id sid tid token lemma pos iajs-1930 1 1 microsoft microsoft PROPN iajs-1930 1 2 word word NOUN iajs-1930 1 3 110 110 NUM iajs-1930 1 4 - - SYM iajs-1930 1 5 131 131 NUM iajs-1930 1 6     SPACE iajs-1930 1 7 110 110 NUM iajs-1930 1 8     SPACE iajs-1930 1 9 ibn ibn PROPN iajs-1930 1 10 al al PROPN iajs-1930 1 11 - - PUNCT iajs-1930 1 12 haitham haitham PROPN iajs-1930 1 13 jour jour X iajs-1930 1 14 . . PROPN iajs-1930 2 1 for for ADP iajs-1930 2 2 pure pure ADJ iajs-1930 2 3 & & CCONJ iajs-1930 2 4 appl appl PROPN iajs-1930 2 5 . . PUNCT iajs-1930 3 1 sci sci PROPN iajs-1930 3 2 . . PROPN iajs-1930 3 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 3 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 3 5 vol vol NOUN iajs-1930 3 6 . . PUNCT iajs-1930 4 1 32 32 NUM iajs-1930 5 1 ( ( PUNCT iajs-1930 5 2 1 1 NUM iajs-1930 5 3 ) ) PUNCT iajs-1930 5 4 2019 2019 NUM iajs-1930 5 5 t t PROPN iajs-1930 5 6 - - PUNCT iajs-1930 5 7 abso abso PROPN iajs-1930 5 8 and and CCONJ iajs-1930 5 9 t t PROPN iajs-1930 5 10 - - PUNCT iajs-1930 5 11 abso abso PROPN iajs-1930 5 12 quasi quasi PROPN iajs-1930 5 13 primary primary ADJ iajs-1930 5 14 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 5 15 submodules submodule NOUN iajs-1930 5 16 wafaa wafaa PROPN iajs-1930 5 17 h. h. PROPN iajs-1930 5 18 hanoon hanoon PROPN iajs-1930 5 19 department department PROPN iajs-1930 5 20 of of ADP iajs-1930 5 21 computer computer NOUN iajs-1930 5 22 science science NOUN iajs-1930 5 23 , , PUNCT iajs-1930 5 24 college college NOUN iajs-1930 5 25 of of ADP iajs-1930 5 26 education education NOUN iajs-1930 5 27 for for ADP iajs-1930 5 28 girls girl NOUN iajs-1930 5 29 , , PUNCT iajs-1930 5 30 university university PROPN iajs-1930 5 31 of of ADP iajs-1930 5 32 kufa kufa PROPN iajs-1930 5 33 , , PUNCT iajs-1930 5 34 iraq iraq PROPN iajs-1930 5 35 . . PUNCT iajs-1930 6 1 wafaah.hannon@uokufa.edu.iq wafaah.hannon@uokufa.edu.iq PROPN iajs-1930 6 2 khalaf khalaf PROPN iajs-1930 6 3 m m PROPN iajs-1930 6 4 y.hate y.hate PROPN iajs-1930 6 5 department department NOUN iajs-1930 6 6 of of ADP iajs-1930 6 7 mathematics mathematics PROPN iajs-1930 6 8 , , PUNCT iajs-1930 6 9 college college NOUN iajs-1930 6 10 of of ADP iajs-1930 6 11 education education NOUN iajs-1930 6 12 for for ADP iajs-1930 6 13 pure pure ADJ iajs-1930 6 14 science science PROPN iajs-1930 6 15 ibnhaitham ibnhaitham PROPN iajs-1930 6 16 university university PROPN iajs-1930 6 17 of of ADP iajs-1930 6 18 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 6 19 , , PUNCT iajs-1930 6 20 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 6 21 , , PUNCT iajs-1930 6 22 iraq iraq PROPN iajs-1930 6 23 . . PUNCT iajs-1930 7 1 dr.hatamyahya@yahoo.com dr.hatamyahya@yahoo.com PROPN iajs-1930 7 2 article article PROPN iajs-1930 7 3 history history NOUN iajs-1930 7 4 : : PUNCT iajs-1930 7 5 received receive VERB iajs-1930 7 6 4 4 NUM iajs-1930 7 7 november november PROPN iajs-1930 7 8 2018 2018 NUM iajs-1930 7 9 , , PUNCT iajs-1930 7 10 accepted accept VERB iajs-1930 7 11 24 24 NUM iajs-1930 7 12 november november PROPN iajs-1930 7 13 2018 2018 NUM iajs-1930 7 14 , , PUNCT iajs-1930 7 15 publish publish VERB iajs-1930 7 16 january january PROPN iajs-1930 7 17 2019 2019 NUM iajs-1930 7 18 abstract abstract ADV iajs-1930 7 19 let let VERB iajs-1930 7 20 ḿ ḿ PART iajs-1930 7 21 be be AUX iajs-1930 7 22 a a DET iajs-1930 7 23 unitary unitary ADJ iajs-1930 7 24 r r NOUN iajs-1930 7 25 - - PUNCT iajs-1930 7 26 module module NOUN iajs-1930 7 27 and and CCONJ iajs-1930 7 28 r r NOUN iajs-1930 7 29 is be AUX iajs-1930 7 30 a a DET iajs-1930 7 31 commutative commutative ADJ iajs-1930 7 32 ring ring NOUN iajs-1930 7 33 with with ADP iajs-1930 7 34 identity identity NOUN iajs-1930 7 35 . . PUNCT iajs-1930 8 1 our our PRON iajs-1930 8 2 aim aim NOUN iajs-1930 8 3 in in ADP iajs-1930 8 4 this this DET iajs-1930 8 5 paper paper NOUN iajs-1930 8 6 to to PART iajs-1930 8 7 study study VERB iajs-1930 8 8 the the DET iajs-1930 8 9 concepts concept NOUN iajs-1930 8 10 t t PROPN iajs-1930 8 11 - - PUNCT iajs-1930 8 12 abso abso PROPN iajs-1930 8 13 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 8 14 ideals ideal NOUN iajs-1930 8 15 , , PUNCT iajs-1930 8 16 t t PROPN iajs-1930 8 17 - - PUNCT iajs-1930 8 18 abso abso PROPN iajs-1930 8 19 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 8 20 submodules submodule NOUN iajs-1930 8 21 and and CCONJ iajs-1930 8 22 t t PROPN iajs-1930 8 23 - - PUNCT iajs-1930 8 24 abso abso PROPN iajs-1930 8 25 quasi quasi PROPN iajs-1930 8 26 primary primary ADJ iajs-1930 8 27 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 8 28 submodules submodule NOUN iajs-1930 8 29 , , PUNCT iajs-1930 8 30 also also ADV iajs-1930 8 31 we we PRON iajs-1930 8 32 discuss discuss VERB iajs-1930 8 33 these these DET iajs-1930 8 34 concepts concept NOUN iajs-1930 8 35 in in ADP iajs-1930 8 36 the the DET iajs-1930 8 37 class class NOUN iajs-1930 8 38 of of ADP iajs-1930 8 39 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 8 40 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 8 41 modules module NOUN iajs-1930 8 42 and and CCONJ iajs-1930 8 43 relationships relationship NOUN iajs-1930 8 44 between between ADP iajs-1930 8 45 these these DET iajs-1930 8 46 concepts concept NOUN iajs-1930 8 47 . . PUNCT iajs-1930 9 1 many many ADJ iajs-1930 9 2 new new ADJ iajs-1930 9 3 basic basic ADJ iajs-1930 9 4 properties property NOUN iajs-1930 9 5 and and CCONJ iajs-1930 9 6 characterizations characterization NOUN iajs-1930 9 7 on on ADP iajs-1930 9 8 these these DET iajs-1930 9 9 concepts concept NOUN iajs-1930 9 10 are be AUX iajs-1930 9 11 given give VERB iajs-1930 9 12 . . PUNCT iajs-1930 10 1 keywords keyword NOUN iajs-1930 10 2 : : PUNCT iajs-1930 10 3 t t PROPN iajs-1930 10 4 - - PUNCT iajs-1930 10 5 abso abso PROPN iajs-1930 10 6 fuzzy fuzzy PROPN iajs-1930 10 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 10 8 , , PUNCT iajs-1930 10 9 t t PROPN iajs-1930 10 10 - - PUNCT iajs-1930 10 11 abso abso PROPN iajs-1930 10 12 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 10 13 submodule submodule NOUN iajs-1930 10 14 , , PUNCT iajs-1930 10 15 quasiprime quasiprime ADJ iajs-1930 10 16 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 10 17 submodule submodule NOUN iajs-1930 10 18 , , PUNCT iajs-1930 10 19 t t PROPN iajs-1930 10 20 - - PUNCT iajs-1930 10 21 abso abso PROPN iajs-1930 10 22 primary primary ADJ iajs-1930 10 23 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 10 24 submodule submodule NOUN iajs-1930 10 25 , , PUNCT iajs-1930 10 26 t t PROPN iajs-1930 10 27 - - PUNCT iajs-1930 10 28 abso abso PROPN iajs-1930 10 29 quasi quasi PROPN iajs-1930 10 30 primary primary ADJ iajs-1930 10 31 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 10 32 submodule submodule NOUN iajs-1930 10 33 , , PUNCT iajs-1930 10 34 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 10 35 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 10 36 module module NOUN iajs-1930 10 37 . . PUNCT iajs-1930 11 1 1 1 X iajs-1930 11 2 . . X iajs-1930 11 3 introduction introduction NOUN iajs-1930 11 4 in in ADP iajs-1930 11 5 this this DET iajs-1930 11 6 paper paper NOUN iajs-1930 11 7 all all DET iajs-1930 11 8 ring ring NOUN iajs-1930 11 9 is be AUX iajs-1930 11 10 commutative commutative ADJ iajs-1930 11 11 with with ADP iajs-1930 11 12 identity identity NOUN iajs-1930 11 13 and and CCONJ iajs-1930 11 14 all all DET iajs-1930 11 15 modules module NOUN iajs-1930 11 16 are be AUX iajs-1930 11 17 unitary unitary ADJ iajs-1930 11 18 . . PUNCT iajs-1930 12 1 deniz deniz PROPN iajs-1930 12 2 s. s. PROPN iajs-1930 12 3 et et PROPN iajs-1930 12 4 al al PROPN iajs-1930 12 5 in in ADP iajs-1930 12 6 [ [ X iajs-1930 12 7 1 1 NUM iajs-1930 12 8 ] ] PUNCT iajs-1930 12 9 presented present VERB iajs-1930 12 10 the the DET iajs-1930 12 11 concept concept NOUN iajs-1930 12 12 of of ADP iajs-1930 12 13 2 2 NUM iajs-1930 12 14 - - PUNCT iajs-1930 12 15 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 12 16 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 12 17 ideal ideal NOUN iajs-1930 12 18 which which PRON iajs-1930 12 19 is be AUX iajs-1930 12 20 a a DET iajs-1930 12 21 generalization generalization NOUN iajs-1930 12 22 of of ADP iajs-1930 12 23 prime prime ADJ iajs-1930 12 24 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 12 25 ideal ideal NOUN iajs-1930 12 26 . . PUNCT iajs-1930 13 1 prime prime PROPN iajs-1930 13 2 submodule submodule PROPN iajs-1930 13 3 which which PRON iajs-1930 13 4 play play VERB iajs-1930 13 5 an an DET iajs-1930 13 6 important important ADJ iajs-1930 13 7 turn turn NOUN iajs-1930 13 8 in in ADP iajs-1930 13 9 the the DET iajs-1930 13 10 module module NOUN iajs-1930 13 11 theory theory NOUN iajs-1930 13 12 over over ADP iajs-1930 13 13 a a DET iajs-1930 13 14 commutative commutative ADJ iajs-1930 13 15 ring ring NOUN iajs-1930 13 16 . . PUNCT iajs-1930 14 1 a a DET iajs-1930 14 2 prime prime ADJ iajs-1930 14 3 submodule submodule NOUN iajs-1930 14 4 n n PROPN iajs-1930 14 5 of of ADP iajs-1930 14 6 an an DET iajs-1930 14 7 r r NOUN iajs-1930 14 8 - - PUNCT iajs-1930 14 9 module module NOUN iajs-1930 14 10 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 14 11 , , PUNCT iajs-1930 14 12 n≠ḿ n≠ḿ ADV iajs-1930 14 13 , , PUNCT iajs-1930 14 14 with with ADP iajs-1930 14 15 property property NOUN iajs-1930 14 16 𝑎∈𝑅 𝑎∈𝑅 NOUN iajs-1930 14 17 , , PUNCT iajs-1930 14 18 𝑥∈ḿ 𝑥∈ḿ NUM iajs-1930 14 19 , , PUNCT iajs-1930 14 20 𝑎𝑥∈𝑁 𝑎𝑥∈𝑁 PROPN iajs-1930 14 21 implies imply VERB iajs-1930 14 22 that that SCONJ iajs-1930 14 23 ∈𝑁 ∈𝑁 NOUN iajs-1930 14 24 or or CCONJ iajs-1930 14 25 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 14 26 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 14 27 ( ( PUNCT iajs-1930 14 28 𝑁 𝑁 NOUN iajs-1930 14 29 : : PUNCT iajs-1930 14 30 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 14 31 ) ) PUNCT iajs-1930 15 1 [ [ X iajs-1930 15 2 2 2 NUM iajs-1930 15 3 ] ] PUNCT iajs-1930 15 4 . . PUNCT iajs-1930 16 1 this this DET iajs-1930 16 2 concept concept NOUN iajs-1930 16 3 was be AUX iajs-1930 16 4 generalized generalize VERB iajs-1930 16 5 to to ADP iajs-1930 16 6 concept concept NOUN iajs-1930 16 7 of of ADP iajs-1930 16 8 prime prime ADJ iajs-1930 16 9 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 16 10 submodule submodule NOUN iajs-1930 16 11 which which PRON iajs-1930 16 12 was be AUX iajs-1930 16 13 presented present VERB iajs-1930 16 14 by by ADP iajs-1930 16 15 rabi rabi NOUN iajs-1930 16 16 [ [ X iajs-1930 16 17 3 3 NUM iajs-1930 16 18 ] ] PUNCT iajs-1930 16 19 . . PUNCT iajs-1930 17 1 in in ADP iajs-1930 17 2 1999 1999 NUM iajs-1930 17 3 , , PUNCT iajs-1930 17 4 abdul abdul PROPN iajs-1930 17 5 - - PUNCT iajs-1930 17 6 razakm razakm PROPN iajs-1930 17 7 , , PUNCT iajs-1930 17 8 presented present VERB iajs-1930 17 9 and and CCONJ iajs-1930 17 10 studied study VERB iajs-1930 17 11 quasi quasi ADJ iajs-1930 17 12 - - ADJ iajs-1930 17 13 prime prime ADJ iajs-1930 17 14 submodule submodule NOUN iajs-1930 17 15 let let VERB iajs-1930 17 16 n n PRON iajs-1930 17 17 < < X iajs-1930 17 18 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 17 19 , , PUNCT iajs-1930 17 20 n n PRON iajs-1930 17 21 be be AUX iajs-1930 17 22 called call VERB iajs-1930 17 23 a a DET iajs-1930 17 24 quasi quasi NOUN iajs-1930 17 25 - - NOUN iajs-1930 17 26 prime prime ADJ iajs-1930 17 27 if if SCONJ iajs-1930 17 28 for for ADP iajs-1930 17 29 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 17 30 , , PUNCT iajs-1930 17 31 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 17 32 ∈𝑅 ∈𝑅 PROPN iajs-1930 17 33 , , PUNCT iajs-1930 17 34 𝑚∈ḿ 𝑚∈ḿ ADJ iajs-1930 17 35 , , PUNCT iajs-1930 17 36 𝑎𝑏𝑚∈𝑁 𝑎𝑏𝑚∈𝑁 NOUN iajs-1930 17 37 , , PUNCT iajs-1930 17 38 implies imply VERB iajs-1930 17 39 either either DET iajs-1930 17 40 𝑎𝑚∈𝑁 𝑎𝑚∈𝑁 PROPN iajs-1930 17 41 or or CCONJ iajs-1930 17 42 b𝑚∈𝑁 b𝑚∈𝑁 PROPN iajs-1930 18 1 [ [ X iajs-1930 18 2 4 4 NUM iajs-1930 18 3 ] ] PUNCT iajs-1930 18 4 . . PUNCT iajs-1930 19 1 in in ADP iajs-1930 19 2 2001 2001 NUM iajs-1930 19 3 , , PUNCT iajs-1930 19 4 hatam hatam NOUN iajs-1930 19 5 generalized generalize VERB iajs-1930 19 6 it it PRON iajs-1930 19 7 to to ADP iajs-1930 19 8 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 19 9 quasi quasi ADJ iajs-1930 19 10 - - ADJ iajs-1930 19 11 prime prime ADJ iajs-1930 19 12 submodules submodule NOUN iajs-1930 19 13 [ [ X iajs-1930 19 14 5 5 NUM iajs-1930 19 15 ] ] PUNCT iajs-1930 19 16 . . PUNCT iajs-1930 20 1 darani darani PROPN iajs-1930 20 2 , , PUNCT iajs-1930 20 3 et et PROPN iajs-1930 20 4 al al PROPN iajs-1930 20 5 in in ADP iajs-1930 20 6 [ [ X iajs-1930 20 7 6 6 NUM iajs-1930 20 8 ] ] PUNCT iajs-1930 20 9 presented present VERB iajs-1930 20 10 the the DET iajs-1930 20 11 definition definition NOUN iajs-1930 20 12 of of ADP iajs-1930 20 13 2 2 NUM iajs-1930 20 14 - - PUNCT iajs-1930 20 15 absorbing absorb VERB iajs-1930 20 16 submodule submodule NOUN iajs-1930 20 17 . . PUNCT iajs-1930 21 1 let let VERB iajs-1930 21 2 n n PRON iajs-1930 21 3 < < X iajs-1930 21 4 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 21 5 , , PUNCT iajs-1930 21 6 n n PRON iajs-1930 21 7 be be AUX iajs-1930 21 8 called call VERB iajs-1930 21 9 2 2 NUM iajs-1930 21 10 - - PUNCT iajs-1930 21 11 absorbing absorb VERB iajs-1930 21 12 submodule submodule NOUN iajs-1930 21 13 of of ADP iajs-1930 21 14 ḿ ḿ PRON iajs-1930 21 15 if if SCONJ iajs-1930 21 16 whenever whenever SCONJ iajs-1930 21 17 r r NOUN iajs-1930 21 18 , , PUNCT iajs-1930 21 19 b b PROPN iajs-1930 21 20 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 21 21 r r NOUN iajs-1930 21 22 , , PUNCT iajs-1930 21 23 x x SYM iajs-1930 21 24 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 21 25 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 21 26 and and CCONJ iajs-1930 21 27 rbx rbx VERB iajs-1930 21 28 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 21 29 n n CCONJ iajs-1930 21 30 , , PUNCT iajs-1930 21 31 then then ADV iajs-1930 21 32 rx rx VERB iajs-1930 21 33 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 21 34 n n PRON iajs-1930 21 35 or or CCONJ iajs-1930 21 36 bx bx NOUN iajs-1930 21 37 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 21 38 n n PRON iajs-1930 21 39 or or CCONJ iajs-1930 21 40 rb rb ADV iajs-1930 21 41 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 21 42 ( ( PUNCT iajs-1930 21 43 n n NUM iajs-1930 21 44 : : PUNCT iajs-1930 21 45 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 21 46 ) ) PUNCT iajs-1930 21 47 . . PUNCT iajs-1930 22 1 hatam hatam PROPN iajs-1930 22 2 and and CCONJ iajs-1930 22 3 wafaa wafaa PROPN iajs-1930 22 4 expanded expand VERB iajs-1930 22 5 this this DET iajs-1930 22 6 concept concept NOUN iajs-1930 22 7 that that PRON iajs-1930 22 8 is be AUX iajs-1930 22 9 : : PUNCT iajs-1930 22 10 if if SCONJ iajs-1930 22 11 x x PRON iajs-1930 22 12 be be AUX iajs-1930 22 13 a a DET iajs-1930 22 14 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 22 15 module module NOUN iajs-1930 22 16 of of ADP iajs-1930 22 17 an an DET iajs-1930 22 18 rmodule rmodule NOUN iajs-1930 22 19 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 22 20 . . PUNCT iajs-1930 23 1 a a DET iajs-1930 23 2 proper proper ADJ iajs-1930 23 3 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 23 4 submodule submodule NOUN iajs-1930 23 5 a a PRON iajs-1930 23 6 of of ADP iajs-1930 23 7 x x PRON iajs-1930 23 8 is be AUX iajs-1930 23 9 called call VERB iajs-1930 23 10 t t PROPN iajs-1930 23 11 - - PUNCT iajs-1930 23 12 abso abso PROPN iajs-1930 23 13 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 23 14 submodule submodule NOUN iajs-1930 23 15 if if SCONJ iajs-1930 23 16 whenever whenever SCONJ iajs-1930 23 17 𝑎 𝑎 X iajs-1930 23 18 , , PUNCT iajs-1930 23 19 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 23 20 be be AUX iajs-1930 23 21 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 23 22 singletons singleton NOUN iajs-1930 23 23 of of ADP iajs-1930 23 24 r r NOUN iajs-1930 23 25 , , PUNCT iajs-1930 23 26 and and CCONJ iajs-1930 23 27 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 23 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 23 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 23 30 , , PUNCT iajs-1930 23 31 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 23 32 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 23 33 , , PUNCT iajs-1930 23 34 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 23 35 , , PUNCT iajs-1930 23 36 𝑣 𝑣 PROPN iajs-1930 23 37 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 23 38 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 23 39 , , PUNCT iajs-1930 23 40 such such ADJ iajs-1930 23 41 that that SCONJ iajs-1930 23 42 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 23 43 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 23 44 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 23 45 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 23 46 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 23 47 , , PUNCT iajs-1930 23 48 then then ADV iajs-1930 23 49 either either CCONJ iajs-1930 23 50 𝑎 𝑎 X iajs-1930 23 51 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 23 52 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 23 53 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 23 54 : : PUNCT iajs-1930 23 55 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 23 56 or or CCONJ iajs-1930 23 57 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 23 58 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 23 59 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 23 60 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 23 61 or or CCONJ iajs-1930 23 62 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 23 63 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 23 64 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 23 65 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 23 66 [ [ X iajs-1930 23 67 7 7 NUM iajs-1930 23 68 ] ] PUNCT iajs-1930 23 69 . . PUNCT iajs-1930 24 1 mccasland mccasland PROPN iajs-1930 24 2 and and CCONJ iajs-1930 24 3 moore moore PROPN iajs-1930 24 4 presented present VERB iajs-1930 24 5 the the DET iajs-1930 24 6 concept concept NOUN iajs-1930 24 7 of of ADP iajs-1930 24 8 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 24 9 - - NOUN iajs-1930 24 10 radical radical ADJ iajs-1930 24 11 of of ADP iajs-1930 24 12 n n PRON iajs-1930 24 13 such such ADJ iajs-1930 24 14 : : PUNCT iajs-1930 24 15 let let VERB iajs-1930 24 16 n n PRON iajs-1930 24 17 be be AUX iajs-1930 24 18 a a DET iajs-1930 24 19 proper proper ADJ iajs-1930 24 20 module module NOUN iajs-1930 24 21 of of ADP iajs-1930 24 22 a a DET iajs-1930 24 23 nonzero nonzero ADJ iajs-1930 24 24 r r NOUN iajs-1930 24 25 - - PUNCT iajs-1930 24 26 module module NOUN iajs-1930 24 27 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 24 28 , , PUNCT iajs-1930 24 29 then then ADV iajs-1930 24 30 the the DET iajs-1930 24 31 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 24 32 - - NOUN iajs-1930 24 33 radical radical ADJ iajs-1930 24 34 of of ADP iajs-1930 24 35 n n NUM iajs-1930 24 36 , , PUNCT iajs-1930 24 37 denoted denote VERB iajs-1930 24 38 by by ADP iajs-1930 24 39 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 24 40 - - NOUN iajs-1930 24 41 rad rad NOUN iajs-1930 24 42 n n NOUN iajs-1930 24 43 is be AUX iajs-1930 24 44 defined define VERB iajs-1930 24 45 to to PART iajs-1930 24 46 be be AUX iajs-1930 24 47 the the DET iajs-1930 24 48 intersection intersection NOUN iajs-1930 24 49 of of ADP iajs-1930 24 50 all all DET iajs-1930 24 51 prime prime ADJ iajs-1930 24 52 module module NOUN iajs-1930 24 53 including include VERB iajs-1930 24 54 n n CCONJ iajs-1930 24 55 , , PUNCT iajs-1930 24 56 see see VERB iajs-1930 24 57 [ [ X iajs-1930 24 58 8 8 NUM iajs-1930 24 59 ] ] PUNCT iajs-1930 24 60 . . PUNCT iajs-1930 25 1 mostafanasab mostafanasab PROPN iajs-1930 25 2 et et PROPN iajs-1930 25 3 al al PROPN iajs-1930 25 4 , , PUNCT iajs-1930 25 5 were be AUX iajs-1930 25 6 presented present VERB iajs-1930 25 7 the the DET iajs-1930 25 8 connotation connotation NOUN iajs-1930 25 9 of of ADP iajs-1930 25 10 2 2 NUM iajs-1930 25 11 - - PUNCT iajs-1930 25 12 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 25 13 primary primary ADJ iajs-1930 25 14 submodule submodule NOUN iajs-1930 25 15 . . PUNCT iajs-1930 26 1 so so ADV iajs-1930 26 2 , , PUNCT iajs-1930 26 3 a a DET iajs-1930 26 4 proper proper ADJ iajs-1930 26 5 submodule submodule NOUN iajs-1930 26 6 n n PROPN iajs-1930 26 7 of of ADP iajs-1930 26 8 an an DET iajs-1930 26 9 r r NOUN iajs-1930 26 10 - - PUNCT iajs-1930 26 11 module module NOUN iajs-1930 26 12 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 26 13 is be AUX iajs-1930 26 14 called call VERB iajs-1930 26 15 2 2 NUM iajs-1930 26 16 - - PUNCT iajs-1930 26 17 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 26 18 primary primary ADJ iajs-1930 26 19 submodule submodule NOUN iajs-1930 26 20 of of ADP iajs-1930 26 21 ḿ ḿ PRON iajs-1930 26 22 if if SCONJ iajs-1930 26 23 whenever whenever ADV iajs-1930 26 24 a a DET iajs-1930 26 25 , , PUNCT iajs-1930 26 26 b∈ b∈ NOUN iajs-1930 26 27 r r NOUN iajs-1930 26 28 and and CCONJ iajs-1930 26 29 m∈ m∈ PROPN iajs-1930 26 30 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 26 31 and and CCONJ iajs-1930 26 32 abm∈ abm∈ X iajs-1930 26 33 n n CCONJ iajs-1930 26 34 , , PUNCT iajs-1930 26 35 then then ADV iajs-1930 26 36 am∈ am∈ VERB iajs-1930 26 37 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 26 38 - - NOUN iajs-1930 26 39 rad rad NOUN iajs-1930 26 40 n n NOUN iajs-1930 26 41 or or CCONJ iajs-1930 26 42 bm∈ bm∈ PRON iajs-1930 26 43 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 26 44 - - NOUN iajs-1930 26 45 rad rad NOUN iajs-1930 26 46 n n NOUN iajs-1930 26 47 or or CCONJ iajs-1930 26 48 ab∈ ab∈ NOUN iajs-1930 26 49 𝑁 𝑁 NOUN iajs-1930 26 50 : : PUNCT iajs-1930 26 51 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 26 52 , , PUNCT iajs-1930 26 53     SPACE iajs-1930 26 54 111 111 NUM iajs-1930 26 55     SPACE iajs-1930 26 56 ibn ibn PROPN iajs-1930 26 57 al al PROPN iajs-1930 26 58 - - PUNCT iajs-1930 26 59 haitham haitham PROPN iajs-1930 26 60 jour jour X iajs-1930 26 61 . . PROPN iajs-1930 27 1 for for ADP iajs-1930 27 2 pure pure ADJ iajs-1930 27 3 & & CCONJ iajs-1930 27 4 appl appl PROPN iajs-1930 27 5 . . PUNCT iajs-1930 28 1 sci sci PROPN iajs-1930 28 2 . . PROPN iajs-1930 28 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 28 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 28 5 vol vol NOUN iajs-1930 28 6 . . PUNCT iajs-1930 29 1 32 32 NUM iajs-1930 30 1 ( ( PUNCT iajs-1930 30 2 1 1 NUM iajs-1930 30 3 ) ) PUNCT iajs-1930 30 4 2019 2019 NUM iajs-1930 31 1 [ [ X iajs-1930 31 2 9 9 NUM iajs-1930 31 3 ] ] PUNCT iajs-1930 31 4 . . PUNCT iajs-1930 32 1 rabi rabi NOUN iajs-1930 32 2 and and CCONJ iajs-1930 32 3 hassan hassan PROPN iajs-1930 32 4 in in ADP iajs-1930 32 5 2008 2008 NUM iajs-1930 32 6 were be AUX iajs-1930 32 7 presented present VERB iajs-1930 32 8 the the DET iajs-1930 32 9 concept concept NOUN iajs-1930 32 10 of of ADP iajs-1930 32 11 quasi quasi ADJ iajs-1930 32 12 primary primary ADJ iajs-1930 32 13 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 32 14 submodule submodule NOUN iajs-1930 32 15 . . PUNCT iajs-1930 33 1 a a DET iajs-1930 33 2 proper proper ADJ iajs-1930 33 3 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 33 4 submodule submodule NOUN iajs-1930 33 5 a a PRON iajs-1930 33 6 of of ADP iajs-1930 33 7 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 33 8 module module NOUN iajs-1930 33 9 x x PRON iajs-1930 33 10 is be AUX iajs-1930 33 11 said say VERB iajs-1930 33 12 to to PART iajs-1930 33 13 be be AUX iajs-1930 33 14 quasi quasi ADJ iajs-1930 33 15 primary primary ADJ iajs-1930 33 16 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 33 17 submodule submodule NOUN iajs-1930 33 18 if if SCONJ iajs-1930 33 19 ( ( PUNCT iajs-1930 33 20 a a DET iajs-1930 33 21 : : SYM iajs-1930 33 22 b b X iajs-1930 33 23 ) ) PUNCT iajs-1930 33 24 is be AUX iajs-1930 33 25 a a DET iajs-1930 33 26 primary primary ADJ iajs-1930 33 27 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 33 28 ideal ideal NOUN iajs-1930 33 29 of of ADP iajs-1930 33 30 r r NOUN iajs-1930 33 31 for for ADP iajs-1930 33 32 each each DET iajs-1930 33 33 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 33 34 submodule submodule PROPN iajs-1930 33 35 b b PROPN iajs-1930 33 36 of of ADP iajs-1930 33 37 x x SYM iajs-1930 34 1 such such ADJ iajs-1930 34 2 that that SCONJ iajs-1930 34 3 a a DET iajs-1930 34 4 ⊂ ⊂ PROPN iajs-1930 34 5 b b PROPN iajs-1930 35 1 [ [ X iajs-1930 35 2 10 10 NUM iajs-1930 35 3 ] ] PUNCT iajs-1930 35 4 . . PUNCT iajs-1930 36 1 suat suat PROPN iajs-1930 36 2 k. k. PROPN iajs-1930 36 3 et et PROPN iajs-1930 36 4 al al PROPN iajs-1930 36 5 , , PUNCT iajs-1930 36 6 studied study VERB iajs-1930 36 7 and and CCONJ iajs-1930 36 8 presented present VERB iajs-1930 36 9 the the DET iajs-1930 36 10 connotation connotation NOUN iajs-1930 36 11 of of ADP iajs-1930 36 12 2 2 NUM iajs-1930 36 13 - - PUNCT iajs-1930 36 14 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 36 15 quasi quasi ADJ iajs-1930 36 16 primary primary ADJ iajs-1930 36 17 submodule submodule NOUN iajs-1930 36 18 , , PUNCT iajs-1930 36 19 i.e. i.e. X iajs-1930 36 20 , , PUNCT iajs-1930 36 21 a a DET iajs-1930 36 22 proper proper ADJ iajs-1930 36 23 submodule submodule NOUN iajs-1930 36 24 n n PROPN iajs-1930 36 25 of of ADP iajs-1930 36 26 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 36 27 is be AUX iajs-1930 36 28 said say VERB iajs-1930 36 29 to to PART iajs-1930 36 30 be be AUX iajs-1930 36 31 2 2 NUM iajs-1930 36 32 - - PUNCT iajs-1930 36 33 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 36 34 quasi quasi ADJ iajs-1930 36 35 primary primary NOUN iajs-1930 36 36 submodule submodule NOUN iajs-1930 36 37 if if SCONJ iajs-1930 36 38 the the DET iajs-1930 36 39 condition condition NOUN iajs-1930 36 40 abq∈ abq∈ VERB iajs-1930 36 41 n n PROPN iajs-1930 36 42 implies imply VERB iajs-1930 36 43 either either CCONJ iajs-1930 36 44 ab∈ ab∈ ADJ iajs-1930 36 45 𝑁 𝑁 NOUN iajs-1930 36 46 : : PUNCT iajs-1930 36 47 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 36 48 or or CCONJ iajs-1930 36 49 aq∈ aq∈ PROPN iajs-1930 36 50 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 36 51 - - PUNCT iajs-1930 36 52 rad(n rad(n NOUN iajs-1930 36 53 ) ) PUNCT iajs-1930 36 54 or or CCONJ iajs-1930 36 55 bq∈ bq∈ PROPN iajs-1930 36 56 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 36 57 - - PUNCT iajs-1930 36 58 rad(n rad(n NOUN iajs-1930 36 59 ) ) PUNCT iajs-1930 36 60 for for ADP iajs-1930 36 61 every every DET iajs-1930 36 62 a a PROPN iajs-1930 36 63 , , PUNCT iajs-1930 36 64 b∈ b∈ NOUN iajs-1930 36 65 r r NOUN iajs-1930 36 66 and and CCONJ iajs-1930 36 67 q∈ q∈ NOUN iajs-1930 36 68 ḿ ḿ X iajs-1930 36 69 [ [ X iajs-1930 36 70 11 11 NUM iajs-1930 36 71 ] ] PUNCT iajs-1930 36 72 . . PUNCT iajs-1930 37 1 this this DET iajs-1930 37 2 paper paper NOUN iajs-1930 37 3 is be AUX iajs-1930 37 4 composed compose VERB iajs-1930 37 5 of of ADP iajs-1930 37 6 two two NUM iajs-1930 37 7 sections section NOUN iajs-1930 37 8 . . PUNCT iajs-1930 38 1 in in ADP iajs-1930 38 2 section section NOUN iajs-1930 38 3 ( ( PUNCT iajs-1930 38 4 1 1 X iajs-1930 38 5 ) ) PUNCT iajs-1930 38 6 we we PRON iajs-1930 38 7 present present VERB iajs-1930 38 8 the the DET iajs-1930 38 9 definition definition NOUN iajs-1930 38 10 of of ADP iajs-1930 38 11 t t PROPN iajs-1930 38 12 - - PUNCT iajs-1930 38 13 abso abso PROPN iajs-1930 38 14 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 38 15 ideals ideal NOUN iajs-1930 38 16 and and CCONJ iajs-1930 38 17 we we PRON iajs-1930 38 18 give give VERB iajs-1930 38 19 some some DET iajs-1930 38 20 characterizations characterization NOUN iajs-1930 38 21 of of ADP iajs-1930 38 22 this this DET iajs-1930 38 23 definition definition NOUN iajs-1930 38 24 for for ADP iajs-1930 38 25 ideals ideal NOUN iajs-1930 38 26 . . PUNCT iajs-1930 39 1 also also ADV iajs-1930 39 2 many many ADJ iajs-1930 39 3 properties property NOUN iajs-1930 39 4 and and CCONJ iajs-1930 39 5 outcomes outcome NOUN iajs-1930 39 6 of of ADP iajs-1930 39 7 this this DET iajs-1930 39 8 concept concept NOUN iajs-1930 39 9 are be AUX iajs-1930 39 10 given give VERB iajs-1930 39 11 . . PUNCT iajs-1930 40 1 in in ADP iajs-1930 40 2 section section NOUN iajs-1930 40 3 ( ( PUNCT iajs-1930 40 4 2 2 X iajs-1930 40 5 ) ) PUNCT iajs-1930 40 6 we we PRON iajs-1930 40 7 present present VERB iajs-1930 40 8 the the DET iajs-1930 40 9 definition definition NOUN iajs-1930 40 10 of of ADP iajs-1930 40 11 t t PROPN iajs-1930 40 12 - - PUNCT iajs-1930 40 13 abso abso PROPN iajs-1930 40 14 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 40 15 submodules submodule NOUN iajs-1930 40 16 , , PUNCT iajs-1930 40 17 many many ADJ iajs-1930 40 18 basic basic ADJ iajs-1930 40 19 properties property NOUN iajs-1930 40 20 and and CCONJ iajs-1930 40 21 outcomes outcome NOUN iajs-1930 40 22 are be AUX iajs-1930 40 23 studied study VERB iajs-1930 40 24 . . PUNCT iajs-1930 41 1 in in ADP iajs-1930 41 2 section section NOUN iajs-1930 41 3 ( ( PUNCT iajs-1930 41 4 3 3 X iajs-1930 41 5 ) ) PUNCT iajs-1930 41 6 we we PRON iajs-1930 41 7 present present VERB iajs-1930 41 8 the the DET iajs-1930 41 9 concept concept NOUN iajs-1930 41 10 of of ADP iajs-1930 41 11 t t PROPN iajs-1930 41 12 - - PUNCT iajs-1930 41 13 abso abso PROPN iajs-1930 41 14 quasi quasi PROPN iajs-1930 41 15 primary primary ADJ iajs-1930 41 16 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 41 17 submodules submodule NOUN iajs-1930 41 18 and and CCONJ iajs-1930 41 19 we we PRON iajs-1930 41 20 study study VERB iajs-1930 41 21 the the DET iajs-1930 41 22 relationships relationship NOUN iajs-1930 41 23 this this DET iajs-1930 41 24 concept concept NOUN iajs-1930 41 25 with with ADP iajs-1930 41 26 among among ADP iajs-1930 41 27 tabso tabso ADJ iajs-1930 41 28 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 41 29 submodules submodule NOUN iajs-1930 41 30 and and CCONJ iajs-1930 41 31 t t PROPN iajs-1930 41 32 - - PUNCT iajs-1930 41 33 abso abso PROPN iajs-1930 41 34 primary primary ADJ iajs-1930 41 35 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 41 36 submodules submodule NOUN iajs-1930 41 37 . . PUNCT iajs-1930 42 1 several several ADJ iajs-1930 42 2 important important ADJ iajs-1930 42 3 results result NOUN iajs-1930 42 4 have have AUX iajs-1930 42 5 been be AUX iajs-1930 42 6 demonstrated demonstrate VERB iajs-1930 42 7 . . PUNCT iajs-1930 43 1 note note VERB iajs-1930 43 2 that that SCONJ iajs-1930 43 3 we we PRON iajs-1930 43 4 denote denote VERB iajs-1930 43 5 to to ADP iajs-1930 43 6 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 43 7 module module NOUN iajs-1930 43 8 , , PUNCT iajs-1930 43 9 submodule submodule NOUN iajs-1930 43 10 . . PUNCT iajs-1930 44 1 2 2 NUM iajs-1930 44 2 . . X iajs-1930 44 3 t t PROPN iajs-1930 44 4 - - PUNCT iajs-1930 44 5 abso abso PROPN iajs-1930 44 6 f. f. PROPN iajs-1930 44 7 ideals ideal NOUN iajs-1930 44 8 in in ADP iajs-1930 44 9 this this DET iajs-1930 44 10 section section NOUN iajs-1930 44 11 , , PUNCT iajs-1930 44 12 we we PRON iajs-1930 44 13 introduce introduce VERB iajs-1930 44 14 the the DET iajs-1930 44 15 concepts concept NOUN iajs-1930 44 16 of of ADP iajs-1930 44 17 t t PROPN iajs-1930 44 18 - - PUNCT iajs-1930 44 19 abso abso PROPN iajs-1930 44 20 and and CCONJ iajs-1930 44 21 t t PROPN iajs-1930 44 22 - - PUNCT iajs-1930 44 23 abso abso PROPN iajs-1930 44 24 primary primary ADJ iajs-1930 44 25 ideals ideal NOUN iajs-1930 44 26 . . PUNCT iajs-1930 45 1 some some DET iajs-1930 45 2 concepts concept NOUN iajs-1930 45 3 and and CCONJ iajs-1930 45 4 propositions proposition NOUN iajs-1930 45 5 which which PRON iajs-1930 45 6 are be AUX iajs-1930 45 7 needed need VERB iajs-1930 45 8 in in ADP iajs-1930 45 9 the the DET iajs-1930 45 10 next next ADJ iajs-1930 45 11 section section NOUN iajs-1930 45 12 . . PUNCT iajs-1930 46 1 definition definition NOUN iajs-1930 46 2 1 1 NUM iajs-1930 46 3 . . PUNCT iajs-1930 47 1 [ [ X iajs-1930 47 2 1 1 X iajs-1930 47 3 ] ] X iajs-1930 47 4 let let VERB iajs-1930 47 5 ĥ ĥ PRON iajs-1930 47 6 be be AUX iajs-1930 47 7 a a DET iajs-1930 47 8 non non ADJ iajs-1930 47 9 - - ADJ iajs-1930 47 10 constant constant ADJ iajs-1930 47 11 f. f. PROPN iajs-1930 47 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 47 13 of of ADP iajs-1930 47 14 r. r. PROPN iajs-1930 47 15 then then ADV iajs-1930 47 16 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 47 17 is be AUX iajs-1930 47 18 called call VERB iajs-1930 47 19 t t PROPN iajs-1930 47 20 - - PUNCT iajs-1930 47 21 abso abso PROPN iajs-1930 47 22 f. f. PROPN iajs-1930 47 23 ideal ideal PROPN iajs-1930 47 24 if if SCONJ iajs-1930 47 25 for for ADP iajs-1930 47 26 any any DET iajs-1930 47 27 f. f. PROPN iajs-1930 47 28 points point NOUN iajs-1930 47 29 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 47 30 , , PUNCT iajs-1930 47 31 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 47 32 , , PUNCT iajs-1930 47 33 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 47 34 of of ADP iajs-1930 47 35 r r NOUN iajs-1930 47 36 , , PUNCT iajs-1930 47 37 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 47 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 47 39 𝑟 𝑟 X iajs-1930 47 40 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 47 41 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 47 42 implies imply VERB iajs-1930 47 43 that that SCONJ iajs-1930 47 44 either either CCONJ iajs-1930 47 45 𝑎 𝑎 X iajs-1930 47 46 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 47 47 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 47 48 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 47 49 or or CCONJ iajs-1930 47 50 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 47 51 𝑟 𝑟 X iajs-1930 47 52 ∈ ∈ ADJ iajs-1930 47 53 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 47 54 or or CCONJ iajs-1930 47 55 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 47 56 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 47 57 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 47 58 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 47 59 . . PUNCT iajs-1930 48 1 the the DET iajs-1930 48 2 following follow VERB iajs-1930 48 3 proposition proposition NOUN iajs-1930 48 4 characterize characterize VERB iajs-1930 48 5 t t PROPN iajs-1930 48 6 - - PUNCT iajs-1930 48 7 abso abso PROPN iajs-1930 48 8 f. f. PROPN iajs-1930 48 9 ideal ideal PROPN iajs-1930 48 10 in in ADP iajs-1930 48 11 terms term NOUN iajs-1930 48 12 of of ADP iajs-1930 48 13 its its PRON iajs-1930 48 14 level level NOUN iajs-1930 48 15 ideal ideal NOUN iajs-1930 48 16 . . PUNCT iajs-1930 49 1 lemma lemma PROPN iajs-1930 49 2 2 2 NUM iajs-1930 49 3 . . PUNCT iajs-1930 50 1 [ [ X iajs-1930 50 2 1 1 X iajs-1930 50 3 ] ] PUNCT iajs-1930 50 4 let let VERB iajs-1930 50 5 a a PRON iajs-1930 50 6 be be AUX iajs-1930 50 7 f. f. PROPN iajs-1930 50 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 50 9 of of ADP iajs-1930 50 10 r. r. PROPN iajs-1930 50 11 if if SCONJ iajs-1930 50 12 a a PRON iajs-1930 50 13 is be AUX iajs-1930 50 14 t t PROPN iajs-1930 50 15 - - PUNCT iajs-1930 50 16 abso abso PROPN iajs-1930 50 17 f. f. PROPN iajs-1930 50 18 ideal ideal PROPN iajs-1930 50 19 , , PUNCT iajs-1930 50 20 then then ADV iajs-1930 50 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 50 22 is be AUX iajs-1930 50 23 t t PROPN iajs-1930 50 24 - - PUNCT iajs-1930 50 25 abso abso PROPN iajs-1930 50 26 ideal ideal NOUN iajs-1930 50 27 of of ADP iajs-1930 50 28 r r NOUN iajs-1930 50 29 , , PUNCT iajs-1930 50 30 ∀ ∀ X iajs-1930 50 31 v v ADP iajs-1930 50 32 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 50 33 l l NOUN iajs-1930 50 34 , , PUNCT iajs-1930 50 35 recall recall VERB iajs-1930 50 36 that that PRON iajs-1930 50 37 let let VERB iajs-1930 50 38 ĥ ĥ PRON iajs-1930 50 39 be be AUX iajs-1930 50 40 any any DET iajs-1930 50 41 f. f. PROPN iajs-1930 50 42 ideal ideal NOUN iajs-1930 50 43 of of ADP iajs-1930 50 44 r. r. PROPN iajs-1930 50 45 then then ADV iajs-1930 50 46 the the DET iajs-1930 50 47 radical radical PROPN iajs-1930 50 48 f. f. PROPN iajs-1930 50 49 of of ADP iajs-1930 50 50 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 50 51 , , PUNCT iajs-1930 50 52 denoted denote VERB iajs-1930 50 53 by by ADP iajs-1930 50 54 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 50 55 , , PUNCT iajs-1930 50 56 is be AUX iajs-1930 50 57 defined define VERB iajs-1930 50 58 by by ADP iajs-1930 50 59 : : PUNCT iajs-1930 50 60 ĥ ĥ X iajs-1930 50 61 = = PRON iajs-1930 50 62 ∩{ṷ ∩{ṷ NOUN iajs-1930 50 63 : : PUNCT iajs-1930 50 64 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 50 65 is be AUX iajs-1930 50 66 a a DET iajs-1930 50 67 prime prime ADJ iajs-1930 50 68 f. f. PROPN iajs-1930 50 69 ideal ideal NOUN iajs-1930 50 70 of of ADP iajs-1930 50 71 r r NOUN iajs-1930 50 72 containing contain VERB iajs-1930 50 73 ĥ ĥ PRON iajs-1930 50 74 } } PUNCT iajs-1930 50 75 [ [ X iajs-1930 50 76 12 12 NUM iajs-1930 50 77 ] ] PUNCT iajs-1930 50 78 . . PUNCT iajs-1930 51 1 now now ADV iajs-1930 51 2 , , PUNCT iajs-1930 51 3 we we PRON iajs-1930 51 4 give give VERB iajs-1930 51 5 these these DET iajs-1930 51 6 propositions proposition NOUN iajs-1930 51 7 which which PRON iajs-1930 51 8 are be AUX iajs-1930 51 9 used use VERB iajs-1930 51 10 in in ADP iajs-1930 51 11 the the DET iajs-1930 51 12 next next ADJ iajs-1930 51 13 section section NOUN iajs-1930 51 14 . . PUNCT iajs-1930 52 1 proposition proposition NOUN iajs-1930 52 2 3 3 NUM iajs-1930 52 3 . . PUNCT iajs-1930 52 4 suppose suppose VERB iajs-1930 52 5 that that SCONJ iajs-1930 52 6 r r NOUN iajs-1930 52 7 be be AUX iajs-1930 52 8 a a DET iajs-1930 52 9 ring ring NOUN iajs-1930 52 10 and and CCONJ iajs-1930 52 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 52 12 is be AUX iajs-1930 52 13 t t PROPN iajs-1930 52 14 - - PUNCT iajs-1930 52 15 abso abso PROPN iajs-1930 52 16 f. f. PROPN iajs-1930 52 17 ideal ideal PROPN iajs-1930 52 18 of of ADP iajs-1930 52 19 r. r. PROPN iajs-1930 52 20 then then ADV iajs-1930 52 21 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 52 22 is be AUX iajs-1930 52 23 t t PROPN iajs-1930 52 24 - - PUNCT iajs-1930 52 25 abso abso PROPN iajs-1930 52 26 f. f. PROPN iajs-1930 52 27 ideal ideal PROPN iajs-1930 52 28 of of ADP iajs-1930 52 29 r r NOUN iajs-1930 52 30 and and CCONJ iajs-1930 52 31 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 52 32 ⊆ĥ ⊆ĥ NOUN iajs-1930 52 33 for for ADP iajs-1930 52 34 each each DET iajs-1930 52 35 f. f. PROPN iajs-1930 52 36 singleton singleton PROPN iajs-1930 53 1 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 53 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 53 3 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 53 4 , , PUNCT iajs-1930 53 5 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 53 6 v v ADP iajs-1930 53 7 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 53 8 l. l. NOUN iajs-1930 53 9 proof proof NOUN iajs-1930 53 10 . . PUNCT iajs-1930 54 1 let let VERB iajs-1930 54 2 ĥ ĥ PRON iajs-1930 54 3 be be AUX iajs-1930 54 4 t t PROPN iajs-1930 54 5 - - PUNCT iajs-1930 54 6 abso abso PROPN iajs-1930 54 7 f. f. PROPN iajs-1930 54 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 54 9 and and CCONJ iajs-1930 54 10 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 54 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 54 12 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 54 13 , , PUNCT iajs-1930 54 14 hence hence ADV iajs-1930 54 15 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 54 16 ∈ ∈ ADJ iajs-1930 54 17 ĥ ĥ X iajs-1930 54 18 . . PUNCT iajs-1930 55 1 then then ADV iajs-1930 55 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 55 3 ∈ ∈ ADJ iajs-1930 55 4 ĥ ĥ X iajs-1930 55 5 . . PUNCT iajs-1930 56 1 so so ADV iajs-1930 56 2 that that SCONJ iajs-1930 56 3 ĥ ĥ X iajs-1930 56 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 56 5 𝑣. 𝑣. NOUN iajs-1930 56 6 thus thus ADV iajs-1930 56 7 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 56 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 56 9 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 56 10 . . PUNCT iajs-1930 57 1 since since SCONJ iajs-1930 57 2 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 57 3 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 57 4 , , PUNCT iajs-1930 57 5 so so SCONJ iajs-1930 57 6 that that SCONJ iajs-1930 57 7 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 57 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 57 9 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 57 10 . . PUNCT iajs-1930 58 1 now now ADV iajs-1930 58 2 , , PUNCT iajs-1930 58 3 let let VERB iajs-1930 58 4 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 58 5 , , PUNCT iajs-1930 58 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 58 7 , , PUNCT iajs-1930 58 8 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 58 9 be be AUX iajs-1930 58 10 f. f. NOUN iajs-1930 58 11 singletons singleton NOUN iajs-1930 58 12 of of ADP iajs-1930 58 13 r r NOUN iajs-1930 59 1 such such ADJ iajs-1930 59 2 that that SCONJ iajs-1930 59 3 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 59 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 59 5 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 59 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 59 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 59 8 . . PUNCT iajs-1930 60 1 then then ADV iajs-1930 60 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 60 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 60 4 , , PUNCT iajs-1930 60 5 𝑟 𝑟 X iajs-1930 60 6 𝑎 𝑎 X iajs-1930 60 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 60 8 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 60 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 60 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 60 11 . . PUNCT iajs-1930 61 1 since since SCONJ iajs-1930 61 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 61 3 is be AUX iajs-1930 61 4 tabso tabso PROPN iajs-1930 61 5 f. f. PROPN iajs-1930 61 6 ideal ideal PROPN iajs-1930 61 7 , , PUNCT iajs-1930 61 8 then then ADV iajs-1930 61 9 either either CCONJ iajs-1930 61 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 61 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 14 or or CCONJ iajs-1930 61 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 61 16 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 19 or or CCONJ iajs-1930 61 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 21 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 24 , , PUNCT iajs-1930 61 25 since since SCONJ iajs-1930 61 26 𝑎 𝑎 X iajs-1930 61 27 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 61 28 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 61 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 30 , , PUNCT iajs-1930 61 31 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 61 32 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 33 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 61 34 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 35 , , PUNCT iajs-1930 61 36 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 61 37 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 39 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 61 40 hence hence ADV iajs-1930 61 41 either either CCONJ iajs-1930 61 42 𝑎 𝑎 X iajs-1930 61 43 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 45 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 46 or or CCONJ iajs-1930 61 47 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 61 48 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 49 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 50 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 51 or or CCONJ iajs-1930 61 52 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 61 53 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 61 54 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 61 55 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 61 56 . . PUNCT iajs-1930 62 1 so so SCONJ iajs-1930 62 2 that that SCONJ iajs-1930 62 3 either either ADV iajs-1930 62 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 62 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 62 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 62 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 62 8 or or CCONJ iajs-1930 62 9 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 62 10 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 62 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 62 12 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 62 13 or or CCONJ iajs-1930 62 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 62 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 62 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 62 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 62 18 . . PUNCT iajs-1930 63 1 thus thus ADV iajs-1930 63 2 ĥis ĥis PROPN iajs-1930 63 3 t t PROPN iajs-1930 63 4 - - PUNCT iajs-1930 63 5 abso abso PROPN iajs-1930 63 6 f. f. PROPN iajs-1930 63 7 ideal ideal PROPN iajs-1930 63 8 of of ADP iajs-1930 63 9 r. r. PROPN iajs-1930 63 10     SPACE iajs-1930 63 11 112 112 NUM iajs-1930 63 12     SPACE iajs-1930 63 13 ibn ibn PROPN iajs-1930 63 14 al al PROPN iajs-1930 63 15 - - PUNCT iajs-1930 63 16 haitham haitham PROPN iajs-1930 63 17 jour jour X iajs-1930 63 18 . . PROPN iajs-1930 63 19 for for ADP iajs-1930 63 20 pure pure ADJ iajs-1930 63 21 & & CCONJ iajs-1930 63 22 appl appl PROPN iajs-1930 63 23 . . PUNCT iajs-1930 64 1 sci sci PROPN iajs-1930 64 2 . . PROPN iajs-1930 64 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 64 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 64 5 vol vol NOUN iajs-1930 64 6 . . PUNCT iajs-1930 65 1 32 32 NUM iajs-1930 66 1 ( ( PUNCT iajs-1930 66 2 1 1 NUM iajs-1930 66 3 ) ) PUNCT iajs-1930 66 4 2019 2019 NUM iajs-1930 66 5 lemma lemma PROPN iajs-1930 66 6 4 4 X iajs-1930 66 7 . . PUNCT iajs-1930 67 1 let let VERB iajs-1930 67 2 ĥ⊆ ĥ⊆ PRON iajs-1930 67 3 ƥ ƥ AUX iajs-1930 67 4 be be AUX iajs-1930 67 5 f. f. PROPN iajs-1930 67 6 ideal ideal NOUN iajs-1930 67 7 of of ADP iajs-1930 67 8 a a DET iajs-1930 67 9 ring ring NOUN iajs-1930 67 10 r r NOUN iajs-1930 67 11 , , PUNCT iajs-1930 67 12 where where SCONJ iajs-1930 67 13 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 67 14 is be AUX iajs-1930 67 15 a a DET iajs-1930 67 16 prime prime PROPN iajs-1930 67 17 f. f. PROPN iajs-1930 67 18 ideal ideal PROPN iajs-1930 67 19 . . PUNCT iajs-1930 68 1 then then ADV iajs-1930 68 2 the the DET iajs-1930 68 3 following follow VERB iajs-1930 68 4 expressions expression NOUN iajs-1930 68 5 are be AUX iajs-1930 68 6 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 68 7 : : PUNCT iajs-1930 68 8 1ƥ 1ƥ NUM iajs-1930 68 9 is be AUX iajs-1930 68 10 a a DET iajs-1930 68 11 minimal minimal ADJ iajs-1930 68 12 prime prime ADJ iajs-1930 68 13 f. f. PROPN iajs-1930 68 14 ideal ideal PROPN iajs-1930 68 15 of of ADP iajs-1930 68 16 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 68 17 ; ; PUNCT iajs-1930 68 18 2for 2for NUM iajs-1930 68 19 each each DET iajs-1930 68 20 f. f. PROPN iajs-1930 68 21 singleton singleton PROPN iajs-1930 68 22 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 68 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 68 24 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 68 25 , , PUNCT iajs-1930 68 26 there there PRON iajs-1930 68 27 exists exist VERB iajs-1930 68 28 f. f. PROPN iajs-1930 68 29 singleton singleton PROPN iajs-1930 68 30 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 68 31 of of ADP iajs-1930 68 32 r\ƥ r\ƥ PROPN iajs-1930 68 33 and and CCONJ iajs-1930 68 34 a a DET iajs-1930 68 35 non non ADJ iajs-1930 68 36 - - ADJ iajs-1930 68 37 negative negative ADJ iajs-1930 68 38 integer integer NOUN iajs-1930 68 39 n n CCONJ iajs-1930 68 40 such such ADJ iajs-1930 68 41 that that SCONJ iajs-1930 68 42 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 68 43 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 68 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 68 45 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 68 46 , , PUNCT iajs-1930 68 47 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 68 48 v v NOUN iajs-1930 68 49 , , PUNCT iajs-1930 68 50 l l PROPN iajs-1930 68 51 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 68 52 l. l. NOUN iajs-1930 68 53 proof proof NOUN iajs-1930 68 54 . . PUNCT iajs-1930 69 1 ( ( PUNCT iajs-1930 69 2 1 1 X iajs-1930 69 3 ) ) PUNCT iajs-1930 69 4 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 69 5 ( ( PUNCT iajs-1930 69 6 2 2 X iajs-1930 69 7 ) ) PUNCT iajs-1930 69 8 let let VERB iajs-1930 69 9 ƥ ƥ PRON iajs-1930 69 10 be be AUX iajs-1930 69 11 a a DET iajs-1930 69 12 minimal minimal ADJ iajs-1930 69 13 prime prime ADJ iajs-1930 69 14 f. f. PROPN iajs-1930 69 15 ideal ideal PROPN iajs-1930 69 16 of of ADP iajs-1930 69 17 ĥ ĥ PRON iajs-1930 69 18 and and CCONJ iajs-1930 69 19 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 69 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 69 21 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 69 22 , , PUNCT iajs-1930 69 23 suppose suppose VERB iajs-1930 70 1 that that SCONJ iajs-1930 70 2 for for ADP iajs-1930 70 3 every every DET iajs-1930 70 4 f. f. PROPN iajs-1930 70 5 singleton singleton PROPN iajs-1930 70 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 70 7 of of ADP iajs-1930 70 8 r\ƥ r\ƥ PROPN iajs-1930 70 9 , , PUNCT iajs-1930 70 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 70 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 70 12 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 70 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 70 14 , , PUNCT iajs-1930 70 15 ∀n∈ ∀n∈ NOUN iajs-1930 70 16 n. n. NOUN iajs-1930 70 17 inparticular inparticular PROPN iajs-1930 70 18 , , PUNCT iajs-1930 70 19 𝑎 𝑎 VERB iajs-1930 70 20 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 70 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 70 22 , , PUNCT iajs-1930 70 23 ∀n ∀n X iajs-1930 70 24 ∈n ∈n NOUN iajs-1930 70 25 . . PUNCT iajs-1930 70 26 let let VERB iajs-1930 70 27 a={1 a={1 ADJ iajs-1930 70 28 , , PUNCT iajs-1930 70 29 𝑎 𝑎 X iajs-1930 70 30 , , PUNCT iajs-1930 70 31 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 70 32 , , PUNCT iajs-1930 70 33 ... ... PUNCT iajs-1930 70 34 } } PUNCT iajs-1930 70 35 and and CCONJ iajs-1930 70 36 b={k b={k NOUN iajs-1930 70 37 : : PUNCT iajs-1930 71 1 k k PROPN iajs-1930 71 2 is be AUX iajs-1930 71 3 f. f. PROPN iajs-1930 71 4 ideal ideal PROPN iajs-1930 71 5 of of ADP iajs-1930 71 6 r r NOUN iajs-1930 71 7 such such ADJ iajs-1930 71 8 that that DET iajs-1930 71 9 k∩a=∅ k∩a=∅ NOUN iajs-1930 71 10 , , PUNCT iajs-1930 71 11 ĥ⊆ ĥ⊆ PROPN iajs-1930 71 12 k⊆ k⊆ ADP iajs-1930 71 13 ƥ ƥ X iajs-1930 71 14 } } PUNCT iajs-1930 71 15 . . PUNCT iajs-1930 72 1 then then ADV iajs-1930 72 2 b≠∅ b≠∅ PROPN iajs-1930 72 3 , , PUNCT iajs-1930 72 4 since since SCONJ iajs-1930 72 5 ĥ⊆b ĥ⊆b PROPN iajs-1930 72 6 , , PUNCT iajs-1930 72 7 it it PRON iajs-1930 72 8 is be AUX iajs-1930 72 9 obvious obvious ADJ iajs-1930 72 10 b b NOUN iajs-1930 72 11 is be AUX iajs-1930 72 12 partially partially ADV iajs-1930 72 13 ordered order VERB iajs-1930 72 14 by by ADP iajs-1930 72 15 inclusion inclusion NOUN iajs-1930 72 16 . . PUNCT iajs-1930 73 1 by by ADP iajs-1930 73 2 [ [ X iajs-1930 73 3 13 13 NUM iajs-1930 73 4 ] ] PUNCT iajs-1930 73 5 , , PUNCT iajs-1930 73 6 b b PROPN iajs-1930 73 7 has have VERB iajs-1930 73 8 a a DET iajs-1930 73 9 maximal maximal ADJ iajs-1930 73 10 f. f. PROPN iajs-1930 73 11 ideal ideal PROPN iajs-1930 73 12 say say VERB iajs-1930 73 13 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 73 14 . . PUNCT iajs-1930 74 1 then then ADV iajs-1930 74 2 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 74 3 is be AUX iajs-1930 74 4 a a DET iajs-1930 74 5 prime prime ADJ iajs-1930 74 6 f. f. PROPN iajs-1930 74 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 74 8 by by ADP iajs-1930 74 9 [ [ X iajs-1930 74 10 12 12 NUM iajs-1930 74 11 ] ] X iajs-1930 74 12 , , PUNCT iajs-1930 74 13 such such ADJ iajs-1930 74 14 that that SCONJ iajs-1930 74 15 ĥ⊆ ĥ⊆ PROPN iajs-1930 74 16 ṷ⊆ ṷ⊆ PROPN iajs-1930 74 17 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 74 18 . . NOUN iajs-1930 74 19 since since SCONJ iajs-1930 74 20 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 74 21 is be AUX iajs-1930 74 22 a a DET iajs-1930 74 23 minimal minimal ADJ iajs-1930 74 24 prime prime ADJ iajs-1930 74 25 f. f. PROPN iajs-1930 74 26 ideal ideal PROPN iajs-1930 74 27 of of ADP iajs-1930 74 28 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 74 29 , , PUNCT iajs-1930 74 30 so so SCONJ iajs-1930 74 31 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 74 32 = = NOUN iajs-1930 74 33 ƥ ƥ PRON iajs-1930 74 34 this this PRON iajs-1930 74 35 is be AUX iajs-1930 74 36 a a DET iajs-1930 74 37 contradiction contradiction NOUN iajs-1930 74 38 to to ADP iajs-1930 74 39 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 74 40 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 74 41 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 74 42 = = NOUN iajs-1930 74 43 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 74 44 , , PUNCT iajs-1930 74 45 hence hence ADV iajs-1930 74 46 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 74 47 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 74 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 74 49 ĥ ĥ X iajs-1930 74 50 . . PUNCT iajs-1930 75 1 ( ( PUNCT iajs-1930 75 2 2 2 NUM iajs-1930 75 3 ) ) PUNCT iajs-1930 75 4 ⇒(1 ⇒(1 NOUN iajs-1930 75 5 ) ) PUNCT iajs-1930 75 6 suppose suppose VERB iajs-1930 75 7 that that SCONJ iajs-1930 75 8 for for ADP iajs-1930 75 9 each each DET iajs-1930 75 10 f. f. PROPN iajs-1930 75 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 75 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 75 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 75 14 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 75 15 , , PUNCT iajs-1930 75 16 there there PRON iajs-1930 75 17 exists exist VERB iajs-1930 75 18 f. f. PROPN iajs-1930 75 19 singleton singleton PROPN iajs-1930 75 20 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 75 21 of of ADP iajs-1930 75 22 r\ r\ PROPN iajs-1930 75 23 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 75 24 and and CCONJ iajs-1930 75 25 n∈n n∈n NOUN iajs-1930 75 26 such such ADJ iajs-1930 75 27 that that SCONJ iajs-1930 75 28 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 75 29 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 75 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 75 31 ĥ ĥ X iajs-1930 75 32 . . PUNCT iajs-1930 76 1 let let VERB iajs-1930 76 2 k k PRON iajs-1930 76 3 be be AUX iajs-1930 76 4 a a DET iajs-1930 76 5 prime prime ADJ iajs-1930 76 6 f. f. PROPN iajs-1930 76 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 76 8 of of ADP iajs-1930 76 9 r r NOUN iajs-1930 76 10 such such ADJ iajs-1930 76 11 that that SCONJ iajs-1930 76 12 ĥ⊆ ĥ⊆ PROPN iajs-1930 76 13 k⊆ k⊆ PROPN iajs-1930 76 14 ƥ ƥ X iajs-1930 76 15 . . PUNCT iajs-1930 77 1 we we PRON iajs-1930 77 2 claim claim VERB iajs-1930 77 3 that that SCONJ iajs-1930 77 4 ƥ⊆ ƥ⊆ NOUN iajs-1930 77 5 k. k. PROPN iajs-1930 77 6 since since SCONJ iajs-1930 77 7 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 77 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 9 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 77 10 , , PUNCT iajs-1930 77 11 then then ADV iajs-1930 77 12 there there PRON iajs-1930 77 13 exists exist VERB iajs-1930 77 14 f. f. PROPN iajs-1930 77 15 singleton singleton PROPN iajs-1930 77 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 77 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 18 r\ r\ PROPN iajs-1930 77 19 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 77 20 and and CCONJ iajs-1930 77 21 n∈n n∈n NOUN iajs-1930 77 22 such such ADJ iajs-1930 77 23 that that SCONJ iajs-1930 77 24 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 77 25 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 77 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 27 ĥ⊆ ĥ⊆ PROPN iajs-1930 77 28 k. k. NOUN iajs-1930 77 29 since since SCONJ iajs-1930 77 30 k k PROPN iajs-1930 77 31 is be AUX iajs-1930 77 32 a a DET iajs-1930 77 33 prime prime PROPN iajs-1930 77 34 f. f. PROPN iajs-1930 77 35 ideal ideal PROPN iajs-1930 77 36 , , PUNCT iajs-1930 77 37 then then ADV iajs-1930 77 38 either either CCONJ iajs-1930 77 39 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 77 40 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 41 k k NOUN iajs-1930 77 42 or or CCONJ iajs-1930 77 43 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 77 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 45 k. k. NOUN iajs-1930 77 46 hence hence ADV iajs-1930 77 47 𝑎 𝑎 VERB iajs-1930 77 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 49 k k NOUN iajs-1930 77 50 as as ADP iajs-1930 77 51 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 77 52 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 77 53 r\ r\ PROPN iajs-1930 77 54 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 77 55 . . PUNCT iajs-1930 78 1 so so SCONJ iajs-1930 78 2 that that PRON iajs-1930 79 1 ƥ⊆ ƥ⊆ NOUN iajs-1930 79 2 k k NOUN iajs-1930 79 3 , , PUNCT iajs-1930 79 4 then then ADV iajs-1930 79 5 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 79 6 = = PROPN iajs-1930 79 7 k k X iajs-1930 79 8 ; ; PUNCT iajs-1930 79 9 that that PRON iajs-1930 79 10 is be AUX iajs-1930 79 11 ƥ ƥ PRON iajs-1930 79 12 is be AUX iajs-1930 79 13 a a DET iajs-1930 79 14 minimal minimal ADJ iajs-1930 79 15 prime prime ADJ iajs-1930 79 16 f. f. PROPN iajs-1930 79 17 ideal ideal PROPN iajs-1930 79 18 of of ADP iajs-1930 79 19 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 79 20 . . PUNCT iajs-1930 79 21 proposition proposition NOUN iajs-1930 79 22 5 5 NUM iajs-1930 79 23 . . PUNCT iajs-1930 79 24 suppose suppose VERB iajs-1930 79 25 that that SCONJ iajs-1930 79 26 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 79 27 is be AUX iajs-1930 79 28 t t PROPN iajs-1930 79 29 - - PUNCT iajs-1930 79 30 abso abso PROPN iajs-1930 79 31 f. f. PROPN iajs-1930 79 32 ideal ideal PROPN iajs-1930 79 33 of of ADP iajs-1930 79 34 a a DET iajs-1930 79 35 ring ring NOUN iajs-1930 79 36 r. r. PROPN iajs-1930 79 37 then then ADV iajs-1930 79 38 there there PRON iajs-1930 79 39 are be VERB iajs-1930 79 40 at at ADP iajs-1930 79 41 most most ADV iajs-1930 79 42 two two NUM iajs-1930 79 43 prime prime ADJ iajs-1930 79 44 f f PROPN iajs-1930 79 45 ideals ideal NOUN iajs-1930 79 46 of of ADP iajs-1930 79 47 r r NOUN iajs-1930 79 48 that that PRON iajs-1930 79 49 are be AUX iajs-1930 79 50 minimal minimal ADJ iajs-1930 79 51 over over ADP iajs-1930 79 52 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 79 53 . . PUNCT iajs-1930 79 54     SPACE iajs-1930 79 55 proof proof NOUN iajs-1930 79 56 . . PUNCT iajs-1930 80 1 assume assume VERB iajs-1930 80 2 that that SCONJ iajs-1930 80 3 k={ƥ k={ƥ NOUN iajs-1930 80 4 : : PUNCT iajs-1930 80 5 ƥ ƥ PRON iajs-1930 80 6 is be AUX iajs-1930 80 7 a a DET iajs-1930 80 8 prime prime PROPN iajs-1930 80 9 f. f. PROPN iajs-1930 80 10 ideal ideal NOUN iajs-1930 80 11 of of ADP iajs-1930 80 12 r r NOUN iajs-1930 80 13 which which PRON iajs-1930 80 14 is be AUX iajs-1930 80 15 minimal minimal ADJ iajs-1930 80 16 over over ADP iajs-1930 80 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 80 18 } } PUNCT iajs-1930 80 19 . . PUNCT iajs-1930 81 1 let let VERB iajs-1930 81 2 k k PRON iajs-1930 81 3 have have VERB iajs-1930 81 4 at at ADV iajs-1930 81 5 least least ADV iajs-1930 81 6 three three NUM iajs-1930 81 7 prime prime ADJ iajs-1930 81 8 f. f. PROPN iajs-1930 81 9 ideals ideal NOUN iajs-1930 81 10 . . PUNCT iajs-1930 82 1 let let VERB iajs-1930 82 2 ƥ ƥ PRON iajs-1930 82 3 , , PUNCT iajs-1930 82 4 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 82 5 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 82 6 𝐾 𝐾 NOUN iajs-1930 82 7 be be VERB iajs-1930 82 8 two two NUM iajs-1930 82 9 different different ADJ iajs-1930 82 10 prime prime ADJ iajs-1930 82 11 f. f. PROPN iajs-1930 82 12 ideals ideal NOUN iajs-1930 82 13 . . PUNCT iajs-1930 83 1 then then ADV iajs-1930 83 2 there there PRON iajs-1930 83 3 exists exist VERB iajs-1930 83 4 f. f. PROPN iajs-1930 83 5 singleton singleton PROPN iajs-1930 83 6 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 83 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 83 8 ƥ ƥ DET iajs-1930 83 9 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 83 10 and and CCONJ iajs-1930 83 11 there there PRON iajs-1930 83 12 exists exist VERB iajs-1930 83 13 f f PROPN iajs-1930 83 14 singleton singleton PROPN iajs-1930 83 15 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 83 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 83 17 ƥ ƥ PRON iajs-1930 83 18 \ƥ \ƥ PROPN iajs-1930 83 19 . . PUNCT iajs-1930 84 1 we we PRON iajs-1930 84 2 show show VERB iajs-1930 84 3 that that SCONJ iajs-1930 84 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 84 5 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 84 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 84 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 84 8 . . PUNCT iajs-1930 84 9 by by ADP iajs-1930 84 10 lemma lemma PROPN iajs-1930 84 11 ( ( PUNCT iajs-1930 84 12 4 4 NUM iajs-1930 84 13 ) ) PUNCT iajs-1930 84 14 , , PUNCT iajs-1930 84 15 there there PRON iajs-1930 84 16 exist exist VERB iajs-1930 84 17 f. f. NOUN iajs-1930 84 18 singletons singleton NOUN iajs-1930 84 19 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 84 20 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 84 21 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 84 22 and and CCONJ iajs-1930 84 23 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 84 24 ⊈ ⊈ NOUN iajs-1930 84 25 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 84 26 , , PUNCT iajs-1930 84 27 such such ADJ iajs-1930 84 28 that that SCONJ iajs-1930 84 29 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 84 30 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 84 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 84 32 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 84 33 and and CCONJ iajs-1930 84 34 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 84 35 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 84 36 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 84 37 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 84 38 for for ADP iajs-1930 84 39 some some DET iajs-1930 84 40 n n CCONJ iajs-1930 84 41 , , PUNCT iajs-1930 84 42 m m VERB iajs-1930 84 43 ≥1 ≥1 VERB iajs-1930 84 44 . . PUNCT iajs-1930 85 1 since since SCONJ iajs-1930 85 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 85 3 is be AUX iajs-1930 85 4 t t PROPN iajs-1930 85 5 - - PUNCT iajs-1930 85 6 abso abso PROPN iajs-1930 85 7 f. f. PROPN iajs-1930 85 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 85 9 of of ADP iajs-1930 85 10 r r NOUN iajs-1930 85 11 , , PUNCT iajs-1930 85 12 we we PRON iajs-1930 85 13 have have VERB iajs-1930 85 14 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 85 15 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 85 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 85 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 85 18 and and CCONJ iajs-1930 85 19 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 85 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 85 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 85 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 85 23 . . PUNCT iajs-1930 86 1 since since SCONJ iajs-1930 86 2 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 86 3 , , PUNCT iajs-1930 86 4 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 86 5 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 86 6 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 86 7 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 86 8 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 86 9 and and CCONJ iajs-1930 86 10 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 86 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 86 12 , , PUNCT iajs-1930 86 13 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 86 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 87 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 87 2 ĥ ĥ DET iajs-1930 87 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 87 4 ƥ ƥ PRON iajs-1930 87 5 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 87 6 ƥ ƥ X iajs-1930 87 7 , , PUNCT iajs-1930 87 8 we we PRON iajs-1930 87 9 get get VERB iajs-1930 87 10 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 87 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 87 12 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 87 13 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 87 14 and and CCONJ iajs-1930 87 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 87 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 87 17 ƥ ƥ DET iajs-1930 87 18 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 87 19 , , PUNCT iajs-1930 87 20 thus thus ADV iajs-1930 87 21 𝑥 𝑥 X iajs-1930 87 22 , , PUNCT iajs-1930 87 23 𝑦 𝑦 X iajs-1930 87 24 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 87 25 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 87 26 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 87 27 ƥ ƥ X iajs-1930 87 28 . . PUNCT iajs-1930 88 1 since since SCONJ iajs-1930 88 2 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 88 3 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 88 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 88 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 88 6 and and CCONJ iajs-1930 88 7 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 88 8 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 88 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 88 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 88 11 , , PUNCT iajs-1930 88 12 have have VERB iajs-1930 88 13 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 88 14 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 88 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 88 16 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 88 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 88 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 88 19 . . NOUN iajs-1930 88 20 observe observe VERB iajs-1930 88 21 that that SCONJ iajs-1930 88 22 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 88 23 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 88 24 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-1930 88 25 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 88 26 and and CCONJ iajs-1930 88 27 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 88 28 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 88 29 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 88 30 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 88 31 . . PUNCT iajs-1930 89 1 since since SCONJ iajs-1930 89 2 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 89 3 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 89 4 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 89 5 ⊈ ⊈ NOUN iajs-1930 89 6 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 89 7 and and CCONJ iajs-1930 89 8 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 89 9 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 89 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 89 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 89 12 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 89 13 , , PUNCT iajs-1930 89 14 we we PRON iajs-1930 89 15 conclude conclude VERB iajs-1930 89 16 that that SCONJ iajs-1930 89 17 neither neither CCONJ iajs-1930 89 18 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 89 19 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 89 20 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 89 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 89 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 89 23 nor nor CCONJ iajs-1930 89 24 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 89 25 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 89 26 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 89 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 89 28 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 89 29 and and CCONJ iajs-1930 89 30 hence hence ADV iajs-1930 89 31 𝑎 𝑎 ADJ iajs-1930 89 32 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 89 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 89 34 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 89 35 . . PUNCT iajs-1930 90 1 now now ADV iajs-1930 90 2 , , PUNCT iajs-1930 90 3 suppose suppose VERB iajs-1930 90 4 there there PRON iajs-1930 90 5 exists exist VERB iajs-1930 90 6 ƥ ƥ PRON iajs-1930 90 7 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 90 8 k k NOUN iajs-1930 90 9 such such ADJ iajs-1930 90 10 that that SCONJ iajs-1930 90 11 ƥ ƥ PRON iajs-1930 90 12 is be AUX iajs-1930 90 13 neither neither CCONJ iajs-1930 90 14 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 90 15 nor nor CCONJ iajs-1930 90 16 ƥ ƥ PRON iajs-1930 90 17 .then .then X iajs-1930 90 18 we we PRON iajs-1930 90 19 can can AUX iajs-1930 90 20 choose choose VERB iajs-1930 90 21 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 91 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 91 2 ƥ ƥ PRON iajs-1930 91 3 \ \ NOUN iajs-1930 91 4 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 91 5 ∪ ∪ NOUN iajs-1930 91 6 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 91 7 , , PUNCT iajs-1930 91 8 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 91 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 91 10 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 91 11 \ \ NOUN iajs-1930 91 12 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 91 13 ∪ ∪ NOUN iajs-1930 91 14 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 91 15 and and CCONJ iajs-1930 91 16 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 91 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 91 18 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 91 19 \ \ NOUN iajs-1930 91 20 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 91 21 ∪ ∪ NOUN iajs-1930 91 22 ƥ ƥ X iajs-1930 91 23 . . PUNCT iajs-1930 92 1 by by ADP iajs-1930 92 2 the the DET iajs-1930 92 3 same same ADJ iajs-1930 92 4 way way NOUN iajs-1930 92 5 we we PRON iajs-1930 92 6 show show VERB iajs-1930 92 7 that that SCONJ iajs-1930 92 8 𝑟 𝑟 X iajs-1930 92 9 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 92 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 92 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 92 12 . . PUNCT iajs-1930 93 1 since since SCONJ iajs-1930 93 2 ĥ⊆ƥ ĥ⊆ƥ PROPN iajs-1930 93 3 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 93 4 ƥ ƥ ADP iajs-1930 93 5 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 93 6 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 93 7 and and CCONJ iajs-1930 93 8 𝑟 𝑟 DET iajs-1930 93 9 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 93 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 93 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 93 12 , , PUNCT iajs-1930 93 13 we we PRON iajs-1930 93 14 get get VERB iajs-1930 93 15 either either CCONJ iajs-1930 93 16 𝑟 𝑟 DET iajs-1930 93 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 93 18 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 93 19 or or CCONJ iajs-1930 93 20 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 93 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 93 22 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 93 23 this this PRON iajs-1930 93 24 is be AUX iajs-1930 93 25 a a DET iajs-1930 93 26 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 93 27 . . PUNCT iajs-1930 94 1 hence hence ADV iajs-1930 94 2 k k PROPN iajs-1930 94 3 has have AUX iajs-1930 94 4 at at ADP iajs-1930 94 5 most most ADV iajs-1930 94 6 two two NUM iajs-1930 94 7 prime prime ADJ iajs-1930 94 8 f. f. PROPN iajs-1930 94 9 ideals ideal NOUN iajs-1930 94 10 of of ADP iajs-1930 94 11 r. r. PROPN iajs-1930 94 12 proposition proposition NOUN iajs-1930 94 13 6 6 NUM iajs-1930 94 14 let let VERB iajs-1930 94 15 ĥ ĥ PRON iajs-1930 94 16 be be AUX iajs-1930 94 17 t t PROPN iajs-1930 94 18 - - PUNCT iajs-1930 94 19 abso abso PROPN iajs-1930 94 20 f. f. PROPN iajs-1930 94 21 ideal ideal PROPN iajs-1930 94 22 of of ADP iajs-1930 94 23 r. r. PROPN iajs-1930 94 24 then then ADV iajs-1930 94 25 one one NUM iajs-1930 94 26 of of ADP iajs-1930 94 27 the the DET iajs-1930 94 28 following follow VERB iajs-1930 94 29 expressions expression NOUN iajs-1930 94 30 must must AUX iajs-1930 94 31 hold hold VERB iajs-1930 94 32 1ĥ 1ĥ NOUN iajs-1930 94 33 = = PUNCT iajs-1930 95 1 ƥ ƥ PRON iajs-1930 95 2 is be AUX iajs-1930 95 3 a a DET iajs-1930 95 4 prime prime PROPN iajs-1930 95 5 f. f. PROPN iajs-1930 95 6 ideal ideal NOUN iajs-1930 95 7 of of ADP iajs-1930 95 8 r r NOUN iajs-1930 95 9 such such ADJ iajs-1930 95 10 that that SCONJ iajs-1930 95 11 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 95 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 95 13 ĥ ĥ SYM iajs-1930 95 14 2ĥ= 2ĥ= NUM iajs-1930 95 15 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 95 16 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 95 17 ƥ ƥ X iajs-1930 95 18 , , PUNCT iajs-1930 95 19 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 95 20 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 95 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 95 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 95 23 , , PUNCT iajs-1930 95 24 and and CCONJ iajs-1930 95 25 ĥ ĥ PRON iajs-1930 95 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 95 27 ĥ ĥ NUM iajs-1930 95 28 where where SCONJ iajs-1930 95 29 ƥ ƥ X iajs-1930 95 30 , , PUNCT iajs-1930 95 31 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 95 32 are be AUX iajs-1930 95 33 the the DET iajs-1930 95 34 only only ADJ iajs-1930 95 35 distinct distinct ADJ iajs-1930 95 36 prime prime ADJ iajs-1930 95 37 f. f. PROPN iajs-1930 95 38 ideals ideal NOUN iajs-1930 95 39 of of ADP iajs-1930 95 40 r r NOUN iajs-1930 95 41 that that PRON iajs-1930 95 42 are be AUX iajs-1930 95 43 minimal minimal ADJ iajs-1930 95 44 over over ADP iajs-1930 95 45 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 95 46 . . PUNCT iajs-1930 95 47     SPACE iajs-1930 95 48 113 113 NUM iajs-1930 95 49     SPACE iajs-1930 95 50 ibn ibn PROPN iajs-1930 95 51 al al PROPN iajs-1930 95 52 - - PUNCT iajs-1930 95 53 haitham haitham PROPN iajs-1930 95 54 jour jour X iajs-1930 95 55 . . PROPN iajs-1930 96 1 for for ADP iajs-1930 96 2 pure pure ADJ iajs-1930 96 3 & & CCONJ iajs-1930 96 4 appl appl PROPN iajs-1930 96 5 . . PUNCT iajs-1930 97 1 sci sci PROPN iajs-1930 97 2 . . PROPN iajs-1930 97 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 97 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 97 5 vol vol NOUN iajs-1930 97 6 . . PUNCT iajs-1930 98 1 32 32 NUM iajs-1930 99 1 ( ( PUNCT iajs-1930 99 2 1 1 NUM iajs-1930 99 3 ) ) PUNCT iajs-1930 99 4 2019 2019 NUM iajs-1930 99 5 proof proof NOUN iajs-1930 99 6 . . PUNCT iajs-1930 100 1 by by ADP iajs-1930 100 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 100 3 ( ( PUNCT iajs-1930 100 4 5 5 NUM iajs-1930 100 5 ) ) PUNCT iajs-1930 100 6 , , PUNCT iajs-1930 100 7 we we PRON iajs-1930 100 8 get get VERB iajs-1930 100 9 either either CCONJ iajs-1930 100 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 100 11 = = NOUN iajs-1930 100 12 ƥ ƥ PRON iajs-1930 100 13 is be AUX iajs-1930 100 14 a a DET iajs-1930 100 15 prime prime PROPN iajs-1930 100 16 f. f. PROPN iajs-1930 100 17 ideal ideal NOUN iajs-1930 100 18 of of ADP iajs-1930 100 19 r r NOUN iajs-1930 100 20 or or CCONJ iajs-1930 100 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 100 22 = = SYM iajs-1930 100 23 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 100 24 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 100 25 ƥ ƥ X iajs-1930 100 26 , , PUNCT iajs-1930 100 27 where where SCONJ iajs-1930 100 28 ƥ ƥ X iajs-1930 100 29 , , PUNCT iajs-1930 100 30 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 100 31 are be AUX iajs-1930 100 32 the the DET iajs-1930 100 33 only only ADJ iajs-1930 100 34 distinct distinct ADJ iajs-1930 100 35 prime prime ADJ iajs-1930 100 36 f. f. PROPN iajs-1930 100 37 ideals ideal NOUN iajs-1930 100 38 of of ADP iajs-1930 100 39 r r NOUN iajs-1930 100 40 that that PRON iajs-1930 100 41 are be AUX iajs-1930 100 42 minimal minimal ADJ iajs-1930 100 43 over over ADP iajs-1930 100 44 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 100 45 . . PUNCT iajs-1930 100 46 assume assume VERB iajs-1930 100 47 that that SCONJ iajs-1930 100 48 ĥ ĥ PRON iajs-1930 100 49 = = X iajs-1930 100 50 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 100 51 is be AUX iajs-1930 100 52 prime prime PROPN iajs-1930 100 53 f. f. PROPN iajs-1930 100 54 ideal ideal PROPN iajs-1930 100 55 of of ADP iajs-1930 100 56 r. r. PROPN iajs-1930 100 57 let let VERB iajs-1930 100 58 f. f. PROPN iajs-1930 100 59 singletons singletons PROPN iajs-1930 100 60 𝑎 𝑎 X iajs-1930 100 61 , , PUNCT iajs-1930 100 62 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 100 63 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 100 64 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 100 65 . . PUNCT iajs-1930 101 1 by by ADP iajs-1930 101 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 101 3 ( ( PUNCT iajs-1930 101 4 3 3 NUM iajs-1930 101 5 ) ) PUNCT iajs-1930 101 6 , , PUNCT iajs-1930 101 7 we we PRON iajs-1930 101 8 have have VERB iajs-1930 101 9 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 101 10 , , PUNCT iajs-1930 101 11 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 101 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 101 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 101 14 . . PUNCT iajs-1930 102 1 so so SCONJ iajs-1930 102 2 that that SCONJ iajs-1930 102 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 102 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 102 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 102 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 102 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 102 8 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 102 9 . . PUNCT iajs-1930 103 1 since since SCONJ iajs-1930 103 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 103 3 is be AUX iajs-1930 103 4 t t PROPN iajs-1930 103 5 - - PUNCT iajs-1930 103 6 abso abso PROPN iajs-1930 103 7 f. f. PROPN iajs-1930 103 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 103 9 , , PUNCT iajs-1930 103 10 we we PRON iajs-1930 103 11 get get VERB iajs-1930 103 12 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 103 13 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 103 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 103 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 103 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 103 17 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 103 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 103 19 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 103 20 or or CCONJ iajs-1930 103 21 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 103 22 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 103 23 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 103 24 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 103 25 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 103 26 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 103 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 103 28 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 103 29 or or CCONJ iajs-1930 103 30 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 103 31 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 103 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 103 33 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 103 34 . . PROPN iajs-1930 104 1 from from ADP iajs-1930 104 2 each each DET iajs-1930 104 3 case case NOUN iajs-1930 104 4 implies imply VERB iajs-1930 104 5 that that SCONJ iajs-1930 104 6 𝑎 𝑎 X iajs-1930 104 7 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 104 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 104 9 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 104 10 , , PUNCT iajs-1930 104 11 and and CCONJ iajs-1930 104 12 so so ADV iajs-1930 104 13 ƥ ƥ DET iajs-1930 104 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 104 15 ĥ ĥ X iajs-1930 104 16 . . PUNCT iajs-1930 104 17 suppose suppose VERB iajs-1930 104 18 that that SCONJ iajs-1930 104 19 ĥ ĥ PRON iajs-1930 104 20 = = PUNCT iajs-1930 104 21 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 104 22 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 104 23 ƥ ƥ X iajs-1930 104 24 , , PUNCT iajs-1930 104 25 where where SCONJ iajs-1930 104 26 ƥ ƥ X iajs-1930 104 27 , , PUNCT iajs-1930 104 28 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 104 29 are be AUX iajs-1930 104 30 the the DET iajs-1930 104 31 only only ADJ iajs-1930 104 32 distinct distinct ADJ iajs-1930 104 33 prime prime ADJ iajs-1930 104 34 f. f. PROPN iajs-1930 104 35 ideals ideal NOUN iajs-1930 104 36 of of ADP iajs-1930 104 37 r r NOUN iajs-1930 104 38 that that PRON iajs-1930 104 39 are be AUX iajs-1930 104 40 minimal minimal ADJ iajs-1930 104 41 over over ADP iajs-1930 104 42 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 104 43 . . PUNCT iajs-1930 105 1 let let VERB iajs-1930 105 2 f f PRON iajs-1930 105 3 singletons singleton NOUN iajs-1930 105 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 105 5 , , PUNCT iajs-1930 105 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 105 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 105 8 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 105 9 . . PUNCT iajs-1930 106 1 by by ADP iajs-1930 106 2 the the DET iajs-1930 106 3 same same ADJ iajs-1930 106 4 way way NOUN iajs-1930 106 5 of of ADP iajs-1930 106 6 above above ADV iajs-1930 106 7 , , PUNCT iajs-1930 106 8 we we PRON iajs-1930 106 9 have have VERB iajs-1930 106 10 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 106 11 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 106 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 106 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 106 14 and and CCONJ iajs-1930 106 15 hence hence ADV iajs-1930 106 16 ĥ ĥ DET iajs-1930 106 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 106 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 106 19 . . PUNCT iajs-1930 107 1 now now ADV iajs-1930 107 2 , , PUNCT iajs-1930 107 3 we we PRON iajs-1930 107 4 show show VERB iajs-1930 107 5 that that SCONJ iajs-1930 107 6 , , PUNCT iajs-1930 107 7 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 107 8 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 107 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 107 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 107 11 . . PUNCT iajs-1930 107 12 by by ADP iajs-1930 107 13 proposition proposition NOUN iajs-1930 107 14 ( ( PUNCT iajs-1930 107 15 3 3 NUM iajs-1930 107 16 ) ) PUNCT iajs-1930 107 17 , , PUNCT iajs-1930 107 18 we we PRON iajs-1930 107 19 have have VERB iajs-1930 107 20 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 107 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 107 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 107 23 for for ADP iajs-1930 107 24 each each DET iajs-1930 107 25 f f PROPN iajs-1930 107 26 singleton singleton PROPN iajs-1930 107 27 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 107 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 107 29 ĥ ĥ X iajs-1930 107 30 . . PUNCT iajs-1930 108 1 let let AUX iajs-1930 108 2 be be AUX iajs-1930 108 3 f f PROPN iajs-1930 108 4 singleton singleton PROPN iajs-1930 108 5 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 108 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 108 7 ƥ ƥ DET iajs-1930 108 8 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 108 9 and and CCONJ iajs-1930 108 10 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 108 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 108 12 ƥ ƥ PRON iajs-1930 108 13 \ƥ \ƥ PROPN iajs-1930 108 14 . . PUNCT iajs-1930 109 1 by by ADP iajs-1930 109 2 the the DET iajs-1930 109 3 proof proof NOUN iajs-1930 109 4 of of ADP iajs-1930 109 5 proposition proposition NOUN iajs-1930 109 6 ( ( PUNCT iajs-1930 109 7 5 5 NUM iajs-1930 109 8 ) ) PUNCT iajs-1930 109 9 , , PUNCT iajs-1930 109 10 we we PRON iajs-1930 109 11 have have VERB iajs-1930 109 12 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 109 13 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 109 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 109 15 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 109 16 . . PUNCT iajs-1930 110 1 let let VERB iajs-1930 110 2 f f PROPN iajs-1930 110 3 singletons singleton NOUN iajs-1930 110 4 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 110 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 110 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 110 7 and and CCONJ iajs-1930 110 8 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 110 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 110 10 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 110 11 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 110 12 , , PUNCT iajs-1930 110 13 choose choose VERB iajs-1930 110 14 f f PROPN iajs-1930 110 15 singleton singleton PROPN iajs-1930 110 16 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 110 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 110 18 ƥ ƥ PRON iajs-1930 110 19 \ƥ \ƥ PROPN iajs-1930 110 20 . . PUNCT iajs-1930 111 1 then then ADV iajs-1930 111 2 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 111 3 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 111 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 111 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 111 6 by by ADP iajs-1930 111 7 the the DET iajs-1930 111 8 proof proof NOUN iajs-1930 111 9 of of ADP iajs-1930 111 10 proposition proposition NOUN iajs-1930 111 11 ( ( PUNCT iajs-1930 111 12 5 5 NUM iajs-1930 111 13 ) ) PUNCT iajs-1930 111 14 and and CCONJ iajs-1930 111 15 𝑐 𝑐 DET iajs-1930 111 16 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 111 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 111 18 ƥ ƥ PRON iajs-1930 111 19 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 111 20 . . PUNCT iajs-1930 112 1 thus thus ADV iajs-1930 112 2 𝑐 𝑐 X iajs-1930 112 3 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 112 4 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 112 5 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 112 6 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 112 7 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 112 8 𝑑 𝑑 ADP iajs-1930 112 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 112 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 112 11 . . PUNCT iajs-1930 113 1 so so SCONJ iajs-1930 113 2 that that SCONJ iajs-1930 113 3 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 113 4 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 113 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 113 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 113 7 . . PUNCT iajs-1930 113 8 by by ADP iajs-1930 113 9 the the DET iajs-1930 113 10 same same ADJ iajs-1930 113 11 method method NOUN iajs-1930 113 12 we we PRON iajs-1930 113 13 show show VERB iajs-1930 113 14 that that SCONJ iajs-1930 113 15 if if SCONJ iajs-1930 113 16 𝑐 𝑐 PROPN iajs-1930 113 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 113 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 113 19 and and CCONJ iajs-1930 113 20 𝑑 𝑑 PROPN iajs-1930 113 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 113 22 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 113 23 \ƥ \ƥ NOUN iajs-1930 113 24 .thus .thus NUM iajs-1930 113 25 ƥ ƥ PRON iajs-1930 113 26 ƥ ƥ PRON iajs-1930 113 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 113 28 ĥ ĥ X iajs-1930 113 29 . . PUNCT iajs-1930 113 30 proposition proposition NOUN iajs-1930 113 31 7 7 NUM iajs-1930 113 32 let let VERB iajs-1930 113 33 ĥ ĥ PRON iajs-1930 113 34 be be AUX iajs-1930 113 35 t t PROPN iajs-1930 113 36 - - PUNCT iajs-1930 113 37 abso abso PROPN iajs-1930 113 38 f. f. PROPN iajs-1930 113 39 ideal ideal PROPN iajs-1930 113 40 of of ADP iajs-1930 113 41 r r NOUN iajs-1930 113 42 such such ADJ iajs-1930 113 43 that that SCONJ iajs-1930 113 44 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 113 45 = = X iajs-1930 113 46 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 113 47 is be AUX iajs-1930 113 48 a a DET iajs-1930 113 49 prime prime PROPN iajs-1930 113 50 f. f. PROPN iajs-1930 113 51 ideal ideal PROPN iajs-1930 113 52 , , PUNCT iajs-1930 113 53 of of ADP iajs-1930 113 54 rand rand NOUN iajs-1930 113 55 suppose suppose VERB iajs-1930 113 56 that that SCONJ iajs-1930 113 57 ĥ≠ƥ ĥ≠ƥ NOUN iajs-1930 113 58 . . PUNCT iajs-1930 114 1 for for ADP iajs-1930 114 2 each each DET iajs-1930 114 3 f. f. PROPN iajs-1930 114 4 singleton singleton PROPN iajs-1930 114 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 114 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 114 7 p\ĥ p\ĥ NOUN iajs-1930 114 8 , , PUNCT iajs-1930 114 9 let let VERB iajs-1930 114 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 114 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 114 12 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 114 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 114 14 : : PUNCT iajs-1930 114 15 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 114 16 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 114 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 114 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 114 19 , , PUNCT iajs-1930 114 20 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 114 21 v v NOUN iajs-1930 114 22 , , PUNCT iajs-1930 114 23 l l PROPN iajs-1930 114 24 ∈l ∈l PROPN iajs-1930 114 25 . . PUNCT iajs-1930 115 1 then then ADV iajs-1930 115 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 115 3 is be AUX iajs-1930 115 4 a a DET iajs-1930 115 5 prime prime ADJ iajs-1930 115 6 f. f. PROPN iajs-1930 115 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 115 8 of of ADP iajs-1930 115 9 r r NOUN iajs-1930 115 10 included include VERB iajs-1930 115 11 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 115 12 . . NOUN iajs-1930 115 13 futhermore futhermore NOUN iajs-1930 115 14 , , PUNCT iajs-1930 115 15 either either CCONJ iajs-1930 115 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 115 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 115 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 115 19 or or CCONJ iajs-1930 115 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 115 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 115 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 115 23 for for ADP iajs-1930 115 24 each each DET iajs-1930 115 25 f. f. PROPN iajs-1930 115 26 singletons singleton NOUN iajs-1930 115 27 𝑎 𝑎 X iajs-1930 115 28 , , PUNCT iajs-1930 115 29 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 115 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 115 31 ƥ\ĥ ƥ\ĥ X iajs-1930 115 32 . . PUNCT iajs-1930 116 1 proof proof NOUN iajs-1930 116 2 . . PUNCT iajs-1930 117 1 let let VERB iajs-1930 117 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 117 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 117 4 ƥ\ĥ ƥ\ĥ PRON iajs-1930 117 5 . . PUNCT iajs-1930 118 1 since since SCONJ iajs-1930 118 2 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 118 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 118 4 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 118 5 by by ADP iajs-1930 118 6 proposition proposition NOUN iajs-1930 118 7 ( ( PUNCT iajs-1930 118 8 6 6 NUM iajs-1930 118 9 ) ) PUNCT iajs-1930 118 10 , , PUNCT iajs-1930 118 11 we we PRON iajs-1930 118 12 have have VERB iajs-1930 118 13 ƥ⊆ ƥ⊆ NOUN iajs-1930 118 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 118 15 . . PUNCT iajs-1930 119 1 assume assume VERB iajs-1930 119 2 that that SCONJ iajs-1930 119 3 ƥ≠𝐴 ƥ≠𝐴 NOUN iajs-1930 119 4 and and CCONJ iajs-1930 119 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 119 6 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 120 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 120 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 120 3 for for ADP iajs-1930 120 4 some some DET iajs-1930 120 5 f. f. PROPN iajs-1930 120 6 singleton singleton PROPN iajs-1930 120 7 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 120 8 , , PUNCT iajs-1930 120 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 120 10 of of ADP iajs-1930 120 11 r. r. PROPN iajs-1930 120 12 since since SCONJ iajs-1930 120 13 ƥ⊆ ƥ⊆ PROPN iajs-1930 120 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 120 15 , , PUNCT iajs-1930 120 16 we we PRON iajs-1930 120 17 may may AUX iajs-1930 120 18 suppose suppose VERB iajs-1930 120 19 that that SCONJ iajs-1930 120 20 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 120 21 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 120 22 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 120 23 and and CCONJ iajs-1930 120 24 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 120 25 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 120 26 ƥ ƥ X iajs-1930 120 27 , , PUNCT iajs-1930 120 28 hence hence ADV iajs-1930 120 29 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 120 30 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 120 31 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 120 32 ĥ ĥ X iajs-1930 120 33 . . PUNCT iajs-1930 121 1 since since SCONJ iajs-1930 121 2 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 121 3 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 121 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 121 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 121 6 we we PRON iajs-1930 121 7 have have VERB iajs-1930 121 8 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 121 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 121 10 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 121 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 121 12 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 121 13 . . PUNCT iajs-1930 122 1 since since SCONJ iajs-1930 122 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 122 3 is be AUX iajs-1930 122 4 t t PROPN iajs-1930 122 5 - - PUNCT iajs-1930 122 6 abso abso PROPN iajs-1930 122 7 f. f. PROPN iajs-1930 122 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 122 9 of of ADP iajs-1930 122 10 r r NOUN iajs-1930 122 11 and and CCONJ iajs-1930 122 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 122 13 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 122 14 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 122 15 ĥ ĥ X iajs-1930 122 16 , , PUNCT iajs-1930 122 17 we we PRON iajs-1930 122 18 have have VERB iajs-1930 122 19 either either CCONJ iajs-1930 122 20 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 122 21 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 122 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 122 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 122 24 or or CCONJ iajs-1930 122 25 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 122 26 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 122 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 122 28 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 122 29 , , PUNCT iajs-1930 122 30 thus thus ADV iajs-1930 122 31 either either CCONJ iajs-1930 122 32 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 122 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 122 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 122 35 or or CCONJ iajs-1930 122 36 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 122 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 122 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 122 39 . . PUNCT iajs-1930 123 1 hence hence ADV iajs-1930 123 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 123 3 is be AUX iajs-1930 123 4 a a DET iajs-1930 123 5 prime prime ADJ iajs-1930 123 6 f. f. PROPN iajs-1930 123 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 123 8 of of ADP iajs-1930 123 9 r r NOUN iajs-1930 123 10 included include VERB iajs-1930 123 11 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 123 12 . . PUNCT iajs-1930 123 13 now now ADV iajs-1930 123 14 , , PUNCT iajs-1930 123 15 let let VERB iajs-1930 123 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 123 17 , , PUNCT iajs-1930 123 18 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 123 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 123 20 ƥ\ĥ ƥ\ĥ PROPN iajs-1930 123 21 for for ADP iajs-1930 123 22 f. f. PROPN iajs-1930 123 23 singletons singletons PROPN iajs-1930 123 24 𝑎 𝑎 X iajs-1930 123 25 , , PUNCT iajs-1930 123 26 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 123 27 of of ADP iajs-1930 123 28 r r NOUN iajs-1930 123 29 and and CCONJ iajs-1930 123 30 assume assume VERB iajs-1930 123 31 that that SCONJ iajs-1930 123 32 f f PROPN iajs-1930 123 33 singleton singleton PROPN iajs-1930 123 34 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 123 35 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 123 36 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 123 37 \ \ PROPN iajs-1930 123 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 123 39 . . PUNCT iajs-1930 124 1 since since SCONJ iajs-1930 124 2 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 124 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 124 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 124 5 , , PUNCT iajs-1930 124 6 so so SCONJ iajs-1930 124 7 𝑟 𝑟 X iajs-1930 124 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 124 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 124 10 \ƥ \ƥ PROPN iajs-1930 124 11 . . PUNCT iajs-1930 125 1 we we PRON iajs-1930 125 2 show show VERB iajs-1930 125 3 that that SCONJ iajs-1930 125 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 125 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 125 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 125 7 . . PUNCT iajs-1930 126 1 let let VERB iajs-1930 126 2 f f PROPN iajs-1930 126 3 singleton singleton VERB iajs-1930 126 4 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 126 5 of of ADP iajs-1930 126 6 r r NOUN iajs-1930 126 7 such such ADJ iajs-1930 126 8 that that SCONJ iajs-1930 126 9 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 126 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 126 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 126 12 . . PUNCT iajs-1930 127 1 since since SCONJ iajs-1930 127 2 ƥ⊆ ƥ⊆ PROPN iajs-1930 127 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 127 4 , , PUNCT iajs-1930 127 5 we we PRON iajs-1930 127 6 may may AUX iajs-1930 127 7 suppose suppose VERB iajs-1930 127 8 that that SCONJ iajs-1930 127 9 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 127 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 127 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 127 12 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 127 13 . . PUNCT iajs-1930 127 14 since since SCONJ iajs-1930 127 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 127 16 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-1930 127 17 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 127 18 and and CCONJ iajs-1930 127 19 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 127 20 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 127 21 ƥ ƥ X iajs-1930 127 22 , , PUNCT iajs-1930 127 23 we we PRON iajs-1930 127 24 have have VERB iajs-1930 127 25 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 127 26 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 127 27 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 127 28 ĥ ĥ X iajs-1930 127 29 . . PUNCT iajs-1930 128 1 since since SCONJ iajs-1930 128 2 𝑟 𝑟 NUM iajs-1930 128 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 128 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 128 5 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 128 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 128 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 128 8 and and CCONJ iajs-1930 128 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 128 10 𝑥 𝑥 X iajs-1930 128 11 , , PUNCT iajs-1930 128 12 𝑟 𝑟 X iajs-1930 128 13 𝑏 𝑏 X iajs-1930 128 14 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 128 15 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 128 16 , , PUNCT iajs-1930 128 17 we we PRON iajs-1930 128 18 have have VERB iajs-1930 128 19 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 128 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 128 21 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 128 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 128 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 128 24 . . PUNCT iajs-1930 129 1 hence hence ADV iajs-1930 129 2 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 129 3 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 129 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 129 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 129 6 since since SCONJ iajs-1930 129 7 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 129 8 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 129 9 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 129 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 129 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 129 12 and and CCONJ iajs-1930 129 13 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 129 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 129 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 129 16 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 129 17 . . PUNCT iajs-1930 130 1 hence hence ADV iajs-1930 130 2 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 130 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 130 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 130 5 . . PUNCT iajs-1930 131 1 so so ADV iajs-1930 131 2 that that SCONJ iajs-1930 131 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 131 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 131 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 131 6 . . PUNCT iajs-1930 132 1 proposition proposition NOUN iajs-1930 132 2 8 8 NUM iajs-1930 132 3 . . PUNCT iajs-1930 132 4 assume assume VERB iajs-1930 132 5 that that SCONJ iajs-1930 132 6 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 132 7 is be AUX iajs-1930 132 8 f. f. PROPN iajs-1930 132 9 ideal ideal PROPN iajs-1930 132 10 of of ADP iajs-1930 132 11 r r NOUN iajs-1930 132 12 such such ADJ iajs-1930 132 13 that that SCONJ iajs-1930 132 14 ĥ≠ ĥ≠ PROPN iajs-1930 132 15 ĥ ĥ X iajs-1930 132 16 and and CCONJ iajs-1930 132 17 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 132 18 is be AUX iajs-1930 132 19 a a DET iajs-1930 132 20 prime prime PROPN iajs-1930 132 21 f. f. PROPN iajs-1930 132 22 ideal ideal PROPN iajs-1930 132 23 of of ADP iajs-1930 132 24 r. r. PROPN iajs-1930 132 25 then then ADV iajs-1930 132 26 the the DET iajs-1930 132 27 following follow VERB iajs-1930 132 28 expressions expression NOUN iajs-1930 132 29 are be AUX iajs-1930 132 30 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 132 31 : : PUNCT iajs-1930 132 32 1ĥ 1ĥ PROPN iajs-1930 132 33 is be AUX iajs-1930 132 34 t t PROPN iajs-1930 132 35 - - PUNCT iajs-1930 132 36 abso abso PROPN iajs-1930 132 37 f. f. PROPN iajs-1930 132 38 ideal ideal PROPN iajs-1930 132 39 of of ADP iajs-1930 132 40 r r NOUN iajs-1930 132 41 ; ; PUNCT iajs-1930 132 42 2𝐴 2𝐴 VERB iajs-1930 132 43 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 132 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 132 45 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 132 46 : : PUNCT iajs-1930 132 47 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 132 48 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 132 49 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 132 50 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 132 51 , , PUNCT iajs-1930 132 52 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 132 53 v v NOUN iajs-1930 132 54 , , PUNCT iajs-1930 132 55 l l PROPN iajs-1930 132 56 ∈l ∈l PROPN iajs-1930 132 57 , , PUNCT iajs-1930 132 58 is be AUX iajs-1930 132 59 a a DET iajs-1930 132 60 prime prime PROPN iajs-1930 132 61 f. f. PROPN iajs-1930 132 62 ideal ideal NOUN iajs-1930 132 63 of of ADP iajs-1930 132 64 r r NOUN iajs-1930 132 65 for for ADP iajs-1930 132 66 each each DET iajs-1930 132 67 f. f. PROPN iajs-1930 132 68 singleton singleton PROPN iajs-1930 133 1 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 133 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 133 3 ĥ ĥ DET iajs-1930 133 4 \ \ PROPN iajs-1930 133 5 ĥ ĥ X iajs-1930 133 6 . . PUNCT iajs-1930 133 7     SPACE iajs-1930 133 8 114 114 NUM iajs-1930 133 9     SPACE iajs-1930 133 10 ibn ibn PROPN iajs-1930 133 11 al al PROPN iajs-1930 133 12 - - PUNCT iajs-1930 133 13 haitham haitham PROPN iajs-1930 133 14 jour jour X iajs-1930 133 15 . . PROPN iajs-1930 134 1 for for ADP iajs-1930 134 2 pure pure ADJ iajs-1930 134 3 & & CCONJ iajs-1930 134 4 appl appl PROPN iajs-1930 134 5 . . PUNCT iajs-1930 135 1 sci sci PROPN iajs-1930 135 2 . . PROPN iajs-1930 135 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 135 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 135 5 vol vol NOUN iajs-1930 135 6 . . PUNCT iajs-1930 136 1 32 32 NUM iajs-1930 137 1 ( ( PUNCT iajs-1930 137 2 1 1 NUM iajs-1930 137 3 ) ) PUNCT iajs-1930 137 4 2019 2019 NUM iajs-1930 137 5 proof proof NOUN iajs-1930 137 6 . . PUNCT iajs-1930 138 1 ( ( PUNCT iajs-1930 138 2 1 1 X iajs-1930 138 3 ) ) PUNCT iajs-1930 138 4 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 138 5 ( ( PUNCT iajs-1930 138 6 2 2 X iajs-1930 138 7 ) ) PUNCT iajs-1930 138 8 this this PRON iajs-1930 138 9 is be AUX iajs-1930 138 10 obvious obvious ADJ iajs-1930 138 11 by by ADP iajs-1930 138 12 proposition proposition NOUN iajs-1930 138 13 ( ( PUNCT iajs-1930 138 14 7 7 NUM iajs-1930 138 15 ) ) PUNCT iajs-1930 138 16 . . PUNCT iajs-1930 139 1 ( ( PUNCT iajs-1930 139 2 2)⇒(1 2)⇒(1 NOUN iajs-1930 139 3 ) ) PUNCT iajs-1930 139 4 assume assume VERB iajs-1930 139 5 that that SCONJ iajs-1930 139 6 𝑎 𝑎 X iajs-1930 139 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 139 8 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 139 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 139 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 139 11 for for ADP iajs-1930 139 12 f. f. PROPN iajs-1930 139 13 singletons singleton NOUN iajs-1930 139 14 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 139 15 , , PUNCT iajs-1930 139 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 139 17 , , PUNCT iajs-1930 139 18 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 139 19 of of ADP iajs-1930 139 20 r. r. PROPN iajs-1930 139 21 since since SCONJ iajs-1930 139 22 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 139 23 is be AUX iajs-1930 139 24 a a DET iajs-1930 139 25 prime prime ADJ iajs-1930 139 26 f. f. PROPN iajs-1930 139 27 ideal ideal NOUN iajs-1930 139 28 of of ADP iajs-1930 139 29 r r NOUN iajs-1930 139 30 , , PUNCT iajs-1930 139 31 we we PRON iajs-1930 139 32 may may AUX iajs-1930 139 33 suppose suppose VERB iajs-1930 139 34 that that SCONJ iajs-1930 139 35 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 139 36 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 139 37 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 139 38 . . PUNCT iajs-1930 140 1 if if SCONJ iajs-1930 140 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 140 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 140 4 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 140 5 , , PUNCT iajs-1930 140 6 then then ADV iajs-1930 140 7 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 140 8 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 140 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 140 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 140 11 . . PUNCT iajs-1930 140 12 thus thus ADV iajs-1930 140 13 suppose suppose VERB iajs-1930 140 14 that that SCONJ iajs-1930 140 15 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 140 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 140 17 ĥ ĥ PRON iajs-1930 140 18 \ĥ \ĥ NOUN iajs-1930 140 19 . . PUNCT iajs-1930 141 1 hence hence ADV iajs-1930 141 2 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 141 3 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 141 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 141 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 141 6 . . PUNCT iajs-1930 142 1 but but CCONJ iajs-1930 142 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 142 3 is be AUX iajs-1930 142 4 a a DET iajs-1930 142 5 prime prime ADJ iajs-1930 142 6 f. f. PROPN iajs-1930 142 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 142 8 of of ADP iajs-1930 142 9 r r NOUN iajs-1930 142 10 , , PUNCT iajs-1930 142 11 then then ADV iajs-1930 142 12 by by ADP iajs-1930 142 13 proposition proposition NOUN iajs-1930 142 14 ( ( PUNCT iajs-1930 142 15 7 7 NUM iajs-1930 142 16 ) ) PUNCT iajs-1930 142 17 , , PUNCT iajs-1930 142 18 either either CCONJ iajs-1930 142 19 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 142 20 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 142 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 142 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 142 23 or or CCONJ iajs-1930 142 24 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 142 25 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 142 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 142 27 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 142 28 . . PUNCT iajs-1930 143 1 thus thus ADV iajs-1930 143 2 ĥ ĥ PRON iajs-1930 143 3 is be AUX iajs-1930 143 4 tabso tabso PROPN iajs-1930 143 5 f. f. PROPN iajs-1930 143 6 ideal ideal PROPN iajs-1930 143 7 of of ADP iajs-1930 143 8 r. r. PROPN iajs-1930 143 9 proposition proposition NOUN iajs-1930 143 10 9 9 NUM iajs-1930 143 11 . . PUNCT iajs-1930 143 12 assume assume VERB iajs-1930 143 13 that that SCONJ iajs-1930 143 14 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 143 15 is be AUX iajs-1930 143 16 a a DET iajs-1930 143 17 non non ADJ iajs-1930 143 18 - - ADJ iajs-1930 143 19 constant constant ADJ iajs-1930 143 20 proper proper ADJ iajs-1930 143 21 f. f. PROPN iajs-1930 143 22 ideal ideal NOUN iajs-1930 143 23 of of ADP iajs-1930 143 24 a a DET iajs-1930 143 25 ring ring NOUN iajs-1930 143 26 r. r. PROPN iajs-1930 143 27 then then ADV iajs-1930 143 28 the the DET iajs-1930 143 29 following follow VERB iajs-1930 143 30 expressions expression NOUN iajs-1930 143 31 are be AUX iajs-1930 143 32 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 143 33 : : PUNCT iajs-1930 143 34 1ĥ 1ĥ PROPN iajs-1930 143 35 is be AUX iajs-1930 143 36 t t PROPN iajs-1930 143 37 - - PUNCT iajs-1930 143 38 abso abso PROPN iajs-1930 143 39 f. f. PROPN iajs-1930 143 40 ideal ideal PROPN iajs-1930 143 41 of of ADP iajs-1930 143 42 r r NOUN iajs-1930 143 43 ; ; PUNCT iajs-1930 143 44 2if 2if ADJ iajs-1930 143 45 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 143 46 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 143 47 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 143 48 for for ADP iajs-1930 143 49 f. f. PROPN iajs-1930 143 50 ideals ideals PROPN iajs-1930 143 51 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 143 52 , , PUNCT iajs-1930 143 53 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 143 54 , , PUNCT iajs-1930 143 55 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 143 56 of of ADP iajs-1930 143 57 r r PROPN iajs-1930 143 58 , , PUNCT iajs-1930 143 59 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 143 60 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 143 61 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 143 62 or or CCONJ iajs-1930 143 63 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 143 64 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 143 65 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 143 66 or or CCONJ iajs-1930 143 67 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 143 68 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 143 69 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 143 70 . . PUNCT iajs-1930 144 1 proof proof NOUN iajs-1930 144 2 . . PUNCT iajs-1930 145 1 ( ( PUNCT iajs-1930 145 2 1)⇒(2 1)⇒(2 X iajs-1930 145 3 ) ) PUNCT iajs-1930 145 4 assume assume VERB iajs-1930 145 5 that that SCONJ iajs-1930 145 6 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 145 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 145 8 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 145 9 for for ADP iajs-1930 145 10 f. f. PROPN iajs-1930 145 11 ideals ideals PROPN iajs-1930 145 12 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 145 13 , , PUNCT iajs-1930 145 14 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 145 15 , , PUNCT iajs-1930 145 16 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 145 17 of of ADP iajs-1930 145 18 r. r. NOUN iajs-1930 145 19 by by ADP iajs-1930 145 20 proposition proposition NOUN iajs-1930 145 21 ( ( PUNCT iajs-1930 145 22 5 5 NUM iajs-1930 145 23 ) ) PUNCT iajs-1930 145 24 , , PUNCT iajs-1930 145 25 we we PRON iajs-1930 145 26 have have VERB iajs-1930 145 27 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 145 28 is be AUX iajs-1930 145 29 a a DET iajs-1930 145 30 prime prime ADJ iajs-1930 145 31 f. f. PROPN iajs-1930 145 32 ideal ideal NOUN iajs-1930 145 33 of of ADP iajs-1930 145 34 r r NOUN iajs-1930 145 35 or or CCONJ iajs-1930 145 36 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 145 37 = = SYM iajs-1930 145 38 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 145 39 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 145 40 ƥ ƥ VERB iajs-1930 145 41 where where SCONJ iajs-1930 145 42 ƥ ƥ X iajs-1930 145 43 , , PUNCT iajs-1930 145 44 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 145 45 are be AUX iajs-1930 145 46 non non ADJ iajs-1930 145 47 - - ADJ iajs-1930 145 48 constant constant ADJ iajs-1930 145 49 distinct distinct ADJ iajs-1930 145 50 prime prime PROPN iajs-1930 145 51 f. f. PROPN iajs-1930 145 52 ideals ideal NOUN iajs-1930 145 53 of of ADP iajs-1930 145 54 r r NOUN iajs-1930 145 55 that that PRON iajs-1930 145 56 are be AUX iajs-1930 145 57 minimal minimal ADJ iajs-1930 145 58 over over ADP iajs-1930 145 59 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 145 60 . . PUNCT iajs-1930 146 1 if if SCONJ iajs-1930 146 2 ĥ= ĥ= PROPN iajs-1930 146 3 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 146 4 , , PUNCT iajs-1930 146 5 then then ADV iajs-1930 146 6 it it PRON iajs-1930 146 7 is be AUX iajs-1930 146 8 readily readily ADV iajs-1930 146 9 showed show VERB iajs-1930 146 10 that that SCONJ iajs-1930 146 11 , , PUNCT iajs-1930 146 12 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 146 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 146 14 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 146 15 or or CCONJ iajs-1930 146 16 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 146 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 146 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 146 19 or or CCONJ iajs-1930 146 20 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 146 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 146 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 146 23 . . PUNCT iajs-1930 147 1 thus thus ADV iajs-1930 147 2 suppose suppose VERB iajs-1930 147 3 that that SCONJ iajs-1930 147 4 ĥ≠ ĥ≠ PROPN iajs-1930 147 5 ĥ ĥ PRON iajs-1930 147 6 . . PUNCT iajs-1930 148 1 we we PRON iajs-1930 148 2 see see VERB iajs-1930 148 3 the the DET iajs-1930 148 4 following following NOUN iajs-1930 148 5 : : PUNCT iajs-1930 148 6 ( ( PUNCT iajs-1930 148 7 1 1 X iajs-1930 148 8 ) ) PUNCT iajs-1930 148 9 assume assume VERB iajs-1930 148 10 that that SCONJ iajs-1930 148 11 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 148 12 is be AUX iajs-1930 148 13 a a DET iajs-1930 148 14 prime prime PROPN iajs-1930 148 15 f. f. PROPN iajs-1930 148 16 ideal ideal PROPN iajs-1930 148 17 of of ADP iajs-1930 148 18 r. r. PROPN iajs-1930 148 19 then then ADV iajs-1930 148 20 we we PRON iajs-1930 148 21 perhaps perhaps ADV iajs-1930 148 22 suppose suppose VERB iajs-1930 148 23 that that SCONJ iajs-1930 148 24 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 148 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 148 26 ĥ ĥ DET iajs-1930 148 27 andṷ andṷ NOUN iajs-1930 148 28 ⊈ ⊈ PRON iajs-1930 148 29 ĥ ĥ X iajs-1930 148 30 . . PUNCT iajs-1930 148 31 let let VERB iajs-1930 148 32 f. f. PROPN iajs-1930 148 33 singleton singleton PROPN iajs-1930 148 34 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 148 35 of of ADP iajs-1930 148 36 r r NOUN iajs-1930 148 37 such such ADJ iajs-1930 148 38 that that SCONJ iajs-1930 148 39 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 148 40 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 148 41 ṷ\ĥ ṷ\ĥ NOUN iajs-1930 148 42 . . PUNCT iajs-1930 149 1 since since SCONJ iajs-1930 149 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 149 3 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 149 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 149 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 149 6 , , PUNCT iajs-1930 149 7 we we PRON iajs-1930 149 8 have have VERB iajs-1930 149 9 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 149 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 149 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 149 12 where where SCONJ iajs-1930 149 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 149 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 149 15 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 149 16 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 149 17 : : PUNCT iajs-1930 149 18 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 149 19 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 149 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 149 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 149 22 . . PUNCT iajs-1930 150 1 since since SCONJ iajs-1930 150 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 150 3 is be AUX iajs-1930 150 4 a a DET iajs-1930 150 5 prime prime ADJ iajs-1930 150 6 f. f. PROPN iajs-1930 150 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 150 8 of of ADP iajs-1930 150 9 r r NOUN iajs-1930 150 10 by by ADP iajs-1930 150 11 proposition proposition NOUN iajs-1930 150 12 ( ( PUNCT iajs-1930 150 13 8) 8) NUM iajs-1930 150 14 , , PUNCT iajs-1930 150 15 we we PRON iajs-1930 150 16 have have VERB iajs-1930 150 17 either either CCONJ iajs-1930 150 18 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 150 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 150 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 150 21 or or CCONJ iajs-1930 150 22 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 150 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 150 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 150 25 . . PUNCT iajs-1930 151 1 if if SCONJ iajs-1930 151 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 151 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 151 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 151 5 and and CCONJ iajs-1930 151 6 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 151 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 151 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 151 9 for for ADP iajs-1930 151 10 each each DET iajs-1930 151 11 f. f. PROPN iajs-1930 151 12 singleton singleton PROPN iajs-1930 151 13 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 151 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 151 15 ṷ\ĥ ṷ\ĥ NOUN iajs-1930 151 16 , , PUNCT iajs-1930 151 17 then then ADV iajs-1930 151 18 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 151 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 151 20 ĥ ĥ X iajs-1930 151 21 ( ( PUNCT iajs-1930 151 22 and and CCONJ iajs-1930 151 23 ṷ𝑇 ṷ𝑇 VERB iajs-1930 151 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 151 25 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 151 26 ) ) PUNCT iajs-1930 151 27 and and CCONJ iajs-1930 151 28 we we PRON iajs-1930 151 29 are be AUX iajs-1930 151 30 finished finish VERB iajs-1930 151 31 . . PUNCT iajs-1930 152 1 hence hence ADV iajs-1930 152 2 suppose suppose VERB iajs-1930 152 3 that that SCONJ iajs-1930 152 4 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 152 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 152 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 152 7 and and CCONJ iajs-1930 152 8 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 152 9 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 152 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 152 11 for for ADP iajs-1930 152 12 some some DET iajs-1930 152 13 f. f. PROPN iajs-1930 152 14 singleton singleton PROPN iajs-1930 152 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 152 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 152 17 ṷ\ĥ ṷ\ĥ NOUN iajs-1930 152 18 . . PUNCT iajs-1930 153 1 since since SCONJ iajs-1930 153 2 { { PUNCT iajs-1930 153 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 153 4 : : PUNCT iajs-1930 153 5 𝑤 𝑤 ADP iajs-1930 153 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 153 7 ṷ\ĥ ṷ\ĥ NOUN iajs-1930 153 8 } } PUNCT iajs-1930 153 9 , , PUNCT iajs-1930 153 10 is be AUX iajs-1930 153 11 a a DET iajs-1930 153 12 set set NOUN iajs-1930 153 13 of of ADP iajs-1930 153 14 prime prime PROPN iajs-1930 153 15 f. f. PROPN iajs-1930 153 16 ideals ideal NOUN iajs-1930 153 17 of of ADP iajs-1930 153 18 r r NOUN iajs-1930 153 19 that that PRON iajs-1930 153 20 are be AUX iajs-1930 153 21 linearly linearly ADV iajs-1930 153 22 ordered order VERB iajs-1930 153 23 by by ADP iajs-1930 153 24 proposition proposition NOUN iajs-1930 153 25 ( ( PUNCT iajs-1930 153 26 7 7 NUM iajs-1930 153 27 ) ) PUNCT iajs-1930 153 28 , , PUNCT iajs-1930 153 29 since since SCONJ iajs-1930 153 30 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 153 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 153 32 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 153 33 and and CCONJ iajs-1930 153 34 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 153 35 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 153 36 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 153 37 , , PUNCT iajs-1930 153 38 we we PRON iajs-1930 153 39 have have VERB iajs-1930 153 40 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 153 41 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 153 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 153 43 for for ADP iajs-1930 153 44 some some DET iajs-1930 153 45 f. f. PROPN iajs-1930 153 46 singleton singleton PROPN iajs-1930 153 47 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 153 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 153 49 ṷ\ĥ ṷ\ĥ NOUN iajs-1930 153 50 . . PUNCT iajs-1930 154 1 thusṷ𝐾 thusṷ𝐾 NOUN iajs-1930 154 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 154 3 ĥ ĥ X iajs-1930 154 4 . . PUNCT iajs-1930 155 1 ( ( PUNCT iajs-1930 155 2 2 2 X iajs-1930 155 3 ) ) PUNCT iajs-1930 155 4 assume assume VERB iajs-1930 155 5 that that SCONJ iajs-1930 155 6 ĥ ĥ PRON iajs-1930 155 7 = = PUNCT iajs-1930 155 8 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 155 9 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 155 10 ƥ ƥ VERB iajs-1930 155 11 where where SCONJ iajs-1930 155 12 ƥ ƥ X iajs-1930 155 13 , , PUNCT iajs-1930 155 14 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 155 15 are be AUX iajs-1930 155 16 non non ADJ iajs-1930 155 17 - - ADJ iajs-1930 155 18 constant constant ADJ iajs-1930 155 19 distinct distinct ADJ iajs-1930 155 20 prime prime PROPN iajs-1930 155 21 f. f. PROPN iajs-1930 155 22 ideals ideal NOUN iajs-1930 155 23 of of ADP iajs-1930 155 24 r r NOUN iajs-1930 155 25 that that PRON iajs-1930 155 26 are be AUX iajs-1930 155 27 minimal minimal ADJ iajs-1930 155 28 over over ADP iajs-1930 155 29 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 155 30 . . PUNCT iajs-1930 156 1 we we PRON iajs-1930 156 2 suppose suppose VERB iajs-1930 156 3 that that SCONJ iajs-1930 156 4 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 156 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 156 6 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 156 7 . . PUNCT iajs-1930 157 1 if if SCONJ iajs-1930 157 2 either either PRON iajs-1930 157 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 157 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 157 5 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 157 6 or or CCONJ iajs-1930 157 7 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 157 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 157 9 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 157 10 , , PUNCT iajs-1930 157 11 then then ADV iajs-1930 157 12 either either CCONJ iajs-1930 157 13 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 157 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 157 15 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 157 16 or or CCONJ iajs-1930 157 17 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 157 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 157 19 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 157 20 because because SCONJ iajs-1930 157 21 ƥ ƥ PRON iajs-1930 157 22 ƥ ƥ VERB iajs-1930 157 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 157 24 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 157 25 by by ADP iajs-1930 157 26 proposition proposition NOUN iajs-1930 157 27 ( ( PUNCT iajs-1930 157 28 6 6 NUM iajs-1930 157 29 ) ) PUNCT iajs-1930 157 30 . . PUNCT iajs-1930 158 1 hence hence ADV iajs-1930 158 2 suppose suppose VERB iajs-1930 158 3 that that SCONJ iajs-1930 158 4 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 158 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 158 6 ĥ ĥ DET iajs-1930 158 7 andṷ andṷ NOUN iajs-1930 158 8 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 158 9 ĥ ĥ X iajs-1930 158 10 . . PUNCT iajs-1930 159 1 by by ADP iajs-1930 159 2 the the DET iajs-1930 159 3 same same ADJ iajs-1930 159 4 way way NOUN iajs-1930 159 5 in in ADP iajs-1930 159 6 ( ( PUNCT iajs-1930 159 7 1 1 NUM iajs-1930 159 8 ) ) PUNCT iajs-1930 159 9 and and CCONJ iajs-1930 159 10 by by ADP iajs-1930 159 11 proposition proposition NOUN iajs-1930 159 12 ( ( PUNCT iajs-1930 159 13 7 7 NUM iajs-1930 159 14 ) ) PUNCT iajs-1930 159 15 , , PUNCT iajs-1930 159 16 we we PRON iajs-1930 159 17 are be AUX iajs-1930 159 18 finished finish VERB iajs-1930 159 19 from from ADP iajs-1930 159 20 this this DET iajs-1930 159 21 proof proof NOUN iajs-1930 159 22 . . PUNCT iajs-1930 160 1 ( ( PUNCT iajs-1930 160 2 2 2 X iajs-1930 160 3 ) ) PUNCT iajs-1930 160 4 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 160 5 ( ( PUNCT iajs-1930 160 6 1 1 X iajs-1930 160 7 ) ) PUNCT iajs-1930 160 8 it it PRON iajs-1930 160 9 is be AUX iajs-1930 160 10 trivial trivial ADJ iajs-1930 160 11 . . PUNCT iajs-1930 161 1 now now ADV iajs-1930 161 2 , , PUNCT iajs-1930 161 3 we we PRON iajs-1930 161 4 give give VERB iajs-1930 161 5 the the DET iajs-1930 161 6 concept concept NOUN iajs-1930 161 7 of of ADP iajs-1930 161 8 t t PROPN iajs-1930 161 9 - - PUNCT iajs-1930 161 10 abso abso PROPN iajs-1930 161 11 quasi quasi PROPN iajs-1930 161 12 primary primary PROPN iajs-1930 161 13 f. f. PROPN iajs-1930 161 14 ideal ideal PROPN iajs-1930 161 15 as as SCONJ iajs-1930 161 16 follows follow VERB iajs-1930 161 17 : : PUNCT iajs-1930 161 18 definition definition NOUN iajs-1930 161 19 10 10 NUM iajs-1930 161 20 . . PUNCT iajs-1930 162 1 a a DET iajs-1930 162 2 proper proper ADJ iajs-1930 162 3 f. f. PROPN iajs-1930 162 4 ideal ideal PROPN iajs-1930 162 5 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 162 6 of of ADP iajs-1930 162 7 r r NOUN iajs-1930 162 8 is be AUX iajs-1930 162 9 called call VERB iajs-1930 162 10 t t PROPN iajs-1930 162 11 - - PUNCT iajs-1930 162 12 abso abso PROPN iajs-1930 162 13 quasi quasi PROPN iajs-1930 162 14 primary primary PROPN iajs-1930 162 15 f. f. PROPN iajs-1930 162 16 ideal ideal PROPN iajs-1930 162 17 of of ADP iajs-1930 162 18 r r NOUN iajs-1930 162 19 if if SCONJ iajs-1930 162 20 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 162 21 is be AUX iajs-1930 162 22 t t PROPN iajs-1930 162 23 - - PUNCT iajs-1930 162 24 abso abso PROPN iajs-1930 162 25 f. f. PROPN iajs-1930 162 26 ideal ideal PROPN iajs-1930 162 27 of of ADP iajs-1930 162 28 r. r. PROPN iajs-1930 162 29 proposition proposition NOUN iajs-1930 162 30 11 11 NUM iajs-1930 162 31 . . PUNCT iajs-1930 163 1 a a DET iajs-1930 163 2 proper proper ADJ iajs-1930 163 3 f. f. PROPN iajs-1930 163 4 ideal ideal PROPN iajs-1930 163 5 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 163 6 of of ADP iajs-1930 163 7 r r NOUN iajs-1930 163 8 is be AUX iajs-1930 163 9 t t PROPN iajs-1930 163 10 - - PUNCT iajs-1930 163 11 abso abso PROPN iajs-1930 163 12 quasi quasi PROPN iajs-1930 163 13 primary primary PROPN iajs-1930 163 14 f. f. PROPN iajs-1930 163 15 of of ADP iajs-1930 163 16 r r PROPN iajs-1930 163 17 iff iff PROPN iajs-1930 163 18 whenever whenever SCONJ iajs-1930 163 19 for for ADP iajs-1930 163 20 each each DET iajs-1930 163 21 f. f. PROPN iajs-1930 163 22 singleton singleton PROPN iajs-1930 163 23 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 163 24 , , PUNCT iajs-1930 163 25 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 163 26 , , PUNCT iajs-1930 163 27 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 163 28 of of ADP iajs-1930 163 29 r r NOUN iajs-1930 163 30 , , PUNCT iajs-1930 163 31 ∀s ∀s PROPN iajs-1930 163 32 , , PUNCT iajs-1930 163 33 l l NOUN iajs-1930 163 34 , , PUNCT iajs-1930 163 35 h h NOUN iajs-1930 163 36 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 163 37 l l NOUN iajs-1930 163 38 , , PUNCT iajs-1930 164 1 such such ADJ iajs-1930 164 2 that that SCONJ iajs-1930 164 3 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 164 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 164 5 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 164 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 164 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 164 8 , , PUNCT iajs-1930 164 9 then then ADV iajs-1930 164 10 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 164 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 164 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 164 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 164 14 or or CCONJ iajs-1930 164 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 164 16 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 164 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 164 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 164 19 or or CCONJ iajs-1930 164 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 164 21 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 164 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 164 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 164 24 . . PUNCT iajs-1930 164 25     SPACE iajs-1930 165 1 115 115 NUM iajs-1930 165 2     SPACE iajs-1930 165 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 165 4 al al PROPN iajs-1930 165 5 - - PUNCT iajs-1930 165 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 165 7 jour jour X iajs-1930 165 8 . . PROPN iajs-1930 165 9 for for ADP iajs-1930 165 10 pure pure ADJ iajs-1930 165 11 & & CCONJ iajs-1930 165 12 appl appl PROPN iajs-1930 165 13 . . PUNCT iajs-1930 166 1 sci sci PROPN iajs-1930 166 2 . . PROPN iajs-1930 166 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 166 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 166 5 vol vol NOUN iajs-1930 166 6 . . PUNCT iajs-1930 167 1 32 32 NUM iajs-1930 168 1 ( ( PUNCT iajs-1930 168 2 1 1 NUM iajs-1930 168 3 ) ) PUNCT iajs-1930 168 4 2019 2019 NUM iajs-1930 168 5 proof proof NOUN iajs-1930 168 6 . . PUNCT iajs-1930 169 1 ( ( PUNCT iajs-1930 169 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 169 3 ) ) PUNCT iajs-1930 169 4 suppose suppose VERB iajs-1930 169 5 that that SCONJ iajs-1930 169 6 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 169 7 is be AUX iajs-1930 169 8 a a DET iajs-1930 169 9 proper proper ADJ iajs-1930 169 10 f. f. PROPN iajs-1930 169 11 ideal ideal NOUN iajs-1930 169 12 of of ADP iajs-1930 169 13 r r NOUN iajs-1930 169 14 and and CCONJ iajs-1930 169 15 whenever whenever SCONJ iajs-1930 169 16 for for ADP iajs-1930 169 17 each each DET iajs-1930 169 18 f. f. PROPN iajs-1930 169 19 singleton singleton PROPN iajs-1930 169 20 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 169 21 , , PUNCT iajs-1930 169 22 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 169 23 , , PUNCT iajs-1930 169 24 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 169 25 of of ADP iajs-1930 169 26 r r NOUN iajs-1930 169 27 , , PUNCT iajs-1930 169 28 such such ADJ iajs-1930 169 29 that that SCONJ iajs-1930 170 1 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 170 2 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 170 3 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 170 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 170 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 170 6 , , PUNCT iajs-1930 170 7 then then ADV iajs-1930 170 8 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 170 9 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 170 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 170 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 170 12 or or CCONJ iajs-1930 170 13 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 170 14 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 170 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 170 16 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 170 17 or or CCONJ iajs-1930 170 18 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 170 19 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 170 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 170 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 170 22 . . PUNCT iajs-1930 171 1 let let VERB iajs-1930 171 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 171 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 171 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 171 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 171 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 171 7 , , PUNCT iajs-1930 171 8 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 171 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 171 10 ⊈ ⊈ SYM iajs-1930 171 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 171 12 and and CCONJ iajs-1930 171 13 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 171 14 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 171 15 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 171 16 ĥ ĥ X iajs-1930 171 17 . . PUNCT iajs-1930 172 1 since since SCONJ iajs-1930 172 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 172 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 172 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 172 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 172 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 172 7 , , PUNCT iajs-1930 172 8 then then ADV iajs-1930 172 9 there there PRON iajs-1930 172 10 exists exist VERB iajs-1930 172 11 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 172 12 𝑍 𝑍 NOUN iajs-1930 172 13 such such ADJ iajs-1930 172 14 tha tha NOUN iajs-1930 172 15 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 172 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 172 17 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 172 18 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 172 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 172 20 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 172 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 172 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 172 23 . . PUNCT iajs-1930 173 1 since since SCONJ iajs-1930 173 2 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 173 3 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 173 4 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-1930 173 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 173 6 and and CCONJ iajs-1930 173 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 173 8 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 173 9 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 173 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 173 11 , , PUNCT iajs-1930 173 12 then then ADV iajs-1930 173 13 we we PRON iajs-1930 173 14 have have VERB iajs-1930 173 15 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 173 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 173 17 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 173 18 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 173 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 173 20 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 173 21 . . PUNCT iajs-1930 174 1 so so SCONJ iajs-1930 174 2 that that SCONJ iajs-1930 174 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 174 4 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 174 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 174 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 174 7 . . PUNCT iajs-1930 175 1 thus thus ADV iajs-1930 175 2 ĥ ĥ X iajs-1930 175 3 is be AUX iajs-1930 175 4 t t PROPN iajs-1930 175 5 - - PUNCT iajs-1930 175 6 abso abso PROPN iajs-1930 175 7 f. f. PROPN iajs-1930 175 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 175 9 of of ADP iajs-1930 175 10 r r NOUN iajs-1930 175 11 and and CCONJ iajs-1930 175 12 so so ADV iajs-1930 175 13 that that SCONJ iajs-1930 175 14 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 175 15 is be AUX iajs-1930 175 16 tabso tabso PRON iajs-1930 175 17 quasi quasi PROPN iajs-1930 175 18 primary primary PROPN iajs-1930 175 19 f. f. PROPN iajs-1930 175 20 of of ADP iajs-1930 175 21 r. r. PROPN iajs-1930 175 22 ( ( PUNCT iajs-1930 175 23 ⇒ ⇒ PROPN iajs-1930 175 24 ) ) PUNCT iajs-1930 175 25 let let VERB iajs-1930 175 26 ĥ ĥ PRON iajs-1930 175 27 be be AUX iajs-1930 175 28 t t PROPN iajs-1930 175 29 - - PUNCT iajs-1930 175 30 abso abso PROPN iajs-1930 175 31 quasi quasi PROPN iajs-1930 175 32 primary primary PROPN iajs-1930 175 33 f. f. PROPN iajs-1930 175 34 ideal ideal PROPN iajs-1930 175 35 of of ADP iajs-1930 175 36 r r NOUN iajs-1930 175 37 and and CCONJ iajs-1930 175 38 for for ADP iajs-1930 175 39 each each DET iajs-1930 175 40 f. f. PROPN iajs-1930 175 41 singleton singleton PROPN iajs-1930 175 42 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 175 43 , , PUNCT iajs-1930 175 44 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 175 45 , , PUNCT iajs-1930 175 46 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 175 47 of of ADP iajs-1930 175 48 r r NOUN iajs-1930 175 49 , , PUNCT iajs-1930 175 50 such such ADJ iajs-1930 175 51 that that SCONJ iajs-1930 175 52 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 175 53 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 175 54 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 175 55 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 175 56 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 175 57 . . PUNCT iajs-1930 176 1 since since SCONJ iajs-1930 176 2 ĥ ĥ PRON iajs-1930 176 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 176 4 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 176 5 and and CCONJ iajs-1930 176 6 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 176 7 is be AUX iajs-1930 176 8 t t PROPN iajs-1930 176 9 - - PUNCT iajs-1930 176 10 abso abso PROPN iajs-1930 176 11 f. f. PROPN iajs-1930 176 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 176 13 of of ADP iajs-1930 176 14 r. r. PROPN iajs-1930 177 1 so so SCONJ iajs-1930 177 2 that that SCONJ iajs-1930 177 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 177 4 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 177 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 177 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 177 7 or or CCONJ iajs-1930 177 8 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 177 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 177 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 177 11 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 177 12 or or CCONJ iajs-1930 177 13 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 177 14 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 177 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 177 16 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 177 17 . . PUNCT iajs-1930 178 1 the the DET iajs-1930 178 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 178 3 specificities specificitie VERB iajs-1930 178 4 t t PROPN iajs-1930 178 5 - - PUNCT iajs-1930 178 6 abso abso PROPN iajs-1930 178 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 178 8 primary primary PROPN iajs-1930 178 9 f. f. PROPN iajs-1930 178 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 178 11 in in ADP iajs-1930 178 12 terms term NOUN iajs-1930 178 13 of of ADP iajs-1930 178 14 its its PRON iajs-1930 178 15 level level NOUN iajs-1930 178 16 ideal ideal NOUN iajs-1930 178 17 is be AUX iajs-1930 178 18 given give VERB iajs-1930 178 19 as as ADP iajs-1930 178 20 follow follow NOUN iajs-1930 178 21 proposition proposition NOUN iajs-1930 178 22 12 12 NUM iajs-1930 178 23 . . PUNCT iajs-1930 179 1 a a DET iajs-1930 179 2 f. f. PROPN iajs-1930 179 3 ideal ideal PROPN iajs-1930 179 4 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 179 5 of of ADP iajs-1930 179 6 r r NOUN iajs-1930 179 7 is be AUX iajs-1930 179 8 t t PROPN iajs-1930 179 9 - - PUNCT iajs-1930 179 10 abso abso PROPN iajs-1930 179 11 quasi quasi PROPN iajs-1930 179 12 primary primary PROPN iajs-1930 179 13 f. f. PROPN iajs-1930 179 14 iff iff PROPN iajs-1930 179 15 the the DET iajs-1930 179 16 level level NOUN iajs-1930 179 17 ideal ideal NOUN iajs-1930 179 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 179 19 is be AUX iajs-1930 179 20 t t PROPN iajs-1930 179 21 - - PUNCT iajs-1930 179 22 abso abso PROPN iajs-1930 179 23 quasi quasi PROPN iajs-1930 179 24 primary primary ADJ iajs-1930 179 25 ideal ideal NOUN iajs-1930 179 26 of of ADP iajs-1930 179 27 r r NOUN iajs-1930 179 28 , , PUNCT iajs-1930 179 29 ∀ ∀ X iajs-1930 179 30 v v ADP iajs-1930 179 31 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 179 32 l. l. NOUN iajs-1930 179 33 proof proof NOUN iajs-1930 179 34 . . PUNCT iajs-1930 180 1 ( ( PUNCT iajs-1930 180 2 ⟹ ⟹ X iajs-1930 180 3 ) ) PUNCT iajs-1930 180 4 let let VERB iajs-1930 180 5 abr∈ abr∈ PRON iajs-1930 180 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 180 7 for for ADP iajs-1930 180 8 each each DET iajs-1930 180 9 a a DET iajs-1930 180 10 , , PUNCT iajs-1930 180 11 b b NOUN iajs-1930 180 12 , , PUNCT iajs-1930 180 13 r r NOUN iajs-1930 180 14 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 180 15 r r NOUN iajs-1930 180 16 then then ADV iajs-1930 180 17 ĥ(abr)≥ ĥ(abr)≥ PROPN iajs-1930 180 18 v v INTJ iajs-1930 180 19 hence hence ADV iajs-1930 180 20 𝑎𝑏𝑟 𝑎𝑏𝑟 VERB iajs-1930 180 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 180 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 180 23 . . PUNCT iajs-1930 181 1 so so SCONJ iajs-1930 181 2 that that SCONJ iajs-1930 181 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 181 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 181 5 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 181 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 181 7 ĥ ĥ PRON iajs-1930 181 8 where where SCONJ iajs-1930 181 9 v v NOUN iajs-1930 181 10 = = SYM iajs-1930 181 11 min{s min{s PROPN iajs-1930 181 12 , , PUNCT iajs-1930 181 13 l l NOUN iajs-1930 181 14 , , PUNCT iajs-1930 181 15 k k NOUN iajs-1930 181 16 } } PUNCT iajs-1930 181 17 . . PUNCT iajs-1930 182 1 since since SCONJ iajs-1930 182 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 182 3 is be AUX iajs-1930 182 4 t t PROPN iajs-1930 182 5 - - PUNCT iajs-1930 182 6 abso abso PROPN iajs-1930 182 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 182 8 primary primary PROPN iajs-1930 182 9 f. f. PROPN iajs-1930 182 10 , , PUNCT iajs-1930 182 11 then then ADV iajs-1930 182 12 either either CCONJ iajs-1930 182 13 𝑎 𝑎 X iajs-1930 182 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 182 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 16 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 17 or or CCONJ iajs-1930 182 18 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 182 19 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 182 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 22 or or CCONJ iajs-1930 182 23 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 182 24 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 182 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 26 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 27 hence hence ADV iajs-1930 182 28 either either CCONJ iajs-1930 182 29 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 182 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 31 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 32 or or CCONJ iajs-1930 182 33 𝑎𝑟 𝑎𝑟 NOUN iajs-1930 182 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 35 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 36 or or CCONJ iajs-1930 182 37 𝑏𝑟 𝑏𝑟 VERB iajs-1930 182 38 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 182 39 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 40 and and CCONJ iajs-1930 182 41 so so ADV iajs-1930 182 42 ab∈ ab∈ ADJ iajs-1930 182 43 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 44 or or CCONJ iajs-1930 182 45 ar ar NOUN iajs-1930 182 46 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 182 47 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 48 or or CCONJ iajs-1930 182 49 br br NOUN iajs-1930 182 50 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 182 51 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 182 52 . . PUNCT iajs-1930 183 1 thus thus ADV iajs-1930 183 2 ĥ ĥ X iajs-1930 183 3 is be AUX iajs-1930 183 4 t t PROPN iajs-1930 183 5 - - PUNCT iajs-1930 183 6 abso abso PROPN iajs-1930 183 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 183 8 primary primary PROPN iajs-1930 183 9 ideal ideal NOUN iajs-1930 183 10 of of ADP iajs-1930 183 11 r. r. PROPN iajs-1930 183 12 ( ( PUNCT iajs-1930 183 13 ⟸ ⟸ ADJ iajs-1930 183 14 ) ) PUNCT iajs-1930 183 15 let let VERB iajs-1930 183 16 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 183 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 183 18 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 183 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 183 20 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 183 21 for for ADP iajs-1930 183 22 f. f. PROPN iajs-1930 183 23 singletons singleton NOUN iajs-1930 183 24 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 183 25 , , PUNCT iajs-1930 183 26 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 183 27 , , PUNCT iajs-1930 183 28 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 183 29 of of ADP iajs-1930 183 30 r r NOUN iajs-1930 183 31 , , PUNCT iajs-1930 183 32 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 183 33 s s NOUN iajs-1930 183 34 , , PUNCT iajs-1930 183 35 l l NOUN iajs-1930 183 36 , , PUNCT iajs-1930 183 37 k k PROPN iajs-1930 183 38 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 183 39 l. l. NOUN iajs-1930 183 40 hence hence ADV iajs-1930 183 41 𝑎𝑏𝑟 𝑎𝑏𝑟 VERB iajs-1930 183 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 183 43 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 183 44 , , PUNCT iajs-1930 183 45 where where SCONJ iajs-1930 183 46 v v NOUN iajs-1930 183 47 = = SYM iajs-1930 183 48 min{s min{s PROPN iajs-1930 183 49 , , PUNCT iajs-1930 183 50 l l NOUN iajs-1930 183 51 , , PUNCT iajs-1930 183 52 k k NOUN iajs-1930 183 53 } } PUNCT iajs-1930 183 54 , , PUNCT iajs-1930 183 55 so so SCONJ iajs-1930 183 56 that that SCONJ iajs-1930 183 57 ĥ(abr)≥ ĥ(abr)≥ PROPN iajs-1930 183 58 v v INTJ iajs-1930 183 59 and and CCONJ iajs-1930 183 60 abr∈ abr∈ ADJ iajs-1930 183 61 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 183 62 . . PUNCT iajs-1930 184 1 but but CCONJ iajs-1930 184 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 184 3 is be AUX iajs-1930 184 4 t t PROPN iajs-1930 184 5 - - PUNCT iajs-1930 184 6 abso abso PROPN iajs-1930 184 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 184 8 primary primary PROPN iajs-1930 184 9 ideal ideal NOUN iajs-1930 184 10 then then ADV iajs-1930 184 11 either either CCONJ iajs-1930 184 12 ab∈ ab∈ ADJ iajs-1930 184 13 ĥ ĥ X iajs-1930 184 14 or or CCONJ iajs-1930 184 15 ar ar NOUN iajs-1930 184 16 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 184 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 184 18 or or CCONJ iajs-1930 184 19 br br NOUN iajs-1930 184 20 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 184 21 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 184 22 , , PUNCT iajs-1930 184 23 hence hence ADV iajs-1930 184 24 either either CCONJ iajs-1930 184 25 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 184 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 184 27 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 184 28 or or CCONJ iajs-1930 184 29 𝑎𝑟 𝑎𝑟 NOUN iajs-1930 184 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 184 31 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 184 32 or or CCONJ iajs-1930 184 33 𝑏𝑟 𝑏𝑟 VERB iajs-1930 184 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 184 35 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 184 36 . . PUNCT iajs-1930 185 1 so so SCONJ iajs-1930 185 2 that that SCONJ iajs-1930 185 3 either either ADV iajs-1930 185 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 185 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 185 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 185 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 185 8 or or CCONJ iajs-1930 185 9 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 185 10 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 185 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 185 12 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 185 13 or or CCONJ iajs-1930 185 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 185 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 185 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 185 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 185 18 . . PUNCT iajs-1930 186 1 thus thus ADV iajs-1930 186 2 ĥ ĥ X iajs-1930 186 3 is be AUX iajs-1930 186 4 t t PROPN iajs-1930 186 5 - - PUNCT iajs-1930 186 6 abso abso PROPN iajs-1930 186 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 186 8 primary primary PROPN iajs-1930 186 9 f. f. PROPN iajs-1930 186 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 186 11 of of ADP iajs-1930 186 12 r. r. PROPN iajs-1930 186 13 the the DET iajs-1930 186 14 following follow VERB iajs-1930 186 15 theorem theorem NOUN iajs-1930 186 16 gives give VERB iajs-1930 186 17 a a DET iajs-1930 186 18 characterization characterization NOUN iajs-1930 186 19 of of ADP iajs-1930 186 20 t t PROPN iajs-1930 186 21 - - PUNCT iajs-1930 186 22 abso abso PROPN iajs-1930 186 23 quasi quasi PROPN iajs-1930 186 24 primary primary PROPN iajs-1930 186 25 f. f. PROPN iajs-1930 186 26 ideal ideal PROPN iajs-1930 186 27 . . PUNCT iajs-1930 187 1 theorem theorem VERB iajs-1930 187 2 13 13 NUM iajs-1930 187 3 . . PUNCT iajs-1930 188 1 let let VERB iajs-1930 188 2 ĥ ĥ PRON iajs-1930 188 3 be be AUX iajs-1930 188 4 a a DET iajs-1930 188 5 proper proper ADJ iajs-1930 188 6 f. f. PROPN iajs-1930 188 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 188 8 of of ADP iajs-1930 188 9 r. r. PROPN iajs-1930 188 10 then then ADV iajs-1930 188 11 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 188 12 is be AUX iajs-1930 188 13 t t PROPN iajs-1930 188 14 - - PUNCT iajs-1930 188 15 abso abso PROPN iajs-1930 188 16 quasi quasi PROPN iajs-1930 188 17 primary primary PROPN iajs-1930 188 18 f. f. PROPN iajs-1930 188 19 ideal ideal PROPN iajs-1930 188 20 iff iff PROPN iajs-1930 188 21 whenever whenever SCONJ iajs-1930 188 22 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 188 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 188 24 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 188 25 for for ADP iajs-1930 188 26 some some DET iajs-1930 188 27 f. f. PROPN iajs-1930 188 28 ideals ideals PROPN iajs-1930 188 29 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 188 30 , , PUNCT iajs-1930 188 31 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 188 32 , , PUNCT iajs-1930 188 33 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 188 34 of of ADP iajs-1930 188 35 r r NOUN iajs-1930 188 36 , , PUNCT iajs-1930 188 37 then then ADV iajs-1930 188 38 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 188 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 188 40 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 188 41 or or CCONJ iajs-1930 188 42 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 188 43 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 188 44 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 188 45 or or CCONJ iajs-1930 188 46 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 188 47 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 188 48 ĥ ĥ PRON iajs-1930 188 49 .proof .proof NOUN iajs-1930 188 50 . . PUNCT iajs-1930 189 1 ( ( PUNCT iajs-1930 189 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 189 3 ) ) PUNCT iajs-1930 189 4 assume assume VERB iajs-1930 189 5 that that SCONJ iajs-1930 189 6 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 189 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 189 8 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 189 9 for for ADP iajs-1930 189 10 some some DET iajs-1930 189 11 f. f. PROPN iajs-1930 189 12 ideals ideals PROPN iajs-1930 189 13 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 189 14 , , PUNCT iajs-1930 189 15 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 189 16 , , PUNCT iajs-1930 189 17 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 189 18 of of ADP iajs-1930 189 19 r r NOUN iajs-1930 189 20 , , PUNCT iajs-1930 189 21 then then ADV iajs-1930 189 22 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 189 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 189 24 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 189 25 or or CCONJ iajs-1930 189 26 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 189 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 189 28 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 189 29 or or CCONJ iajs-1930 189 30 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 189 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 189 32 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 189 33 and and CCONJ iajs-1930 189 34 let let VERB iajs-1930 189 35 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 189 36 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 189 37 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 189 38 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 189 39 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 189 40 for for ADP iajs-1930 189 41 f. f. PROPN iajs-1930 189 42 singleton singleton PROPN iajs-1930 189 43 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 189 44 , , PUNCT iajs-1930 189 45 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 189 46 , , PUNCT iajs-1930 189 47 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 189 48 of of ADP iajs-1930 189 49 r r NOUN iajs-1930 189 50 . . PUNCT iajs-1930 190 1 hence hence ADV iajs-1930 190 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 190 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 190 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 190 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 190 6 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 190 7 and and CCONJ iajs-1930 190 8 so so ADV iajs-1930 190 9 that that SCONJ iajs-1930 190 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 190 11 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 190 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 190 13 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 190 14 or or CCONJ iajs-1930 190 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 190 16 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 190 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 190 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 190 19 or or CCONJ iajs-1930 190 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 190 21 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 190 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 190 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 190 24 . . PUNCT iajs-1930 191 1 then then ADV iajs-1930 191 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 191 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 191 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 191 5 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 191 6 or or CCONJ iajs-1930 191 7 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 191 8 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 191 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 191 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 191 11 or or CCONJ iajs-1930 191 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 191 13 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 191 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 191 15 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 191 16 . . PUNCT iajs-1930 192 1 by by ADP iajs-1930 192 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 192 3 ( ( PUNCT iajs-1930 192 4 11 11 NUM iajs-1930 192 5 ) ) PUNCT iajs-1930 192 6 , , PUNCT iajs-1930 192 7 then then ADV iajs-1930 192 8 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 192 9 is be AUX iajs-1930 192 10 t t PROPN iajs-1930 192 11 - - PUNCT iajs-1930 192 12 abso abso PROPN iajs-1930 192 13 quasi quasi PROPN iajs-1930 192 14 primary primary PROPN iajs-1930 192 15 f. f. PROPN iajs-1930 192 16 ideal ideal PROPN iajs-1930 192 17 of of ADP iajs-1930 192 18 r. r. PROPN iajs-1930 192 19 ( ( PUNCT iajs-1930 192 20 ⇒ ⇒ PROPN iajs-1930 192 21 ) ) PUNCT iajs-1930 192 22 assume assume VERB iajs-1930 192 23 that that SCONJ iajs-1930 192 24 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 192 25 is be AUX iajs-1930 192 26 t t PROPN iajs-1930 192 27 - - PUNCT iajs-1930 192 28 abso abso PROPN iajs-1930 192 29 quasi quasi PROPN iajs-1930 192 30 primary primary PROPN iajs-1930 192 31 f. f. PROPN iajs-1930 192 32 ideal ideal PROPN iajs-1930 192 33 of of ADP iajs-1930 192 34 r r NOUN iajs-1930 192 35 and and CCONJ iajs-1930 192 36 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 192 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 192 38 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 192 39 for for ADP iajs-1930 192 40 some some DET iajs-1930 192 41 f. f. PROPN iajs-1930 192 42 ideals ideals PROPN iajs-1930 192 43 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 192 44 , , PUNCT iajs-1930 192 45 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 192 46 , , PUNCT iajs-1930 192 47 𝑇 𝑇 PROPN iajs-1930 192 48 of of ADP iajs-1930 192 49 r r NOUN iajs-1930 192 50 , , PUNCT iajs-1930 192 51 then then ADV iajs-1930 192 52 ṷ𝐾𝑇 ṷ𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 192 53 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 192 54 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 192 55 . . PUNCT iajs-1930 193 1 since since SCONJ iajs-1930 193 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 193 3 is be AUX iajs-1930 193 4 t t PROPN iajs-1930 193 5 - - PUNCT iajs-1930 193 6 abso abso PROPN iajs-1930 193 7 f. f. PROPN iajs-1930 193 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 193 9 of of ADP iajs-1930 193 10 r r NOUN iajs-1930 193 11 , , PUNCT iajs-1930 193 12 then then ADV iajs-1930 193 13 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 193 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 193 15 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 193 16 or or CCONJ iajs-1930 193 17 ṷ𝑇 ṷ𝑇 NOUN iajs-1930 193 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 193 19 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 193 20 or or CCONJ iajs-1930 193 21 𝐾𝑇 𝐾𝑇 PROPN iajs-1930 193 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 193 23 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 193 24 by by ADP iajs-1930 193 25 proposition proposition NOUN iajs-1930 193 26 ( ( PUNCT iajs-1930 193 27 9 9 NUM iajs-1930 193 28 ) ) PUNCT iajs-1930 193 29 . . PUNCT iajs-1930 193 30     SPACE iajs-1930 194 1 116 116 NUM iajs-1930 194 2     SPACE iajs-1930 194 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 194 4 al al PROPN iajs-1930 194 5 - - PUNCT iajs-1930 194 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 194 7 jour jour X iajs-1930 194 8 . . PROPN iajs-1930 194 9 for for ADP iajs-1930 194 10 pure pure ADJ iajs-1930 194 11 & & CCONJ iajs-1930 194 12 appl appl PROPN iajs-1930 194 13 . . PUNCT iajs-1930 195 1 sci sci PROPN iajs-1930 195 2 . . PROPN iajs-1930 195 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 195 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 195 5 vol vol NOUN iajs-1930 195 6 . . PUNCT iajs-1930 196 1 32 32 NUM iajs-1930 197 1 ( ( PUNCT iajs-1930 197 2 1 1 NUM iajs-1930 197 3 ) ) PUNCT iajs-1930 197 4 2019 2019 NUM iajs-1930 197 5 3 3 NUM iajs-1930 197 6 . . PUNCT iajs-1930 197 7 t t PROPN iajs-1930 197 8 - - PUNCT iajs-1930 197 9 abso abso PROPN iajs-1930 197 10 f. f. PROPN iajs-1930 197 11 subm subm PROPN iajs-1930 197 12 . . PUNCT iajs-1930 198 1 in in ADP iajs-1930 198 2 this this DET iajs-1930 198 3 section section NOUN iajs-1930 198 4 we we PRON iajs-1930 198 5 present present VERB iajs-1930 198 6 the the DET iajs-1930 198 7 concept concept NOUN iajs-1930 198 8 of of ADP iajs-1930 198 9 t t PROPN iajs-1930 198 10 - - PUNCT iajs-1930 198 11 abso abso PROPN iajs-1930 198 12 f. f. PROPN iajs-1930 198 13 subm subm PROPN iajs-1930 198 14 . . PUNCT iajs-1930 199 1 and and CCONJ iajs-1930 199 2 we we PRON iajs-1930 199 3 introduce introduce VERB iajs-1930 199 4 many many ADJ iajs-1930 199 5 basic basic ADJ iajs-1930 199 6 properties property NOUN iajs-1930 199 7 and and CCONJ iajs-1930 199 8 results result VERB iajs-1930 199 9 about about ADP iajs-1930 199 10 this this DET iajs-1930 199 11 concept concept NOUN iajs-1930 199 12 . . PUNCT iajs-1930 200 1 definition definition NOUN iajs-1930 200 2 14 14 NUM iajs-1930 200 3 . . PUNCT iajs-1930 201 1 let let VERB iajs-1930 201 2 x x PRON iajs-1930 201 3 be be AUX iajs-1930 201 4 f. f. PROPN iajs-1930 201 5 m. m. NOUN iajs-1930 201 6 of of ADP iajs-1930 201 7 an an DET iajs-1930 201 8 r r NOUN iajs-1930 201 9 - - PUNCT iajs-1930 201 10 m. m. NOUN iajs-1930 201 11 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 201 12 . . PUNCT iajs-1930 202 1 a a DET iajs-1930 202 2 proper proper ADJ iajs-1930 202 3 f. f. PROPN iajs-1930 202 4 subm subm PROPN iajs-1930 202 5 . . PUNCT iajs-1930 203 1 a a PRON iajs-1930 203 2 of of ADP iajs-1930 203 3 x x PROPN iajs-1930 203 4 is be AUX iajs-1930 203 5 called call VERB iajs-1930 203 6 t t PROPN iajs-1930 203 7 - - PUNCT iajs-1930 203 8 abso abso PROPN iajs-1930 203 9 f. f. PROPN iajs-1930 203 10 subm subm PROPN iajs-1930 203 11 . . PUNCT iajs-1930 204 1 if if SCONJ iajs-1930 204 2 whenever whenever SCONJ iajs-1930 204 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 204 4 , , PUNCT iajs-1930 204 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 204 6 be be VERB iajs-1930 204 7 f. f. NOUN iajs-1930 204 8 singletons singleton NOUN iajs-1930 204 9 of of ADP iajs-1930 204 10 r r NOUN iajs-1930 204 11 , , PUNCT iajs-1930 204 12 and and CCONJ iajs-1930 204 13 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 204 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 204 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 204 16 , , PUNCT iajs-1930 204 17 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 204 18 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 204 19 , , PUNCT iajs-1930 204 20 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 204 21 , , PUNCT iajs-1930 204 22 𝑣 𝑣 PROPN iajs-1930 204 23 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 204 24 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 204 25 such such ADJ iajs-1930 204 26 that that SCONJ iajs-1930 204 27 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 204 28 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 204 29 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 204 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 204 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 204 32 , , PUNCT iajs-1930 204 33 then then ADV iajs-1930 204 34 either either CCONJ iajs-1930 204 35 𝑎 𝑎 X iajs-1930 204 36 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 204 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 204 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 204 39 : : PUNCT iajs-1930 204 40 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 204 41 or or CCONJ iajs-1930 204 42 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 204 43 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 204 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 204 45 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 204 46 or or CCONJ iajs-1930 204 47 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 204 48 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 204 49 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 204 50 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 204 51 , , PUNCT iajs-1930 204 52 see see VERB iajs-1930 204 53 [ [ X iajs-1930 204 54 7 7 NUM iajs-1930 204 55 ] ] PUNCT iajs-1930 204 56 . . PUNCT iajs-1930 205 1 the the DET iajs-1930 205 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 205 3 specificities specificitie VERB iajs-1930 205 4 t t PROPN iajs-1930 205 5 - - PUNCT iajs-1930 205 6 abso abso PROPN iajs-1930 205 7 f. f. PROPN iajs-1930 205 8 subm subm PROPN iajs-1930 205 9 . . PUNCT iajs-1930 206 1 in in ADP iajs-1930 206 2 terms term NOUN iajs-1930 206 3 of of ADP iajs-1930 206 4 its its PRON iajs-1930 206 5 level level NOUN iajs-1930 206 6 subm subm PROPN iajs-1930 206 7 . . PUNCT iajs-1930 206 8 is be AUX iajs-1930 206 9 given give VERB iajs-1930 206 10 as as ADP iajs-1930 206 11 follow follow VERB iajs-1930 206 12 : : PUNCT iajs-1930 206 13 proposition proposition NOUN iajs-1930 206 14 15 15 NUM iajs-1930 206 15 . . PUNCT iajs-1930 207 1 let let VERB iajs-1930 207 2 a a DET iajs-1930 207 3 be be AUX iajs-1930 207 4 t t PROPN iajs-1930 207 5 - - PUNCT iajs-1930 207 6 abso abso PROPN iajs-1930 207 7 f. f. PROPN iajs-1930 207 8 subm subm PROPN iajs-1930 207 9 . . PUNCT iajs-1930 208 1 of of ADP iajs-1930 208 2 f. f. PROPN iajs-1930 208 3 m. m. PROPN iajs-1930 209 1 x x PROPN iajs-1930 209 2 of of ADP iajs-1930 209 3 an an DET iajs-1930 209 4 r r NOUN iajs-1930 209 5 - - PUNCT iajs-1930 209 6 m. m. NOUN iajs-1930 209 7 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 209 8 . . PROPN iajs-1930 209 9 , , PUNCT iajs-1930 209 10 iff iff VERB iajs-1930 209 11 the the DET iajs-1930 209 12 level level NOUN iajs-1930 209 13 subm subm PROPN iajs-1930 209 14 . . PUNCT iajs-1930 210 1 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 210 2 is be AUX iajs-1930 210 3 t t PROPN iajs-1930 210 4 - - PUNCT iajs-1930 210 5 abso abso PROPN iajs-1930 210 6 subm subm PROPN iajs-1930 210 7 . . PUNCT iajs-1930 211 1 of of ADP iajs-1930 211 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 211 3 , , PUNCT iajs-1930 211 4 for for ADP iajs-1930 211 5 all all DET iajs-1930 211 6 v v ADP iajs-1930 211 7 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 211 8 l l NOUN iajs-1930 211 9 , , PUNCT iajs-1930 211 10 see[7 see[7 PROPN iajs-1930 211 11 ] ] PUNCT iajs-1930 211 12 . . PUNCT iajs-1930 212 1 remarks remark NOUN iajs-1930 212 2 and and CCONJ iajs-1930 212 3 examples example NOUN iajs-1930 212 4 1 1 NUM iajs-1930 212 5 . . PUNCT iajs-1930 213 1 the the DET iajs-1930 213 2 intersection intersection NOUN iajs-1930 213 3 of of ADP iajs-1930 213 4 two two NUM iajs-1930 213 5 distinct distinct ADJ iajs-1930 213 6 prime prime PROPN iajs-1930 213 7 f. f. PROPN iajs-1930 213 8 subms subms PROPN iajs-1930 213 9 . . PUNCT iajs-1930 213 10 of of ADP iajs-1930 213 11 f. f. PROPN iajs-1930 213 12 m. m. PROPN iajs-1930 213 13 x x PROPN iajs-1930 213 14 of of ADP iajs-1930 213 15 an an DET iajs-1930 213 16 r r NOUN iajs-1930 213 17 - - PUNCT iajs-1930 213 18 m m NOUN iajs-1930 213 19 , , PUNCT iajs-1930 213 20 ḿ ḿ PRON iajs-1930 213 21 is be AUX iajs-1930 213 22 t t PROPN iajs-1930 213 23 - - PUNCT iajs-1930 213 24 abso abso PROPN iajs-1930 213 25 f. f. PROPN iajs-1930 213 26 subm subm PROPN iajs-1930 213 27 . . PUNCT iajs-1930 214 1 proof proof NOUN iajs-1930 214 2 . . PUNCT iajs-1930 215 1 let let VERB iajs-1930 215 2 a a PRON iajs-1930 215 3 and and CCONJ iajs-1930 215 4 b b NOUN iajs-1930 215 5 be be AUX iajs-1930 215 6 two two NUM iajs-1930 215 7 distinct distinct ADJ iajs-1930 215 8 prime prime PROPN iajs-1930 215 9 f. f. PROPN iajs-1930 215 10 subms subms PROPN iajs-1930 215 11 . . PUNCT iajs-1930 216 1 of of ADP iajs-1930 216 2 x. x. PROPN iajs-1930 216 3 suppose suppose VERB iajs-1930 216 4 that that SCONJ iajs-1930 216 5 f. f. PROPN iajs-1930 216 6 singletons singleton VERB iajs-1930 216 7 𝑎 𝑎 X iajs-1930 216 8 , , PUNCT iajs-1930 216 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 216 10 of of ADP iajs-1930 216 11 r r NOUN iajs-1930 216 12 , , PUNCT iajs-1930 216 13 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 216 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 216 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 216 16 such such ADJ iajs-1930 216 17 that that SCONJ iajs-1930 216 18 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 216 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 216 20 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 216 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 216 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 216 23 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 216 24 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 216 25 , , PUNCT iajs-1930 216 26 but but CCONJ iajs-1930 216 27 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 216 28 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 216 29 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 216 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 216 31 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 216 32 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 216 33 and and CCONJ iajs-1930 216 34 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 216 35 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 216 36 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 216 37 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 216 38 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 216 39 𝐵. 𝐵. NOUN iajs-1930 216 40 then then ADV iajs-1930 216 41 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 216 42 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 216 43 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 216 44 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 216 45 , , PUNCT iajs-1930 216 46 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 216 47 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 216 48 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 216 49 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 216 50 , , PUNCT iajs-1930 216 51 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 216 52 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 216 53 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 216 54 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 216 55 and and CCONJ iajs-1930 216 56 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 217 1 𝑥 𝑥 X iajs-1930 217 2 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 217 3 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 217 4 these these PRON iajs-1930 217 5 are be AUX iajs-1930 217 6 impossible impossible ADJ iajs-1930 217 7 since since SCONJ iajs-1930 217 8 a a PRON iajs-1930 217 9 and and CCONJ iajs-1930 217 10 b b NOUN iajs-1930 217 11 are be AUX iajs-1930 217 12 prime prime PROPN iajs-1930 217 13 f. f. PROPN iajs-1930 217 14 subms subms PROPN iajs-1930 217 15 . . PUNCT iajs-1930 218 1 so so ADV iajs-1930 218 2 suppose suppose VERB iajs-1930 218 3 that that SCONJ iajs-1930 218 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 218 5 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 218 6 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 218 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 218 8 and and CCONJ iajs-1930 218 9 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 218 10 𝑥 𝑥 X iajs-1930 218 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 218 12 𝐵. 𝐵. NOUN iajs-1930 218 13 since since SCONJ iajs-1930 218 14 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 218 15 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 218 16 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 218 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 218 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 218 19 and and CCONJ iajs-1930 218 20 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 218 21 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 218 22 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 218 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 218 24 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 218 25 , , PUNCT iajs-1930 218 26 then then ADV iajs-1930 218 27 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 218 28 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 218 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 218 30 : : PUNCT iajs-1930 218 31 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 218 32 and and CCONJ iajs-1930 218 33 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 218 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 218 35 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 218 36 : : PUNCT iajs-1930 218 37 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 218 38 . . PUNCT iajs-1930 219 1 so so ADV iajs-1930 219 2 that that SCONJ iajs-1930 219 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 219 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 219 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 219 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 219 7 : : PUNCT iajs-1930 219 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 219 9 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 219 10 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 219 11 : : PUNCT iajs-1930 219 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 219 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 219 14 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 219 15 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 219 16 : : PUNCT iajs-1930 219 17 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 219 18 . . PUNCT iajs-1930 219 19 thus thus ADV iajs-1930 219 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 219 21 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 219 22 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 219 23 is be AUX iajs-1930 219 24 t t PROPN iajs-1930 219 25 - - PUNCT iajs-1930 219 26 abso abso PROPN iajs-1930 219 27 f. f. PROPN iajs-1930 219 28 subm subm PROPN iajs-1930 219 29 . . PUNCT iajs-1930 220 1 of of ADP iajs-1930 220 2 x. x. PROPN iajs-1930 220 3 ( ( PUNCT iajs-1930 220 4 2 2 NUM iajs-1930 220 5 ) ) PUNCT iajs-1930 220 6 . . PUNCT iajs-1930 221 1 every every DET iajs-1930 221 2 prime prime PROPN iajs-1930 221 3 f. f. PROPN iajs-1930 221 4 subm subm PROPN iajs-1930 221 5 . . PUNCT iajs-1930 221 6 is be AUX iajs-1930 221 7 t t PROPN iajs-1930 221 8 - - PUNCT iajs-1930 221 9 abso abso PROPN iajs-1930 221 10 f. f. PROPN iajs-1930 221 11 subm subm PROPN iajs-1930 221 12 . . PUNCT iajs-1930 222 1 proof proof NOUN iajs-1930 222 2 . . PUNCT iajs-1930 223 1 let let VERB iajs-1930 223 2 a a PRON iajs-1930 223 3 be be AUX iajs-1930 223 4 a a DET iajs-1930 223 5 prime prime PROPN iajs-1930 223 6 f. f. PROPN iajs-1930 223 7 subm subm PROPN iajs-1930 223 8 . . PUNCT iajs-1930 224 1 of of ADP iajs-1930 224 2 f. f. PROPN iajs-1930 224 3 m. m. PROPN iajs-1930 225 1 x x PROPN iajs-1930 225 2 of of ADP iajs-1930 225 3 an an DET iajs-1930 225 4 r r NOUN iajs-1930 225 5 - - PUNCT iajs-1930 225 6 m. m. NOUN iajs-1930 225 7 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 225 8 . . PROPN iajs-1930 226 1 let𝑎 let𝑎 ADJ iajs-1930 226 2 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 226 3 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 226 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 226 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 226 6 for for ADP iajs-1930 226 7 f. f. PROPN iajs-1930 226 8 singletons singletons PROPN iajs-1930 226 9 𝑎 𝑎 X iajs-1930 226 10 , , PUNCT iajs-1930 226 11 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 226 12 of of ADP iajs-1930 226 13 r r NOUN iajs-1930 226 14 and and CCONJ iajs-1930 226 15 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 226 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 226 17 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 226 18 then then ADV iajs-1930 226 19 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 226 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 226 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 226 22 where where SCONJ iajs-1930 226 23 v v NOUN iajs-1930 226 24 = = SYM iajs-1930 226 25 min{s min{s PROPN iajs-1930 226 26 , , PUNCT iajs-1930 226 27 l l NOUN iajs-1930 226 28 , , PUNCT iajs-1930 226 29 k k NOUN iajs-1930 226 30 } } PUNCT iajs-1930 226 31 . . PUNCT iajs-1930 227 1 since since SCONJ iajs-1930 227 2 a a PRON iajs-1930 227 3 is be AUX iajs-1930 227 4 a a DET iajs-1930 227 5 proper proper ADJ iajs-1930 227 6 subm subm PROPN iajs-1930 227 7 . . PUNCT iajs-1930 228 1 of of ADP iajs-1930 228 2 x x SYM iajs-1930 228 3 then then ADV iajs-1930 228 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 228 5 is be AUX iajs-1930 228 6 a a DET iajs-1930 228 7 proper proper ADJ iajs-1930 228 8 subm subm PROPN iajs-1930 228 9 . . PUNCT iajs-1930 229 1 of of ADP iajs-1930 229 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 229 3 , , PUNCT iajs-1930 229 4 hence hence ADV iajs-1930 229 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 229 6 is be AUX iajs-1930 229 7 prime prime ADJ iajs-1930 229 8 subm subm PROPN iajs-1930 229 9 . . PUNCT iajs-1930 230 1 of of ADP iajs-1930 230 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 230 3 . . PUNCT iajs-1930 231 1 so so ADV iajs-1930 231 2 that that SCONJ iajs-1930 231 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 231 4 is be AUX iajs-1930 231 5 t t PROPN iajs-1930 231 6 - - PUNCT iajs-1930 231 7 abso abso PROPN iajs-1930 231 8 subm subm PROPN iajs-1930 231 9 . . PUNCT iajs-1930 232 1 ( ( PUNCT iajs-1930 232 2 see see VERB iajs-1930 232 3 [ [ X iajs-1930 232 4 14 14 NUM iajs-1930 232 5 ] ] NUM iajs-1930 232 6 ) ) PUNCT iajs-1930 232 7 , , PUNCT iajs-1930 232 8 hence hence ADV iajs-1930 232 9 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 232 10 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 232 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 232 12 : : PUNCT iajs-1930 232 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 232 14 , , PUNCT iajs-1930 232 15 then then ADV iajs-1930 232 16 either either CCONJ iajs-1930 232 17 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 232 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 232 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 232 20 : : PUNCT iajs-1930 232 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 232 22 or or CCONJ iajs-1930 232 23 𝑎𝑥 𝑎𝑥 NUM iajs-1930 232 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 232 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 232 26 or or CCONJ iajs-1930 232 27 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PRON iajs-1930 232 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 232 29 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 233 1 so so ADV iajs-1930 233 2 either either CCONJ iajs-1930 233 3 ab ab PROPN iajs-1930 233 4 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 233 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 233 6 : : PUNCT iajs-1930 233 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 233 8 or or CCONJ iajs-1930 233 9 ax ax NOUN iajs-1930 233 10 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 233 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 233 12 or or CCONJ iajs-1930 233 13 bx∈𝐴 bx∈𝐴 PROPN iajs-1930 233 14 . . PUNCT iajs-1930 234 1 since since SCONJ iajs-1930 234 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 234 3 : : PUNCT iajs-1930 234 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 234 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 234 6 : : PUNCT iajs-1930 234 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 234 8 by by ADP iajs-1930 234 9 [ [ X iajs-1930 234 10 5 5 NUM iajs-1930 234 11 ] ] PUNCT iajs-1930 234 12 . . PUNCT iajs-1930 235 1 so so ADV iajs-1930 235 2 that that SCONJ iajs-1930 235 3 then then ADV iajs-1930 235 4 either either CCONJ iajs-1930 235 5 𝑎 𝑎 X iajs-1930 235 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 235 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 235 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 235 9 : : PUNCT iajs-1930 235 10 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 235 11 or or CCONJ iajs-1930 235 12 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 235 13 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 235 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 235 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 235 16 or or CCONJ iajs-1930 235 17 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 235 18 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 235 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 235 20 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 235 21 thus thus ADV iajs-1930 235 22 a a PRON iajs-1930 235 23 is be AUX iajs-1930 235 24 t t PROPN iajs-1930 235 25 - - PUNCT iajs-1930 235 26 abso abso PROPN iajs-1930 235 27 f. f. PROPN iajs-1930 235 28 subm subm PROPN iajs-1930 235 29 . . PUNCT iajs-1930 236 1 of of ADP iajs-1930 236 2 x. x. NOUN iajs-1930 236 3 however however ADV iajs-1930 236 4 , , PUNCT iajs-1930 236 5 the the DET iajs-1930 236 6 converse converse NOUN iajs-1930 236 7 incorrect incorrect ADJ iajs-1930 236 8 in in ADP iajs-1930 236 9 general general ADJ iajs-1930 236 10 , , PUNCT iajs-1930 236 11 for for ADP iajs-1930 236 12 example example NOUN iajs-1930 236 13 : : PUNCT iajs-1930 236 14 let let VERB iajs-1930 236 15 x x PRON iajs-1930 236 16 : : PUNCT iajs-1930 236 17 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 236 18 → → SYM iajs-1930 236 19 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 236 20 such such ADJ iajs-1930 236 21 that that PRON iajs-1930 236 22 x(y x(y PROPN iajs-1930 236 23 ) ) PUNCT iajs-1930 237 1 = = PUNCT iajs-1930 237 2 1 1 NUM iajs-1930 237 3 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 237 4 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 237 5 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 237 6 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 237 7 0 0 NUM iajs-1930 237 8 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 237 9 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 237 10 it it PRON iajs-1930 237 11 is be AUX iajs-1930 237 12 obvious obvious ADJ iajs-1930 237 13 that that SCONJ iajs-1930 237 14 x x PRON iajs-1930 237 15 is be AUX iajs-1930 237 16 f. f. PROPN iajs-1930 237 17 m. m. NOUN iajs-1930 237 18 of of ADP iajs-1930 237 19 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 237 20 as as ADP iajs-1930 237 21 z z NOUN iajs-1930 237 22 - - PUNCT iajs-1930 237 23 m. m. NOUN iajs-1930 237 24 let let VERB iajs-1930 237 25 a a DET iajs-1930 237 26 : : PUNCT iajs-1930 237 27 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 237 28 → → SYM iajs-1930 237 29 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 237 30 such such ADJ iajs-1930 237 31 that that SCONJ iajs-1930 237 32 a(y a(y PROPN iajs-1930 237 33 ) ) PUNCT iajs-1930 238 1 = = PUNCT iajs-1930 239 1 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 239 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 239 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 239 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 239 5 6 6 NUM iajs-1930 239 6 0 0 NUM iajs-1930 239 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 239 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 239 9 ∀ ∀ X iajs-1930 240 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 240 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 240 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 240 4 it it PRON iajs-1930 240 5 is be AUX iajs-1930 240 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 240 7 that that SCONJ iajs-1930 240 8 a a PRON iajs-1930 240 9 is be AUX iajs-1930 240 10 f. f. PROPN iajs-1930 240 11 subm subm PROPN iajs-1930 240 12 . . PUNCT iajs-1930 241 1 of of ADP iajs-1930 241 2 x. x. PROPN iajs-1930 241 3 now now ADV iajs-1930 241 4 𝐴 𝐴 VERB iajs-1930 241 5 = = PUNCT iajs-1930 241 6 6 6 NUM iajs-1930 241 7 is be AUX iajs-1930 241 8 not not PART iajs-1930 241 9 prime prime ADJ iajs-1930 241 10 subm subm PROPN iajs-1930 241 11 . . PUNCT iajs-1930 242 1 of of ADP iajs-1930 242 2 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 242 3 , , PUNCT iajs-1930 242 4 since since SCONJ iajs-1930 242 5 2 2 NUM iajs-1930 242 6 . . SYM iajs-1930 242 7 3 3 NUM iajs-1930 242 8 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 242 9 6 6 NUM iajs-1930 242 10 but but CCONJ iajs-1930 242 11 3 3 NUM iajs-1930 242 12 ∉ ∉ NUM iajs-1930 242 13 6 6 NUM iajs-1930 242 14 and and CCONJ iajs-1930 242 15 2∉ 2∉ NUM iajs-1930 242 16 ( ( PUNCT iajs-1930 242 17 6 6 NUM iajs-1930 242 18 : : PUNCT iajs-1930 242 19 𝑍 𝑍 NOUN iajs-1930 242 20 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-1930 242 21 . . PUNCT iajs-1930 243 1 but but CCONJ iajs-1930 243 2 6 6 NUM iajs-1930 243 3 2 2 NUM iajs-1930 243 4 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 243 5 3 3 NUM iajs-1930 243 6 is be AUX iajs-1930 243 7 t t PROPN iajs-1930 243 8 - - PUNCT iajs-1930 243 9 abso abso PROPN iajs-1930 243 10 subm.of subm.of PROPN iajs-1930 243 11 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 243 12 as as ADP iajs-1930 243 13 z z NOUN iajs-1930 243 14 - - NOUN iajs-1930 243 15 m. m. NOUN iajs-1930 243 16 by by ADP iajs-1930 243 17 [ [ X iajs-1930 243 18 14 14 NUM iajs-1930 243 19 ] ] PUNCT iajs-1930 243 20 . . PUNCT iajs-1930 244 1 so so ADV iajs-1930 244 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 244 3 is be AUX iajs-1930 244 4 t t PROPN iajs-1930 244 5 - - PUNCT iajs-1930 244 6 abso abso PROPN iajs-1930 244 7 subm subm PROPN iajs-1930 244 8 . . PUNCT iajs-1930 244 9 , , PUNCT iajs-1930 244 10 but but CCONJ iajs-1930 244 11 not not PART iajs-1930 244 12 prime prime ADJ iajs-1930 244 13 subm subm PROPN iajs-1930 244 14 . . PUNCT iajs-1930 244 15 ,implies ,implies PUNCT iajs-1930 245 1 that that SCONJ iajs-1930 245 2 a a PRON iajs-1930 245 3 is be AUX iajs-1930 245 4 t t PROPN iajs-1930 245 5 - - PUNCT iajs-1930 245 6 abso abso PROPN iajs-1930 245 7 f. f. PROPN iajs-1930 245 8 subm subm PROPN iajs-1930 245 9 . . PUNCT iajs-1930 245 10 , , PUNCT iajs-1930 245 11 but but CCONJ iajs-1930 245 12 not not PART iajs-1930 245 13 prime prime PROPN iajs-1930 245 14 f. f. PROPN iajs-1930 245 15 subm subm PROPN iajs-1930 245 16 . . PUNCT iajs-1930 246 1 ( ( PUNCT iajs-1930 246 2 3 3 X iajs-1930 246 3 ) ) PUNCT iajs-1930 246 4 it it PRON iajs-1930 246 5 obvious obvious VERB iajs-1930 246 6 every every DET iajs-1930 246 7 quasi quasi ADJ iajs-1930 246 8 - - ADJ iajs-1930 246 9 prime prime ADJ iajs-1930 246 10 f. f. PROPN iajs-1930 246 11 subm subm PROPN iajs-1930 246 12 . . PUNCT iajs-1930 247 1 is be AUX iajs-1930 247 2 t t PROPN iajs-1930 247 3 - - PUNCT iajs-1930 247 4 abso abso PROPN iajs-1930 247 5 f. f. PROPN iajs-1930 247 6 subm subm PROPN iajs-1930 247 7 . . PUNCT iajs-1930 248 1 however however ADV iajs-1930 248 2 t t PROPN iajs-1930 248 3 - - PUNCT iajs-1930 248 4 abso abso PROPN iajs-1930 248 5 f. f. PROPN iajs-1930 248 6 subm subm PROPN iajs-1930 248 7 . . PUNCT iajs-1930 249 1 may may AUX iajs-1930 249 2 not not PART iajs-1930 249 3 be be AUX iajs-1930 249 4 quasi quasi ADJ iajs-1930 249 5 - - ADJ iajs-1930 249 6 prime prime ADJ iajs-1930 249 7 f. f. PROPN iajs-1930 249 8 subm subm PROPN iajs-1930 249 9 . . PUNCT iajs-1930 250 1 for for ADP iajs-1930 250 2 example example NOUN iajs-1930 250 3 : : PUNCT iajs-1930 250 4 let let VERB iajs-1930 250 5 x x PRON iajs-1930 250 6 : : PUNCT iajs-1930 250 7 z→l z→l VERB iajs-1930 250 8 such such ADJ iajs-1930 250 9 that that SCONJ iajs-1930 250 10 x(y)= x(y)= PROPN iajs-1930 250 11 1 1 NUM iajs-1930 250 12 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 250 13 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 250 14 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 250 15 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 250 16 0 0 NUM iajs-1930 250 17 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 250 18 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 250 19     SPACE iajs-1930 250 20 117 117 NUM iajs-1930 250 21     SPACE iajs-1930 250 22 ibn ibn PROPN iajs-1930 250 23 al al PROPN iajs-1930 250 24 - - PUNCT iajs-1930 250 25 haitham haitham PROPN iajs-1930 250 26 jour jour X iajs-1930 250 27 . . PROPN iajs-1930 251 1 for for ADP iajs-1930 251 2 pure pure ADJ iajs-1930 251 3 & & CCONJ iajs-1930 251 4 appl appl PROPN iajs-1930 251 5 . . PUNCT iajs-1930 252 1 sci sci PROPN iajs-1930 252 2 . . PROPN iajs-1930 252 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 252 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 252 5 vol vol NOUN iajs-1930 252 6 . . PUNCT iajs-1930 253 1 32 32 NUM iajs-1930 254 1 ( ( PUNCT iajs-1930 254 2 1 1 NUM iajs-1930 254 3 ) ) PUNCT iajs-1930 254 4 2019 2019 NUM iajs-1930 254 5 it it PRON iajs-1930 254 6 is be AUX iajs-1930 254 7 obvious obvious ADJ iajs-1930 254 8 that that SCONJ iajs-1930 254 9 x x PRON iajs-1930 254 10 is be AUX iajs-1930 254 11 f. f. PROPN iajs-1930 254 12 m. m. PROPN iajs-1930 254 13 of of ADP iajs-1930 254 14 z z PROPN iajs-1930 254 15 - - PUNCT iajs-1930 254 16 m. m. NOUN iajs-1930 254 17 z. z. PROPN iajs-1930 254 18 let let VERB iajs-1930 254 19 a a DET iajs-1930 254 20 : : PUNCT iajs-1930 254 21 z→l z→l NOUN iajs-1930 254 22 such such ADJ iajs-1930 254 23 that that SCONJ iajs-1930 254 24 a(y a(y PROPN iajs-1930 254 25 ) ) PUNCT iajs-1930 255 1 = = PUNCT iajs-1930 256 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 256 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 256 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 256 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 256 5 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-1930 256 6 0 0 NUM iajs-1930 256 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 256 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 256 9 ∀ ∀ X iajs-1930 256 10 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 256 11 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 256 12 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 256 13 it it PRON iajs-1930 256 14 is be AUX iajs-1930 256 15 obvious obvious ADJ iajs-1930 256 16 that that SCONJ iajs-1930 256 17 a a PRON iajs-1930 256 18 is be AUX iajs-1930 256 19 f. f. PROPN iajs-1930 256 20 subm subm PROPN iajs-1930 256 21 . . PUNCT iajs-1930 257 1 of of ADP iajs-1930 257 2 x. x. PROPN iajs-1930 257 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 257 4 = = PROPN iajs-1930 257 5 6z 6z PROPN iajs-1930 257 6 is be AUX iajs-1930 257 7 t t PROPN iajs-1930 257 8 - - PUNCT iajs-1930 257 9 abso abso PROPN iajs-1930 257 10 subm subm PROPN iajs-1930 257 11 . . PUNCT iajs-1930 258 1 of of ADP iajs-1930 258 2 z z PROPN iajs-1930 258 3 , , PUNCT iajs-1930 258 4 since since SCONJ iajs-1930 258 5 if if SCONJ iajs-1930 258 6 x x PROPN iajs-1930 258 7 , , PUNCT iajs-1930 258 8 y y PROPN iajs-1930 258 9 , , PUNCT iajs-1930 258 10 z∈ z∈ PROPN iajs-1930 258 11 z z PROPN iajs-1930 258 12 and and CCONJ iajs-1930 258 13 xyz∈ xyz∈ PROPN iajs-1930 258 14 6z= 6z= NUM iajs-1930 258 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 258 16 then then ADV iajs-1930 258 17 at at ADV iajs-1930 258 18 least least ADJ iajs-1930 258 19 one one NUM iajs-1930 258 20 of of ADP iajs-1930 258 21 x x PROPN iajs-1930 258 22 , , PUNCT iajs-1930 258 23 y y PROPN iajs-1930 258 24 and and CCONJ iajs-1930 258 25 z z PROPN iajs-1930 258 26 is be AUX iajs-1930 258 27 even even ADV iajs-1930 258 28 or or CCONJ iajs-1930 258 29 one one NUM iajs-1930 258 30 of of ADP iajs-1930 258 31 them they PRON iajs-1930 258 32 is be AUX iajs-1930 258 33 6 6 NUM iajs-1930 258 34 . . PUNCT iajs-1930 259 1 then then ADV iajs-1930 259 2 either either CCONJ iajs-1930 259 3 xy∈ xy∈ PROPN iajs-1930 259 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 259 5 or or CCONJ iajs-1930 259 6 xz∈ xz∈ PROPN iajs-1930 259 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 259 8 or or CCONJ iajs-1930 259 9 yz∈ yz∈ PROPN iajs-1930 259 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 259 11 . . PUNCT iajs-1930 260 1 but but CCONJ iajs-1930 260 2 6z= 6z= NUM iajs-1930 260 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 260 4 is be AUX iajs-1930 260 5 not not PART iajs-1930 260 6 quasi quasi ADJ iajs-1930 260 7 - - NOUN iajs-1930 260 8 prime prime ADJ iajs-1930 260 9 , , PUNCT iajs-1930 260 10 since since SCONJ iajs-1930 260 11 2.3.1∈6z 2.3.1∈6z NOUN iajs-1930 260 12 , , PUNCT iajs-1930 260 13 but but CCONJ iajs-1930 260 14 2.1∉6z 2.1∉6z NUM iajs-1930 260 15 and and CCONJ iajs-1930 260 16 3.1∉6z 3.1∉6z NUM iajs-1930 260 17 . . PUNCT iajs-1930 261 1 so so ADV iajs-1930 261 2 that that SCONJ iajs-1930 261 3 a a PRON iajs-1930 261 4 is be AUX iajs-1930 261 5 t t PROPN iajs-1930 261 6 - - PUNCT iajs-1930 261 7 abso abso PROPN iajs-1930 261 8 f. f. PROPN iajs-1930 261 9 subm subm PROPN iajs-1930 261 10 . . PUNCT iajs-1930 262 1 , , PUNCT iajs-1930 262 2 but but CCONJ iajs-1930 262 3 a a PRON iajs-1930 262 4 is be AUX iajs-1930 262 5 not not PART iajs-1930 262 6 quasi quasi ADJ iajs-1930 262 7 - - ADJ iajs-1930 262 8 prime prime ADJ iajs-1930 262 9 f. f. PROPN iajs-1930 262 10 subm subm PROPN iajs-1930 262 11 . . PUNCT iajs-1930 263 1 ( ( PUNCT iajs-1930 263 2 4 4 X iajs-1930 263 3 ) ) PUNCT iajs-1930 263 4 let let VERB iajs-1930 263 5 a a DET iajs-1930 263 6 , , PUNCT iajs-1930 263 7 b b NOUN iajs-1930 263 8 be be AUX iajs-1930 263 9 two two NUM iajs-1930 263 10 f. f. NOUN iajs-1930 263 11 subms subms PROPN iajs-1930 263 12 . . PUNCT iajs-1930 264 1 of of ADP iajs-1930 264 2 f. f. PROPN iajs-1930 264 3 m. m. PROPN iajs-1930 265 1 x x PROPN iajs-1930 265 2 of of ADP iajs-1930 265 3 an an DET iajs-1930 265 4 r r NOUN iajs-1930 265 5 - - PUNCT iajs-1930 265 6 m. m. NOUN iajs-1930 265 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 265 8 , , PUNCT iajs-1930 265 9 and and CCONJ iajs-1930 265 10 b⊂a b⊂a NOUN iajs-1930 265 11 . . PUNCT iajs-1930 266 1 if if SCONJ iajs-1930 266 2 a a PRON iajs-1930 266 3 is be AUX iajs-1930 266 4 t t PROPN iajs-1930 266 5 - - PUNCT iajs-1930 266 6 abso abso PROPN iajs-1930 266 7 f. f. PROPN iajs-1930 266 8 subm subm PROPN iajs-1930 266 9 . . PUNCT iajs-1930 267 1 of of ADP iajs-1930 267 2 x x SYM iajs-1930 267 3 , , PUNCT iajs-1930 267 4 then then ADV iajs-1930 267 5 it it PRON iajs-1930 267 6 is be AUX iajs-1930 267 7 not not PART iajs-1930 267 8 necessary necessary ADJ iajs-1930 267 9 that that SCONJ iajs-1930 267 10 b b NOUN iajs-1930 267 11 is be AUX iajs-1930 267 12 a a DET iajs-1930 267 13 t t PROPN iajs-1930 267 14 - - PUNCT iajs-1930 267 15 abso abso PROPN iajs-1930 267 16 f. f. PROPN iajs-1930 267 17 subm subm PROPN iajs-1930 267 18 . . PUNCT iajs-1930 268 1 , , PUNCT iajs-1930 268 2 for for ADP iajs-1930 268 3 example example NOUN iajs-1930 268 4 : : PUNCT iajs-1930 268 5 let let VERB iajs-1930 268 6 x x PRON iajs-1930 268 7 : : PUNCT iajs-1930 268 8 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 268 9 → → SYM iajs-1930 268 10 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 268 11 such such ADJ iajs-1930 268 12 that that PRON iajs-1930 268 13 x(y x(y PROPN iajs-1930 268 14 ) ) PUNCT iajs-1930 269 1 = = PUNCT iajs-1930 269 2 1 1 NUM iajs-1930 269 3 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 269 4 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 269 5 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 269 6 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 269 7 0 0 NUM iajs-1930 269 8 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 269 9 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 269 10 it it PRON iajs-1930 269 11 is be AUX iajs-1930 269 12 obvious obvious ADJ iajs-1930 269 13 that that SCONJ iajs-1930 269 14 x x PRON iajs-1930 269 15 is be AUX iajs-1930 269 16 f. f. PROPN iajs-1930 269 17 m. m. PROPN iajs-1930 269 18 of of ADP iajs-1930 269 19 z z NOUN iajs-1930 269 20 - - PUNCT iajs-1930 269 21 m. m. NOUN iajs-1930 269 22 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 269 23 . . PUNCT iajs-1930 270 1 let let VERB iajs-1930 270 2 a a DET iajs-1930 270 3 : : PUNCT iajs-1930 270 4 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 270 5 → → SYM iajs-1930 270 6 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 270 7 such such ADJ iajs-1930 270 8 that that SCONJ iajs-1930 270 9 a(y a(y PROPN iajs-1930 270 10 ) ) PUNCT iajs-1930 271 1 = = PUNCT iajs-1930 272 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 272 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 272 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 272 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 272 5 2 2 NUM iajs-1930 272 6 0 0 NUM iajs-1930 272 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 272 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 272 9 ∀ ∀ X iajs-1930 273 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 273 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 273 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 273 4 and and CCONJ iajs-1930 273 5 b b NOUN iajs-1930 273 6 : : PUNCT iajs-1930 273 7 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 273 8 → → SYM iajs-1930 273 9 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 273 10 such such ADJ iajs-1930 273 11 that that DET iajs-1930 273 12 b(y b(y PROPN iajs-1930 273 13 ) ) PUNCT iajs-1930 274 1 = = PUNCT iajs-1930 274 2 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 274 3 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 274 4 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 274 5 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 274 6 12 12 NUM iajs-1930 274 7 0 0 NUM iajs-1930 274 8 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 274 9 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 274 10 ∀ ∀ X iajs-1930 274 11 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 274 12 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 274 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 274 14 it it PRON iajs-1930 274 15 is be AUX iajs-1930 274 16 obvious obvious ADJ iajs-1930 274 17 that that SCONJ iajs-1930 274 18 a a PRON iajs-1930 274 19 and and CCONJ iajs-1930 274 20 b b NOUN iajs-1930 274 21 are be AUX iajs-1930 274 22 f. f. PROPN iajs-1930 274 23 subms subms PROPN iajs-1930 274 24 . . PUNCT iajs-1930 275 1 of of ADP iajs-1930 275 2 x. x. NOUN iajs-1930 275 3 now now ADV iajs-1930 275 4 , , PUNCT iajs-1930 275 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 275 6 = = SYM iajs-1930 275 7 2 2 NUM iajs-1930 275 8 and and CCONJ iajs-1930 275 9 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 275 10 = = NOUN iajs-1930 275 11 12 12 NUM iajs-1930 275 12 where where SCONJ iajs-1930 275 13 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 275 14 ⊂ ⊂ PROPN iajs-1930 275 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 275 16 , , PUNCT iajs-1930 275 17 since since SCONJ iajs-1930 275 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 275 19 = = SYM iajs-1930 275 20 2 2 NUM iajs-1930 275 21 is be AUX iajs-1930 275 22 maximal maximal ADJ iajs-1930 275 23 subm subm PROPN iajs-1930 275 24 . . PUNCT iajs-1930 276 1 of of ADP iajs-1930 276 2 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 276 3 as as ADP iajs-1930 276 4 zm zm PROPN iajs-1930 276 5 . . PROPN iajs-1930 276 6 , , PUNCT iajs-1930 276 7 then then ADV iajs-1930 276 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 276 9 is be AUX iajs-1930 276 10 prime prime ADJ iajs-1930 276 11 subm subm PROPN iajs-1930 276 12 . . PUNCT iajs-1930 277 1 by[15 by[15 PROPN iajs-1930 277 2 ] ] PUNCT iajs-1930 277 3 . . PUNCT iajs-1930 277 4 implies imply VERB iajs-1930 277 5 that that SCONJ iajs-1930 277 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 277 7 is be AUX iajs-1930 277 8 t t PROPN iajs-1930 277 9 - - PUNCT iajs-1930 277 10 abso abso PROPN iajs-1930 277 11 subm subm PROPN iajs-1930 277 12 . . PUNCT iajs-1930 278 1 by by ADP iajs-1930 278 2 [ [ X iajs-1930 278 3 14 14 NUM iajs-1930 278 4 ] ] PUNCT iajs-1930 278 5 . . PUNCT iajs-1930 279 1 but but CCONJ iajs-1930 279 2 2.2 2.2 NUM iajs-1930 279 3 . . NOUN iajs-1930 279 4 3 3 NUM iajs-1930 279 5 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 279 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 279 7 , , PUNCT iajs-1930 279 8 2 2 NUM iajs-1930 279 9 . . SYM iajs-1930 279 10 3 3 NUM iajs-1930 279 11 ∉ ∉ PROPN iajs-1930 279 12 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 279 13 and and CCONJ iajs-1930 279 14 2.2=4∉(𝐵 2.2=4∉(𝐵 NUM iajs-1930 279 15 : : PUNCT iajs-1930 279 16 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 279 17 12𝑍. 12𝑍. NOUN iajs-1930 279 18 thus thus ADV iajs-1930 279 19 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 279 20 is be AUX iajs-1930 279 21 not not PART iajs-1930 279 22 t t PROPN iajs-1930 279 23 - - PUNCT iajs-1930 279 24 a a DET iajs-1930 279 25 bso bso PROPN iajs-1930 279 26 subm subm PROPN iajs-1930 279 27 . . PUNCT iajs-1930 280 1 of of ADP iajs-1930 280 2 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 280 3 as as ADP iajs-1930 280 4 z z NOUN iajs-1930 280 5 - - PUNCT iajs-1930 280 6 m. m. NOUN iajs-1930 280 7 hence hence ADV iajs-1930 280 8 b b PROPN iajs-1930 280 9 is be AUX iajs-1930 280 10 not not PART iajs-1930 280 11 t t PROPN iajs-1930 280 12 - - PUNCT iajs-1930 280 13 abso abso PROPN iajs-1930 280 14 f. f. PROPN iajs-1930 280 15 subm subm PROPN iajs-1930 280 16 . . PUNCT iajs-1930 281 1 ( ( PUNCT iajs-1930 281 2 5 5 X iajs-1930 281 3 ) ) PUNCT iajs-1930 281 4 let let VERB iajs-1930 281 5 a a PRON iajs-1930 281 6 and and CCONJ iajs-1930 281 7 b b NOUN iajs-1930 281 8 be be AUX iajs-1930 281 9 f. f. PROPN iajs-1930 281 10 subms subms PROPN iajs-1930 281 11 . . PUNCT iajs-1930 282 1 of of ADP iajs-1930 282 2 f. f. PROPN iajs-1930 282 3 m. m. PROPN iajs-1930 283 1 x x PROPN iajs-1930 283 2 of of ADP iajs-1930 283 3 an an DET iajs-1930 283 4 r r NOUN iajs-1930 283 5 - - NOUN iajs-1930 283 6 m m NOUN iajs-1930 283 7 . . PUNCT iajs-1930 284 1 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 284 2 and and CCONJ iajs-1930 284 3 a⊂b a⊂b NOUN iajs-1930 284 4 . . PUNCT iajs-1930 285 1 if if SCONJ iajs-1930 285 2 a a PRON iajs-1930 285 3 is be AUX iajs-1930 285 4 t t PROPN iajs-1930 285 5 - - PUNCT iajs-1930 285 6 abso abso PROPN iajs-1930 285 7 f f PROPN iajs-1930 285 8 . . PUNCT iajs-1930 286 1 subm subm PROPN iajs-1930 286 2 . . PUNCT iajs-1930 287 1 of of ADP iajs-1930 287 2 x x PRON iajs-1930 287 3 , , PUNCT iajs-1930 287 4 then then ADV iajs-1930 287 5 a a PRON iajs-1930 287 6 is be AUX iajs-1930 287 7 t t PROPN iajs-1930 287 8 - - PUNCT iajs-1930 287 9 abso abso PROPN iajs-1930 287 10 f. f. PROPN iajs-1930 287 11 subm subm PROPN iajs-1930 287 12 . . PUNCT iajs-1930 288 1 of of ADP iajs-1930 288 2 b. b. PROPN iajs-1930 288 3 proof proof NOUN iajs-1930 288 4 . . PUNCT iajs-1930 289 1 if if SCONJ iajs-1930 289 2 b b PROPN iajs-1930 289 3 = = NOUN iajs-1930 289 4 x x X iajs-1930 289 5 , , PUNCT iajs-1930 289 6 then then ADV iajs-1930 289 7 don´t don´t PROPN iajs-1930 289 8 need need VERB iajs-1930 289 9 to to PART iajs-1930 289 10 prove prove VERB iajs-1930 289 11 . . PUNCT iajs-1930 290 1 let let VERB iajs-1930 290 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 290 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 290 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 290 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 290 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 290 7 for for ADP iajs-1930 290 8 f. f. PROPN iajs-1930 290 9 singletons singletons PROPN iajs-1930 290 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 290 11 , , PUNCT iajs-1930 290 12 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 290 13 of of ADP iajs-1930 290 14 r r NOUN iajs-1930 290 15 and and CCONJ iajs-1930 290 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 290 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 290 18 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 290 19 , , PUNCT iajs-1930 290 20 implies imply VERB iajs-1930 290 21 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 290 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 290 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 290 24 hence hence ADV iajs-1930 290 25 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 290 26 min min NOUN iajs-1930 290 27 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 290 28 , , PUNCT iajs-1930 290 29 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 290 30 , , PUNCT iajs-1930 290 31 𝑘 𝑘 DET iajs-1930 290 32 abx∈𝐴 abx∈𝐴 NOUN iajs-1930 290 33 , , PUNCT iajs-1930 290 34 where where SCONJ iajs-1930 290 35 a a DET iajs-1930 290 36 , , PUNCT iajs-1930 290 37 b∈r b∈r NOUN iajs-1930 290 38 , , PUNCT iajs-1930 290 39 x∈𝐵 x∈𝐵 PROPN iajs-1930 290 40 . . PUNCT iajs-1930 291 1 since since SCONJ iajs-1930 291 2 a⊂b a⊂b PROPN iajs-1930 291 3 implies imply VERB iajs-1930 291 4 where where SCONJ iajs-1930 291 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 291 6 ⊂ ⊂ PROPN iajs-1930 291 7 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 291 8 . . PUNCT iajs-1930 292 1 since since SCONJ iajs-1930 292 2 a a PRON iajs-1930 292 3 is be AUX iajs-1930 292 4 t t NOUN iajs-1930 292 5 - - PUNCT iajs-1930 292 6 abs ab NOUN iajs-1930 292 7 o o PROPN iajs-1930 292 8 f. f. PROPN iajs-1930 292 9 subm subm PROPN iajs-1930 292 10 . . PUNCT iajs-1930 293 1 of of ADP iajs-1930 293 2 x x SYM iajs-1930 293 3 , , PUNCT iajs-1930 293 4 then then ADV iajs-1930 293 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 293 6 is be AUX iajs-1930 293 7 t t PROPN iajs-1930 293 8 - - PUNCT iajs-1930 293 9 abso abso PROPN iajs-1930 293 10 subm subm PROPN iajs-1930 293 11 . . PUNCT iajs-1930 294 1 of of ADP iajs-1930 294 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 294 3 . . PUNCT iajs-1930 295 1 hence hence ADV iajs-1930 295 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 295 3 is be AUX iajs-1930 295 4 t t PROPN iajs-1930 295 5 - - PUNCT iajs-1930 295 6 abso abso PROPN iajs-1930 295 7 subm subm PROPN iajs-1930 295 8 . . PUNCT iajs-1930 296 1 of of ADP iajs-1930 296 2 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 296 3 by by ADP iajs-1930 296 4 [ [ X iajs-1930 296 5 14 14 NUM iajs-1930 296 6 ] ] PUNCT iajs-1930 296 7 , , PUNCT iajs-1930 296 8 so so SCONJ iajs-1930 296 9 that that SCONJ iajs-1930 296 10 either either CCONJ iajs-1930 296 11 ab ab PROPN iajs-1930 296 12 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 296 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 14 : : PUNCT iajs-1930 296 15 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 296 16 → → SYM iajs-1930 296 17 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 296 18 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 296 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 20 : : PUNCT iajs-1930 296 21 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 296 22 or or CCONJ iajs-1930 296 23 ax ax NOUN iajs-1930 296 24 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 296 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 26 or or CCONJ iajs-1930 296 27 bx bx NOUN iajs-1930 296 28 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 296 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 30 , , PUNCT iajs-1930 296 31 then then ADV iajs-1930 296 32 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 296 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 296 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 35 : : PUNCT iajs-1930 296 36 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 296 37 or or CCONJ iajs-1930 296 38 𝑎𝑥 𝑎𝑥 NUM iajs-1930 296 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 296 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 41 or or CCONJ iajs-1930 296 42 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PROPN iajs-1930 296 43 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 296 44 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 45 , , PUNCT iajs-1930 296 46 implies imply VERB iajs-1930 296 47 either either CCONJ iajs-1930 296 48 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 296 49 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 296 50 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 296 51 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 296 52 : : PUNCT iajs-1930 296 53 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 296 54 of of ADP iajs-1930 296 55 t t PROPN iajs-1930 296 56 - - PUNCT iajs-1930 296 57 a a NOUN iajs-1930 296 58 or or CCONJ iajs-1930 297 1 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 297 2 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 297 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 297 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 297 5 or or CCONJ iajs-1930 297 6 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 297 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 297 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 297 9 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 297 10 thus thus ADV iajs-1930 297 11 a a PRON iajs-1930 297 12 is be AUX iajs-1930 297 13 t t PROPN iajs-1930 297 14 - - PUNCT iajs-1930 297 15 abso abso PROPN iajs-1930 297 16 f. f. PROPN iajs-1930 297 17 subm subm PROPN iajs-1930 297 18 . . PUNCT iajs-1930 298 1 of of ADP iajs-1930 298 2 b. b. PROPN iajs-1930 298 3 ( ( PUNCT iajs-1930 298 4 6 6 NUM iajs-1930 298 5 ) ) PUNCT iajs-1930 298 6 the the DET iajs-1930 298 7 sum sum NOUN iajs-1930 298 8 bso bso PROPN iajs-1930 298 9 f. f. PROPN iajs-1930 298 10 subm subm PROPN iajs-1930 298 11 . . PUNCT iajs-1930 299 1 is be AUX iajs-1930 299 2 not not PART iajs-1930 299 3 necessary necessary ADJ iajs-1930 299 4 tabso tabso PROPN iajs-1930 299 5 f. f. PROPN iajs-1930 299 6 subm subm PROPN iajs-1930 299 7 . . PUNCT iajs-1930 300 1 , , PUNCT iajs-1930 300 2 for for ADP iajs-1930 300 3 example example NOUN iajs-1930 300 4 : : PUNCT iajs-1930 300 5 let let VERB iajs-1930 300 6 x x PRON iajs-1930 300 7 : : PUNCT iajs-1930 300 8 z→l z→l VERB iajs-1930 301 1 such such ADJ iajs-1930 301 2 that that SCONJ iajs-1930 301 3 x(y)= x(y)= PROPN iajs-1930 301 4 1 1 NUM iajs-1930 301 5 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 301 6 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 301 7 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 301 8 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 301 9 0 0 NUM iajs-1930 301 10 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 301 11 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 301 12 it it PRON iajs-1930 301 13 is be AUX iajs-1930 301 14 obvious obvious ADJ iajs-1930 301 15 that that SCONJ iajs-1930 301 16 x x PRON iajs-1930 301 17 is be AUX iajs-1930 301 18 f. f. PROPN iajs-1930 301 19 m. m. PROPN iajs-1930 301 20 of of ADP iajs-1930 301 21 z z PROPN iajs-1930 301 22 - - PUNCT iajs-1930 301 23 m. m. NOUN iajs-1930 301 24 z. z. PROPN iajs-1930 301 25 let let VERB iajs-1930 301 26 a a DET iajs-1930 301 27 : : PUNCT iajs-1930 301 28 z→l z→l NOUN iajs-1930 301 29 such such ADJ iajs-1930 301 30 that that SCONJ iajs-1930 301 31 a(y a(y PROPN iajs-1930 301 32 ) ) PUNCT iajs-1930 302 1 = = PUNCT iajs-1930 303 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 303 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 303 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 303 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 303 5 2𝑍 2𝑍 NOUN iajs-1930 303 6 0 0 NUM iajs-1930 304 1 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 304 2 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 304 3 ∀ ∀ X iajs-1930 304 4 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 304 5 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 304 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 304 7 it it PRON iajs-1930 304 8 is be AUX iajs-1930 304 9 obvious obvious ADJ iajs-1930 304 10 that that SCONJ iajs-1930 304 11 a a PRON iajs-1930 304 12 is be AUX iajs-1930 304 13 f. f. PROPN iajs-1930 304 14 subm subm PROPN iajs-1930 304 15 . . PUNCT iajs-1930 305 1 of of ADP iajs-1930 305 2 x. x. PROPN iajs-1930 305 3 let let VERB iajs-1930 305 4 b b NOUN iajs-1930 305 5 : : PUNCT iajs-1930 305 6 z→l z→l NOUN iajs-1930 305 7 such such ADJ iajs-1930 305 8 that that SCONJ iajs-1930 305 9 b(y b(y PROPN iajs-1930 305 10 ) ) PUNCT iajs-1930 306 1 = = PUNCT iajs-1930 307 1 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 307 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 307 3 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 307 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 307 5 3𝑍 3𝑍 NOUN iajs-1930 307 6 0 0 PUNCT iajs-1930 308 1 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 308 2 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 308 3 ∀ ∀ X iajs-1930 309 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 309 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 309 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 309 4 it it PRON iajs-1930 309 5 is be AUX iajs-1930 309 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 309 7 that that SCONJ iajs-1930 309 8 b b PROPN iajs-1930 309 9 is be AUX iajs-1930 309 10 f. f. PROPN iajs-1930 309 11 subm subm PROPN iajs-1930 309 12 . . PUNCT iajs-1930 310 1 of of ADP iajs-1930 310 2 x. x. NOUN iajs-1930 310 3 now now ADV iajs-1930 310 4 , , PUNCT iajs-1930 310 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 310 6 = = PROPN iajs-1930 310 7 2z 2z PRON iajs-1930 310 8 , , PUNCT iajs-1930 310 9 , , PUNCT iajs-1930 310 10 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 310 11 = = NOUN iajs-1930 310 12 3z 3z NUM iajs-1930 310 13 where where SCONJ iajs-1930 310 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 310 15 and and CCONJ iajs-1930 310 16 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 310 17 be be AUX iajs-1930 310 18 tabso tabso NOUN iajs-1930 310 19 subms subms NOUN iajs-1930 310 20 . . PUNCT iajs-1930 310 21 of of ADP iajs-1930 310 22 z z PROPN iajs-1930 310 23 - - PUNCT iajs-1930 310 24 m. m. NOUN iajs-1930 310 25 z z NOUN iajs-1930 310 26 , , PUNCT iajs-1930 310 27 but but CCONJ iajs-1930 310 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 310 29 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 310 30 𝑍 𝑍 VERB iajs-1930 310 31 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 310 32 is be AUX iajs-1930 310 33 not not PART iajs-1930 310 34 t t PROPN iajs-1930 310 35 - - PUNCT iajs-1930 310 36 abso abso PROPN iajs-1930 310 37 subm subm PROPN iajs-1930 310 38 . . PROPN iajs-1930 310 39 , , PUNCT iajs-1930 310 40 implies imply VERB iajs-1930 310 41 that that SCONJ iajs-1930 310 42 a+b a+b PROPN iajs-1930 310 43 = = NOUN iajs-1930 310 44 x x X iajs-1930 310 45 is be AUX iajs-1930 310 46 not not PART iajs-1930 310 47 t t PROPN iajs-1930 310 48 - - PUNCT iajs-1930 310 49 abso abso PROPN iajs-1930 310 50 f. f. PROPN iajs-1930 310 51 subm subm PROPN iajs-1930 310 52 . . PUNCT iajs-1930 311 1 ( ( PUNCT iajs-1930 311 2 7 7 X iajs-1930 311 3 ) ) PUNCT iajs-1930 311 4 let let VERB iajs-1930 311 5 a a PRON iajs-1930 311 6 and and CCONJ iajs-1930 311 7 b b NOUN iajs-1930 311 8 be be AUX iajs-1930 311 9 two two NUM iajs-1930 311 10 f. f. NOUN iajs-1930 311 11 subms subms PROPN iajs-1930 311 12 . . PUNCT iajs-1930 312 1 of of ADP iajs-1930 312 2 f. f. PROPN iajs-1930 312 3 m. m. PROPN iajs-1930 313 1 x x PROPN iajs-1930 313 2 of of ADP iajs-1930 313 3 an an DET iajs-1930 313 4 r r NOUN iajs-1930 313 5 - - PUNCT iajs-1930 313 6 m. m. NOUN iajs-1930 313 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 313 8 . . PUNCT iajs-1930 314 1 if if SCONJ iajs-1930 314 2 a a PRON iajs-1930 314 3 is be AUX iajs-1930 314 4 t t PROPN iajs-1930 314 5 - - PUNCT iajs-1930 314 6 abso abso PROPN iajs-1930 314 7 f. f. PROPN iajs-1930 314 8 subm subm PROPN iajs-1930 314 9 . . PUNCT iajs-1930 315 1 then then ADV iajs-1930 315 2 it it PRON iajs-1930 315 3 is be AUX iajs-1930 315 4 not not PART iajs-1930 315 5 necessary necessary ADJ iajs-1930 315 6 that that SCONJ iajs-1930 315 7 b b PROPN iajs-1930 315 8 is be AUX iajs-1930 315 9 t t PROPN iajs-1930 315 10 - - PUNCT iajs-1930 315 11 abso abso PROPN iajs-1930 315 12 f. f. PROPN iajs-1930 315 13 subm subm PROPN iajs-1930 315 14 . . PUNCT iajs-1930 316 1 , , PUNCT iajs-1930 316 2 for for ADP iajs-1930 316 3 example example NOUN iajs-1930 316 4 : : PUNCT iajs-1930 316 5 let let VERB iajs-1930 316 6 x x PRON iajs-1930 316 7 : : PUNCT iajs-1930 316 8 z→l z→l VERB iajs-1930 317 1 such such ADJ iajs-1930 317 2 that that SCONJ iajs-1930 317 3 x(y)= x(y)= PROPN iajs-1930 317 4 1 1 NUM iajs-1930 317 5 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 317 6 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 317 7 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 317 8 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 317 9 0 0 NUM iajs-1930 317 10 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 317 11 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 317 12     SPACE iajs-1930 317 13 118 118 NUM iajs-1930 317 14     SPACE iajs-1930 317 15 ibn ibn PROPN iajs-1930 317 16 al al PROPN iajs-1930 317 17 - - PUNCT iajs-1930 317 18 haitham haitham PROPN iajs-1930 317 19 jour jour X iajs-1930 317 20 . . PROPN iajs-1930 318 1 for for ADP iajs-1930 318 2 pure pure ADJ iajs-1930 318 3 & & CCONJ iajs-1930 318 4 appl appl PROPN iajs-1930 318 5 . . PUNCT iajs-1930 319 1 sci sci PROPN iajs-1930 319 2 . . PROPN iajs-1930 319 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 319 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 319 5 vol vol NOUN iajs-1930 319 6 . . PUNCT iajs-1930 320 1 32 32 NUM iajs-1930 321 1 ( ( PUNCT iajs-1930 321 2 1 1 NUM iajs-1930 321 3 ) ) PUNCT iajs-1930 321 4 2019 2019 NUM iajs-1930 321 5 it it PRON iajs-1930 321 6 is be AUX iajs-1930 321 7 obvious obvious ADJ iajs-1930 321 8 that that SCONJ iajs-1930 321 9 x x PRON iajs-1930 321 10 is be AUX iajs-1930 321 11 f. f. PROPN iajs-1930 321 12 m. m. PROPN iajs-1930 321 13 of of ADP iajs-1930 321 14 z z PROPN iajs-1930 321 15 - - PUNCT iajs-1930 321 16 m. m. NOUN iajs-1930 321 17 z. z. PROPN iajs-1930 321 18 let let VERB iajs-1930 321 19 a a DET iajs-1930 321 20 : : PUNCT iajs-1930 321 21 z→l z→l NOUN iajs-1930 321 22 such such ADJ iajs-1930 321 23 that that SCONJ iajs-1930 321 24 a(y a(y PROPN iajs-1930 321 25 ) ) PUNCT iajs-1930 322 1 = = PUNCT iajs-1930 323 1 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 323 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 323 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 323 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 323 5 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 323 6 0 0 NUM iajs-1930 323 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 323 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 323 9 ∀ ∀ X iajs-1930 324 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 324 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 324 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 324 4 let let VERB iajs-1930 324 5 b b NOUN iajs-1930 324 6 : : PUNCT iajs-1930 324 7 z→l z→l NOUN iajs-1930 324 8 such such ADJ iajs-1930 324 9 that that SCONJ iajs-1930 324 10 b(y b(y PROPN iajs-1930 324 11 ) ) PUNCT iajs-1930 325 1 = = PUNCT iajs-1930 326 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 326 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 326 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 326 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 326 5 10𝑍 10𝑍 NUM iajs-1930 326 6 0 0 NUM iajs-1930 326 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 326 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 326 9 ∀ ∀ X iajs-1930 327 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 327 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 327 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 327 4 it it PRON iajs-1930 327 5 is be AUX iajs-1930 327 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 327 7 that that SCONJ iajs-1930 327 8 a a PRON iajs-1930 327 9 and and CCONJ iajs-1930 327 10 b b NOUN iajs-1930 327 11 are be AUX iajs-1930 327 12 f. f. PROPN iajs-1930 327 13 subms subms PROPN iajs-1930 327 14 . . PUNCT iajs-1930 328 1 of of ADP iajs-1930 328 2 x x X iajs-1930 328 3 . . PUNCT iajs-1930 329 1 now now ADV iajs-1930 329 2 , , PUNCT iajs-1930 329 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 329 4 = = PROPN iajs-1930 329 5 2z 2z PROPN iajs-1930 329 6 , , PUNCT iajs-1930 329 7 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 329 8 = = NOUN iajs-1930 329 9 20z 20z NOUN iajs-1930 329 10 where where SCONJ iajs-1930 329 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 329 12 is be AUX iajs-1930 329 13 tabso tabso PROPN iajs-1930 329 14 subm subm PROPN iajs-1930 329 15 . . PUNCT iajs-1930 330 1 of of ADP iajs-1930 330 2 z z PROPN iajs-1930 330 3 as as ADP iajs-1930 330 4 z z NOUN iajs-1930 330 5 - - PUNCT iajs-1930 330 6 m. m. NOUN iajs-1930 330 7 , , PUNCT iajs-1930 330 8 but but CCONJ iajs-1930 330 9 2z≅20z 2z≅20z NUM iajs-1930 330 10 and and CCONJ iajs-1930 330 11 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 330 12 = = NOUN iajs-1930 330 13 20z 20z NOUN iajs-1930 330 14 is be AUX iajs-1930 330 15 not not PART iajs-1930 330 16 t t PROPN iajs-1930 330 17 - - PUNCT iajs-1930 330 18 abso abso PROPN iajs-1930 330 19 subm subm PROPN iajs-1930 330 20 . . PUNCT iajs-1930 331 1 of of ADP iajs-1930 331 2 z z PROPN iajs-1930 331 3 as as ADP iajs-1930 331 4 z z NOUN iajs-1930 331 5 - - PUNCT iajs-1930 331 6 m. m. NOUN iajs-1930 331 7 since since SCONJ iajs-1930 331 8 2.2.5∈𝐵 2.2.5∈𝐵 NUM iajs-1930 331 9 = = NOUN iajs-1930 331 10 20z 20z NOUN iajs-1930 331 11 , , PUNCT iajs-1930 331 12 but but CCONJ iajs-1930 331 13 2.5∉ 2.5∉ NUM iajs-1930 331 14 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 331 15 = = NOUN iajs-1930 331 16 20z 20z NOUN iajs-1930 331 17 and and CCONJ iajs-1930 331 18 2.2∉ 2.2∉ NOUN iajs-1930 331 19 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 331 20 = = NOUN iajs-1930 331 21 20z 20z NOUN iajs-1930 331 22 . . PUNCT iajs-1930 332 1 thus thus ADV iajs-1930 332 2 a≅b a≅b VERB iajs-1930 332 3 where where SCONJ iajs-1930 332 4 a a PRON iajs-1930 332 5 is be AUX iajs-1930 332 6 tabso tabso PROPN iajs-1930 332 7 f. f. PROPN iajs-1930 332 8 subm subm PROPN iajs-1930 332 9 . . PUNCT iajs-1930 333 1 of of ADP iajs-1930 333 2 x x PROPN iajs-1930 333 3 and and CCONJ iajs-1930 333 4 b b PROPN iajs-1930 333 5 is be AUX iajs-1930 333 6 not not PART iajs-1930 333 7 t t PROPN iajs-1930 333 8 - - PUNCT iajs-1930 333 9 abso abso PROPN iajs-1930 333 10 f. f. PROPN iajs-1930 333 11 subm subm PROPN iajs-1930 333 12 . . PUNCT iajs-1930 334 1 of of ADP iajs-1930 334 2 x. x. PROPN iajs-1930 334 3 ( ( PUNCT iajs-1930 334 4 8) 8) NUM iajs-1930 334 5 the the DET iajs-1930 334 6 intersection intersection NOUN iajs-1930 334 7 of of ADP iajs-1930 334 8 two two NUM iajs-1930 334 9 tabso tabso PROPN iajs-1930 334 10 f. f. PROPN iajs-1930 334 11 subms subms PROPN iajs-1930 334 12 . . PUNCT iajs-1930 335 1 need need AUX iajs-1930 335 2 not not PART iajs-1930 335 3 be be AUX iajs-1930 335 4 t t PROPN iajs-1930 335 5 - - PUNCT iajs-1930 335 6 abso abso PROPN iajs-1930 335 7 f. f. PROPN iajs-1930 335 8 subm subm PROPN iajs-1930 335 9 . . PUNCT iajs-1930 336 1 , , PUNCT iajs-1930 336 2 for for ADP iajs-1930 336 3 example example NOUN iajs-1930 336 4 : : PUNCT iajs-1930 336 5 let let VERB iajs-1930 336 6 x x PRON iajs-1930 336 7 : : PUNCT iajs-1930 336 8 z→l z→l VERB iajs-1930 337 1 such such ADJ iajs-1930 337 2 that that SCONJ iajs-1930 337 3 x(y)= x(y)= PROPN iajs-1930 337 4 1 1 NUM iajs-1930 337 5 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 337 6 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 337 7 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 337 8 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 337 9 0 0 NUM iajs-1930 337 10 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 337 11 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 337 12 it it PRON iajs-1930 337 13 is be AUX iajs-1930 337 14 obvious obvious ADJ iajs-1930 337 15 that that SCONJ iajs-1930 337 16 x x PRON iajs-1930 337 17 is be AUX iajs-1930 337 18 f. f. PROPN iajs-1930 337 19 m. m. PROPN iajs-1930 337 20 of of ADP iajs-1930 337 21 z z PROPN iajs-1930 337 22 - - PUNCT iajs-1930 337 23 m. m. NOUN iajs-1930 337 24 z. z. PROPN iajs-1930 337 25 let let VERB iajs-1930 337 26 a a DET iajs-1930 337 27 : : PUNCT iajs-1930 337 28 z→l z→l NOUN iajs-1930 337 29 such such ADJ iajs-1930 337 30 that that SCONJ iajs-1930 337 31 a(y a(y PROPN iajs-1930 337 32 ) ) PUNCT iajs-1930 338 1 = = PUNCT iajs-1930 339 1 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 339 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 339 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 339 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 339 5 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 339 6 0 0 NUM iajs-1930 339 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 339 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 339 9 ∀ ∀ X iajs-1930 340 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 340 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 340 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 340 4 let let VERB iajs-1930 340 5 b b NOUN iajs-1930 340 6 : : PUNCT iajs-1930 340 7 z→l z→l NOUN iajs-1930 340 8 such such ADJ iajs-1930 340 9 that that SCONJ iajs-1930 340 10 b(y b(y PROPN iajs-1930 340 11 ) ) PUNCT iajs-1930 341 1 = = PUNCT iajs-1930 342 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 342 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 342 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 342 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 342 5 10𝑍 10𝑍 NUM iajs-1930 342 6 0 0 NUM iajs-1930 342 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 342 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 342 9 ∀ ∀ X iajs-1930 343 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 343 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 343 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 343 4 it it PRON iajs-1930 343 5 is be AUX iajs-1930 343 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 343 7 that that SCONJ iajs-1930 343 8 a a PRON iajs-1930 343 9 and and CCONJ iajs-1930 343 10 b b NOUN iajs-1930 343 11 are be AUX iajs-1930 343 12 f. f. PROPN iajs-1930 343 13 subms subms PROPN iajs-1930 343 14 . . PUNCT iajs-1930 344 1 of of ADP iajs-1930 344 2 x x SYM iajs-1930 344 3 . . PUNCT iajs-1930 345 1 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 345 2 = = PROPN iajs-1930 345 3 12z 12z PROPN iajs-1930 345 4 , , PUNCT iajs-1930 345 5     SPACE iajs-1930 345 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 345 7 = = NOUN iajs-1930 345 8 10z 10z NOUN iajs-1930 345 9 are be AUX iajs-1930 345 10 t t PROPN iajs-1930 345 11 - - PUNCT iajs-1930 345 12 abso abso PROPN iajs-1930 345 13     SPACE iajs-1930 345 14 subms subms NOUN iajs-1930 345 15 . . PUNCT iajs-1930 346 1 in in ADP iajs-1930 346 2 the the DET iajs-1930 346 3 z z NOUN iajs-1930 346 4 as as ADP iajs-1930 346 5 z z NOUN iajs-1930 346 6 - - PUNCT iajs-1930 346 7 m. m. NOUN iajs-1930 346 8 but but CCONJ iajs-1930 346 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 346 10 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 346 11 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 346 12 = = PROPN iajs-1930 346 13 12z∩10z=120z 12z∩10z=120z NUM iajs-1930 346 14 which which PRON iajs-1930 346 15 is be AUX iajs-1930 346 16 not not PART iajs-1930 346 17 t t PROPN iajs-1930 346 18 - - PUNCT iajs-1930 346 19 abso abso PROPN iajs-1930 346 20 since since SCONJ iajs-1930 346 21 2.6.10 2.6.10 NUM iajs-1930 346 22 ∈120z ∈120z NOUN iajs-1930 346 23 , , PUNCT iajs-1930 346 24 but but CCONJ iajs-1930 346 25 2.10∉120z 2.10∉120z NUM iajs-1930 346 26 and and CCONJ iajs-1930 346 27 6.10∉120z 6.10∉120z NUM iajs-1930 346 28 and and CCONJ iajs-1930 346 29 2.6∉120z 2.6∉120z NOUN iajs-1930 346 30 . . PUNCT iajs-1930 347 1 hence hence ADV iajs-1930 347 2 a a PRON iajs-1930 347 3 and and CCONJ iajs-1930 347 4 b b NOUN iajs-1930 347 5 subms subms NOUN iajs-1930 347 6 . . PUNCT iajs-1930 347 7 , , PUNCT iajs-1930 347 8 but but CCONJ iajs-1930 347 9 a∩b a∩b PROPN iajs-1930 347 10 is be AUX iajs-1930 347 11 not not PART iajs-1930 347 12 tabso tabso PROPN iajs-1930 347 13 f. f. PROPN iajs-1930 347 14 subm subm PROPN iajs-1930 347 15 ( ( PUNCT iajs-1930 347 16 9 9 X iajs-1930 347 17 ) ) PUNCT iajs-1930 347 18 let let VERB iajs-1930 347 19 a a PRON iajs-1930 347 20 be be AUX iajs-1930 347 21 t t PROPN iajs-1930 347 22 - - PUNCT iajs-1930 347 23 abso abso PROPN iajs-1930 347 24 are be AUX iajs-1930 347 25 two two NUM iajs-1930 347 26 t t PROPN iajs-1930 347 27 - - PUNCT iajs-1930 347 28 abso abso PROPN iajs-1930 347 29 f. f. PROPN iajs-1930 347 30 subm subm PROPN iajs-1930 347 31 . . PUNCT iajs-1930 348 1 of of ADP iajs-1930 348 2 f. f. PROPN iajs-1930 348 3 m. m. PROPN iajs-1930 349 1 x x PROPN iajs-1930 349 2 of of ADP iajs-1930 349 3 an an DET iajs-1930 349 4 r r NOUN iajs-1930 349 5 - - PUNCT iajs-1930 349 6 m. m. NOUN iajs-1930 349 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 349 8 . . PUNCT iajs-1930 350 1 then then ADV iajs-1930 350 2 for for ADP iajs-1930 350 3 each each DET iajs-1930 350 4 b⊆x b⊆x NOUN iajs-1930 350 5 , , PUNCT iajs-1930 350 6 either either CCONJ iajs-1930 350 7 b⊆a b⊆a PROPN iajs-1930 350 8 or or CCONJ iajs-1930 350 9 b∩a b∩a PROPN iajs-1930 350 10 is be AUX iajs-1930 350 11 t t PROPN iajs-1930 350 12 - - PUNCT iajs-1930 350 13 abso abso PROPN iajs-1930 350 14 f. f. PROPN iajs-1930 350 15 subm subm PROPN iajs-1930 350 16 . . PUNCT iajs-1930 351 1 of of ADP iajs-1930 351 2 b. b. PROPN iajs-1930 351 3 proof proof PROPN iajs-1930 351 4 . . PUNCT iajs-1930 352 1 assume assume VERB iajs-1930 352 2 that that PRON iajs-1930 352 3 b⊈a b⊈a NOUN iajs-1930 352 4 then then ADV iajs-1930 352 5 b∩a⊊b b∩a⊊b VERB iajs-1930 352 6 let let VERB iajs-1930 352 7 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 352 8 , , PUNCT iajs-1930 352 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 352 10 be be AUX iajs-1930 352 11 f. f. NOUN iajs-1930 352 12 singletons singleton NOUN iajs-1930 352 13 of of ADP iajs-1930 352 14 r r NOUN iajs-1930 352 15 and and CCONJ iajs-1930 352 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 352 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 18 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 352 19 , , PUNCT iajs-1930 352 20 such such ADJ iajs-1930 352 21 that that SCONJ iajs-1930 352 22 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 352 23 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 352 24 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 352 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 26 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 352 27 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 352 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 352 29 , , PUNCT iajs-1930 352 30 implies imply VERB iajs-1930 352 31 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 352 32 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 352 33 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 352 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 35 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 352 36 since since SCONJ iajs-1930 352 37 a a PRON iajs-1930 352 38 is be AUX iajs-1930 352 39 t t PROPN iajs-1930 352 40 - - PUNCT iajs-1930 352 41 abso abso PROPN iajs-1930 352 42 f. f. PROPN iajs-1930 352 43 subm subm PROPN iajs-1930 352 44 . . PROPN iajs-1930 352 45 , , PUNCT iajs-1930 352 46 thus thus ADV iajs-1930 352 47 either either CCONJ iajs-1930 352 48 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 352 49 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 352 50 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 51 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 352 52 : : PUNCT iajs-1930 352 53 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 352 54 or or CCONJ iajs-1930 352 55 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 352 56 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 352 57 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 58 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 352 59 or or CCONJ iajs-1930 352 60 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 352 61 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 352 62 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 63 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 352 64 then then ADV iajs-1930 352 65 either either CCONJ iajs-1930 352 66 𝑎 𝑎 X iajs-1930 352 67 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 352 68 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 352 69 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 352 70 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 352 71 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 352 72 : : PUNCT iajs-1930 352 73 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 352 74 or or CCONJ iajs-1930 353 1 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 353 2 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 353 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 353 4 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 353 5 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 353 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 353 7 or or CCONJ iajs-1930 353 8 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 353 9 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 353 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 353 11 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 353 12 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 353 13 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 353 14 thus thus ADV iajs-1930 353 15 b∩a b∩a PROPN iajs-1930 353 16 is be AUX iajs-1930 353 17 t t PROPN iajs-1930 353 18 - - PUNCT iajs-1930 353 19 abso abso PROPN iajs-1930 353 20 f. f. PROPN iajs-1930 353 21 subm subm PROPN iajs-1930 353 22 . . PUNCT iajs-1930 354 1 of of ADP iajs-1930 354 2 b. b. PROPN iajs-1930 354 3 proposition proposition PROPN iajs-1930 354 4 17 17 NUM iajs-1930 354 5 . . PUNCT iajs-1930 355 1 let let VERB iajs-1930 355 2 𝑓 𝑓 X iajs-1930 355 3 : : PUNCT iajs-1930 355 4 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 355 5 ⟶ ⟶ NOUN iajs-1930 355 6 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 355 7 be be AUX iajs-1930 355 8 an an DET iajs-1930 355 9 epimorphism epimorphism NOUN iajs-1930 355 10 , , PUNCT iajs-1930 355 11 where where SCONJ iajs-1930 355 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 355 13 , , PUNCT iajs-1930 355 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 355 15 are be AUX iajs-1930 355 16 f. f. PROPN iajs-1930 355 17 m. m. NOUN iajs-1930 355 18 of of ADP iajs-1930 355 19 r r NOUN iajs-1930 355 20 m. m. NOUN iajs-1930 355 21 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 355 22 and and CCONJ iajs-1930 355 23 ḿ ḿ DET iajs-1930 355 24 resp resp NOUN iajs-1930 355 25 . . PUNCT iajs-1930 356 1 if if SCONJ iajs-1930 356 2 b b PROPN iajs-1930 356 3 is be AUX iajs-1930 356 4 t t PROPN iajs-1930 356 5 - - PUNCT iajs-1930 356 6 abso abso PROPN iajs-1930 356 7 f. f. PROPN iajs-1930 356 8 subm subm PROPN iajs-1930 356 9 . . PUNCT iajs-1930 357 1 of of ADP iajs-1930 357 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 357 3 , , PUNCT iajs-1930 357 4 then then ADV iajs-1930 357 5 𝑓 𝑓 X iajs-1930 357 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 357 7 is be AUX iajs-1930 357 8 t t PROPN iajs-1930 357 9 - - PUNCT iajs-1930 357 10 abso abso PROPN iajs-1930 357 11 f. f. PROPN iajs-1930 357 12 subm subm PROPN iajs-1930 357 13 . . PUNCT iajs-1930 358 1 of of ADP iajs-1930 358 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 358 3 . . PUNCT iajs-1930 359 1 proof proof NOUN iajs-1930 359 2 . . PUNCT iajs-1930 360 1 since since SCONJ iajs-1930 360 2 b b PROPN iajs-1930 360 3 is be AUX iajs-1930 360 4 f. f. PROPN iajs-1930 360 5 subm subm PROPN iajs-1930 360 6 . . PUNCT iajs-1930 361 1 of of ADP iajs-1930 361 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 361 3 , , PUNCT iajs-1930 361 4 then then ADV iajs-1930 361 5 𝑓 𝑓 X iajs-1930 361 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 361 7 is be AUX iajs-1930 361 8 f. f. PROPN iajs-1930 361 9 subm subm PROPN iajs-1930 361 10 . . PUNCT iajs-1930 362 1 of of ADP iajs-1930 362 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 362 3 , , PUNCT iajs-1930 362 4 since since SCONJ iajs-1930 362 5 f f PROPN iajs-1930 362 6 is be AUX iajs-1930 362 7 epimorphism epimorphism NOUN iajs-1930 362 8 . . PUNCT iajs-1930 363 1 let let VERB iajs-1930 363 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 363 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 363 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 363 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 363 6 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 363 7 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 363 8 for for ADP iajs-1930 363 9 f. f. PROPN iajs-1930 363 10 singletons singleton NOUN iajs-1930 363 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 363 12 , , PUNCT iajs-1930 363 13 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 363 14 of of ADP iajs-1930 363 15 r r NOUN iajs-1930 363 16 and and CCONJ iajs-1930 363 17 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 364 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 364 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 364 3 . . PUNCT iajs-1930 365 1 then then ADV iajs-1930 365 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 365 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 365 4 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 365 5 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 365 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 365 7 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 365 8 and and CCONJ iajs-1930 365 9 since since SCONJ iajs-1930 365 10 b b PROPN iajs-1930 365 11 is be AUX iajs-1930 365 12 tabso tabso PROPN iajs-1930 365 13 f. f. PROPN iajs-1930 365 14 subm subm PROPN iajs-1930 365 15 . . PUNCT iajs-1930 366 1 , , PUNCT iajs-1930 366 2 then then ADV iajs-1930 366 3 either either CCONJ iajs-1930 366 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 366 5 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 366 6 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 366 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 366 8 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 366 9 or or CCONJ iajs-1930 366 10 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 366 11 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 366 12 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 366 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 366 14 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 366 15 or or CCONJ iajs-1930 366 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 366 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 366 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 366 19 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 366 20 : : PUNCT iajs-1930 366 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 366 22 . . PUNCT iajs-1930 367 1 hence hence ADV iajs-1930 367 2 either either CCONJ iajs-1930 367 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 367 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 367 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 6 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 7 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 8 or or CCONJ iajs-1930 367 9 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 367 10 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 11 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 367 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 13 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 14 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 15 or or CCONJ iajs-1930 367 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 367 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 367 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 367 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 20 𝐵. 𝐵. PROPN iajs-1930 367 21 but but CCONJ iajs-1930 367 22 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 367 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 25 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 367 26 , , PUNCT iajs-1930 367 27 so so SCONJ iajs-1930 367 28 that that SCONJ iajs-1930 367 29 𝑎 𝑎 X iajs-1930 367 30 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 367 31 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 367 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 34 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 35 , , PUNCT iajs-1930 367 36 hence hence ADV iajs-1930 367 37 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 367 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 367 39 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 367 40 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 367 41 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 42 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 43 , , PUNCT iajs-1930 367 44 implies imply VERB iajs-1930 367 45 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 367 46 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 367 47 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 367 48 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 367 49 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 50 : : PUNCT iajs-1930 367 51 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 367 52 thus thus ADV iajs-1930 367 53 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 367 54 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 367 55 is be AUX iajs-1930 367 56 t t PROPN iajs-1930 367 57 - - PUNCT iajs-1930 367 58 abso abso PROPN iajs-1930 367 59 f. f. PROPN iajs-1930 367 60 subm subm PROPN iajs-1930 367 61 . . PUNCT iajs-1930 368 1 of of ADP iajs-1930 368 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 368 3 proposition proposition NOUN iajs-1930 368 4 18 18 NUM iajs-1930 368 5 . . PUNCT iajs-1930 369 1 let let VERB iajs-1930 369 2 𝑓 𝑓 X iajs-1930 369 3 : : PUNCT iajs-1930 369 4 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 369 5 ⟶ ⟶ NOUN iajs-1930 369 6 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 369 7 be be AUX iajs-1930 369 8 an an DET iajs-1930 369 9 epimorphism epimorphism NOUN iajs-1930 369 10 , , PUNCT iajs-1930 369 11 and and CCONJ iajs-1930 369 12 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 369 13 , , PUNCT iajs-1930 369 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 369 15 are be AUX iajs-1930 369 16 f. f. PROPN iajs-1930 369 17 m. m. NOUN iajs-1930 369 18 of of ADP iajs-1930 369 19 r r NOUN iajs-1930 369 20 - - PUNCT iajs-1930 369 21 m. m. NOUN iajs-1930 369 22 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 369 23 and and CCONJ iajs-1930 369 24 ḿ ḿ DET iajs-1930 369 25 resp resp NOUN iajs-1930 369 26 . . PUNCT iajs-1930 370 1 let let VERB iajs-1930 370 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 370 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 370 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 370 5 such such ADJ iajs-1930 370 6 that that SCONJ iajs-1930 370 7 f f PROPN iajs-1930 370 8 - - PUNCT iajs-1930 370 9 ker ker NOUN iajs-1930 370 10 f f PROPN iajs-1930 370 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 370 12 a a PRON iajs-1930 370 13 . . PUNCT iajs-1930 371 1 then then ADV iajs-1930 371 2 a a PRON iajs-1930 371 3 is be AUX iajs-1930 371 4 t t PROPN iajs-1930 371 5 - - PUNCT iajs-1930 371 6 abso abso PROPN iajs-1930 371 7 f. f. PROPN iajs-1930 371 8 subm subm PROPN iajs-1930 371 9 . . PUNCT iajs-1930 372 1 of of ADP iajs-1930 372 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 372 3 iff iff PROPN iajs-1930 372 4 f f PROPN iajs-1930 372 5 ( ( PUNCT iajs-1930 372 6 a a NOUN iajs-1930 372 7 ) ) PUNCT iajs-1930 372 8 is be AUX iajs-1930 372 9 t t PROPN iajs-1930 372 10 - - PUNCT iajs-1930 372 11 abso abso PROPN iajs-1930 372 12 f. f. PROPN iajs-1930 372 13 subm subm PROPN iajs-1930 372 14 . . PUNCT iajs-1930 373 1 of of ADP iajs-1930 373 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 373 3 . . PUNCT iajs-1930 374 1 proof proof NOUN iajs-1930 374 2 . . PUNCT iajs-1930 375 1 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 375 2 let let VERB iajs-1930 375 3 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 375 4 , , PUNCT iajs-1930 375 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 375 6 be be AUX iajs-1930 375 7 f. f. NOUN iajs-1930 375 8 singletons singleton NOUN iajs-1930 375 9 of of ADP iajs-1930 375 10 r r NOUN iajs-1930 375 11 and and CCONJ iajs-1930 375 12 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 375 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 375 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 375 15 where where SCONJ iajs-1930 375 16 𝑦 𝑦 VERB iajs-1930 375 17 𝑓 𝑓 ADP iajs-1930 375 18 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 375 19 for for ADP iajs-1930 375 20 some some DET iajs-1930 375 21 f. f. PROPN iajs-1930 375 22 singleton singleton PROPN iajs-1930 375 23 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 375 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 375 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 375 26 , , PUNCT iajs-1930 375 27 such such ADJ iajs-1930 375 28 that that SCONJ iajs-1930 375 29 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 375 30 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 375 31 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 375 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 375 33 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 375 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 375 35 . . PUNCT iajs-1930 376 1 hence hence ADV iajs-1930 376 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 376 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 376 4 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 376 5 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 376 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 376 7 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 376 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 376 9 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 376 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 376 11 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 376 12 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 376 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 376 14 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 376 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 376 16 since since SCONJ iajs-1930 376 17 f f PROPN iajs-1930 376 18 is be AUX iajs-1930 376 19 onto onto ADP iajs-1930 376 20 . . PUNCT iajs-1930 377 1 then then ADV iajs-1930 377 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 377 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 377 4 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 377 5 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 377 6 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 377 7 𝑧 𝑧 NOUN iajs-1930 377 8 for for ADP iajs-1930 377 9 some some DET iajs-1930 377 10 f. f. PROPN iajs-1930 377 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 377 12 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 377 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 377 14 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 377 15 so so SCONJ iajs-1930 377 16 that that SCONJ iajs-1930 377 17 𝑓 𝑓 X iajs-1930 377 18 𝑎 𝑎 X iajs-1930 377 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 377 20 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 377 21     SPACE iajs-1930 377 22 119 119 NUM iajs-1930 377 23     SPACE iajs-1930 377 24 ibn ibn PROPN iajs-1930 377 25 al al PROPN iajs-1930 377 26 - - PUNCT iajs-1930 377 27 haitham haitham PROPN iajs-1930 377 28 jour jour X iajs-1930 377 29 . . PROPN iajs-1930 378 1 for for ADP iajs-1930 378 2 pure pure ADJ iajs-1930 378 3 & & CCONJ iajs-1930 378 4 appl appl PROPN iajs-1930 378 5 . . PUNCT iajs-1930 379 1 sci sci PROPN iajs-1930 379 2 . . PROPN iajs-1930 379 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 379 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 379 5 vol vol NOUN iajs-1930 379 6 . . PUNCT iajs-1930 380 1 32 32 NUM iajs-1930 381 1 ( ( PUNCT iajs-1930 381 2 1 1 NUM iajs-1930 381 3 ) ) PUNCT iajs-1930 381 4 2019 2019 NUM iajs-1930 381 5 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 381 6 𝑧 𝑧 NOUN iajs-1930 381 7 , , PUNCT iajs-1930 381 8 hence hence ADV iajs-1930 381 9 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 381 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 381 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 381 12 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 381 13 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 381 14 𝑧 𝑧 ADJ iajs-1930 381 15 0 0 NUM iajs-1930 381 16 ; ; PUNCT iajs-1930 381 17 that that PRON iajs-1930 381 18 is be AUX iajs-1930 381 19 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 381 20 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 381 21 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 381 22 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 381 23 𝑧 𝑧 ADJ iajs-1930 381 24 0 0 NUM iajs-1930 381 25 , , PUNCT iajs-1930 381 26 implies imply VERB iajs-1930 381 27 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 381 28 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 381 29 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 381 30 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 381 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 381 32 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 381 33 𝑘𝑒𝑟𝑓 𝑘𝑒𝑟𝑓 NOUN iajs-1930 381 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 381 35 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 382 1 so so SCONJ iajs-1930 382 2 that that SCONJ iajs-1930 382 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 382 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 382 5 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 382 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 382 7 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 382 8 since since SCONJ iajs-1930 382 9 a a PRON iajs-1930 382 10 is be AUX iajs-1930 382 11 t t PROPN iajs-1930 382 12 - - PUNCT iajs-1930 382 13 abso abso PROPN iajs-1930 382 14 f. f. PROPN iajs-1930 382 15 subm subm PROPN iajs-1930 382 16 . . PUNCT iajs-1930 383 1 , , PUNCT iajs-1930 383 2 then then ADV iajs-1930 383 3 either either CCONJ iajs-1930 383 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 383 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 383 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 383 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 383 8 : : PUNCT iajs-1930 383 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 383 10 or or CCONJ iajs-1930 383 11 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 383 12 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 383 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 383 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 383 15 or or CCONJ iajs-1930 384 1 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 384 2 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 384 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 4 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 384 5 hence hence ADV iajs-1930 384 6 either either CCONJ iajs-1930 384 7 𝑎 𝑎 X iajs-1930 384 8 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 384 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 384 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 12 → → SYM iajs-1930 384 13 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 384 14 𝑎 𝑎 X iajs-1930 384 15 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 384 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 384 17 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 384 18 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 384 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 20 or or CCONJ iajs-1930 384 21 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 384 22 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 384 23 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 384 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 25 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 27 or or CCONJ iajs-1930 384 28 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 384 30 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 384 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 32 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 34 , , PUNCT iajs-1930 384 35 implies imply VERB iajs-1930 384 36 either either CCONJ iajs-1930 384 37 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 384 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 384 39 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 384 40 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 384 41 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 384 42 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 384 43 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 44 → → SYM iajs-1930 384 45 𝑎 𝑎 X iajs-1930 384 46 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 384 47 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 384 48 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 384 49 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 384 50 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 51 or or CCONJ iajs-1930 384 52 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 384 53 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 54 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 384 55 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 56 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 57 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 58 or or CCONJ iajs-1930 384 59 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 384 60 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 384 61 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 384 62 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 384 63 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 384 64 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 384 65 . . PUNCT iajs-1930 385 1 then then ADV iajs-1930 385 2 either either CCONJ iajs-1930 385 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 385 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 385 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 385 6 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 385 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 385 8 : : PUNCT iajs-1930 385 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 385 10 or or CCONJ iajs-1930 385 11 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 385 12 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 385 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 385 14 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 385 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 385 16 or or CCONJ iajs-1930 386 1 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 386 2 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 386 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 386 4 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 386 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 387 1 . . PUNCT iajs-1930 388 1 thus thus ADV iajs-1930 388 2 f f X iajs-1930 388 3 ( ( PUNCT iajs-1930 388 4 a a NOUN iajs-1930 388 5 ) ) PUNCT iajs-1930 388 6 is be AUX iajs-1930 388 7 t t PROPN iajs-1930 388 8 - - PUNCT iajs-1930 388 9 abso abso PROPN iajs-1930 388 10 f. f. PROPN iajs-1930 388 11 subm subm PROPN iajs-1930 388 12 . . PUNCT iajs-1930 389 1 of of ADP iajs-1930 389 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 389 3 . . PUNCT iajs-1930 390 1 ( ( PUNCT iajs-1930 390 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 390 3 ) ) PUNCT iajs-1930 390 4 let let VERB iajs-1930 390 5 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 390 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 390 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 390 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 390 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 390 10 for for ADP iajs-1930 390 11 f. f. PROPN iajs-1930 390 12 singletons singletons PROPN iajs-1930 391 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 391 2 , , PUNCT iajs-1930 391 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 391 4 of of ADP iajs-1930 391 5 r r NOUN iajs-1930 391 6 and and CCONJ iajs-1930 391 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 392 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 392 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 392 3 . . PUNCT iajs-1930 393 1 hence hence ADV iajs-1930 393 2 𝑓 𝑓 ADV iajs-1930 393 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 393 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 393 5 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 393 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 393 7 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 393 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 393 9 , , PUNCT iajs-1930 393 10 implies imply VERB iajs-1930 393 11 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 393 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 393 13 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 393 14 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 393 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 393 16 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 393 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 393 18 . . PUNCT iajs-1930 394 1 but but CCONJ iajs-1930 394 2 f f X iajs-1930 394 3 ( ( PUNCT iajs-1930 394 4 a a NOUN iajs-1930 394 5 ) ) PUNCT iajs-1930 394 6 is be AUX iajs-1930 394 7 t t PROPN iajs-1930 394 8 - - PUNCT iajs-1930 394 9 abso abso PROPN iajs-1930 394 10 f. f. PROPN iajs-1930 394 11 subm subm PROPN iajs-1930 394 12 . . PUNCT iajs-1930 395 1 , , PUNCT iajs-1930 395 2 then then ADV iajs-1930 395 3 either either CCONJ iajs-1930 395 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 395 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 395 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 395 7 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 395 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 395 9 : : PUNCT iajs-1930 395 10 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 395 11 or or CCONJ iajs-1930 395 12 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 395 13 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 395 14 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 395 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 395 16 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 395 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 395 18 or or CCONJ iajs-1930 395 19 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 395 20 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 395 21 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 395 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 395 23 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 395 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 395 25 . . PUNCT iajs-1930 396 1 if if SCONJ iajs-1930 396 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 396 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 396 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 396 5 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 396 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 396 7 : : PUNCT iajs-1930 396 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 396 9 , , PUNCT iajs-1930 396 10 then then ADV iajs-1930 396 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 396 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 396 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 396 14 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 396 15 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 396 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 396 17 , , PUNCT iajs-1930 396 18 implies imply VERB iajs-1930 396 19 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 396 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 396 21 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 396 22 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 396 23 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 396 24 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 396 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 396 26 since since SCONJ iajs-1930 396 27 f f PROPN iajs-1930 396 28 is be AUX iajs-1930 396 29 onto onto ADP iajs-1930 396 30 . . PUNCT iajs-1930 397 1 hence hence ADV iajs-1930 397 2 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 397 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 397 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 397 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 397 6 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 397 7 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 397 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 397 9 , , PUNCT iajs-1930 397 10 so so SCONJ iajs-1930 397 11 that that SCONJ iajs-1930 397 12 𝑎 𝑎 X iajs-1930 397 13 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 397 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 397 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 397 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 397 17 ; ; PUNCT iajs-1930 397 18 that that PRON iajs-1930 397 19 is be AUX iajs-1930 397 20 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 397 21 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 397 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 397 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 397 24 : : PUNCT iajs-1930 397 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 397 26 . . PUNCT iajs-1930 398 1 if if SCONJ iajs-1930 398 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 398 3 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 398 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 398 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 398 6 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 398 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 398 8 then then ADV iajs-1930 398 9 𝑓 𝑓 ADV iajs-1930 398 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 398 11 𝑥 𝑥 X iajs-1930 398 12 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 398 13 𝑧 𝑧 NOUN iajs-1930 398 14 for for ADP iajs-1930 398 15 some some DET iajs-1930 398 16 f. f. PROPN iajs-1930 398 17 singleton singleton PROPN iajs-1930 398 18 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 398 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 398 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 398 21 , , PUNCT iajs-1930 398 22 ∀ ∀ NUM iajs-1930 398 23 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 398 24 l. l. NOUN iajs-1930 398 25 hence hence ADV iajs-1930 398 26 𝑓 𝑓 PROPN iajs-1930 398 27 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 398 28 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 398 29 𝑓 𝑓 PRON iajs-1930 398 30 𝑧 𝑧 ADJ iajs-1930 398 31 0 0 NUM iajs-1930 398 32 , , PUNCT iajs-1930 398 33 implies imply VERB iajs-1930 398 34 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 398 35 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 398 36 𝑧 𝑧 PRON iajs-1930 398 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 398 38 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 398 39 𝑘𝑒𝑟𝑓 𝑘𝑒𝑟𝑓 NOUN iajs-1930 398 40 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 398 41 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 399 1 so so SCONJ iajs-1930 399 2 that that SCONJ iajs-1930 399 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 399 4 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 399 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 399 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 399 7 . . PUNCT iajs-1930 400 1 if if SCONJ iajs-1930 400 2 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 400 3 𝑓 𝑓 ADV iajs-1930 400 4 𝑥 𝑥 X iajs-1930 400 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 400 6 𝑓 𝑓 DET iajs-1930 400 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 400 8 , , PUNCT iajs-1930 400 9 then then ADV iajs-1930 400 10 by by ADP iajs-1930 400 11 the the DET iajs-1930 400 12 same same ADJ iajs-1930 400 13 way way NOUN iajs-1930 400 14 above above ADV iajs-1930 400 15 , , PUNCT iajs-1930 400 16 we we PRON iajs-1930 400 17 have have VERB iajs-1930 400 18 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 400 19 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 400 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 400 21 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 400 22 therefore therefore ADV iajs-1930 400 23 , , PUNCT iajs-1930 400 24 a a PRON iajs-1930 400 25 is be AUX iajs-1930 400 26 t t PROPN iajs-1930 400 27 - - PUNCT iajs-1930 400 28 abso abso PROPN iajs-1930 400 29 f. f. PROPN iajs-1930 400 30 subm subm PROPN iajs-1930 400 31 . . PUNCT iajs-1930 401 1 of of ADP iajs-1930 401 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 401 3 . . PUNCT iajs-1930 402 1 proposition proposition NOUN iajs-1930 402 2 19 19 NUM iajs-1930 402 3 . . PUNCT iajs-1930 403 1 let let VERB iajs-1930 403 2 a a PRON iajs-1930 403 3 be be AUX iajs-1930 403 4 a a DET iajs-1930 403 5 proper proper ADJ iajs-1930 403 6 f. f. PROPN iajs-1930 403 7 subm subm PROPN iajs-1930 403 8 . . PUNCT iajs-1930 404 1 of of ADP iajs-1930 404 2 f. f. PROPN iajs-1930 404 3 m. m. PROPN iajs-1930 405 1 x x PROPN iajs-1930 405 2 of of ADP iajs-1930 405 3 an an DET iajs-1930 405 4 r r NOUN iajs-1930 405 5 - - PUNCT iajs-1930 405 6 m m NOUN iajs-1930 405 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 405 8 . . PUNCT iajs-1930 406 1 then then ADV iajs-1930 406 2 a a PRON iajs-1930 406 3 is be AUX iajs-1930 406 4 t t PROPN iajs-1930 406 5 - - PUNCT iajs-1930 406 6 abso abso PROPN iajs-1930 406 7 f. f. PROPN iajs-1930 406 8 subm subm PROPN iajs-1930 406 9 . . PUNCT iajs-1930 407 1 of of ADP iajs-1930 407 2 x x SYM iajs-1930 407 3 iff iff PROPN iajs-1930 407 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 407 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 407 6 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 407 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 407 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 407 9 for for ADP iajs-1930 407 10 f. f. PROPN iajs-1930 407 11 singletons singletons PROPN iajs-1930 407 12 𝑎 𝑎 X iajs-1930 407 13 , , PUNCT iajs-1930 407 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 407 15 of of ADP iajs-1930 407 16 r r NOUN iajs-1930 407 17 and and CCONJ iajs-1930 407 18 b b PROPN iajs-1930 407 19 is be AUX iajs-1930 407 20 f f PROPN iajs-1930 407 21 . . PUNCT iajs-1930 408 1 subm subm PROPN iajs-1930 408 2 . . PUNCT iajs-1930 409 1 of of ADP iajs-1930 409 2 x x PRON iajs-1930 409 3 implies imply VERB iajs-1930 409 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 409 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 409 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 409 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 409 8 : : PUNCT iajs-1930 409 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 409 10 or or CCONJ iajs-1930 409 11 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 409 12 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 409 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 409 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 409 15 or or CCONJ iajs-1930 409 16 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 409 17 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 409 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 409 19 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 409 20 proof proof NOUN iajs-1930 409 21 . . PUNCT iajs-1930 410 1 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 410 2 let let VERB iajs-1930 410 3 a a PRON iajs-1930 410 4 be be AUX iajs-1930 410 5 t t PROPN iajs-1930 410 6 - - PUNCT iajs-1930 410 7 abso abso PROPN iajs-1930 410 8 f. f. PROPN iajs-1930 410 9 subm subm PROPN iajs-1930 410 10 . . PUNCT iajs-1930 411 1 and and CCONJ iajs-1930 411 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 411 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 411 4 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 411 5 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 411 6 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 411 7 assume assume VERB iajs-1930 411 8 that that SCONJ iajs-1930 411 9 𝑎 𝑎 X iajs-1930 411 10 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 411 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 411 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 411 13 : : PUNCT iajs-1930 411 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 411 15 , , PUNCT iajs-1930 411 16 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 411 17 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 411 18 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 411 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 411 20 and and CCONJ iajs-1930 411 21 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 411 22 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 411 23 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 411 24 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 411 25 then then ADV iajs-1930 411 26 there there PRON iajs-1930 411 27 exist exist VERB iajs-1930 411 28 f. f. NOUN iajs-1930 411 29 singletons singleton NOUN iajs-1930 412 1 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 412 2 , , PUNCT iajs-1930 412 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 412 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 5 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 412 6 , , PUNCT iajs-1930 412 7 such such ADJ iajs-1930 412 8 that that SCONJ iajs-1930 412 9 𝑎 𝑎 X iajs-1930 412 10 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 412 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 13 and and CCONJ iajs-1930 412 14 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 412 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 412 16 ⊈ ⊈ X iajs-1930 412 17 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 412 18 since since SCONJ iajs-1930 412 19 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 412 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 412 21 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 412 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 24 and and CCONJ iajs-1930 412 25 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 412 26 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 412 27 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 29 : : PUNCT iajs-1930 412 30 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 412 31 , , PUNCT iajs-1930 412 32 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 412 33 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 412 34 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 36 , , PUNCT iajs-1930 412 37 we we PRON iajs-1930 412 38 have have AUX iajs-1930 412 39 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 412 40 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 412 41 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 42 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 412 43 also also ADV iajs-1930 412 44 since since SCONJ iajs-1930 412 45 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 412 46 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 412 47 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 412 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 49 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 50 and and CCONJ iajs-1930 412 51 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 412 52 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 412 53 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 54 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 55 : : PUNCT iajs-1930 412 56 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 412 57 , , PUNCT iajs-1930 412 58 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 412 59 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 412 60 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 61 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 62 , , PUNCT iajs-1930 412 63 we we PRON iajs-1930 412 64 have have VERB iajs-1930 412 65 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 412 66 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 412 67 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 68 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 412 69 now now ADV iajs-1930 412 70 , , PUNCT iajs-1930 412 71 since since SCONJ iajs-1930 412 72 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 412 73 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 412 74 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 412 75 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 412 76 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 77 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 78 and and CCONJ iajs-1930 412 79 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 412 80 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 412 81 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 412 82 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 83 : : PUNCT iajs-1930 412 84 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 412 85 , , PUNCT iajs-1930 412 86 we we PRON iajs-1930 412 87 have have VERB iajs-1930 412 88 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 412 89 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 412 90 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 412 91 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 412 92 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 412 93 or or CCONJ iajs-1930 413 1 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 413 2 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 413 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 413 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 413 5 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 413 6 if if SCONJ iajs-1930 413 7 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 413 8 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 413 9 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 413 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 413 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 413 12 , , PUNCT iajs-1930 413 13 then then ADV iajs-1930 413 14 𝑎 𝑎 X iajs-1930 413 15 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 413 16 𝑎 𝑎 X iajs-1930 413 17 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 413 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 413 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 413 20 and and CCONJ iajs-1930 413 21 since since SCONJ iajs-1930 413 22 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 413 23 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 413 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 413 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 413 26 , , PUNCT iajs-1930 413 27 we we PRON iajs-1930 413 28 get get VERB iajs-1930 413 29 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 413 30 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 413 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 413 32 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 413 33 , , PUNCT iajs-1930 413 34 this this PRON iajs-1930 413 35 is be AUX iajs-1930 413 36 a a DET iajs-1930 413 37 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 413 38 . . PUNCT iajs-1930 414 1 if if SCONJ iajs-1930 414 2 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 414 3 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 414 4 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 414 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 414 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 414 7 , , PUNCT iajs-1930 414 8 then then ADV iajs-1930 414 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 414 10 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 414 11 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 414 12 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 414 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 414 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 414 15 and and CCONJ iajs-1930 414 16 since since SCONJ iajs-1930 414 17 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 414 18 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 414 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 414 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 414 21 , , PUNCT iajs-1930 414 22 we we PRON iajs-1930 414 23 get get VERB iajs-1930 414 24 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 414 25 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 414 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 414 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 414 28 this this PRON iajs-1930 414 29 is be AUX iajs-1930 414 30 a a DET iajs-1930 414 31 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 414 32 . . PUNCT iajs-1930 415 1 thus thus ADV iajs-1930 415 2 either either CCONJ iajs-1930 415 3 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 415 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 415 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 415 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 415 7 : : PUNCT iajs-1930 415 8 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 415 9 or or CCONJ iajs-1930 415 10 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 415 11 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 415 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 415 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 415 14 or or CCONJ iajs-1930 415 15 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 415 16 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 415 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 415 18 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 415 19 ( ( PUNCT iajs-1930 415 20 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 415 21 ) ) PUNCT iajs-1930 415 22 it it PRON iajs-1930 415 23 is be AUX iajs-1930 415 24 obvious obvious ADJ iajs-1930 415 25 . . PUNCT iajs-1930 416 1 the the DET iajs-1930 416 2 next next ADJ iajs-1930 416 3 theorem theorem NOUN iajs-1930 416 4 gives give VERB iajs-1930 416 5 a a DET iajs-1930 416 6 characterization characterization NOUN iajs-1930 416 7 of of ADP iajs-1930 416 8 t t PROPN iajs-1930 416 9 - - PUNCT iajs-1930 416 10 abso abso PROPN iajs-1930 416 11 f. f. PROPN iajs-1930 416 12 subm subm PROPN iajs-1930 416 13 . . PUNCT iajs-1930 417 1 theorem theorem PROPN iajs-1930 417 2 20 20 NUM iajs-1930 417 3 . . PUNCT iajs-1930 418 1 let let VERB iajs-1930 418 2 a a PRON iajs-1930 418 3 be be AUX iajs-1930 418 4 a a DET iajs-1930 418 5 proper proper ADJ iajs-1930 418 6 f. f. PROPN iajs-1930 418 7 subm subm PROPN iajs-1930 418 8 . . PUNCT iajs-1930 419 1 of of ADP iajs-1930 419 2 f. f. PROPN iajs-1930 419 3 m. m. PROPN iajs-1930 420 1 x x PROPN iajs-1930 420 2 of of ADP iajs-1930 420 3 an an DET iajs-1930 420 4 r r NOUN iajs-1930 420 5 - - PUNCT iajs-1930 420 6 m. m. NOUN iajs-1930 420 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 420 8 . . PUNCT iajs-1930 421 1 then then ADV iajs-1930 421 2 the the DET iajs-1930 421 3 following follow VERB iajs-1930 421 4 expressions expression NOUN iajs-1930 421 5 are be AUX iajs-1930 421 6 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 421 7 : : PUNCT iajs-1930 421 8 1a 1a X iajs-1930 421 9 is be AUX iajs-1930 421 10 t t PROPN iajs-1930 421 11 - - PUNCT iajs-1930 421 12 abso abso PROPN iajs-1930 421 13 f. f. PROPN iajs-1930 421 14 subm subm PROPN iajs-1930 421 15 . . PUNCT iajs-1930 422 1 of of ADP iajs-1930 422 2 x x SYM iajs-1930 422 3 ; ; PUNCT iajs-1930 422 4 2if 2if ADJ iajs-1930 422 5 ĥṷb⊆a ĥṷb⊆a PROPN iajs-1930 422 6 , , PUNCT iajs-1930 422 7 for for ADP iajs-1930 422 8 some some DET iajs-1930 422 9 f. f. PROPN iajs-1930 422 10 ideals ideals PROPN iajs-1930 422 11 ĥ ĥ PRON iajs-1930 422 12 , , PUNCT iajs-1930 422 13 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 422 14 of of ADP iajs-1930 422 15 r r NOUN iajs-1930 422 16 and and CCONJ iajs-1930 422 17 f. f. PROPN iajs-1930 422 18 subm subm PROPN iajs-1930 422 19 . . PUNCT iajs-1930 423 1 b b PROPN iajs-1930 423 2 of of ADP iajs-1930 423 3 x x NOUN iajs-1930 423 4 , , PUNCT iajs-1930 423 5 then then ADV iajs-1930 423 6 either either CCONJ iajs-1930 423 7 ĥb⊆a ĥb⊆a ADJ iajs-1930 423 8 or or CCONJ iajs-1930 423 9 ṷb⊆a ṷb⊆a PROPN iajs-1930 423 10 or or CCONJ iajs-1930 423 11 ĥṷ⊆(a ĥṷ⊆(a NOUN iajs-1930 423 12 : : PUNCT iajs-1930 423 13 x x X iajs-1930 423 14 ) ) PUNCT iajs-1930 423 15 . . PUNCT iajs-1930 424 1 proof proof NOUN iajs-1930 424 2 . . PUNCT iajs-1930 425 1 ( ( PUNCT iajs-1930 425 2 1)⇒(2 1)⇒(2 X iajs-1930 425 3 ) ) PUNCT iajs-1930 425 4 suppose suppose VERB iajs-1930 425 5 that that SCONJ iajs-1930 425 6 a a PRON iajs-1930 425 7 is be AUX iajs-1930 425 8 t t PROPN iajs-1930 425 9 - - PUNCT iajs-1930 425 10 abso abso PROPN iajs-1930 425 11 f. f. PROPN iajs-1930 425 12 subm subm PROPN iajs-1930 425 13 . . PUNCT iajs-1930 426 1 of of ADP iajs-1930 426 2 x x X iajs-1930 426 3 and and CCONJ iajs-1930 426 4 ĥṷb⊆a ĥṷb⊆a NOUN iajs-1930 426 5 for for ADP iajs-1930 426 6 some some DET iajs-1930 426 7 f. f. PROPN iajs-1930 426 8 ideals ideals PROPN iajs-1930 426 9 ĥ ĥ PRON iajs-1930 426 10 , , PUNCT iajs-1930 426 11 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 426 12 of of ADP iajs-1930 426 13 r r NOUN iajs-1930 426 14 and and CCONJ iajs-1930 426 15 some some DET iajs-1930 426 16 f. f. PROPN iajs-1930 426 17 subm subm PROPN iajs-1930 426 18 . . PUNCT iajs-1930 427 1 b b PROPN iajs-1930 427 2 of of ADP iajs-1930 427 3 x. x. NOUN iajs-1930 427 4 let let VERB iajs-1930 427 5 ĥṷ ĥṷ X iajs-1930 427 6 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 428 1 ( ( PUNCT iajs-1930 428 2 a a DET iajs-1930 428 3 : : PUNCT iajs-1930 428 4 x x X iajs-1930 428 5 ) ) PUNCT iajs-1930 428 6 , , PUNCT iajs-1930 428 7 to to PART iajs-1930 428 8 prove prove VERB iajs-1930 428 9 ĥb⊆a ĥb⊆a ADJ iajs-1930 428 10 or or CCONJ iajs-1930 428 11 ṷb⊆a ṷb⊆a ADJ iajs-1930 428 12 . . PUNCT iajs-1930 429 1 assume assume VERB iajs-1930 429 2 that that SCONJ iajs-1930 429 3 ĥb⊈a ĥb⊈a NOUN iajs-1930 429 4 and and CCONJ iajs-1930 429 5 ṷb⊈a ṷb⊈a NOUN iajs-1930 429 6 , , PUNCT iajs-1930 429 7 then then ADV iajs-1930 429 8 there there PRON iajs-1930 429 9 exist exist VERB iajs-1930 429 10 f. f. NOUN iajs-1930 429 11 singletons singleton NOUN iajs-1930 429 12 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 429 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 429 14 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 429 15 and and CCONJ iajs-1930 429 16 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 429 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 429 18 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 429 19 , , PUNCT iajs-1930 429 20 such such ADJ iajs-1930 429 21 that that SCONJ iajs-1930 429 22 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 429 23 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 429 24 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 429 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 429 26 and and CCONJ iajs-1930 429 27 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 429 28 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 429 29 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 429 30 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 429 31 but but CCONJ iajs-1930 429 32 𝑎 𝑎 X iajs-1930 429 33 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 429 34 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 429 35 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 429 36 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 429 37 and and CCONJ iajs-1930 429 38 neither neither CCONJ iajs-1930 429 39 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 429 40 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 429 41 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 429 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 429 43 nor nor CCONJ iajs-1930 429 44 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 429 45 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 429 46 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 429 47 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 429 48 and and CCONJ iajs-1930 429 49 a a PRON iajs-1930 429 50 is be AUX iajs-1930 429 51 t t PROPN iajs-1930 429 52 - - PUNCT iajs-1930 429 53 abso abso PROPN iajs-1930 429 54 f. f. PROPN iajs-1930 429 55 subm subm PROPN iajs-1930 429 56 . . PUNCT iajs-1930 429 57 , , PUNCT iajs-1930 430 1 so so SCONJ iajs-1930 430 2 that that SCONJ iajs-1930 430 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 430 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 430 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 430 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 430 7 : : PUNCT iajs-1930 430 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 430 9 . . PUNCT iajs-1930 430 10 since since SCONJ iajs-1930 430 11 ĥṷ⊈ ĥṷ⊈ NOUN iajs-1930 430 12 ( ( PUNCT iajs-1930 430 13 a a DET iajs-1930 430 14 : : PUNCT iajs-1930 430 15 x x X iajs-1930 430 16 ) ) PUNCT iajs-1930 430 17 , , PUNCT iajs-1930 430 18 then then ADV iajs-1930 430 19 there there PRON iajs-1930 430 20 exist exist VERB iajs-1930 430 21 f. f. NOUN iajs-1930 430 22 singletons singleton NOUN iajs-1930 430 23 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 430 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 430 25 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 430 26 and and CCONJ iajs-1930 430 27 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 430 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 430 29 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 430 30 , , PUNCT iajs-1930 430 31 such such ADJ iajs-1930 430 32 that that SCONJ iajs-1930 430 33 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 430 34 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 430 35 ⊈(a ⊈(a NOUN iajs-1930 430 36 : : PUNCT iajs-1930 430 37 x x X iajs-1930 430 38 ) ) PUNCT iajs-1930 430 39 . . PUNCT iajs-1930 431 1 but but CCONJ iajs-1930 431 2 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 431 3 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 431 4 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 431 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 431 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 431 7 , , PUNCT iajs-1930 431 8 so so SCONJ iajs-1930 431 9 that that SCONJ iajs-1930 431 10 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 431 11 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 431 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 431 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 431 14 or or CCONJ iajs-1930 431 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 431 16 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 431 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 431 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 431 19 by by ADP iajs-1930 431 20 proposition proposition NOUN iajs-1930 431 21 ( ( PUNCT iajs-1930 431 22 19 19 NUM iajs-1930 431 23 ) ) PUNCT iajs-1930 431 24 . . PUNCT iajs-1930 431 25     SPACE iajs-1930 432 1 120 120 NUM iajs-1930 432 2     SPACE iajs-1930 432 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 432 4 al al PROPN iajs-1930 432 5 - - PUNCT iajs-1930 432 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 432 7 jour jour X iajs-1930 432 8 . . PROPN iajs-1930 432 9 for for ADP iajs-1930 432 10 pure pure ADJ iajs-1930 432 11 & & CCONJ iajs-1930 432 12 appl appl PROPN iajs-1930 432 13 . . PUNCT iajs-1930 433 1 sci sci PROPN iajs-1930 433 2 . . PROPN iajs-1930 433 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 433 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 433 5 vol vol NOUN iajs-1930 433 6 . . PUNCT iajs-1930 434 1 32 32 NUM iajs-1930 435 1 ( ( PUNCT iajs-1930 435 2 1 1 NUM iajs-1930 435 3 ) ) PUNCT iajs-1930 435 4 2019 2019 NUM iajs-1930 435 5 now now ADV iajs-1930 435 6 we we PRON iajs-1930 435 7 have have VERB iajs-1930 435 8 the the DET iajs-1930 435 9 following following NOUN iajs-1930 435 10 : : PUNCT iajs-1930 435 11 ( ( PUNCT iajs-1930 435 12 1 1 X iajs-1930 435 13 ) ) PUNCT iajs-1930 435 14 if if SCONJ iajs-1930 435 15 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 435 16 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 435 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 435 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 19 and and CCONJ iajs-1930 435 20 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 435 21 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 435 22 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 435 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 24 , , PUNCT iajs-1930 435 25 since since SCONJ iajs-1930 435 26 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 435 27 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 435 28 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 435 29 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 435 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 31 and and CCONJ iajs-1930 435 32 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 435 33 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 435 34 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 435 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 36 , , PUNCT iajs-1930 435 37 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 435 38 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 435 39 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 435 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 41 , , PUNCT iajs-1930 435 42 so so SCONJ iajs-1930 435 43 that that SCONJ iajs-1930 435 44 𝑎 𝑎 X iajs-1930 435 45 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 435 46 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 435 47 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 435 48 : : PUNCT iajs-1930 435 49 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 435 50 by by ADP iajs-1930 435 51 proposition proposition NOUN iajs-1930 435 52 ( ( PUNCT iajs-1930 435 53 19 19 NUM iajs-1930 435 54 ) ) PUNCT iajs-1930 435 55 . . PUNCT iajs-1930 436 1 since since SCONJ iajs-1930 436 2 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 436 3 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 436 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 436 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 6 and and CCONJ iajs-1930 436 7 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 436 8 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 436 9 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 436 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 11 , , PUNCT iajs-1930 436 12 hence hence ADV iajs-1930 436 13 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 436 14 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 436 15 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 436 16 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 436 17 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 436 18 on on ADP iajs-1930 436 19 the the DET iajs-1930 436 20 other other ADJ iajs-1930 436 21 hand hand NOUN iajs-1930 436 22 , , PUNCT iajs-1930 436 23 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 436 24 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 436 25 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 436 26 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 436 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 436 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 29 and and CCONJ iajs-1930 436 30 neither neither CCONJ iajs-1930 436 31 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 436 32 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 436 33 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 436 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 436 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 36 nor nor CCONJ iajs-1930 436 37 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 436 38 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 436 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 436 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 41 , , PUNCT iajs-1930 436 42 we we PRON iajs-1930 436 43 get get VERB iajs-1930 436 44 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 436 45 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 436 46 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 436 47 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 436 48 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 436 49 : : PUNCT iajs-1930 436 50 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 436 51 by by ADP iajs-1930 436 52 proposition proposition NOUN iajs-1930 436 53 ( ( PUNCT iajs-1930 436 54 19 19 NUM iajs-1930 436 55 ) ) PUNCT iajs-1930 436 56 . . PUNCT iajs-1930 437 1 but but CCONJ iajs-1930 437 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 437 3 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 437 4 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 437 5 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 437 6 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 437 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 437 8 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 437 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 437 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 437 11 : : PUNCT iajs-1930 437 12 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 437 13 and and CCONJ iajs-1930 437 14 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 437 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 437 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 437 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 437 18 : : PUNCT iajs-1930 437 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 437 20 , , PUNCT iajs-1930 437 21 we we PRON iajs-1930 437 22 get get VERB iajs-1930 437 23 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 437 24 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 437 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 437 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 437 27 : : PUNCT iajs-1930 437 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 437 29 this this PRON iajs-1930 437 30 is be AUX iajs-1930 437 31 a a DET iajs-1930 437 32 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 437 33 . . PUNCT iajs-1930 438 1 ( ( PUNCT iajs-1930 438 2 2 2 X iajs-1930 438 3 ) ) PUNCT iajs-1930 438 4 if if SCONJ iajs-1930 438 5 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 438 6 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 438 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 438 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 438 9 and and CCONJ iajs-1930 438 10 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 438 11 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 438 12 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 438 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 438 14 . . PUNCT iajs-1930 439 1 by by ADP iajs-1930 439 2 the the DET iajs-1930 439 3 same same ADJ iajs-1930 439 4 way way NOUN iajs-1930 439 5 of of ADP iajs-1930 439 6 ( ( PUNCT iajs-1930 439 7 1 1 NUM iajs-1930 439 8 ) ) PUNCT iajs-1930 439 9 , , PUNCT iajs-1930 439 10 we we PRON iajs-1930 439 11 get get VERB iajs-1930 439 12 a a DET iajs-1930 439 13 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 439 14 . . PUNCT iajs-1930 440 1 ( ( PUNCT iajs-1930 440 2 3 3 X iajs-1930 440 3 ) ) PUNCT iajs-1930 440 4 if if SCONJ iajs-1930 440 5 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 440 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 440 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 440 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 440 9 and and CCONJ iajs-1930 440 10 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 440 11 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 440 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 440 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 440 14 . . PUNCT iajs-1930 441 1 since since SCONJ iajs-1930 441 2 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 441 3 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 441 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 441 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 441 6 and and CCONJ iajs-1930 441 7 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 441 8 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 441 9 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 441 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 441 11 , , PUNCT iajs-1930 441 12 we we PRON iajs-1930 441 13 have have VERB iajs-1930 441 14 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 441 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 441 16 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 441 17 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 441 18 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 441 19 but but CCONJ iajs-1930 441 20 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 441 21 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 441 22 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 441 23 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 441 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 441 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 441 26 and and CCONJ iajs-1930 441 27 neither neither CCONJ iajs-1930 441 28 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 441 29 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 441 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 441 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 441 32 nor nor CCONJ iajs-1930 441 33 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 441 34 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 441 35 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 441 36 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 441 37 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 441 38 thus thus ADV iajs-1930 441 39 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 441 40 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 441 41 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 441 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 441 43 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 441 44 : : PUNCT iajs-1930 441 45 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 441 46 by by ADP iajs-1930 441 47 proposition proposition NOUN iajs-1930 441 48 ( ( PUNCT iajs-1930 441 49 19 19 NUM iajs-1930 441 50 ) ) PUNCT iajs-1930 441 51 . . PUNCT iajs-1930 442 1 since since SCONJ iajs-1930 442 2 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 442 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 442 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 442 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 442 6 : : PUNCT iajs-1930 442 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 442 8 and and CCONJ iajs-1930 442 9 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 442 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 442 11 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 442 12 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 442 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 442 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 442 15 : : PUNCT iajs-1930 442 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 442 17 , , PUNCT iajs-1930 442 18 we we PRON iajs-1930 442 19 get get VERB iajs-1930 442 20 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 442 21 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 442 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 442 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 442 24 : : PUNCT iajs-1930 442 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 442 26 . . PUNCT iajs-1930 443 1 since since SCONJ iajs-1930 443 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 443 3 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 443 4 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 443 5 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 443 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 443 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 443 8 and and CCONJ iajs-1930 443 9 neither neither CCONJ iajs-1930 443 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 443 11 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 443 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 443 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 443 14 nor nor CCONJ iajs-1930 443 15 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 443 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 443 17 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 443 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 443 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 443 20 , , PUNCT iajs-1930 443 21 we we PRON iajs-1930 443 22 have have VERB iajs-1930 443 23 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 443 24 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 443 25 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 443 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 443 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 443 28 : : PUNCT iajs-1930 443 29 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 443 30 by by ADP iajs-1930 443 31 proposition proposition NOUN iajs-1930 443 32 ( ( PUNCT iajs-1930 443 33 19 19 NUM iajs-1930 443 34 ) ) PUNCT iajs-1930 443 35 . . PUNCT iajs-1930 444 1 but but CCONJ iajs-1930 444 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 444 3 𝑥 𝑥 VERB iajs-1930 444 4 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 444 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 444 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 444 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 444 8 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 444 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 444 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 444 11 : : PUNCT iajs-1930 444 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 444 13 and and CCONJ iajs-1930 444 14 since since SCONJ iajs-1930 444 15 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 444 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 444 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 444 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 444 19 : : PUNCT iajs-1930 444 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 444 21 , , PUNCT iajs-1930 444 22 we we PRON iajs-1930 444 23 have have VERB iajs-1930 444 24 𝑥 𝑥 NUM iajs-1930 444 25 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 444 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 444 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 444 28 : : PUNCT iajs-1930 444 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 444 30 . . PUNCT iajs-1930 445 1 now now ADV iajs-1930 445 2 , , PUNCT iajs-1930 445 3 since since SCONJ iajs-1930 445 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 445 5 𝑥 𝑥 VERB iajs-1930 445 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 445 7 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 445 8 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 445 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 445 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 445 11 and and CCONJ iajs-1930 445 12 neither neither CCONJ iajs-1930 445 13 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 445 14 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 445 15 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 445 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 445 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 445 18 nor nor CCONJ iajs-1930 445 19 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 445 20 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 445 21 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 445 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 445 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 445 24 , , PUNCT iajs-1930 445 25 we we PRON iajs-1930 445 26 get get VERB iajs-1930 445 27 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 445 28 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 445 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 445 30 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 445 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 445 32 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 445 33 : : PUNCT iajs-1930 445 34 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 445 35 by by ADP iajs-1930 445 36 proposition proposition NOUN iajs-1930 445 37 ( ( PUNCT iajs-1930 445 38 19 19 NUM iajs-1930 445 39 ) ) PUNCT iajs-1930 445 40 , , PUNCT iajs-1930 445 41 where where SCONJ iajs-1930 445 42 𝑎 𝑎 X iajs-1930 445 43 𝑥 𝑥 X iajs-1930 445 44 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 445 45 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 445 46 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 445 47 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 445 48 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 445 49 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 445 50 𝑥 𝑥 X iajs-1930 445 51 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 445 52 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 445 53 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 445 54 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 445 55 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 445 56 : : PUNCT iajs-1930 445 57 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 445 58 . . PUNCT iajs-1930 446 1 but but CCONJ iajs-1930 446 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 446 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 446 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 446 5 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 446 6 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 446 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 446 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 446 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 446 10 : : PUNCT iajs-1930 446 11 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 446 12 , , PUNCT iajs-1930 446 13 so so SCONJ iajs-1930 446 14 that that SCONJ iajs-1930 446 15 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 446 16 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 446 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 446 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 446 19 : : PUNCT iajs-1930 446 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 446 21 this this PRON iajs-1930 446 22 is be AUX iajs-1930 446 23 a a DET iajs-1930 446 24 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 446 25 . . PUNCT iajs-1930 447 1 thus thus ADV iajs-1930 447 2 ĥb⊆a ĥb⊆a ADJ iajs-1930 447 3 or or CCONJ iajs-1930 447 4 ṷb⊆a ṷb⊆a ADJ iajs-1930 447 5 ( ( PUNCT iajs-1930 447 6 2 2 NUM iajs-1930 447 7 ) ) PUNCT iajs-1930 447 8 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 447 9 ( ( PUNCT iajs-1930 447 10 1 1 X iajs-1930 447 11 ) ) PUNCT iajs-1930 447 12 it it PRON iajs-1930 447 13 is be AUX iajs-1930 447 14 obvious obvious ADJ iajs-1930 447 15 . . PUNCT iajs-1930 448 1 theorem theorem NOUN iajs-1930 448 2 21 21 NUM iajs-1930 448 3 . . PUNCT iajs-1930 449 1 if if SCONJ iajs-1930 449 2 a a PRON iajs-1930 449 3 is be AUX iajs-1930 449 4 t t PROPN iajs-1930 449 5 - - PUNCT iajs-1930 449 6 abso abso PROPN iajs-1930 449 7 f. f. PROPN iajs-1930 449 8 subm subm PROPN iajs-1930 449 9 . . PUNCT iajs-1930 450 1 of of ADP iajs-1930 450 2 f. f. PROPN iajs-1930 450 3 m. m. PROPN iajs-1930 451 1 x x PROPN iajs-1930 451 2 of of ADP iajs-1930 451 3 an an DET iajs-1930 451 4 r r NOUN iajs-1930 451 5 - - PUNCT iajs-1930 451 6 m. m. NOUN iajs-1930 451 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 451 8 , , PUNCT iajs-1930 451 9 then then ADV iajs-1930 451 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 451 11 : : PUNCT iajs-1930 451 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 451 13 is be AUX iajs-1930 451 14 t t PROPN iajs-1930 451 15 - - PUNCT iajs-1930 451 16 abso abso PROPN iajs-1930 451 17 f. f. PROPN iajs-1930 451 18 ideal ideal PROPN iajs-1930 451 19 of of ADP iajs-1930 451 20 r. r. PROPN iajs-1930 451 21 proof proof NOUN iajs-1930 451 22 . . PUNCT iajs-1930 452 1 let let VERB iajs-1930 452 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 452 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 452 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 452 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 452 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 452 7 : : PUNCT iajs-1930 452 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 452 9 for for ADP iajs-1930 452 10 f. f. PROPN iajs-1930 452 11 singletons singleton NOUN iajs-1930 453 1 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 453 2 , , PUNCT iajs-1930 453 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 453 4 , , PUNCT iajs-1930 453 5 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 453 6 of of ADP iajs-1930 453 7 r. r. PROPN iajs-1930 453 8 if if SCONJ iajs-1930 453 9 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 453 10 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 453 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 453 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 453 13 : : PUNCT iajs-1930 453 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 453 15 and and CCONJ iajs-1930 453 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 453 17 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 453 18 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 453 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 453 20 : : PUNCT iajs-1930 453 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 453 22 , , PUNCT iajs-1930 453 23 then then ADV iajs-1930 453 24 there there PRON iajs-1930 453 25 exist exist VERB iajs-1930 453 26 f. f. NOUN iajs-1930 453 27 singletons singleton NOUN iajs-1930 453 28 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 453 29 , , PUNCT iajs-1930 453 30 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 453 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 453 32 𝑋\𝐴 𝑋\𝐴 NOUN iajs-1930 453 33 , , PUNCT iajs-1930 453 34 such such ADJ iajs-1930 453 35 that that SCONJ iajs-1930 453 36 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 453 37 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 453 38 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 453 39 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 453 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 453 41 and and CCONJ iajs-1930 453 42 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 453 43 𝑟 𝑟 SYM iajs-1930 453 44 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 453 45 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 453 46 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 453 47 . . PUNCT iajs-1930 454 1 since since SCONJ iajs-1930 454 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 454 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 454 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 454 5 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 454 6 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 454 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 454 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 454 9 and and CCONJ iajs-1930 454 10 a a PRON iajs-1930 454 11 is be AUX iajs-1930 454 12 t t PROPN iajs-1930 454 13 - - PUNCT iajs-1930 454 14 abso abso PROPN iajs-1930 454 15 f. f. PROPN iajs-1930 454 16 subm subm PROPN iajs-1930 454 17 . . PUNCT iajs-1930 454 18 , , PUNCT iajs-1930 454 19 then then ADV iajs-1930 454 20 either either CCONJ iajs-1930 454 21 𝑎 𝑎 X iajs-1930 454 22 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 454 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 454 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 454 25 : : PUNCT iajs-1930 454 26 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 454 27 or or CCONJ iajs-1930 454 28 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 454 29 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 454 30 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 454 31 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 454 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 454 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 454 34 or or CCONJ iajs-1930 454 35 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 454 36 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 455 1 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 455 2 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 455 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 455 4 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 455 5 if if SCONJ iajs-1930 455 6 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 455 7 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 455 8 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 455 9 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 455 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 455 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 455 12 and and CCONJ iajs-1930 455 13 since since SCONJ iajs-1930 455 14 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 455 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 455 16 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 455 17 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 455 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 455 19 , , PUNCT iajs-1930 455 20 then then ADV iajs-1930 455 21 we we PRON iajs-1930 455 22 have have VERB iajs-1930 455 23 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 455 24 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 455 25 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 455 26 ⊈ ⊈ X iajs-1930 455 27 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 456 1 so so SCONJ iajs-1930 456 2 that that SCONJ iajs-1930 456 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 456 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 456 5 𝑟 𝑟 X iajs-1930 456 6 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 456 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 456 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 456 9 and and CCONJ iajs-1930 456 10 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 456 11 𝑟 𝑟 SYM iajs-1930 456 12 𝑦 𝑦 SYM iajs-1930 456 13 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 456 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 456 15 , , PUNCT iajs-1930 456 16 hence hence ADV iajs-1930 456 17 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 456 18 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 456 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 456 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 456 21 : : PUNCT iajs-1930 456 22 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 456 23 . . PUNCT iajs-1930 457 1 by by ADP iajs-1930 457 2 the the DET iajs-1930 457 3 same same ADJ iajs-1930 457 4 method method NOUN iajs-1930 457 5 if if SCONJ iajs-1930 457 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 457 7 𝑟 𝑟 X iajs-1930 457 8 𝑥 𝑥 PUNCT iajs-1930 457 9 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 457 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 457 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 457 12 , , PUNCT iajs-1930 457 13 we we PRON iajs-1930 457 14 get get VERB iajs-1930 457 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 457 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 457 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 457 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 457 19 : : PUNCT iajs-1930 457 20 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 457 21 . . PUNCT iajs-1930 458 1 thus thus ADV iajs-1930 458 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 458 3 : : PUNCT iajs-1930 458 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 458 5 is be AUX iajs-1930 458 6 t t PROPN iajs-1930 458 7 - - PUNCT iajs-1930 458 8 abso abso PROPN iajs-1930 458 9 f. f. PROPN iajs-1930 458 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 458 11 of of ADP iajs-1930 458 12 r. r. PROPN iajs-1930 458 13 theorem theorem PROPN iajs-1930 458 14 22 22 NUM iajs-1930 458 15 . . PUNCT iajs-1930 459 1 let let VERB iajs-1930 459 2 x x PRON iajs-1930 459 3 be be AUX iajs-1930 459 4 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 459 5 f. f. PROPN iajs-1930 459 6 m. m. NOUN iajs-1930 459 7 of of ADP iajs-1930 459 8 an an DET iajs-1930 459 9 r r NOUN iajs-1930 459 10 - - PUNCT iajs-1930 459 11 m. m. NOUN iajs-1930 459 12 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 459 13 , , PUNCT iajs-1930 459 14 and and CCONJ iajs-1930 459 15 a a PRON iajs-1930 459 16 is be AUX iajs-1930 459 17 a a DET iajs-1930 459 18 proper proper ADJ iajs-1930 459 19 f. f. PROPN iajs-1930 459 20 subm subm PROPN iajs-1930 459 21 . . PUNCT iajs-1930 460 1 of of ADP iajs-1930 460 2 x. x. NOUN iajs-1930 461 1 if if SCONJ iajs-1930 461 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 461 3 : : PUNCT iajs-1930 461 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 461 5 is be AUX iajs-1930 461 6 t t PROPN iajs-1930 461 7 - - PUNCT iajs-1930 461 8 abso abso PROPN iajs-1930 461 9 f. f. PROPN iajs-1930 461 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 461 11 of of ADP iajs-1930 461 12 r r NOUN iajs-1930 461 13 , , PUNCT iajs-1930 461 14 then then ADV iajs-1930 461 15 a a PRON iajs-1930 461 16 is be AUX iajs-1930 461 17 t t PROPN iajs-1930 461 18 - - PUNCT iajs-1930 461 19 abso abso PROPN iajs-1930 461 20 f. f. PROPN iajs-1930 461 21 subm subm PROPN iajs-1930 461 22 . . PUNCT iajs-1930 462 1 of of ADP iajs-1930 462 2 x. x. PROPN iajs-1930 462 3 proof proof PROPN iajs-1930 462 4 . . PUNCT iajs-1930 463 1 let let VERB iajs-1930 463 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 463 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 463 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 463 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 463 7 for for ADP iajs-1930 463 8 f. f. PROPN iajs-1930 463 9 singletons singletons PROPN iajs-1930 463 10 𝑎 𝑎 X iajs-1930 463 11 , , PUNCT iajs-1930 463 12 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 463 13 of of ADP iajs-1930 463 14 r r NOUN iajs-1930 463 15 and and CCONJ iajs-1930 463 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 463 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 463 19 , , PUNCT iajs-1930 463 20 then then ADV iajs-1930 463 21 𝑎 𝑎 X iajs-1930 463 22 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 463 23 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 463 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 25 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 463 26 but but CCONJ iajs-1930 463 27 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 463 28 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 463 29 for for ADP iajs-1930 463 30 some some DET iajs-1930 463 31 f. f. PROPN iajs-1930 463 32 ideal ideal PROPN iajs-1930 463 33 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 463 34 of of ADP iajs-1930 463 35 r r NOUN iajs-1930 463 36 since since SCONJ iajs-1930 463 37 x x PRON iajs-1930 463 38 is be AUX iajs-1930 463 39 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 463 40 f. f. PROPN iajs-1930 463 41 m. m. PROPN iajs-1930 463 42 , , PUNCT iajs-1930 463 43 so so SCONJ iajs-1930 463 44 that that SCONJ iajs-1930 463 45 𝑎 𝑎 X iajs-1930 463 46 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 463 47 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 463 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 49 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 463 50 thus thus ADV iajs-1930 463 51 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 463 52 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 463 53 ĥ ĥ PRON iajs-1930 463 54 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 55 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 463 56 : : PUNCT iajs-1930 463 57 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 463 58 , , PUNCT iajs-1930 463 59 so so ADV iajs-1930 463 60 we we PRON iajs-1930 463 61 have have VERB iajs-1930 463 62 that that PRON iajs-1930 463 63 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 463 64 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 463 65 ĥ ĥ PRON iajs-1930 463 66 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 463 67 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 463 68 : : PUNCT iajs-1930 463 69 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 463 70 . . PUNCT iajs-1930 464 1 since since SCONJ iajs-1930 464 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 464 3 : : PUNCT iajs-1930 464 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 464 5 is be AUX iajs-1930 464 6 tabso tabso PROPN iajs-1930 464 7 f. f. PROPN iajs-1930 464 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 464 9 of of ADP iajs-1930 464 10 r r NOUN iajs-1930 464 11 , , PUNCT iajs-1930 464 12 we we PRON iajs-1930 464 13 get get VERB iajs-1930 464 14 either either CCONJ iajs-1930 464 15 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 464 16 ĥ ĥ PRON iajs-1930 464 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 464 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 464 19 : : PUNCT iajs-1930 464 20 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 464 21 or or CCONJ iajs-1930 464 22 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 464 23 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 464 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 464 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 464 26 : : PUNCT iajs-1930 464 27 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 464 28 or or CCONJ iajs-1930 464 29 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 464 30 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 464 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 464 32 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 464 33 : : PUNCT iajs-1930 464 34 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 464 35 by by ADP iajs-1930 464 36 proposition proposition NOUN iajs-1930 464 37 ( ( PUNCT iajs-1930 464 38 9 9 NUM iajs-1930 464 39 ) ) PUNCT iajs-1930 464 40 . . PUNCT iajs-1930 465 1 1 1 X iajs-1930 465 2 ) ) PUNCT iajs-1930 465 3 if if SCONJ iajs-1930 465 4 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 465 5 ĥ ĥ PRON iajs-1930 465 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 465 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 465 8 : : PUNCT iajs-1930 465 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 465 10 , , PUNCT iajs-1930 465 11 then then ADV iajs-1930 465 12 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 465 13 ĥ𝑋 ĥ𝑋 ADJ iajs-1930 465 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 465 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 465 16 and and CCONJ iajs-1930 465 17 so so ADV iajs-1930 465 18 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 465 19 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 465 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 465 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 465 22 . . PUNCT iajs-1930 466 1 hence hence ADV iajs-1930 466 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 466 3 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 466 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 466 5 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 466 6 2 2 NUM iajs-1930 466 7 ) ) PUNCT iajs-1930 466 8 if if SCONJ iajs-1930 466 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 466 10 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 466 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 466 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 466 13 : : PUNCT iajs-1930 466 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 466 15 , , PUNCT iajs-1930 466 16 then then ADV iajs-1930 466 17 by by ADP iajs-1930 466 18 the the DET iajs-1930 466 19 same same ADJ iajs-1930 466 20 method method NOUN iajs-1930 466 21 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 466 22 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 466 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 466 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 466 25 . . PUNCT iajs-1930 467 1 3 3 X iajs-1930 467 2 ) ) PUNCT iajs-1930 467 3 if if SCONJ iajs-1930 467 4 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 467 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 467 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 467 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 467 8 : : PUNCT iajs-1930 467 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 467 10 , , PUNCT iajs-1930 467 11 then then ADV iajs-1930 467 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 467 13 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 467 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 467 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 467 16 : : PUNCT iajs-1930 467 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 467 18 . . PUNCT iajs-1930 468 1 by by ADP iajs-1930 468 2 combining combine VERB iajs-1930 468 3 theorem theorem NOUN iajs-1930 468 4 ( ( PUNCT iajs-1930 468 5 21 21 NUM iajs-1930 468 6 ) ) PUNCT iajs-1930 468 7 and and CCONJ iajs-1930 468 8 theorem theorem VERB iajs-1930 468 9 ( ( PUNCT iajs-1930 468 10 22 22 NUM iajs-1930 468 11 ) ) PUNCT iajs-1930 468 12 , , PUNCT iajs-1930 468 13 we we PRON iajs-1930 468 14 have have VERB iajs-1930 468 15 the the DET iajs-1930 468 16 following follow VERB iajs-1930 468 17 corollary corollary NOUN iajs-1930 468 18 : : PUNCT iajs-1930 468 19     SPACE iajs-1930 468 20 121 121 NUM iajs-1930 468 21     SPACE iajs-1930 468 22 ibn ibn PROPN iajs-1930 468 23 al al PROPN iajs-1930 468 24 - - PUNCT iajs-1930 468 25 haitham haitham PROPN iajs-1930 468 26 jour jour X iajs-1930 468 27 . . PROPN iajs-1930 469 1 for for ADP iajs-1930 469 2 pure pure ADJ iajs-1930 469 3 & & CCONJ iajs-1930 469 4 appl appl PROPN iajs-1930 469 5 . . PUNCT iajs-1930 470 1 sci sci PROPN iajs-1930 470 2 . . PROPN iajs-1930 470 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 470 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 470 5 vol vol NOUN iajs-1930 470 6 . . PUNCT iajs-1930 471 1 32 32 NUM iajs-1930 472 1 ( ( PUNCT iajs-1930 472 2 1 1 NUM iajs-1930 472 3 ) ) SYM iajs-1930 472 4 2019 2019 NUM iajs-1930 472 5 corollary corollary NOUN iajs-1930 472 6 23 23 NUM iajs-1930 472 7 . . PUNCT iajs-1930 473 1 let let VERB iajs-1930 473 2 a a PRON iajs-1930 473 3 be be AUX iajs-1930 473 4 a a DET iajs-1930 473 5 proper proper ADJ iajs-1930 473 6 f. f. PROPN iajs-1930 473 7 subm subm PROPN iajs-1930 473 8 . . PUNCT iajs-1930 474 1 of of ADP iajs-1930 474 2 a a DET iajs-1930 474 3 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 474 4 f. f. PROPN iajs-1930 474 5 m. m. PROPN iajs-1930 475 1 x x PROPN iajs-1930 475 2 of of ADP iajs-1930 475 3 an an DET iajs-1930 475 4 r r NOUN iajs-1930 475 5 - - PUNCT iajs-1930 475 6 m. m. NOUN iajs-1930 475 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 475 8 . . PUNCT iajs-1930 476 1 then then ADV iajs-1930 476 2 a a PRON iajs-1930 476 3 is be AUX iajs-1930 476 4 t t PROPN iajs-1930 476 5 - - PUNCT iajs-1930 476 6 abso abso PROPN iajs-1930 476 7 f. f. PROPN iajs-1930 476 8 subm subm PROPN iajs-1930 476 9 . . PUNCT iajs-1930 477 1 of of ADP iajs-1930 477 2 x x SYM iajs-1930 477 3 iff iff PROPN iajs-1930 477 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 477 5 : : PUNCT iajs-1930 477 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 477 7 is be AUX iajs-1930 477 8 t t PROPN iajs-1930 477 9 - - PUNCT iajs-1930 477 10 abso abso PROPN iajs-1930 477 11 f. f. PROPN iajs-1930 477 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 477 13 of of ADP iajs-1930 477 14 r. r. PROPN iajs-1930 477 15 remark remark PROPN iajs-1930 477 16 24 24 NUM iajs-1930 477 17 . . PUNCT iajs-1930 478 1 the the DET iajs-1930 478 2 condition condition NOUN iajs-1930 478 3 x x PUNCT iajs-1930 478 4 is be AUX iajs-1930 478 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 478 6 f. f. PROPN iajs-1930 478 7 m. m. PROPN iajs-1930 478 8 ca can AUX iajs-1930 478 9 n't not PART iajs-1930 478 10 be be AUX iajs-1930 478 11 deleted delete VERB iajs-1930 478 12 from from ADP iajs-1930 478 13 theorem theorem ADJ iajs-1930 478 14 ( ( PUNCT iajs-1930 478 15 22 22 NUM iajs-1930 478 16 ) ) PUNCT iajs-1930 478 17 . . PUNCT iajs-1930 479 1 see see VERB iajs-1930 479 2 the the DET iajs-1930 479 3 following follow VERB iajs-1930 479 4 example example NOUN iajs-1930 479 5 : : PUNCT iajs-1930 479 6 let let VERB iajs-1930 479 7 x x PRON iajs-1930 479 8 : : PUNCT iajs-1930 479 9 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 479 10 → → SYM iajs-1930 479 11 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 479 12 such such ADJ iajs-1930 479 13 that that PRON iajs-1930 479 14 x(y x(y PROPN iajs-1930 479 15 ) ) PUNCT iajs-1930 480 1 = = PUNCT iajs-1930 480 2 1 1 NUM iajs-1930 480 3 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 480 4 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 480 5 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 480 6 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 480 7 0 0 NUM iajs-1930 480 8 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 480 9 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 480 10 it it PRON iajs-1930 480 11 is be AUX iajs-1930 480 12 obvious obvious ADJ iajs-1930 480 13 that that SCONJ iajs-1930 480 14 x x PRON iajs-1930 480 15 is be AUX iajs-1930 480 16 f. f. PROPN iajs-1930 480 17 m. m. PROPN iajs-1930 480 18 of of ADP iajs-1930 480 19 z z NOUN iajs-1930 480 20 - - PUNCT iajs-1930 480 21 m. m. NOUN iajs-1930 480 22 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 480 23 . . PUNCT iajs-1930 481 1 let let VERB iajs-1930 481 2 a a DET iajs-1930 481 3 : : PUNCT iajs-1930 481 4 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 481 5 → → SYM iajs-1930 481 6 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 481 7 such such ADJ iajs-1930 481 8 that that SCONJ iajs-1930 481 9 a(y a(y PROPN iajs-1930 481 10 ) ) PUNCT iajs-1930 482 1 = = PUNCT iajs-1930 483 1 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 483 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 483 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 483 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 483 5 0 0 NUM iajs-1930 483 6 0 0 NUM iajs-1930 483 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 483 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 483 9 ∀ ∀ X iajs-1930 484 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 484 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 484 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 484 4 it it PRON iajs-1930 484 5 is be AUX iajs-1930 484 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 484 7 that that SCONJ iajs-1930 484 8 a a PRON iajs-1930 484 9 is be AUX iajs-1930 484 10 f. f. PROPN iajs-1930 484 11 subm subm PROPN iajs-1930 484 12 . . PUNCT iajs-1930 485 1 of of ADP iajs-1930 485 2 x. x. NOUN iajs-1930 485 3 now now ADV iajs-1930 485 4 , , PUNCT iajs-1930 485 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 485 6 0 0 PUNCT iajs-1930 485 7 is be AUX iajs-1930 485 8 not not PART iajs-1930 485 9 t t PROPN iajs-1930 485 10 - - PUNCT iajs-1930 485 11 abso abso PROPN iajs-1930 485 12 subm subm PROPN iajs-1930 485 13 . . PUNCT iajs-1930 486 1 of of ADP iajs-1930 486 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 486 3 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 486 4 , , PUNCT iajs-1930 486 5 since since SCONJ iajs-1930 486 6 𝑝 𝑝 ADP iajs-1930 486 7 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 486 8 0 0 NUM iajs-1930 486 9 but but CCONJ iajs-1930 486 10 𝑝 𝑝 NOUN iajs-1930 486 11 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 486 12 0 0 NUM iajs-1930 486 13 and and CCONJ iajs-1930 486 14 𝑝 𝑝 NOUN iajs-1930 486 15 ∉ ∉ X iajs-1930 486 16 0 0 NUM iajs-1930 486 17 : : PUNCT iajs-1930 486 18 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 486 19 0 0 NUM iajs-1930 486 20 . . PUNCT iajs-1930 487 1 note note NOUN iajs-1930 487 2 ( ( PUNCT iajs-1930 487 3 0 0 NUM iajs-1930 487 4 ) ) PUNCT iajs-1930 487 5 is be AUX iajs-1930 487 6 a a DET iajs-1930 487 7 prime prime ADJ iajs-1930 487 8 ideal ideal NOUN iajs-1930 487 9 in in ADP iajs-1930 487 10 z z PROPN iajs-1930 487 11 , , PUNCT iajs-1930 487 12 so so SCONJ iajs-1930 487 13 that that SCONJ iajs-1930 487 14 0 0 NUM iajs-1930 487 15 : : PUNCT iajs-1930 487 16 𝑍 𝑍 NOUN iajs-1930 487 17 0 0 NUM iajs-1930 487 18 is be AUX iajs-1930 487 19 t t PROPN iajs-1930 487 20 - - PUNCT iajs-1930 487 21 abso abso PROPN iajs-1930 487 22 ideal ideal NOUN iajs-1930 487 23 in in ADP iajs-1930 487 24 z z NOUN iajs-1930 487 25 ; ; PUNCT iajs-1930 487 26 that that PRON iajs-1930 487 27 is be AUX iajs-1930 487 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 487 29 : : PUNCT iajs-1930 487 30 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 487 31 is be AUX iajs-1930 487 32 t t PROPN iajs-1930 487 33 - - PUNCT iajs-1930 487 34 abso abso PROPN iajs-1930 487 35 ideal ideal NOUN iajs-1930 487 36 in in ADP iajs-1930 487 37 z z PROPN iajs-1930 487 38 , , PUNCT iajs-1930 487 39 then then ADV iajs-1930 487 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 487 41 : : PUNCT iajs-1930 487 42 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 487 43 is be AUX iajs-1930 487 44 t t PROPN iajs-1930 487 45 - - PUNCT iajs-1930 487 46 abso abso PROPN iajs-1930 487 47 f. f. PROPN iajs-1930 487 48 ideal ideal PROPN iajs-1930 487 49 in in ADP iajs-1930 487 50 z. z. PROPN iajs-1930 487 51 thus thus ADV iajs-1930 487 52 a a PRON iajs-1930 487 53 is be AUX iajs-1930 487 54 not not PART iajs-1930 487 55 t t PROPN iajs-1930 487 56 - - PUNCT iajs-1930 487 57 abso abso PROPN iajs-1930 487 58 f. f. PROPN iajs-1930 487 59 subm subm PROPN iajs-1930 487 60 . . PUNCT iajs-1930 488 1 of of ADP iajs-1930 488 2 x x PRON iajs-1930 488 3 , , PUNCT iajs-1930 488 4 but but CCONJ iajs-1930 488 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 488 6 : : PUNCT iajs-1930 488 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 488 8 is be AUX iajs-1930 488 9 t t PROPN iajs-1930 488 10 - - PUNCT iajs-1930 488 11 abso abso PROPN iajs-1930 488 12 f. f. PROPN iajs-1930 488 13 ideal ideal PROPN iajs-1930 488 14 in in ADP iajs-1930 488 15 z. z. PROPN iajs-1930 489 1 now now ADV iajs-1930 489 2 , , PUNCT iajs-1930 489 3 we we PRON iajs-1930 489 4 gave give VERB iajs-1930 489 5 the the DET iajs-1930 489 6 following follow VERB iajs-1930 489 7 theorem theorem NOUN iajs-1930 489 8 is be AUX iajs-1930 489 9 a a DET iajs-1930 489 10 characterization characterization NOUN iajs-1930 489 11 of of ADP iajs-1930 489 12 t t PROPN iajs-1930 489 13 - - PUNCT iajs-1930 489 14 abso abso PROPN iajs-1930 489 15 f. f. PROPN iajs-1930 489 16 subm subm PROPN iajs-1930 489 17 . . PUNCT iajs-1930 490 1 theoerm theoerm PROPN iajs-1930 490 2 25 25 NUM iajs-1930 490 3 . . PUNCT iajs-1930 491 1 let let VERB iajs-1930 491 2 a a PRON iajs-1930 491 3 be be AUX iajs-1930 491 4 a a DET iajs-1930 491 5 proper proper ADJ iajs-1930 491 6 f. f. PROPN iajs-1930 491 7 subm subm PROPN iajs-1930 491 8 . . PUNCT iajs-1930 492 1 of of ADP iajs-1930 492 2 a a DET iajs-1930 492 3 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 492 4 f. f. PROPN iajs-1930 492 5 m. m. PROPN iajs-1930 492 6 x x PROPN iajs-1930 492 7 of of ADP iajs-1930 492 8 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 492 9 . . PUNCT iajs-1930 493 1 then then ADV iajs-1930 493 2 a a PRON iajs-1930 493 3 is be AUX iajs-1930 493 4 t t PROPN iajs-1930 493 5 - - PUNCT iajs-1930 493 6 abso abso PROPN iajs-1930 493 7 f. f. PROPN iajs-1930 493 8 subm subm PROPN iajs-1930 493 9 . . PUNCT iajs-1930 494 1 of of ADP iajs-1930 494 2 x x SYM iajs-1930 494 3 iff iff PROPN iajs-1930 494 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 494 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 9 implies imply VERB iajs-1930 494 10 that that SCONJ iajs-1930 494 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 494 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 15 or or CCONJ iajs-1930 494 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 494 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 20 or or CCONJ iajs-1930 494 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 494 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 25 , , PUNCT iajs-1930 494 26 where where SCONJ iajs-1930 494 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 28 , , PUNCT iajs-1930 494 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 30 , , PUNCT iajs-1930 494 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 494 32 are be AUX iajs-1930 494 33 f. f. PROPN iajs-1930 494 34 subm subm PROPN iajs-1930 494 35 . . PUNCT iajs-1930 495 1 of of ADP iajs-1930 495 2 x. x. PROPN iajs-1930 495 3 proof proof NOUN iajs-1930 495 4 . . PUNCT iajs-1930 496 1 ( ( PUNCT iajs-1930 496 2 ⇒)since ⇒)since NOUN iajs-1930 496 3 x x VERB iajs-1930 496 4 is be AUX iajs-1930 496 5 a a DET iajs-1930 496 6 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 496 7 f. f. PROPN iajs-1930 496 8 , , PUNCT iajs-1930 496 9 then then ADV iajs-1930 496 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 496 11 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 496 12 , , PUNCT iajs-1930 496 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 496 14 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 496 15 and and CCONJ iajs-1930 496 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 496 17 𝐾𝑋 𝐾𝑋 PROPN iajs-1930 496 18 for for ADP iajs-1930 496 19 some some DET iajs-1930 496 20 f. f. PROPN iajs-1930 496 21 ideals ideals PROPN iajs-1930 496 22 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 496 23 , , PUNCT iajs-1930 496 24 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 496 25 and and CCONJ iajs-1930 496 26 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 496 27 of of ADP iajs-1930 496 28 r r NOUN iajs-1930 496 29 . . PUNCT iajs-1930 497 1 so so SCONJ iajs-1930 497 2 that that SCONJ iajs-1930 497 3 the the DET iajs-1930 497 4 product product NOUN iajs-1930 497 5 of of ADP iajs-1930 497 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 7 , , PUNCT iajs-1930 497 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 9 and and CCONJ iajs-1930 497 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 11 as as SCONJ iajs-1930 497 12 follows follow VERB iajs-1930 497 13 : : PUNCT iajs-1930 497 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 497 17 ĥṷ𝐾𝑋 ĥṷ𝐾𝑋 NOUN iajs-1930 497 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 497 19 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 497 20 by by ADP iajs-1930 497 21 [ [ X iajs-1930 497 22 16 16 NUM iajs-1930 497 23 ] ] PUNCT iajs-1930 497 24 . . PUNCT iajs-1930 498 1 hence hence ADV iajs-1930 498 2 ĥṷ𝐾 ĥṷ𝐾 NOUN iajs-1930 498 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 498 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 498 5 : : PUNCT iajs-1930 498 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 498 7 . . PUNCT iajs-1930 499 1 since since SCONJ iajs-1930 499 2 a a PRON iajs-1930 499 3 is be AUX iajs-1930 499 4 t t PROPN iajs-1930 499 5 - - PUNCT iajs-1930 499 6 abso abso PROPN iajs-1930 499 7 f. f. PROPN iajs-1930 499 8 subm subm PROPN iajs-1930 499 9 . . PUNCT iajs-1930 500 1 of of ADP iajs-1930 500 2 x x SYM iajs-1930 500 3 , , PUNCT iajs-1930 500 4 then then ADV iajs-1930 500 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 500 6 : : PUNCT iajs-1930 500 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 500 8 is be AUX iajs-1930 500 9 t t PROPN iajs-1930 500 10 - - PUNCT iajs-1930 500 11 abso abso PROPN iajs-1930 500 12 f. f. PROPN iajs-1930 500 13 ideal ideal PROPN iajs-1930 500 14 by by ADP iajs-1930 500 15 theorem theorem NOUN iajs-1930 500 16 ( ( PUNCT iajs-1930 500 17 21 21 NUM iajs-1930 500 18 ) ) PUNCT iajs-1930 500 19 . . PUNCT iajs-1930 501 1 so so ADV iajs-1930 501 2 by by ADP iajs-1930 501 3 proposition proposition NOUN iajs-1930 501 4 ( ( PUNCT iajs-1930 501 5 9 9 NUM iajs-1930 501 6 ) ) PUNCT iajs-1930 501 7 , , PUNCT iajs-1930 501 8 either either CCONJ iajs-1930 501 9 ĥṷ ĥṷ PROPN iajs-1930 501 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 501 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 501 12 : : PUNCT iajs-1930 501 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 501 14 or or CCONJ iajs-1930 501 15 ĥ𝐾 ĥ𝐾 ADJ iajs-1930 501 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 501 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 501 18 : : PUNCT iajs-1930 501 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 501 20 or or CCONJ iajs-1930 501 21 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 501 22 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 501 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 501 24 : : PUNCT iajs-1930 501 25 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 501 26 . . PUNCT iajs-1930 502 1 hence hence ADV iajs-1930 502 2 either either CCONJ iajs-1930 502 3 ĥṷ𝑋 ĥṷ𝑋 PROPN iajs-1930 502 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 6 or or CCONJ iajs-1930 502 7 ĥ𝐾𝑋 ĥ𝐾𝑋 NOUN iajs-1930 502 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 10 or or CCONJ iajs-1930 502 11 ṷ𝐾𝑋 ṷ𝐾𝑋 ADJ iajs-1930 502 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 14 , , PUNCT iajs-1930 502 15 then then ADV iajs-1930 502 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 20 or or CCONJ iajs-1930 502 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 25 or or CCONJ iajs-1930 502 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 502 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 502 30 . . PUNCT iajs-1930 503 1 ( ( PUNCT iajs-1930 503 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 503 3 ) ) PUNCT iajs-1930 503 4 let let VERB iajs-1930 503 5 ĥṷ𝐵 ĥṷ𝐵 PROPN iajs-1930 503 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 503 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 503 8 for for ADP iajs-1930 503 9 some some DET iajs-1930 503 10 f. f. PROPN iajs-1930 503 11 ideals ideals PROPN iajs-1930 503 12 ĥ ĥ PRON iajs-1930 503 13 , , PUNCT iajs-1930 503 14 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 503 15 of of ADP iajs-1930 503 16 r r NOUN iajs-1930 503 17 and and CCONJ iajs-1930 503 18 b b PROPN iajs-1930 503 19 is be AUX iajs-1930 503 20 f. f. PROPN iajs-1930 503 21 subm subm PROPN iajs-1930 503 22 . . PUNCT iajs-1930 504 1 of of ADP iajs-1930 504 2 x. x. PROPN iajs-1930 504 3 since since SCONJ iajs-1930 504 4 x x PRON iajs-1930 504 5 is be AUX iajs-1930 504 6 a a DET iajs-1930 504 7 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 504 8 f. f. PROPN iajs-1930 504 9 m. m. PROPN iajs-1930 504 10 , , PUNCT iajs-1930 504 11 then then ADV iajs-1930 504 12 b b X iajs-1930 504 13 = = SYM iajs-1930 504 14 ex ex X iajs-1930 504 15 for for ADP iajs-1930 504 16 some some DET iajs-1930 504 17 f. f. PROPN iajs-1930 504 18 ideal ideal PROPN iajs-1930 504 19 e e PROPN iajs-1930 504 20 of of ADP iajs-1930 504 21 r. r. PROPN iajs-1930 504 22 then then ADV iajs-1930 504 23 ĥṷ𝐸𝑋 ĥṷ𝐸𝑋 VERB iajs-1930 504 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 504 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 504 26 . . PUNCT iajs-1930 505 1 let let VERB iajs-1930 505 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 3 ĥ𝑋 ĥ𝑋 PROPN iajs-1930 505 4 and and CCONJ iajs-1930 505 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 6 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 505 7 , , PUNCT iajs-1930 505 8 so so SCONJ iajs-1930 505 9 that that SCONJ iajs-1930 505 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 12 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 505 13 ĥṷ𝐸𝑋 ĥṷ𝐸𝑋 NOUN iajs-1930 505 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 15 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 505 16 so so ADV iajs-1930 505 17 by by ADP iajs-1930 505 18 hypotheses hypothesis NOUN iajs-1930 505 19 either either CCONJ iajs-1930 505 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 21 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 505 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 24 or or CCONJ iajs-1930 505 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 26 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 505 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 29 or or CCONJ iajs-1930 505 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 34 , , PUNCT iajs-1930 505 35 hence hence ADV iajs-1930 505 36 ĥ𝐸𝑋 ĥ𝐸𝑋 NOUN iajs-1930 505 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 39 or or CCONJ iajs-1930 505 40 ṷ𝐸𝑋 ṷ𝐸𝑋 NOUN iajs-1930 505 41 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 43 or or CCONJ iajs-1930 505 44 ĥṷ𝑋 ĥṷ𝑋 VERB iajs-1930 505 45 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 46 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 505 47 thus thus ADV iajs-1930 505 48 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 505 49 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 50 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 505 51 or or CCONJ iajs-1930 505 52 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 505 53 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 54 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 55 or or CCONJ iajs-1930 505 56 ĥṷ ĥṷ PROPN iajs-1930 505 57 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 505 58 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 505 59 : : PUNCT iajs-1930 505 60 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 505 61 . . PUNCT iajs-1930 506 1 therefore therefore ADV iajs-1930 506 2 , , PUNCT iajs-1930 506 3 a a PRON iajs-1930 506 4 is be AUX iajs-1930 506 5 t t PROPN iajs-1930 506 6 - - PUNCT iajs-1930 506 7 abso abso PROPN iajs-1930 506 8 f. f. PROPN iajs-1930 506 9 subm subm PROPN iajs-1930 506 10 . . PUNCT iajs-1930 507 1 of of ADP iajs-1930 507 2 x x PUNCT iajs-1930 507 3 by by ADP iajs-1930 507 4 theorem theorem NOUN iajs-1930 507 5 ( ( PUNCT iajs-1930 507 6 20 20 NUM iajs-1930 507 7 ) ) PUNCT iajs-1930 507 8 . . PUNCT iajs-1930 508 1 now now ADV iajs-1930 508 2 , , PUNCT iajs-1930 508 3 the the DET iajs-1930 508 4 definitions definition NOUN iajs-1930 508 5 of of ADP iajs-1930 508 6 finitely finitely ADV iajs-1930 508 7 generated generate VERB iajs-1930 508 8 f. f. PROPN iajs-1930 508 9 m. m. PROPN iajs-1930 508 10 see see VERB iajs-1930 508 11 [ [ X iajs-1930 508 12 17 17 NUM iajs-1930 508 13 , , PUNCT iajs-1930 508 14 definition definition NOUN iajs-1930 508 15 ( ( PUNCT iajs-1930 508 16 2.11 2.11 NUM iajs-1930 508 17 ) ) PUNCT iajs-1930 508 18 ] ] PUNCT iajs-1930 508 19 and and CCONJ iajs-1930 508 20 faithful faithful PROPN iajs-1930 508 21 f. f. PROPN iajs-1930 508 22 m. m. PROPN iajs-1930 508 23 see see VERB iajs-1930 508 24 [ [ X iajs-1930 508 25 3 3 NUM iajs-1930 508 26 , , PUNCT iajs-1930 508 27 definition definition NOUN iajs-1930 508 28 ( ( PUNCT iajs-1930 508 29 3.2.6 3.2.6 NUM iajs-1930 508 30 ) ) PUNCT iajs-1930 508 31 ] ] PUNCT iajs-1930 508 32 . . PUNCT iajs-1930 509 1 we we PRON iajs-1930 509 2 give give VERB iajs-1930 509 3 the the DET iajs-1930 509 4 following follow VERB iajs-1930 509 5 proposition proposition NOUN iajs-1930 509 6 . . PUNCT iajs-1930 510 1 proposition proposition NOUN iajs-1930 510 2 26 26 NUM iajs-1930 510 3 . . PUNCT iajs-1930 511 1 let let VERB iajs-1930 511 2 x x PRON iajs-1930 511 3 be be AUX iajs-1930 511 4 a a DET iajs-1930 511 5 finitely finitely ADV iajs-1930 511 6 generated generate VERB iajs-1930 511 7 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 511 8 f. f. PROPN iajs-1930 511 9 m. m. PROPN iajs-1930 511 10 of of ADP iajs-1930 511 11 an an DET iajs-1930 511 12 r r NOUN iajs-1930 511 13 - - PUNCT iajs-1930 511 14 m. m. NOUN iajs-1930 511 15 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 511 16 . . PUNCT iajs-1930 512 1 if if SCONJ iajs-1930 512 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 512 3 is be AUX iajs-1930 512 4 t t PROPN iajs-1930 512 5 - - PUNCT iajs-1930 512 6 abso abso PROPN iajs-1930 512 7 f. f. PROPN iajs-1930 512 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 512 9 of of ADP iajs-1930 512 10 r r NOUN iajs-1930 512 11 such such ADJ iajs-1930 512 12 that that SCONJ iajs-1930 512 13 f f PROPN iajs-1930 512 14 - - PUNCT iajs-1930 512 15 annx⊆ĥ annx⊆ĥ ADJ iajs-1930 512 16 , , PUNCT iajs-1930 512 17 then then ADV iajs-1930 512 18 ĥx ĥx PROPN iajs-1930 512 19 is be AUX iajs-1930 512 20 t t PROPN iajs-1930 512 21 - - PUNCT iajs-1930 512 22 abso abso PROPN iajs-1930 512 23 f. f. PROPN iajs-1930 512 24 subm subm PROPN iajs-1930 512 25 . . PUNCT iajs-1930 513 1 of of ADP iajs-1930 513 2 x. x. PROPN iajs-1930 513 3 proof proof PROPN iajs-1930 513 4 . . PUNCT iajs-1930 514 1 let let VERB iajs-1930 514 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 514 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 514 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 514 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 514 6 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 514 7 , , PUNCT iajs-1930 514 8 where where SCONJ iajs-1930 514 9 𝑎 𝑎 X iajs-1930 514 10 , , PUNCT iajs-1930 514 11 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 514 12 be be VERB iajs-1930 514 13 f. f. NOUN iajs-1930 514 14 singletons singleton NOUN iajs-1930 514 15 of of ADP iajs-1930 514 16 r r NOUN iajs-1930 514 17 and and CCONJ iajs-1930 514 18 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 514 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 514 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 514 21 , , PUNCT iajs-1930 514 22 hence hence ADV iajs-1930 514 23 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 514 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 514 25 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 514 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 514 27 ĥ𝑋. ĥ𝑋. NOUN iajs-1930 514 28 but but CCONJ iajs-1930 514 29 x x X iajs-1930 514 30 is be AUX iajs-1930 514 31 a a DET iajs-1930 514 32 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 514 33 f. f. PROPN iajs-1930 514 34 m. m. PROPN iajs-1930 514 35 , , PUNCT iajs-1930 514 36 then then ADV iajs-1930 514 37 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 514 38 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 514 39 for for ADP iajs-1930 514 40 some some DET iajs-1930 514 41 f. f. PROPN iajs-1930 514 42 ideal ideal PROPN iajs-1930 514 43 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 514 44 of of ADP iajs-1930 514 45 r. r. PROPN iajs-1930 514 46 thus thus ADV iajs-1930 514 47     SPACE iajs-1930 514 48 122 122 NUM iajs-1930 514 49     SPACE iajs-1930 514 50 ibn ibn PROPN iajs-1930 514 51 al al PROPN iajs-1930 514 52 - - PUNCT iajs-1930 514 53 haitham haitham PROPN iajs-1930 514 54 jour jour X iajs-1930 514 55 . . PROPN iajs-1930 515 1 for for ADP iajs-1930 515 2 pure pure ADJ iajs-1930 515 3 & & CCONJ iajs-1930 515 4 appl appl PROPN iajs-1930 515 5 . . PUNCT iajs-1930 516 1 sci sci PROPN iajs-1930 516 2 . . PROPN iajs-1930 516 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 516 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 516 5 vol vol NOUN iajs-1930 516 6 . . PUNCT iajs-1930 517 1 32 32 NUM iajs-1930 518 1 ( ( PUNCT iajs-1930 518 2 1 1 NUM iajs-1930 518 3 ) ) PUNCT iajs-1930 518 4 2019 2019 NUM iajs-1930 518 5 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 518 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 518 7 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 518 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 518 9 ĥ𝑋. ĥ𝑋. NOUN iajs-1930 519 1 so so SCONJ iajs-1930 519 2 that that SCONJ iajs-1930 519 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 519 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 519 5 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 519 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 519 7 ĥ ĥ SYM iajs-1930 519 8 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 519 9 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 519 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 519 11 since since SCONJ iajs-1930 519 12 f f PROPN iajs-1930 519 13 - - PUNCT iajs-1930 519 14 annx⊆ĥ annx⊆ĥ ADJ iajs-1930 519 15 . . PUNCT iajs-1930 520 1 but but CCONJ iajs-1930 520 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 520 3 is be AUX iajs-1930 520 4 t t PROPN iajs-1930 520 5 - - PUNCT iajs-1930 520 6 abso abso PROPN iajs-1930 520 7 f. f. PROPN iajs-1930 520 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 520 9 of of ADP iajs-1930 520 10 r r NOUN iajs-1930 520 11 , , PUNCT iajs-1930 520 12 so so SCONJ iajs-1930 520 13 that that SCONJ iajs-1930 520 14 either either ADV iajs-1930 520 15 𝑎 𝑎 X iajs-1930 520 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 520 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 520 18 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 520 19 or or CCONJ iajs-1930 520 20 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 520 21 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 520 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 520 23 ĥ ĥ SYM iajs-1930 520 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 520 25 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 520 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 520 27 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 520 28 . . PUNCT iajs-1930 521 1 then then ADV iajs-1930 521 2 we we PRON iajs-1930 521 3 have have VERB iajs-1930 521 4 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 521 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 521 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 521 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 521 8 ĥ𝑋 ĥ𝑋 PROPN iajs-1930 521 9 or or CCONJ iajs-1930 521 10 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 521 11 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 521 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 521 13 ĥ𝑋 ĥ𝑋 PROPN iajs-1930 521 14 or or CCONJ iajs-1930 521 15 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 521 16 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 521 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 521 18 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NUM iajs-1930 521 19 , , PUNCT iajs-1930 521 20 so so SCONJ iajs-1930 521 21 that that SCONJ iajs-1930 522 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 522 2 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 522 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 4 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NUM iajs-1930 522 5 : : PUNCT iajs-1930 522 6 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 522 7 or or CCONJ iajs-1930 522 8 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 522 9 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 522 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 11 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 522 12 or or CCONJ iajs-1930 522 13 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 522 14 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 522 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 16 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 522 17 , , PUNCT iajs-1930 522 18 hence hence ADV iajs-1930 522 19 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 522 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 522 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 22 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NUM iajs-1930 522 23 : : PUNCT iajs-1930 522 24 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 522 25 or or CCONJ iajs-1930 522 26 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 522 27 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 522 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 29 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 522 30 or or CCONJ iajs-1930 522 31 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 522 32 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 522 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 522 34 ĥ𝑋. ĥ𝑋. NOUN iajs-1930 522 35 so so SCONJ iajs-1930 522 36 that that SCONJ iajs-1930 522 37 ĥx ĥx PROPN iajs-1930 522 38 is be AUX iajs-1930 522 39 t t PROPN iajs-1930 522 40 - - PUNCT iajs-1930 522 41 abso abso PROPN iajs-1930 522 42 f. f. PROPN iajs-1930 522 43 subm subm PROPN iajs-1930 522 44 . . PUNCT iajs-1930 523 1 of of ADP iajs-1930 523 2 x. x. PROPN iajs-1930 523 3 corollary corollary PROPN iajs-1930 523 4 27 27 NUM iajs-1930 523 5 . . PUNCT iajs-1930 524 1 let let VERB iajs-1930 524 2 x x PRON iajs-1930 524 3 be be AUX iajs-1930 524 4 a a DET iajs-1930 524 5 faithful faithful ADJ iajs-1930 524 6 finitely finitely ADV iajs-1930 524 7 generated generate VERB iajs-1930 524 8 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 524 9 f. f. PROPN iajs-1930 524 10 m. m. PROPN iajs-1930 524 11 of of ADP iajs-1930 524 12 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 524 13 . . PUNCT iajs-1930 525 1 if if SCONJ iajs-1930 525 2 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 525 3 is be AUX iajs-1930 525 4 t t PROPN iajs-1930 525 5 - - PUNCT iajs-1930 525 6 abso abso PROPN iajs-1930 525 7 f. f. PROPN iajs-1930 525 8 ideal ideal PROPN iajs-1930 525 9 of of ADP iajs-1930 525 10 r r NOUN iajs-1930 525 11 , , PUNCT iajs-1930 525 12 then then ADV iajs-1930 525 13 ĥx ĥx NOUN iajs-1930 525 14 is be AUX iajs-1930 525 15 t t PROPN iajs-1930 525 16 - - PUNCT iajs-1930 525 17 abso abso PROPN iajs-1930 525 18 f. f. PROPN iajs-1930 525 19 subm subm PROPN iajs-1930 525 20 . . PUNCT iajs-1930 526 1 of of ADP iajs-1930 526 2 x. x. NOUN iajs-1930 526 3 proof proof NOUN iajs-1930 526 4 . . PUNCT iajs-1930 527 1 by by ADP iajs-1930 527 2 proposition proposition NOUN iajs-1930 527 3 ( ( PUNCT iajs-1930 527 4 26 26 NUM iajs-1930 527 5 ) ) PUNCT iajs-1930 527 6 , , PUNCT iajs-1930 527 7 it it PRON iajs-1930 527 8 follows follow VERB iajs-1930 527 9 immediately immediately ADV iajs-1930 527 10 . . PUNCT iajs-1930 528 1 corollary corollary ADJ iajs-1930 528 2 28 28 NUM iajs-1930 528 3 . . PUNCT iajs-1930 529 1 suppose suppose VERB iajs-1930 529 2 that that SCONJ iajs-1930 529 3 x x PRON iajs-1930 529 4 be be AUX iajs-1930 529 5 a a DET iajs-1930 529 6 faithful faithful ADJ iajs-1930 529 7 finitely finitely ADV iajs-1930 529 8 generated generate VERB iajs-1930 529 9 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 529 10 f. f. PROPN iajs-1930 529 11 m. m. PROPN iajs-1930 529 12 of of ADP iajs-1930 529 13 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 529 14 . . PUNCT iajs-1930 530 1 then then ADV iajs-1930 530 2 every every DET iajs-1930 530 3 proper proper ADJ iajs-1930 530 4 f. f. PROPN iajs-1930 530 5 subm subm PROPN iajs-1930 530 6 . . PUNCT iajs-1930 531 1 of of ADP iajs-1930 531 2 x x PROPN iajs-1930 531 3 is be AUX iajs-1930 531 4 t t PROPN iajs-1930 531 5 - - PUNCT iajs-1930 531 6 abso abso PROPN iajs-1930 531 7 iff iff PROPN iajs-1930 531 8 every every DET iajs-1930 531 9 proper proper ADJ iajs-1930 531 10 f. f. PROPN iajs-1930 531 11 ideal ideal NOUN iajs-1930 531 12 of of ADP iajs-1930 531 13 r r NOUN iajs-1930 531 14 is be AUX iajs-1930 531 15 t t PROPN iajs-1930 531 16 - - PUNCT iajs-1930 531 17 abso abso PROPN iajs-1930 531 18 . . PUNCT iajs-1930 532 1 proof proof NOUN iajs-1930 532 2 . . PUNCT iajs-1930 533 1 ( ( PUNCT iajs-1930 533 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 533 3 ) ) PUNCT iajs-1930 533 4 by by ADP iajs-1930 533 5 corollary corollary ADJ iajs-1930 533 6 ( ( PUNCT iajs-1930 533 7 27 27 NUM iajs-1930 533 8 ) ) PUNCT iajs-1930 533 9 , , PUNCT iajs-1930 533 10 it it PRON iajs-1930 533 11 follows follow VERB iajs-1930 533 12 immediately immediately ADV iajs-1930 533 13 . . PUNCT iajs-1930 534 1 ( ( PUNCT iajs-1930 534 2 ⟹ ⟹ X iajs-1930 534 3 ) ) PUNCT iajs-1930 534 4 let let VERB iajs-1930 534 5 ĥ ĥ PRON iajs-1930 534 6 be be AUX iajs-1930 534 7 a a DET iajs-1930 534 8 proper proper ADJ iajs-1930 534 9 f. f. PROPN iajs-1930 534 10 ideal ideal NOUN iajs-1930 534 11 of of ADP iajs-1930 534 12 r. r. PROPN iajs-1930 534 13 then then ADV iajs-1930 534 14 a a DET iajs-1930 534 15 = = PRON iajs-1930 534 16 ĥx ĥx NOUN iajs-1930 534 17 is be AUX iajs-1930 534 18 a a DET iajs-1930 534 19 proper proper ADJ iajs-1930 534 20 subm subm PROPN iajs-1930 534 21 . . PUNCT iajs-1930 535 1 of of ADP iajs-1930 535 2 x x X iajs-1930 535 3 . . PUNCT iajs-1930 536 1 since since SCONJ iajs-1930 536 2 a a PRON iajs-1930 536 3 is be AUX iajs-1930 536 4 t t PROPN iajs-1930 536 5 - - PUNCT iajs-1930 536 6 abso abso PROPN iajs-1930 536 7 f. f. PROPN iajs-1930 536 8 subm subm PROPN iajs-1930 536 9 . . PUNCT iajs-1930 537 1 , , PUNCT iajs-1930 537 2 so so SCONJ iajs-1930 537 3 that that SCONJ iajs-1930 537 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 537 5 : : PUNCT iajs-1930 537 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 537 7 is be AUX iajs-1930 537 8 t t PROPN iajs-1930 537 9 - - PUNCT iajs-1930 537 10 abso abso PROPN iajs-1930 537 11 f. f. PROPN iajs-1930 537 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 537 13 by by ADP iajs-1930 537 14 theorem theorem NOUN iajs-1930 537 15 ( ( PUNCT iajs-1930 537 16 21 21 NUM iajs-1930 537 17 ) ) PUNCT iajs-1930 537 18 . . PUNCT iajs-1930 538 1 but but CCONJ iajs-1930 538 2 x x X iajs-1930 538 3 is be AUX iajs-1930 538 4 a a DET iajs-1930 538 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 538 6 f. f. PROPN iajs-1930 538 7 m. m. PROPN iajs-1930 538 8 , , PUNCT iajs-1930 538 9 hence hence ADV iajs-1930 538 10 a= a= PROPN iajs-1930 538 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 538 12 : : PUNCT iajs-1930 538 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 538 14 x x PUNCT iajs-1930 538 15 by by ADP iajs-1930 538 16 [ [ X iajs-1930 538 17 5 5 NUM iajs-1930 538 18 ] ] PUNCT iajs-1930 538 19 . . PUNCT iajs-1930 539 1 thus thus ADV iajs-1930 539 2 ĥx= ĥx= PROPN iajs-1930 539 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 539 4 : : PUNCT iajs-1930 539 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 539 6 x. x. VERB iajs-1930 539 7 since since SCONJ iajs-1930 539 8 x x PRON iajs-1930 539 9 is be AUX iajs-1930 539 10 a a DET iajs-1930 539 11 faithful faithful ADJ iajs-1930 539 12 finitely finitely ADV iajs-1930 539 13 generated generate VERB iajs-1930 539 14 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 539 15 f. f. PROPN iajs-1930 539 16 m. m. PROPN iajs-1930 539 17 , , PUNCT iajs-1930 539 18 then then ADV iajs-1930 539 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 539 20 is be AUX iajs-1930 539 21 a a DET iajs-1930 539 22 faithful faithful ADJ iajs-1930 539 23 finitely finitely ADV iajs-1930 539 24 generated generate VERB iajs-1930 539 25 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 539 26 m. m. NOUN iajs-1930 539 27 by by ADP iajs-1930 539 28 [ [ X iajs-1930 539 29 16 16 NUM iajs-1930 539 30 , , PUNCT iajs-1930 539 31 17 17 NUM iajs-1930 539 32 ] ] PUNCT iajs-1930 539 33 , , PUNCT iajs-1930 539 34 implies imply VERB iajs-1930 539 35 that that SCONJ iajs-1930 539 36 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 539 37 = = PROPN iajs-1930 539 38 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 539 39 is be AUX iajs-1930 539 40 cancellation cancellation NOUN iajs-1930 539 41 r r NOUN iajs-1930 539 42 - - NOUN iajs-1930 539 43 m. m. NOUN iajs-1930 539 44 by by ADP iajs-1930 539 45 [ [ X iajs-1930 539 46 18 18 NUM iajs-1930 539 47 ] ] PUNCT iajs-1930 539 48 . . PUNCT iajs-1930 540 1 hence hence ADV iajs-1930 540 2 x x X iajs-1930 540 3 is be AUX iajs-1930 540 4 a a DET iajs-1930 540 5 cancellation cancellation NOUN iajs-1930 540 6 f. f. PROPN iajs-1930 540 7 m. m. PROPN iajs-1930 540 8 by by ADP iajs-1930 540 9 [ [ X iajs-1930 540 10 8 8 NUM iajs-1930 540 11 ] ] PUNCT iajs-1930 540 12 . . PUNCT iajs-1930 541 1 therefore therefore ADV iajs-1930 541 2 ĥ= ĥ= PROPN iajs-1930 541 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 541 4 : : PUNCT iajs-1930 541 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 541 6 ; ; PUNCT iajs-1930 541 7 that that PRON iajs-1930 541 8 is be AUX iajs-1930 541 9 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 541 10 is be AUX iajs-1930 541 11 t t PROPN iajs-1930 541 12 - - PUNCT iajs-1930 541 13 abso abso PROPN iajs-1930 541 14 f. f. PROPN iajs-1930 541 15 ideal ideal PROPN iajs-1930 541 16 of of ADP iajs-1930 541 17 r. r. PROPN iajs-1930 541 18 recall recall PROPN iajs-1930 541 19 that that PRON iajs-1930 541 20 let let VERB iajs-1930 541 21 x x PRON iajs-1930 541 22 be be AUX iajs-1930 541 23 f. f. PROPN iajs-1930 541 24 m. m. NOUN iajs-1930 541 25 of of ADP iajs-1930 541 26 an an DET iajs-1930 541 27 r r NOUN iajs-1930 541 28 - - PUNCT iajs-1930 541 29 m. m. NOUN iajs-1930 541 30 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 541 31 , , PUNCT iajs-1930 541 32 and and CCONJ iajs-1930 541 33 let let VERB iajs-1930 541 34 a a PRON iajs-1930 541 35 be be AUX iajs-1930 541 36 f. f. PROPN iajs-1930 541 37 subm subm PROPN iajs-1930 541 38 . . PUNCT iajs-1930 542 1 of of ADP iajs-1930 542 2 x. x. PROPN iajs-1930 542 3 a a PRON iajs-1930 542 4 is be AUX iajs-1930 542 5 called call VERB iajs-1930 542 6 a a DET iajs-1930 542 7 pure pure ADJ iajs-1930 542 8 f. f. PROPN iajs-1930 542 9 subm subm PROPN iajs-1930 542 10 . . PUNCT iajs-1930 543 1 , , PUNCT iajs-1930 543 2 if if SCONJ iajs-1930 543 3 for for ADP iajs-1930 543 4 each each DET iajs-1930 543 5 f. f. PROPN iajs-1930 543 6 ideal ideal PROPN iajs-1930 543 7 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 543 8 of of ADP iajs-1930 543 9 r r NOUN iajs-1930 543 10 such such ADJ iajs-1930 543 11 that that SCONJ iajs-1930 543 12 ĥa ĥa PROPN iajs-1930 543 13 = = PRON iajs-1930 543 14 ĥx∩a ĥx∩a PROPN iajs-1930 543 15 , , PUNCT iajs-1930 543 16 see see VERB iajs-1930 543 17 [ [ X iajs-1930 543 18 19 19 NUM iajs-1930 543 19 ] ] PUNCT iajs-1930 543 20 . . PUNCT iajs-1930 544 1 proposition proposition NOUN iajs-1930 544 2 29 29 NUM iajs-1930 544 3 . . PUNCT iajs-1930 545 1 let let VERB iajs-1930 545 2 a a DET iajs-1930 545 3 be be AUX iajs-1930 545 4 a a DET iajs-1930 545 5 proper proper ADJ iajs-1930 545 6 pure pure ADJ iajs-1930 545 7 f. f. PROPN iajs-1930 545 8 subm subm PROPN iajs-1930 545 9 . . PUNCT iajs-1930 546 1 of of ADP iajs-1930 546 2 f. f. PROPN iajs-1930 546 3 m. m. PROPN iajs-1930 547 1 x x PROPN iajs-1930 547 2 of of ADP iajs-1930 547 3 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 547 4 . . PUNCT iajs-1930 548 1 if if SCONJ iajs-1930 548 2 0 0 NUM iajs-1930 548 3 is be AUX iajs-1930 548 4 t t PROPN iajs-1930 548 5 - - PUNCT iajs-1930 548 6 abso abso PROPN iajs-1930 548 7 f. f. PROPN iajs-1930 548 8 subm subm PROPN iajs-1930 548 9 . . PUNCT iajs-1930 549 1 of of ADP iajs-1930 549 2 x x SYM iajs-1930 549 3 , , PUNCT iajs-1930 549 4 then then ADV iajs-1930 549 5 a a PRON iajs-1930 549 6 is be AUX iajs-1930 549 7 t t PROPN iajs-1930 549 8 - - PUNCT iajs-1930 549 9 abso abso PROPN iajs-1930 549 10 f. f. PROPN iajs-1930 549 11 subm subm PROPN iajs-1930 549 12 . . PUNCT iajs-1930 550 1 of of ADP iajs-1930 550 2 x. x. PROPN iajs-1930 550 3 proof proof PROPN iajs-1930 550 4 . . PUNCT iajs-1930 551 1 let let VERB iajs-1930 551 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 551 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 551 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 551 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 551 6 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 551 7 where where SCONJ iajs-1930 551 8 𝑎 𝑎 X iajs-1930 551 9 , , PUNCT iajs-1930 551 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 551 11 f. f. NOUN iajs-1930 551 12 singletons singleton NOUN iajs-1930 551 13 of of ADP iajs-1930 551 14 r r NOUN iajs-1930 551 15 and and CCONJ iajs-1930 551 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 551 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 551 18 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 551 19 put put VERB iajs-1930 551 20 ĥ ĥ PRON iajs-1930 551 21 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 551 22 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 551 23 , , PUNCT iajs-1930 551 24 hence hence ADV iajs-1930 551 25 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 551 26 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 551 27 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 551 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 551 29 ĥ𝑋 ĥ𝑋 ADJ iajs-1930 551 30 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 551 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 551 32 , , PUNCT iajs-1930 551 33 but but CCONJ iajs-1930 551 34 ĥx∩a ĥx∩a NUM iajs-1930 551 35 = = SYM iajs-1930 551 36 ĥa ĥa PROPN iajs-1930 551 37 . . PUNCT iajs-1930 552 1 so so ADV iajs-1930 552 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 552 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 552 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 552 5 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 552 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 552 7 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 552 8 , , PUNCT iajs-1930 552 9 for for ADP iajs-1930 552 10 some some DET iajs-1930 552 11 f. f. PROPN iajs-1930 552 12 singleton singleton PROPN iajs-1930 552 13 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 552 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 552 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 552 16 , , PUNCT iajs-1930 552 17 then then ADV iajs-1930 552 18 𝑎 𝑎 X iajs-1930 552 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 552 20 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 552 21 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 552 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 552 23 0 0 NUM iajs-1930 552 24 , , PUNCT iajs-1930 552 25 but but CCONJ iajs-1930 552 26 0 0 NUM iajs-1930 552 27 is be AUX iajs-1930 552 28 t t PROPN iajs-1930 552 29 - - PUNCT iajs-1930 552 30 abso abso PROPN iajs-1930 552 31 f. f. PROPN iajs-1930 552 32 subm subm PROPN iajs-1930 552 33 . . PUNCT iajs-1930 553 1 , , PUNCT iajs-1930 553 2 hence hence ADV iajs-1930 553 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 553 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 553 5 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 553 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 553 7 0 0 NUM iajs-1930 553 8 or or CCONJ iajs-1930 553 9 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 553 10 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 553 11 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 553 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 553 13 0 0 NUM iajs-1930 553 14 or or CCONJ iajs-1930 553 15 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 553 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 553 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 553 18 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 553 19 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 PROPN iajs-1930 553 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 553 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 553 22 : : PUNCT iajs-1930 553 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 553 24 . . PUNCT iajs-1930 554 1 so so ADV iajs-1930 554 2 we we PRON iajs-1930 554 3 have have VERB iajs-1930 554 4 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 554 5 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 554 6 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 554 7 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 554 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 554 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 554 10 or or CCONJ iajs-1930 554 11 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 554 12 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 554 13 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 554 14 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 554 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 554 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 554 17 or or CCONJ iajs-1930 554 18 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 554 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 554 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 554 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 554 22 : : PUNCT iajs-1930 554 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 554 24 . . PUNCT iajs-1930 555 1 therefore therefore ADV iajs-1930 555 2 a a PRON iajs-1930 555 3 is be AUX iajs-1930 555 4 t t PROPN iajs-1930 555 5 - - PUNCT iajs-1930 555 6 abso abso PROPN iajs-1930 555 7 f. f. PROPN iajs-1930 555 8 subm subm PROPN iajs-1930 555 9 . . PUNCT iajs-1930 556 1 of of ADP iajs-1930 556 2 x. x. NOUN iajs-1930 556 3 now now ADV iajs-1930 556 4 , , PUNCT iajs-1930 556 5 we we PRON iajs-1930 556 6 give give VERB iajs-1930 556 7 the the DET iajs-1930 556 8 concept concept NOUN iajs-1930 556 9 of of ADP iajs-1930 556 10 a a DET iajs-1930 556 11 cancellative cancellative ADJ iajs-1930 556 12 f. f. PROPN iajs-1930 556 13 m. m. PROPN iajs-1930 556 14 as as SCONJ iajs-1930 556 15 follows follow VERB iajs-1930 556 16 : : PUNCT iajs-1930 556 17 definition definition NOUN iajs-1930 556 18 30 30 NUM iajs-1930 556 19 . . PUNCT iajs-1930 557 1 a a DET iajs-1930 557 2 f. f. PROPN iajs-1930 557 3 m. m. NOUN iajs-1930 557 4 x x PROPN iajs-1930 557 5 of of ADP iajs-1930 557 6 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 557 7 is be AUX iajs-1930 557 8 called call VERB iajs-1930 557 9 a a DET iajs-1930 557 10 cancellative cancellative ADJ iajs-1930 557 11 f. f. NOUN iajs-1930 557 12 if if SCONJ iajs-1930 557 13 whenever whenever SCONJ iajs-1930 557 14 𝑎 𝑎 VERB iajs-1930 557 15 𝑥 𝑥 X iajs-1930 557 16 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 557 17 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 557 18 for for ADP iajs-1930 557 19 f. f. PROPN iajs-1930 557 20 singletons singleton NOUN iajs-1930 557 21 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 557 22 of of ADP iajs-1930 557 23 r r NOUN iajs-1930 557 24 and and CCONJ iajs-1930 557 25 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 557 26 , , PUNCT iajs-1930 557 27 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 557 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 557 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 557 30 , , PUNCT iajs-1930 557 31 ∀s ∀s PROPN iajs-1930 557 32 , , PUNCT iajs-1930 557 33 v v NOUN iajs-1930 557 34 , , PUNCT iajs-1930 557 35 k k PROPN iajs-1930 557 36 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 557 37 l l NOUN iajs-1930 557 38 , , PUNCT iajs-1930 557 39 then then ADV iajs-1930 557 40 𝑥 𝑥 X iajs-1930 557 41 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 557 42 proposition proposition NOUN iajs-1930 557 43 31 31 NUM iajs-1930 557 44 . . PUNCT iajs-1930 558 1 let let VERB iajs-1930 558 2 x x PRON iajs-1930 558 3 be be AUX iajs-1930 558 4 a a DET iajs-1930 558 5 cancellative cancellative ADJ iajs-1930 558 6 f. f. PROPN iajs-1930 558 7 m. m. NOUN iajs-1930 558 8 of of ADP iajs-1930 558 9 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 558 10 , , PUNCT iajs-1930 558 11 and and CCONJ iajs-1930 558 12 a a PRON iajs-1930 558 13 be be AUX iajs-1930 558 14 a a DET iajs-1930 558 15 proper proper ADJ iajs-1930 558 16 f. f. PROPN iajs-1930 558 17 subm subm PROPN iajs-1930 558 18 . . PUNCT iajs-1930 559 1 of of ADP iajs-1930 559 2 x. x. NOUN iajs-1930 559 3 then then ADV iajs-1930 559 4 a a PRON iajs-1930 559 5 is be AUX iajs-1930 559 6 a a DET iajs-1930 559 7 pure pure ADJ iajs-1930 559 8 f. f. PROPN iajs-1930 559 9 subm subm PROPN iajs-1930 559 10 . . PUNCT iajs-1930 560 1 of of ADP iajs-1930 560 2 x x SYM iajs-1930 560 3 iff iff PROPN iajs-1930 560 4 a a PROPN iajs-1930 560 5 is be AUX iajs-1930 560 6 t t PROPN iajs-1930 560 7 - - PUNCT iajs-1930 560 8 abso abso PROPN iajs-1930 560 9 f. f. PROPN iajs-1930 560 10 subm.of subm.of PROPN iajs-1930 560 11 x x PUNCT iajs-1930 560 12 with with ADP iajs-1930 560 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 560 14 : : PUNCT iajs-1930 560 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 560 16 0 0 NUM iajs-1930 560 17 . . PUNCT iajs-1930 560 18     SPACE iajs-1930 561 1 123 123 NUM iajs-1930 561 2     SPACE iajs-1930 561 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 561 4 al al PROPN iajs-1930 561 5 - - PUNCT iajs-1930 561 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 561 7 jour jour X iajs-1930 561 8 . . PROPN iajs-1930 561 9 for for ADP iajs-1930 561 10 pure pure ADJ iajs-1930 561 11 & & CCONJ iajs-1930 561 12 appl appl PROPN iajs-1930 561 13 . . PUNCT iajs-1930 562 1 sci sci PROPN iajs-1930 562 2 . . PROPN iajs-1930 562 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 562 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 562 5 vol vol NOUN iajs-1930 562 6 . . PUNCT iajs-1930 563 1 32 32 NUM iajs-1930 564 1 ( ( PUNCT iajs-1930 564 2 1 1 NUM iajs-1930 564 3 ) ) PUNCT iajs-1930 564 4 2019 2019 NUM iajs-1930 564 5 proof proof NOUN iajs-1930 564 6 . . PUNCT iajs-1930 565 1 ( ( PUNCT iajs-1930 565 2 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 565 3 ) ) PUNCT iajs-1930 565 4 assume assume VERB iajs-1930 565 5 that that SCONJ iajs-1930 565 6 a a PRON iajs-1930 565 7 is be AUX iajs-1930 565 8 a a DET iajs-1930 565 9 pure pure ADJ iajs-1930 565 10 f. f. PROPN iajs-1930 565 11 subm subm PROPN iajs-1930 565 12 . . PUNCT iajs-1930 566 1 of of ADP iajs-1930 566 2 x x X iajs-1930 566 3 and and CCONJ iajs-1930 566 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 566 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 566 6 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 566 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 566 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 566 9 such such ADJ iajs-1930 566 10 that that SCONJ iajs-1930 566 11 𝑎 𝑎 ADJ iajs-1930 566 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 566 13 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 566 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 566 15 : : PUNCT iajs-1930 566 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 566 17 for for ADP iajs-1930 566 18 f. f. PROPN iajs-1930 566 19 singletons singleton NOUN iajs-1930 567 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 567 2 , , PUNCT iajs-1930 567 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 567 4 of of ADP iajs-1930 567 5 r r NOUN iajs-1930 567 6 and and CCONJ iajs-1930 567 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 568 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 568 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 568 3 . . PUNCT iajs-1930 569 1 then then ADV iajs-1930 569 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 569 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 569 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 569 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 569 6 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 569 7 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 569 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 569 9 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 569 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 569 11 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 569 12 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 569 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 569 14 , , PUNCT iajs-1930 569 15 hence hence ADV iajs-1930 569 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 569 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 569 18 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 569 19 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 569 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 569 21 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 569 22 for for ADP iajs-1930 569 23 some some DET iajs-1930 569 24 f. f. PROPN iajs-1930 569 25 singleton singleton PROPN iajs-1930 569 26 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 569 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 569 28 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 569 29 since since SCONJ iajs-1930 569 30 x x PRON iajs-1930 569 31 is be AUX iajs-1930 569 32 a a DET iajs-1930 569 33 cancellative cancellative ADJ iajs-1930 569 34 f. f. PROPN iajs-1930 569 35 m. m. PROPN iajs-1930 569 36 , , PUNCT iajs-1930 569 37 then then ADV iajs-1930 569 38 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 569 39 𝑥 𝑥 X iajs-1930 569 40 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 569 41 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 569 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 569 43 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 569 44 thus thus ADV iajs-1930 569 45 a a PRON iajs-1930 569 46 is be AUX iajs-1930 569 47 t t PROPN iajs-1930 569 48 - - PUNCT iajs-1930 569 49 abso abso PROPN iajs-1930 569 50 f. f. PROPN iajs-1930 569 51 subm subm PROPN iajs-1930 569 52 . . PUNCT iajs-1930 570 1 of of ADP iajs-1930 570 2 x. x. NOUN iajs-1930 570 3 now now ADV iajs-1930 570 4 , , PUNCT iajs-1930 570 5 assume assume VERB iajs-1930 570 6 that that SCONJ iajs-1930 570 7 f. f. PROPN iajs-1930 570 8 singleton singleton PROPN iajs-1930 570 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 570 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 570 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 570 12 : : PUNCT iajs-1930 570 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 570 14 with with ADP iajs-1930 570 15 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 570 16 0 0 PUNCT iajs-1930 570 17 . . PUNCT iajs-1930 571 1 since since SCONJ iajs-1930 571 2 a≠x a≠x NOUN iajs-1930 571 3 there there PRON iajs-1930 571 4 exists exist VERB iajs-1930 571 5 f. f. PROPN iajs-1930 571 6 singleton singleton PROPN iajs-1930 572 1 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 572 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 572 3 𝑋\𝐴 𝑋\𝐴 PRON iajs-1930 572 4 such such ADJ iajs-1930 572 5 that that SCONJ iajs-1930 572 6 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 572 7 𝑥 𝑥 ADP iajs-1930 572 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 572 9 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 572 10 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 572 11 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 572 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 572 13 𝑟 𝑟 PROPN iajs-1930 572 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 572 15 , , PUNCT iajs-1930 572 16 so so ADV iajs-1930 572 17 there there PRON iajs-1930 572 18 exists exist VERB iajs-1930 572 19 f. f. PROPN iajs-1930 572 20 singleton singleton PROPN iajs-1930 572 21 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 572 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 572 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 572 24 , , PUNCT iajs-1930 572 25 such such ADJ iajs-1930 572 26 that that SCONJ iajs-1930 572 27 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 572 28 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 572 29 𝑟 𝑟 X iajs-1930 572 30 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 572 31 , , PUNCT iajs-1930 572 32 hence hence ADV iajs-1930 572 33 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 572 34 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 572 35 this this PRON iajs-1930 572 36 is be AUX iajs-1930 572 37 a a DET iajs-1930 572 38 contradication contradication NOUN iajs-1930 572 39 . . PUNCT iajs-1930 573 1 so so ADV iajs-1930 573 2 that that DET iajs-1930 573 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 573 4 : : PUNCT iajs-1930 573 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 573 6 0 0 PROPN iajs-1930 573 7 . . PUNCT iajs-1930 574 1 ( ( PUNCT iajs-1930 574 2 ⇐ ⇐ NOUN iajs-1930 574 3 ) ) PUNCT iajs-1930 574 4 suppose suppose VERB iajs-1930 574 5 that that SCONJ iajs-1930 574 6 a a PRON iajs-1930 574 7 is be AUX iajs-1930 574 8 t t PROPN iajs-1930 574 9 - - PUNCT iajs-1930 574 10 abso abso PROPN iajs-1930 574 11 f. f. PROPN iajs-1930 574 12 subm subm PROPN iajs-1930 574 13 . . PUNCT iajs-1930 575 1 of of ADP iajs-1930 575 2 x. x. PROPN iajs-1930 575 3 let let VERB iajs-1930 575 4 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 575 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 575 6 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 575 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 575 8 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 575 9 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 575 10 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 575 11 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 575 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 575 13 for for ADP iajs-1930 575 14 f. f. PROPN iajs-1930 575 15 singletons singletons PROPN iajs-1930 576 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 576 2 , , PUNCT iajs-1930 576 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 576 4 of of ADP iajs-1930 576 5 r r NOUN iajs-1930 576 6 and and CCONJ iajs-1930 576 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 577 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 577 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 577 3 . . PUNCT iajs-1930 578 1 we we PRON iajs-1930 578 2 may may AUX iajs-1930 578 3 suppose suppose VERB iajs-1930 578 4 that that SCONJ iajs-1930 578 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 578 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 578 7 0 0 NUM iajs-1930 578 8 . . PUNCT iajs-1930 579 1 since since SCONJ iajs-1930 579 2 a a PRON iajs-1930 579 3 is be AUX iajs-1930 579 4 t t PROPN iajs-1930 579 5 - - PUNCT iajs-1930 579 6 abso abso PROPN iajs-1930 579 7 f. f. PROPN iajs-1930 579 8 subm subm PROPN iajs-1930 579 9 . . PUNCT iajs-1930 580 1 of of ADP iajs-1930 580 2 x x SYM iajs-1930 580 3 , , PUNCT iajs-1930 580 4 then then ADV iajs-1930 580 5 either either CCONJ iajs-1930 580 6 𝑎 𝑎 X iajs-1930 580 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 580 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 10 or or CCONJ iajs-1930 580 11 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 580 12 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 580 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 14 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 580 15 if if SCONJ iajs-1930 580 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 580 17 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 580 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 20 and and CCONJ iajs-1930 580 21 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 580 22 be be AUX iajs-1930 580 23 f. f. PROPN iajs-1930 580 24 singleton singleton PROPN iajs-1930 580 25 of of ADP iajs-1930 580 26 r r PROPN iajs-1930 580 27 , , PUNCT iajs-1930 580 28 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 580 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 30 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 580 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 32 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 580 33 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 34 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 580 35 thus thus ADV iajs-1930 580 36 𝑎 𝑎 X iajs-1930 580 37 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 38 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 580 39 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 580 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 41 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 42 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 580 43 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 44 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 580 45 by by ADP iajs-1930 580 46 the the DET iajs-1930 580 47 same same ADJ iajs-1930 580 48 method method NOUN iajs-1930 580 49 to to PART iajs-1930 580 50 prove prove VERB iajs-1930 580 51 the the DET iajs-1930 580 52 case case NOUN iajs-1930 580 53 if if SCONJ iajs-1930 580 54 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 580 55 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 580 56 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 57 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 58 ; ; PUNCT iajs-1930 580 59 that that PRON iajs-1930 580 60 is be AUX iajs-1930 580 61 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 580 62 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 580 63 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 64 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 580 65 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 580 66 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 580 67 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 580 68 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 580 69 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 580 70 thus thus ADV iajs-1930 580 71 𝑎 𝑎 X iajs-1930 580 72 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 73 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 580 74 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 580 75 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 580 76 𝑎 𝑎 X iajs-1930 580 77 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 580 78 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 580 79 so so SCONJ iajs-1930 580 80 that that SCONJ iajs-1930 580 81 a a PRON iajs-1930 580 82 is be AUX iajs-1930 580 83 a a DET iajs-1930 580 84 pure pure ADJ iajs-1930 580 85 f. f. PROPN iajs-1930 580 86 subm subm PROPN iajs-1930 580 87 . . PUNCT iajs-1930 581 1 4 4 NUM iajs-1930 581 2 . . X iajs-1930 581 3 t t PROPN iajs-1930 581 4 - - PUNCT iajs-1930 581 5 abso abso PROPN iajs-1930 581 6 quasi quasi PROPN iajs-1930 581 7 primary primary PROPN iajs-1930 581 8 f. f. PROPN iajs-1930 581 9 subm subm PROPN iajs-1930 581 10 . . PUNCT iajs-1930 582 1 in in ADP iajs-1930 582 2 this this DET iajs-1930 582 3 section section NOUN iajs-1930 582 4 we we PRON iajs-1930 582 5 present present VERB iajs-1930 582 6 the the DET iajs-1930 582 7 concept concept NOUN iajs-1930 582 8 of of ADP iajs-1930 582 9 t t PROPN iajs-1930 582 10 - - PUNCT iajs-1930 582 11 abso abso PROPN iajs-1930 582 12 quasi quasi PROPN iajs-1930 582 13 primary primary PROPN iajs-1930 582 14 f. f. PROPN iajs-1930 582 15 subm subm PROPN iajs-1930 582 16 . . PUNCT iajs-1930 583 1 and and CCONJ iajs-1930 583 2 study study VERB iajs-1930 583 3 the the DET iajs-1930 583 4 relationships relationship NOUN iajs-1930 583 5 this this DET iajs-1930 583 6 concept concept NOUN iajs-1930 583 7 among among ADP iajs-1930 583 8 t t PROPN iajs-1930 583 9 - - PUNCT iajs-1930 583 10 abso abso PROPN iajs-1930 583 11 f. f. PROPN iajs-1930 583 12 subm subm PROPN iajs-1930 583 13 . . PUNCT iajs-1930 584 1 and and CCONJ iajs-1930 584 2 t t PROPN iajs-1930 584 3 - - PUNCT iajs-1930 584 4 abso abso PROPN iajs-1930 584 5 primary primary PROPN iajs-1930 584 6 f. f. PROPN iajs-1930 584 7 subm subm PROPN iajs-1930 584 8 . . PUNCT iajs-1930 585 1 many many ADJ iajs-1930 585 2 basic basic ADJ iajs-1930 585 3 properties property NOUN iajs-1930 585 4 and and CCONJ iajs-1930 585 5 outcomes outcome NOUN iajs-1930 585 6 are be AUX iajs-1930 585 7 given give VERB iajs-1930 585 8 . . PUNCT iajs-1930 586 1 now now ADV iajs-1930 586 2 , , PUNCT iajs-1930 586 3 we we PRON iajs-1930 586 4 give give VERB iajs-1930 586 5 the the DET iajs-1930 586 6 following follow VERB iajs-1930 586 7 definition definition NOUN iajs-1930 586 8 : : PUNCT iajs-1930 586 9 definition definition NOUN iajs-1930 586 10 32 32 NUM iajs-1930 586 11 . . PUNCT iajs-1930 587 1 let let VERB iajs-1930 587 2 a a PRON iajs-1930 587 3 be be AUX iajs-1930 587 4 a a DET iajs-1930 587 5 proper proper ADJ iajs-1930 587 6 f. f. PROPN iajs-1930 587 7 subm subm PROPN iajs-1930 587 8 . . PUNCT iajs-1930 588 1 of of ADP iajs-1930 588 2 non non ADJ iajs-1930 588 3 - - ADJ iajs-1930 588 4 empty empty ADJ iajs-1930 588 5 f. f. PROPN iajs-1930 588 6 m. m. NOUN iajs-1930 589 1 x x PROPN iajs-1930 589 2 of of ADP iajs-1930 589 3 an an DET iajs-1930 589 4 r r NOUN iajs-1930 589 5 - - PUNCT iajs-1930 589 6 m. m. NOUN iajs-1930 589 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 589 8 . . PUNCT iajs-1930 590 1 then then ADV iajs-1930 590 2 the the DET iajs-1930 590 3 x x PROPN iajs-1930 590 4 - - PROPN iajs-1930 590 5 f. f. PROPN iajs-1930 590 6 radical radical PROPN iajs-1930 590 7 of of ADP iajs-1930 590 8 a a PRON iajs-1930 590 9 , , PUNCT iajs-1930 590 10 denoted denote VERB iajs-1930 590 11 by by ADP iajs-1930 590 12 x x PROPN iajs-1930 590 13 - - PUNCT iajs-1930 590 14 r(a r(a ADJ iajs-1930 590 15 ) ) PUNCT iajs-1930 590 16 is be AUX iajs-1930 590 17 defined define VERB iajs-1930 590 18 to to ADP iajs-1930 590 19 the the DET iajs-1930 590 20 intersection intersection NOUN iajs-1930 590 21 of of ADP iajs-1930 590 22 all all DET iajs-1930 590 23 prime prime PROPN iajs-1930 590 24 f. f. PROPN iajs-1930 590 25 subm subm PROPN iajs-1930 590 26 . . PUNCT iajs-1930 591 1 including include VERB iajs-1930 591 2 a. a. NOUN iajs-1930 591 3 we we PRON iajs-1930 591 4 give give VERB iajs-1930 591 5 the the DET iajs-1930 591 6 pursue pursue NOUN iajs-1930 591 7 lemma lemma PROPN iajs-1930 591 8 which which PRON iajs-1930 591 9 are be AUX iajs-1930 591 10 needed need VERB iajs-1930 591 11 in in ADP iajs-1930 591 12 the the DET iajs-1930 591 13 next next ADJ iajs-1930 591 14 proposition proposition NOUN iajs-1930 591 15 . . PUNCT iajs-1930 592 1 lemma lemma PROPN iajs-1930 592 2 33 33 NUM iajs-1930 592 3 . . PUNCT iajs-1930 593 1 let let VERB iajs-1930 593 2 x x PRON iajs-1930 593 3 be be AUX iajs-1930 593 4 a a DET iajs-1930 593 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 593 6 f. f. PROPN iajs-1930 593 7 m. m. NOUN iajs-1930 593 8 of of ADP iajs-1930 593 9 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 593 10 , , PUNCT iajs-1930 593 11 let let VERB iajs-1930 593 12 a a PRON iajs-1930 593 13 be be AUX iajs-1930 593 14 a a DET iajs-1930 593 15 proper proper ADJ iajs-1930 593 16 f. f. PROPN iajs-1930 593 17 subm subm PROPN iajs-1930 593 18 . . PUNCT iajs-1930 594 1 of of ADP iajs-1930 594 2 x. x. NOUN iajs-1930 594 3 then then ADV iajs-1930 594 4 the the DET iajs-1930 594 5 following follow VERB iajs-1930 594 6 expressions expression NOUN iajs-1930 594 7 are be AUX iajs-1930 594 8 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 594 9 : : PUNCT iajs-1930 594 10 1a 1a X iajs-1930 594 11 is be AUX iajs-1930 594 12 a a DET iajs-1930 594 13 prime prime PROPN iajs-1930 594 14 f. f. PROPN iajs-1930 594 15 subm subm PROPN iajs-1930 594 16 . . PUNCT iajs-1930 595 1 of of ADP iajs-1930 595 2 x. x. PROPN iajs-1930 595 3 2𝐴 2𝐴 PROPN iajs-1930 595 4 : : PUNCT iajs-1930 595 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 595 6 be be VERB iajs-1930 595 7 a a DET iajs-1930 595 8 prime prime ADJ iajs-1930 595 9 f. f. PROPN iajs-1930 595 10 ideal ideal NOUN iajs-1930 595 11 of of ADP iajs-1930 595 12 r r NOUN iajs-1930 595 13 . . PUNCT iajs-1930 596 1 3a 3a NUM iajs-1930 596 2 = = SYM iajs-1930 596 3 ĥx ĥx NOUN iajs-1930 596 4 for for ADP iajs-1930 596 5 some some DET iajs-1930 596 6 a a DET iajs-1930 596 7 prime prime PROPN iajs-1930 596 8 f. f. PROPN iajs-1930 596 9 ideal ideal PROPN iajs-1930 596 10 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 596 11 of of ADP iajs-1930 596 12 r r NOUN iajs-1930 596 13 with with ADP iajs-1930 596 14 f f NOUN iajs-1930 596 15 - - PUNCT iajs-1930 596 16 annx⊆ĥ annx⊆ĥ ADJ iajs-1930 596 17 . . PUNCT iajs-1930 597 1 proof proof NOUN iajs-1930 597 2 . . PUNCT iajs-1930 598 1 ( ( PUNCT iajs-1930 598 2 1)→(2 1)→(2 NUM iajs-1930 598 3 ) ) PUNCT iajs-1930 598 4 it it PRON iajs-1930 598 5 follows follow VERB iajs-1930 598 6 by by ADP iajs-1930 598 7 [ [ X iajs-1930 598 8 20 20 NUM iajs-1930 598 9 , , PUNCT iajs-1930 598 10 proposition proposition NOUN iajs-1930 598 11 ( ( PUNCT iajs-1930 598 12 2.5 2.5 NUM iajs-1930 598 13 ) ) PUNCT iajs-1930 598 14 ] ] PUNCT iajs-1930 598 15 . . PUNCT iajs-1930 599 1 ( ( PUNCT iajs-1930 599 2 2)→(3 2)→(3 NUM iajs-1930 599 3 ) ) PUNCT iajs-1930 599 4 since since SCONJ iajs-1930 599 5 x x PRON iajs-1930 599 6 is be AUX iajs-1930 599 7 a a DET iajs-1930 599 8 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 599 9 f. f. PROPN iajs-1930 599 10 m. m. PROPN iajs-1930 599 11 , , PUNCT iajs-1930 599 12 so so SCONJ iajs-1930 599 13 that that SCONJ iajs-1930 599 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 599 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 599 16 : : PUNCT iajs-1930 599 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 599 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 599 19 by[5 by[5 NOUN iajs-1930 599 20 ] ] PUNCT iajs-1930 599 21 . . PUNCT iajs-1930 600 1 put put VERB iajs-1930 600 2 ĥ= ĥ= PROPN iajs-1930 600 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 600 4 : : PUNCT iajs-1930 600 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 600 6 be be VERB iajs-1930 600 7 a a DET iajs-1930 600 8 prime prime ADJ iajs-1930 600 9 f. f. PROPN iajs-1930 600 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 600 11 of of ADP iajs-1930 600 12 r. r. PROPN iajs-1930 600 13 now now ADV iajs-1930 600 14 , , PUNCT iajs-1930 600 15 since since SCONJ iajs-1930 600 16 f f PROPN iajs-1930 600 17 - - PUNCT iajs-1930 600 18 annx= annx= ADJ iajs-1930 600 19 0 0 NUM iajs-1930 600 20 : : PUNCT iajs-1930 600 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 600 22 and and CCONJ iajs-1930 600 23 0 0 NUM iajs-1930 600 24 : : PUNCT iajs-1930 600 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 600 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 600 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 600 28 : : PUNCT iajs-1930 600 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 600 30 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 600 31 . . PUNCT iajs-1930 601 1 so so SCONJ iajs-1930 601 2 that that SCONJ iajs-1930 601 3 f f X iajs-1930 601 4 - - PUNCT iajs-1930 601 5 annx annx PROPN iajs-1930 601 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 601 7 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 601 8 . . PUNCT iajs-1930 602 1 ( ( PUNCT iajs-1930 602 2 3)→(1 3)→(1 X iajs-1930 602 3 ) ) PUNCT iajs-1930 602 4 let let VERB iajs-1930 602 5 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 602 6 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 602 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 602 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 602 9 for for ADP iajs-1930 602 10 f. f. PROPN iajs-1930 602 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 602 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 602 13 of of ADP iajs-1930 602 14 r r NOUN iajs-1930 602 15 and and CCONJ iajs-1930 602 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 602 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 602 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 602 19 , , PUNCT iajs-1930 602 20 and and CCONJ iajs-1930 602 21 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 602 22 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 602 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 602 24 to to PART iajs-1930 602 25 prove prove VERB iajs-1930 602 26 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 602 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 602 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 602 29 : : PUNCT iajs-1930 602 30 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 602 31 . . PUNCT iajs-1930 603 1 by(3 by(3 NOUN iajs-1930 603 2 ) ) PUNCT iajs-1930 603 3 , , PUNCT iajs-1930 603 4 a a DET iajs-1930 603 5 = = PRON iajs-1930 603 6 ĥx ĥx NOUN iajs-1930 603 7 for for ADP iajs-1930 603 8 some some DET iajs-1930 603 9 a a DET iajs-1930 603 10 prime prime PROPN iajs-1930 603 11 f. f. PROPN iajs-1930 603 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 603 13 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 603 14 of of ADP iajs-1930 603 15 r r NOUN iajs-1930 603 16 with with ADP iajs-1930 603 17 f f PROPN iajs-1930 603 18 - - PUNCT iajs-1930 603 19 annx annx PROPN iajs-1930 603 20 ⊆ĥ ⊆ĥ NOUN iajs-1930 603 21 , , PUNCT iajs-1930 603 22 so so SCONJ iajs-1930 603 23 that that SCONJ iajs-1930 603 24 f f X iajs-1930 603 25 - - PUNCT iajs-1930 603 26 annx annx PROPN iajs-1930 603 27 is be AUX iajs-1930 603 28 a a DET iajs-1930 603 29 prime prime ADJ iajs-1930 603 30 f. f. PROPN iajs-1930 603 31 ideal ideal NOUN iajs-1930 603 32 of of ADP iajs-1930 603 33 r r NOUN iajs-1930 603 34 , , PUNCT iajs-1930 603 35 but but CCONJ iajs-1930 603 36 f f X iajs-1930 603 37 - - PROPN iajs-1930 603 38 annx= annx= ADJ iajs-1930 603 39 0 0 NUM iajs-1930 604 1 : : PUNCT iajs-1930 604 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 604 3 , , PUNCT iajs-1930 604 4 hence hence ADV iajs-1930 604 5 0 0 NUM iajs-1930 604 6 : : PUNCT iajs-1930 604 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 604 8 is be AUX iajs-1930 604 9 a a DET iajs-1930 604 10 prime prime ADJ iajs-1930 604 11 f. f. PROPN iajs-1930 604 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 604 13 of of ADP iajs-1930 604 14 r. r. PROPN iajs-1930 604 15 let let VERB iajs-1930 604 16 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 604 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 604 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 604 19 0 0 NUM iajs-1930 604 20 : : PUNCT iajs-1930 604 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 604 22 , , PUNCT iajs-1930 604 23 for for ADP iajs-1930 604 24 f. f. PROPN iajs-1930 604 25 singleton singleton PROPN iajs-1930 604 26 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 604 27 of of ADP iajs-1930 604 28 r r NOUN iajs-1930 604 29 , , PUNCT iajs-1930 604 30 and and CCONJ iajs-1930 604 31 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 604 32 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 604 33 0 0 NUM iajs-1930 604 34 : : PUNCT iajs-1930 604 35 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 604 36 , , PUNCT iajs-1930 604 37 then then ADV iajs-1930 604 38 𝑎 𝑎 X iajs-1930 604 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 604 40 0 0 NUM iajs-1930 604 41 : : PUNCT iajs-1930 604 42 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 604 43 . . PUNCT iajs-1930 605 1 since since SCONJ iajs-1930 605 2 0 0 NUM iajs-1930 605 3 : : PUNCT iajs-1930 605 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 605 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 605 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 605 7 : : PUNCT iajs-1930 605 8 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 605 9 , , PUNCT iajs-1930 605 10 so so SCONJ iajs-1930 605 11 that that SCONJ iajs-1930 605 12 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 605 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 605 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 605 15 : : PUNCT iajs-1930 605 16 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 605 17 . . PUNCT iajs-1930 606 1 thus thus ADV iajs-1930 606 2 a a PRON iajs-1930 606 3 is be AUX iajs-1930 606 4 a a DET iajs-1930 606 5 prime prime PROPN iajs-1930 606 6 f. f. PROPN iajs-1930 606 7 subm subm PROPN iajs-1930 606 8 . . PUNCT iajs-1930 607 1 of of ADP iajs-1930 607 2 x. x. PROPN iajs-1930 607 3 lemma lemma PROPN iajs-1930 607 4 34 34 NUM iajs-1930 607 5 . . PUNCT iajs-1930 608 1 let let VERB iajs-1930 608 2 x x PRON iajs-1930 608 3 be be AUX iajs-1930 608 4 a a DET iajs-1930 608 5 finitely finitely ADV iajs-1930 608 6 generated generate VERB iajs-1930 608 7 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 608 8 f. f. PROPN iajs-1930 608 9 m. m. NOUN iajs-1930 608 10 of of ADP iajs-1930 608 11 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 608 12 and and CCONJ iajs-1930 608 13 let let VERB iajs-1930 608 14 a a PRON iajs-1930 608 15 be be AUX iajs-1930 608 16 f. f. PROPN iajs-1930 608 17 subm subm PROPN iajs-1930 608 18 . . PUNCT iajs-1930 609 1 of of ADP iajs-1930 609 2 x. x. NOUN iajs-1930 609 3 then then ADV iajs-1930 609 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 609 5 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 609 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 609 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 609 8 : : PUNCT iajs-1930 609 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 609 10 . . PUNCT iajs-1930 610 1 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 610 2     SPACE iajs-1930 610 3 124 124 NUM iajs-1930 610 4     SPACE iajs-1930 610 5 ibn ibn PROPN iajs-1930 610 6 al al PROPN iajs-1930 610 7 - - PUNCT iajs-1930 610 8 haitham haitham PROPN iajs-1930 610 9 jour jour X iajs-1930 610 10 . . PROPN iajs-1930 611 1 for for ADP iajs-1930 611 2 pure pure ADJ iajs-1930 611 3 & & CCONJ iajs-1930 611 4 appl appl PROPN iajs-1930 611 5 . . PUNCT iajs-1930 612 1 sci sci PROPN iajs-1930 612 2 . . PROPN iajs-1930 612 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 612 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 612 5 vol vol NOUN iajs-1930 612 6 . . PUNCT iajs-1930 613 1 32 32 NUM iajs-1930 614 1 ( ( PUNCT iajs-1930 614 2 1 1 NUM iajs-1930 614 3 ) ) PUNCT iajs-1930 614 4 2019 2019 NUM iajs-1930 614 5 proof proof NOUN iajs-1930 614 6 . . PUNCT iajs-1930 615 1 if if SCONJ iajs-1930 615 2 x x NOUN iajs-1930 615 3 - - PUNCT iajs-1930 615 4 r(a)=x r(a)=x PRON iajs-1930 615 5 , , PUNCT iajs-1930 615 6 then then ADV iajs-1930 615 7 the the DET iajs-1930 615 8 result result NOUN iajs-1930 615 9 is be AUX iajs-1930 615 10 directly directly ADV iajs-1930 615 11 . . PUNCT iajs-1930 616 1 so so ADV iajs-1930 616 2 that that SCONJ iajs-1930 616 3 x x X iajs-1930 616 4 - - PUNCT iajs-1930 616 5 r(a)≠x r(a)≠x ADV iajs-1930 616 6 , , PUNCT iajs-1930 616 7 if if SCONJ iajs-1930 616 8 b b NOUN iajs-1930 616 9 is be AUX iajs-1930 616 10 any any DET iajs-1930 616 11 prime prime PROPN iajs-1930 616 12 f. f. PROPN iajs-1930 616 13 subm subm PROPN iajs-1930 616 14 . . PUNCT iajs-1930 617 1 of of ADP iajs-1930 617 2 x x PRON iajs-1930 617 3 which which PRON iajs-1930 617 4 contains contain VERB iajs-1930 617 5 a a PRON iajs-1930 617 6 , , PUNCT iajs-1930 617 7 we we PRON iajs-1930 617 8 get get VERB iajs-1930 617 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 617 10 : : PUNCT iajs-1930 617 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 617 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 617 13 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 617 14 : : PUNCT iajs-1930 617 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 617 16 . . PUNCT iajs-1930 618 1 we we PRON iajs-1930 618 2 prove prove VERB iajs-1930 618 3 that that SCONJ iajs-1930 618 4 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 618 5 : : PUNCT iajs-1930 618 6 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 618 7 is be AUX iajs-1930 618 8 a a DET iajs-1930 618 9 prime prime PROPN iajs-1930 618 10 f. f. PROPN iajs-1930 618 11 ideal ideal PROPN iajs-1930 618 12 . . PUNCT iajs-1930 619 1 assume assume VERB iajs-1930 619 2 that that SCONJ iajs-1930 619 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 619 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 619 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 619 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 619 7 : : PUNCT iajs-1930 619 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 619 9 for for ADP iajs-1930 619 10 f. f. PROPN iajs-1930 619 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 619 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 619 13 , , PUNCT iajs-1930 619 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 619 15 of of ADP iajs-1930 619 16 r r NOUN iajs-1930 619 17 , , PUNCT iajs-1930 619 18 so so SCONJ iajs-1930 619 19 that that SCONJ iajs-1930 619 20 𝑎 𝑎 X iajs-1930 619 21 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 619 22 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 619 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 619 24 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 619 25 , , PUNCT iajs-1930 619 26 then then ADV iajs-1930 619 27 either either CCONJ iajs-1930 619 28 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 619 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 619 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 619 31 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 619 32 or or CCONJ iajs-1930 619 33 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 619 34 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 619 35 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 619 36 𝑋/𝐵 𝑋/𝐵 NOUN iajs-1930 619 37 for for ADP iajs-1930 619 38 some some DET iajs-1930 619 39 f. f. PROPN iajs-1930 619 40 singleton singleton PROPN iajs-1930 619 41 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 619 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 619 43 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 619 44 . . PUNCT iajs-1930 620 1 but but CCONJ iajs-1930 620 2 b b NOUN iajs-1930 620 3 is be AUX iajs-1930 620 4 a a DET iajs-1930 620 5 prime prime PROPN iajs-1930 620 6 f. f. PROPN iajs-1930 620 7 subm subm PROPN iajs-1930 620 8 . . PUNCT iajs-1930 621 1 and and CCONJ iajs-1930 621 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 621 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 621 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 621 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 621 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 621 7 , , PUNCT iajs-1930 621 8 then then ADV iajs-1930 621 9 either either CCONJ iajs-1930 621 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 621 11 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 621 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 621 13 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 621 14 or or CCONJ iajs-1930 621 15 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 621 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 621 17 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 621 18 : : PUNCT iajs-1930 621 19 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 621 20 . . PUNCT iajs-1930 622 1 thus thus ADV iajs-1930 622 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 622 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 622 4 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 622 5 : : PUNCT iajs-1930 622 6 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 622 7 or or CCONJ iajs-1930 622 8 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 622 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 622 10 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 622 11 : : PUNCT iajs-1930 622 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 622 13 . . PUNCT iajs-1930 623 1 so so ADV iajs-1930 623 2 that that SCONJ iajs-1930 623 3 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 623 4 : : PUNCT iajs-1930 623 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 623 6 is be AUX iajs-1930 623 7 a a DET iajs-1930 623 8 prime prime PROPN iajs-1930 623 9 f. f. PROPN iajs-1930 623 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 623 11 . . PUNCT iajs-1930 624 1 hence hence ADV iajs-1930 624 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 624 3 : : PUNCT iajs-1930 624 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 624 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 624 6 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 624 7 : : PUNCT iajs-1930 624 8 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 624 9 by by ADP iajs-1930 624 10 [ [ PUNCT iajs-1930 624 11 13 13 NUM iajs-1930 624 12 ] ] PUNCT iajs-1930 624 13 , , PUNCT iajs-1930 624 14 then then ADV iajs-1930 624 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 624 16 : : PUNCT iajs-1930 624 17 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 624 18 . . PUNCT iajs-1930 625 1 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 625 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 625 3 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 625 4 : : PUNCT iajs-1930 625 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 625 6 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 625 7 since since SCONJ iajs-1930 625 8 b b PROPN iajs-1930 625 9 is be AUX iajs-1930 625 10 an an DET iajs-1930 625 11 arbitary arbitary ADJ iajs-1930 625 12 prime prime ADJ iajs-1930 625 13 f. f. PROPN iajs-1930 625 14 subm subm PROPN iajs-1930 625 15 . . PUNCT iajs-1930 626 1 containing contain VERB iajs-1930 626 2 a a PRON iajs-1930 626 3 , , PUNCT iajs-1930 626 4 we we PRON iajs-1930 626 5 get get VERB iajs-1930 626 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 626 7 : : PUNCT iajs-1930 626 8 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 626 9 . . PUNCT iajs-1930 627 1 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 627 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 627 3 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 627 4 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 627 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 627 6 1 1 NUM iajs-1930 627 7 . . PUNCT iajs-1930 628 1 now now ADV iajs-1930 628 2 , , PUNCT iajs-1930 628 3 since since SCONJ iajs-1930 628 4 x x PRON iajs-1930 628 5 is be AUX iajs-1930 628 6 a a DET iajs-1930 628 7 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 628 8 f. f. PROPN iajs-1930 628 9 m. m. PROPN iajs-1930 628 10 , , PUNCT iajs-1930 628 11 hence hence ADV iajs-1930 628 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 628 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 628 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 16 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 628 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 628 18 : : PUNCT iajs-1930 628 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 20 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 628 21 we we PRON iajs-1930 628 22 must must AUX iajs-1930 628 23 prove prove VERB iajs-1930 628 24 that that SCONJ iajs-1930 628 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 26 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 628 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 628 28 : : PUNCT iajs-1930 628 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 628 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 628 32 : : PUNCT iajs-1930 628 33 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 628 34 . . PUNCT iajs-1930 629 1 let let VERB iajs-1930 629 2 k k PRON iajs-1930 629 3 be be AUX iajs-1930 629 4 any any DET iajs-1930 629 5 prime prime ADJ iajs-1930 629 6 f. f. PROPN iajs-1930 629 7 ideal ideal PROPN iajs-1930 629 8 such such ADJ iajs-1930 629 9 that that DET iajs-1930 629 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 629 11 : : PUNCT iajs-1930 629 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 629 13 ⊂ ⊂ PROPN iajs-1930 629 14 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-1930 629 15 since since SCONJ iajs-1930 629 16 k k PROPN iajs-1930 629 17 is be AUX iajs-1930 629 18 a a DET iajs-1930 629 19 prime prime PROPN iajs-1930 629 20 f. f. PROPN iajs-1930 629 21 ideal ideal PROPN iajs-1930 629 22 containing contain VERB iajs-1930 629 23 f f PROPN iajs-1930 629 24 - - PROPN iajs-1930 629 25 annx= annx= ADJ iajs-1930 629 26 0 0 NUM iajs-1930 629 27 : : PUNCT iajs-1930 629 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 629 29 , , PUNCT iajs-1930 629 30 then then ADV iajs-1930 629 31 kx kx PROPN iajs-1930 629 32 is be AUX iajs-1930 629 33 a a DET iajs-1930 629 34 prime prime PROPN iajs-1930 629 35 f. f. PROPN iajs-1930 629 36 subm subm PROPN iajs-1930 629 37 . . PUNCT iajs-1930 630 1 of of ADP iajs-1930 630 2 x x SYM iajs-1930 630 3 containing contain VERB iajs-1930 630 4 a= a= ADJ iajs-1930 630 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 630 6 : : PUNCT iajs-1930 630 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 630 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 630 9 by by ADP iajs-1930 630 10 lemma lemma PROPN iajs-1930 630 11 ( ( PUNCT iajs-1930 630 12 33 33 NUM iajs-1930 630 13 ) ) PUNCT iajs-1930 630 14 . . PUNCT iajs-1930 631 1 thus thus ADV iajs-1930 631 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 3 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 5 : : PUNCT iajs-1930 631 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 631 12 𝐾𝑋 𝐾𝑋 PROPN iajs-1930 631 13 , , PUNCT iajs-1930 631 14 hence hence ADV iajs-1930 631 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 16 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 18 : : PUNCT iajs-1930 631 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 631 21 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 631 22 , , PUNCT iajs-1930 631 23 then then ADV iajs-1930 631 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 27 : : PUNCT iajs-1930 631 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 29 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 631 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 31 : : PUNCT iajs-1930 631 32 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 631 33 by by ADP iajs-1930 631 34 [ [ PUNCT iajs-1930 631 35 13 13 NUM iajs-1930 631 36 ] ] PUNCT iajs-1930 631 37 , , PUNCT iajs-1930 631 38 hence hence ADV iajs-1930 631 39 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 40 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 41 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 42 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 43 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 631 44 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 45 : : PUNCT iajs-1930 631 46 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 47 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 631 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 631 49 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 631 50 : : PUNCT iajs-1930 631 51 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 631 52 . . PUNCT iajs-1930 632 1 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 632 2 so so SCONJ iajs-1930 632 3 that that SCONJ iajs-1930 632 4 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 632 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 632 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 632 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 632 8 : : PUNCT iajs-1930 632 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 632 10 . . PUNCT iajs-1930 633 1 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 633 2 2 2 NUM iajs-1930 633 3 . . PUNCT iajs-1930 634 1 from from ADP iajs-1930 634 2 ( ( PUNCT iajs-1930 634 3 1 1 NUM iajs-1930 634 4 ) ) PUNCT iajs-1930 634 5 and and CCONJ iajs-1930 634 6 ( ( PUNCT iajs-1930 634 7 2 2 NUM iajs-1930 634 8 ) ) PUNCT iajs-1930 634 9 , , PUNCT iajs-1930 634 10 we we PRON iajs-1930 634 11 get get VERB iajs-1930 634 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 634 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 634 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 634 15 : : PUNCT iajs-1930 634 16 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 634 17 . . PUNCT iajs-1930 635 1 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 635 2 . . PUNCT iajs-1930 636 1 before before ADP iajs-1930 636 2 the the DET iajs-1930 636 3 next next ADJ iajs-1930 636 4 proposition proposition NOUN iajs-1930 636 5 we we PRON iajs-1930 636 6 give give VERB iajs-1930 636 7 these these DET iajs-1930 636 8 lemmas lemma NOUN iajs-1930 636 9 and and CCONJ iajs-1930 636 10 definition definition NOUN iajs-1930 636 11 which which PRON iajs-1930 636 12 are be AUX iajs-1930 636 13 needed need VERB iajs-1930 636 14 in in ADP iajs-1930 636 15 the the DET iajs-1930 636 16 proof proof NOUN iajs-1930 636 17 of of ADP iajs-1930 636 18 the the DET iajs-1930 636 19 next next ADJ iajs-1930 636 20 proposition proposition NOUN iajs-1930 636 21 . . PUNCT iajs-1930 637 1 we we PRON iajs-1930 637 2 give give VERB iajs-1930 637 3 this this DET iajs-1930 637 4 definition definition NOUN iajs-1930 637 5 as as SCONJ iajs-1930 637 6 follows follow VERB iajs-1930 637 7 : : PUNCT iajs-1930 637 8 definition definition NOUN iajs-1930 637 9 35 35 NUM iajs-1930 637 10 . . PUNCT iajs-1930 638 1 let let VERB iajs-1930 638 2 x x PRON iajs-1930 638 3 be be AUX iajs-1930 638 4 f. f. PROPN iajs-1930 638 5 m. m. NOUN iajs-1930 638 6 of of ADP iajs-1930 638 7 an an DET iajs-1930 638 8 r r NOUN iajs-1930 638 9 - - PUNCT iajs-1930 638 10 m. m. NOUN iajs-1930 638 11 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 638 12 . . PUNCT iajs-1930 639 1 if if SCONJ iajs-1930 639 2 ƥ ƥ PRON iajs-1930 639 3 is be AUX iajs-1930 639 4 a a DET iajs-1930 639 5 maximal maximal ADJ iajs-1930 639 6 f. f. NOUN iajs-1930 639 7 ideal ideal NOUN iajs-1930 639 8 of of ADP iajs-1930 639 9 r r NOUN iajs-1930 639 10 then then ADV iajs-1930 639 11 we we PRON iajs-1930 639 12 define define VERB iajs-1930 639 13 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 639 14 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 639 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 639 16 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 639 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 639 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 639 19 ∶ ∶ NOUN iajs-1930 639 20 1 1 NUM iajs-1930 639 21 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 639 22 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 639 23 0 0 NUM iajs-1930 639 24 for for ADP iajs-1930 639 25 some some DET iajs-1930 639 26 f. f. PROPN iajs-1930 639 27 sigleton sigleton PROPN iajs-1930 639 28 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 639 29 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 639 30 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 639 31 , , PUNCT iajs-1930 639 32 ∀𝑣 ∀𝑣 PROPN iajs-1930 639 33 , , PUNCT iajs-1930 639 34 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 639 35 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 639 36 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 639 37 . . PUNCT iajs-1930 640 1 it it PRON iajs-1930 640 2 is be AUX iajs-1930 640 3 obvious obvious ADJ iajs-1930 640 4 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 640 5 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 640 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 640 7 is be AUX iajs-1930 640 8 f. f. PROPN iajs-1930 640 9 subm subm PROPN iajs-1930 640 10 . . PUNCT iajs-1930 641 1 of of ADP iajs-1930 641 2 x x X iajs-1930 641 3 . . PUNCT iajs-1930 642 1 x x PUNCT iajs-1930 642 2 is be AUX iajs-1930 642 3 calld calld PROPN iajs-1930 642 4 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 642 5 - - ADJ iajs-1930 642 6 cyclic cyclic ADJ iajs-1930 642 7 f. f. PROPN iajs-1930 642 8 m. m. NOUN iajs-1930 642 9 if if SCONJ iajs-1930 642 10 there there PRON iajs-1930 642 11 exist exist VERB iajs-1930 642 12 f. f. PROPN iajs-1930 642 13 singleton singleton PROPN iajs-1930 643 1 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 643 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 643 3 ƥ ƥ PRON iajs-1930 643 4 𝑎𝑛𝑑 𝑎𝑛𝑑 ADJ iajs-1930 643 5 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 643 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 643 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 643 8 such such ADJ iajs-1930 643 9 that that SCONJ iajs-1930 643 10 1 1 NUM iajs-1930 643 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 643 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 643 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 643 14 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 643 15 , , PUNCT iajs-1930 643 16 ∀𝑙 ∀𝑙 PROPN iajs-1930 643 17 , , PUNCT iajs-1930 643 18 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 643 19 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 643 20 𝐿. 𝐿. PROPN iajs-1930 643 21 lemma lemma PROPN iajs-1930 643 22 36 36 NUM iajs-1930 643 23 . . PUNCT iajs-1930 644 1 let let VERB iajs-1930 644 2 r r PRON iajs-1930 644 3 be be AUX iajs-1930 644 4 a a DET iajs-1930 644 5 commutative commutative ADJ iajs-1930 644 6 ring ring NOUN iajs-1930 644 7 with with ADP iajs-1930 644 8 unity unity NOUN iajs-1930 644 9 . . PUNCT iajs-1930 645 1 then then ADV iajs-1930 645 2 f. f. PROPN iajs-1930 645 3 m. m. PROPN iajs-1930 645 4 x x PROPN iajs-1930 645 5 of of ADP iajs-1930 645 6 an an DET iajs-1930 645 7 r r NOUN iajs-1930 645 8 - - PUNCT iajs-1930 645 9 m. m. NOUN iajs-1930 645 10 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 645 11 is be AUX iajs-1930 645 12 a a DET iajs-1930 645 13 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 645 14 f. f. PROPN iajs-1930 645 15 m. m. PROPN iajs-1930 645 16 iff iff PROPN iajs-1930 645 17 for for SCONJ iajs-1930 645 18 every every DET iajs-1930 645 19 maximal maximal ADJ iajs-1930 645 20 f. f. PROPN iajs-1930 645 21 ideal ideal PROPN iajs-1930 645 22 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 645 23 of of ADP iajs-1930 645 24 r r NOUN iajs-1930 645 25 either either CCONJ iajs-1930 645 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 645 27 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 645 28 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 645 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 645 30 or or CCONJ iajs-1930 645 31 x x NOUN iajs-1930 645 32 is be AUX iajs-1930 645 33 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 645 34 - - ADJ iajs-1930 645 35 cyclic cyclic ADJ iajs-1930 645 36 f. f. PROPN iajs-1930 645 37 m. m. NOUN iajs-1930 645 38 proof proof NOUN iajs-1930 645 39 . . PUNCT iajs-1930 646 1 ( ( PUNCT iajs-1930 646 2 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 646 3 ) ) PUNCT iajs-1930 646 4 assume assume VERB iajs-1930 646 5 that that SCONJ iajs-1930 646 6 x x PRON iajs-1930 646 7 is be AUX iajs-1930 646 8 a a DET iajs-1930 646 9 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 646 10 f. f. PROPN iajs-1930 646 11 m. m. PROPN iajs-1930 646 12 let let VERB iajs-1930 646 13 ƥ ƥ PRON iajs-1930 646 14 be be AUX iajs-1930 646 15 maximal maximal ADJ iajs-1930 646 16 f. f. PROPN iajs-1930 646 17 ideal ideal PROPN iajs-1930 646 18 of of ADP iajs-1930 646 19 r. r. PROPN iajs-1930 646 20 suppose suppose VERB iajs-1930 646 21 that that SCONJ iajs-1930 646 22 x x NOUN iajs-1930 646 23 = = PRON iajs-1930 646 24 ƥx ƥx ADV iajs-1930 646 25 , , PUNCT iajs-1930 646 26 let let VERB iajs-1930 646 27 f. f. PROPN iajs-1930 646 28 singleton singleton PROPN iajs-1930 646 29 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 646 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 646 31 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 646 32 , , PUNCT iajs-1930 646 33 then then ADV iajs-1930 646 34 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 646 35 ĥ𝑋 ĥ𝑋 NOUN iajs-1930 646 36 for for ADP iajs-1930 646 37 some some DET iajs-1930 646 38 f. f. PROPN iajs-1930 646 39 ideal ideal PROPN iajs-1930 646 40 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 646 41 of of ADP iajs-1930 646 42 r. r. PROPN iajs-1930 646 43 hence hence ADV iajs-1930 646 44 𝑥 𝑥 ADP iajs-1930 646 45 ĥ𝑋 ĥ𝑋 ADV iajs-1930 646 46 ĥƥ𝑋 ĥƥ𝑋 ADJ iajs-1930 646 47 ƥĥ𝑋 ƥĥ𝑋 NOUN iajs-1930 647 1 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 647 2 𝑥 𝑥 X iajs-1930 647 3 , , PUNCT iajs-1930 647 4 then then ADV iajs-1930 647 5 𝑥 𝑥 X iajs-1930 647 6 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 647 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 647 8 for for ADP iajs-1930 647 9 some some DET iajs-1930 647 10 f. f. PROPN iajs-1930 647 11 sigleton sigleton PROPN iajs-1930 647 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 647 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 647 14 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 647 15 . . PUNCT iajs-1930 648 1 thus thus ADV iajs-1930 648 2 1 1 NUM iajs-1930 648 3 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 648 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 648 5 0 0 NUM iajs-1930 648 6 , , PUNCT iajs-1930 648 7 so so SCONJ iajs-1930 648 8 that that SCONJ iajs-1930 648 9 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 648 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 648 11 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 648 12 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 648 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 648 14 . . PUNCT iajs-1930 649 1 it it PRON iajs-1930 649 2 follows follow VERB iajs-1930 649 3 that that SCONJ iajs-1930 649 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 649 5 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 649 6 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 649 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 649 8 now now ADV iajs-1930 649 9 , , PUNCT iajs-1930 649 10 suppose suppose VERB iajs-1930 649 11 that that SCONJ iajs-1930 649 12 x≠ƥx x≠ƥx NOUN iajs-1930 649 13 , , PUNCT iajs-1930 649 14 then then ADV iajs-1930 649 15 there there PRON iajs-1930 649 16 exists exist VERB iajs-1930 649 17 f. f. PROPN iajs-1930 649 18 sigleton sigleton PROPN iajs-1930 649 19 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 649 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 649 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 649 22 , , PUNCT iajs-1930 649 23 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 649 24 ⊈ ⊈ NUM iajs-1930 649 25 ƥ𝑋. ƥ𝑋. NOUN iajs-1930 649 26 so so SCONJ iajs-1930 649 27 that that SCONJ iajs-1930 649 28 there there PRON iajs-1930 649 29 exists exist VERB iajs-1930 649 30 an an DET iajs-1930 649 31 ideal ideal ADJ iajs-1930 649 32 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 649 33 of of ADP iajs-1930 649 34 r r NOUN iajs-1930 649 35 such such ADJ iajs-1930 649 36 that that SCONJ iajs-1930 649 37 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 649 38 ṷ𝑋. ṷ𝑋. ADJ iajs-1930 649 39 it it PRON iajs-1930 649 40 is be AUX iajs-1930 649 41 obvious obvious ADJ iajs-1930 649 42 that that SCONJ iajs-1930 649 43 ṷ⊈ ṷ⊈ ADP iajs-1930 649 44 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 649 45 and and CCONJ iajs-1930 649 46 so so ADV iajs-1930 649 47 1 1 NUM iajs-1930 649 48 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 649 49 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 649 50 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 649 51 for for ADP iajs-1930 649 52 some some DET iajs-1930 649 53 f. f. PROPN iajs-1930 649 54 singleton singleton PROPN iajs-1930 650 1 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 650 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 650 3 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 650 4 . . PUNCT iajs-1930 651 1 hence hence ADV iajs-1930 651 2 1 1 NUM iajs-1930 651 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 651 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 651 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 651 6 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 651 7 . . PUNCT iajs-1930 652 1 thus thus ADV iajs-1930 652 2 x x PRON iajs-1930 652 3 is be AUX iajs-1930 652 4 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 652 5 - - ADJ iajs-1930 652 6 cyclic cyclic ADJ iajs-1930 652 7 f. f. PROPN iajs-1930 652 8 m. m. PROPN iajs-1930 652 9 ( ( PUNCT iajs-1930 652 10 ⇐ ⇐ PROPN iajs-1930 652 11 ) ) PUNCT iajs-1930 652 12 suppose suppose VERB iajs-1930 652 13 that that SCONJ iajs-1930 652 14 for for ADP iajs-1930 652 15 each each DET iajs-1930 652 16 maximal maximal ADJ iajs-1930 652 17 f. f. PROPN iajs-1930 652 18 ideal ideal PROPN iajs-1930 652 19 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 652 20 of of ADP iajs-1930 652 21 r r NOUN iajs-1930 652 22 either either CCONJ iajs-1930 652 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 652 24 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 652 25 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 652 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 652 27 or or CCONJ iajs-1930 652 28 x x NOUN iajs-1930 652 29 is be AUX iajs-1930 652 30 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 652 31 - - ADJ iajs-1930 652 32 cyclic cyclic ADJ iajs-1930 652 33 f. f. PROPN iajs-1930 652 34 m. m. PROPN iajs-1930 652 35 let let VERB iajs-1930 652 36 a a PRON iajs-1930 652 37 be be AUX iajs-1930 652 38 f. f. PROPN iajs-1930 652 39 subm subm PROPN iajs-1930 652 40 . . PUNCT iajs-1930 653 1 of of ADP iajs-1930 653 2 x x PROPN iajs-1930 653 3 and and CCONJ iajs-1930 653 4 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 653 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 653 6 : : PUNCT iajs-1930 653 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 653 8 . . PUNCT iajs-1930 654 1 it it PRON iajs-1930 654 2 is be AUX iajs-1930 654 3 obvious obvious ADJ iajs-1930 654 4 that that SCONJ iajs-1930 654 5 ĥx⊆a ĥx⊆a PROPN iajs-1930 654 6 . . PUNCT iajs-1930 655 1 suppose suppose VERB iajs-1930 655 2 that that SCONJ iajs-1930 655 3 f. f. PROPN iajs-1930 655 4 singleton singleton PROPN iajs-1930 655 5 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 655 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 655 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 655 8 and and CCONJ iajs-1930 655 9 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 655 10 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 655 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 655 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 655 13 : : PUNCT iajs-1930 655 14 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 655 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 655 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 655 17 ĥ𝑋 ĥ𝑋 PROPN iajs-1930 655 18 . . PUNCT iajs-1930 656 1 assume assume VERB iajs-1930 656 2 that that SCONJ iajs-1930 656 3 k≠r k≠r PROPN iajs-1930 656 4 , , PUNCT iajs-1930 656 5 then then ADV iajs-1930 656 6 there there PRON iajs-1930 656 7 exists exist VERB iajs-1930 656 8 a a DET iajs-1930 656 9 maximal maximal ADJ iajs-1930 656 10 f. f. NOUN iajs-1930 656 11 ideal ideal PROPN iajs-1930 656 12 e e PROPN iajs-1930 656 13 of of ADP iajs-1930 656 14 r r NOUN iajs-1930 656 15 such such ADJ iajs-1930 656 16 that that SCONJ iajs-1930 656 17 k⊆ k⊆ PROPN iajs-1930 656 18 e e X iajs-1930 656 19 by by ADP iajs-1930 656 20 [ [ X iajs-1930 656 21 13 13 NUM iajs-1930 656 22 , , PUNCT iajs-1930 656 23 proposition(1.3.2.4 proposition(1.3.2.4 NOUN iajs-1930 656 24 ) ) PUNCT iajs-1930 656 25 ] ] PUNCT iajs-1930 656 26 . . PUNCT iajs-1930 657 1 if if SCONJ iajs-1930 657 2 x=𝐹 x=𝐹 PROPN iajs-1930 657 3 𝐺 𝐺 PROPN iajs-1930 657 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 657 5 then then ADV iajs-1930 657 6 1 1 NUM iajs-1930 657 7 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 657 8 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 657 9 0 0 NUM iajs-1930 657 10 for for ADP iajs-1930 657 11 some some DET iajs-1930 657 12 f. f. PROPN iajs-1930 657 13 singleton singleton PROPN iajs-1930 657 14 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 657 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 657 16 𝐸 𝐸 PROPN iajs-1930 657 17 , , PUNCT iajs-1930 657 18 and and CCONJ iajs-1930 657 19 1 1 NUM iajs-1930 657 20 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 657 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 657 22 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 657 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 657 24 𝐸 𝐸 PROPN iajs-1930 657 25 this this PRON iajs-1930 657 26 is be AUX iajs-1930 657 27 a a DET iajs-1930 657 28 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 657 29 . . PUNCT iajs-1930 658 1 thus thus ADV iajs-1930 658 2 by by ADP iajs-1930 658 3     SPACE iajs-1930 658 4 125 125 NUM iajs-1930 658 5     SPACE iajs-1930 658 6 ibn ibn PROPN iajs-1930 658 7 al al PROPN iajs-1930 658 8 - - PUNCT iajs-1930 658 9 haitham haitham PROPN iajs-1930 658 10 jour jour X iajs-1930 658 11 . . PROPN iajs-1930 659 1 for for ADP iajs-1930 659 2 pure pure ADJ iajs-1930 659 3 & & CCONJ iajs-1930 659 4 appl appl PROPN iajs-1930 659 5 . . PUNCT iajs-1930 660 1 sci sci PROPN iajs-1930 660 2 . . PROPN iajs-1930 660 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 660 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 660 5 vol vol NOUN iajs-1930 660 6 . . PUNCT iajs-1930 661 1 32 32 NUM iajs-1930 662 1 ( ( PUNCT iajs-1930 662 2 1 1 NUM iajs-1930 662 3 ) ) PUNCT iajs-1930 662 4 2019 2019 NUM iajs-1930 662 5 hypothesis hypothesis NOUN iajs-1930 662 6 there there PRON iajs-1930 662 7 exist exist VERB iajs-1930 662 8 f. f. NOUN iajs-1930 662 9 singletons singleton NOUN iajs-1930 662 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 662 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 662 12 𝐸 𝐸 PROPN iajs-1930 662 13 , , PUNCT iajs-1930 662 14 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 662 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 662 16 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 662 17 such such ADJ iajs-1930 662 18 that that SCONJ iajs-1930 662 19 1 1 NUM iajs-1930 662 20 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 662 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 662 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 662 23 𝑧 𝑧 NOUN iajs-1930 662 24 . . PUNCT iajs-1930 663 1 it it PRON iajs-1930 663 2 follows follow VERB iajs-1930 663 3 that that SCONJ iajs-1930 663 4 1 1 NUM iajs-1930 663 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 663 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 663 7 is be AUX iajs-1930 663 8 f. f. PROPN iajs-1930 663 9 subm subm PROPN iajs-1930 663 10 . . PUNCT iajs-1930 664 1 of of ADP iajs-1930 664 2 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 664 3 and and CCONJ iajs-1930 664 4 so so ADV iajs-1930 664 5 tha tha NOUN iajs-1930 665 1 1 1 NUM iajs-1930 665 2 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 665 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 665 4 𝐷 𝐷 NOUN iajs-1930 665 5 𝑧 𝑧 PROPN iajs-1930 665 6 where where SCONJ iajs-1930 665 7 d d NOUN iajs-1930 665 8 is be AUX iajs-1930 665 9 f. f. PROPN iajs-1930 665 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 665 11 { { PUNCT iajs-1930 665 12 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 665 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 665 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 665 15 : : PUNCT iajs-1930 665 16 𝑟 𝑟 NUM iajs-1930 665 17 𝑧 𝑧 PRON iajs-1930 665 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 665 19 1 1 NUM iajs-1930 665 20 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 665 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 665 22 of of ADP iajs-1930 665 23 r. r. PROPN iajs-1930 665 24 note note VERB iajs-1930 665 25 that that SCONJ iajs-1930 665 26 1 1 NUM iajs-1930 665 27 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 665 28 𝐷 𝐷 NOUN iajs-1930 665 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 665 30 𝐷 𝐷 PROPN iajs-1930 665 31 1 1 NUM iajs-1930 665 32 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 665 33 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 665 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 665 35 𝐷 𝐷 NOUN iajs-1930 665 36 𝑧 𝑧 PRON iajs-1930 665 37 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 665 38 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 665 39 so so SCONJ iajs-1930 665 40 that that SCONJ iajs-1930 665 41 1 1 NUM iajs-1930 665 42 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 665 43 𝐷 𝐷 PROPN iajs-1930 665 44 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 665 45 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 665 46 . . PUNCT iajs-1930 666 1 thus thus ADV iajs-1930 666 2 for for ADP iajs-1930 666 3 f. f. PROPN iajs-1930 666 4 singleton singleton PROPN iajs-1930 666 5 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 666 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 666 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 666 8 , , PUNCT iajs-1930 666 9 1 1 NUM iajs-1930 666 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 666 11 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 666 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 666 13 1 1 NUM iajs-1930 666 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 666 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 666 16 1 1 NUM iajs-1930 666 17 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 666 18 𝐷 𝐷 PROPN iajs-1930 666 19 𝑧 𝑧 NOUN iajs-1930 666 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 666 21 ĥ𝑋. ĥ𝑋. NOUN iajs-1930 666 22 so so SCONJ iajs-1930 666 23 that that SCONJ iajs-1930 666 24 1 1 NUM iajs-1930 666 25 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 666 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 666 27 𝐾 𝐾 PROPN iajs-1930 666 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 666 29 𝐸 𝐸 PROPN iajs-1930 666 30 this this PRON iajs-1930 666 31 is be AUX iajs-1930 666 32 a a DET iajs-1930 666 33 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 666 34 . . PUNCT iajs-1930 667 1 thus thus ADV iajs-1930 667 2 k k X iajs-1930 667 3 = = NOUN iajs-1930 667 4 r r NOUN iajs-1930 667 5 and and CCONJ iajs-1930 667 6 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 667 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 667 8 ĥ𝑋. ĥ𝑋. NOUN iajs-1930 667 9 therefore therefore ADV iajs-1930 667 10 a a DET iajs-1930 667 11 = = PRON iajs-1930 667 12 ĥx ĥx NOUN iajs-1930 667 13 and and CCONJ iajs-1930 667 14 x x X iajs-1930 667 15 is be AUX iajs-1930 667 16 a a DET iajs-1930 667 17 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 667 18 f. f. PROPN iajs-1930 667 19 m. m. PROPN iajs-1930 667 20 lemma lemma PROPN iajs-1930 667 21 37 37 NUM iajs-1930 667 22 . . PUNCT iajs-1930 668 1 let let VERB iajs-1930 668 2 x x PRON iajs-1930 668 3 be be AUX iajs-1930 668 4 a a DET iajs-1930 668 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 668 6 f. f. PROPN iajs-1930 668 7 m. m. NOUN iajs-1930 668 8 of of ADP iajs-1930 668 9 an an DET iajs-1930 668 10 r r NOUN iajs-1930 668 11 - - PUNCT iajs-1930 668 12 m. m. NOUN iajs-1930 668 13 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 668 14 , , PUNCT iajs-1930 668 15 then then ADV iajs-1930 668 16 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 668 17 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 668 18 ĥ ĥ X iajs-1930 668 19 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 668 20 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 668 21 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 668 22 ĥ ĥ X iajs-1930 668 23 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 668 24 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 NOUN iajs-1930 668 25 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 668 26 for for ADP iajs-1930 668 27 any any DET iajs-1930 668 28 non non ADJ iajs-1930 668 29 - - ADJ iajs-1930 668 30 empty empty ADJ iajs-1930 668 31 collection collection NOUN iajs-1930 668 32 of of ADP iajs-1930 668 33 f. f. PROPN iajs-1930 668 34 ideals ideals PROPN iajs-1930 668 35 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 668 36 𝑖 𝑖 SYM iajs-1930 668 37 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 668 38 λ λ PROPN iajs-1930 668 39 of of ADP iajs-1930 668 40 r. r. PROPN iajs-1930 668 41 proof proof PROPN iajs-1930 668 42 . . PUNCT iajs-1930 669 1 assume assume VERB iajs-1930 669 2 that that SCONJ iajs-1930 669 3 x x PRON iajs-1930 669 4 is be AUX iajs-1930 669 5 a a DET iajs-1930 669 6 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 669 7 f. f. PROPN iajs-1930 669 8 m. m. PROPN iajs-1930 669 9 let let VERB iajs-1930 669 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 669 11 𝑖 𝑖 SYM iajs-1930 669 12 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 669 13 λ λ NOUN iajs-1930 669 14 be be VERB iajs-1930 669 15 any any DET iajs-1930 669 16 non non ADJ iajs-1930 669 17 - - ADJ iajs-1930 669 18 empty empty ADJ iajs-1930 669 19 collection collection NOUN iajs-1930 669 20 of of ADP iajs-1930 669 21 f. f. PROPN iajs-1930 669 22 ideals ideal NOUN iajs-1930 669 23 of of ADP iajs-1930 669 24 r r NOUN iajs-1930 669 25 , , PUNCT iajs-1930 669 26 let let VERB iajs-1930 669 27 ṷ= ṷ= PRON iajs-1930 669 28 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 669 29 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 670 1 ĥ ĥ X iajs-1930 670 2 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 670 3 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 670 4 , , PUNCT iajs-1930 670 5 then then ADV iajs-1930 670 6 ṷx= ṷx= NOUN iajs-1930 670 7 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 670 8 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 670 9 ĥ ĥ X iajs-1930 670 10 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 670 11 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 670 12 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 670 13 it it PRON iajs-1930 670 14 is be AUX iajs-1930 670 15 obvious obvious ADJ iajs-1930 670 16 that that SCONJ iajs-1930 670 17 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 670 18 ⊆∩ ⊆∩ NOUN iajs-1930 670 19 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 670 20 ĥ ĥ X iajs-1930 670 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 670 22 . . PUNCT iajs-1930 671 1 now now ADV iajs-1930 671 2 , , PUNCT iajs-1930 671 3 let let AUX iajs-1930 671 4 be be AUX iajs-1930 671 5 f. f. PROPN iajs-1930 671 6 singleton singleton PROPN iajs-1930 672 1 𝑥 𝑥 INTJ iajs-1930 672 2 ⊆∩ ⊆∩ NOUN iajs-1930 672 3 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 672 4 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 672 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 673 1 and and CCONJ iajs-1930 673 2 let let VERB iajs-1930 673 3 𝐺 𝐺 PROPN iajs-1930 673 4 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 673 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 673 6 𝑅 𝑅 NOUN iajs-1930 673 7 : : PUNCT iajs-1930 673 8 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 673 9 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 673 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 673 11 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 673 12 , , PUNCT iajs-1930 673 13 ∀𝑠 ∀𝑠 NOUN iajs-1930 673 14 , , PUNCT iajs-1930 673 15 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 673 16 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 673 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 673 18 suppose suppose VERB iajs-1930 673 19 that that SCONJ iajs-1930 673 20 g≠r g≠r NOUN iajs-1930 673 21 , , PUNCT iajs-1930 673 22 then then ADV iajs-1930 673 23 there there PRON iajs-1930 673 24 exists exist VERB iajs-1930 673 25 a a DET iajs-1930 673 26 maximal maximal ADJ iajs-1930 673 27 f. f. PROPN iajs-1930 673 28 ideal ideal PROPN iajs-1930 673 29 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 673 30 of of ADP iajs-1930 673 31 r r NOUN iajs-1930 673 32 such such ADJ iajs-1930 673 33 that that SCONJ iajs-1930 673 34 𝐺 𝐺 PROPN iajs-1930 673 35 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 673 36 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 673 37 , , PUNCT iajs-1930 673 38 it it PRON iajs-1930 673 39 is be AUX iajs-1930 673 40 obvious obvious ADJ iajs-1930 673 41 that that SCONJ iajs-1930 673 42 𝑥 𝑥 ADP iajs-1930 673 43 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 673 44 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 673 45 𝐺ƥ 𝐺ƥ PROPN iajs-1930 673 46 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 673 47 and and CCONJ iajs-1930 673 48 hence hence ADV iajs-1930 673 49 x x VERB iajs-1930 673 50 is be AUX iajs-1930 673 51 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 673 52 - - ADJ iajs-1930 673 53 cyclic cyclic ADJ iajs-1930 673 54 f. f. PROPN iajs-1930 673 55 m. m. NOUN iajs-1930 673 56 by by ADP iajs-1930 673 57 lemma lemma PROPN iajs-1930 673 58 ( ( PUNCT iajs-1930 673 59 36 36 NUM iajs-1930 673 60 ) ) PUNCT iajs-1930 673 61 . . PUNCT iajs-1930 674 1 then then ADV iajs-1930 674 2 there there PRON iajs-1930 674 3 exist exist VERB iajs-1930 674 4 f. f. NOUN iajs-1930 674 5 singletons singleton NOUN iajs-1930 674 6 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 674 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 674 8 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 674 9 and and CCONJ iajs-1930 674 10 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 674 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 674 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 674 13 such such ADJ iajs-1930 674 14 that that SCONJ iajs-1930 674 15 1 1 NUM iajs-1930 674 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 674 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 674 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 674 19 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 674 20 . . PUNCT iajs-1930 675 1 hence hence ADV iajs-1930 675 2 1 1 NUM iajs-1930 675 3 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 675 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 675 5 ⊆∩ ⊆∩ ADJ iajs-1930 675 6 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 675 7 ĥ ĥ X iajs-1930 675 8 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 675 9 . . PUNCT iajs-1930 676 1 for for ADP iajs-1930 676 2 each each DET iajs-1930 676 3 𝑖 𝑖 SYM iajs-1930 676 4 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 676 5 λ λ NOUN iajs-1930 676 6 there there PRON iajs-1930 676 7 exists exist VERB iajs-1930 676 8 f. f. PROPN iajs-1930 676 9 singleton singleton PROPN iajs-1930 677 1 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 677 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 677 3 ĥ ĥ X iajs-1930 677 4 , , PUNCT iajs-1930 677 5 ∀𝑙 ∀𝑙 PROPN iajs-1930 677 6 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 677 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 677 8 , , PUNCT iajs-1930 677 9 such such ADJ iajs-1930 677 10 that that SCONJ iajs-1930 677 11 1 1 NUM iajs-1930 677 12 𝑎 𝑎 X iajs-1930 677 13 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 677 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 677 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 677 16 . . PUNCT iajs-1930 678 1 choose choose VERB iajs-1930 678 2 𝑗 𝑗 PROPN iajs-1930 678 3 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 678 4 λ λ NOUN iajs-1930 678 5 , , PUNCT iajs-1930 678 6 for for ADP iajs-1930 678 7 each each DET iajs-1930 678 8 𝑖 𝑖 SYM iajs-1930 678 9 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 678 10 λ λ PROPN iajs-1930 678 11 , , PUNCT iajs-1930 678 12 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 678 13 𝑦 𝑦 X iajs-1930 678 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 678 15 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 678 16 , , PUNCT iajs-1930 678 17 so so SCONJ iajs-1930 678 18 that that SCONJ iajs-1930 678 19 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 678 20 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 678 21 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 678 22 0 0 NUM iajs-1930 678 23 , , PUNCT iajs-1930 678 24 implies imply VERB iajs-1930 678 25 that that SCONJ iajs-1930 678 26 : : PUNCT iajs-1930 679 1 1 1 NUM iajs-1930 679 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 679 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 679 4 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 679 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 679 6 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 679 7 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 679 8 1 1 NUM iajs-1930 679 9 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 679 10 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 679 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 679 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 679 13 𝑏 𝑏 SYM iajs-1930 679 14 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 679 15 0 0 NUM iajs-1930 679 16 , , PUNCT iajs-1930 679 17 1 1 NUM iajs-1930 679 18 𝑎 𝑎 X iajs-1930 679 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 679 20 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 679 21 0 0 NUM iajs-1930 679 22 . . PUNCT iajs-1930 680 1 thus thus ADV iajs-1930 680 2 1 1 NUM iajs-1930 680 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 680 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 680 5 1 1 NUM iajs-1930 680 6 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 680 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 680 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 680 9 ĥ ĥ PUNCT iajs-1930 680 10 𝑖 𝑖 SYM iajs-1930 680 11 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 680 12 λ λ PROPN iajs-1930 680 13 , , PUNCT iajs-1930 680 14 then then ADV iajs-1930 680 15 1 1 NUM iajs-1930 680 16 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 680 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 680 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 680 19 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 680 20 . . PUNCT iajs-1930 681 1 hence hence ADV iajs-1930 681 2 1 1 NUM iajs-1930 681 3 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 681 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 681 5 1 1 NUM iajs-1930 681 6 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 681 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 681 8 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 681 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 681 10 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 681 11 . . PUNCT iajs-1930 682 1 it it PRON iajs-1930 682 2 follows follow VERB iajs-1930 682 3 that that SCONJ iajs-1930 682 4 1 1 NUM iajs-1930 682 5 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 682 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 682 7 𝐺 𝐺 NOUN iajs-1930 682 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 682 9 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 682 10 this this PRON iajs-1930 682 11 is be AUX iajs-1930 682 12 a a DET iajs-1930 682 13 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 682 14 . . PUNCT iajs-1930 683 1 thus thus ADV iajs-1930 683 2 g g ADP iajs-1930 683 3 = = NOUN iajs-1930 683 4 r r NOUN iajs-1930 683 5 and and CCONJ iajs-1930 683 6 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 683 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 683 8 ṷ𝑋 ṷ𝑋 NOUN iajs-1930 683 9 , , PUNCT iajs-1930 683 10 so so SCONJ iajs-1930 683 11 that that SCONJ iajs-1930 683 12 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 683 13 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 683 14 ĥ ĥ X iajs-1930 683 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 683 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 683 17 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 683 18 implies imply VERB iajs-1930 683 19 that that SCONJ iajs-1930 683 20 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 683 21 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 683 22 ĥ ĥ X iajs-1930 683 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 683 24 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 683 25 that that PRON iajs-1930 683 26 is be AUX iajs-1930 683 27 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 683 28 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 683 29 ĥ ĥ ADP iajs-1930 683 30 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 683 31 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 683 32 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 683 33 ĥ ĥ X iajs-1930 683 34 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 683 35 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 683 36 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 683 37 now now ADV iajs-1930 683 38 , , PUNCT iajs-1930 683 39 we we PRON iajs-1930 683 40 give give VERB iajs-1930 683 41 the the DET iajs-1930 683 42 proposition proposition NOUN iajs-1930 683 43 as as SCONJ iajs-1930 683 44 follows follow VERB iajs-1930 683 45 : : PUNCT iajs-1930 683 46 proposition proposition NOUN iajs-1930 683 47 38 38 NUM iajs-1930 683 48 . . PUNCT iajs-1930 684 1 let let VERB iajs-1930 684 2 x x PRON iajs-1930 684 3 be be AUX iajs-1930 684 4 a a DET iajs-1930 684 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 684 6 finitely finitely ADV iajs-1930 684 7 generated generate VERB iajs-1930 684 8 f. f. PROPN iajs-1930 684 9 m. m. PROPN iajs-1930 684 10 of of ADP iajs-1930 684 11 an an DET iajs-1930 684 12 r r NOUN iajs-1930 684 13 - - PUNCT iajs-1930 684 14 m. m. NOUN iajs-1930 684 15 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 684 16 and and CCONJ iajs-1930 684 17 a a DET iajs-1930 684 18 be be AUX iajs-1930 684 19 t t PROPN iajs-1930 684 20 - - PUNCT iajs-1930 684 21 abso abso PROPN iajs-1930 684 22 f. f. PROPN iajs-1930 684 23 subm subm PROPN iajs-1930 684 24 . . PUNCT iajs-1930 685 1 of of ADP iajs-1930 685 2 x. x. NOUN iajs-1930 685 3 then then ADV iajs-1930 685 4 one one NUM iajs-1930 685 5 of of ADP iajs-1930 685 6 the the DET iajs-1930 685 7 following follow VERB iajs-1930 685 8 satisfy satisfy NOUN iajs-1930 685 9 : : PUNCT iajs-1930 685 10 1x 1x NUM iajs-1930 685 11 - - PUNCT iajs-1930 685 12 r(a)=ƥ r(a)=ƥ NOUN iajs-1930 685 13 is be AUX iajs-1930 685 14 a a DET iajs-1930 685 15 prime prime PROPN iajs-1930 685 16 f. f. PROPN iajs-1930 685 17 subm subm PROPN iajs-1930 685 18 . . PUNCT iajs-1930 686 1 of of ADP iajs-1930 686 2 x x SYM iajs-1930 686 3 such such ADJ iajs-1930 686 4 that that SCONJ iajs-1930 686 5 ƥ ƥ PRON iajs-1930 686 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 686 7 𝐴. 𝐴. ADJ iajs-1930 686 8 2x 2x NUM iajs-1930 686 9 - - PUNCT iajs-1930 686 10 r(a)=ƥ r(a)=ƥ NOUN iajs-1930 686 11 ∩ ∩ ADJ iajs-1930 686 12 ƥ ƥ NOUN iajs-1930 686 13 , , PUNCT iajs-1930 686 14 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 686 15 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 686 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 686 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 686 18 and and CCONJ iajs-1930 686 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 686 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 686 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 686 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 686 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 686 24 where where SCONJ iajs-1930 686 25 ƥ ƥ X iajs-1930 686 26 , , PUNCT iajs-1930 686 27 ƥ ƥ PROPN iajs-1930 686 28 are be AUX iajs-1930 686 29 the the DET iajs-1930 686 30 only only ADJ iajs-1930 686 31 distinct distinct ADJ iajs-1930 686 32 minimal minimal ADJ iajs-1930 686 33 prime prime PROPN iajs-1930 686 34 f. f. PROPN iajs-1930 686 35 subms subms PROPN iajs-1930 686 36 . . PUNCT iajs-1930 687 1 of of ADP iajs-1930 687 2 a. a. NOUN iajs-1930 687 3 proof proof NOUN iajs-1930 687 4 . . PUNCT iajs-1930 688 1 by by ADP iajs-1930 688 2 theorem theorem NOUN iajs-1930 688 3 ( ( PUNCT iajs-1930 688 4 21 21 NUM iajs-1930 688 5 ) ) PUNCT iajs-1930 688 6 , , PUNCT iajs-1930 688 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 688 8 : : PUNCT iajs-1930 688 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 688 10 is be AUX iajs-1930 688 11 t t PROPN iajs-1930 688 12 - - PUNCT iajs-1930 688 13 abso abso PROPN iajs-1930 688 14 f. f. PROPN iajs-1930 688 15 ideal ideal PROPN iajs-1930 688 16 of of ADP iajs-1930 688 17 r. r. PROPN iajs-1930 688 18 so so SCONJ iajs-1930 688 19 that that SCONJ iajs-1930 688 20 either either CCONJ iajs-1930 688 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 688 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 688 23 : : PUNCT iajs-1930 688 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 688 25 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 688 26 is be AUX iajs-1930 688 27 a a DET iajs-1930 688 28 prime prime ADJ iajs-1930 688 29 f. f. PROPN iajs-1930 688 30 ideal ideal NOUN iajs-1930 688 31 of of ADP iajs-1930 688 32 r r NOUN iajs-1930 688 33 such such ADJ iajs-1930 688 34 that that SCONJ iajs-1930 688 35 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 688 36 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 688 37 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 688 38 : : PUNCT iajs-1930 688 39 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 688 40 or or CCONJ iajs-1930 688 41 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 688 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 688 43 : : PUNCT iajs-1930 688 44 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 688 45 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 688 46 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 688 47 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 688 48 , , PUNCT iajs-1930 688 49 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 688 50 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 689 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 689 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 3 : : PUNCT iajs-1930 689 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 689 5 and and CCONJ iajs-1930 689 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 689 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 8 : : PUNCT iajs-1930 689 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 689 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 689 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 12 : : PUNCT iajs-1930 689 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 689 14 where where SCONJ iajs-1930 689 15 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 689 16 , , PUNCT iajs-1930 689 17 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 689 18 are be AUX iajs-1930 689 19 the the DET iajs-1930 689 20 only only ADJ iajs-1930 689 21 distinct distinct ADJ iajs-1930 689 22 minimal minimal ADJ iajs-1930 689 23 prime prime ADJ iajs-1930 689 24 f. f. PROPN iajs-1930 689 25 ideals ideal NOUN iajs-1930 689 26 of of ADP iajs-1930 689 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 28 : : PUNCT iajs-1930 689 29 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 689 30 by by ADP iajs-1930 689 31 proposition proposition NOUN iajs-1930 689 32 ( ( PUNCT iajs-1930 689 33 6 6 NUM iajs-1930 689 34 ) ) PUNCT iajs-1930 689 35 , , PUNCT iajs-1930 689 36 where where SCONJ iajs-1930 689 37 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 689 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 39 : : PUNCT iajs-1930 689 40 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 689 41 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 689 42 : : PUNCT iajs-1930 689 43 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 689 44 . . PUNCT iajs-1930 690 1 if if SCONJ iajs-1930 690 2 the the DET iajs-1930 690 3 first first ADJ iajs-1930 690 4 case case NOUN iajs-1930 690 5 satisfies satisfie NOUN iajs-1930 690 6 , , PUNCT iajs-1930 690 7 then then ADV iajs-1930 690 8 since since SCONJ iajs-1930 690 9 x x PROPN iajs-1930 690 10 is be AUX iajs-1930 690 11 f. f. PROPN iajs-1930 690 12 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 690 13 , , PUNCT iajs-1930 690 14 we we PRON iajs-1930 690 15 have have VERB iajs-1930 690 16 x x ADJ iajs-1930 690 17 - - PUNCT iajs-1930 690 18 r(a)=r r(a)=r VERB iajs-1930 690 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 690 20 : : PUNCT iajs-1930 690 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 690 22 x x SYM iajs-1930 690 23 = = NOUN iajs-1930 690 24 ṷx ṷx NOUN iajs-1930 690 25 is be AUX iajs-1930 690 26 a a DET iajs-1930 690 27 prime prime PROPN iajs-1930 690 28 f. f. PROPN iajs-1930 690 29 subm subm PROPN iajs-1930 690 30 . . PUNCT iajs-1930 691 1 of of SCONJ iajs-1930 691 2 x. x. PROPN iajs-1930 691 3 put put VERB iajs-1930 691 4 ṷx ṷx PROPN iajs-1930 691 5 = = NOUN iajs-1930 691 6 ƥ ƥ X iajs-1930 691 7 by by ADP iajs-1930 691 8 lemma lemma PROPN iajs-1930 691 9 ( ( PUNCT iajs-1930 691 10 33 33 NUM iajs-1930 691 11 ) ) PUNCT iajs-1930 691 12 and and CCONJ iajs-1930 691 13 lemma lemma PROPN iajs-1930 691 14 ( ( PUNCT iajs-1930 691 15 34 34 NUM iajs-1930 691 16 ) ) PUNCT iajs-1930 691 17 , , PUNCT iajs-1930 691 18 and and CCONJ iajs-1930 691 19 ṷ𝑋 ṷ𝑋 PROPN iajs-1930 691 20 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 691 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 691 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 691 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 691 24 : : PUNCT iajs-1930 691 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 691 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 691 27 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 691 28 now now ADV iajs-1930 691 29 , , PUNCT iajs-1930 691 30 suppose suppose VERB iajs-1930 691 31 that that SCONJ iajs-1930 691 32 the the DET iajs-1930 691 33 latter latter ADJ iajs-1930 691 34 case case NOUN iajs-1930 691 35 satisfies satisfie NOUN iajs-1930 691 36 , , PUNCT iajs-1930 691 37 then then ADV iajs-1930 691 38 by by ADP iajs-1930 691 39 lemma(33 lemma(33 NOUN iajs-1930 691 40 ) ) PUNCT iajs-1930 691 41 , , PUNCT iajs-1930 691 42 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 691 43 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 691 44 and and CCONJ iajs-1930 691 45 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 691 46 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 691 47 are be AUX iajs-1930 691 48 the the DET iajs-1930 691 49 only only ADJ iajs-1930 691 50 distinct distinct ADJ iajs-1930 691 51 minimal minimal ADJ iajs-1930 691 52 prime prime PROPN iajs-1930 691 53 f. f. PROPN iajs-1930 691 54 subms subms PROPN iajs-1930 691 55 . . PUNCT iajs-1930 691 56     SPACE iajs-1930 692 1 126 126 NUM iajs-1930 692 2     SPACE iajs-1930 692 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 692 4 al al PROPN iajs-1930 692 5 - - PUNCT iajs-1930 692 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 692 7 jour jour X iajs-1930 692 8 . . PROPN iajs-1930 692 9 for for ADP iajs-1930 692 10 pure pure ADJ iajs-1930 692 11 & & CCONJ iajs-1930 692 12 appl appl PROPN iajs-1930 692 13 . . PUNCT iajs-1930 693 1 sci sci PROPN iajs-1930 693 2 . . PROPN iajs-1930 693 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 693 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 693 5 vol vol NOUN iajs-1930 693 6 . . PUNCT iajs-1930 694 1 32 32 NUM iajs-1930 695 1 ( ( PUNCT iajs-1930 695 2 1 1 NUM iajs-1930 695 3 ) ) PUNCT iajs-1930 695 4 2019 2019 NUM iajs-1930 695 5 of of ADP iajs-1930 695 6 a a PRON iajs-1930 695 7 and and CCONJ iajs-1930 695 8 xr(a xr(a NUM iajs-1930 695 9 ) ) PUNCT iajs-1930 695 10 = = SYM iajs-1930 695 11 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 695 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 695 13 : : PUNCT iajs-1930 695 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 695 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 695 16 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 695 17 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 695 18 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 695 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 695 20 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 695 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 695 22 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 695 23 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 695 24 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 695 25 by by ADP iajs-1930 695 26 lemma lemma PROPN iajs-1930 695 27 ( ( PUNCT iajs-1930 695 28 37 37 NUM iajs-1930 695 29 ) ) PUNCT iajs-1930 695 30 . . PUNCT iajs-1930 696 1 moreover moreover ADV iajs-1930 696 2 ṷ ṷ X iajs-1930 696 3 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 4 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 696 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 696 6 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 696 7 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 696 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 696 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 11 : : PUNCT iajs-1930 696 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 15 and and CCONJ iajs-1930 696 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 17 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 696 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 19 r r PROPN iajs-1930 696 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 21 : : PUNCT iajs-1930 696 22 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 696 23 x x SYM iajs-1930 696 24 r r PROPN iajs-1930 696 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 26 : : PUNCT iajs-1930 696 27 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 29 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 696 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 696 31 : : PUNCT iajs-1930 696 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 33 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 696 34 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 696 35 we we PRON iajs-1930 696 36 give give VERB iajs-1930 696 37 the the DET iajs-1930 696 38 definition definition NOUN iajs-1930 696 39 of of ADP iajs-1930 696 40 t t PROPN iajs-1930 696 41 - - PUNCT iajs-1930 696 42 abso abso PROPN iajs-1930 696 43 primary primary PROPN iajs-1930 696 44 f. f. PROPN iajs-1930 696 45 subm subm PROPN iajs-1930 696 46 . . PUNCT iajs-1930 697 1 as as SCONJ iajs-1930 697 2 follows follow VERB iajs-1930 697 3 : : PUNCT iajs-1930 697 4 definition definition NOUN iajs-1930 697 5 39 39 NUM iajs-1930 697 6 . . PUNCT iajs-1930 698 1 let let VERB iajs-1930 698 2 a a PRON iajs-1930 698 3 be be AUX iajs-1930 698 4 a a DET iajs-1930 698 5 proper proper ADJ iajs-1930 698 6 f. f. PROPN iajs-1930 698 7 subm subm PROPN iajs-1930 698 8 . . PUNCT iajs-1930 699 1 of of ADP iajs-1930 699 2 f. f. PROPN iajs-1930 699 3 m. m. PROPN iajs-1930 700 1 x x PROPN iajs-1930 700 2 of of ADP iajs-1930 700 3 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 700 4 , , PUNCT iajs-1930 700 5 a a PRON iajs-1930 700 6 is be AUX iajs-1930 700 7 called call VERB iajs-1930 700 8 t t PROPN iajs-1930 700 9 - - PUNCT iajs-1930 700 10 abso abso PROPN iajs-1930 700 11 primary primary PROPN iajs-1930 700 12 f. f. PROPN iajs-1930 700 13 subm subm PROPN iajs-1930 700 14 . . PUNCT iajs-1930 701 1 of of ADP iajs-1930 701 2 x x INTJ iajs-1930 701 3 if if SCONJ iajs-1930 701 4 whenever whenever SCONJ iajs-1930 701 5 f. f. PROPN iajs-1930 701 6 singletons singleton VERB iajs-1930 701 7 𝑎 𝑎 X iajs-1930 701 8 , , PUNCT iajs-1930 701 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 701 10 of of ADP iajs-1930 701 11 r r NOUN iajs-1930 701 12 and and CCONJ iajs-1930 701 13 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 701 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 701 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 701 16 such such ADJ iajs-1930 701 17 that that SCONJ iajs-1930 701 18 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 701 19 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 701 20 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 701 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 701 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 701 23 , , PUNCT iajs-1930 701 24 then then ADV iajs-1930 701 25 either either CCONJ iajs-1930 701 26 𝑎 𝑎 X iajs-1930 701 27 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 701 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 701 29 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 701 30 r r NOUN iajs-1930 701 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 701 32 or or CCONJ iajs-1930 701 33 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 701 34 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 701 35 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 701 36 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 701 37 r r NOUN iajs-1930 701 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 701 39 or or CCONJ iajs-1930 701 40 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 701 41 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 701 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 701 43 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 701 44 : : PUNCT iajs-1930 701 45 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 701 46 . . PUNCT iajs-1930 702 1 the the DET iajs-1930 702 2 following follow VERB iajs-1930 702 3 proposition proposition NOUN iajs-1930 702 4 characterize characterize VERB iajs-1930 702 5 t t PROPN iajs-1930 702 6 - - PUNCT iajs-1930 702 7 abso abso PROPN iajs-1930 702 8 primary primary PROPN iajs-1930 702 9 f. f. PROPN iajs-1930 702 10 subm subm PROPN iajs-1930 702 11 . . PUNCT iajs-1930 703 1 in in ADP iajs-1930 703 2 terms term NOUN iajs-1930 703 3 of of ADP iajs-1930 703 4 its its PRON iajs-1930 703 5 level level NOUN iajs-1930 703 6 subm subm PROPN iajs-1930 703 7 . . PUNCT iajs-1930 703 8 proposition proposition NOUN iajs-1930 703 9 40 40 NUM iajs-1930 703 10 . . PUNCT iajs-1930 704 1 let let VERB iajs-1930 704 2 a a DET iajs-1930 704 3 be be AUX iajs-1930 704 4 t t PROPN iajs-1930 704 5 - - PUNCT iajs-1930 704 6 abso abso PROPN iajs-1930 704 7 primary primary PROPN iajs-1930 704 8 f. f. PROPN iajs-1930 704 9 subm subm PROPN iajs-1930 704 10 . . PUNCT iajs-1930 705 1 of of ADP iajs-1930 705 2 f. f. PROPN iajs-1930 705 3 m. m. PROPN iajs-1930 706 1 x x PROPN iajs-1930 706 2 of of ADP iajs-1930 706 3 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 706 4 . . PUNCT iajs-1930 707 1 for for ADP iajs-1930 707 2 all all DET iajs-1930 707 3 v∈ v∈ PROPN iajs-1930 707 4 l l NOUN iajs-1930 707 5 , , PUNCT iajs-1930 707 6 iff iff VERB iajs-1930 707 7 the the DET iajs-1930 707 8 level level NOUN iajs-1930 707 9 subm subm PROPN iajs-1930 707 10 . . PUNCT iajs-1930 708 1 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 708 2 is be AUX iajs-1930 708 3 t t PROPN iajs-1930 708 4 - - PUNCT iajs-1930 708 5 abso abso PROPN iajs-1930 708 6 primary primary ADJ iajs-1930 708 7 subm subm PROPN iajs-1930 708 8 . . PUNCT iajs-1930 709 1 of of ADP iajs-1930 709 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 709 3 . . PUNCT iajs-1930 710 1 proof proof NOUN iajs-1930 710 2 . . PUNCT iajs-1930 711 1 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 711 2 let let VERB iajs-1930 711 3 abx∈𝐴 abx∈𝐴 NOUN iajs-1930 711 4 for for ADP iajs-1930 711 5 any any DET iajs-1930 711 6 a a DET iajs-1930 711 7 , , PUNCT iajs-1930 711 8 b∈r b∈r NOUN iajs-1930 711 9 and and CCONJ iajs-1930 711 10 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 711 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 711 12 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 711 13 , , PUNCT iajs-1930 711 14 then then ADV iajs-1930 711 15 a(abx)≥ a(abx)≥ VERB iajs-1930 711 16 v v ADP iajs-1930 711 17 , , PUNCT iajs-1930 711 18 so so ADV iajs-1930 711 19 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 712 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 712 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 712 3 implies imply VERB iajs-1930 712 4 that that SCONJ iajs-1930 712 5 𝑎 𝑎 X iajs-1930 712 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 712 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 712 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 712 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 712 10 where where SCONJ iajs-1930 712 11 v v NOUN iajs-1930 712 12 = = SYM iajs-1930 712 13 min{s min{s ADJ iajs-1930 712 14 , , PUNCT iajs-1930 712 15 l l NOUN iajs-1930 712 16 , , PUNCT iajs-1930 712 17 k k NOUN iajs-1930 712 18 } } PUNCT iajs-1930 712 19 . . PUNCT iajs-1930 713 1 since since SCONJ iajs-1930 713 2 a a DET iajs-1930 713 3 be be AUX iajs-1930 713 4 t t PROPN iajs-1930 713 5 - - PUNCT iajs-1930 713 6 abso abso PROPN iajs-1930 713 7 primary primary PROPN iajs-1930 713 8 f. f. PROPN iajs-1930 713 9 subm subm PROPN iajs-1930 713 10 . . PUNCT iajs-1930 713 11 , , PUNCT iajs-1930 713 12 so so ADV iajs-1930 713 13 either either CCONJ iajs-1930 713 14 𝑎 𝑎 X iajs-1930 713 15 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 713 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 713 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 713 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 713 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 713 20 or or CCONJ iajs-1930 713 21 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 713 22 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 713 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 713 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 713 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 713 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 713 27 or or CCONJ iajs-1930 713 28 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 713 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 713 30 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 713 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 713 32 : : PUNCT iajs-1930 713 33 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 713 34 . . PUNCT iajs-1930 714 1 if if SCONJ iajs-1930 714 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 714 3 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 714 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 714 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 714 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 714 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 714 8 , , PUNCT iajs-1930 714 9 then then ADV iajs-1930 714 10 𝑎𝑥 𝑎𝑥 X iajs-1930 714 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 714 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 714 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 714 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 714 15 , , PUNCT iajs-1930 714 16 so so ADV iajs-1930 714 17 ax ax VERB iajs-1930 714 18 ∈𝑋 ∈𝑋 PROPN iajs-1930 714 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 714 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 714 21 . . PUNCT iajs-1930 715 1 if if SCONJ iajs-1930 715 2 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 715 3 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 715 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 715 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 715 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 715 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 715 8 , , PUNCT iajs-1930 715 9 then then ADV iajs-1930 715 10 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PROPN iajs-1930 715 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 715 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 715 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 715 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 715 15 , , PUNCT iajs-1930 715 16 so so ADV iajs-1930 715 17 bx∈𝑋 bx∈𝑋 PROPN iajs-1930 715 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 715 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 715 20 . . PUNCT iajs-1930 716 1 if if SCONJ iajs-1930 716 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 716 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 716 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 716 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 716 6 : : PUNCT iajs-1930 716 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 716 8 then then ADV iajs-1930 716 9 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 716 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 716 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 716 12 : : PUNCT iajs-1930 716 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 716 14 , , PUNCT iajs-1930 716 15 so so CCONJ iajs-1930 716 16 ab ab PROPN iajs-1930 716 17 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 716 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 716 19 : : PUNCT iajs-1930 716 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 716 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 716 22 : : PUNCT iajs-1930 716 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 716 24 . . PUNCT iajs-1930 717 1 hence hence ADV iajs-1930 717 2 ab∈ ab∈ PROPN iajs-1930 717 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 717 4 : : PUNCT iajs-1930 717 5 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 717 6 . . PUNCT iajs-1930 718 1 thus thus ADV iajs-1930 718 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 718 3 is be AUX iajs-1930 718 4 t t PROPN iajs-1930 718 5 - - PUNCT iajs-1930 718 6 abso abso PROPN iajs-1930 718 7 primary primary ADJ iajs-1930 718 8 subm subm PROPN iajs-1930 718 9 . . PUNCT iajs-1930 719 1 of of ADP iajs-1930 719 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 719 3 . . PUNCT iajs-1930 720 1 ( ( PUNCT iajs-1930 720 2 ⟸)let ⟸)let PROPN iajs-1930 720 3 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 720 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 720 5 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 720 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 720 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 720 8 for for ADP iajs-1930 720 9 f. f. PROPN iajs-1930 720 10 singletons singletons PROPN iajs-1930 720 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 720 12 , , PUNCT iajs-1930 720 13 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 720 14 of of ADP iajs-1930 720 15 r r NOUN iajs-1930 720 16 and and CCONJ iajs-1930 720 17 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 720 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 720 19 𝑋,∀s 𝑋,∀s ADJ iajs-1930 720 20 , , PUNCT iajs-1930 720 21 l l PROPN iajs-1930 720 22 , , PUNCT iajs-1930 720 23 k k PROPN iajs-1930 720 24 ∈l ∈l PROPN iajs-1930 720 25 , , PUNCT iajs-1930 720 26 hence hence ADV iajs-1930 720 27 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 720 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 720 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 720 30 where where SCONJ iajs-1930 720 31 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 720 32 min min PROPN iajs-1930 720 33 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 720 34 , , PUNCT iajs-1930 720 35 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 720 36 , , PUNCT iajs-1930 720 37 𝑘 𝑘 PROPN iajs-1930 720 38 so so SCONJ iajs-1930 720 39 that that SCONJ iajs-1930 720 40 a(abx)≥ a(abx)≥ PROPN iajs-1930 720 41 v v NOUN iajs-1930 720 42 , , PUNCT iajs-1930 720 43 implies imply VERB iajs-1930 720 44 abx∈𝐴 abx∈𝐴 NOUN iajs-1930 720 45 , , PUNCT iajs-1930 720 46 but but CCONJ iajs-1930 720 47 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 720 48 is be AUX iajs-1930 720 49 tabso tabso DET iajs-1930 720 50 primary primary ADJ iajs-1930 720 51 subm subm PROPN iajs-1930 720 52 . . PUNCT iajs-1930 721 1 of of ADP iajs-1930 721 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 721 3 so so ADV iajs-1930 721 4 either either CCONJ iajs-1930 721 5 ax∈ ax∈ VERB iajs-1930 721 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 721 7 r r NOUN iajs-1930 721 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 721 9 or or CCONJ iajs-1930 721 10 bx∈ bx∈ VERB iajs-1930 721 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 721 12 r r PROPN iajs-1930 721 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 721 14 or or CCONJ iajs-1930 721 15 ab∈ ab∈ PROPN iajs-1930 721 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 721 17 : : PUNCT iajs-1930 721 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 721 19 . . PUNCT iajs-1930 722 1 since since SCONJ iajs-1930 722 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 722 3 : : PUNCT iajs-1930 722 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 722 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 722 6 : : PUNCT iajs-1930 722 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 722 8 , , PUNCT iajs-1930 722 9 hence hence ADV iajs-1930 722 10 ab∈ ab∈ PROPN iajs-1930 722 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 722 12 : : PUNCT iajs-1930 722 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 722 14 . . PUNCT iajs-1930 723 1 then then ADV iajs-1930 723 2 either either CCONJ iajs-1930 723 3 𝑎𝑥 𝑎𝑥 NOUN iajs-1930 723 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 723 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 723 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 8 or or CCONJ iajs-1930 723 9 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PRON iajs-1930 723 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 723 12 r r NOUN iajs-1930 723 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 14 or or CCONJ iajs-1930 723 15 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 723 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 18 : : PUNCT iajs-1930 723 19 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 723 20 , , PUNCT iajs-1930 723 21 implies imply VERB iajs-1930 723 22 either either CCONJ iajs-1930 723 23 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 723 24 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 723 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 723 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 723 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 29 or or CCONJ iajs-1930 723 30 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 723 31 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 723 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 33 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 723 34 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 723 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 36 or or CCONJ iajs-1930 723 37 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 723 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 723 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 723 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 723 41 : : PUNCT iajs-1930 723 42 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 723 43 . . PUNCT iajs-1930 724 1 thus thus ADV iajs-1930 724 2 a a DET iajs-1930 724 3 be be AUX iajs-1930 724 4 t t PROPN iajs-1930 724 5 - - PUNCT iajs-1930 724 6 abso abso PROPN iajs-1930 724 7 primary primary PROPN iajs-1930 724 8 f. f. PROPN iajs-1930 724 9 subm subm PROPN iajs-1930 724 10 . . PUNCT iajs-1930 725 1 of of ADP iajs-1930 725 2 x. x. PROPN iajs-1930 725 3 remark remark PROPN iajs-1930 725 4 41 41 NUM iajs-1930 725 5 . . PUNCT iajs-1930 726 1 every every DET iajs-1930 726 2 t t PROPN iajs-1930 726 3 - - PUNCT iajs-1930 726 4 abso abso PROPN iajs-1930 726 5 f. f. PROPN iajs-1930 726 6 subm subm PROPN iajs-1930 726 7 . . PUNCT iajs-1930 726 8 is be AUX iajs-1930 726 9 t t PROPN iajs-1930 726 10 - - PUNCT iajs-1930 726 11 abso abso PROPN iajs-1930 726 12 primary primary PROPN iajs-1930 726 13 f. f. PROPN iajs-1930 726 14 subm subm PROPN iajs-1930 726 15 . . PUNCT iajs-1930 726 16 , , PUNCT iajs-1930 726 17 but but CCONJ iajs-1930 726 18 the the DET iajs-1930 726 19 converse converse NOUN iajs-1930 726 20 in in ADP iajs-1930 726 21 general general ADJ iajs-1930 726 22 incorrect incorrect ADJ iajs-1930 726 23 , , PUNCT iajs-1930 726 24 for for ADP iajs-1930 726 25 example example NOUN iajs-1930 726 26 : : PUNCT iajs-1930 726 27 let let VERB iajs-1930 726 28 x x PRON iajs-1930 726 29 : : PUNCT iajs-1930 726 30 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 726 31 → → SYM iajs-1930 726 32 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 726 33 such such ADJ iajs-1930 726 34 that that PRON iajs-1930 726 35 x(y x(y PROPN iajs-1930 726 36 ) ) PUNCT iajs-1930 727 1 = = PUNCT iajs-1930 728 1 1 1 NUM iajs-1930 728 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 NUM iajs-1930 728 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 728 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 728 5 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 728 6 0 0 NUM iajs-1930 728 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 728 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 728 9 it it PRON iajs-1930 728 10 is be AUX iajs-1930 728 11 obvious obvious ADJ iajs-1930 728 12 that that SCONJ iajs-1930 728 13 x x PRON iajs-1930 728 14 is be AUX iajs-1930 728 15 f. f. PROPN iajs-1930 728 16 m. m. PROPN iajs-1930 728 17 of of ADP iajs-1930 728 18 z z PROPN iajs-1930 728 19 - - PUNCT iajs-1930 728 20 m. m. NOUN iajs-1930 728 21 z. z. PROPN iajs-1930 728 22 let let VERB iajs-1930 728 23 a a DET iajs-1930 728 24 : : PUNCT iajs-1930 728 25 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 728 26 → → SYM iajs-1930 728 27 𝐿 𝐿 NOUN iajs-1930 728 28 such such ADJ iajs-1930 728 29 that that SCONJ iajs-1930 728 30 a(y a(y PROPN iajs-1930 728 31 ) ) PUNCT iajs-1930 729 1 = = PUNCT iajs-1930 730 1 𝑣 𝑣 PRON iajs-1930 730 2 𝑖𝑓 𝑖𝑓 ADP iajs-1930 730 3 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 730 4 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 730 5 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 730 6 0 0 NUM iajs-1930 730 7 𝑜. 𝑜. NOUN iajs-1930 730 8 𝑤. 𝑤. NOUN iajs-1930 730 9 ∀ ∀ X iajs-1930 731 1 𝑣 𝑣 ADP iajs-1930 731 2 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 731 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-1930 731 4 it it PRON iajs-1930 731 5 is be AUX iajs-1930 731 6 obvious obvious ADJ iajs-1930 731 7 that that SCONJ iajs-1930 731 8 a a PRON iajs-1930 731 9 is be AUX iajs-1930 731 10 f. f. PROPN iajs-1930 731 11 subm subm PROPN iajs-1930 731 12 . . PUNCT iajs-1930 732 1 of of ADP iajs-1930 732 2 x. x. NOUN iajs-1930 733 1 now now ADV iajs-1930 733 2 , , PUNCT iajs-1930 733 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 733 4 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 733 5 and and CCONJ iajs-1930 733 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 733 7 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 733 8 as as ADP iajs-1930 733 9 z z NOUN iajs-1930 733 10 - - PUNCT iajs-1930 733 11 m. m. NOUN iajs-1930 733 12 note note NOUN iajs-1930 733 13 that that SCONJ iajs-1930 733 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 733 15 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 733 16 is be AUX iajs-1930 733 17 not not PART iajs-1930 733 18 t t PROPN iajs-1930 733 19 - - PUNCT iajs-1930 733 20 abso abso PROPN iajs-1930 733 21 subm subm PROPN iajs-1930 733 22 . . PUNCT iajs-1930 734 1 since since SCONJ iajs-1930 734 2 2.2.3 2.2.3 NUM iajs-1930 734 3 ∈ ∈ NOUN iajs-1930 734 4 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 734 5 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 734 6 but but CCONJ iajs-1930 734 7 2.2 2.2 NUM iajs-1930 734 8 ∉ ∉ PROPN iajs-1930 734 9 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 734 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 734 11 and and CCONJ iajs-1930 734 12 2.3 2.3 NUM iajs-1930 734 13 ∉ ∉ PROPN iajs-1930 734 14 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 734 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 734 16 . . PUNCT iajs-1930 735 1 but but CCONJ iajs-1930 735 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 735 3 r r NOUN iajs-1930 735 4 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 735 5 𝑍 𝑍 VERB iajs-1930 735 6 r r NOUN iajs-1930 735 7 12𝑍 12𝑍 NUM iajs-1930 735 8 2𝑍 2𝑍 NOUN iajs-1930 735 9 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 735 10 3𝑍 3𝑍 PROPN iajs-1930 735 11 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-1930 735 12 where where SCONJ iajs-1930 735 13 2z 2z NUM iajs-1930 735 14 and and CCONJ iajs-1930 735 15 3z 3z NUM iajs-1930 735 16 are be AUX iajs-1930 735 17 prime prime ADJ iajs-1930 735 18 subms subms NOUN iajs-1930 735 19 . . PUNCT iajs-1930 736 1 of of ADP iajs-1930 736 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 736 3 containing contain VERB iajs-1930 736 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 736 5 . . PUNCT iajs-1930 737 1 so so ADV iajs-1930 737 2 that that SCONJ iajs-1930 737 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 737 4 is be AUX iajs-1930 737 5 t t PROPN iajs-1930 737 6 - - PUNCT iajs-1930 737 7 abso abso PROPN iajs-1930 737 8 primary primary ADJ iajs-1930 737 9 subm subm PROPN iajs-1930 737 10 . . PUNCT iajs-1930 738 1 of of ADP iajs-1930 738 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 739 1 since since SCONJ iajs-1930 739 2 2.3=6∈6z 2.3=6∈6z NOUN iajs-1930 739 3 . . PUNCT iajs-1930 740 1 thus thus ADV iajs-1930 740 2 a a PRON iajs-1930 740 3 is be AUX iajs-1930 740 4 not not PART iajs-1930 740 5 tabso tabso PROPN iajs-1930 740 6 f. f. PROPN iajs-1930 740 7 subm subm PROPN iajs-1930 740 8 . . PUNCT iajs-1930 740 9 , , PUNCT iajs-1930 740 10 but but CCONJ iajs-1930 740 11 it it PRON iajs-1930 740 12 is be AUX iajs-1930 740 13 t t PROPN iajs-1930 740 14 - - PUNCT iajs-1930 740 15 abso abso PROPN iajs-1930 740 16 primary primary PROPN iajs-1930 740 17 f. f. PROPN iajs-1930 740 18 subm subm PROPN iajs-1930 740 19 . . PUNCT iajs-1930 741 1 of of ADP iajs-1930 741 2 x x INTJ iajs-1930 741 3 . . PUNCT iajs-1930 742 1 we we PRON iajs-1930 742 2 give give VERB iajs-1930 742 3 the the DET iajs-1930 742 4 concept concept NOUN iajs-1930 742 5 of of ADP iajs-1930 742 6 t t PROPN iajs-1930 742 7 - - PUNCT iajs-1930 742 8 abso abso PROPN iajs-1930 742 9 quasi quasi PROPN iajs-1930 742 10 primary primary PROPN iajs-1930 742 11 f. f. PROPN iajs-1930 742 12 subm subm PROPN iajs-1930 742 13 . . PUNCT iajs-1930 743 1 as as SCONJ iajs-1930 743 2 follows follow VERB iajs-1930 743 3 : : PUNCT iajs-1930 743 4     SPACE iajs-1930 743 5 127 127 NUM iajs-1930 743 6     SPACE iajs-1930 743 7 ibn ibn PROPN iajs-1930 743 8 al al PROPN iajs-1930 743 9 - - PUNCT iajs-1930 743 10 haitham haitham PROPN iajs-1930 743 11 jour jour X iajs-1930 743 12 . . PROPN iajs-1930 744 1 for for ADP iajs-1930 744 2 pure pure ADJ iajs-1930 744 3 & & CCONJ iajs-1930 744 4 appl appl PROPN iajs-1930 744 5 . . PUNCT iajs-1930 745 1 sci sci PROPN iajs-1930 745 2 . . PROPN iajs-1930 745 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 745 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 745 5 vol vol NOUN iajs-1930 745 6 . . PUNCT iajs-1930 746 1 32 32 NUM iajs-1930 747 1 ( ( PUNCT iajs-1930 747 2 1 1 NUM iajs-1930 747 3 ) ) SYM iajs-1930 747 4 2019 2019 NUM iajs-1930 747 5 definition definition NOUN iajs-1930 747 6 42 42 NUM iajs-1930 747 7 . . PUNCT iajs-1930 748 1 a a DET iajs-1930 748 2 proper proper ADJ iajs-1930 748 3 f. f. PROPN iajs-1930 748 4 subm subm PROPN iajs-1930 748 5 . . PUNCT iajs-1930 749 1 a a PRON iajs-1930 749 2 of of ADP iajs-1930 749 3 f. f. PROPN iajs-1930 749 4 m. m. PROPN iajs-1930 749 5 x x PROPN iajs-1930 749 6 of of ADP iajs-1930 749 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 749 8 is be AUX iajs-1930 749 9 called call VERB iajs-1930 749 10 t t PROPN iajs-1930 749 11 - - PUNCT iajs-1930 749 12 abso abso PROPN iajs-1930 749 13 quasi quasi PROPN iajs-1930 749 14 primary primary PROPN iajs-1930 749 15 f. f. PROPN iajs-1930 749 16 subm subm PROPN iajs-1930 749 17 . . PUNCT iajs-1930 750 1 if if SCONJ iajs-1930 750 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 750 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 750 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 750 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 750 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 750 7 implies imply VERB iajs-1930 750 8 either either CCONJ iajs-1930 750 9 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 750 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 750 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 750 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 750 13 : : PUNCT iajs-1930 750 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 750 15 or or CCONJ iajs-1930 750 16 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 750 17 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 750 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 750 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 750 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 750 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 750 22 or or CCONJ iajs-1930 750 23 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 750 24 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 750 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 750 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 750 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 750 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 750 29 for for ADP iajs-1930 750 30 each each DET iajs-1930 750 31 f. f. PROPN iajs-1930 750 32 singleton singleton PROPN iajs-1930 750 33 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 750 34 , , PUNCT iajs-1930 750 35 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 750 36 of of ADP iajs-1930 750 37 r r NOUN iajs-1930 750 38 and and CCONJ iajs-1930 750 39 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 750 40 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 750 41 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 750 42 , , PUNCT iajs-1930 750 43 ∀s ∀s PROPN iajs-1930 750 44 , , PUNCT iajs-1930 750 45 l l NOUN iajs-1930 750 46 , , PUNCT iajs-1930 750 47 v v X iajs-1930 750 48 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 750 49 l. l. NOUN iajs-1930 750 50 the the DET iajs-1930 750 51 following follow VERB iajs-1930 750 52 proposition proposition NOUN iajs-1930 750 53 characterize characterize VERB iajs-1930 750 54 t t PROPN iajs-1930 750 55 - - PUNCT iajs-1930 750 56 abso abso PROPN iajs-1930 750 57 quasi quasi PROPN iajs-1930 750 58 primary primary PROPN iajs-1930 750 59 f. f. PROPN iajs-1930 750 60 subm subm PROPN iajs-1930 750 61 . . PUNCT iajs-1930 751 1 in in ADP iajs-1930 751 2 terms term NOUN iajs-1930 751 3 of of ADP iajs-1930 751 4 its its PRON iajs-1930 751 5 level level NOUN iajs-1930 751 6 subm subm PROPN iajs-1930 751 7 . . PUNCT iajs-1930 751 8 proposition proposition NOUN iajs-1930 751 9 43 43 NUM iajs-1930 751 10 . . PUNCT iajs-1930 752 1 let let VERB iajs-1930 752 2 a a DET iajs-1930 752 3 be be AUX iajs-1930 752 4 t t PROPN iajs-1930 752 5 - - PUNCT iajs-1930 752 6 abso abso PROPN iajs-1930 752 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 752 8 primary primary PROPN iajs-1930 752 9 f. f. PROPN iajs-1930 752 10 subm subm PROPN iajs-1930 752 11 . . PUNCT iajs-1930 753 1 of of ADP iajs-1930 753 2 f. f. PROPN iajs-1930 753 3 m. m. PROPN iajs-1930 754 1 x x PROPN iajs-1930 754 2 of of ADP iajs-1930 754 3 ḿ ḿ PRON iajs-1930 754 4 iff iff VERB iajs-1930 754 5 the the DET iajs-1930 754 6 level level NOUN iajs-1930 754 7 subm subm PROPN iajs-1930 754 8 . . PUNCT iajs-1930 755 1 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 755 2 is be AUX iajs-1930 755 3 tabso tabso PRON iajs-1930 755 4 quasi quasi ADJ iajs-1930 755 5 primary primary ADJ iajs-1930 755 6 subm subm PROPN iajs-1930 755 7 . . PUNCT iajs-1930 756 1 of of ADP iajs-1930 756 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 756 3 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 756 4 v∈l v∈l NOUN iajs-1930 756 5 . . PUNCT iajs-1930 757 1 proof proof NOUN iajs-1930 757 2 . . PUNCT iajs-1930 758 1 ⇒ ⇒ NOUN iajs-1930 758 2 let let VERB iajs-1930 758 3 abx∈ abx∈ PROPN iajs-1930 758 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 758 5 for for ADP iajs-1930 758 6 any any DET iajs-1930 758 7 a a NOUN iajs-1930 758 8 , , PUNCT iajs-1930 758 9 b∈ b∈ NOUN iajs-1930 758 10 r r NOUN iajs-1930 758 11 and and CCONJ iajs-1930 758 12 x∈ x∈ PROPN iajs-1930 758 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 758 14 , , PUNCT iajs-1930 758 15 then then ADV iajs-1930 758 16 a(abx)≥ a(abx)≥ VERB iajs-1930 758 17 v v ADP iajs-1930 758 18 , , PUNCT iajs-1930 758 19 so so ADV iajs-1930 758 20 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 758 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 758 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 758 23 implies imply VERB iajs-1930 758 24 that that SCONJ iajs-1930 758 25 𝑎 𝑎 X iajs-1930 758 26 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 758 27 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 758 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 758 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 758 30 where where SCONJ iajs-1930 758 31 v v NOUN iajs-1930 758 32 = = SYM iajs-1930 758 33 min{s min{s ADJ iajs-1930 758 34 , , PUNCT iajs-1930 758 35 l l NOUN iajs-1930 758 36 , , PUNCT iajs-1930 758 37 k k NOUN iajs-1930 758 38 } } PUNCT iajs-1930 758 39 . . PUNCT iajs-1930 759 1 since since SCONJ iajs-1930 759 2 a a DET iajs-1930 759 3 be be AUX iajs-1930 759 4 a a DET iajs-1930 759 5 t t PROPN iajs-1930 759 6 - - PUNCT iajs-1930 759 7 abso abso PROPN iajs-1930 759 8 quasi quasi PROPN iajs-1930 759 9 primary primary PROPN iajs-1930 759 10 f. f. PROPN iajs-1930 759 11 subm subm PROPN iajs-1930 759 12 . . PUNCT iajs-1930 760 1 , , PUNCT iajs-1930 760 2 so so ADV iajs-1930 760 3 either either CCONJ iajs-1930 760 4 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 760 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 760 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 760 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 760 8 : : PUNCT iajs-1930 760 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 760 10 or or CCONJ iajs-1930 760 11 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 760 12 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 760 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 760 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 760 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 760 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 760 17 or or CCONJ iajs-1930 760 18 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 760 19 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 760 20 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 760 21 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 760 22 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 760 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 760 24 . . PUNCT iajs-1930 761 1 if if SCONJ iajs-1930 761 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 761 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 761 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 761 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 761 6 : : PUNCT iajs-1930 761 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 761 8 then then ADV iajs-1930 761 9 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 761 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 761 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 761 12 : : PUNCT iajs-1930 761 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 761 14 , , PUNCT iajs-1930 761 15 so so SCONJ iajs-1930 761 16 ab ab PROPN iajs-1930 761 17 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 761 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 761 19 : : PUNCT iajs-1930 761 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 761 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 761 22 : : PUNCT iajs-1930 761 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 761 24 . . PUNCT iajs-1930 762 1 henc henc PROPN iajs-1930 762 2 eab eab PROPN iajs-1930 762 3 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 762 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 762 5 : : PUNCT iajs-1930 762 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 762 7 . . PUNCT iajs-1930 763 1 if if SCONJ iajs-1930 763 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 763 3 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 763 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 763 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 763 6 r r NOUN iajs-1930 763 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 763 8 , , PUNCT iajs-1930 763 9 then then ADV iajs-1930 763 10 𝑎𝑥 𝑎𝑥 ADP iajs-1930 763 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 763 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 763 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 763 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 763 15 , , PUNCT iajs-1930 763 16 so so ADV iajs-1930 763 17 ax∈ ax∈ VERB iajs-1930 763 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 763 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 763 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 763 21 . . PUNCT iajs-1930 764 1 if if SCONJ iajs-1930 764 2 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 764 3 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 764 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 764 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 764 6 r r NOUN iajs-1930 764 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 764 8 , , PUNCT iajs-1930 764 9 then then ADV iajs-1930 764 10 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PROPN iajs-1930 764 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 764 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 764 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 764 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 764 15 , , PUNCT iajs-1930 764 16 so so ADV iajs-1930 764 17 bx∈ bx∈ VERB iajs-1930 764 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 764 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 764 20 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 764 21 . . PUNCT iajs-1930 765 1 thus thus ADV iajs-1930 765 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 765 3 is be AUX iajs-1930 765 4 a a DET iajs-1930 765 5 t t PROPN iajs-1930 765 6 - - PUNCT iajs-1930 765 7 abso abso PROPN iajs-1930 765 8 quasi quasi PROPN iajs-1930 765 9 primary primary PROPN iajs-1930 765 10 subm subm PROPN iajs-1930 765 11 . . PUNCT iajs-1930 766 1 of of ADP iajs-1930 766 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 766 3 . . PUNCT iajs-1930 767 1 ⇐ ⇐ INTJ iajs-1930 767 2 let let VERB iajs-1930 767 3 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 767 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 767 5 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 767 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 767 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 767 8 for for ADP iajs-1930 767 9 f. f. PROPN iajs-1930 767 10 singletons singletons PROPN iajs-1930 767 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 767 12 , , PUNCT iajs-1930 767 13 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 767 14 of of ADP iajs-1930 767 15 r r NOUN iajs-1930 767 16 and and CCONJ iajs-1930 767 17 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 768 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 768 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 768 3 , , PUNCT iajs-1930 768 4 hence hence ADV iajs-1930 768 5 𝑎𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥 NOUN iajs-1930 768 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 768 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 768 8 where where SCONJ iajs-1930 768 9 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 768 10 min min PROPN iajs-1930 768 11 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 768 12 , , PUNCT iajs-1930 768 13 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 768 14 , , PUNCT iajs-1930 768 15 𝑘 𝑘 PROPN iajs-1930 768 16 so so SCONJ iajs-1930 768 17 that that SCONJ iajs-1930 768 18 a(abx)≥ a(abx)≥ PROPN iajs-1930 768 19 v v NOUN iajs-1930 768 20 , , PUNCT iajs-1930 768 21 implies imply VERB iajs-1930 768 22 abx∈𝐴 abx∈𝐴 NOUN iajs-1930 768 23 , , PUNCT iajs-1930 768 24 but but CCONJ iajs-1930 768 25 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 768 26 is be AUX iajs-1930 768 27 t t PROPN iajs-1930 768 28 - - PUNCT iajs-1930 768 29 abso abso PROPN iajs-1930 768 30 quasi quasi PROPN iajs-1930 768 31 primary primary PROPN iajs-1930 768 32 subm subm PROPN iajs-1930 768 33 . . PUNCT iajs-1930 769 1 of of ADP iajs-1930 769 2 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 769 3 , , PUNCT iajs-1930 769 4 so so CCONJ iajs-1930 769 5 either either CCONJ iajs-1930 769 6 ab∈ ab∈ PROPN iajs-1930 769 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 769 8 : : PUNCT iajs-1930 769 9 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 769 10 or or CCONJ iajs-1930 769 11 ax ax VERB iajs-1930 769 12 ∈𝑋 ∈𝑋 PROPN iajs-1930 769 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 769 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 769 15 or or CCONJ iajs-1930 769 16 bx∈ bx∈ VERB iajs-1930 769 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 769 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 769 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 769 20 . . PUNCT iajs-1930 770 1 since since SCONJ iajs-1930 770 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 770 3 : : PUNCT iajs-1930 770 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 770 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 770 6 : : PUNCT iajs-1930 770 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 770 8 , , PUNCT iajs-1930 770 9 hence hence ADV iajs-1930 770 10 ab∈ ab∈ PROPN iajs-1930 770 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 770 12 : : PUNCT iajs-1930 770 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 770 14 . . PUNCT iajs-1930 771 1 then then ADV iajs-1930 771 2 either either CCONJ iajs-1930 771 3 𝑎𝑏 𝑎𝑏 PROPN iajs-1930 771 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 6 : : PUNCT iajs-1930 771 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 771 8 or or CCONJ iajs-1930 771 9 𝑎𝑥 𝑎𝑥 NOUN iajs-1930 771 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 771 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 771 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 14 or or CCONJ iajs-1930 771 15 𝑏𝑥 𝑏𝑥 PRON iajs-1930 771 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 771 18 r r PROPN iajs-1930 771 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 20 , , PUNCT iajs-1930 771 21 implies imply VERB iajs-1930 771 22 either either CCONJ iajs-1930 771 23 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 771 24 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 771 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 27 : : PUNCT iajs-1930 771 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 771 29 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 771 30 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 771 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 771 33 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 771 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 35 or or CCONJ iajs-1930 771 36 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 771 37 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 771 38 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 771 39 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 771 40 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 771 41 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 771 42 where where SCONJ iajs-1930 771 43 𝑣 𝑣 DET iajs-1930 771 44 min min PROPN iajs-1930 771 45 𝑠 𝑠 PROPN iajs-1930 771 46 , , PUNCT iajs-1930 771 47 𝑙 𝑙 PROPN iajs-1930 771 48 , , PUNCT iajs-1930 771 49 𝑘 𝑘 X iajs-1930 771 50 . . PUNCT iajs-1930 772 1 thus thus ADV iajs-1930 772 2 a a DET iajs-1930 772 3 be be AUX iajs-1930 772 4 t t PROPN iajs-1930 772 5 - - PUNCT iajs-1930 772 6 abso abso PROPN iajs-1930 772 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 772 8 primary primary PROPN iajs-1930 772 9 f. f. PROPN iajs-1930 772 10 subm subm PROPN iajs-1930 772 11 . . PUNCT iajs-1930 773 1 of of ADP iajs-1930 773 2 x. x. PROPN iajs-1930 773 3 theorem theorem VERB iajs-1930 773 4 44 44 NUM iajs-1930 773 5 . . PUNCT iajs-1930 774 1 let let VERB iajs-1930 774 2 a a PRON iajs-1930 774 3 be be AUX iajs-1930 774 4 a a DET iajs-1930 774 5 proper proper ADJ iajs-1930 774 6 f. f. PROPN iajs-1930 774 7 subm subm PROPN iajs-1930 774 8 . . PUNCT iajs-1930 775 1 of of ADP iajs-1930 775 2 f. f. PROPN iajs-1930 775 3 m. m. PROPN iajs-1930 776 1 x x PROPN iajs-1930 776 2 of of ADP iajs-1930 776 3 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 776 4 . . PUNCT iajs-1930 777 1 then then ADV iajs-1930 777 2 the the DET iajs-1930 777 3 following follow VERB iajs-1930 777 4 expressions expression NOUN iajs-1930 777 5 are be AUX iajs-1930 777 6 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 777 7 : : PUNCT iajs-1930 777 8 1a 1a X iajs-1930 777 9 is be AUX iajs-1930 777 10 t t PROPN iajs-1930 777 11 - - PUNCT iajs-1930 777 12 abso abso PROPN iajs-1930 777 13 quasi quasi PROPN iajs-1930 777 14 primary primary PROPN iajs-1930 777 15 f. f. PROPN iajs-1930 777 16 subm subm PROPN iajs-1930 777 17 . . PUNCT iajs-1930 778 1 of of ADP iajs-1930 778 2 x x PRON iajs-1930 778 3 ; ; PUNCT iajs-1930 778 4 2for 2for NUM iajs-1930 778 5 every every DET iajs-1930 778 6 f. f. PROPN iajs-1930 778 7 singleton singleton PROPN iajs-1930 778 8 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 778 9 , , PUNCT iajs-1930 778 10 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 778 11 of of ADP iajs-1930 778 12 r r NOUN iajs-1930 778 13 , , PUNCT iajs-1930 778 14 ∀s ∀s PROPN iajs-1930 778 15 , , PUNCT iajs-1930 778 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 778 17 : : PUNCT iajs-1930 779 1 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 779 2 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 779 3 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 779 4 for for ADP iajs-1930 779 5 some some DET iajs-1930 779 6 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 779 7 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 779 8 or or CCONJ iajs-1930 779 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 779 10 : : PUNCT iajs-1930 779 11 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 779 12 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 779 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 779 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 779 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 779 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 779 17 : : PUNCT iajs-1930 779 18 𝑎 𝑎 X iajs-1930 779 19 ∪ ∪ ADP iajs-1930 779 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 779 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 779 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 779 23 : : PUNCT iajs-1930 779 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 779 25 . . PUNCT iajs-1930 780 1 3for 3for ADP iajs-1930 780 2 every every DET iajs-1930 780 3 f. f. PROPN iajs-1930 780 4 singleton singleton PROPN iajs-1930 780 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 780 6 , , PUNCT iajs-1930 780 7 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 780 8 of of ADP iajs-1930 780 9 r r NOUN iajs-1930 780 10 , , PUNCT iajs-1930 780 11 ∀s ∀s PROPN iajs-1930 780 12 , , PUNCT iajs-1930 780 13 l l PROPN iajs-1930 780 14 ∈ ∈ PROPN iajs-1930 780 15 l l NOUN iajs-1930 780 16 , , PUNCT iajs-1930 780 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 780 18 : : PUNCT iajs-1930 780 19 𝑎 𝑎 X iajs-1930 780 20 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 780 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 780 22 for for ADP iajs-1930 780 23 some some DET iajs-1930 780 24 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 780 25 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 780 26 or or CCONJ iajs-1930 780 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 780 28 : : PUNCT iajs-1930 780 29 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 780 30 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 780 31 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 780 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 780 33 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 780 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 780 35 : : PUNCT iajs-1930 780 36 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 780 37 or or CCONJ iajs-1930 780 38 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 780 39 : : PUNCT iajs-1930 780 40 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 780 41 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 780 42 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 780 43 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 780 44 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 780 45 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 780 46 : : PUNCT iajs-1930 780 47 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 780 48 . . PUNCT iajs-1930 781 1 proof proof NOUN iajs-1930 781 2 . . PUNCT iajs-1930 782 1 ( ( PUNCT iajs-1930 782 2 1)→(2 1)→(2 NUM iajs-1930 782 3 ) ) PUNCT iajs-1930 782 4 assume assume VERB iajs-1930 782 5 that that SCONJ iajs-1930 782 6 a a PRON iajs-1930 782 7 is be AUX iajs-1930 782 8 t t PROPN iajs-1930 782 9 - - PUNCT iajs-1930 782 10 abso abso PROPN iajs-1930 782 11 quasi quasi PROPN iajs-1930 782 12 primary primary PROPN iajs-1930 782 13 f. f. PROPN iajs-1930 782 14 subm subm PROPN iajs-1930 782 15 . . PUNCT iajs-1930 783 1 of of ADP iajs-1930 783 2 x x PRON iajs-1930 783 3 , , PUNCT iajs-1930 783 4 let let VERB iajs-1930 783 5 f. f. PROPN iajs-1930 783 6 singleton singleton PROPN iajs-1930 783 7 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 783 8 , , PUNCT iajs-1930 783 9 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 783 10 of of ADP iajs-1930 783 11 r. r. PROPN iajs-1930 783 12 if if SCONJ iajs-1930 783 13 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 783 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 783 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 783 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 783 17 : : PUNCT iajs-1930 783 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 783 19 , , PUNCT iajs-1930 783 20 then then ADV iajs-1930 783 21 𝑎 𝑎 X iajs-1930 783 22 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 783 23 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 783 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 783 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 783 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 783 27 : : PUNCT iajs-1930 783 28 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 783 29 for for ADP iajs-1930 783 30 some some DET iajs-1930 783 31 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 783 32 𝑍 𝑍 NOUN iajs-1930 783 33 , , PUNCT iajs-1930 783 34 hence hence ADV iajs-1930 783 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 783 36 : : PUNCT iajs-1930 783 37 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 783 38 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 783 39 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 783 40 . . PUNCT iajs-1930 784 1 now now ADV iajs-1930 784 2 , , PUNCT iajs-1930 784 3 suppose suppose VERB iajs-1930 784 4 that that SCONJ iajs-1930 784 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 784 6 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 784 7 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 784 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 784 9 : : PUNCT iajs-1930 784 10 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 784 11 let let VERB iajs-1930 784 12 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 784 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 784 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 784 15 : : PUNCT iajs-1930 784 16 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 784 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 784 18 , , PUNCT iajs-1930 784 19 then then ADV iajs-1930 784 20 𝑎 𝑎 X iajs-1930 784 21 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 784 22 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 784 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 784 24 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 784 25 since since SCONJ iajs-1930 784 26 a a PRON iajs-1930 784 27 is be AUX iajs-1930 784 28 t t PROPN iajs-1930 784 29 - - PUNCT iajs-1930 784 30 abso abso PROPN iajs-1930 784 31 quasi quasi PROPN iajs-1930 784 32 primary primary PROPN iajs-1930 784 33 f. f. PROPN iajs-1930 784 34 subm subm PROPN iajs-1930 784 35 . . PUNCT iajs-1930 785 1 , , PUNCT iajs-1930 785 2 then then ADV iajs-1930 785 3 𝑎 𝑎 X iajs-1930 785 4 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 785 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 785 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 785 7 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 785 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 785 9 or or CCONJ iajs-1930 785 10 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 785 11 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 785 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 785 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 785 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 785 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 785 16 . . PUNCT iajs-1930 786 1 so so ADV iajs-1930 786 2 that that DET iajs-1930 786 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 786 4 : : PUNCT iajs-1930 786 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 786 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 786 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 786 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 786 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 786 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 786 11 : : PUNCT iajs-1930 786 12 𝑎 𝑎 X iajs-1930 786 13 ∪ ∪ ADP iajs-1930 786 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 786 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 786 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 786 17 : : PUNCT iajs-1930 786 18 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 786 19 . . PUNCT iajs-1930 787 1 ( ( PUNCT iajs-1930 787 2 2)→(3 2)→(3 NUM iajs-1930 787 3 ) ) PUNCT iajs-1930 787 4 by by ADP iajs-1930 787 5 ( ( PUNCT iajs-1930 787 6 2 2 NUM iajs-1930 787 7 ) ) PUNCT iajs-1930 787 8 , , PUNCT iajs-1930 787 9 we we PRON iajs-1930 787 10 have have VERB iajs-1930 787 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 787 12 : : PUNCT iajs-1930 787 13 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 787 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 787 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 787 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 787 17 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 787 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 787 19 : : PUNCT iajs-1930 788 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 788 2 ∪ ∪ ADP iajs-1930 788 3 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 788 4 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 788 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 788 6 : : PUNCT iajs-1930 788 7 𝑏 𝑏 X iajs-1930 788 8 . . PUNCT iajs-1930 789 1 so so ADV iajs-1930 789 2 that that DET iajs-1930 789 3 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 789 4 : : PUNCT iajs-1930 789 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 789 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 789 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 789 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 789 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 789 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 789 11 : : PUNCT iajs-1930 789 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 789 13 or or CCONJ iajs-1930 789 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 789 15 : : PUNCT iajs-1930 789 16 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 789 17 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 789 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 789 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 789 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 789 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 789 22 : : PUNCT iajs-1930 789 23 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 789 24 . . PUNCT iajs-1930 789 25     SPACE iajs-1930 790 1 128 128 NUM iajs-1930 790 2     SPACE iajs-1930 790 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 790 4 al al PROPN iajs-1930 790 5 - - PUNCT iajs-1930 790 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 790 7 jour jour X iajs-1930 790 8 . . PROPN iajs-1930 790 9 for for ADP iajs-1930 790 10 pure pure ADJ iajs-1930 790 11 & & CCONJ iajs-1930 790 12 appl appl PROPN iajs-1930 790 13 . . PUNCT iajs-1930 791 1 sci sci PROPN iajs-1930 791 2 . . PROPN iajs-1930 791 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 791 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 791 5 vol vol NOUN iajs-1930 791 6 . . PUNCT iajs-1930 792 1 32 32 NUM iajs-1930 793 1 ( ( PUNCT iajs-1930 793 2 1 1 NUM iajs-1930 793 3 ) ) PUNCT iajs-1930 793 4 2019 2019 NUM iajs-1930 793 5 ( ( PUNCT iajs-1930 793 6 3)→(1 3)→(1 X iajs-1930 793 7 ) ) PUNCT iajs-1930 794 1 let let VERB iajs-1930 794 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 794 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 4 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 794 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 7 and and CCONJ iajs-1930 794 8 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 794 9 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 794 10 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 794 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 12 : : PUNCT iajs-1930 794 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 794 14 for for ADP iajs-1930 794 15 f. f. PROPN iajs-1930 794 16 singletons singleton NOUN iajs-1930 794 17 𝑎 𝑎 X iajs-1930 794 18 , , PUNCT iajs-1930 794 19 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 794 20 of of ADP iajs-1930 794 21 r r NOUN iajs-1930 794 22 and and CCONJ iajs-1930 794 23 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 794 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 794 26 , , PUNCT iajs-1930 794 27 hence hence ADV iajs-1930 794 28 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 794 29 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 30 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 794 31 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 32 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 794 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 34 : : PUNCT iajs-1930 794 35 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 794 36 for for ADP iajs-1930 794 37 some some DET iajs-1930 794 38 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 794 39 𝑍 𝑍 PROPN iajs-1930 794 40 , , PUNCT iajs-1930 794 41 then then ADV iajs-1930 794 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 43 : : PUNCT iajs-1930 794 44 𝑎 𝑎 X iajs-1930 794 45 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 46 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 794 47 by by ADP iajs-1930 794 48 ( ( PUNCT iajs-1930 794 49 3 3 NUM iajs-1930 794 50 ) ) PUNCT iajs-1930 794 51 , , PUNCT iajs-1930 794 52 we we PRON iajs-1930 794 53 have have VERB iajs-1930 794 54 that that PRON iajs-1930 794 55 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 794 56 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 57 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 58 : : PUNCT iajs-1930 794 59 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 794 60 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 61 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 62 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 794 63 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 794 64 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 65 : : PUNCT iajs-1930 794 66 𝑎 𝑎 X iajs-1930 794 67 or or CCONJ iajs-1930 794 68 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 794 69 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 70 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 71 : : PUNCT iajs-1930 794 72 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 794 73 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 74 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 794 75 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 794 76 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 794 77 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 794 78 : : PUNCT iajs-1930 794 79 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 794 80 . . PUNCT iajs-1930 795 1 thus thus ADV iajs-1930 795 2 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 795 3 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 795 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 795 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 795 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 795 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 795 8 or or CCONJ iajs-1930 795 9 𝑥 𝑥 ADP iajs-1930 795 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 795 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 795 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 795 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 795 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 795 15 . . PUNCT iajs-1930 796 1 so so ADV iajs-1930 796 2 that that SCONJ iajs-1930 796 3 a a PRON iajs-1930 796 4 is be AUX iajs-1930 796 5 t t PROPN iajs-1930 796 6 - - PUNCT iajs-1930 796 7 abso abso PROPN iajs-1930 796 8 quasi quasi PROPN iajs-1930 796 9 primary primary PROPN iajs-1930 796 10 f. f. PROPN iajs-1930 796 11 subm subm PROPN iajs-1930 796 12 . . PUNCT iajs-1930 797 1 of of ADP iajs-1930 797 2 x. x. PROPN iajs-1930 797 3 lemma lemma PROPN iajs-1930 797 4 45 45 NUM iajs-1930 797 5 . . PUNCT iajs-1930 798 1 let let VERB iajs-1930 798 2 x x PRON iajs-1930 798 3 be be AUX iajs-1930 798 4 f. f. PROPN iajs-1930 798 5 m. m. NOUN iajs-1930 798 6 of of ADP iajs-1930 798 7 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 798 8 . . PUNCT iajs-1930 798 9 suppose suppose VERB iajs-1930 798 10 that that SCONJ iajs-1930 798 11 a a PRON iajs-1930 798 12 is be AUX iajs-1930 798 13 t t PROPN iajs-1930 798 14 - - PUNCT iajs-1930 798 15 abso abso PROPN iajs-1930 798 16 quasi quasi PROPN iajs-1930 798 17 primary primary PROPN iajs-1930 798 18 f. f. PROPN iajs-1930 798 19 subm subm PROPN iajs-1930 798 20 . . PUNCT iajs-1930 799 1 of of ADP iajs-1930 799 2 x x X iajs-1930 799 3 and and CCONJ iajs-1930 799 4 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 799 5 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 799 6 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 799 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 799 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 799 9 for for ADP iajs-1930 799 10 f. f. PROPN iajs-1930 799 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 799 12 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 799 13 , , PUNCT iajs-1930 799 14 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 799 15 of of ADP iajs-1930 799 16 r r NOUN iajs-1930 799 17 , , PUNCT iajs-1930 799 18 ∀ ∀ NOUN iajs-1930 799 19 𝑠 𝑠 NOUN iajs-1930 799 20 , , PUNCT iajs-1930 799 21 𝑙∈ 𝑙∈ VERB iajs-1930 799 22 l l NOUN iajs-1930 799 23 , , PUNCT iajs-1930 799 24 and and CCONJ iajs-1930 799 25 f. f. PROPN iajs-1930 799 26 subm subm PROPN iajs-1930 799 27 . . PUNCT iajs-1930 800 1 b b X iajs-1930 800 2 of of ADP iajs-1930 800 3 x x X iajs-1930 800 4 . . PUNCT iajs-1930 801 1 if if SCONJ iajs-1930 801 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 801 3 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 801 4 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 801 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 801 6 : : PUNCT iajs-1930 801 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 801 8 , , PUNCT iajs-1930 801 9 then then ADV iajs-1930 801 10 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 801 11 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 801 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 801 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 801 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 801 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 801 16 or or CCONJ iajs-1930 801 17 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 801 18 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 801 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 801 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 801 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 801 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 801 23 . . PUNCT iajs-1930 802 1 proof proof NOUN iajs-1930 802 2 . . PUNCT iajs-1930 803 1 since since SCONJ iajs-1930 803 2 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 803 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 803 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 5 : : PUNCT iajs-1930 803 6 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 803 7 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 803 8 and and CCONJ iajs-1930 803 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 10 : : PUNCT iajs-1930 803 11 𝑎 𝑎 X iajs-1930 803 12 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 803 13 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 803 14 for for ADP iajs-1930 803 15 some some DET iajs-1930 803 16 n∈ n∈ NOUN iajs-1930 803 17 𝑍 𝑍 NOUN iajs-1930 803 18 , , PUNCT iajs-1930 803 19 by by ADP iajs-1930 803 20 theorem theorem NOUN iajs-1930 803 21 ( ( PUNCT iajs-1930 803 22 44 44 NUM iajs-1930 803 23 ) ) PUNCT iajs-1930 803 24 , , PUNCT iajs-1930 803 25 we we PRON iajs-1930 803 26 get get VERB iajs-1930 803 27 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 803 28 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 803 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 30 : : PUNCT iajs-1930 803 31 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 803 32 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 803 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 803 34 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 803 35 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 803 36 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 37 : : PUNCT iajs-1930 803 38 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 803 39 or or CCONJ iajs-1930 803 40 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 803 41 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 803 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 43 : : PUNCT iajs-1930 803 44 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 803 45 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 803 46 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 803 47 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 803 48 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 803 49 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 803 50 : : PUNCT iajs-1930 804 1 𝑏 𝑏 X iajs-1930 804 2 . . PUNCT iajs-1930 805 1 then then ADV iajs-1930 805 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 805 3 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 805 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 805 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 805 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 805 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 805 8 or or CCONJ iajs-1930 805 9 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 805 10 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 805 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 805 12 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 805 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 805 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 805 15 . . PUNCT iajs-1930 806 1 theorem theorem VERB iajs-1930 806 2 46 46 NUM iajs-1930 806 3 . . PUNCT iajs-1930 807 1 let let VERB iajs-1930 807 2 a a PRON iajs-1930 807 3 be be AUX iajs-1930 807 4 a a DET iajs-1930 807 5 proper proper ADJ iajs-1930 807 6 f. f. PROPN iajs-1930 807 7 subm subm PROPN iajs-1930 807 8 . . PUNCT iajs-1930 808 1 of of ADP iajs-1930 808 2 f. f. PROPN iajs-1930 808 3 m. m. PROPN iajs-1930 809 1 x x PROPN iajs-1930 809 2 of of ADP iajs-1930 809 3 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 809 4 , , PUNCT iajs-1930 809 5 then then ADV iajs-1930 809 6 the the DET iajs-1930 809 7 following follow VERB iajs-1930 809 8 expressions expression NOUN iajs-1930 809 9 are be AUX iajs-1930 809 10 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 809 11 : : PUNCT iajs-1930 809 12 1a 1a X iajs-1930 809 13 is be AUX iajs-1930 809 14 t t PROPN iajs-1930 809 15 - - PUNCT iajs-1930 809 16 abso abso PROPN iajs-1930 809 17 quasi quasi PROPN iajs-1930 809 18 primary primary PROPN iajs-1930 809 19 f. f. PROPN iajs-1930 809 20 subm subm PROPN iajs-1930 809 21 . . PUNCT iajs-1930 810 1 of of ADP iajs-1930 810 2 x x PRON iajs-1930 810 3 ; ; PUNCT iajs-1930 810 4 2for 2for PROPN iajs-1930 810 5 f. f. PROPN iajs-1930 810 6 singleton singleton PROPN iajs-1930 810 7 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 810 8 of of ADP iajs-1930 810 9 r r NOUN iajs-1930 810 10 , , PUNCT iajs-1930 810 11 ∀s∈l ∀s∈l PROPN iajs-1930 810 12 , , PUNCT iajs-1930 810 13 f. f. PROPN iajs-1930 810 14 ideal ideal PROPN iajs-1930 810 15 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 810 16 of of ADP iajs-1930 810 17 r r NOUN iajs-1930 810 18 and and CCONJ iajs-1930 810 19 f. f. PROPN iajs-1930 810 20 subm subm PROPN iajs-1930 810 21 . . PUNCT iajs-1930 811 1 b b X iajs-1930 811 2 of of ADP iajs-1930 811 3 x x PUNCT iajs-1930 811 4 with with ADP iajs-1930 811 5 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 811 6 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 811 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 811 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 811 9 , , PUNCT iajs-1930 811 10 then then ADV iajs-1930 811 11 either either CCONJ iajs-1930 811 12 𝑎 𝑎 X iajs-1930 811 13 ĥ ĥ DET iajs-1930 811 14 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 811 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 811 16 : : PUNCT iajs-1930 811 17 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 811 18 or or CCONJ iajs-1930 811 19 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 811 20 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 811 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 811 22 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 811 23 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 811 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 811 25 or or CCONJ iajs-1930 811 26 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 811 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 811 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 811 29 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 811 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 811 31 ; ; PUNCT iajs-1930 811 32 3for 3for PROPN iajs-1930 811 33 f. f. PROPN iajs-1930 811 34 ideals ideals PROPN iajs-1930 811 35 ĥ ĥ PRON iajs-1930 811 36 , , PUNCT iajs-1930 811 37 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 811 38 of of ADP iajs-1930 811 39 r r NOUN iajs-1930 811 40 , , PUNCT iajs-1930 811 41 and and CCONJ iajs-1930 811 42 f. f. PROPN iajs-1930 811 43 subm subm PROPN iajs-1930 811 44 . . PUNCT iajs-1930 812 1 b b X iajs-1930 812 2 of of ADP iajs-1930 812 3 x x PUNCT iajs-1930 812 4 with with ADP iajs-1930 812 5 ĥṷ𝐵 ĥṷ𝐵 PROPN iajs-1930 812 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 812 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 812 8 , , PUNCT iajs-1930 812 9 then then ADV iajs-1930 812 10 eithe eithe VERB iajs-1930 812 11 ĥṷ ĥṷ PROPN iajs-1930 812 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 812 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 812 14 : : PUNCT iajs-1930 812 15 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 812 16 or or CCONJ iajs-1930 812 17 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 812 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 812 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 812 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 812 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 812 22 or or CCONJ iajs-1930 812 23 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 812 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 812 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 812 26 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 812 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 812 28 . . PUNCT iajs-1930 813 1 proof proof NOUN iajs-1930 813 2 . . PUNCT iajs-1930 814 1 ( ( PUNCT iajs-1930 814 2 1)→(2 1)→(2 NUM iajs-1930 814 3 ) ) PUNCT iajs-1930 814 4 assume assume VERB iajs-1930 814 5 that that SCONJ iajs-1930 814 6 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 814 7 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 814 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 814 9 𝐴 𝐴 NOUN iajs-1930 814 10 with with ADP iajs-1930 814 11 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 814 12 ĥ ĥ PRON iajs-1930 814 13 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 814 14 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 814 15 : : PUNCT iajs-1930 814 16 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 814 17 and and CCONJ iajs-1930 814 18 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 814 19 ⊈ ⊈ NOUN iajs-1930 814 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 814 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 814 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 814 23 . . PUNCT iajs-1930 815 1 then then ADV iajs-1930 815 2 there there PRON iajs-1930 815 3 exist exist VERB iajs-1930 815 4 f. f. NOUN iajs-1930 815 5 singletons singleton NOUN iajs-1930 815 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 815 7 , , PUNCT iajs-1930 815 8 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 815 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 815 10 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 815 11 , , PUNCT iajs-1930 815 12 such such ADJ iajs-1930 815 13 that that SCONJ iajs-1930 815 14 𝑎 𝑎 ADJ iajs-1930 815 15 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 815 16 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 815 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 815 18 : : PUNCT iajs-1930 815 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 815 20 and and CCONJ iajs-1930 815 21 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 815 22 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 815 23 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 815 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 815 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 815 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 815 27 . . PUNCT iajs-1930 816 1 now now ADV iajs-1930 816 2 , , PUNCT iajs-1930 816 3 we we PRON iajs-1930 816 4 prove prove VERB iajs-1930 816 5 that that SCONJ iajs-1930 816 6 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 816 7 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 816 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 816 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 816 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 816 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 816 12 . . PUNCT iajs-1930 817 1 suppose suppose VERB iajs-1930 817 2 that that SCONJ iajs-1930 817 3 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 817 4 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 817 5 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 817 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 817 7 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 817 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 817 9 . . PUNCT iajs-1930 818 1 since since SCONJ iajs-1930 818 2 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 818 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 818 4 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 818 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 818 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 818 7 , , PUNCT iajs-1930 818 8 by by ADP iajs-1930 818 9 lemma lemma PROPN iajs-1930 818 10 ( ( PUNCT iajs-1930 818 11 45 45 NUM iajs-1930 818 12 ) ) PUNCT iajs-1930 818 13 , , PUNCT iajs-1930 818 14 we we PRON iajs-1930 818 15 have have VERB iajs-1930 818 16 𝑏 𝑏 DET iajs-1930 818 17 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 818 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 818 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 818 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 818 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 818 22 , , PUNCT iajs-1930 818 23 hence hence ADV iajs-1930 818 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 818 25 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 818 26 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 818 27 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 818 28 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 818 29 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 818 30 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 818 31 . . PUNCT iajs-1930 819 1 by by ADP iajs-1930 819 2 using use VERB iajs-1930 819 3 lemma lemma PROPN iajs-1930 819 4 ( ( PUNCT iajs-1930 819 5 45 45 NUM iajs-1930 819 6 ) ) PUNCT iajs-1930 819 7 , , PUNCT iajs-1930 819 8 we we PRON iajs-1930 819 9 have have VERB iajs-1930 819 10 𝑎 𝑎 NUM iajs-1930 819 11 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 819 12 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 819 13 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 819 14 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 819 15 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 819 16 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 819 17 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 819 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 819 19 : : PUNCT iajs-1930 819 20 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 819 21 , , PUNCT iajs-1930 819 22 because because SCONJ iajs-1930 819 23 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 819 24 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 819 25 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 819 26 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 819 27 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 819 28 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-1930 819 29 since since SCONJ iajs-1930 819 30 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 819 31 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 819 32 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 819 33 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 819 34 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 819 35 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 819 36 : : PUNCT iajs-1930 819 37 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 819 38 and and CCONJ iajs-1930 819 39 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 819 40 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 819 41 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 819 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 819 43 : : PUNCT iajs-1930 819 44 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 819 45 , , PUNCT iajs-1930 819 46 we we PRON iajs-1930 819 47 have have VERB iajs-1930 819 48 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 819 49 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 819 50 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 819 51 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 819 52 : : PUNCT iajs-1930 819 53 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 819 54 . . PUNCT iajs-1930 820 1 since since SCONJ iajs-1930 820 2 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 820 3 𝑟 𝑟 PRON iajs-1930 820 4 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 820 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 820 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 820 7 , , PUNCT iajs-1930 820 8 by by ADP iajs-1930 820 9 lemma lemma PROPN iajs-1930 820 10 ( ( PUNCT iajs-1930 820 11 45 45 NUM iajs-1930 820 12 ) ) PUNCT iajs-1930 820 13 , , PUNCT iajs-1930 820 14 we we PRON iajs-1930 820 15 have have VERB iajs-1930 820 16 𝑟 𝑟 DET iajs-1930 820 17 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 820 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 820 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 820 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 820 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 820 22 or or CCONJ iajs-1930 820 23 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 820 24 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 820 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 820 26 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 820 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 820 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 820 29 this this PRON iajs-1930 820 30 is be AUX iajs-1930 820 31 a a DET iajs-1930 820 32 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 820 33 . . PUNCT iajs-1930 821 1 so so ADV iajs-1930 821 2 that that SCONJ iajs-1930 821 3 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 821 4 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 821 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 821 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 821 7 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 821 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 821 9 . . PUNCT iajs-1930 822 1 ( ( PUNCT iajs-1930 822 2 2)→(3 2)→(3 X iajs-1930 822 3 ) ) PUNCT iajs-1930 822 4 suppose suppose VERB iajs-1930 822 5 that that SCONJ iajs-1930 822 6 ĥṷ𝐵 ĥṷ𝐵 PROPN iajs-1930 822 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 822 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 822 9 with with ADP iajs-1930 822 10 ĥṷ ĥṷ PRON iajs-1930 822 11 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 822 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 822 13 : : PUNCT iajs-1930 822 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 822 15 for for ADP iajs-1930 822 16 f. f. PROPN iajs-1930 822 17 ideals ideals PROPN iajs-1930 822 18 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 822 19 , , PUNCT iajs-1930 822 20 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 822 21 of of ADP iajs-1930 822 22 r r NOUN iajs-1930 822 23 and and CCONJ iajs-1930 822 24 f. f. PROPN iajs-1930 822 25 subm subm PROPN iajs-1930 822 26 . . PUNCT iajs-1930 823 1 b b PROPN iajs-1930 823 2 of of ADP iajs-1930 823 3 x. x. NOUN iajs-1930 823 4 hence hence ADV iajs-1930 823 5 𝑎 𝑎 X iajs-1930 823 6 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 823 7 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 823 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 823 9 : : PUNCT iajs-1930 823 10 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 823 11 for for ADP iajs-1930 823 12 some some DET iajs-1930 823 13 f. f. PROPN iajs-1930 823 14 singleton singleton PROPN iajs-1930 823 15 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 823 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 823 17 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 823 18 . . PUNCT iajs-1930 824 1 now now ADV iajs-1930 824 2 , , PUNCT iajs-1930 824 3 we we PRON iajs-1930 824 4 prove prove VERB iajs-1930 824 5 that that SCONJ iajs-1930 824 6 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 824 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 824 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 824 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 824 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 824 11 or or CCONJ iajs-1930 824 12 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 824 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 824 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 824 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 824 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 824 17 . . PUNCT iajs-1930 825 1 assume assume VERB iajs-1930 825 2 that that SCONJ iajs-1930 825 3 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 825 4 ⊈ ⊈ X iajs-1930 825 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 825 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 825 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 825 8 and and CCONJ iajs-1930 825 9 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 825 10 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 825 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 825 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 825 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 825 14 . . PUNCT iajs-1930 826 1 since since SCONJ iajs-1930 826 2 𝑎 𝑎 DET iajs-1930 826 3 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 826 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 826 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 826 6 , , PUNCT iajs-1930 826 7 by by ADP iajs-1930 826 8 ( ( PUNCT iajs-1930 826 9 2 2 NUM iajs-1930 826 10 ) ) PUNCT iajs-1930 826 11 , , PUNCT iajs-1930 826 12 we we PRON iajs-1930 826 13 have have VERB iajs-1930 826 14 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 826 15 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 826 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 826 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 826 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 826 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 826 20 , , PUNCT iajs-1930 826 21 then then ADV iajs-1930 826 22 there there PRON iajs-1930 826 23 exists exist VERB iajs-1930 826 24 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 826 25 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 826 26 ĥ ĥ NOUN iajs-1930 826 27 such such ADJ iajs-1930 826 28 that that SCONJ iajs-1930 826 29 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 826 30 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 826 31 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-1930 826 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 826 33 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 826 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 826 35 since since SCONJ iajs-1930 826 36 the the DET iajs-1930 826 37 assumption assumption NOUN iajs-1930 826 38 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 826 39 ⊈ ⊈ X iajs-1930 826 40 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 826 41 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 826 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 826 43 . . PUNCT iajs-1930 827 1 since since SCONJ iajs-1930 827 2 𝑦 𝑦 PRON iajs-1930 827 3 ṷ𝐵 ṷ𝐵 PROPN iajs-1930 827 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 827 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 827 6 , , PUNCT iajs-1930 827 7 we we PRON iajs-1930 827 8 have have VERB iajs-1930 827 9 𝑦 𝑦 NUM iajs-1930 827 10 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 827 11 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 827 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 827 13 : : PUNCT iajs-1930 827 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 827 15 , , PUNCT iajs-1930 828 1 hence hence ADV iajs-1930 828 2 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 828 3 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 828 4 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 828 5 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 828 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 828 7 : : PUNCT iajs-1930 828 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 828 9 . . PUNCT iajs-1930 829 1 since since SCONJ iajs-1930 829 2 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 829 3 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 829 4 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 829 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 829 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 829 7 , , PUNCT iajs-1930 829 8 we we PRON iajs-1930 829 9 get get VERB iajs-1930 829 10 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 829 11 𝑦 𝑦 NOUN iajs-1930 829 12 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 829 13 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 829 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 829 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 829 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 829 17 and and CCONJ iajs-1930 829 18 so so ADV iajs-1930 829 19 𝑦 𝑦 PROPN iajs-1930 829 20 𝐵 𝐵 NOUN iajs-1930 829 21 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 829 22 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 829 23 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 829 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 829 25 this this PRON iajs-1930 829 26 is be AUX iajs-1930 829 27 a a DET iajs-1930 829 28 discrepancy discrepancy NOUN iajs-1930 829 29 . . PUNCT iajs-1930 830 1 thus thus ADV iajs-1930 830 2 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 830 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 830 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 830 5 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 830 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 830 7 . . PUNCT iajs-1930 831 1 ( ( PUNCT iajs-1930 831 2 3)→(1 3)→(1 X iajs-1930 831 3 ) ) PUNCT iajs-1930 831 4 let let VERB iajs-1930 831 5 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 831 6 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 831 7 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 831 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 831 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 831 10 , , PUNCT iajs-1930 831 11 for for ADP iajs-1930 831 12 f. f. PROPN iajs-1930 831 13 singletons singleton NOUN iajs-1930 832 1 𝑎 𝑎 X iajs-1930 832 2 , , PUNCT iajs-1930 832 3 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 832 4 of of ADP iajs-1930 832 5 r r NOUN iajs-1930 832 6 and and CCONJ iajs-1930 832 7 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 832 8 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 9 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 832 10 put put VERB iajs-1930 832 11 ĥ ĥ PRON iajs-1930 832 12 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 832 13 , , PUNCT iajs-1930 832 14 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 832 15 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 832 16 and and CCONJ iajs-1930 832 17 𝐵 𝐵 PROPN iajs-1930 832 18 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 832 19 , , PUNCT iajs-1930 832 20 then then ADV iajs-1930 832 21 ĥṷ𝐵 ĥṷ𝐵 PROPN iajs-1930 832 22 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 23 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-1930 832 24 by by ADP iajs-1930 832 25 ( ( PUNCT iajs-1930 832 26 3 3 NUM iajs-1930 832 27 ) ) PUNCT iajs-1930 832 28 , , PUNCT iajs-1930 832 29 we we PRON iajs-1930 832 30 have have VERB iajs-1930 832 31 either either CCONJ iajs-1930 832 32 ĥṷ ĥṷ PROPN iajs-1930 832 33 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 832 35 : : PUNCT iajs-1930 832 36 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 832 37 or or CCONJ iajs-1930 832 38 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 832 39 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 40 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 832 41 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 832 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 832 43 or or CCONJ iajs-1930 832 44 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 832 45 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 46 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 832 47 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 832 48 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 832 49 ; ; PUNCT iajs-1930 832 50 that that PRON iajs-1930 832 51 is be AUX iajs-1930 832 52 either either CCONJ iajs-1930 832 53 𝑎 𝑎 X iajs-1930 832 54 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 832 55 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 56 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 832 57 : : PUNCT iajs-1930 832 58 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 832 59 or or CCONJ iajs-1930 832 60 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 832 61 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 832 62 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 832 63 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 832 64     SPACE iajs-1930 832 65 129 129 NUM iajs-1930 832 66     SPACE iajs-1930 832 67 ibn ibn PROPN iajs-1930 832 68 al al PROPN iajs-1930 832 69 - - PUNCT iajs-1930 832 70 haitham haitham PROPN iajs-1930 832 71 jour jour X iajs-1930 832 72 . . PROPN iajs-1930 833 1 for for ADP iajs-1930 833 2 pure pure ADJ iajs-1930 833 3 & & CCONJ iajs-1930 833 4 appl appl PROPN iajs-1930 833 5 . . PUNCT iajs-1930 834 1 sci sci PROPN iajs-1930 834 2 . . PROPN iajs-1930 834 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 834 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 834 5 vol vol NOUN iajs-1930 834 6 . . PUNCT iajs-1930 835 1 32 32 NUM iajs-1930 836 1 ( ( PUNCT iajs-1930 836 2 1 1 NUM iajs-1930 836 3 ) ) PUNCT iajs-1930 836 4 2019 2019 NUM iajs-1930 836 5 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 836 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 836 7 or or CCONJ iajs-1930 836 8 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 836 9 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 836 10 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 836 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 836 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 836 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 836 14 . . PUNCT iajs-1930 837 1 hence hence ADV iajs-1930 837 2 either either CCONJ iajs-1930 837 3 𝑎 𝑎 PUNCT iajs-1930 837 4 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 837 5 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 837 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 837 7 : : PUNCT iajs-1930 837 8 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 837 9 or or CCONJ iajs-1930 837 10 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 837 11 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 837 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 837 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 837 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 837 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 837 16 or or CCONJ iajs-1930 837 17 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 837 18 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 837 19 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 837 20 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 837 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 837 22 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 837 23 . . PUNCT iajs-1930 838 1 thus thus ADV iajs-1930 838 2 a a DET iajs-1930 838 3 is be AUX iajs-1930 838 4 t t PROPN iajs-1930 838 5 - - PUNCT iajs-1930 838 6 abso abso PROPN iajs-1930 838 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 838 8 primary primary PROPN iajs-1930 838 9 f. f. PROPN iajs-1930 838 10 subm subm PROPN iajs-1930 838 11 . . PUNCT iajs-1930 839 1 of of ADP iajs-1930 839 2 x. x. PROPN iajs-1930 839 3 theorem theorem VERB iajs-1930 839 4 47 47 NUM iajs-1930 839 5 . . PUNCT iajs-1930 840 1 let let VERB iajs-1930 840 2 x x PRON iajs-1930 840 3 be be AUX iajs-1930 840 4 f. f. PROPN iajs-1930 840 5 m. m. NOUN iajs-1930 840 6 of of ADP iajs-1930 840 7 ḿ ḿ NOUN iajs-1930 840 8 , , PUNCT iajs-1930 840 9 and and CCONJ iajs-1930 840 10 a a DET iajs-1930 840 11 be be PROPN iajs-1930 840 12 f. f. PROPN iajs-1930 840 13 subm subm PROPN iajs-1930 840 14 . . PUNCT iajs-1930 841 1 of of ADP iajs-1930 841 2 x. x. NOUN iajs-1930 841 3 then then ADV iajs-1930 841 4 the the DET iajs-1930 841 5 following following NOUN iajs-1930 841 6 are be AUX iajs-1930 841 7 satisfied satisfied ADJ iajs-1930 841 8 : : PUNCT iajs-1930 841 9 1if 1if PROPN iajs-1930 841 10 is be AUX iajs-1930 841 11 a a DET iajs-1930 841 12 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 841 13 f. f. PROPN iajs-1930 841 14 m. m. PROPN iajs-1930 841 15 and and CCONJ iajs-1930 841 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 841 17 : : PUNCT iajs-1930 841 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 841 19 is be AUX iajs-1930 841 20 t t PROPN iajs-1930 841 21 - - PUNCT iajs-1930 841 22 abso abso PROPN iajs-1930 841 23 quasi quasi PROPN iajs-1930 841 24 primary primary PROPN iajs-1930 841 25 f. f. PROPN iajs-1930 841 26 ideal ideal PROPN iajs-1930 841 27 of of ADP iajs-1930 841 28 r r NOUN iajs-1930 841 29 , , PUNCT iajs-1930 841 30 then then ADV iajs-1930 841 31 a a PRON iajs-1930 841 32 is be AUX iajs-1930 841 33 t t PROPN iajs-1930 841 34 abso abso PROPN iajs-1930 841 35 quasi quasi PROPN iajs-1930 841 36 primary primary PROPN iajs-1930 841 37 f. f. PROPN iajs-1930 841 38 subm subm PROPN iajs-1930 841 39 . . PUNCT iajs-1930 842 1 of of ADP iajs-1930 842 2 x. x. NOUN iajs-1930 842 3 2if 2if PROPN iajs-1930 842 4 x x PUNCT iajs-1930 842 5 is be AUX iajs-1930 842 6 a a DET iajs-1930 842 7 finitely finitely ADV iajs-1930 842 8 generated generate VERB iajs-1930 842 9 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 842 10 f. f. PROPN iajs-1930 842 11 m. m. PROPN iajs-1930 842 12 and and CCONJ iajs-1930 842 13 a a PRON iajs-1930 842 14 is be AUX iajs-1930 842 15 t t PROPN iajs-1930 842 16 - - PUNCT iajs-1930 842 17 abso abso PROPN iajs-1930 842 18 quasi quasi PROPN iajs-1930 842 19 primary primary PROPN iajs-1930 842 20 f. f. PROPN iajs-1930 842 21 subm subm PROPN iajs-1930 842 22 . . PUNCT iajs-1930 843 1 of of ADP iajs-1930 843 2 x x SYM iajs-1930 843 3 , , PUNCT iajs-1930 843 4 then then ADV iajs-1930 843 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 843 6 : : PUNCT iajs-1930 843 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 843 8 is be AUX iajs-1930 843 9 t t PROPN iajs-1930 843 10 - - PUNCT iajs-1930 843 11 abso abso PROPN iajs-1930 843 12 quasi quasi PROPN iajs-1930 843 13 primary primary PROPN iajs-1930 843 14 f. f. PROPN iajs-1930 843 15 ideal ideal PROPN iajs-1930 843 16 of of ADP iajs-1930 843 17 r. r. PROPN iajs-1930 843 18 proof proof NOUN iajs-1930 843 19 . . PUNCT iajs-1930 844 1 ( ( PUNCT iajs-1930 844 2 1 1 X iajs-1930 844 3 ) ) PUNCT iajs-1930 844 4 assume assume VERB iajs-1930 844 5 that that SCONJ iajs-1930 844 6 x x PRON iajs-1930 844 7 is be AUX iajs-1930 844 8 a a DET iajs-1930 844 9 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 844 10 f. f. PROPN iajs-1930 844 11 m. m. PROPN iajs-1930 844 12 , , PUNCT iajs-1930 844 13 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 844 14 : : PUNCT iajs-1930 844 15 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 844 16 is be AUX iajs-1930 844 17 t t PROPN iajs-1930 844 18 - - PUNCT iajs-1930 844 19 abso abso PROPN iajs-1930 844 20 quasi quasi PROPN iajs-1930 844 21 primary primary PROPN iajs-1930 844 22 f. f. PROPN iajs-1930 844 23 ideal ideal PROPN iajs-1930 844 24 of of ADP iajs-1930 844 25 r r NOUN iajs-1930 844 26 and and CCONJ iajs-1930 844 27 ĥṷb⊆a ĥṷb⊆a PROPN iajs-1930 844 28 for for ADP iajs-1930 844 29 f. f. PROPN iajs-1930 844 30 ideals ideals PROPN iajs-1930 844 31 ĥ ĥ PROPN iajs-1930 844 32 , , PUNCT iajs-1930 844 33 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 844 34 of of ADP iajs-1930 844 35 r r NOUN iajs-1930 844 36 and and CCONJ iajs-1930 844 37 f. f. PROPN iajs-1930 844 38 subm subm PROPN iajs-1930 844 39 . . PUNCT iajs-1930 845 1 b b PROPN iajs-1930 845 2 of of ADP iajs-1930 845 3 x. x. NOUN iajs-1930 845 4 since since SCONJ iajs-1930 845 5 x x PRON iajs-1930 845 6 is be AUX iajs-1930 845 7 a a DET iajs-1930 845 8 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 845 9 f. f. PROPN iajs-1930 845 10 m. m. PROPN iajs-1930 845 11 , , PUNCT iajs-1930 845 12 we we PRON iajs-1930 845 13 have have VERB iajs-1930 845 14 b b NOUN iajs-1930 845 15 = = X iajs-1930 845 16 kx kx PROPN iajs-1930 845 17 for for ADP iajs-1930 845 18 some some DET iajs-1930 845 19 f. f. PROPN iajs-1930 845 20 ideal ideal PROPN iajs-1930 845 21 k k PROPN iajs-1930 845 22 of of ADP iajs-1930 845 23 r. r. PROPN iajs-1930 845 24 so so SCONJ iajs-1930 845 25 that that SCONJ iajs-1930 845 26 ĥṷb ĥṷb PROPN iajs-1930 845 27 = = SYM iajs-1930 845 28 ĥṷkx⊆ ĥṷkx⊆ PROPN iajs-1930 845 29 a a PRON iajs-1930 845 30 , , PUNCT iajs-1930 845 31 then then ADV iajs-1930 845 32 ĥṷ𝐾 ĥṷ𝐾 PROPN iajs-1930 845 33 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 845 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 845 35 : : PUNCT iajs-1930 845 36 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 845 37 . . PUNCT iajs-1930 846 1 since since SCONJ iajs-1930 846 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 3 : : PUNCT iajs-1930 846 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 5 is be AUX iajs-1930 846 6 t t PROPN iajs-1930 846 7 - - PUNCT iajs-1930 846 8 abso abso PROPN iajs-1930 846 9 quasi quasi PROPN iajs-1930 846 10 primary primary PROPN iajs-1930 846 11 f. f. PROPN iajs-1930 846 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 846 13 of of ADP iajs-1930 846 14 r r NOUN iajs-1930 846 15 , , PUNCT iajs-1930 846 16 so so ADV iajs-1930 846 17 by by ADP iajs-1930 846 18 theorem theorem NOUN iajs-1930 846 19 ( ( PUNCT iajs-1930 846 20 13 13 NUM iajs-1930 846 21 ) ) PUNCT iajs-1930 846 22 , , PUNCT iajs-1930 846 23 we we PRON iajs-1930 846 24 have have VERB iajs-1930 846 25 ĥṷ ĥṷ NUM iajs-1930 846 26 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 846 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 28 : : PUNCT iajs-1930 846 29 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 846 30 or or CCONJ iajs-1930 846 31 ĥ𝐾 ĥ𝐾 ADJ iajs-1930 846 32 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 846 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 34 : : PUNCT iajs-1930 846 35 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 36 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 846 37 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 38 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 846 39 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 40 : : PUNCT iajs-1930 846 41 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 42 or or CCONJ iajs-1930 846 43 ṷ𝐾 ṷ𝐾 PROPN iajs-1930 846 44 ⊆ ⊆ PROPN iajs-1930 846 45 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 46 : : PUNCT iajs-1930 846 47 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 48 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 846 49 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 50 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 846 51 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 846 52 : : PUNCT iajs-1930 846 53 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 846 54 . . PUNCT iajs-1930 847 1 hence hence ADV iajs-1930 847 2 ĥṷ ĥṷ PROPN iajs-1930 847 3 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 847 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 847 5 : : PUNCT iajs-1930 847 6 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 847 7 or or CCONJ iajs-1930 847 8 ĥ𝐵 ĥ𝐵 NOUN iajs-1930 847 9 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 847 10 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 847 11 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 847 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 847 13 or or CCONJ iajs-1930 847 14 ṷ𝐵 ṷ𝐵 ADP iajs-1930 847 15 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 847 16 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 847 17 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 847 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 847 19 . . PUNCT iajs-1930 848 1 then then ADV iajs-1930 848 2 a a PRON iajs-1930 848 3 is be AUX iajs-1930 848 4 t t PROPN iajs-1930 848 5 - - PUNCT iajs-1930 848 6 abso abso PROPN iajs-1930 848 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 848 8 primary primary PROPN iajs-1930 848 9 f. f. PROPN iajs-1930 848 10 subm subm PROPN iajs-1930 848 11 . . PUNCT iajs-1930 849 1 of of ADP iajs-1930 849 2 x x PUNCT iajs-1930 849 3 by by ADP iajs-1930 849 4 theorem theorem NOUN iajs-1930 849 5 ( ( PUNCT iajs-1930 849 6 46 46 NUM iajs-1930 849 7 ) ) PUNCT iajs-1930 849 8 . . PUNCT iajs-1930 850 1 ( ( PUNCT iajs-1930 850 2 2 2 X iajs-1930 850 3 ) ) PUNCT iajs-1930 850 4 assume assume VERB iajs-1930 850 5 that that SCONJ iajs-1930 850 6 a a PRON iajs-1930 850 7 is be AUX iajs-1930 850 8 t t PROPN iajs-1930 850 9 - - PUNCT iajs-1930 850 10 abso abso PROPN iajs-1930 850 11 quasi quasi PROPN iajs-1930 850 12 primary primary PROPN iajs-1930 850 13 f. f. PROPN iajs-1930 850 14 subm subm PROPN iajs-1930 850 15 . . PUNCT iajs-1930 851 1 of of ADP iajs-1930 851 2 a a DET iajs-1930 851 3 finitely finitely ADV iajs-1930 851 4 generated generate VERB iajs-1930 851 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 851 6 f. f. PROPN iajs-1930 851 7 m. m. PROPN iajs-1930 852 1 x. x. PROPN iajs-1930 852 2 let let VERB iajs-1930 852 3 f. f. PROPN iajs-1930 852 4 singletons singletons PROPN iajs-1930 852 5 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 852 6 , , PUNCT iajs-1930 852 7 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 852 8 , , PUNCT iajs-1930 852 9 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 852 10 of of ADP iajs-1930 852 11 r r NOUN iajs-1930 852 12 , , PUNCT iajs-1930 852 13 such such ADJ iajs-1930 852 14 that that SCONJ iajs-1930 852 15 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 852 16 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 852 17 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 852 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 852 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 852 20 : : PUNCT iajs-1930 852 21 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 852 22 with with ADP iajs-1930 852 23 𝑎 𝑎 PROPN iajs-1930 852 24 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 852 25 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 852 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 852 27 : : PUNCT iajs-1930 852 28 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 852 29 . . PUNCT iajs-1930 853 1 hence hence ADV iajs-1930 853 2 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 853 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 853 4 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 853 5 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 853 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 853 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 853 8 for for ADP iajs-1930 853 9 evey evey PROPN iajs-1930 853 10 f. f. PROPN iajs-1930 853 11 singleton singleton PROPN iajs-1930 853 12 𝑥 𝑥 PROPN iajs-1930 854 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 854 2 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 854 3 since since SCONJ iajs-1930 854 4 a a PRON iajs-1930 854 5 is be AUX iajs-1930 854 6 t t PROPN iajs-1930 854 7 - - PUNCT iajs-1930 854 8 abso abso PROPN iajs-1930 854 9 quasi quasi PROPN iajs-1930 854 10 primary primary PROPN iajs-1930 854 11 f. f. PROPN iajs-1930 854 12 subm subm PROPN iajs-1930 854 13 . . PUNCT iajs-1930 855 1 of of ADP iajs-1930 855 2 x x X iajs-1930 855 3 and and CCONJ iajs-1930 855 4 𝑎 𝑎 X iajs-1930 855 5 𝑏 𝑏 PRON iajs-1930 855 6 ⊈ ⊈ PROPN iajs-1930 855 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 855 8 : : PUNCT iajs-1930 855 9 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 855 10 then then ADV iajs-1930 855 11 we we PRON iajs-1930 855 12 have have VERB iajs-1930 855 13 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 855 14 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 855 15 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 855 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 855 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 855 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 855 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 855 20 or or CCONJ iajs-1930 855 21 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 855 22 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 855 23 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 855 24 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 855 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 855 26 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 855 27 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 855 28 for for ADP iajs-1930 855 29 all all DET iajs-1930 856 1 𝑥 𝑥 DET iajs-1930 856 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 856 3 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 856 4 hence hence ADV iajs-1930 856 5 we we PRON iajs-1930 856 6 have have VERB iajs-1930 856 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 856 8 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 856 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 856 10 : : PUNCT iajs-1930 856 11 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 856 12 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 856 13 ∪ ∪ ADP iajs-1930 856 14 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 856 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 856 16 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 856 17 : : PUNCT iajs-1930 856 18 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 856 19 𝑟 𝑟 X iajs-1930 856 20 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 856 21 , , PUNCT iajs-1930 856 22 so so SCONJ iajs-1930 856 23 that that SCONJ iajs-1930 856 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 856 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 856 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 856 27 : : PUNCT iajs-1930 856 28 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 856 29 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 856 30 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 856 31 or or CCONJ iajs-1930 856 32 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 856 33 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 856 34 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 856 35 : : PUNCT iajs-1930 856 36 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 856 37 𝑟 𝑟 X iajs-1930 856 38 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 856 39 . . PUNCT iajs-1930 857 1 then then ADV iajs-1930 857 2 we we PRON iajs-1930 857 3 have have VERB iajs-1930 857 4 𝑎 𝑎 NOUN iajs-1930 857 5 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 857 6 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 857 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 857 8 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 857 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 857 10 : : PUNCT iajs-1930 857 11 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 857 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 857 13 : : PUNCT iajs-1930 857 14 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 857 15 or or CCONJ iajs-1930 857 16 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 857 17 𝑟 𝑟 NOUN iajs-1930 857 18 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 857 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 857 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 857 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 857 22 : : PUNCT iajs-1930 857 23 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 857 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 857 25 : : PUNCT iajs-1930 857 26 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 857 27 thus thus ADV iajs-1930 857 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 857 29 : : PUNCT iajs-1930 857 30 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 857 31 is be AUX iajs-1930 857 32 t t PROPN iajs-1930 857 33 - - PUNCT iajs-1930 857 34 abso abso PROPN iajs-1930 857 35 quasi quasi PROPN iajs-1930 857 36 primary primary PROPN iajs-1930 857 37 f. f. PROPN iajs-1930 857 38 ideal ideal PROPN iajs-1930 857 39 of of ADP iajs-1930 857 40 r. r. PROPN iajs-1930 857 41 theorem theorem VERB iajs-1930 857 42 48 48 NUM iajs-1930 857 43 . . PUNCT iajs-1930 858 1 let let VERB iajs-1930 858 2 x x PRON iajs-1930 858 3 be be AUX iajs-1930 858 4 a a DET iajs-1930 858 5 finitely finitely ADV iajs-1930 858 6 generated generate VERB iajs-1930 858 7 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 858 8 f. f. PROPN iajs-1930 858 9 m. m. PROPN iajs-1930 858 10 of of ADP iajs-1930 858 11 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 858 12 . . PROPN iajs-1930 859 1 for for ADP iajs-1930 859 2 any any DET iajs-1930 859 3 f. f. PROPN iajs-1930 859 4 subm subm PROPN iajs-1930 859 5 . . PUNCT iajs-1930 860 1 a a PRON iajs-1930 860 2 of of ADP iajs-1930 860 3 x x PRON iajs-1930 860 4 , , PUNCT iajs-1930 860 5 the the DET iajs-1930 860 6 following follow VERB iajs-1930 860 7 expressions expression NOUN iajs-1930 860 8 are be AUX iajs-1930 860 9 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 860 10 : : PUNCT iajs-1930 860 11 1a 1a X iajs-1930 860 12 is be AUX iajs-1930 860 13 t t PROPN iajs-1930 860 14 - - PUNCT iajs-1930 860 15 abso abso PROPN iajs-1930 860 16 quasi quasi PROPN iajs-1930 860 17 primary primary PROPN iajs-1930 860 18 f. f. PROPN iajs-1930 860 19 subm subm PROPN iajs-1930 860 20 . . PUNCT iajs-1930 861 1 of of ADP iajs-1930 861 2 x x SYM iajs-1930 861 3 ; ; PUNCT iajs-1930 861 4 2x 2x NUM iajs-1930 861 5 - - PUNCT iajs-1930 861 6 r(a r(a ADJ iajs-1930 861 7 ) ) PUNCT iajs-1930 861 8 is be AUX iajs-1930 861 9 t t PROPN iajs-1930 861 10 - - PUNCT iajs-1930 861 11 abso abso PROPN iajs-1930 861 12 f. f. PROPN iajs-1930 861 13 subm subm PROPN iajs-1930 861 14 . . PUNCT iajs-1930 862 1 of of ADP iajs-1930 862 2 x. x. PROPN iajs-1930 862 3 proof proof NOUN iajs-1930 862 4 . . PUNCT iajs-1930 863 1 ( ( PUNCT iajs-1930 863 2 1)→(2 1)→(2 NUM iajs-1930 863 3 ) ) PUNCT iajs-1930 863 4 assume assume VERB iajs-1930 863 5 that that SCONJ iajs-1930 863 6 a a PRON iajs-1930 863 7 is be AUX iajs-1930 863 8 t t PROPN iajs-1930 863 9 - - PUNCT iajs-1930 863 10 abso abso PROPN iajs-1930 863 11 quasi quasi PROPN iajs-1930 863 12 primary primary PROPN iajs-1930 863 13 f. f. PROPN iajs-1930 863 14 subm subm PROPN iajs-1930 863 15 . . PUNCT iajs-1930 864 1 of of ADP iajs-1930 864 2 x. x. PROPN iajs-1930 864 3 by by ADP iajs-1930 864 4 theorm theorm PROPN iajs-1930 864 5 ( ( PUNCT iajs-1930 864 6 47 47 NUM iajs-1930 864 7 ) ) PUNCT iajs-1930 864 8 and and CCONJ iajs-1930 864 9 proposition proposition NOUN iajs-1930 864 10 ( ( PUNCT iajs-1930 864 11 6 6 NUM iajs-1930 864 12 ) ) PUNCT iajs-1930 864 13 , , PUNCT iajs-1930 864 14 then then ADV iajs-1930 864 15 we we PRON iajs-1930 864 16 have have VERB iajs-1930 864 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 864 18 : : PUNCT iajs-1930 864 19 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 864 20 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 864 21 is be AUX iajs-1930 864 22 a a DET iajs-1930 864 23 prime prime ADJ iajs-1930 864 24 f. f. PROPN iajs-1930 864 25 ideal ideal NOUN iajs-1930 864 26 of of ADP iajs-1930 864 27 r r NOUN iajs-1930 864 28 or or CCONJ iajs-1930 864 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 864 30 : : PUNCT iajs-1930 864 31 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 864 32 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 864 33 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 864 34 ṷ ṷ VERB iajs-1930 864 35 where where SCONJ iajs-1930 864 36 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 864 37 , , PUNCT iajs-1930 864 38 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 864 39 are be AUX iajs-1930 864 40 distinct distinct ADJ iajs-1930 864 41 prime prime ADJ iajs-1930 864 42 f. f. PROPN iajs-1930 864 43 ideals ideal NOUN iajs-1930 864 44 minimal minimal ADJ iajs-1930 864 45 over over ADP iajs-1930 864 46 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 864 47 : : PUNCT iajs-1930 864 48 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 864 49 . . PUNCT iajs-1930 865 1 if if SCONJ iajs-1930 865 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 865 3 : : PUNCT iajs-1930 865 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 865 5 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 865 6 , , PUNCT iajs-1930 865 7 hence hence ADV iajs-1930 865 8 xr(a)=ṷx xr(a)=ṷx PROPN iajs-1930 865 9 is be AUX iajs-1930 865 10 a a DET iajs-1930 865 11 prime prime ADJ iajs-1930 865 12 subm subm PROPN iajs-1930 865 13 . . PUNCT iajs-1930 866 1 by by ADP iajs-1930 866 2 lemma lemma PROPN iajs-1930 866 3 ( ( PUNCT iajs-1930 866 4 43 43 NUM iajs-1930 866 5 ) ) PUNCT iajs-1930 866 6 , , PUNCT iajs-1930 866 7 so so SCONJ iajs-1930 866 8 that that SCONJ iajs-1930 866 9 x x X iajs-1930 866 10 - - PUNCT iajs-1930 866 11 r(a r(a ADJ iajs-1930 866 12 ) ) PUNCT iajs-1930 866 13 is be AUX iajs-1930 866 14 t t PROPN iajs-1930 866 15 - - PUNCT iajs-1930 866 16 abso abso PROPN iajs-1930 866 17 f. f. PROPN iajs-1930 866 18 subm subm PROPN iajs-1930 866 19 . . PUNCT iajs-1930 867 1 of of ADP iajs-1930 867 2 x. x. NOUN iajs-1930 867 3 now now ADV iajs-1930 867 4 , , PUNCT iajs-1930 867 5 if if SCONJ iajs-1930 867 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 867 7 : : PUNCT iajs-1930 867 8 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 867 9 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 867 10 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 867 11 ṷ ṷ VERB iajs-1930 867 12 where where SCONJ iajs-1930 867 13 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 867 14 , , PUNCT iajs-1930 867 15 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 867 16 are be AUX iajs-1930 867 17 distinct distinct ADJ iajs-1930 867 18 prime prime ADJ iajs-1930 867 19 f. f. PROPN iajs-1930 867 20 ideals ideal NOUN iajs-1930 867 21 minimal minimal ADJ iajs-1930 867 22 over over ADP iajs-1930 867 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 867 24 : : PUNCT iajs-1930 867 25 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 867 26 , , PUNCT iajs-1930 867 27 then then ADV iajs-1930 867 28 we we PRON iajs-1930 867 29 have have VERB iajs-1930 867 30 x x NOUN iajs-1930 867 31 - - ADJ iajs-1930 867 32 r(a)= r(a)= ADJ iajs-1930 867 33 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 867 34 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 867 35 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 867 36 𝑋. 𝑋. PROPN iajs-1930 867 37 since since SCONJ iajs-1930 867 38 fannx= fannx= NUM iajs-1930 867 39 0 0 NUM iajs-1930 867 40 : : PUNCT iajs-1930 867 41 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 867 42 and and CCONJ iajs-1930 867 43 0 0 NUM iajs-1930 867 44 : : PUNCT iajs-1930 867 45 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 867 46 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 867 47 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 867 48 : : PUNCT iajs-1930 867 49 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 867 50 and and CCONJ iajs-1930 867 51 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 867 52 , , PUNCT iajs-1930 867 53 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 867 54 are be AUX iajs-1930 867 55 distinct distinct ADJ iajs-1930 867 56 prime prime ADJ iajs-1930 867 57 f. f. PROPN iajs-1930 867 58 ideals ideal NOUN iajs-1930 867 59 minimal minimal ADJ iajs-1930 867 60 over over ADP iajs-1930 867 61 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 867 62 : : PUNCT iajs-1930 867 63 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 867 64 . . PUNCT iajs-1930 868 1 so so ADV iajs-1930 868 2 that that SCONJ iajs-1930 868 3 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 869 1 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 869 2 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 869 3 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 869 4 , , PUNCT iajs-1930 869 5 ṷ ṷ X iajs-1930 869 6 . . PUNCT iajs-1930 870 1 then then ADV iajs-1930 870 2 x x X iajs-1930 870 3 - - PUNCT iajs-1930 870 4 r(a)= r(a)= PROPN iajs-1930 870 5 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 870 6 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 870 7 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 INTJ iajs-1930 870 8 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 870 9 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 870 10 𝐹 𝐹 PROPN iajs-1930 871 1 𝑎𝑛𝑛𝑋 𝑎𝑛𝑛𝑋 NOUN iajs-1930 871 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 871 3 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 871 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 871 5 ∩ ∩ NOUN iajs-1930 871 6 ṷ ṷ NOUN iajs-1930 871 7 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 871 8 by by ADP iajs-1930 871 9 lemma lemma PROPN iajs-1930 871 10 ( ( PUNCT iajs-1930 871 11 47 47 NUM iajs-1930 871 12 ) ) PUNCT iajs-1930 871 13 . . PUNCT iajs-1930 871 14     SPACE iajs-1930 872 1 130 130 NUM iajs-1930 872 2     SPACE iajs-1930 872 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 872 4 al al PROPN iajs-1930 872 5 - - PUNCT iajs-1930 872 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 872 7 jour jour X iajs-1930 872 8 . . PROPN iajs-1930 872 9 for for ADP iajs-1930 872 10 pure pure ADJ iajs-1930 872 11 & & CCONJ iajs-1930 872 12 appl appl PROPN iajs-1930 872 13 . . PUNCT iajs-1930 873 1 sci sci PROPN iajs-1930 873 2 . . PROPN iajs-1930 873 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 873 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 873 5 vol vol NOUN iajs-1930 873 6 . . PUNCT iajs-1930 874 1 32 32 NUM iajs-1930 875 1 ( ( PUNCT iajs-1930 875 2 1 1 NUM iajs-1930 875 3 ) ) PUNCT iajs-1930 875 4 2019 2019 NUM iajs-1930 875 5 since since SCONJ iajs-1930 875 6 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 875 7 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 875 8 , , PUNCT iajs-1930 875 9 ṷ ṷ PROPN iajs-1930 875 10 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 875 11 are be AUX iajs-1930 875 12 two two NUM iajs-1930 875 13 distinct distinct ADJ iajs-1930 875 14 prime prime PROPN iajs-1930 875 15 f. f. PROPN iajs-1930 875 16 subms subms PROPN iajs-1930 875 17 . . PUNCT iajs-1930 875 18 , , PUNCT iajs-1930 875 19 so so SCONJ iajs-1930 875 20 that that SCONJ iajs-1930 875 21 x x X iajs-1930 875 22 - - PUNCT iajs-1930 875 23 r(a r(a ADJ iajs-1930 875 24 ) ) PUNCT iajs-1930 875 25 is be AUX iajs-1930 875 26 t t PROPN iajs-1930 875 27 - - PUNCT iajs-1930 875 28 abso abso PROPN iajs-1930 875 29 f. f. PROPN iajs-1930 875 30 subm subm PROPN iajs-1930 875 31 . . PUNCT iajs-1930 876 1 of of ADP iajs-1930 876 2 x x PUNCT iajs-1930 876 3 by by ADP iajs-1930 876 4 remarks remark NOUN iajs-1930 876 5 and and CCONJ iajs-1930 876 6 examples(16)part(1 examples(16)part(1 NOUN iajs-1930 876 7 ) ) PUNCT iajs-1930 876 8 . . PUNCT iajs-1930 877 1 ( ( PUNCT iajs-1930 877 2 2)→(1 2)→(1 X iajs-1930 877 3 ) ) PUNCT iajs-1930 877 4 assume assume VERB iajs-1930 877 5 that that SCONJ iajs-1930 877 6 x x X iajs-1930 877 7 - - PUNCT iajs-1930 877 8 r(a r(a ADJ iajs-1930 877 9 ) ) PUNCT iajs-1930 877 10 is be AUX iajs-1930 877 11 t t PROPN iajs-1930 877 12 - - PUNCT iajs-1930 877 13 abso abso PROPN iajs-1930 877 14 f. f. PROPN iajs-1930 877 15 subm subm PROPN iajs-1930 877 16 . . PUNCT iajs-1930 878 1 of of ADP iajs-1930 878 2 x. x. PROPN iajs-1930 878 3 let let VERB iajs-1930 878 4 𝑎 𝑎 PRON iajs-1930 878 5 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 878 6 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 878 7 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 878 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 878 9 , , PUNCT iajs-1930 878 10 for for ADP iajs-1930 878 11 f. f. PROPN iajs-1930 878 12 singletons singleton NOUN iajs-1930 878 13 𝑎 𝑎 X iajs-1930 878 14 , , PUNCT iajs-1930 878 15 𝑏 𝑏 PROPN iajs-1930 878 16 of of ADP iajs-1930 878 17 r r NOUN iajs-1930 878 18 and and CCONJ iajs-1930 878 19 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 879 1 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 879 2 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 879 3 . . PUNCT iajs-1930 880 1 since since SCONJ iajs-1930 880 2 a⊆ a⊆ PROPN iajs-1930 880 3 x x X iajs-1930 880 4 - - PUNCT iajs-1930 880 5 r(a r(a ADJ iajs-1930 880 6 ) ) PUNCT iajs-1930 880 7 , , PUNCT iajs-1930 880 8 then then ADV iajs-1930 880 9 𝑎 𝑎 X iajs-1930 880 10 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 880 11 𝑥 𝑥 PRON iajs-1930 880 12 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 880 13 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 880 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 880 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 880 16 . . PUNCT iajs-1930 881 1 but but CCONJ iajs-1930 881 2 x x X iajs-1930 881 3 - - PUNCT iajs-1930 881 4 r(a r(a ADJ iajs-1930 881 5 ) ) PUNCT iajs-1930 881 6 is be AUX iajs-1930 881 7 t t PROPN iajs-1930 881 8 - - PUNCT iajs-1930 881 9 abso abso PROPN iajs-1930 881 10 f. f. PROPN iajs-1930 881 11 subm subm PROPN iajs-1930 881 12 . . PUNCT iajs-1930 882 1 of of ADP iajs-1930 882 2 x x PRON iajs-1930 882 3 , , PUNCT iajs-1930 883 1 so so SCONJ iajs-1930 884 1 that that SCONJ iajs-1930 884 2 𝑎 𝑎 X iajs-1930 884 3 𝑏 𝑏 NOUN iajs-1930 884 4 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 884 5 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 884 6 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 884 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 884 8 : : PUNCT iajs-1930 884 9 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 884 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 884 11 : : PUNCT iajs-1930 884 12 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 884 13 or or CCONJ iajs-1930 884 14 𝑎 𝑎 ADP iajs-1930 884 15 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 884 16 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 884 17 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 884 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 884 19 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 884 20 or or CCONJ iajs-1930 884 21 𝑏 𝑏 ADP iajs-1930 884 22 𝑥 𝑥 NOUN iajs-1930 884 23 ⊆ ⊆ NUM iajs-1930 884 24 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 884 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 884 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 884 27 . . PUNCT iajs-1930 885 1 thus thus ADV iajs-1930 885 2 a a DET iajs-1930 885 3 is be AUX iajs-1930 885 4 t t PROPN iajs-1930 885 5 - - PUNCT iajs-1930 885 6 abso abso PROPN iajs-1930 885 7 quasi quasi PROPN iajs-1930 885 8 primary primary PROPN iajs-1930 885 9 f. f. PROPN iajs-1930 885 10 subm subm PROPN iajs-1930 885 11 . . PUNCT iajs-1930 886 1 of of ADP iajs-1930 886 2 x. x. NOUN iajs-1930 886 3 by by ADP iajs-1930 886 4 combining combine VERB iajs-1930 886 5 theorem theorem NOUN iajs-1930 886 6 ( ( PUNCT iajs-1930 886 7 47 47 NUM iajs-1930 886 8 ) ) PUNCT iajs-1930 886 9 and and CCONJ iajs-1930 886 10 theorem theorem VERB iajs-1930 886 11 ( ( PUNCT iajs-1930 886 12 48 48 NUM iajs-1930 886 13 ) ) PUNCT iajs-1930 886 14 , , PUNCT iajs-1930 886 15 we we PRON iajs-1930 886 16 get get VERB iajs-1930 886 17 the the DET iajs-1930 886 18 following follow VERB iajs-1930 886 19 corollary corollary NOUN iajs-1930 886 20 is be AUX iajs-1930 886 21 beneficial beneficial ADJ iajs-1930 886 22 to to PART iajs-1930 886 23 determine determine VERB iajs-1930 886 24 t t PROPN iajs-1930 886 25 - - PUNCT iajs-1930 886 26 abso abso PROPN iajs-1930 886 27 quasi quasi PROPN iajs-1930 886 28 primary primary PROPN iajs-1930 886 29 f. f. PROPN iajs-1930 886 30 subm subm PROPN iajs-1930 886 31 . . PUNCT iajs-1930 887 1 of of ADP iajs-1930 887 2 a a DET iajs-1930 887 3 finitely finitely ADV iajs-1930 887 4 generated generate VERB iajs-1930 887 5 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 887 6 f. f. PROPN iajs-1930 887 7 m. m. PROPN iajs-1930 887 8 corollary corollary PROPN iajs-1930 887 9 49 49 NUM iajs-1930 887 10 . . PUNCT iajs-1930 888 1 for for ADP iajs-1930 888 2 any any DET iajs-1930 888 3 f. f. PROPN iajs-1930 888 4 subm subm PROPN iajs-1930 888 5 . . PUNCT iajs-1930 889 1 a a PRON iajs-1930 889 2 of of ADP iajs-1930 889 3 a a DET iajs-1930 889 4 finitely finitely ADV iajs-1930 889 5 generated generate VERB iajs-1930 889 6 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 889 7 f. f. PROPN iajs-1930 889 8 m. m. PROPN iajs-1930 889 9 x x PROPN iajs-1930 889 10 of of ADP iajs-1930 889 11 ḿ ḿ PROPN iajs-1930 889 12 . . PUNCT iajs-1930 890 1 then then ADV iajs-1930 890 2 the the DET iajs-1930 890 3 following follow VERB iajs-1930 890 4 expressions expression NOUN iajs-1930 890 5 are be AUX iajs-1930 890 6 equivalent equivalent ADJ iajs-1930 890 7 : : PUNCT iajs-1930 890 8 1a 1a X iajs-1930 890 9 is be AUX iajs-1930 890 10 t t PROPN iajs-1930 890 11 - - PUNCT iajs-1930 890 12 abso abso PROPN iajs-1930 890 13 quasi quasi PROPN iajs-1930 890 14 primary primary PROPN iajs-1930 890 15 f. f. PROPN iajs-1930 890 16 subm subm PROPN iajs-1930 890 17 . . PUNCT iajs-1930 891 1 of of ADP iajs-1930 891 2 x x SYM iajs-1930 891 3 ; ; PUNCT iajs-1930 891 4 2x 2x NUM iajs-1930 891 5 - - PUNCT iajs-1930 891 6 r(a r(a ADJ iajs-1930 891 7 ) ) PUNCT iajs-1930 891 8 is be AUX iajs-1930 891 9 t t PROPN iajs-1930 891 10 - - PUNCT iajs-1930 891 11 abso abso PROPN iajs-1930 891 12 f. f. PROPN iajs-1930 891 13 subm subm PROPN iajs-1930 891 14 . . PUNCT iajs-1930 892 1 of of ADP iajs-1930 892 2 x x SYM iajs-1930 892 3 ; ; PUNCT iajs-1930 892 4 3x 3x NUM iajs-1930 892 5 - - PUNCT iajs-1930 892 6 r(a r(a VERB iajs-1930 892 7 ) ) PUNCT iajs-1930 892 8 is be AUX iajs-1930 892 9 t t PROPN iajs-1930 892 10 - - PUNCT iajs-1930 892 11 abso abso PROPN iajs-1930 892 12 primary primary PROPN iajs-1930 892 13 f. f. PROPN iajs-1930 892 14 subm subm PROPN iajs-1930 892 15 . . PUNCT iajs-1930 893 1 of of ADP iajs-1930 893 2 x x PRON iajs-1930 893 3 ; ; PUNCT iajs-1930 893 4 4x 4x NOUN iajs-1930 893 5 - - PUNCT iajs-1930 893 6 r(a r(a PROPN iajs-1930 893 7 ) ) PUNCT iajs-1930 893 8 is be AUX iajs-1930 893 9 t t PROPN iajs-1930 893 10 - - PUNCT iajs-1930 893 11 abso abso PROPN iajs-1930 893 12 quasi quasi PROPN iajs-1930 893 13 primary primary PROPN iajs-1930 893 14 f. f. PROPN iajs-1930 893 15 subm subm PROPN iajs-1930 893 16 . . PUNCT iajs-1930 894 1 of of ADP iajs-1930 894 2 x x PRON iajs-1930 894 3 ; ; PUNCT iajs-1930 894 4 5𝐴 5𝐴 NOUN iajs-1930 894 5 : : PUNCT iajs-1930 894 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 894 7 is be AUX iajs-1930 894 8 t t PROPN iajs-1930 894 9 - - PUNCT iajs-1930 894 10 abso abso PROPN iajs-1930 894 11 f. f. PROPN iajs-1930 894 12 ideal ideal PROPN iajs-1930 894 13 of of ADP iajs-1930 894 14 r r NOUN iajs-1930 894 15 ; ; PUNCT iajs-1930 894 16 6𝐴 6𝐴 ADJ iajs-1930 894 17 : : PUNCT iajs-1930 894 18 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 894 19 is be AUX iajs-1930 894 20 t t PROPN iajs-1930 894 21 - - PUNCT iajs-1930 894 22 abso abso PROPN iajs-1930 894 23 primary primary PROPN iajs-1930 894 24 f. f. PROPN iajs-1930 894 25 ideal ideal PROPN iajs-1930 894 26 of of ADP iajs-1930 894 27 r r NOUN iajs-1930 894 28 , , PUNCT iajs-1930 894 29 7𝐴 7𝐴 NOUN iajs-1930 894 30 : : PUNCT iajs-1930 894 31 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 894 32 is be AUX iajs-1930 894 33 t t PROPN iajs-1930 894 34 - - PUNCT iajs-1930 894 35 abso abso PROPN iajs-1930 894 36 quasi quasi PROPN iajs-1930 894 37 primary primary PROPN iajs-1930 894 38 f. f. PROPN iajs-1930 894 39 ideal ideal PROPN iajs-1930 894 40 of of ADP iajs-1930 894 41 r r NOUN iajs-1930 894 42 ; ; PUNCT iajs-1930 894 43 8𝐴 8𝐴 NOUN iajs-1930 894 44 : : PUNCT iajs-1930 894 45 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 894 46 is be AUX iajs-1930 894 47 t t PROPN iajs-1930 894 48 - - PUNCT iajs-1930 894 49 abso abso PROPN iajs-1930 894 50 quasi quasi PROPN iajs-1930 894 51 primary primary PROPN iajs-1930 894 52 f. f. PROPN iajs-1930 894 53 ideal ideal PROPN iajs-1930 894 54 of of ADP iajs-1930 894 55 r. r. PROPN iajs-1930 894 56 4 4 NUM iajs-1930 894 57 . . PUNCT iajs-1930 895 1 conclusions conclusion NOUN iajs-1930 895 2 through through ADP iajs-1930 895 3 our our PRON iajs-1930 895 4 research research NOUN iajs-1930 895 5 we we PRON iajs-1930 895 6 concluded conclude VERB iajs-1930 895 7 to to ADP iajs-1930 895 8 the the DET iajs-1930 895 9 concepts concept NOUN iajs-1930 895 10 ( ( PUNCT iajs-1930 895 11 prime prime ADJ iajs-1930 895 12 and and CCONJ iajs-1930 895 13 quasi quasi ADJ iajs-1930 895 14 - - ADJ iajs-1930 895 15 prime prime ADJ iajs-1930 895 16 ) ) PUNCT iajs-1930 895 17 f. f. PROPN iajs-1930 895 18 subm subm PROPN iajs-1930 895 19 . . PUNCT iajs-1930 896 1 lead lead VERB iajs-1930 896 2 to to ADP iajs-1930 896 3 the the DET iajs-1930 896 4 concept concept NOUN iajs-1930 896 5 t t PROPN iajs-1930 896 6 - - PUNCT iajs-1930 896 7 abso abso PROPN iajs-1930 896 8 f. f. PROPN iajs-1930 896 9 subm subm PROPN iajs-1930 896 10 . . PUNCT iajs-1930 897 1 we we PRON iajs-1930 897 2 reached reach VERB iajs-1930 897 3 the the DET iajs-1930 897 4 concept concept NOUN iajs-1930 897 5 t t PROPN iajs-1930 897 6 - - PUNCT iajs-1930 897 7 abso abso PROPN iajs-1930 897 8 f. f. PROPN iajs-1930 897 9 subm.one subm.one X iajs-1930 897 10 of of ADP iajs-1930 897 11 the the DET iajs-1930 897 12 most most ADV iajs-1930 897 13 important important ADJ iajs-1930 897 14 conclusions conclusion NOUN iajs-1930 897 15 is be AUX iajs-1930 897 16 the the DET iajs-1930 897 17 theorem theorem NOUN iajs-1930 897 18 ( ( PUNCT iajs-1930 897 19 20 20 NUM iajs-1930 897 20 ) ) PUNCT iajs-1930 897 21 , , PUNCT iajs-1930 897 22 and and CCONJ iajs-1930 897 23 explan explan VERB iajs-1930 897 24 the the DET iajs-1930 897 25 relationship relationship NOUN iajs-1930 897 26 if if SCONJ iajs-1930 897 27 a a PRON iajs-1930 897 28 is be AUX iajs-1930 897 29 t t PROPN iajs-1930 897 30 - - PUNCT iajs-1930 897 31 abso abso PROPN iajs-1930 897 32 f. f. PROPN iajs-1930 897 33 subm subm PROPN iajs-1930 897 34 . . PUNCT iajs-1930 898 1 with with ADP iajs-1930 898 2 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 898 3 : : PUNCT iajs-1930 898 4 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 898 5 is be AUX iajs-1930 898 6 t t PROPN iajs-1930 898 7 - - PUNCT iajs-1930 898 8 abso abso PROPN iajs-1930 898 9 f. f. PROPN iajs-1930 898 10 ideal ideal PROPN iajs-1930 898 11 under under ADP iajs-1930 898 12 the the DET iajs-1930 898 13 class class NOUN iajs-1930 898 14 of of ADP iajs-1930 898 15 a a DET iajs-1930 898 16 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 898 17 f. f. PROPN iajs-1930 898 18 m. m. PROPN iajs-1930 898 19 in in ADP iajs-1930 898 20 corollary corollary ADJ iajs-1930 898 21 ( ( PUNCT iajs-1930 898 22 23 23 NUM iajs-1930 898 23 ) ) PUNCT iajs-1930 898 24 . . PUNCT iajs-1930 899 1 also also ADV iajs-1930 899 2 we we PRON iajs-1930 899 3 concluded conclude VERB iajs-1930 899 4 the the DET iajs-1930 899 5 relationship relationship NOUN iajs-1930 899 6 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 899 7 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 899 8 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 899 9 with with ADP iajs-1930 899 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 899 11 : : PUNCT iajs-1930 899 12 𝑋 𝑋 NOUN iajs-1930 899 13 under under ADP iajs-1930 899 14 the the DET iajs-1930 899 15 class class NOUN iajs-1930 899 16 of of ADP iajs-1930 899 17 a a DET iajs-1930 899 18 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 899 19 f. f. PROPN iajs-1930 899 20 m. m. PROPN iajs-1930 899 21 in in ADP iajs-1930 899 22 lemma lemma PROPN iajs-1930 899 23 ( ( PUNCT iajs-1930 899 24 45 45 NUM iajs-1930 899 25 ) ) PUNCT iajs-1930 899 26 , , PUNCT iajs-1930 899 27 and and CCONJ iajs-1930 899 28 explan explan VERB iajs-1930 899 29 the the DET iajs-1930 899 30 relationships relationship NOUN iajs-1930 899 31 a a PRON iajs-1930 899 32 is be AUX iajs-1930 899 33 t t PROPN iajs-1930 899 34 - - PUNCT iajs-1930 899 35 abso abso PROPN iajs-1930 899 36 quasi quasi PROPN iajs-1930 899 37 primary primary PROPN iajs-1930 899 38 f. f. PROPN iajs-1930 899 39 subm.with subm.with PROPN iajs-1930 899 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 899 41 : : PUNCT iajs-1930 899 42 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 899 43 is be AUX iajs-1930 899 44 t t PROPN iajs-1930 899 45 - - PUNCT iajs-1930 899 46 abso abso PROPN iajs-1930 899 47 quasi quasi PROPN iajs-1930 899 48 primary primary PROPN iajs-1930 899 49 f. f. PROPN iajs-1930 899 50 ideal ideal PROPN iajs-1930 899 51 and and CCONJ iajs-1930 899 52 a a PRON iajs-1930 899 53 is be AUX iajs-1930 899 54 t t PROPN iajs-1930 899 55 - - PUNCT iajs-1930 899 56 abso abso PROPN iajs-1930 899 57 quasi quasi PROPN iajs-1930 899 58 primary primary PROPN iajs-1930 899 59 f. f. PROPN iajs-1930 899 60 subm.with subm.with ADP iajs-1930 899 61 𝑋 𝑋 PROPN iajs-1930 899 62 𝑅 𝑅 PROPN iajs-1930 899 63 𝐴 𝐴 PROPN iajs-1930 899 64 is be AUX iajs-1930 899 65 t t PROPN iajs-1930 899 66 - - PUNCT iajs-1930 899 67 abso abso PROPN iajs-1930 899 68 f. f. PROPN iajs-1930 899 69 subm subm PROPN iajs-1930 899 70 . . PUNCT iajs-1930 900 1 under under ADP iajs-1930 900 2 the the DET iajs-1930 900 3 class class NOUN iajs-1930 900 4 of of ADP iajs-1930 900 5 a a DET iajs-1930 900 6 multiplication multiplication NOUN iajs-1930 900 7 f. f. PROPN iajs-1930 900 8 m. m. PROPN iajs-1930 900 9 as as ADP iajs-1930 900 10 in in ADP iajs-1930 900 11 theorem theorem NOUN iajs-1930 900 12 ( ( PUNCT iajs-1930 900 13 47 47 NUM iajs-1930 900 14 ) ) PUNCT iajs-1930 900 15 , , PUNCT iajs-1930 900 16 and and CCONJ iajs-1930 900 17 theorem theorem NOUN iajs-1930 900 18 ( ( PUNCT iajs-1930 900 19 48 48 NUM iajs-1930 900 20 ) ) PUNCT iajs-1930 900 21 . . PUNCT iajs-1930 901 1 references reference NOUN iajs-1930 901 2 1 1 NUM iajs-1930 901 3 . . PUNCT iajs-1930 902 1 deniz deniz PROPN iajs-1930 902 2 , , PUNCT iajs-1930 902 3 s. s. PROPN iajs-1930 902 4 ; ; PUNCT iajs-1930 902 5 gürsel gürsel NOUN iajs-1930 902 6 , , PUNCT iajs-1930 902 7 y. y. PROPN iajs-1930 902 8 ; ; PUNCT iajs-1930 902 9 serkan serkan PROPN iajs-1930 902 10 , , PUNCT iajs-1930 902 11 o. o. PROPN iajs-1930 902 12 ; ; PUNCT iajs-1930 902 13 bayram bayram PROPN iajs-1930 902 14 , , PUNCT iajs-1930 902 15 a. a. PROPN iajs-1930 902 16 e. e. PROPN iajs-1930 902 17 ; ; PUNCT iajs-1930 902 18 bijan bijan PROPN iajs-1930 902 19 , , PUNCT iajs-1930 902 20 d. d. NOUN iajs-1930 902 21 on on ADP iajs-1930 902 22 2 2 NUM iajs-1930 902 23 - - PUNCT iajs-1930 902 24 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 902 25 primary primary ADJ iajs-1930 902 26 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 902 27 ideals ideal NOUN iajs-1930 902 28 of of ADP iajs-1930 902 29 commutative commutative ADJ iajs-1930 902 30 rings ring NOUN iajs-1930 902 31 . . PUNCT iajs-1930 903 1 mathematical mathematical ADJ iajs-1930 903 2 problems problem NOUN iajs-1930 903 3 in in ADP iajs-1930 903 4 engineering engineering NOUN iajs-1930 903 5 . . PUNCT iajs-1930 904 1 2017 2017 NUM iajs-1930 904 2 , , PUNCT iajs-1930 904 3 2017 2017 NUM iajs-1930 904 4 , , PUNCT iajs-1930 904 5 1 1 NUM iajs-1930 904 6 - - SYM iajs-1930 904 7 7 7 NUM iajs-1930 904 8 . . NOUN iajs-1930 905 1 2 2 NUM iajs-1930 905 2 . . X iajs-1930 905 3 lu lu PROPN iajs-1930 905 4 . . PUNCT iajs-1930 906 1 c. c. PROPN iajs-1930 906 2 p. p. PROPN iajs-1930 906 3 prime prime ADJ iajs-1930 906 4 submodules submodule NOUN iajs-1930 906 5 of of ADP iajs-1930 906 6 modules module NOUN iajs-1930 906 7 . . PUNCT iajs-1930 907 1 commutative commutative ADJ iajs-1930 907 2 mathematics mathematic NOUN iajs-1930 907 3 . . PUNCT iajs-1930 908 1 1981 1981 NUM iajs-1930 908 2 , , PUNCT iajs-1930 908 3 33 33 NUM iajs-1930 908 4 , , PUNCT iajs-1930 908 5 61 61 NUM iajs-1930 908 6 - - SYM iajs-1930 908 7 69 69 NUM iajs-1930 908 8 . . PUNCT iajs-1930 909 1 3 3 X iajs-1930 909 2 . . X iajs-1930 909 3 rabi rabi NOUN iajs-1930 909 4 . . PUNCT iajs-1930 910 1 h. h. PROPN iajs-1930 910 2 j. j. PROPN iajs-1930 910 3 prime prime PROPN iajs-1930 910 4 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 910 5 submodules submodule NOUN iajs-1930 910 6 and and CCONJ iajs-1930 910 7 prime prime ADJ iajs-1930 910 8 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 910 9 modules module NOUN iajs-1930 910 10 . . PUNCT iajs-1930 911 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 911 2 . . PUNCT iajs-1930 912 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 912 2 . . PUNCT iajs-1930 913 1 university university NOUN iajs-1930 913 2 of of ADP iajs-1930 913 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 913 4 . . PUNCT iajs-1930 914 1 2001 2001 NUM iajs-1930 914 2 . . PUNCT iajs-1930 915 1 4 4 X iajs-1930 915 2 . . X iajs-1930 915 3 abdul abdul PROPN iajs-1930 915 4 - - PUNCT iajs-1930 915 5 razak razak PROPN iajs-1930 915 6 , , PUNCT iajs-1930 915 7 m. m. NOUN iajs-1930 915 8 h. h. PROPN iajs-1930 915 9 quasi quasi PROPN iajs-1930 915 10 - - ADJ iajs-1930 915 11 prime prime ADJ iajs-1930 915 12 modules module NOUN iajs-1930 915 13 and and CCONJ iajs-1930 915 14 quasi quasi ADJ iajs-1930 915 15 - - ADJ iajs-1930 915 16 prime prime ADJ iajs-1930 915 17 submodules submodule NOUN iajs-1930 915 18 . . PUNCT iajs-1930 916 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 916 2 . . PUNCT iajs-1930 917 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 917 2 . . PUNCT iajs-1930 918 1 college college NOUN iajs-1930 918 2 of of ADP iajs-1930 918 3 education education PROPN iajs-1930 918 4 ibn ibn PROPN iajs-1930 918 5 al al PROPN iajs-1930 918 6 - - PUNCT iajs-1930 918 7 haitham haitham PROPN iajs-1930 918 8 . . PUNCT iajs-1930 919 1 university university PROPN iajs-1930 919 2 of of ADP iajs-1930 919 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 919 4 . . PUNCT iajs-1930 920 1 1999 1999 NUM iajs-1930 920 2 . . PUNCT iajs-1930 921 1 5 5 X iajs-1930 921 2 . . X iajs-1930 921 3 hatam hatam NOUN iajs-1930 921 4 , , PUNCT iajs-1930 921 5 y. y. PROPN iajs-1930 921 6 k. k. PROPN iajs-1930 921 7 fuzzy fuzzy PROPN iajs-1930 921 8 quasi quasi ADJ iajs-1930 921 9 - - ADJ iajs-1930 921 10 prime prime ADJ iajs-1930 921 11 modules module NOUN iajs-1930 921 12 and and CCONJ iajs-1930 921 13 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 921 14 quasi quasi ADJ iajs-1930 921 15 - - ADJ iajs-1930 921 16 prime prime ADJ iajs-1930 921 17 submodules submodule NOUN iajs-1930 921 18 . . PUNCT iajs-1930 922 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 922 2 . . PUNCT iajs-1930 923 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 923 2 . . PUNCT iajs-1930 924 1 university university NOUN iajs-1930 924 2 of of ADP iajs-1930 924 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 924 4 . . PUNCT iajs-1930 925 1 2001 2001 NUM iajs-1930 925 2 . . PUNCT iajs-1930 925 3     SPACE iajs-1930 926 1 131 131 NUM iajs-1930 926 2     SPACE iajs-1930 926 3 ibn ibn PROPN iajs-1930 926 4 al al PROPN iajs-1930 926 5 - - PUNCT iajs-1930 926 6 haitham haitham PROPN iajs-1930 926 7 jour jour X iajs-1930 926 8 . . PROPN iajs-1930 926 9 for for ADP iajs-1930 926 10 pure pure ADJ iajs-1930 926 11 & & CCONJ iajs-1930 926 12 appl appl PROPN iajs-1930 926 13 . . PUNCT iajs-1930 927 1 sci sci PROPN iajs-1930 927 2 . . PROPN iajs-1930 927 3 ihjpas ihjpa VERB iajs-1930 927 4 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 https://doi.org/10.30526/32.1.1930 PART iajs-1930 927 5 vol vol NOUN iajs-1930 927 6 . . PUNCT iajs-1930 928 1 32 32 NUM iajs-1930 929 1 ( ( PUNCT iajs-1930 929 2 1 1 NUM iajs-1930 929 3 ) ) PUNCT iajs-1930 929 4 2019 2019 NUM iajs-1930 929 5 6 6 NUM iajs-1930 929 6 . . PUNCT iajs-1930 930 1 darani darani PROPN iajs-1930 930 2 , , PUNCT iajs-1930 930 3 a.y a.y PROPN iajs-1930 930 4 . . PROPN iajs-1930 930 5 ; ; PUNCT iajs-1930 930 6 soheilnia soheilnia PROPN iajs-1930 930 7 , , PUNCT iajs-1930 930 8 f. f. PROPN iajs-1930 930 9 2 2 NUM iajs-1930 930 10 - - PUNCT iajs-1930 930 11 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 930 12 and and CCONJ iajs-1930 930 13 weakly weakly ADJ iajs-1930 930 14 2 2 NUM iajs-1930 930 15 - - PUNCT iajs-1930 930 16 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 930 17 submodules submodule NOUN iajs-1930 930 18 . . PUNCT iajs-1930 931 1 thai thai PROPN iajs-1930 931 2 journal journal PROPN iajs-1930 931 3 of of ADP iajs-1930 931 4 mathematics mathematic NOUN iajs-1930 931 5 . . PUNCT iajs-1930 932 1 2011 2011 NUM iajs-1930 932 2 , , PUNCT iajs-1930 932 3 9 9 NUM iajs-1930 932 4 , , PUNCT iajs-1930 932 5 3 3 NUM iajs-1930 932 6 , , PUNCT iajs-1930 932 7 577 577 NUM iajs-1930 932 8 - - SYM iajs-1930 932 9 584 584 NUM iajs-1930 932 10 . . NOUN iajs-1930 933 1 7 7 NUM iajs-1930 933 2 . . X iajs-1930 934 1 khalaf khalaf PROPN iajs-1930 934 2 , , PUNCT iajs-1930 934 3 h. h. PROPN iajs-1930 934 4 y. y. PROPN iajs-1930 934 5 ; ; PUNCT iajs-1930 934 6 hannon hannon PROPN iajs-1930 934 7 , , PUNCT iajs-1930 934 8 w. w. PROPN iajs-1930 934 9 h. h. PROPN iajs-1930 934 10 small small ADJ iajs-1930 934 11 and and CCONJ iajs-1930 934 12 classical classical ADJ iajs-1930 934 13 t t PROPN iajs-1930 934 14 - - PUNCT iajs-1930 934 15 abso abso PROPN iajs-1930 934 16 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 934 17 submodules submodule NOUN iajs-1930 934 18 . . PUNCT iajs-1930 935 1 global global ADJ iajs-1930 935 2 journal journal PROPN iajs-1930 935 3 of of ADP iajs-1930 935 4 pure pure ADJ iajs-1930 935 5 and and CCONJ iajs-1930 935 6 applied applied ADJ iajs-1930 935 7 mathematics mathematic NOUN iajs-1930 935 8 . . PUNCT iajs-1930 936 1 2018 2018 NUM iajs-1930 936 2 , , PUNCT iajs-1930 936 3 14 14 NUM iajs-1930 936 4 , , PUNCT iajs-1930 936 5 3 3 NUM iajs-1930 936 6 , , PUNCT iajs-1930 936 7 443–457 443–457 NUM iajs-1930 936 8 . . PUNCT iajs-1930 937 1 8 8 NUM iajs-1930 937 2 . . X iajs-1930 937 3 mccasland mccasland PROPN iajs-1930 937 4 , , PUNCT iajs-1930 937 5 r. r. PROPN iajs-1930 937 6 l. l. PROPN iajs-1930 937 7 ; ; PUNCT iajs-1930 937 8 moore moore PROPN iajs-1930 937 9 , , PUNCT iajs-1930 937 10 m. m. PROPN iajs-1930 937 11 e. e. PROPN iajs-1930 937 12 on on ADP iajs-1930 937 13 radical radical ADJ iajs-1930 937 14 of of ADP iajs-1930 937 15 submodules submodule NOUN iajs-1930 937 16 of of ADP iajs-1930 937 17 finitely finitely ADV iajs-1930 937 18 generated generate VERB iajs-1930 937 19 modules module NOUN iajs-1930 937 20 . . PUNCT iajs-1930 938 1 canad canad PROPN iajs-1930 938 2 . . PUNCT iajs-1930 939 1 math math NOUN iajs-1930 939 2 . . PUNCT iajs-1930 940 1 bull bull PROPN iajs-1930 940 2 . . PUNCT iajs-1930 941 1 1986 1986 NUM iajs-1930 941 2 , , PUNCT iajs-1930 941 3 29 29 NUM iajs-1930 941 4 , , PUNCT iajs-1930 941 5 1 1 NUM iajs-1930 941 6 , , PUNCT iajs-1930 941 7 37 37 NUM iajs-1930 941 8 - - SYM iajs-1930 941 9 39 39 NUM iajs-1930 941 10 . . PUNCT iajs-1930 942 1 9 9 NUM iajs-1930 942 2 . . NUM iajs-1930 942 3 mostafanasab mostafanasab VERB iajs-1930 942 4 , , PUNCT iajs-1930 942 5 h. h. PROPN iajs-1930 942 6 ; ; PUNCT iajs-1930 942 7 yetkin yetkin PROPN iajs-1930 942 8 , , PUNCT iajs-1930 942 9 e. e. PROPN iajs-1930 942 10 ; ; PUNCT iajs-1930 942 11 tekir tekir PROPN iajs-1930 942 12 , , PUNCT iajs-1930 942 13 u. u. PROPN iajs-1930 942 14 ; ; PUNCT iajs-1930 942 15 darani darani PROPN iajs-1930 942 16 , , PUNCT iajs-1930 942 17 a. a. NOUN iajs-1930 942 18 y. y. NOUN iajs-1930 942 19 on on ADP iajs-1930 942 20 2absorbing 2absorbing NUM iajs-1930 942 21 primary primary ADJ iajs-1930 942 22 submodules submodule NOUN iajs-1930 942 23 of of ADP iajs-1930 942 24 modules module NOUN iajs-1930 942 25 over over ADP iajs-1930 942 26 commutative commutative ADJ iajs-1930 942 27 rings ring NOUN iajs-1930 942 28 . . PUNCT iajs-1930 943 1 an an DET iajs-1930 943 2 . . PUNCT iajs-1930 943 3 st st PROPN iajs-1930 943 4 . . PROPN iajs-1930 943 5 univ univ PROPN iajs-1930 943 6 . . PUNCT iajs-1930 944 1 ovidius ovidius PROPN iajs-1930 944 2 constanta constanta PROPN iajs-1930 944 3 . . PUNCT iajs-1930 945 1 2016 2016 NUM iajs-1930 945 2 , , PUNCT iajs-1930 945 3 24 24 NUM iajs-1930 945 4 , , PUNCT iajs-1930 945 5 1 1 NUM iajs-1930 945 6 , , PUNCT iajs-1930 945 7 335 335 NUM iajs-1930 945 8 - - SYM iajs-1930 945 9 351 351 NUM iajs-1930 945 10 . . PUNCT iajs-1930 946 1 10 10 NUM iajs-1930 946 2 . . PUNCT iajs-1930 947 1 rabi rabi NOUN iajs-1930 947 2 , , PUNCT iajs-1930 947 3 h. h. PROPN iajs-1930 947 4 j. j. PROPN iajs-1930 947 5 ; ; PUNCT iajs-1930 947 6 hassan hassan PROPN iajs-1930 947 7 , , PUNCT iajs-1930 947 8 k. k. PROPN iajs-1930 947 9 h. h. PROPN iajs-1930 948 1 on on ADP iajs-1930 948 2 quasi quasi ADJ iajs-1930 948 3 prime prime ADJ iajs-1930 948 4 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 948 5 submodules submodule NOUN iajs-1930 948 6 and and CCONJ iajs-1930 948 7 quasi quasi ADJ iajs-1930 948 8 primary primary ADJ iajs-1930 948 9 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 948 10 submodules submodule NOUN iajs-1930 948 11 . . PUNCT iajs-1930 949 1 j.thi j.thi PROPN iajs-1930 949 2 - - PUNCT iajs-1930 949 3 qar qar PROPN iajs-1930 949 4 sci sci PROPN iajs-1930 949 5 . . PROPN iajs-1930 949 6 2008 2008 NUM iajs-1930 949 7 , , PUNCT iajs-1930 949 8 1 1 NUM iajs-1930 949 9 , , PUNCT iajs-1930 949 10 1 1 NUM iajs-1930 949 11 , , PUNCT iajs-1930 949 12 37 37 NUM iajs-1930 949 13 - - SYM iajs-1930 949 14 42 42 NUM iajs-1930 949 15 . . PUNCT iajs-1930 950 1 11 11 NUM iajs-1930 950 2 . . PUNCT iajs-1930 951 1 suat suat NOUN iajs-1930 951 2 , , PUNCT iajs-1930 951 3 k. k. PROPN iajs-1930 951 4 ; ; PUNCT iajs-1930 951 5 rabia rabia PROPN iajs-1930 951 6 , , PUNCT iajs-1930 951 7 n.u n.u PROPN iajs-1930 951 8 . . PROPN iajs-1930 951 9 ; ; PUNCT iajs-1930 951 10 unsal unsal ADJ iajs-1930 951 11 , , PUNCT iajs-1930 951 12 t. t. NOUN iajs-1930 951 13 on on ADP iajs-1930 951 14 2 2 NUM iajs-1930 951 15 - - PUNCT iajs-1930 951 16 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 951 17 quasi quasi ADJ iajs-1930 951 18 primary primary ADJ iajs-1930 951 19 submodules submodule NOUN iajs-1930 951 20 . . PUNCT iajs-1930 952 1 faculty faculty NOUN iajs-1930 952 2 of of ADP iajs-1930 952 3 ciences cience NOUN iajs-1930 952 4 and and CCONJ iajs-1930 952 5 mathematics mathematic NOUN iajs-1930 952 6 . . PUNCT iajs-1930 953 1 university university NOUN iajs-1930 953 2 of of ADP iajs-1930 953 3 niˇs niˇs NOUN iajs-1930 953 4 , , PUNCT iajs-1930 953 5 serbia serbia PROPN iajs-1930 953 6 . . PUNCT iajs-1930 954 1 2017 2017 NUM iajs-1930 954 2 . . PUNCT iajs-1930 955 1 2943–2950 2943–2950 NUM iajs-1930 955 2 . . PUNCT iajs-1930 956 1 12 12 NUM iajs-1930 956 2 . . PUNCT iajs-1930 956 3 malik malik PROPN iajs-1930 956 4 , , PUNCT iajs-1930 956 5 d. d. PROPN iajs-1930 956 6 s. s. PROPN iajs-1930 956 7 ; ; PUNCT iajs-1930 956 8 mordeson mordeson NOUN iajs-1930 956 9 , , PUNCT iajs-1930 956 10 j. j. PROPN iajs-1930 956 11 n. n. PROPN iajs-1930 956 12 fuzzy fuzzy PROPN iajs-1930 956 13 maximal maximal ADJ iajs-1930 956 14 , , PUNCT iajs-1930 956 15 radical radical ADJ iajs-1930 956 16 , , PUNCT iajs-1930 956 17 and and CCONJ iajs-1930 956 18 primary primary ADJ iajs-1930 956 19 ideals ideal NOUN iajs-1930 956 20 of of ADP iajs-1930 956 21 a a DET iajs-1930 956 22 ring ring NOUN iajs-1930 956 23 . . PUNCT iajs-1930 957 1 information information NOUN iajs-1930 957 2 sciences science NOUN iajs-1930 957 3 . . PUNCT iajs-1930 957 4 1991 1991 NUM iajs-1930 957 5 , , PUNCT iajs-1930 957 6 53 53 NUM iajs-1930 957 7 , , PUNCT iajs-1930 957 8 237 237 NUM iajs-1930 957 9 - - SYM iajs-1930 957 10 250 250 NUM iajs-1930 957 11 . . PUNCT iajs-1930 958 1 13 13 NUM iajs-1930 958 2 . . PUNCT iajs-1930 959 1 hussein hussein PROPN iajs-1930 959 2 , , PUNCT iajs-1930 959 3 w. w. PROPN iajs-1930 959 4 r. r. PROPN iajs-1930 959 5 some some DET iajs-1930 959 6 results result NOUN iajs-1930 959 7 of of ADP iajs-1930 959 8 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 959 9 rings ring NOUN iajs-1930 959 10 . . PUNCT iajs-1930 960 1 m.sc m.sc PROPN iajs-1930 960 2 . . PUNCT iajs-1930 961 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 961 2 . . PUNCT iajs-1930 962 1 university university NOUN iajs-1930 962 2 of of ADP iajs-1930 962 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 962 4 . . PUNCT iajs-1930 963 1 1999 1999 NUM iajs-1930 963 2 . . PUNCT iajs-1930 964 1 14 14 NUM iajs-1930 964 2 . . PUNCT iajs-1930 965 1 abdulrahman abdulrahman PROPN iajs-1930 965 2 , , PUNCT iajs-1930 965 3 a. a. PROPN iajs-1930 965 4 h. h. PROPN iajs-1930 965 5 2 2 NUM iajs-1930 965 6 - - PUNCT iajs-1930 965 7 absorbing absorbing ADJ iajs-1930 965 8 submodules submodule NOUN iajs-1930 965 9 ( ( PUNCT iajs-1930 965 10 modules module NOUN iajs-1930 965 11 ) ) PUNCT iajs-1930 965 12 and and CCONJ iajs-1930 965 13 some some PRON iajs-1930 965 14 of of ADP iajs-1930 965 15 their their PRON iajs-1930 965 16 generalizations generalization NOUN iajs-1930 965 17 . . PUNCT iajs-1930 966 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 966 2 . . PUNCT iajs-1930 967 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 967 2 . . PUNCT iajs-1930 968 1 university university NOUN iajs-1930 968 2 of of ADP iajs-1930 968 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 968 4 . . PUNCT iajs-1930 969 1 2015 2015 NUM iajs-1930 969 2 . . PUNCT iajs-1930 970 1 15 15 NUM iajs-1930 970 2 . . PUNCT iajs-1930 971 1 robert robert PROPN iajs-1930 971 2 , , PUNCT iajs-1930 971 3 w. w. PROPN iajs-1930 971 4 foundations foundation NOUN iajs-1930 971 5 of of ADP iajs-1930 971 6 module module NOUN iajs-1930 971 7 and and CCONJ iajs-1930 971 8 ring ring NOUN iajs-1930 971 9 theory theory NOUN iajs-1930 971 10 . . PUNCT iajs-1930 972 1 gordon gordon PROPN iajs-1930 972 2 and and CCONJ iajs-1930 972 3 breach breach VERB iajs-1930 972 4 science science NOUN iajs-1930 972 5 publishers publisher NOUN iajs-1930 972 6 , , PUNCT iajs-1930 972 7 1991 1991 NUM iajs-1930 972 8 . . PUNCT iajs-1930 973 1 16 16 NUM iajs-1930 973 2 . . PUNCT iajs-1930 974 1 rashed rashe VERB iajs-1930 974 2 , , PUNCT iajs-1930 974 3 h. h. PROPN iajs-1930 974 4 g. g. AUX iajs-1930 974 5 fully fully ADV iajs-1930 974 6 cancellation cancellation VERB iajs-1930 974 7 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 974 8 modules module NOUN iajs-1930 974 9 and and CCONJ iajs-1930 974 10 some some DET iajs-1930 974 11 generalizations generalization NOUN iajs-1930 974 12 . . PUNCT iajs-1930 975 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 975 2 . . PUNCT iajs-1930 976 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 976 2 . . PUNCT iajs-1930 977 1 university university NOUN iajs-1930 977 2 of of ADP iajs-1930 977 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 977 4 . . PUNCT iajs-1930 978 1 2017 2017 NUM iajs-1930 978 2 . . PUNCT iajs-1930 979 1 17 17 NUM iajs-1930 979 2 . . PUNCT iajs-1930 980 1 hadi hadi PROPN iajs-1930 980 2 , , PUNCT iajs-1930 980 3 i. i. PROPN iajs-1930 980 4 m. m. PROPN iajs-1930 980 5 a. a. PROPN iajs-1930 980 6 ; ; PUNCT iajs-1930 980 7 hamil hamil PROPN iajs-1930 980 8 , , PUNCT iajs-1930 980 9 m. m. NOUN iajs-1930 980 10 a. a. NOUN iajs-1930 980 11 cancellation cancellation NOUN iajs-1930 980 12 and and CCONJ iajs-1930 980 13 weakly weakly ADJ iajs-1930 980 14 cancellation cancellation NOUN iajs-1930 980 15 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 980 16 modules module NOUN iajs-1930 980 17 . . PUNCT iajs-1930 981 1 journal journal NOUN iajs-1930 981 2 of of ADP iajs-1930 981 3 basrah basrah PROPN iajs-1930 981 4 reserchs reserch NOUN iajs-1930 981 5 ( ( PUNCT iajs-1930 981 6 sciences science NOUN iajs-1930 981 7 ) ) PUNCT iajs-1930 981 8 . . PUNCT iajs-1930 982 1 2011 2011 NUM iajs-1930 982 2 . . PUNCT iajs-1930 983 1 37 37 NUM iajs-1930 983 2 , , PUNCT iajs-1930 983 3 4 4 NUM iajs-1930 983 4 . . NOUN iajs-1930 983 5 18 18 NUM iajs-1930 983 6 . . PUNCT iajs-1930 984 1 el el NOUN iajs-1930 984 2 - - PUNCT iajs-1930 984 3 bast bast NOUN iajs-1930 984 4 , , PUNCT iajs-1930 984 5 z. z. PROPN iajs-1930 984 6 a. a. PROPN iajs-1930 984 7 ; ; PUNCT iajs-1930 984 8 smith smith PROPN iajs-1930 984 9 , , PUNCT iajs-1930 984 10 p. p. PROPN iajs-1930 984 11 f. f. PROPN iajs-1930 984 12 multiplication multiplication PROPN iajs-1930 984 13 modules.comm.in modules.comm.in PROPN iajs-1930 984 14 algebra algebra PROPN iajs-1930 984 15 . . PUNCT iajs-1930 985 1 1988 1988 NUM iajs-1930 985 2 , , PUNCT iajs-1930 985 3 16 16 NUM iajs-1930 985 4 , , PUNCT iajs-1930 985 5 755779 755779 NUM iajs-1930 985 6 . . PUNCT iajs-1930 985 7     SPACE iajs-1930 986 1 19 19 NUM iajs-1930 986 2 . . PUNCT iajs-1930 987 1 maysoun maysoun PROPN iajs-1930 987 2 , , PUNCT iajs-1930 987 3 a. a. PROPN iajs-1930 987 4 h. h. PROPN iajs-1930 988 1 f f X iajs-1930 988 2 - - PUNCT iajs-1930 988 3 regular regular ADJ iajs-1930 988 4 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 988 5 modules module NOUN iajs-1930 988 6 . . PUNCT iajs-1930 989 1 m.sc m.sc NOUN iajs-1930 989 2 . . PUNCT iajs-1930 990 1 thesis thesis NOUN iajs-1930 990 2 . . PUNCT iajs-1930 991 1 university university NOUN iajs-1930 991 2 of of ADP iajs-1930 991 3 baghdad baghdad PROPN iajs-1930 991 4 . . PUNCT iajs-1930 992 1 2002 2002 NUM iajs-1930 992 2 . . PUNCT iajs-1930 993 1 19 19 NUM iajs-1930 993 2 . . X iajs-1930 993 3 abou abou PROPN iajs-1930 993 4 - - PUNCT iajs-1930 993 5 draeb draeb PROPN iajs-1930 993 6 , , PUNCT iajs-1930 993 7 a. a. NOUN iajs-1930 993 8 t. t. PROPN iajs-1930 993 9 ; ; PUNCT iajs-1930 993 10 al al PROPN iajs-1930 993 11 - - PUNCT iajs-1930 993 12 zreegawi zreegawi PROPN iajs-1930 993 13 , , PUNCT iajs-1930 993 14 b. b. PROPN iajs-1930 993 15 ; ; PUNCT iajs-1930 993 16 al al PROPN iajs-1930 993 17 - - PUNCT iajs-1930 993 18 duja duja PROPN iajs-1930 993 19 , , PUNCT iajs-1930 993 20 y. y. PROPN iajs-1930 993 21 kh kh PROPN iajs-1930 993 22 . . PUNCT iajs-1930 993 23 prime prime ADJ iajs-1930 993 24 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 993 25 submodules submodule NOUN iajs-1930 993 26 and and CCONJ iajs-1930 993 27 strongly strongly ADV iajs-1930 993 28 prime prime ADJ iajs-1930 993 29 fuzzy fuzzy ADJ iajs-1930 993 30 submodules submodule NOUN iajs-1930 993 31 over over ADP iajs-1930 993 32 near near ADP iajs-1930 993 33 - - PUNCT iajs-1930 993 34 ring ring NOUN iajs-1930 993 35 . . PUNCT iajs-1930 994 1 journal journal PROPN iajs-1930 994 2 of of ADP iajs-1930 994 3 babylon babylon PROPN iajs-1930 994 4 univ univ PROPN iajs-1930 994 5 . . PUNCT iajs-1930 995 1 pure pure ADJ iajs-1930 995 2 and and CCONJ iajs-1930 995 3 applied applied ADJ iajs-1930 995 4 science science NOUN iajs-1930 995 5 . . PUNCT iajs-1930 996 1 2014 2014 NUM iajs-1930 996 2 , , PUNCT iajs-1930 996 3 22 22 NUM iajs-1930 996 4 , , PUNCT iajs-1930 996 5 3 3 NUM iajs-1930 996 6 , , PUNCT iajs-1930 996 7 984 984 NUM iajs-1930 996 8 - - SYM iajs-1930 996 9 996 996 NUM iajs-1930 996 10 . . PUNCT