2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة ومقدر بیزتجریبیة بین المقدرات التقلیدیة مقارنة لمعلمة التوزیع االسي نادیة هاشم النور یةالجامعة المستنصر قسم الریاضیات ، كلیة العلوم ، الخالصه مقـدر االمكــان االعظــم ، المقــدر (المتمثلــة بـــ معلمــة التوزیــع االسـيالتقلیدیــة لت مقـدراالاداء اهـتم البحــث بمقارنــة فــي حالـــة خلــو البیانــات مــن المشــاهدات الشــاذة وفــي حالــة احتـــواء ومقــدر بیــز) تبــاین صــغرالمنــتظم غیــر المتحیــز ذو اال .البیانات على نسبة من تلك المشاهدات مقیـاس )MSE(واعتمـاد متوسـط مربعـات الخطـأ ) Monte Carloطریقـة (توظیـف اسـلوب المحاكـاة مـن خـالل ــــة احصـــــائي ــــین للمقارنـ ــــة اداء بـ ـــرة المقـــــدرات الثالثــ ــــطة والكبیـــ ــــت مـــــابین الصـــــغیرة ، المتوسـ ـــام عینـــــات تراوحــ ـــد احجــ عنــ (n=5,10,25,50,100) تــم التوصـل الــى ان مقــدر بیـز هــو االفضــل ) تجربــة لكــل حالـة 1000بتكـرار (ولحـاالت مختلفــة . ,لـ المدروسة عند قیم محددة االسي التوزیع تلجمیع حاال المقدمة او تقـدیر بعــض خصائصــه او معالمـه التــي غالبــًا اســتداللان الهـدف االســاس مـن دراســة اي مجتمــع یكمـن فــي .ماتكون مجهولة ونرغب في تقدیرها ویضـم طرائـق متعـددة ) الكالسـیكیة(ول بالمدرسة التقلیدیـة خذت عملیة التقدیر اتجاهین مختلفین یعرف االتجاه االتا Maximum Likelihood Methodطریقة االمكان االعظـم و ، Moment Methodطریقة العزوم( :منها ،في التقدیر Uniformly Minimum Variance Unbiased تبــاینذي االصــغر غیــر المتحیــز طریقـة المقــدر المنــتظم و ، Estimator ،(.....، راد تقدیرها لمجتمع معین عبارة عن كمیة ثابتة غیر معلومة التي یالمعلمة أنفترض هذا االتجاه اذ ی فیـرى امـا االتجـاه الثـاني الـذي یعـرف بالمدرسـة البیزیـة . بوصفها المصدر الوحید للمعلومات تقدر في ضوء معطیات العینة لـذا یجــد ضـرورة االعتمــاد علــى ؛اف لعمــل التحلـیالت االحصــائیةفرة مـن العینــة غیـر كــاان االعتمـاد علــى المعلومـات المتــو عشـوائیة البـد مـن الحصـول علـى معلومــات ) متغیـرات(راد تقـدیرها عبـارة عــن متغیـر التـي یـ) المعلمـات(المعلمـة أنافتـراض Prior)قســاب(اولیــة عنهــا مــن خــالل البیانــات والتجــارب الســابقة وتصــاغ تلــك المعلومــات بشــكل توزیــع احتمــالي اولــي Probability Distribution الالحـق االحتمـالي التقـدیر باالعتمـاد علـى التوزیـع یتم من ثم وPosterior Probability Distribution . هــذاسـتحوذ موضـوع تقـدیر معلمـة نظـرًا الهمیـة التوزیـع االسـي وتطبیقاتـه المتعـددة فـي شــتى مجـاالت الحیـاة ، فقـد ا اداء قریــب مــن اداء التوصـل الــى مقــدرات حصـینة تكــون ذافضـًال عــن االهتمــام بمــن البــاحثین التوزیـع علــى اهتمــام العدیـد التـي تعــرف بكونهــا امــا ]1[ منهــا خلــو البیانـات مــن المشــاهدات الشــاذة"الطرائـق التقلیدیــة عنــد تحقــق االفتراضـات المحــددة بالمخالفة تلك المشاهدة التي تظهر ویقصد) Contaminant(او مشاهدات ملوثة ) Discordant(مشاهدات مخالفة 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة وافضـل " ]2[بشكل غیر منسجم مع بقیة البیانـات امـا الملوثـة فهـي المشـاهدة التـي ال تكـون ضـمن المجتمـع المحـدد البحوث االكثر حداثة التي تناولت موضـوع تقـدیر معلمـة التوزیـع االسـي من و .منها في حالة االنحراف عن تلك االفتراضات :نذكر ومقـدرات ،مـن خـالل اعتمـاد مقـدرات االمكـان االعظـمالتوزیع معلمة ]Tso ]3و Siuكل من اوجد 1996في عام Shrinkage . االســي مـن وجهـة نظــر لتوزیـع لمعلمـة االمقـدرات التقلیدیــة ]Reineke ]4و Elfessiقـدم كــل مـن 2001فـي عـام المقـدرات صـیغ اوضحا امكانیـة اسـتخالص كما مشاهدة 20بیزیة وتم تقدیر تلك المقدرات عددیًا من خالل اعتماد بیانات لـ .مقدر بیزصیغة التقلیدیة من مسألة تقدیر معلمة التوزیع االسـي باعتمـاد ]Hussein ]5و Ahmed ،Volodinناقش كل من 2005في عام عنــد احتــواء Monte Carloوبتوظیـف اســلوب المحاكـاة بطریقــة Weighted Likelihoodالمكــان الموزونـة طریقـة ا .البیانات على نسبة من المشاهدات الشاذة مع اقتراح مقدر حصین للمعلمة Bayes and Empiricalباشـتقاق مقـدرات بیـز وبیـز التجریبـي ]Asgharzadeh ]6اهـتم 2009فـي عـام Bayes Estimators لمعلمة التوزیع االسي. مقـدر االمكـان االعظـم (المقدرات التقلیدیة لمعلمة التوزیع االسي والمتمثلـة بــ بعض بمقارنة وقد اهتم البحث الحالي ومقــدر بیـز فــي حالـة خلــو البیانــات مـن المشــاهدات الشـاذة وفــي حالــة ) تبــاینصـغر ، المقـدر المنــتظم غیـر المتحیــز ذو اال واعتمـاد متوســط ) Monte Carloطریقـة (یانـات علــى نسـبة مــن تلـك المشــاهدات وتـم توظیــف اسـلوب المحاكــاة احتـواء الب بــین المقــدرات الثالثـــة مـــن اداًء لتحدیــد االفضــل اً احصـــائی اً مقیاســ Mean square Error (MSE)مربعــات الخطــأ . المدروسة التوزیع االسي تـه دالـة كثافتتمثـل و تجـارب الحیـاة تمرة الواسعة االستخدام السـیما فـي مجـال یعد التوزیع االسي احد التوزیعات المس بالصیغة االتیة االحتمالیة ]8،7،4[ : … (1) 0, 0 ; e );(     xxf x .معلمة التوزیع : اذ ان :كل من سیتناول البحث الحالي ددة لتقدیر معلمة التوزیع كما ذكر آنفًا هناك طرائق متع  صــغراال لمتحیـز ذيغیــر االمنـتظم الطرائـق التقلیدیـة المتمثلــة بطریقـة االمكــان االعظـم وطریقـة المقــدر . تباین  طریقة بیز . مقدر االمكان االعظم ـــم x1,x2,….,xnلــــــیكن ـــــوائیة بحجــــ ــــة عشـ ــــ nعینــ ــــــین مــــــع دالــ ـــــع معـ ــــحوبة مــــــن مجتمـ ــــة مســ ــــة احتمالیـــ ة كثافــ  ; );( xf ،) :فضاء المعلمة Space Parameter (]8[ . بمـا یعظـم دالـة االمكـان التـي هـي عبـارة عـن دالـة الكثافـة ن مبدأ طریقة االمكان یتمثـل بایجـاد مقـدر للمعلمـة إ :]8[العشوائیة والتي تعطى بالصیغة االتیة االحتمالیة المشتركة للعینة …(2)    n i inn xfxfxfxfxxxL 1 2121 );();(. .... ).;().;();,...,,(  2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة ایمكن اسـتنادًا الـى وبما ان قیمة المعلمة التي تجعل دالة االمكان اكبر مایمكن هي نفسها التي تجعل لوغـاریتم الدالـة اكبـر مـ التوصــل الــى مقــدر االمكـــان یمكــن لــذا Monotonic Increasingصــفة تزایدیــة رتیبــة أن الدالــة اللوغارتمیــة ذوحقیقــة تفاضـل نسـبة الالمتضـمنة اخـذ لوغـاریتم دالـة االمكـان و ادنـاه و )3(بالصـیغة الموضـحة حـل المعادلـة مـن االعظـم للمعلمـة .والمساواة بالصفر الى …(3) 0 );,...,,( 21      n xxx ),,...,;(ln ),,...,;( : اذ ان 2121  nn xxxLxxx  : المكان تكون بافتراض دالة التوزیع االسي فأن دالة او …(4)      n i x n in n i i exfxxxL 1 21 1 );();,...,,(   : االتیةوفق الخطوات على و للمعلمة MLEنحصل على بأخذ لوغاریتم الطرفین ومن ثم التفاضل -ln );,...,,( ln);,...,,( 1 2121    n i inn xnxxxLxxx  );,...,,( 1 21      n i i n x nxxx   0 - ˆ 0 );,...,,( 1 21      n i i n x nxxx   ……5    n i ix n 1 ML ˆ  المقدر المنتظم غیر المتحیز ذو االصغر تباین المتمثلـة بالصــیغة و Exponential Familyتنتمـي الـى العائلــة االسـیة احـد الـدوال التــي دالـة التوزیـع االســي تعـد ]8[ : …(6)   );( )()()( )(  qxsxkpexf  :التي ابالشكل یمكن اعادة كتابة دالة التوزیع االسي اذ    ln)(,0)(,)(,)( );( ln    qxsxxkp eexf xx )( :فـأن و من ثم 11    n i i n i i xxkt یمثـل احصـاءة كافیـة كاملـةComplete Sufficient Statistic للمعلمـة  . 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة ( بأخذ التوقع الریاضي لالحصاءة الكافیة الكاملة 1    n i ixt ( فیهیش -نالیم ةــبالرجوع الى نظریوLehmann - Scheffe فأنUMVUE للمعلمة  :ة التیوفق الخطوات ا على كن ایجادهیم                         ) 1 (E 1 )1(1 )( );()(E 1 )(E)E()(E 0 1)1( 1 0 1 t n n n dt n et n n dt n et t n dttf t n t n n tn xt tnn tnn t n i i …(7)       n i ix n t n 1 UMVU 11ˆ  مقدر بیز متغیـرًا عشـوائیاً بوصفها یعتمد اسلوب بیز كما ذكر آنفًا على استخدام معلومات مسبقة عن المعلمة غیر المعروفة یعــرف بدالـة الكثافــة االحتمالیــة للمعلمـة مســبقة یمكــن صـیاغتها علــى شـكل توزیــع احتمــالياللومـات وبـافتراض ان هــذه المع مـن النظریـة التـي تحكـم تلـك الظـاهرة، ویجـري التعـرف علـى هـذه المعلومـات مـن بیانـات وتجـارب سـابقة أو )السـابقة(االولیـة الخاصة بالمشاهدات، وعلیه الة األمكانالحالیة المتمثلة بد وكذلك یعتمد اسلوب بیز على معلومات العینة )x/(مع دالة األمكان )(للمعلمة االولیة بدمج دالة الكثافة االحتمالیة f یتم الحصول علـى دالـة الكثافـة ، )/(االحتمالیة الالحقة للمعلمة xf  للمعلمة وزیع احتمالي مشروطالتي تمثل ت 9[ بشرط الحصول على العینة[. :يوفق االتعلى ریاضیًا مویمكن تلخیص ما تقد )()/x()x()x/(  fff  : اذ ان     dfdff )()/x(),x()x( :وعلیه فان       df f f f f )()/x( )()/x( )x( )()/x( )x/( )()/x( )x/(  ff  .تشیر إلى إن الكمیة تناسبیة ن العالقة إإذ مجلة :فأن دالة الكثافة االحتمالیة الالحقة تعطى بالصیغة xn،...،2x1,xعمومًا ، عند وجود عینة عشوائیة ة ابن 2010) 1( 23المجلد الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقی             dxxxL xxxL dxf xf xxxf n n n i i n i i n )();,...,,( )();,...,,( )();( )();( ),...,,/( 21 21 1 1 21 یــتم وللوصــول إلــى الهــدف الـرئیس المتمثــل بتقــدیر المعلمــة ، بعـد الحصــول علــى دالــة الكثافــة االحتمالیـة الالحقــة )ˆ(التي یرمز لها عادًة بـ Loss functionبدالة الخسارة فتحدید ما یعر   10[ تيكما یأعرف تو[ :   ,ˆ 0)ˆ(    ˆ 0)ˆ(  :، بمعنى التي تقلل توقع الخسارة ̂التقدیر النقطي بأسلوب بیز یعتمد على إیجاد قیمة ان       dxfMinEMin )/()ˆ()ˆ( ˆˆ  Quadraticمــن دوال الخسـارة، والنــوع األكثـر شــیوعًا واســتخدامًا هـو دالــة الخسـارة التربیعیــة یـدةهنـاك أنــواع عد loss function ]10[: 2)ˆ(),ˆ(  2]x/)ˆ[( ]x/),ˆ([   EE     df )x/(.)ˆ( 2    dfdfdf )x/()x/(ˆ2)x/(ˆ 22 ومســاواتها إلــى الصــفر ̂للحصـول علــى أقــل توقــع خســارة یــتم أخــذ المشــتقة األولـى للمعادلــة اعــاله بالنســبة إلــى : نحصل على 0)x/(2)x/(ˆ2    dfdf )x/(ˆ0)x/(1.ˆ  EE  الـذي یكـون امثـل عنـدما یكـون مسـاویًا لتوقـع دالـة الكثافـة للمعلمـة توضح التقدیر النقطـي السابقة الصیغة وعلیه ف ، وبعبـارة أخـرى إن تقـدیر المعلمـة بموجـب أسـلوب بیـز، وباالعتمـاد علـى دالـة خسـارة تربیعیـة الالحقة للمعلمـة االحتمالیة .یكون مساویًا إلى الوسط الحسابي للتوزیع الالحق للمعلمة ]4[ لیة االولیة بالصیغةدالة الكثافة االحتما كنتل : 0, - 0, ; )( 1     e 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة :وفق الخطوات االتیة ا میمكن ایجاده ومقدر بیز للمعلمةفأن دالة التوزیع الالحق 1 1 1 0 1 )( 1)1(1 1 )( 11 0 2121 )( 1 )1( )( )( )( )( )( )( ),...,,/( ),...,,/(Eˆ                                  nn i i nn i i n i ix n nn i i n i ix n nn i i nnBayes x n n x de n x de n x dxxxfxxx                      …(8)]     n i i Bayes x n 1 ˆ    فعنــد ,باعتمـاد قــیم معینــة لكــل مــنوذلــك تقلیدیــةیمكـن اســتخالص صــیغ المقــدرات الومـن صــیغة مقــدر بیــز اعــاله 0  ینتجMLE 0,1وعند   ینتجUMVUE. 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة الجانب التجریبي )( )( )( 1 )( ),...,,/( 1 )( 11 1 1 )( 1 0 1 )( 1 1 )( 1 0 11 11 21                                       n i ix n nn i i nn i i n i ix n n i ix n n i ix n n i ix n n i ix n n e n x x n e de e dee ee xxxf                          :االتیة الثالثة مقدرات للمقارنة بین ال Monte Carlo"طریقة "تم اعتماد اسلوب المحاكاة . ))5(الصیغة ( ML̂، مقدر االمكان االعظم .1 . ))7(الصیغة ( UMVU̂، غیر المتحیز ذو االصغر تباینالمقدر المنتظم .2 : تي یأ اموك ,قیم مختلفة لـ ختیار أب، )) 8(الصیغة ( Bayes̂، مقدر بیز .3 4 ،1 :   4,1   ،4,0   ،1,0   :  1,4   ،0,4   ،0,1   :  الذي یساوي مربع مقـدار MSE( Mean Square Error(لیل النتائج باالعتماد على قیمة متوسط مربعات الخطأ تم تح var)ˆ(مضافًا الیه مقدار التباین ) B(التحیز θ بمعنى ، : )ˆ(var2 θBMSE  : اذ ان I ˆ )ˆ( ; )ˆ( 1   I i iθ θEθEB     I 1 2 )1I/())ˆ(ˆ()ˆvar( i i E  I: المحاكاةعدد مرات تكرار تجربة . : تي یأ اماما الحاالت المدروسة فتمثلت ب : تي یأ امكو للمعلمة ارة قیم مختفق و على السي التوزیع ا. 1 ) 5.0 X ~ Exp ( ) 2 X ~ Exp ( :تي یأ اموك% 20لملوث بنسبة ا االسيالتوزیع . 2 ) 10 20% Exp ( +) 5.0 X ~ 80% Exp ( ) 5.0 20% Exp ( +) 2 X ~ 80% Exp ( :تي یأ اموك% 40بنسبة لملوث االسي االتوزیع . 3 ) 10 40% Exp ( +) 5.0 X ~ 60% Exp ( ) 5.0 40% Exp ( +) 2 X ~ 60% Exp ( ) n = 25(المتوسـطة و ، ) n =5,10(مـابین الصــغیرة المتراوحــة حجـام العینـات الالمــذكورة سـتوتـم تطبیـق الحــاالت ال .) I=1000(قداره وبتكرار م) n = 50,100(والكبیرة تحلیل النتائج :بالنقاط اآلتیة ) 6)...(1(والواردة في الجداول التي توصلنا الیها خالل الجانب التجریبي تحلیل النتائج یمكن 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة ء كل تقارب ادابعض نالحظ مع بعضهما UMVUEو MLE تمثلة بـعند مقارنة اداء المقدرات التقلیدیة الم .1 (عند حجوم العینات المتوسطة والكبیرة منهما 25n عند التعامل MLEعلى UMVUEالحظ تفوق اداء نو ) كذلك الحال عند )) 2(جدول( 2وعند ،))1(لجدو ( 5.0عند مع حالة التوزیع االسي غیر الملوث عندما تكون قیمة معلمة التوزیع )) 4(جدول(% 40و ،))3(جدول(% 20بنسبة التعامل مع التوزیع الملوث یتضح العكس عند التعامل مع حالة التوزیع الملوث في حین الملوث اكبر من قیمة المعلمة للتوزیع االساسي زیع الملوث اصغر من قیمة المعلمة للتوزیع االساسي بمعنى تراجع اداء لتو لمعلمة العندما تكون قیمة UMVUE فوق علیه اداء تلیMLE )6(و) 5(الجدولین (( . لطبیعة الحالة یتغیر تبعاً ء تلك المقدرات بعض یتضح ان ادا مع عند مقارنة اداء المقدرات البیزیة بعضها .2 : موضح ادناه اوكمقیمة معلمة التوزیع فضًال عن ,لقیمة المحددة لـ واالمدروسة ، حجم العینة  5.0وعند االسي عند التعامل مع الحالة غیر الملوثة للتوزیع )ولحجوم العینات الصغیرة )) 1(جدول )10n=5, ( 4,1نالحظ تفوق اداء مقدر بیز عند   ،اذ تنخفض قیمة MSE مقارنة ببقیة التقدیرات ، 4,0في حین یتفوق ذلك المقدر عند   25لحجوم العینات المتوسطة والكبیرةn .  2وعند االسي الحالة غیر الملوثة للتوزیع عند التعامل مع )ولحجوم العینات الصغیرة )) 2(جدول )10n=5, ( 1نالحظ تفوق اداء مقدر بیز عند  ، اذ تنخفض قیمةMSE في ،مقارنة ببقیة التقدیرات 4حین یتفوق ذلك المقدر عند  50(لحجوم العیناتn=25, ( اما عندn=100 ء فیالحظ تفوق االدا 4,1عند  .  وعندما تكون معلمة التوزیع الملوث اكبر من قیمة % 20بنسبة االسي لة الملوثة للتوزیع عند التعامل مع الحا 4,0نالحظ تفوق اداء مقدر بیز عند )) 3(جدول(االساسي االسي معلمة التوزیع   حجوم لجمیع ازداد في هذا المقدر قد نجد ان )) 4(جدول% (40وعند مضاعفة نسبة التلویث لتكون n=5بأستثناء العینات .دون استثناء من تفوقه لیشمل جمیع حجوم العینات  معلمة التوزیع الملوث اصغر من قیمة قیمة وعندما تكون % 20عند التعامل مع الحالة الملوثة للتوزیع بنسبة 0,4نالحظ تفوق اداء مقدر بیز عند )) 5(جدول(معلمة التوزیع االساسي   ة جوم العینات لح المتوسط تفوقه لیشمل جمیع ازداد فينجد ان هذا المقدر قد )) 6(جدول(% 40وعند مضاعفة نسبة التلویث لتكون والكبیرة . n=5بأستثناء حجوم العینات  یكون 0.5عمومًا ، ان افضل اداء لمقدر بیز عند التعامل مع التوزیع غیر الملوث وبقیمة معلمة مساویة الى عندما  ملوث وبقیمة معلمة اكبر من قیمة معلمة التوزیع االساسي كذلك الحال عند التعامل مع التوزیع ال من قیمة معلمة التوزیع االساسي لیكون وینعكس الحال عند التعامل مع التوزیع الملوث بقیمة معلمة اصغر افضل اداء عندما  . بعض نجد ان مقدر بیز قد احتل دائمًا المرتبة االولى والثانیة في مع المدروسة بعضهاارنة اداء المقدرات عند مق .3 .,افضلیة االداء عند التعامل مع الحالة غیر الملوثة والحالة الملوثة على حد سواء تبعًا للقیمة المحددة لـ .المرتبة الثالثة في بعض االحیان اما المقدرات التقلیدیة فقد احتلت والتوصیات االستنتاجات :يأتیمكن تلخیص أهم اإلستنتاجات التي اوضحتها نتائج المحاكاة بما ی .بزیادة حجم العینة عمومًا MSEتنخفض قیم .1 2010) 1( 23المجلد مجلة ابن الھیثم للعلوم الصرفة والتطبیقیة . لمقدرات بیز اصغر من قیمها المناظرة للمقدرات الكالسیكیة MSE غالبًا ماتكون قیم .2 عند حجوم العینات المتوسطة بعض مع بعضهما UMVUE و MLE یتقارب اداء المقدرات التقلیدیة المتمثلة بـ .3 .والكبیرة تباین في حین ی ،عند التعامل مع البیانات الخالیة من المشاهدات الشاذة MLEعلى UMVUEیتفوق اداء .4 . ادائهما عند التعامل مع البیانات بوجود تلك المشاهدات تبعًا لقیمة معلمة التوزیع الملوث خلو البیانات من /احتواء(یتغیر اداء المقدرات البیزیة تبعًا لقیمة معلمة التوزیع االسي ، حالة التوزیع المدروسة .5 . ,والقیمة المحددة لـ ، حجم العینة ) المشاهدات الشاذة . ,محددة لـ القیم تبعًا للاالفضل لجمیع حاالت التوزیع االسي المدروسة هو قدر بیز ان م .6 نوصي بدراسة سلوك المقدرات عند حجوم العینات الصغیرة بشكل منفرد كما نوصي باعتمـاد مقـدر .. د ضوء ماور في . ,االسي عند قیم محددة لـ بیز لتقدیر معلمة التوزیع المصادر 1. Barnett, V. and Lewis, T. (1984). "Out liers in Statist ical Data”. 2 nd Edition, New York, John Wiley. 2. Beckman, R. J. and Cook, R. D. (1983). "Outlier…….s". Technometrics, 25: 119-149. 3. Siu, K. T. and Tso, G. (1996). "Shrinkage Estimation of Reliability for Exp onentially Dist ribution Lifetimes". Comm. Statist . Simula., 25: 415-430. 4. Elfessi, A. and Reineke, D. M . (2001). "A Bayesian Look at Classical Estimation: The Exp onential Dist ribution". Journal of Statist ics Education, 9: 1. 5. Ahmed, E. S.; Volodin, A. I. and Hussein A. A. (2005). "Robust Weighted Likelihood Estimation of Exp onential Parameter". IEEE Transactions on Reliability , 54: 389-395. 6. Asgharzadeh, A. (2009). "On Bayesian estimation from exp onential distribution based on records". Journal of the Korean Statist ical Society , 38: 125-130. 7. Cohen, A. C. and Helm F. R. (1973). "Estimation in Exp onential Dist ribution". Technometrics, 15: 415-418. 8. Hogg, R. V. and Craig, A. T . (1978). "Introduction to M athematical Statist ics". 4 th Edition, New York. 9. Klugman, S. A. (1992). "Bayesian Statist ics in Actuarial Science". Kluwer Academic Publishers, USA. 10. M ood, A. M .; Gray bil, F. A. and Boes, D. C. (1985). "Introduction to the Theory of Statist ics". 3 rd Edition, M egraw-Hill. Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 0.20238 0.01733 0.333745 0.079875 0.02883 0.02883 0.04828 0.04301 0.03615 0.04546 5 0.05815 0.01246 0.078002 0.025171 0.01590 0.01555 0.02391 0.01890 0.01712 0.01843 10 0.02077 0.00679 0.024506 0.01189 0.00643 0.00829 0.01254 0.01009 0.00808 0.00952 25 0.00524 0.00183 0.006006 0.00294 0.00169 0.00209 0.00344 0.00256 0.00198 0.00235 50 0.00482 0.00221 0.005241 0.003306 0.00182 0.00251 0.00372 0.00300 0.00231 0.00278 100 Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 0.42406 0.01439 0.70502 0.18267 0.01509 0.04267 0.10483 0.09241 0.04036 0.09092 5 0.23118 0.02704 0.31161 0.12292 0.01655 0.05412 0.09540 0.08470 0.05030 0.08129 10 0.02986 0.00703 0.03526 0.01601 0.00528 0.00949 0.01761 0.01306 0.00849 0.01172 25 0.04296 0.02058 0.04692 0.03143 0.01719 0.02421 0.03265 0.02839 0.02286 0.02697 50 0.01358 0.00890 0.01433 0.01116 0.00815 0.00967 0.01154 0.01055 0.00937 0.01023 100 Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 1.17749 1.05461 7.56693 1.66207 1.41131 0.24916 0.30664 0.15382 0.34543 0.74176 5 0.50889 0.63870 1.68781 0.61758 0.81732 0.27793 0.25518 0.24354 0.37855 0.45062 10 0.18972 0.20525 0.36126 0.18677 0.25404 0.11836 0.10552 0.11829 0.14108 0.15686 25 0.13807 0.12512 0.18596 0.13961 0.13948 0.11368 0.09683 0.11512 0.12558 0.13091 50 0.05454 0.02485 0.07317 0.05041 0.02611 0.03416 0.02564 0.03796 0.03973 0.04462 100 Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 IBN AL- HAITHAM J. FOR PURE & APPL. S CI. VOL.23 (1) 2010 0.91162 0.02715 1.56863 0.46372 0.00753 0.10791 0.22221 0.23239 0.09676 0.24327 5 0.52741 0.07159 0.72208 0.32326 0.04165 0.15028 0.21678 0.22222 0.14758 0.22640 10 0.13426 0.04806 0.15459 0.09346 0.03785 0.06464 0.08734 0.07948 0.06181 0.07673 25 0.12533 0.07308 0.13525 0.10231 0.06521 0.08479 0.09941 0.09418 0.08292 0.09236 50 0.08857 0.06660 0.09227 0.07914 0.06293 0.07181 0.07827 0.07583 0.07098 0.07500 100 Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 1.54498 1.79287 5.25954 2.25861 2.08106 1.44158 1.11952 1.28825 1.89192 1.83187 5 0.82218 1.61669 0.74299 1.06932 1.78244 1.37456 1.18049 1.20980 1.39948 1.22314 10 1.02680 1.42566 0.96000 1.16957 1.49939 1.31218 1.21660 1.2371 1.32274 1.24481 25 1.22230 1.42811 1.18930 1.30153 1.46596 1.37256 1.31757 1.33416 1.37922 1.34009 50 0.99860 1.11206 0.97958 1.03678 1.13153 1.07532 1.05473 1.05585 1.07590 1.05624 100 Bayes UMVU ML n 1,4   4,1   0,4   0,1   4,0   1,0   4 1 0.19479 1.52624 0.70719 0.35957 1.85484 0.94525 0.74126 0.61652 0.93073 0.56486 5 1.40757 1.31256 2.95456 1.95178 1.47242 1.27743 0.93430 1.24465 1.85502 1.76622 10 0.42448 0.81723 0.37346 0.51366 0.89022 0.64911 0.62199 0.58490 0.63725 0.57245 25 0.56339 0.78911 0.52428 0.62272 0.82668 0.70042 0.68251 0.66440 0.69454 0.65801 50 0.55942 0.66827 0.54054 0.58817 0.68582 0.62479 0.61749 0.60794 0.62165 0.60474 100 Experimental Comparison between Classical and Bayes Estimators for the Parameter of Exponential Distribution N. H. Al-Noor Departme nt of Mathematics, College of Sciences, Unive rsity of Al-Mustanseriya Abstract This p ap er is interest ed in comp aring the p erformance of the traditional methods to estimate p arameter of exp onential distribution (M aximum Likelihood Estimator, Uniformly M inimum Variance Unbiased Estimator) and the Bay es Estimator in the case of data to meet the requirement of exp onential distribution and in the case away from the distribution due to the presence of outliers (contaminated values). Through the employment of simulation (M onte Carlo method) and the adoption of the mean squar e error (M SE) as criterion of st atistical comp arison between the p erformance of the three estimators for different sample sizes ranged between small, medium and lar ge (n=5,10,25,50,100) and different cases (with 1000 replications), it was reach ed that the Bay es Estimator " with specific values of  and  " is the best for all cases st udied . ( : MSEقیم )1(جدول 5.0 (X ~ Exp ( : MSE قیم )2(جدول 2( X ~ Exp :( MSE قیم )3(جدول 10 ) + 20% Exp ( 5.0 ( Exp X ~ 80% ( : MSEقیم )4(جدول 10 )+ 40% Exp ( 5.0 ( X ~ 60% Exp 5.0 (: MSE قیم) 5(جدول )+ 20% Exp ( 2 X~ 80% Exp ( MSقیم ) 6(جدول E : ) 5.0 ) + 40% Exp ( 2 ( : X ~ 60% Exp