التكراریة Levinson–Durbinباستعمال طریقة  AR(3)تقدیر انموذج 
 و طریقة المربعات الصغرى الموزونة  

 
 جنان عباس ناصر

 بغداد - الكلیة التقنیة االداریة
 

 2013حزیران  24، قبل في :  2013نیسان  9أستلم البحث في : 
 

 الخالصة
–Levinsonفي ھذا البحث نتحرى حول طرائق التقدیرألنموذج االنحدار الذاتي من الرتبة الثالثة باستعمال طریقة        

Durbin  التكراریة(LDR)   وطریقة المربعات الصغرى الموزونة (WLSE) اذ تم تولید سلسلة زمنیة من أنموذج .
AR(3) عندما یكون حد الخطأ یتبع التوزیع الطبیعي وغیر الطبیعي، وعند ما یتبع  حد الخطاء ألنموذجARCH(q)  برتبة
q=1,2 استعملت حجوم مختلفة من العینات .واستحصلت النتائج باستعمال المحاكاة. عموما نستنتج تحسین التقدیرات.

) بزیادة حجم العینة، ولكل التوزیعات المفترضة لحد WLSEو LDRألنموذج االنحدار الذاتي بكال طریقتي  التقدیر(
ایضا التي تمثل عامل αالخطأ عدا التوزیع اللوغارتمي الطبیعي. ونرى تحسین التقدیر یعتمد على قیمة المعلمة 

α) (1والتي تكون قیمتھا اقل من الواحد اي  (Forgetting Factor)االضمحالل  ، اذ یتحسن التقدیر عند القیمة الكبیرة >
α 0.99بالتحدید عند  αللمعلمة   لبیانات حقیقیة. (LDR&WLSE)، وأخیرا استعملنا طریقتي التقدیر  =

طریقة المربعات الصغرى الموزونة ,التكراریة  Levinson–Durbinطریقة ,الكلمات المفتاحیة: نماذج االنحدار الذاتي 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

357 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 المقدمة .1
تعد مسالة التنبوء من احدى المسائل المعروفة في تحلیل السالسل الزمنیة، إذ إن دقة التنبوء باألنموذج تعتمد حتما على    

األنموذج الذي تم تقدیره من سلسلة البیانات المستحصلة لعملیة معینة على أوقات منتظمة ، من ھنا جاءت فكرة ھذا البحث. 
عندما  AR(3)، للتحري عن حصانة  تقدیرات معلمات أنموذج (AR(3))تي من الرتبة الثالثةإذ اختیر أنموذج االنحدار الذا

المستعملة من  (LDR)التكراریة  Levinson-Durbinتكون قیم معلماتھ مولدة عشوائیا من التوزیع المنتظم ،بطریقة 
Levinson  واعید صیاغتھا فیما بعد 1947عام ،Durbin  وكذلك طریقة المربعات الصغرى الموزونة  1960عام ،
(WLSE) [1, 4]  التي تعد من إحدى طرائق التنقیة التكیفیة (Adaptive Filtering) وھناك العدید من البحوث التي .

ففي التكراریة ،و طریقة المربعات الصغرى الموزونة  نذكر ابرزھا تجنبا لالطالة ،  Levinson–Durbinتناولت طریقة 
واستعمل  (AR)االنحدار الذاتي بنمذجة السلسلة الزمنیة التي تمثل تنقیة الصور بنماذج  Garg [1]قام الباحث  2003عام 

لتقدیر معلمات انموذج (WLSE) وطریقة المربعات الصغرى الموزونة  (LDR)التكراریة  Levinson–Durbinطریقة 
عندما تكون السلسلة الزمنیة ضعیفة االستقراریة   LDRیقة على طر WLSEاالنحدار الذاتي.والحظ تفوق طریقة 

 Roth & Kauppinen [2]تناول الباحثون 2003باالعتماد علٮالمقیاس االحصائي متوسط مربعات الخطاء. ففي عام 
الھنسیة والتوافقیة باالعتماد على المقیاس Burg مقارنة مع طریقتي   (LDR)التكراریة  Levinson–Durbinطریقة 

لقیاس دقة التنبوء باالنموذج ولكال الطریقتین لنمذجة  (MAPE)إلحصائي المتمثل بمعدل القیم المطلقة لنسب األخطاء ا
دراسة مقارنة لمعاییرالمعلومات ألختیارطول االزاحة الفعلیة لنماذج  Liew [3]قدم الباحث  2004تردد مشوه . وفي عام 

ومعیار  Akaike (AIC).وقد استعمل معیارمعلومات ARالمولدة من نماذج  االنحدارالذاتي عند نمذجة السالسل الزمنیة
Schwarz (SIC)ومعیارHannan-Quinn (HQC) ومعیارخطأ التنبوء النھائي(FPE) ومعیارBayesian )(BIC ،

للتوزیع المنتظم  AR(4)،عند خضوع معلمات األنموذج AR(4)لتقدیرطول االزاحة الفعلیة للبیانات المولدة من عملیة 
للتوزیع الطبیعي  AR(4)لضمان شرط االستقراریة لتلك العملیة،وخضوع متغیرحد الخطاء لألنموذج (1 ,1-)بالمدة من

،واستنتج من خالل تجارب المحاكاة بان اداء 960و 30.ولحجوم عدة من العینات تتراوح بین2σبمتوسط صفروتباین قدره
  Hwangناقش الباحث  2005  علومات المعتمدة في البحث یتحسن بزیادة حجم العینة.وفي عام كل معاییرالم

خصائص عینة كبیرة  لمقدرات المربعات الصغرى والمربعات الصغرى الموزونھ لمعلمة االنحدار الذاتي للعملیة [4]
AR(1)  المربعات تكون تقدیرات غیر متسقة عندما تكون معلمة االنموذج متغیر عشوائي ، وتوصل الى ان مقدرات اقل

بعكس مقدرات المربعات الصغرى الموزونھ التي تكون متسقة وتكون محاذیة للتوزیع الطبیعي حتى عندما یكون حد الخطأ 
مقارنة Asghar [5]و Abidتناول الباحثان  2007غیر موزع طبیعیا . وفي عام AR(1)لعملیة 

باستعمال المحاكاة،وقد AR(p) لتقدیرطول االزاحة الفعلیة لعملیات (AIC,FPE,SIC,HQC ,AICC)لمعاییرالمعلومات
،عند خضوع معلمات األنموذج AR(5)استعمال تلك المعاییرفي تقدیرطول االزاحة الفعلیة للبیانات المولدة من عملیة 

AR(5)  لضمان شرط االستقراریة لتلك العملیة، وفي حالة خضوع متغیرحد الخطأ  (0.5 ,0.5-)للتوزیع المنتظم بالمدة
 Autoregressive conditionally heteroskedasticللتوزیع الطبیعي وغیرالطبیعي اي نماذج  AR(5)لألنموذج

error terms (ARCH(q),q=2,3)) عندما تمثل (qرتبة االنموذج (اي عدد المعلمات في االنموذج) وعند خضوع 
.وتوصال 960و 30.ولحجوم عدة من العینات تتراوح بین 1 و 0للتوزیع المنتظم بالمدة من  ARCH(q)معلمات انموذج 

افضل في تقدیرطول االزاحة الفعلیة عندما یكون  SICالى ان اداء تلك المعاییر یتحسن بزیادة حجم العینة.ویكون اداء معیار
تقریب المربعات الصغرى الموزونة لمقدر    Deo [6] و Chen لباحثاناشتق  ا 2010.وفي عام240حجم العینة اكبرمن

متعدد المتغیرات بطریقة المربعات الصغرى  p )(AR(p)االمكان وفقا لقیود محددة لعملیة  االنحدار الذاتي من الرتبة 
بشكل معنوي مقارنة الموزونة وتوصال الى ان طریقة المربعات الصغرى الموزونة قللت التحیز ومتوسط مربعات الخطأ 

 [7]تناولت الباحثة جنان 2012مستقرة او غیر مستقرة . وفي عام  AR(pبطریقة المربعات الصغرى عندما تكون عملیة (
) لتقدیرالرتبة الفعلیة  AICCومعیار AIC،FPE  ،SIC ،HQCدراسة مقارنة  للتحري عن فاعلیة معاییرالمعلومـات (

ذلك بتولید سالسل زمنیة مختلفة تخضع ألنموذج االنحدارالذاتي المستقرمن الرتبة من خالل المحاكاة،وAR(p)ألنموذج 
-بقیم عدة مفترضة لمعلمات االنموذج ووفقا لبنیة متغیرحد الخطاء والمتمثلة بـاالتي :  (AR(2),AR(1))االولى والثانیة 

بقیم  q=1,2برتبة ARCH(qألنموذج ( خضوع متغیرحد الخطاء -خضوع متغیرحد الخطاء للتوزیع الطبیعي .ثانیا  -اوال
تحت افتراض تغیرفي بنیة متغیرحد الخطأ الذي یخضع للتوزیع الطبیعي. وفي عام -عدة مفترضة لمعلمات االنموذج.ثالثا 

دراسة مقارنة بین طرائق تقدیر االنحدار الذاتي متضمنة طریقة المربعات الصغرى  [8]تناولت الباحثة جنان 2013
التكراریة وطریقة التوافقیة باالعتماد على المقیاس  Levinson–Durbinو طریقة  Yule-walker وطریقة معادالت

لقیاس دقة التنبوء  (MSE)ومتوسط مربعات الخطاء  (MAPE)اإلحصائي المتمثل بمعدل القیم المطلقة لنسب األخطاء 
باالنموذج بكل طریقة مستعملة لنمذجة كمیة االنتاج للشركة العامة للصناعات القطنیة لثالثة منتجات تمثل  سالسل زمنیة 

التكراریة على بقیة الطرائق المستعملة في البحث .وبناء  Levinson–Durbinضعیفة االستقراریة، ولوحظ تفوق طریقة 
التكراریة و طریقة المربعات  Levinson–Durbinباستعمال طریقة  AR(3)بحث تقدیر انموذج على ماتقدم فان ھدف ال

الصغرى الموزونة  المقترح استعمالھا كطریقة تقدیر لنماذج االنحدار الذاتي عندما تكون السلسلة الزمنیة ضعیفة 
بقیم مفترضة لمعلمات األنموذج مولدة  AR(3)االستقراریة من خالل المحاكاة. إذ تم تولید سلسلة زمنیة  تخضع ألنموذج

منھا  AR(3)من التوزیع المنتظم وتحقق شرط االستقراریة، ولتوزیعات احتمالیة عدة مفترضة لمتغیر حد الخطأ ألنموذج 

358 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

. فضال عن افتراض بان ( t )التوزیع الطبیعي القیاسي والتوزیع اللوغارتمي الطبیعي والتوزیع المنتظم المستمر وتوزیع 
وبقیم عدة مفترضة لمعلمات األنموذج  q=1,2برتبة  ARCH(q)یخضع ألنموذج  AR(3)غیر حد الخطاء ألنموذج مت

باستعمال كال الطریقتین المتقدم  AR(3)وعلى وفق حجوم عینات مختلفة. ومن ثم إجراء عملیة تقدیر معلمات أنموذج 
یس عدة منھا: التقدیر التجریبي للمعلمة والتحیز للتحري عن حصانة التقدیرات من خالل مقای WLSE)و LDRذكرھما (

،ومتوسط مربعات الخطأ WLSEو  LDRفي تقدیر المعلمة ومتوسط مربعات الخطأ للمعلمة المحتسبة بكال الطریقتین 
. فضال عن احتساب المقیاس اإلحصائي المتمثل WLSEومربعات الخطأ الموزونة المحتسبة بطریقة  LDRبطریقة 

  Matlabلقیاس دقة التنبوء باالنموذج ولكال الطریقتین.وقد استعمل برنامج   (MAPE)مطلقة لنسب األخطأ بمعدل القیم ال
 لتنفیذ تجارب البحث من خالل كتابة برامج وتحویر لبعض البرامج المنشورة على االنترنت والمدونھ في مصادر البحث.

 
 Estimation for  Autoregressive Model . تقدیر أنموذج االنحدار الذاتي2

x}{للسلس�لة الزمنی�ة  t لق�یمt=1, 2, …, n   الت�ي تمث�ل عین�ة عش�وائیة بحج�مn  مس�حوبة م�ن ق�یم معین�ة للظ�اھرة قی�د
x}{والتي تمثل عدد المعلمات المراد تقدیرھا  للسلس�لة الزمنی�ة  pالبحث ،یمكن تمثیل أنموذج االنحدار الذاتي من الرتبة  t

 :[2,12]باستعمال الصیغة آالتیة 
)1...(εxax t i-tit p 1i +−= ∑ = 

a,...,a,(a(وتمثل p21 على وفق الصیغة (1)معلمات انموذج االنحدارالذاتي ویمكن كتابة الصیغةtt )x B A(ε =
 ، إذ

 ...(2)           Ba...BaBa1) B A( p2 p21 +++= + 
ح��د الخط��أ ال��ذي یك��ون سلس��لة م��ن المتغی��رات  t ε. وتمث��لxt-i=xt Biتمث��ل معام��ل االرت��داد الخلف��ي، إي إن  Biو ان 

وتقدیره یمثل ق�وة خط�اء التقری�ب للمق�درالخطي ف�ي  2σالعشوائیة المستقلة والمتطابقة التوزیع بمتوسط صفر وتباین مقداره
مس�تقرا إذا كان�ت القیم�ة المطلق�ة لمجم�وع ق�یم معلم�ات األنم�وذج اق�ل م�ن  AR(p). ویع�د أنم�وذج pمن الرتبة  (1)الصیغة 

1aالواحد إي ان ip 1i <∑ .وفیما یأتي شرح لطریقت�ي التق�دیر المس�تعملة ف�ي ھ�ذا البح�ث لتق�دیر نم�اذج [3,5,7]     =
 . AR(p))االنحدار الذاتي (

 

  
) بطریق�ة تكراری�ة، وتمت�از ھ�ذه الطریق�ة  p  )AR(p)إن ھذه الطریقة تق�در معلم�ات أنم�وذج االنح�دار ال�ذاتي م�ن الرتب�ة   

فان�ة  p=5 اي عند الرتب�ة  AR(5)الدنیا مرة واحدة ، اي عند تقدیر انموذج  AR(p)بكونھا تقدر كل قیم المعلمات األنموذج 
 (MSE)، م�ع حس�اب قیم�ة متوس�ط مربع�ات الخط�أ AR(p=5)ولغای�ة AR(2) و AR(1)ی�تم تق�دیر ق�یم معلم�ات أنم�وذج 

) ρ(ویرم����ز ل����ھ ب����ـ k
^

.والس����تعمال ھ����ذه الطریق����ة ی����تم حس����اب ق����یم دوال االرتب����اط ال����ذاتي [9,11]انظ����ر المص����درین

p1,2,...,k(k),R
^

= )(no normalization غی��ر المتحی��زة المق��درة م��ن العین��ة للسلس��لة الزمنی��ة} x{ t عن��دما تك��ون
t=1,2,..., n   [1,10] .وتكون صیغة حسابھا على وفق األتي: 

 (3) ...     0,1,...pk         ,  xx)k)-(1/(n)k(R k-ttn 1kt
^

== ∑ += 

k(R(إذ ان 
^

، وتب�دأ ھ�ذه الطریق�ة عل�ى وف�ق الخط�وات kتمثل القیم المقدرة من العین�ة لدال�ة االرتب�اط ال�ذاتي عن�د االزاح�ة 
 :[1,10]آالتیة 

1aبجعل قیمة  .1 0
^
Rρ(0)، وكذلك قیمة =

^

0 =. 

R)a-(1ρ(0)، وكذلك قیمة  وبذلك فان قیمة معلمة االنعكاس .2
^

111
2=. 

 على وفق الصیغة االتیة : k=0,1,...,pعندما تكون  kثم حساب معامالت االنعكاس لـ  .3
)4...(ρ  / i)](kRa(k)R[a

1k1,ik
1-k
1ikk

^^

−−=
−∑+−= 

من المعامالت على وفق  kباالعتماد على قیمة معامالت االنعكاس لـ  AR(p)اذ یتم حساب قیم معلمات أنموذج      
 الصیغة االتیة:

)5(  ...         p 0,1,...,k  ,  aaaa    k-p1,-p* kk,k1,-pkp,
^^

=∀+= 

(0)R(1)/Ra
^^

11 −=

 TheLevinson-Durbin     Recurision  (LDR)التكراریة  Levinson-Durbinطریقة  2.1



 

)11...( x(i)]-u(i)[aα5.0B(a) 2 T
p

ik
1i∑ ==

قیمة المعلمة في المرحلة التكراری�ة الس�ابقة ، أي  [1,10,11]انظر المصادر complex conjugate تعني (*)إن اإلشارة 
 وان  

 
) ρ(إما تقدیرات متوسط مربعات الخطأ  k : فتكون على وفق الصیغة آالتیة 

 

)7(...ρ)a-(1ρ 1-kkkk
2= 

 
 طریقة اقل مربعات الخطاء الموزونة   2.2

                
Weighted Least Squares Error (WLSE) 

التكراریة التي یتطلب فیھا حساب قیم دوال االرتباط الذاتي من  Levinson- Durbinتناولنا في الفقرة السابقة  طریقة 
لحساب ق�یم معلم�ات المق�در الخطي/عملی�ة االنح�دار ال�ذاتي بش�كل  t=1,2,..., nعندما تكون txالعینة، ألیة عملیة عشوائیة

التي الیتطلب فیھا حساب قیم دوال االرتب�اط   [1,4] (WLSE)تكراري. وھنا نستعمل طریقة اقل مربعات الخطأ الموزونھ 
) لحساب قیم معلمات المقدر الخطي، إذ یتم اعتماد ق�یم معلم�ات المق�در الخط�ي المحتس�بة بالم�دة txالذاتي للعملیة المدخلة (

وتس�مى تل�ك  t=k+1للحصول على مجموعة جدیدة من قیم المعلم�ات للمق�در الخط�ي بالم�دة الحالی�ة ل�تكن  t=kالحالیة لتكن 
 .[1] (filter coefficients)المعلمات بـمعلمات التنقیة 

 : [1]الطریقة على وفق الخطوات آالتیة   وتبدأ ھذه 
، الت�ي ت�دخل ف�ي ×ppمصفوفة الوح�دة م�ن الرتب�ة   P(1)=I، وجعل  ap=[1 0 0 ...0]Tبجعل قیم متجھ المعلمات  .1

 ) او معامالت التنقیة فیما بعد.aعملیة تحدیث متجھ المعلمات (

k)(x یتم حساب القیمھ التقدیریة .2
^

=→∞ولقیم  t=kبالمدة   2k: على وفق الصیغة االتیة 
) 8 (  ...    1)u(k)-(kak)(x T

p

^
= 

Tp)]- x(k... 2)-   x(k1)-x(k[ u(k)، إي إنkقیم العینات الداخلة بالخطوة  u(k)وتمثل        =. 
 على وفق الصیغة آالتیة: t=kبالمدة  aیتم تحدیث متجھ المعلمات  .3

)9...( (k)]x-[x(k)
 1)u(k)-(k)P(kuα

     1)u(k)-P(k         1)-(ka(k)a
^

Tpp +
+= 

) α (1وتكون قیمتھا اقل من الواحد  Forgetting Factorتمثل  αإن إذ على طبیعة العملیة α ، إذ  تعتمد قیمة>
α 0.99المدخلة، وعادة ما تستعمل القیمة التي تكون عامل للموازنة بین خزن كل العینات السابقة في أثناء عملیة  =

 .(AR(P))ألنموذج االنحدار الذاتي  aحساب تقدیر متجھ المعلمات 
 على وفق الصیغة االتیة :AR(P)المستعملة في حساب قیم معلمات انموذج  Pیتم تحدیث المصفوفة  .4

)10...(   }
 1)u(k)-(k)P(kuα

 1)-(k)P(ku 1)u(k)-P(k -1)-{p(k
α
1p(k)

T

T

+
= 

وفي ھذه الطریقة یتم تعریف معیار جدی�د یعتم�د علی�ھ لتقلی�ل األخط�اء ب�ین الق�یم المتنب�أ بھ�ا والق�یم الحقیقی�ة.إذ ی�تم حس�اب     
تتن�اقص تل�ك األوزان للعین�ات األق�دم ، ویتحق�ق ذل�ك باختی�ار  إذ المجموع الموزون لألخطأ وتقلیل�ھ لمجموع�ة م�ن األوزان ،

kk-1ساویة لـاالوزان بطریقة مالئمة لتكون م α α α 1عندما تكون قیمة  = وبذلك فان حس�اب المعی�ار االدن�ي بطریق�ة  >
WLSE  عندما تكونt=k : سیكون على وفق الصیغة االتیة 

 
 
 

. الجانب التجریبي3  
  

 Levinson-Durbinطریقة استعملت المحاكاة لغرض التحري عن حصانة التقدیرات المستحص�لة علیھ�ا  باس�تعمال،
بوصفھا طریقتین لتقدیر نماذج االنحدار ال�ذاتي، وذل�ك  (WLSE)وطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة  (LDR)التكراریة 

 وعلى وفق الفروض والمواصفات االتیة : (2)المتقدم ذكره في المبحث  من خالل بناء تجارب المحور

360 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

عش�وائیا م��ن   AR(3)لتولی��د ق�یم معلم��ات أنم�وذج b=0.5 و a=-0.5 بالم��دة  ت�م اس�تعمال التوزی��ع المن�تظم المس�تمر .1
1,2,3i       )U(-0.5,0.5ل���ثالث ق���یم إي لتولی���د  التوزی���ع المن���تظم  =∀~ia  والت���ي تحق���ق ش���رط االس���تقراریة

1<++ 321 aaa وقد كانت تلك القیم كما یأتي: [3,5,7]،انظر المصادر 
2919.0a,1154.0a,0553.0a 321 ==−= 

 آالتیة:التي سیتم دراستھا على وفق الصیغة  AR(3) لتكون السلسلة الزمنیة المولدة من أنموذج      

)12...(εx2919.0x1154.0x0553.0x t3-t2-t1-tt +++−= 
   .n=30,60,120,240,480استعملت إحجام العینات  .2
لتولی�د ق�یم السلس�لة المبین�ة اع�اله،  (12) بالصیغة (1)المتقدم ذكره بالفقرة  (AR(3))استعملت أنموذج االنحدار الذاتي  .3

) ε(لح�د الخط�اءالزمنیة المستقرة من األنموذج المتقدم ذكره وذلك عند افتراض توزیعات عدة  t :ف�ي األنم�وذج منھ�ا- 
التوزی�������������ع الطبیع�������������ي القیاس�������������ي بمتوس�������������ط مس�������������اویا للص�������������فر وتب�������������این مق�������������دارة واح�������������د اي 

)) 1 σ, 0 μ ( ondistributi  (Normal 2 وتب��این ’التوزی��ع اللوغ��ارتمي الطبیع��ي بمتوس��ط مس��اویا للواح��د و ==
σ, 1 μ ( ondistributi  normal (Log 1 ((مق�����دارة واح�����د  اي  2 مس�����تمربالمدة ) والتوزی�����ع المن�����تظم ال==

) 1 b,  1a ( =−= ) بدرج��ة  tوتوزی��ع b, 1- (a ondistributi  sUniform(Continuou ==  ) 1 ((اي   
) 'df tionstdistribuStudent) 2  ي(( ا (2)حری���ة  ) ε(ح���د الخط���أافت���راض ب���ان توزی���ع . فض���ال ع���ن = t 

لمزی��د م��ن االتفاص���یل  [5,7]، ((انظ��ر المص��درین  q=1,2 برتب��ة ARCH(q)یخض��ع ألنم��وذج  AR(3)ألنم��وذج 
 -))وكما مبین أدناه :

• -1ttt 2εzε 0.450.25 +=. 

• -1ttt 2εε 0.20.5z += . 

• 2-t-1ttt 22 εεε 0.20.20.01z ++=. 

• 2-t-1ttt 22 εεε 0.20.20.2z ++=. 
للتوزیع الطبیع�ي بمتوس�ط ص�فر بأنھا متغیر عشوائي یخضع  tzالمتقدم ذكرھا أعاله، تعرف ARCH(q)لكل النماذج      

 .[5,7]انظر المصدرین Normal  ~tz ) 0 , 1 (إي إن وتباین مقداره واحد 
ثم تجري  التجارب المختلفة تبعا لجمیع التولیفات الممكنة للف�روض المتق�دم ذكرھ�ا أع�اله م�ن خ�الل تك�رار ھ�ذا التولی�د  .4

 .(n) مرة لكل تجربة ولكل حجم عینة 500للسالسل الزمنیة لـ 
 .(r=500)ولكل تكرار nلكل  AR(3)لتقدیر معلمات أنموذج  WLSEو  LDRومن ثم یتم استعمال طریقتي  .5

لكتابة برامج البحث،فضال عن تحویر بع�ض الب�رامج المنش�ورة عل�ى االنترن�ت والمتعلق�ة  Matlabوقد استعمل برنامج      
المرفقة في الملحق) لغرض الحصول على نت�ائج البح�ث.إذ بتلك الطریقتین المستعملة في البحث ( وعلى وفق الخوارزمیات 

سنالحظ ف�ي ك�ل م�رة مال�ذي س�تؤول إلی�ھ نت�ائج التق�دیر،وذلك باس�تعمال المع�اییر االتی�ة لإلش�ارة إل�ى حص�انة وج�ودت تل�ك 
 التقدیرات وكما مبین أدناه.

ویحتس��ب عل��ى وف��ق  WLSEو  LDRباس��تعمال إي م��ن الط��ریقتین  1,2,3i  =∀i(a (التق��دیر التجریب��ي للمعلم��ة .6
 الصیغة آالتیة:

)13...(500/)r(aEES i
^

500
1ra ∑ == 

ویحتس��ب عل��ى وف��ق  WLSEو  LDRباس��تعمال إي م��ن الط��ریقتین 1,2,3i  =∀i(a (التحی��ز ف��ي تقدیرالمعلم��ة .7
 الصیغة آالتیة:

)14...(500/))r(a-a(BIAS i
^

i
500

1ra ∑ == 
a]-2919.01154.00553.0[قد تكون أي قیمة من قیم عناصر المتجھ  iaإذ إن      ، وكلما اقتربت قیمة =

 ھذا المعیار من الصفر ازدادت جودة التقدیرات.
و یحتس�ب  WLSEو  LDRباس�تعمال إي م�ن الط�ریقتین  1,2,3i  =∀i(a (متوسط مربعات خط�أ تق�دیر المعلم�ة .8

 على وفق الصیغة آالتیة :

361 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

)15...(500/))r(a-a(MSE 2i
^

i
500

1ra ∑ == 
 قد سبق تعریفھا كما مبین أعاله وكلما اقتربت قیمة ھذا المعیار من الصفر ازدادت جــودة التقدیرات. iaإذ إن        

) ρ(مقیاس متوسط مربعات الخطاء  .9 k  3أو یك�ون ھن�ا مس�اویا ل�ـρ  وفق�ا ألنم�وذجAR(3)  ال�ذي ی�تم حس�ابھ بطریق�ة
LDR  ویحتسب لكل تكرارات التجارب تبعا للصیغة آالتیة : ( 7 )على وفق الصیغة 

)16...(500/)r(ρ ρ 35001r3
^

∑ == 
 (11)ویحتس�ب عل�ى وف�ق الص�یغة  WLSEباس�تعمال الطریق�ة المقترح�ة  ( B(a) )مقی�اس مربع�ات الخط�أءالموزون  .10

 ویحتسب لكل تكرارات التجارب تبعا للصیغة آالتیة :

)17...(500/B(a) )a(B )r(5001r
^

∑ == 
 Mean Absolute Percentage)فضال عن اختیار المقیاس اإلحصائي المتمثل بمعدل الق�یم المطلق�ة لنس�ب األخط�أ  .11

Error(MAPE))  باستعمال إي من الطریقتینLDR   وWLSE  ق الص�یغة لقیاس دقة التنبوء الذي یحتسب على وف
 : [1]آالتیة 

)18...(x/x-x)n/1(MAPE tt
^

t
n

1t∑ == 
في  MAPEثم یؤخذ المعدل لتلك القیم. ویمكن ان تضرب قیمة  ( r =500 )ویحتسب لجمیع تكرارات التجارب 

% فان دقة انموذج التنبوء تكون عالیة جدا، واذا كانت القیمة المئویة 10اقل من   MAPE، فاذا كانت القیمة المئویة لـ 100
تتراوح بین  MAPE% فان دقة انموذج التنبوء تكون جیدة، اما اذا القیمة المئویة لـ 20-%10تتراوح  MAPEلـ 
% فان دقة انموذج التنبوء تكون معقولة او مقبولة،وتعد دقة انموذج التنبوء االسوء عندما تكون القیمة المئویة لـ 50%و20

MAPE  لقیم السالبة لمعیار  القول الشئ نفسھ حول ا.ویمكن [9]% 50اكثرمنMAPE. 
 استعراض النتائج التجریبیة   3.1

 )3ARف�ي ھ�ذه الفق��رة س�نعرض النت��ائج الت�ي ت��م الحص�ول علیھ�ا وتحلیلھ��ا حس�ب توزی��ع متغی�ر ح��د الخط�أ ألنم��وذج (
ج�ودة للتح�ري ع�ن حص�انة و (3)، وذلك عند تقدیر معاییر المفاض�لة المتق�دم ذكرھ�ا ف�ي المبح�ث (12)المستقر في الصیغة 

. إذ لخص�ت النت�ائج مم�ا (n)عن�د إحج�ام العین�ات الم�أخوذة  WLSEوالطریقة المقترح�ة ف�ي البح�ث  LDRتقدیرات طریقة 
 ، انظر الملحق . (1 - (5-4))تقدم ذكره في الجداول من

 عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع  LDRباستعمال طریقة  (12)أوال: إن جودة تقدیر األنموذج في الصیغة 
) σ, 0μ 1 (الطبیع�ي القیاس��ي ب��المعلمتین   .1 2 انظ�ر الملح��ق، نالح��ظ ان ج��ودة  (1)وم��ن النت�ائج ال��واردة ف��ي ج��دول ==

. وعل��ى وف��ق معی��ار التحی��ز ف��ي تقدیرالمعلم��ة (n)عموم��ا ت��زداد بزی��ادة حج��م العین��ة  (EESa)تق��دیرمعلمات األنم��وذج 
(BIASa) م�ة ھ�ذا المعی�ارمن الص�فر، اذ تك�ون تل�ك الق�یم موجب�ة ومتناقص�ة فان التقدیرات تكون اجود كلم�ا اقترب�ت قی

، وبش��كل ع��ام  تك��ون قیم��ة التحیزمتذبذب��ة بزی��ادة ونقص��ان. إم��ا بالنس��بة (a1)لمعلم��ات االنم��وذج ع��دا المعلم��ة  nبزی��ادة 
وتك��ون قیم��ة . nف��ان التق��دیرات تك��ون متناقص��ة بزی��ادة  (MSEa)المعی��ار متوس��ط مربع��ات الخط��اء ف��ي تق��دیر المعلم��ة 

تك�ون متزای�دة بزی�ادة  MAPE، وكذلك قیم المعیار اإلحص�ائي nمتزایدة بزیادة  ρ3)(متوسط مربعات خطأ األنموذج
n  ع�داn=60,120  وتع��د دق��ة انم�وذج التنب��وء غیرمض��بوطة( غی��ر مقبول��ة) ولك��ل احج��ام (1)وكم��ا مب��ین ف��ي الج��دول.

 . 50%اقل من  MAPEفیھا القیمة المئویة لـ  التي تكون n=60,120العینات عدا 
σ, 1 (μ 1 (اللوغ��ارتمي الطبیع��ي ب��المعلمتین   .2 2 ، ف��ان ج��ودة تق��دیر معلم��ات (1)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي ج��دول  ==

التي ول�دت  (12)تكون ضعیفة،إذ تكون تلك القیم اكبرمقارنة بالقیم المفترضة لألنموذج في الصیغة  (EESa)األنموذج 
تك�ون س�البة عن�د معظ�م إحج�ام العین�ات  (BIASa)منھا السلسلة الزمنی�ة، وم�ن ث�م ف�ان قیم�ة التحی�ز ف�ي تق�دیر المعلم�ة 

،إذ ت�زداد ج�ودة التق�دیر كلم�ا اقترب�ت قیم�ة ھ�ذا nبزی�ادة  MSEaعموما، یرافقھا تن�اقص قیم�ة معی�ار nومتزایدة بزیادة 
 MAPE،ف�ي ح�ین تك�ون ق�یم المعیاراالحص�ائي  n=480ع�دا  nبزی�ادة  3ρالمعیار من الصفر. ونالح�ظ تن�اقص ق�یم 

. وتعد دقة انموذج التنبوء غیرمضبوطة( غیر مقبولة) لكل احجام العینات وفق�ا  n=120متزایدة بزیادة حجم العینة عدا 
 .50%التي تكون اكبرمن  MAPEللقیمة المئویة لـ 

) b,  1a 1 (تین بالمعلم المنتظم المستمر .3 =−=  (EESa)، فان جودة تق�دیر المعلم�ة (1)ومن النتائج الواردة في جدول  
، إذ ت�زداد ج�ودة nبزی�ادة  MSEaو BIASa، یرافقھ�ا تن�اقص ف�ي قیم�ة المعی�ارین (n)عموما تزداد بزیادة حج�م العین�ة

. إم��ا قیم��ة المعی��ار اإلحص��ائي nبزی��ادة  3ρالتق��دیرات كلم��ا اقترب��ت قیم��ة المعی��ارین م��ن الص��فر،في ح��ین ت��زداد قیم��ة
MAPE  فتكون متذبذبة بزی�ادة ونقص�ان بزی�ادةn وتع�د دق�ة انم�وذج التنب�وء جی�دة( مقبول�ة) لك�ل احج�ام العین�ات ع�دا .

n=60  الت�ي تك��ون فیھ��ا القیم�ة المئوی��ة ل��ـMAPE  اذ تع��د دق��ة انم�وذج التنب��وء جی��دة ج�دا عن��د احج��ام  50%اكب�رمن ،
 .10%اقل من   MAPEالتي تكون فیھا القیمة المئویة لـ  n=30,120العینات 

4.  )t  نالحظ وبش�كل ع�ام ان ج�ودة تق�دیر المعلم�ة (1)ومن النتائج الواردة في جدول  (2)) بدرجة حریة ،(EESa)  ت�زداد
متناقصة بزیادة  3ρ. وتكون قیمةnبزیادة  MSEaو BIASaفي قیمة المعیارین  ، یرافقھا تناقص(n)بزیادة حجم العینة

n إما قیم�ة المعی�ار اإلحص�ائي ،MAPE  فتك�ون متذبذب�ة بزی�ادة ونقص�ان وألغل�ب حج�وم العین�ات. وتع�د دق�ة انم�وذج

362 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 MAPEالت�ي تك�ون فیھ�ا القیم�ة المئوی�ة ل�ـ  n=30,240التنبوء غیرمضبوطة( غیر مقبولة) ولكل احجام العین�ات ع�دا 
 . 50%اقل من 

عند خضوع متغیر حد الخطأ لنماذج عدة مفترض�ة  LDRباستعمال طریقة  (12)ثانیا: إن جودة تقدیر األنموذج في الصیغة 
 وكما یاتي :  q=1,2برتبة  ARCH(q) لـ 

1ttt-عل�������������ى وف�������������ق الص�������������یغة ARCH(1)ألنم�������������وذج  .1
2εzε 0.450.25 ن       عن�������������دما تك��������������و=+

) 1 , 0 ( Normal  ~tz انظ�ر الملحق،ف�ان ج�ودة تق�دیر المعلم�ة  (2)ومن النتائج الواردة في جدول(EESa)  ت�زداد
متناقص�ة  3ρ، ف�ي ح�ین تك�ون ق�یمMSEaو BIASaللمعی�ارین  n، یرافقھا قیم متناقصة بزی�ادة  (n)بزیادة حجم العینة

فتك�ون  MAPEعندما یكون حجم العینة كبیر جدا. إما قیمة المعیاراالحصائي  3ρتزاد قیمة، اذ n=480عدا  nبزیادة 
ثم تأخذ بالتزاید عند بقیة أحجام العینات الكبیرة. وتعد دقة انموذج التنبوء جیدة   n=30-120عند قیم  nمتناقصة بزیادة 

، وتع�د دق�ة انم�وذج  50%التي تك�ون اكب�رمن MAPEلقیمة المئویة لـ تبعا ل n=480و مقبولة لكل احجام العینات عدا 
 .10%التي تكون اقل من MAPEتبعا للقیمة المئویة لـ  n=60,240التنبوء جیدة جدا عند قیم 

1ttt-على وفق الصیغة ARCH(1)ألنموذج  .2 2εε 0.20.5z وم�ن  Normal  ~tz ) 0 , 1 (عن�دما  تك�ون =+
، (n)ت�زداد بزی�ادة حج�م العین�ة  (EESa)،نالحظ وبصورة عامة ان جودة التق�دیر المعلم�ة(2)النتائج الواردة في جدول 

، ف�ي ح�ین تك�ون قیم�ة المعی�ار nبزی�ادة  3ρوتزداد قیم�ة .nبزیادة  MSEaو BIASaیرافقھا تناقص في قیم المعیارین 
عموم��ا. وتع��د دق��ة انم��وذج التنب��وء جی��دة و مقبول��ة لك��ل احج��ام  nی��ادة ونقص��ان بزی��ادة متذبذب��ة بز MAPEاإلحص��ائي 

. إذ تع��د دق��ة انم��وذج التنب��وء جی��دة ج��دا عن��د ق��یم  50%الت��ي تك��ون اق��ل م��ن MAPEالعین��ات تبع��ا للقیم��ة المئوی��ة ل��ـ 
n=120,240  تبعا للقیمة المئویة لـMAPE 10%التي تكون اقل من. 

t-1ttt-2عل���������ى وف���������ق الص���������یغة ARCH(2)ألنم���������وذج  .3
22 εεε 0.20.20.01z عن���������دما تك���������ون =++

) 1 , 0 ( Normal  ~tz ف�ان ج�ودة تق�دیر المعلم�ة (2)ومن النتائج الواردة في جدول ،(EESa)  وبش�كل ع�ام ت�زداد
) وكذلك قیمة متوسط مربع�ات الخط�أ ف�ي BIASa، یرافقھا قیم متناقصة للتحیزفي تقدیرالمعلمة ((n)بزیادة حجم العینة 

. وتك���ون قیم���ة nمتذبذب���ة بزی���ادة ونقص���ان بزی���ادة 3ρ، ف���ي ح���ین تك���ون قیم���ةnبزی���ادة  MSEa)ق���دیر المعلم���ة (ت
متزایدة وبشكل عام بزیادة حجم العینة. وتعد دقة انموذج التنب�وء جی�دة لك�ل احج�ام العین�ات  MAPEالمعیاراإلحصائي 

 . 50%التي تكون اكبرمن MAPEلـ  تبعا للقیمة المئویة n=30,480عدا الحجمین 

t-1ttt-2عل����������ى وف����������ق الص����������یغة ARCH(2)ألنم����������وذج  .4
22 εεε 0.20.20.2z عن����������دما تك����������ون  =++

) 1 , 0 ( Normal  ~tz  ت�زداد ج�ودة تقدیرالمعلم�ة بزی�ادة حج�م العین�ة(2)ومن النتائج الواردة في جدول،(n) ف�ي ،
،وتك�ون  nفتك�ون متزای�دة بزی�ادة  3ρعموم�ا، إم�ا قیم�ة nمتناقصة بزیادة  MSEaو BIASaحین تكون قیم المعیارین 

متذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة حجم العینة. وتعد دقة انم�وذج التنب�وء جی�دة لك�ل احج�ام  MAPEقیم المعیار اإلحصائي 
وء جیدة جدا عن�د حج�م العین�ة ، اذ تكون دقة انموذج التنب50%التي تكون اقل من MAPEالعینات تبعا للقیمة المئویة لـ 

n=120  وفقا للقیمة المئویة لـMAPE 10%التي تكون اقل من. 
للتق�دیر عن�د ق�یم ع�دة ل�ـ   WLSEباس�تعمال الطریق�ة المقترح�ة (12)عل�ى وف�ق الص�یغة  AR(3)ثالثا: إن جودة تقدیر األنم�وذج 

0.99 0.6, 0.3,α  عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع =
) σ, 0μ 1 (الطبیع��ي القیاس��ي ب��المعلمتین   .1 2 ، انظ��ر الملح��ق .  (5-3)و (1-3)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین ==

. وعل�ى وف�ق معی�ارالتحیز (n)وحج�م العین�ة  αتتحسن بزی�ادة قیم�ة  EESa)نالحظ ان جودة تقدیر معلمات األنموذج (
، ف�أن تل�ك التق�دیرات تك�ون أج�ود MSEa)ومعیار متوس�ط مربع�ات خط�أ تق�دیر المعلم�ة ( (BIASa)في تقدیر المعلمة 

، إذ تك�ون قیم�ة التحی�ز موجب�ة عن�د معظ�م إحج�ام (1-3)كلما اقتربت قیم�ة المعلم�ة م�ن الص�فر وكم�ا مب�ین ف�ي الج�دول
ومتزای��دة  nن بزی��ادة قیم��ة فتك��ون متذبذب��ة بزی��ادة ونقص��ا (B(a))العین��ات. إم��ا لقیم��ة معیارمربع��ات الخط��اء الم��وزون 

0.3αع��دا  nو αفتك�ون تل�ك الق�یم موجب�ة ولك�ل ق�یم  MAPEعموم�ا. ولق�یم المعی�ار اإلحص�ائي αبزی�ادة قیم�ة =
.وعن�د القیم�ة (5-3)، انظ�ر الج�دول αولك�ل ق�یم  n=30-120لق�یم n، ف�ي ح�ین تك�ون ق�یم متناقص�ة بزی�ادة n=240و

0.99α تبع��ا للقیم��ة المئوی��ة ل��ـ  n=120ف��ان دق��ة انم��وذج التنب��وء تع��د غیرجی��دة لك��ل احج��ام العین��ات ع��دا قیم��ة  =
MAPE  50%التي تكون اقل من. 

σ, 1 (μ 1 (اللوغ��ارتمي الطبیع��ي ب��المعلمتین  .2 2 ، وعل��ى وف��ق (5-3) و(2-3)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین ==
فان تلك التقدیرات تكون اكبر مقارنة بالقیم المفترضة لألنموذج الذي ولدت منھ السلسلة الزمنیة ولكل قیم EESaمعیار 

α )وحجم العینة(n إما على وفق معیار التحیز في تقدیر المعلمة .(BIASa)  فتكون تل�ك الق�یم س�البة لك�ل ق�یمα  وn .
  nومتناقص�ة بزی�ادة  αمتناقص�ة بزی�ادة قیم�ة MSEa)معیار متوسط مربعات خطأ تقدیر المعلم�ة ( في حین تكون قیمة

363 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

0.99αلقیم�ة ف�ي ح��ین  αبزی�ادة قیم�ة (B(a)).وت��زداد قیم�ة معی�ار مربع�ات الخط�أ الم��وزون αبخ�الف بقی�ة ق�یم=
ومتذبذب�ة  αفتكون متناقصة بزی�ادة قیم�ة  MAPE إما قیمة المعیاراإلحصائي .nتكون متذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة 

0.99α. وعن�د القیم�ة (5-3)لج�دول ، وكما مبین في اnبزیادة ونقصان بزیادة قیمة  ف�ان دق�ة انم�وذج التنب�وء تع�د  =
 . 50%التي تكون اكبرمن MAPEغیرجیدة لكل احجام العینات تبعا للقیمة المئویة لـ 

) b,  1a 1 (ب��المعلمتینالمن��تظم المس��تمر  .3 =−=  ، نالح��ظ ان ج��ودة(5-3)و(3-3)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین 
متناقص�ة  (BIASa)عموما. في حین تكون قیم التحیز في تقدیر المعلم�ة  n)وحجم العینة ( αالتقدیرتتحسن بزیادة قیمة

0.99αلقیمة   nبزیادة  . MSEa). والشئ نفسھ لمعیار متوسط مربع�ات خط�أ تق�دیر المعلم�ة (αبخالف بقیة قیم  =
0.99αلقیمة  nفتكون متزایدة بزیادة  B(a)إما قیمة معیار ، التي تكون ألغلب حجوم العین�ات αبخالف بقیة قیم  =

فتك�ون متذبذب�ة  (5-3)وكم�ا مب�ین ف�ي الج�دول  MAPE. إم�ا قیم�ة المعیاراإلحص�ائي nمتذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة 
وألغلب حج�وم العین�ات. وعن�د القیم�ة  α، في حین تكون متزایدة بزیادة قیمة αوألغلب قیم  nنقصان بزیادة بزیادة و
0.99α  MAPEتبعا للقیمة المئویة لـ  n=60,240فان دقة انموذج التنبوء تعد جیدة لكل احجام العینات عدا قیمة  =

 .  50%التي تكون اكبرمن
4.  )t  انظر الملحق، نالحظ وبشكل عام ان جودة تقدیر (5-3) و(4-3)ومن النتائج الواردة في الجدولین (2)) بدرجة حریة

ومعی�ار  (BIASa). إما على وفق معی�ارالتحیزفي تق�دیر المعلم�ة n)وثبوت حجم العینة ( αالمعلمة تتحسن بزیادة قیمة
، في حین تك�ون nوثبوت  αفتكون تلك القیم غالبا متناقصة بزیادة قیمة  MSEa)توسط مربعات خطأ تقدیر المعلمة (م

، وبشكل عام تتحس�ن ج�ودة التق�دیر كلم�ا اقترب�ت تل�ك الق�یم م�ن αعموما بثبوت قیمة  nمتذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة 
نالح�ظ ان قیم�ة (5-3). وم�ن الج�دول αولكل ق�یم  nفتكون غالبا قیم متناقصة بزیادة  B(a)الصفر. إما بالنسبة لمعیار 

. وعن�د αوثب�وت قیم�ة  nدة تك�ون متذبذب�ة بزی�ادة ونقص�ان وألغل�ب حج�وم العین�ات بزی�ا MAPEالمعیار اإلحصائي 
0.99αالقیمة  تبع�ا للقیم�ة  n=30,240,480فان دقة انموذج التنبوء تعد غیرجی�دة لك�ل احج�ام العین�ات ع�دا قیم�ة  =

 . 50%التي تكون اقل من MAPEالمئویة لـ 
عند ق�یم ع�دة  WLSEباستعمال الطریقة المقترحة للتقدیر  (12)على وفق الصیغة  AR(3)رابعا: إن جودة تقدیر األنموذج 

α,0.3 ,0.6 0.99لـ  وكم�ا  q=1,2برتب�ة  ARCH(q) عند خضوع متغیر حد الخطأ لنماذج مفترضة عدی�دة ل�ـ =
 یأتي : 

1ttt-على وفق الصیغة ARCH(1)ألنموذج  .1
2εzε 0.450.25  Normal  ~tz ) 0 , 1 (عن�دما تك�ون     =+

انظ��ر الملح��ق، بش��كل ع��ام نالح��ظ ان ج��ودة تق��دیر المعلم��ة تتحس��ن (5-4)و  (1-4)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین 
ومعی�ار  (BIASa). إم�ا بالنس�بة ال�ى ق�یم المعی�ارین التحی�ز ف�ي تق�دیر المعلم�ة n)وحج�م العین�ة ( αبزیادة قیمة كل من

0.99αبالتحدی�د لقیم�ة nو  αفتكون متناقصة بزیادة قیمة كل من MSEa)مة (متوسط مربعات خطأ تقدیر المعل = ،
 (B(a))إذ تتحسن جودة التقدیركلما اقتربت تلك القیم من الصفر. إم�ا بالنس�بة ال�ى ق�یم معی�ار مربع�ات الخط�أ الم�وزون 

عن��د القیم��ة  B(a)ف��ان قیم��ة  (1-4)،وكم��ا مب��ین ف��ي ج��دول αوقیم��ة nفتك��ون عموم��ا متذبذب��ة بزی��ادة ونقص��ان بزی��ادة 
0.99α تك�ون  MAPEنالحظ  أن قیم المعی�ار اإلحص�ائي  (5-4)تكون متزایدة بزیادة حجم العینة. ومن الجدول  =

0.99αوألغلب حجوم العینات. وعن�د القیم�ة  αعموما متناقصة بزیادة قیمة  ف�ان دق�ة انم�وذج التنب�وء تع�د جی�دة  =
. إذ تع�د دق�ة انم�وذج 50%التي تك�ون اكب�رمن MAPEتبعا للقیمة المئویة لـ  n=480جدا لكل احجام العینات عدا قیمة 

 التنبوء جیدة جدا عند بقیة الحجوم .  

1ttt-ص�یغةعلى وف�ق ال ARCH(1)ألنموذج  .2
2εε 0.20.5z وم�ن  Normal  ~tz ) 0 , 1 (عن�دما تك�ون =+

 α، عموم�ا نالح�ظ ان ج�ودة تق�دیر المعلم�ة تتحس�ن بزی�ادة قیم�ة ك�ل م�ن (5-4)و (2-4)النتائج ال�واردة ف�ي الج�دولین 
 αفتك�ون متزای�دة  بزی�ادة B(a) . إما بالنسبة الى ق�یم MSEaو BIASa. والشئ نفسھ لقیم المعیارین n)وحجم العینة (

. إما بالنسبة لقیم المعیار اإلحص�ائي αوثبوت قیمة n، في حین تكون تلك القیم متذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة  nوثبوت
MAPE  فان تلك القیم تك�ون متزای�دة عموم�ا بزی�ادة قیم�ة (5-4)المدونة في جدولα  وألغل�ب حج�وم العین�ات. وعن�د

0.99αالقیمة  الت�ي تك�ون اق�ل  MAPEفان دقة انموذج التنبوء تعد جیدة لكل احجام العینات تبعا للقیمة المئویة لـ  =
التي تك�ون  MAPEتبعا للقیمة المئویة لـ  n=120,240ا عند حجم العینة . إذ تعد دقة انموذج التنبوء جیدة جد50%من

 .10%اقل من

t-1ttt-2عل���������ى وف���������ق الص���������یغة ARCH(2)ألنم���������وذج  .3
22 εεε 0.20.20.01z عن���������دما تك���������ون =++

) 1 , 0 ( Normal  ~tz بش��كل ع��ام نالح��ظ ان ج��ودة تق��دیر (5-4)و (3-4)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین ،
، إذ إن ج�ودة التق�دیر تك�ون أفض�ل عن�د حج�وم العین�ات الكبی�رة n)وحجم العین�ة( αالمعلمة تتحسن بزیادة قیمة كل من 

ومعی��ار متوس��ط  (BIASa). وت��زداد ج��ودة التق��دیرعلى وف��ق معی��ارالتحیز ف��ي تق��دیر المعلم��ة n=480بالتحدی��د عن��د 
0.99αبالتحدی�د عن�د القیم�ة ل�ـ αوقیم�ة  (n)بزی�ادة حج�م العین�ة  MSEa)عات خطأ تقدیر المعلمة (مرب إذ تك�ون  =

364 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

. إم�ا nالتي تك�ون فیھ�ا ق�یم المعی�ارین متذبذب�ة بزی�ادة ونقص�ان بزی�ادة  α، بخالف بقیة قیم nتلك القیم متناقصة بزیادة 
 (5-4). ومن الج�دول αوقیمة  nفتكون عموما متزایدة بزیادة  (B(a))بالنسبة الى قیم معیار مربعات الخطأ الموزون 

بالتحدی���د لقیم���ة αالعین���ة وقیم���ة تك���ون متناقص���ة عموم���ا بزی���ادة حج���م MAPEنالح���ظ ان ق���یم المعی���ار اإلحص���ائي 
0.99α 0.99α، إذ تكون متذبذبة بزیادة ونقصان بزیادة حج�م العین�ة. وعن�د القیم�ة αبخالف بقیة قیم  = ف�ان  =

التي تك�ون اق�ل  MAPEتبعا للقیمة المئویة لـ  n=120,240دقة انموذج التنبوء تعد غیر جیدة  لكل احجام العینات عدا 
 . 50%من

t-1ttt-2عل����������ى وف����������ق الص����������یغة ARCH(2)ألنم����������وذج  .4
22 εεε 0.20.20.2z عن����������دما تك����������ون =++

) 1 , 0 ( Normal  ~tz بش��كل ع��ام نالح��ظ ان ج��ودة تق��دیر (5-4)و (4-4)وم��ن النت��ائج ال��واردة ف��ي الج��دولین ،
ومعی�ار  (BIASa). والشئ نفسھ لقیم التحیز في تق�دیر المعلم�ة n)وحجم العینة ( αالمعلمة تتحسن بزیادة قیمة كل من 

،إذ تتحسن جودة التق�دیر ب�اقتراب قیم�ة المعی�ارین م�ن الص�فر. ف�ي ح�ین  MSEa)متوسط مربعات خطأ تقدیر المعلمة (
نالح�ظ ان  (5-4)وحجم العینة. ومن الج�دول  αمتزایدة بزیادة قیمة  (B(a))تكون قیم معیار مربعات الخطأ الموزون 

ولكل حج�وم العین�ات المس�تعملة ف�ي البح�ث ،ف�ي  αتكون متناقصة عموما بزیادة قیمة MAPEقیم المعیار اإلحصائي 
0.99αحین تكون متناقصة بزیادة حج�م العین�ة عن�د القیم�ة  بزی�ادة حج�م  αذب�ة بزی�ادة ونقص�ان لبقی�ة ق�یم ، ومتذب=

0.99αالعینة. وعند القیم�ة  تبع�ا للقیم�ة  n=30ف�ان دق�ة انم�وذج التنب�وء تع�د جی�دة لك�ل احج�ام العین�ات ع�دا قیم�ة  =
تبع�ا   n=120,240الحجم�ین  .اذ تع�د  دق�ة انم�وذج التنب�وء جی�دة ج�دا عن�د50%التي تكون اقل م�ن MAPEالمئویة لـ 

 .10%التي تكون اقل من MAPEللقیمة المئویة لـ 
 

 . الجانب العملي4
المتقدم ذكرھم�ا ف�ي الجان�ب النظ�ري ورب�ط الجان�ب التجریب�ي  WLSEو  LDRفي ھذا المبحث طبقت طریقتا التقدیر 

بالجانب العملي من خالل تطبیق طریقتي التقدیرعلى البیانات المستحصلة من الواقع العملي. فقد اعتمدت البیان�ات المت�وافرة 
نویة الت��ي تع��دھا وح��دة ف��ي وح��دة المتابع��ة والتخط��یط للش��ركة العام��ة لتص��نیع الحب��وب ف��ي الع��راق . باالعتم��اد التق��اریر الس��

المتابعة في ھذه الشركة وھي من إحدى الشركات الصناعیة واإلنتاجیة والتسویقیة التابع�ة ل�وزارة التج�ارة، الت�ي تھ�دف إل�ى 
المساھمة في دعم االقتصاد الوطني في مجال إنتاج وتوزیع الطحین على الوكالء لتامین توزیعھ على المواطنین واإلش�راف 

زوالص��مون ف��ي مص��انع الش��ركة والقط��اع الخ��اص. وق��د تض��منت تل��ك البیان��ات كمی��ة الحب��وب المطحون��ة ( عل��ى إنت��اج الخب
المتض��من كمی��ة الحب��وب المطحون��ة (7)( انظ��ر الج��دول 2011وال��ى غای��ة س��نة  2007باألطن��ان) ش��ھریا للم��دة م��ن س��نة 

لتخطیط في  تقدیراالنتاج المخطط من  كمیة (باألطنان) شھریا) ،وعلى مستوى القطر. ویعتمد العاملون في وحدة المتابعة وا
الحبوب المطحونة باالعتماد على عدد االفراد في المحافظة  التي ی�تم الحص�ول علیھ�ا م�ن وزارة التج�ارة والمستحص�لة م�ن 
متابعة المتغیرات الشھریة التي تحدث على البطاقة التموینیة مضروبا في تسعة التي تمثل حصة الفرد من الطحین مضروب 

للحص��ول عل��ى اربع��ة نم��اذج مقترح��ة للتق��دیر بكمی��ة  WLSEو  LDR% . وھن��ا طبق��ت طریقت��ا التق��دیر 102ف��ي النس��بة 
الحبوب المطحونة لغرض تحدید االنموذج االكث�ر مالئم�ة للتق�دیر كمی�ة الحب�وب المطحون�ة وتبع�ا للمقی�اس االحص�ائي ال�ذي 

للحصول على النت�ائج المتعلق�ة بتطبی�ق طریقت�ي التقدیرالمتق�دم  Matlabترغب الشركة باالعتماد علیھ. وقد استعمل برنامج 
 ذكرھما. 

فقد رسمت السلسلة الزمنیة التي تمثل كمیة الحبوب المطحون�ة (باألطن�ان) ش�ھریا، بھ�دف االط�الع عل�ى ش�كل السلس�لة 
تقرة أم ال فق�د رس�مت ق�یم دال�ة المبین في الملحق. و لمعرفة فیما إذا كانت السلسلة الزمنی�ة مس� (1)انظر الشكل  (x)الزمنیة 

 ,Lag(k))اي  kللعین�ة عن�د اإلزاح�ة  ACFالمتق�دم ذكرھم�ا. و تحس�ب ق�یم  (x)للسلس�لة الزمنی�ة  (ACF)االرتباط الذاتي 

k=0,1, 2,….) والتي یرمز لھا بـ) r( k
^

 على وفق الصیغة اآلتیة: 
 

 

-kإذ إن
^

k

^
rr التي یرمز لھا  (.…,Lag(k), k=0,1, 2) اي  Lag(k). إما صیغة حساب دالة التغایرالذاتیة للعینة عند =

k(γ(بـ 
^

 -فتكون على وفق االتي :  

 0,1,...k         ,  ) x- (x ) x- (x)(1/n)k(γ k-ttn 1kt
^

== ∑ += 
انظ��ر الملح��ق ،نالح��ظ  من��ھ  ض��عف اس��تقراریة السلس��لة الزمنی��ة وذل��ك لع��دم اقت��راب ق��یم  (2)وكم��ا یتب��ین م��ن الش��كل 

 WLSEوطریق�ة  LDRمعامالت االرتباط الذاتي من الص�فر بع�د اإلزاح�ة األول�ى والثانی�ة.  وق�د اس�تعملت طریق�ة التق�دیر 
α,0.3 ,0.6 0.99بق��یم ع��دة ل��ـ  ، إي تق��دیر أنم��وذج p=1,2,3,4، لتق��دیر نم��اذج االنحدارال��ذاتي ض��من مجموع��ة ق��یم ل��ـ =

AR(1) وAR(2) وAR(3)  وAR(4)  ثم تحدید الرتبة المثلى لألنموذج تبعا لمقیاس اقل قیمة لـ 

 0,1,...k      ,γ/γr 0
^

k

^

k

^
==

365 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 . ( 7 )على وفق الصیغة  LDRالذي یتم حسابھ بطریقة ) ρ (متوسط مربعات الخطأ  •
 .(11)الذي یتم حسابھ على وفق الصیغة  WLSEباستعمال طریقة  (B(a))ت الخطأ الموزون مربعا  •
 .(18)الذي یتم حسابھ على وفق الصیغة  (MAPE)معدل القیم المطلقة لنسب األخطاء   •

ب�ان الرتب�ة  (5)والمبین�ة ف�ي الملح�ق. وكم�ا مب�ین م�ن الج�دول  6)و 5وقد لخصت النت�ائج مم�ا تق�دم ذك�ره ف�ي الج�دولین (    
، اال ان�ھ تك�ون القیم�ة  AR(4)اي انم�وذج  p=4عن�د الرتب�ة  LDRبطریق�ة ρتبع�ا ألق�ل قیم�ة ل�ـ  AR(p)ألنم�وذج المثل�ى 

 ρقیم�ة ل�ـ ، اال ان�ھ تك�ون AR(1)اي انم�وذج  p=1عند الرتبة  MAPEاكبر من قیمة القیمة المئویة لـ  MAPEالمئویة لـ 
الت�ي تمث�ل  (x)یوضح رس�م ق�یم السلس�لة الزمنی�ة في الملحق الذي   (3).انظرالشكل  p=4 عند الرتبة  ρاكبر مقارنة بقیمة 

 p=1ف�ي ح�ین تك�ون الرتب�ة المثل�ى عن�د الرتب�ة  .AR(4)كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع القیم المقدرة لھ�ا ب�أنموذج 
 p=[1-4]للرت�ب  AR(p). وبشكل عام تعد دقة انموذج التنبوء مقبول�ة عن�د ك�ل النم�اذج المقترح�ة MAPEألقل قیمة لـتبعا 

 (x)یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة الذي  (4)انظرالشكل ، [1]%انظر المصدر 50اقل من  MAPEوفقا للقیمة المئویة لـ 
 . LDRبطریقة AR(1)مع القیم المقدرة لھا بأنموذج 

تتحس��ن اي تحق��ق ش��رط  WLSEنالح��ظ ان ج��ودة تق��دیر معلم��ات انم��وذج االنحدارال��ذاتي  بطریق��ة  (6)وم��ن الج��دول      
pia..,1,2االستقراریة  1pi i1 =∀<∑ α 0.99بالتحدی�د عن�د القیم�ة  αبزیادة قیمة  = . وم�ن ث�م س�یتم تحدی�د =

معی�ارین المن�اظرین لق�یم المعلم�ات الت�ي تحق�ق ش�رط االس�تقراریة، وب�ذلك س�تكون الرتب�ة المثل�ى الرتبة المثل�ى عل�ى وف�ق ال
α 0.99عن�د القیم�ة) B(a) (متوسط مربعات الخطأ تبعا ألقل قیمة لـ AR(p)ألنموذج  ، انظ�ر الش�كل p=4عن�د الرتب�ة =

والتي تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع الق�یم المق�درة  (x)یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة في الملحق الذي  (4)
ال��ذي  (4)انظرالش�كل ، MAPEتبع�ا ألق��ل قیم�ة ل��ـ  p=1ف��ي ح�ین تك��ون الرتب�ة المثل��ى عن�د الرتب��ة   .AR(4)لھ�ا ب�أنموذج 

α 0.99عند القیمة WLSE بطریقة AR(1)مع القیم المقدرة لھا بأنموذج  ( x )یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة  =. 
 االستنتاجات  .5

وطریق�ة اق�ل مربع�ات   (LDR)التكراری�ةLevinson-Durbin تناولن�ا ف�ي ھ�ذا البح�ث كفای�ة وج�ودة التق�دیر بطریق�ة
. لدراس�ة كفای�ة تق�دیرات تل�ك all-poleف�ي تق�دیر نم�اذج االنح�دار ال�ذاتي او ماتس�مى بنم�اذج  (WLSE) الخط�أ الموزون�ة 

المس�تقر، عن�دما یحی�د س�لوك العملی�ة ع�ن الطبیعی�ة، وذل�ك م�ن خ�الل افت�راض  AR(3)الطریقتین المتقدم ذكرھما ألنم�وذج 
 AR(3) افت�راض ب�ان ح�د الخط�أ ألنم�وذجغی�ر الطبیعی�ة، فض�ال ع�ن AR(3) توزیعات احتمالیة عدة لحد الخط�أ ألنم�وذج 

 ، لحجوم مختلفة من العینات.q=1,2برتبة  ARCH(q)یخضع ألنموذج 
وقد تم التحري عن جودة التقدیر من خالل مقیاس التقدیر التجریبي للمعلمة والتحیز في تقدیر المعلمة ومتوسط مربعات 

ومربع��ات الخط��أ  LDRمربع��ات الخط��أ بطریق��ة ،ومتوس��ط WLSEو LDRالخط��أ للمعلم��ة المحتس��بة بك��ال الط��ریقتین 
. فض�ال ع�ن احتس�اب المقی�اس اإلحص�ائي المتمث�ل بمع�دل الق�یم المطلق�ة لنس�ب األخط�أ WLSEالموزونة المحتسبة بطریقة 

(MAPE) .ولكال الطریقتین 
 أوال: نبین أھم االستنتاجات التي أفضت إلیھا النتائج التجریبیة وكما یاتي:

) وبش�كل ع�ام  ف�ان ج�ودة  tالطبیعي القیاسي و التوزیع المنتظم المس�تمروتوزیع ( لخطأ للتوزیع عند خضوع متغیر حد ا .1
، إذ ت�زداد ج�ودة التق�دیر LDRالتقدیر تكون ممتازة إلحجام العینات الكبیرة على وف�ق مق�اییس التق�دیر للمعلم�ة بطریق�ة 

للمعلمة من الصفر،وتختلف دقة انموذج التنبوء عن�د كلما اقتربت قیمة التحیز في تقدیر المعلمة ومتوسط مربعات الخطأ 
. إما بالنس�بة MAPEخضوع متغیر حد الخطأ لتوزیع معین وفقا لكل حجم من احجام العینات وبحسب القیمة المئویة لـ 

α 0.99بالتحدید عند القیمة  αفیمكن تعمیم ما تقدم ذكره غیر إن جودة التقدیر تزداد بزیادة قیمة WLSEلطریقة  =
. 

فان جودة تقدیر المعلمة تقل وألحجام العین�ات كاف�ة عل�ى  اللوغارتمي الطبیعيإما عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع   .2
لقیم وفق مقیاس التحیز في تقدیر المعلمة ومتوسط مربعات الخط�أ للمعلم�ة، إذ تك�ون التق�دیرات المعلم�ة اكب�ر مقارن�ة ب�ا

. تع�د دق�ة انم�وذج LDRومن ثم  تكون قیم التحی�ز س�البة ولكاف�ة إحج�ام العین�ات بطریق�ة  AR(3)المفترضة لألنموذج 
. إم�ا 50%الت�ي تك�ون اكب�رمن  MAPEالتنبوء غیرمضبوطة( غیر مقبولة) ألحجام العینات كافة تبعا للقیمة المئویة لـ 

 وحجم العینة. αكره غیران جودة التقدیر لم تتحسن بزیادة قیمة فیمكن تعمیم ما تقدم ذ WLSEبالنسبة الى طریقة 
وتبع�ا لمعلم�ات ك�ل أنم�وذج، إذ تتحس�ن ج�ودة التق�دیر  q=1,2برتبة  ARCH(q)عند خضوع متغیرحد الخطأ ألنموذج   .3

العین�ة، ویك�ون التق�دیر ممت�از على وفق مقیاس التحیز في تقدیر المعلمة ومتوسط مربع�ات الخط�أ للمعلم�ة بزی�ادة حج�م 
، وتختلف دق�ة انم�وذج التنب�وء عن�د خض�وع متغی�ر ح�د الخط�أ LDRبطریقة  n=240,480عند إحجام العینات الكبیرة 

ف�یمكن  WLSE. إما بالنسبة لطریق�ة MAPEلتوزیع معین تبعا  لكل حجم من احجام العینات وبحسب القیمة المئویة لـ 
α 0.99بالتحدید عند القیمة αتعمیم ما تقدم ذكره غیر إن جودة التقدیر تزداد بزیادة قیمة  =. 

) ρ(ثانی�ا: وم�ن أھ�م االس�تنتاجات الت�ي أفض�ت إلیھ�ا النت�ائج العملی�ة،بان قیم�ة متوس�ط مربع�ات الخط�أ k   بطریق�ةLevinson-
Durbin التكراری��ة(LDR)  تك��ون اق��ل مقارن��ة  بقیم��ة  معی��ار مربع��ات الخط��أ الم��وزون(B(a))  المحتس��ب بطریق��ة اق��ل

ح��ددت نفس��ھا الرتب��ة المثل��ى  WLSEوطریق��ة  LDR. وان ك��ال م��ن طریق��ة التق��دیر(WLSE)مربع��ات الخط��أ الموزون��ة 

366 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

) ρ(تبعا لمقیاس اقل قیمة لمتوسط مربعات الخطاء p=4ألنموذج االنحدار الذاتي عند الرتبة عند الرتبة  k ال�ذي ی�تم حس�ابھ
ال�ذي ی�تم  WLSEباس�تعمال الطریق�ة المقترح�ة  (B(a))ومربع�ات الخط�أ الم�وزون  (7)على وفق الص�یغة  LDRبطریقة 

   الطریقتین المتقدم ذكرھا.ولكال MAPEتبعا ألقل قیمة لـ   p=1. في حین حددت الرتبة (11)حسابھ على وفق الصیغة 
 

References 
1. Garg , Mohit. (2003). "Linear Prediction Algorithms", Indian  Institute of Technology, 

Bombay, India, Apr 2003. 
2. Roth, K., & Kauppinen, I. . (2003). "Frequency warped Burg's Methods for AR- Modeling 

", IEEE Workshop on Applications of Signal Processing to Audio and Acoustics, October 
19-22. 

3. Liew, Venus Khim-Sen (2004). "Which Lag Length Selection Criteria Should We 
Employ?" Economics Bulletin, 3(33), 1-9. 

4.  Hwang,s.,y.. (2005)."Explosive random –coefficient AR(1) processes and related 
asymptotics for least squares estimation".Journal of time series analysis ISSN:01439782- 
Vol-26 , Issue-6, pages 807-824 provider : Blackwell publisher: Blackwell publishing 
DOI. 

5.  Zahid Asghar1 and Irum Abid2,(2007).Performance of Lag Length Selection Criteria in 
Three Different Situations. (By internet), interstat journals. Net/year 2007/articles. 

6.  Chen ,WillaW., Deo, Rohit S. (2010)"Weighted least squares approximate restricted 
likelihood estimation for vector autoregressive processes", Biometrika ISSN: 00063444, 
Vol. 97, Issue:1  Pages : 231-237, Provider: oxford University press( OUP) puplisher : 
oxford University press DOI:10.1093/biomety/asp071. 

 ،" حول معاییر المعلومات لتحدید طول االزاحة الفعلیة لنماذج االنحدار الذاتي " بحث منشور في (2012). عباس ، جنان 7
 . (18)العدد  -مجلة المنصورالسنة الثانیة عشرة    
 ي بطرق االنحدار الذاتي " بحث مقبول للنشر في  مجلة كلیة بغداد     ،" تحدید افضل مقدر خط(2013). عباس ، جنان  8

 .2013/3/10بتاریخ  / 13/99للعلوم االقتصادیة بموجب الكتاب ذي العدد م      
9. Lewis, C. D. .(1982). Industrial and Business Forecasting Methods, London, 

Butterworths.     
10. Broersen . P. M.T.. (2006)." Automatic Autocorrelation and Spectral Analysis", Springer-

Verlag London Limited. 
11. Wang, W., & Wong, A.K.. (2000). " A Model-Based Gear Diagnostic Technique ", DSTO 

Technical Report, DSTO Aeronautical and Maritime Research Laboratory, Australia. 
12. Wei, w. w. s. (1990). Time series Analysis: Univariate and Multivariate methods, 

Addison- wesly publishing –Inc., U.S.A. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

367 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 التكراریة Levinson – Durbin  یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة ( 1 ) جدول 
(LDR)  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات  األنموذجAR(3)  (12)المستقر في الصیغة 

~σ, 0μ ( Normal 1 (وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع الطبیعي القیاسي  2tε  و ==
~σ,  1μ ( Lognormal 1 (التوزیع اللوغارتمي  الطبیعي  2tε  والتوزیع المنتظم المستمر==

) 1 ,  1 ( Uniform Cont.~tε t(df sStudent'~tε(2وتوزیع − =. 

 

 )1تابع جدول ( 
 

 . 100یتم ضرب القیمة المدونة بالجدول اعاله في  MAPEمالحظة: للحصول على القیمة المئویة لـ  

368 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 التكراریة  Levinson – Durbin  یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة(2) جدول
(LDR)  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذجAR(3)  (12)المستقر في الصیغة  

 تبعا لمعلمات كل أنموذج . ARCH(q=1,2)وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج 

 
 2)تابع جدول (          

 
 .100ل اعاله في یتم ضرب القیمة المدونة بالجدو MAPEمالحظة: للحصول على القیمة المئویة لـ  

 

369 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة(1-3) جدول 
 (WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج=

 AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ الطبیعي القیاسي  (12)المستقر في الصیغة
) 1 σ, 0μ ( Normal~ 2tε ==. 

 
 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة (2-3) جدول 
(WLSE)   0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  المأخوذة وقیم معلمات األنموذج على وفق حجوم  العینات =

 AR(3)  اللوغارتمي الطبیعيوذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع  (12)المستقر في الصیغة 
) 1 σ1,μ ( Lognormal~ 2tε ==. 

 
 

370 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة(3-3) جدول 
 (WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج=

 AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع  (12)المستقر في الصیغة
) 1 b,  1a ( Uniform Continuous~tε =−=. 

 
 
 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة (4-3) جدول 
 (WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج =

AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع (12)المستقر في الصیغة 
2)t(df sStudent'~tε =. 

 

371 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 
    (WLSE)المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة  MAPEیوضح قیمة معیار (5-3) جدول 

α,0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ    AR(3)على وفق حجوم  العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج =
وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ للتوزیع الطبیعي القیاسي  (12)المستقر في الصیغة 

) 1 σ, 0μ ( Normal~ 2tε ~σ,  1μ ( Lognormal 1 (الطبیعي اللوغارتميو==
2

tε == 
Uniform Cont.~tε ) 1  , 1 (وتوزیع المنتظم المستمر  t(df sStudent'~tε(2و − =. 

 
 . 100یتم ضرب القیمة المدونة بالجدول اعاله في  MAPEمالحظة: للحصول على القیمة المئویة لـ  

 
 اقل مربعات الخطأ الموزونةیوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة (1-4) جدول 

(WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج=
AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج  (12)المستقر في الصیغةARCH(q=1) تبعا 

 لمعلمات كل أنموذج.

 
 
 

372 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونةیوضح قیم معاییر (2-4) جدول 
(WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج =
AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج  (12)المستقر في الصیغةARCH(q=1) تبعا 

 لمعلمات كل أنموذج .

 
 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة(3-4) جدول 
(WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج=

 AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج  (12)المستقر في الصیغةARCH(q=2) تبعا 
 لمعلمات كل أنموذج.

 
 

373 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة (4-4) جدول 
(WLSE)  0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ,α  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات األنموذج=

 AR(3)  وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج (12)المستقر في الصیغة،ARCH(q=2) تبعا 
 لمعلمات كل أنموذج .  

 
 
 
 
 
 

 معاییر المفاضلة المستعملة المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ  MAPEیوضح قیمة معیار (5-4) جدول 
α,0.3 ,0.6 0.99ولقیم عدة لـ  (WLSE)الموزونة  على وفق حجوم العینات المأخوذة وقیم معلمات  =

 ،وذلك عند خضوع متغیر حد الخطأ ألنموذج (12)المستقر في الصیغة  AR(3)األنموذج 
  ARCH(q=1,2) .تبعا لمعلمات كل أنموذج 

 
 . 100یتم ضرب القیمة المدونة بالجدول اعاله في  MAPEمالحظة: للحصول على القیمة المئویة لـ  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

374 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

  ) (ρیوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة التي تشمل قیم المعلمات المقدرة وقیم متوسط مربعات الخطأ  (5)جدول 
 عندما یكون حجم العینة (LDR)التكراریة  Levinson-Durbinالمحتسبة بطریقة  MAPEمع قیم معیار 

 n=60  ) ألنموذج االنحدار الذاتيAR(p) عندما تكون(p=1,2,3,4 . 

 
 

 یوضح قیم معاییر المفاضلة المستعملة التي تشمل قیم المعلمات المقدرة وقیم متوسط مربعات الخطأ (6)جدول 
(B(a))  مع قیم معیارMAPE  المحتسبة بطریقة اقل مربعات الخطأ الموزونة(WLSE)  ولقیم عدة لـ 

 0.99 0.6, 0.3,α  . p=1,2,3,4)عندما تكون AR(p)ألنموذج االنحدار الذاتي ( n=60عندما یكون حجم العینة =

 

 
التي  (x)) یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة 1شكل (

 تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) شھریا.
) یوضح رسم قیم دوال االرتباط الذاتي 2شكل (

التي تمثل كمیة الحبوب  (x)للسلسلة     الزمنیة 
 المطحونة ( باألطنان) شھریا.

 
التي  (x)) یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة 3شكل (

تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع القیم 
تبعا  AR(4)المقدرة لھا بأنموذج االنحدار الذاتي  

 .  LDRبطریقة ρألقل قیمة لـ 

التي  (x)) یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة 4شكل (
تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع القیم 

تبعا  AR(1)المقدرة لھا بأنموذج االنحدار الذاتي  
 .  LDRبطریقة MAPEألقل قیمة لـ  

375 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

 
التي  (x)) یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة 5شكل (

تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع القیم 
تبعا  AR(4)المقدرة لھا بأنموذج االنحدار الذاتي 

 .WLSEبطریقة  B(a)ألقل قیمة لـ 

التي  (x)) یوضح رسم قیم السلسلة الزمنیة 6شكل (
تمثل كمیة الحبوب المطحونة ( باألطنان) مع القیم 

تبعا ألقل  AR(1)اتي المقدرة لھا بأنموذج االنحدار الذ
 .WLSEبطریقة  MAPEقیمة لـ 

تبع���ا  AR(3): لتولی���د سلس���لة أنم���وذج (1)الخوارزمی���ة رق���م 
 .  (n)لتوزیع حد الخطأ المفترض في البحث وحجم العینة 

  AR(3):  تقدیر قیم معلمات أنموذج (2) الخوارزمیة رقم 
باالعتماد على قیم السلسلة المولدة وعلى وفق (LDR) بطریقة 

 .( 1 )الخطوات المتقدم ذكرھا في الخوارزمیة 

 
مالحظ���ھ : ی���تم تك���رار الخط���وات نفس���ھا أع���اله لتولی���د سلس���لة 

،ولك��ل توزی��ع  م��ن nتبع��ا ولك��ل حج��م عین��ة  AR(3)أنم��وذج 
 التوزیعات المفترضة لمتغیر حد الخطأ قید البحث.

 
مالحظ��ة: ی��تم تك��رار الخط��وات نفس��ھا أع��اله لحس��اب ق��یم مع��اییر 

) وعل���ى  18و16و 15و 14و 13المقارن���ة  عل���ى وف���ق الص���یغ  ( 
،ولكل توزی�ع م�ن التوزیع�ات المفترض�ة nالتوالي. ولكل حجم عینة 

 لمتغیر حد الخطأ قید البحث.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 مالحظھ حول خوارزمیات الجانب العملي : 
اذ یتم اعتماد الخوارزمیات انفسھا  للبیانات من الواقع العملي 

 . r=1ولكن عندما تكون 

376 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

  AR(3):  تق��دیر ق��یم معلم��ات أنم��وذج (3)الخوارزمی��ة رق��م 
باالعتماد على قیم السلسلة المول�دة وعل�ى  (WLSE) بطریقة 

 . ( 1 )وفق الخطوات المتقدم ذكرھا في الخوارزمیة 

 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

377 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 



 

Estimate AR(3) by Using Levinson-Durbin Recurrence    
& Weighted  Least Squares Error Methods 

 
Jinan Abbas Naser 

Dept. of Information Technique/Technical College of Management/Baghdad 
 

 Received in : 9 April 2013 , Accepted in : 24 June 2013 
 
Abstract 
      In this study, we investigate about the estimation  improvement for Autoregressive model 
of the third order, by using Levinson-Durbin Recurrence (LDR) and Weighted Least Squares 
Error (  WLSE ).By generating time series from AR(3) model when the error term for AR(3) 
is normally and Non normally distributed and when the error term has ARCH(q) model with 
order q=1,2.We used different samples sizes and the results are obtained by using simulation. 
In general, we concluded that the estimation improvement for Autoregressive model for both 
estimation methods (LDR&WLSE), would be by increasing sample size, for all distributions 
which are considered for the error  term , except the lognormal distribution. Also we see that 
the estimation improvement for WSLE method, depends on the value  for the Forgetting 
Factor parameter ( α ),which haave value less than one(i.e. 1) (α < ). The estimate is improved  
for large value for parameter α   exactly at 0.99α = .Finally, we used the estimation methods 
(LDR&WLSE) for real data. 
Key Words : Autoregressive models, Levinson-Durbin Recurrence method, Weighted 
Least Squares Error method. 

378 | Mathematics 

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÚÓ‘Ój�n€a@Î@Úœäñ€a@‚Ï‹»‹€@·rÓ:a@Âig@Ú‹©@Ü‹1a26@@ÖÜ»€a@I3@‚b«@H2013 

Ibn Al-Haitham Jour. for Pure & Appl. Sci.                                           Vol. 26 (3) 2013 


	تقدير انموذج AR(3) باستعمال طريقة Levinson–Durbin التكرارية       و طريقة المربعات الصغرى الموزونة
	جنان عباس ناصر
	الكلية التقنية الادارية - بغداد
	أستلم البحث في : 9 نيسان 2013 ، قبل في : 24 حزيران 2013
	الخلاصة
	في هذا البحث نتحرى حول طرائق التقديرلأنموذج الانحدار الذاتي من الرتبة الثالثة باستعمال طريقة Levinson–Durbin التكرارية (LDR) وطريقة المربعات الصغرى الموزونة   (WLSE). اذ تم توليد سلسلة زمنية من أنموذج AR(3)عندما يكون حد الخطأ يتبع التوزيع الطبي...
	الكلمات المفتاحية: نماذج الانحدار الذاتي ,طريقة Levinson–Durbin التكرارية ,طريقة المربعات الصغرى الموزونة .
	1.المقدمة
	تعد مسالة التنبوء من احدى المسائل المعروفة في تحليل السلاسل الزمنية, إذ إن دقة التنبوء بالأنموذج تعتمد حتما على الأنموذج الذي تم تقديره من سلسلة البيانات المستحصلة لعملية معينة على أوقات منتظمة , من هنا جاءت فكرة هذا البحث. إذ اختير أنموذج الانحدار...
	للسلسلة الزمنية لقيم t=1, 2, …, n  التي تمثل عينة عشوائية بحجم n مسحوبة من قيم معينة للظاهرة قيد البحث ,يمكن تمثيل أنموذج الانحدار الذاتي من الرتبة p والتي تمثل عدد المعلمات المراد تقديرها  للسلسلة الزمنية باستعمال الصيغة آلاتية [2,12]:
	إذ ان تمثل القيم المقدرة من العينة لدالة الارتباط الذاتي عند الازاحة k, وتبدأ هذه الطريقة على وفق الخطوات آلاتية [1,10]:
	1. بجعل قيمة , وكذلك قيمة .
	2. وبذلك فان قيمة معلمة الانعكاس , وكذلك قيمة .
	3. ثم حساب معاملات الانعكاس لـ k عندما تكون k=0,1,...,p على وفق الصيغة الاتية :
	اذ يتم حساب قيم معلمات أنموذج AR(p) بالاعتماد على قيمة معاملات الانعكاس لـ k من المعاملات على وفق الصيغة الاتية:
	إن الإشارة (*) تعني complex conjugateانظر المصادر [1,10,11] , أي قيمة المعلمة في المرحلة التكرارية السابقة وان
	إما تقديرات متوسط مربعات الخطأ  فتكون على وفق الصيغة آلاتية :
	تناولنا في الفقرة السابقة  طريقة Levinson- Durbin التكرارية التي يتطلب فيها حساب قيم دوال الارتباط الذاتي من العينة, لأية عملية عشوائيةعندما تكون t=1,2,..., n لحساب قيم معلمات المقدر الخطي/عملية الانحدار الذاتي بشكل تكراري. وهنا نستعمل طريقة اقل مربعا...
	وتبدأ هذه الطريقة على وفق الخطوات آلاتية   [1] :
	1. بجعل قيم متجه المعلمات ap=[1 0 0 ...0]T , وجعل P(1)=I  مصفوفة الوحدة من الرتبة , التي تدخل في عملية تحديث متجه المعلمات (a) او معاملات التنقية فيما بعد.
	2. يتم حساب القيمه التقديرية  بالمدة t=k ولقيم على وفق الصيغة الاتية :
	وتمثل u(k) قيم العينات الداخلة بالخطوة k, إي إن.
	3. يتم تحديث متجه المعلمات a بالمدة t=k على وفق الصيغة آلاتية:
	إذ إن تمثل Forgetting Factor وتكون قيمتها اقل من الواحد , إذ  تعتمد قيمة على طبيعة العملية المدخلة, وعادة ما تستعمل القيمة التي تكون عامل للموازنة بين خزن كل العينات السابقة في أثناء عملية حساب تقدير متجه المعلمات a لأنموذج الانحدار الذاتي (AR(P)).
	4. يتم تحديث المصفوفة P المستعملة في حساب قيم معلمات انموذج AR(P)على وفق الصيغة الاتية :
	وفي هذه الطريقة يتم تعريف معيار جديد يعتمد عليه لتقليل الأخطاء بين القيم المتنبأ بها والقيم الحقيقية.إذ يتم حساب المجموع الموزون للأخطأ وتقليله لمجموعة من الأوزان , إذ تتناقص تلك الأوزان للعينات الأقدم , ويتحقق ذلك باختيار الاوزان بطريقة ملائمة لت...
	3. الجانب التجريبي
	استعملت المحاكاة لغرض التحري عن حصانة التقديرات المستحصلة عليها  باستعمال,طريقة Levinson-Durbin التكرارية (LDR) وطريقة اقل مربعات الخطأ الموزونة (WLSE) بوصفها طريقتين لتقدير نماذج الانحدار الذاتي, وذلك من خلال بناء تجارب المحور المتقدم ذكره في المبحث ...
	1. تم استعمال التوزيع المنتظم المستمر بالمدة  a=-0.5و  b=0.5 لتوليد قيم معلمات أنموذجAR(3)  عشوائيا من التوزيع المنتظم  لثلاث قيم إي لتوليد  والتي تحقق شرط الاستقرارية ,انظر المصادر [3,5,7] وقد كانت تلك القيم كما يأتي:
	لتكون السلسلة الزمنية المولدة من أنموذج AR(3) التي سيتم دراستها على وفق الصيغة آلاتية:
	2. استعملت إحجام العينات n=30,60,120,240,480.
	3. استعملت أنموذج الانحدار الذاتي (AR(3)) المتقدم ذكره بالفقرة (1) بالصيغة (12) المبينة اعلاه, لتوليد قيم السلسلة الزمنية المستقرة من الأنموذج المتقدم ذكره وذلك عند افتراض توزيعات عدة لحد الخطاءفي الأنموذج منها:- التوزيع الطبيعي القياسي بمتوسط مساويا للصفر�
	 .
	  .
	 .
	 .
	لكل النماذج ARCH(q) المتقدم ذكرها أعلاه, تعرف بأنها متغير عشوائي يخضع للتوزيع الطبيعي بمتوسط صفر وتباين مقداره واحد إي إن  انظر المصدرين[5,7].
	4. ثم تجري  التجارب المختلفة تبعا لجميع التوليفات الممكنة للفروض المتقدم ذكرها أعلاه من خلال تكرار هذا التوليد للسلاسل الزمنية لـ 500 مرة لكل تجربة ولكل حجم عينة (n).
	5. ومن ثم يتم استعمال طريقتي LDR و WLSE لتقدير معلمات أنموذج AR(3) لكل n ولكل تكرار(r=500).
	وقد استعمل برنامج Matlab لكتابة برامج البحث,فضلا عن تحوير بعض البرامج المنشورة على الانترنت والمتعلقة بتلك الطريقتين المستعملة في البحث ( وعلى وفق الخوارزميات المرفقة في الملحق) لغرض الحصول على نتائج البحث.إذ سنلاحظ في كل مرة مالذي ستؤول إليه نتا...
	6. التقدير التجريبي للمعلمة باستعمال إي من الطريقتين LDR و WLSE ويحتسب على وفق الصيغة آلاتية:
	7. التحيز في تقديرالمعلمةباستعمال إي من الطريقتين LDR و WLSE ويحتسب على وفق الصيغة آلاتية:
	8. متوسط مربعات خطأ تقدير المعلمة باستعمال إي من الطريقتين LDR و WLSE و يحتسب على وفق الصيغة آلاتية :
	11. فضلا عن اختيار المقياس الإحصائي المتمثل بمعدل القيم المطلقة لنسب الأخطأ (Mean Absolute Percentage Error(MAPE)) باستعمال إي من الطريقتين LDR  و WLSE  لقياس دقة التنبوء الذي يحتسب على وفق الصيغة آلاتية [1] :
	إذ إن. إما صيغة حساب دالة التغايرالذاتية للعينة عند Lag(k) اي  (Lag(k), k=0,1, 2,….) التي يرمز لها بـ  فتكون على وفق الاتي : -
	Jinan Abbas Naser
	Dept. of Information Technique/Technical College of Management/Baghdad
	Abstract
	In this study, we investigate about the estimation  improvement for Autoregressive model of the third order, by using Levinson-Durbin Recurrence (LDR) and Weighted Least Squares Error (  WLSE ).By generating time series from AR(3) model when the...