Microsoft Word - European_Journal_of_Chemistry_1_2_2010_83_89_26


European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83‐89 

 
European Journal of Chemistry 

ISSN 2153‐2249 (Print) / ISSN 2153‐2257 (Online)  2010 EURJCHEM 
DOI:10.5155/eurjchem.1.2.83‐89.26 

   

 

European Journal of Chemistry 
Journal homepage: www.eurjchem.com 

 
     

Evaluation of global hardness of atoms based on the commonality in                 
the basic philosophy of the origin and the operational significance of  
the electronegativity and the hardness. Part I. The Gordy’s scale of 
electronegativity and the global hardness 

Nazmul Islam and Dulal Chandra Ghosh*  
 

Department of Chemistry, University of Kalyani, Kalyani­741235, India 

*Corresponding author at: Department of Chemistry, University of Kalyani, Kalyani­741235, India. Tel.: +91.9433389909; fax: +91.3325828282.                                 
E­mail address: dcghosh@gmail.com (D.C. Ghosh). 

 
 

   

     
ARTICLE INFORMATION    ABSTRACT
Received: 31 March 2010 
Received in revised form: 30 April 2010 
Accepted: 30 April 2010 
Online: 30 June 2010 

KEYWORDS 

  Relying upon  the  fact  that  the hardness,  like  the electronegativity,  is  a qualitative property 
and  there  is  commonality  in  the  basic  philosophy  of  the  origin  and  the  operational 
significance of these two fundamental descriptors of atoms in physics and chemistry, we have 
proposed  to  use  the  Gordy’s  ansatz,  modified  by  Ghosh  and  Chakraborty,  of  evaluating 
electronegativity  of  atoms  as  the  ansatz  of measuring  the  global  hardness  of  atoms  in  this 
work. The ansatz under reference computes  the energy of attraction between  the screened 
nucleus of the atoms and its valence electrons. This is our definition of electronegativity and 
global  hardness  of  atoms.  The  evaluated new  set  of  global  hardness  is  found  to  satisfy  the 
sine qua non of  a  reasonable  scale of  hardness by  exhibiting perfect periodicity of  periods 
and groups and correlating the gross physico‐chemical properties of elements. The inertness 
of Hg and extreme reactivity of Cs and Fr atoms are nicely correlated. The chemical reactivity 
and  its  variation  in  small  steps  in  the  series  of  lanthanide  elements  are  also  nicely 
reproduced. The results of the present semi‐empirical calculation find strong correlation with 
the results of some sophisticated DFT calculations for a set of atoms. 

Commonality between electronegativity and 
hardness 
Gordy scale of electronegativity 
Scale of global hardness based on potential 
concept 
Periodicity of global hardness of atoms 

 
1. Introduction 
 

The  hardness  and  the  electronegativity  are  two  different 
old  and  extremely  useful  conceptual  constructs  of  chemistry 
and physics. Although  the meaning  and purpose of  the words  
‘hardness’ and ‘electronegativity’ are intrinsically different and 
are used in different contexts of chemico‐physical phenomena‐ 
the reactivity and stability of atoms, molecules and condensed 
matter,  there  are  reasons  to  believe  that  there  is  much 
commonality  in  the  basic  philosophical  structures  relating  to 
their  origin  and  development.  History  shows  that  the  term 
‘hardness’  originated  in  solid  state  condensed matter  physics 
signifying  the  resistance  of  a  structure  towards  deformation 
[1].  Still  there  is  another notion of hardness  in  chemistry,  the 
chemical  hardness,  originating  from  the  intrinsic  resistance 
that  manifests  by  holding  the  electron  cloud  tightly  to  the 
species‐ atoms, ions and molecules. The electron cloud of hard 
species does not deform on small perturbation of the chemical 
reaction of molecules. The idea of chemical hardness originated 
basically as a rationale of  the hard‐soft acid base  theory [2,3]. 
Physicists and chemists have used the word ‘hardness’ virtually 
in  different  contexts  and  consequently  the  same  word 
‘hardness’ has two different connotations –‘chemical hardness’ 
and  ‘physical  hardness’.  However,  the  chemical  hardness  and 
physical  hardness  have  fundamentally  evolved  with  time  to 
converge to the one and single unified concept the hardness in 
general  for atoms [4]. However,  the glimpses of similarities  in 
the  conceptual  structures,  and  the  mathematical  formulae  of 

evaluating the chemical and physical hardness can be found in 
the work of a good number of predecessor scientists [5‐9]. 

Similarly,  another  very  important  qualitative  theoretical 
construct  in  chemistry  is  electronegativity.  This  conceptual 
theoretical construct is indispensable of chemistry and physics 
as  well.  The  electronegativity  with  its  strong  chemical 
organizing power has manifold use  in  chemistry  as well  as  in 
physics for locating transfer, static and dynamic rearrangement 
of  charge  during  chemico‐physical  processes.  The  electro 
negativity  is  not  only  ubiquitous  in  chemistry  but  also,  in 
present times, finds application in physics, biology and geology 
[10‐11]. It has also been pointed out that electronegativity idea 
helps in the qualitative understanding and elucidation of quark 
chemistry  [12].  The  concept  has  been  extensively  used  in 
chemistry in correlating chemical binding, reactivity and many 
other physico‐chemical properties of atoms and molecules over 
a long period of time. Coulson [13] and Fukui [14], the doyens 
of  theoretical  chemistry,  pointed  out  the  importance  of  the 
concept  of  electronegativity  in  elucidating  and  sketching  the 
static  distribution  and  dynamic  rearrangement  of  electronic 
charge in molecules. The bond energies, bond polarities, dipole 
moments,  force  constants,  and  inductive  effects  etc  are  some 
conceptual  descriptors  of  the  real  world  that  add  to  the 
essential  understanding,  rationalization  and  modeling  of 
organic,  inorganic  and  physical  chemistry.  Such  fundamental 
descriptors  can  only  be  conceived  in  terms  of  the  idea  of 
electronegativity. 

It  is  stated  above  that  the  hardness,  as  conceived  in 
chemistry,  signifies  the  resistance  towards  the deformation of 



84  Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89 
 

 

charge  cloud  of  chemical  systems  under  small  perturbation 
encountered  during  chemical  processes.  The  general 
operational  significance of  the hard‐soft  chemical  species may 
be understood in the following statement. If the electron cloud 
is  strongly  held  by  the  nucleus,  the  chemical  species  is  ‘hard’ 
but  if  the  electron  cloud  is  loosely  held  by  the  nucleus,  the 
system is ‘soft’ [2,15‐16].  

In chemical domain, there is extensive theoretical search to 
quantify chemical hardness. The quest for the theoretical basis 
of  the hard  soft  acid base behaviour has  given birth  of  a  new 
branch of  theoretical  chemistry known as  ‘Conceptual Density 
Functional Theory’ CDFT [17‐23] within the basic paradigm of 
density  functional  theory.  The  conceptual  density  functional 
theory has added (i) Maximum Hardness Principle, (MHP) [24‐
25],  and  (ii)  Minimum  Polarizability  Principle,  (MPP)  [26]  to 
the  list  of  the  fundamental  laws  of  nature.  The  conceptual 
density  functional  theory  has  been  successfully  exploited  in 
elucidating  and  correlating  mechanistic  aspects  viz.  regio‐
selectivity,  catalysis,  aromaticity,  intramolecular  rotation, 
inversion and isomerization reaction [27‐34]. 

  
1.1. Fundamental nature of hardness and electronegativity 
 

It  is  the  experience  of  chemists  and  physicists  that  the 
principles of hardness and electronegativity work in chemistry 
and  physics  but  they  are  not  physical  observables.  Although, 
Putz  [32]  has  discussed  at  length  the  question  whether  the 
electronegativity  may  be  considered  as  quantum  observable, 
quantum mechanics  does  not  suggest  operators  whose  eigen 
values are the electronegativity and hardness. One may find the 
resemblance  between  the  appearance  and  significance  of 
heuristically  developed  concepts  of  electronegativity  and 
hardness in chemistry and physics and the unicorns of mythical 
saga [36]. They exist but never seen. Without the concept and 
operational  significance  of  hardness  and  electronegativity, 
chemistry  and  many  aspects  of  condensed  matter  physics 
becomes  chaotic  and  the  long  established  unique  order  in 
chemico‐physical world would  be  disturbed. We may  refer  to 
the opinion of Parr et al. [37] who seem to have connected the 
reality  of  the  hardness  and  the  electronegativity  with  the 
noumenon of Kantian philosophy. The noumenon  is an object 
knowable by the mind or intellect, not by the senses. Thus both 
the  hardness  and  electronegativity  are  objects  of  purely 
intellectual  intuition. We  feel  it pertinent  to recall  the opinion 
of  Ayers  [38]  that  before  any  algorithm  of  computing  the 
hardness and the electronegativity is developed, the reification 
of abstract concept into things of the real world is necessary. 

In  a  recent work, we have discussed  the basic nature  and 
definition  of  the  hardness  and  the  electronegativity  from 
qualitative  standpoint  and  discovered  that  the  two  different 
descriptors converge into one unifying principle [4]. But there 
is  a  claim  by  the  adherents  and  proponents  of  density 
functional theory that the electronegativity and hardness have 
been elevated and sublimated  from their qualitative  ignominy 
to  sound  quantum mechanical  basis  with  the  help  of  density 
functional  theory.  The  density  functional  ramification  of  the 
electronegativity  and  the  hardness  is  an  animated  field  of 
current  research.  It would  be  appropriate,  therefore,  to  dwell 
upon  the  density  functional  underpinning  of  the 
electronegativity  and  the  hardness  to  reveal  the  actual 
scientific  status  of  the  electronegativity  and  the  hardness  as 
conferred by the density functional theory. 

Given  the  electron  density  function  ρ(r)  in  a  chemical 
system (atom or molecule) and the energy functional E(ρ), the 
chemical  potential,  μ  of  that  system  in  equilibrium  has  been 
defined  as  the  derivative  of  the  energy  with  respect  to  the 
number of electrons at fixed molecular geometry.  

The chemical potential [36], μ, is given by 

 μ =[ ∂ E⁄ ∂ N ]v                                                                                       (1)                                   

Here E  is  expressed as  function of  the number of  electrons, N 
i.e.,  functional  of N,  E(N).  Thereafter,  following  Iczkowski  and 
Margrave [40], Parr et al.  [41] defined the electronegativity as 
the additive inverse of the chemical potential  
 
 χ = – μ                                                                                                       (2) 
 
or,    χ = – [ ∂ E⁄ ∂ N ]v                                                                           (3)   
 

The  absolute  hardness,  η  of  the  density  functional  theory 
[42] is defined as   
 
η = ½ [∂ μ⁄ ∂ N] v = 1/2 [(∂2 E⁄ ∂ N2)]v                                           (4) 
 

Although  mathematical  formulae  were  suggested  but 
rigorous  evaluation  of  electronegativity,  χ  and  absolute 
hardness η in terms of the suggested formulae, Eq. (3) and Eq. 
(4), has not been possible. However, calculus of finite difference 
approximation  was  invoked  to  suggest  approximate  and 
operational  formulae  of  electronegativity  and  hardness  as 
under:  
 
χ = (I+A)/2                                                                                               (5) 
 
η = (I‐A)/2                                                                                                (6) 
 
where  ‘I’ and  ‘A’ are  the  first  ionization potential and electron 
affinity of the chemical species. Pearson [43] proceeded further 
to evaluate ‘I’ and  ‘A’ in terms of orbital energies of the highest 
occupied molecular orbital, HOMO and  the  lowest unoccupied 
molecular  orbital,  LUMO  by  connecting  it  with  Hartree‐Fock 
SCF theory and invoking Koopmans’ theorem 
 
χ= (–εHOMO – εLUMO)/2                                                                            (7) 
 
η= (–εHOMO +εLUMO)/2                                                                             (8)   
 

But the above finite difference approximation to χ and η are 
not  free  from  criticism  and  critical  analysis  has  revealed  the 
gross  approximate  nature  of  the  above  algorithms.  We  may 
point out that   the rigorous theoretical calculation of hardness 
using  the ansatz  (4)  is not easy because, numerical method  is 
the  only  route  of  evaluating  global  hardness  according  to  the 
Eq.  (4).  Sen  and  Vinayagam  [44]  evaluated  the  density 
functional  hardness  of  12  elements  only  and  the  true  density 
functional global hardness of  the majority of atoms are still at 
large. Moreover,  Reed  [45]  pointed  out  that  the  invocation  of 
the  finite  difference  approximation  requires  that  the  absolute 
hardness be essentially independent of charge over an interval 
of  two units of  charge. This does not appear  to be  the  case of 
chemical hardness or absolute hardness. We [46] also pointed 
out  some  inconsistency  in  the  finite  difference  definition  of 
hardness.  Reed  [45]  has  opined  further  that  the  operational 
definition contained in Eq. (6) and Eq. (8) does not just follow 
from the  finite difference approximation. Thus,  some  inherent 
mathematical  inconsistency  in  evaluating  global  hardness  by 
finite  difference  approximation method  is  apparent.  Although 
there are other formulae for the hardness and electronegativity 
when the quadratic model of Parr and Pearson is not valid [47‐
49],  the  effort  of  density  functional  quantification  of 
electronegativity and hardness is not that successful and these 
two descriptors are still qualitative per se. 

Since we are after to reduce evidence that the basic nature 
of  the  electronegativity  and  the  hardness  are  fundamentally 
qualitative  per  se  and  operationally  the  same  entity,  we may 
site  similar  views  expressed  by  other  workers  within  the 
purview  of  density  functional  theory.  Pearson  [50]  suggested 
that for donor atoms, the electronegativity could be taken as a 
measure  of  the  hardness  of  the  base.  Putz  [51‐54],  after 
rigorous  research  on  systematic  formulation  of 



Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89  85 
 

 
 

electronegativity  and  hardness,  opined  out  that  the  hardness 
and electronegativity are proportional to each other. 
 
χ    η                                                                                                         (9) 
 

Ayers [38] in his effort to evaluate the electronegativity and 
hardness of neutral atoms on the basis of the energy expression 
of March and White [55], pointed out that the two fundamental 
atomic  parameters,  hardness  and  electronegativity,  have  the 
similar expression, more precisely, proportional to each other. 

Recently,  we  have  noticed  another  suggestion  corrobo 
rating our view that the electronegativity and the hardness are 
two  different  appearances  of  the  one  and  the  same 
fundamental  property  of  atoms  and  molecules.  Li  et  al.  [56] 
hold  that  “electronegativity  represents  the  electron  holding 
power of an atom; the stiffness of the atoms can thus be defined 
as electron holding energy of atoms per unit volume”. 

Now,  let  us  have  a  bit  Buddhist’s  contemplation  over  the 
subject  that  there  is  much  commonality  in  the  physical 
structure  and  the  philosophical  basis  of  hardness  and 
electronegativity  as  regards  their  origin  and  operational 
significance.  The  hardness  refers  to  the  resistance  of  the 
electron  cloud  of  the  atomic  and  molecular  systems  under 
small  perturbation  of  electrical  field.  An  atom  or  molecule 
having least tendency of deformation are hard and having small 
tendency  of  deformation  are  soft.  In  other  words,  least 
polarizable means most hard and in such systems the electron 
clouds  are  tightly  bound  to  the  atoms  or  molecules.  On  the 
contrary  most  polarizable  means  least  hard  and  in  such 
systems  the  electron  cloud  is  loosely  bound  to  the  atoms  or 
molecules. 

Electronegativity  though  defined  in  many  different  ways, 
the  most  logical  and  rational  definition  of  it  is  the  electron 
holding  power  of  the  atoms  or  molecules.  The  more 
electronegative species hold electrons more tightly and the less 
electronegative species hold less tightly [4].  

Thus,  if  we  invoke  the  qualitative  definition  of  hardness 
stated  above  and  compare  with  the  qualitative  definition  of 
electronegativity,  the  commonality  of  their  conceptual 
structures and philosophical basis are self‐evident [4]. 

We are discovering the commonality in fundamental nature 
of  hardness  and  electronegativity–  the  holding  power  of  the 
electron  cloud  by  the  chemical  species.  Thus  the  qualitative 
views  of  the  origins  of  hardness  and  electronegativity  nicely 
converge  to  the  one  and  single  basic  principle  that  they 
originate from the same source –the electron attracting power 
of the screened nuclear charge [4]. 

We have  further points  to note. A  look at Eq.  (5) – Eq.  (8) 
reveals  that  one  can  calculate  ‘I’  and  ‘A’  from  SCF  theory  by 
invoking  Koopmans’  theorem.  Again,  although  very  accurate 
values  of  ‘I’  are  available,  values  of  ‘A’  are  either  very  small 
tending  to  zero,  or  in  most  cases  is  unknown.      It,  therefore, 
transpires that if we neglect ‘A’ and ignore the averaging factor, 
½ from Eq. (5) and Eq. (6), the simplified equations look, 
 
χ =I                                                                                                           (10) 
 
η = I                                                                                                          (11)  
 

Thus,  we  see  that  the  effort  of  quantification  of  the 
hardness  and  the  electronegativity  in  terms  of  density 
functional  theory  degenerates  to  the  give  a  grand  equation 
declaring equality of χ, η and I. 

 
χ= η= I                                                                                                     (12)                                        
 

Thus,  both  of  them,  χ  and  η  are  numerically  and 
dimensionally  the  same  for  atoms  and  molecules.  Thus  it  is 
corroborated  from  the  density  functional  theory  also  that  the 

basic nature of χ and η is the same [4]. We have pointed out the 
commonality in the basis of the physical structures of hardness 
and electronegativity in a recent work [4]. We have launched a 
series  of  search  [57–58]  whether  our  hypothesis  that  “the 
electronegativity  and  the  hardness  are  two  different 
appearances of the one and the same fundamental property of 
atoms”  can  be  justified  by  application  in  the  real  world? We 
[57] have computed the internuclear distances of a number of 
diatomics  as  one  descriptor  of  the  real  world  on  the  basis  of 
above hypothesis. We [58] have also applied our hypothesis to 
compute  the  charge  distribution  during  the  formation  of 
molecules,  i.e.,  the  dipole  charges  and  associated  dipole 
moments of the molecules. 

Since our hypothesis  is that the origin and the operational 
significance of the electronegativity and hardness are the same, 
we  [59–61]  have  also  demonstrated  that  the  equalization  of 
hardness must occur during molecule formation similar to the 
well  established  physical  process  of  the  electronegativity 
equalization. We have demonstrated  that  if we pass a scale of 
hardness for a scale of electronegativity [4], the scale observes 
all  empirical  criteria  of  acceptability  of  a  satisfactory 
electronegativity  scale.  But  we  have  not  tried  yet  whether  a 
scale  of  electronegativity  could  be  a  true  representative  of  a 
satisfactory scale of hardness. 

 We  propose  to  perform  a  validity  test  of  our  hypothesis 
“The  electronegativity  and  the  hardness  are  two  different 
appearances of the one and the same fundamental property of 
atoms” by considering well known scales of electronegativity as 
the scales of hardness. In this report we have invoked Gordy’s 
[62] scale of electronegativity to pass for a scale of hardness.  

 
1.2. Gordy’s scale of electronegativity 
 

In 1946, Gordy [59] defined the electronegativity (χ) of an 
atom as the electrostatic potential felt by the valence electrons 
at  a  radial  distance  equal  to  atom at  the  single bond  covalent 
radius (r). The atomic electronegativity ansatz of Gordy [59] is: 
 
χ = e (Zeff/r)                            (13) 
 

In a recent work, Ghosh and Chakraborty [63] pointed out 
the prevalent dimensional mismatch in the Gordy’s [62] atomic 
electronegativity ansatz and modified the ansatz by suggesting 
that the atomic electronegativity  is not equal but proportional 
to  Zeff/r  and  also  they  replaced  the  covalent  radius  by  the 
absolute radius in the Gordy’s electronegativity ansatz: 
 
χ = a(Zeff/rMP)+b                                                                                   (14) 
 
where rMP is the most probable radius of the atom and ‘a’ and ‘b’ 
are constants. They proposed and evaluated the value of ‘a’ and 
‘b’ for each period separately.  
 
2. Method of computation 
 

Ghosh  and  Chakraborty  [63]  have  revisited  the 
electronegativity  scale  of  Gordy  [62]  with  the  modifications 
noted  above.  Since  the  basic  philosophy  of  the  origin  of 
hardness  and  electronegativity  is  the  energy  of  attraction  of 
screened nucleus upon valence electrons of atoms, we propose 
the ansatz of measurement of electronegativity, Eq. (14), as an 
ansatz  of measuring  the      global  hardness  of  atoms.  Since  the 
suggested ansatz of Ghosh and Chakraborty is χ = a(Zeff/rMP)+b 
for  electronegativity,    the  hardness  ansatz  becomes,  by  our 
hypothesis,  
 
η = a( Zeff /r )+b                                                                                    (15) 
 



86  Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89 
 

 

In  determining  ‘a’  and  ‘b’  separately  for  each  period,  we 
have  plotted  the  global  hardness  data  published  by  us  [46] 
against (Zeff /r) where r is taken from the absolute radii values 
published  by  us  [64].  It  is  pertinent  to mention  that  we  [61] 
have evaluated the absolute radii of atoms of 103 elements of 
periodic  table  assuming  that  the  most  probable  radii  of  the 
outer most orbital of the atom is the atomic radius. Thus, both 
ansatz under reference, vide equations (14) and (15), compute 
the  energy  of  attraction  of  the  screened  nucleus  of  the  atom 
upon  its  valence  electron.  This  is  our  basic  definition  of 
electronegativity and global hardness of atoms and hence their 
operational and scientific identity. 
 
3. Results and Discussion 
 

The least square fitted  ‘a’ and  ‘b’ are presented in Table 1. 
Now using the Eq. (16), we have evaluated the global hardness 
values of the atoms of 103 elements of the periodic table using 
the least square fitted ‘a’, ‘b’ and the absolute radii of all the 103 
atoms published by us [64]. The global hardness data evaluated 
through  the  Eq.  (15)  are  presented  in  Table  2.  In  order  to 
explore whether the evaluated data exhibit periodicity we have 
plotted  global  hardness  as  a  function  of  atomic  number  in 
Figure 1.  
 
Table 1. Computed a and b values. 
Period  a  b 
First  0.118  0.117 
Second  0.034  0.102 
Third  0.031  0.084 
Fourth  0.031  0.089 
Fifth  0.035  0.081 
Sixth  0.01  0.054 
Seventh  0.02  0.049 
 
Table  2.  Comparative  study  of  the  sets  of  hardness  data  (in  eV)  of  the 
present calculation vis‐à‐vis Ghosh and Islam(GI), Putz, Pearson and Robles 
and Bartolotti (RB). 
 Atom  η Present work    η GI  η Putz  η Pearson  η RB 
H  6.39435  6.429954 6.45  6.43 6.83
He  12.46255  12.54491 25.79    16.88
Li  3.166293  2.374587 0.65  2.39 3.06
Be  3.654912  3.496763 1.69  4.5 5.16
B  4.33901  4.619009 3.46  4.01 4.39
C  5.218454  5.740979 6.21  5 5.49
N  6.293065  6.862467 9.59  7.23 8.59
O  7.563914  7.985436 13.27  6.08 6.42
F  9.029012  9.106475 16.16  7.01 7.52
Ne  10.69158  10.23034 17.87    15.45
Na  2.739221  2.444141 0.66  2.3 2.91
Mg  3.046934  3.014651 0.93  3.9 4.63
Al  3.433784  3.584907 1.42  2.77 2.94
Si  3.899699  4.155131 2.1  3.38 3.61
P  4.445134  4.725804 2.92  4.88 5.42
S  5.069535  5.295979 3.82  4.14 4.28
Cl  5.772969  5.866186 5.01  4.68 4.91
Ar  6.555909  6.436619 6.16    10.69
K  2.719916  2.327318 0.18  1.92 2.35
Ca  2.922201  2.758724 0.25  4 3.07
Sc  2.976222  2.858192 0.31  3.2 2.52
Ti  3.033132  2.95783 0.38  3.37 2.03
V  3.092708  3.057341 0.45  3.1
Cr  3.155012  3.156725 0.54  3.06 4.06
Mn  3.220255  3.256383 0.64  3.72 2.88
Fe  3.288155  3.355931 0.75  3.81 2.53
Co  3.35896  3.455609 0.88  3.6 3.53
Ni  3.432351  3.555013 1.02  3.25 4.08
Cu  3.508508  3.654418 1.21  3.25
Zn  3.587666  3.75416 1.39  4.94 6.01
Ga  3.962174  4.18552 1.59  2.9 3.03
Ge  4.388494  4.616627 1.94  3.4 3.52
As  4.877781  5.066215 2.35  4.5 5.04
Se  5.397913  5.479496 2.87  3.87 3.95
Br  5.980865  5.9111 3.39  4.22 4.4
Kr  6.615076  6.341847 2.98    9.45
Rb  2.492098  2.120458 0.08  1.85 2.21
Sr  2.687484  2.53737 0.11  3.7 3.08

   
 

Table 2 (Continued). 
 
 Atom  η Present work    η GI  η Putz  η Pearson  η RB 
Y 2.739707 2.633547  0.14  3.19 3.67
Zr 2.794616 2.729753  0.17  3.21 2.09
Nb 2.852208 2.825974  0.21  3 3.67
Mo 2.912458 2.92213  0.25  3.1
Tc 2.975414 3.018371  0.29    2.05
Ru 3.041044 3.114598  0.35  3
Rh 3.109328 3.210756  0.41  3.16
Pd 3.180302 3.306947  0.47  3.89 6.32
Ag 3.253976 3.403195  0.55  3.14 3.5
Cd 3.330303 3.499376  0.63  4.66 5.35
In 3.692092 3.916369  0.73  2.8 2.77
Sn 4.104122 4.333233  0.88  3.05 3.15
Sb 4.566433 4.750079  1.1  3.8 4.39
Te 5.07907 5.166979  1.34  3.52 3.47
I 5.64201 5.583887  1.62  3.69 3.81
Xe 6.255325 6.000897  1.92    8.23
Cs 1.543995 0.682915    1.71 1.98
Ba 1.594643 0.920095    2.9 2.16
La 1.658281 1.157089    2.6 2.46
Ce 1.735003 1.394276      1.8
Pr 1.824769 1.631473      1.11
Nd 1.927489 1.868439      0.7
Pm 2.043334 2.105658      0.33
Sm 2.172118 2.342665      0.02
Eu 2.314019 2.579815      2.42
Gd 2.46898 2.817026      ‐1.02
Tb 2.636854 3.054037      1.36
Dy 2.81786 3.291169      1.06
Ho 3.011902 3.528297      0.78
Er 3.21896 3.765525      0.54
Tm 3.439031 4.002555      0.32
Yb 3.672004 4.239478      3.27
Lu 3.918174 4.476583      3.64
Hf 4.169252 4.706522    3 3.94
Ta 4.449567 4.950847    3.79 1.75
W 4.734833 5.187931    3.58 1.23
Re 5.033418 5.425608    3.87 2.13
Os 5.344247 5.661914    3.8 1.72
Ir 5.66934 5.900043    3.8 1.27
Pt 6.006359 6.136715    3.5 3.5
Au 6.357058 6.37413    3.46 3.44
Hg 6.719813 6.610266    5.54 5.29
Tl 1.854981 1.704349    2.9 2.69
Pb 1.961715 1.941353    3.53 3.02
Bi 2.081548 2.178492    3.74 4.14
Po 2.214475 2.415812      3.28
At 2.360287 2.652778      3.57
Rn 2.519247 2.889955      7.69
Fr 1.475727 0.988253     
Ra 1.572363 1.28195     
Ac 1.5982 1.349725     
Th 1.625368 1.417526     
Pa 1.87748 1.936857     
U 2.054492 2.230558     
Np 2.256266 2.52412     
Pu 2.674334 3.043613     
Am 2.983382 3.416868     
Cm 3.011 3.404984     
Bk 3.56106 3.92442     
Cf 3.906333 4.218081     
Es 4.276498 4.511593     
Fm 4.671389 4.805093     
Md 5.09156 5.098982     
No 5.536423 5.392605     
Lr 5.642892 5.460699     
 

The  strength  of  any  model  is  its  ability  to  explain 
experimental observations. But we have noted that the atomic 
hardness is neither an experimentally observable quantity nor 
it  can  be  evaluated  quantum  mechanically.  We,  therefore,  in 
absence  of  any  benchmark  for  absolute  hardness  data,  rely 
upon our experience of hardness behavior goaded by periodic 
law, and a comparison with various sets of available hardness 
data evaluated by different workers as a validity test. We have 
presented  the  present  evaluated  data  along  with  those 
published  by  us  [46],  Pearson  [65],  Putz  [66],  Robles  and 
Bartolotti  [67]  in  Table  2.  In  order  to  examine  the  nature  of 
variation  of  such  different  sets  of  data  vis‐à‐vis  the result of  

 



Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89  87 
 

 
 

Figure 1. Plot of the computed hardness of 103 elements of the periodic table 
as a function of their atomic number. 

 

Figure 2. Comparative  study of  the  computed hardness values vis‐à‐vis  the 
hardness values computed by Ghosh and Islam. 
 

Figure 3. Comparative study of the computed hardness values vis‐à‐vis the 
hardness values computed by Pearson. 

 
Table  3.  Comparative  study  of  the  sets  of  hardness  data  of  the  present 
calculation vis‐à‐vis the DFT calculation of Sen and Vinayagam. 
Atom    η DFT   η calculated 
Li  2.33  3.166293 
B  4.07  4.33901 
C  5  5.218454 
N  5.91  6.293065 
O  6.8  7.563914 
F  7.66  9.029012 
Na  2.23  2.739221 
Al  2.69  3.433784 
Si  3.33  3.899699 
P  3.91  4.445134 
S  4.45  5.069535 
Cl  4.98  5.772969 
 

Figure  4. Comparative  study  of  the  computed  hardness  values  of  54 
elements vis‐à‐vis the hardness values computed by Putz.   
 

Figure  5. Comparative  study  of  the  computed  hardness  values  of  86 
elements  vis‐à‐vis  the  corresponding  hardness  values  of  Robles  and 
Bartolotti.   
 

 

Figure 6. Comparative study of the computed hardness values vis‐à‐vis the 
DFT calculated hardness value of Sen and Vinayagam. 
 
present venture, we have plotted the respective sets of data in 
Figures 2‐5.  

We have presented the result of the DFT calculation of Sen 
and  Vinayagam  [44]  and  the  corresponding  data  of  present 
calculation in Table 3 and plotted in Figure 6. 

From  Figure  1  and  Table  2,  it  is  evident  that  computed 
hardness  values  of  the  atoms  of  103  elements  exhibit  perfect 
periodicity of periods and groups.  Each period begins with the 
hardness of a representative element and ends with a noble gas 
atom. The hardness of the inert gas atoms occurs at the top of 
the  curve.    We  note  the  following  particular  behavior  of  the 
computed hardness: 
1. The computed hardness data of N, O, and F and also P, S, Cl 

follow  the  sequence  N  (6.293065)  <  O  (7.563914)  <  F 
(9.029012),  and  P  (4.445134)  <  S  (5.069535)  <  Cl 



88  Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89 
 

 

(5.772969).   Thus, our results are similar  to  the results of 
Sen  and  Vinayagam  [44].  It  is  further  observed  that  the 
result  of  present  calculation  is  free  from  the  anomalous 
pattern  of  variation  of  the  hardness  values  of  these 
elements  evident  in  the  various  finite  difference 
approximation calculations [65,67]. 

2. It  transpires  from  a  comparative  study  of  the  numerical 
values  of  the  hardness  data  in  Table  3  that  the  results  of 
present work have close agreement with the results of Sen 
and Vinayagam [44]. From Figure 6  it  is more transparent 
that  the  results  of  the  present  calculation  have  close 
agreement,  the  correlation  coefficient  (R2)  have  the  value 
0.9762,  with  a  sophisticated  DFT  calculation.  It  is  further 
revealed  that  the  sequence  of  hardness  data  of  the  12 
elements  in  present work  and  that  of  Sen  and Vinayagam 
[44]  follow  the  same  trend  of  variation  with  atomic 
number. 

3. It  is  the  rule  of  nature  that  high  hardness  means  less 
deformability  under  small  perturbation.  It  is  also  well 
known  that  the  lanthanide  elements  are  soft  and  easily 
deformable.  It  is well  known  that  size  of  atoms  of  f‐block 
elements  undergo  a  steady  but  slow  contraction  and  the 
effect  is  well  reproduced  in  the  radii  of  such  elements. 
Pearson [65], relying upon the spatial behavior of f orbital, 
predicted  that  the  hardness  of  the  lanthanide  elements 
should  be  small.  It  is  distinct  from  Table  2  that  the 
magnitude  of  hardness  of  all  the  lanthanide  elements  is 
small.  Figure  1  reveals  that  the  hardness  values  of 
lanthanide elements are  close  to each other and  increases 
slowly with increasing atomic number. 

4. It  is  distinct  from  Table  2  and  Figure  1  that  the  global 
hardness  values  of  the  inert  gas  elements  are  highest  in 
each period. 

5. The  global  hardness  values  of  Cs  (1.543995)  and  Fr 
(1.475727)  are  significantly  small  compared  to  those  of 
other  elements.  The  strong  chemical  reactivity  of  the 
element Cs and Fr is well documented.  

6. The chemical inertness of Hg and its state of aggregation is 
attributed  to  its  small  size  and  least  deformability  under 
small  perturbation.  Table  2  and  Figure  1  reveal  that  the 
hardness value of Hg atom (6.719813) is quite high placing 
it in the group of inert gas elements. Thus, the present work 
can  well  correlate  the  significant  and  characteristic 
properties  of  elements  in  terms  of  its  computed  global 
hardness values.  

7. A close examination of Table 2 and Figures 2‐6 reveals that  
(i) The  nature  of  variations  of  the  hardness  of  present 

calculation  with  atomic  number  vis‐à‐vis  the 
corresponding  nature  of  variation  of  our  previously 
published data [46] is almost identical. 

(ii) The  nature  of  variation  of  the  hardness  of  present 
calculation  with  atomic  number  vis‐à‐vis  the 
corresponding  nature  of  variation  of  Pearson’s 
hardness  [62]  is  quite  comparable.  The  numerical 
values of hardness of  a  good number of  elements  in 
two sets of results are quite close.   

(iii) The hardness values of Putz [66] and hardness values 
of  present  calculation  have  the  similar  trend  of 
variation as a function of atomic number and both of 
them express periodicity. 

(iv) It is surprising to note that, of the computed values of 
hardness by Robles and Bartolotti [67], the hardness 
of  at  least  one  element  (Gd)  is  negative  (‐1.02)  and 
hardly  there  is  any  periodic  behaviour  in  the 
computed values of such global hardness.  

 
4. Conclusion 

 
In  this  work we  have  basically  launched  a  further  search 

whether  our  hypothesis  that  “the  electronegativity  and  the 

hardness  are  two  different  appearances  of  the  one  and  the 
same fundamental property of atoms” can be justified by using 
the  electrostatic  ansatz  of measuring  atomic  electronegativity 
of  Gordy  currently modified  by Ghosh  and  Chakraborty  as  an 
ansatz for measuring the global hardness of atoms. The ansatz 
under  reference  computes  the  energy  of  attraction  of  the 
screened nucleus of the atom upon its valence electron. This is 
our  definition  of  electronegativity  and  global  hardness  of 
atoms.  In  this work we have computed  the global hardness of 
the  atoms  of  the103  elements  of  the  periodic  table  using  the 
Gordy’s  ansatz  of  measuring  electronegativity,  modified  by 
Ghosh  and  Chakraborty,  as  the  ansatz  for  measuring  global 
hardness  of  atoms.  We  found  the  surprising  results  that  the 
global  hardnesses  evaluated  through  an  ansatz  obtained  by 
replacing  electronegativity  by  hardness  have  fairly  close 
agreement  with  other  sets  of  available  hardness  data.  The 
results  of  the  present  semi‐empirical  calculation  also  have 
strong  correlation  with  the  result  of  some  sophisticated  DFT 
calculation  for a  set of  atoms. The express periodic behaviour 
and  correlation  of  the  most  important  physico‐chemical 
properties  of  elements  suggest  that  assumption  that  the 
electronegativity  and  the  hardness  are manifest  two  different 
descriptors  of  the  one  and  the  same  fundamental  property  of 
atoms is justified. 
 
References 
 
[1]. Gilman, J. J. Mat. Res. Innovat. 1997, 1, 71‐76. 
[2]. Pearson, R. G, J. Am. Chem. Soc. 1963, 85, 3533‐3539 
[3]. Pearson, R. G, Science 1966, 151, 172‐ 177. 
[4]. Ghosh,  D.  C.;  Islam,  N.,  Int.  J.  Quantum  Chem.  2009,  DOI: 

10.1002/qua.22415 [Early view]. 
[5]. Pearson, R. G. J .Chem. Educ. 1999, 76, 267‐274.  
[6]. Pearson, R. G. J. Phys. Chem., 1994, 98, 1989‐1992. 
[7]. Nalewajski, R. F., J. Chem. Phys. 1983, 78, 6112‐6120.  
[8]. Yang,  W.;  Parr,  R.  G.  Uytterhoeven,  L.  Phys.  Chem. Miner.  1987,  15, 

191‐201.  
[9]. Ayers P.  W.; Yang, W. “Density Functional Theory”, in Computational 

Medicinal  Chemistry  for  Drug  Discovery,  Bultinck,  P.; Winter,  H.  D.; 
Langenaeker, W.;  Tollenaere,  J.  Eds.,  New  York,  Dekker, 2003,  571‐
616.  

[10]. Pritchard H. O.; Skinner, H. A. Chem. Rev. 1955, 55, 745‐786.  
[11]. Ghosh, D. C. J. Indian Chem. Soc. 2003, 80, 527‐533. 
[12]. Coulson, C. A. Proc. R. Soc. London Ser. A 1951, 207, 63‐73. 
[13]. Fukui, K. Science 1982, 218, 747‐754.  
[14]. Lackner K. S.; Zweig, G. Phys. Rev. D 1983, 28, 1671‐1691. 
[15]. Klopman, G., J. Am. Chem. Soc. 1964, 86, 1463‐1469 
[16]. Klopman, G, J. Am. Chem. Soc. 1968, 90, 223‐234. 
[17]. Chermette, H. J. Comput. Chem. 1999, 20, 129‐154.  
[18]. Parr R. G.; Yang, W. T. Annu. Rev. Phys. Chem. 1995, 46, 701‐728.  
[19]. Gazquez, J. L. J. Mex. Chem. Soc. 2008, 52, 3‐10.  
[20]. Ayers, P. W.;   Anderson,  J. S. M; Bartolotti, L.  J.  Int.  J. Quantum Chem. 

2005, 101, 520‐534.  
[21]. Liu, S. B. Acta Phy. Chim. Sinica 2009, 25, 590‐600.  
[22]. Chattaraj, P. K.; Sarkar, U.; Roy, D. R. Chem. Rev. 2006, 106, 2065‐2091.  
[23]. Geerlings, P; Proft. F. D; Langenaeker, W. Chem. Rev. 2003, 103, 1793‐

1874 
[24]. Pearson, R. G. J. Chem. Edu. 1987, 64, 561‐567. 
[25]. Pearson, R. G. Acc. Chem. Res. 1993, 26, 250‐255. 
[26]. Chattaraj, P. K., Sengupta, S. J. Phys. Chem. 1996, 100, 16126‐16130. 
[27]. Zhou Z.; Parr, R. G. J. Am. Chem. Soc. 1989, 111, 7371‐7379. 
[28]. Parr R. G. ; Chattaraj, P.K. J. Am. Chem. Soc. 1991, 113, 1854‐1855. 
[29]. Chattaraj P. K.; Nath S.; Sannigrahi, A. B.  J. Phys. Chem. 1994, 98, 9143‐

9145. 
[30]. Pearson, R. G.; Palke, W. E.  J. Phys. Chem. 1992, 96, 3283‐3285. 
[31]. Pal, S.; Vaval N.; Roy, R. J. Phys. Chem. 1993, 97, 4404‐4406. 
[32]. Chattaraj, P. K. ; Liu G. H. ; Parr, R. G. Chem. Phys. Lett. 1995, 237, 171‐

176. 
[33]. Ayers P. W.; Parr, R. G. J. Am. Chem. Soc. 2000, 122, 2010‐2018. 
[34]. Ghosh, D. C.; Jana, J. Bhattacharyya, S, Int. J. Quantum Chem. 2002, 87, 

111‐134.  
[35]. Putz, M.V. Int. J. Quantum Chem. 2009, 109, 733‐738. 
[36]. Frenking G.; Krapp, A. J. Comput. Chem. 2007, 28, 15‐24. 
[37]. Parr,R.G;   Ayers,   P W.; Nalewajski R. F.;  J. Phys. Chem. A, 2005, 109, 

3957‐3959. 
[38]. Ayers, P. W.  Faraday Discuss, 2007, 135, 161‐190. 
[39]. Gyftpoulous,  E.  P.;  Hatsopoulos,  G.  N. Proc. Natl. Acad.  Sc. 1968, 60, 

786‐793. 
[40]. Iczkowski, R. P.; Margrave, J. L. J. Am. Chem. Soc. 1961, 83, 3547‐3551. 



Islam and Ghosh / European Journal of Chemistry 1 (2) (2010) 83­89  89 
 

 
 

[41]. Parr, R. G.; Donnelly, R. A.; Levy, M.; Palke, W. E.  J. Chem. Phys. 1978, 
68, 3801‐3807. 

[42]. Parr, R. G.; Pearson, R. G. J. Am. Chem. Soc. 1983, 105, 7512‐7516 
[43]. Pearson, R. G. Proc. Natl. Acad. Sci. 1986, 83, 8440‐8441. 
[44]. Sen K. D.; Vinayagam, S. C. Chem. Phys. Let. 1988, 144, 178‐179. 
[45]. Reed, J. L. J. Phys. Chem. A 1997, 101, 7396‐7400. 
[46]. Ghosh,  D.  C.;  Islam, N.,  Int.  J. Quantum Chem. 2009, 109,  110,  1206‐

1214. 
[47]. Ayers,  P.  W.;  Parr,  R.  G.  J.  Chem.  Phys.  2008,  128,  184108(1)‐

184108(8). 
[48]. Parr, R. G; Bartolotti, L. J.  J. Am. Chem. Soc. 1982, 104, 3801‐3803. 
[49]. Noorizadeh, S; Shakerzadeh, E. J. Phys. Chem. A 2008, 112, 3486‐3491. 
[50]. Pearson, R. G. Chem. Commun. 1968, 65‐67. 
[51]. Putz,  M.  V.  Absolute  and  Chemical  Electronegativity  and  Hardness, 

Nova Science Publishers, Inc., New York, 2008. 
[52]. Putz, M. V.; Russo, N.; Sicilia, E. J. Comput. Chem. 2004, 25, 994‐1003. 
[53]. Putz, M.V. J. Theoret. Comput. Chem. 2007, 6, 33‐47. 
[54]. Putz, M.V. MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 2008, 60, 845‐868. 
[55]. March, N. H; White, R. J. J. Phys. B 1972, 5, 466‐475. 
[56]. Li,  K.;  Wang,  X.;  Zhang,F.;  Xue,  D.  Phys.  Rev.  Lett.  2008,  100, 

235504(1)‐ 235504(4). 
[57]. Ghosh;  D.  C.;  Islam,  N.  Int.  J.  Quantum  Chem.,  2010,  DOI: 

10.1002/qua.22500, [Early View]. 
[58]. Ghosh;  D.  C.;  Islam,  N.  Int.  J.  Quantum  Chem.,  2010,  DOI: 

10.1002/qua.22651 [Early View]. 
[59]. Ghosh;  D.  C.;  Islam,  N.  Int.  J.  Quantum  Chem.,  2010,  DOI: 

10.1002/qua.22499, [Early View]. 
[60]. Ghosh;  D.  C.;  Islam,  N.  Int.  J.  Quantum  Chem.,  2010  DOI: 

10.1002/qua.22508, [Early View]. 
[61]. Ghosh;  D.  C.;  Islam,  N.  Int.  J.  Quantum  Chem.,  2010,  DOI: 

10.1002/qua.22653 [Early View]. 
[62]. Gordy, W. Phys. Rev, 1946, 69, 604‐607. 
[63]. Ghosh, D. C.; Chakraborty, T. J. Mol. Str.­Theochem. 2009, 906, 87‐93. 
[64]. Ghosh, D.  C; Biswas, R;  Chakraborty,  T;  Islam, N; Rajak,  S. K,    J. Mol. 

Str.­Theochem. 2008, 865, 60‐67. 
[65]. Pearson, R. G. Inorg. Chem. 1988, 27, 734‐740. 
[66]. Putz, M. V. Int. J.  Quantum. Chem. 2006, 106, 361–389. 
[67]. Robles, J.; Bartolotti, L. J. J. Am. Chem. Soc. 1984, 106, 3723‐3727.