ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Špecifické aspekty spracovania geodetických siet́ı použit́ım
programu SoNet

Marián Kováč, Ján Hefty
Department theoretical geodesy

Faculty of Civil Engineering, Slovak University of Technology
E-mail: marian.kovac@stuba.sk, jan.hefty@stuba.sk

Kl’́učové slová: geodetické siete, vyrovnanie

Abstrakt

Článok je zameraný na popis programu na spracovanie geodetických siet́ı s analyticky defi-
novaným matematickým modelom (observačné rovnice definované v programe v symbolickom
tvare), čo je najvýrazneǰsia črta, ktorou sa program odlǐsuje od súčasných programov na spra-
covanie geodetických siet́ı.

Univerzálnost’ programu demonštrujeme na pŕıklade spracovania viacepochovej geodetickej si-
ete. Spracovanie bolo uskutočnené vo forme pŕıpadových štúdíı od elementárnej kombinácie
merańı GPS s uvážeńım kovariančných mat́ıc, až po spoločné spracovanie terestrických ob-
serváćı a GPS s uvážeńım časových zmien a transformačných parametrov v spoločnom mate-
matickom modeli.

Úvod

Jednou zo základných úloh geodézie je budovanie geodetických siet́ı. Geodetické siete tvoria
množinu geodetických bodov, ktoré sú účelne rozložené na zemskom povrchu. Tvoria základ
pre štúdium tvaru, rozmerov a tiažového pol’a Zeme a sú aj podkladom pre všetky druhy
technických a meračských prác.

Význam a úloha geodetických siet́ı sa s rozvojom geodézie meńı a upravuje. Klasický pŕıstup
k budovaniu, resp. spracovaniu geodetických siet́ı sa zameriava na oddelené spracovanie polo-
hových, výškových a tiažových merańı a označuje sa ako dvojrozmerná geodézia. S rozvojom
družicových metód, ich dostupnost’ou a presnost’ou nastáva v geodézii problém, ako tieto me-
rania čo najlepšie využit’ a nestratit’ informáciu o trojrozmernej polohe bodov. Takisto nastáva
problém, ako tieto merania čo najlepšie spojit’ s terestrickými a gravimetrickými meraniami.
Vzniká potreba zjednotit’ dostupné merania v spoločnom matematickom modeli.

Pojem štvorrozmernej geodézie sa použ́ıva pre tie geodetické teórie, metódy spracovania a
interpretácie, ktoré sa venujú určovaniu priestorovej polohy bodov súčasne s opisom ich zmien
v čase.

Softvérová aplikácia

Motivácia. K vytvoreniu softvéru s analyticky definovaným matematickým jadrom nás viedli
nasledovné zistenia:

Geinformatics FCE CTU 2006 149



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

� V geodézi sa v súčasnosti spracovávajú rôzne typy geodetických siet́ı (terestrické, gra-
vimetrické, GPS, ...) spravidla tak, že na každý typ geodetickej siete, resp. na ich určitú
skupinu je potrebný iný program.

� Matematický model na vyrovnanie geodetických siet́ı (ak predpokladáme vyrovnanie
sprostredkujúcich merańı) je v prinćıpe založený na poznańı vzt’ahu medzi meranými
veličinami a neznámymi, ktoré sú viazané funkčným vzt’ahom nazývaným observačná
rovnica.

Prezentovaný program je navrhnutý ako modulárny systém, kde základnú aplikáciu je možné
rozš́ırit’ o (a) zásuvné moduly a (b) skripty (v jazyku Python). Vstupný údajový formát
programu je v jazyku XML [4]. Tento vstupný súbor zahŕňa (a) čast’, v ktorej je poṕısaný
matematický model siete, (b) čast’ obsahujúcu samotné observácie.

Geodetické observácie

V programe je možné spracovávat’ nasledovné geodetické observácie (v zátvorke je uvedený
pŕıslušný XML element): geocentrické karteziánske súradnice (coordinate), resp. ich para-
metrický vektor, zmeny priestorovej polohy (velocity), horizontálny uhol (angle), zenitový
uhol (z-angle), priestorová vzdialenost’ (distance), prevýšenie (diffh). Vo vstupnom súbore
sa napr. vodorovný uhol zaṕı̌se v tvare (zo stanoviska A):

<from name="A">
<angle to="B" next="C" value="13.4564"/>

</from>

Program umožňuje spracovávat’ viacepochové geodetické siete; jednotlivé epochy sa v pro-
grame označujú pojmom unit. Každý unit zapúzdruje observácie združené v časti označenej
pojmom block. Každný block obsahuje okrem observácíı aj im prislúchajúcu kovariančnú
maticu. Pŕıklad unitu s jedným blockom, jednou d́lžkou a prislúchajúcou kovariančnou mati-
cou:

<unit id="1">
<block id="1.1">

<from name="A">
<distance to="B" value="124.35"/>

</from>
<link href="c.cova"/>

</block>
</unit>

Matematický model

Matematický model je v programe definovaný analyticky. Pri jeho zostavovańı je potrebné
uviest’ (a) observácie (observations), ktoré chceme spracovat’, (b) neznáme odhadované pa-
rametre (unknowns) v symbolickom tvare (vo forme textového ret’azca) a (c) observačné rov-
nice (equations) v symbolickom tvare, ktoré viažu observácie s definovanými neznámymi
parametrami.

Geinformatics FCE CTU 2006 150



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Výber neznámych parametrov

Pomocou neznámych parametrov je možné v programe definovat’ neznáme, ktoré chceme z vy-
rovnania źıskat’. Neznáme parametre sa definujú v elemente unknown. Každý element unknown
obsahuje element group, ktorý združuje elementy point, pomocou ktorých je definované, ku
ktorým bodom je definovaná neznáma vztiahnutá. Ak pŕıslušná skupina (element group)
má definovaný atribút name, označuje sa ako pomenovaná skupina, ak ho definovaný nemá,
označuje sa pŕıslušná skupina ako anonymná. Význam anonymnej skupiny je v tom, že pre
každý bod definovaný v tejto skupine sa vytvoŕı samostatná neznáma; pŕıkladom anonymnej
skupiny môže byt’ napr. definovanie odhadovaných súradńıc, ai. Naopak, pri pomenovanej
skupine sa vytvoŕı jedna neznáma viazaná ku všetkým bodom obsiahnutým v pomenova-
nej skupine; pŕıkladom pomenovanej skupiny môže byt’ napr. definovanie transformačných
parametrov, ktoré sa viažu k viacerým bodom. Pŕıklad pomenovanej skupiny:

<unknowns>
<unknown type="omega[’\\omega’,g,63.66197,cc,100,5]:

psi[’\\psi’,g,63.66197,cc,100,5]:
epsilon[’\\epsilon’,g,63.66197,cc,100,5]">

<group name="second">
<point name=".*"/>

</group>
</unknown>

</unknowns>

Observačné rovnice

Definovanie observačných rovńıc s neznámymi a observáciami tvoŕı základnú filozofiu aplikácie.
Vo všeobecnej teórii odhadu observačné rovnice zabezpečujú väzbu medzi observáciami, ktoré
sú predmetom merania a určovanými neznámymi parametrami, ktoré sú predmetom (ciel’om)
odhadu. Vo všeobecnosti je matematický, resp. deterministiký model tvorený práve observačnými
rovnicami, ktoré je možné v aplikácii l’ubovol’ne definovat’ a modifikovat’.

Observačné rovnice sa v programe SoNet zapisujú v symbolickom tvare. V observačných rov-
niciach je možné použit’ l’ubovol’né matematické operátory a štandartné matematické funkcie.
Pŕıklad jednoduchej observačnej rovnice nivelácie je v nasledujúcej ukážke:

h{i,j} = H{j} - H{i};

kde v zátvorkách sú indexy pŕıslušnej observácie, resp. neznámych odhadovaných parametrov.
Okrem observácíı a odhadovaných neznámych je možné v observačných rovniciach použit’ aj
d’aľsie premenné, ktorými sú metainformácie a parametre elipsoidov nač́ıtané z externých
súborov.

Derivácie observačných rovńıc. Program SoNet vykonáva automaticky rozvoj zosta-
vených observačných rovńıc do Taylorovho radu, resp. automatické derivovanie týchto ob-
servačných rovńıc, tzn. linearizácia observačných rovńıc je riešená analyticky.

Geinformatics FCE CTU 2006 151



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Metainformácie

Metainformácie umožňujú zaradenia určitých č́ıselných hodnôt do spracovania tak, aby sa
tieto dali použit’ v symbolickom tvare v observačných rovniciach. Č́ıselnými hodnotami re-
prezentujúcimi metainformácie môžu byt’ napr. časové značky, hodnoty teploty, tlaku, výšky
teodolitov a terčov, ai.

Jednotlivé metainformácie sú obsiahnuté v elemente meta. V nasledujúcej ukážke je znázornené
použitie týchto atribútov v elemente meta:

<meta value="2000.0" alias="t0" label="refepoch"/>
<meta value="2001.7" alias="t" label="epocha"/>

Pŕıklad

Siet’ jadrovej elektrárne Mochovce

V rokoch 1988 a 1989 sa uskutočnili opakované merania lokálnej geodetickej siete Mochovce
pomocou terestrických geodetických metód (merania d́lžok a vodorovných uhlov). Schématické
znázornenie meraných velič́ın je na obr. 1. V rokoch 2001, 2002, 2003 sa uskutočnili geodetické
merania vybranej časti siete Mochovce metódou GPS (obr. 2) [6,7].

Obrázok 1: Terestrické observácie; symbolom ◦ sú označené body, na ktorých bolo vykonané
uhlové meranie, symbolom — sú označené merania d́lžok medzi bodmi geodetickej siete.

Geinformatics FCE CTU 2006 152



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Obrázok 2: Body merané pomocou GPS, symbolom 2 sú označené body merané aspoň v
dvoch kampaniach v obdob́ı 2001 – 2003.

Matematický model

Predmetná geodetická siet’ bola spracovaná vo viacerých variantoch. Tu je prezentované
spoločné spracovanie terestrických merańı a GPS s odhadom súradńıc, rýchlost́ı a trans-
formačných parametroch je realizované modelom [5] (upravené):




x(t1)

x(t2)
...

x(tn)

l(t1)

l(t2)
...

l(tn)




=




I(t1) D(t1) 0 · · · 0
I(t2) D(t2) T(t2) · · · 0

...
...

...
. . .

...
I(tn) D(tn) 0 · · · T(tn)

A(t1)l D
(t1)
l 0 · · · 0

A(t2)l D
(t2)
l 0 · · · 0

...
...

A
(tp)
l D

(tp)
l 0 · · · 0







y
vy

Θ(t2)
...

Θ(tn)


 ,

s kovariančnou maticou

Geinformatics FCE CTU 2006 153



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Σ =




Σ(t1) 0 · · · 0 0 0 0 0
...

...
. . .

...
...

...
...

...
0 0 · · · Σ(tm) 0 0 0 0
0 0 0 0 Σ(t1)l 0 · · · 0
...

...
...

...
...

...
. . .

...
0 0 0 0 0 0 · · · Σ(tp)l



,

kde I(ti) je matica väzieb medzi observáciami v i-tej epoche a odhadovanými súradnicami,
A(ti)l je matica väzieb medzi terestrickými observáciami v i-tej epoche a odhadovanými geo-
centrickými karteziánskymi súradnicami, D(ti), D(ti)l je diagonálna matica definujúca väzbu
medzi rýchlost’ami a pozorovaniami v i-tej epoche pre GPS a terestrické observácie, T(ti) je
matica väzieb medzi observáciami a odhadovanými súradnicami, x(ti) je vektor realizácíı v
i-tej epoche, l(ti) sú terestrické observácie v i-tej epoche, Σ(ti) je kovariančná matica súradńıc
určených z GPS v i-tej epoche, Σ(ti)l je kovariančná matica terestrických observácíı v i-tej
epoche, y sú výsledné súranice vztiahnuté k referenčnému rámcu 1. epochy, vy sú odhadnuté
rýchlosti bodov, a Θ(ti) sú odhadnuté transformačné parametre.

Matematický model definovaný vo vstupnom súbore programu

Matematická formulácia observačných rovńıc pre geocentrické karteziánske súradnice:

xi = x0i + tx + vxi (t− t0)
yi = y0i + ty + vyi (t− t0)
zi = z0i + tz + vzi (t− t0)

Zápis týchto rovńıc v programe:

<equations>
<eq form="x{i} = X{i} + tX{...} + vX{i}*(t-t0);"/>
<eq form="y{i} = Y{i} + tY{...} + vY{i}*(t-t0);"/>
<eq form="z{i} = Z{i} + tZ{...} + vZ{i}*(t-t0);"/>

</equations>

Matematická formulácia priestorovej d́lžky:

sij = (
(Xj + vXj (t− t0) −Xi −vXi (t− t0))

2+
(Yj + vYj (t− t0) −Yi −vYi (t− t0))

2+
(Zj + vZj (t− t0) −Zi −vZi (t− t0))

2
)1/2

Zápis observačnej rovnice priestorovej d́lžky v programe:

<eq form="s{i,j} = sqrt((X{j}+vX{j}*(t-t0) - X{i}- vX{i}*(t-t0))^2 +
(Y{j}+vY{j}*(t-t0) - Y{i}-vY{i}*(t-t0))^2 + (Z{j}+vZ{j}*(t-t0) -

Geinformatics FCE CTU 2006 154



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Z{i} - vZ{i}*(t-t0))^2);"
/>

Matematická formulácia vodorovného uhla ako rozdiel dvoch smerov:

ωijk =

arctan
− sin Li(∆Xik+∆vXik )+cos Li(∆Yik+∆vYik )

− sin Bi cos Li(∆Xik+∆vXik )−sin BisinLi(∆Yik+∆vYik )+cos Bi(∆Zik+∆vZik )
−

arctan
− sin Li(∆Xij +∆vXij )+cos Li(∆Yij +∆vYij )

− sin Bi cos Li(∆Xij +∆vXij )−sin Bi sin Li(∆Yij +∆vYij )+cos Bi(∆Zij +∆vZij )

Zápis v programe:

<eq form="a{i,j,k} = (atan2((-sin(gL(X{i},Y{i},Z{i})) *
(X{k}+vX{k}*(t-t0)-X{i}-vX{i}*(t-t0)) +
cos(gL(X{i},Y{i},Z{i})) * (Y{k}+vY{k}*(t-t0)-Y{i}-vY{i}*(t-t0))),
(-sin(gB(X{i},Y{i},Z{i})) * cos(gL(X{i},Y{i},Z{i})) *
(X{k}+vX{k}*(t-t0)-X{i}-vX{i}*(t-t0)) - sin(gB(X{i},Y{i},Z{i}))*
sin(gL(X{i},Y{i},Z{i})) * (Y{k}+vY{k} * (t-t0)-Y{i}-vY{i}*(t-t0))
+ cos(gB(X{i},Y{i},Z{i})) * (Z{k}+vZ{k} * (t-t0)-Z{i}-vZ{i}*(t-t0)))))
- (atan2((-sin(gL(X{i},Y{i},Z{i})) * (X{j}+vX{j}*
(t-t0)-X{i}-vX{i}*(t-t0)) + cos(gL(X{i},Y{i},Z{i})) *
(Y{j}+vY{j}*(t-t0)-Y{i}-vY{i}* (t-t0))), (-sin(gB(X{i},Y{i},Z{i}))
* cos(gL(X{i},Y{i},Z{i})) * (X{j}+vX{j}*(t-t0)-X{i}-vX{i}*
(t-t0)) - sin(gB(X{i},Y{i},Z{i}))*sin(gL(X{i},Y{i},Z{i})) *
(Y{j}+vY{j} * (t-t0)-Y{i}-vY{i}* (t-t0)) + cos(gB(X{i},Y{i},Z{i}))
* (Z{j}+vZ{j}*(t-t0)-Z{i}-vZ{i}*(t-t0)))));"
/>

Výsledky spoločného spracovania

Výsledky spoločného riešenia GPS kampańı 2001, 2002, 2003 a terestrických observácíı v
epochách 1988 a 1989 s odhadom rýchlost́ı monitorovaných bodov sú uvedené v tabul’kách 1,
2, 3 a 4.

Bod X [m] σX [mm] Y [m] σY [mm] Z [m] σZ [mm]
MO17 4036290.7995 4.7 1352165.7295 4.7 4734164.5202 4.7
MO23 4037308.4431 6.1 1344460.8285 5.7 4735535.1812 6.2
MO29 4037479.6022 6.4 1350279.8828 6.4 4733699.0043 6.4
MO24 4036408.9675 4.7 1345437.2847 4.7 4736041.2008 4.7
MO26 4036341.1893 4.7 1348846.0532 4.7 4735080.0009 4.7
MO28 4038676.6499 7.6 1347383.9801 7.6 4733558.2352 7.6

Tabul’ka 1 - Odhadnuté geocentrické karteziánske súradnice bodov geodetickej siete
Mochovce.

Geinformatics FCE CTU 2006 155



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

Bod vX [m/rok] σvX [mm/rok] vY [m/rok] σvY [mm/rok] vZ [m/rok] σvZ [mm/rok]
MO14 0.0059 5.9 -0.0051 5.2 -0.0053 5.9
MO17 0.0057 5.6 -0.0193 5.6 -0.0075 5.7
MO23 0.0191 7.6 -0.0017 5.8 -0.0043 8.2
MO29 0.0098 9.1 -0.0141 9.1 -0.0079 9.1
MO24 0.0050 5.4 -0.0157 5.4 -0.0043 5.5
MO26 0.0148 5.6 -0.0162 5.6 0.0010 5.6
MO28 0.0106 10.0 -0.0207 9.9 0.0050 10.0

Tabul’ka 2 - Odhadnuté rýchlosti na bodoch geodetickej siete Mochovce.

Bod B [°] σB [”] L [°] σL [”] H [m] σH [mm]
MO17 53.589713 0.0002 20.578845 0.0003 213.2505 6.4
MO23 53.609830 0.0002 20.464701 0.0003 252.8440 6.4
MO24 53.617262 0.0002 20.482827 0.0003 267.6758 4.7
MO26 53.603304 0.0003 20.531516 0.0004 226.3663 7.6
MO28 53.580117 0.0002 20.499716 0.0003 258.4968 5.4
MO29 53.582673 0.0002 20.546452 0.0003 218.3034 4.7

Tabul’ka 3 - Elipsoidické súradnice bodov siete na elipsoide WGS-84, na ktorých sa
uskutočnili 2, resp. 3 merania GPS.

Bod vn [m/rok] σvn [mm/rok] ve [m/rok] σve [mm/rok] vv [m/right] σvv [mm/rok]
MO17 -0.0045 6.9 -0.0201 5.2 -0.0061 9.1
MO23 -0.0160 9.10 -0.0076 9.1 0.0085 9.1
MO24 -0.0027 5.6 -0.0164 5.6 -0.0034 5.6
MO26 -0.0060 9.9 -0.0201 9.9 0.0067 10.1
MO28 0.0007 4.9 -0.0229 5.8 0.0060 4.7
MO29 -0.0088 5.4 -0.0165 5.3 -0.0027 5.6

Tabul’ka 4 - Odhadnuté rýchlosti bodov transformované do zložiek v horizontálnej rovine a
vo výške.

Záver

V článku sme sa zamerali na obecný popis univerzálneho softvérového prostredia, oriento-
vaného na modelovanie, analýzu a spracovanie najmä geodetických siet́ı. Teoretické základy
softvéru sú položené do oblasti matematiky, resp. numerickej matematiky, informatiky, geodézie
a štatistiky. V aplikácii je možné využit’ nielen matematické modely na riešenie geodetických
siet́ı naznačené v tomto článku, ale prakticky l’ubovol’né matematické modely využitel’né na
vyrovnanie geodetických siet́ı.

Program umožňuje spracovávat’ observácie opakovaných merańı (etapových, epochových a
permanentných), ako aj kombinácie terestrických merańı s družicovými meraniami. Uplatne-
nie nachádzajú napr. terestrické merania včlenené do riešenia družicovej siete, kde umožňujú
zlepšit’ jej geometriu, výškovú zložku a pod.

Variabilnost’ programu v definovańı matematických modelov umožňuje ich rýchlu modifikáciu,
čo dovol’uje zamerat’ sa predovšetkým na samotné modelovanie skúmanej geodetickej siete.
Táto vol’nost’ v defińıcii matematických modelov umožňuje nielen separované spracovanie a
analýzu jednorozmerných, dvojrozmerných, trojrozmerných a štvorrozmerných geodetických

Geinformatics FCE CTU 2006 156



ŠPECIFICKÉ ASPEKTY SPRACOVANIA GEODET. SIETÍ POUŽITÍM PROG. SONET

siet́ı, ale aj ich modifikácie ako aj ich vzájomné kombinovanie s využit́ım globálnej kova-
riančnej matice. Matematický model, resp. observačné rovnice tvoriace matematický model,
sú v programe implementované vo forme rovńıc zaṕısaných v symbolickom tvare.

Praktickú funkčnost’ programu sme demonštrovali na riešeńı viacepochovej heterogénnej geo-
detickej siete.

Referencie

1. Čepek, A.: The GNU Gama project – Adjustment of Geodetic Networks, Acta Poly-
technica, Vol. 42, No. 3, 2002.

2. Dobeš, J. et. al.: Presné lokálne geodetické siete. Ed́ıcia Výskumného ústavu geodézie
a kartografie v Bratislave, Bratislava, 1990.

3. Gerhátová, L’. Integrované spracovanie družicových a terestrických merańı – dizertačná
práca, Bratislava, 2002.

4. Harold, E. R., Means, W. S.: XML in a Nutshell, 2nd Edition, O’Reilly, 2002.

5. Hefty, J.: Globálny polohový systém v štvorrozmernej geodézii, Bratislava, 2003.

6. Hefty, J.: Monitorovanie recentných pohybov litosféry v lokalite atómovej elektrárne
Mochovce pomocou geodetických metód, Správa k úlohe v rámci Zmluvy o dielo 04-
085-02, STU Bratislava, 2002.

7. Hefty, J.: Geologické hodnotenie oblasti EMO, Meranie recentných pohybov v lokalite
EMO, STU Bratislava, 2004.

8. Charamza, F.: GSO – An Algorithm for Solving Linear Least Squares Problems with
Possibly Rank Deficient Matrices, Referát VÚGTK, Praha, 1977.

9. Klobušiak, M.: WIGS – Integrované geodetické siete, transformácie, spájanie, porovna-
nie, výpočet rýchlost́ı bodov a transformácie S-JTSK do xTRSYY [Programový systém
WIGS 4.2002], VÚGK & MaKlo, Bratislava, 1995-2002.

10. Kubáčková, L.: Metódy spracovania experimentálnych merańı, Veda, 1990.

Geinformatics FCE CTU 2006 157