id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-820	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-820	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-820	1	3	of	of	ADP
ejde-820	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-820	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-820	1	6	,	,	PUNCT
ejde-820	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-820	1	8	.	.	NOUN
ejde-820	1	9	2024	2024	NUM
ejde-820	1	10	(	(	PUNCT
ejde-820	1	11	2024	2024	NUM
ejde-820	1	12	)	)	PUNCT
ejde-820	1	13	,	,	PUNCT
ejde-820	1	14	no	no	INTJ
ejde-820	1	15	.	.	NOUN
ejde-820	1	16	49	49	NUM
ejde-820	1	17	,	,	PUNCT
ejde-820	1	18	pp	pp	PROPN
ejde-820	1	19	.	.	PUNCT
ejde-820	2	1	1–11	1–11	PROPN
ejde-820	2	2	.	.	PUNCT
ejde-820	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-820	3	2	:	:	PUNCT
ejde-820	3	3	1072	1072	NUM
ejde-820	3	4	-	-	SYM
ejde-820	3	5	6691	6691	NUM
ejde-820	3	6	.	.	PUNCT
ejde-820	4	1	url	url	PROPN
ejde-820	4	2	:	:	PUNCT
ejde-820	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-820	4	4	,	,	PUNCT
ejde-820	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-820	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-820	4	7	:	:	PUNCT
ejde-820	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-820	4	9	/	/	SYM
ejde-820	4	10	ejde.2024.49	ejde.2024.49	ADJ
ejde-820	4	11	existence	existence	NOUN
ejde-820	4	12	of	of	ADP
ejde-820	4	13	non	non	ADJ
ejde-820	4	14	-	-	ADJ
ejde-820	4	15	global	global	ADJ
ejde-820	4	16	solutions	solution	NOUN
ejde-820	4	17	to	to	ADP
ejde-820	4	18	bi	bi	ADJ
ejde-820	4	19	-	-	ADJ
ejde-820	4	20	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	4	21	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	4	22	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	4	23	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	4	24	equations	equation	NOUN
ejde-820	4	25	without	without	ADP
ejde-820	4	26	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	4	27	invariance	invariance	PROPN
ejde-820	4	28	tarek	tarek	PROPN
ejde-820	4	29	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	4	30	abstract	abstract	NOUN
ejde-820	4	31	.	.	PUNCT
ejde-820	5	1	this	this	DET
ejde-820	5	2	work	work	NOUN
ejde-820	5	3	shows	show	VERB
ejde-820	5	4	the	the	DET
ejde-820	5	5	existence	existence	NOUN
ejde-820	5	6	of	of	ADP
ejde-820	5	7	non	non	ADJ
ejde-820	5	8	-	-	ADJ
ejde-820	5	9	global	global	ADJ
ejde-820	5	10	mass	mass	NOUN
ejde-820	5	11	and	and	CCONJ
ejde-820	5	12	energy	energy	NOUN
ejde-820	5	13	solutions	solution	NOUN
ejde-820	5	14	to	to	ADP
ejde-820	5	15	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	5	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	5	17	bi	bi	ADJ
ejde-820	5	18	-	-	ADJ
ejde-820	5	19	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	5	20	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	5	21	problems	problem	NOUN
ejde-820	5	22	without	without	ADP
ejde-820	5	23	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	5	24	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	5	25	.	.	PUNCT
ejde-820	6	1	1	1	X
ejde-820	6	2	.	.	X
ejde-820	6	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-820	6	4	this	this	DET
ejde-820	6	5	note	note	NOUN
ejde-820	6	6	studies	study	VERB
ejde-820	6	7	the	the	DET
ejde-820	6	8	initial	initial	ADJ
ejde-820	6	9	valued	value	VERB
ejde-820	6	10	problem	problem	NOUN
ejde-820	6	11	for	for	ADP
ejde-820	6	12	the	the	DET
ejde-820	6	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	6	14	non	non	ADJ
ejde-820	6	15	-	-	ADJ
ejde-820	6	16	linear	linear	ADJ
ejde-820	6	17	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	6	18	-	-	PUNCT
ejde-820	6	19	order	order	NOUN
ejde-820	6	20	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	6	21	equation	equation	NOUN
ejde-820	6	22	iut	iut	VERB
ejde-820	6	23	+	+	NOUN
ejde-820	6	24	∆2u	∆2u	NOUN
ejde-820	6	25	=	=	SYM
ejde-820	6	26	λ|x|−τ	λ|x|−τ	X
ejde-820	7	1	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-820	7	2	,	,	PUNCT
ejde-820	7	3	u(0	u(0	PROPN
ejde-820	7	4	,	,	PUNCT
ejde-820	7	5	·	·	PUNCT
ejde-820	7	6	)	)	PUNCT
ejde-820	7	7	=	=	SYM
ejde-820	7	8	νu0	νu0	PROPN
ejde-820	7	9	,	,	PUNCT
ejde-820	7	10	(	(	PUNCT
ejde-820	7	11	1.1	1.1	NUM
ejde-820	7	12	)	)	PUNCT
ejde-820	7	13	where	where	SCONJ
ejde-820	7	14	u	u	NOUN
ejde-820	7	15	:	:	PUNCT
ejde-820	7	16	(	(	PUNCT
ejde-820	7	17	t	t	PROPN
ejde-820	7	18	,	,	PUNCT
ejde-820	7	19	x	x	NOUN
ejde-820	7	20	)	)	PUNCT
ejde-820	7	21	∈	∈	PROPN
ejde-820	7	22	r	r	NOUN
ejde-820	7	23	×	×	PROPN
ejde-820	7	24	rn	rn	PROPN
ejde-820	7	25	→	→	SYM
ejde-820	7	26	c	c	PROPN
ejde-820	7	27	for	for	ADP
ejde-820	7	28	some	some	DET
ejde-820	7	29	integer	integer	NOUN
ejde-820	7	30	n	n	PRON
ejde-820	7	31	≥	≥	NUM
ejde-820	7	32	1	1	NUM
ejde-820	7	33	is	be	AUX
ejde-820	7	34	the	the	DET
ejde-820	7	35	wave	wave	NOUN
ejde-820	7	36	function	function	NOUN
ejde-820	7	37	.	.	PUNCT
ejde-820	8	1	the	the	DET
ejde-820	8	2	source	source	NOUN
ejde-820	8	3	term	term	NOUN
ejde-820	8	4	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-820	8	5	0	0	NUM
ejde-820	9	1	̸=	̸=	PROPN
ejde-820	9	2	λ	λ	PROPN
ejde-820	9	3	∈	∈	PROPN
ejde-820	9	4	c	c	NOUN
ejde-820	9	5	,	,	PUNCT
ejde-820	9	6	p	p	X
ejde-820	9	7	>	>	X
ejde-820	9	8	1	1	NUM
ejde-820	9	9	,	,	PUNCT
ejde-820	9	10	and	and	CCONJ
ejde-820	9	11	τ	τ	X
ejde-820	9	12	>	>	X
ejde-820	9	13	0	0	PROPN
ejde-820	9	14	.	.	PUNCT
ejde-820	10	1	the	the	DET
ejde-820	10	2	datum	datum	NOUN
ejde-820	10	3	satisfies	satisfy	VERB
ejde-820	10	4	ν	ν	PROPN
ejde-820	10	5	∈	∈	PROPN
ejde-820	10	6	r.	r.	NOUN
ejde-820	10	7	the	the	DET
ejde-820	10	8	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	10	9	-	-	PUNCT
ejde-820	10	10	order	order	NOUN
ejde-820	10	11	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	10	12	problem	problem	NOUN
ejde-820	10	13	takes	take	VERB
ejde-820	10	14	into	into	ADP
ejde-820	10	15	account	account	NOUN
ejde-820	10	16	the	the	DET
ejde-820	10	17	role	role	NOUN
ejde-820	10	18	of	of	ADP
ejde-820	10	19	small	small	ADJ
ejde-820	10	20	fourthorder	fourthorder	NOUN
ejde-820	10	21	dispersion	dispersion	NOUN
ejde-820	10	22	terms	term	NOUN
ejde-820	10	23	in	in	ADP
ejde-820	10	24	the	the	DET
ejde-820	10	25	propagation	propagation	NOUN
ejde-820	10	26	of	of	ADP
ejde-820	10	27	intense	intense	ADJ
ejde-820	10	28	laser	laser	NOUN
ejde-820	10	29	beams	beam	NOUN
ejde-820	10	30	in	in	ADP
ejde-820	10	31	a	a	DET
ejde-820	10	32	bulk	bulk	ADJ
ejde-820	10	33	medium	medium	NOUN
ejde-820	10	34	with	with	ADP
ejde-820	10	35	a	a	DET
ejde-820	10	36	kerr	kerr	PROPN
ejde-820	10	37	non	non	PROPN
ejde-820	10	38	-	-	NOUN
ejde-820	10	39	linearity	linearity	ADJ
ejde-820	10	40	[	[	X
ejde-820	10	41	13	13	NUM
ejde-820	10	42	,	,	PUNCT
ejde-820	10	43	14	14	NUM
ejde-820	10	44	]	]	PUNCT
ejde-820	10	45	.	.	PUNCT
ejde-820	11	1	it	it	PRON
ejde-820	11	2	was	be	AUX
ejde-820	11	3	also	also	ADV
ejde-820	11	4	considered	consider	VERB
ejde-820	11	5	in	in	ADP
ejde-820	11	6	[	[	X
ejde-820	11	7	12	12	NUM
ejde-820	11	8	,	,	PUNCT
ejde-820	11	9	22	22	NUM
ejde-820	11	10	,	,	PUNCT
ejde-820	11	11	1	1	NUM
ejde-820	11	12	]	]	PUNCT
ejde-820	11	13	to	to	PART
ejde-820	11	14	study	study	VERB
ejde-820	11	15	the	the	DET
ejde-820	11	16	stability	stability	NOUN
ejde-820	11	17	of	of	ADP
ejde-820	11	18	solitons	soliton	NOUN
ejde-820	11	19	in	in	ADP
ejde-820	11	20	magnetic	magnetic	ADJ
ejde-820	11	21	materials	material	NOUN
ejde-820	11	22	once	once	SCONJ
ejde-820	11	23	the	the	DET
ejde-820	11	24	effective	effective	ADJ
ejde-820	11	25	quasi	quasi	NOUN
ejde-820	11	26	particle	particle	NOUN
ejde-820	11	27	mass	mass	NOUN
ejde-820	11	28	becomes	become	VERB
ejde-820	11	29	infinite	infinite	ADJ
ejde-820	11	30	.	.	PUNCT
ejde-820	12	1	the	the	DET
ejde-820	12	2	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	12	3	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-820	12	4	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	12	5	equation	equation	NOUN
ejde-820	12	6	(	(	PUNCT
ejde-820	12	7	1.1	1.1	NUM
ejde-820	12	8	)	)	PUNCT
ejde-820	12	9	is	be	AUX
ejde-820	12	10	called	call	VERB
ejde-820	12	11	non	non	ADJ
ejde-820	12	12	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	12	13	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	12	14	because	because	SCONJ
ejde-820	12	15	the	the	DET
ejde-820	12	16	source	source	NOUN
ejde-820	12	17	term	term	NOUN
ejde-820	12	18	n	n	CCONJ
ejde-820	12	19	(	(	PUNCT
ejde-820	12	20	u	u	NOUN
ejde-820	12	21	)	)	PUNCT
ejde-820	12	22	:	:	PUNCT
ejde-820	12	23	=	=	PUNCT
ejde-820	12	24	|x|−τ	|x|−τ	PRON
ejde-820	12	25	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-820	12	26	satisfies	satisfy	VERB
ejde-820	12	27	n	n	PRON
ejde-820	12	28	(	(	PUNCT
ejde-820	12	29	eiθu	eiθu	NOUN
ejde-820	12	30	)	)	PUNCT
ejde-820	12	31	̸=	̸=	PROPN
ejde-820	12	32	eiθn	eiθn	NOUN
ejde-820	12	33	(	(	PUNCT
ejde-820	12	34	u	u	NOUN
ejde-820	12	35	)	)	PUNCT
ejde-820	12	36	,	,	PUNCT
ejde-820	12	37	θ	θ	PROPN
ejde-820	12	38	∈	∈	PROPN
ejde-820	12	39	r−	r−	PROPN
ejde-820	12	40	2πz	2πz	NOUN
ejde-820	12	41	.	.	PUNCT
ejde-820	13	1	(	(	PUNCT
ejde-820	13	2	1.2	1.2	NUM
ejde-820	13	3	)	)	PUNCT
ejde-820	13	4	well	well	ADJ
ejde-820	13	5	-	-	PUNCT
ejde-820	13	6	posedness	posedness	NOUN
ejde-820	13	7	issues	issue	NOUN
ejde-820	13	8	of	of	ADP
ejde-820	13	9	the	the	DET
ejde-820	13	10	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	13	11	non	non	ADJ
ejde-820	13	12	-	-	ADJ
ejde-820	13	13	linear	linear	ADJ
ejde-820	13	14	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	13	15	equation	equation	NOUN
ejde-820	13	16	with	with	ADP
ejde-820	13	17	a	a	DET
ejde-820	13	18	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	13	19	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	13	20	source	source	NOUN
ejde-820	13	21	term	term	NOUN
ejde-820	13	22	iut	iut	PROPN
ejde-820	13	23	+	+	NOUN
ejde-820	13	24	∆2u	∆2u	NOUN
ejde-820	13	25	=	=	SYM
ejde-820	13	26	±|x|−τ	±|x|−τ	NOUN
ejde-820	13	27	|u|p−1u	|u|p−1u	NOUN
ejde-820	13	28	,	,	PUNCT
ejde-820	13	29	(	(	PUNCT
ejde-820	13	30	1.3	1.3	NUM
ejde-820	13	31	)	)	PUNCT
ejde-820	13	32	were	be	AUX
ejde-820	13	33	investigated	investigate	VERB
ejde-820	13	34	by	by	ADP
ejde-820	13	35	many	many	ADJ
ejde-820	13	36	authors	author	NOUN
ejde-820	13	37	in	in	ADP
ejde-820	13	38	the	the	DET
ejde-820	13	39	previous	previous	ADJ
ejde-820	13	40	few	few	ADJ
ejde-820	13	41	years	year	NOUN
ejde-820	13	42	.	.	PUNCT
ejde-820	14	1	indeed	indeed	ADV
ejde-820	14	2	,	,	PUNCT
ejde-820	14	3	a	a	DET
ejde-820	14	4	local	local	ADJ
ejde-820	14	5	theory	theory	NOUN
ejde-820	14	6	was	be	AUX
ejde-820	14	7	developed	develop	VERB
ejde-820	14	8	in	in	ADP
ejde-820	14	9	[	[	X
ejde-820	14	10	10	10	NUM
ejde-820	14	11	]	]	PUNCT
ejde-820	14	12	using	use	VERB
ejde-820	14	13	contraction	contraction	NOUN
ejde-820	14	14	mapping	mapping	NOUN
ejde-820	14	15	argument	argument	NOUN
ejde-820	14	16	via	via	ADP
ejde-820	14	17	strichartz	strichartz	ADJ
ejde-820	14	18	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	14	19	and	and	CCONJ
ejde-820	14	20	revisited	revisit	VERB
ejde-820	14	21	in	in	ADP
ejde-820	14	22	[	[	X
ejde-820	14	23	15	15	NUM
ejde-820	14	24	]	]	PUNCT
ejde-820	14	25	.	.	PUNCT
ejde-820	15	1	a	a	DET
ejde-820	15	2	small	small	ADJ
ejde-820	15	3	data	data	NOUN
ejde-820	15	4	global	global	ADJ
ejde-820	15	5	existence	existence	NOUN
ejde-820	15	6	result	result	NOUN
ejde-820	15	7	was	be	AUX
ejde-820	15	8	proved	prove	VERB
ejde-820	15	9	in	in	ADP
ejde-820	15	10	[	[	X
ejde-820	15	11	11	11	NUM
ejde-820	15	12	]	]	PUNCT
ejde-820	15	13	.	.	PUNCT
ejde-820	16	1	a	a	DET
ejde-820	16	2	sharp	sharp	ADJ
ejde-820	16	3	dichotomy	dichotomy	NOUN
ejde-820	16	4	of	of	ADP
ejde-820	16	5	global	global	ADJ
ejde-820	16	6	versus	versus	ADP
ejde-820	16	7	non	non	ADJ
ejde-820	16	8	-	-	ADJ
ejde-820	16	9	global	global	ADJ
ejde-820	16	10	existence	existence	NOUN
ejde-820	16	11	of	of	ADP
ejde-820	16	12	solutions	solution	NOUN
ejde-820	16	13	by	by	ADP
ejde-820	16	14	using	use	VERB
ejde-820	16	15	the	the	DET
ejde-820	16	16	existence	existence	NOUN
ejde-820	16	17	of	of	ADP
ejde-820	16	18	ground	ground	NOUN
ejde-820	16	19	states	state	NOUN
ejde-820	16	20	is	be	AUX
ejde-820	16	21	given	give	VERB
ejde-820	16	22	by	by	ADP
ejde-820	16	23	the	the	DET
ejde-820	16	24	author	author	NOUN
ejde-820	16	25	in	in	ADP
ejde-820	16	26	[	[	X
ejde-820	16	27	19	19	NUM
ejde-820	16	28	]	]	PUNCT
ejde-820	16	29	.	.	PUNCT
ejde-820	17	1	the	the	DET
ejde-820	17	2	energy	energy	NOUN
ejde-820	17	3	scattering	scattering	NOUN
ejde-820	17	4	in	in	ADP
ejde-820	17	5	2020	2020	NUM
ejde-820	17	6	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-820	17	7	subject	subject	ADJ
ejde-820	17	8	classification	classification	NOUN
ejde-820	17	9	.	.	PUNCT
ejde-820	18	1	35q55	35q55	NUM
ejde-820	18	2	,	,	PUNCT
ejde-820	18	3	35a01	35a01	NUM
ejde-820	18	4	.	.	PUNCT
ejde-820	19	1	key	key	ADJ
ejde-820	19	2	words	word	NOUN
ejde-820	19	3	and	and	CCONJ
ejde-820	19	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-820	19	5	.	.	PUNCT
ejde-820	20	1	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	20	2	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	20	3	-	-	PUNCT
ejde-820	20	4	order	order	NOUN
ejde-820	20	5	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	20	6	problem	problem	NOUN
ejde-820	20	7	;	;	PUNCT
ejde-820	20	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	20	9	equations	equation	NOUN
ejde-820	20	10	;	;	PUNCT
ejde-820	20	11	non	non	ADJ
ejde-820	20	12	-	-	ADJ
ejde-820	20	13	global	global	ADJ
ejde-820	20	14	solutions	solution	NOUN
ejde-820	20	15	.	.	PUNCT
ejde-820	21	1	©	©	ADP
ejde-820	21	2	2024	2024	NUM
ejde-820	21	3	.	.	PUNCT
ejde-820	22	1	this	this	DET
ejde-820	22	2	work	work	NOUN
ejde-820	22	3	is	be	AUX
ejde-820	22	4	licensed	license	VERB
ejde-820	22	5	under	under	ADP
ejde-820	22	6	a	a	DET
ejde-820	22	7	cc	cc	NOUN
ejde-820	22	8	by	by	ADP
ejde-820	22	9	4.0	4.0	NUM
ejde-820	22	10	license	license	NOUN
ejde-820	22	11	.	.	PUNCT
ejde-820	23	1	submitted	submit	VERB
ejde-820	23	2	july	july	PROPN
ejde-820	23	3	24	24	NUM
ejde-820	23	4	,	,	PUNCT
ejde-820	23	5	2024	2024	NUM
ejde-820	23	6	.	.	PUNCT
ejde-820	24	1	published	publish	VERB
ejde-820	24	2	september	september	PROPN
ejde-820	24	3	3	3	NUM
ejde-820	24	4	,	,	PUNCT
ejde-820	24	5	2024	2024	NUM
ejde-820	24	6	.	.	PUNCT
ejde-820	25	1	1	1	NUM
ejde-820	25	2	2	2	NUM
ejde-820	25	3	t.	t.	NOUN
ejde-820	25	4	saanouni	saanouni	VERB
ejde-820	25	5	ejde-2024/49	ejde-2024/49	VERB
ejde-820	25	6	the	the	DET
ejde-820	25	7	inter	inter	ADJ
ejde-820	25	8	-	-	ADJ
ejde-820	25	9	critical	critical	ADJ
ejde-820	25	10	regime	regime	NOUN
ejde-820	25	11	was	be	AUX
ejde-820	25	12	first	first	ADV
ejde-820	25	13	proved	prove	VERB
ejde-820	25	14	by	by	ADP
ejde-820	25	15	the	the	DET
ejde-820	25	16	author	author	NOUN
ejde-820	25	17	[	[	X
ejde-820	25	18	17	17	NUM
ejde-820	25	19	,	,	PUNCT
ejde-820	25	20	18	18	NUM
ejde-820	25	21	]	]	PUNCT
ejde-820	25	22	for	for	ADP
ejde-820	25	23	radial	radial	ADJ
ejde-820	25	24	data	datum	NOUN
ejde-820	25	25	in	in	ADP
ejde-820	25	26	space	space	NOUN
ejde-820	25	27	dimensions	dimension	NOUN
ejde-820	25	28	n	n	PRON
ejde-820	25	29	≥	≥	NOUN
ejde-820	25	30	5	5	NUM
ejde-820	25	31	and	and	CCONJ
ejde-820	25	32	revisited	revisit	VERB
ejde-820	25	33	in	in	ADP
ejde-820	25	34	[	[	X
ejde-820	25	35	4	4	NUM
ejde-820	25	36	,	,	PUNCT
ejde-820	25	37	7	7	NUM
ejde-820	25	38	]	]	PUNCT
ejde-820	25	39	for	for	ADP
ejde-820	25	40	non	non	ADJ
ejde-820	25	41	-	-	ADJ
ejde-820	25	42	radial	radial	ADJ
ejde-820	25	43	data	datum	NOUN
ejde-820	25	44	and	and	CCONJ
ejde-820	25	45	low	low	ADJ
ejde-820	25	46	space	space	NOUN
ejde-820	25	47	dimensions	dimension	NOUN
ejde-820	25	48	.	.	PUNCT
ejde-820	26	1	the	the	DET
ejde-820	26	2	existence	existence	NOUN
ejde-820	26	3	of	of	ADP
ejde-820	26	4	non	non	ADJ
ejde-820	26	5	-	-	ADJ
ejde-820	26	6	global	global	ADJ
ejde-820	26	7	solutions	solution	NOUN
ejde-820	26	8	was	be	AUX
ejde-820	26	9	investigated	investigate	VERB
ejde-820	26	10	in	in	ADP
ejde-820	26	11	[	[	X
ejde-820	26	12	5	5	NUM
ejde-820	26	13	,	,	PUNCT
ejde-820	26	14	6	6	NUM
ejde-820	26	15	]	]	PUNCT
ejde-820	26	16	for	for	ADP
ejde-820	26	17	the	the	DET
ejde-820	26	18	mass	mass	ADJ
ejde-820	26	19	-	-	PUNCT
ejde-820	26	20	critical	critical	ADJ
ejde-820	26	21	regime	regime	NOUN
ejde-820	26	22	with	with	ADP
ejde-820	26	23	negative	negative	ADJ
ejde-820	26	24	energy	energy	NOUN
ejde-820	26	25	and	and	CCONJ
ejde-820	26	26	by	by	ADP
ejde-820	26	27	the	the	DET
ejde-820	26	28	author	author	NOUN
ejde-820	26	29	in	in	ADP
ejde-820	26	30	[	[	X
ejde-820	26	31	3	3	NUM
ejde-820	26	32	]	]	PUNCT
ejde-820	26	33	for	for	ADP
ejde-820	26	34	the	the	DET
ejde-820	26	35	intercritical	intercritical	ADJ
ejde-820	26	36	regime	regime	NOUN
ejde-820	26	37	.	.	PUNCT
ejde-820	27	1	in	in	ADP
ejde-820	27	2	the	the	DET
ejde-820	27	3	energy	energy	NOUN
ejde-820	27	4	critical	critical	ADJ
ejde-820	27	5	regime	regime	NOUN
ejde-820	27	6	,	,	PUNCT
ejde-820	27	7	a	a	DET
ejde-820	27	8	local	local	ADJ
ejde-820	27	9	theory	theory	NOUN
ejde-820	27	10	was	be	AUX
ejde-820	27	11	developed	develop	VERB
ejde-820	27	12	recently	recently	ADV
ejde-820	27	13	by	by	ADP
ejde-820	27	14	the	the	DET
ejde-820	27	15	author	author	NOUN
ejde-820	27	16	[	[	X
ejde-820	27	17	21	21	NUM
ejde-820	27	18	,	,	PUNCT
ejde-820	27	19	20	20	NUM
ejde-820	27	20	]	]	PUNCT
ejde-820	27	21	,	,	PUNCT
ejde-820	27	22	see	see	VERB
ejde-820	27	23	also	also	ADV
ejde-820	27	24	[	[	X
ejde-820	27	25	2	2	NUM
ejde-820	27	26	]	]	PUNCT
ejde-820	27	27	.	.	PUNCT
ejde-820	28	1	to	to	ADP
ejde-820	28	2	the	the	DET
ejde-820	28	3	author	author	NOUN
ejde-820	28	4	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-820	28	5	,	,	PUNCT
ejde-820	28	6	there	there	PRON
ejde-820	28	7	is	be	VERB
ejde-820	28	8	no	no	DET
ejde-820	28	9	work	work	NOUN
ejde-820	28	10	dealing	deal	VERB
ejde-820	28	11	with	with	ADP
ejde-820	28	12	the	the	DET
ejde-820	28	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	28	14	bi	bi	ADJ
ejde-820	28	15	-	-	ADJ
ejde-820	28	16	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	28	17	shrödinger	shrödinger	NOUN
ejde-820	28	18	equation	equation	NOUN
ejde-820	28	19	with	with	ADP
ejde-820	28	20	non	non	ADJ
ejde-820	28	21	-	-	ADJ
ejde-820	28	22	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	28	23	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	28	24	(	(	PUNCT
ejde-820	28	25	1.3	1.3	NUM
ejde-820	28	26	)	)	PUNCT
ejde-820	28	27	.	.	PUNCT
ejde-820	29	1	this	this	DET
ejde-820	29	2	note	note	NOUN
ejde-820	29	3	aims	aim	VERB
ejde-820	29	4	to	to	PART
ejde-820	29	5	present	present	VERB
ejde-820	29	6	some	some	DET
ejde-820	29	7	differences	difference	NOUN
ejde-820	29	8	between	between	ADP
ejde-820	29	9	the	the	DET
ejde-820	29	10	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	29	11	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	29	12	problem	problem	NOUN
ejde-820	29	13	(	(	PUNCT
ejde-820	29	14	1.1	1.1	NUM
ejde-820	29	15	)	)	PUNCT
ejde-820	29	16	and	and	CCONJ
ejde-820	29	17	the	the	DET
ejde-820	29	18	non	non	ADJ
ejde-820	29	19	-	-	ADJ
ejde-820	29	20	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	29	21	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	29	22	one	one	NUM
ejde-820	29	23	(	(	PUNCT
ejde-820	29	24	1.3	1.3	NUM
ejde-820	29	25	)	)	PUNCT
ejde-820	29	26	.	.	PUNCT
ejde-820	30	1	indeed	indeed	ADV
ejde-820	30	2	,	,	PUNCT
ejde-820	30	3	we	we	PRON
ejde-820	30	4	prove	prove	VERB
ejde-820	30	5	the	the	DET
ejde-820	30	6	existence	existence	NOUN
ejde-820	30	7	of	of	ADP
ejde-820	30	8	non	non	ADJ
ejde-820	30	9	global	global	ADJ
ejde-820	30	10	mass	mass	NOUN
ejde-820	30	11	-	-	PUNCT
ejde-820	30	12	solutions	solution	NOUN
ejde-820	30	13	for	for	ADP
ejde-820	30	14	1	1	NUM
ejde-820	30	15	<	<	X
ejde-820	30	16	p	p	X
ejde-820	30	17	<	<	X
ejde-820	30	18	1	1	NUM
ejde-820	30	19	+	+	NUM
ejde-820	30	20	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	30	21	n	n	NOUN
ejde-820	30	22	and	and	CCONJ
ejde-820	30	23	the	the	DET
ejde-820	30	24	existence	existence	NOUN
ejde-820	30	25	non	non	PRON
ejde-820	30	26	global	global	ADJ
ejde-820	30	27	energysolutions	energysolution	NOUN
ejde-820	30	28	for	for	ADP
ejde-820	30	29	1	1	NUM
ejde-820	30	30	<	<	X
ejde-820	30	31	p	p	X
ejde-820	30	32	<	<	X
ejde-820	30	33	1	1	NUM
ejde-820	30	34	+	+	NUM
ejde-820	30	35	2(4−τ	2(4−τ	NOUN
ejde-820	30	36	)	)	PUNCT
ejde-820	30	37	n−4	n−4	PROPN
ejde-820	30	38	with	with	ADP
ejde-820	30	39	small	small	ADJ
ejde-820	30	40	data	datum	NOUN
ejde-820	30	41	.	.	PUNCT
ejde-820	31	1	these	these	DET
ejde-820	31	2	results	result	NOUN
ejde-820	31	3	are	be	AUX
ejde-820	31	4	known	know	VERB
ejde-820	31	5	to	to	PART
ejde-820	31	6	be	be	AUX
ejde-820	31	7	false	false	ADJ
ejde-820	31	8	for	for	ADP
ejde-820	31	9	the	the	DET
ejde-820	31	10	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	31	11	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	31	12	problem	problem	NOUN
ejde-820	31	13	(	(	PUNCT
ejde-820	31	14	1.3	1.3	NUM
ejde-820	31	15	)	)	PUNCT
ejde-820	31	16	.	.	PUNCT
ejde-820	32	1	to	to	ADP
ejde-820	32	2	the	the	DET
ejde-820	32	3	author	author	NOUN
ejde-820	32	4	knowledge	knowledge	NOUN
ejde-820	32	5	,	,	PUNCT
ejde-820	32	6	this	this	DET
ejde-820	32	7	work	work	NOUN
ejde-820	32	8	is	be	AUX
ejde-820	32	9	the	the	DET
ejde-820	32	10	first	first	ADJ
ejde-820	32	11	one	one	NUM
ejde-820	32	12	dealing	deal	VERB
ejde-820	32	13	with	with	ADP
ejde-820	32	14	the	the	DET
ejde-820	32	15	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	32	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	32	17	bi	bi	ADJ
ejde-820	32	18	-	-	ADJ
ejde-820	32	19	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	32	20	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	32	21	equation	equation	NOUN
ejde-820	32	22	with	with	ADP
ejde-820	32	23	non	non	ADJ
ejde-820	32	24	-	-	ADJ
ejde-820	32	25	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	32	26	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	32	27	source	source	NOUN
ejde-820	32	28	term	term	NOUN
ejde-820	32	29	(	(	PUNCT
ejde-820	32	30	1.1	1.1	NUM
ejde-820	32	31	)	)	PUNCT
ejde-820	32	32	.	.	PUNCT
ejde-820	33	1	the	the	DET
ejde-820	33	2	plan	plan	NOUN
ejde-820	33	3	of	of	ADP
ejde-820	33	4	this	this	DET
ejde-820	33	5	note	note	NOUN
ejde-820	33	6	is	be	AUX
ejde-820	33	7	as	as	SCONJ
ejde-820	33	8	follows	follow	VERB
ejde-820	33	9	.	.	PUNCT
ejde-820	34	1	section	section	NOUN
ejde-820	34	2	2	2	NUM
ejde-820	34	3	contains	contain	VERB
ejde-820	34	4	the	the	DET
ejde-820	34	5	main	main	ADJ
ejde-820	34	6	results	result	NOUN
ejde-820	34	7	and	and	CCONJ
ejde-820	34	8	some	some	DET
ejde-820	34	9	useful	useful	ADJ
ejde-820	34	10	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	34	11	.	.	PUNCT
ejde-820	35	1	sections	section	NOUN
ejde-820	35	2	3	3	NUM
ejde-820	35	3	-	-	SYM
ejde-820	35	4	4	4	NUM
ejde-820	35	5	presents	present	VERB
ejde-820	35	6	the	the	DET
ejde-820	35	7	proof	proof	NOUN
ejde-820	35	8	of	of	ADP
ejde-820	35	9	the	the	DET
ejde-820	35	10	main	main	ADJ
ejde-820	35	11	results	result	NOUN
ejde-820	35	12	.	.	PUNCT
ejde-820	36	1	we	we	PRON
ejde-820	36	2	denote	denote	VERB
ejde-820	36	3	the	the	DET
ejde-820	36	4	standard	standard	ADJ
ejde-820	36	5	lebesgue	lebesgue	NOUN
ejde-820	36	6	and	and	CCONJ
ejde-820	36	7	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-820	36	8	spaces	space	NOUN
ejde-820	36	9	and	and	CCONJ
ejde-820	36	10	norms	norm	NOUN
ejde-820	36	11	by	by	ADP
ejde-820	36	12	lr	lr	NOUN
ejde-820	36	13	:	:	PUNCT
ejde-820	36	14	=	=	SYM
ejde-820	36	15	lr(rn	lr(rn	PROPN
ejde-820	36	16	)	)	PUNCT
ejde-820	36	17	,	,	PUNCT
ejde-820	36	18	h2	h2	NOUN
ejde-820	36	19	:	:	PUNCT
ejde-820	36	20	=	=	SYM
ejde-820	36	21	{	{	PUNCT
ejde-820	36	22	f	f	PROPN
ejde-820	36	23	∈	∈	PROPN
ejde-820	36	24	l2	l2	NOUN
ejde-820	36	25	,	,	PUNCT
ejde-820	36	26	∆f	∆f	PROPN
ejde-820	36	27	∈	∈	NOUN
ejde-820	36	28	l2	l2	NOUN
ejde-820	36	29	}	}	PUNCT
ejde-820	36	30	,	,	PUNCT
ejde-820	36	31	∥	∥	X
ejde-820	36	32	·	·	PUNCT
ejde-820	37	1	∥r	∥r	NOUN
ejde-820	37	2	:	:	PUNCT
ejde-820	37	3	=	=	SYM
ejde-820	37	4	∥	∥	X
ejde-820	37	5	·	·	PUNCT
ejde-820	37	6	∥lr	∥lr	NOUN
ejde-820	37	7	,	,	PUNCT
ejde-820	37	8	∥	∥	X
ejde-820	37	9	·	·	PUNCT
ejde-820	37	10	∥	∥	X
ejde-820	37	11	:	:	PUNCT
ejde-820	37	12	=	=	SYM
ejde-820	37	13	∥	∥	PUNCT
ejde-820	37	14	·	·	PUNCT
ejde-820	37	15	∥2	∥2	NUM
ejde-820	37	16	,	,	PUNCT
ejde-820	37	17	∥	∥	X
ejde-820	37	18	·	·	PUNCT
ejde-820	37	19	∥h2	∥h2	X
ejde-820	38	1	:	:	PUNCT
ejde-820	38	2	=	=	SYM
ejde-820	38	3	(	(	PUNCT
ejde-820	38	4	∥	∥	X
ejde-820	38	5	·	·	PUNCT
ejde-820	38	6	∥2	∥2	NOUN
ejde-820	39	1	+	+	CCONJ
ejde-820	39	2	∥∆	∥∆	ADP
ejde-820	39	3	·	·	SYM
ejde-820	39	4	∥2	∥2	X
ejde-820	39	5	)	)	PUNCT
ejde-820	39	6	1/2	1/2	NUM
ejde-820	39	7	.	.	PUNCT
ejde-820	40	1	we	we	PRON
ejde-820	40	2	define	define	VERB
ejde-820	40	3	the	the	DET
ejde-820	40	4	ball	ball	NOUN
ejde-820	40	5	of	of	ADP
ejde-820	40	6	rn	rn	PROPN
ejde-820	40	7	with	with	ADP
ejde-820	40	8	center	center	NOUN
ejde-820	40	9	at	at	ADP
ejde-820	40	10	the	the	DET
ejde-820	40	11	origin	origin	NOUN
ejde-820	40	12	and	and	CCONJ
ejde-820	40	13	radius	radius	NOUN
ejde-820	40	14	r	r	NOUN
ejde-820	40	15	>	>	X
ejde-820	40	16	0	0	NUM
ejde-820	40	17	by	by	ADP
ejde-820	40	18	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	40	19	)	)	PUNCT
ejde-820	40	20	:	:	PUNCT
ejde-820	41	1	=	=	SYM
ejde-820	41	2	{	{	PUNCT
ejde-820	41	3	x	x	PUNCT
ejde-820	41	4	∈	∈	PROPN
ejde-820	41	5	rn	rn	PROPN
ejde-820	41	6	,	,	PUNCT
ejde-820	41	7	|x|	|x|	PROPN
ejde-820	41	8	<	<	X
ejde-820	41	9	r	r	NOUN
ejde-820	41	10	}	}	PUNCT
ejde-820	41	11	,	,	PUNCT
ejde-820	41	12	and	and	CCONJ
ejde-820	41	13	its	its	PRON
ejde-820	41	14	complement	complement	NOUN
ejde-820	41	15	by	by	ADP
ejde-820	41	16	bc(r	bc(r	NOUN
ejde-820	41	17	)	)	PUNCT
ejde-820	41	18	:	:	PUNCT
ejde-820	41	19	=	=	SYM
ejde-820	41	20	{	{	PUNCT
ejde-820	41	21	x	x	PUNCT
ejde-820	41	22	∈	∈	PROPN
ejde-820	41	23	rn	rn	PROPN
ejde-820	41	24	,	,	PUNCT
ejde-820	41	25	x	x	PROPN
ejde-820	41	26	/∈	/∈	PUNCT
ejde-820	41	27	b(r	b(r	NOUN
ejde-820	41	28	)	)	PUNCT
ejde-820	41	29	}	}	PUNCT
ejde-820	41	30	.	.	PUNCT
ejde-820	42	1	the	the	DET
ejde-820	42	2	annulus	annulus	NOUN
ejde-820	42	3	of	of	ADP
ejde-820	42	4	rn	rn	PROPN
ejde-820	42	5	with	with	ADP
ejde-820	42	6	radii	radius	NOUN
ejde-820	42	7	0	0	X
ejde-820	42	8	<	<	X
ejde-820	42	9	r′	r′	X
ejde-820	42	10	<	<	X
ejde-820	42	11	r	r	NOUN
ejde-820	42	12	is	be	AUX
ejde-820	42	13	c(r′	c(r′	NOUN
ejde-820	42	14	,	,	PUNCT
ejde-820	42	15	r	r	NOUN
ejde-820	42	16	)	)	PUNCT
ejde-820	42	17	:	:	PUNCT
ejde-820	42	18	=	=	SYM
ejde-820	42	19	{	{	PUNCT
ejde-820	42	20	x	x	PROPN
ejde-820	42	21	∈	∈	PROPN
ejde-820	42	22	rn	rn	PROPN
ejde-820	42	23	,	,	PUNCT
ejde-820	42	24	r′	r′	PROPN
ejde-820	42	25	<	<	X
ejde-820	42	26	|x|	|x|	X
ejde-820	42	27	<	<	X
ejde-820	42	28	r	r	X
ejde-820	42	29	}	}	PUNCT
ejde-820	42	30	.	.	PUNCT
ejde-820	43	1	also	also	ADV
ejde-820	43	2	x−	x−	PROPN
ejde-820	43	3	is	be	AUX
ejde-820	43	4	a	a	DET
ejde-820	43	5	real	real	ADJ
ejde-820	43	6	number	number	NOUN
ejde-820	43	7	close	close	ADV
ejde-820	43	8	to	to	ADP
ejde-820	43	9	x	x	SYM
ejde-820	43	10	such	such	ADJ
ejde-820	43	11	that	that	SCONJ
ejde-820	43	12	x	x	X
ejde-820	43	13	>	>	X
ejde-820	43	14	x−	x−	PROPN
ejde-820	43	15	and	and	CCONJ
ejde-820	43	16	r′	r′	PROPN
ejde-820	43	17	:	:	PUNCT
ejde-820	43	18	=	=	PUNCT
ejde-820	43	19	r/(r	r/(r	NOUN
ejde-820	43	20	−	−	NOUN
ejde-820	43	21	1	1	NUM
ejde-820	43	22	)	)	PUNCT
ejde-820	43	23	is	be	AUX
ejde-820	43	24	the	the	DET
ejde-820	43	25	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	43	26	conjugate	conjugate	NOUN
ejde-820	43	27	of	of	ADP
ejde-820	43	28	r	r	NOUN
ejde-820	43	29	>	>	X
ejde-820	43	30	1	1	NUM
ejde-820	43	31	.	.	SYM
ejde-820	43	32	2	2	NUM
ejde-820	43	33	.	.	X
ejde-820	43	34	background	background	NOUN
ejde-820	43	35	and	and	CCONJ
ejde-820	43	36	main	main	ADJ
ejde-820	43	37	result	result	NOUN
ejde-820	43	38	this	this	DET
ejde-820	43	39	section	section	NOUN
ejde-820	43	40	contains	contain	VERB
ejde-820	43	41	the	the	DET
ejde-820	43	42	main	main	ADJ
ejde-820	43	43	contribution	contribution	NOUN
ejde-820	43	44	of	of	ADP
ejde-820	43	45	this	this	DET
ejde-820	43	46	note	note	NOUN
ejde-820	43	47	and	and	CCONJ
ejde-820	43	48	some	some	DET
ejde-820	43	49	useful	useful	ADJ
ejde-820	43	50	standard	standard	ADJ
ejde-820	43	51	estimates	estimate	NOUN
ejde-820	43	52	.	.	PUNCT
ejde-820	44	1	2.1	2.1	NUM
ejde-820	44	2	.	.	PUNCT
ejde-820	44	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-820	44	4	.	.	PUNCT
ejde-820	45	1	let	let	VERB
ejde-820	45	2	us	we	PRON
ejde-820	45	3	denote	denote	VERB
ejde-820	45	4	the	the	DET
ejde-820	45	5	free	free	ADJ
ejde-820	45	6	bi	bi	ADJ
ejde-820	45	7	-	-	ADJ
ejde-820	45	8	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	45	9	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	45	10	kernel	kernel	NOUN
ejde-820	45	11	by	by	ADP
ejde-820	45	12	eit∆	eit∆	ADP
ejde-820	45	13	2	2	NUM
ejde-820	45	14	u	u	NOUN
ejde-820	45	15	:	:	PUNCT
ejde-820	45	16	=	=	SYM
ejde-820	45	17	f−1	f−1	PROPN
ejde-820	45	18	(	(	PUNCT
ejde-820	45	19	eit|·|	eit|·|	PROPN
ejde-820	45	20	4	4	NUM
ejde-820	45	21	fu	fu	NOUN
ejde-820	45	22	)	)	PUNCT
ejde-820	45	23	.	.	PUNCT
ejde-820	46	1	(	(	PUNCT
ejde-820	46	2	2.1	2.1	NUM
ejde-820	46	3	)	)	PUNCT
ejde-820	46	4	where	where	SCONJ
ejde-820	46	5	f	f	PROPN
ejde-820	46	6	is	be	AUX
ejde-820	46	7	the	the	DET
ejde-820	46	8	fourrier	fourri	ADJ
ejde-820	46	9	transform	transform	NOUN
ejde-820	46	10	.	.	PUNCT
ejde-820	47	1	thanks	thank	NOUN
ejde-820	47	2	to	to	ADP
ejde-820	47	3	the	the	DET
ejde-820	47	4	duhamel	duhamel	PROPN
ejde-820	47	5	formula	formula	NOUN
ejde-820	47	6	,	,	PUNCT
ejde-820	47	7	solutions	solution	NOUN
ejde-820	47	8	to	to	ADP
ejde-820	47	9	(	(	PUNCT
ejde-820	47	10	1.1	1.1	NUM
ejde-820	47	11	)	)	PUNCT
ejde-820	47	12	are	be	AUX
ejde-820	47	13	fix	fix	NOUN
ejde-820	47	14	points	point	NOUN
ejde-820	47	15	of	of	ADP
ejde-820	47	16	the	the	DET
ejde-820	47	17	integral	integral	ADJ
ejde-820	47	18	operator	operator	NOUN
ejde-820	47	19	f(u(t	f(u(t	PROPN
ejde-820	47	20	)	)	PUNCT
ejde-820	47	21	)	)	PUNCT
ejde-820	48	1	:	:	PUNCT
ejde-820	49	1	=	=	SYM
ejde-820	49	2	eit∆	eit∆	SYM
ejde-820	49	3	2	2	NUM
ejde-820	49	4	u0	u0	NOUN
ejde-820	49	5	−	−	PROPN
ejde-820	49	6	iλ	iλ	PROPN
ejde-820	49	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	49	8	t	t	PROPN
ejde-820	49	9	0	0	X
ejde-820	50	1	ei(t−s)∆2	ei(t−s)∆2	PROPN
ejde-820	50	2	(	(	PUNCT
ejde-820	50	3	|x|−τ	|x|−τ	ADJ
ejde-820	50	4	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-820	50	5	)	)	PUNCT
ejde-820	50	6	ds	ds	PROPN
ejde-820	50	7	.	.	PUNCT
ejde-820	51	1	(	(	PUNCT
ejde-820	51	2	2.2	2.2	NUM
ejde-820	51	3	)	)	PUNCT
ejde-820	51	4	if	if	SCONJ
ejde-820	51	5	u	u	PRON
ejde-820	51	6	resolves	resolve	VERB
ejde-820	51	7	(	(	PUNCT
ejde-820	51	8	1.1	1.1	NUM
ejde-820	51	9	)	)	PUNCT
ejde-820	51	10	,	,	PUNCT
ejde-820	51	11	then	then	ADV
ejde-820	51	12	so	so	ADV
ejde-820	51	13	does	do	AUX
ejde-820	51	14	the	the	DET
ejde-820	51	15	family	family	NOUN
ejde-820	51	16	uκ	uκ	ADP
ejde-820	51	17	:	:	PUNCT
ejde-820	51	18	=	=	SYM
ejde-820	51	19	κ	κ	X
ejde-820	51	20	4−τ	4−τ	PROPN
ejde-820	51	21	p−1	p−1	PROPN
ejde-820	51	22	u(κ4	u(κ4	ADV
ejde-820	51	23	·	·	PUNCT
ejde-820	51	24	,	,	PUNCT
ejde-820	51	25	κ	κ	NOUN
ejde-820	51	26	·	·	PUNCT
ejde-820	51	27	)	)	PUNCT
ejde-820	51	28	,	,	PUNCT
ejde-820	51	29	κ	κ	X
ejde-820	51	30	>	>	X
ejde-820	51	31	0	0	PROPN
ejde-820	51	32	.	.	PUNCT
ejde-820	52	1	moreover	moreover	ADV
ejde-820	52	2	,	,	PUNCT
ejde-820	52	3	there	there	PRON
ejde-820	52	4	is	be	VERB
ejde-820	52	5	only	only	ADV
ejde-820	52	6	one	one	NUM
ejde-820	52	7	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	52	8	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-820	52	9	norm	norm	NOUN
ejde-820	52	10	under	under	ADP
ejde-820	52	11	the	the	DET
ejde-820	52	12	above	above	ADJ
ejde-820	52	13	dilatation	dilatation	NOUN
ejde-820	52	14	,	,	PUNCT
ejde-820	52	15	precisely	precisely	ADV
ejde-820	52	16	∥uκ(t)∥ḣsc	∥uκ(t)∥ḣsc	ADV
ejde-820	52	17	=	=	SYM
ejde-820	52	18	∥u(κ4t)∥ḣsc	∥u(κ4t)∥ḣsc	NUM
ejde-820	52	19	,	,	PUNCT
ejde-820	52	20	sc	sc	PROPN
ejde-820	52	21	:	:	PUNCT
ejde-820	52	22	=	=	SYM
ejde-820	52	23	n	n	PRON
ejde-820	52	24	2	2	NUM
ejde-820	52	25	−	−	NOUN
ejde-820	52	26	4−	4−	NOUN
ejde-820	52	27	τ	τ	NOUN
ejde-820	52	28	p−	p−	NOUN
ejde-820	52	29	1	1	NUM
ejde-820	52	30	.	.	PUNCT
ejde-820	53	1	in	in	ADP
ejde-820	53	2	contrast	contrast	NOUN
ejde-820	53	3	to	to	ADP
ejde-820	53	4	(	(	PUNCT
ejde-820	53	5	1.3	1.3	NUM
ejde-820	53	6	)	)	PUNCT
ejde-820	53	7	,	,	PUNCT
ejde-820	53	8	the	the	DET
ejde-820	53	9	mass	mass	NOUN
ejde-820	53	10	and	and	CCONJ
ejde-820	53	11	energy	energy	NOUN
ejde-820	53	12	are	be	AUX
ejde-820	53	13	not	not	PART
ejde-820	53	14	conserved	conserve	VERB
ejde-820	53	15	quantities	quantity	NOUN
ejde-820	53	16	.	.	PUNCT
ejde-820	54	1	the	the	DET
ejde-820	54	2	above	above	ADJ
ejde-820	54	3	problem	problem	NOUN
ejde-820	54	4	(	(	PUNCT
ejde-820	54	5	1.1	1.1	NUM
ejde-820	54	6	)	)	PUNCT
ejde-820	54	7	is	be	AUX
ejde-820	54	8	said	say	VERB
ejde-820	54	9	to	to	PART
ejde-820	54	10	be	be	AUX
ejde-820	54	11	mass	mass	ADJ
ejde-820	54	12	-	-	PUNCT
ejde-820	54	13	sub	sub	NOUN
ejde-820	54	14	-	-	ADJ
ejde-820	54	15	critical	critical	ADJ
ejde-820	54	16	if	if	SCONJ
ejde-820	54	17	sc	sc	PROPN
ejde-820	54	18	<	<	X
ejde-820	54	19	0	0	NUM
ejde-820	54	20	⇔	⇔	PROPN
ejde-820	54	21	p	p	X
ejde-820	54	22	<	<	X
ejde-820	54	23	pc	pc	NOUN
ejde-820	54	24	:	:	PUNCT
ejde-820	54	25	=	=	SYM
ejde-820	54	26	1	1	NUM
ejde-820	55	1	+	+	NUM
ejde-820	55	2	2(4−	2(4−	NUM
ejde-820	55	3	τ	τ	NOUN
ejde-820	55	4	)	)	PUNCT
ejde-820	55	5	n	n	PROPN
ejde-820	55	6	;	;	PUNCT
ejde-820	55	7	(	(	PUNCT
ejde-820	55	8	2.3	2.3	NUM
ejde-820	55	9	)	)	PUNCT
ejde-820	55	10	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	55	11	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	55	12	equations	equation	NOUN
ejde-820	55	13	without	without	ADP
ejde-820	55	14	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	55	15	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	55	16	3	3	NUM
ejde-820	55	17	energy	energy	NOUN
ejde-820	55	18	-	-	PUNCT
ejde-820	55	19	sub	sub	NOUN
ejde-820	55	20	-	-	ADJ
ejde-820	55	21	critical	critical	ADJ
ejde-820	55	22	if	if	SCONJ
ejde-820	55	23	sc	sc	PROPN
ejde-820	55	24	<	<	X
ejde-820	55	25	2	2	NUM
ejde-820	55	26	⇔	⇔	X
ejde-820	55	27	p	p	X
ejde-820	55	28	<	<	X
ejde-820	55	29	pc	pc	NOUN
ejde-820	55	30	:	:	PUNCT
ejde-820	55	31	=	=	SYM
ejde-820	55	32	1	1	NUM
ejde-820	55	33	+	+	NUM
ejde-820	55	34	2(4−	2(4−	NUM
ejde-820	55	35	τ	τ	X
ejde-820	55	36	)	)	PUNCT
ejde-820	55	37	n	n	CCONJ
ejde-820	55	38	−	−	PROPN
ejde-820	55	39	4	4	NUM
ejde-820	55	40	.	.	PUNCT
ejde-820	56	1	(	(	PUNCT
ejde-820	56	2	2.4	2.4	NUM
ejde-820	56	3	)	)	PUNCT
ejde-820	56	4	in	in	ADP
ejde-820	56	5	(	(	PUNCT
ejde-820	56	6	2.4	2.4	NUM
ejde-820	56	7	)	)	PUNCT
ejde-820	56	8	,	,	PUNCT
ejde-820	56	9	we	we	PRON
ejde-820	56	10	take	take	VERB
ejde-820	56	11	pc	pc	NOUN
ejde-820	56	12	=	=	NOUN
ejde-820	56	13	∞	∞	NOUN
ejde-820	56	14	if	if	SCONJ
ejde-820	56	15	1	1	NUM
ejde-820	56	16	≤	≤	NUM
ejde-820	56	17	n	n	CCONJ
ejde-820	56	18	≤	≤	NOUN
ejde-820	56	19	4	4	NUM
ejde-820	56	20	.	.	PUNCT
ejde-820	57	1	for	for	ADP
ejde-820	57	2	future	future	ADJ
ejde-820	57	3	convenience	convenience	NOUN
ejde-820	57	4	,	,	PUNCT
ejde-820	57	5	we	we	PRON
ejde-820	57	6	recall	recall	VERB
ejde-820	57	7	the	the	DET
ejde-820	57	8	so	so	ADV
ejde-820	57	9	-	-	PUNCT
ejde-820	57	10	called	call	VERB
ejde-820	57	11	strichartz	strichartz	NOUN
ejde-820	57	12	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	57	13	.	.	PUNCT
ejde-820	58	1	definition	definition	NOUN
ejde-820	58	2	2.1	2.1	NUM
ejde-820	58	3	.	.	PUNCT
ejde-820	59	1	a	a	DET
ejde-820	59	2	couple	couple	NOUN
ejde-820	59	3	of	of	ADP
ejde-820	59	4	real	real	ADJ
ejde-820	59	5	numbers	number	NOUN
ejde-820	59	6	(	(	PUNCT
ejde-820	59	7	q	q	NOUN
ejde-820	59	8	,	,	PUNCT
ejde-820	59	9	r	r	NOUN
ejde-820	59	10	)	)	PUNCT
ejde-820	59	11	is	be	AUX
ejde-820	59	12	said	say	VERB
ejde-820	59	13	to	to	PART
ejde-820	59	14	be	be	AUX
ejde-820	59	15	admissible	admissible	ADJ
ejde-820	59	16	if	if	SCONJ
ejde-820	59	17	2	2	NUM
ejde-820	59	18	≤	≤	NOUN
ejde-820	59	19	r	r	NOUN
ejde-820	59	20	<	<	X
ejde-820	59	21	2n	2n	NUM
ejde-820	59	22	n	n	CCONJ
ejde-820	59	23	−	−	PROPN
ejde-820	59	24	4	4	NUM
ejde-820	59	25	,	,	PUNCT
ejde-820	59	26	2	2	NUM
ejde-820	59	27	≤	≤	NOUN
ejde-820	59	28	q	q	NOUN
ejde-820	59	29	,	,	PUNCT
ejde-820	59	30	r	r	NOUN
ejde-820	59	31	≤	≤	NOUN
ejde-820	59	32	∞	∞	NUM
ejde-820	59	33	and	and	CCONJ
ejde-820	59	34	n	n	CCONJ
ejde-820	59	35	(	(	PUNCT
ejde-820	59	36	1	1	NUM
ejde-820	59	37	2	2	NUM
ejde-820	59	38	−	−	NUM
ejde-820	59	39	1	1	NUM
ejde-820	59	40	r	r	NOUN
ejde-820	59	41	)	)	PUNCT
ejde-820	60	1	=	=	SYM
ejde-820	60	2	4	4	NUM
ejde-820	60	3	q	q	NOUN
ejde-820	60	4	.	.	PUNCT
ejde-820	61	1	denote	denote	VERB
ejde-820	61	2	the	the	DET
ejde-820	61	3	set	set	NOUN
ejde-820	61	4	of	of	ADP
ejde-820	61	5	admissible	admissible	ADJ
ejde-820	61	6	pairs	pair	NOUN
ejde-820	61	7	by	by	ADP
ejde-820	61	8	λ	λ	NOUN
ejde-820	61	9	.	.	PUNCT
ejde-820	62	1	if	if	SCONJ
ejde-820	62	2	i	i	PRON
ejde-820	62	3	is	be	AUX
ejde-820	62	4	a	a	DET
ejde-820	62	5	time	time	NOUN
ejde-820	62	6	slab	slab	NOUN
ejde-820	62	7	,	,	PUNCT
ejde-820	62	8	one	one	NUM
ejde-820	62	9	denotes	denote	VERB
ejde-820	62	10	the	the	DET
ejde-820	62	11	strichartz	strichartz	NOUN
ejde-820	62	12	spaces	space	VERB
ejde-820	62	13	as	as	ADP
ejde-820	62	14	ω(i	ω(i	PROPN
ejde-820	62	15	)	)	PUNCT
ejde-820	62	16	:	:	PUNCT
ejde-820	62	17	=	=	SYM
ejde-820	62	18	∩(q	∩(q	PROPN
ejde-820	62	19	,	,	PUNCT
ejde-820	62	20	r)∈λl	r)∈λl	PROPN
ejde-820	62	21	q(i	q(i	PROPN
ejde-820	62	22	,	,	PUNCT
ejde-820	62	23	lr	lr	NOUN
ejde-820	62	24	)	)	PUNCT
ejde-820	62	25	.	.	PUNCT
ejde-820	63	1	now	now	ADV
ejde-820	63	2	we	we	PRON
ejde-820	63	3	recall	recall	VERB
ejde-820	63	4	some	some	DET
ejde-820	63	5	strichartz	strichartz	ADJ
ejde-820	63	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	63	7	[	[	X
ejde-820	63	8	16	16	NUM
ejde-820	63	9	,	,	PUNCT
ejde-820	63	10	9	9	NUM
ejde-820	63	11	]	]	PUNCT
ejde-820	63	12	.	.	PUNCT
ejde-820	64	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	64	2	2.2	2.2	NUM
ejde-820	64	3	.	.	PUNCT
ejde-820	65	1	let	let	VERB
ejde-820	65	2	n	n	PRON
ejde-820	65	3	≥	≥	X
ejde-820	65	4	1	1	NUM
ejde-820	65	5	and	and	CCONJ
ejde-820	65	6	t	t	X
ejde-820	65	7	>	>	X
ejde-820	65	8	0	0	X
ejde-820	65	9	.	.	PUNCT
ejde-820	66	1	then	then	ADV
ejde-820	66	2	,	,	PUNCT
ejde-820	66	3	(	(	PUNCT
ejde-820	66	4	1	1	X
ejde-820	66	5	)	)	PUNCT
ejde-820	66	6	sup(q	sup(q	NOUN
ejde-820	66	7	,	,	PUNCT
ejde-820	66	8	r)∈λ	r)∈λ	VERB
ejde-820	66	9	∥u∥lq	∥u∥lq	PROPN
ejde-820	66	10	t	t	PROPN
ejde-820	66	11	(	(	PUNCT
ejde-820	66	12	lr	lr	INTJ
ejde-820	66	13	)	)	PUNCT
ejde-820	66	14	≲	≲	PROPN
ejde-820	66	15	∥u0∥+	∥u0∥+	NUM
ejde-820	66	16	inf(q̃,r̃)∈λ	inf(q̃,r̃)∈λ	PROPN
ejde-820	66	17	∥iut	∥iut	NOUN
ejde-820	67	1	+	+	PROPN
ejde-820	67	2	∆2u∥	∆2u∥	PROPN
ejde-820	67	3	lq̃′	lq̃′	PRON
ejde-820	67	4	t	t	PROPN
ejde-820	67	5	(	(	PUNCT
ejde-820	67	6	lr̃′	lr̃′	PROPN
ejde-820	67	7	)	)	PUNCT
ejde-820	67	8	;	;	PUNCT
ejde-820	67	9	(	(	PUNCT
ejde-820	67	10	2	2	X
ejde-820	67	11	)	)	PUNCT
ejde-820	67	12	sup(q	sup(q	NOUN
ejde-820	67	13	,	,	PUNCT
ejde-820	67	14	r)∈λ	r)∈λ	VERB
ejde-820	67	15	∥∆u∥lq	∥∆u∥lq	PROPN
ejde-820	67	16	t	t	PROPN
ejde-820	67	17	(	(	PUNCT
ejde-820	67	18	lr	lr	INTJ
ejde-820	67	19	)	)	PUNCT
ejde-820	67	20	≲	≲	PROPN
ejde-820	67	21	∥∆u0∥+	∥∆u0∥+	PROPN
ejde-820	67	22	∥iut	∥iut	PROPN
ejde-820	67	23	+	+	NOUN
ejde-820	67	24	∆2u∥	∆2u∥	PROPN
ejde-820	67	25	l2	l2	NOUN
ejde-820	67	26	t	t	PROPN
ejde-820	67	27	(	(	PUNCT
ejde-820	67	28	ẇ	ẇ	PROPN
ejde-820	67	29	1	1	NUM
ejde-820	67	30	,	,	PUNCT
ejde-820	67	31	2n	2n	NUM
ejde-820	67	32	2+n	2+n	NUM
ejde-820	67	33	)	)	PUNCT
ejde-820	67	34	for	for	ADP
ejde-820	67	35	all	all	DET
ejde-820	67	36	n	n	PRON
ejde-820	67	37	≥	≥	NOUN
ejde-820	67	38	3	3	NUM
ejde-820	67	39	;	;	PUNCT
ejde-820	67	40	(	(	PUNCT
ejde-820	67	41	3	3	X
ejde-820	67	42	)	)	PUNCT
ejde-820	67	43	sup(q	sup(q	NOUN
ejde-820	67	44	,	,	PUNCT
ejde-820	67	45	r)∈λ	r)∈λ	VERB
ejde-820	67	46	∥u∥lq	∥u∥lq	PROPN
ejde-820	67	47	t	t	PROPN
ejde-820	67	48	(	(	PUNCT
ejde-820	67	49	lr	lr	INTJ
ejde-820	67	50	)	)	PUNCT
ejde-820	67	51	≲	≲	PROPN
ejde-820	67	52	∥u0∥ḣs	∥u0∥ḣs	NOUN
ejde-820	67	53	+	+	CCONJ
ejde-820	67	54	inf(q̃,r̃)∈λ	inf(q̃,r̃)∈λ	PROPN
ejde-820	67	55	∥iut	∥iut	NOUN
ejde-820	67	56	+	+	PROPN
ejde-820	67	57	∆2u∥	∆2u∥	PROPN
ejde-820	67	58	lq̃′	lq̃′	PRON
ejde-820	67	59	t	t	PROPN
ejde-820	67	60	(	(	PUNCT
ejde-820	67	61	lr̃′	lr̃′	PROPN
ejde-820	67	62	)	)	PUNCT
ejde-820	67	63	.	.	PUNCT
ejde-820	68	1	the	the	DET
ejde-820	68	2	existence	existence	NOUN
ejde-820	68	3	of	of	ADP
ejde-820	68	4	l2	l2	NOUN
ejde-820	68	5	and	and	CCONJ
ejde-820	68	6	energy	energy	NOUN
ejde-820	68	7	solutions	solution	NOUN
ejde-820	68	8	to	to	ADP
ejde-820	68	9	(	(	PUNCT
ejde-820	68	10	1.1	1.1	NUM
ejde-820	68	11	)	)	PUNCT
ejde-820	68	12	follows	follow	VERB
ejde-820	68	13	as	as	ADP
ejde-820	68	14	in	in	ADP
ejde-820	68	15	[	[	X
ejde-820	68	16	10	10	NUM
ejde-820	68	17	]	]	PUNCT
ejde-820	68	18	.	.	PUNCT
ejde-820	69	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	69	2	2.3	2.3	NUM
ejde-820	69	3	.	.	PUNCT
ejde-820	70	1	let	let	VERB
ejde-820	70	2	n	n	PRON
ejde-820	70	3	≥	≥	NOUN
ejde-820	70	4	1	1	NUM
ejde-820	70	5	.	.	PUNCT
ejde-820	71	1	(	(	PUNCT
ejde-820	71	2	1	1	X
ejde-820	71	3	)	)	PUNCT
ejde-820	71	4	if	if	SCONJ
ejde-820	71	5	0	0	NUM
ejde-820	71	6	<	<	X
ejde-820	71	7	τ	τ	X
ejde-820	71	8	<	<	X
ejde-820	71	9	min{n	min{n	NOUN
ejde-820	71	10	,	,	PUNCT
ejde-820	71	11	4	4	NUM
ejde-820	71	12	}	}	PUNCT
ejde-820	71	13	,	,	PUNCT
ejde-820	71	14	1	1	NUM
ejde-820	71	15	<	<	X
ejde-820	71	16	p	p	X
ejde-820	71	17	<	<	X
ejde-820	71	18	pc	pc	NOUN
ejde-820	71	19	and	and	CCONJ
ejde-820	71	20	u0	u0	PROPN
ejde-820	71	21	∈	∈	PROPN
ejde-820	71	22	l2	l2	NOUN
ejde-820	71	23	,	,	PUNCT
ejde-820	71	24	then	then	ADV
ejde-820	71	25	there	there	PRON
ejde-820	71	26	exist	exist	VERB
ejde-820	71	27	t	t	NOUN
ejde-820	71	28	:	:	PUNCT
ejde-820	71	29	=	=	SYM
ejde-820	71	30	tn	tn	PROPN
ejde-820	71	31	,	,	PUNCT
ejde-820	71	32	τ	τ	PROPN
ejde-820	71	33	,	,	PUNCT
ejde-820	71	34	p,∥u0∥	p,∥u0∥	PROPN
ejde-820	71	35	>	>	X
ejde-820	71	36	0	0	PUNCT
ejde-820	71	37	and	and	CCONJ
ejde-820	71	38	a	a	DET
ejde-820	71	39	unique	unique	ADJ
ejde-820	71	40	local	local	ADJ
ejde-820	71	41	solution	solution	NOUN
ejde-820	71	42	of	of	ADP
ejde-820	71	43	(	(	PUNCT
ejde-820	71	44	1.1	1.1	NUM
ejde-820	71	45	)	)	PUNCT
ejde-820	71	46	,	,	PUNCT
ejde-820	71	47	in	in	ADP
ejde-820	71	48	the	the	DET
ejde-820	71	49	space	space	NOUN
ejde-820	71	50	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	71	51	,	,	PUNCT
ejde-820	71	52	t	t	X
ejde-820	71	53	]	]	PUNCT
ejde-820	71	54	,	,	PUNCT
ejde-820	71	55	l2	l2	NOUN
ejde-820	71	56	)	)	PUNCT
ejde-820	71	57	∩	∩	NOUN
ejde-820	71	58	ω(0	ω(0	PROPN
ejde-820	71	59	,	,	PUNCT
ejde-820	71	60	t	t	NOUN
ejde-820	71	61	)	)	PUNCT
ejde-820	71	62	.	.	PUNCT
ejde-820	72	1	(	(	PUNCT
ejde-820	72	2	2	2	X
ejde-820	72	3	)	)	PUNCT
ejde-820	72	4	if	if	SCONJ
ejde-820	72	5	n	n	PRON
ejde-820	72	6	≥	≥	NOUN
ejde-820	72	7	3	3	NUM
ejde-820	72	8	,	,	PUNCT
ejde-820	72	9	0	0	PUNCT
ejde-820	72	10	<	<	X
ejde-820	72	11	τ	τ	X
ejde-820	72	12	<	<	X
ejde-820	72	13	min{4	min{4	PROPN
ejde-820	72	14	,	,	PUNCT
ejde-820	72	15	n2	n2	ADJ
ejde-820	72	16	}	}	PUNCT
ejde-820	72	17	,	,	PUNCT
ejde-820	72	18	max{1	max{1	NOUN
ejde-820	72	19	,	,	PUNCT
ejde-820	72	20	2(1−τ	2(1−τ	NUM
ejde-820	72	21	)	)	PUNCT
ejde-820	72	22	n	n	CCONJ
ejde-820	72	23	}	}	PUNCT
ejde-820	72	24	<	<	X
ejde-820	72	25	p	p	X
ejde-820	72	26	<	<	X
ejde-820	72	27	pc	pc	NOUN
ejde-820	72	28	and	and	CCONJ
ejde-820	72	29	u0	u0	PROPN
ejde-820	72	30	∈	∈	PROPN
ejde-820	72	31	h2	h2	NOUN
ejde-820	72	32	,	,	PUNCT
ejde-820	72	33	there	there	PRON
ejde-820	72	34	exist	exist	VERB
ejde-820	72	35	t	t	NOUN
ejde-820	72	36	:	:	PUNCT
ejde-820	72	37	=	=	SYM
ejde-820	72	38	tn	tn	PROPN
ejde-820	72	39	,	,	PUNCT
ejde-820	72	40	τ	τ	PROPN
ejde-820	72	41	,	,	PUNCT
ejde-820	72	42	p,∥u0∥h2	p,∥u0∥h2	NOUN
ejde-820	72	43	>	>	X
ejde-820	72	44	0	0	PUNCT
ejde-820	72	45	and	and	CCONJ
ejde-820	72	46	a	a	DET
ejde-820	72	47	unique	unique	ADJ
ejde-820	72	48	local	local	ADJ
ejde-820	72	49	solution	solution	NOUN
ejde-820	72	50	of	of	ADP
ejde-820	72	51	(	(	PUNCT
ejde-820	72	52	1.1	1.1	NUM
ejde-820	72	53	)	)	PUNCT
ejde-820	72	54	,	,	PUNCT
ejde-820	72	55	in	in	ADP
ejde-820	72	56	the	the	DET
ejde-820	72	57	space	space	NOUN
ejde-820	72	58	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	72	59	,	,	PUNCT
ejde-820	72	60	t	t	X
ejde-820	72	61	]	]	PUNCT
ejde-820	72	62	,	,	PUNCT
ejde-820	72	63	h2	h2	PROPN
ejde-820	72	64	)	)	PUNCT
ejde-820	72	65	∩(q	∩(q	PROPN
ejde-820	72	66	,	,	PUNCT
ejde-820	72	67	r)∈λ	r)∈λ	PUNCT
ejde-820	72	68	l	l	NOUN
ejde-820	72	69	q	q	PROPN
ejde-820	72	70	t	t	PROPN
ejde-820	72	71	(	(	PUNCT
ejde-820	72	72	w	w	PROPN
ejde-820	72	73	2,r	2,r	NUM
ejde-820	72	74	)	)	PUNCT
ejde-820	72	75	.	.	PUNCT
ejde-820	73	1	we	we	PRON
ejde-820	73	2	recall	recall	VERB
ejde-820	73	3	the	the	DET
ejde-820	73	4	so	so	ADV
ejde-820	73	5	-	-	PUNCT
ejde-820	73	6	called	call	VERB
ejde-820	73	7	weak	weak	ADJ
ejde-820	73	8	solution	solution	NOUN
ejde-820	73	9	to	to	ADP
ejde-820	73	10	the	the	DET
ejde-820	73	11	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	73	12	problem	problem	NOUN
ejde-820	73	13	(	(	PUNCT
ejde-820	73	14	1.1	1.1	NUM
ejde-820	73	15	)	)	PUNCT
ejde-820	73	16	.	.	PUNCT
ejde-820	74	1	definition	definition	NOUN
ejde-820	74	2	2.4	2.4	NUM
ejde-820	74	3	.	.	PUNCT
ejde-820	75	1	for	for	ADP
ejde-820	75	2	t	t	PROPN
ejde-820	75	3	>	>	X
ejde-820	75	4	0	0	PROPN
ejde-820	75	5	,	,	PUNCT
ejde-820	75	6	a	a	DET
ejde-820	75	7	function	function	NOUN
ejde-820	75	8	u	u	PROPN
ejde-820	75	9	∈	∈	PROPN
ejde-820	75	10	l1	l1	PROPN
ejde-820	75	11	loc([0	loc([0	VERB
ejde-820	75	12	,	,	PUNCT
ejde-820	75	13	t	t	NOUN
ejde-820	75	14	]	]	PUNCT
ejde-820	75	15	×rn	×rn	PROPN
ejde-820	75	16	)	)	PUNCT
ejde-820	75	17	is	be	AUX
ejde-820	75	18	said	say	VERB
ejde-820	75	19	a	a	DET
ejde-820	75	20	weak	weak	ADJ
ejde-820	75	21	solution	solution	NOUN
ejde-820	75	22	of	of	ADP
ejde-820	75	23	(	(	PUNCT
ejde-820	75	24	1.1	1.1	NUM
ejde-820	75	25	)	)	PUNCT
ejde-820	75	26	on	on	ADP
ejde-820	75	27	[	[	X
ejde-820	75	28	0	0	NUM
ejde-820	75	29	,	,	PUNCT
ejde-820	75	30	t	t	NOUN
ejde-820	75	31	)	)	PUNCT
ejde-820	75	32	if	if	SCONJ
ejde-820	75	33	for	for	ADP
ejde-820	75	34	each	each	DET
ejde-820	75	35	v	v	NOUN
ejde-820	75	36	∈	∈	PROPN
ejde-820	75	37	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	75	38	0	0	PUNCT
ejde-820	76	1	(	(	PUNCT
ejde-820	76	2	[	[	X
ejde-820	76	3	0	0	NUM
ejde-820	76	4	,	,	PUNCT
ejde-820	76	5	t	t	NOUN
ejde-820	76	6	)	)	PUNCT
ejde-820	76	7	×	×	PROPN
ejde-820	76	8	rn	rn	PROPN
ejde-820	76	9	)	)	PUNCT
ejde-820	76	10	,	,	PUNCT
ejde-820	76	11	∫	∫	PROPN
ejde-820	76	12	t	t	PROPN
ejde-820	76	13	0	0	NUM
ejde-820	76	14	∫	∫	PROPN
ejde-820	76	15	rn	rn	PROPN
ejde-820	76	16	u	u	PROPN
ejde-820	76	17	(	(	PUNCT
ejde-820	76	18	−	−	PROPN
ejde-820	76	19	i∂tv	i∂tv	PROPN
ejde-820	76	20	+	+	NOUN
ejde-820	76	21	∆2v	∆2v	NOUN
ejde-820	76	22	)	)	PUNCT
ejde-820	76	23	dx	dx	PROPN
ejde-820	76	24	dt	dt	X
ejde-820	77	1	=	=	PUNCT
ejde-820	77	2	iν	iν	PROPN
ejde-820	77	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	77	4	rn	rn	PROPN
ejde-820	77	5	u0v(0	u0v(0	PROPN
ejde-820	77	6	,	,	PUNCT
ejde-820	77	7	·	·	PUNCT
ejde-820	77	8	)	)	PUNCT
ejde-820	77	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-820	78	1	λ	λ	X
ejde-820	78	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	78	3	t	t	PROPN
ejde-820	78	4	0	0	NUM
ejde-820	78	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	78	6	rn	rn	PROPN
ejde-820	78	7	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	78	8	|u|pv	|u|pv	NOUN
ejde-820	78	9	dx	dx	VERB
ejde-820	78	10	dt	dt	X
ejde-820	78	11	.	.	PUNCT
ejde-820	79	1	(	(	PUNCT
ejde-820	79	2	2.5	2.5	NUM
ejde-820	79	3	)	)	PUNCT
ejde-820	79	4	from	from	ADP
ejde-820	79	5	now	now	ADV
ejde-820	79	6	on	on	ADV
ejde-820	79	7	,	,	PUNCT
ejde-820	79	8	we	we	PRON
ejde-820	79	9	hide	hide	VERB
ejde-820	79	10	the	the	DET
ejde-820	79	11	time	time	NOUN
ejde-820	79	12	variable	variable	ADJ
ejde-820	79	13	t	t	PROPN
ejde-820	79	14	for	for	ADP
ejde-820	79	15	simplicity	simplicity	NOUN
ejde-820	79	16	,	,	PUNCT
ejde-820	79	17	showing	show	VERB
ejde-820	79	18	it	it	PRON
ejde-820	79	19	only	only	ADV
ejde-820	79	20	when	when	SCONJ
ejde-820	79	21	necessary	necessary	ADJ
ejde-820	79	22	.	.	PUNCT
ejde-820	80	1	2.2	2.2	NUM
ejde-820	80	2	.	.	PUNCT
ejde-820	80	3	main	main	ADJ
ejde-820	80	4	results	result	NOUN
ejde-820	80	5	.	.	PUNCT
ejde-820	81	1	the	the	DET
ejde-820	81	2	first	first	ADJ
ejde-820	81	3	contribution	contribution	NOUN
ejde-820	81	4	of	of	ADP
ejde-820	81	5	this	this	DET
ejde-820	81	6	note	note	NOUN
ejde-820	81	7	is	be	AUX
ejde-820	81	8	the	the	DET
ejde-820	81	9	non	non	ADJ
ejde-820	81	10	-	-	ADJ
ejde-820	81	11	global	global	ADJ
ejde-820	81	12	wellposedness	wellposedness	NOUN
ejde-820	81	13	of	of	ADP
ejde-820	81	14	(	(	PUNCT
ejde-820	81	15	1.1	1.1	NUM
ejde-820	81	16	)	)	PUNCT
ejde-820	81	17	in	in	ADP
ejde-820	81	18	l2	l2	NOUN
ejde-820	81	19	.	.	PUNCT
ejde-820	82	1	theorem	theorem	VERB
ejde-820	82	2	2.5	2.5	NUM
ejde-820	82	3	.	.	PUNCT
ejde-820	83	1	let	let	VERB
ejde-820	83	2	n	n	PRON
ejde-820	83	3	≥	≥	NOUN
ejde-820	83	4	1	1	NUM
ejde-820	83	5	,	,	PUNCT
ejde-820	83	6	0	0	NUM
ejde-820	83	7	<	<	X
ejde-820	83	8	τ	τ	X
ejde-820	83	9	<	<	X
ejde-820	83	10	min{n	min{n	PROPN
ejde-820	83	11	,	,	PUNCT
ejde-820	83	12	4	4	NUM
ejde-820	83	13	}	}	PUNCT
ejde-820	83	14	and	and	CCONJ
ejde-820	83	15	1	1	NUM
ejde-820	83	16	<	<	X
ejde-820	83	17	p	p	X
ejde-820	83	18	≤	≤	NOUN
ejde-820	83	19	1	1	NUM
ejde-820	83	20	+	+	CCONJ
ejde-820	83	21	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	83	22	n	n	NOUN
ejde-820	83	23	.	.	PUNCT
ejde-820	84	1	then	then	ADV
ejde-820	84	2	,	,	PUNCT
ejde-820	84	3	there	there	PRON
ejde-820	84	4	is	be	VERB
ejde-820	84	5	u0	u0	ADJ
ejde-820	84	6	∈	∈	NOUN
ejde-820	84	7	l2	l2	NOUN
ejde-820	84	8	such	such	ADJ
ejde-820	84	9	that	that	SCONJ
ejde-820	84	10	the	the	DET
ejde-820	84	11	unique	unique	ADJ
ejde-820	84	12	maximal	maximal	ADJ
ejde-820	84	13	solution	solution	NOUN
ejde-820	84	14	u	u	PROPN
ejde-820	84	15	∈	∈	PROPN
ejde-820	84	16	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	84	17	,	,	PUNCT
ejde-820	84	18	t+	t+	NOUN
ejde-820	84	19	)	)	PUNCT
ejde-820	84	20	,	,	PUNCT
ejde-820	84	21	l2	l2	NOUN
ejde-820	84	22	)	)	PUNCT
ejde-820	84	23	of	of	ADP
ejde-820	84	24	(	(	PUNCT
ejde-820	84	25	1.1	1.1	NUM
ejde-820	84	26	)	)	PUNCT
ejde-820	84	27	with	with	ADP
ejde-820	84	28	ν	ν	NOUN
ejde-820	84	29	=	=	SYM
ejde-820	84	30	1	1	NUM
ejde-820	84	31	is	be	AUX
ejde-820	84	32	non	non	ADJ
ejde-820	84	33	-	-	ADJ
ejde-820	84	34	global	global	ADJ
ejde-820	84	35	.	.	PUNCT
ejde-820	85	1	in	in	ADP
ejde-820	85	2	view	view	NOUN
ejde-820	85	3	of	of	ADP
ejde-820	85	4	the	the	DET
ejde-820	85	5	results	result	NOUN
ejde-820	85	6	stated	state	VERB
ejde-820	85	7	in	in	ADP
ejde-820	85	8	the	the	DET
ejde-820	85	9	above	above	ADJ
ejde-820	85	10	theorem	theorem	NOUN
ejde-820	85	11	,	,	PUNCT
ejde-820	85	12	some	some	DET
ejde-820	85	13	comments	comment	NOUN
ejde-820	85	14	are	be	AUX
ejde-820	85	15	in	in	ADP
ejde-820	85	16	order	order	NOUN
ejde-820	85	17	.	.	PUNCT
ejde-820	86	1	•	•	NUM
ejde-820	86	2	the	the	DET
ejde-820	86	3	existence	existence	NOUN
ejde-820	86	4	of	of	ADP
ejde-820	86	5	the	the	DET
ejde-820	86	6	local	local	ADJ
ejde-820	86	7	solution	solution	NOUN
ejde-820	86	8	is	be	AUX
ejde-820	86	9	given	give	VERB
ejde-820	86	10	by	by	ADP
ejde-820	86	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	86	12	2.3	2.3	NUM
ejde-820	86	13	.	.	PUNCT
ejde-820	87	1	4	4	NUM
ejde-820	87	2	t.	t.	NOUN
ejde-820	87	3	saanouni	saanouni	X
ejde-820	87	4	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	87	5	•	•	ADV
ejde-820	87	6	in	in	ADP
ejde-820	87	7	the	the	DET
ejde-820	87	8	case	case	NOUN
ejde-820	87	9	of	of	ADP
ejde-820	87	10	a	a	DET
ejde-820	87	11	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	87	12	invariant	invariant	ADJ
ejde-820	87	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	87	14	source	source	NOUN
ejde-820	87	15	term	term	NOUN
ejde-820	87	16	,	,	PUNCT
ejde-820	87	17	namely	namely	ADV
ejde-820	87	18	(	(	PUNCT
ejde-820	87	19	1.3	1.3	NUM
ejde-820	87	20	)	)	PUNCT
ejde-820	87	21	,	,	PUNCT
ejde-820	87	22	any	any	DET
ejde-820	87	23	mass	mass	NOUN
ejde-820	87	24	-	-	PUNCT
ejde-820	87	25	sub	sub	ADJ
ejde-820	87	26	-	-	ADJ
ejde-820	87	27	critical	critical	ADJ
ejde-820	87	28	solution	solution	NOUN
ejde-820	87	29	is	be	AUX
ejde-820	87	30	global	global	ADJ
ejde-820	87	31	.	.	PUNCT
ejde-820	88	1	so	so	ADV
ejde-820	88	2	,	,	PUNCT
ejde-820	88	3	the	the	DET
ejde-820	88	4	above	above	ADJ
ejde-820	88	5	result	result	NOUN
ejde-820	88	6	makes	make	VERB
ejde-820	88	7	an	an	DET
ejde-820	88	8	essential	essential	ADJ
ejde-820	88	9	difference	difference	NOUN
ejde-820	88	10	between	between	ADP
ejde-820	88	11	(	(	PUNCT
ejde-820	88	12	1.1	1.1	NUM
ejde-820	88	13	)	)	PUNCT
ejde-820	88	14	and	and	CCONJ
ejde-820	88	15	(	(	PUNCT
ejde-820	88	16	1.3	1.3	NUM
ejde-820	88	17	)	)	PUNCT
ejde-820	88	18	.	.	PUNCT
ejde-820	89	1	•	•	NUM
ejde-820	89	2	the	the	DET
ejde-820	89	3	choice	choice	NOUN
ejde-820	89	4	ν	ν	NOUN
ejde-820	89	5	=	=	SYM
ejde-820	89	6	1	1	NUM
ejde-820	89	7	is	be	AUX
ejde-820	89	8	not	not	PART
ejde-820	89	9	necessary	necessary	ADJ
ejde-820	89	10	,	,	PUNCT
ejde-820	89	11	indeed	indeed	ADV
ejde-820	89	12	,	,	PUNCT
ejde-820	89	13	in	in	ADP
ejde-820	89	14	the	the	DET
ejde-820	89	15	proof	proof	NOUN
ejde-820	89	16	we	we	PRON
ejde-820	89	17	can	can	AUX
ejde-820	89	18	pick	pick	VERB
ejde-820	89	19	ν	ν	NOUN
ejde-820	89	20	=	=	X
ejde-820	89	21	−1	−1	NOUN
ejde-820	89	22	with	with	ADP
ejde-820	89	23	some	some	DET
ejde-820	89	24	change	change	NOUN
ejde-820	89	25	in	in	ADP
ejde-820	89	26	the	the	DET
ejde-820	89	27	choice	choice	NOUN
ejde-820	89	28	of	of	ADP
ejde-820	89	29	the	the	DET
ejde-820	89	30	datum	datum	NOUN
ejde-820	89	31	.	.	PROPN
ejde-820	90	1	•	•	NUM
ejde-820	90	2	with	with	ADP
ejde-820	90	3	standard	standard	ADJ
ejde-820	90	4	method	method	NOUN
ejde-820	90	5	,	,	PUNCT
ejde-820	90	6	theorem	theorem	VERB
ejde-820	90	7	2.5	2.5	NUM
ejde-820	90	8	implies	imply	VERB
ejde-820	90	9	that	that	SCONJ
ejde-820	90	10	limt+	limt+	ADP
ejde-820	90	11	∥u(t)∥	∥u(t)∥	PROPN
ejde-820	90	12	=	=	SYM
ejde-820	90	13	∞.	∞.	PROPN
ejde-820	90	14	•	•	NOUN
ejde-820	90	15	for	for	ADP
ejde-820	90	16	the	the	DET
ejde-820	90	17	heat	heat	NOUN
ejde-820	90	18	equation	equation	NOUN
ejde-820	90	19	,	,	PUNCT
ejde-820	90	20	the	the	DET
ejde-820	90	21	fujita	fujita	PROPN
ejde-820	90	22	exponent	exponent	NOUN
ejde-820	90	23	p	p	X
ejde-820	91	1	=	=	PROPN
ejde-820	92	1	1	1	NUM
ejde-820	93	1	+	+	NUM
ejde-820	93	2	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	94	1	n	n	PRON
ejde-820	94	2	gives	give	VERB
ejde-820	94	3	the	the	DET
ejde-820	94	4	threshold	threshold	NOUN
ejde-820	94	5	between	between	ADP
ejde-820	94	6	the	the	DET
ejde-820	94	7	small	small	ADJ
ejde-820	94	8	data	datum	NOUN
ejde-820	94	9	global	global	ADJ
ejde-820	94	10	existence	existence	NOUN
ejde-820	94	11	and	and	CCONJ
ejde-820	94	12	blow	blow	NOUN
ejde-820	94	13	-	-	PUNCT
ejde-820	94	14	up	up	NOUN
ejde-820	94	15	of	of	ADP
ejde-820	94	16	solutions	solution	NOUN
ejde-820	94	17	[	[	X
ejde-820	94	18	8	8	NUM
ejde-820	94	19	]	]	PUNCT
ejde-820	94	20	.	.	PUNCT
ejde-820	95	1	the	the	DET
ejde-820	95	2	second	second	ADJ
ejde-820	95	3	contribution	contribution	NOUN
ejde-820	95	4	of	of	ADP
ejde-820	95	5	this	this	DET
ejde-820	95	6	note	note	NOUN
ejde-820	95	7	is	be	AUX
ejde-820	95	8	the	the	DET
ejde-820	95	9	non	non	ADJ
ejde-820	95	10	-	-	ADJ
ejde-820	95	11	global	global	ADJ
ejde-820	95	12	well	well	ADJ
ejde-820	95	13	-	-	PUNCT
ejde-820	95	14	posedness	posedness	NOUN
ejde-820	95	15	of	of	ADP
ejde-820	95	16	(	(	PUNCT
ejde-820	95	17	1.1	1.1	NUM
ejde-820	95	18	)	)	PUNCT
ejde-820	95	19	in	in	ADP
ejde-820	95	20	h2	h2	PROPN
ejde-820	95	21	.	.	PUNCT
ejde-820	96	1	theorem	theorem	VERB
ejde-820	96	2	2.6	2.6	NUM
ejde-820	96	3	.	.	PUNCT
ejde-820	97	1	let	let	VERB
ejde-820	97	2	n	n	PRON
ejde-820	97	3	≥	≥	X
ejde-820	97	4	3	3	NUM
ejde-820	97	5	and	and	CCONJ
ejde-820	97	6	τ	τ	X
ejde-820	97	7	<	<	X
ejde-820	97	8	min{4	min{4	PROPN
ejde-820	97	9	,	,	PUNCT
ejde-820	97	10	n2	n2	ADJ
ejde-820	97	11	}	}	PUNCT
ejde-820	97	12	.	.	PUNCT
ejde-820	98	1	take	take	VERB
ejde-820	98	2	λ	λ	NOUN
ejde-820	98	3	=	=	SYM
ejde-820	98	4	1	1	NUM
ejde-820	98	5	and	and	CCONJ
ejde-820	98	6	max{1	max{1	NOUN
ejde-820	98	7	,	,	PUNCT
ejde-820	98	8	2(1−τ	2(1−τ	NUM
ejde-820	98	9	)	)	PUNCT
ejde-820	98	10	n	n	CCONJ
ejde-820	98	11	}	}	PUNCT
ejde-820	98	12	<	<	X
ejde-820	98	13	p	p	X
ejde-820	98	14	<	<	X
ejde-820	98	15	pc	pc	NOUN
ejde-820	98	16	.	.	PUNCT
ejde-820	99	1	there	there	PRON
ejde-820	99	2	exist	exist	VERB
ejde-820	99	3	ν	ν	X
ejde-820	99	4	>	>	X
ejde-820	99	5	0	0	PUNCT
ejde-820	100	1	and	and	CCONJ
ejde-820	100	2	u0	u0	PROPN
ejde-820	100	3	∈	∈	PROPN
ejde-820	100	4	h2	h2	NOUN
ejde-820	100	5	such	such	ADJ
ejde-820	100	6	that	that	SCONJ
ejde-820	100	7	the	the	DET
ejde-820	100	8	unique	unique	ADJ
ejde-820	100	9	maximal	maximal	ADJ
ejde-820	100	10	solution	solution	NOUN
ejde-820	100	11	u	u	PROPN
ejde-820	100	12	∈	∈	PROPN
ejde-820	100	13	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	100	14	,	,	PUNCT
ejde-820	100	15	t+	t+	NOUN
ejde-820	100	16	)	)	PUNCT
ejde-820	100	17	,	,	PUNCT
ejde-820	100	18	h2	h2	PROPN
ejde-820	100	19	)	)	PUNCT
ejde-820	100	20	of	of	ADP
ejde-820	100	21	(	(	PUNCT
ejde-820	100	22	1.1	1.1	NUM
ejde-820	100	23	)	)	PUNCT
ejde-820	100	24	is	be	AUX
ejde-820	100	25	non	non	X
ejde-820	100	26	global	global	ADJ
ejde-820	100	27	.	.	PUNCT
ejde-820	101	1	in	in	ADP
ejde-820	101	2	view	view	NOUN
ejde-820	101	3	of	of	ADP
ejde-820	101	4	the	the	DET
ejde-820	101	5	above	above	ADJ
ejde-820	101	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-820	101	7	,	,	PUNCT
ejde-820	101	8	some	some	DET
ejde-820	101	9	comments	comment	NOUN
ejde-820	101	10	are	be	AUX
ejde-820	101	11	in	in	ADP
ejde-820	101	12	order	order	NOUN
ejde-820	101	13	.	.	PUNCT
ejde-820	102	1	•	•	NUM
ejde-820	102	2	the	the	DET
ejde-820	102	3	existence	existence	NOUN
ejde-820	102	4	of	of	ADP
ejde-820	102	5	the	the	DET
ejde-820	102	6	local	local	ADJ
ejde-820	102	7	solution	solution	NOUN
ejde-820	102	8	is	be	AUX
ejde-820	102	9	given	give	VERB
ejde-820	102	10	by	by	ADP
ejde-820	102	11	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	102	12	2.3	2.3	NUM
ejde-820	102	13	.	.	PUNCT
ejde-820	103	1	•	•	NOUN
ejde-820	103	2	in	in	ADP
ejde-820	103	3	the	the	DET
ejde-820	103	4	proof	proof	NOUN
ejde-820	103	5	,	,	PUNCT
ejde-820	103	6	we	we	PRON
ejde-820	103	7	see	see	VERB
ejde-820	103	8	that	that	PRON
ejde-820	103	9	theorem	theorem	VERB
ejde-820	103	10	2.6	2.6	NUM
ejde-820	103	11	holds	hold	NOUN
ejde-820	103	12	for	for	ADP
ejde-820	103	13	any	any	DET
ejde-820	103	14	ν	ν	NOUN
ejde-820	103	15	>	>	X
ejde-820	103	16	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	103	17	>	>	X
ejde-820	103	18	0	0	X
ejde-820	103	19	.	.	PUNCT
ejde-820	104	1	this	this	PRON
ejde-820	104	2	gives	give	VERB
ejde-820	104	3	a	a	DET
ejde-820	104	4	blow	blow	NOUN
ejde-820	104	5	-	-	PUNCT
ejde-820	104	6	up	up	ADP
ejde-820	104	7	result	result	NOUN
ejde-820	104	8	for	for	ADP
ejde-820	104	9	small	small	ADJ
ejde-820	104	10	datum	datum	NOUN
ejde-820	104	11	.	.	PUNCT
ejde-820	105	1	this	this	PRON
ejde-820	105	2	makes	make	VERB
ejde-820	105	3	a	a	DET
ejde-820	105	4	difference	difference	NOUN
ejde-820	105	5	with	with	ADP
ejde-820	105	6	(	(	PUNCT
ejde-820	105	7	1.3	1.3	NUM
ejde-820	105	8	)	)	PUNCT
ejde-820	105	9	,	,	PUNCT
ejde-820	105	10	where	where	SCONJ
ejde-820	105	11	the	the	DET
ejde-820	105	12	global	global	ADJ
ejde-820	105	13	existence	existence	NOUN
ejde-820	105	14	is	be	AUX
ejde-820	105	15	known	know	VERB
ejde-820	105	16	for	for	ADP
ejde-820	105	17	small	small	ADJ
ejde-820	105	18	data	datum	NOUN
ejde-820	105	19	.	.	PUNCT
ejde-820	106	1	•	•	NUM
ejde-820	106	2	with	with	ADP
ejde-820	106	3	standard	standard	ADJ
ejde-820	106	4	method	method	NOUN
ejde-820	106	5	,	,	PUNCT
ejde-820	106	6	theorem	theorem	VERB
ejde-820	106	7	2.6	2.6	NUM
ejde-820	106	8	implies	imply	VERB
ejde-820	106	9	that	that	SCONJ
ejde-820	106	10	limt+	limt+	ADP
ejde-820	106	11	∥∆u(t)∥	∥∆u(t)∥	NOUN
ejde-820	106	12	=	=	SYM
ejde-820	106	13	∞.	∞.	PROPN
ejde-820	106	14	2.3	2.3	NUM
ejde-820	106	15	.	.	PUNCT
ejde-820	106	16	sketch	sketch	NOUN
ejde-820	106	17	of	of	ADP
ejde-820	106	18	the	the	DET
ejde-820	106	19	proofs	proof	NOUN
ejde-820	106	20	.	.	PUNCT
ejde-820	107	1	the	the	DET
ejde-820	107	2	proof	proof	NOUN
ejde-820	107	3	of	of	ADP
ejde-820	107	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-820	107	5	2.5	2.5	NUM
ejde-820	107	6	is	be	AUX
ejde-820	107	7	based	base	VERB
ejde-820	107	8	on	on	ADP
ejde-820	107	9	the	the	DET
ejde-820	107	10	two	two	NUM
ejde-820	107	11	next	next	ADJ
ejde-820	107	12	results	result	NOUN
ejde-820	107	13	.	.	PUNCT
ejde-820	108	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	108	2	2.7	2.7	NUM
ejde-820	108	3	.	.	PUNCT
ejde-820	109	1	the	the	DET
ejde-820	109	2	solution	solution	NOUN
ejde-820	109	3	given	give	VERB
ejde-820	109	4	by	by	ADP
ejde-820	109	5	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	109	6	2.3	2.3	NUM
ejde-820	109	7	is	be	AUX
ejde-820	109	8	a	a	DET
ejde-820	109	9	weak	weak	ADJ
ejde-820	109	10	solution	solution	NOUN
ejde-820	109	11	to	to	ADP
ejde-820	109	12	(	(	PUNCT
ejde-820	109	13	1.1	1.1	NUM
ejde-820	109	14	)	)	PUNCT
ejde-820	109	15	.	.	PUNCT
ejde-820	110	1	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	110	2	2.8	2.8	NUM
ejde-820	110	3	.	.	PUNCT
ejde-820	111	1	letting	let	VERB
ejde-820	111	2	1	1	NUM
ejde-820	111	3	<	<	X
ejde-820	111	4	p	p	X
ejde-820	111	5	<	<	X
ejde-820	111	6	1	1	NUM
ejde-820	111	7	+	+	NUM
ejde-820	111	8	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	111	9	n	n	NOUN
ejde-820	111	10	,	,	PUNCT
ejde-820	111	11	there	there	PRON
ejde-820	111	12	is	be	VERB
ejde-820	111	13	a	a	DET
ejde-820	111	14	certain	certain	ADJ
ejde-820	111	15	0	0	PUNCT
ejde-820	111	16	̸=	̸=	PROPN
ejde-820	111	17	u0	u0	NOUN
ejde-820	111	18	∈	∈	PROPN
ejde-820	111	19	l2	l2	NOUN
ejde-820	111	20	such	such	ADJ
ejde-820	111	21	that	that	SCONJ
ejde-820	111	22	if	if	SCONJ
ejde-820	111	23	u	u	NOUN
ejde-820	111	24	is	be	AUX
ejde-820	111	25	a	a	DET
ejde-820	111	26	global	global	ADJ
ejde-820	111	27	weak	weak	ADJ
ejde-820	111	28	solution	solution	NOUN
ejde-820	111	29	to	to	ADP
ejde-820	111	30	(	(	PUNCT
ejde-820	111	31	1.1	1.1	NUM
ejde-820	111	32	)	)	PUNCT
ejde-820	111	33	,	,	PUNCT
ejde-820	111	34	and	and	CCONJ
ejde-820	111	35	then	then	ADV
ejde-820	111	36	u	u	X
ejde-820	111	37	=	=	PROPN
ejde-820	111	38	0	0	NUM
ejde-820	111	39	.	.	PUNCT
ejde-820	112	1	indeed	indeed	ADV
ejde-820	112	2	,	,	PUNCT
ejde-820	112	3	letting	let	VERB
ejde-820	112	4	u	u	PRON
ejde-820	112	5	∈	∈	PROPN
ejde-820	112	6	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	112	7	,	,	PUNCT
ejde-820	112	8	t+	t+	NOUN
ejde-820	112	9	)	)	PUNCT
ejde-820	112	10	,	,	PUNCT
ejde-820	112	11	l2	l2	NOUN
ejde-820	112	12	)	)	PUNCT
ejde-820	112	13	be	be	AUX
ejde-820	112	14	a	a	DET
ejde-820	112	15	maximal	maximal	ADJ
ejde-820	112	16	solution	solution	NOUN
ejde-820	112	17	to	to	ADP
ejde-820	112	18	(	(	PUNCT
ejde-820	112	19	1.1	1.1	NUM
ejde-820	112	20	)	)	PUNCT
ejde-820	112	21	.	.	PUNCT
ejde-820	113	1	if	if	SCONJ
ejde-820	113	2	t+	t+	VERB
ejde-820	113	3	=	=	SYM
ejde-820	113	4	∞	∞	PROPN
ejde-820	113	5	,	,	PUNCT
ejde-820	113	6	then	then	ADV
ejde-820	113	7	by	by	ADP
ejde-820	113	8	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	113	9	2.7	2.7	NUM
ejde-820	113	10	,	,	PUNCT
ejde-820	113	11	u	u	NOUN
ejde-820	113	12	is	be	AUX
ejde-820	113	13	a	a	DET
ejde-820	113	14	global	global	ADJ
ejde-820	113	15	weak	weak	ADJ
ejde-820	113	16	solution	solution	NOUN
ejde-820	113	17	to	to	ADP
ejde-820	113	18	(	(	PUNCT
ejde-820	113	19	1.1	1.1	NUM
ejde-820	113	20	)	)	PUNCT
ejde-820	113	21	.	.	PUNCT
ejde-820	114	1	so	so	ADV
ejde-820	114	2	,	,	PUNCT
ejde-820	114	3	by	by	ADP
ejde-820	114	4	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	114	5	2.8	2.8	NUM
ejde-820	114	6	,	,	PUNCT
ejde-820	114	7	u	u	NOUN
ejde-820	114	8	=	=	PROPN
ejde-820	114	9	0	0	PROPN
ejde-820	114	10	,	,	PUNCT
ejde-820	114	11	which	which	PRON
ejde-820	114	12	contradicts	contradict	VERB
ejde-820	114	13	u0	u0	ADJ
ejde-820	114	14	̸=	̸=	PROPN
ejde-820	114	15	0	0	NUM
ejde-820	114	16	.	.	PUNCT
ejde-820	115	1	this	this	PRON
ejde-820	115	2	completes	complete	VERB
ejde-820	115	3	the	the	DET
ejde-820	115	4	proof	proof	NOUN
ejde-820	115	5	of	of	ADP
ejde-820	115	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-820	115	7	2.5	2.5	NUM
ejde-820	115	8	.	.	PUNCT
ejde-820	116	1	the	the	DET
ejde-820	116	2	proof	proof	NOUN
ejde-820	116	3	of	of	ADP
ejde-820	116	4	theorem	theorem	ADJ
ejde-820	116	5	2.6	2.6	NUM
ejde-820	116	6	is	be	AUX
ejde-820	116	7	essentially	essentially	ADV
ejde-820	116	8	based	base	VERB
ejde-820	116	9	on	on	ADP
ejde-820	116	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	116	11	2.7	2.7	NUM
ejde-820	116	12	and	and	CCONJ
ejde-820	116	13	lemma	lemma	PROPN
ejde-820	116	14	4.1	4.1	NUM
ejde-820	116	15	.	.	NOUN
ejde-820	117	1	3	3	X
ejde-820	117	2	.	.	X
ejde-820	118	1	no	no	DET
ejde-820	118	2	global	global	ADJ
ejde-820	118	3	mass	mass	NOUN
ejde-820	118	4	solutions	solution	NOUN
ejde-820	118	5	in	in	ADP
ejde-820	118	6	this	this	DET
ejde-820	118	7	section	section	NOUN
ejde-820	118	8	,	,	PUNCT
ejde-820	118	9	we	we	PRON
ejde-820	118	10	fix	fix	VERB
ejde-820	118	11	ν	ν	NOUN
ejde-820	118	12	=	=	SYM
ejde-820	118	13	1	1	NUM
ejde-820	119	1	and	and	CCONJ
ejde-820	119	2	we	we	PRON
ejde-820	119	3	prove	prove	VERB
ejde-820	119	4	theorem	theorem	VERB
ejde-820	119	5	2.5	2.5	NUM
ejde-820	119	6	.	.	PUNCT
ejde-820	120	1	it	it	PRON
ejde-820	120	2	is	be	AUX
ejde-820	120	3	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-820	120	4	to	to	PART
ejde-820	120	5	establish	establish	VERB
ejde-820	120	6	propositions	proposition	NOUN
ejde-820	120	7	2.7	2.7	NUM
ejde-820	120	8	and	and	CCONJ
ejde-820	120	9	2.8	2.8	NUM
ejde-820	120	10	.	.	NOUN
ejde-820	120	11	3.1	3.1	NUM
ejde-820	120	12	.	.	PUNCT
ejde-820	120	13	weak	weak	ADJ
ejde-820	120	14	solutions	solution	NOUN
ejde-820	120	15	.	.	PUNCT
ejde-820	121	1	in	in	ADP
ejde-820	121	2	this	this	DET
ejde-820	121	3	sub	sub	NOUN
ejde-820	121	4	-	-	NOUN
ejde-820	121	5	section	section	NOUN
ejde-820	121	6	,	,	PUNCT
ejde-820	121	7	we	we	PRON
ejde-820	121	8	prove	prove	VERB
ejde-820	121	9	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	121	10	2.7	2.7	NUM
ejde-820	121	11	.	.	PUNCT
ejde-820	122	1	let	let	VERB
ejde-820	122	2	v	v	NUM
ejde-820	122	3	∈	∈	PROPN
ejde-820	122	4	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	122	5	0	0	PUNCT
ejde-820	123	1	(	(	PUNCT
ejde-820	123	2	[	[	X
ejde-820	123	3	0	0	NUM
ejde-820	123	4	,	,	PUNCT
ejde-820	123	5	t	t	NOUN
ejde-820	123	6	)	)	PUNCT
ejde-820	123	7	×rn	×rn	PROPN
ejde-820	123	8	)	)	PUNCT
ejde-820	123	9	,	,	PUNCT
ejde-820	123	10	for	for	ADP
ejde-820	123	11	some	some	DET
ejde-820	123	12	t	t	NOUN
ejde-820	123	13	>	>	X
ejde-820	123	14	0	0	PUNCT
ejde-820	123	15	and	and	CCONJ
ejde-820	123	16	u	u	PROPN
ejde-820	123	17	∈	∈	PROPN
ejde-820	123	18	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	123	19	,	,	PUNCT
ejde-820	123	20	t	t	X
ejde-820	123	21	]	]	PUNCT
ejde-820	123	22	,	,	PUNCT
ejde-820	123	23	l2(rn	l2(rn	PROPN
ejde-820	123	24	)	)	PUNCT
ejde-820	123	25	)	)	PUNCT
ejde-820	124	1	∩ω(0	∩ω(0	PROPN
ejde-820	124	2	,	,	PUNCT
ejde-820	124	3	t	t	PROPN
ejde-820	124	4	)	)	PUNCT
ejde-820	124	5	be	be	AUX
ejde-820	124	6	a	a	DET
ejde-820	124	7	solution	solution	NOUN
ejde-820	124	8	to	to	ADP
ejde-820	124	9	(	(	PUNCT
ejde-820	124	10	2.2	2.2	NUM
ejde-820	124	11	)	)	PUNCT
ejde-820	124	12	.	.	PUNCT
ejde-820	125	1	so	so	ADV
ejde-820	125	2	,	,	PUNCT
ejde-820	125	3	u	u	PROPN
ejde-820	125	4	∈	∈	PROPN
ejde-820	125	5	l1	l1	PROPN
ejde-820	125	6	loc([0	loc([0	VERB
ejde-820	125	7	,	,	PUNCT
ejde-820	125	8	t	t	X
ejde-820	125	9	]	]	X
ejde-820	125	10	×	×	PROPN
ejde-820	125	11	rn	rn	PROPN
ejde-820	125	12	)	)	PUNCT
ejde-820	125	13	.	.	PUNCT
ejde-820	126	1	by	by	ADP
ejde-820	126	2	a	a	DET
ejde-820	126	3	density	density	NOUN
ejde-820	126	4	argument	argument	NOUN
ejde-820	126	5	,	,	PUNCT
ejde-820	126	6	we	we	PRON
ejde-820	126	7	have∫	have∫	VERB
ejde-820	126	8	t	t	PROPN
ejde-820	126	9	0	0	NUM
ejde-820	127	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	127	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	127	3	eit∆	eit∆	NUM
ejde-820	127	4	2	2	NUM
ejde-820	127	5	u0(−i∂tv	u0(−i∂tv	NOUN
ejde-820	127	6	+	+	NOUN
ejde-820	127	7	∆2v	∆2v	NOUN
ejde-820	127	8	)	)	PUNCT
ejde-820	127	9	dx	dx	PROPN
ejde-820	128	1	dt	dt	NOUN
ejde-820	129	1	=	=	PUNCT
ejde-820	130	1	i	i	PRON
ejde-820	130	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	130	3	rn	rn	PROPN
ejde-820	130	4	u0(x)v(0	u0(x)v(0	PROPN
ejde-820	130	5	,	,	PUNCT
ejde-820	130	6	x	x	X
ejde-820	130	7	)	)	PUNCT
ejde-820	130	8	dx	dx	PROPN
ejde-820	130	9	.	.	PUNCT
ejde-820	131	1	(	(	PUNCT
ejde-820	131	2	3.1	3.1	NUM
ejde-820	131	3	)	)	PUNCT
ejde-820	131	4	so	so	ADV
ejde-820	131	5	,	,	PUNCT
ejde-820	131	6	by	by	ADP
ejde-820	131	7	(	(	PUNCT
ejde-820	131	8	2.2	2.2	NUM
ejde-820	131	9	)	)	PUNCT
ejde-820	131	10	,	,	PUNCT
ejde-820	131	11	(	(	PUNCT
ejde-820	131	12	2.5	2.5	NUM
ejde-820	131	13	)	)	PUNCT
ejde-820	131	14	and	and	CCONJ
ejde-820	131	15	(	(	PUNCT
ejde-820	131	16	3.1	3.1	NUM
ejde-820	131	17	)	)	PUNCT
ejde-820	131	18	,	,	PUNCT
ejde-820	131	19	it	it	PRON
ejde-820	131	20	is	be	AUX
ejde-820	131	21	sufficient	sufficient	ADJ
ejde-820	131	22	to	to	PART
ejde-820	131	23	prove	prove	VERB
ejde-820	131	24	that∫	that∫	PROPN
ejde-820	131	25	t	t	PROPN
ejde-820	131	26	0	0	NUM
ejde-820	132	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	132	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	132	3	w(−i∂tv	w(−i∂tv	PROPN
ejde-820	132	4	+	+	SYM
ejde-820	132	5	∆2v	∆2v	NOUN
ejde-820	132	6	)	)	PUNCT
ejde-820	132	7	dx	dx	PROPN
ejde-820	132	8	dt	dt	NOUN
ejde-820	133	1	=	=	PUNCT
ejde-820	133	2	λ	λ	PROPN
ejde-820	133	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	133	4	t	t	PROPN
ejde-820	133	5	0	0	NUM
ejde-820	133	6	∫	∫	PROPN
ejde-820	133	7	rn	rn	PROPN
ejde-820	133	8	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	133	9	|u|pv	|u|pv	NOUN
ejde-820	133	10	dx	dx	VERB
ejde-820	133	11	dt	dt	X
ejde-820	133	12	;	;	PUNCT
ejde-820	133	13	(	(	PUNCT
ejde-820	133	14	3.2	3.2	NUM
ejde-820	133	15	)	)	PUNCT
ejde-820	133	16	w	w	NOUN
ejde-820	133	17	:	:	PUNCT
ejde-820	133	18	=	=	X
ejde-820	134	1	−iλ	−iλ	INTJ
ejde-820	134	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	134	3	t	t	PROPN
ejde-820	134	4	0	0	X
ejde-820	135	1	ei(t−s)∆2	ei(t−s)∆2	PROPN
ejde-820	135	2	(	(	PUNCT
ejde-820	135	3	|x|−τ	|x|−τ	ADJ
ejde-820	135	4	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-820	135	5	)	)	PUNCT
ejde-820	135	6	ds	ds	PROPN
ejde-820	135	7	.	.	PUNCT
ejde-820	136	1	(	(	PUNCT
ejde-820	136	2	3.3	3.3	NUM
ejde-820	136	3	)	)	PUNCT
ejde-820	136	4	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	136	5	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	136	6	equations	equation	NOUN
ejde-820	136	7	without	without	ADP
ejde-820	136	8	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	136	9	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	136	10	5	5	NUM
ejde-820	136	11	with	with	ADP
ejde-820	136	12	a	a	DET
ejde-820	136	13	density	density	NOUN
ejde-820	136	14	argument	argument	NOUN
ejde-820	136	15	,	,	PUNCT
ejde-820	136	16	we	we	PRON
ejde-820	136	17	take	take	VERB
ejde-820	136	18	un	un	PROPN
ejde-820	136	19	∈	∈	PROPN
ejde-820	136	20	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	136	21	0	0	PUNCT
ejde-820	137	1	(	(	PUNCT
ejde-820	137	2	[	[	X
ejde-820	137	3	0	0	NUM
ejde-820	137	4	,	,	PUNCT
ejde-820	137	5	t	t	NOUN
ejde-820	137	6	)	)	PUNCT
ejde-820	137	7	×	×	PROPN
ejde-820	137	8	rn	rn	PROPN
ejde-820	137	9	)	)	PUNCT
ejde-820	137	10	,	,	PUNCT
ejde-820	137	11	lim	lim	PROPN
ejde-820	137	12	n	n	PROPN
ejde-820	137	13	∥un	∥un	PROPN
ejde-820	137	14	−	−	PROPN
ejde-820	137	15	u∥ω(0,t	u∥ω(0,t	ADJ
ejde-820	137	16	)	)	PUNCT
ejde-820	138	1	=	=	SYM
ejde-820	138	2	0	0	X
ejde-820	138	3	.	.	PUNCT
ejde-820	139	1	(	(	PUNCT
ejde-820	139	2	3.4	3.4	NUM
ejde-820	139	3	)	)	PUNCT
ejde-820	139	4	let	let	AUX
ejde-820	139	5	also	also	ADV
ejde-820	139	6	define	define	VERB
ejde-820	139	7	the	the	DET
ejde-820	139	8	sequence	sequence	NOUN
ejde-820	139	9	wn	wn	NOUN
ejde-820	139	10	:	:	PUNCT
ejde-820	139	11	=	=	SYM
ejde-820	140	1	−iλ	−iλ	INTJ
ejde-820	140	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	140	3	t	t	PROPN
ejde-820	140	4	0	0	X
ejde-820	141	1	ei(t−s)∆2	ei(t−s)∆2	PROPN
ejde-820	141	2	(	(	PUNCT
ejde-820	141	3	|x|−τ	|x|−τ	X
ejde-820	141	4	|un|p	|un|p	X
ejde-820	141	5	)	)	PUNCT
ejde-820	141	6	ds	ds	PROPN
ejde-820	141	7	.	.	PUNCT
ejde-820	142	1	(	(	PUNCT
ejde-820	142	2	3.5	3.5	NUM
ejde-820	142	3	)	)	PUNCT
ejde-820	142	4	now	now	ADV
ejde-820	142	5	,	,	PUNCT
ejde-820	142	6	by	by	ADP
ejde-820	142	7	strichartz	strichartz	NOUN
ejde-820	142	8	and	and	CCONJ
ejde-820	142	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	142	10	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	142	11	and	and	CCONJ
ejde-820	142	12	taking	take	VERB
ejde-820	142	13	account	account	NOUN
ejde-820	142	14	of	of	ADP
ejde-820	142	15	[	[	X
ejde-820	142	16	10	10	NUM
ejde-820	142	17	,	,	PUNCT
ejde-820	142	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-820	142	19	3.1	3.1	NUM
ejde-820	142	20	]	]	PUNCT
ejde-820	142	21	,	,	PUNCT
ejde-820	142	22	for	for	ADP
ejde-820	142	23	some	some	DET
ejde-820	142	24	α1	α1	NOUN
ejde-820	142	25	,	,	PUNCT
ejde-820	142	26	α2	α2	PROPN
ejde-820	142	27	>	>	X
ejde-820	142	28	0	0	PROPN
ejde-820	142	29	,	,	PUNCT
ejde-820	142	30	we	we	PRON
ejde-820	142	31	write	write	VERB
ejde-820	142	32	∥wn	∥wn	VERB
ejde-820	142	33	−	−	PROPN
ejde-820	142	34	w∥l∞([0,t	w∥l∞([0,t	NOUN
ejde-820	142	35	)	)	PUNCT
ejde-820	142	36	,	,	PUNCT
ejde-820	142	37	l2	l2	NOUN
ejde-820	142	38	)	)	PUNCT
ejde-820	143	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	143	2	∥|x|−τ	∥|x|−τ	PROPN
ejde-820	143	3	(	(	PUNCT
ejde-820	143	4	|un|p	|un|p	X
ejde-820	143	5	−	−	PROPN
ejde-820	143	6	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-820	143	7	)	)	PUNCT
ejde-820	143	8	∥ω′(0,t	∥ω′(0,t	NOUN
ejde-820	143	9	)	)	PUNCT
ejde-820	144	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	144	2	∥|x|−τ	∥|x|−τ	PROPN
ejde-820	144	3	(	(	PUNCT
ejde-820	144	4	|un|p−1	|un|p−1	VERB
ejde-820	144	5	+	+	X
ejde-820	144	6	|u|p−1	|u|p−1	NOUN
ejde-820	144	7	)	)	PUNCT
ejde-820	144	8	(	(	PUNCT
ejde-820	144	9	un	un	PROPN
ejde-820	144	10	−	−	PROPN
ejde-820	144	11	u)∥ω′(0,t	u)∥ω′(0,t	PROPN
ejde-820	144	12	)	)	PUNCT
ejde-820	144	13	≲	≲	PROPN
ejde-820	144	14	(	(	PUNCT
ejde-820	144	15	tα1	tα1	NOUN
ejde-820	144	16	+	+	CCONJ
ejde-820	144	17	tα2	tα2	NOUN
ejde-820	144	18	)	)	PUNCT
ejde-820	144	19	(	(	PUNCT
ejde-820	144	20	∥un∥p−1	∥un∥p−1	PROPN
ejde-820	144	21	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	144	22	)	)	PUNCT
ejde-820	144	23	+	+	CCONJ
ejde-820	144	24	∥u∥p−1	∥u∥p−1	NUM
ejde-820	144	25	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	144	26	)	)	PUNCT
ejde-820	144	27	)	)	PUNCT
ejde-820	144	28	∥un	∥un	PROPN
ejde-820	144	29	−	−	PROPN
ejde-820	144	30	u∥ω(0,t	u∥ω(0,t	NOUN
ejde-820	144	31	)	)	PUNCT
ejde-820	144	32	→	→	SYM
ejde-820	144	33	0	0	NUM
ejde-820	144	34	,	,	PUNCT
ejde-820	144	35	as	as	ADP
ejde-820	144	36	n→	n→	PROPN
ejde-820	144	37	∞.	∞.	PROPN
ejde-820	144	38	(	(	PUNCT
ejde-820	144	39	3.6	3.6	NUM
ejde-820	144	40	)	)	PUNCT
ejde-820	144	41	since	since	SCONJ
ejde-820	144	42	wn(0	wn(0	PROPN
ejde-820	144	43	,	,	PUNCT
ejde-820	144	44	·	·	PUNCT
ejde-820	144	45	)	)	PUNCT
ejde-820	144	46	=	=	SYM
ejde-820	144	47	0	0	NUM
ejde-820	144	48	,	,	PUNCT
ejde-820	144	49	the	the	DET
ejde-820	144	50	first	first	ADJ
ejde-820	144	51	term	term	NOUN
ejde-820	144	52	of	of	ADP
ejde-820	144	53	the	the	DET
ejde-820	144	54	left	left	ADJ
ejde-820	144	55	-	-	PUNCT
ejde-820	144	56	hand	hand	NOUN
ejde-820	144	57	side	side	NOUN
ejde-820	144	58	of	of	ADP
ejde-820	144	59	(	(	PUNCT
ejde-820	144	60	3.2	3.2	NUM
ejde-820	144	61	)	)	PUNCT
ejde-820	144	62	reads	read	VERB
ejde-820	144	63	−i	−i	PROPN
ejde-820	144	64	∫	∫	PROPN
ejde-820	144	65	t	t	PROPN
ejde-820	144	66	0	0	NUM
ejde-820	145	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	145	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	145	3	w∂tv	w∂tv	PROPN
ejde-820	145	4	dx	dx	PROPN
ejde-820	146	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	147	1	=	=	SYM
ejde-820	147	2	−i	−i	PROPN
ejde-820	147	3	lim	lim	PROPN
ejde-820	147	4	n	n	PROPN
ejde-820	147	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	147	6	t	t	PROPN
ejde-820	147	7	0	0	NUM
ejde-820	148	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	148	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	148	3	wn∂tv	wn∂tv	PROPN
ejde-820	148	4	dx	dx	PROPN
ejde-820	149	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	150	1	=	=	PUNCT
ejde-820	150	2	i	i	PRON
ejde-820	150	3	lim	lim	PROPN
ejde-820	150	4	n	n	PROPN
ejde-820	150	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	150	6	t	t	PROPN
ejde-820	150	7	0	0	NUM
ejde-820	150	8	∫	∫	PROPN
ejde-820	150	9	rn	rn	PROPN
ejde-820	150	10	∂twnv	∂twnv	PROPN
ejde-820	150	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	150	12	dt	dt	PROPN
ejde-820	150	13	.	.	PUNCT
ejde-820	151	1	(	(	PUNCT
ejde-820	151	2	3.7	3.7	NUM
ejde-820	151	3	)	)	PUNCT
ejde-820	151	4	moreover	moreover	ADV
ejde-820	151	5	,	,	PUNCT
ejde-820	151	6	by	by	ADP
ejde-820	151	7	strichartz	strichartz	NOUN
ejde-820	151	8	and	and	CCONJ
ejde-820	151	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	151	10	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	151	11	and	and	CCONJ
ejde-820	151	12	taking	take	VERB
ejde-820	151	13	account	account	NOUN
ejde-820	151	14	of	of	ADP
ejde-820	151	15	[	[	X
ejde-820	151	16	10	10	NUM
ejde-820	151	17	,	,	PUNCT
ejde-820	151	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-820	151	19	3.2	3.2	NUM
ejde-820	151	20	]	]	PUNCT
ejde-820	151	21	,	,	PUNCT
ejde-820	151	22	we	we	PRON
ejde-820	151	23	write	write	VERB
ejde-820	151	24	for	for	ADP
ejde-820	151	25	some	some	DET
ejde-820	151	26	β1	β1	NOUN
ejde-820	151	27	,	,	PUNCT
ejde-820	151	28	β2	β2	VERB
ejde-820	151	29	>	>	X
ejde-820	151	30	0	0	PROPN
ejde-820	151	31	,	,	PUNCT
ejde-820	151	32	∥∆wn∥l∞([0,t	∥∆wn∥l∞([0,t	PROPN
ejde-820	151	33	)	)	PUNCT
ejde-820	151	34	,	,	PUNCT
ejde-820	151	35	l2	l2	NOUN
ejde-820	151	36	)	)	PUNCT
ejde-820	152	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	152	2	∥|x|−τ	∥|x|−τ	PRON
ejde-820	152	3	|un|p−1|∇un|+	|un|p−1|∇un|+	X
ejde-820	152	4	|x|−τ−1|un|p∥	|x|−τ−1|un|p∥	PROPN
ejde-820	152	5	l1	l1	PROPN
ejde-820	152	6	t	t	PROPN
ejde-820	152	7	(	(	PUNCT
ejde-820	152	8	l	l	PROPN
ejde-820	152	9	2n	2n	NUM
ejde-820	153	1	2+n	2+n	NUM
ejde-820	153	2	)	)	PUNCT
ejde-820	154	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	154	2	(	(	PUNCT
ejde-820	154	3	t	t	PROPN
ejde-820	154	4	β1	β1	PROPN
ejde-820	154	5	+	+	CCONJ
ejde-820	154	6	t	t	PROPN
ejde-820	154	7	β2	β2	PROPN
ejde-820	154	8	)	)	PUNCT
ejde-820	154	9	(	(	PUNCT
ejde-820	154	10	∥∆un∥ω(0,t	∥∆un∥ω(0,t	NOUN
ejde-820	154	11	)	)	PUNCT
ejde-820	154	12	+	+	PUNCT
ejde-820	154	13	∥un∥ω(0,t	∥un∥ω(0,t	X
ejde-820	154	14	)	)	PUNCT
ejde-820	154	15	)	)	PUNCT
ejde-820	155	1	p	p	NOUN
ejde-820	155	2	.	.	PUNCT
ejde-820	156	1	(	(	PUNCT
ejde-820	156	2	3.8	3.8	NUM
ejde-820	156	3	)	)	PUNCT
ejde-820	157	1	so	so	ADV
ejde-820	157	2	,	,	PUNCT
ejde-820	157	3	wn	wn	PROPN
ejde-820	157	4	∈	∈	PROPN
ejde-820	157	5	c([0	c([0	PROPN
ejde-820	157	6	,	,	PUNCT
ejde-820	157	7	t	t	PROPN
ejde-820	157	8	)	)	PUNCT
ejde-820	157	9	,	,	PUNCT
ejde-820	157	10	h2	h2	PROPN
ejde-820	157	11	)	)	PUNCT
ejde-820	157	12	and	and	CCONJ
ejde-820	157	13	we	we	PRON
ejde-820	157	14	have	have	VERB
ejde-820	157	15	the	the	DET
ejde-820	157	16	equality	equality	NOUN
ejde-820	157	17	in	in	ADP
ejde-820	157	18	c([0	c([0	PROPN
ejde-820	157	19	,	,	PUNCT
ejde-820	157	20	t	t	PROPN
ejde-820	157	21	)	)	PUNCT
ejde-820	157	22	,	,	PUNCT
ejde-820	157	23	h−2	h−2	PROPN
ejde-820	157	24	)	)	PUNCT
ejde-820	157	25	,	,	PUNCT
ejde-820	157	26	i∂twn	i∂twn	ADP
ejde-820	157	27	=	=	SYM
ejde-820	157	28	−∆2wn	−∆2wn	PROPN
ejde-820	157	29	+	+	CCONJ
ejde-820	157	30	λ|x|−τ	λ|x|−τ	X
ejde-820	158	1	|un|p	|un|p	NOUN
ejde-820	158	2	.	.	PUNCT
ejde-820	158	3	(	(	PUNCT
ejde-820	158	4	3.9	3.9	NUM
ejde-820	158	5	)	)	PUNCT
ejde-820	158	6	moreover	moreover	ADV
ejde-820	158	7	,	,	PUNCT
ejde-820	158	8	since	since	SCONJ
ejde-820	158	9	0	0	NUM
ejde-820	158	10	<	<	X
ejde-820	158	11	τ	τ	X
ejde-820	158	12	<	<	X
ejde-820	158	13	n	n	X
ejde-820	158	14	,	,	PUNCT
ejde-820	158	15	by	by	ADP
ejde-820	158	16	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	158	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	158	18	for	for	ADP
ejde-820	158	19	supp(un(0	supp(un(0	NOUN
ejde-820	158	20	,	,	PUNCT
ejde-820	158	21	·	·	PUNCT
ejde-820	158	22	)	)	PUNCT
ejde-820	158	23	)	)	PUNCT
ejde-820	158	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-820	158	25	b(rn	b(rn	NOUN
ejde-820	158	26	)	)	PUNCT
ejde-820	158	27	,	,	PUNCT
ejde-820	158	28	∥∂twn(t)∥	∥∂twn(t)∥	X
ejde-820	158	29	=	=	SYM
ejde-820	158	30	∥∥∂t	∥∥∂t	PROPN
ejde-820	159	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	159	2	t	t	NOUN
ejde-820	159	3	0	0	NUM
ejde-820	159	4	eis∆	eis∆	PROPN
ejde-820	159	5	2	2	NUM
ejde-820	159	6	(	(	PUNCT
ejde-820	159	7	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	159	8	|un(t−	|un(t−	PROPN
ejde-820	159	9	s)|p	s)|p	NOUN
ejde-820	159	10	)	)	PUNCT
ejde-820	160	1	ds	ds	ADP
ejde-820	160	2	∥∥	∥∥	X
ejde-820	160	3	≤	≤	X
ejde-820	160	4	∥eit∆	∥eit∆	X
ejde-820	160	5	2	2	NUM
ejde-820	160	6	(	(	PUNCT
ejde-820	160	7	|x|−τ	|x|−τ	ADJ
ejde-820	160	8	|un(0)|p	|un(0)|p	PROPN
ejde-820	160	9	)	)	PUNCT
ejde-820	160	10	∥+	∥+	PUNCT
ejde-820	161	1	∥	∥	X
ejde-820	161	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	161	3	t	t	NOUN
ejde-820	161	4	0	0	NUM
ejde-820	162	1	eis∆	eis∆	PROPN
ejde-820	162	2	2	2	NUM
ejde-820	162	3	(	(	PUNCT
ejde-820	162	4	|x|−τ∂t|un|p(t−	|x|−τ∂t|un|p(t−	NOUN
ejde-820	162	5	s	s	NOUN
ejde-820	162	6	)	)	PUNCT
ejde-820	162	7	)	)	PUNCT
ejde-820	162	8	ds∥	ds∥	VERB
ejde-820	162	9	≲	≲	PROPN
ejde-820	162	10	∥|x|−τupn(0)∥+	∥|x|−τupn(0)∥+	ADJ
ejde-820	162	11	∥|x|−τ∂t|un|p∥ω′(0,t	∥|x|−τ∂t|un|p∥ω′(0,t	NOUN
ejde-820	162	12	)	)	PUNCT
ejde-820	162	13	≲	≲	PROPN
ejde-820	162	14	∥|x|−τ∥	∥|x|−τ∥	PROPN
ejde-820	162	15	l(n	l(n	PROPN
ejde-820	162	16	τ	τ	PROPN
ejde-820	162	17	)	)	PUNCT
ejde-820	162	18	−	−	PROPN
ejde-820	162	19	(	(	PUNCT
ejde-820	162	20	b(rn	b(rn	PROPN
ejde-820	162	21	)	)	PUNCT
ejde-820	162	22	)	)	PUNCT
ejde-820	163	1	∥un(0)∥p∞r	∥un(0)∥p∞r	PUNCT
ejde-820	163	2	n	n	NUM
ejde-820	163	3	r′	r′	PROPN
ejde-820	163	4	n	n	PROPN
ejde-820	163	5	+	+	CCONJ
ejde-820	163	6	(	(	PUNCT
ejde-820	163	7	tα1	tα1	NOUN
ejde-820	163	8	+	+	CCONJ
ejde-820	163	9	tα2	tα2	NOUN
ejde-820	163	10	)	)	PUNCT
ejde-820	164	1	∥un∥p−1	∥un∥p−1	PROPN
ejde-820	164	2	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	164	3	)	)	PUNCT
ejde-820	164	4	∥∂tun∥ω(0,t	∥∂tun∥ω(0,t	NOUN
ejde-820	164	5	)	)	PUNCT
ejde-820	165	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	165	2	cn	cn	PROPN
ejde-820	165	3	+	+	CCONJ
ejde-820	165	4	(	(	PUNCT
ejde-820	165	5	tα1	tα1	NOUN
ejde-820	165	6	+	+	CCONJ
ejde-820	165	7	tα2	tα2	NOUN
ejde-820	165	8	)	)	PUNCT
ejde-820	165	9	∥un∥p−1	∥un∥p−1	PROPN
ejde-820	165	10	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	165	11	)	)	PUNCT
ejde-820	165	12	∥∂tun∥ω(0,t	∥∂tun∥ω(0,t	NOUN
ejde-820	165	13	)	)	PUNCT
ejde-820	165	14	.	.	PUNCT
ejde-820	166	1	(	(	PUNCT
ejde-820	166	2	3.10	3.10	NUM
ejde-820	166	3	)	)	PUNCT
ejde-820	166	4	6	6	NUM
ejde-820	166	5	t.	t.	NOUN
ejde-820	166	6	saanouni	saanouni	NOUN
ejde-820	166	7	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	166	8	thus	thus	ADV
ejde-820	166	9	,	,	PUNCT
ejde-820	166	10	un	un	PROPN
ejde-820	166	11	∈	∈	PROPN
ejde-820	166	12	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	166	13	0	0	PUNCT
ejde-820	167	1	(	(	PUNCT
ejde-820	167	2	[	[	X
ejde-820	167	3	0	0	NUM
ejde-820	167	4	,	,	PUNCT
ejde-820	167	5	t	t	NOUN
ejde-820	167	6	)	)	PUNCT
ejde-820	167	7	×	×	PROPN
ejde-820	167	8	rn	rn	PROPN
ejde-820	167	9	)	)	PUNCT
ejde-820	167	10	implies	imply	VERB
ejde-820	167	11	that	that	SCONJ
ejde-820	167	12	wn	wn	PROPN
ejde-820	167	13	∈	∈	PROPN
ejde-820	167	14	c1([0	c1([0	PROPN
ejde-820	167	15	,	,	PUNCT
ejde-820	167	16	t	t	NOUN
ejde-820	167	17	)	)	PUNCT
ejde-820	167	18	,	,	PUNCT
ejde-820	167	19	l2	l2	NOUN
ejde-820	167	20	)	)	PUNCT
ejde-820	167	21	and	and	CCONJ
ejde-820	167	22	(	(	PUNCT
ejde-820	167	23	3.9	3.9	NUM
ejde-820	167	24	)	)	PUNCT
ejde-820	167	25	gives	give	VERB
ejde-820	167	26	wn	wn	PROPN
ejde-820	167	27	∈	∈	PROPN
ejde-820	167	28	c([0	c([0	NOUN
ejde-820	167	29	,	,	PUNCT
ejde-820	167	30	t	t	PROPN
ejde-820	167	31	)	)	PUNCT
ejde-820	167	32	,	,	PUNCT
ejde-820	167	33	h2	h2	PROPN
ejde-820	167	34	)	)	PUNCT
ejde-820	167	35	.	.	PUNCT
ejde-820	168	1	so	so	ADV
ejde-820	168	2	,	,	PUNCT
ejde-820	168	3	(	(	PUNCT
ejde-820	168	4	3.7	3.7	NUM
ejde-820	168	5	)	)	PUNCT
ejde-820	168	6	and	and	CCONJ
ejde-820	168	7	(	(	PUNCT
ejde-820	168	8	3.9	3.9	NUM
ejde-820	168	9	)	)	PUNCT
ejde-820	168	10	imply	imply	VERB
ejde-820	168	11	that	that	SCONJ
ejde-820	168	12	−i	−i	PROPN
ejde-820	168	13	∫	∫	PROPN
ejde-820	168	14	t	t	PROPN
ejde-820	168	15	0	0	NUM
ejde-820	168	16	∫	∫	PROPN
ejde-820	168	17	rn	rn	PROPN
ejde-820	168	18	w∂tv	w∂tv	PROPN
ejde-820	168	19	dx	dx	PROPN
ejde-820	168	20	dt	dt	PROPN
ejde-820	169	1	=	=	PUNCT
ejde-820	169	2	lim	lim	PROPN
ejde-820	169	3	n	n	PRON
ejde-820	169	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	169	5	t	t	PROPN
ejde-820	169	6	0	0	NUM
ejde-820	169	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	169	8	rn	rn	PROPN
ejde-820	169	9	(	(	PUNCT
ejde-820	169	10	−∆2wn	−∆2wn	PROPN
ejde-820	169	11	+	+	CCONJ
ejde-820	169	12	λ|x|−τ	λ|x|−τ	NOUN
ejde-820	169	13	|un|p	|un|p	NOUN
ejde-820	169	14	)	)	PUNCT
ejde-820	169	15	v	v	ADP
ejde-820	169	16	dx	dx	PROPN
ejde-820	169	17	dt	dt	NOUN
ejde-820	170	1	=	=	PUNCT
ejde-820	170	2	−	−	PROPN
ejde-820	170	3	lim	lim	PROPN
ejde-820	170	4	n	n	PROPN
ejde-820	170	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	170	6	t	t	PROPN
ejde-820	170	7	0	0	NUM
ejde-820	170	8	∫	∫	PROPN
ejde-820	170	9	rn	rn	PROPN
ejde-820	170	10	wn∆	wn∆	PROPN
ejde-820	170	11	2v	2v	PROPN
ejde-820	170	12	dx	dx	PROPN
ejde-820	171	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	172	1	+	+	CCONJ
ejde-820	172	2	λ	λ	X
ejde-820	172	3	lim	lim	PROPN
ejde-820	172	4	n	n	PROPN
ejde-820	172	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	172	6	t	t	PROPN
ejde-820	172	7	0	0	NUM
ejde-820	172	8	∫	∫	PROPN
ejde-820	172	9	rn	rn	PROPN
ejde-820	172	10	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	172	11	|un|pv	|un|pv	PRON
ejde-820	172	12	dx	dx	PROPN
ejde-820	172	13	dt	dt	X
ejde-820	172	14	.	.	PUNCT
ejde-820	173	1	(	(	PUNCT
ejde-820	173	2	3.11	3.11	NUM
ejde-820	173	3	)	)	PUNCT
ejde-820	173	4	furthermore	furthermore	ADV
ejde-820	173	5	,	,	PUNCT
ejde-820	173	6	by	by	ADP
ejde-820	173	7	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	173	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	173	9	via	via	ADP
ejde-820	173	10	(	(	PUNCT
ejde-820	173	11	3.6	3.6	NUM
ejde-820	173	12	)	)	PUNCT
ejde-820	173	13	,	,	PUNCT
ejde-820	173	14	we	we	PRON
ejde-820	173	15	have∣∣	have∣∣	PROPN
ejde-820	174	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	174	2	t	t	PROPN
ejde-820	174	3	0	0	NUM
ejde-820	174	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	174	5	rn	rn	PROPN
ejde-820	174	6	(	(	PUNCT
ejde-820	174	7	wn	wn	INTJ
ejde-820	174	8	−	−	PROPN
ejde-820	175	1	w)∆2v	w)∆2v	INTJ
ejde-820	175	2	dx	dx	PROPN
ejde-820	175	3	dt	dt	X
ejde-820	175	4	∣∣	∣∣	PROPN
ejde-820	175	5	≤	≤	PROPN
ejde-820	175	6	t∥wn	t∥wn	PROPN
ejde-820	175	7	−	−	PROPN
ejde-820	175	8	w∥l∞	w∥l∞	PROPN
ejde-820	175	9	t	t	PROPN
ejde-820	175	10	(	(	PUNCT
ejde-820	175	11	l2)∥∆2v∥l∞	l2)∥∆2v∥l∞	PROPN
ejde-820	175	12	t	t	PROPN
ejde-820	175	13	(	(	PUNCT
ejde-820	175	14	l2	l2	PROPN
ejde-820	175	15	)	)	PUNCT
ejde-820	175	16	→	→	SYM
ejde-820	175	17	0	0	X
ejde-820	175	18	.	.	PUNCT
ejde-820	176	1	(	(	PUNCT
ejde-820	176	2	3.12	3.12	NUM
ejde-820	176	3	)	)	PUNCT
ejde-820	176	4	also	also	ADV
ejde-820	176	5	,	,	PUNCT
ejde-820	176	6	by	by	ADP
ejde-820	176	7	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	176	8	and	and	CCONJ
ejde-820	176	9	strichartz	strichartz	NOUN
ejde-820	176	10	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	176	11	and	and	CCONJ
ejde-820	176	12	arguing	argue	VERB
ejde-820	176	13	as	as	ADP
ejde-820	176	14	previously	previously	ADV
ejde-820	176	15	,	,	PUNCT
ejde-820	176	16	we	we	PRON
ejde-820	176	17	have∣∣	have∣∣	PROPN
ejde-820	176	18	∫	∫	PROPN
ejde-820	176	19	t	t	PROPN
ejde-820	176	20	0	0	PUNCT
ejde-820	177	1	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	177	2	(	(	PUNCT
ejde-820	177	3	|un|p	|un|p	X
ejde-820	177	4	−	−	PROPN
ejde-820	177	5	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-820	177	6	)	)	PUNCT
ejde-820	177	7	v	v	ADP
ejde-820	177	8	dx	dx	PROPN
ejde-820	177	9	dt	dt	X
ejde-820	177	10	∣∣	∣∣	X
ejde-820	177	11	≤	≤	NUM
ejde-820	177	12	∥|x|−τ	∥|x|−τ	PRON
ejde-820	177	13	(	(	PUNCT
ejde-820	177	14	|un|p	|un|p	X
ejde-820	177	15	−	−	PROPN
ejde-820	177	16	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-820	177	17	)	)	PUNCT
ejde-820	177	18	∥ω′(0,t	∥ω′(0,t	NOUN
ejde-820	177	19	)	)	PUNCT
ejde-820	177	20	∥v∥ω(0,t	∥v∥ω(0,t	PROPN
ejde-820	177	21	)	)	PUNCT
ejde-820	178	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	178	2	∥|x|−τ	∥|x|−τ	PROPN
ejde-820	178	3	(	(	PUNCT
ejde-820	178	4	|un|p	|un|p	X
ejde-820	178	5	−	−	PROPN
ejde-820	178	6	|u|p	|u|p	PROPN
ejde-820	178	7	)	)	PUNCT
ejde-820	178	8	∥ω′(0,t	∥ω′(0,t	NOUN
ejde-820	178	9	)	)	PUNCT
ejde-820	178	10	∥v∥ω(0,t	∥v∥ω(0,t	PROPN
ejde-820	178	11	)	)	PUNCT
ejde-820	179	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	179	2	(	(	PUNCT
ejde-820	179	3	tα1	tα1	NOUN
ejde-820	179	4	+	+	CCONJ
ejde-820	179	5	tα2	tα2	NOUN
ejde-820	179	6	)	)	PUNCT
ejde-820	179	7	(	(	PUNCT
ejde-820	179	8	∥un∥p−1	∥un∥p−1	PROPN
ejde-820	179	9	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	179	10	)	)	PUNCT
ejde-820	179	11	+	+	CCONJ
ejde-820	179	12	∥u∥p−1	∥u∥p−1	NUM
ejde-820	179	13	ω(0,t	ω(0,t	NOUN
ejde-820	179	14	)	)	PUNCT
ejde-820	179	15	)	)	PUNCT
ejde-820	179	16	∥un	∥un	PROPN
ejde-820	179	17	−	−	PROPN
ejde-820	179	18	u∥ω(0,t	u∥ω(0,t	ADJ
ejde-820	179	19	)	)	PUNCT
ejde-820	179	20	∥v∥ω(0,t	∥v∥ω(0,t	PROPN
ejde-820	179	21	)	)	PUNCT
ejde-820	180	1	→	→	SYM
ejde-820	180	2	0	0	X
ejde-820	180	3	.	.	PUNCT
ejde-820	181	1	(	(	PUNCT
ejde-820	181	2	3.13	3.13	NUM
ejde-820	181	3	)	)	PUNCT
ejde-820	182	1	so	so	ADV
ejde-820	182	2	,	,	PUNCT
ejde-820	182	3	by	by	ADP
ejde-820	182	4	(	(	PUNCT
ejde-820	182	5	3.11	3.11	NUM
ejde-820	182	6	)	)	PUNCT
ejde-820	182	7	,	,	PUNCT
ejde-820	182	8	(	(	PUNCT
ejde-820	182	9	3.12	3.12	NUM
ejde-820	182	10	)	)	PUNCT
ejde-820	182	11	and	and	CCONJ
ejde-820	182	12	(	(	PUNCT
ejde-820	182	13	3.13	3.13	NUM
ejde-820	182	14	)	)	PUNCT
ejde-820	182	15	,	,	PUNCT
ejde-820	182	16	we	we	PRON
ejde-820	182	17	obtain	obtain	VERB
ejde-820	182	18	−i	−i	PROPN
ejde-820	182	19	∫	∫	PROPN
ejde-820	182	20	t	t	PROPN
ejde-820	182	21	0	0	NUM
ejde-820	183	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	183	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	183	3	w∂tv	w∂tv	PROPN
ejde-820	183	4	dx	dx	PROPN
ejde-820	184	1	dt	dt	NOUN
ejde-820	185	1	=	=	PUNCT
ejde-820	185	2	−	−	PROPN
ejde-820	185	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	185	4	t	t	PROPN
ejde-820	185	5	0	0	NUM
ejde-820	185	6	∫	∫	PROPN
ejde-820	185	7	rn	rn	PROPN
ejde-820	185	8	w∆2v	w∆2v	PROPN
ejde-820	185	9	dx	dx	PROPN
ejde-820	186	1	dt+λ	dt+λ	NUM
ejde-820	186	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	186	3	t	t	PROPN
ejde-820	186	4	0	0	NUM
ejde-820	186	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	186	6	rn	rn	PROPN
ejde-820	186	7	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	187	1	|u|pv	|u|pv	NOUN
ejde-820	187	2	dx	dx	VERB
ejde-820	187	3	dt	dt	X
ejde-820	187	4	.	.	PUNCT
ejde-820	188	1	(	(	PUNCT
ejde-820	188	2	3.14	3.14	NUM
ejde-820	188	3	)	)	PUNCT
ejde-820	188	4	then	then	ADV
ejde-820	188	5	by	by	ADP
ejde-820	188	6	(	(	PUNCT
ejde-820	188	7	3.2	3.2	NUM
ejde-820	188	8	)	)	PUNCT
ejde-820	188	9	and	and	CCONJ
ejde-820	188	10	(	(	PUNCT
ejde-820	188	11	3.14	3.14	NUM
ejde-820	188	12	)	)	PUNCT
ejde-820	188	13	the	the	DET
ejde-820	188	14	proof	proof	NOUN
ejde-820	188	15	is	be	AUX
ejde-820	188	16	complete	complete	ADJ
ejde-820	188	17	.	.	PUNCT
ejde-820	189	1	3.2	3.2	NUM
ejde-820	189	2	.	.	PUNCT
ejde-820	189	3	vanishing	vanish	VERB
ejde-820	189	4	solutions	solution	NOUN
ejde-820	189	5	.	.	PUNCT
ejde-820	190	1	this	this	PRON
ejde-820	190	2	sub	sub	ADJ
ejde-820	190	3	-	-	ADJ
ejde-820	190	4	section	section	NOUN
ejde-820	190	5	proves	prove	VERB
ejde-820	190	6	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	190	7	2.8	2.8	NUM
ejde-820	190	8	.	.	PUNCT
ejde-820	191	1	let	let	VERB
ejde-820	191	2	us	we	PRON
ejde-820	191	3	define	define	VERB
ejde-820	191	4	some	some	DET
ejde-820	191	5	smooth	smooth	ADJ
ejde-820	191	6	functions	function	NOUN
ejde-820	191	7	:	:	PUNCT
ejde-820	191	8	η	η	PROPN
ejde-820	191	9	∈	∈	PROPN
ejde-820	191	10	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	191	11	0	0	PUNCT
ejde-820	192	1	(	(	PUNCT
ejde-820	192	2	[	[	X
ejde-820	192	3	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-820	192	4	)	)	PUNCT
ejde-820	192	5	)	)	PUNCT
ejde-820	192	6	,	,	PUNCT
ejde-820	192	7	0	0	NUM
ejde-820	192	8	≤	≤	NUM
ejde-820	192	9	η	η	PROPN
ejde-820	192	10	≤	≤	PROPN
ejde-820	192	11	1	1	NUM
ejde-820	192	12	,	,	PUNCT
ejde-820	192	13	η	η	PROPN
ejde-820	192	14	:	:	PUNCT
ejde-820	192	15	≡	≡	PROPN
ejde-820	192	16	{	{	PUNCT
ejde-820	192	17	1	1	NUM
ejde-820	192	18	,	,	PUNCT
ejde-820	192	19	on	on	ADP
ejde-820	192	20	[	[	X
ejde-820	192	21	0	0	NUM
ejde-820	192	22	,	,	PUNCT
ejde-820	192	23	12	12	NUM
ejde-820	192	24	]	]	PUNCT
ejde-820	192	25	;	;	PUNCT
ejde-820	192	26	0	0	NUM
ejde-820	192	27	,	,	PUNCT
ejde-820	192	28	on	on	ADP
ejde-820	192	29	[	[	X
ejde-820	192	30	1,∞	1,∞	NUM
ejde-820	192	31	)	)	PUNCT
ejde-820	192	32	.	.	PUNCT
ejde-820	193	1	(	(	PUNCT
ejde-820	193	2	3.15	3.15	NUM
ejde-820	193	3	)	)	PUNCT
ejde-820	193	4	also	also	ADV
ejde-820	193	5	we	we	PRON
ejde-820	193	6	define	define	VERB
ejde-820	193	7	ϕ	ϕ	PRON
ejde-820	193	8	∈	∈	PROPN
ejde-820	193	9	c∞	c∞	PROPN
ejde-820	193	10	0	0	PUNCT
ejde-820	194	1	(	(	PUNCT
ejde-820	194	2	[	[	X
ejde-820	194	3	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-820	194	4	)	)	PUNCT
ejde-820	194	5	)	)	PUNCT
ejde-820	195	1	such	such	ADJ
ejde-820	195	2	that	that	SCONJ
ejde-820	195	3	0	0	NUM
ejde-820	195	4	≤	≤	NUM
ejde-820	195	5	ϕ	ϕ	X
ejde-820	195	6	≤	≤	NUM
ejde-820	195	7	1	1	NUM
ejde-820	195	8	,	,	PUNCT
ejde-820	195	9	sup	sup	NOUN
ejde-820	195	10	{	{	PUNCT
ejde-820	195	11	x∈b(1	x∈b(1	NUM
ejde-820	195	12	)	)	PUNCT
ejde-820	195	13	}	}	PUNCT
ejde-820	195	14	|∇ϕ(x)|2	|∇ϕ(x)|2	PRON
ejde-820	195	15	ϕ(x	ϕ(x	X
ejde-820	195	16	)	)	PUNCT
ejde-820	195	17	≲	≲	PROPN
ejde-820	195	18	1	1	NUM
ejde-820	195	19	,	,	PUNCT
ejde-820	195	20	ϕ	ϕ	NOUN
ejde-820	195	21	:	:	PUNCT
ejde-820	195	22	≡	≡	PROPN
ejde-820	195	23	{	{	PUNCT
ejde-820	195	24	1	1	NUM
ejde-820	195	25	,	,	PUNCT
ejde-820	195	26	on	on	ADP
ejde-820	195	27	b	b	PROPN
ejde-820	195	28	(	(	PUNCT
ejde-820	195	29	12	12	NUM
ejde-820	195	30	)	)	PUNCT
ejde-820	195	31	;	;	PUNCT
ejde-820	195	32	0	0	NUM
ejde-820	195	33	,	,	PUNCT
ejde-820	195	34	on	on	ADP
ejde-820	195	35	bc(1	bc(1	NOUN
ejde-820	195	36	)	)	PUNCT
ejde-820	195	37	.	.	PUNCT
ejde-820	196	1	(	(	PUNCT
ejde-820	196	2	3.16	3.16	NUM
ejde-820	196	3	)	)	PUNCT
ejde-820	196	4	for	for	ADP
ejde-820	196	5	r	r	NOUN
ejde-820	196	6	>	>	X
ejde-820	196	7	0	0	NUM
ejde-820	196	8	,	,	PUNCT
ejde-820	196	9	we	we	PRON
ejde-820	196	10	define	define	VERB
ejde-820	196	11	the	the	DET
ejde-820	196	12	cut	cut	VERB
ejde-820	196	13	-	-	PUNCT
ejde-820	196	14	off	off	ADP
ejde-820	196	15	functions	function	NOUN
ejde-820	196	16	ηr	ηr	NOUN
ejde-820	196	17	:	:	PUNCT
ejde-820	196	18	≡	≡	PROPN
ejde-820	196	19	η	η	PROPN
ejde-820	196	20	(	(	PUNCT
ejde-820	196	21	·	·	PUNCT
ejde-820	196	22	r4	r4	NOUN
ejde-820	196	23	)	)	PUNCT
ejde-820	196	24	,	,	PUNCT
ejde-820	196	25	ϕr	ϕr	X
ejde-820	196	26	:	:	PUNCT
ejde-820	196	27	≡	≡	PROPN
ejde-820	196	28	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-820	196	29	(	(	PUNCT
ejde-820	196	30	·	·	PUNCT
ejde-820	196	31	r	r	NOUN
ejde-820	196	32	)	)	PUNCT
ejde-820	196	33	,	,	PUNCT
ejde-820	196	34	ψr	ψr	ADP
ejde-820	196	35	:	:	PUNCT
ejde-820	196	36	≡	≡	PROPN
ejde-820	196	37	ηrϕr	ηrϕr	PROPN
ejde-820	196	38	.	.	PUNCT
ejde-820	197	1	(	(	PUNCT
ejde-820	197	2	3.17	3.17	NUM
ejde-820	197	3	)	)	PUNCT
ejde-820	197	4	assume	assume	VERB
ejde-820	197	5	that	that	SCONJ
ejde-820	197	6	ℜ(u0	ℜ(u0	NOUN
ejde-820	197	7	)	)	PUNCT
ejde-820	197	8	=	=	SYM
ejde-820	197	9	0	0	NUM
ejde-820	197	10	,	,	PUNCT
ejde-820	197	11	u0	u0	PROPN
ejde-820	197	12	∈	∈	PROPN
ejde-820	197	13	l1	l1	PROPN
ejde-820	197	14	and	and	CCONJ
ejde-820	197	15	ℜ(λ	ℜ(λ	NUM
ejde-820	197	16	)	)	PUNCT
ejde-820	197	17	∫	∫	PROPN
ejde-820	197	18	rn	rn	PROPN
ejde-820	197	19	ℑ(u0	ℑ(u0	PROPN
ejde-820	197	20	)	)	PUNCT
ejde-820	197	21	dx	dx	PROPN
ejde-820	197	22	<	<	X
ejde-820	197	23	0	0	NUM
ejde-820	197	24	.	.	PUNCT
ejde-820	198	1	(	(	PUNCT
ejde-820	198	2	3.18	3.18	NUM
ejde-820	198	3	)	)	PUNCT
ejde-820	198	4	without	without	ADP
ejde-820	198	5	loss	loss	NOUN
ejde-820	198	6	of	of	ADP
ejde-820	198	7	generality	generality	NOUN
ejde-820	198	8	,	,	PUNCT
ejde-820	198	9	we	we	PRON
ejde-820	198	10	assume	assume	VERB
ejde-820	198	11	that	that	SCONJ
ejde-820	198	12	ℜ(λ	ℜ(λ	PRON
ejde-820	198	13	)	)	PUNCT
ejde-820	198	14	>	>	X
ejde-820	198	15	0	0	PUNCT
ejde-820	199	1	and	and	CCONJ
ejde-820	199	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	199	3	rn	rn	PROPN
ejde-820	199	4	ℑ(u0	ℑ(u0	PROPN
ejde-820	199	5	)	)	PUNCT
ejde-820	199	6	dx	dx	PROPN
ejde-820	199	7	<	<	X
ejde-820	199	8	0	0	NUM
ejde-820	199	9	.	.	PUNCT
ejde-820	200	1	(	(	PUNCT
ejde-820	200	2	3.19	3.19	NUM
ejde-820	200	3	)	)	PUNCT
ejde-820	200	4	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	200	5	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	200	6	equations	equation	NOUN
ejde-820	200	7	without	without	ADP
ejde-820	200	8	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	200	9	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	200	10	7	7	NUM
ejde-820	200	11	for	for	ADP
ejde-820	200	12	q	q	ADJ
ejde-820	200	13	>	>	X
ejde-820	200	14	max{1	max{1	NOUN
ejde-820	200	15	,	,	PUNCT
ejde-820	200	16	3−	3−	NUM
ejde-820	200	17	3	3	NUM
ejde-820	200	18	p	p	NOUN
ejde-820	200	19	}	}	PUNCT
ejde-820	200	20	,	,	PUNCT
ejde-820	200	21	let	let	VERB
ejde-820	200	22	us	we	PRON
ejde-820	200	23	denote	denote	VERB
ejde-820	200	24	jr	jr	PROPN
ejde-820	200	25	:	:	PUNCT
ejde-820	200	26	=	=	SYM
ejde-820	200	27	jr(p	jr(p	NOUN
ejde-820	200	28	,	,	PUNCT
ejde-820	200	29	q	q	NOUN
ejde-820	200	30	)	)	PUNCT
ejde-820	200	31	:	:	PUNCT
ejde-820	200	32	=	=	SYM
ejde-820	200	33	ℜ	ℜ	PROPN
ejde-820	200	34	(	(	PUNCT
ejde-820	200	35	λ	λ	NOUN
ejde-820	200	36	∫	∫	PROPN
ejde-820	200	37	r4	r4	PROPN
ejde-820	200	38	0	0	NUM
ejde-820	200	39	∫	∫	PROPN
ejde-820	200	40	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	200	41	)	)	PUNCT
ejde-820	200	42	|x|−τ	|x|−τ	PUNCT
ejde-820	201	1	|u|pψq	|u|pψq	PUNCT
ejde-820	201	2	r	r	NOUN
ejde-820	201	3	dx	dx	PROPN
ejde-820	201	4	dt	dt	NOUN
ejde-820	201	5	)	)	PUNCT
ejde-820	201	6	.	.	PUNCT
ejde-820	202	1	(	(	PUNCT
ejde-820	202	2	3.20	3.20	NUM
ejde-820	202	3	)	)	PUNCT
ejde-820	202	4	since	since	SCONJ
ejde-820	202	5	u	u	NOUN
ejde-820	202	6	is	be	AUX
ejde-820	202	7	a	a	DET
ejde-820	202	8	global	global	ADJ
ejde-820	202	9	weak	weak	ADJ
ejde-820	202	10	solution	solution	NOUN
ejde-820	202	11	to	to	ADP
ejde-820	202	12	(	(	PUNCT
ejde-820	202	13	1.1	1.1	NUM
ejde-820	202	14	)	)	PUNCT
ejde-820	202	15	,	,	PUNCT
ejde-820	202	16	by	by	ADP
ejde-820	202	17	(	(	PUNCT
ejde-820	202	18	2.5	2.5	NUM
ejde-820	202	19	)	)	PUNCT
ejde-820	202	20	,	,	PUNCT
ejde-820	202	21	we	we	PRON
ejde-820	202	22	have	have	VERB
ejde-820	202	23	∫	∫	PROPN
ejde-820	202	24	r4	r4	PROPN
ejde-820	202	25	0	0	NUM
ejde-820	202	26	∫	∫	PROPN
ejde-820	202	27	rn	rn	PROPN
ejde-820	202	28	u	u	PROPN
ejde-820	202	29	(	(	PUNCT
ejde-820	202	30	−	−	PROPN
ejde-820	202	31	i∂t(ψ	i∂t(ψ	NOUN
ejde-820	202	32	q	q	X
ejde-820	202	33	r	r	NOUN
ejde-820	202	34	)	)	PUNCT
ejde-820	203	1	+	+	NOUN
ejde-820	203	2	∆2(ψq	∆2(ψq	NOUN
ejde-820	203	3	r	r	NOUN
ejde-820	203	4	)	)	PUNCT
ejde-820	203	5	)	)	PUNCT
ejde-820	204	1	dx	dx	PROPN
ejde-820	205	1	dt	dt	NOUN
ejde-820	206	1	=	=	PUNCT
ejde-820	207	1	i	i	PRON
ejde-820	207	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	207	3	rn	rn	PROPN
ejde-820	207	4	u0ψ	u0ψ	PROPN
ejde-820	207	5	q	q	PROPN
ejde-820	207	6	r(0	r(0	PROPN
ejde-820	207	7	,	,	PUNCT
ejde-820	207	8	·	·	PUNCT
ejde-820	207	9	)	)	PUNCT
ejde-820	207	10	dx+	dx+	NOUN
ejde-820	208	1	λ	λ	PROPN
ejde-820	208	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	208	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	208	4	0	0	NUM
ejde-820	208	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	208	6	rn	rn	PROPN
ejde-820	208	7	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	208	8	|u|pψq	|u|pψq	ADP
ejde-820	208	9	r	r	NOUN
ejde-820	208	10	dx	dx	PROPN
ejde-820	208	11	dt	dt	X
ejde-820	208	12	.	.	PUNCT
ejde-820	209	1	(	(	PUNCT
ejde-820	209	2	3.21	3.21	NUM
ejde-820	209	3	)	)	PUNCT
ejde-820	209	4	so	so	ADV
ejde-820	209	5	,	,	PUNCT
ejde-820	209	6	(	(	PUNCT
ejde-820	209	7	3.21	3.21	NUM
ejde-820	209	8	)	)	PUNCT
ejde-820	209	9	via	via	ADP
ejde-820	209	10	(	(	PUNCT
ejde-820	209	11	3.17	3.17	NUM
ejde-820	209	12	)	)	PUNCT
ejde-820	209	13	,	,	PUNCT
ejde-820	209	14	gives	give	VERB
ejde-820	209	15	jr	jr	PROPN
ejde-820	209	16	=	=	SYM
ejde-820	209	17	ℑ	ℑ	PROPN
ejde-820	209	18	(	(	PUNCT
ejde-820	209	19	∫	∫	PROPN
ejde-820	209	20	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	209	21	)	)	PUNCT
ejde-820	210	1	u0ψ	u0ψ	PRON
ejde-820	210	2	q	q	PUNCT
ejde-820	210	3	r(0	r(0	PROPN
ejde-820	210	4	,	,	PUNCT
ejde-820	210	5	·	·	PUNCT
ejde-820	210	6	)	)	PUNCT
ejde-820	210	7	dx	dx	PROPN
ejde-820	210	8	)	)	PUNCT
ejde-820	211	1	+	+	CCONJ
ejde-820	211	2	ℑ	ℑ	PROPN
ejde-820	211	3	(	(	PUNCT
ejde-820	211	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	211	5	r4	r4	PROPN
ejde-820	211	6	0	0	NUM
ejde-820	211	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	211	8	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	211	9	)	)	PUNCT
ejde-820	211	10	u∂t(ψ	u∂t(ψ	NOUN
ejde-820	211	11	q	q	PART
ejde-820	211	12	r	r	NOUN
ejde-820	211	13	)	)	PUNCT
ejde-820	211	14	dx	dx	PROPN
ejde-820	211	15	dt	dt	NOUN
ejde-820	211	16	)	)	PUNCT
ejde-820	212	1	+	+	PUNCT
ejde-820	212	2	ℜ	ℜ	ADJ
ejde-820	212	3	(	(	PUNCT
ejde-820	212	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	212	5	r4	r4	PROPN
ejde-820	212	6	0	0	NUM
ejde-820	212	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	212	8	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	212	9	)	)	PUNCT
ejde-820	212	10	u∆2(ψq	u∆2(ψq	NOUN
ejde-820	213	1	r	r	X
ejde-820	213	2	)	)	PUNCT
ejde-820	213	3	dx	dx	PROPN
ejde-820	213	4	dt	dt	NOUN
ejde-820	213	5	)	)	PUNCT
ejde-820	214	1	=	=	SYM
ejde-820	214	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	214	3	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	214	4	)	)	PUNCT
ejde-820	214	5	ℑu0ψq	ℑu0ψq	NUM
ejde-820	214	6	r(0	r(0	PROPN
ejde-820	214	7	,	,	PUNCT
ejde-820	214	8	·	·	PUNCT
ejde-820	214	9	)	)	PUNCT
ejde-820	215	1	dx+	dx+	NOUN
ejde-820	215	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	215	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	215	4	0	0	NUM
ejde-820	215	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	215	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	215	7	)	)	PUNCT
ejde-820	215	8	ℑu∂t(ψq	ℑu∂t(ψq	NOUN
ejde-820	215	9	r	r	NOUN
ejde-820	215	10	)	)	PUNCT
ejde-820	215	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	215	12	dt	dt	PROPN
ejde-820	216	1	+	+	CCONJ
ejde-820	216	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	216	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	216	4	0	0	NUM
ejde-820	216	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	216	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	216	7	)	)	PUNCT
ejde-820	216	8	ℜu∆2(ψq	ℜu∆2(ψq	NOUN
ejde-820	216	9	r	r	NOUN
ejde-820	216	10	)	)	PUNCT
ejde-820	216	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	217	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	217	2	.	.	PUNCT
ejde-820	218	1	(	(	PUNCT
ejde-820	218	2	3.22	3.22	NUM
ejde-820	218	3	)	)	PUNCT
ejde-820	218	4	now	now	ADV
ejde-820	218	5	,	,	PUNCT
ejde-820	218	6	by	by	ADP
ejde-820	218	7	(	(	PUNCT
ejde-820	218	8	3.19	3.19	NUM
ejde-820	218	9	)	)	PUNCT
ejde-820	218	10	,	,	PUNCT
ejde-820	218	11	for	for	ADP
ejde-820	218	12	r	r	NOUN
ejde-820	218	13	>	>	X
ejde-820	218	14	>	>	X
ejde-820	218	15	1	1	NUM
ejde-820	218	16	,	,	PUNCT
ejde-820	218	17	we	we	PRON
ejde-820	218	18	have	have	VERB
ejde-820	218	19	jr	jr	PROPN
ejde-820	218	20	<	<	X
ejde-820	218	21	∫	∫	PROPN
ejde-820	218	22	r4	r4	PROPN
ejde-820	218	23	0	0	NUM
ejde-820	218	24	∫	∫	PROPN
ejde-820	218	25	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	219	1	)	)	PUNCT
ejde-820	219	2	ℑu∂t(ψq	ℑu∂t(ψq	NOUN
ejde-820	219	3	r	r	NOUN
ejde-820	219	4	)	)	PUNCT
ejde-820	219	5	dx	dx	PROPN
ejde-820	219	6	dt+	dt+	NOUN
ejde-820	219	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	219	8	r4	r4	PROPN
ejde-820	219	9	0	0	NUM
ejde-820	219	10	∫	∫	PROPN
ejde-820	219	11	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	219	12	)	)	PUNCT
ejde-820	219	13	ℜu∆2(ψq	ℜu∆2(ψq	NOUN
ejde-820	219	14	r	r	NOUN
ejde-820	219	15	)	)	PUNCT
ejde-820	219	16	dx	dx	PROPN
ejde-820	219	17	dt	dt	PROPN
ejde-820	220	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	220	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	220	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	220	4	0	0	NUM
ejde-820	220	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	220	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	220	7	)	)	PUNCT
ejde-820	221	1	|u|ψq−1	|u|ψq−1	NOUN
ejde-820	221	2	r	r	NOUN
ejde-820	221	3	|∂tψr|	|∂tψr|	PROPN
ejde-820	221	4	dx	dx	PROPN
ejde-820	221	5	dt+	dt+	NOUN
ejde-820	221	6	∫	∫	PROPN
ejde-820	221	7	r4	r4	PROPN
ejde-820	221	8	0	0	NUM
ejde-820	221	9	∫	∫	PROPN
ejde-820	221	10	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	221	11	)	)	PUNCT
ejde-820	221	12	|u||∆2(ψq	|u||∆2(ψq	PROPN
ejde-820	221	13	r)|	r)|	PROPN
ejde-820	221	14	dx	dx	PROPN
ejde-820	221	15	dt	dt	X
ejde-820	221	16	:	:	PUNCT
ejde-820	222	1	=	=	SYM
ejde-820	222	2	j1	j1	PROPN
ejde-820	222	3	r	r	PROPN
ejde-820	222	4	+	+	CCONJ
ejde-820	222	5	j2	j2	PROPN
ejde-820	222	6	r.	r.	PROPN
ejde-820	222	7	(	(	PUNCT
ejde-820	222	8	3.23	3.23	NUM
ejde-820	222	9	)	)	PUNCT
ejde-820	222	10	using	use	VERB
ejde-820	222	11	(	(	PUNCT
ejde-820	222	12	3.15	3.15	NUM
ejde-820	222	13	)	)	PUNCT
ejde-820	222	14	and	and	CCONJ
ejde-820	222	15	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	222	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	222	17	,	,	PUNCT
ejde-820	222	18	because	because	SCONJ
ejde-820	222	19	q	q	PROPN
ejde-820	222	20	≥	≥	PROPN
ejde-820	222	21	p′	p′	NOUN
ejde-820	222	22	,	,	PUNCT
ejde-820	222	23	we	we	PRON
ejde-820	222	24	write	write	VERB
ejde-820	222	25	j1	j1	PROPN
ejde-820	222	26	r	r	NOUN
ejde-820	222	27	≲	≲	PROPN
ejde-820	222	28	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	222	29	∫	∫	PROPN
ejde-820	222	30	r4	r4	PROPN
ejde-820	222	31	r4	r4	PROPN
ejde-820	222	32	2	2	NUM
ejde-820	222	33	∫	∫	NOUN
ejde-820	222	34	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	222	35	)	)	PUNCT
ejde-820	222	36	|u|ψq−1	|u|ψq−1	PROPN
ejde-820	222	37	r	r	NOUN
ejde-820	222	38	dx	dx	PROPN
ejde-820	222	39	dt	dt	NOUN
ejde-820	222	40	≲	≲	PROPN
ejde-820	222	41	r	r	PROPN
ejde-820	222	42	τ	τ	PUNCT
ejde-820	222	43	p−4	p−4	ADJ
ejde-820	222	44	∫	∫	PROPN
ejde-820	222	45	r4	r4	PROPN
ejde-820	222	46	r4	r4	PROPN
ejde-820	222	47	2	2	NUM
ejde-820	222	48	∫	∫	NOUN
ejde-820	222	49	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	222	50	)	)	PUNCT
ejde-820	222	51	|x|−τ	|x|−τ	ADJ
ejde-820	222	52	/	/	SYM
ejde-820	222	53	p|u|ψ	p|u|ψ	PROPN
ejde-820	222	54	q	q	PROPN
ejde-820	222	55	p	p	X
ejde-820	222	56	r	r	NOUN
ejde-820	222	57	dx	dx	NOUN
ejde-820	222	58	dt	dt	NOUN
ejde-820	223	1	≲	≲	PROPN
ejde-820	223	2	r	r	NOUN
ejde-820	223	3	τ	τ	PUNCT
ejde-820	223	4	p−4	p−4	NOUN
ejde-820	223	5	(	(	PUNCT
ejde-820	223	6	∫	∫	PROPN
ejde-820	223	7	r4	r4	PROPN
ejde-820	223	8	r4	r4	PROPN
ejde-820	223	9	2	2	NUM
ejde-820	223	10	∫	∫	NOUN
ejde-820	223	11	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	223	12	)	)	PUNCT
ejde-820	223	13	|x|−τ	|x|−τ	PUNCT
ejde-820	224	1	|u|pψq	|u|pψq	PUNCT
ejde-820	224	2	r	r	NOUN
ejde-820	224	3	dx	dx	PROPN
ejde-820	224	4	dt	dt	NOUN
ejde-820	224	5	)	)	PUNCT
ejde-820	224	6	1	1	NUM
ejde-820	224	7	/	/	SYM
ejde-820	224	8	p∣∣[r4	p∣∣[r4	NOUN
ejde-820	224	9	2	2	NUM
ejde-820	224	10	,	,	PUNCT
ejde-820	224	11	r4]×b(r	r4]×b(r	NOUN
ejde-820	224	12	)	)	PUNCT
ejde-820	224	13	∣∣1−	∣∣1−	VERB
ejde-820	224	14	1	1	NUM
ejde-820	224	15	p	p	X
ejde-820	224	16	≲	≲	PROPN
ejde-820	224	17	r(4+n)(1−	r(4+n)(1−	PUNCT
ejde-820	224	18	1	1	NUM
ejde-820	224	19	p	p	NOUN
ejde-820	224	20	)	)	PUNCT
ejde-820	225	1	+	+	CCONJ
ejde-820	225	2	τ	τ	PROPN
ejde-820	225	3	p−4	p−4	NOUN
ejde-820	225	4	(	(	PUNCT
ejde-820	225	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	225	6	r4	r4	PROPN
ejde-820	225	7	r4	r4	PROPN
ejde-820	225	8	2	2	NUM
ejde-820	225	9	∫	∫	NOUN
ejde-820	225	10	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	225	11	)	)	PUNCT
ejde-820	225	12	|x|−τ	|x|−τ	PUNCT
ejde-820	226	1	|u|pψq	|u|pψq	PUNCT
ejde-820	226	2	r	r	NOUN
ejde-820	226	3	dx	dx	PROPN
ejde-820	226	4	dt	dt	NOUN
ejde-820	226	5	)	)	PUNCT
ejde-820	226	6	1	1	X
ejde-820	226	7	/	/	SYM
ejde-820	226	8	p	p	NOUN
ejde-820	226	9	.	.	PUNCT
ejde-820	227	1	(	(	PUNCT
ejde-820	227	2	3.24	3.24	NUM
ejde-820	227	3	)	)	PUNCT
ejde-820	227	4	8	8	NUM
ejde-820	227	5	t.	t.	NOUN
ejde-820	227	6	saanouni	saanouni	NOUN
ejde-820	227	7	ejde-2024/49	ejde-2024/49	VERB
ejde-820	227	8	furthermore	furthermore	ADV
ejde-820	227	9	,	,	PUNCT
ejde-820	227	10	with	with	ADP
ejde-820	227	11	(	(	PUNCT
ejde-820	227	12	3.16	3.16	NUM
ejde-820	227	13	)	)	PUNCT
ejde-820	227	14	and	and	CCONJ
ejde-820	227	15	(	(	PUNCT
ejde-820	227	16	3.17	3.17	NUM
ejde-820	227	17	)	)	PUNCT
ejde-820	227	18	,	,	PUNCT
ejde-820	227	19	we	we	PRON
ejde-820	227	20	obtain	obtain	VERB
ejde-820	227	21	j2	j2	PROPN
ejde-820	227	22	r	r	PROPN
ejde-820	227	23	=	=	PUNCT
ejde-820	227	24	∫	∫	PROPN
ejde-820	227	25	r4	r4	PROPN
ejde-820	227	26	0	0	NUM
ejde-820	227	27	∫	∫	PROPN
ejde-820	227	28	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	227	29	)	)	PUNCT
ejde-820	227	30	|u||∆2(ψq	|u||∆2(ψq	PROPN
ejde-820	227	31	r)|	r)|	PROPN
ejde-820	227	32	dx	dx	PROPN
ejde-820	227	33	dt	dt	PROPN
ejde-820	227	34	≲	≲	PROPN
ejde-820	227	35	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	227	36	∫	∫	PROPN
ejde-820	227	37	r4	r4	PROPN
ejde-820	227	38	0	0	NUM
ejde-820	227	39	|ηr|q	|ηr|q	PROPN
ejde-820	227	40	∫	∫	PROPN
ejde-820	227	41	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	227	42	)	)	PUNCT
ejde-820	227	43	|u|	|u|	PROPN
ejde-820	227	44	(	(	PUNCT
ejde-820	227	45	ϕq−1	ϕq−1	NOUN
ejde-820	227	46	r	r	NOUN
ejde-820	227	47	|(∆2ϕ	|(∆2ϕ	NOUN
ejde-820	227	48	)	)	PUNCT
ejde-820	227	49	(	(	PUNCT
ejde-820	227	50	x	x	SYM
ejde-820	227	51	r	r	NOUN
ejde-820	227	52	)	)	PUNCT
ejde-820	227	53	|+	|+	NOUN
ejde-820	228	1	ϕq−2	ϕq−2	PROPN
ejde-820	228	2	r	r	NOUN
ejde-820	228	3	|∇ϕ	|∇ϕ	NOUN
ejde-820	228	4	(	(	PUNCT
ejde-820	228	5	x	x	SYM
ejde-820	228	6	r	r	NOUN
ejde-820	228	7	)	)	PUNCT
ejde-820	228	8	||∇(∆ϕ	||∇(∆ϕ	NUM
ejde-820	228	9	)	)	PUNCT
ejde-820	228	10	(	(	PUNCT
ejde-820	228	11	x	x	SYM
ejde-820	228	12	r	r	NOUN
ejde-820	228	13	)	)	PUNCT
ejde-820	229	1	|	|	ADV
ejde-820	230	1	+	+	CCONJ
ejde-820	230	2	ϕq−2	ϕq−2	PROPN
ejde-820	230	3	r	r	PROPN
ejde-820	230	4	|(∆ϕ	|(∆ϕ	PROPN
ejde-820	230	5	)	)	PUNCT
ejde-820	230	6	(	(	PUNCT
ejde-820	230	7	x	x	SYM
ejde-820	230	8	r	r	NOUN
ejde-820	230	9	)	)	PUNCT
ejde-820	230	10	|2	|2	NOUN
ejde-820	231	1	+	+	CCONJ
ejde-820	231	2	ϕq−3	ϕq−3	ADJ
ejde-820	231	3	r	r	NOUN
ejde-820	231	4	|(∆ϕ	|(∆ϕ	NOUN
ejde-820	231	5	)	)	PUNCT
ejde-820	231	6	(	(	PUNCT
ejde-820	231	7	x	x	SYM
ejde-820	231	8	r	r	NOUN
ejde-820	231	9	)	)	PUNCT
ejde-820	231	10	||∇ϕ	||∇ϕ	PROPN
ejde-820	231	11	(	(	PUNCT
ejde-820	231	12	x	x	SYM
ejde-820	231	13	r	r	NOUN
ejde-820	231	14	)	)	PUNCT
ejde-820	231	15	|2	|2	NOUN
ejde-820	232	1	+	+	CCONJ
ejde-820	232	2	ϕq−4	ϕq−4	ADJ
ejde-820	232	3	r	r	NOUN
ejde-820	232	4	|∇ϕ	|∇ϕ	NOUN
ejde-820	232	5	(	(	PUNCT
ejde-820	232	6	x	x	SYM
ejde-820	232	7	r	r	NOUN
ejde-820	232	8	)	)	PUNCT
ejde-820	232	9	|4	|4	NUM
ejde-820	232	10	)	)	PUNCT
ejde-820	232	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	233	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	233	2	≲	≲	PROPN
ejde-820	233	3	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	233	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	233	5	r4	r4	PROPN
ejde-820	233	6	0	0	NUM
ejde-820	233	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	233	8	c(r	c(r	PROPN
ejde-820	233	9	2	2	NUM
ejde-820	233	10	,	,	PUNCT
ejde-820	233	11	r	r	NOUN
ejde-820	233	12	)	)	PUNCT
ejde-820	233	13	|u|ψq−3	|u|ψq−3	PROPN
ejde-820	233	14	r	r	NOUN
ejde-820	233	15	dx	dx	PROPN
ejde-820	233	16	dt	dt	X
ejde-820	233	17	.	.	PUNCT
ejde-820	234	1	(	(	PUNCT
ejde-820	234	2	3.25	3.25	NUM
ejde-820	234	3	)	)	PUNCT
ejde-820	234	4	since	since	SCONJ
ejde-820	234	5	qp′	qp′	ADV
ejde-820	234	6	≥	≥	NOUN
ejde-820	234	7	3	3	NUM
ejde-820	234	8	,	,	PUNCT
ejde-820	234	9	by	by	ADP
ejde-820	234	10	(	(	PUNCT
ejde-820	234	11	3.25	3.25	NUM
ejde-820	234	12	)	)	PUNCT
ejde-820	234	13	via	via	ADP
ejde-820	234	14	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	234	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	234	16	and	and	CCONJ
ejde-820	234	17	arguing	argue	VERB
ejde-820	234	18	as	as	ADP
ejde-820	234	19	in	in	ADP
ejde-820	234	20	(	(	PUNCT
ejde-820	234	21	3.24	3.24	NUM
ejde-820	234	22	)	)	PUNCT
ejde-820	234	23	,	,	PUNCT
ejde-820	234	24	it	it	PRON
ejde-820	234	25	follows	follow	VERB
ejde-820	234	26	that	that	SCONJ
ejde-820	234	27	j2	j2	PROPN
ejde-820	234	28	r	r	PROPN
ejde-820	234	29	≲	≲	PROPN
ejde-820	234	30	r(4+n)(1−	r(4+n)(1−	X
ejde-820	234	31	1	1	NUM
ejde-820	234	32	p	p	NOUN
ejde-820	234	33	)	)	PUNCT
ejde-820	235	1	+	+	CCONJ
ejde-820	235	2	τ	τ	PROPN
ejde-820	235	3	p−4	p−4	NOUN
ejde-820	235	4	(	(	PUNCT
ejde-820	235	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	235	6	r4	r4	PROPN
ejde-820	235	7	0	0	NUM
ejde-820	235	8	∫	∫	PROPN
ejde-820	235	9	c(r	c(r	PROPN
ejde-820	235	10	2	2	NUM
ejde-820	235	11	,	,	PUNCT
ejde-820	235	12	r	r	NOUN
ejde-820	235	13	)	)	PUNCT
ejde-820	235	14	|x|−τ	|x|−τ	NOUN
ejde-820	236	1	|u|pψq	|u|pψq	ADP
ejde-820	236	2	r	r	NOUN
ejde-820	236	3	dx	dx	PROPN
ejde-820	236	4	dt	dt	NOUN
ejde-820	236	5	)	)	PUNCT
ejde-820	236	6	1	1	X
ejde-820	236	7	/	/	SYM
ejde-820	236	8	p	p	NOUN
ejde-820	236	9	.	.	PUNCT
ejde-820	237	1	(	(	PUNCT
ejde-820	237	2	3.26	3.26	NUM
ejde-820	237	3	)	)	PUNCT
ejde-820	237	4	now	now	ADV
ejde-820	237	5	,	,	PUNCT
ejde-820	237	6	by	by	ADP
ejde-820	237	7	(	(	PUNCT
ejde-820	237	8	3.23	3.23	NUM
ejde-820	237	9	)	)	PUNCT
ejde-820	237	10	,	,	PUNCT
ejde-820	237	11	(	(	PUNCT
ejde-820	237	12	3.24	3.24	NUM
ejde-820	237	13	)	)	PUNCT
ejde-820	237	14	and	and	CCONJ
ejde-820	237	15	(	(	PUNCT
ejde-820	237	16	3.26	3.26	NUM
ejde-820	237	17	)	)	PUNCT
ejde-820	237	18	,	,	PUNCT
ejde-820	237	19	we	we	PRON
ejde-820	237	20	obtain	obtain	VERB
ejde-820	237	21	jr	jr	PROPN
ejde-820	237	22	≲	≲	PROPN
ejde-820	237	23	r(4+n)(1−	r(4+n)(1−	X
ejde-820	237	24	1	1	NUM
ejde-820	237	25	p	p	NOUN
ejde-820	237	26	)	)	PUNCT
ejde-820	237	27	+	+	CCONJ
ejde-820	237	28	τ	τ	X
ejde-820	237	29	p−4j	p−4j	NOUN
ejde-820	237	30	1	1	NUM
ejde-820	237	31	/	/	SYM
ejde-820	237	32	p	p	NOUN
ejde-820	237	33	r	r	NOUN
ejde-820	237	34	.	.	PUNCT
ejde-820	238	1	(	(	PUNCT
ejde-820	238	2	3.27	3.27	NUM
ejde-820	238	3	)	)	PUNCT
ejde-820	238	4	since	since	SCONJ
ejde-820	238	5	(	(	PUNCT
ejde-820	238	6	4	4	NUM
ejde-820	238	7	+	+	NOUN
ejde-820	238	8	n)(1−	n)(1−	ADJ
ejde-820	238	9	1	1	NUM
ejde-820	238	10	p	p	NOUN
ejde-820	238	11	)	)	PUNCT
ejde-820	239	1	+	+	CCONJ
ejde-820	239	2	τ	τ	PROPN
ejde-820	239	3	p	p	NOUN
ejde-820	239	4	−	−	PROPN
ejde-820	239	5	4	4	NUM
ejde-820	239	6	≤	≤	NOUN
ejde-820	239	7	0	0	NUM
ejde-820	240	1	because	because	SCONJ
ejde-820	240	2	p	p	NOUN
ejde-820	240	3	≤	≤	NOUN
ejde-820	240	4	1	1	NUM
ejde-820	240	5	+	+	CCONJ
ejde-820	240	6	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	240	7	n	n	NOUN
ejde-820	240	8	,	,	PUNCT
ejde-820	240	9	then	then	ADV
ejde-820	240	10	(	(	PUNCT
ejde-820	240	11	3.27	3.27	NUM
ejde-820	240	12	)	)	PUNCT
ejde-820	240	13	implies	imply	VERB
ejde-820	240	14	that	that	SCONJ
ejde-820	240	15	1	1	NUM
ejde-820	240	16	≳	≳	NOUN
ejde-820	240	17	lim	lim	PROPN
ejde-820	240	18	r→∞	r→∞	PUNCT
ejde-820	240	19	jr	jr	PROPN
ejde-820	240	20	=	=	SYM
ejde-820	240	21	ℜ	ℜ	PROPN
ejde-820	240	22	(	(	PUNCT
ejde-820	240	23	λ	λ	X
ejde-820	240	24	∫	∫	PROPN
ejde-820	240	25	∞	∞	NUM
ejde-820	240	26	0	0	NUM
ejde-820	241	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	241	2	rn	rn	PROPN
ejde-820	241	3	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	241	4	|u|p	|u|p	NOUN
ejde-820	241	5	dx	dx	X
ejde-820	241	6	dt	dt	X
ejde-820	241	7	)	)	PUNCT
ejde-820	241	8	.	.	PUNCT
ejde-820	242	1	(	(	PUNCT
ejde-820	242	2	3.28	3.28	NUM
ejde-820	242	3	)	)	PUNCT
ejde-820	242	4	thus	thus	ADV
ejde-820	242	5	,	,	PUNCT
ejde-820	242	6	|x|−τ	|x|−τ	ADJ
ejde-820	242	7	/	/	SYM
ejde-820	242	8	pu	pu	PROPN
ejde-820	242	9	∈	∈	PROPN
ejde-820	242	10	lp([0,∞)×	lp([0,∞)×	PROPN
ejde-820	242	11	rn	rn	PROPN
ejde-820	242	12	)	)	PUNCT
ejde-820	242	13	and	and	CCONJ
ejde-820	242	14	so	so	ADV
ejde-820	242	15	lim	lim	PROPN
ejde-820	242	16	r→∞	r→∞	PRON
ejde-820	242	17	j1	j1	PROPN
ejde-820	242	18	r	r	PROPN
ejde-820	242	19	=	=	SYM
ejde-820	242	20	lim	lim	PROPN
ejde-820	242	21	r→∞	r→∞	PROPN
ejde-820	242	22	j2	j2	PROPN
ejde-820	242	23	r	r	NOUN
ejde-820	242	24	=	=	PROPN
ejde-820	242	25	0	0	PROPN
ejde-820	242	26	.	.	PUNCT
ejde-820	243	1	(	(	PUNCT
ejde-820	243	2	3.29	3.29	NUM
ejde-820	243	3	)	)	PUNCT
ejde-820	243	4	so	so	ADV
ejde-820	243	5	,	,	PUNCT
ejde-820	243	6	(	(	PUNCT
ejde-820	243	7	3.23	3.23	NUM
ejde-820	243	8	)	)	PUNCT
ejde-820	243	9	via	via	ADP
ejde-820	243	10	(	(	PUNCT
ejde-820	243	11	3.29	3.29	NUM
ejde-820	243	12	)	)	PUNCT
ejde-820	243	13	gives	give	VERB
ejde-820	243	14	lim	lim	PROPN
ejde-820	243	15	r→∞	r→∞	PROPN
ejde-820	243	16	jr	jr	PROPN
ejde-820	244	1	=	=	PROPN
ejde-820	244	2	0	0	PROPN
ejde-820	244	3	.	.	PUNCT
ejde-820	245	1	(	(	PUNCT
ejde-820	245	2	3.30	3.30	NUM
ejde-820	245	3	)	)	PUNCT
ejde-820	245	4	finally	finally	ADV
ejde-820	245	5	,	,	PUNCT
ejde-820	245	6	(	(	PUNCT
ejde-820	245	7	3.30	3.30	NUM
ejde-820	245	8	)	)	PUNCT
ejde-820	245	9	implies	imply	VERB
ejde-820	245	10	that	that	SCONJ
ejde-820	245	11	u	u	NOUN
ejde-820	245	12	=	=	NOUN
ejde-820	245	13	0	0	NUM
ejde-820	245	14	and	and	CCONJ
ejde-820	245	15	the	the	DET
ejde-820	245	16	proof	proof	NOUN
ejde-820	245	17	is	be	AUX
ejde-820	245	18	complete	complete	ADJ
ejde-820	245	19	.	.	PUNCT
ejde-820	246	1	4	4	X
ejde-820	246	2	.	.	X
ejde-820	246	3	no	no	DET
ejde-820	246	4	global	global	ADJ
ejde-820	246	5	energy	energy	NOUN
ejde-820	246	6	solutions	solution	NOUN
ejde-820	246	7	this	this	DET
ejde-820	246	8	section	section	NOUN
ejde-820	246	9	proves	prove	VERB
ejde-820	246	10	theorem	theorem	VERB
ejde-820	246	11	2.6	2.6	NUM
ejde-820	246	12	.	.	PUNCT
ejde-820	247	1	the	the	DET
ejde-820	247	2	proof	proof	NOUN
ejde-820	247	3	is	be	AUX
ejde-820	247	4	reduced	reduce	VERB
ejde-820	247	5	to	to	ADP
ejde-820	247	6	the	the	DET
ejde-820	247	7	next	next	ADJ
ejde-820	247	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-820	247	9	via	via	ADP
ejde-820	247	10	proposition	proposition	NOUN
ejde-820	247	11	2.7	2.7	NUM
ejde-820	247	12	.	.	PUNCT
ejde-820	248	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-820	248	2	4.1	4.1	NUM
ejde-820	248	3	.	.	PUNCT
ejde-820	249	1	let	let	VERB
ejde-820	249	2	p	p	PRON
ejde-820	249	3	>	>	X
ejde-820	249	4	1	1	NUM
ejde-820	249	5	,	,	PUNCT
ejde-820	249	6	ν	ν	X
ejde-820	249	7	>	>	X
ejde-820	249	8	0	0	NUM
ejde-820	249	9	,	,	PUNCT
ejde-820	249	10	0	0	NUM
ejde-820	249	11	<	<	X
ejde-820	249	12	τ	τ	X
ejde-820	249	13	<	<	X
ejde-820	249	14	min{4	min{4	PROPN
ejde-820	249	15	,	,	PUNCT
ejde-820	249	16	n	n	CCONJ
ejde-820	249	17	}	}	PUNCT
ejde-820	249	18	and	and	CCONJ
ejde-820	249	19	an	an	DET
ejde-820	249	20	integer	integer	NOUN
ejde-820	249	21	n	n	PRON
ejde-820	249	22	≥	≥	NOUN
ejde-820	249	23	1	1	NUM
ejde-820	249	24	+	+	CCONJ
ejde-820	249	25	3p′.	3p′.	NUM
ejde-820	249	26	take	take	VERB
ejde-820	249	27	u0	u0	PROPN
ejde-820	249	28	∈	∈	PROPN
ejde-820	249	29	l1	l1	PROPN
ejde-820	249	30	loc(rn	loc(rn	ADP
ejde-820	249	31	)	)	PUNCT
ejde-820	249	32	such	such	ADJ
ejde-820	249	33	that	that	DET
ejde-820	249	34	ℜ(u0	ℜ(u0	NOUN
ejde-820	249	35	)	)	PUNCT
ejde-820	249	36	=	=	SYM
ejde-820	249	37	0	0	NUM
ejde-820	250	1	and	and	CCONJ
ejde-820	250	2	u	u	PRON
ejde-820	250	3	be	be	VERB
ejde-820	250	4	a	a	DET
ejde-820	250	5	weak	weak	ADJ
ejde-820	250	6	solution	solution	NOUN
ejde-820	250	7	to	to	ADP
ejde-820	250	8	(	(	PUNCT
ejde-820	250	9	1.1	1.1	NUM
ejde-820	250	10	)	)	PUNCT
ejde-820	250	11	on	on	ADP
ejde-820	250	12	[	[	X
ejde-820	250	13	0	0	NUM
ejde-820	250	14	,	,	PUNCT
ejde-820	250	15	t+	t+	ADP
ejde-820	250	16	ν	ν	NOUN
ejde-820	250	17	)	)	PUNCT
ejde-820	250	18	.	.	PUNCT
ejde-820	251	1	then	then	ADV
ejde-820	251	2	,	,	PUNCT
ejde-820	251	3	there	there	PRON
ejde-820	251	4	is	be	VERB
ejde-820	251	5	c	c	NOUN
ejde-820	251	6	>	>	X
ejde-820	251	7	0	0	NUM
ejde-820	251	8	such	such	ADJ
ejde-820	251	9	that	that	PRON
ejde-820	251	10	for	for	ADP
ejde-820	251	11	any	any	DET
ejde-820	251	12	0	0	PUNCT
ejde-820	251	13	<	<	X
ejde-820	251	14	r	r	X
ejde-820	251	15	<	<	X
ejde-820	251	16	(	(	PUNCT
ejde-820	251	17	t+	t+	NOUN
ejde-820	251	18	ν	ν	NOUN
ejde-820	251	19	)	)	PUNCT
ejde-820	251	20	1/4	1/4	NUM
ejde-820	251	21	,	,	PUNCT
ejde-820	251	22	iν	iν	PROPN
ejde-820	251	23	∫	∫	PROPN
ejde-820	251	24	rn	rn	PROPN
ejde-820	251	25	u0ϕ	u0ϕ	PROPN
ejde-820	251	26	n	n	PROPN
ejde-820	251	27	r	r	PROPN
ejde-820	251	28	dx	dx	PROPN
ejde-820	251	29	≤	≤	PROPN
ejde-820	251	30	crn−	crn−	PROPN
ejde-820	251	31	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	252	1	p−1	p−1	PROPN
ejde-820	252	2	.	.	PUNCT
ejde-820	253	1	(	(	PUNCT
ejde-820	253	2	4.1	4.1	NUM
ejde-820	253	3	)	)	PUNCT
ejde-820	253	4	moreover	moreover	ADV
ejde-820	253	5	,	,	PUNCT
ejde-820	253	6	if	if	SCONJ
ejde-820	253	7	for	for	ADP
ejde-820	253	8	some	some	DET
ejde-820	253	9	0	0	NUM
ejde-820	253	10	<	<	X
ejde-820	253	11	b	b	X
ejde-820	253	12	<	<	X
ejde-820	253	13	min{n	min{n	NOUN
ejde-820	253	14	,	,	PUNCT
ejde-820	253	15	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	253	16	p−1	p−1	PROPN
ejde-820	253	17	}	}	PUNCT
ejde-820	253	18	,	,	PUNCT
ejde-820	253	19	it	it	PRON
ejde-820	253	20	holds	hold	VERB
ejde-820	253	21	ℑ(u0	ℑ(u0	PROPN
ejde-820	253	22	)	)	PUNCT
ejde-820	253	23	≤	≤	NUM
ejde-820	253	24	−|x|−bχb(1	−|x|−bχb(1	NOUN
ejde-820	253	25	)	)	PUNCT
ejde-820	253	26	,	,	PUNCT
ejde-820	253	27	(	(	PUNCT
ejde-820	253	28	4.2	4.2	NUM
ejde-820	253	29	)	)	PUNCT
ejde-820	253	30	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	253	31	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	253	32	equations	equation	NOUN
ejde-820	253	33	without	without	ADP
ejde-820	253	34	gauge	gauge	NOUN
ejde-820	253	35	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	253	36	9	9	NUM
ejde-820	253	37	then	then	ADV
ejde-820	253	38	,	,	PUNCT
ejde-820	253	39	for	for	ADP
ejde-820	253	40	any	any	PRON
ejde-820	253	41	0	0	PUNCT
ejde-820	253	42	<	<	X
ejde-820	253	43	r	r	X
ejde-820	253	44	<	<	X
ejde-820	253	45	(	(	PUNCT
ejde-820	253	46	t+	t+	NOUN
ejde-820	253	47	ν	ν	NOUN
ejde-820	253	48	)	)	PUNCT
ejde-820	253	49	1/4	1/4	NUM
ejde-820	253	50	,	,	PUNCT
ejde-820	253	51	ν	ν	PROPN
ejde-820	253	52	≤	≤	PROPN
ejde-820	253	53	c	c	PROPN
ejde-820	253	54	r−	r−	PROPN
ejde-820	253	55	(	(	PUNCT
ejde-820	253	56	4−τ	4−τ	X
ejde-820	253	57	p−1−b	p−1−b	NOUN
ejde-820	253	58	)	)	PUNCT
ejde-820	253	59	∫	∫	PROPN
ejde-820	254	1	b	b	X
ejde-820	254	2	(	(	PUNCT
ejde-820	254	3	1	1	NUM
ejde-820	254	4	r	r	NOUN
ejde-820	254	5	)	)	PUNCT
ejde-820	254	6	|x|−bϕn	|x|−bϕn	PROPN
ejde-820	254	7	dx	dx	PROPN
ejde-820	254	8	.	.	PUNCT
ejde-820	255	1	(	(	PUNCT
ejde-820	255	2	4.3	4.3	NUM
ejde-820	255	3	)	)	PUNCT
ejde-820	255	4	furthermore	furthermore	ADV
ejde-820	255	5	,	,	PUNCT
ejde-820	255	6	there	there	PRON
ejde-820	255	7	is	be	VERB
ejde-820	255	8	a	a	DET
ejde-820	255	9	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	255	10	>	>	X
ejde-820	255	11	0	0	NUM
ejde-820	256	1	such	such	ADJ
ejde-820	256	2	that	that	SCONJ
ejde-820	256	3	t+	t+	NOUN
ejde-820	256	4	ν	ν	PROPN
ejde-820	256	5	≤	≤	X
ejde-820	256	6	cn	cn	PROPN
ejde-820	256	7	,	,	PUNCT
ejde-820	256	8	p	p	X
ejde-820	256	9	,	,	PUNCT
ejde-820	256	10	τ	τ	PROPN
ejde-820	256	11	,	,	PUNCT
ejde-820	256	12	bν	bν	PROPN
ejde-820	256	13	−	−	PROPN
ejde-820	256	14	4	4	NUM
ejde-820	256	15	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	257	1	p−1	p−1	NOUN
ejde-820	257	2	−b	−b	ADV
ejde-820	257	3	,	,	PUNCT
ejde-820	257	4	∀ν	∀ν	PROPN
ejde-820	257	5	>	>	X
ejde-820	257	6	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	257	7	.	.	PUNCT
ejde-820	258	1	(	(	PUNCT
ejde-820	258	2	4.4	4.4	NUM
ejde-820	258	3	)	)	PUNCT
ejde-820	258	4	proof	proof	NOUN
ejde-820	258	5	.	.	PUNCT
ejde-820	259	1	for	for	ADP
ejde-820	259	2	some	some	DET
ejde-820	259	3	integer	integer	NOUN
ejde-820	259	4	number	number	NOUN
ejde-820	259	5	n	n	NUM
ejde-820	259	6	≥	≥	NOUN
ejde-820	259	7	1	1	NUM
ejde-820	259	8	+	+	SYM
ejde-820	259	9	3p′	3p′	NUM
ejde-820	259	10	,	,	PUNCT
ejde-820	259	11	let	let	VERB
ejde-820	259	12	us	we	PRON
ejde-820	259	13	define	define	VERB
ejde-820	259	14	in	in	ADP
ejde-820	259	15	:	:	PUNCT
ejde-820	259	16	=	=	SYM
ejde-820	259	17	in(r	in(r	PRON
ejde-820	259	18	)	)	PUNCT
ejde-820	259	19	:	:	PUNCT
ejde-820	260	1	=	=	SYM
ejde-820	260	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	260	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	260	4	0	0	NUM
ejde-820	260	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	260	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	260	7	)	)	PUNCT
ejde-820	260	8	|x|−τ	|x|−τ	PRON
ejde-820	260	9	|u|pψn	|u|pψn	PUNCT
ejde-820	260	10	r	r	NOUN
ejde-820	260	11	dx	dx	NOUN
ejde-820	260	12	dt	dt	PROPN
ejde-820	260	13	,	,	PUNCT
ejde-820	260	14	(	(	PUNCT
ejde-820	260	15	4.5	4.5	NUM
ejde-820	260	16	)	)	PUNCT
ejde-820	260	17	jn	jn	PROPN
ejde-820	260	18	:	:	PUNCT
ejde-820	260	19	=	=	NOUN
ejde-820	260	20	jn(r	jn(r	X
ejde-820	260	21	)	)	PUNCT
ejde-820	260	22	:	:	PUNCT
ejde-820	261	1	=	=	SYM
ejde-820	261	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	261	3	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	261	4	)	)	PUNCT
ejde-820	261	5	u0ϕ	u0ϕ	NOUN
ejde-820	261	6	n	n	ADP
ejde-820	261	7	r	r	NOUN
ejde-820	261	8	dx	dx	PROPN
ejde-820	261	9	.	.	PUNCT
ejde-820	262	1	(	(	PUNCT
ejde-820	262	2	4.6	4.6	X
ejde-820	262	3	)	)	PUNCT
ejde-820	262	4	taking	take	VERB
ejde-820	262	5	account	account	NOUN
ejde-820	262	6	of	of	ADP
ejde-820	262	7	(	(	PUNCT
ejde-820	262	8	2.5	2.5	NUM
ejde-820	262	9	)	)	PUNCT
ejde-820	262	10	,	,	PUNCT
ejde-820	262	11	we	we	PRON
ejde-820	262	12	write	write	VERB
ejde-820	262	13	ℜ	ℜ	PROPN
ejde-820	262	14	(	(	PUNCT
ejde-820	262	15	iνjn	iνjn	NOUN
ejde-820	262	16	+	+	CCONJ
ejde-820	262	17	in	in	ADP
ejde-820	262	18	)	)	PUNCT
ejde-820	262	19	=	=	SYM
ejde-820	262	20	ℜ	ℜ	PROPN
ejde-820	262	21	(	(	PUNCT
ejde-820	262	22	−	−	PROPN
ejde-820	263	1	i	i	PRON
ejde-820	263	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	263	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	263	4	0	0	NUM
ejde-820	263	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	263	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	263	7	)	)	PUNCT
ejde-820	263	8	u∂t	u∂t	PUNCT
ejde-820	264	1	(	(	PUNCT
ejde-820	264	2	ψn	ψn	INTJ
ejde-820	264	3	r	r	NOUN
ejde-820	264	4	)	)	PUNCT
ejde-820	264	5	dx	dx	PROPN
ejde-820	264	6	dt+	dt+	NOUN
ejde-820	264	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	265	1	r4	r4	PROPN
ejde-820	265	2	0	0	NUM
ejde-820	265	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	265	4	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	265	5	)	)	PUNCT
ejde-820	266	1	u∆2	u∆2	PROPN
ejde-820	266	2	(	(	PUNCT
ejde-820	266	3	ψn	ψn	INTJ
ejde-820	266	4	r	r	NOUN
ejde-820	266	5	)	)	PUNCT
ejde-820	266	6	dx	dx	PROPN
ejde-820	266	7	dt	dt	NOUN
ejde-820	266	8	)	)	PUNCT
ejde-820	267	1	=	=	SYM
ejde-820	267	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	267	3	r4	r4	PROPN
ejde-820	267	4	0	0	NUM
ejde-820	267	5	∫	∫	PROPN
ejde-820	267	6	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	267	7	)	)	PUNCT
ejde-820	267	8	ℑu∂t	ℑu∂t	PROPN
ejde-820	267	9	(	(	PUNCT
ejde-820	267	10	ψn	ψn	ADP
ejde-820	267	11	r	r	NOUN
ejde-820	267	12	)	)	PUNCT
ejde-820	267	13	dx	dx	PROPN
ejde-820	267	14	dt+	dt+	NOUN
ejde-820	267	15	∫	∫	PROPN
ejde-820	268	1	r4	r4	PROPN
ejde-820	268	2	0	0	NUM
ejde-820	268	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	268	4	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	268	5	)	)	PUNCT
ejde-820	269	1	ℜu∆2	ℜu∆2	PUNCT
ejde-820	269	2	(	(	PUNCT
ejde-820	269	3	ψn	ψn	INTJ
ejde-820	269	4	r	r	NOUN
ejde-820	269	5	)	)	PUNCT
ejde-820	269	6	dx	dx	PROPN
ejde-820	270	1	dt	dt	X
ejde-820	270	2	:	:	PUNCT
ejde-820	270	3	=	=	SYM
ejde-820	270	4	(	(	PUNCT
ejde-820	270	5	a	a	X
ejde-820	270	6	)	)	PUNCT
ejde-820	270	7	+	+	CCONJ
ejde-820	270	8	(	(	PUNCT
ejde-820	270	9	b	b	NOUN
ejde-820	270	10	)	)	PUNCT
ejde-820	270	11	.	.	PUNCT
ejde-820	271	1	(	(	PUNCT
ejde-820	271	2	4.7	4.7	NUM
ejde-820	271	3	)	)	PUNCT
ejde-820	271	4	by	by	ADP
ejde-820	271	5	(	(	PUNCT
ejde-820	271	6	3.17	3.17	NUM
ejde-820	271	7	)	)	PUNCT
ejde-820	271	8	and	and	CCONJ
ejde-820	271	9	n	n	PRON
ejde-820	271	10	≥	≥	NOUN
ejde-820	271	11	p′	p′	NOUN
ejde-820	271	12	,	,	PUNCT
ejde-820	271	13	we	we	PRON
ejde-820	271	14	have	have	VERB
ejde-820	271	15	(	(	PUNCT
ejde-820	271	16	a	a	X
ejde-820	271	17	)	)	PUNCT
ejde-820	271	18	≲	≲	PROPN
ejde-820	271	19	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	272	1	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	2	r4	r4	PROPN
ejde-820	272	3	0	0	NUM
ejde-820	272	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	5	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	272	6	)	)	PUNCT
ejde-820	272	7	|u|ψn−1	|u|ψn−1	PROPN
ejde-820	272	8	r	r	NOUN
ejde-820	272	9	dx	dx	PROPN
ejde-820	272	10	dt	dt	NOUN
ejde-820	272	11	≲	≲	PROPN
ejde-820	272	12	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	272	13	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	14	r4	r4	PROPN
ejde-820	272	15	0	0	NUM
ejde-820	272	16	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	17	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	272	18	)	)	PUNCT
ejde-820	272	19	|u|ψn	|u|ψn	ADV
ejde-820	272	20	/	/	SYM
ejde-820	272	21	p	p	NOUN
ejde-820	272	22	r	r	NOUN
ejde-820	272	23	dx	dx	NOUN
ejde-820	272	24	dt	dt	NOUN
ejde-820	272	25	≲	≲	PROPN
ejde-820	272	26	r	r	PROPN
ejde-820	272	27	τ	τ	PUNCT
ejde-820	272	28	p−4	p−4	ADJ
ejde-820	272	29	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	30	r4	r4	PROPN
ejde-820	272	31	0	0	NUM
ejde-820	272	32	∫	∫	PROPN
ejde-820	272	33	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	272	34	)	)	PUNCT
ejde-820	272	35	|x|−τ	|x|−τ	PROPN
ejde-820	272	36	/	/	SYM
ejde-820	272	37	p|u|ψn	p|u|ψn	NOUN
ejde-820	272	38	/	/	SYM
ejde-820	272	39	p	p	NOUN
ejde-820	272	40	r	r	NOUN
ejde-820	272	41	dx	dx	PROPN
ejde-820	272	42	dt	dt	X
ejde-820	272	43	.	.	PUNCT
ejde-820	273	1	(	(	PUNCT
ejde-820	273	2	4.8	4.8	NUM
ejde-820	273	3	)	)	PUNCT
ejde-820	273	4	so	so	ADV
ejde-820	273	5	,	,	PUNCT
ejde-820	273	6	with	with	ADP
ejde-820	273	7	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	273	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	273	9	via	via	ADP
ejde-820	273	10	(	(	PUNCT
ejde-820	273	11	4.8	4.8	NUM
ejde-820	273	12	)	)	PUNCT
ejde-820	273	13	,	,	PUNCT
ejde-820	273	14	we	we	PRON
ejde-820	273	15	write	write	VERB
ejde-820	273	16	(	(	PUNCT
ejde-820	273	17	a	a	X
ejde-820	273	18	)	)	PUNCT
ejde-820	273	19	≲	≲	PROPN
ejde-820	273	20	r	r	NOUN
ejde-820	273	21	τ	τ	X
ejde-820	273	22	p−4i1	p−4i1	PART
ejde-820	273	23	/	/	SYM
ejde-820	273	24	pn	pn	NOUN
ejde-820	273	25	|[0	|[0	PROPN
ejde-820	273	26	,	,	PUNCT
ejde-820	273	27	r4]×b(r)|1−	r4]×b(r)|1−	NOUN
ejde-820	273	28	1	1	NUM
ejde-820	273	29	p	p	ADP
ejde-820	273	30	≲	≲	PROPN
ejde-820	273	31	r(4+n)(1−	r(4+n)(1−	PUNCT
ejde-820	273	32	1	1	NUM
ejde-820	273	33	p	p	NOUN
ejde-820	273	34	)	)	PUNCT
ejde-820	274	1	+	+	CCONJ
ejde-820	274	2	τ	τ	X
ejde-820	274	3	p−4i1	p−4i1	PROPN
ejde-820	274	4	/	/	SYM
ejde-820	274	5	pn	pn	NOUN
ejde-820	274	6	.	.	PUNCT
ejde-820	275	1	(	(	PUNCT
ejde-820	275	2	4.9	4.9	NUM
ejde-820	275	3	)	)	PUNCT
ejde-820	275	4	by	by	ADP
ejde-820	275	5	(	(	PUNCT
ejde-820	275	6	3.15	3.15	NUM
ejde-820	275	7	)	)	PUNCT
ejde-820	275	8	,	,	PUNCT
ejde-820	275	9	(	(	PUNCT
ejde-820	275	10	3.16	3.16	NUM
ejde-820	275	11	)	)	PUNCT
ejde-820	275	12	and	and	CCONJ
ejde-820	275	13	(	(	PUNCT
ejde-820	275	14	3.17	3.17	NUM
ejde-820	275	15	)	)	PUNCT
ejde-820	275	16	,	,	PUNCT
ejde-820	275	17	we	we	PRON
ejde-820	275	18	have	have	VERB
ejde-820	275	19	(	(	PUNCT
ejde-820	275	20	b	b	NOUN
ejde-820	275	21	)	)	PUNCT
ejde-820	275	22	≤	≤	NUM
ejde-820	275	23	∫	∫	PROPN
ejde-820	276	1	r4	r4	PROPN
ejde-820	276	2	0	0	NUM
ejde-820	276	3	∫	∫	PROPN
ejde-820	276	4	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	276	5	)	)	PUNCT
ejde-820	276	6	|u||∆2(ψn	|u||∆2(ψn	PROPN
ejde-820	276	7	r)|	r)|	PROPN
ejde-820	276	8	dx	dx	PROPN
ejde-820	276	9	dt	dt	PROPN
ejde-820	276	10	≲	≲	PROPN
ejde-820	276	11	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	276	12	∫	∫	PROPN
ejde-820	276	13	r4	r4	PROPN
ejde-820	276	14	0	0	NUM
ejde-820	276	15	|ηr|n	|ηr|n	ADJ
ejde-820	276	16	∫	∫	PROPN
ejde-820	276	17	b(r	b(r	PROPN
ejde-820	276	18	)	)	PUNCT
ejde-820	276	19	|u|	|u|	PROPN
ejde-820	276	20	(	(	PUNCT
ejde-820	276	21	ϕn−1	ϕn−1	ADJ
ejde-820	276	22	r	r	NOUN
ejde-820	276	23	|(∆2ϕ	|(∆2ϕ	NOUN
ejde-820	276	24	)	)	PUNCT
ejde-820	276	25	(	(	PUNCT
ejde-820	276	26	x	x	SYM
ejde-820	276	27	r	r	NOUN
ejde-820	276	28	)	)	PUNCT
ejde-820	276	29	|+	|+	NOUN
ejde-820	277	1	ϕn−2	ϕn−2	PROPN
ejde-820	277	2	r	r	NOUN
ejde-820	277	3	|∇ϕ	|∇ϕ	NOUN
ejde-820	277	4	(	(	PUNCT
ejde-820	277	5	x	x	SYM
ejde-820	277	6	r	r	NOUN
ejde-820	277	7	)	)	PUNCT
ejde-820	277	8	||∇(∆ϕ	||∇(∆ϕ	NUM
ejde-820	277	9	)	)	PUNCT
ejde-820	277	10	(	(	PUNCT
ejde-820	277	11	x	x	SYM
ejde-820	277	12	r	r	NOUN
ejde-820	277	13	)	)	PUNCT
ejde-820	278	1	|	|	ADV
ejde-820	279	1	+	+	CCONJ
ejde-820	279	2	ϕn−2	ϕn−2	PROPN
ejde-820	279	3	r	r	NOUN
ejde-820	279	4	|(∆ϕ	|(∆ϕ	PROPN
ejde-820	279	5	)	)	PUNCT
ejde-820	279	6	(	(	PUNCT
ejde-820	279	7	x	x	SYM
ejde-820	279	8	r	r	NOUN
ejde-820	279	9	)	)	PUNCT
ejde-820	279	10	|2	|2	NOUN
ejde-820	280	1	+	+	CCONJ
ejde-820	280	2	ϕn−3	ϕn−3	PROPN
ejde-820	280	3	r	r	NOUN
ejde-820	280	4	|(∆ϕ	|(∆ϕ	PROPN
ejde-820	280	5	)	)	PUNCT
ejde-820	280	6	(	(	PUNCT
ejde-820	280	7	x	x	SYM
ejde-820	280	8	r	r	NOUN
ejde-820	280	9	)	)	PUNCT
ejde-820	280	10	||∇ϕ	||∇ϕ	PROPN
ejde-820	280	11	(	(	PUNCT
ejde-820	280	12	x	x	SYM
ejde-820	280	13	r	r	NOUN
ejde-820	280	14	)	)	PUNCT
ejde-820	280	15	|2	|2	NOUN
ejde-820	281	1	+	+	CCONJ
ejde-820	281	2	ϕn−4	ϕn−4	NOUN
ejde-820	281	3	r	r	NOUN
ejde-820	281	4	|∇ϕ	|∇ϕ	NOUN
ejde-820	281	5	(	(	PUNCT
ejde-820	281	6	x	x	SYM
ejde-820	281	7	r	r	NOUN
ejde-820	281	8	)	)	PUNCT
ejde-820	281	9	|4	|4	NUM
ejde-820	281	10	)	)	PUNCT
ejde-820	281	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	282	1	dt	dt	PROPN
ejde-820	282	2	≲	≲	PROPN
ejde-820	282	3	r−4	r−4	PROPN
ejde-820	282	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	282	5	r4	r4	PROPN
ejde-820	282	6	0	0	NUM
ejde-820	282	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	282	8	c(r	c(r	PROPN
ejde-820	282	9	2	2	NUM
ejde-820	282	10	,	,	PUNCT
ejde-820	282	11	r	r	NOUN
ejde-820	282	12	)	)	PUNCT
ejde-820	282	13	|u|ψn−3	|u|ψn−3	PROPN
ejde-820	282	14	r	r	NOUN
ejde-820	282	15	dx	dx	PROPN
ejde-820	282	16	dt	dt	PROPN
ejde-820	282	17	.	.	PUNCT
ejde-820	283	1	(	(	PUNCT
ejde-820	283	2	4.10	4.10	NUM
ejde-820	283	3	)	)	PUNCT
ejde-820	283	4	10	10	NUM
ejde-820	283	5	t.	t.	NOUN
ejde-820	283	6	saanouni	saanouni	VERB
ejde-820	283	7	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	283	8	since	since	SCONJ
ejde-820	283	9	n	n	PROPN
ejde-820	283	10	≥	≥	NOUN
ejde-820	283	11	3p′	3p′	NUM
ejde-820	283	12	,	,	PUNCT
ejde-820	283	13	by	by	ADP
ejde-820	283	14	(	(	PUNCT
ejde-820	283	15	4.10	4.10	NUM
ejde-820	283	16	)	)	PUNCT
ejde-820	283	17	via	via	ADP
ejde-820	283	18	hölder	hölder	NOUN
ejde-820	283	19	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	283	20	and	and	CCONJ
ejde-820	283	21	arguing	argue	VERB
ejde-820	283	22	as	as	ADP
ejde-820	283	23	in	in	ADP
ejde-820	283	24	(	(	PUNCT
ejde-820	283	25	4.9	4.9	NUM
ejde-820	283	26	)	)	PUNCT
ejde-820	283	27	,	,	PUNCT
ejde-820	283	28	it	it	PRON
ejde-820	283	29	follows	follow	VERB
ejde-820	283	30	that	that	SCONJ
ejde-820	283	31	(	(	PUNCT
ejde-820	283	32	b	b	X
ejde-820	283	33	)	)	PUNCT
ejde-820	283	34	≲	≲	PROPN
ejde-820	283	35	r(4+n)(1−	r(4+n)(1−	X
ejde-820	283	36	1	1	NUM
ejde-820	283	37	p	p	NOUN
ejde-820	283	38	)	)	PUNCT
ejde-820	283	39	+	+	CCONJ
ejde-820	284	1	τ	τ	PROPN
ejde-820	284	2	p−4	p−4	NOUN
ejde-820	284	3	(	(	PUNCT
ejde-820	284	4	∫	∫	PROPN
ejde-820	284	5	r4	r4	PROPN
ejde-820	284	6	0	0	NUM
ejde-820	284	7	∫	∫	PROPN
ejde-820	284	8	c(r	c(r	PROPN
ejde-820	284	9	2	2	NUM
ejde-820	284	10	,	,	PUNCT
ejde-820	284	11	r	r	NOUN
ejde-820	284	12	)	)	PUNCT
ejde-820	284	13	|x|−τ	|x|−τ	NOUN
ejde-820	284	14	|u|pψn	|u|pψn	PUNCT
ejde-820	284	15	r	r	NOUN
ejde-820	284	16	dx	dx	PROPN
ejde-820	284	17	dt	dt	NOUN
ejde-820	284	18	)	)	PUNCT
ejde-820	284	19	1	1	X
ejde-820	284	20	/	/	SYM
ejde-820	284	21	p	p	NOUN
ejde-820	284	22	.	.	PUNCT
ejde-820	285	1	(	(	PUNCT
ejde-820	285	2	4.11	4.11	NUM
ejde-820	285	3	)	)	PUNCT
ejde-820	285	4	so	so	ADV
ejde-820	285	5	,	,	PUNCT
ejde-820	285	6	(	(	PUNCT
ejde-820	285	7	4.11	4.11	NUM
ejde-820	285	8	)	)	PUNCT
ejde-820	285	9	,	,	PUNCT
ejde-820	285	10	(	(	PUNCT
ejde-820	285	11	4.9	4.9	NUM
ejde-820	285	12	)	)	PUNCT
ejde-820	285	13	and	and	CCONJ
ejde-820	285	14	(	(	PUNCT
ejde-820	285	15	4.7	4.7	NUM
ejde-820	285	16	)	)	PUNCT
ejde-820	285	17	,	,	PUNCT
ejde-820	285	18	via	via	ADP
ejde-820	285	19	young	young	ADJ
ejde-820	285	20	inequality	inequality	NOUN
ejde-820	285	21	give	give	VERB
ejde-820	285	22	−νℑjn	−νℑjn	NOUN
ejde-820	285	23	=	=	SYM
ejde-820	285	24	ℜ	ℜ	PROPN
ejde-820	285	25	(	(	PUNCT
ejde-820	285	26	iνjn	iνjn	NOUN
ejde-820	285	27	)	)	PUNCT
ejde-820	285	28	≤	≤	NUM
ejde-820	285	29	cr(4+n)(1−	cr(4+n)(1−	PROPN
ejde-820	285	30	1	1	NUM
ejde-820	285	31	p	p	NOUN
ejde-820	285	32	)	)	PUNCT
ejde-820	286	1	+	+	CCONJ
ejde-820	286	2	τ	τ	X
ejde-820	286	3	p−4i1	p−4i1	PROPN
ejde-820	286	4	/	/	SYM
ejde-820	286	5	pn	pn	NOUN
ejde-820	286	6	−	−	NOUN
ejde-820	286	7	in	in	ADP
ejde-820	286	8	≤	≤	NUM
ejde-820	286	9	1	1	NUM
ejde-820	286	10	p′	p′	NOUN
ejde-820	286	11	(	(	PUNCT
ejde-820	286	12	cr(4+n)(1−	cr(4+n)(1−	PROPN
ejde-820	286	13	1	1	NUM
ejde-820	286	14	p	p	NOUN
ejde-820	286	15	)	)	PUNCT
ejde-820	286	16	+	+	CCONJ
ejde-820	286	17	τ	τ	PROPN
ejde-820	286	18	p−4p−	p−4p−	PROPN
ejde-820	286	19	1	1	NUM
ejde-820	286	20	p	p	NOUN
ejde-820	286	21	)	)	PUNCT
ejde-820	286	22	p	p	NOUN
ejde-820	286	23	′	′	NOUN
ejde-820	287	1	+	+	CCONJ
ejde-820	287	2	in	in	ADP
ejde-820	287	3	−	−	PROPN
ejde-820	287	4	in	in	ADP
ejde-820	287	5	≲	≲	PROPN
ejde-820	287	6	r4+n+	r4+n+	VERB
ejde-820	287	7	τ	τ	PROPN
ejde-820	287	8	p−1−4p′	p−1−4p′	NOUN
ejde-820	287	9	.	.	PUNCT
ejde-820	288	1	(	(	PUNCT
ejde-820	288	2	4.12	4.12	NUM
ejde-820	288	3	)	)	PUNCT
ejde-820	288	4	this	this	PRON
ejde-820	288	5	proves	prove	VERB
ejde-820	288	6	(	(	PUNCT
ejde-820	288	7	4.1	4.1	NUM
ejde-820	288	8	)	)	PUNCT
ejde-820	288	9	.	.	PUNCT
ejde-820	289	1	by	by	ADP
ejde-820	289	2	(	(	PUNCT
ejde-820	289	3	4.6	4.6	NUM
ejde-820	289	4	)	)	PUNCT
ejde-820	289	5	and	and	CCONJ
ejde-820	289	6	(	(	PUNCT
ejde-820	289	7	4.2	4.2	NUM
ejde-820	289	8	)	)	PUNCT
ejde-820	289	9	,	,	PUNCT
ejde-820	289	10	we	we	PRON
ejde-820	289	11	obtain	obtain	VERB
ejde-820	289	12	−ℑjn	−ℑjn	NOUN
ejde-820	289	13	=	=	PUNCT
ejde-820	290	1	−	−	PROPN
ejde-820	290	2	∫	∫	PROPN
ejde-820	290	3	rn	rn	PROPN
ejde-820	290	4	ℑu0ϕnr	ℑu0ϕnr	PROPN
ejde-820	290	5	dx	dx	PROPN
ejde-820	290	6	=	=	PUNCT
ejde-820	290	7	−rn	−rn	NUM
ejde-820	290	8	∫	∫	PROPN
ejde-820	290	9	rn	rn	PROPN
ejde-820	290	10	ℑu0(rx)ϕn	ℑu0(rx)ϕn	PROPN
ejde-820	290	11	dx	dx	PROPN
ejde-820	290	12	≥	≥	PROPN
ejde-820	290	13	rn−b	rn−b	PROPN
ejde-820	290	14	∫	∫	PROPN
ejde-820	290	15	b	b	PROPN
ejde-820	290	16	(	(	PUNCT
ejde-820	290	17	1	1	NUM
ejde-820	290	18	r	r	NOUN
ejde-820	290	19	)	)	PUNCT
ejde-820	290	20	|x|−bϕn	|x|−bϕn	PROPN
ejde-820	290	21	dx	dx	PROPN
ejde-820	290	22	.	.	PUNCT
ejde-820	291	1	(	(	PUNCT
ejde-820	291	2	4.13	4.13	NUM
ejde-820	291	3	)	)	PUNCT
ejde-820	291	4	thus	thus	ADV
ejde-820	291	5	,	,	PUNCT
ejde-820	291	6	(	(	PUNCT
ejde-820	291	7	4.1	4.1	NUM
ejde-820	291	8	)	)	PUNCT
ejde-820	291	9	and	and	CCONJ
ejde-820	291	10	(	(	PUNCT
ejde-820	291	11	4.13	4.13	X
ejde-820	291	12	)	)	PUNCT
ejde-820	291	13	give	give	VERB
ejde-820	291	14	νrn−b	νrn−b	PROPN
ejde-820	291	15	∫	∫	PROPN
ejde-820	291	16	b	b	SYM
ejde-820	291	17	(	(	PUNCT
ejde-820	291	18	1	1	NUM
ejde-820	291	19	r	r	NOUN
ejde-820	291	20	)	)	PUNCT
ejde-820	291	21	|x|−bϕn	|x|−bϕn	PROPN
ejde-820	291	22	dx	dx	PROPN
ejde-820	291	23	≲	≲	PROPN
ejde-820	291	24	−νℑjn	−νℑjn	X
ejde-820	291	25	=	=	PUNCT
ejde-820	291	26	iν	iν	PROPN
ejde-820	291	27	∫	∫	PROPN
ejde-820	291	28	rn	rn	PROPN
ejde-820	291	29	u0ϕ	u0ϕ	PROPN
ejde-820	291	30	n	n	PROPN
ejde-820	291	31	r	r	NOUN
ejde-820	291	32	dx	dx	PROPN
ejde-820	291	33	≤	≤	PUNCT
ejde-820	291	34	cr4+n+	cr4+n+	VERB
ejde-820	291	35	τ	τ	PROPN
ejde-820	291	36	p−1−4p′	p−1−4p′	NOUN
ejde-820	291	37	.	.	PUNCT
ejde-820	292	1	(	(	PUNCT
ejde-820	292	2	4.14	4.14	NUM
ejde-820	292	3	)	)	PUNCT
ejde-820	292	4	this	this	PRON
ejde-820	292	5	proves	prove	VERB
ejde-820	292	6	(	(	PUNCT
ejde-820	292	7	4.3	4.3	NUM
ejde-820	292	8	)	)	PUNCT
ejde-820	292	9	.	.	PUNCT
ejde-820	293	1	now	now	ADV
ejde-820	293	2	,	,	PUNCT
ejde-820	293	3	there	there	PRON
ejde-820	293	4	is	be	VERB
ejde-820	293	5	a	a	DET
ejde-820	293	6	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	293	7	>	>	X
ejde-820	293	8	0	0	NUM
ejde-820	294	1	such	such	ADJ
ejde-820	294	2	that	that	PRON
ejde-820	294	3	for	for	ADP
ejde-820	294	4	any	any	DET
ejde-820	294	5	ν	ν	NOUN
ejde-820	294	6	>	>	X
ejde-820	294	7	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	294	8	,	,	PUNCT
ejde-820	294	9	we	we	PRON
ejde-820	294	10	have	have	AUX
ejde-820	294	11	t+	t+	VERB
ejde-820	294	12	ν	ν	NOUN
ejde-820	294	13	≤	≤	NUM
ejde-820	294	14	16	16	NUM
ejde-820	294	15	.	.	PUNCT
ejde-820	295	1	indeed	indeed	ADV
ejde-820	295	2	,	,	PUNCT
ejde-820	295	3	otherwise	otherwise	ADV
ejde-820	295	4	we	we	PRON
ejde-820	295	5	take	take	VERB
ejde-820	295	6	r	r	NOUN
ejde-820	295	7	=	=	SYM
ejde-820	295	8	2	2	NUM
ejde-820	295	9	in	in	ADP
ejde-820	295	10	(	(	PUNCT
ejde-820	295	11	4.3	4.3	NUM
ejde-820	295	12	)	)	PUNCT
ejde-820	295	13	and	and	CCONJ
ejde-820	295	14	we	we	PRON
ejde-820	295	15	obtain	obtain	VERB
ejde-820	295	16	because	because	SCONJ
ejde-820	295	17	b	b	PROPN
ejde-820	295	18	<	<	X
ejde-820	295	19	n	n	PROPN
ejde-820	295	20	,	,	PUNCT
ejde-820	295	21	the	the	DET
ejde-820	295	22	contradiction	contradiction	NOUN
ejde-820	295	23	ν	ν	X
ejde-820	295	24	≤	≤	NUM
ejde-820	296	1	c	c	PROPN
ejde-820	296	2	24+b+	24+b+	NUM
ejde-820	296	3	τ	τ	X
ejde-820	296	4	p−1−4p′∫	p−1−4p′∫	NUM
ejde-820	296	5	b	b	PROPN
ejde-820	296	6	(	(	PUNCT
ejde-820	296	7	1	1	NUM
ejde-820	296	8	2	2	NUM
ejde-820	296	9	)	)	PUNCT
ejde-820	296	10	|x|−bϕn	|x|−bϕn	PROPN
ejde-820	296	11	dx	dx	NOUN
ejde-820	296	12	=	=	SYM
ejde-820	296	13	c	c	PROPN
ejde-820	296	14	24+b+	24+b+	NUM
ejde-820	296	15	τ	τ	X
ejde-820	296	16	p−1−4p′∫	p−1−4p′∫	NUM
ejde-820	296	17	b	b	PROPN
ejde-820	296	18	(	(	PUNCT
ejde-820	296	19	1	1	NUM
ejde-820	296	20	2	2	NUM
ejde-820	296	21	)	)	PUNCT
ejde-820	296	22	|x|−b	|x|−b	PROPN
ejde-820	296	23	dx	dx	PROPN
ejde-820	296	24	≤	≤	NUM
ejde-820	296	25	c24+b+	c24+b+	VERB
ejde-820	296	26	τ	τ	PROPN
ejde-820	296	27	p−1−4p′	p−1−4p′	NOUN
ejde-820	296	28	:	:	PUNCT
ejde-820	296	29	=	=	SYM
ejde-820	296	30	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	296	31	.	.	PUNCT
ejde-820	297	1	(	(	PUNCT
ejde-820	297	2	4.15	4.15	NUM
ejde-820	297	3	)	)	PUNCT
ejde-820	297	4	so	so	ADV
ejde-820	297	5	,	,	PUNCT
ejde-820	297	6	taking	take	VERB
ejde-820	297	7	ν	ν	X
ejde-820	297	8	>	>	X
ejde-820	297	9	ν0	ν0	PROPN
ejde-820	297	10	and	and	CCONJ
ejde-820	297	11	0	0	NUM
ejde-820	297	12	<	<	X
ejde-820	297	13	r	r	X
ejde-820	297	14	<	<	X
ejde-820	297	15	(	(	PUNCT
ejde-820	297	16	t+	t+	NOUN
ejde-820	297	17	ν	ν	NOUN
ejde-820	297	18	)	)	PUNCT
ejde-820	297	19	1/4	1/4	NUM
ejde-820	297	20	≤	≤	NUM
ejde-820	297	21	2	2	NUM
ejde-820	297	22	,	,	PUNCT
ejde-820	297	23	we	we	PRON
ejde-820	297	24	write	write	VERB
ejde-820	297	25	by	by	ADP
ejde-820	297	26	(	(	PUNCT
ejde-820	297	27	4.3	4.3	NUM
ejde-820	297	28	)	)	PUNCT
ejde-820	297	29	,	,	PUNCT
ejde-820	297	30	ν	ν	ADP
ejde-820	297	31	≤	≤	NUM
ejde-820	297	32	c	c	X
ejde-820	297	33	r4+b+	r4+b+	X
ejde-820	297	34	τ	τ	X
ejde-820	297	35	p−1−4p′∫	p−1−4p′∫	NUM
ejde-820	297	36	b	b	PROPN
ejde-820	297	37	(	(	PUNCT
ejde-820	297	38	1	1	NUM
ejde-820	297	39	r	r	NOUN
ejde-820	297	40	)	)	PUNCT
ejde-820	297	41	|x|−bϕn	|x|−bϕn	PROPN
ejde-820	297	42	dx	dx	NOUN
ejde-820	297	43	=	=	PUNCT
ejde-820	297	44	c	c	PROPN
ejde-820	297	45	r4+b+	r4+b+	X
ejde-820	297	46	τ	τ	X
ejde-820	297	47	p−1−4p′∫	p−1−4p′∫	NUM
ejde-820	297	48	b	b	PROPN
ejde-820	297	49	(	(	PUNCT
ejde-820	297	50	1	1	NUM
ejde-820	297	51	2	2	NUM
ejde-820	297	52	)	)	PUNCT
ejde-820	297	53	|x|−b	|x|−b	PROPN
ejde-820	297	54	dx	dx	PROPN
ejde-820	297	55	≲	≲	PROPN
ejde-820	297	56	r4+b+	r4+b+	VERB
ejde-820	297	57	τ	τ	PROPN
ejde-820	297	58	p−1−4p′	p−1−4p′	NOUN
ejde-820	297	59	.	.	PUNCT
ejde-820	298	1	(	(	PUNCT
ejde-820	298	2	4.16	4.16	NUM
ejde-820	298	3	)	)	PUNCT
ejde-820	298	4	now	now	ADV
ejde-820	298	5	,	,	PUNCT
ejde-820	298	6	since	since	SCONJ
ejde-820	298	7	b	b	PROPN
ejde-820	298	8	<	<	X
ejde-820	298	9	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	298	10	p−1	p−1	PROPN
ejde-820	298	11	,	,	PUNCT
ejde-820	298	12	(	(	PUNCT
ejde-820	298	13	4.16	4.16	NUM
ejde-820	298	14	)	)	PUNCT
ejde-820	298	15	gives	give	VERB
ejde-820	298	16	4	4	NUM
ejde-820	298	17	+	+	CCONJ
ejde-820	298	18	b+	b+	ADP
ejde-820	298	19	τ	τ	PROPN
ejde-820	298	20	p−1	p−1	PROPN
ejde-820	298	21	−	−	PROPN
ejde-820	298	22	4p′	4p′	NUM
ejde-820	298	23	<	<	SYM
ejde-820	298	24	0	0	PUNCT
ejde-820	299	1	and	and	CCONJ
ejde-820	299	2	so	so	ADV
ejde-820	299	3	t+	t+	PUNCT
ejde-820	299	4	ν	ν	NOUN
ejde-820	299	5	≲	≲	PROPN
ejde-820	299	6	ν	ν	X
ejde-820	299	7	−	−	PROPN
ejde-820	299	8	4	4	NUM
ejde-820	299	9	4p′−4−b−	4p′−4−b−	NUM
ejde-820	299	10	τ	τ	X
ejde-820	300	1	p−1	p−1	NOUN
ejde-820	300	2	=	=	PUNCT
ejde-820	300	3	ν	ν	X
ejde-820	300	4	−	−	NUM
ejde-820	300	5	4	4	NUM
ejde-820	300	6	4−τ	4−τ	NUM
ejde-820	300	7	p−1	p−1	NOUN
ejde-820	300	8	−b	−b	ADV
ejde-820	300	9	.	.	PUNCT
ejde-820	301	1	(	(	PUNCT
ejde-820	301	2	4.17	4.17	NUM
ejde-820	301	3	)	)	PUNCT
ejde-820	301	4	this	this	PRON
ejde-820	301	5	establishes	establish	VERB
ejde-820	301	6	(	(	PUNCT
ejde-820	301	7	4.4	4.4	NUM
ejde-820	301	8	)	)	PUNCT
ejde-820	301	9	and	and	CCONJ
ejde-820	301	10	completes	complete	VERB
ejde-820	301	11	the	the	DET
ejde-820	301	12	proof	proof	NOUN
ejde-820	301	13	.	.	PUNCT
ejde-820	302	1	□	□	PUNCT
ejde-820	302	2	ejde-2024/49	ejde-2024/49	NOUN
ejde-820	302	3	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	302	4	equations	equation	NOUN
ejde-820	302	5	without	without	ADP
ejde-820	302	6	gauge	gauge	ADJ
ejde-820	302	7	invariance	invariance	NOUN
ejde-820	302	8	11	11	NUM
ejde-820	302	9	references	reference	NOUN
ejde-820	302	10	[	[	X
ejde-820	302	11	1	1	NUM
ejde-820	302	12	]	]	PUNCT
ejde-820	302	13	h.	h.	PROPN
ejde-820	302	14	a.	a.	PROPN
ejde-820	302	15	alkhidhr	alkhidhr	PROPN
ejde-820	302	16	;	;	PUNCT
ejde-820	302	17	closed	close	VERB
ejde-820	302	18	-	-	PUNCT
ejde-820	302	19	form	form	NOUN
ejde-820	302	20	solutions	solution	NOUN
ejde-820	302	21	to	to	ADP
ejde-820	302	22	the	the	DET
ejde-820	302	23	perturbed	perturb	VERB
ejde-820	302	24	nlse	nlse	NOUN
ejde-820	302	25	with	with	ADP
ejde-820	302	26	kerr	kerr	PROPN
ejde-820	302	27	law	law	PROPN
ejde-820	302	28	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-820	302	29	in	in	ADP
ejde-820	302	30	optical	optical	ADJ
ejde-820	302	31	fibers	fiber	NOUN
ejde-820	302	32	,	,	PUNCT
ejde-820	302	33	result	result	NOUN
ejde-820	302	34	.	.	PUNCT
ejde-820	303	1	phys	phy	NOUN
ejde-820	303	2	.	.	PUNCT
ejde-820	303	3	,	,	PUNCT
ejde-820	303	4	22	22	NUM
ejde-820	303	5	(	(	PUNCT
ejde-820	303	6	2021	2021	NUM
ejde-820	303	7	)	)	PUNCT
ejde-820	303	8	.	.	PUNCT
ejde-820	304	1	[	[	X
ejde-820	304	2	2	2	X
ejde-820	304	3	]	]	PUNCT
ejde-820	304	4	j.	j.	PROPN
ejde-820	304	5	an	an	PROPN
ejde-820	304	6	,	,	PUNCT
ejde-820	304	7	p.	p.	PROPN
ejde-820	304	8	ryu	ryu	PROPN
ejde-820	304	9	,	,	PUNCT
ejde-820	304	10	j.	j.	PROPN
ejde-820	304	11	kim	kim	PROPN
ejde-820	304	12	;	;	PUNCT
ejde-820	304	13	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-820	304	14	-	-	PUNCT
ejde-820	304	15	lorentz	lorentz	PROPN
ejde-820	304	16	spaces	space	VERB
ejde-820	304	17	with	with	ADP
ejde-820	304	18	an	an	DET
ejde-820	304	19	application	application	NOUN
ejde-820	304	20	to	to	ADP
ejde-820	304	21	the	the	DET
ejde-820	304	22	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	304	23	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-820	304	24	nls	nls	NOUN
ejde-820	304	25	equation	equation	NOUN
ejde-820	304	26	,	,	PUNCT
ejde-820	304	27	arxiv:2208.08657v1	arxiv:2208.08657v1	NOUN
ejde-820	304	28	[	[	X
ejde-820	304	29	3	3	NUM
ejde-820	304	30	]	]	X
ejde-820	304	31	r.	r.	PROPN
ejde-820	304	32	bai	bai	PROPN
ejde-820	304	33	,	,	PUNCT
ejde-820	304	34	t.	t.	PROPN
ejde-820	304	35	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	304	36	;	;	PUNCT
ejde-820	304	37	finite	finite	PROPN
ejde-820	304	38	time	time	NOUN
ejde-820	304	39	blow	blow	NOUN
ejde-820	304	40	-	-	PUNCT
ejde-820	304	41	up	up	NOUN
ejde-820	304	42	of	of	ADP
ejde-820	304	43	non	non	ADJ
ejde-820	304	44	-	-	ADJ
ejde-820	304	45	radial	radial	ADJ
ejde-820	304	46	solutions	solution	NOUN
ejde-820	304	47	for	for	ADP
ejde-820	304	48	some	some	DET
ejde-820	304	49	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	304	50	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	304	51	equations	equation	NOUN
ejde-820	304	52	,	,	PUNCT
ejde-820	304	53	arxiv:2306.15210v1	arxiv:2306.15210v1	X
ejde-820	305	1	[	[	X
ejde-820	305	2	math.ap	math.ap	X
ejde-820	305	3	]	]	X
ejde-820	305	4	[	[	X
ejde-820	305	5	4	4	NUM
ejde-820	305	6	]	]	PUNCT
ejde-820	305	7	l.	l.	PROPN
ejde-820	305	8	campos	campos	PROPN
ejde-820	305	9	,	,	PUNCT
ejde-820	305	10	c.	c.	PROPN
ejde-820	305	11	m.	m.	NOUN
ejde-820	305	12	guzmán	guzmán	PROPN
ejde-820	305	13	;	;	PUNCT
ejde-820	305	14	scattering	scatter	VERB
ejde-820	305	15	for	for	ADP
ejde-820	305	16	the	the	DET
ejde-820	305	17	non	non	ADJ
ejde-820	305	18	-	-	ADJ
ejde-820	305	19	radial	radial	ADJ
ejde-820	305	20	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	305	21	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-820	305	22	nls	nls	NOUN
ejde-820	305	23	equation	equation	NOUN
ejde-820	305	24	,	,	PUNCT
ejde-820	305	25	calc	calc	NOUN
ejde-820	305	26	.	.	PUNCT
ejde-820	306	1	var	var	PROPN
ejde-820	306	2	.	.	PUNCT
ejde-820	307	1	part	part	NOUN
ejde-820	307	2	.	.	PUNCT
ejde-820	308	1	differ	differ	VERB
ejde-820	308	2	.	.	PUNCT
ejde-820	309	1	equ	equ	PROPN
ejde-820	309	2	.	.	PROPN
ejde-820	309	3	,	,	PUNCT
ejde-820	309	4	61	61	NUM
ejde-820	309	5	,	,	PUNCT
ejde-820	309	6	156	156	NUM
ejde-820	309	7	(	(	PUNCT
ejde-820	309	8	2022	2022	NUM
ejde-820	309	9	)	)	PUNCT
ejde-820	309	10	.	.	PUNCT
ejde-820	310	1	[	[	X
ejde-820	310	2	5	5	X
ejde-820	310	3	]	]	X
ejde-820	310	4	y.	y.	PROPN
ejde-820	310	5	cho	cho	PROPN
ejde-820	310	6	,	,	PUNCT
ejde-820	310	7	t.	t.	PROPN
ejde-820	310	8	ozawa	ozawa	PROPN
ejde-820	310	9	,	,	PUNCT
ejde-820	310	10	c.	c.	PROPN
ejde-820	310	11	wang	wang	PROPN
ejde-820	310	12	;	;	PUNCT
ejde-820	310	13	finite	finite	PROPN
ejde-820	310	14	time	time	NOUN
ejde-820	310	15	blowup	blowup	ADJ
ejde-820	310	16	for	for	ADP
ejde-820	310	17	the	the	DET
ejde-820	310	18	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	310	19	-	-	PUNCT
ejde-820	310	20	order	order	NOUN
ejde-820	310	21	nls	nls	NOUN
ejde-820	310	22	,	,	PUNCT
ejde-820	310	23	bull	bull	NOUN
ejde-820	310	24	.	.	PUNCT
ejde-820	311	1	korean	korean	ADJ
ejde-820	311	2	math	math	PROPN
ejde-820	311	3	.	.	PUNCT
ejde-820	311	4	,	,	PUNCT
ejde-820	311	5	soc	soc	PROPN
ejde-820	311	6	.	.	PUNCT
ejde-820	312	1	53	53	NUM
ejde-820	312	2	,	,	PUNCT
ejde-820	312	3	no	no	INTJ
ejde-820	312	4	.	.	NOUN
ejde-820	312	5	2	2	NUM
ejde-820	312	6	(	(	PUNCT
ejde-820	312	7	2016	2016	NUM
ejde-820	312	8	)	)	PUNCT
ejde-820	312	9	,	,	PUNCT
ejde-820	312	10	615	615	NUM
ejde-820	312	11	-	-	SYM
ejde-820	312	12	640	640	NUM
ejde-820	312	13	.	.	PUNCT
ejde-820	313	1	[	[	X
ejde-820	313	2	6	6	NUM
ejde-820	313	3	]	]	PUNCT
ejde-820	313	4	v.	v.	PROPN
ejde-820	313	5	d.	d.	PROPN
ejde-820	313	6	dinh	dinh	PROPN
ejde-820	313	7	;	;	PUNCT
ejde-820	313	8	non	non	ADJ
ejde-820	313	9	-	-	ADJ
ejde-820	313	10	radial	radial	ADJ
ejde-820	313	11	finite	finite	ADJ
ejde-820	313	12	time	time	NOUN
ejde-820	313	13	blow	blow	NOUN
ejde-820	313	14	-	-	PUNCT
ejde-820	313	15	up	up	NOUN
ejde-820	313	16	for	for	ADP
ejde-820	313	17	the	the	DET
ejde-820	313	18	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	313	19	-	-	PUNCT
ejde-820	313	20	order	order	NOUN
ejde-820	313	21	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-820	313	22	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	313	23	equations	equation	NOUN
ejde-820	313	24	,	,	PUNCT
ejde-820	313	25	appl	appl	PROPN
ejde-820	313	26	.	.	PROPN
ejde-820	313	27	math	math	PROPN
ejde-820	313	28	.	.	PUNCT
ejde-820	314	1	lett	lett	PROPN
ejde-820	314	2	.	.	PROPN
ejde-820	314	3	,	,	PUNCT
ejde-820	314	4	132	132	NUM
ejde-820	314	5	(	(	PUNCT
ejde-820	314	6	2022	2022	NUM
ejde-820	314	7	)	)	PUNCT
ejde-820	314	8	,	,	PUNCT
ejde-820	314	9	108084	108084	NUM
ejde-820	314	10	.	.	PUNCT
ejde-820	315	1	[	[	X
ejde-820	315	2	7	7	X
ejde-820	315	3	]	]	X
ejde-820	315	4	v.	v.	PROPN
ejde-820	315	5	d.	d.	PROPN
ejde-820	315	6	dinh	dinh	PROPN
ejde-820	315	7	,	,	PUNCT
ejde-820	315	8	s.	s.	PROPN
ejde-820	315	9	keraani	keraani	PROPN
ejde-820	315	10	;	;	PUNCT
ejde-820	315	11	energy	energy	NOUN
ejde-820	315	12	scattering	scattering	NOUN
ejde-820	315	13	for	for	ADP
ejde-820	315	14	a	a	DET
ejde-820	315	15	class	class	NOUN
ejde-820	315	16	of	of	ADP
ejde-820	315	17	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	315	18	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-820	315	19	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-820	315	20	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	315	21	equations	equation	NOUN
ejde-820	315	22	in	in	ADP
ejde-820	315	23	low	low	ADJ
ejde-820	315	24	dimensions	dimension	NOUN
ejde-820	315	25	,	,	PUNCT
ejde-820	315	26	2023	2023	NUM
ejde-820	315	27	.	.	PUNCT
ejde-820	315	28	ffhal-03926557f	ffhal-03926557f	PUNCT
ejde-820	316	1	[	[	X
ejde-820	316	2	8	8	X
ejde-820	316	3	]	]	X
ejde-820	316	4	v.	v.	PROPN
ejde-820	316	5	a.	a.	PROPN
ejde-820	316	6	galaktionov	galaktionov	PROPN
ejde-820	316	7	,	,	PUNCT
ejde-820	316	8	e.	e.	PROPN
ejde-820	316	9	mitidieri	mitidieri	PROPN
ejde-820	316	10	,	,	PUNCT
ejde-820	316	11	s.	s.	PROPN
ejde-820	316	12	i.	i.	PROPN
ejde-820	316	13	pohozaev	pohozaev	PROPN
ejde-820	316	14	;	;	PUNCT
ejde-820	316	15	global	global	ADJ
ejde-820	316	16	sign	sign	NOUN
ejde-820	316	17	-	-	PUNCT
ejde-820	316	18	changing	change	VERB
ejde-820	316	19	solutions	solution	NOUN
ejde-820	316	20	of	of	ADP
ejde-820	316	21	a	a	DET
ejde-820	316	22	higher	high	ADJ
ejde-820	316	23	order	order	NOUN
ejde-820	316	24	semilinear	semilinear	NOUN
ejde-820	316	25	heat	heat	NOUN
ejde-820	316	26	equation	equation	NOUN
ejde-820	316	27	in	in	ADP
ejde-820	316	28	the	the	DET
ejde-820	316	29	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-820	316	30	fujita	fujita	PROPN
ejde-820	316	31	range	range	PROPN
ejde-820	316	32	,	,	PUNCT
ejde-820	316	33	adv	adv	PROPN
ejde-820	316	34	.	.	PUNCT
ejde-820	316	35	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	316	36	stud	stud	PROPN
ejde-820	316	37	.	.	PUNCT
ejde-820	316	38	,	,	PUNCT
ejde-820	316	39	12	12	NUM
ejde-820	316	40	(	(	PUNCT
ejde-820	316	41	2012	2012	NUM
ejde-820	316	42	)	)	PUNCT
ejde-820	316	43	,	,	PUNCT
ejde-820	316	44	569	569	NUM
ejde-820	316	45	-	-	SYM
ejde-820	316	46	596	596	NUM
ejde-820	316	47	.	.	PUNCT
ejde-820	317	1	[	[	X
ejde-820	317	2	9	9	NUM
ejde-820	317	3	]	]	PUNCT
ejde-820	317	4	q.	q.	PROPN
ejde-820	317	5	guo	guo	PROPN
ejde-820	317	6	;	;	PUNCT
ejde-820	317	7	scattering	scatter	VERB
ejde-820	317	8	for	for	ADP
ejde-820	317	9	the	the	DET
ejde-820	317	10	focusing	focus	VERB
ejde-820	317	11	l2	l2	NOUN
ejde-820	317	12	-	-	PUNCT
ejde-820	317	13	supercritical	supercritical	ADJ
ejde-820	317	14	and	and	CCONJ
ejde-820	317	15	h2	h2	NOUN
ejde-820	317	16	-	-	PUNCT
ejde-820	317	17	subcritical	subcritical	ADJ
ejde-820	317	18	bi	bi	ADJ
ejde-820	317	19	-	-	ADJ
ejde-820	317	20	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	317	21	nls	nls	NOUN
ejde-820	317	22	equations	equation	NOUN
ejde-820	317	23	.	.	PUNCT
ejde-820	318	1	comm	comm	NOUN
ejde-820	318	2	.	.	PUNCT
ejde-820	319	1	part	part	NOUN
ejde-820	319	2	.	.	PUNCT
ejde-820	320	1	diff	diff	PROPN
ejde-820	320	2	.	.	PUNCT
ejde-820	321	1	equ	equ	PROPN
ejde-820	321	2	.	.	PROPN
ejde-820	321	3	41	41	NUM
ejde-820	321	4	,	,	PUNCT
ejde-820	321	5	no	no	INTJ
ejde-820	321	6	.	.	NOUN
ejde-820	321	7	2	2	NUM
ejde-820	321	8	(	(	PUNCT
ejde-820	321	9	2016	2016	NUM
ejde-820	321	10	)	)	PUNCT
ejde-820	321	11	,	,	PUNCT
ejde-820	321	12	185	185	NUM
ejde-820	321	13	-	-	SYM
ejde-820	321	14	207	207	NUM
ejde-820	321	15	.	.	PUNCT
ejde-820	322	1	[	[	X
ejde-820	322	2	10	10	NUM
ejde-820	322	3	]	]	X
ejde-820	322	4	c.	c.	PROPN
ejde-820	322	5	m.	m.	NOUN
ejde-820	322	6	guzmán	guzmán	PROPN
ejde-820	322	7	,	,	PUNCT
ejde-820	322	8	a.	a.	NOUN
ejde-820	322	9	pastor	pastor	NOUN
ejde-820	322	10	;	;	PUNCT
ejde-820	322	11	on	on	ADP
ejde-820	322	12	the	the	DET
ejde-820	322	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	322	14	bi	bi	ADJ
ejde-820	322	15	-	-	ADJ
ejde-820	322	16	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	322	17	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-820	322	18	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	322	19	equation	equation	NOUN
ejde-820	322	20	:	:	PUNCT
ejde-820	322	21	local	local	ADJ
ejde-820	322	22	,	,	PUNCT
ejde-820	322	23	global	global	ADJ
ejde-820	322	24	and	and	CCONJ
ejde-820	322	25	stability	stability	NOUN
ejde-820	322	26	results	result	NOUN
ejde-820	322	27	,	,	PUNCT
ejde-820	322	28	nonl	nonl	NOUN
ejde-820	322	29	.	.	PUNCT
ejde-820	323	1	anal	anal	PROPN
ejde-820	323	2	.	.	PUNCT
ejde-820	323	3	:	:	PUNCT
ejde-820	324	1	real	real	ADJ
ejde-820	324	2	world	world	NOUN
ejde-820	324	3	app	app	PROPN
ejde-820	324	4	.	.	PROPN
ejde-820	324	5	,	,	PUNCT
ejde-820	324	6	56	56	NUM
ejde-820	324	7	(	(	PUNCT
ejde-820	324	8	2020	2020	NUM
ejde-820	324	9	)	)	PUNCT
ejde-820	324	10	,	,	PUNCT
ejde-820	324	11	103	103	NUM
ejde-820	324	12	-	-	SYM
ejde-820	324	13	174	174	NUM
ejde-820	324	14	.	.	PUNCT
ejde-820	325	1	[	[	X
ejde-820	325	2	11	11	NUM
ejde-820	325	3	]	]	X
ejde-820	325	4	c.	c.	PROPN
ejde-820	325	5	m.	m.	NOUN
ejde-820	325	6	guzmán	guzmán	PROPN
ejde-820	325	7	,	,	PUNCT
ejde-820	325	8	a.	a.	NOUN
ejde-820	325	9	pastor	pastor	NOUN
ejde-820	325	10	;	;	PUNCT
ejde-820	325	11	some	some	DET
ejde-820	325	12	remarks	remark	NOUN
ejde-820	325	13	on	on	ADP
ejde-820	325	14	the	the	DET
ejde-820	325	15	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	325	16	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-820	325	17	nls	nls	NOUN
ejde-820	325	18	equation	equation	NOUN
ejde-820	325	19	,	,	PUNCT
ejde-820	325	20	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	325	21	anal	anal	NOUN
ejde-820	325	22	.	.	PUNCT
ejde-820	326	1	real	real	ADJ
ejde-820	326	2	world	world	NOUN
ejde-820	326	3	appl	appl	PROPN
ejde-820	326	4	.	.	PROPN
ejde-820	326	5	,	,	PUNCT
ejde-820	326	6	67	67	NUM
ejde-820	326	7	(	(	PUNCT
ejde-820	326	8	2022	2022	NUM
ejde-820	326	9	)	)	PUNCT
ejde-820	326	10	,	,	PUNCT
ejde-820	326	11	103643	103643	NUM
ejde-820	326	12	.	.	PUNCT
ejde-820	327	1	[	[	X
ejde-820	327	2	12	12	NUM
ejde-820	327	3	]	]	X
ejde-820	327	4	b.	b.	PROPN
ejde-820	327	5	a.	a.	PROPN
ejde-820	327	6	ivanov	ivanov	PROPN
ejde-820	327	7	,	,	PUNCT
ejde-820	327	8	a.	a.	NOUN
ejde-820	327	9	m.	m.	NOUN
ejde-820	327	10	kosevich	kosevich	PROPN
ejde-820	327	11	;	;	PUNCT
ejde-820	327	12	stable	stable	ADJ
ejde-820	327	13	three	three	NUM
ejde-820	327	14	-	-	PUNCT
ejde-820	327	15	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-820	327	16	small	small	ADJ
ejde-820	327	17	-	-	PUNCT
ejde-820	327	18	amplitude	amplitude	NOUN
ejde-820	327	19	soliton	soliton	NOUN
ejde-820	327	20	in	in	ADP
ejde-820	327	21	magnetic	magnetic	ADJ
ejde-820	327	22	materials	material	NOUN
ejde-820	327	23	,	,	PUNCT
ejde-820	327	24	soc	soc	NOUN
ejde-820	327	25	.	.	PUNCT
ejde-820	328	1	j.	j.	PROPN
ejde-820	328	2	low	low	PROPN
ejde-820	328	3	temp	temp	PROPN
ejde-820	328	4	.	.	PUNCT
ejde-820	329	1	phys	phy	NOUN
ejde-820	329	2	.	.	PUNCT
ejde-820	330	1	9	9	NUM
ejde-820	330	2	(	(	PUNCT
ejde-820	330	3	1983	1983	NUM
ejde-820	330	4	)	)	PUNCT
ejde-820	330	5	439	439	NUM
ejde-820	330	6	-	-	SYM
ejde-820	330	7	442	442	NUM
ejde-820	330	8	.	.	PUNCT
ejde-820	331	1	[	[	X
ejde-820	331	2	13	13	NUM
ejde-820	331	3	]	]	PUNCT
ejde-820	331	4	v.	v.	PROPN
ejde-820	331	5	i.	i.	PROPN
ejde-820	331	6	karpman	karpman	PROPN
ejde-820	331	7	;	;	PUNCT
ejde-820	331	8	stabilization	stabilization	NOUN
ejde-820	331	9	of	of	ADP
ejde-820	331	10	soliton	soliton	NOUN
ejde-820	331	11	instabilities	instability	NOUN
ejde-820	331	12	by	by	ADP
ejde-820	331	13	higher	high	ADJ
ejde-820	331	14	-	-	PUNCT
ejde-820	331	15	order	order	NOUN
ejde-820	331	16	dispersion	dispersion	NOUN
ejde-820	331	17	:	:	PUNCT
ejde-820	331	18	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	331	19	-	-	PUNCT
ejde-820	331	20	order	order	NOUN
ejde-820	331	21	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-820	331	22	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	331	23	equation	equation	NOUN
ejde-820	331	24	,	,	PUNCT
ejde-820	331	25	phys	phy	NOUN
ejde-820	331	26	.	.	PUNCT
ejde-820	332	1	rev	rev	PROPN
ejde-820	332	2	.	.	PROPN
ejde-820	333	1	e.	e.	PROPN
ejde-820	333	2	53	53	NUM
ejde-820	333	3	,	,	PUNCT
ejde-820	333	4	no	no	INTJ
ejde-820	333	5	.	.	NOUN
ejde-820	333	6	2	2	NUM
ejde-820	333	7	(	(	PUNCT
ejde-820	333	8	1996	1996	NUM
ejde-820	333	9	)	)	PUNCT
ejde-820	333	10	,	,	PUNCT
ejde-820	333	11	1336	1336	NUM
ejde-820	333	12	-	-	SYM
ejde-820	333	13	1339	1339	NUM
ejde-820	333	14	.	.	PUNCT
ejde-820	334	1	[	[	X
ejde-820	334	2	14	14	NUM
ejde-820	334	3	]	]	X
ejde-820	334	4	v.	v.	PROPN
ejde-820	334	5	i.	i.	PROPN
ejde-820	334	6	karpman	karpman	PROPN
ejde-820	334	7	,	,	PUNCT
ejde-820	334	8	a.	a.	PROPN
ejde-820	334	9	g.	g.	PROPN
ejde-820	334	10	shagalov	shagalov	PROPN
ejde-820	334	11	;	;	PUNCT
ejde-820	334	12	stability	stability	NOUN
ejde-820	334	13	of	of	ADP
ejde-820	334	14	soliton	soliton	NOUN
ejde-820	334	15	described	describe	VERB
ejde-820	334	16	by	by	ADP
ejde-820	334	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	334	18	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	334	19	type	type	NOUN
ejde-820	334	20	equations	equation	NOUN
ejde-820	334	21	with	with	ADP
ejde-820	334	22	higher	high	ADJ
ejde-820	334	23	-	-	PUNCT
ejde-820	334	24	order	order	NOUN
ejde-820	334	25	dispersion	dispersion	NOUN
ejde-820	334	26	,	,	PUNCT
ejde-820	334	27	phys	phy	NOUN
ejde-820	334	28	d.	d.	PROPN
ejde-820	334	29	144	144	NUM
ejde-820	334	30	(	(	PUNCT
ejde-820	334	31	2000	2000	NUM
ejde-820	334	32	)	)	PUNCT
ejde-820	334	33	,	,	PUNCT
ejde-820	334	34	194	194	NUM
ejde-820	334	35	-	-	SYM
ejde-820	334	36	210	210	NUM
ejde-820	334	37	.	.	PUNCT
ejde-820	335	1	[	[	X
ejde-820	335	2	15	15	NUM
ejde-820	335	3	]	]	PUNCT
ejde-820	335	4	x.	x.	NOUN
ejde-820	335	5	liu	liu	PROPN
ejde-820	335	6	,	,	PUNCT
ejde-820	335	7	t.	t.	PROPN
ejde-820	335	8	zhang	zhang	PROPN
ejde-820	335	9	;	;	PUNCT
ejde-820	335	10	bilinear	bilinear	PROPN
ejde-820	335	11	strichartz	strichartz	PROPN
ejde-820	335	12	’s	’s	PART
ejde-820	335	13	type	type	NOUN
ejde-820	335	14	inequalities	inequality	NOUN
ejde-820	335	15	in	in	ADP
ejde-820	335	16	besov	besov	NOUN
ejde-820	335	17	spaces	space	NOUN
ejde-820	335	18	with	with	ADP
ejde-820	335	19	an	an	DET
ejde-820	335	20	application	application	NOUN
ejde-820	335	21	to	to	ADP
ejde-820	335	22	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	335	23	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-820	335	24	biharmonic	biharmonic	NOUN
ejde-820	335	25	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	335	26	equation	equation	NOUN
ejde-820	335	27	,	,	PUNCT
ejde-820	335	28	j.	j.	PROPN
ejde-820	335	29	differ	differ	VERB
ejde-820	335	30	.	.	PUNCT
ejde-820	336	1	equa	equa	NOUN
ejde-820	336	2	.	.	PUNCT
ejde-820	336	3	,	,	PUNCT
ejde-820	336	4	296	296	NUM
ejde-820	336	5	(	(	PUNCT
ejde-820	336	6	2021	2021	NUM
ejde-820	336	7	)	)	PUNCT
ejde-820	336	8	,	,	PUNCT
ejde-820	336	9	335	335	NUM
ejde-820	336	10	-	-	SYM
ejde-820	336	11	368	368	NUM
ejde-820	336	12	.	.	PUNCT
ejde-820	337	1	[	[	X
ejde-820	337	2	16	16	NUM
ejde-820	337	3	]	]	PUNCT
ejde-820	337	4	b.	b.	PROPN
ejde-820	337	5	pausader	pausader	NOUN
ejde-820	337	6	;	;	PUNCT
ejde-820	337	7	global	global	ADJ
ejde-820	337	8	well	well	NOUN
ejde-820	337	9	-	-	PUNCT
ejde-820	337	10	posedness	posedness	NOUN
ejde-820	337	11	for	for	ADP
ejde-820	337	12	energy	energy	NOUN
ejde-820	337	13	critical	critical	ADJ
ejde-820	337	14	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	337	15	-	-	PUNCT
ejde-820	337	16	order	order	NOUN
ejde-820	337	17	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	337	18	equations	equation	NOUN
ejde-820	337	19	in	in	ADP
ejde-820	337	20	the	the	DET
ejde-820	337	21	radial	radial	ADJ
ejde-820	337	22	case	case	NOUN
ejde-820	337	23	,	,	PUNCT
ejde-820	337	24	dyn	dyn	NOUN
ejde-820	337	25	.	.	PUNCT
ejde-820	338	1	partial	partial	ADJ
ejde-820	338	2	differ	differ	VERB
ejde-820	338	3	.	.	PUNCT
ejde-820	339	1	equ	equ	PROPN
ejde-820	339	2	.	.	PROPN
ejde-820	339	3	,	,	PUNCT
ejde-820	339	4	4	4	NUM
ejde-820	339	5	,	,	PUNCT
ejde-820	339	6	no	no	INTJ
ejde-820	339	7	.	.	NOUN
ejde-820	339	8	3	3	NUM
ejde-820	339	9	(	(	PUNCT
ejde-820	339	10	2007	2007	NUM
ejde-820	339	11	)	)	PUNCT
ejde-820	339	12	,	,	PUNCT
ejde-820	339	13	197	197	NUM
ejde-820	339	14	-	-	SYM
ejde-820	339	15	225	225	NUM
ejde-820	339	16	.	.	PUNCT
ejde-820	340	1	[	[	X
ejde-820	340	2	17	17	NUM
ejde-820	340	3	]	]	PUNCT
ejde-820	340	4	t.	t.	PROPN
ejde-820	340	5	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	340	6	;	;	PUNCT
ejde-820	340	7	energy	energy	NOUN
ejde-820	340	8	scattering	scattering	NOUN
ejde-820	340	9	for	for	ADP
ejde-820	340	10	radial	radial	ADJ
ejde-820	340	11	focusing	focus	VERB
ejde-820	340	12	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	340	13	bi	bi	ADJ
ejde-820	340	14	-	-	ADJ
ejde-820	340	15	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	340	16	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	340	17	equations	equation	NOUN
ejde-820	340	18	,	,	PUNCT
ejde-820	340	19	calc	calc	NOUN
ejde-820	340	20	.	.	PUNCT
ejde-820	341	1	var	var	PROPN
ejde-820	341	2	.	.	PUNCT
ejde-820	342	1	part	part	NOUN
ejde-820	342	2	.	.	PUNCT
ejde-820	343	1	differ	differ	VERB
ejde-820	343	2	.	.	PUNCT
ejde-820	344	1	equ	equ	PROPN
ejde-820	344	2	.	.	PROPN
ejde-820	344	3	,	,	PUNCT
ejde-820	344	4	60	60	NUM
ejde-820	344	5	,	,	PUNCT
ejde-820	344	6	113	113	NUM
ejde-820	344	7	(	(	PUNCT
ejde-820	344	8	2021	2021	NUM
ejde-820	344	9	)	)	PUNCT
ejde-820	344	10	.	.	PUNCT
ejde-820	345	1	[	[	X
ejde-820	345	2	18	18	NUM
ejde-820	345	3	]	]	PUNCT
ejde-820	345	4	t.	t.	PROPN
ejde-820	345	5	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	345	6	;	;	PUNCT
ejde-820	345	7	scattering	scatter	VERB
ejde-820	345	8	for	for	ADP
ejde-820	345	9	radial	radial	ADJ
ejde-820	345	10	defocusing	defocuse	VERB
ejde-820	345	11	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	345	12	bi	bi	ADJ
ejde-820	345	13	-	-	ADJ
ejde-820	345	14	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	345	15	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	345	16	equations	equation	NOUN
ejde-820	345	17	,	,	PUNCT
ejde-820	345	18	potential	potential	ADJ
ejde-820	345	19	anal	anal	NOUN
ejde-820	345	20	.	.	PUNCT
ejde-820	345	21	,	,	PUNCT
ejde-820	345	22	56	56	NUM
ejde-820	345	23	(	(	PUNCT
ejde-820	345	24	2022	2022	NUM
ejde-820	345	25	)	)	PUNCT
ejde-820	345	26	,	,	PUNCT
ejde-820	345	27	649	649	NUM
ejde-820	345	28	-	-	SYM
ejde-820	345	29	667	667	NUM
ejde-820	345	30	.	.	PUNCT
ejde-820	346	1	energy	energy	NOUN
ejde-820	346	2	scattering	scatter	VERB
ejde-820	346	3	for	for	ADP
ejde-820	346	4	radial	radial	ADJ
ejde-820	346	5	focusing	focus	VERB
ejde-820	346	6	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	346	7	bi	bi	ADJ
ejde-820	346	8	-	-	ADJ
ejde-820	346	9	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	346	10	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	346	11	equations	equation	NOUN
ejde-820	346	12	,	,	PUNCT
ejde-820	346	13	calc	calc	NOUN
ejde-820	346	14	.	.	PUNCT
ejde-820	347	1	var	var	PROPN
ejde-820	347	2	.	.	PUNCT
ejde-820	347	3	,	,	PUNCT
ejde-820	347	4	(	(	PUNCT
ejde-820	347	5	2021	2021	NUM
ejde-820	347	6	)	)	PUNCT
ejde-820	347	7	60:113	60:113	NUM
ejde-820	347	8	.	.	PUNCT
ejde-820	348	1	[	[	X
ejde-820	348	2	19	19	NUM
ejde-820	348	3	]	]	X
ejde-820	348	4	t.	t.	PROPN
ejde-820	348	5	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	348	6	,	,	PUNCT
ejde-820	348	7	r.	r.	PROPN
ejde-820	348	8	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-820	348	9	;	;	PUNCT
ejde-820	348	10	a	a	DET
ejde-820	348	11	note	note	NOUN
ejde-820	348	12	on	on	ADP
ejde-820	348	13	the	the	DET
ejde-820	348	14	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	348	15	fourth	fourth	ADJ
ejde-820	348	16	-	-	PUNCT
ejde-820	348	17	order	order	NOUN
ejde-820	348	18	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	348	19	equation	equation	NOUN
ejde-820	348	20	,	,	PUNCT
ejde-820	348	21	j.	j.	PROPN
ejde-820	348	22	pseudo	pseudo	NOUN
ejde-820	348	23	-	-	PUNCT
ejde-820	348	24	differ	differ	VERB
ejde-820	348	25	.	.	PUNCT
ejde-820	349	1	oper	oper	PROPN
ejde-820	349	2	.	.	PUNCT
ejde-820	349	3	appl	appl	PROPN
ejde-820	349	4	.	.	PROPN
ejde-820	349	5	,	,	PUNCT
ejde-820	349	6	13	13	NUM
ejde-820	349	7	,	,	PUNCT
ejde-820	349	8	56	56	NUM
ejde-820	349	9	(	(	PUNCT
ejde-820	349	10	2022	2022	NUM
ejde-820	349	11	)	)	PUNCT
ejde-820	349	12	.	.	PUNCT
ejde-820	350	1	[	[	X
ejde-820	350	2	20	20	NUM
ejde-820	350	3	]	]	PUNCT
ejde-820	350	4	t.	t.	PROPN
ejde-820	350	5	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	350	6	,	,	PUNCT
ejde-820	350	7	r.	r.	PROPN
ejde-820	350	8	ghanmi	ghanmi	PROPN
ejde-820	350	9	;	;	PUNCT
ejde-820	350	10	on	on	ADP
ejde-820	350	11	energy	energy	NOUN
ejde-820	350	12	critical	critical	ADJ
ejde-820	350	13	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	350	14	bi	bi	ADJ
ejde-820	350	15	-	-	ADJ
ejde-820	350	16	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	350	17	nonlinear	nonlinear	NOUN
ejde-820	350	18	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	350	19	equation	equation	NOUN
ejde-820	350	20	,	,	PUNCT
ejde-820	350	21	adv	adv	PROPN
ejde-820	350	22	.	.	PUNCT
ejde-820	350	23	oper	oper	PROPN
ejde-820	350	24	.	.	PROPN
ejde-820	350	25	theory	theory	NOUN
ejde-820	350	26	,	,	PUNCT
ejde-820	350	27	9	9	NUM
ejde-820	350	28	,	,	PUNCT
ejde-820	350	29	1	1	NUM
ejde-820	350	30	(	(	PUNCT
ejde-820	350	31	2024	2024	NUM
ejde-820	350	32	)	)	PUNCT
ejde-820	350	33	.	.	PUNCT
ejde-820	351	1	[	[	X
ejde-820	351	2	21	21	NUM
ejde-820	351	3	]	]	PUNCT
ejde-820	351	4	t.	t.	PROPN
ejde-820	351	5	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	351	6	,	,	PUNCT
ejde-820	351	7	c.	c.	PROPN
ejde-820	351	8	peng	peng	PROPN
ejde-820	351	9	;	;	PUNCT
ejde-820	351	10	local	local	ADJ
ejde-820	351	11	well	well	NOUN
ejde-820	351	12	-	-	PUNCT
ejde-820	351	13	posedness	posedness	NOUN
ejde-820	351	14	of	of	ADP
ejde-820	351	15	a	a	DET
ejde-820	351	16	critical	critical	ADJ
ejde-820	351	17	inhomogeneous	inhomogeneous	ADJ
ejde-820	351	18	bi	bi	ADJ
ejde-820	351	19	-	-	ADJ
ejde-820	351	20	harmonic	harmonic	ADJ
ejde-820	351	21	schrödinger	schrödinger	NOUN
ejde-820	351	22	equation	equation	NOUN
ejde-820	351	23	,	,	PUNCT
ejde-820	351	24	mediterr	mediterr	NOUN
ejde-820	351	25	.	.	PUNCT
ejde-820	352	1	j.	j.	PROPN
ejde-820	352	2	math	math	PROPN
ejde-820	352	3	.	.	PROPN
ejde-820	352	4	,	,	PUNCT
ejde-820	352	5	20	20	NUM
ejde-820	352	6	,	,	PUNCT
ejde-820	352	7	170	170	NUM
ejde-820	352	8	(	(	PUNCT
ejde-820	352	9	2023	2023	NUM
ejde-820	352	10	)	)	PUNCT
ejde-820	352	11	.	.	PUNCT
ejde-820	353	1	[	[	X
ejde-820	353	2	22	22	NUM
ejde-820	353	3	]	]	PUNCT
ejde-820	353	4	s.	s.	PROPN
ejde-820	353	5	k.	k.	PROPN
ejde-820	353	6	turitsyn	turitsyn	PROPN
ejde-820	353	7	;	;	PUNCT
ejde-820	353	8	three	three	NUM
ejde-820	353	9	-	-	PUNCT
ejde-820	353	10	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-820	353	11	dispersion	dispersion	NOUN
ejde-820	353	12	of	of	ADP
ejde-820	353	13	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-820	353	14	and	and	CCONJ
ejde-820	353	15	stability	stability	NOUN
ejde-820	353	16	of	of	ADP
ejde-820	353	17	multidimensional	multidimensional	ADJ
ejde-820	353	18	solitons	soliton	NOUN
ejde-820	353	19	,	,	PUNCT
ejde-820	353	20	teoret	teoret	NOUN
ejde-820	353	21	.	.	PUNCT
ejde-820	354	1	mat	mat	PROPN
ejde-820	354	2	.	.	PUNCT
ejde-820	355	1	fiz	fiz	PROPN
ejde-820	355	2	.	.	PROPN
ejde-820	355	3	,	,	PUNCT
ejde-820	355	4	64	64	NUM
ejde-820	355	5	,	,	PUNCT
ejde-820	355	6	no	no	INTJ
ejde-820	355	7	.	.	NOUN
ejde-820	355	8	2	2	NUM
ejde-820	355	9	(	(	PUNCT
ejde-820	355	10	1985	1985	NUM
ejde-820	355	11	)	)	PUNCT
ejde-820	355	12	226	226	NUM
ejde-820	355	13	-	-	SYM
ejde-820	355	14	232	232	NUM
ejde-820	355	15	.	.	PUNCT
ejde-820	356	1	tarek	tarek	PROPN
ejde-820	356	2	saanouni	saanouni	PROPN
ejde-820	356	3	department	department	PROPN
ejde-820	356	4	of	of	ADP
ejde-820	356	5	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-820	356	6	,	,	PUNCT
ejde-820	356	7	college	college	NOUN
ejde-820	356	8	of	of	ADP
ejde-820	356	9	science	science	NOUN
ejde-820	356	10	,	,	PUNCT
ejde-820	356	11	qassim	qassim	PROPN
ejde-820	356	12	university	university	PROPN
ejde-820	356	13	,	,	PUNCT
ejde-820	356	14	buraydah	buraydah	NOUN
ejde-820	356	15	,	,	PUNCT
ejde-820	356	16	kingdom	kingdom	NOUN
ejde-820	356	17	of	of	ADP
ejde-820	356	18	saudi	saudi	PROPN
ejde-820	356	19	arabia	arabia	PROPN
ejde-820	356	20	email	email	NOUN
ejde-820	356	21	address	address	NOUN
ejde-820	356	22	:	:	PUNCT
ejde-820	356	23	t.saanouni@qu.edu.sa	t.saanouni@qu.edu.sa	PROPN
ejde-820	356	24	1	1	NUM
ejde-820	356	25	.	.	PUNCT
ejde-820	356	26	introduction	introduction	NOUN
ejde-820	356	27	2	2	NUM
ejde-820	356	28	.	.	PUNCT
ejde-820	356	29	background	background	NOUN
ejde-820	356	30	and	and	CCONJ
ejde-820	356	31	main	main	ADJ
ejde-820	356	32	result	result	NOUN
ejde-820	356	33	2.1	2.1	NUM
ejde-820	356	34	.	.	PUNCT
ejde-820	356	35	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-820	356	36	2.2	2.2	NUM
ejde-820	356	37	.	.	PUNCT
ejde-820	357	1	main	main	ADJ
ejde-820	357	2	results	result	NOUN
ejde-820	357	3	2.3	2.3	NUM
ejde-820	357	4	.	.	PUNCT
ejde-820	358	1	sketch	sketch	NOUN
ejde-820	358	2	of	of	ADP
ejde-820	358	3	the	the	DET
ejde-820	358	4	proofs	proof	NOUN
ejde-820	358	5	3	3	NUM
ejde-820	358	6	.	.	PUNCT
ejde-820	359	1	no	no	DET
ejde-820	359	2	global	global	ADJ
ejde-820	359	3	mass	mass	NOUN
ejde-820	359	4	solutions	solution	NOUN
ejde-820	359	5	3.1	3.1	NUM
ejde-820	359	6	.	.	PUNCT
ejde-820	359	7	weak	weak	ADJ
ejde-820	359	8	solutions	solution	NOUN
ejde-820	359	9	3.2	3.2	NUM
ejde-820	359	10	.	.	PUNCT
ejde-820	360	1	vanishing	vanish	VERB
ejde-820	360	2	solutions	solution	NOUN
ejde-820	360	3	4	4	NUM
ejde-820	360	4	.	.	PUNCT
ejde-820	361	1	no	no	DET
ejde-820	361	2	global	global	ADJ
ejde-820	361	3	energy	energy	NOUN
ejde-820	361	4	solutions	solution	NOUN
ejde-820	361	5	references	reference	NOUN