id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-888	1	1	third	third	ADJ
ejde-888	1	2	international	international	ADJ
ejde-888	1	3	conference	conference	NOUN
ejde-888	1	4	on	on	ADP
ejde-888	1	5	applications	application	NOUN
ejde-888	1	6	of	of	ADP
ejde-888	1	7	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	1	8	to	to	ADP
ejde-888	1	9	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	1	10	sciences	science	NOUN
ejde-888	1	11	,	,	PUNCT
ejde-888	1	12	electronic	electronic	ADJ
ejde-888	1	13	journal	journal	NOUN
ejde-888	1	14	of	of	ADP
ejde-888	1	15	differential	differential	ADJ
ejde-888	1	16	equations	equation	NOUN
ejde-888	1	17	,	,	PUNCT
ejde-888	1	18	conference	conference	NOUN
ejde-888	1	19	27	27	NUM
ejde-888	1	20	(	(	PUNCT
ejde-888	1	21	2024	2024	NUM
ejde-888	1	22	)	)	PUNCT
ejde-888	1	23	,	,	PUNCT
ejde-888	1	24	pp	pp	ADP
ejde-888	1	25	.	.	PUNCT
ejde-888	2	1	49–62	49–62	NUM
ejde-888	2	2	.	.	PUNCT
ejde-888	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-888	3	2	:	:	PUNCT
ejde-888	3	3	1072	1072	NUM
ejde-888	3	4	-	-	SYM
ejde-888	3	5	6691	6691	NUM
ejde-888	3	6	.	.	PUNCT
ejde-888	4	1	url	url	PROPN
ejde-888	4	2	:	:	PUNCT
ejde-888	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-888	4	4	,	,	PUNCT
ejde-888	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-888	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-888	4	7	:	:	PUNCT
ejde-888	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-888	4	9	/	/	SYM
ejde-888	4	10	ejde.conf.27.s1	ejde.conf.27.s1	NOUN
ejde-888	4	11	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	4	12	stability	stability	NOUN
ejde-888	4	13	for	for	ADP
ejde-888	4	14	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	4	15	-	-	PUNCT
ejde-888	4	16	like	like	ADJ
ejde-888	4	17	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	4	18	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	4	19	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	4	20	difference	difference	NOUN
ejde-888	4	21	equations	equation	NOUN
ejde-888	4	22	anshul	anshul	PROPN
ejde-888	4	23	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	4	24	,	,	PUNCT
ejde-888	4	25	suyash	suyash	PROPN
ejde-888	4	26	narayan	narayan	PROPN
ejde-888	4	27	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	4	28	,	,	PUNCT
ejde-888	4	29	anurag	anurag	PROPN
ejde-888	4	30	shukla	shukla	PROPN
ejde-888	4	31	abstract	abstract	NOUN
ejde-888	4	32	.	.	PUNCT
ejde-888	5	1	this	this	DET
ejde-888	5	2	article	article	NOUN
ejde-888	5	3	examines	examine	VERB
ejde-888	5	4	the	the	DET
ejde-888	5	5	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	5	6	stability	stability	NOUN
ejde-888	5	7	of	of	ADP
ejde-888	5	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	5	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	5	10	difference	difference	NOUN
ejde-888	5	11	equations	equation	NOUN
ejde-888	5	12	with	with	ADP
ejde-888	5	13	a	a	DET
ejde-888	5	14	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	5	15	-	-	PUNCT
ejde-888	5	16	like	like	ADJ
ejde-888	5	17	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	5	18	operator	operator	NOUN
ejde-888	5	19	.	.	PUNCT
ejde-888	6	1	the	the	DET
ejde-888	6	2	results	result	NOUN
ejde-888	6	3	for	for	ADP
ejde-888	6	4	a	a	DET
ejde-888	6	5	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	6	6	-	-	PUNCT
ejde-888	6	7	type	type	NOUN
ejde-888	6	8	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	6	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	6	10	difference	difference	NOUN
ejde-888	6	11	that	that	PRON
ejde-888	6	12	contains	contain	VERB
ejde-888	6	13	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	6	14	-	-	PUNCT
ejde-888	6	15	liouville	liouville	PROPN
ejde-888	6	16	and	and	CCONJ
ejde-888	6	17	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	6	18	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	6	19	difference	difference	NOUN
ejde-888	6	20	as	as	ADP
ejde-888	6	21	a	a	DET
ejde-888	6	22	particular	particular	ADJ
ejde-888	6	23	case	case	NOUN
ejde-888	6	24	.	.	PUNCT
ejde-888	7	1	we	we	PRON
ejde-888	7	2	use	use	VERB
ejde-888	7	3	picard	picard	PROPN
ejde-888	7	4	’s	’s	PART
ejde-888	7	5	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	7	6	and	and	CCONJ
ejde-888	7	7	a	a	DET
ejde-888	7	8	fixed	fix	VERB
ejde-888	7	9	point	point	NOUN
ejde-888	7	10	theorem	theorem	VERB
ejde-888	7	11	to	to	PART
ejde-888	7	12	obtain	obtain	VERB
ejde-888	7	13	results	result	NOUN
ejde-888	7	14	on	on	ADP
ejde-888	7	15	existence	existence	NOUN
ejde-888	7	16	and	and	CCONJ
ejde-888	7	17	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-888	7	18	.	.	PUNCT
ejde-888	8	1	to	to	PART
ejde-888	8	2	obtain	obtain	VERB
ejde-888	8	3	the	the	DET
ejde-888	8	4	main	main	ADJ
ejde-888	8	5	results	result	NOUN
ejde-888	8	6	,	,	PUNCT
ejde-888	8	7	we	we	PRON
ejde-888	8	8	use	use	VERB
ejde-888	8	9	linear	linear	PROPN
ejde-888	8	10	a	a	DET
ejde-888	8	11	scalar	scalar	ADJ
ejde-888	8	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	8	13	difference	difference	NOUN
ejde-888	8	14	equality	equality	NOUN
ejde-888	8	15	,	,	PUNCT
ejde-888	8	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	8	17	comparison	comparison	NOUN
ejde-888	8	18	principle	principle	NOUN
ejde-888	8	19	,	,	PUNCT
ejde-888	8	20	and	and	CCONJ
ejde-888	8	21	basics	basic	NOUN
ejde-888	8	22	of	of	ADP
ejde-888	8	23	difference	difference	NOUN
ejde-888	8	24	equations	equation	NOUN
ejde-888	8	25	.	.	PUNCT
ejde-888	9	1	we	we	PRON
ejde-888	9	2	also	also	ADV
ejde-888	9	3	present	present	VERB
ejde-888	9	4	a	a	DET
ejde-888	9	5	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	9	6	second	second	ADJ
ejde-888	9	7	direct	direct	ADJ
ejde-888	9	8	method	method	NOUN
ejde-888	9	9	for	for	ADP
ejde-888	9	10	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	9	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	9	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	9	13	systems	system	NOUN
ejde-888	9	14	.	.	PUNCT
ejde-888	10	1	we	we	PRON
ejde-888	10	2	also	also	ADV
ejde-888	10	3	discus	discus	VERB
ejde-888	10	4	stability	stability	NOUN
ejde-888	10	5	results	result	VERB
ejde-888	10	6	with	with	ADP
ejde-888	10	7	some	some	DET
ejde-888	10	8	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	10	9	examples	example	NOUN
ejde-888	10	10	.	.	PUNCT
ejde-888	11	1	1	1	X
ejde-888	11	2	.	.	X
ejde-888	11	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-888	11	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	11	5	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	11	6	is	be	AUX
ejde-888	11	7	a	a	DET
ejde-888	11	8	field	field	NOUN
ejde-888	11	9	within	within	ADP
ejde-888	11	10	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-888	11	11	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	11	12	that	that	PRON
ejde-888	11	13	explores	explore	VERB
ejde-888	11	14	the	the	DET
ejde-888	11	15	derivatives	derivative	NOUN
ejde-888	11	16	and	and	CCONJ
ejde-888	11	17	integrals	integral	NOUN
ejde-888	11	18	of	of	ADP
ejde-888	11	19	non	non	ADJ
ejde-888	11	20	-	-	ADJ
ejde-888	11	21	integer	integer	ADJ
ejde-888	11	22	orders	order	NOUN
ejde-888	11	23	and	and	CCONJ
ejde-888	11	24	their	their	PRON
ejde-888	11	25	applications	application	NOUN
ejde-888	11	26	in	in	ADP
ejde-888	11	27	numerous	numerous	ADJ
ejde-888	11	28	scientific	scientific	ADJ
ejde-888	11	29	domains	domain	NOUN
ejde-888	11	30	,	,	PUNCT
ejde-888	11	31	including	include	VERB
ejde-888	11	32	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	11	33	and	and	CCONJ
ejde-888	11	34	economics	economic	NOUN
ejde-888	11	35	.	.	PUNCT
ejde-888	12	1	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	12	2	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	12	3	(	(	PUNCT
ejde-888	12	4	fc	fc	X
ejde-888	12	5	)	)	PUNCT
ejde-888	12	6	emerged	emerge	VERB
ejde-888	12	7	as	as	ADP
ejde-888	12	8	a	a	DET
ejde-888	12	9	brilliant	brilliant	ADJ
ejde-888	12	10	concept	concept	NOUN
ejde-888	12	11	conceived	conceive	VERB
ejde-888	12	12	by	by	ADP
ejde-888	12	13	gottfried	gottfried	PROPN
ejde-888	12	14	leibnitz	leibnitz	PROPN
ejde-888	12	15	towards	towards	ADP
ejde-888	12	16	the	the	DET
ejde-888	12	17	close	close	NOUN
ejde-888	12	18	of	of	ADP
ejde-888	12	19	the	the	DET
ejde-888	12	20	seventeenth	seventeenth	ADJ
ejde-888	12	21	century	century	NOUN
ejde-888	12	22	and	and	CCONJ
ejde-888	12	23	also	also	ADV
ejde-888	12	24	has	have	VERB
ejde-888	12	25	an	an	DET
ejde-888	12	26	essential	essential	ADJ
ejde-888	12	27	role	role	NOUN
ejde-888	12	28	in	in	ADP
ejde-888	12	29	science	science	NOUN
ejde-888	12	30	and	and	CCONJ
ejde-888	12	31	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	12	32	fields	field	NOUN
ejde-888	12	33	[	[	X
ejde-888	12	34	7	7	NUM
ejde-888	12	35	,	,	PUNCT
ejde-888	12	36	15	15	NUM
ejde-888	12	37	,	,	PUNCT
ejde-888	12	38	17	17	NUM
ejde-888	12	39	,	,	PUNCT
ejde-888	12	40	18	18	NUM
ejde-888	12	41	,	,	PUNCT
ejde-888	12	42	19	19	NUM
ejde-888	12	43	,	,	PUNCT
ejde-888	12	44	22	22	NUM
ejde-888	12	45	,	,	PUNCT
ejde-888	12	46	25	25	NUM
ejde-888	12	47	]	]	PUNCT
ejde-888	12	48	.	.	PUNCT
ejde-888	13	1	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	13	2	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	13	3	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	13	4	is	be	AUX
ejde-888	13	5	a	a	DET
ejde-888	13	6	branch	branch	NOUN
ejde-888	13	7	of	of	ADP
ejde-888	13	8	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	13	9	that	that	PRON
ejde-888	13	10	extends	extend	VERB
ejde-888	13	11	the	the	DET
ejde-888	13	12	concepts	concept	NOUN
ejde-888	13	13	of	of	ADP
ejde-888	13	14	traditional	traditional	ADJ
ejde-888	13	15	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	13	16	to	to	PART
ejde-888	13	17	deal	deal	VERB
ejde-888	13	18	with	with	ADP
ejde-888	13	19	discretetime	discretetime	NOUN
ejde-888	13	20	systems	system	NOUN
ejde-888	13	21	or	or	CCONJ
ejde-888	13	22	signals	signal	NOUN
ejde-888	13	23	with	with	ADP
ejde-888	13	24	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	13	25	orders	order	NOUN
ejde-888	13	26	.	.	PUNCT
ejde-888	14	1	unlike	unlike	ADP
ejde-888	14	2	classical	classical	ADJ
ejde-888	14	3	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	14	4	,	,	PUNCT
ejde-888	14	5	which	which	PRON
ejde-888	14	6	deals	deal	VERB
ejde-888	14	7	with	with	ADP
ejde-888	14	8	integer	integer	NOUN
ejde-888	14	9	-	-	PUNCT
ejde-888	14	10	order	order	NOUN
ejde-888	14	11	derivatives	derivative	NOUN
ejde-888	14	12	and	and	CCONJ
ejde-888	14	13	integrals	integral	NOUN
ejde-888	14	14	,	,	PUNCT
ejde-888	14	15	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	14	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	14	17	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	14	18	allows	allow	VERB
ejde-888	14	19	for	for	ADP
ejde-888	14	20	the	the	DET
ejde-888	14	21	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	14	22	of	of	ADP
ejde-888	14	23	systems	system	NOUN
ejde-888	14	24	or	or	CCONJ
ejde-888	14	25	signals	signal	NOUN
ejde-888	14	26	with	with	ADP
ejde-888	14	27	non	non	ADJ
ejde-888	14	28	-	-	ADJ
ejde-888	14	29	integer	integer	ADJ
ejde-888	14	30	order	order	NOUN
ejde-888	14	31	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-888	14	32	,	,	PUNCT
ejde-888	14	33	providing	provide	VERB
ejde-888	14	34	a	a	DET
ejde-888	14	35	more	more	ADV
ejde-888	14	36	comprehensive	comprehensive	ADJ
ejde-888	14	37	understanding	understanding	NOUN
ejde-888	14	38	of	of	ADP
ejde-888	14	39	complex	complex	ADJ
ejde-888	14	40	phenomena	phenomenon	NOUN
ejde-888	14	41	encountered	encounter	VERB
ejde-888	14	42	in	in	ADP
ejde-888	14	43	various	various	ADJ
ejde-888	14	44	fields	field	NOUN
ejde-888	14	45	such	such	ADJ
ejde-888	14	46	as	as	ADP
ejde-888	14	47	signal	signal	ADJ
ejde-888	14	48	processing	processing	NOUN
ejde-888	14	49	,	,	PUNCT
ejde-888	14	50	control	control	NOUN
ejde-888	14	51	theory	theory	NOUN
ejde-888	14	52	,	,	PUNCT
ejde-888	14	53	and	and	CCONJ
ejde-888	14	54	time	time	NOUN
ejde-888	14	55	series	series	PROPN
ejde-888	14	56	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	14	57	.	.	PUNCT
ejde-888	15	1	in	in	ADP
ejde-888	15	2	the	the	DET
ejde-888	15	3	case	case	NOUN
ejde-888	15	4	of	of	ADP
ejde-888	15	5	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	15	6	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	15	7	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	15	8	,	,	PUNCT
ejde-888	15	9	we	we	PRON
ejde-888	15	10	can	can	AUX
ejde-888	15	11	not	not	PART
ejde-888	15	12	use	use	VERB
ejde-888	15	13	the	the	DET
ejde-888	15	14	ϵ−	ϵ−	ADJ
ejde-888	15	15	δ	δ	NOUN
ejde-888	15	16	definition	definition	NOUN
ejde-888	15	17	directly	directly	ADV
ejde-888	15	18	to	to	PART
ejde-888	15	19	prove	prove	VERB
ejde-888	15	20	the	the	DET
ejde-888	15	21	stability	stability	NOUN
ejde-888	15	22	i.e.	i.e.	X
ejde-888	15	23	we	we	PRON
ejde-888	15	24	can	can	AUX
ejde-888	15	25	not	not	PART
ejde-888	15	26	provide	provide	VERB
ejde-888	15	27	the	the	DET
ejde-888	15	28	results	result	NOUN
ejde-888	15	29	or	or	CCONJ
ejde-888	15	30	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	15	31	methods	method	NOUN
ejde-888	15	32	for	for	ADP
ejde-888	15	33	proving	prove	VERB
ejde-888	15	34	stability	stability	NOUN
ejde-888	15	35	in	in	ADP
ejde-888	15	36	the	the	DET
ejde-888	15	37	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	15	38	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	15	39	difference	difference	NOUN
ejde-888	15	40	equations	equation	NOUN
ejde-888	15	41	.	.	PUNCT
ejde-888	16	1	in	in	ADP
ejde-888	16	2	1892	1892	NUM
ejde-888	16	3	,	,	PUNCT
ejde-888	16	4	lyapunov	lyapunov	PROPN
ejde-888	16	5	constructed	construct	VERB
ejde-888	16	6	the	the	DET
ejde-888	16	7	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	16	8	stability	stability	NOUN
ejde-888	16	9	criteria	criterion	NOUN
ejde-888	16	10	.	.	PUNCT
ejde-888	17	1	lyapunov	lyapunov	PROPN
ejde-888	17	2	provides	provide	VERB
ejde-888	17	3	a	a	DET
ejde-888	17	4	method	method	NOUN
ejde-888	17	5	which	which	PRON
ejde-888	17	6	is	be	AUX
ejde-888	17	7	useful	useful	ADJ
ejde-888	17	8	for	for	ADP
ejde-888	17	9	checking	check	VERB
ejde-888	17	10	the	the	DET
ejde-888	17	11	stability	stability	NOUN
ejde-888	17	12	of	of	ADP
ejde-888	17	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	17	14	systems	system	NOUN
ejde-888	17	15	[	[	X
ejde-888	17	16	16	16	NUM
ejde-888	17	17	,	,	PUNCT
ejde-888	17	18	21	21	NUM
ejde-888	17	19	,	,	PUNCT
ejde-888	17	20	26	26	NUM
ejde-888	17	21	]	]	PUNCT
ejde-888	17	22	.	.	PUNCT
ejde-888	18	1	in	in	ADP
ejde-888	18	2	[	[	X
ejde-888	18	3	8	8	NUM
ejde-888	18	4	]	]	PUNCT
ejde-888	18	5	authors	author	NOUN
ejde-888	18	6	introduced	introduce	VERB
ejde-888	18	7	a	a	DET
ejde-888	18	8	general	general	ADJ
ejde-888	18	9	method	method	NOUN
ejde-888	18	10	for	for	ADP
ejde-888	18	11	finding	find	VERB
ejde-888	18	12	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-888	18	13	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	18	14	functions	function	NOUN
ejde-888	18	15	in	in	ADP
ejde-888	18	16	the	the	DET
ejde-888	18	17	stability	stability	NOUN
ejde-888	18	18	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	18	19	of	of	ADP
ejde-888	18	20	many	many	ADJ
ejde-888	18	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-888	18	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	18	23	order	order	NOUN
ejde-888	18	24	systems	system	NOUN
ejde-888	18	25	.	.	PUNCT
ejde-888	19	1	the	the	DET
ejde-888	19	2	basic	basic	ADJ
ejde-888	19	3	idea	idea	NOUN
ejde-888	19	4	of	of	ADP
ejde-888	19	5	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	19	6	stability	stability	NOUN
ejde-888	19	7	of	of	ADP
ejde-888	19	8	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	19	9	systems	system	NOUN
ejde-888	19	10	is	be	AUX
ejde-888	19	11	discussed	discuss	VERB
ejde-888	19	12	in	in	ADP
ejde-888	19	13	book	book	NOUN
ejde-888	19	14	[	[	X
ejde-888	19	15	6	6	NUM
ejde-888	19	16	]	]	PUNCT
ejde-888	19	17	.	.	PUNCT
ejde-888	20	1	in	in	ADP
ejde-888	20	2	[	[	X
ejde-888	20	3	23	23	NUM
ejde-888	20	4	,	,	PUNCT
ejde-888	20	5	24	24	NUM
ejde-888	20	6	]	]	PUNCT
ejde-888	20	7	authors	author	NOUN
ejde-888	20	8	defined	define	VERB
ejde-888	20	9	a	a	DET
ejde-888	20	10	diamond	diamond	NOUN
ejde-888	20	11	ϑ-derivative	ϑ-derivative	NOUN
ejde-888	20	12	which	which	PRON
ejde-888	20	13	is	be	AUX
ejde-888	20	14	the	the	DET
ejde-888	20	15	linear	linear	ADJ
ejde-888	20	16	combination	combination	NOUN
ejde-888	20	17	of	of	ADP
ejde-888	20	18	the	the	DET
ejde-888	20	19	standard	standard	ADJ
ejde-888	20	20	∇	∇	X
ejde-888	20	21	and	and	CCONJ
ejde-888	20	22	∆	∆	PROPN
ejde-888	20	23	derivative	derivative	NOUN
ejde-888	20	24	on	on	ADP
ejde-888	20	25	2020	2020	NUM
ejde-888	20	26	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	20	27	subject	subject	ADJ
ejde-888	20	28	classification	classification	NOUN
ejde-888	20	29	.	.	PUNCT
ejde-888	21	1	34d20	34d20	NUM
ejde-888	21	2	,	,	PUNCT
ejde-888	21	3	26a33	26a33	NUM
ejde-888	21	4	,	,	PUNCT
ejde-888	21	5	39a30	39a30	NUM
ejde-888	21	6	.	.	PUNCT
ejde-888	22	1	key	key	ADJ
ejde-888	22	2	words	word	NOUN
ejde-888	22	3	and	and	CCONJ
ejde-888	22	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-888	22	5	.	.	PUNCT
ejde-888	22	6	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	22	7	-	-	PUNCT
ejde-888	22	8	like	like	ADJ
ejde-888	22	9	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	22	10	operator	operator	NOUN
ejde-888	22	11	;	;	PUNCT
ejde-888	22	12	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	22	13	stability	stability	NOUN
ejde-888	22	14	;	;	PUNCT
ejde-888	22	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	22	16	difference	difference	NOUN
ejde-888	22	17	equations	equation	NOUN
ejde-888	22	18	;	;	PUNCT
ejde-888	22	19	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	22	20	direct	direct	ADJ
ejde-888	22	21	method	method	NOUN
ejde-888	22	22	.	.	PUNCT
ejde-888	23	1	©	©	ADP
ejde-888	23	2	2024	2024	NUM
ejde-888	23	3	this	this	DET
ejde-888	23	4	work	work	NOUN
ejde-888	23	5	is	be	AUX
ejde-888	23	6	licensed	license	VERB
ejde-888	23	7	under	under	ADP
ejde-888	23	8	a	a	DET
ejde-888	23	9	cc	cc	NOUN
ejde-888	23	10	by	by	ADP
ejde-888	23	11	4.0	4.0	NUM
ejde-888	23	12	license	license	NOUN
ejde-888	23	13	.	.	PUNCT
ejde-888	24	1	published	publish	VERB
ejde-888	24	2	august	august	PROPN
ejde-888	24	3	20	20	NUM
ejde-888	24	4	,	,	PUNCT
ejde-888	24	5	2024	2024	NUM
ejde-888	24	6	.	.	PUNCT
ejde-888	25	1	49	49	NUM
ejde-888	25	2	50	50	NUM
ejde-888	25	3	a.	a.	NOUN
ejde-888	25	4	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	25	5	,	,	PUNCT
ejde-888	25	6	s.	s.	PROPN
ejde-888	25	7	n.	n.	PROPN
ejde-888	25	8	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	25	9	,	,	PUNCT
ejde-888	25	10	a.	a.	NOUN
ejde-888	25	11	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	25	12	the	the	DET
ejde-888	25	13	time	time	NOUN
ejde-888	25	14	scale	scale	NOUN
ejde-888	25	15	.	.	PUNCT
ejde-888	26	1	in	in	ADP
ejde-888	26	2	[	[	X
ejde-888	26	3	2	2	NUM
ejde-888	26	4	]	]	PUNCT
ejde-888	26	5	anderson	anderson	PROPN
ejde-888	26	6	and	and	CCONJ
ejde-888	26	7	onitsuka	onitsuka	PROPN
ejde-888	26	8	investigated	investigate	VERB
ejde-888	26	9	the	the	DET
ejde-888	26	10	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	26	11	stability	stability	NOUN
ejde-888	26	12	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	26	13	of	of	ADP
ejde-888	26	14	the	the	DET
ejde-888	26	15	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	26	16	solution	solution	NOUN
ejde-888	26	17	in	in	ADP
ejde-888	26	18	the	the	DET
ejde-888	26	19	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	26	20	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-888	26	21	linear	linear	ADJ
ejde-888	26	22	first	first	ADJ
ejde-888	26	23	-	-	PUNCT
ejde-888	26	24	order	order	NOUN
ejde-888	26	25	diamond	diamond	NOUN
ejde-888	26	26	-	-	PUNCT
ejde-888	26	27	alpha	alpha	NOUN
ejde-888	26	28	derivative	derivative	ADJ
ejde-888	26	29	equation	equation	NOUN
ejde-888	26	30	.	.	PUNCT
ejde-888	27	1	⋄ϑη(ω	⋄ϑη(ω	NOUN
ejde-888	27	2	)	)	PUNCT
ejde-888	27	3	=	=	SYM
ejde-888	27	4	λη(ω	λη(ω	NOUN
ejde-888	27	5	)	)	PUNCT
ejde-888	27	6	,	,	PUNCT
ejde-888	27	7	⋄ϑη(ω	⋄ϑη(ω	NOUN
ejde-888	27	8	)	)	PUNCT
ejde-888	27	9	=	=	SYM
ejde-888	27	10	ϑ∆hη(ω	ϑ∆hη(ω	NOUN
ejde-888	27	11	)	)	PUNCT
ejde-888	27	12	+	+	CCONJ
ejde-888	27	13	(	(	PUNCT
ejde-888	27	14	1−	1−	NUM
ejde-888	27	15	ϑ)∇hη(ω	ϑ)∇hη(ω	NOUN
ejde-888	27	16	)	)	PUNCT
ejde-888	27	17	,	,	PUNCT
ejde-888	27	18	ϑ	ϑ	X
ejde-888	27	19	∈	∈	X
ejde-888	28	1	[	[	X
ejde-888	28	2	0	0	NUM
ejde-888	28	3	,	,	PUNCT
ejde-888	28	4	1	1	NUM
ejde-888	28	5	]	]	PUNCT
ejde-888	28	6	,	,	PUNCT
ejde-888	28	7	where	where	SCONJ
ejde-888	28	8	λ	λ	PROPN
ejde-888	28	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	28	10	c	c	NOUN
ejde-888	28	11	and	and	CCONJ
ejde-888	28	12	i	i	PRON
ejde-888	28	13	=	=	PUNCT
ejde-888	29	1	[	[	X
ejde-888	29	2	ω0,∞]hz	ω0,∞]hz	NOUN
ejde-888	29	3	and	and	CCONJ
ejde-888	29	4	h	h	NOUN
ejde-888	29	5	is	be	AUX
ejde-888	29	6	step	step	NOUN
ejde-888	29	7	-	-	PUNCT
ejde-888	29	8	size	size	NOUN
ejde-888	29	9	h	h	NOUN
ejde-888	29	10	∈	∈	PROPN
ejde-888	29	11	r	r	NOUN
ejde-888	29	12	,	,	PUNCT
ejde-888	29	13	hz	hz	ADP
ejde-888	29	14	=	=	PUNCT
ejde-888	29	15	{	{	PUNCT
ejde-888	29	16	hn	hn	NOUN
ejde-888	29	17	:	:	PUNCT
ejde-888	29	18	n	n	X
ejde-888	29	19	∈	∈	PROPN
ejde-888	29	20	z	z	NOUN
ejde-888	29	21	}	}	PUNCT
ejde-888	29	22	.	.	PUNCT
ejde-888	30	1	atici	atici	VERB
ejde-888	30	2	and	and	CCONJ
ejde-888	30	3	eloe	eloe	ADJ
ejde-888	30	4	[	[	PUNCT
ejde-888	30	5	3	3	NUM
ejde-888	30	6	,	,	PUNCT
ejde-888	30	7	4	4	NUM
ejde-888	30	8	,	,	PUNCT
ejde-888	30	9	9	9	NUM
ejde-888	30	10	,	,	PUNCT
ejde-888	30	11	12	12	NUM
ejde-888	30	12	]	]	PUNCT
ejde-888	30	13	,	,	PUNCT
ejde-888	30	14	miller	miller	PROPN
ejde-888	30	15	and	and	CCONJ
ejde-888	30	16	ross	ross	PROPN
ejde-888	31	1	[	[	X
ejde-888	31	2	20	20	NUM
ejde-888	31	3	]	]	PUNCT
ejde-888	31	4	and	and	CCONJ
ejde-888	31	5	anastassiou	anastassiou	NOUN
ejde-888	32	1	[	[	X
ejde-888	32	2	1	1	NUM
ejde-888	32	3	]	]	PUNCT
ejde-888	32	4	introduced	introduce	VERB
ejde-888	32	5	liouville	liouville	PROPN
ejde-888	32	6	and	and	CCONJ
ejde-888	32	7	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	32	8	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	32	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	32	10	difference	difference	NOUN
ejde-888	32	11	and	and	CCONJ
ejde-888	32	12	defined	define	VERB
ejde-888	32	13	several	several	ADJ
ejde-888	32	14	properties	property	NOUN
ejde-888	32	15	.	.	PUNCT
ejde-888	33	1	in	in	ADP
ejde-888	33	2	[	[	X
ejde-888	33	3	27	27	NUM
ejde-888	33	4	]	]	SYM
ejde-888	33	5	wu	wu	PROPN
ejde-888	33	6	,	,	PUNCT
ejde-888	33	7	baleanu	baleanu	NOUN
ejde-888	33	8	and	and	CCONJ
ejde-888	33	9	luo	luo	PROPN
ejde-888	33	10	found	find	VERB
ejde-888	33	11	a	a	DET
ejde-888	33	12	alternative	alternative	ADJ
ejde-888	33	13	method	method	NOUN
ejde-888	33	14	to	to	PART
ejde-888	33	15	investigate	investigate	VERB
ejde-888	33	16	the	the	DET
ejde-888	33	17	stability	stability	NOUN
ejde-888	33	18	of	of	ADP
ejde-888	33	19	the	the	DET
ejde-888	33	20	following	follow	VERB
ejde-888	33	21	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	33	22	equations	equation	NOUN
ejde-888	33	23	∇ν	∇ν	PROPN
ejde-888	33	24	mη(ω	mη(ω	NOUN
ejde-888	33	25	)	)	PUNCT
ejde-888	33	26	=	=	SYM
ejde-888	33	27	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	33	28	,	,	PUNCT
ejde-888	33	29	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	33	30	)	)	PUNCT
ejde-888	33	31	)	)	PUNCT
ejde-888	33	32	,	,	PUNCT
ejde-888	33	33	η(m+	η(m+	NOUN
ejde-888	33	34	1	1	NUM
ejde-888	33	35	)	)	PUNCT
ejde-888	33	36	=	=	SYM
ejde-888	33	37	c	c	X
ejde-888	33	38	,	,	PUNCT
ejde-888	33	39	0	0	PUNCT
ejde-888	33	40	<	<	X
ejde-888	33	41	ν	ν	X
ejde-888	33	42	<	<	X
ejde-888	33	43	1	1	NUM
ejde-888	33	44	,	,	PUNCT
ejde-888	33	45	ω	ω	PROPN
ejde-888	33	46	∈	∈	PROPN
ejde-888	33	47	nm+2	nm+2	PROPN
ejde-888	33	48	,	,	PUNCT
ejde-888	33	49	where	where	SCONJ
ejde-888	33	50	∇ν	∇ν	PROPN
ejde-888	33	51	mη(ω	mη(ω	NOUN
ejde-888	33	52	)	)	PUNCT
ejde-888	33	53	is	be	AUX
ejde-888	33	54	the	the	DET
ejde-888	33	55	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	33	56	-	-	PUNCT
ejde-888	33	57	liouville	liouville	VERB
ejde-888	33	58	difference	difference	NOUN
ejde-888	33	59	of	of	ADP
ejde-888	33	60	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	33	61	)	)	PUNCT
ejde-888	33	62	.	.	PUNCT
ejde-888	34	1	in	in	ADP
ejde-888	34	2	[	[	X
ejde-888	34	3	5	5	NUM
ejde-888	34	4	]	]	SYM
ejde-888	34	5	wu	wu	PROPN
ejde-888	34	6	,	,	PUNCT
ejde-888	34	7	baleanu	baleanu	NOUN
ejde-888	34	8	and	and	CCONJ
ejde-888	34	9	luo	luo	PROPN
ejde-888	34	10	analyze	analyze	VERB
ejde-888	34	11	the	the	DET
ejde-888	34	12	stability	stability	NOUN
ejde-888	34	13	of	of	ADP
ejde-888	34	14	the	the	DET
ejde-888	34	15	following	follow	VERB
ejde-888	34	16	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	34	17	-	-	PUNCT
ejde-888	34	18	like	like	ADJ
ejde-888	34	19	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	34	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	34	21	systems	system	NOUN
ejde-888	34	22	c	c	NOUN
ejde-888	34	23	h∆	h∆	NOUN
ejde-888	34	24	ν	ν	NOUN
ejde-888	34	25	mη(ω	mη(ω	NOUN
ejde-888	34	26	)	)	PUNCT
ejde-888	34	27	=	=	SYM
ejde-888	34	28	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	34	29	+	+	CCONJ
ejde-888	34	30	νh	νh	VERB
ejde-888	34	31	,	,	PUNCT
ejde-888	34	32	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	34	33	+	+	CCONJ
ejde-888	34	34	νh	νh	NOUN
ejde-888	34	35	)	)	PUNCT
ejde-888	34	36	)	)	PUNCT
ejde-888	34	37	,	,	PUNCT
ejde-888	35	1	0	0	NUM
ejde-888	35	2	<	<	X
ejde-888	35	3	ν	ν	X
ejde-888	35	4	≤	≤	NUM
ejde-888	35	5	1	1	NUM
ejde-888	35	6	,	,	PUNCT
ejde-888	35	7	where	where	SCONJ
ejde-888	35	8	c	c	NOUN
ejde-888	35	9	h∆	h∆	X
ejde-888	35	10	ν	ν	NOUN
ejde-888	35	11	mη(ω	mη(ω	NOUN
ejde-888	35	12	)	)	PUNCT
ejde-888	35	13	denotes	denote	VERB
ejde-888	35	14	the	the	DET
ejde-888	35	15	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	35	16	-	-	PUNCT
ejde-888	35	17	like	like	ADJ
ejde-888	35	18	delta	delta	NOUN
ejde-888	35	19	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	35	20	h	h	NOUN
ejde-888	35	21	-	-	PUNCT
ejde-888	35	22	difference	difference	NOUN
ejde-888	35	23	of	of	ADP
ejde-888	35	24	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	35	25	)	)	PUNCT
ejde-888	35	26	on	on	ADP
ejde-888	35	27	the	the	DET
ejde-888	35	28	sets	set	NOUN
ejde-888	35	29	of	of	ADP
ejde-888	35	30	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	35	31	time	time	NOUN
ejde-888	35	32	(	(	PUNCT
ejde-888	35	33	hn)m+(1−ν)h	hn)m+(1−ν)h	NOUN
ejde-888	35	34	=	=	SYM
ejde-888	35	35	{	{	PUNCT
ejde-888	35	36	m+(1−ν)h	m+(1−ν)h	NOUN
ejde-888	35	37	,	,	PUNCT
ejde-888	35	38	m+(2−ν)h	m+(2−ν)h	NOUN
ejde-888	35	39	,	,	PUNCT
ejde-888	35	40	·	·	PUNCT
ejde-888	35	41	·	·	PUNCT
ejde-888	35	42	·	·	PUNCT
ejde-888	35	43	,	,	PUNCT
ejde-888	35	44	}	}	PUNCT
ejde-888	35	45	.	.	PUNCT
ejde-888	36	1	in	in	ADP
ejde-888	36	2	[	[	X
ejde-888	36	3	14	14	NUM
ejde-888	36	4	]	]	PUNCT
ejde-888	36	5	the	the	DET
ejde-888	36	6	authors	author	NOUN
ejde-888	36	7	introduced	introduce	VERB
ejde-888	36	8	the	the	DET
ejde-888	36	9	linear	linear	ADJ
ejde-888	36	10	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	36	11	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	36	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	36	13	difference	difference	NOUN
ejde-888	36	14	which	which	PRON
ejde-888	36	15	includes	include	VERB
ejde-888	36	16	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	36	17	-	-	PUNCT
ejde-888	36	18	liouville	liouville	PROPN
ejde-888	36	19	and	and	CCONJ
ejde-888	36	20	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	36	21	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	36	22	difference	difference	NOUN
ejde-888	36	23	as	as	ADP
ejde-888	36	24	a	a	DET
ejde-888	36	25	particular	particular	ADJ
ejde-888	36	26	cases	case	NOUN
ejde-888	36	27	and	and	CCONJ
ejde-888	36	28	defined	define	VERB
ejde-888	36	29	the	the	DET
ejde-888	36	30	asymptotical	asymptotical	ADJ
ejde-888	36	31	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	36	32	of	of	ADP
ejde-888	36	33	the	the	DET
ejde-888	36	34	solution	solution	NOUN
ejde-888	36	35	.	.	PUNCT
ejde-888	37	1	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	37	2	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	37	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	37	4	difference	difference	NOUN
ejde-888	37	5	is	be	AUX
ejde-888	37	6	a	a	DET
ejde-888	37	7	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-888	37	8	concept	concept	NOUN
ejde-888	37	9	used	use	VERB
ejde-888	37	10	in	in	ADP
ejde-888	37	11	the	the	DET
ejde-888	37	12	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	37	13	of	of	ADP
ejde-888	37	14	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	37	15	-	-	PUNCT
ejde-888	37	16	time	time	NOUN
ejde-888	37	17	signals	signal	NOUN
ejde-888	37	18	or	or	CCONJ
ejde-888	37	19	systems	system	NOUN
ejde-888	37	20	.	.	PUNCT
ejde-888	38	1	it	it	PRON
ejde-888	38	2	is	be	AUX
ejde-888	38	3	an	an	DET
ejde-888	38	4	extension	extension	NOUN
ejde-888	38	5	of	of	ADP
ejde-888	38	6	the	the	DET
ejde-888	38	7	traditional	traditional	ADJ
ejde-888	38	8	difference	difference	NOUN
ejde-888	38	9	operator	operator	NOUN
ejde-888	38	10	to	to	ADP
ejde-888	38	11	non	non	ADJ
ejde-888	38	12	-	-	ADJ
ejde-888	38	13	integer	integer	ADJ
ejde-888	38	14	orders	order	NOUN
ejde-888	38	15	,	,	PUNCT
ejde-888	38	16	allowing	allow	VERB
ejde-888	38	17	for	for	ADP
ejde-888	38	18	the	the	DET
ejde-888	38	19	characterization	characterization	NOUN
ejde-888	38	20	of	of	ADP
ejde-888	38	21	signals	signal	NOUN
ejde-888	38	22	with	with	ADP
ejde-888	38	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	38	24	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-888	38	25	.	.	PUNCT
ejde-888	39	1	in	in	ADP
ejde-888	39	2	[	[	X
ejde-888	39	3	14	14	NUM
ejde-888	39	4	]	]	SYM
ejde-888	39	5	mohan	mohan	PROPN
ejde-888	39	6	and	and	CCONJ
ejde-888	39	7	gopal	gopal	PROPN
ejde-888	39	8	derive	derive	VERB
ejde-888	39	9	the	the	DET
ejde-888	39	10	volterra	volterra	NOUN
ejde-888	39	11	summation	summation	NOUN
ejde-888	39	12	equation	equation	NOUN
ejde-888	39	13	to	to	PART
ejde-888	39	14	solve	solve	VERB
ejde-888	39	15	an	an	DET
ejde-888	39	16	initial	initial	ADJ
ejde-888	39	17	value	value	NOUN
ejde-888	39	18	problem	problem	NOUN
ejde-888	39	19	for	for	ADP
ejde-888	39	20	the	the	DET
ejde-888	39	21	class	class	NOUN
ejde-888	39	22	of	of	ADP
ejde-888	39	23	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	39	24	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	39	25	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	39	26	difference	difference	NOUN
ejde-888	39	27	equations	equation	NOUN
ejde-888	39	28	.	.	PUNCT
ejde-888	40	1	the	the	DET
ejde-888	40	2	authors	author	NOUN
ejde-888	40	3	demonstrated	demonstrate	VERB
ejde-888	40	4	the	the	DET
ejde-888	40	5	existence	existence	NOUN
ejde-888	40	6	of	of	ADP
ejde-888	40	7	stable	stable	ADJ
ejde-888	40	8	solutions	solution	NOUN
ejde-888	40	9	for	for	ADP
ejde-888	40	10	the	the	DET
ejde-888	40	11	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-888	40	12	cauchy	cauchy	PROPN
ejde-888	40	13	problem	problem	NOUN
ejde-888	40	14	in	in	ADP
ejde-888	40	15	[	[	X
ejde-888	40	16	11	11	NUM
ejde-888	40	17	]	]	PUNCT
ejde-888	40	18	by	by	ADP
ejde-888	40	19	utilizing	utilize	VERB
ejde-888	40	20	the	the	DET
ejde-888	40	21	compact	compact	ADJ
ejde-888	40	22	method	method	NOUN
ejde-888	40	23	and	and	CCONJ
ejde-888	40	24	fixed	fix	VERB
ejde-888	40	25	point	point	NOUN
ejde-888	40	26	technique	technique	NOUN
ejde-888	40	27	.	.	PUNCT
ejde-888	41	1	in	in	ADP
ejde-888	41	2	[	[	X
ejde-888	41	3	13	13	NUM
ejde-888	41	4	]	]	PUNCT
ejde-888	41	5	the	the	DET
ejde-888	41	6	authors	author	NOUN
ejde-888	41	7	presented	present	VERB
ejde-888	41	8	two	two	NUM
ejde-888	41	9	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	41	10	nabla	nabla	ADJ
ejde-888	41	11	variable	variable	ADJ
ejde-888	41	12	-	-	PUNCT
ejde-888	41	13	order	order	NOUN
ejde-888	41	14	models	model	NOUN
ejde-888	41	15	and	and	CCONJ
ejde-888	41	16	proved	prove	VERB
ejde-888	41	17	their	their	PRON
ejde-888	41	18	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	41	19	stability	stability	NOUN
ejde-888	41	20	.	.	PUNCT
ejde-888	42	1	after	after	ADP
ejde-888	42	2	this	this	PRON
ejde-888	42	3	in	in	ADP
ejde-888	42	4	the	the	DET
ejde-888	42	5	last	last	ADJ
ejde-888	42	6	several	several	ADJ
ejde-888	42	7	years	year	NOUN
ejde-888	42	8	researchers	researcher	NOUN
ejde-888	42	9	gives	give	VERB
ejde-888	42	10	a	a	DET
ejde-888	42	11	vigorous	vigorous	ADJ
ejde-888	42	12	theory	theory	NOUN
ejde-888	42	13	of	of	ADP
ejde-888	42	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	42	15	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	42	16	of	of	ADP
ejde-888	42	17	a	a	DET
ejde-888	42	18	real	real	ADJ
ejde-888	42	19	variables	variable	NOUN
ejde-888	42	20	.	.	PUNCT
ejde-888	43	1	in	in	ADP
ejde-888	43	2	this	this	DET
ejde-888	43	3	article	article	NOUN
ejde-888	43	4	we	we	PRON
ejde-888	43	5	investigate	investigate	VERB
ejde-888	43	6	the	the	DET
ejde-888	43	7	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-888	43	8	and	and	CCONJ
ejde-888	43	9	existence	existence	NOUN
ejde-888	43	10	of	of	ADP
ejde-888	43	11	the	the	DET
ejde-888	43	12	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	43	13	-	-	PUNCT
ejde-888	43	14	like	like	ADJ
ejde-888	43	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	43	16	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	43	17	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	43	18	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-888	43	19	system	system	NOUN
ejde-888	43	20	in	in	ADP
ejde-888	43	21	two	two	NUM
ejde-888	43	22	ways	way	NOUN
ejde-888	43	23	:	:	PUNCT
ejde-888	43	24	first	first	ADV
ejde-888	43	25	,	,	PUNCT
ejde-888	43	26	by	by	ADP
ejde-888	43	27	the	the	DET
ejde-888	43	28	picard	picard	PROPN
ejde-888	43	29	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	43	30	method	method	NOUN
ejde-888	43	31	,	,	PUNCT
ejde-888	43	32	and	and	CCONJ
ejde-888	43	33	second	second	ADJ
ejde-888	43	34	,	,	PUNCT
ejde-888	43	35	by	by	ADP
ejde-888	43	36	fixed	fix	VERB
ejde-888	43	37	point	point	NOUN
ejde-888	43	38	theorem	theorem	VERB
ejde-888	43	39	,	,	PUNCT
ejde-888	43	40	which	which	PRON
ejde-888	43	41	utilizes	utilize	VERB
ejde-888	43	42	the	the	DET
ejde-888	43	43	compactness	compactness	NOUN
ejde-888	43	44	property	property	NOUN
ejde-888	43	45	.	.	PUNCT
ejde-888	44	1	after	after	ADP
ejde-888	44	2	this	this	PRON
ejde-888	44	3	we	we	PRON
ejde-888	44	4	continue	continue	VERB
ejde-888	44	5	the	the	DET
ejde-888	44	6	work	work	NOUN
ejde-888	44	7	done	do	VERB
ejde-888	44	8	by	by	ADP
ejde-888	44	9	the	the	DET
ejde-888	44	10	authors	author	NOUN
ejde-888	44	11	in	in	ADP
ejde-888	44	12	[	[	X
ejde-888	44	13	14	14	NUM
ejde-888	44	14	,	,	PUNCT
ejde-888	44	15	27	27	NUM
ejde-888	44	16	,	,	PUNCT
ejde-888	44	17	5	5	NUM
ejde-888	44	18	,	,	PUNCT
ejde-888	44	19	28	28	NUM
ejde-888	44	20	]	]	PUNCT
ejde-888	44	21	and	and	CCONJ
ejde-888	44	22	discuss	discuss	VERB
ejde-888	44	23	the	the	DET
ejde-888	44	24	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	44	25	theory	theory	NOUN
ejde-888	44	26	for	for	ADP
ejde-888	44	27	the	the	DET
ejde-888	44	28	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	44	29	stability	stability	NOUN
ejde-888	44	30	of	of	ADP
ejde-888	44	31	the	the	DET
ejde-888	44	32	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	44	33	-	-	PUNCT
ejde-888	44	34	type	type	NOUN
ejde-888	44	35	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	44	36	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	44	37	difference	difference	NOUN
ejde-888	44	38	equation	equation	NOUN
ejde-888	44	39	.	.	PUNCT
ejde-888	45	1	we	we	PRON
ejde-888	45	2	consider	consider	VERB
ejde-888	45	3	the	the	DET
ejde-888	45	4	following	follow	VERB
ejde-888	45	5	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	45	6	equation	equation	NOUN
ejde-888	45	7	(	(	PUNCT
ejde-888	45	8	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	45	9	m	m	VERB
ejde-888	45	10	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	45	11	)	)	PUNCT
ejde-888	45	12	=	=	SYM
ejde-888	45	13	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	45	14	,	,	PUNCT
ejde-888	45	15	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	45	16	)	)	PUNCT
ejde-888	45	17	)	)	PUNCT
ejde-888	45	18	,	,	PUNCT
ejde-888	45	19	ω	ω	PROPN
ejde-888	45	20	∈	∈	NOUN
ejde-888	45	21	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	45	22	[	[	X
ejde-888	45	23	(	(	PUNCT
ejde-888	45	24	∇−(1−γ	∇−(1−γ	PROPN
ejde-888	45	25	)	)	PUNCT
ejde-888	45	26	m	m	VERB
ejde-888	45	27	η)(ω)]ω	η)(ω)]ω	NOUN
ejde-888	45	28	=	=	ADJ
ejde-888	45	29	m	m	NOUN
ejde-888	45	30	=	=	PUNCT
ejde-888	45	31	η(m	η(m	ADJ
ejde-888	45	32	)	)	PUNCT
ejde-888	46	1	=	=	SYM
ejde-888	46	2	η0	η0	NOUN
ejde-888	46	3	(	(	PUNCT
ejde-888	46	4	1.1	1.1	NUM
ejde-888	46	5	)	)	PUNCT
ejde-888	46	6	where	where	SCONJ
ejde-888	46	7	0	0	PUNCT
ejde-888	46	8	<	<	X
ejde-888	46	9	ϑ	ϑ	X
ejde-888	46	10	≤	≤	NUM
ejde-888	46	11	1	1	NUM
ejde-888	46	12	,	,	PUNCT
ejde-888	46	13	0	0	NUM
ejde-888	46	14	≤	≤	NUM
ejde-888	46	15	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	46	16	≤	≤	NUM
ejde-888	46	17	1	1	NUM
ejde-888	46	18	,	,	PUNCT
ejde-888	46	19	γ	γ	X
ejde-888	46	20	=	=	PUNCT
ejde-888	46	21	ϑ+	ϑ+	PROPN
ejde-888	46	22	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	46	23	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	46	24	,	,	PUNCT
ejde-888	46	25	ξ	ξ	PROPN
ejde-888	46	26	:	:	PUNCT
ejde-888	46	27	nm	nm	ADJ
ejde-888	46	28	×	×	NOUN
ejde-888	46	29	r	r	NOUN
ejde-888	46	30	→	→	SYM
ejde-888	46	31	r	r	NOUN
ejde-888	46	32	is	be	AUX
ejde-888	46	33	the	the	DET
ejde-888	46	34	nonlinearity	nonlinearity	NOUN
ejde-888	46	35	.	.	PUNCT
ejde-888	47	1	motivations	motivation	NOUN
ejde-888	47	2	and	and	CCONJ
ejde-888	47	3	contributions	contribution	NOUN
ejde-888	47	4	.	.	PUNCT
ejde-888	48	1	•	•	NUM
ejde-888	48	2	existence	existence	NOUN
ejde-888	48	3	and	and	CCONJ
ejde-888	48	4	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-888	48	5	using	use	VERB
ejde-888	48	6	picard	picard	PROPN
ejde-888	48	7	’s	’s	PART
ejde-888	48	8	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	48	9	method	method	NOUN
ejde-888	48	10	and	and	CCONJ
ejde-888	48	11	fixed	fix	VERB
ejde-888	48	12	point	point	NOUN
ejde-888	48	13	theorem	theorem	VERB
ejde-888	48	14	.	.	PROPN
ejde-888	48	15	•	•	NUM
ejde-888	48	16	linear	linear	ADJ
ejde-888	48	17	scalar	scalar	ADJ
ejde-888	48	18	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	48	19	difference	difference	NOUN
ejde-888	48	20	inequalities	inequality	NOUN
ejde-888	48	21	are	be	AUX
ejde-888	48	22	employed	employ	VERB
ejde-888	48	23	.	.	PUNCT
ejde-888	49	1	•	•	NUM
ejde-888	49	2	the	the	DET
ejde-888	49	3	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	49	4	second	second	ADJ
ejde-888	49	5	direct	direct	ADJ
ejde-888	49	6	method	method	NOUN
ejde-888	49	7	is	be	AUX
ejde-888	49	8	suggested	suggest	VERB
ejde-888	49	9	for	for	ADP
ejde-888	49	10	analyzing	analyze	VERB
ejde-888	49	11	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	49	12	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	49	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	49	14	systems	system	NOUN
ejde-888	49	15	.	.	PUNCT
ejde-888	50	1	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	50	2	/	/	SYM
ejde-888	50	3	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	50	4	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	50	5	stability	stability	NOUN
ejde-888	50	6	51	51	NUM
ejde-888	50	7	•	•	NOUN
ejde-888	50	8	to	to	PART
ejde-888	50	9	investigate	investigate	VERB
ejde-888	50	10	the	the	DET
ejde-888	50	11	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	50	12	stability	stability	NOUN
ejde-888	50	13	properties	property	NOUN
ejde-888	50	14	of	of	ADP
ejde-888	50	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	50	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	50	17	difference	difference	NOUN
ejde-888	50	18	equations	equation	NOUN
ejde-888	50	19	,	,	PUNCT
ejde-888	50	20	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	50	21	examples	example	NOUN
ejde-888	50	22	with	with	ADP
ejde-888	50	23	simulation	simulation	NOUN
ejde-888	50	24	results	result	NOUN
ejde-888	50	25	are	be	AUX
ejde-888	50	26	discussed	discuss	VERB
ejde-888	50	27	using	use	VERB
ejde-888	50	28	the	the	DET
ejde-888	50	29	well	well	ADV
ejde-888	50	30	known	know	VERB
ejde-888	50	31	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	50	32	direct	direct	ADJ
ejde-888	50	33	method	method	NOUN
ejde-888	50	34	and	and	CCONJ
ejde-888	50	35	newton	newton	PROPN
ejde-888	50	36	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	50	37	method	method	NOUN
ejde-888	50	38	.	.	PUNCT
ejde-888	51	1	the	the	DET
ejde-888	51	2	plan	plan	NOUN
ejde-888	51	3	for	for	ADP
ejde-888	51	4	this	this	DET
ejde-888	51	5	article	article	NOUN
ejde-888	51	6	is	be	AUX
ejde-888	51	7	follows	follow	VERB
ejde-888	51	8	:	:	PUNCT
ejde-888	51	9	in	in	ADP
ejde-888	51	10	section	section	NOUN
ejde-888	51	11	2	2	NUM
ejde-888	51	12	,	,	PUNCT
ejde-888	51	13	contains	contain	VERB
ejde-888	51	14	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-888	51	15	on	on	ADP
ejde-888	51	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	51	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	51	18	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	51	19	.	.	PUNCT
ejde-888	52	1	in	in	ADP
ejde-888	52	2	section	section	NOUN
ejde-888	52	3	3	3	NUM
ejde-888	52	4	,	,	PUNCT
ejde-888	52	5	we	we	PRON
ejde-888	52	6	discuss	discuss	VERB
ejde-888	52	7	some	some	DET
ejde-888	52	8	basics	basic	NOUN
ejde-888	52	9	notation	notation	NOUN
ejde-888	52	10	of	of	ADP
ejde-888	52	11	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	52	12	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	52	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	52	14	difference	difference	NOUN
ejde-888	52	15	and	and	CCONJ
ejde-888	52	16	their	their	PRON
ejde-888	52	17	properties	property	NOUN
ejde-888	52	18	.	.	PUNCT
ejde-888	53	1	in	in	ADP
ejde-888	53	2	section	section	NOUN
ejde-888	53	3	4	4	NUM
ejde-888	53	4	,	,	PUNCT
ejde-888	53	5	we	we	PRON
ejde-888	53	6	provide	provide	VERB
ejde-888	53	7	some	some	DET
ejde-888	53	8	inequalities	inequality	NOUN
ejde-888	53	9	,	,	PUNCT
ejde-888	53	10	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	53	11	comparison	comparison	NOUN
ejde-888	53	12	principle	principle	NOUN
ejde-888	53	13	and	and	CCONJ
ejde-888	53	14	method	method	NOUN
ejde-888	53	15	for	for	ADP
ejde-888	53	16	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	53	17	stability	stability	NOUN
ejde-888	53	18	of	of	ADP
ejde-888	53	19	the	the	DET
ejde-888	53	20	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	53	21	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	53	22	difference	difference	NOUN
ejde-888	53	23	equation	equation	NOUN
ejde-888	53	24	.	.	PUNCT
ejde-888	54	1	in	in	ADP
ejde-888	54	2	section	section	NOUN
ejde-888	54	3	5	5	NUM
ejde-888	54	4	,	,	PUNCT
ejde-888	54	5	we	we	PRON
ejde-888	54	6	discuss	discuss	VERB
ejde-888	54	7	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	54	8	stability	stability	NOUN
ejde-888	54	9	with	with	ADP
ejde-888	54	10	some	some	DET
ejde-888	54	11	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	54	12	examples	example	NOUN
ejde-888	54	13	using	use	VERB
ejde-888	54	14	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	54	15	direct	direct	ADJ
ejde-888	54	16	method	method	NOUN
ejde-888	54	17	and	and	CCONJ
ejde-888	54	18	newton	newton	PROPN
ejde-888	54	19	’s	’s	PART
ejde-888	54	20	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	54	21	method	method	NOUN
ejde-888	54	22	.	.	PUNCT
ejde-888	55	1	2	2	X
ejde-888	55	2	.	.	X
ejde-888	55	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-888	55	4	let	let	VERB
ejde-888	55	5	r	r	NOUN
ejde-888	55	6	be	be	AUX
ejde-888	55	7	the	the	DET
ejde-888	55	8	set	set	NOUN
ejde-888	55	9	of	of	ADP
ejde-888	55	10	real	real	ADJ
ejde-888	55	11	numbers	number	NOUN
ejde-888	55	12	,	,	PUNCT
ejde-888	55	13	and	and	CCONJ
ejde-888	55	14	nm	nm	ADV
ejde-888	55	15	as	as	ADP
ejde-888	55	16	the	the	DET
ejde-888	55	17	set	set	NOUN
ejde-888	55	18	{	{	PUNCT
ejde-888	55	19	m	m	PROPN
ejde-888	55	20	,	,	PUNCT
ejde-888	55	21	m	m	VERB
ejde-888	55	22	+	+	X
ejde-888	55	23	1,m	1,m	ADJ
ejde-888	55	24	+	+	NUM
ejde-888	55	25	2	2	NUM
ejde-888	55	26	,	,	PUNCT
ejde-888	55	27	·	·	PUNCT
ejde-888	55	28	·	·	PUNCT
ejde-888	55	29	·	·	PUNCT
ejde-888	55	30	}	}	PUNCT
ejde-888	55	31	for	for	ADP
ejde-888	55	32	any	any	DET
ejde-888	55	33	m	m	PROPN
ejde-888	55	34	∈	∈	PROPN
ejde-888	55	35	r.	r.	NOUN
ejde-888	55	36	it	it	PRON
ejde-888	55	37	is	be	AUX
ejde-888	55	38	assumed	assume	VERB
ejde-888	55	39	that	that	SCONJ
ejde-888	55	40	empty	empty	ADJ
ejde-888	55	41	sums	sum	NOUN
ejde-888	55	42	equate	equate	VERB
ejde-888	55	43	to	to	ADP
ejde-888	55	44	0	0	NUM
ejde-888	55	45	and	and	CCONJ
ejde-888	55	46	empty	empty	ADJ
ejde-888	55	47	products	product	NOUN
ejde-888	55	48	equate	equate	VERB
ejde-888	55	49	to	to	ADP
ejde-888	55	50	1	1	NUM
ejde-888	55	51	.	.	PUNCT
ejde-888	56	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	56	2	2.1	2.1	NUM
ejde-888	56	3	(	(	PUNCT
ejde-888	56	4	[	[	X
ejde-888	56	5	14	14	NUM
ejde-888	56	6	]	]	NUM
ejde-888	56	7	)	)	PUNCT
ejde-888	56	8	.	.	PUNCT
ejde-888	57	1	consider	consider	VERB
ejde-888	57	2	µ	µ	NOUN
ejde-888	57	3	belonging	belong	VERB
ejde-888	57	4	to	to	ADP
ejde-888	57	5	the	the	DET
ejde-888	57	6	set	set	NOUN
ejde-888	57	7	of	of	ADP
ejde-888	57	8	real	real	ADJ
ejde-888	57	9	numbers	number	NOUN
ejde-888	57	10	,	,	PUNCT
ejde-888	57	11	excluding	exclude	VERB
ejde-888	57	12	values	value	NOUN
ejde-888	57	13	in	in	ADP
ejde-888	57	14	the	the	DET
ejde-888	57	15	set	set	NOUN
ejde-888	57	16	{	{	PUNCT
ejde-888	57	17	·	·	PUNCT
ejde-888	57	18	·	·	PUNCT
ejde-888	57	19	·	·	PUNCT
ejde-888	57	20	,	,	PUNCT
ejde-888	57	21	−2,−1	−2,−1	ADV
ejde-888	57	22	}	}	PUNCT
ejde-888	57	23	.	.	PUNCT
ejde-888	58	1	the	the	DET
ejde-888	58	2	µth	µth	NOUN
ejde-888	58	3	order	order	VERB
ejde-888	58	4	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	58	5	fractional	fractional	PROPN
ejde-888	58	6	taylor	taylor	PROPN
ejde-888	58	7	monomial	monomial	PROPN
ejde-888	58	8	is	be	AUX
ejde-888	58	9	expressed	express	VERB
ejde-888	58	10	as	as	SCONJ
ejde-888	58	11	follows	follow	VERB
ejde-888	58	12	:	:	PUNCT
ejde-888	58	13	hµ(ω	hµ(ω	X
ejde-888	58	14	,	,	PUNCT
ejde-888	58	15	m	m	NOUN
ejde-888	58	16	)	)	PUNCT
ejde-888	59	1	=	=	SYM
ejde-888	59	2	(	(	PUNCT
ejde-888	59	3	ω	ω	NUM
ejde-888	59	4	−m)µ̄	−m)µ̄	NOUN
ejde-888	59	5	γ(µ+	γ(µ+	NUM
ejde-888	59	6	1	1	X
ejde-888	59	7	)	)	PUNCT
ejde-888	59	8	=	=	SYM
ejde-888	59	9	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	59	10	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	59	11	µ	µ	X
ejde-888	59	12	)	)	PUNCT
ejde-888	59	13	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	59	14	−m)γ(µ+	−m)γ(µ+	NOUN
ejde-888	59	15	1	1	NUM
ejde-888	59	16	)	)	PUNCT
ejde-888	59	17	,	,	PUNCT
ejde-888	59	18	provided	provide	VERB
ejde-888	59	19	the	the	DET
ejde-888	59	20	right	right	ADJ
ejde-888	59	21	-	-	PUNCT
ejde-888	59	22	hand	hand	NOUN
ejde-888	59	23	side	side	NOUN
ejde-888	59	24	exists	exist	VERB
ejde-888	59	25	.	.	PUNCT
ejde-888	60	1	γ	γ	X
ejde-888	60	2	(	(	PUNCT
ejde-888	60	3	·	·	PUNCT
ejde-888	60	4	)	)	PUNCT
ejde-888	60	5	is	be	AUX
ejde-888	60	6	the	the	DET
ejde-888	60	7	euler	euler	PROPN
ejde-888	60	8	gamma	gamma	PROPN
ejde-888	60	9	function	function	PROPN
ejde-888	60	10	.	.	PUNCT
ejde-888	61	1	let	let	VERB
ejde-888	61	2	η	η	PROPN
ejde-888	61	3	:	:	PUNCT
ejde-888	61	4	nm	nm	PROPN
ejde-888	61	5	→	→	SYM
ejde-888	61	6	r	r	NOUN
ejde-888	61	7	and	and	CCONJ
ejde-888	61	8	n	n	CCONJ
ejde-888	61	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	61	10	n1	n1	NOUN
ejde-888	61	11	.	.	PUNCT
ejde-888	62	1	the	the	DET
ejde-888	62	2	first	first	ADJ
ejde-888	62	3	order	order	NOUN
ejde-888	62	4	backward	backward	ADJ
ejde-888	62	5	(	(	PUNCT
ejde-888	62	6	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	62	7	)	)	PUNCT
ejde-888	62	8	difference	difference	NOUN
ejde-888	62	9	of	of	ADP
ejde-888	62	10	η	η	PROPN
ejde-888	62	11	is	be	AUX
ejde-888	62	12	defined	define	VERB
ejde-888	62	13	by	by	ADP
ejde-888	62	14	(	(	PUNCT
ejde-888	62	15	∇η)(ω	∇η)(ω	PROPN
ejde-888	62	16	)	)	PUNCT
ejde-888	62	17	=	=	SYM
ejde-888	62	18	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	62	19	)	)	PUNCT
ejde-888	62	20	−	−	ADP
ejde-888	62	21	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	62	22	−	−	NOUN
ejde-888	62	23	1	1	NUM
ejde-888	62	24	)	)	PUNCT
ejde-888	62	25	for	for	ADP
ejde-888	62	26	ω	ω	PROPN
ejde-888	62	27	∈	∈	PROPN
ejde-888	62	28	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	62	29	,	,	PUNCT
ejde-888	62	30	and	and	CCONJ
ejde-888	62	31	the	the	DET
ejde-888	62	32	n	n	CCONJ
ejde-888	62	33	th−order	th−order	NOUN
ejde-888	62	34	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	62	35	difference	difference	NOUN
ejde-888	62	36	of	of	ADP
ejde-888	62	37	η	η	PROPN
ejde-888	62	38	defined	define	VERB
ejde-888	62	39	recursively	recursively	ADV
ejde-888	62	40	by	by	ADP
ejde-888	62	41	(	(	PUNCT
ejde-888	62	42	∇nη)(ω	∇nη)(ω	NUM
ejde-888	62	43	)	)	PUNCT
ejde-888	62	44	=	=	SYM
ejde-888	62	45	(	(	PUNCT
ejde-888	62	46	∇(∇n−1η))(ω	∇(∇n−1η))(ω	PROPN
ejde-888	62	47	)	)	PUNCT
ejde-888	62	48	for	for	ADP
ejde-888	62	49	ω	ω	PROPN
ejde-888	62	50	∈	∈	PROPN
ejde-888	62	51	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	62	52	.	.	PUNCT
ejde-888	63	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	63	2	2.2	2.2	NUM
ejde-888	63	3	(	(	PUNCT
ejde-888	63	4	[	[	X
ejde-888	63	5	14	14	NUM
ejde-888	63	6	]	]	NUM
ejde-888	63	7	)	)	PUNCT
ejde-888	63	8	.	.	PUNCT
ejde-888	64	1	consider	consider	VERB
ejde-888	64	2	a	a	DET
ejde-888	64	3	function	function	NOUN
ejde-888	64	4	η	η	NOUN
ejde-888	64	5	:	:	PUNCT
ejde-888	64	6	nm	nm	NOUN
ejde-888	64	7	→	→	SYM
ejde-888	64	8	r	r	NOUN
ejde-888	64	9	and	and	CCONJ
ejde-888	64	10	let	let	VERB
ejde-888	64	11	ν	ν	PROPN
ejde-888	64	12	>	>	X
ejde-888	64	13	0	0	PROPN
ejde-888	64	14	.	.	PUNCT
ejde-888	65	1	the	the	DET
ejde-888	65	2	νth−order	νth−order	PROPN
ejde-888	65	3	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	65	4	sum	sum	NOUN
ejde-888	65	5	of	of	ADP
ejde-888	65	6	η	η	PROPN
ejde-888	65	7	is	be	AUX
ejde-888	65	8	defined	define	VERB
ejde-888	65	9	as	as	ADP
ejde-888	65	10	follows	follow	VERB
ejde-888	65	11	(	(	PUNCT
ejde-888	65	12	∇−ν	∇−ν	NOUN
ejde-888	65	13	m	m	ADV
ejde-888	65	14	η)(ω	η)(ω	ADJ
ejde-888	65	15	)	)	PUNCT
ejde-888	66	1	=	=	SYM
ejde-888	66	2	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	66	3	s	s	PROPN
ejde-888	66	4	=	=	NOUN
ejde-888	66	5	m	m	NOUN
ejde-888	66	6	hν−1(ω	hν−1(ω	ADJ
ejde-888	66	7	,	,	PUNCT
ejde-888	66	8	ζ(s))η(s	ζ(s))η(	NOUN
ejde-888	66	9	)	)	PUNCT
ejde-888	66	10	,	,	PUNCT
ejde-888	66	11	ω	ω	PROPN
ejde-888	66	12	∈	∈	PROPN
ejde-888	66	13	nm	nm	NOUN
ejde-888	66	14	,	,	PUNCT
ejde-888	66	15	where	where	SCONJ
ejde-888	66	16	ζ(s	ζ(s	NOUN
ejde-888	66	17	)	)	PUNCT
ejde-888	66	18	=	=	SYM
ejde-888	66	19	s−	s−	PROPN
ejde-888	66	20	1	1	NUM
ejde-888	66	21	.	.	PUNCT
ejde-888	67	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	67	2	2.3	2.3	NUM
ejde-888	67	3	(	(	PUNCT
ejde-888	67	4	[	[	X
ejde-888	67	5	14	14	NUM
ejde-888	67	6	]	]	NUM
ejde-888	67	7	)	)	PUNCT
ejde-888	67	8	.	.	PUNCT
ejde-888	68	1	given	give	VERB
ejde-888	68	2	a	a	DET
ejde-888	68	3	function	function	NOUN
ejde-888	68	4	η	η	NOUN
ejde-888	68	5	:	:	PUNCT
ejde-888	68	6	nm	nm	PROPN
ejde-888	68	7	→	→	SYM
ejde-888	68	8	r	r	NOUN
ejde-888	68	9	,	,	PUNCT
ejde-888	68	10	ν	ν	X
ejde-888	68	11	>	>	X
ejde-888	68	12	0	0	PUNCT
ejde-888	68	13	and	and	CCONJ
ejde-888	68	14	select	select	VERB
ejde-888	68	15	n	n	PRON
ejde-888	68	16	∈	∈	PROPN
ejde-888	68	17	n1	n1	NOUN
ejde-888	68	18	such	such	ADJ
ejde-888	68	19	that	that	SCONJ
ejde-888	68	20	n	n	CCONJ
ejde-888	68	21	−	−	PROPN
ejde-888	68	22	1	1	NUM
ejde-888	68	23	<	<	X
ejde-888	68	24	ν	ν	X
ejde-888	68	25	≤	≤	NOUN
ejde-888	68	26	n	n	ADV
ejde-888	68	27	.	.	PUNCT
ejde-888	69	1	the	the	DET
ejde-888	69	2	νth−order	νth−order	PROPN
ejde-888	69	3	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	69	4	-	-	PUNCT
ejde-888	69	5	liouville	liouville	VERB
ejde-888	69	6	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	69	7	difference	difference	NOUN
ejde-888	69	8	of	of	ADP
ejde-888	69	9	η	η	PROPN
ejde-888	69	10	is	be	AUX
ejde-888	69	11	defined	define	VERB
ejde-888	69	12	by	by	ADP
ejde-888	69	13	(	(	PUNCT
ejde-888	69	14	∇ν	∇ν	PROPN
ejde-888	69	15	mη)(ω	mη)(ω	PROPN
ejde-888	69	16	)	)	PUNCT
ejde-888	70	1	=	=	SYM
ejde-888	70	2	(	(	PUNCT
ejde-888	70	3	∇n	∇n	NOUN
ejde-888	70	4	(	(	PUNCT
ejde-888	70	5	∇−(n−ν	∇−(n−ν	NOUN
ejde-888	70	6	)	)	PUNCT
ejde-888	70	7	m	m	VERB
ejde-888	70	8	η))(ω	η))(ω	NOUN
ejde-888	70	9	)	)	PUNCT
ejde-888	70	10	,	,	PUNCT
ejde-888	70	11	ω	ω	PROPN
ejde-888	70	12	∈	∈	PROPN
ejde-888	70	13	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	70	14	.	.	PUNCT
ejde-888	71	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	71	2	2.4	2.4	NUM
ejde-888	71	3	(	(	PUNCT
ejde-888	71	4	[	[	X
ejde-888	71	5	14	14	NUM
ejde-888	71	6	]	]	NUM
ejde-888	71	7	)	)	PUNCT
ejde-888	71	8	.	.	PUNCT
ejde-888	72	1	consider	consider	VERB
ejde-888	72	2	a	a	DET
ejde-888	72	3	function	function	NOUN
ejde-888	72	4	η	η	PROPN
ejde-888	72	5	:	:	PUNCT
ejde-888	72	6	nm−n	nm−n	PROPN
ejde-888	72	7	→	→	SYM
ejde-888	72	8	r	r	NOUN
ejde-888	72	9	,	,	PUNCT
ejde-888	72	10	ν	ν	X
ejde-888	72	11	>	>	X
ejde-888	72	12	0	0	PUNCT
ejde-888	72	13	and	and	CCONJ
ejde-888	72	14	select	select	VERB
ejde-888	72	15	n	n	PRON
ejde-888	72	16	∈	∈	PROPN
ejde-888	72	17	n1	n1	NOUN
ejde-888	72	18	such	such	ADJ
ejde-888	72	19	that	that	SCONJ
ejde-888	72	20	n	n	CCONJ
ejde-888	72	21	−	−	PROPN
ejde-888	72	22	1	1	NUM
ejde-888	72	23	<	<	X
ejde-888	72	24	ν	ν	X
ejde-888	72	25	≤	≤	NOUN
ejde-888	72	26	n	n	ADV
ejde-888	72	27	.	.	PUNCT
ejde-888	73	1	the	the	DET
ejde-888	73	2	νth−order	νth−order	PROPN
ejde-888	73	3	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	73	4	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	73	5	difference	difference	NOUN
ejde-888	73	6	of	of	ADP
ejde-888	73	7	η	η	PROPN
ejde-888	73	8	is	be	AUX
ejde-888	73	9	defined	define	VERB
ejde-888	73	10	as	as	ADP
ejde-888	73	11	follows	follow	VERB
ejde-888	73	12	(	(	PUNCT
ejde-888	73	13	∇ν	∇ν	PROPN
ejde-888	73	14	∗mη)(ω	∗mη)(ω	NUM
ejde-888	73	15	)	)	PUNCT
ejde-888	74	1	=	=	PRON
ejde-888	74	2	(	(	PUNCT
ejde-888	74	3	∇−(n−ν	∇−(n−ν	NOUN
ejde-888	74	4	)	)	PUNCT
ejde-888	74	5	m	m	VERB
ejde-888	74	6	(	(	PUNCT
ejde-888	74	7	∇nη)(ω	∇nη)(ω	ADJ
ejde-888	74	8	)	)	PUNCT
ejde-888	74	9	)	)	PUNCT
ejde-888	74	10	,	,	PUNCT
ejde-888	74	11	ω	ω	PROPN
ejde-888	74	12	∈	∈	PROPN
ejde-888	74	13	nm	nm	NOUN
ejde-888	74	14	.	.	PUNCT
ejde-888	75	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	75	2	2.5	2.5	NUM
ejde-888	75	3	(	(	PUNCT
ejde-888	75	4	[	[	X
ejde-888	75	5	10	10	NUM
ejde-888	75	6	,	,	PUNCT
ejde-888	75	7	14	14	NUM
ejde-888	75	8	]	]	PUNCT
ejde-888	75	9	)	)	PUNCT
ejde-888	75	10	.	.	PUNCT
ejde-888	76	1	let	let	VERB
ejde-888	76	2	η	η	PROPN
ejde-888	76	3	:	:	PUNCT
ejde-888	76	4	nm	nm	PROPN
ejde-888	76	5	→	→	SYM
ejde-888	76	6	r	r	NOUN
ejde-888	76	7	,	,	PUNCT
ejde-888	76	8	ν	ν	NOUN
ejde-888	76	9	and	and	CCONJ
ejde-888	76	10	µ	µ	PRON
ejde-888	76	11	both	both	PRON
ejde-888	76	12	are	be	AUX
ejde-888	76	13	greater	great	ADJ
ejde-888	76	14	than	than	ADP
ejde-888	76	15	0	0	NUM
ejde-888	76	16	.	.	PUNCT
ejde-888	77	1	in	in	ADP
ejde-888	77	2	this	this	DET
ejde-888	77	3	case	case	NOUN
ejde-888	77	4	,	,	PUNCT
ejde-888	77	5	(	(	PUNCT
ejde-888	77	6	∇−ν	∇−ν	PROPN
ejde-888	77	7	m	m	VERB
ejde-888	77	8	∇−µ	∇−µ	ADJ
ejde-888	77	9	m	m	VERB
ejde-888	77	10	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	77	11	)	)	PUNCT
ejde-888	77	12	=	=	SYM
ejde-888	77	13	(	(	PUNCT
ejde-888	77	14	∇−ν−µ	∇−ν−µ	NOUN
ejde-888	77	15	m	m	VERB
ejde-888	77	16	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	77	17	)	)	PUNCT
ejde-888	77	18	,	,	PUNCT
ejde-888	77	19	ω	ω	PROPN
ejde-888	77	20	∈	∈	PROPN
ejde-888	77	21	nm	nm	NOUN
ejde-888	77	22	,	,	PUNCT
ejde-888	77	23	(	(	PUNCT
ejde-888	77	24	2.1	2.1	NUM
ejde-888	77	25	)	)	PUNCT
ejde-888	77	26	(	(	PUNCT
ejde-888	77	27	∇−ν	∇−ν	NOUN
ejde-888	77	28	m+1∇η)(ω	m+1∇η)(ω	ADJ
ejde-888	77	29	)	)	PUNCT
ejde-888	77	30	=	=	SYM
ejde-888	77	31	(	(	PUNCT
ejde-888	77	32	∇∇−ν	∇∇−ν	PROPN
ejde-888	77	33	m	m	PROPN
ejde-888	77	34	η)(ω)−hν−1(ω	η)(ω)−hν−1(ω	NOUN
ejde-888	77	35	,	,	PUNCT
ejde-888	77	36	ζ(m))η(m	ζ(m))η(m	ADV
ejde-888	77	37	)	)	PUNCT
ejde-888	77	38	,	,	PUNCT
ejde-888	77	39	ω	ω	PROPN
ejde-888	77	40	∈	∈	PROPN
ejde-888	77	41	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	77	42	.	.	PUNCT
ejde-888	77	43	(	(	PUNCT
ejde-888	77	44	2.2	2.2	NUM
ejde-888	77	45	)	)	PUNCT
ejde-888	77	46	52	52	NUM
ejde-888	77	47	a.	a.	NOUN
ejde-888	77	48	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	77	49	,	,	PUNCT
ejde-888	77	50	s.	s.	PROPN
ejde-888	77	51	n.	n.	PROPN
ejde-888	77	52	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	77	53	,	,	PUNCT
ejde-888	77	54	a.	a.	NOUN
ejde-888	77	55	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	77	56	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	77	57	2.6	2.6	NUM
ejde-888	77	58	(	(	PUNCT
ejde-888	77	59	[	[	X
ejde-888	77	60	14	14	NUM
ejde-888	77	61	,	,	PUNCT
ejde-888	77	62	10	10	NUM
ejde-888	77	63	]	]	NUM
ejde-888	77	64	)	)	PUNCT
ejde-888	77	65	.	.	PUNCT
ejde-888	78	1	the	the	DET
ejde-888	78	2	well	well	NOUN
ejde-888	78	3	-	-	PUNCT
ejde-888	78	4	definedness	definedness	NOUN
ejde-888	78	5	of	of	ADP
ejde-888	78	6	the	the	DET
ejde-888	78	7	following	follow	VERB
ejde-888	78	8	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	78	9	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	78	10	taylor	taylor	PROPN
ejde-888	78	11	monomials	monomial	NOUN
ejde-888	78	12	is	be	AUX
ejde-888	78	13	established	establish	VERB
ejde-888	78	14	.	.	PUNCT
ejde-888	79	1	1	1	X
ejde-888	79	2	.	.	X
ejde-888	79	3	consider	consider	VERB
ejde-888	79	4	ν	ν	NOUN
ejde-888	79	5	>	>	X
ejde-888	79	6	0	0	NUM
ejde-888	79	7	and	and	CCONJ
ejde-888	79	8	µ	µ	PROPN
ejde-888	79	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	79	10	r.	r.	NOUN
ejde-888	79	11	in	in	ADP
ejde-888	79	12	this	this	DET
ejde-888	79	13	scenario	scenario	NOUN
ejde-888	79	14	,	,	PUNCT
ejde-888	79	15	∇−ν	∇−ν	PROPN
ejde-888	79	16	m	m	NOUN
ejde-888	79	17	hν(ω	hν(ω	NOUN
ejde-888	79	18	,	,	PUNCT
ejde-888	79	19	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	79	20	)	)	PUNCT
ejde-888	79	21	)	)	PUNCT
ejde-888	80	1	=	=	SYM
ejde-888	80	2	hν+µ(ω	hν+µ(ω	PROPN
ejde-888	80	3	,	,	PUNCT
ejde-888	80	4	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	80	5	)	)	PUNCT
ejde-888	80	6	)	)	PUNCT
ejde-888	80	7	,	,	PUNCT
ejde-888	80	8	ω	ω	PROPN
ejde-888	80	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	80	10	nm	nm	NOUN
ejde-888	80	11	.	.	PROPN
ejde-888	80	12	2	2	X
ejde-888	80	13	.	.	X
ejde-888	80	14	consider	consider	VERB
ejde-888	80	15	ν	ν	NOUN
ejde-888	80	16	,	,	PUNCT
ejde-888	80	17	µ	µ	X
ejde-888	80	18	∈	∈	NOUN
ejde-888	80	19	r	r	NOUN
ejde-888	80	20	and	and	CCONJ
ejde-888	80	21	ω	ω	NUM
ejde-888	80	22	∈	∈	PROPN
ejde-888	80	23	n1	n1	NOUN
ejde-888	80	24	such	such	ADJ
ejde-888	80	25	that	that	SCONJ
ejde-888	80	26	n	n	CCONJ
ejde-888	80	27	−	−	PROPN
ejde-888	80	28	1	1	NUM
ejde-888	80	29	<	<	X
ejde-888	80	30	ν	ν	X
ejde-888	80	31	≤	≤	NOUN
ejde-888	80	32	n	n	ADV
ejde-888	80	33	.	.	PUNCT
ejde-888	81	1	then	then	ADV
ejde-888	81	2	∇ν	∇ν	PROPN
ejde-888	81	3	mhµ(ω	mhµ(ω	PROPN
ejde-888	81	4	,	,	PUNCT
ejde-888	81	5	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	81	6	)	)	PUNCT
ejde-888	81	7	)	)	PUNCT
ejde-888	82	1	=	=	SYM
ejde-888	82	2	hν−µ(ω	hν−µ(ω	NOUN
ejde-888	82	3	,	,	PUNCT
ejde-888	82	4	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	82	5	)	)	PUNCT
ejde-888	82	6	)	)	PUNCT
ejde-888	82	7	,	,	PUNCT
ejde-888	83	1	ω	ω	PROPN
ejde-888	83	2	∈	∈	PROPN
ejde-888	83	3	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	83	4	.	.	PUNCT
ejde-888	84	1	3	3	X
ejde-888	84	2	.	.	NOUN
ejde-888	84	3	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	84	4	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	84	5	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	84	6	difference	difference	NOUN
ejde-888	84	7	first	first	ADV
ejde-888	84	8	,	,	PUNCT
ejde-888	84	9	we	we	PRON
ejde-888	84	10	provide	provide	VERB
ejde-888	84	11	the	the	DET
ejde-888	84	12	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	84	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	84	14	derivative	derivative	NOUN
ejde-888	84	15	’s	’s	PART
ejde-888	84	16	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	84	17	equivalent	equivalent	NOUN
ejde-888	84	18	.	.	PUNCT
ejde-888	85	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	85	2	3.1	3.1	NUM
ejde-888	85	3	(	(	PUNCT
ejde-888	85	4	[	[	X
ejde-888	85	5	14	14	NUM
ejde-888	85	6	,	,	PUNCT
ejde-888	85	7	10	10	NUM
ejde-888	85	8	]	]	NUM
ejde-888	85	9	)	)	PUNCT
ejde-888	85	10	.	.	PUNCT
ejde-888	86	1	consider	consider	VERB
ejde-888	86	2	the	the	DET
ejde-888	86	3	function	function	NOUN
ejde-888	86	4	η	η	PROPN
ejde-888	86	5	:	:	PUNCT
ejde-888	86	6	nm	nm	PROPN
ejde-888	86	7	→	→	SYM
ejde-888	86	8	r	r	NOUN
ejde-888	86	9	,	,	PUNCT
ejde-888	86	10	0	0	NUM
ejde-888	86	11	≤	≤	NUM
ejde-888	86	12	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	86	13	≤	≤	NUM
ejde-888	86	14	1	1	NUM
ejde-888	86	15	,	,	PUNCT
ejde-888	86	16	and	and	CCONJ
ejde-888	86	17	choose	choose	VERB
ejde-888	86	18	n	n	PRON
ejde-888	86	19	∈	∈	PROPN
ejde-888	86	20	n1	n1	NOUN
ejde-888	86	21	such	such	ADJ
ejde-888	86	22	that	that	SCONJ
ejde-888	86	23	n	n	CCONJ
ejde-888	86	24	−	−	PROPN
ejde-888	86	25	1	1	NUM
ejde-888	86	26	<	<	X
ejde-888	86	27	ϑ	ϑ	X
ejde-888	86	28	≤	≤	NUM
ejde-888	86	29	n	n	NOUN
ejde-888	86	30	.	.	PUNCT
ejde-888	87	1	the	the	DET
ejde-888	87	2	ϑth−order	ϑth−order	NOUN
ejde-888	87	3	and	and	CCONJ
ejde-888	87	4	ρth−type	ρth−type	PROPN
ejde-888	87	5	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	87	6	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	87	7	difference	difference	NOUN
ejde-888	87	8	of	of	ADP
ejde-888	87	9	η	η	PROPN
ejde-888	87	10	is	be	AUX
ejde-888	87	11	defined	define	VERB
ejde-888	87	12	by	by	ADP
ejde-888	87	13	(	(	PUNCT
ejde-888	87	14	(	(	PUNCT
ejde-888	87	15	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	87	16	m	m	NOUN
ejde-888	87	17	)	)	PUNCT
ejde-888	87	18	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	87	19	)	)	PUNCT
ejde-888	88	1	=	=	SYM
ejde-888	88	2	(	(	PUNCT
ejde-888	88	3	∇−ρ(n−ϑ	∇−ρ(n−ϑ	NOUN
ejde-888	88	4	)	)	PUNCT
ejde-888	88	5	m+n	m+n	PROPN
ejde-888	89	1	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	PROPN
ejde-888	89	2	)	)	PUNCT
ejde-888	89	3	m	m	VERB
ejde-888	89	4	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	89	5	)	)	PUNCT
ejde-888	89	6	,	,	PUNCT
ejde-888	89	7	ω	ω	PROPN
ejde-888	89	8	∈	∈	PROPN
ejde-888	89	9	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	89	10	.	.	PUNCT
ejde-888	90	1	the	the	DET
ejde-888	90	2	type	type	NOUN
ejde-888	90	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-888	90	4	enables	enable	VERB
ejde-888	90	5	continuous	continuous	ADJ
ejde-888	90	6	interpolation	interpolation	NOUN
ejde-888	90	7	between	between	ADP
ejde-888	90	8	the	the	DET
ejde-888	90	9	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	90	10	-	-	PUNCT
ejde-888	90	11	liouville	liouville	NOUN
ejde-888	90	12	case	case	NOUN
ejde-888	90	13	and	and	CCONJ
ejde-888	90	14	the	the	DET
ejde-888	90	15	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	90	16	case	case	NOUN
ejde-888	90	17	respectively	respectively	ADV
ejde-888	90	18	such	such	ADJ
ejde-888	90	19	that	that	DET
ejde-888	90	20	∇ϑ,0	∇ϑ,0	ADJ
ejde-888	90	21	m	m	PUNCT
ejde-888	90	22	≡	≡	PROPN
ejde-888	90	23	∇ϑ	∇ϑ	PROPN
ejde-888	90	24	m	m	PROPN
ejde-888	90	25	and	and	CCONJ
ejde-888	90	26	∇ϑ,1	∇ϑ,1	PROPN
ejde-888	90	27	m	m	PROPN
ejde-888	90	28	≡	≡	PROPN
ejde-888	90	29	∇ϑ	∇ϑ	PROPN
ejde-888	90	30	∗m	∗m	NOUN
ejde-888	90	31	.	.	PUNCT
ejde-888	91	1	remark	remark	PROPN
ejde-888	91	2	3.2	3.2	NUM
ejde-888	91	3	(	(	PUNCT
ejde-888	91	4	[	[	X
ejde-888	91	5	14	14	NUM
ejde-888	91	6	,	,	PUNCT
ejde-888	91	7	10	10	NUM
ejde-888	91	8	]	]	NUM
ejde-888	91	9	)	)	PUNCT
ejde-888	91	10	.	.	PUNCT
ejde-888	92	1	a	a	DET
ejde-888	92	2	function	function	NOUN
ejde-888	92	3	η	η	PROPN
ejde-888	92	4	defined	define	VERB
ejde-888	92	5	on	on	ADP
ejde-888	92	6	nm	nm	NOUN
ejde-888	92	7	with	with	ADP
ejde-888	92	8	values	value	NOUN
ejde-888	92	9	in	in	ADP
ejde-888	92	10	r	r	NOUN
ejde-888	92	11	,	,	PUNCT
ejde-888	92	12	then	then	ADV
ejde-888	92	13	(	(	PUNCT
ejde-888	92	14	∇−(1−ρ)(n−ϑ	∇−(1−ρ)(n−ϑ	PROPN
ejde-888	92	15	)	)	PUNCT
ejde-888	92	16	m	m	PROPN
ejde-888	92	17	η	η	PROPN
ejde-888	92	18	)	)	PUNCT
ejde-888	92	19	:	:	PUNCT
ejde-888	92	20	nm	nm	X
ejde-888	92	21	→	→	SYM
ejde-888	92	22	r	r	NOUN
ejde-888	92	23	,	,	PUNCT
ejde-888	92	24	implying	imply	VERB
ejde-888	92	25	that	that	SCONJ
ejde-888	92	26	(	(	PUNCT
ejde-888	92	27	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	PROPN
ejde-888	92	28	)	)	PUNCT
ejde-888	92	29	m	m	PROPN
ejde-888	92	30	η	η	PROPN
ejde-888	92	31	)	)	PUNCT
ejde-888	92	32	:	:	PUNCT
ejde-888	93	1	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	93	2	→	→	SYM
ejde-888	93	3	r	r	NOUN
ejde-888	93	4	,	,	PUNCT
ejde-888	93	5	(	(	PUNCT
ejde-888	93	6	∇−ρ(n−ϑ	∇−ρ(n−ϑ	NOUN
ejde-888	93	7	)	)	PUNCT
ejde-888	93	8	m+n	m+n	PROPN
ejde-888	94	1	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	∇n∇−(1−ρ)(n−ϑ	PROPN
ejde-888	94	2	)	)	PUNCT
ejde-888	94	3	m	m	PROPN
ejde-888	94	4	η	η	PROPN
ejde-888	94	5	)	)	PUNCT
ejde-888	94	6	:	:	PUNCT
ejde-888	95	1	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	95	2	→	→	SYM
ejde-888	95	3	r.	r.	PROPN
ejde-888	95	4	so	so	ADV
ejde-888	95	5	,	,	PUNCT
ejde-888	95	6	if	if	SCONJ
ejde-888	95	7	η	η	X
ejde-888	95	8	:	:	PUNCT
ejde-888	95	9	nm	nm	PROPN
ejde-888	95	10	→	→	SYM
ejde-888	95	11	r	r	NOUN
ejde-888	95	12	,	,	PUNCT
ejde-888	95	13	then	then	ADV
ejde-888	95	14	(	(	PUNCT
ejde-888	95	15	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	95	16	m	m	PROPN
ejde-888	95	17	)	)	PUNCT
ejde-888	95	18	:	:	PUNCT
ejde-888	95	19	nm+n	nm+n	PROPN
ejde-888	95	20	→	→	SYM
ejde-888	95	21	r.	r.	NOUN
ejde-888	95	22	proposition	proposition	NOUN
ejde-888	95	23	3.3	3.3	NUM
ejde-888	95	24	(	(	PUNCT
ejde-888	95	25	[	[	X
ejde-888	95	26	14	14	NUM
ejde-888	95	27	]	]	PUNCT
ejde-888	95	28	power	power	NOUN
ejde-888	95	29	rule	rule	NOUN
ejde-888	95	30	)	)	PUNCT
ejde-888	95	31	.	.	PUNCT
ejde-888	96	1	let	let	VERB
ejde-888	96	2	ν	ν	X
ejde-888	96	3	∈	∈	PROPN
ejde-888	96	4	r	r	NOUN
ejde-888	96	5	,	,	PUNCT
ejde-888	96	6	0	0	PUNCT
ejde-888	96	7	<	<	X
ejde-888	96	8	ϑ	ϑ	X
ejde-888	96	9	≤	≤	NUM
ejde-888	96	10	1	1	NUM
ejde-888	96	11	,	,	PUNCT
ejde-888	96	12	0	0	NUM
ejde-888	96	13	≤	≤	NUM
ejde-888	96	14	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	96	15	≤	≤	NUM
ejde-888	96	16	1	1	NUM
ejde-888	96	17	,	,	PUNCT
ejde-888	96	18	and	and	CCONJ
ejde-888	96	19	assume	assume	VERB
ejde-888	96	20	that	that	SCONJ
ejde-888	96	21	the	the	DET
ejde-888	96	22	following	follow	VERB
ejde-888	96	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	96	24	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	96	25	taylor	taylor	PROPN
ejde-888	96	26	monomials	monomial	NOUN
ejde-888	96	27	are	be	AUX
ejde-888	96	28	well	well	ADV
ejde-888	96	29	defined	define	VERB
ejde-888	96	30	.	.	PUNCT
ejde-888	97	1	then	then	ADV
ejde-888	97	2	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	VERB
ejde-888	97	3	m	m	PROPN
ejde-888	97	4	hµ(ω	hµ(ω	X
ejde-888	97	5	,	,	PUNCT
ejde-888	97	6	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	97	7	)	)	PUNCT
ejde-888	97	8	)	)	PUNCT
ejde-888	98	1	=	=	SYM
ejde-888	98	2	hµ−ϑ(ω	hµ−ϑ(ω	ADV
ejde-888	98	3	,	,	PUNCT
ejde-888	98	4	ζ(m))−hρ(1−ϑ)−1(ω	ζ(m))−hρ(1−ϑ)−1(ω	NOUN
ejde-888	98	5	,	,	PUNCT
ejde-888	98	6	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	98	7	)	)	PUNCT
ejde-888	98	8	)	)	PUNCT
ejde-888	98	9	,	,	PUNCT
ejde-888	98	10	ω	ω	PROPN
ejde-888	98	11	∈	∈	PROPN
ejde-888	98	12	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	98	13	.	.	PROPN
ejde-888	98	14	proposition	proposition	NOUN
ejde-888	98	15	3.4	3.4	NUM
ejde-888	98	16	(	(	PUNCT
ejde-888	98	17	[	[	NOUN
ejde-888	98	18	14	14	NUM
ejde-888	98	19	]	]	PUNCT
ejde-888	98	20	composition	composition	NOUN
ejde-888	98	21	rule	rule	NOUN
ejde-888	98	22	)	)	PUNCT
ejde-888	98	23	.	.	PUNCT
ejde-888	99	1	suppose	suppose	VERB
ejde-888	99	2	η	η	NOUN
ejde-888	99	3	:	:	PUNCT
ejde-888	99	4	nm	nm	PROPN
ejde-888	99	5	→	→	SYM
ejde-888	99	6	r	r	NOUN
ejde-888	99	7	,	,	PUNCT
ejde-888	99	8	where	where	SCONJ
ejde-888	99	9	0	0	PUNCT
ejde-888	99	10	<	<	X
ejde-888	99	11	ϑ	ϑ	X
ejde-888	99	12	≤	≤	NUM
ejde-888	99	13	1	1	NUM
ejde-888	99	14	,	,	PUNCT
ejde-888	99	15	0	0	NUM
ejde-888	99	16	≤	≤	NUM
ejde-888	99	17	ρ	ρ	NUM
ejde-888	99	18	≤	≤	NUM
ejde-888	99	19	1	1	NUM
ejde-888	99	20	and	and	CCONJ
ejde-888	99	21	γ	γ	X
ejde-888	99	22	=	=	X
ejde-888	99	23	ϑ+	ϑ+	PROPN
ejde-888	99	24	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	99	25	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	99	26	.	.	PUNCT
ejde-888	100	1	then	then	ADV
ejde-888	100	2	(	(	PUNCT
ejde-888	100	3	1	1	X
ejde-888	100	4	)	)	PUNCT
ejde-888	100	5	(	(	PUNCT
ejde-888	100	6	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	100	7	m	m	VERB
ejde-888	100	8	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	100	9	)	)	PUNCT
ejde-888	100	10	=	=	SYM
ejde-888	100	11	(	(	PUNCT
ejde-888	100	12	∇−ρ(1−ϑ	∇−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	100	13	)	)	PUNCT
ejde-888	101	1	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	101	2	∇γ	∇γ	NUM
ejde-888	101	3	mη)(ω	mη)(ω	NOUN
ejde-888	101	4	)	)	PUNCT
ejde-888	101	5	,	,	PUNCT
ejde-888	101	6	ω	ω	PROPN
ejde-888	101	7	∈	∈	PROPN
ejde-888	101	8	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	101	9	.	.	PUNCT
ejde-888	101	10	(	(	PUNCT
ejde-888	101	11	2	2	NUM
ejde-888	101	12	)	)	PUNCT
ejde-888	101	13	(	(	PUNCT
ejde-888	101	14	∇−γ	∇−γ	X
ejde-888	101	15	m+1∇γ	m+1∇γ	VERB
ejde-888	101	16	mη)(ω	mη)(ω	PROPN
ejde-888	101	17	)	)	PUNCT
ejde-888	101	18	=	=	PRON
ejde-888	101	19	(	(	PUNCT
ejde-888	101	20	∇−ϑ	∇−ϑ	NOUN
ejde-888	101	21	m+1∇ϑ,ρ	m+1∇ϑ,ρ	ADV
ejde-888	101	22	m	m	NOUN
ejde-888	101	23	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	101	24	)	)	PUNCT
ejde-888	101	25	,	,	PUNCT
ejde-888	101	26	ω	ω	PROPN
ejde-888	101	27	∈	∈	PROPN
ejde-888	101	28	nm+1	nm+1	PRON
ejde-888	101	29	.	.	PUNCT
ejde-888	101	30	(	(	PUNCT
ejde-888	101	31	3	3	NUM
ejde-888	101	32	)	)	PUNCT
ejde-888	101	33	(	(	PUNCT
ejde-888	101	34	∇γ	∇γ	PROPN
ejde-888	101	35	m∇−ϑ	m∇−ϑ	PROPN
ejde-888	101	36	m	m	VERB
ejde-888	101	37	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	101	38	)	)	PUNCT
ejde-888	101	39	=	=	SYM
ejde-888	101	40	(	(	PUNCT
ejde-888	101	41	∇ρ(1−ϑ	∇ρ(1−ϑ	NOUN
ejde-888	101	42	)	)	PUNCT
ejde-888	101	43	m	m	VERB
ejde-888	101	44	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	101	45	)	)	PUNCT
ejde-888	101	46	,	,	PUNCT
ejde-888	101	47	ω	ω	PROPN
ejde-888	101	48	∈	∈	PROPN
ejde-888	101	49	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	101	50	.	.	PUNCT
ejde-888	101	51	(	(	PUNCT
ejde-888	101	52	4	4	NUM
ejde-888	101	53	)	)	PUNCT
ejde-888	101	54	(	(	PUNCT
ejde-888	101	55	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	101	56	m	m	NOUN
ejde-888	101	57	∇−ϑ	∇−ϑ	NOUN
ejde-888	101	58	m	m	VERB
ejde-888	101	59	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	101	60	)	)	PUNCT
ejde-888	101	61	=	=	SYM
ejde-888	101	62	(	(	PUNCT
ejde-888	101	63	∇−ρ(1−ϑ	∇−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	101	64	)	)	PUNCT
ejde-888	102	1	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	102	2	∇ρ(1−ϑ	∇ρ(1−ϑ	X
ejde-888	102	3	)	)	PUNCT
ejde-888	102	4	m	m	VERB
ejde-888	102	5	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	102	6	)	)	PUNCT
ejde-888	102	7	,	,	PUNCT
ejde-888	102	8	ω	ω	PROPN
ejde-888	102	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	102	10	nm+1	nm+1	PRON
ejde-888	102	11	.	.	PUNCT
ejde-888	102	12	let	let	VERB
ejde-888	102	13	us	we	PRON
ejde-888	102	14	examine	examine	VERB
ejde-888	102	15	the	the	DET
ejde-888	102	16	initial	initial	ADJ
ejde-888	102	17	value	value	NOUN
ejde-888	102	18	problem	problem	NOUN
ejde-888	102	19	(	(	PUNCT
ejde-888	102	20	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	102	21	m	m	VERB
ejde-888	102	22	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	102	23	)	)	PUNCT
ejde-888	102	24	=	=	SYM
ejde-888	102	25	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	102	26	,	,	PUNCT
ejde-888	102	27	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	102	28	)	)	PUNCT
ejde-888	102	29	)	)	PUNCT
ejde-888	102	30	,	,	PUNCT
ejde-888	102	31	ω	ω	PROPN
ejde-888	102	32	∈	∈	NOUN
ejde-888	102	33	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	102	34	[	[	X
ejde-888	102	35	(	(	PUNCT
ejde-888	102	36	∇−(1−γ	∇−(1−γ	PROPN
ejde-888	102	37	)	)	PUNCT
ejde-888	102	38	m	m	VERB
ejde-888	102	39	η)(ω)]ω	η)(ω)]ω	NOUN
ejde-888	102	40	=	=	ADJ
ejde-888	102	41	m	m	NOUN
ejde-888	102	42	=	=	PUNCT
ejde-888	102	43	η(m	η(m	ADJ
ejde-888	102	44	)	)	PUNCT
ejde-888	102	45	=	=	SYM
ejde-888	102	46	η0	η0	NOUN
ejde-888	102	47	,	,	PUNCT
ejde-888	102	48	where	where	SCONJ
ejde-888	102	49	0	0	PUNCT
ejde-888	102	50	<	<	X
ejde-888	102	51	ϑ	ϑ	X
ejde-888	102	52	≤	≤	NUM
ejde-888	102	53	1	1	NUM
ejde-888	102	54	,	,	PUNCT
ejde-888	102	55	0	0	NUM
ejde-888	102	56	≤	≤	NUM
ejde-888	102	57	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	102	58	≤	≤	NUM
ejde-888	102	59	1	1	NUM
ejde-888	102	60	,	,	PUNCT
ejde-888	102	61	and	and	CCONJ
ejde-888	102	62	γ	γ	X
ejde-888	102	63	=	=	PUNCT
ejde-888	102	64	ϑ+	ϑ+	PROPN
ejde-888	102	65	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	102	66	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	102	67	,	,	PUNCT
ejde-888	102	68	with	with	ADP
ejde-888	102	69	ξ	ξ	PROPN
ejde-888	102	70	:	:	PUNCT
ejde-888	102	71	nm	nm	ADJ
ejde-888	102	72	×	×	NOUN
ejde-888	102	73	r	r	NOUN
ejde-888	102	74	→	→	SYM
ejde-888	102	75	r.	r.	NOUN
ejde-888	102	76	theorem	theorem	VERB
ejde-888	102	77	3.5	3.5	NUM
ejde-888	102	78	(	(	PUNCT
ejde-888	102	79	[	[	X
ejde-888	102	80	14	14	NUM
ejde-888	102	81	]	]	NUM
ejde-888	102	82	)	)	PUNCT
ejde-888	102	83	.	.	PUNCT
ejde-888	103	1	η	η	PROPN
ejde-888	103	2	satisfies	satisfy	VERB
ejde-888	103	3	the	the	DET
ejde-888	103	4	initial	initial	ADJ
ejde-888	103	5	value	value	NOUN
ejde-888	103	6	problem	problem	NOUN
ejde-888	103	7	(	(	PUNCT
ejde-888	103	8	1.1	1.1	NUM
ejde-888	103	9	)	)	PUNCT
ejde-888	103	10	if	if	SCONJ
ejde-888	103	11	,	,	PUNCT
ejde-888	103	12	and	and	CCONJ
ejde-888	103	13	only	only	ADV
ejde-888	103	14	if	if	SCONJ
ejde-888	103	15	,	,	PUNCT
ejde-888	103	16	η	η	PROPN
ejde-888	103	17	is	be	AUX
ejde-888	103	18	a	a	DET
ejde-888	103	19	solution	solution	NOUN
ejde-888	103	20	of	of	ADP
ejde-888	103	21	the	the	DET
ejde-888	103	22	volterra	volterra	NOUN
ejde-888	103	23	summation	summation	NOUN
ejde-888	103	24	equation	equation	NOUN
ejde-888	103	25	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	103	26	)	)	PUNCT
ejde-888	103	27	=	=	SYM
ejde-888	103	28	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	103	29	,	,	PUNCT
ejde-888	103	30	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	103	31	)	)	PUNCT
ejde-888	103	32	)	)	PUNCT
ejde-888	104	1	+	+	CCONJ
ejde-888	104	2	ω∑	ω∑	NUM
ejde-888	104	3	s	s	NOUN
ejde-888	104	4	=	=	NOUN
ejde-888	104	5	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	104	6	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	ADJ
ejde-888	104	7	,	,	PUNCT
ejde-888	104	8	ζ(s))ξ(s	ζ(s))ξ(	NOUN
ejde-888	104	9	,	,	PUNCT
ejde-888	104	10	η(s	η(s	PROPN
ejde-888	104	11	)	)	PUNCT
ejde-888	104	12	)	)	PUNCT
ejde-888	104	13	,	,	PUNCT
ejde-888	104	14	ω	ω	PROPN
ejde-888	104	15	∈	∈	PROPN
ejde-888	104	16	nm	nm	NOUN
ejde-888	104	17	.	.	PUNCT
ejde-888	105	1	(	(	PUNCT
ejde-888	105	2	3.1	3.1	NUM
ejde-888	105	3	)	)	PUNCT
ejde-888	105	4	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	105	5	/	/	SYM
ejde-888	105	6	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	105	7	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	105	8	stability	stability	NOUN
ejde-888	105	9	53	53	NUM
ejde-888	105	10	let	let	VERB
ejde-888	105	11	us	we	PRON
ejde-888	105	12	consider	consider	VERB
ejde-888	105	13	the	the	DET
ejde-888	105	14	following	follow	VERB
ejde-888	105	15	assumptions	assumption	NOUN
ejde-888	105	16	:	:	PUNCT
ejde-888	105	17	(	(	PUNCT
ejde-888	105	18	h1	h1	PROPN
ejde-888	105	19	)	)	PUNCT
ejde-888	105	20	let	let	VERB
ejde-888	105	21	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	105	22	,	,	PUNCT
ejde-888	105	23	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	105	24	)	)	PUNCT
ejde-888	105	25	)	)	PUNCT
ejde-888	105	26	satisfies	satisfy	VERB
ejde-888	105	27	the	the	DET
ejde-888	105	28	lipschitz	lipschitz	NOUN
ejde-888	105	29	condition	condition	NOUN
ejde-888	105	30	|ξ(ω	|ξ(ω	NOUN
ejde-888	105	31	,	,	PUNCT
ejde-888	105	32	η1)−	η1)−	ADJ
ejde-888	105	33	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	105	34	,	,	PUNCT
ejde-888	105	35	η2)|	η2)|	PROPN
ejde-888	105	36	≤	≤	NUM
ejde-888	105	37	a|η1	a|η1	PROPN
ejde-888	105	38	−	−	PROPN
ejde-888	105	39	η2|	η2|	NOUN
ejde-888	105	40	,	,	PUNCT
ejde-888	105	41	where	where	SCONJ
ejde-888	105	42	0	0	PUNCT
ejde-888	105	43	<	<	X
ejde-888	105	44	a	a	DET
ejde-888	105	45	<	<	X
ejde-888	105	46	1	1	NUM
ejde-888	105	47	is	be	AUX
ejde-888	105	48	a	a	DET
ejde-888	105	49	independent	independent	NOUN
ejde-888	105	50	of	of	ADP
ejde-888	105	51	ω	ω	PROPN
ejde-888	105	52	.	.	PUNCT
ejde-888	106	1	(	(	PUNCT
ejde-888	106	2	h2	h2	NOUN
ejde-888	106	3	)	)	PUNCT
ejde-888	106	4	if	if	SCONJ
ejde-888	106	5	there	there	PRON
ejde-888	106	6	exists	exist	VERB
ejde-888	106	7	a	a	DET
ejde-888	106	8	constant	constant	ADJ
ejde-888	106	9	m	m	NOUN
ejde-888	106	10	>	>	X
ejde-888	106	11	0	0	NUM
ejde-888	107	1	such	such	ADJ
ejde-888	107	2	that	that	SCONJ
ejde-888	107	3	|ξ(ω	|ξ(ω	NOUN
ejde-888	107	4	,	,	PUNCT
ejde-888	107	5	η(ω))|	η(ω))|	NOUN
ejde-888	107	6	≤	≤	NUM
ejde-888	107	7	m	m	VERB
ejde-888	107	8	for	for	ADP
ejde-888	107	9	ω	ω	PROPN
ejde-888	107	10	∈	∈	PROPN
ejde-888	107	11	n1	n1	NOUN
ejde-888	107	12	.	.	PUNCT
ejde-888	108	1	theorem	theorem	VERB
ejde-888	108	2	3.6	3.6	NUM
ejde-888	108	3	.	.	PUNCT
ejde-888	109	1	let	let	VERB
ejde-888	109	2	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	109	3	,	,	PUNCT
ejde-888	109	4	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	109	5	)	)	PUNCT
ejde-888	109	6	)	)	PUNCT
ejde-888	110	1	be	be	AUX
ejde-888	110	2	a	a	DET
ejde-888	110	3	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	110	4	function	function	NOUN
ejde-888	110	5	which	which	PRON
ejde-888	110	6	satisfies	satisfy	VERB
ejde-888	110	7	the	the	DET
ejde-888	110	8	assumption	assumption	NOUN
ejde-888	110	9	(	(	PUNCT
ejde-888	110	10	h1	h1	PROPN
ejde-888	110	11	)	)	PUNCT
ejde-888	110	12	,	,	PUNCT
ejde-888	110	13	(	(	PUNCT
ejde-888	110	14	h2	h2	NOUN
ejde-888	110	15	)	)	PUNCT
ejde-888	110	16	.	.	PUNCT
ejde-888	111	1	then	then	ADV
ejde-888	111	2	the	the	DET
ejde-888	111	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	111	4	difference	difference	NOUN
ejde-888	111	5	equation	equation	NOUN
ejde-888	111	6	(	(	PUNCT
ejde-888	111	7	1.1	1.1	NUM
ejde-888	111	8	)	)	PUNCT
ejde-888	111	9	has	have	VERB
ejde-888	111	10	at	at	ADV
ejde-888	111	11	least	least	ADJ
ejde-888	111	12	one	one	NUM
ejde-888	111	13	solution	solution	NOUN
ejde-888	111	14	.	.	PUNCT
ejde-888	112	1	proof	proof	NOUN
ejde-888	112	2	.	.	PUNCT
ejde-888	113	1	define	define	VERB
ejde-888	113	2	the	the	DET
ejde-888	113	3	sequence	sequence	NOUN
ejde-888	113	4	{	{	PUNCT
ejde-888	113	5	gn	gn	PROPN
ejde-888	113	6	(	(	PUNCT
ejde-888	113	7	·	·	PUNCT
ejde-888	113	8	)	)	PUNCT
ejde-888	113	9	:	:	PUNCT
ejde-888	114	1	n	n	PROPN
ejde-888	114	2	∈	∈	PROPN
ejde-888	114	3	n0	n0	PROPN
ejde-888	114	4	}	}	PUNCT
ejde-888	114	5	,	,	PUNCT
ejde-888	114	6	g0	g0	NOUN
ejde-888	114	7	=	=	SYM
ejde-888	114	8	(	(	PUNCT
ejde-888	114	9	ω−m+1)(γ−1	ω−m+1)(γ−1	ADJ
ejde-888	114	10	)	)	PUNCT
ejde-888	114	11	γ(γ	γ(γ	NOUN
ejde-888	114	12	)	)	PUNCT
ejde-888	114	13	η(m	η(m	NOUN
ejde-888	114	14	)	)	PUNCT
ejde-888	114	15	,	,	PUNCT
ejde-888	114	16	for	for	ADP
ejde-888	114	17	ω	ω	PROPN
ejde-888	114	18	∈	∈	PROPN
ejde-888	114	19	nm	nm	NOUN
ejde-888	114	20	,	,	PUNCT
ejde-888	114	21	gn(ω	gn(ω	PUNCT
ejde-888	114	22	)	)	PUNCT
ejde-888	114	23	=	=	SYM
ejde-888	114	24	(	(	PUNCT
ejde-888	114	25	ω	ω	X
ejde-888	114	26	−m+	−m+	PROPN
ejde-888	114	27	1)(γ−1	1)(γ−1	NUM
ejde-888	114	28	)	)	PUNCT
ejde-888	114	29	γ(γ	γ(γ	PROPN
ejde-888	114	30	)	)	PUNCT
ejde-888	114	31	η(m	η(m	ADV
ejde-888	114	32	)	)	PUNCT
ejde-888	115	1	+	+	CCONJ
ejde-888	115	2	1	1	NUM
ejde-888	115	3	γ(ϑ	γ(ϑ	NOUN
ejde-888	115	4	)	)	PUNCT
ejde-888	115	5	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	116	1	s	s	NOUN
ejde-888	116	2	=	=	NOUN
ejde-888	116	3	m+1	m+1	X
ejde-888	116	4	(	(	PUNCT
ejde-888	116	5	ω	ω	NOUN
ejde-888	116	6	−	−	PROPN
ejde-888	116	7	ζ(s))(ϑ−1)ξ(s	ζ(s))(ϑ−1)ξ(s	PROPN
ejde-888	116	8	,	,	PUNCT
ejde-888	116	9	gn−1(s	gn−1(s	NOUN
ejde-888	116	10	)	)	PUNCT
ejde-888	116	11	)	)	PUNCT
ejde-888	116	12	,	,	PUNCT
ejde-888	116	13	ω	ω	PROPN
ejde-888	116	14	∈	∈	PROPN
ejde-888	116	15	nm	nm	NOUN
ejde-888	116	16	,	,	PUNCT
ejde-888	116	17	n	n	PROPN
ejde-888	116	18	∈	∈	PROPN
ejde-888	116	19	n0	n0	X
ejde-888	116	20	clearly	clearly	ADV
ejde-888	116	21	,	,	PUNCT
ejde-888	116	22	by	by	ADP
ejde-888	116	23	induction	induction	NOUN
ejde-888	116	24	,	,	PUNCT
ejde-888	116	25	we	we	PRON
ejde-888	116	26	have	have	AUX
ejde-888	116	27	|gn−gn−1|	|gn−gn−1|	VERB
ejde-888	116	28	≤	≤	ADJ
ejde-888	117	1	an−1	an−1	ADJ
ejde-888	117	2	m	m	NOUN
ejde-888	117	3	γ(nϑ+1	γ(nϑ+1	ADJ
ejde-888	117	4	)	)	PUNCT
ejde-888	117	5	(	(	PUNCT
ejde-888	117	6	ω−m+1)(nϑ	ω−m+1)(nϑ	PROPN
ejde-888	117	7	)	)	PUNCT
ejde-888	117	8	.	.	PUNCT
ejde-888	118	1	clearly	clearly	ADV
ejde-888	118	2	,	,	PUNCT
ejde-888	118	3	by	by	ADP
ejde-888	118	4	induction	induction	NOUN
ejde-888	118	5	,	,	PUNCT
ejde-888	118	6	we	we	PRON
ejde-888	118	7	have	have	VERB
ejde-888	118	8	|gn(ω)−	|gn(ω)−	NOUN
ejde-888	118	9	gn−1(ω)|	gn−1(ω)|	PART
ejde-888	118	10	≤	≤	ADJ
ejde-888	119	1	man−2	man−2	PROPN
ejde-888	119	2	(	(	PUNCT
ejde-888	119	3	ω	ω	X
ejde-888	119	4	−m+	−m+	X
ejde-888	119	5	1)(n−1)ϑ	1)(n−1)ϑ	ADV
ejde-888	119	6	γ(nϑ+	γ(nϑ+	X
ejde-888	119	7	1	1	NUM
ejde-888	119	8	)	)	PUNCT
ejde-888	119	9	in	in	ADP
ejde-888	119	10	fact	fact	NOUN
ejde-888	119	11	,	,	PUNCT
ejde-888	119	12	for	for	ADP
ejde-888	119	13	n	n	NOUN
ejde-888	119	14	=	=	SYM
ejde-888	119	15	1	1	NUM
ejde-888	119	16	,	,	PUNCT
ejde-888	119	17	by	by	ADP
ejde-888	119	18	condition	condition	NOUN
ejde-888	119	19	(	(	PUNCT
ejde-888	119	20	h1	h1	PROPN
ejde-888	119	21	)	)	PUNCT
ejde-888	119	22	we	we	PRON
ejde-888	119	23	can	can	AUX
ejde-888	119	24	conclude	conclude	VERB
ejde-888	119	25	that	that	PRON
ejde-888	119	26	|g1(ω)−	|g1(ω)−	ADJ
ejde-888	119	27	g0(ω)|	g0(ω)|	ADJ
ejde-888	119	28	=	=	SYM
ejde-888	119	29	1	1	NUM
ejde-888	119	30	γ(ϑ	γ(ϑ	NOUN
ejde-888	119	31	)	)	PUNCT
ejde-888	119	32	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	120	1	s	s	NOUN
ejde-888	120	2	=	=	NOUN
ejde-888	120	3	m+1	m+1	X
ejde-888	120	4	(	(	PUNCT
ejde-888	120	5	ω	ω	NOUN
ejde-888	120	6	−	−	PROPN
ejde-888	120	7	ζ(s))(ϑ−1)ξ(s	ζ(s))(ϑ−1)ξ(s	PROPN
ejde-888	120	8	,	,	PUNCT
ejde-888	120	9	g0(s	g0(s	PROPN
ejde-888	120	10	)	)	PUNCT
ejde-888	120	11	)	)	PUNCT
ejde-888	120	12	≤	≤	ADV
ejde-888	120	13	1	1	NUM
ejde-888	120	14	γ(ϑ	γ(ϑ	NOUN
ejde-888	120	15	)	)	PUNCT
ejde-888	120	16	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	121	1	s	s	NOUN
ejde-888	121	2	=	=	NOUN
ejde-888	121	3	m+1	m+1	X
ejde-888	121	4	(	(	PUNCT
ejde-888	121	5	ω	ω	PROPN
ejde-888	121	6	−	−	PROPN
ejde-888	121	7	ζ(s))(ϑ−1)m	ζ(s))(ϑ−1)m	PROPN
ejde-888	121	8	≤	≤	NUM
ejde-888	121	9	m	m	VERB
ejde-888	121	10	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	121	11	1	1	NUM
ejde-888	121	12	)	)	PUNCT
ejde-888	121	13	(	(	PUNCT
ejde-888	121	14	ω	ω	X
ejde-888	121	15	−m+	−m+	X
ejde-888	121	16	1)ϑ.	1)ϑ.	PROPN
ejde-888	121	17	without	without	ADP
ejde-888	121	18	loss	loss	NOUN
ejde-888	121	19	of	of	ADP
ejde-888	121	20	generality	generality	NOUN
ejde-888	121	21	,	,	PUNCT
ejde-888	121	22	we	we	PRON
ejde-888	121	23	assume	assume	VERB
ejde-888	121	24	that	that	SCONJ
ejde-888	121	25	|gn−1(ω)−	|gn−1(ω)−	VERB
ejde-888	121	26	gn−2(ω)|	gn−2(ω)|	ADJ
ejde-888	121	27	≤	≤	ADJ
ejde-888	121	28	man−2	man−2	PROPN
ejde-888	121	29	(	(	PUNCT
ejde-888	121	30	ω	ω	PROPN
ejde-888	121	31	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	122	1	1)(n−1)ϑ	1)(n−1)ϑ	ADV
ejde-888	122	2	γ((n−	γ((n−	PROPN
ejde-888	122	3	1)ϑ+	1)ϑ+	NUM
ejde-888	122	4	1	1	NUM
ejde-888	122	5	)	)	PUNCT
ejde-888	122	6	.	.	PUNCT
ejde-888	123	1	then	then	ADV
ejde-888	123	2	|gn(ω)−	|gn(ω)−	VERB
ejde-888	123	3	gn−1(ω)|	gn−1(ω)|	PROPN
ejde-888	123	4	≤	≤	NOUN
ejde-888	123	5	a	a	DET
ejde-888	123	6	γ(ϑ	γ(ϑ	NOUN
ejde-888	123	7	)	)	PUNCT
ejde-888	123	8	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	123	9	s	s	NOUN
ejde-888	123	10	=	=	NOUN
ejde-888	123	11	m+1	m+1	X
ejde-888	123	12	(	(	PUNCT
ejde-888	123	13	ω	ω	NOUN
ejde-888	123	14	−	−	PROPN
ejde-888	123	15	ζ(s))(ϑ−1)man−2	ζ(s))(ϑ−1)man−2	NOUN
ejde-888	123	16	(	(	PUNCT
ejde-888	123	17	s−m+	s−m+	PROPN
ejde-888	123	18	1)(n−1)ϑ	1)(n−1)ϑ	NUM
ejde-888	123	19	γ((n−	γ((n−	PROPN
ejde-888	123	20	1)ϑ+	1)ϑ+	NUM
ejde-888	123	21	1	1	NUM
ejde-888	123	22	)	)	PUNCT
ejde-888	123	23	=	=	SYM
ejde-888	123	24	man−1	man−1	PROPN
ejde-888	123	25	γ(nϑ+	γ(nϑ+	X
ejde-888	123	26	1	1	NUM
ejde-888	123	27	)	)	PUNCT
ejde-888	123	28	∇−ϑ	∇−ϑ	NOUN
ejde-888	123	29	a	a	DET
ejde-888	123	30	(	(	PUNCT
ejde-888	123	31	ω	ω	X
ejde-888	123	32	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	123	33	1)nϑ	1)nϑ	NOUN
ejde-888	123	34	=	=	SYM
ejde-888	123	35	man−1	man−1	PROPN
ejde-888	123	36	(	(	PUNCT
ejde-888	123	37	ω	ω	X
ejde-888	123	38	−m+	−m+	PROPN
ejde-888	123	39	1)nϑ	1)nϑ	PROPN
ejde-888	123	40	γ(nϑ+	γ(nϑ+	X
ejde-888	123	41	1	1	NUM
ejde-888	123	42	)	)	PUNCT
ejde-888	123	43	.	.	PUNCT
ejde-888	124	1	set	set	PROPN
ejde-888	124	2	g(t	g(t	PROPN
ejde-888	124	3	)	)	PUNCT
ejde-888	125	1	=	=	SYM
ejde-888	125	2	lim	lim	PROPN
ejde-888	125	3	n→∞	n→∞	X
ejde-888	125	4	(	(	PUNCT
ejde-888	125	5	gn(ω)−	gn(ω)−	NOUN
ejde-888	125	6	g0(ω	g0(ω	PROPN
ejde-888	125	7	)	)	PUNCT
ejde-888	125	8	)	)	PUNCT
ejde-888	126	1	+	+	PUNCT
ejde-888	126	2	g0(ω	g0(ω	X
ejde-888	126	3	)	)	PUNCT
ejde-888	126	4	=	=	PUNCT
ejde-888	127	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-888	127	2	k=1	k=1	PUNCT
ejde-888	127	3	(	(	PUNCT
ejde-888	127	4	gk(ω)−	gk(ω)−	PROPN
ejde-888	127	5	gk−1(ω	gk−1(ω	NOUN
ejde-888	127	6	)	)	PUNCT
ejde-888	127	7	)	)	PUNCT
ejde-888	128	1	+	+	CCONJ
ejde-888	128	2	g0(ω	g0(ω	NOUN
ejde-888	128	3	)	)	PUNCT
ejde-888	128	4	.	.	PUNCT
ejde-888	129	1	54	54	NUM
ejde-888	129	2	a.	a.	NOUN
ejde-888	129	3	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	129	4	,	,	PUNCT
ejde-888	129	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	129	6	n.	n.	PROPN
ejde-888	129	7	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	129	8	,	,	PUNCT
ejde-888	129	9	a.	a.	NOUN
ejde-888	129	10	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	129	11	since	since	SCONJ
ejde-888	129	12	the	the	DET
ejde-888	129	13	series	series	NOUN
ejde-888	129	14	m	m	VERB
ejde-888	129	15	a	a	DET
ejde-888	129	16	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-888	129	17	k=1	k=1	PUNCT
ejde-888	129	18	a	a	DET
ejde-888	129	19	k	k	PROPN
ejde-888	129	20	(	(	PUNCT
ejde-888	129	21	ω−m+1)nϑ	ω−m+1)nϑ	NOUN
ejde-888	129	22	γ(nϑ+1	γ(nϑ+1	NOUN
ejde-888	129	23	)	)	PUNCT
ejde-888	129	24	is	be	AUX
ejde-888	129	25	absolutely	absolutely	ADV
ejde-888	129	26	convergence	convergence	NOUN
ejde-888	129	27	for	for	ADP
ejde-888	129	28	0	0	NUM
ejde-888	129	29	<	<	X
ejde-888	129	30	a	a	DET
ejde-888	129	31	<	<	X
ejde-888	129	32	1	1	NUM
ejde-888	129	33	,	,	PUNCT
ejde-888	129	34	the	the	DET
ejde-888	129	35	existence	existence	NOUN
ejde-888	129	36	of	of	ADP
ejde-888	129	37	the	the	DET
ejde-888	129	38	solution	solution	NOUN
ejde-888	129	39	for	for	ADP
ejde-888	129	40	the	the	DET
ejde-888	129	41	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	129	42	difference	difference	NOUN
ejde-888	129	43	equation	equation	NOUN
ejde-888	129	44	(	(	PUNCT
ejde-888	129	45	1.1	1.1	NUM
ejde-888	129	46	)	)	PUNCT
ejde-888	129	47	is	be	AUX
ejde-888	129	48	proved	prove	VERB
ejde-888	129	49	.	.	PUNCT
ejde-888	130	1	the	the	DET
ejde-888	130	2	proof	proof	NOUN
ejde-888	130	3	is	be	AUX
ejde-888	130	4	complete	complete	ADJ
ejde-888	130	5	.	.	PUNCT
ejde-888	131	1	□	□	PUNCT
ejde-888	131	2	let	let	VERB
ejde-888	131	3	z	z	PRON
ejde-888	131	4	be	be	AUX
ejde-888	131	5	the	the	DET
ejde-888	131	6	set	set	NOUN
ejde-888	131	7	of	of	ADP
ejde-888	131	8	all	all	DET
ejde-888	131	9	real	real	ADJ
ejde-888	131	10	sequences	sequence	NOUN
ejde-888	131	11	η	η	NOUN
ejde-888	131	12	=	=	PRON
ejde-888	131	13	{	{	PUNCT
ejde-888	131	14	η(ω)}tω	η(ω)}tω	NOUN
ejde-888	131	15	=	=	NOUN
ejde-888	131	16	m	m	NOUN
ejde-888	131	17	with	with	ADP
ejde-888	131	18	∥η∥	∥η∥	PROPN
ejde-888	131	19	=	=	SYM
ejde-888	131	20	supω∈nt	supω∈nt	PROPN
ejde-888	131	21	m	m	VERB
ejde-888	131	22	|η(ω)|	|η(ω)|	X
ejde-888	131	23	is	be	AUX
ejde-888	131	24	a	a	DET
ejde-888	131	25	banach	banach	NOUN
ejde-888	131	26	space	space	NOUN
ejde-888	131	27	.	.	PUNCT
ejde-888	132	1	we	we	PRON
ejde-888	132	2	define	define	VERB
ejde-888	132	3	an	an	DET
ejde-888	132	4	operator	operator	NOUN
ejde-888	132	5	a	a	DET
ejde-888	132	6	:	:	PUNCT
ejde-888	132	7	z	z	X
ejde-888	132	8	→	→	SYM
ejde-888	132	9	z	z	NOUN
ejde-888	132	10	as	as	SCONJ
ejde-888	132	11	follows	follow	VERB
ejde-888	132	12	:	:	PUNCT
ejde-888	132	13	aη(ω	aη(ω	X
ejde-888	132	14	)	)	PUNCT
ejde-888	132	15	=	=	SYM
ejde-888	132	16	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	132	17	,	,	PUNCT
ejde-888	132	18	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	132	19	)	)	PUNCT
ejde-888	132	20	)	)	PUNCT
ejde-888	133	1	+	+	CCONJ
ejde-888	133	2	ω∑	ω∑	NUM
ejde-888	133	3	s	s	NOUN
ejde-888	133	4	=	=	NOUN
ejde-888	133	5	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	133	6	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	ADJ
ejde-888	133	7	,	,	PUNCT
ejde-888	133	8	ζ(s))ξ(s	ζ(s))ξ(	NOUN
ejde-888	133	9	,	,	PUNCT
ejde-888	133	10	η(s	η(s	PROPN
ejde-888	133	11	)	)	PUNCT
ejde-888	133	12	)	)	PUNCT
ejde-888	133	13	,	,	PUNCT
ejde-888	133	14	ω	ω	PROPN
ejde-888	133	15	∈	∈	PROPN
ejde-888	133	16	nm	nm	NOUN
ejde-888	133	17	.	.	PUNCT
ejde-888	134	1	(	(	PUNCT
ejde-888	134	2	3.2	3.2	NUM
ejde-888	134	3	)	)	PUNCT
ejde-888	134	4	the	the	DET
ejde-888	134	5	fixed	fix	VERB
ejde-888	134	6	points	point	NOUN
ejde-888	134	7	of	of	ADP
ejde-888	134	8	a	a	PRON
ejde-888	134	9	are	be	AUX
ejde-888	134	10	identical	identical	ADJ
ejde-888	134	11	to	to	ADP
ejde-888	134	12	the	the	DET
ejde-888	134	13	solutions	solution	NOUN
ejde-888	134	14	of	of	ADP
ejde-888	134	15	problem	problem	NOUN
ejde-888	134	16	(	(	PUNCT
ejde-888	134	17	1.1	1.1	NUM
ejde-888	134	18	)	)	PUNCT
ejde-888	134	19	.	.	PUNCT
ejde-888	135	1	theorem	theorem	VERB
ejde-888	135	2	3.7	3.7	NUM
ejde-888	135	3	.	.	PUNCT
ejde-888	136	1	let	let	VERB
ejde-888	136	2	g	g	NOUN
ejde-888	136	3	:	:	PUNCT
ejde-888	137	1	[	[	X
ejde-888	137	2	m	m	X
ejde-888	137	3	,	,	PUNCT
ejde-888	137	4	t	t	X
ejde-888	137	5	]	]	X
ejde-888	137	6	nm	nm	NOUN
ejde-888	137	7	→	→	PUNCT
ejde-888	137	8	r	r	NOUN
ejde-888	137	9	be	be	AUX
ejde-888	137	10	a	a	DET
ejde-888	137	11	bounded	bounded	ADJ
ejde-888	137	12	function	function	NOUN
ejde-888	137	13	such	such	ADJ
ejde-888	137	14	that	that	DET
ejde-888	137	15	|ξ(ω	|ξ(ω	NOUN
ejde-888	137	16	,	,	PUNCT
ejde-888	137	17	η)|	η)|	ADJ
ejde-888	137	18	≤	≤	NUM
ejde-888	137	19	g(ω)|η|	g(ω)|η|	NOUN
ejde-888	137	20	.	.	PUNCT
ejde-888	138	1	then	then	ADV
ejde-888	138	2	(	(	PUNCT
ejde-888	138	3	1.1	1.1	NUM
ejde-888	138	4	)	)	PUNCT
ejde-888	138	5	has	have	VERB
ejde-888	138	6	at	at	ADV
ejde-888	138	7	least	least	ADV
ejde-888	138	8	one	one	NUM
ejde-888	138	9	solution	solution	NOUN
ejde-888	138	10	on	on	ADP
ejde-888	138	11	z	z	PROPN
ejde-888	138	12	,	,	PUNCT
ejde-888	138	13	provided	provide	VERB
ejde-888	138	14	that	that	SCONJ
ejde-888	138	15	l∗	l∗	PROPN
ejde-888	138	16	≤	≤	X
ejde-888	138	17	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	138	18	1	1	NUM
ejde-888	138	19	)	)	PUNCT
ejde-888	138	20	(	(	PUNCT
ejde-888	138	21	t	t	X
ejde-888	138	22	−m+	−m+	X
ejde-888	138	23	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	138	24	,	,	PUNCT
ejde-888	138	25	where	where	SCONJ
ejde-888	138	26	l∗	l∗	PROPN
ejde-888	138	27	=	=	PUNCT
ejde-888	138	28	supω∈nt	supω∈nt	PROPN
ejde-888	138	29	m	m	PROPN
ejde-888	138	30	g(ω	g(ω	PROPN
ejde-888	138	31	)	)	PUNCT
ejde-888	138	32	.	.	PUNCT
ejde-888	139	1	proof	proof	NOUN
ejde-888	139	2	.	.	PUNCT
ejde-888	140	1	for	for	ADP
ejde-888	140	2	a	a	DET
ejde-888	140	3	positive	positive	ADJ
ejde-888	140	4	numberm	numberm	NOUN
ejde-888	140	5	,	,	PUNCT
ejde-888	140	6	we	we	PRON
ejde-888	140	7	define	define	VERB
ejde-888	140	8	the	the	DET
ejde-888	140	9	setw	setw	NOUN
ejde-888	140	10	=	=	SYM
ejde-888	140	11	{	{	PUNCT
ejde-888	140	12	η	η	PROPN
ejde-888	140	13	:	:	PUNCT
ejde-888	140	14	∥η−η0hγ−1(ω	∥η−η0hγ−1(ω	PROPN
ejde-888	140	15	,	,	PUNCT
ejde-888	140	16	ζ(m))∥	ζ(m))∥	X
ejde-888	140	17	≤	≤	NUM
ejde-888	140	18	m	m	VERB
ejde-888	140	19	,	,	PUNCT
ejde-888	140	20	for	for	ADP
ejde-888	140	21	ω	ω	PROPN
ejde-888	140	22	∈	∈	PROPN
ejde-888	140	23	nt	not	PART
ejde-888	140	24	m.	m.	NOUN
ejde-888	140	25	we	we	PRON
ejde-888	140	26	have	have	VERB
ejde-888	140	27	to	to	PART
ejde-888	140	28	show	show	VERB
ejde-888	140	29	that	that	SCONJ
ejde-888	140	30	a	a	DET
ejde-888	140	31	maps	map	NOUN
ejde-888	140	32	w	w	VERB
ejde-888	140	33	into	into	ADP
ejde-888	140	34	itself	itself	PRON
ejde-888	140	35	.	.	PUNCT
ejde-888	141	1	for	for	ADP
ejde-888	141	2	η	η	PROPN
ejde-888	141	3	∈	∈	PROPN
ejde-888	141	4	w	w	PROPN
ejde-888	141	5	,	,	PUNCT
ejde-888	141	6	we	we	PRON
ejde-888	141	7	have	have	AUX
ejde-888	141	8	|aη(ω)−	|aη(ω)−	NOUN
ejde-888	141	9	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	NUM
ejde-888	141	10	,	,	PUNCT
ejde-888	141	11	ζ(m))|	ζ(m))|	VERB
ejde-888	141	12	≤	≤	NUM
ejde-888	141	13	g(ω	g(ω	X
ejde-888	141	14	)	)	PUNCT
ejde-888	141	15	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	142	1	s	s	PROPN
ejde-888	142	2	=	=	NOUN
ejde-888	142	3	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	142	4	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	PROPN
ejde-888	142	5	,	,	PUNCT
ejde-888	142	6	ζ(s))|η(s)|	ζ(s))|η(s)|	PROPN
ejde-888	142	7	≤	≤	PROPN
ejde-888	142	8	l∗	l∗	PROPN
ejde-888	142	9	sup	sup	PROPN
ejde-888	142	10	ω∈nt	ω∈nt	PROPN
ejde-888	142	11	m	m	VERB
ejde-888	142	12	|η(ω)|	|η(ω)|	PROPN
ejde-888	142	13	ω∑	ω∑	PUNCT
ejde-888	142	14	s	s	NOUN
ejde-888	142	15	=	=	PROPN
ejde-888	142	16	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	142	17	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	142	18	,	,	PUNCT
ejde-888	142	19	ζ(s	ζ(s	PROPN
ejde-888	142	20	)	)	PUNCT
ejde-888	142	21	)	)	PUNCT
ejde-888	142	22	≤	≤	NUM
ejde-888	143	1	l∗∥η∥	l∗∥η∥	NOUN
ejde-888	143	2	(	(	PUNCT
ejde-888	143	3	ω	ω	X
ejde-888	143	4	−m+	−m+	X
ejde-888	143	5	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	143	6	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	143	7	1	1	NUM
ejde-888	143	8	)	)	PUNCT
ejde-888	143	9	≤	≤	NUM
ejde-888	143	10	l∗∥η∥	l∗∥η∥	NOUN
ejde-888	143	11	(	(	PUNCT
ejde-888	143	12	t	t	X
ejde-888	143	13	−m+	−m+	X
ejde-888	143	14	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	143	15	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	143	16	1	1	NUM
ejde-888	143	17	)	)	PUNCT
ejde-888	143	18	≤	≤	NOUN
ejde-888	143	19	m.	m.	NOUN
ejde-888	143	20	we	we	PRON
ejde-888	143	21	have	have	VERB
ejde-888	143	22	∥aη∥	∥aη∥	PRON
ejde-888	143	23	≤	≤	NUM
ejde-888	143	24	m	m	NOUN
ejde-888	143	25	.	.	PUNCT
ejde-888	144	1	it	it	PRON
ejde-888	144	2	follows	follow	VERB
ejde-888	144	3	that	that	SCONJ
ejde-888	144	4	a	a	PRON
ejde-888	144	5	is	be	AUX
ejde-888	144	6	self	self	NOUN
ejde-888	144	7	map	map	NOUN
ejde-888	144	8	.	.	PUNCT
ejde-888	145	1	therefore	therefore	ADV
ejde-888	145	2	,	,	PUNCT
ejde-888	145	3	according	accord	VERB
ejde-888	145	4	to	to	ADP
ejde-888	145	5	brouwer	brouwer	PROPN
ejde-888	145	6	’s	’s	PART
ejde-888	145	7	fixed	fix	VERB
ejde-888	145	8	point	point	NOUN
ejde-888	145	9	theorem	theorem	VERB
ejde-888	145	10	,	,	PUNCT
ejde-888	145	11	a	a	PRON
ejde-888	145	12	has	have	VERB
ejde-888	145	13	at	at	ADV
ejde-888	145	14	least	least	ADV
ejde-888	145	15	one	one	NUM
ejde-888	145	16	fixed	fix	VERB
ejde-888	145	17	point	point	NOUN
ejde-888	145	18	.	.	PUNCT
ejde-888	146	1	□	□	PUNCT
ejde-888	146	2	theorem	theorem	VERB
ejde-888	146	3	3.8	3.8	NUM
ejde-888	146	4	.	.	PUNCT
ejde-888	147	1	for	for	ADP
ejde-888	147	2	k	k	PROPN
ejde-888	147	3	>	>	X
ejde-888	147	4	0	0	PUNCT
ejde-888	147	5	and	and	CCONJ
ejde-888	147	6	η1	η1	NOUN
ejde-888	147	7	,	,	PUNCT
ejde-888	147	8	η2	η2	PROPN
ejde-888	147	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	147	10	z	z	PROPN
ejde-888	147	11	,	,	PUNCT
ejde-888	147	12	assume	assume	VERB
ejde-888	147	13	that	that	SCONJ
ejde-888	147	14	|ξ(ω	|ξ(ω	NOUN
ejde-888	147	15	,	,	PUNCT
ejde-888	147	16	η1	η1	NOUN
ejde-888	147	17	)	)	PUNCT
ejde-888	147	18	−	−	NOUN
ejde-888	147	19	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	147	20	,	,	PUNCT
ejde-888	147	21	η2)|	η2)|	PROPN
ejde-888	147	22	≤	≤	NUM
ejde-888	148	1	k|η1	k|η1	PROPN
ejde-888	148	2	−	−	PROPN
ejde-888	148	3	η2|	η2|	NOUN
ejde-888	148	4	for	for	ADP
ejde-888	148	5	all	all	DET
ejde-888	148	6	ω	ω	NUM
ejde-888	148	7	∈	∈	PROPN
ejde-888	149	1	[	[	X
ejde-888	149	2	m	m	NOUN
ejde-888	149	3	,	,	PUNCT
ejde-888	149	4	t	t	X
ejde-888	149	5	]	]	PUNCT
ejde-888	149	6	nm	nm	NOUN
ejde-888	149	7	.	.	PUNCT
ejde-888	150	1	then	then	ADV
ejde-888	150	2	(	(	PUNCT
ejde-888	150	3	1.1	1.1	NUM
ejde-888	150	4	)	)	PUNCT
ejde-888	150	5	has	have	VERB
ejde-888	150	6	a	a	DET
ejde-888	150	7	unique	unique	ADJ
ejde-888	150	8	solution	solution	NOUN
ejde-888	150	9	on	on	ADP
ejde-888	150	10	z	z	PROPN
ejde-888	150	11	,	,	PUNCT
ejde-888	150	12	provided	provide	VERB
ejde-888	150	13	that	that	SCONJ
ejde-888	150	14	k	k	PROPN
ejde-888	150	15	≤	≤	PROPN
ejde-888	150	16	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	150	17	1	1	NUM
ejde-888	150	18	)	)	PUNCT
ejde-888	150	19	(	(	PUNCT
ejde-888	150	20	t	t	X
ejde-888	150	21	−m+	−m+	X
ejde-888	150	22	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	150	23	.	.	PUNCT
ejde-888	151	1	(	(	PUNCT
ejde-888	151	2	3.3	3.3	NUM
ejde-888	151	3	)	)	PUNCT
ejde-888	151	4	proof	proof	NOUN
ejde-888	151	5	.	.	PUNCT
ejde-888	152	1	let	let	VERB
ejde-888	152	2	η1	η1	NOUN
ejde-888	152	3	,	,	PUNCT
ejde-888	152	4	η2	η2	X
ejde-888	152	5	∈	∈	PROPN
ejde-888	152	6	z	z	PROPN
ejde-888	152	7	and	and	CCONJ
ejde-888	152	8	ω	ω	NUM
ejde-888	152	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	153	1	[	[	X
ejde-888	153	2	m	m	PROPN
ejde-888	153	3	,	,	PUNCT
ejde-888	153	4	t	t	X
ejde-888	153	5	]	]	PUNCT
ejde-888	153	6	nm	nm	NOUN
ejde-888	153	7	.	.	PUNCT
ejde-888	154	1	by	by	ADP
ejde-888	154	2	assumption	assumption	NOUN
ejde-888	154	3	we	we	PRON
ejde-888	154	4	have	have	VERB
ejde-888	154	5	|aη1(ω)−aη2(ω)|	|aη1(ω)−aη2(ω)|	PRON
ejde-888	154	6	≤	≤	ADJ
ejde-888	154	7	|	|	ADV
ejde-888	154	8	ω∑	ω∑	ADP
ejde-888	154	9	s	s	PART
ejde-888	154	10	=	=	ADJ
ejde-888	154	11	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	154	12	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	PROPN
ejde-888	154	13	,	,	PUNCT
ejde-888	154	14	ζ(s))∥ξ(ω	ζ(s))∥ξ(ω	PROPN
ejde-888	154	15	,	,	PUNCT
ejde-888	154	16	η1)−	η1)−	ADJ
ejde-888	154	17	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	154	18	,	,	PUNCT
ejde-888	154	19	η2)|	η2)|	PROPN
ejde-888	154	20	≤	≤	NUM
ejde-888	154	21	(	(	PUNCT
ejde-888	154	22	ω	ω	X
ejde-888	154	23	−m+	−m+	X
ejde-888	154	24	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	154	25	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	154	26	1	1	NUM
ejde-888	154	27	)	)	PUNCT
ejde-888	154	28	k|η1	k|η1	PROPN
ejde-888	154	29	−	−	PROPN
ejde-888	154	30	η2|	η2|	NOUN
ejde-888	154	31	.	.	PUNCT
ejde-888	155	1	taking	take	VERB
ejde-888	155	2	the	the	DET
ejde-888	155	3	supremum	supremum	NOUN
ejde-888	155	4	on	on	ADP
ejde-888	155	5	both	both	DET
ejde-888	155	6	sides	side	NOUN
ejde-888	155	7	we	we	PRON
ejde-888	155	8	have	have	VERB
ejde-888	155	9	sup	sup	NOUN
ejde-888	155	10	ω∈nt	ω∈nt	PROPN
ejde-888	155	11	m	m	NOUN
ejde-888	155	12	|aη1(ω)−aη2(ω)|	|aη1(ω)−aη2(ω)|	PRON
ejde-888	156	1	≤	≤	ADJ
ejde-888	156	2	k	k	X
ejde-888	156	3	(	(	PUNCT
ejde-888	156	4	t	t	X
ejde-888	156	5	−m+	−m+	X
ejde-888	156	6	1)ϑ	1)ϑ	ADV
ejde-888	156	7	γ(ϑ+	γ(ϑ+	ADJ
ejde-888	156	8	1	1	NUM
ejde-888	156	9	)	)	PUNCT
ejde-888	156	10	∥η1	∥η1	ADP
ejde-888	156	11	−	−	PROPN
ejde-888	156	12	η2∥.	η2∥.	NOUN
ejde-888	156	13	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	156	14	/	/	SYM
ejde-888	156	15	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	156	16	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	156	17	stability	stability	NOUN
ejde-888	156	18	55	55	NUM
ejde-888	156	19	by	by	ADP
ejde-888	156	20	using	use	VERB
ejde-888	156	21	equation	equation	NOUN
ejde-888	156	22	(	(	PUNCT
ejde-888	156	23	3.3	3.3	NUM
ejde-888	156	24	)	)	PUNCT
ejde-888	156	25	,	,	PUNCT
ejde-888	156	26	we	we	PRON
ejde-888	156	27	obtain	obtain	VERB
ejde-888	156	28	∥aη1	∥aη1	PROPN
ejde-888	156	29	−	−	PROPN
ejde-888	156	30	aη2∥	aη2∥	NOUN
ejde-888	156	31	≤	≤	NOUN
ejde-888	156	32	∥η1	∥η1	ADP
ejde-888	156	33	−	−	PROPN
ejde-888	157	1	η2∥	η2∥	PROPN
ejde-888	157	2	,	,	PUNCT
ejde-888	157	3	from	from	ADP
ejde-888	157	4	which	which	PRON
ejde-888	157	5	it	it	PRON
ejde-888	157	6	follows	follow	VERB
ejde-888	157	7	that	that	SCONJ
ejde-888	157	8	a	a	PRON
ejde-888	157	9	is	be	AUX
ejde-888	157	10	contraction	contraction	NOUN
ejde-888	157	11	mapping	mapping	NOUN
ejde-888	157	12	.	.	PUNCT
ejde-888	158	1	therefore	therefore	ADV
ejde-888	158	2	,	,	PUNCT
ejde-888	158	3	according	accord	VERB
ejde-888	158	4	to	to	ADP
ejde-888	158	5	banach	banach	ADV
ejde-888	158	6	’s	’s	PART
ejde-888	158	7	fixed	fix	VERB
ejde-888	158	8	point	point	NOUN
ejde-888	158	9	theorem	theorem	VERB
ejde-888	158	10	a	a	PRON
ejde-888	158	11	has	have	VERB
ejde-888	158	12	a	a	DET
ejde-888	158	13	unique	unique	ADJ
ejde-888	158	14	fixed	fix	VERB
ejde-888	158	15	point	point	NOUN
ejde-888	158	16	.	.	PUNCT
ejde-888	159	1	□	□	PUNCT
ejde-888	159	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	159	3	3.9	3.9	NUM
ejde-888	159	4	.	.	PUNCT
ejde-888	160	1	let	let	VERB
ejde-888	160	2	η	η	PROPN
ejde-888	160	3	:	:	PUNCT
ejde-888	160	4	nm	nm	PROPN
ejde-888	160	5	→	→	SYM
ejde-888	160	6	r	r	NOUN
ejde-888	160	7	,	,	PUNCT
ejde-888	160	8	0	0	NUM
ejde-888	160	9	≤	≤	NUM
ejde-888	160	10	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	160	11	≤	≤	NUM
ejde-888	160	12	1	1	NUM
ejde-888	160	13	,	,	PUNCT
ejde-888	160	14	and	and	CCONJ
ejde-888	160	15	0	0	NUM
ejde-888	160	16	<	<	X
ejde-888	160	17	ϑ	ϑ	X
ejde-888	160	18	≤	≤	ADV
ejde-888	160	19	1	1	NUM
ejde-888	160	20	.	.	PUNCT
ejde-888	161	1	the	the	DET
ejde-888	161	2	ϑth−order	ϑth−order	NOUN
ejde-888	161	3	and	and	CCONJ
ejde-888	161	4	ρth−type	ρth−type	PROPN
ejde-888	161	5	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	161	6	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	161	7	difference	difference	NOUN
ejde-888	161	8	of	of	ADP
ejde-888	161	9	η	η	PROPN
ejde-888	161	10	is	be	AUX
ejde-888	161	11	defined	define	VERB
ejde-888	161	12	by	by	ADP
ejde-888	161	13	(	(	PUNCT
ejde-888	161	14	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	161	15	m	m	VERB
ejde-888	161	16	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	161	17	)	)	PUNCT
ejde-888	162	1	=	=	SYM
ejde-888	162	2	(	(	PUNCT
ejde-888	162	3	∇−ρ(1−ϑ	∇−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	162	4	)	)	PUNCT
ejde-888	163	1	m+1	m+1	NUM
ejde-888	163	2	∇∇−(1−ρ)(1−ϑ	∇∇−(1−ρ)(1−ϑ	NOUN
ejde-888	163	3	)	)	PUNCT
ejde-888	163	4	m	m	VERB
ejde-888	163	5	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	163	6	)	)	PUNCT
ejde-888	163	7	,	,	PUNCT
ejde-888	163	8	ω	ω	PROPN
ejde-888	163	9	∈	∈	PROPN
ejde-888	163	10	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	163	11	.	.	PUNCT
ejde-888	163	12	then	then	ADV
ejde-888	163	13	(	(	PUNCT
ejde-888	163	14	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	163	15	m	m	VERB
ejde-888	163	16	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	163	17	)	)	PUNCT
ejde-888	163	18	=	=	SYM
ejde-888	163	19	(	(	PUNCT
ejde-888	163	20	∇ϑ	∇ϑ	PROPN
ejde-888	163	21	mη)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	mη)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	NOUN
ejde-888	163	22	,	,	PUNCT
ejde-888	163	23	ζ(m))(∇−(1−γ	ζ(m))(∇−(1−γ	NOUN
ejde-888	163	24	)	)	PUNCT
ejde-888	163	25	m	m	VERB
ejde-888	163	26	η)(m	η)(m	VERB
ejde-888	163	27	)	)	PUNCT
ejde-888	163	28	,	,	PUNCT
ejde-888	163	29	(	(	PUNCT
ejde-888	163	30	3.4	3.4	NUM
ejde-888	163	31	)	)	PUNCT
ejde-888	163	32	where	where	SCONJ
ejde-888	163	33	γ	γ	X
ejde-888	163	34	=	=	PRON
ejde-888	163	35	ϑ+	ϑ+	PRON
ejde-888	163	36	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	163	37	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	163	38	.	.	PUNCT
ejde-888	163	39	proof	proof	NOUN
ejde-888	163	40	.	.	PUNCT
ejde-888	164	1	evidently	evidently	ADV
ejde-888	164	2	,	,	PUNCT
ejde-888	164	3	0	0	PUNCT
ejde-888	164	4	<	<	X
ejde-888	164	5	γ	γ	X
ejde-888	164	6	≤	≤	PROPN
ejde-888	164	7	1	1	NUM
ejde-888	164	8	,	,	PUNCT
ejde-888	164	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	164	10	2.5	2.5	NUM
ejde-888	164	11	and	and	CCONJ
ejde-888	164	12	equation	equation	NOUN
ejde-888	164	13	(	(	PUNCT
ejde-888	164	14	2.2	2.2	NUM
ejde-888	164	15	)	)	PUNCT
ejde-888	164	16	support	support	VERB
ejde-888	164	17	this	this	DET
ejde-888	164	18	assertion	assertion	NOUN
ejde-888	164	19	.	.	PUNCT
ejde-888	165	1	consider	consider	VERB
ejde-888	165	2	(	(	PUNCT
ejde-888	165	3	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	165	4	m	m	VERB
ejde-888	165	5	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	165	6	)	)	PUNCT
ejde-888	165	7	=	=	SYM
ejde-888	165	8	(	(	PUNCT
ejde-888	165	9	∇−ρ(1−ϑ	∇−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	165	10	)	)	PUNCT
ejde-888	166	1	m+1	m+1	NUM
ejde-888	166	2	∇∇−(1−ρ)(1−ϑ	∇∇−(1−ρ)(1−ϑ	NOUN
ejde-888	166	3	)	)	PUNCT
ejde-888	166	4	m	m	VERB
ejde-888	166	5	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	166	6	)	)	PUNCT
ejde-888	166	7	=	=	SYM
ejde-888	166	8	(	(	PUNCT
ejde-888	166	9	∇∇−ρ(1−ϑ	∇∇−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	166	10	)	)	PUNCT
ejde-888	166	11	m	m	PROPN
ejde-888	166	12	∇−(1−ρ)(1−ϑ	∇−(1−ρ)(1−ϑ	PROPN
ejde-888	166	13	)	)	PUNCT
ejde-888	166	14	m	m	VERB
ejde-888	166	15	η)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	η)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	NOUN
ejde-888	166	16	,	,	PUNCT
ejde-888	166	17	ζ(m))(∇−(1−ρ)(1−ϑ	ζ(m))(∇−(1−ρ)(1−ϑ	NOUN
ejde-888	166	18	)	)	PUNCT
ejde-888	166	19	m	m	VERB
ejde-888	166	20	η)(m	η)(m	VERB
ejde-888	166	21	)	)	PUNCT
ejde-888	166	22	=	=	SYM
ejde-888	166	23	(	(	PUNCT
ejde-888	166	24	∇1−ρ(1−ϑ	∇1−ρ(1−ϑ	PROPN
ejde-888	166	25	)	)	PUNCT
ejde-888	166	26	m	m	PROPN
ejde-888	166	27	∇−(1−ρ)(1−ϑ	∇−(1−ρ)(1−ϑ	PROPN
ejde-888	166	28	)	)	PUNCT
ejde-888	166	29	m	m	VERB
ejde-888	166	30	η)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	η)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	X
ejde-888	166	31	,	,	PUNCT
ejde-888	166	32	ζ(m))(∇−(1−γ	ζ(m))(∇−(1−γ	NOUN
ejde-888	166	33	)	)	PUNCT
ejde-888	166	34	m	m	VERB
ejde-888	166	35	η)(m	η)(m	VERB
ejde-888	166	36	)	)	PUNCT
ejde-888	166	37	=	=	SYM
ejde-888	166	38	(	(	PUNCT
ejde-888	166	39	∇ϑ	∇ϑ	PROPN
ejde-888	166	40	mη)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	mη)(ω)−hρ(1−ϑ)−1(ω	NOUN
ejde-888	166	41	,	,	PUNCT
ejde-888	166	42	ζ(m))(∇−(1−γ	ζ(m))(∇−(1−γ	NOUN
ejde-888	166	43	)	)	PUNCT
ejde-888	166	44	m	m	VERB
ejde-888	166	45	η)(m	η)(m	VERB
ejde-888	166	46	)	)	PUNCT
ejde-888	166	47	.	.	PUNCT
ejde-888	167	1	□	□	PUNCT
ejde-888	167	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	167	3	3.10	3.10	NUM
ejde-888	167	4	.	.	PUNCT
ejde-888	168	1	for	for	ADP
ejde-888	168	2	each	each	DET
ejde-888	168	3	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	168	4	time	time	NOUN
ejde-888	168	5	ω	ω	PROPN
ejde-888	168	6	∈	∈	PROPN
ejde-888	168	7	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	168	8	,	,	PUNCT
ejde-888	168	9	where	where	SCONJ
ejde-888	168	10	0	0	PUNCT
ejde-888	168	11	<	<	X
ejde-888	168	12	ϑ	ϑ	X
ejde-888	168	13	≤	≤	NUM
ejde-888	168	14	1	1	NUM
ejde-888	168	15	,	,	PUNCT
ejde-888	168	16	0	0	NUM
ejde-888	168	17	≤	≤	NUM
ejde-888	168	18	ρ	ρ	NUM
ejde-888	168	19	≤	≤	NUM
ejde-888	168	20	1	1	NUM
ejde-888	168	21	and	and	CCONJ
ejde-888	168	22	γ	γ	X
ejde-888	168	23	=	=	X
ejde-888	168	24	ϑ+	ϑ+	PROPN
ejde-888	168	25	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	168	26	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	168	27	,	,	PUNCT
ejde-888	168	28	the	the	DET
ejde-888	168	29	inequality	inequality	NOUN
ejde-888	168	30	involving	involve	VERB
ejde-888	168	31	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	168	32	difference	difference	NOUN
ejde-888	168	33	holds	hold	NOUN
ejde-888	168	34	(	(	PUNCT
ejde-888	168	35	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	168	36	m	m	VERB
ejde-888	168	37	η2	η2	ADJ
ejde-888	168	38	2	2	NUM
ejde-888	168	39	)	)	PUNCT
ejde-888	168	40	(	(	PUNCT
ejde-888	168	41	ω	ω	NOUN
ejde-888	168	42	)	)	PUNCT
ejde-888	168	43	≤	≤	NUM
ejde-888	168	44	η(ω)(∇ϑ,ρ	η(ω)(∇ϑ,ρ	ADV
ejde-888	168	45	m	m	VERB
ejde-888	168	46	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	168	47	)	)	PUNCT
ejde-888	168	48	,	,	PUNCT
ejde-888	168	49	provided	provide	VERB
ejde-888	168	50	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	168	51	)	)	PUNCT
ejde-888	168	52	≤	≤	NUM
ejde-888	168	53	1	1	NUM
ejde-888	168	54	2η(m	2η(m	NUM
ejde-888	168	55	)	)	PUNCT
ejde-888	168	56	,	,	PUNCT
ejde-888	168	57	ω	ω	PROPN
ejde-888	168	58	∈	∈	PROPN
ejde-888	168	59	nm+1	nm+1	NOUN
ejde-888	168	60	.	.	PROPN
ejde-888	168	61	proof	proof	NOUN
ejde-888	168	62	.	.	PUNCT
ejde-888	169	1	note	note	VERB
ejde-888	169	2	that	that	SCONJ
ejde-888	169	3	η(ω)(∇ϑ,ρ	η(ω)(∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	169	4	m	m	VERB
ejde-888	169	5	η)(ω)−	η)(ω)−	NOUN
ejde-888	169	6	(	(	PUNCT
ejde-888	169	7	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	169	8	m	m	VERB
ejde-888	169	9	η2	η2	ADJ
ejde-888	169	10	2	2	NUM
ejde-888	169	11	)	)	PUNCT
ejde-888	169	12	(	(	PUNCT
ejde-888	169	13	ω	ω	NOUN
ejde-888	169	14	)	)	PUNCT
ejde-888	169	15	=	=	PROPN
ejde-888	169	16	η(ω)(∇ϑ	η(ω)(∇ϑ	NOUN
ejde-888	169	17	mη)(ω)−	mη)(ω)−	PROPN
ejde-888	169	18	η(ω)hρ(1−ϑ)−1(ω	η(ω)hρ(1−ϑ)−1(ω	PROPN
ejde-888	169	19	,	,	PUNCT
ejde-888	169	20	ζ(m))η(m	ζ(m))η(m	ADV
ejde-888	169	21	)	)	PUNCT
ejde-888	169	22	−	−	PROPN
ejde-888	170	1	(	(	PUNCT
ejde-888	170	2	∇ϑ	∇ϑ	PROPN
ejde-888	170	3	m	m	VERB
ejde-888	170	4	η2	η2	ADJ
ejde-888	170	5	2	2	NUM
ejde-888	170	6	)	)	PUNCT
ejde-888	170	7	(	(	PUNCT
ejde-888	170	8	ω	ω	X
ejde-888	170	9	)	)	PUNCT
ejde-888	170	10	+	+	PROPN
ejde-888	170	11	hρ(1−ϑ)−1(ω	hρ(1−ϑ)−1(ω	ADJ
ejde-888	170	12	,	,	PUNCT
ejde-888	170	13	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	170	14	)	)	PUNCT
ejde-888	170	15	)	)	PUNCT
ejde-888	170	16	η2	η2	X
ejde-888	170	17	2	2	NUM
ejde-888	170	18	(	(	PUNCT
ejde-888	170	19	m	m	NOUN
ejde-888	170	20	)	)	PUNCT
ejde-888	170	21	.	.	PUNCT
ejde-888	171	1	using	use	VERB
ejde-888	171	2	[	[	X
ejde-888	171	3	27	27	NUM
ejde-888	171	4	,	,	PUNCT
ejde-888	171	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	171	6	3.9	3.9	NUM
ejde-888	171	7	]	]	PUNCT
ejde-888	171	8	,	,	PUNCT
ejde-888	171	9	η(ω)(∇ϑ,ρ	η(ω)(∇ϑ,ρ	ADV
ejde-888	171	10	m	m	VERB
ejde-888	171	11	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	171	12	)	)	PUNCT
ejde-888	171	13	−	−	PROPN
ejde-888	171	14	(	(	PUNCT
ejde-888	171	15	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	171	16	m	m	VERB
ejde-888	171	17	η2	η2	ADJ
ejde-888	171	18	2	2	NUM
ejde-888	171	19	)	)	PUNCT
ejde-888	171	20	(	(	PUNCT
ejde-888	171	21	ω	ω	NOUN
ejde-888	171	22	)	)	PUNCT
ejde-888	171	23	≥	≥	NOUN
ejde-888	171	24	0	0	NUM
ejde-888	171	25	when	when	SCONJ
ejde-888	171	26	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	171	27	)	)	PUNCT
ejde-888	171	28	≤	≤	NUM
ejde-888	171	29	1	1	NUM
ejde-888	171	30	2η(m	2η(m	NUM
ejde-888	171	31	)	)	PUNCT
ejde-888	171	32	,	,	PUNCT
ejde-888	171	33	ω	ω	PROPN
ejde-888	171	34	∈	∈	PROPN
ejde-888	171	35	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	171	36	.	.	PUNCT
ejde-888	172	1	□	□	PUNCT
ejde-888	172	2	4	4	X
ejde-888	172	3	.	.	X
ejde-888	172	4	stability	stability	NOUN
ejde-888	172	5	theorems	theorem	VERB
ejde-888	172	6	the	the	DET
ejde-888	172	7	stability	stability	NOUN
ejde-888	172	8	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	172	9	of	of	ADP
ejde-888	172	10	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	172	11	differential	differential	ADJ
ejde-888	172	12	equations	equation	NOUN
ejde-888	172	13	has	have	AUX
ejde-888	172	14	been	be	AUX
ejde-888	172	15	explored	explore	VERB
ejde-888	172	16	extensively	extensively	ADV
ejde-888	172	17	.	.	PUNCT
ejde-888	173	1	in	in	ADP
ejde-888	173	2	their	their	PRON
ejde-888	173	3	study	study	NOUN
ejde-888	173	4	,	,	PUNCT
ejde-888	173	5	the	the	DET
ejde-888	173	6	authors	author	NOUN
ejde-888	173	7	utilized	utilize	VERB
ejde-888	173	8	laplace	laplace	NOUN
ejde-888	173	9	transforms	transform	VERB
ejde-888	173	10	to	to	PART
ejde-888	173	11	derive	derive	VERB
ejde-888	173	12	a	a	DET
ejde-888	173	13	mittagleffler	mittagleffler	NOUN
ejde-888	173	14	solution	solution	NOUN
ejde-888	173	15	.	.	PUNCT
ejde-888	174	1	however	however	ADV
ejde-888	174	2	,	,	PUNCT
ejde-888	174	3	it	it	PRON
ejde-888	174	4	is	be	AUX
ejde-888	174	5	crucial	crucial	ADJ
ejde-888	174	6	to	to	PART
ejde-888	174	7	note	note	VERB
ejde-888	174	8	that	that	SCONJ
ejde-888	174	9	continuity	continuity	NOUN
ejde-888	174	10	in	in	ADP
ejde-888	174	11	solutions	solution	NOUN
ejde-888	174	12	does	do	AUX
ejde-888	174	13	not	not	PART
ejde-888	174	14	persist	persist	VERB
ejde-888	174	15	in	in	ADP
ejde-888	174	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	174	17	difference	difference	NOUN
ejde-888	174	18	equations	equation	NOUN
ejde-888	174	19	,	,	PUNCT
ejde-888	174	20	thus	thus	ADV
ejde-888	174	21	hindering	hinder	VERB
ejde-888	174	22	the	the	DET
ejde-888	174	23	use	use	NOUN
ejde-888	174	24	of	of	ADP
ejde-888	174	25	traditional	traditional	ADJ
ejde-888	174	26	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-888	174	27	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	174	28	tools	tool	NOUN
ejde-888	174	29	to	to	PART
ejde-888	174	30	assess	assess	VERB
ejde-888	174	31	the	the	DET
ejde-888	174	32	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	174	33	behavior	behavior	NOUN
ejde-888	174	34	of	of	ADP
ejde-888	174	35	these	these	DET
ejde-888	174	36	equations	equation	NOUN
ejde-888	174	37	.	.	PUNCT
ejde-888	175	1	therefore	therefore	ADV
ejde-888	175	2	,	,	PUNCT
ejde-888	175	3	alternative	alternative	ADJ
ejde-888	175	4	methodologies	methodology	NOUN
ejde-888	175	5	are	be	AUX
ejde-888	175	6	required	require	VERB
ejde-888	175	7	to	to	PART
ejde-888	175	8	investigate	investigate	VERB
ejde-888	175	9	stability	stability	NOUN
ejde-888	175	10	.	.	PUNCT
ejde-888	176	1	to	to	PART
ejde-888	176	2	begin	begin	VERB
ejde-888	176	3	,	,	PUNCT
ejde-888	176	4	let	let	VERB
ejde-888	176	5	’s	’s	PRON
ejde-888	176	6	revisit	revisit	VERB
ejde-888	176	7	some	some	DET
ejde-888	176	8	stability	stability	NOUN
ejde-888	176	9	definitions	definition	NOUN
ejde-888	176	10	pertinent	pertinent	VERB
ejde-888	176	11	to	to	PART
ejde-888	176	12	discrete	discrete	VERB
ejde-888	176	13	systems	system	NOUN
ejde-888	176	14	in	in	ADP
ejde-888	176	15	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	176	16	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-888	176	17	.	.	PUNCT
ejde-888	177	1	56	56	NUM
ejde-888	177	2	a.	a.	NOUN
ejde-888	177	3	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	177	4	,	,	PUNCT
ejde-888	177	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	177	6	n.	n.	PROPN
ejde-888	177	7	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	177	8	,	,	PUNCT
ejde-888	177	9	a.	a.	NOUN
ejde-888	177	10	shukla	shukla	PROPN
ejde-888	177	11	definition	definition	NOUN
ejde-888	177	12	4.1	4.1	NUM
ejde-888	177	13	(	(	PUNCT
ejde-888	177	14	[	[	X
ejde-888	177	15	27	27	NUM
ejde-888	177	16	]	]	NUM
ejde-888	177	17	)	)	PUNCT
ejde-888	177	18	.	.	PUNCT
ejde-888	178	1	let	let	VERB
ejde-888	178	2	for	for	ADP
ejde-888	178	3	η∗	η∗	NOUN
ejde-888	178	4	=	=	SYM
ejde-888	178	5	(	(	PUNCT
ejde-888	178	6	η1(ω	η1(ω	NOUN
ejde-888	178	7	)	)	PUNCT
ejde-888	178	8	,	,	PUNCT
ejde-888	178	9	·	·	PUNCT
ejde-888	178	10	·	·	PUNCT
ejde-888	178	11	·	·	PUNCT
ejde-888	178	12	,	,	PUNCT
ejde-888	178	13	ηn	ηn	INTJ
ejde-888	178	14	(	(	PUNCT
ejde-888	178	15	ω))t	ω))t	NOUN
ejde-888	178	16	,	,	PUNCT
ejde-888	178	17	denote	denote	VERB
ejde-888	178	18	a	a	DET
ejde-888	178	19	vector	vector	NOUN
ejde-888	178	20	function	function	NOUN
ejde-888	178	21	at	at	ADP
ejde-888	178	22	time	time	NOUN
ejde-888	178	23	ω	ω	PROPN
ejde-888	178	24	∈	∈	PROPN
ejde-888	178	25	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	178	26	,	,	PUNCT
ejde-888	178	27	consider	consider	VERB
ejde-888	178	28	the	the	DET
ejde-888	178	29	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	178	30	point	point	NOUN
ejde-888	178	31	η	η	PROPN
ejde-888	178	32	=	=	SYM
ejde-888	178	33	0	0	PROPN
ejde-888	178	34	.	.	NOUN
ejde-888	178	35	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	PROPN
ejde-888	178	36	ω0	ω0	PROPN
ejde-888	178	37	η∗(ω	η∗(ω	NUM
ejde-888	178	38	)	)	PUNCT
ejde-888	179	1	=	=	SYM
ejde-888	179	2	ξ(ω	ξ(ω	NOUN
ejde-888	179	3	,	,	PUNCT
ejde-888	179	4	η∗(ω	η∗(ω	PROPN
ejde-888	179	5	)	)	PUNCT
ejde-888	179	6	)	)	PUNCT
ejde-888	179	7	,	,	PUNCT
ejde-888	179	8	η∗(ω0	η∗(ω0	PROPN
ejde-888	179	9	)	)	PUNCT
ejde-888	179	10	=	=	SYM
ejde-888	179	11	c	c	X
ejde-888	179	12	,	,	PUNCT
ejde-888	179	13	0	0	PUNCT
ejde-888	179	14	<	<	X
ejde-888	179	15	ϑ	ϑ	X
ejde-888	179	16	≤	≤	NUM
ejde-888	179	17	1	1	NUM
ejde-888	179	18	,	,	PUNCT
ejde-888	179	19	0	0	NUM
ejde-888	179	20	≤	≤	NUM
ejde-888	179	21	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	179	22	≤	≤	NUM
ejde-888	179	23	1	1	NUM
ejde-888	179	24	,	,	PUNCT
ejde-888	179	25	ω	ω	NUM
ejde-888	179	26	∈	∈	PROPN
ejde-888	179	27	nω0	nω0	NOUN
ejde-888	179	28	+	+	NOUN
ejde-888	179	29	1	1	NUM
ejde-888	179	30	.	.	PUNCT
ejde-888	180	1	the	the	DET
ejde-888	180	2	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	180	3	point	point	NOUN
ejde-888	180	4	is	be	AUX
ejde-888	180	5	said	say	VERB
ejde-888	180	6	to	to	PART
ejde-888	180	7	be	be	AUX
ejde-888	180	8	stable	stable	ADJ
ejde-888	180	9	if	if	SCONJ
ejde-888	180	10	for	for	ADP
ejde-888	180	11	all	all	PRON
ejde-888	180	12	ϵ	ϵ	X
ejde-888	180	13	>	>	X
ejde-888	180	14	0	0	PUNCT
ejde-888	181	1	there	there	PRON
ejde-888	181	2	exits	exit	VERB
ejde-888	181	3	a	a	DET
ejde-888	181	4	δ	δ	NOUN
ejde-888	181	5	=	=	PUNCT
ejde-888	181	6	δ(ω0	δ(ω0	NOUN
ejde-888	181	7	,	,	PUNCT
ejde-888	181	8	ϵ	ϵ	NOUN
ejde-888	181	9	)	)	PUNCT
ejde-888	181	10	>	>	X
ejde-888	181	11	0	0	NUM
ejde-888	182	1	such	such	ADJ
ejde-888	182	2	that	that	SCONJ
ejde-888	182	3	if	if	SCONJ
ejde-888	182	4	∥η∗(ω0)∥	∥η∗(ω0)∥	X
ejde-888	182	5	<	<	X
ejde-888	182	6	δ	δ	PROPN
ejde-888	182	7	then	then	ADV
ejde-888	182	8	∥η∗(ω)∥	∥η∗(ω)∥	X
ejde-888	182	9	<	<	X
ejde-888	182	10	ϵ	ϵ	X
ejde-888	182	11	,	,	PUNCT
ejde-888	182	12	for	for	ADP
ejde-888	182	13	all	all	PRON
ejde-888	182	14	ω	ω	NUM
ejde-888	182	15	>	>	X
ejde-888	182	16	ω0	ω0	PROPN
ejde-888	182	17	,	,	PUNCT
ejde-888	182	18	ω	ω	PROPN
ejde-888	182	19	∈	∈	PROPN
ejde-888	182	20	nω0	nω0	NOUN
ejde-888	182	21	.	.	PUNCT
ejde-888	183	1	definition	definition	NOUN
ejde-888	183	2	4.2	4.2	NUM
ejde-888	183	3	(	(	PUNCT
ejde-888	183	4	[	[	X
ejde-888	183	5	27	27	NUM
ejde-888	183	6	]	]	NUM
ejde-888	183	7	)	)	PUNCT
ejde-888	183	8	.	.	PUNCT
ejde-888	184	1	an	an	DET
ejde-888	184	2	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	184	3	point	point	NOUN
ejde-888	184	4	is	be	AUX
ejde-888	184	5	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	184	6	stable	stable	ADJ
ejde-888	184	7	if	if	SCONJ
ejde-888	184	8	for	for	ADP
ejde-888	184	9	all	all	PRON
ejde-888	184	10	ϵ	ϵ	X
ejde-888	184	11	>	>	X
ejde-888	184	12	0	0	PUNCT
ejde-888	185	1	there	there	PRON
ejde-888	185	2	exits	exit	VERB
ejde-888	185	3	a	a	DET
ejde-888	185	4	,	,	PUNCT
ejde-888	185	5	δ	δ	NOUN
ejde-888	185	6	=	=	PUNCT
ejde-888	185	7	δ(ω0	δ(ω0	NOUN
ejde-888	185	8	)	)	PUNCT
ejde-888	185	9	>	>	X
ejde-888	185	10	0	0	NUM
ejde-888	185	11	such	such	ADJ
ejde-888	185	12	that	that	PRON
ejde-888	185	13	∥η∗(ω0)∥	∥η∗(ω0)∥	X
ejde-888	185	14	<	<	X
ejde-888	185	15	δ	δ	PROPN
ejde-888	185	16	implies	imply	VERB
ejde-888	185	17	limω→∞	limω→∞	PROPN
ejde-888	185	18	η∗	η∗	NOUN
ejde-888	185	19	=	=	SYM
ejde-888	185	20	0	0	NUM
ejde-888	185	21	,	,	PUNCT
ejde-888	185	22	ω	ω	NUM
ejde-888	185	23	∈	∈	PROPN
ejde-888	185	24	nω0	nω0	NOUN
ejde-888	185	25	.	.	PUNCT
ejde-888	186	1	using	use	VERB
ejde-888	186	2	the	the	DET
ejde-888	186	3	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	186	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	186	5	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	186	6	direct	direct	ADJ
ejde-888	186	7	technique	technique	NOUN
ejde-888	186	8	,	,	PUNCT
ejde-888	186	9	we	we	PRON
ejde-888	186	10	examine	examine	VERB
ejde-888	186	11	the	the	DET
ejde-888	186	12	stability	stability	NOUN
ejde-888	186	13	of	of	ADP
ejde-888	186	14	equation	equation	NOUN
ejde-888	186	15	(	(	PUNCT
ejde-888	186	16	1.1	1.1	NUM
ejde-888	186	17	)	)	PUNCT
ejde-888	186	18	.	.	PUNCT
ejde-888	187	1	for	for	ADP
ejde-888	187	2	simplicity	simplicity	NOUN
ejde-888	187	3	,	,	PUNCT
ejde-888	187	4	we	we	PRON
ejde-888	187	5	assume	assume	VERB
ejde-888	187	6	ω0	ω0	ADV
ejde-888	187	7	=	=	SYM
ejde-888	187	8	m	m	VERB
ejde-888	187	9	in	in	ADP
ejde-888	187	10	the	the	DET
ejde-888	187	11	remainder	remainder	NOUN
ejde-888	187	12	of	of	ADP
ejde-888	187	13	the	the	DET
ejde-888	187	14	work	work	NOUN
ejde-888	187	15	.	.	PUNCT
ejde-888	188	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	188	2	4.3	4.3	NUM
ejde-888	188	3	.	.	PUNCT
ejde-888	189	1	let	let	VERB
ejde-888	189	2	η(m	η(m	NOUN
ejde-888	189	3	)	)	PUNCT
ejde-888	189	4	,	,	PUNCT
ejde-888	189	5	η(m+	η(m+	NOUN
ejde-888	189	6	1	1	NUM
ejde-888	189	7	)	)	PUNCT
ejde-888	189	8	>	>	X
ejde-888	189	9	0	0	NUM
ejde-888	189	10	,	,	PUNCT
ejde-888	189	11	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	189	12	)	)	PUNCT
ejde-888	189	13	is	be	AUX
ejde-888	189	14	a	a	DET
ejde-888	189	15	solution	solution	NOUN
ejde-888	189	16	of	of	ADP
ejde-888	189	17	(	(	PUNCT
ejde-888	189	18	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	189	19	m	m	VERB
ejde-888	189	20	η)(ω	η)(ω	X
ejde-888	189	21	)	)	PUNCT
ejde-888	189	22	=	=	SYM
ejde-888	189	23	λη(ω	λη(ω	NOUN
ejde-888	189	24	)	)	PUNCT
ejde-888	189	25	,	,	PUNCT
ejde-888	189	26	ω	ω	PROPN
ejde-888	189	27	∈	∈	PROPN
ejde-888	189	28	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	189	29	,	,	PUNCT
ejde-888	189	30	0	0	PUNCT
ejde-888	189	31	<	<	X
ejde-888	189	32	ϑ	ϑ	X
ejde-888	189	33	≤	≤	NUM
ejde-888	189	34	1	1	NUM
ejde-888	189	35	,	,	PUNCT
ejde-888	189	36	0	0	NUM
ejde-888	189	37	≤	≤	NUM
ejde-888	189	38	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	189	39	≤	≤	NUM
ejde-888	189	40	1	1	NUM
ejde-888	189	41	,	,	PUNCT
ejde-888	189	42	(	(	PUNCT
ejde-888	189	43	4.1	4.1	NUM
ejde-888	189	44	)	)	PUNCT
ejde-888	189	45	and	and	CCONJ
ejde-888	189	46	0	0	NUM
ejde-888	189	47	≤	≤	NUM
ejde-888	190	1	λ	λ	X
ejde-888	190	2	<	<	X
ejde-888	190	3	1	1	NUM
ejde-888	190	4	then	then	ADV
ejde-888	190	5	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	190	6	)	)	PUNCT
ejde-888	190	7	>	>	X
ejde-888	190	8	0	0	PUNCT
ejde-888	191	1	for	for	ADP
ejde-888	191	2	all	all	DET
ejde-888	191	3	ω	ω	NUM
ejde-888	191	4	∈	∈	PROPN
ejde-888	191	5	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	191	6	.	.	PUNCT
ejde-888	191	7	proof	proof	NOUN
ejde-888	191	8	.	.	PUNCT
ejde-888	192	1	using	use	VERB
ejde-888	192	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-888	192	3	3.5	3.5	NUM
ejde-888	192	4	,	,	PUNCT
ejde-888	192	5	we	we	PRON
ejde-888	192	6	have	have	VERB
ejde-888	192	7	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	192	8	)	)	PUNCT
ejde-888	192	9	=	=	SYM
ejde-888	192	10	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	192	11	,	,	PUNCT
ejde-888	192	12	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	192	13	)	)	PUNCT
ejde-888	192	14	)	)	PUNCT
ejde-888	193	1	+	+	CCONJ
ejde-888	193	2	λ	λ	PROPN
ejde-888	193	3	ω∑	ω∑	NOUN
ejde-888	193	4	s	s	PROPN
ejde-888	193	5	=	=	PROPN
ejde-888	193	6	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	193	7	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	193	8	,	,	PUNCT
ejde-888	193	9	ζ(s))η(s	ζ(s))η(s	NOUN
ejde-888	193	10	)	)	PUNCT
ejde-888	193	11	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	193	12	)	)	PUNCT
ejde-888	193	13	=	=	SYM
ejde-888	193	14	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	193	15	,	,	PUNCT
ejde-888	193	16	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	193	17	)	)	PUNCT
ejde-888	193	18	)	)	PUNCT
ejde-888	194	1	+	+	CCONJ
ejde-888	194	2	λ	λ	X
ejde-888	194	3	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	194	4	s	s	NOUN
ejde-888	194	5	=	=	SYM
ejde-888	194	6	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	194	7	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	194	8	,	,	PUNCT
ejde-888	194	9	ζ(s))η(s	ζ(s))η(	NOUN
ejde-888	194	10	)	)	PUNCT
ejde-888	194	11	+	+	CCONJ
ejde-888	194	12	λhϑ−1(ω	λhϑ−1(ω	ADJ
ejde-888	194	13	,	,	PUNCT
ejde-888	194	14	ζ(ω))η(ω	ζ(ω))η(ω	NOUN
ejde-888	194	15	)	)	PUNCT
ejde-888	194	16	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	194	17	)	)	PUNCT
ejde-888	194	18	=	=	SYM
ejde-888	194	19	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	194	20	,	,	PUNCT
ejde-888	194	21	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	194	22	)	)	PUNCT
ejde-888	194	23	)	)	PUNCT
ejde-888	195	1	+	+	CCONJ
ejde-888	195	2	λ	λ	X
ejde-888	195	3	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	195	4	s	s	NOUN
ejde-888	195	5	=	=	SYM
ejde-888	195	6	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	195	7	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	195	8	,	,	PUNCT
ejde-888	195	9	ζ(s))η(s	ζ(s))η(	NOUN
ejde-888	195	10	)	)	PUNCT
ejde-888	195	11	+	+	SYM
ejde-888	195	12	λη(ω	λη(ω	NUM
ejde-888	195	13	)	)	PUNCT
ejde-888	195	14	(	(	PUNCT
ejde-888	195	15	1−	1−	NUM
ejde-888	195	16	λ)η(ω	λ)η(ω	NOUN
ejde-888	195	17	)	)	PUNCT
ejde-888	195	18	=	=	SYM
ejde-888	195	19	η0hγ−1(ω	η0hγ−1(ω	ADJ
ejde-888	195	20	,	,	PUNCT
ejde-888	195	21	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	195	22	)	)	PUNCT
ejde-888	195	23	)	)	PUNCT
ejde-888	196	1	+	+	CCONJ
ejde-888	196	2	λ	λ	X
ejde-888	196	3	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	196	4	s	s	NOUN
ejde-888	196	5	=	=	SYM
ejde-888	196	6	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	196	7	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	196	8	,	,	PUNCT
ejde-888	196	9	ζ(s))η(s	ζ(s))η(s	NOUN
ejde-888	196	10	)	)	PUNCT
ejde-888	196	11	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	196	12	)	)	PUNCT
ejde-888	196	13	=	=	PUNCT
ejde-888	197	1	η0	η0	NOUN
ejde-888	197	2	1−	1−	NUM
ejde-888	197	3	λ	λ	X
ejde-888	197	4	hγ−1(ω	hγ−1(ω	NOUN
ejde-888	197	5	,	,	PUNCT
ejde-888	197	6	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	197	7	)	)	PUNCT
ejde-888	197	8	)	)	PUNCT
ejde-888	198	1	+	+	CCONJ
ejde-888	198	2	λ	λ	X
ejde-888	198	3	1−	1−	NUM
ejde-888	198	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	198	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	198	6	s	s	NOUN
ejde-888	198	7	=	=	SYM
ejde-888	198	8	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	198	9	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	198	10	,	,	PUNCT
ejde-888	198	11	ζ(s))η(s	ζ(s))η(s	NOUN
ejde-888	198	12	)	)	PUNCT
ejde-888	198	13	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	198	14	)	)	PUNCT
ejde-888	198	15	=	=	PUNCT
ejde-888	199	1	η0	η0	NOUN
ejde-888	199	2	1−	1−	NUM
ejde-888	199	3	λ	λ	PROPN
ejde-888	199	4	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	199	5	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	199	6	γ	γ	NOUN
ejde-888	199	7	)	)	PUNCT
ejde-888	199	8	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	199	9	−m+	−m+	PRON
ejde-888	199	10	1)γ(γ	1)γ(γ	NUM
ejde-888	199	11	)	)	PUNCT
ejde-888	200	1	+	+	CCONJ
ejde-888	200	2	λ	λ	X
ejde-888	200	3	1−	1−	NUM
ejde-888	200	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	200	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	200	6	s	s	NOUN
ejde-888	200	7	=	=	NUM
ejde-888	200	8	m+1	m+1	NUM
ejde-888	200	9	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	200	10	−	−	PROPN
ejde-888	200	11	s+	s+	NOUN
ejde-888	200	12	ϑ	ϑ	X
ejde-888	200	13	)	)	PUNCT
ejde-888	200	14	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	200	15	−	−	PROPN
ejde-888	200	16	s+	s+	PUNCT
ejde-888	200	17	1)γ(ϑ	1)γ(ϑ	X
ejde-888	200	18	)	)	PUNCT
ejde-888	200	19	η(s	η(s	PROPN
ejde-888	200	20	)	)	PUNCT
ejde-888	200	21	.	.	PUNCT
ejde-888	201	1	considering	consider	VERB
ejde-888	201	2	the	the	DET
ejde-888	201	3	conditions	condition	NOUN
ejde-888	201	4	0	0	NUM
ejde-888	201	5	≤	≤	NUM
ejde-888	202	1	λ	λ	X
ejde-888	202	2	<	<	X
ejde-888	202	3	1	1	NUM
ejde-888	202	4	,	,	PUNCT
ejde-888	202	5	γ(ω−m+γ	γ(ω−m+γ	NOUN
ejde-888	202	6	)	)	PUNCT
ejde-888	202	7	γ(ω−m+1)γ(γ	γ(ω−m+1)γ(γ	PROPN
ejde-888	202	8	)	)	PUNCT
ejde-888	202	9	>	>	SYM
ejde-888	202	10	0	0	NUM
ejde-888	202	11	and	and	CCONJ
ejde-888	202	12	γ(ω−s+ϑ	γ(ω−s+ϑ	NOUN
ejde-888	202	13	)	)	PUNCT
ejde-888	202	14	γ(ω−s+1)γ(ϑ	γ(ω−s+1)γ(ϑ	PROPN
ejde-888	202	15	)	)	PUNCT
ejde-888	202	16	>	>	X
ejde-888	202	17	0	0	PUNCT
ejde-888	203	1	for	for	ADP
ejde-888	203	2	s	s	NOUN
ejde-888	203	3	=	=	NOUN
ejde-888	203	4	m	m	VERB
ejde-888	203	5	+	+	NOUN
ejde-888	203	6	1	1	NUM
ejde-888	203	7	,	,	PUNCT
ejde-888	203	8	.	.	PUNCT
ejde-888	203	9	.	.	PUNCT
ejde-888	203	10	.	.	PUNCT
ejde-888	204	1	,	,	PUNCT
ejde-888	205	1	ω	ω	NUM
ejde-888	205	2	−	−	NOUN
ejde-888	205	3	1	1	NUM
ejde-888	205	4	,	,	PUNCT
ejde-888	205	5	we	we	PRON
ejde-888	205	6	can	can	AUX
ejde-888	205	7	conclude	conclude	VERB
ejde-888	205	8	that	that	SCONJ
ejde-888	205	9	if	if	SCONJ
ejde-888	205	10	η(m	η(m	ADJ
ejde-888	205	11	+	+	CCONJ
ejde-888	205	12	1	1	X
ejde-888	205	13	)	)	PUNCT
ejde-888	205	14	>	>	X
ejde-888	205	15	0	0	NUM
ejde-888	205	16	,	,	PUNCT
ejde-888	205	17	then	then	ADV
ejde-888	205	18	η(m	η(m	PRON
ejde-888	205	19	+	+	PUNCT
ejde-888	205	20	2	2	X
ejde-888	205	21	)	)	PUNCT
ejde-888	205	22	>	>	X
ejde-888	205	23	0	0	X
ejde-888	205	24	.	.	PUNCT
ejde-888	206	1	subsequently	subsequently	ADV
ejde-888	206	2	,	,	PUNCT
ejde-888	206	3	this	this	PRON
ejde-888	206	4	leads	lead	VERB
ejde-888	206	5	to	to	ADP
ejde-888	206	6	the	the	DET
ejde-888	206	7	inference	inference	NOUN
ejde-888	206	8	that	that	SCONJ
ejde-888	206	9	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	206	10	)	)	PUNCT
ejde-888	206	11	>	>	X
ejde-888	206	12	0	0	PUNCT
ejde-888	207	1	for	for	ADP
ejde-888	207	2	all	all	DET
ejde-888	207	3	ω	ω	NUM
ejde-888	207	4	∈	∈	PROPN
ejde-888	207	5	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	207	6	.	.	PUNCT
ejde-888	207	7	□	□	PUNCT
ejde-888	207	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	207	9	4.4	4.4	NUM
ejde-888	207	10	.	.	PUNCT
ejde-888	207	11	let	let	VERB
ejde-888	207	12	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	207	13	)	)	PUNCT
ejde-888	207	14	and	and	CCONJ
ejde-888	207	15	ν(ω	ν(ω	NOUN
ejde-888	207	16	)	)	PUNCT
ejde-888	207	17	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-888	207	18	(	(	PUNCT
ejde-888	207	19	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	207	20	m	m	VERB
ejde-888	207	21	η)(ω	η)(ω	NOUN
ejde-888	207	22	)	)	PUNCT
ejde-888	207	23	=	=	SYM
ejde-888	207	24	λη(ω	λη(ω	NOUN
ejde-888	207	25	)	)	PUNCT
ejde-888	207	26	,	,	PUNCT
ejde-888	207	27	ω	ω	PROPN
ejde-888	207	28	∈	∈	PROPN
ejde-888	207	29	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	207	30	,	,	PUNCT
ejde-888	207	31	0	0	PUNCT
ejde-888	207	32	<	<	X
ejde-888	207	33	ϑ	ϑ	X
ejde-888	207	34	≤	≤	NUM
ejde-888	207	35	1	1	NUM
ejde-888	207	36	,	,	PUNCT
ejde-888	207	37	0	0	NUM
ejde-888	207	38	≤	≤	NUM
ejde-888	207	39	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	207	40	≤	≤	NUM
ejde-888	207	41	1	1	NUM
ejde-888	207	42	,	,	PUNCT
ejde-888	207	43	(	(	PUNCT
ejde-888	207	44	4.2	4.2	NUM
ejde-888	207	45	)	)	PUNCT
ejde-888	207	46	and	and	CCONJ
ejde-888	207	47	the	the	DET
ejde-888	207	48	inequality	inequality	NOUN
ejde-888	207	49	(	(	PUNCT
ejde-888	207	50	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	207	51	m	m	NOUN
ejde-888	207	52	ν)(ω	ν)(ω	NUM
ejde-888	207	53	)	)	PUNCT
ejde-888	207	54	≤	≤	NOUN
ejde-888	207	55	λν(ω	λν(ω	X
ejde-888	207	56	)	)	PUNCT
ejde-888	207	57	,	,	PUNCT
ejde-888	207	58	ω	ω	PROPN
ejde-888	207	59	∈	∈	PROPN
ejde-888	207	60	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	207	61	,	,	PUNCT
ejde-888	207	62	(	(	PUNCT
ejde-888	207	63	4.3	4.3	NUM
ejde-888	207	64	)	)	PUNCT
ejde-888	207	65	respectively	respectively	ADV
ejde-888	207	66	.	.	PUNCT
ejde-888	208	1	if	if	SCONJ
ejde-888	208	2	0	0	NUM
ejde-888	208	3	≤	≤	NUM
ejde-888	208	4	λ	λ	X
ejde-888	208	5	<	<	X
ejde-888	208	6	1	1	NUM
ejde-888	208	7	and	and	CCONJ
ejde-888	208	8	η(m	η(m	PRON
ejde-888	208	9	+	+	ADP
ejde-888	208	10	1	1	X
ejde-888	208	11	)	)	PUNCT
ejde-888	208	12	=	=	SYM
ejde-888	209	1	ν(m	ν(m	NOUN
ejde-888	209	2	+	+	CCONJ
ejde-888	209	3	1	1	X
ejde-888	209	4	)	)	PUNCT
ejde-888	209	5	>	>	X
ejde-888	209	6	0	0	NUM
ejde-888	209	7	,	,	PUNCT
ejde-888	209	8	then	then	ADV
ejde-888	209	9	ν(ω	ν(ω	NOUN
ejde-888	209	10	)	)	PUNCT
ejde-888	209	11	≤	≤	NUM
ejde-888	209	12	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	209	13	)	)	PUNCT
ejde-888	209	14	for	for	ADP
ejde-888	209	15	ω	ω	PROPN
ejde-888	209	16	∈	∈	PROPN
ejde-888	209	17	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	209	18	.	.	PUNCT
ejde-888	209	19	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	209	20	/	/	SYM
ejde-888	209	21	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	209	22	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	209	23	stability	stability	NOUN
ejde-888	209	24	57	57	NUM
ejde-888	209	25	proof	proof	NOUN
ejde-888	209	26	.	.	PUNCT
ejde-888	210	1	using	use	VERB
ejde-888	210	2	theorem	theorem	NOUN
ejde-888	210	3	3.5	3.5	NUM
ejde-888	210	4	,	,	PUNCT
ejde-888	210	5	we	we	PRON
ejde-888	210	6	have	have	VERB
ejde-888	210	7	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	210	8	)	)	PUNCT
ejde-888	210	9	=	=	PUNCT
ejde-888	211	1	η0	η0	NOUN
ejde-888	211	2	1−	1−	NUM
ejde-888	211	3	λ	λ	X
ejde-888	211	4	hγ−1(ω	hγ−1(ω	NOUN
ejde-888	211	5	,	,	PUNCT
ejde-888	211	6	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	211	7	)	)	PUNCT
ejde-888	211	8	)	)	PUNCT
ejde-888	212	1	+	+	CCONJ
ejde-888	212	2	λ	λ	X
ejde-888	212	3	1−	1−	NUM
ejde-888	212	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	212	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	212	6	s	s	NOUN
ejde-888	212	7	=	=	SYM
ejde-888	212	8	m+1	m+1	PROPN
ejde-888	212	9	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	212	10	,	,	PUNCT
ejde-888	212	11	ζ(s))η(s	ζ(s))η(s	NOUN
ejde-888	212	12	)	)	PUNCT
ejde-888	212	13	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	212	14	)	)	PUNCT
ejde-888	212	15	=	=	PUNCT
ejde-888	213	1	η0	η0	NOUN
ejde-888	213	2	1−	1−	NUM
ejde-888	213	3	λ	λ	PROPN
ejde-888	213	4	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	213	5	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	213	6	γ	γ	NOUN
ejde-888	213	7	)	)	PUNCT
ejde-888	213	8	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	213	9	−m+	−m+	PRON
ejde-888	213	10	1)γ(γ	1)γ(γ	NUM
ejde-888	213	11	)	)	PUNCT
ejde-888	214	1	+	+	CCONJ
ejde-888	214	2	λ	λ	X
ejde-888	214	3	1−	1−	NUM
ejde-888	214	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	214	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	214	6	s	s	NOUN
ejde-888	214	7	=	=	NUM
ejde-888	214	8	m+1	m+1	NUM
ejde-888	214	9	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	214	10	−	−	PROPN
ejde-888	214	11	s+	s+	NOUN
ejde-888	214	12	ϑ	ϑ	X
ejde-888	214	13	)	)	PUNCT
ejde-888	214	14	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	214	15	−	−	PROPN
ejde-888	214	16	s+	s+	PUNCT
ejde-888	214	17	1)γ(ϑ	1)γ(ϑ	X
ejde-888	214	18	)	)	PUNCT
ejde-888	214	19	η(s	η(s	PROPN
ejde-888	214	20	)	)	PUNCT
ejde-888	214	21	,	,	PUNCT
ejde-888	214	22	and	and	CCONJ
ejde-888	214	23	ν(ω	ν(ω	NOUN
ejde-888	214	24	)	)	PUNCT
ejde-888	214	25	≤	≤	NOUN
ejde-888	214	26	η0	η0	NOUN
ejde-888	214	27	1−	1−	NUM
ejde-888	214	28	λ	λ	X
ejde-888	214	29	hγ−1(ω	hγ−1(ω	NOUN
ejde-888	214	30	,	,	PUNCT
ejde-888	214	31	ζ(m	ζ(m	ADJ
ejde-888	214	32	)	)	PUNCT
ejde-888	214	33	)	)	PUNCT
ejde-888	215	1	+	+	CCONJ
ejde-888	215	2	λ	λ	X
ejde-888	215	3	1−	1−	NUM
ejde-888	215	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	215	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	215	6	s	s	NOUN
ejde-888	215	7	=	=	X
ejde-888	215	8	m+1	m+1	NUM
ejde-888	215	9	hϑ−1(ω	hϑ−1(ω	NOUN
ejde-888	215	10	,	,	PUNCT
ejde-888	215	11	ζ(s))ν(s	ζ(s))ν(s	NOUN
ejde-888	215	12	)	)	PUNCT
ejde-888	215	13	ν(ω	ν(ω	NOUN
ejde-888	215	14	)	)	PUNCT
ejde-888	215	15	≤	≤	NOUN
ejde-888	215	16	η0	η0	NOUN
ejde-888	215	17	1−	1−	NUM
ejde-888	215	18	λ	λ	PROPN
ejde-888	215	19	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	215	20	−m+	−m+	NOUN
ejde-888	215	21	γ	γ	NOUN
ejde-888	215	22	)	)	PUNCT
ejde-888	215	23	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	215	24	−m+	−m+	PRON
ejde-888	215	25	1)γ(γ	1)γ(γ	NUM
ejde-888	215	26	)	)	PUNCT
ejde-888	216	1	+	+	CCONJ
ejde-888	216	2	λ	λ	X
ejde-888	216	3	1−	1−	NUM
ejde-888	216	4	λ	λ	NOUN
ejde-888	216	5	ω−1∑	ω−1∑	NUM
ejde-888	216	6	s	s	NOUN
ejde-888	216	7	=	=	NUM
ejde-888	216	8	m+1	m+1	NUM
ejde-888	216	9	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	216	10	−	−	PROPN
ejde-888	216	11	s+	s+	NOUN
ejde-888	216	12	ϑ	ϑ	X
ejde-888	216	13	)	)	PUNCT
ejde-888	216	14	γ(ω	γ(ω	PROPN
ejde-888	216	15	−	−	PROPN
ejde-888	216	16	s+	s+	PUNCT
ejde-888	216	17	1)γ(ϑ	1)γ(ϑ	X
ejde-888	216	18	)	)	PUNCT
ejde-888	216	19	ν(s	ν(s	NOUN
ejde-888	216	20	)	)	PUNCT
ejde-888	216	21	.	.	PUNCT
ejde-888	217	1	if	if	SCONJ
ejde-888	217	2	we	we	PRON
ejde-888	217	3	set	set	VERB
ejde-888	217	4	ω	ω	PROPN
ejde-888	217	5	=	=	PUNCT
ejde-888	217	6	m	m	VERB
ejde-888	217	7	+	+	ADJ
ejde-888	217	8	2	2	NUM
ejde-888	217	9	we	we	PRON
ejde-888	217	10	can	can	AUX
ejde-888	217	11	establish	establish	VERB
ejde-888	217	12	that	that	SCONJ
ejde-888	217	13	ν(m	ν(m	NOUN
ejde-888	217	14	+	+	CCONJ
ejde-888	217	15	2	2	X
ejde-888	217	16	)	)	PUNCT
ejde-888	217	17	≤	≤	NOUN
ejde-888	217	18	η(m	η(m	ADV
ejde-888	217	19	+	+	ADP
ejde-888	217	20	2	2	NUM
ejde-888	217	21	)	)	PUNCT
ejde-888	217	22	.	.	PUNCT
ejde-888	218	1	assuming	assume	VERB
ejde-888	218	2	the	the	DET
ejde-888	218	3	inequality	inequality	NOUN
ejde-888	218	4	holds	hold	VERB
ejde-888	218	5	true	true	ADJ
ejde-888	218	6	for	for	ADP
ejde-888	218	7	ν(m+	ν(m+	X
ejde-888	218	8	k	k	NOUN
ejde-888	218	9	)	)	PUNCT
ejde-888	218	10	≤	≤	NOUN
ejde-888	218	11	η(m+	η(m+	X
ejde-888	218	12	k	k	NOUN
ejde-888	218	13	)	)	PUNCT
ejde-888	218	14	for	for	ADP
ejde-888	218	15	n	n	NOUN
ejde-888	218	16	=	=	SYM
ejde-888	218	17	m+	m+	NUM
ejde-888	218	18	k	k	NOUN
ejde-888	218	19	,	,	PUNCT
ejde-888	218	20	k	k	PROPN
ejde-888	218	21	>	>	X
ejde-888	218	22	2	2	NUM
ejde-888	218	23	,	,	PUNCT
ejde-888	218	24	then	then	ADV
ejde-888	218	25	through	through	ADP
ejde-888	218	26	the	the	DET
ejde-888	218	27	application	application	NOUN
ejde-888	218	28	of	of	ADP
ejde-888	218	29	the	the	DET
ejde-888	218	30	principle	principle	NOUN
ejde-888	218	31	of	of	ADP
ejde-888	218	32	induction	induction	NOUN
ejde-888	218	33	,	,	PUNCT
ejde-888	218	34	we	we	PRON
ejde-888	218	35	can	can	AUX
ejde-888	218	36	readily	readily	ADV
ejde-888	218	37	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-888	218	38	that	that	SCONJ
ejde-888	218	39	the	the	DET
ejde-888	218	40	inequality	inequality	NOUN
ejde-888	218	41	remains	remain	VERB
ejde-888	218	42	valid	valid	ADJ
ejde-888	218	43	for	for	ADP
ejde-888	218	44	n	n	NOUN
ejde-888	219	1	=	=	SYM
ejde-888	219	2	m+	m+	NUM
ejde-888	220	1	k	k	NOUN
ejde-888	221	1	+	+	ADJ
ejde-888	221	2	2	2	NUM
ejde-888	221	3	,	,	PUNCT
ejde-888	221	4	where	where	SCONJ
ejde-888	221	5	k	k	PROPN
ejde-888	221	6	>	>	X
ejde-888	221	7	2	2	NUM
ejde-888	221	8	.	.	PUNCT
ejde-888	221	9	□	□	PUNCT
ejde-888	221	10	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	221	11	4.5	4.5	NUM
ejde-888	221	12	(	(	PUNCT
ejde-888	221	13	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	221	14	comparison	comparison	NOUN
ejde-888	221	15	principle	principle	NOUN
ejde-888	221	16	)	)	PUNCT
ejde-888	221	17	.	.	PUNCT
ejde-888	222	1	for	for	ADP
ejde-888	222	2	0	0	NUM
ejde-888	222	3	<	<	X
ejde-888	222	4	ϑ	ϑ	X
ejde-888	222	5	≤	≤	NUM
ejde-888	222	6	1	1	NUM
ejde-888	222	7	,	,	PUNCT
ejde-888	222	8	0	0	NUM
ejde-888	222	9	≤	≤	NUM
ejde-888	222	10	ρ	ρ	NUM
ejde-888	222	11	≤	≤	NUM
ejde-888	222	12	1	1	NUM
ejde-888	222	13	and	and	CCONJ
ejde-888	222	14	γ	γ	X
ejde-888	222	15	=	=	X
ejde-888	222	16	ϑ+	ϑ+	PROPN
ejde-888	222	17	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	222	18	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	222	19	,	,	PUNCT
ejde-888	222	20	if	if	SCONJ
ejde-888	222	21	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	222	22	m	m	NOUN
ejde-888	222	23	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	222	24	)	)	PUNCT
ejde-888	222	25	≤	≤	NUM
ejde-888	222	26	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	222	27	m	m	VERB
ejde-888	222	28	x(ω	x(ω	NOUN
ejde-888	222	29	)	)	PUNCT
ejde-888	222	30	,	,	PUNCT
ejde-888	222	31	for	for	ADP
ejde-888	222	32	all	all	DET
ejde-888	222	33	ω	ω	NUM
ejde-888	222	34	∈	∈	NOUN
ejde-888	222	35	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	222	36	and	and	CCONJ
ejde-888	222	37	x(m	x(m	PROPN
ejde-888	222	38	)	)	PUNCT
ejde-888	223	1	=	=	SYM
ejde-888	223	2	y(m	y(m	PROPN
ejde-888	223	3	)	)	PUNCT
ejde-888	223	4	,	,	PUNCT
ejde-888	223	5	then	then	ADV
ejde-888	223	6	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	223	7	)	)	PUNCT
ejde-888	223	8	≤	≤	NOUN
ejde-888	224	1	x(ω	x(ω	NOUN
ejde-888	224	2	)	)	PUNCT
ejde-888	224	3	.	.	PUNCT
ejde-888	225	1	proof	proof	NOUN
ejde-888	225	2	.	.	PUNCT
ejde-888	226	1	let	let	VERB
ejde-888	226	2	f	f	PROPN
ejde-888	226	3	(	(	PUNCT
ejde-888	226	4	ω	ω	NOUN
ejde-888	226	5	)	)	PUNCT
ejde-888	226	6	=	=	SYM
ejde-888	227	1	x(ω)−	x(ω)−	PROPN
ejde-888	227	2	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	227	3	)	)	PUNCT
ejde-888	227	4	.	.	PUNCT
ejde-888	228	1	given	give	VERB
ejde-888	228	2	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	228	3	m	m	NOUN
ejde-888	228	4	x(ω	x(ω	NOUN
ejde-888	228	5	)	)	PUNCT
ejde-888	228	6	≥	≥	NOUN
ejde-888	228	7	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	228	8	m	m	PROPN
ejde-888	228	9	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	228	10	)	)	PUNCT
ejde-888	228	11	,	,	PUNCT
ejde-888	228	12	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	228	13	m	m	PROPN
ejde-888	228	14	f	f	PROPN
ejde-888	228	15	(	(	PUNCT
ejde-888	228	16	ω	ω	PROPN
ejde-888	228	17	)	)	PUNCT
ejde-888	228	18	≥	≥	NOUN
ejde-888	228	19	0	0	NUM
ejde-888	228	20	.	.	PUNCT
ejde-888	229	1	we	we	PRON
ejde-888	229	2	apply	apply	VERB
ejde-888	229	3	∇−ϑ	∇−ϑ	NOUN
ejde-888	229	4	m+1	m+1	PRON
ejde-888	229	5	on	on	ADP
ejde-888	229	6	both	both	DET
ejde-888	229	7	side	side	NOUN
ejde-888	229	8	to	to	PART
ejde-888	229	9	obtain	obtain	VERB
ejde-888	229	10	∇−ϑ	∇−ϑ	NOUN
ejde-888	229	11	m+1∇ϑ,ρ	m+1∇ϑ,ρ	ADV
ejde-888	229	12	m	m	NOUN
ejde-888	229	13	f	f	X
ejde-888	229	14	(	(	PUNCT
ejde-888	229	15	ω	ω	PROPN
ejde-888	229	16	)	)	PUNCT
ejde-888	229	17	≥	≥	NOUN
ejde-888	229	18	0	0	NUM
ejde-888	229	19	.	.	PUNCT
ejde-888	229	20	using	use	VERB
ejde-888	229	21	proposition	proposition	NOUN
ejde-888	229	22	3.4(2	3.4(2	NUM
ejde-888	229	23	)	)	PUNCT
ejde-888	229	24	,	,	PUNCT
ejde-888	229	25	(	(	PUNCT
ejde-888	229	26	∇−γ	∇−γ	X
ejde-888	229	27	m+1∇γ	m+1∇γ	X
ejde-888	229	28	mf	mf	X
ejde-888	229	29	)	)	PUNCT
ejde-888	229	30	(	(	PUNCT
ejde-888	229	31	ω	ω	NOUN
ejde-888	229	32	)	)	PUNCT
ejde-888	229	33	≥	≥	NOUN
ejde-888	229	34	0	0	NUM
ejde-888	229	35	,	,	PUNCT
ejde-888	229	36	∇−γ	∇−γ	X
ejde-888	229	37	m+1∇(∇−(1−γ	m+1∇(∇−(1−γ	X
ejde-888	229	38	)	)	PUNCT
ejde-888	229	39	m	m	PROPN
ejde-888	229	40	f	f	NOUN
ejde-888	229	41	)	)	PUNCT
ejde-888	229	42	(	(	PUNCT
ejde-888	229	43	ω	ω	NOUN
ejde-888	229	44	)	)	PUNCT
ejde-888	229	45	≥	≥	NOUN
ejde-888	229	46	0	0	NUM
ejde-888	229	47	.	.	PUNCT
ejde-888	230	1	by	by	ADP
ejde-888	230	2	using	use	VERB
ejde-888	230	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	230	4	3.9	3.9	NUM
ejde-888	230	5	,	,	PUNCT
ejde-888	230	6	(	(	PUNCT
ejde-888	230	7	∇∇−γ	∇∇−γ	PROPN
ejde-888	230	8	m	m	NOUN
ejde-888	230	9	∇−(1−γ	∇−(1−γ	PROPN
ejde-888	230	10	)	)	PUNCT
ejde-888	230	11	m	m	PROPN
ejde-888	230	12	f	f	NOUN
ejde-888	230	13	)	)	PUNCT
ejde-888	230	14	(	(	PUNCT
ejde-888	230	15	ω)−hγ−1(ω	ω)−hγ−1(ω	NOUN
ejde-888	230	16	,	,	PUNCT
ejde-888	230	17	ζ(m))(∇(1−γ	ζ(m))(∇(1−γ	ADJ
ejde-888	230	18	)	)	PUNCT
ejde-888	230	19	m	m	PROPN
ejde-888	230	20	f	f	NOUN
ejde-888	230	21	)	)	PUNCT
ejde-888	230	22	(	(	PUNCT
ejde-888	230	23	m	m	NOUN
ejde-888	230	24	)	)	PUNCT
ejde-888	230	25	≥	≥	NOUN
ejde-888	230	26	0	0	NUM
ejde-888	230	27	,	,	PUNCT
ejde-888	230	28	(	(	PUNCT
ejde-888	230	29	∇∇−γ	∇∇−γ	PROPN
ejde-888	230	30	m	m	NOUN
ejde-888	230	31	∇−(1−γ	∇−(1−γ	PROPN
ejde-888	230	32	)	)	PUNCT
ejde-888	230	33	m	m	PROPN
ejde-888	230	34	f	f	NOUN
ejde-888	230	35	)	)	PUNCT
ejde-888	230	36	(	(	PUNCT
ejde-888	230	37	ω	ω	NOUN
ejde-888	230	38	)	)	PUNCT
ejde-888	230	39	≥	≥	NOUN
ejde-888	230	40	0	0	NUM
ejde-888	230	41	,	,	PUNCT
ejde-888	230	42	f	f	PROPN
ejde-888	230	43	(	(	PUNCT
ejde-888	230	44	ω	ω	PROPN
ejde-888	230	45	)	)	PUNCT
ejde-888	230	46	≥	≥	NOUN
ejde-888	230	47	0	0	NUM
ejde-888	230	48	;	;	PUNCT
ejde-888	230	49	therefore	therefore	ADV
ejde-888	230	50	,	,	PUNCT
ejde-888	230	51	x(ω	x(ω	ADJ
ejde-888	230	52	)	)	PUNCT
ejde-888	230	53	≥	≥	NOUN
ejde-888	230	54	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	230	55	)	)	PUNCT
ejde-888	230	56	.	.	PUNCT
ejde-888	231	1	□	□	PUNCT
ejde-888	231	2	theorem	theorem	VERB
ejde-888	231	3	4.6	4.6	NUM
ejde-888	231	4	.	.	PUNCT
ejde-888	232	1	let	let	VERB
ejde-888	232	2	η	η	PROPN
ejde-888	232	3	=	=	SYM
ejde-888	232	4	0	0	NUM
ejde-888	232	5	be	be	AUX
ejde-888	232	6	an	an	DET
ejde-888	232	7	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	232	8	point	point	NOUN
ejde-888	232	9	of	of	ADP
ejde-888	232	10	(	(	PUNCT
ejde-888	232	11	1.1	1.1	NUM
ejde-888	232	12	)	)	PUNCT
ejde-888	232	13	.	.	PUNCT
ejde-888	233	1	if	if	SCONJ
ejde-888	233	2	there	there	PRON
ejde-888	233	3	exits	exit	VERB
ejde-888	233	4	a	a	DET
ejde-888	233	5	positive	positive	ADJ
ejde-888	233	6	definite	definite	ADJ
ejde-888	233	7	and	and	CCONJ
ejde-888	233	8	decrescent	decrescent	ADJ
ejde-888	233	9	scalar	scalar	ADJ
ejde-888	233	10	function	function	NOUN
ejde-888	233	11	v	v	NOUN
ejde-888	233	12	(	(	PUNCT
ejde-888	233	13	ω	ω	NOUN
ejde-888	233	14	,	,	PUNCT
ejde-888	233	15	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	233	16	)	)	PUNCT
ejde-888	233	17	)	)	PUNCT
ejde-888	233	18	and	and	CCONJ
ejde-888	233	19	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	233	20	class	class	NOUN
ejde-888	233	21	-	-	PUNCT
ejde-888	233	22	k	k	PROPN
ejde-888	233	23	functions	function	NOUN
ejde-888	233	24	γ1	γ1	NOUN
ejde-888	233	25	,	,	PUNCT
ejde-888	233	26	γ2	γ2	NOUN
ejde-888	233	27	and	and	CCONJ
ejde-888	233	28	γ3	γ3	NOUN
ejde-888	233	29	such	such	ADJ
ejde-888	233	30	that	that	SCONJ
ejde-888	233	31	γ1(∥η(ω)∥	γ1(∥η(ω)∥	PROPN
ejde-888	233	32	)	)	PUNCT
ejde-888	233	33	≤	≤	NOUN
ejde-888	233	34	v	v	X
ejde-888	233	35	(	(	PUNCT
ejde-888	233	36	ω	ω	NOUN
ejde-888	233	37	,	,	PUNCT
ejde-888	233	38	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	233	39	)	)	PUNCT
ejde-888	233	40	)	)	PUNCT
ejde-888	233	41	≤	≤	PROPN
ejde-888	233	42	γ2(∥η(ω)∥	γ2(∥η(ω)∥	PROPN
ejde-888	233	43	)	)	PUNCT
ejde-888	233	44	,	,	PUNCT
ejde-888	233	45	ω	ω	PROPN
ejde-888	233	46	∈	∈	PROPN
ejde-888	233	47	nm+1	nm+1	NUM
ejde-888	233	48	,	,	PUNCT
ejde-888	233	49	(	(	PUNCT
ejde-888	233	50	4.4	4.4	NUM
ejde-888	233	51	)	)	PUNCT
ejde-888	233	52	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	233	53	m	m	PROPN
ejde-888	233	54	v	v	NOUN
ejde-888	233	55	(	(	PUNCT
ejde-888	233	56	ω	ω	NOUN
ejde-888	233	57	,	,	PUNCT
ejde-888	233	58	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	233	59	)	)	PUNCT
ejde-888	233	60	)	)	PUNCT
ejde-888	233	61	≤	≤	NUM
ejde-888	233	62	−γ3(∥η(ω)∥	−γ3(∥η(ω)∥	NUM
ejde-888	233	63	)	)	PUNCT
ejde-888	233	64	,	,	PUNCT
ejde-888	233	65	ω	ω	PROPN
ejde-888	233	66	∈	∈	PROPN
ejde-888	233	67	nm+2	nm+2	PROPN
ejde-888	233	68	,	,	PUNCT
ejde-888	233	69	(	(	PUNCT
ejde-888	233	70	4.5	4.5	NUM
ejde-888	233	71	)	)	PUNCT
ejde-888	233	72	then	then	ADV
ejde-888	233	73	the	the	DET
ejde-888	233	74	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	233	75	point	point	NOUN
ejde-888	233	76	is	be	AUX
ejde-888	233	77	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	233	78	stable	stable	ADJ
ejde-888	233	79	.	.	PUNCT
ejde-888	234	1	58	58	NUM
ejde-888	234	2	a.	a.	NOUN
ejde-888	234	3	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	234	4	,	,	PUNCT
ejde-888	234	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	234	6	n.	n.	PROPN
ejde-888	234	7	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	234	8	,	,	PUNCT
ejde-888	234	9	a.	a.	NOUN
ejde-888	234	10	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	234	11	proof	proof	NOUN
ejde-888	234	12	.	.	PUNCT
ejde-888	235	1	from	from	ADP
ejde-888	235	2	the	the	DET
ejde-888	235	3	inequalities	inequality	NOUN
ejde-888	235	4	we	we	PRON
ejde-888	235	5	obtain	obtain	VERB
ejde-888	235	6	∥η(ω)∥	∥η(ω)∥	PROPN
ejde-888	235	7	≥	≥	NOUN
ejde-888	235	8	γ−1	γ−1	ADV
ejde-888	235	9	2	2	NUM
ejde-888	235	10	(	(	PUNCT
ejde-888	235	11	v	v	NOUN
ejde-888	235	12	(	(	PUNCT
ejde-888	235	13	ω	ω	NOUN
ejde-888	235	14	,	,	PUNCT
ejde-888	235	15	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	235	16	)	)	PUNCT
ejde-888	235	17	)	)	PUNCT
ejde-888	235	18	)	)	PUNCT
ejde-888	235	19	,	,	PUNCT
ejde-888	235	20	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	235	21	m	m	PROPN
ejde-888	235	22	v	v	NOUN
ejde-888	235	23	(	(	PUNCT
ejde-888	235	24	ω	ω	NOUN
ejde-888	235	25	,	,	PUNCT
ejde-888	235	26	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	235	27	)	)	PUNCT
ejde-888	235	28	)	)	PUNCT
ejde-888	235	29	≤	≤	NUM
ejde-888	236	1	−γ3(γ	−γ3(γ	PROPN
ejde-888	236	2	−1	−1	NOUN
ejde-888	236	3	2	2	NUM
ejde-888	236	4	(	(	PUNCT
ejde-888	236	5	v	v	NOUN
ejde-888	236	6	(	(	PUNCT
ejde-888	236	7	ω	ω	NOUN
ejde-888	236	8	,	,	PUNCT
ejde-888	236	9	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	236	10	)	)	PUNCT
ejde-888	236	11	)	)	PUNCT
ejde-888	236	12	)	)	PUNCT
ejde-888	236	13	,	,	PUNCT
ejde-888	236	14	ω	ω	PROPN
ejde-888	236	15	∈	∈	PROPN
ejde-888	236	16	nm+2	nm+2	NOUN
ejde-888	236	17	,	,	PUNCT
ejde-888	236	18	where	where	SCONJ
ejde-888	236	19	γ−1	γ−1	PROPN
ejde-888	236	20	2	2	NUM
ejde-888	236	21	is	be	AUX
ejde-888	236	22	the	the	DET
ejde-888	236	23	inverse	inverse	NOUN
ejde-888	236	24	of	of	ADP
ejde-888	236	25	the	the	DET
ejde-888	236	26	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	236	27	class	class	NOUN
ejde-888	236	28	-	-	PUNCT
ejde-888	236	29	k	k	PROPN
ejde-888	236	30	function	function	PROPN
ejde-888	236	31	γ2	γ2	PROPN
ejde-888	236	32	.	.	PUNCT
ejde-888	237	1	we	we	PRON
ejde-888	237	2	construct	construct	VERB
ejde-888	237	3	a	a	DET
ejde-888	237	4	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	237	5	difference	difference	NOUN
ejde-888	237	6	equation	equation	NOUN
ejde-888	237	7	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	VERB
ejde-888	237	8	m	m	VERB
ejde-888	237	9	u(ω	u(ω	PROPN
ejde-888	237	10	)	)	PUNCT
ejde-888	237	11	=	=	PUNCT
ejde-888	238	1	−γ3(γ	−γ3(γ	NOUN
ejde-888	238	2	−1	−1	NOUN
ejde-888	238	3	2	2	NUM
ejde-888	238	4	(	(	PUNCT
ejde-888	238	5	u(ω	u(ω	PROPN
ejde-888	238	6	)	)	PUNCT
ejde-888	238	7	)	)	PUNCT
ejde-888	238	8	)	)	PUNCT
ejde-888	238	9	,	,	PUNCT
ejde-888	238	10	u(m+	u(m+	VERB
ejde-888	238	11	1	1	NUM
ejde-888	238	12	)	)	PUNCT
ejde-888	238	13	=	=	SYM
ejde-888	238	14	v	v	NOUN
ejde-888	238	15	(	(	PUNCT
ejde-888	238	16	m+	m+	NOUN
ejde-888	238	17	1	1	NUM
ejde-888	238	18	,	,	PUNCT
ejde-888	238	19	η(m+	η(m+	NOUN
ejde-888	238	20	1	1	NUM
ejde-888	238	21	)	)	PUNCT
ejde-888	238	22	)	)	PUNCT
ejde-888	238	23	>	>	X
ejde-888	239	1	0	0	X
ejde-888	239	2	.	.	X
ejde-888	240	1	v	v	X
ejde-888	240	2	(	(	PUNCT
ejde-888	240	3	ω	ω	NOUN
ejde-888	240	4	,	,	PUNCT
ejde-888	240	5	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	240	6	)	)	PUNCT
ejde-888	240	7	)	)	PUNCT
ejde-888	240	8	is	be	AUX
ejde-888	240	9	bounded	bound	VERB
ejde-888	240	10	by	by	ADP
ejde-888	240	11	the	the	DET
ejde-888	240	12	solution	solution	NOUN
ejde-888	240	13	u(ω	u(ω	PROPN
ejde-888	240	14	)	)	PUNCT
ejde-888	240	15	,	,	PUNCT
ejde-888	240	16	according	accord	VERB
ejde-888	240	17	to	to	ADP
ejde-888	240	18	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	240	19	4.3	4.3	NUM
ejde-888	240	20	,	,	PUNCT
ejde-888	240	21	v	v	PROPN
ejde-888	240	22	(	(	PUNCT
ejde-888	240	23	ω	ω	NOUN
ejde-888	240	24	,	,	PUNCT
ejde-888	240	25	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	240	26	)	)	PUNCT
ejde-888	240	27	)	)	PUNCT
ejde-888	240	28	is	be	AUX
ejde-888	240	29	a	a	DET
ejde-888	240	30	positive	positive	ADJ
ejde-888	240	31	scalar	scalar	ADJ
ejde-888	240	32	function	function	NOUN
ejde-888	240	33	.	.	PUNCT
ejde-888	241	1	we	we	PRON
ejde-888	241	2	can	can	AUX
ejde-888	241	3	derive	derive	VERB
ejde-888	241	4	limω→∞	limω→∞	PROPN
ejde-888	241	5	v	v	PROPN
ejde-888	241	6	(	(	PUNCT
ejde-888	241	7	ω	ω	NOUN
ejde-888	241	8	,	,	PUNCT
ejde-888	241	9	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	241	10	)	)	PUNCT
ejde-888	241	11	)	)	PUNCT
ejde-888	242	1	=	=	PUNCT
ejde-888	242	2	0	0	PUNCT
ejde-888	243	1	according	accord	VERB
ejde-888	243	2	to	to	ADP
ejde-888	243	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	243	4	4.3	4.3	NUM
ejde-888	243	5	and	and	CCONJ
ejde-888	243	6	4.4	4.4	NUM
ejde-888	243	7	.	.	PUNCT
ejde-888	244	1	since	since	SCONJ
ejde-888	244	2	γ1	γ1	PROPN
ejde-888	244	3	is	be	AUX
ejde-888	244	4	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	244	5	class	class	NOUN
ejde-888	244	6	function	function	NOUN
ejde-888	244	7	,	,	PUNCT
ejde-888	244	8	we	we	PRON
ejde-888	244	9	derive	derive	VERB
ejde-888	244	10	that	that	SCONJ
ejde-888	244	11	limω→∞	limω→∞	NOUN
ejde-888	244	12	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	244	13	)	)	PUNCT
ejde-888	244	14	=	=	SYM
ejde-888	245	1	0	0	X
ejde-888	245	2	.	.	PUNCT
ejde-888	245	3	□	□	PUNCT
ejde-888	245	4	theorem	theorem	VERB
ejde-888	245	5	4.7	4.7	NUM
ejde-888	245	6	.	.	PUNCT
ejde-888	246	1	if	if	SCONJ
ejde-888	246	2	η(ω)ξ(ω	η(ω)ξ(ω	NOUN
ejde-888	246	3	,	,	PUNCT
ejde-888	246	4	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	246	5	)	)	PUNCT
ejde-888	246	6	)	)	PUNCT
ejde-888	247	1	<	<	X
ejde-888	247	2	0	0	NUM
ejde-888	247	3	and	and	CCONJ
ejde-888	247	4	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	247	5	)	)	PUNCT
ejde-888	247	6	≤	≤	NOUN
ejde-888	247	7	η(m	η(m	ADV
ejde-888	247	8	)	)	PUNCT
ejde-888	247	9	2	2	NUM
ejde-888	247	10	.	.	PUNCT
ejde-888	248	1	then	then	ADV
ejde-888	248	2	discrete	discrete	VERB
ejde-888	248	3	equation	equation	NOUN
ejde-888	248	4	(	(	PUNCT
ejde-888	248	5	1.1	1.1	NUM
ejde-888	248	6	)	)	PUNCT
ejde-888	248	7	is	be	AUX
ejde-888	248	8	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	248	9	stable	stable	ADJ
ejde-888	248	10	.	.	PUNCT
ejde-888	249	1	proof	proof	NOUN
ejde-888	249	2	.	.	PUNCT
ejde-888	250	1	let	let	VERB
ejde-888	250	2	us	we	PRON
ejde-888	250	3	consider	consider	VERB
ejde-888	250	4	the	the	DET
ejde-888	250	5	lyapunov	lyapunov	NOUN
ejde-888	250	6	function	function	VERB
ejde-888	250	7	v	v	ADP
ejde-888	250	8	=	=	SYM
ejde-888	250	9	η2(ω	η2(ω	NUM
ejde-888	250	10	)	)	PUNCT
ejde-888	250	11	2	2	NUM
ejde-888	250	12	.	.	PUNCT
ejde-888	251	1	using	use	VERB
ejde-888	251	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	251	3	3.10	3.10	NUM
ejde-888	251	4	we	we	PRON
ejde-888	251	5	can	can	AUX
ejde-888	251	6	estimate	estimate	VERB
ejde-888	251	7	the	the	DET
ejde-888	251	8	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	251	9	derivative	derivative	NOUN
ejde-888	251	10	of	of	ADP
ejde-888	251	11	v	v	NOUN
ejde-888	251	12	,	,	PUNCT
ejde-888	251	13	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	251	14	m	m	PROPN
ejde-888	251	15	v	v	ADJ
ejde-888	251	16	≤	≤	NUM
ejde-888	251	17	η(ω)∇ϑ,ρ	η(ω)∇ϑ,ρ	ADJ
ejde-888	251	18	m	m	NOUN
ejde-888	251	19	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	251	20	)	)	PUNCT
ejde-888	251	21	=	=	SYM
ejde-888	251	22	η(ω)ξ(ω	η(ω)ξ(ω	NOUN
ejde-888	251	23	,	,	PUNCT
ejde-888	251	24	η(ω	η(ω	NOUN
ejde-888	251	25	)	)	PUNCT
ejde-888	251	26	)	)	PUNCT
ejde-888	252	1	<	<	X
ejde-888	252	2	0	0	NUM
ejde-888	252	3	,	,	PUNCT
ejde-888	252	4	ω	ω	PROPN
ejde-888	252	5	∈	∈	PROPN
ejde-888	252	6	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	252	7	.	.	NOUN
ejde-888	252	8	where	where	SCONJ
ejde-888	252	9	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	252	10	m	m	VERB
ejde-888	252	11	v	v	NOUN
ejde-888	252	12	is	be	AUX
ejde-888	252	13	negative	negative	ADJ
ejde-888	252	14	definite	definite	ADJ
ejde-888	252	15	.	.	PUNCT
ejde-888	253	1	hence	hence	ADV
ejde-888	253	2	by	by	ADP
ejde-888	253	3	theorem	theorem	VERB
ejde-888	253	4	4.6	4.6	NUM
ejde-888	253	5	the	the	DET
ejde-888	253	6	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	253	7	system	system	NOUN
ejde-888	253	8	(	(	PUNCT
ejde-888	253	9	1.1	1.1	NUM
ejde-888	253	10	)	)	PUNCT
ejde-888	253	11	is	be	AUX
ejde-888	253	12	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	253	13	stable	stable	ADJ
ejde-888	253	14	.	.	PUNCT
ejde-888	254	1	□	□	PUNCT
ejde-888	254	2	5	5	X
ejde-888	254	3	.	.	PUNCT
ejde-888	254	4	examples	example	NOUN
ejde-888	254	5	we	we	PRON
ejde-888	254	6	examine	examine	VERB
ejde-888	254	7	a	a	DET
ejde-888	254	8	few	few	ADJ
ejde-888	254	9	uses	use	NOUN
ejde-888	254	10	for	for	ADP
ejde-888	254	11	the	the	DET
ejde-888	254	12	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	254	13	stability	stability	NOUN
ejde-888	254	14	in	in	ADP
ejde-888	254	15	this	this	DET
ejde-888	254	16	section	section	NOUN
ejde-888	254	17	.	.	PUNCT
ejde-888	255	1	example	example	NOUN
ejde-888	255	2	5.1	5.1	NUM
ejde-888	255	3	.	.	PUNCT
ejde-888	256	1	the	the	DET
ejde-888	256	2	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	256	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	256	4	equations	equation	NOUN
ejde-888	256	5	for	for	ADP
ejde-888	256	6	0	0	NUM
ejde-888	256	7	≤	≤	NUM
ejde-888	256	8	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	256	9	≤	≤	NUM
ejde-888	256	10	1	1	NUM
ejde-888	256	11	,	,	PUNCT
ejde-888	256	12	0	0	PUNCT
ejde-888	256	13	<	<	X
ejde-888	256	14	ϑ	ϑ	X
ejde-888	256	15	≤	≤	NUM
ejde-888	256	16	1	1	NUM
ejde-888	256	17	,	,	PUNCT
ejde-888	256	18	and	and	CCONJ
ejde-888	256	19	γ	γ	X
ejde-888	256	20	=	=	PUNCT
ejde-888	256	21	ϑ+	ϑ+	NOUN
ejde-888	256	22	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	256	23	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	256	24	are	be	AUX
ejde-888	256	25	examined	examine	VERB
ejde-888	256	26	on	on	ADP
ejde-888	256	27	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	256	28	.	.	PROPN
ejde-888	256	29	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	PROPN
ejde-888	256	30	m	m	VERB
ejde-888	256	31	x(ω	x(ω	ADJ
ejde-888	256	32	)	)	PUNCT
ejde-888	256	33	=	=	SYM
ejde-888	256	34	σ(y(ω)−	σ(y(ω)−	NOUN
ejde-888	256	35	x(ω	x(ω	PROPN
ejde-888	256	36	)	)	PUNCT
ejde-888	256	37	)	)	PUNCT
ejde-888	256	38	,	,	PUNCT
ejde-888	256	39	x(m+	x(m+	VERB
ejde-888	256	40	1	1	NUM
ejde-888	256	41	)	)	PUNCT
ejde-888	256	42	=	=	SYM
ejde-888	256	43	0.1	0.1	NUM
ejde-888	256	44	,	,	PUNCT
ejde-888	256	45	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	256	46	m	m	NOUN
ejde-888	256	47	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	256	48	)	)	PUNCT
ejde-888	257	1	=	=	NOUN
ejde-888	257	2	rx(ω)−	rx(ω)−	PROPN
ejde-888	257	3	y(ω)−	y(ω)−	PROPN
ejde-888	257	4	x(ω)z(ω	x(ω)z(ω	NUM
ejde-888	257	5	)	)	PUNCT
ejde-888	257	6	,	,	PUNCT
ejde-888	257	7	y(m+	y(m+	NOUN
ejde-888	257	8	1	1	NUM
ejde-888	257	9	)	)	PUNCT
ejde-888	257	10	=	=	SYM
ejde-888	257	11	0.2	0.2	NUM
ejde-888	257	12	,	,	PUNCT
ejde-888	257	13	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	257	14	m	m	NOUN
ejde-888	257	15	z(ω	z(ω	NUM
ejde-888	257	16	)	)	PUNCT
ejde-888	257	17	=	=	SYM
ejde-888	257	18	x(ω)y(ω)−	x(ω)y(ω)−	NOUN
ejde-888	257	19	bz(ω	bz(ω	NUM
ejde-888	257	20	)	)	PUNCT
ejde-888	257	21	,	,	PUNCT
ejde-888	257	22	z(m+	z(m+	NUM
ejde-888	257	23	1	1	NUM
ejde-888	257	24	)	)	PUNCT
ejde-888	257	25	=	=	SYM
ejde-888	257	26	0.3	0.3	NUM
ejde-888	257	27	,	,	PUNCT
ejde-888	257	28	ω	ω	PROPN
ejde-888	257	29	∈	∈	PROPN
ejde-888	257	30	nm+2	nm+2	PROPN
ejde-888	257	31	,	,	PUNCT
ejde-888	257	32	(	(	PUNCT
ejde-888	257	33	5.1	5.1	NUM
ejde-888	257	34	)	)	PUNCT
ejde-888	257	35	where	where	SCONJ
ejde-888	257	36	σ	σ	NOUN
ejde-888	257	37	,	,	PUNCT
ejde-888	257	38	r	r	NOUN
ejde-888	257	39	and	and	CCONJ
ejde-888	257	40	b	b	NOUN
ejde-888	257	41	are	be	AUX
ejde-888	257	42	three	three	NUM
ejde-888	257	43	positive	positive	ADJ
ejde-888	257	44	constants	constant	NOUN
ejde-888	257	45	.	.	PUNCT
ejde-888	258	1	let	let	VERB
ejde-888	258	2	us	we	PRON
ejde-888	258	3	consider	consider	VERB
ejde-888	258	4	the	the	DET
ejde-888	258	5	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	258	6	candidate	candidate	NOUN
ejde-888	258	7	function	function	NOUN
ejde-888	258	8	which	which	PRON
ejde-888	258	9	is	be	AUX
ejde-888	258	10	positive	positive	ADJ
ejde-888	258	11	definite	definite	ADJ
ejde-888	258	12	v	v	NOUN
ejde-888	258	13	(	(	PUNCT
ejde-888	258	14	x(ω	x(ω	PROPN
ejde-888	258	15	)	)	PUNCT
ejde-888	258	16	,	,	PUNCT
ejde-888	258	17	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	258	18	)	)	PUNCT
ejde-888	258	19	,	,	PUNCT
ejde-888	258	20	z(ω	z(ω	NUM
ejde-888	258	21	)	)	PUNCT
ejde-888	258	22	)	)	PUNCT
ejde-888	259	1	=	=	PUNCT
ejde-888	259	2	x2(ω	x2(ω	PROPN
ejde-888	259	3	)	)	PUNCT
ejde-888	259	4	+	+	CCONJ
ejde-888	259	5	σy2(ω	σy2(ω	PROPN
ejde-888	259	6	)	)	PUNCT
ejde-888	259	7	+	+	NUM
ejde-888	259	8	σz2(ω	σz2(ω	SYM
ejde-888	259	9	)	)	PUNCT
ejde-888	259	10	2	2	NUM
ejde-888	259	11	,	,	PUNCT
ejde-888	259	12	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	259	13	m	m	PROPN
ejde-888	259	14	v	v	NOUN
ejde-888	259	15	(	(	PUNCT
ejde-888	259	16	x(ω	x(ω	PROPN
ejde-888	259	17	)	)	PUNCT
ejde-888	259	18	,	,	PUNCT
ejde-888	259	19	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	259	20	)	)	PUNCT
ejde-888	259	21	,	,	PUNCT
ejde-888	259	22	z(ω	z(ω	NUM
ejde-888	259	23	)	)	PUNCT
ejde-888	259	24	)	)	PUNCT
ejde-888	259	25	≤	≤	NUM
ejde-888	259	26	x(ω)∇ϑ,ρ	x(ω)∇ϑ,ρ	NUM
ejde-888	259	27	m	m	PRON
ejde-888	259	28	x(ω	x(ω	NOUN
ejde-888	259	29	)	)	PUNCT
ejde-888	259	30	+	+	CCONJ
ejde-888	259	31	σy(ω)∇ϑ,ρ	σy(ω)∇ϑ,ρ	PROPN
ejde-888	259	32	m	m	NOUN
ejde-888	259	33	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	259	34	)	)	PUNCT
ejde-888	259	35	+	+	CCONJ
ejde-888	259	36	σz(ω)∇ϑ,ρ	σz(ω)∇ϑ,ρ	PROPN
ejde-888	259	37	m	m	VERB
ejde-888	259	38	z(ω	z(ω	NUM
ejde-888	259	39	)	)	PUNCT
ejde-888	259	40	=	=	SYM
ejde-888	260	1	−σ(1	−σ(1	PROPN
ejde-888	261	1	+	+	CCONJ
ejde-888	261	2	r	r	X
ejde-888	261	3	)	)	PUNCT
ejde-888	261	4	2	2	NUM
ejde-888	261	5	(	(	PUNCT
ejde-888	261	6	x(ω)−	x(ω)−	NOUN
ejde-888	261	7	y(ω))2	y(ω))2	PROPN
ejde-888	262	1	−	−	NOUN
ejde-888	262	2	σ(1−	σ(1−	PROPN
ejde-888	262	3	r	r	NOUN
ejde-888	262	4	)	)	PUNCT
ejde-888	262	5	2	2	NUM
ejde-888	262	6	x2(ω)−	x2(ω)−	NOUN
ejde-888	262	7	σ(1−	σ(1−	NOUN
ejde-888	262	8	r	r	X
ejde-888	262	9	)	)	PUNCT
ejde-888	262	10	2	2	NUM
ejde-888	262	11	y2(ω)−	y2(ω)−	NOUN
ejde-888	262	12	bσz2(ω	bσz2(ω	NUM
ejde-888	262	13	)	)	PUNCT
ejde-888	262	14	,	,	PUNCT
ejde-888	262	15	for	for	ADP
ejde-888	262	16	ω	ω	PROPN
ejde-888	262	17	∈	∈	PROPN
ejde-888	262	18	nm+2	nm+2	PROPN
ejde-888	262	19	.	.	PUNCT
ejde-888	262	20	by	by	ADP
ejde-888	262	21	using	use	VERB
ejde-888	262	22	theorem	theorem	ADJ
ejde-888	262	23	4.6	4.6	NUM
ejde-888	262	24	,	,	PUNCT
ejde-888	262	25	this	this	DET
ejde-888	262	26	system	system	NOUN
ejde-888	262	27	is	be	AUX
ejde-888	262	28	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	262	29	stable	stable	ADJ
ejde-888	262	30	if	if	SCONJ
ejde-888	262	31	0	0	NUM
ejde-888	262	32	<	<	X
ejde-888	262	33	r	r	X
ejde-888	262	34	<	<	X
ejde-888	262	35	1	1	NUM
ejde-888	262	36	,	,	PUNCT
ejde-888	262	37	and	and	CCONJ
ejde-888	262	38	r	r	NOUN
ejde-888	262	39	is	be	AUX
ejde-888	262	40	independent	independent	ADJ
ejde-888	262	41	of	of	ADP
ejde-888	262	42	the	the	DET
ejde-888	262	43	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	262	44	order	order	NOUN
ejde-888	262	45	ϑ.	ϑ.	NOUN
ejde-888	262	46	case	case	NOUN
ejde-888	263	1	i	i	PRON
ejde-888	263	2	:	:	PUNCT
ejde-888	263	3	by	by	ADP
ejde-888	263	4	using	use	VERB
ejde-888	263	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-888	263	6	3.9	3.9	NUM
ejde-888	263	7	,	,	PUNCT
ejde-888	263	8	we	we	PRON
ejde-888	263	9	have	have	VERB
ejde-888	263	10	1	1	NUM
ejde-888	263	11	γ(−ϑ	γ(−ϑ	NOUN
ejde-888	263	12	)	)	PUNCT
ejde-888	264	1	n∑	n∑	PUNCT
ejde-888	264	2	j=1	j=1	PROPN
ejde-888	264	3	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	264	4	j	j	PROPN
ejde-888	264	5	−	−	PROPN
ejde-888	264	6	ϑ	ϑ	X
ejde-888	264	7	)	)	PUNCT
ejde-888	264	8	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	264	9	j	j	PROPN
ejde-888	264	10	+	+	CCONJ
ejde-888	264	11	1	1	X
ejde-888	264	12	)	)	PUNCT
ejde-888	264	13	xj	xj	NOUN
ejde-888	264	14	=	=	SYM
ejde-888	264	15	σ(yn	σ(yn	ADP
ejde-888	264	16	−	−	NOUN
ejde-888	264	17	xn	xn	PUNCT
ejde-888	264	18	)	)	PUNCT
ejde-888	265	1	+	+	CCONJ
ejde-888	265	2	γ(n+	γ(n+	NUM
ejde-888	265	3	ρ(1−	ρ(1−	PROPN
ejde-888	265	4	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	265	5	)	)	PUNCT
ejde-888	265	6	)	)	PUNCT
ejde-888	265	7	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	265	8	1)γ(ρ(1−	1)γ(ρ(1−	NUM
ejde-888	265	9	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	265	10	)	)	PUNCT
ejde-888	265	11	)	)	PUNCT
ejde-888	266	1	x1	x1	PROPN
ejde-888	266	2	,	,	PUNCT
ejde-888	266	3	x1	x1	PROPN
ejde-888	266	4	=	=	SYM
ejde-888	266	5	0.1	0.1	NUM
ejde-888	266	6	,	,	PUNCT
ejde-888	266	7	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	266	8	/	/	SYM
ejde-888	266	9	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	266	10	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	266	11	stability	stability	NOUN
ejde-888	266	12	59	59	NUM
ejde-888	266	13	1	1	NUM
ejde-888	266	14	γ(−ϑ	γ(−ϑ	NOUN
ejde-888	266	15	)	)	PUNCT
ejde-888	267	1	n∑	n∑	PUNCT
ejde-888	267	2	j=1	j=1	PROPN
ejde-888	267	3	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	267	4	j	j	PROPN
ejde-888	267	5	−	−	PROPN
ejde-888	267	6	ϑ	ϑ	X
ejde-888	267	7	)	)	PUNCT
ejde-888	267	8	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	267	9	j	j	PROPN
ejde-888	267	10	+	+	CCONJ
ejde-888	267	11	1	1	X
ejde-888	267	12	)	)	PUNCT
ejde-888	267	13	yj	yj	PROPN
ejde-888	267	14	=	=	SYM
ejde-888	267	15	rxn	rxn	NOUN
ejde-888	267	16	−	−	PROPN
ejde-888	267	17	yn	yn	INTJ
ejde-888	267	18	−	−	PROPN
ejde-888	267	19	xnzn	xnzn	NOUN
ejde-888	268	1	+	+	CCONJ
ejde-888	268	2	γ(n+	γ(n+	NUM
ejde-888	268	3	ρ(1−	ρ(1−	NOUN
ejde-888	268	4	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	268	5	)	)	PUNCT
ejde-888	268	6	)	)	PUNCT
ejde-888	269	1	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	269	2	1)γ(ρ(1−	1)γ(ρ(1−	NUM
ejde-888	269	3	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	269	4	)	)	PUNCT
ejde-888	269	5	)	)	PUNCT
ejde-888	269	6	y1	y1	NOUN
ejde-888	269	7	,	,	PUNCT
ejde-888	269	8	y1	y1	NOUN
ejde-888	269	9	=	=	NUM
ejde-888	269	10	0.2	0.2	NUM
ejde-888	269	11	,	,	PUNCT
ejde-888	269	12	1	1	NUM
ejde-888	269	13	γ(−ϑ	γ(−ϑ	NOUN
ejde-888	269	14	)	)	PUNCT
ejde-888	270	1	n∑	n∑	PUNCT
ejde-888	271	1	j=1	j=1	PROPN
ejde-888	271	2	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	271	3	j	j	PROPN
ejde-888	271	4	−	−	PROPN
ejde-888	271	5	ϑ	ϑ	X
ejde-888	271	6	)	)	PUNCT
ejde-888	271	7	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	271	8	j	j	PROPN
ejde-888	271	9	+	+	CCONJ
ejde-888	271	10	1	1	X
ejde-888	271	11	)	)	PUNCT
ejde-888	271	12	zj	zj	NOUN
ejde-888	271	13	=	=	PUNCT
ejde-888	272	1	xnyn	xnyn	PROPN
ejde-888	272	2	−	−	PROPN
ejde-888	273	1	bzn	bzn	INTJ
ejde-888	273	2	+	+	CCONJ
ejde-888	273	3	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	273	4	ρ(1−	ρ(1−	PROPN
ejde-888	273	5	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	273	6	)	)	PUNCT
ejde-888	273	7	)	)	PUNCT
ejde-888	274	1	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	274	2	1)γ(ρ(1−	1)γ(ρ(1−	NUM
ejde-888	274	3	ϑ	ϑ	NOUN
ejde-888	274	4	)	)	PUNCT
ejde-888	274	5	)	)	PUNCT
ejde-888	274	6	z1	z1	PROPN
ejde-888	274	7	,	,	PUNCT
ejde-888	274	8	z1	z1	NOUN
ejde-888	274	9	=	=	SYM
ejde-888	274	10	0.3	0.3	NUM
ejde-888	274	11	,	,	PUNCT
ejde-888	274	12	where	where	SCONJ
ejde-888	274	13	n	n	PRON
ejde-888	274	14	≥	≥	NOUN
ejde-888	274	15	2	2	NUM
ejde-888	274	16	,	,	PUNCT
ejde-888	274	17	xj	xj	X
ejde-888	274	18	=	=	PUNCT
ejde-888	274	19	x(m+	x(m+	PROPN
ejde-888	274	20	j	j	PROPN
ejde-888	274	21	)	)	PUNCT
ejde-888	274	22	,	,	PUNCT
ejde-888	274	23	yj	yj	PROPN
ejde-888	274	24	=	=	SYM
ejde-888	274	25	y(m+	y(m+	PROPN
ejde-888	274	26	j	j	NOUN
ejde-888	274	27	)	)	PUNCT
ejde-888	274	28	and	and	CCONJ
ejde-888	274	29	zj	zj	X
ejde-888	274	30	=	=	SYM
ejde-888	274	31	z(m+	z(m+	NUM
ejde-888	274	32	j	j	NOUN
ejde-888	274	33	)	)	PUNCT
ejde-888	274	34	.	.	PUNCT
ejde-888	275	1	case	case	NOUN
ejde-888	275	2	ii	ii	NOUN
ejde-888	275	3	:	:	PUNCT
ejde-888	275	4	from	from	ADP
ejde-888	275	5	the	the	DET
ejde-888	275	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-888	275	7	sum	sum	NOUN
ejde-888	275	8	equation	equation	NOUN
ejde-888	275	9	from	from	ADP
ejde-888	275	10	theorem	theorem	ADJ
ejde-888	275	11	3.5	3.5	NUM
ejde-888	275	12	,	,	PUNCT
ejde-888	275	13	we	we	PRON
ejde-888	275	14	obtain	obtain	VERB
ejde-888	275	15	xn+2	xn+2	X
ejde-888	275	16	=	=	SYM
ejde-888	275	17	γ(n+	γ(n+	NUM
ejde-888	275	18	γ	γ	X
ejde-888	275	19	+	+	ADP
ejde-888	275	20	2	2	NUM
ejde-888	275	21	)	)	PUNCT
ejde-888	275	22	γ(n+	γ(n+	NOUN
ejde-888	276	1	3)γγ	3)γγ	NUM
ejde-888	277	1	x1	x1	PROPN
ejde-888	278	1	+	+	PROPN
ejde-888	278	2	σ	σ	PROPN
ejde-888	278	3	n∑	n∑	PROPN
ejde-888	278	4	j=0	j=0	PROPN
ejde-888	278	5	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	278	6	j	j	PROPN
ejde-888	278	7	+	+	CCONJ
ejde-888	278	8	ϑ	ϑ	X
ejde-888	278	9	)	)	PUNCT
ejde-888	278	10	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	278	11	j	j	PROPN
ejde-888	279	1	+	+	X
ejde-888	279	2	1)γϑ	1)γϑ	PROPN
ejde-888	279	3	(	(	PUNCT
ejde-888	279	4	yj+2	yj+2	VERB
ejde-888	279	5	−	−	PROPN
ejde-888	279	6	xj+2	xj+2	NUM
ejde-888	279	7	)	)	PUNCT
ejde-888	279	8	,	,	PUNCT
ejde-888	279	9	x1	x1	PROPN
ejde-888	279	10	=	=	SYM
ejde-888	279	11	0.1	0.1	NUM
ejde-888	279	12	,	,	PUNCT
ejde-888	279	13	yn+2	yn+2	PROPN
ejde-888	279	14	=	=	SYM
ejde-888	279	15	γ(n+	γ(n+	NUM
ejde-888	279	16	γ	γ	X
ejde-888	279	17	+	+	ADP
ejde-888	279	18	2	2	NUM
ejde-888	279	19	)	)	PUNCT
ejde-888	279	20	γ(n+	γ(n+	NOUN
ejde-888	280	1	3)γγ	3)γγ	NUM
ejde-888	280	2	y1	y1	NOUN
ejde-888	280	3	+	+	CCONJ
ejde-888	280	4	n∑	n∑	PROPN
ejde-888	280	5	j=0	j=0	PROPN
ejde-888	280	6	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	280	7	j	j	PROPN
ejde-888	280	8	+	+	CCONJ
ejde-888	280	9	ϑ	ϑ	X
ejde-888	280	10	)	)	PUNCT
ejde-888	280	11	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	280	12	j	j	PROPN
ejde-888	281	1	+	+	X
ejde-888	281	2	1)γϑ	1)γϑ	PROPN
ejde-888	281	3	(	(	PUNCT
ejde-888	281	4	rxj+2	rxj+2	PROPN
ejde-888	281	5	−	−	PROPN
ejde-888	281	6	yj+2	yj+2	NOUN
ejde-888	281	7	−	−	PROPN
ejde-888	281	8	xj+2zj+2	xj+2zj+2	PROPN
ejde-888	281	9	)	)	PUNCT
ejde-888	281	10	,	,	PUNCT
ejde-888	281	11	y1	y1	NOUN
ejde-888	281	12	=	=	PUNCT
ejde-888	281	13	0.2	0.2	NUM
ejde-888	281	14	,	,	PUNCT
ejde-888	281	15	zn+2	zn+2	NUM
ejde-888	281	16	=	=	SYM
ejde-888	281	17	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	281	18	γ	γ	X
ejde-888	281	19	+	+	ADP
ejde-888	281	20	2	2	NUM
ejde-888	281	21	)	)	PUNCT
ejde-888	281	22	γ(n+	γ(n+	NOUN
ejde-888	282	1	3)γγ	3)γγ	NOUN
ejde-888	282	2	z1	z1	NOUN
ejde-888	282	3	+	+	CCONJ
ejde-888	282	4	n∑	n∑	PROPN
ejde-888	282	5	j=0	j=0	PROPN
ejde-888	282	6	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	282	7	j	j	PROPN
ejde-888	282	8	+	+	CCONJ
ejde-888	282	9	ϑ	ϑ	X
ejde-888	282	10	)	)	PUNCT
ejde-888	282	11	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	282	12	j	j	PROPN
ejde-888	282	13	+	+	PROPN
ejde-888	282	14	1)γϑ	1)γϑ	PROPN
ejde-888	282	15	(	(	PUNCT
ejde-888	282	16	xj+2yj+2	xj+2yj+2	ADV
ejde-888	282	17	−	−	ADP
ejde-888	282	18	bzj+2	bzj+2	NOUN
ejde-888	282	19	)	)	PUNCT
ejde-888	282	20	,	,	PUNCT
ejde-888	282	21	z1	z1	NOUN
ejde-888	282	22	=	=	SYM
ejde-888	282	23	0.3	0.3	NUM
ejde-888	282	24	,	,	PUNCT
ejde-888	282	25	where	where	SCONJ
ejde-888	282	26	n	n	PRON
ejde-888	282	27	≥	≥	NOUN
ejde-888	282	28	1	1	NUM
ejde-888	282	29	.	.	PUNCT
ejde-888	283	1	case	case	NOUN
ejde-888	283	2	i	i	PRON
ejde-888	283	3	and	and	CCONJ
ejde-888	283	4	case	case	NOUN
ejde-888	283	5	ii	ii	NOUN
ejde-888	283	6	are	be	AUX
ejde-888	283	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-888	283	8	,	,	PUNCT
ejde-888	283	9	they	they	PRON
ejde-888	283	10	lead	lead	VERB
ejde-888	283	11	to	to	ADP
ejde-888	283	12	the	the	DET
ejde-888	283	13	same	same	ADJ
ejde-888	283	14	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-888	283	15	.	.	PUNCT
ejde-888	284	1	in	in	ADP
ejde-888	284	2	case	case	NOUN
ejde-888	284	3	ii	ii	PROPN
ejde-888	284	4	,	,	PUNCT
ejde-888	284	5	xn+1	xn+1	PROPN
ejde-888	284	6	,	,	PUNCT
ejde-888	284	7	yn+1	yn+1	PROPN
ejde-888	284	8	and	and	CCONJ
ejde-888	284	9	zn+1	zn+1	NUM
ejde-888	284	10	form	form	VERB
ejde-888	284	11	an	an	DET
ejde-888	284	12	implicit	implicit	ADJ
ejde-888	284	13	algebra	algebra	NOUN
ejde-888	284	14	system	system	NOUN
ejde-888	284	15	for	for	ADP
ejde-888	284	16	1	1	NUM
ejde-888	284	17	≤	≤	NOUN
ejde-888	284	18	n.	n.	NOUN
ejde-888	284	19	for	for	ADP
ejde-888	284	20	σ	σ	PROPN
ejde-888	284	21	=	=	SYM
ejde-888	284	22	1	1	NUM
ejde-888	284	23	,	,	PUNCT
ejde-888	284	24	r	r	NOUN
ejde-888	284	25	=	=	SYM
ejde-888	284	26	0.5	0.5	NUM
ejde-888	284	27	and	and	CCONJ
ejde-888	284	28	b	b	NOUN
ejde-888	284	29	=	=	SYM
ejde-888	284	30	1	1	NUM
ejde-888	284	31	,	,	PUNCT
ejde-888	284	32	we	we	PRON
ejde-888	284	33	show	show	VERB
ejde-888	284	34	the	the	DET
ejde-888	284	35	case	case	NOUN
ejde-888	284	36	of	of	ADP
ejde-888	284	37	ϑ	ϑ	X
ejde-888	284	38	=	=	SYM
ejde-888	284	39	0.95	0.95	NUM
ejde-888	284	40	,	,	PUNCT
ejde-888	284	41	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	284	42	=	=	SYM
ejde-888	284	43	0.90	0.90	NUM
ejde-888	284	44	,	,	PUNCT
ejde-888	284	45	γ	γ	NOUN
ejde-888	284	46	=	=	SYM
ejde-888	284	47	0.99	0.99	NUM
ejde-888	284	48	and	and	CCONJ
ejde-888	284	49	ϑ	ϑ	X
ejde-888	284	50	=	=	SYM
ejde-888	284	51	0.92	0.92	NUM
ejde-888	284	52	,	,	PUNCT
ejde-888	284	53	ρ	ρ	NOUN
ejde-888	284	54	=	=	SYM
ejde-888	284	55	0.82	0.82	NUM
ejde-888	284	56	,	,	PUNCT
ejde-888	284	57	γ	γ	X
ejde-888	284	58	=	=	SYM
ejde-888	284	59	0.98	0.98	NUM
ejde-888	284	60	,	,	PUNCT
ejde-888	284	61	and	and	CCONJ
ejde-888	284	62	ϑ	ϑ	X
ejde-888	284	63	=	=	NOUN
ejde-888	284	64	0.9	0.9	NUM
ejde-888	284	65	,	,	PUNCT
ejde-888	284	66	ρ	ρ	NOUN
ejde-888	284	67	=	=	NUM
ejde-888	284	68	0.8	0.8	NUM
ejde-888	284	69	,	,	PUNCT
ejde-888	284	70	γ	γ	X
ejde-888	284	71	=	=	SYM
ejde-888	284	72	0.98	0.98	NUM
ejde-888	284	73	and	and	CCONJ
ejde-888	284	74	ϑ	ϑ	X
ejde-888	284	75	=	=	SYM
ejde-888	284	76	0.88	0.88	NUM
ejde-888	284	77	,	,	PUNCT
ejde-888	284	78	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	284	79	=	=	SYM
ejde-888	284	80	0.78	0.78	NUM
ejde-888	284	81	,	,	PUNCT
ejde-888	284	82	γ	γ	X
ejde-888	284	83	=	=	SYM
ejde-888	284	84	0.97	0.97	NUM
ejde-888	284	85	.	.	PUNCT
ejde-888	285	1	we	we	PRON
ejde-888	285	2	note	note	VERB
ejde-888	285	3	that	that	SCONJ
ejde-888	285	4	the	the	DET
ejde-888	285	5	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	285	6	solutions	solution	NOUN
ejde-888	285	7	tends	tend	VERB
ejde-888	285	8	to	to	ADP
ejde-888	285	9	the	the	DET
ejde-888	285	10	origin	origin	NOUN
ejde-888	285	11	when	when	SCONJ
ejde-888	285	12	ω	ω	PROPN
ejde-888	285	13	→	→	SYM
ejde-888	285	14	∞	∞	PROPN
ejde-888	285	15	in	in	ADP
ejde-888	285	16	figures	figure	NOUN
ejde-888	285	17	(	(	PUNCT
ejde-888	285	18	a	a	NOUN
ejde-888	285	19	)	)	PUNCT
ejde-888	285	20	,	,	PUNCT
ejde-888	285	21	(	(	PUNCT
ejde-888	285	22	b	b	NOUN
ejde-888	285	23	)	)	PUNCT
ejde-888	285	24	,	,	PUNCT
ejde-888	285	25	(	(	PUNCT
ejde-888	285	26	c	c	X
ejde-888	285	27	)	)	PUNCT
ejde-888	285	28	and	and	CCONJ
ejde-888	285	29	(	(	PUNCT
ejde-888	285	30	d	d	NOUN
ejde-888	285	31	)	)	PUNCT
ejde-888	285	32	respectively	respectively	ADV
ejde-888	285	33	.	.	PUNCT
ejde-888	285	34	example	example	NOUN
ejde-888	286	1	5.2	5.2	NUM
ejde-888	286	2	.	.	PUNCT
ejde-888	287	1	the	the	DET
ejde-888	287	2	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	287	3	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	287	4	equations	equation	NOUN
ejde-888	287	5	for	for	ADP
ejde-888	287	6	0	0	NUM
ejde-888	287	7	≤	≤	NUM
ejde-888	287	8	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	287	9	≤	≤	NUM
ejde-888	287	10	1	1	NUM
ejde-888	287	11	,	,	PUNCT
ejde-888	287	12	0	0	PUNCT
ejde-888	287	13	<	<	X
ejde-888	287	14	ϑ	ϑ	X
ejde-888	287	15	≤	≤	NUM
ejde-888	287	16	1	1	NUM
ejde-888	287	17	,	,	PUNCT
ejde-888	287	18	and	and	CCONJ
ejde-888	287	19	γ	γ	X
ejde-888	287	20	=	=	PUNCT
ejde-888	287	21	ϑ+	ϑ+	NOUN
ejde-888	287	22	ρ−	ρ−	NOUN
ejde-888	287	23	ϑρ	ϑρ	VERB
ejde-888	287	24	are	be	AUX
ejde-888	287	25	examined	examine	VERB
ejde-888	287	26	.	.	PUNCT
ejde-888	288	1	they	they	PRON
ejde-888	288	2	are	be	AUX
ejde-888	288	3	defined	define	VERB
ejde-888	288	4	on	on	ADP
ejde-888	288	5	nm+1	nm+1	PROPN
ejde-888	288	6	.	.	PROPN
ejde-888	288	7	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	PROPN
ejde-888	288	8	m	m	VERB
ejde-888	288	9	x(ω	x(ω	ADJ
ejde-888	288	10	)	)	PUNCT
ejde-888	288	11	=	=	SYM
ejde-888	288	12	−x(ω	−x(ω	ADJ
ejde-888	288	13	)	)	PUNCT
ejde-888	289	1	+	+	CCONJ
ejde-888	289	2	y3(ω	y3(ω	NOUN
ejde-888	289	3	)	)	PUNCT
ejde-888	290	1	,	,	PUNCT
ejde-888	290	2	x(m+	x(m+	X
ejde-888	290	3	1	1	NUM
ejde-888	290	4	)	)	PUNCT
ejde-888	290	5	=	=	SYM
ejde-888	290	6	0.1	0.1	NUM
ejde-888	290	7	,	,	PUNCT
ejde-888	290	8	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	290	9	m	m	NOUN
ejde-888	290	10	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	290	11	)	)	PUNCT
ejde-888	290	12	=	=	PUNCT
ejde-888	291	1	−x(ω)−	−x(ω)−	ADP
ejde-888	291	2	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	291	3	)	)	PUNCT
ejde-888	291	4	,	,	PUNCT
ejde-888	291	5	y(m+	y(m+	NOUN
ejde-888	291	6	1	1	NUM
ejde-888	291	7	)	)	PUNCT
ejde-888	291	8	=	=	SYM
ejde-888	291	9	0.2	0.2	NUM
ejde-888	291	10	.	.	PUNCT
ejde-888	292	1	(	(	PUNCT
ejde-888	292	2	5.2	5.2	NUM
ejde-888	292	3	)	)	PUNCT
ejde-888	292	4	let	let	VERB
ejde-888	292	5	us	we	PRON
ejde-888	292	6	consider	consider	VERB
ejde-888	292	7	the	the	DET
ejde-888	292	8	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	292	9	candidate	candidate	NOUN
ejde-888	292	10	function	function	NOUN
ejde-888	292	11	which	which	PRON
ejde-888	292	12	is	be	AUX
ejde-888	292	13	positive	positive	ADJ
ejde-888	292	14	definite	definite	ADJ
ejde-888	292	15	.	.	PUNCT
ejde-888	293	1	v	v	X
ejde-888	293	2	(	(	PUNCT
ejde-888	293	3	x(ω	x(ω	PROPN
ejde-888	293	4	)	)	PUNCT
ejde-888	293	5	,	,	PUNCT
ejde-888	293	6	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	293	7	)	)	PUNCT
ejde-888	293	8	)	)	PUNCT
ejde-888	294	1	=	=	SYM
ejde-888	294	2	1	1	NUM
ejde-888	294	3	2	2	NUM
ejde-888	294	4	x2(ω	x2(ω	PUNCT
ejde-888	294	5	)	)	PUNCT
ejde-888	295	1	+	+	CCONJ
ejde-888	295	2	1	1	NUM
ejde-888	295	3	4	4	NUM
ejde-888	295	4	y4(ω	y4(ω	NOUN
ejde-888	295	5	)	)	PUNCT
ejde-888	295	6	,	,	PUNCT
ejde-888	295	7	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	295	8	m	m	PROPN
ejde-888	295	9	v	v	NOUN
ejde-888	295	10	(	(	PUNCT
ejde-888	295	11	x(ω	x(ω	PROPN
ejde-888	295	12	)	)	PUNCT
ejde-888	295	13	,	,	PUNCT
ejde-888	295	14	y(ω	y(ω	PROPN
ejde-888	295	15	)	)	PUNCT
ejde-888	295	16	)	)	PUNCT
ejde-888	296	1	=	=	SYM
ejde-888	296	2	1	1	NUM
ejde-888	296	3	2	2	NUM
ejde-888	296	4	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	296	5	m	m	VERB
ejde-888	296	6	x2(ω	x2(ω	X
ejde-888	296	7	)	)	PUNCT
ejde-888	297	1	+	+	CCONJ
ejde-888	297	2	1	1	NUM
ejde-888	297	3	4	4	NUM
ejde-888	297	4	∇ϑ,ρ	∇ϑ,ρ	NOUN
ejde-888	297	5	m	m	NOUN
ejde-888	297	6	y4(ω	y4(ω	X
ejde-888	297	7	)	)	PUNCT
ejde-888	297	8	≤	≤	NUM
ejde-888	297	9	x(ω)∇ϑ,ρ	x(ω)∇ϑ,ρ	NUM
ejde-888	297	10	m	m	PROPN
ejde-888	297	11	x(ω	x(ω	NOUN
ejde-888	297	12	)	)	PUNCT
ejde-888	297	13	+	+	NUM
ejde-888	297	14	y3(ω)∇ϑ,ρ	y3(ω)∇ϑ,ρ	PUNCT
ejde-888	297	15	m	m	VERB
ejde-888	297	16	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	297	17	)	)	PUNCT
ejde-888	297	18	≤	≤	NUM
ejde-888	297	19	x(ω)(−x(ω	x(ω)(−x(ω	ADV
ejde-888	297	20	)	)	PUNCT
ejde-888	298	1	+	+	CCONJ
ejde-888	298	2	y3(ω	y3(ω	NOUN
ejde-888	298	3	)	)	PUNCT
ejde-888	298	4	)	)	PUNCT
ejde-888	299	1	+	+	CCONJ
ejde-888	299	2	y3(ω)(−x(ω)−	y3(ω)(−x(ω)−	NOUN
ejde-888	299	3	y(ω	y(ω	NOUN
ejde-888	299	4	)	)	PUNCT
ejde-888	299	5	)	)	PUNCT
ejde-888	299	6	<	<	X
ejde-888	299	7	−x2(ω)−	−x2(ω)−	PROPN
ejde-888	299	8	y4(ω	y4(ω	PROPN
ejde-888	299	9	)	)	PUNCT
ejde-888	299	10	<	<	X
ejde-888	299	11	0	0	X
ejde-888	299	12	.	.	PUNCT
ejde-888	299	13	by	by	ADP
ejde-888	299	14	using	use	VERB
ejde-888	299	15	theorem	theorem	ADJ
ejde-888	299	16	4.6	4.6	NUM
ejde-888	299	17	this	this	DET
ejde-888	299	18	system	system	NOUN
ejde-888	299	19	is	be	AUX
ejde-888	299	20	asymptotically	asymptotically	ADV
ejde-888	299	21	stable	stable	ADJ
ejde-888	299	22	.	.	PUNCT
ejde-888	300	1	here	here	ADV
ejde-888	300	2	we	we	PRON
ejde-888	300	3	used	use	VERB
ejde-888	300	4	the	the	DET
ejde-888	300	5	newton	newton	PROPN
ejde-888	300	6	-	-	PUNCT
ejde-888	300	7	iteration	iteration	NOUN
ejde-888	300	8	method	method	NOUN
ejde-888	300	9	for	for	ADP
ejde-888	300	10	the	the	DET
ejde-888	300	11	solutions	solution	NOUN
ejde-888	300	12	.	.	PUNCT
ejde-888	301	1	the	the	DET
ejde-888	301	2	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	301	3	stability	stability	NOUN
ejde-888	301	4	of	of	ADP
ejde-888	301	5	the	the	DET
ejde-888	301	6	system	system	NOUN
ejde-888	301	7	is	be	AUX
ejde-888	301	8	shown	show	VERB
ejde-888	301	9	in	in	ADP
ejde-888	301	10	figure	figure	NOUN
ejde-888	301	11	1(e	1(e	NUM
ejde-888	301	12	)	)	PUNCT
ejde-888	301	13	where	where	SCONJ
ejde-888	301	14	ϑ	ϑ	X
ejde-888	301	15	=	=	NOUN
ejde-888	301	16	0.95	0.95	NUM
ejde-888	301	17	,	,	PUNCT
ejde-888	301	18	ρ	ρ	NOUN
ejde-888	301	19	=	=	SYM
ejde-888	301	20	0.75	0.75	NUM
ejde-888	301	21	,	,	PUNCT
ejde-888	301	22	γ	γ	X
ejde-888	301	23	=	=	NOUN
ejde-888	301	24	0.99	0.99	NUM
ejde-888	301	25	.	.	PUNCT
ejde-888	302	1	xn+2	xn+2	NUM
ejde-888	303	1	=	=	SYM
ejde-888	303	2	γ(n+	γ(n+	NUM
ejde-888	303	3	γ	γ	X
ejde-888	303	4	+	+	ADP
ejde-888	303	5	2	2	NUM
ejde-888	303	6	)	)	PUNCT
ejde-888	303	7	γ(n+	γ(n+	NOUN
ejde-888	304	1	3)γγ	3)γγ	NUM
ejde-888	304	2	x1	x1	PROPN
ejde-888	305	1	+	+	X
ejde-888	305	2	n∑	n∑	PROPN
ejde-888	305	3	j=0	j=0	PROPN
ejde-888	305	4	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	305	5	j	j	PROPN
ejde-888	305	6	+	+	CCONJ
ejde-888	305	7	ϑ	ϑ	X
ejde-888	305	8	)	)	PUNCT
ejde-888	305	9	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	305	10	j	j	PROPN
ejde-888	305	11	+	+	PROPN
ejde-888	305	12	1)γϑ	1)γϑ	PROPN
ejde-888	305	13	(	(	PUNCT
ejde-888	305	14	−xj+2	−xj+2	PROPN
ejde-888	305	15	+	+	CCONJ
ejde-888	305	16	y3j+2	y3j+2	PROPN
ejde-888	305	17	)	)	PUNCT
ejde-888	305	18	,	,	PUNCT
ejde-888	305	19	x1	x1	PROPN
ejde-888	305	20	=	=	SYM
ejde-888	305	21	0.1	0.1	NUM
ejde-888	305	22	,	,	PUNCT
ejde-888	305	23	yn+1	yn+1	PROPN
ejde-888	305	24	=	=	PUNCT
ejde-888	305	25	γ(n+	γ(n+	X
ejde-888	305	26	γ	γ	X
ejde-888	305	27	+	+	ADP
ejde-888	305	28	2	2	NUM
ejde-888	305	29	)	)	PUNCT
ejde-888	305	30	γ(n+	γ(n+	NOUN
ejde-888	306	1	3)γγ	3)γγ	NUM
ejde-888	306	2	y1	y1	NOUN
ejde-888	306	3	+	+	CCONJ
ejde-888	306	4	n∑	n∑	PROPN
ejde-888	306	5	j=0	j=0	PROPN
ejde-888	306	6	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	306	7	j	j	PROPN
ejde-888	306	8	+	+	CCONJ
ejde-888	306	9	ϑ	ϑ	X
ejde-888	306	10	)	)	PUNCT
ejde-888	306	11	γ(n−	γ(n−	PROPN
ejde-888	306	12	j	j	PROPN
ejde-888	307	1	+	+	PROPN
ejde-888	307	2	1)γϑ	1)γϑ	PROPN
ejde-888	307	3	(	(	PUNCT
ejde-888	307	4	−xj+2	−xj+2	PROPN
ejde-888	307	5	−	−	PROPN
ejde-888	307	6	yj+2	yj+2	NUM
ejde-888	307	7	)	)	PUNCT
ejde-888	307	8	,	,	PUNCT
ejde-888	307	9	y1	y1	NOUN
ejde-888	307	10	=	=	NUM
ejde-888	307	11	0.2	0.2	NUM
ejde-888	307	12	,	,	PUNCT
ejde-888	307	13	(	(	PUNCT
ejde-888	307	14	5.3	5.3	NUM
ejde-888	307	15	)	)	PUNCT
ejde-888	307	16	60	60	NUM
ejde-888	307	17	a.	a.	NOUN
ejde-888	307	18	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	307	19	,	,	PUNCT
ejde-888	307	20	s.	s.	PROPN
ejde-888	307	21	n.	n.	PROPN
ejde-888	307	22	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	307	23	,	,	PUNCT
ejde-888	307	24	a.	a.	NOUN
ejde-888	307	25	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	308	1	where	where	SCONJ
ejde-888	308	2	n	n	PRON
ejde-888	308	3	≥	≥	NOUN
ejde-888	308	4	1	1	NUM
ejde-888	308	5	.	.	NOUN
ejde-888	308	6	0	0	NUM
ejde-888	308	7	10	10	NUM
ejde-888	308	8	20	20	NUM
ejde-888	308	9	30	30	NUM
ejde-888	308	10	40	40	NUM
ejde-888	308	11	50	50	NUM
ejde-888	308	12	60	60	NUM
ejde-888	308	13	0	0	NUM
ejde-888	308	14	0.05	0.05	NUM
ejde-888	308	15	0.1	0.1	NUM
ejde-888	308	16	0.15	0.15	NUM
ejde-888	308	17	0.2	0.2	NUM
ejde-888	308	18	0.25	0.25	NUM
ejde-888	308	19	0.3	0.3	NUM
ejde-888	308	20	x	x	NOUN
ejde-888	308	21	,	,	PUNCT
ejde-888	308	22	y	y	PROPN
ejde-888	308	23	,	,	PUNCT
ejde-888	308	24	z	z	NOUN
ejde-888	308	25	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	308	26	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	308	27	for	for	ADP
ejde-888	308	28	=	=	NOUN
ejde-888	308	29	0.95	0.95	NUM
ejde-888	308	30	,	,	PUNCT
ejde-888	308	31	=	=	NOUN
ejde-888	308	32	0.90	0.90	NUM
ejde-888	308	33	,	,	PUNCT
ejde-888	308	34	=	=	NOUN
ejde-888	308	35	0.995	0.995	NUM
ejde-888	308	36	x	x	SYM
ejde-888	309	1	y	y	PROPN
ejde-888	309	2	z	z	PROPN
ejde-888	309	3	0	0	NUM
ejde-888	309	4	10	10	NUM
ejde-888	309	5	20	20	NUM
ejde-888	309	6	30	30	NUM
ejde-888	309	7	40	40	NUM
ejde-888	309	8	50	50	NUM
ejde-888	309	9	60	60	NUM
ejde-888	309	10	0	0	NUM
ejde-888	309	11	0.05	0.05	NUM
ejde-888	309	12	0.1	0.1	NUM
ejde-888	309	13	0.15	0.15	NUM
ejde-888	309	14	0.2	0.2	NUM
ejde-888	309	15	0.25	0.25	NUM
ejde-888	309	16	0.3	0.3	NUM
ejde-888	309	17	x	x	NOUN
ejde-888	309	18	,	,	PUNCT
ejde-888	309	19	y	y	PROPN
ejde-888	309	20	,	,	PUNCT
ejde-888	309	21	z	z	NOUN
ejde-888	309	22	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	309	23	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	309	24	for	for	ADP
ejde-888	309	25	=	=	NOUN
ejde-888	309	26	0.92	0.92	NUM
ejde-888	309	27	,	,	PUNCT
ejde-888	309	28	=	=	NOUN
ejde-888	309	29	0.82	0.82	NUM
ejde-888	309	30	,	,	PUNCT
ejde-888	309	31	=	=	NOUN
ejde-888	309	32	0.98	0.98	NUM
ejde-888	309	33	x	x	SYM
ejde-888	309	34	y	y	PROPN
ejde-888	309	35	z	z	PROPN
ejde-888	309	36	(	(	PUNCT
ejde-888	309	37	a	a	NOUN
ejde-888	309	38	)	)	PUNCT
ejde-888	309	39	(	(	PUNCT
ejde-888	309	40	b	b	NOUN
ejde-888	309	41	)	)	PUNCT
ejde-888	309	42	0	0	NUM
ejde-888	310	1	10	10	NUM
ejde-888	310	2	20	20	NUM
ejde-888	310	3	30	30	NUM
ejde-888	310	4	40	40	NUM
ejde-888	310	5	50	50	NUM
ejde-888	310	6	60	60	NUM
ejde-888	310	7	0	0	NUM
ejde-888	310	8	0.05	0.05	NUM
ejde-888	310	9	0.1	0.1	NUM
ejde-888	310	10	0.15	0.15	NUM
ejde-888	310	11	0.2	0.2	NUM
ejde-888	310	12	0.25	0.25	NUM
ejde-888	310	13	0.3	0.3	NUM
ejde-888	310	14	x	x	NOUN
ejde-888	310	15	,	,	PUNCT
ejde-888	310	16	y	y	PROPN
ejde-888	310	17	,	,	PUNCT
ejde-888	310	18	z	z	NOUN
ejde-888	310	19	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	310	20	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	310	21	for	for	ADP
ejde-888	310	22	=	=	NOUN
ejde-888	310	23	0.9	0.9	NUM
ejde-888	310	24	,	,	PUNCT
ejde-888	310	25	=	=	NOUN
ejde-888	310	26	0.8	0.8	NUM
ejde-888	310	27	,	,	PUNCT
ejde-888	310	28	=	=	NOUN
ejde-888	310	29	0.98	0.98	NUM
ejde-888	310	30	x	x	SYM
ejde-888	310	31	y	y	PROPN
ejde-888	310	32	z	z	PROPN
ejde-888	310	33	0	0	NUM
ejde-888	310	34	10	10	NUM
ejde-888	310	35	20	20	NUM
ejde-888	310	36	30	30	NUM
ejde-888	310	37	40	40	NUM
ejde-888	310	38	50	50	NUM
ejde-888	310	39	60	60	NUM
ejde-888	310	40	-0.05	-0.05	NUM
ejde-888	310	41	0	0	NUM
ejde-888	310	42	0.05	0.05	NUM
ejde-888	310	43	0.1	0.1	NUM
ejde-888	310	44	0.15	0.15	NUM
ejde-888	310	45	0.2	0.2	NUM
ejde-888	310	46	0.25	0.25	NUM
ejde-888	310	47	0.3	0.3	NUM
ejde-888	310	48	x	x	NOUN
ejde-888	310	49	,	,	PUNCT
ejde-888	310	50	y	y	PROPN
ejde-888	310	51	,	,	PUNCT
ejde-888	310	52	z	z	NOUN
ejde-888	310	53	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	310	54	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	310	55	for	for	ADP
ejde-888	310	56	=	=	NOUN
ejde-888	310	57	0.88	0.88	NUM
ejde-888	310	58	,	,	PUNCT
ejde-888	310	59	=	=	NOUN
ejde-888	310	60	0.78	0.78	NUM
ejde-888	310	61	,	,	PUNCT
ejde-888	310	62	=	=	NOUN
ejde-888	310	63	0.97	0.97	NUM
ejde-888	310	64	x	x	SYM
ejde-888	310	65	y	y	PROPN
ejde-888	310	66	z	z	PROPN
ejde-888	310	67	(	(	PUNCT
ejde-888	310	68	c	c	NOUN
ejde-888	310	69	)	)	PUNCT
ejde-888	310	70	(	(	PUNCT
ejde-888	310	71	d	d	NOUN
ejde-888	310	72	)	)	PUNCT
ejde-888	310	73	0	0	NUM
ejde-888	310	74	10	10	NUM
ejde-888	310	75	20	20	NUM
ejde-888	310	76	30	30	NUM
ejde-888	310	77	40	40	NUM
ejde-888	310	78	50	50	NUM
ejde-888	310	79	60	60	NUM
ejde-888	310	80	-0.1	-0.1	NOUN
ejde-888	310	81	-0.05	-0.05	NOUN
ejde-888	310	82	0	0	NUM
ejde-888	310	83	0.05	0.05	NUM
ejde-888	310	84	0.1	0.1	NUM
ejde-888	310	85	0.15	0.15	NUM
ejde-888	310	86	0.2	0.2	NUM
ejde-888	310	87	x	x	PUNCT
ejde-888	310	88	,	,	PUNCT
ejde-888	310	89	y	y	PROPN
ejde-888	310	90	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	310	91	behaviour	behaviour	NOUN
ejde-888	310	92	for	for	ADP
ejde-888	310	93	=	=	NOUN
ejde-888	310	94	0.95	0.95	NUM
ejde-888	310	95	,	,	PUNCT
ejde-888	310	96	=	=	NOUN
ejde-888	310	97	0.75	0.75	NUM
ejde-888	310	98	,	,	PUNCT
ejde-888	310	99	=	=	NOUN
ejde-888	310	100	0.99	0.99	NUM
ejde-888	310	101	x	x	SYM
ejde-888	310	102	y	y	PROPN
ejde-888	310	103	(	(	PUNCT
ejde-888	310	104	e	e	NOUN
ejde-888	310	105	)	)	PUNCT
ejde-888	310	106	figure	figure	NOUN
ejde-888	310	107	1	1	NUM
ejde-888	310	108	.	.	PUNCT
ejde-888	311	1	iasymptotic	iasymptotic	ADJ
ejde-888	311	2	behavior	behavior	NOUN
ejde-888	311	3	of	of	ADP
ejde-888	311	4	solutions	solution	NOUN
ejde-888	311	5	for	for	ADP
ejde-888	311	6	various	various	ADJ
ejde-888	311	7	values	value	NOUN
ejde-888	311	8	of	of	ADP
ejde-888	311	9	parameters	parameter	NOUN
ejde-888	311	10	ϑ	ϑ	ADP
ejde-888	311	11	,	,	PUNCT
ejde-888	311	12	ρ	ρ	PROPN
ejde-888	311	13	,	,	PUNCT
ejde-888	311	14	and	and	CCONJ
ejde-888	311	15	γ	γ	PROPN
ejde-888	311	16	.	.	PROPN
ejde-888	311	17	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-888	311	18	.	.	PUNCT
ejde-888	312	1	we	we	PRON
ejde-888	312	2	examined	examine	VERB
ejde-888	312	3	the	the	DET
ejde-888	312	4	existence	existence	NOUN
ejde-888	312	5	and	and	CCONJ
ejde-888	312	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-888	312	7	theorem	theorem	VERB
ejde-888	312	8	,	,	PUNCT
ejde-888	312	9	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	312	10	stability	stability	NOUN
ejde-888	312	11	of	of	ADP
ejde-888	312	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	312	13	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	312	14	difference	difference	NOUN
ejde-888	312	15	equations	equation	NOUN
ejde-888	312	16	.	.	PUNCT
ejde-888	313	1	since	since	SCONJ
ejde-888	313	2	the	the	DET
ejde-888	313	3	exact	exact	ADJ
ejde-888	313	4	solution	solution	NOUN
ejde-888	313	5	is	be	AUX
ejde-888	313	6	not	not	PART
ejde-888	313	7	known	know	VERB
ejde-888	313	8	,	,	PUNCT
ejde-888	313	9	we	we	PRON
ejde-888	313	10	are	be	AUX
ejde-888	313	11	unable	unable	ADJ
ejde-888	313	12	to	to	PART
ejde-888	313	13	determine	determine	VERB
ejde-888	313	14	the	the	DET
ejde-888	313	15	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	313	16	stability	stability	NOUN
ejde-888	313	17	through	through	ADP
ejde-888	313	18	the	the	DET
ejde-888	313	19	traditional	traditional	ADJ
ejde-888	313	20	approach	approach	NOUN
ejde-888	313	21	of	of	ADP
ejde-888	313	22	utilizing	utilize	VERB
ejde-888	313	23	solution	solution	NOUN
ejde-888	313	24	properties	property	NOUN
ejde-888	313	25	.	.	PUNCT
ejde-888	314	1	this	this	DET
ejde-888	314	2	study	study	NOUN
ejde-888	314	3	utilized	utilize	VERB
ejde-888	314	4	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	314	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	314	6	of	of	ADP
ejde-888	314	7	a	a	DET
ejde-888	314	8	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	314	9	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	314	10	difference	difference	NOUN
ejde-888	314	11	equation	equation	NOUN
ejde-888	314	12	.	.	PUNCT
ejde-888	315	1	we	we	PRON
ejde-888	315	2	established	establish	VERB
ejde-888	315	3	the	the	DET
ejde-888	315	4	positivity	positivity	NOUN
ejde-888	315	5	of	of	ADP
ejde-888	315	6	the	the	DET
ejde-888	315	7	solution	solution	NOUN
ejde-888	315	8	and	and	CCONJ
ejde-888	315	9	formulated	formulate	VERB
ejde-888	315	10	a	a	DET
ejde-888	315	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	315	12	scalar	scalar	ADJ
ejde-888	315	13	difference	difference	NOUN
ejde-888	315	14	equation	equation	NOUN
ejde-888	315	15	.	.	PUNCT
ejde-888	316	1	additionally	additionally	ADV
ejde-888	316	2	,	,	PUNCT
ejde-888	316	3	ejde-2024	ejde-2024	ADJ
ejde-888	316	4	/	/	SYM
ejde-888	316	5	conf/27	conf/27	NOUN
ejde-888	316	6	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	316	7	stability	stability	NOUN
ejde-888	316	8	61	61	NUM
ejde-888	316	9	we	we	PRON
ejde-888	316	10	provided	provide	VERB
ejde-888	316	11	a	a	DET
ejde-888	316	12	proof	proof	NOUN
ejde-888	316	13	of	of	ADP
ejde-888	316	14	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	316	15	stability	stability	NOUN
ejde-888	316	16	using	use	VERB
ejde-888	316	17	the	the	DET
ejde-888	316	18	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	316	19	direct	direct	ADJ
ejde-888	316	20	method	method	NOUN
ejde-888	316	21	.	.	PUNCT
ejde-888	317	1	two	two	NUM
ejde-888	317	2	numerical	numerical	ADJ
ejde-888	317	3	examples	example	NOUN
ejde-888	317	4	with	with	ADP
ejde-888	317	5	simulation	simulation	NOUN
ejde-888	317	6	results	result	NOUN
ejde-888	317	7	are	be	AUX
ejde-888	317	8	discussed	discuss	VERB
ejde-888	317	9	,	,	PUNCT
ejde-888	317	10	employing	employ	VERB
ejde-888	317	11	both	both	CCONJ
ejde-888	317	12	the	the	DET
ejde-888	317	13	well	well	ADV
ejde-888	317	14	-	-	PUNCT
ejde-888	317	15	known	know	VERB
ejde-888	317	16	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	317	17	direct	direct	ADJ
ejde-888	317	18	method	method	NOUN
ejde-888	317	19	and	and	CCONJ
ejde-888	317	20	the	the	DET
ejde-888	317	21	newton	newton	PROPN
ejde-888	317	22	iteration	iteration	PROPN
ejde-888	317	23	method	method	NOUN
ejde-888	317	24	.	.	PUNCT
ejde-888	318	1	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-888	318	2	.	.	PUNCT
ejde-888	319	1	the	the	DET
ejde-888	319	2	authors	author	NOUN
ejde-888	319	3	gratefully	gratefully	ADV
ejde-888	319	4	acknowledge	acknowledge	VERB
ejde-888	319	5	the	the	DET
ejde-888	319	6	support	support	NOUN
ejde-888	319	7	from	from	ADP
ejde-888	319	8	the	the	DET
ejde-888	319	9	science	science	NOUN
ejde-888	319	10	and	and	CCONJ
ejde-888	319	11	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	319	12	research	research	NOUN
ejde-888	319	13	board	board	NOUN
ejde-888	319	14	(	(	PUNCT
ejde-888	319	15	serb	serb	PROPN
ejde-888	319	16	)	)	PUNCT
ejde-888	319	17	through	through	ADP
ejde-888	319	18	project	project	NOUN
ejde-888	319	19	grant	grant	NOUN
ejde-888	319	20	number	number	NOUN
ejde-888	319	21	mtr/2022/00412	mtr/2022/00412	NOUN
ejde-888	319	22	.	.	PUNCT
ejde-888	320	1	the	the	DET
ejde-888	320	2	invaluable	invaluable	ADJ
ejde-888	320	3	financial	financial	ADJ
ejde-888	320	4	assistance	assistance	NOUN
ejde-888	320	5	provided	provide	VERB
ejde-888	320	6	by	by	ADP
ejde-888	320	7	serb	serb	PROPN
ejde-888	320	8	has	have	AUX
ejde-888	320	9	been	be	AUX
ejde-888	320	10	instrumental	instrumental	ADJ
ejde-888	320	11	in	in	ADP
ejde-888	320	12	the	the	DET
ejde-888	320	13	successful	successful	ADJ
ejde-888	320	14	completion	completion	NOUN
ejde-888	320	15	of	of	ADP
ejde-888	320	16	this	this	DET
ejde-888	320	17	work	work	NOUN
ejde-888	320	18	.	.	PUNCT
ejde-888	321	1	references	reference	NOUN
ejde-888	321	2	[	[	X
ejde-888	321	3	1	1	NUM
ejde-888	321	4	]	]	PUNCT
ejde-888	321	5	g.	g.	PROPN
ejde-888	321	6	a.	a.	PROPN
ejde-888	321	7	anastassiou	anastassiou	PROPN
ejde-888	321	8	;	;	PUNCT
ejde-888	321	9	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	321	10	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	321	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	321	12	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	321	13	and	and	CCONJ
ejde-888	321	14	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	321	15	inequalities	inequality	NOUN
ejde-888	321	16	.	.	PUNCT
ejde-888	322	1	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-888	322	2	and	and	CCONJ
ejde-888	322	3	computer	computer	NOUN
ejde-888	322	4	modelling	modelling	NOUN
ejde-888	322	5	.	.	PUNCT
ejde-888	323	1	,	,	PUNCT
ejde-888	323	2	51	51	NUM
ejde-888	323	3	(	(	PUNCT
ejde-888	323	4	5	5	NUM
ejde-888	323	5	-	-	SYM
ejde-888	323	6	6	6	NUM
ejde-888	323	7	)	)	PUNCT
ejde-888	323	8	,	,	PUNCT
ejde-888	323	9	(	(	PUNCT
ejde-888	323	10	2010	2010	NUM
ejde-888	323	11	)	)	PUNCT
ejde-888	323	12	562	562	NUM
ejde-888	323	13	-	-	SYM
ejde-888	323	14	571	571	NUM
ejde-888	323	15	.	.	PUNCT
ejde-888	324	1	[	[	X
ejde-888	324	2	2	2	X
ejde-888	324	3	]	]	X
ejde-888	324	4	d.	d.	PROPN
ejde-888	324	5	r.	r.	PROPN
ejde-888	324	6	anderson	anderson	PROPN
ejde-888	324	7	,	,	PUNCT
ejde-888	324	8	m.	m.	PROPN
ejde-888	324	9	onitsuka	onitsuka	PROPN
ejde-888	324	10	;	;	PUNCT
ejde-888	324	11	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-888	324	12	stability	stability	NOUN
ejde-888	324	13	for	for	ADP
ejde-888	324	14	the	the	DET
ejde-888	324	15	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	324	16	diamond	diamond	NOUN
ejde-888	324	17	-	-	PUNCT
ejde-888	324	18	alpha	alpha	NOUN
ejde-888	324	19	operator	operator	NOUN
ejde-888	324	20	.	.	PUNCT
ejde-888	325	1	bulletin	bulletin	NOUN
ejde-888	325	2	of	of	ADP
ejde-888	325	3	the	the	DET
ejde-888	325	4	malaysian	malaysian	PROPN
ejde-888	325	5	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-888	325	6	sciences	sciences	PROPN
ejde-888	325	7	society	society	NOUN
ejde-888	325	8	.	.	PUNCT
ejde-888	325	9	,	,	PUNCT
ejde-888	325	10	46(1	46(1	X
ejde-888	325	11	)	)	PUNCT
ejde-888	325	12	(	(	PUNCT
ejde-888	325	13	2023	2023	NUM
ejde-888	325	14	)	)	PUNCT
ejde-888	325	15	,	,	PUNCT
ejde-888	325	16	15	15	NUM
ejde-888	325	17	.	.	PUNCT
ejde-888	326	1	[	[	X
ejde-888	326	2	3	3	X
ejde-888	326	3	]	]	X
ejde-888	326	4	f.	f.	PROPN
ejde-888	326	5	m.	m.	PROPN
ejde-888	326	6	atici	atici	PROPN
ejde-888	326	7	,	,	PUNCT
ejde-888	326	8	p.	p.	NOUN
ejde-888	326	9	eloe	eloe	NOUN
ejde-888	326	10	;	;	PUNCT
ejde-888	326	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	326	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	326	13	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	326	14	with	with	ADP
ejde-888	326	15	the	the	DET
ejde-888	326	16	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	326	17	operator	operator	NOUN
ejde-888	326	18	.	.	PUNCT
ejde-888	327	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-888	327	2	journal	journal	NOUN
ejde-888	327	3	of	of	ADP
ejde-888	327	4	qualitative	qualitative	ADJ
ejde-888	327	5	theory	theory	NOUN
ejde-888	327	6	of	of	ADP
ejde-888	327	7	differential	differential	ADJ
ejde-888	327	8	equations	equation	NOUN
ejde-888	327	9	,	,	PUNCT
ejde-888	327	10	(	(	PUNCT
ejde-888	327	11	2009	2009	NUM
ejde-888	327	12	)	)	PUNCT
ejde-888	327	13	,	,	PUNCT
ejde-888	327	14	1	1	NUM
ejde-888	327	15	-	-	SYM
ejde-888	327	16	12	12	NUM
ejde-888	327	17	.	.	PUNCT
ejde-888	328	1	[	[	X
ejde-888	328	2	4	4	NUM
ejde-888	328	3	]	]	X
ejde-888	328	4	f.	f.	PROPN
ejde-888	328	5	m.	m.	PROPN
ejde-888	328	6	atici	atici	PROPN
ejde-888	328	7	,	,	PUNCT
ejde-888	328	8	p.	p.	PROPN
ejde-888	328	9	w.	w.	PROPN
ejde-888	328	10	eloe	eloe	PROPN
ejde-888	328	11	;	;	PUNCT
ejde-888	328	12	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-888	328	13	’s	’s	PART
ejde-888	328	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-888	328	15	on	on	ADP
ejde-888	328	16	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	328	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	328	18	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	328	19	.	.	PUNCT
ejde-888	329	1	computers	computer	NOUN
ejde-888	329	2	and	and	CCONJ
ejde-888	329	3	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	329	4	with	with	ADP
ejde-888	329	5	applications	application	NOUN
ejde-888	329	6	.	.	PUNCT
ejde-888	329	7	,	,	PUNCT
ejde-888	329	8	64	64	NUM
ejde-888	329	9	(	(	PUNCT
ejde-888	329	10	10	10	NUM
ejde-888	329	11	)	)	PUNCT
ejde-888	329	12	(	(	PUNCT
ejde-888	329	13	2012	2012	NUM
ejde-888	329	14	)	)	PUNCT
ejde-888	329	15	,	,	PUNCT
ejde-888	329	16	3193	3193	NUM
ejde-888	329	17	-	-	SYM
ejde-888	329	18	3200	3200	NUM
ejde-888	329	19	.	.	PUNCT
ejde-888	330	1	[	[	X
ejde-888	330	2	5	5	X
ejde-888	330	3	]	]	X
ejde-888	330	4	d.	d.	PROPN
ejde-888	330	5	baleanu	baleanu	PROPN
ejde-888	330	6	,	,	PUNCT
ejde-888	330	7	g.	g.	PROPN
ejde-888	330	8	c.	c.	PROPN
ejde-888	330	9	wu	wu	PROPN
ejde-888	330	10	,	,	PUNCT
ejde-888	330	11	y.	y.	PROPN
ejde-888	330	12	r.	r.	PROPN
ejde-888	330	13	bai	bai	PROPN
ejde-888	330	14	,	,	PUNCT
ejde-888	330	15	f.	f.	PROPN
ejde-888	330	16	l.	l.	PROPN
ejde-888	330	17	chen	chen	PROPN
ejde-888	330	18	;	;	PUNCT
ejde-888	330	19	stability	stability	NOUN
ejde-888	330	20	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	330	21	of	of	ADP
ejde-888	330	22	caputo	caputo	NOUN
ejde-888	330	23	-	-	PUNCT
ejde-888	330	24	like	like	ADJ
ejde-888	330	25	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	330	26	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	330	27	systems	system	NOUN
ejde-888	330	28	.	.	PUNCT
ejde-888	331	1	communications	communication	NOUN
ejde-888	331	2	in	in	ADP
ejde-888	331	3	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	331	4	science	science	NOUN
ejde-888	331	5	and	and	CCONJ
ejde-888	331	6	numerical	numerical	PROPN
ejde-888	331	7	simulation	simulation	PROPN
ejde-888	331	8	,	,	PUNCT
ejde-888	331	9	48	48	NUM
ejde-888	331	10	(	(	PUNCT
ejde-888	331	11	2017	2017	NUM
ejde-888	331	12	)	)	PUNCT
ejde-888	331	13	,	,	PUNCT
ejde-888	331	14	520	520	NUM
ejde-888	331	15	-	-	SYM
ejde-888	331	16	530	530	NUM
ejde-888	331	17	.	.	PUNCT
ejde-888	332	1	[	[	X
ejde-888	332	2	6	6	NUM
ejde-888	332	3	]	]	PUNCT
ejde-888	332	4	m.	m.	NOUN
ejde-888	332	5	bohner	bohner	NOUN
ejde-888	332	6	,	,	PUNCT
ejde-888	332	7	a.	a.	NOUN
ejde-888	332	8	peterson	peterson	PROPN
ejde-888	332	9	;	;	PUNCT
ejde-888	332	10	dynamic	dynamic	ADJ
ejde-888	332	11	equations	equation	NOUN
ejde-888	332	12	on	on	ADP
ejde-888	332	13	time	time	NOUN
ejde-888	332	14	scales	scale	NOUN
ejde-888	332	15	:	:	PUNCT
ejde-888	332	16	an	an	DET
ejde-888	332	17	introduction	introduction	NOUN
ejde-888	332	18	with	with	ADP
ejde-888	332	19	applications	application	NOUN
ejde-888	332	20	.	.	PUNCT
ejde-888	333	1	springer	springer	NOUN
ejde-888	333	2	science	science	PROPN
ejde-888	333	3	&	&	CCONJ
ejde-888	333	4	business	business	NOUN
ejde-888	333	5	media	medium	NOUN
ejde-888	333	6	,	,	PUNCT
ejde-888	333	7	2001	2001	NUM
ejde-888	333	8	.	.	PUNCT
ejde-888	334	1	[	[	X
ejde-888	334	2	7	7	X
ejde-888	334	3	]	]	X
ejde-888	334	4	c.	c.	PROPN
ejde-888	334	5	drapaca	drapaca	PROPN
ejde-888	334	6	;	;	PUNCT
ejde-888	334	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	334	8	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	334	9	in	in	ADP
ejde-888	334	10	neuronal	neuronal	ADJ
ejde-888	334	11	electromechanics	electromechanic	NOUN
ejde-888	334	12	.	.	PUNCT
ejde-888	335	1	journal	journal	PROPN
ejde-888	335	2	of	of	ADP
ejde-888	335	3	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-888	335	4	of	of	ADP
ejde-888	335	5	materials	material	NOUN
ejde-888	335	6	and	and	CCONJ
ejde-888	335	7	structures	structure	NOUN
ejde-888	335	8	,	,	PUNCT
ejde-888	335	9	12(1	12(1	NUM
ejde-888	335	10	)	)	PUNCT
ejde-888	335	11	(	(	PUNCT
ejde-888	335	12	2016	2016	NUM
ejde-888	335	13	)	)	PUNCT
ejde-888	335	14	,	,	PUNCT
ejde-888	335	15	35	35	NUM
ejde-888	335	16	-	-	SYM
ejde-888	335	17	55	55	NUM
ejde-888	335	18	.	.	PUNCT
ejde-888	336	1	[	[	X
ejde-888	336	2	8	8	NUM
ejde-888	336	3	]	]	PUNCT
ejde-888	336	4	m.	m.	NOUN
ejde-888	336	5	a.	a.	PROPN
ejde-888	336	6	duarte	duarte	PROPN
ejde-888	336	7	-	-	PUNCT
ejde-888	336	8	mermoud	mermoud	PROPN
ejde-888	336	9	,	,	PUNCT
ejde-888	336	10	n.	n.	PROPN
ejde-888	336	11	aguila	aguila	PROPN
ejde-888	336	12	-	-	PUNCT
ejde-888	336	13	camacho	camacho	PROPN
ejde-888	336	14	,	,	PUNCT
ejde-888	336	15	j.	j.	PROPN
ejde-888	336	16	a.	a.	PROPN
ejde-888	336	17	gallegos	gallegos	PROPN
ejde-888	336	18	,	,	PUNCT
ejde-888	336	19	r.	r.	PROPN
ejde-888	336	20	castro	castro	PROPN
ejde-888	336	21	-	-	PUNCT
ejde-888	336	22	linares	linare	NOUN
ejde-888	336	23	;	;	PUNCT
ejde-888	336	24	using	use	VERB
ejde-888	336	25	general	general	ADJ
ejde-888	336	26	quadratic	quadratic	ADJ
ejde-888	336	27	lyapunov	lyapunov	NOUN
ejde-888	336	28	functions	function	NOUN
ejde-888	336	29	to	to	PART
ejde-888	336	30	prove	prove	VERB
ejde-888	336	31	lyapunov	lyapunov	ADJ
ejde-888	336	32	uniform	uniform	ADJ
ejde-888	336	33	stability	stability	NOUN
ejde-888	336	34	for	for	ADP
ejde-888	336	35	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	336	36	order	order	NOUN
ejde-888	336	37	systems	system	NOUN
ejde-888	336	38	.	.	PUNCT
ejde-888	337	1	communications	communication	NOUN
ejde-888	337	2	in	in	ADP
ejde-888	337	3	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	337	4	science	science	NOUN
ejde-888	337	5	and	and	CCONJ
ejde-888	337	6	numerical	numerical	PROPN
ejde-888	337	7	simulation	simulation	PROPN
ejde-888	337	8	.	.	PUNCT
ejde-888	337	9	,	,	PUNCT
ejde-888	337	10	22(1	22(1	NUM
ejde-888	337	11	-	-	SYM
ejde-888	337	12	3	3	NUM
ejde-888	337	13	)	)	PUNCT
ejde-888	337	14	(	(	PUNCT
ejde-888	337	15	2015	2015	NUM
ejde-888	337	16	)	)	PUNCT
ejde-888	337	17	,	,	PUNCT
ejde-888	337	18	650	650	NUM
ejde-888	337	19	-	-	SYM
ejde-888	337	20	659	659	NUM
ejde-888	337	21	.	.	PUNCT
ejde-888	338	1	[	[	X
ejde-888	338	2	9	9	NUM
ejde-888	338	3	]	]	X
ejde-888	338	4	c.	c.	PROPN
ejde-888	338	5	goodrich	goodrich	PROPN
ejde-888	338	6	,	,	PUNCT
ejde-888	338	7	a.	a.	PROPN
ejde-888	338	8	c.	c.	PROPN
ejde-888	338	9	peterson	peterson	PROPN
ejde-888	338	10	;	;	PUNCT
ejde-888	338	11	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	338	12	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	338	13	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	338	14	.	.	PUNCT
ejde-888	339	1	springer	springer	NOUN
ejde-888	339	2	science	science	PROPN
ejde-888	339	3	&	&	CCONJ
ejde-888	339	4	business	business	NOUN
ejde-888	339	5	media	medium	NOUN
ejde-888	339	6	,	,	PUNCT
ejde-888	339	7	2015	2015	NUM
ejde-888	339	8	.	.	PUNCT
ejde-888	340	1	[	[	X
ejde-888	340	2	10	10	NUM
ejde-888	340	3	]	]	PUNCT
ejde-888	340	4	s.	s.	PROPN
ejde-888	340	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	340	6	haider	haider	PROPN
ejde-888	340	7	,	,	PUNCT
ejde-888	340	8	t.	t.	NOUN
ejde-888	340	9	abdeljawad	abdeljawad	NOUN
ejde-888	340	10	;	;	PUNCT
ejde-888	340	11	on	on	ADP
ejde-888	340	12	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	340	13	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	340	14	difference	difference	NOUN
ejde-888	340	15	operator	operator	NOUN
ejde-888	340	16	.	.	PUNCT
ejde-888	341	1	advances	advance	NOUN
ejde-888	341	2	in	in	ADP
ejde-888	341	3	difference	difference	NOUN
ejde-888	341	4	equations	equation	NOUN
ejde-888	341	5	,	,	PUNCT
ejde-888	341	6	(	(	PUNCT
ejde-888	341	7	2020)(1	2020)(1	NOUN
ejde-888	341	8	)	)	PUNCT
ejde-888	341	9	,	,	PUNCT
ejde-888	341	10	1	1	NUM
ejde-888	341	11	-	-	SYM
ejde-888	341	12	20	20	NUM
ejde-888	341	13	.	.	PUNCT
ejde-888	342	1	[	[	X
ejde-888	342	2	11	11	NUM
ejde-888	342	3	]	]	PUNCT
ejde-888	342	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	342	5	w.	w.	PROPN
ejde-888	342	6	he	he	PROPN
ejde-888	342	7	,	,	PUNCT
ejde-888	342	8	y.	y.	PROPN
ejde-888	342	9	zhou	zhou	PROPN
ejde-888	342	10	;	;	PUNCT
ejde-888	342	11	stability	stability	NOUN
ejde-888	342	12	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	342	13	for	for	ADP
ejde-888	342	14	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	342	15	time	time	NOUN
ejde-888	342	16	abstract	abstract	ADJ
ejde-888	342	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	342	18	differential	differential	ADJ
ejde-888	342	19	equations	equation	NOUN
ejde-888	342	20	.	.	PUNCT
ejde-888	343	1	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	343	2	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	343	3	and	and	CCONJ
ejde-888	343	4	applied	apply	VERB
ejde-888	343	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	343	6	,	,	PUNCT
ejde-888	343	7	24(1	24(1	NUM
ejde-888	343	8	)	)	PUNCT
ejde-888	343	9	(	(	PUNCT
ejde-888	343	10	2021	2021	NUM
ejde-888	343	11	)	)	PUNCT
ejde-888	343	12	,	,	PUNCT
ejde-888	343	13	307	307	NUM
ejde-888	343	14	-	-	SYM
ejde-888	343	15	323	323	NUM
ejde-888	343	16	.	.	PUNCT
ejde-888	344	1	[	[	X
ejde-888	344	2	12	12	NUM
ejde-888	344	3	]	]	PUNCT
ejde-888	344	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	344	5	hein	hein	PROPN
ejde-888	344	6	,	,	PUNCT
ejde-888	344	7	z.	z.	PROPN
ejde-888	344	8	mccarthy	mccarthy	PROPN
ejde-888	344	9	,	,	PUNCT
ejde-888	344	10	n.	n.	NOUN
ejde-888	344	11	gaswick	gaswick	PROPN
ejde-888	344	12	,	,	PUNCT
ejde-888	344	13	b.	b.	PROPN
ejde-888	344	14	mckain	mckain	PROPN
ejde-888	344	15	,	,	PUNCT
ejde-888	344	16	k.	k.	PROPN
ejde-888	344	17	speer	speer	PROPN
ejde-888	344	18	;	;	PUNCT
ejde-888	344	19	laplace	laplace	NOUN
ejde-888	344	20	transforms	transform	VERB
ejde-888	344	21	for	for	ADP
ejde-888	344	22	the	the	DET
ejde-888	344	23	nabladifference	nabladifference	NOUN
ejde-888	344	24	operator	operator	NOUN
ejde-888	344	25	.	.	PUNCT
ejde-888	345	1	pan	pan	PROPN
ejde-888	345	2	american	american	PROPN
ejde-888	345	3	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-888	345	4	journal	journal	PROPN
ejde-888	345	5	.	.	PUNCT
ejde-888	345	6	,	,	PUNCT
ejde-888	345	7	21(3	21(3	NUM
ejde-888	345	8	)	)	PUNCT
ejde-888	345	9	(	(	PUNCT
ejde-888	345	10	2011	2011	NUM
ejde-888	345	11	)	)	PUNCT
ejde-888	345	12	,	,	PUNCT
ejde-888	345	13	79	79	NUM
ejde-888	345	14	-	-	SYM
ejde-888	345	15	96	96	NUM
ejde-888	345	16	.	.	PUNCT
ejde-888	346	1	[	[	X
ejde-888	346	2	13	13	NUM
ejde-888	346	3	]	]	PUNCT
ejde-888	346	4	a.	a.	NOUN
ejde-888	346	5	hioual	hioual	NOUN
ejde-888	346	6	,	,	PUNCT
ejde-888	346	7	a.	a.	NOUN
ejde-888	346	8	ouannas	ouannas	PROPN
ejde-888	346	9	,	,	PUNCT
ejde-888	346	10	g.	g.	PROPN
ejde-888	346	11	grassi	grassi	PROPN
ejde-888	346	12	,	,	PUNCT
ejde-888	346	13	t.e	t.e	PROPN
ejde-888	346	14	.	.	PROPN
ejde-888	346	15	oussaeif	oussaeif	PROPN
ejde-888	346	16	;	;	PUNCT
ejde-888	346	17	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	346	18	nabla	nabla	ADJ
ejde-888	346	19	variable	variable	ADJ
ejde-888	346	20	-	-	PUNCT
ejde-888	346	21	order	order	NOUN
ejde-888	346	22	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	346	23	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	346	24	systems	system	NOUN
ejde-888	346	25	:	:	PUNCT
ejde-888	346	26	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-888	346	27	stability	stability	NOUN
ejde-888	346	28	and	and	CCONJ
ejde-888	346	29	application	application	NOUN
ejde-888	346	30	to	to	ADP
ejde-888	346	31	neural	neural	ADJ
ejde-888	346	32	networks	network	NOUN
ejde-888	346	33	.	.	PUNCT
ejde-888	347	1	journal	journal	NOUN
ejde-888	347	2	of	of	ADP
ejde-888	347	3	computational	computational	ADJ
ejde-888	347	4	and	and	CCONJ
ejde-888	347	5	applied	applied	ADJ
ejde-888	347	6	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	347	7	.	.	PUNCT
ejde-888	347	8	,	,	PUNCT
ejde-888	347	9	423	423	NUM
ejde-888	347	10	(	(	PUNCT
ejde-888	347	11	2023	2023	NUM
ejde-888	347	12	)	)	PUNCT
ejde-888	347	13	,	,	PUNCT
ejde-888	347	14	114939	114939	NUM
ejde-888	347	15	.	.	PUNCT
ejde-888	348	1	[	[	X
ejde-888	348	2	14	14	NUM
ejde-888	348	3	]	]	X
ejde-888	348	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	348	5	m.	m.	PROPN
ejde-888	348	6	jonnalagadda	jonnalagadda	PROPN
ejde-888	348	7	,	,	PUNCT
ejde-888	348	8	n.	n.	PROPN
ejde-888	348	9	s.	s.	PROPN
ejde-888	348	10	gopal	gopal	PROPN
ejde-888	348	11	;	;	PUNCT
ejde-888	348	12	on	on	ADP
ejde-888	348	13	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	348	14	-	-	PUNCT
ejde-888	348	15	type	type	NOUN
ejde-888	348	16	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	348	17	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	348	18	differences	difference	NOUN
ejde-888	348	19	.	.	PUNCT
ejde-888	349	1	int	int	NOUN
ejde-888	349	2	.	.	PUNCT
ejde-888	350	1	j.	j.	PROPN
ejde-888	350	2	differ	differ	VERB
ejde-888	350	3	.	.	PUNCT
ejde-888	351	1	equ	equ	PROPN
ejde-888	351	2	.	.	PROPN
ejde-888	351	3	,	,	PUNCT
ejde-888	351	4	15(1	15(1	NUM
ejde-888	351	5	)	)	PUNCT
ejde-888	351	6	(	(	PUNCT
ejde-888	351	7	2020	2020	NUM
ejde-888	351	8	)	)	PUNCT
ejde-888	351	9	,	,	PUNCT
ejde-888	351	10	91	91	NUM
ejde-888	351	11	-	-	SYM
ejde-888	351	12	107	107	NUM
ejde-888	351	13	.	.	PUNCT
ejde-888	352	1	[	[	X
ejde-888	352	2	15	15	NUM
ejde-888	352	3	]	]	X
ejde-888	352	4	n.	n.	NOUN
ejde-888	352	5	laskin	laskin	PROPN
ejde-888	352	6	;	;	PUNCT
ejde-888	352	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	352	8	quantum	quantum	ADJ
ejde-888	352	9	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-888	352	10	and	and	CCONJ
ejde-888	352	11	l’vy	l’vy	NOUN
ejde-888	352	12	path	path	NOUN
ejde-888	352	13	integrals	integral	NOUN
ejde-888	352	14	.	.	PUNCT
ejde-888	353	1	physics	physics	NOUN
ejde-888	353	2	letters	letters	PROPN
ejde-888	353	3	a.	a.	PROPN
ejde-888	353	4	,	,	PUNCT
ejde-888	353	5	268(46)(2000	268(46)(2000	NUM
ejde-888	353	6	)	)	PUNCT
ejde-888	353	7	,	,	PUNCT
ejde-888	353	8	298	298	NUM
ejde-888	353	9	-	-	SYM
ejde-888	353	10	305	305	NUM
ejde-888	353	11	.	.	PUNCT
ejde-888	354	1	[	[	X
ejde-888	354	2	16	16	NUM
ejde-888	354	3	]	]	X
ejde-888	354	4	y.	y.	PROPN
ejde-888	354	5	li	li	PROPN
ejde-888	354	6	,	,	PUNCT
ejde-888	354	7	y.	y.	PROPN
ejde-888	354	8	chen	chen	PROPN
ejde-888	354	9	,	,	PUNCT
ejde-888	354	10	i.	i.	NOUN
ejde-888	354	11	podlubny	podlubny	PROPN
ejde-888	354	12	;	;	PUNCT
ejde-888	354	13	stability	stability	NOUN
ejde-888	354	14	of	of	ADP
ejde-888	354	15	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	354	16	-	-	PUNCT
ejde-888	354	17	order	order	NOUN
ejde-888	354	18	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	354	19	dynamic	dynamic	ADJ
ejde-888	354	20	systems	system	NOUN
ejde-888	354	21	:	:	PUNCT
ejde-888	354	22	lyapunov	lyapunov	NOUN
ejde-888	354	23	direct	direct	ADJ
ejde-888	354	24	method	method	NOUN
ejde-888	354	25	and	and	CCONJ
ejde-888	354	26	generalized	generalize	VERB
ejde-888	354	27	mittag	mittag	ADJ
ejde-888	354	28	-	-	PUNCT
ejde-888	354	29	leffler	leffler	NOUN
ejde-888	354	30	stability	stability	NOUN
ejde-888	354	31	.	.	PUNCT
ejde-888	355	1	computers	computer	NOUN
ejde-888	355	2	&	&	CCONJ
ejde-888	355	3	mathematics	mathematics	PROPN
ejde-888	355	4	with	with	ADP
ejde-888	355	5	applications	application	NOUN
ejde-888	355	6	.	.	PUNCT
ejde-888	355	7	,	,	PUNCT
ejde-888	355	8	59(5	59(5	NUM
ejde-888	355	9	)	)	PUNCT
ejde-888	355	10	(	(	PUNCT
ejde-888	355	11	2010	2010	NUM
ejde-888	355	12	)	)	PUNCT
ejde-888	355	13	,	,	PUNCT
ejde-888	355	14	1810	1810	NUM
ejde-888	355	15	-	-	SYM
ejde-888	355	16	1821	1821	NUM
ejde-888	355	17	.	.	PUNCT
ejde-888	356	1	[	[	X
ejde-888	356	2	17	17	NUM
ejde-888	356	3	]	]	PUNCT
ejde-888	356	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	356	5	t.	t.	PROPN
ejde-888	356	6	machado	machado	PROPN
ejde-888	356	7	,	,	PUNCT
ejde-888	356	8	v.	v.	PROPN
ejde-888	356	9	kiryakova	kiryakova	X
ejde-888	356	10	;	;	PUNCT
ejde-888	356	11	the	the	DET
ejde-888	356	12	chronicles	chronicle	NOUN
ejde-888	356	13	of	of	ADP
ejde-888	356	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	356	15	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	356	16	.	.	PUNCT
ejde-888	357	1	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	357	2	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	357	3	and	and	CCONJ
ejde-888	357	4	applied	apply	VERB
ejde-888	357	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	357	6	.	.	PUNCT
ejde-888	357	7	,	,	PUNCT
ejde-888	357	8	20(2	20(2	NUM
ejde-888	357	9	)	)	PUNCT
ejde-888	357	10	(	(	PUNCT
ejde-888	357	11	2017	2017	NUM
ejde-888	357	12	)	)	PUNCT
ejde-888	357	13	,	,	PUNCT
ejde-888	357	14	307	307	NUM
ejde-888	357	15	-	-	SYM
ejde-888	357	16	336	336	NUM
ejde-888	357	17	.	.	PUNCT
ejde-888	358	1	[	[	X
ejde-888	358	2	18	18	NUM
ejde-888	358	3	]	]	PUNCT
ejde-888	358	4	m.	m.	NOUN
ejde-888	358	5	fabrizio	fabrizio	PROPN
ejde-888	358	6	;	;	PUNCT
ejde-888	358	7	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	358	8	rheological	rheological	ADJ
ejde-888	358	9	models	model	NOUN
ejde-888	358	10	for	for	ADP
ejde-888	358	11	thermomechanical	thermomechanical	ADJ
ejde-888	358	12	systems	system	NOUN
ejde-888	358	13	:	:	PUNCT
ejde-888	358	14	dissipation	dissipation	NOUN
ejde-888	358	15	and	and	CCONJ
ejde-888	358	16	free	free	ADJ
ejde-888	358	17	energies	energy	NOUN
ejde-888	358	18	,	,	PUNCT
ejde-888	358	19	fract	fract	NOUN
ejde-888	358	20	.	.	PUNCT
ejde-888	359	1	calc	calc	PROPN
ejde-888	359	2	.	.	PUNCT
ejde-888	360	1	appl	appl	PROPN
ejde-888	360	2	.	.	PUNCT
ejde-888	361	1	anal	anal	PROPN
ejde-888	361	2	.	.	PROPN
ejde-888	361	3	,	,	PUNCT
ejde-888	361	4	17	17	NUM
ejde-888	361	5	(	(	PUNCT
ejde-888	361	6	2014	2014	NUM
ejde-888	361	7	)	)	PUNCT
ejde-888	361	8	,	,	PUNCT
ejde-888	361	9	206	206	NUM
ejde-888	361	10	-	-	SYM
ejde-888	361	11	223	223	NUM
ejde-888	361	12	.	.	PUNCT
ejde-888	362	1	[	[	X
ejde-888	362	2	19	19	NUM
ejde-888	362	3	]	]	X
ejde-888	362	4	r.	r.	PROPN
ejde-888	362	5	metzler	metzler	PROPN
ejde-888	362	6	,	,	PUNCT
ejde-888	362	7	j.	j.	PROPN
ejde-888	362	8	klafter	klafter	PROPN
ejde-888	362	9	;	;	PUNCT
ejde-888	362	10	the	the	DET
ejde-888	362	11	random	random	ADJ
ejde-888	362	12	walk	walk	NOUN
ejde-888	362	13	’s	’s	PART
ejde-888	362	14	guide	guide	NOUN
ejde-888	362	15	to	to	ADP
ejde-888	362	16	anomalous	anomalous	ADJ
ejde-888	362	17	diffusion	diffusion	NOUN
ejde-888	362	18	:	:	PUNCT
ejde-888	362	19	a	a	DET
ejde-888	362	20	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	362	21	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-888	362	22	approach	approach	NOUN
ejde-888	362	23	.	.	PUNCT
ejde-888	363	1	physics	physics	NOUN
ejde-888	363	2	reports	report	NOUN
ejde-888	363	3	,	,	PUNCT
ejde-888	363	4	339(1	339(1	NUM
ejde-888	363	5	)	)	PUNCT
ejde-888	363	6	(	(	PUNCT
ejde-888	363	7	2000	2000	NUM
ejde-888	363	8	)	)	PUNCT
ejde-888	363	9	,	,	PUNCT
ejde-888	363	10	1	1	NUM
ejde-888	363	11	-	-	SYM
ejde-888	363	12	77	77	NUM
ejde-888	363	13	.	.	PUNCT
ejde-888	364	1	[	[	X
ejde-888	364	2	20	20	NUM
ejde-888	364	3	]	]	PUNCT
ejde-888	364	4	k.	k.	PROPN
ejde-888	364	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	364	6	miller	miller	PROPN
ejde-888	364	7	,	,	PUNCT
ejde-888	364	8	b.	b.	PROPN
ejde-888	364	9	ross	ross	PROPN
ejde-888	364	10	;	;	PUNCT
ejde-888	364	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	364	12	difference	difference	NOUN
ejde-888	364	13	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	364	14	.	.	PUNCT
ejde-888	365	1	in	in	ADP
ejde-888	365	2	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-888	365	3	of	of	ADP
ejde-888	365	4	the	the	DET
ejde-888	365	5	international	international	ADJ
ejde-888	365	6	symposium	symposium	NOUN
ejde-888	365	7	on	on	ADP
ejde-888	365	8	univalent	univalent	ADJ
ejde-888	365	9	functions	function	NOUN
ejde-888	365	10	,	,	PUNCT
ejde-888	365	11	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	365	12	calculus	calculus	NOUN
ejde-888	365	13	and	and	CCONJ
ejde-888	365	14	their	their	PRON
ejde-888	365	15	applications	application	NOUN
ejde-888	365	16	.	.	PUNCT
ejde-888	365	17	,	,	PUNCT
ejde-888	365	18	(	(	PUNCT
ejde-888	365	19	1989	1989	NUM
ejde-888	365	20	)	)	PUNCT
ejde-888	365	21	(	(	PUNCT
ejde-888	365	22	may	may	AUX
ejde-888	365	23	)	)	PUNCT
ejde-888	365	24	,	,	PUNCT
ejde-888	365	25	139	139	NUM
ejde-888	365	26	-	-	SYM
ejde-888	365	27	152	152	NUM
ejde-888	365	28	.	.	PUNCT
ejde-888	366	1	62	62	NUM
ejde-888	366	2	a.	a.	NOUN
ejde-888	366	3	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	366	4	,	,	PUNCT
ejde-888	366	5	s.	s.	PROPN
ejde-888	366	6	n.	n.	PROPN
ejde-888	366	7	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	366	8	,	,	PUNCT
ejde-888	366	9	a.	a.	NOUN
ejde-888	366	10	shukla	shukla	NOUN
ejde-888	367	1	[	[	X
ejde-888	367	2	21	21	NUM
ejde-888	367	3	]	]	X
ejde-888	367	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	367	5	nagrath	nagrath	PROPN
ejde-888	367	6	,	,	PUNCT
ejde-888	367	7	m.	m.	NOUN
ejde-888	367	8	gopal	gopal	PROPN
ejde-888	367	9	;	;	PUNCT
ejde-888	367	10	control	control	NOUN
ejde-888	367	11	system	system	NOUN
ejde-888	367	12	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	367	13	,	,	PUNCT
ejde-888	367	14	fifth	fifth	ADJ
ejde-888	367	15	edition	edition	NOUN
ejde-888	367	16	.	.	PUNCT
ejde-888	367	17	,	,	PUNCT
ejde-888	367	18	2007	2007	NUM
ejde-888	367	19	.	.	PUNCT
ejde-888	368	1	[	[	X
ejde-888	368	2	22	22	NUM
ejde-888	368	3	]	]	X
ejde-888	368	4	c.	c.	PROPN
ejde-888	368	5	m.	m.	PROPN
ejde-888	368	6	pinto	pinto	PROPN
ejde-888	368	7	,	,	PUNCT
ejde-888	368	8	a.	a.	PROPN
ejde-888	368	9	r.	r.	PROPN
ejde-888	368	10	carvalho	carvalho	PROPN
ejde-888	368	11	;	;	PUNCT
ejde-888	368	12	the	the	DET
ejde-888	368	13	role	role	NOUN
ejde-888	368	14	of	of	ADP
ejde-888	368	15	synaptic	synaptic	ADJ
ejde-888	368	16	transmission	transmission	NOUN
ejde-888	368	17	in	in	ADP
ejde-888	368	18	a	a	DET
ejde-888	368	19	hiv	hiv	PROPN
ejde-888	368	20	model	model	NOUN
ejde-888	368	21	with	with	ADP
ejde-888	368	22	memory	memory	NOUN
ejde-888	368	23	.	.	PUNCT
ejde-888	369	1	applied	apply	VERB
ejde-888	369	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	369	3	and	and	CCONJ
ejde-888	369	4	computation	computation	NOUN
ejde-888	369	5	,	,	PUNCT
ejde-888	369	6	292	292	NUM
ejde-888	369	7	(	(	PUNCT
ejde-888	369	8	2017	2017	NUM
ejde-888	369	9	)	)	PUNCT
ejde-888	369	10	,	,	PUNCT
ejde-888	369	11	76	76	NUM
ejde-888	369	12	-	-	SYM
ejde-888	369	13	95	95	NUM
ejde-888	369	14	.	.	PUNCT
ejde-888	370	1	[	[	X
ejde-888	370	2	23	23	NUM
ejde-888	370	3	]	]	PUNCT
ejde-888	370	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	370	5	w.	w.	PROPN
ejde-888	370	6	rogers	rogers	PROPN
ejde-888	370	7	jr	jr	PROPN
ejde-888	370	8	,	,	PUNCT
ejde-888	370	9	q.	q.	PROPN
ejde-888	370	10	sheng	sheng	PROPN
ejde-888	370	11	;	;	PUNCT
ejde-888	370	12	notes	note	NOUN
ejde-888	370	13	on	on	ADP
ejde-888	370	14	the	the	DET
ejde-888	370	15	diamond	diamond	NOUN
ejde-888	370	16	-	-	PUNCT
ejde-888	370	17	a	a	DET
ejde-888	370	18	dynamic	dynamic	ADJ
ejde-888	370	19	derivative	derivative	NOUN
ejde-888	370	20	on	on	ADP
ejde-888	370	21	time	time	NOUN
ejde-888	370	22	scales	scale	NOUN
ejde-888	370	23	.	.	PUNCT
ejde-888	371	1	journal	journal	PROPN
ejde-888	371	2	of	of	ADP
ejde-888	371	3	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-888	371	4	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	371	5	and	and	CCONJ
ejde-888	371	6	applications	application	NOUN
ejde-888	371	7	.	.	PUNCT
ejde-888	371	8	,	,	PUNCT
ejde-888	371	9	326(1	326(1	NUM
ejde-888	371	10	)	)	PUNCT
ejde-888	371	11	(	(	PUNCT
ejde-888	371	12	2007	2007	NUM
ejde-888	371	13	)	)	PUNCT
ejde-888	371	14	,	,	PUNCT
ejde-888	371	15	228	228	NUM
ejde-888	371	16	-	-	SYM
ejde-888	371	17	241	241	NUM
ejde-888	371	18	.	.	PUNCT
ejde-888	372	1	[	[	X
ejde-888	372	2	24	24	NUM
ejde-888	372	3	]	]	PUNCT
ejde-888	372	4	q.	q.	PROPN
ejde-888	372	5	sheng	sheng	PROPN
ejde-888	372	6	,	,	PUNCT
ejde-888	372	7	m.	m.	PROPN
ejde-888	372	8	fadag	fadag	PROPN
ejde-888	372	9	,	,	PUNCT
ejde-888	372	10	j.	j.	PROPN
ejde-888	372	11	henderson	henderson	PROPN
ejde-888	372	12	,	,	PUNCT
ejde-888	372	13	j.	j.	PROPN
ejde-888	372	14	m.	m.	PROPN
ejde-888	372	15	davis	davis	PROPN
ejde-888	372	16	;	;	PUNCT
ejde-888	372	17	an	an	DET
ejde-888	372	18	exploration	exploration	NOUN
ejde-888	372	19	of	of	ADP
ejde-888	372	20	combined	combined	ADJ
ejde-888	372	21	dynamic	dynamic	ADJ
ejde-888	372	22	derivatives	derivative	NOUN
ejde-888	372	23	on	on	ADP
ejde-888	372	24	time	time	NOUN
ejde-888	372	25	scales	scale	NOUN
ejde-888	372	26	and	and	CCONJ
ejde-888	372	27	their	their	PRON
ejde-888	372	28	applications	application	NOUN
ejde-888	372	29	.	.	PUNCT
ejde-888	373	1	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	373	2	analysis	analysis	NOUN
ejde-888	373	3	:	:	PUNCT
ejde-888	373	4	real	real	ADJ
ejde-888	373	5	world	world	NOUN
ejde-888	373	6	applications	application	NOUN
ejde-888	373	7	,	,	PUNCT
ejde-888	373	8	7(3	7(3	NUM
ejde-888	373	9	)	)	PUNCT
ejde-888	373	10	(	(	PUNCT
ejde-888	373	11	2006	2006	NUM
ejde-888	373	12	)	)	PUNCT
ejde-888	373	13	,	,	PUNCT
ejde-888	373	14	395	395	NUM
ejde-888	373	15	-	-	SYM
ejde-888	373	16	413	413	NUM
ejde-888	373	17	.	.	PUNCT
ejde-888	374	1	[	[	X
ejde-888	374	2	25	25	NUM
ejde-888	374	3	]	]	PUNCT
ejde-888	374	4	j.	j.	PROPN
ejde-888	374	5	a.	a.	PROPN
ejde-888	374	6	tenreiro	tenreiro	PROPN
ejde-888	374	7	machado	machado	PROPN
ejde-888	374	8	,	,	PUNCT
ejde-888	374	9	a.	a.	PROPN
ejde-888	374	10	m.	m.	PROPN
ejde-888	374	11	lopes	lopes	PROPN
ejde-888	374	12	;	;	PUNCT
ejde-888	374	13	relative	relative	ADJ
ejde-888	374	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	374	15	dynamics	dynamic	NOUN
ejde-888	374	16	of	of	ADP
ejde-888	374	17	stock	stock	NOUN
ejde-888	374	18	markets	market	NOUN
ejde-888	374	19	.	.	PUNCT
ejde-888	375	1	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	375	2	dynamics	dynamics	PROPN
ejde-888	375	3	86(3	86(3	PROPN
ejde-888	375	4	)	)	PUNCT
ejde-888	375	5	(	(	PUNCT
ejde-888	375	6	2016	2016	NUM
ejde-888	375	7	)	)	PUNCT
ejde-888	375	8	,	,	PUNCT
ejde-888	375	9	1613	1613	NUM
ejde-888	375	10	-	-	SYM
ejde-888	375	11	1619	1619	NUM
ejde-888	375	12	.	.	PUNCT
ejde-888	376	1	[	[	X
ejde-888	376	2	26	26	NUM
ejde-888	376	3	]	]	PUNCT
ejde-888	376	4	k.	k.	PROPN
ejde-888	376	5	r.	r.	PROPN
ejde-888	376	6	verma	verma	PROPN
ejde-888	376	7	;	;	PUNCT
ejde-888	376	8	modern	modern	ADJ
ejde-888	376	9	control	control	NOUN
ejde-888	376	10	theory	theory	NOUN
ejde-888	376	11	,	,	PUNCT
ejde-888	376	12	cbs	cbs	PROPN
ejde-888	376	13	publishers	publisher	NOUN
ejde-888	376	14	and	and	CCONJ
ejde-888	376	15	distributors	distributor	NOUN
ejde-888	376	16	pvt	pvt	PROPN
ejde-888	376	17	ltd	ltd	PROPN
ejde-888	376	18	,	,	PUNCT
ejde-888	376	19	(	(	PUNCT
ejde-888	376	20	2018	2018	NUM
ejde-888	376	21	)	)	PUNCT
ejde-888	376	22	.	.	PUNCT
ejde-888	377	1	[	[	X
ejde-888	377	2	27	27	NUM
ejde-888	377	3	]	]	X
ejde-888	377	4	g.	g.	PROPN
ejde-888	377	5	c.	c.	PROPN
ejde-888	377	6	wu	wu	PROPN
ejde-888	377	7	,	,	PUNCT
ejde-888	377	8	d.	d.	PROPN
ejde-888	377	9	baleanu	baleanu	PROPN
ejde-888	377	10	,	,	PUNCT
ejde-888	377	11	w.	w.	PROPN
ejde-888	377	12	h.	h.	PROPN
ejde-888	377	13	luo	luo	PROPN
ejde-888	377	14	;	;	PUNCT
ejde-888	377	15	lyapunov	lyapunov	NOUN
ejde-888	377	16	functions	function	NOUN
ejde-888	377	17	for	for	ADP
ejde-888	377	18	riemann	riemann	PROPN
ejde-888	377	19	-	-	PUNCT
ejde-888	377	20	liouville	liouville	VERB
ejde-888	377	21	-	-	PUNCT
ejde-888	377	22	like	like	ADJ
ejde-888	377	23	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	377	24	difference	difference	NOUN
ejde-888	377	25	equations	equation	NOUN
ejde-888	377	26	.	.	PUNCT
ejde-888	378	1	applied	apply	VERB
ejde-888	378	2	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-888	378	3	and	and	CCONJ
ejde-888	378	4	computation	computation	NOUN
ejde-888	378	5	.	.	PUNCT
ejde-888	378	6	,	,	PUNCT
ejde-888	378	7	314	314	NUM
ejde-888	378	8	(	(	PUNCT
ejde-888	378	9	2017	2017	NUM
ejde-888	378	10	)	)	PUNCT
ejde-888	378	11	,	,	PUNCT
ejde-888	378	12	228	228	NUM
ejde-888	378	13	-	-	SYM
ejde-888	378	14	236	236	NUM
ejde-888	378	15	.	.	PUNCT
ejde-888	379	1	[	[	X
ejde-888	379	2	28	28	NUM
ejde-888	379	3	]	]	X
ejde-888	379	4	m.	m.	NOUN
ejde-888	379	5	wyrwas	wyrwa	VERB
ejde-888	379	6	,	,	PUNCT
ejde-888	379	7	d.	d.	PROPN
ejde-888	379	8	mozyrska	mozyrska	PROPN
ejde-888	379	9	,	,	PUNCT
ejde-888	379	10	e.	e.	PROPN
ejde-888	379	11	girejko	girejko	PROPN
ejde-888	379	12	;	;	PUNCT
ejde-888	379	13	stability	stability	NOUN
ejde-888	379	14	of	of	ADP
ejde-888	379	15	discrete	discrete	ADJ
ejde-888	379	16	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	379	17	-	-	PUNCT
ejde-888	379	18	order	order	NOUN
ejde-888	379	19	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-888	379	20	systems	system	NOUN
ejde-888	379	21	with	with	ADP
ejde-888	379	22	the	the	DET
ejde-888	379	23	nabla	nabla	PROPN
ejde-888	379	24	caputo	caputo	PROPN
ejde-888	379	25	difference	difference	PROPN
ejde-888	379	26	.	.	PUNCT
ejde-888	380	1	ifac	ifac	NOUN
ejde-888	380	2	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-888	380	3	volumes	volume	NOUN
ejde-888	380	4	,	,	PUNCT
ejde-888	380	5	46(1)(2013	46(1)(2013	NUM
ejde-888	380	6	)	)	PUNCT
ejde-888	380	7	,	,	PUNCT
ejde-888	380	8	167	167	NUM
ejde-888	380	9	-	-	SYM
ejde-888	380	10	171	171	NUM
ejde-888	380	11	.	.	PUNCT
ejde-888	381	1	anshul	anshul	PROPN
ejde-888	381	2	sharma	sharma	PROPN
ejde-888	381	3	department	department	PROPN
ejde-888	381	4	of	of	ADP
ejde-888	381	5	applied	apply	VERB
ejde-888	381	6	sciences	sciences	PROPN
ejde-888	381	7	&	&	CCONJ
ejde-888	381	8	humanities	humanities	PROPN
ejde-888	381	9	,	,	PUNCT
ejde-888	381	10	institute	institute	NOUN
ejde-888	381	11	of	of	ADP
ejde-888	381	12	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	381	13	and	and	CCONJ
ejde-888	381	14	technology	technology	NOUN
ejde-888	381	15	,	,	PUNCT
ejde-888	381	16	lucknow-226027	lucknow-226027	ADV
ejde-888	381	17	,	,	PUNCT
ejde-888	381	18	uttar	uttar	PROPN
ejde-888	381	19	pradesh	pradesh	PROPN
ejde-888	381	20	,	,	PUNCT
ejde-888	381	21	india	india	PROPN
ejde-888	381	22	email	email	NOUN
ejde-888	381	23	address	address	PROPN
ejde-888	381	24	:	:	PUNCT
ejde-888	381	25	anshkaushik9897@gmail.com	anshkaushik9897@gmail.com	X
ejde-888	382	1	suyash	suyash	PROPN
ejde-888	382	2	narayan	narayan	PROPN
ejde-888	382	3	mishra	mishra	PROPN
ejde-888	382	4	department	department	PROPN
ejde-888	382	5	of	of	ADP
ejde-888	382	6	applied	apply	VERB
ejde-888	382	7	sciences	sciences	PROPN
ejde-888	382	8	&	&	CCONJ
ejde-888	382	9	humanities	humanities	PROPN
ejde-888	382	10	,	,	PUNCT
ejde-888	382	11	institute	institute	NOUN
ejde-888	382	12	of	of	ADP
ejde-888	382	13	engineering	engineering	NOUN
ejde-888	382	14	and	and	CCONJ
ejde-888	382	15	technology	technology	NOUN
ejde-888	382	16	,	,	PUNCT
ejde-888	382	17	lucknow-226027	lucknow-226027	ADV
ejde-888	382	18	,	,	PUNCT
ejde-888	382	19	uttar	uttar	PROPN
ejde-888	382	20	pradesh	pradesh	PROPN
ejde-888	382	21	,	,	PUNCT
ejde-888	382	22	india	india	PROPN
ejde-888	382	23	email	email	NOUN
ejde-888	382	24	address	address	NOUN
ejde-888	382	25	:	:	PUNCT
ejde-888	382	26	snmishra@ietlucknow.ac.in	snmishra@ietlucknow.ac.in	PROPN
ejde-888	382	27	anurag	anurag	PROPN
ejde-888	382	28	shukla	shukla	PROPN
ejde-888	382	29	department	department	PROPN
ejde-888	382	30	of	of	ADP
ejde-888	382	31	applied	apply	VERB
ejde-888	382	32	sciences	sciences	PROPN
ejde-888	382	33	&	&	CCONJ
ejde-888	382	34	humanities	humanities	PROPN
ejde-888	382	35	,	,	PUNCT
ejde-888	382	36	rajkiya	rajkiya	PROPN
ejde-888	382	37	engineering	engineering	PROPN
ejde-888	382	38	college	college	PROPN
ejde-888	382	39	,	,	PUNCT
ejde-888	382	40	kannauj209732	kannauj209732	PROPN
ejde-888	382	41	,	,	PUNCT
ejde-888	382	42	uttar	uttar	PROPN
ejde-888	382	43	pradesh	pradesh	PROPN
ejde-888	382	44	,	,	PUNCT
ejde-888	382	45	india	india	PROPN
ejde-888	382	46	email	email	NOUN
ejde-888	382	47	address	address	NOUN
ejde-888	382	48	:	:	PUNCT
ejde-888	382	49	anuragshukla259@gmail.com	anuragshukla259@gmail.com	X
ejde-888	383	1	1	1	X
ejde-888	383	2	.	.	PUNCT
ejde-888	383	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-888	383	4	motivations	motivation	NOUN
ejde-888	383	5	and	and	CCONJ
ejde-888	383	6	contributions	contribution	NOUN
ejde-888	383	7	2	2	NUM
ejde-888	383	8	.	.	PUNCT
ejde-888	383	9	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-888	383	10	3	3	NUM
ejde-888	383	11	.	.	X
ejde-888	383	12	hilfer	hilfer	NOUN
ejde-888	383	13	nabla	nabla	NOUN
ejde-888	383	14	fractional	fractional	ADJ
ejde-888	383	15	difference	difference	NOUN
ejde-888	383	16	4	4	NUM
ejde-888	383	17	.	.	PUNCT
ejde-888	384	1	stability	stability	NOUN
ejde-888	384	2	theorems	theorem	VERB
ejde-888	384	3	5	5	NUM
ejde-888	384	4	.	.	PUNCT
ejde-888	385	1	examples	example	NOUN
ejde-888	385	2	conclusion	conclusion	VERB
ejde-888	385	3	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-888	385	4	references	reference	NOUN