id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-932	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-932	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-932	1	3	of	of	ADP
ejde-932	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-932	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-932	1	6	,	,	PUNCT
ejde-932	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-932	1	8	.	.	NOUN
ejde-932	1	9	2024	2024	NUM
ejde-932	1	10	(	(	PUNCT
ejde-932	1	11	2024	2024	NUM
ejde-932	1	12	)	)	PUNCT
ejde-932	1	13	,	,	PUNCT
ejde-932	1	14	no	no	INTJ
ejde-932	1	15	.	.	NOUN
ejde-932	2	1	77	77	NUM
ejde-932	2	2	,	,	PUNCT
ejde-932	2	3	pp	pp	ADJ
ejde-932	2	4	.	.	PUNCT
ejde-932	3	1	1–15	1–15	PROPN
ejde-932	3	2	.	.	PUNCT
ejde-932	4	1	issn	issn	PROPN
ejde-932	4	2	:	:	PUNCT
ejde-932	4	3	1072	1072	NUM
ejde-932	4	4	-	-	SYM
ejde-932	4	5	6691	6691	NUM
ejde-932	4	6	.	.	PUNCT
ejde-932	5	1	url	url	PROPN
ejde-932	5	2	:	:	PUNCT
ejde-932	5	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-932	5	4	,	,	PUNCT
ejde-932	5	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-932	5	6	doi	doi	PROPN
ejde-932	5	7	:	:	PUNCT
ejde-932	5	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-932	5	9	/	/	SYM
ejde-932	5	10	ejde.2024.77	ejde.2024.77	NOUN
ejde-932	5	11	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	5	12	type	type	NOUN
ejde-932	5	13	stability	stability	NOUN
ejde-932	5	14	for	for	ADP
ejde-932	5	15	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-932	5	16	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	5	17	difference	difference	NOUN
ejde-932	5	18	equations	equation	NOUN
ejde-932	5	19	with	with	ADP
ejde-932	5	20	delay	delay	PROPN
ejde-932	5	21	kai	kai	PROPN
ejde-932	5	22	chen	chen	PROPN
ejde-932	5	23	,	,	PUNCT
ejde-932	5	24	jinrong	jinrong	PROPN
ejde-932	5	25	wang	wang	PROPN
ejde-932	5	26	abstract	abstract	PROPN
ejde-932	5	27	.	.	PUNCT
ejde-932	6	1	in	in	ADP
ejde-932	6	2	this	this	DET
ejde-932	6	3	article	article	NOUN
ejde-932	6	4	,	,	PUNCT
ejde-932	6	5	we	we	PRON
ejde-932	6	6	study	study	VERB
ejde-932	6	7	the	the	DET
ejde-932	6	8	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	6	9	type	type	NOUN
ejde-932	6	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	6	11	of	of	ADP
ejde-932	6	12	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-932	6	13	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	6	14	difference	difference	NOUN
ejde-932	6	15	equations	equation	NOUN
ejde-932	6	16	with	with	ADP
ejde-932	6	17	delay	delay	NOUN
ejde-932	6	18	over	over	ADP
ejde-932	6	19	a	a	DET
ejde-932	6	20	finite	finite	ADJ
ejde-932	6	21	interval	interval	NOUN
ejde-932	6	22	.	.	PUNCT
ejde-932	7	1	first	first	ADV
ejde-932	7	2	,	,	PUNCT
ejde-932	7	3	we	we	PRON
ejde-932	7	4	use	use	VERB
ejde-932	7	5	the	the	DET
ejde-932	7	6	banach	banach	ADV
ejde-932	7	7	fixed	fix	VERB
ejde-932	7	8	point	point	NOUN
ejde-932	7	9	theorem	theorem	VERB
ejde-932	7	10	to	to	PART
ejde-932	7	11	prove	prove	VERB
ejde-932	7	12	the	the	DET
ejde-932	7	13	existence	existence	NOUN
ejde-932	7	14	and	and	CCONJ
ejde-932	7	15	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	7	16	of	of	ADP
ejde-932	7	17	a	a	DET
ejde-932	7	18	solution	solution	NOUN
ejde-932	7	19	.	.	PUNCT
ejde-932	8	1	then	then	ADV
ejde-932	8	2	we	we	PRON
ejde-932	8	3	establish	establish	VERB
ejde-932	8	4	the	the	DET
ejde-932	8	5	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	8	6	stability	stability	NOUN
ejde-932	8	7	for	for	ADP
ejde-932	8	8	first	first	ADJ
ejde-932	8	9	and	and	CCONJ
ejde-932	8	10	second	second	ADJ
ejde-932	8	11	order	order	NOUN
ejde-932	8	12	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-932	8	13	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	8	14	difference	difference	NOUN
ejde-932	8	15	equations	equation	NOUN
ejde-932	8	16	with	with	ADP
ejde-932	8	17	delay	delay	NOUN
ejde-932	8	18	.	.	PUNCT
ejde-932	9	1	we	we	PRON
ejde-932	9	2	also	also	ADV
ejde-932	9	3	extend	extend	VERB
ejde-932	9	4	our	our	PRON
ejde-932	9	5	analysis	analysis	NOUN
ejde-932	9	6	to	to	ADP
ejde-932	9	7	n	n	CCONJ
ejde-932	9	8	-	-	PUNCT
ejde-932	9	9	th	th	VERB
ejde-932	9	10	order	order	NOUN
ejde-932	9	11	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-932	9	12	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	9	13	difference	difference	NOUN
ejde-932	9	14	equations	equation	NOUN
ejde-932	9	15	with	with	ADP
ejde-932	9	16	delay	delay	NOUN
ejde-932	9	17	.	.	PUNCT
ejde-932	10	1	to	to	PART
ejde-932	10	2	illustrate	illustrate	VERB
ejde-932	10	3	our	our	PRON
ejde-932	10	4	theoretical	theoretical	ADJ
ejde-932	10	5	findings	finding	NOUN
ejde-932	10	6	,	,	PUNCT
ejde-932	10	7	we	we	PRON
ejde-932	10	8	provide	provide	VERB
ejde-932	10	9	three	three	NUM
ejde-932	10	10	examples	example	NOUN
ejde-932	10	11	.	.	PUNCT
ejde-932	11	1	1	1	X
ejde-932	11	2	.	.	X
ejde-932	11	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-932	11	4	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	12	1	[	[	X
ejde-932	12	2	10	10	NUM
ejde-932	12	3	]	]	PUNCT
ejde-932	12	4	developed	develop	VERB
ejde-932	12	5	a	a	DET
ejde-932	12	6	difference	difference	NOUN
ejde-932	12	7	operator	operator	NOUN
ejde-932	12	8	,	,	PUNCT
ejde-932	12	9	by	by	ADP
ejde-932	12	10	drawing	draw	VERB
ejde-932	12	11	from	from	ADP
ejde-932	12	12	two	two	NUM
ejde-932	12	13	well	well	ADV
ejde-932	12	14	-	-	PUNCT
ejde-932	12	15	known	know	VERB
ejde-932	12	16	difference	difference	NOUN
ejde-932	12	17	operators	operator	NOUN
ejde-932	12	18	:	:	PUNCT
ejde-932	12	19	the	the	DET
ejde-932	12	20	forward	forward	ADJ
ejde-932	12	21	difference	difference	NOUN
ejde-932	12	22	operator	operator	NOUN
ejde-932	12	23	[	[	X
ejde-932	12	24	4	4	NUM
ejde-932	12	25	]	]	PUNCT
ejde-932	12	26	and	and	CCONJ
ejde-932	12	27	the	the	DET
ejde-932	12	28	jackson	jackson	PROPN
ejde-932	12	29	q	q	ADJ
ejde-932	12	30	-	-	PUNCT
ejde-932	12	31	difference	difference	NOUN
ejde-932	12	32	operator	operator	NOUN
ejde-932	12	33	[	[	X
ejde-932	12	34	3	3	NUM
ejde-932	12	35	,	,	PUNCT
ejde-932	12	36	5	5	NUM
ejde-932	12	37	,	,	PUNCT
ejde-932	12	38	6	6	NUM
ejde-932	12	39	,	,	PUNCT
ejde-932	12	40	27	27	NUM
ejde-932	12	41	]	]	PUNCT
ejde-932	12	42	.	.	PUNCT
ejde-932	13	1	subsequently	subsequently	ADV
ejde-932	13	2	,	,	PUNCT
ejde-932	13	3	annaby	annaby	PROPN
ejde-932	13	4	et	et	PROPN
ejde-932	13	5	al	al	PROPN
ejde-932	13	6	.	.	PUNCT
ejde-932	14	1	[	[	X
ejde-932	14	2	2	2	NUM
ejde-932	14	3	]	]	PUNCT
ejde-932	14	4	extended	extend	VERB
ejde-932	14	5	the	the	DET
ejde-932	14	6	concept	concept	NOUN
ejde-932	14	7	by	by	ADP
ejde-932	14	8	introducing	introduce	VERB
ejde-932	14	9	the	the	DET
ejde-932	14	10	q	q	PROPN
ejde-932	14	11	,	,	PUNCT
ejde-932	14	12	ω	ω	NOUN
ejde-932	14	13	-	-	ADJ
ejde-932	14	14	integral	integral	ADJ
ejde-932	14	15	a	a	DET
ejde-932	14	16	function	function	NOUN
ejde-932	14	17	,	,	PUNCT
ejde-932	14	18	which	which	PRON
ejde-932	14	19	encompasses	encompass	VERB
ejde-932	14	20	both	both	DET
ejde-932	14	21	nörlund	nörlund	NOUN
ejde-932	14	22	sums	sum	NOUN
ejde-932	14	23	and	and	CCONJ
ejde-932	14	24	jackson	jackson	PROPN
ejde-932	14	25	q	q	NOUN
ejde-932	14	26	-	-	PUNCT
ejde-932	14	27	integrals	integral	NOUN
ejde-932	14	28	.	.	PUNCT
ejde-932	15	1	hamaz	hamaz	INTJ
ejde-932	15	2	et	et	PROPN
ejde-932	15	3	al	al	PROPN
ejde-932	15	4	.	.	PUNCT
ejde-932	16	1	[	[	X
ejde-932	16	2	11	11	NUM
ejde-932	16	3	,	,	PUNCT
ejde-932	16	4	16	16	NUM
ejde-932	16	5	]	]	PUNCT
ejde-932	16	6	explored	explore	VERB
ejde-932	16	7	the	the	DET
ejde-932	16	8	existence	existence	NOUN
ejde-932	16	9	and	and	CCONJ
ejde-932	16	10	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	16	11	of	of	ADP
ejde-932	16	12	solutions	solution	NOUN
ejde-932	16	13	to	to	ADP
ejde-932	16	14	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	16	15	difference	difference	NOUN
ejde-932	16	16	equations	equation	NOUN
ejde-932	16	17	using	use	VERB
ejde-932	16	18	the	the	DET
ejde-932	16	19	method	method	NOUN
ejde-932	16	20	of	of	ADP
ejde-932	16	21	successive	successive	ADJ
ejde-932	16	22	approximations	approximation	NOUN
ejde-932	16	23	and	and	CCONJ
ejde-932	16	24	examined	examine	VERB
ejde-932	16	25	the	the	DET
ejde-932	16	26	stability	stability	NOUN
ejde-932	16	27	of	of	ADP
ejde-932	16	28	first	first	ADJ
ejde-932	16	29	-	-	PUNCT
ejde-932	16	30	order	order	NOUN
ejde-932	16	31	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	16	32	difference	difference	NOUN
ejde-932	16	33	equations	equation	NOUN
ejde-932	16	34	.	.	PUNCT
ejde-932	17	1	abdelkhaliq	abdelkhaliq	PROPN
ejde-932	17	2	et	et	PROPN
ejde-932	17	3	al	al	PROPN
ejde-932	17	4	.	.	PUNCT
ejde-932	18	1	[	[	X
ejde-932	18	2	1	1	X
ejde-932	18	3	]	]	PUNCT
ejde-932	18	4	investigated	investigate	VERB
ejde-932	18	5	the	the	DET
ejde-932	18	6	stability	stability	NOUN
ejde-932	18	7	of	of	ADP
ejde-932	18	8	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	18	9	difference	difference	NOUN
ejde-932	18	10	equations	equation	NOUN
ejde-932	18	11	within	within	ADP
ejde-932	18	12	banach	banach	NOUN
ejde-932	18	13	spaces	space	NOUN
ejde-932	18	14	.	.	PUNCT
ejde-932	19	1	additional	additional	ADJ
ejde-932	19	2	results	result	NOUN
ejde-932	19	3	on	on	ADP
ejde-932	19	4	the	the	DET
ejde-932	19	5	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	19	6	difference	difference	NOUN
ejde-932	19	7	operator	operator	NOUN
ejde-932	19	8	can	can	AUX
ejde-932	19	9	be	be	AUX
ejde-932	19	10	found	find	VERB
ejde-932	19	11	in	in	ADP
ejde-932	19	12	references	reference	NOUN
ejde-932	19	13	[	[	X
ejde-932	19	14	12	12	NUM
ejde-932	19	15	,	,	PUNCT
ejde-932	19	16	14	14	NUM
ejde-932	19	17	,	,	PUNCT
ejde-932	19	18	15	15	NUM
ejde-932	19	19	,	,	PUNCT
ejde-932	19	20	17	17	NUM
ejde-932	19	21	,	,	PUNCT
ejde-932	19	22	18	18	NUM
ejde-932	19	23	,	,	PUNCT
ejde-932	19	24	22	22	NUM
ejde-932	19	25	,	,	PUNCT
ejde-932	19	26	24	24	NUM
ejde-932	19	27	]	]	PUNCT
ejde-932	19	28	.	.	PUNCT
ejde-932	20	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	20	2	stability	stability	PROPN
ejde-932	20	3	originated	originate	VERB
ejde-932	20	4	from	from	ADP
ejde-932	20	5	a	a	DET
ejde-932	20	6	query	query	NOUN
ejde-932	20	7	about	about	ADP
ejde-932	20	8	stability	stability	NOUN
ejde-932	20	9	addressed	address	VERB
ejde-932	20	10	in	in	ADP
ejde-932	20	11	[	[	X
ejde-932	20	12	29	29	NUM
ejde-932	20	13	]	]	PUNCT
ejde-932	20	14	,	,	PUNCT
ejde-932	20	15	and	and	CCONJ
ejde-932	20	16	was	be	AUX
ejde-932	20	17	later	later	ADV
ejde-932	20	18	termed	term	VERB
ejde-932	20	19	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	20	20	-	-	PUNCT
ejde-932	20	21	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	20	22	stability	stability	NOUN
ejde-932	20	23	by	by	ADP
ejde-932	20	24	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	20	25	[	[	X
ejde-932	20	26	19	19	NUM
ejde-932	20	27	]	]	PUNCT
ejde-932	20	28	.	.	PUNCT
ejde-932	21	1	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	22	1	[	[	X
ejde-932	22	2	25	25	NUM
ejde-932	22	3	]	]	PUNCT
ejde-932	22	4	further	far	ADV
ejde-932	22	5	developed	develop	VERB
ejde-932	22	6	this	this	DET
ejde-932	22	7	concept	concept	NOUN
ejde-932	22	8	into	into	ADP
ejde-932	22	9	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	22	10	-	-	PUNCT
ejde-932	22	11	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	22	12	-	-	PUNCT
ejde-932	22	13	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	22	14	stability	stability	NOUN
ejde-932	22	15	by	by	ADP
ejde-932	22	16	incorporating	incorporate	VERB
ejde-932	22	17	additional	additional	ADJ
ejde-932	22	18	variables	variable	NOUN
ejde-932	22	19	in	in	ADP
ejde-932	22	20	the	the	DET
ejde-932	22	21	form	form	NOUN
ejde-932	22	22	of	of	ADP
ejde-932	22	23	functions	function	NOUN
ejde-932	22	24	.	.	PUNCT
ejde-932	23	1	following	follow	VERB
ejde-932	23	2	this	this	PRON
ejde-932	23	3	,	,	PUNCT
ejde-932	23	4	numerous	numerous	ADJ
ejde-932	23	5	studies	study	NOUN
ejde-932	23	6	have	have	AUX
ejde-932	23	7	explored	explore	VERB
ejde-932	23	8	the	the	DET
ejde-932	23	9	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	23	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	23	11	of	of	ADP
ejde-932	23	12	various	various	ADJ
ejde-932	23	13	equations	equation	NOUN
ejde-932	23	14	[	[	X
ejde-932	23	15	8	8	NUM
ejde-932	23	16	,	,	PUNCT
ejde-932	23	17	9	9	NUM
ejde-932	23	18	,	,	PUNCT
ejde-932	23	19	20	20	NUM
ejde-932	23	20	,	,	PUNCT
ejde-932	23	21	21	21	NUM
ejde-932	23	22	,	,	PUNCT
ejde-932	23	23	26	26	NUM
ejde-932	23	24	]	]	PUNCT
ejde-932	23	25	.	.	PUNCT
ejde-932	24	1	for	for	ADP
ejde-932	24	2	instance	instance	NOUN
ejde-932	24	3	,	,	PUNCT
ejde-932	24	4	rus	rus	NOUN
ejde-932	24	5	[	[	X
ejde-932	24	6	28	28	NUM
ejde-932	24	7	]	]	PUNCT
ejde-932	24	8	examined	examine	VERB
ejde-932	24	9	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	24	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	24	11	in	in	ADP
ejde-932	24	12	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-932	24	13	differential	differential	ADJ
ejde-932	24	14	equations	equation	NOUN
ejde-932	24	15	,	,	PUNCT
ejde-932	24	16	otrocol	otrocol	PROPN
ejde-932	24	17	et	et	PROPN
ejde-932	24	18	al	al	PROPN
ejde-932	24	19	.	.	PUNCT
ejde-932	25	1	[	[	X
ejde-932	25	2	23	23	NUM
ejde-932	25	3	]	]	PUNCT
ejde-932	25	4	looked	look	VERB
ejde-932	25	5	into	into	ADP
ejde-932	25	6	the	the	DET
ejde-932	25	7	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	25	8	stability	stability	NOUN
ejde-932	25	9	of	of	ADP
ejde-932	25	10	delay	delay	NOUN
ejde-932	25	11	differential	differential	ADJ
ejde-932	25	12	equations	equation	NOUN
ejde-932	25	13	,	,	PUNCT
ejde-932	25	14	and	and	CCONJ
ejde-932	25	15	hamaz	hamaz	ADP
ejde-932	25	16	et	et	PROPN
ejde-932	25	17	al	al	PROPN
ejde-932	25	18	.	.	PUNCT
ejde-932	26	1	[	[	X
ejde-932	26	2	13	13	NUM
ejde-932	26	3	]	]	PUNCT
ejde-932	26	4	studied	study	VERB
ejde-932	26	5	the	the	DET
ejde-932	26	6	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	26	7	stability	stability	NOUN
ejde-932	26	8	of	of	ADP
ejde-932	26	9	first	first	ADJ
ejde-932	26	10	-	-	PUNCT
ejde-932	26	11	order	order	NOUN
ejde-932	26	12	linear	linear	ADJ
ejde-932	26	13	quantum	quantum	NOUN
ejde-932	26	14	difference	difference	NOUN
ejde-932	26	15	equations	equation	NOUN
ejde-932	26	16	.	.	PUNCT
ejde-932	27	1	inspired	inspire	VERB
ejde-932	27	2	by	by	ADP
ejde-932	27	3	[	[	X
ejde-932	27	4	15	15	NUM
ejde-932	27	5	,	,	PUNCT
ejde-932	27	6	28	28	NUM
ejde-932	27	7	,	,	PUNCT
ejde-932	27	8	23	23	NUM
ejde-932	27	9	]	]	PUNCT
ejde-932	27	10	,	,	PUNCT
ejde-932	27	11	we	we	PRON
ejde-932	27	12	consider	consider	VERB
ejde-932	27	13	the	the	DET
ejde-932	27	14	equation	equation	NOUN
ejde-932	27	15	dq	dq	NOUN
ejde-932	27	16	,	,	PUNCT
ejde-932	27	17	ωx(s	ωx(s	NUM
ejde-932	27	18	)	)	PUNCT
ejde-932	28	1	=	=	SYM
ejde-932	28	2	f	f	PROPN
ejde-932	28	3	(	(	PUNCT
ejde-932	28	4	t	t	PROPN
ejde-932	28	5	,	,	PUNCT
ejde-932	28	6	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	28	7	)	)	PUNCT
ejde-932	28	8	,	,	PUNCT
ejde-932	28	9	x(θ(s	x(θ(s	PROPN
ejde-932	28	10	)	)	PUNCT
ejde-932	28	11	)	)	PUNCT
ejde-932	28	12	)	)	PUNCT
ejde-932	28	13	,	,	PUNCT
ejde-932	28	14	s	s	PROPN
ejde-932	28	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	28	16	i1	i1	PROPN
ejde-932	28	17	=	=	PUNCT
ejde-932	29	1	[	[	X
ejde-932	29	2	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	29	3	,	,	PUNCT
ejde-932	29	4	b	b	NOUN
ejde-932	29	5	]	]	X
ejde-932	29	6	,	,	PUNCT
ejde-932	29	7	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	29	8	)	)	PUNCT
ejde-932	29	9	=	=	PUNCT
ejde-932	30	1	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	30	2	)	)	PUNCT
ejde-932	30	3	,	,	PUNCT
ejde-932	30	4	s	s	PROPN
ejde-932	30	5	∈	∈	PROPN
ejde-932	30	6	i2	i2	NOUN
ejde-932	30	7	=	=	PUNCT
ejde-932	31	1	[	[	X
ejde-932	31	2	ω0	ω0	ADP
ejde-932	31	3	−	−	PROPN
ejde-932	31	4	h0	h0	PROPN
ejde-932	31	5	,	,	PUNCT
ejde-932	31	6	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	31	7	]	]	PUNCT
ejde-932	31	8	,	,	PUNCT
ejde-932	31	9	(	(	PUNCT
ejde-932	31	10	1.1	1.1	NUM
ejde-932	31	11	)	)	PUNCT
ejde-932	31	12	2020	2020	NUM
ejde-932	31	13	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	31	14	subject	subject	ADJ
ejde-932	31	15	classification	classification	NOUN
ejde-932	31	16	.	.	PUNCT
ejde-932	32	1	39a05	39a05	NUM
ejde-932	32	2	,	,	PUNCT
ejde-932	32	3	39a30	39a30	NUM
ejde-932	32	4	.	.	PUNCT
ejde-932	33	1	key	key	ADJ
ejde-932	33	2	words	word	NOUN
ejde-932	33	3	and	and	CCONJ
ejde-932	33	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-932	33	5	.	.	PUNCT
ejde-932	34	1	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-932	34	2	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	34	3	difference	difference	NOUN
ejde-932	34	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	34	5	;	;	PUNCT
ejde-932	34	6	delay	delay	NOUN
ejde-932	34	7	;	;	PUNCT
ejde-932	34	8	ulam	ulam	X
ejde-932	34	9	-	-	PUNCT
ejde-932	34	10	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	34	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	34	12	;	;	PUNCT
ejde-932	34	13	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	34	14	-	-	PUNCT
ejde-932	34	15	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	34	16	-	-	PUNCT
ejde-932	34	17	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	34	18	stability	stability	NOUN
ejde-932	34	19	.	.	PUNCT
ejde-932	35	1	©	©	ADP
ejde-932	35	2	2024	2024	NUM
ejde-932	35	3	.	.	PUNCT
ejde-932	36	1	this	this	DET
ejde-932	36	2	work	work	NOUN
ejde-932	36	3	is	be	AUX
ejde-932	36	4	licensed	license	VERB
ejde-932	36	5	under	under	ADP
ejde-932	36	6	a	a	DET
ejde-932	36	7	cc	cc	NOUN
ejde-932	36	8	by	by	ADP
ejde-932	36	9	4.0	4.0	NUM
ejde-932	36	10	license	license	NOUN
ejde-932	36	11	.	.	PUNCT
ejde-932	37	1	submitted	submit	VERB
ejde-932	37	2	september	september	PROPN
ejde-932	37	3	9	9	NUM
ejde-932	37	4	,	,	PUNCT
ejde-932	37	5	2024	2024	NUM
ejde-932	37	6	.	.	PUNCT
ejde-932	38	1	published	publish	VERB
ejde-932	38	2	november	november	PROPN
ejde-932	38	3	30	30	NUM
ejde-932	38	4	,	,	PUNCT
ejde-932	38	5	2024	2024	NUM
ejde-932	38	6	.	.	PUNCT
ejde-932	38	7	1	1	NUM
ejde-932	38	8	2	2	NUM
ejde-932	38	9	k.	k.	PROPN
ejde-932	38	10	chen	chen	PROPN
ejde-932	38	11	,	,	PUNCT
ejde-932	38	12	j.	j.	PROPN
ejde-932	38	13	wang	wang	PROPN
ejde-932	38	14	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	38	15	where	where	SCONJ
ejde-932	38	16	f	f	PROPN
ejde-932	38	17	:	:	PUNCT
ejde-932	38	18	i1	i1	PROPN
ejde-932	38	19	×	×	PROPN
ejde-932	38	20	r2	r2	PROPN
ejde-932	38	21	→	→	SYM
ejde-932	38	22	r	r	NOUN
ejde-932	38	23	and	and	CCONJ
ejde-932	38	24	θ	θ	PROPN
ejde-932	38	25	:	:	PUNCT
ejde-932	38	26	i1	i1	PROPN
ejde-932	38	27	→	→	SYM
ejde-932	38	28	i3	i3	PROPN
ejde-932	38	29	,	,	PUNCT
ejde-932	38	30	i3	i3	NOUN
ejde-932	38	31	=	=	SYM
ejde-932	38	32	i1	i1	PROPN
ejde-932	38	33	∪	∪	PROPN
ejde-932	38	34	i2	i2	PROPN
ejde-932	38	35	,	,	PUNCT
ejde-932	38	36	are	be	AUX
ejde-932	38	37	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	38	38	at	at	ADP
ejde-932	38	39	s	s	NOUN
ejde-932	38	40	=	=	NOUN
ejde-932	38	41	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	38	42	,	,	PUNCT
ejde-932	38	43	θ(s	θ(s	NOUN
ejde-932	38	44	)	)	PUNCT
ejde-932	38	45	≤	≤	NUM
ejde-932	38	46	s	s	PROPN
ejde-932	38	47	,	,	PUNCT
ejde-932	38	48	h0	h0	NOUN
ejde-932	38	49	>	>	NOUN
ejde-932	38	50	0	0	PROPN
ejde-932	39	1	and	and	CCONJ
ejde-932	39	2	y	y	PROPN
ejde-932	39	3	:	:	PUNCT
ejde-932	39	4	i2	i2	PROPN
ejde-932	39	5	→	→	PUNCT
ejde-932	39	6	r	r	NOUN
ejde-932	39	7	is	be	AUX
ejde-932	39	8	the	the	DET
ejde-932	39	9	initial	initial	ADJ
ejde-932	39	10	value	value	NOUN
ejde-932	39	11	condition	condition	NOUN
ejde-932	39	12	.	.	PUNCT
ejde-932	40	1	we	we	PRON
ejde-932	40	2	demonstrate	demonstrate	VERB
ejde-932	40	3	both	both	CCONJ
ejde-932	40	4	the	the	DET
ejde-932	40	5	existence	existence	NOUN
ejde-932	40	6	and	and	CCONJ
ejde-932	40	7	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	40	8	of	of	ADP
ejde-932	40	9	the	the	DET
ejde-932	40	10	solution	solution	NOUN
ejde-932	40	11	to	to	ADP
ejde-932	40	12	equation	equation	NOUN
ejde-932	40	13	(	(	PUNCT
ejde-932	40	14	1.1	1.1	NUM
ejde-932	40	15	)	)	PUNCT
ejde-932	40	16	on	on	ADP
ejde-932	40	17	i3	i3	NOUN
ejde-932	40	18	using	use	VERB
ejde-932	40	19	the	the	DET
ejde-932	40	20	banach	banach	ADV
ejde-932	40	21	fixed	fix	VERB
ejde-932	40	22	point	point	NOUN
ejde-932	40	23	theorem	theorem	VERB
ejde-932	40	24	.	.	PUNCT
ejde-932	41	1	additionally	additionally	ADV
ejde-932	41	2	,	,	PUNCT
ejde-932	41	3	we	we	PRON
ejde-932	41	4	explore	explore	VERB
ejde-932	41	5	the	the	DET
ejde-932	41	6	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	41	7	stability	stability	NOUN
ejde-932	41	8	of	of	ADP
ejde-932	41	9	equation	equation	NOUN
ejde-932	41	10	(	(	PUNCT
ejde-932	41	11	1.1	1.1	NUM
ejde-932	41	12	)	)	PUNCT
ejde-932	41	13	on	on	ADP
ejde-932	41	14	i3	i3	NOUN
ejde-932	41	15	.	.	PUNCT
ejde-932	42	1	unlike	unlike	ADP
ejde-932	42	2	[	[	X
ejde-932	42	3	11	11	NUM
ejde-932	42	4	]	]	PUNCT
ejde-932	42	5	,	,	PUNCT
ejde-932	42	6	where	where	SCONJ
ejde-932	42	7	the	the	DET
ejde-932	42	8	method	method	NOUN
ejde-932	42	9	of	of	ADP
ejde-932	42	10	successive	successive	ADJ
ejde-932	42	11	approximations	approximation	NOUN
ejde-932	42	12	was	be	AUX
ejde-932	42	13	used	use	VERB
ejde-932	42	14	and	and	CCONJ
ejde-932	42	15	the	the	DET
ejde-932	42	16	function	function	NOUN
ejde-932	42	17	f	f	PROPN
ejde-932	42	18	needed	need	VERB
ejde-932	42	19	to	to	PART
ejde-932	42	20	be	be	AUX
ejde-932	42	21	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	42	22	on	on	ADP
ejde-932	42	23	the	the	DET
ejde-932	42	24	plane	plane	NOUN
ejde-932	42	25	i1	i1	PROPN
ejde-932	42	26	×	×	PROPN
ejde-932	42	27	r	r	NOUN
ejde-932	42	28	,	,	PUNCT
ejde-932	42	29	our	our	PRON
ejde-932	42	30	approach	approach	NOUN
ejde-932	42	31	requires	require	VERB
ejde-932	42	32	f	f	PROPN
ejde-932	42	33	to	to	PART
ejde-932	42	34	be	be	AUX
ejde-932	42	35	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	42	36	specifically	specifically	ADV
ejde-932	42	37	at	at	ADP
ejde-932	42	38	s	s	NOUN
ejde-932	42	39	=	=	NOUN
ejde-932	42	40	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	42	41	.	.	PUNCT
ejde-932	43	1	secondly	secondly	ADV
ejde-932	43	2	,	,	PUNCT
ejde-932	43	3	we	we	PRON
ejde-932	43	4	examine	examine	VERB
ejde-932	43	5	the	the	DET
ejde-932	43	6	equation	equation	NOUN
ejde-932	43	7	d2	d2	PROPN
ejde-932	43	8	q	q	NOUN
ejde-932	43	9	,	,	PUNCT
ejde-932	43	10	ωx(s	ωx(s	NUM
ejde-932	43	11	)	)	PUNCT
ejde-932	43	12	=	=	SYM
ejde-932	43	13	f	f	X
ejde-932	43	14	(	(	PUNCT
ejde-932	43	15	s	s	PROPN
ejde-932	43	16	,	,	PUNCT
ejde-932	43	17	x(s),dq	x(s),dq	PROPN
ejde-932	43	18	,	,	PUNCT
ejde-932	43	19	ωx(s	ωx(s	NOUN
ejde-932	43	20	)	)	PUNCT
ejde-932	43	21	,	,	PUNCT
ejde-932	43	22	x(θ(s	x(θ(s	PROPN
ejde-932	43	23	)	)	PUNCT
ejde-932	43	24	)	)	PUNCT
ejde-932	43	25	)	)	PUNCT
ejde-932	43	26	,	,	PUNCT
ejde-932	43	27	s	s	PROPN
ejde-932	43	28	∈	∈	PROPN
ejde-932	43	29	i1	i1	PROPN
ejde-932	43	30	,	,	PUNCT
ejde-932	43	31	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	43	32	)	)	PUNCT
ejde-932	43	33	=	=	PUNCT
ejde-932	43	34	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	43	35	)	)	PUNCT
ejde-932	43	36	,	,	PUNCT
ejde-932	43	37	dq	dq	PROPN
ejde-932	43	38	,	,	PUNCT
ejde-932	43	39	ωx(s	ωx(s	NUM
ejde-932	43	40	)	)	PUNCT
ejde-932	43	41	=	=	SYM
ejde-932	43	42	dq	dq	PROPN
ejde-932	43	43	,	,	PUNCT
ejde-932	43	44	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	43	45	)	)	PUNCT
ejde-932	43	46	,	,	PUNCT
ejde-932	43	47	s	s	PROPN
ejde-932	43	48	∈	∈	PROPN
ejde-932	43	49	i2	i2	PROPN
ejde-932	43	50	,	,	PUNCT
ejde-932	43	51	(	(	PUNCT
ejde-932	43	52	1.2	1.2	NUM
ejde-932	43	53	)	)	PUNCT
ejde-932	43	54	where	where	SCONJ
ejde-932	43	55	f	f	X
ejde-932	43	56	:	:	PUNCT
ejde-932	43	57	i1	i1	PROPN
ejde-932	43	58	×	×	PROPN
ejde-932	43	59	r3	r3	PROPN
ejde-932	43	60	→	→	SYM
ejde-932	43	61	r	r	NOUN
ejde-932	43	62	is	be	AUX
ejde-932	43	63	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	43	64	at	at	ADP
ejde-932	43	65	s	s	NOUN
ejde-932	43	66	=	=	NOUN
ejde-932	43	67	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	43	68	.	.	PUNCT
ejde-932	44	1	we	we	PRON
ejde-932	44	2	analyze	analyze	VERB
ejde-932	44	3	the	the	DET
ejde-932	44	4	existence	existence	NOUN
ejde-932	44	5	and	and	CCONJ
ejde-932	44	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	44	7	of	of	ADP
ejde-932	44	8	the	the	DET
ejde-932	44	9	solution	solution	NOUN
ejde-932	44	10	to	to	ADP
ejde-932	44	11	equation	equation	NOUN
ejde-932	44	12	(	(	PUNCT
ejde-932	44	13	1.2	1.2	NUM
ejde-932	44	14	)	)	PUNCT
ejde-932	44	15	on	on	ADP
ejde-932	44	16	i3	i3	NOUN
ejde-932	44	17	using	use	VERB
ejde-932	44	18	the	the	DET
ejde-932	44	19	banach	banach	ADV
ejde-932	44	20	fixed	fix	VERB
ejde-932	44	21	point	point	NOUN
ejde-932	44	22	theorem	theorem	VERB
ejde-932	44	23	.	.	PUNCT
ejde-932	45	1	subsequently	subsequently	ADV
ejde-932	45	2	,	,	PUNCT
ejde-932	45	3	we	we	PRON
ejde-932	45	4	establish	establish	VERB
ejde-932	45	5	the	the	DET
ejde-932	45	6	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	45	7	stability	stability	NOUN
ejde-932	45	8	of	of	ADP
ejde-932	45	9	equation	equation	NOUN
ejde-932	45	10	(	(	PUNCT
ejde-932	45	11	1.2	1.2	NUM
ejde-932	45	12	)	)	PUNCT
ejde-932	45	13	on	on	ADP
ejde-932	45	14	i3	i3	NOUN
ejde-932	45	15	employing	employ	VERB
ejde-932	45	16	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-932	45	17	’s	’s	PART
ejde-932	45	18	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	45	19	.	.	PUNCT
ejde-932	46	1	finally	finally	ADV
ejde-932	46	2	,	,	PUNCT
ejde-932	46	3	we	we	PRON
ejde-932	46	4	analyze	analyze	VERB
ejde-932	46	5	the	the	DET
ejde-932	46	6	equation	equation	NOUN
ejde-932	46	7	dn	dn	NOUN
ejde-932	46	8	q	q	NOUN
ejde-932	46	9	,	,	PUNCT
ejde-932	46	10	ωx(s	ωx(s	NUM
ejde-932	46	11	)	)	PUNCT
ejde-932	46	12	=	=	SYM
ejde-932	46	13	f	f	X
ejde-932	46	14	(	(	PUNCT
ejde-932	46	15	s	s	PROPN
ejde-932	46	16	,	,	PUNCT
ejde-932	46	17	x(s),dq	x(s),dq	PROPN
ejde-932	46	18	,	,	PUNCT
ejde-932	46	19	ωx(s	ωx(s	NOUN
ejde-932	46	20	)	)	PUNCT
ejde-932	46	21	,	,	PUNCT
ejde-932	46	22	.	.	PUNCT
ejde-932	46	23	.	.	PUNCT
ejde-932	46	24	.	.	PUNCT
ejde-932	47	1	,	,	PUNCT
ejde-932	48	1	d	d	PROPN
ejde-932	48	2	n−1	n−1	PROPN
ejde-932	48	3	q	q	PROPN
ejde-932	48	4	,	,	PUNCT
ejde-932	48	5	ω	ω	PROPN
ejde-932	48	6	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	48	7	)	)	PUNCT
ejde-932	48	8	,	,	PUNCT
ejde-932	48	9	x(θ(s	x(θ(s	PROPN
ejde-932	48	10	)	)	PUNCT
ejde-932	48	11	)	)	PUNCT
ejde-932	48	12	)	)	PUNCT
ejde-932	48	13	,	,	PUNCT
ejde-932	48	14	s	s	PROPN
ejde-932	48	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	48	16	i1	i1	PROPN
ejde-932	48	17	,	,	PUNCT
ejde-932	48	18	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	48	19	)	)	PUNCT
ejde-932	48	20	=	=	PUNCT
ejde-932	48	21	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	48	22	)	)	PUNCT
ejde-932	48	23	,	,	PUNCT
ejde-932	48	24	dj	dj	ADP
ejde-932	48	25	q	q	NOUN
ejde-932	48	26	,	,	PUNCT
ejde-932	48	27	ωx(s	ωx(s	NOUN
ejde-932	48	28	)	)	PUNCT
ejde-932	48	29	=	=	PUNCT
ejde-932	49	1	dj	dj	NOUN
ejde-932	49	2	q	q	NOUN
ejde-932	49	3	,	,	PUNCT
ejde-932	49	4	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	49	5	)	)	PUNCT
ejde-932	49	6	,	,	PUNCT
ejde-932	49	7	s	s	PROPN
ejde-932	49	8	∈	∈	PROPN
ejde-932	49	9	i2	i2	PROPN
ejde-932	49	10	,	,	PUNCT
ejde-932	49	11	i	i	NOUN
ejde-932	49	12	=	=	NOUN
ejde-932	49	13	0	0	NUM
ejde-932	49	14	,	,	PUNCT
ejde-932	49	15	1	1	NUM
ejde-932	49	16	,	,	PUNCT
ejde-932	49	17	.	.	PUNCT
ejde-932	49	18	.	.	PUNCT
ejde-932	50	1	.	.	PUNCT
ejde-932	51	1	,	,	PUNCT
ejde-932	51	2	n−	n−	NOUN
ejde-932	51	3	1	1	NUM
ejde-932	51	4	,	,	PUNCT
ejde-932	51	5	(	(	PUNCT
ejde-932	51	6	1.3	1.3	NUM
ejde-932	51	7	)	)	PUNCT
ejde-932	51	8	where	where	SCONJ
ejde-932	51	9	f	f	X
ejde-932	51	10	:	:	PUNCT
ejde-932	51	11	i1	i1	PROPN
ejde-932	51	12	×rn	×rn	PROPN
ejde-932	52	1	→	→	SYM
ejde-932	52	2	r	r	NOUN
ejde-932	52	3	is	be	AUX
ejde-932	52	4	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	52	5	at	at	ADP
ejde-932	52	6	s	s	NOUN
ejde-932	52	7	=	=	NOUN
ejde-932	52	8	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	52	9	.	.	PUNCT
ejde-932	53	1	we	we	PRON
ejde-932	53	2	extend	extend	VERB
ejde-932	53	3	the	the	DET
ejde-932	53	4	results	result	NOUN
ejde-932	53	5	of	of	ADP
ejde-932	53	6	the	the	DET
ejde-932	53	7	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	53	8	stability	stability	NOUN
ejde-932	53	9	to	to	ADP
ejde-932	53	10	equation	equation	NOUN
ejde-932	53	11	(	(	PUNCT
ejde-932	53	12	1.3	1.3	NUM
ejde-932	53	13	)	)	PUNCT
ejde-932	53	14	on	on	ADP
ejde-932	53	15	i3	i3	NOUN
ejde-932	53	16	.	.	PUNCT
ejde-932	54	1	the	the	DET
ejde-932	54	2	remainder	remainder	NOUN
ejde-932	54	3	of	of	ADP
ejde-932	54	4	this	this	DET
ejde-932	54	5	article	article	NOUN
ejde-932	54	6	is	be	AUX
ejde-932	54	7	organized	organize	VERB
ejde-932	54	8	as	as	SCONJ
ejde-932	54	9	follows	follow	VERB
ejde-932	54	10	:	:	PUNCT
ejde-932	54	11	in	in	ADP
ejde-932	54	12	section	section	NOUN
ejde-932	54	13	2	2	NUM
ejde-932	54	14	,	,	PUNCT
ejde-932	54	15	we	we	PRON
ejde-932	54	16	present	present	VERB
ejde-932	54	17	notations	notation	NOUN
ejde-932	54	18	and	and	CCONJ
ejde-932	54	19	relevant	relevant	ADJ
ejde-932	54	20	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-932	54	21	for	for	ADP
ejde-932	54	22	the	the	DET
ejde-932	54	23	paper	paper	NOUN
ejde-932	54	24	.	.	PUNCT
ejde-932	55	1	section	section	NOUN
ejde-932	55	2	3	3	NUM
ejde-932	55	3	is	be	AUX
ejde-932	55	4	dedicated	dedicate	VERB
ejde-932	55	5	to	to	ADP
ejde-932	55	6	the	the	DET
ejde-932	55	7	study	study	NOUN
ejde-932	55	8	of	of	ADP
ejde-932	55	9	the	the	DET
ejde-932	55	10	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	55	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	55	12	of	of	ADP
ejde-932	55	13	equation	equation	NOUN
ejde-932	55	14	(	(	PUNCT
ejde-932	55	15	1.1	1.1	NUM
ejde-932	55	16	)	)	PUNCT
ejde-932	55	17	on	on	ADP
ejde-932	55	18	interval	interval	NOUN
ejde-932	55	19	i3	i3	NOUN
ejde-932	55	20	.	.	PUNCT
ejde-932	56	1	in	in	ADP
ejde-932	56	2	section	section	NOUN
ejde-932	56	3	4	4	NUM
ejde-932	56	4	,	,	PUNCT
ejde-932	56	5	we	we	PRON
ejde-932	56	6	establish	establish	VERB
ejde-932	56	7	the	the	DET
ejde-932	56	8	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	56	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	56	10	of	of	ADP
ejde-932	56	11	equation	equation	NOUN
ejde-932	56	12	(	(	PUNCT
ejde-932	56	13	1.2	1.2	NUM
ejde-932	56	14	)	)	PUNCT
ejde-932	56	15	on	on	ADP
ejde-932	56	16	interval	interval	NOUN
ejde-932	56	17	i3	i3	NOUN
ejde-932	56	18	,	,	PUNCT
ejde-932	56	19	and	and	CCONJ
ejde-932	56	20	provides	provide	VERB
ejde-932	56	21	direct	direct	ADJ
ejde-932	56	22	results	result	NOUN
ejde-932	56	23	on	on	ADP
ejde-932	56	24	the	the	DET
ejde-932	56	25	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	56	26	stability	stability	NOUN
ejde-932	56	27	of	of	ADP
ejde-932	56	28	equation	equation	NOUN
ejde-932	56	29	(	(	PUNCT
ejde-932	56	30	1.3	1.3	NUM
ejde-932	56	31	)	)	PUNCT
ejde-932	56	32	.	.	PUNCT
ejde-932	57	1	finally	finally	ADV
ejde-932	57	2	,	,	PUNCT
ejde-932	57	3	section	section	NOUN
ejde-932	57	4	5	5	NUM
ejde-932	57	5	includes	include	VERB
ejde-932	57	6	examples	example	NOUN
ejde-932	57	7	to	to	PART
ejde-932	57	8	illustrate	illustrate	VERB
ejde-932	57	9	these	these	DET
ejde-932	57	10	theoretical	theoretical	ADJ
ejde-932	57	11	findings	finding	NOUN
ejde-932	57	12	.	.	PUNCT
ejde-932	58	1	2	2	X
ejde-932	58	2	.	.	X
ejde-932	58	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-932	58	4	throughout	throughout	ADP
ejde-932	58	5	the	the	DET
ejde-932	58	6	article	article	NOUN
ejde-932	58	7	,	,	PUNCT
ejde-932	58	8	r	r	NOUN
ejde-932	58	9	is	be	AUX
ejde-932	58	10	the	the	DET
ejde-932	58	11	set	set	NOUN
ejde-932	58	12	of	of	ADP
ejde-932	58	13	real	real	ADJ
ejde-932	58	14	numbers	number	NOUN
ejde-932	58	15	,	,	PUNCT
ejde-932	58	16	r+	r+	X
ejde-932	58	17	signifies	signify	VERB
ejde-932	58	18	the	the	DET
ejde-932	58	19	set	set	NOUN
ejde-932	58	20	of	of	ADP
ejde-932	58	21	nonnegative	nonnegative	ADJ
ejde-932	58	22	real	real	ADJ
ejde-932	58	23	numbers	number	NOUN
ejde-932	58	24	,	,	PUNCT
ejde-932	58	25	n+	n+	NUM
ejde-932	58	26	refers	refer	VERB
ejde-932	58	27	to	to	ADP
ejde-932	58	28	the	the	DET
ejde-932	58	29	set	set	NOUN
ejde-932	58	30	of	of	ADP
ejde-932	58	31	positive	positive	ADJ
ejde-932	58	32	integers	integer	NOUN
ejde-932	58	33	,	,	PUNCT
ejde-932	58	34	and	and	CCONJ
ejde-932	58	35	i0	i0	PROPN
ejde-932	58	36	represents	represent	VERB
ejde-932	58	37	any	any	DET
ejde-932	58	38	interval	interval	NOUN
ejde-932	58	39	of	of	ADP
ejde-932	58	40	r	r	NOUN
ejde-932	58	41	that	that	PRON
ejde-932	58	42	includes	include	VERB
ejde-932	58	43	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	58	44	.	.	PUNCT
ejde-932	59	1	we	we	PRON
ejde-932	59	2	define	define	VERB
ejde-932	59	3	these	these	DET
ejde-932	59	4	function	function	NOUN
ejde-932	59	5	spaces	space	NOUN
ejde-932	59	6	s(i3,r	s(i3,r	X
ejde-932	59	7	)	)	PUNCT
ejde-932	59	8	=	=	PRON
ejde-932	60	1	{	{	PUNCT
ejde-932	60	2	f	f	NOUN
ejde-932	60	3	:	:	PUNCT
ejde-932	60	4	i3	i3	NOUN
ejde-932	60	5	→	→	SYM
ejde-932	60	6	r	r	NOUN
ejde-932	60	7	:	:	PUNCT
ejde-932	60	8	f(s	f(	NOUN
ejde-932	60	9	)	)	PUNCT
ejde-932	60	10	is	be	AUX
ejde-932	60	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	60	12	at	at	ADP
ejde-932	60	13	s	s	NOUN
ejde-932	60	14	=	=	PUNCT
ejde-932	60	15	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	60	16	and	and	CCONJ
ejde-932	60	17	bounded	bound	VERB
ejde-932	60	18	}	}	PUNCT
ejde-932	60	19	,	,	PUNCT
ejde-932	60	20	s(i3,r+	s(i3,r+	PUNCT
ejde-932	60	21	)	)	PUNCT
ejde-932	60	22	=	=	PRON
ejde-932	61	1	{	{	PUNCT
ejde-932	61	2	f	f	NOUN
ejde-932	61	3	:	:	PUNCT
ejde-932	61	4	i3	i3	NOUN
ejde-932	61	5	→	→	PUNCT
ejde-932	61	6	r+	r+	NOUN
ejde-932	61	7	:	:	PUNCT
ejde-932	61	8	f(s	f(s	X
ejde-932	61	9	)	)	PUNCT
ejde-932	61	10	is	be	AUX
ejde-932	61	11	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	61	12	at	at	ADP
ejde-932	61	13	s	s	NOUN
ejde-932	61	14	=	=	PUNCT
ejde-932	61	15	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	61	16	and	and	CCONJ
ejde-932	61	17	bounded	bound	VERB
ejde-932	61	18	}	}	PUNCT
ejde-932	61	19	.	.	PUNCT
ejde-932	62	1	let	let	AUX
ejde-932	62	2	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	62	3	)	)	PUNCT
ejde-932	62	4	have	have	VERB
ejde-932	62	5	a	a	DET
ejde-932	62	6	subspace	subspace	NOUN
ejde-932	62	7	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	62	8	)	)	PUNCT
ejde-932	62	9	in	in	ADP
ejde-932	62	10	which	which	PRON
ejde-932	62	11	all	all	DET
ejde-932	62	12	functions	function	NOUN
ejde-932	62	13	are	be	AUX
ejde-932	62	14	increasing	increase	VERB
ejde-932	62	15	.	.	PUNCT
ejde-932	63	1	obviously	obviously	ADV
ejde-932	63	2	,	,	PUNCT
ejde-932	63	3	s(i3,r	s(i3,r	PROPN
ejde-932	63	4	)	)	PUNCT
ejde-932	63	5	⊇	⊇	NOUN
ejde-932	63	6	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	63	7	)	)	PUNCT
ejde-932	63	8	⊇	⊇	PROPN
ejde-932	63	9	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	63	10	)	)	PUNCT
ejde-932	63	11	.	.	PUNCT
ejde-932	64	1	for	for	ADP
ejde-932	64	2	s(i3,r	s(i3,r	PROPN
ejde-932	64	3	)	)	PUNCT
ejde-932	64	4	,	,	PUNCT
ejde-932	64	5	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	64	6	)	)	PUNCT
ejde-932	64	7	and	and	CCONJ
ejde-932	64	8	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	64	9	)	)	PUNCT
ejde-932	64	10	,	,	PUNCT
ejde-932	64	11	let	let	VERB
ejde-932	64	12	the	the	DET
ejde-932	64	13	metric	metric	ADJ
ejde-932	64	14	ρ	ρ	NOUN
ejde-932	64	15	be	be	AUX
ejde-932	64	16	defined	define	VERB
ejde-932	64	17	by	by	ADP
ejde-932	64	18	ρ(v1	ρ(v1	NOUN
ejde-932	64	19	,	,	PUNCT
ejde-932	64	20	v2	v2	NOUN
ejde-932	64	21	)	)	PUNCT
ejde-932	64	22	=	=	SYM
ejde-932	64	23	max	max	PROPN
ejde-932	64	24	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	64	25	|v1(s)−	|v1(s)−	ADP
ejde-932	64	26	v2(s)|	v2(s)|	PROPN
ejde-932	64	27	.	.	PUNCT
ejde-932	65	1	then	then	ADV
ejde-932	65	2	it	it	PRON
ejde-932	65	3	is	be	AUX
ejde-932	65	4	obvious	obvious	ADJ
ejde-932	65	5	that	that	SCONJ
ejde-932	65	6	s(i3,r	s(i3,r	PROPN
ejde-932	65	7	)	)	PUNCT
ejde-932	65	8	,	,	PUNCT
ejde-932	65	9	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	65	10	)	)	PUNCT
ejde-932	65	11	and	and	CCONJ
ejde-932	65	12	s1(i3,r+	s1(i3,r+	X
ejde-932	65	13	)	)	PUNCT
ejde-932	65	14	are	be	AUX
ejde-932	65	15	complete	complete	ADJ
ejde-932	65	16	metric	metric	ADJ
ejde-932	65	17	spaces	space	NOUN
ejde-932	65	18	.	.	PUNCT
ejde-932	66	1	definition	definition	NOUN
ejde-932	66	2	2.1	2.1	NUM
ejde-932	66	3	.	.	PUNCT
ejde-932	67	1	[	[	X
ejde-932	67	2	10	10	NUM
ejde-932	67	3	]	]	PUNCT
ejde-932	67	4	assume	assume	VERB
ejde-932	67	5	function	function	NOUN
ejde-932	67	6	f	f	PROPN
ejde-932	67	7	:	:	PUNCT
ejde-932	67	8	i0	i0	PROPN
ejde-932	67	9	→	→	PUNCT
ejde-932	67	10	r	r	NOUN
ejde-932	67	11	is	be	AUX
ejde-932	67	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	67	13	at	at	ADP
ejde-932	67	14	s	s	NOUN
ejde-932	67	15	=	=	NOUN
ejde-932	67	16	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	67	17	.	.	PUNCT
ejde-932	68	1	then	then	ADV
ejde-932	68	2	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	68	3	difference	difference	NOUN
ejde-932	68	4	operator	operator	NOUN
ejde-932	68	5	is	be	AUX
ejde-932	68	6	defined	define	VERB
ejde-932	68	7	by	by	ADP
ejde-932	68	8	dq	dq	PROPN
ejde-932	68	9	,	,	PUNCT
ejde-932	68	10	ωf(s	ωf(s	PUNCT
ejde-932	68	11	)	)	PUNCT
ejde-932	68	12	=	=	SYM
ejde-932	68	13	{	{	PUNCT
ejde-932	68	14	f(qs+ω)−f(t	f(qs+ω)−f(t	PROPN
ejde-932	68	15	)	)	PUNCT
ejde-932	68	16	s(q−1)+ω	s(q−1)+ω	PROPN
ejde-932	68	17	,	,	PUNCT
ejde-932	68	18	t	t	PROPN
ejde-932	68	19	̸=	̸=	PROPN
ejde-932	68	20	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	68	21	,	,	PUNCT
ejde-932	68	22	f′(ω0	f′(ω0	ADJ
ejde-932	68	23	)	)	PUNCT
ejde-932	68	24	,	,	PUNCT
ejde-932	68	25	t	t	NOUN
ejde-932	68	26	=	=	SYM
ejde-932	68	27	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	68	28	,	,	PUNCT
ejde-932	68	29	.	.	PUNCT
ejde-932	69	1	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	69	2	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	69	3	type	type	PROPN
ejde-932	69	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	69	5	3	3	NUM
ejde-932	69	6	where	where	SCONJ
ejde-932	69	7	0	0	PUNCT
ejde-932	69	8	<	<	X
ejde-932	69	9	q	q	X
ejde-932	69	10	<	<	X
ejde-932	69	11	1	1	NUM
ejde-932	69	12	and	and	CCONJ
ejde-932	69	13	ω	ω	NUM
ejde-932	69	14	>	>	X
ejde-932	69	15	0	0	NUM
ejde-932	69	16	are	be	AUX
ejde-932	69	17	constants	constant	NOUN
ejde-932	69	18	,	,	PUNCT
ejde-932	69	19	ω0	ω0	ADV
ejde-932	69	20	=	=	SYM
ejde-932	69	21	ω	ω	PROPN
ejde-932	69	22	1−q	1−q	NUM
ejde-932	69	23	.	.	PUNCT
ejde-932	70	1	definition	definition	NOUN
ejde-932	70	2	2.2	2.2	NUM
ejde-932	70	3	.	.	PUNCT
ejde-932	71	1	[	[	X
ejde-932	71	2	2	2	X
ejde-932	71	3	]	]	PUNCT
ejde-932	71	4	assume	assume	VERB
ejde-932	71	5	function	function	NOUN
ejde-932	71	6	g	g	NOUN
ejde-932	71	7	:	:	PUNCT
ejde-932	71	8	i0	i0	PROPN
ejde-932	71	9	→	→	SYM
ejde-932	71	10	r	r	NOUN
ejde-932	71	11	is	be	AUX
ejde-932	71	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	71	13	at	at	ADP
ejde-932	71	14	s	s	NOUN
ejde-932	71	15	=	=	PUNCT
ejde-932	71	16	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	71	17	and	and	CCONJ
ejde-932	71	18	let	let	VERB
ejde-932	71	19	[	[	X
ejde-932	71	20	a1	a1	NOUN
ejde-932	71	21	,	,	PUNCT
ejde-932	71	22	a2	a2	PROPN
ejde-932	71	23	]	]	PUNCT
ejde-932	71	24	⊂	⊂	PROPN
ejde-932	71	25	i0	i0	PROPN
ejde-932	71	26	.	.	PUNCT
ejde-932	72	1	then	then	ADV
ejde-932	72	2	the	the	DET
ejde-932	72	3	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	72	4	integral	integral	NOUN
ejde-932	72	5	of	of	ADP
ejde-932	72	6	g	g	NOUN
ejde-932	72	7	from	from	ADP
ejde-932	72	8	a1	a1	PROPN
ejde-932	72	9	to	to	ADP
ejde-932	72	10	a2	a2	PROPN
ejde-932	72	11	has	have	VERB
ejde-932	72	12	the	the	DET
ejde-932	72	13	form∫	form∫	PROPN
ejde-932	72	14	a2	a2	PROPN
ejde-932	72	15	a1	a1	NOUN
ejde-932	72	16	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	72	17	,	,	PUNCT
ejde-932	72	18	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	72	19	=	=	SYM
ejde-932	72	20	∫	∫	PROPN
ejde-932	72	21	a2	a2	PROPN
ejde-932	72	22	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	72	23	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	72	24	,	,	PUNCT
ejde-932	72	25	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	72	26	−	−	NUM
ejde-932	72	27	∫	∫	PROPN
ejde-932	72	28	a1	a1	NOUN
ejde-932	72	29	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	72	30	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	72	31	,	,	PUNCT
ejde-932	72	32	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	72	33	,	,	PUNCT
ejde-932	72	34	where∫	where∫	X
ejde-932	72	35	x	x	PUNCT
ejde-932	72	36	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	72	37	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	72	38	,	,	PUNCT
ejde-932	72	39	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	72	40	=	=	PRON
ejde-932	72	41	(	(	PUNCT
ejde-932	72	42	x(1−	x(1−	PROPN
ejde-932	72	43	q)−	q)−	PROPN
ejde-932	72	44	ω	ω	PROPN
ejde-932	72	45	)	)	PUNCT
ejde-932	72	46	∞∑	∞∑	PROPN
ejde-932	72	47	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	72	48	qjg(σj(x	qjg(σj(x	PROPN
ejde-932	72	49	)	)	PUNCT
ejde-932	72	50	)	)	PUNCT
ejde-932	73	1	=	=	PUNCT
ejde-932	74	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	74	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	74	3	(	(	PUNCT
ejde-932	74	4	σj(x)−	σj(x)−	PROPN
ejde-932	74	5	σj+1(x))g(σk(x	σj+1(x))g(σk(x	PROPN
ejde-932	74	6	)	)	PUNCT
ejde-932	74	7	)	)	PUNCT
ejde-932	74	8	for	for	ADP
ejde-932	74	9	x	x	PROPN
ejde-932	74	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	74	11	i0	i0	PROPN
ejde-932	74	12	,	,	PUNCT
ejde-932	74	13	and	and	CCONJ
ejde-932	74	14	σj(x	σj(x	PUNCT
ejde-932	74	15	)	)	PUNCT
ejde-932	74	16	=	=	PUNCT
ejde-932	74	17	qjx+	qjx+	VERB
ejde-932	74	18	ω[j]q	ω[j]q	ADJ
ejde-932	74	19	,	,	PUNCT
ejde-932	74	20	x	x	PROPN
ejde-932	74	21	∈	∈	PROPN
ejde-932	74	22	i0	i0	PROPN
ejde-932	74	23	,	,	PUNCT
ejde-932	75	1	[	[	X
ejde-932	75	2	j]q	j]q	NOUN
ejde-932	75	3	=	=	SYM
ejde-932	75	4	1−	1−	NUM
ejde-932	75	5	qj	qj	PROPN
ejde-932	75	6	1−	1−	NUM
ejde-932	75	7	q	q	NOUN
ejde-932	75	8	,	,	PUNCT
ejde-932	75	9	and	and	CCONJ
ejde-932	75	10	the	the	DET
ejde-932	75	11	series	series	NOUN
ejde-932	75	12	(	(	PUNCT
ejde-932	75	13	x(1−	x(1−	PROPN
ejde-932	75	14	q)−	q)−	PROPN
ejde-932	75	15	ω	ω	PROPN
ejde-932	75	16	)	)	PUNCT
ejde-932	75	17	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-932	75	18	k=0	k=0	PUNCT
ejde-932	75	19	q	q	PROPN
ejde-932	75	20	kg(σk(x	kg(σk(x	PROPN
ejde-932	75	21	)	)	PUNCT
ejde-932	75	22	)	)	PUNCT
ejde-932	75	23	converges	converge	VERB
ejde-932	75	24	at	at	ADP
ejde-932	75	25	x	x	X
ejde-932	75	26	=	=	SYM
ejde-932	75	27	a1	a1	NOUN
ejde-932	75	28	and	and	CCONJ
ejde-932	75	29	x	x	NOUN
ejde-932	75	30	=	=	NOUN
ejde-932	75	31	a2	a2	PROPN
ejde-932	75	32	.	.	PUNCT
ejde-932	76	1	we	we	PRON
ejde-932	76	2	can	can	AUX
ejde-932	76	3	noted	note	VERB
ejde-932	76	4	that	that	SCONJ
ejde-932	76	5	|	|	ADV
ejde-932	76	6	∫	∫	PROPN
ejde-932	76	7	a2	a2	PROPN
ejde-932	76	8	a1	a1	PROPN
ejde-932	76	9	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	76	10	,	,	PUNCT
ejde-932	76	11	ωs1|	ωs1|	X
ejde-932	76	12	≤	≤	NUM
ejde-932	76	13	∫	∫	PROPN
ejde-932	76	14	a2	a2	PROPN
ejde-932	76	15	a1	a1	PROPN
ejde-932	76	16	|g(s1)|dq	|g(s1)|dq	PROPN
ejde-932	76	17	,	,	PUNCT
ejde-932	76	18	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	76	19	,	,	PUNCT
ejde-932	76	20	∀a1	∀a1	PROPN
ejde-932	76	21	,	,	PUNCT
ejde-932	76	22	a2	a2	PROPN
ejde-932	76	23	∈	∈	PROPN
ejde-932	76	24	i0	i0	PROPN
ejde-932	76	25	,	,	PUNCT
ejde-932	76	26	a1	a1	NOUN
ejde-932	76	27	<	<	X
ejde-932	76	28	a2	a2	PROPN
ejde-932	76	29	,	,	PUNCT
ejde-932	76	30	is	be	AUX
ejde-932	76	31	not	not	PART
ejde-932	76	32	necessarily	necessarily	ADV
ejde-932	76	33	true	true	ADJ
ejde-932	76	34	[	[	X
ejde-932	76	35	2	2	NUM
ejde-932	76	36	]	]	PUNCT
ejde-932	76	37	.	.	PUNCT
ejde-932	77	1	however	however	ADV
ejde-932	77	2	,	,	PUNCT
ejde-932	77	3	for	for	ADP
ejde-932	77	4	a1	a1	NOUN
ejde-932	77	5	=	=	SYM
ejde-932	77	6	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	77	7	,	,	PUNCT
ejde-932	77	8	we	we	PRON
ejde-932	77	9	can	can	AUX
ejde-932	77	10	obtain	obtain	VERB
ejde-932	77	11	|	|	ADV
ejde-932	77	12	∫	∫	PROPN
ejde-932	77	13	a2	a2	PROPN
ejde-932	77	14	ω0	ω0	ADV
ejde-932	77	15	g(s1)dq	g(s1)dq	PROPN
ejde-932	77	16	,	,	PUNCT
ejde-932	77	17	ωs1|	ωs1|	X
ejde-932	77	18	≤	≤	NUM
ejde-932	77	19	∫	∫	PROPN
ejde-932	77	20	a2	a2	PROPN
ejde-932	77	21	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	77	22	|g(s1)|dq	|g(s1)|dq	PROPN
ejde-932	77	23	,	,	PUNCT
ejde-932	77	24	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	77	25	,	,	PUNCT
ejde-932	77	26	∀a2	∀a2	PUNCT
ejde-932	77	27	∈	∈	PROPN
ejde-932	77	28	i0	i0	PROPN
ejde-932	77	29	,	,	PUNCT
ejde-932	77	30	a2	a2	PROPN
ejde-932	77	31	>	>	X
ejde-932	77	32	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	77	33	.	.	PUNCT
ejde-932	78	1	additionally	additionally	ADV
ejde-932	78	2	,	,	PUNCT
ejde-932	78	3	we	we	PRON
ejde-932	78	4	can	can	AUX
ejde-932	78	5	obtain	obtain	VERB
ejde-932	78	6	that∫	that∫	NOUN
ejde-932	78	7	a1	a1	NOUN
ejde-932	78	8	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	78	9	|g(s1)|dq	|g(s1)|dq	NOUN
ejde-932	78	10	,	,	PUNCT
ejde-932	78	11	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	78	12	≤	≤	NUM
ejde-932	78	13	∫	∫	PROPN
ejde-932	78	14	a2	a2	PROPN
ejde-932	78	15	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	78	16	|g(s1)|dq	|g(s1)|dq	PROPN
ejde-932	78	17	,	,	PUNCT
ejde-932	78	18	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	78	19	,	,	PUNCT
ejde-932	78	20	∀a1	∀a1	PROPN
ejde-932	78	21	,	,	PUNCT
ejde-932	78	22	a2	a2	PROPN
ejde-932	78	23	∈	∈	PROPN
ejde-932	78	24	i0	i0	PROPN
ejde-932	78	25	,	,	PUNCT
ejde-932	78	26	ω0	ω0	ADV
ejde-932	78	27	<	<	X
ejde-932	78	28	a1	a1	NOUN
ejde-932	78	29	<	<	X
ejde-932	78	30	a2	a2	PROPN
ejde-932	78	31	,	,	PUNCT
ejde-932	78	32	(	(	PUNCT
ejde-932	78	33	2.1	2.1	NUM
ejde-932	78	34	)	)	PUNCT
ejde-932	78	35	is	be	AUX
ejde-932	78	36	not	not	PART
ejde-932	78	37	necessarily	necessarily	ADV
ejde-932	78	38	true	true	ADJ
ejde-932	78	39	.	.	PUNCT
ejde-932	79	1	if	if	SCONJ
ejde-932	79	2	function	function	NOUN
ejde-932	79	3	|g|	|g|	PROPN
ejde-932	79	4	is	be	AUX
ejde-932	79	5	increasing	increase	VERB
ejde-932	79	6	on	on	ADP
ejde-932	79	7	i0	i0	PROPN
ejde-932	79	8	,	,	PUNCT
ejde-932	79	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	79	10	(	(	PUNCT
ejde-932	79	11	2.1	2.1	NUM
ejde-932	79	12	)	)	PUNCT
ejde-932	79	13	holds	hold	VERB
ejde-932	79	14	.	.	PUNCT
ejde-932	80	1	definition	definition	NOUN
ejde-932	80	2	2.3	2.3	NUM
ejde-932	80	3	.	.	PUNCT
ejde-932	81	1	[	[	X
ejde-932	81	2	2	2	X
ejde-932	81	3	]	]	PUNCT
ejde-932	81	4	assume	assume	VERB
ejde-932	81	5	function	function	NOUN
ejde-932	81	6	ζ	ζ	NOUN
ejde-932	81	7	:	:	PUNCT
ejde-932	81	8	i0	i0	PROPN
ejde-932	81	9	→	→	SYM
ejde-932	81	10	r	r	NOUN
ejde-932	81	11	is	be	AUX
ejde-932	81	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	81	13	at	at	ADP
ejde-932	81	14	s	s	NOUN
ejde-932	81	15	=	=	PUNCT
ejde-932	81	16	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	81	17	and	and	CCONJ
ejde-932	81	18	1	1	NUM
ejde-932	81	19	−	−	NOUN
ejde-932	81	20	ζ(s)(s	ζ(s)(s	NUM
ejde-932	81	21	−	−	PROPN
ejde-932	81	22	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	81	23	)	)	PUNCT
ejde-932	81	24	)	)	PUNCT
ejde-932	82	1	̸=	̸=	PROPN
ejde-932	82	2	0	0	NUM
ejde-932	82	3	,	,	PUNCT
ejde-932	82	4	∀	∀	NOUN
ejde-932	82	5	s	s	PART
ejde-932	82	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	82	7	i0	i0	PROPN
ejde-932	82	8	.	.	PUNCT
ejde-932	83	1	then	then	ADV
ejde-932	83	2	exponential	exponential	ADJ
ejde-932	83	3	functions	function	NOUN
ejde-932	83	4	eζ(s	eζ(s	NUM
ejde-932	83	5	)	)	PUNCT
ejde-932	83	6	and	and	CCONJ
ejde-932	83	7	eζ(s	eζ(s	NUM
ejde-932	83	8	)	)	PUNCT
ejde-932	83	9	are	be	AUX
ejde-932	83	10	given	give	VERB
ejde-932	83	11	by	by	ADP
ejde-932	83	12	eζ(s	eζ(	NOUN
ejde-932	83	13	)	)	PUNCT
ejde-932	83	14	=	=	PUNCT
ejde-932	83	15	1∏∞	1∏∞	NUM
ejde-932	83	16	j=0(1−	j=0(1−	PROPN
ejde-932	83	17	ζ(σj(s))qj(s−	ζ(σj(s))qj(s−	PROPN
ejde-932	83	18	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	83	19	)	)	PUNCT
ejde-932	83	20	)	)	PUNCT
ejde-932	83	21	)	)	PUNCT
ejde-932	83	22	,	,	PUNCT
ejde-932	83	23	(	(	PUNCT
ejde-932	83	24	2.2	2.2	NUM
ejde-932	83	25	)	)	PUNCT
ejde-932	83	26	eζ(s	eζ(s	NUM
ejde-932	83	27	)	)	PUNCT
ejde-932	83	28	=	=	PUNCT
ejde-932	83	29	∞∏	∞∏	X
ejde-932	83	30	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	83	31	(	(	PUNCT
ejde-932	83	32	1	1	NUM
ejde-932	83	33	+	+	NUM
ejde-932	83	34	ζ(σj(s))qj(s−	ζ(σj(s))qj(s−	PROPN
ejde-932	83	35	σ(s	σ(s	NOUN
ejde-932	83	36	)	)	PUNCT
ejde-932	83	37	)	)	PUNCT
ejde-932	83	38	)	)	PUNCT
ejde-932	83	39	.	.	PUNCT
ejde-932	84	1	(	(	PUNCT
ejde-932	84	2	2.3	2.3	NUM
ejde-932	84	3	)	)	PUNCT
ejde-932	84	4	it	it	PRON
ejde-932	84	5	is	be	AUX
ejde-932	84	6	obvious	obvious	ADJ
ejde-932	84	7	that	that	SCONJ
ejde-932	84	8	(	(	PUNCT
ejde-932	84	9	2.2	2.2	NUM
ejde-932	84	10	)	)	PUNCT
ejde-932	84	11	and	and	CCONJ
ejde-932	84	12	(	(	PUNCT
ejde-932	84	13	2.3	2.3	NUM
ejde-932	84	14	)	)	PUNCT
ejde-932	84	15	are	be	AUX
ejde-932	84	16	convergent	convergent	ADJ
ejde-932	84	17	since	since	SCONJ
ejde-932	84	18	∑∞	∑∞	NOUN
ejde-932	84	19	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	84	20	|	|	ADV
ejde-932	84	21	ζ(σj(s	ζ(σj(s	NUM
ejde-932	84	22	)	)	PUNCT
ejde-932	84	23	)	)	PUNCT
ejde-932	85	1	|	|	ADV
ejde-932	85	2	qj(s	qj(s	PUNCT
ejde-932	85	3	−	−	DET
ejde-932	85	4	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	85	5	)	)	PUNCT
ejde-932	85	6	)	)	PUNCT
ejde-932	85	7	is	be	AUX
ejde-932	85	8	convergent	convergent	ADJ
ejde-932	85	9	.	.	PUNCT
ejde-932	86	1	for	for	ADP
ejde-932	86	2	ζ(s	ζ(s	PROPN
ejde-932	86	3	)	)	PUNCT
ejde-932	86	4	=	=	SYM
ejde-932	86	5	a0	a0	PROPN
ejde-932	86	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	86	7	r	r	NOUN
ejde-932	86	8	for	for	ADP
ejde-932	86	9	all	all	DET
ejde-932	86	10	s	s	PROPN
ejde-932	86	11	∈	∈	PROPN
ejde-932	86	12	i0	i0	PROPN
ejde-932	86	13	,	,	PUNCT
ejde-932	86	14	we	we	PRON
ejde-932	86	15	have	have	VERB
ejde-932	86	16	ea0	ea0	NOUN
ejde-932	86	17	(	(	PUNCT
ejde-932	86	18	s	s	NOUN
ejde-932	86	19	)	)	PUNCT
ejde-932	86	20	=	=	SYM
ejde-932	87	1	1∏∞	1∏∞	NUM
ejde-932	87	2	j=0(1−	j=0(1−	PROPN
ejde-932	87	3	a0qj(s−	a0qj(s−	PROPN
ejde-932	87	4	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	87	5	)	)	PUNCT
ejde-932	87	6	)	)	PUNCT
ejde-932	87	7	)	)	PUNCT
ejde-932	88	1	=	=	PUNCT
ejde-932	89	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	89	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	89	3	(	(	PUNCT
ejde-932	89	4	a0(s−	a0(s−	X
ejde-932	89	5	σ(s)))j	σ(s)))j	NOUN
ejde-932	89	6	(	(	PUNCT
ejde-932	89	7	q	q	NOUN
ejde-932	89	8	:	:	PUNCT
ejde-932	89	9	q)j	q)j	NOUN
ejde-932	89	10	,	,	PUNCT
ejde-932	89	11	|s−	|s−	ADP
ejde-932	89	12	ω0|	ω0|	NOUN
ejde-932	89	13	<	<	X
ejde-932	89	14	1	1	NUM
ejde-932	90	1	|a0(1−	|a0(1−	PROPN
ejde-932	90	2	q)|	q)|	PROPN
ejde-932	90	3	,	,	PUNCT
ejde-932	90	4	(	(	PUNCT
ejde-932	90	5	2.4	2.4	NUM
ejde-932	90	6	)	)	PUNCT
ejde-932	90	7	and	and	CCONJ
ejde-932	90	8	ea0	ea0	NOUN
ejde-932	90	9	(	(	PUNCT
ejde-932	90	10	s	s	NOUN
ejde-932	90	11	)	)	PUNCT
ejde-932	90	12	=	=	PUNCT
ejde-932	90	13	∞∏	∞∏	X
ejde-932	90	14	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	90	15	(	(	PUNCT
ejde-932	90	16	1	1	NUM
ejde-932	90	17	+	+	NUM
ejde-932	90	18	a0q	a0q	NOUN
ejde-932	90	19	j(s−	j(s−	PROPN
ejde-932	90	20	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	90	21	)	)	PUNCT
ejde-932	90	22	)	)	PUNCT
ejde-932	90	23	)	)	PUNCT
ejde-932	91	1	=	=	PUNCT
ejde-932	92	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	92	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	92	3	q	q	PROPN
ejde-932	92	4	1	1	NUM
ejde-932	92	5	2	2	NUM
ejde-932	92	6	j(j−1)(a0(s−	j(j−1)(a0(s−	ADJ
ejde-932	92	7	σ(s)))j	σ(s)))j	NOUN
ejde-932	92	8	(	(	PUNCT
ejde-932	92	9	q	q	NOUN
ejde-932	92	10	:	:	PUNCT
ejde-932	92	11	q)j	q)j	NOUN
ejde-932	92	12	,	,	PUNCT
ejde-932	92	13	s	s	PROPN
ejde-932	92	14	∈	∈	PROPN
ejde-932	92	15	r	r	NOUN
ejde-932	92	16	,	,	PUNCT
ejde-932	92	17	(	(	PUNCT
ejde-932	92	18	2.5	2.5	NUM
ejde-932	92	19	)	)	PUNCT
ejde-932	92	20	4	4	NUM
ejde-932	92	21	k.	k.	PROPN
ejde-932	92	22	chen	chen	PROPN
ejde-932	92	23	,	,	PUNCT
ejde-932	92	24	j.	j.	PROPN
ejde-932	92	25	wang	wang	PROPN
ejde-932	92	26	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	92	27	where	where	SCONJ
ejde-932	92	28	(	(	PUNCT
ejde-932	92	29	a	a	PRON
ejde-932	92	30	:	:	PUNCT
ejde-932	92	31	q)n	q)n	X
ejde-932	92	32	=	=	SYM
ejde-932	92	33	{	{	PUNCT
ejde-932	92	34	∏n	∏n	ADJ
ejde-932	92	35	j=1(1−	j=1(1−	ADJ
ejde-932	92	36	aqj−1	aqj−1	PROPN
ejde-932	92	37	)	)	PUNCT
ejde-932	92	38	,	,	PUNCT
ejde-932	92	39	n	n	PROPN
ejde-932	92	40	∈	∈	PROPN
ejde-932	92	41	n+	n+	PROPN
ejde-932	92	42	,	,	PUNCT
ejde-932	92	43	1	1	NUM
ejde-932	92	44	,	,	PUNCT
ejde-932	92	45	n	n	NOUN
ejde-932	92	46	=	=	SYM
ejde-932	92	47	0	0	NUM
ejde-932	92	48	.	.	PUNCT
ejde-932	93	1	the	the	DET
ejde-932	93	2	proofs	proof	NOUN
ejde-932	93	3	of	of	ADP
ejde-932	93	4	(	(	PUNCT
ejde-932	93	5	2.4	2.4	NUM
ejde-932	93	6	)	)	PUNCT
ejde-932	93	7	and	and	CCONJ
ejde-932	93	8	(	(	PUNCT
ejde-932	93	9	2.5	2.5	NUM
ejde-932	93	10	)	)	PUNCT
ejde-932	93	11	can	can	AUX
ejde-932	93	12	be	be	AUX
ejde-932	93	13	found	find	VERB
ejde-932	93	14	in	in	ADP
ejde-932	93	15	[	[	X
ejde-932	93	16	7	7	NUM
ejde-932	93	17	]	]	PUNCT
ejde-932	93	18	.	.	PUNCT
ejde-932	94	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	94	2	2.4	2.4	NUM
ejde-932	94	3	(	(	PUNCT
ejde-932	94	4	[	[	X
ejde-932	94	5	2	2	NUM
ejde-932	94	6	]	]	PUNCT
ejde-932	94	7	)	)	PUNCT
ejde-932	94	8	.	.	PUNCT
ejde-932	95	1	assume	assume	VERB
ejde-932	95	2	f	f	X
ejde-932	95	3	,	,	PUNCT
ejde-932	95	4	g	g	PROPN
ejde-932	95	5	:	:	PUNCT
ejde-932	95	6	i0	i0	PROPN
ejde-932	95	7	→	→	SYM
ejde-932	95	8	r	r	NOUN
ejde-932	95	9	are	be	AUX
ejde-932	95	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	95	11	at	at	ADP
ejde-932	95	12	s	s	NOUN
ejde-932	95	13	=	=	NOUN
ejde-932	95	14	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	95	15	.	.	PUNCT
ejde-932	96	1	then∫	then∫	NOUN
ejde-932	96	2	b	b	PROPN
ejde-932	96	3	a	a	DET
ejde-932	96	4	g(s)dq	g(s)dq	NOUN
ejde-932	96	5	,	,	PUNCT
ejde-932	96	6	ω(f(s))dq	ω(f(s))dq	NOUN
ejde-932	96	7	,	,	PUNCT
ejde-932	96	8	ωs+	ωs+	NOUN
ejde-932	96	9	∫	∫	PROPN
ejde-932	96	10	b	b	PROPN
ejde-932	96	11	a	a	DET
ejde-932	96	12	dq	dq	PROPN
ejde-932	96	13	,	,	PUNCT
ejde-932	96	14	ω(g(s))f(σ(s))dq	ω(g(s))f(σ(s))dq	NOUN
ejde-932	96	15	,	,	PUNCT
ejde-932	96	16	ωs	ωs	PRON
ejde-932	96	17	=	=	PUNCT
ejde-932	96	18	f(s)g(s	f(s)g(s	NOUN
ejde-932	96	19	)	)	PUNCT
ejde-932	96	20	∣∣b	∣∣b	VERB
ejde-932	96	21	a	a	DET
ejde-932	96	22	,	,	PUNCT
ejde-932	96	23	a	a	PRON
ejde-932	96	24	,	,	PUNCT
ejde-932	96	25	b	b	PROPN
ejde-932	96	26	∈	∈	PROPN
ejde-932	96	27	i0	i0	PROPN
ejde-932	96	28	.	.	PUNCT
ejde-932	97	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	97	2	2.5	2.5	NUM
ejde-932	97	3	(	(	PUNCT
ejde-932	97	4	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-932	97	5	’s	’s	PART
ejde-932	97	6	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	97	7	)	)	PUNCT
ejde-932	97	8	.	.	PUNCT
ejde-932	98	1	assume	assume	VERB
ejde-932	98	2	f	f	X
ejde-932	98	3	,	,	PUNCT
ejde-932	98	4	g	g	PROPN
ejde-932	98	5	:	:	PUNCT
ejde-932	98	6	i0	i0	PROPN
ejde-932	98	7	→	→	SYM
ejde-932	98	8	r	r	NOUN
ejde-932	98	9	are	be	AUX
ejde-932	98	10	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	98	11	at	at	ADP
ejde-932	98	12	s	s	NOUN
ejde-932	98	13	=	=	PUNCT
ejde-932	98	14	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	98	15	and	and	CCONJ
ejde-932	98	16	ζ	ζ	NOUN
ejde-932	98	17	:	:	PUNCT
ejde-932	98	18	i0	i0	PROPN
ejde-932	98	19	→	→	PUNCT
ejde-932	98	20	r+	r+	PRON
ejde-932	98	21	is	be	AUX
ejde-932	98	22	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	98	23	at	at	ADP
ejde-932	98	24	s	s	NOUN
ejde-932	98	25	=	=	NOUN
ejde-932	98	26	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	98	27	.	.	PUNCT
ejde-932	99	1	let	let	VERB
ejde-932	99	2	1−	1−	NUM
ejde-932	99	3	ζ(s)(s−	ζ(s)(s−	ADP
ejde-932	99	4	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	99	5	)	)	PUNCT
ejde-932	99	6	)	)	PUNCT
ejde-932	100	1	>	>	X
ejde-932	100	2	0	0	PUNCT
ejde-932	101	1	for	for	ADP
ejde-932	101	2	all	all	DET
ejde-932	101	3	s	s	PROPN
ejde-932	101	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	101	5	i0	i0	NOUN
ejde-932	101	6	.	.	PUNCT
ejde-932	102	1	if	if	SCONJ
ejde-932	102	2	f(s	f(	NOUN
ejde-932	102	3	)	)	PUNCT
ejde-932	102	4	≤	≤	NOUN
ejde-932	102	5	g(s	g(s	NOUN
ejde-932	102	6	)	)	PUNCT
ejde-932	103	1	+	+	CCONJ
ejde-932	103	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	103	3	s	s	PART
ejde-932	103	4	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	103	5	ζ(s1)f(s1)dq	ζ(s1)f(s1)dq	NUM
ejde-932	103	6	,	,	PUNCT
ejde-932	103	7	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	103	8	,	,	PUNCT
ejde-932	103	9	∀s	∀s	PROPN
ejde-932	103	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	103	11	i0	i0	PROPN
ejde-932	103	12	,	,	PUNCT
ejde-932	103	13	then	then	ADV
ejde-932	103	14	f(s	f(	VERB
ejde-932	103	15	)	)	PUNCT
ejde-932	103	16	≤	≤	NOUN
ejde-932	103	17	g(s	g(s	NOUN
ejde-932	103	18	)	)	PUNCT
ejde-932	103	19	+	+	SYM
ejde-932	103	20	eζ(s	eζ(s	NOUN
ejde-932	103	21	)	)	PUNCT
ejde-932	103	22	∫	∫	PROPN
ejde-932	103	23	s	s	PROPN
ejde-932	103	24	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	103	25	ζ(s1)e−s1(σ(s1))g(s1)dq	ζ(s1)e−s1(σ(s1))g(s1)dq	PROPN
ejde-932	103	26	,	,	PUNCT
ejde-932	103	27	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	103	28	.	.	PUNCT
ejde-932	104	1	(	(	PUNCT
ejde-932	104	2	2.6	2.6	NUM
ejde-932	104	3	)	)	PUNCT
ejde-932	104	4	let	let	VERB
ejde-932	104	5	ζ(s	ζ(s	NOUN
ejde-932	104	6	)	)	PUNCT
ejde-932	104	7	=	=	SYM
ejde-932	104	8	a0	a0	PROPN
ejde-932	104	9	∈	∈	PROPN
ejde-932	104	10	r+	r+	NOUN
ejde-932	104	11	,	,	PUNCT
ejde-932	104	12	for	for	ADP
ejde-932	104	13	all	all	DET
ejde-932	104	14	s	s	PROPN
ejde-932	104	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	104	16	i0	i0	NOUN
ejde-932	104	17	.	.	PUNCT
ejde-932	105	1	if	if	SCONJ
ejde-932	105	2	f(s	f(	NOUN
ejde-932	105	3	)	)	PUNCT
ejde-932	105	4	≤	≤	NOUN
ejde-932	105	5	g(s	g(s	NOUN
ejde-932	105	6	)	)	PUNCT
ejde-932	106	1	+	+	CCONJ
ejde-932	106	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	106	3	s	s	PART
ejde-932	106	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	106	5	a0f(s1)dq	a0f(s1)dq	PROPN
ejde-932	106	6	,	,	PUNCT
ejde-932	106	7	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	106	8	,	,	PUNCT
ejde-932	106	9	s	s	PART
ejde-932	106	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	107	1	[	[	X
ejde-932	107	2	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	107	3	,	,	PUNCT
ejde-932	107	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	107	5	+	+	SYM
ejde-932	107	6	1	1	NUM
ejde-932	107	7	a0(1−	a0(1−	NOUN
ejde-932	107	8	q	q	NOUN
ejde-932	107	9	)	)	PUNCT
ejde-932	107	10	]	]	PUNCT
ejde-932	107	11	,	,	PUNCT
ejde-932	107	12	then	then	ADV
ejde-932	107	13	f(s	f(	VERB
ejde-932	107	14	)	)	PUNCT
ejde-932	107	15	≤	≤	NOUN
ejde-932	107	16	g(s	g(s	NOUN
ejde-932	107	17	)	)	PUNCT
ejde-932	108	1	+	+	CCONJ
ejde-932	108	2	a0ea0	a0ea0	NOUN
ejde-932	108	3	(	(	PUNCT
ejde-932	108	4	s	s	NOUN
ejde-932	108	5	)	)	PUNCT
ejde-932	108	6	∫	∫	PROPN
ejde-932	108	7	s	s	PROPN
ejde-932	108	8	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	108	9	e−a0	e−a0	PUNCT
ejde-932	108	10	(	(	PUNCT
ejde-932	108	11	σ(s1))g(s1)dq	σ(s1))g(s1)dq	PROPN
ejde-932	108	12	,	,	PUNCT
ejde-932	108	13	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	108	14	.	.	PUNCT
ejde-932	109	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	109	2	2.6	2.6	NUM
ejde-932	109	3	(	(	PUNCT
ejde-932	109	4	[	[	X
ejde-932	109	5	23	23	NUM
ejde-932	109	6	]	]	PUNCT
ejde-932	109	7	)	)	PUNCT
ejde-932	109	8	.	.	PUNCT
ejde-932	110	1	assume	assume	VERB
ejde-932	110	2	(	(	PUNCT
ejde-932	110	3	y	y	NOUN
ejde-932	110	4	,	,	PUNCT
ejde-932	110	5	d,≤	d,≤	PROPN
ejde-932	110	6	)	)	PUNCT
ejde-932	110	7	is	be	AUX
ejde-932	110	8	an	an	DET
ejde-932	110	9	ordered	ordered	ADJ
ejde-932	110	10	metric	metric	ADJ
ejde-932	110	11	space	space	NOUN
ejde-932	110	12	.	.	PUNCT
ejde-932	111	1	v	v	X
ejde-932	111	2	:	:	PUNCT
ejde-932	111	3	y	y	PROPN
ejde-932	111	4	→	→	SYM
ejde-932	111	5	y	y	PROPN
ejde-932	111	6	is	be	AUX
ejde-932	111	7	an	an	DET
ejde-932	111	8	increasing	increase	VERB
ejde-932	111	9	picard	picard	NOUN
ejde-932	111	10	operator	operator	NOUN
ejde-932	111	11	(	(	PUNCT
ejde-932	111	12	fv	fv	PROPN
ejde-932	111	13	=	=	SYM
ejde-932	111	14	{	{	PUNCT
ejde-932	111	15	y∗v	y∗v	PROPN
ejde-932	111	16	}	}	PUNCT
ejde-932	111	17	denotes	denote	VERB
ejde-932	111	18	the	the	DET
ejde-932	111	19	fixed	fixed	ADJ
ejde-932	111	20	point	point	NOUN
ejde-932	111	21	set	set	NOUN
ejde-932	111	22	of	of	ADP
ejde-932	111	23	operator	operator	NOUN
ejde-932	111	24	v	v	NOUN
ejde-932	111	25	)	)	PUNCT
ejde-932	111	26	.	.	PUNCT
ejde-932	112	1	then	then	ADV
ejde-932	112	2	,	,	PUNCT
ejde-932	112	3	for	for	ADP
ejde-932	112	4	y	y	PROPN
ejde-932	112	5	∈	∈	PROPN
ejde-932	112	6	y	y	PROPN
ejde-932	112	7	,	,	PUNCT
ejde-932	112	8	we	we	PRON
ejde-932	112	9	have	have	VERB
ejde-932	112	10	(	(	PUNCT
ejde-932	112	11	i	i	NOUN
ejde-932	112	12	)	)	PUNCT
ejde-932	112	13	if	if	SCONJ
ejde-932	112	14	y	y	PROPN
ejde-932	112	15	≤	≤	X
ejde-932	112	16	v	v	X
ejde-932	112	17	(	(	PUNCT
ejde-932	112	18	y	y	NOUN
ejde-932	112	19	)	)	PUNCT
ejde-932	112	20	,	,	PUNCT
ejde-932	112	21	then	then	ADV
ejde-932	112	22	y	y	PROPN
ejde-932	112	23	≤	≤	PROPN
ejde-932	112	24	y∗v	y∗v	NUM
ejde-932	112	25	;	;	PUNCT
ejde-932	112	26	(	(	PUNCT
ejde-932	112	27	ii	ii	NOUN
ejde-932	112	28	)	)	PUNCT
ejde-932	112	29	if	if	SCONJ
ejde-932	112	30	y	y	PROPN
ejde-932	112	31	≥	≥	NUM
ejde-932	112	32	v	v	PROPN
ejde-932	112	33	(	(	PUNCT
ejde-932	112	34	y	y	NOUN
ejde-932	112	35	)	)	PUNCT
ejde-932	112	36	,	,	PUNCT
ejde-932	112	37	then	then	ADV
ejde-932	112	38	y	y	PROPN
ejde-932	112	39	≥	≥	NOUN
ejde-932	112	40	y∗v	y∗v	NUM
ejde-932	112	41	.	.	PUNCT
ejde-932	113	1	3	3	X
ejde-932	113	2	.	.	X
ejde-932	113	3	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	113	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	113	5	of	of	ADP
ejde-932	113	6	equation	equation	NOUN
ejde-932	113	7	(	(	PUNCT
ejde-932	113	8	1.1	1.1	NUM
ejde-932	113	9	)	)	PUNCT
ejde-932	113	10	definition	definition	NOUN
ejde-932	113	11	3.1	3.1	NUM
ejde-932	113	12	(	(	PUNCT
ejde-932	113	13	[	[	X
ejde-932	113	14	28	28	NUM
ejde-932	113	15	]	]	NUM
ejde-932	113	16	)	)	PUNCT
ejde-932	113	17	.	.	PUNCT
ejde-932	114	1	assuming	assume	VERB
ejde-932	114	2	there	there	PRON
ejde-932	114	3	is	be	VERB
ejde-932	114	4	a	a	DET
ejde-932	114	5	real	real	ADJ
ejde-932	114	6	number	number	NOUN
ejde-932	114	7	c	c	NOUN
ejde-932	114	8	>	>	X
ejde-932	114	9	0	0	NUM
ejde-932	114	10	,	,	PUNCT
ejde-932	114	11	for	for	ADP
ejde-932	114	12	for	for	ADP
ejde-932	114	13	all	all	DET
ejde-932	114	14	ε	ε	PROPN
ejde-932	114	15	>	>	PUNCT
ejde-932	114	16	0	0	PUNCT
ejde-932	115	1	and	and	CCONJ
ejde-932	115	2	for	for	ADP
ejde-932	115	3	all	all	PRON
ejde-932	115	4	y	y	PRON
ejde-932	115	5	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	115	6	|dq	|dq	PRON
ejde-932	115	7	,	,	PUNCT
ejde-932	115	8	ωy(s)−	ωy(s)−	PROPN
ejde-932	115	9	f	f	X
ejde-932	115	10	(	(	PUNCT
ejde-932	115	11	s	s	PROPN
ejde-932	115	12	,	,	PUNCT
ejde-932	115	13	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	115	14	)	)	PUNCT
ejde-932	115	15	,	,	PUNCT
ejde-932	115	16	y(θ(s)))|	y(θ(s)))|	PROPN
ejde-932	115	17	≤	≤	PROPN
ejde-932	115	18	ε	ε	PROPN
ejde-932	115	19	,	,	PUNCT
ejde-932	115	20	s	s	PROPN
ejde-932	115	21	∈	∈	PROPN
ejde-932	115	22	i1	i1	PROPN
ejde-932	115	23	,	,	PUNCT
ejde-932	115	24	(	(	PUNCT
ejde-932	115	25	3.1	3.1	NUM
ejde-932	115	26	)	)	PUNCT
ejde-932	115	27	equation	equation	NOUN
ejde-932	115	28	(	(	PUNCT
ejde-932	115	29	1.1	1.1	NUM
ejde-932	115	30	)	)	PUNCT
ejde-932	115	31	has	have	VERB
ejde-932	115	32	a	a	DET
ejde-932	115	33	solution	solution	NOUN
ejde-932	115	34	x	x	PUNCT
ejde-932	115	35	with	with	ADP
ejde-932	115	36	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	115	37	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	115	38	≤	≤	PROPN
ejde-932	116	1	cε	cε	PROPN
ejde-932	116	2	,	,	PUNCT
ejde-932	116	3	∀s	∀s	PROPN
ejde-932	116	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	116	5	i3	i3	NOUN
ejde-932	116	6	.	.	PUNCT
ejde-932	117	1	then	then	ADV
ejde-932	117	2	(	(	PUNCT
ejde-932	117	3	1.1	1.1	NUM
ejde-932	117	4	)	)	PUNCT
ejde-932	117	5	has	have	VERB
ejde-932	117	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	117	7	-	-	PUNCT
ejde-932	117	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	117	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	117	10	on	on	ADP
ejde-932	117	11	i3	i3	NOUN
ejde-932	117	12	.	.	PUNCT
ejde-932	118	1	definition	definition	NOUN
ejde-932	118	2	3.2	3.2	NUM
ejde-932	118	3	(	(	PUNCT
ejde-932	118	4	[	[	X
ejde-932	118	5	28	28	NUM
ejde-932	118	6	]	]	NUM
ejde-932	118	7	)	)	PUNCT
ejde-932	118	8	.	.	PUNCT
ejde-932	119	1	assuming	assume	VERB
ejde-932	119	2	there	there	PRON
ejde-932	119	3	is	be	VERB
ejde-932	119	4	a	a	DET
ejde-932	119	5	function	function	NOUN
ejde-932	119	6	θ	θ	NOUN
ejde-932	119	7	:	:	PUNCT
ejde-932	119	8	r+	r+	NOUN
ejde-932	119	9	→	→	SYM
ejde-932	119	10	r+	r+	NOUN
ejde-932	119	11	and	and	CCONJ
ejde-932	119	12	θ(0	θ(0	PROPN
ejde-932	119	13	)	)	PUNCT
ejde-932	119	14	=	=	SYM
ejde-932	119	15	0	0	NUM
ejde-932	119	16	,	,	PUNCT
ejde-932	119	17	for	for	ADP
ejde-932	119	18	each	each	DET
ejde-932	119	19	solution	solution	NOUN
ejde-932	119	20	y	y	PROPN
ejde-932	119	21	of	of	ADP
ejde-932	119	22	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	119	23	(	(	PUNCT
ejde-932	119	24	3.1	3.1	NUM
ejde-932	119	25	)	)	PUNCT
ejde-932	119	26	,	,	PUNCT
ejde-932	119	27	equation	equation	NOUN
ejde-932	119	28	(	(	PUNCT
ejde-932	119	29	1.1	1.1	NUM
ejde-932	119	30	)	)	PUNCT
ejde-932	119	31	has	have	VERB
ejde-932	119	32	a	a	DET
ejde-932	119	33	solution	solution	NOUN
ejde-932	119	34	x	x	PUNCT
ejde-932	119	35	with	with	ADP
ejde-932	119	36	|y(s)−	|y(s)−	NUM
ejde-932	119	37	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	119	38	≤	≤	PROPN
ejde-932	119	39	θ(ε	θ(ε	PROPN
ejde-932	119	40	)	)	PUNCT
ejde-932	119	41	,	,	PUNCT
ejde-932	119	42	∀s	∀s	PROPN
ejde-932	119	43	∈	∈	PROPN
ejde-932	119	44	i3	i3	NOUN
ejde-932	119	45	.	.	PUNCT
ejde-932	120	1	then	then	ADV
ejde-932	120	2	(	(	PUNCT
ejde-932	120	3	1.1	1.1	NUM
ejde-932	120	4	)	)	PUNCT
ejde-932	120	5	has	have	AUX
ejde-932	120	6	generalized	generalize	VERB
ejde-932	120	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	120	8	-	-	PUNCT
ejde-932	120	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	120	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	120	11	on	on	ADP
ejde-932	120	12	i3	i3	NOUN
ejde-932	120	13	.	.	PUNCT
ejde-932	121	1	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	121	2	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	121	3	type	type	PROPN
ejde-932	121	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	121	5	5	5	NUM
ejde-932	121	6	definition	definition	NOUN
ejde-932	121	7	3.3	3.3	NUM
ejde-932	121	8	(	(	PUNCT
ejde-932	121	9	[	[	X
ejde-932	121	10	28	28	NUM
ejde-932	121	11	]	]	NUM
ejde-932	121	12	)	)	PUNCT
ejde-932	121	13	.	.	PUNCT
ejde-932	122	1	assuming	assume	VERB
ejde-932	122	2	there	there	PRON
ejde-932	122	3	is	be	VERB
ejde-932	122	4	c	c	PROPN
ejde-932	122	5	>	>	X
ejde-932	122	6	0	0	NUM
ejde-932	122	7	,	,	PUNCT
ejde-932	122	8	for	for	ADP
ejde-932	122	9	all	all	PRON
ejde-932	122	10	y	y	PRON
ejde-932	122	11	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	122	12	|dq	|dq	PRON
ejde-932	122	13	,	,	PUNCT
ejde-932	122	14	ωy(s)−	ωy(s)−	PROPN
ejde-932	122	15	f	f	X
ejde-932	122	16	(	(	PUNCT
ejde-932	122	17	s	s	PROPN
ejde-932	122	18	,	,	PUNCT
ejde-932	122	19	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	122	20	)	)	PUNCT
ejde-932	122	21	,	,	PUNCT
ejde-932	122	22	y(θ(s)))|	y(θ(s)))|	PROPN
ejde-932	122	23	≤	≤	PROPN
ejde-932	122	24	εφ(s	εφ(s	PROPN
ejde-932	122	25	)	)	PUNCT
ejde-932	122	26	,	,	PUNCT
ejde-932	122	27	s	s	PROPN
ejde-932	122	28	∈	∈	PROPN
ejde-932	122	29	i1	i1	PROPN
ejde-932	122	30	,	,	PUNCT
ejde-932	122	31	(	(	PUNCT
ejde-932	122	32	3.2	3.2	NUM
ejde-932	122	33	)	)	PUNCT
ejde-932	122	34	equation	equation	NOUN
ejde-932	122	35	(	(	PUNCT
ejde-932	122	36	1.1	1.1	NUM
ejde-932	122	37	)	)	PUNCT
ejde-932	122	38	has	have	VERB
ejde-932	122	39	a	a	DET
ejde-932	122	40	solution	solution	NOUN
ejde-932	122	41	x	x	PUNCT
ejde-932	122	42	with	with	ADP
ejde-932	122	43	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	122	44	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	122	45	≤	≤	VERB
ejde-932	122	46	cεφ(s	cεφ(s	PROPN
ejde-932	122	47	)	)	PUNCT
ejde-932	122	48	,	,	PUNCT
ejde-932	122	49	∀s	∀s	PROPN
ejde-932	122	50	∈	∈	PROPN
ejde-932	122	51	i3	i3	NOUN
ejde-932	122	52	.	.	PUNCT
ejde-932	123	1	then	then	ADV
ejde-932	123	2	(	(	PUNCT
ejde-932	123	3	1.1	1.1	NUM
ejde-932	123	4	)	)	PUNCT
ejde-932	123	5	has	have	VERB
ejde-932	123	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	123	7	-	-	PUNCT
ejde-932	123	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	123	9	-	-	PUNCT
ejde-932	123	10	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	123	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	123	12	with	with	ADP
ejde-932	123	13	respect	respect	NOUN
ejde-932	123	14	to	to	ADP
ejde-932	123	15	φ	φ	PROPN
ejde-932	123	16	on	on	ADP
ejde-932	123	17	i3	i3	NOUN
ejde-932	123	18	.	.	PUNCT
ejde-932	124	1	definition	definition	NOUN
ejde-932	124	2	3.4	3.4	NUM
ejde-932	124	3	(	(	PUNCT
ejde-932	124	4	[	[	X
ejde-932	124	5	28	28	NUM
ejde-932	124	6	]	]	NUM
ejde-932	124	7	)	)	PUNCT
ejde-932	124	8	.	.	PUNCT
ejde-932	125	1	assuming	assume	VERB
ejde-932	125	2	there	there	PRON
ejde-932	125	3	is	be	VERB
ejde-932	125	4	c	c	PROPN
ejde-932	125	5	>	>	X
ejde-932	125	6	0	0	NUM
ejde-932	125	7	,	,	PUNCT
ejde-932	125	8	for	for	ADP
ejde-932	125	9	all	all	PRON
ejde-932	125	10	y	y	PRON
ejde-932	125	11	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	125	12	|dq	|dq	PRON
ejde-932	125	13	,	,	PUNCT
ejde-932	125	14	ωy(s)−	ωy(s)−	PROPN
ejde-932	125	15	f	f	X
ejde-932	125	16	(	(	PUNCT
ejde-932	125	17	s	s	PROPN
ejde-932	125	18	,	,	PUNCT
ejde-932	125	19	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	125	20	)	)	PUNCT
ejde-932	125	21	,	,	PUNCT
ejde-932	125	22	y(θ(s)))|	y(θ(s)))|	PROPN
ejde-932	125	23	≤	≤	PROPN
ejde-932	125	24	φ(s	φ(s	NOUN
ejde-932	125	25	)	)	PUNCT
ejde-932	125	26	,	,	PUNCT
ejde-932	125	27	s	s	PROPN
ejde-932	125	28	∈	∈	PROPN
ejde-932	125	29	i1	i1	PROPN
ejde-932	125	30	,	,	PUNCT
ejde-932	125	31	(	(	PUNCT
ejde-932	125	32	3.3	3.3	NUM
ejde-932	125	33	)	)	PUNCT
ejde-932	125	34	equation	equation	NOUN
ejde-932	125	35	(	(	PUNCT
ejde-932	125	36	1.1	1.1	NUM
ejde-932	125	37	)	)	PUNCT
ejde-932	125	38	has	have	VERB
ejde-932	125	39	a	a	DET
ejde-932	125	40	solution	solution	NOUN
ejde-932	125	41	x	x	PUNCT
ejde-932	125	42	with	with	ADP
ejde-932	125	43	|y(s)−	|y(s)−	NUM
ejde-932	125	44	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	125	45	≤	≤	PROPN
ejde-932	125	46	cφ(s	cφ(s	PROPN
ejde-932	125	47	)	)	PUNCT
ejde-932	125	48	,	,	PUNCT
ejde-932	125	49	∀s	∀s	PROPN
ejde-932	125	50	∈	∈	PROPN
ejde-932	125	51	i3	i3	NOUN
ejde-932	125	52	.	.	PUNCT
ejde-932	126	1	then	then	ADV
ejde-932	126	2	(	(	PUNCT
ejde-932	126	3	1.1	1.1	NUM
ejde-932	126	4	)	)	PUNCT
ejde-932	126	5	has	have	AUX
ejde-932	126	6	generalized	generalize	VERB
ejde-932	126	7	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	126	8	-	-	PUNCT
ejde-932	126	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	126	10	-	-	PUNCT
ejde-932	126	11	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	126	12	stability	stability	NOUN
ejde-932	126	13	with	with	ADP
ejde-932	126	14	respect	respect	NOUN
ejde-932	126	15	to	to	ADP
ejde-932	126	16	φ	φ	PROPN
ejde-932	126	17	on	on	ADP
ejde-932	126	18	i3	i3	PROPN
ejde-932	126	19	.	.	PUNCT
ejde-932	127	1	remark	remark	PROPN
ejde-932	127	2	3.5	3.5	NUM
ejde-932	127	3	.	.	PUNCT
ejde-932	128	1	a	a	DET
ejde-932	128	2	function	function	NOUN
ejde-932	128	3	y	y	PROPN
ejde-932	128	4	satisfies	satisfy	VERB
ejde-932	128	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	128	6	(	(	PUNCT
ejde-932	128	7	3.1	3.1	NUM
ejde-932	128	8	)	)	PUNCT
ejde-932	129	1	if	if	SCONJ
ejde-932	129	2	and	and	CCONJ
ejde-932	129	3	only	only	ADV
ejde-932	129	4	if	if	SCONJ
ejde-932	129	5	there	there	PRON
ejde-932	129	6	is	be	VERB
ejde-932	129	7	a	a	DET
ejde-932	129	8	function	function	NOUN
ejde-932	129	9	β	β	NOUN
ejde-932	129	10	:	:	PUNCT
ejde-932	129	11	r	r	NOUN
ejde-932	129	12	→	→	SYM
ejde-932	129	13	r	r	NOUN
ejde-932	129	14	such	such	ADJ
ejde-932	129	15	that	that	PRON
ejde-932	129	16	(	(	PUNCT
ejde-932	129	17	i	i	NOUN
ejde-932	129	18	)	)	PUNCT
ejde-932	129	19	|β(s)|	|β(s)|	PROPN
ejde-932	129	20	≤	≤	X
ejde-932	129	21	ε	ε	PROPN
ejde-932	129	22	for	for	ADP
ejde-932	129	23	all	all	DET
ejde-932	129	24	s	s	PROPN
ejde-932	129	25	∈	∈	PROPN
ejde-932	129	26	i1	i1	NOUN
ejde-932	129	27	;	;	PUNCT
ejde-932	129	28	(	(	PUNCT
ejde-932	129	29	ii	ii	NOUN
ejde-932	129	30	)	)	PUNCT
ejde-932	129	31	dq	dq	PROPN
ejde-932	129	32	,	,	PUNCT
ejde-932	129	33	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	129	34	)	)	PUNCT
ejde-932	129	35	=	=	SYM
ejde-932	129	36	f	f	X
ejde-932	129	37	(	(	PUNCT
ejde-932	129	38	s	s	PROPN
ejde-932	129	39	,	,	PUNCT
ejde-932	129	40	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	129	41	)	)	PUNCT
ejde-932	129	42	,	,	PUNCT
ejde-932	129	43	y(θ(s	y(θ(s	PROPN
ejde-932	129	44	)	)	PUNCT
ejde-932	129	45	)	)	PUNCT
ejde-932	129	46	)	)	PUNCT
ejde-932	130	1	+	+	CCONJ
ejde-932	130	2	β(s	β(	NOUN
ejde-932	130	3	)	)	PUNCT
ejde-932	130	4	for	for	ADP
ejde-932	130	5	all	all	DET
ejde-932	130	6	s	s	PROPN
ejde-932	130	7	∈	∈	PROPN
ejde-932	130	8	i1	i1	NOUN
ejde-932	130	9	.	.	PUNCT
ejde-932	131	1	the	the	DET
ejde-932	131	2	same	same	ADJ
ejde-932	131	3	statements	statement	NOUN
ejde-932	131	4	apply	apply	VERB
ejde-932	131	5	to	to	ADP
ejde-932	131	6	inequalities	inequality	NOUN
ejde-932	131	7	(	(	PUNCT
ejde-932	131	8	3.2	3.2	NUM
ejde-932	131	9	)	)	PUNCT
ejde-932	131	10	and	and	CCONJ
ejde-932	131	11	(	(	PUNCT
ejde-932	131	12	3.3	3.3	NUM
ejde-932	131	13	)	)	PUNCT
ejde-932	131	14	.	.	PUNCT
ejde-932	132	1	in	in	ADP
ejde-932	132	2	this	this	DET
ejde-932	132	3	article	article	NOUN
ejde-932	132	4	,	,	PUNCT
ejde-932	132	5	we	we	PRON
ejde-932	132	6	use	use	VERB
ejde-932	132	7	the	the	DET
ejde-932	132	8	following	following	ADJ
ejde-932	132	9	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	132	10	:	:	PUNCT
ejde-932	132	11	(	(	PUNCT
ejde-932	132	12	a1	a1	NOUN
ejde-932	132	13	)	)	PUNCT
ejde-932	132	14	there	there	PRON
ejde-932	132	15	is	be	VERB
ejde-932	132	16	a	a	DET
ejde-932	132	17	real	real	ADJ
ejde-932	132	18	number	number	NOUN
ejde-932	132	19	lf	lf	ADP
ejde-932	132	20	>	>	X
ejde-932	132	21	0	0	NUM
ejde-932	132	22	such	such	ADJ
ejde-932	132	23	that	that	PRON
ejde-932	132	24	for	for	ADP
ejde-932	132	25	all	all	DET
ejde-932	132	26	s	s	PROPN
ejde-932	132	27	∈	∈	PROPN
ejde-932	132	28	i1	i1	PROPN
ejde-932	132	29	,	,	PUNCT
ejde-932	132	30	xj	xj	PROPN
ejde-932	132	31	,	,	PUNCT
ejde-932	133	1	yj	yj	PROPN
ejde-932	133	2	∈	∈	PROPN
ejde-932	133	3	r	r	PROPN
ejde-932	133	4	,	,	PUNCT
ejde-932	133	5	j	j	PROPN
ejde-932	133	6	=	=	SYM
ejde-932	133	7	1	1	NUM
ejde-932	133	8	,	,	PUNCT
ejde-932	133	9	2	2	NUM
ejde-932	133	10	,	,	PUNCT
ejde-932	133	11	|f	|f	PROPN
ejde-932	133	12	(	(	PUNCT
ejde-932	133	13	s	s	PROPN
ejde-932	133	14	,	,	PUNCT
ejde-932	133	15	x1	x1	PROPN
ejde-932	133	16	,	,	PUNCT
ejde-932	133	17	x2)−	x2)−	ADJ
ejde-932	133	18	f	f	X
ejde-932	133	19	(	(	PUNCT
ejde-932	133	20	s	s	PROPN
ejde-932	133	21	,	,	PUNCT
ejde-932	133	22	y1	y1	PROPN
ejde-932	133	23	,	,	PUNCT
ejde-932	133	24	y2)|	y2)|	PROPN
ejde-932	133	25	≤	≤	PROPN
ejde-932	133	26	lf	lf	ADP
ejde-932	133	27	2∑	2∑	NUM
ejde-932	133	28	j=1	j=1	NOUN
ejde-932	133	29	|xj	|xj	NUM
ejde-932	133	30	−	−	PROPN
ejde-932	133	31	yj	yj	PROPN
ejde-932	133	32	|	|	NOUN
ejde-932	133	33	.	.	PUNCT
ejde-932	134	1	(	(	PUNCT
ejde-932	134	2	a2	a2	PROPN
ejde-932	134	3	)	)	PUNCT
ejde-932	134	4	b−	b−	PROPN
ejde-932	134	5	ω0	ω0	VERB
ejde-932	134	6	<	<	X
ejde-932	134	7	1	1	NUM
ejde-932	134	8	2lf	2lf	NOUN
ejde-932	134	9	.	.	PUNCT
ejde-932	135	1	(	(	PUNCT
ejde-932	135	2	a3	a3	NOUN
ejde-932	135	3	)	)	PUNCT
ejde-932	135	4	φ	φ	PROPN
ejde-932	135	5	:	:	PUNCT
ejde-932	135	6	i1	i1	PROPN
ejde-932	135	7	→	→	PUNCT
ejde-932	135	8	r	r	NOUN
ejde-932	135	9	is	be	AUX
ejde-932	135	10	increasing	increase	VERB
ejde-932	135	11	and	and	CCONJ
ejde-932	135	12	continuous	continuous	ADJ
ejde-932	135	13	at	at	ADP
ejde-932	135	14	s	s	NOUN
ejde-932	135	15	=	=	NOUN
ejde-932	135	16	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	135	17	.	.	PUNCT
ejde-932	136	1	theorem	theorem	VERB
ejde-932	136	2	3.6	3.6	NUM
ejde-932	136	3	.	.	PUNCT
ejde-932	137	1	under	under	ADP
ejde-932	137	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	137	3	(	(	PUNCT
ejde-932	137	4	a1	a1	NOUN
ejde-932	137	5	)	)	PUNCT
ejde-932	137	6	,	,	PUNCT
ejde-932	137	7	(	(	PUNCT
ejde-932	137	8	a2	a2	PROPN
ejde-932	137	9	)	)	PUNCT
ejde-932	137	10	,	,	PUNCT
ejde-932	137	11	equaton	equaton	NOUN
ejde-932	137	12	(	(	PUNCT
ejde-932	137	13	1.1	1.1	NUM
ejde-932	137	14	)	)	PUNCT
ejde-932	137	15	has	have	VERB
ejde-932	137	16	(	(	PUNCT
ejde-932	137	17	i	i	NOUN
ejde-932	137	18	)	)	PUNCT
ejde-932	137	19	a	a	DET
ejde-932	137	20	unique	unique	ADJ
ejde-932	137	21	solution	solution	NOUN
ejde-932	137	22	on	on	ADP
ejde-932	137	23	i3	i3	NOUN
ejde-932	137	24	,	,	PUNCT
ejde-932	137	25	and	and	CCONJ
ejde-932	137	26	(	(	PUNCT
ejde-932	137	27	ii	ii	NOUN
ejde-932	137	28	)	)	PUNCT
ejde-932	137	29	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	137	30	-	-	PUNCT
ejde-932	137	31	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	137	32	stability	stability	NOUN
ejde-932	137	33	on	on	ADP
ejde-932	137	34	i3	i3	NOUN
ejde-932	137	35	.	.	PUNCT
ejde-932	138	1	proof	proof	NOUN
ejde-932	138	2	.	.	PUNCT
ejde-932	139	1	(	(	PUNCT
ejde-932	139	2	i	i	NOUN
ejde-932	139	3	)	)	PUNCT
ejde-932	139	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	139	5	(	(	PUNCT
ejde-932	139	6	1.1	1.1	NUM
ejde-932	139	7	)	)	PUNCT
ejde-932	139	8	is	be	AUX
ejde-932	139	9	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-932	139	10	to	to	ADP
ejde-932	139	11	the	the	DET
ejde-932	139	12	hahn	hahn	ADJ
ejde-932	139	13	integral	integral	ADJ
ejde-932	139	14	equation	equation	NOUN
ejde-932	139	15	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	139	16	)	)	PUNCT
ejde-932	140	1	=	=	PRON
ejde-932	140	2	{	{	PUNCT
ejde-932	140	3	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	140	4	)	)	PUNCT
ejde-932	140	5	,	,	PUNCT
ejde-932	140	6	s	s	PROPN
ejde-932	140	7	∈	∈	PROPN
ejde-932	140	8	i2	i2	PROPN
ejde-932	140	9	,	,	PUNCT
ejde-932	140	10	y(ω0	y(ω0	ADJ
ejde-932	140	11	)	)	PUNCT
ejde-932	140	12	+	+	CCONJ
ejde-932	140	13	∫	∫	PROPN
ejde-932	140	14	s	s	PART
ejde-932	140	15	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	140	16	f	f	PROPN
ejde-932	140	17	(	(	PUNCT
ejde-932	140	18	s1	s1	PROPN
ejde-932	140	19	,	,	PUNCT
ejde-932	140	20	x(s1	x(s1	X
ejde-932	140	21	)	)	PUNCT
ejde-932	140	22	,	,	PUNCT
ejde-932	140	23	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	140	24	,	,	PUNCT
ejde-932	140	25	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	140	26	,	,	PUNCT
ejde-932	140	27	s	s	PROPN
ejde-932	140	28	∈	∈	PROPN
ejde-932	140	29	i1	i1	PROPN
ejde-932	140	30	.	.	PUNCT
ejde-932	141	1	(	(	PUNCT
ejde-932	141	2	3.4	3.4	NUM
ejde-932	141	3	)	)	PUNCT
ejde-932	141	4	we	we	PRON
ejde-932	141	5	consider	consider	VERB
ejde-932	141	6	the	the	DET
ejde-932	141	7	mapping	mapping	NOUN
ejde-932	141	8	g	g	NOUN
ejde-932	141	9	:	:	PUNCT
ejde-932	141	10	s(i3,r	s(i3,r	X
ejde-932	141	11	)	)	PUNCT
ejde-932	141	12	→	→	SYM
ejde-932	141	13	s(i3,r	s(i3,r	ADJ
ejde-932	141	14	)	)	PUNCT
ejde-932	141	15	as	as	ADP
ejde-932	141	16	(	(	PUNCT
ejde-932	141	17	gx)(s	gx)(s	NOUN
ejde-932	141	18	)	)	PUNCT
ejde-932	141	19	=	=	PRON
ejde-932	141	20	{	{	PUNCT
ejde-932	141	21	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	141	22	)	)	PUNCT
ejde-932	141	23	,	,	PUNCT
ejde-932	141	24	s	s	PROPN
ejde-932	141	25	∈	∈	PROPN
ejde-932	141	26	i2	i2	PROPN
ejde-932	141	27	,	,	PUNCT
ejde-932	141	28	y(ω0	y(ω0	ADJ
ejde-932	141	29	)	)	PUNCT
ejde-932	142	1	+	+	CCONJ
ejde-932	142	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	142	3	s	s	PART
ejde-932	142	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	142	5	f	f	PROPN
ejde-932	142	6	(	(	PUNCT
ejde-932	142	7	s1	s1	PROPN
ejde-932	142	8	,	,	PUNCT
ejde-932	142	9	x(s1	x(s1	X
ejde-932	142	10	)	)	PUNCT
ejde-932	142	11	,	,	PUNCT
ejde-932	142	12	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	142	13	,	,	PUNCT
ejde-932	142	14	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	142	15	,	,	PUNCT
ejde-932	142	16	s	s	PROPN
ejde-932	142	17	∈	∈	PROPN
ejde-932	142	18	i1	i1	PROPN
ejde-932	142	19	.	.	PUNCT
ejde-932	143	1	for	for	ADP
ejde-932	143	2	all	all	DET
ejde-932	143	3	v	v	ADP
ejde-932	143	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	143	5	s(i3,r	s(i3,r	X
ejde-932	143	6	)	)	PUNCT
ejde-932	143	7	,	,	PUNCT
ejde-932	143	8	we	we	PRON
ejde-932	143	9	have	have	VERB
ejde-932	143	10	|(gu)(s)−	|(gu)(s)−	PROPN
ejde-932	143	11	(	(	PUNCT
ejde-932	143	12	gv)(s)|	gv)(s)|	X
ejde-932	143	13	≤	≤	PROPN
ejde-932	143	14	∫	∫	PROPN
ejde-932	143	15	s	s	PART
ejde-932	143	16	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	143	17	|f	|f	PROPN
ejde-932	143	18	(	(	PUNCT
ejde-932	143	19	s1	s1	NOUN
ejde-932	143	20	,	,	PUNCT
ejde-932	143	21	u(s1	u(s1	ADJ
ejde-932	143	22	)	)	PUNCT
ejde-932	143	23	,	,	PUNCT
ejde-932	143	24	u(θ(s1)))−	u(θ(s1)))−	PROPN
ejde-932	143	25	f	f	X
ejde-932	143	26	(	(	PUNCT
ejde-932	143	27	s1	s1	PROPN
ejde-932	143	28	,	,	PUNCT
ejde-932	143	29	v(s1	v(s1	NOUN
ejde-932	143	30	)	)	PUNCT
ejde-932	143	31	,	,	PUNCT
ejde-932	143	32	v(θ(s1)))|dq	v(θ(s1)))|dq	PROPN
ejde-932	143	33	,	,	PUNCT
ejde-932	143	34	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	143	35	≤	≤	NUM
ejde-932	143	36	∫	∫	PROPN
ejde-932	143	37	s	s	PART
ejde-932	143	38	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	143	39	2lf	2lf	ADJ
ejde-932	143	40	max	max	PROPN
ejde-932	143	41	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	143	42	|u(s)−	|u(s)−	VERB
ejde-932	143	43	v(s)|dq	v(s)|dq	PROPN
ejde-932	143	44	,	,	PUNCT
ejde-932	143	45	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	143	46	≤	≤	NUM
ejde-932	143	47	2lf	2lf	ADJ
ejde-932	143	48	(	(	PUNCT
ejde-932	143	49	b−	b−	PROPN
ejde-932	143	50	ω0)max	ω0)max	PROPN
ejde-932	143	51	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	143	52	|u(s)−	|u(s)−	PUNCT
ejde-932	143	53	v(s)|	v(s)|	X
ejde-932	143	54	.	.	PUNCT
ejde-932	144	1	by	by	ADP
ejde-932	144	2	(	(	PUNCT
ejde-932	144	3	a2	a2	PROPN
ejde-932	144	4	)	)	PUNCT
ejde-932	144	5	and	and	CCONJ
ejde-932	144	6	the	the	DET
ejde-932	144	7	banach	banach	ADV
ejde-932	144	8	fixed	fix	VERB
ejde-932	144	9	point	point	NOUN
ejde-932	144	10	theorem	theorem	VERB
ejde-932	144	11	,	,	PUNCT
ejde-932	144	12	equation	equation	NOUN
ejde-932	144	13	(	(	PUNCT
ejde-932	144	14	1.1	1.1	NUM
ejde-932	144	15	)	)	PUNCT
ejde-932	144	16	has	have	VERB
ejde-932	144	17	a	a	DET
ejde-932	144	18	unique	unique	ADJ
ejde-932	144	19	solution	solution	NOUN
ejde-932	144	20	on	on	ADP
ejde-932	144	21	i3	i3	NOUN
ejde-932	144	22	.	.	PUNCT
ejde-932	145	1	6	6	NUM
ejde-932	145	2	k.	k.	PROPN
ejde-932	145	3	chen	chen	PROPN
ejde-932	145	4	,	,	PUNCT
ejde-932	145	5	j.	j.	PROPN
ejde-932	145	6	wang	wang	PROPN
ejde-932	145	7	ejde-2024/77	ejde-2024/77	PROPN
ejde-932	145	8	(	(	PUNCT
ejde-932	145	9	ii	ii	NOUN
ejde-932	145	10	)	)	PUNCT
ejde-932	145	11	let	let	VERB
ejde-932	145	12	y	y	PRON
ejde-932	145	13	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	145	14	(	(	PUNCT
ejde-932	145	15	3.1	3.1	NUM
ejde-932	145	16	)	)	PUNCT
ejde-932	145	17	and	and	CCONJ
ejde-932	145	18	x	x	AUX
ejde-932	145	19	represent	represent	VERB
ejde-932	145	20	the	the	DET
ejde-932	145	21	unique	unique	ADJ
ejde-932	145	22	solution	solution	NOUN
ejde-932	145	23	of	of	ADP
ejde-932	145	24	(	(	PUNCT
ejde-932	145	25	1.1	1.1	NUM
ejde-932	145	26	)	)	PUNCT
ejde-932	145	27	.	.	PUNCT
ejde-932	146	1	then	then	ADV
ejde-932	146	2	we	we	PRON
ejde-932	146	3	can	can	AUX
ejde-932	146	4	get	get	VERB
ejde-932	146	5	(	(	PUNCT
ejde-932	146	6	3.4	3.4	NUM
ejde-932	146	7	)	)	PUNCT
ejde-932	146	8	.	.	PUNCT
ejde-932	147	1	consequently	consequently	ADV
ejde-932	147	2	,	,	PUNCT
ejde-932	147	3	by	by	ADP
ejde-932	147	4	remark	remark	NOUN
ejde-932	147	5	3.5	3.5	NUM
ejde-932	147	6	,	,	PUNCT
ejde-932	147	7	we	we	PRON
ejde-932	147	8	obtain	obtain	VERB
ejde-932	147	9	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	147	10	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	148	1	≤	≤	NUM
ejde-932	148	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	148	3	s	s	PROPN
ejde-932	148	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	148	5	|β(s1)|dq	|β(s1)|dq	NOUN
ejde-932	148	6	,	,	PUNCT
ejde-932	148	7	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	148	8	+	+	X
ejde-932	149	1	|	|	ADV
ejde-932	149	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	149	3	s	s	PART
ejde-932	149	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	149	5	f	f	PROPN
ejde-932	149	6	(	(	PUNCT
ejde-932	149	7	s1	s1	NOUN
ejde-932	149	8	,	,	PUNCT
ejde-932	149	9	y(s1	y(s1	NOUN
ejde-932	149	10	)	)	PUNCT
ejde-932	149	11	,	,	PUNCT
ejde-932	149	12	y(θ(s1)))−	y(θ(s1)))−	PROPN
ejde-932	149	13	f	f	X
ejde-932	149	14	(	(	PUNCT
ejde-932	149	15	s1	s1	NOUN
ejde-932	149	16	,	,	PUNCT
ejde-932	149	17	x(s1	x(s1	X
ejde-932	149	18	)	)	PUNCT
ejde-932	149	19	,	,	PUNCT
ejde-932	149	20	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	149	21	,	,	PUNCT
ejde-932	149	22	ωs1|	ωs1|	X
ejde-932	149	23	≤	≤	NUM
ejde-932	149	24	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	149	25	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	149	26	)	)	PUNCT
ejde-932	150	1	+	+	CCONJ
ejde-932	150	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	150	3	s	s	PART
ejde-932	150	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	150	5	lf	lf	NOUN
ejde-932	150	6	(	(	PUNCT
ejde-932	150	7	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	150	8	x(s1)|+	x(s1)|+	PROPN
ejde-932	150	9	|y(θ(s1))−	|y(θ(s1))−	PROPN
ejde-932	150	10	x(θ(s1))|)dq	x(θ(s1))|)dq	PROPN
ejde-932	150	11	,	,	PUNCT
ejde-932	150	12	ωs1	ωs1	PROPN
ejde-932	150	13	.	.	PUNCT
ejde-932	150	14	(	(	PUNCT
ejde-932	150	15	3.5	3.5	NUM
ejde-932	150	16	)	)	PUNCT
ejde-932	150	17	let	let	VERB
ejde-932	150	18	us	we	PRON
ejde-932	150	19	define	define	VERB
ejde-932	150	20	v	v	ADP
ejde-932	150	21	:	:	PUNCT
ejde-932	150	22	s(i3,r+	s(i3,r+	NUM
ejde-932	150	23	)	)	PUNCT
ejde-932	150	24	→	→	SYM
ejde-932	150	25	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	150	26	)	)	PUNCT
ejde-932	150	27	by	by	ADP
ejde-932	150	28	(	(	PUNCT
ejde-932	150	29	v	v	NOUN
ejde-932	150	30	u)(s	u)(s	NOUN
ejde-932	150	31	)	)	PUNCT
ejde-932	151	1	=	=	PRON
ejde-932	151	2	{	{	PUNCT
ejde-932	151	3	0	0	NUM
ejde-932	151	4	,	,	PUNCT
ejde-932	151	5	s	s	PROPN
ejde-932	151	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	151	7	i2	i2	PROPN
ejde-932	151	8	,	,	PUNCT
ejde-932	151	9	ε(s−	ε(s−	PROPN
ejde-932	151	10	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	151	11	)	)	PUNCT
ejde-932	152	1	+	+	CCONJ
ejde-932	153	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	153	2	s	s	PART
ejde-932	153	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	153	4	lf	lf	NOUN
ejde-932	153	5	(	(	PUNCT
ejde-932	153	6	u(s1	u(s1	ADJ
ejde-932	153	7	)	)	PUNCT
ejde-932	153	8	+	+	CCONJ
ejde-932	153	9	u(θ(s1)))dq	u(θ(s1)))dq	ADJ
ejde-932	153	10	,	,	PUNCT
ejde-932	153	11	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	153	12	,	,	PUNCT
ejde-932	153	13	s	s	PROPN
ejde-932	153	14	∈	∈	PROPN
ejde-932	153	15	i1	i1	PROPN
ejde-932	153	16	.	.	PUNCT
ejde-932	154	1	for	for	ADP
ejde-932	154	2	all	all	DET
ejde-932	154	3	u	u	NOUN
ejde-932	154	4	,	,	PUNCT
ejde-932	154	5	v	v	ADP
ejde-932	154	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	154	7	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	154	8	)	)	PUNCT
ejde-932	154	9	,	,	PUNCT
ejde-932	154	10	we	we	PRON
ejde-932	154	11	have	have	VERB
ejde-932	154	12	|(v	|(v	PROPN
ejde-932	154	13	u)(s)−	u)(s)−	ADJ
ejde-932	154	14	(	(	PUNCT
ejde-932	154	15	v	v	NUM
ejde-932	154	16	v)(s)|	v)(s)|	PROPN
ejde-932	154	17	≤	≤	NUM
ejde-932	154	18	∫	∫	PROPN
ejde-932	154	19	s	s	PART
ejde-932	154	20	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	154	21	lf	lf	NOUN
ejde-932	154	22	(	(	PUNCT
ejde-932	154	23	|u(s1)−	|u(s1)−	PROPN
ejde-932	154	24	v(s1)|+	v(s1)|+	PROPN
ejde-932	154	25	|u(θ(s1))−	|u(θ(s1))−	PROPN
ejde-932	154	26	v(θ(s1))|)dq	v(θ(s1))|)dq	NOUN
ejde-932	154	27	,	,	PUNCT
ejde-932	154	28	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	154	29	≤	≤	NUM
ejde-932	154	30	2lf	2lf	ADJ
ejde-932	154	31	(	(	PUNCT
ejde-932	154	32	b−	b−	PROPN
ejde-932	154	33	ω0)max	ω0)max	PROPN
ejde-932	154	34	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	154	35	|u(s)−	|u(s)−	PUNCT
ejde-932	155	1	v(s)|	v(s)|	PROPN
ejde-932	155	2	.	.	PUNCT
ejde-932	156	1	then	then	ADV
ejde-932	156	2	v	v	NOUN
ejde-932	156	3	is	be	AUX
ejde-932	156	4	a	a	DET
ejde-932	156	5	contraction	contraction	NOUN
ejde-932	156	6	mapping	mapping	NOUN
ejde-932	156	7	in	in	ADP
ejde-932	156	8	s(i3,r+	s(i3,r+	PROPN
ejde-932	156	9	)	)	PUNCT
ejde-932	156	10	.	.	PUNCT
ejde-932	157	1	for	for	ADP
ejde-932	157	2	all	all	DET
ejde-932	157	3	u1	u1	NOUN
ejde-932	157	4	,	,	PUNCT
ejde-932	157	5	v1	v1	PROPN
ejde-932	157	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	157	7	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	157	8	)	)	PUNCT
ejde-932	157	9	,	,	PUNCT
ejde-932	157	10	we	we	PRON
ejde-932	157	11	can	can	AUX
ejde-932	157	12	also	also	ADV
ejde-932	157	13	obtain	obtain	VERB
ejde-932	157	14	|(v	|(v	PROPN
ejde-932	157	15	u1)(s)−	u1)(s)−	PROPN
ejde-932	157	16	(	(	PUNCT
ejde-932	157	17	v	v	NOUN
ejde-932	157	18	v1)(s)|	v1)(s)|	NOUN
ejde-932	157	19	≤	≤	NOUN
ejde-932	157	20	2lf	2lf	ADJ
ejde-932	157	21	(	(	PUNCT
ejde-932	157	22	b−	b−	PROPN
ejde-932	157	23	ω0)max	ω0)max	PROPN
ejde-932	157	24	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	157	25	|u1(s)−	|u1(s)−	VERB
ejde-932	158	1	v1(s)|	v1(s)|	PROPN
ejde-932	158	2	.	.	PUNCT
ejde-932	159	1	then	then	ADV
ejde-932	159	2	v	v	NOUN
ejde-932	159	3	is	be	AUX
ejde-932	159	4	also	also	ADV
ejde-932	159	5	a	a	DET
ejde-932	159	6	contraction	contraction	NOUN
ejde-932	159	7	mapping	mapping	NOUN
ejde-932	159	8	in	in	ADP
ejde-932	159	9	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	159	10	)	)	PUNCT
ejde-932	159	11	.	.	PUNCT
ejde-932	160	1	thus	thus	ADV
ejde-932	160	2	,	,	PUNCT
ejde-932	160	3	according	accord	VERB
ejde-932	160	4	to	to	ADP
ejde-932	160	5	banach	banach	ADV
ejde-932	160	6	fixed	fix	VERB
ejde-932	160	7	theorem	theorem	VERB
ejde-932	160	8	,	,	PUNCT
ejde-932	160	9	v	v	X
ejde-932	160	10	has	have	VERB
ejde-932	160	11	the	the	DET
ejde-932	160	12	unique	unique	ADJ
ejde-932	160	13	fixed	fix	VERB
ejde-932	160	14	point	point	NOUN
ejde-932	160	15	u∗	u∗	PROPN
ejde-932	160	16	∈	∈	PROPN
ejde-932	160	17	s1(i3,r+	s1(i3,r+	X
ejde-932	160	18	)	)	PUNCT
ejde-932	160	19	in	in	ADP
ejde-932	160	20	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	160	21	)	)	PUNCT
ejde-932	160	22	.	.	PUNCT
ejde-932	161	1	we	we	PRON
ejde-932	161	2	obtain	obtain	VERB
ejde-932	161	3	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	161	4	)	)	PUNCT
ejde-932	161	5	=	=	SYM
ejde-932	161	6	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	161	7	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	161	8	)	)	PUNCT
ejde-932	162	1	+	+	CCONJ
ejde-932	163	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	163	2	s	s	PART
ejde-932	163	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	163	4	lf	lf	NOUN
ejde-932	163	5	(	(	PUNCT
ejde-932	163	6	u	u	NOUN
ejde-932	163	7	∗(s1	∗(s1	PROPN
ejde-932	163	8	)	)	PUNCT
ejde-932	163	9	+	+	SYM
ejde-932	163	10	u∗(θ(s1)))dq	u∗(θ(s1)))dq	NUM
ejde-932	163	11	,	,	PUNCT
ejde-932	163	12	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	163	13	,	,	PUNCT
ejde-932	163	14	s	s	PROPN
ejde-932	163	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	163	16	i1	i1	PROPN
ejde-932	163	17	.	.	PUNCT
ejde-932	164	1	since	since	SCONJ
ejde-932	164	2	u∗	u∗	PROPN
ejde-932	164	3	∈	∈	PROPN
ejde-932	164	4	s1(i3,r+	s1(i3,r+	PROPN
ejde-932	164	5	)	)	PUNCT
ejde-932	164	6	is	be	AUX
ejde-932	164	7	increasing	increase	VERB
ejde-932	164	8	,	,	PUNCT
ejde-932	164	9	we	we	PRON
ejde-932	164	10	have	have	VERB
ejde-932	164	11	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	164	12	)	)	PUNCT
ejde-932	164	13	≤	≤	NUM
ejde-932	164	14	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	164	15	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	164	16	)	)	PUNCT
ejde-932	165	1	+	+	CCONJ
ejde-932	165	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	165	3	s	s	PART
ejde-932	165	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	165	5	2lfu	2lfu	PROPN
ejde-932	165	6	∗(s1)dq	∗(s1)dq	PROPN
ejde-932	165	7	,	,	PUNCT
ejde-932	165	8	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	165	9	,	,	PUNCT
ejde-932	165	10	s	s	PROPN
ejde-932	165	11	∈	∈	PROPN
ejde-932	165	12	i1	i1	PROPN
ejde-932	165	13	.	.	PUNCT
ejde-932	166	1	(	(	PUNCT
ejde-932	166	2	3.6	3.6	NUM
ejde-932	166	3	)	)	PUNCT
ejde-932	166	4	by	by	ADP
ejde-932	166	5	using	use	VERB
ejde-932	166	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	166	7	2.5	2.5	NUM
ejde-932	166	8	(	(	PUNCT
ejde-932	166	9	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-932	166	10	’s	’s	PART
ejde-932	166	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	166	12	)	)	PUNCT
ejde-932	166	13	,	,	PUNCT
ejde-932	166	14	from	from	ADP
ejde-932	166	15	(	(	PUNCT
ejde-932	166	16	3.6	3.6	NUM
ejde-932	166	17	)	)	PUNCT
ejde-932	166	18	it	it	PRON
ejde-932	166	19	follows	follow	VERB
ejde-932	166	20	that	that	SCONJ
ejde-932	166	21	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	166	22	)	)	PUNCT
ejde-932	166	23	≤	≤	NUM
ejde-932	166	24	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	166	25	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	166	26	)	)	PUNCT
ejde-932	167	1	+	+	CCONJ
ejde-932	167	2	e2lf	e2lf	X
ejde-932	167	3	(	(	PUNCT
ejde-932	167	4	s)2lf	s)2lf	ADJ
ejde-932	167	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	167	6	s	s	PART
ejde-932	167	7	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	167	8	e−2lf	e−2lf	NOUN
ejde-932	167	9	(	(	PUNCT
ejde-932	167	10	σ(s1))ε(s1	σ(s1))ε(s1	PROPN
ejde-932	167	11	−	−	PROPN
ejde-932	167	12	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	167	13	,	,	PUNCT
ejde-932	167	14	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	167	15	.	.	PUNCT
ejde-932	167	16	therefore	therefore	ADV
ejde-932	167	17	,	,	PUNCT
ejde-932	167	18	based	base	VERB
ejde-932	167	19	on	on	ADP
ejde-932	167	20	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	167	21	2.4	2.4	NUM
ejde-932	167	22	,	,	PUNCT
ejde-932	167	23	we	we	PRON
ejde-932	167	24	get	get	VERB
ejde-932	167	25	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	167	26	)	)	PUNCT
ejde-932	167	27	≤	≤	NUM
ejde-932	168	1	ε(s−	ε(s−	ADP
ejde-932	168	2	ω0)−	ω0)−	X
ejde-932	168	3	e2lf	e2lf	X
ejde-932	168	4	(	(	PUNCT
ejde-932	168	5	s	s	X
ejde-932	168	6	)	)	PUNCT
ejde-932	168	7	∫	∫	PROPN
ejde-932	168	8	s	s	PROPN
ejde-932	168	9	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	168	10	dq	dq	NOUN
ejde-932	168	11	,	,	PUNCT
ejde-932	168	12	ω(e−2lf	ω(e−2lf	NOUN
ejde-932	168	13	(	(	PUNCT
ejde-932	168	14	s1))ε(s1	s1))ε(s1	X
ejde-932	168	15	−	−	PROPN
ejde-932	168	16	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	168	17	,	,	PUNCT
ejde-932	168	18	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	168	19	≤	≤	NOUN
ejde-932	168	20	ε(e2lf	ε(e2lf	NUM
ejde-932	168	21	(	(	PUNCT
ejde-932	168	22	b)−	b)−	PROPN
ejde-932	168	23	1	1	NUM
ejde-932	168	24	)	)	PUNCT
ejde-932	168	25	2lf	2lf	NOUN
ejde-932	168	26	.	.	PUNCT
ejde-932	169	1	let	let	VERB
ejde-932	169	2	u	u	PRON
ejde-932	169	3	=	=	NOUN
ejde-932	169	4	|y	|y	NOUN
ejde-932	169	5	−	−	PROPN
ejde-932	169	6	x|	x|	PROPN
ejde-932	169	7	.	.	PUNCT
ejde-932	170	1	according	accord	VERB
ejde-932	170	2	to	to	ADP
ejde-932	170	3	(	(	PUNCT
ejde-932	170	4	3.5	3.5	NUM
ejde-932	170	5	)	)	PUNCT
ejde-932	170	6	,	,	PUNCT
ejde-932	170	7	we	we	PRON
ejde-932	170	8	have	have	VERB
ejde-932	170	9	u	u	NOUN
ejde-932	170	10	≤	≤	NUM
ejde-932	170	11	v	v	NOUN
ejde-932	170	12	(	(	PUNCT
ejde-932	170	13	u	u	NOUN
ejde-932	170	14	)	)	PUNCT
ejde-932	170	15	.	.	PUNCT
ejde-932	171	1	by	by	ADP
ejde-932	171	2	using	use	VERB
ejde-932	171	3	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	171	4	2.6	2.6	NUM
ejde-932	171	5	,	,	PUNCT
ejde-932	171	6	we	we	PRON
ejde-932	171	7	obtain	obtain	VERB
ejde-932	171	8	u(s	u(s	PRON
ejde-932	171	9	)	)	PUNCT
ejde-932	171	10	≤	≤	NUM
ejde-932	171	11	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	171	12	)	)	PUNCT
ejde-932	171	13	,	,	PUNCT
ejde-932	171	14	s	s	PROPN
ejde-932	171	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	171	16	i1	i1	PROPN
ejde-932	171	17	.	.	PUNCT
ejde-932	172	1	ejde-2024/77	ejde-2024/77	PROPN
ejde-932	172	2	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	172	3	type	type	PROPN
ejde-932	172	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	172	5	7	7	NUM
ejde-932	172	6	then	then	ADV
ejde-932	172	7	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	172	8	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	173	1	≤	≤	PROPN
ejde-932	173	2	ε(e2lf	ε(e2lf	NUM
ejde-932	173	3	(	(	PUNCT
ejde-932	173	4	b)−	b)−	PROPN
ejde-932	173	5	1	1	NUM
ejde-932	173	6	)	)	PUNCT
ejde-932	173	7	2lf	2lf	NOUN
ejde-932	173	8	,	,	PUNCT
ejde-932	173	9	s	s	PROPN
ejde-932	173	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	173	11	i1	i1	PROPN
ejde-932	173	12	.	.	PUNCT
ejde-932	174	1	thus	thus	ADV
ejde-932	174	2	equation	equation	NOUN
ejde-932	174	3	(	(	PUNCT
ejde-932	174	4	1.1	1.1	NUM
ejde-932	174	5	)	)	PUNCT
ejde-932	174	6	has	have	VERB
ejde-932	174	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	174	8	-	-	PUNCT
ejde-932	174	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	174	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	174	11	on	on	ADP
ejde-932	174	12	i3	i3	NOUN
ejde-932	174	13	.	.	PUNCT
ejde-932	175	1	□	□	PUNCT
ejde-932	175	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-932	175	3	3.7	3.7	NUM
ejde-932	175	4	.	.	PUNCT
ejde-932	176	1	under	under	ADP
ejde-932	176	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	176	3	(	(	PUNCT
ejde-932	176	4	a1)–(a3	a1)–(a3	NOUN
ejde-932	176	5	)	)	PUNCT
ejde-932	176	6	,	,	PUNCT
ejde-932	176	7	equation	equation	NOUN
ejde-932	176	8	(	(	PUNCT
ejde-932	176	9	1.1	1.1	NUM
ejde-932	176	10	)	)	PUNCT
ejde-932	176	11	has	have	AUX
ejde-932	176	12	generalized	generalize	VERB
ejde-932	176	13	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	176	14	-	-	PUNCT
ejde-932	176	15	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	176	16	stability	stability	NOUN
ejde-932	176	17	on	on	ADP
ejde-932	176	18	i3	i3	NOUN
ejde-932	176	19	.	.	PUNCT
ejde-932	177	1	theorem	theorem	VERB
ejde-932	177	2	3.8	3.8	NUM
ejde-932	177	3	.	.	PUNCT
ejde-932	178	1	under	under	ADP
ejde-932	178	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	178	3	(	(	PUNCT
ejde-932	178	4	a1)–(a3	a1)–(a3	NOUN
ejde-932	178	5	)	)	PUNCT
ejde-932	178	6	,	,	PUNCT
ejde-932	178	7	equation	equation	NOUN
ejde-932	178	8	(	(	PUNCT
ejde-932	178	9	1.1	1.1	NUM
ejde-932	178	10	)	)	PUNCT
ejde-932	178	11	has	have	VERB
ejde-932	178	12	ulam	ulam	X
ejde-932	178	13	-	-	PUNCT
ejde-932	178	14	hyersrassias	hyersrassias	PROPN
ejde-932	178	15	stability	stability	NOUN
ejde-932	178	16	with	with	ADP
ejde-932	178	17	respect	respect	NOUN
ejde-932	178	18	to	to	ADP
ejde-932	178	19	φ	φ	PROPN
ejde-932	178	20	on	on	ADP
ejde-932	178	21	i3	i3	NOUN
ejde-932	178	22	.	.	PUNCT
ejde-932	179	1	proof	proof	NOUN
ejde-932	179	2	.	.	PUNCT
ejde-932	180	1	by	by	ADP
ejde-932	180	2	theorem	theorem	ADJ
ejde-932	180	3	3.6	3.6	NUM
ejde-932	180	4	(	(	PUNCT
ejde-932	180	5	i	i	NOUN
ejde-932	180	6	)	)	PUNCT
ejde-932	180	7	,	,	PUNCT
ejde-932	180	8	equation	equation	NOUN
ejde-932	180	9	(	(	PUNCT
ejde-932	180	10	1.1	1.1	NUM
ejde-932	180	11	)	)	PUNCT
ejde-932	180	12	has	have	VERB
ejde-932	180	13	the	the	DET
ejde-932	180	14	unique	unique	ADJ
ejde-932	180	15	solution	solution	NOUN
ejde-932	180	16	on	on	ADP
ejde-932	180	17	i3	i3	NOUN
ejde-932	180	18	.	.	PUNCT
ejde-932	181	1	let	let	VERB
ejde-932	181	2	y	y	PRON
ejde-932	181	3	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	181	4	(	(	PUNCT
ejde-932	181	5	3.2	3.2	NUM
ejde-932	181	6	)	)	PUNCT
ejde-932	181	7	.	.	PUNCT
ejde-932	182	1	we	we	PRON
ejde-932	182	2	can	can	AUX
ejde-932	182	3	obtain	obtain	VERB
ejde-932	182	4	(	(	PUNCT
ejde-932	182	5	3.4	3.4	NUM
ejde-932	182	6	)	)	PUNCT
ejde-932	182	7	.	.	PUNCT
ejde-932	183	1	thus	thus	ADV
ejde-932	183	2	,	,	PUNCT
ejde-932	183	3	by	by	ADP
ejde-932	183	4	using	use	VERB
ejde-932	183	5	remark	remark	NOUN
ejde-932	183	6	3.5	3.5	NUM
ejde-932	183	7	,	,	PUNCT
ejde-932	183	8	we	we	PRON
ejde-932	183	9	have	have	VERB
ejde-932	183	10	|y(s)−	|y(s)−	NUM
ejde-932	183	11	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	183	12	≤	≤	NUM
ejde-932	183	13	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	183	14	ω0)φ(s	ω0)φ(s	PROPN
ejde-932	183	15	)	)	PUNCT
ejde-932	184	1	+	+	CCONJ
ejde-932	184	2	|	|	ADV
ejde-932	184	3	∫	∫	PROPN
ejde-932	184	4	s	s	PART
ejde-932	184	5	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	184	6	f	f	PROPN
ejde-932	184	7	(	(	PUNCT
ejde-932	184	8	s1	s1	NOUN
ejde-932	184	9	,	,	PUNCT
ejde-932	184	10	y(s1	y(s1	NOUN
ejde-932	184	11	)	)	PUNCT
ejde-932	184	12	,	,	PUNCT
ejde-932	185	1	y(θ(s1)))−	y(θ(s1)))−	PROPN
ejde-932	185	2	f	f	X
ejde-932	185	3	(	(	PUNCT
ejde-932	185	4	s1	s1	NOUN
ejde-932	185	5	,	,	PUNCT
ejde-932	185	6	x(s1	x(s1	X
ejde-932	185	7	)	)	PUNCT
ejde-932	185	8	,	,	PUNCT
ejde-932	185	9	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	185	10	,	,	PUNCT
ejde-932	185	11	ωs1|	ωs1|	X
ejde-932	185	12	≤	≤	NUM
ejde-932	185	13	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	185	14	ω0)φ(s	ω0)φ(s	PROPN
ejde-932	185	15	)	)	PUNCT
ejde-932	186	1	+	+	CCONJ
ejde-932	186	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	186	3	s	s	PART
ejde-932	186	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	186	5	lf	lf	NOUN
ejde-932	186	6	(	(	PUNCT
ejde-932	186	7	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	186	8	x(s1)|+	x(s1)|+	PROPN
ejde-932	186	9	|y(θ(s1u))−	|y(θ(s1u))−	NUM
ejde-932	186	10	x(θ(s1))|)dq	x(θ(s1))|)dq	PROPN
ejde-932	186	11	,	,	PUNCT
ejde-932	186	12	ωs1	ωs1	PROPN
ejde-932	186	13	.	.	PUNCT
ejde-932	187	1	(	(	PUNCT
ejde-932	187	2	3.7	3.7	NUM
ejde-932	187	3	)	)	PUNCT
ejde-932	187	4	as	as	ADP
ejde-932	187	5	in	in	ADP
ejde-932	187	6	the	the	DET
ejde-932	187	7	proof	proof	NOUN
ejde-932	187	8	of	of	ADP
ejde-932	187	9	theorem	theorem	ADJ
ejde-932	187	10	3.6	3.6	NUM
ejde-932	187	11	(	(	PUNCT
ejde-932	187	12	ii	ii	NOUN
ejde-932	187	13	)	)	PUNCT
ejde-932	187	14	,	,	PUNCT
ejde-932	187	15	let	let	VERB
ejde-932	187	16	the	the	DET
ejde-932	187	17	operator	operator	NOUN
ejde-932	187	18	v	v	ADP
ejde-932	187	19	:	:	PUNCT
ejde-932	187	20	s(i3,r+	s(i3,r+	NUM
ejde-932	187	21	)	)	PUNCT
ejde-932	187	22	→	→	SYM
ejde-932	187	23	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	187	24	)	)	PUNCT
ejde-932	187	25	be	be	AUX
ejde-932	187	26	defined	define	VERB
ejde-932	187	27	by	by	ADP
ejde-932	187	28	(	(	PUNCT
ejde-932	187	29	v	v	NOUN
ejde-932	187	30	u)(s	u)(s	NOUN
ejde-932	187	31	)	)	PUNCT
ejde-932	188	1	=	=	PRON
ejde-932	188	2	{	{	PUNCT
ejde-932	188	3	0	0	NUM
ejde-932	188	4	,	,	PUNCT
ejde-932	188	5	s	s	PROPN
ejde-932	188	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	188	7	i2	i2	NOUN
ejde-932	188	8	,	,	PUNCT
ejde-932	188	9	ε(b−	ε(b−	X
ejde-932	188	10	ω0)φ(s	ω0)φ(s	PROPN
ejde-932	188	11	)	)	PUNCT
ejde-932	189	1	+	+	CCONJ
ejde-932	189	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	189	3	s	s	PART
ejde-932	189	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	189	5	lf	lf	NOUN
ejde-932	189	6	(	(	PUNCT
ejde-932	189	7	(	(	PUNCT
ejde-932	189	8	v	v	NOUN
ejde-932	189	9	u)(s1	u)(s1	ADJ
ejde-932	189	10	)	)	PUNCT
ejde-932	190	1	+	+	CCONJ
ejde-932	190	2	(	(	PUNCT
ejde-932	190	3	v	v	NOUN
ejde-932	190	4	u)(θ(s1)))dq	u)(θ(s1)))dq	NOUN
ejde-932	190	5	,	,	PUNCT
ejde-932	190	6	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	190	7	,	,	PUNCT
ejde-932	190	8	s	s	PROPN
ejde-932	190	9	∈	∈	PROPN
ejde-932	190	10	i1	i1	PROPN
ejde-932	190	11	.	.	PUNCT
ejde-932	191	1	then	then	ADV
ejde-932	191	2	,	,	PUNCT
ejde-932	191	3	v	v	X
ejde-932	191	4	has	have	VERB
ejde-932	191	5	a	a	DET
ejde-932	191	6	unique	unique	ADJ
ejde-932	191	7	fixed	fix	VERB
ejde-932	191	8	point	point	NOUN
ejde-932	191	9	u∗	u∗	PROPN
ejde-932	191	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	191	11	s(i3,r+	s(i3,r+	PRON
ejde-932	191	12	)	)	PUNCT
ejde-932	191	13	such	such	ADJ
ejde-932	191	14	that	that	DET
ejde-932	191	15	u∗	u∗	NOUN
ejde-932	191	16	is	be	AUX
ejde-932	191	17	increasing	increase	VERB
ejde-932	191	18	and	and	CCONJ
ejde-932	191	19	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	191	20	)	)	PUNCT
ejde-932	191	21	≤	≤	NUM
ejde-932	191	22	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	191	23	ω0)φ(s	ω0)φ(s	PROPN
ejde-932	191	24	)	)	PUNCT
ejde-932	192	1	+	+	CCONJ
ejde-932	192	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	192	3	s	s	PART
ejde-932	192	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	192	5	2lfu	2lfu	PROPN
ejde-932	192	6	∗(s1)dq	∗(s1)dq	PROPN
ejde-932	192	7	,	,	PUNCT
ejde-932	192	8	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	192	9	.	.	PUNCT
ejde-932	193	1	(	(	PUNCT
ejde-932	193	2	3.8	3.8	NUM
ejde-932	193	3	)	)	PUNCT
ejde-932	193	4	by	by	ADP
ejde-932	193	5	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	193	6	2.5	2.5	NUM
ejde-932	193	7	,	,	PUNCT
ejde-932	193	8	from	from	ADP
ejde-932	193	9	(	(	PUNCT
ejde-932	193	10	3.8	3.8	NUM
ejde-932	193	11	)	)	PUNCT
ejde-932	193	12	it	it	PRON
ejde-932	193	13	follows	follow	VERB
ejde-932	193	14	that	that	SCONJ
ejde-932	193	15	u∗(s	u∗(s	PROPN
ejde-932	193	16	)	)	PUNCT
ejde-932	193	17	≤	≤	NUM
ejde-932	193	18	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	193	19	ω0)φ(s	ω0)φ(s	PROPN
ejde-932	193	20	)	)	PUNCT
ejde-932	193	21	+	+	CCONJ
ejde-932	193	22	e2lf	e2lf	X
ejde-932	193	23	(	(	PUNCT
ejde-932	193	24	s)2lf	s)2lf	NOUN
ejde-932	193	25	(	(	PUNCT
ejde-932	193	26	b−	b−	PROPN
ejde-932	193	27	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	193	28	)	)	PUNCT
ejde-932	193	29	∫	∫	PROPN
ejde-932	193	30	s	s	PART
ejde-932	193	31	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	193	32	e−2lf	e−2lf	NOUN
ejde-932	193	33	(	(	PUNCT
ejde-932	193	34	σ(s1))εφ(s1)dq	σ(s1))εφ(s1)dq	NOUN
ejde-932	193	35	,	,	PUNCT
ejde-932	193	36	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	193	37	≤	≤	NUM
ejde-932	193	38	(	(	PUNCT
ejde-932	193	39	b−	b−	NOUN
ejde-932	193	40	ω0)e2lf	ω0)e2lf	NUM
ejde-932	193	41	(	(	PUNCT
ejde-932	193	42	b)εφ(s	b)εφ(s	NOUN
ejde-932	193	43	)	)	PUNCT
ejde-932	193	44	.	.	PUNCT
ejde-932	194	1	then	then	ADV
ejde-932	194	2	according	accord	VERB
ejde-932	194	3	to	to	ADP
ejde-932	194	4	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	194	5	2.6	2.6	NUM
ejde-932	194	6	,	,	PUNCT
ejde-932	194	7	we	we	PRON
ejde-932	194	8	obtain	obtain	VERB
ejde-932	194	9	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	194	10	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	195	1	≤	≤	PROPN
ejde-932	195	2	(	(	PUNCT
ejde-932	195	3	b−	b−	NOUN
ejde-932	195	4	ω0)e2lf	ω0)e2lf	NUM
ejde-932	195	5	(	(	PUNCT
ejde-932	195	6	b)εφ(s	b)εφ(s	NOUN
ejde-932	195	7	)	)	PUNCT
ejde-932	195	8	.	.	PUNCT
ejde-932	196	1	thus	thus	ADV
ejde-932	196	2	,	,	PUNCT
ejde-932	196	3	equation	equation	NOUN
ejde-932	196	4	(	(	PUNCT
ejde-932	196	5	1.1	1.1	NUM
ejde-932	196	6	)	)	PUNCT
ejde-932	196	7	has	have	VERB
ejde-932	196	8	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	196	9	-	-	PUNCT
ejde-932	196	10	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	196	11	-	-	PUNCT
ejde-932	196	12	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	196	13	stability	stability	NOUN
ejde-932	196	14	with	with	ADP
ejde-932	196	15	respect	respect	NOUN
ejde-932	196	16	to	to	ADP
ejde-932	196	17	φ	φ	PROPN
ejde-932	196	18	on	on	ADP
ejde-932	196	19	i3	i3	NOUN
ejde-932	196	20	.	.	PUNCT
ejde-932	197	1	□	□	PUNCT
ejde-932	197	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-932	197	3	3.9	3.9	NUM
ejde-932	197	4	.	.	PUNCT
ejde-932	198	1	under	under	ADP
ejde-932	198	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	198	3	(	(	PUNCT
ejde-932	198	4	a1)–(a3	a1)–(a3	NOUN
ejde-932	198	5	)	)	PUNCT
ejde-932	198	6	,	,	PUNCT
ejde-932	198	7	equation	equation	NOUN
ejde-932	198	8	(	(	PUNCT
ejde-932	198	9	1.1	1.1	NUM
ejde-932	198	10	)	)	PUNCT
ejde-932	198	11	has	have	AUX
ejde-932	198	12	generalized	generalize	VERB
ejde-932	198	13	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	198	14	-	-	PUNCT
ejde-932	198	15	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	198	16	-	-	PUNCT
ejde-932	198	17	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	198	18	stability	stability	NOUN
ejde-932	198	19	with	with	ADP
ejde-932	198	20	respect	respect	NOUN
ejde-932	198	21	to	to	ADP
ejde-932	198	22	φ	φ	PROPN
ejde-932	198	23	on	on	ADP
ejde-932	198	24	i3	i3	NOUN
ejde-932	198	25	.	.	PUNCT
ejde-932	199	1	4	4	X
ejde-932	199	2	.	.	X
ejde-932	199	3	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	199	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	199	5	of	of	ADP
ejde-932	199	6	equation	equation	NOUN
ejde-932	199	7	(	(	PUNCT
ejde-932	199	8	1.2	1.2	NUM
ejde-932	199	9	)	)	PUNCT
ejde-932	199	10	and	and	CCONJ
ejde-932	199	11	(	(	PUNCT
ejde-932	199	12	1.3	1.3	NUM
ejde-932	199	13	)	)	PUNCT
ejde-932	199	14	4.1	4.1	NUM
ejde-932	199	15	.	.	PUNCT
ejde-932	200	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	200	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	200	3	of	of	ADP
ejde-932	200	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	200	5	(	(	PUNCT
ejde-932	200	6	1.2	1.2	NUM
ejde-932	200	7	)	)	PUNCT
ejde-932	200	8	.	.	PUNCT
ejde-932	201	1	in	in	ADP
ejde-932	201	2	this	this	DET
ejde-932	201	3	section	section	NOUN
ejde-932	201	4	,	,	PUNCT
ejde-932	201	5	let	let	VERB
ejde-932	201	6	s(i3,r	s(i3,r	PRON
ejde-932	201	7	)	)	PUNCT
ejde-932	201	8	be	be	AUX
ejde-932	201	9	a	a	DET
ejde-932	201	10	banach	banach	NOUN
ejde-932	201	11	space	space	NOUN
ejde-932	201	12	in	in	ADP
ejde-932	201	13	which	which	PRON
ejde-932	201	14	all	all	DET
ejde-932	201	15	u	u	PROPN
ejde-932	201	16	∈	∈	PROPN
ejde-932	201	17	s(i3,r	s(i3,r	PROPN
ejde-932	201	18	)	)	PUNCT
ejde-932	201	19	with	with	ADP
ejde-932	201	20	the	the	DET
ejde-932	201	21	norm	norm	NOUN
ejde-932	201	22	∥u∥q	∥u∥q	ADJ
ejde-932	201	23	,	,	PUNCT
ejde-932	201	24	ω	ω	PROPN
ejde-932	201	25	=	=	SYM
ejde-932	201	26	max	max	PROPN
ejde-932	201	27	{	{	PUNCT
ejde-932	201	28	max	max	PROPN
ejde-932	201	29	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	201	30	|u(s)|	|u(s)|	PROPN
ejde-932	201	31	,	,	PUNCT
ejde-932	201	32	max	max	PROPN
ejde-932	201	33	s∈i3	s∈i3	PROPN
ejde-932	201	34	|dq	|dq	PRON
ejde-932	201	35	,	,	PUNCT
ejde-932	201	36	ωu(s)|	ωu(s)|	ADP
ejde-932	201	37	}	}	PUNCT
ejde-932	201	38	.	.	PUNCT
ejde-932	202	1	8	8	NUM
ejde-932	202	2	k.	k.	PROPN
ejde-932	202	3	chen	chen	PROPN
ejde-932	202	4	,	,	PUNCT
ejde-932	202	5	j.	j.	PROPN
ejde-932	202	6	wang	wang	PROPN
ejde-932	202	7	ejde-2024/77	ejde-2024/77	PROPN
ejde-932	202	8	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	202	9	4.1	4.1	NUM
ejde-932	202	10	.	.	PUNCT
ejde-932	203	1	equation	equation	NOUN
ejde-932	203	2	(	(	PUNCT
ejde-932	203	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	203	4	)	)	PUNCT
ejde-932	203	5	has	have	VERB
ejde-932	203	6	a	a	DET
ejde-932	203	7	solution	solution	NOUN
ejde-932	203	8	x	x	NOUN
ejde-932	203	9	:	:	PUNCT
ejde-932	203	10	i3	i3	NOUN
ejde-932	203	11	→	→	SYM
ejde-932	203	12	r	r	NOUN
ejde-932	203	13	in	in	ADP
ejde-932	203	14	the	the	DET
ejde-932	203	15	form	form	NOUN
ejde-932	203	16	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	203	17	)	)	PUNCT
ejde-932	204	1	=	=	SYM
ejde-932	205	1			PROPN
ejde-932	205	2	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	205	3	)	)	PUNCT
ejde-932	205	4	,	,	PUNCT
ejde-932	205	5	s	s	PROPN
ejde-932	205	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	205	7	i2	i2	PROPN
ejde-932	205	8	,	,	PUNCT
ejde-932	205	9	y(ω0	y(ω0	ADJ
ejde-932	205	10	)	)	PUNCT
ejde-932	205	11	+	+	CCONJ
ejde-932	205	12	(	(	PUNCT
ejde-932	205	13	s−	s−	PROPN
ejde-932	205	14	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	205	15	,	,	PUNCT
ejde-932	205	16	ωy(ω0	ωy(ω0	NUM
ejde-932	205	17	)	)	PUNCT
ejde-932	206	1	+	+	CCONJ
ejde-932	206	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	206	3	s	s	PART
ejde-932	206	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	206	5	(	(	PUNCT
ejde-932	206	6	s−	s−	PROPN
ejde-932	206	7	σ(s1))f	σ(s1))f	NOUN
ejde-932	206	8	(	(	PUNCT
ejde-932	206	9	s1	s1	PROPN
ejde-932	206	10	,	,	PUNCT
ejde-932	206	11	x(s1),dq	x(s1),dq	PROPN
ejde-932	206	12	,	,	PUNCT
ejde-932	206	13	ωx(s1	ωx(s1	NOUN
ejde-932	206	14	)	)	PUNCT
ejde-932	206	15	,	,	PUNCT
ejde-932	206	16	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	206	17	,	,	PUNCT
ejde-932	206	18	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	206	19	,	,	PUNCT
ejde-932	206	20	s	s	PROPN
ejde-932	206	21	∈	∈	PROPN
ejde-932	206	22	i1	i1	PROPN
ejde-932	206	23	.	.	PUNCT
ejde-932	207	1	(	(	PUNCT
ejde-932	207	2	4.1	4.1	NUM
ejde-932	207	3	)	)	PUNCT
ejde-932	207	4	proof	proof	NOUN
ejde-932	207	5	.	.	PUNCT
ejde-932	208	1	equation	equation	NOUN
ejde-932	208	2	(	(	PUNCT
ejde-932	208	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	208	4	)	)	PUNCT
ejde-932	208	5	is	be	AUX
ejde-932	208	6	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-932	208	7	to	to	ADP
ejde-932	208	8	the	the	DET
ejde-932	208	9	integral	integral	ADJ
ejde-932	208	10	equation	equation	NOUN
ejde-932	208	11	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	208	12	)	)	PUNCT
ejde-932	209	1	=	=	SYM
ejde-932	210	1			PROPN
ejde-932	210	2	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	210	3	)	)	PUNCT
ejde-932	210	4	,	,	PUNCT
ejde-932	210	5	s	s	PROPN
ejde-932	210	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	210	7	i2	i2	PROPN
ejde-932	210	8	,	,	PUNCT
ejde-932	210	9	y(ω0	y(ω0	ADJ
ejde-932	210	10	)	)	PUNCT
ejde-932	210	11	+	+	CCONJ
ejde-932	210	12	(	(	PUNCT
ejde-932	210	13	s−	s−	PROPN
ejde-932	210	14	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	210	15	,	,	PUNCT
ejde-932	210	16	ωy(ω0	ωy(ω0	NUM
ejde-932	210	17	)	)	PUNCT
ejde-932	211	1	+	+	CCONJ
ejde-932	211	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	211	3	s	s	PART
ejde-932	211	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	211	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	211	6	s2	s2	PROPN
ejde-932	211	7	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	211	8	f	f	PROPN
ejde-932	211	9	(	(	PUNCT
ejde-932	211	10	s1	s1	PROPN
ejde-932	211	11	,	,	PUNCT
ejde-932	211	12	x(s1),dq	x(s1),dq	PROPN
ejde-932	211	13	,	,	PUNCT
ejde-932	211	14	ωx(s1	ωx(s1	NOUN
ejde-932	211	15	)	)	PUNCT
ejde-932	211	16	,	,	PUNCT
ejde-932	211	17	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	211	18	,	,	PUNCT
ejde-932	211	19	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	211	20	,	,	PUNCT
ejde-932	211	21	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	211	22	,	,	PUNCT
ejde-932	211	23	s	s	PROPN
ejde-932	211	24	∈	∈	PROPN
ejde-932	211	25	i1	i1	PROPN
ejde-932	211	26	.	.	PUNCT
ejde-932	212	1	(	(	PUNCT
ejde-932	212	2	4.2	4.2	NUM
ejde-932	212	3	)	)	PUNCT
ejde-932	212	4	then	then	ADV
ejde-932	212	5	,	,	PUNCT
ejde-932	212	6	we	we	PRON
ejde-932	212	7	have∫	have∫	VERB
ejde-932	212	8	s	s	VERB
ejde-932	212	9	ω0	ω0	ADJ
ejde-932	212	10	∫	∫	PROPN
ejde-932	212	11	s2	s2	PROPN
ejde-932	212	12	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	212	13	f	f	PROPN
ejde-932	212	14	(	(	PUNCT
ejde-932	212	15	s1	s1	PROPN
ejde-932	212	16	,	,	PUNCT
ejde-932	212	17	x(s1),dq	x(s1),dq	PROPN
ejde-932	212	18	,	,	PUNCT
ejde-932	212	19	ωx(s1	ωx(s1	NOUN
ejde-932	212	20	)	)	PUNCT
ejde-932	212	21	,	,	PUNCT
ejde-932	212	22	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	212	23	,	,	PUNCT
ejde-932	212	24	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	212	25	,	,	PUNCT
ejde-932	212	26	ωs2	ωs2	NOUN
ejde-932	212	27	=	=	SYM
ejde-932	213	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	213	2	s	s	PART
ejde-932	213	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	213	4	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	213	5	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	213	6	(	(	PUNCT
ejde-932	213	7	σj(s2)−	σj(s2)−	PROPN
ejde-932	213	8	σj+1(s2	σj+1(s2	NOUN
ejde-932	213	9	)	)	PUNCT
ejde-932	213	10	)	)	PUNCT
ejde-932	214	1	×	×	PROPN
ejde-932	214	2	f	f	X
ejde-932	214	3	(	(	PUNCT
ejde-932	214	4	σj(s2	σj(s2	NOUN
ejde-932	214	5	)	)	PUNCT
ejde-932	214	6	,	,	PUNCT
ejde-932	214	7	x(σ	x(σ	PROPN
ejde-932	214	8	j(s2)),dq	j(s2)),dq	PROPN
ejde-932	214	9	,	,	PUNCT
ejde-932	214	10	ωx(σ	ωx(σ	NUM
ejde-932	214	11	j(s2	j(s2	NOUN
ejde-932	214	12	)	)	PUNCT
ejde-932	214	13	)	)	PUNCT
ejde-932	214	14	,	,	PUNCT
ejde-932	214	15	x(θ(σj(s2))))dq	x(θ(σj(s2))))dq	PROPN
ejde-932	214	16	,	,	PUNCT
ejde-932	214	17	ωs2	ωs2	NOUN
ejde-932	214	18	=	=	NOUN
ejde-932	215	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	215	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	215	3	∞∑	∞∑	PRON
ejde-932	215	4	i=0	i=0	PROPN
ejde-932	215	5	(	(	PUNCT
ejde-932	215	6	σi(s)−	σi(s)−	PROPN
ejde-932	215	7	σi+1(s))(σj+i(s)−	σi+1(s))(σj+i(s)−	NOUN
ejde-932	215	8	σj+1+i(s	σj+1+i(s	NOUN
ejde-932	215	9	)	)	PUNCT
ejde-932	215	10	)	)	PUNCT
ejde-932	215	11	×	×	PROPN
ejde-932	215	12	f	f	X
ejde-932	215	13	(	(	PUNCT
ejde-932	215	14	σj+i(s	σj+i(s	NUM
ejde-932	215	15	)	)	PUNCT
ejde-932	215	16	,	,	PUNCT
ejde-932	215	17	x(σj+i(s)),dq	x(σj+i(s)),dq	PROPN
ejde-932	215	18	,	,	PUNCT
ejde-932	215	19	ωx(σ	ωx(σ	X
ejde-932	215	20	j+i(s	j+i(s	NOUN
ejde-932	215	21	)	)	PUNCT
ejde-932	215	22	)	)	PUNCT
ejde-932	215	23	,	,	PUNCT
ejde-932	215	24	x(θ(σj+i(s	x(θ(σj+i(s	NOUN
ejde-932	215	25	)	)	PUNCT
ejde-932	215	26	)	)	PUNCT
ejde-932	215	27	)	)	PUNCT
ejde-932	215	28	)	)	PUNCT
ejde-932	216	1	=	=	PUNCT
ejde-932	217	1	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	217	2	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	217	3	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	217	4	i=0	i=0	PROPN
ejde-932	217	5	qi(s−	qi(s−	PROPN
ejde-932	217	6	σ(s))qj+i(s−	σ(s))qj+i(s−	PROPN
ejde-932	217	7	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	217	8	)	)	PUNCT
ejde-932	217	9	)	)	PUNCT
ejde-932	218	1	×	×	PROPN
ejde-932	218	2	f	f	X
ejde-932	218	3	(	(	PUNCT
ejde-932	218	4	σj+i(s	σj+i(s	NUM
ejde-932	218	5	)	)	PUNCT
ejde-932	218	6	,	,	PUNCT
ejde-932	218	7	x(σj+i(s)),dq	x(σj+i(s)),dq	PROPN
ejde-932	218	8	,	,	PUNCT
ejde-932	218	9	ωx(σ	ωx(σ	X
ejde-932	218	10	j+i(s	j+i(s	NOUN
ejde-932	218	11	)	)	PUNCT
ejde-932	218	12	)	)	PUNCT
ejde-932	218	13	,	,	PUNCT
ejde-932	218	14	x(θ(σj+i(s	x(θ(σj+i(s	NOUN
ejde-932	218	15	)	)	PUNCT
ejde-932	218	16	)	)	PUNCT
ejde-932	218	17	)	)	PUNCT
ejde-932	218	18	)	)	PUNCT
ejde-932	219	1	=	=	PUNCT
ejde-932	219	2	(	(	PUNCT
ejde-932	219	3	s−	s−	PROPN
ejde-932	219	4	σ(s))2	σ(s))2	VERB
ejde-932	219	5	[	[	PUNCT
ejde-932	219	6	f	f	X
ejde-932	219	7	(	(	PUNCT
ejde-932	219	8	s	s	PROPN
ejde-932	219	9	,	,	PUNCT
ejde-932	219	10	x(s),dq	x(s),dq	PROPN
ejde-932	219	11	,	,	PUNCT
ejde-932	219	12	ωx(s	ωx(s	NOUN
ejde-932	219	13	)	)	PUNCT
ejde-932	219	14	,	,	PUNCT
ejde-932	219	15	x(θ(s	x(θ(s	PROPN
ejde-932	219	16	)	)	PUNCT
ejde-932	219	17	)	)	PUNCT
ejde-932	219	18	)	)	PUNCT
ejde-932	220	1	+	+	CCONJ
ejde-932	220	2	q(1	q(1	NOUN
ejde-932	220	3	+	+	CCONJ
ejde-932	220	4	q)f	q)f	X
ejde-932	220	5	(	(	PUNCT
ejde-932	220	6	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	220	7	)	)	PUNCT
ejde-932	220	8	,	,	PUNCT
ejde-932	220	9	x(σ(s)),dq	x(σ(s)),dq	PROPN
ejde-932	220	10	,	,	PUNCT
ejde-932	220	11	ωx(σ(s	ωx(σ(s	NUM
ejde-932	220	12	)	)	PUNCT
ejde-932	220	13	)	)	PUNCT
ejde-932	220	14	,	,	PUNCT
ejde-932	220	15	x(θ(σ(s	x(θ(σ(s	PROPN
ejde-932	220	16	)	)	PUNCT
ejde-932	220	17	)	)	PUNCT
ejde-932	220	18	)	)	PUNCT
ejde-932	220	19	)	)	PUNCT
ejde-932	221	1	+	+	CCONJ
ejde-932	221	2	q2(1	q2(1	NOUN
ejde-932	221	3	+	+	CCONJ
ejde-932	221	4	q	q	NOUN
ejde-932	221	5	+	+	NUM
ejde-932	221	6	q2)f	q2)f	NOUN
ejde-932	221	7	(	(	PUNCT
ejde-932	221	8	σ2(s	σ2(s	PROPN
ejde-932	221	9	)	)	PUNCT
ejde-932	221	10	,	,	PUNCT
ejde-932	221	11	x(σ2(s)),dq	x(σ2(s)),dq	PROPN
ejde-932	221	12	,	,	PUNCT
ejde-932	221	13	ωx(σ	ωx(σ	NUM
ejde-932	221	14	2(s	2(s	NUM
ejde-932	221	15	)	)	PUNCT
ejde-932	221	16	)	)	PUNCT
ejde-932	221	17	,	,	PUNCT
ejde-932	221	18	x(θ(σ2(s	x(θ(σ2(s	PROPN
ejde-932	221	19	)	)	PUNCT
ejde-932	221	20	)	)	PUNCT
ejde-932	221	21	)	)	PUNCT
ejde-932	221	22	)	)	PUNCT
ejde-932	222	1	+	+	CCONJ
ejde-932	222	2	q3(1	q3(1	NOUN
ejde-932	222	3	+	+	CCONJ
ejde-932	222	4	q	q	NOUN
ejde-932	222	5	+	+	NUM
ejde-932	222	6	q2	q2	NOUN
ejde-932	222	7	+	+	CCONJ
ejde-932	222	8	q3)f	q3)f	NOUN
ejde-932	222	9	(	(	PUNCT
ejde-932	222	10	σ3(s),dq	σ3(s),dq	NOUN
ejde-932	222	11	,	,	PUNCT
ejde-932	222	12	ωx(σ	ωx(σ	NUM
ejde-932	222	13	3(s	3(s	NUM
ejde-932	222	14	)	)	PUNCT
ejde-932	222	15	)	)	PUNCT
ejde-932	222	16	,	,	PUNCT
ejde-932	222	17	x(σ3(s	x(σ3(s	PROPN
ejde-932	222	18	)	)	PUNCT
ejde-932	222	19	)	)	PUNCT
ejde-932	222	20	,	,	PUNCT
ejde-932	222	21	x(θ(σ3(s	x(θ(σ3(s	PROPN
ejde-932	222	22	)	)	PUNCT
ejde-932	222	23	)	)	PUNCT
ejde-932	222	24	)	)	PUNCT
ejde-932	222	25	)	)	PUNCT
ejde-932	223	1	+	+	CCONJ
ejde-932	223	2	.	.	PUNCT
ejde-932	223	3	.	.	PUNCT
ejde-932	223	4	.	.	PUNCT
ejde-932	224	1	]	]	PUNCT
ejde-932	225	1	=	=	PUNCT
ejde-932	225	2	(	(	PUNCT
ejde-932	225	3	s−	s−	PROPN
ejde-932	225	4	σ(s))2	σ(s))2	VERB
ejde-932	225	5	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	225	6	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	225	7	qj(1−	qj(1−	PROPN
ejde-932	225	8	qj+1)f	qj+1)f	VERB
ejde-932	225	9	(	(	PUNCT
ejde-932	225	10	σj(s	σj(s	PROPN
ejde-932	225	11	)	)	PUNCT
ejde-932	225	12	,	,	PUNCT
ejde-932	225	13	x(σj(s)),dq	x(σj(s)),dq	PROPN
ejde-932	225	14	,	,	PUNCT
ejde-932	225	15	ωx(σ	ωx(σ	X
ejde-932	225	16	j(s	j(s	NOUN
ejde-932	225	17	)	)	PUNCT
ejde-932	225	18	)	)	PUNCT
ejde-932	225	19	,	,	PUNCT
ejde-932	225	20	x(θ(σj(s	x(θ(σj(s	PROPN
ejde-932	225	21	)	)	PUNCT
ejde-932	225	22	)	)	PUNCT
ejde-932	225	23	)	)	PUNCT
ejde-932	225	24	)	)	PUNCT
ejde-932	226	1	1−	1−	NUM
ejde-932	226	2	q	q	NOUN
ejde-932	226	3	=	=	SYM
ejde-932	226	4	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	226	5	j=0	j=0	PROPN
ejde-932	226	6	(	(	PUNCT
ejde-932	226	7	σj(s)−	σj(s)−	PROPN
ejde-932	226	8	σj+1(s))(s−	σj+1(s))(s−	PROPN
ejde-932	226	9	σj+1(s))f	σj+1(s))f	PROPN
ejde-932	226	10	(	(	PUNCT
ejde-932	226	11	σj(s	σj(s	PROPN
ejde-932	226	12	)	)	PUNCT
ejde-932	226	13	,	,	PUNCT
ejde-932	226	14	x(σj(s)),dq	x(σj(s)),dq	PROPN
ejde-932	226	15	,	,	PUNCT
ejde-932	226	16	ωx(σ	ωx(σ	X
ejde-932	226	17	j(s	j(s	NOUN
ejde-932	226	18	)	)	PUNCT
ejde-932	226	19	)	)	PUNCT
ejde-932	226	20	,	,	PUNCT
ejde-932	226	21	x(θ(σj(s	x(θ(σj(s	PROPN
ejde-932	226	22	)	)	PUNCT
ejde-932	226	23	)	)	PUNCT
ejde-932	226	24	)	)	PUNCT
ejde-932	226	25	)	)	PUNCT
ejde-932	226	26	=	=	PUNCT
ejde-932	227	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	227	2	s	s	PART
ejde-932	227	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	227	4	(	(	PUNCT
ejde-932	227	5	s−	s−	PROPN
ejde-932	227	6	σ(s1))f	σ(s1))f	NOUN
ejde-932	227	7	(	(	PUNCT
ejde-932	227	8	τ	τ	PROPN
ejde-932	227	9	,	,	PUNCT
ejde-932	227	10	x(s1),dq	x(s1),dq	PROPN
ejde-932	227	11	,	,	PUNCT
ejde-932	227	12	ωx(s1	ωx(s1	NUM
ejde-932	227	13	)	)	PUNCT
ejde-932	227	14	,	,	PUNCT
ejde-932	227	15	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	227	16	,	,	PUNCT
ejde-932	227	17	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	227	18	.	.	PUNCT
ejde-932	228	1	thus	thus	ADV
ejde-932	228	2	,	,	PUNCT
ejde-932	228	3	we	we	PRON
ejde-932	228	4	obtain	obtain	VERB
ejde-932	228	5	(	(	PUNCT
ejde-932	228	6	4.1	4.1	NUM
ejde-932	228	7	)	)	PUNCT
ejde-932	228	8	.	.	PUNCT
ejde-932	229	1	□	□	PUNCT
ejde-932	229	2	now	now	ADV
ejde-932	229	3	we	we	PRON
ejde-932	229	4	introduce	introduce	VERB
ejde-932	229	5	two	two	NUM
ejde-932	229	6	more	more	ADJ
ejde-932	229	7	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	229	8	:	:	PUNCT
ejde-932	229	9	(	(	PUNCT
ejde-932	229	10	a4	a4	NOUN
ejde-932	229	11	)	)	PUNCT
ejde-932	229	12	there	there	PRON
ejde-932	229	13	is	be	VERB
ejde-932	229	14	a	a	DET
ejde-932	229	15	real	real	ADJ
ejde-932	229	16	number	number	NOUN
ejde-932	229	17	lf	lf	ADP
ejde-932	229	18	>	>	X
ejde-932	229	19	0	0	NUM
ejde-932	229	20	such	such	ADJ
ejde-932	229	21	that	that	PRON
ejde-932	229	22	for	for	ADP
ejde-932	229	23	all	all	DET
ejde-932	229	24	s	s	PROPN
ejde-932	229	25	∈	∈	PROPN
ejde-932	229	26	i1	i1	PROPN
ejde-932	229	27	,	,	PUNCT
ejde-932	229	28	xj	xj	PROPN
ejde-932	229	29	,	,	PUNCT
ejde-932	229	30	yj	yj	PROPN
ejde-932	229	31	∈	∈	PROPN
ejde-932	229	32	r	r	PROPN
ejde-932	229	33	,	,	PUNCT
ejde-932	229	34	j	j	PROPN
ejde-932	229	35	=	=	SYM
ejde-932	229	36	1	1	NUM
ejde-932	229	37	,	,	PUNCT
ejde-932	229	38	2	2	NUM
ejde-932	229	39	,	,	PUNCT
ejde-932	229	40	3	3	NUM
ejde-932	229	41	,	,	PUNCT
ejde-932	229	42	|f	|f	PROPN
ejde-932	229	43	(	(	PUNCT
ejde-932	229	44	s	s	PROPN
ejde-932	229	45	,	,	PUNCT
ejde-932	229	46	x1	x1	PROPN
ejde-932	229	47	,	,	PUNCT
ejde-932	229	48	x2	x2	PROPN
ejde-932	229	49	,	,	PUNCT
ejde-932	229	50	x3)−	x3)−	PROPN
ejde-932	229	51	f	f	X
ejde-932	229	52	(	(	PUNCT
ejde-932	229	53	s	s	PROPN
ejde-932	229	54	,	,	PUNCT
ejde-932	229	55	y1	y1	X
ejde-932	229	56	,	,	PUNCT
ejde-932	229	57	y2	y2	PROPN
ejde-932	229	58	,	,	PUNCT
ejde-932	229	59	y3)|	y3)|	PROPN
ejde-932	229	60	≤	≤	PROPN
ejde-932	229	61	lf	lf	ADP
ejde-932	229	62	3∑	3∑	NUM
ejde-932	229	63	j=1	j=1	NOUN
ejde-932	229	64	|xj	|xj	NUM
ejde-932	229	65	−	−	PROPN
ejde-932	229	66	yj	yj	PROPN
ejde-932	229	67	|	|	NOUN
ejde-932	229	68	.	.	PUNCT
ejde-932	230	1	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	230	2	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	230	3	type	type	NOUN
ejde-932	230	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	230	5	9	9	NUM
ejde-932	230	6	(	(	PUNCT
ejde-932	230	7	a5	a5	PROPN
ejde-932	230	8	)	)	PUNCT
ejde-932	230	9	(	(	PUNCT
ejde-932	230	10	b−	b−	PROPN
ejde-932	230	11	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	230	12	)	)	PUNCT
ejde-932	230	13	2	2	NUM
ejde-932	230	14	<	<	X
ejde-932	230	15	1+q	1+q	NUM
ejde-932	230	16	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	230	17	.	.	PUNCT
ejde-932	231	1	theorem	theorem	VERB
ejde-932	231	2	4.2	4.2	NUM
ejde-932	231	3	.	.	PUNCT
ejde-932	232	1	assume	assume	VERB
ejde-932	232	2	(	(	PUNCT
ejde-932	232	3	a4	a4	NOUN
ejde-932	232	4	)	)	PUNCT
ejde-932	232	5	and	and	CCONJ
ejde-932	232	6	(	(	PUNCT
ejde-932	232	7	a5	a5	PROPN
ejde-932	232	8	)	)	PUNCT
ejde-932	232	9	hold	hold	NOUN
ejde-932	232	10	.	.	PUNCT
ejde-932	233	1	then	then	ADV
ejde-932	233	2	(	(	PUNCT
ejde-932	233	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	233	4	)	)	PUNCT
ejde-932	233	5	has	have	VERB
ejde-932	233	6	the	the	DET
ejde-932	233	7	unique	unique	ADJ
ejde-932	233	8	solution	solution	NOUN
ejde-932	233	9	on	on	ADP
ejde-932	233	10	i3	i3	NOUN
ejde-932	233	11	.	.	PUNCT
ejde-932	234	1	proof	proof	NOUN
ejde-932	234	2	.	.	PUNCT
ejde-932	235	1	by	by	ADP
ejde-932	235	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	235	3	4.1	4.1	NUM
ejde-932	235	4	,	,	PUNCT
ejde-932	235	5	equation	equation	NOUN
ejde-932	235	6	(	(	PUNCT
ejde-932	235	7	1.2	1.2	NUM
ejde-932	235	8	)	)	PUNCT
ejde-932	235	9	has	have	VERB
ejde-932	235	10	a	a	DET
ejde-932	235	11	solution	solution	NOUN
ejde-932	235	12	x	x	NOUN
ejde-932	235	13	:	:	PUNCT
ejde-932	235	14	i3	i3	NOUN
ejde-932	235	15	→	→	SYM
ejde-932	235	16	r	r	NOUN
ejde-932	235	17	in	in	ADP
ejde-932	235	18	the	the	DET
ejde-932	235	19	form	form	NOUN
ejde-932	235	20	of	of	ADP
ejde-932	235	21	(	(	PUNCT
ejde-932	235	22	4.1	4.1	NUM
ejde-932	235	23	)	)	PUNCT
ejde-932	235	24	.	.	PUNCT
ejde-932	236	1	let	let	VERB
ejde-932	236	2	the	the	DET
ejde-932	236	3	mapping	mapping	NOUN
ejde-932	236	4	v	v	NOUN
ejde-932	236	5	:	:	PUNCT
ejde-932	236	6	s(i3,r	s(i3,r	X
ejde-932	236	7	)	)	PUNCT
ejde-932	236	8	→	→	SYM
ejde-932	236	9	s(i3,r	s(i3,r	X
ejde-932	236	10	)	)	PUNCT
ejde-932	236	11	be	be	AUX
ejde-932	236	12	define	define	ADJ
ejde-932	236	13	by	by	ADP
ejde-932	236	14	v	v	NOUN
ejde-932	236	15	(	(	PUNCT
ejde-932	236	16	x)(s	x)(s	PRON
ejde-932	236	17	)	)	PUNCT
ejde-932	237	1	=	=	SYM
ejde-932	238	1			PROPN
ejde-932	238	2	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	238	3	)	)	PUNCT
ejde-932	238	4	,	,	PUNCT
ejde-932	238	5	s	s	PROPN
ejde-932	238	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	238	7	i2	i2	PROPN
ejde-932	238	8	,	,	PUNCT
ejde-932	238	9	y(ω0	y(ω0	ADJ
ejde-932	238	10	)	)	PUNCT
ejde-932	238	11	+	+	CCONJ
ejde-932	238	12	(	(	PUNCT
ejde-932	238	13	s−	s−	PROPN
ejde-932	238	14	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	238	15	,	,	PUNCT
ejde-932	238	16	ωy(ω0	ωy(ω0	NUM
ejde-932	238	17	)	)	PUNCT
ejde-932	239	1	+	+	CCONJ
ejde-932	239	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	239	3	s	s	PART
ejde-932	239	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	239	5	(	(	PUNCT
ejde-932	239	6	s−	s−	PROPN
ejde-932	239	7	σ(s1))f	σ(s1))f	NOUN
ejde-932	239	8	(	(	PUNCT
ejde-932	239	9	s1	s1	PROPN
ejde-932	239	10	,	,	PUNCT
ejde-932	239	11	x(s1),dq	x(s1),dq	PROPN
ejde-932	239	12	,	,	PUNCT
ejde-932	239	13	ωx(s1	ωx(s1	NOUN
ejde-932	239	14	)	)	PUNCT
ejde-932	239	15	,	,	PUNCT
ejde-932	239	16	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	239	17	,	,	PUNCT
ejde-932	239	18	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	239	19	,	,	PUNCT
ejde-932	239	20	s	s	PROPN
ejde-932	239	21	∈	∈	PROPN
ejde-932	239	22	i1	i1	PROPN
ejde-932	239	23	.	.	PUNCT
ejde-932	240	1	for	for	ADP
ejde-932	240	2	all	all	DET
ejde-932	240	3	x	x	NOUN
ejde-932	240	4	,	,	PUNCT
ejde-932	240	5	y	y	PROPN
ejde-932	240	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	240	7	s(i3,r	s(i3,r	PROPN
ejde-932	240	8	)	)	PUNCT
ejde-932	240	9	,	,	PUNCT
ejde-932	240	10	we	we	PRON
ejde-932	240	11	obtain	obtain	VERB
ejde-932	240	12	|v	|v	X
ejde-932	240	13	(	(	PUNCT
ejde-932	240	14	x)(s)−	x)(s)−	PROPN
ejde-932	240	15	v	v	PROPN
ejde-932	240	16	(	(	PUNCT
ejde-932	240	17	y)(s)|	y)(s)|	PROPN
ejde-932	240	18	≤	≤	PROPN
ejde-932	240	19	∫	∫	PROPN
ejde-932	240	20	s	s	PART
ejde-932	240	21	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	240	22	(	(	PUNCT
ejde-932	240	23	s−	s−	PROPN
ejde-932	240	24	σ(s1))lf	σ(s1))lf	PROPN
ejde-932	240	25	(	(	PUNCT
ejde-932	240	26	|x(s1)−	|x(s1)−	VERB
ejde-932	240	27	y(s1)|+	y(s1)|+	PRON
ejde-932	240	28	|dq	|dq	NUM
ejde-932	240	29	,	,	PUNCT
ejde-932	240	30	ωx(s1)−dq	ωx(s1)−dq	PROPN
ejde-932	240	31	,	,	PUNCT
ejde-932	240	32	ωy(s1)|	ωy(s1)|	PROPN
ejde-932	240	33	+	+	CCONJ
ejde-932	240	34	|x(θ(s1))−	|x(θ(s1))−	PROPN
ejde-932	240	35	y(θ(s1))|)dq	y(θ(s1))|)dq	NOUN
ejde-932	240	36	,	,	PUNCT
ejde-932	240	37	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	240	38	≤	≤	NUM
ejde-932	240	39	∫	∫	PROPN
ejde-932	240	40	s	s	PART
ejde-932	240	41	ω0	ω0	ADJ
ejde-932	240	42	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	240	43	(	(	PUNCT
ejde-932	240	44	s−	s−	PROPN
ejde-932	240	45	σ(s1))∥x−	σ(s1))∥x−	ADP
ejde-932	240	46	y∥q	y∥q	PROPN
ejde-932	240	47	,	,	PUNCT
ejde-932	240	48	ωdq	ωdq	PROPN
ejde-932	240	49	,	,	PUNCT
ejde-932	240	50	ωs1	ωs1	VERB
ejde-932	240	51	≤	≤	NUM
ejde-932	240	52	3lf	3lf	ADJ
ejde-932	240	53	(	(	PUNCT
ejde-932	240	54	s−	s−	PROPN
ejde-932	240	55	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	240	56	)	)	PUNCT
ejde-932	240	57	2	2	NUM
ejde-932	240	58	(	(	PUNCT
ejde-932	240	59	1	1	NUM
ejde-932	240	60	+	+	CCONJ
ejde-932	240	61	q	q	X
ejde-932	240	62	)	)	PUNCT
ejde-932	240	63	∥x−	∥x−	PROPN
ejde-932	240	64	y∥q	y∥q	NOUN
ejde-932	240	65	,	,	PUNCT
ejde-932	240	66	ω	ω	NOUN
ejde-932	240	67	.	.	PUNCT
ejde-932	241	1	then	then	ADV
ejde-932	241	2	,	,	PUNCT
ejde-932	241	3	we	we	PRON
ejde-932	241	4	can	can	AUX
ejde-932	241	5	get	get	VERB
ejde-932	241	6	∥v	∥v	PROPN
ejde-932	241	7	(	(	PUNCT
ejde-932	241	8	x)−	x)−	PROPN
ejde-932	241	9	v	v	PROPN
ejde-932	241	10	(	(	PUNCT
ejde-932	241	11	y)∥q	y)∥q	PROPN
ejde-932	241	12	,	,	PUNCT
ejde-932	241	13	ω	ω	NUM
ejde-932	241	14	≤	≤	NUM
ejde-932	241	15	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	241	16	(	(	PUNCT
ejde-932	241	17	b−	b−	PROPN
ejde-932	241	18	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	241	19	)	)	PUNCT
ejde-932	241	20	2	2	NUM
ejde-932	241	21	(	(	PUNCT
ejde-932	241	22	1	1	NUM
ejde-932	241	23	+	+	CCONJ
ejde-932	241	24	q	q	X
ejde-932	241	25	)	)	PUNCT
ejde-932	241	26	∥x−	∥x−	PROPN
ejde-932	241	27	y∥q	y∥q	NOUN
ejde-932	241	28	,	,	PUNCT
ejde-932	241	29	ω	ω	NOUN
ejde-932	241	30	.	.	PUNCT
ejde-932	242	1	by	by	ADP
ejde-932	242	2	(	(	PUNCT
ejde-932	242	3	a5	a5	PROPN
ejde-932	242	4	)	)	PUNCT
ejde-932	242	5	and	and	CCONJ
ejde-932	242	6	the	the	DET
ejde-932	242	7	banach	banach	ADV
ejde-932	242	8	fixed	fix	VERB
ejde-932	242	9	theorem	theorem	VERB
ejde-932	242	10	,	,	PUNCT
ejde-932	242	11	(	(	PUNCT
ejde-932	242	12	1.2	1.2	NUM
ejde-932	242	13	)	)	PUNCT
ejde-932	242	14	has	have	VERB
ejde-932	242	15	the	the	DET
ejde-932	242	16	unique	unique	ADJ
ejde-932	242	17	solution	solution	NOUN
ejde-932	242	18	on	on	ADP
ejde-932	242	19	i3	i3	NOUN
ejde-932	242	20	.	.	PUNCT
ejde-932	243	1	□	□	PUNCT
ejde-932	243	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	243	3	4.3	4.3	NUM
ejde-932	243	4	.	.	PUNCT
ejde-932	243	5	assume	assume	VERB
ejde-932	243	6	(	(	PUNCT
ejde-932	243	7	a5	a5	PROPN
ejde-932	243	8	)	)	PUNCT
ejde-932	243	9	holds	hold	NOUN
ejde-932	243	10	and	and	CCONJ
ejde-932	243	11	η(s	η(	NOUN
ejde-932	243	12	)	)	PUNCT
ejde-932	243	13	=	=	SYM
ejde-932	244	1	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	244	2	(	(	PUNCT
ejde-932	244	3	s−	s−	PROPN
ejde-932	244	4	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	244	5	)	)	PUNCT
ejde-932	244	6	,	,	PUNCT
ejde-932	244	7	s	s	PROPN
ejde-932	244	8	∈	∈	PROPN
ejde-932	244	9	r.	r.	PROPN
ejde-932	244	10	then	then	ADV
ejde-932	244	11	eη(s	eη(s	PUNCT
ejde-932	244	12	)	)	PUNCT
ejde-932	244	13	>	>	X
ejde-932	244	14	0	0	PUNCT
ejde-932	244	15	is	be	AUX
ejde-932	244	16	increasing	increase	VERB
ejde-932	244	17	on	on	ADP
ejde-932	244	18	i1	i1	PROPN
ejde-932	244	19	and	and	CCONJ
ejde-932	244	20	1−	1−	NUM
ejde-932	244	21	η(s)(s−	η(s)(s−	ADJ
ejde-932	244	22	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	244	23	)	)	PUNCT
ejde-932	244	24	)	)	PUNCT
ejde-932	245	1	>	>	X
ejde-932	245	2	0	0	NUM
ejde-932	245	3	,	,	PUNCT
ejde-932	245	4	for	for	ADP
ejde-932	245	5	all	all	DET
ejde-932	245	6	s	s	PROPN
ejde-932	245	7	∈	∈	PROPN
ejde-932	245	8	i1	i1	NOUN
ejde-932	245	9	.	.	PUNCT
ejde-932	246	1	proof	proof	NOUN
ejde-932	246	2	.	.	PUNCT
ejde-932	247	1	according	accord	VERB
ejde-932	247	2	to	to	ADP
ejde-932	247	3	the	the	DET
ejde-932	247	4	definition	definition	NOUN
ejde-932	247	5	of	of	ADP
ejde-932	247	6	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	247	7	integral	integral	ADJ
ejde-932	247	8	,	,	PUNCT
ejde-932	247	9	by	by	ADP
ejde-932	247	10	calculation	calculation	NOUN
ejde-932	247	11	,	,	PUNCT
ejde-932	247	12	we	we	PRON
ejde-932	247	13	obtain∫	obtain∫	VERB
ejde-932	247	14	s	s	PROPN
ejde-932	247	15	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	247	16	η(s)dq	η(s)dq	PROPN
ejde-932	247	17	,	,	PUNCT
ejde-932	247	18	ωs	ωs	ADP
ejde-932	247	19	=	=	ADJ
ejde-932	247	20	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	247	21	(	(	PUNCT
ejde-932	247	22	s−	s−	PROPN
ejde-932	247	23	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	247	24	)	)	PUNCT
ejde-932	247	25	2	2	NUM
ejde-932	247	26	(	(	PUNCT
ejde-932	247	27	1	1	NUM
ejde-932	247	28	+	+	CCONJ
ejde-932	247	29	q	q	NOUN
ejde-932	247	30	)	)	PUNCT
ejde-932	247	31	.	.	PUNCT
ejde-932	248	1	from	from	ADP
ejde-932	248	2	condition	condition	NOUN
ejde-932	248	3	(	(	PUNCT
ejde-932	248	4	a5	a5	PROPN
ejde-932	248	5	)	)	PUNCT
ejde-932	248	6	,	,	PUNCT
ejde-932	248	7	for	for	ADP
ejde-932	248	8	s	s	PROPN
ejde-932	248	9	∈	∈	PROPN
ejde-932	248	10	i1	i1	PROPN
ejde-932	248	11	,	,	PUNCT
ejde-932	248	12	we	we	PRON
ejde-932	248	13	have	have	VERB
ejde-932	248	14	∞∑	∞∑	NUM
ejde-932	248	15	k=0	k=0	PROPN
ejde-932	248	16	η(σk(s))(σk(s)−	η(σk(s))(σk(s)−	PRON
ejde-932	248	17	σk+1(s	σk+1(s	PROPN
ejde-932	248	18	)	)	PUNCT
ejde-932	248	19	)	)	PUNCT
ejde-932	249	1	<	<	X
ejde-932	249	2	1	1	X
ejde-932	249	3	.	.	PUNCT
ejde-932	249	4	then	then	ADV
ejde-932	249	5	,	,	PUNCT
ejde-932	249	6	1−	1−	NUM
ejde-932	249	7	η(σk(s))(σk(s)−σk+1(s	η(σk(s))(σk(s)−σk+1(s	NOUN
ejde-932	249	8	)	)	PUNCT
ejde-932	249	9	)	)	PUNCT
ejde-932	249	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	249	11	(	(	PUNCT
ejde-932	249	12	0	0	NUM
ejde-932	249	13	,	,	PUNCT
ejde-932	249	14	1	1	NUM
ejde-932	249	15	)	)	PUNCT
ejde-932	249	16	for	for	ADP
ejde-932	249	17	all	all	DET
ejde-932	249	18	k	k	PROPN
ejde-932	249	19	∈	∈	PROPN
ejde-932	249	20	n0	n0	PROPN
ejde-932	249	21	,	,	PUNCT
ejde-932	249	22	s	s	PROPN
ejde-932	249	23	∈	∈	PROPN
ejde-932	249	24	i1	i1	PROPN
ejde-932	249	25	.	.	PUNCT
ejde-932	250	1	thus	thus	ADV
ejde-932	250	2	,	,	PUNCT
ejde-932	250	3	eη(s	eη(s	X
ejde-932	250	4	)	)	PUNCT
ejde-932	250	5	>	>	X
ejde-932	250	6	0	0	PUNCT
ejde-932	250	7	is	be	AUX
ejde-932	250	8	increasing	increase	VERB
ejde-932	250	9	on	on	ADP
ejde-932	250	10	i1	i1	PROPN
ejde-932	250	11	and	and	CCONJ
ejde-932	250	12	1−	1−	NUM
ejde-932	250	13	η(s)(s−	η(s)(s−	ADJ
ejde-932	250	14	σ(s	σ(s	PROPN
ejde-932	250	15	)	)	PUNCT
ejde-932	250	16	)	)	PUNCT
ejde-932	251	1	>	>	X
ejde-932	251	2	0	0	PUNCT
ejde-932	252	1	for	for	ADP
ejde-932	252	2	all	all	DET
ejde-932	252	3	s	s	PROPN
ejde-932	252	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	252	5	i1	i1	NOUN
ejde-932	252	6	.	.	PUNCT
ejde-932	253	1	□	□	PUNCT
ejde-932	253	2	theorem	theorem	VERB
ejde-932	253	3	4.4	4.4	NUM
ejde-932	253	4	.	.	PUNCT
ejde-932	254	1	assume	assume	VERB
ejde-932	254	2	(	(	PUNCT
ejde-932	254	3	a4	a4	NOUN
ejde-932	254	4	)	)	PUNCT
ejde-932	254	5	and	and	CCONJ
ejde-932	254	6	(	(	PUNCT
ejde-932	254	7	a5	a5	PROPN
ejde-932	254	8	)	)	PUNCT
ejde-932	254	9	hold	hold	NOUN
ejde-932	254	10	.	.	PUNCT
ejde-932	255	1	then	then	ADV
ejde-932	255	2	equation	equation	NOUN
ejde-932	255	3	(	(	PUNCT
ejde-932	255	4	1.2	1.2	NUM
ejde-932	255	5	)	)	PUNCT
ejde-932	255	6	has	have	VERB
ejde-932	255	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	255	8	-	-	PUNCT
ejde-932	255	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	255	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	255	11	on	on	ADP
ejde-932	255	12	i3	i3	NOUN
ejde-932	255	13	.	.	PUNCT
ejde-932	256	1	proof	proof	NOUN
ejde-932	256	2	.	.	PUNCT
ejde-932	257	1	according	accord	VERB
ejde-932	257	2	to	to	ADP
ejde-932	257	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-932	257	4	4.2	4.2	NUM
ejde-932	257	5	,	,	PUNCT
ejde-932	257	6	we	we	PRON
ejde-932	257	7	can	can	AUX
ejde-932	257	8	know	know	VERB
ejde-932	257	9	equation	equation	NOUN
ejde-932	257	10	(	(	PUNCT
ejde-932	257	11	1.2	1.2	NUM
ejde-932	257	12	)	)	PUNCT
ejde-932	257	13	has	have	VERB
ejde-932	257	14	the	the	DET
ejde-932	257	15	unique	unique	ADJ
ejde-932	257	16	solution	solution	NOUN
ejde-932	257	17	on	on	ADP
ejde-932	257	18	i3	i3	NOUN
ejde-932	257	19	.	.	PUNCT
ejde-932	258	1	let	let	VERB
ejde-932	258	2	y	y	PRON
ejde-932	258	3	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	258	4	the	the	DET
ejde-932	258	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	258	6	|d2	|d2	PROPN
ejde-932	258	7	q	q	PROPN
ejde-932	258	8	,	,	PUNCT
ejde-932	258	9	ωy(s)−	ωy(s)−	PROPN
ejde-932	258	10	f	f	X
ejde-932	258	11	(	(	PUNCT
ejde-932	258	12	s	s	PROPN
ejde-932	258	13	,	,	PUNCT
ejde-932	258	14	y(s),dq	y(s),dq	PROPN
ejde-932	258	15	,	,	PUNCT
ejde-932	258	16	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	258	17	)	)	PUNCT
ejde-932	258	18	,	,	PUNCT
ejde-932	258	19	y(θ(s)))|	y(θ(s)))|	PROPN
ejde-932	258	20	≤	≤	PROPN
ejde-932	258	21	ε	ε	PROPN
ejde-932	258	22	,	,	PUNCT
ejde-932	258	23	s	s	PROPN
ejde-932	258	24	∈	∈	PROPN
ejde-932	258	25	i1	i1	PROPN
ejde-932	258	26	.	.	PUNCT
ejde-932	259	1	let	let	VERB
ejde-932	259	2	x	x	PRON
ejde-932	259	3	represent	represent	VERB
ejde-932	259	4	the	the	DET
ejde-932	259	5	unique	unique	ADJ
ejde-932	259	6	solution	solution	NOUN
ejde-932	259	7	to	to	ADP
ejde-932	259	8	(	(	PUNCT
ejde-932	259	9	1.2	1.2	NUM
ejde-932	259	10	)	)	PUNCT
ejde-932	259	11	.	.	PUNCT
ejde-932	260	1	then	then	ADV
ejde-932	260	2	,	,	PUNCT
ejde-932	260	3	we	we	PRON
ejde-932	260	4	obtain	obtain	VERB
ejde-932	260	5	(	(	PUNCT
ejde-932	260	6	4.1	4.1	NUM
ejde-932	260	7	)	)	PUNCT
ejde-932	260	8	.	.	PUNCT
ejde-932	261	1	10	10	NUM
ejde-932	261	2	k.	k.	PROPN
ejde-932	261	3	chen	chen	PROPN
ejde-932	261	4	,	,	PUNCT
ejde-932	261	5	j.	j.	PROPN
ejde-932	261	6	wang	wang	PROPN
ejde-932	261	7	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	261	8	for	for	ADP
ejde-932	261	9	s	s	PROPN
ejde-932	261	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	261	11	i1	i1	PROPN
ejde-932	261	12	,	,	PUNCT
ejde-932	261	13	according	accord	VERB
ejde-932	261	14	to	to	PART
ejde-932	261	15	remark	remark	NOUN
ejde-932	261	16	3.5	3.5	NUM
ejde-932	261	17	,	,	PUNCT
ejde-932	261	18	we	we	PRON
ejde-932	261	19	obtain	obtain	VERB
ejde-932	261	20	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	261	21	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	262	1	≤	≤	NUM
ejde-932	262	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	262	3	s	s	PART
ejde-932	262	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	262	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	262	6	s2	s2	PROPN
ejde-932	262	7	ω0	ω0	ADV
ejde-932	262	8	ε+	ε+	X
ejde-932	262	9	lf	lf	X
ejde-932	262	10	(	(	PUNCT
ejde-932	262	11	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	262	12	x(s1)|	x(s1)|	PROPN
ejde-932	262	13	+	+	CCONJ
ejde-932	262	14	|dq	|dq	NUM
ejde-932	262	15	,	,	PUNCT
ejde-932	262	16	ωy(s1)−dq	ωy(s1)−dq	PROPN
ejde-932	262	17	,	,	PUNCT
ejde-932	262	18	ωx(s1)|+	ωx(s1)|+	PROPN
ejde-932	262	19	|y(θ(s1))−	|y(θ(s1))−	NOUN
ejde-932	262	20	x(θ(s1))|)dq	x(θ(s1))|)dq	PROPN
ejde-932	262	21	,	,	PUNCT
ejde-932	262	22	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	262	23	,	,	PUNCT
ejde-932	262	24	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	262	25	.	.	PUNCT
ejde-932	263	1	(	(	PUNCT
ejde-932	263	2	4.3	4.3	NUM
ejde-932	263	3	)	)	PUNCT
ejde-932	263	4	let	let	VERB
ejde-932	263	5	ϕ(s	ϕ(s	PRON
ejde-932	263	6	)	)	PUNCT
ejde-932	263	7	=	=	SYM
ejde-932	263	8	max	max	PROPN
ejde-932	263	9	{	{	PUNCT
ejde-932	263	10	max	max	PROPN
ejde-932	263	11	s1∈[ω0−h0,s	s1∈[ω0−h0,s	PROPN
ejde-932	263	12	]	]	PUNCT
ejde-932	263	13	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	263	14	x(s1)|	x(s1)|	PROPN
ejde-932	263	15	,	,	PUNCT
ejde-932	263	16	max	max	PROPN
ejde-932	263	17	s1∈[ω0−h0,s	s1∈[ω0−h0,s	PROPN
ejde-932	263	18	]	]	PUNCT
ejde-932	263	19	|dq	|dq	NUM
ejde-932	263	20	,	,	PUNCT
ejde-932	263	21	ωy(s1)−dq	ωy(s1)−dq	PRON
ejde-932	263	22	,	,	PUNCT
ejde-932	263	23	ωx(s1)|	ωx(s1)|	PROPN
ejde-932	263	24	}	}	PUNCT
ejde-932	263	25	.	.	PUNCT
ejde-932	264	1	then	then	ADV
ejde-932	264	2	ϕ	ϕ	PROPN
ejde-932	264	3	is	be	AUX
ejde-932	264	4	increasing	increase	VERB
ejde-932	264	5	and	and	CCONJ
ejde-932	264	6	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	264	7	x(s1)|	x(s1)|	PROPN
ejde-932	264	8	≤	≤	PROPN
ejde-932	264	9	ϕ(s1	ϕ(s1	NOUN
ejde-932	264	10	)	)	PUNCT
ejde-932	264	11	,	,	PUNCT
ejde-932	264	12	|y(θ(s1))−	|y(θ(s1))−	NOUN
ejde-932	264	13	x(θ(s1))|	x(θ(s1))|	PROPN
ejde-932	265	1	≤	≤	ADJ
ejde-932	265	2	ϕ(s1	ϕ(s1	NOUN
ejde-932	265	3	)	)	PUNCT
ejde-932	265	4	,	,	PUNCT
ejde-932	265	5	|dq	|dq	NUM
ejde-932	265	6	,	,	PUNCT
ejde-932	265	7	ωy(s1)−dq	ωy(s1)−dq	PRON
ejde-932	265	8	,	,	PUNCT
ejde-932	265	9	ωx(s1)|	ωx(s1)|	PROPN
ejde-932	265	10	≤	≤	NOUN
ejde-932	265	11	ϕ(s1	ϕ(s1	NOUN
ejde-932	265	12	)	)	PUNCT
ejde-932	265	13	.	.	PUNCT
ejde-932	266	1	consequently	consequently	ADV
ejde-932	266	2	,	,	PUNCT
ejde-932	266	3	|y(s)−	|y(s)−	PROPN
ejde-932	266	4	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	266	5	≤	≤	NUM
ejde-932	266	6	∫	∫	PROPN
ejde-932	266	7	s	s	PART
ejde-932	266	8	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	266	9	∫	∫	PROPN
ejde-932	266	10	s2	s2	PROPN
ejde-932	266	11	ω0	ω0	ADV
ejde-932	266	12	ε+	ε+	NOUN
ejde-932	266	13	3lfϕ(s1)dq	3lfϕ(s1)dq	NUM
ejde-932	266	14	,	,	PUNCT
ejde-932	266	15	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	266	16	,	,	PUNCT
ejde-932	266	17	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	266	18	≤	≤	NUM
ejde-932	266	19	∫	∫	PROPN
ejde-932	266	20	s	s	PART
ejde-932	266	21	ω0	ω0	X
ejde-932	266	22	(	(	PUNCT
ejde-932	266	23	ε+	ε+	X
ejde-932	266	24	3lfϕ(s2))(s2	3lfϕ(s2))(s2	NUM
ejde-932	266	25	−	−	PROPN
ejde-932	266	26	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	266	27	,	,	PUNCT
ejde-932	266	28	ωs2	ωs2	NOUN
ejde-932	266	29	=	=	SYM
ejde-932	266	30	ε(s−	ε(s−	SYM
ejde-932	266	31	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	266	32	)	)	PUNCT
ejde-932	266	33	2	2	NUM
ejde-932	266	34	1	1	NUM
ejde-932	266	35	+	+	CCONJ
ejde-932	266	36	q	q	PROPN
ejde-932	267	1	+	+	NUM
ejde-932	267	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	267	3	s	s	PART
ejde-932	267	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	267	5	3lfϕ(s2)(s2	3lfϕ(s2)(s2	NUM
ejde-932	267	6	−	−	NOUN
ejde-932	267	7	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	267	8	,	,	PUNCT
ejde-932	267	9	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	267	10	.	.	PUNCT
ejde-932	268	1	for	for	ADP
ejde-932	268	2	all	all	DET
ejde-932	268	3	s1	s1	PROPN
ejde-932	268	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	268	5	[	[	X
ejde-932	268	6	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	268	7	,	,	PUNCT
ejde-932	268	8	s	s	PROPN
ejde-932	268	9	]	]	X
ejde-932	268	10	,	,	PUNCT
ejde-932	268	11	we	we	PRON
ejde-932	268	12	have	have	VERB
ejde-932	268	13	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	268	14	x(s1)|	x(s1)|	PROPN
ejde-932	268	15	≤	≤	PROPN
ejde-932	268	16	ε(s1	ε(s1	PROPN
ejde-932	268	17	−	−	PROPN
ejde-932	268	18	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	268	19	)	)	PUNCT
ejde-932	268	20	2	2	NUM
ejde-932	268	21	1	1	NUM
ejde-932	268	22	+	+	CCONJ
ejde-932	268	23	q	q	NOUN
ejde-932	269	1	+	+	NUM
ejde-932	269	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	269	3	s1	s1	NOUN
ejde-932	269	4	ω0	ω0	VERB
ejde-932	269	5	3lfϕ(s2)(s2	3lfϕ(s2)(s2	NUM
ejde-932	269	6	−	−	NOUN
ejde-932	270	1	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	270	2	,	,	PUNCT
ejde-932	270	3	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	270	4	.	.	PUNCT
ejde-932	271	1	then	then	ADV
ejde-932	271	2	ϕ(s	ϕ(s	PROPN
ejde-932	271	3	)	)	PUNCT
ejde-932	271	4	≤	≤	NUM
ejde-932	271	5	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	271	6	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	271	7	)	)	PUNCT
ejde-932	271	8	2	2	NUM
ejde-932	271	9	1	1	NUM
ejde-932	271	10	+	+	CCONJ
ejde-932	271	11	q	q	PROPN
ejde-932	272	1	+	+	NUM
ejde-932	272	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	272	3	s	s	PART
ejde-932	272	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	272	5	3lfϕ(s2)(s2	3lfϕ(s2)(s2	NUM
ejde-932	272	6	−	−	NOUN
ejde-932	272	7	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	272	8	,	,	PUNCT
ejde-932	272	9	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	272	10	.	.	PUNCT
ejde-932	273	1	(	(	PUNCT
ejde-932	273	2	4.4	4.4	NUM
ejde-932	273	3	)	)	PUNCT
ejde-932	273	4	let	let	VERB
ejde-932	273	5	η(s	η(	NOUN
ejde-932	273	6	)	)	PUNCT
ejde-932	274	1	=	=	SYM
ejde-932	274	2	3lf	3lf	NOUN
ejde-932	274	3	(	(	PUNCT
ejde-932	274	4	s	s	NOUN
ejde-932	274	5	−	−	PROPN
ejde-932	274	6	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	274	7	)	)	PUNCT
ejde-932	274	8	,	,	PUNCT
ejde-932	274	9	s	s	PROPN
ejde-932	274	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	274	11	r.	r.	PROPN
ejde-932	274	12	according	accord	VERB
ejde-932	274	13	to	to	ADP
ejde-932	274	14	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	274	15	2.5	2.5	NUM
ejde-932	274	16	and	and	CCONJ
ejde-932	274	17	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	274	18	4.3	4.3	NUM
ejde-932	274	19	,	,	PUNCT
ejde-932	274	20	from	from	ADP
ejde-932	274	21	(	(	PUNCT
ejde-932	274	22	4.4	4.4	NUM
ejde-932	274	23	)	)	PUNCT
ejde-932	274	24	it	it	PRON
ejde-932	274	25	follows	follow	VERB
ejde-932	274	26	that	that	SCONJ
ejde-932	274	27	ϕ(s	ϕ(s	PROPN
ejde-932	274	28	)	)	PUNCT
ejde-932	274	29	≤	≤	NUM
ejde-932	274	30	ε(s−	ε(s−	ADJ
ejde-932	274	31	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	274	32	)	)	PUNCT
ejde-932	274	33	2	2	NUM
ejde-932	274	34	1	1	NUM
ejde-932	274	35	+	+	CCONJ
ejde-932	274	36	q	q	X
ejde-932	275	1	+	+	NUM
ejde-932	275	2	eη(s	eη(s	X
ejde-932	275	3	)	)	PUNCT
ejde-932	276	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	276	2	s	s	PART
ejde-932	276	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	276	4	η(s2)e−η(σ(s2	η(s2)e−η(σ(s2	NOUN
ejde-932	276	5	)	)	PUNCT
ejde-932	276	6	)	)	PUNCT
ejde-932	276	7	ε(s2	ε(s2	NOUN
ejde-932	276	8	−	−	PROPN
ejde-932	276	9	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	276	10	)	)	PUNCT
ejde-932	276	11	2	2	NUM
ejde-932	276	12	1	1	NUM
ejde-932	276	13	+	+	CCONJ
ejde-932	276	14	q	q	ADJ
ejde-932	276	15	dq	dq	PROPN
ejde-932	276	16	,	,	PUNCT
ejde-932	276	17	ωs2	ωs2	NOUN
ejde-932	276	18	≤	≤	NUM
ejde-932	276	19	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	276	20	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	276	21	)	)	PUNCT
ejde-932	276	22	2	2	NUM
ejde-932	276	23	1	1	NUM
ejde-932	276	24	+	+	CCONJ
ejde-932	276	25	q	q	NOUN
ejde-932	276	26	eη(b	eη(b	NOUN
ejde-932	276	27	)	)	PUNCT
ejde-932	276	28	.	.	PUNCT
ejde-932	277	1	thus	thus	ADV
ejde-932	277	2	,	,	PUNCT
ejde-932	277	3	|y(s)−	|y(s)−	PROPN
ejde-932	277	4	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	277	5	≤	≤	NUM
ejde-932	277	6	ε(b−	ε(b−	NOUN
ejde-932	277	7	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	277	8	)	)	PUNCT
ejde-932	277	9	2	2	NUM
ejde-932	277	10	1	1	NUM
ejde-932	277	11	+	+	CCONJ
ejde-932	277	12	q	q	NOUN
ejde-932	277	13	eη(b	eη(b	NOUN
ejde-932	277	14	)	)	PUNCT
ejde-932	277	15	.	.	PUNCT
ejde-932	278	1	then	then	ADV
ejde-932	278	2	(	(	PUNCT
ejde-932	278	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	278	4	)	)	PUNCT
ejde-932	278	5	has	have	VERB
ejde-932	278	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	278	7	-	-	PUNCT
ejde-932	278	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	278	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	278	10	on	on	ADP
ejde-932	278	11	i3	i3	NOUN
ejde-932	278	12	.	.	PUNCT
ejde-932	279	1	□	□	PUNCT
ejde-932	279	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-932	279	3	4.5	4.5	NUM
ejde-932	279	4	.	.	PUNCT
ejde-932	280	1	under	under	ADP
ejde-932	280	2	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	280	3	(	(	PUNCT
ejde-932	280	4	a4	a4	NOUN
ejde-932	280	5	)	)	PUNCT
ejde-932	280	6	,	,	PUNCT
ejde-932	280	7	(	(	PUNCT
ejde-932	280	8	a5	a5	PROPN
ejde-932	280	9	)	)	PUNCT
ejde-932	280	10	,	,	PUNCT
ejde-932	280	11	equation	equation	NOUN
ejde-932	280	12	(	(	PUNCT
ejde-932	280	13	1.2	1.2	NUM
ejde-932	280	14	)	)	PUNCT
ejde-932	280	15	has	have	AUX
ejde-932	280	16	generalized	generalize	VERB
ejde-932	280	17	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	280	18	-	-	PUNCT
ejde-932	280	19	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	280	20	stability	stability	NOUN
ejde-932	280	21	on	on	ADP
ejde-932	280	22	i3	i3	NOUN
ejde-932	280	23	.	.	PUNCT
ejde-932	281	1	theorem	theorem	VERB
ejde-932	281	2	4.6	4.6	NUM
ejde-932	281	3	.	.	PUNCT
ejde-932	282	1	assume	assume	VERB
ejde-932	282	2	(	(	PUNCT
ejde-932	282	3	a3)–(a5	a3)–(a5	ADJ
ejde-932	282	4	)	)	PUNCT
ejde-932	282	5	hold	hold	NOUN
ejde-932	282	6	.	.	PUNCT
ejde-932	283	1	then	then	ADV
ejde-932	283	2	(	(	PUNCT
ejde-932	283	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	283	4	)	)	PUNCT
ejde-932	283	5	has	have	VERB
ejde-932	283	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	283	7	-	-	PUNCT
ejde-932	283	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	283	9	-	-	PUNCT
ejde-932	283	10	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	283	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	283	12	with	with	ADP
ejde-932	283	13	respect	respect	NOUN
ejde-932	283	14	to	to	ADP
ejde-932	283	15	φ	φ	PROPN
ejde-932	283	16	on	on	ADP
ejde-932	283	17	i3	i3	NOUN
ejde-932	283	18	.	.	PUNCT
ejde-932	284	1	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	284	2	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	284	3	type	type	NOUN
ejde-932	284	4	stability	stability	NOUN
ejde-932	284	5	11	11	NUM
ejde-932	284	6	proof	proof	NOUN
ejde-932	284	7	.	.	PUNCT
ejde-932	285	1	according	accord	VERB
ejde-932	285	2	to	to	ADP
ejde-932	285	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-932	285	4	4.2	4.2	NUM
ejde-932	285	5	,	,	PUNCT
ejde-932	285	6	equation	equation	NOUN
ejde-932	285	7	(	(	PUNCT
ejde-932	285	8	1.2	1.2	NUM
ejde-932	285	9	)	)	PUNCT
ejde-932	285	10	has	have	VERB
ejde-932	285	11	the	the	DET
ejde-932	285	12	unique	unique	ADJ
ejde-932	285	13	solution	solution	NOUN
ejde-932	285	14	on	on	ADP
ejde-932	285	15	i3	i3	NOUN
ejde-932	285	16	.	.	PUNCT
ejde-932	286	1	let	let	VERB
ejde-932	286	2	y	y	PRON
ejde-932	286	3	satisfy	satisfy	VERB
ejde-932	286	4	the	the	DET
ejde-932	286	5	inequality	inequality	NOUN
ejde-932	286	6	|d2	|d2	PROPN
ejde-932	286	7	q	q	PROPN
ejde-932	286	8	,	,	PUNCT
ejde-932	286	9	ωy(s)−	ωy(s)−	PROPN
ejde-932	286	10	f	f	X
ejde-932	286	11	(	(	PUNCT
ejde-932	286	12	s	s	PROPN
ejde-932	286	13	,	,	PUNCT
ejde-932	286	14	y(s),dq	y(s),dq	PROPN
ejde-932	286	15	,	,	PUNCT
ejde-932	286	16	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	286	17	)	)	PUNCT
ejde-932	286	18	,	,	PUNCT
ejde-932	286	19	y(θ(s)))|	y(θ(s)))|	PROPN
ejde-932	286	20	≤	≤	PROPN
ejde-932	286	21	εφ(s	εφ(s	PROPN
ejde-932	286	22	)	)	PUNCT
ejde-932	286	23	,	,	PUNCT
ejde-932	286	24	s	s	PROPN
ejde-932	286	25	∈	∈	PROPN
ejde-932	286	26	i1	i1	PROPN
ejde-932	286	27	.	.	PUNCT
ejde-932	287	1	let	let	VERB
ejde-932	287	2	x	x	PRON
ejde-932	287	3	represent	represent	VERB
ejde-932	287	4	unique	unique	ADJ
ejde-932	287	5	solution	solution	NOUN
ejde-932	287	6	to	to	ADP
ejde-932	287	7	(	(	PUNCT
ejde-932	287	8	1.2	1.2	NUM
ejde-932	287	9	)	)	PUNCT
ejde-932	287	10	.	.	PUNCT
ejde-932	288	1	according	accord	VERB
ejde-932	288	2	to	to	ADP
ejde-932	288	3	remark	remark	NOUN
ejde-932	288	4	3.5	3.5	NUM
ejde-932	288	5	,	,	PUNCT
ejde-932	288	6	we	we	PRON
ejde-932	288	7	have	have	VERB
ejde-932	288	8	|y(s)−	|y(s)−	PROPN
ejde-932	288	9	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	289	1	≤	≤	NUM
ejde-932	289	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	289	3	s	s	PART
ejde-932	289	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	289	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	289	6	s2	s2	PROPN
ejde-932	289	7	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	289	8	εφ(s1	εφ(s1	NOUN
ejde-932	289	9	)	)	PUNCT
ejde-932	290	1	+	+	CCONJ
ejde-932	290	2	lf	lf	INTJ
ejde-932	290	3	(	(	PUNCT
ejde-932	290	4	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	290	5	x(s1)|+	x(s1)|+	PROPN
ejde-932	290	6	|dq	|dq	PRON
ejde-932	290	7	,	,	PUNCT
ejde-932	290	8	ωy(s1)−dq	ωy(s1)−dq	PRON
ejde-932	290	9	,	,	PUNCT
ejde-932	290	10	ωx(s1)|	ωx(s1)|	PROPN
ejde-932	290	11	+	+	CCONJ
ejde-932	290	12	|y(θ(s1))−	|y(θ(s1))−	PROPN
ejde-932	290	13	x(θ(s1))|)dq	x(θ(s1))|)dq	PROPN
ejde-932	290	14	,	,	PUNCT
ejde-932	290	15	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	290	16	,	,	PUNCT
ejde-932	290	17	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	290	18	.	.	PUNCT
ejde-932	291	1	let	let	VERB
ejde-932	291	2	ϕ(s	ϕ(s	PRON
ejde-932	291	3	)	)	PUNCT
ejde-932	291	4	=	=	SYM
ejde-932	291	5	max	max	PROPN
ejde-932	291	6	{	{	PUNCT
ejde-932	291	7	max	max	PROPN
ejde-932	291	8	s1∈[ω0−h0,s	s1∈[ω0−h0,s	PROPN
ejde-932	291	9	]	]	PUNCT
ejde-932	291	10	|y(s1)−	|y(s1)−	PROPN
ejde-932	291	11	x(s1)|	x(s1)|	PROPN
ejde-932	291	12	,	,	PUNCT
ejde-932	291	13	max	max	PROPN
ejde-932	291	14	s1∈[ω0−h0,s	s1∈[ω0−h0,s	PROPN
ejde-932	291	15	]	]	PUNCT
ejde-932	291	16	|dq	|dq	NUM
ejde-932	291	17	,	,	PUNCT
ejde-932	291	18	ωy(s1)−dq	ωy(s1)−dq	PRON
ejde-932	291	19	,	,	PUNCT
ejde-932	291	20	ωx(s1)|	ωx(s1)|	PROPN
ejde-932	291	21	}	}	PUNCT
ejde-932	291	22	.	.	PUNCT
ejde-932	292	1	as	as	ADP
ejde-932	292	2	in	in	ADP
ejde-932	292	3	the	the	DET
ejde-932	292	4	proof	proof	NOUN
ejde-932	292	5	of	of	ADP
ejde-932	292	6	theorem	theorem	NOUN
ejde-932	292	7	4.4	4.4	NUM
ejde-932	292	8	,	,	PUNCT
ejde-932	292	9	we	we	PRON
ejde-932	292	10	have	have	VERB
ejde-932	292	11	|y(s)−	|y(s)−	PROPN
ejde-932	292	12	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	293	1	≤	≤	NUM
ejde-932	293	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	293	3	s	s	PART
ejde-932	293	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	293	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	293	6	s2	s2	PROPN
ejde-932	293	7	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	293	8	εφ(s1	εφ(s1	NOUN
ejde-932	293	9	)	)	PUNCT
ejde-932	294	1	+	+	CCONJ
ejde-932	294	2	3lfϕ(s1)dq	3lfϕ(s1)dq	NUM
ejde-932	294	3	,	,	PUNCT
ejde-932	294	4	ωs1dq	ωs1dq	NOUN
ejde-932	294	5	,	,	PUNCT
ejde-932	294	6	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	294	7	≤	≤	NUM
ejde-932	294	8	∫	∫	PROPN
ejde-932	294	9	s	s	PART
ejde-932	294	10	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	294	11	(	(	PUNCT
ejde-932	294	12	εφ(s2	εφ(s2	NOUN
ejde-932	294	13	)	)	PUNCT
ejde-932	294	14	+	+	CCONJ
ejde-932	294	15	3lfϕ(s2))(s2	3lfϕ(s2))(s2	NUM
ejde-932	294	16	−	−	NOUN
ejde-932	294	17	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	294	18	,	,	PUNCT
ejde-932	294	19	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	294	20	≤	≤	NUM
ejde-932	294	21	εφ(s)(s−	εφ(s)(s−	ADJ
ejde-932	294	22	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	294	23	)	)	PUNCT
ejde-932	294	24	2	2	NUM
ejde-932	294	25	1	1	NUM
ejde-932	294	26	+	+	CCONJ
ejde-932	294	27	q	q	PROPN
ejde-932	295	1	+	+	NUM
ejde-932	295	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	295	3	s	s	PART
ejde-932	295	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	295	5	3lfϕ(s2)(s2	3lfϕ(s2)(s2	NUM
ejde-932	295	6	−	−	NOUN
ejde-932	295	7	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	295	8	,	,	PUNCT
ejde-932	295	9	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	295	10	.	.	PUNCT
ejde-932	296	1	then	then	ADV
ejde-932	296	2	one	one	PRON
ejde-932	296	3	has	have	VERB
ejde-932	296	4	ϕ(s	ϕ(s	PROPN
ejde-932	296	5	)	)	PUNCT
ejde-932	296	6	≤	≤	NOUN
ejde-932	296	7	εφ(s)(s−	εφ(s)(s−	PROPN
ejde-932	296	8	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	296	9	)	)	PUNCT
ejde-932	296	10	2	2	NUM
ejde-932	296	11	1	1	NUM
ejde-932	296	12	+	+	CCONJ
ejde-932	296	13	q	q	PROPN
ejde-932	297	1	+	+	NUM
ejde-932	297	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	297	3	s	s	PART
ejde-932	297	4	ω0	ω0	ADV
ejde-932	297	5	3lfϕ(s2)(s2	3lfϕ(s2)(s2	NUM
ejde-932	297	6	−	−	NOUN
ejde-932	297	7	ω0)dq	ω0)dq	PROPN
ejde-932	297	8	,	,	PUNCT
ejde-932	297	9	ωs2	ωs2	PROPN
ejde-932	297	10	.	.	PUNCT
ejde-932	298	1	(	(	PUNCT
ejde-932	298	2	4.5	4.5	NUM
ejde-932	298	3	)	)	PUNCT
ejde-932	298	4	by	by	ADP
ejde-932	298	5	using	use	VERB
ejde-932	298	6	lemma	lemma	PROPN
ejde-932	298	7	2.5	2.5	NUM
ejde-932	298	8	,	,	PUNCT
ejde-932	298	9	from	from	ADP
ejde-932	298	10	(	(	PUNCT
ejde-932	298	11	4.5	4.5	NUM
ejde-932	298	12	)	)	PUNCT
ejde-932	298	13	it	it	PRON
ejde-932	298	14	follows	follow	VERB
ejde-932	298	15	that	that	SCONJ
ejde-932	298	16	ϕ(s	ϕ(s	PROPN
ejde-932	298	17	)	)	PUNCT
ejde-932	298	18	≤	≤	NUM
ejde-932	298	19	εφ(s)(s−	εφ(s)(s−	PROPN
ejde-932	298	20	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	298	21	)	)	PUNCT
ejde-932	298	22	2	2	NUM
ejde-932	298	23	1	1	NUM
ejde-932	298	24	+	+	CCONJ
ejde-932	298	25	q	q	NOUN
ejde-932	298	26	+	+	NUM
ejde-932	298	27	ep(s	ep(s	NUM
ejde-932	298	28	)	)	PUNCT
ejde-932	298	29	∫	∫	PROPN
ejde-932	298	30	s	s	PROPN
ejde-932	298	31	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	298	32	p(s2)e−η(σ(s2	p(s2)e−η(σ(s2	NOUN
ejde-932	298	33	)	)	PUNCT
ejde-932	298	34	)	)	PUNCT
ejde-932	298	35	εφ(s2)(s2	εφ(s2)(s2	PUNCT
ejde-932	298	36	−	−	PROPN
ejde-932	298	37	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	298	38	)	)	PUNCT
ejde-932	298	39	2	2	NUM
ejde-932	298	40	1	1	NUM
ejde-932	298	41	+	+	CCONJ
ejde-932	298	42	q	q	ADJ
ejde-932	298	43	dq	dq	PROPN
ejde-932	298	44	,	,	PUNCT
ejde-932	298	45	ωs2	ωs2	NOUN
ejde-932	298	46	≤	≤	NOUN
ejde-932	298	47	(	(	PUNCT
ejde-932	298	48	b−	b−	PROPN
ejde-932	298	49	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	298	50	)	)	PUNCT
ejde-932	298	51	2eη(b)εφ(s	2eη(b)εφ(s	NUM
ejde-932	298	52	)	)	PUNCT
ejde-932	298	53	1	1	NUM
ejde-932	299	1	+	+	CCONJ
ejde-932	299	2	q	q	NOUN
ejde-932	299	3	.	.	PUNCT
ejde-932	300	1	then	then	ADV
ejde-932	300	2	|y(s)−	|y(s)−	PRON
ejde-932	300	3	x(s)|	x(s)|	PROPN
ejde-932	300	4	≤	≤	PROPN
ejde-932	300	5	(	(	PUNCT
ejde-932	300	6	b−	b−	PROPN
ejde-932	300	7	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	300	8	)	)	PUNCT
ejde-932	300	9	2eη(b)εφ(s	2eη(b)εφ(s	NUM
ejde-932	300	10	)	)	PUNCT
ejde-932	300	11	1	1	NUM
ejde-932	300	12	+	+	CCONJ
ejde-932	300	13	q	q	NOUN
ejde-932	300	14	.	.	PUNCT
ejde-932	301	1	thus	thus	ADV
ejde-932	301	2	,	,	PUNCT
ejde-932	301	3	(	(	PUNCT
ejde-932	301	4	1.2	1.2	NUM
ejde-932	301	5	)	)	PUNCT
ejde-932	301	6	has	have	VERB
ejde-932	301	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	301	8	-	-	PUNCT
ejde-932	301	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	301	10	-	-	PUNCT
ejde-932	301	11	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	301	12	stability	stability	NOUN
ejde-932	301	13	with	with	ADP
ejde-932	301	14	respect	respect	NOUN
ejde-932	301	15	to	to	ADP
ejde-932	301	16	φ	φ	PROPN
ejde-932	301	17	on	on	ADP
ejde-932	301	18	i3	i3	NOUN
ejde-932	301	19	.	.	PUNCT
ejde-932	302	1	□	□	PUNCT
ejde-932	302	2	corollary	corollary	ADJ
ejde-932	302	3	4.7	4.7	NUM
ejde-932	302	4	.	.	PUNCT
ejde-932	303	1	assume	assume	VERB
ejde-932	303	2	(	(	PUNCT
ejde-932	303	3	a3)–(a5	a3)–(a5	ADJ
ejde-932	303	4	)	)	PUNCT
ejde-932	303	5	hold	hold	NOUN
ejde-932	303	6	.	.	PUNCT
ejde-932	304	1	then	then	ADV
ejde-932	304	2	(	(	PUNCT
ejde-932	304	3	1.2	1.2	NUM
ejde-932	304	4	)	)	PUNCT
ejde-932	304	5	has	have	AUX
ejde-932	304	6	generalized	generalize	VERB
ejde-932	304	7	ulam	ulam	ADJ
ejde-932	304	8	-	-	PUNCT
ejde-932	304	9	hyersrassias	hyersrassias	PROPN
ejde-932	304	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	304	11	with	with	ADP
ejde-932	304	12	respect	respect	NOUN
ejde-932	304	13	to	to	ADP
ejde-932	304	14	φ	φ	PROPN
ejde-932	304	15	on	on	ADP
ejde-932	304	16	i3	i3	NOUN
ejde-932	304	17	.	.	PUNCT
ejde-932	305	1	4.2	4.2	NUM
ejde-932	305	2	.	.	PUNCT
ejde-932	306	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	306	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	306	3	of	of	ADP
ejde-932	306	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	306	5	(	(	PUNCT
ejde-932	306	6	1.3	1.3	NUM
ejde-932	306	7	)	)	PUNCT
ejde-932	306	8	.	.	PUNCT
ejde-932	307	1	based	base	VERB
ejde-932	307	2	on	on	ADP
ejde-932	307	3	the	the	DET
ejde-932	307	4	definitions	definition	NOUN
ejde-932	307	5	of	of	ADP
ejde-932	307	6	the	the	DET
ejde-932	307	7	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	307	8	difference	difference	NOUN
ejde-932	307	9	and	and	CCONJ
ejde-932	307	10	q	q	NOUN
ejde-932	307	11	,	,	PUNCT
ejde-932	307	12	ω	ω	NOUN
ejde-932	307	13	-	-	ADJ
ejde-932	307	14	integral	integral	ADJ
ejde-932	307	15	,	,	PUNCT
ejde-932	307	16	it	it	PRON
ejde-932	307	17	is	be	AUX
ejde-932	307	18	clear	clear	ADJ
ejde-932	307	19	that	that	SCONJ
ejde-932	307	20	x	x	X
ejde-932	307	21	:	:	PUNCT
ejde-932	307	22	i3	i3	NOUN
ejde-932	307	23	→	→	SYM
ejde-932	307	24	r	r	NOUN
ejde-932	307	25	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-932	307	26	(	(	PUNCT
ejde-932	307	27	1.3	1.3	NUM
ejde-932	307	28	)	)	PUNCT
ejde-932	307	29	if	if	SCONJ
ejde-932	307	30	and	and	CCONJ
ejde-932	307	31	only	only	ADV
ejde-932	307	32	if	if	SCONJ
ejde-932	307	33	x	x	PRON
ejde-932	307	34	satisfies	satisfy	VERB
ejde-932	307	35	the	the	DET
ejde-932	307	36	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-932	307	37	integral	integral	ADJ
ejde-932	307	38	equation	equation	NOUN
ejde-932	307	39	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	307	40	)	)	PUNCT
ejde-932	307	41	=	=	PUNCT
ejde-932	307	42			PROPN
ejde-932	307	43	y(s	y(s	PROPN
ejde-932	307	44	)	)	PUNCT
ejde-932	307	45	,	,	PUNCT
ejde-932	307	46	s	s	VERB
ejde-932	307	47	∈	∈	NOUN
ejde-932	307	48	i2,∑n−1	i2,∑n−1	PROPN
ejde-932	307	49	k=0	k=0	PROPN
ejde-932	307	50	(	(	PUNCT
ejde-932	307	51	1−q)k(s−ω0	1−q)k(s−ω0	NUM
ejde-932	307	52	)	)	PUNCT
ejde-932	307	53	k	k	NOUN
ejde-932	308	1	(	(	PUNCT
ejde-932	308	2	q	q	NOUN
ejde-932	308	3	:	:	PUNCT
ejde-932	308	4	q)k	q)k	NOUN
ejde-932	308	5	dk	dk	PROPN
ejde-932	308	6	q	q	X
ejde-932	308	7	,	,	PUNCT
ejde-932	308	8	ωy(ω0	ωy(ω0	ADJ
ejde-932	308	9	)	)	PUNCT
ejde-932	309	1	+	+	CCONJ
ejde-932	309	2	∫	∫	PROPN
ejde-932	309	3	s	s	PART
ejde-932	309	4	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	309	5	∫	∫	PROPN
ejde-932	309	6	sn	sn	PROPN
ejde-932	309	7	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	309	8	.	.	PUNCT
ejde-932	309	9	.	.	PUNCT
ejde-932	309	10	.	.	PUNCT
ejde-932	310	1	∫	∫	PROPN
ejde-932	310	2	s2	s2	PROPN
ejde-932	310	3	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	310	4	f	f	PROPN
ejde-932	310	5	(	(	PUNCT
ejde-932	310	6	s1	s1	PROPN
ejde-932	310	7	,	,	PUNCT
ejde-932	310	8	x(s1	x(s1	ADJ
ejde-932	310	9	)	)	PUNCT
ejde-932	310	10	,	,	PUNCT
ejde-932	310	11	dq	dq	NOUN
ejde-932	310	12	,	,	PUNCT
ejde-932	310	13	ωx(s1	ωx(s1	NOUN
ejde-932	310	14	)	)	PUNCT
ejde-932	310	15	,	,	PUNCT
ejde-932	310	16	.	.	PUNCT
ejde-932	310	17	.	.	PUNCT
ejde-932	310	18	.	.	PUNCT
ejde-932	311	1	,	,	PUNCT
ejde-932	311	2	d	d	PROPN
ejde-932	311	3	n−1	n−1	PROPN
ejde-932	311	4	q	q	PROPN
ejde-932	311	5	,	,	PUNCT
ejde-932	311	6	ω	ω	X
ejde-932	311	7	x(s1	x(s1	X
ejde-932	311	8	)	)	PUNCT
ejde-932	311	9	,	,	PUNCT
ejde-932	311	10	x(θ(s1)))dq	x(θ(s1)))dq	PROPN
ejde-932	311	11	,	,	PUNCT
ejde-932	311	12	ωs1	ωs1	NOUN
ejde-932	311	13	.	.	PUNCT
ejde-932	311	14	.	.	PUNCT
ejde-932	311	15	.	.	PUNCT
ejde-932	312	1	dq	dq	PROPN
ejde-932	312	2	,	,	PUNCT
ejde-932	312	3	ωsn−1dq	ωsn−1dq	PROPN
ejde-932	312	4	,	,	PUNCT
ejde-932	312	5	ωsn	ωsn	ADJ
ejde-932	312	6	,	,	PUNCT
ejde-932	312	7	s	s	PROPN
ejde-932	312	8	∈	∈	PROPN
ejde-932	312	9	i1	i1	PROPN
ejde-932	312	10	.	.	PUNCT
ejde-932	313	1	now	now	ADV
ejde-932	313	2	we	we	PRON
ejde-932	313	3	introduce	introduce	VERB
ejde-932	313	4	the	the	DET
ejde-932	313	5	next	next	ADJ
ejde-932	313	6	assumptions	assumption	NOUN
ejde-932	313	7	12	12	NUM
ejde-932	313	8	k.	k.	PROPN
ejde-932	313	9	chen	chen	PROPN
ejde-932	313	10	,	,	PUNCT
ejde-932	313	11	j.	j.	PROPN
ejde-932	313	12	wang	wang	PROPN
ejde-932	313	13	ejde-2024/77	ejde-2024/77	PROPN
ejde-932	313	14	(	(	PUNCT
ejde-932	313	15	a6	a6	NOUN
ejde-932	313	16	)	)	PUNCT
ejde-932	313	17	there	there	PRON
ejde-932	313	18	is	be	VERB
ejde-932	313	19	a	a	DET
ejde-932	313	20	real	real	ADJ
ejde-932	313	21	number	number	NOUN
ejde-932	313	22	l	l	NOUN
ejde-932	313	23	>	>	X
ejde-932	313	24	0	0	NUM
ejde-932	313	25	such	such	ADJ
ejde-932	313	26	that	that	PRON
ejde-932	313	27	for	for	ADP
ejde-932	313	28	all	all	DET
ejde-932	313	29	s	s	PROPN
ejde-932	313	30	∈	∈	PROPN
ejde-932	313	31	i1	i1	PROPN
ejde-932	313	32	,	,	PUNCT
ejde-932	313	33	xj	xj	PROPN
ejde-932	313	34	,	,	PUNCT
ejde-932	314	1	yj	yj	PROPN
ejde-932	314	2	∈	∈	PROPN
ejde-932	314	3	r	r	PROPN
ejde-932	314	4	,	,	PUNCT
ejde-932	314	5	j	j	PROPN
ejde-932	314	6	=	=	SYM
ejde-932	314	7	1	1	NUM
ejde-932	314	8	,	,	PUNCT
ejde-932	314	9	2	2	NUM
ejde-932	314	10	,	,	PUNCT
ejde-932	314	11	.	.	PUNCT
ejde-932	314	12	.	.	PUNCT
ejde-932	315	1	.	.	PUNCT
ejde-932	316	1	,	,	PUNCT
ejde-932	316	2	n	n	CCONJ
ejde-932	316	3	,	,	PUNCT
ejde-932	316	4	|f	|f	PROPN
ejde-932	316	5	(	(	PUNCT
ejde-932	316	6	s	s	PROPN
ejde-932	316	7	,	,	PUNCT
ejde-932	316	8	x1	x1	PROPN
ejde-932	316	9	,	,	PUNCT
ejde-932	316	10	x2	x2	PROPN
ejde-932	316	11	,	,	PUNCT
ejde-932	316	12	.	.	PUNCT
ejde-932	317	1	.	.	PUNCT
ejde-932	318	1	.	.	PUNCT
ejde-932	319	1	,	,	PUNCT
ejde-932	319	2	xn)−	xn)−	PUNCT
ejde-932	320	1	f	f	X
ejde-932	320	2	(	(	PUNCT
ejde-932	320	3	s	s	PROPN
ejde-932	320	4	,	,	PUNCT
ejde-932	320	5	y1	y1	X
ejde-932	320	6	,	,	PUNCT
ejde-932	320	7	y2	y2	PROPN
ejde-932	320	8	,	,	PUNCT
ejde-932	320	9	.	.	PUNCT
ejde-932	320	10	.	.	PUNCT
ejde-932	320	11	.	.	PUNCT
ejde-932	321	1	,	,	PUNCT
ejde-932	321	2	yn)|	yn)|	PROPN
ejde-932	321	3	≤	≤	PUNCT
ejde-932	322	1	l	l	NOUN
ejde-932	322	2	n∑	n∑	NOUN
ejde-932	322	3	j=1	j=1	NOUN
ejde-932	322	4	|xj	|xj	NUM
ejde-932	322	5	−	−	PROPN
ejde-932	322	6	yj	yj	PROPN
ejde-932	322	7	|	|	NOUN
ejde-932	322	8	.	.	PUNCT
ejde-932	323	1	(	(	PUNCT
ejde-932	323	2	a7	a7	PROPN
ejde-932	323	3	)	)	PUNCT
ejde-932	323	4	(	(	PUNCT
ejde-932	323	5	b−	b−	PROPN
ejde-932	323	6	ω0	ω0	NOUN
ejde-932	323	7	)	)	PUNCT
ejde-932	323	8	n	n	CCONJ
ejde-932	323	9	<	<	X
ejde-932	323	10	(	(	PUNCT
ejde-932	323	11	q	q	NOUN
ejde-932	323	12	:	:	PUNCT
ejde-932	323	13	q)n	q)n	X
ejde-932	323	14	(	(	PUNCT
ejde-932	323	15	n+1)l(1−q)n	n+1)l(1−q)n	X
ejde-932	323	16	.	.	PUNCT
ejde-932	324	1	consequently	consequently	ADV
ejde-932	324	2	,	,	PUNCT
ejde-932	324	3	analogous	analogous	ADJ
ejde-932	324	4	approaches	approach	NOUN
ejde-932	324	5	can	can	AUX
ejde-932	324	6	be	be	AUX
ejde-932	324	7	used	use	VERB
ejde-932	324	8	to	to	PART
ejde-932	324	9	establish	establish	VERB
ejde-932	324	10	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	324	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	324	12	for	for	ADP
ejde-932	324	13	equation	equation	NOUN
ejde-932	324	14	(	(	PUNCT
ejde-932	324	15	1.3	1.3	NUM
ejde-932	324	16	)	)	PUNCT
ejde-932	324	17	on	on	ADP
ejde-932	324	18	i3	i3	NOUN
ejde-932	324	19	.	.	PUNCT
ejde-932	325	1	we	we	PRON
ejde-932	325	2	now	now	ADV
ejde-932	325	3	easily	easily	ADV
ejde-932	325	4	present	present	VERB
ejde-932	325	5	these	these	DET
ejde-932	325	6	results	result	NOUN
ejde-932	325	7	without	without	ADP
ejde-932	325	8	proofs	proof	NOUN
ejde-932	325	9	.	.	PUNCT
ejde-932	326	1	theorem	theorem	NOUN
ejde-932	326	2	4.8	4.8	NUM
ejde-932	326	3	.	.	PUNCT
ejde-932	327	1	assume	assume	VERB
ejde-932	327	2	(	(	PUNCT
ejde-932	327	3	a6	a6	NOUN
ejde-932	327	4	)	)	PUNCT
ejde-932	327	5	and	and	CCONJ
ejde-932	327	6	(	(	PUNCT
ejde-932	327	7	a7	a7	PROPN
ejde-932	327	8	)	)	PUNCT
ejde-932	327	9	hold	hold	NOUN
ejde-932	327	10	.	.	PUNCT
ejde-932	328	1	then	then	ADV
ejde-932	328	2	(	(	PUNCT
ejde-932	328	3	1.3	1.3	NUM
ejde-932	328	4	)	)	PUNCT
ejde-932	328	5	has	have	VERB
ejde-932	328	6	the	the	DET
ejde-932	328	7	unique	unique	ADJ
ejde-932	328	8	solution	solution	NOUN
ejde-932	328	9	on	on	ADP
ejde-932	328	10	i3	i3	NOUN
ejde-932	328	11	.	.	PUNCT
ejde-932	329	1	theorem	theorem	VERB
ejde-932	329	2	4.9	4.9	NUM
ejde-932	329	3	.	.	PUNCT
ejde-932	330	1	assume	assume	VERB
ejde-932	330	2	(	(	PUNCT
ejde-932	330	3	a6	a6	NOUN
ejde-932	330	4	)	)	PUNCT
ejde-932	330	5	and	and	CCONJ
ejde-932	330	6	(	(	PUNCT
ejde-932	330	7	a7	a7	PROPN
ejde-932	330	8	)	)	PUNCT
ejde-932	330	9	hold	hold	NOUN
ejde-932	330	10	.	.	PUNCT
ejde-932	331	1	then	then	ADV
ejde-932	331	2	(	(	PUNCT
ejde-932	331	3	1.3	1.3	NUM
ejde-932	331	4	)	)	PUNCT
ejde-932	331	5	has	have	VERB
ejde-932	331	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	331	7	-	-	PUNCT
ejde-932	331	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	331	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	331	10	on	on	ADP
ejde-932	331	11	i3	i3	NOUN
ejde-932	331	12	with	with	ADP
ejde-932	331	13	c	c	NOUN
ejde-932	331	14	=	=	SYM
ejde-932	331	15	(	(	PUNCT
ejde-932	331	16	1−	1−	NUM
ejde-932	331	17	q)n(b−	q)n(b−	NUM
ejde-932	331	18	ω0	ω0	PROPN
ejde-932	331	19	)	)	PUNCT
ejde-932	331	20	neη(b	neη(b	PROPN
ejde-932	331	21	)	)	PUNCT
ejde-932	331	22	(	(	PUNCT
ejde-932	331	23	q	q	NOUN
ejde-932	331	24	:	:	PUNCT
ejde-932	331	25	q)n	q)n	X
ejde-932	331	26	,	,	PUNCT
ejde-932	331	27	where	where	SCONJ
ejde-932	331	28	η(s	η(	NOUN
ejde-932	331	29	)	)	PUNCT
ejde-932	331	30	=	=	SYM
ejde-932	331	31	(	(	PUNCT
ejde-932	331	32	n+1)l(1−q)n−1(s−ω0	n+1)l(1−q)n−1(s−ω0	ADJ
ejde-932	331	33	)	)	PUNCT
ejde-932	331	34	n−1	n−1	PROPN
ejde-932	331	35	(	(	PUNCT
ejde-932	331	36	q	q	NOUN
ejde-932	331	37	:	:	PUNCT
ejde-932	331	38	q)n−1	q)n−1	PROPN
ejde-932	331	39	,	,	PUNCT
ejde-932	331	40	and	and	CCONJ
ejde-932	331	41	s	s	PROPN
ejde-932	331	42	∈	∈	PROPN
ejde-932	331	43	r.	r.	PROPN
ejde-932	331	44	theorem	theorem	VERB
ejde-932	331	45	4.10	4.10	NUM
ejde-932	331	46	.	.	PUNCT
ejde-932	332	1	assume	assume	VERB
ejde-932	332	2	(	(	PUNCT
ejde-932	332	3	a6	a6	NOUN
ejde-932	332	4	)	)	PUNCT
ejde-932	332	5	and	and	CCONJ
ejde-932	332	6	(	(	PUNCT
ejde-932	332	7	a7	a7	PROPN
ejde-932	332	8	)	)	PUNCT
ejde-932	332	9	hold	hold	NOUN
ejde-932	332	10	.	.	PUNCT
ejde-932	333	1	then	then	ADV
ejde-932	333	2	equation	equation	NOUN
ejde-932	333	3	(	(	PUNCT
ejde-932	333	4	1.3	1.3	NUM
ejde-932	333	5	)	)	PUNCT
ejde-932	333	6	has	have	AUX
ejde-932	333	7	generalized	generalize	VERB
ejde-932	333	8	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	333	9	-	-	PUNCT
ejde-932	333	10	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	333	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	333	12	on	on	ADP
ejde-932	333	13	i3	i3	NOUN
ejde-932	333	14	.	.	PUNCT
ejde-932	334	1	theorem	theorem	NOUN
ejde-932	334	2	4.11	4.11	NUM
ejde-932	334	3	.	.	PUNCT
ejde-932	335	1	assume	assume	VERB
ejde-932	335	2	(	(	PUNCT
ejde-932	335	3	a3	a3	NOUN
ejde-932	335	4	)	)	PUNCT
ejde-932	335	5	,	,	PUNCT
ejde-932	335	6	(	(	PUNCT
ejde-932	335	7	a6	a6	NOUN
ejde-932	335	8	)	)	PUNCT
ejde-932	335	9	,	,	PUNCT
ejde-932	335	10	(	(	PUNCT
ejde-932	335	11	a7	a7	ADJ
ejde-932	335	12	)	)	PUNCT
ejde-932	335	13	hold	hold	NOUN
ejde-932	335	14	.	.	PUNCT
ejde-932	336	1	then	then	ADV
ejde-932	336	2	(	(	PUNCT
ejde-932	336	3	1.3	1.3	NUM
ejde-932	336	4	)	)	PUNCT
ejde-932	336	5	has	have	VERB
ejde-932	336	6	ulam	ulam	X
ejde-932	336	7	-	-	PUNCT
ejde-932	336	8	hyersrassias	hyersrassias	PROPN
ejde-932	336	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	336	10	and	and	CCONJ
ejde-932	336	11	generalized	generalize	VERB
ejde-932	336	12	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	336	13	-	-	PUNCT
ejde-932	336	14	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	336	15	-	-	PUNCT
ejde-932	336	16	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	336	17	stability	stability	NOUN
ejde-932	336	18	with	with	ADP
ejde-932	336	19	respect	respect	NOUN
ejde-932	336	20	to	to	ADP
ejde-932	336	21	φ	φ	PROPN
ejde-932	336	22	on	on	ADP
ejde-932	336	23	i3	i3	NOUN
ejde-932	336	24	.	.	PUNCT
ejde-932	337	1	5	5	X
ejde-932	337	2	.	.	X
ejde-932	337	3	examples	example	NOUN
ejde-932	337	4	example	example	VERB
ejde-932	337	5	5.1	5.1	NUM
ejde-932	337	6	.	.	PUNCT
ejde-932	338	1	we	we	PRON
ejde-932	338	2	consider	consider	VERB
ejde-932	338	3	the	the	DET
ejde-932	338	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	338	5	d	d	NOUN
ejde-932	338	6	1	1	NUM
ejde-932	338	7	3	3	NUM
ejde-932	338	8	,	,	PUNCT
ejde-932	338	9	6	6	NUM
ejde-932	338	10	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	338	11	)	)	PUNCT
ejde-932	339	1	=	=	PUNCT
ejde-932	340	1	2e−|x(s)|	2e−|x(s)|	NUM
ejde-932	340	2	+	+	CCONJ
ejde-932	340	3	sin(x(s−	sin(x(s−	NOUN
ejde-932	340	4	10	10	NUM
ejde-932	340	5	)	)	PUNCT
ejde-932	340	6	)	)	PUNCT
ejde-932	340	7	264	264	NUM
ejde-932	340	8	,	,	PUNCT
ejde-932	340	9	s	s	PART
ejde-932	340	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	341	1	[	[	X
ejde-932	341	2	9	9	NUM
ejde-932	341	3	,	,	PUNCT
ejde-932	341	4	b	b	NOUN
ejde-932	341	5	]	]	X
ejde-932	341	6	,	,	PUNCT
ejde-932	341	7	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	341	8	)	)	PUNCT
ejde-932	341	9	=	=	SYM
ejde-932	341	10	s2	s2	PROPN
ejde-932	341	11	,	,	PUNCT
ejde-932	341	12	s	s	PART
ejde-932	341	13	∈	∈	PROPN
ejde-932	342	1	[	[	X
ejde-932	342	2	−1	−1	NOUN
ejde-932	342	3	,	,	PUNCT
ejde-932	342	4	9	9	NUM
ejde-932	342	5	]	]	PUNCT
ejde-932	342	6	,	,	PUNCT
ejde-932	342	7	(	(	PUNCT
ejde-932	342	8	5.1	5.1	NUM
ejde-932	342	9	)	)	PUNCT
ejde-932	342	10	and	and	CCONJ
ejde-932	342	11	inequalities	inequality	NOUN
ejde-932	342	12	|d	|d	VERB
ejde-932	342	13	1	1	NUM
ejde-932	342	14	3	3	NUM
ejde-932	342	15	,	,	PUNCT
ejde-932	342	16	6	6	NUM
ejde-932	342	17	y(s)−	y(s)−	PROPN
ejde-932	342	18	2e−|y(s)|	2e−|y(s)|	NUM
ejde-932	342	19	+	+	CCONJ
ejde-932	342	20	sin(y(s−	sin(y(s−	NOUN
ejde-932	342	21	10	10	NUM
ejde-932	342	22	)	)	PUNCT
ejde-932	342	23	)	)	PUNCT
ejde-932	343	1	264	264	NUM
ejde-932	343	2	|	|	ADV
ejde-932	343	3	≤	≤	NUM
ejde-932	343	4	ε	ε	PROPN
ejde-932	343	5	,	,	PUNCT
ejde-932	343	6	s	s	PART
ejde-932	343	7	∈	∈	PROPN
ejde-932	344	1	[	[	X
ejde-932	344	2	9	9	NUM
ejde-932	344	3	,	,	PUNCT
ejde-932	344	4	b	b	NOUN
ejde-932	344	5	]	]	X
ejde-932	344	6	,	,	PUNCT
ejde-932	344	7	|d	|d	VERB
ejde-932	344	8	1	1	NUM
ejde-932	344	9	3	3	NUM
ejde-932	344	10	,	,	PUNCT
ejde-932	344	11	6	6	NUM
ejde-932	344	12	y(s)−	y(s)−	PROPN
ejde-932	344	13	2e−|y(s)|	2e−|y(s)|	NUM
ejde-932	344	14	+	+	CCONJ
ejde-932	344	15	sin(y(s−	sin(y(s−	NOUN
ejde-932	344	16	10	10	NUM
ejde-932	344	17	)	)	PUNCT
ejde-932	344	18	)	)	PUNCT
ejde-932	345	1	264	264	NUM
ejde-932	346	1	|	|	ADV
ejde-932	346	2	≤	≤	NUM
ejde-932	346	3	εe	εe	VERB
ejde-932	346	4	1	1	NUM
ejde-932	346	5	45	45	NUM
ejde-932	346	6	(	(	PUNCT
ejde-932	346	7	s	s	NOUN
ejde-932	346	8	)	)	PUNCT
ejde-932	346	9	,	,	PUNCT
ejde-932	346	10	s	s	VERB
ejde-932	346	11	∈	∈	PROPN
ejde-932	347	1	[	[	X
ejde-932	347	2	9	9	NUM
ejde-932	347	3	,	,	PUNCT
ejde-932	347	4	b	b	NOUN
ejde-932	347	5	]	]	X
ejde-932	347	6	.	.	PUNCT
ejde-932	348	1	when	when	SCONJ
ejde-932	348	2	9	9	NUM
ejde-932	348	3	<	<	X
ejde-932	348	4	b	b	X
ejde-932	348	5	<	<	X
ejde-932	348	6	75	75	NUM
ejde-932	348	7	,	,	PUNCT
ejde-932	348	8	equation	equation	NOUN
ejde-932	348	9	(	(	PUNCT
ejde-932	348	10	5.1	5.1	NUM
ejde-932	348	11	)	)	PUNCT
ejde-932	348	12	has	have	VERB
ejde-932	348	13	the	the	DET
ejde-932	348	14	unique	unique	ADJ
ejde-932	348	15	solution	solution	NOUN
ejde-932	348	16	on	on	ADP
ejde-932	348	17	[	[	X
ejde-932	348	18	−1	−1	NOUN
ejde-932	348	19	,	,	PUNCT
ejde-932	348	20	b	b	NOUN
ejde-932	348	21	]	]	X
ejde-932	348	22	.	.	PUNCT
ejde-932	349	1	obviously	obviously	ADV
ejde-932	349	2	,	,	PUNCT
ejde-932	349	3	equation	equation	NOUN
ejde-932	349	4	(	(	PUNCT
ejde-932	349	5	5.1	5.1	NUM
ejde-932	349	6	)	)	PUNCT
ejde-932	349	7	has	have	VERB
ejde-932	349	8	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	349	9	-	-	PUNCT
ejde-932	349	10	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	349	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	349	12	on	on	ADP
ejde-932	349	13	[	[	X
ejde-932	349	14	8	8	NUM
ejde-932	349	15	,	,	PUNCT
ejde-932	349	16	75	75	NUM
ejde-932	349	17	)	)	PUNCT
ejde-932	349	18	with	with	ADP
ejde-932	349	19	c	c	NOUN
ejde-932	349	20	=	=	SYM
ejde-932	349	21	66(e1/66(75)−	66(e1/66(75)−	NUM
ejde-932	349	22	1	1	NUM
ejde-932	349	23	)	)	PUNCT
ejde-932	349	24	.	.	PUNCT
ejde-932	350	1	equation	equation	NOUN
ejde-932	350	2	(	(	PUNCT
ejde-932	350	3	5.1	5.1	NUM
ejde-932	350	4	)	)	PUNCT
ejde-932	350	5	has	have	VERB
ejde-932	350	6	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	350	7	-	-	PUNCT
ejde-932	350	8	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	350	9	-	-	PUNCT
ejde-932	350	10	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	350	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	350	12	with	with	ADP
ejde-932	350	13	respect	respect	NOUN
ejde-932	350	14	to	to	ADP
ejde-932	350	15	e	e	PROPN
ejde-932	350	16	1	1	NUM
ejde-932	350	17	45	45	NUM
ejde-932	350	18	(	(	PUNCT
ejde-932	350	19	s	s	NOUN
ejde-932	350	20	)	)	PUNCT
ejde-932	350	21	on	on	ADP
ejde-932	350	22	[	[	X
ejde-932	350	23	−1	−1	NOUN
ejde-932	350	24	,	,	PUNCT
ejde-932	350	25	75	75	NUM
ejde-932	350	26	)	)	PUNCT
ejde-932	350	27	with	with	ADP
ejde-932	350	28	c	c	NOUN
ejde-932	350	29	=	=	SYM
ejde-932	350	30	66e1/66(75	66e1/66(75	PROPN
ejde-932	350	31	)	)	PUNCT
ejde-932	350	32	.	.	PUNCT
ejde-932	351	1	example	example	NOUN
ejde-932	352	1	5.2	5.2	NUM
ejde-932	352	2	.	.	PUNCT
ejde-932	353	1	we	we	PRON
ejde-932	353	2	consider	consider	VERB
ejde-932	353	3	the	the	DET
ejde-932	353	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	353	5	d2	d2	NOUN
ejde-932	353	6	1	1	NUM
ejde-932	353	7	2	2	NUM
ejde-932	353	8	,	,	PUNCT
ejde-932	353	9	1	1	NUM
ejde-932	353	10	2	2	NUM
ejde-932	353	11	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	353	12	)	)	PUNCT
ejde-932	354	1	=	=	SYM
ejde-932	354	2	5	5	NUM
ejde-932	354	3	cos(x(s	cos(x(s	NOUN
ejde-932	354	4	)	)	PUNCT
ejde-932	354	5	)	)	PUNCT
ejde-932	355	1	+	+	CCONJ
ejde-932	355	2	8d	8d	NUM
ejde-932	355	3	1	1	NUM
ejde-932	355	4	2	2	NUM
ejde-932	355	5	,	,	PUNCT
ejde-932	355	6	1	1	NUM
ejde-932	355	7	2	2	NUM
ejde-932	355	8	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	355	9	)	)	PUNCT
ejde-932	356	1	+	+	CCONJ
ejde-932	356	2	8	8	NUM
ejde-932	356	3	sin(x(s−	sin(x(s−	NOUN
ejde-932	356	4	5	5	NUM
ejde-932	356	5	)	)	PUNCT
ejde-932	356	6	)	)	PUNCT
ejde-932	356	7	10240	10240	NUM
ejde-932	356	8	+	+	CCONJ
ejde-932	356	9	sin(x(s	sin(x(s	PROPN
ejde-932	356	10	)	)	PUNCT
ejde-932	356	11	)	)	PUNCT
ejde-932	356	12	16806	16806	NUM
ejde-932	356	13	,	,	PUNCT
ejde-932	356	14	s	s	VERB
ejde-932	356	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	357	1	[	[	X
ejde-932	357	2	1	1	NUM
ejde-932	357	3	,	,	PUNCT
ejde-932	357	4	b	b	NOUN
ejde-932	357	5	]	]	X
ejde-932	357	6	,	,	PUNCT
ejde-932	357	7	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	357	8	)	)	PUNCT
ejde-932	358	1	=	=	SYM
ejde-932	358	2	s	s	X
ejde-932	358	3	,	,	PUNCT
ejde-932	358	4	d	d	PROPN
ejde-932	358	5	1	1	NUM
ejde-932	358	6	2	2	NUM
ejde-932	358	7	,	,	PUNCT
ejde-932	358	8	1	1	NUM
ejde-932	358	9	2	2	NUM
ejde-932	358	10	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	358	11	)	)	PUNCT
ejde-932	358	12	=	=	SYM
ejde-932	359	1	1	1	NUM
ejde-932	359	2	,	,	PUNCT
ejde-932	359	3	s	s	VERB
ejde-932	359	4	∈	∈	PROPN
ejde-932	360	1	[	[	X
ejde-932	360	2	−4	−4	X
ejde-932	360	3	,	,	PUNCT
ejde-932	360	4	1	1	NUM
ejde-932	360	5	]	]	PUNCT
ejde-932	360	6	,	,	PUNCT
ejde-932	360	7	(	(	PUNCT
ejde-932	360	8	5.2	5.2	NUM
ejde-932	360	9	)	)	PUNCT
ejde-932	360	10	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	360	11	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	360	12	type	type	NOUN
ejde-932	360	13	stability	stability	NOUN
ejde-932	360	14	13	13	NUM
ejde-932	360	15	and	and	CCONJ
ejde-932	360	16	inequalities∣∣d2	inequalities∣∣d2	ADJ
ejde-932	360	17	1	1	NUM
ejde-932	360	18	2	2	NUM
ejde-932	360	19	,	,	PUNCT
ejde-932	360	20	1	1	NUM
ejde-932	360	21	2	2	NUM
ejde-932	360	22	y(s)−	y(s)−	NUM
ejde-932	360	23	5	5	NUM
ejde-932	360	24	cos(y(s	cos(y(s	NOUN
ejde-932	360	25	)	)	PUNCT
ejde-932	360	26	)	)	PUNCT
ejde-932	361	1	+	+	CCONJ
ejde-932	361	2	8d	8d	NUM
ejde-932	361	3	1	1	NUM
ejde-932	361	4	2	2	NUM
ejde-932	361	5	,	,	PUNCT
ejde-932	361	6	1	1	NUM
ejde-932	361	7	2	2	NUM
ejde-932	361	8	y(s	y(s	ADJ
ejde-932	361	9	)	)	PUNCT
ejde-932	362	1	+	+	CCONJ
ejde-932	362	2	8	8	NUM
ejde-932	362	3	sin(y(s−	sin(y(s−	NOUN
ejde-932	362	4	5	5	NUM
ejde-932	362	5	)	)	PUNCT
ejde-932	362	6	)	)	PUNCT
ejde-932	362	7	10240	10240	NUM
ejde-932	362	8	−	−	NOUN
ejde-932	362	9	sin(y(s	sin(y(s	NOUN
ejde-932	362	10	)	)	PUNCT
ejde-932	362	11	)	)	PUNCT
ejde-932	362	12	16806	16806	NUM
ejde-932	362	13	∣∣	∣∣	NUM
ejde-932	362	14	≤	≤	X
ejde-932	362	15	ε	ε	PROPN
ejde-932	362	16	,	,	PUNCT
ejde-932	362	17	for	for	ADP
ejde-932	362	18	s	s	PROPN
ejde-932	362	19	∈	∈	PROPN
ejde-932	363	1	[	[	X
ejde-932	363	2	1	1	NUM
ejde-932	363	3	,	,	PUNCT
ejde-932	363	4	b	b	NOUN
ejde-932	363	5	]	]	X
ejde-932	363	6	,	,	PUNCT
ejde-932	363	7	and∣∣d2	and∣∣d2	PROPN
ejde-932	363	8	1	1	NUM
ejde-932	363	9	2	2	NUM
ejde-932	363	10	,	,	PUNCT
ejde-932	363	11	1	1	NUM
ejde-932	363	12	2	2	NUM
ejde-932	363	13	y(s)−	y(s)−	NUM
ejde-932	363	14	5	5	NUM
ejde-932	363	15	cos(y(s	cos(y(s	NOUN
ejde-932	363	16	)	)	PUNCT
ejde-932	363	17	)	)	PUNCT
ejde-932	364	1	+	+	CCONJ
ejde-932	364	2	8d	8d	NUM
ejde-932	364	3	1	1	NUM
ejde-932	364	4	2	2	NUM
ejde-932	364	5	,	,	PUNCT
ejde-932	364	6	1	1	NUM
ejde-932	364	7	2	2	NUM
ejde-932	364	8	y(s	y(s	ADJ
ejde-932	364	9	)	)	PUNCT
ejde-932	365	1	+	+	CCONJ
ejde-932	365	2	8	8	NUM
ejde-932	365	3	sin(y(s−	sin(y(s−	NOUN
ejde-932	365	4	5	5	NUM
ejde-932	365	5	)	)	PUNCT
ejde-932	365	6	)	)	PUNCT
ejde-932	365	7	10240	10240	NUM
ejde-932	365	8	−	−	NOUN
ejde-932	365	9	sin(y(s	sin(y(s	NOUN
ejde-932	365	10	)	)	PUNCT
ejde-932	365	11	)	)	PUNCT
ejde-932	365	12	16806	16806	NUM
ejde-932	365	13	∣∣	∣∣	NUM
ejde-932	365	14	≤	≤	NUM
ejde-932	365	15	εe	εe	VERB
ejde-932	365	16	1	1	NUM
ejde-932	365	17	16	16	NUM
ejde-932	365	18	(	(	PUNCT
ejde-932	365	19	s	s	NOUN
ejde-932	365	20	)	)	PUNCT
ejde-932	365	21	,	,	PUNCT
ejde-932	365	22	for	for	ADP
ejde-932	365	23	s	s	PROPN
ejde-932	365	24	∈	∈	PROPN
ejde-932	366	1	[	[	X
ejde-932	366	2	1	1	NUM
ejde-932	366	3	,	,	PUNCT
ejde-932	366	4	b	b	NOUN
ejde-932	366	5	]	]	X
ejde-932	366	6	.	.	PUNCT
ejde-932	367	1	when	when	SCONJ
ejde-932	367	2	1	1	NUM
ejde-932	367	3	<	<	X
ejde-932	367	4	b	b	X
ejde-932	367	5	<	<	X
ejde-932	367	6	1	1	NUM
ejde-932	367	7	+	+	NUM
ejde-932	367	8	8	8	NUM
ejde-932	367	9	√	√	NUM
ejde-932	367	10	10	10	NUM
ejde-932	367	11	,	,	PUNCT
ejde-932	367	12	equation	equation	NOUN
ejde-932	367	13	(	(	PUNCT
ejde-932	367	14	5.2	5.2	NUM
ejde-932	367	15	)	)	PUNCT
ejde-932	367	16	has	have	VERB
ejde-932	367	17	the	the	DET
ejde-932	367	18	unique	unique	ADJ
ejde-932	367	19	solution	solution	NOUN
ejde-932	367	20	on	on	ADP
ejde-932	367	21	[	[	X
ejde-932	367	22	−4	−4	X
ejde-932	367	23	,	,	PUNCT
ejde-932	367	24	b	b	NOUN
ejde-932	367	25	]	]	X
ejde-932	367	26	.	.	PUNCT
ejde-932	368	1	then	then	ADV
ejde-932	368	2	equation	equation	NOUN
ejde-932	368	3	(	(	PUNCT
ejde-932	368	4	5.2	5.2	NUM
ejde-932	368	5	)	)	PUNCT
ejde-932	368	6	has	have	VERB
ejde-932	368	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	368	8	-	-	PUNCT
ejde-932	368	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	368	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	368	11	on	on	ADP
ejde-932	368	12	[	[	X
ejde-932	368	13	−4	−4	X
ejde-932	368	14	,	,	PUNCT
ejde-932	368	15	1	1	NUM
ejde-932	368	16	+	+	SYM
ejde-932	368	17	8	8	NUM
ejde-932	368	18	√	√	NUM
ejde-932	368	19	10	10	NUM
ejde-932	368	20	)	)	PUNCT
ejde-932	368	21	and	and	CCONJ
ejde-932	368	22	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	368	23	-	-	PUNCT
ejde-932	368	24	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	368	25	-	-	PUNCT
ejde-932	368	26	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	368	27	stability	stability	NOUN
ejde-932	368	28	with	with	ADP
ejde-932	368	29	respect	respect	NOUN
ejde-932	368	30	to	to	ADP
ejde-932	368	31	e	e	PROPN
ejde-932	368	32	1	1	NUM
ejde-932	368	33	16	16	NUM
ejde-932	368	34	(	(	PUNCT
ejde-932	368	35	s	s	NOUN
ejde-932	368	36	)	)	PUNCT
ejde-932	368	37	on	on	ADP
ejde-932	368	38	[	[	X
ejde-932	368	39	−4	−4	X
ejde-932	368	40	,	,	PUNCT
ejde-932	368	41	1	1	NUM
ejde-932	368	42	+	+	SYM
ejde-932	368	43	8	8	NUM
ejde-932	368	44	√	√	NUM
ejde-932	368	45	10	10	NUM
ejde-932	368	46	)	)	PUNCT
ejde-932	368	47	with	with	ADP
ejde-932	368	48	c	c	NOUN
ejde-932	368	49	=	=	SYM
ejde-932	368	50	1280	1280	NUM
ejde-932	368	51	3	3	NUM
ejde-932	368	52	ep(1	ep(1	X
ejde-932	368	53	+	+	NOUN
ejde-932	368	54	8	8	NUM
ejde-932	368	55	√	√	NUM
ejde-932	368	56	10)(1	10)(1	NUM
ejde-932	369	1	+	+	CCONJ
ejde-932	369	2	8	8	NUM
ejde-932	369	3	√	√	NUM
ejde-932	369	4	10	10	NUM
ejde-932	369	5	)	)	PUNCT
ejde-932	369	6	,	,	PUNCT
ejde-932	370	1	where	where	SCONJ
ejde-932	370	2	p(s	p(s	NOUN
ejde-932	370	3	)	)	PUNCT
ejde-932	370	4	=	=	SYM
ejde-932	370	5	3(s−1	3(s−1	NUM
ejde-932	370	6	)	)	PUNCT
ejde-932	370	7	1280	1280	NUM
ejde-932	370	8	,	,	PUNCT
ejde-932	370	9	s	s	PROPN
ejde-932	370	10	∈	∈	PROPN
ejde-932	370	11	r.	r.	PROPN
ejde-932	370	12	example	example	NOUN
ejde-932	370	13	5.3	5.3	NUM
ejde-932	370	14	.	.	PUNCT
ejde-932	371	1	we	we	PRON
ejde-932	371	2	consider	consider	VERB
ejde-932	371	3	the	the	DET
ejde-932	371	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	371	5	dn	dn	NOUN
ejde-932	371	6	1	1	NUM
ejde-932	371	7	5	5	NUM
ejde-932	371	8	,	,	PUNCT
ejde-932	371	9	8	8	NUM
ejde-932	371	10	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	371	11	)	)	PUNCT
ejde-932	371	12	=	=	SYM
ejde-932	372	1	3dn−1x(s	3dn−1x(s	NUM
ejde-932	372	2	)	)	PUNCT
ejde-932	373	1	+	+	CCONJ
ejde-932	373	2	sin	sin	NOUN
ejde-932	373	3	(	(	PUNCT
ejde-932	373	4	∑n−2	∑n−2	NOUN
ejde-932	373	5	i=1	i=1	PROPN
ejde-932	373	6	di	di	PROPN
ejde-932	373	7	q	q	NOUN
ejde-932	373	8	,	,	PUNCT
ejde-932	373	9	ωx(s	ωx(s	NOUN
ejde-932	373	10	)	)	PUNCT
ejde-932	373	11	)	)	PUNCT
ejde-932	374	1	+	+	CCONJ
ejde-932	374	2	2e−|x(s)|	2e−|x(s)|	NUM
ejde-932	374	3	+	+	ADJ
ejde-932	374	4	cos(x(s−	cos(x(s−	ADJ
ejde-932	374	5	1	1	NUM
ejde-932	374	6	)	)	PUNCT
ejde-932	374	7	)	)	PUNCT
ejde-932	374	8	885	885	NUM
ejde-932	374	9	,	,	PUNCT
ejde-932	374	10	s	s	PART
ejde-932	374	11	∈	∈	NOUN
ejde-932	375	1	[	[	X
ejde-932	375	2	10	10	NUM
ejde-932	375	3	,	,	PUNCT
ejde-932	375	4	b	b	NOUN
ejde-932	375	5	]	]	X
ejde-932	375	6	,	,	PUNCT
ejde-932	375	7	x(t	x(t	PROPN
ejde-932	375	8	)	)	PUNCT
ejde-932	375	9	=	=	SYM
ejde-932	375	10	s	s	X
ejde-932	375	11	,	,	PUNCT
ejde-932	375	12	d	d	PROPN
ejde-932	375	13	1	1	NUM
ejde-932	375	14	5	5	NUM
ejde-932	375	15	,	,	PUNCT
ejde-932	375	16	8	8	NUM
ejde-932	375	17	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	375	18	)	)	PUNCT
ejde-932	375	19	=	=	SYM
ejde-932	376	1	1	1	NUM
ejde-932	376	2	,	,	PUNCT
ejde-932	376	3	di	di	NOUN
ejde-932	376	4	1	1	NUM
ejde-932	376	5	5	5	NUM
ejde-932	376	6	,	,	PUNCT
ejde-932	376	7	8	8	NUM
ejde-932	376	8	x(s	x(s	PROPN
ejde-932	376	9	)	)	PUNCT
ejde-932	376	10	=	=	SYM
ejde-932	377	1	0	0	NUM
ejde-932	377	2	,	,	PUNCT
ejde-932	377	3	i	i	PRON
ejde-932	377	4	=	=	NOUN
ejde-932	377	5	2	2	NUM
ejde-932	377	6	,	,	PUNCT
ejde-932	377	7	3	3	NUM
ejde-932	377	8	,	,	PUNCT
ejde-932	377	9	.	.	PUNCT
ejde-932	377	10	.	.	PUNCT
ejde-932	377	11	.	.	PUNCT
ejde-932	378	1	,	,	PUNCT
ejde-932	378	2	n−	n−	NOUN
ejde-932	378	3	1	1	NUM
ejde-932	378	4	,	,	PUNCT
ejde-932	378	5	s	s	VERB
ejde-932	378	6	∈	∈	PROPN
ejde-932	379	1	[	[	X
ejde-932	379	2	9	9	NUM
ejde-932	379	3	,	,	PUNCT
ejde-932	379	4	10	10	NUM
ejde-932	379	5	]	]	PUNCT
ejde-932	379	6	,	,	PUNCT
ejde-932	379	7	(	(	PUNCT
ejde-932	379	8	5.3	5.3	NUM
ejde-932	379	9	)	)	PUNCT
ejde-932	379	10	and	and	CCONJ
ejde-932	379	11	inequalities∣∣dn	inequalities∣∣dn	NOUN
ejde-932	379	12	1	1	NUM
ejde-932	379	13	5	5	NUM
ejde-932	379	14	,	,	PUNCT
ejde-932	379	15	8	8	NUM
ejde-932	379	16	y(s)−	y(s)−	NUM
ejde-932	379	17	3dn−1y(s	3dn−1y(s	NUM
ejde-932	379	18	)	)	PUNCT
ejde-932	379	19	+	+	CCONJ
ejde-932	379	20	sin	sin	NOUN
ejde-932	379	21	(	(	PUNCT
ejde-932	379	22	∑n−2	∑n−2	NOUN
ejde-932	379	23	i=1	i=1	PROPN
ejde-932	379	24	di	di	PROPN
ejde-932	379	25	q	q	NOUN
ejde-932	379	26	,	,	PUNCT
ejde-932	379	27	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	379	28	)	)	PUNCT
ejde-932	379	29	)	)	PUNCT
ejde-932	380	1	+	+	CCONJ
ejde-932	380	2	2e−|y(s)|	2e−|y(s)|	NUM
ejde-932	380	3	+	+	CCONJ
ejde-932	380	4	cos(y(s−	cos(y(s−	X
ejde-932	380	5	1	1	NUM
ejde-932	380	6	)	)	PUNCT
ejde-932	380	7	)	)	PUNCT
ejde-932	380	8	885	885	NUM
ejde-932	380	9	∣∣	∣∣	NUM
ejde-932	380	10	≤	≤	X
ejde-932	380	11	ε	ε	PROPN
ejde-932	380	12	,	,	PUNCT
ejde-932	380	13	for	for	ADP
ejde-932	380	14	s	s	PROPN
ejde-932	380	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	380	16	[	[	X
ejde-932	380	17	10	10	NUM
ejde-932	380	18	,	,	PUNCT
ejde-932	380	19	b	b	NOUN
ejde-932	380	20	]	]	X
ejde-932	380	21	,	,	PUNCT
ejde-932	380	22	and∣∣dn	and∣∣dn	VERB
ejde-932	380	23	1	1	NUM
ejde-932	380	24	5	5	NUM
ejde-932	380	25	,	,	PUNCT
ejde-932	380	26	8	8	NUM
ejde-932	380	27	y(s)−	y(s)−	NUM
ejde-932	380	28	3dn−1y(s	3dn−1y(s	NUM
ejde-932	380	29	)	)	PUNCT
ejde-932	381	1	+	+	CCONJ
ejde-932	381	2	sin	sin	NOUN
ejde-932	381	3	(	(	PUNCT
ejde-932	381	4	∑n−2	∑n−2	NOUN
ejde-932	381	5	i=1	i=1	PROPN
ejde-932	381	6	di	di	PROPN
ejde-932	381	7	q	q	NOUN
ejde-932	381	8	,	,	PUNCT
ejde-932	381	9	ωy(s	ωy(s	NUM
ejde-932	381	10	)	)	PUNCT
ejde-932	381	11	)	)	PUNCT
ejde-932	382	1	+	+	CCONJ
ejde-932	382	2	2e−|y(s)|	2e−|y(s)|	NUM
ejde-932	382	3	+	+	CCONJ
ejde-932	382	4	cos(y(s−	cos(y(s−	X
ejde-932	382	5	1	1	NUM
ejde-932	382	6	)	)	PUNCT
ejde-932	382	7	)	)	PUNCT
ejde-932	382	8	885	885	NUM
ejde-932	382	9	∣∣	∣∣	NUM
ejde-932	382	10	≤	≤	NUM
ejde-932	382	11	εs	εs	VERB
ejde-932	382	12	,	,	PUNCT
ejde-932	382	13	for	for	ADP
ejde-932	382	14	s	s	PROPN
ejde-932	382	15	∈	∈	PROPN
ejde-932	383	1	[	[	X
ejde-932	383	2	10	10	NUM
ejde-932	383	3	,	,	PUNCT
ejde-932	383	4	b	b	NOUN
ejde-932	383	5	]	]	X
ejde-932	383	6	.	.	PUNCT
ejde-932	384	1	when	when	SCONJ
ejde-932	384	2	10	10	NUM
ejde-932	384	3	<	<	X
ejde-932	384	4	b	b	X
ejde-932	384	5	<	<	X
ejde-932	384	6	n	n	CCONJ
ejde-932	384	7	√	√	ADP
ejde-932	384	8	295[n]q	295[n]q	NUM
ejde-932	384	9	!	!	PUNCT
ejde-932	385	1	n+1	n+1	NUM
ejde-932	385	2	+10	+10	NOUN
ejde-932	385	3	,	,	PUNCT
ejde-932	385	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	385	5	(	(	PUNCT
ejde-932	385	6	5.3	5.3	NUM
ejde-932	385	7	)	)	PUNCT
ejde-932	385	8	has	have	VERB
ejde-932	385	9	the	the	DET
ejde-932	385	10	unique	unique	ADJ
ejde-932	385	11	solution	solution	NOUN
ejde-932	385	12	on	on	ADP
ejde-932	385	13	[	[	X
ejde-932	385	14	9	9	NUM
ejde-932	385	15	,	,	PUNCT
ejde-932	385	16	b	b	NOUN
ejde-932	385	17	]	]	X
ejde-932	385	18	.	.	PUNCT
ejde-932	386	1	therefore	therefore	ADV
ejde-932	386	2	,	,	PUNCT
ejde-932	386	3	(	(	PUNCT
ejde-932	386	4	5.3	5.3	NUM
ejde-932	386	5	)	)	PUNCT
ejde-932	386	6	has	have	VERB
ejde-932	386	7	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	386	8	-	-	PUNCT
ejde-932	386	9	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	386	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	386	11	on	on	ADP
ejde-932	386	12	[	[	X
ejde-932	386	13	9	9	NUM
ejde-932	386	14	,	,	PUNCT
ejde-932	386	15	b	b	NOUN
ejde-932	386	16	]	]	PUNCT
ejde-932	386	17	and	and	CCONJ
ejde-932	386	18	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	386	19	-	-	PUNCT
ejde-932	386	20	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	386	21	-	-	PUNCT
ejde-932	386	22	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	386	23	stability	stability	NOUN
ejde-932	386	24	with	with	ADP
ejde-932	386	25	respect	respect	NOUN
ejde-932	386	26	to	to	ADP
ejde-932	386	27	φ(s	φ(s	NOUN
ejde-932	386	28	)	)	PUNCT
ejde-932	387	1	=	=	SYM
ejde-932	387	2	s	s	X
ejde-932	387	3	on	on	ADP
ejde-932	387	4	[	[	X
ejde-932	387	5	9	9	NUM
ejde-932	387	6	,	,	PUNCT
ejde-932	387	7	b	b	NOUN
ejde-932	387	8	]	]	PUNCT
ejde-932	387	9	.	.	PUNCT
ejde-932	388	1	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-932	388	2	.	.	PUNCT
ejde-932	389	1	this	this	DET
ejde-932	389	2	work	work	NOUN
ejde-932	389	3	is	be	AUX
ejde-932	389	4	partially	partially	ADV
ejde-932	389	5	supported	support	VERB
ejde-932	389	6	by	by	ADP
ejde-932	389	7	the	the	DET
ejde-932	389	8	guizhou	guizhou	PROPN
ejde-932	389	9	data	datum	NOUN
ejde-932	389	10	driven	drive	VERB
ejde-932	389	11	modeling	modeling	NOUN
ejde-932	389	12	learning	learning	NOUN
ejde-932	389	13	and	and	CCONJ
ejde-932	389	14	optimization	optimization	NOUN
ejde-932	389	15	innovation	innovation	NOUN
ejde-932	389	16	team	team	NOUN
ejde-932	389	17	(	(	PUNCT
ejde-932	389	18	[	[	X
ejde-932	389	19	2020	2020	NUM
ejde-932	389	20	]	]	PUNCT
ejde-932	389	21	5016	5016	NUM
ejde-932	389	22	)	)	PUNCT
ejde-932	389	23	.	.	PUNCT
ejde-932	390	1	the	the	DET
ejde-932	390	2	authors	author	NOUN
ejde-932	390	3	are	be	AUX
ejde-932	390	4	grateful	grateful	ADJ
ejde-932	390	5	to	to	ADP
ejde-932	390	6	the	the	DET
ejde-932	390	7	referees	referee	NOUN
ejde-932	390	8	for	for	ADP
ejde-932	390	9	their	their	PRON
ejde-932	390	10	careful	careful	ADJ
ejde-932	390	11	reading	reading	NOUN
ejde-932	390	12	of	of	ADP
ejde-932	390	13	the	the	DET
ejde-932	390	14	manuscript	manuscript	NOUN
ejde-932	390	15	and	and	CCONJ
ejde-932	390	16	their	their	PRON
ejde-932	390	17	valuable	valuable	ADJ
ejde-932	390	18	comments	comment	NOUN
ejde-932	390	19	.	.	PUNCT
ejde-932	391	1	the	the	DET
ejde-932	391	2	authors	author	NOUN
ejde-932	391	3	also	also	ADV
ejde-932	391	4	want	want	VERB
ejde-932	391	5	to	to	PART
ejde-932	391	6	thank	thank	VERB
ejde-932	391	7	the	the	DET
ejde-932	391	8	editor	editor	NOUN
ejde-932	391	9	for	for	ADP
ejde-932	391	10	the	the	DET
ejde-932	391	11	help	help	NOUN
ejde-932	391	12	provided	provide	VERB
ejde-932	391	13	.	.	PUNCT
ejde-932	392	1	references	reference	NOUN
ejde-932	392	2	[	[	X
ejde-932	392	3	1	1	NUM
ejde-932	392	4	]	]	PUNCT
ejde-932	392	5	m.	m.	NOUN
ejde-932	392	6	m.	m.	PROPN
ejde-932	392	7	abdelkhaliq	abdelkhaliq	PROPN
ejde-932	392	8	,	,	PUNCT
ejde-932	392	9	a.	a.	PROPN
ejde-932	392	10	e.	e.	PROPN
ejde-932	392	11	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	392	12	;	;	PUNCT
ejde-932	392	13	stability	stability	NOUN
ejde-932	392	14	of	of	ADP
ejde-932	392	15	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	392	16	difference	difference	NOUN
ejde-932	392	17	equations	equation	NOUN
ejde-932	392	18	in	in	ADP
ejde-932	392	19	banach	banach	NOUN
ejde-932	392	20	algebras	algebra	NOUN
ejde-932	392	21	,	,	PUNCT
ejde-932	392	22	communications	communication	NOUN
ejde-932	392	23	of	of	ADP
ejde-932	392	24	the	the	DET
ejde-932	392	25	korean	korean	ADJ
ejde-932	392	26	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	392	27	society	society	NOUN
ejde-932	392	28	,	,	PUNCT
ejde-932	392	29	33(2018	33(2018	NOUN
ejde-932	392	30	)	)	PUNCT
ejde-932	392	31	,	,	PUNCT
ejde-932	392	32	1141	1141	NUM
ejde-932	392	33	-	-	SYM
ejde-932	392	34	1158	1158	NUM
ejde-932	392	35	.	.	PUNCT
ejde-932	393	1	[	[	X
ejde-932	393	2	2	2	NUM
ejde-932	393	3	]	]	PUNCT
ejde-932	393	4	m.	m.	NOUN
ejde-932	393	5	h.	h.	PROPN
ejde-932	393	6	annaby	annaby	PROPN
ejde-932	393	7	,	,	PUNCT
ejde-932	393	8	a.	a.	PROPN
ejde-932	393	9	e.	e.	PROPN
ejde-932	393	10	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	393	11	,	,	PUNCT
ejde-932	393	12	k.	k.	PROPN
ejde-932	393	13	a.	a.	PROPN
ejde-932	393	14	aldwoah	aldwoah	PROPN
ejde-932	393	15	;	;	PUNCT
ejde-932	393	16	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	393	17	difference	difference	NOUN
ejde-932	393	18	operator	operator	NOUN
ejde-932	393	19	and	and	CCONJ
ejde-932	393	20	associated	associated	PROPN
ejde-932	393	21	jackson	jackson	PROPN
ejde-932	393	22	-	-	PUNCT
ejde-932	393	23	nörlund	nörlund	NOUN
ejde-932	393	24	integrals	integral	NOUN
ejde-932	393	25	,	,	PUNCT
ejde-932	393	26	journal	journal	NOUN
ejde-932	393	27	of	of	ADP
ejde-932	393	28	optimization	optimization	NOUN
ejde-932	393	29	theory	theory	NOUN
ejde-932	393	30	and	and	CCONJ
ejde-932	393	31	application	application	NOUN
ejde-932	393	32	,	,	PUNCT
ejde-932	393	33	154(2012	154(2012	NUM
ejde-932	393	34	)	)	PUNCT
ejde-932	393	35	,	,	PUNCT
ejde-932	393	36	133153	133153	NUM
ejde-932	393	37	.	.	PUNCT
ejde-932	394	1	[	[	X
ejde-932	394	2	3	3	X
ejde-932	394	3	]	]	PUNCT
ejde-932	394	4	m.	m.	NOUN
ejde-932	394	5	h.	h.	PROPN
ejde-932	394	6	annaby	annaby	PROPN
ejde-932	394	7	,	,	PUNCT
ejde-932	394	8	z.	z.	PROPN
ejde-932	394	9	s.	s.	PROPN
ejde-932	394	10	mansour	mansour	PROPN
ejde-932	394	11	;	;	PUNCT
ejde-932	394	12	q	q	PROPN
ejde-932	394	13	-	-	PUNCT
ejde-932	394	14	taylor	taylor	PROPN
ejde-932	394	15	and	and	CCONJ
ejde-932	394	16	interpolation	interpolation	NOUN
ejde-932	394	17	series	series	NOUN
ejde-932	394	18	for	for	ADP
ejde-932	394	19	jackson	jackson	PROPN
ejde-932	394	20	q	q	PROPN
ejde-932	394	21	-	-	PUNCT
ejde-932	394	22	difference	difference	NOUN
ejde-932	394	23	operator	operator	NOUN
ejde-932	394	24	,	,	PUNCT
ejde-932	394	25	journal	journal	NOUN
ejde-932	394	26	of	of	ADP
ejde-932	394	27	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	394	28	analysis	analysis	NOUN
ejde-932	394	29	and	and	CCONJ
ejde-932	394	30	applications	application	NOUN
ejde-932	394	31	,	,	PUNCT
ejde-932	394	32	344(2008	344(2008	NOUN
ejde-932	394	33	)	)	PUNCT
ejde-932	394	34	,	,	PUNCT
ejde-932	394	35	472	472	NUM
ejde-932	394	36	-	-	SYM
ejde-932	394	37	483	483	NUM
ejde-932	394	38	.	.	PUNCT
ejde-932	395	1	[	[	X
ejde-932	395	2	4	4	X
ejde-932	395	3	]	]	X
ejde-932	395	4	g.	g.	PROPN
ejde-932	395	5	d.	d.	PROPN
ejde-932	395	6	birkhoff	birkhoff	PROPN
ejde-932	395	7	;	;	PUNCT
ejde-932	395	8	general	general	ADJ
ejde-932	395	9	theory	theory	NOUN
ejde-932	395	10	of	of	ADP
ejde-932	395	11	linear	linear	ADJ
ejde-932	395	12	difference	difference	NOUN
ejde-932	395	13	equations	equation	NOUN
ejde-932	395	14	,	,	PUNCT
ejde-932	395	15	transactions	transaction	NOUN
ejde-932	395	16	of	of	ADP
ejde-932	395	17	the	the	DET
ejde-932	395	18	american	american	PROPN
ejde-932	395	19	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-932	395	20	society	society	NOUN
ejde-932	395	21	,	,	PUNCT
ejde-932	395	22	12(1911	12(1911	X
ejde-932	395	23	)	)	PUNCT
ejde-932	395	24	,	,	PUNCT
ejde-932	395	25	243	243	NUM
ejde-932	395	26	-	-	SYM
ejde-932	395	27	284	284	NUM
ejde-932	395	28	.	.	PUNCT
ejde-932	396	1	14	14	NUM
ejde-932	396	2	k.	k.	PROPN
ejde-932	396	3	chen	chen	PROPN
ejde-932	396	4	,	,	PUNCT
ejde-932	396	5	j.	j.	PROPN
ejde-932	396	6	wang	wang	PROPN
ejde-932	396	7	ejde-2024/77	ejde-2024/77	PROPN
ejde-932	396	8	[	[	X
ejde-932	396	9	5	5	NUM
ejde-932	396	10	]	]	PUNCT
ejde-932	396	11	r.	r.	PROPN
ejde-932	396	12	d.	d.	PROPN
ejde-932	396	13	carmichael	carmichael	PROPN
ejde-932	396	14	;	;	PUNCT
ejde-932	396	15	linear	linear	ADJ
ejde-932	396	16	difference	difference	NOUN
ejde-932	396	17	equations	equation	NOUN
ejde-932	396	18	and	and	CCONJ
ejde-932	396	19	their	their	PRON
ejde-932	396	20	analytic	analytic	ADJ
ejde-932	396	21	solutions	solution	NOUN
ejde-932	396	22	,	,	PUNCT
ejde-932	396	23	transactions	transaction	NOUN
ejde-932	396	24	of	of	ADP
ejde-932	396	25	the	the	DET
ejde-932	396	26	american	american	PROPN
ejde-932	396	27	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-932	396	28	society	society	NOUN
ejde-932	396	29	,	,	PUNCT
ejde-932	396	30	12(1911	12(1911	NUM
ejde-932	396	31	)	)	PUNCT
ejde-932	396	32	,	,	PUNCT
ejde-932	396	33	99	99	NUM
ejde-932	396	34	-	-	SYM
ejde-932	396	35	134	134	NUM
ejde-932	396	36	.	.	PUNCT
ejde-932	397	1	[	[	X
ejde-932	397	2	6	6	NUM
ejde-932	397	3	]	]	PUNCT
ejde-932	397	4	r.	r.	PROPN
ejde-932	397	5	d.	d.	PROPN
ejde-932	397	6	carmichael	carmichael	PROPN
ejde-932	397	7	;	;	PUNCT
ejde-932	397	8	on	on	ADP
ejde-932	397	9	the	the	DET
ejde-932	397	10	theory	theory	NOUN
ejde-932	397	11	of	of	ADP
ejde-932	397	12	linear	linear	ADJ
ejde-932	397	13	difference	difference	NOUN
ejde-932	397	14	equations	equation	NOUN
ejde-932	397	15	,	,	PUNCT
ejde-932	397	16	american	american	ADJ
ejde-932	397	17	journal	journal	PROPN
ejde-932	397	18	of	of	ADP
ejde-932	397	19	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	397	20	,	,	PUNCT
ejde-932	397	21	35(1913	35(1913	NUM
ejde-932	397	22	)	)	PUNCT
ejde-932	397	23	,	,	PUNCT
ejde-932	397	24	163	163	NUM
ejde-932	397	25	-	-	SYM
ejde-932	397	26	182	182	NUM
ejde-932	397	27	.	.	PUNCT
ejde-932	398	1	[	[	X
ejde-932	398	2	7	7	X
ejde-932	398	3	]	]	X
ejde-932	398	4	g.	g.	PROPN
ejde-932	398	5	gasper	gasper	PROPN
ejde-932	398	6	,	,	PUNCT
ejde-932	398	7	m.	m.	PROPN
ejde-932	398	8	rahman	rahman	PROPN
ejde-932	398	9	;	;	PUNCT
ejde-932	398	10	basic	basic	ADJ
ejde-932	398	11	hypergeometric	hypergeometric	ADJ
ejde-932	398	12	series	series	NOUN
ejde-932	398	13	,	,	PUNCT
ejde-932	398	14	cambridge	cambridge	PROPN
ejde-932	398	15	university	university	PROPN
ejde-932	398	16	press	press	NOUN
ejde-932	398	17	,	,	PUNCT
ejde-932	398	18	2004	2004	NUM
ejde-932	398	19	.	.	PUNCT
ejde-932	399	1	[	[	X
ejde-932	399	2	8	8	NUM
ejde-932	399	3	]	]	PUNCT
ejde-932	399	4	p.	p.	NOUN
ejde-932	399	5	gavruta	gavruta	NOUN
ejde-932	399	6	;	;	PUNCT
ejde-932	399	7	a	a	DET
ejde-932	399	8	generalization	generalization	NOUN
ejde-932	399	9	of	of	ADP
ejde-932	399	10	the	the	DET
ejde-932	399	11	hyers	hyers	PROPN
ejde-932	399	12	-	-	PUNCT
ejde-932	399	13	ulam	ulam	ADJ
ejde-932	399	14	-	-	PUNCT
ejde-932	399	15	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	399	16	stability	stability	NOUN
ejde-932	399	17	of	of	ADP
ejde-932	399	18	approximately	approximately	ADV
ejde-932	399	19	additive	additive	ADJ
ejde-932	399	20	mappings	mapping	NOUN
ejde-932	399	21	,	,	PUNCT
ejde-932	399	22	journal	journal	NOUN
ejde-932	399	23	of	of	ADP
ejde-932	399	24	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	399	25	analysis	analysis	NOUN
ejde-932	399	26	and	and	CCONJ
ejde-932	399	27	applications	application	NOUN
ejde-932	399	28	,	,	PUNCT
ejde-932	399	29	184(1994	184(1994	NUM
ejde-932	399	30	)	)	PUNCT
ejde-932	399	31	,	,	PUNCT
ejde-932	399	32	431	431	NUM
ejde-932	399	33	-	-	SYM
ejde-932	399	34	436	436	NUM
ejde-932	399	35	.	.	PUNCT
ejde-932	400	1	[	[	X
ejde-932	400	2	9	9	NUM
ejde-932	400	3	]	]	X
ejde-932	400	4	r.	r.	PROPN
ejde-932	400	5	ger	ger	PROPN
ejde-932	400	6	,	,	PUNCT
ejde-932	400	7	p.	p.	NOUN
ejde-932	400	8	semrl	semrl	NOUN
ejde-932	400	9	;	;	PUNCT
ejde-932	400	10	the	the	DET
ejde-932	400	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	400	12	of	of	ADP
ejde-932	400	13	the	the	DET
ejde-932	400	14	exponential	exponential	ADJ
ejde-932	400	15	equation	equation	NOUN
ejde-932	400	16	,	,	PUNCT
ejde-932	400	17	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-932	400	18	of	of	ADP
ejde-932	400	19	the	the	DET
ejde-932	400	20	american	american	PROPN
ejde-932	400	21	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-932	400	22	society	society	NOUN
ejde-932	400	23	,	,	PUNCT
ejde-932	400	24	124(1996	124(1996	NUM
ejde-932	400	25	)	)	PUNCT
ejde-932	400	26	779	779	NUM
ejde-932	400	27	-	-	SYM
ejde-932	400	28	787	787	NUM
ejde-932	400	29	.	.	PUNCT
ejde-932	401	1	[	[	X
ejde-932	401	2	10	10	NUM
ejde-932	401	3	]	]	X
ejde-932	401	4	w.	w.	PROPN
ejde-932	401	5	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	401	6	;	;	PUNCT
ejde-932	401	7	über	über	X
ejde-932	401	8	orthogonalpolynome	orthogonalpolynome	NOUN
ejde-932	401	9	,	,	PUNCT
ejde-932	401	10	die	die	VERB
ejde-932	401	11	q	q	ADJ
ejde-932	401	12	-	-	PUNCT
ejde-932	401	13	differenzenlgleichungen	differenzenlgleichungen	ADJ
ejde-932	401	14	genügen	genügen	NOUN
ejde-932	401	15	,	,	PUNCT
ejde-932	401	16	mathematische	mathematische	NOUN
ejde-932	401	17	nachrichten	nachrichten	NOUN
ejde-932	401	18	,	,	PUNCT
ejde-932	401	19	2(1949	2(1949	NUM
ejde-932	401	20	)	)	PUNCT
ejde-932	401	21	,	,	PUNCT
ejde-932	401	22	4	4	NUM
ejde-932	401	23	-	-	SYM
ejde-932	401	24	34	34	NUM
ejde-932	401	25	.	.	PUNCT
ejde-932	402	1	[	[	X
ejde-932	402	2	11	11	NUM
ejde-932	402	3	]	]	PUNCT
ejde-932	402	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	402	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	402	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	402	7	,	,	PUNCT
ejde-932	402	8	s.	s.	PROPN
ejde-932	402	9	m.	m.	PROPN
ejde-932	402	10	ahmed	ahmed	PROPN
ejde-932	402	11	;	;	PUNCT
ejde-932	402	12	existence	existence	NOUN
ejde-932	402	13	and	and	CCONJ
ejde-932	402	14	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	402	15	of	of	ADP
ejde-932	402	16	solutions	solution	NOUN
ejde-932	402	17	of	of	ADP
ejde-932	402	18	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	402	19	difference	difference	NOUN
ejde-932	402	20	equations	equation	NOUN
ejde-932	402	21	,	,	PUNCT
ejde-932	402	22	advances	advance	NOUN
ejde-932	402	23	in	in	ADP
ejde-932	402	24	difference	difference	NOUN
ejde-932	402	25	equations	equation	NOUN
ejde-932	402	26	,	,	PUNCT
ejde-932	402	27	2013(2013	2013(2013	NUM
ejde-932	402	28	)	)	PUNCT
ejde-932	402	29	,	,	PUNCT
ejde-932	402	30	316	316	NUM
ejde-932	402	31	.	.	PUNCT
ejde-932	403	1	[	[	X
ejde-932	403	2	12	12	NUM
ejde-932	403	3	]	]	PUNCT
ejde-932	403	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	403	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	403	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	403	7	,	,	PUNCT
ejde-932	403	8	s.	s.	PROPN
ejde-932	403	9	m.	m.	PROPN
ejde-932	403	10	ahmed	ahmed	PROPN
ejde-932	403	11	;	;	PUNCT
ejde-932	403	12	theory	theory	NOUN
ejde-932	403	13	of	of	ADP
ejde-932	403	14	linear	linear	PROPN
ejde-932	403	15	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	403	16	difference	difference	NOUN
ejde-932	403	17	equations	equation	NOUN
ejde-932	403	18	,	,	PUNCT
ejde-932	403	19	journal	journal	NOUN
ejde-932	403	20	of	of	ADP
ejde-932	403	21	advances	advance	NOUN
ejde-932	403	22	in	in	ADP
ejde-932	403	23	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	403	24	,	,	PUNCT
ejde-932	403	25	4(2013	4(2013	NOUN
ejde-932	403	26	)	)	PUNCT
ejde-932	403	27	,	,	PUNCT
ejde-932	403	28	441	441	NUM
ejde-932	403	29	-	-	SYM
ejde-932	403	30	461	461	NUM
ejde-932	403	31	.	.	PUNCT
ejde-932	404	1	[	[	X
ejde-932	404	2	13	13	NUM
ejde-932	404	3	]	]	PUNCT
ejde-932	404	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	404	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	404	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	404	7	,	,	PUNCT
ejde-932	404	8	m.	m.	NOUN
ejde-932	404	9	a.	a.	NOUN
ejde-932	404	10	alghamdi	alghamdi	PROPN
ejde-932	404	11	,	,	PUNCT
ejde-932	404	12	s.	s.	PROPN
ejde-932	404	13	a.	a.	PROPN
ejde-932	404	14	alasmi	alasmi	PROPN
ejde-932	404	15	;	;	PUNCT
ejde-932	404	16	hyers	hyers	PROPN
ejde-932	404	17	-	-	PUNCT
ejde-932	404	18	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	404	19	and	and	CCONJ
ejde-932	404	20	hyers	hyer	NOUN
ejde-932	404	21	-	-	PUNCT
ejde-932	404	22	ulam	ulam	NOUN
ejde-932	404	23	-	-	PUNCT
ejde-932	404	24	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	404	25	stability	stability	NOUN
ejde-932	404	26	of	of	ADP
ejde-932	404	27	first	first	ADJ
ejde-932	404	28	-	-	PUNCT
ejde-932	404	29	order	order	NOUN
ejde-932	404	30	linear	linear	ADJ
ejde-932	404	31	quantum	quantum	NOUN
ejde-932	404	32	difference	difference	NOUN
ejde-932	404	33	equations	equation	NOUN
ejde-932	404	34	,	,	PUNCT
ejde-932	404	35	journal	journal	NOUN
ejde-932	404	36	of	of	ADP
ejde-932	404	37	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	404	38	and	and	CCONJ
ejde-932	404	39	computer	computer	NOUN
ejde-932	404	40	science	science	NOUN
ejde-932	404	41	,	,	PUNCT
ejde-932	404	42	35(2024	35(2024	NUM
ejde-932	404	43	)	)	PUNCT
ejde-932	404	44	,	,	PUNCT
ejde-932	404	45	336	336	NUM
ejde-932	404	46	-	-	SYM
ejde-932	404	47	347	347	NUM
ejde-932	404	48	.	.	PUNCT
ejde-932	405	1	[	[	X
ejde-932	405	2	14	14	NUM
ejde-932	405	3	]	]	PUNCT
ejde-932	405	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	405	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	405	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	405	7	,	,	PUNCT
ejde-932	405	8	s.	s.	PROPN
ejde-932	405	9	d.	d.	PROPN
ejde-932	405	10	makharesh	makharesh	PROPN
ejde-932	405	11	;	;	PUNCT
ejde-932	405	12	leibniz	leibniz	PROPN
ejde-932	405	13	’	'	PUNCT
ejde-932	405	14	rule	rule	NOUN
ejde-932	405	15	and	and	CCONJ
ejde-932	405	16	fubinis	fubini	NOUN
ejde-932	405	17	theorem	theorem	VERB
ejde-932	405	18	associated	associate	VERB
ejde-932	405	19	with	with	ADP
ejde-932	405	20	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	405	21	difference	difference	NOUN
ejde-932	405	22	operator	operator	NOUN
ejde-932	405	23	,	,	PUNCT
ejde-932	405	24	journal	journal	NOUN
ejde-932	405	25	of	of	ADP
ejde-932	405	26	advances	advance	NOUN
ejde-932	405	27	in	in	ADP
ejde-932	405	28	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	405	29	,	,	PUNCT
ejde-932	405	30	12(2016	12(2016	NUM
ejde-932	405	31	)	)	PUNCT
ejde-932	405	32	,	,	PUNCT
ejde-932	405	33	6335	6335	NUM
ejde-932	405	34	-	-	SYM
ejde-932	405	35	6345	6345	NUM
ejde-932	405	36	.	.	PUNCT
ejde-932	406	1	[	[	X
ejde-932	406	2	15	15	NUM
ejde-932	406	3	]	]	X
ejde-932	406	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	406	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	406	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	406	7	,	,	PUNCT
ejde-932	406	8	e.	e.	PROPN
ejde-932	406	9	m.	m.	PROPN
ejde-932	406	10	shehata	shehata	PROPN
ejde-932	406	11	;	;	PUNCT
ejde-932	406	12	existence	existence	NOUN
ejde-932	406	13	and	and	CCONJ
ejde-932	406	14	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-932	406	15	of	of	ADP
ejde-932	406	16	solutions	solution	NOUN
ejde-932	406	17	of	of	ADP
ejde-932	406	18	general	general	ADJ
ejde-932	406	19	quantum	quantum	ADJ
ejde-932	406	20	difference	difference	NOUN
ejde-932	406	21	equations	equation	NOUN
ejde-932	406	22	,	,	PUNCT
ejde-932	406	23	advances	advance	NOUN
ejde-932	406	24	in	in	ADP
ejde-932	406	25	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-932	406	26	systems	system	NOUN
ejde-932	406	27	and	and	CCONJ
ejde-932	406	28	applications	application	NOUN
ejde-932	406	29	,	,	PUNCT
ejde-932	406	30	11(2016	11(2016	NUM
ejde-932	406	31	)	)	PUNCT
ejde-932	406	32	,	,	PUNCT
ejde-932	406	33	45	45	NUM
ejde-932	406	34	-	-	SYM
ejde-932	406	35	58	58	NUM
ejde-932	406	36	.	.	PUNCT
ejde-932	407	1	[	[	X
ejde-932	407	2	16	16	NUM
ejde-932	407	3	]	]	PUNCT
ejde-932	407	4	a.	a.	PROPN
ejde-932	407	5	e.	e.	PROPN
ejde-932	407	6	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	407	7	,	,	PUNCT
ejde-932	407	8	a.	a.	PROPN
ejde-932	407	9	s.	s.	PROPN
ejde-932	407	10	zaghrout	zaghrout	PROPN
ejde-932	407	11	,	,	PUNCT
ejde-932	407	12	s.	s.	PROPN
ejde-932	407	13	m.	m.	PROPN
ejde-932	407	14	ahmed	ahmed	PROPN
ejde-932	407	15	;	;	PUNCT
ejde-932	407	16	characterization	characterization	NOUN
ejde-932	407	17	of	of	ADP
ejde-932	407	18	stability	stability	NOUN
ejde-932	407	19	of	of	ADP
ejde-932	407	20	first	first	ADJ
ejde-932	407	21	order	order	NOUN
ejde-932	407	22	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	407	23	difference	difference	NOUN
ejde-932	407	24	equations	equation	NOUN
ejde-932	407	25	,	,	PUNCT
ejde-932	407	26	journal	journal	NOUN
ejde-932	407	27	of	of	ADP
ejde-932	407	28	advances	advance	NOUN
ejde-932	407	29	in	in	ADP
ejde-932	407	30	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	407	31	,	,	PUNCT
ejde-932	407	32	5(2013	5(2013	NUM
ejde-932	407	33	)	)	PUNCT
ejde-932	407	34	,	,	PUNCT
ejde-932	407	35	678	678	NUM
ejde-932	407	36	-	-	SYM
ejde-932	407	37	687	687	NUM
ejde-932	407	38	.	.	PUNCT
ejde-932	408	1	[	[	X
ejde-932	408	2	17	17	NUM
ejde-932	408	3	]	]	X
ejde-932	408	4	f.	f.	NOUN
ejde-932	408	5	hıra	hıra	PROPN
ejde-932	408	6	;	;	PUNCT
ejde-932	408	7	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	408	8	laplace	laplace	PROPN
ejde-932	408	9	transform	transform	NOUN
ejde-932	408	10	and	and	CCONJ
ejde-932	408	11	its	its	PRON
ejde-932	408	12	applications	application	NOUN
ejde-932	408	13	,	,	PUNCT
ejde-932	408	14	demonstratio	demonstratio	PROPN
ejde-932	408	15	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-932	408	16	,	,	PUNCT
ejde-932	408	17	56(2023	56(2023	NUM
ejde-932	408	18	)	)	PUNCT
ejde-932	408	19	,	,	PUNCT
ejde-932	408	20	20230259	20230259	NUM
ejde-932	408	21	.	.	PUNCT
ejde-932	409	1	[	[	X
ejde-932	409	2	18	18	NUM
ejde-932	409	3	]	]	X
ejde-932	409	4	f.	f.	NOUN
ejde-932	409	5	hıra	hıra	PROPN
ejde-932	409	6	;	;	PUNCT
ejde-932	409	7	on	on	ADP
ejde-932	409	8	q	q	PROPN
ejde-932	409	9	,	,	PUNCT
ejde-932	409	10	ω	ω	ADJ
ejde-932	409	11	-	-	PUNCT
ejde-932	409	12	differential	differential	ADJ
ejde-932	409	13	transform	transform	NOUN
ejde-932	409	14	method	method	NOUN
ejde-932	409	15	,	,	PUNCT
ejde-932	409	16	journal	journal	NOUN
ejde-932	409	17	of	of	ADP
ejde-932	409	18	physics	physics	PROPN
ejde-932	409	19	a	a	PRON
ejde-932	409	20	:	:	PUNCT
ejde-932	409	21	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	409	22	and	and	CCONJ
ejde-932	409	23	theoretical	theoretical	ADJ
ejde-932	409	24	,	,	PUNCT
ejde-932	409	25	56(2023	56(2023	NUM
ejde-932	409	26	)	)	PUNCT
ejde-932	409	27	,	,	PUNCT
ejde-932	409	28	325202	325202	NUM
ejde-932	409	29	.	.	PUNCT
ejde-932	410	1	[	[	X
ejde-932	410	2	19	19	NUM
ejde-932	410	3	]	]	X
ejde-932	410	4	d.	d.	PROPN
ejde-932	410	5	h.	h.	PROPN
ejde-932	410	6	hyers	hyers	PROPN
ejde-932	410	7	;	;	PUNCT
ejde-932	410	8	on	on	ADP
ejde-932	410	9	the	the	DET
ejde-932	410	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	410	11	of	of	ADP
ejde-932	410	12	the	the	DET
ejde-932	410	13	linear	linear	ADJ
ejde-932	410	14	functional	functional	ADJ
ejde-932	410	15	equation	equation	NOUN
ejde-932	410	16	,	,	PUNCT
ejde-932	410	17	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-932	410	18	of	of	ADP
ejde-932	410	19	the	the	DET
ejde-932	410	20	national	national	PROPN
ejde-932	410	21	academy	academy	PROPN
ejde-932	410	22	of	of	ADP
ejde-932	410	23	sciences	sciences	PROPN
ejde-932	410	24	,	,	PUNCT
ejde-932	410	25	27(1941	27(1941	NUM
ejde-932	410	26	)	)	PUNCT
ejde-932	410	27	,	,	PUNCT
ejde-932	410	28	222	222	NUM
ejde-932	410	29	-	-	SYM
ejde-932	410	30	224	224	NUM
ejde-932	410	31	.	.	PUNCT
ejde-932	411	1	[	[	X
ejde-932	411	2	20	20	NUM
ejde-932	411	3	]	]	X
ejde-932	411	4	d.	d.	PROPN
ejde-932	411	5	h.	h.	PROPN
ejde-932	411	6	hyers	hyers	PROPN
ejde-932	411	7	,	,	PUNCT
ejde-932	411	8	t.	t.	PROPN
ejde-932	411	9	m.	m.	NOUN
ejde-932	411	10	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	411	11	;	;	PUNCT
ejde-932	411	12	approximate	approximate	ADJ
ejde-932	411	13	homomorphisms	homomorphism	NOUN
ejde-932	411	14	,	,	PUNCT
ejde-932	411	15	aequationes	aequatione	NOUN
ejde-932	411	16	mathematicae	mathematicae	PROPN
ejde-932	411	17	,	,	PUNCT
ejde-932	411	18	44(1992	44(1992	NUM
ejde-932	411	19	)	)	PUNCT
ejde-932	411	20	,	,	PUNCT
ejde-932	411	21	125	125	NUM
ejde-932	411	22	-	-	SYM
ejde-932	411	23	153	153	NUM
ejde-932	411	24	.	.	PUNCT
ejde-932	412	1	[	[	X
ejde-932	412	2	21	21	NUM
ejde-932	412	3	]	]	X
ejde-932	412	4	s.	s.	PROPN
ejde-932	412	5	m.	m.	PROPN
ejde-932	412	6	jung	jung	PROPN
ejde-932	412	7	;	;	PUNCT
ejde-932	412	8	hyers	hyers	PROPN
ejde-932	412	9	-	-	PUNCT
ejde-932	412	10	ulam	ulam	ADJ
ejde-932	412	11	-	-	PUNCT
ejde-932	412	12	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	412	13	stability	stability	NOUN
ejde-932	412	14	of	of	ADP
ejde-932	412	15	functional	functional	ADJ
ejde-932	412	16	equations	equation	NOUN
ejde-932	412	17	in	in	ADP
ejde-932	412	18	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	412	19	analysis	analysis	NOUN
ejde-932	412	20	,	,	PUNCT
ejde-932	412	21	hadronic	hadronic	ADJ
ejde-932	412	22	press	press	NOUN
ejde-932	412	23	,	,	PUNCT
ejde-932	412	24	2001	2001	NUM
ejde-932	412	25	.	.	PUNCT
ejde-932	413	1	[	[	X
ejde-932	413	2	22	22	NUM
ejde-932	413	3	]	]	PUNCT
ejde-932	413	4	k.	k.	PROPN
ejde-932	413	5	oraby	oraby	PROPN
ejde-932	413	6	,	,	PUNCT
ejde-932	413	7	a.	a.	PROPN
ejde-932	413	8	hamza	hamza	PROPN
ejde-932	413	9	;	;	PUNCT
ejde-932	413	10	taylor	taylor	PROPN
ejde-932	413	11	theory	theory	NOUN
ejde-932	413	12	associated	associate	VERB
ejde-932	413	13	with	with	ADP
ejde-932	413	14	hahn	hahn	PROPN
ejde-932	413	15	difference	difference	NOUN
ejde-932	413	16	operator	operator	NOUN
ejde-932	413	17	,	,	PUNCT
ejde-932	413	18	journal	journal	NOUN
ejde-932	413	19	of	of	ADP
ejde-932	413	20	inequalities	inequality	NOUN
ejde-932	413	21	and	and	CCONJ
ejde-932	413	22	applications	application	NOUN
ejde-932	413	23	,	,	PUNCT
ejde-932	413	24	2020(2020	2020(2020	NUM
ejde-932	413	25	)	)	PUNCT
ejde-932	413	26	,	,	PUNCT
ejde-932	413	27	124	124	NUM
ejde-932	413	28	.	.	PUNCT
ejde-932	414	1	[	[	X
ejde-932	414	2	23	23	NUM
ejde-932	414	3	]	]	X
ejde-932	414	4	d.	d.	PROPN
ejde-932	414	5	otrocol	otrocol	PROPN
ejde-932	414	6	,	,	PUNCT
ejde-932	414	7	v.	v.	CCONJ
ejde-932	414	8	ilea	ilea	PROPN
ejde-932	414	9	;	;	PUNCT
ejde-932	414	10	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	414	11	stability	stability	NOUN
ejde-932	414	12	for	for	ADP
ejde-932	414	13	a	a	DET
ejde-932	414	14	delay	delay	NOUN
ejde-932	414	15	differential	differential	NOUN
ejde-932	414	16	equation	equation	NOUN
ejde-932	414	17	,	,	PUNCT
ejde-932	414	18	open	open	ADJ
ejde-932	414	19	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	414	20	,	,	PUNCT
ejde-932	414	21	11(2013	11(2013	NUM
ejde-932	414	22	)	)	PUNCT
ejde-932	414	23	,	,	PUNCT
ejde-932	414	24	1296	1296	NUM
ejde-932	414	25	-	-	SYM
ejde-932	414	26	1303	1303	NUM
ejde-932	414	27	.	.	PUNCT
ejde-932	415	1	[	[	X
ejde-932	415	2	24	24	NUM
ejde-932	415	3	]	]	X
ejde-932	415	4	l.	l.	PROPN
ejde-932	415	5	m.	m.	PROPN
ejde-932	415	6	quarrie	quarrie	PROPN
ejde-932	415	7	,	,	PUNCT
ejde-932	415	8	n.	n.	PROPN
ejde-932	415	9	saad	saad	PROPN
ejde-932	415	10	,	,	PUNCT
ejde-932	415	11	m.	m.	PROPN
ejde-932	415	12	s.	s.	PROPN
ejde-932	415	13	islam	islam	PROPN
ejde-932	415	14	;	;	PUNCT
ejde-932	415	15	asymptotic	asymptotic	ADJ
ejde-932	415	16	iteration	iteration	NOUN
ejde-932	415	17	method	method	NOUN
ejde-932	415	18	for	for	ADP
ejde-932	415	19	solving	solve	VERB
ejde-932	415	20	hahn	hahn	NOUN
ejde-932	415	21	difference	difference	NOUN
ejde-932	415	22	equations	equation	NOUN
ejde-932	415	23	,	,	PUNCT
ejde-932	415	24	advances	advance	NOUN
ejde-932	415	25	in	in	ADP
ejde-932	415	26	difference	difference	NOUN
ejde-932	415	27	equations	equation	NOUN
ejde-932	415	28	,	,	PUNCT
ejde-932	415	29	2021(2021	2021(2021	NUM
ejde-932	415	30	)	)	PUNCT
ejde-932	415	31	,	,	PUNCT
ejde-932	415	32	354	354	NUM
ejde-932	415	33	.	.	PUNCT
ejde-932	416	1	[	[	X
ejde-932	416	2	25	25	NUM
ejde-932	416	3	]	]	PUNCT
ejde-932	416	4	t.	t.	PROPN
ejde-932	416	5	m.	m.	NOUN
ejde-932	416	6	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	416	7	;	;	PUNCT
ejde-932	416	8	on	on	ADP
ejde-932	416	9	the	the	DET
ejde-932	416	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	416	11	of	of	ADP
ejde-932	416	12	linear	linear	ADJ
ejde-932	416	13	mappings	mapping	NOUN
ejde-932	416	14	in	in	ADP
ejde-932	416	15	banach	banach	NOUN
ejde-932	416	16	spaces	space	NOUN
ejde-932	416	17	,	,	PUNCT
ejde-932	416	18	proceedings	proceeding	NOUN
ejde-932	416	19	of	of	ADP
ejde-932	416	20	the	the	DET
ejde-932	416	21	american	american	PROPN
ejde-932	416	22	mathematical	mathematical	PROPN
ejde-932	416	23	society	society	NOUN
ejde-932	416	24	,	,	PUNCT
ejde-932	416	25	72(1978	72(1978	NUM
ejde-932	416	26	)	)	PUNCT
ejde-932	416	27	,	,	PUNCT
ejde-932	416	28	297	297	NUM
ejde-932	416	29	-	-	SYM
ejde-932	416	30	300	300	NUM
ejde-932	416	31	.	.	PUNCT
ejde-932	417	1	[	[	X
ejde-932	417	2	26	26	NUM
ejde-932	417	3	]	]	PUNCT
ejde-932	417	4	t.	t.	PROPN
ejde-932	417	5	m.	m.	NOUN
ejde-932	417	6	rassias	rassias	PROPN
ejde-932	417	7	;	;	PUNCT
ejde-932	417	8	on	on	ADP
ejde-932	417	9	the	the	DET
ejde-932	417	10	stability	stability	NOUN
ejde-932	417	11	of	of	ADP
ejde-932	417	12	functional	functional	ADJ
ejde-932	417	13	equations	equation	NOUN
ejde-932	417	14	and	and	CCONJ
ejde-932	417	15	a	a	DET
ejde-932	417	16	problem	problem	NOUN
ejde-932	417	17	of	of	ADP
ejde-932	417	18	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	417	19	,	,	PUNCT
ejde-932	417	20	acta	acta	PROPN
ejde-932	417	21	applicandae	applicandae	PROPN
ejde-932	417	22	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-932	417	23	,	,	PUNCT
ejde-932	417	24	62(2000	62(2000	NUM
ejde-932	417	25	)	)	PUNCT
ejde-932	417	26	,	,	PUNCT
ejde-932	417	27	23	23	NUM
ejde-932	417	28	-	-	SYM
ejde-932	417	29	130	130	NUM
ejde-932	417	30	.	.	PUNCT
ejde-932	418	1	[	[	X
ejde-932	418	2	27	27	NUM
ejde-932	418	3	]	]	PUNCT
ejde-932	418	4	m.	m.	NOUN
ejde-932	418	5	h.	h.	PROPN
ejde-932	418	6	a.	a.	PROPN
ejde-932	418	7	risha	risha	PROPN
ejde-932	418	8	,	,	PUNCT
ejde-932	418	9	m.	m.	PROPN
ejde-932	418	10	h.	h.	PROPN
ejde-932	418	11	annaby	annaby	PROPN
ejde-932	418	12	,	,	PUNCT
ejde-932	418	13	z.	z.	PROPN
ejde-932	418	14	s.	s.	PROPN
ejde-932	418	15	mansour	mansour	PROPN
ejde-932	418	16	,	,	PUNCT
ejde-932	418	17	et	et	PROPN
ejde-932	418	18	al	al	PROPN
ejde-932	418	19	.	.	PUNCT
ejde-932	418	20	;	;	PUNCT
ejde-932	418	21	linear	linear	PROPN
ejde-932	418	22	q	q	ADJ
ejde-932	418	23	-	-	PUNCT
ejde-932	418	24	difference	difference	NOUN
ejde-932	418	25	equations	equation	NOUN
ejde-932	418	26	,	,	PUNCT
ejde-932	418	27	zeitschrift	zeitschrift	NOUN
ejde-932	418	28	für	für	NOUN
ejde-932	418	29	analysis	analysis	NOUN
ejde-932	418	30	und	und	VERB
ejde-932	418	31	ihre	ihre	ADJ
ejde-932	418	32	anwendungen	anwendungen	NOUN
ejde-932	418	33	,	,	PUNCT
ejde-932	418	34	26(2007	26(2007	NUM
ejde-932	418	35	)	)	PUNCT
ejde-932	418	36	,	,	PUNCT
ejde-932	418	37	481	481	NUM
ejde-932	418	38	-	-	SYM
ejde-932	418	39	494	494	NUM
ejde-932	418	40	.	.	PUNCT
ejde-932	419	1	[	[	X
ejde-932	419	2	28	28	NUM
ejde-932	419	3	]	]	X
ejde-932	419	4	i.	i.	PROPN
ejde-932	419	5	a.	a.	PROPN
ejde-932	419	6	rus	rus	PROPN
ejde-932	419	7	;	;	PUNCT
ejde-932	419	8	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	419	9	stability	stability	NOUN
ejde-932	419	10	of	of	ADP
ejde-932	419	11	ordinary	ordinary	ADJ
ejde-932	419	12	differential	differential	ADJ
ejde-932	419	13	equations	equation	NOUN
ejde-932	419	14	,	,	PUNCT
ejde-932	419	15	studia	studia	PROPN
ejde-932	419	16	universitatis	universitatis	PROPN
ejde-932	419	17	babes	babes	PROPN
ejde-932	419	18	-	-	PUNCT
ejde-932	419	19	bolyai	bolyai	NOUN
ejde-932	419	20	mathematica	mathematica	PROPN
ejde-932	419	21	,	,	PUNCT
ejde-932	419	22	54(2009	54(2009	NUM
ejde-932	419	23	)	)	PUNCT
ejde-932	419	24	,	,	PUNCT
ejde-932	419	25	125	125	NUM
ejde-932	419	26	-	-	SYM
ejde-932	419	27	133	133	NUM
ejde-932	419	28	.	.	PUNCT
ejde-932	420	1	[	[	X
ejde-932	420	2	29	29	NUM
ejde-932	420	3	]	]	PUNCT
ejde-932	420	4	s.	s.	PROPN
ejde-932	420	5	m.	m.	PROPN
ejde-932	420	6	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	420	7	;	;	PUNCT
ejde-932	420	8	a	a	DET
ejde-932	420	9	collection	collection	NOUN
ejde-932	420	10	of	of	ADP
ejde-932	420	11	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-932	420	12	problems	problem	NOUN
ejde-932	420	13	,	,	PUNCT
ejde-932	420	14	interscience	interscience	NOUN
ejde-932	420	15	publishers	publisher	NOUN
ejde-932	420	16	,	,	PUNCT
ejde-932	420	17	new	new	PROPN
ejde-932	420	18	york	york	PROPN
ejde-932	420	19	,	,	PUNCT
ejde-932	420	20	1960	1960	NUM
ejde-932	420	21	.	.	PUNCT
ejde-932	421	1	kai	kai	PROPN
ejde-932	421	2	chen	chen	PROPN
ejde-932	421	3	school	school	PROPN
ejde-932	421	4	of	of	ADP
ejde-932	421	5	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	421	6	and	and	CCONJ
ejde-932	421	7	statistics	statistic	NOUN
ejde-932	421	8	,	,	PUNCT
ejde-932	421	9	guizhou	guizhou	PROPN
ejde-932	421	10	university	university	PROPN
ejde-932	421	11	,	,	PUNCT
ejde-932	421	12	guiyang	guiyang	PROPN
ejde-932	421	13	,	,	PUNCT
ejde-932	421	14	guizhou	guizhou	PROPN
ejde-932	421	15	550025	550025	NUM
ejde-932	421	16	,	,	PUNCT
ejde-932	421	17	china	china	PROPN
ejde-932	421	18	email	email	PROPN
ejde-932	421	19	address	address	NOUN
ejde-932	421	20	:	:	PUNCT
ejde-932	421	21	kaichen589@163.com	kaichen589@163.com	X
ejde-932	421	22	ejde-2024/77	ejde-2024/77	VERB
ejde-932	421	23	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	421	24	type	type	PROPN
ejde-932	421	25	stability	stability	NOUN
ejde-932	421	26	15	15	NUM
ejde-932	421	27	jin	jin	PROPN
ejde-932	421	28	rong	rong	PROPN
ejde-932	421	29	wang	wang	PROPN
ejde-932	421	30	(	(	PUNCT
ejde-932	421	31	corresponding	correspond	VERB
ejde-932	421	32	author	author	NOUN
ejde-932	421	33	)	)	PUNCT
ejde-932	421	34	school	school	NOUN
ejde-932	421	35	of	of	ADP
ejde-932	421	36	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-932	421	37	and	and	CCONJ
ejde-932	421	38	statistics	statistic	NOUN
ejde-932	421	39	,	,	PUNCT
ejde-932	421	40	guizhou	guizhou	PROPN
ejde-932	421	41	university	university	PROPN
ejde-932	421	42	,	,	PUNCT
ejde-932	421	43	guiyang	guiyang	PROPN
ejde-932	421	44	,	,	PUNCT
ejde-932	421	45	guizhou	guizhou	PROPN
ejde-932	421	46	550025	550025	NUM
ejde-932	421	47	,	,	PUNCT
ejde-932	421	48	china	china	PROPN
ejde-932	421	49	email	email	NOUN
ejde-932	421	50	address	address	NOUN
ejde-932	421	51	:	:	PUNCT
ejde-932	421	52	jrwang@gzu.edu.cn	jrwang@gzu.edu.cn	PROPN
ejde-932	421	53	1	1	NUM
ejde-932	421	54	.	.	PUNCT
ejde-932	421	55	introduction	introduction	NOUN
ejde-932	421	56	2	2	NUM
ejde-932	421	57	.	.	PUNCT
ejde-932	421	58	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-932	421	59	3	3	NUM
ejde-932	421	60	.	.	PUNCT
ejde-932	422	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	422	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	422	3	of	of	ADP
ejde-932	422	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	422	5	(	(	PUNCT
ejde-932	422	6	?	?	PUNCT
ejde-932	422	7	?	?	PUNCT
ejde-932	422	8	)	)	PUNCT
ejde-932	423	1	4	4	X
ejde-932	423	2	.	.	X
ejde-932	424	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	424	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	424	3	of	of	ADP
ejde-932	424	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	424	5	(	(	PUNCT
ejde-932	424	6	?	?	PUNCT
ejde-932	424	7	?	?	PUNCT
ejde-932	424	8	)	)	PUNCT
ejde-932	425	1	and	and	CCONJ
ejde-932	425	2	(	(	PUNCT
ejde-932	425	3	?	?	PUNCT
ejde-932	425	4	?	?	PUNCT
ejde-932	425	5	)	)	PUNCT
ejde-932	426	1	4.1	4.1	NUM
ejde-932	426	2	.	.	PUNCT
ejde-932	427	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	427	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	427	3	of	of	ADP
ejde-932	427	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	427	5	(	(	PUNCT
ejde-932	427	6	?	?	PUNCT
ejde-932	427	7	?	?	PUNCT
ejde-932	427	8	)	)	PUNCT
ejde-932	428	1	4.2	4.2	NUM
ejde-932	428	2	.	.	PUNCT
ejde-932	429	1	ulam	ulam	PROPN
ejde-932	429	2	stability	stability	NOUN
ejde-932	429	3	of	of	ADP
ejde-932	429	4	equation	equation	NOUN
ejde-932	429	5	(	(	PUNCT
ejde-932	429	6	?	?	PUNCT
ejde-932	429	7	?	?	PUNCT
ejde-932	429	8	)	)	PUNCT
ejde-932	430	1	5	5	X
ejde-932	430	2	.	.	PUNCT
ejde-932	431	1	examples	example	NOUN
ejde-932	431	2	acknowledgments	acknowledgment	NOUN
ejde-932	431	3	references	reference	NOUN