	application	NOUN
ejde-816	55	4	section	section	NOUN
ejde-816	55	5	,	,	PUNCT
ejde-816	55	6	we	we	PRON
ejde-816	55	7	apply	apply	VERB
ejde-816	55	8	the	the	DET
ejde-816	55	9	results	result	NOUN
ejde-816	55	10	of	of	ADP
ejde-816	55	11	section	section	NOUN
ejde-816	55	12	2	2	NUM
ejde-816	55	13	.	.	NOUN
ejde-816	55	14	2	2	NUM
ejde-816	55	15	.	.	X
ejde-816	55	16	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-816	55	17	we	we	PRON
ejde-816	55	18	recall	recall	VERB
ejde-816	55	19	some	some	DET
ejde-816	55	20	definitions	definition	NOUN
ejde-816	55	21	and	and	CCONJ
ejde-816	55	22	basic	basic	ADJ
ejde-816	55	23	properties	property	NOUN
ejde-816	55	24	of	of	ADP
ejde-816	55	25	the	the	DET
ejde-816	55	26	generalized	generalize	VERB
ejde-816	55	27	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	55	28	sobolev	sobolev	PROPN
ejde-816	55	29	spaces	space	NOUN
ejde-816	55	30	lp(x)(ω	lp(x)(ω	PROPN
ejde-816	55	31	)	)	PUNCT
ejde-816	55	32	and	and	CCONJ
ejde-816	55	33	w	w	PROPN
ejde-816	55	34	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	55	35	)	)	PUNCT
ejde-816	55	36	where	where	SCONJ
ejde-816	55	37	ω	ω	NOUN
ejde-816	55	38	is	be	AUX
ejde-816	55	39	an	an	DET
ejde-816	55	40	open	open	ADJ
ejde-816	55	41	subset	subset	NOUN
ejde-816	55	42	of	of	ADP
ejde-816	55	43	rn	rn	PROPN
ejde-816	55	44	.	.	PUNCT
ejde-816	56	1	for	for	ADP
ejde-816	56	2	this	this	DET
ejde-816	56	3	context	context	NOUN
ejde-816	56	4	,	,	PUNCT
ejde-816	56	5	we	we	PRON
ejde-816	56	6	refer	refer	VERB
ejde-816	56	7	to	to	ADP
ejde-816	56	8	the	the	DET
ejde-816	56	9	books	book	NOUN
ejde-816	56	10	[	[	X
ejde-816	56	11	18	18	NUM
ejde-816	56	12	,	,	PUNCT
ejde-816	56	13	27	27	NUM
ejde-816	56	14	]	]	PUNCT
ejde-816	56	15	and	and	CCONJ
ejde-816	56	16	the	the	DET
ejde-816	56	17	papers	paper	NOUN
ejde-816	56	18	[	[	X
ejde-816	56	19	2	2	NUM
ejde-816	56	20	,	,	PUNCT
ejde-816	56	21	17	17	NUM
ejde-816	56	22	,	,	PUNCT
ejde-816	56	23	21	21	NUM
ejde-816	56	24	,	,	PUNCT
ejde-816	56	25	25	25	NUM
ejde-816	56	26	]	]	PUNCT
ejde-816	56	27	.	.	PUNCT
ejde-816	57	1	we	we	PRON
ejde-816	57	2	define	define	VERB
ejde-816	57	3	the	the	DET
ejde-816	57	4	set	set	NOUN
ejde-816	57	5	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	57	6	)	)	PUNCT
ejde-816	57	7	:	:	PUNCT
ejde-816	57	8	=	=	PRON
ejde-816	57	9	{	{	PUNCT
ejde-816	57	10	h;h	h;h	NOUN
ejde-816	57	11	∈	∈	PROPN
ejde-816	57	12	c(ω̄	c(ω̄	NOUN
ejde-816	57	13	)	)	PUNCT
ejde-816	57	14	,	,	PUNCT
ejde-816	57	15	h(x	h(x	PROPN
ejde-816	57	16	)	)	PUNCT
ejde-816	57	17	>	>	X
ejde-816	57	18	1	1	NUM
ejde-816	57	19	for	for	ADP
ejde-816	57	20	all	all	DET
ejde-816	57	21	x	x	SYM
ejde-816	57	22	∈	∈	NOUN
ejde-816	57	23	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	57	24	}	}	PUNCT
ejde-816	57	25	for	for	ADP
ejde-816	57	26	each	each	DET
ejde-816	57	27	h	h	NOUN
ejde-816	57	28	∈	∈	PROPN
ejde-816	57	29	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	57	30	)	)	PUNCT
ejde-816	57	31	we	we	PRON
ejde-816	57	32	define	define	VERB
ejde-816	57	33	h+	h+	PUNCT
ejde-816	57	34	=	=	SYM
ejde-816	57	35	sup	sup	NOUN
ejde-816	57	36	x∈ω̄	x∈ω̄	PROPN
ejde-816	57	37	h(x	h(x	PROPN
ejde-816	57	38	)	)	PUNCT
ejde-816	57	39	,	,	PUNCT
ejde-816	57	40	h−	h−	PROPN
ejde-816	57	41	=	=	SYM
ejde-816	57	42	inf	inf	PROPN
ejde-816	57	43	x∈ω̄	x∈ω̄	PROPN
ejde-816	57	44	h(x	h(x	PROPN
ejde-816	57	45	)	)	PUNCT
ejde-816	57	46	.	.	PUNCT
ejde-816	58	1	for	for	ADP
ejde-816	58	2	each	each	DET
ejde-816	58	3	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	58	4	)	)	PUNCT
ejde-816	58	5	∈	∈	PROPN
ejde-816	58	6	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	58	7	)	)	PUNCT
ejde-816	58	8	,	,	PUNCT
ejde-816	58	9	we	we	PRON
ejde-816	58	10	define	define	VERB
ejde-816	58	11	the	the	DET
ejde-816	58	12	variable	variable	ADJ
ejde-816	58	13	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	58	14	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	58	15	space	space	PROPN
ejde-816	58	16	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	58	17	)	)	PUNCT
ejde-816	59	1	=	=	PRON
ejde-816	59	2	{	{	PUNCT
ejde-816	59	3	u	u	NOUN
ejde-816	59	4	measurable	measurable	ADJ
ejde-816	59	5	real	real	ADV
ejde-816	59	6	-	-	PUNCT
ejde-816	59	7	valued	value	VERB
ejde-816	59	8	functions	function	NOUN
ejde-816	59	9	such	such	ADJ
ejde-816	59	10	that	that	DET
ejde-816	59	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	59	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	59	13	|u(x)|p(x	|u(x)|p(x	PROPN
ejde-816	59	14	)	)	PUNCT
ejde-816	59	15	dx	dx	PROPN
ejde-816	59	16	<	<	X
ejde-816	59	17	∞	∞	PROPN
ejde-816	59	18	}	}	PUNCT
ejde-816	59	19	we	we	PRON
ejde-816	59	20	recall	recall	VERB
ejde-816	59	21	the	the	DET
ejde-816	59	22	so	so	ADV
ejde-816	59	23	-	-	PUNCT
ejde-816	59	24	called	call	VERB
ejde-816	59	25	luxemburg	luxemburg	PROPN
ejde-816	59	26	norm	norm	NOUN
ejde-816	59	27	on	on	ADP
ejde-816	59	28	this	this	DET
ejde-816	59	29	space	space	NOUN
ejde-816	59	30	defined	define	VERB
ejde-816	59	31	by	by	ADP
ejde-816	59	32	the	the	DET
ejde-816	59	33	formula	formula	NOUN
ejde-816	59	34	|u|lp(x)(ω	|u|lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	59	35	)	)	PUNCT
ejde-816	60	1	=	=	SYM
ejde-816	60	2	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	60	3	)	)	PUNCT
ejde-816	60	4	:	:	PUNCT
ejde-816	60	5	=	=	SYM
ejde-816	60	6	inf	inf	NOUN
ejde-816	60	7	{	{	PUNCT
ejde-816	60	8	λ	λ	X
ejde-816	60	9	>	>	X
ejde-816	60	10	0	0	NUM
ejde-816	60	11	:	:	PUNCT
ejde-816	60	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	60	13	ω	ω	NUM
ejde-816	60	14	∣∣u(x	∣∣u(x	PROPN
ejde-816	60	15	)	)	PUNCT
ejde-816	60	16	λ	λ	PROPN
ejde-816	60	17	∣∣p(x	∣∣p(x	PROPN
ejde-816	60	18	)	)	PUNCT
ejde-816	60	19	dx	dx	PROPN
ejde-816	60	20	≤	≤	NUM
ejde-816	60	21	1	1	NUM
ejde-816	60	22	}	}	PUNCT
ejde-816	60	23	.	.	PUNCT
ejde-816	61	1	variable	variable	ADJ
ejde-816	61	2	exponent	exponent	PROPN
ejde-816	61	3	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	61	4	spaces	space	NOUN
ejde-816	61	5	resemble	resemble	VERB
ejde-816	61	6	classical	classical	ADJ
ejde-816	61	7	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	61	8	spaces	space	NOUN
ejde-816	61	9	in	in	ADP
ejde-816	61	10	many	many	ADJ
ejde-816	61	11	respects	respect	NOUN
ejde-816	61	12	:	:	PUNCT
ejde-816	61	13	they	they	PRON
ejde-816	61	14	are	be	AUX
ejde-816	61	15	banach	banach	ADV
ejde-816	61	16	spaces	space	NOUN
ejde-816	61	17	,	,	PUNCT
ejde-816	61	18	the	the	DET
ejde-816	61	19	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	61	20	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	61	21	holds	hold	VERB
ejde-816	61	22	,	,	PUNCT
ejde-816	61	23	they	they	PRON
ejde-816	61	24	are	be	AUX
ejde-816	61	25	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-816	61	26	if	if	SCONJ
ejde-816	61	27	and	and	CCONJ
ejde-816	61	28	only	only	ADV
ejde-816	61	29	if	if	SCONJ
ejde-816	61	30	1	1	NUM
ejde-816	61	31	<	<	X
ejde-816	61	32	p−	p−	PROPN
ejde-816	61	33	≤	≤	NOUN
ejde-816	61	34	p+	p+	VERB
ejde-816	61	35	<	<	X
ejde-816	61	36	+	+	NOUN
ejde-816	61	37	∞	∞	NUM
ejde-816	61	38	and	and	CCONJ
ejde-816	61	39	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	61	40	functions	function	NOUN
ejde-816	61	41	are	be	AUX
ejde-816	61	42	dense	dense	ADJ
ejde-816	61	43	if	if	SCONJ
ejde-816	61	44	p+	p+	NOUN
ejde-816	61	45	<	<	X
ejde-816	61	46	+	+	ADJ
ejde-816	61	47	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	61	48	the	the	DET
ejde-816	61	49	inclusion	inclusion	NOUN
ejde-816	61	50	between	between	ADP
ejde-816	61	51	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	61	52	spaces	space	NOUN
ejde-816	61	53	also	also	ADV
ejde-816	61	54	generalizes	generalize	VERB
ejde-816	61	55	naturally	naturally	ADV
ejde-816	61	56	:	:	PUNCT
ejde-816	61	57	if	if	SCONJ
ejde-816	61	58	0	0	NUM
ejde-816	61	59	<	<	X
ejde-816	61	60	|ω|	|ω|	ADP
ejde-816	61	61	<	<	X
ejde-816	61	62	+	+	PROPN
ejde-816	61	63	∞	∞	NOUN
ejde-816	61	64	and	and	CCONJ
ejde-816	61	65	p1	p1	NOUN
ejde-816	61	66	,	,	PUNCT
ejde-816	61	67	p2	p2	PROPN
ejde-816	61	68	are	be	AUX
ejde-816	61	69	variable	variable	ADJ
ejde-816	61	70	exponents	exponent	NOUN
ejde-816	61	71	so	so	SCONJ
ejde-816	62	1	that	that	DET
ejde-816	62	2	p1(x	p1(x	NOUN
ejde-816	62	3	)	)	PUNCT
ejde-816	62	4	≤	≤	NOUN
ejde-816	62	5	p2(x	p2(x	X
ejde-816	62	6	)	)	PUNCT
ejde-816	62	7	a.e	a.e	PROPN
ejde-816	62	8	.	.	PUNCT
ejde-816	62	9	x	x	PUNCT
ejde-816	63	1	∈	∈	PROPN
ejde-816	63	2	ω	ω	NOUN
ejde-816	63	3	then	then	ADV
ejde-816	63	4	there	there	PRON
ejde-816	63	5	exists	exist	VERB
ejde-816	63	6	the	the	DET
ejde-816	63	7	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	63	8	embedding	embed	VERB
ejde-816	63	9	lp2(x)(ω	lp2(x)(ω	NOUN
ejde-816	63	10	)	)	PUNCT
ejde-816	63	11	↪	↪	PROPN
ejde-816	63	12	→	→	SYM
ejde-816	63	13	lp1(x)(ω	lp1(x)(ω	NOUN
ejde-816	63	14	)	)	PUNCT
ejde-816	63	15	.	.	PUNCT
ejde-816	64	1	we	we	PRON
ejde-816	64	2	denote	denote	VERB
ejde-816	64	3	by	by	ADP
ejde-816	64	4	lp′(x)(ω	lp′(x)(ω	NOUN
ejde-816	64	5	)	)	PUNCT
ejde-816	64	6	the	the	DET
ejde-816	64	7	conjugate	conjugate	ADJ
ejde-816	64	8	space	space	NOUN
ejde-816	64	9	of	of	ADP
ejde-816	64	10	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	64	11	)	)	PUNCT
ejde-816	64	12	,	,	PUNCT
ejde-816	64	13	where	where	SCONJ
ejde-816	64	14	1	1	NUM
ejde-816	64	15	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	64	16	)	)	PUNCT
ejde-816	64	17	+	+	CCONJ
ejde-816	64	18	1	1	NUM
ejde-816	64	19	p′(x	p′(x	NOUN
ejde-816	64	20	)	)	PUNCT
ejde-816	64	21	=	=	SYM
ejde-816	65	1	1	1	X
ejde-816	65	2	.	.	X
ejde-816	65	3	for	for	ADP
ejde-816	65	4	any	any	DET
ejde-816	65	5	u	u	PROPN
ejde-816	65	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	65	7	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	65	8	)	)	PUNCT
ejde-816	65	9	and	and	CCONJ
ejde-816	65	10	v	v	ADP
ejde-816	65	11	∈	∈	NUM
ejde-816	65	12	lp′(x)(ω	lp′(x)(ω	NOUN
ejde-816	65	13	)	)	PUNCT
ejde-816	65	14	the	the	DET
ejde-816	65	15	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	66	1	inequalities∣∣	inequalities∣∣	PROPN
ejde-816	66	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	66	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	66	4	uv	uv	PROPN
ejde-816	66	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	66	6	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	66	7	≤	≤	NUM
ejde-816	66	8	(	(	PUNCT
ejde-816	66	9	1	1	NUM
ejde-816	66	10	p−	p−	NOUN
ejde-816	66	11	+	+	NOUN
ejde-816	66	12	1	1	NUM
ejde-816	66	13	(	(	PUNCT
ejde-816	66	14	p′)−	p′)−	PROPN
ejde-816	66	15	)	)	PUNCT
ejde-816	66	16	|u|p(x)|v|p′(x	|u|p(x)|v|p′(x	PROPN
ejde-816	66	17	)	)	PUNCT
ejde-816	66	18	≤	≤	NUM
ejde-816	66	19	2|u|p(x)|v|p′(x	2|u|p(x)|v|p′(x	NOUN
ejde-816	66	20	)	)	PUNCT
ejde-816	66	21	hold	hold	VERB
ejde-816	66	22	.	.	PUNCT
ejde-816	67	1	an	an	DET
ejde-816	67	2	important	important	ADJ
ejde-816	67	3	role	role	NOUN
ejde-816	67	4	in	in	ADP
ejde-816	67	5	manipulating	manipulate	VERB
ejde-816	67	6	the	the	DET
ejde-816	67	7	generalized	generalize	VERB
ejde-816	67	8	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	67	9	-	-	PUNCT
ejde-816	67	10	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-816	67	11	spaces	space	NOUN
ejde-816	67	12	is	be	AUX
ejde-816	67	13	played	play	VERB
ejde-816	67	14	by	by	ADP
ejde-816	67	15	the	the	DET
ejde-816	67	16	modular	modular	NOUN
ejde-816	67	17	of	of	ADP
ejde-816	67	18	the	the	DET
ejde-816	67	19	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	67	20	)	)	PUNCT
ejde-816	67	21	space	space	NOUN
ejde-816	67	22	,	,	PUNCT
ejde-816	67	23	which	which	PRON
ejde-816	67	24	is	be	AUX
ejde-816	67	25	the	the	DET
ejde-816	67	26	mapping	mapping	NOUN
ejde-816	67	27	ρp(x	ρp(x	NUM
ejde-816	67	28	)	)	PUNCT
ejde-816	67	29	:	:	PUNCT
ejde-816	67	30	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	67	31	)	)	PUNCT
ejde-816	68	1	→	→	SYM
ejde-816	68	2	r	r	NOUN
ejde-816	68	3	defined	define	VERB
ejde-816	68	4	by	by	ADP
ejde-816	68	5	ρp(x)(u	ρp(x)(u	NOUN
ejde-816	68	6	)	)	PUNCT
ejde-816	69	1	=	=	SYM
ejde-816	69	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	69	3	ω	ω	NUM
ejde-816	69	4	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	69	5	)	)	PUNCT
ejde-816	69	6	dx	dx	PROPN
ejde-816	69	7	4	4	NUM
ejde-816	69	8	h.	h.	PROPN
ejde-816	69	9	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	69	10	,	,	PUNCT
ejde-816	69	11	a.	a.	NOUN
ejde-816	69	12	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	69	13	,	,	PUNCT
ejde-816	69	14	m.	m.	PROPN
ejde-816	69	15	filali	filali	PROPN
ejde-816	69	16	,	,	PUNCT
ejde-816	69	17	n.	n.	PROPN
ejde-816	69	18	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	69	19	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	69	20	if	if	SCONJ
ejde-816	69	21	u	u	PROPN
ejde-816	69	22	∈	∈	PROPN
ejde-816	69	23	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	69	24	)	)	PUNCT
ejde-816	69	25	and	and	CCONJ
ejde-816	69	26	p+	p+	AUX
ejde-816	69	27	<	<	X
ejde-816	69	28	+	+	NOUN
ejde-816	69	29	∞	∞	PROPN
ejde-816	69	30	then	then	ADV
ejde-816	69	31	the	the	DET
ejde-816	69	32	following	follow	VERB
ejde-816	69	33	relations	relation	NOUN
ejde-816	69	34	hold	hold	VERB
ejde-816	69	35	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	69	36	−	−	NOUN
ejde-816	69	37	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	69	38	)	)	PUNCT
ejde-816	69	39	≤	≤	NOUN
ejde-816	69	40	ρp(x)(u	ρp(x)(u	NOUN
ejde-816	69	41	)	)	PUNCT
ejde-816	69	42	≤	≤	NUM
ejde-816	69	43	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	69	44	+	+	CCONJ
ejde-816	69	45	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	69	46	)	)	PUNCT
ejde-816	69	47	,	,	PUNCT
ejde-816	69	48	provided	provide	VERB
ejde-816	69	49	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	69	50	)	)	PUNCT
ejde-816	69	51	>	>	X
ejde-816	69	52	1	1	NUM
ejde-816	69	53	,	,	PUNCT
ejde-816	69	54	while	while	SCONJ
ejde-816	69	55	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	69	56	+	+	CCONJ
ejde-816	69	57	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	69	58	)	)	PUNCT
ejde-816	69	59	≤	≤	NOUN
ejde-816	69	60	ρp(x)(u	ρp(x)(u	NOUN
ejde-816	69	61	)	)	PUNCT
ejde-816	69	62	≤	≤	NUM
ejde-816	69	63	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	69	64	−	−	PROPN
ejde-816	69	65	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	69	66	)	)	PUNCT
ejde-816	69	67	,	,	PUNCT
ejde-816	69	68	provided	provide	VERB
ejde-816	69	69	∥u∥p(x	∥u∥p(x	PROPN
ejde-816	69	70	)	)	PUNCT
ejde-816	69	71	<	<	X
ejde-816	69	72	1	1	NUM
ejde-816	69	73	,	,	PUNCT
ejde-816	69	74	and	and	CCONJ
ejde-816	69	75	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	69	76	−	−	PROPN
ejde-816	69	77	u∥p(x	u∥p(x	PROPN
ejde-816	69	78	)	)	PUNCT
ejde-816	69	79	→	→	SYM
ejde-816	69	80	0	0	NUM
ejde-816	69	81	⇔	⇔	PROPN
ejde-816	69	82	ρp(x)(un	ρp(x)(un	PROPN
ejde-816	69	83	−	−	PROPN
ejde-816	69	84	u	u	NOUN
ejde-816	69	85	)	)	PUNCT
ejde-816	69	86	→	→	SYM
ejde-816	69	87	0	0	NUM
ejde-816	69	88	.	.	PUNCT
ejde-816	70	1	if	if	SCONJ
ejde-816	70	2	p	p	PROPN
ejde-816	70	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	70	4	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	70	5	)	)	PUNCT
ejde-816	70	6	the	the	DET
ejde-816	70	7	variable	variable	ADJ
ejde-816	70	8	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	70	9	sobolev	sobolev	PROPN
ejde-816	70	10	space	space	PROPN
ejde-816	70	11	w	w	PROPN
ejde-816	70	12	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	70	13	)	)	PUNCT
ejde-816	70	14	,	,	PUNCT
ejde-816	70	15	consisting	consist	VERB
ejde-816	70	16	of	of	ADP
ejde-816	70	17	functions	function	NOUN
ejde-816	70	18	u	u	PROPN
ejde-816	70	19	∈	∈	PROPN
ejde-816	70	20	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	70	21	)	)	PUNCT
ejde-816	70	22	whose	whose	DET
ejde-816	70	23	distributional	distributional	ADJ
ejde-816	70	24	gradient	gradient	NOUN
ejde-816	70	25	∇u	∇u	PROPN
ejde-816	70	26	exists	exist	VERB
ejde-816	70	27	almost	almost	ADV
ejde-816	70	28	everywhere	everywhere	ADV
ejde-816	70	29	and	and	CCONJ
ejde-816	70	30	belongs	belong	VERB
ejde-816	70	31	to	to	ADP
ejde-816	70	32	[	[	PUNCT
ejde-816	70	33	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	70	34	)	)	PUNCT
ejde-816	70	35	]	]	PUNCT
ejde-816	70	36	n	n	X
ejde-816	70	37	,	,	PUNCT
ejde-816	70	38	endowed	endow	VERB
ejde-816	70	39	with	with	ADP
ejde-816	70	40	the	the	DET
ejde-816	70	41	norm	norm	NOUN
ejde-816	70	42	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	70	43	:	:	PUNCT
ejde-816	70	44	=	=	SYM
ejde-816	70	45	inf	inf	NOUN
ejde-816	70	46	{	{	PUNCT
ejde-816	70	47	λ	λ	X
ejde-816	70	48	>	>	X
ejde-816	70	49	0	0	NUM
ejde-816	70	50	:	:	PUNCT
ejde-816	71	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	71	2	ω	ω	PROPN
ejde-816	71	3	[	[	X
ejde-816	71	4	∣∣∇u(x	∣∣∇u(x	NOUN
ejde-816	71	5	)	)	PUNCT
ejde-816	71	6	λ	λ	NOUN
ejde-816	71	7	∣∣p(x	∣∣p(x	PROPN
ejde-816	71	8	)	)	PUNCT
ejde-816	71	9	+	+	SYM
ejde-816	71	10	|u(x	|u(x	PROPN
ejde-816	71	11	)	)	PUNCT
ejde-816	71	12	λ	λ	PROPN
ejde-816	71	13	|p(x	|p(x	PROPN
ejde-816	71	14	)	)	PUNCT
ejde-816	71	15	]	]	PUNCT
ejde-816	71	16	dx	dx	PROPN
ejde-816	71	17	≤	≤	NUM
ejde-816	71	18	1	1	NUM
ejde-816	71	19	}	}	PUNCT
ejde-816	71	20	or	or	CCONJ
ejde-816	71	21	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	71	22	=	=	SYM
ejde-816	71	23	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	71	24	)	)	PUNCT
ejde-816	71	25	+	+	NUM
ejde-816	71	26	|∇u|p(x	|∇u|p(x	NOUN
ejde-816	71	27	)	)	PUNCT
ejde-816	71	28	,	,	PUNCT
ejde-816	71	29	is	be	AUX
ejde-816	71	30	a	a	DET
ejde-816	71	31	separable	separable	ADJ
ejde-816	71	32	and	and	CCONJ
ejde-816	71	33	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-816	71	34	banach	banach	NOUN
ejde-816	71	35	space	space	NOUN
ejde-816	71	36	.	.	PUNCT
ejde-816	72	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	72	2	2.1	2.1	NUM
ejde-816	72	3	(	(	PUNCT
ejde-816	72	4	[	[	X
ejde-816	72	5	31	31	NUM
ejde-816	72	6	]	]	PUNCT
ejde-816	72	7	)	)	PUNCT
ejde-816	72	8	.	.	PUNCT
ejde-816	73	1	let	let	VERB
ejde-816	73	2	ρ(u	ρ(u	X
ejde-816	73	3	)	)	PUNCT
ejde-816	74	1	=	=	SYM
ejde-816	74	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	74	3	ω	ω	NUM
ejde-816	74	4	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	74	5	)	)	PUNCT
ejde-816	74	6	dx	dx	PROPN
ejde-816	74	7	.	.	PUNCT
ejde-816	75	1	then	then	ADV
ejde-816	75	2	∥u∥p	∥u∥p	VERB
ejde-816	75	3	−	−	PROPN
ejde-816	75	4	≤	≤	NUM
ejde-816	75	5	ρ(u	ρ(u	PROPN
ejde-816	75	6	)	)	PUNCT
ejde-816	75	7	≤	≤	NUM
ejde-816	75	8	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	75	9	+	+	CCONJ
ejde-816	75	10	provided	provide	VERB
ejde-816	75	11	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	75	12	>	>	X
ejde-816	75	13	1	1	NUM
ejde-816	75	14	,	,	PUNCT
ejde-816	75	15	while	while	SCONJ
ejde-816	75	16	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	75	17	+	+	CCONJ
ejde-816	75	18	≤	≤	ADJ
ejde-816	75	19	ρ(u	ρ(u	NOUN
ejde-816	75	20	)	)	PUNCT
ejde-816	75	21	≤	≤	NUM
ejde-816	75	22	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	75	23	−	−	PROPN
ejde-816	75	24	provided	provide	VERB
ejde-816	75	25	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	75	26	<	<	X
ejde-816	75	27	1	1	NUM
ejde-816	75	28	,	,	PUNCT
ejde-816	75	29	and	and	CCONJ
ejde-816	75	30	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	75	31	−	−	PROPN
ejde-816	75	32	u∥	u∥	PROPN
ejde-816	75	33	→	→	SYM
ejde-816	75	34	0	0	NUM
ejde-816	75	35	⇔	⇔	PROPN
ejde-816	75	36	ρ(un	ρ(un	PROPN
ejde-816	76	1	−	−	PROPN
ejde-816	76	2	u	u	NOUN
ejde-816	76	3	)	)	PUNCT
ejde-816	76	4	→	→	SYM
ejde-816	76	5	0	0	X
ejde-816	76	6	.	.	PUNCT
ejde-816	77	1	the	the	DET
ejde-816	77	2	space	space	NOUN
ejde-816	77	3	of	of	ADP
ejde-816	77	4	smooth	smooth	ADJ
ejde-816	77	5	functions	function	NOUN
ejde-816	77	6	are	be	AUX
ejde-816	77	7	in	in	ADP
ejde-816	77	8	general	general	ADJ
ejde-816	77	9	not	not	PART
ejde-816	77	10	dense	dense	ADJ
ejde-816	77	11	in	in	ADP
ejde-816	77	12	w	w	PROPN
ejde-816	77	13	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	77	14	)	)	PUNCT
ejde-816	77	15	,	,	PUNCT
ejde-816	77	16	but	but	CCONJ
ejde-816	77	17	if	if	SCONJ
ejde-816	77	18	the	the	DET
ejde-816	77	19	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	77	20	p	p	PROPN
ejde-816	77	21	∈	∈	PROPN
ejde-816	77	22	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	77	23	)	)	PUNCT
ejde-816	77	24	is	be	AUX
ejde-816	77	25	logarithmic	logarithmic	ADJ
ejde-816	77	26	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	77	27	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	77	28	,	,	PUNCT
ejde-816	77	29	that	that	ADV
ejde-816	77	30	is	is	ADV
ejde-816	77	31	,	,	PUNCT
ejde-816	78	1	|p(x)−	|p(x)−	PROPN
ejde-816	78	2	p(y)|	p(y)|	PROPN
ejde-816	78	3	≤	≤	ADV
ejde-816	78	4	−	−	ADP
ejde-816	78	5	m	m	VERB
ejde-816	78	6	log(|x−	log(|x−	PROPN
ejde-816	78	7	y|	y|	NOUN
ejde-816	78	8	)	)	PUNCT
ejde-816	78	9	,	,	PUNCT
ejde-816	78	10	∀x	∀x	X
ejde-816	78	11	,	,	PUNCT
ejde-816	78	12	y	y	PROPN
ejde-816	78	13	∈	∈	PROPN
ejde-816	78	14	ω	ω	PROPN
ejde-816	78	15	,	,	PUNCT
ejde-816	78	16	|x−	|x−	X
ejde-816	78	17	y|	y|	NOUN
ejde-816	78	18	≤	≤	NUM
ejde-816	78	19	1	1	NUM
ejde-816	78	20	2	2	NUM
ejde-816	78	21	,	,	PUNCT
ejde-816	78	22	then	then	ADV
ejde-816	78	23	the	the	DET
ejde-816	78	24	smooth	smooth	ADJ
ejde-816	78	25	functions	function	NOUN
ejde-816	78	26	are	be	AUX
ejde-816	78	27	dense	dense	ADJ
ejde-816	78	28	in	in	ADP
ejde-816	78	29	w	w	PROPN
ejde-816	78	30	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	78	31	)	)	PUNCT
ejde-816	78	32	.	.	PUNCT
ejde-816	79	1	the	the	DET
ejde-816	79	2	space	space	NOUN
ejde-816	79	3	(	(	PUNCT
ejde-816	79	4	w	w	NOUN
ejde-816	79	5	1,p(x	1,p(x	NUM
ejde-816	79	6	)	)	PUNCT
ejde-816	79	7	0	0	NUM
ejde-816	79	8	(	(	PUNCT
ejde-816	79	9	ω	ω	NOUN
ejde-816	79	10	)	)	PUNCT
ejde-816	79	11	,	,	PUNCT
ejde-816	79	12	∥	∥	X
ejde-816	79	13	·	·	PUNCT
ejde-816	79	14	∥	∥	X
ejde-816	79	15	)	)	PUNCT
ejde-816	79	16	is	be	AUX
ejde-816	79	17	a	a	DET
ejde-816	79	18	separable	separable	ADJ
ejde-816	79	19	and	and	CCONJ
ejde-816	79	20	banach	banach	NOUN
ejde-816	79	21	space	space	NOUN
ejde-816	79	22	.	.	PUNCT
ejde-816	80	1	we	we	PRON
ejde-816	80	2	note	note	VERB
ejde-816	80	3	that	that	SCONJ
ejde-816	80	4	if	if	SCONJ
ejde-816	80	5	s	s	VERB
ejde-816	80	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	80	7	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	80	8	)	)	PUNCT
ejde-816	80	9	and	and	CCONJ
ejde-816	80	10	s(x	s(x	NOUN
ejde-816	80	11	)	)	PUNCT
ejde-816	80	12	<	<	X
ejde-816	80	13	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	80	14	)	)	PUNCT
ejde-816	80	15	for	for	ADP
ejde-816	80	16	all	all	PRON
ejde-816	80	17	x	x	SYM
ejde-816	80	18	∈	∈	NOUN
ejde-816	80	19	ω̄	ω̄	ADP
ejde-816	80	20	then	then	ADV
ejde-816	80	21	the	the	DET
ejde-816	80	22	embedding	embed	VERB
ejde-816	80	23	w	w	PROPN
ejde-816	80	24	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	80	25	)	)	PUNCT
ejde-816	80	26	↪	↪	PROPN
ejde-816	80	27	→	→	SYM
ejde-816	80	28	ls(x)(ω	ls(x)(ω	NUM
ejde-816	80	29	)	)	PUNCT
ejde-816	80	30	is	be	AUX
ejde-816	80	31	compact	compact	ADJ
ejde-816	80	32	and	and	CCONJ
ejde-816	80	33	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	80	34	,	,	PUNCT
ejde-816	80	35	where	where	SCONJ
ejde-816	80	36	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	80	37	)	)	PUNCT
ejde-816	80	38	=	=	SYM
ejde-816	80	39	np(x	np(x	X
ejde-816	80	40	)	)	PUNCT
ejde-816	80	41	n−p(x	n−p(x	NOUN
ejde-816	80	42	)	)	PUNCT
ejde-816	80	43	if	if	SCONJ
ejde-816	80	44	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	80	45	)	)	PUNCT
ejde-816	80	46	<	<	X
ejde-816	80	47	n	n	NOUN
ejde-816	80	48	or	or	CCONJ
ejde-816	80	49	p∗(x	p∗(x	PROPN
ejde-816	80	50	)	)	PUNCT
ejde-816	80	51	=	=	PUNCT
ejde-816	81	1	+	+	NUM
ejde-816	81	2	∞	∞	NUM
ejde-816	81	3	if	if	SCONJ
ejde-816	81	4	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	81	5	)	)	PUNCT
ejde-816	81	6	>	>	X
ejde-816	82	1	n	n	X
ejde-816	82	2	.	.	PUNCT
ejde-816	83	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	83	2	2.2	2.2	NUM
ejde-816	83	3	(	(	PUNCT
ejde-816	83	4	[	[	X
ejde-816	83	5	31	31	NUM
ejde-816	83	6	]	]	PUNCT
ejde-816	83	7	)	)	PUNCT
ejde-816	83	8	.	.	PUNCT
ejde-816	84	1	let	let	VERB
ejde-816	84	2	us	we	PRON
ejde-816	84	3	define	define	VERB
ejde-816	84	4	the	the	DET
ejde-816	84	5	functional	functional	ADJ
ejde-816	84	6	l	l	NOUN
ejde-816	84	7	:	:	PUNCT
ejde-816	84	8	w	w	PROPN
ejde-816	84	9	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	84	10	)	)	PUNCT
ejde-816	85	1	→	→	SYM
ejde-816	85	2	r	r	NOUN
ejde-816	85	3	by	by	ADP
ejde-816	85	4	l(u	l(u	PROPN
ejde-816	85	5	)	)	PUNCT
ejde-816	86	1	=	=	SYM
ejde-816	86	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	86	3	ω	ω	NUM
ejde-816	86	4	1	1	NUM
ejde-816	86	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	86	6	)	)	PUNCT
ejde-816	86	7	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	86	8	)	)	PUNCT
ejde-816	86	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	86	10	(	(	PUNCT
ejde-816	86	11	2.1	2.1	NUM
ejde-816	86	12	)	)	PUNCT
ejde-816	86	13	for	for	ADP
ejde-816	86	14	all	all	DET
ejde-816	86	15	u	u	NOUN
ejde-816	86	16	∈w	∈w	NOUN
ejde-816	86	17	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	86	18	)	)	PUNCT
ejde-816	86	19	.	.	PUNCT
ejde-816	87	1	then	then	ADV
ejde-816	87	2	l	l	PROPN
ejde-816	87	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	87	4	c1	c1	NOUN
ejde-816	87	5	(	(	PUNCT
ejde-816	87	6	w	w	PROPN
ejde-816	87	7	1,p(x)(ω),r	1,p(x)(ω),r	NUM
ejde-816	87	8	)	)	PUNCT
ejde-816	87	9	and	and	CCONJ
ejde-816	87	10	its	its	PRON
ejde-816	87	11	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	87	12	is	be	AUX
ejde-816	87	13	l′(u)(v	l′(u)(v	NOUN
ejde-816	87	14	)	)	PUNCT
ejde-816	88	1	=	=	SYM
ejde-816	88	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	88	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	88	4	|∇u|p(x)−2∇u∇v	|∇u|p(x)−2∇u∇v	PROPN
ejde-816	88	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	88	6	(	(	PUNCT
ejde-816	88	7	2.2	2.2	NUM
ejde-816	88	8	)	)	PUNCT
ejde-816	88	9	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	88	10	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	88	11	type	type	NOUN
ejde-816	88	12	problems	problem	NOUN
ejde-816	88	13	5	5	NUM
ejde-816	88	14	moreover	moreover	ADV
ejde-816	88	15	,	,	PUNCT
ejde-816	88	16	we	we	PRON
ejde-816	88	17	have	have	AUX
ejde-816	88	18	the	the	DET
ejde-816	88	19	following	follow	VERB
ejde-816	88	20	assertions	assertion	NOUN
ejde-816	88	21	(	(	PUNCT
ejde-816	88	22	i	i	NOUN
ejde-816	88	23	)	)	PUNCT
ejde-816	88	24	l′	l′	PUNCT
ejde-816	88	25	:	:	PUNCT
ejde-816	88	26	w	w	PROPN
ejde-816	88	27	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	88	28	)	)	PUNCT
ejde-816	88	29	→w−1,p(x)(ω	→w−1,p(x)(ω	PUNCT
ejde-816	88	30	)	)	PUNCT
ejde-816	88	31	is	be	AUX
ejde-816	88	32	a	a	DET
ejde-816	88	33	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	88	34	,	,	PUNCT
ejde-816	88	35	bounded	bounded	ADJ
ejde-816	88	36	and	and	CCONJ
ejde-816	88	37	strictly	strictly	ADV
ejde-816	88	38	monotone	monotone	ADJ
ejde-816	88	39	operator	operator	NOUN
ejde-816	88	40	;	;	PUNCT
ejde-816	88	41	(	(	PUNCT
ejde-816	88	42	ii	ii	NOUN
ejde-816	88	43	)	)	PUNCT
ejde-816	88	44	l′	l′	PUNCT
ejde-816	88	45	:	:	PUNCT
ejde-816	88	46	w	w	PROPN
ejde-816	88	47	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	88	48	)	)	PUNCT
ejde-816	88	49	→	→	SYM
ejde-816	88	50	w−1,p(x)(ω	w−1,p(x)(ω	NOUN
ejde-816	88	51	)	)	PUNCT
ejde-816	88	52	is	be	AUX
ejde-816	88	53	a	a	DET
ejde-816	88	54	mapping	mapping	NOUN
ejde-816	88	55	of	of	ADP
ejde-816	88	56	type	type	NOUN
ejde-816	88	57	(	(	PUNCT
ejde-816	88	58	s)+	s)+	PROPN
ejde-816	88	59	,	,	PUNCT
ejde-816	89	1	i.e.	i.e.	X
ejde-816	89	2	if	if	SCONJ
ejde-816	89	3	{	{	PUNCT
ejde-816	89	4	un	un	ADJ
ejde-816	89	5	}	}	PUNCT
ejde-816	89	6	converges	converge	VERB
ejde-816	89	7	weakly	weakly	ADV
ejde-816	89	8	to	to	ADP
ejde-816	89	9	u	u	NOUN
ejde-816	89	10	in	in	ADP
ejde-816	89	11	w	w	PROPN
ejde-816	89	12	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	89	13	)	)	PUNCT
ejde-816	89	14	and	and	CCONJ
ejde-816	90	1	lim	lim	PROPN
ejde-816	90	2	supn→∞	supn→∞	PROPN
ejde-816	90	3	l′(un)(un	l′(un)(un	PROPN
ejde-816	90	4	−	−	PROPN
ejde-816	90	5	u	u	NOUN
ejde-816	90	6	)	)	PUNCT
ejde-816	90	7	≤	≤	NOUN
ejde-816	90	8	0	0	NUM
ejde-816	90	9	,	,	PUNCT
ejde-816	90	10	then	then	ADV
ejde-816	90	11	{	{	PUNCT
ejde-816	90	12	un	un	PROPN
ejde-816	90	13	}	}	PUNCT
ejde-816	90	14	converges	converge	VERB
ejde-816	90	15	strongly	strongly	ADV
ejde-816	90	16	to	to	ADP
ejde-816	90	17	u	u	PRON
ejde-816	90	18	in	in	ADP
ejde-816	90	19	w	w	PROPN
ejde-816	90	20	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	90	21	)	)	PUNCT
ejde-816	90	22	.	.	PUNCT
ejde-816	91	1	if	if	SCONJ
ejde-816	91	2	s	s	X
ejde-816	91	3	∈	∈	NOUN
ejde-816	91	4	c+(∂ω	c+(∂ω	NUM
ejde-816	91	5	)	)	PUNCT
ejde-816	91	6	and	and	CCONJ
ejde-816	91	7	s(x	s(x	NOUN
ejde-816	91	8	)	)	PUNCT
ejde-816	91	9	<	<	X
ejde-816	91	10	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	91	11	)	)	PUNCT
ejde-816	91	12	for	for	ADP
ejde-816	91	13	all	all	DET
ejde-816	91	14	x	x	SYM
ejde-816	91	15	∈	∈	PROPN
ejde-816	91	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	91	17	then	then	ADV
ejde-816	91	18	the	the	DET
ejde-816	91	19	trace	trace	NOUN
ejde-816	91	20	embedding	embed	VERB
ejde-816	91	21	w	w	PROPN
ejde-816	91	22	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	91	23	)	)	PUNCT
ejde-816	91	24	↪	↪	PROPN
ejde-816	91	25	→	→	SYM
ejde-816	91	26	ls(x)(∂ω	ls(x)(∂ω	PRON
ejde-816	91	27	)	)	PUNCT
ejde-816	91	28	is	be	AUX
ejde-816	91	29	compact	compact	ADJ
ejde-816	91	30	and	and	CCONJ
ejde-816	91	31	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	91	32	,	,	PUNCT
ejde-816	91	33	where	where	SCONJ
ejde-816	91	34	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	91	35	)	)	PUNCT
ejde-816	91	36	=	=	SYM
ejde-816	91	37	(	(	PUNCT
ejde-816	91	38	n−1)p(x	n−1)p(x	NUM
ejde-816	91	39	)	)	PUNCT
ejde-816	91	40	n−p(x	n−p(x	PROPN
ejde-816	91	41	)	)	PUNCT
ejde-816	91	42	if	if	SCONJ
ejde-816	91	43	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	91	44	)	)	PUNCT
ejde-816	91	45	<	<	X
ejde-816	91	46	n	n	NOUN
ejde-816	91	47	or	or	CCONJ
ejde-816	91	48	p∗(x	p∗(x	PROPN
ejde-816	91	49	)	)	PUNCT
ejde-816	91	50	=	=	PUNCT
ejde-816	92	1	+	+	NUM
ejde-816	92	2	∞	∞	NUM
ejde-816	92	3	if	if	SCONJ
ejde-816	92	4	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	92	5	)	)	PUNCT
ejde-816	92	6	>	>	X
ejde-816	93	1	n	n	PROPN
ejde-816	93	2	.	.	PUNCT
ejde-816	94	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	94	2	,	,	PUNCT
ejde-816	94	3	for	for	ADP
ejde-816	94	4	any	any	DET
ejde-816	94	5	u	u	NOUN
ejde-816	94	6	∈w	∈w	PROPN
ejde-816	94	7	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	94	8	)	)	PUNCT
ejde-816	94	9	,	,	PUNCT
ejde-816	94	10	we	we	PRON
ejde-816	94	11	define	define	VERB
ejde-816	94	12	∥u∥∂	∥u∥∂	PRON
ejde-816	94	13	:	:	PUNCT
ejde-816	94	14	=	=	NUM
ejde-816	94	15	|∇u|lp(x)(ω	|∇u|lp(x)(ω	NUM
ejde-816	94	16	)	)	PUNCT
ejde-816	94	17	+	+	CCONJ
ejde-816	94	18	|u|lp(x)(∂ω	|u|lp(x)(∂ω	ADJ
ejde-816	94	19	)	)	PUNCT
ejde-816	94	20	,	,	PUNCT
ejde-816	94	21	then	then	ADV
ejde-816	94	22	∥u∥∂	∥u∥∂	PROPN
ejde-816	94	23	is	be	AUX
ejde-816	94	24	a	a	DET
ejde-816	94	25	norm	norm	NOUN
ejde-816	94	26	on	on	ADP
ejde-816	94	27	w	w	PROPN
ejde-816	94	28	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	94	29	)	)	PUNCT
ejde-816	94	30	which	which	PRON
ejde-816	94	31	is	be	AUX
ejde-816	94	32	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-816	94	33	to	to	ADP
ejde-816	94	34	the	the	DET
ejde-816	94	35	norm	norm	NOUN
ejde-816	94	36	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	94	37	,	,	PUNCT
ejde-816	94	38	see	see	VERB
ejde-816	94	39	[	[	X
ejde-816	94	40	17	17	NUM
ejde-816	94	41	,	,	PUNCT
ejde-816	94	42	theorem	theorem	VERB
ejde-816	94	43	2.1	2.1	NUM
ejde-816	94	44	]	]	PUNCT
ejde-816	94	45	.	.	PUNCT
ejde-816	95	1	now	now	ADV
ejde-816	95	2	,	,	PUNCT
ejde-816	95	3	let	let	VERB
ejde-816	95	4	us	we	PRON
ejde-816	95	5	introduce	introduce	VERB
ejde-816	95	6	a	a	DET
ejde-816	95	7	norm	norm	NOUN
ejde-816	95	8	which	which	PRON
ejde-816	95	9	will	will	AUX
ejde-816	95	10	be	be	AUX
ejde-816	95	11	used	use	VERB
ejde-816	95	12	later	later	ADV
ejde-816	95	13	.	.	PUNCT
ejde-816	96	1	let	let	VERB
ejde-816	96	2	β	β	PRON
ejde-816	96	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	96	4	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	96	5	)	)	PUNCT
ejde-816	96	6	with	with	ADP
ejde-816	96	7	β−	β−	PROPN
ejde-816	96	8	=	=	PUNCT
ejde-816	96	9	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	96	10	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	96	11	)	)	PUNCT
ejde-816	96	12	>	>	X
ejde-816	96	13	0	0	NUM
ejde-816	96	14	,	,	PUNCT
ejde-816	96	15	and	and	CCONJ
ejde-816	96	16	for	for	ADP
ejde-816	96	17	any	any	DET
ejde-816	96	18	u	u	NOUN
ejde-816	96	19	∈w	∈w	PROPN
ejde-816	96	20	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	96	21	)	)	PUNCT
ejde-816	96	22	,	,	PUNCT
ejde-816	96	23	define	define	VERB
ejde-816	96	24	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	96	25	)	)	PUNCT
ejde-816	96	26	:	:	PUNCT
ejde-816	96	27	=	=	SYM
ejde-816	96	28	inf{λ	inf{λ	X
ejde-816	96	29	>	>	X
ejde-816	96	30	0	0	NUM
ejde-816	97	1	:	:	PUNCT
ejde-816	97	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	97	3	ω	ω	NUM
ejde-816	97	4	∣∣∇u(x	∣∣∇u(x	PROPN
ejde-816	97	5	)	)	PUNCT
ejde-816	97	6	λ	λ	PROPN
ejde-816	97	7	∣∣p(x	∣∣p(x	PROPN
ejde-816	97	8	)	)	PUNCT
ejde-816	97	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	97	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	98	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	98	2	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	98	3	)	)	PUNCT
ejde-816	98	4	∣∣u(x	∣∣u(x	PROPN
ejde-816	98	5	)	)	PUNCT
ejde-816	98	6	λ	λ	PROPN
ejde-816	98	7	∣∣p(x	∣∣p(x	PROPN
ejde-816	98	8	)	)	PUNCT
ejde-816	98	9	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	98	10	dx	dx	VERB
ejde-816	98	11	≤	≤	ADV
ejde-816	98	12	1	1	NUM
ejde-816	98	13	}	}	PUNCT
ejde-816	98	14	where	where	SCONJ
ejde-816	98	15	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	98	16	is	be	AUX
ejde-816	98	17	the	the	DET
ejde-816	98	18	measure	measure	NOUN
ejde-816	98	19	on	on	ADP
ejde-816	98	20	the	the	DET
ejde-816	98	21	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	98	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	98	23	.	.	PUNCT
ejde-816	99	1	then	then	ADV
ejde-816	99	2	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	99	3	)	)	PUNCT
ejde-816	99	4	is	be	AUX
ejde-816	99	5	also	also	ADV
ejde-816	99	6	a	a	DET
ejde-816	99	7	norm	norm	NOUN
ejde-816	99	8	on	on	ADP
ejde-816	99	9	w	w	PROPN
ejde-816	99	10	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	99	11	)	)	PUNCT
ejde-816	99	12	which	which	PRON
ejde-816	99	13	is	be	AUX
ejde-816	99	14	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-816	99	15	to	to	ADP
ejde-816	99	16	∥	∥	X
ejde-816	99	17	·	·	PUNCT
ejde-816	99	18	∥	∥	NOUN
ejde-816	99	19	and	and	CCONJ
ejde-816	99	20	∥	∥	PRON
ejde-816	99	21	·	·	PUNCT
ejde-816	99	22	∥∂	∥∂	NOUN
ejde-816	99	23	.	.	PUNCT
ejde-816	100	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	100	2	2.3	2.3	NUM
ejde-816	100	3	(	(	PUNCT
ejde-816	100	4	[	[	X
ejde-816	100	5	1	1	NUM
ejde-816	100	6	]	]	PUNCT
ejde-816	100	7	)	)	PUNCT
ejde-816	100	8	.	.	PUNCT
ejde-816	101	1	let	let	VERB
ejde-816	101	2	ρβ(x)(u	ρβ(x)(u	VERB
ejde-816	101	3	)	)	PUNCT
ejde-816	101	4	=	=	SYM
ejde-816	101	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	101	6	ω	ω	NUM
ejde-816	101	7	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	101	8	)	)	PUNCT
ejde-816	101	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	101	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	101	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	101	12	β(x)|u|p(x	β(x)|u|p(x	PROPN
ejde-816	101	13	)	)	PUNCT
ejde-816	101	14	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	101	15	,	,	PUNCT
ejde-816	101	16	we	we	PRON
ejde-816	101	17	have	have	VERB
ejde-816	101	18	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	101	19	−	−	VERB
ejde-816	101	20	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	101	21	)	)	PUNCT
ejde-816	101	22	≤	≤	NUM
ejde-816	101	23	ρβ(x)(u	ρβ(x)(u	NOUN
ejde-816	101	24	)	)	PUNCT
ejde-816	101	25	≤	≤	NUM
ejde-816	101	26	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	101	27	+	+	X
ejde-816	101	28	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	101	29	)	)	PUNCT
ejde-816	101	30	(	(	PUNCT
ejde-816	101	31	2.3	2.3	NUM
ejde-816	101	32	)	)	PUNCT
ejde-816	101	33	provided	provide	VERB
ejde-816	101	34	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	101	35	)	)	PUNCT
ejde-816	101	36	>	>	X
ejde-816	101	37	1	1	NUM
ejde-816	101	38	,	,	PUNCT
ejde-816	101	39	while	while	SCONJ
ejde-816	101	40	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	101	41	+	+	CCONJ
ejde-816	101	42	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	101	43	)	)	PUNCT
ejde-816	101	44	≤	≤	NUM
ejde-816	101	45	ρβ(x)(u	ρβ(x)(u	NOUN
ejde-816	101	46	)	)	PUNCT
ejde-816	101	47	≤	≤	NUM
ejde-816	101	48	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	101	49	−	−	VERB
ejde-816	101	50	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	101	51	)	)	PUNCT
ejde-816	101	52	(	(	PUNCT
ejde-816	101	53	2.4	2.4	NUM
ejde-816	101	54	)	)	PUNCT
ejde-816	101	55	provided	provide	VERB
ejde-816	101	56	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	101	57	)	)	PUNCT
ejde-816	101	58	<	<	X
ejde-816	101	59	1	1	NUM
ejde-816	101	60	,	,	PUNCT
ejde-816	101	61	and	and	CCONJ
ejde-816	101	62	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	101	63	−	−	PROPN
ejde-816	101	64	u∥β(x	u∥β(x	NOUN
ejde-816	101	65	)	)	PUNCT
ejde-816	101	66	→	→	SYM
ejde-816	101	67	0	0	NUM
ejde-816	101	68	⇔	⇔	PROPN
ejde-816	101	69	ρβ(x)(un	ρβ(x)(un	PROPN
ejde-816	102	1	−	−	PROPN
ejde-816	102	2	u	u	NOUN
ejde-816	102	3	)	)	PUNCT
ejde-816	102	4	→	→	SYM
ejde-816	102	5	0	0	NUM
ejde-816	102	6	.	.	PUNCT
ejde-816	103	1	(	(	PUNCT
ejde-816	103	2	2.5	2.5	NUM
ejde-816	103	3	)	)	PUNCT
ejde-816	103	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	103	5	2.4	2.4	NUM
ejde-816	103	6	(	(	PUNCT
ejde-816	103	7	[	[	X
ejde-816	103	8	21	21	NUM
ejde-816	103	9	]	]	PUNCT
ejde-816	103	10	)	)	PUNCT
ejde-816	103	11	.	.	PUNCT
ejde-816	104	1	for	for	ADP
ejde-816	104	2	β	β	PROPN
ejde-816	104	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	104	4	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	104	5	)	)	PUNCT
ejde-816	104	6	with	with	ADP
ejde-816	104	7	β−	β−	PRON
ejde-816	104	8	:	:	PUNCT
ejde-816	104	9	=	=	PUNCT
ejde-816	104	10	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	104	11	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	104	12	)	)	PUNCT
ejde-816	104	13	>	>	X
ejde-816	104	14	0	0	NUM
ejde-816	104	15	,	,	PUNCT
ejde-816	104	16	let	let	VERB
ejde-816	104	17	us	we	PRON
ejde-816	104	18	define	define	VERB
ejde-816	104	19	the	the	DET
ejde-816	104	20	functional	functional	ADJ
ejde-816	104	21	lβ(x	lβ(x	NOUN
ejde-816	104	22	)	)	PUNCT
ejde-816	105	1	:	:	PUNCT
ejde-816	105	2	w	w	PROPN
ejde-816	105	3	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	105	4	)	)	PUNCT
ejde-816	106	1	→	→	SYM
ejde-816	106	2	r	r	NOUN
ejde-816	106	3	by	by	ADP
ejde-816	106	4	lβ(x)(u	lβ(x)(u	NUM
ejde-816	106	5	)	)	PUNCT
ejde-816	106	6	=	=	SYM
ejde-816	106	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	106	8	ω	ω	NUM
ejde-816	106	9	1	1	NUM
ejde-816	106	10	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	106	11	)	)	PUNCT
ejde-816	106	12	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	106	13	)	)	PUNCT
ejde-816	106	14	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	106	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	106	16	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	106	17	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	106	18	)	)	PUNCT
ejde-816	106	19	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	106	20	)	)	PUNCT
ejde-816	106	21	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	106	22	)	)	PUNCT
ejde-816	106	23	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	106	24	(	(	PUNCT
ejde-816	106	25	2.6	2.6	NUM
ejde-816	106	26	)	)	PUNCT
ejde-816	106	27	for	for	ADP
ejde-816	106	28	all	all	DET
ejde-816	106	29	u	u	NOUN
ejde-816	106	30	∈w	∈w	NOUN
ejde-816	106	31	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	106	32	)	)	PUNCT
ejde-816	106	33	.	.	PUNCT
ejde-816	107	1	then	then	ADV
ejde-816	107	2	lβ(x	lβ(x	NOUN
ejde-816	107	3	)	)	PUNCT
ejde-816	107	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	107	5	c1	c1	NOUN
ejde-816	107	6	(	(	PUNCT
ejde-816	107	7	w	w	PROPN
ejde-816	107	8	1,p(x)(ω),r	1,p(x)(ω),r	NUM
ejde-816	107	9	)	)	PUNCT
ejde-816	107	10	and	and	CCONJ
ejde-816	107	11	its	its	PRON
ejde-816	107	12	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	107	13	is	be	AUX
ejde-816	107	14	l′	l′	NOUN
ejde-816	107	15	β(x)(u)(v	β(x)(u)(v	PRON
ejde-816	107	16	)	)	PUNCT
ejde-816	108	1	=	=	SYM
ejde-816	108	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	108	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	108	4	|∇u|p(x)−2∇u∇v	|∇u|p(x)−2∇u∇v	PROPN
ejde-816	108	5	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	108	6	∫	∫	PROPN
ejde-816	108	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	108	8	β(x)|u|p(x)−2uv	β(x)|u|p(x)−2uv	PROPN
ejde-816	108	9	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	108	10	(	(	PUNCT
ejde-816	108	11	2.7	2.7	NUM
ejde-816	108	12	)	)	PUNCT
ejde-816	108	13	moreover	moreover	ADV
ejde-816	108	14	,	,	PUNCT
ejde-816	108	15	we	we	PRON
ejde-816	108	16	have	have	VERB
ejde-816	108	17	the	the	DET
ejde-816	108	18	following	follow	VERB
ejde-816	108	19	assertions	assertion	NOUN
ejde-816	108	20	(	(	PUNCT
ejde-816	108	21	i	i	NOUN
ejde-816	108	22	)	)	PUNCT
ejde-816	108	23	l′	l′	VERB
ejde-816	108	24	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	108	25	)	)	PUNCT
ejde-816	108	26	:	:	PUNCT
ejde-816	108	27	w	w	PROPN
ejde-816	108	28	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	108	29	)	)	PUNCT
ejde-816	108	30	→	→	SYM
ejde-816	108	31	w−1,p(x)(ω	w−1,p(x)(ω	NOUN
ejde-816	108	32	)	)	PUNCT
ejde-816	108	33	is	be	AUX
ejde-816	108	34	a	a	DET
ejde-816	108	35	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	108	36	,	,	PUNCT
ejde-816	108	37	bounded	bounded	ADJ
ejde-816	108	38	and	and	CCONJ
ejde-816	108	39	strictly	strictly	ADV
ejde-816	108	40	monotone	monotone	ADJ
ejde-816	108	41	operator	operator	NOUN
ejde-816	108	42	;	;	PUNCT
ejde-816	108	43	6	6	NUM
ejde-816	108	44	h.	h.	NOUN
ejde-816	108	45	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	108	46	,	,	PUNCT
ejde-816	108	47	a.	a.	NOUN
ejde-816	108	48	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	108	49	,	,	PUNCT
ejde-816	108	50	m.	m.	PROPN
ejde-816	108	51	filali	filali	PROPN
ejde-816	108	52	,	,	PUNCT
ejde-816	108	53	n.	n.	PROPN
ejde-816	108	54	tsouli	tsouli	PROPN
ejde-816	108	55	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	108	56	(	(	PUNCT
ejde-816	108	57	ii	ii	NOUN
ejde-816	108	58	)	)	PUNCT
ejde-816	108	59	l′	l′	NOUN
ejde-816	108	60	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	108	61	)	)	PUNCT
ejde-816	108	62	:	:	PUNCT
ejde-816	109	1	w	w	PROPN
ejde-816	109	2	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	109	3	)	)	PUNCT
ejde-816	109	4	→	→	SYM
ejde-816	109	5	w−1,p(x)(ω	w−1,p(x)(ω	NOUN
ejde-816	109	6	)	)	PUNCT
ejde-816	109	7	is	be	AUX
ejde-816	109	8	a	a	DET
ejde-816	109	9	mapping	mapping	NOUN
ejde-816	109	10	of	of	ADP
ejde-816	109	11	type	type	NOUN
ejde-816	109	12	(	(	PUNCT
ejde-816	109	13	s)+	s)+	PROPN
ejde-816	109	14	,	,	PUNCT
ejde-816	109	15	i.e.	i.e.	X
ejde-816	109	16	if	if	SCONJ
ejde-816	109	17	{	{	PUNCT
ejde-816	109	18	un	un	ADJ
ejde-816	109	19	}	}	PUNCT
ejde-816	109	20	converges	converge	VERB
ejde-816	109	21	weakly	weakly	ADV
ejde-816	109	22	to	to	ADP
ejde-816	109	23	u	u	NOUN
ejde-816	109	24	inw	inw	PROPN
ejde-816	109	25	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	PROPN
ejde-816	109	26	)	)	PUNCT
ejde-816	109	27	and	and	CCONJ
ejde-816	109	28	lim	lim	PROPN
ejde-816	109	29	supn→∞	supn→∞	PROPN
ejde-816	109	30	l′	l′	VERB
ejde-816	109	31	β(x)(un)(un−u	β(x)(un)(un−u	NUM
ejde-816	109	32	)	)	PUNCT
ejde-816	109	33	≤	≤	NOUN
ejde-816	109	34	0	0	NUM
ejde-816	109	35	,	,	PUNCT
ejde-816	109	36	then	then	ADV
ejde-816	109	37	{	{	PUNCT
ejde-816	109	38	un	un	PROPN
ejde-816	109	39	}	}	PUNCT
ejde-816	109	40	converges	converge	VERB
ejde-816	109	41	strongly	strongly	ADV
ejde-816	109	42	to	to	ADP
ejde-816	109	43	u	u	PRON
ejde-816	109	44	in	in	ADP
ejde-816	109	45	w	w	PROPN
ejde-816	109	46	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	109	47	)	)	PUNCT
ejde-816	109	48	.	.	PUNCT
ejde-816	110	1	in	in	ADP
ejde-816	110	2	the	the	DET
ejde-816	110	3	rest	rest	NOUN
ejde-816	110	4	of	of	ADP
ejde-816	110	5	this	this	DET
ejde-816	110	6	section	section	NOUN
ejde-816	110	7	,	,	PUNCT
ejde-816	110	8	we	we	PRON
ejde-816	110	9	introduce	introduce	VERB
ejde-816	110	10	some	some	DET
ejde-816	110	11	notion	notion	NOUN
ejde-816	110	12	and	and	CCONJ
ejde-816	110	13	results	result	NOUN
ejde-816	110	14	on	on	ADP
ejde-816	110	15	krasnoselskii	krasnoselskii	PROPN
ejde-816	110	16	’s	’s	PART
ejde-816	110	17	genus	genus	PROPN
ejde-816	110	18	theory	theory	NOUN
ejde-816	110	19	,	,	PUNCT
ejde-816	110	20	the	the	DET
ejde-816	110	21	readers	reader	NOUN
ejde-816	110	22	can	can	AUX
ejde-816	110	23	consult	consult	VERB
ejde-816	110	24	[	[	X
ejde-816	110	25	7	7	NUM
ejde-816	110	26	,	,	PUNCT
ejde-816	110	27	12	12	NUM
ejde-816	110	28	]	]	PUNCT
ejde-816	110	29	.	.	PUNCT
ejde-816	111	1	let	let	VERB
ejde-816	111	2	y	y	PRON
ejde-816	111	3	be	be	AUX
ejde-816	111	4	a	a	DET
ejde-816	111	5	real	real	ADJ
ejde-816	111	6	banach	banach	NOUN
ejde-816	111	7	space	space	NOUN
ejde-816	111	8	.	.	PUNCT
ejde-816	112	1	let	let	VERB
ejde-816	112	2	us	we	PRON
ejde-816	112	3	denote	denote	VERB
ejde-816	112	4	by	by	ADP
ejde-816	112	5	r	r	NOUN
ejde-816	112	6	the	the	DET
ejde-816	112	7	class	class	NOUN
ejde-816	112	8	of	of	ADP
ejde-816	112	9	all	all	DET
ejde-816	112	10	closed	closed	ADJ
ejde-816	112	11	subsets	subset	NOUN
ejde-816	112	12	a	a	DET
ejde-816	112	13	⊂	⊂	PROPN
ejde-816	112	14	x\{0	x\{0	PROPN
ejde-816	112	15	}	}	PUNCT
ejde-816	112	16	that	that	PRON
ejde-816	112	17	are	be	AUX
ejde-816	112	18	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-816	112	19	with	with	ADP
ejde-816	112	20	respect	respect	NOUN
ejde-816	112	21	to	to	ADP
ejde-816	112	22	the	the	DET
ejde-816	112	23	origin	origin	NOUN
ejde-816	112	24	,	,	PUNCT
ejde-816	112	25	that	that	ADV
ejde-816	112	26	is	is	ADV
ejde-816	112	27	,	,	PUNCT
ejde-816	112	28	u	u	PROPN
ejde-816	112	29	∈	∈	PROPN
ejde-816	112	30	a	a	DET
ejde-816	112	31	implies	imply	VERB
ejde-816	112	32	−u	−u	PROPN
ejde-816	112	33	∈	∈	PROPN
ejde-816	112	34	a	a	DET
ejde-816	112	35	,	,	PUNCT
ejde-816	112	36	i.e.	i.e.	X
ejde-816	112	37	r	r	NOUN
ejde-816	112	38	=	=	PUNCT
ejde-816	112	39	{	{	PUNCT
ejde-816	112	40	a	a	X
ejde-816	112	41	⊂	⊂	X
ejde-816	112	42	y	y	PROPN
ejde-816	112	43	\{0	\{0	NOUN
ejde-816	112	44	}	}	PUNCT
ejde-816	112	45	:	:	PUNCT
ejde-816	112	46	a	a	PRON
ejde-816	112	47	is	be	AUX
ejde-816	112	48	compact	compact	ADJ
ejde-816	112	49	and	and	CCONJ
ejde-816	112	50	a	a	DET
ejde-816	112	51	=	=	SYM
ejde-816	112	52	−a	−a	ADJ
ejde-816	112	53	}	}	PUNCT
ejde-816	112	54	definition	definition	NOUN
ejde-816	112	55	2.5	2.5	NUM
ejde-816	112	56	(	(	PUNCT
ejde-816	112	57	[	[	X
ejde-816	112	58	1	1	NUM
ejde-816	112	59	]	]	PUNCT
ejde-816	112	60	)	)	PUNCT
ejde-816	112	61	.	.	PUNCT
ejde-816	113	1	let	let	VERB
ejde-816	113	2	a	a	DET
ejde-816	113	3	∈	∈	NOUN
ejde-816	113	4	r	r	NOUN
ejde-816	113	5	and	and	CCONJ
ejde-816	113	6	y	y	PROPN
ejde-816	113	7	=	=	PROPN
ejde-816	113	8	rn	rn	PROPN
ejde-816	113	9	.	.	PUNCT
ejde-816	114	1	the	the	DET
ejde-816	114	2	genus	genus	PROPN
ejde-816	114	3	γ(a	γ(a	PROPN
ejde-816	114	4	)	)	PUNCT
ejde-816	114	5	of	of	ADP
ejde-816	114	6	a	a	PRON
ejde-816	114	7	is	be	AUX
ejde-816	114	8	defined	define	VERB
ejde-816	114	9	by	by	ADP
ejde-816	114	10	γ(a	γ(a	NOUN
ejde-816	114	11	)	)	PUNCT
ejde-816	114	12	=	=	SYM
ejde-816	114	13	min	min	NOUN
ejde-816	114	14	{	{	PUNCT
ejde-816	114	15	k	k	X
ejde-816	114	16	≥	≥	NUM
ejde-816	114	17	1	1	NUM
ejde-816	114	18	:	:	PUNCT
ejde-816	114	19	there	there	PRON
ejde-816	114	20	exists	exist	VERB
ejde-816	114	21	an	an	DET
ejde-816	114	22	odd	odd	ADJ
ejde-816	114	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	114	24	mapping	mapping	NOUN
ejde-816	114	25	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-816	114	26	:	:	PUNCT
ejde-816	114	27	a→	a→	VERB
ejde-816	114	28	rk\{0	rk\{0	NOUN
ejde-816	114	29	}	}	PUNCT
ejde-816	114	30	}	}	PUNCT
ejde-816	114	31	if	if	SCONJ
ejde-816	114	32	such	such	DET
ejde-816	114	33	a	a	DET
ejde-816	114	34	mapping	mapping	NOUN
ejde-816	114	35	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-816	114	36	does	do	AUX
ejde-816	114	37	not	not	PART
ejde-816	114	38	exist	exist	VERB
ejde-816	114	39	for	for	ADP
ejde-816	114	40	any	any	PRON
ejde-816	114	41	k	k	PROPN
ejde-816	114	42	>	>	X
ejde-816	114	43	0	0	PROPN
ejde-816	114	44	,	,	PUNCT
ejde-816	114	45	we	we	PRON
ejde-816	114	46	set	set	VERB
ejde-816	114	47	γ(a	γ(a	NOUN
ejde-816	114	48	)	)	PUNCT
ejde-816	114	49	=	=	PUNCT
ejde-816	115	1	+	+	NUM
ejde-816	115	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	115	3	note	note	VERB
ejde-816	115	4	that	that	SCONJ
ejde-816	115	5	if	if	SCONJ
ejde-816	115	6	a	a	PRON
ejde-816	115	7	is	be	AUX
ejde-816	115	8	a	a	DET
ejde-816	115	9	subset	subset	NOUN
ejde-816	115	10	that	that	PRON
ejde-816	115	11	consists	consist	VERB
ejde-816	115	12	of	of	ADP
ejde-816	115	13	finitely	finitely	ADV
ejde-816	115	14	many	many	ADJ
ejde-816	115	15	pairs	pair	NOUN
ejde-816	115	16	of	of	ADP
ejde-816	115	17	points	point	NOUN
ejde-816	115	18	,	,	PUNCT
ejde-816	115	19	then	then	ADV
ejde-816	115	20	γ(a	γ(a	NOUN
ejde-816	115	21	)	)	PUNCT
ejde-816	115	22	=	=	SYM
ejde-816	116	1	1	1	X
ejde-816	116	2	.	.	PUNCT
ejde-816	117	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	117	2	,	,	PUNCT
ejde-816	117	3	from	from	ADP
ejde-816	117	4	the	the	DET
ejde-816	117	5	above	above	ADJ
ejde-816	117	6	definition	definition	NOUN
ejde-816	117	7	,	,	PUNCT
ejde-816	117	8	γ(∅	γ(∅	PROPN
ejde-816	117	9	)	)	PUNCT
ejde-816	117	10	=	=	PUNCT
ejde-816	118	1	0	0	X
ejde-816	118	2	.	.	PUNCT
ejde-816	119	1	a	a	DET
ejde-816	119	2	typical	typical	ADJ
ejde-816	119	3	example	example	NOUN
ejde-816	119	4	of	of	ADP
ejde-816	119	5	a	a	DET
ejde-816	119	6	set	set	NOUN
ejde-816	119	7	of	of	ADP
ejde-816	119	8	genus	genus	PROPN
ejde-816	119	9	k	k	PROPN
ejde-816	119	10	is	be	AUX
ejde-816	119	11	a	a	DET
ejde-816	119	12	set	set	NOUN
ejde-816	119	13	,	,	PUNCT
ejde-816	119	14	which	which	PRON
ejde-816	119	15	is	be	AUX
ejde-816	119	16	homeomorphic	homeomorphic	ADJ
ejde-816	119	17	to	to	ADP
ejde-816	119	18	a	a	DET
ejde-816	119	19	(	(	PUNCT
ejde-816	119	20	k	k	NOUN
ejde-816	119	21	−	−	PROPN
ejde-816	119	22	1	1	X
ejde-816	119	23	)	)	PUNCT
ejde-816	119	24	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-816	119	25	sphere	sphere	NOUN
ejde-816	119	26	via	via	ADP
ejde-816	119	27	an	an	DET
ejde-816	119	28	odd	odd	ADJ
ejde-816	119	29	map	map	NOUN
ejde-816	119	30	.	.	PUNCT
ejde-816	120	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	120	2	2.6	2.6	NUM
ejde-816	120	3	.	.	PUNCT
ejde-816	121	1	[	[	X
ejde-816	121	2	1	1	X
ejde-816	121	3	]	]	PUNCT
ejde-816	121	4	let	let	VERB
ejde-816	121	5	y	y	PROPN
ejde-816	121	6	=	=	PUNCT
ejde-816	121	7	rn	rn	PROPN
ejde-816	121	8	and	and	CCONJ
ejde-816	121	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	121	10	be	be	VERB
ejde-816	121	11	the	the	DET
ejde-816	121	12	boundary	boundary	NOUN
ejde-816	121	13	of	of	ADP
ejde-816	121	14	an	an	DET
ejde-816	121	15	open	open	ADJ
ejde-816	121	16	,	,	PUNCT
ejde-816	121	17	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-816	121	18	and	and	CCONJ
ejde-816	121	19	bounded	bound	VERB
ejde-816	121	20	subset	subset	PROPN
ejde-816	122	1	ω	ω	PROPN
ejde-816	122	2	⊂	⊂	PROPN
ejde-816	122	3	rn	rn	PROPN
ejde-816	122	4	with	with	ADP
ejde-816	122	5	0	0	NUM
ejde-816	122	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	122	7	ω	ω	PROPN
ejde-816	122	8	.	.	PUNCT
ejde-816	123	1	then	then	ADV
ejde-816	123	2	we	we	PRON
ejde-816	123	3	have	have	VERB
ejde-816	123	4	γ(∂ω	γ(∂ω	PROPN
ejde-816	123	5	)	)	PUNCT
ejde-816	123	6	=	=	SYM
ejde-816	123	7	n	n	PROPN
ejde-816	123	8	.	.	PUNCT
ejde-816	124	1	let	let	VERB
ejde-816	124	2	us	we	PRON
ejde-816	124	3	denote	denote	VERB
ejde-816	124	4	by	by	ADP
ejde-816	124	5	s	s	PROPN
ejde-816	124	6	the	the	DET
ejde-816	124	7	unit	unit	NOUN
ejde-816	124	8	sphere	sphere	ADV
ejde-816	124	9	in	in	ADP
ejde-816	124	10	y	y	PROPN
ejde-816	124	11	.	.	PUNCT
ejde-816	125	1	it	it	PRON
ejde-816	125	2	follows	follow	VERB
ejde-816	125	3	from	from	ADP
ejde-816	125	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	125	5	2.6	2.6	NUM
ejde-816	125	6	that	that	PRON
ejde-816	125	7	γ	γ	X
ejde-816	125	8	(	(	PUNCT
ejde-816	125	9	sn−1	sn−1	PROPN
ejde-816	125	10	)	)	PUNCT
ejde-816	125	11	=	=	SYM
ejde-816	125	12	n	n	NOUN
ejde-816	125	13	.	.	PUNCT
ejde-816	126	1	if	if	SCONJ
ejde-816	126	2	y	y	PROPN
ejde-816	126	3	is	be	AUX
ejde-816	126	4	of	of	ADP
ejde-816	126	5	infinite	infinite	ADJ
ejde-816	126	6	dimension	dimension	NOUN
ejde-816	126	7	and	and	CCONJ
ejde-816	126	8	separable	separable	NOUN
ejde-816	126	9	then	then	ADV
ejde-816	126	10	γ(s	γ(	NOUN
ejde-816	126	11	)	)	PUNCT
ejde-816	127	1	=	=	PUNCT
ejde-816	128	1	+	+	NUM
ejde-816	128	2	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	128	3	we	we	PRON
ejde-816	128	4	now	now	ADV
ejde-816	128	5	recall	recall	VERB
ejde-816	128	6	an	an	DET
ejde-816	128	7	application	application	NOUN
ejde-816	128	8	of	of	ADP
ejde-816	128	9	palais	palais	PROPN
ejde-816	128	10	-	-	PUNCT
ejde-816	128	11	smale	smale	ADJ
ejde-816	128	12	“	"	PUNCT
ejde-816	128	13	compactness	compactness	NOUN
ejde-816	128	14	”	"	PUNCT
ejde-816	128	15	criterion	criterion	NOUN
ejde-816	128	16	,	,	PUNCT
ejde-816	128	17	which	which	PRON
ejde-816	128	18	was	be	AUX
ejde-816	128	19	introduced	introduce	VERB
ejde-816	128	20	by	by	ADP
ejde-816	128	21	clark	clark	NOUN
ejde-816	128	22	[	[	X
ejde-816	128	23	12	12	NUM
ejde-816	128	24	]	]	PUNCT
ejde-816	128	25	.	.	PUNCT
ejde-816	129	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	129	2	2.7	2.7	NUM
ejde-816	129	3	(	(	PUNCT
ejde-816	129	4	[	[	X
ejde-816	129	5	1	1	NUM
ejde-816	129	6	]	]	PUNCT
ejde-816	129	7	)	)	PUNCT
ejde-816	129	8	.	.	PUNCT
ejde-816	130	1	let	let	VERB
ejde-816	130	2	j	j	PROPN
ejde-816	130	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	130	4	c1(y	c1(y	PROPN
ejde-816	130	5	,	,	PUNCT
ejde-816	130	6	r	r	NOUN
ejde-816	130	7	)	)	PUNCT
ejde-816	130	8	be	be	AUX
ejde-816	130	9	a	a	DET
ejde-816	130	10	functional	functional	ADJ
ejde-816	130	11	satisfying	satisfy	VERB
ejde-816	130	12	the	the	DET
ejde-816	130	13	palais	palais	PROPN
ejde-816	130	14	-	-	PUNCT
ejde-816	130	15	smale	smale	ADJ
ejde-816	130	16	condition	condition	NOUN
ejde-816	130	17	.	.	PUNCT
ejde-816	131	1	furthermore	furthermore	ADV
ejde-816	131	2	,	,	PUNCT
ejde-816	131	3	let	let	VERB
ejde-816	131	4	us	we	PRON
ejde-816	131	5	suppose	suppose	VERB
ejde-816	131	6	that	that	SCONJ
ejde-816	131	7	(	(	PUNCT
ejde-816	131	8	i	i	NOUN
ejde-816	131	9	)	)	PUNCT
ejde-816	131	10	j	j	PROPN
ejde-816	131	11	is	be	AUX
ejde-816	131	12	bounded	bound	VERB
ejde-816	131	13	from	from	ADP
ejde-816	131	14	below	below	ADV
ejde-816	131	15	and	and	CCONJ
ejde-816	131	16	even	even	ADV
ejde-816	131	17	;	;	PUNCT
ejde-816	131	18	(	(	PUNCT
ejde-816	131	19	ii	ii	NOUN
ejde-816	131	20	)	)	PUNCT
ejde-816	131	21	there	there	PRON
ejde-816	131	22	is	be	VERB
ejde-816	131	23	a	a	DET
ejde-816	131	24	compact	compact	ADJ
ejde-816	131	25	set	set	NOUN
ejde-816	131	26	k	k	PROPN
ejde-816	131	27	∈	∈	PROPN
ejde-816	131	28	r	r	NOUN
ejde-816	131	29	such	such	ADJ
ejde-816	131	30	that	that	SCONJ
ejde-816	131	31	γ(k	γ(k	PROPN
ejde-816	131	32	)	)	PUNCT
ejde-816	132	1	=	=	SYM
ejde-816	132	2	k	k	PROPN
ejde-816	132	3	and	and	CCONJ
ejde-816	132	4	supx∈k	supx∈k	PROPN
ejde-816	132	5	j(x	j(x	PROPN
ejde-816	132	6	)	)	PUNCT
ejde-816	132	7	<	<	X
ejde-816	132	8	j(0	j(0	PROPN
ejde-816	132	9	)	)	PUNCT
ejde-816	132	10	.	.	PUNCT
ejde-816	133	1	then	then	ADV
ejde-816	133	2	j	j	PROPN
ejde-816	133	3	possesses	possess	VERB
ejde-816	133	4	at	at	ADP
ejde-816	133	5	least	least	ADJ
ejde-816	133	6	k	k	ADJ
ejde-816	133	7	pairs	pair	NOUN
ejde-816	133	8	of	of	ADP
ejde-816	133	9	distinct	distinct	ADJ
ejde-816	133	10	critical	critical	ADJ
ejde-816	133	11	points	point	NOUN
ejde-816	133	12	,	,	PUNCT
ejde-816	133	13	and	and	CCONJ
ejde-816	133	14	their	their	PRON
ejde-816	133	15	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-816	133	16	critical	critical	ADJ
ejde-816	133	17	values	value	NOUN
ejde-816	133	18	are	be	AUX
ejde-816	133	19	less	less	ADJ
ejde-816	133	20	than	than	ADP
ejde-816	133	21	j(0	j(0	PROPN
ejde-816	133	22	)	)	PUNCT
ejde-816	133	23	.	.	PUNCT
ejde-816	134	1	3	3	X
ejde-816	134	2	.	.	X
ejde-816	134	3	main	main	ADJ
ejde-816	134	4	results	result	NOUN
ejde-816	134	5	3.1	3.1	NUM
ejde-816	134	6	.	.	PUNCT
ejde-816	135	1	existence	existence	NOUN
ejde-816	135	2	of	of	ADP
ejde-816	135	3	at	at	ADV
ejde-816	135	4	least	least	ADV
ejde-816	135	5	two	two	NUM
ejde-816	135	6	solutions	solution	NOUN
ejde-816	135	7	.	.	PUNCT
ejde-816	136	1	in	in	ADP
ejde-816	136	2	this	this	DET
ejde-816	136	3	part	part	NOUN
ejde-816	136	4	,	,	PUNCT
ejde-816	136	5	we	we	PRON
ejde-816	136	6	consider	consider	VERB
ejde-816	136	7	problem	problem	NOUN
ejde-816	136	8	(	(	PUNCT
ejde-816	136	9	1.1	1.1	NUM
ejde-816	136	10	)	)	PUNCT
ejde-816	136	11	in	in	ADP
ejde-816	136	12	the	the	DET
ejde-816	136	13	case	case	NOUN
ejde-816	136	14	when	when	SCONJ
ejde-816	136	15	λ	λ	X
ejde-816	136	16	>	>	X
ejde-816	136	17	0	0	X
ejde-816	136	18	.	.	PUNCT
ejde-816	137	1	under	under	ADP
ejde-816	137	2	suitable	suitable	ADJ
ejde-816	137	3	conditions	condition	NOUN
ejde-816	137	4	on	on	ADP
ejde-816	137	5	the	the	DET
ejde-816	137	6	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	137	7	term	term	NOUN
ejde-816	137	8	f	f	PROPN
ejde-816	137	9	and	and	CCONJ
ejde-816	137	10	the	the	DET
ejde-816	137	11	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	137	12	functionm	functionm	VERB
ejde-816	137	13	,	,	PUNCT
ejde-816	137	14	we	we	PRON
ejde-816	137	15	prove	prove	VERB
ejde-816	137	16	that	that	SCONJ
ejde-816	137	17	(	(	PUNCT
ejde-816	137	18	1.1	1.1	NUM
ejde-816	137	19	)	)	PUNCT
ejde-816	137	20	has	have	VERB
ejde-816	137	21	at	at	ADV
ejde-816	137	22	least	least	ADV
ejde-816	137	23	two	two	NUM
ejde-816	137	24	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-816	137	25	weak	weak	ADJ
ejde-816	137	26	solutions	solution	NOUN
ejde-816	137	27	in	in	ADP
ejde-816	137	28	the	the	DET
ejde-816	137	29	space	space	NOUN
ejde-816	137	30	x	x	PUNCT
ejde-816	138	1	=	=	PUNCT
ejde-816	138	2	w	w	PROPN
ejde-816	138	3	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	138	4	)	)	PUNCT
ejde-816	138	5	.	.	PUNCT
ejde-816	139	1	our	our	PRON
ejde-816	139	2	idea	idea	NOUN
ejde-816	139	3	is	be	AUX
ejde-816	139	4	to	to	PART
ejde-816	139	5	apply	apply	VERB
ejde-816	139	6	the	the	DET
ejde-816	139	7	mountain	mountain	NOUN
ejde-816	139	8	pass	pass	NOUN
ejde-816	139	9	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	139	10	in	in	ADP
ejde-816	139	11	[	[	X
ejde-816	139	12	5	5	NUM
ejde-816	139	13	]	]	PUNCT
ejde-816	139	14	combined	combine	VERB
ejde-816	139	15	with	with	ADP
ejde-816	139	16	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	139	17	’s	’s	PART
ejde-816	139	18	variational	variational	ADJ
ejde-816	139	19	principle	principle	NOUN
ejde-816	139	20	in	in	ADP
ejde-816	139	21	[	[	X
ejde-816	139	22	20	20	NUM
ejde-816	139	23	]	]	PUNCT
ejde-816	139	24	to	to	ADP
ejde-816	139	25	the	the	DET
ejde-816	139	26	energy	energy	NOUN
ejde-816	139	27	functional	functional	ADJ
ejde-816	140	1	jλ	jλ	ADP
ejde-816	140	2	associated	associate	VERB
ejde-816	140	3	qith	qith	PROPN
ejde-816	140	4	problem	problem	NOUN
ejde-816	140	5	(	(	PUNCT
ejde-816	140	6	1.1	1.1	NUM
ejde-816	140	7	)	)	PUNCT
ejde-816	140	8	when	when	SCONJ
ejde-816	140	9	λ	λ	X
ejde-816	140	10	>	>	X
ejde-816	140	11	0	0	PUNCT
ejde-816	140	12	small	small	ADJ
ejde-816	140	13	enough	enough	ADV
ejde-816	140	14	.	.	PUNCT
ejde-816	141	1	for	for	ADP
ejde-816	141	2	this	this	DET
ejde-816	141	3	purpose	purpose	NOUN
ejde-816	141	4	,	,	PUNCT
ejde-816	141	5	let	let	VERB
ejde-816	141	6	us	we	PRON
ejde-816	141	7	assume	assume	VERB
ejde-816	141	8	that	that	SCONJ
ejde-816	141	9	m	m	VERB
ejde-816	141	10	:	:	PUNCT
ejde-816	141	11	r+	r+	NOUN
ejde-816	141	12	→	→	SYM
ejde-816	141	13	r+	r+	NOUN
ejde-816	141	14	and	and	CCONJ
ejde-816	141	15	f	f	X
ejde-816	142	1	:	:	PUNCT
ejde-816	142	2	ω	ω	NUM
ejde-816	142	3	×	×	NOUN
ejde-816	142	4	r	r	NOUN
ejde-816	142	5	→	→	SYM
ejde-816	142	6	r	r	NOUN
ejde-816	142	7	are	be	AUX
ejde-816	142	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	142	9	functions	function	NOUN
ejde-816	142	10	,	,	PUNCT
ejde-816	142	11	and	and	CCONJ
ejde-816	142	12	introduce	introduce	VERB
ejde-816	142	13	the	the	DET
ejde-816	142	14	following	follow	VERB
ejde-816	142	15	asumptions	asumption	NOUN
ejde-816	142	16	:	:	PUNCT
ejde-816	142	17	(	(	PUNCT
ejde-816	142	18	a1	a1	NOUN
ejde-816	142	19	)	)	PUNCT
ejde-816	142	20	there	there	PRON
ejde-816	142	21	exists	exist	VERB
ejde-816	142	22	α	α	PROPN
ejde-816	142	23	∈	∈	PROPN
ejde-816	142	24	(	(	PUNCT
ejde-816	142	25	1	1	NUM
ejde-816	142	26	,	,	PUNCT
ejde-816	142	27	q−/p+	q−/p+	NOUN
ejde-816	142	28	)	)	PUNCT
ejde-816	143	1	such	such	ADJ
ejde-816	143	2	that	that	SCONJ
ejde-816	143	3	tm(t	tm(t	NOUN
ejde-816	143	4	)	)	PUNCT
ejde-816	143	5	≤	≤	NOUN
ejde-816	143	6	αm̂(t	αm̂(t	NUM
ejde-816	143	7	)	)	PUNCT
ejde-816	143	8	=	=	PUNCT
ejde-816	144	1	α	α	X
ejde-816	144	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	144	3	t	t	PROPN
ejde-816	144	4	0	0	NUM
ejde-816	144	5	m(τ	m(τ	PROPN
ejde-816	144	6	)	)	PUNCT
ejde-816	144	7	dτ	dτ	NOUN
ejde-816	144	8	for	for	ADP
ejde-816	144	9	all	all	DET
ejde-816	144	10	t	t	NOUN
ejde-816	144	11	∈	∈	PROPN
ejde-816	144	12	r+	r+	NOUN
ejde-816	144	13	0	0	NUM
ejde-816	144	14	,	,	PUNCT
ejde-816	144	15	where	where	SCONJ
ejde-816	144	16	q	q	PRON
ejde-816	144	17	−	−	NOUN
ejde-816	144	18	=	=	SYM
ejde-816	144	19	infx∈ω̄	infx∈ω̄	PROPN
ejde-816	144	20	q(x	q(x	NOUN
ejde-816	144	21	)	)	PUNCT
ejde-816	144	22	,	,	PUNCT
ejde-816	144	23	q	q	PROPN
ejde-816	144	24	∈	∈	PROPN
ejde-816	144	25	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	144	26	)	)	PUNCT
ejde-816	144	27	is	be	AUX
ejde-816	144	28	given	give	VERB
ejde-816	144	29	by	by	ADP
ejde-816	144	30	(	(	PUNCT
ejde-816	144	31	a3	a3	NOUN
ejde-816	144	32	)	)	PUNCT
ejde-816	144	33	;	;	PUNCT
ejde-816	144	34	(	(	PUNCT
ejde-816	144	35	a2	a2	PROPN
ejde-816	144	36	)	)	PUNCT
ejde-816	144	37	for	for	ADP
ejde-816	144	38	each	each	PRON
ejde-816	144	39	τ	τ	PROPN
ejde-816	144	40	>	>	X
ejde-816	144	41	0	0	PUNCT
ejde-816	144	42	there	there	PRON
ejde-816	144	43	exists	exist	VERB
ejde-816	144	44	κ	κ	X
ejde-816	144	45	=	=	SYM
ejde-816	144	46	κ(τ	κ(τ	PROPN
ejde-816	144	47	)	)	PUNCT
ejde-816	144	48	>	>	X
ejde-816	144	49	0	0	NUM
ejde-816	144	50	such	such	ADJ
ejde-816	144	51	that	that	SCONJ
ejde-816	144	52	m(t	m(t	NOUN
ejde-816	144	53	)	)	PUNCT
ejde-816	144	54	≥	≥	NOUN
ejde-816	144	55	κ	κ	NOUN
ejde-816	144	56	for	for	ADP
ejde-816	144	57	all	all	DET
ejde-816	144	58	t	t	PROPN
ejde-816	144	59	≥	≥	PROPN
ejde-816	144	60	τ	τ	X
ejde-816	144	61	;	;	PUNCT
ejde-816	144	62	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NUM
ejde-816	144	63	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	144	64	type	type	NOUN
ejde-816	144	65	problems	problem	NOUN
ejde-816	144	66	7	7	NUM
ejde-816	144	67	(	(	PUNCT
ejde-816	144	68	a3	a3	NOUN
ejde-816	144	69	)	)	PUNCT
ejde-816	144	70	there	there	PRON
ejde-816	144	71	exists	exist	VERB
ejde-816	144	72	a	a	DET
ejde-816	144	73	positive	positive	ADJ
ejde-816	144	74	constant	constant	ADJ
ejde-816	144	75	c1	c1	NOUN
ejde-816	144	76	such	such	ADJ
ejde-816	144	77	that	that	SCONJ
ejde-816	144	78	|f(x	|f(x	PROPN
ejde-816	144	79	,	,	PUNCT
ejde-816	144	80	t)|	t)|	ADJ
ejde-816	144	81	≤	≤	ADJ
ejde-816	144	82	c1(1	c1(1	NOUN
ejde-816	144	83	+	+	CCONJ
ejde-816	144	84	|t|q(x)−1	|t|q(x)−1	NUM
ejde-816	144	85	)	)	PUNCT
ejde-816	144	86	∀(x	∀(x	NUM
ejde-816	144	87	,	,	PUNCT
ejde-816	144	88	t	t	PROPN
ejde-816	144	89	)	)	PUNCT
ejde-816	144	90	∈	∈	PROPN
ejde-816	144	91	ω×	ω×	PUNCT
ejde-816	144	92	r	r	NOUN
ejde-816	144	93	,	,	PUNCT
ejde-816	144	94	where	where	SCONJ
ejde-816	144	95	q	q	PROPN
ejde-816	144	96	∈	∈	PROPN
ejde-816	144	97	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	144	98	)	)	PUNCT
ejde-816	144	99	,	,	PUNCT
ejde-816	144	100	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	144	101	)	)	PUNCT
ejde-816	144	102	<	<	X
ejde-816	144	103	q(x	q(x	PROPN
ejde-816	144	104	)	)	PUNCT
ejde-816	144	105	<	<	X
ejde-816	144	106	p∗(x	p∗(x	PROPN
ejde-816	144	107	)	)	PUNCT
ejde-816	144	108	=	=	SYM
ejde-816	144	109	np(x	np(x	X
ejde-816	144	110	)	)	PUNCT
ejde-816	144	111	n−p(x	n−p(x	NOUN
ejde-816	144	112	)	)	PUNCT
ejde-816	144	113	for	for	ADP
ejde-816	144	114	all	all	DET
ejde-816	144	115	x	x	SYM
ejde-816	144	116	∈	∈	NOUN
ejde-816	144	117	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	144	118	;	;	PUNCT
ejde-816	144	119	(	(	PUNCT
ejde-816	144	120	a4	a4	NOUN
ejde-816	144	121	)	)	PUNCT
ejde-816	144	122	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	144	123	,	,	PUNCT
ejde-816	144	124	t	t	PROPN
ejde-816	144	125	)	)	PUNCT
ejde-816	145	1	=	=	SYM
ejde-816	145	2	o	o	X
ejde-816	145	3	(	(	PUNCT
ejde-816	145	4	|t|αp+−1	|t|αp+−1	PROPN
ejde-816	145	5	)	)	PUNCT
ejde-816	145	6	,	,	PUNCT
ejde-816	145	7	t→	t→	X
ejde-816	145	8	0	0	NUM
ejde-816	145	9	,	,	PUNCT
ejde-816	145	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-816	145	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-816	145	12	.	.	PUNCT
ejde-816	145	13	x	x	SYM
ejde-816	145	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	145	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	145	16	;	;	PUNCT
ejde-816	145	17	(	(	PUNCT
ejde-816	145	18	a5	a5	PROPN
ejde-816	145	19	)	)	PUNCT
ejde-816	145	20	there	there	PRON
ejde-816	145	21	exists	exist	VERB
ejde-816	145	22	a	a	DET
ejde-816	145	23	constant	constant	ADJ
ejde-816	145	24	µ	µ	X
ejde-816	145	25	>	>	X
ejde-816	145	26	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	146	1	such	such	ADJ
ejde-816	146	2	that	that	SCONJ
ejde-816	146	3	µf	µf	X
ejde-816	146	4	(	(	PUNCT
ejde-816	146	5	x	x	X
ejde-816	146	6	,	,	PUNCT
ejde-816	146	7	t	t	PROPN
ejde-816	146	8	)	)	PUNCT
ejde-816	146	9	:	:	PUNCT
ejde-816	146	10	=	=	SYM
ejde-816	146	11	µ	µ	X
ejde-816	146	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	146	13	t	t	PROPN
ejde-816	146	14	0	0	NUM
ejde-816	146	15	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	146	16	,	,	PUNCT
ejde-816	146	17	s	s	X
ejde-816	146	18	)	)	PUNCT
ejde-816	146	19	ds	ds	ADJ
ejde-816	146	20	≤	≤	ADJ
ejde-816	146	21	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	146	22	,	,	PUNCT
ejde-816	146	23	t)t	t)t	NOUN
ejde-816	146	24	,	,	PUNCT
ejde-816	146	25	∀(x	∀(x	PRON
ejde-816	146	26	,	,	PUNCT
ejde-816	146	27	t	t	PROPN
ejde-816	146	28	)	)	PUNCT
ejde-816	146	29	∈	∈	PROPN
ejde-816	146	30	ω×	ω×	PUNCT
ejde-816	146	31	r	r	NOUN
ejde-816	146	32	;	;	PUNCT
ejde-816	146	33	(	(	PUNCT
ejde-816	146	34	a6	a6	NOUN
ejde-816	146	35	)	)	PUNCT
ejde-816	146	36	inf{x∈ω;|t|=1	inf{x∈ω;|t|=1	PROPN
ejde-816	146	37	}	}	PUNCT
ejde-816	146	38	f	f	NOUN
ejde-816	146	39	(	(	PUNCT
ejde-816	146	40	x	x	PROPN
ejde-816	146	41	,	,	PUNCT
ejde-816	146	42	t	t	PROPN
ejde-816	146	43	)	)	PUNCT
ejde-816	146	44	>	>	X
ejde-816	146	45	0	0	X
ejde-816	146	46	.	.	PUNCT
ejde-816	146	47	(	(	PUNCT
ejde-816	146	48	a7	a7	PROPN
ejde-816	146	49	)	)	PUNCT
ejde-816	146	50	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	146	51	,	,	PUNCT
ejde-816	146	52	t	t	NOUN
ejde-816	146	53	)	)	PUNCT
ejde-816	146	54	=	=	SYM
ejde-816	146	55	o(|t|r1(x)−1	o(|t|r1(x)−1	NOUN
ejde-816	146	56	)	)	PUNCT
ejde-816	146	57	uniformly	uniformly	ADV
ejde-816	146	58	a.e	a.e	PROPN
ejde-816	146	59	.	.	PUNCT
ejde-816	146	60	x	x	SYM
ejde-816	146	61	∈	∈	PROPN
ejde-816	147	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	147	2	,	,	PUNCT
ejde-816	147	3	as	as	ADP
ejde-816	147	4	t→	t→	X
ejde-816	147	5	0	0	NUM
ejde-816	147	6	,	,	PUNCT
ejde-816	147	7	where	where	SCONJ
ejde-816	147	8	r1	r1	PROPN
ejde-816	147	9	∈	∈	PROPN
ejde-816	147	10	c+(∂ω	c+(∂ω	NUM
ejde-816	147	11	)	)	PUNCT
ejde-816	147	12	,	,	PUNCT
ejde-816	147	13	supx∈∂ω	supx∈∂ω	NOUN
ejde-816	147	14	r1(x	r1(x	PRON
ejde-816	147	15	)	)	PUNCT
ejde-816	147	16	=	=	SYM
ejde-816	148	1	r+1	r+1	NOUN
ejde-816	148	2	<	<	X
ejde-816	148	3	p−	p−	NOUN
ejde-816	148	4	≤	≤	NUM
ejde-816	148	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	148	6	)	)	PUNCT
ejde-816	148	7	for	for	ADP
ejde-816	148	8	all	all	DET
ejde-816	148	9	x	x	SYM
ejde-816	148	10	∈	∈	PROPN
ejde-816	148	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	148	12	;	;	PUNCT
ejde-816	148	13	(	(	PUNCT
ejde-816	148	14	a8	a8	PROPN
ejde-816	148	15	)	)	PUNCT
ejde-816	148	16	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	148	17	,	,	PUNCT
ejde-816	148	18	t	t	PROPN
ejde-816	148	19	)	)	PUNCT
ejde-816	148	20	=	=	SYM
ejde-816	149	1	o	o	X
ejde-816	149	2	(	(	PUNCT
ejde-816	149	3	|t|r2(x)−1	|t|r2(x)−1	PROPN
ejde-816	149	4	)	)	PUNCT
ejde-816	149	5	,	,	PUNCT
ejde-816	149	6	t→	t→	X
ejde-816	149	7	+	+	ADJ
ejde-816	149	8	∞	∞	PROPN
ejde-816	149	9	,	,	PUNCT
ejde-816	149	10	uniformly	uniformly	ADV
ejde-816	149	11	a.e	a.e	PROPN
ejde-816	149	12	.	.	PUNCT
ejde-816	149	13	x	x	SYM
ejde-816	149	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	149	15	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	149	16	,	,	PUNCT
ejde-816	149	17	where	where	SCONJ
ejde-816	149	18	r2	r2	PROPN
ejde-816	149	19	∈	∈	PROPN
ejde-816	149	20	c+(∂ω	c+(∂ω	NUM
ejde-816	149	21	)	)	PUNCT
ejde-816	149	22	,	,	PUNCT
ejde-816	149	23	supx∈∂ω	supx∈∂ω	NOUN
ejde-816	149	24	r2(x	r2(x	PROPN
ejde-816	149	25	)	)	PUNCT
ejde-816	149	26	=	=	PUNCT
ejde-816	150	1	r+2	r+2	NUM
ejde-816	150	2	<	<	X
ejde-816	150	3	p−	p−	NOUN
ejde-816	150	4	≤	≤	NUM
ejde-816	150	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	150	6	)	)	PUNCT
ejde-816	150	7	for	for	ADP
ejde-816	150	8	all	all	DET
ejde-816	150	9	x	x	SYM
ejde-816	150	10	∈	∈	PROPN
ejde-816	150	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	150	12	;	;	PUNCT
ejde-816	150	13	(	(	PUNCT
ejde-816	150	14	a9	a9	NOUN
ejde-816	150	15	)	)	PUNCT
ejde-816	150	16	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	150	17	,	,	PUNCT
ejde-816	150	18	t	t	PROPN
ejde-816	150	19	)	)	PUNCT
ejde-816	150	20	:	:	PUNCT
ejde-816	151	1	=	=	PUNCT
ejde-816	151	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	151	3	t	t	PROPN
ejde-816	151	4	0	0	NUM
ejde-816	152	1	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	152	2	,	,	PUNCT
ejde-816	152	3	s	s	X
ejde-816	152	4	)	)	PUNCT
ejde-816	152	5	ds	ds	ADJ
ejde-816	152	6	≥	≥	NOUN
ejde-816	152	7	0	0	NUM
ejde-816	152	8	,	,	PUNCT
ejde-816	152	9	∀(x	∀(x	PRON
ejde-816	152	10	,	,	PUNCT
ejde-816	152	11	t	t	PROPN
ejde-816	152	12	)	)	PUNCT
ejde-816	152	13	∈	∈	PROPN
ejde-816	152	14	∂ω×	∂ω×	PROPN
ejde-816	152	15	r	r	NOUN
ejde-816	152	16	,	,	PUNCT
ejde-816	152	17	where	where	SCONJ
ejde-816	152	18	α	α	NOUN
ejde-816	152	19	and	and	CCONJ
ejde-816	152	20	µ	µ	NOUN
ejde-816	152	21	are	be	AUX
ejde-816	152	22	given	give	VERB
ejde-816	152	23	in	in	ADP
ejde-816	152	24	(	(	PUNCT
ejde-816	152	25	a1	a1	NOUN
ejde-816	152	26	)	)	PUNCT
ejde-816	152	27	and	and	CCONJ
ejde-816	152	28	(	(	PUNCT
ejde-816	152	29	a5	a5	PROPN
ejde-816	152	30	)	)	PUNCT
ejde-816	152	31	.	.	PUNCT
ejde-816	153	1	we	we	PRON
ejde-816	153	2	say	say	VERB
ejde-816	153	3	that	that	SCONJ
ejde-816	153	4	u	u	PRON
ejde-816	153	5	∈w	∈w	VERB
ejde-816	153	6	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	153	7	)	)	PUNCT
ejde-816	153	8	is	be	AUX
ejde-816	153	9	a	a	DET
ejde-816	153	10	weak	weak	ADJ
ejde-816	153	11	solution	solution	NOUN
ejde-816	153	12	of	of	ADP
ejde-816	153	13	problem	problem	NOUN
ejde-816	153	14	(	(	PUNCT
ejde-816	153	15	1.1	1.1	NUM
ejde-816	153	16	)	)	PUNCT
ejde-816	153	17	if	if	SCONJ
ejde-816	153	18	m	m	PROPN
ejde-816	153	19	(	(	PUNCT
ejde-816	153	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	153	21	ω	ω	PROPN
ejde-816	153	22	1	1	NUM
ejde-816	153	23	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	153	24	)	)	PUNCT
ejde-816	153	25	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	153	26	)	)	PUNCT
ejde-816	153	27	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	153	28	∫	∫	PROPN
ejde-816	153	29	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	153	30	(	(	PUNCT
ejde-816	153	31	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	153	32	)	)	PUNCT
ejde-816	153	33	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	153	34	)	)	PUNCT
ejde-816	153	35	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	153	36	)	)	PUNCT
ejde-816	154	1	+	+	NOUN
ejde-816	154	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	154	3	,	,	PUNCT
ejde-816	154	4	u	u	NOUN
ejde-816	154	5	)	)	PUNCT
ejde-816	154	6	)	)	PUNCT
ejde-816	154	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	154	8	)	)	PUNCT
ejde-816	154	9	×	×	NOUN
ejde-816	154	10	(	(	PUNCT
ejde-816	154	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	154	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	154	13	|∇u|p(x)−2∇u∇v	|∇u|p(x)−2∇u∇v	PROPN
ejde-816	155	1	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	155	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	156	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	156	2	β(x)|u|p(x)−2uv	β(x)|u|p(x)−2uv	PROPN
ejde-816	156	3	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	156	4	+	+	CCONJ
ejde-816	156	5	∫	∫	X
ejde-816	156	6	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	156	7	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	156	8	,	,	PUNCT
ejde-816	156	9	u)v	u)v	ADJ
ejde-816	156	10	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	156	11	)	)	PUNCT
ejde-816	157	1	−	−	PROPN
ejde-816	158	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	158	2	ω	ω	NUM
ejde-816	158	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	158	4	,	,	PUNCT
ejde-816	158	5	u)v	u)v	PUNCT
ejde-816	158	6	dx−	dx−	PUNCT
ejde-816	159	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	159	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	159	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	159	4	h(x)v	h(x)v	PROPN
ejde-816	159	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	159	6	=	=	SYM
ejde-816	159	7	0	0	PROPN
ejde-816	159	8	for	for	ADP
ejde-816	159	9	all	all	DET
ejde-816	159	10	v	v	NOUN
ejde-816	159	11	∈w	∈w	NOUN
ejde-816	159	12	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	159	13	)	)	PUNCT
ejde-816	159	14	.	.	PUNCT
ejde-816	160	1	the	the	DET
ejde-816	160	2	first	first	ADJ
ejde-816	160	3	results	result	NOUN
ejde-816	160	4	of	of	ADP
ejde-816	160	5	this	this	DET
ejde-816	160	6	article	article	NOUN
ejde-816	160	7	reads	read	VERB
ejde-816	160	8	as	as	SCONJ
ejde-816	160	9	follows	follow	VERB
ejde-816	160	10	.	.	PUNCT
ejde-816	161	1	theorem	theorem	ADJ
ejde-816	161	2	3.1	3.1	NUM
ejde-816	161	3	.	.	PUNCT
ejde-816	162	1	suppose	suppose	VERB
ejde-816	162	2	that	that	SCONJ
ejde-816	162	3	β	β	PROPN
ejde-816	162	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	162	5	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	162	6	)	)	PUNCT
ejde-816	162	7	,	,	PUNCT
ejde-816	162	8	β−	β−	NUM
ejde-816	163	1	:	:	PUNCT
ejde-816	163	2	=	=	PUNCT
ejde-816	163	3	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	163	4	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	163	5	)	)	PUNCT
ejde-816	163	6	>	>	X
ejde-816	163	7	0	0	NUM
ejde-816	163	8	,	,	PUNCT
ejde-816	163	9	h	h	NOUN
ejde-816	163	10	∈	∈	PROPN
ejde-816	163	11	l	l	NOUN
ejde-816	163	12	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	163	13	αp+−1	αp+−1	X
ejde-816	163	14	(	(	PUNCT
ejde-816	163	15	ω	ω	NOUN
ejde-816	163	16	)	)	PUNCT
ejde-816	163	17	and	and	CCONJ
ejde-816	163	18	g	g	NOUN
ejde-816	163	19	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-816	163	20	0	0	X
ejde-816	163	21	.	.	PUNCT
ejde-816	164	1	let	let	VERB
ejde-816	164	2	m(0	m(0	NOUN
ejde-816	164	3	)	)	PUNCT
ejde-816	164	4	=	=	SYM
ejde-816	164	5	0	0	NUM
ejde-816	164	6	and	and	CCONJ
ejde-816	164	7	the	the	DET
ejde-816	164	8	conditions	condition	NOUN
ejde-816	164	9	(	(	PUNCT
ejde-816	164	10	a1)–(a9	a1)–(a9	ADV
ejde-816	164	11	)	)	PUNCT
ejde-816	164	12	hold	hold	NOUN
ejde-816	164	13	.	.	PUNCT
ejde-816	165	1	then	then	ADV
ejde-816	165	2	there	there	PRON
ejde-816	165	3	exists	exist	VERB
ejde-816	165	4	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	165	5	>	>	X
ejde-816	165	6	0	0	NUM
ejde-816	166	1	such	such	ADJ
ejde-816	166	2	that	that	SCONJ
ejde-816	166	3	(	(	PUNCT
ejde-816	166	4	1.1	1.1	NUM
ejde-816	166	5	)	)	PUNCT
ejde-816	166	6	has	have	VERB
ejde-816	166	7	at	at	ADV
ejde-816	166	8	least	least	ADV
ejde-816	166	9	two	two	NUM
ejde-816	166	10	non	non	ADJ
ejde-816	166	11	-	-	ADJ
ejde-816	166	12	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	166	13	weak	weak	ADJ
ejde-816	166	14	solutions	solution	NOUN
ejde-816	166	15	when	when	SCONJ
ejde-816	166	16	λ	λ	X
ejde-816	166	17	∈	∈	PROPN
ejde-816	166	18	(	(	PUNCT
ejde-816	166	19	0	0	NUM
ejde-816	166	20	,	,	PUNCT
ejde-816	166	21	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	166	22	)	)	PUNCT
ejde-816	166	23	.	.	PUNCT
ejde-816	167	1	theorem	theorem	VERB
ejde-816	167	2	3.2	3.2	NUM
ejde-816	167	3	.	.	PUNCT
ejde-816	168	1	suppose	suppose	VERB
ejde-816	168	2	that	that	SCONJ
ejde-816	168	3	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	168	4	)	)	PUNCT
ejde-816	168	5	≡	≡	PROPN
ejde-816	168	6	0	0	NUM
ejde-816	168	7	,	,	PUNCT
ejde-816	168	8	h	h	NOUN
ejde-816	168	9	∈	∈	PROPN
ejde-816	168	10	l	l	NOUN
ejde-816	168	11	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	168	12	αp+−1	αp+−1	X
ejde-816	168	13	(	(	PUNCT
ejde-816	168	14	ω	ω	NOUN
ejde-816	168	15	)	)	PUNCT
ejde-816	168	16	and	and	CCONJ
ejde-816	168	17	g	g	NOUN
ejde-816	168	18	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-816	168	19	0	0	X
ejde-816	168	20	.	.	PUNCT
ejde-816	169	1	let	let	VERB
ejde-816	169	2	m(0	m(0	NOUN
ejde-816	169	3	)	)	PUNCT
ejde-816	169	4	=	=	SYM
ejde-816	169	5	0	0	NUM
ejde-816	169	6	and	and	CCONJ
ejde-816	169	7	the	the	DET
ejde-816	169	8	conditions	condition	NOUN
ejde-816	169	9	(	(	PUNCT
ejde-816	169	10	a1)–(a9	a1)–(a9	ADV
ejde-816	169	11	)	)	PUNCT
ejde-816	169	12	hold	hold	NOUN
ejde-816	169	13	.	.	PUNCT
ejde-816	170	1	then	then	ADV
ejde-816	170	2	there	there	PRON
ejde-816	170	3	exists	exist	VERB
ejde-816	170	4	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	170	5	>	>	X
ejde-816	170	6	0	0	NUM
ejde-816	171	1	such	such	ADJ
ejde-816	171	2	that	that	SCONJ
ejde-816	171	3	the	the	DET
ejde-816	171	4	problem	problem	NOUN
ejde-816	171	5	(	(	PUNCT
ejde-816	171	6	1.2	1.2	NUM
ejde-816	171	7	)	)	PUNCT
ejde-816	171	8	has	have	VERB
ejde-816	171	9	at	at	ADV
ejde-816	171	10	least	least	ADV
ejde-816	171	11	two	two	NUM
ejde-816	171	12	non	non	ADJ
ejde-816	171	13	-	-	ADJ
ejde-816	171	14	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	171	15	weak	weak	ADJ
ejde-816	171	16	solutions	solution	NOUN
ejde-816	171	17	when	when	SCONJ
ejde-816	171	18	λ	λ	X
ejde-816	171	19	∈	∈	PROPN
ejde-816	171	20	(	(	PUNCT
ejde-816	171	21	0	0	NUM
ejde-816	171	22	,	,	PUNCT
ejde-816	171	23	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	171	24	)	)	PUNCT
ejde-816	171	25	.	.	PUNCT
ejde-816	172	1	let	let	VERB
ejde-816	172	2	us	we	PRON
ejde-816	172	3	denote	denote	VERB
ejde-816	172	4	by	by	ADP
ejde-816	172	5	x	x	SYM
ejde-816	172	6	the	the	DET
ejde-816	172	7	variable	variable	ADJ
ejde-816	172	8	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	172	9	sobolev	sobolev	PROPN
ejde-816	172	10	spacew	spacew	PROPN
ejde-816	172	11	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	172	12	)	)	PUNCT
ejde-816	172	13	and	and	CCONJ
ejde-816	172	14	consider	consider	VERB
ejde-816	172	15	the	the	DET
ejde-816	172	16	energy	energy	NOUN
ejde-816	172	17	functional	functional	ADJ
ejde-816	172	18	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	172	19	:	:	PUNCT
ejde-816	172	20	x	x	X
ejde-816	172	21	→	→	SYM
ejde-816	172	22	r	r	NOUN
ejde-816	172	23	given	give	VERB
ejde-816	172	24	by	by	ADP
ejde-816	172	25	iλ(u	iλ(u	NOUN
ejde-816	172	26	)	)	PUNCT
ejde-816	173	1	=	=	SYM
ejde-816	173	2	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	173	3	(	(	PUNCT
ejde-816	173	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	173	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	173	6	1	1	NUM
ejde-816	173	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	173	8	)	)	PUNCT
ejde-816	173	9	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	173	10	)	)	PUNCT
ejde-816	173	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	173	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	173	13	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	173	14	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	173	15	)	)	PUNCT
ejde-816	173	16	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	173	17	)	)	PUNCT
ejde-816	173	18	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	173	19	)	)	PUNCT
ejde-816	173	20	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	173	21	+	+	CCONJ
ejde-816	173	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	173	23	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	173	24	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	173	25	,	,	PUNCT
ejde-816	173	26	u	u	NOUN
ejde-816	173	27	)	)	PUNCT
ejde-816	173	28	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	173	29	)	)	PUNCT
ejde-816	174	1	−	−	PROPN
ejde-816	175	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	176	1	ω	ω	NUM
ejde-816	176	2	f	f	PROPN
ejde-816	176	3	(	(	PUNCT
ejde-816	176	4	x	x	NOUN
ejde-816	176	5	,	,	PUNCT
ejde-816	176	6	u	u	NOUN
ejde-816	176	7	)	)	PUNCT
ejde-816	176	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	177	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	177	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	177	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	177	4	h(x)u	h(x)u	PROPN
ejde-816	177	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	177	6	.	.	PUNCT
ejde-816	178	1	then	then	ADV
ejde-816	178	2	by	by	ADP
ejde-816	178	3	(	(	PUNCT
ejde-816	178	4	a3	a3	NOUN
ejde-816	178	5	)	)	PUNCT
ejde-816	178	6	and	and	CCONJ
ejde-816	178	7	the	the	DET
ejde-816	178	8	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	178	9	embeddings	embedding	NOUN
ejde-816	178	10	,	,	PUNCT
ejde-816	178	11	we	we	PRON
ejde-816	178	12	can	can	AUX
ejde-816	178	13	show	show	VERB
ejde-816	178	14	that	that	SCONJ
ejde-816	178	15	the	the	DET
ejde-816	178	16	functional	functional	ADJ
ejde-816	178	17	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	178	18	is	be	AUX
ejde-816	178	19	well	well	ADV
ejde-816	178	20	-	-	PUNCT
ejde-816	178	21	defined	define	VERB
ejde-816	178	22	on	on	ADP
ejde-816	178	23	x	x	PUNCT
ejde-816	178	24	and	and	CCONJ
ejde-816	178	25	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	178	26	∈	∈	PROPN
ejde-816	178	27	c1(x	c1(x	NOUN
ejde-816	178	28	,	,	PUNCT
ejde-816	178	29	r	r	NOUN
ejde-816	178	30	)	)	PUNCT
ejde-816	178	31	with	with	ADP
ejde-816	178	32	the	the	DET
ejde-816	178	33	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	178	34	i	i	PROPN
ejde-816	178	35	′λ(u)(v	′λ(u)(v	PROPN
ejde-816	178	36	)	)	PUNCT
ejde-816	179	1	=	=	NOUN
ejde-816	179	2	m	m	PROPN
ejde-816	179	3	(	(	PUNCT
ejde-816	179	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	179	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	179	6	1	1	NUM
ejde-816	179	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	179	8	)	)	PUNCT
ejde-816	179	9	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	179	10	)	)	PUNCT
ejde-816	179	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	179	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	179	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	179	14	(	(	PUNCT
ejde-816	179	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	179	16	)	)	PUNCT
ejde-816	179	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	179	18	)	)	PUNCT
ejde-816	179	19	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	179	20	)	)	PUNCT
ejde-816	180	1	+	+	NOUN
ejde-816	180	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	180	3	,	,	PUNCT
ejde-816	180	4	u	u	NOUN
ejde-816	180	5	)	)	PUNCT
ejde-816	180	6	)	)	PUNCT
ejde-816	180	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	180	8	)	)	PUNCT
ejde-816	180	9	8	8	NUM
ejde-816	180	10	h.	h.	NOUN
ejde-816	180	11	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	180	12	,	,	PUNCT
ejde-816	180	13	a.	a.	NOUN
ejde-816	180	14	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	180	15	,	,	PUNCT
ejde-816	180	16	m.	m.	PROPN
ejde-816	180	17	filali	filali	PROPN
ejde-816	180	18	,	,	PUNCT
ejde-816	180	19	n.	n.	PROPN
ejde-816	180	20	tsouli	tsouli	PROPN
ejde-816	180	21	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	180	22	×	×	PROPN
ejde-816	180	23	(	(	PUNCT
ejde-816	180	24	∫	∫	PROPN
ejde-816	180	25	ω	ω	PROPN
ejde-816	180	26	|∇u|p(x)−2∇u∇v	|∇u|p(x)−2∇u∇v	PROPN
ejde-816	181	1	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	181	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	182	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	182	2	β(x)|u|p(x)−2uv	β(x)|u|p(x)−2uv	PROPN
ejde-816	182	3	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	182	4	+	+	CCONJ
ejde-816	182	5	∫	∫	X
ejde-816	182	6	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	182	7	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	182	8	,	,	PUNCT
ejde-816	182	9	u)v	u)v	ADJ
ejde-816	182	10	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	182	11	)	)	PUNCT
ejde-816	183	1	−	−	PROPN
ejde-816	184	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	184	2	ω	ω	NUM
ejde-816	184	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	184	4	,	,	PUNCT
ejde-816	184	5	u)v	u)v	PUNCT
ejde-816	184	6	dx−	dx−	PUNCT
ejde-816	185	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	185	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	185	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	185	4	h(x)v	h(x)v	PROPN
ejde-816	185	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	185	6	for	for	ADP
ejde-816	185	7	all	all	DET
ejde-816	185	8	u	u	NOUN
ejde-816	185	9	,	,	PUNCT
ejde-816	185	10	v	v	NOUN
ejde-816	185	11	∈	∈	NOUN
ejde-816	185	12	x.	x.	NOUN
ejde-816	185	13	hence	hence	ADV
ejde-816	185	14	,	,	PUNCT
ejde-816	185	15	we	we	PRON
ejde-816	185	16	can	can	AUX
ejde-816	185	17	find	find	VERB
ejde-816	185	18	weak	weak	ADJ
ejde-816	185	19	solutions	solution	NOUN
ejde-816	185	20	of	of	ADP
ejde-816	185	21	(	(	PUNCT
ejde-816	185	22	1.1	1.1	NUM
ejde-816	185	23	)	)	PUNCT
ejde-816	185	24	as	as	ADP
ejde-816	185	25	the	the	DET
ejde-816	185	26	critical	critical	ADJ
ejde-816	185	27	points	point	NOUN
ejde-816	185	28	of	of	ADP
ejde-816	185	29	the	the	DET
ejde-816	185	30	functional	functional	ADJ
ejde-816	185	31	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	185	32	in	in	ADP
ejde-816	185	33	the	the	DET
ejde-816	185	34	space	space	NOUN
ejde-816	185	35	x.	x.	NOUN
ejde-816	185	36	in	in	ADP
ejde-816	185	37	what	what	PRON
ejde-816	185	38	follows	follow	VERB
ejde-816	185	39	,	,	PUNCT
ejde-816	185	40	we	we	PRON
ejde-816	185	41	study	study	VERB
ejde-816	185	42	the	the	DET
ejde-816	185	43	degenerate	degenerate	ADJ
ejde-816	185	44	problem	problem	NOUN
ejde-816	185	45	(	(	PUNCT
ejde-816	185	46	1.1	1.1	NUM
ejde-816	185	47	)	)	PUNCT
ejde-816	185	48	,	,	PUNCT
ejde-816	185	49	and	and	CCONJ
ejde-816	185	50	in	in	ADP
ejde-816	185	51	passing	pass	VERB
ejde-816	185	52	we	we	PRON
ejde-816	185	53	recall	recall	VERB
ejde-816	185	54	that	that	SCONJ
ejde-816	185	55	(	(	PUNCT
ejde-816	185	56	a1	a1	NOUN
ejde-816	185	57	)	)	PUNCT
ejde-816	185	58	is	be	AUX
ejde-816	185	59	assumed	assume	VERB
ejde-816	185	60	throughout	throughout	ADP
ejde-816	185	61	the	the	DET
ejde-816	185	62	paper	paper	NOUN
ejde-816	185	63	.	.	PUNCT
ejde-816	186	1	remark	remark	VERB
ejde-816	186	2	3.3	3.3	NUM
ejde-816	186	3	.	.	PUNCT
ejde-816	187	1	obviously	obviously	ADV
ejde-816	187	2	,	,	PUNCT
ejde-816	187	3	(	(	PUNCT
ejde-816	187	4	a2	a2	NOUN
ejde-816	187	5	)	)	PUNCT
ejde-816	187	6	implies	imply	VERB
ejde-816	187	7	thatm(t	thatm(t	NOUN
ejde-816	187	8	)	)	PUNCT
ejde-816	187	9	>	>	X
ejde-816	187	10	0	0	PUNCT
ejde-816	188	1	as	as	ADP
ejde-816	188	2	t	t	PROPN
ejde-816	188	3	>	>	X
ejde-816	188	4	0	0	PROPN
ejde-816	188	5	.	.	PUNCT
ejde-816	189	1	hence	hence	ADV
ejde-816	189	2	,	,	PUNCT
ejde-816	189	3	ifm(t0	ifm(t0	PROPN
ejde-816	189	4	)	)	PUNCT
ejde-816	189	5	>	>	X
ejde-816	189	6	0	0	PUNCT
ejde-816	190	1	for	for	ADP
ejde-816	190	2	some	some	DET
ejde-816	190	3	t0	t0	PROPN
ejde-816	190	4	>	>	X
ejde-816	190	5	0	0	PROPN
ejde-816	190	6	,	,	PUNCT
ejde-816	190	7	then	then	ADV
ejde-816	190	8	(	(	PUNCT
ejde-816	190	9	a1	a1	NOUN
ejde-816	190	10	)	)	PUNCT
ejde-816	190	11	yields	yield	NOUN
ejde-816	190	12	that	that	PRON
ejde-816	190	13	tα0	tα0	VERB
ejde-816	190	14	m̂(t	m̂(t	NOUN
ejde-816	190	15	)	)	PUNCT
ejde-816	190	16	≥	≥	NOUN
ejde-816	190	17	m̂(t0)t	m̂(t0)t	NUM
ejde-816	190	18	α	α	PRON
ejde-816	190	19	∀t	∀t	PROPN
ejde-816	190	20	∈	∈	PROPN
ejde-816	191	1	[	[	X
ejde-816	191	2	0	0	NUM
ejde-816	191	3	,	,	PUNCT
ejde-816	191	4	t0	t0	PROPN
ejde-816	191	5	]	]	PUNCT
ejde-816	191	6	,	,	PUNCT
ejde-816	191	7	(	(	PUNCT
ejde-816	191	8	3.1	3.1	NUM
ejde-816	191	9	)	)	PUNCT
ejde-816	191	10	tα0	tα0	NOUN
ejde-816	191	11	m̂(t	m̂(t	NOUN
ejde-816	191	12	)	)	PUNCT
ejde-816	191	13	≤	≤	NOUN
ejde-816	191	14	m̂(t0)t	m̂(t0)t	NUM
ejde-816	191	15	α	α	PRON
ejde-816	191	16	∀t	∀t	PROPN
ejde-816	191	17	≥	≥	NOUN
ejde-816	191	18	t0	t0	NUM
ejde-816	191	19	.	.	PUNCT
ejde-816	192	1	(	(	PUNCT
ejde-816	192	2	3.2	3.2	NUM
ejde-816	192	3	)	)	PUNCT
ejde-816	192	4	assuming	assume	VERB
ejde-816	192	5	that	that	SCONJ
ejde-816	192	6	{	{	PUNCT
ejde-816	192	7	un}n	un}n	X
ejde-816	192	8	⊂	⊂	X
ejde-816	192	9	x.	x.	NOUN
ejde-816	193	1	if	if	SCONJ
ejde-816	193	2	inf	inf	PROPN
ejde-816	193	3	n∈n	n∈n	ADV
ejde-816	193	4	(	(	PUNCT
ejde-816	193	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	193	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	193	7	1	1	NUM
ejde-816	193	8	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	193	9	)	)	PUNCT
ejde-816	193	10	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	193	11	)	)	PUNCT
ejde-816	193	12	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	193	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	193	14	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	193	15	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	193	16	)	)	PUNCT
ejde-816	193	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	193	18	)	)	PUNCT
ejde-816	193	19	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	193	20	)	)	PUNCT
ejde-816	193	21	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	193	22	+	+	CCONJ
ejde-816	193	23	∫	∫	X
ejde-816	193	24	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	193	25	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	193	26	,	,	PUNCT
ejde-816	193	27	un	un	ADJ
ejde-816	193	28	)	)	PUNCT
ejde-816	193	29	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	193	30	)	)	PUNCT
ejde-816	193	31	>	>	X
ejde-816	193	32	0	0	PUNCT
ejde-816	194	1	then	then	ADV
ejde-816	194	2	from	from	ADP
ejde-816	194	3	condition	condition	NOUN
ejde-816	194	4	(	(	PUNCT
ejde-816	194	5	a2	a2	PROPN
ejde-816	194	6	)	)	PUNCT
ejde-816	194	7	we	we	PRON
ejde-816	194	8	can	can	AUX
ejde-816	194	9	choose	choose	VERB
ejde-816	194	10	τ	τ	PROPN
ejde-816	194	11	=	=	SYM
ejde-816	194	12	inf	inf	PROPN
ejde-816	194	13	n∈n	n∈n	ADV
ejde-816	194	14	(	(	PUNCT
ejde-816	194	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	194	16	ω	ω	PROPN
ejde-816	194	17	1	1	NUM
ejde-816	194	18	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	194	19	)	)	PUNCT
ejde-816	194	20	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	194	21	)	)	PUNCT
ejde-816	194	22	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	194	23	∫	∫	PROPN
ejde-816	194	24	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	194	25	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	194	26	)	)	PUNCT
ejde-816	194	27	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	194	28	)	)	PUNCT
ejde-816	194	29	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	194	30	)	)	PUNCT
ejde-816	194	31	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	194	32	+	+	CCONJ
ejde-816	194	33	∫	∫	X
ejde-816	194	34	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	194	35	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	194	36	,	,	PUNCT
ejde-816	194	37	un	un	ADJ
ejde-816	194	38	)	)	PUNCT
ejde-816	194	39	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	194	40	)	)	PUNCT
ejde-816	194	41	>	>	X
ejde-816	195	1	0	0	X
ejde-816	195	2	.	.	PUNCT
ejde-816	196	1	then	then	ADV
ejde-816	196	2	there	there	PRON
ejde-816	196	3	exists	exist	VERB
ejde-816	196	4	κ	κ	X
ejde-816	196	5	=	=	SYM
ejde-816	196	6	κ(τ	κ(τ	PROPN
ejde-816	196	7	)	)	PUNCT
ejde-816	196	8	>	>	X
ejde-816	196	9	0	0	NUM
ejde-816	197	1	such	such	ADJ
ejde-816	197	2	that	that	SCONJ
ejde-816	197	3	m	m	PROPN
ejde-816	197	4	(	(	PUNCT
ejde-816	197	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	197	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	197	7	1	1	NUM
ejde-816	197	8	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	197	9	)	)	PUNCT
ejde-816	197	10	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	197	11	)	)	PUNCT
ejde-816	197	12	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	197	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	197	14	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	197	15	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	197	16	)	)	PUNCT
ejde-816	197	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	197	18	)	)	PUNCT
ejde-816	197	19	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	197	20	)	)	PUNCT
ejde-816	197	21	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	197	22	+	+	CCONJ
ejde-816	197	23	∫	∫	X
ejde-816	197	24	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	197	25	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	197	26	,	,	PUNCT
ejde-816	197	27	un	un	ADJ
ejde-816	197	28	)	)	PUNCT
ejde-816	197	29	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	197	30	)	)	PUNCT
ejde-816	198	1	⩾	⩾	PROPN
ejde-816	198	2	κ	κ	X
ejde-816	198	3	∀n	∀n	PUNCT
ejde-816	198	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	198	5	n.	n.	NOUN
ejde-816	198	6	we	we	PRON
ejde-816	198	7	will	will	AUX
ejde-816	198	8	discuss	discuss	VERB
ejde-816	198	9	the	the	DET
ejde-816	198	10	other	other	ADJ
ejde-816	198	11	case	case	NOUN
ejde-816	198	12	later	later	ADV
ejde-816	198	13	.	.	PUNCT
ejde-816	199	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	199	2	3.4	3.4	NUM
ejde-816	199	3	.	.	PUNCT
ejde-816	200	1	assume	assume	VERB
ejde-816	200	2	that	that	SCONJ
ejde-816	200	3	(	(	PUNCT
ejde-816	200	4	a1)–(a5	a1)–(a5	ADV
ejde-816	200	5	)	)	PUNCT
ejde-816	200	6	,	,	PUNCT
ejde-816	200	7	(	(	PUNCT
ejde-816	200	8	a9	a9	NOUN
ejde-816	200	9	)	)	PUNCT
ejde-816	200	10	hold	hold	VERB
ejde-816	200	11	and	and	CCONJ
ejde-816	200	12	that	that	SCONJ
ejde-816	200	13	h	h	NOUN
ejde-816	200	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	200	15	l	l	X
ejde-816	200	16	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	200	17	αp+−1	αp+−1	X
ejde-816	200	18	(	(	PUNCT
ejde-816	200	19	ω	ω	NOUN
ejde-816	200	20	)	)	PUNCT
ejde-816	200	21	.	.	PUNCT
ejde-816	201	1	then	then	ADV
ejde-816	201	2	there	there	PRON
ejde-816	201	3	exist	exist	VERB
ejde-816	201	4	constants	constant	NOUN
ejde-816	201	5	ρ	ρ	NOUN
ejde-816	201	6	,	,	PUNCT
ejde-816	201	7	r	r	NOUN
ejde-816	201	8	,	,	PUNCT
ejde-816	201	9	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-816	201	10	>	>	X
ejde-816	201	11	0	0	NUM
ejde-816	202	1	such	such	ADJ
ejde-816	202	2	that	that	DET
ejde-816	202	3	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	202	4	)	)	PUNCT
ejde-816	202	5	≥	≥	NOUN
ejde-816	202	6	r	r	NOUN
ejde-816	202	7	for	for	ADP
ejde-816	202	8	all	all	DET
ejde-816	202	9	u	u	NOUN
ejde-816	202	10	∈	∈	PROPN
ejde-816	202	11	x	x	PUNCT
ejde-816	202	12	with	with	ADP
ejde-816	202	13	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	202	14	)	)	PUNCT
ejde-816	202	15	=	=	SYM
ejde-816	202	16	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	202	17	,	,	PUNCT
ejde-816	202	18	when	when	SCONJ
ejde-816	202	19	λ	λ	PROPN
ejde-816	202	20	∈	∈	PROPN
ejde-816	202	21	(	(	PUNCT
ejde-816	202	22	0	0	NUM
ejde-816	202	23	,	,	PUNCT
ejde-816	202	24	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	202	25	)	)	PUNCT
ejde-816	202	26	.	.	PUNCT
ejde-816	203	1	proof	proof	NOUN
ejde-816	203	2	.	.	PUNCT
ejde-816	204	1	since	since	SCONJ
ejde-816	204	2	1	1	NUM
ejde-816	204	3	<	<	X
ejde-816	204	4	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	204	5	<	<	X
ejde-816	204	6	p−	p−	NOUN
ejde-816	204	7	≤	≤	NUM
ejde-816	204	8	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	204	9	)	)	PUNCT
ejde-816	204	10	≤	≤	NOUN
ejde-816	204	11	p+	p+	VERB
ejde-816	204	12	<	<	X
ejde-816	204	13	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	204	14	<	<	X
ejde-816	204	15	q−	q−	PROPN
ejde-816	204	16	≤	≤	NUM
ejde-816	204	17	q(x	q(x	NOUN
ejde-816	204	18	)	)	PUNCT
ejde-816	204	19	<	<	X
ejde-816	204	20	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	204	21	)	)	PUNCT
ejde-816	204	22	for	for	ADP
ejde-816	204	23	all	all	PRON
ejde-816	204	24	x	x	SYM
ejde-816	204	25	∈	∈	NOUN
ejde-816	204	26	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	204	27	,	,	PUNCT
ejde-816	204	28	1	1	NUM
ejde-816	204	29	<	<	X
ejde-816	204	30	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	204	31	<	<	X
ejde-816	204	32	p−	p−	NOUN
ejde-816	204	33	and	and	CCONJ
ejde-816	204	34	1	1	NUM
ejde-816	204	35	<	<	X
ejde-816	204	36	r−2	r−2	PROPN
ejde-816	204	37	<	<	X
ejde-816	204	38	p−	p−	PROPN
ejde-816	204	39	,	,	PUNCT
ejde-816	204	40	the	the	DET
ejde-816	204	41	embeddings	embedding	NOUN
ejde-816	204	42	x	x	X
ejde-816	204	43	↪	↪	PROPN
ejde-816	204	44	→	→	SYM
ejde-816	204	45	lp(x)(ω	lp(x)(ω	NOUN
ejde-816	204	46	)	)	PUNCT
ejde-816	204	47	,	,	PUNCT
ejde-816	204	48	x	x	X
ejde-816	204	49	↪	↪	PROPN
ejde-816	204	50	→	→	SYM
ejde-816	204	51	lαp+	lαp+	ADJ
ejde-816	204	52	(	(	PUNCT
ejde-816	204	53	ω	ω	NOUN
ejde-816	204	54	)	)	PUNCT
ejde-816	204	55	,	,	PUNCT
ejde-816	204	56	x	x	X
ejde-816	204	57	↪	↪	X
ejde-816	204	58	→	→	SYM
ejde-816	204	59	lq(x)(ω	lq(x)(ω	NUM
ejde-816	204	60	)	)	PUNCT
ejde-816	204	61	,	,	PUNCT
ejde-816	204	62	x	x	X
ejde-816	204	63	↪	↪	PROPN
ejde-816	204	64	→	→	SYM
ejde-816	204	65	lp(x)(∂ω	lp(x)(∂ω	NUM
ejde-816	204	66	)	)	PUNCT
ejde-816	204	67	are	be	AUX
ejde-816	204	68	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	204	69	,	,	PUNCT
ejde-816	204	70	and	and	CCONJ
ejde-816	204	71	there	there	PRON
ejde-816	204	72	exists	exist	VERB
ejde-816	204	73	positive	positive	ADJ
ejde-816	204	74	constants	constant	NOUN
ejde-816	204	75	c2	c2	PROPN
ejde-816	204	76	,	,	PUNCT
ejde-816	204	77	c3	c3	PROPN
ejde-816	204	78	,	,	PUNCT
ejde-816	204	79	c4	c4	NOUN
ejde-816	204	80	,	,	PUNCT
ejde-816	204	81	c5	c5	PROPN
ejde-816	204	82	such	such	ADJ
ejde-816	204	83	that	that	SCONJ
ejde-816	204	84	∥u∥p(x	∥u∥p(x	PROPN
ejde-816	204	85	)	)	PUNCT
ejde-816	204	86	≤	≤	NUM
ejde-816	204	87	c2∥u∥β(x	c2∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	204	88	)	)	PUNCT
ejde-816	204	89	,	,	PUNCT
ejde-816	204	90	∥u∥αp+	∥u∥αp+	ADJ
ejde-816	204	91	≤	≤	ADJ
ejde-816	204	92	c3∥u∥β(x	c3∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	204	93	)	)	PUNCT
ejde-816	204	94	,	,	PUNCT
ejde-816	204	95	∥u∥q(x	∥u∥q(x	PROPN
ejde-816	204	96	)	)	PUNCT
ejde-816	204	97	≤	≤	NUM
ejde-816	205	1	c4∥u∥β(x	c4∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	205	2	)	)	PUNCT
ejde-816	205	3	,	,	PUNCT
ejde-816	205	4	∥u∥∂ω	∥u∥∂ω	PRON
ejde-816	205	5	,	,	PUNCT
ejde-816	205	6	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	205	7	)	)	PUNCT
ejde-816	205	8	≤	≤	NUM
ejde-816	205	9	c5∥u∥β(x	c5∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	205	10	)	)	PUNCT
ejde-816	205	11	.	.	PUNCT
ejde-816	206	1	(	(	PUNCT
ejde-816	206	2	3.3	3.3	NUM
ejde-816	206	3	)	)	PUNCT
ejde-816	206	4	let	let	VERB
ejde-816	206	5	0	0	NUM
ejde-816	206	6	<	<	X
ejde-816	206	7	ϵ1	ϵ1	PROPN
ejde-816	206	8	.	.	PUNCT
ejde-816	207	1	from	from	ADP
ejde-816	207	2	the	the	DET
ejde-816	207	3	assumptions	assumption	NOUN
ejde-816	207	4	(	(	PUNCT
ejde-816	207	5	a1	a1	NOUN
ejde-816	207	6	)	)	PUNCT
ejde-816	207	7	and	and	CCONJ
ejde-816	207	8	(	(	PUNCT
ejde-816	207	9	a2	a2	PROPN
ejde-816	207	10	)	)	PUNCT
ejde-816	207	11	,	,	PUNCT
ejde-816	207	12	there	there	PRON
ejde-816	207	13	exists	exist	VERB
ejde-816	207	14	a	a	DET
ejde-816	207	15	constant	constant	ADJ
ejde-816	207	16	c(ϵ1	c(ϵ1	NOUN
ejde-816	207	17	)	)	PUNCT
ejde-816	207	18	depending	depend	VERB
ejde-816	207	19	on	on	ADP
ejde-816	207	20	ϵ1	ϵ1	NOUN
ejde-816	207	21	such	such	ADJ
ejde-816	207	22	that	that	SCONJ
ejde-816	208	1	|f	|f	PROPN
ejde-816	208	2	(	(	PUNCT
ejde-816	208	3	x	x	X
ejde-816	208	4	,	,	PUNCT
ejde-816	208	5	t)|	t)|	ADJ
ejde-816	208	6	≤	≤	NUM
ejde-816	208	7	ϵ1|t|αp	ϵ1|t|αp	NOUN
ejde-816	209	1	+	+	PUNCT
ejde-816	210	1	+	+	NUM
ejde-816	210	2	c(ϵ1)|t|q(x	c(ϵ1)|t|q(x	NOUN
ejde-816	210	3	)	)	PUNCT
ejde-816	211	1	,	,	PUNCT
ejde-816	211	2	∀(x	∀(x	PROPN
ejde-816	211	3	,	,	PUNCT
ejde-816	211	4	t	t	PROPN
ejde-816	211	5	)	)	PUNCT
ejde-816	211	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	211	7	ω×	ω×	PUNCT
ejde-816	211	8	r	r	NOUN
ejde-816	211	9	(	(	PUNCT
ejde-816	211	10	3.4	3.4	NUM
ejde-816	211	11	)	)	PUNCT
ejde-816	211	12	let	let	VERB
ejde-816	211	13	u	u	PRON
ejde-816	211	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	211	15	x	x	PUNCT
ejde-816	211	16	with	with	ADP
ejde-816	211	17	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	211	18	)	)	PUNCT
ejde-816	211	19	<	<	X
ejde-816	211	20	1	1	NUM
ejde-816	211	21	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-816	211	22	small	small	ADJ
ejde-816	211	23	.	.	PUNCT
ejde-816	212	1	from	from	ADP
ejde-816	212	2	(	(	PUNCT
ejde-816	212	3	a1	a1	NOUN
ejde-816	212	4	)	)	PUNCT
ejde-816	212	5	,	,	PUNCT
ejde-816	212	6	(	(	PUNCT
ejde-816	212	7	a2	a2	PROPN
ejde-816	212	8	)	)	PUNCT
ejde-816	212	9	,	,	PUNCT
ejde-816	212	10	(	(	PUNCT
ejde-816	212	11	2.4	2.4	NUM
ejde-816	212	12	)	)	PUNCT
ejde-816	212	13	,	,	PUNCT
ejde-816	212	14	(	(	PUNCT
ejde-816	212	15	3.3	3.3	NUM
ejde-816	212	16	)	)	PUNCT
ejde-816	212	17	,	,	PUNCT
ejde-816	212	18	(	(	PUNCT
ejde-816	212	19	3.4	3.4	NUM
ejde-816	212	20	)	)	PUNCT
ejde-816	212	21	,	,	PUNCT
ejde-816	212	22	and	and	CCONJ
ejde-816	212	23	(	(	PUNCT
ejde-816	212	24	a9	a9	NOUN
ejde-816	212	25	)	)	PUNCT
ejde-816	212	26	applying	apply	VERB
ejde-816	212	27	the	the	DET
ejde-816	212	28	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	212	29	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	212	30	we	we	PRON
ejde-816	212	31	have	have	VERB
ejde-816	212	32	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	212	33	)	)	PUNCT
ejde-816	212	34	=	=	SYM
ejde-816	212	35	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	212	36	(	(	PUNCT
ejde-816	212	37	∫	∫	PROPN
ejde-816	212	38	ω	ω	PROPN
ejde-816	212	39	1	1	NUM
ejde-816	212	40	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	212	41	)	)	PUNCT
ejde-816	212	42	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	212	43	)	)	PUNCT
ejde-816	212	44	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	212	45	∫	∫	PROPN
ejde-816	212	46	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	212	47	(	(	PUNCT
ejde-816	212	48	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	212	49	)	)	PUNCT
ejde-816	212	50	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	212	51	)	)	PUNCT
ejde-816	212	52	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	212	53	)	)	PUNCT
ejde-816	213	1	+	+	NOUN
ejde-816	213	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	213	3	,	,	PUNCT
ejde-816	213	4	u	u	NOUN
ejde-816	213	5	)	)	PUNCT
ejde-816	213	6	)	)	PUNCT
ejde-816	213	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	213	8	)	)	PUNCT
ejde-816	214	1	−	−	PROPN
ejde-816	214	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	214	3	ω	ω	NUM
ejde-816	214	4	f	f	PROPN
ejde-816	214	5	(	(	PUNCT
ejde-816	214	6	x	x	NOUN
ejde-816	214	7	,	,	PUNCT
ejde-816	214	8	u	u	NOUN
ejde-816	214	9	)	)	PUNCT
ejde-816	214	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	214	11	ejde-2024/83	ejde-2024/83	DET
ejde-816	214	12	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	214	13	type	type	NOUN
ejde-816	214	14	problems	problem	NOUN
ejde-816	215	1	9	9	NUM
ejde-816	215	2	−	−	NOUN
ejde-816	216	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	216	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	216	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	216	4	h(x)u	h(x)u	PROPN
ejde-816	216	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	216	6	≥	≥	NUM
ejde-816	216	7	1	1	NUM
ejde-816	216	8	α	α	NOUN
ejde-816	216	9	m	m	PROPN
ejde-816	216	10	(	(	PUNCT
ejde-816	216	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	216	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	216	13	1	1	NUM
ejde-816	216	14	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	216	15	)	)	PUNCT
ejde-816	216	16	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	216	17	)	)	PUNCT
ejde-816	216	18	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	216	19	∫	∫	PROPN
ejde-816	216	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	216	21	(	(	PUNCT
ejde-816	216	22	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	216	23	)	)	PUNCT
ejde-816	216	24	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	216	25	)	)	PUNCT
ejde-816	216	26	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	216	27	)	)	PUNCT
ejde-816	217	1	+	+	NOUN
ejde-816	217	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	217	3	,	,	PUNCT
ejde-816	217	4	u	u	NOUN
ejde-816	217	5	)	)	PUNCT
ejde-816	217	6	)	)	PUNCT
ejde-816	217	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	217	8	)	)	PUNCT
ejde-816	217	9	×	×	NOUN
ejde-816	217	10	(	(	PUNCT
ejde-816	217	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	217	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	217	13	1	1	NUM
ejde-816	217	14	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	217	15	)	)	PUNCT
ejde-816	217	16	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	217	17	)	)	PUNCT
ejde-816	217	18	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	217	19	∫	∫	PROPN
ejde-816	217	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	217	21	(	(	PUNCT
ejde-816	217	22	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	217	23	)	)	PUNCT
ejde-816	217	24	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	217	25	)	)	PUNCT
ejde-816	217	26	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	217	27	)	)	PUNCT
ejde-816	218	1	+	+	NOUN
ejde-816	218	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	218	3	,	,	PUNCT
ejde-816	218	4	u	u	NOUN
ejde-816	218	5	)	)	PUNCT
ejde-816	218	6	)	)	PUNCT
ejde-816	218	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	218	8	)	)	PUNCT
ejde-816	219	1	−	−	PROPN
ejde-816	220	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	220	2	ω	ω	NUM
ejde-816	220	3	f	f	PROPN
ejde-816	220	4	(	(	PUNCT
ejde-816	220	5	x	x	NOUN
ejde-816	220	6	,	,	PUNCT
ejde-816	220	7	u	u	NOUN
ejde-816	220	8	)	)	PUNCT
ejde-816	220	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	221	1	−	−	PROPN
ejde-816	221	2	λ	λ	PROPN
ejde-816	221	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	221	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	221	5	h(x)u	h(x)u	PROPN
ejde-816	221	6	dx	dx	PROPN
ejde-816	221	7	≥	≥	PROPN
ejde-816	221	8	κ	κ	PROPN
ejde-816	221	9	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	221	10	(	(	PUNCT
ejde-816	221	11	ρβ(x)(u	ρβ(x)(u	PROPN
ejde-816	221	12	)	)	PUNCT
ejde-816	221	13	+	+	NOUN
ejde-816	221	14	p+	p+	VERB
ejde-816	221	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	221	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	221	17	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	221	18	,	,	PUNCT
ejde-816	221	19	u)dσx	u)dσx	NOUN
ejde-816	221	20	)	)	PUNCT
ejde-816	221	21	−	−	PROPN
ejde-816	222	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	223	1	ω	ω	NUM
ejde-816	223	2	f	f	PROPN
ejde-816	223	3	(	(	PUNCT
ejde-816	223	4	x	x	NOUN
ejde-816	223	5	,	,	PUNCT
ejde-816	223	6	u	u	NOUN
ejde-816	223	7	)	)	PUNCT
ejde-816	223	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	224	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	224	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	224	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	224	4	h(x)u	h(x)u	PROPN
ejde-816	224	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	224	6	≥	≥	PROPN
ejde-816	224	7	κ	κ	PRON
ejde-816	224	8	αp+	αp+	PROPN
ejde-816	224	9	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	224	10	+	+	X
ejde-816	224	11	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	224	12	)	)	PUNCT
ejde-816	224	13	−	−	PROPN
ejde-816	224	14	ϵ1	ϵ1	ADJ
ejde-816	224	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	224	16	ω	ω	PROPN
ejde-816	225	1	|u|αp	|u|αp	PROPN
ejde-816	225	2	+	+	CCONJ
ejde-816	225	3	dx−	dx−	NUM
ejde-816	225	4	c(ϵ1	c(ϵ1	NOUN
ejde-816	225	5	)	)	PUNCT
ejde-816	225	6	∫	∫	PROPN
ejde-816	226	1	ω	ω	NUM
ejde-816	226	2	|u|q(x)dx−	|u|q(x)dx−	NOUN
ejde-816	226	3	λ	λ	X
ejde-816	226	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	226	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	226	6	h(x)u	h(x)u	PROPN
ejde-816	226	7	dx	dx	PROPN
ejde-816	226	8	≥	≥	PROPN
ejde-816	226	9	κ	κ	PRON
ejde-816	226	10	αp+	αp+	PROPN
ejde-816	226	11	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	226	12	+	+	X
ejde-816	226	13	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	226	14	)	)	PUNCT
ejde-816	226	15	−	−	NOUN
ejde-816	226	16	ϵ1c	ϵ1c	PUNCT
ejde-816	226	17	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	226	18	3	3	NUM
ejde-816	226	19	∥u∥αp	∥u∥αp	NOUN
ejde-816	226	20	+	+	X
ejde-816	226	21	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	226	22	)	)	PUNCT
ejde-816	227	1	−	−	PROPN
ejde-816	227	2	c(ϵ1)c	c(ϵ1)c	PROPN
ejde-816	227	3	q−	q−	PROPN
ejde-816	227	4	4	4	NUM
ejde-816	227	5	∥u∥q	∥u∥q	ADJ
ejde-816	227	6	−	−	ADP
ejde-816	227	7	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	227	8	)	)	PUNCT
ejde-816	227	9	−	−	NOUN
ejde-816	227	10	λc3∥h∥	λc3∥h∥	ADP
ejde-816	227	11	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	227	12	αp+−1	αp+−1	PROPN
ejde-816	227	13	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	227	14	)	)	PUNCT
ejde-816	227	15	≥	≥	NUM
ejde-816	227	16	(	(	PUNCT
ejde-816	227	17	κ	κ	NOUN
ejde-816	227	18	αp+	αp+	VERB
ejde-816	227	19	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	227	20	+	+	NOUN
ejde-816	227	21	−1	−1	NOUN
ejde-816	227	22	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	227	23	)	)	PUNCT
ejde-816	227	24	−	−	NOUN
ejde-816	227	25	ϵ1c	ϵ1c	PUNCT
ejde-816	227	26	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	227	27	3	3	NUM
ejde-816	227	28	∥u∥αp	∥u∥αp	NOUN
ejde-816	227	29	+	+	NOUN
ejde-816	227	30	−1	−1	NOUN
ejde-816	227	31	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	227	32	)	)	PUNCT
ejde-816	227	33	−	−	PROPN
ejde-816	227	34	c(ϵ1)c	c(ϵ1)c	PROPN
ejde-816	227	35	q−	q−	PROPN
ejde-816	227	36	4	4	NUM
ejde-816	227	37	∥u∥q	∥u∥q	NOUN
ejde-816	227	38	−−1	−−1	VERB
ejde-816	227	39	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	227	40	)	)	PUNCT
ejde-816	227	41	−	−	NOUN
ejde-816	227	42	λc3∥h∥	λc3∥h∥	INTJ
ejde-816	227	43	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	227	44	αp+−1	αp+−1	NOUN
ejde-816	227	45	)	)	PUNCT
ejde-816	227	46	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	227	47	)	)	PUNCT
ejde-816	227	48	,	,	PUNCT
ejde-816	227	49	for	for	ADP
ejde-816	227	50	ϵ1	ϵ1	ADJ
ejde-816	227	51	sufficiently	sufficiently	ADV
ejde-816	227	52	small	small	ADJ
ejde-816	227	53	.	.	PUNCT
ejde-816	228	1	then	then	ADV
ejde-816	228	2	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	228	3	)	)	PUNCT
ejde-816	228	4	≥	≥	PROPN
ejde-816	228	5	(	(	PUNCT
ejde-816	228	6	κ	κ	PROPN
ejde-816	228	7	2αp+	2αp+	NUM
ejde-816	228	8	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	228	9	+	+	NOUN
ejde-816	228	10	−1	−1	NOUN
ejde-816	228	11	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	228	12	)	)	PUNCT
ejde-816	229	1	−	−	PROPN
ejde-816	229	2	c(ϵ1)c	c(ϵ1)c	PROPN
ejde-816	229	3	q−	q−	PROPN
ejde-816	229	4	4	4	NUM
ejde-816	229	5	∥u∥q	∥u∥q	NOUN
ejde-816	229	6	−−1	−−1	VERB
ejde-816	229	7	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	229	8	)	)	PUNCT
ejde-816	229	9	−	−	NOUN
ejde-816	229	10	λc3∥h∥	λc3∥h∥	INTJ
ejde-816	229	11	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	229	12	αp+−1	αp+−1	NOUN
ejde-816	229	13	)	)	PUNCT
ejde-816	229	14	∥u∥β(x	∥u∥β(x	PROPN
ejde-816	229	15	)	)	PUNCT
ejde-816	229	16	where	where	SCONJ
ejde-816	229	17	c3	c3	PROPN
ejde-816	229	18	,	,	PUNCT
ejde-816	229	19	c4	c4	PROPN
ejde-816	229	20	>	>	X
ejde-816	229	21	0	0	NUM
ejde-816	229	22	are	be	AUX
ejde-816	229	23	given	give	VERB
ejde-816	229	24	by	by	ADP
ejde-816	229	25	(	(	PUNCT
ejde-816	229	26	3.3	3.3	NUM
ejde-816	229	27	)	)	PUNCT
ejde-816	229	28	.	.	PUNCT
ejde-816	230	1	consider	consider	VERB
ejde-816	230	2	the	the	DET
ejde-816	230	3	functions	function	NOUN
ejde-816	230	4	γ1	γ1	NOUN
ejde-816	230	5	:	:	PUNCT
ejde-816	231	1	[	[	X
ejde-816	231	2	0,+∞	0,+∞	NUM
ejde-816	231	3	)	)	PUNCT
ejde-816	231	4	→	→	SYM
ejde-816	231	5	r	r	NOUN
ejde-816	231	6	is	be	AUX
ejde-816	231	7	given	give	VERB
ejde-816	231	8	by	by	ADP
ejde-816	231	9	γ1(τ	γ1(τ	PROPN
ejde-816	231	10	)	)	PUNCT
ejde-816	231	11	=	=	SYM
ejde-816	231	12	κ	κ	PROPN
ejde-816	231	13	2αp+	2αp+	NUM
ejde-816	231	14	τp	τp	DET
ejde-816	231	15	+	+	NOUN
ejde-816	231	16	−1	−1	NOUN
ejde-816	231	17	−	−	PROPN
ejde-816	231	18	c(ϵ1)c	c(ϵ1)c	NOUN
ejde-816	231	19	q−	q−	PROPN
ejde-816	231	20	4	4	NUM
ejde-816	231	21	τ	τ	NOUN
ejde-816	231	22	q	q	NOUN
ejde-816	231	23	−−1	−−1	PROPN
ejde-816	231	24	since	since	SCONJ
ejde-816	231	25	q−	q−	PROPN
ejde-816	231	26	>	>	X
ejde-816	231	27	p+	p+	PROPN
ejde-816	231	28	,	,	PUNCT
ejde-816	231	29	there	there	PRON
ejde-816	231	30	exists	exist	VERB
ejde-816	231	31	a	a	DET
ejde-816	231	32	constant	constant	ADJ
ejde-816	231	33	τ	τ	X
ejde-816	231	34	=	=	SYM
ejde-816	231	35	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	231	36	>	>	X
ejde-816	231	37	0	0	PUNCT
ejde-816	232	1	obeying	obey	VERB
ejde-816	232	2	the	the	DET
ejde-816	232	3	relationship	relationship	NOUN
ejde-816	232	4	γ1(ρ	γ1(ρ	NUM
ejde-816	232	5	)	)	PUNCT
ejde-816	232	6	=	=	PUNCT
ejde-816	232	7	maxτ∈[0,+∞	maxτ∈[0,+∞	ADJ
ejde-816	232	8	)	)	PUNCT
ejde-816	232	9	γ1(τ	γ1(τ	NOUN
ejde-816	232	10	)	)	PUNCT
ejde-816	232	11	>	>	X
ejde-816	233	1	0	0	X
ejde-816	233	2	.	.	PUNCT
ejde-816	233	3	taking	take	VERB
ejde-816	233	4	λ∗	λ∗	NOUN
ejde-816	233	5	=	=	SYM
ejde-816	233	6	γ1(ρ	γ1(ρ	X
ejde-816	233	7	)	)	PUNCT
ejde-816	233	8	2c3∥h∥	2c3∥h∥	NUM
ejde-816	233	9	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	233	10	αp+−1	αp+−1	NOUN
ejde-816	233	11	>	>	X
ejde-816	233	12	0	0	NUM
ejde-816	233	13	,	,	PUNCT
ejde-816	233	14	it	it	PRON
ejde-816	233	15	then	then	ADV
ejde-816	233	16	follows	follow	VERB
ejde-816	233	17	that	that	SCONJ
ejde-816	233	18	,	,	PUNCT
ejde-816	233	19	if	if	SCONJ
ejde-816	233	20	λ	λ	X
ejde-816	233	21	∈	∈	PROPN
ejde-816	233	22	(	(	PUNCT
ejde-816	233	23	0	0	NUM
ejde-816	233	24	,	,	PUNCT
ejde-816	233	25	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	233	26	)	)	PUNCT
ejde-816	233	27	,	,	PUNCT
ejde-816	233	28	we	we	PRON
ejde-816	233	29	can	can	AUX
ejde-816	233	30	choose	choose	VERB
ejde-816	233	31	r	r	NOUN
ejde-816	233	32	and	and	CCONJ
ejde-816	233	33	ρ	ρ	NOUN
ejde-816	233	34	>	>	X
ejde-816	233	35	0	0	NUM
ejde-816	233	36	such	such	ADJ
ejde-816	233	37	that	that	DET
ejde-816	233	38	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	233	39	)	)	PUNCT
ejde-816	233	40	≥	≥	PROPN
ejde-816	233	41	r	r	NOUN
ejde-816	233	42	>	>	X
ejde-816	233	43	0	0	PUNCT
ejde-816	233	44	for	for	ADP
ejde-816	233	45	all	all	DET
ejde-816	233	46	u	u	NOUN
ejde-816	233	47	∈	∈	PROPN
ejde-816	233	48	x	x	PUNCT
ejde-816	233	49	with	with	ADP
ejde-816	233	50	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	233	51	)	)	PUNCT
ejde-816	233	52	=	=	SYM
ejde-816	233	53	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	233	54	.	.	PUNCT
ejde-816	234	1	□	□	PUNCT
ejde-816	234	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	234	3	3.5	3.5	NUM
ejde-816	234	4	.	.	PUNCT
ejde-816	235	1	assume	assume	VERB
ejde-816	235	2	that	that	SCONJ
ejde-816	235	3	(	(	PUNCT
ejde-816	235	4	a1	a1	NOUN
ejde-816	235	5	)	)	PUNCT
ejde-816	235	6	,	,	PUNCT
ejde-816	235	7	(	(	PUNCT
ejde-816	235	8	a2	a2	PROPN
ejde-816	235	9	)	)	PUNCT
ejde-816	235	10	,	,	PUNCT
ejde-816	235	11	(	(	PUNCT
ejde-816	235	12	a5	a5	PROPN
ejde-816	235	13	)	)	PUNCT
ejde-816	235	14	,	,	PUNCT
ejde-816	235	15	(	(	PUNCT
ejde-816	235	16	a6	a6	NOUN
ejde-816	235	17	)	)	PUNCT
ejde-816	235	18	,	,	PUNCT
ejde-816	235	19	(	(	PUNCT
ejde-816	235	20	a8	a8	PROPN
ejde-816	235	21	)	)	PUNCT
ejde-816	235	22	hold	hold	NOUN
ejde-816	235	23	.	.	PUNCT
ejde-816	236	1	then	then	ADV
ejde-816	236	2	there	there	PRON
ejde-816	236	3	exists	exist	VERB
ejde-816	236	4	a	a	DET
ejde-816	236	5	function	function	NOUN
ejde-816	236	6	e	e	NOUN
ejde-816	236	7	∈	∈	PROPN
ejde-816	236	8	x	x	PUNCT
ejde-816	236	9	with	with	ADP
ejde-816	236	10	∥e∥β(x	∥e∥β(x	NOUN
ejde-816	236	11	)	)	PUNCT
ejde-816	236	12	>	>	X
ejde-816	237	1	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	237	2	such	such	ADJ
ejde-816	237	3	that	that	SCONJ
ejde-816	237	4	jλ(e	jλ(e	ADJ
ejde-816	237	5	)	)	PUNCT
ejde-816	237	6	<	<	X
ejde-816	237	7	0	0	NUM
ejde-816	237	8	,	,	PUNCT
ejde-816	237	9	where	where	SCONJ
ejde-816	237	10	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	237	11	is	be	AUX
ejde-816	237	12	given	give	VERB
ejde-816	237	13	by	by	ADP
ejde-816	237	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	237	15	3.4	3.4	NUM
ejde-816	237	16	.	.	PUNCT
ejde-816	238	1	proof	proof	NOUN
ejde-816	238	2	.	.	PUNCT
ejde-816	239	1	by	by	ADP
ejde-816	239	2	(	(	PUNCT
ejde-816	239	3	a8	a8	PROPN
ejde-816	239	4	)	)	PUNCT
ejde-816	239	5	for	for	ADP
ejde-816	239	6	ϵ	ϵ	PROPN
ejde-816	239	7	>	>	SYM
ejde-816	239	8	0	0	PUNCT
ejde-816	239	9	there	there	PRON
ejde-816	239	10	is	be	VERB
ejde-816	239	11	a	a	DET
ejde-816	239	12	constant	constant	ADJ
ejde-816	239	13	mϵ	mϵ	NOUN
ejde-816	239	14	>	>	X
ejde-816	239	15	0	0	NUM
ejde-816	240	1	such	such	ADJ
ejde-816	240	2	that	that	DET
ejde-816	240	3	|g(x	|g(x	NOUN
ejde-816	240	4	,	,	PUNCT
ejde-816	240	5	t)|	t)|	ADJ
ejde-816	240	6	≤	≤	NUM
ejde-816	240	7	ϵ|t|r2(x	ϵ|t|r2(x	PUNCT
ejde-816	240	8	)	)	PUNCT
ejde-816	241	1	+	+	ADP
ejde-816	241	2	mϵ	mϵ	NOUN
ejde-816	241	3	∀(x	∀(x	NUM
ejde-816	241	4	,	,	PUNCT
ejde-816	241	5	t	t	PROPN
ejde-816	241	6	)	)	PUNCT
ejde-816	241	7	∈	∈	PROPN
ejde-816	241	8	∂ω×	∂ω×	PROPN
ejde-816	241	9	r.	r.	PROPN
ejde-816	241	10	for	for	ADP
ejde-816	241	11	each	each	DET
ejde-816	241	12	x	x	SYM
ejde-816	241	13	∈	∈	PROPN
ejde-816	241	14	ω	ω	PROPN
ejde-816	241	15	and	and	CCONJ
ejde-816	241	16	t	t	NOUN
ejde-816	241	17	∈	∈	PROPN
ejde-816	241	18	r	r	NOUN
ejde-816	241	19	,	,	PUNCT
ejde-816	241	20	we	we	PRON
ejde-816	241	21	define	define	VERB
ejde-816	241	22	the	the	DET
ejde-816	241	23	function	function	NOUN
ejde-816	241	24	γ2(τ	γ2(τ	PRON
ejde-816	241	25	)	)	PUNCT
ejde-816	241	26	=	=	SYM
ejde-816	241	27	τ−µf	τ−µf	PROPN
ejde-816	241	28	(	(	PUNCT
ejde-816	241	29	x	x	NOUN
ejde-816	241	30	,	,	PUNCT
ejde-816	241	31	τt)−	τt)−	ADJ
ejde-816	241	32	f	f	X
ejde-816	242	1	(	(	PUNCT
ejde-816	242	2	x	x	PROPN
ejde-816	242	3	,	,	PUNCT
ejde-816	242	4	t	t	PROPN
ejde-816	242	5	)	)	PUNCT
ejde-816	242	6	for	for	ADP
ejde-816	242	7	all	all	DET
ejde-816	242	8	τ	τ	X
ejde-816	242	9	≥	≥	NUM
ejde-816	242	10	1	1	NUM
ejde-816	242	11	.	.	PUNCT
ejde-816	243	1	then	then	ADV
ejde-816	243	2	we	we	PRON
ejde-816	243	3	deduce	deduce	VERB
ejde-816	243	4	from	from	ADP
ejde-816	243	5	(	(	PUNCT
ejde-816	243	6	a5	a5	PROPN
ejde-816	243	7	)	)	PUNCT
ejde-816	243	8	that	that	PRON
ejde-816	243	9	γ′2(τ	γ′2(τ	NOUN
ejde-816	243	10	)	)	PUNCT
ejde-816	244	1	=	=	SYM
ejde-816	244	2	τ−µ−1(f(x	τ−µ−1(f(x	NOUN
ejde-816	244	3	,	,	PUNCT
ejde-816	244	4	τt)τt−	τt)τt−	NOUN
ejde-816	244	5	µf	µf	NOUN
ejde-816	244	6	(	(	PUNCT
ejde-816	244	7	x	x	NOUN
ejde-816	244	8	,	,	PUNCT
ejde-816	244	9	τt	τt	PROPN
ejde-816	244	10	)	)	PUNCT
ejde-816	244	11	)	)	PUNCT
ejde-816	244	12	≥	≥	NOUN
ejde-816	244	13	0	0	NUM
ejde-816	244	14	,	,	PUNCT
ejde-816	244	15	∀τ	∀τ	NOUN
ejde-816	244	16	≥	≥	NUM
ejde-816	244	17	1	1	NUM
ejde-816	244	18	thus	thus	ADV
ejde-816	244	19	the	the	DET
ejde-816	244	20	function	function	NOUN
ejde-816	244	21	γ2	γ2	NOUN
ejde-816	244	22	is	be	AUX
ejde-816	244	23	increasing	increase	VERB
ejde-816	244	24	on	on	ADP
ejde-816	244	25	[	[	X
ejde-816	244	26	1,+∞	1,+∞	NUM
ejde-816	244	27	)	)	PUNCT
ejde-816	244	28	and	and	CCONJ
ejde-816	244	29	γ2(τ	γ2(τ	NUM
ejde-816	244	30	)	)	PUNCT
ejde-816	244	31	≥	≥	PROPN
ejde-816	244	32	γ2(1	γ2(1	PROPN
ejde-816	244	33	)	)	PUNCT
ejde-816	244	34	=	=	SYM
ejde-816	244	35	0	0	NUM
ejde-816	244	36	for	for	ADP
ejde-816	244	37	all	all	DET
ejde-816	244	38	τ	τ	PRON
ejde-816	244	39	∈	∈	PROPN
ejde-816	245	1	[	[	X
ejde-816	245	2	1,+∞	1,+∞	NUM
ejde-816	245	3	)	)	PUNCT
ejde-816	245	4	.	.	PUNCT
ejde-816	246	1	hence	hence	ADV
ejde-816	246	2	,	,	PUNCT
ejde-816	246	3	f	f	PROPN
ejde-816	246	4	(	(	PUNCT
ejde-816	246	5	x	x	NOUN
ejde-816	246	6	,	,	PUNCT
ejde-816	246	7	τt	τt	PROPN
ejde-816	246	8	)	)	PUNCT
ejde-816	246	9	≥	≥	PROPN
ejde-816	246	10	τµf	τµf	X
ejde-816	246	11	(	(	PUNCT
ejde-816	246	12	x	x	NOUN
ejde-816	246	13	,	,	PUNCT
ejde-816	246	14	t	t	PROPN
ejde-816	246	15	)	)	PUNCT
ejde-816	246	16	,	,	PUNCT
ejde-816	246	17	∀x	∀x	X
ejde-816	246	18	∈	∈	PROPN
ejde-816	246	19	ω	ω	NUM
ejde-816	246	20	,	,	PUNCT
ejde-816	246	21	t	t	PROPN
ejde-816	246	22	∈	∈	PROPN
ejde-816	246	23	r	r	PROPN
ejde-816	246	24	,	,	PUNCT
ejde-816	246	25	τ	τ	X
ejde-816	246	26	≥	≥	PROPN
ejde-816	246	27	1	1	NUM
ejde-816	246	28	.	.	PUNCT
ejde-816	247	1	(	(	PUNCT
ejde-816	247	2	3.5	3.5	NUM
ejde-816	247	3	)	)	PUNCT
ejde-816	247	4	let	let	VERB
ejde-816	247	5	φ	φ	PROPN
ejde-816	247	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	247	7	c∞	c∞	PROPN
ejde-816	247	8	0	0	NUM
ejde-816	247	9	(	(	PUNCT
ejde-816	247	10	ω	ω	NOUN
ejde-816	247	11	)	)	PUNCT
ejde-816	247	12	and	and	CCONJ
ejde-816	248	1	φ	φ	PROPN
ejde-816	248	2	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-816	248	3	0	0	NUM
ejde-816	248	4	such	such	ADJ
ejde-816	248	5	that	that	DET
ejde-816	248	6	∫	∫	PROPN
ejde-816	248	7	ω	ω	PROPN
ejde-816	248	8	f	f	PROPN
ejde-816	248	9	(	(	PUNCT
ejde-816	248	10	x	x	PROPN
ejde-816	248	11	,	,	PUNCT
ejde-816	248	12	φ	φ	NUM
ejde-816	248	13	)	)	PUNCT
ejde-816	248	14	dx	dx	PROPN
ejde-816	248	15	>	>	X
ejde-816	248	16	0	0	PROPN
ejde-816	248	17	,	,	PUNCT
ejde-816	248	18	by	by	ADP
ejde-816	248	19	(	(	PUNCT
ejde-816	248	20	3.2	3.2	NUM
ejde-816	248	21	)	)	PUNCT
ejde-816	248	22	,	,	PUNCT
ejde-816	248	23	(	(	PUNCT
ejde-816	248	24	3.7	3.7	NUM
ejde-816	248	25	)	)	PUNCT
ejde-816	248	26	and	and	CCONJ
ejde-816	248	27	(	(	PUNCT
ejde-816	248	28	3.5	3.5	NUM
ejde-816	248	29	)	)	PUNCT
ejde-816	248	30	we	we	PRON
ejde-816	248	31	have	have	VERB
ejde-816	248	32	iλ(τφ	iλ(τφ	NOUN
ejde-816	248	33	)	)	PUNCT
ejde-816	249	1	=	=	SYM
ejde-816	249	2	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	249	3	(	(	PUNCT
ejde-816	249	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	249	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	249	6	1	1	NUM
ejde-816	249	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	249	8	)	)	PUNCT
ejde-816	249	9	|∇τφ|p(x	|∇τφ|p(x	PROPN
ejde-816	249	10	)	)	PUNCT
ejde-816	249	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	249	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	249	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	249	14	(	(	PUNCT
ejde-816	249	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	249	16	)	)	PUNCT
ejde-816	249	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	249	18	)	)	PUNCT
ejde-816	249	19	|τφ|p(x	|τφ|p(x	NOUN
ejde-816	249	20	)	)	PUNCT
ejde-816	250	1	+	+	NOUN
ejde-816	250	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	250	3	,	,	PUNCT
ejde-816	250	4	τφ	τφ	ADJ
ejde-816	250	5	)	)	PUNCT
ejde-816	250	6	)	)	PUNCT
ejde-816	250	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	250	8	)	)	PUNCT
ejde-816	250	9	10	10	NUM
ejde-816	250	10	h.	h.	PROPN
ejde-816	250	11	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	250	12	,	,	PUNCT
ejde-816	250	13	a.	a.	NOUN
ejde-816	250	14	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	250	15	,	,	PUNCT
ejde-816	250	16	m.	m.	PROPN
ejde-816	250	17	filali	filali	PROPN
ejde-816	250	18	,	,	PUNCT
ejde-816	250	19	n.	n.	PROPN
ejde-816	250	20	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	250	21	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	250	22	−	−	PROPN
ejde-816	250	23	∫	∫	PROPN
ejde-816	250	24	ω	ω	NUM
ejde-816	250	25	f	f	PROPN
ejde-816	250	26	(	(	PUNCT
ejde-816	250	27	x	x	X
ejde-816	250	28	,	,	PUNCT
ejde-816	250	29	τφ	τφ	VERB
ejde-816	250	30	)	)	PUNCT
ejde-816	250	31	dx−	dx−	NUM
ejde-816	251	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	251	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	251	4	h(x)τφ	h(x)τφ	PRON
ejde-816	251	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	251	6	≤	≤	NOUN
ejde-816	251	7	mταp	mταp	ADV
ejde-816	251	8	+	+	CCONJ
ejde-816	251	9	(	(	PUNCT
ejde-816	251	10	p−)α	p−)α	PROPN
ejde-816	251	11	(	(	PUNCT
ejde-816	251	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	251	14	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	251	15	)	)	PUNCT
ejde-816	251	16	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	251	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	251	19	(	(	PUNCT
ejde-816	251	20	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	251	21	)	)	PUNCT
ejde-816	251	22	+	+	NUM
ejde-816	251	23	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	251	24	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	251	25	,	,	PUNCT
ejde-816	251	26	τφ	τφ	ADJ
ejde-816	251	27	)	)	PUNCT
ejde-816	251	28	)	)	PUNCT
ejde-816	251	29	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	251	30	)	)	PUNCT
ejde-816	251	31	α	α	PROPN
ejde-816	251	32	−	−	NOUN
ejde-816	251	33	τµ	τµ	ADP
ejde-816	251	34	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	35	ω	ω	PROPN
ejde-816	251	36	f	f	PROPN
ejde-816	251	37	(	(	PUNCT
ejde-816	251	38	x	x	PROPN
ejde-816	251	39	,	,	PUNCT
ejde-816	251	40	φ	φ	NUM
ejde-816	251	41	)	)	PUNCT
ejde-816	251	42	dx−	dx−	PROPN
ejde-816	251	43	λτ	λτ	ADP
ejde-816	251	44	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	45	ω	ω	PROPN
ejde-816	251	46	h(x)φdx	h(x)φdx	PROPN
ejde-816	251	47	≤	≤	PROPN
ejde-816	251	48	mταp	mταp	NOUN
ejde-816	251	49	+	+	CCONJ
ejde-816	251	50	(	(	PUNCT
ejde-816	251	51	p−)α	p−)α	PROPN
ejde-816	251	52	(	(	PUNCT
ejde-816	251	53	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	54	ω	ω	PROPN
ejde-816	251	55	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	251	56	)	)	PUNCT
ejde-816	251	57	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	251	58	∫	∫	PROPN
ejde-816	251	59	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	251	60	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	251	61	)	)	PUNCT
ejde-816	251	62	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	251	63	+	+	CCONJ
ejde-816	251	64	p−ϵ	p−ϵ	ADJ
ejde-816	251	65	∫	∫	NOUN
ejde-816	251	66	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	251	67	(	(	PUNCT
ejde-816	251	68	|u|r2(x	|u|r2(x	PROPN
ejde-816	251	69	)	)	PUNCT
ejde-816	251	70	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	251	71	+	+	CCONJ
ejde-816	251	72	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	251	73	mϵ|∂ω|	mϵ|∂ω|	NUM
ejde-816	251	74	)	)	PUNCT
ejde-816	251	75	)	)	PUNCT
ejde-816	252	1	α	α	PROPN
ejde-816	252	2	−	−	NOUN
ejde-816	252	3	τµ	τµ	ADP
ejde-816	252	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	253	1	ω	ω	PROPN
ejde-816	253	2	f	f	PROPN
ejde-816	253	3	(	(	PUNCT
ejde-816	253	4	x	x	PROPN
ejde-816	253	5	,	,	PUNCT
ejde-816	253	6	φ	φ	NUM
ejde-816	253	7	)	)	PUNCT
ejde-816	253	8	dx−	dx−	PROPN
ejde-816	253	9	λτ	λτ	ADP
ejde-816	253	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	253	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	253	12	h(x)φdx→	h(x)φdx→	PROPN
ejde-816	253	13	−∞	−∞	NOUN
ejde-816	253	14	,	,	PUNCT
ejde-816	253	15	as	as	ADP
ejde-816	253	16	τ	τ	PROPN
ejde-816	253	17	→	→	SYM
ejde-816	253	18	+	+	PROPN
ejde-816	253	19	∞	∞	PROPN
ejde-816	253	20	,	,	PUNCT
ejde-816	253	21	where	where	SCONJ
ejde-816	253	22	m	m	VERB
ejde-816	253	23	=	=	ADJ
ejde-816	253	24	m̂(t0)t	m̂(t0)t	NUM
ejde-816	253	25	−α	−α	NOUN
ejde-816	253	26	0	0	PUNCT
ejde-816	253	27	since	since	SCONJ
ejde-816	253	28	µ	µ	X
ejde-816	253	29	>	>	X
ejde-816	253	30	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	253	31	.	.	PUNCT
ejde-816	254	1	therefore	therefore	ADV
ejde-816	254	2	,	,	PUNCT
ejde-816	254	3	there	there	PRON
ejde-816	254	4	exists	exist	VERB
ejde-816	254	5	a	a	DET
ejde-816	254	6	constant	constant	ADJ
ejde-816	254	7	τ0	τ0	NOUN
ejde-816	254	8	>	>	X
ejde-816	254	9	0	0	NUM
ejde-816	255	1	such	such	ADJ
ejde-816	255	2	that	that	SCONJ
ejde-816	255	3	∥τ0φ∥β(x	∥τ0φ∥β(x	NOUN
ejde-816	255	4	)	)	PUNCT
ejde-816	255	5	>	>	X
ejde-816	255	6	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	255	7	and	and	CCONJ
ejde-816	255	8	iλ(τ0φ	iλ(τ0φ	NOUN
ejde-816	255	9	)	)	PUNCT
ejde-816	255	10	<	<	X
ejde-816	255	11	0	0	X
ejde-816	255	12	.	.	PUNCT
ejde-816	256	1	letting	let	VERB
ejde-816	256	2	e	e	X
ejde-816	256	3	=	=	PRON
ejde-816	256	4	τ0φ	τ0φ	PUNCT
ejde-816	256	5	we	we	PRON
ejde-816	256	6	complete	complete	VERB
ejde-816	256	7	the	the	DET
ejde-816	256	8	proof	proof	NOUN
ejde-816	256	9	.	.	PUNCT
ejde-816	257	1	□	□	PUNCT
ejde-816	257	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	257	3	3.6	3.6	NUM
ejde-816	257	4	.	.	PUNCT
ejde-816	257	5	assume	assume	VERB
ejde-816	257	6	that	that	SCONJ
ejde-816	257	7	(	(	PUNCT
ejde-816	257	8	a1)–(a5	a1)–(a5	ADV
ejde-816	257	9	)	)	PUNCT
ejde-816	257	10	,	,	PUNCT
ejde-816	257	11	(	(	PUNCT
ejde-816	257	12	a7	a7	PROPN
ejde-816	257	13	)	)	PUNCT
ejde-816	257	14	,	,	PUNCT
ejde-816	257	15	(	(	PUNCT
ejde-816	257	16	a8	a8	PROPN
ejde-816	257	17	)	)	PUNCT
ejde-816	257	18	hold	hold	NOUN
ejde-816	257	19	.	.	PUNCT
ejde-816	258	1	then	then	ADV
ejde-816	258	2	the	the	DET
ejde-816	258	3	functional	functional	ADJ
ejde-816	258	4	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	258	5	satisfies	satisfy	VERB
ejde-816	258	6	the	the	DET
ejde-816	258	7	palais	palais	PROPN
ejde-816	258	8	-	-	PUNCT
ejde-816	258	9	smale	smale	ADJ
ejde-816	258	10	condition	condition	NOUN
ejde-816	258	11	.	.	PUNCT
ejde-816	259	1	proof	proof	NOUN
ejde-816	259	2	.	.	PUNCT
ejde-816	260	1	since	since	SCONJ
ejde-816	260	2	1	1	NUM
ejde-816	260	3	<	<	SYM
ejde-816	260	4	r+2	r+2	NUM
ejde-816	260	5	<	<	X
ejde-816	260	6	r+1	r+1	X
ejde-816	260	7	<	<	X
ejde-816	260	8	p−	p−	NOUN
ejde-816	260	9	≤	≤	NUM
ejde-816	260	10	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	260	11	)	)	PUNCT
ejde-816	260	12	for	for	ADP
ejde-816	260	13	all	all	DET
ejde-816	260	14	x	x	SYM
ejde-816	260	15	∈	∈	PROPN
ejde-816	260	16	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	260	17	,	,	PUNCT
ejde-816	260	18	the	the	DET
ejde-816	260	19	embeddings	embedding	NOUN
ejde-816	260	20	x	x	PUNCT
ejde-816	260	21	↪	↪	NOUN
ejde-816	260	22	→	→	SYM
ejde-816	260	23	lr1(x)(ω	lr1(x)(ω	NOUN
ejde-816	260	24	)	)	PUNCT
ejde-816	260	25	,	,	PUNCT
ejde-816	260	26	x	x	X
ejde-816	260	27	↪	↪	PROPN
ejde-816	260	28	→	→	SYM
ejde-816	260	29	lr2(x)(ω	lr2(x)(ω	NOUN
ejde-816	260	30	)	)	PUNCT
ejde-816	260	31	,	,	PUNCT
ejde-816	260	32	are	be	AUX
ejde-816	260	33	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	260	34	,	,	PUNCT
ejde-816	260	35	and	and	CCONJ
ejde-816	260	36	there	there	ADV
ejde-816	260	37	existspositive	existspositive	ADJ
ejde-816	260	38	constants	constant	NOUN
ejde-816	260	39	cr1	cr1	PROPN
ejde-816	260	40	,	,	PUNCT
ejde-816	260	41	cr2	cr2	PROPN
ejde-816	260	42	such	such	ADJ
ejde-816	260	43	that	that	SCONJ
ejde-816	260	44	∥u∥∂ω	∥u∥∂ω	ADJ
ejde-816	260	45	,	,	PUNCT
ejde-816	260	46	r1(x	r1(x	NOUN
ejde-816	260	47	)	)	PUNCT
ejde-816	260	48	≤	≤	NOUN
ejde-816	260	49	cr1∥u∥β(x	cr1∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	260	50	)	)	PUNCT
ejde-816	260	51	,	,	PUNCT
ejde-816	260	52	∥u∥∂ω	∥u∥∂ω	PROPN
ejde-816	260	53	,	,	PUNCT
ejde-816	260	54	r2(x	r2(x	NOUN
ejde-816	260	55	)	)	PUNCT
ejde-816	260	56	≤	≤	NUM
ejde-816	260	57	cr2∥u∥β(x	cr2∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	260	58	)	)	PUNCT
ejde-816	260	59	let	let	VERB
ejde-816	260	60	{	{	PUNCT
ejde-816	260	61	un	un	VERB
ejde-816	260	62	}	}	PUNCT
ejde-816	260	63	⊂	⊂	X
ejde-816	260	64	x	x	PUNCT
ejde-816	260	65	be	be	AUX
ejde-816	260	66	such	such	ADJ
ejde-816	260	67	that	that	SCONJ
ejde-816	260	68	iλ(un	iλ(un	PROPN
ejde-816	260	69	)	)	PUNCT
ejde-816	260	70	→	→	PUNCT
ejde-816	260	71	c	c	NOUN
ejde-816	260	72	∈	∈	PROPN
ejde-816	260	73	r	r	NOUN
ejde-816	260	74	,	,	PUNCT
ejde-816	260	75	i	i	PROPN
ejde-816	260	76	′λ(un	′λ(un	PROPN
ejde-816	260	77	)	)	PUNCT
ejde-816	260	78	→	→	SYM
ejde-816	260	79	0	0	NUM
ejde-816	260	80	in	in	ADP
ejde-816	260	81	x∗	x∗	PROPN
ejde-816	260	82	(	(	PUNCT
ejde-816	260	83	3.6	3.6	NUM
ejde-816	260	84	)	)	PUNCT
ejde-816	260	85	where	where	SCONJ
ejde-816	260	86	x∗	x∗	PROPN
ejde-816	260	87	is	be	AUX
ejde-816	260	88	the	the	DET
ejde-816	260	89	dual	dual	ADJ
ejde-816	260	90	space	space	NOUN
ejde-816	260	91	of	of	ADP
ejde-816	260	92	x.	x.	NOUN
ejde-816	260	93	we	we	PRON
ejde-816	260	94	will	will	AUX
ejde-816	260	95	prove	prove	VERB
ejde-816	260	96	that	that	SCONJ
ejde-816	260	97	{	{	PUNCT
ejde-816	260	98	un	un	PROPN
ejde-816	260	99	}	}	PUNCT
ejde-816	260	100	is	be	AUX
ejde-816	260	101	bounded	bound	VERB
ejde-816	260	102	in	in	ADP
ejde-816	260	103	x.	x.	PROPN
ejde-816	260	104	indeed	indeed	ADV
ejde-816	260	105	,	,	PUNCT
ejde-816	260	106	assume	assume	VERB
ejde-816	260	107	by	by	ADP
ejde-816	260	108	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-816	260	109	that	that	SCONJ
ejde-816	260	110	∥un∥β(x	∥un∥β(x	VERB
ejde-816	260	111	)	)	PUNCT
ejde-816	260	112	→	→	PUNCT
ejde-816	260	113	+	+	NUM
ejde-816	260	114	∞	∞	NUM
ejde-816	260	115	as	as	ADP
ejde-816	260	116	n→	n→	PUNCT
ejde-816	260	117	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	260	118	by	by	ADP
ejde-816	260	119	(	(	PUNCT
ejde-816	260	120	a7	a7	PROPN
ejde-816	260	121	)	)	PUNCT
ejde-816	260	122	and	and	CCONJ
ejde-816	260	123	(	(	PUNCT
ejde-816	260	124	a8	a8	PROPN
ejde-816	260	125	)	)	PUNCT
ejde-816	260	126	for	for	ADP
ejde-816	260	127	0	0	NUM
ejde-816	260	128	<	<	X
ejde-816	260	129	ϵ2	ϵ2	PROPN
ejde-816	260	130	,	,	PUNCT
ejde-816	260	131	ϵ3	ϵ3	PROPN
ejde-816	260	132	there	there	PRON
ejde-816	260	133	exist	exist	VERB
ejde-816	260	134	a	a	DET
ejde-816	260	135	constant	constant	ADJ
ejde-816	260	136	c(ϵ2	c(ϵ2	NOUN
ejde-816	260	137	)	)	PUNCT
ejde-816	260	138	depending	depend	VERB
ejde-816	260	139	on	on	ADP
ejde-816	260	140	ϵ2	ϵ2	PROPN
ejde-816	260	141	and	and	CCONJ
ejde-816	260	142	a	a	DET
ejde-816	260	143	constant	constant	ADJ
ejde-816	260	144	c(ϵ3	c(ϵ3	NOUN
ejde-816	260	145	)	)	PUNCT
ejde-816	260	146	depending	depend	VERB
ejde-816	260	147	on	on	ADP
ejde-816	260	148	ϵ3	ϵ3	ADP
ejde-816	260	149	such	such	ADJ
ejde-816	260	150	that	that	DET
ejde-816	260	151	|g(x	|g(x	NOUN
ejde-816	260	152	,	,	PUNCT
ejde-816	260	153	t)|	t)|	ADJ
ejde-816	260	154	≤	≤	NUM
ejde-816	260	155	ϵ2|t|r1(x	ϵ2|t|r1(x	NUM
ejde-816	260	156	)	)	PUNCT
ejde-816	260	157	+	+	CCONJ
ejde-816	260	158	c(ϵ2)|t|r2(x	c(ϵ2)|t|r2(x	PROPN
ejde-816	260	159	)	)	PUNCT
ejde-816	260	160	,	,	PUNCT
ejde-816	260	161	∀(x	∀(x	X
ejde-816	261	1	,	,	PUNCT
ejde-816	261	2	t	t	PROPN
ejde-816	261	3	)	)	PUNCT
ejde-816	261	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	261	5	∂ω×	∂ω×	PROPN
ejde-816	261	6	r	r	PROPN
ejde-816	261	7	,	,	PUNCT
ejde-816	261	8	(	(	PUNCT
ejde-816	261	9	3.7	3.7	NUM
ejde-816	261	10	)	)	PUNCT
ejde-816	261	11	|g(x	|g(x	NOUN
ejde-816	261	12	,	,	PUNCT
ejde-816	261	13	t)|	t)|	ADJ
ejde-816	261	14	≤	≤	NUM
ejde-816	261	15	ϵ3|t|r1(x)−1	ϵ3|t|r1(x)−1	X
ejde-816	261	16	+	+	NUM
ejde-816	261	17	c(ϵ3)|t|r2(x)−1	c(ϵ3)|t|r2(x)−1	PROPN
ejde-816	261	18	,	,	PUNCT
ejde-816	261	19	∀(x	∀(x	PRON
ejde-816	261	20	,	,	PUNCT
ejde-816	261	21	t	t	PROPN
ejde-816	261	22	)	)	PUNCT
ejde-816	261	23	∈	∈	PROPN
ejde-816	262	1	∂ω×	∂ω×	NOUN
ejde-816	262	2	r	r	NOUN
ejde-816	262	3	(	(	PUNCT
ejde-816	262	4	3.8	3.8	NUM
ejde-816	262	5	)	)	PUNCT
ejde-816	262	6	by	by	ADP
ejde-816	262	7	assumptions	assumption	NOUN
ejde-816	262	8	(	(	PUNCT
ejde-816	262	9	a1	a1	NOUN
ejde-816	262	10	)	)	PUNCT
ejde-816	262	11	,	,	PUNCT
ejde-816	262	12	(	(	PUNCT
ejde-816	262	13	a2	a2	PROPN
ejde-816	262	14	)	)	PUNCT
ejde-816	262	15	,	,	PUNCT
ejde-816	262	16	(	(	PUNCT
ejde-816	262	17	a5	a5	PROPN
ejde-816	262	18	)	)	PUNCT
ejde-816	262	19	,	,	PUNCT
ejde-816	262	20	(	(	PUNCT
ejde-816	262	21	a7	a7	PROPN
ejde-816	262	22	)	)	PUNCT
ejde-816	262	23	,	,	PUNCT
ejde-816	262	24	(	(	PUNCT
ejde-816	262	25	a8	a8	PROPN
ejde-816	262	26	)	)	PUNCT
ejde-816	262	27	and	and	CCONJ
ejde-816	262	28	(	(	PUNCT
ejde-816	262	29	2.5	2.5	NUM
ejde-816	262	30	)	)	PUNCT
ejde-816	262	31	,	,	PUNCT
ejde-816	262	32	(	(	PUNCT
ejde-816	262	33	3.6	3.6	NUM
ejde-816	262	34	)	)	PUNCT
ejde-816	262	35	,	,	PUNCT
ejde-816	262	36	applying	apply	VERB
ejde-816	262	37	the	the	DET
ejde-816	262	38	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	262	39	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	262	40	we	we	PRON
ejde-816	262	41	deduce	deduce	VERB
ejde-816	262	42	for	for	ADP
ejde-816	262	43	n	n	CCONJ
ejde-816	262	44	large	large	ADJ
ejde-816	262	45	enough	enough	ADV
ejde-816	262	46	that	that	SCONJ
ejde-816	262	47	∥un∥β(x	∥un∥β(x	NOUN
ejde-816	262	48	)	)	PUNCT
ejde-816	262	49	>	>	X
ejde-816	262	50	1	1	NUM
ejde-816	262	51	,	,	PUNCT
ejde-816	262	52	we	we	PRON
ejde-816	262	53	have	have	AUX
ejde-816	262	54	c+	c+	VERB
ejde-816	262	55	1	1	NUM
ejde-816	262	56	+	+	NUM
ejde-816	262	57	∥un∥β(x	∥un∥β(x	NOUN
ejde-816	262	58	)	)	PUNCT
ejde-816	262	59	≥	≥	NOUN
ejde-816	263	1	iλ(un)−	iλ(un)−	PROPN
ejde-816	263	2	1	1	NUM
ejde-816	263	3	µ	µ	PRON
ejde-816	263	4	⟨i	⟨i	NOUN
ejde-816	263	5	′λun	′λun	NOUN
ejde-816	263	6	,	,	PUNCT
ejde-816	263	7	un⟩	un⟩	PUNCT
ejde-816	263	8	=	=	SYM
ejde-816	263	9	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	263	10	(	(	PUNCT
ejde-816	263	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	263	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	263	13	1	1	NUM
ejde-816	263	14	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	263	15	)	)	PUNCT
ejde-816	263	16	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	263	17	)	)	PUNCT
ejde-816	263	18	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	263	19	∫	∫	PROPN
ejde-816	263	20	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	263	21	(	(	PUNCT
ejde-816	263	22	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	263	23	)	)	PUNCT
ejde-816	263	24	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	263	25	)	)	PUNCT
ejde-816	263	26	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	263	27	)	)	PUNCT
ejde-816	263	28	+	+	NOUN
ejde-816	263	29	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	263	30	,	,	PUNCT
ejde-816	263	31	un	un	ADJ
ejde-816	263	32	)	)	PUNCT
ejde-816	263	33	)	)	PUNCT
ejde-816	263	34	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	263	35	)	)	PUNCT
ejde-816	264	1	−	−	PROPN
ejde-816	265	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	266	1	ω	ω	NUM
ejde-816	266	2	f	f	PROPN
ejde-816	266	3	(	(	PUNCT
ejde-816	266	4	x	x	X
ejde-816	266	5	,	,	PUNCT
ejde-816	266	6	un	un	PROPN
ejde-816	266	7	)	)	PUNCT
ejde-816	266	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	266	9	λ	λ	PROPN
ejde-816	266	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	266	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	266	12	h(x)un	h(x)un	PUNCT
ejde-816	266	13	dx−	dx−	SYM
ejde-816	266	14	1	1	NUM
ejde-816	266	15	µ	µ	NOUN
ejde-816	266	16	m	m	PROPN
ejde-816	266	17	(	(	PUNCT
ejde-816	266	18	∫	∫	PROPN
ejde-816	266	19	ω	ω	PROPN
ejde-816	266	20	1	1	NUM
ejde-816	266	21	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	266	22	)	)	PUNCT
ejde-816	266	23	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	266	24	)	)	PUNCT
ejde-816	266	25	dx	dx	PROPN
ejde-816	267	1	+	+	CCONJ
ejde-816	267	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	267	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	267	4	(	(	PUNCT
ejde-816	267	5	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	267	6	)	)	PUNCT
ejde-816	267	7	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	267	8	)	)	PUNCT
ejde-816	267	9	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	267	10	)	)	PUNCT
ejde-816	268	1	+	+	NOUN
ejde-816	268	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	268	3	,	,	PUNCT
ejde-816	268	4	un	un	ADJ
ejde-816	268	5	)	)	PUNCT
ejde-816	268	6	)	)	PUNCT
ejde-816	268	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	268	8	)	)	PUNCT
ejde-816	268	9	(	(	PUNCT
ejde-816	268	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	268	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	268	12	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	268	13	)	)	PUNCT
ejde-816	268	14	dx	dx	PROPN
ejde-816	268	15	ejde-2024/83	ejde-2024/83	PRON
ejde-816	268	16	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	268	17	type	type	NOUN
ejde-816	268	18	problems	problem	NOUN
ejde-816	268	19	11	11	NUM
ejde-816	268	20	+	+	NUM
ejde-816	268	21	∫	∫	PROPN
ejde-816	268	22	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	268	23	(	(	PUNCT
ejde-816	268	24	β(x)|un|p(x	β(x)|un|p(x	PROPN
ejde-816	268	25	)	)	PUNCT
ejde-816	269	1	+	+	CCONJ
ejde-816	269	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	269	3	,	,	PUNCT
ejde-816	269	4	un)un	un)un	NOUN
ejde-816	269	5	)	)	PUNCT
ejde-816	269	6	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	269	7	)	)	PUNCT
ejde-816	270	1	+	+	CCONJ
ejde-816	270	2	1	1	NUM
ejde-816	270	3	µ	µ	PRON
ejde-816	270	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	270	6	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	270	7	,	,	PUNCT
ejde-816	270	8	un)un	un)un	X
ejde-816	270	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	270	10	+	+	CCONJ
ejde-816	270	11	λ	λ	X
ejde-816	270	12	µ	µ	X
ejde-816	270	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	14	ω	ω	PROPN
ejde-816	270	15	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	270	16	dx	dx	PROPN
ejde-816	270	17	≥	≥	NUM
ejde-816	270	18	1	1	NUM
ejde-816	270	19	α	α	NOUN
ejde-816	270	20	m	m	PROPN
ejde-816	270	21	(	(	PUNCT
ejde-816	270	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	23	ω	ω	PROPN
ejde-816	270	24	1	1	NUM
ejde-816	270	25	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	270	26	)	)	PUNCT
ejde-816	270	27	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	270	28	)	)	PUNCT
ejde-816	270	29	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	270	30	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	270	32	(	(	PUNCT
ejde-816	270	33	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	270	34	)	)	PUNCT
ejde-816	270	35	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	270	36	)	)	PUNCT
ejde-816	270	37	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	270	38	)	)	PUNCT
ejde-816	270	39	+	+	NOUN
ejde-816	270	40	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	270	41	,	,	PUNCT
ejde-816	270	42	un	un	ADJ
ejde-816	270	43	)	)	PUNCT
ejde-816	270	44	)	)	PUNCT
ejde-816	270	45	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	270	46	)	)	PUNCT
ejde-816	270	47	×	×	NOUN
ejde-816	270	48	(	(	PUNCT
ejde-816	270	49	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	50	ω	ω	PROPN
ejde-816	270	51	1	1	NUM
ejde-816	270	52	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	270	53	)	)	PUNCT
ejde-816	270	54	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	270	55	)	)	PUNCT
ejde-816	270	56	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	270	57	∫	∫	PROPN
ejde-816	270	58	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	270	59	(	(	PUNCT
ejde-816	270	60	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	270	61	)	)	PUNCT
ejde-816	270	62	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	270	63	)	)	PUNCT
ejde-816	270	64	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	270	65	)	)	PUNCT
ejde-816	271	1	+	+	NOUN
ejde-816	271	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	271	3	,	,	PUNCT
ejde-816	271	4	un	un	ADJ
ejde-816	271	5	)	)	PUNCT
ejde-816	271	6	)	)	PUNCT
ejde-816	271	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	271	8	)	)	PUNCT
ejde-816	272	1	−	−	PROPN
ejde-816	273	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	273	2	ω	ω	NUM
ejde-816	273	3	f	f	PROPN
ejde-816	273	4	(	(	PUNCT
ejde-816	273	5	x	x	PROPN
ejde-816	273	6	,	,	PUNCT
ejde-816	273	7	un	un	PROPN
ejde-816	273	8	)	)	PUNCT
ejde-816	273	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	274	1	−	−	PROPN
ejde-816	274	2	λ	λ	PROPN
ejde-816	274	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	274	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	274	5	h(x)un	h(x)un	PUNCT
ejde-816	274	6	dx−	dx−	SYM
ejde-816	274	7	1	1	NUM
ejde-816	274	8	µ	µ	NOUN
ejde-816	274	9	m	m	PROPN
ejde-816	274	10	(	(	PUNCT
ejde-816	274	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	274	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	274	13	1	1	NUM
ejde-816	274	14	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	274	15	)	)	PUNCT
ejde-816	274	16	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	274	17	)	)	PUNCT
ejde-816	274	18	d+	d+	NUM
ejde-816	274	19	∫	∫	PROPN
ejde-816	275	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	275	2	(	(	PUNCT
ejde-816	275	3	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	275	4	)	)	PUNCT
ejde-816	275	5	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	275	6	)	)	PUNCT
ejde-816	275	7	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	275	8	)	)	PUNCT
ejde-816	276	1	+	+	NOUN
ejde-816	276	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	276	3	,	,	PUNCT
ejde-816	276	4	un	un	ADJ
ejde-816	276	5	)	)	PUNCT
ejde-816	276	6	)	)	PUNCT
ejde-816	276	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	276	8	)	)	PUNCT
ejde-816	276	9	(	(	PUNCT
ejde-816	276	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	276	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	276	12	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	276	13	)	)	PUNCT
ejde-816	276	14	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	277	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	278	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	279	1	(	(	PUNCT
ejde-816	279	2	β(x)|un|p(x	β(x)|un|p(x	PROPN
ejde-816	279	3	)	)	PUNCT
ejde-816	280	1	+	+	CCONJ
ejde-816	280	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	280	3	,	,	PUNCT
ejde-816	280	4	un)un	un)un	NOUN
ejde-816	280	5	)	)	PUNCT
ejde-816	280	6	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	280	7	)	)	PUNCT
ejde-816	281	1	+	+	CCONJ
ejde-816	281	2	1	1	NUM
ejde-816	281	3	µ	µ	PRON
ejde-816	281	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	281	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	281	6	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	281	7	,	,	PUNCT
ejde-816	281	8	un)un	un)un	X
ejde-816	281	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	281	10	λ	λ	X
ejde-816	281	11	µ	µ	X
ejde-816	281	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	281	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	281	14	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	281	15	dx	dx	PROPN
ejde-816	281	16	≥m	≥m	NOUN
ejde-816	281	17	(	(	PUNCT
ejde-816	281	18	∫	∫	PROPN
ejde-816	281	19	ω	ω	PROPN
ejde-816	281	20	1	1	NUM
ejde-816	281	21	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	281	22	)	)	PUNCT
ejde-816	281	23	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	281	24	)	)	PUNCT
ejde-816	281	25	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	282	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	282	2	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	282	3	(	(	PUNCT
ejde-816	282	4	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	282	5	)	)	PUNCT
ejde-816	282	6	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	282	7	)	)	PUNCT
ejde-816	282	8	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	282	9	)	)	PUNCT
ejde-816	283	1	+	+	NOUN
ejde-816	283	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	283	3	,	,	PUNCT
ejde-816	283	4	un	un	ADJ
ejde-816	283	5	)	)	PUNCT
ejde-816	283	6	)	)	PUNCT
ejde-816	283	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	283	8	)	)	PUNCT
ejde-816	283	9	×	×	NOUN
ejde-816	283	10	(	(	PUNCT
ejde-816	283	11	1	1	NUM
ejde-816	283	12	α	α	NOUN
ejde-816	283	13	(	(	PUNCT
ejde-816	283	14	∫	∫	PROPN
ejde-816	283	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	283	16	1	1	NUM
ejde-816	283	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	283	18	)	)	PUNCT
ejde-816	283	19	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	283	20	)	)	PUNCT
ejde-816	283	21	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	283	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	283	23	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	283	24	(	(	PUNCT
ejde-816	283	25	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	283	26	)	)	PUNCT
ejde-816	283	27	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	283	28	)	)	PUNCT
ejde-816	283	29	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	283	30	)	)	PUNCT
ejde-816	284	1	+	+	NOUN
ejde-816	284	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	284	3	,	,	PUNCT
ejde-816	284	4	un	un	ADJ
ejde-816	284	5	)	)	PUNCT
ejde-816	284	6	)	)	PUNCT
ejde-816	284	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	284	8	)	)	PUNCT
ejde-816	285	1	−	−	PROPN
ejde-816	285	2	1	1	NUM
ejde-816	285	3	µ	µ	X
ejde-816	285	4	(	(	PUNCT
ejde-816	285	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	285	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	285	7	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	285	8	)	)	PUNCT
ejde-816	285	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	285	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	286	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	286	2	(	(	PUNCT
ejde-816	286	3	β(x)|un|p(x	β(x)|un|p(x	PROPN
ejde-816	286	4	)	)	PUNCT
ejde-816	287	1	+	+	CCONJ
ejde-816	287	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	287	3	,	,	PUNCT
ejde-816	287	4	un)un	un)un	NOUN
ejde-816	287	5	)	)	PUNCT
ejde-816	287	6	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	287	7	)	)	PUNCT
ejde-816	287	8	)	)	PUNCT
ejde-816	288	1	−	−	NUM
ejde-816	289	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	289	2	ω	ω	NUM
ejde-816	289	3	f	f	PROPN
ejde-816	289	4	(	(	PUNCT
ejde-816	289	5	x	x	PROPN
ejde-816	289	6	,	,	PUNCT
ejde-816	289	7	un	un	PROPN
ejde-816	289	8	)	)	PUNCT
ejde-816	289	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	290	1	−	−	PROPN
ejde-816	290	2	λ	λ	PROPN
ejde-816	290	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	290	5	h(x)un	h(x)un	X
ejde-816	290	6	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	290	7	1	1	NUM
ejde-816	290	8	µ	µ	PRON
ejde-816	290	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	10	ω	ω	PROPN
ejde-816	290	11	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	290	12	,	,	PUNCT
ejde-816	290	13	un)un	un)un	X
ejde-816	290	14	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	290	15	λ	λ	X
ejde-816	290	16	µ	µ	X
ejde-816	290	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	18	ω	ω	PROPN
ejde-816	290	19	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	290	20	dx	dx	PROPN
ejde-816	290	21	≥m	≥m	NOUN
ejde-816	290	22	(	(	PUNCT
ejde-816	290	23	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	24	ω	ω	PROPN
ejde-816	290	25	1	1	NUM
ejde-816	290	26	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	290	27	)	)	PUNCT
ejde-816	290	28	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	290	29	)	)	PUNCT
ejde-816	290	30	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	290	31	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	32	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	290	33	(	(	PUNCT
ejde-816	290	34	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	290	35	)	)	PUNCT
ejde-816	290	36	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	290	37	)	)	PUNCT
ejde-816	290	38	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	290	39	)	)	PUNCT
ejde-816	290	40	+	+	NOUN
ejde-816	290	41	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	290	42	,	,	PUNCT
ejde-816	290	43	un	un	ADJ
ejde-816	290	44	)	)	PUNCT
ejde-816	290	45	)	)	PUNCT
ejde-816	290	46	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	290	47	)	)	PUNCT
ejde-816	290	48	×	×	NOUN
ejde-816	290	49	(	(	PUNCT
ejde-816	290	50	1	1	NUM
ejde-816	290	51	α	α	NOUN
ejde-816	290	52	(	(	PUNCT
ejde-816	290	53	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	54	ω	ω	PROPN
ejde-816	290	55	1	1	NUM
ejde-816	290	56	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	290	57	)	)	PUNCT
ejde-816	290	58	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	290	59	)	)	PUNCT
ejde-816	290	60	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	290	61	∫	∫	PROPN
ejde-816	290	62	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	290	63	(	(	PUNCT
ejde-816	290	64	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	290	65	)	)	PUNCT
ejde-816	290	66	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	290	67	)	)	PUNCT
ejde-816	290	68	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	290	69	)	)	PUNCT
ejde-816	290	70	+	+	NOUN
ejde-816	290	71	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	290	72	,	,	PUNCT
ejde-816	290	73	un	un	ADJ
ejde-816	290	74	)	)	PUNCT
ejde-816	290	75	)	)	PUNCT
ejde-816	290	76	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	290	77	)	)	PUNCT
ejde-816	291	1	−	−	PROPN
ejde-816	291	2	1	1	NUM
ejde-816	291	3	µ	µ	X
ejde-816	291	4	(	(	PUNCT
ejde-816	291	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	291	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	291	7	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	291	8	)	)	PUNCT
ejde-816	291	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	291	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	292	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	292	2	(	(	PUNCT
ejde-816	292	3	β(x)|un|p(x	β(x)|un|p(x	PROPN
ejde-816	292	4	)	)	PUNCT
ejde-816	293	1	+	+	CCONJ
ejde-816	293	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	293	3	,	,	PUNCT
ejde-816	293	4	un)un	un)un	NOUN
ejde-816	293	5	)	)	PUNCT
ejde-816	293	6	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	293	7	)	)	PUNCT
ejde-816	293	8	)	)	PUNCT
ejde-816	294	1	+	+	CCONJ
ejde-816	294	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	294	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	294	4	(	(	PUNCT
ejde-816	294	5	1	1	NUM
ejde-816	294	6	µ	µ	PRON
ejde-816	294	7	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	294	8	,	,	PUNCT
ejde-816	294	9	un)un	un)un	X
ejde-816	294	10	−	−	PROPN
ejde-816	294	11	f	f	X
ejde-816	294	12	(	(	PUNCT
ejde-816	294	13	x	x	PROPN
ejde-816	294	14	,	,	PUNCT
ejde-816	294	15	un	un	PROPN
ejde-816	294	16	)	)	PUNCT
ejde-816	294	17	)	)	PUNCT
ejde-816	294	18	dx−	dx−	NUM
ejde-816	295	1	λ	λ	INTJ
ejde-816	295	2	(	(	PUNCT
ejde-816	295	3	1−	1−	NUM
ejde-816	295	4	1	1	NUM
ejde-816	295	5	µ	µ	NOUN
ejde-816	295	6	)	)	PUNCT
ejde-816	295	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	296	1	ω	ω	PROPN
ejde-816	296	2	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	296	3	dx	dx	PROPN
ejde-816	296	4	≥	≥	PROPN
ejde-816	296	5	κ	κ	X
ejde-816	296	6	(	(	PUNCT
ejde-816	296	7	1	1	NUM
ejde-816	296	8	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	296	9	ρβ(x)(un	ρβ(x)(un	NUM
ejde-816	296	10	)	)	PUNCT
ejde-816	297	1	+	+	CCONJ
ejde-816	297	2	1	1	NUM
ejde-816	297	3	α	α	NUM
ejde-816	297	4	∫	∫	NOUN
ejde-816	297	5	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	297	6	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	297	7	,	,	PUNCT
ejde-816	297	8	un	un	ADJ
ejde-816	297	9	)	)	PUNCT
ejde-816	297	10	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	297	11	−	−	PROPN
ejde-816	297	12	1	1	NUM
ejde-816	297	13	µ	µ	X
ejde-816	297	14	ρβ(x)(un)−	ρβ(x)(un)−	NUM
ejde-816	297	15	1	1	NUM
ejde-816	297	16	µ	µ	PRON
ejde-816	297	17	∫	∫	NOUN
ejde-816	297	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	297	19	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	297	20	,	,	PUNCT
ejde-816	297	21	un)un	un)un	X
ejde-816	297	22	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	297	23	)	)	PUNCT
ejde-816	298	1	+	+	CCONJ
ejde-816	298	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	298	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	298	4	(	(	PUNCT
ejde-816	298	5	1	1	NUM
ejde-816	298	6	µ	µ	PRON
ejde-816	298	7	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	298	8	,	,	PUNCT
ejde-816	298	9	un)un	un)un	X
ejde-816	298	10	−	−	PROPN
ejde-816	298	11	f	f	X
ejde-816	298	12	(	(	PUNCT
ejde-816	298	13	x	x	PROPN
ejde-816	298	14	,	,	PUNCT
ejde-816	298	15	un	un	PROPN
ejde-816	298	16	)	)	PUNCT
ejde-816	298	17	)	)	PUNCT
ejde-816	298	18	dx−	dx−	NUM
ejde-816	299	1	λ	λ	INTJ
ejde-816	299	2	(	(	PUNCT
ejde-816	299	3	1−	1−	NUM
ejde-816	299	4	1	1	NUM
ejde-816	299	5	µ	µ	NOUN
ejde-816	299	6	)	)	PUNCT
ejde-816	299	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	300	1	ω	ω	PROPN
ejde-816	300	2	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	300	3	dx	dx	PROPN
ejde-816	300	4	≥	≥	PROPN
ejde-816	300	5	κ	κ	X
ejde-816	301	1	[	[	X
ejde-816	301	2	(	(	PUNCT
ejde-816	301	3	1	1	NUM
ejde-816	301	4	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	301	5	−	−	PROPN
ejde-816	301	6	1	1	NUM
ejde-816	301	7	µ	µ	NOUN
ejde-816	301	8	)	)	PUNCT
ejde-816	301	9	ρβ(x)(un)−	ρβ(x)(un)−	VERB
ejde-816	301	10	1	1	NUM
ejde-816	301	11	α	α	NUM
ejde-816	301	12	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-816	301	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	301	14	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	301	15	|un|r1(x)dσx	|un|r1(x)dσx	NOUN
ejde-816	301	16	−	−	PROPN
ejde-816	301	17	1	1	NUM
ejde-816	301	18	α	α	NOUN
ejde-816	301	19	c(ϵ2	c(ϵ2	X
ejde-816	301	20	)	)	PUNCT
ejde-816	301	21	∫	∫	PROPN
ejde-816	302	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	302	2	|un|r2(x)dσx	|un|r2(x)dσx	NOUN
ejde-816	302	3	−	−	PROPN
ejde-816	302	4	1	1	NUM
ejde-816	302	5	µ	µ	PRON
ejde-816	302	6	ϵ3	ϵ3	NUM
ejde-816	302	7	∫	∫	NOUN
ejde-816	302	8	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	302	9	|un|r2(x)−1dσx	|un|r2(x)−1dσx	NOUN
ejde-816	302	10	−	−	PROPN
ejde-816	302	11	1	1	NUM
ejde-816	302	12	µ	µ	X
ejde-816	302	13	c(ϵ3	c(ϵ3	X
ejde-816	302	14	)	)	PUNCT
ejde-816	302	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	303	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	303	2	|un|r2(x)dσx	|un|r2(x)dσx	NOUN
ejde-816	303	3	]	]	PUNCT
ejde-816	303	4	+	+	CCONJ
ejde-816	303	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	303	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	303	7	(	(	PUNCT
ejde-816	303	8	1	1	NUM
ejde-816	303	9	µ	µ	PRON
ejde-816	303	10	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	303	11	,	,	PUNCT
ejde-816	303	12	un)un	un)un	X
ejde-816	303	13	−	−	PROPN
ejde-816	303	14	f	f	X
ejde-816	303	15	(	(	PUNCT
ejde-816	303	16	x	x	PROPN
ejde-816	303	17	,	,	PUNCT
ejde-816	303	18	un	un	PROPN
ejde-816	303	19	)	)	PUNCT
ejde-816	303	20	)	)	PUNCT
ejde-816	304	1	dx−	dx−	NUM
ejde-816	305	1	λ	λ	INTJ
ejde-816	305	2	(	(	PUNCT
ejde-816	305	3	1−	1−	NUM
ejde-816	305	4	1	1	NUM
ejde-816	305	5	µ	µ	NOUN
ejde-816	305	6	)	)	PUNCT
ejde-816	305	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	306	1	ω	ω	PROPN
ejde-816	306	2	h(x)un	h(x)un	PROPN
ejde-816	306	3	dx	dx	PROPN
ejde-816	306	4	≥	≥	PROPN
ejde-816	306	5	κ	κ	X
ejde-816	306	6	(	(	PUNCT
ejde-816	306	7	1	1	NUM
ejde-816	306	8	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	306	9	−	−	NOUN
ejde-816	306	10	κ	κ	X
ejde-816	306	11	µ	µ	X
ejde-816	306	12	)	)	PUNCT
ejde-816	306	13	∥un∥p	∥un∥p	PRON
ejde-816	307	1	−	−	PROPN
ejde-816	307	2	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	307	3	)	)	PUNCT
ejde-816	307	4	−	−	NOUN
ejde-816	307	5	κ	κ	NOUN
ejde-816	307	6	α	α	PROPN
ejde-816	307	7	ϵ2c	ϵ2c	PUNCT
ejde-816	307	8	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	307	9	r1	r1	PROPN
ejde-816	307	10	∥un∥	∥un∥	NOUN
ejde-816	307	11	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	307	12	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	307	13	)	)	PUNCT
ejde-816	308	1	−	−	NOUN
ejde-816	308	2	κ	κ	NOUN
ejde-816	309	1	α	α	PROPN
ejde-816	309	2	c(ϵ2)c	c(ϵ2)c	PROPN
ejde-816	309	3	r−2	r−2	PROPN
ejde-816	309	4	r2	r2	NOUN
ejde-816	309	5	∥un∥	∥un∥	NOUN
ejde-816	309	6	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	309	7	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	309	8	)	)	PUNCT
ejde-816	309	9	12	12	NUM
ejde-816	309	10	h.	h.	PROPN
ejde-816	309	11	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	309	12	,	,	PUNCT
ejde-816	309	13	a.	a.	NOUN
ejde-816	309	14	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	309	15	,	,	PUNCT
ejde-816	309	16	m.	m.	PROPN
ejde-816	309	17	filali	filali	PROPN
ejde-816	309	18	,	,	PUNCT
ejde-816	309	19	n.	n.	PROPN
ejde-816	309	20	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	309	21	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	309	22	−	−	PROPN
ejde-816	309	23	κ	κ	PROPN
ejde-816	309	24	µ	µ	X
ejde-816	309	25	ϵ3c	ϵ3c	PUNCT
ejde-816	309	26	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	309	27	r1	r1	PROPN
ejde-816	309	28	∥un∥	∥un∥	NOUN
ejde-816	309	29	r−1	r−1	PROPN
ejde-816	309	30	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	309	31	)	)	PUNCT
ejde-816	309	32	−	−	PROPN
ejde-816	309	33	κ	κ	PROPN
ejde-816	309	34	µ	µ	PROPN
ejde-816	309	35	c	c	X
ejde-816	309	36	r−2	r−2	PROPN
ejde-816	309	37	r2	r2	PROPN
ejde-816	309	38	(	(	PUNCT
ejde-816	309	39	ϵ3)c∥un∥	ϵ3)c∥un∥	DET
ejde-816	309	40	r−2	r−2	PROPN
ejde-816	309	41	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	309	42	)	)	PUNCT
ejde-816	310	1	−	−	NOUN
ejde-816	310	2	λc3	λc3	NOUN
ejde-816	310	3	(	(	PUNCT
ejde-816	310	4	1−	1−	NUM
ejde-816	310	5	1	1	NUM
ejde-816	310	6	µ	µ	NOUN
ejde-816	310	7	)	)	PUNCT
ejde-816	310	8	∥h∥	∥h∥	NOUN
ejde-816	310	9	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	310	10	αp+−1	αp+−1	NOUN
ejde-816	310	11	∥un∥β(x	∥un∥β(x	NOUN
ejde-816	310	12	)	)	PUNCT
ejde-816	310	13	,	,	PUNCT
ejde-816	310	14	where	where	SCONJ
ejde-816	310	15	µ	µ	X
ejde-816	310	16	>	>	X
ejde-816	310	17	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	310	18	and	and	CCONJ
ejde-816	310	19	κ	κ	X
ejde-816	310	20	>	>	X
ejde-816	310	21	0	0	X
ejde-816	310	22	.	.	X
ejde-816	311	1	dividing	divide	VERB
ejde-816	311	2	by	by	ADP
ejde-816	311	3	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	311	4	−	−	PROPN
ejde-816	311	5	β(x)in	β(x)in	INTJ
ejde-816	311	6	the	the	DET
ejde-816	311	7	above	above	ADJ
ejde-816	311	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	311	9	and	and	CCONJ
ejde-816	311	10	passing	pass	VERB
ejde-816	311	11	to	to	ADP
ejde-816	311	12	the	the	DET
ejde-816	311	13	limit	limit	NOUN
ejde-816	311	14	as	as	ADP
ejde-816	311	15	n	n	PROPN
ejde-816	311	16	→	→	SYM
ejde-816	311	17	∞	∞	PROPN
ejde-816	311	18	,	,	PUNCT
ejde-816	311	19	we	we	PRON
ejde-816	311	20	obtain	obtain	VERB
ejde-816	311	21	a	a	DET
ejde-816	311	22	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-816	311	23	.	.	PUNCT
ejde-816	312	1	this	this	PRON
ejde-816	312	2	follows	follow	VERB
ejde-816	312	3	that	that	SCONJ
ejde-816	312	4	the	the	DET
ejde-816	312	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-816	312	6	{	{	PUNCT
ejde-816	312	7	un	un	PROPN
ejde-816	312	8	}	}	PUNCT
ejde-816	312	9	is	be	AUX
ejde-816	312	10	bounded	bound	VERB
ejde-816	312	11	in	in	ADP
ejde-816	312	12	x.	x.	NOUN
ejde-816	312	13	now	now	ADV
ejde-816	312	14	,	,	PUNCT
ejde-816	312	15	since	since	SCONJ
ejde-816	312	16	the	the	DET
ejde-816	312	17	banach	banach	NOUN
ejde-816	312	18	space	space	NOUN
ejde-816	312	19	x	x	PUNCT
ejde-816	312	20	is	be	AUX
ejde-816	312	21	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-816	312	22	,	,	PUNCT
ejde-816	312	23	there	there	PRON
ejde-816	312	24	exists	exist	VERB
ejde-816	312	25	u	u	NOUN
ejde-816	312	26	∈	∈	PROPN
ejde-816	312	27	x	x	PUNCT
ejde-816	312	28	such	such	ADJ
ejde-816	312	29	that	that	SCONJ
ejde-816	312	30	passing	pass	VERB
ejde-816	312	31	to	to	ADP
ejde-816	312	32	a	a	DET
ejde-816	312	33	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-816	312	34	,	,	PUNCT
ejde-816	312	35	still	still	ADV
ejde-816	312	36	denoted	denote	VERB
ejde-816	312	37	by	by	ADP
ejde-816	312	38	{	{	PUNCT
ejde-816	312	39	un	un	PROPN
ejde-816	312	40	}	}	PUNCT
ejde-816	312	41	,	,	PUNCT
ejde-816	312	42	it	it	PRON
ejde-816	312	43	converges	converge	VERB
ejde-816	312	44	weakly	weakly	ADV
ejde-816	312	45	to	to	ADP
ejde-816	312	46	u	u	PROPN
ejde-816	312	47	inx	inx	VERB
ejde-816	312	48	and	and	CCONJ
ejde-816	312	49	converges	converge	VERB
ejde-816	312	50	strongly	strongly	ADV
ejde-816	312	51	to	to	ADP
ejde-816	312	52	u	u	PRON
ejde-816	312	53	in	in	ADP
ejde-816	312	54	the	the	DET
ejde-816	312	55	spaces	space	NOUN
ejde-816	312	56	lq(x)(ω	lq(x)(ω	VERB
ejde-816	312	57	)	)	PUNCT
ejde-816	312	58	.	.	PUNCT
ejde-816	313	1	using	use	VERB
ejde-816	313	2	the	the	DET
ejde-816	313	3	condition	condition	NOUN
ejde-816	313	4	(	(	PUNCT
ejde-816	313	5	a3	a3	NOUN
ejde-816	313	6	)	)	PUNCT
ejde-816	313	7	and	and	CCONJ
ejde-816	313	8	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	313	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	313	10	,	,	PUNCT
ejde-816	313	11	we	we	PRON
ejde-816	313	12	have∣∣	have∣∣	PROPN
ejde-816	313	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	313	14	ω	ω	NUM
ejde-816	313	15	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	313	16	,	,	PUNCT
ejde-816	313	17	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	313	18	−	−	PROPN
ejde-816	313	19	u	u	NOUN
ejde-816	313	20	)	)	PUNCT
ejde-816	313	21	dx	dx	PROPN
ejde-816	313	22	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	313	23	≤	≤	NUM
ejde-816	313	24	∫	∫	PROPN
ejde-816	313	25	ω	ω	PROPN
ejde-816	313	26	|f(x	|f(x	PROPN
ejde-816	313	27	,	,	PUNCT
ejde-816	313	28	un)|	un)|	PROPN
ejde-816	313	29	|un	|un	ADP
ejde-816	313	30	−	−	PUNCT
ejde-816	313	31	u|	u|	PROPN
ejde-816	313	32	dx	dx	PROPN
ejde-816	313	33	≤	≤	PROPN
ejde-816	313	34	c1	c1	PROPN
ejde-816	313	35	∫	∫	PROPN
ejde-816	313	36	ω	ω	PROPN
ejde-816	313	37	(	(	PUNCT
ejde-816	313	38	1	1	NUM
ejde-816	313	39	+	+	NUM
ejde-816	313	40	|un|q(x)−1	|un|q(x)−1	NOUN
ejde-816	313	41	)	)	PUNCT
ejde-816	313	42	|un	|un	ADV
ejde-816	313	43	−	−	PRON
ejde-816	314	1	u|	u|	ADV
ejde-816	314	2	dx	dx	PROPN
ejde-816	314	3	≤	≤	NUM
ejde-816	314	4	2c1	2c1	NUM
ejde-816	315	1	(	(	PUNCT
ejde-816	315	2	1	1	NUM
ejde-816	315	3	+	+	NUM
ejde-816	315	4	∥|un|q(x)−1∥	∥|un|q(x)−1∥	NOUN
ejde-816	315	5	q(x	q(x	PROPN
ejde-816	315	6	)	)	PUNCT
ejde-816	315	7	q(x)−1	q(x)−1	PROPN
ejde-816	315	8	)	)	PUNCT
ejde-816	315	9	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	315	10	−	−	PROPN
ejde-816	315	11	u∥q(x	u∥q(x	PROPN
ejde-816	315	12	)	)	PUNCT
ejde-816	315	13	→	→	SYM
ejde-816	315	14	0	0	NUM
ejde-816	315	15	as	as	ADP
ejde-816	315	16	n→	n→	X
ejde-816	315	17	∞	∞	PROPN
ejde-816	315	18	which	which	DET
ejde-816	315	19	yields	yield	VERB
ejde-816	315	20	lim	lim	PROPN
ejde-816	315	21	m→∞	m→∞	NOUN
ejde-816	315	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	315	23	ω	ω	NUM
ejde-816	315	24	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	315	25	,	,	PUNCT
ejde-816	315	26	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	315	27	−	−	PROPN
ejde-816	315	28	u	u	NOUN
ejde-816	315	29	)	)	PUNCT
ejde-816	315	30	dx	dx	PROPN
ejde-816	316	1	=	=	SYM
ejde-816	316	2	0	0	PROPN
ejde-816	316	3	.	.	PUNCT
ejde-816	317	1	(	(	PUNCT
ejde-816	317	2	3.9	3.9	NUM
ejde-816	317	3	)	)	PUNCT
ejde-816	317	4	moreover,∣∣	moreover,∣∣	VERB
ejde-816	317	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	317	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	317	7	h(x)(un	h(x)(un	PROPN
ejde-816	317	8	−	−	PROPN
ejde-816	317	9	u	u	NOUN
ejde-816	317	10	)	)	PUNCT
ejde-816	317	11	dx	dx	PROPN
ejde-816	317	12	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	317	13	≤	≤	NUM
ejde-816	317	14	∫	∫	PROPN
ejde-816	317	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	317	16	|h(x)|	|h(x)|	PROPN
ejde-816	317	17	|un	|un	ADP
ejde-816	317	18	−	−	PRON
ejde-816	317	19	u|	u|	PROPN
ejde-816	317	20	dx	dx	PROPN
ejde-816	317	21	≤	≤	NUM
ejde-816	318	1	2∥h∥	2∥h∥	NUM
ejde-816	318	2	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	318	3	αp+−1	αp+−1	NOUN
ejde-816	318	4	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	318	5	−	−	PROPN
ejde-816	318	6	u∥αp+	u∥αp+	PROPN
ejde-816	318	7	→	→	SYM
ejde-816	318	8	0	0	NUM
ejde-816	318	9	as	as	ADP
ejde-816	318	10	n→	n→	PROPN
ejde-816	318	11	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	318	12	(	(	PUNCT
ejde-816	318	13	3.10	3.10	NUM
ejde-816	318	14	)	)	PUNCT
ejde-816	318	15	since	since	SCONJ
ejde-816	318	16	{	{	PUNCT
ejde-816	318	17	un	un	PROPN
ejde-816	318	18	}	}	PUNCT
ejde-816	318	19	converges	converge	VERB
ejde-816	318	20	weakly	weakly	ADV
ejde-816	318	21	to	to	ADP
ejde-816	318	22	u	u	PRON
ejde-816	318	23	in	in	ADP
ejde-816	318	24	x	x	PRON
ejde-816	318	25	,	,	PUNCT
ejde-816	318	26	by	by	ADP
ejde-816	318	27	(	(	PUNCT
ejde-816	318	28	3.6	3.6	NUM
ejde-816	318	29	)	)	PUNCT
ejde-816	318	30	we	we	PRON
ejde-816	318	31	have	have	VERB
ejde-816	318	32	i	i	PRON
ejde-816	318	33	′λ(un)(un	′λ(un)(un	X
ejde-816	319	1	−	−	PROPN
ejde-816	319	2	u	u	NOUN
ejde-816	319	3	)	)	PUNCT
ejde-816	319	4	→	→	SYM
ejde-816	319	5	0	0	NUM
ejde-816	319	6	as	as	ADP
ejde-816	319	7	n→	n→	ADV
ejde-816	319	8	∞	∞	PROPN
ejde-816	319	9	or	or	CCONJ
ejde-816	319	10	m	m	PROPN
ejde-816	319	11	(	(	PUNCT
ejde-816	319	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	319	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	319	14	1	1	NUM
ejde-816	319	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	319	16	)	)	PUNCT
ejde-816	319	17	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	319	18	)	)	PUNCT
ejde-816	319	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	319	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	319	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	319	22	(	(	PUNCT
ejde-816	319	23	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	319	24	)	)	PUNCT
ejde-816	319	25	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	319	26	)	)	PUNCT
ejde-816	319	27	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	319	28	)	)	PUNCT
ejde-816	319	29	+	+	NOUN
ejde-816	319	30	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	319	31	,	,	PUNCT
ejde-816	319	32	un	un	ADJ
ejde-816	319	33	)	)	PUNCT
ejde-816	319	34	)	)	PUNCT
ejde-816	319	35	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	319	36	)	)	PUNCT
ejde-816	319	37	×	×	NOUN
ejde-816	319	38	(	(	PUNCT
ejde-816	319	39	∫	∫	PROPN
ejde-816	319	40	ω	ω	NUM
ejde-816	319	41	|∇un|p(x)−2∇un	|∇un|p(x)−2∇un	ADJ
ejde-816	319	42	(	(	PUNCT
ejde-816	319	43	∇un	∇un	ADJ
ejde-816	319	44	−∇u	−∇u	NOUN
ejde-816	319	45	)	)	PUNCT
ejde-816	319	46	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	319	47	∫	∫	PROPN
ejde-816	320	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	320	2	β(x)|un|p(x)−2un(un	β(x)|un|p(x)−2un(un	PROPN
ejde-816	321	1	−	−	NUM
ejde-816	321	2	u	u	NOUN
ejde-816	321	3	)	)	PUNCT
ejde-816	321	4	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	321	5	+	+	CCONJ
ejde-816	321	6	∫	∫	X
ejde-816	321	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	321	8	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	321	9	,	,	PUNCT
ejde-816	321	10	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	321	11	−	−	PROPN
ejde-816	321	12	u	u	NOUN
ejde-816	321	13	)	)	PUNCT
ejde-816	321	14	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	321	15	)	)	PUNCT
ejde-816	322	1	−	−	PROPN
ejde-816	323	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	323	2	ω	ω	NUM
ejde-816	323	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	323	4	,	,	PUNCT
ejde-816	323	5	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	323	6	−	−	PROPN
ejde-816	323	7	u	u	NOUN
ejde-816	323	8	)	)	PUNCT
ejde-816	323	9	dx−	dx−	NUM
ejde-816	324	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	324	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	324	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	324	4	h(x)(un	h(x)(un	PROPN
ejde-816	324	5	−	−	PROPN
ejde-816	324	6	u	u	NOUN
ejde-816	324	7	)	)	PUNCT
ejde-816	324	8	dx	dx	PROPN
ejde-816	324	9	→	→	SYM
ejde-816	324	10	0	0	PROPN
ejde-816	324	11	,	,	PUNCT
ejde-816	324	12	which	which	PRON
ejde-816	324	13	from	from	ADP
ejde-816	324	14	(	(	PUNCT
ejde-816	324	15	3.9	3.9	NUM
ejde-816	324	16	)	)	PUNCT
ejde-816	324	17	and	and	CCONJ
ejde-816	324	18	(	(	PUNCT
ejde-816	324	19	3.10	3.10	NUM
ejde-816	324	20	)	)	PUNCT
ejde-816	324	21	leads	lead	VERB
ejde-816	324	22	to	to	ADP
ejde-816	324	23	m	m	PROPN
ejde-816	324	24	(	(	PUNCT
ejde-816	324	25	∫	∫	PROPN
ejde-816	324	26	ω	ω	PROPN
ejde-816	324	27	1	1	NUM
ejde-816	324	28	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	324	29	)	)	PUNCT
ejde-816	324	30	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	324	31	)	)	PUNCT
ejde-816	324	32	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	324	33	∫	∫	PROPN
ejde-816	324	34	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	324	35	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	324	36	)	)	PUNCT
ejde-816	324	37	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	324	38	)	)	PUNCT
ejde-816	324	39	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	324	40	)	)	PUNCT
ejde-816	324	41	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	324	42	+	+	CCONJ
ejde-816	324	43	∫	∫	X
ejde-816	324	44	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	324	45	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	324	46	,	,	PUNCT
ejde-816	324	47	un	un	ADJ
ejde-816	324	48	)	)	PUNCT
ejde-816	324	49	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	324	50	)	)	PUNCT
ejde-816	324	51	×	×	NOUN
ejde-816	324	52	(	(	PUNCT
ejde-816	324	53	∫	∫	PROPN
ejde-816	324	54	ω	ω	NUM
ejde-816	324	55	|∇un|p(x)−2∇un	|∇un|p(x)−2∇un	ADJ
ejde-816	324	56	(	(	PUNCT
ejde-816	324	57	∇un	∇un	ADJ
ejde-816	324	58	−∇u	−∇u	NOUN
ejde-816	324	59	)	)	PUNCT
ejde-816	324	60	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	324	61	∫	∫	PROPN
ejde-816	325	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	325	2	β(x)|un|p(x)−2un(un	β(x)|un|p(x)−2un(un	PROPN
ejde-816	326	1	−	−	NUM
ejde-816	326	2	u	u	NOUN
ejde-816	326	3	)	)	PUNCT
ejde-816	326	4	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	326	5	+	+	CCONJ
ejde-816	326	6	∫	∫	X
ejde-816	326	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	326	8	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	326	9	,	,	PUNCT
ejde-816	326	10	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	326	11	−	−	PROPN
ejde-816	326	12	u	u	NOUN
ejde-816	326	13	)	)	PUNCT
ejde-816	326	14	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	326	15	)	)	PUNCT
ejde-816	326	16	→	→	SYM
ejde-816	326	17	0	0	NUM
ejde-816	327	1	if	if	SCONJ
ejde-816	327	2	(	(	PUNCT
ejde-816	327	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	327	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	327	5	1	1	NUM
ejde-816	327	6	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	327	7	)	)	PUNCT
ejde-816	327	8	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	327	9	)	)	PUNCT
ejde-816	327	10	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	327	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	327	12	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	327	13	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	327	14	)	)	PUNCT
ejde-816	327	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	327	16	)	)	PUNCT
ejde-816	327	17	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	327	18	)	)	PUNCT
ejde-816	327	19	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	327	20	+	+	CCONJ
ejde-816	327	21	∫	∫	X
ejde-816	327	22	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	327	23	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	327	24	,	,	PUNCT
ejde-816	327	25	un	un	ADJ
ejde-816	327	26	)	)	PUNCT
ejde-816	327	27	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	327	28	)	)	PUNCT
ejde-816	327	29	→	→	SYM
ejde-816	327	30	0	0	NUM
ejde-816	327	31	,	,	PUNCT
ejde-816	327	32	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	327	33	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	327	34	type	type	NOUN
ejde-816	327	35	problems	problem	NOUN
ejde-816	327	36	13	13	NUM
ejde-816	327	37	then	then	ADV
ejde-816	327	38	by	by	ADP
ejde-816	327	39	(	(	PUNCT
ejde-816	327	40	a9	a9	PROPN
ejde-816	327	41	)	)	PUNCT
ejde-816	327	42	,	,	PUNCT
ejde-816	327	43	(	(	PUNCT
ejde-816	327	44	∫	∫	PROPN
ejde-816	327	45	ω	ω	PROPN
ejde-816	327	46	1	1	NUM
ejde-816	327	47	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	327	48	)	)	PUNCT
ejde-816	327	49	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	327	50	)	)	PUNCT
ejde-816	327	51	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	327	52	∫	∫	PROPN
ejde-816	327	53	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	327	54	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	327	55	)	)	PUNCT
ejde-816	327	56	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	327	57	)	)	PUNCT
ejde-816	327	58	|un|p(x)σx	|un|p(x)σx	NOUN
ejde-816	327	59	)	)	PUNCT
ejde-816	327	60	→	→	SYM
ejde-816	327	61	0	0	X
ejde-816	327	62	.	.	PUNCT
ejde-816	328	1	this	this	PRON
ejde-816	328	2	implies	imply	VERB
ejde-816	328	3	that	that	SCONJ
ejde-816	328	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	328	6	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	328	7	)	)	PUNCT
ejde-816	328	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	328	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	328	11	β(x)|un|p(x	β(x)|un|p(x	PROPN
ejde-816	328	12	)	)	PUNCT
ejde-816	328	13	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	328	14	→	→	SYM
ejde-816	328	15	0	0	NUM
ejde-816	328	16	as	as	ADP
ejde-816	328	17	n→	n→	ADV
ejde-816	328	18	∞	∞	PROPN
ejde-816	328	19	and	and	CCONJ
ejde-816	328	20	thus	thus	ADV
ejde-816	328	21	un	un	PROPN
ejde-816	328	22	→	→	SYM
ejde-816	328	23	0	0	NUM
ejde-816	328	24	strongly	strongly	ADV
ejde-816	328	25	in	in	ADP
ejde-816	328	26	x	x	PUNCT
ejde-816	328	27	as	as	ADP
ejde-816	328	28	n→	n→	PUNCT
ejde-816	328	29	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	328	30	if(∫	if(∫	VERB
ejde-816	328	31	ω	ω	NUM
ejde-816	328	32	1	1	NUM
ejde-816	328	33	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	328	34	)	)	PUNCT
ejde-816	328	35	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	328	36	)	)	PUNCT
ejde-816	328	37	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	328	38	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	39	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	328	40	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	328	41	)	)	PUNCT
ejde-816	328	42	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	328	43	)	)	PUNCT
ejde-816	328	44	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	328	45	)	)	PUNCT
ejde-816	328	46	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	328	47	+	+	CCONJ
ejde-816	328	48	∫	∫	X
ejde-816	328	49	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	328	50	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	328	51	,	,	PUNCT
ejde-816	328	52	un	un	ADJ
ejde-816	328	53	)	)	PUNCT
ejde-816	328	54	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	328	55	)	)	PUNCT
ejde-816	328	56	→	→	SYM
ejde-816	328	57	t1	t1	NOUN
ejde-816	328	58	>	>	X
ejde-816	328	59	0	0	PUNCT
ejde-816	328	60	as	as	ADP
ejde-816	328	61	n→	n→	ADV
ejde-816	328	62	∞	∞	PROPN
ejde-816	328	63	then	then	ADV
ejde-816	328	64	from	from	ADP
ejde-816	328	65	the	the	DET
ejde-816	328	66	continuity	continuity	NOUN
ejde-816	328	67	of	of	ADP
ejde-816	328	68	m	m	PRON
ejde-816	328	69	it	it	PRON
ejde-816	328	70	follows	follow	VERB
ejde-816	328	71	that	that	SCONJ
ejde-816	328	72	m	m	PROPN
ejde-816	328	73	(	(	PUNCT
ejde-816	328	74	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	75	ω	ω	PROPN
ejde-816	328	76	1	1	NUM
ejde-816	328	77	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	328	78	)	)	PUNCT
ejde-816	328	79	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	328	80	)	)	PUNCT
ejde-816	328	81	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	328	82	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	83	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	328	84	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	328	85	)	)	PUNCT
ejde-816	328	86	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	328	87	)	)	PUNCT
ejde-816	328	88	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	328	89	)	)	PUNCT
ejde-816	328	90	dσx+	dσx+	NOUN
ejde-816	328	91	∫	∫	PROPN
ejde-816	328	92	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	328	93	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	328	94	,	,	PUNCT
ejde-816	328	95	un	un	ADJ
ejde-816	328	96	)	)	PUNCT
ejde-816	328	97	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	328	98	)	)	PUNCT
ejde-816	329	1	→m	→m	PUNCT
ejde-816	329	2	(	(	PUNCT
ejde-816	329	3	t1	t1	NOUN
ejde-816	329	4	)	)	PUNCT
ejde-816	329	5	>	>	X
ejde-816	329	6	0	0	NUM
ejde-816	329	7	,	,	PUNCT
ejde-816	329	8	so	so	SCONJ
ejde-816	329	9	that	that	SCONJ
ejde-816	329	10	m	m	PROPN
ejde-816	329	11	(	(	PUNCT
ejde-816	329	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	329	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	329	14	1	1	NUM
ejde-816	329	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	329	16	)	)	PUNCT
ejde-816	329	17	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	329	18	)	)	PUNCT
ejde-816	329	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	329	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	329	21	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	329	22	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	329	23	)	)	PUNCT
ejde-816	329	24	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	329	25	)	)	PUNCT
ejde-816	329	26	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	329	27	)	)	PUNCT
ejde-816	329	28	dσx+	dσx+	NOUN
ejde-816	329	29	∫	∫	PROPN
ejde-816	329	30	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	329	31	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	329	32	,	,	PUNCT
ejde-816	329	33	un	un	ADJ
ejde-816	329	34	)	)	PUNCT
ejde-816	329	35	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	329	36	)	)	PUNCT
ejde-816	329	37	≥	≥	NOUN
ejde-816	329	38	1	1	NUM
ejde-816	329	39	2	2	NUM
ejde-816	329	40	m	m	NOUN
ejde-816	329	41	(	(	PUNCT
ejde-816	329	42	t1	t1	NOUN
ejde-816	329	43	)	)	PUNCT
ejde-816	329	44	>	>	X
ejde-816	329	45	0	0	PUNCT
ejde-816	330	1	for	for	ADP
ejde-816	330	2	all	all	DET
ejde-816	330	3	n	n	ADV
ejde-816	330	4	large	large	ADJ
ejde-816	330	5	enough	enough	ADV
ejde-816	330	6	.	.	PUNCT
ejde-816	331	1	therefore,(∫	therefore,(∫	NUM
ejde-816	331	2	ω	ω	NUM
ejde-816	331	3	|∇un|p(x)−2∇un	|∇un|p(x)−2∇un	ADJ
ejde-816	331	4	(	(	PUNCT
ejde-816	331	5	∇un	∇un	ADJ
ejde-816	331	6	−∇u	−∇u	NOUN
ejde-816	331	7	)	)	PUNCT
ejde-816	331	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	331	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	332	1	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	332	2	β(x)|un|p(x)−2un(un	β(x)|un|p(x)−2un(un	PROPN
ejde-816	333	1	−	−	NUM
ejde-816	333	2	u	u	NOUN
ejde-816	333	3	)	)	PUNCT
ejde-816	333	4	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	333	5	+	+	CCONJ
ejde-816	333	6	∫	∫	X
ejde-816	333	7	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	333	8	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	333	9	,	,	PUNCT
ejde-816	333	10	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	333	11	−	−	PROPN
ejde-816	333	12	u	u	NOUN
ejde-816	333	13	)	)	PUNCT
ejde-816	333	14	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	333	15	)	)	PUNCT
ejde-816	334	1	→	→	SYM
ejde-816	334	2	0	0	NUM
ejde-816	334	3	by	by	ADP
ejde-816	334	4	(	(	PUNCT
ejde-816	334	5	3.8	3.8	NUM
ejde-816	334	6	)	)	PUNCT
ejde-816	334	7	and	and	CCONJ
ejde-816	334	8	hölder	hölder	PROPN
ejde-816	334	9	inequaly	inequaly	NOUN
ejde-816	334	10	,	,	PUNCT
ejde-816	334	11	we	we	PRON
ejde-816	334	12	have∣∣	have∣∣	VERB
ejde-816	334	13	∫	∫	INTJ
ejde-816	334	14	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	334	15	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	334	16	,	,	PUNCT
ejde-816	334	17	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	334	18	−	−	PROPN
ejde-816	334	19	u	u	NOUN
ejde-816	334	20	)	)	PUNCT
ejde-816	334	21	dx	dx	PROPN
ejde-816	334	22	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	334	23	≤	≤	NUM
ejde-816	334	24	∫	∫	PROPN
ejde-816	335	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	335	2	|g(x	|g(x	PROPN
ejde-816	335	3	,	,	PUNCT
ejde-816	335	4	un)|	un)|	PROPN
ejde-816	335	5	|un	|un	ADP
ejde-816	335	6	−	−	PUNCT
ejde-816	335	7	u|	u|	PROPN
ejde-816	335	8	dx	dx	PROPN
ejde-816	335	9	≤	≤	NUM
ejde-816	335	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	336	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	336	2	(	(	PUNCT
ejde-816	336	3	ϵ3|t|r1(x)−1	ϵ3|t|r1(x)−1	X
ejde-816	336	4	+	+	NUM
ejde-816	336	5	c(ϵ3)|t|r2(x)−1	c(ϵ3)|t|r2(x)−1	NOUN
ejde-816	336	6	)	)	PUNCT
ejde-816	336	7	|un	|un	ADV
ejde-816	336	8	−	−	PRON
ejde-816	336	9	u|	u|	ADJ
ejde-816	336	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	336	11	≤	≤	NUM
ejde-816	336	12	2ϵ3∥|un|r1(x)−1∥	2ϵ3∥|un|r1(x)−1∥	NUM
ejde-816	336	13	r1(x	r1(x	NOUN
ejde-816	336	14	)	)	PUNCT
ejde-816	336	15	r1(x)−1	r1(x)−1	VERB
ejde-816	336	16	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	336	17	−	−	NOUN
ejde-816	336	18	u∥r1(x	u∥r1(x	NOUN
ejde-816	336	19	)	)	PUNCT
ejde-816	337	1	+	+	NUM
ejde-816	337	2	2c(ϵ3)∥|un|r2(x)−1∥	2c(ϵ3)∥|un|r2(x)−1∥	NUM
ejde-816	337	3	r2(x	r2(x	NOUN
ejde-816	337	4	)	)	PUNCT
ejde-816	337	5	r2(x)−1	r2(x)−1	NOUN
ejde-816	337	6	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	337	7	−	−	PROPN
ejde-816	337	8	u∥r2(x	u∥r2(x	NOUN
ejde-816	337	9	)	)	PUNCT
ejde-816	337	10	→	→	SYM
ejde-816	337	11	0	0	NUM
ejde-816	337	12	as	as	ADP
ejde-816	337	13	n→	n→	ADV
ejde-816	337	14	∞	∞	PROPN
ejde-816	337	15	.	.	PUNCT
ejde-816	338	1	then	then	ADV
ejde-816	338	2	lim	lim	PROPN
ejde-816	338	3	n→∞	n→∞	PROPN
ejde-816	339	1	(	(	PUNCT
ejde-816	339	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	339	3	ω	ω	NUM
ejde-816	339	4	|∇un|p(x)−2∇un	|∇un|p(x)−2∇un	ADJ
ejde-816	339	5	(	(	PUNCT
ejde-816	339	6	∇un	∇un	ADJ
ejde-816	339	7	−∇u	−∇u	NOUN
ejde-816	339	8	)	)	PUNCT
ejde-816	339	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	339	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	339	11	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	339	12	β(x)|un|p(x)−2un(un−u	β(x)|un|p(x)−2un(un−u	PROPN
ejde-816	339	13	)	)	PUNCT
ejde-816	339	14	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	339	15	)	)	PUNCT
ejde-816	340	1	=	=	SYM
ejde-816	340	2	0	0	PUNCT
ejde-816	340	3	or	or	CCONJ
ejde-816	340	4	lim	lim	PROPN
ejde-816	340	5	n→∞	n→∞	PRON
ejde-816	340	6	l′	l′	PROPN
ejde-816	340	7	β(x)(un)(un	β(x)(un)(un	PROPN
ejde-816	340	8	−	−	PROPN
ejde-816	340	9	u	u	NOUN
ejde-816	340	10	)	)	PUNCT
ejde-816	340	11	=	=	SYM
ejde-816	340	12	0	0	NUM
ejde-816	340	13	,	,	PUNCT
ejde-816	340	14	where	where	SCONJ
ejde-816	340	15	lβ(x	lβ(x	NOUN
ejde-816	340	16	)	)	PUNCT
ejde-816	340	17	and	and	CCONJ
ejde-816	340	18	l′	l′	VERB
ejde-816	340	19	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	340	20	)	)	PUNCT
ejde-816	340	21	are	be	AUX
ejde-816	340	22	given	give	VERB
ejde-816	340	23	by	by	ADP
ejde-816	340	24	(	(	PUNCT
ejde-816	340	25	2.6	2.6	NUM
ejde-816	340	26	)	)	PUNCT
ejde-816	340	27	and	and	CCONJ
ejde-816	340	28	(	(	PUNCT
ejde-816	340	29	2.7	2.7	NUM
ejde-816	340	30	)	)	PUNCT
ejde-816	340	31	.	.	PUNCT
ejde-816	341	1	from	from	ADP
ejde-816	341	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	341	3	2.4	2.4	NUM
ejde-816	341	4	the	the	DET
ejde-816	341	5	sequence	sequence	NOUN
ejde-816	341	6	{	{	PUNCT
ejde-816	341	7	un	un	PROPN
ejde-816	341	8	}	}	PUNCT
ejde-816	341	9	converges	converge	VERB
ejde-816	341	10	strongly	strongly	ADV
ejde-816	341	11	to	to	ADP
ejde-816	341	12	u	u	PRON
ejde-816	341	13	as	as	ADP
ejde-816	341	14	n→	n→	PROPN
ejde-816	341	15	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	341	16	thus	thus	ADV
ejde-816	341	17	,	,	PUNCT
ejde-816	341	18	the	the	DET
ejde-816	341	19	functional	functional	ADJ
ejde-816	341	20	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	341	21	satisfies	satisfy	VERB
ejde-816	341	22	the	the	DET
ejde-816	341	23	palais	palais	PROPN
ejde-816	341	24	-	-	PUNCT
ejde-816	341	25	smale	smale	ADJ
ejde-816	341	26	condition	condition	NOUN
ejde-816	341	27	.	.	PUNCT
ejde-816	342	1	□	□	PUNCT
ejde-816	342	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	342	3	3.7	3.7	NUM
ejde-816	342	4	.	.	PUNCT
ejde-816	342	5	assume	assume	VERB
ejde-816	342	6	that	that	SCONJ
ejde-816	342	7	h	h	NOUN
ejde-816	342	8	∈	∈	PROPN
ejde-816	342	9	l	l	X
ejde-816	342	10	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	342	11	αp+−1	αp+−1	X
ejde-816	342	12	(	(	PUNCT
ejde-816	342	13	ω	ω	NOUN
ejde-816	342	14	)	)	PUNCT
ejde-816	342	15	with	with	ADP
ejde-816	342	16	h	h	PROPN
ejde-816	342	17	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-816	342	18	0	0	NUM
ejde-816	342	19	,	,	PUNCT
ejde-816	342	20	and	and	CCONJ
ejde-816	342	21	that	that	SCONJ
ejde-816	342	22	(	(	PUNCT
ejde-816	342	23	a1)–(a8	a1)–(a8	ADJ
ejde-816	342	24	)	)	PUNCT
ejde-816	342	25	hold	hold	NOUN
ejde-816	342	26	.	.	PUNCT
ejde-816	343	1	then	then	ADV
ejde-816	343	2	there	there	PRON
ejde-816	343	3	exists	exist	VERB
ejde-816	343	4	a	a	DET
ejde-816	343	5	function	function	NOUN
ejde-816	343	6	ψ	ψ	X
ejde-816	343	7	∈	∈	PROPN
ejde-816	343	8	x	x	X
ejde-816	343	9	,	,	PUNCT
ejde-816	343	10	ψ	ψ	X
ejde-816	343	11	̸≡	̸≡	X
ejde-816	343	12	0	0	NUM
ejde-816	343	13	such	such	ADJ
ejde-816	343	14	that	that	SCONJ
ejde-816	343	15	iλ(τψ	iλ(τψ	PROPN
ejde-816	343	16	)	)	PUNCT
ejde-816	343	17	<	<	X
ejde-816	343	18	0	0	NUM
ejde-816	343	19	for	for	ADP
ejde-816	343	20	all	all	DET
ejde-816	343	21	τ	τ	PROPN
ejde-816	343	22	>	>	X
ejde-816	343	23	0	0	PUNCT
ejde-816	343	24	small	small	ADJ
ejde-816	343	25	enough	enough	ADV
ejde-816	343	26	.	.	PUNCT
ejde-816	344	1	14	14	NUM
ejde-816	344	2	h.	h.	PROPN
ejde-816	344	3	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	344	4	,	,	PUNCT
ejde-816	344	5	a.	a.	NOUN
ejde-816	344	6	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	344	7	,	,	PUNCT
ejde-816	344	8	m.	m.	PROPN
ejde-816	344	9	filali	filali	PROPN
ejde-816	344	10	,	,	PUNCT
ejde-816	344	11	n.	n.	PROPN
ejde-816	344	12	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	344	13	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	344	14	proof	proof	NOUN
ejde-816	344	15	.	.	PUNCT
ejde-816	345	1	for	for	ADP
ejde-816	345	2	(	(	PUNCT
ejde-816	345	3	x	x	NOUN
ejde-816	345	4	,	,	PUNCT
ejde-816	345	5	t	t	PROPN
ejde-816	345	6	)	)	PUNCT
ejde-816	345	7	∈	∈	PROPN
ejde-816	345	8	ω×	ω×	PUNCT
ejde-816	345	9	r	r	NOUN
ejde-816	345	10	,	,	PUNCT
ejde-816	345	11	set	set	VERB
ejde-816	345	12	γ3(τ	γ3(τ	PRON
ejde-816	345	13	)	)	PUNCT
ejde-816	346	1	=	=	SYM
ejde-816	346	2	f	f	X
ejde-816	346	3	(	(	PUNCT
ejde-816	346	4	x	x	X
ejde-816	346	5	,	,	PUNCT
ejde-816	346	6	τ−1	τ−1	PROPN
ejde-816	346	7	t	t	PROPN
ejde-816	346	8	)	)	PUNCT
ejde-816	346	9	τµ	τµ	PROPN
ejde-816	346	10	,	,	PUNCT
ejde-816	346	11	τ	τ	X
ejde-816	346	12	≥	≥	PROPN
ejde-816	346	13	1	1	NUM
ejde-816	346	14	.	.	PUNCT
ejde-816	347	1	by	by	ADP
ejde-816	347	2	(	(	PUNCT
ejde-816	347	3	a5	a5	PROPN
ejde-816	347	4	)	)	PUNCT
ejde-816	347	5	,	,	PUNCT
ejde-816	347	6	we	we	PRON
ejde-816	347	7	have	have	VERB
ejde-816	347	8	γ′3(τ	γ′3(τ	NOUN
ejde-816	347	9	)	)	PUNCT
ejde-816	348	1	=	=	SYM
ejde-816	348	2	f	f	X
ejde-816	348	3	(	(	PUNCT
ejde-816	348	4	x	x	X
ejde-816	348	5	,	,	PUNCT
ejde-816	348	6	τ−1	τ−1	PROPN
ejde-816	348	7	t	t	NOUN
ejde-816	348	8	)	)	PUNCT
ejde-816	348	9	(	(	PUNCT
ejde-816	348	10	−	−	PROPN
ejde-816	348	11	t	t	NOUN
ejde-816	348	12	τ2	τ2	PROPN
ejde-816	348	13	)	)	PUNCT
ejde-816	348	14	τµ	τµ	VERB
ejde-816	349	1	+	+	X
ejde-816	349	2	f	f	X
ejde-816	349	3	(	(	PUNCT
ejde-816	349	4	x	x	X
ejde-816	349	5	,	,	PUNCT
ejde-816	349	6	τ−1	τ−1	PROPN
ejde-816	349	7	t	t	PROPN
ejde-816	349	8	)	)	PUNCT
ejde-816	349	9	µτµ−1	µτµ−1	PROPN
ejde-816	349	10	=	=	SYM
ejde-816	349	11	τµ−1	τµ−1	PROPN
ejde-816	349	12	[	[	PUNCT
ejde-816	349	13	µf	µf	X
ejde-816	349	14	(	(	PUNCT
ejde-816	349	15	x	x	X
ejde-816	349	16	,	,	PUNCT
ejde-816	349	17	τ−1	τ−1	PROPN
ejde-816	349	18	t	t	PROPN
ejde-816	349	19	)	)	PUNCT
ejde-816	350	1	−	−	PROPN
ejde-816	350	2	τ−1tf	τ−1tf	ADJ
ejde-816	350	3	(	(	PUNCT
ejde-816	350	4	x	x	X
ejde-816	350	5	,	,	PUNCT
ejde-816	350	6	τ−1	τ−1	PROPN
ejde-816	350	7	t	t	PROPN
ejde-816	350	8	)	)	PUNCT
ejde-816	350	9	]	]	PUNCT
ejde-816	351	1	≤	≤	NUM
ejde-816	351	2	0	0	PUNCT
ejde-816	352	1	so	so	CCONJ
ejde-816	352	2	,	,	PUNCT
ejde-816	352	3	γ3(t	γ3(t	PROPN
ejde-816	352	4	)	)	PUNCT
ejde-816	352	5	is	be	AUX
ejde-816	352	6	non	non	ADJ
ejde-816	352	7	-	-	ADJ
ejde-816	352	8	increasing	increase	VERB
ejde-816	352	9	.	.	PUNCT
ejde-816	353	1	thus	thus	ADV
ejde-816	353	2	,	,	PUNCT
ejde-816	353	3	for	for	ADP
ejde-816	353	4	any	any	DET
ejde-816	353	5	|t|	|t|	ADJ
ejde-816	353	6	≥	≥	NOUN
ejde-816	353	7	1	1	NUM
ejde-816	353	8	,	,	PUNCT
ejde-816	353	9	we	we	PRON
ejde-816	353	10	have	have	VERB
ejde-816	353	11	γ3(1	γ3(1	PROPN
ejde-816	353	12	)	)	PUNCT
ejde-816	353	13	≥	≥	NOUN
ejde-816	353	14	γ3(|t|	γ3(|t|	NUM
ejde-816	353	15	)	)	PUNCT
ejde-816	353	16	,	,	PUNCT
ejde-816	353	17	that	that	PRON
ejde-816	353	18	is	is	ADV
ejde-816	353	19	f	f	PROPN
ejde-816	353	20	(	(	PUNCT
ejde-816	353	21	x	x	PROPN
ejde-816	353	22	,	,	PUNCT
ejde-816	353	23	t	t	PROPN
ejde-816	353	24	)	)	PUNCT
ejde-816	353	25	≥	≥	NOUN
ejde-816	354	1	f	f	PROPN
ejde-816	354	2	(	(	PUNCT
ejde-816	354	3	x	x	NOUN
ejde-816	354	4	,	,	PUNCT
ejde-816	354	5	|t|−1	|t|−1	NOUN
ejde-816	354	6	t	t	NOUN
ejde-816	354	7	)	)	PUNCT
ejde-816	354	8	|t|µ	|t|µ	PROPN
ejde-816	354	9	≥	≥	NUM
ejde-816	354	10	c6|t|µ	c6|t|µ	NOUN
ejde-816	354	11	(	(	PUNCT
ejde-816	354	12	3.11	3.11	NUM
ejde-816	354	13	)	)	PUNCT
ejde-816	354	14	where	where	SCONJ
ejde-816	354	15	c6	c6	PROPN
ejde-816	354	16	=	=	PUNCT
ejde-816	355	1	infx∈ω,|t|=1	infx∈ω,|t|=1	PROPN
ejde-816	355	2	f	f	PROPN
ejde-816	355	3	(	(	PUNCT
ejde-816	355	4	x	x	PROPN
ejde-816	355	5	,	,	PUNCT
ejde-816	355	6	t	t	PROPN
ejde-816	355	7	)	)	PUNCT
ejde-816	355	8	>	>	X
ejde-816	355	9	0	0	PUNCT
ejde-816	356	1	by	by	ADP
ejde-816	356	2	(	(	PUNCT
ejde-816	356	3	a6	a6	NOUN
ejde-816	356	4	)	)	PUNCT
ejde-816	356	5	.	.	PUNCT
ejde-816	357	1	from	from	ADP
ejde-816	357	2	(	(	PUNCT
ejde-816	357	3	a4	a4	NOUN
ejde-816	357	4	)	)	PUNCT
ejde-816	357	5	,	,	PUNCT
ejde-816	357	6	there	there	PRON
ejde-816	357	7	exists	exist	VERB
ejde-816	357	8	a	a	DET
ejde-816	357	9	constant	constant	ADJ
ejde-816	357	10	η	η	NOUN
ejde-816	357	11	>	>	X
ejde-816	357	12	0	0	NUM
ejde-816	358	1	such	such	ADJ
ejde-816	358	2	that	that	SCONJ
ejde-816	358	3	∣∣f(x	∣∣f(x	PROPN
ejde-816	358	4	,	,	PUNCT
ejde-816	358	5	t)t	t)t	X
ejde-816	358	6	|t|αp+	|t|αp+	ADJ
ejde-816	358	7	∣∣	∣∣	PUNCT
ejde-816	358	8	=	=	SYM
ejde-816	358	9	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	358	10	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	358	11	,	,	PUNCT
ejde-816	358	12	t	t	PROPN
ejde-816	358	13	)	)	PUNCT
ejde-816	358	14	|t|αp+−1	|t|αp+−1	NOUN
ejde-816	358	15	∣∣	∣∣	PUNCT
ejde-816	358	16	≤	≤	ADV
ejde-816	358	17	1	1	NUM
ejde-816	358	18	(	(	PUNCT
ejde-816	358	19	3.12	3.12	NUM
ejde-816	358	20	)	)	PUNCT
ejde-816	358	21	for	for	ADP
ejde-816	358	22	all	all	DET
ejde-816	358	23	x	x	SYM
ejde-816	358	24	∈	∈	PROPN
ejde-816	358	25	ω	ω	NOUN
ejde-816	358	26	and	and	CCONJ
ejde-816	358	27	all	all	DET
ejde-816	358	28	0	0	NUM
ejde-816	358	29	<	<	X
ejde-816	358	30	|t|	|t|	PROPN
ejde-816	358	31	≤	≤	PROPN
ejde-816	358	32	η	η	PROPN
ejde-816	358	33	.	.	PROPN
ejde-816	358	34	by	by	ADP
ejde-816	358	35	(	(	PUNCT
ejde-816	358	36	a3	a3	NOUN
ejde-816	358	37	)	)	PUNCT
ejde-816	358	38	,	,	PUNCT
ejde-816	358	39	for	for	ADP
ejde-816	358	40	all	all	DET
ejde-816	358	41	x	x	SYM
ejde-816	358	42	∈	∈	PROPN
ejde-816	358	43	ω	ω	NOUN
ejde-816	358	44	and	and	CCONJ
ejde-816	358	45	all	all	DET
ejde-816	358	46	η	η	PROPN
ejde-816	358	47	≤	≤	PROPN
ejde-816	358	48	|t|	|t|	VERB
ejde-816	358	49	≤	≤	ADJ
ejde-816	358	50	1	1	NUM
ejde-816	358	51	,	,	PUNCT
ejde-816	358	52	there	there	PRON
ejde-816	358	53	exists	exist	VERB
ejde-816	358	54	c7	c7	PROPN
ejde-816	358	55	>	>	X
ejde-816	358	56	0	0	NUM
ejde-816	359	1	such	such	ADJ
ejde-816	359	2	that∣∣f(x	that∣∣f(x	NOUN
ejde-816	359	3	,	,	PUNCT
ejde-816	359	4	t)t	t)t	X
ejde-816	359	5	|t|αp+	|t|αp+	PROPN
ejde-816	359	6	∣∣	∣∣	X
ejde-816	359	7	≤	≤	X
ejde-816	359	8	c	c	NOUN
ejde-816	360	1	(	(	PUNCT
ejde-816	360	2	1	1	NUM
ejde-816	360	3	+	+	NUM
ejde-816	360	4	|t|q(x)−1	|t|q(x)−1	NUM
ejde-816	360	5	)	)	PUNCT
ejde-816	360	6	|t|	|t|	NOUN
ejde-816	360	7	|t|αp+	|t|αp+	PROPN
ejde-816	360	8	≤	≤	ADJ
ejde-816	360	9	c7	c7	PROPN
ejde-816	360	10	(	(	PUNCT
ejde-816	360	11	3.13	3.13	NUM
ejde-816	360	12	)	)	PUNCT
ejde-816	360	13	from	from	ADP
ejde-816	360	14	(	(	PUNCT
ejde-816	360	15	3.12	3.12	NUM
ejde-816	360	16	)	)	PUNCT
ejde-816	360	17	and	and	CCONJ
ejde-816	360	18	(	(	PUNCT
ejde-816	360	19	3.13	3.13	NUM
ejde-816	360	20	)	)	PUNCT
ejde-816	360	21	,	,	PUNCT
ejde-816	360	22	we	we	PRON
ejde-816	360	23	deduce	deduce	VERB
ejde-816	360	24	that	that	SCONJ
ejde-816	360	25	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	360	26	,	,	PUNCT
ejde-816	360	27	t)t	t)t	X
ejde-816	360	28	≥	≥	X
ejde-816	360	29	−	−	PROPN
ejde-816	360	30	(	(	PUNCT
ejde-816	360	31	c7	c7	PROPN
ejde-816	360	32	+	+	PROPN
ejde-816	360	33	1	1	X
ejde-816	360	34	)	)	PUNCT
ejde-816	360	35	|t|αp	|t|αp	NOUN
ejde-816	360	36	+	+	CCONJ
ejde-816	360	37	for	for	ADP
ejde-816	360	38	all	all	DET
ejde-816	360	39	x	x	SYM
ejde-816	360	40	∈	∈	PROPN
ejde-816	360	41	ω	ω	NOUN
ejde-816	360	42	and	and	CCONJ
ejde-816	360	43	all	all	DET
ejde-816	360	44	|t|	|t|	ADJ
ejde-816	360	45	∈	∈	PROPN
ejde-816	361	1	[	[	X
ejde-816	361	2	0	0	NUM
ejde-816	361	3	,	,	PUNCT
ejde-816	361	4	1	1	NUM
ejde-816	361	5	]	]	PUNCT
ejde-816	361	6	.	.	PUNCT
ejde-816	362	1	using	use	VERB
ejde-816	362	2	the	the	DET
ejde-816	362	3	equality	equality	NOUN
ejde-816	362	4	f	f	X
ejde-816	362	5	(	(	PUNCT
ejde-816	362	6	x	x	PROPN
ejde-816	362	7	,	,	PUNCT
ejde-816	362	8	t	t	PROPN
ejde-816	362	9	)	)	PUNCT
ejde-816	363	1	=	=	SYM
ejde-816	363	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	363	3	1	1	NUM
ejde-816	363	4	0	0	NUM
ejde-816	363	5	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	363	6	,	,	PUNCT
ejde-816	363	7	τt)tdτ	τt)tdτ	VERB
ejde-816	363	8	,	,	PUNCT
ejde-816	363	9	we	we	PRON
ejde-816	363	10	obtain	obtain	VERB
ejde-816	363	11	f	f	PROPN
ejde-816	363	12	(	(	PUNCT
ejde-816	363	13	x	x	PROPN
ejde-816	363	14	,	,	PUNCT
ejde-816	363	15	t	t	PROPN
ejde-816	363	16	)	)	PUNCT
ejde-816	363	17	≥	≥	NOUN
ejde-816	363	18	−	−	NUM
ejde-816	363	19	1	1	NUM
ejde-816	363	20	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	363	21	(	(	PUNCT
ejde-816	363	22	c7	c7	PROPN
ejde-816	363	23	+	+	PROPN
ejde-816	363	24	1	1	X
ejde-816	363	25	)	)	PUNCT
ejde-816	363	26	|t|αp	|t|αp	VERB
ejde-816	363	27	+	+	CCONJ
ejde-816	363	28	(	(	PUNCT
ejde-816	363	29	3.14	3.14	NUM
ejde-816	363	30	)	)	PUNCT
ejde-816	363	31	for	for	ADP
ejde-816	363	32	all	all	DET
ejde-816	363	33	x	x	SYM
ejde-816	363	34	∈	∈	PROPN
ejde-816	363	35	ω	ω	NOUN
ejde-816	363	36	and	and	CCONJ
ejde-816	363	37	all	all	DET
ejde-816	363	38	|t|	|t|	ADJ
ejde-816	363	39	∈	∈	PROPN
ejde-816	364	1	[	[	X
ejde-816	364	2	0	0	NUM
ejde-816	364	3	,	,	PUNCT
ejde-816	364	4	1	1	NUM
ejde-816	364	5	]	]	PUNCT
ejde-816	364	6	.	.	PUNCT
ejde-816	365	1	taking	take	VERB
ejde-816	365	2	c8	c8	NOUN
ejde-816	365	3	=	=	NOUN
ejde-816	365	4	1	1	NUM
ejde-816	365	5	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	365	6	(	(	PUNCT
ejde-816	365	7	c7	c7	PROPN
ejde-816	365	8	+	+	PROPN
ejde-816	365	9	1	1	NUM
ejde-816	365	10	)	)	PUNCT
ejde-816	366	1	+	+	CCONJ
ejde-816	366	2	c6	c6	PROPN
ejde-816	366	3	,	,	PUNCT
ejde-816	366	4	then	then	ADV
ejde-816	366	5	from	from	ADP
ejde-816	366	6	(	(	PUNCT
ejde-816	366	7	3.11	3.11	NUM
ejde-816	366	8	)	)	PUNCT
ejde-816	366	9	and	and	CCONJ
ejde-816	366	10	(	(	PUNCT
ejde-816	366	11	3.14	3.14	NUM
ejde-816	366	12	)	)	PUNCT
ejde-816	366	13	we	we	PRON
ejde-816	366	14	obtain	obtain	VERB
ejde-816	366	15	that	that	SCONJ
ejde-816	366	16	f	f	PROPN
ejde-816	366	17	(	(	PUNCT
ejde-816	366	18	x	x	PROPN
ejde-816	366	19	,	,	PUNCT
ejde-816	366	20	t	t	PROPN
ejde-816	366	21	)	)	PUNCT
ejde-816	366	22	≥	≥	PROPN
ejde-816	366	23	c6|t|µ	c6|t|µ	VERB
ejde-816	366	24	−	−	PROPN
ejde-816	366	25	c8|t|αp	c8|t|αp	NOUN
ejde-816	366	26	+	+	CCONJ
ejde-816	366	27	(	(	PUNCT
ejde-816	366	28	3.15	3.15	NUM
ejde-816	366	29	)	)	PUNCT
ejde-816	366	30	for	for	ADP
ejde-816	366	31	all	all	DET
ejde-816	366	32	x	x	SYM
ejde-816	366	33	∈	∈	PROPN
ejde-816	366	34	ω	ω	NOUN
ejde-816	366	35	and	and	CCONJ
ejde-816	366	36	all	all	DET
ejde-816	366	37	t	t	PROPN
ejde-816	366	38	∈	∈	PROPN
ejde-816	366	39	r.	r.	NOUN
ejde-816	366	40	we	we	PRON
ejde-816	366	41	now	now	ADV
ejde-816	366	42	prove	prove	VERB
ejde-816	366	43	that	that	SCONJ
ejde-816	366	44	there	there	PRON
ejde-816	366	45	exists	exist	VERB
ejde-816	366	46	a	a	DET
ejde-816	366	47	function	function	NOUN
ejde-816	366	48	ψ	ψ	X
ejde-816	366	49	∈	∈	PROPN
ejde-816	366	50	x	x	PUNCT
ejde-816	366	51	such	such	ADJ
ejde-816	366	52	that	that	DET
ejde-816	366	53	jλ(τψ	jλ(τψ	NOUN
ejde-816	366	54	)	)	PUNCT
ejde-816	366	55	<	<	X
ejde-816	366	56	0	0	NUM
ejde-816	366	57	for	for	ADP
ejde-816	366	58	all	all	DET
ejde-816	366	59	τ	τ	PROPN
ejde-816	366	60	>	>	X
ejde-816	366	61	0	0	PUNCT
ejde-816	366	62	small	small	ADJ
ejde-816	366	63	enough	enough	ADV
ejde-816	366	64	.	.	PUNCT
ejde-816	367	1	since	since	SCONJ
ejde-816	367	2	h	h	PROPN
ejde-816	367	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	367	4	l	l	X
ejde-816	367	5	αp+	αp+	NOUN
ejde-816	367	6	αp+−1	αp+−1	X
ejde-816	367	7	(	(	PUNCT
ejde-816	367	8	ω	ω	NOUN
ejde-816	367	9	)	)	PUNCT
ejde-816	367	10	and	and	CCONJ
ejde-816	367	11	h	h	NOUN
ejde-816	367	12	̸≡	̸≡	PROPN
ejde-816	367	13	0	0	NUM
ejde-816	367	14	,	,	PUNCT
ejde-816	367	15	we	we	PRON
ejde-816	367	16	can	can	AUX
ejde-816	367	17	choose	choose	VERB
ejde-816	367	18	a	a	DET
ejde-816	367	19	function	function	NOUN
ejde-816	367	20	ψ	ψ	X
ejde-816	367	21	∈	∈	NOUN
ejde-816	367	22	x	x	PUNCT
ejde-816	367	23	be	be	AUX
ejde-816	367	24	such	such	ADJ
ejde-816	367	25	that	that	DET
ejde-816	367	26	∫	∫	PROPN
ejde-816	367	27	ω	ω	PROPN
ejde-816	367	28	h(x)ψ(x	h(x)ψ(x	PROPN
ejde-816	367	29	)	)	PUNCT
ejde-816	367	30	dx	dx	PROPN
ejde-816	367	31	>	>	X
ejde-816	367	32	0	0	PUNCT
ejde-816	367	33	.	.	PUNCT
ejde-816	368	1	if	if	SCONJ
ejde-816	368	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	368	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	368	4	1	1	NUM
ejde-816	368	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	368	6	)	)	PUNCT
ejde-816	368	7	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	368	8	)	)	PUNCT
ejde-816	368	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	368	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	368	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	368	12	(	(	PUNCT
ejde-816	368	13	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	368	14	)	)	PUNCT
ejde-816	368	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	368	16	)	)	PUNCT
ejde-816	368	17	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	368	18	)	)	PUNCT
ejde-816	369	1	+	+	ADJ
ejde-816	369	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	369	3	,	,	PUNCT
ejde-816	369	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	369	5	)	)	PUNCT
ejde-816	369	6	)	)	PUNCT
ejde-816	369	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	369	8	≥	≥	NUM
ejde-816	369	9	t0	t0	NOUN
ejde-816	369	10	with	with	ADP
ejde-816	369	11	t0	t0	PROPN
ejde-816	369	12	defined	define	VERB
ejde-816	369	13	in	in	ADP
ejde-816	369	14	(	(	PUNCT
ejde-816	369	15	3.1	3.1	NUM
ejde-816	369	16	)	)	PUNCT
ejde-816	369	17	and	and	CCONJ
ejde-816	369	18	(	(	PUNCT
ejde-816	369	19	3.2	3.2	NUM
ejde-816	369	20	)	)	PUNCT
ejde-816	369	21	,	,	PUNCT
ejde-816	369	22	then	then	ADV
ejde-816	369	23	by	by	ADP
ejde-816	369	24	(	(	PUNCT
ejde-816	369	25	3.15	3.15	NUM
ejde-816	369	26	)	)	PUNCT
ejde-816	369	27	we	we	PRON
ejde-816	369	28	have	have	AUX
ejde-816	369	29	iλ(τψ	iλ(τψ	VERB
ejde-816	369	30	)	)	PUNCT
ejde-816	370	1	=	=	SYM
ejde-816	370	2	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	370	3	(	(	PUNCT
ejde-816	370	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	370	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	370	6	1	1	NUM
ejde-816	370	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	370	8	)	)	PUNCT
ejde-816	370	9	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	370	10	)	)	PUNCT
ejde-816	370	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	370	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	370	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	370	14	(	(	PUNCT
ejde-816	370	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	370	16	)	)	PUNCT
ejde-816	370	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	370	18	)	)	PUNCT
ejde-816	370	19	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	370	20	)	)	PUNCT
ejde-816	371	1	+	+	ADJ
ejde-816	371	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	371	3	,	,	PUNCT
ejde-816	371	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	371	5	)	)	PUNCT
ejde-816	371	6	)	)	PUNCT
ejde-816	371	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	371	8	)	)	PUNCT
ejde-816	372	1	−	−	PROPN
ejde-816	373	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	374	1	ω	ω	NUM
ejde-816	374	2	f	f	PROPN
ejde-816	374	3	(	(	PUNCT
ejde-816	374	4	x	x	NOUN
ejde-816	374	5	,	,	PUNCT
ejde-816	374	6	τψ	τψ	ADP
ejde-816	374	7	)	)	PUNCT
ejde-816	374	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	375	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	375	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	375	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	375	4	h(x)τψ	h(x)τψ	PROPN
ejde-816	375	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	375	6	≤	≤	NUM
ejde-816	375	7	m	m	VERB
ejde-816	375	8	(	(	PUNCT
ejde-816	375	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	375	10	ω	ω	PROPN
ejde-816	375	11	1	1	NUM
ejde-816	375	12	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	375	13	)	)	PUNCT
ejde-816	375	14	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	375	15	)	)	PUNCT
ejde-816	375	16	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	375	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	375	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	375	19	(	(	PUNCT
ejde-816	375	20	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	375	21	)	)	PUNCT
ejde-816	375	22	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	375	23	)	)	PUNCT
ejde-816	375	24	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	375	25	)	)	PUNCT
ejde-816	376	1	+	+	ADJ
ejde-816	376	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	376	3	,	,	PUNCT
ejde-816	376	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	376	5	)	)	PUNCT
ejde-816	376	6	)	)	PUNCT
ejde-816	376	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	376	8	)	)	PUNCT
ejde-816	377	1	α	α	PRON
ejde-816	377	2	−	−	X
ejde-816	377	3	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	377	4	µ	µ	X
ejde-816	377	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	377	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	377	7	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	377	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	377	9	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	377	10	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	377	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	377	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	377	13	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	377	14	+	+	X
ejde-816	377	15	dx−	dx−	NUM
ejde-816	377	16	λτ	λτ	ADP
ejde-816	377	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	377	18	ω	ω	PROPN
ejde-816	377	19	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	377	20	dx	dx	PROPN
ejde-816	377	21	ejde-2024/83	ejde-2024/83	PRON
ejde-816	377	22	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	377	23	type	type	NOUN
ejde-816	377	24	problems	problem	NOUN
ejde-816	377	25	15	15	NUM
ejde-816	377	26	≤	≤	NUM
ejde-816	377	27	mταp	mταp	NOUN
ejde-816	377	28	+	+	CCONJ
ejde-816	377	29	(	(	PUNCT
ejde-816	377	30	p−)α	p−)α	PROPN
ejde-816	377	31	(	(	PUNCT
ejde-816	377	32	∫	∫	PROPN
ejde-816	377	33	ω	ω	PROPN
ejde-816	377	34	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	377	35	)	)	PUNCT
ejde-816	377	36	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	377	37	∫	∫	PROPN
ejde-816	378	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	378	2	(	(	PUNCT
ejde-816	378	3	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	378	4	)	)	PUNCT
ejde-816	378	5	+	+	NUM
ejde-816	378	6	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	378	7	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	378	8	,	,	PUNCT
ejde-816	378	9	τφ	τφ	ADJ
ejde-816	378	10	)	)	PUNCT
ejde-816	378	11	)	)	PUNCT
ejde-816	378	12	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	378	13	)	)	PUNCT
ejde-816	379	1	α	α	PRON
ejde-816	379	2	−	−	X
ejde-816	379	3	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	379	4	µ	µ	X
ejde-816	379	5	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	6	ω	ω	PROPN
ejde-816	379	7	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	379	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	379	9	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	379	10	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	379	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	379	13	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	379	14	+	+	X
ejde-816	379	15	dx−	dx−	NUM
ejde-816	379	16	λτ	λτ	ADP
ejde-816	379	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	18	ω	ω	PROPN
ejde-816	379	19	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	379	20	dx	dx	PROPN
ejde-816	379	21	≤	≤	PROPN
ejde-816	379	22	mταp	mταp	ADV
ejde-816	379	23	+	+	CCONJ
ejde-816	379	24	(	(	PUNCT
ejde-816	379	25	p−)α	p−)α	X
ejde-816	379	26	[	[	PUNCT
ejde-816	379	27	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	28	ω	ω	NUM
ejde-816	379	29	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	379	30	)	)	PUNCT
ejde-816	379	31	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	379	32	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	33	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	379	34	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	379	35	)	)	PUNCT
ejde-816	379	36	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	379	37	+	+	CCONJ
ejde-816	379	38	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	379	39	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-816	379	40	∫	∫	PROPN
ejde-816	379	41	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	379	42	|u|r1(x	|u|r1(x	PROPN
ejde-816	379	43	)	)	PUNCT
ejde-816	379	44	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	379	45	+	+	CCONJ
ejde-816	379	46	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	379	47	c(ϵ2	c(ϵ2	NOUN
ejde-816	379	48	)	)	PUNCT
ejde-816	379	49	∫	∫	PROPN
ejde-816	380	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	380	2	|u|r2(x	|u|r2(x	PROPN
ejde-816	380	3	)	)	PUNCT
ejde-816	380	4	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	380	5	]	]	X
ejde-816	380	6	α	α	PRON
ejde-816	380	7	−	−	X
ejde-816	380	8	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	380	9	µ	µ	X
ejde-816	380	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	380	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	380	12	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	380	13	dx	dx	PROPN
ejde-816	381	1	+	+	CCONJ
ejde-816	381	2	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	381	3	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	381	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	381	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	381	6	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	381	7	+	+	X
ejde-816	381	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	381	9	λτ	λτ	ADP
ejde-816	381	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	381	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	381	12	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	381	13	dx	dx	PROPN
ejde-816	381	14	<	<	X
ejde-816	381	15	0	0	PUNCT
ejde-816	381	16	for	for	ADP
ejde-816	381	17	all	all	DET
ejde-816	381	18	τ	τ	PROPN
ejde-816	381	19	>	>	X
ejde-816	381	20	0	0	PUNCT
ejde-816	381	21	and	and	CCONJ
ejde-816	381	22	ϵ2	ϵ2	VERB
ejde-816	381	23	small	small	ADJ
ejde-816	381	24	enough	enough	ADV
ejde-816	381	25	.	.	PUNCT
ejde-816	382	1	if∫	if∫	PROPN
ejde-816	382	2	ω	ω	NUM
ejde-816	382	3	1	1	NUM
ejde-816	382	4	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	382	5	)	)	PUNCT
ejde-816	382	6	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	382	7	)	)	PUNCT
ejde-816	382	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	382	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	382	10	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	382	11	(	(	PUNCT
ejde-816	382	12	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	382	13	)	)	PUNCT
ejde-816	382	14	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	382	15	)	)	PUNCT
ejde-816	382	16	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	382	17	)	)	PUNCT
ejde-816	383	1	+	+	ADJ
ejde-816	383	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	383	3	,	,	PUNCT
ejde-816	383	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	383	5	)	)	PUNCT
ejde-816	383	6	)	)	PUNCT
ejde-816	383	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	383	8	≤	≤	NUM
ejde-816	383	9	t0	t0	NOUN
ejde-816	383	10	by	by	ADP
ejde-816	383	11	m(0	m(0	PROPN
ejde-816	383	12	)	)	PUNCT
ejde-816	383	13	=	=	SYM
ejde-816	383	14	0	0	NUM
ejde-816	383	15	and	and	CCONJ
ejde-816	383	16	the	the	DET
ejde-816	383	17	continuity	continuity	NOUN
ejde-816	383	18	of	of	ADP
ejde-816	383	19	m	m	PRON
ejde-816	383	20	,	,	PUNCT
ejde-816	383	21	there	there	PRON
ejde-816	383	22	exists	exist	VERB
ejde-816	383	23	m0	m0	PROPN
ejde-816	383	24	>	>	X
ejde-816	383	25	0	0	NUM
ejde-816	383	26	such	such	ADJ
ejde-816	383	27	that	that	SCONJ
ejde-816	383	28	m(t	m(t	NOUN
ejde-816	383	29	)	)	PUNCT
ejde-816	383	30	≤	≤	NOUN
ejde-816	383	31	m0	m0	NOUN
ejde-816	383	32	for	for	ADP
ejde-816	383	33	all	all	DET
ejde-816	383	34	t	t	NOUN
ejde-816	383	35	∈	∈	PROPN
ejde-816	384	1	[	[	X
ejde-816	384	2	0	0	NUM
ejde-816	384	3	,	,	PUNCT
ejde-816	384	4	t0	t0	PROPN
ejde-816	384	5	]	]	PUNCT
ejde-816	384	6	.	.	PUNCT
ejde-816	385	1	then	then	ADV
ejde-816	385	2	m̂(t	m̂(t	NOUN
ejde-816	385	3	)	)	PUNCT
ejde-816	385	4	≤	≤	NOUN
ejde-816	385	5	m0	m0	NOUN
ejde-816	385	6	t	t	PROPN
ejde-816	385	7	∀t	∀t	PROPN
ejde-816	385	8	≤	≤	NOUN
ejde-816	385	9	t0	t0	NOUN
ejde-816	385	10	.	.	PUNCT
ejde-816	386	1	(	(	PUNCT
ejde-816	386	2	3.16	3.16	NUM
ejde-816	386	3	)	)	PUNCT
ejde-816	386	4	then	then	ADV
ejde-816	386	5	by	by	ADP
ejde-816	386	6	(	(	PUNCT
ejde-816	386	7	3.15	3.15	NUM
ejde-816	386	8	)	)	PUNCT
ejde-816	386	9	and	and	CCONJ
ejde-816	386	10	(	(	PUNCT
ejde-816	386	11	3.16	3.16	NUM
ejde-816	386	12	)	)	PUNCT
ejde-816	386	13	,	,	PUNCT
ejde-816	386	14	we	we	PRON
ejde-816	386	15	have	have	AUX
ejde-816	386	16	iλ(τψ	iλ(τψ	VERB
ejde-816	386	17	)	)	PUNCT
ejde-816	387	1	=	=	SYM
ejde-816	387	2	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	387	3	(	(	PUNCT
ejde-816	387	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	387	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	387	6	1	1	NUM
ejde-816	387	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	387	8	)	)	PUNCT
ejde-816	387	9	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	387	10	)	)	PUNCT
ejde-816	387	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	387	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	387	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	387	14	(	(	PUNCT
ejde-816	387	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	387	16	)	)	PUNCT
ejde-816	387	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	387	18	)	)	PUNCT
ejde-816	387	19	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	387	20	)	)	PUNCT
ejde-816	388	1	+	+	ADJ
ejde-816	388	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	388	3	,	,	PUNCT
ejde-816	388	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	388	5	)	)	PUNCT
ejde-816	388	6	)	)	PUNCT
ejde-816	388	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	388	8	)	)	PUNCT
ejde-816	389	1	−	−	PROPN
ejde-816	390	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	391	1	ω	ω	NUM
ejde-816	391	2	f	f	PROPN
ejde-816	391	3	(	(	PUNCT
ejde-816	391	4	x	x	NOUN
ejde-816	391	5	,	,	PUNCT
ejde-816	391	6	τψ	τψ	ADP
ejde-816	391	7	)	)	PUNCT
ejde-816	391	8	dx−	dx−	NUM
ejde-816	392	1	λ	λ	PROPN
ejde-816	392	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	392	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	392	4	h(x)τψ	h(x)τψ	PROPN
ejde-816	392	5	dx	dx	PROPN
ejde-816	392	6	≤	≤	PROPN
ejde-816	392	7	m0	m0	PROPN
ejde-816	392	8	(	(	PUNCT
ejde-816	392	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	392	10	ω	ω	PROPN
ejde-816	392	11	1	1	NUM
ejde-816	392	12	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	392	13	)	)	PUNCT
ejde-816	392	14	|∇τψ|p(x	|∇τψ|p(x	PROPN
ejde-816	392	15	)	)	PUNCT
ejde-816	392	16	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	392	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	392	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	392	19	(	(	PUNCT
ejde-816	392	20	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	392	21	)	)	PUNCT
ejde-816	392	22	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	392	23	)	)	PUNCT
ejde-816	392	24	|τψ|p(x	|τψ|p(x	NOUN
ejde-816	392	25	)	)	PUNCT
ejde-816	393	1	+	+	ADJ
ejde-816	393	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	393	3	,	,	PUNCT
ejde-816	393	4	τψ	τψ	ADP
ejde-816	393	5	)	)	PUNCT
ejde-816	393	6	)	)	PUNCT
ejde-816	393	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	393	8	)	)	PUNCT
ejde-816	394	1	−	−	PROPN
ejde-816	394	2	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	394	3	µ	µ	X
ejde-816	394	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	394	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	394	6	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	394	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	394	8	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	394	9	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	394	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	394	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	394	12	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	394	13	+	+	X
ejde-816	394	14	dx−	dx−	NUM
ejde-816	394	15	λτ	λτ	ADP
ejde-816	394	16	∫	∫	PROPN
ejde-816	394	17	ω	ω	PROPN
ejde-816	394	18	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	394	19	dx	dx	PROPN
ejde-816	394	20	≤	≤	PROPN
ejde-816	394	21	m0τ	m0τ	PROPN
ejde-816	394	22	p+	p+	VERB
ejde-816	394	23	p−	p−	NOUN
ejde-816	394	24	(	(	PUNCT
ejde-816	394	25	∫	∫	PROPN
ejde-816	394	26	ω	ω	PROPN
ejde-816	394	27	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	394	28	)	)	PUNCT
ejde-816	394	29	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	394	30	∫	∫	PROPN
ejde-816	395	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	395	2	(	(	PUNCT
ejde-816	395	3	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	395	4	)	)	PUNCT
ejde-816	395	5	+	+	NUM
ejde-816	395	6	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	395	7	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	395	8	,	,	PUNCT
ejde-816	395	9	τφ	τφ	ADJ
ejde-816	395	10	)	)	PUNCT
ejde-816	395	11	)	)	PUNCT
ejde-816	395	12	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	395	13	)	)	PUNCT
ejde-816	395	14	−	−	PROPN
ejde-816	396	1	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	396	2	µ	µ	X
ejde-816	396	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	396	5	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	396	6	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	396	7	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	396	8	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	396	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	10	ω	ω	PROPN
ejde-816	396	11	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	396	12	+	+	X
ejde-816	396	13	dx−	dx−	NUM
ejde-816	396	14	λτ	λτ	ADP
ejde-816	396	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	16	ω	ω	PROPN
ejde-816	396	17	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	396	18	dx	dx	PROPN
ejde-816	396	19	≤	≤	PROPN
ejde-816	396	20	m0τ	m0τ	PROPN
ejde-816	396	21	p+	p+	VERB
ejde-816	396	22	p−	p−	NOUN
ejde-816	396	23	(	(	PUNCT
ejde-816	396	24	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	25	ω	ω	PROPN
ejde-816	396	26	|∇φ|p(x	|∇φ|p(x	PROPN
ejde-816	396	27	)	)	PUNCT
ejde-816	396	28	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	396	29	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	30	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	396	31	β(x)|φ|p(x	β(x)|φ|p(x	PROPN
ejde-816	396	32	)	)	PUNCT
ejde-816	396	33	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	396	34	+	+	CCONJ
ejde-816	396	35	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	396	36	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-816	396	37	∫	∫	PROPN
ejde-816	396	38	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	396	39	|u|r1(x	|u|r1(x	PROPN
ejde-816	396	40	)	)	PUNCT
ejde-816	396	41	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	396	42	+	+	CCONJ
ejde-816	396	43	p−τ−p+	p−τ−p+	NUM
ejde-816	396	44	c(ϵ2	c(ϵ2	NOUN
ejde-816	396	45	)	)	PUNCT
ejde-816	396	46	∫	∫	PROPN
ejde-816	397	1	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	397	2	|u|r2(x	|u|r2(x	PROPN
ejde-816	397	3	)	)	PUNCT
ejde-816	397	4	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	397	5	)	)	PUNCT
ejde-816	398	1	−	−	PROPN
ejde-816	398	2	c8τ	c8τ	PROPN
ejde-816	398	3	µ	µ	X
ejde-816	398	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	398	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	398	6	|ψ|µ	|ψ|µ	PROPN
ejde-816	398	7	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	398	8	c6τ	c6τ	PROPN
ejde-816	398	9	αp+	αp+	ADJ
ejde-816	398	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	398	11	ω	ω	PROPN
ejde-816	398	12	|ψ|αp	|ψ|αp	PROPN
ejde-816	398	13	+	+	CCONJ
ejde-816	398	14	dx	dx	PROPN
ejde-816	398	15	−	−	PROPN
ejde-816	398	16	λτ	λτ	ADP
ejde-816	398	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	398	18	ω	ω	PROPN
ejde-816	398	19	h(x)ψ	h(x)ψ	PROPN
ejde-816	398	20	dx	dx	PROPN
ejde-816	398	21	<	<	X
ejde-816	398	22	0	0	PUNCT
ejde-816	398	23	for	for	ADP
ejde-816	398	24	all	all	DET
ejde-816	398	25	τ	τ	PROPN
ejde-816	398	26	>	>	X
ejde-816	398	27	0	0	PUNCT
ejde-816	398	28	and	and	CCONJ
ejde-816	398	29	ϵ2	ϵ2	PROPN
ejde-816	398	30	smalls	small	VERB
ejde-816	398	31	enough	enough	ADV
ejde-816	398	32	.	.	PUNCT
ejde-816	399	1	□	□	PUNCT
ejde-816	399	2	proof	proof	NOUN
ejde-816	399	3	of	of	ADP
ejde-816	399	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-816	399	5	3.1	3.1	NUM
ejde-816	399	6	.	.	PUNCT
ejde-816	399	7	by	by	ADP
ejde-816	399	8	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-816	399	9	3.4–3.7	3.4–3.7	NOUN
ejde-816	399	10	,	,	PUNCT
ejde-816	399	11	there	there	PRON
ejde-816	399	12	exists	exist	VERB
ejde-816	399	13	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	399	14	>	>	X
ejde-816	399	15	0	0	NUM
ejde-816	399	16	such	such	ADJ
ejde-816	399	17	that	that	PRON
ejde-816	399	18	for	for	ADP
ejde-816	399	19	if	if	SCONJ
ejde-816	399	20	λ	λ	PROPN
ejde-816	399	21	∈	∈	PROPN
ejde-816	399	22	(	(	PUNCT
ejde-816	399	23	0	0	NUM
ejde-816	399	24	,	,	PUNCT
ejde-816	399	25	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	399	26	)	)	PUNCT
ejde-816	399	27	,	,	PUNCT
ejde-816	399	28	all	all	DET
ejde-816	399	29	assumptions	assumption	NOUN
ejde-816	399	30	of	of	ADP
ejde-816	399	31	the	the	DET
ejde-816	399	32	mountain	mountain	NOUN
ejde-816	399	33	pass	pass	NOUN
ejde-816	399	34	theorem	theorem	VERB
ejde-816	399	35	by	by	ADP
ejde-816	399	36	ambrosetti	ambrosetti	NOUN
ejde-816	399	37	-	-	PUNCT
ejde-816	399	38	rabinowitz	rabinowitz	NOUN
ejde-816	399	39	[	[	X
ejde-816	399	40	5	5	NUM
ejde-816	399	41	]	]	PUNCT
ejde-816	399	42	hold	hold	NOUN
ejde-816	399	43	.	.	PUNCT
ejde-816	400	1	then	then	ADV
ejde-816	400	2	,	,	PUNCT
ejde-816	400	3	there	there	PRON
ejde-816	400	4	exists	exist	VERB
ejde-816	400	5	a	a	DET
ejde-816	400	6	critical	critical	ADJ
ejde-816	400	7	point	point	NOUN
ejde-816	400	8	u1	u1	NOUN
ejde-816	400	9	∈	∈	PROPN
ejde-816	400	10	x	x	PUNCT
ejde-816	400	11	of	of	ADP
ejde-816	400	12	the	the	DET
ejde-816	400	13	functional	functional	ADJ
ejde-816	400	14	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	400	15	,	,	PUNCT
ejde-816	400	16	i.e.	i.e.	X
ejde-816	400	17	i	i	PRON
ejde-816	400	18	′	′	NUM
ejde-816	400	19	λ(u1	λ(u1	NOUN
ejde-816	400	20	)	)	PUNCT
ejde-816	401	1	=	=	SYM
ejde-816	401	2	0	0	NUM
ejde-816	401	3	and	and	CCONJ
ejde-816	401	4	thus	thus	ADV
ejde-816	401	5	,	,	PUNCT
ejde-816	401	6	problem	problem	NOUN
ejde-816	401	7	(	(	PUNCT
ejde-816	401	8	1.1	1.1	NUM
ejde-816	401	9	)	)	PUNCT
ejde-816	401	10	has	have	VERB
ejde-816	401	11	a	a	DET
ejde-816	401	12	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-816	401	13	weak	weak	ADJ
ejde-816	401	14	solution	solution	NOUN
ejde-816	401	15	u1	u1	NOUN
ejde-816	401	16	∈	∈	PROPN
ejde-816	401	17	x	x	PUNCT
ejde-816	401	18	with	with	ADP
ejde-816	401	19	positive	positive	ADJ
ejde-816	401	20	energy	energy	NOUN
ejde-816	401	21	iλ(u1	iλ(u1	NOUN
ejde-816	401	22	)	)	PUNCT
ejde-816	402	1	=	=	SYM
ejde-816	402	2	c̄	c̄	ADJ
ejde-816	402	3	:	:	PUNCT
ejde-816	402	4	=	=	SYM
ejde-816	402	5	inf	inf	PROPN
ejde-816	402	6	γ∈γ	γ∈γ	ADJ
ejde-816	402	7	max	max	PROPN
ejde-816	402	8	t∈[0,1	t∈[0,1	PROPN
ejde-816	402	9	]	]	PUNCT
ejde-816	402	10	iλ(γ(t	iλ(γ(t	NOUN
ejde-816	402	11	)	)	PUNCT
ejde-816	402	12	)	)	PUNCT
ejde-816	402	13	>	>	PUNCT
ejde-816	402	14	0	0	NUM
ejde-816	403	1	16	16	NUM
ejde-816	403	2	h.	h.	NOUN
ejde-816	403	3	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	403	4	,	,	PUNCT
ejde-816	403	5	a.	a.	NOUN
ejde-816	403	6	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	403	7	,	,	PUNCT
ejde-816	403	8	m.	m.	PROPN
ejde-816	403	9	filali	filali	PROPN
ejde-816	403	10	,	,	PUNCT
ejde-816	403	11	n.	n.	PROPN
ejde-816	403	12	tsouli	tsouli	PROPN
ejde-816	403	13	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	403	14	where	where	SCONJ
ejde-816	403	15	γ	γ	X
ejde-816	403	16	:	:	PUNCT
ejde-816	403	17	=	=	SYM
ejde-816	403	18	{	{	PUNCT
ejde-816	403	19	γ	γ	X
ejde-816	403	20	∈	∈	PROPN
ejde-816	403	21	c([0	c([0	NOUN
ejde-816	403	22	,	,	PUNCT
ejde-816	403	23	1	1	NUM
ejde-816	403	24	]	]	PUNCT
ejde-816	403	25	,	,	PUNCT
ejde-816	403	26	x	x	X
ejde-816	403	27	)	)	PUNCT
ejde-816	403	28	:	:	PUNCT
ejde-816	403	29	γ(0	γ(0	PROPN
ejde-816	403	30	)	)	PUNCT
ejde-816	403	31	=	=	SYM
ejde-816	404	1	0	0	NUM
ejde-816	404	2	,	,	PUNCT
ejde-816	404	3	γ(1	γ(1	PROPN
ejde-816	404	4	)	)	PUNCT
ejde-816	404	5	=	=	PUNCT
ejde-816	405	1	e	e	X
ejde-816	405	2	}	}	PUNCT
ejde-816	405	3	and	and	CCONJ
ejde-816	405	4	the	the	DET
ejde-816	405	5	function	function	NOUN
ejde-816	405	6	e	e	NOUN
ejde-816	405	7	is	be	AUX
ejde-816	405	8	given	give	VERB
ejde-816	405	9	by	by	ADP
ejde-816	405	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	405	11	3.5	3.5	NUM
ejde-816	405	12	.	.	PUNCT
ejde-816	406	1	in	in	ADP
ejde-816	406	2	the	the	DET
ejde-816	406	3	case	case	NOUN
ejde-816	406	4	inf	inf	NOUN
ejde-816	406	5	n∈n	n∈n	NOUN
ejde-816	406	6	(	(	PUNCT
ejde-816	406	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	406	8	ω	ω	PROPN
ejde-816	406	9	1	1	NUM
ejde-816	406	10	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	406	11	)	)	PUNCT
ejde-816	406	12	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	406	13	)	)	PUNCT
ejde-816	406	14	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	406	15	∫	∫	PROPN
ejde-816	406	16	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	406	17	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	406	18	)	)	PUNCT
ejde-816	406	19	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	406	20	)	)	PUNCT
ejde-816	406	21	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	406	22	)	)	PUNCT
ejde-816	406	23	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	406	24	+	+	CCONJ
ejde-816	406	25	∫	∫	X
ejde-816	406	26	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	406	27	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	406	28	,	,	PUNCT
ejde-816	406	29	un	un	ADJ
ejde-816	406	30	)	)	PUNCT
ejde-816	406	31	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	406	32	)	)	PUNCT
ejde-816	407	1	=	=	PUNCT
ejde-816	407	2	0	0	NUM
ejde-816	407	3	,	,	PUNCT
ejde-816	407	4	by	by	ADP
ejde-816	407	5	(	(	PUNCT
ejde-816	407	6	a9	a9	PROPN
ejde-816	407	7	)	)	PUNCT
ejde-816	407	8	,	,	PUNCT
ejde-816	407	9	inf	inf	PROPN
ejde-816	407	10	n∈n	n∈n	ADV
ejde-816	407	11	(	(	PUNCT
ejde-816	407	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	407	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	407	14	1	1	NUM
ejde-816	407	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	407	16	)	)	PUNCT
ejde-816	407	17	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	407	18	)	)	PUNCT
ejde-816	407	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	407	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	407	21	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	407	22	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	407	23	)	)	PUNCT
ejde-816	407	24	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	407	25	)	)	PUNCT
ejde-816	407	26	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	407	27	)	)	PUNCT
ejde-816	407	28	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	407	29	)	)	PUNCT
ejde-816	408	1	=	=	SYM
ejde-816	408	2	0	0	X
ejde-816	408	3	.	.	PUNCT
ejde-816	409	1	here	here	ADV
ejde-816	409	2	,	,	PUNCT
ejde-816	409	3	either	either	CCONJ
ejde-816	409	4	0	0	NUM
ejde-816	409	5	is	be	AUX
ejde-816	409	6	an	an	DET
ejde-816	409	7	accumulation	accumulation	NOUN
ejde-816	409	8	point	point	NOUN
ejde-816	409	9	for	for	ADP
ejde-816	409	10	the	the	DET
ejde-816	409	11	real	real	PROPN
ejde-816	409	12	sequence{∫	sequence{∫	PROPN
ejde-816	409	13	ω	ω	X
ejde-816	409	14	1	1	NUM
ejde-816	409	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	409	16	)	)	PUNCT
ejde-816	409	17	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	409	18	)	)	PUNCT
ejde-816	409	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	409	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	409	21	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	409	22	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	409	23	)	)	PUNCT
ejde-816	409	24	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	409	25	)	)	PUNCT
ejde-816	409	26	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	409	27	)	)	PUNCT
ejde-816	409	28	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	409	29	}	}	PUNCT
ejde-816	409	30	n	n	NOUN
ejde-816	409	31	=	=	PRON
ejde-816	409	32	{	{	PUNCT
ejde-816	410	1	vn}n	vn}n	NOUN
ejde-816	411	1	and	and	CCONJ
ejde-816	411	2	so	so	ADV
ejde-816	411	3	there	there	PRON
ejde-816	411	4	is	be	VERB
ejde-816	411	5	a	a	DET
ejde-816	411	6	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-816	411	7	of	of	ADP
ejde-816	411	8	{	{	PUNCT
ejde-816	411	9	vn}n	vn}n	ADV
ejde-816	411	10	strongly	strongly	ADV
ejde-816	411	11	converging	converge	VERB
ejde-816	411	12	to	to	ADP
ejde-816	411	13	v	v	NOUN
ejde-816	411	14	=	=	SYM
ejde-816	411	15	0	0	NUM
ejde-816	411	16	and	and	CCONJ
ejde-816	411	17	by	by	ADP
ejde-816	411	18	(	(	PUNCT
ejde-816	411	19	2.4	2.4	NUM
ejde-816	411	20	)	)	PUNCT
ejde-816	411	21	there	there	PRON
ejde-816	411	22	exists	exist	VERB
ejde-816	411	23	a	a	DET
ejde-816	411	24	subcequence	subcequence	NOUN
ejde-816	411	25	of	of	ADP
ejde-816	411	26	{	{	PUNCT
ejde-816	411	27	∥un∥β(x)}n	∥un∥β(x)}n	ADV
ejde-816	411	28	strongly	strongly	ADV
ejde-816	411	29	converging	converge	VERB
ejde-816	411	30	to	to	ADP
ejde-816	411	31	u	u	NOUN
ejde-816	411	32	=	=	PROPN
ejde-816	411	33	0	0	NUM
ejde-816	411	34	,	,	PUNCT
ejde-816	411	35	or	or	CCONJ
ejde-816	411	36	0	0	NUM
ejde-816	411	37	is	be	AUX
ejde-816	411	38	an	an	DET
ejde-816	411	39	isolated	isolated	ADJ
ejde-816	411	40	point	point	NOUN
ejde-816	411	41	of{∫	of{∫	NOUN
ejde-816	411	42	ω	ω	NUM
ejde-816	411	43	1	1	NUM
ejde-816	411	44	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	411	45	)	)	PUNCT
ejde-816	411	46	|∇un|p(x	|∇un|p(x	PROPN
ejde-816	411	47	)	)	PUNCT
ejde-816	411	48	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	412	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	412	2	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	412	3	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	412	4	)	)	PUNCT
ejde-816	412	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	412	6	)	)	PUNCT
ejde-816	412	7	|un|p(x	|un|p(x	PROPN
ejde-816	412	8	)	)	PUNCT
ejde-816	412	9	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	412	10	+	+	CCONJ
ejde-816	412	11	∫	∫	X
ejde-816	412	12	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	412	13	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	412	14	,	,	PUNCT
ejde-816	412	15	unk	unk	NOUN
ejde-816	412	16	)	)	PUNCT
ejde-816	412	17	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	412	18	}	}	PUNCT
ejde-816	412	19	n	n	CCONJ
ejde-816	412	20	.	.	PUNCT
ejde-816	413	1	the	the	DET
ejde-816	413	2	first	first	ADJ
ejde-816	413	3	case	case	NOUN
ejde-816	413	4	can	can	AUX
ejde-816	413	5	not	not	PART
ejde-816	413	6	occur	occur	VERB
ejde-816	413	7	since	since	SCONJ
ejde-816	413	8	it	it	PRON
ejde-816	413	9	implies	imply	VERB
ejde-816	413	10	that	that	SCONJ
ejde-816	413	11	the	the	DET
ejde-816	413	12	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	413	13	solution	solution	NOUN
ejde-816	413	14	is	be	AUX
ejde-816	413	15	a	a	DET
ejde-816	413	16	critical	critical	ADJ
ejde-816	413	17	point	point	NOUN
ejde-816	413	18	at	at	ADP
ejde-816	413	19	level	level	NOUN
ejde-816	413	20	c.	c.	NOUN
ejde-816	414	1	this	this	PRON
ejde-816	414	2	is	be	AUX
ejde-816	414	3	impossible	impossible	ADJ
ejde-816	414	4	,	,	PUNCT
ejde-816	414	5	being	be	AUX
ejde-816	414	6	0	0	NUM
ejde-816	414	7	=	=	SYM
ejde-816	414	8	iλ(0	iλ(0	NOUN
ejde-816	414	9	)	)	PUNCT
ejde-816	414	10	=	=	PUNCT
ejde-816	415	1	c	c	X
ejde-816	415	2	>	>	X
ejde-816	415	3	0	0	X
ejde-816	415	4	.	.	PUNCT
ejde-816	416	1	hence	hence	ADV
ejde-816	416	2	only	only	ADV
ejde-816	416	3	the	the	DET
ejde-816	416	4	latter	latter	ADJ
ejde-816	416	5	case	case	NOUN
ejde-816	416	6	can	can	AUX
ejde-816	416	7	occur	occur	VERB
ejde-816	416	8	,	,	PUNCT
ejde-816	416	9	so	so	SCONJ
ejde-816	416	10	that	that	SCONJ
ejde-816	416	11	there	there	PRON
ejde-816	416	12	is	be	VERB
ejde-816	416	13	a	a	DET
ejde-816	416	14	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-816	416	15	,	,	PUNCT
ejde-816	416	16	denoted	denote	VERB
ejde-816	416	17	by{∫	by{∫	PROPN
ejde-816	416	18	ω	ω	NUM
ejde-816	416	19	1	1	NUM
ejde-816	416	20	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	416	21	)	)	PUNCT
ejde-816	416	22	|∇unk	|∇unk	NUM
ejde-816	416	23	|p(x	|p(x	PROPN
ejde-816	416	24	)	)	PUNCT
ejde-816	416	25	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	416	26	∫	∫	PROPN
ejde-816	416	27	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	416	28	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	416	29	)	)	PUNCT
ejde-816	416	30	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	416	31	)	)	PUNCT
ejde-816	416	32	|unk	|unk	NOUN
ejde-816	416	33	|p(x	|p(x	PROPN
ejde-816	416	34	)	)	PUNCT
ejde-816	416	35	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	416	36	+	+	CCONJ
ejde-816	416	37	∫	∫	X
ejde-816	416	38	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	416	39	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	416	40	,	,	PUNCT
ejde-816	416	41	unk	unk	NOUN
ejde-816	416	42	)	)	PUNCT
ejde-816	416	43	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	416	44	}	}	PUNCT
ejde-816	417	1	k	k	PROPN
ejde-816	417	2	,	,	PUNCT
ejde-816	417	3	such	such	ADJ
ejde-816	417	4	that	that	DET
ejde-816	417	5	inf	inf	PROPN
ejde-816	417	6	k∈n	k∈n	PROPN
ejde-816	417	7	{	{	PUNCT
ejde-816	417	8	∫	∫	PROPN
ejde-816	417	9	ω	ω	PROPN
ejde-816	417	10	1	1	NUM
ejde-816	417	11	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	417	12	)	)	PUNCT
ejde-816	417	13	|∇unk	|∇unk	NUM
ejde-816	417	14	|p(x	|p(x	PROPN
ejde-816	417	15	)	)	PUNCT
ejde-816	417	16	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	417	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	417	18	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	417	19	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	417	20	)	)	PUNCT
ejde-816	417	21	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	417	22	)	)	PUNCT
ejde-816	417	23	|unk	|unk	NOUN
ejde-816	417	24	|p(x	|p(x	PROPN
ejde-816	417	25	)	)	PUNCT
ejde-816	417	26	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	417	27	+	+	CCONJ
ejde-816	417	28	∫	∫	X
ejde-816	417	29	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	417	30	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	417	31	,	,	PUNCT
ejde-816	417	32	unk	unk	NOUN
ejde-816	417	33	)	)	PUNCT
ejde-816	417	34	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	417	35	}	}	PUNCT
ejde-816	417	36	>	>	X
ejde-816	417	37	0	0	PUNCT
ejde-816	418	1	and	and	CCONJ
ejde-816	418	2	we	we	PRON
ejde-816	418	3	can	can	AUX
ejde-816	418	4	proceed	proceed	VERB
ejde-816	418	5	as	as	ADP
ejde-816	418	6	before	before	ADV
ejde-816	418	7	.	.	PUNCT
ejde-816	419	1	□	□	PUNCT
ejde-816	419	2	proof	proof	NOUN
ejde-816	419	3	of	of	ADP
ejde-816	419	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	419	5	3.2	3.2	NUM
ejde-816	419	6	.	.	PUNCT
ejde-816	420	1	if	if	SCONJ
ejde-816	420	2	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	420	3	)	)	PUNCT
ejde-816	420	4	≡	≡	PROPN
ejde-816	420	5	0	0	NUM
ejde-816	420	6	,	,	PUNCT
ejde-816	420	7	then	then	ADV
ejde-816	420	8	we	we	PRON
ejde-816	420	9	can	can	AUX
ejde-816	420	10	proceed	proceed	VERB
ejde-816	420	11	as	as	ADP
ejde-816	420	12	before	before	ADP
ejde-816	420	13	using	use	VERB
ejde-816	420	14	the	the	DET
ejde-816	420	15	usual	usual	ADJ
ejde-816	420	16	norm	norm	NOUN
ejde-816	420	17	on	on	ADP
ejde-816	420	18	w	w	PROPN
ejde-816	420	19	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	420	20	)	)	PUNCT
ejde-816	420	21	instead	instead	ADV
ejde-816	420	22	of	of	ADP
ejde-816	420	23	∥	∥	X
ejde-816	420	24	·	·	SYM
ejde-816	420	25	∥β(x	∥β(x	NOUN
ejde-816	420	26	)	)	PUNCT
ejde-816	420	27	,	,	PUNCT
ejde-816	420	28	and	and	CCONJ
ejde-816	420	29	the	the	DET
ejde-816	420	30	propositions	proposition	NOUN
ejde-816	420	31	2.1	2.1	NUM
ejde-816	420	32	and	and	CCONJ
ejde-816	420	33	2.2	2.2	NUM
ejde-816	420	34	instead	instead	ADV
ejde-816	420	35	of	of	ADP
ejde-816	420	36	the	the	DET
ejde-816	420	37	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	420	38	2.3	2.3	NUM
ejde-816	420	39	and	and	CCONJ
ejde-816	420	40	2.4	2.4	NUM
ejde-816	420	41	.	.	PUNCT
ejde-816	421	1	□	□	PUNCT
ejde-816	421	2	next	next	ADV
ejde-816	421	3	we	we	PRON
ejde-816	421	4	show	show	VERB
ejde-816	421	5	the	the	DET
ejde-816	421	6	existence	existence	NOUN
ejde-816	421	7	of	of	ADP
ejde-816	421	8	the	the	DET
ejde-816	421	9	second	second	ADJ
ejde-816	421	10	nontrivial	nontrivial	ADJ
ejde-816	421	11	weak	weak	ADJ
ejde-816	421	12	solution	solution	NOUN
ejde-816	421	13	u2	u2	PROPN
ejde-816	421	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	421	15	x	x	X
ejde-816	421	16	and	and	CCONJ
ejde-816	421	17	u2	u2	PROPN
ejde-816	421	18	̸=	̸=	PROPN
ejde-816	421	19	u1	u1	NOUN
ejde-816	421	20	by	by	ADP
ejde-816	421	21	using	use	VERB
ejde-816	421	22	the	the	DET
ejde-816	421	23	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	421	24	variational	variational	ADJ
ejde-816	421	25	principle	principle	NOUN
ejde-816	421	26	.	.	PUNCT
ejde-816	422	1	indeed	indeed	ADV
ejde-816	422	2	,	,	PUNCT
ejde-816	422	3	by	by	ADP
ejde-816	422	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	422	5	3.4	3.4	NUM
ejde-816	422	6	it	it	PRON
ejde-816	422	7	follows	follow	VERB
ejde-816	422	8	that	that	SCONJ
ejde-816	422	9	on	on	ADP
ejde-816	422	10	the	the	DET
ejde-816	422	11	boundary	boundary	NOUN
ejde-816	422	12	of	of	ADP
ejde-816	422	13	the	the	DET
ejde-816	422	14	ball	ball	NOUN
ejde-816	422	15	centered	center	VERB
ejde-816	422	16	at	at	ADP
ejde-816	422	17	the	the	DET
ejde-816	422	18	origin	origin	NOUN
ejde-816	422	19	and	and	CCONJ
ejde-816	422	20	of	of	ADP
ejde-816	422	21	radius	radius	NOUN
ejde-816	422	22	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	422	23	in	in	ADP
ejde-816	422	24	x	x	PRON
ejde-816	422	25	,	,	PUNCT
ejde-816	422	26	denoted	denote	VERB
ejde-816	422	27	by	by	ADP
ejde-816	422	28	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	422	29	)	)	PUNCT
ejde-816	422	30	,	,	PUNCT
ejde-816	422	31	we	we	PRON
ejde-816	422	32	have	have	VERB
ejde-816	422	33	inf	inf	VERB
ejde-816	422	34	u∈∂bρ(0	u∈∂bρ(0	NOUN
ejde-816	422	35	)	)	PUNCT
ejde-816	422	36	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	422	37	)	)	PUNCT
ejde-816	422	38	>	>	X
ejde-816	422	39	0	0	PUNCT
ejde-816	423	1	on	on	ADP
ejde-816	423	2	the	the	DET
ejde-816	423	3	other	other	ADJ
ejde-816	423	4	hand	hand	NOUN
ejde-816	423	5	,	,	PUNCT
ejde-816	423	6	by	by	ADP
ejde-816	423	7	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	423	8	3.4	3.4	NUM
ejde-816	423	9	again	again	ADV
ejde-816	423	10	,	,	PUNCT
ejde-816	423	11	the	the	DET
ejde-816	423	12	functional	functional	ADJ
ejde-816	423	13	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	423	14	is	be	AUX
ejde-816	423	15	bounded	bound	VERB
ejde-816	423	16	from	from	ADP
ejde-816	423	17	below	below	ADP
ejde-816	423	18	on	on	ADP
ejde-816	423	19	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	423	20	)	)	PUNCT
ejde-816	423	21	.	.	PUNCT
ejde-816	424	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	424	2	,	,	PUNCT
ejde-816	424	3	by	by	ADP
ejde-816	424	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	424	5	3.7	3.7	NUM
ejde-816	424	6	there	there	ADV
ejde-816	424	7	exists	exist	VERB
ejde-816	424	8	φ	φ	PROPN
ejde-816	424	9	∈	∈	PROPN
ejde-816	424	10	x	x	PUNCT
ejde-816	424	11	such	such	ADJ
ejde-816	424	12	that	that	DET
ejde-816	424	13	jλ(τφ	jλ(τφ	NOUN
ejde-816	424	14	)	)	PUNCT
ejde-816	424	15	<	<	X
ejde-816	424	16	0	0	NUM
ejde-816	424	17	for	for	SCONJ
ejde-816	424	18	all	all	DET
ejde-816	424	19	τ	τ	PROPN
ejde-816	424	20	small	small	ADJ
ejde-816	424	21	enough	enough	ADV
ejde-816	424	22	.	.	PUNCT
ejde-816	425	1	it	it	PRON
ejde-816	425	2	follows	follow	VERB
ejde-816	425	3	that	that	SCONJ
ejde-816	425	4	−∞	−∞	ADP
ejde-816	425	5	<	<	X
ejde-816	425	6	c	c	PROPN
ejde-816	425	7	=	=	SYM
ejde-816	425	8	inf	inf	PROPN
ejde-816	425	9	u∈b̄ρ(0	u∈b̄ρ(0	NOUN
ejde-816	425	10	)	)	PUNCT
ejde-816	425	11	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	425	12	)	)	PUNCT
ejde-816	425	13	<	<	X
ejde-816	425	14	0	0	PUNCT
ejde-816	426	1	let	let	VERB
ejde-816	426	2	us	we	PRON
ejde-816	426	3	choose	choose	VERB
ejde-816	426	4	ϵ	ϵ	ADP
ejde-816	426	5	>	>	X
ejde-816	426	6	0	0	NUM
ejde-816	426	7	such	such	ADJ
ejde-816	426	8	that	that	SCONJ
ejde-816	426	9	0	0	NUM
ejde-816	426	10	<	<	X
ejde-816	426	11	ϵ	ϵ	X
ejde-816	426	12	<	<	X
ejde-816	426	13	inf	inf	PROPN
ejde-816	426	14	u∈∂bρ(0	u∈∂bρ(0	NOUN
ejde-816	426	15	)	)	PUNCT
ejde-816	426	16	iλ(u)−	iλ(u)−	NOUN
ejde-816	426	17	inf	inf	PROPN
ejde-816	426	18	u∈b̄ρ(0	u∈b̄ρ(0	NOUN
ejde-816	426	19	)	)	PUNCT
ejde-816	426	20	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	426	21	)	)	PUNCT
ejde-816	426	22	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	426	23	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	426	24	type	type	NOUN
ejde-816	426	25	problems	problem	NOUN
ejde-816	426	26	17	17	NUM
ejde-816	426	27	applying	apply	VERB
ejde-816	426	28	the	the	DET
ejde-816	426	29	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	426	30	variational	variational	ADJ
ejde-816	426	31	principle	principle	NOUN
ejde-816	426	32	in	in	ADP
ejde-816	426	33	[	[	X
ejde-816	426	34	20	20	NUM
ejde-816	426	35	]	]	PUNCT
ejde-816	426	36	to	to	ADP
ejde-816	426	37	the	the	DET
ejde-816	426	38	functional	functional	ADJ
ejde-816	426	39	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	426	40	:	:	PUNCT
ejde-816	426	41	b̄ρ(0	b̄ρ(0	X
ejde-816	426	42	)	)	PUNCT
ejde-816	426	43	→	→	SYM
ejde-816	426	44	r	r	X
ejde-816	426	45	,	,	PUNCT
ejde-816	426	46	it	it	PRON
ejde-816	426	47	follows	follow	VERB
ejde-816	426	48	that	that	SCONJ
ejde-816	426	49	there	there	PRON
ejde-816	426	50	exists	exist	VERB
ejde-816	426	51	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	426	52	∈	∈	PROPN
ejde-816	426	53	b̄ρ(0	b̄ρ(0	NOUN
ejde-816	426	54	)	)	PUNCT
ejde-816	426	55	such	such	ADJ
ejde-816	426	56	that	that	DET
ejde-816	426	57	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	426	58	(	(	PUNCT
ejde-816	426	59	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	426	60	)	)	PUNCT
ejde-816	426	61	<	<	X
ejde-816	426	62	inf	inf	PROPN
ejde-816	426	63	u∈b̄ρ(0	u∈b̄ρ(0	NOUN
ejde-816	426	64	)	)	PUNCT
ejde-816	426	65	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	426	66	)	)	PUNCT
ejde-816	427	1	+	+	CCONJ
ejde-816	427	2	ϵ	ϵ	X
ejde-816	427	3	iλ	iλ	X
ejde-816	427	4	(	(	PUNCT
ejde-816	427	5	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	427	6	)	)	PUNCT
ejde-816	427	7	<	<	X
ejde-816	427	8	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	427	9	)	)	PUNCT
ejde-816	428	1	+	+	CCONJ
ejde-816	428	2	ϵ∥u−	ϵ∥u−	ADJ
ejde-816	428	3	uϵ∥β(x	uϵ∥β(x	NOUN
ejde-816	428	4	)	)	PUNCT
ejde-816	428	5	,	,	PUNCT
ejde-816	428	6	u	u	PROPN
ejde-816	428	7	̸=	̸=	PROPN
ejde-816	428	8	uϵ.	uϵ.	ADV
ejde-816	428	9	then	then	ADV
ejde-816	428	10	,	,	PUNCT
ejde-816	428	11	we	we	PRON
ejde-816	428	12	have	have	VERB
ejde-816	428	13	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	428	14	(	(	PUNCT
ejde-816	428	15	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	428	16	)	)	PUNCT
ejde-816	428	17	<	<	X
ejde-816	428	18	infu∈∂b(0	infu∈∂b(0	NOUN
ejde-816	428	19	)	)	PUNCT
ejde-816	428	20	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	428	21	)	)	PUNCT
ejde-816	428	22	and	and	CCONJ
ejde-816	428	23	thus	thus	ADV
ejde-816	428	24	,	,	PUNCT
ejde-816	428	25	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	428	26	∈	∈	PROPN
ejde-816	428	27	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	428	28	)	)	PUNCT
ejde-816	428	29	.	.	PUNCT
ejde-816	429	1	now	now	ADV
ejde-816	429	2	,	,	PUNCT
ejde-816	429	3	we	we	PRON
ejde-816	429	4	define	define	VERB
ejde-816	429	5	the	the	DET
ejde-816	429	6	functional	functional	ADJ
ejde-816	429	7	jλ	jλ	NOUN
ejde-816	429	8	:	:	PUNCT
ejde-816	429	9	b̄ρ(0	b̄ρ(0	X
ejde-816	429	10	)	)	PUNCT
ejde-816	429	11	→	→	SYM
ejde-816	429	12	r	r	NOUN
ejde-816	429	13	by	by	ADP
ejde-816	429	14	jλ(u	jλ(u	NUM
ejde-816	429	15	)	)	PUNCT
ejde-816	429	16	=	=	SYM
ejde-816	429	17	iλ(u	iλ(u	NOUN
ejde-816	429	18	)	)	PUNCT
ejde-816	430	1	+	+	CCONJ
ejde-816	430	2	ϵ∥u−	ϵ∥u−	PROPN
ejde-816	430	3	uϵ∥β(x	uϵ∥β(x	NOUN
ejde-816	430	4	)	)	PUNCT
ejde-816	430	5	.	.	PUNCT
ejde-816	431	1	it	it	PRON
ejde-816	431	2	is	be	AUX
ejde-816	431	3	clear	clear	ADJ
ejde-816	431	4	that	that	SCONJ
ejde-816	431	5	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	431	6	is	be	AUX
ejde-816	431	7	a	a	DET
ejde-816	431	8	minimum	minimum	ADJ
ejde-816	431	9	point	point	NOUN
ejde-816	431	10	of	of	ADP
ejde-816	431	11	jλ	jλ	NOUN
ejde-816	431	12	and	and	CCONJ
ejde-816	431	13	thus	thus	ADV
ejde-816	431	14	jλ	jλ	ADJ
ejde-816	431	15	(	(	PUNCT
ejde-816	431	16	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	431	17	+	+	CCONJ
ejde-816	431	18	τv)−	τv)−	PUNCT
ejde-816	431	19	jλ	jλ	PROPN
ejde-816	431	20	(	(	PUNCT
ejde-816	431	21	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	431	22	)	)	PUNCT
ejde-816	431	23	t	t	PROPN
ejde-816	431	24	≥	≥	NOUN
ejde-816	431	25	0	0	NUM
ejde-816	431	26	for	for	ADP
ejde-816	431	27	all	all	DET
ejde-816	431	28	τ	τ	PROPN
ejde-816	431	29	>	>	X
ejde-816	431	30	0	0	PUNCT
ejde-816	431	31	small	small	ADJ
ejde-816	431	32	enough	enough	ADV
ejde-816	431	33	and	and	CCONJ
ejde-816	431	34	all	all	PRON
ejde-816	431	35	v	v	ADP
ejde-816	431	36	∈	∈	NOUN
ejde-816	431	37	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	431	38	)	)	PUNCT
ejde-816	431	39	.	.	PUNCT
ejde-816	432	1	the	the	DET
ejde-816	432	2	above	above	ADJ
ejde-816	432	3	information	information	NOUN
ejde-816	432	4	shows	show	VERB
ejde-816	432	5	that	that	SCONJ
ejde-816	432	6	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	432	7	(	(	PUNCT
ejde-816	432	8	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	432	9	+	+	CCONJ
ejde-816	432	10	τv)−	τv)−	PUNCT
ejde-816	432	11	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	432	12	(	(	PUNCT
ejde-816	432	13	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	432	14	)	)	PUNCT
ejde-816	432	15	τ	τ	PROPN
ejde-816	433	1	+	+	NUM
ejde-816	433	2	ϵ∥v∥β(x	ϵ∥v∥β(x	NOUN
ejde-816	433	3	)	)	PUNCT
ejde-816	433	4	≥	≥	NOUN
ejde-816	433	5	0	0	NUM
ejde-816	434	1	letting	let	VERB
ejde-816	434	2	τ	τ	PROPN
ejde-816	434	3	→	→	SYM
ejde-816	434	4	0	0	NUM
ejde-816	434	5	+	+	NUM
ejde-816	434	6	,	,	PUNCT
ejde-816	434	7	we	we	PRON
ejde-816	434	8	deduce	deduce	VERB
ejde-816	434	9	that	that	SCONJ
ejde-816	434	10	⟨i	⟨i	CCONJ
ejde-816	435	1	′λ	′λ	NOUN
ejde-816	435	2	(	(	PUNCT
ejde-816	435	3	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	435	4	)	)	PUNCT
ejde-816	435	5	,	,	PUNCT
ejde-816	435	6	v⟩	v⟩	X
ejde-816	435	7	≥	≥	NOUN
ejde-816	435	8	−ϵ∥v∥β(x	−ϵ∥v∥β(x	NOUN
ejde-816	435	9	)	)	PUNCT
ejde-816	436	1	it	it	PRON
ejde-816	436	2	should	should	AUX
ejde-816	436	3	be	be	AUX
ejde-816	436	4	noticed	notice	VERB
ejde-816	436	5	that	that	SCONJ
ejde-816	436	6	−v	−v	NOUN
ejde-816	436	7	also	also	ADV
ejde-816	436	8	belongs	belong	VERB
ejde-816	436	9	to	to	ADP
ejde-816	436	10	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	436	11	)	)	PUNCT
ejde-816	436	12	,	,	PUNCT
ejde-816	436	13	so	so	ADV
ejde-816	436	14	replacing	replace	VERB
ejde-816	436	15	v	v	NOUN
ejde-816	436	16	by	by	ADP
ejde-816	436	17	−v	−v	NOUN
ejde-816	436	18	,	,	PUNCT
ejde-816	436	19	we	we	PRON
ejde-816	436	20	obtain	obtain	VERB
ejde-816	436	21	⟨i	⟨i	ADV
ejde-816	437	1	′λ	′λ	NOUN
ejde-816	437	2	(	(	PUNCT
ejde-816	437	3	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	437	4	)	)	PUNCT
ejde-816	437	5	,	,	PUNCT
ejde-816	437	6	−v⟩	−v⟩	VERB
ejde-816	437	7	≥	≥	PRON
ejde-816	437	8	−ϵ∥	−ϵ∥	NOUN
ejde-816	437	9	−	−	PROPN
ejde-816	437	10	v∥β(x	v∥β(x	NOUN
ejde-816	437	11	)	)	PUNCT
ejde-816	437	12	or	or	CCONJ
ejde-816	437	13	⟨i	⟨i	ADV
ejde-816	437	14	′λ	′λ	NOUN
ejde-816	437	15	(	(	PUNCT
ejde-816	437	16	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	437	17	)	)	PUNCT
ejde-816	437	18	,	,	PUNCT
ejde-816	437	19	v⟩	v⟩	ADJ
ejde-816	437	20	≤	≤	NUM
ejde-816	437	21	ϵ∥v∥β(x	ϵ∥v∥β(x	NOUN
ejde-816	437	22	)	)	PUNCT
ejde-816	437	23	which	which	PRON
ejde-816	437	24	helps	help	VERB
ejde-816	437	25	us	we	PRON
ejde-816	437	26	to	to	PART
ejde-816	437	27	deduce	deduce	VERB
ejde-816	437	28	that	that	SCONJ
ejde-816	437	29	∥i	∥i	PROPN
ejde-816	437	30	′λ	′λ	NOUN
ejde-816	437	31	(	(	PUNCT
ejde-816	437	32	uϵ	uϵ	NOUN
ejde-816	437	33	)	)	PUNCT
ejde-816	437	34	∥x∗	∥x∗	PROPN
ejde-816	437	35	≤	≤	NUM
ejde-816	437	36	ϵ.	ϵ.	NOUN
ejde-816	437	37	therefore	therefore	ADV
ejde-816	437	38	,	,	PUNCT
ejde-816	437	39	there	there	PRON
ejde-816	437	40	exists	exist	VERB
ejde-816	437	41	a	a	DET
ejde-816	437	42	sequence	sequence	NOUN
ejde-816	437	43	{	{	PUNCT
ejde-816	437	44	un	un	PROPN
ejde-816	437	45	}	}	PUNCT
ejde-816	437	46	⊂	⊂	PROPN
ejde-816	437	47	bρ(0	bρ(0	PROPN
ejde-816	437	48	)	)	PUNCT
ejde-816	437	49	such	such	ADJ
ejde-816	437	50	that	that	SCONJ
ejde-816	437	51	iλ(un	iλ(un	PROPN
ejde-816	437	52	)	)	PUNCT
ejde-816	437	53	→	→	SYM
ejde-816	437	54	c	c	NOUN
ejde-816	437	55	=	=	SYM
ejde-816	437	56	inf	inf	PROPN
ejde-816	437	57	u∈b̄ρ(0	u∈b̄ρ(0	NOUN
ejde-816	437	58	)	)	PUNCT
ejde-816	437	59	iλ(u	iλ(u	NUM
ejde-816	437	60	)	)	PUNCT
ejde-816	437	61	<	<	X
ejde-816	437	62	0	0	PUNCT
ejde-816	438	1	and	and	CCONJ
ejde-816	438	2	i	i	PRON
ejde-816	438	3	′λ(un	′λ(un	PROPN
ejde-816	438	4	)	)	PUNCT
ejde-816	439	1	→	→	SYM
ejde-816	439	2	0	0	NUM
ejde-816	439	3	in	in	ADP
ejde-816	439	4	x∗	x∗	PROPN
ejde-816	439	5	as	as	ADP
ejde-816	439	6	n→	n→	PROPN
ejde-816	439	7	∞	∞	PROPN
ejde-816	439	8	.	.	PUNCT
ejde-816	440	1	(	(	PUNCT
ejde-816	440	2	3.17	3.17	NUM
ejde-816	440	3	)	)	PUNCT
ejde-816	440	4	based	base	VERB
ejde-816	440	5	on	on	ADP
ejde-816	440	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	440	7	3.7	3.7	NUM
ejde-816	440	8	the	the	DET
ejde-816	440	9	sequence	sequence	NOUN
ejde-816	440	10	{	{	PUNCT
ejde-816	440	11	un	un	PROPN
ejde-816	440	12	}	}	PUNCT
ejde-816	440	13	converges	converge	VERB
ejde-816	440	14	strongly	strongly	ADV
ejde-816	440	15	to	to	ADP
ejde-816	440	16	some	some	DET
ejde-816	440	17	u2	u2	NOUN
ejde-816	440	18	as	as	ADP
ejde-816	440	19	n→	n→	PROPN
ejde-816	440	20	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	440	21	moreover	moreover	ADV
ejde-816	440	22	,	,	PUNCT
ejde-816	440	23	since	since	SCONJ
ejde-816	440	24	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	440	25	∈	∈	PROPN
ejde-816	440	26	c1(x	c1(x	NOUN
ejde-816	440	27	,	,	PUNCT
ejde-816	440	28	r	r	NOUN
ejde-816	440	29	)	)	PUNCT
ejde-816	440	30	,	,	PUNCT
ejde-816	440	31	by	by	ADP
ejde-816	440	32	(	(	PUNCT
ejde-816	440	33	3.17	3.17	NUM
ejde-816	440	34	)	)	PUNCT
ejde-816	440	35	it	it	PRON
ejde-816	440	36	follows	follow	VERB
ejde-816	440	37	that	that	SCONJ
ejde-816	440	38	i	i	PRON
ejde-816	440	39	′λ	′λ	NOUN
ejde-816	440	40	(	(	PUNCT
ejde-816	440	41	u2	u2	NOUN
ejde-816	440	42	)	)	PUNCT
ejde-816	440	43	=	=	SYM
ejde-816	441	1	0	0	X
ejde-816	441	2	.	.	PUNCT
ejde-816	442	1	thus	thus	ADV
ejde-816	442	2	,	,	PUNCT
ejde-816	442	3	u2	u2	PROPN
ejde-816	442	4	is	be	AUX
ejde-816	442	5	a	a	DET
ejde-816	442	6	non	non	ADJ
ejde-816	442	7	-	-	ADJ
ejde-816	442	8	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	442	9	weak	weak	ADJ
ejde-816	442	10	solution	solution	NOUN
ejde-816	442	11	of	of	ADP
ejde-816	442	12	problem	problem	NOUN
ejde-816	442	13	(	(	PUNCT
ejde-816	442	14	1.1	1.1	NUM
ejde-816	442	15	)	)	PUNCT
ejde-816	442	16	with	with	ADP
ejde-816	442	17	negative	negative	ADJ
ejde-816	442	18	energy	energy	NOUN
ejde-816	442	19	iλ	iλ	NOUN
ejde-816	442	20	(	(	PUNCT
ejde-816	442	21	u2	u2	PROPN
ejde-816	442	22	)	)	PUNCT
ejde-816	442	23	=	=	PUNCT
ejde-816	443	1	c	c	NOUN
ejde-816	443	2	<	<	X
ejde-816	443	3	0	0	NUM
ejde-816	443	4	.	.	PUNCT
ejde-816	444	1	finally	finally	ADV
ejde-816	444	2	,	,	PUNCT
ejde-816	444	3	we	we	PRON
ejde-816	444	4	point	point	VERB
ejde-816	444	5	out	out	ADP
ejde-816	444	6	that	that	DET
ejde-816	444	7	u1	u1	NOUN
ejde-816	444	8	̸=	̸=	PROPN
ejde-816	444	9	u2	u2	NOUN
ejde-816	444	10	since	since	SCONJ
ejde-816	444	11	iλ(u1	iλ(u1	NOUN
ejde-816	444	12	)	)	PUNCT
ejde-816	444	13	=	=	VERB
ejde-816	445	1	c̄	c̄	PROPN
ejde-816	445	2	>	>	SYM
ejde-816	445	3	0	0	PUNCT
ejde-816	445	4	>	>	PUNCT
ejde-816	445	5	c	c	X
ejde-816	445	6	=	=	SYM
ejde-816	445	7	iλ	iλ	PROPN
ejde-816	445	8	(	(	PUNCT
ejde-816	445	9	u2	u2	PROPN
ejde-816	445	10	)	)	PUNCT
ejde-816	445	11	.	.	PUNCT
ejde-816	446	1	the	the	DET
ejde-816	446	2	proof	proof	NOUN
ejde-816	446	3	is	be	AUX
ejde-816	446	4	complete	complete	ADJ
ejde-816	446	5	.	.	PUNCT
ejde-816	447	1	we	we	PRON
ejde-816	447	2	can	can	AUX
ejde-816	447	3	do	do	VERB
ejde-816	447	4	the	the	DET
ejde-816	447	5	same	same	ADJ
ejde-816	447	6	for	for	ADP
ejde-816	447	7	the	the	DET
ejde-816	447	8	problem	problem	NOUN
ejde-816	447	9	(	(	PUNCT
ejde-816	447	10	1.2	1.2	NUM
ejde-816	447	11	)	)	PUNCT
ejde-816	447	12	.	.	PUNCT
ejde-816	448	1	3.2	3.2	NUM
ejde-816	448	2	.	.	PUNCT
ejde-816	448	3	existence	existence	NOUN
ejde-816	448	4	of	of	ADP
ejde-816	448	5	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	448	6	many	many	ADJ
ejde-816	448	7	solutions	solution	NOUN
ejde-816	448	8	.	.	PUNCT
ejde-816	449	1	the	the	DET
ejde-816	449	2	purpose	purpose	NOUN
ejde-816	449	3	of	of	ADP
ejde-816	449	4	this	this	DET
ejde-816	449	5	part	part	NOUN
ejde-816	449	6	is	be	AUX
ejde-816	449	7	to	to	PART
ejde-816	449	8	consider	consider	VERB
ejde-816	449	9	problem	problem	NOUN
ejde-816	449	10	(	(	PUNCT
ejde-816	449	11	1.1	1.1	NUM
ejde-816	449	12	)	)	PUNCT
ejde-816	449	13	in	in	ADP
ejde-816	449	14	the	the	DET
ejde-816	449	15	case	case	NOUN
ejde-816	449	16	λ	λ	X
ejde-816	449	17	=	=	SYM
ejde-816	449	18	0	0	NUM
ejde-816	449	19	.	.	PUNCT
ejde-816	450	1	under	under	ADP
ejde-816	450	2	some	some	DET
ejde-816	450	3	suitable	suitable	ADJ
ejde-816	450	4	conditions	condition	NOUN
ejde-816	450	5	on	on	ADP
ejde-816	450	6	m	m	PROPN
ejde-816	450	7	and	and	CCONJ
ejde-816	450	8	f	f	PROPN
ejde-816	450	9	,	,	PUNCT
ejde-816	450	10	we	we	PRON
ejde-816	450	11	prove	prove	VERB
ejde-816	450	12	the	the	DET
ejde-816	450	13	existence	existence	NOUN
ejde-816	450	14	of	of	ADP
ejde-816	450	15	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	450	16	many	many	ADJ
ejde-816	450	17	solutions	solution	NOUN
ejde-816	450	18	for	for	ADP
ejde-816	450	19	(	(	PUNCT
ejde-816	450	20	1.1	1.1	NUM
ejde-816	450	21	)	)	PUNCT
ejde-816	450	22	by	by	ADP
ejde-816	450	23	using	use	VERB
ejde-816	450	24	the	the	DET
ejde-816	450	25	krasnoselskii	krasnoselskii	PROPN
ejde-816	450	26	’s	’s	PART
ejde-816	450	27	genus	genus	PROPN
ejde-816	450	28	theory	theory	NOUN
ejde-816	450	29	[	[	X
ejde-816	450	30	12	12	NUM
ejde-816	450	31	,	,	PUNCT
ejde-816	450	32	prop	prop	VERB
ejde-816	450	33	1.4	1.4	NUM
ejde-816	450	34	]	]	PUNCT
ejde-816	450	35	.	.	PUNCT
ejde-816	451	1	we	we	PRON
ejde-816	451	2	introduce	introduce	VERB
ejde-816	451	3	the	the	DET
ejde-816	451	4	following	following	ADJ
ejde-816	451	5	assumptions	assumption	NOUN
ejde-816	451	6	:	:	PUNCT
ejde-816	451	7	(	(	PUNCT
ejde-816	451	8	a10	a10	NOUN
ejde-816	451	9	)	)	PUNCT
ejde-816	451	10	f	f	NOUN
ejde-816	451	11	:	:	PUNCT
ejde-816	451	12	ω	ω	X
ejde-816	451	13	→	→	SYM
ejde-816	451	14	r	r	NOUN
ejde-816	451	15	is	be	AUX
ejde-816	451	16	a	a	DET
ejde-816	451	17	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	451	18	function	function	NOUN
ejde-816	451	19	such	such	ADJ
ejde-816	451	20	that	that	SCONJ
ejde-816	451	21	a1k(x)|t|s(x)−1	a1k(x)|t|s(x)−1	PROPN
ejde-816	451	22	≤	≤	ADJ
ejde-816	451	23	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	451	24	,	,	PUNCT
ejde-816	451	25	t	t	PROPN
ejde-816	451	26	)	)	PUNCT
ejde-816	451	27	≤	≤	PROPN
ejde-816	451	28	a2k(x)|t|s(x)−1	a2k(x)|t|s(x)−1	PROPN
ejde-816	451	29	,	,	PUNCT
ejde-816	451	30	∀(x	∀(x	PRON
ejde-816	451	31	,	,	PUNCT
ejde-816	451	32	t	t	PROPN
ejde-816	451	33	)	)	PUNCT
ejde-816	451	34	∈	∈	PROPN
ejde-816	451	35	ω×	ω×	PROPN
ejde-816	451	36	r+	r+	X
ejde-816	451	37	,	,	PUNCT
ejde-816	451	38	where	where	SCONJ
ejde-816	451	39	a1	a1	NOUN
ejde-816	451	40	,	,	PUNCT
ejde-816	451	41	a2	a2	PROPN
ejde-816	451	42	>	>	X
ejde-816	451	43	0	0	PUNCT
ejde-816	451	44	are	be	AUX
ejde-816	451	45	positive	positive	ADJ
ejde-816	451	46	constants	constant	NOUN
ejde-816	451	47	and	and	CCONJ
ejde-816	451	48	s	s	NOUN
ejde-816	451	49	∈	∈	PROPN
ejde-816	451	50	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	451	51	)	)	PUNCT
ejde-816	451	52	such	such	ADJ
ejde-816	451	53	that	that	SCONJ
ejde-816	451	54	1	1	NUM
ejde-816	451	55	<	<	X
ejde-816	451	56	s(x	s(x	PROPN
ejde-816	451	57	)	)	PUNCT
ejde-816	451	58	<	<	X
ejde-816	451	59	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	451	60	)	)	PUNCT
ejde-816	451	61	for	for	ADP
ejde-816	451	62	all	all	PRON
ejde-816	451	63	x	x	SYM
ejde-816	451	64	∈	∈	NOUN
ejde-816	451	65	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	451	66	,	,	PUNCT
ejde-816	451	67	the	the	DET
ejde-816	451	68	function	function	NOUN
ejde-816	451	69	k	k	PROPN
ejde-816	451	70	≡	≡	PROPN
ejde-816	451	71	1	1	NUM
ejde-816	451	72	if	if	SCONJ
ejde-816	451	73	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	451	74	)	)	PUNCT
ejde-816	451	75	≤	≤	NUM
ejde-816	451	76	s(x	s(x	NOUN
ejde-816	451	77	)	)	PUNCT
ejde-816	451	78	<	<	X
ejde-816	451	79	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	451	80	)	)	PUNCT
ejde-816	451	81	for	for	ADP
ejde-816	451	82	all	all	DET
ejde-816	451	83	x	x	SYM
ejde-816	451	84	∈	∈	NOUN
ejde-816	451	85	ω̄	ω̄	ADP
ejde-816	451	86	while	while	SCONJ
ejde-816	451	87	k	k	PROPN
ejde-816	451	88	∈	∈	PROPN
ejde-816	451	89	l	l	NOUN
ejde-816	451	90	s0(x	s0(x	PROPN
ejde-816	451	91	)	)	PUNCT
ejde-816	451	92	+	+	CCONJ
ejde-816	451	93	(	(	PUNCT
ejde-816	451	94	ω	ω	NOUN
ejde-816	451	95	)	)	PUNCT
ejde-816	451	96	with	with	ADP
ejde-816	451	97	s0(x	s0(x	NOUN
ejde-816	451	98	)	)	PUNCT
ejde-816	451	99	=	=	SYM
ejde-816	451	100	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	451	101	)	)	PUNCT
ejde-816	451	102	p(x)−s(x	p(x)−s(x	NOUN
ejde-816	451	103	)	)	PUNCT
ejde-816	451	104	if	if	SCONJ
ejde-816	451	105	1	1	NUM
ejde-816	451	106	<	<	X
ejde-816	451	107	s(x	s(x	PROPN
ejde-816	451	108	)	)	PUNCT
ejde-816	451	109	<	<	X
ejde-816	451	110	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	451	111	)	)	PUNCT
ejde-816	451	112	for	for	ADP
ejde-816	451	113	all	all	PRON
ejde-816	451	114	x	x	SYM
ejde-816	451	115	∈	∈	NOUN
ejde-816	451	116	ω̄	ω̄	ADP
ejde-816	451	117	(	(	PUNCT
ejde-816	451	118	a11	a11	PROPN
ejde-816	451	119	)	)	PUNCT
ejde-816	451	120	f(x,−t	f(x,−t	PROPN
ejde-816	451	121	)	)	PUNCT
ejde-816	451	122	=	=	SYM
ejde-816	451	123	−f(x	−f(x	PROPN
ejde-816	451	124	,	,	PUNCT
ejde-816	451	125	t	t	PROPN
ejde-816	451	126	)	)	PUNCT
ejde-816	451	127	for	for	ADP
ejde-816	451	128	all	all	DET
ejde-816	451	129	(	(	PUNCT
ejde-816	451	130	x	x	NOUN
ejde-816	451	131	,	,	PUNCT
ejde-816	451	132	t	t	PROPN
ejde-816	451	133	)	)	PUNCT
ejde-816	451	134	∈	∈	PROPN
ejde-816	451	135	ω×	ω×	PUNCT
ejde-816	451	136	r	r	NOUN
ejde-816	451	137	;	;	PUNCT
ejde-816	451	138	(	(	PUNCT
ejde-816	451	139	a12	a12	NOUN
ejde-816	451	140	)	)	PUNCT
ejde-816	451	141	g(x,−t	g(x,−t	NOUN
ejde-816	451	142	)	)	PUNCT
ejde-816	452	1	=	=	SYM
ejde-816	452	2	−g(x	−g(x	NUM
ejde-816	452	3	,	,	PUNCT
ejde-816	452	4	t	t	PROPN
ejde-816	452	5	)	)	PUNCT
ejde-816	452	6	for	for	ADP
ejde-816	452	7	all	all	DET
ejde-816	452	8	(	(	PUNCT
ejde-816	452	9	x	x	NOUN
ejde-816	452	10	,	,	PUNCT
ejde-816	452	11	t	t	PROPN
ejde-816	452	12	)	)	PUNCT
ejde-816	452	13	∈	∈	PROPN
ejde-816	452	14	∂ω×	∂ω×	PROPN
ejde-816	452	15	r	r	NOUN
ejde-816	452	16	;	;	PUNCT
ejde-816	452	17	then	then	ADV
ejde-816	452	18	we	we	PRON
ejde-816	452	19	have	have	VERB
ejde-816	452	20	the	the	DET
ejde-816	452	21	following	follow	VERB
ejde-816	452	22	result	result	NOUN
ejde-816	452	23	.	.	PUNCT
ejde-816	453	1	18	18	NUM
ejde-816	453	2	h.	h.	PROPN
ejde-816	453	3	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	453	4	,	,	PUNCT
ejde-816	453	5	a.	a.	NOUN
ejde-816	453	6	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	453	7	,	,	PUNCT
ejde-816	453	8	m.	m.	PROPN
ejde-816	453	9	filali	filali	PROPN
ejde-816	453	10	,	,	PUNCT
ejde-816	453	11	n.	n.	PROPN
ejde-816	453	12	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	453	13	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	453	14	theorem	theorem	VERB
ejde-816	453	15	3.8	3.8	NUM
ejde-816	453	16	.	.	PUNCT
ejde-816	454	1	let	let	VERB
ejde-816	454	2	m(0	m(0	NOUN
ejde-816	454	3	)	)	PUNCT
ejde-816	454	4	=	=	SYM
ejde-816	454	5	0	0	NUM
ejde-816	455	1	and	and	CCONJ
ejde-816	455	2	(	(	PUNCT
ejde-816	455	3	a1)–(a12	a1)–(a12	NOUN
ejde-816	455	4	)	)	PUNCT
ejde-816	455	5	hold	hold	NOUN
ejde-816	455	6	.	.	PUNCT
ejde-816	456	1	then	then	ADV
ejde-816	456	2	(	(	PUNCT
ejde-816	456	3	1.1	1.1	NUM
ejde-816	456	4	)	)	PUNCT
ejde-816	456	5	with	with	ADP
ejde-816	456	6	λ	λ	NOUN
ejde-816	456	7	=	=	SYM
ejde-816	456	8	0	0	PUNCT
ejde-816	456	9	has	have	VERB
ejde-816	456	10	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	456	11	many	many	ADJ
ejde-816	456	12	weak	weak	ADJ
ejde-816	456	13	solutions	solution	NOUN
ejde-816	456	14	.	.	PUNCT
ejde-816	457	1	with	with	ADP
ejde-816	457	2	similar	similar	ADJ
ejde-816	457	3	arguments	argument	NOUN
ejde-816	457	4	as	as	ADP
ejde-816	457	5	those	those	PRON
ejde-816	457	6	used	use	VERB
ejde-816	457	7	in	in	ADP
ejde-816	457	8	the	the	DET
ejde-816	457	9	proof	proof	NOUN
ejde-816	457	10	of	of	ADP
ejde-816	457	11	theorem	theorem	ADJ
ejde-816	457	12	3.1	3.1	NUM
ejde-816	457	13	,	,	PUNCT
ejde-816	457	14	by	by	ADP
ejde-816	457	15	assumption	assumption	NOUN
ejde-816	457	16	(	(	PUNCT
ejde-816	457	17	a10	a10	NOUN
ejde-816	457	18	)	)	PUNCT
ejde-816	457	19	,	,	PUNCT
ejde-816	457	20	we	we	PRON
ejde-816	457	21	can	can	AUX
ejde-816	457	22	show	show	VERB
ejde-816	457	23	that	that	SCONJ
ejde-816	457	24	the	the	DET
ejde-816	457	25	functional	functional	ADJ
ejde-816	457	26	i0	i0	NOUN
ejde-816	457	27	:	:	PUNCT
ejde-816	457	28	x	x	X
ejde-816	457	29	→	→	SYM
ejde-816	457	30	r	r	NOUN
ejde-816	457	31	defined	define	VERB
ejde-816	457	32	by	by	ADP
ejde-816	457	33	i0(u	i0(u	NUM
ejde-816	457	34	)	)	PUNCT
ejde-816	457	35	=	=	SYM
ejde-816	457	36	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	457	37	(	(	PUNCT
ejde-816	457	38	∫	∫	PROPN
ejde-816	457	39	ω	ω	PROPN
ejde-816	457	40	1	1	NUM
ejde-816	457	41	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	457	42	)	)	PUNCT
ejde-816	457	43	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	457	44	)	)	PUNCT
ejde-816	457	45	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	457	46	∫	∫	PROPN
ejde-816	457	47	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	457	48	(	(	PUNCT
ejde-816	457	49	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	457	50	)	)	PUNCT
ejde-816	457	51	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	457	52	)	)	PUNCT
ejde-816	457	53	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	457	54	)	)	PUNCT
ejde-816	457	55	+	+	NOUN
ejde-816	457	56	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	457	57	,	,	PUNCT
ejde-816	457	58	u	u	NOUN
ejde-816	457	59	)	)	PUNCT
ejde-816	457	60	)	)	PUNCT
ejde-816	457	61	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	457	62	)	)	PUNCT
ejde-816	458	1	−	−	PROPN
ejde-816	458	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	458	3	ω	ω	NUM
ejde-816	458	4	f	f	PROPN
ejde-816	458	5	(	(	PUNCT
ejde-816	458	6	x	x	NOUN
ejde-816	458	7	,	,	PUNCT
ejde-816	458	8	u	u	NOUN
ejde-816	458	9	)	)	PUNCT
ejde-816	458	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	458	11	is	be	AUX
ejde-816	458	12	of	of	ADP
ejde-816	458	13	class	class	NOUN
ejde-816	458	14	c1	c1	NOUN
ejde-816	458	15	on	on	ADP
ejde-816	458	16	x	x	PUNCT
ejde-816	458	17	and	and	CCONJ
ejde-816	458	18	its	its	PRON
ejde-816	458	19	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	458	20	is	be	AUX
ejde-816	458	21	i	i	PRON
ejde-816	458	22	′0(u)(v	′0(u)(v	ADJ
ejde-816	458	23	)	)	PUNCT
ejde-816	459	1	=	=	VERB
ejde-816	459	2	m	m	PROPN
ejde-816	459	3	(	(	PUNCT
ejde-816	459	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	459	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	459	6	1	1	NUM
ejde-816	459	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	459	8	)	)	PUNCT
ejde-816	459	9	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	459	10	)	)	PUNCT
ejde-816	459	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	459	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	459	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	459	14	(	(	PUNCT
ejde-816	459	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	459	16	)	)	PUNCT
ejde-816	459	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	459	18	)	)	PUNCT
ejde-816	459	19	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	459	20	)	)	PUNCT
ejde-816	460	1	+	+	NOUN
ejde-816	460	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	460	3	,	,	PUNCT
ejde-816	460	4	u))dσx	u))dσx	NOUN
ejde-816	460	5	)	)	PUNCT
ejde-816	460	6	×	×	PROPN
ejde-816	460	7	(	(	PUNCT
ejde-816	460	8	∫	∫	PROPN
ejde-816	460	9	ω	ω	PROPN
ejde-816	460	10	|∇u|p(x)−2∇u∇v	|∇u|p(x)−2∇u∇v	PROPN
ejde-816	461	1	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	461	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	461	3	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	461	4	β(x)|u|p(x)−2uv	β(x)|u|p(x)−2uv	PROPN
ejde-816	461	5	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	461	6	+	+	CCONJ
ejde-816	461	7	∫	∫	PROPN
ejde-816	461	8	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	461	9	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	461	10	,	,	PUNCT
ejde-816	461	11	u)u	u)u	ADJ
ejde-816	461	12	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	461	13	)	)	PUNCT
ejde-816	461	14	−	−	PROPN
ejde-816	462	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	462	2	ω	ω	NUM
ejde-816	462	3	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	462	4	,	,	PUNCT
ejde-816	462	5	u)v	u)v	X
ejde-816	462	6	dx	dx	VERB
ejde-816	462	7	for	for	ADP
ejde-816	462	8	all	all	DET
ejde-816	462	9	u	u	NOUN
ejde-816	462	10	,	,	PUNCT
ejde-816	462	11	v	v	NOUN
ejde-816	462	12	∈	∈	NOUN
ejde-816	462	13	x.	x.	NOUN
ejde-816	463	1	thus	thus	ADV
ejde-816	463	2	,	,	PUNCT
ejde-816	463	3	weak	weak	ADJ
ejde-816	463	4	solutions	solution	NOUN
ejde-816	463	5	of	of	ADP
ejde-816	463	6	(	(	PUNCT
ejde-816	463	7	1.1	1.1	NUM
ejde-816	463	8	)	)	PUNCT
ejde-816	463	9	with	with	ADP
ejde-816	463	10	λ	λ	NOUN
ejde-816	463	11	=	=	SYM
ejde-816	463	12	0	0	NUM
ejde-816	463	13	are	be	AUX
ejde-816	463	14	exactly	exactly	ADV
ejde-816	463	15	the	the	DET
ejde-816	463	16	critical	critical	ADJ
ejde-816	463	17	points	point	NOUN
ejde-816	463	18	of	of	ADP
ejde-816	463	19	i0	i0	PROPN
ejde-816	463	20	.	.	PUNCT
ejde-816	464	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	464	2	3.9	3.9	NUM
ejde-816	464	3	.	.	PUNCT
ejde-816	465	1	assume	assume	VERB
ejde-816	465	2	that	that	SCONJ
ejde-816	465	3	(	(	PUNCT
ejde-816	465	4	a1)–(a6	a1)–(a6	NOUN
ejde-816	465	5	)	)	PUNCT
ejde-816	465	6	,	,	PUNCT
ejde-816	465	7	(	(	PUNCT
ejde-816	465	8	a9	a9	NOUN
ejde-816	465	9	)	)	PUNCT
ejde-816	465	10	,	,	PUNCT
ejde-816	465	11	(	(	PUNCT
ejde-816	465	12	a10	a10	NOUN
ejde-816	465	13	)	)	PUNCT
ejde-816	465	14	hold	hold	VERB
ejde-816	465	15	.	.	PUNCT
ejde-816	466	1	then	then	ADV
ejde-816	466	2	the	the	DET
ejde-816	466	3	functional	functional	ADJ
ejde-816	466	4	i0	i0	PROPN
ejde-816	466	5	is	be	AUX
ejde-816	466	6	bounded	bound	VERB
ejde-816	466	7	from	from	ADP
ejde-816	466	8	below	below	ADP
ejde-816	466	9	on	on	ADP
ejde-816	466	10	x	x	PUNCT
ejde-816	466	11	and	and	CCONJ
ejde-816	466	12	satisfies	satisfy	VERB
ejde-816	466	13	the	the	DET
ejde-816	466	14	palais	palais	PROPN
ejde-816	466	15	-	-	PUNCT
ejde-816	466	16	smale	smale	ADJ
ejde-816	466	17	condition	condition	NOUN
ejde-816	466	18	.	.	PUNCT
ejde-816	467	1	proof	proof	NOUN
ejde-816	467	2	.	.	PUNCT
ejde-816	468	1	since	since	SCONJ
ejde-816	468	2	1	1	NUM
ejde-816	468	3	<	<	X
ejde-816	468	4	s(x	s(x	PROPN
ejde-816	468	5	)	)	PUNCT
ejde-816	468	6	<	<	X
ejde-816	468	7	p+(x	p+(x	PROPN
ejde-816	468	8	)	)	PUNCT
ejde-816	468	9	for	for	ADP
ejde-816	468	10	all	all	PRON
ejde-816	468	11	x	x	SYM
ejde-816	468	12	∈	∈	NOUN
ejde-816	468	13	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	468	14	,	,	PUNCT
ejde-816	468	15	the	the	DET
ejde-816	468	16	embedding	embed	VERB
ejde-816	468	17	x	x	SYM
ejde-816	468	18	↪	↪	PROPN
ejde-816	468	19	→	→	SYM
ejde-816	468	20	ls(x)(ω	ls(x)(ω	NUM
ejde-816	468	21	)	)	PUNCT
ejde-816	468	22	is	be	AUX
ejde-816	468	23	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	468	24	and	and	CCONJ
ejde-816	468	25	compact	compact	ADJ
ejde-816	468	26	,	,	PUNCT
ejde-816	468	27	then	then	ADV
ejde-816	468	28	there	there	PRON
ejde-816	468	29	exists	exist	VERB
ejde-816	468	30	c9	c9	NOUN
ejde-816	468	31	>	>	X
ejde-816	468	32	0	0	PUNCT
ejde-816	469	1	such	such	ADJ
ejde-816	469	2	that	that	SCONJ
ejde-816	469	3	∥u∥s(x	∥u∥s(x	PROPN
ejde-816	469	4	)	)	PUNCT
ejde-816	469	5	≤	≤	NUM
ejde-816	469	6	c9∥u∥β(x	c9∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	469	7	)	)	PUNCT
ejde-816	469	8	,	,	PUNCT
ejde-816	469	9	∀u	∀u	NOUN
ejde-816	469	10	∈	∈	NOUN
ejde-816	469	11	x	x	PUNCT
ejde-816	469	12	by	by	ADP
ejde-816	469	13	(	(	PUNCT
ejde-816	469	14	a1	a1	NOUN
ejde-816	469	15	)	)	PUNCT
ejde-816	469	16	,	,	PUNCT
ejde-816	469	17	(	(	PUNCT
ejde-816	469	18	a2	a2	PROPN
ejde-816	469	19	)	)	PUNCT
ejde-816	469	20	,	,	PUNCT
ejde-816	469	21	(	(	PUNCT
ejde-816	469	22	a9	a9	NOUN
ejde-816	469	23	)	)	PUNCT
ejde-816	469	24	,	,	PUNCT
ejde-816	469	25	(	(	PUNCT
ejde-816	469	26	a10	a10	NOUN
ejde-816	469	27	)	)	PUNCT
ejde-816	469	28	and	and	CCONJ
ejde-816	469	29	the	the	DET
ejde-816	469	30	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	469	31	iniquality	iniquality	NOUN
ejde-816	469	32	,	,	PUNCT
ejde-816	469	33	it	it	PRON
ejde-816	469	34	follows	follow	VERB
ejde-816	469	35	from	from	ADP
ejde-816	469	36	the	the	DET
ejde-816	469	37	definition	definition	NOUN
ejde-816	469	38	of	of	ADP
ejde-816	469	39	the	the	DET
ejde-816	469	40	functional	functional	ADJ
ejde-816	469	41	i0	i0	PROPN
ejde-816	469	42	,	,	PUNCT
ejde-816	469	43	(	(	PUNCT
ejde-816	469	44	λ	λ	X
ejde-816	469	45	=	=	NOUN
ejde-816	469	46	0	0	NUM
ejde-816	469	47	)	)	PUNCT
ejde-816	469	48	that	that	SCONJ
ejde-816	469	49	i0(u	i0(u	X
ejde-816	469	50	)	)	PUNCT
ejde-816	469	51	=	=	SYM
ejde-816	470	1	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	470	2	(	(	PUNCT
ejde-816	470	3	∫	∫	PROPN
ejde-816	470	4	ω	ω	PROPN
ejde-816	470	5	1	1	NUM
ejde-816	470	6	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	470	7	)	)	PUNCT
ejde-816	470	8	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	470	9	)	)	PUNCT
ejde-816	470	10	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	470	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	470	12	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	470	13	(	(	PUNCT
ejde-816	470	14	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	470	15	)	)	PUNCT
ejde-816	470	16	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	470	17	)	)	PUNCT
ejde-816	470	18	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	470	19	)	)	PUNCT
ejde-816	471	1	+	+	NOUN
ejde-816	471	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	471	3	,	,	PUNCT
ejde-816	471	4	u	u	NOUN
ejde-816	471	5	)	)	PUNCT
ejde-816	471	6	)	)	PUNCT
ejde-816	471	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	471	8	)	)	PUNCT
ejde-816	472	1	−	−	PROPN
ejde-816	472	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	472	3	ω	ω	NUM
ejde-816	472	4	f	f	PROPN
ejde-816	472	5	(	(	PUNCT
ejde-816	472	6	x	x	NOUN
ejde-816	472	7	,	,	PUNCT
ejde-816	472	8	u	u	NOUN
ejde-816	472	9	)	)	PUNCT
ejde-816	472	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	472	11	≥	≥	NUM
ejde-816	472	12	1	1	NUM
ejde-816	472	13	α	α	NUM
ejde-816	472	14	m	m	PROPN
ejde-816	472	15	(	(	PUNCT
ejde-816	472	16	∫	∫	PROPN
ejde-816	472	17	ω	ω	PROPN
ejde-816	472	18	1	1	NUM
ejde-816	472	19	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	472	20	)	)	PUNCT
ejde-816	472	21	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	472	22	)	)	PUNCT
ejde-816	472	23	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	472	24	∫	∫	PROPN
ejde-816	472	25	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	472	26	(	(	PUNCT
ejde-816	472	27	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	472	28	)	)	PUNCT
ejde-816	472	29	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	472	30	)	)	PUNCT
ejde-816	472	31	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	472	32	)	)	PUNCT
ejde-816	472	33	+	+	NOUN
ejde-816	472	34	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	472	35	,	,	PUNCT
ejde-816	472	36	u	u	NOUN
ejde-816	472	37	)	)	PUNCT
ejde-816	472	38	)	)	PUNCT
ejde-816	472	39	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	472	40	)	)	PUNCT
ejde-816	472	41	×	×	NOUN
ejde-816	472	42	(	(	PUNCT
ejde-816	472	43	∫	∫	PROPN
ejde-816	472	44	ω	ω	PROPN
ejde-816	472	45	1	1	NUM
ejde-816	472	46	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	472	47	)	)	PUNCT
ejde-816	472	48	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	472	49	)	)	PUNCT
ejde-816	472	50	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	472	51	∫	∫	PROPN
ejde-816	472	52	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	472	53	(	(	PUNCT
ejde-816	472	54	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	472	55	)	)	PUNCT
ejde-816	472	56	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	472	57	)	)	PUNCT
ejde-816	472	58	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	472	59	)	)	PUNCT
ejde-816	472	60	+	+	NOUN
ejde-816	472	61	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	472	62	,	,	PUNCT
ejde-816	472	63	u	u	NOUN
ejde-816	472	64	)	)	PUNCT
ejde-816	472	65	)	)	PUNCT
ejde-816	472	66	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	472	67	)	)	PUNCT
ejde-816	473	1	−	−	PROPN
ejde-816	474	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	474	2	ω	ω	NUM
ejde-816	474	3	f	f	PROPN
ejde-816	474	4	(	(	PUNCT
ejde-816	474	5	x	x	NOUN
ejde-816	474	6	,	,	PUNCT
ejde-816	474	7	u	u	NOUN
ejde-816	474	8	)	)	PUNCT
ejde-816	474	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	474	10	≥	≥	PROPN
ejde-816	474	11	κ	κ	PROPN
ejde-816	474	12	α	α	PROPN
ejde-816	474	13	(	(	PUNCT
ejde-816	474	14	∫	∫	PROPN
ejde-816	474	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	474	16	1	1	NUM
ejde-816	474	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	474	18	)	)	PUNCT
ejde-816	474	19	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	474	20	)	)	PUNCT
ejde-816	474	21	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	474	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	474	23	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	474	24	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	474	25	)	)	PUNCT
ejde-816	474	26	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	474	27	)	)	PUNCT
ejde-816	474	28	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	474	29	)	)	PUNCT
ejde-816	474	30	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	474	31	)	)	PUNCT
ejde-816	475	1	−	−	PROPN
ejde-816	475	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	475	3	ω	ω	NUM
ejde-816	475	4	f	f	PROPN
ejde-816	475	5	(	(	PUNCT
ejde-816	475	6	x	x	NOUN
ejde-816	475	7	,	,	PUNCT
ejde-816	475	8	u	u	NOUN
ejde-816	475	9	)	)	PUNCT
ejde-816	475	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	475	11	≥	≥	PROPN
ejde-816	475	12	κ	κ	PRON
ejde-816	475	13	αp+	αp+	PROPN
ejde-816	475	14	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	475	15	−	−	VERB
ejde-816	475	16	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	475	17	)	)	PUNCT
ejde-816	475	18	−	−	NOUN
ejde-816	475	19	a2c	a2c	PUNCT
ejde-816	475	20	s+	s+	PUNCT
ejde-816	475	21	9	9	NUM
ejde-816	475	22	s−	s−	PROPN
ejde-816	475	23	∥k∥s0∥u∥s	∥k∥s0∥u∥s	NUM
ejde-816	475	24	+	+	CCONJ
ejde-816	475	25	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	475	26	)	)	PUNCT
ejde-816	475	27	,	,	PUNCT
ejde-816	475	28	for	for	ADP
ejde-816	475	29	all	all	DET
ejde-816	475	30	u	u	NOUN
ejde-816	475	31	∈	∈	PROPN
ejde-816	475	32	x	x	PUNCT
ejde-816	475	33	with	with	ADP
ejde-816	475	34	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	475	35	)	)	PUNCT
ejde-816	475	36	>	>	SYM
ejde-816	475	37	1	1	NUM
ejde-816	475	38	large	large	ADJ
ejde-816	475	39	enough	enough	ADV
ejde-816	475	40	.	.	PUNCT
ejde-816	476	1	since	since	SCONJ
ejde-816	476	2	we	we	PRON
ejde-816	476	3	always	always	ADV
ejde-816	476	4	have	have	VERB
ejde-816	476	5	that	that	PRON
ejde-816	476	6	s+	s+	PUNCT
ejde-816	476	7	<	<	X
ejde-816	476	8	p−	p−	PROPN
ejde-816	476	9	,	,	PUNCT
ejde-816	476	10	i0	i0	PROPN
ejde-816	476	11	is	be	AUX
ejde-816	476	12	coercive	coercive	ADJ
ejde-816	476	13	,	,	PUNCT
ejde-816	476	14	i.e.	i.e.	X
ejde-816	476	15	i0(u	i0(u	X
ejde-816	476	16	)	)	PUNCT
ejde-816	476	17	→	→	PUNCT
ejde-816	477	1	+	+	NUM
ejde-816	477	2	∞	∞	PROPN
ejde-816	477	3	as	as	ADP
ejde-816	477	4	∥u∥β(x	∥u∥β(x	NOUN
ejde-816	477	5	)	)	PUNCT
ejde-816	477	6	→	→	PUNCT
ejde-816	477	7	+	+	NUM
ejde-816	477	8	∞	∞	NUM
ejde-816	477	9	and	and	CCONJ
ejde-816	477	10	bounded	bound	VERB
ejde-816	477	11	from	from	ADP
ejde-816	477	12	below	below	ADV
ejde-816	477	13	on	on	ADP
ejde-816	477	14	x.	x.	NOUN
ejde-816	477	15	from	from	ADP
ejde-816	477	16	these	these	DET
ejde-816	477	17	statements	statement	NOUN
ejde-816	477	18	,	,	PUNCT
ejde-816	477	19	if	if	SCONJ
ejde-816	477	20	{	{	PUNCT
ejde-816	477	21	un	un	ADJ
ejde-816	477	22	}	}	PUNCT
ejde-816	477	23	is	be	AUX
ejde-816	477	24	a	a	DET
ejde-816	477	25	palais	palais	ADJ
ejde-816	477	26	-	-	PUNCT
ejde-816	477	27	smale	smale	ADJ
ejde-816	477	28	sequence	sequence	NOUN
ejde-816	477	29	for	for	ADP
ejde-816	477	30	the	the	DET
ejde-816	477	31	functional	functional	ADJ
ejde-816	477	32	i0	i0	PROPN
ejde-816	477	33	,	,	PUNCT
ejde-816	477	34	i.e.	i.e.	X
ejde-816	477	35	i(un	i(un	NUM
ejde-816	477	36	)	)	PUNCT
ejde-816	477	37	→	→	SYM
ejde-816	477	38	c̄	c̄	PROPN
ejde-816	477	39	,	,	PUNCT
ejde-816	477	40	i	i	PRON
ejde-816	477	41	′(un	′(un	PROPN
ejde-816	477	42	)	)	PUNCT
ejde-816	477	43	→	→	SYM
ejde-816	477	44	0	0	NUM
ejde-816	478	1	in	in	ADP
ejde-816	478	2	x∗.	x∗.	PROPN
ejde-816	478	3	then	then	ADV
ejde-816	478	4	{	{	PUNCT
ejde-816	478	5	un	un	PROPN
ejde-816	478	6	}	}	PUNCT
ejde-816	478	7	is	be	AUX
ejde-816	478	8	bounded	bound	VERB
ejde-816	478	9	in	in	ADP
ejde-816	478	10	x.	x.	NOUN
ejde-816	478	11	since	since	SCONJ
ejde-816	478	12	x	x	PRON
ejde-816	478	13	is	be	AUX
ejde-816	478	14	a	a	DET
ejde-816	478	15	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-816	478	16	banach	banach	NOUN
ejde-816	478	17	space	space	NOUN
ejde-816	478	18	,	,	PUNCT
ejde-816	478	19	{	{	PUNCT
ejde-816	478	20	un	un	PROPN
ejde-816	478	21	}	}	PUNCT
ejde-816	478	22	has	have	VERB
ejde-816	478	23	a	a	DET
ejde-816	478	24	subsequence	subsequence	NOUN
ejde-816	478	25	,	,	PUNCT
ejde-816	478	26	still	still	ADV
ejde-816	478	27	denoted	denote	VERB
ejde-816	478	28	by	by	ADP
ejde-816	478	29	{	{	PUNCT
ejde-816	478	30	un	un	PROPN
ejde-816	478	31	}	}	PUNCT
ejde-816	478	32	,	,	PUNCT
ejde-816	478	33	that	that	PRON
ejde-816	478	34	converges	converge	VERB
ejde-816	478	35	weakly	weakly	ADV
ejde-816	478	36	to	to	ADP
ejde-816	478	37	some	some	DET
ejde-816	478	38	u	u	NOUN
ejde-816	478	39	∈	∈	NOUN
ejde-816	478	40	x.	x.	NOUN
ejde-816	479	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	479	2	,	,	PUNCT
ejde-816	479	3	the	the	DET
ejde-816	479	4	embedding	embed	VERB
ejde-816	479	5	x	x	SYM
ejde-816	479	6	↪	↪	PROPN
ejde-816	479	7	→	→	SYM
ejde-816	479	8	ls(x)(ω	ls(x)(ω	NUM
ejde-816	479	9	)	)	PUNCT
ejde-816	479	10	is	be	AUX
ejde-816	479	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	479	12	and	and	CCONJ
ejde-816	479	13	compact	compact	ADJ
ejde-816	479	14	,	,	PUNCT
ejde-816	479	15	using	use	VERB
ejde-816	479	16	(	(	PUNCT
ejde-816	479	17	a10	a10	NOUN
ejde-816	479	18	)	)	PUNCT
ejde-816	479	19	and	and	CCONJ
ejde-816	479	20	the	the	DET
ejde-816	479	21	hölder	hölder	NOUN
ejde-816	479	22	inequality	inequality	NOUN
ejde-816	479	23	,	,	PUNCT
ejde-816	479	24	we	we	PRON
ejde-816	479	25	have∣∣	have∣∣	PROPN
ejde-816	479	26	∫	∫	PROPN
ejde-816	479	27	ω	ω	NUM
ejde-816	479	28	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	479	29	,	,	PUNCT
ejde-816	479	30	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	479	31	−	−	PROPN
ejde-816	479	32	u	u	NOUN
ejde-816	479	33	)	)	PUNCT
ejde-816	479	34	dx	dx	PROPN
ejde-816	479	35	∣∣	∣∣	NUM
ejde-816	479	36	≤	≤	NUM
ejde-816	479	37	∫	∫	PROPN
ejde-816	479	38	ω	ω	PROPN
ejde-816	479	39	|f(x	|f(x	PROPN
ejde-816	479	40	,	,	PUNCT
ejde-816	479	41	un)|	un)|	PROPN
ejde-816	479	42	|un	|un	ADP
ejde-816	479	43	−	−	PUNCT
ejde-816	479	44	u|	u|	PROPN
ejde-816	479	45	dx	dx	PROPN
ejde-816	479	46	ejde-2024/83	ejde-2024/83	PRON
ejde-816	479	47	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	479	48	type	type	NOUN
ejde-816	479	49	problems	problem	NOUN
ejde-816	480	1	19	19	NUM
ejde-816	480	2	≤	≤	NUM
ejde-816	480	3	a2	a2	PROPN
ejde-816	480	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	480	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	480	6	h(x)|un|s(x)−1	h(x)|un|s(x)−1	PROPN
ejde-816	480	7	|un	|un	ADP
ejde-816	480	8	−	−	PUNCT
ejde-816	480	9	u|	u|	PROPN
ejde-816	480	10	dx	dx	PROPN
ejde-816	480	11	≤	≤	NUM
ejde-816	480	12	2a2∥h∥s0(x)∥|un|	2a2∥h∥s0(x)∥|un|	NUM
ejde-816	480	13	s(x)−1∥	s(x)−1∥	NOUN
ejde-816	480	14	s(x	s(x	NOUN
ejde-816	480	15	)	)	PUNCT
ejde-816	480	16	s(x)−1	s(x)−1	PROPN
ejde-816	480	17	∥un	∥un	PROPN
ejde-816	480	18	−	−	PROPN
ejde-816	480	19	u∥s(x	u∥s(x	PROPN
ejde-816	480	20	)	)	PUNCT
ejde-816	480	21	→	→	SYM
ejde-816	480	22	0	0	NUM
ejde-816	480	23	as	as	ADP
ejde-816	480	24	n→	n→	PROPN
ejde-816	480	25	∞.	∞.	PROPN
ejde-816	480	26	then	then	ADV
ejde-816	480	27	lim	lim	PROPN
ejde-816	480	28	m→∞	m→∞	PROPN
ejde-816	480	29	∫	∫	PROPN
ejde-816	480	30	ω	ω	NUM
ejde-816	480	31	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	480	32	,	,	PUNCT
ejde-816	480	33	un)(un	un)(un	PROPN
ejde-816	480	34	−	−	PROPN
ejde-816	480	35	u	u	NOUN
ejde-816	480	36	)	)	PUNCT
ejde-816	480	37	dx	dx	PROPN
ejde-816	480	38	=	=	SYM
ejde-816	480	39	0	0	PROPN
ejde-816	480	40	.	.	PUNCT
ejde-816	481	1	(	(	PUNCT
ejde-816	481	2	3.18	3.18	NUM
ejde-816	481	3	)	)	PUNCT
ejde-816	481	4	from	from	ADP
ejde-816	481	5	(	(	PUNCT
ejde-816	481	6	3.18	3.18	NUM
ejde-816	481	7	)	)	PUNCT
ejde-816	481	8	,	,	PUNCT
ejde-816	481	9	with	with	ADP
ejde-816	481	10	similar	similar	ADJ
ejde-816	481	11	arguments	argument	NOUN
ejde-816	481	12	as	as	ADP
ejde-816	481	13	those	those	PRON
ejde-816	481	14	presented	present	VERB
ejde-816	481	15	in	in	ADP
ejde-816	481	16	the	the	DET
ejde-816	481	17	proof	proof	NOUN
ejde-816	481	18	of	of	ADP
ejde-816	481	19	lemma	lemma	PROPN
ejde-816	481	20	3.7	3.7	NUM
ejde-816	481	21	,	,	PUNCT
ejde-816	481	22	we	we	PRON
ejde-816	481	23	can	can	AUX
ejde-816	481	24	show	show	VERB
ejde-816	481	25	that	that	SCONJ
ejde-816	481	26	{	{	PUNCT
ejde-816	481	27	un	un	PROPN
ejde-816	481	28	}	}	PUNCT
ejde-816	481	29	converges	converge	VERB
ejde-816	481	30	strongly	strongly	ADV
ejde-816	481	31	to	to	ADP
ejde-816	481	32	u	u	PROPN
ejde-816	481	33	∈	∈	PROPN
ejde-816	481	34	x	x	X
ejde-816	481	35	and	and	CCONJ
ejde-816	481	36	thus	thus	ADV
ejde-816	481	37	,	,	PUNCT
ejde-816	481	38	the	the	DET
ejde-816	481	39	functional	functional	ADJ
ejde-816	481	40	i0	i0	PROPN
ejde-816	481	41	satisfies	satisfy	VERB
ejde-816	481	42	the	the	DET
ejde-816	481	43	palais	palais	PROPN
ejde-816	481	44	-	-	PUNCT
ejde-816	481	45	smale	smale	ADJ
ejde-816	481	46	condition	condition	NOUN
ejde-816	481	47	.	.	PUNCT
ejde-816	482	1	□	□	PUNCT
ejde-816	482	2	proof	proof	NOUN
ejde-816	482	3	of	of	ADP
ejde-816	482	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-816	482	5	3.8	3.8	NUM
ejde-816	482	6	.	.	PUNCT
ejde-816	483	1	we	we	PRON
ejde-816	483	2	known	know	VERB
ejde-816	483	3	that	that	SCONJ
ejde-816	483	4	for	for	ADP
ejde-816	483	5	p	p	PROPN
ejde-816	483	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	483	7	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	483	8	)	)	PUNCT
ejde-816	483	9	and	and	CCONJ
ejde-816	483	10	1	1	NUM
ejde-816	483	11	<	<	NOUN
ejde-816	483	12	p−	p−	PROPN
ejde-816	483	13	≤	≤	NOUN
ejde-816	483	14	p+	p+	VERB
ejde-816	483	15	<	<	X
ejde-816	483	16	n	n	X
ejde-816	483	17	,	,	PUNCT
ejde-816	483	18	x	x	PUNCT
ejde-816	484	1	=	=	NOUN
ejde-816	484	2	w	w	PROPN
ejde-816	484	3	1,p(x)(ω	1,p(x)(ω	NUM
ejde-816	484	4	)	)	PUNCT
ejde-816	484	5	is	be	AUX
ejde-816	484	6	a	a	DET
ejde-816	484	7	separable	separable	ADJ
ejde-816	484	8	and	and	CCONJ
ejde-816	484	9	reflexive	reflexive	ADJ
ejde-816	484	10	banach	banach	NOUN
ejde-816	484	11	space	space	NOUN
ejde-816	484	12	.	.	PUNCT
ejde-816	485	1	then	then	ADV
ejde-816	485	2	there	there	PRON
ejde-816	485	3	exist	exist	VERB
ejde-816	485	4	{	{	PUNCT
ejde-816	485	5	en	en	NOUN
ejde-816	485	6	}	}	PUNCT
ejde-816	485	7	⊂	⊂	PROPN
ejde-816	485	8	x	x	X
ejde-816	485	9	and	and	CCONJ
ejde-816	485	10	{	{	PUNCT
ejde-816	485	11	e∗n	e∗n	ADV
ejde-816	485	12	}	}	PUNCT
ejde-816	485	13	⊂	⊂	PRON
ejde-816	485	14	x∗	x∗	VERB
ejde-816	485	15	such	such	ADJ
ejde-816	485	16	that	that	SCONJ
ejde-816	485	17	⟨e∗i	⟨e∗i	PROPN
ejde-816	485	18	,	,	PUNCT
ejde-816	485	19	ej⟩	ej⟩	X
ejde-816	485	20	=	=	PUNCT
ejde-816	485	21	{	{	PUNCT
ejde-816	485	22	1	1	NUM
ejde-816	485	23	,	,	PUNCT
ejde-816	485	24	i	i	PRON
ejde-816	485	25	=	=	PUNCT
ejde-816	485	26	j	j	PROPN
ejde-816	485	27	0	0	NUM
ejde-816	485	28	,	,	PUNCT
ejde-816	485	29	i	i	PRON
ejde-816	485	30	̸=	̸=	PROPN
ejde-816	485	31	j	j	PROPN
ejde-816	485	32	,	,	PUNCT
ejde-816	485	33	x	x	PUNCT
ejde-816	485	34	=	=	PUNCT
ejde-816	485	35	span{en	span{en	X
ejde-816	485	36	:	:	PUNCT
ejde-816	485	37	n	n	NOUN
ejde-816	485	38	=	=	SYM
ejde-816	485	39	1	1	NUM
ejde-816	485	40	,	,	PUNCT
ejde-816	485	41	2	2	NUM
ejde-816	485	42	,	,	PUNCT
ejde-816	485	43	.	.	PUNCT
ejde-816	485	44	.	.	PUNCT
ejde-816	486	1	.	.	PUNCT
ejde-816	486	2	}	}	PUNCT
ejde-816	486	3	,	,	PUNCT
ejde-816	486	4	x∗	x∗	PROPN
ejde-816	486	5	=	=	PUNCT
ejde-816	486	6	span{e∗n	span{e∗n	PROPN
ejde-816	486	7	:	:	PUNCT
ejde-816	486	8	n	n	PROPN
ejde-816	486	9	=	=	SYM
ejde-816	486	10	1	1	NUM
ejde-816	486	11	,	,	PUNCT
ejde-816	486	12	2	2	NUM
ejde-816	486	13	,	,	PUNCT
ejde-816	486	14	.	.	PUNCT
ejde-816	486	15	.	.	PUNCT
ejde-816	486	16	.	.	PUNCT
ejde-816	486	17	}	}	PUNCT
ejde-816	486	18	.	.	PUNCT
ejde-816	487	1	for	for	ADP
ejde-816	487	2	each	each	DET
ejde-816	487	3	k	k	PROPN
ejde-816	487	4	∈	∈	PROPN
ejde-816	487	5	n	n	CCONJ
ejde-816	487	6	,	,	PUNCT
ejde-816	487	7	consider	consider	VERB
ejde-816	487	8	xj	xj	NOUN
ejde-816	487	9	=	=	SYM
ejde-816	487	10	span{e1	span{e1	PROPN
ejde-816	487	11	,	,	PUNCT
ejde-816	487	12	e2	e2	PROPN
ejde-816	487	13	,	,	PUNCT
ejde-816	487	14	.	.	PUNCT
ejde-816	487	15	.	.	PUNCT
ejde-816	488	1	.	.	PUNCT
ejde-816	489	1	,	,	PUNCT
ejde-816	489	2	ej	ej	PROPN
ejde-816	489	3	}	}	PUNCT
ejde-816	489	4	,	,	PUNCT
ejde-816	489	5	the	the	DET
ejde-816	489	6	subspace	subspace	NOUN
ejde-816	489	7	if	if	SCONJ
ejde-816	489	8	x	x	PRON
ejde-816	489	9	spanned	span	VERB
ejde-816	489	10	by	by	ADP
ejde-816	489	11	the	the	DET
ejde-816	489	12	vectors	vector	NOUN
ejde-816	489	13	e1	e1	PROPN
ejde-816	489	14	,	,	PUNCT
ejde-816	489	15	e2	e2	PROPN
ejde-816	489	16	,	,	PUNCT
ejde-816	489	17	.	.	PUNCT
ejde-816	489	18	.	.	PUNCT
ejde-816	490	1	.	.	PUNCT
ejde-816	491	1	,	,	PUNCT
ejde-816	491	2	ej	ej	INTJ
ejde-816	491	3	.	.	PUNCT
ejde-816	492	1	let	let	VERB
ejde-816	492	2	k	k	PROPN
ejde-816	492	3	∈	∈	PROPN
ejde-816	492	4	ls0(x)(ω	ls0(x)(ω	NOUN
ejde-816	492	5	)	)	PUNCT
ejde-816	492	6	for	for	ADP
ejde-816	492	7	all	all	PRON
ejde-816	492	8	x	x	SYM
ejde-816	492	9	∈	∈	NOUN
ejde-816	492	10	ω̄	ω̄	NOUN
ejde-816	492	11	,	,	PUNCT
ejde-816	492	12	we	we	PRON
ejde-816	492	13	define	define	VERB
ejde-816	492	14	a	a	DET
ejde-816	492	15	norm	norm	NOUN
ejde-816	492	16	∥	∥	X
ejde-816	492	17	·	·	PUNCT
ejde-816	492	18	∥ls(x)(ω	∥ls(x)(ω	PROPN
ejde-816	492	19	,	,	PUNCT
ejde-816	492	20	k(x	k(x	PROPN
ejde-816	492	21	)	)	PUNCT
ejde-816	492	22	)	)	PUNCT
ejde-816	492	23	on	on	ADP
ejde-816	492	24	the	the	DET
ejde-816	492	25	space	space	NOUN
ejde-816	492	26	xj	xj	PROPN
ejde-816	492	27	sa	sa	PROPN
ejde-816	492	28	follows	follow	VERB
ejde-816	492	29	∥u∥ls(x)(ω	∥u∥ls(x)(ω	PROPN
ejde-816	492	30	,	,	PUNCT
ejde-816	492	31	k(x	k(x	PROPN
ejde-816	492	32	)	)	PUNCT
ejde-816	492	33	)	)	PUNCT
ejde-816	492	34	:	:	PUNCT
ejde-816	492	35	=	=	SYM
ejde-816	492	36	inf{λ	inf{λ	X
ejde-816	492	37	>	>	X
ejde-816	492	38	0	0	PROPN
ejde-816	492	39	;	;	PUNCT
ejde-816	492	40	∫	∫	PROPN
ejde-816	492	41	ω	ω	NUM
ejde-816	492	42	k(x	k(x	PROPN
ejde-816	492	43	)	)	PUNCT
ejde-816	492	44	∣∣u(x	∣∣u(x	PROPN
ejde-816	492	45	)	)	PUNCT
ejde-816	492	46	λ	λ	X
ejde-816	492	47	∣∣s(x	∣∣s(x	PROPN
ejde-816	492	48	)	)	PUNCT
ejde-816	492	49	dx	dx	PROPN
ejde-816	492	50	≤	≤	NUM
ejde-816	492	51	1	1	NUM
ejde-816	492	52	}	}	PUNCT
ejde-816	492	53	.	.	PUNCT
ejde-816	493	1	note	note	VERB
ejde-816	493	2	that	that	SCONJ
ejde-816	493	3	the	the	DET
ejde-816	493	4	embedding	embed	VERB
ejde-816	493	5	xj	xj	PROPN
ejde-816	493	6	↪	↪	PROPN
ejde-816	493	7	→	→	SYM
ejde-816	493	8	ls(x)(ω	ls(x)(ω	NUM
ejde-816	493	9	)	)	PUNCT
ejde-816	493	10	,	,	PUNCT
ejde-816	493	11	1	1	NUM
ejde-816	493	12	<	<	X
ejde-816	493	13	s(x	s(x	PROPN
ejde-816	493	14	)	)	PUNCT
ejde-816	493	15	<	<	X
ejde-816	493	16	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	493	17	)	)	PUNCT
ejde-816	493	18	is	be	AUX
ejde-816	493	19	continuous	continuous	ADJ
ejde-816	493	20	.	.	PUNCT
ejde-816	494	1	since	since	SCONJ
ejde-816	494	2	all	all	DET
ejde-816	494	3	norms	norm	NOUN
ejde-816	494	4	on	on	ADP
ejde-816	494	5	the	the	DET
ejde-816	494	6	finite	finite	ADJ
ejde-816	494	7	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-816	494	8	space	space	NOUN
ejde-816	494	9	xj	xj	PROPN
ejde-816	494	10	are	be	AUX
ejde-816	494	11	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-816	494	12	,	,	PUNCT
ejde-816	494	13	so	so	ADV
ejde-816	494	14	are	be	AUX
ejde-816	494	15	the	the	DET
ejde-816	494	16	norms	norm	NOUN
ejde-816	494	17	∥	∥	X
ejde-816	494	18	·	·	PUNCT
ejde-816	494	19	∥β(x	∥β(x	NOUN
ejde-816	494	20	)	)	PUNCT
ejde-816	494	21	and	and	CCONJ
ejde-816	494	22	∥	∥	NOUN
ejde-816	494	23	·	·	PUNCT
ejde-816	494	24	∥ls(x)(ω	∥ls(x)(ω	ADJ
ejde-816	494	25	,	,	PUNCT
ejde-816	494	26	k(x	k(x	PROPN
ejde-816	494	27	)	)	PUNCT
ejde-816	494	28	)	)	PUNCT
ejde-816	494	29	.	.	PUNCT
ejde-816	495	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	495	2	,	,	PUNCT
ejde-816	495	3	for	for	ADP
ejde-816	495	4	any	any	DET
ejde-816	495	5	u	u	PROPN
ejde-816	495	6	∈	∈	PROPN
ejde-816	495	7	xj	xj	PROPN
ejde-816	495	8	,	,	PUNCT
ejde-816	495	9	it	it	PRON
ejde-816	495	10	follows	follow	VERB
ejde-816	495	11	that	that	SCONJ
ejde-816	495	12	if∫	if∫	PROPN
ejde-816	495	13	ω	ω	NUM
ejde-816	495	14	1	1	NUM
ejde-816	495	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	495	16	)	)	PUNCT
ejde-816	495	17	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	495	18	)	)	PUNCT
ejde-816	495	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	495	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	495	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	495	22	(	(	PUNCT
ejde-816	495	23	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	495	24	)	)	PUNCT
ejde-816	495	25	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	495	26	)	)	PUNCT
ejde-816	495	27	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	495	28	)	)	PUNCT
ejde-816	496	1	+	+	NOUN
ejde-816	496	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	496	3	,	,	PUNCT
ejde-816	496	4	u	u	NOUN
ejde-816	496	5	)	)	PUNCT
ejde-816	496	6	)	)	PUNCT
ejde-816	496	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	496	8	≥	≥	NUM
ejde-816	496	9	t0	t0	NOUN
ejde-816	496	10	with	with	ADP
ejde-816	496	11	t0	t0	PROPN
ejde-816	496	12	defined	define	VERB
ejde-816	496	13	in	in	ADP
ejde-816	496	14	(	(	PUNCT
ejde-816	496	15	3.1	3.1	NUM
ejde-816	496	16	)	)	PUNCT
ejde-816	496	17	and	and	CCONJ
ejde-816	496	18	(	(	PUNCT
ejde-816	496	19	3.2	3.2	NUM
ejde-816	496	20	)	)	PUNCT
ejde-816	496	21	,	,	PUNCT
ejde-816	496	22	by	by	ADP
ejde-816	496	23	(	(	PUNCT
ejde-816	496	24	3.2	3.2	NUM
ejde-816	496	25	)	)	PUNCT
ejde-816	496	26	and	and	CCONJ
ejde-816	496	27	(	(	PUNCT
ejde-816	496	28	3.7	3.7	NUM
ejde-816	496	29	)	)	PUNCT
ejde-816	496	30	for	for	ADP
ejde-816	496	31	ϵ2	ϵ2	ADJ
ejde-816	496	32	small	small	ADJ
ejde-816	496	33	enough	enough	ADV
ejde-816	496	34	we	we	PRON
ejde-816	496	35	have	have	VERB
ejde-816	496	36	i0(u	i0(u	NUM
ejde-816	496	37	)	)	PUNCT
ejde-816	496	38	=	=	SYM
ejde-816	496	39	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	496	40	(	(	PUNCT
ejde-816	496	41	∫	∫	PROPN
ejde-816	496	42	ω	ω	PROPN
ejde-816	496	43	1	1	NUM
ejde-816	496	44	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	496	45	)	)	PUNCT
ejde-816	496	46	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	496	47	)	)	PUNCT
ejde-816	496	48	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	496	49	∫	∫	PROPN
ejde-816	496	50	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	496	51	(	(	PUNCT
ejde-816	496	52	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	496	53	)	)	PUNCT
ejde-816	496	54	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	496	55	)	)	PUNCT
ejde-816	496	56	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	496	57	)	)	PUNCT
ejde-816	497	1	+	+	NOUN
ejde-816	497	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	497	3	,	,	PUNCT
ejde-816	497	4	u	u	NOUN
ejde-816	497	5	)	)	PUNCT
ejde-816	497	6	)	)	PUNCT
ejde-816	497	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	497	8	)	)	PUNCT
ejde-816	498	1	−	−	PROPN
ejde-816	499	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	499	2	ω	ω	NUM
ejde-816	499	3	f	f	PROPN
ejde-816	499	4	(	(	PUNCT
ejde-816	499	5	x	x	NOUN
ejde-816	499	6	,	,	PUNCT
ejde-816	499	7	u	u	NOUN
ejde-816	499	8	)	)	PUNCT
ejde-816	499	9	dx	dx	PROPN
ejde-816	500	1	≤	≤	NUM
ejde-816	500	2	m	m	VERB
ejde-816	500	3	(	(	PUNCT
ejde-816	500	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	500	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	500	6	1	1	NUM
ejde-816	500	7	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	500	8	)	)	PUNCT
ejde-816	500	9	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	500	10	)	)	PUNCT
ejde-816	500	11	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	500	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	500	13	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	500	14	(	(	PUNCT
ejde-816	500	15	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	500	16	)	)	PUNCT
ejde-816	500	17	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	500	18	)	)	PUNCT
ejde-816	500	19	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	500	20	)	)	PUNCT
ejde-816	501	1	+	+	NOUN
ejde-816	501	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	501	3	,	,	PUNCT
ejde-816	501	4	u	u	NOUN
ejde-816	501	5	)	)	PUNCT
ejde-816	501	6	)	)	PUNCT
ejde-816	501	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	501	8	)	)	PUNCT
ejde-816	501	9	α	α	PRON
ejde-816	501	10	−	−	PROPN
ejde-816	501	11	a1	a1	NOUN
ejde-816	501	12	s+	s+	PUNCT
ejde-816	501	13	∫	∫	PROPN
ejde-816	501	14	ω	ω	PROPN
ejde-816	501	15	k(x)|u|s(x	k(x)|u|s(x	PROPN
ejde-816	501	16	)	)	PUNCT
ejde-816	501	17	dx	dx	PROPN
ejde-816	502	1	≤	≤	NUM
ejde-816	502	2	m	m	VERB
ejde-816	502	3	(	(	PUNCT
ejde-816	502	4	p−)α	p−)α	PROPN
ejde-816	502	5	(	(	PUNCT
ejde-816	502	6	∫	∫	PROPN
ejde-816	502	7	ω	ω	NUM
ejde-816	502	8	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	502	9	)	)	PUNCT
ejde-816	502	10	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	502	11	∫	∫	PROPN
ejde-816	502	12	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	502	13	β(x)|u|p(x	β(x)|u|p(x	PROPN
ejde-816	502	14	)	)	PUNCT
ejde-816	502	15	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	502	16	+	+	CCONJ
ejde-816	502	17	p−c(ϵ2	p−c(ϵ2	ADJ
ejde-816	502	18	)	)	PUNCT
ejde-816	502	19	∫	∫	PROPN
ejde-816	502	20	∂ω	∂ω	ADJ
ejde-816	502	21	|u|r2(x)dσx	|u|r2(x)dσx	PROPN
ejde-816	502	22	)	)	PUNCT
ejde-816	502	23	α	α	PRON
ejde-816	502	24	×	×	NOUN
ejde-816	502	25	a1	a1	NOUN
ejde-816	502	26	s+	s+	PUNCT
ejde-816	502	27	∫	∫	PROPN
ejde-816	502	28	ω	ω	PROPN
ejde-816	502	29	k(x)|u|s(x	k(x)|u|s(x	PROPN
ejde-816	502	30	)	)	PUNCT
ejde-816	502	31	dx	dx	PROPN
ejde-816	503	1	≤	≤	NUM
ejde-816	503	2	m	m	VERB
ejde-816	503	3	(	(	PUNCT
ejde-816	503	4	p−)α	p−)α	X
ejde-816	503	5	(	(	PUNCT
ejde-816	503	6	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	503	7	−	−	VERB
ejde-816	503	8	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	503	9	)	)	PUNCT
ejde-816	504	1	+	+	CCONJ
ejde-816	504	2	c10(ϵ2)∥u∥r	c10(ϵ2)∥u∥r	VERB
ejde-816	504	3	+	+	CCONJ
ejde-816	504	4	2	2	X
ejde-816	504	5	)	)	PUNCT
ejde-816	504	6	α	α	NOUN
ejde-816	504	7	−	−	PROPN
ejde-816	504	8	a1	a1	NOUN
ejde-816	504	9	s+	s+	PUNCT
ejde-816	504	10	c(j)∥u∥s	c(j)∥u∥	NOUN
ejde-816	504	11	+	+	CCONJ
ejde-816	504	12	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	504	13	)	)	PUNCT
ejde-816	505	1	=	=	SYM
ejde-816	505	2	m	m	PROPN
ejde-816	505	3	(	(	PUNCT
ejde-816	505	4	p−	p−	NOUN
ejde-816	505	5	)	)	PUNCT
ejde-816	505	6	α	α	NOUN
ejde-816	505	7	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	505	8	αr+2	αr+2	X
ejde-816	505	9	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	505	10	)	)	PUNCT
ejde-816	505	11	(	(	PUNCT
ejde-816	505	12	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	505	13	−−r+2	−−r+2	X
ejde-816	505	14	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	505	15	)	)	PUNCT
ejde-816	505	16	+	+	CCONJ
ejde-816	505	17	c10(ϵ2	c10(ϵ2	NUM
ejde-816	505	18	)	)	PUNCT
ejde-816	505	19	)	)	PUNCT
ejde-816	506	1	α	α	X
ejde-816	506	2	−	−	PROPN
ejde-816	506	3	a1	a1	NOUN
ejde-816	506	4	s+	s+	PUNCT
ejde-816	506	5	c(j)∥u∥s	c(j)∥u∥	VERB
ejde-816	506	6	+	+	CCONJ
ejde-816	506	7	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	506	8	)	)	PUNCT
ejde-816	506	9	20	20	NUM
ejde-816	506	10	h.	h.	NOUN
ejde-816	506	11	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	506	12	,	,	PUNCT
ejde-816	506	13	a.	a.	NOUN
ejde-816	506	14	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	506	15	,	,	PUNCT
ejde-816	506	16	m.	m.	PROPN
ejde-816	506	17	filali	filali	PROPN
ejde-816	506	18	,	,	PUNCT
ejde-816	506	19	n.	n.	PROPN
ejde-816	506	20	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	506	21	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	506	22	=	=	PUNCT
ejde-816	506	23	∥u∥s	∥u∥	NOUN
ejde-816	506	24	+	+	CCONJ
ejde-816	506	25	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	506	26	)	)	PUNCT
ejde-816	506	27	(	(	PUNCT
ejde-816	506	28	m	m	X
ejde-816	506	29	(	(	PUNCT
ejde-816	506	30	p−	p−	NOUN
ejde-816	506	31	)	)	PUNCT
ejde-816	506	32	α	α	NOUN
ejde-816	506	33	∥u∥	∥u∥	NOUN
ejde-816	506	34	αr+2	αr+2	NUM
ejde-816	506	35	−s+	−s+	X
ejde-816	506	36	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	506	37	)	)	PUNCT
ejde-816	506	38	(	(	PUNCT
ejde-816	506	39	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	506	40	−−r+2	−−r+2	X
ejde-816	506	41	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	506	42	)	)	PUNCT
ejde-816	506	43	+	+	CCONJ
ejde-816	506	44	c10(ϵ2	c10(ϵ2	NUM
ejde-816	506	45	)	)	PUNCT
ejde-816	506	46	)	)	PUNCT
ejde-816	507	1	α	α	DET
ejde-816	507	2	−	−	PROPN
ejde-816	507	3	a1	a1	NOUN
ejde-816	507	4	s+	s+	X
ejde-816	507	5	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	507	6	)	)	PUNCT
ejde-816	507	7	)	)	PUNCT
ejde-816	507	8	,	,	PUNCT
ejde-816	507	9	where	where	SCONJ
ejde-816	507	10	c(j	c(j	NOUN
ejde-816	507	11	)	)	PUNCT
ejde-816	507	12	is	be	AUX
ejde-816	507	13	a	a	DET
ejde-816	507	14	positive	positive	ADJ
ejde-816	507	15	constant	constant	ADJ
ejde-816	507	16	depending	depend	VERB
ejde-816	507	17	on	on	ADP
ejde-816	507	18	j.	j.	PROPN
ejde-816	507	19	for	for	ADP
ejde-816	507	20	each	each	DET
ejde-816	507	21	j	j	PROPN
ejde-816	507	22	∈	∈	PROPN
ejde-816	507	23	n	n	CCONJ
ejde-816	507	24	as	as	ADP
ejde-816	507	25	before	before	ADV
ejde-816	507	26	,	,	PUNCT
ejde-816	507	27	let	let	VERB
ejde-816	507	28	us	we	PRON
ejde-816	507	29	denote	denote	VERB
ejde-816	507	30	by	by	ADP
ejde-816	507	31	rj	rj	PROPN
ejde-816	507	32	the	the	DET
ejde-816	507	33	positive	positive	ADJ
ejde-816	507	34	constant	constant	ADJ
ejde-816	507	35	such	such	ADJ
ejde-816	507	36	that	that	SCONJ
ejde-816	507	37	m	m	PROPN
ejde-816	507	38	(	(	PUNCT
ejde-816	507	39	p−	p−	NOUN
ejde-816	507	40	)	)	PUNCT
ejde-816	507	41	α	α	PROPN
ejde-816	507	42	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	507	43	αr+2	αr+2	PROPN
ejde-816	507	44	−s+	−s+	X
ejde-816	507	45	j	j	PROPN
ejde-816	507	46	(	(	PUNCT
ejde-816	507	47	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	507	48	p−−r+2	p−−r+2	PROPN
ejde-816	507	49	j	j	PROPN
ejde-816	507	50	−	−	NOUN
ejde-816	507	51	c10(ϵ2	c10(ϵ2	NUM
ejde-816	507	52	)	)	PUNCT
ejde-816	507	53	)	)	PUNCT
ejde-816	508	1	α	α	PRON
ejde-816	508	2	<	<	X
ejde-816	508	3	a1	a1	PROPN
ejde-816	508	4	s+	s+	X
ejde-816	508	5	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	508	6	)	)	PUNCT
ejde-816	508	7	then	then	ADV
ejde-816	508	8	,	,	PUNCT
ejde-816	508	9	for	for	ADP
ejde-816	508	10	all	all	PRON
ejde-816	508	11	0	0	NUM
ejde-816	508	12	<	<	X
ejde-816	508	13	ρj	ρj	X
ejde-816	508	14	<	<	X
ejde-816	508	15	rj	rj	PROPN
ejde-816	508	16	,	,	PUNCT
ejde-816	508	17	and	and	CCONJ
ejde-816	508	18	u	u	PROPN
ejde-816	508	19	∈	∈	PROPN
ejde-816	508	20	sρj	sρj	VERB
ejde-816	508	21	:	:	PUNCT
ejde-816	508	22	=	=	SYM
ejde-816	508	23	{	{	PUNCT
ejde-816	508	24	u	u	PROPN
ejde-816	508	25	∈	∈	PROPN
ejde-816	508	26	xj	xj	PROPN
ejde-816	508	27	:	:	PUNCT
ejde-816	508	28	∥u∥β(x	∥u∥β(x	PROPN
ejde-816	508	29	)	)	PUNCT
ejde-816	508	30	=	=	SYM
ejde-816	508	31	ρj	ρj	NOUN
ejde-816	508	32	}	}	PUNCT
ejde-816	508	33	,	,	PUNCT
ejde-816	508	34	sρj	sρj	VERB
ejde-816	508	35	is	be	AUX
ejde-816	508	36	a	a	DET
ejde-816	508	37	closed	closed	ADJ
ejde-816	508	38	subset	subset	NOUN
ejde-816	508	39	of	of	ADP
ejde-816	508	40	x\{0	x\{0	PROPN
ejde-816	508	41	}	}	PUNCT
ejde-816	508	42	that	that	PRON
ejde-816	508	43	is	be	AUX
ejde-816	508	44	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-816	508	45	with	with	ADP
ejde-816	508	46	respect	respect	NOUN
ejde-816	508	47	to	to	ADP
ejde-816	508	48	the	the	DET
ejde-816	508	49	origin	origin	NOUN
ejde-816	508	50	.	.	PUNCT
ejde-816	509	1	we	we	PRON
ejde-816	509	2	obtain	obtain	VERB
ejde-816	509	3	i0(u	i0(u	PRON
ejde-816	509	4	)	)	PUNCT
ejde-816	509	5	≤	≤	NOUN
ejde-816	510	1	ρs	ρs	ADV
ejde-816	511	1	+	+	NUM
ejde-816	511	2	j	j	PROPN
ejde-816	511	3	(	(	PUNCT
ejde-816	511	4	m	m	PROPN
ejde-816	511	5	(	(	PUNCT
ejde-816	511	6	p−	p−	NOUN
ejde-816	511	7	)	)	PUNCT
ejde-816	511	8	α	α	PROPN
ejde-816	511	9	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	511	10	αr+2	αr+2	PROPN
ejde-816	511	11	−s+	−s+	X
ejde-816	511	12	j	j	PROPN
ejde-816	511	13	(	(	PUNCT
ejde-816	511	14	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	511	15	p−−r+2	p−−r+2	PROPN
ejde-816	511	16	j	j	PROPN
ejde-816	511	17	−	−	NOUN
ejde-816	511	18	c10(ϵ2	c10(ϵ2	NUM
ejde-816	511	19	)	)	PUNCT
ejde-816	511	20	)	)	PUNCT
ejde-816	512	1	α	α	PRON
ejde-816	512	2	−	−	PROPN
ejde-816	512	3	a1	a1	NOUN
ejde-816	512	4	s+	s+	X
ejde-816	512	5	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	512	6	)	)	PUNCT
ejde-816	512	7	)	)	PUNCT
ejde-816	513	1	≤	≤	NUM
ejde-816	513	2	rs+	rs+	X
ejde-816	513	3	j	j	PROPN
ejde-816	513	4	(	(	PUNCT
ejde-816	513	5	m	m	PROPN
ejde-816	513	6	(	(	PUNCT
ejde-816	513	7	p−	p−	NOUN
ejde-816	513	8	)	)	PUNCT
ejde-816	513	9	αr	αr	NUM
ejde-816	513	10	αr+2	αr+2	PROPN
ejde-816	513	11	−s+	−s+	X
ejde-816	513	12	j	j	PROPN
ejde-816	513	13	(	(	PUNCT
ejde-816	513	14	r	r	PROPN
ejde-816	513	15	p−−r+2	p−−r+2	NOUN
ejde-816	513	16	j	j	PROPN
ejde-816	513	17	−	−	NOUN
ejde-816	513	18	c10(ϵ2	c10(ϵ2	NUM
ejde-816	513	19	)	)	PUNCT
ejde-816	513	20	)	)	PUNCT
ejde-816	514	1	α	α	DET
ejde-816	514	2	−	−	PROPN
ejde-816	514	3	a1	a1	NOUN
ejde-816	514	4	s+	s+	X
ejde-816	514	5	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	514	6	)	)	PUNCT
ejde-816	514	7	)	)	PUNCT
ejde-816	515	1	<	<	X
ejde-816	515	2	0	0	X
ejde-816	515	3	=	=	SYM
ejde-816	515	4	i0(0	i0(0	PROPN
ejde-816	515	5	)	)	PUNCT
ejde-816	515	6	.	.	PUNCT
ejde-816	516	1	if	if	SCONJ
ejde-816	516	2	∫	∫	PROPN
ejde-816	516	3	ω	ω	PROPN
ejde-816	516	4	1	1	NUM
ejde-816	516	5	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	516	6	)	)	PUNCT
ejde-816	516	7	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	516	8	)	)	PUNCT
ejde-816	516	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	516	10	∫	∫	PROPN
ejde-816	516	11	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	516	12	(	(	PUNCT
ejde-816	516	13	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	516	14	)	)	PUNCT
ejde-816	516	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	516	16	)	)	PUNCT
ejde-816	516	17	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	516	18	)	)	PUNCT
ejde-816	517	1	+	+	NOUN
ejde-816	517	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	517	3	,	,	PUNCT
ejde-816	517	4	u	u	NOUN
ejde-816	517	5	)	)	PUNCT
ejde-816	517	6	)	)	PUNCT
ejde-816	517	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	517	8	≤	≤	NUM
ejde-816	517	9	t0	t0	PROPN
ejde-816	517	10	,	,	PUNCT
ejde-816	517	11	then	then	ADV
ejde-816	517	12	by	by	ADP
ejde-816	517	13	(	(	PUNCT
ejde-816	517	14	3.16	3.16	NUM
ejde-816	517	15	)	)	PUNCT
ejde-816	517	16	,	,	PUNCT
ejde-816	517	17	i0(u	i0(u	X
ejde-816	517	18	)	)	PUNCT
ejde-816	517	19	=	=	SYM
ejde-816	517	20	m̂	m̂	PROPN
ejde-816	517	21	(	(	PUNCT
ejde-816	517	22	∫	∫	PROPN
ejde-816	517	23	ω	ω	PROPN
ejde-816	517	24	1	1	NUM
ejde-816	517	25	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	517	26	)	)	PUNCT
ejde-816	517	27	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	517	28	)	)	PUNCT
ejde-816	517	29	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	517	30	∫	∫	PROPN
ejde-816	517	31	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	517	32	(	(	PUNCT
ejde-816	517	33	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	517	34	)	)	PUNCT
ejde-816	517	35	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	517	36	)	)	PUNCT
ejde-816	517	37	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	517	38	)	)	PUNCT
ejde-816	518	1	+	+	NOUN
ejde-816	518	2	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	518	3	,	,	PUNCT
ejde-816	518	4	u	u	NOUN
ejde-816	518	5	)	)	PUNCT
ejde-816	518	6	)	)	PUNCT
ejde-816	518	7	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	518	8	)	)	PUNCT
ejde-816	519	1	−	−	PROPN
ejde-816	520	1	∫	∫	PROPN
ejde-816	521	1	ω	ω	NUM
ejde-816	521	2	f	f	PROPN
ejde-816	521	3	(	(	PUNCT
ejde-816	521	4	x	x	NOUN
ejde-816	521	5	,	,	PUNCT
ejde-816	521	6	u	u	NOUN
ejde-816	521	7	)	)	PUNCT
ejde-816	521	8	dx	dx	PROPN
ejde-816	521	9	≤	≤	PROPN
ejde-816	521	10	m0	m0	PROPN
ejde-816	521	11	(	(	PUNCT
ejde-816	521	12	∫	∫	PROPN
ejde-816	521	13	ω	ω	PROPN
ejde-816	521	14	1	1	NUM
ejde-816	521	15	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	521	16	)	)	PUNCT
ejde-816	521	17	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	521	18	)	)	PUNCT
ejde-816	521	19	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	521	20	∫	∫	PROPN
ejde-816	521	21	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	521	22	(	(	PUNCT
ejde-816	521	23	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	521	24	)	)	PUNCT
ejde-816	521	25	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	521	26	)	)	PUNCT
ejde-816	521	27	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	521	28	)	)	PUNCT
ejde-816	521	29	+	+	NOUN
ejde-816	521	30	g(x	g(x	NOUN
ejde-816	521	31	,	,	PUNCT
ejde-816	521	32	u	u	NOUN
ejde-816	521	33	)	)	PUNCT
ejde-816	521	34	)	)	PUNCT
ejde-816	521	35	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	521	36	)	)	PUNCT
ejde-816	522	1	−	−	PRON
ejde-816	522	2	a1	a1	NOUN
ejde-816	522	3	s+	s+	PUNCT
ejde-816	522	4	∫	∫	PROPN
ejde-816	522	5	ω	ω	PROPN
ejde-816	522	6	k(x)|u|s(x	k(x)|u|s(x	PROPN
ejde-816	522	7	)	)	PUNCT
ejde-816	522	8	dx	dx	PROPN
ejde-816	523	1	≤	≤	NUM
ejde-816	523	2	m	m	VERB
ejde-816	523	3	(	(	PUNCT
ejde-816	523	4	p−	p−	NOUN
ejde-816	523	5	)	)	PUNCT
ejde-816	523	6	α	α	NOUN
ejde-816	523	7	(	(	PUNCT
ejde-816	523	8	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	523	9	−	−	VERB
ejde-816	523	10	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	523	11	)	)	PUNCT
ejde-816	524	1	+	+	CCONJ
ejde-816	524	2	c10(ϵ2)∥u∥r	c10(ϵ2)∥u∥r	VERB
ejde-816	524	3	+	+	CCONJ
ejde-816	524	4	2	2	X
ejde-816	524	5	)	)	PUNCT
ejde-816	524	6	−	−	PROPN
ejde-816	524	7	a1	a1	NOUN
ejde-816	524	8	s+	s+	PUNCT
ejde-816	524	9	c(j)∥u∥s	c(j)∥u∥	NOUN
ejde-816	524	10	+	+	CCONJ
ejde-816	524	11	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	524	12	)	)	PUNCT
ejde-816	524	13	≤	≤	NOUN
ejde-816	524	14	∥u∥s	∥u∥	NOUN
ejde-816	524	15	+	+	CCONJ
ejde-816	524	16	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	524	17	)	)	PUNCT
ejde-816	524	18	(	(	PUNCT
ejde-816	524	19	m0	m0	NOUN
ejde-816	524	20	(	(	PUNCT
ejde-816	524	21	p−	p−	PROPN
ejde-816	524	22	)	)	PUNCT
ejde-816	524	23	α	α	PROPN
ejde-816	524	24	(	(	PUNCT
ejde-816	524	25	∥u∥p	∥u∥p	NOUN
ejde-816	524	26	−−s+	−−s+	NUM
ejde-816	524	27	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	524	28	)	)	PUNCT
ejde-816	524	29	+	+	CCONJ
ejde-816	524	30	c10(ϵ2)∥u∥r	c10(ϵ2)∥u∥r	VERB
ejde-816	524	31	+	+	CCONJ
ejde-816	524	32	2	2	NUM
ejde-816	524	33	−s+)−	−s+)−	NOUN
ejde-816	524	34	a1	a1	NOUN
ejde-816	524	35	s+	s+	X
ejde-816	524	36	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	524	37	)	)	PUNCT
ejde-816	524	38	)	)	PUNCT
ejde-816	524	39	where	where	SCONJ
ejde-816	524	40	c(j	c(j	NOUN
ejde-816	524	41	)	)	PUNCT
ejde-816	524	42	is	be	AUX
ejde-816	524	43	a	a	DET
ejde-816	524	44	positive	positive	ADJ
ejde-816	524	45	constant	constant	ADJ
ejde-816	524	46	depending	depend	VERB
ejde-816	524	47	on	on	ADP
ejde-816	524	48	j.	j.	PROPN
ejde-816	524	49	for	for	ADP
ejde-816	524	50	each	each	DET
ejde-816	524	51	j	j	PROPN
ejde-816	524	52	∈	∈	PROPN
ejde-816	524	53	n	n	CCONJ
ejde-816	524	54	as	as	ADP
ejde-816	524	55	before	before	ADV
ejde-816	524	56	,	,	PUNCT
ejde-816	524	57	let	let	VERB
ejde-816	524	58	us	we	PRON
ejde-816	524	59	denote	denote	VERB
ejde-816	524	60	by	by	ADP
ejde-816	524	61	r′	r′	PROPN
ejde-816	524	62	j	j	PROPN
ejde-816	524	63	the	the	DET
ejde-816	524	64	positive	positive	ADJ
ejde-816	524	65	constant	constant	ADJ
ejde-816	524	66	such	such	ADJ
ejde-816	524	67	that	that	SCONJ
ejde-816	524	68	m0	m0	NOUN
ejde-816	524	69	(	(	PUNCT
ejde-816	524	70	p−	p−	PROPN
ejde-816	524	71	)	)	PUNCT
ejde-816	524	72	α	α	NOUN
ejde-816	524	73	(	(	PUNCT
ejde-816	524	74	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	524	75	′	′	PROPN
ejde-816	524	76	j	j	PROPN
ejde-816	524	77	)	)	PUNCT
ejde-816	524	78	p−−s+	p−−s+	VERB
ejde-816	524	79	−	−	PROPN
ejde-816	524	80	c10(ϵ2)(ρ	c10(ϵ2)(ρ	NUM
ejde-816	525	1	′	′	NUM
ejde-816	525	2	j	j	NOUN
ejde-816	525	3	)	)	PUNCT
ejde-816	525	4	r+−s+	r+−s+	NOUN
ejde-816	525	5	)	)	PUNCT
ejde-816	526	1	<	<	X
ejde-816	526	2	a1	a1	NOUN
ejde-816	526	3	s+	s+	X
ejde-816	526	4	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	526	5	)	)	PUNCT
ejde-816	526	6	.	.	PUNCT
ejde-816	527	1	then	then	ADV
ejde-816	527	2	,	,	PUNCT
ejde-816	527	3	for	for	ADP
ejde-816	527	4	all	all	PRON
ejde-816	527	5	0	0	NUM
ejde-816	527	6	<	<	X
ejde-816	527	7	ρ′j	ρ′j	X
ejde-816	527	8	<	<	X
ejde-816	527	9	r′	r′	PROPN
ejde-816	527	10	j	j	PROPN
ejde-816	527	11	,	,	PUNCT
ejde-816	527	12	and	and	CCONJ
ejde-816	527	13	u	u	PROPN
ejde-816	527	14	∈	∈	PROPN
ejde-816	527	15	sρ′	sρ′	NOUN
ejde-816	527	16	j	j	NOUN
ejde-816	527	17	:	:	PUNCT
ejde-816	527	18	=	=	SYM
ejde-816	527	19	{	{	PUNCT
ejde-816	527	20	u	u	PROPN
ejde-816	527	21	∈	∈	PROPN
ejde-816	527	22	xj	xj	PROPN
ejde-816	527	23	:	:	PUNCT
ejde-816	527	24	∥u∥β(x	∥u∥β(x	PROPN
ejde-816	527	25	)	)	PUNCT
ejde-816	527	26	=	=	SYM
ejde-816	528	1	ρ′j	ρ′j	X
ejde-816	528	2	}	}	PUNCT
ejde-816	528	3	,	,	PUNCT
ejde-816	528	4	sρ′	sρ′	PROPN
ejde-816	528	5	j	j	PROPN
ejde-816	528	6	is	be	AUX
ejde-816	528	7	a	a	DET
ejde-816	528	8	closed	closed	ADJ
ejde-816	528	9	subset	subset	NOUN
ejde-816	528	10	of	of	ADP
ejde-816	528	11	x\{0	x\{0	PROPN
ejde-816	528	12	}	}	PUNCT
ejde-816	528	13	that	that	PRON
ejde-816	528	14	is	be	AUX
ejde-816	528	15	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-816	528	16	with	with	ADP
ejde-816	528	17	respect	respect	NOUN
ejde-816	528	18	to	to	ADP
ejde-816	528	19	the	the	DET
ejde-816	528	20	origin	origin	NOUN
ejde-816	528	21	.	.	PUNCT
ejde-816	529	1	we	we	PRON
ejde-816	529	2	obtain	obtain	VERB
ejde-816	529	3	i0(u	i0(u	SYM
ejde-816	529	4	)	)	PUNCT
ejde-816	529	5	≤	≤	NOUN
ejde-816	529	6	(	(	PUNCT
ejde-816	529	7	ρ′j	ρ′j	NUM
ejde-816	529	8	)	)	PUNCT
ejde-816	529	9	s+	s+	PUNCT
ejde-816	529	10	(	(	PUNCT
ejde-816	529	11	m0	m0	NOUN
ejde-816	529	12	(	(	PUNCT
ejde-816	529	13	p−	p−	PROPN
ejde-816	529	14	)	)	PUNCT
ejde-816	529	15	α	α	NOUN
ejde-816	529	16	(	(	PUNCT
ejde-816	529	17	ρ	ρ	PROPN
ejde-816	529	18	′	′	PROPN
ejde-816	529	19	j	j	PROPN
ejde-816	529	20	)	)	PUNCT
ejde-816	529	21	p−−s+	p−−s+	VERB
ejde-816	529	22	−	−	PROPN
ejde-816	529	23	c10(ϵ2)(ρ	c10(ϵ2)(ρ	NUM
ejde-816	530	1	′	′	NUM
ejde-816	530	2	j	j	X
ejde-816	530	3	)	)	PUNCT
ejde-816	530	4	r+2	r+2	NUM
ejde-816	530	5	−s+	−s+	ADP
ejde-816	530	6	−	−	PROPN
ejde-816	530	7	a1	a1	NOUN
ejde-816	530	8	s+	s+	X
ejde-816	530	9	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	530	10	)	)	PUNCT
ejde-816	530	11	)	)	PUNCT
ejde-816	530	12	≤	≤	NOUN
ejde-816	530	13	(	(	PUNCT
ejde-816	530	14	r′	r′	PROPN
ejde-816	530	15	j	j	NOUN
ejde-816	530	16	)	)	PUNCT
ejde-816	530	17	s+	s+	PUNCT
ejde-816	530	18	(	(	PUNCT
ejde-816	530	19	m0	m0	NOUN
ejde-816	530	20	(	(	PUNCT
ejde-816	530	21	p−	p−	PROPN
ejde-816	530	22	)	)	PUNCT
ejde-816	530	23	α	α	NOUN
ejde-816	530	24	(	(	PUNCT
ejde-816	530	25	r	r	NOUN
ejde-816	530	26	′	′	NUM
ejde-816	530	27	j	j	NOUN
ejde-816	530	28	)	)	PUNCT
ejde-816	530	29	p−−s+	p−−s+	AUX
ejde-816	530	30	−	−	PROPN
ejde-816	530	31	c10(ϵ2)(r	c10(ϵ2)(r	NOUN
ejde-816	530	32	′	′	NUM
ejde-816	530	33	j	j	NOUN
ejde-816	530	34	)	)	PUNCT
ejde-816	530	35	r+2	r+2	NUM
ejde-816	530	36	−s+	−s+	ADP
ejde-816	530	37	−	−	PROPN
ejde-816	530	38	a1	a1	NOUN
ejde-816	530	39	s+	s+	X
ejde-816	530	40	c(j	c(j	PROPN
ejde-816	530	41	)	)	PUNCT
ejde-816	530	42	)	)	PUNCT
ejde-816	531	1	<	<	X
ejde-816	531	2	0	0	X
ejde-816	531	3	=	=	SYM
ejde-816	531	4	i0(0	i0(0	PROPN
ejde-816	531	5	)	)	PUNCT
ejde-816	531	6	.	.	PUNCT
ejde-816	532	1	then	then	ADV
ejde-816	532	2	in	in	ADP
ejde-816	532	3	both	both	DET
ejde-816	532	4	cases	case	NOUN
ejde-816	532	5	there	there	ADV
ejde-816	532	6	exists	exist	VERB
ejde-816	532	7	a	a	DET
ejde-816	532	8	sphere	sphere	NOUN
ejde-816	532	9	sj	sj	INTJ
ejde-816	532	10	such	such	ADJ
ejde-816	532	11	that	that	DET
ejde-816	532	12	sup	sup	NOUN
ejde-816	532	13	u∈sj	u∈sj	PROPN
ejde-816	532	14	i0(u	i0(u	NUM
ejde-816	532	15	)	)	PUNCT
ejde-816	532	16	<	<	X
ejde-816	532	17	i0(0	i0(0	PROPN
ejde-816	532	18	)	)	PUNCT
ejde-816	532	19	.	.	PUNCT
ejde-816	533	1	becausexj	becausexj	NOUN
ejde-816	533	2	and	and	CCONJ
ejde-816	533	3	rj	rj	PROPN
ejde-816	533	4	are	be	AUX
ejde-816	533	5	isomorphic	isomorphic	ADJ
ejde-816	533	6	and	and	CCONJ
ejde-816	533	7	sj	sj	INTJ
ejde-816	533	8	and	and	CCONJ
ejde-816	533	9	s	s	VERB
ejde-816	533	10	j−1	j−1	NOUN
ejde-816	533	11	are	be	AUX
ejde-816	533	12	homeomorphic	homeomorphic	ADJ
ejde-816	533	13	,	,	PUNCT
ejde-816	533	14	we	we	PRON
ejde-816	533	15	conclude	conclude	VERB
ejde-816	533	16	that	that	SCONJ
ejde-816	533	17	γ	γ	PROPN
ejde-816	533	18	(	(	PUNCT
ejde-816	533	19	sj	sj	PROPN
ejde-816	533	20	)	)	PUNCT
ejde-816	533	21	=	=	SYM
ejde-816	533	22	j.	j.	PROPN
ejde-816	534	1	moreover	moreover	ADV
ejde-816	534	2	,	,	PUNCT
ejde-816	534	3	by	by	ADP
ejde-816	534	4	(	(	PUNCT
ejde-816	534	5	a11	a11	PROPN
ejde-816	534	6	)	)	PUNCT
ejde-816	534	7	and	and	CCONJ
ejde-816	534	8	(	(	PUNCT
ejde-816	534	9	a12	a12	PROPN
ejde-816	534	10	)	)	PUNCT
ejde-816	534	11	,	,	PUNCT
ejde-816	534	12	i0	i0	PROPN
ejde-816	534	13	is	be	AUX
ejde-816	534	14	even	even	ADV
ejde-816	534	15	.	.	PUNCT
ejde-816	535	1	by	by	ADP
ejde-816	535	2	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	535	3	2.7	2.7	NUM
ejde-816	535	4	the	the	DET
ejde-816	535	5	functional	functional	ADJ
ejde-816	535	6	i0	i0	PROPN
ejde-816	535	7	has	have	VERB
ejde-816	535	8	at	at	ADP
ejde-816	535	9	least	least	ADJ
ejde-816	535	10	j	j	NOUN
ejde-816	535	11	pair	pair	NOUN
ejde-816	535	12	of	of	ADP
ejde-816	535	13	different	different	ADJ
ejde-816	535	14	critical	critical	ADJ
ejde-816	535	15	points	point	NOUN
ejde-816	535	16	.	.	PUNCT
ejde-816	536	1	since	since	SCONJ
ejde-816	536	2	j	j	PROPN
ejde-816	536	3	is	be	AUX
ejde-816	536	4	arbitrary	arbitrary	ADJ
ejde-816	536	5	,	,	PUNCT
ejde-816	536	6	we	we	PRON
ejde-816	536	7	ejde-2024/83	ejde-2024/83	ADP
ejde-816	536	8	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	536	9	type	type	NOUN
ejde-816	536	10	problems	problem	NOUN
ejde-816	536	11	21	21	NUM
ejde-816	536	12	obtain	obtain	VERB
ejde-816	536	13	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	536	14	many	many	ADJ
ejde-816	536	15	critical	critical	ADJ
ejde-816	536	16	points	point	NOUN
ejde-816	536	17	of	of	ADP
ejde-816	536	18	i0	i0	PROPN
ejde-816	536	19	and	and	CCONJ
ejde-816	536	20	thus	thus	ADV
ejde-816	536	21	problem	problem	NOUN
ejde-816	536	22	(	(	PUNCT
ejde-816	536	23	1.1	1.1	NUM
ejde-816	536	24	)	)	PUNCT
ejde-816	536	25	with	with	ADP
ejde-816	536	26	λ	λ	NOUN
ejde-816	536	27	=	=	SYM
ejde-816	536	28	0	0	PUNCT
ejde-816	536	29	has	have	VERB
ejde-816	536	30	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	536	31	many	many	ADJ
ejde-816	536	32	weak	weak	ADJ
ejde-816	536	33	solutions	solution	NOUN
ejde-816	536	34	.	.	PUNCT
ejde-816	537	1	we	we	PRON
ejde-816	537	2	can	can	AUX
ejde-816	537	3	prove	prove	VERB
ejde-816	537	4	the	the	DET
ejde-816	537	5	same	same	ADJ
ejde-816	537	6	result	result	NOUN
ejde-816	537	7	for	for	ADP
ejde-816	537	8	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	537	9	)	)	PUNCT
ejde-816	537	10	≡	≡	PROPN
ejde-816	537	11	0	0	NUM
ejde-816	537	12	.	.	PUNCT
ejde-816	538	1	□	□	PUNCT
ejde-816	538	2	4	4	X
ejde-816	538	3	.	.	PUNCT
ejde-816	538	4	applications	application	NOUN
ejde-816	538	5	in	in	ADP
ejde-816	538	6	this	this	DET
ejde-816	538	7	section	section	NOUN
ejde-816	538	8	we	we	PRON
ejde-816	538	9	give	give	VERB
ejde-816	538	10	two	two	NUM
ejde-816	538	11	examples	example	NOUN
ejde-816	538	12	of	of	ADP
ejde-816	538	13	problems	problem	NOUN
ejde-816	538	14	that	that	PRON
ejde-816	538	15	satisfy	satisfy	VERB
ejde-816	538	16	the	the	DET
ejde-816	538	17	hypotheses	hypothesis	NOUN
ejde-816	538	18	of	of	ADP
ejde-816	538	19	theorem	theorem	ADJ
ejde-816	538	20	3.1	3.1	NUM
ejde-816	538	21	and	and	CCONJ
ejde-816	538	22	theorem	theorem	VERB
ejde-816	538	23	3.8	3.8	NUM
ejde-816	538	24	.	.	PUNCT
ejde-816	539	1	the	the	DET
ejde-816	539	2	first	first	ADJ
ejde-816	539	3	is	be	AUX
ejde-816	539	4	an	an	DET
ejde-816	539	5	example	example	NOUN
ejde-816	539	6	of	of	ADP
ejde-816	539	7	a	a	DET
ejde-816	539	8	non	non	ADJ
ejde-816	539	9	-	-	ADJ
ejde-816	539	10	linear	linear	ADJ
ejde-816	539	11	problem	problem	NOUN
ejde-816	539	12	with	with	ADP
ejde-816	539	13	variable	variable	ADJ
ejde-816	539	14	exponent	exponent	NOUN
ejde-816	539	15	and	and	CCONJ
ejde-816	539	16	the	the	DET
ejde-816	539	17	second	second	NOUN
ejde-816	539	18	is	be	AUX
ejde-816	539	19	an	an	DET
ejde-816	539	20	example	example	NOUN
ejde-816	539	21	of	of	ADP
ejde-816	539	22	the	the	DET
ejde-816	539	23	linear	linear	ADJ
ejde-816	539	24	case	case	NOUN
ejde-816	539	25	where	where	SCONJ
ejde-816	539	26	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	539	27	)	)	PUNCT
ejde-816	539	28	is	be	AUX
ejde-816	539	29	a	a	DET
ejde-816	539	30	constant	constant	ADJ
ejde-816	539	31	equal	equal	ADJ
ejde-816	539	32	to	to	ADP
ejde-816	539	33	2	2	NUM
ejde-816	539	34	.	.	NOUN
ejde-816	539	35	4.1	4.1	NUM
ejde-816	539	36	.	.	PUNCT
ejde-816	540	1	non	non	ADJ
ejde-816	540	2	-	-	ADJ
ejde-816	540	3	linear	linear	ADJ
ejde-816	540	4	case	case	NOUN
ejde-816	540	5	.	.	PUNCT
ejde-816	541	1	let	let	VERB
ejde-816	541	2	us	we	PRON
ejde-816	541	3	consider	consider	VERB
ejde-816	541	4	the	the	DET
ejde-816	541	5	problem	problem	NOUN
ejde-816	541	6	−	−	PROPN
ejde-816	541	7	aα	aα	NOUN
ejde-816	541	8	(	(	PUNCT
ejde-816	541	9	∫	∫	PROPN
ejde-816	541	10	ω	ω	PROPN
ejde-816	541	11	1	1	NUM
ejde-816	541	12	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	541	13	)	)	PUNCT
ejde-816	541	14	|∇u|p(x	|∇u|p(x	PROPN
ejde-816	541	15	)	)	PUNCT
ejde-816	541	16	dx+	dx+	NOUN
ejde-816	541	17	∫	∫	PROPN
ejde-816	541	18	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	541	19	(	(	PUNCT
ejde-816	541	20	β(x	β(x	NOUN
ejde-816	541	21	)	)	PUNCT
ejde-816	541	22	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	541	23	)	)	PUNCT
ejde-816	541	24	|u|p(x	|u|p(x	PROPN
ejde-816	541	25	)	)	PUNCT
ejde-816	542	1	+	+	NUM
ejde-816	542	2	γ(x	γ(x	NOUN
ejde-816	542	3	)	)	PUNCT
ejde-816	542	4	r(x	r(x	PROPN
ejde-816	542	5	)	)	PUNCT
ejde-816	542	6	|u|r(x	|u|r(x	PROPN
ejde-816	542	7	)	)	PUNCT
ejde-816	542	8	)	)	PUNCT
ejde-816	543	1	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	543	2	)	)	PUNCT
ejde-816	543	3	α−1	α−1	PROPN
ejde-816	543	4	∆p(x)u	∆p(x)u	ADP
ejde-816	543	5	=	=	SYM
ejde-816	543	6	k(x)|u|s(x)−2u+	k(x)|u|s(x)−2u+	PROPN
ejde-816	543	7	λh(x	λh(x	PUNCT
ejde-816	543	8	)	)	PUNCT
ejde-816	543	9	,	,	PUNCT
ejde-816	543	10	x	x	PUNCT
ejde-816	543	11	∈	∈	PROPN
ejde-816	543	12	ω	ω	PROPN
ejde-816	543	13	,	,	PUNCT
ejde-816	543	14	|∇u|p(x)−2	|∇u|p(x)−2	ADP
ejde-816	543	15	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	543	16	∂ν	∂ν	PRON
ejde-816	544	1	+	+	CCONJ
ejde-816	544	2	β(x)|u|p(x)−2u+	β(x)|u|p(x)−2u+	PUNCT
ejde-816	544	3	γ(x)|u|r(x)−2u	γ(x)|u|r(x)−2u	NOUN
ejde-816	544	4	=	=	SYM
ejde-816	544	5	0	0	PROPN
ejde-816	544	6	,	,	PUNCT
ejde-816	544	7	x	x	X
ejde-816	544	8	∈	∈	PROPN
ejde-816	544	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	544	10	,	,	PUNCT
ejde-816	544	11	(	(	PUNCT
ejde-816	544	12	4.1	4.1	NUM
ejde-816	544	13	)	)	PUNCT
ejde-816	544	14	where	where	SCONJ
ejde-816	544	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	544	16	is	be	AUX
ejde-816	544	17	a	a	DET
ejde-816	544	18	bounded	bounded	ADJ
ejde-816	544	19	domain	domain	NOUN
ejde-816	544	20	in	in	ADP
ejde-816	544	21	rn	rn	PROPN
ejde-816	544	22	with	with	ADP
ejde-816	544	23	smooth	smooth	ADJ
ejde-816	544	24	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	544	25	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	544	26	,	,	PUNCT
ejde-816	544	27	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	544	28	∂ν	∂ν	PROPN
ejde-816	544	29	is	be	AUX
ejde-816	544	30	the	the	DET
ejde-816	544	31	outer	outer	ADJ
ejde-816	544	32	normal	normal	ADJ
ejde-816	544	33	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	544	34	,	,	PUNCT
ejde-816	544	35	dσx	dσx	PROPN
ejde-816	544	36	is	be	AUX
ejde-816	544	37	the	the	DET
ejde-816	544	38	measure	measure	NOUN
ejde-816	544	39	on	on	ADP
ejde-816	544	40	the	the	DET
ejde-816	544	41	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	544	42	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	544	43	,	,	PUNCT
ejde-816	544	44	β	β	X
ejde-816	544	45	∈	∈	PROPN
ejde-816	544	46	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	544	47	)	)	PUNCT
ejde-816	544	48	,	,	PUNCT
ejde-816	544	49	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	544	50	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	544	51	)	)	PUNCT
ejde-816	544	52	>	>	X
ejde-816	544	53	0	0	NUM
ejde-816	544	54	,	,	PUNCT
ejde-816	544	55	γ	γ	PROPN
ejde-816	544	56	∈	∈	PROPN
ejde-816	544	57	l1(∂ω	l1(∂ω	NUM
ejde-816	544	58	)	)	PUNCT
ejde-816	544	59	,	,	PUNCT
ejde-816	544	60	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	544	61	γ(x	γ(x	PROPN
ejde-816	544	62	)	)	PUNCT
ejde-816	544	63	>	>	X
ejde-816	544	64	0	0	NUM
ejde-816	544	65	,	,	PUNCT
ejde-816	544	66	p	p	PROPN
ejde-816	544	67	∈	∈	PROPN
ejde-816	544	68	c+(ω̄	c+(ω̄	NOUN
ejde-816	544	69	)	)	PUNCT
ejde-816	544	70	,	,	PUNCT
ejde-816	544	71	1	1	NUM
ejde-816	544	72	<	<	X
ejde-816	544	73	p−	p−	NOUN
ejde-816	544	74	:	:	PUNCT
ejde-816	544	75	=	=	SYM
ejde-816	544	76	infx∈ω̄	infx∈ω̄	NOUN
ejde-816	544	77	p(x	p(x	NOUN
ejde-816	544	78	)	)	PUNCT
ejde-816	544	79	≤	≤	NOUN
ejde-816	544	80	p+	p+	VERB
ejde-816	544	81	:	:	PUNCT
ejde-816	544	82	=	=	SYM
ejde-816	544	83	maxx∈ω̄	maxx∈ω̄	PROPN
ejde-816	544	84	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	544	85	)	)	PUNCT
ejde-816	544	86	<	<	X
ejde-816	544	87	s(x	s(x	PROPN
ejde-816	544	88	)	)	PUNCT
ejde-816	544	89	<	<	X
ejde-816	544	90	p∗(x	p∗(x	NOUN
ejde-816	544	91	)	)	PUNCT
ejde-816	544	92	,	,	PUNCT
ejde-816	544	93	a	a	PRON
ejde-816	544	94	and	and	CCONJ
ejde-816	544	95	λ	λ	PROPN
ejde-816	544	96	are	be	AUX
ejde-816	544	97	non	non	ADJ
ejde-816	544	98	-	-	ADJ
ejde-816	544	99	negative	negative	ADJ
ejde-816	544	100	parameters	parameter	NOUN
ejde-816	544	101	,	,	PUNCT
ejde-816	544	102	α	α	PRON
ejde-816	544	103	≥	≥	NOUN
ejde-816	544	104	1	1	NUM
ejde-816	544	105	and	and	CCONJ
ejde-816	544	106	h	h	NOUN
ejde-816	544	107	:	:	PUNCT
ejde-816	544	108	ω	ω	X
ejde-816	544	109	→	→	SYM
ejde-816	544	110	r	r	NOUN
ejde-816	544	111	is	be	AUX
ejde-816	544	112	a	a	DET
ejde-816	544	113	measurable	measurable	ADJ
ejde-816	544	114	function	function	NOUN
ejde-816	544	115	.	.	PUNCT
ejde-816	545	1	let	let	VERB
ejde-816	545	2	m(t	m(t	NOUN
ejde-816	545	3	)	)	PUNCT
ejde-816	546	1	=	=	SYM
ejde-816	546	2	aαtα−1	aαtα−1	PROPN
ejde-816	546	3	,	,	PUNCT
ejde-816	546	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	546	5	,	,	PUNCT
ejde-816	546	6	t	t	PROPN
ejde-816	546	7	)	)	PUNCT
ejde-816	546	8	=	=	PUNCT
ejde-816	546	9	|t|s(x)−2	|t|s(x)−2	NUM
ejde-816	546	10	t	t	PROPN
ejde-816	546	11	,	,	PUNCT
ejde-816	546	12	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	546	13	,	,	PUNCT
ejde-816	546	14	t	t	PROPN
ejde-816	546	15	)	)	PUNCT
ejde-816	546	16	=	=	SYM
ejde-816	547	1	γ(x)|t|r(x)−2	γ(x)|t|r(x)−2	NUM
ejde-816	547	2	t	t	PROPN
ejde-816	547	3	,	,	PUNCT
ejde-816	547	4	with	with	ADP
ejde-816	547	5	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	547	6	,	,	PUNCT
ejde-816	547	7	t	t	PROPN
ejde-816	547	8	)	)	PUNCT
ejde-816	547	9	=	=	SYM
ejde-816	547	10	γ(x	γ(x	NOUN
ejde-816	547	11	)	)	PUNCT
ejde-816	547	12	r(x	r(x	PROPN
ejde-816	547	13	)	)	PUNCT
ejde-816	547	14	|u|	|u|	PROPN
ejde-816	547	15	r(x	r(x	PROPN
ejde-816	547	16	)	)	PUNCT
ejde-816	547	17	.	.	PUNCT
ejde-816	548	1	it	it	PRON
ejde-816	548	2	is	be	AUX
ejde-816	548	3	clear	clear	ADJ
ejde-816	548	4	that	that	SCONJ
ejde-816	548	5	m	m	VERB
ejde-816	548	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	548	7	(	(	PUNCT
ejde-816	548	8	a1	a1	NOUN
ejde-816	548	9	)	)	PUNCT
ejde-816	548	10	and	and	CCONJ
ejde-816	548	11	(	(	PUNCT
ejde-816	548	12	a2	a2	PROPN
ejde-816	548	13	)	)	PUNCT
ejde-816	548	14	;	;	PUNCT
ejde-816	548	15	f	f	PROPN
ejde-816	548	16	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	548	17	(	(	PUNCT
ejde-816	548	18	a3)–(a6	a3)–(a6	NOUN
ejde-816	548	19	)	)	PUNCT
ejde-816	548	20	,	,	PUNCT
ejde-816	548	21	(	(	PUNCT
ejde-816	548	22	a10	a10	NOUN
ejde-816	548	23	)	)	PUNCT
ejde-816	548	24	,	,	PUNCT
ejde-816	548	25	(	(	PUNCT
ejde-816	548	26	a11	a11	PROPN
ejde-816	548	27	)	)	PUNCT
ejde-816	548	28	;	;	PUNCT
ejde-816	548	29	and	and	CCONJ
ejde-816	548	30	g	g	NOUN
ejde-816	548	31	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	548	32	(	(	PUNCT
ejde-816	548	33	a7	a7	PROPN
ejde-816	548	34	)	)	PUNCT
ejde-816	548	35	and	and	CCONJ
ejde-816	548	36	(	(	PUNCT
ejde-816	548	37	a8	a8	PROPN
ejde-816	548	38	)	)	PUNCT
ejde-816	548	39	for	for	ADP
ejde-816	548	40	every	every	DET
ejde-816	548	41	r(x	r(x	NOUN
ejde-816	548	42	)	)	PUNCT
ejde-816	548	43	such	such	ADJ
ejde-816	548	44	that	that	DET
ejde-816	548	45	r1(x	r1(x	NOUN
ejde-816	548	46	)	)	PUNCT
ejde-816	548	47	<	<	X
ejde-816	548	48	r(x	r(x	PROPN
ejde-816	548	49	)	)	PUNCT
ejde-816	548	50	<	<	X
ejde-816	548	51	r2(x	r2(x	X
ejde-816	548	52	)	)	PUNCT
ejde-816	548	53	<	<	X
ejde-816	548	54	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	548	55	)	)	PUNCT
ejde-816	548	56	,	,	PUNCT
ejde-816	548	57	and	and	CCONJ
ejde-816	548	58	g	g	NOUN
ejde-816	548	59	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	548	60	(	(	PUNCT
ejde-816	548	61	a9	a9	NOUN
ejde-816	548	62	)	)	PUNCT
ejde-816	548	63	and	and	CCONJ
ejde-816	548	64	(	(	PUNCT
ejde-816	548	65	a12	a12	PROPN
ejde-816	548	66	)	)	PUNCT
ejde-816	548	67	.	.	PUNCT
ejde-816	549	1	then	then	ADV
ejde-816	549	2	we	we	PRON
ejde-816	549	3	can	can	AUX
ejde-816	549	4	deduce	deduce	VERB
ejde-816	549	5	the	the	DET
ejde-816	549	6	next	next	ADJ
ejde-816	549	7	propositions	proposition	NOUN
ejde-816	549	8	proposition	proposition	VERB
ejde-816	549	9	4.1	4.1	NUM
ejde-816	549	10	.	.	PUNCT
ejde-816	550	1	there	there	PRON
ejde-816	550	2	exists	exist	VERB
ejde-816	550	3	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	550	4	>	>	X
ejde-816	550	5	0	0	NUM
ejde-816	551	1	such	such	ADJ
ejde-816	551	2	that	that	DET
ejde-816	551	3	problem	problem	NOUN
ejde-816	551	4	(	(	PUNCT
ejde-816	551	5	4.1	4.1	NUM
ejde-816	551	6	)	)	PUNCT
ejde-816	551	7	has	have	VERB
ejde-816	551	8	at	at	ADV
ejde-816	551	9	least	least	ADV
ejde-816	551	10	two	two	NUM
ejde-816	551	11	non	non	ADJ
ejde-816	551	12	-	-	ADJ
ejde-816	551	13	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	551	14	weak	weak	ADJ
ejde-816	551	15	solutions	solution	NOUN
ejde-816	551	16	when	when	SCONJ
ejde-816	551	17	λ	λ	X
ejde-816	551	18	∈	∈	PROPN
ejde-816	551	19	(	(	PUNCT
ejde-816	551	20	0	0	NUM
ejde-816	551	21	,	,	PUNCT
ejde-816	551	22	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	551	23	)	)	PUNCT
ejde-816	551	24	.	.	PUNCT
ejde-816	552	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	552	2	4.2	4.2	NUM
ejde-816	552	3	.	.	PUNCT
ejde-816	553	1	problem	problem	NOUN
ejde-816	553	2	(	(	PUNCT
ejde-816	553	3	4.1	4.1	NUM
ejde-816	553	4	)	)	PUNCT
ejde-816	553	5	with	with	ADP
ejde-816	553	6	λ	λ	NOUN
ejde-816	553	7	=	=	SYM
ejde-816	553	8	0	0	PUNCT
ejde-816	553	9	has	have	VERB
ejde-816	553	10	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	553	11	many	many	ADJ
ejde-816	553	12	weak	weak	ADJ
ejde-816	553	13	solutions	solution	NOUN
ejde-816	553	14	.	.	PUNCT
ejde-816	554	1	4.2	4.2	NUM
ejde-816	554	2	.	.	PUNCT
ejde-816	555	1	linear	linear	ADJ
ejde-816	555	2	case	case	NOUN
ejde-816	555	3	.	.	PUNCT
ejde-816	556	1	let	let	VERB
ejde-816	556	2	us	we	PRON
ejde-816	556	3	consider	consider	VERB
ejde-816	556	4	the	the	DET
ejde-816	556	5	problem	problem	NOUN
ejde-816	556	6	−a	−a	NOUN
ejde-816	556	7	(	(	PUNCT
ejde-816	556	8	∥u∥2β(x	∥u∥2β(x	NOUN
ejde-816	556	9	)	)	PUNCT
ejde-816	557	1	+	+	NUM
ejde-816	557	2	∫	∫	X
ejde-816	557	3	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	557	4	e−u2	e−u2	PRON
ejde-816	557	5	dσx	dσx	NOUN
ejde-816	557	6	)	)	PUNCT
ejde-816	558	1	∆u	∆u	ADV
ejde-816	558	2	=	=	SYM
ejde-816	558	3	|u|u+	|u|u+	NOUN
ejde-816	558	4	λh(x	λh(x	NUM
ejde-816	558	5	)	)	PUNCT
ejde-816	558	6	,	,	PUNCT
ejde-816	558	7	x	x	PUNCT
ejde-816	558	8	∈	∈	PROPN
ejde-816	558	9	ω	ω	PROPN
ejde-816	558	10	,	,	PUNCT
ejde-816	558	11	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	558	12	∂ν	∂ν	PRON
ejde-816	559	1	+	+	CCONJ
ejde-816	559	2	β(x)u−	β(x)u−	NOUN
ejde-816	559	3	ue−u2	ue−u2	NOUN
ejde-816	559	4	=	=	NOUN
ejde-816	559	5	0	0	NUM
ejde-816	559	6	,	,	PUNCT
ejde-816	559	7	x	x	X
ejde-816	559	8	∈	∈	PROPN
ejde-816	559	9	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	559	10	,	,	PUNCT
ejde-816	559	11	(	(	PUNCT
ejde-816	559	12	4.2	4.2	NUM
ejde-816	559	13	)	)	PUNCT
ejde-816	559	14	where	where	SCONJ
ejde-816	559	15	ω	ω	PROPN
ejde-816	559	16	is	be	AUX
ejde-816	559	17	a	a	DET
ejde-816	559	18	bounded	bounded	ADJ
ejde-816	559	19	domain	domain	NOUN
ejde-816	559	20	in	in	ADP
ejde-816	559	21	r3	r3	PROPN
ejde-816	559	22	with	with	ADP
ejde-816	559	23	smooth	smooth	ADJ
ejde-816	559	24	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	559	25	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	559	26	,	,	PUNCT
ejde-816	559	27	∂u	∂u	PROPN
ejde-816	559	28	∂ν	∂ν	PROPN
ejde-816	559	29	is	be	AUX
ejde-816	559	30	the	the	DET
ejde-816	559	31	outer	outer	ADJ
ejde-816	559	32	normal	normal	ADJ
ejde-816	559	33	derivative	derivative	NOUN
ejde-816	559	34	,	,	PUNCT
ejde-816	559	35	dσx	dσx	PROPN
ejde-816	559	36	is	be	AUX
ejde-816	559	37	the	the	DET
ejde-816	559	38	measure	measure	NOUN
ejde-816	559	39	on	on	ADP
ejde-816	559	40	the	the	DET
ejde-816	559	41	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	559	42	∂ω	∂ω	PROPN
ejde-816	559	43	,	,	PUNCT
ejde-816	559	44	β	β	X
ejde-816	559	45	∈	∈	PROPN
ejde-816	559	46	l1(∂ω	l1(∂ω	PROPN
ejde-816	559	47	)	)	PUNCT
ejde-816	559	48	,	,	PUNCT
ejde-816	559	49	infx∈∂ω	infx∈∂ω	PROPN
ejde-816	559	50	β(x	β(x	PROPN
ejde-816	559	51	)	)	PUNCT
ejde-816	559	52	>	>	X
ejde-816	559	53	0	0	NUM
ejde-816	559	54	,	,	PUNCT
ejde-816	559	55	a	a	PRON
ejde-816	559	56	and	and	CCONJ
ejde-816	559	57	λ	λ	PROPN
ejde-816	559	58	are	be	AUX
ejde-816	559	59	non	non	ADJ
ejde-816	559	60	-	-	ADJ
ejde-816	559	61	negative	negative	ADJ
ejde-816	559	62	parameters	parameter	NOUN
ejde-816	559	63	,	,	PUNCT
ejde-816	559	64	α	α	PRON
ejde-816	559	65	≥	≥	NOUN
ejde-816	559	66	1	1	NUM
ejde-816	559	67	,	,	PUNCT
ejde-816	559	68	and	and	CCONJ
ejde-816	559	69	h	h	NOUN
ejde-816	559	70	:	:	PUNCT
ejde-816	560	1	ω	ω	X
ejde-816	560	2	→	→	SYM
ejde-816	560	3	r	r	NOUN
ejde-816	560	4	is	be	AUX
ejde-816	560	5	a	a	DET
ejde-816	560	6	measurable	measurable	ADJ
ejde-816	560	7	function	function	NOUN
ejde-816	560	8	.	.	PUNCT
ejde-816	561	1	let	let	VERB
ejde-816	561	2	m(t	m(t	NOUN
ejde-816	561	3	)	)	PUNCT
ejde-816	562	1	=	=	SYM
ejde-816	562	2	2at	2at	NOUN
ejde-816	562	3	,	,	PUNCT
ejde-816	562	4	f(x	f(x	PROPN
ejde-816	562	5	,	,	PUNCT
ejde-816	562	6	t	t	PROPN
ejde-816	562	7	)	)	PUNCT
ejde-816	562	8	=	=	PUNCT
ejde-816	563	1	|t|t	|t|t	PROPN
ejde-816	563	2	t(k	t(k	NUM
ejde-816	563	3	≡	≡	PROPN
ejde-816	563	4	1	1	NUM
ejde-816	563	5	and	and	CCONJ
ejde-816	563	6	s(x	s(x	NOUN
ejde-816	563	7	)	)	PUNCT
ejde-816	563	8	=	=	SYM
ejde-816	563	9	3	3	X
ejde-816	563	10	)	)	PUNCT
ejde-816	563	11	and	and	CCONJ
ejde-816	563	12	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	563	13	,	,	PUNCT
ejde-816	563	14	t	t	PROPN
ejde-816	563	15	)	)	PUNCT
ejde-816	563	16	=	=	PUNCT
ejde-816	564	1	−te−t2	−te−t2	PROPN
ejde-816	564	2	,	,	PUNCT
ejde-816	564	3	with	with	ADP
ejde-816	564	4	g(x	g(x	PROPN
ejde-816	564	5	,	,	PUNCT
ejde-816	564	6	t	t	PROPN
ejde-816	564	7	)	)	PUNCT
ejde-816	564	8	=	=	SYM
ejde-816	564	9	1	1	NUM
ejde-816	564	10	2e	2e	PROPN
ejde-816	564	11	−t2	−t2	PROPN
ejde-816	564	12	.	.	PUNCT
ejde-816	565	1	iti	iti	PROPN
ejde-816	565	2	s	s	VERB
ejde-816	565	3	clear	clear	ADJ
ejde-816	565	4	that	that	SCONJ
ejde-816	565	5	m	m	VERB
ejde-816	565	6	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	565	7	(	(	PUNCT
ejde-816	565	8	a1	a1	NOUN
ejde-816	565	9	)	)	PUNCT
ejde-816	565	10	and	and	CCONJ
ejde-816	565	11	(	(	PUNCT
ejde-816	565	12	a2	a2	PROPN
ejde-816	565	13	)	)	PUNCT
ejde-816	565	14	;	;	PUNCT
ejde-816	565	15	f	f	PROPN
ejde-816	565	16	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	565	17	(	(	PUNCT
ejde-816	565	18	a3)–(a6	a3)–(a6	NOUN
ejde-816	565	19	)	)	PUNCT
ejde-816	565	20	,	,	PUNCT
ejde-816	565	21	(	(	PUNCT
ejde-816	565	22	a10	a10	NOUN
ejde-816	565	23	)	)	PUNCT
ejde-816	565	24	,	,	PUNCT
ejde-816	565	25	(	(	PUNCT
ejde-816	565	26	a11	a11	PROPN
ejde-816	565	27	)	)	PUNCT
ejde-816	565	28	;	;	PUNCT
ejde-816	565	29	and	and	CCONJ
ejde-816	565	30	g	g	NOUN
ejde-816	565	31	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	565	32	(	(	PUNCT
ejde-816	565	33	a7	a7	PROPN
ejde-816	565	34	)	)	PUNCT
ejde-816	565	35	and	and	CCONJ
ejde-816	565	36	(	(	PUNCT
ejde-816	565	37	a8	a8	PROPN
ejde-816	565	38	)	)	PUNCT
ejde-816	565	39	for	for	ADP
ejde-816	565	40	every	every	DET
ejde-816	565	41	r1(x	r1(x	NOUN
ejde-816	565	42	)	)	PUNCT
ejde-816	565	43	=	=	SYM
ejde-816	566	1	r2(x	r2(x	X
ejde-816	566	2	)	)	PUNCT
ejde-816	566	3	=	=	SYM
ejde-816	567	1	r	r	NOUN
ejde-816	567	2	=	=	SYM
ejde-816	567	3	3	3	NUM
ejde-816	567	4	2	2	NUM
ejde-816	567	5	,	,	PUNCT
ejde-816	567	6	and	and	CCONJ
ejde-816	567	7	g	g	NOUN
ejde-816	567	8	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-816	567	9	(	(	PUNCT
ejde-816	567	10	a9	a9	NOUN
ejde-816	567	11	)	)	PUNCT
ejde-816	567	12	and	and	CCONJ
ejde-816	567	13	(	(	PUNCT
ejde-816	567	14	a12	a12	PROPN
ejde-816	567	15	)	)	PUNCT
ejde-816	567	16	.	.	PUNCT
ejde-816	568	1	22	22	NUM
ejde-816	568	2	h.	h.	PROPN
ejde-816	568	3	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	568	4	,	,	PUNCT
ejde-816	568	5	a.	a.	NOUN
ejde-816	568	6	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	568	7	,	,	PUNCT
ejde-816	568	8	m.	m.	PROPN
ejde-816	568	9	filali	filali	PROPN
ejde-816	568	10	,	,	PUNCT
ejde-816	568	11	n.	n.	PROPN
ejde-816	568	12	tsouli	tsouli	VERB
ejde-816	568	13	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	568	14	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	568	15	4.3	4.3	NUM
ejde-816	568	16	.	.	PUNCT
ejde-816	569	1	there	there	PRON
ejde-816	569	2	exists	exist	VERB
ejde-816	569	3	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	569	4	>	>	X
ejde-816	569	5	0	0	NUM
ejde-816	570	1	such	such	ADJ
ejde-816	570	2	that	that	DET
ejde-816	570	3	problem	problem	NOUN
ejde-816	570	4	(	(	PUNCT
ejde-816	570	5	4.2	4.2	NUM
ejde-816	570	6	)	)	PUNCT
ejde-816	570	7	has	have	VERB
ejde-816	570	8	at	at	ADV
ejde-816	570	9	least	least	ADV
ejde-816	570	10	two	two	NUM
ejde-816	570	11	non	non	ADJ
ejde-816	570	12	-	-	ADJ
ejde-816	570	13	trivial	trivial	ADJ
ejde-816	570	14	weak	weak	ADJ
ejde-816	570	15	solutions	solution	NOUN
ejde-816	570	16	when	when	SCONJ
ejde-816	570	17	λ	λ	X
ejde-816	570	18	∈	∈	PROPN
ejde-816	570	19	(	(	PUNCT
ejde-816	570	20	0	0	NUM
ejde-816	570	21	,	,	PUNCT
ejde-816	570	22	λ∗	λ∗	PROPN
ejde-816	570	23	)	)	PUNCT
ejde-816	570	24	.	.	PUNCT
ejde-816	571	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-816	571	2	4.4	4.4	NUM
ejde-816	571	3	.	.	PUNCT
ejde-816	572	1	problem	problem	NOUN
ejde-816	572	2	(	(	PUNCT
ejde-816	572	3	4.2	4.2	NUM
ejde-816	572	4	)	)	PUNCT
ejde-816	572	5	with	with	ADP
ejde-816	572	6	λ	λ	NOUN
ejde-816	572	7	=	=	SYM
ejde-816	572	8	0	0	PUNCT
ejde-816	572	9	has	have	VERB
ejde-816	572	10	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	572	11	many	many	ADJ
ejde-816	572	12	weak	weak	ADJ
ejde-816	572	13	solutions	solution	NOUN
ejde-816	572	14	.	.	PUNCT
ejde-816	573	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-816	573	2	.	.	PUNCT
ejde-816	574	1	the	the	DET
ejde-816	574	2	authors	author	NOUN
ejde-816	574	3	would	would	AUX
ejde-816	574	4	like	like	VERB
ejde-816	574	5	to	to	PART
ejde-816	574	6	thank	thank	VERB
ejde-816	574	7	the	the	DET
ejde-816	574	8	anonymous	anonymous	ADJ
ejde-816	574	9	referees	referee	NOUN
ejde-816	574	10	for	for	ADP
ejde-816	574	11	their	their	PRON
ejde-816	574	12	valuable	valuable	ADJ
ejde-816	574	13	comments	comment	NOUN
ejde-816	574	14	and	and	CCONJ
ejde-816	574	15	constructive	constructive	ADJ
ejde-816	574	16	suggestions	suggestion	NOUN
ejde-816	574	17	.	.	PUNCT
ejde-816	575	1	all	all	DET
ejde-816	575	2	authors	author	NOUN
ejde-816	575	3	contributed	contribute	VERB
ejde-816	575	4	equally	equally	ADV
ejde-816	575	5	to	to	ADP
ejde-816	575	6	the	the	DET
ejde-816	575	7	writing	writing	NOUN
ejde-816	575	8	of	of	ADP
ejde-816	575	9	this	this	DET
ejde-816	575	10	article	article	NOUN
ejde-816	575	11	.	.	PUNCT
ejde-816	576	1	references	reference	NOUN
ejde-816	576	2	[	[	X
ejde-816	576	3	1	1	NUM
ejde-816	576	4	]	]	X
ejde-816	576	5	afrouzi	afrouzi	PROPN
ejde-816	576	6	,	,	PUNCT
ejde-816	576	7	g.	g.	PROPN
ejde-816	576	8	a.	a.	PROPN
ejde-816	576	9	;	;	PUNCT
ejde-816	576	10	chung	chung	PROPN
ejde-816	576	11	,	,	PUNCT
ejde-816	576	12	t.	t.	PROPN
ejde-816	576	13	n.	n.	PROPN
ejde-816	576	14	;	;	PUNCT
ejde-816	576	15	naghizadeh	naghizadeh	PROPN
ejde-816	576	16	,	,	PUNCT
ejde-816	576	17	z.	z.	PROPN
ejde-816	576	18	;	;	PUNCT
ejde-816	576	19	muliple	muliple	ADJ
ejde-816	576	20	solutions	solution	NOUN
ejde-816	576	21	for	for	ADP
ejde-816	576	22	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	576	23	type	type	NOUN
ejde-816	576	24	problems	problem	NOUN
ejde-816	576	25	with	with	ADP
ejde-816	576	26	robin	robin	PROPN
ejde-816	576	27	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	576	28	conditions	condition	NOUN
ejde-816	576	29	,	,	PUNCT
ejde-816	576	30	electronic	electronic	ADJ
ejde-816	576	31	journal	journal	NOUN
ejde-816	576	32	of	of	ADP
ejde-816	576	33	differential	differential	ADJ
ejde-816	576	34	equations	equation	NOUN
ejde-816	576	35	,	,	PUNCT
ejde-816	576	36	vol	vol	NOUN
ejde-816	576	37	.	.	PUNCT
ejde-816	576	38	2022	2022	NUM
ejde-816	576	39	(	(	PUNCT
ejde-816	576	40	2022	2022	NUM
ejde-816	576	41	)	)	PUNCT
ejde-816	576	42	,	,	PUNCT
ejde-816	576	43	no	no	INTJ
ejde-816	576	44	.	.	NOUN
ejde-816	576	45	24	24	NUM
ejde-816	576	46	,	,	PUNCT
ejde-816	576	47	pp	pp	ADJ
ejde-816	576	48	.	.	PUNCT
ejde-816	577	1	1	1	NUM
ejde-816	577	2	-	-	SYM
ejde-816	577	3	16	16	NUM
ejde-816	577	4	.	.	PUNCT
ejde-816	578	1	[	[	X
ejde-816	578	2	2	2	NUM
ejde-816	578	3	]	]	X
ejde-816	578	4	allaoui	allaoui	NOUN
ejde-816	578	5	,	,	PUNCT
ejde-816	578	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	578	7	;	;	PUNCT
ejde-816	578	8	existence	existence	NOUN
ejde-816	578	9	of	of	ADP
ejde-816	578	10	solutions	solution	NOUN
ejde-816	578	11	for	for	ADP
ejde-816	578	12	a	a	DET
ejde-816	578	13	robin	robin	PROPN
ejde-816	578	14	problem	problem	NOUN
ejde-816	578	15	involving	involve	VERB
ejde-816	578	16	the	the	DET
ejde-816	578	17	p(x)-laplace	p(x)-laplace	PROPN
ejde-816	578	18	operator	operator	NOUN
ejde-816	578	19	,	,	PUNCT
ejde-816	579	1	abstr	abstr	PROPN
ejde-816	579	2	.	.	PUNCT
ejde-816	580	1	apl	apl	PROPN
ejde-816	580	2	.	.	PROPN
ejde-816	580	3	anal	anal	PROPN
ejde-816	580	4	.	.	PROPN
ejde-816	580	5	,	,	PUNCT
ejde-816	580	6	2016	2016	NUM
ejde-816	580	7	(	(	PUNCT
ejde-816	580	8	2016	2016	NUM
ejde-816	580	9	)	)	PUNCT
ejde-816	580	10	,	,	PUNCT
ejde-816	580	11	1	1	NUM
ejde-816	580	12	-	-	SYM
ejde-816	580	13	8	8	NUM
ejde-816	580	14	.	.	PUNCT
ejde-816	581	1	[	[	X
ejde-816	581	2	3	3	X
ejde-816	581	3	]	]	X
ejde-816	581	4	allaoui	allaoui	NOUN
ejde-816	581	5	,	,	PUNCT
ejde-816	581	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	581	7	;	;	PUNCT
ejde-816	581	8	existence	existence	NOUN
ejde-816	581	9	results	result	VERB
ejde-816	581	10	for	for	ADP
ejde-816	581	11	a	a	DET
ejde-816	581	12	class	class	NOUN
ejde-816	581	13	of	of	ADP
ejde-816	581	14	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	581	15	problems	problem	NOUN
ejde-816	581	16	,	,	PUNCT
ejde-816	581	17	studia	studia	PROPN
ejde-816	581	18	sci	sci	PROPN
ejde-816	581	19	.	.	PUNCT
ejde-816	581	20	math	math	PROPN
ejde-816	581	21	.	.	PUNCT
ejde-816	582	1	hungarica	hungarica	PROPN
ejde-816	582	2	,	,	PUNCT
ejde-816	582	3	54	54	NUM
ejde-816	582	4	(	(	PUNCT
ejde-816	582	5	3	3	NUM
ejde-816	582	6	)	)	PUNCT
ejde-816	582	7	(	(	PUNCT
ejde-816	582	8	2017	2017	NUM
ejde-816	582	9	)	)	PUNCT
ejde-816	582	10	,	,	PUNCT
ejde-816	582	11	316	316	NUM
ejde-816	582	12	-	-	SYM
ejde-816	582	13	331	331	NUM
ejde-816	582	14	.	.	PUNCT
ejde-816	583	1	[	[	X
ejde-816	583	2	4	4	NUM
ejde-816	583	3	]	]	X
ejde-816	583	4	allaoui	allaoui	NOUN
ejde-816	583	5	,	,	PUNCT
ejde-816	583	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	583	7	;	;	PUNCT
ejde-816	583	8	robin	robin	PROPN
ejde-816	583	9	problems	problem	NOUN
ejde-816	583	10	involving	involve	VERB
ejde-816	583	11	the	the	DET
ejde-816	583	12	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	PROPN
ejde-816	583	13	,	,	PUNCT
ejde-816	583	14	appl	appl	PROPN
ejde-816	583	15	.	.	PROPN
ejde-816	583	16	math	math	PROPN
ejde-816	583	17	.	.	PUNCT
ejde-816	584	1	comput	comput	NOUN
ejde-816	584	2	.	.	PUNCT
ejde-816	584	3	,	,	PUNCT
ejde-816	584	4	332(2018	332(2018	NUM
ejde-816	584	5	)	)	PUNCT
ejde-816	584	6	,	,	PUNCT
ejde-816	584	7	457	457	NUM
ejde-816	584	8	-	-	SYM
ejde-816	584	9	468	468	NUM
ejde-816	584	10	.	.	PUNCT
ejde-816	585	1	[	[	X
ejde-816	585	2	5	5	NUM
ejde-816	585	3	]	]	PUNCT
ejde-816	585	4	ambrosetti	ambrosetti	PROPN
ejde-816	585	5	,	,	PUNCT
ejde-816	585	6	a.	a.	NOUN
ejde-816	585	7	;	;	PUNCT
ejde-816	585	8	rabinowitz	rabinowitz	PROPN
ejde-816	585	9	,	,	PUNCT
ejde-816	585	10	p.	p.	PROPN
ejde-816	585	11	h.	h.	PROPN
ejde-816	585	12	;	;	PUNCT
ejde-816	585	13	dual	dual	ADJ
ejde-816	585	14	variational	variational	ADJ
ejde-816	585	15	methods	method	NOUN
ejde-816	585	16	in	in	ADP
ejde-816	585	17	critical	critical	ADJ
ejde-816	585	18	points	point	NOUN
ejde-816	585	19	theory	theory	NOUN
ejde-816	585	20	and	and	CCONJ
ejde-816	585	21	applications	application	NOUN
ejde-816	585	22	,	,	PUNCT
ejde-816	585	23	j.	j.	PROPN
ejde-816	585	24	funct	funct	PROPN
ejde-816	585	25	.	.	PUNCT
ejde-816	586	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	586	2	.	.	PROPN
ejde-816	586	3	,	,	PUNCT
ejde-816	586	4	14	14	NUM
ejde-816	586	5	(	(	PUNCT
ejde-816	586	6	1973	1973	NUM
ejde-816	586	7	)	)	PUNCT
ejde-816	586	8	,	,	PUNCT
ejde-816	586	9	349	349	NUM
ejde-816	586	10	-	-	SYM
ejde-816	586	11	381	381	NUM
ejde-816	586	12	.	.	PUNCT
ejde-816	587	1	[	[	X
ejde-816	587	2	6	6	NUM
ejde-816	587	3	]	]	PUNCT
ejde-816	587	4	avci	avci	PROPN
ejde-816	587	5	,	,	PUNCT
ejde-816	587	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	587	7	;	;	PUNCT
ejde-816	587	8	cekic	cekic	PROPN
ejde-816	587	9	,	,	PUNCT
ejde-816	587	10	b.	b.	PROPN
ejde-816	587	11	;	;	PUNCT
ejde-816	587	12	mashiyev	mashiyev	PROPN
ejde-816	587	13	,	,	PUNCT
ejde-816	587	14	r.	r.	PROPN
ejde-816	587	15	a.	a.	PROPN
ejde-816	587	16	;	;	PUNCT
ejde-816	587	17	existence	existence	NOUN
ejde-816	587	18	and	and	CCONJ
ejde-816	587	19	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	587	20	of	of	ADP
ejde-816	587	21	the	the	DET
ejde-816	587	22	solutions	solution	NOUN
ejde-816	587	23	of	of	ADP
ejde-816	587	24	the	the	DET
ejde-816	587	25	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	587	26	type	type	NOUN
ejde-816	587	27	equation	equation	NOUN
ejde-816	587	28	via	via	ADP
ejde-816	587	29	genus	genus	PROPN
ejde-816	587	30	theory	theory	NOUN
ejde-816	587	31	,	,	PUNCT
ejde-816	587	32	math	math	NOUN
ejde-816	587	33	.	.	PUNCT
ejde-816	588	1	methods	method	NOUN
ejde-816	588	2	appl	appl	PROPN
ejde-816	588	3	.	.	PUNCT
ejde-816	589	1	sci	sci	PROPN
ejde-816	589	2	.	.	PROPN
ejde-816	589	3	,	,	PUNCT
ejde-816	589	4	34	34	NUM
ejde-816	589	5	(	(	PUNCT
ejde-816	589	6	14	14	NUM
ejde-816	589	7	)	)	PUNCT
ejde-816	589	8	(	(	PUNCT
ejde-816	589	9	2011	2011	NUM
ejde-816	589	10	)	)	PUNCT
ejde-816	589	11	,	,	PUNCT
ejde-816	589	12	1751	1751	NUM
ejde-816	589	13	-	-	SYM
ejde-816	589	14	1759	1759	NUM
ejde-816	589	15	.	.	PUNCT
ejde-816	590	1	[	[	X
ejde-816	590	2	7	7	NUM
ejde-816	590	3	]	]	X
ejde-816	590	4	chang	chang	PROPN
ejde-816	590	5	,	,	PUNCT
ejde-816	590	6	k.	k.	PROPN
ejde-816	590	7	c.	c.	PROPN
ejde-816	590	8	;	;	PUNCT
ejde-816	590	9	critical	critical	ADJ
ejde-816	590	10	point	point	NOUN
ejde-816	590	11	theory	theory	NOUN
ejde-816	590	12	and	and	CCONJ
ejde-816	590	13	applications	application	NOUN
ejde-816	590	14	,	,	PUNCT
ejde-816	590	15	shanghai	shanghai	PROPN
ejde-816	590	16	scientific	scientific	ADJ
ejde-816	590	17	and	and	CCONJ
ejde-816	590	18	technology	technology	NOUN
ejde-816	590	19	press	press	NOUN
ejde-816	590	20	:	:	PUNCT
ejde-816	590	21	shanghai	shanghai	PROPN
ejde-816	590	22	,	,	PUNCT
ejde-816	590	23	1986	1986	NUM
ejde-816	590	24	[	[	X
ejde-816	590	25	8	8	NUM
ejde-816	590	26	]	]	X
ejde-816	590	27	chen	chen	PROPN
ejde-816	590	28	,	,	PUNCT
ejde-816	590	29	s.	s.	PROPN
ejde-816	590	30	j	j	PROPN
ejde-816	590	31	.	.	PUNCT
ejde-816	590	32	;	;	PUNCT
ejde-816	590	33	li	li	PROPN
ejde-816	590	34	,	,	PUNCT
ejde-816	590	35	l.	l.	PROPN
ejde-816	590	36	;	;	PUNCT
ejde-816	590	37	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	590	38	solutions	solution	NOUN
ejde-816	590	39	for	for	ADP
ejde-816	590	40	the	the	DET
ejde-816	590	41	nonhomogeneous	nonhomogeneous	ADJ
ejde-816	590	42	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	590	43	equation	equation	NOUN
ejde-816	590	44	on	on	ADP
ejde-816	590	45	rn	rn	PROPN
ejde-816	590	46	,	,	PUNCT
ejde-816	590	47	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	590	48	anal	anal	NOUN
ejde-816	590	49	.	.	PUNCT
ejde-816	590	50	(	(	PUNCT
ejde-816	590	51	rwa	rwa	PROPN
ejde-816	590	52	)	)	PUNCT
ejde-816	590	53	,	,	PUNCT
ejde-816	590	54	14	14	NUM
ejde-816	590	55	(	(	PUNCT
ejde-816	590	56	2013	2013	NUM
ejde-816	590	57	)	)	PUNCT
ejde-816	590	58	,	,	PUNCT
ejde-816	590	59	1477	1477	NUM
ejde-816	590	60	-	-	SYM
ejde-816	590	61	1486	1486	NUM
ejde-816	590	62	.	.	PUNCT
ejde-816	591	1	[	[	X
ejde-816	591	2	9	9	NUM
ejde-816	591	3	]	]	SYM
ejde-816	591	4	chipot	chipot	NOUN
ejde-816	591	5	,	,	PUNCT
ejde-816	591	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	591	7	;	;	PUNCT
ejde-816	591	8	lovat	lovat	PROPN
ejde-816	591	9	,	,	PUNCT
ejde-816	591	10	b.	b.	PROPN
ejde-816	591	11	;	;	PUNCT
ejde-816	591	12	some	some	DET
ejde-816	591	13	remarks	remark	NOUN
ejde-816	591	14	on	on	ADP
ejde-816	591	15	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-816	591	16	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-816	591	17	and	and	CCONJ
ejde-816	591	18	parabolic	parabolic	ADJ
ejde-816	591	19	problems	problem	NOUN
ejde-816	591	20	,	,	PUNCT
ejde-816	591	21	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	591	22	anal	anal	NOUN
ejde-816	591	23	.	.	PUNCT
ejde-816	592	1	(	(	PUNCT
ejde-816	592	2	tma	tma	PROPN
ejde-816	592	3	)	)	PUNCT
ejde-816	592	4	,	,	PUNCT
ejde-816	592	5	30	30	NUM
ejde-816	592	6	(	(	PUNCT
ejde-816	592	7	7	7	NUM
ejde-816	592	8	)	)	PUNCT
ejde-816	592	9	(	(	PUNCT
ejde-816	592	10	1997	1997	NUM
ejde-816	592	11	)	)	PUNCT
ejde-816	592	12	,	,	PUNCT
ejde-816	592	13	4619	4619	NUM
ejde-816	592	14	-	-	SYM
ejde-816	592	15	4627	4627	NUM
ejde-816	592	16	.	.	PUNCT
ejde-816	593	1	[	[	X
ejde-816	593	2	10	10	NUM
ejde-816	593	3	]	]	X
ejde-816	593	4	chung	chung	PROPN
ejde-816	593	5	,	,	PUNCT
ejde-816	593	6	n.	n.	PROPN
ejde-816	593	7	t.	t.	PROPN
ejde-816	593	8	;	;	PUNCT
ejde-816	593	9	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	593	10	solutions	solution	NOUN
ejde-816	593	11	for	for	ADP
ejde-816	593	12	a	a	DET
ejde-816	593	13	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	NOUN
ejde-816	593	14	-	-	PUNCT
ejde-816	593	15	type	type	NOUN
ejde-816	593	16	equation	equation	NOUN
ejde-816	593	17	with	with	ADP
ejde-816	593	18	sign	sign	NOUN
ejde-816	593	19	-	-	PUNCT
ejde-816	593	20	changing	change	VERB
ejde-816	593	21	nonlinearities	nonlinearitie	NOUN
ejde-816	593	22	,	,	PUNCT
ejde-816	593	23	complex	complex	ADJ
ejde-816	593	24	var	var	NOUN
ejde-816	593	25	.	.	PUNCT
ejde-816	594	1	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-816	594	2	equa	equa	NOUN
ejde-816	594	3	.	.	PUNCT
ejde-816	595	1	,	,	PUNCT
ejde-816	595	2	58	58	NUM
ejde-816	595	3	(	(	PUNCT
ejde-816	595	4	12	12	NUM
ejde-816	595	5	)	)	PUNCT
ejde-816	595	6	(	(	PUNCT
ejde-816	595	7	2013	2013	NUM
ejde-816	595	8	)	)	PUNCT
ejde-816	595	9	,	,	PUNCT
ejde-816	595	10	1637	1637	NUM
ejde-816	595	11	-	-	SYM
ejde-816	595	12	1646	1646	NUM
ejde-816	595	13	.	.	PUNCT
ejde-816	596	1	[	[	X
ejde-816	596	2	11	11	NUM
ejde-816	596	3	]	]	X
ejde-816	596	4	chung	chung	PROPN
ejde-816	596	5	,	,	PUNCT
ejde-816	596	6	n.	n.	PROPN
ejde-816	596	7	t.	t.	PROPN
ejde-816	596	8	;	;	PUNCT
ejde-816	596	9	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	596	10	solutions	solution	NOUN
ejde-816	596	11	for	for	ADP
ejde-816	596	12	a	a	DET
ejde-816	596	13	class	class	NOUN
ejde-816	596	14	of	of	ADP
ejde-816	596	15	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	596	16	type	type	NOUN
ejde-816	596	17	problems	problem	NOUN
ejde-816	596	18	with	with	ADP
ejde-816	596	19	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	596	20	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	596	21	conditions	condition	NOUN
ejde-816	596	22	,	,	PUNCT
ejde-816	596	23	adv	adv	PROPN
ejde-816	596	24	.	.	PUNCT
ejde-816	597	1	pure	pure	ADJ
ejde-816	597	2	appl	appl	PROPN
ejde-816	597	3	.	.	PUNCT
ejde-816	597	4	math	math	PROPN
ejde-816	597	5	.	.	PUNCT
ejde-816	598	1	,	,	PUNCT
ejde-816	598	2	4	4	NUM
ejde-816	598	3	(	(	PUNCT
ejde-816	598	4	2	2	NUM
ejde-816	598	5	)	)	PUNCT
ejde-816	598	6	(	(	PUNCT
ejde-816	598	7	2013	2013	NUM
ejde-816	598	8	)	)	PUNCT
ejde-816	598	9	,	,	PUNCT
ejde-816	598	10	165	165	NUM
ejde-816	598	11	-	-	SYM
ejde-816	598	12	177	177	NUM
ejde-816	598	13	.	.	PUNCT
ejde-816	599	1	[	[	X
ejde-816	599	2	12	12	NUM
ejde-816	599	3	]	]	X
ejde-816	599	4	clarke	clarke	PROPN
ejde-816	599	5	,	,	PUNCT
ejde-816	599	6	d.	d.	PROPN
ejde-816	599	7	c.	c.	PROPN
ejde-816	599	8	;	;	PUNCT
ejde-816	599	9	a	a	DET
ejde-816	599	10	variant	variant	NOUN
ejde-816	599	11	of	of	ADP
ejde-816	599	12	the	the	DET
ejde-816	599	13	lusternik	lusternik	ADJ
ejde-816	599	14	-	-	PUNCT
ejde-816	599	15	schnirelman	schnirelman	NOUN
ejde-816	599	16	theory	theory	NOUN
ejde-816	599	17	,	,	PUNCT
ejde-816	599	18	indiana	indiana	PROPN
ejde-816	599	19	univ	univ	PROPN
ejde-816	599	20	.	.	PUNCT
ejde-816	599	21	math	math	PROPN
ejde-816	599	22	.	.	PUNCT
ejde-816	600	1	j.	j.	PROPN
ejde-816	600	2	,	,	PUNCT
ejde-816	600	3	22	22	NUM
ejde-816	600	4	(	(	PUNCT
ejde-816	600	5	1972	1972	NUM
ejde-816	600	6	)	)	PUNCT
ejde-816	600	7	,	,	PUNCT
ejde-816	600	8	65	65	NUM
ejde-816	600	9	-	-	SYM
ejde-816	600	10	74	74	NUM
ejde-816	600	11	.	.	PUNCT
ejde-816	601	1	[	[	X
ejde-816	601	2	13	13	NUM
ejde-816	601	3	]	]	SYM
ejde-816	601	4	colasuonno	colasuonno	NOUN
ejde-816	601	5	,	,	PUNCT
ejde-816	601	6	f.	f.	PROPN
ejde-816	601	7	;	;	PUNCT
ejde-816	601	8	pucci	pucci	PROPN
ejde-816	601	9	,	,	PUNCT
ejde-816	601	10	p.	p.	NOUN
ejde-816	601	11	;	;	PUNCT
ejde-816	601	12	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	601	13	of	of	ADP
ejde-816	601	14	solutions	solution	NOUN
ejde-816	601	15	for	for	ADP
ejde-816	601	16	p(x)-polyharmonic	p(x)-polyharmonic	PROPN
ejde-816	601	17	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	601	18	equations	equation	NOUN
ejde-816	601	19	,	,	PUNCT
ejde-816	601	20	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	601	21	anal	anal	NOUN
ejde-816	601	22	.	.	PUNCT
ejde-816	602	1	(	(	PUNCT
ejde-816	602	2	tma	tma	PROPN
ejde-816	602	3	)	)	PUNCT
ejde-816	602	4	,	,	PUNCT
ejde-816	602	5	74	74	NUM
ejde-816	602	6	(	(	PUNCT
ejde-816	602	7	2	2	NUM
ejde-816	602	8	)	)	PUNCT
ejde-816	602	9	(	(	PUNCT
ejde-816	602	10	2011	2011	NUM
ejde-816	602	11	)	)	PUNCT
ejde-816	602	12	,	,	PUNCT
ejde-816	602	13	5962	5962	NUM
ejde-816	602	14	-	-	SYM
ejde-816	602	15	5974	5974	NUM
ejde-816	602	16	.	.	PUNCT
ejde-816	603	1	[	[	X
ejde-816	603	2	14	14	NUM
ejde-816	603	3	]	]	X
ejde-816	603	4	correa	correa	PROPN
ejde-816	603	5	,	,	PUNCT
ejde-816	603	6	f.	f.	PROPN
ejde-816	603	7	j.	j.	PROPN
ejde-816	603	8	s.	s.	PROPN
ejde-816	603	9	a	a	PROPN
ejde-816	603	10	;	;	PUNCT
ejde-816	603	11	figueiredo	figueiredo	PROPN
ejde-816	603	12	,	,	PUNCT
ejde-816	603	13	g.	g.	PROPN
ejde-816	603	14	m.	m.	NOUN
ejde-816	603	15	;	;	PUNCT
ejde-816	603	16	on	on	ADP
ejde-816	603	17	an	an	DET
ejde-816	603	18	elliptic	elliptic	ADJ
ejde-816	603	19	equation	equation	NOUN
ejde-816	603	20	of	of	ADP
ejde-816	603	21	p	p	PROPN
ejde-816	603	22	-	-	PUNCT
ejde-816	603	23	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	603	24	type	type	NOUN
ejde-816	603	25	via	via	ADP
ejde-816	603	26	variational	variational	ADJ
ejde-816	603	27	methods	method	NOUN
ejde-816	603	28	,	,	PUNCT
ejde-816	603	29	bull	bull	NOUN
ejde-816	603	30	.	.	PUNCT
ejde-816	604	1	aust	aust	PROPN
ejde-816	604	2	.	.	PUNCT
ejde-816	604	3	math	math	PROPN
ejde-816	604	4	.	.	PUNCT
ejde-816	605	1	soc	soc	PROPN
ejde-816	605	2	.	.	PUNCT
ejde-816	605	3	,	,	PUNCT
ejde-816	605	4	74	74	NUM
ejde-816	605	5	(	(	PUNCT
ejde-816	605	6	2006	2006	NUM
ejde-816	605	7	)	)	PUNCT
ejde-816	605	8	,	,	PUNCT
ejde-816	605	9	263	263	NUM
ejde-816	605	10	-	-	SYM
ejde-816	605	11	277	277	NUM
ejde-816	605	12	.	.	PUNCT
ejde-816	606	1	[	[	X
ejde-816	606	2	15	15	NUM
ejde-816	606	3	]	]	X
ejde-816	606	4	dai	dai	PROPN
ejde-816	606	5	,	,	PUNCT
ejde-816	606	6	g.	g.	PROPN
ejde-816	606	7	;	;	PUNCT
ejde-816	606	8	three	three	NUM
ejde-816	606	9	solutions	solution	NOUN
ejde-816	606	10	for	for	ADP
ejde-816	606	11	a	a	DET
ejde-816	606	12	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-816	606	13	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-816	606	14	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	606	15	value	value	NOUN
ejde-816	606	16	problem	problem	NOUN
ejde-816	606	17	involving	involve	VERB
ejde-816	606	18	the	the	DET
ejde-816	606	19	p(x	p(x	PROPN
ejde-816	606	20	)	)	PUNCT
ejde-816	606	21	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-816	606	22	,	,	PUNCT
ejde-816	606	23	appl	appl	PROPN
ejde-816	606	24	.	.	PROPN
ejde-816	607	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	607	2	.	.	PROPN
ejde-816	607	3	,	,	PUNCT
ejde-816	607	4	92	92	NUM
ejde-816	607	5	(	(	PUNCT
ejde-816	607	6	1	1	NUM
ejde-816	607	7	)	)	PUNCT
ejde-816	607	8	(	(	PUNCT
ejde-816	607	9	2013	2013	NUM
ejde-816	607	10	)	)	PUNCT
ejde-816	607	11	,	,	PUNCT
ejde-816	607	12	191	191	NUM
ejde-816	607	13	-	-	SYM
ejde-816	607	14	210	210	NUM
ejde-816	607	15	.	.	PUNCT
ejde-816	608	1	[	[	X
ejde-816	608	2	16	16	NUM
ejde-816	608	3	]	]	X
ejde-816	608	4	dai	dai	PROPN
ejde-816	608	5	,	,	PUNCT
ejde-816	608	6	g.	g.	PROPN
ejde-816	608	7	;	;	PUNCT
ejde-816	608	8	hao	hao	PROPN
ejde-816	608	9	,	,	PUNCT
ejde-816	608	10	r.	r.	PROPN
ejde-816	608	11	;	;	PUNCT
ejde-816	608	12	existence	existence	NOUN
ejde-816	608	13	of	of	ADP
ejde-816	608	14	solutions	solution	NOUN
ejde-816	608	15	for	for	ADP
ejde-816	608	16	a	a	DET
ejde-816	608	17	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	NOUN
ejde-816	608	18	-	-	PUNCT
ejde-816	608	19	type	type	NOUN
ejde-816	608	20	equation	equation	NOUN
ejde-816	608	21	,	,	PUNCT
ejde-816	608	22	j.	j.	PROPN
ejde-816	608	23	math	math	PROPN
ejde-816	608	24	.	.	PUNCT
ejde-816	609	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	609	2	.	.	PUNCT
ejde-816	610	1	appl	appl	PROPN
ejde-816	610	2	.	.	PROPN
ejde-816	610	3	,	,	PUNCT
ejde-816	610	4	359	359	NUM
ejde-816	610	5	(	(	PUNCT
ejde-816	610	6	2009	2009	NUM
ejde-816	610	7	)	)	PUNCT
ejde-816	610	8	,	,	PUNCT
ejde-816	610	9	275	275	NUM
ejde-816	610	10	-	-	SYM
ejde-816	610	11	284	284	NUM
ejde-816	610	12	.	.	PUNCT
ejde-816	611	1	[	[	X
ejde-816	611	2	17	17	NUM
ejde-816	611	3	]	]	SYM
ejde-816	611	4	deng	deng	PROPN
ejde-816	611	5	,	,	PUNCT
ejde-816	611	6	s.	s.	PROPN
ejde-816	611	7	g.	g.	PROPN
ejde-816	611	8	;	;	PUNCT
ejde-816	611	9	positive	positive	ADJ
ejde-816	611	10	solutions	solution	NOUN
ejde-816	611	11	for	for	ADP
ejde-816	611	12	robin	robin	PROPN
ejde-816	611	13	problem	problem	NOUN
ejde-816	611	14	involving	involve	VERB
ejde-816	611	15	the	the	DET
ejde-816	611	16	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	PROPN
ejde-816	611	17	,	,	PUNCT
ejde-816	611	18	j.	j.	PROPN
ejde-816	611	19	math	math	PROPN
ejde-816	611	20	.	.	PUNCT
ejde-816	612	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	612	2	.	.	PUNCT
ejde-816	612	3	appl	appl	PROPN
ejde-816	612	4	.	.	PROPN
ejde-816	612	5	,	,	PUNCT
ejde-816	612	6	360	360	NUM
ejde-816	612	7	(	(	PUNCT
ejde-816	612	8	2009	2009	NUM
ejde-816	612	9	)	)	PUNCT
ejde-816	612	10	,	,	PUNCT
ejde-816	612	11	548	548	NUM
ejde-816	612	12	-	-	SYM
ejde-816	612	13	560	560	NUM
ejde-816	612	14	.	.	PUNCT
ejde-816	613	1	[	[	X
ejde-816	613	2	18	18	NUM
ejde-816	613	3	]	]	PUNCT
ejde-816	613	4	diening	diene	VERB
ejde-816	613	5	,	,	PUNCT
ejde-816	613	6	l.	l.	PROPN
ejde-816	613	7	;	;	PUNCT
ejde-816	613	8	harjulehto	harjulehto	NOUN
ejde-816	613	9	,	,	PUNCT
ejde-816	613	10	p.	p.	NOUN
ejde-816	613	11	;	;	PUNCT
ejde-816	613	12	hasto	hasto	NOUN
ejde-816	613	13	,	,	PUNCT
ejde-816	613	14	p.	p.	NOUN
ejde-816	613	15	;	;	PUNCT
ejde-816	613	16	ruzicka	ruzicka	NOUN
ejde-816	613	17	,	,	PUNCT
ejde-816	613	18	m.	m.	NOUN
ejde-816	613	19	;	;	PUNCT
ejde-816	613	20	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-816	613	21	and	and	CCONJ
ejde-816	613	22	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-816	613	23	spaces	space	NOUN
ejde-816	613	24	with	with	ADP
ejde-816	613	25	variable	variable	ADJ
ejde-816	613	26	exponents	exponent	NOUN
ejde-816	613	27	,	,	PUNCT
ejde-816	613	28	lecture	lecture	NOUN
ejde-816	613	29	notes	note	NOUN
ejde-816	613	30	,	,	PUNCT
ejde-816	613	31	vol	vol	NOUN
ejde-816	613	32	.	.	NOUN
ejde-816	613	33	2017	2017	NUM
ejde-816	613	34	,	,	PUNCT
ejde-816	613	35	springer	springer	NOUN
ejde-816	613	36	-	-	PUNCT
ejde-816	613	37	verlag	verlag	PROPN
ejde-816	613	38	,	,	PUNCT
ejde-816	613	39	berlin	berlin	PROPN
ejde-816	613	40	,	,	PUNCT
ejde-816	613	41	2011	2011	NUM
ejde-816	613	42	.	.	PUNCT
ejde-816	614	1	[	[	X
ejde-816	614	2	19	19	NUM
ejde-816	614	3	]	]	X
ejde-816	614	4	j.	j.	PROPN
ejde-816	614	5	doumate	doumate	PROPN
ejde-816	614	6	,	,	PUNCT
ejde-816	614	7	a.	a.	PROPN
ejde-816	614	8	marcos	marcos	PROPN
ejde-816	614	9	;	;	PUNCT
ejde-816	614	10	weighted	weight	VERB
ejde-816	614	11	steklov	steklov	PROPN
ejde-816	614	12	problem	problem	NOUN
ejde-816	614	13	under	under	ADP
ejde-816	614	14	nonresonance	nonresonance	NOUN
ejde-816	614	15	conditions	condition	NOUN
ejde-816	614	16	,	,	PUNCT
ejde-816	614	17	bol	bol	NOUN
ejde-816	614	18	.	.	PUNCT
ejde-816	614	19	soc	soc	PROPN
ejde-816	614	20	.	.	PUNCT
ejde-816	615	1	paran	paran	PROPN
ejde-816	615	2	.	.	PUNCT
ejde-816	616	1	mat	mat	PROPN
ejde-816	616	2	.	.	PUNCT
ejde-816	617	1	v.	v.	ADP
ejde-816	617	2	36	36	NUM
ejde-816	617	3	(	(	PUNCT
ejde-816	617	4	4	4	NUM
ejde-816	617	5	)	)	PUNCT
ejde-816	617	6	(	(	PUNCT
ejde-816	617	7	2018	2018	NUM
ejde-816	617	8	):	):	PUNCT
ejde-816	618	1	87–105	87–105	NUM
ejde-816	618	2	.	.	PUNCT
ejde-816	619	1	[	[	X
ejde-816	619	2	20	20	NUM
ejde-816	619	3	]	]	X
ejde-816	619	4	ekeland	ekeland	NOUN
ejde-816	619	5	,	,	PUNCT
ejde-816	619	6	i.	i.	NOUN
ejde-816	619	7	;	;	PUNCT
ejde-816	619	8	on	on	ADP
ejde-816	619	9	the	the	DET
ejde-816	619	10	variational	variational	ADJ
ejde-816	619	11	principle	principle	NOUN
ejde-816	619	12	,	,	PUNCT
ejde-816	619	13	j.	j.	PROPN
ejde-816	619	14	math	math	PROPN
ejde-816	619	15	.	.	PUNCT
ejde-816	620	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	620	2	.	.	PUNCT
ejde-816	621	1	appl	appl	PROPN
ejde-816	621	2	.	.	PROPN
ejde-816	621	3	,	,	PUNCT
ejde-816	621	4	47	47	NUM
ejde-816	621	5	(	(	PUNCT
ejde-816	621	6	1974	1974	NUM
ejde-816	621	7	)	)	PUNCT
ejde-816	621	8	,	,	PUNCT
ejde-816	621	9	324	324	NUM
ejde-816	621	10	-	-	SYM
ejde-816	621	11	353	353	NUM
ejde-816	621	12	.	.	PUNCT
ejde-816	622	1	[	[	X
ejde-816	622	2	21	21	NUM
ejde-816	622	3	]	]	X
ejde-816	622	4	ge	ge	PROPN
ejde-816	622	5	,	,	PUNCT
ejde-816	622	6	b.	b.	PROPN
ejde-816	622	7	;	;	PUNCT
ejde-816	622	8	zhou	zhou	PROPN
ejde-816	622	9	,	,	PUNCT
ejde-816	622	10	q.	q.	PROPN
ejde-816	622	11	m.	m.	NOUN
ejde-816	622	12	;	;	PUNCT
ejde-816	622	13	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	622	14	solutions	solution	NOUN
ejde-816	622	15	for	for	ADP
ejde-816	622	16	a	a	DET
ejde-816	622	17	robin	robin	NOUN
ejde-816	622	18	-	-	PUNCT
ejde-816	622	19	type	type	NOUN
ejde-816	622	20	differential	differential	ADJ
ejde-816	622	21	inclusion	inclusion	NOUN
ejde-816	622	22	problem	problem	NOUN
ejde-816	622	23	involving	involve	VERB
ejde-816	622	24	the	the	DET
ejde-816	622	25	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	PROPN
ejde-816	622	26	,	,	PUNCT
ejde-816	622	27	math	math	NOUN
ejde-816	622	28	.	.	PUNCT
ejde-816	623	1	meth	meth	NOUN
ejde-816	623	2	.	.	PUNCT
ejde-816	624	1	appl	appl	PROPN
ejde-816	624	2	.	.	PUNCT
ejde-816	625	1	sci	sci	PROPN
ejde-816	625	2	.	.	PROPN
ejde-816	625	3	,	,	PUNCT
ejde-816	625	4	40	40	NUM
ejde-816	625	5	(	(	PUNCT
ejde-816	625	6	18	18	NUM
ejde-816	625	7	)	)	PUNCT
ejde-816	625	8	(	(	PUNCT
ejde-816	625	9	2017	2017	NUM
ejde-816	625	10	)	)	PUNCT
ejde-816	625	11	,	,	PUNCT
ejde-816	625	12	6229	6229	NUM
ejde-816	625	13	-	-	SYM
ejde-816	625	14	6238	6238	NUM
ejde-816	625	15	.	.	PUNCT
ejde-816	626	1	[	[	X
ejde-816	626	2	22	22	NUM
ejde-816	626	3	]	]	X
ejde-816	626	4	guo	guo	PROPN
ejde-816	626	5	,	,	PUNCT
ejde-816	626	6	e.	e.	PROPN
ejde-816	626	7	;	;	PUNCT
ejde-816	626	8	zhao	zhao	PROPN
ejde-816	626	9	,	,	PUNCT
ejde-816	626	10	p.	p.	PROPN
ejde-816	626	11	h.	h.	PROPN
ejde-816	626	12	;	;	PUNCT
ejde-816	626	13	existence	existence	NOUN
ejde-816	626	14	and	and	CCONJ
ejde-816	626	15	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	626	16	of	of	ADP
ejde-816	626	17	solutions	solution	NOUN
ejde-816	626	18	for	for	ADP
ejde-816	626	19	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-816	626	20	p(x)-laplacian	p(x)-laplacian	ADJ
ejde-816	626	21	equations	equation	NOUN
ejde-816	626	22	with	with	ADP
ejde-816	626	23	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-816	626	24	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	626	25	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	626	26	conditions	condition	NOUN
ejde-816	626	27	,	,	PUNCT
ejde-816	626	28	j.	j.	PROPN
ejde-816	626	29	math	math	PROPN
ejde-816	626	30	.	.	PUNCT
ejde-816	627	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	627	2	.	.	PUNCT
ejde-816	628	1	appl	appl	PROPN
ejde-816	628	2	.	.	PROPN
ejde-816	628	3	,	,	PUNCT
ejde-816	628	4	2012	2012	NUM
ejde-816	628	5	(	(	PUNCT
ejde-816	628	6	2012	2012	NUM
ejde-816	628	7	):	):	PUNCT
ejde-816	628	8	1	1	NUM
ejde-816	628	9	.	.	PUNCT
ejde-816	629	1	[	[	X
ejde-816	629	2	23	23	NUM
ejde-816	629	3	]	]	X
ejde-816	629	4	lei	lei	PROPN
ejde-816	629	5	,	,	PUNCT
ejde-816	629	6	c.	c.	PROPN
ejde-816	629	7	y.	y.	PROPN
ejde-816	629	8	;	;	PUNCT
ejde-816	629	9	liu	liu	PROPN
ejde-816	629	10	,	,	PUNCT
ejde-816	629	11	g.	g.	PROPN
ejde-816	629	12	s.	s.	PROPN
ejde-816	629	13	;	;	PUNCT
ejde-816	629	14	guo	guo	PROPN
ejde-816	629	15	,	,	PUNCT
ejde-816	629	16	l.	l.	PROPN
ejde-816	629	17	t.	t.	PROPN
ejde-816	629	18	;	;	PUNCT
ejde-816	629	19	multiple	multiple	ADJ
ejde-816	629	20	positive	positive	ADJ
ejde-816	629	21	solutions	solution	NOUN
ejde-816	629	22	for	for	ADP
ejde-816	629	23	a	a	DET
ejde-816	629	24	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	629	25	type	type	NOUN
ejde-816	629	26	problem	problem	NOUN
ejde-816	629	27	with	with	ADP
ejde-816	629	28	a	a	DET
ejde-816	629	29	critical	critical	ADJ
ejde-816	629	30	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-816	629	31	,	,	PUNCT
ejde-816	629	32	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	629	33	anal	anal	NOUN
ejde-816	629	34	.	.	PUNCT
ejde-816	629	35	(	(	PUNCT
ejde-816	629	36	rwa	rwa	PROPN
ejde-816	629	37	)	)	PUNCT
ejde-816	629	38	,	,	PUNCT
ejde-816	629	39	31	31	NUM
ejde-816	629	40	(	(	PUNCT
ejde-816	629	41	2016	2016	NUM
ejde-816	629	42	)	)	PUNCT
ejde-816	629	43	,	,	PUNCT
ejde-816	629	44	343	343	NUM
ejde-816	629	45	-	-	SYM
ejde-816	629	46	355	355	NUM
ejde-816	629	47	.	.	PUNCT
ejde-816	630	1	ejde-2024/83	ejde-2024/83	NOUN
ejde-816	630	2	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	630	3	type	type	NOUN
ejde-816	630	4	problems	problem	NOUN
ejde-816	630	5	23	23	NUM
ejde-816	631	1	[	[	SYM
ejde-816	631	2	24	24	NUM
ejde-816	631	3	]	]	SYM
ejde-816	631	4	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	631	5	,	,	PUNCT
ejde-816	631	6	g.	g.	PROPN
ejde-816	631	7	;	;	PUNCT
ejde-816	631	8	mechanik	mechanik	PROPN
ejde-816	631	9	,	,	PUNCT
ejde-816	631	10	teubner	teubner	NOUN
ejde-816	631	11	,	,	PUNCT
ejde-816	631	12	leipzig	leipzig	PROPN
ejde-816	631	13	,	,	PUNCT
ejde-816	631	14	germany	germany	PROPN
ejde-816	631	15	,	,	PUNCT
ejde-816	631	16	1883	1883	NUM
ejde-816	631	17	.	.	PUNCT
ejde-816	632	1	[	[	X
ejde-816	632	2	25	25	NUM
ejde-816	632	3	]	]	X
ejde-816	632	4	kovacik	kovacik	PROPN
ejde-816	632	5	,	,	PUNCT
ejde-816	632	6	o.	o.	PROPN
ejde-816	632	7	;	;	PUNCT
ejde-816	632	8	rakosnik	rakosnik	PROPN
ejde-816	632	9	,	,	PUNCT
ejde-816	632	10	j.	j.	PROPN
ejde-816	632	11	;	;	PUNCT
ejde-816	632	12	on	on	ADP
ejde-816	632	13	spaces	space	NOUN
ejde-816	632	14	lp(x	lp(x	PUNCT
ejde-816	632	15	)	)	PUNCT
ejde-816	632	16	and	and	CCONJ
ejde-816	632	17	w	w	PROPN
ejde-816	632	18	1,p(x	1,p(x	NUM
ejde-816	632	19	)	)	PUNCT
ejde-816	632	20	,	,	PUNCT
ejde-816	632	21	czechoslovak	czechoslovak	ADJ
ejde-816	632	22	math	math	NOUN
ejde-816	632	23	.	.	PUNCT
ejde-816	633	1	j.	j.	PROPN
ejde-816	633	2	,	,	PUNCT
ejde-816	633	3	41	41	NUM
ejde-816	633	4	(	(	PUNCT
ejde-816	633	5	1991	1991	NUM
ejde-816	633	6	)	)	PUNCT
ejde-816	633	7	,	,	PUNCT
ejde-816	633	8	592	592	NUM
ejde-816	633	9	-	-	SYM
ejde-816	633	10	618	618	NUM
ejde-816	633	11	.	.	PUNCT
ejde-816	634	1	[	[	X
ejde-816	634	2	26	26	NUM
ejde-816	634	3	]	]	X
ejde-816	634	4	molica	molica	PROPN
ejde-816	634	5	bisci	bisci	PROPN
ejde-816	634	6	,	,	PUNCT
ejde-816	634	7	g.	g.	PROPN
ejde-816	634	8	;	;	PUNCT
ejde-816	634	9	radulescu	radulescu	PROPN
ejde-816	634	10	,	,	PUNCT
ejde-816	634	11	v.	v.	PROPN
ejde-816	634	12	d.	d.	PROPN
ejde-816	634	13	;	;	PUNCT
ejde-816	634	14	applications	application	NOUN
ejde-816	634	15	of	of	ADP
ejde-816	634	16	local	local	ADJ
ejde-816	634	17	linking	linking	NOUN
ejde-816	634	18	to	to	ADP
ejde-816	634	19	nonlocal	nonlocal	ADJ
ejde-816	634	20	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	634	21	problems	problem	NOUN
ejde-816	634	22	,	,	PUNCT
ejde-816	634	23	commun	commun	PROPN
ejde-816	634	24	.	.	PUNCT
ejde-816	635	1	contemp	contemp	PROPN
ejde-816	635	2	.	.	PUNCT
ejde-816	636	1	math	math	NOUN
ejde-816	636	2	.	.	PUNCT
ejde-816	637	1	,	,	PUNCT
ejde-816	637	2	17	17	NUM
ejde-816	637	3	(	(	PUNCT
ejde-816	637	4	1	1	NUM
ejde-816	637	5	)	)	PUNCT
ejde-816	637	6	(	(	PUNCT
ejde-816	637	7	2015	2015	NUM
ejde-816	637	8	)	)	PUNCT
ejde-816	637	9	,	,	PUNCT
ejde-816	637	10	1450001	1450001	NUM
ejde-816	637	11	.	.	PUNCT
ejde-816	638	1	[	[	X
ejde-816	638	2	27	27	NUM
ejde-816	638	3	]	]	X
ejde-816	638	4	ruzicka	ruzicka	NOUN
ejde-816	638	5	,	,	PUNCT
ejde-816	638	6	m.	m.	NOUN
ejde-816	638	7	;	;	PUNCT
ejde-816	638	8	electrorheological	electrorheological	ADJ
ejde-816	638	9	fluids	fluid	NOUN
ejde-816	638	10	:	:	PUNCT
ejde-816	638	11	modeling	modeling	NOUN
ejde-816	638	12	and	and	CCONJ
ejde-816	638	13	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-816	638	14	theory	theory	NOUN
ejde-816	638	15	,	,	PUNCT
ejde-816	638	16	springer	springer	NOUN
ejde-816	638	17	-	-	PUNCT
ejde-816	638	18	verlag	verlag	PROPN
ejde-816	638	19	,	,	PUNCT
ejde-816	638	20	berlin	berlin	PROPN
ejde-816	638	21	,	,	PUNCT
ejde-816	638	22	2002	2002	NUM
ejde-816	638	23	.	.	PUNCT
ejde-816	639	1	[	[	X
ejde-816	639	2	28	28	NUM
ejde-816	639	3	]	]	X
ejde-816	639	4	tsouli	tsouli	NOUN
ejde-816	639	5	,	,	PUNCT
ejde-816	639	6	n.	n.	PROPN
ejde-816	639	7	;	;	PUNCT
ejde-816	639	8	darhouche	darhouche	PROPN
ejde-816	639	9	,	,	PUNCT
ejde-816	639	10	o.	o.	INTJ
ejde-816	639	11	;	;	PUNCT
ejde-816	639	12	existence	existence	NOUN
ejde-816	639	13	and	and	CCONJ
ejde-816	639	14	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	639	15	results	result	NOUN
ejde-816	639	16	for	for	ADP
ejde-816	639	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-816	639	18	problems	problem	NOUN
ejde-816	639	19	involving	involve	VERB
ejde-816	639	20	the	the	DET
ejde-816	639	21	p(x)-laplace	p(x)-laplace	PROPN
ejde-816	639	22	operator	operator	NOUN
ejde-816	639	23	,	,	PUNCT
ejde-816	639	24	opuscula	opuscula	NOUN
ejde-816	639	25	math	math	PROPN
ejde-816	639	26	.	.	PUNCT
ejde-816	639	27	,	,	PUNCT
ejde-816	639	28	34	34	NUM
ejde-816	639	29	(	(	PUNCT
ejde-816	639	30	3	3	NUM
ejde-816	639	31	)	)	PUNCT
ejde-816	639	32	(	(	PUNCT
ejde-816	639	33	2014	2014	NUM
ejde-816	639	34	)	)	PUNCT
ejde-816	639	35	,	,	PUNCT
ejde-816	639	36	621	621	NUM
ejde-816	639	37	-	-	SYM
ejde-816	639	38	638	638	NUM
ejde-816	639	39	.	.	PUNCT
ejde-816	640	1	[	[	X
ejde-816	640	2	29	29	NUM
ejde-816	640	3	]	]	X
ejde-816	640	4	wang	wang	PROPN
ejde-816	640	5	,	,	PUNCT
ejde-816	640	6	w.	w.	PROPN
ejde-816	640	7	b.	b.	PROPN
ejde-816	640	8	;	;	PUNCT
ejde-816	640	9	tang	tang	PROPN
ejde-816	640	10	,	,	PUNCT
ejde-816	640	11	w.	w.	NOUN
ejde-816	640	12	;	;	PUNCT
ejde-816	640	13	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	640	14	many	many	ADJ
ejde-816	640	15	solutions	solution	NOUN
ejde-816	640	16	for	for	ADP
ejde-816	640	17	kirchhoff	kirchhoff	NOUN
ejde-816	640	18	type	type	NOUN
ejde-816	640	19	problems	problem	NOUN
ejde-816	640	20	with	with	ADP
ejde-816	640	21	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-816	640	22	neumann	neumann	PROPN
ejde-816	640	23	boundary	boundary	PROPN
ejde-816	640	24	conditions	condition	NOUN
ejde-816	640	25	,	,	PUNCT
ejde-816	640	26	electron	electron	NOUN
ejde-816	640	27	.	.	PUNCT
ejde-816	641	1	j.	j.	PROPN
ejde-816	641	2	diff	diff	PROPN
ejde-816	641	3	.	.	PUNCT
ejde-816	642	1	equ	equ	PROPN
ejde-816	642	2	.	.	PROPN
ejde-816	642	3	,	,	PUNCT
ejde-816	642	4	2016	2016	NUM
ejde-816	642	5	(	(	PUNCT
ejde-816	642	6	188	188	NUM
ejde-816	642	7	)	)	PUNCT
ejde-816	642	8	(	(	PUNCT
ejde-816	642	9	2016	2016	NUM
ejde-816	642	10	)	)	PUNCT
ejde-816	642	11	,	,	PUNCT
ejde-816	642	12	1	1	NUM
ejde-816	642	13	-	-	SYM
ejde-816	642	14	9	9	NUM
ejde-816	642	15	.	.	PUNCT
ejde-816	643	1	[	[	X
ejde-816	643	2	30	30	NUM
ejde-816	643	3	]	]	X
ejde-816	643	4	wang	wang	PROPN
ejde-816	643	5	,	,	PUNCT
ejde-816	643	6	l.	l.	PROPN
ejde-816	643	7	;	;	PUNCT
ejde-816	643	8	xie	xie	PROPN
ejde-816	643	9	,	,	PUNCT
ejde-816	643	10	k.	k.	PROPN
ejde-816	643	11	;	;	PUNCT
ejde-816	643	12	zhang	zhang	PROPN
ejde-816	643	13	,	,	PUNCT
ejde-816	643	14	b.	b.	PROPN
ejde-816	643	15	;	;	PUNCT
ejde-816	643	16	existence	existence	NOUN
ejde-816	643	17	and	and	CCONJ
ejde-816	643	18	multiplicity	multiplicity	NOUN
ejde-816	643	19	of	of	ADP
ejde-816	643	20	solutions	solution	NOUN
ejde-816	643	21	for	for	ADP
ejde-816	643	22	critical	critical	ADJ
ejde-816	643	23	kirchhofftype	kirchhofftype	NOUN
ejde-816	643	24	p	p	PROPN
ejde-816	643	25	-	-	PUNCT
ejde-816	643	26	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-816	643	27	problems	problem	NOUN
ejde-816	643	28	,	,	PUNCT
ejde-816	643	29	j.	j.	PROPN
ejde-816	643	30	math	math	PROPN
ejde-816	643	31	.	.	PUNCT
ejde-816	644	1	anal	anal	PROPN
ejde-816	644	2	.	.	PUNCT
ejde-816	644	3	appl	appl	PROPN
ejde-816	644	4	.	.	PROPN
ejde-816	644	5	,	,	PUNCT
ejde-816	644	6	458	458	NUM
ejde-816	644	7	(	(	PUNCT
ejde-816	644	8	1	1	NUM
ejde-816	644	9	)	)	PUNCT
ejde-816	644	10	(	(	PUNCT
ejde-816	644	11	2018	2018	NUM
ejde-816	644	12	)	)	PUNCT
ejde-816	644	13	,	,	PUNCT
ejde-816	644	14	361	361	NUM
ejde-816	644	15	-	-	SYM
ejde-816	644	16	378	378	NUM
ejde-816	644	17	.	.	PUNCT
ejde-816	645	1	[	[	X
ejde-816	645	2	31	31	NUM
ejde-816	645	3	]	]	PUNCT
ejde-816	645	4	z.	z.	PROPN
ejde-816	645	5	yucedag	yucedag	PROPN
ejde-816	645	6	;	;	PUNCT
ejde-816	645	7	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	645	8	many	many	ADJ
ejde-816	645	9	solutions	solution	NOUN
ejde-816	645	10	for	for	ADP
ejde-816	645	11	a	a	DET
ejde-816	645	12	p(x)-kirchhoff	p(x)-kirchhoff	PROPN
ejde-816	645	13	type	type	NOUN
ejde-816	645	14	equation	equation	NOUN
ejde-816	645	15	with	with	ADP
ejde-816	645	16	steklov	steklov	PROPN
ejde-816	645	17	boundary	boundary	ADJ
ejde-816	645	18	value	value	NOUN
ejde-816	645	19	,	,	PUNCT
ejde-816	645	20	j.	j.	PROPN
ejde-816	645	21	miskolc	miskolc	PROPN
ejde-816	645	22	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-816	645	23	notes	note	NOUN
ejde-816	645	24	,	,	PUNCT
ejde-816	645	25	23	23	NUM
ejde-816	645	26	(	(	PUNCT
ejde-816	645	27	2022	2022	NUM
ejde-816	645	28	)	)	PUNCT
ejde-816	645	29	,	,	PUNCT
ejde-816	645	30	987–999	987–999	NUM
ejde-816	645	31	.	.	PUNCT
ejde-816	646	1	houssam	houssam	PROPN
ejde-816	646	2	baladi	baladi	PROPN
ejde-816	646	3	university	university	PROPN
ejde-816	646	4	of	of	ADP
ejde-816	646	5	mohamed	mohamed	PROPN
ejde-816	646	6	premier	premier	PROPN
ejde-816	646	7	,	,	PUNCT
ejde-816	646	8	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-816	646	9	department	department	NOUN
ejde-816	646	10	,	,	PUNCT
ejde-816	646	11	faculty	faculty	NOUN
ejde-816	646	12	of	of	ADP
ejde-816	646	13	science	science	NOUN
ejde-816	646	14	,	,	PUNCT
ejde-816	646	15	oujda	oujda	PROPN
ejde-816	646	16	,	,	PUNCT
ejde-816	646	17	morocco	morocco	PROPN
ejde-816	646	18	email	email	NOUN
ejde-816	646	19	address	address	NOUN
ejde-816	646	20	:	:	PUNCT
ejde-816	646	21	houssam.baladi@ump.ac.ma	houssam.baladi@ump.ac.ma	PROPN
ejde-816	646	22	abdellatif	abdellatif	NOUN
ejde-816	646	23	aglzim	aglzim	PROPN
ejde-816	646	24	university	university	PROPN
ejde-816	646	25	of	of	ADP
ejde-816	646	26	mohamed	mohamed	PROPN
ejde-816	646	27	premier	premier	PROPN
ejde-816	646	28	,	,	PUNCT
ejde-816	646	29	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-816	646	30	department	department	NOUN
ejde-816	646	31	,	,	PUNCT
ejde-816	646	32	faculty	faculty	NOUN
ejde-816	646	33	of	of	ADP
ejde-816	646	34	science	science	NOUN
ejde-816	646	35	,	,	PUNCT
ejde-816	646	36	oujda	oujda	PROPN
ejde-816	646	37	,	,	PUNCT
ejde-816	646	38	morocco	morocco	PROPN
ejde-816	646	39	email	email	NOUN
ejde-816	646	40	address	address	NOUN
ejde-816	646	41	:	:	PUNCT
ejde-816	646	42	abdellatif.aglzim@ump.ac.ma	abdellatif.aglzim@ump.ac.ma	PROPN
ejde-816	646	43	mohammed	mohammed	PROPN
ejde-816	646	44	filali	filali	PROPN
ejde-816	646	45	university	university	PROPN
ejde-816	646	46	of	of	ADP
ejde-816	646	47	mohamed	mohamed	PROPN
ejde-816	646	48	premier	premier	PROPN
ejde-816	646	49	,	,	PUNCT
ejde-816	646	50	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-816	646	51	department	department	NOUN
ejde-816	646	52	,	,	PUNCT
ejde-816	646	53	faculty	faculty	NOUN
ejde-816	646	54	of	of	ADP
ejde-816	646	55	science	science	NOUN
ejde-816	646	56	,	,	PUNCT
ejde-816	646	57	oujda	oujda	PROPN
ejde-816	646	58	,	,	PUNCT
ejde-816	646	59	morocco	morocco	PROPN
ejde-816	646	60	email	email	NOUN
ejde-816	646	61	address	address	NOUN
ejde-816	646	62	:	:	PUNCT
ejde-816	646	63	filali1959@yahoo.fr	filali1959@yahoo.fr	PROPN
ejde-816	646	64	najib	najib	PROPN
ejde-816	646	65	tsouli	tsouli	PROPN
ejde-816	646	66	university	university	PROPN
ejde-816	646	67	of	of	ADP
ejde-816	646	68	mohamed	mohamed	PROPN
ejde-816	646	69	premier	premier	PROPN
ejde-816	646	70	,	,	PUNCT
ejde-816	646	71	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-816	646	72	department	department	NOUN
ejde-816	646	73	,	,	PUNCT
ejde-816	646	74	faculty	faculty	NOUN
ejde-816	646	75	of	of	ADP
ejde-816	646	76	science	science	NOUN
ejde-816	646	77	,	,	PUNCT
ejde-816	646	78	oujda	oujda	PROPN
ejde-816	646	79	,	,	PUNCT
ejde-816	646	80	morocco	morocco	PROPN
ejde-816	646	81	email	email	NOUN
ejde-816	646	82	address	address	NOUN
ejde-816	646	83	:	:	PUNCT
ejde-816	646	84	n.tsouli@ump.ac.ma	n.tsouli@ump.ac.ma	NOUN
ejde-816	647	1	1	1	NUM
ejde-816	647	2	.	.	PUNCT
ejde-816	647	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-816	647	4	2	2	NUM
ejde-816	647	5	.	.	PUNCT
ejde-816	647	6	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-816	647	7	3	3	NUM
ejde-816	647	8	.	.	X
ejde-816	647	9	main	main	ADJ
ejde-816	647	10	results	result	NOUN
ejde-816	647	11	3.1	3.1	NUM
ejde-816	647	12	.	.	PUNCT
ejde-816	648	1	existence	existence	NOUN
ejde-816	648	2	of	of	ADP
ejde-816	648	3	at	at	ADV
ejde-816	648	4	least	least	ADV
ejde-816	648	5	two	two	NUM
ejde-816	648	6	solutions	solution	NOUN
ejde-816	648	7	3.2	3.2	NUM
ejde-816	648	8	.	.	PUNCT
ejde-816	649	1	existence	existence	NOUN
ejde-816	649	2	of	of	ADP
ejde-816	649	3	infinitely	infinitely	ADV
ejde-816	649	4	many	many	ADJ
ejde-816	649	5	solutions	solution	NOUN
ejde-816	649	6	4	4	NUM
ejde-816	649	7	.	.	PUNCT
ejde-816	649	8	applications	application	NOUN
ejde-816	649	9	4.1	4.1	NUM
ejde-816	649	10	.	.	PUNCT
ejde-816	650	1	non	non	ADJ
ejde-816	650	2	-	-	ADJ
ejde-816	650	3	linear	linear	ADJ
ejde-816	650	4	case	case	NOUN
ejde-816	650	5	4.2	4.2	NUM
ejde-816	650	6	.	.	PUNCT
ejde-816	651	1	linear	linear	ADJ
ejde-816	651	2	case	case	NOUN
ejde-816	651	3	acknowledgments	acknowledgment	VERB
ejde-816	651	4	references	reference	NOUN