id	sid	tid	token	lemma	pos
ejde-988	1	1	electronic	electronic	ADJ
ejde-988	1	2	journal	journal	NOUN
ejde-988	1	3	of	of	ADP
ejde-988	1	4	differential	differential	ADJ
ejde-988	1	5	equations	equation	NOUN
ejde-988	1	6	,	,	PUNCT
ejde-988	1	7	vol	vol	NOUN
ejde-988	1	8	.	.	PUNCT
ejde-988	1	9	2025	2025	NUM
ejde-988	1	10	(	(	PUNCT
ejde-988	1	11	2025	2025	NUM
ejde-988	1	12	)	)	PUNCT
ejde-988	1	13	,	,	PUNCT
ejde-988	1	14	no	no	INTJ
ejde-988	1	15	.	.	NOUN
ejde-988	1	16	78	78	NUM
ejde-988	1	17	,	,	PUNCT
ejde-988	1	18	pp	pp	ADJ
ejde-988	1	19	.	.	PUNCT
ejde-988	2	1	1–21	1–21	PROPN
ejde-988	2	2	.	.	PUNCT
ejde-988	3	1	issn	issn	PROPN
ejde-988	3	2	:	:	PUNCT
ejde-988	3	3	1072	1072	NUM
ejde-988	3	4	-	-	SYM
ejde-988	3	5	6691	6691	NUM
ejde-988	3	6	.	.	PUNCT
ejde-988	4	1	url	url	PROPN
ejde-988	4	2	:	:	PUNCT
ejde-988	4	3	https://ejde.math.txstate.edu	https://ejde.math.txstate.edu	PROPN
ejde-988	4	4	,	,	PUNCT
ejde-988	4	5	https://ejde.math.unt.edu	https://ejde.math.unt.edu	PROPN
ejde-988	4	6	doi	doi	PROPN
ejde-988	4	7	:	:	PUNCT
ejde-988	4	8	10.58997	10.58997	NUM
ejde-988	4	9	/	/	SYM
ejde-988	4	10	ejde.2025.78	ejde.2025.78	ADJ
ejde-988	4	11	strong	strong	ADJ
ejde-988	4	12	solutions	solution	NOUN
ejde-988	4	13	to	to	ADP
ejde-988	4	14	density	density	NOUN
ejde-988	4	15	-	-	PUNCT
ejde-988	4	16	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	4	17	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	4	18	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	4	19	-	-	PUNCT
ejde-988	4	20	a	a	DET
ejde-988	4	21	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	4	22	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	4	23	equations	equation	NOUN
ejde-988	4	24	xue	xue	PROPN
ejde-988	4	25	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	4	26	,	,	PUNCT
ejde-988	4	27	xiaopeng	xiaopeng	PROPN
ejde-988	4	28	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	4	29	abstract	abstract	PROPN
ejde-988	4	30	.	.	PUNCT
ejde-988	5	1	in	in	ADP
ejde-988	5	2	this	this	DET
ejde-988	5	3	article	article	NOUN
ejde-988	5	4	we	we	PRON
ejde-988	5	5	study	study	VERB
ejde-988	5	6	a	a	DET
ejde-988	5	7	density	density	NOUN
ejde-988	5	8	-	-	PUNCT
ejde-988	5	9	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	5	10	hydrodynamic	hydrodynamic	ADJ
ejde-988	5	11	system	system	NOUN
ejde-988	5	12	that	that	PRON
ejde-988	5	13	models	model	VERB
ejde-988	5	14	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	5	15	-	-	PUNCT
ejde-988	5	16	a	a	DET
ejde-988	5	17	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	5	18	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	5	19	flow	flow	NOUN
ejde-988	5	20	.	.	PUNCT
ejde-988	6	1	we	we	PRON
ejde-988	6	2	establish	establish	VERB
ejde-988	6	3	the	the	DET
ejde-988	6	4	existence	existence	NOUN
ejde-988	6	5	and	and	CCONJ
ejde-988	6	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	6	7	of	of	ADP
ejde-988	6	8	local	local	ADJ
ejde-988	6	9	strong	strong	ADJ
ejde-988	6	10	solutions	solution	NOUN
ejde-988	6	11	provided	provide	VERB
ejde-988	6	12	that	that	SCONJ
ejde-988	6	13	the	the	DET
ejde-988	6	14	initial	initial	ADJ
ejde-988	6	15	density	density	NOUN
ejde-988	6	16	function	function	NOUN
ejde-988	6	17	has	have	VERB
ejde-988	6	18	a	a	DET
ejde-988	6	19	positive	positive	ADJ
ejde-988	6	20	lower	lower	ADV
ejde-988	6	21	bound	bind	VERB
ejde-988	6	22	.	.	PUNCT
ejde-988	7	1	1	1	X
ejde-988	7	2	.	.	X
ejde-988	7	3	introduction	introduction	NOUN
ejde-988	7	4	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	7	5	liquid	liquid	NOUN
ejde-988	7	6	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	7	7	is	be	AUX
ejde-988	7	8	a	a	DET
ejde-988	7	9	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	7	10	crystalline	crystalline	NOUN
ejde-988	7	11	phase	phase	NOUN
ejde-988	7	12	,	,	PUNCT
ejde-988	7	13	which	which	PRON
ejde-988	7	14	possesses	possess	VERB
ejde-988	7	15	not	not	PART
ejde-988	7	16	only	only	ADV
ejde-988	7	17	some	some	DET
ejde-988	7	18	degree	degree	NOUN
ejde-988	7	19	of	of	ADP
ejde-988	7	20	orientational	orientational	ADJ
ejde-988	7	21	order	order	NOUN
ejde-988	7	22	like	like	ADP
ejde-988	7	23	the	the	DET
ejde-988	7	24	nematic	nematic	ADJ
ejde-988	7	25	liquid	liquid	NOUN
ejde-988	7	26	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	7	27	,	,	PUNCT
ejde-988	7	28	but	but	CCONJ
ejde-988	7	29	also	also	ADV
ejde-988	7	30	some	some	DET
ejde-988	7	31	degree	degree	NOUN
ejde-988	7	32	of	of	ADP
ejde-988	7	33	positional	positional	ADJ
ejde-988	7	34	order	order	NOUN
ejde-988	7	35	(	(	PUNCT
ejde-988	7	36	layer	layer	NOUN
ejde-988	7	37	structure	structure	NOUN
ejde-988	7	38	)	)	PUNCT
ejde-988	8	1	[	[	X
ejde-988	8	2	1	1	NUM
ejde-988	8	3	,	,	PUNCT
ejde-988	8	4	4	4	NUM
ejde-988	8	5	,	,	PUNCT
ejde-988	8	6	5	5	NUM
ejde-988	8	7	,	,	PUNCT
ejde-988	8	8	10	10	NUM
ejde-988	8	9	]	]	PUNCT
ejde-988	8	10	.	.	PUNCT
ejde-988	9	1	in	in	ADP
ejde-988	9	2	[	[	X
ejde-988	9	3	13	13	NUM
ejde-988	9	4	]	]	PUNCT
ejde-988	9	5	,	,	PUNCT
ejde-988	9	6	the	the	DET
ejde-988	9	7	author	author	NOUN
ejde-988	9	8	proposed	propose	VERB
ejde-988	9	9	the	the	DET
ejde-988	9	10	following	following	ADJ
ejde-988	9	11	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	9	12	nonhomogeneous	nonhomogeneous	ADJ
ejde-988	9	13	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	9	14	-	-	PUNCT
ejde-988	9	15	a	a	DET
ejde-988	9	16	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	9	17	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	9	18	system	system	NOUN
ejde-988	9	19	which	which	PRON
ejde-988	9	20	is	be	AUX
ejde-988	9	21	related	relate	VERB
ejde-988	9	22	to	to	ADP
ejde-988	9	23	the	the	DET
ejde-988	9	24	compressibility	compressibility	NOUN
ejde-988	9	25	of	of	ADP
ejde-988	9	26	fluids	fluid	NOUN
ejde-988	9	27	/	/	SYM
ejde-988	9	28	layers	layer	NOUN
ejde-988	9	29	and	and	CCONJ
ejde-988	9	30	the	the	DET
ejde-988	9	31	thermal	thermal	ADJ
ejde-988	9	32	effects	effect	NOUN
ejde-988	9	33	ρt	ρt	ADP
ejde-988	9	34	+	+	NOUN
ejde-988	9	35	∇	∇	X
ejde-988	9	36	·	·	PUNCT
ejde-988	9	37	(	(	PUNCT
ejde-988	9	38	ρu	ρu	NOUN
ejde-988	9	39	)	)	PUNCT
ejde-988	9	40	=	=	SYM
ejde-988	9	41	0	0	NUM
ejde-988	9	42	,	,	PUNCT
ejde-988	9	43	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	9	44	+	+	CCONJ
ejde-988	9	45	u	u	X
ejde-988	9	46	·	·	PUNCT
ejde-988	9	47	∇u	∇u	ADJ
ejde-988	9	48	)	)	PUNCT
ejde-988	9	49	=	=	SYM
ejde-988	9	50	∇	∇	X
ejde-988	9	51	·	·	PUNCT
ejde-988	9	52	(	(	PUNCT
ejde-988	9	53	−pi	−pi	NOUN
ejde-988	10	1	+	+	X
ejde-988	10	2	σe	σe	NOUN
ejde-988	10	3	+	+	CCONJ
ejde-988	10	4	σd	σd	X
ejde-988	10	5	)	)	PUNCT
ejde-988	10	6	,	,	PUNCT
ejde-988	10	7	φt	φt	ADP
ejde-988	10	8	+	+	CCONJ
ejde-988	10	9	u	u	X
ejde-988	10	10	·	·	PUNCT
ejde-988	10	11	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	10	12	=	=	SYM
ejde-988	10	13	λ(∇	λ(∇	NOUN
ejde-988	10	14	·	·	PUNCT
ejde-988	10	15	(	(	PUNCT
ejde-988	10	16	ξ∇φ)−k∆2φ	ξ∇φ)−k∆2φ	NUM
ejde-988	10	17	)	)	PUNCT
ejde-988	10	18	,	,	PUNCT
ejde-988	10	19	|∇φ|	|∇φ|	NOUN
ejde-988	10	20	=	=	SYM
ejde-988	10	21	1	1	NUM
ejde-988	10	22	,	,	PUNCT
ejde-988	10	23	∇	∇	X
ejde-988	10	24	·	·	PUNCT
ejde-988	10	25	u	u	NOUN
ejde-988	10	26	=	=	NOUN
ejde-988	10	27	0	0	NUM
ejde-988	10	28	,	,	PUNCT
ejde-988	10	29	(	(	PUNCT
ejde-988	10	30	1.1	1.1	NUM
ejde-988	10	31	)	)	PUNCT
ejde-988	11	1	where	where	SCONJ
ejde-988	11	2	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	11	3	,	,	PUNCT
ejde-988	11	4	u	u	PROPN
ejde-988	11	5	,	,	PUNCT
ejde-988	11	6	φ	φ	PROPN
ejde-988	11	7	,	,	PUNCT
ejde-988	11	8	and	and	CCONJ
ejde-988	11	9	p	p	NOUN
ejde-988	11	10	denote	denote	VERB
ejde-988	11	11	the	the	DET
ejde-988	11	12	density	density	NOUN
ejde-988	11	13	of	of	ADP
ejde-988	11	14	the	the	DET
ejde-988	11	15	material	material	NOUN
ejde-988	11	16	,	,	PUNCT
ejde-988	11	17	flow	flow	NOUN
ejde-988	11	18	velocity	velocity	NOUN
ejde-988	11	19	,	,	PUNCT
ejde-988	11	20	layer	layer	NOUN
ejde-988	11	21	variable	variable	NOUN
ejde-988	11	22	,	,	PUNCT
ejde-988	11	23	and	and	CCONJ
ejde-988	11	24	pressure	pressure	NOUN
ejde-988	11	25	,	,	PUNCT
ejde-988	11	26	respectively	respectively	ADV
ejde-988	11	27	.	.	PUNCT
ejde-988	12	1	the	the	DET
ejde-988	12	2	positive	positive	ADJ
ejde-988	12	3	constant	constant	ADJ
ejde-988	12	4	k	k	X
ejde-988	12	5	which	which	PRON
ejde-988	12	6	arises	arise	VERB
ejde-988	12	7	in	in	ADP
ejde-988	12	8	the	the	DET
ejde-988	12	9	free	free	ADJ
ejde-988	12	10	energy	energy	NOUN
ejde-988	12	11	,	,	PUNCT
ejde-988	12	12	the	the	DET
ejde-988	12	13	constants	constant	NOUN
ejde-988	12	14	µ1	µ1	PROPN
ejde-988	12	15	≥	≥	NOUN
ejde-988	12	16	0	0	NUM
ejde-988	12	17	,	,	PUNCT
ejde-988	12	18	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	12	19	>	>	X
ejde-988	12	20	0	0	PROPN
ejde-988	12	21	,	,	PUNCT
ejde-988	12	22	and	and	CCONJ
ejde-988	12	23	µ5	µ5	PROPN
ejde-988	12	24	≥	≥	NUM
ejde-988	12	25	0	0	NUM
ejde-988	12	26	are	be	AUX
ejde-988	12	27	dissipative	dissipative	ADJ
ejde-988	12	28	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-988	12	29	in	in	ADP
ejde-988	12	30	the	the	DET
ejde-988	12	31	stress	stress	NOUN
ejde-988	12	32	tensor	tensor	NOUN
ejde-988	12	33	,	,	PUNCT
ejde-988	12	34	and	and	CCONJ
ejde-988	12	35	λ	λ	X
ejde-988	12	36	>	>	X
ejde-988	12	37	0	0	PUNCT
ejde-988	12	38	is	be	AUX
ejde-988	12	39	elastic	elastic	ADJ
ejde-988	12	40	relaxation	relaxation	NOUN
ejde-988	12	41	time	time	NOUN
ejde-988	12	42	.	.	PUNCT
ejde-988	13	1	moreover	moreover	ADV
ejde-988	13	2	,	,	PUNCT
ejde-988	13	3	d	d	NOUN
ejde-988	13	4	=	=	SYM
ejde-988	13	5	1	1	NUM
ejde-988	13	6	2	2	NUM
ejde-988	13	7	(	(	PUNCT
ejde-988	13	8	∇u	∇u	PROPN
ejde-988	13	9	+	+	NOUN
ejde-988	13	10	∇tu	∇tu	NOUN
ejde-988	13	11	)	)	PUNCT
ejde-988	13	12	represent	represent	VERB
ejde-988	13	13	the	the	DET
ejde-988	13	14	symmetric	symmetric	ADJ
ejde-988	13	15	part	part	NOUN
ejde-988	13	16	of	of	ADP
ejde-988	13	17	the	the	DET
ejde-988	13	18	derivative	derivative	NOUN
ejde-988	13	19	of	of	ADP
ejde-988	13	20	the	the	DET
ejde-988	13	21	velocity	velocity	NOUN
ejde-988	13	22	,	,	PUNCT
ejde-988	13	23	ξ	ξ	PROPN
ejde-988	13	24	is	be	AUX
ejde-988	13	25	the	the	DET
ejde-988	13	26	corresponding	corresponding	ADJ
ejde-988	13	27	lagrange	lagrange	NOUN
ejde-988	13	28	multiplier	multipli	ADJ
ejde-988	13	29	,	,	PUNCT
ejde-988	13	30	n⃗	n⃗	PROPN
ejde-988	13	31	=	=	PUNCT
ejde-988	14	1	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	14	2	represents	represent	VERB
ejde-988	14	3	the	the	DET
ejde-988	14	4	molecule	molecule	NOUN
ejde-988	14	5	orientational	orientational	ADJ
ejde-988	14	6	direction	direction	NOUN
ejde-988	14	7	.	.	PUNCT
ejde-988	15	1	the	the	DET
ejde-988	15	2	viscous	viscous	ADJ
ejde-988	15	3	stress	stress	NOUN
ejde-988	15	4	tensor	tensor	NOUN
ejde-988	15	5	σd	σd	NOUN
ejde-988	16	1	and	and	CCONJ
ejde-988	16	2	the	the	DET
ejde-988	16	3	elastic	elastic	ADJ
ejde-988	16	4	stress	stress	NOUN
ejde-988	16	5	tensor	tensor	NOUN
ejde-988	16	6	(	(	PUNCT
ejde-988	16	7	ericksen	ericksen	NOUN
ejde-988	16	8	tensor	tensor	NOUN
ejde-988	16	9	)	)	PUNCT
ejde-988	16	10	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-988	16	11	σd	σd	ADV
ejde-988	16	12	=	=	PUNCT
ejde-988	16	13	µ1(n⃗	µ1(n⃗	PRON
ejde-988	16	14	tdn⃗)n⃗⊗	tdn⃗)n⃗⊗	NOUN
ejde-988	16	15	n⃗+	n⃗+	NOUN
ejde-988	16	16	µ4d	µ4d	NOUN
ejde-988	17	1	+	+	CCONJ
ejde-988	17	2	µ5(dn⃗⊗	µ5(dn⃗⊗	PROPN
ejde-988	17	3	n⃗+	n⃗+	PROPN
ejde-988	17	4	n⊗dn⃗	n⊗dn⃗	PROPN
ejde-988	17	5	)	)	PUNCT
ejde-988	17	6	,	,	PUNCT
ejde-988	17	7	σe	σe	NOUN
ejde-988	17	8	=	=	PUNCT
ejde-988	17	9	−ξn⃗⊗	−ξn⃗⊗	PROPN
ejde-988	17	10	n⃗+k∇(∇	n⃗+k∇(∇	PROPN
ejde-988	17	11	·	·	PUNCT
ejde-988	18	1	n⃗)⊗	n⃗)⊗	CCONJ
ejde-988	18	2	n⃗−k(∇	n⃗−k(∇	PROPN
ejde-988	18	3	·	·	PUNCT
ejde-988	18	4	n⃗)∇2φ	n⃗)∇2φ	PROPN
ejde-988	18	5	.	.	PUNCT
ejde-988	18	6	(	(	PUNCT
ejde-988	18	7	1.2	1.2	NUM
ejde-988	18	8	)	)	PUNCT
ejde-988	18	9	it	it	PRON
ejde-988	18	10	is	be	AUX
ejde-988	18	11	worth	worth	ADJ
ejde-988	18	12	pointing	point	VERB
ejde-988	18	13	out	out	ADP
ejde-988	18	14	that	that	SCONJ
ejde-988	18	15	the	the	DET
ejde-988	18	16	constraint	constraint	NOUN
ejde-988	18	17	(	(	PUNCT
ejde-988	18	18	1.1))4	1.1))4	NUM
ejde-988	18	19	is	be	AUX
ejde-988	18	20	the	the	DET
ejde-988	18	21	usual	usual	ADJ
ejde-988	18	22	incompressibility	incompressibility	NOUN
ejde-988	18	23	constraint	constraint	NOUN
ejde-988	18	24	for	for	ADP
ejde-988	18	25	the	the	DET
ejde-988	18	26	fluid	fluid	NOUN
ejde-988	18	27	with	with	ADP
ejde-988	18	28	the	the	DET
ejde-988	18	29	associated	associated	ADJ
ejde-988	18	30	pressure	pressure	NOUN
ejde-988	18	31	p	p	NOUN
ejde-988	18	32	acting	act	VERB
ejde-988	18	33	as	as	ADP
ejde-988	18	34	a	a	DET
ejde-988	18	35	lagrange	lagrange	NOUN
ejde-988	18	36	multiplier	multiplier	ADV
ejde-988	18	37	,	,	PUNCT
ejde-988	18	38	the	the	DET
ejde-988	18	39	constraint	constraint	NOUN
ejde-988	18	40	|∇φ|	|∇φ|	NOUN
ejde-988	18	41	=	=	SYM
ejde-988	18	42	1	1	NUM
ejde-988	18	43	translates	translate	VERB
ejde-988	18	44	the	the	DET
ejde-988	18	45	incompressibility	incompressibility	NOUN
ejde-988	18	46	of	of	ADP
ejde-988	18	47	the	the	DET
ejde-988	18	48	layers	layer	NOUN
ejde-988	18	49	with	with	ADP
ejde-988	18	50	the	the	DET
ejde-988	18	51	lagrange	lagrange	NOUN
ejde-988	18	52	multiplier	multiplier	ADV
ejde-988	18	53	given	give	VERB
ejde-988	18	54	by	by	ADP
ejde-988	18	55	ξ	ξ	PROPN
ejde-988	19	1	[	[	X
ejde-988	19	2	13	13	NUM
ejde-988	19	3	,	,	PUNCT
ejde-988	19	4	11	11	NUM
ejde-988	19	5	]	]	PUNCT
ejde-988	19	6	.	.	PUNCT
ejde-988	20	1	when	when	SCONJ
ejde-988	20	2	consider	consider	VERB
ejde-988	20	3	the	the	DET
ejde-988	20	4	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	20	5	-	-	PUNCT
ejde-988	20	6	a	a	DET
ejde-988	20	7	phase	phase	NOUN
ejde-988	20	8	,	,	PUNCT
ejde-988	20	9	molecules	molecule	NOUN
ejde-988	20	10	prefer	prefer	VERB
ejde-988	20	11	to	to	PART
ejde-988	20	12	lie	lie	VERB
ejde-988	20	13	perpendicular	perpendicular	NOUN
ejde-988	20	14	to	to	ADP
ejde-988	20	15	the	the	DET
ejde-988	20	16	layers	layer	NOUN
ejde-988	20	17	,	,	PUNCT
ejde-988	20	18	which	which	PRON
ejde-988	20	19	implies	imply	VERB
ejde-988	20	20	that	that	SCONJ
ejde-988	20	21	n	n	NOUN
ejde-988	20	22	=	=	SYM
ejde-988	21	1	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	21	2	|∇φ|	|∇φ|	NOUN
ejde-988	21	3	=	=	PUNCT
ejde-988	21	4	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	21	5	[	[	X
ejde-988	21	6	13	13	NUM
ejde-988	21	7	]	]	PUNCT
ejde-988	21	8	.	.	PUNCT
ejde-988	22	1	liu	liu	PROPN
ejde-988	23	1	[	[	X
ejde-988	23	2	9	9	NUM
ejde-988	23	3	]	]	PUNCT
ejde-988	23	4	introduced	introduce	VERB
ejde-988	23	5	the	the	DET
ejde-988	23	6	term	term	NOUN
ejde-988	23	7	f(n	f(n	PROPN
ejde-988	23	8	)	)	PUNCT
ejde-988	24	1	=	=	SYM
ejde-988	24	2	∇f	∇f	NOUN
ejde-988	24	3	(	(	PUNCT
ejde-988	24	4	n	n	CCONJ
ejde-988	24	5	)	)	PUNCT
ejde-988	24	6	=	=	SYM
ejde-988	24	7	1	1	NUM
ejde-988	24	8	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	24	9	(	(	PUNCT
ejde-988	24	10	|n|	|n|	NUM
ejde-988	24	11	2	2	NUM
ejde-988	24	12	−	−	PROPN
ejde-988	24	13	1)n	1)n	NUM
ejde-988	24	14	,	,	PUNCT
ejde-988	24	15	with	with	ADP
ejde-988	24	16	the	the	DET
ejde-988	24	17	associated	associated	ADJ
ejde-988	24	18	potential	potential	ADJ
ejde-988	24	19	function	function	NOUN
ejde-988	24	20	f	f	PROPN
ejde-988	24	21	(	(	PUNCT
ejde-988	24	22	n	n	CCONJ
ejde-988	24	23	)	)	PUNCT
ejde-988	24	24	=	=	SYM
ejde-988	24	25	1	1	NUM
ejde-988	24	26	4ε2	4ε2	NUM
ejde-988	24	27	(	(	PUNCT
ejde-988	24	28	|n|	|n|	NUM
ejde-988	24	29	2	2	NUM
ejde-988	24	30	−	−	PROPN
ejde-988	24	31	1)2	1)2	NUM
ejde-988	24	32	denoting	denote	VERB
ejde-988	24	33	the	the	DET
ejde-988	24	34	ginzburg	ginzburg	NOUN
ejde-988	24	35	-	-	PUNCT
ejde-988	24	36	landau	landau	NOUN
ejde-988	24	37	potential	potential	NOUN
ejde-988	24	38	to	to	PART
ejde-988	24	39	relax	relax	VERB
ejde-988	24	40	the	the	DET
ejde-988	24	41	constraint	constraint	NOUN
ejde-988	24	42	2020	2020	NUM
ejde-988	24	43	mathematics	mathematic	NOUN
ejde-988	24	44	subject	subject	ADJ
ejde-988	24	45	classification	classification	NOUN
ejde-988	24	46	.	.	PUNCT
ejde-988	25	1	35q35	35q35	NUM
ejde-988	25	2	,	,	PUNCT
ejde-988	25	3	35b40	35b40	NUM
ejde-988	25	4	,	,	PUNCT
ejde-988	25	5	35d35	35d35	NUM
ejde-988	25	6	,	,	PUNCT
ejde-988	25	7	76w05	76w05	NOUN
ejde-988	25	8	.	.	PUNCT
ejde-988	26	1	key	key	ADJ
ejde-988	26	2	words	word	NOUN
ejde-988	26	3	and	and	CCONJ
ejde-988	26	4	phrases	phrase	NOUN
ejde-988	26	5	.	.	PUNCT
ejde-988	27	1	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	27	2	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	27	3	-	-	PUNCT
ejde-988	27	4	a	a	DET
ejde-988	27	5	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	27	6	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	27	7	;	;	PUNCT
ejde-988	27	8	local	local	ADJ
ejde-988	27	9	well	well	NOUN
ejde-988	27	10	-	-	PUNCT
ejde-988	27	11	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	27	12	;	;	PUNCT
ejde-988	27	13	strong	strong	ADJ
ejde-988	27	14	solutions	solution	NOUN
ejde-988	27	15	.	.	PUNCT
ejde-988	28	1	©	©	PROPN
ejde-988	28	2	2025	2025	NUM
ejde-988	28	3	.	.	PUNCT
ejde-988	29	1	this	this	DET
ejde-988	29	2	work	work	NOUN
ejde-988	29	3	is	be	AUX
ejde-988	29	4	licensed	license	VERB
ejde-988	29	5	under	under	ADP
ejde-988	29	6	a	a	DET
ejde-988	29	7	cc	cc	NOUN
ejde-988	29	8	by	by	ADP
ejde-988	29	9	4.0	4.0	NUM
ejde-988	29	10	license	license	NOUN
ejde-988	29	11	.	.	PUNCT
ejde-988	30	1	submitted	submit	VERB
ejde-988	30	2	october	october	PROPN
ejde-988	30	3	3	3	NUM
ejde-988	30	4	,	,	PUNCT
ejde-988	30	5	2024	2024	NUM
ejde-988	30	6	.	.	PUNCT
ejde-988	31	1	published	publish	VERB
ejde-988	31	2	july	july	PROPN
ejde-988	31	3	24	24	NUM
ejde-988	31	4	,	,	PUNCT
ejde-988	31	5	2025	2025	NUM
ejde-988	31	6	.	.	PUNCT
ejde-988	32	1	1	1	NUM
ejde-988	32	2	2	2	NUM
ejde-988	32	3	x.	x.	NOUN
ejde-988	32	4	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	32	5	,	,	PUNCT
ejde-988	32	6	x.	x.	PROPN
ejde-988	32	7	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	32	8	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	32	9	|∇φ|	|∇φ|	NOUN
ejde-988	32	10	=	=	SYM
ejde-988	32	11	1	1	NUM
ejde-988	32	12	,	,	PUNCT
ejde-988	32	13	and	and	CCONJ
ejde-988	32	14	studied	study	VERB
ejde-988	32	15	the	the	DET
ejde-988	32	16	density	density	NOUN
ejde-988	32	17	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	32	18	system	system	NOUN
ejde-988	32	19	ρt	ρt	PROPN
ejde-988	32	20	+	+	PROPN
ejde-988	32	21	∇	∇	X
ejde-988	32	22	·	·	PUNCT
ejde-988	32	23	(	(	PUNCT
ejde-988	32	24	ρu	ρu	NOUN
ejde-988	32	25	)	)	PUNCT
ejde-988	32	26	=	=	SYM
ejde-988	33	1	0	0	NUM
ejde-988	33	2	,	,	PUNCT
ejde-988	33	3	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	33	4	+	+	CCONJ
ejde-988	33	5	u	u	X
ejde-988	33	6	·	·	PUNCT
ejde-988	33	7	∇u	∇u	X
ejde-988	33	8	)	)	PUNCT
ejde-988	33	9	+	+	ADJ
ejde-988	33	10	∇p	∇p	NOUN
ejde-988	33	11	=	=	SYM
ejde-988	33	12	∇	∇	X
ejde-988	33	13	·	·	PUNCT
ejde-988	33	14	σ̃d	σ̃d	X
ejde-988	33	15	+	+	NOUN
ejde-988	33	16	∇	∇	X
ejde-988	33	17	·	·	PUNCT
ejde-988	33	18	σ̃e	σ̃e	VERB
ejde-988	33	19	,	,	PUNCT
ejde-988	33	20	φt	φt	ADP
ejde-988	33	21	+	+	CCONJ
ejde-988	33	22	u	u	X
ejde-988	33	23	·	·	PUNCT
ejde-988	33	24	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	33	25	=	=	SYM
ejde-988	33	26	λ	λ	X
ejde-988	33	27	[	[	PUNCT
ejde-988	33	28	∇	∇	X
ejde-988	33	29	·	·	PUNCT
ejde-988	33	30	(	(	PUNCT
ejde-988	33	31	1	1	NUM
ejde-988	33	32	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	33	33	(	(	PUNCT
ejde-988	33	34	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	33	35	−	−	PROPN
ejde-988	33	36	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	33	37	)	)	PUNCT
ejde-988	33	38	−k∆2φ	−k∆2φ	NOUN
ejde-988	33	39	]	]	PUNCT
ejde-988	33	40	,	,	PUNCT
ejde-988	33	41	∇	∇	X
ejde-988	33	42	·	·	PUNCT
ejde-988	33	43	u	u	NOUN
ejde-988	33	44	=	=	NOUN
ejde-988	33	45	0	0	NUM
ejde-988	33	46	,	,	PUNCT
ejde-988	33	47	(	(	PUNCT
ejde-988	33	48	1.3	1.3	NUM
ejde-988	33	49	)	)	PUNCT
ejde-988	33	50	where	where	SCONJ
ejde-988	33	51	σ̃d	σ̃d	ADJ
ejde-988	33	52	=	=	SYM
ejde-988	33	53	µ1(n⃗	µ1(n⃗	PRON
ejde-988	33	54	tdn⃗)n⃗⊗	tdn⃗)n⃗⊗	NOUN
ejde-988	33	55	n⃗+	n⃗+	NOUN
ejde-988	33	56	µ4d	µ4d	NOUN
ejde-988	33	57	+	+	CCONJ
ejde-988	33	58	µ5(dn⃗⊗	µ5(dn⃗⊗	PROPN
ejde-988	33	59	n⃗+	n⃗+	PROPN
ejde-988	33	60	n⊗dn⃗	n⊗dn⃗	PROPN
ejde-988	33	61	)	)	PUNCT
ejde-988	33	62	,	,	PUNCT
ejde-988	33	63	σ̃e	σ̃e	VERB
ejde-988	33	64	=	=	SYM
ejde-988	33	65	k∇(∇	k∇(∇	X
ejde-988	33	66	·	·	PUNCT
ejde-988	33	67	n)⊗	n)⊗	ADJ
ejde-988	33	68	n−k(∇	n−k(∇	NOUN
ejde-988	33	69	·	·	PUNCT
ejde-988	33	70	n)∇2φ−	n)∇2φ−	NOUN
ejde-988	33	71	(	(	PUNCT
ejde-988	33	72	1	1	NUM
ejde-988	33	73	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	33	74	(	(	PUNCT
ejde-988	33	75	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	33	76	−	−	PROPN
ejde-988	33	77	1)n	1)n	NUM
ejde-988	33	78	)	)	PUNCT
ejde-988	33	79	⊗	⊗	PROPN
ejde-988	33	80	n.	n.	NOUN
ejde-988	33	81	(	(	PUNCT
ejde-988	33	82	1.4	1.4	NUM
ejde-988	33	83	)	)	PUNCT
ejde-988	33	84	the	the	DET
ejde-988	33	85	author	author	NOUN
ejde-988	33	86	used	use	VERB
ejde-988	33	87	a	a	DET
ejde-988	33	88	no	no	DET
ejde-988	33	89	-	-	PUNCT
ejde-988	33	90	slip	slip	NOUN
ejde-988	33	91	boundary	boundary	ADJ
ejde-988	33	92	condition	condition	NOUN
ejde-988	33	93	for	for	ADP
ejde-988	33	94	u	u	NOUN
ejde-988	33	95	and	and	CCONJ
ejde-988	33	96	time	time	NOUN
ejde-988	33	97	-	-	PUNCT
ejde-988	33	98	independent	independent	ADJ
ejde-988	33	99	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-988	33	100	-	-	PUNCT
ejde-988	33	101	neumann	neumann	PROPN
ejde-988	33	102	boundary	boundary	PROPN
ejde-988	33	103	conditions	condition	NOUN
ejde-988	33	104	forφ	forφ	NOUN
ejde-988	33	105	,	,	PUNCT
ejde-988	33	106	derived	derive	VERB
ejde-988	33	107	the	the	DET
ejde-988	33	108	energy	energy	NOUN
ejde-988	33	109	dissipative	dissipative	NOUN
ejde-988	33	110	relation	relation	NOUN
ejde-988	33	111	of	of	ADP
ejde-988	33	112	the	the	DET
ejde-988	33	113	system	system	NOUN
ejde-988	33	114	,	,	PUNCT
ejde-988	33	115	and	and	CCONJ
ejde-988	33	116	proved	prove	VERB
ejde-988	33	117	the	the	DET
ejde-988	33	118	existence	existence	NOUN
ejde-988	33	119	of	of	ADP
ejde-988	33	120	global	global	ADJ
ejde-988	33	121	weak	weak	ADJ
ejde-988	33	122	solutions	solution	NOUN
ejde-988	33	123	in	in	ADP
ejde-988	33	124	both	both	DET
ejde-988	33	125	two	two	NUM
ejde-988	33	126	and	and	CCONJ
ejde-988	33	127	three	three	NUM
ejde-988	33	128	dimensions	dimension	NOUN
ejde-988	33	129	by	by	ADP
ejde-988	33	130	using	use	VERB
ejde-988	33	131	a	a	DET
ejde-988	33	132	semi	semi	ADJ
ejde-988	33	133	-	-	ADJ
ejde-988	33	134	galerkin	galerkin	ADJ
ejde-988	33	135	procedure	procedure	NOUN
ejde-988	33	136	.	.	PUNCT
ejde-988	34	1	if	if	SCONJ
ejde-988	34	2	the	the	DET
ejde-988	34	3	density	density	NOUN
ejde-988	34	4	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	34	5	is	be	AUX
ejde-988	34	6	assumed	assume	VERB
ejde-988	34	7	to	to	PART
ejde-988	34	8	be	be	AUX
ejde-988	34	9	a	a	DET
ejde-988	34	10	positive	positive	ADJ
ejde-988	34	11	constant	constant	ADJ
ejde-988	34	12	,	,	PUNCT
ejde-988	34	13	then	then	ADV
ejde-988	34	14	one	one	NUM
ejde-988	34	15	obtains	obtain	VERB
ejde-988	34	16	the	the	DET
ejde-988	34	17	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	34	18	homogeneous	homogeneous	ADJ
ejde-988	34	19	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	34	20	-	-	PUNCT
ejde-988	34	21	a	a	DET
ejde-988	34	22	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	34	23	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	34	24	equations	equation	NOUN
ejde-988	34	25	ut	ut	PROPN
ejde-988	35	1	+	+	CCONJ
ejde-988	35	2	u	u	X
ejde-988	35	3	·	·	PUNCT
ejde-988	35	4	∇u+∇p	∇u+∇p	ADJ
ejde-988	35	5	=	=	SYM
ejde-988	35	6	∇	∇	X
ejde-988	35	7	·	·	PUNCT
ejde-988	36	1	[	[	X
ejde-988	36	2	µ1(n⃗	µ1(n⃗	ADP
ejde-988	36	3	tdn⃗)n⃗⊗	tdn⃗)n⃗⊗	NOUN
ejde-988	36	4	n⃗+	n⃗+	NOUN
ejde-988	36	5	µ4d	µ4d	NOUN
ejde-988	36	6	+	+	CCONJ
ejde-988	36	7	µ5(dn⃗⊗	µ5(dn⃗⊗	PROPN
ejde-988	36	8	n⃗+	n⃗+	PROPN
ejde-988	36	9	n⊗dn⃗	n⊗dn⃗	PROPN
ejde-988	36	10	)	)	PUNCT
ejde-988	36	11	]	]	PUNCT
ejde-988	37	1	+	+	X
ejde-988	37	2	∇	∇	X
ejde-988	37	3	·	·	PUNCT
ejde-988	37	4	[	[	PUNCT
ejde-988	37	5	k∇(∇	k∇(∇	X
ejde-988	37	6	·	·	PUNCT
ejde-988	37	7	n⃗)⊗	n⃗)⊗	CCONJ
ejde-988	37	8	n⃗−k(∇	n⃗−k(∇	NOUN
ejde-988	37	9	·	·	PUNCT
ejde-988	37	10	n⃗)∇2φ−	n⃗)∇2φ−	NOUN
ejde-988	37	11	(	(	PUNCT
ejde-988	37	12	1	1	NUM
ejde-988	37	13	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	37	14	(	(	PUNCT
ejde-988	37	15	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	37	16	−	−	PROPN
ejde-988	37	17	1)n⃗	1)n⃗	NUM
ejde-988	37	18	)	)	PUNCT
ejde-988	37	19	⊗	⊗	PROPN
ejde-988	37	20	n⃗	n⃗	PROPN
ejde-988	37	21	]	]	PUNCT
ejde-988	37	22	,	,	PUNCT
ejde-988	37	23	φt	φt	NOUN
ejde-988	37	24	+	+	CCONJ
ejde-988	37	25	u	u	X
ejde-988	37	26	·	·	PUNCT
ejde-988	37	27	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	37	28	=	=	SYM
ejde-988	37	29	λ	λ	X
ejde-988	37	30	[	[	PUNCT
ejde-988	37	31	∇	∇	X
ejde-988	37	32	·	·	PUNCT
ejde-988	37	33	(	(	PUNCT
ejde-988	37	34	1	1	NUM
ejde-988	37	35	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	37	36	(	(	PUNCT
ejde-988	37	37	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	37	38	−	−	PROPN
ejde-988	37	39	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	37	40	)	)	PUNCT
ejde-988	37	41	−k∆2φ	−k∆2φ	NOUN
ejde-988	37	42	]	]	PUNCT
ejde-988	37	43	.	.	PUNCT
ejde-988	38	1	(	(	PUNCT
ejde-988	38	2	1.5	1.5	NUM
ejde-988	38	3	)	)	PUNCT
ejde-988	38	4	climent	climent	NOUN
ejde-988	38	5	-	-	PUNCT
ejde-988	38	6	ezquerra	ezquerra	ADJ
ejde-988	38	7	and	and	CCONJ
ejde-988	38	8	guillén	guillén	PROPN
ejde-988	38	9	-	-	PUNCT
ejde-988	38	10	gonzález	gonzález	NOUN
ejde-988	39	1	[	[	X
ejde-988	39	2	2	2	NUM
ejde-988	39	3	]	]	PUNCT
ejde-988	39	4	showed	show	VERB
ejde-988	39	5	the	the	DET
ejde-988	39	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	39	7	of	of	ADP
ejde-988	39	8	weak	weak	ADJ
ejde-988	39	9	/	/	SYM
ejde-988	39	10	strong	strong	ADJ
ejde-988	39	11	solutions	solution	NOUN
ejde-988	39	12	,	,	PUNCT
ejde-988	39	13	the	the	DET
ejde-988	39	14	existence	existence	NOUN
ejde-988	39	15	of	of	ADP
ejde-988	39	16	global	global	ADJ
ejde-988	39	17	weak	weak	ADJ
ejde-988	39	18	solutions	solution	NOUN
ejde-988	39	19	,	,	PUNCT
ejde-988	39	20	the	the	DET
ejde-988	39	21	existence	existence	NOUN
ejde-988	39	22	of	of	ADP
ejde-988	39	23	weak	weak	ADJ
ejde-988	39	24	time	time	NOUN
ejde-988	39	25	-	-	PUNCT
ejde-988	39	26	periodic	periodic	ADJ
ejde-988	39	27	solutions	solution	NOUN
ejde-988	39	28	and	and	CCONJ
ejde-988	39	29	the	the	DET
ejde-988	39	30	existence	existence	NOUN
ejde-988	39	31	of	of	ADP
ejde-988	39	32	regular	regular	ADJ
ejde-988	39	33	solutions	solution	NOUN
ejde-988	39	34	for	for	ADP
ejde-988	39	35	(	(	PUNCT
ejde-988	39	36	1.5	1.5	NUM
ejde-988	39	37	)	)	PUNCT
ejde-988	39	38	together	together	ADV
ejde-988	39	39	with	with	ADP
ejde-988	39	40	dirichlet	dirichlet	PROPN
ejde-988	39	41	boundary	boundary	ADJ
ejde-988	39	42	conditions	condition	NOUN
ejde-988	39	43	and	and	CCONJ
ejde-988	39	44	the	the	DET
ejde-988	39	45	initial	initial	ADJ
ejde-988	39	46	condition	condition	NOUN
ejde-988	39	47	.	.	PUNCT
ejde-988	40	1	segatti	segatti	PROPN
ejde-988	40	2	and	and	CCONJ
ejde-988	40	3	wu	wu	PROPN
ejde-988	41	1	[	[	X
ejde-988	41	2	11	11	NUM
ejde-988	41	3	]	]	PUNCT
ejde-988	41	4	considered	consider	VERB
ejde-988	41	5	the	the	DET
ejde-988	41	6	long	long	ADJ
ejde-988	41	7	-	-	PUNCT
ejde-988	41	8	time	time	NOUN
ejde-988	41	9	behavior	behavior	NOUN
ejde-988	41	10	of	of	ADP
ejde-988	41	11	the	the	DET
ejde-988	41	12	solutions	solution	NOUN
ejde-988	41	13	for	for	ADP
ejde-988	41	14	the	the	DET
ejde-988	41	15	system	system	NOUN
ejde-988	41	16	(	(	PUNCT
ejde-988	41	17	1.5	1.5	NUM
ejde-988	41	18	)	)	PUNCT
ejde-988	41	19	endowed	endow	VERB
ejde-988	41	20	with	with	ADP
ejde-988	41	21	periodic	periodic	ADJ
ejde-988	41	22	boundary	boundary	ADJ
ejde-988	41	23	conditions	condition	NOUN
ejde-988	41	24	within	within	ADP
ejde-988	41	25	the	the	DET
ejde-988	41	26	theory	theory	NOUN
ejde-988	41	27	of	of	ADP
ejde-988	41	28	infinite	infinite	ADJ
ejde-988	41	29	-	-	PUNCT
ejde-988	41	30	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-988	41	31	dissipative	dissipative	ADJ
ejde-988	41	32	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-988	41	33	systems	system	NOUN
ejde-988	41	34	.	.	PUNCT
ejde-988	42	1	zhao	zhao	NOUN
ejde-988	42	2	and	and	CCONJ
ejde-988	42	3	zhou	zhou	PROPN
ejde-988	43	1	[	[	X
ejde-988	43	2	15	15	NUM
ejde-988	43	3	]	]	PUNCT
ejde-988	43	4	analyzed	analyze	VERB
ejde-988	43	5	the	the	DET
ejde-988	43	6	local	local	ADJ
ejde-988	43	7	well	well	NOUN
ejde-988	43	8	-	-	PUNCT
ejde-988	43	9	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	43	10	,	,	PUNCT
ejde-988	43	11	small	small	ADJ
ejde-988	43	12	initial	initial	ADJ
ejde-988	43	13	data	datum	NOUN
ejde-988	43	14	global	global	ADJ
ejde-988	43	15	wellposedness	wellposedness	NOUN
ejde-988	43	16	and	and	CCONJ
ejde-988	43	17	large	large	ADJ
ejde-988	43	18	time	time	NOUN
ejde-988	43	19	behavior	behavior	NOUN
ejde-988	43	20	of	of	ADP
ejde-988	43	21	strong	strong	ADJ
ejde-988	43	22	solutions	solution	NOUN
ejde-988	43	23	for	for	ADP
ejde-988	43	24	the	the	DET
ejde-988	43	25	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-988	43	26	problem	problem	NOUN
ejde-988	43	27	of	of	ADP
ejde-988	43	28	equations	equation	NOUN
ejde-988	43	29	(	(	PUNCT
ejde-988	43	30	1.5	1.5	NUM
ejde-988	43	31	)	)	PUNCT
ejde-988	43	32	.	.	PUNCT
ejde-988	44	1	on	on	ADP
ejde-988	44	2	the	the	DET
ejde-988	44	3	other	other	ADJ
ejde-988	44	4	hand	hand	NOUN
ejde-988	44	5	,	,	PUNCT
ejde-988	44	6	climent	climent	NOUN
ejde-988	44	7	-	-	PUNCT
ejde-988	44	8	ezquerra	ezquerra	ADJ
ejde-988	44	9	and	and	CCONJ
ejde-988	44	10	guillén	guillén	PROPN
ejde-988	44	11	-	-	PUNCT
ejde-988	44	12	gonzález	gonzález	NOUN
ejde-988	45	1	[	[	X
ejde-988	45	2	3	3	NUM
ejde-988	45	3	]	]	PUNCT
ejde-988	45	4	assumed	assume	VERB
ejde-988	45	5	µ1	µ1	PROPN
ejde-988	45	6	=	=	SYM
ejde-988	45	7	µ5	µ5	PROPN
ejde-988	45	8	=	=	SYM
ejde-988	45	9	0	0	NUM
ejde-988	46	1	in	in	ADP
ejde-988	46	2	(	(	PUNCT
ejde-988	46	3	1.5	1.5	NUM
ejde-988	46	4	)	)	PUNCT
ejde-988	46	5	,	,	PUNCT
ejde-988	46	6	obtained	obtain	VERB
ejde-988	46	7	the	the	DET
ejde-988	46	8	simple	simple	ADJ
ejde-988	46	9	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	46	10	-	-	PUNCT
ejde-988	46	11	a	a	DET
ejde-988	46	12	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	46	13	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	46	14	system	system	NOUN
ejde-988	46	15	,	,	PUNCT
ejde-988	46	16	proved	prove	VERB
ejde-988	46	17	the	the	DET
ejde-988	46	18	existence	existence	NOUN
ejde-988	46	19	of	of	ADP
ejde-988	46	20	global	global	ADJ
ejde-988	46	21	in	in	ADP
ejde-988	46	22	-	-	PUNCT
ejde-988	46	23	time	time	NOUN
ejde-988	46	24	weak	weak	ADJ
ejde-988	46	25	solutions	solution	NOUN
ejde-988	46	26	and	and	CCONJ
ejde-988	46	27	its	its	PRON
ejde-988	46	28	convergence	convergence	NOUN
ejde-988	46	29	to	to	ADP
ejde-988	46	30	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-988	46	31	of	of	ADP
ejde-988	46	32	the	the	DET
ejde-988	46	33	whole	whole	ADJ
ejde-988	46	34	trajectory	trajectory	NOUN
ejde-988	46	35	as	as	SCONJ
ejde-988	46	36	time	time	NOUN
ejde-988	46	37	goes	go	VERB
ejde-988	46	38	to	to	ADP
ejde-988	46	39	infinity	infinity	NOUN
ejde-988	46	40	.	.	PUNCT
ejde-988	47	1	for	for	ADP
ejde-988	47	2	the	the	DET
ejde-988	47	3	well	well	NOUN
ejde-988	47	4	-	-	PUNCT
ejde-988	47	5	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	47	6	and	and	CCONJ
ejde-988	47	7	large	large	ADJ
ejde-988	47	8	time	time	NOUN
ejde-988	47	9	behavior	behavior	NOUN
ejde-988	47	10	of	of	ADP
ejde-988	47	11	the	the	DET
ejde-988	47	12	cauchy	cauchy	ADJ
ejde-988	47	13	problem	problem	NOUN
ejde-988	47	14	of	of	ADP
ejde-988	47	15	simple	simple	ADJ
ejde-988	47	16	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	47	17	-	-	PUNCT
ejde-988	47	18	a	a	DET
ejde-988	47	19	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	47	20	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	47	21	system	system	NOUN
ejde-988	47	22	,	,	PUNCT
ejde-988	47	23	we	we	PRON
ejde-988	47	24	refer	refer	VERB
ejde-988	47	25	the	the	DET
ejde-988	47	26	reader	reader	NOUN
ejde-988	47	27	to	to	ADP
ejde-988	47	28	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	47	29	and	and	CCONJ
ejde-988	47	30	zhou	zhou	PROPN
ejde-988	48	1	[	[	X
ejde-988	48	2	14	14	NUM
ejde-988	48	3	]	]	PUNCT
ejde-988	48	4	.	.	PUNCT
ejde-988	49	1	in	in	ADP
ejde-988	49	2	this	this	DET
ejde-988	49	3	article	article	NOUN
ejde-988	49	4	,	,	PUNCT
ejde-988	49	5	we	we	PRON
ejde-988	49	6	consider	consider	VERB
ejde-988	49	7	a	a	DET
ejde-988	49	8	simple	simple	ADJ
ejde-988	49	9	version	version	NOUN
ejde-988	49	10	of	of	ADP
ejde-988	49	11	(	(	PUNCT
ejde-988	49	12	1.3	1.3	NUM
ejde-988	49	13	)	)	PUNCT
ejde-988	49	14	.	.	PUNCT
ejde-988	50	1	first	first	ADV
ejde-988	50	2	,	,	PUNCT
ejde-988	50	3	after	after	ADP
ejde-988	50	4	calculations	calculation	NOUN
ejde-988	50	5	,	,	PUNCT
ejde-988	50	6	σ̃e	σ̃e	VERB
ejde-988	50	7	in	in	ADP
ejde-988	50	8	(	(	PUNCT
ejde-988	50	9	1.4	1.4	NUM
ejde-988	50	10	)	)	PUNCT
ejde-988	50	11	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-988	51	1	[	[	X
ejde-988	51	2	2	2	NUM
ejde-988	51	3	]	]	PUNCT
ejde-988	51	4	∇	∇	X
ejde-988	51	5	·	·	PUNCT
ejde-988	51	6	σ̃e	σ̃e	PROPN
ejde-988	51	7	=	=	SYM
ejde-988	51	8	−	−	PROPN
ejde-988	51	9	1	1	NUM
ejde-988	51	10	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	51	11	∇	∇	X
ejde-988	51	12	·	·	PUNCT
ejde-988	52	1	[	[	X
ejde-988	52	2	(	(	PUNCT
ejde-988	52	3	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	52	4	−	−	NOUN
ejde-988	52	5	1)∇φ]∇φ−	1)∇φ]∇φ−	NUM
ejde-988	52	6	1	1	NUM
ejde-988	52	7	4ε2	4ε2	NUM
ejde-988	52	8	∇(|∇φ|2	∇(|∇φ|2	NOUN
ejde-988	53	1	−	−	PROPN
ejde-988	54	1	1)2	1)2	NUM
ejde-988	55	1	+	+	PROPN
ejde-988	55	2	k∆2φ∇φ−k∇	k∆2φ∇φ−k∇	PROPN
ejde-988	55	3	(	(	PUNCT
ejde-988	55	4	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	55	5	2	2	NUM
ejde-988	55	6	)	)	PUNCT
ejde-988	55	7	.	.	PUNCT
ejde-988	56	1	moreover	moreover	ADV
ejde-988	56	2	,	,	PUNCT
ejde-988	56	3	one	one	PRON
ejde-988	56	4	assumes	assume	VERB
ejde-988	56	5	that	that	SCONJ
ejde-988	56	6	µ1	µ1	PROPN
ejde-988	56	7	=	=	SYM
ejde-988	56	8	µ5	µ5	PROPN
ejde-988	56	9	=	=	SYM
ejde-988	56	10	0	0	NUM
ejde-988	56	11	,	,	PUNCT
ejde-988	56	12	then	then	ADV
ejde-988	56	13	(	(	PUNCT
ejde-988	56	14	1.3)2	1.3)2	PROPN
ejde-988	56	15	can	can	AUX
ejde-988	56	16	be	be	AUX
ejde-988	56	17	rewritten	rewrite	VERB
ejde-988	56	18	as	as	ADP
ejde-988	56	19	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	56	20	+	+	CCONJ
ejde-988	56	21	u	u	PROPN
ejde-988	56	22	·	·	PUNCT
ejde-988	56	23	∇u)−	∇u)−	NOUN
ejde-988	56	24	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	56	25	2	2	NUM
ejde-988	56	26	∆u+∇π	∆u+∇π	PROPN
ejde-988	56	27	=	=	PUNCT
ejde-988	56	28	[	[	PUNCT
ejde-988	56	29	k∆2φ−	k∆2φ−	NOUN
ejde-988	56	30	1	1	NUM
ejde-988	56	31	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	56	32	∇	∇	X
ejde-988	56	33	·	·	PUNCT
ejde-988	56	34	(	(	PUNCT
ejde-988	56	35	(	(	PUNCT
ejde-988	56	36	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	56	37	−	−	PROPN
ejde-988	56	38	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	56	39	)	)	PUNCT
ejde-988	56	40	]	]	PUNCT
ejde-988	57	1	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	57	2	,	,	PUNCT
ejde-988	57	3	(	(	PUNCT
ejde-988	57	4	1.6	1.6	NUM
ejde-988	57	5	)	)	PUNCT
ejde-988	57	6	where	where	SCONJ
ejde-988	57	7	π	π	NOUN
ejde-988	57	8	=	=	PUNCT
ejde-988	57	9	p	p	X
ejde-988	57	10	+	+	X
ejde-988	57	11	∇	∇	X
ejde-988	57	12	(	(	PUNCT
ejde-988	57	13	k|∇φ|2	k|∇φ|2	NOUN
ejde-988	57	14	2	2	NUM
ejde-988	57	15	+	+	CCONJ
ejde-988	57	16	1	1	NUM
ejde-988	57	17	4ε2	4ε2	NUM
ejde-988	57	18	(	(	PUNCT
ejde-988	57	19	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	57	20	−	−	PROPN
ejde-988	57	21	1)2	1)2	NUM
ejde-988	57	22	)	)	PUNCT
ejde-988	57	23	.	.	PUNCT
ejde-988	58	1	combining	combine	VERB
ejde-988	58	2	(	(	PUNCT
ejde-988	58	3	1.3	1.3	NUM
ejde-988	58	4	)	)	PUNCT
ejde-988	58	5	,	,	PUNCT
ejde-988	58	6	(	(	PUNCT
ejde-988	58	7	1.4	1.4	NUM
ejde-988	58	8	)	)	PUNCT
ejde-988	58	9	,	,	PUNCT
ejde-988	58	10	and	and	CCONJ
ejde-988	58	11	(	(	PUNCT
ejde-988	58	12	1.6	1.6	NUM
ejde-988	58	13	)	)	PUNCT
ejde-988	58	14	,	,	PUNCT
ejde-988	58	15	we	we	PRON
ejde-988	58	16	obtain	obtain	VERB
ejde-988	58	17	the	the	DET
ejde-988	58	18	system	system	NOUN
ejde-988	58	19	ρt	ρt	ADP
ejde-988	58	20	+	+	PROPN
ejde-988	58	21	∇	∇	X
ejde-988	58	22	·	·	PUNCT
ejde-988	58	23	(	(	PUNCT
ejde-988	58	24	ρu	ρu	NOUN
ejde-988	58	25	)	)	PUNCT
ejde-988	58	26	=	=	SYM
ejde-988	58	27	0	0	NUM
ejde-988	58	28	,	,	PUNCT
ejde-988	58	29	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	58	30	+	+	CCONJ
ejde-988	58	31	u	u	PROPN
ejde-988	58	32	·	·	PUNCT
ejde-988	58	33	∇u)−	∇u)−	NOUN
ejde-988	58	34	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	58	35	2	2	NUM
ejde-988	58	36	∆u+∇π	∆u+∇π	PROPN
ejde-988	58	37	=	=	PUNCT
ejde-988	59	1	[	[	PUNCT
ejde-988	59	2	k∆2φ−	k∆2φ−	NOUN
ejde-988	59	3	1	1	NUM
ejde-988	59	4	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	59	5	∇	∇	X
ejde-988	59	6	·	·	PUNCT
ejde-988	59	7	(	(	PUNCT
ejde-988	59	8	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	59	9	−	−	PROPN
ejde-988	59	10	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	59	11	]	]	PUNCT
ejde-988	59	12	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	59	13	,	,	PUNCT
ejde-988	59	14	φt	φt	NOUN
ejde-988	59	15	+	+	CCONJ
ejde-988	59	16	u	u	X
ejde-988	59	17	·	·	PUNCT
ejde-988	59	18	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	59	19	=	=	SYM
ejde-988	59	20	λ	λ	X
ejde-988	59	21	[	[	PUNCT
ejde-988	59	22	1	1	NUM
ejde-988	59	23	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	59	24	∇	∇	X
ejde-988	59	25	·	·	PUNCT
ejde-988	59	26	(	(	PUNCT
ejde-988	59	27	(	(	PUNCT
ejde-988	59	28	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	59	29	−	−	PROPN
ejde-988	59	30	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	59	31	)	)	PUNCT
ejde-988	59	32	−k∆2φ	−k∆2φ	NOUN
ejde-988	59	33	]	]	PUNCT
ejde-988	59	34	,	,	PUNCT
ejde-988	59	35	∇	∇	X
ejde-988	59	36	·	·	PUNCT
ejde-988	59	37	u	u	NOUN
ejde-988	59	38	=	=	NOUN
ejde-988	59	39	0	0	NUM
ejde-988	59	40	,	,	PUNCT
ejde-988	59	41	(	(	PUNCT
ejde-988	59	42	1.7	1.7	NUM
ejde-988	59	43	)	)	PUNCT
ejde-988	59	44	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	59	45	density	density	NOUN
ejde-988	59	46	-	-	PUNCT
ejde-988	59	47	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	59	48	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	59	49	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	59	50	-	-	PUNCT
ejde-988	59	51	a	a	DET
ejde-988	59	52	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	59	53	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	59	54	3	3	NUM
ejde-988	59	55	in	in	ADP
ejde-988	59	56	this	this	DET
ejde-988	59	57	article	article	NOUN
ejde-988	59	58	,	,	PUNCT
ejde-988	59	59	we	we	PRON
ejde-988	59	60	consider	consider	VERB
ejde-988	59	61	the	the	DET
ejde-988	59	62	existence	existence	NOUN
ejde-988	59	63	and	and	CCONJ
ejde-988	59	64	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	59	65	of	of	ADP
ejde-988	59	66	local	local	ADJ
ejde-988	59	67	strong	strong	ADJ
ejde-988	59	68	solutions	solution	NOUN
ejde-988	59	69	for	for	ADP
ejde-988	59	70	system	system	NOUN
ejde-988	59	71	(	(	PUNCT
ejde-988	59	72	1.7	1.7	NUM
ejde-988	59	73	)	)	PUNCT
ejde-988	59	74	in	in	ADP
ejde-988	59	75	t3	t3	PROPN
ejde-988	59	76	=	=	PUNCT
ejde-988	60	1	[	[	X
ejde-988	60	2	0	0	NUM
ejde-988	60	3	,	,	PUNCT
ejde-988	60	4	1]3	1]3	NUM
ejde-988	60	5	,	,	PUNCT
ejde-988	60	6	thus	thus	ADV
ejde-988	60	7	complement	complement	VERB
ejde-988	60	8	it	it	PRON
ejde-988	60	9	with	with	ADP
ejde-988	60	10	the	the	DET
ejde-988	60	11	initial	initial	ADJ
ejde-988	60	12	condition	condition	NOUN
ejde-988	60	13	(	(	PUNCT
ejde-988	60	14	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	60	15	,	,	PUNCT
ejde-988	60	16	u	u	NOUN
ejde-988	60	17	,	,	PUNCT
ejde-988	60	18	φ)|t=0	φ)|t=0	NOUN
ejde-988	60	19	=	=	SYM
ejde-988	60	20	(	(	PUNCT
ejde-988	60	21	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	60	22	,	,	PUNCT
ejde-988	60	23	u0	u0	ADJ
ejde-988	60	24	,	,	PUNCT
ejde-988	60	25	φ0	φ0	PROPN
ejde-988	60	26	)	)	PUNCT
ejde-988	60	27	,	,	PUNCT
ejde-988	60	28	in	in	ADP
ejde-988	60	29	t3	t3	PROPN
ejde-988	60	30	.	.	PUNCT
ejde-988	61	1	(	(	PUNCT
ejde-988	61	2	1.8	1.8	NUM
ejde-988	61	3	)	)	PUNCT
ejde-988	61	4	for	for	ADP
ejde-988	61	5	simplicity	simplicity	NOUN
ejde-988	61	6	,	,	PUNCT
ejde-988	61	7	we	we	PRON
ejde-988	61	8	denote	denote	VERB
ejde-988	61	9	ω	ω	NOUN
ejde-988	61	10	:	:	PUNCT
ejde-988	61	11	=	=	SYM
ejde-988	61	12	t3	t3	PROPN
ejde-988	61	13	in	in	ADP
ejde-988	61	14	the	the	DET
ejde-988	61	15	following	following	NOUN
ejde-988	61	16	.	.	PUNCT
ejde-988	62	1	next	next	ADV
ejde-988	62	2	,	,	PUNCT
ejde-988	62	3	we	we	PRON
ejde-988	62	4	give	give	VERB
ejde-988	62	5	the	the	DET
ejde-988	62	6	definition	definition	NOUN
ejde-988	62	7	of	of	ADP
ejde-988	62	8	the	the	DET
ejde-988	62	9	strong	strong	ADJ
ejde-988	62	10	solutions	solution	NOUN
ejde-988	62	11	for	for	ADP
ejde-988	62	12	system	system	NOUN
ejde-988	62	13	(	(	PUNCT
ejde-988	62	14	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	62	15	)	)	PUNCT
ejde-988	62	16	in	in	ADP
ejde-988	62	17	ω	ω	NOUN
ejde-988	62	18	:	:	PUNCT
ejde-988	62	19	definition	definition	NOUN
ejde-988	62	20	1.1	1.1	NUM
ejde-988	62	21	.	.	PUNCT
ejde-988	63	1	let	let	VERB
ejde-988	63	2	q	q	PROPN
ejde-988	63	3	∈	∈	PROPN
ejde-988	63	4	[	[	X
ejde-988	63	5	2,∞	2,∞	NUM
ejde-988	63	6	)	)	PUNCT
ejde-988	63	7	and	and	CCONJ
ejde-988	63	8	r	r	NOUN
ejde-988	63	9	∈	∈	PROPN
ejde-988	63	10	(	(	PUNCT
ejde-988	63	11	3	3	NUM
ejde-988	63	12	,	,	PUNCT
ejde-988	63	13	6	6	NUM
ejde-988	63	14	]	]	PUNCT
ejde-988	63	15	.	.	PUNCT
ejde-988	64	1	the	the	DET
ejde-988	64	2	time	time	NOUN
ejde-988	64	3	t	t	PROPN
ejde-988	64	4	∈	∈	PROPN
ejde-988	64	5	(	(	PUNCT
ejde-988	64	6	0,∞	0,∞	NOUN
ejde-988	64	7	)	)	PUNCT
ejde-988	64	8	is	be	AUX
ejde-988	64	9	a	a	DET
ejde-988	64	10	given	give	VERB
ejde-988	64	11	positive	positive	ADJ
ejde-988	64	12	time	time	NOUN
ejde-988	64	13	.	.	PUNCT
ejde-988	65	1	if	if	SCONJ
ejde-988	65	2	the	the	DET
ejde-988	65	3	functions	function	NOUN
ejde-988	65	4	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	65	5	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	6	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-988	65	7	,	,	PUNCT
ejde-988	65	8	t	t	PROPN
ejde-988	65	9	;	;	PUNCT
ejde-988	65	10	w	w	PROPN
ejde-988	65	11	1,q(ω	1,q(ω	NUM
ejde-988	65	12	)	)	PUNCT
ejde-988	65	13	∩w	∩w	NOUN
ejde-988	65	14	2,r(ω	2,r(ω	NUM
ejde-988	65	15	)	)	PUNCT
ejde-988	65	16	∩h3(ω	∩h3(ω	NOUN
ejde-988	65	17	)	)	PUNCT
ejde-988	65	18	;	;	PUNCT
ejde-988	65	19	u	u	PROPN
ejde-988	65	20	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	21	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-988	65	22	,	,	PUNCT
ejde-988	65	23	t	t	PROPN
ejde-988	65	24	;	;	PUNCT
ejde-988	65	25	h3(ω	h3(ω	X
ejde-988	65	26	)	)	PUNCT
ejde-988	65	27	)	)	PUNCT
ejde-988	65	28	∩	∩	ADJ
ejde-988	65	29	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	65	30	,	,	PUNCT
ejde-988	65	31	t	t	NOUN
ejde-988	65	32	;	;	PUNCT
ejde-988	65	33	h4(ω	h4(ω	X
ejde-988	65	34	)	)	PUNCT
ejde-988	65	35	)	)	PUNCT
ejde-988	65	36	;	;	PUNCT
ejde-988	65	37	ut	ut	PROPN
ejde-988	65	38	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	39	l∞(0;t	l∞(0;t	PROPN
ejde-988	65	40	;	;	PUNCT
ejde-988	65	41	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-988	65	42	)	)	PUNCT
ejde-988	65	43	)	)	PUNCT
ejde-988	65	44	;	;	PUNCT
ejde-988	65	45	∇φt	∇φt	PROPN
ejde-988	65	46	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	47	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-988	65	48	,	,	PUNCT
ejde-988	65	49	t	t	NOUN
ejde-988	65	50	;	;	PUNCT
ejde-988	65	51	h2(ω	h2(ω	NOUN
ejde-988	65	52	)	)	PUNCT
ejde-988	65	53	;	;	PUNCT
ejde-988	65	54	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	65	55	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	56	l∞(0	l∞(0	PRON
ejde-988	65	57	,	,	PUNCT
ejde-988	65	58	t	t	PROPN
ejde-988	65	59	;	;	PUNCT
ejde-988	65	60	h6(ω	h6(ω	PROPN
ejde-988	65	61	)	)	PUNCT
ejde-988	65	62	)	)	PUNCT
ejde-988	65	63	,	,	PUNCT
ejde-988	65	64	∇φtt	∇φtt	PROPN
ejde-988	65	65	∈	∈	PROPN
ejde-988	65	66	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	65	67	,	,	PUNCT
ejde-988	65	68	t	t	NOUN
ejde-988	65	69	;	;	PUNCT
ejde-988	65	70	l2(ω	l2(ω	X
ejde-988	65	71	)	)	PUNCT
ejde-988	65	72	)	)	PUNCT
ejde-988	65	73	(	(	PUNCT
ejde-988	65	74	1.9	1.9	NUM
ejde-988	65	75	)	)	PUNCT
ejde-988	65	76	fulfill	fulfill	VERB
ejde-988	65	77	the	the	DET
ejde-988	65	78	initial	initial	ADJ
ejde-988	65	79	condition	condition	NOUN
ejde-988	65	80	(	(	PUNCT
ejde-988	65	81	1.8	1.8	NUM
ejde-988	65	82	)	)	PUNCT
ejde-988	65	83	and	and	CCONJ
ejde-988	65	84	satisfy	satisfy	NOUN
ejde-988	65	85	system	system	NOUN
ejde-988	65	86	(	(	PUNCT
ejde-988	65	87	1.7	1.7	NUM
ejde-988	65	88	)	)	PUNCT
ejde-988	65	89	pointwise	pointwise	PROPN
ejde-988	65	90	,	,	PUNCT
ejde-988	65	91	a.e	a.e	PROPN
ejde-988	65	92	.	.	PROPN
ejde-988	66	1	in	in	ADP
ejde-988	66	2	ω	ω	NUM
ejde-988	66	3	×	×	NOUN
ejde-988	66	4	(	(	PUNCT
ejde-988	66	5	0	0	NUM
ejde-988	66	6	,	,	PUNCT
ejde-988	66	7	t	t	PROPN
ejde-988	66	8	)	)	PUNCT
ejde-988	66	9	,	,	PUNCT
ejde-988	66	10	then	then	ADV
ejde-988	66	11	it	it	PRON
ejde-988	66	12	is	be	AUX
ejde-988	66	13	called	call	VERB
ejde-988	66	14	a	a	DET
ejde-988	66	15	strong	strong	ADJ
ejde-988	66	16	solution	solution	NOUN
ejde-988	66	17	to	to	ADP
ejde-988	66	18	system	system	NOUN
ejde-988	66	19	(	(	PUNCT
ejde-988	66	20	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	66	21	)	)	PUNCT
ejde-988	66	22	.	.	PUNCT
ejde-988	67	1	the	the	DET
ejde-988	67	2	main	main	ADJ
ejde-988	67	3	results	result	NOUN
ejde-988	67	4	on	on	ADP
ejde-988	67	5	the	the	DET
ejde-988	67	6	existence	existence	NOUN
ejde-988	67	7	and	and	CCONJ
ejde-988	67	8	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	67	9	of	of	ADP
ejde-988	67	10	local	local	ADJ
ejde-988	67	11	strong	strong	ADJ
ejde-988	67	12	solutions	solution	NOUN
ejde-988	67	13	are	be	AUX
ejde-988	67	14	the	the	DET
ejde-988	67	15	following	following	NOUN
ejde-988	67	16	.	.	PUNCT
ejde-988	68	1	theorem	theorem	VERB
ejde-988	68	2	1.2	1.2	NUM
ejde-988	68	3	(	(	PUNCT
ejde-988	68	4	existence	existence	NOUN
ejde-988	68	5	)	)	PUNCT
ejde-988	68	6	.	.	PUNCT
ejde-988	69	1	let	let	VERB
ejde-988	69	2	q	q	PROPN
ejde-988	69	3	∈	∈	PROPN
ejde-988	69	4	[	[	X
ejde-988	69	5	2,∞	2,∞	NUM
ejde-988	69	6	)	)	PUNCT
ejde-988	69	7	and	and	CCONJ
ejde-988	69	8	r	r	NOUN
ejde-988	69	9	∈	∈	PROPN
ejde-988	69	10	(	(	PUNCT
ejde-988	69	11	3	3	NUM
ejde-988	69	12	,	,	PUNCT
ejde-988	69	13	6	6	NUM
ejde-988	69	14	]	]	PUNCT
ejde-988	69	15	be	be	AUX
ejde-988	69	16	fixed	fix	VERB
ejde-988	69	17	constants	constant	NOUN
ejde-988	69	18	.	.	PUNCT
ejde-988	70	1	assume	assume	VERB
ejde-988	70	2	that	that	SCONJ
ejde-988	70	3	the	the	DET
ejde-988	70	4	initial	initial	ADJ
ejde-988	70	5	data	datum	NOUN
ejde-988	70	6	(	(	PUNCT
ejde-988	70	7	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	70	8	,	,	PUNCT
ejde-988	70	9	u0	u0	ADJ
ejde-988	70	10	,	,	PUNCT
ejde-988	70	11	φ0	φ0	ADJ
ejde-988	70	12	)	)	PUNCT
ejde-988	70	13	satisfies	satisfy	VERB
ejde-988	70	14	the	the	DET
ejde-988	70	15	regularity	regularity	NOUN
ejde-988	70	16	conditions	condition	NOUN
ejde-988	70	17	0	0	PUNCT
ejde-988	70	18	<	<	X
ejde-988	70	19	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	70	20	≤	≤	PUNCT
ejde-988	70	21	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	70	22	∈	∈	PROPN
ejde-988	70	23	w	w	PROPN
ejde-988	70	24	1,q(ω	1,q(ω	PROPN
ejde-988	70	25	)	)	PUNCT
ejde-988	70	26	∩w	∩w	NOUN
ejde-988	70	27	2,r(ω	2,r(ω	NUM
ejde-988	70	28	)	)	PUNCT
ejde-988	70	29	∩h3(ω	∩h3(ω	NOUN
ejde-988	70	30	)	)	PUNCT
ejde-988	70	31	,	,	PUNCT
ejde-988	70	32	∇	∇	X
ejde-988	70	33	·	·	PUNCT
ejde-988	70	34	u0	u0	ADJ
ejde-988	70	35	=	=	SYM
ejde-988	70	36	0	0	NUM
ejde-988	70	37	,	,	PUNCT
ejde-988	70	38	u0	u0	PROPN
ejde-988	70	39	∈	∈	PROPN
ejde-988	70	40	h3(ω	h3(ω	PROPN
ejde-988	70	41	)	)	PUNCT
ejde-988	70	42	,	,	PUNCT
ejde-988	70	43	φ0	φ0	PROPN
ejde-988	70	44	∈	∈	PROPN
ejde-988	70	45	ḣ7(ω	ḣ7(ω	PROPN
ejde-988	70	46	)	)	PUNCT
ejde-988	70	47	.	.	PUNCT
ejde-988	71	1	then	then	ADV
ejde-988	71	2	there	there	PRON
ejde-988	71	3	exists	exist	VERB
ejde-988	71	4	a	a	DET
ejde-988	71	5	positive	positive	ADJ
ejde-988	71	6	time	time	NOUN
ejde-988	71	7	t	t	PROPN
ejde-988	71	8	and	and	CCONJ
ejde-988	71	9	a	a	DET
ejde-988	71	10	strong	strong	ADJ
ejde-988	71	11	solution	solution	NOUN
ejde-988	71	12	(	(	PUNCT
ejde-988	71	13	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	71	14	,	,	PUNCT
ejde-988	71	15	u	u	NOUN
ejde-988	71	16	,	,	PUNCT
ejde-988	71	17	φ	φ	NOUN
ejde-988	71	18	)	)	PUNCT
ejde-988	71	19	for	for	ADP
ejde-988	71	20	system	system	NOUN
ejde-988	71	21	(	(	PUNCT
ejde-988	71	22	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	71	23	)	)	PUNCT
ejde-988	71	24	in	in	ADP
ejde-988	71	25	ω	ω	NUM
ejde-988	71	26	×	×	NOUN
ejde-988	71	27	(	(	PUNCT
ejde-988	71	28	0	0	NUM
ejde-988	71	29	,	,	PUNCT
ejde-988	71	30	t	t	NOUN
ejde-988	71	31	)	)	PUNCT
ejde-988	71	32	.	.	PUNCT
ejde-988	72	1	theorem	theorem	VERB
ejde-988	72	2	1.3	1.3	NUM
ejde-988	72	3	(	(	PUNCT
ejde-988	72	4	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	72	5	)	)	PUNCT
ejde-988	72	6	.	.	PUNCT
ejde-988	73	1	the	the	DET
ejde-988	73	2	strong	strong	ADJ
ejde-988	73	3	solution	solution	NOUN
ejde-988	73	4	established	establish	VERB
ejde-988	73	5	in	in	ADP
ejde-988	73	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	73	7	1.2	1.2	NUM
ejde-988	73	8	is	be	AUX
ejde-988	73	9	unique	unique	ADJ
ejde-988	73	10	.	.	PUNCT
ejde-988	74	1	this	this	DET
ejde-988	74	2	article	article	NOUN
ejde-988	74	3	is	be	AUX
ejde-988	74	4	organized	organize	VERB
ejde-988	74	5	as	as	SCONJ
ejde-988	74	6	follows	follow	VERB
ejde-988	74	7	.	.	PUNCT
ejde-988	75	1	in	in	ADP
ejde-988	75	2	section	section	NOUN
ejde-988	75	3	2	2	NUM
ejde-988	75	4	we	we	PRON
ejde-988	75	5	introduce	introduce	VERB
ejde-988	75	6	some	some	DET
ejde-988	75	7	preliminary	preliminary	ADJ
ejde-988	75	8	results	result	NOUN
ejde-988	75	9	;	;	PUNCT
ejde-988	75	10	in	in	ADP
ejde-988	75	11	section	section	NOUN
ejde-988	75	12	3	3	NUM
ejde-988	75	13	,	,	PUNCT
ejde-988	75	14	we	we	PRON
ejde-988	75	15	establish	establish	VERB
ejde-988	75	16	some	some	DET
ejde-988	75	17	useful	useful	ADJ
ejde-988	75	18	a	a	DET
ejde-988	75	19	priori	priori	ADJ
ejde-988	75	20	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	75	21	;	;	PUNCT
ejde-988	75	22	in	in	ADP
ejde-988	75	23	sections	section	NOUN
ejde-988	75	24	4	4	NUM
ejde-988	75	25	and	and	CCONJ
ejde-988	75	26	5	5	NUM
ejde-988	75	27	,	,	PUNCT
ejde-988	75	28	we	we	PRON
ejde-988	75	29	show	show	VERB
ejde-988	75	30	the	the	DET
ejde-988	75	31	existence	existence	NOUN
ejde-988	75	32	and	and	CCONJ
ejde-988	75	33	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	75	34	of	of	ADP
ejde-988	75	35	strong	strong	ADJ
ejde-988	75	36	solutions	solution	NOUN
ejde-988	75	37	.	.	PUNCT
ejde-988	76	1	2	2	X
ejde-988	76	2	.	.	X
ejde-988	76	3	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-988	76	4	we	we	PRON
ejde-988	76	5	define	define	VERB
ejde-988	76	6	ḣk	ḣk	PROPN
ejde-988	76	7	=	=	PRON
ejde-988	76	8	{	{	PUNCT
ejde-988	76	9	w|w	w|w	NOUN
ejde-988	76	10	∈	∈	PROPN
ejde-988	76	11	hk(ω	hk(ω	NUM
ejde-988	76	12	)	)	PUNCT
ejde-988	76	13	,	,	PUNCT
ejde-988	76	14	∫	∫	PROPN
ejde-988	76	15	ω	ω	NUM
ejde-988	76	16	wdx	wdx	PROPN
ejde-988	76	17	=	=	SYM
ejde-988	76	18	0	0	NUM
ejde-988	76	19	}	}	PUNCT
ejde-988	76	20	.	.	PUNCT
ejde-988	77	1	note	note	VERB
ejde-988	77	2	that	that	SCONJ
ejde-988	77	3	the	the	DET
ejde-988	77	4	total	total	ADJ
ejde-988	77	5	mass	mass	NOUN
ejde-988	77	6	of	of	ADP
ejde-988	77	7	φ(x	φ(x	PROPN
ejde-988	77	8	,	,	PUNCT
ejde-988	77	9	t	t	PROPN
ejde-988	77	10	)	)	PUNCT
ejde-988	77	11	is	be	AUX
ejde-988	77	12	conserved	conserve	VERB
ejde-988	77	13	,	,	PUNCT
ejde-988	77	14	i.e.∫	i.e.∫	ADJ
ejde-988	77	15	ω	ω	NOUN
ejde-988	77	16	φ(x	φ(x	NOUN
ejde-988	77	17	,	,	PUNCT
ejde-988	78	1	t)dx	t)dx	PROPN
ejde-988	78	2	=	=	SYM
ejde-988	78	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	78	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	79	1	φ0	φ0	PROPN
ejde-988	79	2	dx	dx	PROPN
ejde-988	79	3	=	=	SYM
ejde-988	79	4	m0	m0	PROPN
ejde-988	79	5	,	,	PUNCT
ejde-988	79	6	∀t	∀t	PROPN
ejde-988	79	7	≥	≥	NOUN
ejde-988	79	8	0	0	NUM
ejde-988	79	9	.	.	PUNCT
ejde-988	79	10	where	where	SCONJ
ejde-988	79	11	m0	m0	PROPN
ejde-988	79	12	≥	≥	PRON
ejde-988	79	13	0	0	NUM
ejde-988	79	14	is	be	AUX
ejde-988	79	15	a	a	DET
ejde-988	79	16	positive	positive	ADJ
ejde-988	79	17	constant	constant	NOUN
ejde-988	79	18	.	.	PUNCT
ejde-988	80	1	for	for	ADP
ejde-988	80	2	convenience	convenience	NOUN
ejde-988	80	3	,	,	PUNCT
ejde-988	80	4	one	one	PRON
ejde-988	80	5	assume	assume	VERB
ejde-988	80	6	that	that	SCONJ
ejde-988	80	7	∫	∫	PROPN
ejde-988	80	8	ω	ω	PROPN
ejde-988	80	9	φ0(x	φ0(x	PROPN
ejde-988	80	10	,	,	PUNCT
ejde-988	80	11	t)dx	t)dx	PROPN
ejde-988	80	12	=	=	SYM
ejde-988	80	13	0	0	NUM
ejde-988	80	14	,	,	PUNCT
ejde-988	80	15	or	or	CCONJ
ejde-988	80	16	else	else	ADV
ejde-988	80	17	,	,	PUNCT
ejde-988	80	18	we	we	PRON
ejde-988	80	19	can	can	AUX
ejde-988	80	20	translate	translate	VERB
ejde-988	80	21	the	the	DET
ejde-988	80	22	unknown	unknown	ADJ
ejde-988	80	23	function	function	NOUN
ejde-988	80	24	φ̃	φ̃	PROPN
ejde-988	80	25	=	=	SYM
ejde-988	80	26	φ−m0	φ−m0	NOUN
ejde-988	80	27	.	.	NOUN
ejde-988	80	28	system	system	NOUN
ejde-988	80	29	(	(	PUNCT
ejde-988	80	30	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	80	31	)	)	PUNCT
ejde-988	80	32	is	be	AUX
ejde-988	80	33	reduced	reduce	VERB
ejde-988	80	34	to	to	ADP
ejde-988	80	35	ρt	ρt	PROPN
ejde-988	80	36	+	+	NOUN
ejde-988	80	37	∇	∇	X
ejde-988	80	38	·	·	PUNCT
ejde-988	80	39	(	(	PUNCT
ejde-988	80	40	ρu	ρu	NOUN
ejde-988	80	41	)	)	PUNCT
ejde-988	80	42	=	=	SYM
ejde-988	80	43	0	0	NUM
ejde-988	80	44	,	,	PUNCT
ejde-988	80	45	in	in	ADP
ejde-988	80	46	ω	ω	PROPN
ejde-988	80	47	,	,	PUNCT
ejde-988	80	48	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	80	49	+	+	CCONJ
ejde-988	80	50	u	u	PROPN
ejde-988	80	51	·	·	PUNCT
ejde-988	80	52	∇u)−	∇u)−	NOUN
ejde-988	80	53	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	80	54	2	2	NUM
ejde-988	80	55	∆u+∇π	∆u+∇π	NOUN
ejde-988	81	1	=	=	PUNCT
ejde-988	81	2	[	[	PUNCT
ejde-988	81	3	k∆2φ̃−	k∆2φ̃−	NOUN
ejde-988	81	4	1	1	NUM
ejde-988	81	5	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	81	6	∇	∇	X
ejde-988	81	7	·	·	PUNCT
ejde-988	81	8	(	(	PUNCT
ejde-988	81	9	|∇φ̃|2	|∇φ̃|2	PUNCT
ejde-988	81	10	−	−	NOUN
ejde-988	81	11	1)∇φ̃	1)∇φ̃	NUM
ejde-988	81	12	]	]	X
ejde-988	81	13	∇φ̃	∇φ̃	NOUN
ejde-988	81	14	,	,	PUNCT
ejde-988	81	15	φ̃t	φ̃t	X
ejde-988	81	16	+	+	CCONJ
ejde-988	81	17	u	u	SYM
ejde-988	81	18	·	·	PUNCT
ejde-988	81	19	∇φ̃	∇φ̃	NOUN
ejde-988	81	20	=	=	SYM
ejde-988	81	21	λ	λ	PROPN
ejde-988	81	22	[	[	PUNCT
ejde-988	81	23	∇	∇	X
ejde-988	81	24	·	·	PUNCT
ejde-988	81	25	(	(	PUNCT
ejde-988	81	26	1	1	NUM
ejde-988	81	27	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	81	28	(	(	PUNCT
ejde-988	81	29	|∇φ̃|2	|∇φ̃|2	PUNCT
ejde-988	81	30	−	−	NOUN
ejde-988	81	31	1)∇φ̃	1)∇φ̃	NUM
ejde-988	81	32	)	)	PUNCT
ejde-988	81	33	−k∆2φ̃	−k∆2φ̃	NOUN
ejde-988	81	34	]	]	PUNCT
ejde-988	81	35	,	,	PUNCT
ejde-988	81	36	∇	∇	X
ejde-988	81	37	·	·	PUNCT
ejde-988	81	38	u	u	NOUN
ejde-988	81	39	=	=	NOUN
ejde-988	81	40	0	0	NUM
ejde-988	81	41	,	,	PUNCT
ejde-988	81	42	.	.	PUNCT
ejde-988	82	1	(	(	PUNCT
ejde-988	82	2	2.1	2.1	NUM
ejde-988	82	3	)	)	PUNCT
ejde-988	82	4	with	with	ADP
ejde-988	82	5	the	the	DET
ejde-988	82	6	initial	initial	ADJ
ejde-988	82	7	condition	condition	NOUN
ejde-988	82	8	(	(	PUNCT
ejde-988	82	9	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	82	10	,	,	PUNCT
ejde-988	82	11	u	u	NOUN
ejde-988	82	12	,	,	PUNCT
ejde-988	82	13	φ̃)|t=0	φ̃)|t=0	PROPN
ejde-988	82	14	=	=	PUNCT
ejde-988	82	15	(	(	PUNCT
ejde-988	82	16	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	82	17	,	,	PUNCT
ejde-988	82	18	u0	u0	ADJ
ejde-988	82	19	,	,	PUNCT
ejde-988	82	20	φ̃0	φ̃0	PROPN
ejde-988	82	21	)	)	PUNCT
ejde-988	82	22	=	=	PUNCT
ejde-988	82	23	(	(	PUNCT
ejde-988	82	24	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	82	25	,	,	PUNCT
ejde-988	82	26	u0	u0	ADJ
ejde-988	82	27	,	,	PUNCT
ejde-988	82	28	φ0	φ0	ADJ
ejde-988	82	29	−m	−m	NOUN
ejde-988	82	30	)	)	PUNCT
ejde-988	82	31	.	.	PUNCT
ejde-988	83	1	(	(	PUNCT
ejde-988	83	2	2.2	2.2	NUM
ejde-988	83	3	)	)	PUNCT
ejde-988	83	4	4	4	NUM
ejde-988	83	5	x.	x.	NOUN
ejde-988	83	6	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	83	7	,	,	PUNCT
ejde-988	83	8	x.	x.	PROPN
ejde-988	83	9	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	83	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	83	11	instead	instead	ADV
ejde-988	83	12	of	of	ADP
ejde-988	83	13	problem	problem	NOUN
ejde-988	83	14	(	(	PUNCT
ejde-988	83	15	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	83	16	)	)	PUNCT
ejde-988	83	17	,	,	PUNCT
ejde-988	83	18	we	we	PRON
ejde-988	83	19	work	work	VERB
ejde-988	83	20	on	on	ADP
ejde-988	83	21	problem	problem	NOUN
ejde-988	83	22	(	(	PUNCT
ejde-988	83	23	2.1)-(2.2	2.1)-(2.2	NUM
ejde-988	83	24	)	)	PUNCT
ejde-988	83	25	and	and	CCONJ
ejde-988	83	26	still	still	ADV
ejde-988	83	27	denote	denote	VERB
ejde-988	83	28	φ̃	φ̃	PROPN
ejde-988	83	29	and	and	CCONJ
ejde-988	83	30	φ̃0	φ̃0	PROPN
ejde-988	83	31	by	by	ADP
ejde-988	83	32	φ	φ	PROPN
ejde-988	83	33	,	,	PUNCT
ejde-988	83	34	φ0	φ0	PROPN
ejde-988	83	35	,	,	PUNCT
ejde-988	83	36	etc	etc	X
ejde-988	83	37	.	.	X
ejde-988	84	1	in	in	ADP
ejde-988	84	2	the	the	DET
ejde-988	84	3	proofs	proof	NOUN
ejde-988	84	4	of	of	ADP
ejde-988	84	5	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-988	84	6	and	and	CCONJ
ejde-988	84	7	theorems	theorem	NOUN
ejde-988	84	8	,	,	PUNCT
ejde-988	84	9	we	we	PRON
ejde-988	84	10	frequently	frequently	ADV
ejde-988	84	11	employ	employ	VERB
ejde-988	84	12	the	the	DET
ejde-988	84	13	following	follow	VERB
ejde-988	84	14	gagliardo	gagliardo	NOUN
ejde-988	84	15	-	-	PUNCT
ejde-988	84	16	nirenberg	nirenberg	PROPN
ejde-988	84	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	84	18	.	.	PUNCT
ejde-988	85	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	85	2	2.1	2.1	NUM
ejde-988	85	3	(	(	PUNCT
ejde-988	85	4	[	[	X
ejde-988	85	5	6	6	NUM
ejde-988	85	6	]	]	PUNCT
ejde-988	85	7	)	)	PUNCT
ejde-988	85	8	.	.	PUNCT
ejde-988	86	1	let	let	VERB
ejde-988	86	2	u	u	PRON
ejde-988	86	3	∈	∈	PROPN
ejde-988	86	4	lq(ω	lq(ω	NOUN
ejde-988	86	5	)	)	PUNCT
ejde-988	86	6	,	,	PUNCT
ejde-988	86	7	∇mu	∇mu	NOUN
ejde-988	86	8	∈	∈	PROPN
ejde-988	86	9	lr(ω	lr(ω	NOUN
ejde-988	86	10	)	)	PUNCT
ejde-988	86	11	,	,	PUNCT
ejde-988	86	12	1	1	NUM
ejde-988	86	13	≤	≤	NOUN
ejde-988	86	14	q	q	NOUN
ejde-988	86	15	,	,	PUNCT
ejde-988	86	16	r	r	NOUN
ejde-988	86	17	≤	≤	PUNCT
ejde-988	86	18	∞.	∞.	PROPN
ejde-988	86	19	then	then	ADV
ejde-988	86	20	there	there	PRON
ejde-988	86	21	exists	exist	VERB
ejde-988	86	22	a	a	DET
ejde-988	86	23	positive	positive	ADJ
ejde-988	86	24	constant	constant	ADJ
ejde-988	86	25	c	c	NOUN
ejde-988	86	26	=	=	SYM
ejde-988	86	27	c(n	c(n	PROPN
ejde-988	86	28	,	,	PUNCT
ejde-988	86	29	m	m	PROPN
ejde-988	86	30	,	,	PUNCT
ejde-988	86	31	j	j	PROPN
ejde-988	86	32	,	,	PUNCT
ejde-988	86	33	a	a	DET
ejde-988	86	34	,	,	PUNCT
ejde-988	86	35	q	q	NOUN
ejde-988	86	36	,	,	PUNCT
ejde-988	86	37	r	r	NOUN
ejde-988	86	38	)	)	PUNCT
ejde-988	86	39	,	,	PUNCT
ejde-988	86	40	such	such	ADJ
ejde-988	86	41	that	that	SCONJ
ejde-988	86	42	∥∇ju∥lp	∥∇ju∥lp	PROPN
ejde-988	86	43	≤	≤	PROPN
ejde-988	86	44	c∥∇ju∥awm−j	c∥∇ju∥awm−j	PROPN
ejde-988	86	45	,	,	PUNCT
ejde-988	86	46	r∥u∥1−a	r∥u∥1−a	VERB
ejde-988	87	1	lq	lq	INTJ
ejde-988	87	2	,	,	PUNCT
ejde-988	87	3	where	where	SCONJ
ejde-988	87	4	1	1	NUM
ejde-988	87	5	p	p	NOUN
ejde-988	87	6	=	=	PUNCT
ejde-988	87	7	j	j	PROPN
ejde-988	87	8	n	n	PROPN
ejde-988	87	9	+	+	CCONJ
ejde-988	87	10	a	a	DET
ejde-988	87	11	(	(	PUNCT
ejde-988	87	12	1	1	NUM
ejde-988	87	13	r	r	NOUN
ejde-988	87	14	−	−	NOUN
ejde-988	87	15	m	m	NOUN
ejde-988	87	16	n	n	NUM
ejde-988	87	17	)	)	PUNCT
ejde-988	87	18	+	+	CCONJ
ejde-988	87	19	(	(	PUNCT
ejde-988	87	20	1−	1−	NUM
ejde-988	87	21	a	a	NOUN
ejde-988	87	22	)	)	PUNCT
ejde-988	87	23	1	1	NUM
ejde-988	87	24	q	q	NOUN
ejde-988	87	25	,	,	PUNCT
ejde-988	87	26	1	1	NUM
ejde-988	87	27	≤	≤	NOUN
ejde-988	87	28	p	p	NOUN
ejde-988	87	29	≤	≤	NUM
ejde-988	87	30	∞	∞	PROPN
ejde-988	87	31	,	,	PUNCT
ejde-988	87	32	0	0	NUM
ejde-988	87	33	≤	≤	NUM
ejde-988	87	34	j	j	PROPN
ejde-988	87	35	≤	≤	PROPN
ejde-988	87	36	m	m	PROPN
ejde-988	87	37	,	,	PUNCT
ejde-988	87	38	j	j	PROPN
ejde-988	87	39	m	m	VERB
ejde-988	87	40	≤	≤	VERB
ejde-988	87	41	a	a	DET
ejde-988	87	42	≤	≤	NUM
ejde-988	87	43	1	1	NUM
ejde-988	87	44	.	.	PUNCT
ejde-988	88	1	next	next	ADV
ejde-988	88	2	,	,	PUNCT
ejde-988	88	3	we	we	PRON
ejde-988	88	4	introduce	introduce	VERB
ejde-988	88	5	the	the	DET
ejde-988	88	6	kato	kato	PROPN
ejde-988	88	7	-	-	PUNCT
ejde-988	88	8	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	88	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	88	10	which	which	PRON
ejde-988	88	11	is	be	AUX
ejde-988	88	12	of	of	ADP
ejde-988	88	13	great	great	ADJ
ejde-988	88	14	importance	importance	NOUN
ejde-988	88	15	in	in	ADP
ejde-988	88	16	the	the	DET
ejde-988	88	17	proof	proof	NOUN
ejde-988	88	18	of	of	ADP
ejde-988	88	19	the	the	DET
ejde-988	88	20	main	main	ADJ
ejde-988	88	21	result	result	NOUN
ejde-988	88	22	.	.	PUNCT
ejde-988	89	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	89	2	2.2	2.2	NUM
ejde-988	89	3	(	(	PUNCT
ejde-988	89	4	[	[	X
ejde-988	89	5	7	7	NUM
ejde-988	89	6	]	]	NUM
ejde-988	89	7	)	)	PUNCT
ejde-988	89	8	.	.	PUNCT
ejde-988	90	1	let	let	VERB
ejde-988	90	2	1	1	NUM
ejde-988	90	3	<	<	X
ejde-988	90	4	p	p	X
ejde-988	90	5	<	<	X
ejde-988	90	6	∞	∞	PROPN
ejde-988	90	7	,	,	PUNCT
ejde-988	90	8	s	s	X
ejde-988	90	9	>	>	X
ejde-988	90	10	0	0	NUM
ejde-988	90	11	.	.	PUNCT
ejde-988	91	1	there	there	PRON
ejde-988	91	2	exists	exist	VERB
ejde-988	91	3	a	a	DET
ejde-988	91	4	positive	positive	ADJ
ejde-988	91	5	constant	constant	ADJ
ejde-988	91	6	c	c	NOUN
ejde-988	91	7	such	such	ADJ
ejde-988	91	8	that	that	SCONJ
ejde-988	91	9	∥∇s(fg)−	∥∇s(fg)−	PROPN
ejde-988	91	10	f∇sg∥lp	f∇sg∥lp	NOUN
ejde-988	91	11	≤	≤	NUM
ejde-988	91	12	c(∥∇f∥lp1∥∇s−1g∥lp2	c(∥∇f∥lp1∥∇s−1g∥lp2	X
ejde-988	92	1	+	+	NUM
ejde-988	92	2	∥∇sf∥lq1	∥∇sf∥lq1	X
ejde-988	92	3	∥g∥lq2	∥g∥lq2	X
ejde-988	92	4	)	)	PUNCT
ejde-988	93	1	(	(	PUNCT
ejde-988	93	2	2.3	2.3	NUM
ejde-988	93	3	)	)	PUNCT
ejde-988	93	4	and	and	CCONJ
ejde-988	93	5	∥∇s(fg)∥lp	∥∇s(fg)∥lp	PROPN
ejde-988	93	6	≤	≤	NUM
ejde-988	93	7	c(∥f∥lp1∥∇sg∥lp2	c(∥f∥lp1∥∇sg∥lp2	PROPN
ejde-988	93	8	+	+	CCONJ
ejde-988	93	9	∥∇sf∥lq1	∥∇sf∥lq1	X
ejde-988	93	10	∥g∥lq2	∥g∥lq2	X
ejde-988	93	11	)	)	PUNCT
ejde-988	93	12	,	,	PUNCT
ejde-988	93	13	(	(	PUNCT
ejde-988	93	14	2.4	2.4	NUM
ejde-988	93	15	)	)	PUNCT
ejde-988	93	16	where	where	SCONJ
ejde-988	93	17	p1	p1	PROPN
ejde-988	93	18	,	,	PUNCT
ejde-988	93	19	q1	q1	NOUN
ejde-988	93	20	,	,	PUNCT
ejde-988	93	21	p2	p2	NOUN
ejde-988	93	22	,	,	PUNCT
ejde-988	93	23	q2	q2	NOUN
ejde-988	93	24	∈	∈	PROPN
ejde-988	93	25	(	(	PUNCT
ejde-988	93	26	1,∞	1,∞	NUM
ejde-988	93	27	)	)	PUNCT
ejde-988	93	28	satisfying	satisfy	VERB
ejde-988	93	29	1	1	NUM
ejde-988	93	30	p	p	NOUN
ejde-988	93	31	=	=	SYM
ejde-988	93	32	1	1	NUM
ejde-988	93	33	p1	p1	NOUN
ejde-988	93	34	+	+	CCONJ
ejde-988	93	35	1	1	NUM
ejde-988	93	36	p2	p2	NOUN
ejde-988	93	37	=	=	SYM
ejde-988	93	38	1	1	NUM
ejde-988	93	39	q1	q1	NOUN
ejde-988	93	40	+	+	CCONJ
ejde-988	93	41	1	1	NUM
ejde-988	93	42	q2	q2	NOUN
ejde-988	93	43	.	.	PUNCT
ejde-988	94	1	also	also	ADV
ejde-988	94	2	,	,	PUNCT
ejde-988	94	3	we	we	PRON
ejde-988	94	4	give	give	VERB
ejde-988	94	5	the	the	DET
ejde-988	94	6	well	well	ADV
ejde-988	94	7	-	-	PUNCT
ejde-988	94	8	known	know	VERB
ejde-988	94	9	gronwall	gronwall	NOUN
ejde-988	94	10	’s	’s	PART
ejde-988	94	11	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	94	12	,	,	PUNCT
ejde-988	94	13	which	which	PRON
ejde-988	94	14	will	will	AUX
ejde-988	94	15	be	be	AUX
ejde-988	94	16	used	use	VERB
ejde-988	94	17	later	later	ADV
ejde-988	94	18	.	.	PUNCT
ejde-988	95	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	95	2	2.3	2.3	NUM
ejde-988	95	3	(	(	PUNCT
ejde-988	95	4	gronwall	gronwall	ADJ
ejde-988	95	5	lemma[12	lemma[12	PROPN
ejde-988	95	6	]	]	PUNCT
ejde-988	95	7	)	)	PUNCT
ejde-988	95	8	.	.	PUNCT
ejde-988	96	1	let	let	VERB
ejde-988	96	2	g	g	NOUN
ejde-988	96	3	,	,	PUNCT
ejde-988	96	4	h	h	NOUN
ejde-988	96	5	,	,	PUNCT
ejde-988	96	6	y	y	PROPN
ejde-988	96	7	,	,	PUNCT
ejde-988	96	8	and	and	CCONJ
ejde-988	96	9	dy	dy	NOUN
ejde-988	96	10	dt	dt	AUX
ejde-988	96	11	be	be	AUX
ejde-988	96	12	locally	locally	ADV
ejde-988	96	13	integrable	integrable	ADJ
ejde-988	96	14	functions	function	NOUN
ejde-988	96	15	on	on	ADP
ejde-988	96	16	(	(	PUNCT
ejde-988	96	17	t0,∞	t0,∞	NUM
ejde-988	96	18	)	)	PUNCT
ejde-988	97	1	such	such	ADJ
ejde-988	97	2	that	that	PRON
ejde-988	97	3	dy(t	dy(t	PUNCT
ejde-988	97	4	)	)	PUNCT
ejde-988	97	5	dt	dt	PART
ejde-988	97	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	97	7	g(t)y(t	g(t)y(t	PROPN
ejde-988	97	8	)	)	PUNCT
ejde-988	98	1	+	+	CCONJ
ejde-988	98	2	h(t	h(t	PROPN
ejde-988	98	3	)	)	PUNCT
ejde-988	98	4	,	,	PUNCT
ejde-988	98	5	∀t	∀t	PROPN
ejde-988	98	6	≥	≥	NOUN
ejde-988	98	7	t0	t0	NOUN
ejde-988	98	8	,	,	PUNCT
ejde-988	98	9	then	then	ADV
ejde-988	98	10	y(t	y(t	NUM
ejde-988	98	11	)	)	PUNCT
ejde-988	98	12	satisfies	satisfy	VERB
ejde-988	98	13	y(t	y(t	NUM
ejde-988	98	14	)	)	PUNCT
ejde-988	98	15	≤	≤	NOUN
ejde-988	99	1	y(t0)exp	y(t0)exp	NOUN
ejde-988	99	2	(	(	PUNCT
ejde-988	99	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	99	4	t	t	PROPN
ejde-988	99	5	t0	t0	PROPN
ejde-988	99	6	g(s)ds	g(s)ds	PROPN
ejde-988	99	7	)	)	PUNCT
ejde-988	100	1	+	+	CCONJ
ejde-988	100	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	100	3	t	t	PROPN
ejde-988	100	4	t0	t0	PROPN
ejde-988	100	5	h(s)exp	h(s)exp	PROPN
ejde-988	100	6	(	(	PUNCT
ejde-988	100	7	∫	∫	PROPN
ejde-988	100	8	t	t	PROPN
ejde-988	100	9	s	s	PROPN
ejde-988	100	10	g(τ)dτ	g(τ)dτ	NOUN
ejde-988	100	11	)	)	PUNCT
ejde-988	100	12	ds	ds	NOUN
ejde-988	100	13	.	.	NOUN
ejde-988	100	14	3	3	NUM
ejde-988	100	15	.	.	X
ejde-988	100	16	a	a	DET
ejde-988	100	17	priori	priori	ADJ
ejde-988	100	18	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	100	19	in	in	ADP
ejde-988	100	20	this	this	DET
ejde-988	100	21	section	section	NOUN
ejde-988	100	22	,	,	PUNCT
ejde-988	100	23	we	we	PRON
ejde-988	100	24	establish	establish	VERB
ejde-988	100	25	a	a	DET
ejde-988	100	26	priori	priori	ADJ
ejde-988	100	27	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	100	28	for	for	ADP
ejde-988	100	29	strong	strong	ADJ
ejde-988	100	30	solutions	solution	NOUN
ejde-988	100	31	(	(	PUNCT
ejde-988	100	32	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	100	33	,	,	PUNCT
ejde-988	100	34	u	u	NOUN
ejde-988	100	35	,	,	PUNCT
ejde-988	100	36	φ	φ	NOUN
ejde-988	100	37	)	)	PUNCT
ejde-988	100	38	to	to	ADP
ejde-988	100	39	(	(	PUNCT
ejde-988	100	40	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	100	41	)	)	PUNCT
ejde-988	100	42	in	in	ADP
ejde-988	100	43	ω	ω	NUM
ejde-988	100	44	provided	provide	VERB
ejde-988	100	45	that	that	SCONJ
ejde-988	100	46	the	the	DET
ejde-988	100	47	initial	initial	ADJ
ejde-988	100	48	density	density	NOUN
ejde-988	100	49	function	function	NOUN
ejde-988	100	50	has	have	VERB
ejde-988	100	51	a	a	DET
ejde-988	100	52	positive	positive	ADJ
ejde-988	100	53	lower	low	ADJ
ejde-988	100	54	bound	bind	VERB
ejde-988	100	55	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	100	56	≥	≥	PROPN
ejde-988	100	57	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	100	58	>	>	X
ejde-988	100	59	0	0	PROPN
ejde-988	100	60	.	.	PUNCT
ejde-988	101	1	although	although	SCONJ
ejde-988	101	2	these	these	DET
ejde-988	101	3	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	101	4	may	may	AUX
ejde-988	101	5	have	have	VERB
ejde-988	101	6	their	their	PRON
ejde-988	101	7	own	own	ADJ
ejde-988	101	8	interests	interest	NOUN
ejde-988	101	9	,	,	PUNCT
ejde-988	101	10	we	we	PRON
ejde-988	101	11	mainly	mainly	ADV
ejde-988	101	12	apply	apply	VERB
ejde-988	101	13	them	they	PRON
ejde-988	101	14	to	to	ADP
ejde-988	101	15	the	the	DET
ejde-988	101	16	approximate	approximate	ADJ
ejde-988	101	17	solutions	solution	NOUN
ejde-988	101	18	to	to	ADP
ejde-988	101	19	(	(	PUNCT
ejde-988	101	20	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	101	21	)	)	PUNCT
ejde-988	101	22	that	that	PRON
ejde-988	101	23	are	be	AUX
ejde-988	101	24	constructed	construct	VERB
ejde-988	101	25	by	by	ADP
ejde-988	101	26	the	the	DET
ejde-988	101	27	galerkin	galerkin	ADJ
ejde-988	101	28	method	method	NOUN
ejde-988	101	29	.	.	PUNCT
ejde-988	102	1	throughout	throughout	ADP
ejde-988	102	2	this	this	DET
ejde-988	102	3	paper	paper	NOUN
ejde-988	102	4	,	,	PUNCT
ejde-988	102	5	we	we	PRON
ejde-988	102	6	denote	denote	VERB
ejde-988	102	7	by	by	ADP
ejde-988	102	8	c	c	PROPN
ejde-988	102	9	generic	generic	ADJ
ejde-988	102	10	constants	constant	NOUN
ejde-988	102	11	that	that	PRON
ejde-988	102	12	depend	depend	VERB
ejde-988	102	13	on	on	ADP
ejde-988	102	14	∥u0∥h3	∥u0∥h3	PUNCT
ejde-988	102	15	,	,	PUNCT
ejde-988	102	16	∥φ0∥h7	∥φ0∥h7	X
ejde-988	102	17	,	,	PUNCT
ejde-988	102	18	∥ρ0∥w	∥ρ0∥w	PROPN
ejde-988	102	19	1,q∩w	1,q∩w	NUM
ejde-988	102	20	2,r∩h3	2,r∩h3	NUM
ejde-988	102	21	and	and	CCONJ
ejde-988	102	22	the	the	DET
ejde-988	102	23	pressure	pressure	NOUN
ejde-988	102	24	.	.	PUNCT
ejde-988	103	1	we	we	PRON
ejde-988	103	2	also	also	ADV
ejde-988	103	3	use	use	VERB
ejde-988	103	4	the	the	DET
ejde-988	103	5	obvious	obvious	ADJ
ejde-988	103	6	notation	notation	NOUN
ejde-988	103	7	∥	∥	X
ejde-988	103	8	·	·	PUNCT
ejde-988	103	9	∥x1∩···∩xk	∥x1∩···∩xk	PUNCT
ejde-988	104	1	=	=	SYM
ejde-988	104	2	k∑	k∑	PROPN
ejde-988	105	1	j=1	j=1	NOUN
ejde-988	105	2	∥	∥	PUNCT
ejde-988	105	3	·	·	PUNCT
ejde-988	105	4	∥xj	∥xj	VERB
ejde-988	105	5	for	for	ADP
ejde-988	105	6	banach	banach	NOUN
ejde-988	105	7	spaces	space	NOUN
ejde-988	105	8	xj	xj	PROPN
ejde-988	105	9	,	,	PUNCT
ejde-988	106	1	1	1	NUM
ejde-988	106	2	≤	≤	NUM
ejde-988	106	3	j	j	PROPN
ejde-988	106	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	106	5	k	k	PROPN
ejde-988	106	6	and	and	CCONJ
ejde-988	106	7	k	k	PROPN
ejde-988	106	8	∈	∈	PROPN
ejde-988	106	9	z+	z+	PUNCT
ejde-988	106	10	.	.	PUNCT
ejde-988	107	1	the	the	DET
ejde-988	107	2	notation	notation	NOUN
ejde-988	107	3	a	a	DET
ejde-988	107	4	≲	≲	PROPN
ejde-988	107	5	b	b	PROPN
ejde-988	107	6	means	mean	VERB
ejde-988	107	7	that	that	SCONJ
ejde-988	107	8	a	a	DET
ejde-988	107	9	≤	≤	ADJ
ejde-988	107	10	cb	cb	NOUN
ejde-988	107	11	for	for	ADP
ejde-988	107	12	a	a	DET
ejde-988	107	13	universal	universal	ADJ
ejde-988	107	14	constant	constant	ADJ
ejde-988	107	15	c	c	NOUN
ejde-988	107	16	>	>	X
ejde-988	107	17	0	0	X
ejde-988	107	18	.	.	PUNCT
ejde-988	108	1	let	let	AUX
ejde-988	108	2	(	(	PUNCT
ejde-988	108	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	108	4	,	,	PUNCT
ejde-988	108	5	u	u	NOUN
ejde-988	108	6	,	,	PUNCT
ejde-988	108	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	108	8	)	)	PUNCT
ejde-988	108	9	be	be	VERB
ejde-988	108	10	a	a	DET
ejde-988	108	11	strong	strong	ADJ
ejde-988	108	12	solution	solution	NOUN
ejde-988	108	13	of	of	ADP
ejde-988	108	14	(	(	PUNCT
ejde-988	108	15	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	108	16	)	)	PUNCT
ejde-988	108	17	in	in	ADP
ejde-988	108	18	ω	ω	NUM
ejde-988	108	19	×	×	NOUN
ejde-988	108	20	(	(	PUNCT
ejde-988	108	21	0	0	NUM
ejde-988	108	22	,	,	PUNCT
ejde-988	108	23	t	t	NOUN
ejde-988	108	24	]	]	PUNCT
ejde-988	108	25	(	(	PUNCT
ejde-988	108	26	or	or	CCONJ
ejde-988	108	27	the	the	DET
ejde-988	108	28	approximate	approximate	ADJ
ejde-988	108	29	solutions	solution	NOUN
ejde-988	108	30	(	(	PUNCT
ejde-988	108	31	ρm	ρm	INTJ
ejde-988	108	32	,	,	PUNCT
ejde-988	108	33	um	um	INTJ
ejde-988	108	34	,	,	PUNCT
ejde-988	108	35	φm	φm	PROPN
ejde-988	108	36	)	)	PUNCT
ejde-988	108	37	of	of	ADP
ejde-988	108	38	eqref1	eqref1	PROPN
ejde-988	108	39	-	-	PUNCT
ejde-988	108	40	1-(1.8	1-(1.8	VERB
ejde-988	108	41	)	)	PUNCT
ejde-988	108	42	constructed	construct	VERB
ejde-988	108	43	by	by	ADP
ejde-988	108	44	the	the	DET
ejde-988	108	45	galerkin	galerkin	ADJ
ejde-988	108	46	method	method	NOUN
ejde-988	108	47	)	)	PUNCT
ejde-988	108	48	.	.	PUNCT
ejde-988	109	1	for	for	ADP
ejde-988	109	2	0	0	NUM
ejde-988	109	3	<	<	X
ejde-988	109	4	t	t	X
ejde-988	109	5	<	<	X
ejde-988	109	6	t	t	PROPN
ejde-988	109	7	,	,	PUNCT
ejde-988	109	8	set	set	NOUN
ejde-988	109	9	φ(t	φ(t	PROPN
ejde-988	109	10	)	)	PUNCT
ejde-988	109	11	:	:	PUNCT
ejde-988	109	12	=	=	PUNCT
ejde-988	109	13	sup	sup	NOUN
ejde-988	109	14	0≤s≤t	0≤s≤t	NUM
ejde-988	109	15	(	(	PUNCT
ejde-988	109	16	∥ρ∥w	∥ρ∥w	NOUN
ejde-988	109	17	2,r∩w	2,r∩w	PROPN
ejde-988	109	18	1,q∩h3	1,q∩h3	NUM
ejde-988	109	19	+	+	CCONJ
ejde-988	109	20	∥u(s)∥h3	∥u(s)∥h3	NOUN
ejde-988	109	21	+	+	CCONJ
ejde-988	109	22	∥φ(s)∥h7	∥φ(s)∥h7	NOUN
ejde-988	109	23	+	+	CCONJ
ejde-988	109	24	∥ut∥h1	∥ut∥h1	X
ejde-988	109	25	+	+	ADJ
ejde-988	109	26	∥φt∥h3	∥φt∥h3	NUM
ejde-988	109	27	+	+	CCONJ
ejde-988	109	28	1	1	NUM
ejde-988	109	29	)	)	PUNCT
ejde-988	109	30	.	.	PUNCT
ejde-988	110	1	(	(	PUNCT
ejde-988	110	2	3.1	3.1	NUM
ejde-988	110	3	)	)	PUNCT
ejde-988	110	4	the	the	DET
ejde-988	110	5	main	main	ADJ
ejde-988	110	6	purpose	purpose	NOUN
ejde-988	110	7	of	of	ADP
ejde-988	110	8	this	this	DET
ejde-988	110	9	section	section	NOUN
ejde-988	110	10	is	be	AUX
ejde-988	110	11	to	to	PART
ejde-988	110	12	bound	bound	VERB
ejde-988	110	13	each	each	DET
ejde-988	110	14	term	term	NOUN
ejde-988	110	15	of	of	ADP
ejde-988	110	16	φ	φ	PROPN
ejde-988	110	17	in	in	ADP
ejde-988	110	18	terms	term	NOUN
ejde-988	110	19	of	of	ADP
ejde-988	110	20	some	some	DET
ejde-988	110	21	integrals	integral	NOUN
ejde-988	110	22	of	of	ADP
ejde-988	110	23	φ	φ	PROPN
ejde-988	110	24	.	.	PUNCT
ejde-988	111	1	in	in	ADP
ejde-988	111	2	section	section	NOUN
ejde-988	111	3	3	3	NUM
ejde-988	111	4	below	below	ADV
ejde-988	111	5	,	,	PUNCT
ejde-988	111	6	we	we	PRON
ejde-988	111	7	will	will	AUX
ejde-988	111	8	apply	apply	VERB
ejde-988	111	9	arguments	argument	NOUN
ejde-988	111	10	of	of	ADP
ejde-988	111	11	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	111	12	’s	’s	PART
ejde-988	111	13	type	type	NOUN
ejde-988	111	14	to	to	PART
ejde-988	111	15	prove	prove	VERB
ejde-988	111	16	that	that	SCONJ
ejde-988	111	17	φ	φ	PROPN
ejde-988	111	18	is	be	AUX
ejde-988	111	19	locally	locally	ADV
ejde-988	111	20	bounded	bound	VERB
ejde-988	111	21	.	.	PUNCT
ejde-988	112	1	now	now	ADV
ejde-988	112	2	,	,	PUNCT
ejde-988	112	3	we	we	PRON
ejde-988	112	4	state	state	VERB
ejde-988	112	5	the	the	DET
ejde-988	112	6	main	main	ADJ
ejde-988	112	7	theorem	theorem	NOUN
ejde-988	112	8	of	of	ADP
ejde-988	112	9	this	this	DET
ejde-988	112	10	section	section	NOUN
ejde-988	112	11	.	.	PUNCT
ejde-988	113	1	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	113	2	density	density	NOUN
ejde-988	113	3	-	-	PUNCT
ejde-988	113	4	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	113	5	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	113	6	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	113	7	-	-	PUNCT
ejde-988	113	8	a	a	DET
ejde-988	113	9	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	113	10	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	113	11	5	5	NUM
ejde-988	113	12	theorem	theorem	VERB
ejde-988	113	13	3.1	3.1	NUM
ejde-988	113	14	.	.	PUNCT
ejde-988	114	1	if	if	SCONJ
ejde-988	114	2	(	(	PUNCT
ejde-988	114	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	114	4	,	,	PUNCT
ejde-988	114	5	u	u	NOUN
ejde-988	114	6	,	,	PUNCT
ejde-988	114	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	114	8	)	)	PUNCT
ejde-988	114	9	is	be	AUX
ejde-988	114	10	the	the	DET
ejde-988	114	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	114	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	114	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	114	14	stated	state	VERB
ejde-988	114	15	in	in	ADP
ejde-988	114	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	114	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	114	18	to	to	ADP
ejde-988	114	19	system	system	NOUN
ejde-988	114	20	(	(	PUNCT
ejde-988	114	21	1.7)(1.8	1.7)(1.8	NUM
ejde-988	114	22	)	)	PUNCT
ejde-988	114	23	,	,	PUNCT
ejde-988	114	24	then	then	ADV
ejde-988	114	25	for	for	ADP
ejde-988	114	26	any	any	DET
ejde-988	114	27	t	t	NOUN
ejde-988	114	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	114	29	(	(	PUNCT
ejde-988	114	30	0	0	NUM
ejde-988	114	31	,	,	PUNCT
ejde-988	114	32	t	t	PROPN
ejde-988	114	33	)	)	PUNCT
ejde-988	114	34	,	,	PUNCT
ejde-988	114	35	it	it	PRON
ejde-988	114	36	holds	hold	VERB
ejde-988	114	37	that	that	PRON
ejde-988	114	38	φ(t	φ(t	NOUN
ejde-988	114	39	)	)	PUNCT
ejde-988	114	40	≤	≤	NUM
ejde-988	114	41	exp	exp	NOUN
ejde-988	114	42	[	[	PUNCT
ejde-988	114	43	c	c	NOUN
ejde-988	114	44	∫	∫	PROPN
ejde-988	114	45	t	t	PROPN
ejde-988	114	46	0	0	NUM
ejde-988	114	47	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	114	48	]	]	PUNCT
ejde-988	114	49	.	.	PUNCT
ejde-988	115	1	(	(	PUNCT
ejde-988	115	2	3.2	3.2	NUM
ejde-988	115	3	)	)	PUNCT
ejde-988	115	4	the	the	DET
ejde-988	115	5	proof	proof	NOUN
ejde-988	115	6	of	of	ADP
ejde-988	115	7	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	115	8	3.1	3.1	NUM
ejde-988	115	9	is	be	AUX
ejde-988	115	10	based	base	VERB
ejde-988	115	11	on	on	ADP
ejde-988	115	12	the	the	DET
ejde-988	115	13	following	follow	VERB
ejde-988	115	14	lemmas	lemmas	PROPN
ejde-988	115	15	.	.	PUNCT
ejde-988	116	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	116	2	3.2	3.2	NUM
ejde-988	116	3	.	.	PUNCT
ejde-988	117	1	if	if	SCONJ
ejde-988	117	2	(	(	PUNCT
ejde-988	117	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	117	4	,	,	PUNCT
ejde-988	117	5	u	u	NOUN
ejde-988	117	6	,	,	PUNCT
ejde-988	117	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	117	8	)	)	PUNCT
ejde-988	117	9	is	be	AUX
ejde-988	117	10	the	the	DET
ejde-988	117	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	117	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	117	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	117	14	stated	state	VERB
ejde-988	117	15	in	in	ADP
ejde-988	117	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	117	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	117	18	to	to	ADP
ejde-988	117	19	system	system	NOUN
ejde-988	117	20	(	(	PUNCT
ejde-988	117	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	117	22	)	)	PUNCT
ejde-988	117	23	,	,	PUNCT
ejde-988	117	24	then	then	ADV
ejde-988	117	25	for	for	ADP
ejde-988	117	26	any	any	DET
ejde-988	117	27	t	t	NOUN
ejde-988	117	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	117	29	(	(	PUNCT
ejde-988	117	30	0	0	NUM
ejde-988	117	31	,	,	PUNCT
ejde-988	117	32	t	t	PROPN
ejde-988	117	33	)	)	PUNCT
ejde-988	117	34	,	,	PUNCT
ejde-988	117	35	it	it	PRON
ejde-988	117	36	holds	hold	VERB
ejde-988	117	37	that	that	SCONJ
ejde-988	117	38	∥ρ∥lr	∥ρ∥lr	NOUN
ejde-988	117	39	=	=	SYM
ejde-988	117	40	∥ρ0∥lr	∥ρ0∥lr	PROPN
ejde-988	117	41	,	,	PUNCT
ejde-988	117	42	for	for	ADP
ejde-988	117	43	r	r	PROPN
ejde-988	117	44	∈	∈	PROPN
ejde-988	118	1	[	[	X
ejde-988	118	2	1,∞	1,∞	NUM
ejde-988	118	3	]	]	PUNCT
ejde-988	118	4	.	.	PUNCT
ejde-988	119	1	(	(	PUNCT
ejde-988	119	2	3.3	3.3	NUM
ejde-988	119	3	)	)	PUNCT
ejde-988	119	4	the	the	DET
ejde-988	119	5	proof	proof	NOUN
ejde-988	119	6	of	of	ADP
ejde-988	119	7	the	the	DET
ejde-988	119	8	above	above	ADJ
ejde-988	119	9	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	119	10	can	can	AUX
ejde-988	119	11	be	be	AUX
ejde-988	119	12	found	find	VERB
ejde-988	119	13	in	in	ADP
ejde-988	119	14	[	[	X
ejde-988	119	15	8	8	NUM
ejde-988	119	16	,	,	PUNCT
ejde-988	119	17	theorem	theorem	VERB
ejde-988	119	18	2.1	2.1	NUM
ejde-988	119	19	]	]	PUNCT
ejde-988	119	20	.	.	PUNCT
ejde-988	120	1	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	120	2	3.3	3.3	NUM
ejde-988	120	3	.	.	PUNCT
ejde-988	121	1	if	if	SCONJ
ejde-988	121	2	(	(	PUNCT
ejde-988	121	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	121	4	,	,	PUNCT
ejde-988	121	5	u	u	NOUN
ejde-988	121	6	,	,	PUNCT
ejde-988	121	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	121	8	)	)	PUNCT
ejde-988	121	9	is	be	AUX
ejde-988	121	10	the	the	DET
ejde-988	121	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	121	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	121	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	121	14	stated	state	VERB
ejde-988	121	15	in	in	ADP
ejde-988	121	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	121	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	121	18	to	to	ADP
ejde-988	121	19	system	system	NOUN
ejde-988	121	20	(	(	PUNCT
ejde-988	121	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	121	22	)	)	PUNCT
ejde-988	121	23	,	,	PUNCT
ejde-988	121	24	then	then	ADV
ejde-988	121	25	for	for	ADP
ejde-988	121	26	any	any	DET
ejde-988	121	27	t	t	NOUN
ejde-988	121	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	121	29	(	(	PUNCT
ejde-988	121	30	0	0	NUM
ejde-988	121	31	,	,	PUNCT
ejde-988	121	32	t	t	PROPN
ejde-988	121	33	)	)	PUNCT
ejde-988	121	34	,	,	PUNCT
ejde-988	121	35	it	it	PRON
ejde-988	121	36	holds	hold	VERB
ejde-988	121	37	that	that	SCONJ
ejde-988	121	38	∥u∥2l2	∥u∥2l2	PROPN
ejde-988	122	1	+	+	CCONJ
ejde-988	122	2	k	k	PROPN
ejde-988	122	3	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	122	4	∥∆φ∥2l2	∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	123	1	+	+	CCONJ
ejde-988	124	1	1	1	NUM
ejde-988	124	2	2ρε2	2ρε2	NUM
ejde-988	124	3	∥|∇φ|2	∥|∇φ|2	NOUN
ejde-988	125	1	−	−	NUM
ejde-988	125	2	1∥2l2	1∥2l2	NOUN
ejde-988	125	3	+	+	CCONJ
ejde-988	125	4	2	2	NUM
ejde-988	125	5	ρ	ρ	NUM
ejde-988	125	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	125	7	t	t	PROPN
ejde-988	125	8	0	0	NUM
ejde-988	125	9	∫	∫	PROPN
ejde-988	126	1	ω	ω	PROPN
ejde-988	126	2	[	[	PUNCT
ejde-988	126	3	λ	λ	X
ejde-988	126	4	∣∣∣∇	∣∣∣∇	PROPN
ejde-988	126	5	(	(	PUNCT
ejde-988	126	6	1	1	NUM
ejde-988	126	7	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	126	8	(	(	PUNCT
ejde-988	126	9	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	126	10	−	−	PROPN
ejde-988	126	11	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	126	12	)	)	PUNCT
ejde-988	126	13	−k∆2φ	−k∆2φ	VERB
ejde-988	126	14	∣∣∣2]dx	∣∣∣2]dx	PROPN
ejde-988	126	15	≤	≤	ADJ
ejde-988	126	16	c.	c.	NOUN
ejde-988	126	17	(	(	PUNCT
ejde-988	126	18	3.4	3.4	NUM
ejde-988	126	19	)	)	PUNCT
ejde-988	126	20	proof	proof	NOUN
ejde-988	126	21	.	.	PUNCT
ejde-988	127	1	by	by	ADP
ejde-988	127	2	[	[	X
ejde-988	127	3	9	9	NUM
ejde-988	127	4	,	,	PUNCT
ejde-988	127	5	theorem	theorem	VERB
ejde-988	127	6	2.1	2.1	NUM
ejde-988	127	7	]	]	PUNCT
ejde-988	127	8	,	,	PUNCT
ejde-988	127	9	we	we	PRON
ejde-988	127	10	obtain	obtain	VERB
ejde-988	127	11	the	the	DET
ejde-988	127	12	basic	basic	ADJ
ejde-988	127	13	energy	energy	NOUN
ejde-988	127	14	identity	identity	NOUN
ejde-988	127	15	∥√ρu∥2l2	∥√ρu∥2l2	PUNCT
ejde-988	128	1	+	+	CCONJ
ejde-988	128	2	k∥∆φ∥2l2	k∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	128	3	+	+	CCONJ
ejde-988	128	4	1	1	NUM
ejde-988	128	5	2ε2	2ε2	NUM
ejde-988	128	6	∥|∇φ|2	∥|∇φ|2	NOUN
ejde-988	128	7	−	−	PROPN
ejde-988	128	8	1∥2l2	1∥2l2	NOUN
ejde-988	129	1	+	+	CCONJ
ejde-988	129	2	2	2	NUM
ejde-988	129	3	∫	∫	NOUN
ejde-988	129	4	t	t	PROPN
ejde-988	129	5	0	0	NUM
ejde-988	129	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	129	7	ω	ω	PROPN
ejde-988	129	8	[	[	PUNCT
ejde-988	129	9	λ	λ	X
ejde-988	129	10	∣∣∣∇	∣∣∣∇	PROPN
ejde-988	129	11	(	(	PUNCT
ejde-988	129	12	1	1	NUM
ejde-988	129	13	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	129	14	(	(	PUNCT
ejde-988	129	15	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	129	16	−	−	PROPN
ejde-988	129	17	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	129	18	)	)	PUNCT
ejde-988	129	19	−k∆2φ	−k∆2φ	NOUN
ejde-988	129	20	∣∣∣2]dx	∣∣∣2]dx	PROPN
ejde-988	130	1	=	=	PUNCT
ejde-988	131	1	∥√ρ0u0∥2l2	∥√ρ0u0∥2l2	PROPN
ejde-988	132	1	+	+	PUNCT
ejde-988	132	2	k∥∆φ0∥2l2	k∥∆φ0∥2l2	PROPN
ejde-988	132	3	+	+	CCONJ
ejde-988	132	4	1	1	NUM
ejde-988	132	5	2ε2	2ε2	NUM
ejde-988	132	6	∥|∇φ0|2	∥|∇φ0|2	NUM
ejde-988	132	7	−	−	PROPN
ejde-988	132	8	1∥2l2	1∥2l2	PROPN
ejde-988	132	9	(	(	PUNCT
ejde-988	132	10	3.5	3.5	NUM
ejde-988	132	11	)	)	PUNCT
ejde-988	132	12	moreover	moreover	ADV
ejde-988	132	13	,	,	PUNCT
ejde-988	132	14	on	on	ADP
ejde-988	132	15	the	the	DET
ejde-988	132	16	basis	basis	NOUN
ejde-988	132	17	of	of	ADP
ejde-988	132	18	the	the	DET
ejde-988	132	19	assumptions	assumption	NOUN
ejde-988	132	20	of	of	ADP
ejde-988	132	21	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	132	22	1.2	1.2	NUM
ejde-988	132	23	and	and	CCONJ
ejde-988	132	24	the	the	DET
ejde-988	132	25	result	result	NOUN
ejde-988	132	26	of	of	ADP
ejde-988	132	27	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	132	28	3.2	3.2	NUM
ejde-988	132	29	,	,	PUNCT
ejde-988	132	30	we	we	PRON
ejde-988	132	31	easily	easily	ADV
ejde-988	132	32	obtain	obtain	VERB
ejde-988	132	33	0	0	NUM
ejde-988	132	34	<	<	X
ejde-988	132	35	ρ∥u∥2l2	ρ∥u∥2l2	PROPN
ejde-988	132	36	≤	≤	NUM
ejde-988	132	37	∥√ρu∥2l2	∥√ρu∥2l2	NUM
ejde-988	132	38	,	,	PUNCT
ejde-988	132	39	∥√ρ0u0∥2l2	∥√ρ0u0∥2l2	PROPN
ejde-988	132	40	≤	≤	PROPN
ejde-988	132	41	∥ρ0∥l∞∥u0∥2l2	∥ρ0∥l∞∥u0∥2l2	PROPN
ejde-988	132	42	.	.	PUNCT
ejde-988	133	1	hence	hence	ADV
ejde-988	133	2	,	,	PUNCT
ejde-988	133	3	we	we	PRON
ejde-988	133	4	obtain	obtain	VERB
ejde-988	133	5	(	(	PUNCT
ejde-988	133	6	3.4	3.4	NUM
ejde-988	133	7	)	)	PUNCT
ejde-988	133	8	and	and	CCONJ
ejde-988	133	9	complete	complete	VERB
ejde-988	133	10	the	the	DET
ejde-988	133	11	proof	proof	NOUN
ejde-988	133	12	.	.	PUNCT
ejde-988	134	1	□	□	PUNCT
ejde-988	134	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	134	3	3.4	3.4	NUM
ejde-988	134	4	.	.	PUNCT
ejde-988	135	1	if	if	SCONJ
ejde-988	135	2	(	(	PUNCT
ejde-988	135	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	135	4	,	,	PUNCT
ejde-988	135	5	u	u	NOUN
ejde-988	135	6	,	,	PUNCT
ejde-988	135	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	135	8	)	)	PUNCT
ejde-988	135	9	is	be	AUX
ejde-988	135	10	the	the	DET
ejde-988	135	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	135	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	135	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	135	14	stated	state	VERB
ejde-988	135	15	in	in	ADP
ejde-988	135	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	135	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	135	18	to	to	ADP
ejde-988	135	19	system	system	NOUN
ejde-988	135	20	(	(	PUNCT
ejde-988	135	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	135	22	)	)	PUNCT
ejde-988	135	23	,	,	PUNCT
ejde-988	135	24	then	then	ADV
ejde-988	135	25	for	for	ADP
ejde-988	135	26	any	any	DET
ejde-988	135	27	t	t	NOUN
ejde-988	135	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	135	29	(	(	PUNCT
ejde-988	135	30	0	0	NUM
ejde-988	135	31	,	,	PUNCT
ejde-988	135	32	t	t	PROPN
ejde-988	135	33	)	)	PUNCT
ejde-988	135	34	,	,	PUNCT
ejde-988	135	35	it	it	PRON
ejde-988	135	36	holds	hold	VERB
ejde-988	135	37	that	that	SCONJ
ejde-988	135	38	∥∇ρ∥lq	∥∇ρ∥lq	NOUN
ejde-988	135	39	+	+	CCONJ
ejde-988	135	40	∥∆ρ∥lr	∥∆ρ∥lr	NOUN
ejde-988	135	41	+	+	CCONJ
ejde-988	135	42	∥∇∆ρ∥l2	∥∇∆ρ∥l2	NOUN
ejde-988	135	43	≤	≤	ADJ
ejde-988	135	44	exp	exp	NOUN
ejde-988	135	45	(	(	PUNCT
ejde-988	135	46	c	c	NOUN
ejde-988	135	47	∫	∫	PROPN
ejde-988	135	48	t	t	PROPN
ejde-988	135	49	0	0	NUM
ejde-988	135	50	φ(s)ds	φ(s)ds	PROPN
ejde-988	135	51	)	)	PUNCT
ejde-988	135	52	,	,	PUNCT
ejde-988	135	53	∀r	∀r	X
ejde-988	135	54	∈	∈	NOUN
ejde-988	135	55	(	(	PUNCT
ejde-988	135	56	3	3	NUM
ejde-988	135	57	,	,	PUNCT
ejde-988	135	58	6	6	NUM
ejde-988	135	59	]	]	PUNCT
ejde-988	135	60	,	,	PUNCT
ejde-988	135	61	q	q	PROPN
ejde-988	135	62	∈	∈	PROPN
ejde-988	136	1	[	[	X
ejde-988	136	2	2,∞	2,∞	NUM
ejde-988	136	3	)	)	PUNCT
ejde-988	136	4	.	.	PUNCT
ejde-988	137	1	(	(	PUNCT
ejde-988	137	2	3.6	3.6	NUM
ejde-988	137	3	)	)	PUNCT
ejde-988	137	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	137	5	.	.	PUNCT
ejde-988	138	1	applying	apply	VERB
ejde-988	138	2	the	the	DET
ejde-988	138	3	gradient	gradient	NOUN
ejde-988	138	4	operator	operator	NOUN
ejde-988	138	5	∇	∇	X
ejde-988	138	6	to	to	ADP
ejde-988	138	7	(	(	PUNCT
ejde-988	138	8	1.7)1	1.7)1	NUM
ejde-988	138	9	,	,	PUNCT
ejde-988	138	10	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	138	11	by	by	ADP
ejde-988	138	12	q|∇ρ|q−2∇ρ	q|∇ρ|q−2∇ρ	PROPN
ejde-988	138	13	,	,	PUNCT
ejde-988	138	14	and	and	CCONJ
ejde-988	138	15	integrating	integrate	VERB
ejde-988	138	16	over	over	ADP
ejde-988	138	17	ω	ω	PROPN
ejde-988	138	18	,	,	PUNCT
ejde-988	138	19	we	we	PRON
ejde-988	138	20	derive	derive	VERB
ejde-988	138	21	that	that	SCONJ
ejde-988	139	1	d	d	NOUN
ejde-988	139	2	dt	dt	X
ejde-988	139	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	139	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	139	5	|∇ρ|qdx	|∇ρ|qdx	PROPN
ejde-988	140	1	≤	≤	PROPN
ejde-988	140	2	c	c	PROPN
ejde-988	140	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	140	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	140	5	|∇ρ|q|∇u|dx	|∇ρ|q|∇u|dx	PROPN
ejde-988	140	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	140	7	∥∇u∥l∞∥∇ρ∥qlq	∥∇u∥l∞∥∇ρ∥qlq	PROPN
ejde-988	140	8	.	.	PUNCT
ejde-988	141	1	(	(	PUNCT
ejde-988	141	2	3.7	3.7	NUM
ejde-988	141	3	)	)	PUNCT
ejde-988	141	4	then	then	ADV
ejde-988	141	5	,	,	PUNCT
ejde-988	141	6	by	by	ADP
ejde-988	141	7	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	141	8	’s	’s	PART
ejde-988	141	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	141	10	and	and	CCONJ
ejde-988	141	11	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	141	12	’s	’s	PART
ejde-988	141	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	141	14	,	,	PUNCT
ejde-988	141	15	it	it	PRON
ejde-988	141	16	follows	follow	VERB
ejde-988	141	17	that	that	SCONJ
ejde-988	141	18	∥∇ρ∥qlq	∥∇ρ∥qlq	PROPN
ejde-988	141	19	≤	≤	NUM
ejde-988	141	20	∥∇ρ0∥qlq	∥∇ρ0∥qlq	ADJ
ejde-988	141	21	exp	exp	NOUN
ejde-988	141	22	(	(	PUNCT
ejde-988	142	1	c	c	NOUN
ejde-988	142	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	142	3	t	t	PROPN
ejde-988	142	4	0	0	NUM
ejde-988	142	5	∥∇u∥l∞ds	∥∇u∥l∞ds	PUNCT
ejde-988	142	6	)	)	PUNCT
ejde-988	143	1	≤	≤	NUM
ejde-988	143	2	∥∇ρ0∥qlq	∥∇ρ0∥qlq	ADJ
ejde-988	143	3	exp	exp	NOUN
ejde-988	143	4	(	(	PUNCT
ejde-988	143	5	c	c	NOUN
ejde-988	143	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	143	7	t	t	PROPN
ejde-988	143	8	0	0	NUM
ejde-988	143	9	∥∇u∥h2ds	∥∇u∥h2ds	PROPN
ejde-988	143	10	)	)	PUNCT
ejde-988	143	11	≤	≤	NUM
ejde-988	143	12	exp	exp	NOUN
ejde-988	143	13	(	(	PUNCT
ejde-988	143	14	c	c	NOUN
ejde-988	143	15	∫	∫	PROPN
ejde-988	143	16	t	t	PROPN
ejde-988	143	17	0	0	NUM
ejde-988	143	18	φ(s)ds	φ(s)ds	PROPN
ejde-988	143	19	)	)	PUNCT
ejde-988	143	20	.	.	PUNCT
ejde-988	144	1	(	(	PUNCT
ejde-988	144	2	3.8	3.8	NUM
ejde-988	144	3	)	)	PUNCT
ejde-988	144	4	6	6	NUM
ejde-988	144	5	x.	x.	NOUN
ejde-988	144	6	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	144	7	,	,	PUNCT
ejde-988	144	8	x.	x.	PROPN
ejde-988	144	9	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	144	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	144	11	applying	apply	VERB
ejde-988	144	12	the	the	DET
ejde-988	144	13	laplacian	laplacian	ADJ
ejde-988	144	14	operator	operator	NOUN
ejde-988	144	15	∆	∆	PROPN
ejde-988	144	16	to	to	ADP
ejde-988	144	17	(	(	PUNCT
ejde-988	144	18	1.7)1	1.7)1	NUM
ejde-988	144	19	,	,	PUNCT
ejde-988	144	20	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	144	21	by	by	ADP
ejde-988	144	22	r|∆ρ|r−2∆ρ	r|∆ρ|r−2∆ρ	PROPN
ejde-988	144	23	,	,	PUNCT
ejde-988	144	24	and	and	CCONJ
ejde-988	144	25	integrating	integrate	VERB
ejde-988	144	26	the	the	DET
ejde-988	144	27	result	result	NOUN
ejde-988	144	28	over	over	ADP
ejde-988	144	29	ω	ω	PROPN
ejde-988	144	30	,	,	PUNCT
ejde-988	144	31	we	we	PRON
ejde-988	144	32	obtain	obtain	VERB
ejde-988	144	33	d	d	DET
ejde-988	144	34	dt	dt	X
ejde-988	144	35	∫	∫	PROPN
ejde-988	144	36	ω	ω	PROPN
ejde-988	144	37	|∆ρ|rdx	|∆ρ|rdx	NOUN
ejde-988	144	38	=	=	SYM
ejde-988	144	39	−r	−r	ADJ
ejde-988	144	40	∫	∫	PROPN
ejde-988	144	41	ω	ω	NUM
ejde-988	144	42	|∆ρ|r−1∆ρ	|∆ρ|r−1∆ρ	NOUN
ejde-988	144	43	:	:	PUNCT
ejde-988	144	44	∆(u	∆(u	PROPN
ejde-988	144	45	·	·	PUNCT
ejde-988	144	46	∇)ρ	∇)ρ	ADJ
ejde-988	144	47	dx+	dx+	PROPN
ejde-988	144	48	∫	∫	PROPN
ejde-988	144	49	ω	ω	PROPN
ejde-988	144	50	|∆ρ|r∇	|∆ρ|r∇	PROPN
ejde-988	144	51	·	·	SYM
ejde-988	144	52	uds	uds	PROPN
ejde-988	145	1	−	−	PROPN
ejde-988	145	2	2r	2r	NUM
ejde-988	145	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	145	4	ω	ω	NUM
ejde-988	145	5	|∆ρ|r−2∆ρ	|∆ρ|r−2∆ρ	PROPN
ejde-988	145	6	:	:	PUNCT
ejde-988	145	7	∇(u	∇(u	NOUN
ejde-988	145	8	·	·	PUNCT
ejde-988	145	9	∇)∇ρ	∇)∇ρ	NUM
ejde-988	145	10	dx	dx	PROPN
ejde-988	145	11	≤	≤	PUNCT
ejde-988	146	1	c∥∆u∥lr∥∇ρ∥l∞∥∆ρ∥r−1	c∥∆u∥lr∥∇ρ∥l∞∥∆ρ∥r−1	PROPN
ejde-988	146	2	lr	lr	X
ejde-988	146	3	+	+	CCONJ
ejde-988	146	4	c∥∇u∥l∞∥∆ρ∥rlr	c∥∇u∥l∞∥∆ρ∥rlr	PROPN
ejde-988	146	5	≤	≤	NUM
ejde-988	146	6	c(∥∇u∥l∞	c(∥∇u∥l∞	VERB
ejde-988	146	7	+	+	CCONJ
ejde-988	146	8	∥∆u∥lr	∥∆u∥lr	NUM
ejde-988	146	9	)	)	PUNCT
ejde-988	146	10	∥∆ρ∥rlr	∥∆ρ∥rlr	NOUN
ejde-988	146	11	.	.	PUNCT
ejde-988	147	1	(	(	PUNCT
ejde-988	147	2	3.9	3.9	NUM
ejde-988	147	3	)	)	PUNCT
ejde-988	147	4	using	use	VERB
ejde-988	147	5	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	147	6	’s	’s	PART
ejde-988	147	7	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	147	8	and	and	CCONJ
ejde-988	147	9	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	147	10	’s	’s	PART
ejde-988	147	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	147	12	,	,	PUNCT
ejde-988	147	13	it	it	PRON
ejde-988	147	14	follows	follow	VERB
ejde-988	147	15	that	that	SCONJ
ejde-988	147	16	∥∆ρ∥rlr	∥∆ρ∥rlr	ADP
ejde-988	147	17	≤	≤	ADV
ejde-988	147	18	∥∆ρ0∥rlr	∥∆ρ0∥rlr	ADJ
ejde-988	147	19	exp	exp	NOUN
ejde-988	147	20	(	(	PUNCT
ejde-988	147	21	c	c	NOUN
ejde-988	147	22	∫	∫	PROPN
ejde-988	147	23	t	t	PROPN
ejde-988	147	24	0	0	NUM
ejde-988	147	25	(	(	PUNCT
ejde-988	147	26	∥∇u∥l∞	∥∇u∥l∞	PROPN
ejde-988	147	27	+	+	CCONJ
ejde-988	147	28	∥∆u∥lr	∥∆u∥lr	X
ejde-988	147	29	)	)	PUNCT
ejde-988	147	30	ds	ds	ADJ
ejde-988	147	31	)	)	PUNCT
ejde-988	147	32	≤	≤	PROPN
ejde-988	147	33	c	c	NOUN
ejde-988	147	34	exp	exp	NOUN
ejde-988	147	35	(	(	PUNCT
ejde-988	148	1	c	c	NOUN
ejde-988	148	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	148	3	t	t	PROPN
ejde-988	148	4	0	0	NUM
ejde-988	148	5	∥∇u∥h2ds	∥∇u∥h2ds	PROPN
ejde-988	148	6	)	)	PUNCT
ejde-988	148	7	≤	≤	NUM
ejde-988	148	8	exp	exp	NOUN
ejde-988	148	9	(	(	PUNCT
ejde-988	148	10	c	c	NOUN
ejde-988	148	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	148	12	t	t	PROPN
ejde-988	148	13	0	0	NUM
ejde-988	148	14	φ(s)ds	φ(s)ds	PROPN
ejde-988	148	15	)	)	PUNCT
ejde-988	148	16	.	.	PUNCT
ejde-988	149	1	(	(	PUNCT
ejde-988	149	2	3.10	3.10	NUM
ejde-988	149	3	)	)	PUNCT
ejde-988	149	4	applying	apply	VERB
ejde-988	149	5	the	the	DET
ejde-988	149	6	operator	operator	NOUN
ejde-988	149	7	∇∆	∇∆	ADV
ejde-988	149	8	to	to	ADP
ejde-988	149	9	(	(	PUNCT
ejde-988	149	10	1.7)1	1.7)1	NUM
ejde-988	149	11	,	,	PUNCT
ejde-988	149	12	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	149	13	by	by	ADP
ejde-988	149	14	∇∆ρ	∇∆ρ	PROPN
ejde-988	149	15	,	,	PUNCT
ejde-988	149	16	and	and	CCONJ
ejde-988	149	17	integrating	integrate	VERB
ejde-988	149	18	the	the	DET
ejde-988	149	19	result	result	NOUN
ejde-988	149	20	over	over	ADP
ejde-988	149	21	ω	ω	PROPN
ejde-988	149	22	,	,	PUNCT
ejde-988	149	23	we	we	PRON
ejde-988	149	24	obtain	obtain	VERB
ejde-988	149	25	d	d	DET
ejde-988	149	26	dt	dt	NOUN
ejde-988	149	27	∥∇∆ρ∥2l2	∥∇∆ρ∥2l2	PUNCT
ejde-988	149	28	≤	≤	PUNCT
ejde-988	150	1	c(∥∇u∥l∞∥∇∆ρ∥2l2	c(∥∇u∥l∞∥∇∆ρ∥2l2	PROPN
ejde-988	150	2	+	+	CCONJ
ejde-988	150	3	∥∆u∥l3∥∆ρ∥l6∥∇∆ρ∥l2	∥∆u∥l3∥∆ρ∥l6∥∇∆ρ∥l2	NUM
ejde-988	150	4	+	+	CCONJ
ejde-988	150	5	∥∇∆u∥l2∥∇ρ∥l∞∥∇∆ρ∥l2	∥∇∆u∥l2∥∇ρ∥l∞∥∇∆ρ∥l2	ADJ
ejde-988	150	6	)	)	PUNCT
ejde-988	150	7	≤	≤	NOUN
ejde-988	150	8	c(∥∇u∥l∞	c(∥∇u∥l∞	VERB
ejde-988	150	9	+	+	PROPN
ejde-988	150	10	∥∆u∥l3)∥∇∆ρ∥2l2	∥∆u∥l3)∥∇∆ρ∥2l2	PROPN
ejde-988	151	1	+	+	CCONJ
ejde-988	151	2	c∥∇∆u∥l2∥∆ρ∥1/2l2	c∥∇∆u∥l2∥∆ρ∥1/2l2	PROPN
ejde-988	151	3	∥∇∆ρ∥	∥∇∆ρ∥	NOUN
ejde-988	151	4	3	3	NUM
ejde-988	151	5	2	2	NUM
ejde-988	151	6	l2	l2	NOUN
ejde-988	151	7	≤	≤	NOUN
ejde-988	151	8	c(∥∇u∥l∞	c(∥∇u∥l∞	VERB
ejde-988	151	9	+	+	X
ejde-988	151	10	∥∆u∥l3	∥∆u∥l3	X
ejde-988	152	1	+	+	CCONJ
ejde-988	152	2	∥∇∆u∥l2)∥∇∆ρ∥2l2	∥∇∆u∥l2)∥∇∆ρ∥2l2	PUNCT
ejde-988	153	1	+	+	CCONJ
ejde-988	153	2	c∥∇∆u∥l2∥∆ρ∥2l2	c∥∇∆u∥l2∥∆ρ∥2l2	X
ejde-988	153	3	.	.	PUNCT
ejde-988	154	1	(	(	PUNCT
ejde-988	154	2	3.11	3.11	NUM
ejde-988	154	3	)	)	PUNCT
ejde-988	154	4	it	it	PRON
ejde-988	154	5	then	then	ADV
ejde-988	154	6	follows	follow	VERB
ejde-988	154	7	from	from	ADP
ejde-988	154	8	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	154	9	’s	’s	PART
ejde-988	154	10	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	154	11	,	,	PUNCT
ejde-988	154	12	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	154	13	’s	’s	PART
ejde-988	154	14	inequality	inequality	PROPN
ejde-988	154	15	and	and	CCONJ
ejde-988	154	16	taylor	taylor	PROPN
ejde-988	154	17	’s	’s	PART
ejde-988	154	18	expansion	expansion	NOUN
ejde-988	154	19	of	of	ADP
ejde-988	154	20	ex	ex	PRON
ejde-988	154	21	that	that	PRON
ejde-988	154	22	∥∇∆ρ∥2l2	∥∇∆ρ∥2l2	NUM
ejde-988	154	23	≤	≤	NUM
ejde-988	154	24	(	(	PUNCT
ejde-988	154	25	∥∇∆ρ0∥2l2	∥∇∆ρ0∥2l2	NOUN
ejde-988	154	26	+	+	CCONJ
ejde-988	154	27	sup	sup	PROPN
ejde-988	154	28	∥∆ρ∥2l2	∥∆ρ∥2l2	PROPN
ejde-988	154	29	∫	∫	PROPN
ejde-988	154	30	t	t	PROPN
ejde-988	154	31	0	0	NUM
ejde-988	154	32	∥∇∆u∥l2ds	∥∇∆u∥l2ds	PUNCT
ejde-988	154	33	)	)	PUNCT
ejde-988	154	34	×	×	NOUN
ejde-988	154	35	exp	exp	NOUN
ejde-988	154	36	(	(	PUNCT
ejde-988	154	37	c	c	NOUN
ejde-988	154	38	∫	∫	PROPN
ejde-988	154	39	t	t	PROPN
ejde-988	154	40	0	0	NUM
ejde-988	154	41	(	(	PUNCT
ejde-988	154	42	∥∇u∥l∞	∥∇u∥l∞	CCONJ
ejde-988	154	43	+	+	NUM
ejde-988	154	44	∥∆u∥l3	∥∆u∥l3	X
ejde-988	154	45	+	+	CCONJ
ejde-988	154	46	∥∇∆u∥l2)ds	∥∇∆u∥l2)ds	NOUN
ejde-988	154	47	)	)	PUNCT
ejde-988	154	48	≤	≤	NUM
ejde-988	154	49	c	c	NOUN
ejde-988	154	50	exp	exp	NOUN
ejde-988	154	51	(	(	PUNCT
ejde-988	154	52	c	c	NOUN
ejde-988	154	53	∫	∫	PROPN
ejde-988	154	54	t	t	PROPN
ejde-988	154	55	0	0	NUM
ejde-988	154	56	∥∇u∥h2ds	∥∇u∥h2ds	PROPN
ejde-988	154	57	)	)	PUNCT
ejde-988	154	58	≤	≤	NUM
ejde-988	154	59	exp	exp	NOUN
ejde-988	154	60	(	(	PUNCT
ejde-988	154	61	c	c	NOUN
ejde-988	154	62	∫	∫	PROPN
ejde-988	154	63	t	t	PROPN
ejde-988	154	64	0	0	NUM
ejde-988	154	65	φ(s)ds	φ(s)ds	PROPN
ejde-988	154	66	)	)	PUNCT
ejde-988	154	67	,	,	PUNCT
ejde-988	154	68	(	(	PUNCT
ejde-988	154	69	3.12	3.12	NUM
ejde-988	154	70	)	)	PUNCT
ejde-988	154	71	which	which	PRON
ejde-988	154	72	complete	complete	VERB
ejde-988	154	73	the	the	DET
ejde-988	154	74	proof	proof	NOUN
ejde-988	154	75	.	.	PUNCT
ejde-988	155	1	□	□	PUNCT
ejde-988	155	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	155	3	3.5	3.5	NUM
ejde-988	155	4	.	.	PUNCT
ejde-988	156	1	if	if	SCONJ
ejde-988	156	2	(	(	PUNCT
ejde-988	156	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	156	4	,	,	PUNCT
ejde-988	156	5	u	u	NOUN
ejde-988	156	6	,	,	PUNCT
ejde-988	156	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	156	8	)	)	PUNCT
ejde-988	156	9	is	be	AUX
ejde-988	156	10	the	the	DET
ejde-988	156	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	156	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	156	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	156	14	stated	state	VERB
ejde-988	156	15	in	in	ADP
ejde-988	156	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	156	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	156	18	to	to	ADP
ejde-988	156	19	system	system	NOUN
ejde-988	156	20	(	(	PUNCT
ejde-988	156	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	156	22	)	)	PUNCT
ejde-988	156	23	,	,	PUNCT
ejde-988	156	24	then	then	ADV
ejde-988	156	25	for	for	ADP
ejde-988	156	26	any	any	DET
ejde-988	156	27	t	t	NOUN
ejde-988	156	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	156	29	(	(	PUNCT
ejde-988	156	30	0	0	NUM
ejde-988	156	31	,	,	PUNCT
ejde-988	156	32	t	t	PROPN
ejde-988	156	33	)	)	PUNCT
ejde-988	156	34	,	,	PUNCT
ejde-988	156	35	it	it	PRON
ejde-988	156	36	holds	hold	VERB
ejde-988	156	37	that	that	SCONJ
ejde-988	156	38	∥φ∥2l2	∥φ∥2l2	PROPN
ejde-988	157	1	+	+	NUM
ejde-988	157	2	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	158	1	+	+	CCONJ
ejde-988	158	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	158	3	t	t	PROPN
ejde-988	158	4	0	0	NUM
ejde-988	158	5	(	(	PUNCT
ejde-988	158	6	∥∆φ(s)∥2l2	∥∆φ(s)∥2l2	PROPN
ejde-988	158	7	+	+	CCONJ
ejde-988	158	8	∥∇∆φ(s)∥2l2)ds	∥∇∆φ(s)∥2l2)ds	PROPN
ejde-988	158	9	≤	≤	PROPN
ejde-988	159	1	c	c	PROPN
ejde-988	159	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	159	3	t	t	PROPN
ejde-988	159	4	0	0	NUM
ejde-988	159	5	φ6(s)ds	φ6(s)ds	NUM
ejde-988	159	6	.	.	PUNCT
ejde-988	160	1	(	(	PUNCT
ejde-988	160	2	3.13	3.13	NUM
ejde-988	160	3	)	)	PUNCT
ejde-988	160	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	160	5	.	.	PUNCT
ejde-988	161	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	161	2	(	(	PUNCT
ejde-988	161	3	1.7)3	1.7)3	NUM
ejde-988	161	4	by	by	ADP
ejde-988	161	5	φ	φ	PROPN
ejde-988	161	6	,	,	PUNCT
ejde-988	161	7	integrating	integrate	VERB
ejde-988	161	8	over	over	ADP
ejde-988	161	9	ω	ω	PROPN
ejde-988	161	10	,	,	PUNCT
ejde-988	161	11	one	one	PRON
ejde-988	161	12	deduce	deduce	VERB
ejde-988	161	13	that	that	SCONJ
ejde-988	161	14	1	1	NUM
ejde-988	161	15	2	2	NUM
ejde-988	161	16	d	d	NOUN
ejde-988	161	17	dt	dt	NOUN
ejde-988	161	18	∥φ∥2l2	∥φ∥2l2	PUNCT
ejde-988	162	1	+	+	CCONJ
ejde-988	162	2	λk∥∆φ∥2l2	λk∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	162	3	+	+	CCONJ
ejde-988	162	4	λ	λ	PROPN
ejde-988	162	5	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	162	6	∥∇φ∥4l4	∥∇φ∥4l4	ADJ
ejde-988	162	7	≤	≤	X
ejde-988	162	8	λ	λ	NOUN
ejde-988	162	9	ε2	ε2	PROPN
ejde-988	162	10	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	163	1	+	+	CCONJ
ejde-988	163	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	163	3	ω	ω	PROPN
ejde-988	163	4	|u||∇φ||φ|dx	|u||∇φ||φ|dx	PROPN
ejde-988	163	5	.	.	PUNCT
ejde-988	164	1	(	(	PUNCT
ejde-988	164	2	3.14	3.14	NUM
ejde-988	164	3	)	)	PUNCT
ejde-988	164	4	we	we	PRON
ejde-988	164	5	bound	bind	VERB
ejde-988	164	6	the	the	DET
ejde-988	164	7	first	first	ADJ
ejde-988	164	8	term	term	NOUN
ejde-988	164	9	on	on	ADP
ejde-988	164	10	the	the	DET
ejde-988	164	11	right	right	ADJ
ejde-988	164	12	-	-	PUNCT
ejde-988	164	13	hand	hand	NOUN
ejde-988	164	14	side	side	NOUN
ejde-988	164	15	of	of	ADP
ejde-988	164	16	(	(	PUNCT
ejde-988	164	17	3.14	3.14	NUM
ejde-988	164	18	)	)	PUNCT
ejde-988	164	19	by	by	ADP
ejde-988	164	20	λ	λ	PROPN
ejde-988	164	21	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	164	22	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	165	1	=	=	PUNCT
ejde-988	165	2	−	−	PROPN
ejde-988	165	3	λ	λ	PROPN
ejde-988	165	4	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	165	5	∫	∫	PROPN
ejde-988	165	6	ω	ω	PROPN
ejde-988	166	1	φ∆φdx	φ∆φdx	PROPN
ejde-988	166	2	≤	≤	NOUN
ejde-988	166	3	λk	λk	ADP
ejde-988	166	4	2	2	NUM
ejde-988	166	5	∥∆φ∥2l2	∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	166	6	+	+	CCONJ
ejde-988	167	1	c∥φ∥2l2	c∥φ∥2l2	PROPN
ejde-988	167	2	.	.	PUNCT
ejde-988	168	1	(	(	PUNCT
ejde-988	168	2	3.15	3.15	NUM
ejde-988	168	3	)	)	PUNCT
ejde-988	168	4	also	also	ADV
ejde-988	168	5	,	,	PUNCT
ejde-988	168	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	168	7	ω	ω	PROPN
ejde-988	168	8	|u||∇φ||φ|dx	|u||∇φ||φ|dx	PROPN
ejde-988	168	9	≤	≤	NUM
ejde-988	168	10	∥u∥l3∥∇φ∥l2∥φ∥l6	∥u∥l3∥∇φ∥l2∥φ∥l6	VERB
ejde-988	168	11	≤	≤	NUM
ejde-988	168	12	c∥u∥h1∥φ∥2h1	c∥u∥h1∥φ∥2h1	NOUN
ejde-988	168	13	≤	≤	NOUN
ejde-988	168	14	c(∥u∥3h1	c(∥u∥3h1	PROPN
ejde-988	168	15	+	+	CCONJ
ejde-988	168	16	∥φ∥3h1	∥φ∥3h1	NUM
ejde-988	168	17	)	)	PUNCT
ejde-988	168	18	.	.	PUNCT
ejde-988	169	1	(	(	PUNCT
ejde-988	169	2	3.16	3.16	NUM
ejde-988	169	3	)	)	PUNCT
ejde-988	169	4	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	169	5	density	density	NOUN
ejde-988	169	6	-	-	PUNCT
ejde-988	169	7	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	169	8	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	169	9	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	169	10	-	-	PUNCT
ejde-988	169	11	a	a	DET
ejde-988	169	12	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	169	13	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	169	14	7	7	NUM
ejde-988	169	15	combining	combine	VERB
ejde-988	169	16	(	(	PUNCT
ejde-988	169	17	3.14)-(3.16	3.14)-(3.16	NUM
ejde-988	169	18	)	)	PUNCT
ejde-988	169	19	gives	give	VERB
ejde-988	169	20	d	d	PROPN
ejde-988	169	21	dt	dt	NOUN
ejde-988	169	22	∥φ∥2l2	∥φ∥2l2	PUNCT
ejde-988	170	1	+	+	CCONJ
ejde-988	170	2	λk∥∆φ∥2l2	λk∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	170	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	170	4	c(∥u∥3h1	c(∥u∥3h1	PROPN
ejde-988	170	5	+	+	CCONJ
ejde-988	170	6	∥φ∥3h1	∥φ∥3h1	NUM
ejde-988	170	7	+	+	CCONJ
ejde-988	170	8	1	1	NUM
ejde-988	170	9	)	)	PUNCT
ejde-988	170	10	.	.	PUNCT
ejde-988	171	1	(	(	PUNCT
ejde-988	171	2	3.17	3.17	NUM
ejde-988	171	3	)	)	PUNCT
ejde-988	171	4	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-988	171	5	(	(	PUNCT
ejde-988	171	6	1.7)3	1.7)3	NUM
ejde-988	171	7	by	by	ADP
ejde-988	171	8	∆φ	∆φ	PROPN
ejde-988	171	9	,	,	PUNCT
ejde-988	171	10	integrating	integrate	VERB
ejde-988	171	11	over	over	ADP
ejde-988	171	12	ω	ω	NOUN
ejde-988	171	13	,	,	PUNCT
ejde-988	171	14	and	and	CCONJ
ejde-988	171	15	integrating	integrate	VERB
ejde-988	171	16	by	by	ADP
ejde-988	171	17	parts	part	NOUN
ejde-988	171	18	,	,	PUNCT
ejde-988	171	19	we	we	PRON
ejde-988	171	20	arrive	arrive	VERB
ejde-988	171	21	at	at	ADP
ejde-988	171	22	1	1	NUM
ejde-988	171	23	2	2	NUM
ejde-988	171	24	d	d	NOUN
ejde-988	171	25	dt	dt	NOUN
ejde-988	171	26	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	172	1	+	+	CCONJ
ejde-988	172	2	λk∥∇∆φ∥2l2	λk∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	172	3	≤	≤	NUM
ejde-988	172	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	172	5	ω	ω	SYM
ejde-988	172	6	|u||∇φ||∆φ|dx+	|u||∇φ||∆φ|dx+	PROPN
ejde-988	172	7	λ	λ	PROPN
ejde-988	172	8	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	172	9	∫	∫	PROPN
ejde-988	172	10	ω	ω	PROPN
ejde-988	172	11	(	(	PUNCT
ejde-988	172	12	|∇φ|3	|∇φ|3	X
ejde-988	172	13	+	+	CCONJ
ejde-988	172	14	|∇φ|)|∇∆φ|dx	|∇φ|)|∇∆φ|dx	NOUN
ejde-988	172	15	≤	≤	PUNCT
ejde-988	173	1	c∥u∥l6∥∇φ∥l3∥∆φ∥l2	c∥u∥l6∥∇φ∥l3∥∆φ∥l2	PROPN
ejde-988	173	2	+	+	CCONJ
ejde-988	173	3	c∥∇∆φ∥l2(∥∇φ∥3l6	c∥∇∆φ∥l2(∥∇φ∥3l6	PROPN
ejde-988	173	4	+	+	CCONJ
ejde-988	173	5	∥∇φ∥l2	∥∇φ∥l2	NOUN
ejde-988	173	6	)	)	PUNCT
ejde-988	173	7	≤	≤	NOUN
ejde-988	173	8	c∥u∥h1∥∇φ∥2h1	c∥u∥h1∥∇φ∥2h1	NOUN
ejde-988	173	9	+	+	CCONJ
ejde-988	173	10	λk	λk	PROPN
ejde-988	173	11	2	2	NUM
ejde-988	173	12	∥∇∆φ∥2l2	∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	173	13	+	+	NUM
ejde-988	173	14	c(∥∇φ∥6h1	c(∥∇φ∥6h1	PROPN
ejde-988	173	15	+	+	CCONJ
ejde-988	173	16	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	173	17	)	)	PUNCT
ejde-988	173	18	≤	≤	NOUN
ejde-988	173	19	λk	λk	ADP
ejde-988	173	20	2	2	NUM
ejde-988	173	21	∥∇∆φ∥2l2	∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	173	22	+	+	NUM
ejde-988	173	23	c(∥∇φ∥6h1	c(∥∇φ∥6h1	PROPN
ejde-988	174	1	+	+	CCONJ
ejde-988	174	2	∥u∥6h1	∥u∥6h1	X
ejde-988	175	1	+	+	CCONJ
ejde-988	175	2	1	1	NUM
ejde-988	175	3	)	)	PUNCT
ejde-988	175	4	.	.	PUNCT
ejde-988	176	1	simple	simple	ADJ
ejde-988	176	2	calculations	calculation	NOUN
ejde-988	176	3	show	show	VERB
ejde-988	176	4	that	that	SCONJ
ejde-988	177	1	d	d	NOUN
ejde-988	177	2	dt	dt	X
ejde-988	177	3	∥∇φ∥2l2	∥∇φ∥2l2	PROPN
ejde-988	178	1	+	+	CCONJ
ejde-988	178	2	λk∥∇∆φ∥2l2	λk∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	178	3	≤	≤	NUM
ejde-988	178	4	c(∥∇φ∥6h1	c(∥∇φ∥6h1	PROPN
ejde-988	178	5	+	+	NOUN
ejde-988	178	6	∥u∥6h1	∥u∥6h1	X
ejde-988	179	1	+	+	CCONJ
ejde-988	179	2	1	1	NUM
ejde-988	179	3	)	)	PUNCT
ejde-988	179	4	.	.	PUNCT
ejde-988	180	1	(	(	PUNCT
ejde-988	180	2	3.18	3.18	NUM
ejde-988	180	3	)	)	PUNCT
ejde-988	180	4	adding	add	VERB
ejde-988	180	5	(	(	PUNCT
ejde-988	180	6	3.17	3.17	NUM
ejde-988	180	7	)	)	PUNCT
ejde-988	180	8	and	and	CCONJ
ejde-988	180	9	(	(	PUNCT
ejde-988	180	10	3.18	3.18	NUM
ejde-988	180	11	)	)	PUNCT
ejde-988	180	12	,	,	PUNCT
ejde-988	180	13	and	and	CCONJ
ejde-988	180	14	using	use	VERB
ejde-988	180	15	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	180	16	’s	’s	PART
ejde-988	180	17	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	180	18	,	,	PUNCT
ejde-988	180	19	we	we	PRON
ejde-988	180	20	obtain	obtain	VERB
ejde-988	180	21	(	(	PUNCT
ejde-988	180	22	3.13	3.13	NUM
ejde-988	180	23	)	)	PUNCT
ejde-988	180	24	and	and	CCONJ
ejde-988	180	25	complete	complete	VERB
ejde-988	180	26	the	the	DET
ejde-988	180	27	proof	proof	NOUN
ejde-988	180	28	.	.	PUNCT
ejde-988	181	1	□	□	PUNCT
ejde-988	181	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	181	3	3.6	3.6	NUM
ejde-988	181	4	.	.	PUNCT
ejde-988	182	1	if	if	SCONJ
ejde-988	182	2	(	(	PUNCT
ejde-988	182	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	182	4	,	,	PUNCT
ejde-988	182	5	u	u	NOUN
ejde-988	182	6	,	,	PUNCT
ejde-988	182	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	182	8	)	)	PUNCT
ejde-988	182	9	is	be	AUX
ejde-988	182	10	the	the	DET
ejde-988	182	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	182	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	182	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	182	14	stated	state	VERB
ejde-988	182	15	in	in	ADP
ejde-988	182	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	182	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	182	18	to	to	ADP
ejde-988	182	19	system	system	NOUN
ejde-988	182	20	(	(	PUNCT
ejde-988	182	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	182	22	)	)	PUNCT
ejde-988	182	23	,	,	PUNCT
ejde-988	182	24	then	then	ADV
ejde-988	182	25	for	for	ADP
ejde-988	182	26	any	any	DET
ejde-988	182	27	t	t	NOUN
ejde-988	182	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	182	29	(	(	PUNCT
ejde-988	182	30	0	0	NUM
ejde-988	182	31	,	,	PUNCT
ejde-988	182	32	t	t	PROPN
ejde-988	182	33	)	)	PUNCT
ejde-988	182	34	,	,	PUNCT
ejde-988	182	35	it	it	PRON
ejde-988	182	36	holds	hold	VERB
ejde-988	182	37	that	that	PRON
ejde-988	182	38	∥∇u∥2l2	∥∇u∥2l2	PROPN
ejde-988	183	1	+	+	CCONJ
ejde-988	183	2	∥∇∆φ∥2l2	∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	184	1	+	+	CCONJ
ejde-988	184	2	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	184	3	+	+	CCONJ
ejde-988	184	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	184	5	t	t	PROPN
ejde-988	184	6	0	0	NUM
ejde-988	184	7	(	(	PUNCT
ejde-988	184	8	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	185	1	+	+	NUM
ejde-988	185	2	∥∇∆2φ∥2l2	∥∇∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	186	1	+	+	CCONJ
ejde-988	186	2	∥∆3φ∥2l2	∥∆3φ∥2l2	PROPN
ejde-988	186	3	)	)	PUNCT
ejde-988	186	4	ds	ds	ADJ
ejde-988	186	5	≤	≤	NUM
ejde-988	187	1	c	c	PROPN
ejde-988	187	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	187	3	t	t	PROPN
ejde-988	187	4	0	0	NUM
ejde-988	187	5	φ6(s)ds	φ6(s)ds	NUM
ejde-988	187	6	.	.	PUNCT
ejde-988	188	1	(	(	PUNCT
ejde-988	188	2	3.19	3.19	NUM
ejde-988	188	3	)	)	PUNCT
ejde-988	188	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	188	5	.	.	PUNCT
ejde-988	189	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	189	2	(	(	PUNCT
ejde-988	189	3	1.7)2	1.7)2	NUM
ejde-988	189	4	by	by	ADP
ejde-988	189	5	ut	ut	PROPN
ejde-988	189	6	,	,	PUNCT
ejde-988	189	7	and	and	CCONJ
ejde-988	189	8	integrating	integrate	VERB
ejde-988	189	9	by	by	ADP
ejde-988	189	10	parts	part	NOUN
ejde-988	189	11	over	over	ADP
ejde-988	189	12	ω	ω	NUM
ejde-988	189	13	,	,	PUNCT
ejde-988	189	14	we	we	PRON
ejde-988	189	15	arrive	arrive	VERB
ejde-988	189	16	at	at	ADP
ejde-988	189	17	d	d	PROPN
ejde-988	189	18	dt	dt	X
ejde-988	190	1	∫	∫	PROPN
ejde-988	190	2	ω	ω	PROPN
ejde-988	190	3	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	190	4	4	4	NUM
ejde-988	190	5	|∇u|2	|∇u|2	NOUN
ejde-988	190	6	dx+	dx+	ADJ
ejde-988	190	7	∫	∫	PROPN
ejde-988	190	8	ω	ω	X
ejde-988	190	9	ρ|ut|2dx	ρ|ut|2dx	PROPN
ejde-988	190	10	=	=	PUNCT
ejde-988	191	1	−	−	PROPN
ejde-988	191	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	191	3	ω	ω	PROPN
ejde-988	191	4	(	(	PUNCT
ejde-988	191	5	ρu	ρu	INTJ
ejde-988	191	6	·	·	PUNCT
ejde-988	191	7	∇u)ut	∇u)ut	PRON
ejde-988	191	8	dx+	dx+	ADJ
ejde-988	191	9	∫	∫	PROPN
ejde-988	191	10	ω	ω	PROPN
ejde-988	191	11	k∆2φ∇φut	k∆2φ∇φut	PROPN
ejde-988	191	12	dx	dx	PROPN
ejde-988	191	13	−	−	PROPN
ejde-988	191	14	1	1	NUM
ejde-988	191	15	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	191	16	∫	∫	PROPN
ejde-988	191	17	ω	ω	PROPN
ejde-988	191	18	[	[	PUNCT
ejde-988	191	19	∇	∇	X
ejde-988	191	20	·	·	PUNCT
ejde-988	192	1	[	[	X
ejde-988	192	2	(	(	PUNCT
ejde-988	192	3	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	192	4	−	−	PROPN
ejde-988	192	5	1)∇φ]∇φ	1)∇φ]∇φ	NUM
ejde-988	192	6	]	]	PUNCT
ejde-988	192	7	ut	ut	PROPN
ejde-988	192	8	dx−	dx−	PROPN
ejde-988	192	9	∫	∫	PROPN
ejde-988	193	1	ω	ω	PROPN
ejde-988	194	1	∇πut	∇πut	ADJ
ejde-988	194	2	dx	dx	PROPN
ejde-988	194	3	=	=	NOUN
ejde-988	194	4	:	:	PUNCT
ejde-988	194	5	i1	i1	PROPN
ejde-988	194	6	+	+	CCONJ
ejde-988	194	7	i2	i2	PROPN
ejde-988	194	8	+	+	CCONJ
ejde-988	194	9	i3	i3	NOUN
ejde-988	194	10	+	+	CCONJ
ejde-988	194	11	i4	i4	PROPN
ejde-988	194	12	.	.	PUNCT
ejde-988	195	1	(	(	PUNCT
ejde-988	195	2	3.20	3.20	NUM
ejde-988	195	3	)	)	PUNCT
ejde-988	195	4	in	in	ADP
ejde-988	195	5	the	the	DET
ejde-988	195	6	following	following	NOUN
ejde-988	195	7	,	,	PUNCT
ejde-988	195	8	we	we	PRON
ejde-988	195	9	estimate	estimate	VERB
ejde-988	195	10	the	the	DET
ejde-988	195	11	three	three	NUM
ejde-988	195	12	terms	term	NOUN
ejde-988	195	13	of	of	ADP
ejde-988	195	14	the	the	DET
ejde-988	195	15	right	right	ADJ
ejde-988	195	16	-	-	PUNCT
ejde-988	195	17	hand	hand	NOUN
ejde-988	195	18	side	side	NOUN
ejde-988	195	19	of	of	ADP
ejde-988	195	20	(	(	PUNCT
ejde-988	195	21	3.20	3.20	NUM
ejde-988	195	22	)	)	PUNCT
ejde-988	195	23	,	,	PUNCT
ejde-988	195	24	one	one	NUM
ejde-988	195	25	by	by	ADP
ejde-988	195	26	one	one	NUM
ejde-988	195	27	.	.	PUNCT
ejde-988	196	1	the	the	DET
ejde-988	196	2	main	main	ADJ
ejde-988	196	3	tools	tool	NOUN
ejde-988	196	4	to	to	PART
ejde-988	196	5	bound	bind	VERB
ejde-988	196	6	those	those	DET
ejde-988	196	7	terms	term	NOUN
ejde-988	196	8	are	be	AUX
ejde-988	196	9	hölder	hölder	NOUN
ejde-988	196	10	’s	’s	PART
ejde-988	196	11	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	196	12	and	and	CCONJ
ejde-988	196	13	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	196	14	’s	’s	PART
ejde-988	196	15	embedding	embed	VERB
ejde-988	196	16	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	196	17	.	.	PUNCT
ejde-988	197	1	note	note	VERB
ejde-988	197	2	that	that	SCONJ
ejde-988	197	3	i1	i1	PROPN
ejde-988	197	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	197	5	∫	∫	PROPN
ejde-988	197	6	ω	ω	PROPN
ejde-988	197	7	|ρ||u||∇u||ut|dx	|ρ||u||∇u||ut|dx	PROPN
ejde-988	197	8	≤	≤	ADJ
ejde-988	197	9	c∥√ρ∥l∞∥u∥l6∥∇u∥l3∥√ρut∥l2	c∥√ρ∥l∞∥u∥l6∥∇u∥l3∥√ρut∥l2	NOUN
ejde-988	197	10	≤	≤	PUNCT
ejde-988	197	11	c∥√ρ∥l∞(∥u∥l2	c∥√ρ∥l∞(∥u∥l2	NOUN
ejde-988	198	1	+	+	CCONJ
ejde-988	198	2	∥∇u∥l2)∥∇u∥1/2l2	∥∇u∥l2)∥∇u∥1/2l2	PROPN
ejde-988	198	3	∥∇u∥1/2h1	∥∇u∥1/2h1	PROPN
ejde-988	198	4	∥	∥	NOUN
ejde-988	198	5	√	√	ADP
ejde-988	198	6	ρut∥l2	ρut∥l2	NOUN
ejde-988	198	7	≤	≤	PUNCT
ejde-988	198	8	c∥√ρut∥l2∥u∥2h1	c∥√ρut∥l2∥u∥2h1	NOUN
ejde-988	199	1	+	+	CCONJ
ejde-988	199	2	c∥√ρut∥l2∥u∥	c∥√ρut∥l2∥u∥	NOUN
ejde-988	199	3	3	3	NUM
ejde-988	199	4	2	2	NUM
ejde-988	199	5	h1∥∆u∥1/2l2	h1∥∆u∥1/2l2	NOUN
ejde-988	199	6	≤	≤	NUM
ejde-988	199	7	1	1	NUM
ejde-988	199	8	4	4	NUM
ejde-988	199	9	(	(	PUNCT
ejde-988	199	10	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	199	11	+	+	CCONJ
ejde-988	199	12	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	NUM
ejde-988	199	13	)	)	PUNCT
ejde-988	200	1	+	+	CCONJ
ejde-988	200	2	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	200	3	+	+	CCONJ
ejde-988	200	4	∥u∥4h1	∥u∥4h1	NUM
ejde-988	200	5	)	)	PUNCT
ejde-988	200	6	,	,	PUNCT
ejde-988	200	7	(	(	PUNCT
ejde-988	200	8	3.21	3.21	NUM
ejde-988	200	9	)	)	PUNCT
ejde-988	200	10	8	8	NUM
ejde-988	200	11	x.	x.	NOUN
ejde-988	200	12	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	200	13	,	,	PUNCT
ejde-988	200	14	x.	x.	PROPN
ejde-988	200	15	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	200	16	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	200	17	and	and	CCONJ
ejde-988	200	18	i2	i2	PROPN
ejde-988	200	19	+	+	CCONJ
ejde-988	200	20	i3	i3	PROPN
ejde-988	200	21	≤	≤	NOUN
ejde-988	200	22	c(∥∆2φ∥l2∥∇φ∥l3∥ut∥l6	c(∥∆2φ∥l2∥∇φ∥l3∥ut∥l6	VERB
ejde-988	200	23	+	+	CCONJ
ejde-988	200	24	∥∆φ∥l2∥∇φ∥2l6∥ut∥l6	∥∆φ∥l2∥∇φ∥2l6∥ut∥l6	X
ejde-988	201	1	+	+	CCONJ
ejde-988	201	2	∥∆φ∥l2∥∇φ∥l3∥ut∥l6	∥∆φ∥l2∥∇φ∥l3∥ut∥l6	NOUN
ejde-988	201	3	)	)	PUNCT
ejde-988	201	4	≤	≤	NUM
ejde-988	202	1	c∥∆2φ∥l2∥∇φ∥1/2l2	c∥∆2φ∥l2∥∇φ∥1/2l2	NOUN
ejde-988	202	2	∥∇φ∥1/2h1	∥∇φ∥1/2h1	ADJ
ejde-988	202	3	∥∇ut∥l2	∥∇ut∥l2	ADJ
ejde-988	202	4	+	+	CCONJ
ejde-988	202	5	c∥∆φ∥l2∥∇φ∥2h1∥ut∥h1	c∥∆φ∥l2∥∇φ∥2h1∥ut∥h1	NOUN
ejde-988	202	6	+	+	X
ejde-988	202	7	c∥∇φ∥1/2l2	c∥∇φ∥1/2l2	VERB
ejde-988	202	8	∥∇φ∥1/2h1	∥∇φ∥1/2h1	PROPN
ejde-988	202	9	∥∆φ∥l2∥ut∥h1	∥∆φ∥l2∥ut∥h1	PUNCT
ejde-988	202	10	≤	≤	NUM
ejde-988	202	11	1	1	NUM
ejde-988	202	12	4	4	NUM
ejde-988	202	13	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	202	14	+	+	CCONJ
ejde-988	202	15	c(∥∆2φ∥2l2∥∇φ∥l2∥∇φ∥h1	c(∥∆2φ∥2l2∥∇φ∥l2∥∇φ∥h1	VERB
ejde-988	202	16	+	+	NUM
ejde-988	202	17	∥∆φ∥2l2∥∇φ∥4h1	∥∆φ∥2l2∥∇φ∥4h1	NOUN
ejde-988	202	18	+	+	CCONJ
ejde-988	202	19	∥∇φ∥l2∥∇φ∥h1∥∆φ∥2l2	∥∇φ∥l2∥∇φ∥h1∥∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	202	20	)	)	PUNCT
ejde-988	202	21	≤	≤	NOUN
ejde-988	202	22	1	1	NUM
ejde-988	202	23	4	4	NUM
ejde-988	202	24	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	202	25	+	+	CCONJ
ejde-988	202	26	c(∥∆2φ∥6l2	c(∥∆2φ∥6l2	NOUN
ejde-988	202	27	+	+	CCONJ
ejde-988	202	28	∥∆φ∥6l2	∥∆φ∥6l2	NUM
ejde-988	202	29	+	+	CCONJ
ejde-988	202	30	∥∇φ∥6l2	∥∇φ∥6l2	ADP
ejde-988	202	31	+	+	CCONJ
ejde-988	202	32	1	1	NUM
ejde-988	202	33	)	)	PUNCT
ejde-988	202	34	.	.	PUNCT
ejde-988	203	1	(	(	PUNCT
ejde-988	203	2	3.22	3.22	NUM
ejde-988	203	3	)	)	PUNCT
ejde-988	203	4	moreover	moreover	ADV
ejde-988	203	5	,	,	PUNCT
ejde-988	203	6	(	(	PUNCT
ejde-988	203	7	1.7)4	1.7)4	NUM
ejde-988	203	8	implies	imply	VERB
ejde-988	203	9	that	that	SCONJ
ejde-988	203	10	i4	i4	PROPN
ejde-988	203	11	=	=	SYM
ejde-988	203	12	∫	∫	PROPN
ejde-988	203	13	ω	ω	NUM
ejde-988	203	14	π∇	π∇	PROPN
ejde-988	203	15	·	·	PUNCT
ejde-988	203	16	ut	ut	PROPN
ejde-988	203	17	dx	dx	PROPN
ejde-988	203	18	=	=	SYM
ejde-988	203	19	0	0	PROPN
ejde-988	203	20	.	.	PUNCT
ejde-988	204	1	(	(	PUNCT
ejde-988	204	2	3.23	3.23	NUM
ejde-988	204	3	)	)	PUNCT
ejde-988	204	4	combining	combine	VERB
ejde-988	204	5	(	(	PUNCT
ejde-988	204	6	3.20)-(3.23	3.20)-(3.23	NUM
ejde-988	204	7	)	)	PUNCT
ejde-988	204	8	,	,	PUNCT
ejde-988	204	9	we	we	PRON
ejde-988	204	10	derive	derive	VERB
ejde-988	204	11	that	that	SCONJ
ejde-988	205	1	d	d	NOUN
ejde-988	205	2	dt	dt	X
ejde-988	205	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	205	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	205	5	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	205	6	2	2	NUM
ejde-988	205	7	|∇u|2	|∇u|2	NOUN
ejde-988	205	8	dx+	dx+	NOUN
ejde-988	205	9	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	205	10	∫	∫	PROPN
ejde-988	205	11	ω	ω	PROPN
ejde-988	205	12	|ut|2dx	|ut|2dx	PROPN
ejde-988	205	13	≤	≤	NUM
ejde-988	205	14	1	1	NUM
ejde-988	205	15	2	2	NUM
ejde-988	205	16	(	(	PUNCT
ejde-988	205	17	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	205	18	+	+	CCONJ
ejde-988	205	19	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	NUM
ejde-988	205	20	)	)	PUNCT
ejde-988	206	1	+	+	CCONJ
ejde-988	206	2	c(∥∆2φ∥6l2	c(∥∆2φ∥6l2	NOUN
ejde-988	206	3	+	+	CCONJ
ejde-988	206	4	∥∇φ∥6l2	∥∇φ∥6l2	VERB
ejde-988	206	5	+	+	CCONJ
ejde-988	206	6	∥∆φ∥6l2	∥∆φ∥6l2	NUM
ejde-988	206	7	+	+	NUM
ejde-988	206	8	∥∇u∥6l2	∥∇u∥6l2	NOUN
ejde-988	206	9	+	+	CCONJ
ejde-988	206	10	1	1	X
ejde-988	206	11	)	)	PUNCT
ejde-988	206	12	≤	≤	NOUN
ejde-988	206	13	c(∥∇ut∥6l2	c(∥∇ut∥6l2	VERB
ejde-988	206	14	+	+	CCONJ
ejde-988	206	15	∥u∥6h2	∥u∥6h2	NUM
ejde-988	206	16	+	+	NUM
ejde-988	206	17	∥φ∥6h4	∥φ∥6h4	NUM
ejde-988	206	18	+	+	ADP
ejde-988	206	19	1	1	NUM
ejde-988	206	20	)	)	PUNCT
ejde-988	206	21	.	.	PUNCT
ejde-988	207	1	(	(	PUNCT
ejde-988	207	2	3.24	3.24	NUM
ejde-988	207	3	)	)	PUNCT
ejde-988	207	4	applying	apply	VERB
ejde-988	207	5	∇∆	∇∆	ADV
ejde-988	207	6	to	to	ADP
ejde-988	207	7	both	both	DET
ejde-988	207	8	side	side	NOUN
ejde-988	207	9	of	of	ADP
ejde-988	207	10	(	(	PUNCT
ejde-988	207	11	1.7)3	1.7)3	NOUN
ejde-988	207	12	,	,	PUNCT
ejde-988	207	13	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	207	14	by	by	ADP
ejde-988	207	15	∇∆φ	∇∆φ	NOUN
ejde-988	207	16	,	,	PUNCT
ejde-988	207	17	integrating	integrate	VERB
ejde-988	207	18	over	over	ADP
ejde-988	207	19	ω	ω	PROPN
ejde-988	207	20	,	,	PUNCT
ejde-988	207	21	we	we	PRON
ejde-988	207	22	deduce	deduce	VERB
ejde-988	207	23	that	that	SCONJ
ejde-988	207	24	1	1	NUM
ejde-988	207	25	2	2	NUM
ejde-988	207	26	d	d	NOUN
ejde-988	207	27	dt	dt	NOUN
ejde-988	207	28	∥∇∆φ∥2l2	∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	208	1	+	+	CCONJ
ejde-988	208	2	λk∥∇∆2φ∥2l2	λk∥∇∆2φ∥2l2	X
ejde-988	208	3	≤	≤	NUM
ejde-988	208	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	208	5	ω	ω	X
ejde-988	208	6	|∇(u	|∇(u	PROPN
ejde-988	208	7	·	·	PUNCT
ejde-988	208	8	∇φ)||∇∆2φ|dx+	∇φ)||∇∆2φ|dx+	PROPN
ejde-988	208	9	λ	λ	PROPN
ejde-988	208	10	∫	∫	PROPN
ejde-988	208	11	ω	ω	NUM
ejde-988	208	12	∣∣∣∇∇	∣∣∣∇∇	NOUN
ejde-988	208	13	·	·	PUNCT
ejde-988	208	14	(	(	PUNCT
ejde-988	208	15	1	1	NUM
ejde-988	208	16	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	208	17	(	(	PUNCT
ejde-988	208	18	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	208	19	−	−	PROPN
ejde-988	208	20	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	208	21	)	)	PUNCT
ejde-988	208	22	∣∣∣|∇∆2φ|	∣∣∣|∇∆2φ|	NUM
ejde-988	208	23	dx	dx	PROPN
ejde-988	209	1	=	=	NOUN
ejde-988	209	2	:	:	PUNCT
ejde-988	209	3	i4	i4	PROPN
ejde-988	209	4	+	+	CCONJ
ejde-988	209	5	i5	i5	ADJ
ejde-988	209	6	.	.	PUNCT
ejde-988	210	1	(	(	PUNCT
ejde-988	210	2	3.25	3.25	NUM
ejde-988	210	3	)	)	PUNCT
ejde-988	210	4	by	by	ADP
ejde-988	210	5	using	use	VERB
ejde-988	210	6	hölder	hölder	NOUN
ejde-988	210	7	’s	’s	PART
ejde-988	210	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	210	9	,	,	PUNCT
ejde-988	210	10	the	the	DET
ejde-988	210	11	kato	kato	PROPN
ejde-988	210	12	-	-	PUNCT
ejde-988	210	13	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	210	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	210	15	and	and	CCONJ
ejde-988	210	16	sobolev’e	sobolev’e	NOUN
ejde-988	210	17	embedding	embed	VERB
ejde-988	210	18	theorem	theorem	NOUN
ejde-988	210	19	in	in	ADP
ejde-988	210	20	3d	3d	PROPN
ejde-988	210	21	bounded	bounded	ADJ
ejde-988	210	22	domain	domain	NOUN
ejde-988	210	23	,	,	PUNCT
ejde-988	210	24	the	the	DET
ejde-988	210	25	right	right	ADJ
ejde-988	210	26	-	-	PUNCT
ejde-988	210	27	hand	hand	NOUN
ejde-988	210	28	side	side	NOUN
ejde-988	210	29	of	of	ADP
ejde-988	210	30	(	(	PUNCT
ejde-988	210	31	3.25	3.25	NUM
ejde-988	210	32	)	)	PUNCT
ejde-988	210	33	can	can	AUX
ejde-988	210	34	be	be	AUX
ejde-988	210	35	bounded	bound	VERB
ejde-988	210	36	as	as	ADP
ejde-988	210	37	i4	i4	PROPN
ejde-988	210	38	≤	≤	PROPN
ejde-988	210	39	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇u∥l2∥∇φ∥l∞	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇u∥l2∥∇φ∥l∞	PROPN
ejde-988	210	40	+	+	NUM
ejde-988	210	41	∥u∥l6∥∇2φ∥l3	∥u∥l6∥∇2φ∥l3	PROPN
ejde-988	210	42	)	)	PUNCT
ejde-988	210	43	≤	≤	NUM
ejde-988	210	44	c∥∇∆2φ∥l2∥u∥h1∥∇φ∥h2	c∥∇∆2φ∥l2∥u∥h1∥∇φ∥h2	PROPN
ejde-988	210	45	≤	≤	PROPN
ejde-988	210	46	λk	λk	ADP
ejde-988	210	47	4	4	NUM
ejde-988	210	48	∥∇∆2φ∥2l2	∥∇∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	210	49	+	+	CCONJ
ejde-988	210	50	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h2	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h2	INTJ
ejde-988	210	51	,	,	PUNCT
ejde-988	210	52	(	(	PUNCT
ejde-988	210	53	3.26	3.26	NUM
ejde-988	210	54	)	)	PUNCT
ejde-988	210	55	and	and	CCONJ
ejde-988	210	56	i5	i5	ADJ
ejde-988	210	57	≤	≤	ADJ
ejde-988	210	58	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇2(|∇φ|2∇φ)∥l2	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇2(|∇φ|2∇φ)∥l2	PROPN
ejde-988	210	59	+	+	CCONJ
ejde-988	210	60	∥∇∆φ∥l2	∥∇∆φ∥l2	PROPN
ejde-988	210	61	)	)	PUNCT
ejde-988	210	62	≤	≤	PUNCT
ejde-988	210	63	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇φ∥2l6∥∇∆φ∥l6	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇φ∥2l6∥∇∆φ∥l6	PROPN
ejde-988	210	64	+	+	CCONJ
ejde-988	210	65	∥∇∆φ∥l2	∥∇∆φ∥l2	PROPN
ejde-988	210	66	)	)	PUNCT
ejde-988	210	67	≤	≤	NOUN
ejde-988	211	1	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇φ∥2h1∥∇∆φ∥h1	c∥∇∆2φ∥l2(∥∇φ∥2h1∥∇∆φ∥h1	PROPN
ejde-988	211	2	+	+	CCONJ
ejde-988	211	3	∥∇∆φ∥l2	∥∇∆φ∥l2	PROPN
ejde-988	211	4	)	)	PUNCT
ejde-988	211	5	≤	≤	NOUN
ejde-988	211	6	λk	λk	ADP
ejde-988	211	7	4	4	NUM
ejde-988	211	8	∥∇∆2φ∥2l2	∥∇∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	211	9	+	+	CCONJ
ejde-988	211	10	c(1	c(1	PROPN
ejde-988	211	11	+	+	CCONJ
ejde-988	211	12	∥∇φ∥4h1)(∥∇∆φ∥2l2	∥∇φ∥4h1)(∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	211	13	+	+	CCONJ
ejde-988	211	14	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	211	15	)	)	PUNCT
ejde-988	211	16	.	.	PUNCT
ejde-988	212	1	(	(	PUNCT
ejde-988	212	2	3.27	3.27	NUM
ejde-988	212	3	)	)	PUNCT
ejde-988	212	4	it	it	PRON
ejde-988	212	5	then	then	ADV
ejde-988	212	6	follows	follow	VERB
ejde-988	212	7	from	from	ADP
ejde-988	212	8	(	(	PUNCT
ejde-988	212	9	3.25)-(3.27	3.25)-(3.27	NUM
ejde-988	212	10	)	)	PUNCT
ejde-988	212	11	that	that	PRON
ejde-988	213	1	d	d	PROPN
ejde-988	213	2	dt	dt	X
ejde-988	213	3	∥∇∆φ∥2l2	∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	214	1	+	+	CCONJ
ejde-988	214	2	λk∥∇∆2φ∥2l2	λk∥∇∆2φ∥2l2	X
ejde-988	214	3	≤	≤	NUM
ejde-988	214	4	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h2	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h2	NOUN
ejde-988	215	1	+	+	CCONJ
ejde-988	215	2	c(1	c(1	PROPN
ejde-988	215	3	+	+	CCONJ
ejde-988	215	4	∥∇φ∥4h1)(∥∇∆φ∥2l2	∥∇φ∥4h1)(∥∇∆φ∥2l2	PROPN
ejde-988	215	5	+	+	CCONJ
ejde-988	215	6	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	215	7	)	)	PUNCT
ejde-988	215	8	≤	≤	PUNCT
ejde-988	216	1	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	216	2	+	+	CCONJ
ejde-988	216	3	∥φ∥6h4	∥φ∥6h4	NUM
ejde-988	216	4	+	+	ADJ
ejde-988	216	5	1	1	NUM
ejde-988	216	6	)	)	PUNCT
ejde-988	216	7	.	.	PUNCT
ejde-988	217	1	(	(	PUNCT
ejde-988	217	2	3.28	3.28	NUM
ejde-988	217	3	)	)	PUNCT
ejde-988	217	4	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	217	5	density	density	NOUN
ejde-988	217	6	-	-	PUNCT
ejde-988	217	7	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	217	8	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	217	9	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	217	10	-	-	PUNCT
ejde-988	217	11	a	a	DET
ejde-988	217	12	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	217	13	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	217	14	9	9	NUM
ejde-988	217	15	applying	apply	VERB
ejde-988	217	16	∆2	∆2	PROPN
ejde-988	217	17	to	to	ADP
ejde-988	217	18	both	both	DET
ejde-988	217	19	side	side	NOUN
ejde-988	217	20	of	of	ADP
ejde-988	217	21	(	(	PUNCT
ejde-988	217	22	1.7)3	1.7)3	PROPN
ejde-988	217	23	,	,	PUNCT
ejde-988	217	24	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	217	25	by	by	ADP
ejde-988	217	26	∆2φ	∆2φ	NOUN
ejde-988	217	27	,	,	PUNCT
ejde-988	217	28	integrating	integrate	VERB
ejde-988	217	29	over	over	ADP
ejde-988	217	30	ω	ω	PROPN
ejde-988	217	31	,	,	PUNCT
ejde-988	217	32	we	we	PRON
ejde-988	217	33	deduce	deduce	VERB
ejde-988	217	34	that	that	SCONJ
ejde-988	217	35	1	1	NUM
ejde-988	217	36	2	2	NUM
ejde-988	217	37	d	d	NOUN
ejde-988	217	38	dt	dt	X
ejde-988	217	39	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	218	1	+	+	CCONJ
ejde-988	218	2	λk∥∆3φ∥2l2	λk∥∆3φ∥2l2	PROPN
ejde-988	218	3	≤	≤	NUM
ejde-988	218	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	218	5	ω	ω	NUM
ejde-988	218	6	|∆(u	|∆(u	PROPN
ejde-988	218	7	·	·	PUNCT
ejde-988	218	8	∇φ)||∆3φ|	∇φ)||∆3φ|	VERB
ejde-988	218	9	dx+	dx+	NOUN
ejde-988	218	10	λ	λ	PROPN
ejde-988	218	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	218	12	ω	ω	PROPN
ejde-988	218	13	∣∣∣∣∆∇	∣∣∣∣∆∇	X
ejde-988	218	14	·	·	PUNCT
ejde-988	218	15	(	(	PUNCT
ejde-988	218	16	1	1	NUM
ejde-988	218	17	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	218	18	(	(	PUNCT
ejde-988	218	19	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	218	20	−	−	PROPN
ejde-988	218	21	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	218	22	)	)	PUNCT
ejde-988	218	23	∣∣∣∣	∣∣∣∣	NOUN
ejde-988	218	24	∣∣∆3φ	∣∣∆3φ	PROPN
ejde-988	218	25	∣∣	∣∣	X
ejde-988	218	26	dx	dx	PROPN
ejde-988	218	27	=	=	NOUN
ejde-988	218	28	:	:	PUNCT
ejde-988	218	29	i6	i6	NOUN
ejde-988	218	30	+	+	CCONJ
ejde-988	218	31	i7	i7	NOUN
ejde-988	218	32	.	.	PUNCT
ejde-988	219	1	(	(	PUNCT
ejde-988	219	2	3.29	3.29	NUM
ejde-988	219	3	)	)	PUNCT
ejde-988	219	4	the	the	DET
ejde-988	219	5	main	main	ADJ
ejde-988	219	6	tools	tool	NOUN
ejde-988	219	7	to	to	ADP
ejde-988	219	8	bound	bind	VERB
ejde-988	219	9	i6	i6	NOUN
ejde-988	219	10	and	and	CCONJ
ejde-988	219	11	i7	i7	NOUN
ejde-988	219	12	are	be	AUX
ejde-988	219	13	also	also	ADV
ejde-988	219	14	hölder	hölder	NOUN
ejde-988	219	15	’s	’s	PART
ejde-988	219	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	219	17	,	,	PUNCT
ejde-988	219	18	the	the	DET
ejde-988	219	19	kato	kato	PROPN
ejde-988	219	20	-	-	PUNCT
ejde-988	219	21	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	219	22	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	219	23	and	and	CCONJ
ejde-988	219	24	sobolev’e	sobolev’e	NOUN
ejde-988	219	25	embedding	embed	VERB
ejde-988	219	26	theorem	theorem	VERB
ejde-988	219	27	.	.	PUNCT
ejde-988	220	1	simple	simple	ADJ
ejde-988	220	2	calculations	calculation	NOUN
ejde-988	220	3	show	show	VERB
ejde-988	220	4	that	that	SCONJ
ejde-988	220	5	i6	i6	NOUN
ejde-988	220	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	220	7	c∥∆3φ∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞	c∥∆3φ∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞	PROPN
ejde-988	220	8	+	+	SYM
ejde-988	220	9	∥u∥l∞∥∇∆φ∥l2	∥u∥l∞∥∇∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	220	10	)	)	PUNCT
ejde-988	220	11	≤	≤	NOUN
ejde-988	220	12	c∥∆3φ∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ∥h2	c∥∆3φ∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ∥h2	PROPN
ejde-988	220	13	+	+	CCONJ
ejde-988	220	14	∥u∥h2∥∇∆φ∥l2	∥u∥h2∥∇∆φ∥l2	ADJ
ejde-988	220	15	)	)	PUNCT
ejde-988	220	16	≤	≤	NOUN
ejde-988	220	17	λk	λk	ADP
ejde-988	220	18	4	4	NUM
ejde-988	220	19	∥∆3φ∥2l2	∥∆3φ∥2l2	NOUN
ejde-988	221	1	+	+	CCONJ
ejde-988	221	2	c(∥∆u∥2l2∥∇φ∥2h2	c(∥∆u∥2l2∥∇φ∥2h2	NOUN
ejde-988	221	3	+	+	CCONJ
ejde-988	221	4	∥∇∆φ∥2l2∥u∥2h2	∥∇∆φ∥2l2∥u∥2h2	NOUN
ejde-988	221	5	)	)	PUNCT
ejde-988	221	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	221	7	λk	λk	ADP
ejde-988	221	8	4	4	NUM
ejde-988	221	9	∥∆3φ∥2l2	∥∆3φ∥2l2	NOUN
ejde-988	221	10	+	+	CCONJ
ejde-988	221	11	c(∥∇φ∥4h2	c(∥∇φ∥4h2	X
ejde-988	221	12	+	+	CCONJ
ejde-988	221	13	∥u∥4h2	∥u∥4h2	NUM
ejde-988	221	14	+	+	CCONJ
ejde-988	221	15	1	1	NUM
ejde-988	221	16	)	)	PUNCT
ejde-988	221	17	,	,	PUNCT
ejde-988	221	18	(	(	PUNCT
ejde-988	221	19	3.30	3.30	NUM
ejde-988	221	20	)	)	PUNCT
ejde-988	221	21	and	and	CCONJ
ejde-988	221	22	i7	i7	VERB
ejde-988	221	23	≤	≤	NOUN
ejde-988	221	24	c∥∆3φ∥l2(∥∇3(|∇φ|2∇φ)∥l2	c∥∆3φ∥l2(∥∇3(|∇φ|2∇φ)∥l2	PROPN
ejde-988	221	25	+	+	CCONJ
ejde-988	221	26	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	221	27	)	)	PUNCT
ejde-988	221	28	≤	≤	NUM
ejde-988	221	29	c∥∆3φ∥l2(∥∇φ∥2l∞∥∆2φ∥l2	c∥∆3φ∥l2(∥∇φ∥2l∞∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	221	30	+	+	CCONJ
ejde-988	221	31	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	221	32	)	)	PUNCT
ejde-988	221	33	≤	≤	NOUN
ejde-988	221	34	c∥∆3φ∥l2(∥∇φ∥2h2∥∆2φ∥l2	c∥∆3φ∥l2(∥∇φ∥2h2∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	221	35	+	+	CCONJ
ejde-988	221	36	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	221	37	)	)	PUNCT
ejde-988	221	38	≤	≤	NOUN
ejde-988	221	39	λk	λk	ADP
ejde-988	221	40	4	4	NUM
ejde-988	221	41	∥∆3φ∥2l2	∥∆3φ∥2l2	NOUN
ejde-988	222	1	+	+	NUM
ejde-988	222	2	c(∥∇φ∥4h2∥∆2φ∥2l2	c(∥∇φ∥4h2∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	223	1	+	+	CCONJ
ejde-988	223	2	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	223	3	)	)	PUNCT
ejde-988	223	4	≤	≤	PUNCT
ejde-988	223	5	λk	λk	ADP
ejde-988	223	6	4	4	NUM
ejde-988	223	7	∥∆3φ∥2l2	∥∆3φ∥2l2	PROPN
ejde-988	224	1	+	+	PROPN
ejde-988	224	2	c(1	c(1	PROPN
ejde-988	224	3	+	+	CCONJ
ejde-988	224	4	∥∇φ∥6h3	∥∇φ∥6h3	NOUN
ejde-988	224	5	)	)	PUNCT
ejde-988	224	6	.	.	PUNCT
ejde-988	225	1	(	(	PUNCT
ejde-988	225	2	3.31	3.31	NUM
ejde-988	225	3	)	)	PUNCT
ejde-988	225	4	summing	sum	VERB
ejde-988	225	5	(	(	PUNCT
ejde-988	225	6	3.29)-(3.31	3.29)-(3.31	NUM
ejde-988	225	7	)	)	PUNCT
ejde-988	225	8	,	,	PUNCT
ejde-988	225	9	we	we	PRON
ejde-988	225	10	obtain	obtain	VERB
ejde-988	225	11	d	d	PRON
ejde-988	225	12	dt	dt	NOUN
ejde-988	226	1	∥∆2φ∥2l2	∥∆2φ∥2l2	PROPN
ejde-988	227	1	+	+	CCONJ
ejde-988	227	2	λk∥∆3φ∥2l2	λk∥∆3φ∥2l2	PROPN
ejde-988	227	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	227	4	c(1	c(1	PROPN
ejde-988	227	5	+	+	CCONJ
ejde-988	227	6	∥∇φ∥6h3	∥∇φ∥6h3	NOUN
ejde-988	227	7	+	+	CCONJ
ejde-988	227	8	∥u∥6h2	∥u∥6h2	NUM
ejde-988	227	9	)	)	PUNCT
ejde-988	227	10	.	.	PUNCT
ejde-988	228	1	(	(	PUNCT
ejde-988	228	2	3.32	3.32	NUM
ejde-988	228	3	)	)	PUNCT
ejde-988	228	4	combining	combine	VERB
ejde-988	228	5	(	(	PUNCT
ejde-988	228	6	3.24	3.24	NUM
ejde-988	228	7	)	)	PUNCT
ejde-988	228	8	,	,	PUNCT
ejde-988	228	9	(	(	PUNCT
ejde-988	228	10	3.28	3.28	NUM
ejde-988	228	11	)	)	PUNCT
ejde-988	228	12	and	and	CCONJ
ejde-988	228	13	(	(	PUNCT
ejde-988	228	14	3.32	3.32	NUM
ejde-988	228	15	)	)	PUNCT
ejde-988	228	16	,	,	PUNCT
ejde-988	228	17	integrating	integrate	VERB
ejde-988	228	18	over	over	ADP
ejde-988	228	19	(	(	PUNCT
ejde-988	228	20	0	0	NUM
ejde-988	228	21	,	,	PUNCT
ejde-988	228	22	t	t	PROPN
ejde-988	228	23	)	)	PUNCT
ejde-988	228	24	,	,	PUNCT
ejde-988	228	25	one	one	NUM
ejde-988	228	26	obtains	obtain	VERB
ejde-988	228	27	(	(	PUNCT
ejde-988	228	28	3.19	3.19	NUM
ejde-988	228	29	)	)	PUNCT
ejde-988	228	30	and	and	CCONJ
ejde-988	228	31	completes	complete	VERB
ejde-988	228	32	the	the	DET
ejde-988	228	33	proof	proof	NOUN
ejde-988	228	34	.	.	PUNCT
ejde-988	229	1	□	□	PUNCT
ejde-988	229	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	229	3	3.7	3.7	NUM
ejde-988	229	4	.	.	PUNCT
ejde-988	230	1	if	if	SCONJ
ejde-988	230	2	(	(	PUNCT
ejde-988	230	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	230	4	,	,	PUNCT
ejde-988	230	5	u	u	NOUN
ejde-988	230	6	,	,	PUNCT
ejde-988	230	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	230	8	)	)	PUNCT
ejde-988	230	9	is	be	AUX
ejde-988	230	10	the	the	DET
ejde-988	230	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	230	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	230	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	230	14	stated	state	VERB
ejde-988	230	15	in	in	ADP
ejde-988	230	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	230	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	230	18	to	to	ADP
ejde-988	230	19	system	system	NOUN
ejde-988	230	20	(	(	PUNCT
ejde-988	230	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	230	22	)	)	PUNCT
ejde-988	230	23	,	,	PUNCT
ejde-988	230	24	then	then	ADV
ejde-988	230	25	for	for	ADP
ejde-988	230	26	any	any	DET
ejde-988	230	27	t	t	NOUN
ejde-988	230	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	230	29	(	(	PUNCT
ejde-988	230	30	0	0	NUM
ejde-988	230	31	,	,	PUNCT
ejde-988	230	32	t	t	PROPN
ejde-988	230	33	)	)	PUNCT
ejde-988	230	34	,	,	PUNCT
ejde-988	230	35	it	it	PRON
ejde-988	230	36	holds	hold	VERB
ejde-988	230	37	that	that	SCONJ
ejde-988	230	38	∥ut∥2l2	∥ut∥2l2	PROPN
ejde-988	231	1	+	+	CCONJ
ejde-988	231	2	∥∇φt∥2l2	∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	232	1	+	+	NUM
ejde-988	232	2	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	233	1	+	+	CCONJ
ejde-988	233	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	233	3	t	t	PROPN
ejde-988	233	4	0	0	NUM
ejde-988	233	5	(	(	PUNCT
ejde-988	233	6	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	233	7	2	2	NUM
ejde-988	233	8	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	233	9	+	+	NUM
ejde-988	233	10	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	233	11	+	+	CCONJ
ejde-988	233	12	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	X
ejde-988	233	13	)	)	PUNCT
ejde-988	233	14	ds	ds	ADJ
ejde-988	233	15	≤	≤	NUM
ejde-988	233	16	c	c	PROPN
ejde-988	233	17	∫	∫	PROPN
ejde-988	233	18	t	t	PROPN
ejde-988	233	19	0	0	NUM
ejde-988	233	20	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	233	21	.	.	PUNCT
ejde-988	234	1	(	(	PUNCT
ejde-988	234	2	3.33	3.33	NUM
ejde-988	234	3	)	)	PUNCT
ejde-988	234	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	234	5	.	.	PUNCT
ejde-988	235	1	differentiating	differentiate	VERB
ejde-988	235	2	(	(	PUNCT
ejde-988	235	3	1.7)2	1.7)2	NUM
ejde-988	235	4	with	with	ADP
ejde-988	235	5	respect	respect	NOUN
ejde-988	235	6	to	to	ADP
ejde-988	235	7	t	t	PROPN
ejde-988	235	8	,	,	PUNCT
ejde-988	235	9	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	235	10	the	the	DET
ejde-988	235	11	resulting	result	VERB
ejde-988	235	12	by	by	ADP
ejde-988	235	13	ut	ut	PROPN
ejde-988	235	14	,	,	PUNCT
ejde-988	235	15	integrating	integrate	VERB
ejde-988	235	16	over	over	ADP
ejde-988	235	17	ω	ω	PROPN
ejde-988	235	18	,	,	PUNCT
ejde-988	235	19	we	we	PRON
ejde-988	235	20	arrive	arrive	VERB
ejde-988	235	21	at	at	ADP
ejde-988	235	22	1	1	NUM
ejde-988	235	23	2	2	NUM
ejde-988	235	24	d	d	NOUN
ejde-988	235	25	dt	dt	X
ejde-988	235	26	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	236	1	+	+	CCONJ
ejde-988	236	2	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	236	3	=	=	SYM
ejde-988	236	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	236	5	ω	ω	PROPN
ejde-988	237	1	[	[	X
ejde-988	237	2	div(ρu)(ut	div(ρu)(ut	X
ejde-988	237	3	+	+	CCONJ
ejde-988	237	4	u	u	X
ejde-988	237	5	·	·	PUNCT
ejde-988	237	6	∇u)−	∇u)−	NOUN
ejde-988	237	7	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	237	8	·	·	PUNCT
ejde-988	237	9	∇u)]ut	∇u)]ut	X
ejde-988	237	10	dx	dx	PROPN
ejde-988	238	1	+	+	CCONJ
ejde-988	238	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	238	3	ω	ω	X
ejde-988	238	4	[	[	X
ejde-988	238	5	(	(	PUNCT
ejde-988	238	6	k∆2φ−	k∆2φ−	PROPN
ejde-988	238	7	1	1	NUM
ejde-988	238	8	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	238	9	∇	∇	X
ejde-988	238	10	·	·	PUNCT
ejde-988	238	11	(	(	PUNCT
ejde-988	238	12	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	238	13	−	−	PROPN
ejde-988	238	14	1)∇φ	1)∇φ	NUM
ejde-988	238	15	)	)	PUNCT
ejde-988	239	1	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	239	2	]	]	PUNCT
ejde-988	239	3	t	t	PROPN
ejde-988	239	4	ut	ut	PROPN
ejde-988	239	5	dx	dx	PROPN
ejde-988	240	1	=	=	NOUN
ejde-988	240	2	:	:	PUNCT
ejde-988	240	3	j1	j1	PROPN
ejde-988	240	4	+	+	CCONJ
ejde-988	240	5	j2	j2	PROPN
ejde-988	240	6	.	.	PUNCT
ejde-988	241	1	(	(	PUNCT
ejde-988	241	2	3.34	3.34	NUM
ejde-988	241	3	)	)	PUNCT
ejde-988	241	4	10	10	NUM
ejde-988	241	5	x.	x.	NOUN
ejde-988	241	6	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	241	7	,	,	PUNCT
ejde-988	241	8	x.	x.	PROPN
ejde-988	241	9	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	241	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	241	11	there	there	PRON
ejde-988	241	12	are	be	VERB
ejde-988	241	13	two	two	NUM
ejde-988	241	14	terms	term	NOUN
ejde-988	241	15	on	on	ADP
ejde-988	241	16	the	the	DET
ejde-988	241	17	right	right	ADJ
ejde-988	241	18	-	-	PUNCT
ejde-988	241	19	hand	hand	NOUN
ejde-988	241	20	side	side	NOUN
ejde-988	241	21	of	of	ADP
ejde-988	241	22	(	(	PUNCT
ejde-988	241	23	3.34	3.34	NUM
ejde-988	241	24	)	)	PUNCT
ejde-988	241	25	.	.	PUNCT
ejde-988	242	1	we	we	PRON
ejde-988	242	2	estimate	estimate	VERB
ejde-988	242	3	them	they	PRON
ejde-988	242	4	by	by	ADP
ejde-988	242	5	using	use	VERB
ejde-988	242	6	höler	höler	PROPN
ejde-988	242	7	’s	’s	PART
ejde-988	242	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	242	9	,	,	PUNCT
ejde-988	242	10	kato	kato	PROPN
ejde-988	242	11	-	-	PUNCT
ejde-988	242	12	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	242	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	242	14	and	and	CCONJ
ejde-988	242	15	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	242	16	embedding	embed	VERB
ejde-988	242	17	theorem	theorem	NOUN
ejde-988	242	18	in	in	ADP
ejde-988	242	19	the	the	DET
ejde-988	242	20	following	following	NOUN
ejde-988	242	21	.	.	PUNCT
ejde-988	243	1	for	for	ADP
ejde-988	243	2	the	the	DET
ejde-988	243	3	term	term	NOUN
ejde-988	243	4	j1	j1	PROPN
ejde-988	243	5	,	,	PUNCT
ejde-988	243	6	we	we	PRON
ejde-988	243	7	have	have	VERB
ejde-988	243	8	j1	j1	PROPN
ejde-988	243	9	≤	≤	NUM
ejde-988	243	10	c	c	PROPN
ejde-988	243	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	243	12	ω	ω	PROPN
ejde-988	243	13	(	(	PUNCT
ejde-988	243	14	ρ|u||∇ut||ut|+	ρ|u||∇ut||ut|+	NUM
ejde-988	243	15	ρ|u||∇u|2|ut|+	ρ|u||∇u|2|ut|+	PROPN
ejde-988	243	16	ρ|u|2|∆u||ut|	ρ|u|2|∆u||ut|	PROPN
ejde-988	243	17	+	+	CCONJ
ejde-988	243	18	ρ|u|2|∇u||∇ut|+	ρ|u|2|∇u||∇ut|+	NOUN
ejde-988	243	19	ρ|ut|2|∇u|	ρ|ut|2|∇u|	CCONJ
ejde-988	243	20	)	)	PUNCT
ejde-988	243	21	dx	dx	PROPN
ejde-988	243	22	≤	≤	NOUN
ejde-988	243	23	c(∥√ρut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥l∞∥ρ∥1/2l∞	c(∥√ρut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥l∞∥ρ∥1/2l∞	VERB
ejde-988	244	1	+	+	CCONJ
ejde-988	244	2	∥ρ∥l∞∥u∥l6∥∇u∥2l3∥ut∥l6	∥ρ∥l∞∥u∥l6∥∇u∥2l3∥ut∥l6	PROPN
ejde-988	245	1	+	+	CCONJ
ejde-988	245	2	∥ρ∥l∞∥u∥2l6∥∆u∥l2∥ut∥l6	∥ρ∥l∞∥u∥2l6∥∆u∥l2∥ut∥l6	NOUN
ejde-988	245	3	+	+	CCONJ
ejde-988	245	4	∥ρ∥l∞∥u∥2l6∥∇u∥l6∥∇ut∥l2	∥ρ∥l∞∥u∥2l6∥∇u∥l6∥∇ut∥l2	ADJ
ejde-988	245	5	+	+	CCONJ
ejde-988	245	6	∥∇u∥l3∥√ρut∥l2∥ut∥l6∥ρ∥1/2l∞	∥∇u∥l3∥√ρut∥l2∥ut∥l6∥ρ∥1/2l∞	PROPN
ejde-988	245	7	)	)	PUNCT
ejde-988	245	8	≤	≤	NOUN
ejde-988	245	9	c(∥√ρut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥h2	c(∥√ρut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥h2	PROPN
ejde-988	246	1	+	+	CCONJ
ejde-988	246	2	∥u∥h1∥∇u∥l2∥∇u∥h1∥ut∥h1	∥u∥h1∥∇u∥l2∥∇u∥h1∥ut∥h1	NOUN
ejde-988	247	1	+	+	CCONJ
ejde-988	247	2	∥u∥2h1∥∆u∥l2∥ut∥h1	∥u∥2h1∥∆u∥l2∥ut∥h1	VERB
ejde-988	247	3	+	+	CCONJ
ejde-988	247	4	∥u∥2h1∥∇u∥h1∥∇ut∥l2	∥u∥2h1∥∇u∥h1∥∇ut∥l2	ADJ
ejde-988	247	5	+	+	ADJ
ejde-988	247	6	∥∇u∥h1∥√ρut∥l2∥ut∥h1	∥∇u∥h1∥√ρut∥l2∥ut∥h1	PROPN
ejde-988	247	7	)	)	PUNCT
ejde-988	247	8	≤	≤	PUNCT
ejde-988	248	1	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	248	2	28	28	NUM
ejde-988	249	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	250	1	+	+	NUM
ejde-988	250	2	c∥√ρut∥2l2∥u∥2h2	c∥√ρut∥2l2∥u∥2h2	NOUN
ejde-988	250	3	+	+	CCONJ
ejde-988	250	4	c∥u∥4h1∥∇u∥2h1	c∥u∥4h1∥∇u∥2h1	NOUN
ejde-988	250	5	+	+	CCONJ
ejde-988	250	6	∥u∥2h1∥∇u∥h1∥ut∥l2	∥u∥2h1∥∇u∥h1∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	250	7	+	+	CCONJ
ejde-988	250	8	c∥√ρut∥l2∥∇u∥h1∥ut∥l2	c∥√ρut∥l2∥∇u∥h1∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	250	9	≤	≤	PROPN
ejde-988	250	10	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	250	11	28	28	NUM
ejde-988	250	12	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	251	1	+	+	CCONJ
ejde-988	251	2	c(∥ut∥6l2	c(∥ut∥6l2	VERB
ejde-988	251	3	+	+	CCONJ
ejde-988	251	4	∥u∥6h2	∥u∥6h2	PUNCT
ejde-988	251	5	+	+	ADJ
ejde-988	251	6	1	1	NUM
ejde-988	251	7	)	)	PUNCT
ejde-988	251	8	.	.	PUNCT
ejde-988	252	1	(	(	PUNCT
ejde-988	252	2	3.35	3.35	NUM
ejde-988	252	3	)	)	PUNCT
ejde-988	252	4	moreover	moreover	ADV
ejde-988	252	5	,	,	PUNCT
ejde-988	252	6	j2	j2	PROPN
ejde-988	252	7	can	can	AUX
ejde-988	252	8	be	be	AUX
ejde-988	252	9	bounded	bound	VERB
ejde-988	252	10	as	as	ADP
ejde-988	252	11	j2	j2	PROPN
ejde-988	252	12	=	=	SYM
ejde-988	252	13	∫	∫	PROPN
ejde-988	252	14	ω	ω	PROPN
ejde-988	252	15	(	(	PUNCT
ejde-988	252	16	k∆2φt∇φ+k∆2φ∇φt	k∆2φt∇φ+k∆2φ∇φt	X
ejde-988	252	17	+	+	CCONJ
ejde-988	252	18	1	1	NUM
ejde-988	252	19	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	252	20	∆φt	∆φt	NOUN
ejde-988	252	21	−	−	PROPN
ejde-988	252	22	3	3	NUM
ejde-988	252	23	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	252	24	|∇φ|2∆φt	|∇φ|2∆φt	NOUN
ejde-988	252	25	−	−	PROPN
ejde-988	252	26	6	6	NUM
ejde-988	252	27	ε2	ε2	PROPN
ejde-988	252	28	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	252	29	·	·	PUNCT
ejde-988	252	30	∇φt∆φ	∇φt∆φ	X
ejde-988	252	31	)	)	PUNCT
ejde-988	252	32	ut	ut	PROPN
ejde-988	252	33	dx	dx	PROPN
ejde-988	252	34	≤	≤	PROPN
ejde-988	253	1	c	c	PROPN
ejde-988	253	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	253	3	ω	ω	NUM
ejde-988	253	4	|∇∆φt||∆φ||ut|dx+	|∇∆φt||∆φ||ut|dx+	PROPN
ejde-988	253	5	c	c	PROPN
ejde-988	253	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	253	7	ω	ω	PROPN
ejde-988	254	1	|∇∆φt||∇φ||∇ut|dx+	|∇∆φt||∇φ||∇ut|dx+	PROPN
ejde-988	254	2	c	c	PROPN
ejde-988	254	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	254	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	254	5	|∆2φ||∇φt||ut|dx	|∆2φ||∇φt||ut|dx	PUNCT
ejde-988	255	1	+	+	CCONJ
ejde-988	255	2	c	c	PROPN
ejde-988	255	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	255	4	ω	ω	PROPN
ejde-988	255	5	|∇φt||∇ut|dx+	|∇φt||∇ut|dx+	PROPN
ejde-988	255	6	c	c	PROPN
ejde-988	255	7	∫	∫	PROPN
ejde-988	255	8	ω	ω	PROPN
ejde-988	255	9	|∇φ|2|∆φt||ut|dx+	|∇φ|2|∆φt||ut|dx+	PROPN
ejde-988	255	10	c	c	PROPN
ejde-988	255	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	255	12	ω	ω	X
ejde-988	255	13	|∇φ||∇φt||∆φ||ut|dx	|∇φ||∇φt||∆φ||ut|dx	PUNCT
ejde-988	255	14	=	=	NOUN
ejde-988	255	15	:	:	PUNCT
ejde-988	255	16	j21	j21	NOUN
ejde-988	255	17	+	+	CCONJ
ejde-988	255	18	j22	j22	PROPN
ejde-988	255	19	+	+	CCONJ
ejde-988	255	20	j23	j23	PROPN
ejde-988	255	21	+	+	CCONJ
ejde-988	255	22	j24	j24	PROPN
ejde-988	255	23	+	+	CCONJ
ejde-988	255	24	j25	j25	PROPN
ejde-988	255	25	+	+	CCONJ
ejde-988	255	26	j26	j26	NOUN
ejde-988	255	27	,	,	PUNCT
ejde-988	255	28	(	(	PUNCT
ejde-988	255	29	3.36	3.36	NUM
ejde-988	255	30	)	)	PUNCT
ejde-988	255	31	where	where	SCONJ
ejde-988	255	32	j21	j21	PROPN
ejde-988	255	33	≤	≤	PROPN
ejde-988	255	34	∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥l3∥ut∥l6	∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥l3∥ut∥l6	PROPN
ejde-988	255	35	≤	≤	PROPN
ejde-988	255	36	c∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥h1∥ut∥h1	c∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥h1∥ut∥h1	NOUN
ejde-988	255	37	≤	≤	PUNCT
ejde-988	255	38	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	255	39	28	28	NUM
ejde-988	256	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	257	1	+	+	CCONJ
ejde-988	257	2	c∥∇∆φt∥2l2∥∆φ∥2h1	c∥∇∆φt∥2l2∥∆φ∥2h1	NOUN
ejde-988	257	3	+	+	CCONJ
ejde-988	257	4	c∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥h1∥ut∥l2	c∥∇∆φt∥l2∥∆φ∥h1∥ut∥l2	NOUN
ejde-988	257	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	257	6	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	257	7	28	28	NUM
ejde-988	257	8	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	258	1	+	+	CCONJ
ejde-988	258	2	c(∥∇∆φt∥4l2	c(∥∇∆φt∥4l2	PROPN
ejde-988	259	1	+	+	NUM
ejde-988	259	2	∥∆φ∥4h1	∥∆φ∥4h1	PROPN
ejde-988	260	1	+	+	NUM
ejde-988	260	2	∥ut∥4l2	∥ut∥4l2	NUM
ejde-988	261	1	+	+	CCONJ
ejde-988	261	2	1	1	NUM
ejde-988	261	3	)	)	PUNCT
ejde-988	261	4	,	,	PUNCT
ejde-988	261	5	(	(	PUNCT
ejde-988	261	6	3.37	3.37	NUM
ejde-988	261	7	)	)	PUNCT
ejde-988	261	8	j22	j22	NOUN
ejde-988	261	9	≤	≤	PROPN
ejde-988	261	10	c∥∇∆φt∥l2∥∇φ∥l∞∥∇ut∥l2	c∥∇∆φt∥l2∥∇φ∥l∞∥∇ut∥l2	PROPN
ejde-988	261	11	≤	≤	PROPN
ejde-988	261	12	c∥∇∆φt∥l2∥∇φ∥h2∥∇ut∥l2	c∥∇∆φt∥l2∥∇φ∥h2∥∇ut∥l2	PROPN
ejde-988	261	13	≤	≤	PROPN
ejde-988	261	14	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	261	15	28	28	NUM
ejde-988	262	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	262	2	+	+	CCONJ
ejde-988	262	3	c∥∇∆φt∥2l2∥∇φ∥2h2	c∥∇∆φt∥2l2∥∇φ∥2h2	PROPN
ejde-988	262	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	262	5	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	262	6	28	28	NUM
ejde-988	263	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	264	1	+	+	CCONJ
ejde-988	264	2	c(∥∇∆φt∥4l2	c(∥∇∆φt∥4l2	PROPN
ejde-988	264	3	+	+	CCONJ
ejde-988	264	4	∥∇φ∥4h2	∥∇φ∥4h2	PROPN
ejde-988	264	5	)	)	PUNCT
ejde-988	264	6	,	,	PUNCT
ejde-988	264	7	(	(	PUNCT
ejde-988	264	8	3.38	3.38	NUM
ejde-988	264	9	)	)	PUNCT
ejde-988	264	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	264	11	density	density	NOUN
ejde-988	264	12	-	-	PUNCT
ejde-988	264	13	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	264	14	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	264	15	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	264	16	-	-	PUNCT
ejde-988	264	17	a	a	DET
ejde-988	264	18	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	264	19	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	264	20	11	11	NUM
ejde-988	264	21	j23	j23	PROPN
ejde-988	264	22	≤	≤	PROPN
ejde-988	264	23	c∥∆2φ∥l2∥∇φt∥l3∥ut∥l6	c∥∆2φ∥l2∥∇φt∥l3∥ut∥l6	VERB
ejde-988	264	24	≤	≤	NUM
ejde-988	264	25	c∥∆2φ∥l2∥∇φt∥1/4h2	c∥∆2φ∥l2∥∇φt∥1/4h2	NOUN
ejde-988	264	26	∥∇φt∥3/4l2	∥∇φt∥3/4l2	PROPN
ejde-988	264	27	∥ut∥h1	∥ut∥h1	VERB
ejde-988	264	28	≤	≤	PROPN
ejde-988	265	1	c∥∆2φ∥l2(∥∇∆φt∥1/4l2	c∥∆2φ∥l2(∥∇∆φt∥1/4l2	PROPN
ejde-988	265	2	+	+	CCONJ
ejde-988	265	3	∥∇φt∥1/4l2	∥∇φt∥1/4l2	PROPN
ejde-988	265	4	)	)	PUNCT
ejde-988	265	5	∥∇φt∥3/4l2	∥∇φt∥3/4l2	PROPN
ejde-988	265	6	(	(	PUNCT
ejde-988	265	7	∥ut∥l2	∥ut∥l2	NOUN
ejde-988	265	8	+	+	CCONJ
ejde-988	265	9	∥∇ut∥l2	∥∇ut∥l2	X
ejde-988	265	10	)	)	PUNCT
ejde-988	265	11	≤	≤	NOUN
ejde-988	265	12	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	265	13	28	28	NUM
ejde-988	265	14	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	266	1	+	+	NUM
ejde-988	266	2	c∥∆2φ∥2l2∥∇∆φt∥1/2l2	c∥∆2φ∥2l2∥∇∆φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	266	3	∥∇φt∥	∥∇φt∥	VERB
ejde-988	266	4	3	3	NUM
ejde-988	266	5	2	2	NUM
ejde-988	266	6	l2	l2	NOUN
ejde-988	266	7	+	+	CCONJ
ejde-988	266	8	c∥∆2φ∥2l2∥∇φt∥2l2	c∥∆2φ∥2l2∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	267	1	+	+	CCONJ
ejde-988	267	2	c∥∆2φ∥l2(∥∇∆φt∥1/4l2	c∥∆2φ∥l2(∥∇∆φt∥1/4l2	PROPN
ejde-988	268	1	+	+	CCONJ
ejde-988	268	2	∥∇φt∥1/4l2	∥∇φt∥1/4l2	PROPN
ejde-988	268	3	)	)	PUNCT
ejde-988	268	4	∥∇φt∥3/4l2	∥∇φt∥3/4l2	PROPN
ejde-988	268	5	∥ut∥l2	∥ut∥l2	VERB
ejde-988	268	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	268	7	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	268	8	28	28	NUM
ejde-988	268	9	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	269	1	+	+	CCONJ
ejde-988	269	2	c(∥∇∆φt∥4l2	c(∥∇∆φt∥4l2	PROPN
ejde-988	270	1	+	+	CCONJ
ejde-988	270	2	∥∇φt∥4l2	∥∇φt∥4l2	PROPN
ejde-988	271	1	+	+	NUM
ejde-988	271	2	∥∆2φ∥4l2	∥∆2φ∥4l2	PROPN
ejde-988	272	1	+	+	X
ejde-988	272	2	∥ut∥4l2	∥ut∥4l2	NUM
ejde-988	273	1	+	+	NOUN
ejde-988	273	2	1	1	NUM
ejde-988	273	3	)	)	PUNCT
ejde-988	273	4	,	,	PUNCT
ejde-988	273	5	(	(	PUNCT
ejde-988	273	6	3.39	3.39	NUM
ejde-988	273	7	)	)	PUNCT
ejde-988	273	8	j24	j24	PROPN
ejde-988	273	9	≤	≤	PROPN
ejde-988	273	10	c∥∇ut∥l2∥∇φt∥l2	c∥∇ut∥l2∥∇φt∥l2	VERB
ejde-988	273	11	≤	≤	PROPN
ejde-988	273	12	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	273	13	28	28	NUM
ejde-988	274	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	275	1	+	+	CCONJ
ejde-988	275	2	c∥∇φt∥2l2	c∥∇φt∥2l2	NUM
ejde-988	275	3	,	,	PUNCT
ejde-988	275	4	(	(	PUNCT
ejde-988	275	5	3.40	3.40	NUM
ejde-988	275	6	)	)	PUNCT
ejde-988	275	7	j25	j25	NOUN
ejde-988	275	8	≤	≤	NOUN
ejde-988	275	9	c∥∆φt∥l2∥∇φ∥2l6∥ut∥l6	c∥∆φt∥l2∥∇φ∥2l6∥ut∥l6	PROPN
ejde-988	275	10	≤	≤	NOUN
ejde-988	275	11	c∥∇∆φt∥1/2l2	c∥∇∆φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	275	12	∥∇φt∥1/2l2	∥∇φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	275	13	∥∇φ∥2h1∥ut∥h1	∥∇φ∥2h1∥ut∥h1	NOUN
ejde-988	275	14	≤	≤	PROPN
ejde-988	275	15	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	275	16	28	28	NUM
ejde-988	275	17	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	276	1	+	+	PUNCT
ejde-988	276	2	c∥∇∆φt∥l2∥∇φt∥l2∥∇φ∥4h1	c∥∇∆φt∥l2∥∇φt∥l2∥∇φ∥4h1	PROPN
ejde-988	277	1	+	+	CCONJ
ejde-988	277	2	c∥∇∆φt∥1/2l2	c∥∇∆φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	277	3	∥∇φt∥1/2l2	∥∇φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	277	4	∥∇φ∥2h1∥ut∥l2	∥∇φ∥2h1∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	277	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	277	6	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	277	7	28	28	NUM
ejde-988	277	8	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	278	1	+	+	CCONJ
ejde-988	278	2	c(∥ut∥6l2	c(∥ut∥6l2	VERB
ejde-988	278	3	+	+	CCONJ
ejde-988	278	4	∥∇∆φt∥6l2	∥∇∆φt∥6l2	NOUN
ejde-988	278	5	+	+	CCONJ
ejde-988	278	6	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PROPN
ejde-988	279	1	+	+	CCONJ
ejde-988	279	2	∥∇φ∥6h1	∥∇φ∥6h1	PROPN
ejde-988	280	1	+	+	NOUN
ejde-988	280	2	1	1	NUM
ejde-988	280	3	)	)	PUNCT
ejde-988	280	4	,	,	PUNCT
ejde-988	280	5	(	(	PUNCT
ejde-988	280	6	3.41	3.41	NUM
ejde-988	280	7	)	)	PUNCT
ejde-988	280	8	j26	j26	NOUN
ejde-988	280	9	≤	≤	NUM
ejde-988	280	10	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥l6∥∆φ∥l6∥ut∥l6	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥l6∥∆φ∥l6∥ut∥l6	PROPN
ejde-988	280	11	≤	≤	PUNCT
ejde-988	280	12	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥2h2∥ut∥h1	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥2h2∥ut∥h1	NOUN
ejde-988	280	13	≤	≤	PROPN
ejde-988	280	14	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	280	15	28	28	NUM
ejde-988	281	1	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	282	1	+	+	NUM
ejde-988	282	2	c∥∇φt∥2l2∥∇φ∥4h2	c∥∇φt∥2l2∥∇φ∥4h2	X
ejde-988	282	3	+	+	CCONJ
ejde-988	282	4	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥2h2∥ut∥l2	c∥∇φt∥l2∥∇φ∥2h2∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	282	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	282	6	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	282	7	28	28	NUM
ejde-988	282	8	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	283	1	+	+	CCONJ
ejde-988	283	2	c(∥∇∆φ∥6l2	c(∥∇∆φ∥6l2	VERB
ejde-988	283	3	+	+	CCONJ
ejde-988	283	4	∥∇φ∥6l2	∥∇φ∥6l2	VERB
ejde-988	283	5	+	+	CCONJ
ejde-988	283	6	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	X
ejde-988	283	7	+	+	CCONJ
ejde-988	283	8	∥ut∥6l2	∥ut∥6l2	ADJ
ejde-988	283	9	+	+	NOUN
ejde-988	283	10	1	1	NUM
ejde-988	283	11	)	)	PUNCT
ejde-988	283	12	.	.	PUNCT
ejde-988	284	1	(	(	PUNCT
ejde-988	284	2	3.42	3.42	NUM
ejde-988	284	3	)	)	PUNCT
ejde-988	284	4	summing	sum	VERB
ejde-988	284	5	(	(	PUNCT
ejde-988	284	6	3.34)-(3.42	3.34)-(3.42	NUM
ejde-988	284	7	)	)	PUNCT
ejde-988	284	8	,	,	PUNCT
ejde-988	284	9	it	it	PRON
ejde-988	284	10	yields	yield	VERB
ejde-988	284	11	that	that	SCONJ
ejde-988	285	1	d	d	PRON
ejde-988	285	2	dt	dt	X
ejde-988	285	3	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	286	1	+	+	PROPN
ejde-988	286	2	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	286	3	2	2	NUM
ejde-988	286	4	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	286	5	≤	≤	NOUN
ejde-988	286	6	c(∥ut∥6l2	c(∥ut∥6l2	NOUN
ejde-988	286	7	+	+	X
ejde-988	286	8	∥∇u∥6l2	∥∇u∥6l2	NOUN
ejde-988	286	9	+	+	CCONJ
ejde-988	286	10	∥∆u∥6l2	∥∆u∥6l2	CCONJ
ejde-988	286	11	+	+	PUNCT
ejde-988	286	12	∥∇∆u∥6l2	∥∇∆u∥6l2	ADV
ejde-988	286	13	+	+	PUNCT
ejde-988	286	14	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	X
ejde-988	286	15	+	+	CCONJ
ejde-988	286	16	∥∇∆φt∥6l2	∥∇∆φt∥6l2	NOUN
ejde-988	286	17	+	+	CCONJ
ejde-988	286	18	∥∆2φ∥6l2	∥∆2φ∥6l2	NOUN
ejde-988	286	19	+	+	CCONJ
ejde-988	286	20	∥∇∆φ∥6l2	∥∇∆φ∥6l2	SYM
ejde-988	286	21	+	+	NUM
ejde-988	286	22	1	1	NUM
ejde-988	286	23	)	)	PUNCT
ejde-988	286	24	.	.	PUNCT
ejde-988	287	1	(	(	PUNCT
ejde-988	287	2	3.43	3.43	NUM
ejde-988	287	3	)	)	PUNCT
ejde-988	287	4	differentiating	differentiate	VERB
ejde-988	287	5	(	(	PUNCT
ejde-988	287	6	1.7)3	1.7)3	NUM
ejde-988	287	7	with	with	ADP
ejde-988	287	8	respect	respect	NOUN
ejde-988	287	9	to	to	ADP
ejde-988	287	10	t	t	PROPN
ejde-988	287	11	,	,	PUNCT
ejde-988	287	12	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	287	13	the	the	DET
ejde-988	287	14	resulting	result	VERB
ejde-988	287	15	by	by	ADP
ejde-988	287	16	∆φt	∆φt	NOUN
ejde-988	287	17	,	,	PUNCT
ejde-988	287	18	integrating	integrate	VERB
ejde-988	287	19	over	over	ADP
ejde-988	287	20	ω	ω	PROPN
ejde-988	287	21	,	,	PUNCT
ejde-988	287	22	one	one	NUM
ejde-988	287	23	arrive	arrive	VERB
ejde-988	287	24	that	that	SCONJ
ejde-988	287	25	1	1	NUM
ejde-988	287	26	2	2	NUM
ejde-988	287	27	d	d	NOUN
ejde-988	287	28	dt	dt	X
ejde-988	287	29	∥∇φt∥2l2	∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	287	30	+	+	CCONJ
ejde-988	287	31	λk∥∇∆φt∥2l2	λk∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	288	1	=	=	PUNCT
ejde-988	288	2	−	−	PROPN
ejde-988	288	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	288	4	ω	ω	NUM
ejde-988	288	5	ut	ut	PROPN
ejde-988	288	6	·	·	PUNCT
ejde-988	288	7	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	288	8	·	·	PROPN
ejde-988	288	9	∆φt	∆φt	NOUN
ejde-988	288	10	dx−	dx−	X
ejde-988	288	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	288	12	ω	ω	NUM
ejde-988	288	13	u	u	PROPN
ejde-988	288	14	·	·	PUNCT
ejde-988	288	15	∇φt	∇φt	PROPN
ejde-988	288	16	·	·	PUNCT
ejde-988	288	17	∆φt	∆φt	NOUN
ejde-988	288	18	dx	dx	PROPN
ejde-988	289	1	+	+	CCONJ
ejde-988	289	2	λ	λ	PROPN
ejde-988	289	3	ε2	ε2	PROPN
ejde-988	289	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	289	5	ω	ω	PROPN
ejde-988	289	6	∇	∇	X
ejde-988	289	7	·	·	PUNCT
ejde-988	289	8	(	(	PUNCT
ejde-988	289	9	(	(	PUNCT
ejde-988	289	10	3|∇φ|2	3|∇φ|2	NUM
ejde-988	289	11	−	−	PROPN
ejde-988	289	12	1)∇φt	1)∇φt	NUM
ejde-988	289	13	)	)	PUNCT
ejde-988	289	14	∆φt	∆φt	VERB
ejde-988	289	15	dx	dx	PROPN
ejde-988	290	1	=	=	NOUN
ejde-988	290	2	:	:	PUNCT
ejde-988	290	3	j3	j3	PROPN
ejde-988	290	4	+	+	CCONJ
ejde-988	290	5	j4	j4	PROPN
ejde-988	290	6	+	+	CCONJ
ejde-988	290	7	j5	j5	PROPN
ejde-988	290	8	.	.	PUNCT
ejde-988	291	1	(	(	PUNCT
ejde-988	291	2	3.44	3.44	NUM
ejde-988	291	3	)	)	PUNCT
ejde-988	291	4	there	there	PRON
ejde-988	291	5	are	be	VERB
ejde-988	291	6	three	three	NUM
ejde-988	291	7	terms	term	NOUN
ejde-988	291	8	on	on	ADP
ejde-988	291	9	the	the	DET
ejde-988	291	10	right	right	ADJ
ejde-988	291	11	-	-	PUNCT
ejde-988	291	12	hand	hand	NOUN
ejde-988	291	13	side	side	NOUN
ejde-988	291	14	of	of	ADP
ejde-988	291	15	(	(	PUNCT
ejde-988	291	16	3.44	3.44	NUM
ejde-988	291	17	)	)	PUNCT
ejde-988	291	18	.	.	PUNCT
ejde-988	292	1	the	the	DET
ejde-988	292	2	main	main	ADJ
ejde-988	292	3	tools	tool	NOUN
ejde-988	292	4	to	to	PART
ejde-988	292	5	bound	bound	VERB
ejde-988	292	6	them	they	PRON
ejde-988	292	7	are	be	AUX
ejde-988	292	8	höler	höler	PROPN
ejde-988	292	9	’s	’s	PART
ejde-988	292	10	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	292	11	,	,	PUNCT
ejde-988	292	12	kato	kato	PROPN
ejde-988	292	13	-	-	PUNCT
ejde-988	292	14	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	292	15	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	292	16	and	and	CCONJ
ejde-988	292	17	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	292	18	embedding	embed	VERB
ejde-988	292	19	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	292	20	.	.	PUNCT
ejde-988	293	1	note	note	VERB
ejde-988	293	2	that	that	SCONJ
ejde-988	293	3	j3	j3	PROPN
ejde-988	293	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	293	5	c∥ut∥l6∥∇φ∥l3∥∆φt∥l2	c∥ut∥l6∥∇φ∥l3∥∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	293	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	293	7	c∥ut∥h1∥∇φ∥1/2l2	c∥ut∥h1∥∇φ∥1/2l2	PROPN
ejde-988	293	8	∥∇φ∥1/2h1	∥∇φ∥1/2h1	PROPN
ejde-988	293	9	∥∇φt∥1/2l2	∥∇φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	293	10	∥∇∆φt∥1/2l2	∥∇∆φt∥1/2l2	PUNCT
ejde-988	294	1	≤	≤	NUM
ejde-988	294	2	1	1	NUM
ejde-988	294	3	6	6	NUM
ejde-988	294	4	(	(	PUNCT
ejde-988	294	5	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	294	6	+	+	NUM
ejde-988	294	7	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	294	8	)	)	PUNCT
ejde-988	295	1	+	+	CCONJ
ejde-988	295	2	c∥∇φ∥2l2∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2l2	c∥∇φ∥2l2∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2l2	NOUN
ejde-988	295	3	+	+	CCONJ
ejde-988	295	4	c∥ut∥l2∥∇φ∥h1∥∇φt∥1/2l2	c∥ut∥l2∥∇φ∥h1∥∇φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	295	5	∥∇∆φt∥1/2l2	∥∇∆φt∥1/2l2	NOUN
ejde-988	296	1	≤	≤	NUM
ejde-988	296	2	1	1	NUM
ejde-988	296	3	6	6	NUM
ejde-988	296	4	(	(	PUNCT
ejde-988	296	5	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	296	6	+	+	NUM
ejde-988	296	7	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	296	8	)	)	PUNCT
ejde-988	297	1	+	+	NUM
ejde-988	297	2	c(∥∇φ∥6h1	c(∥∇φ∥6h1	X
ejde-988	297	3	+	+	CCONJ
ejde-988	297	4	∥ut∥6l2	∥ut∥6l2	NOUN
ejde-988	297	5	+	+	CCONJ
ejde-988	297	6	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PUNCT
ejde-988	297	7	+	+	CCONJ
ejde-988	297	8	1	1	NUM
ejde-988	297	9	)	)	PUNCT
ejde-988	297	10	,	,	PUNCT
ejde-988	297	11	(	(	PUNCT
ejde-988	297	12	3.45	3.45	NUM
ejde-988	297	13	)	)	PUNCT
ejde-988	297	14	12	12	NUM
ejde-988	297	15	x.	x.	NOUN
ejde-988	297	16	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	297	17	,	,	PUNCT
ejde-988	297	18	x.	x.	PROPN
ejde-988	297	19	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	298	1	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	298	2	j4	j4	PROPN
ejde-988	298	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	298	4	c∥u∥l6∥∇φt∥l3∥∆φt∥l2	c∥u∥l6∥∇φt∥l3∥∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	298	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	298	6	c∥u∥h1∥∇φt∥5/4l2	c∥u∥h1∥∇φt∥5/4l2	PROPN
ejde-988	298	7	∥∇φt∥3/4h2	∥∇φt∥3/4h2	PROPN
ejde-988	298	8	≤	≤	PROPN
ejde-988	298	9	c∥u∥h1∥∇φt∥5/4l2	c∥u∥h1∥∇φt∥5/4l2	PROPN
ejde-988	298	10	(	(	PUNCT
ejde-988	298	11	∥∇φt∥3/4l2	∥∇φt∥3/4l2	PROPN
ejde-988	298	12	+	+	CCONJ
ejde-988	298	13	∥∇∆φt∥3/4l2	∥∇∆φt∥3/4l2	NOUN
ejde-988	298	14	)	)	PUNCT
ejde-988	298	15	≤	≤	NOUN
ejde-988	298	16	1	1	NUM
ejde-988	298	17	6	6	NUM
ejde-988	298	18	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	298	19	+	+	NUM
ejde-988	298	20	c∥u∥8/5h1	c∥u∥8/5h1	VERB
ejde-988	298	21	∥∇φt∥2l2	∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	298	22	+	+	CCONJ
ejde-988	298	23	c∥u∥h1∥∇φt∥2l2	c∥u∥h1∥∇φt∥2l2	X
ejde-988	298	24	≤	≤	NUM
ejde-988	298	25	1	1	NUM
ejde-988	298	26	6	6	NUM
ejde-988	298	27	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	299	1	+	+	CCONJ
ejde-988	299	2	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	299	3	+	+	CCONJ
ejde-988	299	4	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PROPN
ejde-988	299	5	+	+	CCONJ
ejde-988	299	6	1	1	NUM
ejde-988	299	7	)	)	PUNCT
ejde-988	299	8	,	,	PUNCT
ejde-988	299	9	(	(	PUNCT
ejde-988	299	10	3.46	3.46	NUM
ejde-988	299	11	)	)	PUNCT
ejde-988	299	12	j5	j5	PROPN
ejde-988	299	13	≤	≤	PROPN
ejde-988	299	14	c∥∇∆φt∥l2(∥∇φt∥l2	c∥∇∆φt∥l2(∥∇φt∥l2	PROPN
ejde-988	299	15	+	+	CCONJ
ejde-988	299	16	∥∇φ∥2l∞∥∇φt∥l2	∥∇φ∥2l∞∥∇φt∥l2	NOUN
ejde-988	299	17	)	)	PUNCT
ejde-988	299	18	≤	≤	NOUN
ejde-988	299	19	c∥∇∆φt∥l2(∥∇φt∥l2	c∥∇∆φt∥l2(∥∇φt∥l2	NOUN
ejde-988	299	20	+	+	CCONJ
ejde-988	299	21	∥∇φ∥h2∥∇φt∥l2	∥∇φ∥h2∥∇φt∥l2	PROPN
ejde-988	299	22	)	)	PUNCT
ejde-988	299	23	≤	≤	NUM
ejde-988	299	24	1	1	NUM
ejde-988	299	25	6	6	NUM
ejde-988	299	26	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	299	27	+	+	PROPN
ejde-988	299	28	c∥∇φt∥2l2(1	c∥∇φt∥2l2(1	PROPN
ejde-988	299	29	+	+	SYM
ejde-988	299	30	∥∇φ∥2h2	∥∇φ∥2h2	ADV
ejde-988	299	31	)	)	PUNCT
ejde-988	299	32	≤	≤	NUM
ejde-988	299	33	1	1	NUM
ejde-988	299	34	6	6	NUM
ejde-988	299	35	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	299	36	+	+	CCONJ
ejde-988	299	37	c(∥∇∆φ∥6l2	c(∥∇∆φ∥6l2	NOUN
ejde-988	299	38	+	+	CCONJ
ejde-988	299	39	∥∇φ∥6l2	∥∇φ∥6l2	VERB
ejde-988	299	40	+	+	CCONJ
ejde-988	299	41	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PUNCT
ejde-988	299	42	+	+	CCONJ
ejde-988	299	43	1	1	NUM
ejde-988	299	44	)	)	PUNCT
ejde-988	299	45	.	.	PUNCT
ejde-988	300	1	(	(	PUNCT
ejde-988	300	2	3.47	3.47	NUM
ejde-988	300	3	)	)	PUNCT
ejde-988	300	4	summing	sum	VERB
ejde-988	300	5	(	(	PUNCT
ejde-988	300	6	3.44)-(3.47	3.44)-(3.47	NUM
ejde-988	300	7	)	)	PUNCT
ejde-988	300	8	,	,	PUNCT
ejde-988	300	9	we	we	PRON
ejde-988	300	10	find	find	VERB
ejde-988	300	11	that	that	SCONJ
ejde-988	301	1	d	d	NOUN
ejde-988	301	2	dt	dt	X
ejde-988	301	3	∥∇φt∥2l2	∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	301	4	+	+	CCONJ
ejde-988	301	5	λk∥∇∆φt∥2l2	λk∥∇∆φt∥2l2	X
ejde-988	302	1	≤	≤	ADV
ejde-988	302	2	1	1	NUM
ejde-988	302	3	2	2	NUM
ejde-988	302	4	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	302	5	+	+	NUM
ejde-988	302	6	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	302	7	+	+	CCONJ
ejde-988	302	8	∥∇φ∥6l2	∥∇φ∥6l2	VERB
ejde-988	302	9	+	+	CCONJ
ejde-988	302	10	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PROPN
ejde-988	303	1	+	+	CCONJ
ejde-988	303	2	∥∇∆φ∥6l2	∥∇∆φ∥6l2	PUNCT
ejde-988	303	3	+	+	SYM
ejde-988	303	4	1	1	X
ejde-988	303	5	)	)	PUNCT
ejde-988	303	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	303	7	c(∥∇ut∥6l2	c(∥∇ut∥6l2	VERB
ejde-988	303	8	+	+	CCONJ
ejde-988	303	9	∥u∥6h1	∥u∥6h1	X
ejde-988	304	1	+	+	CCONJ
ejde-988	304	2	∥∇φ∥6h2	∥∇φ∥6h2	PROPN
ejde-988	305	1	+	+	NUM
ejde-988	305	2	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	X
ejde-988	305	3	+	+	NOUN
ejde-988	305	4	1	1	NUM
ejde-988	305	5	)	)	PUNCT
ejde-988	305	6	.	.	PUNCT
ejde-988	306	1	(	(	PUNCT
ejde-988	306	2	3.48	3.48	NUM
ejde-988	306	3	)	)	PUNCT
ejde-988	306	4	differentiating	differentiating	NOUN
ejde-988	306	5	(	(	PUNCT
ejde-988	306	6	1.7)3	1.7)3	NUM
ejde-988	306	7	with	with	ADP
ejde-988	306	8	respect	respect	NOUN
ejde-988	306	9	to	to	ADP
ejde-988	306	10	t	t	PROPN
ejde-988	306	11	,	,	PUNCT
ejde-988	306	12	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	306	13	the	the	DET
ejde-988	306	14	resulting	result	VERB
ejde-988	306	15	by	by	ADP
ejde-988	306	16	∆φtt	∆φtt	NOUN
ejde-988	306	17	,	,	PUNCT
ejde-988	306	18	integrating	integrate	VERB
ejde-988	306	19	over	over	ADP
ejde-988	306	20	ω	ω	PROPN
ejde-988	306	21	,	,	PUNCT
ejde-988	306	22	one	one	NUM
ejde-988	306	23	arrive	arrive	NOUN
ejde-988	306	24	at	at	ADP
ejde-988	306	25	λk	λk	PROPN
ejde-988	306	26	2	2	NUM
ejde-988	306	27	d	d	NOUN
ejde-988	306	28	dt	dt	NOUN
ejde-988	306	29	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	307	1	+	+	CCONJ
ejde-988	307	2	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	PUNCT
ejde-988	308	1	=	=	PUNCT
ejde-988	308	2	−	−	PROPN
ejde-988	308	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	308	4	ω	ω	NUM
ejde-988	308	5	ut	ut	PROPN
ejde-988	308	6	·	·	PUNCT
ejde-988	308	7	∇φ	∇φ	PROPN
ejde-988	308	8	·	·	PROPN
ejde-988	308	9	∆φttdx−	∆φttdx−	PROPN
ejde-988	308	10	∫	∫	PROPN
ejde-988	308	11	ω	ω	NUM
ejde-988	308	12	u	u	PROPN
ejde-988	308	13	·	·	PUNCT
ejde-988	308	14	∇φt	∇φt	NOUN
ejde-988	308	15	·	·	PUNCT
ejde-988	308	16	∆φttdx	∆φttdx	VERB
ejde-988	308	17	+	+	PROPN
ejde-988	308	18	λ	λ	PROPN
ejde-988	308	19	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	308	20	∫	∫	PROPN
ejde-988	308	21	ω	ω	PROPN
ejde-988	308	22	(	(	PUNCT
ejde-988	308	23	∇	∇	X
ejde-988	308	24	·	·	PUNCT
ejde-988	308	25	(	(	PUNCT
ejde-988	308	26	3|∇φ|2	3|∇φ|2	NUM
ejde-988	308	27	−	−	PROPN
ejde-988	308	28	1)∇φt	1)∇φt	NUM
ejde-988	308	29	)	)	PUNCT
ejde-988	309	1	∆φttdx	∆φttdx	PROPN
ejde-988	309	2	=	=	PROPN
ejde-988	309	3	j6	j6	PROPN
ejde-988	309	4	+	+	CCONJ
ejde-988	309	5	j7	j7	PROPN
ejde-988	309	6	+	+	CCONJ
ejde-988	309	7	j8	j8	PROPN
ejde-988	309	8	.	.	PUNCT
ejde-988	310	1	(	(	PUNCT
ejde-988	310	2	3.49	3.49	NUM
ejde-988	310	3	)	)	PUNCT
ejde-988	310	4	on	on	ADP
ejde-988	310	5	the	the	DET
ejde-988	310	6	basis	basis	NOUN
ejde-988	310	7	of	of	ADP
ejde-988	310	8	the	the	DET
ejde-988	310	9	kato	kato	PROPN
ejde-988	310	10	-	-	PUNCT
ejde-988	310	11	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	310	12	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	310	13	,	,	PUNCT
ejde-988	310	14	höler	höler	PROPN
ejde-988	310	15	’s	’s	PART
ejde-988	310	16	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	310	17	and	and	CCONJ
ejde-988	310	18	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	310	19	embedding	embed	VERB
ejde-988	310	20	theorem	theorem	VERB
ejde-988	310	21	,	,	PUNCT
ejde-988	310	22	one	one	NUM
ejde-988	310	23	obtains	obtain	VERB
ejde-988	310	24	j6	j6	PROPN
ejde-988	310	25	≤	≤	PROPN
ejde-988	310	26	c∥∇φtt∥l2∥∇(ut	c∥∇φtt∥l2∥∇(ut	PROPN
ejde-988	310	27	·	·	PUNCT
ejde-988	311	1	∇φ)∥l2	∇φ)∥l2	PROPN
ejde-988	311	2	≤	≤	PROPN
ejde-988	311	3	c∥∇φtt∥l2(∥∇ut∥l2∥∇φ∥l∞	c∥∇φtt∥l2(∥∇ut∥l2∥∇φ∥l∞	PROPN
ejde-988	311	4	+	+	CCONJ
ejde-988	311	5	∥ut∥l6∥∆φ∥l3	∥ut∥l6∥∆φ∥l3	PROPN
ejde-988	311	6	)	)	PUNCT
ejde-988	311	7	≤	≤	NOUN
ejde-988	311	8	c∥∇φtt∥l2(∥∇ut∥l2∥∇φ∥h2	c∥∇φtt∥l2(∥∇ut∥l2∥∇φ∥h2	PROPN
ejde-988	311	9	+	+	CCONJ
ejde-988	311	10	∥ut∥h1∥∆φ∥h1	∥ut∥h1∥∆φ∥h1	PROPN
ejde-988	311	11	)	)	PUNCT
ejde-988	311	12	≤	≤	NUM
ejde-988	311	13	1	1	NUM
ejde-988	311	14	6	6	NUM
ejde-988	311	15	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	311	16	+	+	X
ejde-988	311	17	c∥ut∥2h1∥∇φ∥2h2	c∥ut∥2h1∥∇φ∥2h2	ADP
ejde-988	311	18	≤	≤	NUM
ejde-988	311	19	1	1	NUM
ejde-988	311	20	6	6	NUM
ejde-988	311	21	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	312	1	+	+	CCONJ
ejde-988	313	1	c(∥∇ut∥4l2	c(∥∇ut∥4l2	INTJ
ejde-988	313	2	+	+	NUM
ejde-988	313	3	∥ut∥4l2	∥ut∥4l2	PROPN
ejde-988	313	4	+	+	CCONJ
ejde-988	313	5	∥∇φ∥4h2	∥∇φ∥4h2	PROPN
ejde-988	313	6	)	)	PUNCT
ejde-988	313	7	,	,	PUNCT
ejde-988	313	8	(	(	PUNCT
ejde-988	313	9	3.50	3.50	NUM
ejde-988	313	10	)	)	PUNCT
ejde-988	313	11	j7	j7	NOUN
ejde-988	313	12	≤	≤	NUM
ejde-988	313	13	c∥∇φtt∥l2∥∇(u	c∥∇φtt∥l2∥∇(u	NOUN
ejde-988	313	14	·	·	PUNCT
ejde-988	313	15	∇φt)∥l2	∇φt)∥l2	PROPN
ejde-988	313	16	≤	≤	PROPN
ejde-988	313	17	∥∇φtt∥l2(∥∇u∥l3∥∇φt∥l6	∥∇φtt∥l2(∥∇u∥l3∥∇φt∥l6	PROPN
ejde-988	314	1	+	+	CCONJ
ejde-988	314	2	∥u∥l∞∥∆φt∥l2	∥u∥l∞∥∆φt∥l2	X
ejde-988	314	3	)	)	PUNCT
ejde-988	314	4	≤	≤	NUM
ejde-988	314	5	c∥∇φtt∥l2(∥∇u∥h1∥∇φt∥h1	c∥∇φtt∥l2(∥∇u∥h1∥∇φt∥h1	NOUN
ejde-988	314	6	+	+	CCONJ
ejde-988	314	7	∥∇u∥h1∥∆φt∥l2	∥∇u∥h1∥∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	314	8	)	)	PUNCT
ejde-988	314	9	≤	≤	NUM
ejde-988	314	10	1	1	NUM
ejde-988	314	11	6	6	NUM
ejde-988	314	12	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	314	13	+	+	CCONJ
ejde-988	314	14	c∥∇u∥2h1∥∇φt∥2h1	c∥∇u∥2h1∥∇φt∥2h1	ADJ
ejde-988	314	15	≤	≤	NOUN
ejde-988	314	16	1	1	NUM
ejde-988	314	17	6	6	NUM
ejde-988	314	18	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	314	19	+	+	PUNCT
ejde-988	314	20	c(∥∇u∥4h1	c(∥∇u∥4h1	VERB
ejde-988	314	21	+	+	NUM
ejde-988	314	22	∥∇φt∥4l2	∥∇φt∥4l2	PROPN
ejde-988	314	23	+	+	CCONJ
ejde-988	314	24	∥∇∆φt∥4l2	∥∇∆φt∥4l2	PROPN
ejde-988	314	25	)	)	PUNCT
ejde-988	314	26	,	,	PUNCT
ejde-988	314	27	(	(	PUNCT
ejde-988	314	28	3.51	3.51	NUM
ejde-988	314	29	)	)	PUNCT
ejde-988	314	30	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	314	31	density	density	NOUN
ejde-988	314	32	-	-	PUNCT
ejde-988	314	33	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	314	34	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	314	35	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	314	36	-	-	PUNCT
ejde-988	314	37	a	a	DET
ejde-988	314	38	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	314	39	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	314	40	13	13	NUM
ejde-988	314	41	j8	j8	PROPN
ejde-988	314	42	≤	≤	PROPN
ejde-988	314	43	c∥∇φtt∥l2	c∥∇φtt∥l2	PROPN
ejde-988	314	44	(	(	PUNCT
ejde-988	314	45	∥∇2	∥∇2	PROPN
ejde-988	314	46	·	·	PUNCT
ejde-988	314	47	(	(	PUNCT
ejde-988	314	48	|∇φ|2∇φt)∥l2	|∇φ|2∇φt)∥l2	PROPN
ejde-988	314	49	+	+	CCONJ
ejde-988	314	50	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	NOUN
ejde-988	314	51	)	)	PUNCT
ejde-988	314	52	≤	≤	PROPN
ejde-988	314	53	c∥∇φtt∥l2	c∥∇φtt∥l2	NOUN
ejde-988	314	54	(	(	PUNCT
ejde-988	314	55	∥∇φ∥2l∞∥∇∆φt∥l2	∥∇φ∥2l∞∥∇∆φt∥l2	NOUN
ejde-988	314	56	+	+	SYM
ejde-988	314	57	∥∇φ∥l6∥∇∆φ∥l6∥∇φt∥l6	∥∇φ∥l6∥∇∆φ∥l6∥∇φt∥l6	ADP
ejde-988	314	58	+	+	CCONJ
ejde-988	314	59	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	NOUN
ejde-988	314	60	)	)	PUNCT
ejde-988	314	61	≤	≤	PROPN
ejde-988	314	62	c∥∇φtt∥l2	c∥∇φtt∥l2	NOUN
ejde-988	314	63	(	(	PUNCT
ejde-988	314	64	∥∇φ∥2h2∥∇∆φt∥l2	∥∇φ∥2h2∥∇∆φt∥l2	NOUN
ejde-988	314	65	+	+	CCONJ
ejde-988	314	66	∥∇φ∥2h3∥∇φt∥h1	∥∇φ∥2h3∥∇φt∥h1	X
ejde-988	314	67	+	+	CCONJ
ejde-988	314	68	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	314	69	)	)	PUNCT
ejde-988	314	70	≤	≤	NOUN
ejde-988	314	71	1	1	NUM
ejde-988	314	72	6	6	NUM
ejde-988	314	73	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	314	74	+	+	NUM
ejde-988	314	75	c∥∇φ∥4h3(∥∇φt∥2l2	c∥∇φ∥4h3(∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	314	76	+	+	CCONJ
ejde-988	314	77	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	314	78	)	)	PUNCT
ejde-988	315	1	+	+	NUM
ejde-988	315	2	c∥∇∆φt∥2l2	c∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	315	3	≤	≤	NUM
ejde-988	315	4	1	1	NUM
ejde-988	315	5	6	6	NUM
ejde-988	315	6	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	315	7	+	+	CCONJ
ejde-988	315	8	c(∥∇φ∥6h3	c(∥∇φ∥6h3	NOUN
ejde-988	315	9	+	+	CCONJ
ejde-988	315	10	∥∇∆φt∥6l2	∥∇∆φt∥6l2	VERB
ejde-988	315	11	+	+	CCONJ
ejde-988	315	12	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	PROPN
ejde-988	315	13	+	+	CCONJ
ejde-988	315	14	1	1	NUM
ejde-988	315	15	)	)	PUNCT
ejde-988	315	16	.	.	PUNCT
ejde-988	316	1	(	(	PUNCT
ejde-988	316	2	3.52	3.52	NUM
ejde-988	316	3	)	)	PUNCT
ejde-988	316	4	summing	sum	VERB
ejde-988	316	5	(	(	PUNCT
ejde-988	316	6	3.49)-(3.52	3.49)-(3.52	NUM
ejde-988	316	7	)	)	PUNCT
ejde-988	316	8	,	,	PUNCT
ejde-988	316	9	we	we	PRON
ejde-988	316	10	deduce	deduce	VERB
ejde-988	316	11	that	that	PRON
ejde-988	316	12	λk	λk	ADP
ejde-988	317	1	d	d	X
ejde-988	317	2	dt	dt	X
ejde-988	317	3	∥∇∆φt∥2l2+∥∇φtt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2+∥∇φtt∥2l2	PROPN
ejde-988	317	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	317	5	c(∥∇u∥6h1+∥ut∥6h1+∥∇φt∥6l2+∥∇∆φt∥6l2+∥∇φ∥6h3	c(∥∇u∥6h1+∥ut∥6h1+∥∇φt∥6l2+∥∇∆φt∥6l2+∥∇φ∥6h3	PROPN
ejde-988	317	6	+	+	NOUN
ejde-988	317	7	1	1	NUM
ejde-988	317	8	)	)	PUNCT
ejde-988	317	9	.	.	PUNCT
ejde-988	318	1	(	(	PUNCT
ejde-988	318	2	3.53	3.53	NUM
ejde-988	318	3	)	)	PUNCT
ejde-988	318	4	combining	combine	VERB
ejde-988	318	5	(	(	PUNCT
ejde-988	318	6	3.43	3.43	NUM
ejde-988	318	7	)	)	PUNCT
ejde-988	318	8	,	,	PUNCT
ejde-988	318	9	(	(	PUNCT
ejde-988	318	10	3.48	3.48	NUM
ejde-988	318	11	)	)	PUNCT
ejde-988	318	12	and	and	CCONJ
ejde-988	318	13	(	(	PUNCT
ejde-988	318	14	3.53	3.53	NUM
ejde-988	318	15	)	)	PUNCT
ejde-988	318	16	gives	give	VERB
ejde-988	318	17	d	d	PROPN
ejde-988	318	18	dt	dt	X
ejde-988	318	19	(	(	PUNCT
ejde-988	318	20	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	319	1	+	+	NUM
ejde-988	319	2	∥∇φt∥2l2	∥∇φt∥2l2	PROPN
ejde-988	319	3	+	+	NUM
ejde-988	319	4	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	319	5	)	)	PUNCT
ejde-988	319	6	+	+	NUM
ejde-988	319	7	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	320	1	+	+	NUM
ejde-988	320	2	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	PROPN
ejde-988	320	3	+	+	CCONJ
ejde-988	320	4	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	PUNCT
ejde-988	320	5	≤	≤	NUM
ejde-988	320	6	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	320	7	+	+	CCONJ
ejde-988	320	8	∥ut∥6h1	∥ut∥6h1	NOUN
ejde-988	321	1	+	+	CCONJ
ejde-988	321	2	∥φ∥6h4	∥φ∥6h4	NUM
ejde-988	321	3	+	+	PUNCT
ejde-988	321	4	∥∇φt∥6l2	∥∇φt∥6l2	NOUN
ejde-988	321	5	+	+	CCONJ
ejde-988	321	6	∥∇∆φt∥6l2	∥∇∆φt∥6l2	NOUN
ejde-988	321	7	+	+	CCONJ
ejde-988	321	8	1	1	NUM
ejde-988	321	9	)	)	PUNCT
ejde-988	321	10	≤	≤	NUM
ejde-988	321	11	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	321	12	)	)	PUNCT
ejde-988	321	13	.	.	PUNCT
ejde-988	322	1	(	(	PUNCT
ejde-988	322	2	3.54	3.54	NUM
ejde-988	322	3	)	)	PUNCT
ejde-988	322	4	integrating	integrate	VERB
ejde-988	322	5	over	over	ADP
ejde-988	322	6	(	(	PUNCT
ejde-988	322	7	0	0	NUM
ejde-988	322	8	,	,	PUNCT
ejde-988	322	9	t	t	PROPN
ejde-988	322	10	)	)	PUNCT
ejde-988	322	11	,	,	PUNCT
ejde-988	322	12	note	note	VERB
ejde-988	322	13	that	that	SCONJ
ejde-988	322	14	0	0	NUM
ejde-988	322	15	<	<	X
ejde-988	322	16	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	322	17	≤	≤	PROPN
ejde-988	322	18	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	322	19	,	,	PUNCT
ejde-988	322	20	we	we	PRON
ejde-988	322	21	obtain	obtain	VERB
ejde-988	322	22	(	(	PUNCT
ejde-988	322	23	3.33	3.33	NUM
ejde-988	322	24	)	)	PUNCT
ejde-988	322	25	and	and	CCONJ
ejde-988	322	26	complete	complete	VERB
ejde-988	322	27	the	the	DET
ejde-988	322	28	proof	proof	NOUN
ejde-988	322	29	.	.	PUNCT
ejde-988	323	1	□	□	PUNCT
ejde-988	323	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	323	3	3.8	3.8	NUM
ejde-988	323	4	.	.	PUNCT
ejde-988	324	1	if	if	SCONJ
ejde-988	324	2	(	(	PUNCT
ejde-988	324	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	324	4	,	,	PUNCT
ejde-988	324	5	u	u	NOUN
ejde-988	324	6	,	,	PUNCT
ejde-988	324	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	324	8	)	)	PUNCT
ejde-988	324	9	is	be	AUX
ejde-988	324	10	the	the	DET
ejde-988	324	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	324	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	324	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	324	14	stated	state	VERB
ejde-988	324	15	in	in	ADP
ejde-988	324	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	324	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	324	18	to	to	ADP
ejde-988	324	19	system	system	NOUN
ejde-988	324	20	(	(	PUNCT
ejde-988	324	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	324	22	)	)	PUNCT
ejde-988	324	23	,	,	PUNCT
ejde-988	324	24	then	then	ADV
ejde-988	324	25	for	for	ADP
ejde-988	324	26	any	any	DET
ejde-988	324	27	t	t	NOUN
ejde-988	324	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	324	29	(	(	PUNCT
ejde-988	324	30	0	0	NUM
ejde-988	324	31	,	,	PUNCT
ejde-988	324	32	t	t	PROPN
ejde-988	324	33	)	)	PUNCT
ejde-988	324	34	,	,	PUNCT
ejde-988	324	35	it	it	PRON
ejde-988	324	36	holds	hold	VERB
ejde-988	324	37	that	that	SCONJ
ejde-988	324	38	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	324	39	≤	≤	NUM
ejde-988	324	40	cφ8(t	cφ8(t	NUM
ejde-988	324	41	)	)	PUNCT
ejde-988	324	42	.	.	PUNCT
ejde-988	325	1	(	(	PUNCT
ejde-988	325	2	3.55	3.55	NUM
ejde-988	325	3	)	)	PUNCT
ejde-988	325	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	325	5	.	.	PUNCT
ejde-988	326	1	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	326	2	equation	equation	NOUN
ejde-988	326	3	(	(	PUNCT
ejde-988	326	4	1.7)2	1.7)2	NUM
ejde-988	326	5	by	by	ADP
ejde-988	326	6	∆u	∆u	ADV
ejde-988	326	7	and	and	CCONJ
ejde-988	326	8	integrating	integrate	VERB
ejde-988	326	9	over	over	ADP
ejde-988	326	10	ω	ω	PROPN
ejde-988	326	11	yields	yield	NOUN
ejde-988	326	12	that	that	PRON
ejde-988	326	13	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	326	14	2	2	NUM
ejde-988	326	15	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	326	16	=	=	SYM
ejde-988	326	17	∫	∫	PROPN
ejde-988	326	18	ω	ω	PROPN
ejde-988	326	19	(	(	PUNCT
ejde-988	326	20	ρut	ρut	NOUN
ejde-988	326	21	+	+	X
ejde-988	327	1	ρu	ρu	PRON
ejde-988	327	2	·	·	PUNCT
ejde-988	327	3	∇u	∇u	X
ejde-988	327	4	)	)	PUNCT
ejde-988	327	5	·	·	PUNCT
ejde-988	327	6	∆u	∆u	PROPN
ejde-988	327	7	dx−	dx−	NUM
ejde-988	327	8	∫	∫	PROPN
ejde-988	327	9	ω	ω	PROPN
ejde-988	327	10	k∆2φ∇φ∆u	k∆2φ∇φ∆u	PROPN
ejde-988	327	11	dx	dx	PROPN
ejde-988	328	1	+	+	CCONJ
ejde-988	328	2	1	1	NUM
ejde-988	328	3	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	328	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	328	5	ω	ω	X
ejde-988	328	6	∇	∇	X
ejde-988	328	7	·	·	PUNCT
ejde-988	329	1	[	[	X
ejde-988	329	2	(	(	PUNCT
ejde-988	329	3	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	329	4	−	−	NUM
ejde-988	329	5	1)∇φ]∇φ∆u	1)∇φ]∇φ∆u	NUM
ejde-988	329	6	dx	dx	PROPN
ejde-988	330	1	=	=	NOUN
ejde-988	330	2	:	:	PUNCT
ejde-988	330	3	l1	l1	PROPN
ejde-988	330	4	+	+	CCONJ
ejde-988	330	5	l2	l2	NOUN
ejde-988	330	6	+	+	CCONJ
ejde-988	330	7	l3	l3	NOUN
ejde-988	330	8	.	.	PUNCT
ejde-988	331	1	(	(	PUNCT
ejde-988	331	2	3.56	3.56	NUM
ejde-988	331	3	)	)	PUNCT
ejde-988	331	4	next	next	ADV
ejde-988	331	5	,	,	PUNCT
ejde-988	331	6	we	we	PRON
ejde-988	331	7	estimate	estimate	VERB
ejde-988	331	8	l1	l1	PROPN
ejde-988	331	9	,	,	PUNCT
ejde-988	331	10	l2	l2	NOUN
ejde-988	331	11	and	and	CCONJ
ejde-988	331	12	l3	l3	NOUN
ejde-988	331	13	.	.	PUNCT
ejde-988	332	1	the	the	DET
ejde-988	332	2	mail	mail	NOUN
ejde-988	332	3	tools	tool	NOUN
ejde-988	332	4	are	be	AUX
ejde-988	332	5	also	also	ADV
ejde-988	332	6	hölder	hölder	NOUN
ejde-988	332	7	’s	’s	PART
ejde-988	332	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	332	9	,	,	PUNCT
ejde-988	332	10	kato	kato	PROPN
ejde-988	332	11	-	-	PUNCT
ejde-988	332	12	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	332	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	332	14	and	and	CCONJ
ejde-988	332	15	sobolev’e	sobolev’e	NOUN
ejde-988	332	16	embedding	embed	VERB
ejde-988	332	17	theorem	theorem	VERB
ejde-988	332	18	.	.	PUNCT
ejde-988	333	1	we	we	PRON
ejde-988	333	2	have	have	VERB
ejde-988	333	3	l1	l1	PROPN
ejde-988	333	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	333	5	∫	∫	PROPN
ejde-988	333	6	ω	ω	PROPN
ejde-988	333	7	|√ρ||√ρut||∆u|dx+	|√ρ||√ρut||∆u|dx+	NUM
ejde-988	333	8	∫	∫	PROPN
ejde-988	333	9	ω	ω	PROPN
ejde-988	333	10	|ρ||u||∇u||∆u|dx	|ρ||u||∇u||∆u|dx	NOUN
ejde-988	333	11	≤	≤	PUNCT
ejde-988	333	12	c∥√ρut∥l2∥∆u∥l2	c∥√ρut∥l2∥∆u∥l2	PROPN
ejde-988	333	13	+	+	CCONJ
ejde-988	333	14	c∥u∥l6∥∇u∥l3∥∆u∥l2	c∥u∥l6∥∇u∥l3∥∆u∥l2	PROPN
ejde-988	333	15	≤	≤	NOUN
ejde-988	333	16	c∥√ρut∥l2∥∆u∥l2	c∥√ρut∥l2∥∆u∥l2	PROPN
ejde-988	333	17	+	+	CCONJ
ejde-988	333	18	c∥u∥	c∥u∥	PROPN
ejde-988	333	19	3	3	NUM
ejde-988	333	20	2	2	NUM
ejde-988	333	21	h1(∥∇u∥l2	h1(∥∇u∥l2	NOUN
ejde-988	333	22	+	+	CCONJ
ejde-988	333	23	∥∆u∥l2)1/2∥∆u∥l2	∥∆u∥l2)1/2∥∆u∥l2	PROPN
ejde-988	333	24	≤	≤	PROPN
ejde-988	333	25	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	333	26	8	8	NUM
ejde-988	333	27	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	333	28	+	+	CCONJ
ejde-988	333	29	c(∥u∥6h1	c(∥u∥6h1	PROPN
ejde-988	333	30	+	+	CCONJ
ejde-988	333	31	∥√ρut∥2l2	∥√ρut∥2l2	PROPN
ejde-988	334	1	+	+	NUM
ejde-988	334	2	1	1	NUM
ejde-988	334	3	)	)	PUNCT
ejde-988	334	4	,	,	PUNCT
ejde-988	334	5	(	(	PUNCT
ejde-988	334	6	3.57	3.57	NUM
ejde-988	334	7	)	)	PUNCT
ejde-988	334	8	and	and	CCONJ
ejde-988	334	9	l2	l2	NOUN
ejde-988	334	10	+	+	CCONJ
ejde-988	334	11	l3	l3	PROPN
ejde-988	334	12	≤	≤	PROPN
ejde-988	334	13	∥∆u∥l2∥[k∆2φ−	∥∆u∥l2∥[k∆2φ−	NUM
ejde-988	334	14	1	1	NUM
ejde-988	334	15	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	334	16	∇	∇	X
ejde-988	334	17	·	·	PUNCT
ejde-988	335	1	[	[	X
ejde-988	335	2	(	(	PUNCT
ejde-988	335	3	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	335	4	−	−	NOUN
ejde-988	335	5	1)∇φ]∇φ∥l2	1)∇φ]∇φ∥l2	NOUN
ejde-988	335	6	≤	≤	PUNCT
ejde-988	335	7	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	PROPN
ejde-988	336	1	+	+	CCONJ
ejde-988	336	2	∥∇	∥∇	INTJ
ejde-988	337	1	·	·	PUNCT
ejde-988	337	2	[	[	X
ejde-988	337	3	(	(	PUNCT
ejde-988	337	4	|∇φ|2	|∇φ|2	NUM
ejde-988	337	5	−	−	PROPN
ejde-988	337	6	1)∇φ]∥l2	1)∇φ]∥l2	NUM
ejde-988	337	7	)	)	PUNCT
ejde-988	337	8	≤	≤	NOUN
ejde-988	337	9	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	PROPN
ejde-988	338	1	+	+	CCONJ
ejde-988	338	2	∥∆φ∥l2	∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	338	3	+	+	CCONJ
ejde-988	338	4	∥∇	∥∇	ADJ
ejde-988	338	5	·	·	PUNCT
ejde-988	338	6	(	(	PUNCT
ejde-988	338	7	|∇φ|2)∇φ∥l2	|∇φ|2)∇φ∥l2	NOUN
ejde-988	338	8	)	)	PUNCT
ejde-988	338	9	≤	≤	NOUN
ejde-988	339	1	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	c∥∆u∥l2∥∇φ∥l∞(∥∆2φ∥l2	PROPN
ejde-988	339	2	+	+	CCONJ
ejde-988	339	3	∥∆φ∥l2	∥∆φ∥l2	PROPN
ejde-988	339	4	+	+	CCONJ
ejde-988	339	5	∥∇φ∥2l∞∥∆φ∥l2	∥∇φ∥2l∞∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	339	6	)	)	PUNCT
ejde-988	339	7	≤	≤	NOUN
ejde-988	340	1	c∥∆u∥l2∥∇φ∥h2	c∥∆u∥l2∥∇φ∥h2	ADJ
ejde-988	341	1	[	[	X
ejde-988	341	2	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	X
ejde-988	341	3	+	+	CCONJ
ejde-988	341	4	∥∆φ∥l2	∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	341	5	+	+	CCONJ
ejde-988	341	6	∥∇φ∥2h2∥∆φ∥l2	∥∇φ∥2h2∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	341	7	]	]	PUNCT
ejde-988	341	8	≤	≤	PROPN
ejde-988	341	9	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	341	10	8	8	NUM
ejde-988	341	11	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	341	12	+	+	NUM
ejde-988	341	13	c∥∇φ∥2h2	c∥∇φ∥2h2	PROPN
ejde-988	342	1	[	[	X
ejde-988	342	2	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	X
ejde-988	342	3	+	+	CCONJ
ejde-988	342	4	∥∆φ∥l2	∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	342	5	+	+	CCONJ
ejde-988	342	6	∥∇φ∥2h2∥∆φ∥l2	∥∇φ∥2h2∥∆φ∥l2	NOUN
ejde-988	342	7	]	]	SYM
ejde-988	342	8	2	2	NUM
ejde-988	342	9	≤	≤	NOUN
ejde-988	342	10	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	342	11	8	8	NUM
ejde-988	342	12	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	342	13	+	+	CCONJ
ejde-988	342	14	c(∥∇φ∥8h3	c(∥∇φ∥8h3	NOUN
ejde-988	342	15	+	+	NOUN
ejde-988	342	16	1	1	NUM
ejde-988	342	17	)	)	PUNCT
ejde-988	342	18	.	.	PUNCT
ejde-988	343	1	(	(	PUNCT
ejde-988	343	2	3.58	3.58	NUM
ejde-988	343	3	)	)	PUNCT
ejde-988	343	4	14	14	NUM
ejde-988	343	5	x.	x.	NOUN
ejde-988	343	6	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	343	7	,	,	PUNCT
ejde-988	343	8	x.	x.	PROPN
ejde-988	343	9	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	343	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	343	11	combining	combine	VERB
ejde-988	343	12	(	(	PUNCT
ejde-988	343	13	3.56	3.56	NUM
ejde-988	343	14	)	)	PUNCT
ejde-988	343	15	,	,	PUNCT
ejde-988	343	16	(	(	PUNCT
ejde-988	343	17	3.57	3.57	NUM
ejde-988	343	18	)	)	PUNCT
ejde-988	343	19	and	and	CCONJ
ejde-988	343	20	(	(	PUNCT
ejde-988	343	21	3.58	3.58	NUM
ejde-988	343	22	)	)	PUNCT
ejde-988	343	23	,	,	PUNCT
ejde-988	343	24	we	we	PRON
ejde-988	343	25	find	find	VERB
ejde-988	343	26	that	that	SCONJ
ejde-988	343	27	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	343	28	2	2	NUM
ejde-988	343	29	∥∆u∥2l2	∥∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	343	30	≤	≤	NOUN
ejde-988	343	31	c(∥∇u∥8l2	c(∥∇u∥8l2	VERB
ejde-988	344	1	+	+	CCONJ
ejde-988	344	2	∥∇φ∥8h3	∥∇φ∥8h3	PROPN
ejde-988	344	3	+	+	CCONJ
ejde-988	344	4	ρ∥ut∥2l2	ρ∥ut∥2l2	PROPN
ejde-988	344	5	+	+	CCONJ
ejde-988	344	6	1	1	NUM
ejde-988	344	7	)	)	PUNCT
ejde-988	344	8	≤	≤	NOUN
ejde-988	344	9	cφ8(t	cφ8(t	PROPN
ejde-988	344	10	)	)	PUNCT
ejde-988	344	11	,	,	PUNCT
ejde-988	344	12	(	(	PUNCT
ejde-988	344	13	3.59	3.59	NUM
ejde-988	344	14	)	)	PUNCT
ejde-988	344	15	this	this	PRON
ejde-988	344	16	complete	complete	VERB
ejde-988	344	17	the	the	DET
ejde-988	344	18	proof	proof	NOUN
ejde-988	344	19	.	.	PUNCT
ejde-988	345	1	□	□	PUNCT
ejde-988	345	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	345	3	3.9	3.9	NUM
ejde-988	345	4	.	.	PUNCT
ejde-988	346	1	if	if	SCONJ
ejde-988	346	2	(	(	PUNCT
ejde-988	346	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	346	4	,	,	PUNCT
ejde-988	346	5	u	u	NOUN
ejde-988	346	6	,	,	PUNCT
ejde-988	346	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	346	8	)	)	PUNCT
ejde-988	346	9	is	be	AUX
ejde-988	346	10	the	the	DET
ejde-988	346	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	346	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	346	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	346	14	stated	state	VERB
ejde-988	346	15	in	in	ADP
ejde-988	346	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	346	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	346	18	to	to	ADP
ejde-988	346	19	system	system	NOUN
ejde-988	346	20	(	(	PUNCT
ejde-988	346	21	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	346	22	)	)	PUNCT
ejde-988	346	23	,	,	PUNCT
ejde-988	346	24	then	then	ADV
ejde-988	346	25	for	for	ADP
ejde-988	346	26	any	any	DET
ejde-988	346	27	t	t	NOUN
ejde-988	346	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	346	29	(	(	PUNCT
ejde-988	346	30	0	0	NUM
ejde-988	346	31	,	,	PUNCT
ejde-988	346	32	t	t	PROPN
ejde-988	346	33	)	)	PUNCT
ejde-988	346	34	,	,	PUNCT
ejde-988	346	35	it	it	PRON
ejde-988	346	36	holds	hold	VERB
ejde-988	346	37	that	that	SCONJ
ejde-988	346	38	∥∇∆u∥2l2	∥∇∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	347	1	+	+	CCONJ
ejde-988	347	2	∥∇ut∥2l2	∥∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	348	1	+	+	CCONJ
ejde-988	348	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	348	3	t	t	PROPN
ejde-988	348	4	0	0	NUM
ejde-988	348	5	(	(	PUNCT
ejde-988	348	6	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	PROPN
ejde-988	348	7	+	+	CCONJ
ejde-988	348	8	∥∆ut∥2l2)ds	∥∆ut∥2l2)d	VERB
ejde-988	348	9	≤	≤	NUM
ejde-988	348	10	c	c	PROPN
ejde-988	348	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	348	12	t	t	PROPN
ejde-988	348	13	0	0	NUM
ejde-988	348	14	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	348	15	.	.	PUNCT
ejde-988	349	1	(	(	PUNCT
ejde-988	349	2	3.60	3.60	NUM
ejde-988	349	3	)	)	PUNCT
ejde-988	349	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	349	5	.	.	PUNCT
ejde-988	350	1	we	we	PRON
ejde-988	350	2	remark	remark	VERB
ejde-988	350	3	that	that	SCONJ
ejde-988	350	4	(	(	PUNCT
ejde-988	350	5	1.7)2	1.7)2	NUM
ejde-988	350	6	is	be	AUX
ejde-988	350	7	equivalent	equivalent	ADJ
ejde-988	350	8	to	to	ADP
ejde-988	350	9	ρ(ut	ρ(ut	PROPN
ejde-988	350	10	+	+	CCONJ
ejde-988	350	11	u	u	X
ejde-988	350	12	·	·	PUNCT
ejde-988	350	13	∇u)−	∇u)−	NOUN
ejde-988	350	14	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	350	15	2	2	NUM
ejde-988	350	16	∆u+∇π	∆u+∇π	PROPN
ejde-988	350	17	=	=	SYM
ejde-988	350	18	−	−	PROPN
ejde-988	350	19	1	1	NUM
ejde-988	350	20	λ	λ	NOUN
ejde-988	350	21	(	(	PUNCT
ejde-988	350	22	φt	φt	NOUN
ejde-988	350	23	+	+	CCONJ
ejde-988	350	24	u	u	ADJ
ejde-988	350	25	·	·	SYM
ejde-988	350	26	∇φ)∇φ	∇φ)∇φ	NOUN
ejde-988	350	27	.	.	PUNCT
ejde-988	351	1	(	(	PUNCT
ejde-988	351	2	3.61	3.61	NUM
ejde-988	351	3	)	)	PUNCT
ejde-988	351	4	applying	apply	VERB
ejde-988	351	5	∇∆	∇∆	ADV
ejde-988	351	6	to	to	ADP
ejde-988	351	7	(	(	PUNCT
ejde-988	351	8	3.61	3.61	NUM
ejde-988	351	9	)	)	PUNCT
ejde-988	351	10	,	,	PUNCT
ejde-988	351	11	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	351	12	the	the	DET
ejde-988	351	13	resulting	result	VERB
ejde-988	351	14	equation	equation	NOUN
ejde-988	351	15	by	by	ADP
ejde-988	351	16	∇∆u	∇∆u	PROPN
ejde-988	351	17	,	,	PUNCT
ejde-988	351	18	integrating	integrate	VERB
ejde-988	351	19	the	the	DET
ejde-988	351	20	resultant	resultant	NOUN
ejde-988	351	21	over	over	ADP
ejde-988	351	22	ω	ω	PROPN
ejde-988	351	23	,	,	PUNCT
ejde-988	351	24	one	one	NUM
ejde-988	351	25	derives	derive	VERB
ejde-988	351	26	that	that	SCONJ
ejde-988	351	27	1	1	NUM
ejde-988	351	28	2	2	NUM
ejde-988	351	29	d	d	NOUN
ejde-988	351	30	dt	dt	NOUN
ejde-988	351	31	∥√ρ∇∆u∥2l2	∥√ρ∇∆u∥2l2	INTJ
ejde-988	352	1	+	+	CCONJ
ejde-988	352	2	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	VERB
ejde-988	352	3	≤	≤	NUM
ejde-988	352	4	∫	∫	PROPN
ejde-988	352	5	ω	ω	PROPN
ejde-988	352	6	|∆ρ||∇ut||∇∆u|dx+	|∆ρ||∇ut||∇∆u|dx+	NOUN
ejde-988	352	7	∫	∫	PROPN
ejde-988	352	8	ω	ω	NUM
ejde-988	352	9	|∇ρ||∆ut||∇∆u|dx+	|∇ρ||∆ut||∇∆u|dx+	NOUN
ejde-988	352	10	∫	∫	PROPN
ejde-988	352	11	ω	ω	NUM
ejde-988	352	12	|∆(ρu	|∆(ρu	PROPN
ejde-988	352	13	·	·	PUNCT
ejde-988	352	14	∇u)||∆2u|dx	∇u)||∆2u|dx	NOUN
ejde-988	352	15	+	+	CCONJ
ejde-988	353	1	1	1	NUM
ejde-988	353	2	λ	λ	PROPN
ejde-988	353	3	∫	∫	PROPN
ejde-988	353	4	ω	ω	X
ejde-988	353	5	|∆(φt∇φ)||∆2u|dx+	|∆(φt∇φ)||∆2u|dx+	PROPN
ejde-988	353	6	1	1	NUM
ejde-988	353	7	λ	λ	PROPN
ejde-988	353	8	∫	∫	PROPN
ejde-988	353	9	ω	ω	PROPN
ejde-988	353	10	|∆[(u	|∆[(u	PROPN
ejde-988	353	11	·	·	PUNCT
ejde-988	353	12	∇φ)∇φ]||∆2u|dx+	∇φ)∇φ]||∆2u|dx+	VERB
ejde-988	353	13	∫	∫	PROPN
ejde-988	353	14	ω	ω	PROPN
ejde-988	353	15	|ut||∆ρ|∆2u|dx	|ut||∆ρ|∆2u|dx	PROPN
ejde-988	353	16	=	=	PRON
ejde-988	353	17	:	:	PUNCT
ejde-988	353	18	k1	k1	PROPN
ejde-988	353	19	+	+	PROPN
ejde-988	353	20	k2	k2	NOUN
ejde-988	353	21	+	+	CCONJ
ejde-988	353	22	k3	k3	ADJ
ejde-988	353	23	+	+	NOUN
ejde-988	353	24	k4	k4	ADJ
ejde-988	353	25	+	+	ADJ
ejde-988	353	26	k5	k5	PROPN
ejde-988	353	27	+	+	ADJ
ejde-988	353	28	k6	k6	NOUN
ejde-988	353	29	,	,	PUNCT
ejde-988	353	30	(	(	PUNCT
ejde-988	353	31	3.62	3.62	NUM
ejde-988	353	32	)	)	PUNCT
ejde-988	353	33	where	where	SCONJ
ejde-988	353	34	we	we	PRON
ejde-988	353	35	used	use	VERB
ejde-988	354	1	that∫	that∫	NOUN
ejde-988	354	2	ω	ω	X
ejde-988	354	3	ut∇∆ρ	ut∇∆ρ	PROPN
ejde-988	354	4	·	·	PUNCT
ejde-988	354	5	∇∆u	∇∆u	PROPN
ejde-988	354	6	dx	dx	PROPN
ejde-988	355	1	≤	≤	NUM
ejde-988	355	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	355	3	ω	ω	NUM
ejde-988	355	4	|∆ρ|(|∇ut||∇∆u|dx+	|∆ρ|(|∇ut||∇∆u|dx+	NOUN
ejde-988	355	5	|ut||∆2u|)dx	|ut||∆2u|)dx	NOUN
ejde-988	355	6	.	.	PUNCT
ejde-988	356	1	in	in	ADP
ejde-988	356	2	the	the	DET
ejde-988	356	3	following	following	NOUN
ejde-988	356	4	,	,	PUNCT
ejde-988	356	5	using	use	VERB
ejde-988	356	6	hölder	hölder	NOUN
ejde-988	356	7	’s	’s	PART
ejde-988	356	8	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	356	9	,	,	PUNCT
ejde-988	356	10	kato	kato	PROPN
ejde-988	356	11	-	-	PUNCT
ejde-988	356	12	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	356	13	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	356	14	and	and	CCONJ
ejde-988	356	15	sobolev’e	sobolev’e	NOUN
ejde-988	356	16	embedding	embed	VERB
ejde-988	356	17	theorem	theorem	VERB
ejde-988	356	18	,	,	PUNCT
ejde-988	356	19	we	we	PRON
ejde-988	356	20	estimate	estimate	VERB
ejde-988	356	21	the	the	DET
ejde-988	356	22	sixth	sixth	ADJ
ejde-988	356	23	terms	term	NOUN
ejde-988	356	24	of	of	ADP
ejde-988	356	25	the	the	DET
ejde-988	356	26	right	right	ADJ
ejde-988	356	27	-	-	PUNCT
ejde-988	356	28	hand	hand	NOUN
ejde-988	356	29	side	side	NOUN
ejde-988	356	30	of	of	ADP
ejde-988	356	31	(	(	PUNCT
ejde-988	356	32	3.62	3.62	NUM
ejde-988	356	33	)	)	PUNCT
ejde-988	356	34	term	term	NOUN
ejde-988	356	35	by	by	ADP
ejde-988	356	36	term	term	NOUN
ejde-988	356	37	.	.	PUNCT
ejde-988	357	1	note	note	VERB
ejde-988	357	2	that	that	SCONJ
ejde-988	357	3	k1	k1	PROPN
ejde-988	357	4	≤	≤	NUM
ejde-988	357	5	∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥l6	∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥l6	ADV
ejde-988	357	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	357	7	∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥h1	∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥h1	PUNCT
ejde-988	357	8	≤	≤	NUM
ejde-988	357	9	1	1	NUM
ejde-988	357	10	12	12	NUM
ejde-988	357	11	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	ADJ
ejde-988	357	12	+	+	CCONJ
ejde-988	357	13	c∥∇ut∥2l2∥∆ρ∥2l3	c∥∇ut∥2l2∥∆ρ∥2l3	NUM
ejde-988	357	14	+	+	X
ejde-988	357	15	c∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥l2	c∥∇ut∥l2∥∆ρ∥l3∥∇∆u∥l2	ADJ
ejde-988	357	16	≤	≤	NOUN
ejde-988	357	17	1	1	NUM
ejde-988	357	18	12	12	NUM
ejde-988	357	19	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	357	20	+	+	CCONJ
ejde-988	357	21	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	357	22	)	)	PUNCT
ejde-988	358	1	+	+	NUM
ejde-988	359	1	cφ3(t	cφ3(t	NOUN
ejde-988	359	2	)	)	PUNCT
ejde-988	359	3	,	,	PUNCT
ejde-988	359	4	(	(	PUNCT
ejde-988	359	5	3.63	3.63	NUM
ejde-988	359	6	)	)	PUNCT
ejde-988	359	7	k2	k2	NOUN
ejde-988	359	8	≤	≤	PUNCT
ejde-988	360	1	c∥∆ut∥l2∥∇ρ∥l∞∥∇∆u∥l2	c∥∆ut∥l2∥∇ρ∥l∞∥∇∆u∥l2	PRON
ejde-988	360	2	≤	≤	PROPN
ejde-988	360	3	η∥∆ut∥2l2	η∥∆ut∥2l2	PROPN
ejde-988	360	4	+	+	CCONJ
ejde-988	360	5	c∥∇ρ∥2l∞∥∇∆u∥2l2	c∥∇ρ∥2l∞∥∇∆u∥2l2	ADJ
ejde-988	360	6	≤	≤	PUNCT
ejde-988	361	1	η∥∆ut∥2l2	η∥∆ut∥2l2	PROPN
ejde-988	361	2	+	+	CCONJ
ejde-988	361	3	cφ4(t	cφ4(t	PROPN
ejde-988	361	4	)	)	PUNCT
ejde-988	361	5	,	,	PUNCT
ejde-988	361	6	(	(	PUNCT
ejde-988	361	7	3.64	3.64	NUM
ejde-988	361	8	)	)	PUNCT
ejde-988	361	9	k3	k3	VERB
ejde-988	361	10	≤	≤	ADJ
ejde-988	361	11	c∥∆2u∥l2∥∆(ρu	c∥∆2u∥l2∥∆(ρu	NUM
ejde-988	361	12	·	·	PUNCT
ejde-988	361	13	∇u)∥l2	∇u)∥l2	PROPN
ejde-988	361	14	≤	≤	ADJ
ejde-988	361	15	c∥∆2u∥l2(∥ρ∥l∞∥∆u∥l6∥∇u∥l3	c∥∆2u∥l2(∥ρ∥l∞∥∆u∥l6∥∇u∥l3	PROPN
ejde-988	361	16	+	+	CCONJ
ejde-988	361	17	∥ρ∥l∞∥u∥l∞∥∇∆u∥l2	∥ρ∥l∞∥u∥l∞∥∇∆u∥l2	PROPN
ejde-988	361	18	+	+	CCONJ
ejde-988	361	19	∥∆ρ∥l6∥u∥l3∥∇u∥l2	∥∆ρ∥l6∥u∥l3∥∇u∥l2	ADJ
ejde-988	361	20	)	)	PUNCT
ejde-988	361	21	≤	≤	NUM
ejde-988	361	22	1	1	NUM
ejde-988	361	23	12	12	NUM
ejde-988	361	24	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	361	25	+	+	CCONJ
ejde-988	361	26	c∥ρ∥2h3∥u∥4h3	c∥ρ∥2h3∥u∥4h3	ADJ
ejde-988	361	27	≤	≤	NOUN
ejde-988	361	28	1	1	NUM
ejde-988	361	29	12	12	NUM
ejde-988	361	30	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	361	31	+	+	CCONJ
ejde-988	361	32	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	361	33	)	)	PUNCT
ejde-988	361	34	,	,	PUNCT
ejde-988	361	35	(	(	PUNCT
ejde-988	361	36	3.65	3.65	NUM
ejde-988	361	37	)	)	PUNCT
ejde-988	361	38	k4	k4	ADJ
ejde-988	361	39	≤	≤	ADJ
ejde-988	361	40	c∥∆2u∥l2∥∆(φt∇φ)∥l2	c∥∆2u∥l2∥∆(φt∇φ)∥l2	ADJ
ejde-988	361	41	≤	≤	NUM
ejde-988	361	42	c∥∆2u∥l2(∥∆φt∥l6∥∇φ|l3	c∥∆2u∥l2(∥∆φt∥l6∥∇φ|l3	NOUN
ejde-988	361	43	+	+	CCONJ
ejde-988	361	44	∥φt∥6∥∇∆φ∥l3	∥φt∥6∥∇∆φ∥l3	PROPN
ejde-988	361	45	)	)	PUNCT
ejde-988	361	46	≤	≤	NUM
ejde-988	361	47	1	1	NUM
ejde-988	361	48	12	12	NUM
ejde-988	361	49	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	361	50	+	+	CCONJ
ejde-988	361	51	c∥∇φ∥2h1∥∆φt∥2h1	c∥∇φ∥2h1∥∆φt∥2h1	NOUN
ejde-988	361	52	+	+	CCONJ
ejde-988	361	53	c∥∇φt∥2l2∥∇∆φ∥2h1	c∥∇φt∥2l2∥∇∆φ∥2h1	NOUN
ejde-988	361	54	≤	≤	NOUN
ejde-988	361	55	1	1	NUM
ejde-988	361	56	12	12	NUM
ejde-988	361	57	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	361	58	+	+	CCONJ
ejde-988	361	59	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	361	60	)	)	PUNCT
ejde-988	361	61	,	,	PUNCT
ejde-988	361	62	(	(	PUNCT
ejde-988	361	63	3.66	3.66	NUM
ejde-988	361	64	)	)	PUNCT
ejde-988	361	65	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	361	66	density	density	NOUN
ejde-988	361	67	-	-	PUNCT
ejde-988	361	68	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	361	69	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	361	70	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	361	71	-	-	PUNCT
ejde-988	361	72	a	a	DET
ejde-988	361	73	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	361	74	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	362	1	15	15	NUM
ejde-988	362	2	k5	k5	PROPN
ejde-988	362	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	362	4	c∥∆2u∥l2∥∆[(u	c∥∆2u∥l2∥∆[(u	PROPN
ejde-988	362	5	·	·	PUNCT
ejde-988	362	6	∇φ)∇φ]∥l2	∇φ)∇φ]∥l2	PROPN
ejde-988	362	7	≤	≤	PROPN
ejde-988	362	8	c∥∆2u∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ|2l∞	c∥∆2u∥l2(∥∆u∥l2∥∇φ|2l∞	VERB
ejde-988	362	9	+	+	CCONJ
ejde-988	362	10	∥u∥6∥∇∆φ∥l6∥∇φ∥l6	∥u∥6∥∇∆φ∥l6∥∇φ∥l6	ADJ
ejde-988	362	11	)	)	PUNCT
ejde-988	362	12	≤	≤	NUM
ejde-988	362	13	1	1	NUM
ejde-988	362	14	12	12	NUM
ejde-988	362	15	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	362	16	+	+	CCONJ
ejde-988	362	17	c∥∇φ∥4h2∥∆u∥2l2	c∥∇φ∥4h2∥∆u∥2l2	PRON
ejde-988	363	1	+	+	CCONJ
ejde-988	363	2	c∥u∥2h1∥∇φ∥4h3	c∥u∥2h1∥∇φ∥4h3	NOUN
ejde-988	363	3	≤	≤	NUM
ejde-988	363	4	1	1	NUM
ejde-988	363	5	12	12	NUM
ejde-988	363	6	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	363	7	+	+	CCONJ
ejde-988	363	8	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	363	9	)	)	PUNCT
ejde-988	363	10	,	,	PUNCT
ejde-988	363	11	(	(	PUNCT
ejde-988	363	12	3.67	3.67	NUM
ejde-988	363	13	)	)	PUNCT
ejde-988	363	14	k6	k6	PROPN
ejde-988	363	15	≤	≤	PROPN
ejde-988	363	16	c∥∆2u∥l2∥ut∥l3∥∆ρ∥l6	c∥∆2u∥l2∥ut∥l3∥∆ρ∥l6	VERB
ejde-988	363	17	≤	≤	PUNCT
ejde-988	364	1	c∥∆2u∥l2∥ut∥1/2l2	c∥∆2u∥l2∥ut∥1/2l2	PROPN
ejde-988	364	2	(	(	PUNCT
ejde-988	364	3	∥ut∥l2	∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	364	4	+	+	CCONJ
ejde-988	364	5	∥∇ut∥l2)1/2∥∆ρ∥l6	∥∇ut∥l2)1/2∥∆ρ∥l6	ADJ
ejde-988	364	6	≤	≤	NUM
ejde-988	364	7	1	1	NUM
ejde-988	364	8	12	12	NUM
ejde-988	364	9	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	364	10	+	+	CCONJ
ejde-988	364	11	∥ut∥l2(∥ut∥l2	∥ut∥l2(∥ut∥l2	PROPN
ejde-988	364	12	+	+	CCONJ
ejde-988	364	13	∥∇ut∥l2)∥∆ρ∥2l6	∥∇ut∥l2)∥∆ρ∥2l6	PUNCT
ejde-988	364	14	≤	≤	NUM
ejde-988	364	15	1	1	NUM
ejde-988	364	16	12	12	NUM
ejde-988	364	17	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	NOUN
ejde-988	364	18	+	+	CCONJ
ejde-988	364	19	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	364	20	)	)	PUNCT
ejde-988	364	21	.	.	PUNCT
ejde-988	365	1	(	(	PUNCT
ejde-988	365	2	3.68	3.68	NUM
ejde-988	365	3	)	)	PUNCT
ejde-988	365	4	adding	add	VERB
ejde-988	365	5	(	(	PUNCT
ejde-988	365	6	3.62)-(3.68	3.62)-(3.68	NUM
ejde-988	365	7	)	)	PUNCT
ejde-988	365	8	together	together	ADV
ejde-988	365	9	gives	give	VERB
ejde-988	365	10	d	d	PROPN
ejde-988	365	11	dt	dt	NOUN
ejde-988	365	12	∥√ρ∇∆u∥2l2	∥√ρ∇∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	366	1	+	+	CCONJ
ejde-988	366	2	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	VERB
ejde-988	366	3	≤	≤	ADJ
ejde-988	366	4	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	366	5	)	)	PUNCT
ejde-988	366	6	.	.	PUNCT
ejde-988	367	1	(	(	PUNCT
ejde-988	367	2	3.69	3.69	NUM
ejde-988	367	3	)	)	PUNCT
ejde-988	367	4	differentiating	differentiate	VERB
ejde-988	367	5	(	(	PUNCT
ejde-988	367	6	1.7)2	1.7)2	NUM
ejde-988	367	7	with	with	ADP
ejde-988	367	8	respect	respect	NOUN
ejde-988	367	9	to	to	ADP
ejde-988	367	10	t	t	PROPN
ejde-988	367	11	,	,	PUNCT
ejde-988	367	12	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	367	13	the	the	DET
ejde-988	367	14	resulting	result	VERB
ejde-988	367	15	by	by	ADP
ejde-988	367	16	−∆ut	−∆ut	NOUN
ejde-988	367	17	,	,	PUNCT
ejde-988	367	18	integrating	integrate	VERB
ejde-988	367	19	over	over	ADP
ejde-988	367	20	ω	ω	PROPN
ejde-988	367	21	,	,	PUNCT
ejde-988	367	22	one	one	NUM
ejde-988	367	23	arrive	arrive	VERB
ejde-988	367	24	that	that	SCONJ
ejde-988	367	25	1	1	NUM
ejde-988	367	26	2	2	NUM
ejde-988	367	27	d	d	NOUN
ejde-988	367	28	dt	dt	X
ejde-988	367	29	∥√ρ∇ut∥2l2	∥√ρ∇ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	368	1	+	+	CCONJ
ejde-988	368	2	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	X
ejde-988	369	1	≤	≤	NUM
ejde-988	369	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	3	ω	ω	PROPN
ejde-988	369	4	|∇ρ||u||∇ut|dx+	|∇ρ||u||∇ut|dx+	NOUN
ejde-988	369	5	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	6	ω	ω	PROPN
ejde-988	369	7	|u||∇ρ||ut||∆ut|dx+	|u||∇ρ||ut||∆ut|dx+	PROPN
ejde-988	369	8	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	9	ω	ω	NUM
ejde-988	369	10	|u||∇ρ||u||∇u||∆ut|dx	|u||∇ρ||u||∇u||∆ut|dx	NOUN
ejde-988	369	11	+	+	CCONJ
ejde-988	369	12	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	13	ω	ω	NUM
ejde-988	369	14	|ρ||ut||∇u||∆ut|dx+	|ρ||ut||∇u||∆ut|dx+	PROPN
ejde-988	369	15	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	16	ω	ω	PROPN
ejde-988	369	17	|ρ||u||∇ut||∆ut|dx+	|ρ||u||∇ut||∆ut|dx+	NUM
ejde-988	369	18	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	19	ω	ω	PROPN
ejde-988	369	20	|φt||∇φt||∆ut|dx	|φt||∇φt||∆ut|dx	PROPN
ejde-988	369	21	+	+	CCONJ
ejde-988	369	22	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	23	ω	ω	NUM
ejde-988	369	24	|u||∇φ||∇φt||∆ut|dx+	|u||∇φ||∇φt||∆ut|dx+	PROPN
ejde-988	369	25	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	26	ω	ω	PROPN
ejde-988	369	27	|∇φtt||∇φ||∇ut|dx+	|∇φtt||∇φ||∇ut|dx+	NUM
ejde-988	369	28	∫	∫	PROPN
ejde-988	369	29	ω	ω	NUM
ejde-988	369	30	|φtt||∆φ||∇ut|dx	|φtt||∆φ||∇ut|dx	PROPN
ejde-988	370	1	+	+	CCONJ
ejde-988	370	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	370	3	ω	ω	PROPN
ejde-988	370	4	|ut||∇φ|2|∆ut|dx+	|ut||∇φ|2|∆ut|dx+	PROPN
ejde-988	370	5	∫	∫	PROPN
ejde-988	370	6	ω	ω	PROPN
ejde-988	370	7	|u||∇φt||∇φ||∆ut|dx	|u||∇φt||∇φ||∆ut|dx	NOUN
ejde-988	371	1	=	=	NOUN
ejde-988	371	2	:	:	PUNCT
ejde-988	371	3	k7	k7	PROPN
ejde-988	371	4	+	+	PROPN
ejde-988	371	5	k8	k8	PROPN
ejde-988	371	6	+	+	PROPN
ejde-988	371	7	k9	k9	PROPN
ejde-988	371	8	+	+	PROPN
ejde-988	371	9	k10	k10	PROPN
ejde-988	371	10	+	+	CCONJ
ejde-988	371	11	k11	k11	NOUN
ejde-988	371	12	+	+	NOUN
ejde-988	371	13	k12	k12	NOUN
ejde-988	371	14	+	+	X
ejde-988	371	15	k13	k13	ADJ
ejde-988	371	16	+	+	PROPN
ejde-988	371	17	k14	k14	PROPN
ejde-988	371	18	+	+	PROPN
ejde-988	371	19	k15	k15	PROPN
ejde-988	371	20	+	+	PROPN
ejde-988	371	21	k16	k16	PROPN
ejde-988	371	22	+	+	PROPN
ejde-988	371	23	k17	k17	PROPN
ejde-988	371	24	,	,	PUNCT
ejde-988	371	25	(	(	PUNCT
ejde-988	371	26	3.70	3.70	NUM
ejde-988	371	27	)	)	PUNCT
ejde-988	371	28	where	where	SCONJ
ejde-988	371	29	we	we	PRON
ejde-988	371	30	used	use	VERB
ejde-988	371	31	that	that	SCONJ
ejde-988	371	32	∫	∫	PROPN
ejde-988	371	33	ω	ω	PROPN
ejde-988	371	34	φtt∆ut∇φdx	φtt∆ut∇φdx	VERB
ejde-988	371	35	≤	≤	PROPN
ejde-988	371	36	∫	∫	PROPN
ejde-988	371	37	ω	ω	NUM
ejde-988	371	38	|∇ut|(|∇φtt||∇φ|+	|∇ut|(|∇φtt||∇φ|+	NUM
ejde-988	371	39	|φtt||∆φ|)dx	|φtt||∆φ|)dx	VERB
ejde-988	371	40	.	.	PUNCT
ejde-988	372	1	in	in	ADP
ejde-988	372	2	the	the	DET
ejde-988	372	3	following	following	NOUN
ejde-988	372	4	,	,	PUNCT
ejde-988	372	5	we	we	PRON
ejde-988	372	6	estimate	estimate	VERB
ejde-988	372	7	the	the	DET
ejde-988	372	8	eleven	eleven	NUM
ejde-988	372	9	terms	term	NOUN
ejde-988	372	10	on	on	ADP
ejde-988	372	11	the	the	DET
ejde-988	372	12	right	right	ADJ
ejde-988	372	13	-	-	PUNCT
ejde-988	372	14	hand	hand	NOUN
ejde-988	372	15	side	side	NOUN
ejde-988	372	16	of	of	ADP
ejde-988	372	17	(	(	PUNCT
ejde-988	372	18	3.70	3.70	NUM
ejde-988	372	19	)	)	PUNCT
ejde-988	372	20	one	one	NUM
ejde-988	372	21	by	by	ADP
ejde-988	372	22	one	one	NUM
ejde-988	372	23	.	.	PUNCT
ejde-988	373	1	the	the	DET
ejde-988	373	2	main	main	ADJ
ejde-988	373	3	tools	tool	NOUN
ejde-988	373	4	we	we	PRON
ejde-988	373	5	use	use	VERB
ejde-988	373	6	are	be	AUX
ejde-988	373	7	hólder	hólder	PROPN
ejde-988	373	8	’s	’s	PART
ejde-988	373	9	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	373	10	,	,	PUNCT
ejde-988	373	11	kato	kato	PROPN
ejde-988	373	12	-	-	PUNCT
ejde-988	373	13	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	373	14	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	373	15	and	and	CCONJ
ejde-988	373	16	sobolev	sobolev	NOUN
ejde-988	373	17	’s	’s	PART
ejde-988	373	18	embedding	embed	VERB
ejde-988	373	19	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	373	20	.	.	PUNCT
ejde-988	374	1	note	note	VERB
ejde-988	374	2	that	that	SCONJ
ejde-988	374	3	k7	k7	PROPN
ejde-988	374	4	≤	≤	PROPN
ejde-988	374	5	∥∇ut∥l2∥∇ρ∥l3∥ut∥l6	∥∇ut∥l2∥∇ρ∥l3∥ut∥l6	PUNCT
ejde-988	374	6	≤	≤	NUM
ejde-988	374	7	c∥∇ut∥2l2∥∇ρ∥l3	c∥∇ut∥2l2∥∇ρ∥l3	NOUN
ejde-988	374	8	≤	≤	NUM
ejde-988	374	9	cφ3(t	cφ3(t	NOUN
ejde-988	374	10	)	)	PUNCT
ejde-988	374	11	,	,	PUNCT
ejde-988	374	12	(	(	PUNCT
ejde-988	374	13	3.71	3.71	NUM
ejde-988	374	14	)	)	PUNCT
ejde-988	374	15	k8	k8	PROPN
ejde-988	374	16	≤	≤	NUM
ejde-988	374	17	∥∆ut∥l2∥ut∥l6∥∇ρ∥l6∥u∥l6	∥∆ut∥l2∥ut∥l6∥∇ρ∥l6∥u∥l6	PROPN
ejde-988	374	18	≤	≤	PROPN
ejde-988	374	19	c∥∆ut∥l2∥ut∥h1∥∇ρ∥l6∥u∥h1	c∥∆ut∥l2∥ut∥h1∥∇ρ∥l6∥u∥h1	PROPN
ejde-988	374	20	≤	≤	PROPN
ejde-988	374	21	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	374	22	28	28	NUM
ejde-988	374	23	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	375	1	+	+	NUM
ejde-988	375	2	c∥ut∥2h1∥∇ρ∥2l6∥u∥2h1	c∥ut∥2h1∥∇ρ∥2l6∥u∥2h1	NOUN
ejde-988	375	3	≤	≤	PUNCT
ejde-988	375	4	δ∥∆ut∥2l2	δ∥∆ut∥2l2	PROPN
ejde-988	375	5	+	+	CCONJ
ejde-988	375	6	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	375	7	)	)	PUNCT
ejde-988	375	8	,	,	PUNCT
ejde-988	375	9	k9	k9	PROPN
ejde-988	375	10	≤	≤	PROPN
ejde-988	375	11	∥∆ut∥l2∥u∥l6∥u∥l∞∥∇ρ∥l6∥∇u∥l6	∥∆ut∥l2∥u∥l6∥u∥l∞∥∇ρ∥l6∥∇u∥l6	PUNCT
ejde-988	375	12	≤	≤	ADV
ejde-988	375	13	∥∆ut∥l2∥u∥3h2∥∇ρ∥l6	∥∆ut∥l2∥u∥3h2∥∇ρ∥l6	PUNCT
ejde-988	375	14	≤	≤	PROPN
ejde-988	375	15	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	375	16	28	28	NUM
ejde-988	375	17	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	376	1	+	+	PUNCT
ejde-988	376	2	c∥u∥6h2∥∇ρ∥2l6	c∥u∥6h2∥∇ρ∥2l6	PRON
ejde-988	376	3	≤	≤	X
ejde-988	376	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	376	5	28	28	NUM
ejde-988	376	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PROPN
ejde-988	377	1	+	+	CCONJ
ejde-988	377	2	cφ8(t	cφ8(t	NUM
ejde-988	377	3	)	)	PUNCT
ejde-988	377	4	,	,	PUNCT
ejde-988	377	5	k10	k10	NOUN
ejde-988	377	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	377	7	∥∆ut∥l2∥ut∥l6∥∇u∥l3∥ρ∥l∞	∥∆ut∥l2∥ut∥l6∥∇u∥l3∥ρ∥l∞	PROPN
ejde-988	377	8	≤	≤	PROPN
ejde-988	377	9	∥∆ut∥l2∥ut∥h1∥∇u∥h1∥ρ∥h2	∥∆ut∥l2∥ut∥h1∥∇u∥h1∥ρ∥h2	PROPN
ejde-988	377	10	≤	≤	PROPN
ejde-988	377	11	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	377	12	28	28	NUM
ejde-988	377	13	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	378	1	+	+	CCONJ
ejde-988	378	2	c∥ut∥2h1∥∇u∥2h1∥ρ∥2h2	c∥ut∥2h1∥∇u∥2h1∥ρ∥2h2	NOUN
ejde-988	378	3	≤	≤	PUNCT
ejde-988	378	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	378	5	28	28	NUM
ejde-988	378	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	379	1	+	+	NUM
ejde-988	379	2	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	379	3	)	)	PUNCT
ejde-988	379	4	,	,	PUNCT
ejde-988	379	5	16	16	NUM
ejde-988	379	6	x.	x.	NOUN
ejde-988	379	7	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	379	8	,	,	PUNCT
ejde-988	379	9	x.	x.	PROPN
ejde-988	379	10	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	379	11	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	379	12	k11	k11	ADJ
ejde-988	379	13	≤	≤	NUM
ejde-988	379	14	∥∆ut∥l2∥∇ut∥l2∥ρ∥l∞∥u∥l∞	∥∆ut∥l2∥∇ut∥l2∥ρ∥l∞∥u∥l∞	PROPN
ejde-988	379	15	≤	≤	PROPN
ejde-988	379	16	∥∆ut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥h2∥ρ∥h2	∥∆ut∥l2∥∇ut∥l2∥u∥h2∥ρ∥h2	PROPN
ejde-988	379	17	≤	≤	PROPN
ejde-988	379	18	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	379	19	28	28	NUM
ejde-988	379	20	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	380	1	+	+	CCONJ
ejde-988	380	2	c∥∇ut∥2l2∥u∥2h2∥ρ∥2h2	c∥∇ut∥2l2∥u∥2h2∥ρ∥2h2	ADJ
ejde-988	380	3	≤	≤	X
ejde-988	380	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	380	5	28	28	NUM
ejde-988	380	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	381	1	+	+	NUM
ejde-988	381	2	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	381	3	)	)	PUNCT
ejde-988	381	4	,	,	PUNCT
ejde-988	381	5	k12	k12	PROPN
ejde-988	381	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	381	7	∥∆ut∥l2∥φt∥l6∥∇φt∥l3	∥∆ut∥l2∥φt∥l6∥∇φt∥l3	PRON
ejde-988	381	8	≤	≤	NUM
ejde-988	382	1	∥∆ut∥l2∥∇φt∥l2∥∇φt∥3/4l2	∥∆ut∥l2∥∇φt∥l2∥∇φt∥3/4l2	PROPN
ejde-988	382	2	∥∇∆φt∥1/4l2	∥∇∆φt∥1/4l2	PRON
ejde-988	382	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	382	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	382	5	28	28	NUM
ejde-988	382	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PROPN
ejde-988	383	1	+	+	CCONJ
ejde-988	383	2	c|∇φt∥	c|∇φt∥	PRON
ejde-988	383	3	7	7	NUM
ejde-988	383	4	2	2	NUM
ejde-988	383	5	l2∥∇∆φt∥1/2l2	l2∥∇∆φt∥1/2l2	PROPN
ejde-988	383	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	383	7	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	383	8	28	28	NUM
ejde-988	383	9	∥∆ut∥l2	∥∆ut∥l2	NOUN
ejde-988	383	10	+	+	CCONJ
ejde-988	383	11	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	383	12	)	)	PUNCT
ejde-988	383	13	,	,	PUNCT
ejde-988	383	14	k13	k13	VERB
ejde-988	383	15	≤	≤	NUM
ejde-988	383	16	∥∆ut∥l2∥u∥l6∥∇φ∥l6∥∇φt∥l6	∥∆ut∥l2∥u∥l6∥∇φ∥l6∥∇φt∥l6	NUM
ejde-988	383	17	≤	≤	NUM
ejde-988	383	18	∥∆ut∥l2∥u∥h1∥∇φ∥h1∥∇φt∥h1	∥∆ut∥l2∥u∥h1∥∇φ∥h1∥∇φt∥h1	ADJ
ejde-988	383	19	≤	≤	NUM
ejde-988	383	20	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	383	21	28	28	NUM
ejde-988	383	22	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	384	1	+	+	CCONJ
ejde-988	384	2	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2h1	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2h1	PROPN
ejde-988	384	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	384	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	384	5	28	28	NUM
ejde-988	384	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	385	1	+	+	NUM
ejde-988	385	2	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	385	3	)	)	PUNCT
ejde-988	385	4	,	,	PUNCT
ejde-988	385	5	k14	k14	PROPN
ejde-988	385	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	385	7	∥∇φtt∥l2∥∇φ∥l∞∥∇ut∥l2	∥∇φtt∥l2∥∇φ∥l∞∥∇ut∥l2	ADJ
ejde-988	385	8	≤	≤	NOUN
ejde-988	385	9	c∥∇φtt∥l2∥∇φ∥h2∥∇ut∥l2	c∥∇φtt∥l2∥∇φ∥h2∥∇ut∥l2	NOUN
ejde-988	385	10	≤	≤	NOUN
ejde-988	385	11	1	1	NUM
ejde-988	385	12	3	3	NUM
ejde-988	385	13	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	NOUN
ejde-988	385	14	+	+	CCONJ
ejde-988	385	15	c∥∇φ∥2h2∥∇ut∥2l2	c∥∇φ∥2h2∥∇ut∥2l2	VERB
ejde-988	385	16	≤	≤	NUM
ejde-988	385	17	1	1	NUM
ejde-988	385	18	3	3	NUM
ejde-988	385	19	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	NOUN
ejde-988	386	1	+	+	CCONJ
ejde-988	386	2	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	386	3	)	)	PUNCT
ejde-988	386	4	,	,	PUNCT
ejde-988	386	5	k15	k15	PROPN
ejde-988	386	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	386	7	∥φtt∥l6∥∆φ∥l3∥∇ut∥l2	∥φtt∥l6∥∆φ∥l3∥∇ut∥l2	PROPN
ejde-988	386	8	≤	≤	ADV
ejde-988	386	9	c∥∇φtt∥l2∥∆φ∥h1∥∇ut∥l2	c∥∇φtt∥l2∥∆φ∥h1∥∇ut∥l2	NOUN
ejde-988	386	10	≤	≤	NUM
ejde-988	386	11	1	1	NUM
ejde-988	386	12	3	3	NUM
ejde-988	386	13	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	NOUN
ejde-988	387	1	+	+	CCONJ
ejde-988	387	2	c∥∆φ∥2h1∥∇ut∥2l2	c∥∆φ∥2h1∥∇ut∥2l2	VERB
ejde-988	387	3	≤	≤	NUM
ejde-988	387	4	1	1	NUM
ejde-988	387	5	3	3	NUM
ejde-988	387	6	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	NOUN
ejde-988	388	1	+	+	CCONJ
ejde-988	388	2	cφ4(t	cφ4(t	ADJ
ejde-988	388	3	)	)	PUNCT
ejde-988	388	4	,	,	PUNCT
ejde-988	388	5	k16	k16	PROPN
ejde-988	388	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	389	1	∥ut∥l6∥∇φ∥l6∥∆ut∥l2	∥ut∥l6∥∇φ∥l6∥∆ut∥l2	ADJ
ejde-988	389	2	≤	≤	NUM
ejde-988	389	3	c∥ut∥h1∥∇φ∥2h1∥∆ut∥l2	c∥ut∥h1∥∇φ∥2h1∥∆ut∥l2	NOUN
ejde-988	389	4	≤	≤	NUM
ejde-988	389	5	1	1	NUM
ejde-988	389	6	3	3	NUM
ejde-988	389	7	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	390	1	+	+	CCONJ
ejde-988	390	2	c∥ut∥2h1∥∇φ∥4h1	c∥ut∥2h1∥∇φ∥4h1	VERB
ejde-988	390	3	≤	≤	NUM
ejde-988	390	4	1	1	NUM
ejde-988	390	5	3	3	NUM
ejde-988	390	6	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	391	1	+	+	NUM
ejde-988	391	2	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	391	3	)	)	PUNCT
ejde-988	391	4	,	,	PUNCT
ejde-988	391	5	k17	k17	PROPN
ejde-988	391	6	≤	≤	PROPN
ejde-988	391	7	∥u∥l6∥∇φt∥l6∥∇φ∥l6∥∆ut∥l2	∥u∥l6∥∇φt∥l6∥∇φ∥l6∥∆ut∥l2	PROPN
ejde-988	391	8	≤	≤	PROPN
ejde-988	391	9	c∥u∥h1∥∇φ∥h1∥∇φt∥h1∥∆ut∥l2	c∥u∥h1∥∇φ∥h1∥∇φt∥h1∥∆ut∥l2	NOUN
ejde-988	391	10	≤	≤	PROPN
ejde-988	391	11	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	391	12	28	28	NUM
ejde-988	391	13	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	PUNCT
ejde-988	392	1	+	+	CCONJ
ejde-988	392	2	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2h1	c∥u∥2h1∥∇φ∥2h1∥∇φt∥2h1	PROPN
ejde-988	392	3	≤	≤	PROPN
ejde-988	392	4	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	392	5	28	28	NUM
ejde-988	392	6	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	VERB
ejde-988	392	7	+	+	NUM
ejde-988	392	8	cφ6(t	cφ6(t	NOUN
ejde-988	392	9	)	)	PUNCT
ejde-988	392	10	.	.	PUNCT
ejde-988	393	1	summing	sum	VERB
ejde-988	393	2	,	,	PUNCT
ejde-988	393	3	we	we	PRON
ejde-988	393	4	obtain	obtain	VERB
ejde-988	393	5	d	d	X
ejde-988	393	6	dt	dt	X
ejde-988	393	7	(	(	PUNCT
ejde-988	393	8	∥√ρ∇∆u∥2l2	∥√ρ∇∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	393	9	+	+	CCONJ
ejde-988	393	10	∥√ρ∇ut∥2l2	∥√ρ∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	393	11	)	)	PUNCT
ejde-988	394	1	+	+	CCONJ
ejde-988	394	2	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	VERB
ejde-988	394	3	+	+	CCONJ
ejde-988	394	4	∥∆ut∥2l2	∥∆ut∥2l2	X
ejde-988	394	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	394	6	c(φ8(t	c(φ8(t	PROPN
ejde-988	394	7	)	)	PUNCT
ejde-988	394	8	+	+	NUM
ejde-988	394	9	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	X
ejde-988	394	10	)	)	PUNCT
ejde-988	394	11	,	,	PUNCT
ejde-988	394	12	(	(	PUNCT
ejde-988	394	13	3.72	3.72	NUM
ejde-988	394	14	)	)	PUNCT
ejde-988	394	15	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	394	16	density	density	NOUN
ejde-988	394	17	-	-	PUNCT
ejde-988	394	18	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	394	19	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	394	20	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	394	21	-	-	PUNCT
ejde-988	394	22	a	a	DET
ejde-988	394	23	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	394	24	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	394	25	17	17	NUM
ejde-988	394	26	integrating	integrating	NOUN
ejde-988	394	27	(	(	PUNCT
ejde-988	394	28	3.72	3.72	NUM
ejde-988	394	29	)	)	PUNCT
ejde-988	394	30	over	over	ADP
ejde-988	394	31	(	(	PUNCT
ejde-988	394	32	0	0	NUM
ejde-988	394	33	,	,	PUNCT
ejde-988	394	34	t	t	PROPN
ejde-988	394	35	)	)	PUNCT
ejde-988	394	36	,	,	PUNCT
ejde-988	394	37	we	we	PRON
ejde-988	394	38	obtain	obtain	VERB
ejde-988	394	39	∥√ρ∇∆u∥2l2	∥√ρ∇∆u∥2l2	PROPN
ejde-988	395	1	+	+	CCONJ
ejde-988	395	2	∥√ρ∇ut∥2l2	∥√ρ∇ut∥2l2	PROPN
ejde-988	396	1	+	+	CCONJ
ejde-988	396	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	396	3	t	t	PROPN
ejde-988	396	4	0	0	NUM
ejde-988	396	5	(	(	PUNCT
ejde-988	396	6	∥∆2u∥2l2	∥∆2u∥2l2	PROPN
ejde-988	396	7	+	+	CCONJ
ejde-988	396	8	∥∆ut∥2l2)ds	∥∆ut∥2l2)d	VERB
ejde-988	396	9	≤	≤	NUM
ejde-988	396	10	c	c	PROPN
ejde-988	396	11	∫	∫	PROPN
ejde-988	396	12	t	t	PROPN
ejde-988	396	13	0	0	NUM
ejde-988	396	14	(	(	PUNCT
ejde-988	396	15	φ8(s	φ8(s	X
ejde-988	396	16	)	)	PUNCT
ejde-988	396	17	+	+	NUM
ejde-988	396	18	∥∇φtt∥2l2	∥∇φtt∥2l2	X
ejde-988	396	19	)	)	PUNCT
ejde-988	396	20	ds	ds	ADJ
ejde-988	396	21	≤	≤	NUM
ejde-988	396	22	c	c	PROPN
ejde-988	396	23	∫	∫	PROPN
ejde-988	396	24	t	t	PROPN
ejde-988	396	25	0	0	NUM
ejde-988	396	26	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	396	27	.	.	PUNCT
ejde-988	397	1	(	(	PUNCT
ejde-988	397	2	3.73	3.73	NUM
ejde-988	397	3	)	)	PUNCT
ejde-988	397	4	note	note	NOUN
ejde-988	397	5	that	that	SCONJ
ejde-988	397	6	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	397	7	≥	≥	NUM
ejde-988	397	8	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	397	9	,	,	PUNCT
ejde-988	397	10	then	then	ADV
ejde-988	397	11	by	by	ADP
ejde-988	397	12	using	use	VERB
ejde-988	397	13	(	(	PUNCT
ejde-988	397	14	3.33	3.33	NUM
ejde-988	397	15	)	)	PUNCT
ejde-988	397	16	,	,	PUNCT
ejde-988	397	17	we	we	PRON
ejde-988	397	18	obtain	obtain	VERB
ejde-988	397	19	(	(	PUNCT
ejde-988	397	20	3.73	3.73	NUM
ejde-988	397	21	)	)	PUNCT
ejde-988	397	22	and	and	CCONJ
ejde-988	397	23	complete	complete	VERB
ejde-988	397	24	the	the	DET
ejde-988	397	25	proof	proof	NOUN
ejde-988	397	26	.	.	PUNCT
ejde-988	398	1	□	□	PUNCT
ejde-988	398	2	lemma	lemma	PROPN
ejde-988	398	3	3.10	3.10	NUM
ejde-988	398	4	.	.	PUNCT
ejde-988	399	1	if	if	SCONJ
ejde-988	399	2	(	(	PUNCT
ejde-988	399	3	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	399	4	,	,	PUNCT
ejde-988	399	5	u	u	NOUN
ejde-988	399	6	,	,	PUNCT
ejde-988	399	7	φ	φ	NOUN
ejde-988	399	8	)	)	PUNCT
ejde-988	399	9	is	be	AUX
ejde-988	399	10	the	the	DET
ejde-988	399	11	unique	unique	ADJ
ejde-988	399	12	strong	strong	ADJ
ejde-988	399	13	solution	solution	NOUN
ejde-988	399	14	stated	state	VERB
ejde-988	399	15	in	in	ADP
ejde-988	399	16	definition	definition	NOUN
ejde-988	399	17	1.1	1.1	NUM
ejde-988	399	18	to	to	ADP
ejde-988	399	19	system	system	NOUN
ejde-988	399	20	(	(	PUNCT
ejde-988	399	21	1.7)(1.8	1.7)(1.8	NUM
ejde-988	399	22	)	)	PUNCT
ejde-988	399	23	,	,	PUNCT
ejde-988	399	24	then	then	ADV
ejde-988	399	25	for	for	ADP
ejde-988	399	26	any	any	DET
ejde-988	399	27	t	t	NOUN
ejde-988	399	28	∈	∈	PROPN
ejde-988	399	29	(	(	PUNCT
ejde-988	399	30	0	0	NUM
ejde-988	399	31	,	,	PUNCT
ejde-988	399	32	t	t	PROPN
ejde-988	399	33	)	)	PUNCT
ejde-988	399	34	,	,	PUNCT
ejde-988	399	35	it	it	PRON
ejde-988	399	36	holds	hold	VERB
ejde-988	399	37	that	that	SCONJ
ejde-988	399	38	∥∇∆3φ∥l2	∥∇∆3φ∥l2	PROPN
ejde-988	399	39	≤	≤	PROPN
ejde-988	399	40	c	c	PROPN
ejde-988	399	41	∫	∫	PROPN
ejde-988	399	42	t	t	PROPN
ejde-988	399	43	0	0	NUM
ejde-988	399	44	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	399	45	.	.	PUNCT
ejde-988	400	1	(	(	PUNCT
ejde-988	400	2	3.74	3.74	NUM
ejde-988	400	3	)	)	PUNCT
ejde-988	400	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	400	5	.	.	PUNCT
ejde-988	401	1	applying	apply	VERB
ejde-988	401	2	∇∆	∇∆	ADV
ejde-988	401	3	to	to	ADP
ejde-988	401	4	(	(	PUNCT
ejde-988	401	5	1.7)3	1.7)3	NUM
ejde-988	401	6	,	,	PUNCT
ejde-988	401	7	we	we	PRON
ejde-988	401	8	easily	easily	ADV
ejde-988	401	9	obtain	obtain	VERB
ejde-988	401	10	∥∇∆3φ∥l2	∥∇∆3φ∥l2	ADJ
ejde-988	401	11	≤	≤	NOUN
ejde-988	402	1	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	402	2	+	+	NOUN
ejde-988	402	3	∥∇∆(u	∥∇∆(u	ADJ
ejde-988	402	4	·	·	PUNCT
ejde-988	402	5	∇φ)∥l2	∇φ)∥l2	PROPN
ejde-988	402	6	+	+	CCONJ
ejde-988	402	7	∥∆∇	∥∆∇	PROPN
ejde-988	402	8	·	·	PUNCT
ejde-988	402	9	(	(	PUNCT
ejde-988	402	10	|∇φ|2∇φ−∇φ)∥l2	|∇φ|2∇φ−∇φ)∥l2	NOUN
ejde-988	402	11	≤	≤	NOUN
ejde-988	402	12	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	NOUN
ejde-988	402	13	+	+	CCONJ
ejde-988	402	14	∥u∥l∞∥∆2φ∥l2	∥u∥l∞∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	402	15	+	+	CCONJ
ejde-988	402	16	∥∇∆u∥l2∥∇φ∥l∞	∥∇∆u∥l2∥∇φ∥l∞	NOUN
ejde-988	403	1	+	+	CCONJ
ejde-988	403	2	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	PRON
ejde-988	403	3	+	+	CCONJ
ejde-988	403	4	∥∇φ∥2l∞∥∆2φ∥l2	∥∇φ∥2l∞∥∆2φ∥l2	PUNCT
ejde-988	403	5	≤	≤	NOUN
ejde-988	403	6	∥∇∆φt∥l2	∥∇∆φt∥l2	PROPN
ejde-988	403	7	+	+	CCONJ
ejde-988	403	8	∥u∥h2∥∆2φ∥l2	∥u∥h2∥∆2φ∥l2	NOUN
ejde-988	403	9	+	+	CCONJ
ejde-988	403	10	∥∇∆u∥l2∥∇φ∥h2	∥∇∆u∥l2∥∇φ∥h2	PROPN
ejde-988	403	11	+	+	CCONJ
ejde-988	403	12	∥∆2φ∥l2	∥∆2φ∥l2	PROPN
ejde-988	403	13	+	+	CCONJ
ejde-988	403	14	∥∇φ∥2h2∥∆2φ∥l2	∥∇φ∥2h2∥∆2φ∥l2	ADJ
ejde-988	403	15	≤	≤	NOUN
ejde-988	403	16	c	c	PROPN
ejde-988	403	17	∫	∫	PROPN
ejde-988	403	18	t	t	PROPN
ejde-988	403	19	0	0	NUM
ejde-988	403	20	φ8(s)ds	φ8(s)ds	ADJ
ejde-988	403	21	,	,	PUNCT
ejde-988	403	22	and	and	CCONJ
ejde-988	403	23	complete	complete	VERB
ejde-988	403	24	the	the	DET
ejde-988	403	25	proof	proof	NOUN
ejde-988	403	26	.	.	PUNCT
ejde-988	404	1	□	□	PUNCT
ejde-988	404	2	proof	proof	NOUN
ejde-988	404	3	of	of	ADP
ejde-988	404	4	theorem	theorem	NOUN
ejde-988	404	5	3.1	3.1	NUM
ejde-988	404	6	.	.	PUNCT
ejde-988	405	1	it	it	PRON
ejde-988	405	2	follows	follow	VERB
ejde-988	405	3	from	from	ADP
ejde-988	405	4	(	(	PUNCT
ejde-988	405	5	3.4	3.4	NUM
ejde-988	405	6	)	)	PUNCT
ejde-988	405	7	,	,	PUNCT
ejde-988	405	8	(	(	PUNCT
ejde-988	405	9	3.6	3.6	NUM
ejde-988	405	10	)	)	PUNCT
ejde-988	405	11	,	,	PUNCT
ejde-988	405	12	(	(	PUNCT
ejde-988	405	13	3.13	3.13	NUM
ejde-988	405	14	)	)	PUNCT
ejde-988	405	15	,	,	PUNCT
ejde-988	405	16	(	(	PUNCT
ejde-988	405	17	3.19	3.19	NUM
ejde-988	405	18	)	)	PUNCT
ejde-988	405	19	,	,	PUNCT
ejde-988	405	20	(	(	PUNCT
ejde-988	405	21	3.33	3.33	NUM
ejde-988	405	22	)	)	PUNCT
ejde-988	405	23	,	,	PUNCT
ejde-988	405	24	(	(	PUNCT
ejde-988	405	25	3.70	3.70	NUM
ejde-988	405	26	)	)	PUNCT
ejde-988	405	27	and	and	CCONJ
ejde-988	405	28	(	(	PUNCT
ejde-988	405	29	3.74	3.74	NUM
ejde-988	405	30	)	)	PUNCT
ejde-988	405	31	that	that	PRON
ejde-988	405	32	φ(t	φ(t	VERB
ejde-988	405	33	)	)	PUNCT
ejde-988	405	34	≤	≤	PUNCT
ejde-988	406	1	c	c	X
ejde-988	406	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	406	3	t	t	PROPN
ejde-988	406	4	0	0	NUM
ejde-988	406	5	φ8(s)ds+	φ8(s)ds+	PRON
ejde-988	406	6	exp	exp	NOUN
ejde-988	406	7	{	{	PUNCT
ejde-988	407	1	c	c	PROPN
ejde-988	407	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	407	3	t	t	PROPN
ejde-988	407	4	0	0	NUM
ejde-988	407	5	φ(s)ds	φ(s)ds	NUM
ejde-988	407	6	}	}	PUNCT
ejde-988	407	7	.	.	PUNCT
ejde-988	408	1	(	(	PUNCT
ejde-988	408	2	3.75	3.75	NUM
ejde-988	408	3	)	)	PUNCT
ejde-988	408	4	moreover	moreover	ADV
ejde-988	408	5	,	,	PUNCT
ejde-988	408	6	from	from	ADP
ejde-988	408	7	the	the	DET
ejde-988	408	8	taylor	taylor	PROPN
ejde-988	408	9	expansion	expansion	NOUN
ejde-988	408	10	ex	ex	X
ejde-988	408	11	=	=	NOUN
ejde-988	408	12	1	1	NUM
ejde-988	408	13	+	+	CCONJ
ejde-988	408	14	x+	x+	ADJ
ejde-988	408	15	x2	x2	NOUN
ejde-988	408	16	2	2	NUM
ejde-988	408	17	!	!	PUNCT
ejde-988	409	1	+	+	CCONJ
ejde-988	409	2	x3	x3	ADJ
ejde-988	409	3	3	3	NUM
ejde-988	409	4	!	!	PUNCT
ejde-988	410	1	+	+	CCONJ
ejde-988	410	2	.	.	PUNCT
ejde-988	410	3	.	.	PUNCT
ejde-988	411	1	.	.	PUNCT
ejde-988	412	1	,	,	PUNCT
ejde-988	412	2	we	we	PRON
ejde-988	412	3	obtain	obtain	VERB
ejde-988	412	4	that	that	DET
ejde-988	412	5	c	c	PROPN
ejde-988	412	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	412	7	t	t	PROPN
ejde-988	412	8	0	0	NUM
ejde-988	412	9	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	412	10	≤	≤	PROPN
ejde-988	412	11	exp	exp	NOUN
ejde-988	412	12	{	{	PUNCT
ejde-988	413	1	c	c	PROPN
ejde-988	413	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	413	3	t	t	PROPN
ejde-988	413	4	0	0	NUM
ejde-988	413	5	φ8(s)ds	φ8(s)ds	PROPN
ejde-988	413	6	}	}	PUNCT
ejde-988	413	7	.	.	PUNCT
ejde-988	414	1	(	(	PUNCT
ejde-988	414	2	3.76	3.76	NUM
ejde-988	414	3	)	)	PUNCT
ejde-988	414	4	it	it	PRON
ejde-988	414	5	is	be	AUX
ejde-988	414	6	readily	readily	ADV
ejde-988	414	7	seen	see	VERB
ejde-988	414	8	that	that	SCONJ
ejde-988	414	9	the	the	DET
ejde-988	414	10	conclusion	conclusion	NOUN
ejde-988	414	11	(	(	PUNCT
ejde-988	414	12	3.2	3.2	NUM
ejde-988	414	13	)	)	PUNCT
ejde-988	414	14	follows	follow	VERB
ejde-988	414	15	from	from	ADP
ejde-988	414	16	(	(	PUNCT
ejde-988	414	17	3.75	3.75	NUM
ejde-988	414	18	)	)	PUNCT
ejde-988	414	19	and	and	CCONJ
ejde-988	414	20	(	(	PUNCT
ejde-988	414	21	3.76	3.76	NUM
ejde-988	414	22	)	)	PUNCT
ejde-988	414	23	.	.	PUNCT
ejde-988	415	1	□	□	PUNCT
ejde-988	415	2	4	4	X
ejde-988	415	3	.	.	X
ejde-988	415	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	415	5	of	of	ADP
ejde-988	415	6	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	415	7	1.2	1.2	NUM
ejde-988	415	8	in	in	ADP
ejde-988	415	9	this	this	DET
ejde-988	415	10	section	section	NOUN
ejde-988	415	11	,	,	PUNCT
ejde-988	415	12	we	we	PRON
ejde-988	415	13	employ	employ	VERB
ejde-988	415	14	galerkin	galerkin	PROPN
ejde-988	415	15	’s	’s	PART
ejde-988	415	16	method	method	NOUN
ejde-988	415	17	to	to	PART
ejde-988	415	18	obtain	obtain	VERB
ejde-988	415	19	a	a	DET
ejde-988	415	20	sequence	sequence	NOUN
ejde-988	415	21	of	of	ADP
ejde-988	415	22	approximate	approximate	ADJ
ejde-988	415	23	solutions	solution	NOUN
ejde-988	415	24	to	to	ADP
ejde-988	415	25	system	system	NOUN
ejde-988	415	26	(	(	PUNCT
ejde-988	415	27	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	415	28	)	)	PUNCT
ejde-988	415	29	,	,	PUNCT
ejde-988	415	30	which	which	PRON
ejde-988	415	31	will	will	AUX
ejde-988	415	32	converge	converge	VERB
ejde-988	415	33	to	to	ADP
ejde-988	415	34	a	a	DET
ejde-988	415	35	strong	strong	ADJ
ejde-988	415	36	solution	solution	NOUN
ejde-988	415	37	to	to	ADP
ejde-988	415	38	(	(	PUNCT
ejde-988	415	39	1.7)-(1.8	1.7)-(1.8	NUM
ejde-988	415	40	)	)	PUNCT
ejde-988	415	41	.	.	PUNCT
ejde-988	416	1	to	to	PART
ejde-988	416	2	implement	implement	VERB
ejde-988	416	3	galerkin	galerkin	PROPN
ejde-988	416	4	’s	’s	PART
ejde-988	416	5	method	method	NOUN
ejde-988	416	6	,	,	PUNCT
ejde-988	416	7	we	we	PRON
ejde-988	416	8	take	take	VERB
ejde-988	416	9	the	the	DET
ejde-988	416	10	function	function	NOUN
ejde-988	416	11	space	space	NOUN
ejde-988	416	12	to	to	PART
ejde-988	416	13	be	be	AUX
ejde-988	416	14	x	x	X
ejde-988	416	15	:	:	PUNCT
ejde-988	416	16	=	=	SYM
ejde-988	416	17	h2(ω	h2(ω	NOUN
ejde-988	416	18	)	)	PUNCT
ejde-988	416	19	∩h1	∩h1	NOUN
ejde-988	416	20	0	0	NUM
ejde-988	416	21	(	(	PUNCT
ejde-988	416	22	ω	ω	NOUN
ejde-988	416	23	)	)	PUNCT
ejde-988	416	24	and	and	CCONJ
ejde-988	416	25	its	its	PRON
ejde-988	416	26	finite	finite	ADJ
ejde-988	416	27	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-988	416	28	subspaces	subspace	NOUN
ejde-988	416	29	as	as	ADP
ejde-988	416	30	xm	xm	PROPN
ejde-988	416	31	:	:	PUNCT
ejde-988	416	32	=	=	SYM
ejde-988	416	33	span{ξ1	span{ξ1	PROPN
ejde-988	416	34	,	,	PUNCT
ejde-988	416	35	ξ2	ξ2	NOUN
ejde-988	416	36	,	,	PUNCT
ejde-988	416	37	·	·	PUNCT
ejde-988	416	38	·	·	PUNCT
ejde-988	416	39	·	·	PUNCT
ejde-988	416	40	,	,	PUNCT
ejde-988	416	41	ξm	ξm	X
ejde-988	416	42	}	}	PUNCT
ejde-988	416	43	,	,	PUNCT
ejde-988	416	44	m	m	VERB
ejde-988	416	45	≥	≥	NOUN
ejde-988	416	46	1	1	NUM
ejde-988	416	47	,	,	PUNCT
ejde-988	416	48	where	where	SCONJ
ejde-988	416	49	{	{	PUNCT
ejde-988	416	50	ξm	ξm	NOUN
ejde-988	416	51	}	}	PUNCT
ejde-988	416	52	⊂	⊂	PROPN
ejde-988	416	53	x	x	X
ejde-988	416	54	is	be	AUX
ejde-988	416	55	an	an	DET
ejde-988	416	56	orthonormal	orthonormal	ADJ
ejde-988	416	57	base	base	NOUN
ejde-988	416	58	of	of	ADP
ejde-988	416	59	h1(ω	h1(ω	PROPN
ejde-988	416	60	)	)	PUNCT
ejde-988	416	61	.	.	PUNCT
ejde-988	417	1	now	now	ADV
ejde-988	417	2	,	,	PUNCT
ejde-988	417	3	we	we	PRON
ejde-988	417	4	outline	outline	VERB
ejde-988	417	5	galerkin	galerkin	PROPN
ejde-988	417	6	’s	’s	PART
ejde-988	417	7	scheme	scheme	NOUN
ejde-988	417	8	into	into	ADP
ejde-988	417	9	several	several	ADJ
ejde-988	417	10	steps	step	NOUN
ejde-988	417	11	:	:	PUNCT
ejde-988	417	12	step	step	NOUN
ejde-988	417	13	1	1	NUM
ejde-988	417	14	:	:	PUNCT
ejde-988	417	15	mth	mth	NOUN
ejde-988	417	16	approximate	approximate	ADJ
ejde-988	417	17	solutions	solution	NOUN
ejde-988	417	18	.	.	PUNCT
ejde-988	418	1	fix	fix	VERB
ejde-988	418	2	2	2	NUM
ejde-988	418	3	≤	≤	NOUN
ejde-988	418	4	q	q	NOUN
ejde-988	418	5	<	<	X
ejde-988	418	6	∞	∞	PROPN
ejde-988	418	7	and	and	CCONJ
ejde-988	418	8	3	3	NUM
ejde-988	418	9	<	<	X
ejde-988	418	10	r	r	NOUN
ejde-988	418	11	≤	≤	NUM
ejde-988	418	12	6	6	NUM
ejde-988	418	13	.	.	PUNCT
ejde-988	419	1	for	for	ADP
ejde-988	419	2	m	m	PROPN
ejde-988	419	3	≥	≥	NOUN
ejde-988	419	4	1	1	NUM
ejde-988	419	5	and	and	CCONJ
ejde-988	419	6	some	some	DET
ejde-988	419	7	0	0	NUM
ejde-988	419	8	<	<	X
ejde-988	419	9	t	t	PROPN
ejde-988	419	10	=	=	SYM
ejde-988	419	11	t	t	PROPN
ejde-988	419	12	(	(	PUNCT
ejde-988	419	13	m	m	NOUN
ejde-988	419	14	)	)	PUNCT
ejde-988	419	15	<	<	X
ejde-988	420	1	+	+	X
ejde-988	420	2	∞	∞	PROPN
ejde-988	420	3	to	to	PART
ejde-988	420	4	be	be	AUX
ejde-988	420	5	determined	determine	VERB
ejde-988	420	6	below	below	ADV
ejde-988	420	7	,	,	PUNCT
ejde-988	420	8	we	we	PRON
ejde-988	420	9	let	let	VERB
ejde-988	420	10	um	um	INTJ
ejde-988	420	11	0	0	PUNCT
ejde-988	420	12	=	=	SYM
ejde-988	420	13	m∑	m∑	INTJ
ejde-988	420	14	k=1	k=1	PROPN
ejde-988	420	15	(	(	PUNCT
ejde-988	420	16	u0	u0	PROPN
ejde-988	420	17	,	,	PUNCT
ejde-988	420	18	ξk)ξk	ξk)ξk	PROPN
ejde-988	420	19	18	18	NUM
ejde-988	420	20	x.	x.	NOUN
ejde-988	420	21	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	420	22	,	,	PUNCT
ejde-988	420	23	x.	x.	PROPN
ejde-988	420	24	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	420	25	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	420	26	and	and	CCONJ
ejde-988	420	27	look	look	VERB
ejde-988	420	28	for	for	ADP
ejde-988	420	29	the	the	DET
ejde-988	420	30	triple	triple	ADJ
ejde-988	420	31	ρm	ρm	PRON
ejde-988	420	32	∈	∈	PROPN
ejde-988	420	33	c([0	c([0	NOUN
ejde-988	420	34	,	,	PUNCT
ejde-988	420	35	t	t	X
ejde-988	420	36	]	]	PUNCT
ejde-988	420	37	;	;	PUNCT
ejde-988	420	38	w	w	PROPN
ejde-988	420	39	1,q	1,q	NUM
ejde-988	420	40	∩w	∩w	NOUN
ejde-988	420	41	2,r	2,r	NUM
ejde-988	420	42	∩h3	∩h3	NOUN
ejde-988	420	43	)	)	PUNCT
ejde-988	420	44	,	,	PUNCT
ejde-988	420	45	um(x	um(x	PROPN
ejde-988	420	46	,	,	PUNCT
ejde-988	420	47	t	t	PROPN
ejde-988	420	48	)	)	PUNCT
ejde-988	420	49	=	=	PUNCT
ejde-988	421	1	m∑	m∑	INTJ
ejde-988	421	2	k=1	k=1	INTJ
ejde-988	421	3	um	um	INTJ
ejde-988	421	4	k	k	X
ejde-988	421	5	(	(	PUNCT
ejde-988	421	6	t)ξk(x	t)ξk(x	PROPN
ejde-988	421	7	)	)	PUNCT
ejde-988	421	8	∈	∈	PROPN
ejde-988	421	9	c([0	c([0	PROPN
ejde-988	421	10	,	,	PUNCT
ejde-988	421	11	t	t	X
ejde-988	421	12	]	]	PUNCT
ejde-988	421	13	;	;	PUNCT
ejde-988	421	14	h3	h3	NOUN
ejde-988	421	15	)	)	PUNCT
ejde-988	421	16	,	,	PUNCT
ejde-988	421	17	φm	φm	ADP
ejde-988	421	18	∈	∈	PROPN
ejde-988	421	19	c([0	c([0	NOUN
ejde-988	421	20	,	,	PUNCT
ejde-988	421	21	t	t	X
ejde-988	421	22	]	]	PUNCT
ejde-988	421	23	;	;	PUNCT
ejde-988	421	24	h7	h7	X
ejde-988	421	25	)	)	PUNCT
ejde-988	421	26	(	(	PUNCT
ejde-988	421	27	4.1	4.1	NUM
ejde-988	421	28	)	)	PUNCT
ejde-988	421	29	as	as	ADP
ejde-988	421	30	solution	solution	NOUN
ejde-988	421	31	of	of	ADP
ejde-988	421	32	the	the	DET
ejde-988	421	33	problem	problem	NOUN
ejde-988	421	34	ρmt	ρmt	X
ejde-988	422	1	+	+	NOUN
ejde-988	422	2	∇	∇	X
ejde-988	422	3	·	·	PUNCT
ejde-988	422	4	(	(	PUNCT
ejde-988	422	5	ρmum	ρmum	ADJ
ejde-988	422	6	)	)	PUNCT
ejde-988	422	7	=	=	SYM
ejde-988	422	8	0	0	NUM
ejde-988	422	9	,	,	PUNCT
ejde-988	422	10	(	(	PUNCT
ejde-988	422	11	ρm(um	ρm(um	ADV
ejde-988	422	12	t	t	NOUN
ejde-988	422	13	+	+	CCONJ
ejde-988	422	14	um	um	INTJ
ejde-988	422	15	·	·	SYM
ejde-988	422	16	∇um	∇um	NUM
ejde-988	422	17	)	)	PUNCT
ejde-988	422	18	,	,	PUNCT
ejde-988	422	19	ξk	ξk	ADP
ejde-988	422	20	)	)	PUNCT
ejde-988	422	21	+	+	CCONJ
ejde-988	422	22	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	422	23	2	2	NUM
ejde-988	422	24	(	(	PUNCT
ejde-988	422	25	∇um,∇ξk	∇um,∇ξk	NUM
ejde-988	422	26	)	)	PUNCT
ejde-988	423	1	+	+	CCONJ
ejde-988	423	2	(	(	PUNCT
ejde-988	423	3	∇πm	∇πm	NOUN
ejde-988	423	4	,	,	PUNCT
ejde-988	423	5	ξk	ξk	ADP
ejde-988	423	6	)	)	PUNCT
ejde-988	423	7	=	=	SYM
ejde-988	423	8	(	(	PUNCT
ejde-988	423	9	[	[	PUNCT
ejde-988	423	10	k∆2φm	k∆2φm	PROPN
ejde-988	423	11	−	−	PROPN
ejde-988	423	12	1	1	NUM
ejde-988	423	13	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	423	14	∇	∇	X
ejde-988	423	15	·	·	PUNCT
ejde-988	423	16	(	(	PUNCT
ejde-988	423	17	|∇φm|2	|∇φm|2	NOUN
ejde-988	423	18	−	−	PROPN
ejde-988	423	19	1)∇φm	1)∇φm	NUM
ejde-988	423	20	]	]	PUNCT
ejde-988	423	21	∇φm	∇φm	NOUN
ejde-988	423	22	,	,	PUNCT
ejde-988	423	23	ξk	ξk	ADV
ejde-988	423	24	)	)	PUNCT
ejde-988	423	25	,	,	PUNCT
ejde-988	423	26	φm	φm	PROPN
ejde-988	423	27	t	t	PROPN
ejde-988	423	28	+	+	CCONJ
ejde-988	423	29	um	um	INTJ
ejde-988	423	30	·	·	PUNCT
ejde-988	423	31	∇φm	∇φm	NOUN
ejde-988	423	32	=	=	SYM
ejde-988	423	33	λ	λ	PROPN
ejde-988	423	34	[	[	PUNCT
ejde-988	423	35	∇	∇	X
ejde-988	423	36	·	·	PUNCT
ejde-988	423	37	(	(	PUNCT
ejde-988	423	38	1	1	NUM
ejde-988	423	39	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	423	40	(	(	PUNCT
ejde-988	423	41	|∇φm|2	|∇φm|2	NOUN
ejde-988	423	42	−	−	PROPN
ejde-988	423	43	1)∇φm	1)∇φm	NUM
ejde-988	423	44	)	)	PUNCT
ejde-988	423	45	−k∆2φm	−k∆2φm	PROPN
ejde-988	423	46	]	]	PUNCT
ejde-988	423	47	,	,	PUNCT
ejde-988	423	48	∇	∇	X
ejde-988	423	49	·	·	PUNCT
ejde-988	423	50	um	um	INTJ
ejde-988	423	51	=	=	SYM
ejde-988	423	52	0	0	PROPN
ejde-988	423	53	,	,	PUNCT
ejde-988	423	54	(	(	PUNCT
ejde-988	423	55	ρm	ρm	INTJ
ejde-988	423	56	,	,	PUNCT
ejde-988	423	57	um	um	INTJ
ejde-988	423	58	,	,	PUNCT
ejde-988	423	59	φm)|t=0	φm)|t=0	X
ejde-988	423	60	=	=	SYM
ejde-988	423	61	(	(	PUNCT
ejde-988	423	62	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	423	63	,	,	PUNCT
ejde-988	423	64	u	u	NOUN
ejde-988	423	65	m	m	VERB
ejde-988	423	66	0	0	NUM
ejde-988	423	67	,	,	PUNCT
ejde-988	423	68	φ0	φ0	PROPN
ejde-988	423	69	)	)	PUNCT
ejde-988	423	70	.	.	PUNCT
ejde-988	424	1	(	(	PUNCT
ejde-988	424	2	4.2	4.2	NUM
ejde-988	424	3	)	)	PUNCT
ejde-988	424	4	the	the	DET
ejde-988	424	5	existence	existence	NOUN
ejde-988	424	6	of	of	ADP
ejde-988	424	7	a	a	DET
ejde-988	424	8	solution	solution	NOUN
ejde-988	424	9	(	(	PUNCT
ejde-988	424	10	ρm	ρm	NOUN
ejde-988	424	11	,	,	PUNCT
ejde-988	424	12	um	um	INTJ
ejde-988	424	13	,	,	PUNCT
ejde-988	424	14	φm	φm	PROPN
ejde-988	424	15	)	)	PUNCT
ejde-988	424	16	to	to	ADP
ejde-988	424	17	(	(	PUNCT
ejde-988	424	18	4.2	4.2	NUM
ejde-988	424	19	)	)	PUNCT
ejde-988	424	20	over	over	ADP
ejde-988	424	21	ω	ω	NUM
ejde-988	424	22	×	×	NOUN
ejde-988	425	1	[	[	X
ejde-988	425	2	0	0	NUM
ejde-988	425	3	,	,	PUNCT
ejde-988	425	4	t	t	PROPN
ejde-988	425	5	(	(	PUNCT
ejde-988	425	6	m	m	NOUN
ejde-988	425	7	)	)	PUNCT
ejde-988	425	8	]	]	PUNCT
ejde-988	425	9	for	for	ADP
ejde-988	425	10	some	some	DET
ejde-988	425	11	t	t	NOUN
ejde-988	425	12	(	(	PUNCT
ejde-988	425	13	m	m	PROPN
ejde-988	425	14	)	)	PUNCT
ejde-988	425	15	>	>	X
ejde-988	425	16	0	0	NUM
ejde-988	425	17	can	can	AUX
ejde-988	425	18	be	be	AUX
ejde-988	425	19	obtained	obtain	VERB
ejde-988	425	20	by	by	ADP
ejde-988	425	21	the	the	DET
ejde-988	425	22	fixed	fix	VERB
ejde-988	425	23	point	point	NOUN
ejde-988	425	24	theorem	theorem	VERB
ejde-988	425	25	.	.	PUNCT
ejde-988	426	1	since	since	SCONJ
ejde-988	426	2	the	the	DET
ejde-988	426	3	process	process	NOUN
ejde-988	426	4	is	be	AUX
ejde-988	426	5	standard	standard	ADJ
ejde-988	426	6	,	,	PUNCT
ejde-988	426	7	we	we	PRON
ejde-988	426	8	only	only	ADV
ejde-988	426	9	sketch	sketch	VERB
ejde-988	426	10	the	the	DET
ejde-988	426	11	argument	argument	NOUN
ejde-988	426	12	.	.	PUNCT
ejde-988	427	1	first	first	ADV
ejde-988	427	2	,	,	PUNCT
ejde-988	427	3	observe	observe	VERB
ejde-988	427	4	that	that	SCONJ
ejde-988	427	5	for	for	ADP
ejde-988	427	6	any	any	DET
ejde-988	427	7	given	give	VERB
ejde-988	427	8	0	0	NUM
ejde-988	427	9	<	<	X
ejde-988	427	10	t	t	X
ejde-988	427	11	<	<	X
ejde-988	427	12	∞	∞	PROPN
ejde-988	427	13	and	and	CCONJ
ejde-988	427	14	um	um	INTJ
ejde-988	427	15	∈	∈	PROPN
ejde-988	427	16	c([0	c([0	NOUN
ejde-988	427	17	,	,	PUNCT
ejde-988	427	18	t	t	X
ejde-988	427	19	]	]	PUNCT
ejde-988	427	20	;	;	PUNCT
ejde-988	427	21	h3	h3	NOUN
ejde-988	427	22	)	)	PUNCT
ejde-988	427	23	,	,	PUNCT
ejde-988	427	24	it	it	PRON
ejde-988	427	25	is	be	AUX
ejde-988	427	26	standard	standard	ADJ
ejde-988	427	27	to	to	PART
ejde-988	427	28	show	show	VERB
ejde-988	427	29	that	that	SCONJ
ejde-988	427	30	there	there	PRON
ejde-988	427	31	exist	exist	VERB
ejde-988	427	32	(	(	PUNCT
ejde-988	427	33	1	1	X
ejde-988	427	34	)	)	PUNCT
ejde-988	427	35	a	a	DET
ejde-988	427	36	solution	solution	NOUN
ejde-988	427	37	ρm	ρm	DET
ejde-988	427	38	∈	∈	PROPN
ejde-988	427	39	c([0	c([0	NOUN
ejde-988	427	40	,	,	PUNCT
ejde-988	427	41	t	t	X
ejde-988	427	42	]	]	PUNCT
ejde-988	427	43	;	;	PUNCT
ejde-988	427	44	w	w	PROPN
ejde-988	427	45	1,q	1,q	NUM
ejde-988	427	46	∩w	∩w	NOUN
ejde-988	427	47	2,r	2,r	NUM
ejde-988	427	48	∩h3	∩h3	NOUN
ejde-988	427	49	)	)	PUNCT
ejde-988	427	50	of	of	ADP
ejde-988	427	51	(	(	PUNCT
ejde-988	427	52	4.2)1	4.2)1	NOUN
ejde-988	427	53	along	along	ADP
ejde-988	427	54	with	with	ADP
ejde-988	427	55	ρm|t=0	ρm|t=0	PROPN
ejde-988	427	56	=	=	SYM
ejde-988	427	57	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	427	58	.	.	PUNCT
ejde-988	428	1	(	(	PUNCT
ejde-988	428	2	2	2	NUM
ejde-988	428	3	)	)	PUNCT
ejde-988	428	4	0	0	PUNCT
ejde-988	428	5	<	<	X
ejde-988	428	6	tm	tm	PROPN
ejde-988	428	7	≤	≤	PROPN
ejde-988	428	8	t	t	PROPN
ejde-988	428	9	,	,	PUNCT
ejde-988	428	10	depending	depend	VERB
ejde-988	428	11	on	on	ADP
ejde-988	428	12	um	um	INTJ
ejde-988	428	13	and	and	CCONJ
ejde-988	428	14	∥φ0∥h6	∥φ0∥h6	NUM
ejde-988	428	15	,	,	PUNCT
ejde-988	428	16	and	and	CCONJ
ejde-988	428	17	φm	φm	ADP
ejde-988	428	18	∈	∈	PROPN
ejde-988	428	19	c([0	c([0	NOUN
ejde-988	428	20	,	,	PUNCT
ejde-988	428	21	tm	tm	NOUN
ejde-988	428	22	]	]	X
ejde-988	428	23	,	,	PUNCT
ejde-988	428	24	h7(ω	h7(ω	NOUN
ejde-988	428	25	)	)	PUNCT
ejde-988	428	26	)	)	PUNCT
ejde-988	428	27	.	.	PUNCT
ejde-988	429	1	it	it	PRON
ejde-988	429	2	is	be	AUX
ejde-988	429	3	well	well	ADV
ejde-988	429	4	known	know	VERB
ejde-988	429	5	that	that	SCONJ
ejde-988	429	6	ρm(x	ρm(x	NUM
ejde-988	429	7	,	,	PUNCT
ejde-988	429	8	t	t	PROPN
ejde-988	429	9	)	)	PUNCT
ejde-988	429	10	≥	≥	NOUN
ejde-988	429	11	ρ	ρ	X
ejde-988	429	12	>	>	X
ejde-988	429	13	0	0	PROPN
ejde-988	429	14	.	.	PUNCT
ejde-988	430	1	the	the	DET
ejde-988	430	2	coefficients	coefficient	NOUN
ejde-988	430	3	um	um	INTJ
ejde-988	430	4	k	k	X
ejde-988	430	5	(	(	PUNCT
ejde-988	430	6	t	t	PROPN
ejde-988	430	7	)	)	PUNCT
ejde-988	430	8	can	can	AUX
ejde-988	430	9	be	be	AUX
ejde-988	430	10	determined	determine	VERB
ejde-988	430	11	by	by	ADP
ejde-988	430	12	the	the	DET
ejde-988	430	13	following	follow	VERB
ejde-988	430	14	system	system	NOUN
ejde-988	430	15	of	of	ADP
ejde-988	430	16	m	m	PROPN
ejde-988	430	17	first	first	ADJ
ejde-988	430	18	order	order	NOUN
ejde-988	430	19	odes	ode	VERB
ejde-988	430	20	:	:	PUNCT
ejde-988	431	1	1	1	NUM
ejde-988	431	2	≤	≤	NUM
ejde-988	431	3	k	k	X
ejde-988	431	4	≤	≤	NUM
ejde-988	431	5	m	m	PROPN
ejde-988	431	6	,	,	PUNCT
ejde-988	431	7	m∑	m∑	INTJ
ejde-988	431	8	i=1	i=1	PROPN
ejde-988	431	9	(	(	PUNCT
ejde-988	431	10	ρmξi	ρmξi	NOUN
ejde-988	431	11	,	,	PUNCT
ejde-988	431	12	ξk)u̇	ξk)u̇	PROPN
ejde-988	431	13	m	m	VERB
ejde-988	431	14	i	i	NOUN
ejde-988	431	15	=	=	SYM
ejde-988	431	16	gk	gk	PROPN
ejde-988	432	1	(	(	PUNCT
ejde-988	432	2	um	um	INTJ
ejde-988	432	3	l	l	NOUN
ejde-988	432	4	(	(	PUNCT
ejde-988	432	5	t	t	PROPN
ejde-988	432	6	)	)	PUNCT
ejde-988	432	7	,	,	PUNCT
ejde-988	432	8	∫	∫	PROPN
ejde-988	432	9	t	t	PROPN
ejde-988	432	10	0	0	NUM
ejde-988	432	11	um	um	INTJ
ejde-988	432	12	l	l	NOUN
ejde-988	432	13	(	(	PUNCT
ejde-988	432	14	s)ds	s)ds	PROPN
ejde-988	432	15	,	,	PUNCT
ejde-988	432	16	t	t	PROPN
ejde-988	432	17	)	)	PUNCT
ejde-988	432	18	;	;	PUNCT
ejde-988	432	19	um	um	INTJ
ejde-988	432	20	k	k	X
ejde-988	432	21	(	(	PUNCT
ejde-988	432	22	0	0	NUM
ejde-988	432	23	)	)	PUNCT
ejde-988	432	24	=	=	NOUN
ejde-988	432	25	(	(	PUNCT
ejde-988	432	26	u0	u0	PROPN
ejde-988	432	27	,	,	PUNCT
ejde-988	432	28	ξk	ξk	ADP
ejde-988	432	29	)	)	PUNCT
ejde-988	432	30	,	,	PUNCT
ejde-988	432	31	(	(	PUNCT
ejde-988	432	32	4.3	4.3	NUM
ejde-988	432	33	)	)	PUNCT
ejde-988	432	34	where	where	SCONJ
ejde-988	432	35	gk	gk	PROPN
ejde-988	432	36	denotes	denote	VERB
ejde-988	432	37	the	the	DET
ejde-988	432	38	right	right	ADJ
ejde-988	432	39	-	-	PUNCT
ejde-988	432	40	hand	hand	NOUN
ejde-988	432	41	side	side	NOUN
ejde-988	432	42	of	of	ADP
ejde-988	432	43	(	(	PUNCT
ejde-988	432	44	4.2)2	4.2)2	NOUN
ejde-988	432	45	.	.	PUNCT
ejde-988	432	46	note	note	VERB
ejde-988	432	47	that	that	SCONJ
ejde-988	432	48	ρm	ρm	INTJ
ejde-988	432	49	is	be	AUX
ejde-988	432	50	strictly	strictly	ADV
ejde-988	432	51	positive	positive	ADJ
ejde-988	432	52	,	,	PUNCT
ejde-988	432	53	the	the	DET
ejde-988	432	54	determinant	determinant	NOUN
ejde-988	432	55	of	of	ADP
ejde-988	432	56	the	the	DET
ejde-988	432	57	m×m	m×m	ADJ
ejde-988	432	58	matrix	matrix	NOUN
ejde-988	432	59	(	(	PUNCT
ejde-988	432	60	ρmξi	ρmξi	NOUN
ejde-988	432	61	,	,	PUNCT
ejde-988	432	62	ξk)1≤i	ξk)1≤i	PROPN
ejde-988	432	63	,	,	PUNCT
ejde-988	432	64	k≤m	k≤m	PROPN
ejde-988	432	65	is	be	AUX
ejde-988	432	66	positive	positive	ADJ
ejde-988	432	67	.	.	PUNCT
ejde-988	433	1	therefore	therefore	ADV
ejde-988	433	2	,	,	PUNCT
ejde-988	433	3	(	(	PUNCT
ejde-988	433	4	4.3	4.3	NUM
ejde-988	433	5	)	)	PUNCT
ejde-988	433	6	can	can	AUX
ejde-988	433	7	be	be	AUX
ejde-988	433	8	reduced	reduce	VERB
ejde-988	433	9	to	to	PART
ejde-988	433	10	u̇m	u̇m	VERB
ejde-988	433	11	k	k	X
ejde-988	433	12	=	=	PUNCT
ejde-988	433	13	fk(u	fk(u	X
ejde-988	433	14	m	m	VERB
ejde-988	433	15	l	l	NOUN
ejde-988	433	16	,	,	PUNCT
ejde-988	433	17	bml	bml	PROPN
ejde-988	433	18	,	,	PUNCT
ejde-988	433	19	t	t	PROPN
ejde-988	433	20	)	)	PUNCT
ejde-988	433	21	,	,	PUNCT
ejde-988	433	22	ḃmk	ḃmk	X
ejde-988	434	1	=	=	SYM
ejde-988	434	2	um	um	INTJ
ejde-988	434	3	k	k	X
ejde-988	434	4	;	;	PUNCT
ejde-988	434	5	um	um	INTJ
ejde-988	434	6	k	k	X
ejde-988	434	7	(	(	PUNCT
ejde-988	434	8	0	0	NUM
ejde-988	434	9	)	)	PUNCT
ejde-988	434	10	=	=	NOUN
ejde-988	434	11	(	(	PUNCT
ejde-988	434	12	u0	u0	PROPN
ejde-988	434	13	,	,	PUNCT
ejde-988	434	14	ξk	ξk	ADP
ejde-988	434	15	)	)	PUNCT
ejde-988	434	16	,	,	PUNCT
ejde-988	434	17	bmk	bmk	PROPN
ejde-988	434	18	(	(	PUNCT
ejde-988	434	19	0	0	NUM
ejde-988	434	20	)	)	PUNCT
ejde-988	434	21	=	=	SYM
ejde-988	434	22	0	0	NUM
ejde-988	434	23	,	,	PUNCT
ejde-988	434	24	(	(	PUNCT
ejde-988	434	25	4.4	4.4	NUM
ejde-988	434	26	)	)	PUNCT
ejde-988	434	27	where	where	SCONJ
ejde-988	434	28	fk	fk	PRON
ejde-988	434	29	is	be	AUX
ejde-988	434	30	a	a	DET
ejde-988	434	31	regular	regular	ADJ
ejde-988	434	32	function	function	NOUN
ejde-988	434	33	of	of	ADP
ejde-988	434	34	um	um	INTJ
ejde-988	434	35	l	l	NOUN
ejde-988	434	36	and	and	CCONJ
ejde-988	434	37	bml	bml	PROPN
ejde-988	434	38	.	.	PUNCT
ejde-988	435	1	hence	hence	ADV
ejde-988	435	2	,	,	PUNCT
ejde-988	435	3	on	on	ADP
ejde-988	435	4	the	the	DET
ejde-988	435	5	basis	basis	NOUN
ejde-988	435	6	of	of	ADP
ejde-988	435	7	the	the	DET
ejde-988	435	8	standard	standard	ADJ
ejde-988	435	9	existence	existence	NOUN
ejde-988	435	10	theory	theory	NOUN
ejde-988	435	11	of	of	ADP
ejde-988	435	12	odes	ode	NOUN
ejde-988	435	13	,	,	PUNCT
ejde-988	435	14	we	we	PRON
ejde-988	435	15	conclude	conclude	VERB
ejde-988	435	16	that	that	SCONJ
ejde-988	435	17	there	there	PRON
ejde-988	435	18	is	be	VERB
ejde-988	435	19	a	a	DET
ejde-988	435	20	time	time	NOUN
ejde-988	435	21	t	t	PROPN
ejde-988	435	22	,	,	PUNCT
ejde-988	435	23	∈	∈	PROPN
ejde-988	435	24	(	(	PUNCT
ejde-988	435	25	0	0	NUM
ejde-988	435	26	,	,	PUNCT
ejde-988	435	27	tm	tm	NOUN
ejde-988	435	28	]	]	X
ejde-988	435	29	and	and	CCONJ
ejde-988	435	30	a	a	DET
ejde-988	435	31	solution	solution	NOUN
ejde-988	435	32	um	um	INTJ
ejde-988	435	33	k	k	X
ejde-988	435	34	(	(	PUNCT
ejde-988	435	35	t	t	PROPN
ejde-988	435	36	)	)	PUNCT
ejde-988	435	37	to	to	ADP
ejde-988	435	38	(	(	PUNCT
ejde-988	435	39	4.4	4.4	NUM
ejde-988	435	40	)	)	PUNCT
ejde-988	435	41	,	,	PUNCT
ejde-988	435	42	which	which	PRON
ejde-988	435	43	in	in	ADP
ejde-988	435	44	turn	turn	NOUN
ejde-988	435	45	implies	imply	VERB
ejde-988	435	46	the	the	DET
ejde-988	435	47	existence	existence	NOUN
ejde-988	435	48	of	of	ADP
ejde-988	435	49	solution	solution	NOUN
ejde-988	435	50	ρm	ρm	PROPN
ejde-988	435	51	,	,	PUNCT
ejde-988	435	52	φm	φm	PROPN
ejde-988	435	53	of	of	ADP
ejde-988	435	54	(	(	PUNCT
ejde-988	435	55	4.2)1	4.2)1	NUM
ejde-988	435	56	and	and	CCONJ
ejde-988	435	57	(	(	PUNCT
ejde-988	435	58	4.2))3	4.2))3	NOUN
ejde-988	435	59	on	on	ADP
ejde-988	435	60	the	the	DET
ejde-988	435	61	same	same	ADJ
ejde-988	435	62	time	time	NOUN
ejde-988	435	63	interval	interval	NOUN
ejde-988	435	64	.	.	PUNCT
ejde-988	436	1	step	step	NOUN
ejde-988	436	2	2	2	NUM
ejde-988	436	3	:	:	PUNCT
ejde-988	436	4	a	a	DET
ejde-988	436	5	priori	priori	ADJ
ejde-988	436	6	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	436	7	.	.	PUNCT
ejde-988	437	1	we	we	PRON
ejde-988	437	2	also	also	ADV
ejde-988	437	3	need	need	VERB
ejde-988	437	4	to	to	PART
ejde-988	437	5	show	show	VERB
ejde-988	437	6	that	that	SCONJ
ejde-988	437	7	there	there	PRON
ejde-988	437	8	exist	exist	VERB
ejde-988	437	9	0	0	NUM
ejde-988	437	10	<	<	X
ejde-988	437	11	t0	t0	X
ejde-988	437	12	<	<	X
ejde-988	438	1	+	+	X
ejde-988	438	2	∞	∞	NUM
ejde-988	438	3	and	and	CCONJ
ejde-988	438	4	c	c	X
ejde-988	438	5	>	>	X
ejde-988	438	6	0	0	PROPN
ejde-988	438	7	,	,	PUNCT
ejde-988	438	8	depending	depend	VERB
ejde-988	438	9	only	only	ADV
ejde-988	438	10	on	on	ADP
ejde-988	438	11	the	the	DET
ejde-988	438	12	initial	initial	ADJ
ejde-988	438	13	data	datum	NOUN
ejde-988	438	14	ρ0	ρ0	PROPN
ejde-988	438	15	,	,	PUNCT
ejde-988	438	16	u0	u0	ADJ
ejde-988	438	17	and	and	CCONJ
ejde-988	438	18	φ0	φ0	ADJ
ejde-988	438	19	,	,	PUNCT
ejde-988	438	20	but	but	CCONJ
ejde-988	438	21	independent	independent	ADJ
ejde-988	438	22	of	of	ADP
ejde-988	438	23	the	the	DET
ejde-988	438	24	parameter	parameter	NOUN
ejde-988	438	25	m	m	PROPN
ejde-988	438	26	and	and	CCONJ
ejde-988	438	27	the	the	DET
ejde-988	438	28	size	size	NOUN
ejde-988	438	29	of	of	ADP
ejde-988	438	30	the	the	DET
ejde-988	438	31	domain	domain	NOUN
ejde-988	438	32	ω	ω	NOUN
ejde-988	438	33	,	,	PUNCT
ejde-988	438	34	such	such	ADJ
ejde-988	438	35	that	that	SCONJ
ejde-988	438	36	for	for	ADP
ejde-988	438	37	any	any	DET
ejde-988	438	38	m	m	NOUN
ejde-988	438	39	≥	≥	NOUN
ejde-988	438	40	1	1	NUM
ejde-988	438	41	,	,	PUNCT
ejde-988	438	42	(	(	PUNCT
ejde-988	438	43	ρm	ρm	INTJ
ejde-988	438	44	,	,	PUNCT
ejde-988	438	45	um	um	INTJ
ejde-988	438	46	,	,	PUNCT
ejde-988	438	47	φm	φm	NOUN
ejde-988	438	48	)	)	PUNCT
ejde-988	438	49	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-988	438	50	φm(t	φm(t	NOUN
ejde-988	438	51	)	)	PUNCT
ejde-988	438	52	≤	≤	NUM
ejde-988	438	53	exp	exp	NOUN
ejde-988	438	54	[	[	PUNCT
ejde-988	438	55	c	c	NOUN
ejde-988	438	56	∫	∫	PROPN
ejde-988	438	57	t	t	PROPN
ejde-988	438	58	0	0	NUM
ejde-988	438	59	(	(	PUNCT
ejde-988	438	60	φm(s	φm(s	ADJ
ejde-988	438	61	)	)	PUNCT
ejde-988	438	62	)	)	PUNCT
ejde-988	438	63	8	8	NUM
ejde-988	438	64	ds	ds	NOUN
ejde-988	438	65	]	]	PUNCT
ejde-988	438	66	,	,	PUNCT
ejde-988	438	67	0	0	NUM
ejde-988	438	68	<	<	X
ejde-988	438	69	t	t	PROPN
ejde-988	438	70	≤	≤	PROPN
ejde-988	438	71	t0	t0	PROPN
ejde-988	438	72	,	,	PUNCT
ejde-988	438	73	(	(	PUNCT
ejde-988	438	74	4.5	4.5	NUM
ejde-988	438	75	)	)	PUNCT
ejde-988	438	76	where	where	SCONJ
ejde-988	438	77	φm(t	φm(t	NUM
ejde-988	438	78	)	)	PUNCT
ejde-988	438	79	is	be	AUX
ejde-988	438	80	defined	define	VERB
ejde-988	438	81	by	by	ADP
ejde-988	438	82	(	(	PUNCT
ejde-988	438	83	3.1	3.1	NUM
ejde-988	438	84	)	)	PUNCT
ejde-988	438	85	)	)	PUNCT
ejde-988	438	86	with	with	ADP
ejde-988	438	87	(	(	PUNCT
ejde-988	438	88	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	438	89	,	,	PUNCT
ejde-988	438	90	u	u	NOUN
ejde-988	438	91	,	,	PUNCT
ejde-988	438	92	φ	φ	NOUN
ejde-988	438	93	)	)	PUNCT
ejde-988	438	94	replaced	replace	VERB
ejde-988	438	95	by	by	ADP
ejde-988	438	96	(	(	PUNCT
ejde-988	438	97	ρm	ρm	INTJ
ejde-988	438	98	,	,	PUNCT
ejde-988	438	99	um	um	INTJ
ejde-988	438	100	,	,	PUNCT
ejde-988	438	101	φm	φm	PROPN
ejde-988	438	102	)	)	PUNCT
ejde-988	438	103	.	.	PUNCT
ejde-988	439	1	since	since	SCONJ
ejde-988	439	2	the	the	DET
ejde-988	439	3	argument	argument	NOUN
ejde-988	439	4	to	to	PART
ejde-988	439	5	obtain	obtain	VERB
ejde-988	439	6	(	(	PUNCT
ejde-988	439	7	4.5	4.5	NUM
ejde-988	439	8	)	)	PUNCT
ejde-988	439	9	)	)	PUNCT
ejde-988	439	10	is	be	AUX
ejde-988	439	11	similar	similar	ADJ
ejde-988	439	12	to	to	ADP
ejde-988	439	13	the	the	DET
ejde-988	439	14	proof	proof	NOUN
ejde-988	439	15	of	of	ADP
ejde-988	439	16	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	439	17	3.1	3.1	NUM
ejde-988	439	18	,	,	PUNCT
ejde-988	439	19	we	we	PRON
ejde-988	439	20	omit	omit	VERB
ejde-988	439	21	it	it	PRON
ejde-988	439	22	here	here	ADV
ejde-988	439	23	.	.	PUNCT
ejde-988	440	1	step	step	VERB
ejde-988	440	2	3	3	NUM
ejde-988	440	3	:	:	PUNCT
ejde-988	440	4	convergence	convergence	NOUN
ejde-988	440	5	.	.	PUNCT
ejde-988	441	1	by	by	ADP
ejde-988	441	2	(	(	PUNCT
ejde-988	441	3	4.5	4.5	NUM
ejde-988	441	4	)	)	PUNCT
ejde-988	441	5	,	,	PUNCT
ejde-988	441	6	we	we	PRON
ejde-988	441	7	obtain	obtain	VERB
ejde-988	441	8	that	that	PRON
ejde-988	441	9	for	for	ADP
ejde-988	441	10	any	any	DET
ejde-988	441	11	m	m	PROPN
ejde-988	441	12	≥	≥	NOUN
ejde-988	441	13	1	1	NUM
ejde-988	441	14	,	,	PUNCT
ejde-988	441	15	sup	sup	NOUN
ejde-988	441	16	0≤t≤t0	0≤t≤t0	NUM
ejde-988	441	17	(	(	PUNCT
ejde-988	441	18	∥um	∥um	PROPN
ejde-988	441	19	t	t	NOUN
ejde-988	441	20	∥2h1	∥2h1	NOUN
ejde-988	441	21	+	+	CCONJ
ejde-988	441	22	∥ρm∥2w	∥ρm∥2w	PROPN
ejde-988	441	23	1,q∩w	1,q∩w	NUM
ejde-988	441	24	2,r	2,r	NUM
ejde-988	442	1	+	+	CCONJ
ejde-988	442	2	∥um∥2h3	∥um∥2h3	ADP
ejde-988	442	3	+	+	NUM
ejde-988	442	4	∥φm∥2h7	∥φm∥2h7	PRON
ejde-988	442	5	+	+	NUM
ejde-988	442	6	∥φm	∥φm	PROPN
ejde-988	442	7	t	t	PROPN
ejde-988	442	8	∥2h3	∥2h3	PROPN
ejde-988	442	9	)	)	PUNCT
ejde-988	443	1	+	+	CCONJ
ejde-988	443	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	443	3	t0	t0	NOUN
ejde-988	443	4	0	0	PUNCT
ejde-988	444	1	(	(	PUNCT
ejde-988	444	2	∥∇um∥2h3	∥∇um∥2h3	PROPN
ejde-988	444	3	+	+	NUM
ejde-988	444	4	∥∇∆φm∥2h3	∥∇∆φm∥2h3	NOUN
ejde-988	445	1	+	+	CCONJ
ejde-988	445	2	∥um	∥um	PROPN
ejde-988	445	3	t	t	NOUN
ejde-988	445	4	∥2h2	∥2h2	PROPN
ejde-988	445	5	+	+	CCONJ
ejde-988	445	6	∥∇∆φm	∥∇∆φm	NUM
ejde-988	445	7	t	t	PROPN
ejde-988	445	8	∥2l2	∥2l2	PROPN
ejde-988	446	1	+	+	CCONJ
ejde-988	446	2	∥∇φm	∥∇φm	PROPN
ejde-988	446	3	tt	tt	PROPN
ejde-988	446	4	∥2l2)ds	∥2l2)ds	PUNCT
ejde-988	446	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	446	6	c.	c.	NOUN
ejde-988	446	7	(	(	PUNCT
ejde-988	446	8	4.6	4.6	NUM
ejde-988	446	9	)	)	PUNCT
ejde-988	446	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	446	11	density	density	NOUN
ejde-988	446	12	-	-	PUNCT
ejde-988	446	13	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	446	14	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	446	15	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	446	16	-	-	PUNCT
ejde-988	446	17	a	a	DET
ejde-988	446	18	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	446	19	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	446	20	19	19	NUM
ejde-988	446	21	on	on	ADP
ejde-988	446	22	the	the	DET
ejde-988	446	23	basis	basis	NOUN
ejde-988	446	24	of	of	ADP
ejde-988	446	25	the	the	DET
ejde-988	446	26	estimate	estimate	NOUN
ejde-988	446	27	(	(	PUNCT
ejde-988	446	28	4.6	4.6	NUM
ejde-988	446	29	)	)	PUNCT
ejde-988	446	30	)	)	PUNCT
ejde-988	446	31	,	,	PUNCT
ejde-988	446	32	we	we	PRON
ejde-988	446	33	can	can	AUX
ejde-988	446	34	deduce	deduce	VERB
ejde-988	446	35	that	that	PRON
ejde-988	446	36	after	after	ADP
ejde-988	446	37	taking	take	VERB
ejde-988	446	38	subsequences	subsequence	NOUN
ejde-988	446	39	,	,	PUNCT
ejde-988	446	40	there	there	PRON
ejde-988	446	41	exists	exist	VERB
ejde-988	446	42	(	(	PUNCT
ejde-988	446	43	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	446	44	,	,	PUNCT
ejde-988	446	45	u	u	NOUN
ejde-988	446	46	,	,	PUNCT
ejde-988	446	47	φ	φ	NOUN
ejde-988	446	48	)	)	PUNCT
ejde-988	447	1	such	such	ADJ
ejde-988	447	2	that	that	SCONJ
ejde-988	447	3	ρm	ρm	PROPN
ejde-988	447	4	→	→	SYM
ejde-988	447	5	ρ	ρ	X
ejde-988	447	6	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	7	*	*	PUNCT
ejde-988	447	8	in	in	ADP
ejde-988	447	9	l∞(0	l∞(0	ADJ
ejde-988	447	10	,	,	PUNCT
ejde-988	447	11	t0;w	t0;w	PROPN
ejde-988	447	12	1,q	1,q	NUM
ejde-988	447	13	∩w	∩w	NOUN
ejde-988	447	14	2,r	2,r	NUM
ejde-988	447	15	)	)	PUNCT
ejde-988	447	16	,	,	PUNCT
ejde-988	447	17	um	um	INTJ
ejde-988	447	18	→	→	SYM
ejde-988	447	19	u	u	NOUN
ejde-988	447	20	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	21	*	*	VERB
ejde-988	447	22	in	in	ADP
ejde-988	447	23	l∞(0	l∞(0	ADJ
ejde-988	447	24	,	,	PUNCT
ejde-988	447	25	t0;h	t0;h	PROPN
ejde-988	447	26	3	3	NUM
ejde-988	447	27	)	)	PUNCT
ejde-988	447	28	,	,	PUNCT
ejde-988	447	29	um	um	INTJ
ejde-988	447	30	→	→	SYM
ejde-988	447	31	u	u	NOUN
ejde-988	447	32	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	33	in	in	ADP
ejde-988	447	34	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	447	35	,	,	PUNCT
ejde-988	447	36	t0;h	t0;h	PROPN
ejde-988	447	37	4	4	NUM
ejde-988	447	38	)	)	PUNCT
ejde-988	447	39	,	,	PUNCT
ejde-988	447	40	um	um	INTJ
ejde-988	447	41	t	t	PROPN
ejde-988	447	42	→	→	SYM
ejde-988	447	43	ut	ut	PROPN
ejde-988	447	44	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	45	*	*	PUNCT
ejde-988	447	46	in	in	ADP
ejde-988	447	47	l∞(0	l∞(0	ADJ
ejde-988	447	48	,	,	PUNCT
ejde-988	447	49	t0;h	t0;h	PROPN
ejde-988	447	50	1	1	NUM
ejde-988	447	51	)	)	PUNCT
ejde-988	447	52	,	,	PUNCT
ejde-988	447	53	um	um	INTJ
ejde-988	447	54	t	t	PROPN
ejde-988	447	55	→	→	SYM
ejde-988	447	56	ut	ut	PROPN
ejde-988	447	57	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	58	in	in	ADP
ejde-988	447	59	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	447	60	,	,	PUNCT
ejde-988	447	61	t	t	NOUN
ejde-988	447	62	;	;	PUNCT
ejde-988	447	63	h2	h2	PROPN
ejde-988	447	64	)	)	PUNCT
ejde-988	447	65	,	,	PUNCT
ejde-988	447	66	∇φm	∇φm	PROPN
ejde-988	447	67	→	→	SYM
ejde-988	447	68	∇φ	∇φ	ADJ
ejde-988	447	69	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	70	*	*	PUNCT
ejde-988	447	71	in	in	ADP
ejde-988	447	72	l∞(0	l∞(0	ADJ
ejde-988	447	73	,	,	PUNCT
ejde-988	447	74	t	t	PROPN
ejde-988	447	75	;	;	PUNCT
ejde-988	447	76	h6	h6	PROPN
ejde-988	447	77	)	)	PUNCT
ejde-988	447	78	,	,	PUNCT
ejde-988	447	79	φm	φm	PROPN
ejde-988	447	80	t	t	PROPN
ejde-988	447	81	→	→	SYM
ejde-988	447	82	φt	φt	NOUN
ejde-988	447	83	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	84	*	*	PUNCT
ejde-988	447	85	in	in	ADP
ejde-988	447	86	l∞(0	l∞(0	ADJ
ejde-988	447	87	,	,	PUNCT
ejde-988	447	88	t	t	PROPN
ejde-988	447	89	;	;	PUNCT
ejde-988	447	90	h3	h3	NOUN
ejde-988	447	91	)	)	PUNCT
ejde-988	447	92	,	,	PUNCT
ejde-988	447	93	∇∆φm	∇∆φm	ADJ
ejde-988	447	94	→	→	SYM
ejde-988	447	95	∇∆φ	∇∆φ	ADJ
ejde-988	447	96	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	97	in	in	ADP
ejde-988	447	98	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	447	99	,	,	PUNCT
ejde-988	447	100	t	t	NOUN
ejde-988	447	101	;	;	PUNCT
ejde-988	447	102	h3	h3	NOUN
ejde-988	447	103	)	)	PUNCT
ejde-988	447	104	,	,	PUNCT
ejde-988	447	105	∇∆φm	∇∆φm	PROPN
ejde-988	447	106	t	t	PROPN
ejde-988	447	107	→	→	SYM
ejde-988	447	108	∇∆φt	∇∆φt	NOUN
ejde-988	447	109	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	110	in	in	ADP
ejde-988	447	111	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	447	112	,	,	PUNCT
ejde-988	447	113	t	t	NOUN
ejde-988	447	114	;	;	PUNCT
ejde-988	447	115	l2	l2	NOUN
ejde-988	447	116	)	)	PUNCT
ejde-988	447	117	,	,	PUNCT
ejde-988	447	118	∇φm	∇φm	ADP
ejde-988	447	119	tt	tt	PROPN
ejde-988	447	120	→	→	SYM
ejde-988	447	121	∇φtt	∇φtt	X
ejde-988	447	122	weak	weak	ADJ
ejde-988	447	123	in	in	ADP
ejde-988	447	124	l2(0	l2(0	NOUN
ejde-988	447	125	,	,	PUNCT
ejde-988	447	126	t	t	NOUN
ejde-988	447	127	;	;	PUNCT
ejde-988	447	128	l2	l2	NOUN
ejde-988	447	129	)	)	PUNCT
ejde-988	447	130	.	.	PUNCT
ejde-988	448	1	by	by	ADP
ejde-988	448	2	the	the	DET
ejde-988	448	3	lower	low	ADJ
ejde-988	448	4	semicontinuity	semicontinuity	NOUN
ejde-988	448	5	,	,	PUNCT
ejde-988	448	6	(	(	PUNCT
ejde-988	448	7	4.6	4.6	NUM
ejde-988	448	8	)	)	PUNCT
ejde-988	448	9	)	)	PUNCT
ejde-988	448	10	implies	imply	VERB
ejde-988	448	11	that	that	SCONJ
ejde-988	448	12	for	for	ADP
ejde-988	448	13	0	0	NUM
ejde-988	448	14	≤	≤	NUM
ejde-988	448	15	t	t	PROPN
ejde-988	448	16	≤	≤	NUM
ejde-988	448	17	t0	t0	PROPN
ejde-988	448	18	,	,	PUNCT
ejde-988	448	19	(	(	PUNCT
ejde-988	448	20	ρ	ρ	PROPN
ejde-988	448	21	,	,	PUNCT
ejde-988	448	22	u	u	NOUN
ejde-988	448	23	,	,	PUNCT
ejde-988	448	24	φ	φ	NOUN
ejde-988	448	25	)	)	PUNCT
ejde-988	448	26	satisfies	satisfie	NOUN
ejde-988	448	27	sup	sup	NOUN
ejde-988	448	28	0≤t≤t0	0≤t≤t0	NUM
ejde-988	448	29	(	(	PUNCT
ejde-988	448	30	∥ut∥2h1	∥ut∥2h1	NOUN
ejde-988	449	1	+	+	CCONJ
ejde-988	449	2	∥ρ∥2w	∥ρ∥2w	PROPN
ejde-988	449	3	1,q∩w	1,q∩w	NUM
ejde-988	449	4	2,r	2,r	NUM
ejde-988	450	1	+	+	CCONJ
ejde-988	450	2	∥u∥2h3	∥u∥2h3	NUM
ejde-988	451	1	+	+	NUM
ejde-988	451	2	∥∇φ∥2h6	∥∇φ∥2h6	NOUN
ejde-988	451	3	+	+	CCONJ
ejde-988	451	4	∥φt∥2h3	∥φt∥2h3	ADJ
ejde-988	451	5	)	)	PUNCT
ejde-988	452	1	+	+	CCONJ
ejde-988	452	2	∫	∫	PROPN
ejde-988	452	3	t0	t0	NOUN
ejde-988	452	4	0	0	PUNCT
ejde-988	453	1	(	(	PUNCT
ejde-988	453	2	∥∇u∥2h3	∥∇u∥2h3	NOUN
ejde-988	453	3	+	+	NUM
ejde-988	453	4	∥∇∆φ∥2h3	∥∇∆φ∥2h3	X
ejde-988	453	5	+	+	CCONJ
ejde-988	453	6	∥ut∥2h2	∥ut∥2h2	PUNCT
ejde-988	453	7	+	+	CCONJ
ejde-988	453	8	∥∇∆φt∥2l2	∥∇∆φt∥2l2	NOUN
ejde-988	454	1	+	+	CCONJ
ejde-988	454	2	∥∇φtt∥2l2)ds	∥∇φtt∥2l2)ds	PROPN
ejde-988	454	3	≤	≤	NUM
ejde-988	454	4	c	c	NOUN
ejde-988	454	5	,	,	PUNCT
ejde-988	454	6	(	(	PUNCT
ejde-988	454	7	4.7	4.7	NUM
ejde-988	454	8	)	)	PUNCT
ejde-988	454	9	this	this	PRON
ejde-988	454	10	completes	complete	VERB
ejde-988	454	11	the	the	DET
ejde-988	454	12	proof	proof	NOUN
ejde-988	454	13	of	of	ADP
ejde-988	454	14	existence	existence	NOUN
ejde-988	454	15	of	of	ADP
ejde-988	454	16	strong	strong	ADJ
ejde-988	454	17	solutions	solution	NOUN
ejde-988	454	18	.	.	PUNCT
ejde-988	455	1	5	5	X
ejde-988	455	2	.	.	X
ejde-988	455	3	proof	proof	NOUN
ejde-988	455	4	of	of	ADP
ejde-988	455	5	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	455	6	1.3	1.3	NUM
ejde-988	455	7	this	this	DET
ejde-988	455	8	section	section	NOUN
ejde-988	455	9	is	be	AUX
ejde-988	455	10	devoted	devote	VERB
ejde-988	455	11	to	to	PART
ejde-988	455	12	show	show	VERB
ejde-988	455	13	the	the	DET
ejde-988	455	14	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	455	15	of	of	ADP
ejde-988	455	16	the	the	DET
ejde-988	455	17	local	local	ADJ
ejde-988	455	18	strong	strong	ADJ
ejde-988	455	19	solutions	solution	NOUN
ejde-988	455	20	obtained	obtain	VERB
ejde-988	455	21	in	in	ADP
ejde-988	455	22	the	the	DET
ejde-988	455	23	above	above	ADJ
ejde-988	455	24	section	section	NOUN
ejde-988	455	25	.	.	PUNCT
ejde-988	456	1	let	let	VERB
ejde-988	456	2	(	(	PUNCT
ejde-988	456	3	ρi	ρi	NOUN
ejde-988	456	4	,	,	PUNCT
ejde-988	456	5	ui	ui	NOUN
ejde-988	456	6	,	,	PUNCT
ejde-988	456	7	φi	φi	PROPN
ejde-988	456	8	)	)	PUNCT
ejde-988	456	9	(	(	PUNCT
ejde-988	456	10	i	i	NOUN
ejde-988	456	11	=	=	NOUN
ejde-988	456	12	1	1	NUM
ejde-988	456	13	,	,	PUNCT
ejde-988	456	14	2	2	NUM
ejde-988	456	15	)	)	PUNCT
ejde-988	456	16	be	be	VERB
ejde-988	456	17	two	two	NUM
ejde-988	456	18	strong	strong	ADJ
ejde-988	456	19	solutions	solution	NOUN
ejde-988	456	20	on	on	ADP
ejde-988	456	21	ω	ω	NUM
ejde-988	456	22	×	×	NOUN
ejde-988	456	23	(	(	PUNCT
ejde-988	456	24	0	0	NUM
ejde-988	456	25	,	,	PUNCT
ejde-988	456	26	t	t	NOUN
ejde-988	456	27	]	]	PUNCT
ejde-988	456	28	of	of	ADP
ejde-988	456	29	system	system	NOUN
ejde-988	456	30	(	(	PUNCT
ejde-988	456	31	1.7))-(1.8	1.7))-(1.8	NUM
ejde-988	456	32	)	)	PUNCT
ejde-988	456	33	)	)	PUNCT
ejde-988	456	34	.	.	PUNCT
ejde-988	457	1	set	set	VERB
ejde-988	457	2	ρ̄	ρ̄	NOUN
ejde-988	457	3	=	=	SYM
ejde-988	457	4	ρ1	ρ1	NOUN
ejde-988	457	5	−	−	PROPN
ejde-988	457	6	ρ2	ρ2	NOUN
ejde-988	457	7	,	,	PUNCT
ejde-988	457	8	ū	ū	NOUN
ejde-988	457	9	=	=	SYM
ejde-988	457	10	u1	u1	NOUN
ejde-988	457	11	−	−	PROPN
ejde-988	457	12	u2	u2	PROPN
ejde-988	457	13	,	,	PUNCT
ejde-988	457	14	π̄	π̄	VERB
ejde-988	457	15	=	=	SYM
ejde-988	457	16	π1	π1	PROPN
ejde-988	457	17	−	−	PROPN
ejde-988	457	18	π2	π2	PROPN
ejde-988	457	19	and	and	CCONJ
ejde-988	457	20	φ̄	φ̄	NOUN
ejde-988	457	21	=	=	SYM
ejde-988	457	22	φ1	φ1	PROPN
ejde-988	458	1	−	−	PROPN
ejde-988	458	2	φ2	φ2	PROPN
ejde-988	458	3	.	.	PUNCT
ejde-988	459	1	then	then	ADV
ejde-988	459	2	we	we	PRON
ejde-988	459	3	have	have	VERB
ejde-988	459	4	ρ̄t	ρ̄t	PROPN
ejde-988	459	5	+	+	NUM
ejde-988	459	6	u1	u1	NOUN
ejde-988	459	7	·	·	PUNCT
ejde-988	459	8	∇ρ̄+	∇ρ̄+	X
ejde-988	459	9	ū	ū	NOUN
ejde-988	459	10	·	·	PUNCT
ejde-988	459	11	∇ρ2	∇ρ2	X
ejde-988	460	1	=	=	SYM
ejde-988	460	2	0	0	NUM
ejde-988	460	3	,	,	PUNCT
ejde-988	460	4	ρ1ūt	ρ1ūt	NOUN
ejde-988	460	5	+	+	CCONJ
ejde-988	460	6	ρ1u1	ρ1u1	X
ejde-988	460	7	·	·	PUNCT
ejde-988	460	8	∇ū+	∇ū+	X
ejde-988	460	9	ρ1ū	ρ1ū	PUNCT
ejde-988	460	10	·	·	PUNCT
ejde-988	460	11	∇u2	∇u2	NUM
ejde-988	461	1	+	+	NUM
ejde-988	461	2	ρ̄u2	ρ̄u2	PROPN
ejde-988	461	3	·	·	PUNCT
ejde-988	461	4	∇u2	∇u2	PROPN
ejde-988	462	1	+	+	NUM
ejde-988	462	2	ρ̄u2	ρ̄u2	PROPN
ejde-988	462	3	t	t	NOUN
ejde-988	462	4	+	+	NOUN
ejde-988	462	5	∇π̄	∇π̄	PROPN
ejde-988	462	6	+	+	CCONJ
ejde-988	462	7	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	462	8	2	2	NUM
ejde-988	462	9	∆ū	∆ū	NOUN
ejde-988	462	10	=	=	PUNCT
ejde-988	462	11	k∆2φ̄∇φ1	k∆2φ̄∇φ1	PROPN
ejde-988	463	1	+	+	NOUN
ejde-988	463	2	k∆2φ2∇φ̄−	k∆2φ2∇φ̄−	NOUN
ejde-988	463	3	1	1	NUM
ejde-988	463	4	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	463	5	∇	∇	X
ejde-988	463	6	·	·	PUNCT
ejde-988	463	7	(	(	PUNCT
ejde-988	463	8	|∇φ1|2∇φ1	|∇φ1|2∇φ1	PRON
ejde-988	463	9	−∇φ1	−∇φ1	PROPN
ejde-988	463	10	)	)	PUNCT
ejde-988	463	11	∇φ̄	∇φ̄	NOUN
ejde-988	463	12	−	−	NOUN
ejde-988	463	13	1	1	NUM
ejde-988	463	14	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	463	15	∇	∇	X
ejde-988	463	16	·	·	PUNCT
ejde-988	463	17	(	(	PUNCT
ejde-988	463	18	|∇φ1|2∇φ̄+	|∇φ1|2∇φ̄+	X
ejde-988	463	19	(	(	PUNCT
ejde-988	463	20	∇φ1	∇φ1	X
ejde-988	463	21	+	+	NOUN
ejde-988	463	22	∇φ2	∇φ2	X
ejde-988	463	23	)	)	PUNCT
ejde-988	463	24	·	·	PUNCT
ejde-988	463	25	∇φ̄∇φ2	∇φ̄∇φ2	PROPN
ejde-988	463	26	−∇φ̄	−∇φ̄	X
ejde-988	463	27	)	)	PUNCT
ejde-988	463	28	∇φ2	∇φ2	PROPN
ejde-988	463	29	,	,	PUNCT
ejde-988	463	30	φ̄t	φ̄t	PROPN
ejde-988	463	31	+	+	CCONJ
ejde-988	463	32	u1	u1	NOUN
ejde-988	463	33	·	·	PUNCT
ejde-988	463	34	∇φ̄+	∇φ̄+	NUM
ejde-988	463	35	ū	ū	NOUN
ejde-988	463	36	·	·	PUNCT
ejde-988	463	37	∇φ2	∇φ2	X
ejde-988	463	38	=	=	PUNCT
ejde-988	464	1	−λk∆2φ̄+	−λk∆2φ̄+	PUNCT
ejde-988	464	2	λ	λ	SYM
ejde-988	464	3	ε2	ε2	NOUN
ejde-988	464	4	∇	∇	X
ejde-988	464	5	·	·	PUNCT
ejde-988	464	6	(	(	PUNCT
ejde-988	464	7	|∇φ1|2∇φ̄+	|∇φ1|2∇φ̄+	X
ejde-988	464	8	(	(	PUNCT
ejde-988	464	9	∇φ1	∇φ1	X
ejde-988	464	10	+	+	NOUN
ejde-988	464	11	∇φ2	∇φ2	X
ejde-988	464	12	)	)	PUNCT
ejde-988	464	13	·	·	PUNCT
ejde-988	464	14	∇φ̄∇φ2	∇φ̄∇φ2	VERB
ejde-988	464	15	+	+	ADJ
ejde-988	464	16	∇φ̄	∇φ̄	NOUN
ejde-988	464	17	)	)	PUNCT
ejde-988	464	18	,	,	PUNCT
ejde-988	464	19	∇	∇	X
ejde-988	464	20	·	·	PUNCT
ejde-988	464	21	ū	ū	X
ejde-988	465	1	=	=	SYM
ejde-988	465	2	0	0	NUM
ejde-988	465	3	,	,	PUNCT
ejde-988	465	4	(	(	PUNCT
ejde-988	465	5	ρ̄	ρ̄	X
ejde-988	465	6	,	,	PUNCT
ejde-988	465	7	ū	ū	NOUN
ejde-988	465	8	,	,	PUNCT
ejde-988	465	9	φ̄)|t=0	φ̄)|t=0	PROPN
ejde-988	465	10	=	=	SYM
ejde-988	465	11	0	0	NUM
ejde-988	465	12	.	.	PUNCT
ejde-988	466	1	(	(	PUNCT
ejde-988	466	2	5.1	5.1	NUM
ejde-988	466	3	)	)	PUNCT
ejde-988	466	4	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-988	466	5	(	(	PUNCT
ejde-988	466	6	5.1))1	5.1))1	NUM
ejde-988	466	7	by	by	ADP
ejde-988	466	8	2ρ̄	2ρ̄	NUM
ejde-988	466	9	,	,	PUNCT
ejde-988	466	10	integrating	integrate	VERB
ejde-988	466	11	over	over	ADP
ejde-988	466	12	ω	ω	NOUN
ejde-988	466	13	and	and	CCONJ
ejde-988	466	14	using	use	VERB
ejde-988	466	15	integration	integration	NOUN
ejde-988	466	16	by	by	ADP
ejde-988	466	17	parts	part	NOUN
ejde-988	466	18	,	,	PUNCT
ejde-988	466	19	we	we	PRON
ejde-988	466	20	obtain	obtain	VERB
ejde-988	466	21	d	d	ADP
ejde-988	466	22	dt	dt	PUNCT
ejde-988	466	23	∥ρ̄∥2l2	∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	466	24	≤	≤	PROPN
ejde-988	466	25	∫	∫	PROPN
ejde-988	466	26	ω	ω	PROPN
ejde-988	466	27	|ρ̄ū	|ρ̄ū	X
ejde-988	466	28	·	·	PUNCT
ejde-988	466	29	∇ρ2|dx	∇ρ2|dx	X
ejde-988	466	30	≤	≤	NUM
ejde-988	466	31	c∥ρ̄∥l2∥∇ρ2∥l3∥ū∥l6	c∥ρ̄∥l2∥∇ρ2∥l3∥ū∥l6	PUNCT
ejde-988	466	32	≤	≤	NUM
ejde-988	466	33	c∥ρ̄∥l2∥∇ū∥l2	c∥ρ̄∥l2∥∇ū∥l2	PROPN
ejde-988	466	34	≤	≤	PROPN
ejde-988	466	35	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	466	36	8	8	NUM
ejde-988	466	37	∥∇ū∥2l2	∥∇ū∥2l2	PROPN
ejde-988	466	38	+	+	PROPN
ejde-988	466	39	c∥ρ̄∥2l2	c∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	466	40	.	.	PUNCT
ejde-988	467	1	(	(	PUNCT
ejde-988	467	2	5.2	5.2	NUM
ejde-988	467	3	)	)	PUNCT
ejde-988	467	4	20	20	NUM
ejde-988	467	5	x.	x.	NOUN
ejde-988	467	6	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	467	7	,	,	PUNCT
ejde-988	467	8	x.	x.	PROPN
ejde-988	467	9	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	467	10	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	467	11	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-988	467	12	(	(	PUNCT
ejde-988	467	13	5.1))2	5.1))2	NUM
ejde-988	467	14	by	by	ADP
ejde-988	467	15	ū	ū	NOUN
ejde-988	467	16	,	,	PUNCT
ejde-988	467	17	integrating	integrate	VERB
ejde-988	467	18	over	over	ADP
ejde-988	467	19	ω	ω	NOUN
ejde-988	467	20	and	and	CCONJ
ejde-988	467	21	using	use	VERB
ejde-988	467	22	integration	integration	NOUN
ejde-988	467	23	by	by	ADP
ejde-988	467	24	parts	part	NOUN
ejde-988	467	25	,	,	PUNCT
ejde-988	467	26	we	we	PRON
ejde-988	467	27	deduce	deduce	VERB
ejde-988	467	28	that	that	SCONJ
ejde-988	467	29	1	1	NUM
ejde-988	467	30	2	2	NUM
ejde-988	467	31	d	d	NOUN
ejde-988	467	32	dt	dt	NOUN
ejde-988	467	33	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	PROPN
ejde-988	468	1	+	+	CCONJ
ejde-988	468	2	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	468	3	2	2	NUM
ejde-988	468	4	∥∇ū∥2l2	∥∇ū∥2l2	PROPN
ejde-988	468	5	≤	≤	PROPN
ejde-988	468	6	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	7	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	8	|ρ1||u1||∇ū||ū|dx+	|ρ1||u1||∇ū||ū|dx+	PROPN
ejde-988	468	9	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	10	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	11	|ρ1||ū||∇u2||ū|dx+	|ρ1||ū||∇u2||ū|dx+	NUM
ejde-988	468	12	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	13	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	14	|ρ̄||u2||∇u2||ū|dx	|ρ̄||u2||∇u2||ū|dx	PROPN
ejde-988	468	15	+	+	CCONJ
ejde-988	468	16	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	17	ω	ω	NUM
ejde-988	468	18	|ρ̄||u2t||ū|dx+k	|ρ̄||u2t||ū|dx+k	NUM
ejde-988	468	19	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	20	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	21	|∆2φ̄||∇φ1ū|dx+k	|∆2φ̄||∇φ1ū|dx+k	PUNCT
ejde-988	468	22	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	23	ω	ω	NUM
ejde-988	468	24	|∆2φ2||∇φ̄||ū|dx	|∆2φ2||∇φ̄||ū|dx	PROPN
ejde-988	468	25	+	+	CCONJ
ejde-988	468	26	1	1	NUM
ejde-988	468	27	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	468	28	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	29	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	30	|∇	|∇	PROPN
ejde-988	468	31	·	·	PUNCT
ejde-988	468	32	(	(	PUNCT
ejde-988	468	33	|∇φ1|2∇φ1	|∇φ1|2∇φ1	X
ejde-988	468	34	−∇φ1)||∇φ̄||ū|dx	−∇φ1)||∇φ̄||ū|dx	VERB
ejde-988	468	35	+	+	CCONJ
ejde-988	468	36	1	1	NUM
ejde-988	468	37	ε2	ε2	ADJ
ejde-988	468	38	∫	∫	PROPN
ejde-988	468	39	ω	ω	PROPN
ejde-988	468	40	∣∣∇	∣∣∇	PROPN
ejde-988	468	41	·	·	PUNCT
ejde-988	468	42	(	(	PUNCT
ejde-988	468	43	|∇φ1|2∇φ̄+	|∇φ1|2∇φ̄+	NOUN
ejde-988	468	44	(	(	PUNCT
ejde-988	468	45	∇φ1	∇φ1	X
ejde-988	468	46	+	+	NOUN
ejde-988	468	47	∇φ2	∇φ2	X
ejde-988	468	48	)	)	PUNCT
ejde-988	468	49	·	·	PUNCT
ejde-988	468	50	∇φ̄∇φ2	∇φ̄∇φ2	PROPN
ejde-988	468	51	−∇φ̄	−∇φ̄	X
ejde-988	468	52	)	)	PUNCT
ejde-988	468	53	∣∣	∣∣	X
ejde-988	468	54	|∇φ2||ū|dx	|∇φ2||ū|dx	VERB
ejde-988	468	55	≤	≤	PUNCT
ejde-988	468	56	∥√ρ1ū∥l2∥√ρ1∥l∞∥u1∥l∞∥∇ū∥l2	∥√ρ1ū∥l2∥√ρ1∥l∞∥u1∥l∞∥∇ū∥l2	PROPN
ejde-988	468	57	+	+	PROPN
ejde-988	468	58	∥√ρ1ū∥2l2∥∇u2∥l∞	∥√ρ1ū∥2l2∥∇u2∥l∞	PROPN
ejde-988	469	1	+	+	NUM
ejde-988	469	2	∥ū∥l6∥ρ̄∥l2∥u2∥l6∥∇u2∥l6	∥ū∥l6∥ρ̄∥l2∥u2∥l6∥∇u2∥l6	PROPN
ejde-988	469	3	+	+	NUM
ejde-988	469	4	∥ρ̄∥l2∥u2t∥l3∥ū∥l6	∥ρ̄∥l2∥u2t∥l3∥ū∥l6	PROPN
ejde-988	470	1	+	+	CCONJ
ejde-988	470	2	1	1	NUM
ejde-988	470	3	√	√	NUM
ejde-988	470	4	ρ	ρ	NUM
ejde-988	470	5	∥∆2φ̄∥l2∥∇φ1∥l∞∥√ρ1ū∥l2	∥∆2φ̄∥l2∥∇φ1∥l∞∥√ρ1ū∥l2	PROPN
ejde-988	470	6	+	+	CCONJ
ejde-988	470	7	∥ū∥l6∥∇φ̄∥l2∥∆2φ2∥l3	∥ū∥l6∥∇φ̄∥l2∥∆2φ2∥l3	PROPN
ejde-988	470	8	+	+	CCONJ
ejde-988	470	9	∥ū∥l6∥∇φ̄∥l2(∥∆φ1∥l3	∥ū∥l6∥∇φ̄∥l2(∥∆φ1∥l3	PROPN
ejde-988	470	10	+	+	SYM
ejde-988	470	11	∥∇φ1∥2l∞∥∆φ1∥l3	∥∇φ1∥2l∞∥∆φ1∥l3	NOUN
ejde-988	470	12	)	)	PUNCT
ejde-988	470	13	+	+	CCONJ
ejde-988	470	14	∥ū∥l6∥∇φ2∥l∞(∥∇φ1∥2l6∥∆φ̄∥l2	∥ū∥l6∥∇φ2∥l∞(∥∇φ1∥2l6∥∆φ̄∥l2	PROPN
ejde-988	470	15	+	+	CCONJ
ejde-988	470	16	∥∇φ̄∥l2∥∇φ1∥l6∥∆φ1∥l6	∥∇φ̄∥l2∥∇φ1∥l6∥∆φ1∥l6	ADJ
ejde-988	470	17	+	+	NUM
ejde-988	470	18	∥∇φ1	∥∇φ1	PROPN
ejde-988	471	1	+	+	CCONJ
ejde-988	471	2	∇φ2∥l6∥∇φ̄∥l2∥∆φ2∥l6	∇φ2∥l6∥∇φ̄∥l2∥∆φ2∥l6	SCONJ
ejde-988	471	3	quad+	quad+	ADP
ejde-988	471	4	∥∆(φ1	∥∆(φ1	NOUN
ejde-988	471	5	+	+	CCONJ
ejde-988	471	6	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l2∥∇φ2∥l6	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l2∥∇φ2∥l6	VERB
ejde-988	471	7	+	+	CCONJ
ejde-988	471	8	∥∇(φ1	∥∇(φ1	X
ejde-988	472	1	+	+	CCONJ
ejde-988	472	2	φ2)∥l∞∥∆φ̄∥l6∥∇φ2∥l2	φ2)∥l∞∥∆φ̄∥l6∥∇φ2∥l2	PROPN
ejde-988	472	3	)	)	PUNCT
ejde-988	472	4	≤	≤	NOUN
ejde-988	472	5	µ4	µ4	PROPN
ejde-988	472	6	8	8	NUM
ejde-988	472	7	∥∇ū∥2l2	∥∇ū∥2l2	PROPN
ejde-988	472	8	+	+	PROPN
ejde-988	472	9	λk	λk	PROPN
ejde-988	472	10	4	4	NUM
ejde-988	472	11	(	(	PUNCT
ejde-988	472	12	∥∇∆φ̄∥2l2	∥∇∆φ̄∥2l2	PUNCT
ejde-988	472	13	+	+	CCONJ
ejde-988	472	14	∥∆2φ̄∥2l2	∥∆2φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	472	15	)	)	PUNCT
ejde-988	473	1	+	+	NUM
ejde-988	473	2	c(∥ρ̄∥2l2	c(∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	474	1	+	+	SYM
ejde-988	474	2	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	PROPN
ejde-988	475	1	+	+	CCONJ
ejde-988	475	2	∥∇φ̄∥2l2	∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	475	3	+	+	CCONJ
ejde-988	475	4	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	475	5	)	)	PUNCT
ejde-988	475	6	.	.	PUNCT
ejde-988	476	1	(	(	PUNCT
ejde-988	476	2	5.3	5.3	NUM
ejde-988	476	3	)	)	PUNCT
ejde-988	476	4	multiplying	multiplying	NOUN
ejde-988	476	5	(	(	PUNCT
ejde-988	476	6	5.1))3	5.1))3	NUM
ejde-988	476	7	by	by	ADP
ejde-988	476	8	∆φ̄	∆φ̄	PROPN
ejde-988	476	9	,	,	PUNCT
ejde-988	476	10	integrating	integrate	VERB
ejde-988	476	11	over	over	ADP
ejde-988	476	12	ω	ω	NOUN
ejde-988	476	13	and	and	CCONJ
ejde-988	476	14	using	use	VERB
ejde-988	476	15	integration	integration	NOUN
ejde-988	476	16	by	by	ADP
ejde-988	476	17	parts	part	NOUN
ejde-988	476	18	,	,	PUNCT
ejde-988	476	19	we	we	PRON
ejde-988	476	20	deduce	deduce	VERB
ejde-988	476	21	that	that	SCONJ
ejde-988	476	22	1	1	NUM
ejde-988	476	23	2	2	NUM
ejde-988	476	24	d	d	NOUN
ejde-988	476	25	dt	dt	X
ejde-988	476	26	∥∇φ̄∥2l2	∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	476	27	+	+	CCONJ
ejde-988	476	28	λk∥∇∆φ̄∥2l2	λk∥∇∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	476	29	≤	≤	PUNCT
ejde-988	476	30	∥u1∥l3∥∇φ̄∥l2∥∆φ̄∥l6	∥u1∥l3∥∇φ̄∥l2∥∆φ̄∥l6	PUNCT
ejde-988	476	31	+	+	CCONJ
ejde-988	476	32	1	1	NUM
ejde-988	476	33	√	√	NUM
ejde-988	476	34	ρ	ρ	NOUN
ejde-988	476	35	∥√ρ1ū∥l2∥∇φ2∥l3∥∆φ̄∥l6	∥√ρ1ū∥l2∥∇φ2∥l3∥∆φ̄∥l6	NUM
ejde-988	476	36	+	+	CCONJ
ejde-988	476	37	∥∇φ1∥2l∞∥∇φ̄∥l2∥∇∆φ̄∥l2	∥∇φ1∥2l∞∥∇φ̄∥l2∥∇∆φ̄∥l2	PROPN
ejde-988	476	38	+	+	CCONJ
ejde-988	476	39	∥∇φ̄∥l2∥∇∆φ̄∥l2	∥∇φ̄∥l2∥∇∆φ̄∥l2	PROPN
ejde-988	476	40	+	+	ADJ
ejde-988	476	41	∥∇φ1	∥∇φ1	PROPN
ejde-988	477	1	+	+	PUNCT
ejde-988	477	2	∇φ2∥l∞∥∇φ̄∥l2∥∇φ2∥l∞∥∇∆φ̄∥l2	∇φ2∥l∞∥∇φ̄∥l2∥∇φ2∥l∞∥∇∆φ̄∥l2	ADJ
ejde-988	477	3	≤	≤	X
ejde-988	477	4	λk	λk	ADP
ejde-988	477	5	4	4	NUM
ejde-988	477	6	∥∇∆φ̄∥2l2	∥∇∆φ̄∥2l2	PUNCT
ejde-988	477	7	+	+	CCONJ
ejde-988	477	8	c(∥∇φ̄∥2l2	c(∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	477	9	+	+	CCONJ
ejde-988	477	10	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	NUM
ejde-988	477	11	)	)	PUNCT
ejde-988	477	12	.	.	PUNCT
ejde-988	478	1	(	(	PUNCT
ejde-988	478	2	5.4	5.4	NUM
ejde-988	478	3	)	)	PUNCT
ejde-988	478	4	applying	apply	VERB
ejde-988	478	5	∆	∆	PROPN
ejde-988	478	6	to	to	ADP
ejde-988	478	7	(	(	PUNCT
ejde-988	478	8	5.1))3	5.1))3	NUM
ejde-988	478	9	,	,	PUNCT
ejde-988	478	10	multiplying	multiply	VERB
ejde-988	478	11	by	by	ADP
ejde-988	478	12	∆φ̄	∆φ̄	PROPN
ejde-988	478	13	,	,	PUNCT
ejde-988	478	14	integrating	integrate	VERB
ejde-988	478	15	over	over	ADP
ejde-988	478	16	ω	ω	NOUN
ejde-988	478	17	and	and	CCONJ
ejde-988	478	18	using	use	VERB
ejde-988	478	19	integration	integration	NOUN
ejde-988	478	20	by	by	ADP
ejde-988	478	21	parts	part	NOUN
ejde-988	478	22	,	,	PUNCT
ejde-988	478	23	we	we	PRON
ejde-988	478	24	deduce	deduce	VERB
ejde-988	478	25	that	that	SCONJ
ejde-988	478	26	1	1	NUM
ejde-988	478	27	2	2	NUM
ejde-988	478	28	d	d	NOUN
ejde-988	478	29	dt	dt	X
ejde-988	479	1	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	480	1	+	+	CCONJ
ejde-988	480	2	λk∥∆2φ̄∥2l2	λk∥∆2φ̄∥2l2	X
ejde-988	480	3	≤	≤	ADJ
ejde-988	480	4	∥u1∥l∞∥∇φ̄∥l2∥∆2φ̄∥l2	∥u1∥l∞∥∇φ̄∥l2∥∆2φ̄∥l2	PROPN
ejde-988	480	5	+	+	CCONJ
ejde-988	480	6	1	1	NUM
ejde-988	480	7	√	√	NUM
ejde-988	480	8	ρ	ρ	NUM
ejde-988	480	9	∥√ρ1ū∥l2∥∇φ2∥l∞∥∆2φ̄∥l2	∥√ρ1ū∥l2∥∇φ2∥l∞∥∆2φ̄∥l2	NOUN
ejde-988	480	10	+	+	CCONJ
ejde-988	480	11	∥∆2φ̄∥l2(∥∇φ1∥2l∞∥∆φ̄∥l2	∥∆2φ̄∥l2(∥∇φ1∥2l∞∥∆φ̄∥l2	NUM
ejde-988	480	12	+	+	CCONJ
ejde-988	480	13	∥∇φ1∥l6∥∆φ1∥l6∥∇φ̄∥l6	∥∇φ1∥l6∥∆φ1∥l6∥∇φ̄∥l6	NOUN
ejde-988	480	14	+	+	CCONJ
ejde-988	480	15	∥∆(φ1	∥∆(φ1	PROPN
ejde-988	480	16	+	+	CCONJ
ejde-988	480	17	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l6∥∆φ2∥l6	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l6∥∆φ2∥l6	PROPN
ejde-988	480	18	+	+	CCONJ
ejde-988	480	19	∥∇(φ1	∥∇(φ1	VERB
ejde-988	480	20	+	+	CCONJ
ejde-988	480	21	φ2)∥l∞∥∇φ2∥l∞∥∆φ̄∥l2	φ2)∥l∞∥∇φ2∥l∞∥∆φ̄∥l2	NOUN
ejde-988	480	22	+	+	CCONJ
ejde-988	480	23	∥∇(φ1	∥∇(φ1	VERB
ejde-988	481	1	+	+	CCONJ
ejde-988	481	2	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l6∥∇φ2∥l6	φ2)∥l6∥∇φ̄∥l6∥∇φ2∥l6	X
ejde-988	481	3	+	+	CCONJ
ejde-988	481	4	∥∆φ̄∥l2	∥∆φ̄∥l2	ADJ
ejde-988	481	5	)	)	PUNCT
ejde-988	481	6	≤	≤	NOUN
ejde-988	481	7	λk	λk	ADP
ejde-988	481	8	4	4	NUM
ejde-988	481	9	∥∆2φ̄∥2l2	∥∆2φ̄∥2l2	NOUN
ejde-988	481	10	+	+	CCONJ
ejde-988	481	11	c(∥∇φ̄∥2l2	c(∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	481	12	+	+	CCONJ
ejde-988	481	13	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	481	14	+	+	X
ejde-988	481	15	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	NUM
ejde-988	481	16	)	)	PUNCT
ejde-988	481	17	.	.	PUNCT
ejde-988	482	1	(	(	PUNCT
ejde-988	482	2	5.5	5.5	NUM
ejde-988	482	3	)	)	PUNCT
ejde-988	482	4	summing	sum	VERB
ejde-988	482	5	,	,	PUNCT
ejde-988	482	6	one	one	PRON
ejde-988	482	7	find	find	VERB
ejde-988	482	8	that	that	SCONJ
ejde-988	482	9	d	d	NOUN
ejde-988	482	10	dt	dt	X
ejde-988	482	11	(	(	PUNCT
ejde-988	482	12	∥ρ̄∥2l2	∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	482	13	+	+	PROPN
ejde-988	482	14	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	PROPN
ejde-988	483	1	+	+	CCONJ
ejde-988	483	2	∥∇φ̄∥2l2	∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	483	3	+	+	CCONJ
ejde-988	483	4	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	483	5	)	)	PUNCT
ejde-988	484	1	+	+	CCONJ
ejde-988	484	2	∥∇ū∥2l2	∥∇ū∥2l2	PROPN
ejde-988	484	3	+	+	PUNCT
ejde-988	484	4	∥∇∆φ̄∥2l2	∥∇∆φ̄∥2l2	PUNCT
ejde-988	485	1	+	+	CCONJ
ejde-988	485	2	∥∆2φ̄∥2l2	∥∆2φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	485	3	≤	≤	NUM
ejde-988	485	4	c(∥ρ̄∥2l2	c(∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	486	1	+	+	NUM
ejde-988	486	2	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	PROPN
ejde-988	487	1	+	+	CCONJ
ejde-988	487	2	∥∇φ̄∥2l2	∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	487	3	+	+	CCONJ
ejde-988	487	4	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	487	5	)	)	PUNCT
ejde-988	487	6	.	.	PUNCT
ejde-988	488	1	(	(	PUNCT
ejde-988	488	2	5.6	5.6	NUM
ejde-988	488	3	)	)	PUNCT
ejde-988	488	4	ejde-2025/78	ejde-2025/78	NUM
ejde-988	488	5	density	density	NOUN
ejde-988	488	6	-	-	PUNCT
ejde-988	488	7	dependent	dependent	ADJ
ejde-988	488	8	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	488	9	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	488	10	-	-	PUNCT
ejde-988	488	11	a	a	DET
ejde-988	488	12	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	488	13	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	488	14	21	21	NUM
ejde-988	488	15	by	by	ADP
ejde-988	488	16	(	(	PUNCT
ejde-988	488	17	5.6	5.6	NUM
ejde-988	488	18	)	)	PUNCT
ejde-988	488	19	)	)	PUNCT
ejde-988	488	20	,	,	PUNCT
ejde-988	488	21	gronwall	gronwall	PROPN
ejde-988	488	22	’s	’s	PART
ejde-988	488	23	inequality	inequality	NOUN
ejde-988	488	24	and	and	CCONJ
ejde-988	488	25	(	(	PUNCT
ejde-988	488	26	ρ̄0	ρ̄0	X
ejde-988	488	27	,	,	PUNCT
ejde-988	488	28	ū0	ū0	NOUN
ejde-988	488	29	,	,	PUNCT
ejde-988	488	30	φ̄0	φ̄0	NUM
ejde-988	488	31	)	)	PUNCT
ejde-988	489	1	=	=	SYM
ejde-988	489	2	0	0	NUM
ejde-988	489	3	,	,	PUNCT
ejde-988	489	4	we	we	PRON
ejde-988	489	5	arrive	arrive	VERB
ejde-988	489	6	at	at	ADP
ejde-988	489	7	∥ρ̄∥2l2	∥ρ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	489	8	+	+	PROPN
ejde-988	489	9	∥√ρ1ū∥2l2	∥√ρ1ū∥2l2	PROPN
ejde-988	490	1	+	+	CCONJ
ejde-988	490	2	∥∇φ̄∥2l2	∥∇φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	490	3	+	+	CCONJ
ejde-988	490	4	∥∆φ̄∥2l2	∥∆φ̄∥2l2	PROPN
ejde-988	491	1	+	+	CCONJ
ejde-988	492	1	∫	∫	PROPN
ejde-988	492	2	t	t	NOUN
ejde-988	492	3	0	0	NUM
ejde-988	493	1	ec(t−s)(∥∇ū∥2l2	ec(t−s)(∥∇ū∥2l2	ADP
ejde-988	493	2	+	+	CCONJ
ejde-988	493	3	∥∇∆φ̄∥2l2	∥∇∆φ̄∥2l2	PUNCT
ejde-988	493	4	+	+	CCONJ
ejde-988	493	5	∥∆2φ̄∥2l2)ds	∥∆2φ̄∥2l2)ds	X
ejde-988	493	6	=	=	SYM
ejde-988	493	7	0	0	NUM
ejde-988	493	8	,	,	PUNCT
ejde-988	493	9	(	(	PUNCT
ejde-988	493	10	5.7	5.7	NUM
ejde-988	493	11	)	)	PUNCT
ejde-988	493	12	which	which	PRON
ejde-988	493	13	implies	imply	VERB
ejde-988	493	14	that	that	SCONJ
ejde-988	493	15	(	(	PUNCT
ejde-988	493	16	ρ̄	ρ̄	NOUN
ejde-988	493	17	,	,	PUNCT
ejde-988	493	18	ū,∇φ̄,∆φ̄	ū,∇φ̄,∆φ̄	ADJ
ejde-988	493	19	)	)	PUNCT
ejde-988	493	20	=	=	SYM
ejde-988	493	21	0	0	X
ejde-988	493	22	.	.	PUNCT
ejde-988	494	1	(	(	PUNCT
ejde-988	494	2	5.8	5.8	NUM
ejde-988	494	3	)	)	PUNCT
ejde-988	495	1	to	to	PART
ejde-988	495	2	see	see	VERB
ejde-988	495	3	that	that	PRON
ejde-988	495	4	φ̄	φ̄	NOUN
ejde-988	495	5	=	=	SYM
ejde-988	495	6	0	0	NUM
ejde-988	495	7	,	,	PUNCT
ejde-988	495	8	we	we	PRON
ejde-988	495	9	observe	observe	VERB
ejde-988	495	10	that	that	SCONJ
ejde-988	495	11	after	after	ADP
ejde-988	495	12	substituting	substitute	VERB
ejde-988	495	13	(	(	PUNCT
ejde-988	495	14	5.8	5.8	NUM
ejde-988	495	15	)	)	PUNCT
ejde-988	495	16	)	)	PUNCT
ejde-988	495	17	from	from	ADP
ejde-988	495	18	(	(	PUNCT
ejde-988	495	19	5.1))3	5.1))3	NUM
ejde-988	495	20	,	,	PUNCT
ejde-988	495	21	we	we	PRON
ejde-988	495	22	have	have	AUX
ejde-988	495	23	φ̄t	φ̄t	PROPN
ejde-988	495	24	=	=	SYM
ejde-988	495	25	0	0	NUM
ejde-988	495	26	,	,	PUNCT
ejde-988	495	27	φ̄|t=0	φ̄|t=0	X
ejde-988	495	28	=	=	SYM
ejde-988	495	29	0	0	PROPN
ejde-988	495	30	,	,	PUNCT
ejde-988	495	31	this	this	PRON
ejde-988	495	32	implies	imply	VERB
ejde-988	495	33	φ̄	φ̄	X
ejde-988	496	1	=	=	SYM
ejde-988	496	2	0	0	PROPN
ejde-988	496	3	.	.	PUNCT
ejde-988	497	1	this	this	PRON
ejde-988	497	2	completes	complete	VERB
ejde-988	497	3	the	the	DET
ejde-988	497	4	proof	proof	NOUN
ejde-988	497	5	of	of	ADP
ejde-988	497	6	uniqueness	uniqueness	NOUN
ejde-988	497	7	.	.	PUNCT
ejde-988	498	1	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-988	498	2	.	.	PUNCT
ejde-988	499	1	the	the	DET
ejde-988	499	2	authors	author	NOUN
ejde-988	499	3	would	would	AUX
ejde-988	499	4	like	like	VERB
ejde-988	499	5	to	to	PART
ejde-988	499	6	thank	thank	VERB
ejde-988	499	7	the	the	DET
ejde-988	499	8	anonymous	anonymous	ADJ
ejde-988	499	9	referee	referee	NOUN
ejde-988	499	10	for	for	ADP
ejde-988	499	11	his	his	PRON
ejde-988	499	12	/	/	SYM
ejde-988	499	13	her	her	PRON
ejde-988	499	14	helpful	helpful	ADJ
ejde-988	499	15	suggestions	suggestion	NOUN
ejde-988	499	16	.	.	PUNCT
ejde-988	500	1	references	reference	NOUN
ejde-988	500	2	[	[	X
ejde-988	500	3	1	1	NUM
ejde-988	500	4	]	]	PUNCT
ejde-988	500	5	c.	c.	PROPN
ejde-988	500	6	calderer	calderer	PROPN
ejde-988	500	7	,	,	PUNCT
ejde-988	500	8	c.	c.	PROPN
ejde-988	500	9	liu	liu	PROPN
ejde-988	500	10	;	;	PUNCT
ejde-988	500	11	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-988	500	12	developments	development	NOUN
ejde-988	500	13	in	in	ADP
ejde-988	500	14	the	the	DET
ejde-988	500	15	study	study	NOUN
ejde-988	500	16	of	of	ADP
ejde-988	500	17	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	500	18	a	a	DET
ejde-988	500	19	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	500	20	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	500	21	.	.	PUNCT
ejde-988	501	1	internat	internat	PROPN
ejde-988	501	2	.	.	PUNCT
ejde-988	502	1	j.	j.	PROPN
ejde-988	502	2	engrg	engrg	PROPN
ejde-988	502	3	.	.	PUNCT
ejde-988	503	1	sci	sci	PROPN
ejde-988	503	2	.	.	PROPN
ejde-988	504	1	38	38	NUM
ejde-988	504	2	(	(	PUNCT
ejde-988	504	3	2000	2000	NUM
ejde-988	504	4	)	)	PUNCT
ejde-988	504	5	,	,	PUNCT
ejde-988	504	6	1113	1113	NUM
ejde-988	504	7	-	-	SYM
ejde-988	504	8	1128	1128	NUM
ejde-988	504	9	.	.	PUNCT
ejde-988	505	1	[	[	X
ejde-988	505	2	2	2	NUM
ejde-988	505	3	]	]	PUNCT
ejde-988	505	4	b.	b.	PROPN
ejde-988	505	5	climent	climent	PROPN
ejde-988	505	6	-	-	PUNCT
ejde-988	505	7	ezquerra	ezquerra	VERB
ejde-988	505	8	,	,	PUNCT
ejde-988	505	9	f.	f.	PROPN
ejde-988	505	10	guillén	guillén	PROPN
ejde-988	505	11	-	-	PUNCT
ejde-988	505	12	gonzález	gonzález	NOUN
ejde-988	505	13	;	;	PUNCT
ejde-988	505	14	global	global	ADJ
ejde-988	505	15	in	in	ADP
ejde-988	505	16	-	-	PUNCT
ejde-988	505	17	time	time	NOUN
ejde-988	505	18	solutions	solution	NOUN
ejde-988	505	19	and	and	CCONJ
ejde-988	505	20	time	time	NOUN
ejde-988	505	21	-	-	PUNCT
ejde-988	505	22	periodicity	periodicity	NOUN
ejde-988	505	23	for	for	ADP
ejde-988	505	24	a	a	DET
ejde-988	505	25	semectic	semectic	ADJ
ejde-988	505	26	-a	-a	X
ejde-988	505	27	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	505	28	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	505	29	model	model	NOUN
ejde-988	505	30	.	.	PUNCT
ejde-988	506	1	commun	commun	PROPN
ejde-988	506	2	.	.	PUNCT
ejde-988	507	1	pure	pure	ADJ
ejde-988	507	2	appl	appl	PROPN
ejde-988	507	3	.	.	PUNCT
ejde-988	508	1	anal	anal	PROPN
ejde-988	508	2	.	.	PUNCT
ejde-988	509	1	9	9	NUM
ejde-988	509	2	(	(	PUNCT
ejde-988	509	3	2010	2010	NUM
ejde-988	509	4	)	)	PUNCT
ejde-988	509	5	,	,	PUNCT
ejde-988	509	6	1473	1473	NUM
ejde-988	509	7	-	-	SYM
ejde-988	509	8	1493	1493	NUM
ejde-988	509	9	.	.	PUNCT
ejde-988	510	1	[	[	X
ejde-988	510	2	3	3	X
ejde-988	510	3	]	]	X
ejde-988	510	4	b.	b.	PROPN
ejde-988	510	5	climent	climent	PROPN
ejde-988	510	6	-	-	PUNCT
ejde-988	510	7	ezquerra	ezquerra	VERB
ejde-988	510	8	,	,	PUNCT
ejde-988	510	9	f.	f.	PROPN
ejde-988	510	10	guillén	guillén	PROPN
ejde-988	510	11	-	-	PUNCT
ejde-988	510	12	gonzález	gonzález	NOUN
ejde-988	510	13	;	;	PUNCT
ejde-988	510	14	convergence	convergence	NOUN
ejde-988	510	15	to	to	ADP
ejde-988	510	16	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-988	510	17	for	for	ADP
ejde-988	510	18	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	510	19	-	-	PUNCT
ejde-988	510	20	a	a	DET
ejde-988	510	21	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	510	22	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	510	23	in	in	ADP
ejde-988	510	24	3d	3d	PROPN
ejde-988	510	25	domains	domain	NOUN
ejde-988	510	26	without	without	ADP
ejde-988	510	27	constraints	constraint	NOUN
ejde-988	510	28	for	for	ADP
ejde-988	510	29	the	the	DET
ejde-988	510	30	viscosity	viscosity	NOUN
ejde-988	510	31	.	.	PUNCT
ejde-988	511	1	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-988	511	2	anal	anal	NOUN
ejde-988	511	3	.	.	PUNCT
ejde-988	512	1	102	102	NUM
ejde-988	512	2	(	(	PUNCT
ejde-988	512	3	2014	2014	NUM
ejde-988	512	4	)	)	PUNCT
ejde-988	512	5	,	,	PUNCT
ejde-988	512	6	208	208	NUM
ejde-988	512	7	-	-	SYM
ejde-988	512	8	219	219	NUM
ejde-988	512	9	.	.	PUNCT
ejde-988	513	1	[	[	X
ejde-988	513	2	4	4	X
ejde-988	513	3	]	]	X
ejde-988	513	4	p.	p.	NOUN
ejde-988	513	5	de	de	ADP
ejde-988	513	6	gennes	genne	NOUN
ejde-988	513	7	;	;	PUNCT
ejde-988	513	8	viscous	viscous	ADJ
ejde-988	513	9	flows	flow	NOUN
ejde-988	513	10	in	in	ADP
ejde-988	513	11	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	513	12	-	-	PUNCT
ejde-988	513	13	a	a	DET
ejde-988	513	14	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	513	15	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	513	16	.	.	PUNCT
ejde-988	514	1	phys	phy	NOUN
ejde-988	514	2	.	.	PUNCT
ejde-988	515	1	fluids	fluid	NOUN
ejde-988	515	2	17	17	NUM
ejde-988	515	3	(	(	PUNCT
ejde-988	515	4	1974	1974	NUM
ejde-988	515	5	)	)	PUNCT
ejde-988	515	6	,	,	PUNCT
ejde-988	515	7	1645	1645	NUM
ejde-988	515	8	.	.	PUNCT
ejde-988	516	1	[	[	X
ejde-988	516	2	5	5	X
ejde-988	516	3	]	]	PUNCT
ejde-988	516	4	p.	p.	NOUN
ejde-988	516	5	de	de	ADP
ejde-988	516	6	gennes	genne	NOUN
ejde-988	516	7	,	,	PUNCT
ejde-988	516	8	j.	j.	PROPN
ejde-988	516	9	prost	prost	PROPN
ejde-988	516	10	;	;	PUNCT
ejde-988	516	11	the	the	DET
ejde-988	516	12	physics	physics	NOUN
ejde-988	516	13	of	of	ADP
ejde-988	516	14	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	516	15	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	516	16	.	.	PUNCT
ejde-988	517	1	oxford	oxford	PROPN
ejde-988	517	2	publications	publication	NOUN
ejde-988	517	3	,	,	PUNCT
ejde-988	517	4	london	london	PROPN
ejde-988	517	5	,	,	PUNCT
ejde-988	517	6	1993	1993	NUM
ejde-988	517	7	.	.	PUNCT
ejde-988	518	1	[	[	X
ejde-988	518	2	6	6	NUM
ejde-988	518	3	]	]	PUNCT
ejde-988	518	4	a.	a.	NOUN
ejde-988	518	5	friedman	friedman	PROPN
ejde-988	518	6	;	;	PUNCT
ejde-988	518	7	partial	partial	ADJ
ejde-988	518	8	differential	differential	NOUN
ejde-988	518	9	equations	equation	NOUN
ejde-988	518	10	.	.	PUNCT
ejde-988	519	1	holt	holt	PROPN
ejde-988	519	2	,	,	PUNCT
ejde-988	519	3	reinhart	reinhart	PROPN
ejde-988	519	4	and	and	CCONJ
ejde-988	519	5	winston	winston	PROPN
ejde-988	519	6	,	,	PUNCT
ejde-988	519	7	new	new	PROPN
ejde-988	519	8	york	york	PROPN
ejde-988	519	9	,	,	PUNCT
ejde-988	519	10	1969	1969	NUM
ejde-988	519	11	.	.	PUNCT
ejde-988	520	1	[	[	X
ejde-988	520	2	7	7	X
ejde-988	520	3	]	]	X
ejde-988	520	4	c.	c.	PROPN
ejde-988	520	5	kenig	kenig	PROPN
ejde-988	520	6	,	,	PUNCT
ejde-988	520	7	g.	g.	PROPN
ejde-988	520	8	ponce	ponce	PROPN
ejde-988	520	9	,	,	PUNCT
ejde-988	520	10	l.	l.	PROPN
ejde-988	520	11	vega	vega	PROPN
ejde-988	520	12	;	;	PUNCT
ejde-988	520	13	well	well	ADJ
ejde-988	520	14	-	-	PUNCT
ejde-988	520	15	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	520	16	of	of	ADP
ejde-988	520	17	the	the	DET
ejde-988	520	18	initial	initial	ADJ
ejde-988	520	19	value	value	NOUN
ejde-988	520	20	problem	problem	NOUN
ejde-988	520	21	for	for	ADP
ejde-988	520	22	the	the	DET
ejde-988	520	23	kortewegde	kortewegde	NOUN
ejde-988	520	24	-	-	PUNCT
ejde-988	520	25	vries	vrie	NOUN
ejde-988	520	26	equation	equation	NOUN
ejde-988	520	27	.	.	PUNCT
ejde-988	521	1	j.	j.	PROPN
ejde-988	521	2	amer	amer	PROPN
ejde-988	521	3	.	.	PROPN
ejde-988	521	4	math	math	PROPN
ejde-988	521	5	.	.	PUNCT
ejde-988	522	1	soc	soc	PROPN
ejde-988	522	2	.	.	PUNCT
ejde-988	523	1	4	4	NUM
ejde-988	523	2	(	(	PUNCT
ejde-988	523	3	1991	1991	NUM
ejde-988	523	4	)	)	PUNCT
ejde-988	523	5	323	323	NUM
ejde-988	523	6	-	-	SYM
ejde-988	523	7	347	347	NUM
ejde-988	523	8	.	.	PUNCT
ejde-988	524	1	[	[	X
ejde-988	524	2	8	8	NUM
ejde-988	524	3	]	]	X
ejde-988	524	4	p.	p.	NOUN
ejde-988	524	5	l.	l.	PROPN
ejde-988	524	6	lions	lion	NOUN
ejde-988	524	7	;	;	PUNCT
ejde-988	524	8	mathematical	mathematical	ADJ
ejde-988	524	9	topics	topic	NOUN
ejde-988	524	10	in	in	ADP
ejde-988	524	11	fluid	fluid	ADJ
ejde-988	524	12	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-988	524	13	,	,	PUNCT
ejde-988	524	14	vol	vol	NOUN
ejde-988	524	15	.	.	PUNCT
ejde-988	525	1	i	i	PRON
ejde-988	525	2	:	:	PUNCT
ejde-988	525	3	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	525	4	models	model	NOUN
ejde-988	525	5	.	.	PUNCT
ejde-988	526	1	oxford	oxford	PROPN
ejde-988	526	2	university	university	PROPN
ejde-988	526	3	press	press	NOUN
ejde-988	526	4	,	,	PUNCT
ejde-988	526	5	oxford	oxford	NOUN
ejde-988	526	6	,	,	PUNCT
ejde-988	526	7	1996	1996	NUM
ejde-988	526	8	.	.	PUNCT
ejde-988	527	1	[	[	X
ejde-988	527	2	9	9	NUM
ejde-988	527	3	]	]	PUNCT
ejde-988	527	4	c.	c.	PROPN
ejde-988	527	5	liu	liu	PROPN
ejde-988	527	6	;	;	PUNCT
ejde-988	527	7	dynamic	dynamic	ADJ
ejde-988	527	8	theory	theory	NOUN
ejde-988	527	9	for	for	ADP
ejde-988	527	10	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	527	11	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	527	12	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	527	13	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	527	14	:	:	PUNCT
ejde-988	527	15	existence	existence	NOUN
ejde-988	527	16	and	and	CCONJ
ejde-988	527	17	regularity	regularity	NOUN
ejde-988	527	18	.	.	PUNCT
ejde-988	528	1	discrete	discrete	ADJ
ejde-988	528	2	contin	contin	NOUN
ejde-988	528	3	.	.	PUNCT
ejde-988	529	1	dyn	dyn	NOUN
ejde-988	529	2	.	.	PUNCT
ejde-988	530	1	syst	syst	PROPN
ejde-988	530	2	.	.	PROPN
ejde-988	531	1	6	6	NUM
ejde-988	531	2	(	(	PUNCT
ejde-988	531	3	2000	2000	NUM
ejde-988	531	4	)	)	PUNCT
ejde-988	531	5	,	,	PUNCT
ejde-988	531	6	591	591	NUM
ejde-988	531	7	-	-	SYM
ejde-988	531	8	608	608	NUM
ejde-988	531	9	.	.	PUNCT
ejde-988	532	1	[	[	X
ejde-988	532	2	10	10	NUM
ejde-988	532	3	]	]	PUNCT
ejde-988	532	4	p.	p.	NOUN
ejde-988	532	5	martin	martin	PROPN
ejde-988	532	6	,	,	PUNCT
ejde-988	532	7	p.	p.	NOUN
ejde-988	532	8	parodi	parodi	PROPN
ejde-988	532	9	,	,	PUNCT
ejde-988	532	10	p.	p.	NOUN
ejde-988	532	11	pershan	pershan	NOUN
ejde-988	532	12	;	;	PUNCT
ejde-988	532	13	unified	unified	ADJ
ejde-988	532	14	hydrodynamic	hydrodynamic	ADJ
ejde-988	532	15	theory	theory	NOUN
ejde-988	532	16	for	for	ADP
ejde-988	532	17	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	532	18	,	,	PUNCT
ejde-988	532	19	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	532	20	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	532	21	,	,	PUNCT
ejde-988	532	22	and	and	CCONJ
ejde-988	532	23	normal	normal	ADJ
ejde-988	532	24	fluids	fluid	NOUN
ejde-988	532	25	.	.	PUNCT
ejde-988	533	1	phys	phy	NOUN
ejde-988	533	2	.	.	PUNCT
ejde-988	534	1	rev	rev	PROPN
ejde-988	534	2	.	.	PUNCT
ejde-988	535	1	a	a	PRON
ejde-988	535	2	6	6	NUM
ejde-988	535	3	(	(	PUNCT
ejde-988	535	4	1972	1972	NUM
ejde-988	535	5	)	)	PUNCT
ejde-988	535	6	,	,	PUNCT
ejde-988	535	7	2401	2401	NUM
ejde-988	535	8	.	.	PUNCT
ejde-988	536	1	[	[	X
ejde-988	536	2	11	11	NUM
ejde-988	536	3	]	]	PUNCT
ejde-988	536	4	a.	a.	NOUN
ejde-988	536	5	segatti	segatti	PROPN
ejde-988	536	6	,	,	PUNCT
ejde-988	536	7	h.	h.	PROPN
ejde-988	536	8	wu	wu	PROPN
ejde-988	536	9	;	;	PUNCT
ejde-988	536	10	finite	finite	VERB
ejde-988	536	11	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-988	536	12	reduction	reduction	NOUN
ejde-988	536	13	and	and	CCONJ
ejde-988	536	14	convergence	convergence	NOUN
ejde-988	536	15	to	to	ADP
ejde-988	536	16	equilibrium	equilibrium	NOUN
ejde-988	536	17	for	for	ADP
ejde-988	536	18	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	536	19	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	536	20	-	-	PUNCT
ejde-988	536	21	a	a	DET
ejde-988	536	22	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	536	23	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	536	24	flows	flow	NOUN
ejde-988	536	25	.	.	PUNCT
ejde-988	537	1	siam	siam	PROPN
ejde-988	537	2	j.	j.	PROPN
ejde-988	537	3	math	math	PROPN
ejde-988	537	4	.	.	PUNCT
ejde-988	538	1	anal	anal	ADJ
ejde-988	538	2	.	.	PUNCT
ejde-988	539	1	43	43	NUM
ejde-988	539	2	(	(	PUNCT
ejde-988	539	3	2011	2011	NUM
ejde-988	539	4	)	)	PUNCT
ejde-988	539	5	,	,	PUNCT
ejde-988	539	6	2445	2445	NUM
ejde-988	539	7	-	-	SYM
ejde-988	539	8	2481	2481	NUM
ejde-988	539	9	.	.	PUNCT
ejde-988	540	1	[	[	X
ejde-988	540	2	12	12	NUM
ejde-988	540	3	]	]	PUNCT
ejde-988	540	4	r.	r.	NOUN
ejde-988	540	5	temam	temam	NOUN
ejde-988	540	6	;	;	PUNCT
ejde-988	540	7	infinite	infinite	ADJ
ejde-988	540	8	dimensional	dimensional	ADJ
ejde-988	540	9	dynamical	dynamical	ADJ
ejde-988	540	10	systems	system	NOUN
ejde-988	540	11	in	in	ADP
ejde-988	540	12	mechanics	mechanic	NOUN
ejde-988	540	13	and	and	CCONJ
ejde-988	540	14	physics	physics	NOUN
ejde-988	540	15	.	.	PUNCT
ejde-988	541	1	springer	springer	NOUN
ejde-988	541	2	-	-	PUNCT
ejde-988	541	3	verlag	verlag	PROPN
ejde-988	541	4	,	,	PUNCT
ejde-988	541	5	berlinheidelberg	berlinheidelberg	PROPN
ejde-988	541	6	-	-	PUNCT
ejde-988	541	7	new	new	PROPN
ejde-988	541	8	york	york	PROPN
ejde-988	541	9	,	,	PUNCT
ejde-988	541	10	1988	1988	NUM
ejde-988	541	11	.	.	PUNCT
ejde-988	542	1	[	[	X
ejde-988	542	2	13	13	NUM
ejde-988	542	3	]	]	X
ejde-988	542	4	e.	e.	PROPN
ejde-988	542	5	weiman	weiman	PROPN
ejde-988	542	6	;	;	PUNCT
ejde-988	542	7	nonlinear	nonlinear	ADJ
ejde-988	542	8	continuum	continuum	ADJ
ejde-988	542	9	theory	theory	NOUN
ejde-988	542	10	of	of	ADP
ejde-988	542	11	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	542	12	-	-	PUNCT
ejde-988	542	13	a	a	DET
ejde-988	542	14	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	542	15	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	542	16	.	.	PUNCT
ejde-988	543	1	arch	arch	NOUN
ejde-988	543	2	.	.	PUNCT
ejde-988	544	1	ration	ration	NOUN
ejde-988	544	2	mech	mech	NOUN
ejde-988	544	3	.	.	PUNCT
ejde-988	545	1	anal	anal	ADJ
ejde-988	545	2	.	.	PUNCT
ejde-988	546	1	137	137	NUM
ejde-988	546	2	(	(	PUNCT
ejde-988	546	3	1997	1997	NUM
ejde-988	546	4	)	)	PUNCT
ejde-988	546	5	,	,	PUNCT
ejde-988	546	6	159	159	NUM
ejde-988	546	7	-	-	SYM
ejde-988	546	8	175	175	NUM
ejde-988	546	9	.	.	PUNCT
ejde-988	547	1	[	[	X
ejde-988	547	2	14	14	NUM
ejde-988	547	3	]	]	PUNCT
ejde-988	547	4	x.	x.	NOUN
ejde-988	547	5	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	547	6	,	,	PUNCT
ejde-988	547	7	y.	y.	PROPN
ejde-988	547	8	zhou	zhou	PROPN
ejde-988	547	9	;	;	PUNCT
ejde-988	547	10	on	on	ADP
ejde-988	547	11	well	well	ADV
ejde-988	547	12	-	-	PUNCT
ejde-988	547	13	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	547	14	and	and	CCONJ
ejde-988	547	15	large	large	ADJ
ejde-988	547	16	time	time	NOUN
ejde-988	547	17	behavior	behavior	NOUN
ejde-988	547	18	for	for	ADP
ejde-988	547	19	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	547	20	-	-	PUNCT
ejde-988	547	21	a	a	DET
ejde-988	547	22	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	547	23	crystals	crystal	NOUN
ejde-988	547	24	equations	equation	NOUN
ejde-988	547	25	in	in	ADP
ejde-988	547	26	r3	r3	PROPN
ejde-988	547	27	.	.	PUNCT
ejde-988	548	1	z.	z.	PROPN
ejde-988	548	2	angew	angew	PROPN
ejde-988	548	3	.	.	PUNCT
ejde-988	549	1	math	math	NOUN
ejde-988	549	2	.	.	PUNCT
ejde-988	550	1	phys	phy	NOUN
ejde-988	550	2	.	.	PUNCT
ejde-988	551	1	71	71	NUM
ejde-988	551	2	(	(	PUNCT
ejde-988	551	3	2020	2020	NUM
ejde-988	551	4	)	)	PUNCT
ejde-988	551	5	,	,	PUNCT
ejde-988	551	6	179	179	NUM
ejde-988	551	7	.	.	PUNCT
ejde-988	552	1	[	[	X
ejde-988	552	2	15	15	NUM
ejde-988	552	3	]	]	X
ejde-988	552	4	x.	x.	NOUN
ejde-988	552	5	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	552	6	,	,	PUNCT
ejde-988	552	7	y.	y.	PROPN
ejde-988	552	8	zhou	zhou	PROPN
ejde-988	552	9	;	;	PUNCT
ejde-988	552	10	on	on	ADP
ejde-988	552	11	well	well	ADV
ejde-988	552	12	-	-	PUNCT
ejde-988	552	13	posedness	posedness	NOUN
ejde-988	552	14	and	and	CCONJ
ejde-988	552	15	decay	decay	NOUN
ejde-988	552	16	of	of	ADP
ejde-988	552	17	strong	strong	ADJ
ejde-988	552	18	solutions	solution	NOUN
ejde-988	552	19	for	for	ADP
ejde-988	552	20	3d	3d	NUM
ejde-988	552	21	incompressible	incompressible	ADJ
ejde-988	552	22	smectic	smectic	ADJ
ejde-988	552	23	-	-	PUNCT
ejde-988	552	24	a	a	DET
ejde-988	552	25	liquid	liquid	ADJ
ejde-988	552	26	crystal	crystal	NOUN
ejde-988	552	27	flows	flow	NOUN
ejde-988	552	28	.	.	PUNCT
ejde-988	553	1	j.	j.	PROPN
ejde-988	553	2	nonlinear	nonlinear	PROPN
ejde-988	553	3	sci	sci	PROPN
ejde-988	553	4	.	.	PROPN
ejde-988	553	5	32	32	NUM
ejde-988	553	6	(	(	PUNCT
ejde-988	553	7	2022	2022	NUM
ejde-988	553	8	)	)	PUNCT
ejde-988	553	9	,	,	PUNCT
ejde-988	553	10	7	7	X
ejde-988	553	11	.	.	X
ejde-988	553	12	xue	xue	PROPN
ejde-988	553	13	zhang	zhang	PROPN
ejde-988	553	14	college	college	PROPN
ejde-988	553	15	of	of	ADP
ejde-988	553	16	sciences	sciences	PROPN
ejde-988	553	17	,	,	PUNCT
ejde-988	553	18	northeastern	northeastern	ADJ
ejde-988	553	19	university	university	PROPN
ejde-988	553	20	,	,	PUNCT
ejde-988	553	21	shenyang	shenyang	PROPN
ejde-988	553	22	110004	110004	PROPN
ejde-988	553	23	,	,	PUNCT
ejde-988	553	24	china	china	PROPN
ejde-988	553	25	email	email	NOUN
ejde-988	553	26	address	address	NOUN
ejde-988	553	27	:	:	PUNCT
ejde-988	553	28	2200151@stu.neu.edu.cn	2200151@stu.neu.edu.cn	NUM
ejde-988	553	29	xiaopeng	xiaopeng	PROPN
ejde-988	553	30	zhao	zhao	PROPN
ejde-988	553	31	college	college	PROPN
ejde-988	553	32	of	of	ADP
ejde-988	553	33	sciences	sciences	PROPN
ejde-988	553	34	,	,	PUNCT
ejde-988	553	35	northeastern	northeastern	ADJ
ejde-988	553	36	university	university	PROPN
ejde-988	553	37	,	,	PUNCT
ejde-988	553	38	shenyang	shenyang	PROPN
ejde-988	553	39	110004	110004	PROPN
ejde-988	553	40	,	,	PUNCT
ejde-988	553	41	china	china	PROPN
ejde-988	553	42	email	email	NOUN
ejde-988	553	43	address	address	NOUN
ejde-988	553	44	:	:	PUNCT
ejde-988	554	1	zhaoxiaopeng@mail.neu.edu.cn	zhaoxiaopeng@mail.neu.edu.cn	PROPN
ejde-988	554	2	1	1	NUM
ejde-988	554	3	.	.	PUNCT
ejde-988	554	4	introduction	introduction	NOUN
ejde-988	554	5	2	2	NUM
ejde-988	554	6	.	.	PUNCT
ejde-988	554	7	preliminaries	preliminary	NOUN
ejde-988	554	8	3	3	NUM
ejde-988	554	9	.	.	PUNCT
ejde-988	555	1	a	a	DET
ejde-988	555	2	priori	priori	ADJ
ejde-988	555	3	estimates	estimate	NOUN
ejde-988	555	4	4	4	NUM
ejde-988	555	5	.	.	PUNCT
ejde-988	555	6	proof	proof	NOUN
ejde-988	555	7	of	of	ADP
ejde-988	555	8	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	555	9	1.2	1.2	NUM
ejde-988	555	10	5	5	NUM
ejde-988	555	11	.	.	PUNCT
ejde-988	556	1	proof	proof	NOUN
ejde-988	556	2	of	of	ADP
ejde-988	556	3	theorem	theorem	ADJ
ejde-988	556	4	1.3	1.3	NUM
ejde-988	556	5	acknowledgements	acknowledgement	NOUN
ejde-988	556	6	references	reference	NOUN