Microsoft Word - European_Journal_of_Chemistry_1_4_2010_381_384_121


European Journal of Chemistry 1 (4) (2010) 381‐384 

 
European Journal of Chemistry 

ISSN 2153‐2249 (Print) / ISSN 2153‐2257 (Online)  2010 EURJCHEM 
DOI:10.5155/eurjchem.1.4.381‐384.121 

   

 

European Journal of Chemistry 
Journal homepage: www.eurjchem.com 

 
     

Analytic  perturbation  theory  to  study  the  effect  of  screening  on  alignment  of 
atomic inner shell vacancies 

Ajay Sharmaa,* and Raj Mittalb 

a Physics Department, Chitkara University, Solan, Himachal Pradesh, IN­174103, India 
b Physics Department, Nuclear Science Laboratories, Punjabi University, Patiala, IN­147002, India 

*Corresponding author at: Physics Department, Chitkara University, Solan, Himachal Pradesh, IN­174103, India. Tel.: +91.172.4691800; fax: +91.172.4691800. 
E­mail address: ajayph75@gmail.com (A. Sharma). 

 
 

   

     
COMMUNICATION INFORMATION    ABSTRACT
Received: 22 May 2010 
Received in revised form: 08 August 2010 
Accepted: 08 August 2010 
Online: 31 December 2010 

KEYWORDS 

  An  analytic  perturbation  theory  has  been  developed  for  screened  Coulomb  radial  wave 
functions  by  interpolating  the  screened  Coulomb  potential  of  McEnnan  for  elements 
lanthanum to uranium and was used to calculate alignment of vacancies  in L3 sub shell. To 
check  the  authenticity  of  the  present  method  of  calculation,  the  intermediate  steps  are 
compared  with  our  earlier  formulation  of  point  Coulomb  potential  for  the  calculations.  A 
close agreement has been obtained among the values of intermediate steps involved in both 
the  formulations  that  proved  the  reliability  of  present  calculations  and  prompted  us  to 
extend  the  calculations  for  the  elements  lanthanum  to  uranium  in  the  energy  region 
threshold to 60 keV. 

Perturbation theory 
Screening effect 
Vacancy alignment 
Non‐relativistic dipole approximation 
L sub‐shells 

 
1. Introduction 
 

For photon induced atomic processes, Flügge et al. [1] were 
the  first  to  explore  the  alignment  of  atomic  inner  shell 
vacancies.  Calculations  of  vacancy  alignment  with  different 
approaches  have  been  performed  by  different  workers,  but 
some  systematic  numerical  calculations  were  provided  by 
Berezhko et al.  [2] and Kleiman and Lohmann [3]. Up  to date, 
the  survey  of  literature  reveals  that,  since  eighties,  the 
experimental  measurements  on  alignment  of  photon  induced 
L3 vacancies from anisotropic distribution of fluorescent X‐rays 
in some rare earth and high Z elements are available from the 
work  of  eight  different  groups  [4]  those  predicted 
contradictory results. To check the discrepancies of the results 
from  different  experimental  groups  and  the  results  from 
experiment  and  theory  as  pointed  out  above,  the  effect  of 
electron  screening potential  on  the  alignment  calculations  are 
undertaken  in  the  present  paper.  Our  earlier  theoretical 
calculations [5] are treated as reference to observe the impact 
of  screening  on  the  alignment  and  are  refined  by  applying 
screening  correction  [6].  In  addition,  an  analytic  perturbation 
theory has been developed  for screened Coulomb radial wave 
function  by  interpolating  the  screened  Coulomb  potential  of 
McEnnan et al. [7] for the elements La to U in the energy region 
threshold to 60 keV. 
 
2. Formulation 
 

The L shell electrons being next to those in K shell are likely 
to  be  under  screened  potential.  Therefore,  each  L  electron 
seems  to move  in  a  screened  Coulomb  field,  (Z–s).e/r2  of  the 
nucleus  that modifies  the  earlier  considered potential  energy. 
L3  vacancy  alignment  is  accounted  in  term  of  alignment 
parameter  A2  that  is  fractional  difference  in  ionization  cross‐

sections  of  L3  magnetic  sub‐states.  The  present  Z  region  for 
which  A2  has  been  generated  is  prone  to  screening  and  two 
different  attempts  have  been  made  to  study  the  effect  of 
screening by; 
(i) Accommodating effect of screened Coulomb potential on 

the  earlier  generated  alignment  parameter  A2  data  [5] 
and  

(ii) Developing  an  analytic  perturbation  theory  [7]  for 
screened  Coulomb  wave  functions  in  a  non‐relativistic 
dipole  approximation  which,  in  turn,  is  used  for  the 
calculation of A2 for photon induced L3 vacancies in high 
Z elements, 57  Z  92.  

 
3. Effect of screened Coulomb potential 
 

To  treat  the L  shell  electrons under  the  screening nuclear 
pull,  a  screened Coulomb potential,  (Z–s)e/r, of  the nucleus  is 
considered  [8]  instead  of  Ze/r  in  the  case  of  ordinary  point 
Coulomb potential where s is the screening constant. Slater [6] 
has  suggested  the  rules  in  order  to  decide  the  value  of  the 
screening constant s and for a 2s or 2p electron, s value comes 
as; 
 
s = 2(0.85) + 7(0.35) = 4.15         (1) 
 

Therefore, in a screened Coulomb potential the value a= Z 
is  to  be modified  as,  a*  =  (Z  ‐  s) ,  where   is  fine  structure 
constant. The modified value a* affects equations of formulation 
[5], which  in  turn modified  single particle  radial  integrals R2* 
for  the bound  (L=1)  and  continuum  ('= 2)  states  and R0*  for 
bound (L=1) and continuum ('= 0) as; 
 



382  Sharmaa and Mittal / European Journal of Chemistry 1 (4) (2010) 381­384 
 

 

dripr
p

a
iFraipr

paipapaR

})2(;6,
*

3
11

].)2/[exp(
0

6{

))/(3())]/(57.1[exp(2)
2/5

(0068.0
2
































   (2)           

                              

 

dripr
p

a
iFraipr

paipapaR

})2(;6,
*

3
11

])2/[exp(
0

4{

))/(1()]/57.1[exp(22/5
2041.0

0
































   (3) 

 
Thus,  for  2p3/2  state,  the modified  alignment  parameter  (A2*) 
under screened Coulomb potential is 
 

A2*=

2

2
4

2

0
2

2

25

12

0





RR

RR         (4)     

 
In  this  paper,  the  screened  alignment  parameter  A2*  has 

been calculated for the elements 57  Z  92 at incident photon 
energy  varying  from  L3  threshold  to  60  keV.  The  calculated 
results are illustrated in Figure 1‐5. 
 

Figure 1. Plots of alignment parameter (A2) without screening and (A2*, 
A2**) with screening at photon energies threshold to 60 keV for La. 

 

Figure 2. Plots of alignment parameter (A2) without screening and (A2*, 
A2**) with screening at photon energies threshold to 60 keV for Gd. 
 
4. Analytic perturbation theory for screening effect 
 

For  a  non‐relativistic  radial  wave  function  in  a  screened 
Coulomb  potential,  the  potential  inside  an  atom,  according  to 
analytic perturbation theory, is [7]  

 

 .......)()()(1)( 3
3

2
21 






 rVrVrV
r

a
rV    (5) 

Here  Za    and  3/1Z  characterize  the  screening. 

Coefficients Vk’s are of  the order of unity. Vk’s  are alternate  in 
sign  and  decrease  with  increasing  k  and  the  equation  (4) 
converge in the region r<1. 

 

Figure 3. Plots of alignment parameter (A2) without screening and (A2*, 
A2**) with screening at photon energies threshold to 60 keV for W. 

 

Figure 4. Plots of alignment parameter (A2) without screening and (A2*, 
A2**) with screening at photon energies threshold to 60 keV for Au. 

 

Figure 5. Plots of alignment parameter (A2) without screening and (A2*, 
A2**) with screening at photon energies threshold to 60 keV for Th. 
 
In  non‐relativistic  dipole  approximation  for  this  type  of 
potential, the formulation [5] changes as under; 

 
(i) Bound state wave function  )(rn is modified as 

 

)()( **2/**** rSerNr n
ar

nn 



       (6) 

 
The  term  S**n(r)  replaces  the  confluent  hypergeometric 
function used in the previous formulation [5].  Here N**n   is the 
modified  normalization  constant  and  for  the  bound  state  and 
for 2p state (for =1), it becomes 
 



Sharmaa and Mittal / European Journal of Chemistry 1 (4) (2010) 381­384  383 
 

 
 

)320301( 322121
**  NN       (7) 

where    2/1

2

3

6

2/5

21 







a
N is the point Coulomb normalization 

for the 2p state and  
 

k
k

k
kk ZVaV )13.1()/( 3/2        (8) 

 
The values of Vk’s,  for k=2 and 3 and for the elements Z=57 to 
92,  are  obtained  by  interpolating  [9]  the  screened  Coulomb 
potentials of McEnnan et al. [7]. 

The radial wave function Sn**(r) is a polynomial in r and, for 
2p state, it becomes 
 

)
3

1
3(2)(322)(21)(**

21
arararrS      (9) 

 
Thus,  the  final  form of  the bound state wave  function  for n=2 
and =1 is 
 

 







 









)
3

1
3(2)(322)(21

2/
33202301

2/1

2

3

6

2/5
)(**

21

ararar

arre
a

r
   (10) 

 
Screening also affects the binding energy of the L3 electron and 

the modified binding energy becomes [10]   

 

 321
2** 2404081

8

1
 aBE     (11) 

 
(ii)  The  continuum  states  '  =1  i.  e.  ('  =  2  and  0),  the 
modified radial wave function is 
 

)(****** prSerN ipr
pp 


 




 
      (12) 

 

where  p is  the magnitude of  the  asymptotic momentum  for 
screened wave function [9]; 
 

ppp      and 
511

)(2 ** BEBE
p


     (13) 

  



















































































]12[

)]1(315[

)/()1(315
)12)(1(

3

5

4

1

]12[

)]1(3)1(3[)12)(1(

4

1
1

2

222

4
3

22
2

2

2/3)2(

2/1
**





























n

n

n

NN
p

pp

            (14) 
 
is the screened Coulomb normalization constant [9] and 
 

2/

)22(

)1(
)2(

'

e

i
pN

p 


 

 






      (15) 

 
is the point Coulomb normalization constant for the continuum 
state and  = a/p.  
 

,
22

22
1 









 
1

2
1

20 
 


e

 and 
2

2

2

2

02 4

2

1

2













 (16)
 

Thus, the screened continuum radial function is 

......),(3
3),(2

2)()(** 


prAprAprsprs 


      (17) 

 
where   ipriMprs 2,22,1)(  


     (18) 

 
is the usual point Coulomb radial wave function and  
 

 

)2,22,1(),(0

)2,22,1(),(,

ipriMik

iprsiMi
k

ks
k
sprkA



















   (19) 

 
Here  ),,( zgfM =  )(/),,(11 gzgfF  is  the  regular  confluent 

hyper‐geometric  expression  and  is  evaluated  from  its  series 
expression with argument parameters f, g and z as [11] 
 

 (20) 
 
(ii) a. For the continuum state ' = 2, the normalization constant 
becomes [9] 
 

 






































]5[

]}15[/4175{50
25.0

]5][163[3025.01

)6(

)3(

)2(

)2(

2

22
4

3

2
22

2

2/
2/3

22/1
**
2










e

ipp
Np

        (21) 

 

)2,6,3()(2 ipriMprs          (22) 

 
and  
 

  )2,6,3(5]623[5.0
24

)2
2(4

)2,6,5()3)(4(5.0)2,6,4(]10)12(2[

)3()2,6,1())3)(4(5.0()2,6,2(

)10)12(2)3(()2,6,3()60221(

24

2
2

),2(2

ipriM
a

V

ipriMiiiipriMii

iipriMiiiipriM

iiiipriM

a

V
prA










































            (23) 
 
Similarly, 
 

  )2,6,3(/60175
4

)(2

)2,6,6(

)3)(4)(5(6/1)2,6,5()3)(4)(1(5.1

)2,6,4()/12012)1)(15)(3(5.0()2,6,()3(

)4)(5(6/1)2,6,1())3)(4)(1(5.1()2,6,2(

)/12012)1)(15)(3(5.0()2,6,3()/3605240(

4
),2(

22

3
3

4

2

222

3
3

4

3

ipriM
a

V

ipriM

iiiipriMiii

ipriMiiiipriMi

iiipriMiiiipriM

iiiipriM

a

V
prA























































            (24)
   
Thus, the screened continuum radial function for the state ' = 2 
becomes 
 

.....),2(),2()2,6,3()( 3
3

2
2**

2  prAprAipriMprs    (25) 

 
and the final form of the continuum wave function is 
 

)()( **
2

**
2

**
2

2 prserNrp ipr

pp


        (26) 

 



384  Sharmaa and Mittal / European Journal of Chemistry 1 (4) (2010) 381­384 
 

 

(ii)  b.  Similarly,  for  the  continuum  state  '  =  0,  the 
normalization constant becomes [9]; 
 

 















































]01[

]}15[2/4125{4
325.0

]01][1023[2
225.01

2/
)2(

)1(
2/3)2(

2/1
**
0










e

ip
N
p

  (27) 

 
)2,2,1()(

0
ipriMprs          (28) 

 
and  

  )2,2,1(5]23[5.0
24

)3
2(4

)2,2,3()1)(2(5.0)2,2,2(]10)12(2[

)1()2,2,1()1)(2(5.0)2,2,(

)10)12(2)1(()2,2,1()2029(

24

2
2

),0(2

ipriM
a

V

ipriMiiiipriMii

iipriMiiiipriM

iiiipriM

a

V
prA










































            (29) 
 
Similarly, 
 

  )2,2,1(2/60125
34

)3
4(2

)2,2,4()1(

)2)(3(6/1)2,2,3()1)(2)(1(5.1)2,2,2(

)2/1206)1)(15)(1(5.0()2,2,2(

)1)(2)(3(6/1)2,2,1())1)(2)(1(5.1()2,2,(

)2/1206)1)(15)(1(5.0()2,2,1()2/1202220(

34

3
4

),0(3

ipriM
a

V

ipriMi

iiipriMiiiipriM

iiiipriM

iiiipriMiiiipriM

iiiipriM

a

V
prA



























































            (30) 
 
Therefore, the screened continuum radial function for the state 
' = 0 becomes 
 

.....),0(),0()2,2,1()( 3
3

2
2**

0  prAprAipriMprs    (31) 

 
and the final form of the continuum wave function for ' = 0 
 

)()( ****
0

**
0 0 prseNrp ipr

pp


       (32) 

 
The  single  particle  radial  integral  for  bound  (L=1)  and 
continuum ('=2) state reduces as 
 

   drrrprRmatrix )()( **
21

**
20

3 ***
2  


    (33) 

 
Similarly, for L=1 and ' = 0 state 
 

   drrrprRmatrix )()( **
21

**
00

3 ***
0  


    (34) 

 
Thus, for 2p3/2 state the screened alignment parameter  
 

A2**=
2

4
2

2

2

5

12

**
2

**
0

**
2

**
0

matrixmatrix

matrixmatrix

RR

RR




      (35) 

 
To  check  the  authenticity  of  the  present  method  of 

calculation of A2**,  the  intermediate  steps  are  compared with 
our  earlier  formulation  [5]  of  point  Coulomb  calculations.  A 
close  agreement  has  been  obtained  among  the  values  of 
intermediate  steps  involved  in  both  the  formulations  that 
proved the reliability of these calculations and prompted us to 
extend  our  calculations  for  elements  La  to  U  in  the  energy 

region  threshold  to 60 keV. The calculations are performed  in 
mathematica 5.1 and the results are illustrated in Figure 1‐5. 

 
 

5. Results and discussion 
 
The results show that screening has no effect on the shape 

of plots of A2* at  the  lower end of energies but  the values are 
lowered  by  4  to  10 %  of  the  earlier  values.  For  the  elements    
57  Z  79  in  the energy region 43  to 55 keV  like  the earlier 
results [5] on A2, again the peak structures in A2* plots appear. 
For elements 57  Z  63 the peak structure is distorted and the 
gap  between  two  groups  of  peaks  increases,  one  group  shifts 
comparatively  to  lower  energy  and  other  shifts  to  higher 
energy side (Figure 1). For the elements 64  Z  73, the peak 
shifting  is  less  but  the  peak  becomes  more  prominent  as 
compared to the case of without screening (Figure 2). The peak 
structure in Figure 3 for W shows the pattern similar to shifting 
of lower group of peaks in case of La and the trend remains the 
same up to Pt. For Au slight peak structure in A2* appears at the 
high energies that was almost absent for A2 in the same energy 
region (Figure 4). 

Similar  A2*  peaks,  though  low  in  intensity,  appear  for 
elements  Z=81  to  83.  All  this  confirms  that  peak  structures 
have  shifted  to  lower energy  side. For elements Z>83  there  is 
smooth fall  in A2* with energy (Figure 5). The peak structures 
may be due to some disturbance of the point Coulomb potential 
with  the  starting of  the K shell  ionization and  the explanation 
[5]  still  holds  with  screening  effects  though  there  is  shift  in 
energy. 

Alignment  parameter A2**  takes maximum value  (~0.5)  in 
the regions starting from L3 threshold energy to about 30 to 45 
keV for all the elements. The range shifts to higher energy side 
for  increasing Z’s. For  the elements with Z varying  from 57 to 
70 a decrease in the alignment value exists at ~30 keV (Figure 
1‐4).This downfall in the alignment also increases with Z’s and 
attains  its  least  value  ~  0.05  for  the  most  of  the  elements. 
Moreover, this down fall is in the form of peak structure in the 
energy  region  40  to  50  keV.  The  alignment  remains  almost 
constant (~0.5) for all the high Z elements in the range 81 to 92 
with  a  very  small  variation  at  the  third  decimal  place 
throughout  whole  energy  range  (Figure  5).  The  alignment 
parameter values being > 0.1 at energies < 20 keV are certainly 
higher  than  5  to  8%  uncertainties  quoted  in  experimental 
results. The presence of energy pockets where the alignment is 
comparatively  prominent  requires  further  exploration  either 
with the precise measurements of low intensity L x‐rays (L and 
L2)  or  by modifications  of  theoretical  calculations.  In  Figures 
1‐5, A2** looks just as reflection or complement of variations in 
A2  and  A2*  values.  Therefore,  the  explanation  for  the  peak 
structure  [5] may  still  be  appreciable  for  the  screening  effect 
derived through analytical perturbation theory. 
 
References 
 
[1]. Flügge, S.; Mehlhorn, W.; Schmidt, V. Phys. Rev. Lett. 1972, 29, 7‐9. 
[2]. Berezhko, E. G.; Kabachnik, N. M.; Rostovsky, V. S. J. Phys. B. 1978, 11, 

1749‐1758. 
[3]. Kleiman, U.; Lohmann, B. J.  Elect. Spectro. Rel. Phen. 2003, 131, 29‐50. 
[4]. Sharma, A.; Mittal, R. N. Instr. Meth. Phys. Res. A. 2010, 619, 55‐58. 
[5]. Sharma, A.; Singh, M.; Mittal, R.  Pramana 2006, 66, 1111‐1118. 
[6]. Slater, J. C.  Phys. Rev. 1930, 36, 57‐65. 
[7]. McEnnan, J.; Kissel, L.; Pratt, R. H.  Phys. Rev. A 1976, 13, 532‐558. 
[8]. Hall, H. Rev. Mod. Phys. 1936, 8, 358‐359. 
[9]. Sharma,  A.;  Mittal,  R.  Vacancy  alignment  in  atomic  inner  shells, 

Lambert Academic Publishing, 2010. 
[10]. Oh, S. D.; McEnnan, J.; Pratt, R. H. Phys. Rev. A. 1976, 14, 1428‐1436. 
[11]. Wolfram, S. The Mathematica, Cambridge University Press, 1996.