Microsoft Word - 401-414 الرياضيات | 401 2016) عام 3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 ) لتقدير معلمات توزيع فريشيتبواسونليندلي (MLE &LSDمقارنة طريقتي المركب ( دراسة محاكاة) عماد حازم عبودي علي بندر نعيمه جامعة بغدادقسم الرياضيات, كلية االدرة واالقتصاد, 2016تشرين الثاني 2قبل البحث: , 2016ايلول 4استلم البحث: الخالصة تم في هذا البحث استعمال المحاكاة في المقارنة بين طريقتي االمكان االعظم وطريقة المربعات الصغرى المطورة MLE &DLS)لتقدير معلمات توزيع فريشيتبواسونليندليالمركب((frechetpoissonlindley distribution compound)بين الطريقتين بافتراض عدد من الحاالت وعدد من احجام برنامج بلغة الماتالب في المقارنة استعمال . وتم للمقارنة بين طريقتي التقدير وقد اظهرت نتائج المحاكاة ان طريقة االمكان (MSE)العينات واستعمال مقياس المقارنة ت الصغرى المطورة في تقدير معالم التوزيع المركب الجديد.االعظم كانت افضل بكثير من طريقة المربعا .)(MLE &DLS فريشيت , بواسونليندلي , التوزيعات المركبة, محاكاة ,الكلمات المفتاحية : الرياضيات | 402 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 المقدمة الكثير من نمذجة) من التوزيعات المهمة في Compound Distributions( تعد التوزيعات االحتمالية المركبة الظواهر كون هذه التوزيعات اكثر مرونة من التوزيعات القياسية وقد اهتم الكثير من الباحثين في دراسة مثل هذا النوع من التوزيعات سواء كانت مستمرة او مقطعة ,وهي التوزيعات التي تنتج من تِركيب توزيعين او اكثر من التوزيعات لتمثيل تمثيلها بالتوزيعات االحصائية القياسية بالشكل المطلوب لكون طبيعة هذه البيانات او الظواهر بعض البيانات التي ال يمكن تأتي اهمية دراسة طريقتي التقديرتحتم استعمال توزيعات مركبة تكون اكثر مرونة من التوزيعات القياسية في تمثيلها, وهنا MLE &DLS)( احثين هو توزيع فريشت بواسونليندلي لتقدير معلمات توزيع مقترح جديد من قبل الب )frechetpoissonlindley distribution compound( وهذا التوزيع ناتج من تركيب توزيع بواسونليندلي مع توزيع فريشيت ويمكن استعماله في نمذجة بيانات الكثير من الظواهر ويكون اكثر مرونة من التوزيعات القياسية االخرى. هدف البحث لتقدير معالم توزيع مقترح جديد من قبل الباحثين )(MLE &DLSن الهدف من هذا البحث هو مقارنة طريقتي تقديرا )وهذا التوزيع هو عبارة عن frechetpoissonlindley distribution compoundهو توزيع فريشت بواسونليندلي ( ) Frechet Distribution) مع توزيع فريشيت (توزيع مركب من توزعين هما توزيع بواسونليندلي(توزيع متقطع وتحديد اي الطريقتين تكون افضل في تقدير معالم هذا التوزيع باستخدام المحاكاة من خالل توظيف مقياس المقارنة (MSE) . الجانب النظري Frechet Poisson lindleyDistribution(التوزيع المقترح) ليندلي –توزيع فريشيتبواسون -1 التوزيع المقترح واحدا" من التوزيعات المركبة لكونه اكثر مرونة من التوزيعات القياسية في تمثيل البيانات اذ ان يعد استخدام هذا التوزيعات يعطي تقديرات اكثر دقة من التوزيعات القياسية فضال عن ان له تطبيقات واسعة في العديد من الة فشل في المعولية ودوال البقاء فضال عن استعماله في التنبؤ بحدوث العديد المجاالت وعلى سبيل المثال يستعمل كد من الظواهر الطبيعية كظاهرة الهزات األرضية والزالزل. )المستمر وتوزيع Frechetdistributionيمكن تعريف هذا التوزيع بانه توزيع مركب من توزيعين هما توزيع فريشت( - وان عملية االشتقاق لهذا التوزيع كمايـأتي: Poisson lindleyبواسونليندلي المتقطع ,نفرض أن ( ) وبدالة كثافة احتمالية Frechetdistribution) تمثل عينة عشوائية تتبع توزيع فريشيت (,…, P.d.f. :[3] [2][1] , , , 0 , 0 ∞ )، يمثل متغير عشوائي متقطع يتبع توزيع بواسونليندلي بدالة كثافة احتمالية:Nنفترض أن ( n=1,2,3,…. و P N n θ θ θ θ θ ,n ∈ N minنفترض أن ( , )، يمكن ايجاده على X/N=n) مستقلة، فأن التوزيع لـ(Z’s) و (N)، وأن (,…, النحو االتي: لدينا: g(X /N n ! ! ! 1 F X F X ………… 1 minبما أن: , ,…, Let K=1 ….. (2) g( / ! !! 1 F X e β α . . . 3 f X α β β X α e β α … 4 الرياضيات | 403 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 )، نحصل على :2) في المعادلة (4) و (3المعادلتين (نعوض g X/N n n 1 e β α α β β X α e β α … 5 g(X,n; θ, β, g X/N n ∗ P N n بما ان Xمعnوان الدالة المشتركة لتوزيع g(X,n; θ, β, n 1 e β α α β β α e β α θ θ θ θ θ … 6 g( ; , , ∑ 1∞ … 7 g( ; , , 2 … 8 أذ أن: I n 1 e β α θ 1 ∞ … 9 J n 1 e β α θ 1 ∞ … 10 ) على النحو االتي:10) و(9للمتسلسلتين (وبإيجاد حل ∞ 2 3 ⋯ 1 )، تكون على النحو االتي:Iفأن حل المتسلسلة ( I 1 e β α θ 1 1 1 β α θ I 1 e β α θ 1 θ 1 θ e β α I θ 1 1 e β α θ e β α … 11 االتي:)، فتكون على النحو Jأما بالنسبة للمتسلسلة ( J n 1 e β α θ 1 ∞ 1 e β α θ 1 4 1 e β α θ 1 9 1 e β α θ 1 ⋯ الرياضيات | 404 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 وأن: n y ∞ y 4y 9y ⋯ y 1 y 1 y )، تكون على النحو االتي:Jفأن حل المتسلسلة ( 1 2 1 … 12 ) فنحصل على :8المعادلة () في 11) و (12األن نعوض المعادلتين ( g( ; , , 2 g ; , , αθ βα e β α 1 3θ θ βXα 2 θ θ 1 θ e β α θ 1 θ 2 e β α θ e β α g ; , , αθ βα e β α θ 1 1 3θ θ βXα θ 1 θ 2 e β α θ 1 θ e β α g ; , , αθ βαe β α θ 1 1 3θ θ Xα θ 2 e β α θ e β α …. 13 θ 0 , 0 , 0 , 0 ليندلي تقديرات االمكان االعظم لتوزيع فريشت بواسون -2 تعد هذه الطريقة من الطرائق المهمة في تقدير المعلمات ألنها تحتوي على خصائص جيدة ، ومن اهم هذه الخصائص هي خاصية الثبات التي تعني ان المعلمة المقدرة باستعمال هذه الطريقة تحتوي على اكبر كمية من المعلوماتوعند تعويضها في رات تبقى هي اعظم ما يمكن, يمكن تعريف التقديرباستعمالهذه الطريقة بانه قيم دوال اخر مثل دالة المعولية فان هذه المقد الرياضيات | 405 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 )n(تمثل مفردات عينة عشوائية حجمها nx…., 2, x1xالمعلمات التي تجعل دالة اإلمكان في نهايتها العظمى، إذا كانت (L).[4]فان دالة اإلمكان االعظم يرمز لها أي أن: L = f(x1, ) f(x2, )…….. f(xn, ) وبما ان دالة االحتمالية للتوزيع المقترح االول αθ βαe β α θ 1 1 3θ θ Xα θ 2 e β α θ e β α فان Lf αθ βα θ 1 1 3 e ∑ β α 1 Xα 2 نأخذ اللوغاريتم للطرفين lnLf 2 α 2 1 β 1 3 α 1 ln 2 3 ln ∂ ∂ 2 2 1 2 3 3 1 1 2 3 1 ∂ ∂ 2 2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 1 ∂ ∂ 2 3 ∂ ∂ 1 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 الرياضيات | 406 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 2 3 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 ∂ ∂ nln ln ln 2 3 ln ∂ ∂θ ∂ 2 1 3 1 ∂ ∂θ ∂ ln 2 1 3 ln 1 ∂ ∂ ∂ ln 1 ln 2 2 ln 2 3 ln 3 3 ln احدى الطرائق العددية استعمالالطرائق االعتيادية وعليه يجب باستعمالان منظومة المعادالت اعاله ليمكن حلها طريقة نيوتن رافسونمع مالحظة ان حساب المشتقة الثانية والمشتقات الجزئية ضرورية في تقدير استعماللحلها وتم المعلمات المطلوبة وفق الصيغة االتية X X J f X,fعندما ,J مرة 1000البرنامج نستعمل برنامج بلغة ماتالب لتقدير المعلمات الثالثة من خالل قيم افتراضية للمعلمات الثالثة وتكرار يتم الحصول على التقديرات المطلوبة وهذا االجراء تم عمله في هذا البحث . Least Square developed (LSD)المربعات الصغرى المطورة طريقة الرياضيات | 407 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 وتسمى هذه الطريقة ايضا 1988) عام Swain, Venkatraman and Wilson"اقترحت هذه الطريقة مقبل الباحثين( ) واستعملتمن قبل الباحثين لتقدير معلمات توزيع بيتا وباإلمكان استعملها (Regression Procedureأسلوب االنحدار ب اذ ان طريقة المربعات الصغرى االعتيادية تستعمل لتقدير معلمات نماذج .]5لتقدير معلمات توزيعات اخرى" انظر[ دير معلمات نماذج اخرى من خالل تحويل هذه النماذج الى صيغة مجموعة االنحدار بينما الطريقة المطورة تستخدم لتق مربعات االنحرافات (الصيغة المعتمدة في طريقة المربعات الصغرى االعتيادية) وتسمى عند اذن طريقة المربعات الصغرى المطورة . Xنفرض لدينا ,X ,X ,… ,X تمثل عينة عشوائية تتوزع توزيع معينG(.) يمثل االحصاءات المرتبة وان [6]لقيم العينة )E(Gوان 1 1 2 كاالتي OLSوباستعمال التوقع والتباين نستطيع الحصول على مقدرات المربعات الصغرى G X 1 ) (Frechet Poisson lindley distribution)للتوزيع المقترح توزيعC.D.Fوان الدالة التراكمية ( X 1 θ 1 3θ θ 1 e β α 1 θ 2 θ θ e β α θ e β α … 14 وأن مجموع مربعات الخطأ هي: ∑ ∑ 1 … 15 ( ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 4 2 1 5 2 5 2 1 3 1 … 16 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 5 27 24 2 2 5 28 33 6 2 1 2 7 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1 7 15 3 4 6 … الرياضيات | 408 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 1 1 4 2 1 5 2 5 2 … 1 3 4 2 4 1 1 3 1 3 2 3 4 9 2 1 2 … … 17 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 3 1 … 18 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 … … 1 2 1 1 3 1 الرياضيات | 409 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 3 1 … 19 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 2 2 1 1 3 1 1 1 2 … 1 2 1 1 3 1 … 20 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 4 2 2 5 2 5 2 … 1 1 4 2 2 5 2 5 2 1 1 3 الرياضيات | 410 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 …(21) ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 2 5 2 1 2 1 1 3 1 1 4 2 1 5 2 5 2 … 1 1 4 2 2 5 2 5 2 1 1 3 1 2 1 1 1 3 … 22 ∑ 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 1 3 1 1 2 … 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 … 23 الرياضيات | 411 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 … ….(24) ل مقدرات المعادالت اعاله تمثل منظومة معادالت ال خطيه ال يمكن حلها اال باستعمال احدى الطرائق العددية للحصو DLS ة ستعمال لغة لتقدير المعالم المطلوبة من خالل توظيف برنامج باوسوف يتم استعمال طريقة نبوتن رافسون التكراري الماتالبوباألسلوب نفسه الذي تم في طريقة االمكان االعظم . الجانب التجريبي Simulationالمحاكاة -1 الحقيقي أن في الواقع "تعرف عملية المحاكاة بأنه عملية تقليد أو تمثيل للواقع الحقيقي باستعمال نماذج معينة وكثيراً ما نجد ذج معينة، هناك عمليات تكون صعبة الفهم والتحليل لذلك نقوم بوصف هذه العمليات بصورة مشابهة للصور الحقيقية بنما اة ان فهم النموذج يمكن ان يحقق قدراً من اإلدراك للعملية األصلية أو الواقع الحقيقي من خالل عملية محاك [7][8]النموذج." لعينات لعديد من اية المحاكاة كواحدة من الحلول التي يلجأ اليها الباحثون في حل مشاكلهم التي تحتاج الى ااذ تبرز اهم ديل ال اسلوب بوهذا االمر يشكل صعوبة بالغة ويتطلب مبالغ ووقت وجهد كبير . لذلك يلجأ الكثير من الباحثين الى استعم وقد تطور ,ويعطي امكانية واسعة ودقة في التعامل مع مختلف المشاكل وهو اسلوب المحاكاة الذي يختصر الوقت والجهد ة عالية اكاة بمرونهذا االسلوب تطورا كبيرا السيما مع تطور الحاسبات اإللكترونية والتطبيقات الحاسوبية, كما تمتاز المح ة خاصة بعمليات بتفسير المدخالت الاذ انها تعطي القدرة على عملية التجريب واالختبار عن طريق تكرار العملية عدة مر التي تملك والتقدير في كل مرة وتشتمل على استعمال االرقام العشوائية التي هي عبار عن سلسلة من االرقام المستقلة رقام العشوائية وكذلك تأتي أهمية عملية المحاكاة في العشوائية, إذ أن سلسلة األ[1,0]توزيعا منتظما ضمن المدة المحدد ي تستعمل في التجربة األولى تكون مستقلة عن سلسلة األرقام العشوائية في التجربة الثانية وهكذا.الت Simulation Experiment stageمراحل تجربة المحاكاة-2 تضمنت مراحل تجربة المحاكاة خمس مراحل وهي الحاالت : اختيار مجموعة من القيم االفتراضية للمعالم وبتشكيل عدد منالمرحلة االولى واختيار مجموعة من احجام عينات مختلفة وهي n1=20 , n2= 40 , n3=50 , n4=100 , n5= 150 , n6=200 ,n7=300 -المرحلة الثانية: تضمنت هذه المرحلة توليد بيانات باستعمال طريقة التحويل المعكوس للدالة التجميعية (CDF) للتوزيع المقترح والتي تم عرض االشتقاق الخاصة بها في الفصل الثاني من هذه البحث بالمعادلة رقم (24) -المرحلة الثالثة : case θ β α 1 1.5 0.3 6 2 1.5 0.09 2 3 2.5 0.05 1.5 4 2.5 0.01 2 5 3 0.06 4.5 6 4 0. 1 8.5 الرياضيات | 412 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 في هذه المرحلة من التجربة من التي تعتبر اهم مراحل المحاكاة تم تقدير معلمات التوزيع المقترح توزيع (فريشيتبواسونليندلي )باستعمال الطرائق التي تم التطرق اليها في الجانب النظري وفق الحاالت االفتراضية واحجام المحاكاة. العينات التي تم افتراضها في المرحلة االولى من تجربة - :المرحلة الرابعة تم في هذه المرحلة من البحث اجراء المقارنة بين طريفتي القدير باستعمال مقياس المقارنة بين (MSE)للمقارنة - المعلمات وفق الصيغة : MSE θ ∑ θ θ , MSE β ∑ β β ,MSE α ∑ α α اذ ان Lيمثل عدد مرات تكرار التجربة -:المرحلة الخامسة تضمنت هذه المرحلة عرض نتائج المحاكاة من اجل ايجاد افضل لتقدير معلمات التوزيع المقترح كما موضح في الجداول )1-2( Conclusionsخامسا: االستنتاجات - فيما يأتي عرض ملخص الهم االستنتاجات التي تم التوصل اليها: ) باستعمال مقياس 0 مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 21كانت افضل(طريقة االمكان االعظم 1- في التجربة األولى . MSEالمقارنة ) باستعمال مقياس 0مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 21طريقة االمكان االعظم كانت افضل(2- في التجربة الثانية . MSEالمقارنة مرات ) باستعمال 8 مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 13االمكان االعظم كانت افضل( طريقة3- في التجربة الثالثة. MSEمقياس المقارنة ) باستعمال مقياس 0 مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 21طريقة االمكان االعظم كانت افضل(4- بة الرابعة. في التجر MSEالمقارنة مرات ) باستعمال 4 مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 17طريقة االمكان االعظم كانت افضل( 5- في التجربة الخامسة. MSEمقياس المقارنة مرات ) باستعمال 7 مرة) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى افضل ( 14طريقة االمكان االعظم كانت افضل( 6 - في التجربة السادسة . MSEياس المقارنة مق مرة ) بينما كانت طريقة المربعات الصغرى 107 لجميع الحاالت الستة أعاله كانت طريقة االمكان االعظم افضل(7 - في جميع التجارب . MSEمرة ) باستعمال مقياس المقارنة 19 افضل ( ) للتقديرات( المعلمات) اقل MSEيها متوسط مربعات الخطأ () يوضح ان عدد المرات التي يكون ف2الجدول رقم (8 - )اكثر تكون هي الطريقة االفضل MSEفي كال من الطرقتين, بعبارة اخرى فان الطريقة التي يكون فيها عدد المرات للـ( ون لها اقل وعليه فأن طريقة االمكان االعظم افضل بكثير من طريقة المربعات الصغرى المطورة ألنها تعطي تقديرات يك ) وبالتي تكون هي االفضل MSE( متوسط مربعات خطأ المصادر 1 - Asgharzadeh, A.; Bakouch, H. S. and Esmaeili, L. (2013). Pareto Poisson–Lindley distribution with applications. Journal of Applied Statistics, 40(8), 1717-173 الرياضيات | 413 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 2 - Ghitany, M. E.; Al-Mutairi, D. K. and Nadarajah, S. (2007). Zero-truncated Poisson– Lindley distribution and its application. Mathematics and Computers in Simulation, 79(3), 279-287 3 - Zakerzadeh, H. and Dolati, A. (2009). Generalized Lindley Distribution. Journal of Mathematical Extension 4 - Alathari, F. M. and Al-sarraf, Z. J. (2008).Maximum Likelihood Estimation of Truncated Normal Regression Model.Jornal AL-manarah, vol.14. No.3 5- Ashour, S. K. and Eltehiwy, M. A. (2015). Exponentiated power Lindley distribution. Journal of advanced research, 6(6), 895-905. 6- Merovci, F. and Elbatal, I. (2013). Transmuted Lindley-geometric distribution and its applications. arXiv preprint arXiv:1309.3774 واالقتصاد, ماجستير ,كليةاالدارة رسالةوزيعيويبلوتكوينتوزيعالبايويبل",إشتراكت)," 2007محمد,( جاسم الساعدي, سالم -7 بغداد. جامعة " النمذجة والمحاكاة " كتاب الكتروني ,جامعة الملك سعود قسم االحصاء (2002)بري, عدنان ماجد عبد الرحمن ,-8 http://www.abarry.net/or/SimulationBook.pdfوبحوث العمليات. ) لتقدير المعلمات لجميع الحاالت ولتجربة تكرارها MSEالمقياس ( باستعمالافضلية طريقتي التقدير (1)جدول رقم 1000 طرائق التقدير عدد مرات االفضلية 107 MLE 19 OLS مرة 1000حسب حجم العينة ولتجربة تكرارها MSEمقياس المقارنة باستعمالافضلية طريقتي التقدير (2)دول ج الطريقة حجم العينة n7=300 n6=200 n5=150 n4=100 n3=50 n2=40 n1=20 18 18 18 16 15 11 7 MLE 0 0 0 2 3 7 11 OLS الرياضيات | 414 2016م ) عا3العدد( 28مجلة إبن الهيثم للعلوم الصرفة و التطبيقية المجلد Ibn Al-Haitham J. for Pure & Appl. Sci. Vol. 29 (3) 2016 Comparison Between Two Approaches (MLE &DLS) to Estimate Frechet Poisson Lindley Distribution Compound by Using Simulation Emad Hazm Abody Ali Bander Nuimai Dept. of Mathmatics ,College of Administration and Economy, University of Baghdad Received in :4 September 2016 ,Accepted in: 2 November 2016 Abstract In this paper simulation technique plays a vital role to compare between two approaches Maximum Likelihood method and Developed Least Square method to estimate the parameters of Frechet Poisson Lindley Distribution Compound. by coding using Matlab software program. Also, under different sample sizes via mean square error. As the results which obtain that Maximum Likelihood Estimation method is better than Developed Least Square method to estimate these parameters to the proposed distribution. Keywords: Frechet, Poisson Lindley, Distribution Compound, Simulation, (MLE &DLS)