id sid tid token lemma pos iajs-2290 1 1 129 129 NUM iajs-2290 1 2 ibn ibn PROPN iajs-2290 1 3 al al PROPN iajs-2290 1 4 - - PUNCT iajs-2290 1 5 haitham haitham PROPN iajs-2290 1 6 jour jour X iajs-2290 1 7 . . PROPN iajs-2290 1 8 for for ADP iajs-2290 1 9 pure pure ADJ iajs-2290 1 10 & & CCONJ iajs-2290 1 11 appl appl PROPN iajs-2290 1 12 . . PUNCT iajs-2290 2 1 sci sci PROPN iajs-2290 2 2 . . PROPN iajs-2290 2 3 32 32 NUM iajs-2290 2 4 ( ( PUNCT iajs-2290 2 5 3 3 NUM iajs-2290 2 6 ) ) PUNCT iajs-2290 2 7 2019 2019 NUM iajs-2290 2 8 omar omar PROPN iajs-2290 2 9 a. a. PROPN iajs-2290 2 10 abdulla abdulla PROPN iajs-2290 2 11 haibat haibat PROPN iajs-2290 2 12 k. k. PROPN iajs-2290 2 13 mohammadali mohammadali PROPN iajs-2290 3 1 abstract abstract ADV iajs-2290 3 2 let let VERB iajs-2290 3 3 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 3 4 be be AUX iajs-2290 3 5 a a DET iajs-2290 3 6 commutative commutative ADJ iajs-2290 3 7 ring ring NOUN iajs-2290 3 8 with with ADP iajs-2290 3 9 identity identity NOUN iajs-2290 3 10 . . PUNCT iajs-2290 4 1 the the DET iajs-2290 4 2 aim aim NOUN iajs-2290 4 3 of of ADP iajs-2290 4 4 this this DET iajs-2290 4 5 paper paper NOUN iajs-2290 4 6 is be AUX iajs-2290 4 7 introduce introduce VERB iajs-2290 4 8 the the DET iajs-2290 4 9 notion notion NOUN iajs-2290 4 10 of of ADP iajs-2290 4 11 a a DET iajs-2290 4 12 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 4 13 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 4 14 - - PUNCT iajs-2290 4 15 absorbing absorb VERB iajs-2290 4 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 4 17 as as ADP iajs-2290 4 18 generalization generalization NOUN iajs-2290 4 19 of of ADP iajs-2290 4 20 2 2 NUM iajs-2290 4 21 - - PUNCT iajs-2290 4 22 absorbing absorb VERB iajs-2290 4 23 submodule submodule NOUN iajs-2290 4 24 and and CCONJ iajs-2290 4 25 a a DET iajs-2290 4 26 pseudo-2 pseudo-2 NUM iajs-2290 4 27 - - PUNCT iajs-2290 4 28 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 4 29 submodules submodule NOUN iajs-2290 4 30 . . PUNCT iajs-2290 5 1 a a DET iajs-2290 5 2 proper proper ADJ iajs-2290 5 3 submodule submodule NOUN iajs-2290 5 4 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 5 5 of of ADP iajs-2290 5 6 an an DET iajs-2290 5 7 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 5 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 5 9 is be AUX iajs-2290 5 10 called call VERB iajs-2290 5 11 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 5 12 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 5 13 - - NOUN iajs-2290 5 14 absorbing absorbing NOUN iajs-2290 5 15 if if SCONJ iajs-2290 5 16 whenever whenever SCONJ iajs-2290 5 17 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 5 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 5 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 5 20 , , PUNCT iajs-2290 5 21 for for ADP iajs-2290 5 22 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 5 23 , , PUNCT iajs-2290 5 24 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 5 25 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 5 26 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 5 27 , , PUNCT iajs-2290 5 28 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 5 29 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 5 30 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 5 31 , , PUNCT iajs-2290 5 32 implies imply VERB iajs-2290 5 33 that that SCONJ iajs-2290 5 34 either either CCONJ iajs-2290 5 35 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 5 36 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 5 37 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 5 38 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 5 39 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 5 40 ) ) PUNCT iajs-2290 6 1 + + CCONJ iajs-2290 6 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 6 3 ) ) PUNCT iajs-2290 6 4 or or CCONJ iajs-2290 6 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 6 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 6 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 6 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 6 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 6 10 ) ) PUNCT iajs-2290 6 11 + + CCONJ iajs-2290 6 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 6 13 ) ) PUNCT iajs-2290 6 14 or or CCONJ iajs-2290 6 15 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 6 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 6 17 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 6 18 + + CCONJ iajs-2290 6 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 6 20 ) ) PUNCT iajs-2290 6 21 . . PUNCT iajs-2290 7 1 many many ADJ iajs-2290 7 2 basic basic ADJ iajs-2290 7 3 properties property NOUN iajs-2290 7 4 , , PUNCT iajs-2290 7 5 examples example NOUN iajs-2290 7 6 and and CCONJ iajs-2290 7 7 characterizations characterization NOUN iajs-2290 7 8 of of ADP iajs-2290 7 9 these these DET iajs-2290 7 10 concepts concept NOUN iajs-2290 7 11 are be AUX iajs-2290 7 12 given give VERB iajs-2290 7 13 . . PUNCT iajs-2290 8 1 furthermore furthermore ADV iajs-2290 8 2 , , PUNCT iajs-2290 8 3 characterizations characterization NOUN iajs-2290 8 4 of of ADP iajs-2290 8 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 8 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 8 7 - - PUNCT iajs-2290 8 8 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 8 9 submodules submodule NOUN iajs-2290 8 10 in in ADP iajs-2290 8 11 some some DET iajs-2290 8 12 classes class NOUN iajs-2290 8 13 of of ADP iajs-2290 8 14 modules module NOUN iajs-2290 8 15 are be AUX iajs-2290 8 16 introduced introduce VERB iajs-2290 8 17 . . PUNCT iajs-2290 9 1 moreover moreover ADV iajs-2290 9 2 , , PUNCT iajs-2290 9 3 the the DET iajs-2290 9 4 behavior behavior NOUN iajs-2290 9 5 of of ADP iajs-2290 9 6 a a DET iajs-2290 9 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 9 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 9 9 - - PUNCT iajs-2290 9 10 absorbing absorb VERB iajs-2290 9 11 submodule submodule NOUN iajs-2290 9 12 under under ADP iajs-2290 9 13 𝑅-homomorphism 𝑅-homomorphism PROPN iajs-2290 9 14 is be AUX iajs-2290 9 15 studied study VERB iajs-2290 9 16 . . PUNCT iajs-2290 10 1 keywords keyword NOUN iajs-2290 10 2 : : PUNCT iajs-2290 10 3 primary primary ADJ iajs-2290 10 4 submodules submodule NOUN iajs-2290 10 5 , , PUNCT iajs-2290 10 6 pseudo-2 pseudo-2 NOUN iajs-2290 10 7 - - PUNCT iajs-2290 10 8 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 10 9 submodules submodule NOUN iajs-2290 10 10 , , PUNCT iajs-2290 10 11 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 10 12 primary-2absorbing primary-2absorbing NOUN iajs-2290 10 13 submodules submodule NOUN iajs-2290 10 14 , , PUNCT iajs-2290 10 15 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 10 16 modules module NOUN iajs-2290 10 17 , , PUNCT iajs-2290 10 18 non non ADJ iajs-2290 10 19 - - ADJ iajs-2290 10 20 singular singular ADJ iajs-2290 10 21 modules module NOUN iajs-2290 10 22 , , PUNCT iajs-2290 10 23 socle socle NOUN iajs-2290 10 24 of of ADP iajs-2290 10 25 a a DET iajs-2290 10 26 modules module NOUN iajs-2290 10 27 . . PUNCT iajs-2290 11 1 1 1 X iajs-2290 11 2 . . X iajs-2290 11 3 introduction introduction NOUN iajs-2290 11 4 and and CCONJ iajs-2290 11 5 basic basic ADJ iajs-2290 11 6 concepts concept NOUN iajs-2290 11 7 throughout throughout ADP iajs-2290 11 8 this this DET iajs-2290 11 9 paper paper NOUN iajs-2290 11 10 , , PUNCT iajs-2290 11 11 we we PRON iajs-2290 11 12 assume assume VERB iajs-2290 11 13 that that SCONJ iajs-2290 11 14 all all DET iajs-2290 11 15 rings ring NOUN iajs-2290 11 16 are be AUX iajs-2290 11 17 commutative commutative ADJ iajs-2290 11 18 with with ADP iajs-2290 11 19 identity identity NOUN iajs-2290 11 20 and and CCONJ iajs-2290 11 21 all all DET iajs-2290 11 22 𝑅-modules 𝑅-modules PROPN iajs-2290 11 23 are be AUX iajs-2290 11 24 left leave VERB iajs-2290 11 25 unitary unitary ADJ iajs-2290 11 26 . . PUNCT iajs-2290 12 1 among among ADP iajs-2290 12 2 the the DET iajs-2290 12 3 famous famous ADJ iajs-2290 12 4 concepts concept NOUN iajs-2290 12 5 of of ADP iajs-2290 12 6 modules module NOUN iajs-2290 12 7 theory theory NOUN iajs-2290 12 8 is be AUX iajs-2290 12 9 prime prime ADJ iajs-2290 12 10 submodules submodule NOUN iajs-2290 12 11 , , PUNCT iajs-2290 12 12 where where SCONJ iajs-2290 12 13 a a DET iajs-2290 12 14 proper proper ADJ iajs-2290 12 15 submodule submodule NOUN iajs-2290 12 16 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 12 17 of of ADP iajs-2290 12 18 an an DET iajs-2290 12 19 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 12 20 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 12 21 is be AUX iajs-2290 12 22 said say VERB iajs-2290 12 23 to to PART iajs-2290 12 24 be be AUX iajs-2290 12 25 a a DET iajs-2290 12 26 prime prime ADJ iajs-2290 12 27 submodule submodule NOUN iajs-2290 12 28 if if SCONJ iajs-2290 12 29 whenever whenever SCONJ iajs-2290 12 30 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ X iajs-2290 12 31 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 12 32 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 12 33 where where SCONJ iajs-2290 12 34 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 12 35 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 12 36 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 12 37 , , PUNCT iajs-2290 12 38 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 12 39 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 12 40 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 12 41 , , PUNCT iajs-2290 12 42 implies imply VERB iajs-2290 12 43 that that SCONJ iajs-2290 12 44 either either CCONJ iajs-2290 12 45 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 12 46 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 12 47 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 12 48 or or CCONJ iajs-2290 12 49 π‘Ÿπ‘Š π‘Ÿπ‘Š PROPN iajs-2290 12 50 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 12 51 𝐾[1 𝐾[1 PROPN iajs-2290 12 52 ] ] PUNCT iajs-2290 12 53 . . PUNCT iajs-2290 13 1 primary primary ADJ iajs-2290 13 2 submodule submodule PROPN iajs-2290 13 3 was be AUX iajs-2290 13 4 introduced introduce VERB iajs-2290 13 5 in in ADP iajs-2290 13 6 [ [ X iajs-2290 13 7 2 2 NUM iajs-2290 13 8 ] ] PUNCT iajs-2290 13 9 . . PUNCT iajs-2290 14 1 as as ADP iajs-2290 14 2 a a DET iajs-2290 14 3 generalization generalization NOUN iajs-2290 14 4 of of ADP iajs-2290 14 5 a a DET iajs-2290 14 6 prime prime ADJ iajs-2290 14 7 submodule submodule NOUN iajs-2290 14 8 , , PUNCT iajs-2290 14 9 where where SCONJ iajs-2290 14 10 a a DET iajs-2290 14 11 proper proper ADJ iajs-2290 14 12 submodule submodule NOUN iajs-2290 14 13 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 14 14 of of ADP iajs-2290 14 15 an an DET iajs-2290 14 16 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 14 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 14 18 is be AUX iajs-2290 14 19 called call VERB iajs-2290 14 20 a a DET iajs-2290 14 21 primary primary ADJ iajs-2290 14 22 submodule submodule NOUN iajs-2290 14 23 if if SCONJ iajs-2290 14 24 whenever whenever SCONJ iajs-2290 14 25 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ DET iajs-2290 14 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 14 27 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 14 28 for for ADP iajs-2290 14 29 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2290 14 30 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 14 31 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 14 32 , , PUNCT iajs-2290 14 33 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 14 34 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 14 35 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 14 36 , , PUNCT iajs-2290 14 37 implies imply VERB iajs-2290 14 38 that that SCONJ iajs-2290 14 39 either either CCONJ iajs-2290 14 40 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 14 41 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 14 42 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 14 43 or or CCONJ iajs-2290 14 44 π‘Ÿπ‘›π‘Š π‘Ÿπ‘›π‘Š PRON iajs-2290 14 45 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 14 46 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 14 47 for for ADP iajs-2290 14 48 some some DET iajs-2290 14 49 𝑛 𝑛 DET iajs-2290 14 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 14 51 𝑍+ 𝑍+ NOUN iajs-2290 14 52 . . PUNCT iajs-2290 15 1 recently recently ADV iajs-2290 15 2 many many ADJ iajs-2290 15 3 generalizations generalization NOUN iajs-2290 15 4 of of ADP iajs-2290 15 5 prime prime ADJ iajs-2290 15 6 submodules submodule NOUN iajs-2290 15 7 were be AUX iajs-2290 15 8 introduced introduce VERB iajs-2290 15 9 such such ADJ iajs-2290 15 10 as as ADP iajs-2290 15 11 ( ( PUNCT iajs-2290 15 12 app app ADJ iajs-2290 15 13 - - PUNCT iajs-2290 15 14 prime prime NOUN iajs-2290 15 15 , , PUNCT iajs-2290 15 16 πœ‘-prime πœ‘-prime PROPN iajs-2290 15 17 , , PUNCT iajs-2290 15 18 nearlyprime nearlyprime NOUN iajs-2290 15 19 ) ) PUNCT iajs-2290 15 20 submodules submodule NOUN iajs-2290 15 21 see[3 see[3 ADV iajs-2290 15 22 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 15 23 5 5 NUM iajs-2290 15 24 ] ] PUNCT iajs-2290 15 25 . . PUNCT iajs-2290 16 1 darani darani PROPN iajs-2290 16 2 and and CCONJ iajs-2290 16 3 soheilinia soheilinia PROPN iajs-2290 16 4 in[6 in[6 PROPN iajs-2290 16 5 ] ] PUNCT iajs-2290 16 6 . . PUNCT iajs-2290 16 7 introduced introduce VERB iajs-2290 16 8 the the DET iajs-2290 16 9 concept concept NOUN iajs-2290 16 10 of of ADP iajs-2290 16 11 2absorbing 2absorbing NUM iajs-2290 16 12 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 13 as as ADP iajs-2290 16 14 a a DET iajs-2290 16 15 generalization generalization NOUN iajs-2290 16 16 of of ADP iajs-2290 16 17 prime prime ADJ iajs-2290 16 18 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 19 , , PUNCT iajs-2290 16 20 where where SCONJ iajs-2290 16 21 a a DET iajs-2290 16 22 proper proper ADJ iajs-2290 16 23 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 24 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 16 25 of of ADP iajs-2290 16 26 an an DET iajs-2290 16 27 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 16 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 16 29 is be AUX iajs-2290 16 30 said say VERB iajs-2290 16 31 to to PART iajs-2290 16 32 be be AUX iajs-2290 16 33 2 2 NUM iajs-2290 16 34 - - PUNCT iajs-2290 16 35 absorbing absorb VERB iajs-2290 16 36 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 37 if if SCONJ iajs-2290 16 38 whenever whenever SCONJ iajs-2290 16 39 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 16 40 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 16 41 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 16 42 for for ADP iajs-2290 16 43 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 16 44 , , PUNCT iajs-2290 16 45 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 16 46 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 16 47 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 16 48 , , PUNCT iajs-2290 16 49 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 16 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 16 51 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 16 52 , , PUNCT iajs-2290 16 53 implies imply VERB iajs-2290 16 54 that that SCONJ iajs-2290 16 55 either either CCONJ iajs-2290 16 56 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ DET iajs-2290 16 57 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 16 58 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 16 59 or or CCONJ iajs-2290 16 60 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 16 61 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 16 62 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 16 63 or or CCONJ iajs-2290 16 64 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NUM iajs-2290 16 65 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 16 66 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 16 67 in in ADP iajs-2290 16 68 recent recent ADJ iajs-2290 16 69 decades decade NOUN iajs-2290 16 70 several several ADJ iajs-2290 16 71 generalization generalization NOUN iajs-2290 16 72 of of ADP iajs-2290 16 73 2 2 NUM iajs-2290 16 74 - - PUNCT iajs-2290 16 75 absorbing absorb VERB iajs-2290 16 76 submodules submodule NOUN iajs-2290 16 77 were be AUX iajs-2290 16 78 introduced introduce VERB iajs-2290 16 79 such such ADJ iajs-2290 16 80 as as ADP iajs-2290 16 81 nearly nearly ADV iajs-2290 16 82 2 2 NUM iajs-2290 16 83 - - PUNCT iajs-2290 16 84 absorbing absorb VERB iajs-2290 16 85 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 86 , , PUNCT iajs-2290 16 87 nearly nearly ADV iajs-2290 16 88 quasi-2 quasi-2 NUM iajs-2290 16 89 - - PUNCT iajs-2290 16 90 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 16 91 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 92 , , PUNCT iajs-2290 16 93 pseudo-2 pseudo-2 NOUN iajs-2290 16 94 - - PUNCT iajs-2290 16 95 absorbing absorb VERB iajs-2290 16 96 submodule submodule NOUN iajs-2290 16 97 and and CCONJ iajs-2290 16 98 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 16 99 ibn ibn PROPN iajs-2290 16 100 al al PROPN iajs-2290 16 101 haitham haitham PROPN iajs-2290 16 102 journal journal PROPN iajs-2290 16 103 for for ADP iajs-2290 16 104 pure pure ADJ iajs-2290 16 105 and and CCONJ iajs-2290 16 106 applied apply VERB iajs-2290 16 107 science science NOUN iajs-2290 16 108 journal journal PROPN iajs-2290 16 109 homepage homepage NOUN iajs-2290 16 110 : : PUNCT iajs-2290 16 111 http://jih.uobaghdad.edu.iq/index.php/j/index http://jih.uobaghdad.edu.iq/index.php/j/index NOUN iajs-2290 16 112 doi:10.30526/32.3.2290 doi:10.30526/32.3.2290 ADJ iajs-2290 16 113 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 16 114 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 16 115 - - PUNCT iajs-2290 16 116 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 16 117 submodules submodule NOUN iajs-2290 16 118 and and CCONJ iajs-2290 16 119 some some DET iajs-2290 16 120 related relate VERB iajs-2290 16 121 concepts concept NOUN iajs-2290 16 122 article article NOUN iajs-2290 16 123 history history NOUN iajs-2290 16 124 : : PUNCT iajs-2290 16 125 received receive VERB iajs-2290 16 126 3 3 NUM iajs-2290 16 127 march march PROPN iajs-2290 16 128 2019 2019 NUM iajs-2290 16 129 , , PUNCT iajs-2290 16 130 accepted accept VERB iajs-2290 16 131 20 20 NUM iajs-2290 16 132 march march NOUN iajs-2290 16 133 2019 2019 NUM iajs-2290 16 134 , , PUNCT iajs-2290 16 135 publish publish VERB iajs-2290 16 136 september september PROPN iajs-2290 16 137 2019 2019 NUM iajs-2290 16 138 department department NOUN iajs-2290 16 139 of of ADP iajs-2290 16 140 mathematics mathematics PROPN iajs-2290 16 141 , , PUNCT iajs-2290 16 142 college college NOUN iajs-2290 16 143 of of ADP iajs-2290 16 144 computer computer NOUN iajs-2290 16 145 science science NOUN iajs-2290 16 146 and and CCONJ iajs-2290 16 147 mathematics mathematic NOUN iajs-2290 16 148 , , PUNCT iajs-2290 16 149 university university NOUN iajs-2290 16 150 of of ADP iajs-2290 16 151 tikrit tikrit NOUN iajs-2290 16 152 , , PUNCT iajs-2290 16 153 iraq iraq PROPN iajs-2290 16 154 . . PUNCT iajs-2290 17 1 omar.aldoori87@gmail.com omar.aldoori87@gmail.com X iajs-2290 17 2 dr.mohammadali2013@gmail.com dr.mohammadali2013@gmail.com X iajs-2290 17 3 mailto:omar.aldoori87@gmail.com mailto:omar.aldoori87@gmail.com X iajs-2290 17 4 mailto:dr.mohammadali2013@gmail.com mailto:dr.mohammadali2013@gmail.com X iajs-2290 17 5 130 130 NUM iajs-2290 17 6 ibn ibn PROPN iajs-2290 17 7 al al PROPN iajs-2290 17 8 - - PUNCT iajs-2290 17 9 haitham haitham PROPN iajs-2290 17 10 jour jour X iajs-2290 17 11 . . PROPN iajs-2290 18 1 for for ADP iajs-2290 18 2 pure pure ADJ iajs-2290 18 3 & & CCONJ iajs-2290 18 4 appl appl PROPN iajs-2290 18 5 . . PUNCT iajs-2290 19 1 sci sci PROPN iajs-2290 19 2 . . 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PUNCT iajs-2290 20 9 introduced introduce VERB iajs-2290 20 10 the the DET iajs-2290 20 11 concept concept NOUN iajs-2290 20 12 of of ADP iajs-2290 20 13 2absorbing 2absorbing NUM iajs-2290 20 14 primary primary ADJ iajs-2290 20 15 ideal ideal NOUN iajs-2290 20 16 , , PUNCT iajs-2290 20 17 where where SCONJ iajs-2290 20 18 a a DET iajs-2290 20 19 proper proper ADJ iajs-2290 20 20 ideal ideal NOUN iajs-2290 20 21 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 20 22 of of ADP iajs-2290 20 23 a a DET iajs-2290 20 24 ring ring NOUN iajs-2290 20 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 20 26 is be AUX iajs-2290 20 27 called call VERB iajs-2290 20 28 2 2 NUM iajs-2290 20 29 - - PUNCT iajs-2290 20 30 absorbing absorb VERB iajs-2290 20 31 primary primary NOUN iajs-2290 20 32 , , PUNCT iajs-2290 20 33 if if SCONJ iajs-2290 20 34 whenever whenever SCONJ iajs-2290 20 35 π‘Žπ‘π‘ π‘Žπ‘π‘ ADJ iajs-2290 20 36 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 37 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 20 38 for for ADP iajs-2290 20 39 π‘Ž π‘Ž NOUN iajs-2290 20 40 , , PUNCT iajs-2290 20 41 𝑏 𝑏 NOUN iajs-2290 20 42 , , PUNCT iajs-2290 20 43 𝑐 𝑐 PROPN iajs-2290 20 44 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 45 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 20 46 , , PUNCT iajs-2290 20 47 implies imply VERB iajs-2290 20 48 that that SCONJ iajs-2290 20 49 either either CCONJ iajs-2290 20 50 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ PROPN iajs-2290 20 51 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 52 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 20 53 or or CCONJ iajs-2290 20 54 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ PROPN iajs-2290 20 55 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 56 √𝐼 √𝐼 X iajs-2290 20 57 or or CCONJ iajs-2290 20 58 𝑏𝑐 𝑏𝑐 PROPN iajs-2290 20 59 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 60 √𝐼 √𝐼 X iajs-2290 20 61 where where SCONJ iajs-2290 20 62 √𝐼 √𝐼 X iajs-2290 20 63 = = PRON iajs-2290 20 64 { { PUNCT iajs-2290 20 65 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 20 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 67 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 20 68 : : PUNCT iajs-2290 20 69 π‘Ÿπ‘› π‘Ÿπ‘› PROPN iajs-2290 20 70 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 20 71 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 20 72 , , PUNCT iajs-2290 20 73 for for ADP iajs-2290 20 74 some some DET iajs-2290 20 75 n n PRON iajs-2290 20 76 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 20 77 𝑍+ 𝑍+ PRON iajs-2290 20 78 } } PUNCT iajs-2290 20 79 . . 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PUNCT iajs-2290 23 1 the the DET iajs-2290 23 2 residual residual NOUN iajs-2290 23 3 of of ADP iajs-2290 23 4 submodule submodule NOUN iajs-2290 23 5 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 23 6 is be AUX iajs-2290 23 7 denoted denote VERB iajs-2290 23 8 by by ADP iajs-2290 23 9 [ [ X iajs-2290 23 10 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 23 11 : : PUNCT iajs-2290 23 12 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 23 13 ] ] PUNCT iajs-2290 23 14 is be AUX iajs-2290 23 15 an an DET iajs-2290 23 16 ideal ideal NOUN iajs-2290 23 17 of of ADP iajs-2290 23 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 23 19 defined define VERB iajs-2290 23 20 by by ADP iajs-2290 23 21 { { PUNCT iajs-2290 23 22 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2290 23 23 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 23 24 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 23 25 : : PUNCT iajs-2290 23 26 π‘Ÿπ‘Š π‘Ÿπ‘Š PROPN iajs-2290 23 27 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 23 28 𝐾}[1 𝐾}[1 NOUN iajs-2290 23 29 ] ] X iajs-2290 23 30 . . PUNCT iajs-2290 24 1 the the DET iajs-2290 24 2 radical radical NOUN iajs-2290 24 3 of of ADP iajs-2290 24 4 a a DET iajs-2290 24 5 submodule submodule NOUN iajs-2290 24 6 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 24 7 of of ADP iajs-2290 24 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 9 denoted denote VERB iajs-2290 24 10 by by ADP iajs-2290 24 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 12 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 24 13 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 24 14 ) ) PUNCT iajs-2290 24 15 or or CCONJ iajs-2290 24 16 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Š(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Š(𝐾 NUM iajs-2290 24 17 ) ) PUNCT iajs-2290 24 18 is be AUX iajs-2290 24 19 defined define VERB iajs-2290 24 20 to to PART iajs-2290 24 21 be be AUX iajs-2290 24 22 the the DET iajs-2290 24 23 intersection intersection NOUN iajs-2290 24 24 of of ADP iajs-2290 24 25 all all DET iajs-2290 24 26 prime prime ADJ iajs-2290 24 27 submodule submodule NOUN iajs-2290 24 28 of of ADP iajs-2290 24 29 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 30 containing contain VERB iajs-2290 24 31 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 24 32 , , PUNCT iajs-2290 24 33 if if SCONJ iajs-2290 24 34 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 35 has have VERB iajs-2290 24 36 no no DET iajs-2290 24 37 prime prime ADJ iajs-2290 24 38 submodules submodule NOUN iajs-2290 24 39 containing contain VERB iajs-2290 24 40 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 24 41 , , PUNCT iajs-2290 24 42 then then ADV iajs-2290 24 43 we we PRON iajs-2290 24 44 say say VERB iajs-2290 24 45 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 46 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 24 47 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 24 48 ) ) PUNCT iajs-2290 24 49 = = SYM iajs-2290 24 50 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 24 51 and and CCONJ iajs-2290 24 52 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 24 53 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 24 54 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 24 55 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 24 56 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾)[2 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾)[2 NOUN iajs-2290 24 57 ] ] PUNCT iajs-2290 24 58 . . PUNCT iajs-2290 25 1 socle socle NOUN iajs-2290 25 2 of of ADP iajs-2290 25 3 a a DET iajs-2290 25 4 module module NOUN iajs-2290 25 5 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 25 6 defined define VERB iajs-2290 25 7 by by ADP iajs-2290 25 8 the the DET iajs-2290 25 9 intersection intersection NOUN iajs-2290 25 10 of of ADP iajs-2290 25 11 all all DET iajs-2290 25 12 essential essential ADJ iajs-2290 25 13 submodules submodule NOUN iajs-2290 25 14 of of ADP iajs-2290 25 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 25 16 , , PUNCT iajs-2290 25 17 denoted denote VERB iajs-2290 25 18 by by ADP iajs-2290 25 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š)[11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š)[11 NUM iajs-2290 25 20 ] ] X iajs-2290 25 21 . . PUNCT iajs-2290 26 1 recall recall VERB iajs-2290 26 2 that that SCONJ iajs-2290 26 3 an an DET iajs-2290 26 4 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 26 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 26 6 is be AUX iajs-2290 26 7 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 26 8 , , PUNCT iajs-2290 26 9 if if SCONJ iajs-2290 26 10 every every DET iajs-2290 26 11 submodule submodule NOUN iajs-2290 26 12 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 26 13 of of ADP iajs-2290 26 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 26 15 is be AUX iajs-2290 26 16 of of ADP iajs-2290 26 17 the the DET iajs-2290 26 18 form form NOUN iajs-2290 26 19 𝐿 𝐿 NOUN iajs-2290 26 20 = = SYM iajs-2290 26 21 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 26 22 for for ADP iajs-2290 26 23 some some DET iajs-2290 26 24 ideal ideal ADJ iajs-2290 26 25 𝐼 𝐼 ADP iajs-2290 26 26 of of ADP iajs-2290 26 27 a a DET iajs-2290 26 28 ring ring NOUN iajs-2290 26 29 [ [ X iajs-2290 26 30 12 12 NUM iajs-2290 26 31 ] ] PUNCT iajs-2290 26 32 . . PUNCT iajs-2290 27 1 recall recall VERB iajs-2290 27 2 that that SCONJ iajs-2290 27 3 an an DET iajs-2290 27 4 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 27 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 27 6 is be AUX iajs-2290 27 7 called call VERB iajs-2290 27 8 faithful faithful ADJ iajs-2290 27 9 if if SCONJ iajs-2290 27 10 π‘Žπ‘›π‘›(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›(π‘Š PROPN iajs-2290 27 11 ) ) PUNCT iajs-2290 27 12 = = SYM iajs-2290 27 13 ( ( PUNCT iajs-2290 27 14 0 0 NUM iajs-2290 27 15 ) ) PUNCT iajs-2290 27 16 . . 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X iajs-2290 30 3 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 30 4 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 30 5 - - PUNCT iajs-2290 30 6 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 30 7 submodules submodule NOUN iajs-2290 30 8 in in ADP iajs-2290 30 9 this this DET iajs-2290 30 10 section section NOUN iajs-2290 30 11 we we PRON iajs-2290 30 12 define define VERB iajs-2290 30 13 the the DET iajs-2290 30 14 concept concept NOUN iajs-2290 30 15 of of ADP iajs-2290 30 16 a a DET iajs-2290 30 17 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 30 18 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 30 19 - - PUNCT iajs-2290 30 20 absorbing absorb VERB iajs-2290 30 21 submodule submodule NOUN iajs-2290 30 22 and and CCONJ iajs-2290 30 23 give give VERB iajs-2290 30 24 some some DET iajs-2290 30 25 basic basic ADJ iajs-2290 30 26 results result NOUN iajs-2290 30 27 of of ADP iajs-2290 30 28 these these DET iajs-2290 30 29 types type NOUN iajs-2290 30 30 of of ADP iajs-2290 30 31 submodules submodule NOUN iajs-2290 30 32 and and CCONJ iajs-2290 30 33 discuss discuss VERB iajs-2290 30 34 on on ADP iajs-2290 30 35 the the DET iajs-2290 30 36 relationships relationship NOUN iajs-2290 30 37 with with ADP iajs-2290 30 38 class class NOUN iajs-2290 30 39 of of ADP iajs-2290 30 40 2 2 NUM iajs-2290 30 41 - - PUNCT iajs-2290 30 42 absorbing absorb VERB iajs-2290 30 43 submodules submodule NOUN iajs-2290 30 44 and and CCONJ iajs-2290 30 45 pseudo-2 pseudo-2 NOUN iajs-2290 30 46 - - PUNCT iajs-2290 30 47 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 30 48 submodules submodule NOUN iajs-2290 30 49 . . 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PUNCT iajs-2290 34 1 and and CCONJ iajs-2290 34 2 a a DET iajs-2290 34 3 proper proper ADJ iajs-2290 34 4 ideal ideal NOUN iajs-2290 34 5 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 34 6 of of ADP iajs-2290 34 7 a a DET iajs-2290 34 8 ring ring NOUN iajs-2290 34 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 34 10 is be AUX iajs-2290 34 11 called call VERB iajs-2290 34 12 a a DET iajs-2290 34 13 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 34 14 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 34 15 - - PUNCT iajs-2290 34 16 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 34 17 ideal ideal NOUN iajs-2290 34 18 of of ADP iajs-2290 34 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 34 20 , , PUNCT iajs-2290 34 21 if if SCONJ iajs-2290 34 22 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 34 23 is be AUX iajs-2290 34 24 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 34 25 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 34 26 - - PUNCT iajs-2290 34 27 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 34 28 submodules submodule NOUN iajs-2290 34 29 of of ADP iajs-2290 34 30 an an DET iajs-2290 34 31 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 34 32 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 34 33 remarks remark NOUN iajs-2290 34 34 and and CCONJ iajs-2290 34 35 examples example NOUN iajs-2290 34 36 ( ( PUNCT iajs-2290 34 37 2 2 NUM iajs-2290 34 38 ) ) PUNCT iajs-2290 34 39 1 1 NUM iajs-2290 34 40 . . PUNCT iajs-2290 35 1 it it PRON iajs-2290 35 2 is be AUX iajs-2290 35 3 clear clear ADJ iajs-2290 35 4 that that SCONJ iajs-2290 35 5 every every DET iajs-2290 35 6 2 2 NUM iajs-2290 35 7 - - PUNCT iajs-2290 35 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 35 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 35 10 of of ADP iajs-2290 35 11 an an DET iajs-2290 35 12 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 35 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 35 14 is be AUX iajs-2290 35 15 a a DET iajs-2290 35 16 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 35 17 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 35 18 submodule submodule NOUN iajs-2290 35 19 , , PUNCT iajs-2290 35 20 while while SCONJ iajs-2290 35 21 the the DET iajs-2290 35 22 converse converse NOUN iajs-2290 35 23 is be AUX iajs-2290 35 24 not not PART iajs-2290 35 25 true true ADJ iajs-2290 35 26 in in ADP iajs-2290 35 27 general general ADJ iajs-2290 35 28 , , PUNCT iajs-2290 35 29 the the DET iajs-2290 35 30 following follow VERB iajs-2290 35 31 example example NOUN iajs-2290 35 32 shows show VERB iajs-2290 35 33 that that SCONJ iajs-2290 35 34 : : PUNCT iajs-2290 35 35 let let VERB iajs-2290 35 36 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 35 37 = = SYM iajs-2290 35 38 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 35 39 , , PUNCT iajs-2290 35 40 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 35 41 = = PUNCT iajs-2290 35 42 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 35 43 and and CCONJ iajs-2290 35 44 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 35 45 = = PUNCT iajs-2290 35 46 〈 〈 PROPN iajs-2290 35 47 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2290 35 48 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 35 49 . . PUNCT iajs-2290 36 1 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 36 2 is be AUX iajs-2290 36 3 not not PART iajs-2290 36 4 2 2 NUM iajs-2290 36 5 - - PUNCT iajs-2290 36 6 absorbing absorb VERB iajs-2290 36 7 submodule submodule NOUN iajs-2290 36 8 since since SCONJ iajs-2290 36 9 2.3 2.3 NUM iajs-2290 36 10 . . PUNCT iajs-2290 37 1 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 37 2 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 37 3 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 37 4 where where SCONJ iajs-2290 37 5 2,3 2,3 NUM iajs-2290 37 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 37 7 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2290 37 8 , , PUNCT iajs-2290 37 9 2Μ… 2Μ… PROPN iajs-2290 37 10 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 37 11 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 37 12 , , PUNCT iajs-2290 37 13 then then ADV iajs-2290 37 14 2 2 X iajs-2290 37 15 . . X iajs-2290 37 16 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 37 17 = = SYM iajs-2290 38 1 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2290 38 2 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 38 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 38 4 and and CCONJ iajs-2290 38 5 3 3 NUM iajs-2290 38 6 . . X iajs-2290 39 1 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 39 2 = = SYM iajs-2290 40 1 6Μ… 6Μ… NUM iajs-2290 40 2 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 40 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 40 4 and and CCONJ iajs-2290 40 5 2.3 2.3 NUM iajs-2290 40 6 = = SYM iajs-2290 40 7 6 6 NUM iajs-2290 40 8 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 41 1 [ [ X iajs-2290 41 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 41 3 : : PUNCT iajs-2290 41 4 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 41 5 ] ] X iajs-2290 41 6 = = SYM iajs-2290 41 7 12𝑍. 12𝑍. NOUN iajs-2290 41 8 but but CCONJ iajs-2290 41 9 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 41 10 is be AUX iajs-2290 41 11 a a DET iajs-2290 41 12 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 41 13 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 41 14 - - PUNCT iajs-2290 41 15 absorbing absorb VERB iajs-2290 41 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 41 17 of of ADP iajs-2290 41 18 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 41 19 , , PUNCT iajs-2290 41 20 since since SCONJ iajs-2290 41 21 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 NUM iajs-2290 41 22 ) ) PUNCT iajs-2290 41 23 = = PUNCT iajs-2290 42 1 〈 〈 PROPN iajs-2290 42 2 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 42 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 42 4 and and CCONJ iajs-2290 42 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 42 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 42 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 42 8 ) ) PUNCT iajs-2290 42 9 = = PUNCT iajs-2290 43 1 〈 〈 PROPN iajs-2290 43 2 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2290 43 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 43 4 for for ADP iajs-2290 43 5 all all DET iajs-2290 43 6 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 43 7 , , PUNCT iajs-2290 43 8 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 43 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 43 10 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 43 11 , , PUNCT iajs-2290 43 12 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 43 13 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 44 1 𝑍12 𝑍12 VERB iajs-2290 44 2 with with ADP iajs-2290 44 3 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 44 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 44 5 〈 〈 PROPN iajs-2290 44 6 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2290 44 7 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 44 8 , , PUNCT iajs-2290 44 9 implies imply VERB iajs-2290 44 10 that that SCONJ iajs-2290 44 11 either either CCONJ iajs-2290 44 12 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PROPN iajs-2290 44 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 44 14 〈 〈 PROPN iajs-2290 44 15 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2290 44 16 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 44 17 + + CCONJ iajs-2290 44 18 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 X iajs-2290 44 19 ) ) PUNCT iajs-2290 44 20 = = PUNCT iajs-2290 45 1 〈 〈 PROPN iajs-2290 45 2 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 45 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 45 4 or or CCONJ iajs-2290 45 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 45 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 45 7 〈 〈 PROPN iajs-2290 45 8 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2290 45 9 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 45 10 + + CCONJ iajs-2290 45 11 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 X iajs-2290 45 12 ) ) PUNCT iajs-2290 45 13 = = PUNCT iajs-2290 46 1 〈 〈 PROPN iajs-2290 46 2 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 46 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 46 4 or or CCONJ iajs-2290 46 5 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 46 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 47 1 [ [ X iajs-2290 47 2 〈 〈 NOUN iajs-2290 47 3 0Μ… 0Μ… NUM iajs-2290 47 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 47 5 + + CCONJ iajs-2290 47 6 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 π‘ π‘œπ‘(𝑍12 NUM iajs-2290 47 7 ): ): PUNCT iajs-2290 47 8 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 47 9 ] ] X iajs-2290 47 10 = = PUNCT iajs-2290 48 1 [ [ X iajs-2290 48 2 〈 〈 X iajs-2290 48 3 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 48 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 48 5 : : PUNCT iajs-2290 48 6 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 48 7 ] ] X iajs-2290 48 8 = = PUNCT iajs-2290 48 9 2𝑍. 2𝑍. NUM iajs-2290 48 10 that that PRON iajs-2290 48 11 is be AUX iajs-2290 48 12 2.3 2.3 NUM iajs-2290 48 13 . . PUNCT iajs-2290 49 1 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 49 2 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 49 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 49 4 , , PUNCT iajs-2290 49 5 implies imply VERB iajs-2290 49 6 that that SCONJ iajs-2290 49 7 2 2 X iajs-2290 49 8 . . X iajs-2290 50 1 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 50 2 = = SYM iajs-2290 51 1 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2290 51 2 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 51 3 〈 〈 NOUN iajs-2290 51 4 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2290 51 5 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 51 6 + + CCONJ iajs-2290 51 7 〈 〈 NOUN iajs-2290 51 8 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 51 9 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 51 10 = = PUNCT iajs-2290 51 11 〈 〈 PROPN iajs-2290 51 12 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 51 13 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 51 14 or or CCONJ iajs-2290 51 15 3 3 NUM iajs-2290 51 16 . . X iajs-2290 52 1 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 52 2 = = SYM iajs-2290 52 3 6Μ… 6Μ… PROPN iajs-2290 52 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 52 5 〈 〈 NOUN iajs-2290 52 6 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2290 52 7 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 52 8 + + CCONJ iajs-2290 52 9 〈 〈 NOUN iajs-2290 52 10 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 52 11 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 52 12 = = PUNCT iajs-2290 52 13 〈 〈 PROPN iajs-2290 52 14 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2290 52 15 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 52 16 or or CCONJ iajs-2290 52 17 2.3 2.3 NUM iajs-2290 52 18 = = SYM iajs-2290 52 19 6 6 NUM iajs-2290 52 20 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 52 21 [ [ X iajs-2290 52 22 〈 〈 NOUN iajs-2290 52 23 0Μ… 0Μ… NUM iajs-2290 52 24 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 52 25 + + CCONJ iajs-2290 52 26 〈 〈 PROPN iajs-2290 52 27 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2290 52 28 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 52 29 : : PUNCT iajs-2290 52 30 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 52 31 ] ] X iajs-2290 52 32 = = SYM iajs-2290 52 33 2𝑍. 2𝑍. NUM iajs-2290 52 34 2 2 NUM iajs-2290 52 35 . . PUNCT iajs-2290 53 1 it it PRON iajs-2290 53 2 is be AUX iajs-2290 53 3 clear clear ADJ iajs-2290 53 4 that that SCONJ iajs-2290 53 5 every every DET iajs-2290 53 6 pseudo-2 pseudo-2 NUM iajs-2290 53 7 - - PUNCT iajs-2290 53 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 53 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 53 10 of of ADP iajs-2290 53 11 an an DET iajs-2290 53 12 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 53 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 53 14 is be AUX iajs-2290 53 15 a a DET iajs-2290 53 16 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 53 17 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 53 18 - - PUNCT iajs-2290 53 19 absorbing absorb VERB iajs-2290 53 20 submodule submodule NOUN iajs-2290 53 21 , , PUNCT iajs-2290 53 22 while while SCONJ iajs-2290 53 23 the the DET iajs-2290 53 24 converse converse NOUN iajs-2290 53 25 is be AUX iajs-2290 53 26 not not PART iajs-2290 53 27 true true ADJ iajs-2290 53 28 in in ADP iajs-2290 53 29 general general ADJ iajs-2290 53 30 , , PUNCT iajs-2290 53 31 the the DET iajs-2290 53 32 following follow VERB iajs-2290 53 33 example example NOUN iajs-2290 53 34 shows show VERB iajs-2290 53 35 that that SCONJ iajs-2290 53 36 : : PUNCT iajs-2290 53 37 let let VERB iajs-2290 53 38 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 53 39 = = PUNCT iajs-2290 53 40 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 53 41 , , PUNCT iajs-2290 53 42 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 53 43 = = PUNCT iajs-2290 53 44 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 53 45 and and CCONJ iajs-2290 53 46 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 53 47 = = NOUN iajs-2290 53 48 8𝑍 8𝑍 PROPN iajs-2290 53 49 where where SCONJ iajs-2290 53 50 𝐾 𝐾 PRON iajs-2290 53 51 be be VERB iajs-2290 53 52 a a DET iajs-2290 53 53 submodule submodule NOUN iajs-2290 53 54 of of ADP iajs-2290 53 55 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 53 56 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 53 57 is be AUX iajs-2290 53 58 not not PART iajs-2290 53 59 pseudo-2 pseudo-2 VERB iajs-2290 53 60 - - PUNCT iajs-2290 53 61 absorbing absorb VERB iajs-2290 53 62 submodule submodule NOUN iajs-2290 53 63 since since SCONJ iajs-2290 53 64 2.2.2 2.2.2 NUM iajs-2290 53 65 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 53 66 8𝑍 8𝑍 NOUN iajs-2290 53 67 but but CCONJ iajs-2290 53 68 2.2 2.2 NUM iajs-2290 53 69 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 53 70 8𝑍 8𝑍 PROPN iajs-2290 53 71 + + PROPN iajs-2290 53 72 π‘ π‘œπ‘(𝑍 π‘ π‘œπ‘(𝑍 PROPN iajs-2290 53 73 ) ) PUNCT iajs-2290 53 74 = = SYM iajs-2290 53 75 8𝑍 8𝑍 NOUN iajs-2290 53 76 + + CCONJ iajs-2290 53 77 ( ( PUNCT iajs-2290 53 78 0 0 NUM iajs-2290 53 79 ) ) PUNCT iajs-2290 53 80 = = SYM iajs-2290 53 81 8𝑍 8𝑍 NOUN iajs-2290 53 82 and and CCONJ iajs-2290 53 83 2.2 2.2 NUM iajs-2290 53 84 = = SYM iajs-2290 53 85 4 4 NUM iajs-2290 53 86 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 54 1 [ [ X iajs-2290 54 2 8𝑍 8𝑍 PROPN iajs-2290 54 3 + + CCONJ iajs-2290 54 4 π‘ π‘œπ‘(𝑍 π‘ π‘œπ‘(𝑍 NUM iajs-2290 54 5 ): ): PUNCT iajs-2290 54 6 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 54 7 ] ] PUNCT iajs-2290 54 8 = = SYM iajs-2290 54 9 8𝑍. 8𝑍. NUM iajs-2290 54 10 but but CCONJ iajs-2290 54 11 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 54 12 is be AUX iajs-2290 54 13 a a DET iajs-2290 54 14 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 54 15 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 54 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 54 17 of of ADP iajs-2290 54 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 54 19 since since SCONJ iajs-2290 54 20 2.2.2 2.2.2 NUM iajs-2290 54 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 54 22 8𝑍 8𝑍 NOUN iajs-2290 54 23 , , PUNCT iajs-2290 54 24 then then ADV iajs-2290 54 25 2.2 2.2 NUM iajs-2290 54 26 = = SYM iajs-2290 54 27 4 4 NUM iajs-2290 54 28 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 54 29 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 54 30 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 54 31 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(8𝑍 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(8𝑍 NOUN iajs-2290 54 32 ) ) PUNCT iajs-2290 54 33 + + PUNCT iajs-2290 54 34 π‘ π‘œπ‘(𝑍 π‘ π‘œπ‘(𝑍 NUM iajs-2290 54 35 ) ) PUNCT iajs-2290 54 36 = = SYM iajs-2290 54 37 2𝑍 2𝑍 NOUN iajs-2290 54 38 + + CCONJ iajs-2290 54 39 ( ( PUNCT iajs-2290 54 40 0 0 NUM iajs-2290 54 41 ) ) PUNCT iajs-2290 54 42 = = X iajs-2290 54 43 2𝑍. 2𝑍. NUM iajs-2290 54 44 that that PRON iajs-2290 54 45 is be AUX iajs-2290 54 46 for for ADP iajs-2290 54 47 all all DET iajs-2290 54 48 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 54 49 , , PUNCT iajs-2290 54 50 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 54 51 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 54 52 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 54 53 , , PUNCT iajs-2290 54 54 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 54 55 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 54 56 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 54 57 with with ADP iajs-2290 54 58 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 54 59 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 54 60 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 54 61 , , PUNCT iajs-2290 54 62 implies imply VERB iajs-2290 54 63 that that SCONJ iajs-2290 54 64 either either CCONJ iajs-2290 54 65 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 54 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 54 67 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 54 68 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 54 69 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 54 70 ) ) PUNCT iajs-2290 55 1 + + CCONJ iajs-2290 55 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 55 3 ) ) PUNCT iajs-2290 55 4 = = SYM iajs-2290 55 5 2𝑍 2𝑍 NOUN iajs-2290 55 6 or or CCONJ iajs-2290 55 7 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 55 8 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 55 9 2𝑍 2𝑍 PROPN iajs-2290 55 10 or or CCONJ iajs-2290 55 11 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 55 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 56 1 [ [ X iajs-2290 56 2 8𝑍:𝑍 8𝑍:𝑍 NUM iajs-2290 56 3 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 56 4 ] ] PUNCT iajs-2290 56 5 = = SYM iajs-2290 56 6 8𝑍. 8𝑍. NUM iajs-2290 56 7 131 131 NUM iajs-2290 56 8 ibn ibn PROPN iajs-2290 56 9 al al PROPN iajs-2290 56 10 - - PUNCT iajs-2290 56 11 haitham haitham PROPN iajs-2290 56 12 jour jour X iajs-2290 56 13 . . PROPN iajs-2290 56 14 for for ADP iajs-2290 56 15 pure pure ADJ iajs-2290 56 16 & & CCONJ iajs-2290 56 17 appl appl PROPN iajs-2290 56 18 . . PUNCT iajs-2290 57 1 sci sci PROPN iajs-2290 57 2 . . PROPN iajs-2290 57 3 32 32 NUM iajs-2290 57 4 ( ( PUNCT iajs-2290 57 5 3 3 NUM iajs-2290 57 6 ) ) PUNCT iajs-2290 57 7 2019 2019 NUM iajs-2290 57 8 3 3 NUM iajs-2290 57 9 . . PUNCT iajs-2290 58 1 it it PRON iajs-2290 58 2 is be AUX iajs-2290 58 3 clear clear ADJ iajs-2290 58 4 that that SCONJ iajs-2290 58 5 every every DET iajs-2290 58 6 primary primary ADJ iajs-2290 58 7 submodule submodule NOUN iajs-2290 58 8 of of ADP iajs-2290 58 9 an an DET iajs-2290 58 10 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 58 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 58 12 is be AUX iajs-2290 58 13 a a DET iajs-2290 58 14 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 58 15 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 58 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 58 17 , , PUNCT iajs-2290 58 18 while while SCONJ iajs-2290 58 19 the the DET iajs-2290 58 20 converse converse NOUN iajs-2290 58 21 is be AUX iajs-2290 58 22 not not PART iajs-2290 58 23 true true ADJ iajs-2290 58 24 in in ADP iajs-2290 58 25 general general ADJ iajs-2290 58 26 , , PUNCT iajs-2290 58 27 the the DET iajs-2290 58 28 following follow VERB iajs-2290 58 29 example example NOUN iajs-2290 58 30 shows show VERB iajs-2290 58 31 that that SCONJ iajs-2290 58 32 : : PUNCT iajs-2290 58 33 let let VERB iajs-2290 58 34 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 58 35 = = SYM iajs-2290 58 36 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2290 58 37 , , PUNCT iajs-2290 58 38 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 58 39 = = PUNCT iajs-2290 58 40 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 58 41 and and CCONJ iajs-2290 58 42 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 58 43 = = PUNCT iajs-2290 58 44 〈 〈 PROPN iajs-2290 58 45 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2290 58 46 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 58 47 is be AUX iajs-2290 58 48 a a DET iajs-2290 58 49 submodule submodule NOUN iajs-2290 58 50 of of ADP iajs-2290 58 51 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 58 52 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 58 53 is be AUX iajs-2290 58 54 a a DET iajs-2290 58 55 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 58 56 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 58 57 - - PUNCT iajs-2290 58 58 absorbing absorb VERB iajs-2290 58 59 submodule submodule NOUN iajs-2290 58 60 of of ADP iajs-2290 58 61 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 58 62 but but CCONJ iajs-2290 58 63 not not PART iajs-2290 58 64 primary primary ADJ iajs-2290 58 65 submodule submodule NOUN iajs-2290 58 66 , , PUNCT iajs-2290 59 1 since since SCONJ iajs-2290 59 2 3 3 NUM iajs-2290 59 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 59 4 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2290 59 5 , , PUNCT iajs-2290 59 6 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2290 59 7 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 59 8 𝑍12 𝑍12 VERB iajs-2290 59 9 such such ADJ iajs-2290 59 10 that that SCONJ iajs-2290 59 11 3 3 X iajs-2290 59 12 . . PUNCT iajs-2290 60 1 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2290 60 2 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 60 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 60 4 , , PUNCT iajs-2290 60 5 but but CCONJ iajs-2290 60 6 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2290 60 7 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 60 8 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 60 9 = = PUNCT iajs-2290 60 10 〈 〈 PROPN iajs-2290 60 11 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2290 60 12 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 60 13 and and CCONJ iajs-2290 60 14 3 3 NUM iajs-2290 60 15 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 60 16 √[〈0Μ… √[〈0Μ… PROPN iajs-2290 60 17 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2290 60 18 : : PUNCT iajs-2290 60 19 𝑍12 𝑍12 NUM iajs-2290 60 20 ] ] X iajs-2290 60 21 = = PUNCT iajs-2290 61 1 √12𝑍 √12𝑍 PROPN iajs-2290 61 2 = = PUNCT iajs-2290 61 3 6𝑍. 6𝑍. NUM iajs-2290 61 4 4 4 NUM iajs-2290 61 5 . . PUNCT iajs-2290 62 1 it it PRON iajs-2290 62 2 is be AUX iajs-2290 62 3 clear clear ADJ iajs-2290 62 4 that that SCONJ iajs-2290 62 5 every every DET iajs-2290 62 6 prime prime ADJ iajs-2290 62 7 submodule submodule NOUN iajs-2290 62 8 of of ADP iajs-2290 62 9 an an DET iajs-2290 62 10 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 62 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 62 12 is be AUX iajs-2290 62 13 a a DET iajs-2290 62 14 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 62 15 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 62 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 62 17 , , PUNCT iajs-2290 62 18 while while SCONJ iajs-2290 62 19 the the DET iajs-2290 62 20 converse converse NOUN iajs-2290 62 21 is be AUX iajs-2290 62 22 not not PART iajs-2290 62 23 true true ADJ iajs-2290 62 24 in in ADP iajs-2290 62 25 general general ADJ iajs-2290 62 26 , , PUNCT iajs-2290 62 27 the the DET iajs-2290 62 28 following follow VERB iajs-2290 62 29 example example NOUN iajs-2290 62 30 shows show VERB iajs-2290 62 31 that that SCONJ iajs-2290 62 32 : : PUNCT iajs-2290 62 33 let let VERB iajs-2290 62 34 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 62 35 = = PUNCT iajs-2290 62 36 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 62 37 , , PUNCT iajs-2290 62 38 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 62 39 = = PUNCT iajs-2290 62 40 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 62 41 and and CCONJ iajs-2290 62 42 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 62 43 = = PUNCT iajs-2290 62 44 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-2290 62 45 . . PUNCT iajs-2290 63 1 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 63 2 is be AUX iajs-2290 63 3 not not PART iajs-2290 63 4 prime prime ADJ iajs-2290 63 5 submodule submodule NOUN iajs-2290 63 6 of of ADP iajs-2290 63 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 63 8 , , PUNCT iajs-2290 63 9 since since SCONJ iajs-2290 63 10 2,3𝑍 2,3𝑍 NUM iajs-2290 63 11 with with ADP iajs-2290 63 12 2.3 2.3 NUM iajs-2290 63 13 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 63 14 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 63 15 , , PUNCT iajs-2290 63 16 but but CCONJ iajs-2290 63 17 3 3 NUM iajs-2290 63 18 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 63 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 63 20 and and CCONJ iajs-2290 63 21 2 2 NUM iajs-2290 63 22 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 63 23 [ [ X iajs-2290 63 24 𝐾:𝑍 𝐾:𝑍 SYM iajs-2290 63 25 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2290 63 26 ] ] PUNCT iajs-2290 63 27 = = SYM iajs-2290 63 28 6𝑍. 6𝑍. NUM iajs-2290 63 29 but but CCONJ iajs-2290 63 30 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 63 31 is be AUX iajs-2290 63 32 a a DET iajs-2290 63 33 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 63 34 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 63 35 - - PUNCT iajs-2290 63 36 absorbing absorb VERB iajs-2290 63 37 submodule submodule NOUN iajs-2290 63 38 of of ADP iajs-2290 63 39 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 63 40 , , PUNCT iajs-2290 63 41 since since SCONJ iajs-2290 63 42 2,3,1 2,3,1 NUM iajs-2290 63 43 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 63 44 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2290 63 45 with with ADP iajs-2290 63 46 2.3.1 2.3.1 NUM iajs-2290 63 47 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 63 48 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 63 49 , , PUNCT iajs-2290 63 50 implies imply VERB iajs-2290 63 51 that that SCONJ iajs-2290 63 52 2.3 2.3 NUM iajs-2290 63 53 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 63 54 [ [ X iajs-2290 63 55 𝐾 𝐾 X iajs-2290 63 56 + + CCONJ iajs-2290 63 57 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 63 58 ): ): PUNCT iajs-2290 63 59 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 63 60 ] ] PUNCT iajs-2290 63 61 = = SYM iajs-2290 63 62 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-2290 63 63 because because SCONJ iajs-2290 63 64 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 63 65 ) ) PUNCT iajs-2290 63 66 = = SYM iajs-2290 63 67 ( ( PUNCT iajs-2290 63 68 0 0 NUM iajs-2290 63 69 ) ) PUNCT iajs-2290 63 70 . . PUNCT iajs-2290 64 1 2.1 2.1 NUM iajs-2290 64 2 βˆ‰ βˆ‰ NOUN iajs-2290 64 3 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 64 4 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 64 5 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 64 6 ) ) PUNCT iajs-2290 64 7 + + CCONJ iajs-2290 64 8 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 64 9 ) ) PUNCT iajs-2290 65 1 = = SYM iajs-2290 65 2 6𝑍 6𝑍 NOUN iajs-2290 65 3 and and CCONJ iajs-2290 65 4 3.1 3.1 NUM iajs-2290 65 5 βˆ‰ βˆ‰ NOUN iajs-2290 65 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 65 7 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 65 8 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 65 9 ) ) PUNCT iajs-2290 66 1 + + CCONJ iajs-2290 66 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 66 3 ) ) PUNCT iajs-2290 66 4 = = NOUN iajs-2290 67 1 6𝑍. 6𝑍. NOUN iajs-2290 67 2 that that PRON iajs-2290 67 3 is be AUX iajs-2290 67 4 for for ADP iajs-2290 67 5 all all DET iajs-2290 67 6 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 67 7 , , PUNCT iajs-2290 67 8 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 67 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 67 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 67 11 , , PUNCT iajs-2290 67 12 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 67 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 67 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 67 15 , , PUNCT iajs-2290 67 16 with with ADP iajs-2290 67 17 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 67 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 67 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 67 20 , , PUNCT iajs-2290 67 21 implies imply VERB iajs-2290 67 22 that that SCONJ iajs-2290 67 23 either either CCONJ iajs-2290 67 24 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 67 25 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 67 26 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 67 27 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 67 28 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 67 29 ) ) PUNCT iajs-2290 68 1 + + CCONJ iajs-2290 68 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 68 3 ) ) PUNCT iajs-2290 68 4 or or CCONJ iajs-2290 68 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 68 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 68 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 68 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 68 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 68 10 ) ) PUNCT iajs-2290 68 11 + + CCONJ iajs-2290 68 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 68 13 ) ) PUNCT iajs-2290 68 14 or or CCONJ iajs-2290 68 15 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NUM iajs-2290 68 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 69 1 [ [ X iajs-2290 69 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 69 3 + + CCONJ iajs-2290 69 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 69 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 69 6 ] ] PUNCT iajs-2290 69 7 . . PUNCT iajs-2290 70 1 the the DET iajs-2290 70 2 following follow VERB iajs-2290 70 3 results result NOUN iajs-2290 70 4 are be AUX iajs-2290 70 5 characterizations characterization NOUN iajs-2290 70 6 of of ADP iajs-2290 70 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 70 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 70 9 - - PUNCT iajs-2290 70 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 70 11 submodules submodule NOUN iajs-2290 70 12 . . PUNCT iajs-2290 71 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 71 2 ( ( PUNCT iajs-2290 71 3 3 3 X iajs-2290 71 4 ) ) PUNCT iajs-2290 71 5 let let VERB iajs-2290 71 6 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 71 7 be be AUX iajs-2290 71 8 an an DET iajs-2290 71 9 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 71 10 and and CCONJ iajs-2290 71 11 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 71 12 is be AUX iajs-2290 71 13 a a DET iajs-2290 71 14 proper proper ADJ iajs-2290 71 15 submodule submodule NOUN iajs-2290 71 16 of of ADP iajs-2290 71 17 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 71 18 then then ADV iajs-2290 71 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 71 20 is be AUX iajs-2290 71 21 a a DET iajs-2290 71 22 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 71 23 primary2 primary2 ADV iajs-2290 71 24 - - PUNCT iajs-2290 71 25 absorbing absorb VERB iajs-2290 71 26 submodule submodule NOUN iajs-2290 71 27 of of ADP iajs-2290 71 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 72 1 if if NOUN iajs-2290 72 2 and and CCONJ iajs-2290 72 3 only only ADV iajs-2290 72 4 if if SCONJ iajs-2290 72 5 for for ADP iajs-2290 72 6 each each DET iajs-2290 72 7 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 72 8 , , PUNCT iajs-2290 72 9 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 72 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 72 11 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 72 12 with with ADP iajs-2290 72 13 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 72 14 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 73 1 [ [ X iajs-2290 73 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 73 3 + + CCONJ iajs-2290 73 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 73 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 73 6 ] ] PUNCT iajs-2290 73 7 , , PUNCT iajs-2290 73 8 [ [ X iajs-2290 73 9 𝐾:π‘Š 𝐾:π‘Š VERB iajs-2290 73 10 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 73 11 ] ] X iajs-2290 73 12 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 73 13 [ [ X iajs-2290 73 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 73 15 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 73 16 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 73 17 ) ) PUNCT iajs-2290 74 1 + + NUM iajs-2290 74 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 74 3 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 74 4 ] ] PUNCT iajs-2290 74 5 βˆͺ βˆͺ ADP iajs-2290 74 6 [ [ X iajs-2290 74 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 74 8 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 74 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 74 10 ) ) PUNCT iajs-2290 74 11 + + CCONJ iajs-2290 74 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 74 13 𝑠 𝑠 NOUN iajs-2290 74 14 ] ] PUNCT iajs-2290 74 15 . . PUNCT iajs-2290 75 1 proof proof NOUN iajs-2290 75 2 : : PUNCT iajs-2290 75 3 ( ( PUNCT iajs-2290 75 4 ⟹ ⟹ X iajs-2290 75 5 ) ) PUNCT iajs-2290 75 6 let let VERB iajs-2290 75 7 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 75 8 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 75 9 [ [ X iajs-2290 75 10 𝐾:π‘Š 𝐾:π‘Š PROPN iajs-2290 75 11 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 75 12 ] ] PUNCT iajs-2290 75 13 , , PUNCT iajs-2290 75 14 where where SCONJ iajs-2290 75 15 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 75 16 , , PUNCT iajs-2290 75 17 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 75 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 75 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 75 20 and and CCONJ iajs-2290 75 21 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 75 22 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 76 1 [ [ X iajs-2290 76 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 76 3 + + CCONJ iajs-2290 76 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 76 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 76 6 ] ] PUNCT iajs-2290 76 7 , , PUNCT iajs-2290 76 8 implies imply VERB iajs-2290 76 9 that that SCONJ iajs-2290 76 10 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ NUM iajs-2290 76 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 76 12 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 76 13 but but CCONJ iajs-2290 76 14 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 76 15 is be AUX iajs-2290 76 16 a a DET iajs-2290 76 17 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 76 18 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 76 19 - - PUNCT iajs-2290 76 20 absorbing absorb VERB iajs-2290 76 21 submodule submodule NOUN iajs-2290 76 22 of of ADP iajs-2290 76 23 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 76 24 , , PUNCT iajs-2290 76 25 and and CCONJ iajs-2290 76 26 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 76 27 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 77 1 [ [ X iajs-2290 77 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 77 3 + + CCONJ iajs-2290 77 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 77 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 77 6 ] ] PUNCT iajs-2290 77 7 , , PUNCT iajs-2290 77 8 then then ADV iajs-2290 77 9 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2290 77 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 77 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 77 12 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 77 13 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 77 14 ) ) PUNCT iajs-2290 78 1 + + CCONJ iajs-2290 78 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 78 3 ) ) PUNCT iajs-2290 78 4 or or CCONJ iajs-2290 78 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 78 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 78 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 78 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 78 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 78 10 ) ) PUNCT iajs-2290 78 11 + + CCONJ iajs-2290 78 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 78 13 ) ) PUNCT iajs-2290 78 14 . . PUNCT iajs-2290 79 1 that that PRON iajs-2290 79 2 is be AUX iajs-2290 79 3 either either CCONJ iajs-2290 79 4 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 79 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 80 1 [ [ X iajs-2290 80 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 80 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 80 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 80 5 ) ) PUNCT iajs-2290 80 6 + + NUM iajs-2290 80 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 80 8 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 80 9 ] ] X iajs-2290 80 10 or or CCONJ iajs-2290 80 11 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 80 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 81 1 [ [ X iajs-2290 81 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 81 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 81 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 81 5 ) ) PUNCT iajs-2290 82 1 + + CCONJ iajs-2290 82 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 82 3 𝑠 𝑠 ADP iajs-2290 82 4 ] ] PUNCT iajs-2290 82 5 , , PUNCT iajs-2290 82 6 thus thus ADV iajs-2290 82 7 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 82 8 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 83 1 [ [ X iajs-2290 83 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 83 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 83 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 83 5 ) ) PUNCT iajs-2290 83 6 + + NUM iajs-2290 83 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 83 8 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 83 9 ] ] PUNCT iajs-2290 83 10 βˆͺ βˆͺ ADP iajs-2290 83 11 [ [ X iajs-2290 83 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 83 13 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 83 14 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 83 15 ) ) PUNCT iajs-2290 84 1 + + CCONJ iajs-2290 84 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 84 3 𝑠 𝑠 NOUN iajs-2290 84 4 ] ] PUNCT iajs-2290 84 5 . . PUNCT iajs-2290 85 1 hence hence ADV iajs-2290 85 2 [ [ X iajs-2290 85 3 𝐾:π‘Š 𝐾:π‘Š PROPN iajs-2290 85 4 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 85 5 ] ] X iajs-2290 85 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 85 7 [ [ X iajs-2290 85 8 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 85 9 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 85 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾):π‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾):π‘Š PROPN iajs-2290 85 11 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 85 12 ] ] X iajs-2290 85 13 βˆͺ βˆͺ ADP iajs-2290 85 14 [ [ X iajs-2290 85 15 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 85 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 85 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾):π‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾):π‘Š PROPN iajs-2290 85 18 𝑠 𝑠 NOUN iajs-2290 85 19 ] ] PUNCT iajs-2290 85 20 . . PUNCT iajs-2290 86 1 ( ( PUNCT iajs-2290 86 2 ⟸ ⟸ ADV iajs-2290 86 3 ) ) PUNCT iajs-2290 86 4 let let VERB iajs-2290 86 5 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ NUM iajs-2290 86 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 86 7 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 86 8 , , PUNCT iajs-2290 86 9 where where SCONJ iajs-2290 86 10 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 86 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 86 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 86 13 and and CCONJ iajs-2290 86 14 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 86 15 , , PUNCT iajs-2290 86 16 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 86 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 86 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 86 19 with with ADP iajs-2290 86 20 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 86 21 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 87 1 [ [ X iajs-2290 87 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 87 3 + + CCONJ iajs-2290 87 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 87 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 87 6 ] ] PUNCT iajs-2290 87 7 . . PUNCT iajs-2290 88 1 it it PRON iajs-2290 88 2 follows follow VERB iajs-2290 88 3 that that SCONJ iajs-2290 88 4 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 88 5 ∈ ∈ PRON iajs-2290 89 1 [ [ X iajs-2290 89 2 𝐾:π‘Š 𝐾:π‘Š PROPN iajs-2290 89 3 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 89 4 ] ] PUNCT iajs-2290 89 5 , , PUNCT iajs-2290 89 6 by by ADP iajs-2290 89 7 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2290 89 8 π‘₯ π‘₯ X iajs-2290 89 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 90 1 [ [ X iajs-2290 90 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 90 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 90 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 90 5 ) ) PUNCT iajs-2290 90 6 + + NUM iajs-2290 90 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 90 8 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 90 9 ] ] PUNCT iajs-2290 90 10 βˆͺ βˆͺ ADP iajs-2290 90 11 [ [ X iajs-2290 90 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 90 13 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 90 14 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 90 15 ) ) PUNCT iajs-2290 91 1 + + CCONJ iajs-2290 91 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 91 3 𝑠 𝑠 NOUN iajs-2290 91 4 ] ] PUNCT iajs-2290 91 5 . . PUNCT iajs-2290 92 1 hence hence ADV iajs-2290 92 2 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 92 3 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 93 1 [ [ X iajs-2290 93 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 93 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 93 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 93 5 ) ) PUNCT iajs-2290 93 6 + + NUM iajs-2290 93 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 93 8 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 93 9 ] ] X iajs-2290 93 10 or or CCONJ iajs-2290 93 11 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 93 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 94 1 [ [ X iajs-2290 94 2 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 94 3 βˆ’ βˆ’ NUM iajs-2290 94 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 94 5 ) ) PUNCT iajs-2290 95 1 + + CCONJ iajs-2290 95 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š):π‘Š NOUN iajs-2290 95 3 𝑠 𝑠 ADP iajs-2290 95 4 ] ] PUNCT iajs-2290 95 5 . . PUNCT iajs-2290 96 1 therefore therefore ADV iajs-2290 96 2 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2290 96 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 96 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 96 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 96 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 96 7 ) ) PUNCT iajs-2290 96 8 + + CCONJ iajs-2290 96 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 96 10 ) ) PUNCT iajs-2290 96 11 or or CCONJ iajs-2290 96 12 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 96 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 96 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 96 15 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 96 16 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐾 NUM iajs-2290 96 17 ) ) PUNCT iajs-2290 96 18 + + CCONJ iajs-2290 96 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 96 20 ) ) PUNCT iajs-2290 96 21 , , PUNCT iajs-2290 96 22 that that PRON iajs-2290 96 23 is is ADV iajs-2290 96 24 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 96 25 is be AUX iajs-2290 96 26 a a DET iajs-2290 96 27 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 96 28 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 96 29 - - PUNCT iajs-2290 96 30 absorbing absorb VERB iajs-2290 96 31 submodule submodule NOUN iajs-2290 96 32 of of ADP iajs-2290 96 33 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 96 34 proposition proposition NOUN iajs-2290 96 35 ( ( PUNCT iajs-2290 96 36 4 4 X iajs-2290 96 37 ) ) PUNCT iajs-2290 96 38 let let VERB iajs-2290 96 39 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 96 40 be be AUX iajs-2290 96 41 an an DET iajs-2290 96 42 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 96 43 and and CCONJ iajs-2290 96 44 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 96 45 be be AUX iajs-2290 96 46 a a DET iajs-2290 96 47 proper proper ADJ iajs-2290 96 48 submodule submodule NOUN iajs-2290 96 49 of of ADP iajs-2290 96 50 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 96 51 then then ADV iajs-2290 96 52 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 96 53 is be AUX iajs-2290 96 54 a a DET iajs-2290 96 55 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 96 56 primary2 primary2 ADV iajs-2290 96 57 - - PUNCT iajs-2290 96 58 absorbing absorb VERB iajs-2290 96 59 submodule submodule NOUN iajs-2290 96 60 of of ADP iajs-2290 96 61 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 96 62 if if NOUN iajs-2290 97 1 and and CCONJ iajs-2290 97 2 only only ADV iajs-2290 97 3 if if SCONJ iajs-2290 97 4 π‘Ÿπ‘ πΎ π‘Ÿπ‘ πΎ PROPN iajs-2290 97 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 97 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 97 7 for for ADP iajs-2290 97 8 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 97 9 , , PUNCT iajs-2290 97 10 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 97 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 97 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 97 13 and and CCONJ iajs-2290 97 14 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 97 15 is be AUX iajs-2290 97 16 a a DET iajs-2290 97 17 submodule submodule NOUN iajs-2290 97 18 of of ADP iajs-2290 97 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 97 20 , , PUNCT iajs-2290 97 21 with with ADP iajs-2290 97 22 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 97 23 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 98 1 [ [ X iajs-2290 98 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 98 3 + + PROPN iajs-2290 98 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 98 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 98 6 ] ] PUNCT iajs-2290 98 7 , , PUNCT iajs-2290 98 8 implies imply VERB iajs-2290 98 9 that that SCONJ iajs-2290 98 10 π‘ŸπΎ π‘ŸπΎ ADJ iajs-2290 98 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 98 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 98 13 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 98 14 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 98 15 ) ) PUNCT iajs-2290 98 16 + + CCONJ iajs-2290 98 17 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 98 18 ) ) PUNCT iajs-2290 98 19 or or CCONJ iajs-2290 98 20 𝑠𝐾 𝑠𝐾 PROPN iajs-2290 98 21 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 98 22 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 98 23 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 98 24 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 98 25 ) ) PUNCT iajs-2290 98 26 + + CCONJ iajs-2290 98 27 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 98 28 ) ) PUNCT iajs-2290 98 29 . . PUNCT iajs-2290 99 1 proof proof NOUN iajs-2290 99 2 ( ( PUNCT iajs-2290 99 3 ⟹ ⟹ X iajs-2290 99 4 ) ) PUNCT iajs-2290 99 5 let let VERB iajs-2290 99 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 99 7 be be AUX iajs-2290 99 8 a a DET iajs-2290 99 9 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 99 10 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 99 11 - - PUNCT iajs-2290 99 12 absorbing absorb VERB iajs-2290 99 13 submodule submodule NOUN iajs-2290 99 14 of of ADP iajs-2290 99 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 99 16 , , PUNCT iajs-2290 99 17 and and CCONJ iajs-2290 99 18 π‘Ÿπ‘ πΎ π‘Ÿπ‘ πΎ PROPN iajs-2290 99 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 99 20 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 99 21 , , PUNCT iajs-2290 99 22 with with ADP iajs-2290 99 23 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 99 24 , , PUNCT iajs-2290 99 25 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 99 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 99 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 99 28 and and CCONJ iajs-2290 99 29 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 99 30 is be AUX iajs-2290 99 31 a a DET iajs-2290 99 32 submodule submodule NOUN iajs-2290 99 33 of of ADP iajs-2290 99 34 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 99 35 with with ADP iajs-2290 99 36 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 99 37 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 100 1 [ [ X iajs-2290 100 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 100 3 + + PROPN iajs-2290 100 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 100 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 100 6 ] ] PUNCT iajs-2290 100 7 . . PUNCT iajs-2290 101 1 assume assume VERB iajs-2290 101 2 that that SCONJ iajs-2290 101 3 π‘ŸπΎ π‘ŸπΎ ADJ iajs-2290 101 4 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 101 5 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 101 6 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 101 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 101 8 ) ) PUNCT iajs-2290 101 9 + + CCONJ iajs-2290 101 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 101 11 ) ) PUNCT iajs-2290 101 12 and and CCONJ iajs-2290 101 13 𝑠𝐾 𝑠𝐾 PROPN iajs-2290 101 14 ⊈ ⊈ X iajs-2290 102 1 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 102 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 102 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 102 4 ) ) PUNCT iajs-2290 102 5 + + CCONJ iajs-2290 102 6 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 102 7 ) ) PUNCT iajs-2290 102 8 , , PUNCT iajs-2290 102 9 then then ADV iajs-2290 102 10 π‘Ÿπ‘˜1 π‘Ÿπ‘˜1 PROPN iajs-2290 102 11 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 102 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 102 13 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 102 14 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 102 15 ) ) PUNCT iajs-2290 102 16 + + CCONJ iajs-2290 102 17 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 102 18 ) ) PUNCT iajs-2290 102 19 and and CCONJ iajs-2290 102 20 π‘ π‘˜2 π‘ π‘˜2 PROPN iajs-2290 102 21 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 102 22 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 102 23 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 102 24 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 102 25 ) ) PUNCT iajs-2290 103 1 + + CCONJ iajs-2290 103 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 103 3 ) ) PUNCT iajs-2290 103 4 for for ADP iajs-2290 103 5 some some DET iajs-2290 103 6 π‘˜1 π‘˜1 NOUN iajs-2290 103 7 , , PUNCT iajs-2290 103 8 π‘˜2 π‘˜2 PROPN iajs-2290 103 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 103 10 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 103 11 now now ADV iajs-2290 103 12 we we PRON iajs-2290 103 13 have have VERB iajs-2290 103 14 π‘Ÿπ‘ π‘˜1 π‘Ÿπ‘ π‘˜1 PROPN iajs-2290 103 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 103 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 103 17 and and CCONJ iajs-2290 103 18 since since SCONJ iajs-2290 103 19 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 103 20 is be AUX iajs-2290 103 21 a a DET iajs-2290 103 22 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 103 23 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 103 24 - - PUNCT iajs-2290 103 25 absorbing absorb VERB iajs-2290 103 26 submodule submodule NOUN iajs-2290 103 27 of of ADP iajs-2290 103 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 103 29 and and CCONJ iajs-2290 103 30 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 103 31 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 104 1 [ [ X iajs-2290 104 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 104 3 + + PROPN iajs-2290 104 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 104 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 104 6 ] ] PUNCT iajs-2290 104 7 and and CCONJ iajs-2290 104 8 π‘Ÿπ‘˜1 π‘Ÿπ‘˜1 PROPN iajs-2290 104 9 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 104 10 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 104 11 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 104 12 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 104 13 ) ) PUNCT iajs-2290 104 14 + + CCONJ iajs-2290 104 15 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 104 16 ) ) PUNCT iajs-2290 104 17 , , PUNCT iajs-2290 104 18 then then ADV iajs-2290 104 19 π‘ π‘˜1 π‘ π‘˜1 VERB iajs-2290 104 20 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 104 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 104 22 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 104 23 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 104 24 ) ) PUNCT iajs-2290 104 25 + + CCONJ iajs-2290 104 26 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 104 27 ) ) PUNCT iajs-2290 104 28 . . PUNCT iajs-2290 105 1 also also ADV iajs-2290 105 2 , , PUNCT iajs-2290 105 3 since since SCONJ iajs-2290 105 4 π‘Ÿπ‘ π‘˜2 π‘Ÿπ‘ π‘˜2 PROPN iajs-2290 105 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 105 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 105 7 and and CCONJ iajs-2290 105 8 132 132 NUM iajs-2290 105 9 ibn ibn PROPN iajs-2290 105 10 al al PROPN iajs-2290 105 11 - - PUNCT iajs-2290 105 12 haitham haitham PROPN iajs-2290 105 13 jour jour X iajs-2290 105 14 . . PROPN iajs-2290 105 15 for for ADP iajs-2290 105 16 pure pure ADJ iajs-2290 105 17 & & CCONJ iajs-2290 105 18 appl appl PROPN iajs-2290 105 19 . . PUNCT iajs-2290 106 1 sci sci PROPN iajs-2290 106 2 . . PROPN iajs-2290 106 3 32 32 NUM iajs-2290 106 4 ( ( PUNCT iajs-2290 106 5 3 3 NUM iajs-2290 106 6 ) ) PUNCT iajs-2290 106 7 2019 2019 NUM iajs-2290 106 8 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 106 9 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 107 1 [ [ X iajs-2290 107 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 107 3 + + PROPN iajs-2290 107 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 107 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 107 6 ] ] PUNCT iajs-2290 107 7 and and CCONJ iajs-2290 107 8 π‘ π‘˜2 π‘ π‘˜2 PROPN iajs-2290 107 9 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 108 1 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 108 2 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 108 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 108 4 ) ) PUNCT iajs-2290 109 1 + + CCONJ iajs-2290 109 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 109 3 ) ) PUNCT iajs-2290 109 4 , , PUNCT iajs-2290 109 5 then then ADV iajs-2290 109 6 π‘Ÿπ‘˜2 π‘Ÿπ‘˜2 NUM iajs-2290 109 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 109 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 109 9 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 109 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 109 11 ) ) PUNCT iajs-2290 109 12 + + CCONJ iajs-2290 109 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 109 14 ) ) PUNCT iajs-2290 109 15 . . PUNCT iajs-2290 110 1 again again ADV iajs-2290 110 2 since since SCONJ iajs-2290 110 3 π‘Ÿπ‘ (π‘˜1 π‘Ÿπ‘ (π‘˜1 NUM iajs-2290 110 4 + + SYM iajs-2290 110 5 π‘˜2 π‘˜2 ADJ iajs-2290 110 6 ) ) PUNCT iajs-2290 110 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 110 8 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 110 9 and and CCONJ iajs-2290 110 10 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 110 11 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 110 12 [ [ X iajs-2290 110 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 110 14 + + PROPN iajs-2290 110 15 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 110 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 110 17 ] ] PUNCT iajs-2290 110 18 we we PRON iajs-2290 110 19 have have VERB iajs-2290 110 20 π‘Ÿ(π‘˜1 π‘Ÿ(π‘˜1 NOUN iajs-2290 110 21 + + X iajs-2290 111 1 π‘˜2 π‘˜2 ADJ iajs-2290 111 2 ) ) PUNCT iajs-2290 111 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 111 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 111 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 111 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 111 7 ) ) PUNCT iajs-2290 111 8 + + CCONJ iajs-2290 111 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 111 10 ) ) PUNCT iajs-2290 111 11 or or CCONJ iajs-2290 111 12 𝑠(π‘˜1 𝑠(π‘˜1 NOUN iajs-2290 111 13 + + CCONJ iajs-2290 111 14 π‘˜2 π‘˜2 PROPN iajs-2290 111 15 ) ) PUNCT iajs-2290 111 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 111 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 111 18 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 111 19 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 111 20 ) ) PUNCT iajs-2290 111 21 + + CCONJ iajs-2290 111 22 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 111 23 ) ) PUNCT iajs-2290 111 24 . . PUNCT iajs-2290 111 25 suppose suppose VERB iajs-2290 111 26 that that SCONJ iajs-2290 111 27 π‘Ÿ(π‘˜1 π‘Ÿ(π‘˜1 NOUN iajs-2290 111 28 + + X iajs-2290 111 29 π‘˜2 π‘˜2 NOUN iajs-2290 111 30 ) ) PUNCT iajs-2290 111 31 = = SYM iajs-2290 112 1 π‘Ÿπ‘˜1 π‘Ÿπ‘˜1 PROPN iajs-2290 113 1 + + CCONJ iajs-2290 113 2 π‘Ÿπ‘˜2 π‘Ÿπ‘˜2 NOUN iajs-2290 113 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 113 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 113 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 113 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 113 7 ) ) PUNCT iajs-2290 113 8 + + CCONJ iajs-2290 113 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 113 10 ) ) PUNCT iajs-2290 113 11 , , PUNCT iajs-2290 113 12 but but CCONJ iajs-2290 113 13 π‘Ÿπ‘˜2 π‘Ÿπ‘˜2 X iajs-2290 113 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 113 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 113 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 113 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 113 18 ) ) PUNCT iajs-2290 114 1 + + CCONJ iajs-2290 114 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 114 3 ) ) PUNCT iajs-2290 114 4 , , PUNCT iajs-2290 114 5 it it PRON iajs-2290 114 6 follows follow VERB iajs-2290 114 7 that that SCONJ iajs-2290 114 8 π‘Ÿπ‘˜1 π‘Ÿπ‘˜1 PROPN iajs-2290 114 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 114 10 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 114 11 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 114 12 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 114 13 ) ) PUNCT iajs-2290 114 14 + + CCONJ iajs-2290 114 15 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š X iajs-2290 114 16 ) ) PUNCT iajs-2290 114 17 a a DET iajs-2290 114 18 contradiction contradiction NOUN iajs-2290 114 19 . . PUNCT iajs-2290 115 1 suppose suppose VERB iajs-2290 115 2 that that SCONJ iajs-2290 115 3 𝑠(π‘˜1 𝑠(π‘˜1 NOUN iajs-2290 115 4 + + CCONJ iajs-2290 115 5 π‘˜2 π‘˜2 NOUN iajs-2290 115 6 ) ) PUNCT iajs-2290 115 7 = = SYM iajs-2290 116 1 π‘ π‘˜1 π‘ π‘˜1 PROPN iajs-2290 117 1 + + CCONJ iajs-2290 117 2 π‘ π‘˜2 π‘ π‘˜2 PROPN iajs-2290 117 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 117 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 117 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 117 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 117 7 ) ) PUNCT iajs-2290 117 8 + + CCONJ iajs-2290 117 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 117 10 ) ) PUNCT iajs-2290 117 11 , , PUNCT iajs-2290 117 12 but but CCONJ iajs-2290 117 13 π‘ π‘˜1 π‘ π‘˜1 ADP iajs-2290 117 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 117 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 117 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 117 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 117 18 ) ) PUNCT iajs-2290 117 19 + + CCONJ iajs-2290 117 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 117 21 ) ) PUNCT iajs-2290 117 22 , , PUNCT iajs-2290 117 23 we we PRON iajs-2290 117 24 have have VERB iajs-2290 117 25 π‘ π‘˜2 π‘ π‘˜2 PROPN iajs-2290 117 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 117 27 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 117 28 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 117 29 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 117 30 ) ) PUNCT iajs-2290 118 1 + + CCONJ iajs-2290 118 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š X iajs-2290 118 3 ) ) PUNCT iajs-2290 118 4 a a DET iajs-2290 118 5 contradiction contradiction NOUN iajs-2290 118 6 . . PUNCT iajs-2290 119 1 hence hence ADV iajs-2290 119 2 π‘ŸπΎ π‘ŸπΎ ADJ iajs-2290 119 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 119 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 119 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 119 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 119 7 ) ) PUNCT iajs-2290 119 8 + + CCONJ iajs-2290 119 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 119 10 ) ) PUNCT iajs-2290 119 11 or or CCONJ iajs-2290 119 12 𝑠𝐾 𝑠𝐾 PROPN iajs-2290 119 13 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 119 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 119 15 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 119 16 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 119 17 ) ) PUNCT iajs-2290 119 18 + + CCONJ iajs-2290 119 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 119 20 ) ) PUNCT iajs-2290 119 21 . . PUNCT iajs-2290 120 1 ( ( PUNCT iajs-2290 120 2 ⟸ ⟸ ADV iajs-2290 120 3 ) ) PUNCT iajs-2290 120 4 let let VERB iajs-2290 120 5 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ NUM iajs-2290 120 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 120 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 120 8 , , PUNCT iajs-2290 120 9 where where SCONJ iajs-2290 120 10 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 120 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 120 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 120 13 and and CCONJ iajs-2290 120 14 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 120 15 , , PUNCT iajs-2290 120 16 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 120 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 120 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 120 19 with with ADP iajs-2290 120 20 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2290 120 21 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 121 1 [ [ X iajs-2290 121 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 121 3 + + PROPN iajs-2290 121 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 121 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 121 6 ] ] PUNCT iajs-2290 121 7 . . PUNCT iajs-2290 122 1 so so ADV iajs-2290 122 2 π‘Ÿπ‘ (π‘₯ π‘Ÿπ‘ (π‘₯ NUM iajs-2290 122 3 ) ) PUNCT iajs-2290 122 4 βŠ† βŠ† X iajs-2290 122 5 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 122 6 , , PUNCT iajs-2290 122 7 it it PRON iajs-2290 122 8 follows follow VERB iajs-2290 122 9 by by ADP iajs-2290 122 10 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2290 122 11 π‘Ÿ(π‘₯ π‘Ÿ(π‘₯ PROPN iajs-2290 122 12 ) ) PUNCT iajs-2290 122 13 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 122 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 122 15 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 122 16 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 122 17 ) ) PUNCT iajs-2290 122 18 + + CCONJ iajs-2290 122 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 122 20 ) ) PUNCT iajs-2290 122 21 or or CCONJ iajs-2290 122 22 𝑠(π‘₯ 𝑠(π‘₯ NUM iajs-2290 122 23 ) ) PUNCT iajs-2290 122 24 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 122 25 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 122 26 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 122 27 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 122 28 ) ) PUNCT iajs-2290 122 29 + + CCONJ iajs-2290 122 30 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 122 31 ) ) PUNCT iajs-2290 122 32 . . PUNCT iajs-2290 123 1 that that PRON iajs-2290 123 2 is be AUX iajs-2290 123 3 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2290 123 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 123 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 123 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 123 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 123 8 ) ) PUNCT iajs-2290 123 9 + + CCONJ iajs-2290 123 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 123 11 ) ) PUNCT iajs-2290 123 12 or or CCONJ iajs-2290 123 13 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 123 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 123 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 123 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 123 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 123 18 ) ) PUNCT iajs-2290 124 1 + + CCONJ iajs-2290 124 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 124 3 ) ) PUNCT iajs-2290 124 4 . . PUNCT iajs-2290 125 1 hence hence ADV iajs-2290 125 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 125 3 is be AUX iajs-2290 125 4 a a DET iajs-2290 125 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 125 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 125 7 - - PUNCT iajs-2290 125 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 125 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 125 10 of of ADP iajs-2290 125 11 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 125 12 proposition proposition NOUN iajs-2290 125 13 ( ( PUNCT iajs-2290 125 14 5 5 X iajs-2290 125 15 ) ) PUNCT iajs-2290 125 16 let let VERB iajs-2290 125 17 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 125 18 be be AUX iajs-2290 125 19 an an DET iajs-2290 125 20 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 125 21 and and CCONJ iajs-2290 125 22 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 125 23 is be AUX iajs-2290 125 24 a a DET iajs-2290 125 25 proper proper ADJ iajs-2290 125 26 submodule submodule NOUN iajs-2290 125 27 of of ADP iajs-2290 125 28 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 125 29 then then ADV iajs-2290 125 30 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 125 31 is be AUX iajs-2290 125 32 a a DET iajs-2290 125 33 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 125 34 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 125 35 submodule submodule NOUN iajs-2290 125 36 of of ADP iajs-2290 125 37 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 125 38 if if NOUN iajs-2290 126 1 and and CCONJ iajs-2290 126 2 only only ADV iajs-2290 126 3 if if SCONJ iajs-2290 126 4 𝐼𝐽𝐾 𝐼𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 126 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 126 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 126 7 , , PUNCT iajs-2290 126 8 where where SCONJ iajs-2290 126 9 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 126 10 , , PUNCT iajs-2290 126 11 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 126 12 are be AUX iajs-2290 126 13 ideals ideal NOUN iajs-2290 126 14 of of ADP iajs-2290 126 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 126 16 and and CCONJ iajs-2290 126 17 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 126 18 is be AUX iajs-2290 126 19 a a DET iajs-2290 126 20 submodule submodule NOUN iajs-2290 126 21 of of ADP iajs-2290 126 22 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 126 23 , , PUNCT iajs-2290 126 24 implies imply VERB iajs-2290 126 25 that that SCONJ iajs-2290 126 26 either either CCONJ iajs-2290 126 27 𝐼𝐽 𝐼𝐽 PROPN iajs-2290 126 28 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 126 29 [ [ X iajs-2290 126 30 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 126 31 + + PROPN iajs-2290 126 32 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 126 33 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 126 34 ] ] PUNCT iajs-2290 126 35 or or CCONJ iajs-2290 126 36 𝐼𝐾 𝐼𝐾 PROPN iajs-2290 126 37 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 126 38 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 126 39 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 126 40 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 126 41 ) ) PUNCT iajs-2290 126 42 + + CCONJ iajs-2290 126 43 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 126 44 ) ) PUNCT iajs-2290 126 45 or or CCONJ iajs-2290 126 46 𝐽𝐾 𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 126 47 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 126 48 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 126 49 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 126 50 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 126 51 ) ) PUNCT iajs-2290 126 52 + + CCONJ iajs-2290 126 53 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 126 54 ) ) PUNCT iajs-2290 126 55 . . PUNCT iajs-2290 127 1 proof proof NOUN iajs-2290 127 2 ( ( PUNCT iajs-2290 127 3 ⟹)assume ⟹)assume ADJ iajs-2290 127 4 that that SCONJ iajs-2290 127 5 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 127 6 is be AUX iajs-2290 127 7 a a DET iajs-2290 127 8 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 127 9 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 127 10 - - PUNCT iajs-2290 127 11 absorbing absorb VERB iajs-2290 127 12 submodule submodule NOUN iajs-2290 127 13 of of ADP iajs-2290 127 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 127 15 , , PUNCT iajs-2290 127 16 and and CCONJ iajs-2290 127 17 𝐼𝐽𝐾 𝐼𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 127 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 127 19 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 127 20 , , PUNCT iajs-2290 127 21 where where SCONJ iajs-2290 127 22 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 127 23 , , PUNCT iajs-2290 127 24 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 127 25 are be AUX iajs-2290 127 26 ideals ideal NOUN iajs-2290 127 27 of of ADP iajs-2290 127 28 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 127 29 and and CCONJ iajs-2290 127 30 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 127 31 is be AUX iajs-2290 127 32 a a DET iajs-2290 127 33 submodule submodule NOUN iajs-2290 127 34 of of ADP iajs-2290 127 35 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 127 36 and and CCONJ iajs-2290 127 37 𝐼𝐽 𝐼𝐽 NOUN iajs-2290 127 38 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 128 1 [ [ X iajs-2290 128 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 128 3 + + PROPN iajs-2290 128 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 128 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 128 6 ] ] PUNCT iajs-2290 128 7 . . PUNCT iajs-2290 129 1 we we PRON iajs-2290 129 2 must must AUX iajs-2290 129 3 prove prove VERB iajs-2290 129 4 that that SCONJ iajs-2290 129 5 𝐼𝐾 𝐼𝐾 PROPN iajs-2290 129 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 129 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 129 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 129 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 129 10 ) ) PUNCT iajs-2290 129 11 + + CCONJ iajs-2290 129 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 129 13 ) ) PUNCT iajs-2290 129 14 or or CCONJ iajs-2290 129 15 𝐽𝐾 𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 129 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 129 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 129 18 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 129 19 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 129 20 ) ) PUNCT iajs-2290 129 21 + + CCONJ iajs-2290 129 22 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 129 23 ) ) PUNCT iajs-2290 129 24 . . PUNCT iajs-2290 130 1 suppose suppose VERB iajs-2290 130 2 that that SCONJ iajs-2290 130 3 𝐼𝐾 𝐼𝐾 PROPN iajs-2290 130 4 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 130 5 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 130 6 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 130 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 130 8 ) ) PUNCT iajs-2290 130 9 + + CCONJ iajs-2290 130 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 130 11 ) ) PUNCT iajs-2290 130 12 and and CCONJ iajs-2290 130 13 𝐽𝐾 𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 130 14 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 130 15 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 130 16 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 130 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 130 18 ) ) PUNCT iajs-2290 130 19 + + CCONJ iajs-2290 130 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 130 21 ) ) PUNCT iajs-2290 130 22 , , PUNCT iajs-2290 130 23 it it PRON iajs-2290 130 24 follows follow VERB iajs-2290 130 25 that that SCONJ iajs-2290 130 26 there there PRON iajs-2290 130 27 exists exist VERB iajs-2290 130 28 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2290 130 29 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 130 30 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 130 31 and and CCONJ iajs-2290 130 32 π‘Ÿ2 π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 130 33 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 130 34 𝐽 𝐽 NOUN iajs-2290 130 35 such such ADJ iajs-2290 130 36 that that SCONJ iajs-2290 130 37 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 130 38 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 130 39 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 130 40 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 130 41 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 130 42 ) ) PUNCT iajs-2290 131 1 + + CCONJ iajs-2290 131 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 131 3 ) ) PUNCT iajs-2290 131 4 and and CCONJ iajs-2290 131 5 π‘Ÿ2𝐾 π‘Ÿ2𝐾 NUM iajs-2290 131 6 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 132 1 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 132 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 132 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 132 4 ) ) PUNCT iajs-2290 132 5 + + CCONJ iajs-2290 132 6 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 132 7 ) ) PUNCT iajs-2290 132 8 . . PUNCT iajs-2290 133 1 now now ADV iajs-2290 133 2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2𝐾 π‘Ÿ1π‘Ÿ2𝐾 NOUN iajs-2290 133 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 133 4 𝐿 𝐿 NOUN iajs-2290 133 5 with with ADP iajs-2290 133 6 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 133 7 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 133 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 133 9 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 133 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 133 11 ) ) PUNCT iajs-2290 133 12 + + CCONJ iajs-2290 133 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 133 14 ) ) PUNCT iajs-2290 133 15 and and CCONJ iajs-2290 133 16 π‘Ÿ2𝐾 π‘Ÿ2𝐾 NUM iajs-2290 133 17 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 134 1 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 134 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 134 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 134 4 ) ) PUNCT iajs-2290 134 5 + + CCONJ iajs-2290 134 6 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 134 7 ) ) PUNCT iajs-2290 134 8 and and CCONJ iajs-2290 134 9 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 134 10 is be AUX iajs-2290 134 11 a a DET iajs-2290 134 12 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 134 13 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 134 14 - - PUNCT iajs-2290 134 15 absorbing absorb VERB iajs-2290 134 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 134 17 of of ADP iajs-2290 134 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 134 19 , , PUNCT iajs-2290 134 20 implies imply VERB iajs-2290 134 21 that that SCONJ iajs-2290 134 22 by by ADP iajs-2290 134 23 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 134 24 ) ) PUNCT iajs-2290 134 25 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 135 1 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 135 2 [ [ X iajs-2290 135 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 135 4 + + PROPN iajs-2290 135 5 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 135 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 135 7 ] ] PUNCT iajs-2290 135 8 . . PUNCT iajs-2290 136 1 since since SCONJ iajs-2290 136 2 𝐼𝐽 𝐼𝐽 NOUN iajs-2290 136 3 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 137 1 [ [ X iajs-2290 137 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 137 3 + + CCONJ iajs-2290 137 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 137 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 137 6 ] ] PUNCT iajs-2290 137 7 , , PUNCT iajs-2290 137 8 it it PRON iajs-2290 137 9 follows follow VERB iajs-2290 137 10 that that SCONJ iajs-2290 137 11 there there PRON iajs-2290 137 12 exists exist VERB iajs-2290 137 13 𝑠1 𝑠1 PROPN iajs-2290 137 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 137 15 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 137 16 , , PUNCT iajs-2290 137 17 𝑠2 𝑠2 PROPN iajs-2290 137 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 137 19 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 138 1 such such ADJ iajs-2290 138 2 that that SCONJ iajs-2290 138 3 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 PROPN iajs-2290 138 4 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 138 5 [ [ X iajs-2290 138 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 138 7 + + PROPN iajs-2290 138 8 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 138 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 138 10 ] ] PUNCT iajs-2290 138 11 . . PUNCT iajs-2290 139 1 since since SCONJ iajs-2290 139 2 𝑠1𝑠2𝐾 𝑠1𝑠2𝐾 PROPN iajs-2290 139 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 139 4 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 139 5 , , PUNCT iajs-2290 139 6 and and CCONJ iajs-2290 139 7 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 ADP iajs-2290 139 8 βˆ‰ βˆ‰ X iajs-2290 139 9 [ [ X iajs-2290 139 10 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 139 11 + + PROPN iajs-2290 139 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 139 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 139 14 ] ] PUNCT iajs-2290 139 15 , , PUNCT iajs-2290 139 16 we we PRON iajs-2290 139 17 have have VERB iajs-2290 139 18 by by ADP iajs-2290 139 19 proposition proposition NOUN iajs-2290 139 20 ( ( PUNCT iajs-2290 139 21 4 4 NUM iajs-2290 139 22 ) ) PUNCT iajs-2290 139 23 either either CCONJ iajs-2290 139 24 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 ADJ iajs-2290 139 25 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 139 26 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 139 27 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 139 28 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 139 29 ) ) PUNCT iajs-2290 139 30 + + CCONJ iajs-2290 139 31 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 139 32 ) ) PUNCT iajs-2290 139 33 or or CCONJ iajs-2290 139 34 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 NOUN iajs-2290 139 35 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 139 36 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 139 37 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 139 38 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 139 39 ) ) PUNCT iajs-2290 139 40 + + CCONJ iajs-2290 139 41 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 139 42 ) ) PUNCT iajs-2290 139 43 . . PUNCT iajs-2290 140 1 now now ADV iajs-2290 140 2 we we PRON iajs-2290 140 3 discussed discuss VERB iajs-2290 140 4 the the DET iajs-2290 140 5 following following ADJ iajs-2290 140 6 cases case NOUN iajs-2290 140 7 : : PUNCT iajs-2290 140 8 case case NOUN iajs-2290 140 9 one one NUM iajs-2290 140 10 : : PUNCT iajs-2290 140 11 suppose suppose VERB iajs-2290 140 12 that that SCONJ iajs-2290 140 13 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 VERB iajs-2290 140 14 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 140 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 140 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 140 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 140 18 ) ) PUNCT iajs-2290 140 19 + + CCONJ iajs-2290 140 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 140 21 ) ) PUNCT iajs-2290 140 22 but but CCONJ iajs-2290 140 23 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 PRON iajs-2290 140 24 ⊈ ⊈ NOUN iajs-2290 140 25 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 140 26 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 140 27 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 140 28 ) ) PUNCT iajs-2290 141 1 + + CCONJ iajs-2290 141 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 141 3 ) ) PUNCT iajs-2290 141 4 . . PUNCT iajs-2290 142 1 since since SCONJ iajs-2290 142 2 π‘Ÿ1𝑠2𝐾 π‘Ÿ1𝑠2𝐾 PROPN iajs-2290 142 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 142 4 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 142 5 and and CCONJ iajs-2290 142 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 142 7 is be AUX iajs-2290 142 8 a a DET iajs-2290 142 9 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 142 10 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 142 11 - - PUNCT iajs-2290 142 12 absorbing absorb VERB iajs-2290 142 13 submodule submodule NOUN iajs-2290 142 14 of of ADP iajs-2290 142 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 142 16 with with ADP iajs-2290 142 17 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 PRON iajs-2290 143 1 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 143 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 143 3 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 143 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 143 5 ) ) PUNCT iajs-2290 143 6 + + CCONJ iajs-2290 143 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 143 8 ) ) PUNCT iajs-2290 143 9 and and CCONJ iajs-2290 143 10 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 143 11 ⊈ ⊈ VERB iajs-2290 143 12 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 143 13 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 143 14 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 143 15 ) ) PUNCT iajs-2290 143 16 + + CCONJ iajs-2290 143 17 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 143 18 ) ) PUNCT iajs-2290 143 19 , , PUNCT iajs-2290 143 20 implies imply VERB iajs-2290 143 21 that that SCONJ iajs-2290 143 22 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 PRON iajs-2290 143 23 ∈ ∈ PRON iajs-2290 143 24 [ [ X iajs-2290 143 25 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 143 26 + + CCONJ iajs-2290 143 27 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 143 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 143 29 ] ] PUNCT iajs-2290 143 30 by by ADP iajs-2290 143 31 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 143 32 ) ) PUNCT iajs-2290 143 33 . . PUNCT iajs-2290 144 1 also also ADV iajs-2290 144 2 since since SCONJ iajs-2290 144 3 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 ADJ iajs-2290 144 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 144 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 144 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 144 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 144 8 ) ) PUNCT iajs-2290 144 9 + + CCONJ iajs-2290 144 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 144 11 ) ) PUNCT iajs-2290 144 12 but but CCONJ iajs-2290 144 13 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 144 14 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 144 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 144 16 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 144 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 144 18 ) ) PUNCT iajs-2290 144 19 + + CCONJ iajs-2290 144 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 144 21 ) ) PUNCT iajs-2290 144 22 , , PUNCT iajs-2290 144 23 it it PRON iajs-2290 144 24 follows follow VERB iajs-2290 144 25 that that PRON iajs-2290 144 26 ( ( PUNCT iajs-2290 144 27 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 144 28 + + CCONJ iajs-2290 144 29 𝑠1)𝐾 𝑠1)𝐾 NOUN iajs-2290 144 30 ⊈ ⊈ X iajs-2290 145 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 145 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 145 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 145 4 ) ) PUNCT iajs-2290 145 5 + + CCONJ iajs-2290 145 6 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 145 7 ) ) PUNCT iajs-2290 145 8 . . PUNCT iajs-2290 146 1 since since SCONJ iajs-2290 146 2 ( ( PUNCT iajs-2290 146 3 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2290 146 4 + + CCONJ iajs-2290 146 5 𝑠1)𝑠2𝐾 𝑠1)𝑠2𝐾 VERB iajs-2290 146 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 146 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 146 8 and and CCONJ iajs-2290 146 9 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 PRON iajs-2290 146 10 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 146 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 146 12 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 146 13 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 146 14 ) ) PUNCT iajs-2290 147 1 + + CCONJ iajs-2290 147 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š)and π‘ π‘œπ‘(π‘Š)and CCONJ iajs-2290 147 3 ( ( PUNCT iajs-2290 147 4 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2290 148 1 + + CCONJ iajs-2290 148 2 𝑠1)𝐾 𝑠1)𝐾 NOUN iajs-2290 148 3 ⊈ ⊈ X iajs-2290 148 4 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 148 5 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 148 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 148 7 ) ) PUNCT iajs-2290 148 8 + + CCONJ iajs-2290 148 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 148 10 ) ) PUNCT iajs-2290 148 11 implies imply VERB iajs-2290 148 12 that that SCONJ iajs-2290 148 13 by by ADP iajs-2290 148 14 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 148 15 ) ) PUNCT iajs-2290 148 16 ( ( PUNCT iajs-2290 148 17 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 148 18 + + CCONJ iajs-2290 148 19 𝑠1)𝑠2 𝑠1)𝑠2 PROPN iajs-2290 148 20 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 148 21 [ [ X iajs-2290 148 22 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 148 23 + + PROPN iajs-2290 148 24 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 148 25 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 148 26 ] ] PUNCT iajs-2290 148 27 . . PUNCT iajs-2290 149 1 that that PRON iajs-2290 149 2 is be AUX iajs-2290 149 3 ( ( PUNCT iajs-2290 149 4 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 149 5 + + CCONJ iajs-2290 149 6 𝑠1)𝑠2 𝑠1)𝑠2 PROPN iajs-2290 149 7 = = SYM iajs-2290 149 8 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 PROPN iajs-2290 149 9 + + CCONJ iajs-2290 149 10 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 X iajs-2290 149 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 149 12 [ [ X iajs-2290 149 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 149 14 + + PROPN iajs-2290 149 15 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 149 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 149 17 ] ] PUNCT iajs-2290 149 18 and and CCONJ iajs-2290 149 19 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 SYM iajs-2290 149 20 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 150 1 [ [ X iajs-2290 150 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 150 3 + + PROPN iajs-2290 150 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 150 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 150 6 ] ] PUNCT iajs-2290 150 7 , , PUNCT iajs-2290 150 8 implies imply VERB iajs-2290 150 9 that that SCONJ iajs-2290 150 10 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 PROPN iajs-2290 150 11 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 150 12 [ [ X iajs-2290 150 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 150 14 + + PROPN iajs-2290 150 15 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 150 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 150 17 ] ] PUNCT iajs-2290 150 18 a a DET iajs-2290 150 19 contradiction contradiction NOUN iajs-2290 150 20 . . PUNCT iajs-2290 151 1 case case NOUN iajs-2290 151 2 two two NUM iajs-2290 151 3 : : PUNCT iajs-2290 151 4 if if SCONJ iajs-2290 151 5 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 PRON iajs-2290 151 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 151 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 151 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 151 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 151 10 ) ) PUNCT iajs-2290 151 11 + + CCONJ iajs-2290 151 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 151 13 ) ) PUNCT iajs-2290 151 14 but but CCONJ iajs-2290 151 15 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 VERB iajs-2290 151 16 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 152 1 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 152 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 152 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 152 4 ) ) PUNCT iajs-2290 153 1 + + CCONJ iajs-2290 153 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 153 3 ) ) PUNCT iajs-2290 153 4 in in ADP iajs-2290 153 5 similarly similarly ADV iajs-2290 153 6 steps step NOUN iajs-2290 153 7 of of ADP iajs-2290 153 8 case case NOUN iajs-2290 153 9 one one NUM iajs-2290 153 10 we we PRON iajs-2290 153 11 get get VERB iajs-2290 153 12 a a DET iajs-2290 153 13 contradiction contradiction NOUN iajs-2290 153 14 . . PUNCT iajs-2290 154 1 case case NOUN iajs-2290 154 2 three three NUM iajs-2290 154 3 : : PUNCT iajs-2290 154 4 assume assume VERB iajs-2290 154 5 that that SCONJ iajs-2290 154 6 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 VERB iajs-2290 154 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 154 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 154 9 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 154 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 154 11 ) ) PUNCT iajs-2290 154 12 + + CCONJ iajs-2290 154 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 154 14 ) ) PUNCT iajs-2290 154 15 but but CCONJ iajs-2290 154 16 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 DET iajs-2290 154 17 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 154 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 154 19 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 154 20 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 154 21 ) ) PUNCT iajs-2290 155 1 + + CCONJ iajs-2290 155 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 155 3 ) ) PUNCT iajs-2290 155 4 . . PUNCT iajs-2290 156 1 now now ADV iajs-2290 156 2 since since SCONJ iajs-2290 156 3 𝑠2𝐾 𝑠2𝐾 NOUN iajs-2290 156 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 156 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 156 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 156 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 156 8 ) ) PUNCT iajs-2290 156 9 + + CCONJ iajs-2290 156 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 156 11 ) ) PUNCT iajs-2290 156 12 and and CCONJ iajs-2290 156 13 π‘Ÿ2𝐾 π‘Ÿ2𝐾 NUM iajs-2290 156 14 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 156 15 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 156 16 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 156 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 156 18 ) ) PUNCT iajs-2290 156 19 + + CCONJ iajs-2290 156 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 156 21 ) ) PUNCT iajs-2290 156 22 , , PUNCT iajs-2290 156 23 it it PRON iajs-2290 156 24 follows follow VERB iajs-2290 156 25 that that SCONJ iajs-2290 156 26 ( ( PUNCT iajs-2290 156 27 π‘Ÿ2 π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 156 28 + + CCONJ iajs-2290 156 29 𝑠2)𝐾 𝑠2)𝐾 NOUN iajs-2290 156 30 ⊈ ⊈ X iajs-2290 156 31 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 156 32 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 156 33 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 156 34 ) ) PUNCT iajs-2290 156 35 + + CCONJ iajs-2290 156 36 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 156 37 ) ) PUNCT iajs-2290 156 38 . . PUNCT iajs-2290 157 1 we we PRON iajs-2290 157 2 have have VERB iajs-2290 157 3 π‘Ÿ1(π‘Ÿ2 π‘Ÿ1(π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 157 4 + + CCONJ iajs-2290 157 5 𝑠2)𝐾 𝑠2)𝐾 NOUN iajs-2290 157 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 157 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 157 8 and and CCONJ iajs-2290 157 9 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 157 10 ⊈ ⊈ VERB iajs-2290 158 1 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 158 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 158 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 158 4 ) ) PUNCT iajs-2290 159 1 + + CCONJ iajs-2290 159 2 133 133 NUM iajs-2290 159 3 ibn ibn PROPN iajs-2290 159 4 al al PROPN iajs-2290 159 5 - - PUNCT iajs-2290 159 6 haitham haitham PROPN iajs-2290 159 7 jour jour X iajs-2290 159 8 . . PROPN iajs-2290 159 9 for for ADP iajs-2290 159 10 pure pure ADJ iajs-2290 159 11 & & CCONJ iajs-2290 159 12 appl appl PROPN iajs-2290 159 13 . . PUNCT iajs-2290 160 1 sci sci PROPN iajs-2290 160 2 . . PROPN iajs-2290 160 3 32 32 NUM iajs-2290 160 4 ( ( PUNCT iajs-2290 160 5 3 3 NUM iajs-2290 160 6 ) ) PUNCT iajs-2290 160 7 2019 2019 NUM iajs-2290 160 8 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 160 9 ) ) PUNCT iajs-2290 160 10 and and CCONJ iajs-2290 160 11 ( ( PUNCT iajs-2290 160 12 π‘Ÿ2 π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 160 13 + + CCONJ iajs-2290 160 14 𝑠2)𝐾 𝑠2)𝐾 NOUN iajs-2290 160 15 ⊈ ⊈ X iajs-2290 160 16 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 160 17 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 160 18 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 160 19 ) ) PUNCT iajs-2290 160 20 + + CCONJ iajs-2290 160 21 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 160 22 ) ) PUNCT iajs-2290 160 23 , , PUNCT iajs-2290 160 24 by by ADP iajs-2290 160 25 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 160 26 ) ) PUNCT iajs-2290 160 27 π‘Ÿ1(π‘Ÿ2 π‘Ÿ1(π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 160 28 + + CCONJ iajs-2290 160 29 𝑠2 𝑠2 NOUN iajs-2290 160 30 ) ) PUNCT iajs-2290 160 31 = = SYM iajs-2290 160 32 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 PUNCT iajs-2290 160 33 + + SYM iajs-2290 160 34 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 X iajs-2290 160 35 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 160 36 [ [ X iajs-2290 160 37 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 160 38 + + PROPN iajs-2290 160 39 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 160 40 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 160 41 ] ] PUNCT iajs-2290 160 42 . . PUNCT iajs-2290 161 1 but but CCONJ iajs-2290 161 2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 X iajs-2290 161 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 161 4 [ [ X iajs-2290 161 5 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 161 6 + + PROPN iajs-2290 161 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 161 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 161 9 ] ] PUNCT iajs-2290 161 10 and and CCONJ iajs-2290 161 11 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 161 12 + + CCONJ iajs-2290 161 13 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 X iajs-2290 161 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 161 15 [ [ X iajs-2290 161 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 161 17 + + PROPN iajs-2290 161 18 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 161 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 161 20 ] ] PUNCT iajs-2290 161 21 , , PUNCT iajs-2290 161 22 it it PRON iajs-2290 161 23 follows follow VERB iajs-2290 161 24 that that SCONJ iajs-2290 161 25 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 PRON iajs-2290 162 1 ∈ ∈ PRON iajs-2290 162 2 [ [ X iajs-2290 162 3 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 162 4 + + PROPN iajs-2290 162 5 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 162 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 162 7 ] ] PUNCT iajs-2290 162 8 . . PUNCT iajs-2290 163 1 now now ADV iajs-2290 163 2 , , PUNCT iajs-2290 163 3 since since SCONJ iajs-2290 163 4 𝑠1𝐾 𝑠1𝐾 ADJ iajs-2290 163 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 163 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 163 7 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 163 8 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 163 9 ) ) PUNCT iajs-2290 163 10 + + CCONJ iajs-2290 163 11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 163 12 ) ) PUNCT iajs-2290 163 13 and and CCONJ iajs-2290 163 14 π‘Ÿ1𝐾 π‘Ÿ1𝐾 NOUN iajs-2290 163 15 ⊈ ⊈ VERB iajs-2290 163 16 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 163 17 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 163 18 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 163 19 ) ) PUNCT iajs-2290 163 20 + + CCONJ iajs-2290 163 21 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 163 22 ) ) PUNCT iajs-2290 163 23 , , PUNCT iajs-2290 163 24 implies imply VERB iajs-2290 163 25 that that SCONJ iajs-2290 163 26 ( ( PUNCT iajs-2290 163 27 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 163 28 + + CCONJ iajs-2290 163 29 𝑠1)𝐾 𝑠1)𝐾 NOUN iajs-2290 163 30 ⊈ ⊈ X iajs-2290 163 31 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 163 32 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 163 33 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 163 34 ) ) PUNCT iajs-2290 163 35 + + CCONJ iajs-2290 163 36 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 163 37 ) ) PUNCT iajs-2290 163 38 since since SCONJ iajs-2290 163 39 ( ( PUNCT iajs-2290 163 40 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2290 163 41 + + CCONJ iajs-2290 163 42 𝑠1)π‘Ÿ2𝐾 𝑠1)π‘Ÿ2𝐾 ADJ iajs-2290 163 43 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 163 44 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 163 45 and and CCONJ iajs-2290 163 46 π‘Ÿ2𝐾 π‘Ÿ2𝐾 NUM iajs-2290 163 47 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 163 48 π‘Š π‘Š VERB iajs-2290 163 49 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 163 50 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 163 51 ) ) PUNCT iajs-2290 164 1 + + CCONJ iajs-2290 164 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 164 3 ) ) PUNCT iajs-2290 164 4 and and CCONJ iajs-2290 164 5 ( ( PUNCT iajs-2290 164 6 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 164 7 + + CCONJ iajs-2290 164 8 𝑠1)𝐾 𝑠1)𝐾 NOUN iajs-2290 164 9 ⊈ ⊈ X iajs-2290 165 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 165 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 165 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 165 4 ) ) PUNCT iajs-2290 165 5 + + CCONJ iajs-2290 165 6 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 165 7 ) ) PUNCT iajs-2290 165 8 , , PUNCT iajs-2290 165 9 it it PRON iajs-2290 165 10 follows follow VERB iajs-2290 165 11 that that SCONJ iajs-2290 165 12 ( ( PUNCT iajs-2290 165 13 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 165 14 + + CCONJ iajs-2290 165 15 𝑠1)π‘Ÿ2 𝑠1)π‘Ÿ2 X iajs-2290 165 16 = = SYM iajs-2290 166 1 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 166 2 + + CCONJ iajs-2290 166 3 𝑠1π‘Ÿ2 𝑠1π‘Ÿ2 X iajs-2290 166 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 166 5 [ [ X iajs-2290 166 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 166 7 + + PROPN iajs-2290 166 8 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 166 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 166 10 ] ] PUNCT iajs-2290 166 11 by by ADP iajs-2290 166 12 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 166 13 ) ) PUNCT iajs-2290 166 14 . . PUNCT iajs-2290 167 1 now now ADV iajs-2290 167 2 , , PUNCT iajs-2290 167 3 since since SCONJ iajs-2290 167 4 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 167 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 167 6 [ [ X iajs-2290 167 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 167 8 + + PROPN iajs-2290 167 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 167 10 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 167 11 ] ] PUNCT iajs-2290 167 12 and and CCONJ iajs-2290 167 13 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 NUM iajs-2290 167 14 + + CCONJ iajs-2290 167 15 𝑠1π‘Ÿ2 𝑠1π‘Ÿ2 X iajs-2290 167 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 167 17 [ [ X iajs-2290 167 18 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 167 19 + + PROPN iajs-2290 167 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 167 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 167 22 ] ] PUNCT iajs-2290 167 23 , , PUNCT iajs-2290 167 24 implies imply VERB iajs-2290 167 25 that that SCONJ iajs-2290 167 26 𝑠1π‘Ÿ2 𝑠1π‘Ÿ2 PROPN iajs-2290 167 27 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 167 28 [ [ X iajs-2290 167 29 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 167 30 + + PROPN iajs-2290 167 31 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 167 32 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 167 33 ] ] PUNCT iajs-2290 167 34 . . PUNCT iajs-2290 168 1 also also ADV iajs-2290 168 2 , , PUNCT iajs-2290 168 3 since since SCONJ iajs-2290 168 4 ( ( PUNCT iajs-2290 168 5 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 168 6 + + CCONJ iajs-2290 168 7 𝑠1)(π‘Ÿ2 𝑠1)(π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 168 8 + + CCONJ iajs-2290 168 9 𝑠2)𝐾 𝑠2)𝐾 NOUN iajs-2290 168 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 168 11 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 168 12 and and CCONJ iajs-2290 168 13 ( ( PUNCT iajs-2290 168 14 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2290 168 15 + + CCONJ iajs-2290 168 16 𝑠1)𝐾 𝑠1)𝐾 NOUN iajs-2290 168 17 ⊈ ⊈ X iajs-2290 168 18 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 168 19 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 168 20 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 168 21 ) ) PUNCT iajs-2290 168 22 + + CCONJ iajs-2290 168 23 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 168 24 ) ) PUNCT iajs-2290 168 25 and and CCONJ iajs-2290 168 26 ( ( PUNCT iajs-2290 168 27 π‘Ÿ2 π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 168 28 + + CCONJ iajs-2290 168 29 𝑠2)𝐾 𝑠2)𝐾 NOUN iajs-2290 168 30 ⊈ ⊈ X iajs-2290 168 31 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 168 32 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 168 33 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 168 34 ) ) PUNCT iajs-2290 168 35 + + CCONJ iajs-2290 168 36 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 168 37 ) ) PUNCT iajs-2290 168 38 , , PUNCT iajs-2290 168 39 it it PRON iajs-2290 168 40 follows follow VERB iajs-2290 168 41 that that SCONJ iajs-2290 168 42 ( ( PUNCT iajs-2290 168 43 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2290 168 44 + + CCONJ iajs-2290 168 45 𝑠1)(π‘Ÿ2 𝑠1)(π‘Ÿ2 NOUN iajs-2290 169 1 + + CCONJ iajs-2290 169 2 𝑠2 𝑠2 NOUN iajs-2290 169 3 ) ) PUNCT iajs-2290 169 4 = = SYM iajs-2290 169 5 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 PROPN iajs-2290 170 1 + + NOUN iajs-2290 170 2 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 PUNCT iajs-2290 170 3 + + X iajs-2290 170 4 𝑠1π‘Ÿ2 𝑠1π‘Ÿ2 X iajs-2290 170 5 + + X iajs-2290 170 6 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 PROPN iajs-2290 170 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 170 8 [ [ X iajs-2290 170 9 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 170 10 + + CCONJ iajs-2290 170 11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 170 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 170 13 ] ] PUNCT iajs-2290 170 14 by by ADP iajs-2290 170 15 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 170 16 ) ) PUNCT iajs-2290 170 17 . . PUNCT iajs-2290 170 18 again again ADV iajs-2290 170 19 since since SCONJ iajs-2290 170 20 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 π‘Ÿ1π‘Ÿ2 PROPN iajs-2290 170 21 , , PUNCT iajs-2290 170 22 π‘Ÿ1𝑠2 π‘Ÿ1𝑠2 AUX iajs-2290 170 23 , , PUNCT iajs-2290 170 24 𝑠1π‘Ÿ2 𝑠1π‘Ÿ2 PROPN iajs-2290 170 25 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 170 26 [ [ X iajs-2290 170 27 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 170 28 + + PROPN iajs-2290 170 29 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 170 30 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 170 31 ] ] PUNCT iajs-2290 170 32 , , PUNCT iajs-2290 170 33 we we PRON iajs-2290 170 34 get get VERB iajs-2290 170 35 that that DET iajs-2290 170 36 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 ADP iajs-2290 170 37 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 170 38 [ [ X iajs-2290 170 39 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 170 40 + + PROPN iajs-2290 170 41 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 170 42 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 170 43 ] ] PUNCT iajs-2290 170 44 a a DET iajs-2290 170 45 contradiction contradiction NOUN iajs-2290 170 46 . . PUNCT iajs-2290 171 1 thus thus ADV iajs-2290 171 2 we we PRON iajs-2290 171 3 have have VERB iajs-2290 171 4 either either CCONJ iajs-2290 171 5 𝐼𝐾 𝐼𝐾 PROPN iajs-2290 171 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 171 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 171 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 171 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 171 10 ) ) PUNCT iajs-2290 171 11 + + CCONJ iajs-2290 172 1 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 172 2 ) ) PUNCT iajs-2290 172 3 or or CCONJ iajs-2290 172 4 𝐽𝐾 𝐽𝐾 PROPN iajs-2290 172 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 172 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 172 7 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 172 8 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 172 9 ) ) PUNCT iajs-2290 172 10 + + CCONJ iajs-2290 172 11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 172 12 ) ) PUNCT iajs-2290 172 13 . . PUNCT iajs-2290 173 1 ( ( PUNCT iajs-2290 173 2 ⟸ ⟸ ADV iajs-2290 173 3 ) ) PUNCT iajs-2290 173 4 obvious obvious ADJ iajs-2290 173 5 . . PUNCT iajs-2290 174 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 174 2 ( ( PUNCT iajs-2290 174 3 6 6 NUM iajs-2290 174 4 ) ) PUNCT iajs-2290 174 5 let let VERB iajs-2290 174 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 174 7 be be AUX iajs-2290 174 8 a a DET iajs-2290 174 9 proper proper ADJ iajs-2290 174 10 submodule submodule NOUN iajs-2290 174 11 of of ADP iajs-2290 174 12 an an DET iajs-2290 174 13 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 174 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 174 15 , , PUNCT iajs-2290 174 16 with with ADP iajs-2290 174 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 174 18 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 174 19 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 174 20 ) ) PUNCT iajs-2290 174 21 is be AUX iajs-2290 174 22 a a DET iajs-2290 174 23 prime prime ADJ iajs-2290 174 24 submodule submodule NOUN iajs-2290 174 25 of of ADP iajs-2290 174 26 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 174 27 then then ADV iajs-2290 174 28 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 174 29 is be AUX iajs-2290 174 30 a a DET iajs-2290 174 31 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 174 32 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 174 33 - - PUNCT iajs-2290 174 34 absorbing absorb VERB iajs-2290 174 35 submodule submodule NOUN iajs-2290 174 36 of of ADP iajs-2290 174 37 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 174 38 proof proof NOUN iajs-2290 174 39 suppose suppose VERB iajs-2290 174 40 that that SCONJ iajs-2290 174 41 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 174 42 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 174 43 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 174 44 , , PUNCT iajs-2290 174 45 where where SCONJ iajs-2290 174 46 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 174 47 , , PUNCT iajs-2290 174 48 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 174 49 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 174 50 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 174 51 , , PUNCT iajs-2290 174 52 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 174 53 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 174 54 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 174 55 and and CCONJ iajs-2290 174 56 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 174 57 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2290 174 58 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 174 59 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 174 60 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 174 61 ) ) PUNCT iajs-2290 174 62 + + CCONJ iajs-2290 174 63 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 174 64 ) ) PUNCT iajs-2290 174 65 . . PUNCT iajs-2290 175 1 since since SCONJ iajs-2290 175 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 175 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 175 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 175 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 175 7 ) ) PUNCT iajs-2290 175 8 , , PUNCT iajs-2290 175 9 then then ADV iajs-2290 175 10 π‘Ÿ(𝑠π‘₯ π‘Ÿ(𝑠π‘₯ NOUN iajs-2290 175 11 ) ) PUNCT iajs-2290 175 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 175 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 14 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 175 15 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 175 16 ) ) PUNCT iajs-2290 175 17 , , PUNCT iajs-2290 175 18 but but CCONJ iajs-2290 175 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 20 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 175 21 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 175 22 ) ) PUNCT iajs-2290 175 23 is be AUX iajs-2290 175 24 a a DET iajs-2290 175 25 prime prime ADJ iajs-2290 175 26 submodule submodule NOUN iajs-2290 175 27 of of ADP iajs-2290 175 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 29 , , PUNCT iajs-2290 175 30 then then ADV iajs-2290 175 31 π‘Ÿπ‘Š π‘Ÿπ‘Š VERB iajs-2290 175 32 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 175 33 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 34 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 175 35 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 175 36 ) ) PUNCT iajs-2290 175 37 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 175 38 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 175 39 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 175 40 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 175 41 ) ) PUNCT iajs-2290 176 1 + + CCONJ iajs-2290 176 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 176 3 ) ) PUNCT iajs-2290 176 4 . . PUNCT iajs-2290 177 1 that that PRON iajs-2290 177 2 is be AUX iajs-2290 177 3 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2290 177 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 177 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 177 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 177 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 177 8 ) ) PUNCT iajs-2290 177 9 + + CCONJ iajs-2290 177 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 177 11 ) ) PUNCT iajs-2290 177 12 , , PUNCT iajs-2290 177 13 for for SCONJ iajs-2290 177 14 some some DET iajs-2290 177 15 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 177 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 177 17 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 177 18 thus thus ADV iajs-2290 177 19 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 177 20 is be AUX iajs-2290 177 21 a a DET iajs-2290 177 22 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 177 23 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 177 24 - - PUNCT iajs-2290 177 25 absorbing absorb VERB iajs-2290 177 26 submodule submodule NOUN iajs-2290 177 27 of of ADP iajs-2290 177 28 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 177 29 lemma lemma PROPN iajs-2290 177 30 ( ( PUNCT iajs-2290 177 31 7)[11 7)[11 NUM iajs-2290 177 32 , , PUNCT iajs-2290 177 33 ex ex NOUN iajs-2290 177 34 . . NOUN iajs-2290 177 35 10 10 NUM iajs-2290 177 36 , , PUNCT iajs-2290 177 37 p. p. NOUN iajs-2290 177 38 29 29 NUM iajs-2290 177 39 ] ] PUNCT iajs-2290 177 40 let let VERB iajs-2290 177 41 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 177 42 be be AUX iajs-2290 177 43 an an DET iajs-2290 177 44 essential essential ADJ iajs-2290 177 45 submodule submodule NOUN iajs-2290 177 46 of of ADP iajs-2290 177 47 an an DET iajs-2290 177 48 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 177 49 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 177 50 , , PUNCT iajs-2290 177 51 then then ADV iajs-2290 177 52 π‘ π‘œπ‘(𝐿 π‘ π‘œπ‘(𝐿 NUM iajs-2290 177 53 ) ) PUNCT iajs-2290 177 54 = = SYM iajs-2290 177 55 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 177 56 ) ) PUNCT iajs-2290 177 57 . . PUNCT iajs-2290 178 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 178 2 ( ( PUNCT iajs-2290 178 3 8) 8) NUM iajs-2290 178 4 let let VERB iajs-2290 178 5 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 6 and and CCONJ iajs-2290 178 7 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 178 8 are be AUX iajs-2290 178 9 proper proper ADJ iajs-2290 178 10 submodules submodule NOUN iajs-2290 178 11 of of ADP iajs-2290 178 12 an an DET iajs-2290 178 13 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 178 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 178 15 such such ADJ iajs-2290 178 16 that that SCONJ iajs-2290 178 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 18 ⊊ ⊊ VERB iajs-2290 178 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 178 20 and and CCONJ iajs-2290 178 21 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 178 22 is be AUX iajs-2290 178 23 an an DET iajs-2290 178 24 essential essential ADJ iajs-2290 178 25 submodule submodule NOUN iajs-2290 178 26 of of ADP iajs-2290 178 27 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 178 28 if if SCONJ iajs-2290 178 29 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 30 is be AUX iajs-2290 178 31 a a DET iajs-2290 178 32 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 178 33 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 178 34 - - PUNCT iajs-2290 178 35 absorbing absorb VERB iajs-2290 178 36 submodule submodule NOUN iajs-2290 178 37 of of ADP iajs-2290 178 38 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 178 39 , , PUNCT iajs-2290 178 40 then then ADV iajs-2290 178 41 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 42 is be AUX iajs-2290 178 43 a a DET iajs-2290 178 44 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 178 45 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 178 46 - - PUNCT iajs-2290 178 47 absorbing absorb VERB iajs-2290 178 48 submodule submodule NOUN iajs-2290 178 49 of of ADP iajs-2290 178 50 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 178 51 proof proof NOUN iajs-2290 178 52 suppose suppose VERB iajs-2290 178 53 that that SCONJ iajs-2290 178 54 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 178 55 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 178 56 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 57 , , PUNCT iajs-2290 178 58 where where SCONJ iajs-2290 178 59 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 178 60 , , PUNCT iajs-2290 178 61 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 178 62 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 178 63 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 178 64 , , PUNCT iajs-2290 178 65 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 178 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 178 67 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 178 68 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2290 178 69 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 178 70 since since SCONJ iajs-2290 178 71 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 178 72 is be AUX iajs-2290 178 73 a a DET iajs-2290 178 74 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 178 75 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 178 76 submodule submodule NOUN iajs-2290 178 77 of of ADP iajs-2290 178 78 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 178 79 , , PUNCT iajs-2290 178 80 implies imply VERB iajs-2290 178 81 that that SCONJ iajs-2290 178 82 either either CCONJ iajs-2290 178 83 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 178 84 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 178 85 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 178 86 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 178 87 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 178 88 ) ) PUNCT iajs-2290 178 89 + + CCONJ iajs-2290 178 90 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 178 91 ) ) PUNCT iajs-2290 178 92 or or CCONJ iajs-2290 178 93 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 178 94 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 178 95 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 178 96 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 178 97 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 178 98 ) ) PUNCT iajs-2290 179 1 + + CCONJ iajs-2290 179 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 179 3 ) ) PUNCT iajs-2290 179 4 or or CCONJ iajs-2290 179 5 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 179 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 179 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 179 8 + + CCONJ iajs-2290 179 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 179 10 ) ) PUNCT iajs-2290 179 11 . . PUNCT iajs-2290 180 1 but but CCONJ iajs-2290 180 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 180 3 is be AUX iajs-2290 180 4 an an DET iajs-2290 180 5 essential essential ADJ iajs-2290 180 6 submodule submodule NOUN iajs-2290 180 7 of of ADP iajs-2290 180 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 180 9 , , PUNCT iajs-2290 180 10 then then ADV iajs-2290 180 11 by by ADP iajs-2290 180 12 lemma(7 lemma(7 PROPN iajs-2290 180 13 ) ) PUNCT iajs-2290 180 14 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 180 15 ) ) PUNCT iajs-2290 180 16 = = SYM iajs-2290 180 17 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 180 18 ) ) PUNCT iajs-2290 180 19 . . PUNCT iajs-2290 181 1 hence hence ADV iajs-2290 181 2 we we PRON iajs-2290 181 3 have have VERB iajs-2290 181 4 either either CCONJ iajs-2290 181 5 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 181 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 181 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 181 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 181 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 181 10 ) ) PUNCT iajs-2290 181 11 + + CCONJ iajs-2290 181 12 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 181 13 ) ) PUNCT iajs-2290 181 14 or or CCONJ iajs-2290 181 15 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 181 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 181 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 181 18 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 181 19 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 181 20 ) ) PUNCT iajs-2290 181 21 + + NUM iajs-2290 181 22 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 181 23 ) ) PUNCT iajs-2290 181 24 or or CCONJ iajs-2290 181 25 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 181 26 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 181 27 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 181 28 + + NOUN iajs-2290 181 29 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 181 30 ) ) PUNCT iajs-2290 181 31 . . PUNCT iajs-2290 182 1 thus thus ADV iajs-2290 182 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 182 3 is be AUX iajs-2290 182 4 a a DET iajs-2290 182 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 182 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 182 7 - - PUNCT iajs-2290 182 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 182 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 182 10 of of ADP iajs-2290 182 11 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 182 12 before before SCONJ iajs-2290 182 13 we we PRON iajs-2290 182 14 introduce introduce VERB iajs-2290 182 15 the the DET iajs-2290 182 16 next next ADJ iajs-2290 182 17 result result NOUN iajs-2290 182 18 we we PRON iajs-2290 182 19 need need VERB iajs-2290 182 20 to to PART iajs-2290 182 21 recall recall VERB iajs-2290 182 22 the the DET iajs-2290 182 23 following follow VERB iajs-2290 182 24 lemmas lemmas PROPN iajs-2290 182 25 . . PUNCT iajs-2290 183 1 lemma lemma PROPN iajs-2290 183 2 ( ( PUNCT iajs-2290 183 3 9)[13 9)[13 NUM iajs-2290 183 4 , , PUNCT iajs-2290 183 5 lemma(2.3.15 lemma(2.3.15 NOUN iajs-2290 183 6 ) ) PUNCT iajs-2290 183 7 ] ] PUNCT iajs-2290 183 8 let let VERB iajs-2290 183 9 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 183 10 , , PUNCT iajs-2290 183 11 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 183 12 and and CCONJ iajs-2290 183 13 𝐷 𝐷 PROPN iajs-2290 183 14 are be AUX iajs-2290 183 15 submodules submodule NOUN iajs-2290 183 16 of of ADP iajs-2290 183 17 an an DET iajs-2290 183 18 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 183 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 183 20 with with ADP iajs-2290 183 21 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 183 22 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 183 23 𝐷 𝐷 PROPN iajs-2290 183 24 , , PUNCT iajs-2290 183 25 then then ADV iajs-2290 183 26 ( ( PUNCT iajs-2290 183 27 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 183 28 + + CCONJ iajs-2290 183 29 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 183 30 ) ) PUNCT iajs-2290 183 31 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 183 32 𝐷 𝐷 NOUN iajs-2290 183 33 = = SYM iajs-2290 183 34 ( ( PUNCT iajs-2290 183 35 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 183 36 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 183 37 𝐷 𝐷 NOUN iajs-2290 183 38 ) ) PUNCT iajs-2290 184 1 + + NOUN iajs-2290 184 2 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2290 184 3 = = SYM iajs-2290 184 4 ( ( PUNCT iajs-2290 184 5 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 184 6 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 184 7 𝐷 𝐷 NOUN iajs-2290 184 8 ) ) PUNCT iajs-2290 184 9 + + CCONJ iajs-2290 184 10 ( ( PUNCT iajs-2290 184 11 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 184 12 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 184 13 𝐷 𝐷 NOUN iajs-2290 184 14 ) ) PUNCT iajs-2290 184 15 . . PUNCT iajs-2290 185 1 lemma lemma PROPN iajs-2290 185 2 ( ( PUNCT iajs-2290 185 3 10)[14 10)[14 NUM iajs-2290 185 4 , , PUNCT iajs-2290 185 5 coro(9.9 coro(9.9 NOUN iajs-2290 185 6 ) ) PUNCT iajs-2290 185 7 ] ] PUNCT iajs-2290 185 8 let let VERB iajs-2290 185 9 𝐾 𝐾 PRON iajs-2290 185 10 be be AUX iajs-2290 185 11 a a DET iajs-2290 185 12 submodule submodule NOUN iajs-2290 185 13 of of ADP iajs-2290 185 14 an an DET iajs-2290 185 15 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 185 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 185 17 , , PUNCT iajs-2290 185 18 then then ADV iajs-2290 185 19 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 185 20 ) ) PUNCT iajs-2290 185 21 = = SYM iajs-2290 185 22 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 185 23 ∩ ∩ NOUN iajs-2290 185 24 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 185 25 ) ) PUNCT iajs-2290 185 26 . . PUNCT iajs-2290 186 1 134 134 NUM iajs-2290 186 2 ibn ibn PROPN iajs-2290 186 3 al al PROPN iajs-2290 186 4 - - PUNCT iajs-2290 186 5 haitham haitham PROPN iajs-2290 186 6 jour jour X iajs-2290 186 7 . . PROPN iajs-2290 186 8 for for ADP iajs-2290 186 9 pure pure ADJ iajs-2290 186 10 & & CCONJ iajs-2290 186 11 appl appl PROPN iajs-2290 186 12 . . PUNCT iajs-2290 187 1 sci sci PROPN iajs-2290 187 2 . . PROPN iajs-2290 187 3 32 32 NUM iajs-2290 187 4 ( ( PUNCT iajs-2290 187 5 3 3 NUM iajs-2290 187 6 ) ) SYM iajs-2290 187 7 2019 2019 NUM iajs-2290 187 8 proposition proposition NOUN iajs-2290 187 9 ( ( PUNCT iajs-2290 187 10 11 11 NUM iajs-2290 187 11 ) ) PUNCT iajs-2290 187 12 let let VERB iajs-2290 187 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 14 and and CCONJ iajs-2290 187 15 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 187 16 be be VERB iajs-2290 187 17 a a DET iajs-2290 187 18 proper proper ADJ iajs-2290 187 19 submodules submodule NOUN iajs-2290 187 20 of of ADP iajs-2290 187 21 an an DET iajs-2290 187 22 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 187 23 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 187 24 with with ADP iajs-2290 187 25 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 26 ⊊ ⊊ NOUN iajs-2290 187 27 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 187 28 and and CCONJ iajs-2290 187 29 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 187 30 ) ) PUNCT iajs-2290 187 31 βŠ† βŠ† X iajs-2290 187 32 𝐾. 𝐾. NOUN iajs-2290 187 33 if if SCONJ iajs-2290 187 34 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 35 is be AUX iajs-2290 187 36 a a DET iajs-2290 187 37 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 187 38 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 187 39 - - PUNCT iajs-2290 187 40 absorbing absorb VERB iajs-2290 187 41 submodule submodule NOUN iajs-2290 187 42 of of ADP iajs-2290 187 43 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 187 44 , , PUNCT iajs-2290 187 45 then then ADV iajs-2290 187 46 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 47 is be AUX iajs-2290 187 48 a a DET iajs-2290 187 49 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 187 50 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 187 51 - - PUNCT iajs-2290 187 52 absorbing absorb VERB iajs-2290 187 53 submodule submodule NOUN iajs-2290 187 54 of of ADP iajs-2290 187 55 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 187 56 proof proof NOUN iajs-2290 187 57 let let VERB iajs-2290 187 58 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ NUM iajs-2290 187 59 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 187 60 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 61 , , PUNCT iajs-2290 187 62 where where SCONJ iajs-2290 187 63 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 187 64 , , PUNCT iajs-2290 187 65 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 187 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 187 67 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 187 68 , , PUNCT iajs-2290 187 69 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 187 70 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 187 71 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 187 72 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2290 187 73 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 187 74 since since SCONJ iajs-2290 187 75 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 187 76 is be AUX iajs-2290 187 77 a a DET iajs-2290 187 78 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 187 79 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 187 80 - - PUNCT iajs-2290 187 81 absorbing absorb VERB iajs-2290 187 82 submodule submodule NOUN iajs-2290 187 83 of of ADP iajs-2290 187 84 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 187 85 , , PUNCT iajs-2290 187 86 implies imply VERB iajs-2290 187 87 that that SCONJ iajs-2290 187 88 either either CCONJ iajs-2290 187 89 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 187 90 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 187 91 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 187 92 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 187 93 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 187 94 ) ) PUNCT iajs-2290 188 1 + + CCONJ iajs-2290 188 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 188 3 ) ) PUNCT iajs-2290 188 4 or or CCONJ iajs-2290 188 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 188 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 188 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 188 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 188 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 188 10 ) ) PUNCT iajs-2290 188 11 + + CCONJ iajs-2290 188 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 188 13 ) ) PUNCT iajs-2290 188 14 or or CCONJ iajs-2290 188 15 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 188 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 188 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 188 18 + + CCONJ iajs-2290 188 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 188 20 ) ) PUNCT iajs-2290 188 21 . . PUNCT iajs-2290 189 1 that that PRON iajs-2290 189 2 is be AUX iajs-2290 189 3 either either CCONJ iajs-2290 189 4 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2290 189 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 189 6 ( ( PUNCT iajs-2290 189 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 189 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 189 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 189 10 ) ) PUNCT iajs-2290 189 11 + + CCONJ iajs-2290 189 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 189 13 ) ) PUNCT iajs-2290 189 14 ) ) PUNCT iajs-2290 189 15 ∩ ∩ PROPN iajs-2290 189 16 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 189 17 or or CCONJ iajs-2290 189 18 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 189 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 189 20 ( ( PUNCT iajs-2290 189 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 189 22 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 189 23 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 189 24 ) ) PUNCT iajs-2290 189 25 + + CCONJ iajs-2290 189 26 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 189 27 ) ) PUNCT iajs-2290 189 28 ) ) PUNCT iajs-2290 189 29 ∩ ∩ NOUN iajs-2290 189 30 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 189 31 or or CCONJ iajs-2290 189 32 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 189 33 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 189 34 ( ( PUNCT iajs-2290 189 35 𝐿 𝐿 NOUN iajs-2290 189 36 + + CCONJ iajs-2290 189 37 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 189 38 ) ) PUNCT iajs-2290 189 39 ) ) PUNCT iajs-2290 189 40 ∩ ∩ NOUN iajs-2290 190 1 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 190 2 but but CCONJ iajs-2290 190 3 by by ADP iajs-2290 190 4 lemma lemma PROPN iajs-2290 190 5 ( ( PUNCT iajs-2290 190 6 9 9 NUM iajs-2290 190 7 ) ) PUNCT iajs-2290 190 8 ( ( PUNCT iajs-2290 190 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 190 10 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 190 11 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 190 12 ) ) PUNCT iajs-2290 190 13 + + CCONJ iajs-2290 190 14 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 190 15 ) ) PUNCT iajs-2290 190 16 ) ) PUNCT iajs-2290 190 17 ∩ ∩ NOUN iajs-2290 190 18 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 190 19 = = SYM iajs-2290 190 20 ( ( PUNCT iajs-2290 190 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 190 22 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 190 23 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 190 24 ) ) PUNCT iajs-2290 190 25 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 190 26 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 190 27 ) ) PUNCT iajs-2290 190 28 + + CCONJ iajs-2290 190 29 ( ( PUNCT iajs-2290 190 30 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 190 31 ) ) PUNCT iajs-2290 190 32 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 190 33 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 190 34 ) ) PUNCT iajs-2290 190 35 = = SYM iajs-2290 190 36 ( ( PUNCT iajs-2290 190 37 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 190 38 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 190 39 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 190 40 ) ) PUNCT iajs-2290 190 41 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 190 42 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 190 43 ) ) PUNCT iajs-2290 190 44 + + NUM iajs-2290 190 45 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 190 46 ) ) PUNCT iajs-2290 190 47 by by ADP iajs-2290 190 48 lemma(10 lemma(10 NOUN iajs-2290 190 49 ) ) PUNCT iajs-2290 190 50 . . PUNCT iajs-2290 191 1 thus thus ADV iajs-2290 191 2 we we PRON iajs-2290 191 3 have have VERB iajs-2290 191 4 either either CCONJ iajs-2290 191 5 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2290 191 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 191 7 ( ( PUNCT iajs-2290 191 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 191 9 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 191 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 191 11 ) ) PUNCT iajs-2290 191 12 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 191 13 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 191 14 ) ) PUNCT iajs-2290 191 15 + + NUM iajs-2290 191 16 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 17 ) ) PUNCT iajs-2290 191 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 191 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 191 20 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 191 21 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 191 22 ) ) PUNCT iajs-2290 191 23 + + CCONJ iajs-2290 191 24 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 25 ) ) PUNCT iajs-2290 191 26 or or CCONJ iajs-2290 191 27 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 191 28 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 191 29 ( ( PUNCT iajs-2290 191 30 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 191 31 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 191 32 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 191 33 ) ) PUNCT iajs-2290 191 34 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 191 35 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 191 36 ) ) PUNCT iajs-2290 191 37 + + NUM iajs-2290 191 38 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 39 ) ) PUNCT iajs-2290 191 40 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 191 41 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 191 42 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 191 43 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 191 44 ) ) PUNCT iajs-2290 191 45 + + NUM iajs-2290 191 46 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 47 ) ) PUNCT iajs-2290 191 48 or or CCONJ iajs-2290 191 49 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NUM iajs-2290 191 50 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 191 51 ( ( PUNCT iajs-2290 191 52 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 191 53 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 191 54 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 191 55 ) ) PUNCT iajs-2290 191 56 + + CCONJ iajs-2290 191 57 ( ( PUNCT iajs-2290 191 58 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 191 59 ) ) PUNCT iajs-2290 191 60 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 191 61 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 191 62 ) ) PUNCT iajs-2290 191 63 = = SYM iajs-2290 191 64 ( ( PUNCT iajs-2290 191 65 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 191 66 ∩ ∩ ADJ iajs-2290 191 67 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 191 68 ) ) PUNCT iajs-2290 191 69 + + NUM iajs-2290 191 70 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 71 ) ) PUNCT iajs-2290 191 72 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 191 73 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 191 74 + + NOUN iajs-2290 191 75 π‘ π‘œπ‘(𝐾 π‘ π‘œπ‘(𝐾 NUM iajs-2290 191 76 ) ) PUNCT iajs-2290 191 77 . . PUNCT iajs-2290 192 1 hence hence ADV iajs-2290 192 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 192 3 is be AUX iajs-2290 192 4 a a DET iajs-2290 192 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 192 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 192 7 - - PUNCT iajs-2290 192 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 192 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 192 10 of of ADP iajs-2290 192 11 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2290 192 12 recall recall VERB iajs-2290 192 13 that that PRON iajs-2290 192 14 for for ADP iajs-2290 192 15 any any DET iajs-2290 192 16 submodules submodule NOUN iajs-2290 192 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 192 18 , , PUNCT iajs-2290 192 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 192 20 of of ADP iajs-2290 192 21 a a DET iajs-2290 192 22 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 192 23 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 192 24 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 192 25 with with ADP iajs-2290 192 26 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 192 27 = = SYM iajs-2290 192 28 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 192 29 , , PUNCT iajs-2290 192 30 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 192 31 = = SYM iajs-2290 192 32 π½π‘Š π½π‘Š PROPN iajs-2290 192 33 for for ADP iajs-2290 192 34 some some DET iajs-2290 192 35 ideals ideal NOUN iajs-2290 192 36 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 192 37 and and CCONJ iajs-2290 192 38 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 192 39 of of ADP iajs-2290 192 40 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 192 41 the the DET iajs-2290 192 42 product product NOUN iajs-2290 193 1 𝐿𝐾 𝐿𝐾 PROPN iajs-2290 193 2 = = SYM iajs-2290 193 3 πΌπ‘Š. πΌπ‘Š. X iajs-2290 193 4 π½π‘Š π½π‘Š PROPN iajs-2290 193 5 = = SYM iajs-2290 193 6 πΌπ½π‘Š. πΌπ½π‘Š. PROPN iajs-2290 193 7 that that PRON iajs-2290 193 8 is be AUX iajs-2290 193 9 𝐿𝐾 𝐿𝐾 PROPN iajs-2290 193 10 = = SYM iajs-2290 193 11 𝐼𝐾 𝐼𝐾 PROPN iajs-2290 193 12 , , PUNCT iajs-2290 194 1 in in ADP iajs-2290 194 2 particular particular ADJ iajs-2290 194 3 πΏπ‘Š πΏπ‘Š PROPN iajs-2290 194 4 = = SYM iajs-2290 194 5 πΌπ‘Šπ‘Š πΌπ‘Šπ‘Š PROPN iajs-2290 194 6 = = PUNCT iajs-2290 194 7 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 194 8 = = SYM iajs-2290 194 9 𝐿. 𝐿. NOUN iajs-2290 194 10 also also ADV iajs-2290 194 11 for for ADP iajs-2290 194 12 any any DET iajs-2290 194 13 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 194 14 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 194 15 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 194 16 we we PRON iajs-2290 194 17 have have AUX iajs-2290 194 18 𝐿π‘₯ 𝐿π‘₯ PROPN iajs-2290 194 19 = = SYM iajs-2290 194 20 𝐼π‘₯[15 𝐼π‘₯[15 PROPN iajs-2290 194 21 ] ] PUNCT iajs-2290 194 22 . . PUNCT iajs-2290 195 1 the the DET iajs-2290 195 2 following following ADJ iajs-2290 195 3 result result NOUN iajs-2290 195 4 gives give VERB iajs-2290 195 5 a a DET iajs-2290 195 6 characterization characterization NOUN iajs-2290 195 7 of of ADP iajs-2290 195 8 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 195 9 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 195 10 - - PUNCT iajs-2290 195 11 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 195 12 submodules submodule NOUN iajs-2290 195 13 in in ADP iajs-2290 195 14 class class NOUN iajs-2290 195 15 of of ADP iajs-2290 195 16 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 195 17 modules module NOUN iajs-2290 195 18 . . PUNCT iajs-2290 196 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 196 2 ( ( PUNCT iajs-2290 196 3 12 12 NUM iajs-2290 196 4 ) ) PUNCT iajs-2290 196 5 let let VERB iajs-2290 196 6 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 196 7 be be AUX iajs-2290 196 8 a a DET iajs-2290 196 9 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 196 10 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 196 11 and and CCONJ iajs-2290 196 12 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 196 13 is be AUX iajs-2290 196 14 a a DET iajs-2290 196 15 proper proper ADJ iajs-2290 196 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 196 17 of of ADP iajs-2290 196 18 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 196 19 then then ADV iajs-2290 196 20 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 196 21 is be AUX iajs-2290 196 22 a a DET iajs-2290 196 23 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 196 24 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 196 25 - - PUNCT iajs-2290 196 26 absorbing absorb VERB iajs-2290 196 27 submodule submodule NOUN iajs-2290 196 28 of of ADP iajs-2290 196 29 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 196 30 if if SCONJ iajs-2290 196 31 and and CCONJ iajs-2290 196 32 only only ADV iajs-2290 196 33 if if SCONJ iajs-2290 196 34 , , PUNCT iajs-2290 196 35 whenever whenever SCONJ iajs-2290 196 36 𝐿1𝐿2𝐿3 𝐿1𝐿2𝐿3 PROPN iajs-2290 196 37 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 196 38 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 196 39 for for ADP iajs-2290 196 40 𝐿1 𝐿1 PROPN iajs-2290 196 41 , , PUNCT iajs-2290 196 42 𝐿2 𝐿2 PROPN iajs-2290 196 43 , , PUNCT iajs-2290 196 44 𝐿3 𝐿3 NOUN iajs-2290 196 45 are be AUX iajs-2290 196 46 submodules submodule NOUN iajs-2290 196 47 of of ADP iajs-2290 196 48 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 196 49 , , PUNCT iajs-2290 196 50 implies imply VERB iajs-2290 196 51 that that SCONJ iajs-2290 196 52 either either CCONJ iajs-2290 196 53 𝐿1𝐿3 𝐿1𝐿3 PROPN iajs-2290 196 54 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 196 55 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 196 56 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 196 57 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 196 58 ) ) PUNCT iajs-2290 196 59 + + CCONJ iajs-2290 196 60 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 196 61 ) ) PUNCT iajs-2290 196 62 or or CCONJ iajs-2290 196 63 𝐿2𝐿3 𝐿2𝐿3 PROPN iajs-2290 196 64 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 196 65 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 196 66 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 196 67 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 196 68 ) ) PUNCT iajs-2290 197 1 + + CCONJ iajs-2290 197 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 197 3 ) ) PUNCT iajs-2290 197 4 or or CCONJ iajs-2290 197 5 𝐿1𝐿2π‘Š 𝐿1𝐿2π‘Š NUM iajs-2290 197 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 197 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 197 8 + + CCONJ iajs-2290 197 9 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 197 10 ) ) PUNCT iajs-2290 197 11 . . PUNCT iajs-2290 198 1 proof proof NOUN iajs-2290 198 2 ( ( PUNCT iajs-2290 198 3 ⟹ ⟹ X iajs-2290 198 4 ) ) PUNCT iajs-2290 198 5 let let VERB iajs-2290 198 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 198 7 be be AUX iajs-2290 198 8 is be AUX iajs-2290 198 9 a a DET iajs-2290 198 10 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 198 11 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 198 12 - - PUNCT iajs-2290 198 13 absorbing absorb VERB iajs-2290 198 14 submodule submodule NOUN iajs-2290 198 15 of of ADP iajs-2290 198 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 198 17 and and CCONJ iajs-2290 198 18 𝐿1𝐿2𝐿3 𝐿1𝐿2𝐿3 PROPN iajs-2290 198 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 198 20 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 198 21 for for ADP iajs-2290 198 22 𝐿1 𝐿1 PROPN iajs-2290 198 23 , , PUNCT iajs-2290 198 24 𝐿2 𝐿2 PROPN iajs-2290 198 25 , , PUNCT iajs-2290 198 26 𝐿3 𝐿3 NOUN iajs-2290 198 27 are be AUX iajs-2290 198 28 submodules submodule NOUN iajs-2290 198 29 of of ADP iajs-2290 198 30 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 198 31 , , PUNCT iajs-2290 198 32 with with ADP iajs-2290 198 33 𝐿1𝐿2π‘Š 𝐿1𝐿2π‘Š NUM iajs-2290 199 1 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2290 199 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 199 3 + + CCONJ iajs-2290 199 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 199 5 ) ) PUNCT iajs-2290 199 6 . . PUNCT iajs-2290 200 1 since since SCONJ iajs-2290 200 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 200 3 is be AUX iajs-2290 200 4 a a DET iajs-2290 200 5 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 200 6 , , PUNCT iajs-2290 200 7 then then ADV iajs-2290 200 8 𝐿1 𝐿1 VERB iajs-2290 200 9 = = SYM iajs-2290 200 10 𝐼1π‘Š 𝐼1π‘Š PROPN iajs-2290 200 11 and and CCONJ iajs-2290 200 12 𝐿2 𝐿2 PROPN iajs-2290 200 13 = = SYM iajs-2290 200 14 𝐼2π‘Š 𝐼2π‘Š PROPN iajs-2290 200 15 for for ADP iajs-2290 200 16 some some DET iajs-2290 200 17 ideals ideal NOUN iajs-2290 200 18 𝐼1 𝐼1 NOUN iajs-2290 200 19 , , PUNCT iajs-2290 200 20 𝐼2 𝐼2 PROPN iajs-2290 200 21 , , PUNCT iajs-2290 200 22 𝐼3 𝐼3 NOUN iajs-2290 200 23 of of ADP iajs-2290 200 24 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 200 25 clearly clearly ADV iajs-2290 200 26 𝐼1𝐼2𝐿3 𝐼1𝐼2𝐿3 PROPN iajs-2290 200 27 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 200 28 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 200 29 and and CCONJ iajs-2290 200 30 𝐼1𝐼2 𝐼1𝐼2 PRON iajs-2290 200 31 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2290 201 1 [ [ X iajs-2290 201 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 201 3 + + CCONJ iajs-2290 201 4 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 201 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 201 6 ] ] PUNCT iajs-2290 201 7 . . PUNCT iajs-2290 202 1 since since SCONJ iajs-2290 202 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 202 3 is be AUX iajs-2290 202 4 a a DET iajs-2290 202 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 202 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 202 7 - - PUNCT iajs-2290 202 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 202 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 202 10 of of ADP iajs-2290 202 11 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 202 12 , , PUNCT iajs-2290 202 13 implies imply VERB iajs-2290 202 14 that that SCONJ iajs-2290 202 15 either either CCONJ iajs-2290 202 16 𝐼1𝐿3 𝐼1𝐿3 NUM iajs-2290 202 17 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 202 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 202 19 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 202 20 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 202 21 ) ) PUNCT iajs-2290 202 22 + + CCONJ iajs-2290 202 23 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 202 24 ) ) PUNCT iajs-2290 202 25 or or CCONJ iajs-2290 202 26 𝐼2𝐿3 𝐼2𝐿3 PROPN iajs-2290 202 27 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 202 28 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 202 29 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 202 30 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 202 31 ) ) PUNCT iajs-2290 202 32 + + CCONJ iajs-2290 202 33 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 202 34 ) ) PUNCT iajs-2290 202 35 , , PUNCT iajs-2290 202 36 it it PRON iajs-2290 202 37 follows follow VERB iajs-2290 202 38 that that SCONJ iajs-2290 202 39 either either CCONJ iajs-2290 202 40 𝐿1𝐿3 𝐿1𝐿3 PROPN iajs-2290 202 41 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 202 42 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 202 43 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 202 44 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 202 45 ) ) PUNCT iajs-2290 203 1 + + CCONJ iajs-2290 203 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 203 3 ) ) PUNCT iajs-2290 203 4 or or CCONJ iajs-2290 203 5 𝐿2𝐿3 𝐿2𝐿3 PROPN iajs-2290 203 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 203 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 203 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 203 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 203 10 ) ) PUNCT iajs-2290 203 11 + + CCONJ iajs-2290 203 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 203 13 ) ) PUNCT iajs-2290 203 14 . . PUNCT iajs-2290 204 1 ( ( PUNCT iajs-2290 204 2 ⟸ ⟸ X iajs-2290 204 3 ) ) PUNCT iajs-2290 204 4 assume assume VERB iajs-2290 204 5 that that SCONJ iajs-2290 204 6 𝐼1𝐼2𝐾 𝐼1𝐼2𝐾 PROPN iajs-2290 204 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 204 8 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 204 9 , , PUNCT iajs-2290 204 10 where where SCONJ iajs-2290 204 11 𝐼1 𝐼1 NOUN iajs-2290 204 12 , , PUNCT iajs-2290 204 13 𝐼2 𝐼2 NOUN iajs-2290 204 14 are be AUX iajs-2290 204 15 ideals ideal NOUN iajs-2290 204 16 of of ADP iajs-2290 204 17 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 204 18 , , PUNCT iajs-2290 204 19 and and CCONJ iajs-2290 204 20 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 204 21 is be AUX iajs-2290 204 22 a a DET iajs-2290 204 23 submodule submodule NOUN iajs-2290 204 24 of of ADP iajs-2290 204 25 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 204 26 since since SCONJ iajs-2290 204 27 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 204 28 is be AUX iajs-2290 204 29 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 204 30 , , PUNCT iajs-2290 204 31 then then ADV iajs-2290 204 32 𝐼1𝐼2𝐾 𝐼1𝐼2𝐾 NOUN iajs-2290 204 33 = = PUNCT iajs-2290 204 34 𝐿1𝐿2𝐾 𝐿1𝐿2𝐾 PROPN iajs-2290 205 1 βŠ† βŠ† X iajs-2290 205 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 205 3 , , PUNCT iajs-2290 205 4 by by ADP iajs-2290 205 5 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2290 205 6 either either CCONJ iajs-2290 205 7 𝐿1𝐾 𝐿1𝐾 NUM iajs-2290 205 8 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 205 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 205 10 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 205 11 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 205 12 ) ) PUNCT iajs-2290 205 13 + + CCONJ iajs-2290 205 14 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 205 15 ) ) PUNCT iajs-2290 205 16 or or CCONJ iajs-2290 205 17 𝐿2𝐾 𝐿2𝐾 PROPN iajs-2290 205 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 205 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 205 20 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 205 21 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 205 22 ) ) PUNCT iajs-2290 205 23 + + CCONJ iajs-2290 205 24 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 205 25 ) ) PUNCT iajs-2290 205 26 or or CCONJ iajs-2290 205 27 𝐿1𝐿2 𝐿1𝐿2 VERB iajs-2290 205 28 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 205 29 [ [ X iajs-2290 205 30 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 205 31 + + PROPN iajs-2290 205 32 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 205 33 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 205 34 ] ] PUNCT iajs-2290 205 35 . . PUNCT iajs-2290 206 1 that that PRON iajs-2290 206 2 is be AUX iajs-2290 206 3 either either CCONJ iajs-2290 206 4 𝐼1𝐾 𝐼1𝐾 PROPN iajs-2290 206 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 206 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 206 7 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 206 8 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 206 9 ) ) PUNCT iajs-2290 206 10 + + CCONJ iajs-2290 207 1 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 207 2 ) ) PUNCT iajs-2290 207 3 or or CCONJ iajs-2290 207 4 𝐼2𝐾 𝐼2𝐾 X iajs-2290 207 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 207 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 207 7 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 207 8 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 207 9 ) ) PUNCT iajs-2290 207 10 + + CCONJ iajs-2290 207 11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 207 12 ) ) PUNCT iajs-2290 207 13 or or CCONJ iajs-2290 207 14 𝐼1𝐼2 𝐼1𝐼2 PRON iajs-2290 207 15 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 207 16 [ [ X iajs-2290 207 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 207 18 + + PROPN iajs-2290 207 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 π‘ π‘œπ‘(π‘Š):𝑅 PROPN iajs-2290 207 20 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 207 21 ] ] PUNCT iajs-2290 207 22 . . PUNCT iajs-2290 208 1 then then ADV iajs-2290 208 2 by by ADP iajs-2290 208 3 proposition proposition NOUN iajs-2290 208 4 ( ( PUNCT iajs-2290 208 5 5 5 X iajs-2290 208 6 ) ) PUNCT iajs-2290 208 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 208 8 is be AUX iajs-2290 208 9 a a DET iajs-2290 208 10 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 208 11 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 208 12 - - PUNCT iajs-2290 208 13 absorbing absorb VERB iajs-2290 208 14 submodule submodule NOUN iajs-2290 208 15 of of ADP iajs-2290 208 16 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 208 17 lemma lemma PROPN iajs-2290 208 18 ( ( PUNCT iajs-2290 208 19 13)[2 13)[2 NUM iajs-2290 208 20 ] ] PUNCT iajs-2290 208 21 . . PUNCT iajs-2290 209 1 let let VERB iajs-2290 209 2 𝑓 𝑓 X iajs-2290 209 3 : : PUNCT iajs-2290 209 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 209 5 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2290 209 6 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 209 7 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 209 8 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 209 9 be be VERB iajs-2290 209 10 an an DET iajs-2290 209 11 𝑅-epimorphism 𝑅-epimorphism PROPN iajs-2290 209 12 and and CCONJ iajs-2290 209 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 209 14 is be AUX iajs-2290 209 15 a a DET iajs-2290 209 16 submodule submodule NOUN iajs-2290 209 17 of of ADP iajs-2290 209 18 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 209 19 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 209 20 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 209 21 with with ADP iajs-2290 209 22 ker ker NOUN iajs-2290 209 23 ( ( PUNCT iajs-2290 209 24 𝑓 𝑓 PROPN iajs-2290 209 25 ) ) PUNCT iajs-2290 209 26 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2290 209 27 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 209 28 , , PUNCT iajs-2290 209 29 then then ADV iajs-2290 209 30 𝑓(π‘Š 𝑓(π‘Š PRON iajs-2290 209 31 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 209 32 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 209 33 ) ) PUNCT iajs-2290 209 34 ) ) PUNCT iajs-2290 210 1 = = PUNCT iajs-2290 210 2 οΏ½ οΏ½ SYM iajs-2290 210 3 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 210 4 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 210 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 210 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 NUM iajs-2290 210 7 ) ) PUNCT iajs-2290 210 8 ) ) PUNCT iajs-2290 210 9 . . PUNCT iajs-2290 211 1 135 135 NUM iajs-2290 211 2 ibn ibn PROPN iajs-2290 211 3 al al PROPN iajs-2290 211 4 - - PUNCT iajs-2290 211 5 haitham haitham PROPN iajs-2290 211 6 jour jour X iajs-2290 211 7 . . PROPN iajs-2290 211 8 for for ADP iajs-2290 211 9 pure pure ADJ iajs-2290 211 10 & & CCONJ iajs-2290 211 11 appl appl PROPN iajs-2290 211 12 . . PUNCT iajs-2290 212 1 sci sci PROPN iajs-2290 212 2 . . PROPN iajs-2290 212 3 32 32 NUM iajs-2290 212 4 ( ( PUNCT iajs-2290 212 5 3 3 NUM iajs-2290 212 6 ) ) SYM iajs-2290 212 7 2019 2019 NUM iajs-2290 212 8 proposition proposition NOUN iajs-2290 212 9 ( ( PUNCT iajs-2290 212 10 14 14 NUM iajs-2290 212 11 ) ) PUNCT iajs-2290 212 12 let let VERB iajs-2290 212 13 𝑓 𝑓 PRON iajs-2290 212 14 : : PUNCT iajs-2290 212 15 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 212 16 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2290 212 17 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 212 18 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 212 19 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 212 20 be be VERB iajs-2290 212 21 an an DET iajs-2290 212 22 𝑅-epimorphism 𝑅-epimorphism PROPN iajs-2290 212 23 and and CCONJ iajs-2290 212 24 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 212 25 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 212 26 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 212 27 is be AUX iajs-2290 212 28 a a DET iajs-2290 212 29 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 212 30 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 212 31 - - PUNCT iajs-2290 212 32 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 212 33 submodule submodule NOUN iajs-2290 212 34 of of ADP iajs-2290 212 35 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 212 36 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 212 37 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 212 38 . . PUNCT iajs-2290 213 1 then then ADV iajs-2290 213 2 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 213 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 213 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 213 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 213 6 ) ) PUNCT iajs-2290 213 7 is be AUX iajs-2290 213 8 a a DET iajs-2290 213 9 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 213 10 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 213 11 - - PUNCT iajs-2290 213 12 absorbing absorb VERB iajs-2290 213 13 submodule submodule NOUN iajs-2290 213 14 of of ADP iajs-2290 213 15 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 213 16 proof proof NOUN iajs-2290 213 17 let let VERB iajs-2290 213 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 213 19 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 213 20 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 213 21 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 213 22 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 213 23 ) ) PUNCT iajs-2290 213 24 , , PUNCT iajs-2290 213 25 where where SCONJ iajs-2290 213 26 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 213 27 , , PUNCT iajs-2290 213 28 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 213 29 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 213 30 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 213 31 , , PUNCT iajs-2290 213 32 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 213 33 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 213 34 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 213 35 , , PUNCT iajs-2290 213 36 implies imply VERB iajs-2290 213 37 that that SCONJ iajs-2290 213 38 π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ NOUN iajs-2290 213 39 ) ) PUNCT iajs-2290 213 40 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 213 41 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 213 42 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 213 43 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 213 44 . . PUNCT iajs-2290 214 1 since since SCONJ iajs-2290 214 2 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 3 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 4 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 5 is be AUX iajs-2290 214 6 a a DET iajs-2290 214 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 214 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 214 9 - - PUNCT iajs-2290 214 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 214 11 submodule submodule NOUN iajs-2290 214 12 of of ADP iajs-2290 214 13 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 14 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 15 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 16 , , PUNCT iajs-2290 214 17 it it PRON iajs-2290 214 18 follows follow VERB iajs-2290 214 19 that that SCONJ iajs-2290 214 20 either either CCONJ iajs-2290 214 21 π‘Ÿπ‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘“(π‘₯ NOUN iajs-2290 214 22 ) ) PUNCT iajs-2290 214 23 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 214 24 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 25 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 26 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 27 βˆ’ βˆ’ ADP iajs-2290 214 28 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( NOUN iajs-2290 214 29 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 30 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 31 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 32 ) ) PUNCT iajs-2290 214 33 + + SYM iajs-2290 214 34 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( PROPN iajs-2290 214 35 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 36 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 37 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 38 ) ) PUNCT iajs-2290 214 39 or or CCONJ iajs-2290 214 40 𝑠𝑓(π‘₯ 𝑠𝑓(π‘₯ NOUN iajs-2290 214 41 ) ) PUNCT iajs-2290 214 42 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 214 43 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 44 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 45 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 46 βˆ’ βˆ’ ADP iajs-2290 214 47 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( NOUN iajs-2290 214 48 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 49 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 50 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 51 ) ) PUNCT iajs-2290 214 52 + + SYM iajs-2290 214 53 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( PROPN iajs-2290 214 54 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 55 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 56 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 57 ) ) PUNCT iajs-2290 214 58 or or CCONJ iajs-2290 214 59 π‘ π‘Ÿ π‘ π‘Ÿ ADP iajs-2290 214 60 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 61 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 62 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 63 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 214 64 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 65 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 66 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 67 + + SYM iajs-2290 214 68 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( PROPN iajs-2290 214 69 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 70 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 71 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 72 ).thus ).thus PUNCT iajs-2290 214 73 either either CCONJ iajs-2290 214 74 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PROPN iajs-2290 214 75 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 214 76 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 214 77 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 78 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 79 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 80 βˆ’ βˆ’ ADP iajs-2290 214 81 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( NOUN iajs-2290 214 82 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 214 83 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 214 84 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 214 85 ) ) PUNCT iajs-2290 214 86 ) ) PUNCT iajs-2290 215 1 + + CCONJ iajs-2290 215 2 π‘“βˆ’1(π‘ π‘œπ‘( π‘“βˆ’1(π‘ π‘œπ‘( PROPN iajs-2290 215 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 215 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 215 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 215 6 ) ) PUNCT iajs-2290 215 7 ) ) PUNCT iajs-2290 216 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 216 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 216 3 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 216 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(π‘“βˆ’1( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(π‘“βˆ’1( X iajs-2290 216 5 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 216 6 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 216 7 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 216 8 ) ) PUNCT iajs-2290 216 9 ) ) PUNCT iajs-2290 217 1 + + CCONJ iajs-2290 217 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 217 3 ) ) PUNCT iajs-2290 217 4 or or CCONJ iajs-2290 217 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 217 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 217 7 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 217 8 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 217 9 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 217 10 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 217 11 βˆ’ βˆ’ ADP iajs-2290 217 12 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘( NOUN iajs-2290 217 13 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 217 14 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 217 15 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 217 16 ) ) PUNCT iajs-2290 217 17 ) ) PUNCT iajs-2290 218 1 + + CCONJ iajs-2290 218 2 π‘“βˆ’1(π‘ π‘œπ‘( π‘“βˆ’1(π‘ π‘œπ‘( PROPN iajs-2290 218 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 218 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 218 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 218 6 ) ) PUNCT iajs-2290 218 7 ) ) PUNCT iajs-2290 219 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 219 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 219 3 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 219 4 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(π‘“βˆ’1( π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(π‘“βˆ’1( X iajs-2290 219 5 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 219 6 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 219 7 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 219 8 ) ) PUNCT iajs-2290 219 9 ) ) PUNCT iajs-2290 220 1 + + CCONJ iajs-2290 220 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 220 3 ) ) PUNCT iajs-2290 220 4 or or CCONJ iajs-2290 220 5 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 220 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 220 7 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 220 8 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 220 9 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 220 10 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 220 11 ) ) PUNCT iajs-2290 220 12 + + CCONJ iajs-2290 220 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 220 14 ) ) PUNCT iajs-2290 220 15 . . PUNCT iajs-2290 221 1 hence hence ADV iajs-2290 221 2 π‘“βˆ’1( π‘“βˆ’1( PROPN iajs-2290 221 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 221 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 221 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 221 6 ) ) PUNCT iajs-2290 221 7 be be VERB iajs-2290 221 8 a a DET iajs-2290 221 9 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 221 10 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 221 11 - - PUNCT iajs-2290 221 12 absorbing absorb VERB iajs-2290 221 13 submodule submodule NOUN iajs-2290 221 14 of of ADP iajs-2290 221 15 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 221 16 proposition proposition NOUN iajs-2290 221 17 ( ( PUNCT iajs-2290 221 18 15 15 NUM iajs-2290 221 19 ) ) PUNCT iajs-2290 221 20 let let VERB iajs-2290 221 21 𝑓 𝑓 PRON iajs-2290 221 22 : : PUNCT iajs-2290 221 23 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 221 24 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2290 221 25 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 221 26 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 221 27 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 221 28 be be VERB iajs-2290 221 29 an an DET iajs-2290 221 30 𝑅-epimorphism 𝑅-epimorphism PROPN iajs-2290 221 31 and and CCONJ iajs-2290 221 32 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 221 33 is be AUX iajs-2290 221 34 a a DET iajs-2290 221 35 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 221 36 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 221 37 - - PUNCT iajs-2290 221 38 absorbing absorb VERB iajs-2290 221 39 submodule submodule NOUN iajs-2290 221 40 of of ADP iajs-2290 221 41 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 221 42 with with ADP iajs-2290 221 43 ker ker NOUN iajs-2290 221 44 ( ( PUNCT iajs-2290 221 45 𝑓 𝑓 PROPN iajs-2290 221 46 ) ) PUNCT iajs-2290 221 47 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 221 48 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 221 49 . . PUNCT iajs-2290 222 1 then then ADV iajs-2290 222 2 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 PROPN iajs-2290 222 3 ) ) PUNCT iajs-2290 222 4 is be AUX iajs-2290 222 5 a a DET iajs-2290 222 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 222 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 222 8 - - PUNCT iajs-2290 222 9 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 222 10 submodule submodule NOUN iajs-2290 222 11 of of ADP iajs-2290 222 12 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 222 13 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 222 14 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 222 15 . . PUNCT iajs-2290 223 1 proof proof NOUN iajs-2290 223 2 let let VERB iajs-2290 223 3 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 223 4 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 223 5 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 223 6 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 223 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 223 8 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 NOUN iajs-2290 223 9 ) ) PUNCT iajs-2290 223 10 , , PUNCT iajs-2290 223 11 where where SCONJ iajs-2290 223 12 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2290 223 13 , , PUNCT iajs-2290 223 14 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2290 223 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 223 16 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 223 17 , , PUNCT iajs-2290 223 18 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 223 19 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 223 20 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 223 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 223 22 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 223 23 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 223 24 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 223 25 . . PUNCT iajs-2290 224 1 since since SCONJ iajs-2290 224 2 𝑓 𝑓 PROPN iajs-2290 224 3 is be AUX iajs-2290 224 4 onto onto ADP iajs-2290 224 5 , , PUNCT iajs-2290 224 6 then then ADV iajs-2290 224 7 𝑓(π‘₯ 𝑓(π‘₯ NOUN iajs-2290 224 8 ) ) PUNCT iajs-2290 224 9 = = SYM iajs-2290 224 10 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 224 11 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 224 12 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 224 13 for for ADP iajs-2290 224 14 someπ‘₯ someπ‘₯ NOUN iajs-2290 224 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 224 16 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 224 17 thus thus ADV iajs-2290 224 18 π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ NOUN iajs-2290 224 19 ) ) PUNCT iajs-2290 224 20 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 224 21 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 NOUN iajs-2290 224 22 ) ) PUNCT iajs-2290 224 23 , , PUNCT iajs-2290 224 24 implies imply VERB iajs-2290 224 25 that that SCONJ iajs-2290 224 26 π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘₯ NOUN iajs-2290 224 27 ) ) PUNCT iajs-2290 224 28 = = SYM iajs-2290 225 1 𝑓(𝑙 𝑓(𝑙 PROPN iajs-2290 225 2 ) ) PUNCT iajs-2290 225 3 for for ADP iajs-2290 225 4 some some DET iajs-2290 225 5 𝑙 𝑙 PRON iajs-2290 225 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 225 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 225 8 , , PUNCT iajs-2290 225 9 it it PRON iajs-2290 225 10 follows follow VERB iajs-2290 225 11 that that DET iajs-2290 225 12 𝑓(π‘Ÿπ‘ π‘₯ 𝑓(π‘Ÿπ‘ π‘₯ NOUN iajs-2290 225 13 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 225 14 𝑙 𝑙 NOUN iajs-2290 225 15 ) ) PUNCT iajs-2290 225 16 = = SYM iajs-2290 225 17 0 0 NUM iajs-2290 225 18 , , PUNCT iajs-2290 225 19 implies imply VERB iajs-2290 225 20 that that SCONJ iajs-2290 225 21 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ VERB iajs-2290 225 22 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 225 23 𝑙 𝑙 PRON iajs-2290 225 24 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 225 25 ker ker NOUN iajs-2290 225 26 ( ( PUNCT iajs-2290 225 27 𝑓 𝑓 X iajs-2290 225 28 ) ) PUNCT iajs-2290 225 29 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2290 225 30 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 225 31 , , PUNCT iajs-2290 225 32 then then ADV iajs-2290 225 33 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 225 34 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 225 35 𝐿. 𝐿. VERB iajs-2290 225 36 but but CCONJ iajs-2290 225 37 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 225 38 be be VERB iajs-2290 225 39 a a DET iajs-2290 225 40 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 225 41 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 225 42 - - PUNCT iajs-2290 225 43 absorbing absorb VERB iajs-2290 225 44 submodule submodule NOUN iajs-2290 225 45 of of ADP iajs-2290 225 46 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 225 47 , , PUNCT iajs-2290 225 48 then then ADV iajs-2290 225 49 either either CCONJ iajs-2290 225 50 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PART iajs-2290 225 51 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 225 52 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 225 53 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 225 54 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 225 55 ) ) PUNCT iajs-2290 226 1 + + CCONJ iajs-2290 226 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 226 3 ) ) PUNCT iajs-2290 226 4 or or CCONJ iajs-2290 226 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 226 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 226 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 226 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 226 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 226 10 ) ) PUNCT iajs-2290 226 11 + + CCONJ iajs-2290 226 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 226 13 ) ) PUNCT iajs-2290 226 14 or or CCONJ iajs-2290 226 15 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 226 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 226 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 226 18 + + CCONJ iajs-2290 226 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 226 20 ) ) PUNCT iajs-2290 226 21 , , PUNCT iajs-2290 226 22 it it PRON iajs-2290 226 23 follows follow VERB iajs-2290 226 24 that that SCONJ iajs-2290 226 25 by by ADP iajs-2290 226 26 lemma(13 lemma(13 ADJ iajs-2290 226 27 ) ) PUNCT iajs-2290 226 28 either either CCONJ iajs-2290 226 29 π‘Ÿπ‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘“(π‘₯ NOUN iajs-2290 226 30 ) ) PUNCT iajs-2290 226 31 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 226 32 𝑓(π‘Š 𝑓(π‘Š NOUN iajs-2290 226 33 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 226 34 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 226 35 ) ) PUNCT iajs-2290 226 36 ) ) PUNCT iajs-2290 227 1 + + CCONJ iajs-2290 227 2 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š NOUN iajs-2290 227 3 ) ) PUNCT iajs-2290 227 4 ) ) PUNCT iajs-2290 228 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 228 2 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 228 3 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 228 4 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 228 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 228 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 NUM iajs-2290 228 7 ) ) PUNCT iajs-2290 228 8 ) ) PUNCT iajs-2290 229 1 + + CCONJ iajs-2290 229 2 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 229 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 229 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 229 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 229 6 ) ) PUNCT iajs-2290 229 7 or or CCONJ iajs-2290 229 8 𝑠𝑓(π‘₯ 𝑠𝑓(π‘₯ NOUN iajs-2290 229 9 ) ) PUNCT iajs-2290 229 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 229 11 𝑓(π‘Š 𝑓(π‘Š NOUN iajs-2290 229 12 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 229 13 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 229 14 ) ) PUNCT iajs-2290 229 15 ) ) PUNCT iajs-2290 230 1 + + CCONJ iajs-2290 230 2 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š NOUN iajs-2290 230 3 ) ) PUNCT iajs-2290 230 4 ) ) PUNCT iajs-2290 231 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 231 2 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 231 3 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 231 4 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 231 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 231 6 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 NUM iajs-2290 231 7 ) ) PUNCT iajs-2290 231 8 ) ) PUNCT iajs-2290 232 1 + + CCONJ iajs-2290 232 2 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 232 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 232 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 232 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 232 6 ) ) PUNCT iajs-2290 232 7 or or CCONJ iajs-2290 232 8 π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘“(π‘Š NUM iajs-2290 232 9 ) ) PUNCT iajs-2290 232 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 232 11 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 NOUN iajs-2290 232 12 ) ) PUNCT iajs-2290 232 13 + + CCONJ iajs-2290 232 14 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š 𝑓(π‘ π‘œπ‘(π‘Š NOUN iajs-2290 232 15 ) ) PUNCT iajs-2290 232 16 ) ) PUNCT iajs-2290 233 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 233 2 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 NOUN iajs-2290 233 3 ) ) PUNCT iajs-2290 233 4 + + SYM iajs-2290 233 5 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 233 6 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 233 7 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 233 8 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 233 9 ) ) PUNCT iajs-2290 233 10 . . PUNCT iajs-2290 234 1 that that PRON iajs-2290 234 2 is be AUX iajs-2290 234 3 either either CCONJ iajs-2290 234 4 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2290 234 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 234 6 Μ… Μ… ADJ iajs-2290 234 7 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 234 8 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 234 9 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 234 10 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 234 11 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 234 12 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 234 13 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 NUM iajs-2290 234 14 ) ) PUNCT iajs-2290 234 15 ) ) PUNCT iajs-2290 235 1 + + CCONJ iajs-2290 235 2 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 235 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 235 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 235 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 235 6 ) ) PUNCT iajs-2290 235 7 or or CCONJ iajs-2290 235 8 𝑠 𝑠 ADP iajs-2290 235 9 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 235 10 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 235 11 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 235 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 235 13 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 235 14 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 235 15 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 235 16 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 235 17 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝑓(𝐿 NUM iajs-2290 235 18 ) ) PUNCT iajs-2290 235 19 ) ) PUNCT iajs-2290 236 1 + + CCONJ iajs-2290 236 2 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 236 3 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 236 4 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 236 5 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 236 6 ) ) PUNCT iajs-2290 236 7 or or CCONJ iajs-2290 236 8 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NOUN iajs-2290 236 9 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 236 10 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 236 11 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 236 12 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 236 13 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 NOUN iajs-2290 236 14 ) ) PUNCT iajs-2290 236 15 + + SYM iajs-2290 236 16 π‘ π‘œπ‘( π‘ π‘œπ‘( NOUN iajs-2290 236 17 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 236 18 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 236 19 οΏ½ οΏ½ NOUN iajs-2290 236 20 ) ) PUNCT iajs-2290 236 21 . . PUNCT iajs-2290 237 1 hence hence ADV iajs-2290 237 2 𝑓(𝐿 𝑓(𝐿 PROPN iajs-2290 237 3 ) ) PUNCT iajs-2290 237 4 is be AUX iajs-2290 237 5 a a DET iajs-2290 237 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 237 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 237 8 - - PUNCT iajs-2290 237 9 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 237 10 submodule submodule NOUN iajs-2290 237 11 of of ADP iajs-2290 237 12 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 237 13 Μ… Μ… NOUN iajs-2290 237 14 οΏ½ οΏ½ PROPN iajs-2290 237 15 . . PUNCT iajs-2290 238 1 lemma lemma PROPN iajs-2290 238 2 ( ( PUNCT iajs-2290 238 3 16)[12 16)[12 NUM iajs-2290 238 4 , , PUNCT iajs-2290 238 5 theo(2.12 theo(2.12 NOUN iajs-2290 238 6 ) ) PUNCT iajs-2290 238 7 ] ] PUNCT iajs-2290 238 8 . . PUNCT iajs-2290 239 1 let let VERB iajs-2290 239 2 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 239 3 be be AUX iajs-2290 239 4 a a DET iajs-2290 239 5 commutative commutative ADJ iajs-2290 239 6 ring ring NOUN iajs-2290 239 7 with with ADP iajs-2290 239 8 identity identity NOUN iajs-2290 239 9 , , PUNCT iajs-2290 239 10 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 239 11 be be VERB iajs-2290 239 12 a a DET iajs-2290 239 13 proper proper ADJ iajs-2290 239 14 submodule submodule NOUN iajs-2290 239 15 of of ADP iajs-2290 239 16 a a DET iajs-2290 239 17 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 239 18 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 239 19 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 239 20 and and CCONJ iajs-2290 239 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2290 239 22 = = PUNCT iajs-2290 240 1 [ [ X iajs-2290 240 2 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 240 3 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 240 4 ] ] PUNCT iajs-2290 240 5 . . PUNCT iajs-2290 241 1 thenπ‘Š thenπ‘Š NOUN iajs-2290 241 2 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 241 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 241 4 ) ) PUNCT iajs-2290 241 5 = = PUNCT iajs-2290 241 6 √𝐴. √𝐴. ADJ iajs-2290 241 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 241 8 = = SYM iajs-2290 241 9 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 241 10 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 241 11 ] ] PUNCT iajs-2290 241 12 . . PUNCT iajs-2290 242 1 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 242 2 lemma lemma PROPN iajs-2290 242 3 ( ( PUNCT iajs-2290 242 4 17)[12 17)[12 NUM iajs-2290 242 5 , , PUNCT iajs-2290 242 6 coro(2.14 coro(2.14 PROPN iajs-2290 242 7 ) ) PUNCT iajs-2290 242 8 ] ] PUNCT iajs-2290 242 9 . . PUNCT iajs-2290 243 1 let let VERB iajs-2290 243 2 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 243 3 be be AUX iajs-2290 243 4 faithful faithful ADJ iajs-2290 243 5 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 243 6 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 243 7 , , PUNCT iajs-2290 243 8 then then ADV iajs-2290 243 9 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 243 10 = = SYM iajs-2290 243 11 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 243 12 ) ) PUNCT iajs-2290 243 13 . . PUNCT iajs-2290 244 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 244 2 ( ( PUNCT iajs-2290 244 3 18 18 NUM iajs-2290 244 4 ) ) PUNCT iajs-2290 244 5 let let VERB iajs-2290 244 6 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 244 7 be be AUX iajs-2290 244 8 a a DET iajs-2290 244 9 faithful faithful ADJ iajs-2290 244 10 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 244 11 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 244 12 and and CCONJ iajs-2290 244 13 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 244 14 is be AUX iajs-2290 244 15 a a DET iajs-2290 244 16 proper proper ADJ iajs-2290 244 17 submodule submodule NOUN iajs-2290 244 18 of of ADP iajs-2290 244 19 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 244 20 then then ADV iajs-2290 244 21 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 244 22 is be AUX iajs-2290 244 23 a a DET iajs-2290 244 24 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 244 25 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 244 26 - - PUNCT iajs-2290 244 27 absorbing absorb VERB iajs-2290 244 28 submodule submodule NOUN iajs-2290 244 29 of of ADP iajs-2290 244 30 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 244 31 if if NOUN iajs-2290 244 32 and and CCONJ iajs-2290 244 33 only only ADV iajs-2290 244 34 if if SCONJ iajs-2290 244 35 [ [ X iajs-2290 244 36 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 244 37 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 244 38 ] ] PUNCT iajs-2290 244 39 is be AUX iajs-2290 244 40 a a DET iajs-2290 244 41 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 244 42 primary-2absorbing primary-2absorbing NOUN iajs-2290 244 43 ideal ideal NOUN iajs-2290 244 44 of of ADP iajs-2290 244 45 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2290 244 46 proof proof NOUN iajs-2290 244 47 ( ( PUNCT iajs-2290 244 48 ⟹ ⟹ X iajs-2290 244 49 ) ) PUNCT iajs-2290 244 50 let let VERB iajs-2290 244 51 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 244 52 is be AUX iajs-2290 244 53 a a DET iajs-2290 244 54 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 244 55 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 244 56 - - PUNCT iajs-2290 244 57 absorbing absorb VERB iajs-2290 244 58 submodule submodule NOUN iajs-2290 244 59 of of ADP iajs-2290 244 60 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 244 61 , , PUNCT iajs-2290 244 62 and and CCONJ iajs-2290 244 63 π‘Ÿ. π‘Ÿ. NOUN iajs-2290 244 64 𝑠. 𝑠. VERB iajs-2290 244 65 𝑑 𝑑 PROPN iajs-2290 244 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 244 67 [ [ X iajs-2290 244 68 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 244 69 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 244 70 ] ] PUNCT iajs-2290 244 71 for for ADP iajs-2290 244 72 π‘Ÿ,𝑠,𝑑 π‘Ÿ,𝑠,𝑑 PROPN iajs-2290 244 73 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 244 74 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 244 75 , , PUNCT iajs-2290 244 76 implies imply VERB iajs-2290 244 77 that that SCONJ iajs-2290 244 78 π‘Ÿπ‘ π‘‘π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘‘π‘Š PROPN iajs-2290 244 79 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 244 80 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 244 81 , , PUNCT iajs-2290 244 82 that that PRON iajs-2290 244 83 is be AUX iajs-2290 244 84 π‘Ÿπ‘ π‘‘(π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘‘(π‘₯ PROPN iajs-2290 244 85 ) ) PUNCT iajs-2290 244 86 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 244 87 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 244 88 for for ADP iajs-2290 244 89 all all DET iajs-2290 244 90 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 244 91 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 244 92 π‘Š. π‘Š. NOUN iajs-2290 244 93 but but CCONJ iajs-2290 244 94 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 244 95 is be AUX iajs-2290 244 96 a a DET iajs-2290 244 97 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 244 98 𝑅-module 𝑅-module NOUN iajs-2290 244 99 , , PUNCT iajs-2290 244 100 then then ADV iajs-2290 244 101 ( ( PUNCT iajs-2290 244 102 π‘₯ π‘₯ NOUN iajs-2290 244 103 ) ) PUNCT iajs-2290 244 104 = = SYM iajs-2290 244 105 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 244 106 for for ADP iajs-2290 244 107 some some DET iajs-2290 244 108 ideal ideal NOUN iajs-2290 244 109 𝐼 𝐼 ADP iajs-2290 244 110 of of ADP iajs-2290 244 111 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 244 112 that that PRON iajs-2290 244 113 is be AUX iajs-2290 244 114 π‘Ÿπ‘ (π‘‘πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘ (π‘‘πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 244 115 ) ) PUNCT iajs-2290 245 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 245 2 𝐿. 𝐿. VERB iajs-2290 245 3 since since SCONJ iajs-2290 245 4 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 245 5 is be AUX iajs-2290 245 6 a a DET iajs-2290 245 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 245 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 245 9 - - PUNCT iajs-2290 245 10 absorbing absorb VERB iajs-2290 245 11 submodule submodule NOUN iajs-2290 245 12 of of ADP iajs-2290 245 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 245 14 , , PUNCT iajs-2290 245 15 then then ADV iajs-2290 245 16 by by ADP iajs-2290 245 17 proposition proposition NOUN iajs-2290 245 18 ( ( PUNCT iajs-2290 245 19 4 4 NUM iajs-2290 245 20 ) ) PUNCT iajs-2290 245 21 either either CCONJ iajs-2290 245 22 π‘Ÿ(π‘‘πΌπ‘Š π‘Ÿ(π‘‘πΌπ‘Š X iajs-2290 245 23 ) ) PUNCT iajs-2290 245 24 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 245 25 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 245 26 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 245 27 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 245 28 ) ) PUNCT iajs-2290 245 29 + + CCONJ iajs-2290 245 30 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 245 31 ) ) PUNCT iajs-2290 245 32 or or CCONJ iajs-2290 245 33 𝑠(π‘‘πΌπ‘Š 𝑠(π‘‘πΌπ‘Š NUM iajs-2290 245 34 ) ) PUNCT iajs-2290 245 35 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 245 36 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 245 37 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 245 38 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 245 39 ) ) PUNCT iajs-2290 245 40 + + CCONJ iajs-2290 245 41 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 245 42 ) ) PUNCT iajs-2290 245 43 or or CCONJ iajs-2290 245 44 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 245 45 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 245 46 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 245 47 + + CCONJ iajs-2290 245 48 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 245 49 ) ) PUNCT iajs-2290 245 50 by by ADP iajs-2290 245 51 lemma lemma PROPN iajs-2290 245 52 ( ( PUNCT iajs-2290 245 53 16 16 NUM iajs-2290 245 54 ) ) PUNCT iajs-2290 245 55 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 245 56 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 245 57 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 245 58 ) ) PUNCT iajs-2290 245 59 = = SYM iajs-2290 245 60 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 245 61 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 245 62 ] ] PUNCT iajs-2290 245 63 . . PUNCT iajs-2290 246 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 246 2 and and CCONJ iajs-2290 246 3 by by ADP iajs-2290 246 4 lemma lemma PROPN iajs-2290 246 5 ( ( PUNCT iajs-2290 246 6 17 17 NUM iajs-2290 246 7 ) ) PUNCT iajs-2290 246 8 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 246 9 = = SYM iajs-2290 246 10 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 246 11 ) ) PUNCT iajs-2290 246 12 . . PUNCT iajs-2290 247 1 hence hence ADV iajs-2290 247 2 we we PRON iajs-2290 247 3 get get VERB iajs-2290 247 4 either either DET iajs-2290 247 5 π‘Ÿ(π‘‘πΌπ‘Š π‘Ÿ(π‘‘πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 247 6 ) ) PUNCT iajs-2290 247 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 247 8 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 247 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 247 10 ] ] PUNCT iajs-2290 247 11 . . PUNCT iajs-2290 248 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 248 2 + + CCONJ iajs-2290 248 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 248 4 or or CCONJ iajs-2290 248 5 𝑠(π‘‘πΌπ‘Š 𝑠(π‘‘πΌπ‘Š NUM iajs-2290 248 6 ) ) PUNCT iajs-2290 248 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 248 8 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 248 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 248 10 ] ] PUNCT iajs-2290 248 11 . . PUNCT iajs-2290 249 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 249 2 + + CCONJ iajs-2290 249 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 249 4 or or CCONJ iajs-2290 249 5 136 136 NUM iajs-2290 249 6 ibn ibn PROPN iajs-2290 249 7 al al PROPN iajs-2290 249 8 - - PUNCT iajs-2290 249 9 haitham haitham PROPN iajs-2290 249 10 jour jour X iajs-2290 249 11 . . PROPN iajs-2290 250 1 for for ADP iajs-2290 250 2 pure pure ADJ iajs-2290 250 3 & & CCONJ iajs-2290 250 4 appl appl PROPN iajs-2290 250 5 . . PUNCT iajs-2290 251 1 sci sci PROPN iajs-2290 251 2 . . PROPN iajs-2290 251 3 32 32 NUM iajs-2290 251 4 ( ( PUNCT iajs-2290 251 5 3 3 NUM iajs-2290 251 6 ) ) PUNCT iajs-2290 251 7 2019 2019 NUM iajs-2290 251 8 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NOUN iajs-2290 251 9 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 251 10 [ [ X iajs-2290 251 11 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 251 12 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 251 13 + + CCONJ iajs-2290 251 14 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. PROPN iajs-2290 251 15 that that PRON iajs-2290 251 16 is be AUX iajs-2290 251 17 either either CCONJ iajs-2290 251 18 π‘Ÿπ‘‘π‘₯ π‘Ÿπ‘‘π‘₯ PRON iajs-2290 251 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 251 20 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 251 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 251 22 ] ] PUNCT iajs-2290 251 23 . . PUNCT iajs-2290 252 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 252 2 + + CCONJ iajs-2290 252 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 252 4 or or CCONJ iajs-2290 252 5 𝑠𝑑π‘₯ 𝑠𝑑π‘₯ NOUN iajs-2290 252 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 252 7 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 252 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 252 9 ] ] PUNCT iajs-2290 252 10 . . PUNCT iajs-2290 253 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 253 2 + + NOUN iajs-2290 253 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 253 4 for for ADP iajs-2290 253 5 all all DET iajs-2290 253 6 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2290 253 7 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 253 8 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 253 9 or or CCONJ iajs-2290 253 10 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NUM iajs-2290 253 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 253 12 [ [ X iajs-2290 253 13 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 253 14 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 254 1 + + CCONJ iajs-2290 254 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. VERB iajs-2290 254 3 it it PRON iajs-2290 254 4 follows follow VERB iajs-2290 254 5 that that SCONJ iajs-2290 254 6 either either CCONJ iajs-2290 254 7 π‘Ÿπ‘‘π‘Š π‘Ÿπ‘‘π‘Š PROPN iajs-2290 254 8 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 254 9 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 254 10 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 254 11 ] ] PUNCT iajs-2290 254 12 . . PUNCT iajs-2290 255 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 255 2 + + CCONJ iajs-2290 255 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 255 4 or or CCONJ iajs-2290 255 5 π‘ π‘‘π‘Š π‘ π‘‘π‘Š ADJ iajs-2290 255 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 255 7 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 255 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 255 9 ] ] PUNCT iajs-2290 255 10 . . PUNCT iajs-2290 256 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 256 2 + + CCONJ iajs-2290 256 3 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 256 4 or or CCONJ iajs-2290 256 5 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NUM iajs-2290 256 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 256 7 [ [ X iajs-2290 256 8 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 256 9 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 257 1 + + CCONJ iajs-2290 257 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. VERB iajs-2290 257 3 hence hence ADV iajs-2290 257 4 either either CCONJ iajs-2290 257 5 π‘Ÿπ‘‘ π‘Ÿπ‘‘ PROPN iajs-2290 257 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 257 7 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 257 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 257 9 ] ] PUNCT iajs-2290 257 10 + + CCONJ iajs-2290 257 11 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 257 12 ) ) PUNCT iajs-2290 257 13 or or CCONJ iajs-2290 257 14 𝑠𝑑 𝑠𝑑 PROPN iajs-2290 257 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 257 16 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 257 17 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 257 18 ] ] X iajs-2290 257 19 + + CCONJ iajs-2290 257 20 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 257 21 ) ) PUNCT iajs-2290 257 22 or or CCONJ iajs-2290 257 23 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NUM iajs-2290 257 24 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 258 1 [ [ X iajs-2290 258 2 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 258 3 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 258 4 ] ] X iajs-2290 258 5 + + NUM iajs-2290 258 6 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 258 7 ) ) PUNCT iajs-2290 258 8 . . PUNCT iajs-2290 259 1 therefore therefore ADV iajs-2290 259 2 [ [ X iajs-2290 259 3 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 259 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 259 5 ] ] PUNCT iajs-2290 259 6 is be AUX iajs-2290 259 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 259 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 259 9 - - PUNCT iajs-2290 259 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 259 11 ideal ideal NOUN iajs-2290 259 12 of of ADP iajs-2290 259 13 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 259 14 ( ( PUNCT iajs-2290 259 15 ⟸ ⟸ ADJ iajs-2290 259 16 ) ) PUNCT iajs-2290 259 17 assume assume VERB iajs-2290 259 18 that that SCONJ iajs-2290 259 19 [ [ X iajs-2290 259 20 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 259 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 259 22 ] ] PUNCT iajs-2290 259 23 is be AUX iajs-2290 259 24 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 259 25 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 259 26 - - PUNCT iajs-2290 259 27 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 259 28 ideal ideal NOUN iajs-2290 259 29 of of ADP iajs-2290 259 30 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 259 31 , , PUNCT iajs-2290 259 32 and and CCONJ iajs-2290 259 33 π‘Ÿπ‘ π‘₯ π‘Ÿπ‘ π‘₯ PROPN iajs-2290 259 34 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 259 35 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 259 36 , , PUNCT iajs-2290 259 37 for for ADP iajs-2290 259 38 π‘Ÿ,𝑠 π‘Ÿ,𝑠 PROPN iajs-2290 259 39 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 259 40 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 259 41 , , PUNCT iajs-2290 259 42 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 259 43 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 259 44 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 259 45 , , PUNCT iajs-2290 259 46 that that PRON iajs-2290 259 47 is be AUX iajs-2290 259 48 π‘Ÿπ‘ (π‘₯ π‘Ÿπ‘ (π‘₯ NUM iajs-2290 259 49 ) ) PUNCT iajs-2290 259 50 βŠ† βŠ† X iajs-2290 259 51 𝐿. 𝐿. VERB iajs-2290 259 52 since since SCONJ iajs-2290 259 53 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 259 54 is be AUX iajs-2290 259 55 a a DET iajs-2290 259 56 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 259 57 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 259 58 then then ADV iajs-2290 259 59 ( ( PUNCT iajs-2290 259 60 π‘₯ π‘₯ NOUN iajs-2290 259 61 ) ) PUNCT iajs-2290 259 62 = = SYM iajs-2290 259 63 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 259 64 for for ADP iajs-2290 259 65 some some DET iajs-2290 259 66 ideal ideal NOUN iajs-2290 259 67 𝐼 𝐼 ADP iajs-2290 259 68 of of ADP iajs-2290 259 69 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 259 70 thus thus ADV iajs-2290 259 71 π‘Ÿπ‘ πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘ πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 259 72 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 259 73 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 259 74 , , PUNCT iajs-2290 259 75 implies imply VERB iajs-2290 259 76 that that SCONJ iajs-2290 259 77 π‘Ÿπ‘ πΌ π‘Ÿπ‘ πΌ PRON iajs-2290 259 78 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 259 79 [ [ X iajs-2290 259 80 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 259 81 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 259 82 ] ] PUNCT iajs-2290 259 83 . . PUNCT iajs-2290 260 1 by by ADP iajs-2290 260 2 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2290 260 3 and and CCONJ iajs-2290 260 4 proposition proposition NOUN iajs-2290 260 5 ( ( PUNCT iajs-2290 260 6 4 4 NUM iajs-2290 260 7 ) ) PUNCT iajs-2290 260 8 either either CCONJ iajs-2290 260 9 π‘ŸπΌ π‘ŸπΌ NUM iajs-2290 260 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 260 11 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 260 12 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 260 13 ] ] PUNCT iajs-2290 260 14 + + CCONJ iajs-2290 260 15 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 260 16 ) ) PUNCT iajs-2290 260 17 or or CCONJ iajs-2290 260 18 𝑠𝐼 𝑠𝐼 PROPN iajs-2290 260 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 260 20 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 260 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 260 22 ] ] PUNCT iajs-2290 260 23 + + CCONJ iajs-2290 260 24 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 260 25 ) ) PUNCT iajs-2290 260 26 or or CCONJ iajs-2290 260 27 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  NUM iajs-2290 260 28 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 260 29 [ [ X iajs-2290 260 30 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 260 31 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 260 32 ] ] X iajs-2290 260 33 + + NUM iajs-2290 260 34 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 260 35 ) ) PUNCT iajs-2290 260 36 . . PUNCT iajs-2290 261 1 that that PRON iajs-2290 261 2 is be AUX iajs-2290 261 3 either either CCONJ iajs-2290 261 4 π‘ŸπΌπ‘Š π‘ŸπΌπ‘Š PROPN iajs-2290 261 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 261 6 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 261 7 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 261 8 + + CCONJ iajs-2290 261 9 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š PROPN iajs-2290 261 10 or or CCONJ iajs-2290 261 11 π‘ πΌπ‘Š π‘ πΌπ‘Š ADJ iajs-2290 261 12 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 261 13 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 261 14 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 261 15 + + CCONJ iajs-2290 261 16 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 261 17 or or CCONJ iajs-2290 261 18 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š NUM iajs-2290 261 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 261 20 [ [ X iajs-2290 261 21 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 261 22 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 262 1 + + CCONJ iajs-2290 262 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. PROPN iajs-2290 262 3 thus thus ADV iajs-2290 262 4 by by ADP iajs-2290 262 5 lemma lemma PROPN iajs-2290 262 6 ( ( PUNCT iajs-2290 262 7 16 16 NUM iajs-2290 262 8 ) ) PUNCT iajs-2290 262 9 and and CCONJ iajs-2290 262 10 lemma lemma PROPN iajs-2290 262 11 ( ( PUNCT iajs-2290 262 12 17 17 NUM iajs-2290 262 13 ) ) PUNCT iajs-2290 262 14 we we PRON iajs-2290 262 15 get get VERB iajs-2290 262 16 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ DET iajs-2290 262 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 262 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 262 19 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 262 20 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 262 21 ) ) PUNCT iajs-2290 263 1 + + CCONJ iajs-2290 263 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 263 3 ) ) PUNCT iajs-2290 263 4 or or CCONJ iajs-2290 263 5 𝑠π‘₯ 𝑠π‘₯ ADP iajs-2290 263 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 263 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 263 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 263 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 263 10 ) ) PUNCT iajs-2290 263 11 + + CCONJ iajs-2290 263 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 263 13 ) ) PUNCT iajs-2290 263 14 or or CCONJ iajs-2290 263 15 π‘Ÿπ‘ π‘Š π‘Ÿπ‘ π‘Š PROPN iajs-2290 263 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 263 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 263 18 + + CCONJ iajs-2290 263 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 263 20 ) ) PUNCT iajs-2290 263 21 . . PUNCT iajs-2290 264 1 hence hence ADV iajs-2290 264 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 264 3 is be AUX iajs-2290 264 4 a a DET iajs-2290 264 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 264 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 264 7 - - PUNCT iajs-2290 264 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 264 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 264 10 of of ADP iajs-2290 264 11 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 264 12 we we PRON iajs-2290 264 13 need need VERB iajs-2290 264 14 to to PART iajs-2290 264 15 recall recall VERB iajs-2290 264 16 the the DET iajs-2290 264 17 following follow VERB iajs-2290 264 18 lemma lemma PROPN iajs-2290 264 19 before before SCONJ iajs-2290 264 20 we we PRON iajs-2290 264 21 introduce introduce VERB iajs-2290 264 22 the the DET iajs-2290 264 23 next next ADJ iajs-2290 264 24 result result NOUN iajs-2290 264 25 . . PUNCT iajs-2290 265 1 lemma lemma PROPN iajs-2290 265 2 ( ( PUNCT iajs-2290 265 3 19)[11 19)[11 NUM iajs-2290 265 4 , , PUNCT iajs-2290 265 5 coro(1.26 coro(1.26 NUM iajs-2290 265 6 ) ) PUNCT iajs-2290 265 7 ] ] PUNCT iajs-2290 265 8 . . PUNCT iajs-2290 266 1 if if SCONJ iajs-2290 266 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 266 3 is be AUX iajs-2290 266 4 a a DET iajs-2290 266 5 non non ADJ iajs-2290 266 6 - - ADJ iajs-2290 266 7 singular singular ADJ iajs-2290 266 8 𝑅-modules 𝑅-modules PROPN iajs-2290 266 9 , , PUNCT iajs-2290 266 10 then then ADV iajs-2290 266 11 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 266 12 = = SYM iajs-2290 266 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 266 14 ) ) PUNCT iajs-2290 266 15 . . PUNCT iajs-2290 267 1 proposition proposition NOUN iajs-2290 267 2 ( ( PUNCT iajs-2290 267 3 20 20 NUM iajs-2290 267 4 ) ) PUNCT iajs-2290 267 5 let let VERB iajs-2290 267 6 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 267 7 be be AUX iajs-2290 267 8 a a DET iajs-2290 267 9 non non ADJ iajs-2290 267 10 - - ADJ iajs-2290 267 11 singular singular ADJ iajs-2290 267 12 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 267 13 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 267 14 and and CCONJ iajs-2290 267 15 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 267 16 is be AUX iajs-2290 267 17 a a DET iajs-2290 267 18 proper proper ADJ iajs-2290 267 19 submodule submodule NOUN iajs-2290 267 20 of of ADP iajs-2290 267 21 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 267 22 then then ADV iajs-2290 267 23 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 267 24 is be AUX iajs-2290 267 25 a a DET iajs-2290 267 26 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 267 27 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 267 28 - - PUNCT iajs-2290 267 29 absorbing absorb VERB iajs-2290 267 30 submodule submodule NOUN iajs-2290 267 31 of of ADP iajs-2290 267 32 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 267 33 if if NOUN iajs-2290 267 34 and and CCONJ iajs-2290 267 35 only only ADV iajs-2290 267 36 if if SCONJ iajs-2290 267 37 [ [ X iajs-2290 267 38 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 267 39 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 267 40 ] ] PUNCT iajs-2290 267 41 is be AUX iajs-2290 267 42 a a DET iajs-2290 267 43 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 267 44 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 267 45 - - PUNCT iajs-2290 267 46 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 267 47 ideal ideal NOUN iajs-2290 267 48 of of ADP iajs-2290 267 49 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2290 267 50 proof proof NOUN iajs-2290 267 51 ( ( PUNCT iajs-2290 267 52 ⟸ ⟸ ADV iajs-2290 267 53 ) ) PUNCT iajs-2290 267 54 let let VERB iajs-2290 267 55 [ [ X iajs-2290 267 56 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 267 57 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 267 58 ] ] PUNCT iajs-2290 267 59 is be AUX iajs-2290 267 60 a a DET iajs-2290 267 61 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 267 62 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 267 63 - - PUNCT iajs-2290 267 64 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 267 65 ideal ideal NOUN iajs-2290 267 66 of of ADP iajs-2290 267 67 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 267 68 , , PUNCT iajs-2290 267 69 and and CCONJ iajs-2290 267 70 π‘Žπ‘π‘¦ π‘Žπ‘π‘¦ PROPN iajs-2290 267 71 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 267 72 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 267 73 , , PUNCT iajs-2290 267 74 for for ADP iajs-2290 267 75 π‘Ž,𝑏 π‘Ž,𝑏 NOUN iajs-2290 267 76 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 267 77 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 267 78 , , PUNCT iajs-2290 267 79 𝑦 𝑦 NOUN iajs-2290 267 80 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 267 81 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 267 82 , , PUNCT iajs-2290 267 83 that that PRON iajs-2290 267 84 is be AUX iajs-2290 267 85 π‘Žπ‘(𝑦 π‘Žπ‘(𝑦 NOUN iajs-2290 267 86 ) ) PUNCT iajs-2290 267 87 βŠ† βŠ† X iajs-2290 267 88 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 267 89 , , PUNCT iajs-2290 267 90 it it PRON iajs-2290 267 91 follows follow VERB iajs-2290 267 92 that that SCONJ iajs-2290 267 93 π‘Žπ‘π½π‘Š π‘Žπ‘π½π‘Š NOUN iajs-2290 267 94 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 267 95 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 267 96 for for ADP iajs-2290 267 97 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 267 98 is be AUX iajs-2290 267 99 a a DET iajs-2290 267 100 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 267 101 𝑅-module 𝑅-module NOUN iajs-2290 267 102 . . PUNCT iajs-2290 268 1 hence hence ADV iajs-2290 268 2 π‘Žπ‘π½ π‘Žπ‘π½ NUM iajs-2290 268 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 268 4 [ [ X iajs-2290 268 5 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 268 6 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 268 7 ] ] PUNCT iajs-2290 268 8 , , PUNCT iajs-2290 268 9 implies imply VERB iajs-2290 268 10 that that SCONJ iajs-2290 268 11 by by ADP iajs-2290 268 12 proposition proposition NOUN iajs-2290 268 13 ( ( PUNCT iajs-2290 268 14 4 4 NUM iajs-2290 268 15 ) ) PUNCT iajs-2290 268 16 either either CCONJ iajs-2290 268 17 π‘Žπ½ π‘Žπ½ PROPN iajs-2290 268 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 268 19 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 268 20 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 268 21 ] ] PUNCT iajs-2290 268 22 + + NUM iajs-2290 268 23 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 268 24 ) ) PUNCT iajs-2290 268 25 or or CCONJ iajs-2290 268 26 𝑏𝐽 𝑏𝐽 PROPN iajs-2290 268 27 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2290 268 28 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 268 29 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 268 30 ] ] PUNCT iajs-2290 268 31 + + CCONJ iajs-2290 268 32 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 268 33 ) ) PUNCT iajs-2290 268 34 or or CCONJ iajs-2290 268 35 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ ADP iajs-2290 268 36 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 269 1 [ [ X iajs-2290 269 2 [ [ X iajs-2290 269 3 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 269 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 269 5 ] ] X iajs-2290 269 6 + + CCONJ iajs-2290 269 7 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 269 8 ): ): PUNCT iajs-2290 269 9 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 269 10 ] ] PUNCT iajs-2290 269 11 = = PUNCT iajs-2290 270 1 [ [ X iajs-2290 270 2 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 270 3 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 270 4 ] ] X iajs-2290 270 5 + + NUM iajs-2290 270 6 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 270 7 ) ) PUNCT iajs-2290 270 8 . . PUNCT iajs-2290 271 1 thus thus ADV iajs-2290 271 2 either either DET iajs-2290 271 3 π‘Žπ½π‘Š π‘Žπ½π‘Š NOUN iajs-2290 271 4 βŠ† βŠ† X iajs-2290 271 5 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 271 6 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 271 7 + + CCONJ iajs-2290 271 8 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 271 9 or or CCONJ iajs-2290 271 10 π‘π½π‘Š π‘π½π‘Š PROPN iajs-2290 271 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 271 12 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 271 13 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 271 14 + + CCONJ iajs-2290 271 15 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NUM iajs-2290 271 16 or or CCONJ iajs-2290 271 17 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š VERB iajs-2290 271 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 271 19 [ [ X iajs-2290 271 20 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 271 21 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 272 1 + + CCONJ iajs-2290 272 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. VERB iajs-2290 272 3 hence hence ADV iajs-2290 272 4 by by ADP iajs-2290 272 5 lemma lemma PROPN iajs-2290 272 6 ( ( PUNCT iajs-2290 272 7 16 16 NUM iajs-2290 272 8 ) ) PUNCT iajs-2290 272 9 and and CCONJ iajs-2290 272 10 lemma lemma PROPN iajs-2290 272 11 ( ( PUNCT iajs-2290 272 12 19 19 NUM iajs-2290 272 13 ) ) PUNCT iajs-2290 272 14 , , PUNCT iajs-2290 272 15 we we PRON iajs-2290 272 16 have have VERB iajs-2290 272 17 either either CCONJ iajs-2290 272 18 π‘Žπ‘¦ π‘Žπ‘¦ NOUN iajs-2290 272 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 272 20 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 272 21 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 272 22 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 272 23 ) ) PUNCT iajs-2290 273 1 + + CCONJ iajs-2290 273 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 273 3 ) ) PUNCT iajs-2290 273 4 or or CCONJ iajs-2290 273 5 𝑏𝑦 𝑏𝑦 NOUN iajs-2290 273 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 273 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 273 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 273 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 273 10 ) ) PUNCT iajs-2290 273 11 + + CCONJ iajs-2290 273 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 273 13 ) ) PUNCT iajs-2290 273 14 or or CCONJ iajs-2290 273 15 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š PROPN iajs-2290 273 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 273 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 273 18 + + CCONJ iajs-2290 273 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 273 20 ) ) PUNCT iajs-2290 273 21 . . PUNCT iajs-2290 274 1 therefore therefore ADV iajs-2290 274 2 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 274 3 is be AUX iajs-2290 274 4 a a DET iajs-2290 274 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 274 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 274 7 - - PUNCT iajs-2290 274 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 274 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 274 10 of of ADP iajs-2290 274 11 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 274 12 ( ( PUNCT iajs-2290 274 13 ⟹ ⟹ X iajs-2290 274 14 ) ) PUNCT iajs-2290 274 15 let let VERB iajs-2290 274 16 it it PRON iajs-2290 274 17 be be AUX iajs-2290 274 18 π‘Žπ‘π‘ π‘Žπ‘π‘ ADJ iajs-2290 274 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 274 20 [ [ X iajs-2290 274 21 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 274 22 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 274 23 ] ] PUNCT iajs-2290 274 24 where where SCONJ iajs-2290 274 25 π‘Ž,𝑏,𝑐 π‘Ž,𝑏,𝑐 PROPN iajs-2290 274 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 274 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 274 28 , , PUNCT iajs-2290 274 29 then then ADV iajs-2290 274 30 π‘Žπ‘π‘π‘Š π‘Žπ‘π‘π‘Š ADJ iajs-2290 274 31 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 274 32 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 274 33 , , PUNCT iajs-2290 274 34 so so ADV iajs-2290 274 35 π‘Žπ‘π‘π‘¦ π‘Žπ‘π‘π‘¦ PROPN iajs-2290 274 36 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 274 37 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 274 38 for for ADP iajs-2290 274 39 all all DET iajs-2290 274 40 𝑦 𝑦 NOUN iajs-2290 274 41 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 274 42 π‘Š. π‘Š. NOUN iajs-2290 274 43 since since SCONJ iajs-2290 274 44 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 274 45 is be AUX iajs-2290 274 46 a a DET iajs-2290 274 47 multiplication𝑅-module multiplication𝑅-module NOUN iajs-2290 274 48 , , PUNCT iajs-2290 274 49 then then ADV iajs-2290 274 50 ( ( PUNCT iajs-2290 274 51 𝑦 𝑦 NOUN iajs-2290 274 52 ) ) PUNCT iajs-2290 274 53 = = SYM iajs-2290 274 54 π½π‘Š π½π‘Š PROPN iajs-2290 274 55 , , PUNCT iajs-2290 274 56 thus thus ADV iajs-2290 274 57 π‘Žπ‘π‘(𝑦 π‘Žπ‘π‘(𝑦 NUM iajs-2290 274 58 ) ) PUNCT iajs-2290 274 59 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 274 60 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 274 61 , , PUNCT iajs-2290 274 62 it it PRON iajs-2290 274 63 follows follow VERB iajs-2290 274 64 that that SCONJ iajs-2290 274 65 π‘Žπ‘(π‘π½π‘Š π‘Žπ‘(π‘π½π‘Š PROPN iajs-2290 274 66 ) ) PUNCT iajs-2290 274 67 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 274 68 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 274 69 , , PUNCT iajs-2290 274 70 implies imply VERB iajs-2290 274 71 that that SCONJ iajs-2290 274 72 by by ADP iajs-2290 274 73 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2290 274 74 and and CCONJ iajs-2290 274 75 by by ADP iajs-2290 274 76 proposition(4 proposition(4 PROPN iajs-2290 274 77 ) ) PUNCT iajs-2290 274 78 either either CCONJ iajs-2290 274 79 π‘Ž(π‘π½π‘Š π‘Ž(π‘π½π‘Š NOUN iajs-2290 274 80 ) ) PUNCT iajs-2290 274 81 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 274 82 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 274 83 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 274 84 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 274 85 ) ) PUNCT iajs-2290 275 1 + + CCONJ iajs-2290 275 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 275 3 ) ) PUNCT iajs-2290 275 4 or or CCONJ iajs-2290 275 5 𝑏(π‘π½π‘Š 𝑏(π‘π½π‘Š NUM iajs-2290 275 6 ) ) PUNCT iajs-2290 275 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 275 8 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 275 9 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 275 10 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(𝐿 NUM iajs-2290 275 11 ) ) PUNCT iajs-2290 275 12 + + CCONJ iajs-2290 275 13 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 275 14 ) ) PUNCT iajs-2290 275 15 or or CCONJ iajs-2290 275 16 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š PROPN iajs-2290 275 17 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 275 18 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2290 275 19 + + CCONJ iajs-2290 275 20 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 275 21 ) ) PUNCT iajs-2290 275 22 . . PUNCT iajs-2290 276 1 it it PRON iajs-2290 276 2 follows follow VERB iajs-2290 276 3 that that SCONJ iajs-2290 276 4 by by ADP iajs-2290 276 5 lemma lemma PROPN iajs-2290 276 6 ( ( PUNCT iajs-2290 276 7 16 16 NUM iajs-2290 276 8 ) ) PUNCT iajs-2290 276 9 and and CCONJ iajs-2290 276 10 by by ADP iajs-2290 276 11 lemma lemma PROPN iajs-2290 276 12 ( ( PUNCT iajs-2290 276 13 19 19 NUM iajs-2290 276 14 ) ) PUNCT iajs-2290 276 15 and and CCONJ iajs-2290 276 16 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 276 17 is be AUX iajs-2290 276 18 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 276 19 either either CCONJ iajs-2290 276 20 π‘Žπ‘π‘¦ π‘Žπ‘π‘¦ PROPN iajs-2290 276 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 276 22 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 276 23 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 276 24 + + CCONJ iajs-2290 276 25 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š PROPN iajs-2290 276 26 or or CCONJ iajs-2290 276 27 𝑏𝑐𝑦 𝑏𝑐𝑦 NOUN iajs-2290 276 28 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 276 29 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 276 30 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 277 1 + + CCONJ iajs-2290 277 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 277 3 for for ADP iajs-2290 277 4 all all DET iajs-2290 277 5 𝑦 𝑦 NUM iajs-2290 277 6 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 277 7 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 277 8 or or CCONJ iajs-2290 277 9 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š VERB iajs-2290 277 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 277 11 [ [ X iajs-2290 277 12 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 277 13 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 278 1 + + CCONJ iajs-2290 278 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. VERB iajs-2290 278 3 hence hence ADV iajs-2290 278 4 either either CCONJ iajs-2290 278 5 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š PROPN iajs-2290 278 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 278 7 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 278 8 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 278 9 + + CCONJ iajs-2290 278 10 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 278 11 or or CCONJ iajs-2290 278 12 π‘π‘π‘Š π‘π‘π‘Š NOUN iajs-2290 278 13 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 278 14 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 278 15 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 278 16 + + CCONJ iajs-2290 278 17 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NUM iajs-2290 278 18 or or CCONJ iajs-2290 278 19 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š VERB iajs-2290 278 20 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 278 21 [ [ X iajs-2290 278 22 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 278 23 π‘Š]π‘Š π‘Š]π‘Š PROPN iajs-2290 279 1 + + CCONJ iajs-2290 279 2 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. PROPN iajs-2290 279 3 that that PRON iajs-2290 279 4 is be AUX iajs-2290 279 5 either either CCONJ iajs-2290 279 6 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ PROPN iajs-2290 279 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 279 8 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 279 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 279 10 ] ] PUNCT iajs-2290 279 11 + + CCONJ iajs-2290 279 12 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 279 13 ) ) PUNCT iajs-2290 279 14 or or CCONJ iajs-2290 279 15 𝑏𝑐 𝑏𝑐 PROPN iajs-2290 279 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 279 17 √[𝐿:𝑅 √[𝐿:𝑅 PROPN iajs-2290 279 18 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 279 19 ] ] PUNCT iajs-2290 279 20 + + CCONJ iajs-2290 279 21 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 279 22 ) ) PUNCT iajs-2290 279 23 or or CCONJ iajs-2290 279 24 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ ADP iajs-2290 279 25 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 280 1 [ [ X iajs-2290 280 2 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 280 3 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 280 4 ] ] X iajs-2290 280 5 + + NUM iajs-2290 280 6 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 280 7 ) ) PUNCT iajs-2290 280 8 = = PUNCT iajs-2290 281 1 [ [ X iajs-2290 281 2 [ [ X iajs-2290 281 3 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 X iajs-2290 281 4 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 281 5 ] ] X iajs-2290 281 6 + + CCONJ iajs-2290 281 7 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 281 8 ): ): PUNCT iajs-2290 281 9 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 281 10 ] ] PUNCT iajs-2290 281 11 . . PUNCT iajs-2290 282 1 that that PRON iajs-2290 282 2 is be AUX iajs-2290 282 3 [ [ X iajs-2290 282 4 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PART iajs-2290 282 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 282 6 ] ] PUNCT iajs-2290 282 7 is be AUX iajs-2290 282 8 a a DET iajs-2290 282 9 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 282 10 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 282 11 - - PUNCT iajs-2290 282 12 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 282 13 ideal ideal NOUN iajs-2290 282 14 of of ADP iajs-2290 282 15 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 282 16 we we PRON iajs-2290 282 17 need need VERB iajs-2290 282 18 to to PART iajs-2290 282 19 recall recall VERB iajs-2290 282 20 the the DET iajs-2290 282 21 following follow VERB iajs-2290 282 22 results result NOUN iajs-2290 282 23 before before SCONJ iajs-2290 282 24 we we PRON iajs-2290 282 25 introduce introduce VERB iajs-2290 282 26 the the DET iajs-2290 282 27 next next ADJ iajs-2290 282 28 propositions proposition NOUN iajs-2290 282 29 . . PUNCT iajs-2290 283 1 137 137 NUM iajs-2290 283 2 ibn ibn PROPN iajs-2290 283 3 al al PROPN iajs-2290 283 4 - - PUNCT iajs-2290 283 5 haitham haitham PROPN iajs-2290 283 6 jour jour X iajs-2290 283 7 . . PROPN iajs-2290 283 8 for for ADP iajs-2290 283 9 pure pure ADJ iajs-2290 283 10 & & CCONJ iajs-2290 283 11 appl appl PROPN iajs-2290 283 12 . . PUNCT iajs-2290 284 1 sci sci PROPN iajs-2290 284 2 . . PROPN iajs-2290 284 3 32 32 NUM iajs-2290 284 4 ( ( PUNCT iajs-2290 284 5 3 3 NUM iajs-2290 284 6 ) ) PUNCT iajs-2290 284 7 2019 2019 NUM iajs-2290 284 8 lemma lemma PROPN iajs-2290 284 9 ( ( PUNCT iajs-2290 284 10 21)[16 21)[16 NUM iajs-2290 284 11 , , PUNCT iajs-2290 284 12 coro coro NOUN iajs-2290 284 13 of of ADP iajs-2290 284 14 theo theo PROPN iajs-2290 284 15 . . PUNCT iajs-2290 285 1 9 9 NUM iajs-2290 285 2 ] ] PUNCT iajs-2290 285 3 let let VERB iajs-2290 285 4 𝐼1 𝐼1 NOUN iajs-2290 285 5 and and CCONJ iajs-2290 285 6 𝐼2 𝐼2 NOUN iajs-2290 285 7 are be AUX iajs-2290 285 8 ideals ideal NOUN iajs-2290 285 9 of of ADP iajs-2290 285 10 a a DET iajs-2290 285 11 ring ring NOUN iajs-2290 285 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 285 13 and and CCONJ iajs-2290 285 14 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 285 15 is be AUX iajs-2290 285 16 a a DET iajs-2290 285 17 finitely finitely ADV iajs-2290 285 18 generated generate VERB iajs-2290 285 19 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 285 20 𝑅module 𝑅module PROPN iajs-2290 285 21 . . PUNCT iajs-2290 285 22 then then ADV iajs-2290 285 23 𝐼1π‘Š 𝐼1π‘Š X iajs-2290 286 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 286 2 𝐼2π‘Š 𝐼2π‘Š PROPN iajs-2290 286 3 if if SCONJ iajs-2290 286 4 and and CCONJ iajs-2290 286 5 only only ADV iajs-2290 286 6 if if SCONJ iajs-2290 286 7 𝐼1 𝐼1 ADJ iajs-2290 286 8 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 286 9 𝐼2 𝐼2 NOUN iajs-2290 286 10 + + CCONJ iajs-2290 286 11 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š NUM iajs-2290 286 12 ) ) PUNCT iajs-2290 286 13 . . PUNCT iajs-2290 287 1 lemma lemma PROPN iajs-2290 287 2 ( ( PUNCT iajs-2290 287 3 22)[17 22)[17 NUM iajs-2290 287 4 , , PUNCT iajs-2290 287 5 pro pro ADJ iajs-2290 287 6 . . PUNCT iajs-2290 288 1 ( ( PUNCT iajs-2290 288 2 2.4 2.4 NUM iajs-2290 288 3 ) ) PUNCT iajs-2290 288 4 ] ] PUNCT iajs-2290 288 5 . . PUNCT iajs-2290 289 1 let let VERB iajs-2290 289 2 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 289 3 be be AUX iajs-2290 289 4 a a DET iajs-2290 289 5 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 289 6 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 289 7 and and CCONJ iajs-2290 289 8 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 289 9 is be AUX iajs-2290 289 10 an an DET iajs-2290 289 11 ideal ideal NOUN iajs-2290 289 12 of of ADP iajs-2290 289 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 290 1 such such ADJ iajs-2290 290 2 that that PRON iajs-2290 290 3 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š PROPN iajs-2290 290 4 ) ) PUNCT iajs-2290 290 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 290 6 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 290 7 , , PUNCT iajs-2290 290 8 then then ADV iajs-2290 290 9 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 290 10 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 290 11 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š NUM iajs-2290 290 12 ) ) PUNCT iajs-2290 290 13 = = PUNCT iajs-2290 290 14 βˆšπΌπ‘Š. βˆšπΌπ‘Š. NUM iajs-2290 290 15 proposition proposition NOUN iajs-2290 290 16 ( ( PUNCT iajs-2290 290 17 23 23 NUM iajs-2290 290 18 ) ) PUNCT iajs-2290 290 19 let let VERB iajs-2290 290 20 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 290 21 be be AUX iajs-2290 290 22 a a DET iajs-2290 290 23 faithful faithful ADJ iajs-2290 290 24 finitely finitely ADV iajs-2290 290 25 generated generate VERB iajs-2290 290 26 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 290 27 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 290 28 and and CCONJ iajs-2290 290 29 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 290 30 is be AUX iajs-2290 290 31 a a DET iajs-2290 290 32 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 290 33 primary2 primary2 ADV iajs-2290 290 34 - - PUNCT iajs-2290 290 35 absorbing absorb VERB iajs-2290 290 36 ideal ideal NOUN iajs-2290 290 37 of of ADP iajs-2290 290 38 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 290 39 and and CCONJ iajs-2290 290 40 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 290 41 β‰  β‰  PROPN iajs-2290 290 42 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 291 1 then then ADV iajs-2290 291 2 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 291 3 is be AUX iajs-2290 291 4 a a DET iajs-2290 291 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 291 6 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 291 7 - - PUNCT iajs-2290 291 8 absorbing absorb VERB iajs-2290 291 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 291 10 of of ADP iajs-2290 291 11 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 291 12 proof proof NOUN iajs-2290 291 13 let let VERB iajs-2290 291 14 π‘Žπ‘π‘₯ π‘Žπ‘π‘₯ NOUN iajs-2290 291 15 ∈ ∈ NOUN iajs-2290 291 16 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 291 17 for for ADP iajs-2290 291 18 π‘Ž,𝑏 π‘Ž,𝑏 NOUN iajs-2290 291 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 291 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 291 21 , , PUNCT iajs-2290 291 22 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2290 291 23 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 291 24 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 291 25 , , PUNCT iajs-2290 291 26 then then ADV iajs-2290 291 27 π‘Žπ‘(π‘₯ π‘Žπ‘(π‘₯ NOUN iajs-2290 291 28 ) ) PUNCT iajs-2290 291 29 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 291 30 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 291 31 , , PUNCT iajs-2290 291 32 implies imply VERB iajs-2290 291 33 that that SCONJ iajs-2290 291 34 π‘Žπ‘π½π‘Š π‘Žπ‘π½π‘Š NOUN iajs-2290 291 35 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 291 36 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 291 37 for for ADP iajs-2290 291 38 some some DET iajs-2290 291 39 ideal ideal ADJ iajs-2290 291 40 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 291 41 of of ADP iajs-2290 291 42 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 291 43 since since SCONJ iajs-2290 291 44 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 291 45 is be AUX iajs-2290 291 46 a a DET iajs-2290 291 47 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 291 48 . . PUNCT iajs-2290 292 1 hence hence ADV iajs-2290 292 2 by by ADP iajs-2290 292 3 lemma(21 lemma(21 ADJ iajs-2290 292 4 ) ) PUNCT iajs-2290 292 5 π‘Žπ‘π½ π‘Žπ‘π½ NOUN iajs-2290 292 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 292 7 𝐼 𝐼 ADP iajs-2290 292 8 + + PROPN iajs-2290 292 9 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š NUM iajs-2290 292 10 ) ) PUNCT iajs-2290 292 11 , , PUNCT iajs-2290 292 12 but but CCONJ iajs-2290 292 13 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 292 14 is be AUX iajs-2290 292 15 a a DET iajs-2290 292 16 faithful faithful NOUN iajs-2290 292 17 . . PUNCT iajs-2290 293 1 it it PRON iajs-2290 293 2 follows follow VERB iajs-2290 293 3 that that SCONJ iajs-2290 293 4 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š PROPN iajs-2290 293 5 ) ) PUNCT iajs-2290 293 6 = = PRON iajs-2290 294 1 ( ( PUNCT iajs-2290 294 2 0 0 NUM iajs-2290 294 3 ) ) PUNCT iajs-2290 294 4 , , PUNCT iajs-2290 294 5 that that PRON iajs-2290 294 6 is is ADV iajs-2290 294 7 π‘Žπ‘π½ π‘Žπ‘π½ NUM iajs-2290 294 8 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 294 9 𝐼. 𝐼. NOUN iajs-2290 294 10 since since SCONJ iajs-2290 294 11 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 294 12 is be AUX iajs-2290 294 13 a a DET iajs-2290 294 14 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 294 15 primary-2absorbing primary-2absorbing NOUN iajs-2290 294 16 ideal ideal NOUN iajs-2290 294 17 of of ADP iajs-2290 294 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 294 19 , , PUNCT iajs-2290 294 20 then then ADV iajs-2290 294 21 by by ADP iajs-2290 294 22 proposition proposition NOUN iajs-2290 294 23 ( ( PUNCT iajs-2290 294 24 4 4 NUM iajs-2290 294 25 ) ) PUNCT iajs-2290 294 26 either either CCONJ iajs-2290 294 27 π‘Žπ½ π‘Žπ½ ADV iajs-2290 294 28 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 294 29 √𝐼 √𝐼 NOUN iajs-2290 294 30 + + CCONJ iajs-2290 294 31 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 294 32 ) ) PUNCT iajs-2290 294 33 or or CCONJ iajs-2290 294 34 𝑏𝐽 𝑏𝐽 PROPN iajs-2290 294 35 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 294 36 √𝐼 √𝐼 X iajs-2290 294 37 + + CCONJ iajs-2290 294 38 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NUM iajs-2290 294 39 ) ) PUNCT iajs-2290 294 40 or or CCONJ iajs-2290 294 41 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘ ADP iajs-2290 294 42 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 295 1 [ [ X iajs-2290 295 2 𝐼 𝐼 ADP iajs-2290 295 3 + + PROPN iajs-2290 295 4 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 PROPN iajs-2290 295 5 ): ): PUNCT iajs-2290 295 6 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2290 295 7 ] ] X iajs-2290 295 8 = = PUNCT iajs-2290 295 9 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 295 10 + + PROPN iajs-2290 295 11 π‘ π‘œπ‘(𝑅 π‘ π‘œπ‘(𝑅 NOUN iajs-2290 295 12 ) ) PUNCT iajs-2290 295 13 . . PUNCT iajs-2290 296 1 it it PRON iajs-2290 296 2 follows follow VERB iajs-2290 296 3 that that SCONJ iajs-2290 296 4 π‘Žπ½π‘Š π‘Žπ½π‘Š NOUN iajs-2290 296 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 296 6 βˆšπΌπ‘Š βˆšπΌπ‘Š NOUN iajs-2290 296 7 + + ADJ iajs-2290 296 8 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 296 9 or or CCONJ iajs-2290 296 10 π‘π½π‘Š π‘π½π‘Š NOUN iajs-2290 296 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 296 12 βˆšπΌπ‘Š βˆšπΌπ‘Š NOUN iajs-2290 296 13 + + ADJ iajs-2290 296 14 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š NOUN iajs-2290 296 15 or or CCONJ iajs-2290 296 16 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š PROPN iajs-2290 296 17 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 296 18 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 296 19 + + CCONJ iajs-2290 296 20 π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š. PROPN iajs-2290 297 1 but but CCONJ iajs-2290 297 2 by by ADP iajs-2290 297 3 lemma lemma PROPN iajs-2290 297 4 ( ( PUNCT iajs-2290 297 5 17)π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š 17)π‘ π‘œπ‘(𝑅)π‘Š PROPN iajs-2290 297 6 = = SYM iajs-2290 297 7 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 297 8 ) ) PUNCT iajs-2290 297 9 and and CCONJ iajs-2290 297 10 by by ADP iajs-2290 297 11 lemma lemma PROPN iajs-2290 297 12 ( ( PUNCT iajs-2290 297 13 22 22 NUM iajs-2290 297 14 ) ) PUNCT iajs-2290 297 15 βˆšπΌπ‘Š βˆšπΌπ‘Š NOUN iajs-2290 298 1 = = NOUN iajs-2290 298 2 . . PUNCT iajs-2290 299 1 π‘Š π‘Š NOUN iajs-2290 299 2 βˆ’ βˆ’ NOUN iajs-2290 299 3 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š NUM iajs-2290 299 4 ) ) PUNCT iajs-2290 299 5 . . PUNCT iajs-2290 300 1 thus thus ADV iajs-2290 300 2 either either CCONJ iajs-2290 300 3 π‘Žπ‘₯ π‘Žπ‘₯ ADP iajs-2290 300 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 300 5 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 300 6 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 300 7 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š NUM iajs-2290 300 8 ) ) PUNCT iajs-2290 301 1 + + CCONJ iajs-2290 301 2 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 301 3 ) ) PUNCT iajs-2290 301 4 or or CCONJ iajs-2290 301 5 𝑏π‘₯ 𝑏π‘₯ PROPN iajs-2290 301 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2290 301 7 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 301 8 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2290 301 9 π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š π‘Ÿπ‘Žπ‘‘(πΌπ‘Š NUM iajs-2290 301 10 ) ) PUNCT iajs-2290 301 11 + + CCONJ iajs-2290 301 12 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 301 13 ) ) PUNCT iajs-2290 301 14 or or CCONJ iajs-2290 301 15 π‘Žπ‘π‘Š π‘Žπ‘π‘Š PROPN iajs-2290 301 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 301 17 πΌπ‘Š πΌπ‘Š NOUN iajs-2290 301 18 + + CCONJ iajs-2290 301 19 π‘ π‘œπ‘(π‘Š π‘ π‘œπ‘(π‘Š NUM iajs-2290 301 20 ) ) PUNCT iajs-2290 301 21 . . PUNCT iajs-2290 302 1 hence hence ADV iajs-2290 302 2 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 302 3 is be AUX iajs-2290 302 4 a a DET iajs-2290 302 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 302 6 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 302 7 submodule submodule NOUN iajs-2290 302 8 of of ADP iajs-2290 302 9 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 302 10 proposition proposition NOUN iajs-2290 302 11 ( ( PUNCT iajs-2290 302 12 24 24 NUM iajs-2290 302 13 ) ) PUNCT iajs-2290 302 14 let let VERB iajs-2290 302 15 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 302 16 be be AUX iajs-2290 302 17 a a DET iajs-2290 302 18 faithful faithful ADJ iajs-2290 302 19 finitely finitely ADV iajs-2290 302 20 generated generate VERB iajs-2290 302 21 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 302 22 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 302 23 and and CCONJ iajs-2290 302 24 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 302 25 be be AUX iajs-2290 302 26 a a DET iajs-2290 302 27 proper proper ADJ iajs-2290 302 28 submodule submodule NOUN iajs-2290 302 29 of of ADP iajs-2290 302 30 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 302 31 then then ADV iajs-2290 302 32 the the DET iajs-2290 302 33 following follow VERB iajs-2290 302 34 statements statement NOUN iajs-2290 302 35 are be AUX iajs-2290 302 36 equivalent equivalent ADJ iajs-2290 302 37 . . PUNCT iajs-2290 303 1 1 1 X iajs-2290 303 2 . . X iajs-2290 303 3 k k PROPN iajs-2290 303 4 is be AUX iajs-2290 303 5 a a DET iajs-2290 303 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 303 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 303 8 - - PUNCT iajs-2290 303 9 absorbing absorb VERB iajs-2290 303 10 submodule submodule NOUN iajs-2290 303 11 of of ADP iajs-2290 303 12 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 303 13 2 2 NUM iajs-2290 303 14 . . PUNCT iajs-2290 304 1 [ [ X iajs-2290 304 2 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 304 3 w w PROPN iajs-2290 304 4 ] ] X iajs-2290 304 5 is be AUX iajs-2290 304 6 a a DET iajs-2290 304 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 304 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 304 9 - - PUNCT iajs-2290 304 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 304 11 ideal ideal NOUN iajs-2290 304 12 of of ADP iajs-2290 304 13 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 304 14 3 3 NUM iajs-2290 304 15 . . PUNCT iajs-2290 305 1 k k PROPN iajs-2290 305 2 = = PUNCT iajs-2290 305 3 jw jw PROPN iajs-2290 305 4 for for ADP iajs-2290 305 5 some some DET iajs-2290 305 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 305 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 305 8 - - PUNCT iajs-2290 305 9 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 305 10 ideal ideal NOUN iajs-2290 305 11 of of ADP iajs-2290 305 12 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2290 305 13 proof proof NOUN iajs-2290 305 14 ( ( PUNCT iajs-2290 305 15 1 1 X iajs-2290 305 16 ) ) PUNCT iajs-2290 305 17 ⇔ ⇔ X iajs-2290 305 18 ( ( PUNCT iajs-2290 305 19 2 2 NUM iajs-2290 305 20 ) ) PUNCT iajs-2290 305 21 by by ADP iajs-2290 305 22 proposition proposition NOUN iajs-2290 305 23 ( ( PUNCT iajs-2290 305 24 18 18 NUM iajs-2290 305 25 ) ) PUNCT iajs-2290 305 26 . . PUNCT iajs-2290 306 1 ( ( PUNCT iajs-2290 306 2 2 2 X iajs-2290 306 3 ) ) PUNCT iajs-2290 306 4 β‡’ β‡’ NOUN iajs-2290 306 5 ( ( PUNCT iajs-2290 306 6 3 3 NUM iajs-2290 306 7 ) ) PUNCT iajs-2290 306 8 since since SCONJ iajs-2290 306 9 [ [ X iajs-2290 306 10 k:𝑅 k:𝑅 PROPN iajs-2290 306 11 w w PROPN iajs-2290 306 12 ] ] X iajs-2290 306 13 is be AUX iajs-2290 306 14 a a DET iajs-2290 306 15 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 306 16 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 306 17 - - PUNCT iajs-2290 306 18 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 306 19 ideal ideal NOUN iajs-2290 306 20 of of ADP iajs-2290 306 21 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 306 22 with with ADP iajs-2290 306 23 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š PROPN iajs-2290 306 24 ) ) PUNCT iajs-2290 306 25 = = PUNCT iajs-2290 307 1 [ [ X iajs-2290 307 2 0 0 NUM iajs-2290 307 3 : : PUNCT iajs-2290 307 4 w w X iajs-2290 307 5 ] ] PUNCT iajs-2290 307 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2290 307 7 [ [ X iajs-2290 307 8 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 307 9 w w NOUN iajs-2290 307 10 ] ] PUNCT iajs-2290 307 11 and and CCONJ iajs-2290 307 12 k k NOUN iajs-2290 308 1 = = PUNCT iajs-2290 309 1 [ [ X iajs-2290 309 2 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 309 3 w]w w]w PROPN iajs-2290 309 4 , , PUNCT iajs-2290 309 5 implies imply VERB iajs-2290 309 6 that that SCONJ iajs-2290 309 7 k k PROPN iajs-2290 310 1 = = PUNCT iajs-2290 310 2 iw iw INTJ iajs-2290 310 3 where where SCONJ iajs-2290 310 4 i i PRON iajs-2290 310 5 = = PUNCT iajs-2290 311 1 [ [ X iajs-2290 311 2 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 311 3 w w PROPN iajs-2290 311 4 ] ] X iajs-2290 311 5 is be AUX iajs-2290 311 6 a a DET iajs-2290 311 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 311 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 311 9 - - PUNCT iajs-2290 311 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 311 11 ideal ideal NOUN iajs-2290 311 12 of of ADP iajs-2290 311 13 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 311 14 ( ( PUNCT iajs-2290 311 15 3 3 NUM iajs-2290 311 16 ) ) PUNCT iajs-2290 311 17 ⟹ ⟹ NOUN iajs-2290 312 1 ( ( PUNCT iajs-2290 312 2 2 2 X iajs-2290 312 3 ) ) PUNCT iajs-2290 312 4 suppose suppose VERB iajs-2290 312 5 that that SCONJ iajs-2290 312 6 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 312 7 = = SYM iajs-2290 312 8 π½π‘Š π½π‘Š PROPN iajs-2290 312 9 for for ADP iajs-2290 312 10 some some DET iajs-2290 312 11 a a DET iajs-2290 312 12 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 312 13 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 312 14 - - PUNCT iajs-2290 312 15 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 312 16 ideal ideal NOUN iajs-2290 312 17 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2290 312 18 of of ADP iajs-2290 312 19 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 312 20 since since SCONJ iajs-2290 312 21 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 312 22 is be AUX iajs-2290 312 23 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 312 24 , , PUNCT iajs-2290 312 25 then then ADV iajs-2290 312 26 k k PROPN iajs-2290 312 27 = = PUNCT iajs-2290 313 1 [ [ X iajs-2290 313 2 k:𝑅 k:𝑅 X iajs-2290 313 3 w]w w]w NOUN iajs-2290 313 4 = = SYM iajs-2290 313 5 iw iw INTJ iajs-2290 313 6 . . PUNCT iajs-2290 314 1 since since SCONJ iajs-2290 314 2 π‘Š π‘Š PROPN iajs-2290 314 3 is be AUX iajs-2290 314 4 faithful faithful ADJ iajs-2290 314 5 finitely finitely ADV iajs-2290 314 6 generated generate VERB iajs-2290 314 7 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 314 8 then then ADV iajs-2290 314 9 we we PRON iajs-2290 314 10 have have VERB iajs-2290 314 11 [ [ X iajs-2290 314 12 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 314 13 w w NOUN iajs-2290 314 14 ] ] X iajs-2290 314 15 = = PUNCT iajs-2290 314 16 j. j. X iajs-2290 315 1 thus thus ADV iajs-2290 315 2 [ [ X iajs-2290 315 3 k:𝑅 k:𝑅 PROPN iajs-2290 315 4 w w PROPN iajs-2290 315 5 ] ] X iajs-2290 315 6 is be AUX iajs-2290 315 7 a a DET iajs-2290 315 8 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 315 9 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 315 10 - - PUNCT iajs-2290 315 11 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 315 12 ideal ideal NOUN iajs-2290 315 13 of of ADP iajs-2290 315 14 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 315 15 proposition proposition NOUN iajs-2290 315 16 ( ( PUNCT iajs-2290 315 17 25 25 NUM iajs-2290 315 18 ) ) PUNCT iajs-2290 315 19 let let VERB iajs-2290 315 20 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 315 21 be be AUX iajs-2290 315 22 a a DET iajs-2290 315 23 finitely finitely ADV iajs-2290 315 24 generated generate VERB iajs-2290 315 25 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 315 26 non non ADJ iajs-2290 315 27 - - ADJ iajs-2290 315 28 singular singular ADJ iajs-2290 315 29 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 315 30 and and CCONJ iajs-2290 315 31 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2290 315 32 be be VERB iajs-2290 315 33 a a DET iajs-2290 315 34 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 315 35 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 315 36 - - PUNCT iajs-2290 315 37 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 315 38 ideal ideal NOUN iajs-2290 315 39 of of ADP iajs-2290 315 40 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 315 41 with with ADP iajs-2290 315 42 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š PROPN iajs-2290 315 43 ) ) PUNCT iajs-2290 316 1 βŠ† βŠ† X iajs-2290 316 2 𝐼. 𝐼. PROPN iajs-2290 316 3 then then ADV iajs-2290 316 4 πΌπ‘Š πΌπ‘Š PROPN iajs-2290 316 5 is be AUX iajs-2290 316 6 a a DET iajs-2290 316 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 316 8 primary-2absorbing primary-2absorbe VERB iajs-2290 316 9 submodule submodule NOUN iajs-2290 316 10 of of ADP iajs-2290 316 11 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 316 12 proof proof NOUN iajs-2290 316 13 similarly similarly ADV iajs-2290 316 14 as as ADP iajs-2290 316 15 in in ADP iajs-2290 316 16 proposition proposition NOUN iajs-2290 316 17 ( ( PUNCT iajs-2290 316 18 23 23 NUM iajs-2290 316 19 ) ) PUNCT iajs-2290 316 20 and and CCONJ iajs-2290 316 21 using use VERB iajs-2290 316 22 lemma lemma PROPN iajs-2290 316 23 ( ( PUNCT iajs-2290 316 24 19 19 NUM iajs-2290 316 25 ) ) PUNCT iajs-2290 316 26 . . PUNCT iajs-2290 317 1 138 138 NUM iajs-2290 317 2 ibn ibn PROPN iajs-2290 317 3 al al PROPN iajs-2290 317 4 - - PUNCT iajs-2290 317 5 haitham haitham PROPN iajs-2290 317 6 jour jour X iajs-2290 317 7 . . PROPN iajs-2290 317 8 for for ADP iajs-2290 317 9 pure pure ADJ iajs-2290 317 10 & & CCONJ iajs-2290 317 11 appl appl PROPN iajs-2290 317 12 . . PUNCT iajs-2290 318 1 sci sci PROPN iajs-2290 318 2 . . PROPN iajs-2290 318 3 32 32 NUM iajs-2290 318 4 ( ( PUNCT iajs-2290 318 5 3 3 NUM iajs-2290 318 6 ) ) SYM iajs-2290 318 7 2019 2019 NUM iajs-2290 318 8 proposition proposition NOUN iajs-2290 318 9 ( ( PUNCT iajs-2290 318 10 26 26 NUM iajs-2290 318 11 ) ) PUNCT iajs-2290 318 12 let let VERB iajs-2290 318 13 π‘Š π‘Š PRON iajs-2290 318 14 be be AUX iajs-2290 318 15 a a DET iajs-2290 318 16 finitely finitely ADV iajs-2290 318 17 generated generate VERB iajs-2290 318 18 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 318 19 non non ADJ iajs-2290 318 20 - - ADJ iajs-2290 318 21 singular singular ADJ iajs-2290 318 22 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2290 318 23 and and CCONJ iajs-2290 318 24 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2290 318 25 be be AUX iajs-2290 318 26 a a DET iajs-2290 318 27 proper proper ADJ iajs-2290 318 28 submodule submodule NOUN iajs-2290 318 29 of of ADP iajs-2290 318 30 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 318 31 then then ADV iajs-2290 318 32 the the DET iajs-2290 318 33 following follow VERB iajs-2290 318 34 statements statement NOUN iajs-2290 318 35 are be AUX iajs-2290 318 36 equivalent equivalent ADJ iajs-2290 318 37 . . PUNCT iajs-2290 319 1 1 1 X iajs-2290 319 2 . . X iajs-2290 319 3 k k PROPN iajs-2290 319 4 is be AUX iajs-2290 319 5 a a DET iajs-2290 319 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 319 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 319 8 - - PUNCT iajs-2290 319 9 absorbing absorb VERB iajs-2290 319 10 submodule submodule NOUN iajs-2290 319 11 of of ADP iajs-2290 319 12 π‘Š. π‘Š. PROPN iajs-2290 319 13 2 2 NUM iajs-2290 319 14 . . PUNCT iajs-2290 320 1 [ [ X iajs-2290 320 2 k:𝑅 k:𝑅 NOUN iajs-2290 320 3 w w PROPN iajs-2290 320 4 ] ] X iajs-2290 320 5 is be AUX iajs-2290 320 6 a a DET iajs-2290 320 7 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 320 8 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 320 9 - - PUNCT iajs-2290 320 10 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 320 11 ideal ideal NOUN iajs-2290 320 12 of of ADP iajs-2290 320 13 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2290 320 14 3 3 NUM iajs-2290 320 15 . . PUNCT iajs-2290 321 1 k k PROPN iajs-2290 321 2 = = PUNCT iajs-2290 321 3 jw jw PROPN iajs-2290 321 4 for for ADP iajs-2290 321 5 some some DET iajs-2290 321 6 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 321 7 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 321 8 - - PUNCT iajs-2290 321 9 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 321 10 ideal ideal NOUN iajs-2290 321 11 of of ADP iajs-2290 321 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2290 321 13 , , PUNCT iajs-2290 321 14 with with ADP iajs-2290 321 15 π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š π‘Žπ‘›π‘›π‘…(π‘Š NUM iajs-2290 321 16 ) ) PUNCT iajs-2290 322 1 βŠ† βŠ† X iajs-2290 322 2 𝐽. 𝐽. ADJ iajs-2290 322 3 proof proof NOUN iajs-2290 322 4 similarly similarly ADV iajs-2290 322 5 as as ADP iajs-2290 322 6 in in ADP iajs-2290 322 7 proposition proposition NOUN iajs-2290 322 8 ( ( PUNCT iajs-2290 322 9 24 24 NUM iajs-2290 322 10 ) ) PUNCT iajs-2290 322 11 , , PUNCT iajs-2290 322 12 by by ADP iajs-2290 322 13 using use VERB iajs-2290 322 14 proposition proposition NOUN iajs-2290 322 15 ( ( PUNCT iajs-2290 322 16 20 20 NUM iajs-2290 322 17 ) ) PUNCT iajs-2290 322 18 . . PUNCT iajs-2290 323 1 3 3 X iajs-2290 323 2 . . X iajs-2290 323 3 conclusion conclusion NOUN iajs-2290 323 4 in in ADP iajs-2290 323 5 this this DET iajs-2290 323 6 article article NOUN iajs-2290 323 7 we we PRON iajs-2290 323 8 introduce introduce VERB iajs-2290 323 9 new new ADJ iajs-2290 323 10 generalization generalization NOUN iajs-2290 323 11 of of ADP iajs-2290 323 12 ( ( PUNCT iajs-2290 323 13 prime prime ADJ iajs-2290 323 14 , , PUNCT iajs-2290 323 15 primary primary ADJ iajs-2290 323 16 , , PUNCT iajs-2290 323 17 2 2 NUM iajs-2290 323 18 - - PUNCT iajs-2290 323 19 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 323 20 , , PUNCT iajs-2290 323 21 pseudo2 pseudo2 X iajs-2290 323 22 - - PUNCT iajs-2290 323 23 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 323 24 ) ) PUNCT iajs-2290 323 25 submodules submodule NOUN iajs-2290 323 26 called call VERB iajs-2290 323 27 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 323 28 primary-2 primary-2 NOUN iajs-2290 323 29 - - PUNCT iajs-2290 323 30 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 323 31 submodules submodule NOUN iajs-2290 323 32 and and CCONJ iajs-2290 323 33 we we PRON iajs-2290 323 34 explain explain VERB iajs-2290 323 35 the the DET iajs-2290 323 36 converse converse NOUN iajs-2290 323 37 implication implication NOUN iajs-2290 323 38 of of ADP iajs-2290 323 39 above above ADV iajs-2290 323 40 by by ADP iajs-2290 323 41 examples example NOUN iajs-2290 323 42 . . PUNCT iajs-2290 324 1 many many ADJ iajs-2290 324 2 characterizations characterization NOUN iajs-2290 324 3 of of ADP iajs-2290 324 4 this this DET iajs-2290 324 5 generalization generalization NOUN iajs-2290 324 6 are be AUX iajs-2290 324 7 introduced introduce VERB iajs-2290 324 8 . . PUNCT iajs-2290 325 1 relationships relationship NOUN iajs-2290 325 2 of of ADP iajs-2290 325 3 this this DET iajs-2290 325 4 generalization generalization NOUN iajs-2290 325 5 with with ADP iajs-2290 325 6 other other ADJ iajs-2290 325 7 classes class NOUN iajs-2290 325 8 of of ADP iajs-2290 325 9 modules module NOUN iajs-2290 325 10 are be AUX iajs-2290 325 11 given give VERB iajs-2290 325 12 . . PUNCT iajs-2290 326 1 references reference NOUN iajs-2290 326 2 1 1 NUM iajs-2290 326 3 . . X iajs-2290 327 1 lu lu PROPN iajs-2290 327 2 , , PUNCT iajs-2290 327 3 c.p c.p PROPN iajs-2290 327 4 . . PROPN iajs-2290 327 5 prime prime ADJ iajs-2290 327 6 submodules submodule NOUN iajs-2290 327 7 of of ADP iajs-2290 327 8 modules module NOUN iajs-2290 327 9 , , PUNCT iajs-2290 327 10 commutative commutative ADJ iajs-2290 327 11 mathematics mathematic NOUN iajs-2290 327 12 , , PUNCT iajs-2290 327 13 university university NOUN iajs-2290 327 14 spatula spatula NOUN iajs-2290 327 15 . . PUNCT iajs-2290 328 1 1981 1981 NUM iajs-2290 328 2 , , PUNCT iajs-2290 328 3 33 33 NUM iajs-2290 328 4 , , PUNCT iajs-2290 328 5 61 61 NUM iajs-2290 328 6 - - SYM iajs-2290 328 7 69 69 NUM iajs-2290 328 8 . . PUNCT iajs-2290 329 1 2 2 X iajs-2290 329 2 . . X iajs-2290 329 3 lu lu PROPN iajs-2290 329 4 , , PUNCT iajs-2290 329 5 c.p c.p PROPN iajs-2290 329 6 . . PROPN iajs-2290 329 7 m m PROPN iajs-2290 329 8 - - ADJ iajs-2290 329 9 radical radical ADJ iajs-2290 329 10 of of ADP iajs-2290 329 11 submodules submodule NOUN iajs-2290 329 12 in in ADP iajs-2290 329 13 modules module NOUN iajs-2290 329 14 , , PUNCT iajs-2290 329 15 math math NOUN iajs-2290 329 16 . . PUNCT iajs-2290 330 1 japan.1989 japan.1989 PROPN iajs-2290 330 2 , , PUNCT iajs-2290 330 3 34 34 NUM iajs-2290 330 4 , , PUNCT iajs-2290 330 5 211 211 NUM iajs-2290 330 6 - - SYM iajs-2290 330 7 219 219 NUM iajs-2290 330 8 . . PUNCT iajs-2290 331 1 3 3 X iajs-2290 331 2 . . X iajs-2290 331 3 haibt haibt PROPN iajs-2290 331 4 , , PUNCT iajs-2290 331 5 k. k. PROPN iajs-2290 331 6 m m PROPN iajs-2290 331 7 ; ; PUNCT iajs-2290 331 8 ali ali PROPN iajs-2290 331 9 , , PUNCT iajs-2290 331 10 sh sh PROPN iajs-2290 331 11 . . PUNCT iajs-2290 331 12 a. a. NOUN iajs-2290 331 13 approximaitly approximaitly ADV iajs-2290 331 14 prime prime ADJ iajs-2290 331 15 submodules submodule NOUN iajs-2290 331 16 and and CCONJ iajs-2290 331 17 related related ADJ iajs-2290 331 18 concepts concept NOUN iajs-2290 331 19 , , PUNCT iajs-2290 331 20 ibnal ibnal ADJ iajs-2290 331 21 - - PUNCT iajs-2290 331 22 haithem haithem NOUN iajs-2290 331 23 journal journal NOUN iajs-2290 331 24 for for ADP iajs-2290 331 25 pure pure ADJ iajs-2290 331 26 and and CCONJ iajs-2290 331 27 apple.sci apple.sci PROPN iajs-2290 331 28 . . NOUN iajs-2290 331 29 2019 2019 NUM iajs-2290 331 30 , , PUNCT iajs-2290 331 31 32 32 NUM iajs-2290 331 32 , , PUNCT iajs-2290 331 33 2,114 2,114 NUM iajs-2290 331 34 - - SYM iajs-2290 331 35 122 122 NUM iajs-2290 331 36 . . PUNCT iajs-2290 332 1 4 4 NUM iajs-2290 332 2 . . X iajs-2290 332 3 al al PROPN iajs-2290 332 4 - - PUNCT iajs-2290 332 5 mothafar mothafar PROPN iajs-2290 332 6 , , PUNCT iajs-2290 332 7 n.s n.s PROPN iajs-2290 332 8 . . PROPN iajs-2290 332 9 ; ; PUNCT iajs-2290 332 10 abdula abdula PROPN iajs-2290 332 11 - - PUNCT iajs-2290 332 12 al al PROPN iajs-2290 332 13 - - PUNCT iajs-2290 332 14 kalik kalik NOUN iajs-2290 332 15 , , PUNCT iajs-2290 332 16 a.j a.j PROPN iajs-2290 332 17 . . PROPN iajs-2290 332 18 Ο† Ο† PROPN iajs-2290 332 19 - - ADJ iajs-2290 332 20 prime prime ADJ iajs-2290 332 21 submodules submodule NOUN iajs-2290 332 22 , , PUNCT iajs-2290 332 23 ibn ibn PROPN iajs-2290 332 24 - - PUNCT iajs-2290 332 25 al al PROPN iajs-2290 332 26 - - PUNCT iajs-2290 332 27 haithem haithem NOUN iajs-2290 332 28 journal journal NOUN iajs-2290 332 29 , , PUNCT iajs-2290 332 30 for for ADP iajs-2290 332 31 pure pure ADJ iajs-2290 332 32 and and CCONJ iajs-2290 332 33 apple apple NOUN iajs-2290 332 34 . . PUNCT iajs-2290 333 1 sci.2016 sci.2016 PROPN iajs-2290 333 2 , , PUNCT iajs-2290 333 3 29 29 NUM iajs-2290 333 4 , , PUNCT iajs-2290 333 5 2 2 NUM iajs-2290 333 6 , , PUNCT iajs-2290 333 7 282 282 NUM iajs-2290 333 8 - - SYM iajs-2290 333 9 291 291 NUM iajs-2290 333 10 . . PUNCT iajs-2290 334 1 5 5 NUM iajs-2290 334 2 . . X iajs-2290 334 3 al al PROPN iajs-2290 334 4 - - PUNCT iajs-2290 334 5 mothafar mothafar PROPN iajs-2290 334 6 , , PUNCT iajs-2290 334 7 n.s n.s PROPN iajs-2290 334 8 . . PROPN iajs-2290 334 9 ; ; PUNCT iajs-2290 334 10 abdula abdula PROPN iajs-2290 334 11 - - PUNCT iajs-2290 334 12 al al PROPN iajs-2290 334 13 - - PUNCT iajs-2290 334 14 kalik kalik NOUN iajs-2290 334 15 , , PUNCT iajs-2290 334 16 a.j a.j PROPN iajs-2290 334 17 . . PROPN iajs-2290 334 18 nearly nearly ADV iajs-2290 334 19 prime prime ADJ iajs-2290 334 20 submodules submodule NOUN iajs-2290 334 21 , , PUNCT iajs-2290 334 22 international international ADJ iajs-2290 334 23 journal journal NOUN iajs-2290 334 24 of of ADP iajs-2290 334 25 advanced advanced ADJ iajs-2290 334 26 scientific scientific ADJ iajs-2290 334 27 and and CCONJ iajs-2290 334 28 technical technical PROPN iajs-2290 334 29 research.2015 research.2015 PROPN iajs-2290 334 30 , , PUNCT iajs-2290 334 31 6 6 NUM iajs-2290 334 32 , , PUNCT iajs-2290 334 33 3 3 NUM iajs-2290 334 34 , , PUNCT iajs-2290 334 35 166 166 NUM iajs-2290 334 36 - - SYM iajs-2290 334 37 173 173 NUM iajs-2290 334 38 . . NOUN iajs-2290 334 39 6 6 NUM iajs-2290 334 40 . . X iajs-2290 335 1 reem reem PROPN iajs-2290 335 2 , , PUNCT iajs-2290 335 3 t.a t.a PROPN iajs-2290 335 4 . . PROPN iajs-2290 335 5 ; ; PUNCT iajs-2290 335 6 shwkea shwkea PROPN iajs-2290 335 7 , , PUNCT iajs-2290 335 8 m.r m.r PROPN iajs-2290 335 9 . . PROPN iajs-2290 335 10 nearly nearly ADV iajs-2290 335 11 2 2 NUM iajs-2290 335 12 - - PUNCT iajs-2290 335 13 absorbing absorb VERB iajs-2290 335 14 submodules submodule NOUN iajs-2290 335 15 and and CCONJ iajs-2290 335 16 related related ADJ iajs-2290 335 17 concepts concept NOUN iajs-2290 335 18 , , PUNCT iajs-2290 335 19 tikrit tikrit NOUN iajs-2290 335 20 journal journal NOUN iajs-2290 335 21 , , PUNCT iajs-2290 335 22 for for ADP iajs-2290 335 23 pure.sci.2018 pure.sci.2018 NOUN iajs-2290 335 24 , , PUNCT iajs-2290 335 25 23 23 NUM iajs-2290 335 26 , , PUNCT iajs-2290 335 27 9 9 NUM iajs-2290 335 28 , , PUNCT iajs-2290 335 29 104 104 NUM iajs-2290 335 30 - - SYM iajs-2290 335 31 112 112 NUM iajs-2290 335 32 . . PUNCT iajs-2290 336 1 7 7 X iajs-2290 336 2 . . X iajs-2290 336 3 haibat haibat PROPN iajs-2290 336 4 , , PUNCT iajs-2290 336 5 k.m k.m PROPN iajs-2290 336 6 . . PROPN iajs-2290 336 7 ; ; PUNCT iajs-2290 337 1 khalaf khalaf PROPN iajs-2290 337 2 , , PUNCT iajs-2290 337 3 h.a h.a PROPN iajs-2290 337 4 . . PROPN iajs-2290 337 5 nearly nearly ADV iajs-2290 337 6 quasi2 quasi2 NOUN iajs-2290 337 7 - - PUNCT iajs-2290 337 8 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 337 9 submodules submodule NOUN iajs-2290 337 10 , , PUNCT iajs-2290 337 11 tikrit tikrit NOUN iajs-2290 337 12 journal journal NOUN iajs-2290 337 13 , , PUNCT iajs-2290 337 14 for for ADP iajs-2290 337 15 pure.sci.2018 pure.sci.2018 NOUN iajs-2290 337 16 , , PUNCT iajs-2290 337 17 23 23 NUM iajs-2290 337 18 , , PUNCT iajs-2290 337 19 9 9 NUM iajs-2290 337 20 , , PUNCT iajs-2290 337 21 99 99 NUM iajs-2290 337 22 - - SYM iajs-2290 337 23 102 102 NUM iajs-2290 337 24 . . NOUN iajs-2290 337 25 8 8 NUM iajs-2290 337 26 . . X iajs-2290 337 27 haibat haibat PROPN iajs-2290 337 28 , , PUNCT iajs-2290 337 29 k.m k.m PROPN iajs-2290 337 30 . . PROPN iajs-2290 337 31 ; ; PUNCT iajs-2290 337 32 omar omar PROPN iajs-2290 337 33 , , PUNCT iajs-2290 337 34 a.a a.a PROPN iajs-2290 337 35 . . PROPN iajs-2290 337 36 pseudo-2 pseudo-2 PROPN iajs-2290 337 37 - - PUNCT iajs-2290 337 38 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 337 39 and and CCONJ iajs-2290 337 40 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 337 41 semi-2 semi-2 NOUN iajs-2290 337 42 - - PUNCT iajs-2290 337 43 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 337 44 submodules submodule NOUN iajs-2290 337 45 , , PUNCT iajs-2290 337 46 second second ADJ iajs-2290 337 47 international international ADJ iajs-2290 337 48 conference conference NOUN iajs-2290 337 49 of of ADP iajs-2290 337 50 math math NOUN iajs-2290 337 51 . . PUNCT iajs-2290 338 1 in in ADP iajs-2290 338 2 erbil erbil PROPN iajs-2290 338 3 . . PUNCT iajs-2290 338 4 sci sci PROPN iajs-2290 338 5 . . PUNCT iajs-2290 339 1 ( ( PUNCT iajs-2290 339 2 accepted accept VERB iajs-2290 339 3 in in ADP iajs-2290 339 4 aip aip PROPN iajs-2290 339 5 journal journal PROPN iajs-2290 339 6 indexed index VERB iajs-2290 339 7 in in ADP iajs-2290 339 8 scopus,2019 scopus,2019 NOUN iajs-2290 339 9 . . PUNCT iajs-2290 340 1 9 9 X iajs-2290 340 2 . . X iajs-2290 340 3 haibat haibat PROPN iajs-2290 340 4 , , PUNCT iajs-2290 340 5 k.m k.m PROPN iajs-2290 340 6 . . PROPN iajs-2290 340 7 ; ; PUNCT iajs-2290 341 1 omar omar PROPN iajs-2290 341 2 , , PUNCT iajs-2290 341 3 a.a a.a PROPN iajs-2290 341 4 . . PROPN iajs-2290 341 5 pseudo pseudo NOUN iajs-2290 341 6 quasi-2 quasi-2 NOUN iajs-2290 341 7 - - PUNCT iajs-2290 341 8 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 341 9 submodules submodule NOUN iajs-2290 341 10 and and CCONJ iajs-2290 341 11 some some DET iajs-2290 341 12 related related ADJ iajs-2290 341 13 concepts concept NOUN iajs-2290 341 14 , , PUNCT iajs-2290 341 15 ibn ibn PROPN iajs-2290 341 16 - - PUNCT iajs-2290 341 17 al al PROPN iajs-2290 341 18 - - PUNCT iajs-2290 341 19 haitham haitham PROPN iajs-2290 341 20 journal journal PROPN iajs-2290 341 21 , , PUNCT iajs-2290 341 22 for for ADP iajs-2290 341 23 pure pure ADJ iajs-2290 341 24 and and CCONJ iajs-2290 341 25 apple apple NOUN iajs-2290 341 26 . . PUNCT iajs-2290 342 1 sci.2018 sci.2018 NOUN iajs-2290 342 2 , , PUNCT iajs-2290 342 3 32 32 NUM iajs-2290 342 4 , , PUNCT iajs-2290 342 5 2 2 NUM iajs-2290 342 6 , , PUNCT iajs-2290 342 7 114 114 NUM iajs-2290 342 8 - - SYM iajs-2290 342 9 122 122 NUM iajs-2290 342 10 . . PUNCT iajs-2290 343 1 10 10 NUM iajs-2290 343 2 . . X iajs-2290 344 1 badwi badwi PROPN iajs-2290 344 2 , , PUNCT iajs-2290 344 3 a. a. NOUN iajs-2290 344 4 ; ; PUNCT iajs-2290 344 5 tekir tekir NOUN iajs-2290 344 6 , , PUNCT iajs-2290 344 7 u. u. PROPN iajs-2290 344 8 ; ; PUNCT iajs-2290 344 9 yetkin yetkin PROPN iajs-2290 344 10 , , PUNCT iajs-2290 344 11 e. e. PROPN iajs-2290 344 12 on on ADP iajs-2290 344 13 2 2 NUM iajs-2290 344 14 - - PUNCT iajs-2290 344 15 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 344 16 primary primary ADJ iajs-2290 344 17 ideals ideal NOUN iajs-2290 344 18 in in ADP iajs-2290 344 19 commutative commutative ADJ iajs-2290 344 20 rings ring NOUN iajs-2290 344 21 , , PUNCT iajs-2290 344 22 bull.korean bull.korean PROPN iajs-2290 344 23 math math NOUN iajs-2290 344 24 . . PUNCT iajs-2290 345 1 sci.2014 sci.2014 PRON iajs-2290 345 2 , , PUNCT iajs-2290 345 3 51 51 NUM iajs-2290 345 4 , , PUNCT iajs-2290 345 5 4 4 NUM iajs-2290 345 6 , , PUNCT iajs-2290 345 7 1163 1163 NUM iajs-2290 345 8 - - SYM iajs-2290 345 9 1173 1173 NUM iajs-2290 345 10 . . PUNCT iajs-2290 346 1 11 11 NUM iajs-2290 346 2 . . X iajs-2290 347 1 goodearl goodearl PROPN iajs-2290 347 2 , , PUNCT iajs-2290 347 3 k.r k.r PROPN iajs-2290 347 4 . . PROPN iajs-2290 347 5 ring ring PROPN iajs-2290 347 6 theory theory NOUN iajs-2290 347 7 non non ADJ iajs-2290 347 8 - - ADJ iajs-2290 347 9 singular singular ADJ iajs-2290 347 10 rings ring NOUN iajs-2290 347 11 and and CCONJ iajs-2290 347 12 modules module NOUN iajs-2290 347 13 , , PUNCT iajs-2290 347 14 marcel marcel PROPN iajs-2290 347 15 dekker dekker PROPN iajs-2290 347 16 , , PUNCT iajs-2290 347 17 inc inc PROPN iajs-2290 347 18 . . PROPN iajs-2290 347 19 new new PROPN iajs-2290 347 20 york york PROPN iajs-2290 347 21 and and CCONJ iajs-2290 347 22 basel.1976 basel.1976 PROPN iajs-2290 347 23 , , PUNCT iajs-2290 347 24 206 206 NUM iajs-2290 347 25 . . PUNCT iajs-2290 347 26 12 12 NUM iajs-2290 347 27 . . PUNCT iajs-2290 348 1 el el NOUN iajs-2290 348 2 - - PUNCT iajs-2290 348 3 bast bast NOUN iajs-2290 348 4 , , PUNCT iajs-2290 348 5 z.a z.a PROPN iajs-2290 348 6 . . PROPN iajs-2290 348 7 ; ; PUNCT iajs-2290 348 8 smith smith PROPN iajs-2290 348 9 , , PUNCT iajs-2290 348 10 p.f p.f PROPN iajs-2290 348 11 . . PROPN iajs-2290 348 12 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 348 13 modules module NOUN iajs-2290 348 14 , , PUNCT iajs-2290 348 15 comm comm NOUN iajs-2290 348 16 . . PUNCT iajs-2290 349 1 in in ADP iajs-2290 349 2 algebra.1988 algebra.1988 PROPN iajs-2290 349 3 , , PUNCT iajs-2290 349 4 16 16 NUM iajs-2290 349 5 , , PUNCT iajs-2290 349 6 4 4 NUM iajs-2290 349 7 , , PUNCT iajs-2290 349 8 755779 755779 NUM iajs-2290 349 9 . . PUNCT iajs-2290 350 1 13 13 NUM iajs-2290 350 2 . . X iajs-2290 351 1 kasch kasch PROPN iajs-2290 351 2 , , PUNCT iajs-2290 351 3 f. f. PROPN iajs-2290 351 4 modules module NOUN iajs-2290 351 5 and and CCONJ iajs-2290 351 6 rings ring NOUN iajs-2290 351 7 , , PUNCT iajs-2290 351 8 london london PROPN iajs-2290 351 9 mathematical mathematical ADJ iajs-2290 351 10 society society NOUN iajs-2290 351 11 monographs monograph NOUN iajs-2290 351 12 , , PUNCT iajs-2290 351 13 new new PROPN iajs-2290 351 14 york york PROPN iajs-2290 351 15 , , PUNCT iajs-2290 351 16 academic academic PROPN iajs-2290 351 17 press.1982 press.1982 PROPN iajs-2290 351 18 , , PUNCT iajs-2290 351 19 370 370 NUM iajs-2290 351 20 . . PUNCT iajs-2290 352 1 14 14 NUM iajs-2290 352 2 . . PUNCT iajs-2290 353 1 anderson anderson PROPN iajs-2290 353 2 , , PUNCT iajs-2290 353 3 e.w e.w PROPN iajs-2290 353 4 . . PROPN iajs-2290 353 5 ; ; PUNCT iajs-2290 353 6 fuller full ADJ iajs-2290 353 7 , , PUNCT iajs-2290 353 8 k.r k.r PROPN iajs-2290 353 9 . . PROPN iajs-2290 353 10 rings ring NOUN iajs-2290 353 11 and and CCONJ iajs-2290 353 12 categores categore NOUN iajs-2290 353 13 of of ADP iajs-2290 353 14 modules module NOUN iajs-2290 353 15 , , PUNCT iajs-2290 353 16 springervelage springervelage NOUN iajs-2290 353 17 new new PROPN iajs-2290 353 18 york.1992 york.1992 PROPN iajs-2290 353 19 , , PUNCT iajs-2290 353 20 376 376 NUM iajs-2290 353 21 . . PUNCT iajs-2290 353 22 15 15 NUM iajs-2290 353 23 . . X iajs-2290 353 24 darani darani PROPN iajs-2290 353 25 , , PUNCT iajs-2290 353 26 a.y a.y PROPN iajs-2290 353 27 . . PROPN iajs-2290 353 28 ; ; PUNCT iajs-2290 353 29 soheilniai soheilniai PROPN iajs-2290 353 30 , , PUNCT iajs-2290 353 31 f. f. NOUN iajs-2290 353 32 2 2 NUM iajs-2290 353 33 - - PUNCT iajs-2290 353 34 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 353 35 and and CCONJ iajs-2290 353 36 weakly weakly ADJ iajs-2290 353 37 2 2 NUM iajs-2290 353 38 - - PUNCT iajs-2290 353 39 absorbing absorbing ADJ iajs-2290 353 40 submodules submodule NOUN iajs-2290 353 41 , , PUNCT iajs-2290 353 42 tahi tahi NOUN iajs-2290 353 43 journal journal PROPN iajs-2290 353 44 math.2011 math.2011 PROPN iajs-2290 353 45 , , PUNCT iajs-2290 353 46 9 9 NUM iajs-2290 353 47 , , PUNCT iajs-2290 353 48 577 577 NUM iajs-2290 353 49 - - SYM iajs-2290 353 50 584 584 NUM iajs-2290 353 51 . . NOUN iajs-2290 353 52 139 139 NUM iajs-2290 353 53 ibn ibn PROPN iajs-2290 353 54 al al PROPN iajs-2290 353 55 - - PUNCT iajs-2290 353 56 haitham haitham PROPN iajs-2290 353 57 jour jour X iajs-2290 353 58 . . PROPN iajs-2290 353 59 for for ADP iajs-2290 353 60 pure pure ADJ iajs-2290 353 61 & & CCONJ iajs-2290 353 62 appl appl PROPN iajs-2290 353 63 . . PUNCT iajs-2290 354 1 sci sci PROPN iajs-2290 354 2 . . PROPN iajs-2290 354 3 32 32 NUM iajs-2290 354 4 ( ( PUNCT iajs-2290 354 5 3 3 NUM iajs-2290 354 6 ) ) PUNCT iajs-2290 354 7 2019 2019 NUM iajs-2290 354 8 16 16 NUM iajs-2290 354 9 . . PUNCT iajs-2290 355 1 smith smith PROPN iajs-2290 355 2 , , PUNCT iajs-2290 355 3 p.f p.f PROPN iajs-2290 355 4 . . PUNCT iajs-2290 356 1 some some DET iajs-2290 356 2 remarks remark NOUN iajs-2290 356 3 on on ADP iajs-2290 356 4 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 356 5 modules module NOUN iajs-2290 356 6 , , PUNCT iajs-2290 356 7 arch arch NOUN iajs-2290 356 8 . . PUNCT iajs-2290 357 1 math.1988 math.1988 PROPN iajs-2290 357 2 , , PUNCT iajs-2290 357 3 50 50 NUM iajs-2290 357 4 , , PUNCT iajs-2290 357 5 223 223 NUM iajs-2290 357 6 - - SYM iajs-2290 357 7 225 225 NUM iajs-2290 357 8 . . PUNCT iajs-2290 357 9 17 17 NUM iajs-2290 357 10 . . PUNCT iajs-2290 358 1 ahmed ahmed PROPN iajs-2290 358 2 , , PUNCT iajs-2290 358 3 a.a a.a PROPN iajs-2290 358 4 . . PROPN iajs-2290 358 5 on on ADP iajs-2290 358 6 submodules submodule NOUN iajs-2290 358 7 of of ADP iajs-2290 358 8 multiplication multiplication NOUN iajs-2290 358 9 modules module NOUN iajs-2290 358 10 , , PUNCT iajs-2290 358 11 m.sc m.sc PROPN iajs-2290 358 12 . . PUNCT iajs-2290 359 1 thesis thesis PROPN iajs-2290 359 2 , , PUNCT iajs-2290 359 3 baghdad baghdad PROPN iajs-2290 359 4 university,1992 university,1992 NOUN iajs-2290 359 5 . . PUNCT