Georgian Scientists/ქართველი მეცნიერები ტ. 4  N 5, 2022 267 

 

Georgian Scientists 

ქართველი მეცნიერები 

Vol. 4  Issue 5, 2022 

https://doi.org/10.52340/gs.2022.04.05.29 

 

ორლინზიანი კოლიმაციური სისტემა ერთი ასფერული ზედაპირით 

დავით შალამბერიძე, ირაკლი კორძახია 

სსიპ ინსტიტუტი „ოპტიკა“ 

რეზიუმე 

სტატიაში აღწერილია ორ ლინზიან კოლიმაციურ სისტემაში პირველი, სფერული ლინზის 

ცნობილი ოპტიკური პარამეტრების მიხედვით მეორე, ასფერული ლინზის ოპტიკური 

პარამეტრების გათვლის მეთოდიკა, რაც საშუალებას იძლევა დაიწეროს ასფერული 

პროფილის პარამეტრული განტოლება ცხადი სახით. 

საძიებო სიტყვები: კოლიმაცია, ფოკუსური მონაკვეთი, ასფერული ზედაპირი 

ოპტიკის და, ზოგადად, ტექნიკის ბევრ სფეროში მეტად მნიშვნელოვანია პირველადი სხივის 

კოლიმირირება. ძირითადად, ამისთვის გამოიყენება ორი და მეტი ლინზისგან შედგენილი 

ოპტიკური სისტემები და პარაბოლური სარკეები. სტატიაში წარმოდგენილია 

მონოქრომატული სხივის კოლიმირირების ორ ლინზიან ოპტიკურ სისტემაში მეორე 

ასფერული ლინზის ოპტიკური პარამეტრების გათვლის მეთოდიკა პირველი სფერული 

ლინზის ცნობილი ოპტიკური პარამეტრების მიხედვით. ამასთან, მეორე ლინზის წინა 

ზედაპირი სფერულია, სიმრუდის რადიუსით 𝑅3 (>0), ხოლო უკანა, ასფერული ზედაპირის 

სიმრუდის რადიუსი პარაქსიალურ არეში ემთხვევა წინა ზედაპირის სიმრუდეს, ანუ 

𝑅4
∗ = −𝑅3 .       (1) 

დავუშვათ, პირველი ლინზის ოპტიკური პარამეტრებია: წინა ზედაპირის სიმრუდის 

რადიუსი 𝑅1 (>0), უკანა ზედაპირის სიმრუდის რადიუსი 𝑅2 (<0), ლინზის სისქე 𝑡1 და 

ოპტიკური მასალის გარდატეხის მაჩვენებელი 𝑛1 (კონკრეტული ტალღის სიგრძისთვის). 

მეორე ლინზის საწყისი პარამეტრების არჩევისას გავითვალისწინოთ, რომ საწყისი სხივის 

კოლიმირირებისთვის საჭიროა ლინზების ფოკუსური წერტილები ერთმანეთს ემთხვეოდეს, 

ანუ, ლინზებს შორის მანძილი უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას 

𝑑 = 𝑆𝐹1
′ + 𝑆𝐹2 ,       (2) 

სადაც 𝑆𝐹1
′  პირველი ლინზის უკანა ფოკუსური მონაკვეთის (მანძილი უკანა ზედაპირიდან 

უკანა ფოკუსურ წერტილამდე) სიგრძეა, ხოლო  𝑆𝐹2 − მეორე ლინზის წინა ფოკუსური 



 

 Georgian Scientists/ქართველი მეცნიერები ტ. 4  N 5, 2022 268 

მონაკვეთის სიგრძე. ცხადია, ფოკუსური მონაკვეთი 𝑆𝐹1
′  მთლიანად განსაზღვრულია პირველი 

ლინზის ოპტიკური პარამეტრებით [1]: 

𝑆𝐹1
′ = 𝑓1

′ (1 −
𝑛1 − 1

𝑛1𝑅1
𝑡1) ,       (3) 

სადაც 𝑓1
′ პირველი ლინზის უკანა ფოკუსური მანძილია: 

1

𝑓1
′ = (𝑛1 − 1) (

1

𝑅1
−

1

𝑅2
) +

(𝑛1 − 1)2

𝑛1𝑅1𝑅2
𝑡1 .      (4) 

ცხადია, 𝑆𝐹2 განისაზღვრება მეორე ლინზის ოპტიკური პარამეტრებით, ხოლო მისი კავშირი 

𝑆𝐹1
′ -თან განისაზღვრება (2) ტოლობით, აგრეთვე კოლიმაციის ხარისხით (მიღებული სხივის 

განივკვეთის დიამეტრი შეფარდებული საწყისი სახივის განივკვეთის დიამეტრთან). ნახ.1-

დან ჩანს, რომ თუ კოლიმაციის ხარისხია 𝑚, მაშინ 

𝑆𝐹2 ≈ 𝑚𝑆𝐹1
′  .       (5) 

ამგვარად, პირველი და მეორე ლინზების ოპტიკურ პარამეტრებს შორის მყარდება შემდეგი 

კავშირი: პირველი ლინზის ოპტიკური პარამეტრებით დგინდება მისი უკანა ფოკუსური 

მონაკვეთი (ფორმულები (3), (4)), ფორმულებით (2) და (5) ლინზების ფოკუსურ მონაკვეთებს 

შორის, საიდანაც, (1)-ის გათვალისწინებით, ვადგენთ მეორე ლინზის ოპტიკურ პარამეტრებს. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

აღნიშნული სქემის განხორციელების შედეგად მივიღებთ: 

𝑆𝐹2 =
𝑛2𝑅3

2 − (𝑛2 − 1)𝑅3𝑡2

(𝑛2 − 1)[2𝑅3𝑛2 − 𝑡2(𝑛2 − 1)]
 .    (6) 

აქედან შეიძლება გამოვსახოთ 𝑅3: 

𝑅1 𝑅2 

𝑛1 𝑛2 
𝐹 

𝑅3 𝑅4 

𝑡2 𝑡1 𝑆𝐹1
′  𝑆𝐹2 

ნახ. 1 



 

 Georgian Scientists/ქართველი მეცნიერები ტ. 4  N 5, 2022 269 

𝑅3 =
𝑛2 − 1

2
[

𝑡2

𝑛2
+ 2𝑆𝐹2 + √(

𝑡2

𝑛2
)

2

+ 4𝑆𝐹2
2] .     (7) 

ამგვარად, გვაქვს შემდეგი საწყისი მონაცემები: პირველი ლინზისთვის – 𝑅1, 𝑅2, 𝑛1, 𝑡1, მეორე 

ლინზისთვის – 𝑅3, 𝑛2, 𝑡2, აგრეთვე, მანძილი ლინზებს შორის – 𝑑. 

ჩვენს მიერ შექმნილი პროგრამული უზრუნველყოფის 

მეშვეობით შესაძლებელია გამოთვლილი იქნას 𝑖-ურ 

ზედაპირზე გარდატეხილი სხივის კოორდინატები (𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝛼𝑖) ამ 

ზედაპირთან დაკავშირებულ კოორდინატთა სისტემაში (ნახ. 2), 

რაც საშუალებას გვაძლევს ფერმას პრინციპის გამოყენებით 

დავთვალოთ მეორე ლინზის უკანა, ასფერული ზედაპირი იმ 

პირობით, რომ მან უზრუნველყოს პირველი ლინზის წინა 

ზედაპირზე დაცემული პარალელური სხივთა კონის 

კოლიმაცია. 

განვიხილოთ სხივი, რომლის კოორდინატები პირველი ლინზის წინა ზედაპირთან 

დაკავშირებულ კოორდინატთა სისტემაში არის 𝐴0(0; ℎ) და 𝛼0 = 0, ანუ, საწყისი სხივი 

ვრცელდება ოპტიკური ღერძის პარალელურად მისგან ℎ სიმაღლეზე. სხივის 𝑖-ურ 

ზედაპირთან გადაკვეთის წერტილები აღვნიშნოთ 𝐴𝑖-ით. ფერმას პრინციპის თანახმად, ამ 

სხივის ოპტიკური გზა ტოლი იქნება ნულოვანი, ანუ, მთავარი ოპტიკური ღერძის გასწვრივ 

გავრცელებული სხივის ოპტიკური გზისა, ანუ: 

∑ 𝑛𝑖𝐴𝑖

4

0

𝐴𝑖+1 = 𝑛1𝑡1 + 𝑑 + 𝑛2𝑡2 .                 (8) 

მეორე ლინზის უკანა, ასფერულ ზედაპირთან დაკავშირებულ საკოორდინატო სისტემაში 

გამოსახულება (8) მიიღებს სახეს: 

𝐿1 + 𝑛1𝐿2 + 𝐿3 + 𝑛2𝐿4 = 𝑛1𝑡1 + 𝑑 + 𝑛2𝑡2 ,                 (9) 

სადაც 

𝐿1 = �̃�1 , 

𝐿2 = √(�̃�2 − �̃�1)2 + (�̃�2 − �̃�1)2 , 

𝐿3 = √(�̃�3 − �̃�2)2 + (�̃�3 − �̃�2)2 , 

𝐿4 = √(𝑥𝑎 − �̃�3)2 + (𝑦𝑎 − �̃�3)2 . 

აქ (𝑥𝑎 , 𝑦𝑎) მეორე ლინზის უკანა, ასფერული ზედაპირის კოორდინატებია, ხოლო (�̃�𝑖, �̃�𝑖) 𝑖-ური 

ზედაპირის კოორდინატებია ასფერულ ზედაპირთან დაკავშირებულ კოორდინატთა 

სისტემაში: 

�̃�1 = 𝑥1 − 𝑡1 − 𝑡2 − 𝑑, 

𝑃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 

𝛼𝑖 

𝑦 

𝑥 

ნახ. 2 



 

 Georgian Scientists/ქართველი მეცნიერები ტ. 4  N 5, 2022 270 

�̃�2 = 𝑥2 − 𝑡2 − 𝑑, 

�̃�3 = 𝑥3 − 𝑡2, 

�̃�𝑖 = 𝑦𝑖. 

ბოლო აღნიშვნების გათვალისწინებით (9) ფორმულიდან მივიღებთ: 

𝑛2√(𝑥𝑎 − �̃�3)2 + (𝑦𝑎 − �̃�3)2 − 𝑥𝑎 = Φ(ℎ) , (10) 

სადაც 

Φ(ℎ) = 𝑛1𝑡1 + 𝑑 + 𝑛2𝑡2 − ∑ 𝑛𝑖𝐿𝑖

3

0

 ,   (𝑛0 = 1, 𝐿0 = 𝑥1).   (11) 

(შევნიშნოთ, რომ  𝐿𝑖-ები წარმოადგენენ ℎ-ის ფუნქციას, რადგან 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(ℎ), 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖(ℎ), 𝛼𝑖 =

𝛼𝑖(ℎ)) 

ასფერული ზედაპირის კოორდინატებს შორის კიდევ ერთი კავშირის დასამყარებლად 

გამოვიყენოთ კავშირი მეორე ლინზაში მოხვედრილი სხივის საწყის და საბოლოო წერტილებს 

შორის: 

𝑦𝑎 = �̃�3 + (𝑥𝑎 − �̃�3) ∙ 𝑡𝑔𝛼3.   (12) 

(10) და (12) გამოსახულებები ქმნიან განტოლებათა სისტემას (𝑥𝑎 , 𝑦𝑎) ცვლადების მიმართ. ამ 

სისტემის ამოხსნით მივიღებთ: 

𝑥𝑎 =
Φ(ℎ) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼3 + �̃�3𝑛2

𝑛2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼3
  ,    (13) 

𝑦𝑎 =
(Φ(ℎ) + �̃�3) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼3

𝑛2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼3
+ �̃�3 .   (14) 

(13) და (14) ფორმულები წარმოადგენენ მეორე ლინზის უკანა ასფერული ზედაპირის 

პარამეტრულ განტოლებას. იმისთვის, რომ დაიწეროს ასფერული ზედაპირის განტოლება 

ცხადი სახითCollimation, focal section, aspheric surface, უნდა განხორციელდეს ამ ზედაპირის 

პოლინომური ინტერპოლაცია. 

ლიტერატურა 

[1] Born M., Wolf E., Principles of Optics. Cambridge University Press, 1999. 

 

 

 

 

 



 

 Georgian Scientists/ქართველი მეცნიერები ტ. 4  N 5, 2022 271 

 

A two-lens collimating system with one aspherical surface 

David Shalamberidze, Irakli Kordzakhia 

LEPL Institute OPTICA 

Abstract 

The article describes the method of calculating the optical parameters of the second, aspherical lens 

based on the known optical parameters of the first spherical lens in a two-lens collimating system. The 

method allows to write the parametric equation of the aspheric profile in an explicit form. 

 

Keywords: Collimation, Focal section, Aspheric surface