Microsoft Word - numero 9 art 2 finale P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 13 Comportamento a fatica dei giunti saldati in funzione della densità di energia di deformazione locale: influenza dei campi di tensione singolari e non singolari Paolo Lazzarin Università di Padova, Dipartimento di Tecnica e Gestione dei sistemi industriali, Stradella San Nicola 3, 36100 Vicenza, Italia plazzarin@gest.unipd.it RIASSUNTO. Il criterio della densità di energia di deformazione (SED) considera un preciso volume di controllo posizionato in corrispondenza del piede o della radice dei cordoni di saldatura, ossia delle zone di possibile innesco delle cricche di fatica. Modellati i cordoni come intagli a V non raccordati e con diverso angolo di apertura, il volume è riconducibile a un settore circolare nei casi di tensione o deformazione piana, e il raggio vale circa 0.3 mm per i giunti saldati in acciaio strutturale. Il valore medio della densità di energia di deformazione dipende essenzialmente dalle distribuzioni singolari nei giunti di medio ed elevato spessore, mentre importante diventa il contributo della T-stress nei giunti di spessore ridotto. Entrambi gli effetti sono correttamente computati utilizzando modelli agli elementi finiti, anche utilizzando mesh con un numero ridotto di gradi di libertà. Il fatto è di notevole interesse per una possibile applicazione del metodo a strutture saldate di geometria complessa. Agli effetti descritti, tipicamente riconducibili a una modellazione piana, si possono accompagnare campi singolari non convenzionali, legati a effetti tridimensionali indotti dalla geometria. L’effetto out-of-plane è qui evidenziato in relazione ai giunti a semplice sovrapposizione. ABSTRACT. In the Strain Energy Density (SED) approach for fatigue strength assessments of welded joints a well-defined control volume is considered. This volume surrounds the weld root or weld toe, both modelled like sharp (zero radius) V-notches with different opening angles. The volume becomes a circular sector under plane strain conditions, with the radius being about 0.3 mm for welded joints made of structural steel. The mean value of the SED mainly depends on the singular stress fields when the main plate thickness is large enough, whereas the influence of the T-stress component cannot be neglected in the case of thin-walled welded joints. Both contributions are directly accounted for by using finite element models, also when the relevant meshes are quite coarse. This fact makes the application of the SED approach easier than any stress-based approach in the case of complex structures. Due to three-dimensional effects, a non conventional out-of-plane singular mode can be present, in addition with respect to modes I and II of the Williams’ solution. This out-of-plane mode, analogous to the Mode III, is discussed here with reference to welded (seam) lap joints under tensile-shear loads. PAROLE CHIAVE. Giunti saldati, resistenza a fatica, fattori di intensificazione delle tensioni, densità di energia di deformazione. INTRODUZIONE e verifiche a fatica delle unioni saldate possono essere condotte con criteri diversi, basati sulle tensioni nominali, sulle tensioni strutturali o di ‘hot-spot’, sulla Meccanica della Frattura lineare elastica [1]. Come criterio locale, le raccomandazioni dell’International Welding Institute e quelle dell’Ente FKM prevedono l’utilizzo del criterio di L http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true mailto: plazzarin@gest.unipd.it P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 14 Radaj [2] che vede la resistenza a fatica ad alto numero di cicli di giunti saldati di diversa geometria correlata alle ‘effective notch stresses’, calcolate in corrispondenza di un raggio di raccordo fittizio f = 1.0 mm al piede e alla radice dei cordoni di saldatura. Il valore di tale raggio, valido per i comuni acciai da costruzione, è stato determinato da Radaj utilizzando l’espressione di Neuber *ρsρρ f  . Stime basate su un raggio di raccordo reale =0 e su una lunghezza microstrutturale *=0.4 mm (per ‘cast iron’), in combinazione con un fattore di multiassialità costante s = 2.5, si sono dimostrate realistiche per giunti comuni saldati in acciaio strutturale [1,2]. Valori sensibilmente inferiori di * sono stati suggeriti per giunti di spessore ridotto saldati a punti o al laser [1]. Fra le medologie più recenti per la valutazione di resistenza a fatica delle unioni saldate [1,3] vi è il criterio basato sui fattori generalizzati di intensificazione delle tensioni (‘Notch stress intensity factors’, o NSIFs), così come formalizzato da Lazzarin e Tovo [4]. Il cordone di saldatura viene modellato come un intaglio a V non raccordato (‘pointed V-notch’,  = 0) e le distribuzioni locali di tensione nelle sezioni piane traversali sono date in funzione dei fattori generalizzati di intensificazione delle tensioni di Modo I e di Modo II, K1 and K2. L’assunzione del raggio di raccordo nullo al piede dei cordoni e il legame tra vita a fatica e distribuzione asintotica determinata direttamente dai modelli FEM era già presente in due lavori di Atzori pubblicati diversi anni prima [5,6]. I fattori K1 e K2 esprimono l’intensità delle distribuzioni di tensione asintotiche in accordo con la soluzione teorica ottenuta da Williams, valida nell’ipotesi di tensione o deformazione piana [7]. Nei casi in cui si possa assumere in corrispondenza del piede dei cordoni di saldatura un angolo di 135 gradi, che è certamente il valore più comune nei giunti a cordone d’angolo, solo il contributo di Modo I è singolare mentre quello di Modo II non lo è (si ricorda infatti che il contributo di Modo II è singolare solo per angoli di apertura inferiori a 102.6°). In questi casi è quindi possibile operare una semplificazione e usare direttamente il range del fattore di Modo I, K1, per sintetizzare la resistenza a fatica di giunti a cordone d’angolo aventi differenti geometrie [4,8]. Una curva in termini di K1N è possibile non solo nella fatica ad alto numero di cicli (N2x106), ma anche nella vita a termine, e questo perché una larga percentuale della vita di propagazione della cricca di fatica è spesa in propagazione di una cricca corta nella zona governata dalla singolarità dell’intaglio a V non raccordato [8]. Il problema del criterio basato sui fattori di intensificazione delle tensioni è che una variazione dell’angolo presente al piede dei cordoni di saldatura impedisce un confronto diretto in termini di NSIF. Ciò vale ovviamente anche per la radice del cordone di saldatura dove la zona di mancata penetrazione definisce una fessura con angolo di apertura nullo e il fattore K1 torna ad avere le dimensioni dei più convenzionali fattori di intensificazione delle tensioni (SIF) della Meccanica della Frattura Lineare Elastica, ossia mMPa . Un confronto fra geometrie con angoli di apertura diversi può essere ristabilito utilizzando l’energia di deformazione mediata su un volume di controllo centrato sull’apice dell’intaglio a V che modella il piede o la radice dei cordoni di saldatura [9-12]. Nei casi piani il volume di controllo diventa un settore circolare di raggio R0, così come rappresentato in Fig.1. Ovviamente, la densità di energia di deformazione è esprimibile in forma chiusa sulla base dei fattori K1 e K2 che caratterizzano la geometria del giunto e il tipo di sollecitazione, almeno nei casi in cui le distribuzioni di tensione siano strettamente legate ai soli termini aventi il massimo grado di singolarità. A parità di geometria locale e globale, i fattori cambiano in un caso di flessione pura rispetto a un caso di trazione pura [13]. In relazione al valore del raggio di controllo R0, questo è stato determinato riesaminando statisticamente centinaia di dati sperimentali relativi a giunti ottenuti con i più comuni procedimenti di saldatura ad arco. Per i giunti saldati in acciaio da costruzione si ha un raggio di controllo R0=0.28 mm, che scende a R0=0.12 mm nel caso di giunti in lega leggera [11,12]. L’utilizzo del valore medio della densità di energia di deformazione in combinazione con un’ipotesi di deformazione piana, giustifica appieno l’utilizzo di un criterio lineare elastico anche nella fatica a medio termine. E’ stato infatti dimostrato [10] come sia possibile estendere a un volume finito che abbraccia l’apice di un intaglio a V non raccordato il criterio di Glinka e Moski [14] inizialmente formulato come criterio di punto valido solo per l’apice di un intaglio raccordato: l’energia di deformazione nel volume di controllo non cambia in condizioni di snervamento localizzato (‘small scale yielding’) rispetto al caso idealmente lineare elastico. La condizione di snervamento localizzato viene abbandonata molto prima in presenza di sollecitazione di modo III di quanto non avvenga in presenza di sollecitazione nel piano, e questo può giustificare le diverse pendenze suggerite dalla Normative in vigore per i giunti solleciti a trazione e a torsione [15]. Un riesame e un confronto tra il criterio di Radaj (‘notch rounding approach’) e il criterio basato sulla densità di energia di deformazione, ‘SED approach’, sono attualmente in corso [16,17] e la collaborazione con il prof Dieter Radaj è estesa anche a questioni teoriche legate alla variabilità del parametro di multiassialità s [18]. Nel criterio basato sulla densità di energia di deformazione gioca un ruolo fondamentale il valore del raggio del volume strutturale. Il valore di R0 per gli acciai strutturali saldati è stato ottenuto nelle referenze [11,12] usando in combinazione due valori medi sperimentali relativi a 5106 cicli e un rapporto nominale di ciclo R=0; http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 15 1 il valore K1 =211 0.326MPa(mm) per giunti a croce con angolo di apertura 2 = 135° al piede dei cordoni; il range in questione rappresenta un valore medio ottenuto da giunti sollecitati con un rapporto nominale di ciclo R=0; 2 un range di tensione nominaleA=155 MPa (R=0, Pf=50%) relativo a giunti saldati testa a testa con cordone rasato (vari acciai da costruzione). Una sintesi estesa a oltre 900 dati sperimentali, principalmente tratti da giunti a croce con cordone d’angolo portante e non portante) e rotture finali innescate sia al piede sia alla radice dei cordoni è mostrata in Fig. 3 [19]. La figura mostra anche la banda di dispersione, così come suggerita in [11] su una base iniziale di circa 300 dati sperimentali. In tutti i casi qui considerati, il piede dei cordoni è modellato come un intaglio a V non raccordato, = 0, che diventa semplicemente una cricca nel caso della radice dei cordoni. Fanno eccezione solo alcune serie di giunti saldati testa a testa, per i quali le referenze originali documentavano un raggio di raccordo minimo al piede dei cordoni sensibilmente diverso da zero [20]. La Fig. 3 evidenzia come l’indice di dispersione TW, relativo a due diverse probabilità di sopravvi-venza, PS=2.3% e PS=97.7 %, sia pari a 3.3. Comunque, l’indice di dispersione diventa 1.50 se riconvertito in termini di range della tensione locale e alle probabilità di sopravvivenza PS=10% e PS=90%, in perfetto accordo con la banda S-N normalizzata di Haibach [21]. Nel caso invece di giunti in lega leggera, il raggio del volume di controllo diminuisce (R0=0.12 mm) mentre aumenta la pendenza inversa k della banda di dispersione (k=2.0 contro k=1.5 dei giunti saldati in acciaio). E’ interessante notare come, riaggiornando il raggio R0, il valore medio della densità di energia di deformazione resti praticamente invariato rispetto a quello dei giunti saldati in acciaio [12]. Una valutazione accurata degli NSIF richiede modelli agli elementi finiti con maglia molto fine in modo da poter seguire i forti gradienti di tensione presenti nelle zone prossime ai punti di singolarità; al contrario, il valore medio della densità di energia di deformazione sul volume di controllo può essere determinato accuratamente anche utilizzando modelli a maglia larga [15,22,23]. Questo fatto può giocare un ruolo essenziale per l’applicabilità del metodo SED ai componenti di geometria complessa. Nel presente contributo, dopo un breve inquadramento analitico del metodo basato sulla densità di energia di deformazione e la presentazione di alcuni esempi applicativi, saranno illustrati alcuni temi aperti, oggetto di analisi ancora in corso. In particolare saranno prese sinteticamente in esame: - il problema delle singolarità ‘out-of-plane’ indotte da effetti tridimensionali; - la possibile estensione del criterio SED ai giunti di spessore ridotto, a cordone continuo e punti; - i legami presenti tra SED, J-integral e fattore teorico di concentrazione delle tensioni, quest’ultimo valutato mediante analisi FEM che vedono la radice dei cordoni modellata con un keyhole avente raggio all’apice s=0.05 mm. INQUADRAMENTO ANALITICO DEL CRITERIO SED ED ESEMPI APPLICATIVI l grado di singolarità dei campi di tensione indotti da intagli a V a spigolo vivo fu analizzato per la prima volta da Williams [7] con riferimento a casi piani in presenza di sollecitazioni di Modo I e Modo II. Quando il raggio di raccordo  è posto pari a zero, gli NSIF quantificano l’intensità delle distribuzioni asintotiche presenti vicino all’apice dell’intaglio a V (punto di singolarità). Usando un sistema di coordinate polari )( ,r avente l’origine centrata sull’apice dell’intaglio a V (come già evidenziato in Fig. 1), i fattori generalizzati di intensificazione delle tensioni di Modo I e Modo II possono essere definiti, in accordo con Gross e Mendelson [24], nella forma seguente: )0(lim2 θθ 1 0 1 1       ,rrK r )0(lim2 rθ 1 0 2 2       ,rrK r (1) Lungo la bisettrice dell’intaglio (=0), le componenti di tensione e rr sono disaccoppiate dalla componente r le prime due dipendono dal campo di tensione di modo I, la terza da quello di modo II. La Fig. 2 mostra l’andamento delle tensioni lungo la bisettrice dell’intaglio laterale a V con angolo di apertura di 135 gradi. Per una distanza dall’apice dell’intaglio superiore a un decimo dello spessore, le tensioni seguono una variazione lineare in un diagramma con scale doppie logaritmiche. Le tensioni  e rr hanno un grado di singolarità che coincide esattamente con quello teorico previsto dalla soluzione di Williams ( 326011 . ). La componente rè invece non singolare, e la pendenza, in accordo con la soluzione teorica, vale   302012 . . I http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 16 Determinati i fattori K1 e K2 utilizzando le relazioni (1), tutte le tensioni presenti in un generico punto appartenente alla zona governata dalla singolarità posso essere espresse in funzione di K1 e K2. In campo lineare elastico tensioni e deformazioni sono, come ben noto, legate fra loro dalle equazioni di Lame’. E’ quindi possibile esprimere la densità di energia di deformazione in qualunque punto prossimo al vertice dell’intaglio e mediare poi la densità di energia nel volume di controllo posto al piede o alla radice dei cordoni di saldatura, come già evidenziato in Fig. 1. L t 2a R0 R0  Piede del cordone Radice del cordone (a)    rr  r   bisettrice dell’intaglio r (b) Figura 1: Volume (area) di controllo posizionato al piede e alla radice dei cordoni di saldatura (a); sistema di coordinate polari e componenti di tensione (b). In sintesi, considerando condizioni di deformazione piana, la densità di energia di deformazione mediata nel settore circolare di raggio R0 vale [9]: (2) I parametri e1 ed e2 dipendono dall’angolo di apertura dell’intaglio 2 , dall’ipotesi di rottura e dal rapporto di Poisson  del materiale [9,25]. Per alcuni angoli, la Tab. 1 riporta i valori dei parametri nella relazione (2). Con =0.3, e1 vale 0.117 quando 2=135° e 0.133 quando 2=0. Nel secondo caso, che tipicamente rappresenta quanto avviene alla radice dei cordoni di saldatura, anche la distribuzione di modo II è singolare. Il raggio di controllo mostrato in Fig. 3 è stato valutato usando la seguente relazione [9,11,12]: (3) dove i parametri di resistenza a fatica A e K1A (Pf=50%) validi a NA=5106 cicli a rottura sono stati ricavati sulla base di un ampio numero di dati sperimentali riportati in letteratura. 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 Δ Δ Δ λ λ e K e K W E R E R- - é ù é ù ê ú ê ú= + ê ú ê ú ë û ë û 1 1 1 1 1 0.674 1 0 1 A 211 2 2 0.117 0.28 mm σ 155 AKR e l- -æ ö æ öD ÷ç ÷ç÷= ´ = ´ ´ =ç ÷ç÷ ÷çç ÷ç è øDè ø http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 17 Distanza lungo la bisettrice, r [mm] 0.5 t 0.5 t 0.5 t r 0.01 0.1 1 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 n rn rn C om p o ne n ti d i te ns io n e/ te n si o n e n om in al e 10 100 t=10 mm n Figura 2: Componenti di tensione di modo I e di modo II lungo la bisettrice dell’intaglio [4]. Tabella 1: Valori dei parametri presenti nell’equazione (2); e1 ed e2 ottenuti in ipotesi di deformazione piana utilizzando l’ipotesi di Beltrami (criterio della densità di energia di deformazione totale) e un rapporto di Poisson 0.3. Figura 3: Resistenza a fatica di giunti saldati in acciaio in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [19]; banda di dispersione definita da valore medio  2 deviazioni standard [11]; piatti principali di spessore t variabile tra 6 e 100 mm; piatti trasversali di spessore variabile tra 3 e 220 mm; rotture innescate in corrispondenza del piede o della radice dei cordoni di saldatura; per le geometrie, i materiali e le tecnologie si vedano le referenze [12,20, 22, 25]. 2rad] 1 2 e1 e2 0 0.5000 0.5000 0.134 0.341 /2 0.5445 0.9085 0.146 0.168 2/3 0.6157 1.1489 0.130 0.129 3/4 0.6736 1.3021 0.117 0.112 http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 18 0.01 0.1 1 10 104 10 5 106 10 7 Cicli a rottura, N V al o re m ed io d el la d en si tà d i en er g ia d i d ef o rm az io n e  W [N m m /m m 3 ] Petershagen (1992), R=0, R= 1 Yakubovskii e Valteris (1989), R0 Hentschel et al. (1999), R 0.2 R0= 0.28 mm A N=2x106 cicli: W50% = 0.105 Nmm/mm 3 TW = 3.3 Slope k=1.5 Figura 4: Resistenza a fatica di giunti saldati testa a testa in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [20]; confronto con la banda di dispersione riportata in [11]. Figura 5: Resistenza a fatica di giunti saldati tridimensionali in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [22]; dati originali dovuti a Fricke and Doerk (2006). Figura 6: Resistenza a fatica di giunti saldati tridimensionali in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [22]; dati originali dovuti a (Fricke and Doerk, 2006) e a Ferreira et al. (1995). 0.01 0.1 1 10 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Cycles to failure, N  W [ N m m / m m 3 ] Fricke and Doerk, 2006, failure from the weld root (as-welded) Fricke and Doerk, 2006, failure from the weld toe (stress-relieved) Fricke and Doerk, 2006, failure from the weld root (stress-relieved) R0=0.28 mm k=1.5 TW=3.3 Atx cycles: W = 0.105 [Nmm/mm3] R=0 0.01 0.1 1 10 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Cycles to failure, N  W [ N m m / m m 3 ] Fricke and Doerk, 2006; R=0, 0.5, failure from the weld root (as-welded) Fricke and Doerk, 2006; R=0, 0.5, failure from the weld toe (as-welded) Fricke and Doerk, 2006; R=0, failure from the weld root (stress-relieved) Ferreira et al., 1995, R=0.05 (as-welded) R0=0.28 mm k=1.5 TW=3.3 Atx cycles: W = 0.105 [Nmm/mm3] http://www.gruppofrattura.it/ http://dx.medra.org/10.3221/IGF-ESIS.09.02&auth=true P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 19 Figura 7: Resistenza a fatica di giunti saldati con irrigidimento longitudinale in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [22]; dati originali dovuti a Maddox (1982). 0.01 0.1 1 10 104 10 10 6 107 Cicli a rottura, N Pendenza k=2.0 A 2x106 cicli: V al o re m ed io d el la d en si tà d i en er g ia d i d ef o rm az io n e c w  W [ N m m /m m 3 ] cW W1, 50% = 0.103 [Nmm/mm 3] Rapporto nominale di ciclo: R=0 e R= 1 180 dati TW = 3.2 R0=0.12 mm Giunti saldati testa a testa Giunti con cordoni d’angolo Figura 8: Resistenza a fatica di giunti saldati testa a testa e di giunti con cordone d’angolo in lega leggera in funzione del valore medio della densità di energia di deformazione [12,20]; banda di dispersione tratta dalla referenza [12]. SINGOLARITÀ ‘OUT-OF-PLANE’ INDOTTE DA EFFETTI TRIDIMENSIONALI l problema delle singolarità di tipo ‘out-of-plane’ per effetti tridimensionali legati al rapporto di Poisson è stato sollevato recentemente da Kotousov [27,28]. Tali singolarità potrebbero avere pratiche conseguenze sulle proprietà di resistenza a fatica di alcune geometrie di giunti saldati [29]. Si ritiene utile qui inquadrare analiticamente il problema, chiarendo le conseguenze sulle distribu-zioni di tensione relative ad alcune geometrie di interesse applicativo. Adottata l’ipotesi di Kane e Mindlin di deformazione piana generalizzata e presa in esame una piastra di spessore 2h, gli spostamenti risultano espressi nella forma [30]: )( y,xuu xx  , )( y,xuu yy  , )( y,xw h z uz  . (4) Introdotta una funzione di tensione  , le condizioni di equilibrio e quelle di compatibilità per le deformazioni comportano: 0.01 0.1 1 10 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Cycles to failure, N  W [ N m m / m m 3 ] Maddox, 1982; -1